Technische Mechanik: Band 4: Hydromechanik, Elemente der Höheren Mechanik, Numerische Methoden, 6.Auflage

Springer-Lehrbuch Prof. Dr.-Ing. Dietmar Gross studierte Angewandte Mechanik und promovierte an der Universität Rostoc...

Author: Dietmar Gross | Werner Hauger | Peter Wriggers

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Springer-Lehrbuch

Prof. Dr.-Ing. Dietmar Gross studierte Angewandte Mechanik und promovierte an der Universität Rostock. Er habilitierte an der Universität Stuttgart und ist seit 1976 Professor für Mechanik an der TU Darmstadt. Seine Arbeitsgebiete sind unter anderen die Festkörper- und Strukturmechanik sowie die Bruchmechanik. Hierbei ist er auch mit der Modellierung mikromechanischer Prozesse befasst. Er ist Mitherausgeber mehrerer internationaler Fachzeitschriften sowie Autor zahlreicher Lehrund Fachbücher. Prof. Dr. Werner Hauger studierte Angewandte Mathematik und Mechanik an der Universität Karlsruhe und promovierte an der Northwestern University in Evanston/Illinois. Er war mehrere Jahre in der Industrie tätig, hatte eine Professur an der Universität der Bundeswehr in Hamburg und wurde 1978 an die TU Darmstadt berufen. Sein Arbeitsgebiet ist die Festkörpermechanik mit den Schwerpunkten Stabilitätstheorie, Plastodynamik und Biomechanik. Er ist Autor von Lehrbüchern und Mitherausgeber internationaler Fachzeitschriften. Prof. Dr.-Ing. Peter Wriggers studierte Bauingenieur- und Vermessungswesen, promovierte 1980 an der Universität Hannover und habilitierte 1986 im Fach Mechanik. Er war Gastprofessor an der UC Berkeley, USA, Professor für Mechanik an der TH Darmstadt und Direktor des Darmstädter Zentrums für Wissenschaftliches Rechnen. Seit 1998 ist er Professor für Baumechanik und Numerische Mechanik sowie Direktor des Zentrums für Computational Engineering Sciences an der Universität Hannover. Er ist Mitherausgeber von 11 internationalen Journals und Editor-in- Chief der Zeitschrift Computational Mechanics.

Dietmar Gross · Werner Hauger Peter Wriggers

Technische Mechanik Band 4: Hydromechanik, Elemente der Höheren Mechanik, Numerische Methoden 6., vollständig neu bearbeitete Auflage

Mit 213 Abbildungen

123

Prof. Dr.-Ing. Dietmar Gross Prof. Dr. Werner Hauger Prof. Dr. rer. nat. Dr.-Ing. E.h. Walter Schnell † Institut für Mechanik Technische Universität Darmstadt Hochschulstraße 1 64289 Darmstadt

Prof. Dr.-Ing. Peter Wriggers Institut für Baumechanik und Numerische Mechanik Universität Hannover Appelstraße 9a 30167 Hannover

Bisher erschienen unter ,,Gross, Hauger, Schnell, Wriggers: Technische Mechanik 4“ Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar.

ISBN 978-3-540-70737-0 6. Aufl. Springer Berlin Heidelberg New York ISBN 978-3-540-22099-2 5. Aufl. Springer Berlin Heidelberg New York Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media springer.de © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1993, 1995, 1999, 2002, 2004 und 2007 Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daß solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Sollte in diesem Werk direkt oder indirekt auf Gesetze, Vorschriften oder Richtlinien (z.B. DIN, VDI, VDE) Bezug genommen oder aus ihnen zitiert worden sein, so kann der Verlag keine Gewähr für die Richtigkeit, Vollständigkeit oder Aktualität übernehmen. Es empfiehlt sich, gegebenenfalls für die eigenen Arbeiten die vollständigen Vorschriften oder Richtlinien in der jeweils gültigen Fassung hinzuzuziehen. Satz: Reproduktionsfertige Vorlagen der Autoren Herstellung: LE-TEX Jelonek, Schmidt & Vöckler GbR, Leipzig Umschlaggestaltung: WMXDesign GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier

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Vorwort Der vorliegende vierte Band schließt das mehrbändige Lehrbuch der Technischen Mechanik ab. Behandelt werden in ihm die Grundlagen und wichtige Elemente der Hydromechanik, der Elastizitätstheorie, der Tragwerkslehre, der Schwingungen von Kontinua, der Stabilit¨ atstheorie, der Plastizit¨ at und Viskoelastizität sowie der Numerischen Methoden in der Mechanik. Es handelt sich dabei um Gebiete, die vollst¨ andig oder einf¨ uhrend an vielen deutschsprachigen Hochschulen im Grundstudium gelehrt werden. Beispiele hierf¨ ur sind die Stromfadentheorie, spezielle Tragwerke wie das Seil und die Platte oder die Einf¨ uhrung in die Elastizitätstheorie und die Plastizit¨ at. In Teilen der einzelnen Kapitel schlägt der dargestellte Stoff aber auch schon die Br¨ ucke zum Fachstudium. Dies trifft unter anderem auf die Schwingungen von Balken und Platten, auf die Stabilit¨ at von Tragwerken oder auf die Methode der Finiten Elemente zu. Das Buch wendet sich an Ingenieurstudenten aller Fachrichtungen, f¨ ur welche die genannten Gebiete gelehrt werden. Unser Ziel ist es, den Leser an die wesentlichen Grundlagen heranzuf¨ uhren und ein solides Fundament zu legen, das ein tieferes Eindringen in die einzelnen Fachdisziplinen erleichtert. Angesprochen ist auch der Praktiker in der Industrie, dem das Buch einen einfachen Einstieg in die entsprechenden Gebiete ermöglichen soll. Wie in den vorhergehenden B¨ anden haben wir uns um eine m¨ oglichst einfache aber pr¨ azise Darstellung des Stoffs bem¨ uht. Diesem Anliegen dienen auch die zahlreichen durchgerechneten Beispiele. Sie sollen das Verst¨ andnis unterst¨ utzen und eine Anleitung zur Behandlung ¨ ahnlicher Probleme bilden. Die freundliche Aufnahme des Werkes bei der Leserschaft macht diese Neuauflage erforderlich. Wir haben sie genutzt, um eine Reihe von Verbesserungen und Erg¨ anzungen vorzunehmen. Das Lehrbuch Technische Mechanik 4 geht zu einem guten Teil auf unseren verstorbenen Kollegen Prof. Dr. Dr.h.c. Walter Schnell zur¨ uck, der bis zur dritten Auflage Mitautor war. Seine Hand-

VI

¨ schrift ist in der vorliegenden Neuauflage trotz der Uberarbeitung immer noch deutlich zu erkennen. Wir danken dem Springer-Verlag f¨ ur das Eingehen auf unsere W¨ unsche und f¨ ur die ansprechende Ausstattung des Buches. Darmstadt und Hannover, im Januar 2007

D. Gross W. Hauger P. Wriggers

Inhaltsverzeichnis 1 1.1 1.2 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.3 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.4

Hydromechanik Eigenschaften einer Fl¨ ussigkeit ............................... Hydrostatik....................................................... Druck in einer ruhenden Fl¨ ussigkeit ......................... Auftrieb ........................................................... Der schwimmende K¨ orper..................................... Druckkräfte auf ebene Flächen............................... Druckkräfte auf gekr¨ ummte Flächen ........................ Hydrodynamik ................................................... Kinematische Grundlagen ..................................... Stromfadentheorie .............................................. Str¨ omung mit Energieverlusten .............................. Weiterf¨ uhrende Literatur ......................................

3 5 5 13 18 21 28 33 33 36 55 68

2 2.1 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.1.5 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.4 2.5 2.5.1 2.5.2 2.5.3

Grundlagen der Elastizit¨ atstheorie Spannungszustand .............................................. Spannungsvektor, Spannungstensor, Indexschreibweise.. Koordinatentransformation.................................... Hauptspannungen, Invarianten, Mohrsche Kreise......... Hydrostatischer Spannungszustand, Deviator ............. Gleichgewichtsbedingungen ................................... Deformation und Verzerrung ................................. Allgemeines ...................................................... Infinitesimaler Verzerrungstensor ............................ Kompatibilitätsbedingungen .................................. Elastizitätsgesetz ................................................ Hookesches Gesetz ............................................. Isotropie .......................................................... Formänderungsenergiedichte .................................. Temperaturdehnungen ......................................... Grundgleichungen ............................................... Ebene Probleme................................................. Ebener Spannungszustand, ebener Verzerrungszustand . Spannungs-Differentialgleichungen, Spannungsfunktion. Anwendungsbeispiele ...........................................

71 71 76 79 85 87 92 92 94 99 102 102 104 107 111 113 115 115 118 121

VIII

2.5.4 2.6 2.6.1 2.6.2 2.6.3 2.7 2.7.1 2.7.2 2.7.3 2.8

Verschiebungs-Dgln., Rotationssymmetrie ................. Torsion ............................................................ Allgemeines ...................................................... Grundgleichungen ............................................... Verw¨ olbungsfunktion und Torsionsfunktion ................ Energieprinzipien ................................................ Arbeitssatz ....................................................... Sätze von Clapeyron und von Betti ......................... Prinzip der virtuellen Verr¨ uckungen ......................... Weiterf¨ uhrende Literatur ......................................

127 130 130 130 132 141 142 146 147 153

3 3.1 3.2 3.2.1 3.2.2 3.3 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.4 3.4.1 3.4.2 3.5 3.5.1 3.5.2 3.5.3 3.6 3.6.1 3.6.2 3.6.3 3.7

Statik spezieller Tragwerke Einleitung......................................................... Der Bogenträger ................................................ Gleichgewichtsbedingungen ................................... Der momentenfreie Bogenträger ............................. Das Seil ........................................................... Gleichung der Seillinie.......................................... Seil unter Einzelkräften ........................................ Kettenlinie........................................................ Der Schubfeldträger ............................................ Kraftfluss am Parallelträger ................................... Grundgleichungen ............................................... Saite und Membran ............................................ Die Saite.......................................................... Die Membran .................................................... Membrantheorie d¨ unner Rotationsschalen ................. Die Platte ........................................................ Grundgleichungen der Platte ................................. Randbedingungen f¨ ur die schubstarre Platte .............. Die Kreisplatte .................................................. Weiterf¨ uhrende Literatur ......................................

157 158 158 162 164 164 168 169 172 172 173 181 181 185 187 192 192 199 204 208

4 4.1 4.2 4.2.1

Schwingungen kontinuierlicher Systeme Einleitung......................................................... 211 Die Saite.......................................................... 212 Wellengleichung ................................................. 212

IX

4.2.2 4.2.3 4.3 4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.4 4.4.1 4.4.2 4.4.3 4.4.4 4.5 4.5.1 4.5.2 4.6 4.7

d’Alembertsche L¨ osung, Wellen .............................. Bernoullische L¨ osung, Schwingungen ....................... Longitudinalschwingungen und Torsionsschwingungen .. Freie Longitudinalschwingungen ............................. Erzwungene Longitudinalschwingungen .................... Torsionsschwingungen.......................................... Biegeschwingungen von Balken .............................. Grundgleichungen ............................................... Freie Schwingungen ............................................ Erzwungene Schwingungen ................................... Wellenausbreitung .............................................. Eigenschwingungen von Membranen und Platten ........ Membranschwingungen ........................................ Plattenschwingungen........................................... Energieprinzipien ................................................ Weiterf¨ uhrende Literatur ......................................

5 5.1 5.2 5.2.1

Stabilit¨ at elastischer Strukturen Allgemeines ...................................................... Beschreibung typischer Stabilitätsfälle ...................... Der elastisch eingespannte Druckstab als Beispiel f¨ ur ein Verzweigungsproblem .......................................... Der Einfluss von Imperfektionen ............................. Ein Beispiel f¨ ur ein Durchschlagproblem ................... Verallgemeinerung .............................................. Stabknicken ...................................................... Der elastische Druckstab mit großen Verschiebungen – Die Elastica.................................................... Ermittlung der Knickgleichung mit der Energiemethode Der imperfekte Druckstab..................................... Plattenbeulen .................................................... Die Beulgleichung............................................... Die Rechteckplatte unter einseitigem Druck............... Die Kreisplatte .................................................. Weiterf¨ uhrende Literatur ......................................

5.2.2 5.2.3 5.3 5.4 5.4.1 5.4.2 5.4.3 5.5 5.5.1 5.5.2 5.5.3 5.6

214 218 224 224 230 233 235 235 238 247 251 254 254 258 261 268

271 272 272 278 283 285 290 290 295 299 302 302 305 311 314

X

6 6.1 6.2 6.2.1 6.2.2 6.3 6.3.1 6.3.2 6.3.3 6.4

Viskoelastizit¨ at und Plastizit¨ at Einf¨ uhrung ....................................................... Viskoelastizität .................................................. Modellrheologie ................................................. Materialgesetz in integraler Form............................ Plastizität ........................................................ Allgemeines ...................................................... Fachwerke ........................................................ Balken............................................................. Weiterf¨ uhrende Literatur ......................................

317 320 321 340 344 344 351 358 368

7 7.1 7.2 7.3 7.3.1 7.3.2 7.4 7.4.1 7.4.2 7.5 7.5.1 7.5.2 7.5.3 7.5.4 7.5.5 7.5.6 7.6 7.6.1 7.6.2 7.6.3 7.6.4 7.6.5 7.6.6 7.7

Numerische Methoden in der Mechanik Einleitung......................................................... Differentialgleichungen in der Mechanik.................... Integrationsverfahren f¨ ur Anfangswertprobleme........... Explizite Integrationsverfahren ............................... Implizite Integrationsverfahren ............................... Differenzenverfahren f¨ ur Randwertprobleme ............... Gew¨ ohnliche Differentialgleichungen ........................ Partielle Differentialgleichungen.............................. Methode der gewichteten Residuen ......................... Vorbemerkungen ................................................ Kollokationsverfahren .......................................... Galerkin-Verfahren .............................................. Numerische Integration ........................................ Beispiele .......................................................... Verfahren von Ritz.............................................. Methode der finiten Elemente ................................ Einf¨ uhrung ....................................................... Aufstellung der Gleichungssysteme .......................... Stabelement...................................................... Balkenelement ................................................... Element f¨ ur die Kreisplatte ................................... Finite Elemente f¨ ur zweidimensionale Probleme .......... Weiterf¨ uhrende Literatur ......................................

371 371 374 374 383 387 387 393 398 398 399 399 402 404 410 419 419 423 426 429 435 438 455

XI

Englische Fachausdr¨ ucke .............................................. 457 Sachverzeichnis .......................................................... 475

Kapitel 1 Hydromechanik

1

1 Hydromechanik 1.1 1.2 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.3 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.4

Eigenschaften einer Fl¨ ussigkeit............................... Hydrostatik....................................................... Druck in einer ruhenden Fl¨ ussigkeit ........................ Auftrieb ........................................................... Der schwimmende K¨ orper .................................... Druckkräfte auf ebene Flächen .............................. Druckkräfte auf gekr¨ ummte Flächen ....................... Hydrodynamik ................................................... Kinematische Grundlagen ..................................... Stromfadentheorie .............................................. Str¨ omung mit Energieverlusten .............................. Weiterf¨ uhrende Literatur ......................................

3 5 5 13 18 21 28 33 33 36 55 68

1.1

Eigenschaften einer Fl¨ ussigkeit

3

1.1

1.1 Eigenschaften einer Fl¨ ussigkeit Die Hydromechanik ist die Lehre vom Gleichgewicht und von der Bewegung der Fl¨ ussigkeiten. Nach der Erfahrung unterscheiden sich Fl¨ ussigkeiten – und auch Gase – von den festen Körpern haupts¨ achlich dadurch, dass sie Form¨ anderungen, die langsam und ohne Volumen¨ anderung vor sich gehen, nur sehr geringen Widerstand entgegensetzen. Eine solche Form¨ anderung erfährt zum Beispiel eine Fl¨ ussigkeit, die sich zwischen zwei Platten befindet, an diesen haftet und einer scherenden Belastung unterworfen wird (Abb. 1.1a). Das Verschieben der Teilchen gegeneinander erfolgt unter dem Einfluss von Schubspannungen (Abb. 1.1b) und dauert an, solange die Schubspannungen wirken. Eine Fl¨ ussigkeit ist daher ein Stoff, der einer scherenden Beanspruchung unbegrenzt nachgibt. Dies bedeutet insbesondere, dass in einer ruhenden Fl¨ ussigkeit keine Schubspannungen auftreten können. ¨ Die Schubspannungen h¨ angen von der zeitlichen Anderung γ˙ des Winkels γ ab: τ = f (γ). ˙ Dabei gilt f (0) = 0. Bei manchen Fl¨ ussigkeiten stellt man im Experiment einen linearen Zusammenhang τ = η γ˙

(1.1)

ussigkeiten. fest. Solche Fl¨ ussigkeiten nennt man Newtonsche Fl¨ Die Gr¨ oße η heisst dynamische Viskosit¨ at (dynamische Z¨ ahigkeit, Scherz¨ ahigkeit) und wird zum Beispiel in Ns/m2 angegeben. Sie ist ein Materialparameter und h¨ angt u.a. von der Temperatur der Fl¨ ussigkeit ab. Wenn man den Schubversuch nach Abb. 1.1a mit einem elastischen Festk¨ orper statt mit einer Fl¨ ussigkeit durchf¨ uhrt, dann stellt sich ein zeitunabh¨ angiger Winkel γ ein. Dabei gilt anstelle von (1.1) das Hookesche Gesetz (Band 2, Gl. (3.10)) τ = Gγ.

Abb. 1.1

4

1 Hydromechanik

In vielen F¨ allen ist es zul¨ assig, die bei der Bewegung einer Fl¨ ussigkeit auftretenden Schubspannungen zu vernachlässigen. Dies stellt eine Idealisierung der wirklichen Vorgänge dar und vereinfacht die Behandlung von praktischen Problemen beträchtlich. ussigkeit. Dagegen Man spricht dann von einer reibungsfreien Fl¨ nennt man eine Fl¨ ussigkeit, bei der die Schubspannungen ber¨ ucksichtigt werden, eine z¨ ahe (viskose) Fl¨ ussigkeit. Fl¨ ussigkeiten erfahren selbst unter hohem Druck nur eine sehr geringe Volumen¨ anderung. Man kann sie daher bei fast allen praktisch wichtigen Vorg¨ angen als inkompressibel betrachten. Dann ist die Dichte vom Druck unabh¨ angig; sie kann aber bei inhomogenen Fl¨ ussigkeiten vom Ort und von der Zeit abh¨ angen. F¨ ur homogene, inkompressible Fl¨ ussigkeiten ist die Dichte r¨ aumlich und zeitlich konstant: = const .

(1.2)

Eine reibungsfreie Fl¨ ussigkeit mit konstanter Dichte nennt man ideale Fl¨ ussigkeit. Wir wollen im folgenden immer voraussetzen, dass (1.2) gilt. Wie bereits erw¨ ahnt, setzen auch Gase einer scherenden Beanspruchung nur sehr geringen Widerstand entgegen. Im Gegensatz zu Fl¨ ussigkeiten besitzen Gase aber keine freie Oberfläche. Sie f¨ ullen jeden ihnen zur Verf¨ ugung stehenden Raum – gegebenenfalls ¨ unter Anderung ihrer Dichte – vollst¨ andig aus. Die Dichte hängt dabei stark vom Druck und von der Temperatur ab. Die Erfahrung zeigt allerdings, dass die Dichte¨ anderung in Sonderfällen auch bei Gasen gering sein kann und dann vernachl¨ assigbar ist. Dies gilt zum Beispiel, wenn die Str¨ omungsgeschwindigkeit des Gases klein gegen die Schallgeschwindigkeit im Gas ist und wenn keine großen Druck- und Temperaturunterschiede vorhanden sind. Dann kann man auch bei einem Gas die Dichte als konstant ansehen und das Gas wie eine Fl¨ ussigkeit behandeln. Str¨ omungsvorgänge, die mit großen Volumen- bzw. Dichte¨ anderungen verbunden sind, werden in der Gasdynamik untersucht. Das Unterscheidungsmerkmal zwischen Fl¨ ussigkeiten und Gasen wird durch den Begriff tropfbar cha-

1.2

Hydrostatik

5

rakterisiert. Als Oberbegriff f¨ ur beide Aggregatzustände hat sich urgert: tropfbare Fluide sind Fl¨ ussigdie Bezeichnung Fluid eingeb¨ keiten, nicht tropfbare Fluide sind Gase.

1.2 Hydrostatik Die Hydrostatik ist die Lehre vom Verhalten ruhender Fl¨ ussigkeiten. Von besonderem Interesse sind hierbei die Verteilung des Drucks in einer Fl¨ ussigkeit sowie die Kr¨ afte, die von einer Fl¨ ussigkeit auf in ihr schwimmende K¨ orper oder auf sie begrenzende Fl¨ achen ausge¨ ubt werden. Zu deren Ermittlung verwenden wir das Schnittprinzip (Band 1, Abschn. 1.4) sowie die Gleichgewichtsbedingungen. Beide gelten nicht nur bei festen, sondern auch bei fl¨ ussigen Stoffen. Da die Schubspannungen in beliebigen ruhenden Fl¨ ussigkeiten ¨ Null sind, gelten die folgenden Uberlegungen gleichermaßen f¨ ur reibungsfreie und f¨ ur z¨ ahe Fl¨ ussigkeiten. 1.2.1 Druck in einer ruhenden Fl¨ ussigkeit

Nach Abschnitt 1.1 treten in einer ruhenden Fl¨ ussigkeit nur Normalspannungen auf. Bei Vorg¨ angen von technischer Bedeutung sind dies Druckspannungen. Sie k¨ onnen nach dem Schnittprinzip veranschaulicht und einer Berechnung zug¨ anglich gemacht werden. Wir wollen im folgenden zeigen, dass die Druckspannungen in einem beliebigen Punkt der Fl¨ ussigkeit unabh¨ angig von der Orientierung des Schnittes sind. Dazu denken wir uns dort einen kleinen Keil der Dicke Δz aus der Fl¨ ussigkeit geschnitten; er ist in Abb. 1.2 in der Seitenansicht dargestellt. Der Winkel α ist dabei beliebig gew¨ ahlt. Die auf die Schnittfl¨ achen wirkenden Spannungen sind im Bild als Druckspannungen eingezeichnet und mit p, px und py bezeichnet. Außerdem wird das Element durch eine Volumenkraft f mit den Komponenten fx , fy und fz belastet. Das Kr¨ aftegleichgewicht in x- und in y-Richtung liefert → : px ΔyΔz − pΔsΔz cos α + fx 21 ΔxΔyΔz = 0 , ↑ : py ΔxΔz − pΔsΔz sin α + fy 12 ΔxΔyΔz = 0 .

1.2

6

1 Hydromechanik

Abb. 1.2

Mit Δx = Δs sin α und Δy = Δs cos α folgt daraus px = p − fx Δx/2 , py = p − fy Δy/2 . Wir lassen nun das Volumen des Keils gegen Null gehen. Mit Δx → 0 und Δy → 0 erhalten wir dann px = py = p . Mit Hilfe eines Tetraeders (vgl. Abschnitt 2.1.1) lässt sich zeigen, dass insgesamt gilt: px = p y = p z = p .

(1.3)

Die Druckspannung p nennt man kurz den Druck. Nach (1.3) ist in einer ruhenden Fl¨ ussigkeit der Druck in einem Punkt in allen Richtungen gleich. Diese Erkenntnis geht auf den Mathematiker und Physiker Blaise Pascal (1623–1662) zur¨ uck. Somit hängt der Druck nur vom Ort ab: p = p(x, y, z). Er hat die Dimension Kraft/Fläche und wird in der nach Pascal benannten Einheit 1 Pa = 1 N/m2 oder in der Einheit 1 bar = 105 Pa angegeben (1 MPa = 1 N/mm2 ). Da in einer ruhenden Fl¨ ussigkeit keine Schubspannungen auftreten und die Normalspannungen nach (1.3) gleich groß sind, ist der Spannungstensor durch ⎡ ⎤ −p 0 0 ⎢ ⎥ σ = ⎣ 0 −p 0 ⎦ (1.4) 0

0 −p

1.2

Hydrostatik

7

gegeben (vgl. Abschnitt 2.1.4). Ein solcher Spannungszustand heisst hydrostatischer Spannungszustand.

Abb. 1.3

Eine Fl¨ ussigkeit, auf die als einzige Volumenkraft die Schwerkraft wirkt, nennt man schwere Fl¨ ussigkeit. Um die Druckverteilung in einer schweren Fl¨ ussigkeit zu bestimmen, schneiden wir zunächst einen Zylinder (Querschnittsfl¨ ache ΔA) mit horizontaler Achse (Abb. 1.3a) aus der Fl¨ ussigkeit (die vertikalen Kräfte sind im Freik¨ orperbild nicht eingezeichnet). Aus der Gleichgewichtsbedingung p1 ΔA − p2 ΔA = 0 folgt, dass an den Stellen { und | in gleicher Tiefe der gleiche Druck herrscht. Der Druck kann daher nur von der Tiefe abh¨ angen. Um diese Abh¨ angigkeit zu ermitteln, betrachten wir eine vertikale Fl¨ ussigkeitss¨ aule (Querschnittsfläche A) nach Abb. 1.3b (hier sind die horizontalen Kr¨ afte nicht eingezeichnet). Die Oberseite der S¨ aule befindet sich an der Oberfläche der Fl¨ ussigkeit. Dort herrscht der Luftdruck p0 . An der Unterseite, d.h. in der Tiefe z, gilt p = p(z). Mit dem Gewicht G = gAz der S¨ aule folgt somit aus dem Kr¨ aftegleichgewicht ↑: p(z)A − G − p0 A = 0 →

p(z) = p0 + gz .

(1.5)

In einer schweren Fl¨ ussigkeit w¨ achst demnach der Druck linear mit der Tiefe (Abb. 1.3c). Die Gleichung (1.5) kann auch dann zur Bestimmung der Druckverteilung verwendet werden, wenn mehrere Fl¨ ussigkeiten mit verschiedenen Dichten in horizontalen Schichten angeordnet sind. So herrscht zum Beispiel in der Trennfl¨ ache zwischen den beiden in Abb. 1.4 dargestellten Fl¨ ussigkeiten mit den Dichten 1 und 2 der Druck p1 = p0 +1 gh, und in der Tiefe z unterhalb der Trennfläche lautet der Druck p(z) = p1 + 2 gz.

8

1 Hydromechanik

Abb. 1.4

Nach (1.5) ist der Druck in einer schweren Fl¨ ussigkeit an allen Stellen gleicher Tiefe gleich groß. Somit ist der Druck am Boden eines Gef¨ aßes unabh¨ angig von der Gef¨ aßform. Wenn die Bodenflächen A verschiedener Gef¨ aße gleich groß sind (Abb. 1.5), dann wird – unabh¨ angig vom jeweiligen Gesamtgewicht der Fl¨ ussigkeit – jeweils die gleiche Kraft F von der Fl¨ ussigkeit auf den Boden ausge¨ ubt. Dies nennt man das Pascalsche oder hydrostatische Paradoxon.

Abb. 1.5

In den kommunizierenden R¨ ohren nach Abb. 1.6a ist der Druck an den Fl¨ ussigkeitsspiegeln gleich dem Umgebungsdruck p0 . Daher stehen die Fl¨ ussigkeitsspiegel in den beiden Schenkeln des Rohres gleich hoch. Wenn die beiden Schenkel dagegen zum Beispiel an Druckbeh¨ alter angeschlossen sind und unterschiedliche Dr¨ ucke p1 und p2 and den Fl¨ ussigkeitsspiegeln herrschen, dann stellt sich ein H¨ ohenunterschied Δh ein (Abb. 1.6b). Da der Druck im rechten Schenkel in der H¨ ohe des linken Fl¨ ussigkeitsspiegels ebenfalls gleich p1 ist, gilt nach (1.5) die Beziehung p1 = p2 + g Δh .

(1.6)

Danach kann zum Beispiel bei bekanntem Druck p2 der Druck p1 durch Messen des H¨ ohenunterschiedes Δh bestimmt werden. Dies wird bei Fl¨ ussigkeitsmanometern angewendet.

1.2

Hydrostatik

9

Mit einem Barometer misst man den Druck in der Erdatmosphäre. Wenn der eine Schenkel abgeschlossen und die Luft oberhalb der Fl¨ ussigkeit entfernt worden ist (Abb. 1.6c), dann stellt sich nach (1.6) unter der Wirkung des Luftdrucks p0 ein Höhenunterschied p0 Δh = g ein. Der Druck p0 , der bei Verwendung von Quecksilber mit der Dichte = 13, 594 · 103 kg/m3 beim Normwert g = 9, 80665 m/s2 der Erdbeschleunigung zu einer H¨ ohendifferenz von Δh = 760 mm f¨ uhrt, wird Normalluftdruck genannt. Er ergibt sich zu p0 = 1, 0132 bar = 1013, 2 mbar = 1013, 2 hPa (Hektopascal).

Abb. 1.6

In Wasser ( = 103 kg/m3 ) herrscht nach (1.5) in einer Tiefe von z = 10 m der Druck p = p0 + 0, 980665 bar ≈ 2 p0 . Er ist somit ungef¨ ahr doppelt so groß wie der Luftdruck. Bei einer hydraulischen Presse (Abb. 1.6d) wirken die Kräfte F1 und F2 auf die in die Schenkel eingepassten Kolben mit den afte erzeugen die Dr¨ ucke p1 und p2 Fl¨ achen A1 und A2 . Diese Kr¨ an den Kolben. Bei praktischen Anwendungen ist meist g Δh aherungsweise p1 , p2 , so dass aus (1.6) n¨ p1 = p2 →

F1 F2 = A1 A2

→

F1 A1 = F2 A2

folgt. W¨ ahlt man zum Beispiel A1 A2 , so gilt F1 F2 , d.h., man braucht nur eine sehr kleine Kraft F2 , um F1 das Gleichgewicht zu halten.

10

1 Hydromechanik

Wir betrachten nun eine Fl¨ ussigkeit, auf die eine beliebige Volumenkraft wirkt. Zwischen der Volumenkraft f und dem Druck p besteht ein Zusammenhang. Um ihn herzuleiten, denken wir uns den in Abb. 1.7 in der Seitenansicht dargestellten infinitesimalen Quader (Kantenl¨ angen dx, dy, dz) aus der Fl¨ ussigkeit herausgeschnitten. Da der Druck vom Ort abh¨ angt, ist er auf gegen¨ uberliegenden Fl¨ achen i.a. nicht gleich groß. So wirkt auf der linken Schnittfl¨ ache der Druck p und auf der rechten Fläche der infini∂p dx. tesimal ge¨ anderte Druck p + ∂x

Abb. 1.7

Das Kr¨ aftegleichgewicht in x-Richtung liefert ∂p dx dydz = 0 → p dydz + fx dxdydz − p + ∂x

∂p = fx . ∂x

Wenn wir entsprechend auch das Kr¨ aftegleichgewicht in y- und in z-Richtung bilden, so erhalten wir insgesamt den gesuchten Zusammenhang ∂p = fx , ∂x

∂p = fy , ∂y

∂p = fz . ∂z

(1.7)

Mit Hilfe des Gradientenvektors (Band 3, Abschn. 1.2.7) kann (1.7) auch in der vektoriellen Form grad p = f

(1.8)

geschrieben werden. Die Punkte, in denen der gleiche Druck achen nennt. p = const herrscht, bilden Fl¨ achen, die man Niveaufl¨

1.2

Hydrostatik

11

Ein konservatives Kraftfeld ist aus einem Potential (potentielle Energie) Ep herleitbar: f = −grad Ep . Da f eine Volumenkraft ist, stellt Ep eine potentielle Energie pro Volumeneinheit dar. Durch Vergleich mit (1.8) erh¨ alt man einen Zusammenhang zwischen der potentiellen Energie der Volumenkraft und der Druckverteilung in der Fl¨ ussigkeit: p (x, y, z) = − Ep (x, y, z) + C .

(1.9)

Dabei ist C eine beliebig w¨ ahlbare Konstante. Demnach sind die Fl¨ achen gleichen Drucks (Niveaufl¨ achen) identisch mit den Flächen ¨ gleichen Potentials (Aquipotentialflächen). Da der Gradientenvek¨ tor (1.8) normal zur Niveaufl¨ ache steht, ist diese (bzw. die Aquipotentialfl¨ ache) in einem Punkt orthogonal zur Richtung der dort wirkenden Volumenkraft. Bei einer schweren Fl¨ ussigkeit stellen diese Fl¨ achen horizontale Ebenen dar. Beispiel 1.1 Ein offenes U-Rohr enth¨ alt zwei sich nicht mischen-

B1.1

de Fl¨ ussigkeiten mit verschiedenen Dichten (Abb. 1.8a). Gegeben sind p0 , 1 , h2 und Δh. Man bestimme 2 .

Abb. 1.8

L¨ osung In der Fl¨ ussigkeit | ist der Druck an der Trennfläche nach ussigkeit (1.5) durch p2 = p0 +2 g h2 gegeben. Der Druck in der Fl¨ { an der Trennfl¨ ache stimmt mit dem im linken Schenkel auf gleicher H¨ ohe herrschenden Druck p1 = p0 +1 g(h2 −Δh) u ¨berein (Abb. 1.8b). Gleichsetzen der Dr¨ ucke liefert

p 1 = p2

→

2 = (1 − Δh/h2 ) 1 .

Ein Beh¨ alter mit Fl¨ ussigkeit (Dichte ) rotiert als Ganzes mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω um eine feste,

Beispiel 1.2

B1.2

12

1 Hydromechanik

vertikale Achse (Abb. 1.9a). Gesucht sind die Druckverteilung in der Fl¨ ussigkeit und die Form der freien Oberfl¨ ache.

Abb. 1.9

L¨ osung Wir f¨ uhren die Aufgabe auf ein statisches Problem zur¨ uck und bestimmen die Druckverteilung aus den Volumenkräften nach (1.7). In radialer Richtung wirkt die d’Alembertsche Trägheitskraft fr = r ω 2 (Band 3, Abschn. 4.1), in vertikaler Richtung wirkt die Gewichtskraft fz = g (Abb. 1.9b). Aus

∂p = fr ∂r

bzw.

∂p = fz ∂z

folgt durch Integration p (r, z) = 12 ω 2 r2 + ϕ(z)

bzw.

p (r, z) = gz + ψ(r) .

Dabei sind ϕ(z) bzw. ψ(r) zun¨ achst unbekannte Funktionen von z bzw. r. Durch Vergleich der beiden Ausdr¨ ucke f¨ ur p erkennt man, dass p (r, z) =

1 2

ω 2 r2 + gz + C

gilt, wobei C eine Konstante ist. Da bei dem gewählten Koordinatensystem (Abb. 1.9b) an der Stelle r = 0, z = 0 der Druck gleich dem Luftdruck p0 sein muss, folgt C = p0 . Die Druckverteilung in der Fl¨ ussigkeit ergibt sich damit zu p (r, z) = p0 + 12 ω 2 r2 + gz .

(a)

In vertikaler Richtung nimmt hiernach der Druck wie in einer nichtrotierenden Fl¨ ussigkeit linear mit der Tiefe zu, in horizontaler Richtung steigt er mit dem Quadrat der Entfernung von der Drehachse. An der freien Oberfl¨ ache gilt p = p0 . Damit erhält man aus (a)

1.2

Hydrostatik

13

die Gleichung der Oberfl¨ ache: z=−

ω2 2 r . 2g

Die freie Oberfl¨ ache ist somit ein Rotationsparaboloid. 1.2.2 Auftrieb

Wenn man einen an eine Federwaage geh¨ angten Körper in eine ruhende Fl¨ ussigkeit eintaucht, stellt man an der Waage eine scheinbare Gewichtsverminderung fest. Sie entsteht dadurch, dass von der Fl¨ ussigkeit fl¨ achenhaft verteilte Kr¨ afte auf den Körper ausge¨ ubt werden, deren Resultierende vertikal nach oben gerichtet ist. Diese resultierende Kraft nennt man Auftrieb.

Abb. 1.10

Um den Auftrieb zu bestimmen, betrachten wir einen beliebig geformten K¨ orper mit dem Volumen V , der zunächst vollständig eingetaucht sein soll. Wir denken uns den K¨ orper aus vertikalen Elementarzylindern aufgebaut. Ein solcher Zylinder mit der Querschnittsfl¨ ache dA und der H¨ ohe h ist in Abb. 1.10a dargestellt. Auf seine schr¨ age Oberseite dA1 bzw. Unterseite dA2 wirken die Kr¨ afte p1 dA1 bzw. p2 dA2 . Mit den Winkeln α1 und α2 gilt nach Abb. 1.10b der Zusammenhang dA = dA1 cos α1 = dA2 cos α2 . Damit erhalten wir die Vertikalkomponente der resultierenden Kraft der Fl¨ ussigkeit auf den Elementarzylinder (positiv nach

14

1 Hydromechanik

oben gez¨ ahlt) zu dFA = p2 dA2 cos α2 − p1 dA1 cos α1 → dFA = (p2 − p1 )dA . Nach der hydrostatischen Druckgleichung (1.5) gilt p2 −p1 = g h, wobei die Dichte der Fl¨ ussigkeit ist. Mit dem Volumen dV = h dA des Zylinders ergibt sich daher dFA = g dV . Die gesamte resultierende Kraft nach oben – d.h. der Auftrieb – folgt durch Integration u orper: ¨ber den K¨

FA = g dV . V

Da und g konstant sind, erh¨ alt man daraus mit schließlich FA = gV .

dV = V

V

(1.10)

Der Auftrieb ist somit gleich dem Gewicht der verdrängten Fl¨ ussigkeitsmenge. Dieser Zusammenhang wurde bereits von Archimedes (287–212) gefunden und wird daher Archimedisches Prinzip genannt. Die Wirkungslinie des Auftriebs geht wie die Wirkungslinie der Gewichtskraft durch den Schwerpunkt SF der verdrängten Fl¨ ussigkeitsmenge. Um zu zeigen, dass die Horizontalkomponente der von der Fl¨ ussigkeit auf den K¨ orper ausge¨ ubten Kraft Null ist, denken wir uns den K¨ orper aus horizontalen Elementarzylindern aufgebaut. Die Endfl¨ achen eines Zylinders mit beliebiger Orientierung befinden sich jeweils in gleicher Tiefe. Daher herrscht dort jeweils der gleiche Druck, und die in Richtung der Zylinderachse wirkenden Kraftkomponenten sind im Gleichgewicht. Somit ist auch die resultierende Kraft in beliebiger horizontaler Richtung Null. Der Auftrieb kann auch auf anschauliche Weise bestimmt werden. Dazu denkt man sich den K¨ orper aus der Fl¨ ussigkeit entfernt und den von ihm vorher eingenommenen Raum (Volumen

1.2

Hydrostatik

15

V , Oberfl¨ ache O) mit der Fl¨ ussigkeit selbst ausgef¨ ullt. Da die Fl¨ ussigkeit in Ruhe ist, m¨ ussen die an der Oberfl¨ ache O angreifenden Fl¨ achenkr¨ afte mit der Gewichtskraft G = g V , deren Wirkungslinie durch den Schwerpunkt geht, im Gleichgewicht sein. Die Resultierende aus den Fl¨ achenkr¨ aften – d.h. der Auftrieb – ist demnach dem Betrag nach gleich dem Gewicht der Fl¨ ussigkeitsmenge, geht durch deren Schwerpunkt SF und ist nach oben gerichtet. Da die an der Oberfl¨ ache O wirkenden Flächenkräfte nicht davon abh¨ angen, welches Material sich im Innern von O befindet, gilt diese Aussage auch f¨ ur einen eingetauchten Körper. Wenn der K¨ orper nicht vollst¨ andig, sondern nur teilweise eingetaucht ist, dann ist der Auftrieb ebenfalls gleich dem Gewicht der verdr¨ angten Fl¨ ussigkeitsmenge und geht durch deren Schwerpunkt. Beispiel 1.3 Eine unten offene, zylindrische Taucherglocke (Querschnittsfl¨ ache A, Höhe h, Gewicht G) wird u ¨ber ein Seil in einen See langsam nach unten gelassen (Abb. 1.11a). Dabei ändern sich Druck und Volumen der Luft in der Glocke nach dem Gesetz pV = const. In welcher Tiefe t ist das Volumen der Luft auf die Hälfte des urspr¨ unglichen Wertes abgesunken? Wie groß ist dann die Seilkraft?

Abb. 1.11

L¨ osung Wenn das Luftvolumen auf die H¨ alfte abgesunken ist, dann hat sich wegen pV = const der Druck verdoppelt, und die

B1.3

16

1 Hydromechanik

Taucherglocke hat sich bis zur H¨ alfte mit Wasser gef¨ ullt (Abb. 1.11b). Die Trennfl¨ ache zwischen der Luft und dem Wasser befindet sich in der Tiefe t + h/2. Somit gilt p0 + g (t + h/2) = 2p0

→

t=

h p0 − . g 2

Aus der Gleichgewichtsbedingung ↑: S − G + FA = 0 folgt mit der Auftriebskraft FA = g A h/2 die Seilkraft zu S = G − g A h/2 . B1.4

Beispiel 1.4 Ein Tr¨ ager ruht nach Abb. 1.12a auf zwei gleichen

Schwimmern (Grundfl¨ ache A). Um welchen Winkel ist der Träger geneigt, wenn eine Last (Gewicht G) im Abstand a vom linken Ufer aufgebracht wird?

Abb. 1.12

L¨ osung Wenn die Last aufgebracht wird, sinken die Schwimmer im

Vergleich zur unbelasteten Ausgangslage tiefer ein. Wir betrachten im folgenden nur diese zus¨ atzlichen Eintauchtiefen sowie die

1.2

Hydrostatik

17

entsprechenden Kr¨ afte. Wir denken uns den Tr¨ ager von den Schwimmern getrennt. Die auf die Teilk¨ orper wirkenden Kr¨ afte sind im Freikörperbild Abb. 1.12b dargestellt. Aus den Gleichgewichtsbedingungen am Träger sowie an den Schwimmern folgt: B 2 : B1 l − G(l − a) = 0 B 1 : B2 l − Ga = 0 ↑ : ΔFA1 = B1 , ΔFA2

l−a G, l a → B2 = G , l = B2 . →

B1 =

Außerdem gilt nach der Archimedischen Auftriebsformel (1.10): ΔFA1 = g A Δt1 , ΔFA2 = g A Δt2 . Aufl¨ osen liefert die zus¨ atzlichen Eintauchtiefen Δt1 =

(l − a)G aG , Δt2 = . gAl gAl

Daraus folgt der Neigungswinkel α (Abb. 1.12c): sin α =

Δt1 − Δt2 l

→ sin α =

(l − 2a)G . g A l2

Beispiel 1.5 Ein homogener Stab (L¨ ange l, Querschnittsfläche A, Dichte S ) ist an seinem Ende in B drehbar gelagert (Abb. 1.13a) und taucht mit dem anderen Ende in eine Fl¨ ussigkeit (Dichte F > S ). Gesucht sind die Eintauchl¨ ange x und der Neigungswinkel α.

Abb. 1.13

Auf den eingetauchten Stab wirken das Gewicht G = S g A l, der Auftrieb FA = F g Ax und die Lagerreaktion B

L¨ osung

B1.5

18

1 Hydromechanik

(Abb. 1.13b). Aus dem Momentengleichgewicht x l cos α = 0 B : G cos α − FA l − 2 2 ergibt sich eine quadratische Gleichung f¨ ur die Eintauchlänge: (+) S 2 S l − F x(2l − x) = 0 → x = l 1 − 1− . (a) F Das positive Vorzeichen vor der Wurzel ist wegen x < l auszuschließen. Der Neigungswinkel folgt aus der Geometrie: h h sin α = → sin α = . (b) l−x l 1 − / S

F

Im Fall h = l 1 − S /F nimmt der Stab eine vertikale Lage ein (sin α = 1). F¨ ur h > l 1 − S /F gilt ebenfalls α = π/2 (die Gleichungen (a) und (b) gelten dann nicht mehr).

1.2.3 Der schwimmende K¨ orper

Wir betrachten einen teilweise in eine Fl¨ ussigkeit eingetauchten, symmetrischen K¨ orper mit dem Gewicht G, der in Abb. 1.14a im Schnitt dargestellt ist. Die von der x, y-Ebene aus dem Körper geschnittene Fl¨ ache A heisst Schwimmfl¨ ache. Damit der Körper in der dargestellten Lage schwimmen kann, m¨ ussen sowohl das Kr¨ aftegleichgewicht als auch das Momentengleichgewicht erf¨ ullt

Abb. 1.14

1.2

Hydrostatik

19

sein. Das Kr¨ aftegleichgewicht lautet G − FA = 0 .

(1.11)

Der K¨ orper taucht daher so tief ein, bis das Gewicht der verdrängten Fl¨ ussigkeit gleich seinem eigenen Gewicht ist. Wegen der vorausgesetzten Symmetrie liegen der Schwerpunkt SK des Körpers angten Fl¨ ussigkeitsmenge auf und der Schwerpunkt SF der verdr¨ der z-Achse. Somit fallen die Wirkungslinien der beiden Kräfte G ullt. und FA zusammen, und das Momentengleichgewicht ist erf¨ Um die Stabilit¨ at der Gleichgewichtslage in Bezug auf eine Drehung um die x-Achse zu untersuchen, betrachten wir eine um einen kleinen Winkel Δα gedrehte benachbarte Lage (Abb. 1.14b). Wenn wir mit dA ein Fl¨ achenelement in der Schwimmfläche mit ¨ dem Abstand y von der Drehachse bezeichnen, dann ist die Anderung ΔV des Volumens V der verdr¨ angten Fl¨ ussigkeit durch

ΔV = y Δα dA = Δα y dA gegeben. Dabei ist die Integration u ¨ber die gesamte Schwimmfläche zu erstrecken. Da die x-Achse eine Schwerachse der Schwimmfl¨ ache ist, gilt ΔV = 0. Somit ¨ andert sich bei einer kleinen Drehung der Betrag der Auftriebskraft nicht. Dagegen verschiebt sich deren Wirkungslinie, da sich die Lage des Schwerpunkts der verdr¨ angten Fl¨ ussigkeitsmenge a ¨ndert: der Punkt SF geht in den aftepaar mit dem Punkt SF u ¨ber. Dann bilden G und FA ein Kr¨ Moment ΔM = ΔyFA .

(1.12)

Dieses Moment wird durch die verteilten Kr¨ afte in den schraffierten Bereichen erzeugt:

ΔM = y g dV . Mit dem Volumenelement dV = y Δα dA und dem Flächenträgheits moment Ix = y 2 dA folgt ΔM = g Ix Δα .

20

1 Hydromechanik

Durch Vergleichen mit (1.12) erh¨ alt man daraus Δy FA = g Ix Δα .

(1.13)

Da zwischen dem Hebelarm Δy und dem Drehwinkel Δα nach Abb. 1.14c der Zusammenhang Δy = (e + hM )Δα besteht, ergibt sich mit FA = g V aus (1.13) hM =

Ix − e. V

(1.14)

Der Schnittpunkt der Wirkungslinie von FA mit der Geraden durch die Punkte SF und SK heisst Metazentrum M. Seine Lage wird durch die H¨ ohe hM bestimmt. Wenn das Metazentrum uckstelloberhalb von SK liegt (hM > 0), dann bildet ΔM ein R¨ moment, und die Gleichgewichtslage nach Abb. 1.14a ist stabil. Befindet sich M dagegen unterhalb von SK (hM < 0), dann ist die Gleichgewichtslage instabil. Als einfaches Beispiel betrachten wir ein in einer Fl¨ ussigkeit (Dichte F ) schwimmendes, homogenes Brett (Länge l, Breite b, H¨ ohe h, Dichte B ), das die Eintauchtiefe t hat (Abb. 1.15). Mit dem Gewicht G = B g l b h des Bretts und dem Auftrieb FA = F g l b t folgt nach (1.11) t = B. h F Da t < h sein muss, kann das Brett somit nur dann schwimmen, wenn seine Dichte kleiner als die Dichte der Fl¨ ussigkeit ist. Mit

Abb. 1.15

1.2

Hydrostatik

21

Ix = l b3 /12, V = l b t und e = (h − t)/2 erh¨ alt man aus (1.14) hM =

1 b2 − (h − t) . 12 t 2

An der Stabilit¨ atsgrenze hM = 0 folgt daraus b2 = 6 t(h − t) . Bei vorgegebenen Werten von h und t ist die Gleichgewichtslage ur b2 < 6 t (h stabil f¨ ur b2 > 6 t (h − t) und instabil f¨ − t). Hieraus ur eine folgt zum Beispiel f¨ ur t = h/2 die Bedingung b > 3/2 h f¨ stabile Gleichgewichtslage. 1.2.4 Druckkr¨ afte auf ebene Fl¨ achen

F¨ ur viele praktische Anwendungen ist es erforderlich, die Kräfte zu bestimmen, die durch den hydrostatischen Druck auf Berandungen (Beh¨ alterw¨ ande, Staumauern, usw.) bzw. auf Teilflächen der Berandung (Lukendeckel, Klappen, Schieber) hervorgerufen werden. Wir beschr¨ anken uns dabei zun¨ achst auf ebene Flächen. Zu diesem Zweck betrachten wir eine nach Abb. 1.16a um den Winkel α geneigte, ebene Teilfl¨ ache A, die sich vollständig unterhalb des Fl¨ ussigkeitsspiegels befindet. F¨ ur die resultierende Druckkraft F gilt

F = p dA . (1.15) A

Abb. 1.16

22

1 Hydromechanik

Wir wollen zun¨ achst nur die von der Fl¨ ussigkeit allein erzeugte uhrenden Anteil Kraft ermitteln, d.h., den vom Luftdruck p0 herr¨ nicht ber¨ ucksichtigen. Dann gilt in der Tiefe z f¨ ur den Druck p = g z. Wenn wir ein x, y-Koordinatensystem gemäß Abb. 1.16a, b einf¨ uhren, dann l¨ asst sich dieser mit z = y sin α in der Form p = g y sin α schreiben. Einsetzen in (1.15) liefert

F = g sin α y dA . (1.16) Mit

A

y dA = yS A (Band 1, Gl. (4.11)) sowie yS sin α = zS folgt

A

daraus F = g zS A, und wegen pS = g zS ergibt sich schließlich F = pS A .

(1.17)

Die resultierende Kraft ist demnach gleich dem Produkt aus dem Druck im Fl¨ achenschwerpunkt und der Fl¨ ache. Die Wirkungslinie von F folgt aus der Bedingung, dass das Moment dieser Kraft bez¨ uglich jeder beliebigen Achse gleich dem entsprechenden resultierenden Moment der Fl¨ achenlast p sein muss. Wenn wir die x-Achse als Bezugsachse w¨ ahlen und den Abstand der Wirkungslinie von der x-Achse mit yD bezeichnen (Abb. 1.16), dann erhalten wir

F yD = y p dA = g sin α y 2 dA . A

A

Einsetzen von F nach (1.16) liefert 2 y dA . yD = y dA 2 F¨ uhren wir das Fl¨ achentr¨ agheitsmoment Ix = A y dA und das statische Moment Sx = A y dA ein, so ergibt sich daraus yD =

Ix . Sx

(1.18)

1.2

Hydrostatik

23

Aus der Momentenbeziehung um die y-Achse F xD = A x p dA finden wir entsprechend den Abstand xD der Wirkungslinie von der y-Achse zu xD = −

Ixy . Sx

(1.19)

Dabei ist Ixy = − A x y dA das Deviationsmoment. Der Punkt D auf der Fl¨ ache mit den Koordinaten xD und yD heisst Druckmittelpunkt. Wenn die y-Achse eine Symmetrieachse der Fläche darstellt, dann ist Ixy = 0, d.h., der Druckmittelpunkt liegt auf der Symmetrieachse. Nach dem Satz von Steiner (Band 2, Abschn. 4.2.2) gilt Ix = IxS + yS2 A , achenmoment bez¨ uglich einer zur x-Achse pawobei IxS das Fl¨ rallelen Achse durch den Schwerpunkt S der Fläche ist. Damit folgt aus (1.18) Ix + yS2 A Ix = yS + S . (1.20) yD = S yS A yS A Da IxS , yS und A positiv sind, gilt yD > yS . Der Druckmittelpunkt D liegt somit tiefer als der Schwerpunkt S. ucksichtigt, dann ergibt sich die Wenn man den Luftdruck p0 ber¨ resultierende Kraft weiterhin aus (1.17). F¨ ur pS muss in diesem Fall der Druck pS = p0 + g zS eingesetzt werden. Die Wirkungslinie geht durch den Kr¨ aftemittelpunkt der von der Fl¨ ussigkeit allein erzeugten Kraft und der vom Luftdruck herr¨ uhrenden Kraft p0 A. Die Wirkungslinie von p0 A geht dabei durch den Schwerpunkt S der Fl¨ ache A. Als Anwendungsbeispiel betrachten wir eine rechteckige Fläche (H¨ ohe a, Breite b), deren Oberkante nach Abb. 1.17a horizontal verl¨ auft. Mit dem Druck pS = g zS = g sin α (c + a/2) und der Fl¨ ache A = ab erhält man aus (1.17) die resultierende Kraft der Fl¨ ussigkeit auf die Fl¨ ache zu F = 12 g sin α (2c + a)ab .

(1.21)

24

1 Hydromechanik

Abb. 1.17

Die Fl¨ achenmomente sind durch a 2 b a3 a ab + c+ a b , Sx = c + Ix = 12 2 2 gegeben. Damit folgt nach (1.18) die y-Koordinate des Druckmittelpunkts zu yD =

a2 + 3 (2c + a)2 . 6 (2c + a)

(1.22)

Die resultierende Kraft und die Lage ihrer Wirkungslinie können auch durch die Dr¨ ucke p1 und p2 an der Ober- und der Unterkante des Rechtecks ausgedr¨ uckt werden. Die Kraft F ist das Produkt aus der Trapezfl¨ ache, welche den Druckverlauf charakterisiert, und der Breite b (Abb. 1.17b): F =

p1 + p2 ab. 2

(1.23)

Der Abstand d der Wirkungslinie von der unteren Kante ist durch den entsprechenden Schwerpunktabstand der Trapezfläche (vgl. Band 1, Abschnitt 4.3, Tabelle 4.1) gegeben: d=

B1.6

a 2 p 1 + p2 . 3 p1 + p2

(1.24)

Beispiel 1.6 Man bestimme die resultierende Kraft und ihre Wir-

kungslinie auf eine kreisf¨ ormige Luke (Radius r) in einer vertikalen Wand eines oben offenen Beh¨ alters (Abb. 1.18a). L¨ osung Da der Atmosph¨ arendruck sowohl von innen (¨ uber die Fl¨ ussigkeit) als auch von außen auf das Fenster wirkt, braucht

1.2

Hydrostatik

25

Abb. 1.18

er nicht ber¨ ucksichtigt zu werden. Mit dem Druck pS = g t im Schwerpunkt und der Kreisfl¨ ache A = π r2 erhalten wir nach (1.17) F = π g t r2 . Das Fl¨ achentr¨ agheitsmoment und das statische Moment bez¨ uglich der x-Achse sind durch Ix =

π r4 + π r2 t2 , Sx = yS A = π t r2 4

gegeben. Damit folgt aus (1.18) yD =

Ix r2 =t+ . Sx 4t

Der Druckmittelpunkt D liegt somit um e = r2 /(4 t) tiefer als der Schwerpunkt S (Abb. 1.18b). Beispiel 1.7 In einem oben offenen Beh¨ alter der L¨ ange b wird durch

eine homogene, starre Platte (Gewicht G) eine Fl¨ ussigkeit (Dichte ) auf zwei unterschiedliche Spiegelh¨ ohen eingestellt (Abb. 1.19a). Die Platte ist l¨ angs ihrer Unterkante A gelenkig gelagert (abgedichtetes Scharniergelenk) und wird an der Oberkante durch ein horizontales Seil im Gleichgewicht gehalten. Man bestimme die Lagerreaktionen im Scharniergelenk und die Seilkraft. L¨ osung Wir schneiden die Platte frei. Die auf sie wirkenden Kr¨ afte

sind im Freik¨ orperbild Abb. 1.19b dargestellt. Der Atmosphärendruck p0 wirkt auf beiden Seiten der Platte und braucht daher

B1.7

26

1 Hydromechanik

Abb. 1.19

nicht ber¨ ucksichtigt zu werden. Die Dr¨ ucke fasst man zweckmäßigerweise zu ihren Resultierenden F1 = g h21 (h1 b) bzw. F2 = anden h1 /3 bzw. h2 /3 vom Scharnierge g h22 (h2 b) mit den Abst¨ lenk zusammen. Dann liefern die Gleichgewichtsbedingungen A : F1

gb 3 h1 h2 − F2 + Sh = 0 → S = (h − h31 ) , 3 3 6h 2

↑ : AV − G = 0

→ AV = G ,

→ : F1 − F2 + AH + S = 0 → AH =

gb [3h(h22 − h21 ) − (h32 − h31 )] . 6h

ange des Scharniers verteilt. Die Kr¨ afte AH und AV sind u ¨ber die L¨ B1.8

Beispiel 1.8 In Abb. 1.20a ist eine Vorrichtung zur Regelung des

Wasserstands im Beh¨ alter { skizziert. Sie besteht aus einer in C drehbar gelagerten quadratischen Platte BC, die u ¨ber den Hebel CD und ein Seil (L¨ ange l) mit einem zylindrischen Schwimmer (Grundfl¨ ache A, Gewicht G) verbunden ist. Die Gewichte von Klappe, Hebel und Seil werden vernachl¨ assigt. Bei welchem Wasserstand h = h1 ist das Seil gerade gespannt? F¨ ur welches h = h2 o ¨ffnet sich die Klappe? L¨ osung Wir bezeichnen die Eintauchtiefe des Schwimmers mit t (Abb. 1.20b). Das Seil ist dann gerade gespannt, wenn die geo-

1.2

Hydrostatik

27

Abb. 1.20

metrische Beziehung h=a+l+t

(a)

erf¨ ullt und die Seilkraft dabei Null ist. Bei verschwindender Seilkraft muss nach (1.11) die Gewichtskraft G mit der Auftriebskraft FA = g A t im Gleichgewicht sein: G . (b) → t= G − FA = 0 gA Einsetzen von (b) in (a) liefert den Wasserstand G h1 = a + l + . gA

(c)

Die auf den Schwimmer und auf die Klappe wirkenden Kräfte sind in Abb. 1.20b dargestellt. Die resultierende Druckkraft auf die Klappe ergibt sich aus der gleichf¨ ormigen Druckverteilung g(h − a) unter Beachtung der Tatsache, dass sich die linearen Anteile aufheben: F = g(h − a) a2 . Die Klappe ¨ offnet sich, wenn die Lagerkraft B Null wird. Das Kr¨ aftegleichgewicht am Schwimmer und das Momentengleichgewicht bez¨ uglich C liefern dann ↓ : G + S − gAt = 0,

28

1 Hydromechanik 2 C : S a − g(h − a)a

a = 0. 2

Daraus folgt mit der auch hier geltenden geometrischen Beziehung ¨ (a) der zum Offnen der Klappe erforderliche Wasserstand a3 1 G h2 = +a+l− . (d) 2A a2 g A 1− 2A Bei der Herleitung von (d) wurde vorausgesetzt, dass die Eintauchtiefe t des Schwimmers kleiner als seine Höhe ist. 1.2.5 Druckkr¨ afte auf gekr¨ ummte Fl¨ achen

Wir wollen nun die resultierende Kraft einer Fl¨ ussigkeit auf die gekr¨ ummte Fl¨ ache A nach Abb. 1.21a ermitteln. Dabei ist es zweckm¨ aßig, die Kraftkomponenten in vertikaler und in horizontaler Richtung getrennt zu bestimmen. Die auf ein Flächenelement dA wirkenden Komponenten der Kraft dF = p dA sind unter Beachtung von p = g z und dA¯ = dA cos α bzw. dA∗ = dA sin α durch dFV = p dA cos α = g z dA¯ = g dV , dFH = p dA sin α = p dA∗ gegeben. Durch Integration erh¨ alt man daraus

FV = g dV → FV = gV ,

(1.25a)

Abb. 1.21

1.2

FH =

∗

p dA = g

z dA∗ = g zS ∗ A∗ →

Hydrostatik

29

FH = pS ∗ A∗ . (1.25b)

Die Vertikalkomponente FV ist demnach gleich dem Gewicht der Fl¨ ussigkeit oberhalb der Fl¨ ache A. Ihre Wirkungslinie geht durch den Schwerpunkt des Fl¨ ussigkeitsvolumens V . Die Horizontalkomponente FH ist das Produkt aus der projizierten Fläche A∗ und ache. Sie stimmt mit dem Druck pS ∗ im Schwerpunkt S ∗ dieser Fl¨ der Kraft u ussigkeit auf die vertikale ebe¨berein, die von der Fl¨ ubt wird. Ihre Wirkungslinie kann daher nach ne Fl¨ ache A∗ ausge¨ Abschnitt 1.2.4 bestimmt werden. Die Gleichungen (1.25a) gelten sinngem¨ aß auch dann, wenn sich eine Fl¨ ussigkeit unterhalb einer gekr¨ ummten Fl¨ ache befindet (Abb. 1.21b). In einem Anwendungsbeispiel bestimmen wir die resultierende Kraft, die vom Wasser im kreisf¨ ormigen Bereich BC auf eine Staumauer (L¨ ange l) ausge¨ ubt wird (Abb. 1.22a). Die Druckverteilung in der projizierten Ebene ist in Abb. 1.22b dargestellt. Mit alt man aus (1.25a) V = π r2 l/4, pS ∗ = g r/2 und A∗ = r l erh¨ die Kraftkomponenten zu FV =

π g r2 l , 4

FH =

1 g r2 l . 2

Die Wirkungslinie der Vertikalkomponente geht durch den Schwerpunkt der u ache (Abb. 1.22c). Sie ¨ber CB liegenden Viertelkreisfl¨ hat den Abstand cS = 4r/3π (Band 1, Abschnitt 4.3, Tabelle 4.1) vom Punkt C. Die Wirkungslinie der Horizontalkomponente verl¨ auft in der Tiefe 2r/3 (Abb. 1.22b).

Abb. 1.22

30

1 Hydromechanik

Die resultierende Kraft kann auch durch Integration ermittelt werden (Abb. 1.22d). Auf ein Fl¨ achenelement dA = r dϕ l wirkt die Kraft dF = p dA. Mit p = g r sin ϕ, dFV = p dA sin ϕ und alt man dFH = p dA cos ϕ erh¨

π/2 π sin2 ϕ dϕ → FV = g r 2 l , FV = g r 2 l 4 0

π/2 1 sin ϕ cos ϕ dϕ → FH = g r2 l . FH = g r 2 l 2 0 Da die Druckkr¨ afte auf allen Fl¨ achenelementen orthogonal zur Staumauer wirken und demnach durch den Mittelpunkt M des Kreises gehen, bilden sie ein zentrales Kr¨ aftesystem. Somit muss auch die Wirkungslinie der Resultierenden durch den Punkt M gehen. B1.9

Beispiel 1.9 Der Querschnitt des nach Abb. 1.23a unter dem Was-

serspiegel liegenden zylindrischen Wehrs AB (Breite b, Gewicht G) hat die Form eines Viertelkreises (Radius r). Das Wehr ist bei A gelenkig gelagert und liegt bei B auf. Gesucht sind die Lagerreaktionen in A und B.

Abb. 1.23

L¨ osung Die auf das Wehr wirkenden Kr¨ afte sind im Freikörper-

bild dargestellt (Abb. 1.23b). Abbildung 1.23c zeigt die Druckverteilung in der projizierten Ebene. Nach (1.25a) erhält man die Komponenten der resultierenden Kraft F der Fl¨ ussigkeit auf das Wehr zu FV = g b (c + r) r − π4 r2 = g b r c + r − π4 r , FH = pS ∗ A∗ = 12 [ g c + g(c + r)] b r = 12 g b r(2c + r) .

1.2

Hydrostatik

31

Die Wirkungslinie der aus FH und FV resultierenden Kraft F geht durch den Kreismittelpunkt M . Daher lauten die Gleichgewichtsbedingungen M : − AH r + Ga − Br = 0 , → : − AH + FH = 0 , ↑ : AV − G + FV + B = 0 . Mit a = 2r/π (Band 1, Abschnitt 4.4) folgen daraus die Lagerreaktionen 1 AH = g b r(2c + r) , 2 1 2 G + (π − 2) g b r2 , AV = 1 − π 4 B=

1 2 G − g b r(2c + r) . π 2

Das Wehr ist nur f¨ ur B > 0 geschlossen. Beispiel 1.10 Ein zylindrisches Wehr (L¨ ange l, Gewicht G) taucht

nach Abb. 1.24a in eine Fl¨ ussigkeit { (Dichte 1 ) ein. Es verhindert, dass sich eine Fl¨ ussigkeit | (Schichtdicke r), deren Spiegel um r/2 oberhalb von A liegt, nach rechts ausbreitet. ussigkeit | . Wie groß sind Man bestimme die Dichte 2 der Fl¨ die Lagerreaktionen in A? L¨ osung In der Trennfl¨ ache zwischen den beiden Fl¨ ussigkeiten gilt

p1 = p2 → 1 g r/2 = 2 g r → 2 = 1 /2 . Damit sich die vorgegebene Schichtung einstellt, muss demnach die Dichte der Fl¨ ussigkeit | halb so groß wie die Dichte der Fl¨ ussigkeit { sein. Abbildung 1.24b zeigt die Druckverteilungen in den projizierten Ebenen. Aus dem Kr¨ aftegleichgewicht in horizontaler Richtung folgt:

B1.10

32

1 Hydromechanik

Abb. 1.24

→:

1 1 1 r 2 g r2 l + (2 g r + 1 g r) l − 1 g r2 l − AH = 0 2 2 2 2 → AH =

1 1 g r 2 l . 8

Die Vertikalkomponente der resultierenden Kraft auf das Wehr setzt sich gem¨ aß Abb. 1.24c aus zwei Anteilen zusammen. Mit den Volumina √ √ π 5π 1 1 3 3 − + r 2 l , V1 = π r 2 l − V 2 = r2 l V2 = 6 4 2 2 12 8 erh¨ alt man F1 = 1 g

√ √ 5π π 3 3 2 + − r l , F2 = 2 g r2 l . 12 8 6 4

Damit liefert das Kr¨ aftegleichgewicht in vertikaler Richtung: π ↑: F1 + F2 − G + AV = 0 → AV = G − 1 gr2 l . 2

1.3

Hydrodynamik

33

1.3 Hydrodynamik 1.3.1 Kinematische Grundlagen

Die Hydrodynamik ist die Lehre von der Bewegung von Fl¨ ussigkeiten unter der Wirkung von Kr¨ aften. Bevor wir uns allerdings dem Einfluss von Kr¨ aften auf die Bewegung widmen, befassen wir uns mit der Kinematik von Str¨ omungen. Hierzu f¨ uhren wir zun¨ achst einige Begriffe ein. Wir denken uns ein beliebiges Volumen in der Fl¨ ussigkeit durch eine geschlossene Fl¨ ache abgegrenzt. Durch diese Fl¨ ache soll Fl¨ ussigkeit weder in das Volumen einströmen noch aus ihm ausstr¨ omen. Die Fl¨ ussigkeit ussigkeitsmenge innerhalb der Fl¨ ache heißt dann abgeschlossene Fl¨ oder materielles Fl¨ ussigkeitsvolumen. Ein materielles Fl¨ ussigkeitsvolumen mit infinitesimaler Ausdehnung nennt man ein Fl¨ ussigkeitsteilchen. Geht seine Ausdehnung gegen Null, so spricht man von einem materiellen Punkt.

Abb. 1.25

Wir betrachten nun das Fl¨ ussigkeitsteilchen, das sich zur Zeit t am Ort x befindet. Seine Geschwindigkeit bezeichnen wir mit v(x, t). Da der Vektor x einen beliebigen Ort in der Fl¨ ussigkeit kennzeichnet, gibt v(x, t) die Geschwindigkeiten der Fl¨ ussigkeitsteilchen an jedem Ort an. Man nennt v(x, t) das Geschwindigkeitsfeld; es beschreibt die Bewegung der gesamten Fl¨ ussigkeit. Abbildung 1.25a zeigt den Geschwindigkeitsvektor v an der Stelle x zum Zeitpunkt t = t1 . Zu dieser Zeit befindet sich dort ateren Zeitpunkt t = das Fl¨ ussigkeitsteilchen dm1 . Zu einem sp¨ ussigkeitst2 befindet sich an der gleichen Stelle ein anderes Fl¨ teilchen dm2 . Außerdem hat sich im allgemeinen die Geschwindigkeit ge¨ andert. Das Geschwindigkeitsfeld beschreibt also nicht

1.3

34

1 Hydromechanik

den zeitlichen Verlauf der Bewegungen der einzelnen Fl¨ ussigkeitsteilchen (der im allgemeinen ohnehin nicht interessiert), sondern es gibt an, welche Geschwindigkeit an jedem Ort zu jeder beliebigen Zeit vorliegt. Diese Betrachtungsweise, die typisch f¨ ur die Beschreibung der Bewegung von Fl¨ ussigkeiten ist, geht auf Leonhard Euler (1707–1783) zur¨ uck. Durch das Geschwindigkeitsfeld kann man jedem Raumpunkt x eine Richtung, n¨ amlich die Richtung v(x, t), zuordnen. Man erh¨ alt somit zu jedem Zeitpunkt ein Richtungsfeld (Abb. 1.25b); dieses kann sich im allgemeinen mit der Zeit ¨ andern. Kurven, deren Tangentenrichtung in jedem Punkt mit der Richtung von v u ¨bereinstimmt, nennt man Stromlinien. Auch sie sind im allgemeinen zeitabh¨ angig. Sie veranschaulichen in einfacher Weise das Gesamtbild der Strömung. Stromlinien k¨ onnen sich nicht schneiden und auch keinen Knick besitzen, da andernfalls an einer solchen Stelle zwei verschiedene Geschwindigkeiten existieren m¨ ußten. Außerdem kann kein Fl¨ ussigkeitstransport quer zu einer Stromlinie stattfinden. Bei manchen Str¨ omungen h¨ angt die Geschwindigkeit v nicht von der Zeit t, sondern nur vom Ort x ab. Dann sind das durch v(x) definierte Richtungsfeld und die Stromlinien zeitunabhängig. In diesem Fall nennt man die Str¨ omung station¨ ar. Andernfalls heißt sie instationär. Wenn zum Beispiel eine Fl¨ ussigkeit einen in ihr ruhenden festen K¨ orper mit zeitlich konstanter Geschwindigkeit umströmt (d.h., die Geschwindigkeit an einem beliebigen, festen Ort des Strömungsfeldes sich nicht ¨ andert), dann liegt eine stationäre Strömung vor. Bewegt man dagegen den K¨ orper mit konstanter Georten Zustand ruhende Fl¨ ussigschwindigkeit durch eine im ungest¨ keit, so ¨ andert sich die Geschwindigkeit in allen Raumpunkten mit der Zeit, und die Str¨ omung ist instation¨ ar. Von den Stromlinien m¨ ussen die Bahnlinien unterschieden werden. Dies sind die Kurven, die von den einzelnen Fl¨ ussigkeitsteilchen bei der Bewegung der Fl¨ ussigkeit durchlaufen werden. Bei station¨ aren Str¨ omungen fallen die Stromlinien und die Bahnlinien zusammen.

1.3

Hydrodynamik

35

Dem Geschwindigkeitsfeld v kann man ein anderes Vektorfeld gemäß ω = 12 rot v

(1.26)

zuordnen. Der Vektor ω heißt Wirbelvektor. Wenn ω = 0 ist, dann nennt man die Str¨ omung wirbelbehaftet. Ist dagegen in einem Bereich der Fl¨ ussigkeit ω = 0, so heißt dort die Str¨ omung wirbelfrei. In den technischen Anwendungen treten neben der allgemeinen dreidimensionalen Str¨ omung h¨ aufig einfachere Strömungsformen auf. Wenn sich zum Beispiel alle Fl¨ ussigkeitsteilchen in parallelen, festen Ebenen bewegen, so ist die Geschwindigkeitskomponente senkrecht zu diesen Ebenen Null. Man spricht dann von einer ebenen Str¨ omung. Bei der Bewegung von Fl¨ ussigkeiten in Rohren oder Gerinnen hat die Geschwindigkeit der Teilchen im wesentlichen die Richtung der Rohr- oder Gerinneachse. Vernachlässigt man die senkrecht zur Achse auftretenden Geschwindigkeitskomponenten, so gelangt man zu einer eindimensionalen Darstellung. Eine auf dieser vereinfachenden, eindimensionalen Betrachtungsweise aufbauende Theorie nennt man Hydraulik. Wir befassen uns im folgenden mit einer eindimensionalen Strömung, wie sie zum Beispiel in einem gekr¨ ummten Rohr auftritt. Als Koordinate w¨ ahlen wir die entlang der Achse gezählte Bogenl¨ ange s. Dann hat das Geschwindigkeitsfeld nur die Komponente v = v(s, t). Wir betrachten nun ein Fl¨ ussigkeitsteilchen, dessen Lage in Abh¨ angigkeit von der Zeit durch s(t) beschrieben wird. Seine Geschwindigkeit wird durch die Zeitableitung v = ds/dt de¨ finiert. Die Anderung der Geschwindigkeit ist durch das totale Differential ∂v ∂v ds + dt (1.27) dv = ∂s ∂t gegeben. Die Beschleunigung a(s, t) des Fl¨ ussigkeitsteilchens ist ¨ die zeitliche Anderung seiner Geschwindigkeit: a = dv/dt. Damit erhält man a=

∂v ∂v v+ . ∂s ∂t

(1.28)

36

1 Hydromechanik

Man nennt a = dv/dt die materielle (substantielle) Beschleunigung. Sie setzt sich additiv aus der konvektiven Beschleunigung (∂v/∂s)v und der lokalen Beschleunigung ∂v/∂t zusammen. Die ¨ lokale Beschleunigung gibt die zeitliche Anderung der Geschwindigkeit v an einem beliebigen (festen) Ort im Strömungsfeld an. ¨ Dagegen stellt die konvektive Beschleunigung die Anderung von v dar, die dadurch entsteht, dass sich das Teilchen zu einer Stelle mit anderer Geschwindigkeit weiterbewegt. Bei einer station¨ aren Str¨ omung h¨ angt das Geschwindigkeitsfeld nicht von der Zeit ab: v = v(s). Dann ist wegen ∂v/∂t = 0 die lokale Beschleunigung Null, und die materielle Beschleunigung vereinfacht sich zu a=

dv v. ds

(1.29)

1.3.2 Stromfadentheorie 1.3.2.1 Allgemeines

Zur Beschreibung der Bewegung einer Fl¨ ussigkeit m¨ ussen neben kinematischen Gr¨ oßen auch Kraftgr¨ oßen – zum Beispiel der Druck – ber¨ ucksichtigt werden. Außerdem ben¨ otigt man Bewegungsgleichungen sowie ein Stoffgesetz zur Beschreibung des Materialverhaltens der Fl¨ ussigkeit. Wir beschr¨ anken uns im folgenden auf ideale Fl¨ ussigkeiten. Viele Str¨ omungsvorg¨ ange lassen sich exakt oder näherungsweise als eindimensionale Str¨ omung beschreiben. Um zu einer solchen Darstellung zu gelangen, denken wir uns zun¨ achst im Innern der Fl¨ ussigkeit eine geschlossene Kurve C gekennzeichnet (Abb. 1.26). Die Stromlinien durch alle Punkte dieser Kurve bilden eine Stromussigkeit heißt Stromfaden. Wir nehr¨ ohre; die darin enthaltene Fl¨

Abb. 1.26

1.3

Hydrodynamik

37

men an, dass die Geschwindigkeit und der Druck als konstant u ¨ber den Querschnitt der Stromr¨ ohre angesehen werden können, d.h., die Str¨ omung in einer Stromr¨ ohre wird durch ihr Verhalten auf einer beliebigen Stromlinie, der Leitstromlinie charakterisiert. Bei einer station¨ aren Str¨ omung ist die Stromr¨ ohre zeitlich unveränderlich, und die Fl¨ ussigkeit in ihr bewegt sich wie in einem Rohr mit fester Wand, w¨ ahrend sich bei einer instationären Strömung die Stromr¨ ohre mit der Zeit ¨ andert. Das gesamte Strömungsgebiet kann man sich aus vielen Stromf¨ aden aufgebaut denken. Bei zahlreichen praktischen Anwendungen, zum Beispiel einer Rohrströmung, l¨ asst sich das gesamte Str¨ omungsgebiet als ein einziger Stromfaden auffassen. Wir beschr¨ anken uns von nun an auf stationäre Strömungen. Dann h¨ angen die Geschwindigkeit und der Druck nur von der Bogenl¨ ange s entlang der Leitstromlinie ab: v = v(s) , p = p(s) .

(1.30)

F¨ ur die Beschleunigung gilt dann nach (1.29) a = dv ds v. Eine auf diesen Vereinfachungen aufgebaute Theorie nennt man Stromfadentheorie. 1.3.2.2 Kontinuit¨ atsgleichung

Wir betrachten eine Stromr¨ ohre mit variabler Querschnittsfläche A(s) gem¨ aß Abb. 1.27. Die Querschnittsfl¨ achen an zwei beliebigen Stellen { bzw. | werden mit A1 bzw. A2 bezeichnet. An diesen Stellen haben die Fl¨ ussigkeitsteilchen die Geschwindigkeiten v1 bzw. v2 . Durch die Querschnitte bei { und | wird ein Gebiet des Stromfadens abgegrenzt. In der Zeit dt fließt durch den

Abb. 1.27

38

1 Hydromechanik

Querschnitt A1 eine Fl¨ ussigkeitsmenge mit der Masse A1 v1 dt in dieses Gebiet ein. Durch den Querschnitt A2 fließt in der gleichen Zeit die Masse A2 v2 dt aus. Da die Dichte konstant ist, kann sich dabei die Masse der Fl¨ ussigkeit im Gebiet nicht ändern (Massenerhaltung). Somit muss die an der Stelle | austretende Masse genau so groß sein wie die bei { eintretende Masse (durch die Stromr¨ ohre selbst kann keine Fl¨ ussigkeit ein- oder austreten): alt man A1 v1 dt = A2 v2 dt. Damit erh¨ A1 v1 = A2 v2

bzw.

A v = const .

(1.31)

Das Produkt Q = Av

(1.32)

heißt Volumenstrom und stellt das pro Zeiteinheit durch einen festen Querschnitt str¨ omende Volumen dar. Nach (1.31) ist der Volumenstrom an jeder Stelle s der Stromr¨ ohre gleich groß. Die Beziehung (1.31) nennt man Kontinuitätsgleichung. 1.3.2.3 Bernoullische Gleichung

In der Stromr¨ ohre nach Abb. 1.28a bewege sich eine Fl¨ ussigkeit. Zur Herleitung der Bewegungsgleichung schneiden wir aus dem Stromfaden l¨ angs der Leitstromlinie ein Element der Länge ds und der Querschnittsfl¨ ache dA heraus (Abb. 1.28b). An seiner linken Stirnfl¨ ache – an der Stelle s – herrscht der Druck p, an der Stelle s + ds der Druck p + dp. Auf die Stirnflächen wirken somit die Druckkr¨ afte p dA bzw. (p + dp)dA. Das Gewicht des Massenelements ist durch dm g gegeben. Die auf den Zylindermantel

Abb. 1.28

1.3

Hydrodynamik

39

wirkenden Fl¨ achenkr¨ afte stehen senkrecht zur Zylinderachse (reibungsfreie Fl¨ ussigkeit!). Sie werden im folgenden nicht benötigt und sind daher in Abb. 1.28b nicht eingezeichnet. Die Bewegungsgleichung in Richtung von s lautet dm a = p dA − (p + dp) dA − dm g sin ϕ .

(1.33)

Mit sin ϕ = dz/ds und dm = dA ds erh¨ alt man hieraus a +

dz dp + g = 0. ds ds

(1.34)

Die Beschleunigung a = (dv/ds) v des Massenelements lässt sich auch als a = d(v 2 /2)/ds schreiben. Damit wird aus (1.34) dp dz d v2 + + g = 0. (1.35) ds 2 ds ds Da diese Gleichung nur Ableitungen nach der Bogenlänge s enthält, kann man sie l¨ angs der Stromlinie integrieren und erhält die Bernoullische Gleichung (Daniel Bernoulli, 1700–1782)

v2 + p + g z = const . 2

(1.36)

Alle Terme in (1.36) haben die Dimension eines Drucks. Man bezeichnet p als statischen Druck, v 2 /2 als Staudruck (dynamischer atischen Druck. Nach (1.36) ist die SumDruck) und g z als geod¨ me aus dem statischen Druck, dem Staudruck und dem geodätischen Druck l¨ angs einer Stromlinie konstant. Die Summe aus dem statischen Druck und dem Staudruck nennt man Gesamtdruck. Die einzelnen Terme in der Bernoullischen Gleichung können auch in anderer Weise gedeutet werden. Die Ausdr¨ ucke v 2 /2 bzw. g z stellen die auf das Volumen bezogene kinetische bzw. potentielle Energie eines Fl¨ ussigkeitsteilchens dar. Daher lässt sich auch p als eine auf das Volumen bezogene Energie deuten. Man nennt p dann Druckenergie (vgl. auch Abschn. 1.2.1). Bei dieser Betrachtungsweise bezeichnet man (1.36) als Energiegleichung der ur eine ideale Fl¨ ussigkeit station¨ aren Str¨ omung. Sie sagt aus, dass f¨ die Str¨ omungsenergie“ l¨ angs einer Stromlinie konstant ist. ”

40

1 Hydromechanik

Dividiert man (1.36) durch g, so erh¨ alt man 2 p v + + z = H = const . 2g g

(1.37)

Alle Terme haben nun die Dimension einer H¨ ohe. Man nennt v 2 /2g die Geschwindigkeitshöhe, p/ g die Druckhöhe, z die Ortshöhe und H die hydraulische Höhe. In einem Anwendungsbeispiel untersuchen wir den Ausfluss aus einem Gef¨ aß mit einer im Vergleich zur Spiegelfläche AS klei¨ nen Offnung A (Abb. 1.29a). Damit die Str¨ omung stationär ist, wird der Fl¨ ussigkeitsspiegel durch einen Zufluss auf der konstan¨ ten H¨ ohe h u gehalten. Wir fassen das Gefäß mit ¨ber der Offnung dem Ausfluss als Stromr¨ ohre auf und w¨ ahlen eine Leitstromlinie vom Spiegel bis zum Ausfluss. Z¨ ahlen wir z von der Ausflussöffnung, so liefert die Bernoullische Gleichung f¨ ur die Punkte { und | 1 2 2 vs

+ p0 + g h = 12 v 2 + p0 + 0 .

(1.38)

Wenn der Spiegel auf konstanter H¨ ohe gehalten wird, gilt vs = 0. Damit folgt v=

2gh.

(1.39)

Diese Gleichung nennt man Torricellische Ausflussformel. Die Ausflussgeschwindigkeit v h¨ angt demnach nur von der Höhe h des ¨ Spiegels u ab. Sie ist gleich der Geschwindigkeit ¨ber der Offnung eines Massenpunktes, der ohne Anfangsgeschwindigkeit auf einer beliebigen, reibungsfreien Bahn die gleiche Höhe h durchläuft (Energiesatz).

Abb. 1.29

1.3

Hydrodynamik

41

Experimente zeigen, dass die Ausflussgeschwindigkeit in Wirklichkeit etwas kleiner ist als die mit der Torricellischen Formel berechnete Geschwindigkeit. Dies ist auf die in der Fl¨ ussigkeit wirkende Reibung zur¨ uckzuf¨ uhren. Außerdem stellt man eine Ein¨ schn¨ urung des austretenden Fl¨ ussigkeitsstrahls fest, wenn die Offnung nicht hinreichend abgerundet ist. Beide Effekte können mit Hilfe von Korrekturtermen ber¨ ucksichtigt werden. Wenn das Gef¨ aß keinen Zufluss hat, sinkt der Fl¨ ussigkeitsspiegel im Lauf der Zeit. Die Str¨ omung ist dann instationär. F¨ ur A/AS 1 ist die Geschwindigkeit vs , mit der sich der Spiegel absenkt, sehr klein im Vergleich zur Ausflussgeschwindigkeit v. In diesem Fall kann man die Str¨ omung in guter Näherung immer noch als station¨ ar betrachten und die Geschwindigkeit v nach ohe h(t) berechnen: v = (1.39) mit der augenblicklichen H¨ 2 g h(t). Damit l¨ asst sich die Zeit Δt ermitteln, in welcher der Spiegel von einer Anfangsh¨ ohe h0 auf eine Endhöhe h1 absinkt (Abb. 1.29b). Dabei wird im Beispiel der Einfachheit halber angenommen, dass die Spiegelfl¨ ache AS konstant ist. Die Geschwin¨ der Höhe h: digkeit vs ist definiert als die zeitliche Anderung vs = −

dh dt

→

dh = − vs dt .

Das negative Vorzeichen zeigt an, dass h und vs entgegengesetzt gerichtet sind. Der Betrag von vs folgt aus der Kontinuitätsgleichung: A → vs = v. AS vs = A v AS Unter Ber¨ ucksichtigung von (1.39) erh¨ alt man somit dh = −

A A v dt = − 2 g h dt . AS AS

Trennen der Ver¨ anderlichen und Integration liefern die gesuchte Zeit:

Δt

h1 A dh √ 2g dt = − AS 0 h h0 2 AS ( h0 − h1 ) . (1.40) → Δt = g A

42

1 Hydromechanik

Wir betrachten nun die Str¨ omung in einem Rohr, das u ¨ber Zuleitungen mit einem Manometer verbunden ist (Abb. 1.30a). Das Manometer misst die Differenz der Dr¨ ucke pl bzw. pr auf der linken bzw. der rechten Seite. Da sich die Fl¨ ussigkeit in den Zuleitungen nicht bewegt, gilt nach der hydrostatischen Druckgleichung (1.5) pl = p1 + g z1 , pr = p2 + g z2 . Mit der Bernoullischen Gleichung f¨ ur eine Stromlinie von { nach | folgt daraus 1 1 2 v1 + p1 + g z1 = v22 + p2 + g z2 2 2 1 1 → pl − pr = v22 − v12 . 2 2

(1.41)

Das Manometer misst demnach die Differenz der Staudr¨ ucke v12 /2 2 omung (nicht die Differenz der statischen und v2 /2 in der Str¨ Dr¨ ucke p1 und p2 ).

Abb. 1.30

Ein Rohr, dessen Querschnittsfl¨ ache sich in einem Bereich { bis ungt und sich anschließend | vom Wert A1 auf den Wert A2 verj¨

1.3

Hydrodynamik

43

wieder auf den urspr¨ unglichen Wert erweitert, nennt man Venturirohr (Abb. 1.30b). Da der Volumenstrom Q im Rohr konstant ist, gilt nach der Kontinuit¨ atsgleichung v1 = Q/A1 , v2 = Q/A2 . Einsetzen in (1.41) liefert 2 A21 A22 (pl − pr ) . Q= (A21 − A22 )

(1.42)

Bei gegebenen Querschnittsabmessungen kann man somit aus der im Manometer gemessenen Druckdifferenz den Volumenstrom im Rohr ermitteln. Die Geschwindigkeit v einer Str¨ omung kann mit einem PrandtlRohr (Abb. 1.30c) bestimmt werden. Beachtet man, dass die Geschwindigkeit im Punkt A Null ist, so erh¨ alt man aus (1.41) 1 2 (p − pr ) . p l − pr = v 2 → v = 2 l Den Punkt A nennt man Staupunkt. Aus der Bernoullischen Gleichung f¨ ur die Stromlinie, die in A m¨ undet (Staustromlinie), folgt mit vA = 0 der Druck im Punkt A zu pA = p + 12 v 2 . Gegen¨ uber dem ungest¨ orten statischen Druck p wirkt demnach im Staupunkt ein erh¨ ohter Druck. Der Druckanstieg ist gleich dem Staudruck v 2 /2. Die Messung des statischen Drucks p kann mit Hilfe eines URohres (Abb. 1.30d) erfolgen, in dem sich eine Messfl¨ ussigkeit mit der Dichte M befindet. Der freie Schenkel des Rohres ist oben offen. Nach (1.5) gilt dann p + g H = p0 + M g h → p = p0 + M g h − g H . (1.43) ussigkeit sehr viel größer als die Wenn die Dichte M der Messfl¨ Dichte der str¨ omenden Fl¨ ussigkeit ist, dann kann man – bei nicht zu großem H – den Term g H in (1.43) vernachlässigen:

44

1 Hydromechanik

p = p0 + M g h . Bei vielen technisch wichtigen Str¨ omungsvorgängen gehen Druckunterschiede in verschiedenen Punkten einer Stromlinie im wesentlichen auf Geschwindigkeitsunterschiede und nicht auf Hö¨ henunterschiede zur¨ uck. Vernachl¨ assigen wir die Anderung des geod¨ atischen Drucks in der Bernoullischen Gleichung, dann vereinfacht sie sich zu 1 2 2 v

+ p = const ,

d.h., der Gesamtdruck ist l¨ angs einer Stromlinie konstant. In einem Staupunkt A ist wegen vA = 0 der statische Druck pA gleich dem Gesamtdruck pG auf der Staustromlinie: pA = pG = 12 v 2 + p . Daher kann man den Gesamtdruck mit einem Staurohr (Pitotrohr) nach Abb. 1.30e bestimmen. Bei Vernachl¨ assigung des hydrostatischen Druckanstiegs im vertikalen Rohr kann man am Manometer die Differenz des Gesamtdrucks und des Luftdrucks p0 ablesen. B1.11

Beispiel 1.11 Aus einem Speicher, dessen Spiegel durch einen Zufluss auf der konstanten H¨ ohe H gehalten wird, fließt Wasser durch ein Rohr mit der Querschnittsfl¨ ache A2 . An der Stelle { wird der Querschnitt des Rohres mit einem Venturi-Einsatz auf A1 reduziert (Abb. 1.31). Von dieser Stelle f¨ uhrt ein vertikales Rohr in einen Beh¨ alter } , der ebenfalls Wasser enthält. Sowohl das Venturi-Rohr als auch der Ausfluss | liegen auf der Höhe h. alter ein? Welcher Pegel hB stellt sich im Beh¨ L¨ osung Die Austrittsgeschwindigkeit v2 des Wassers an der Stelle

| ergibt sich nach (1.39) zu v2 = 2 g (H − h) . urten Querschnitt { folgt aus Die Geschwindigkeit v1 im eingeschn¨ der Kontinuit¨ atsgleichung: A2 2 g (H − h) . A1 v1 = A2 v2 → v1 = A1

1.3

Hydrodynamik

45

Abb. 1.31

Mit Hilfe der Bernoullischen Gleichung f¨ ur die Punkte und urten { einer Stromlinie können wir nun den Druck p1 im eingeschn¨ Querschnitt bestimmen: p0 + g H = 12 v12 + p1 + g h

2 → p1 = p0 − g (H − h) (A2 /A1 ) − 1 .

(a)

Wegen A2 > A1 und H > h ist der Druck p1 kleiner als der Atmosph¨ arendruck p0 . Falls das Rohr an der Stelle { ein Loch h¨ atte, w¨ urde dort kein Wasser austreten, sondern Luft in das Rohr gesaugt werden. Auf dieser Saugwirkung beruht das Prinzip der Wasserstrahlpumpe. alters } kann nach der hydroDer Druck pB am Boden des Beh¨ statischen Druckgleichung (1.5) einerseits durch p B = p0 + g h B

(b)

und andererseits durch pB = p 1 + g h

(c)

ausgedr¨ uckt werden. Durch Vergleich von (b) und (c) erhalten wir die gesuchte Spiegelh¨ ohe 1 hB = (p1 − p0 ) + h . g Einsetzen von (a) liefert schließlich 2

hB = H − (A2 /A1 ) (H − h) .

46

1 Hydromechanik

Im Sonderfall A2 /A1 = nach (a) p1 = p0 − g h. B1.12

H/(H − h) wird hB = 0. Dann ist

Beispiel 1.12 Aus einem Beh¨ alter (Abb. 1.32a) strömt Wasser rotationssymmetrisch und station¨ ar durch einen Spalt der Höhe h (h H). Man bestimme die Geschwindigkeitsverteilung v(r) und die Druckverteilung p(r) im Bereich ri ≤ r ≤ ra . Welche resultierende Druckkraft F u ¨bt das Wasser in diesem Bereich auf die kreisringf¨ ormige Platte P aus?

Abb. 1.32

L¨ osung Wir bestimmen zuerst die Ausflussgeschwindigkeit v2 mit

Hilfe der Bernoullischen Gleichung f¨ ur die Punkte Stromlinie (Abb. 1.32b): √ g H = 12 v22 → v2 = 2 g H .

und | einer

Die Geschwindigkeitsverteilung im Spalt folgt aus der Kontinuitätsgleichung. Mit der Querschnittsfl¨ ache A(r) = 2π r h ergibt sich (Abb. 1.32c) ra . 2π r h v(r) = 2π ra h v2 → v(r) = 2 g H r Die Druckverteilung erh¨ alt man aus der Bernoullischen Glei-

1.3

Hydrodynamik

47

chung f¨ ur die Punkte { und

einer Stromlinie (Abb. 1.32d): 2 ra 1 2 v (r) + p(r) = p0 + gH → p(r) = p0 − gH − 1 . 2 r2

Wegen r ≤ ra gilt p(r) ≤ p0 . Da der Druck nicht negativ sein kann (genauer: nicht kleiner als der Dampfdruck), sind die Ergebnisse nur f¨ ur ra2 p0 0 → ri2 gH physikalisch sinnvoll. Auf die Platte P wirkt von oben der Druck p(r) und von unten der Atmosph¨ arendruck p0 . Somit ergibt sich wegen p(r) ≤ p0 eine nach oben gerichtete resultierende Kraft (die Strömung versucht, die Platte anzusaugen!). Mit dA = 2πrdr erh¨ alt man

ra

F=

[p0 − p(r)]dA = 2π gH

ra2 − r dr r

ri

ra 1 2 2 2 = 2π gH ra ln − (ra − ri ) . ri 2

1.3.2.4 Impulssatz

Wenn man aus der Kontinuit¨ atsgleichung und der Bernoullischen Gleichung die Druckverteilung in einer str¨ omenden Fl¨ ussigkeit bestimmen kann, dann lassen sich daraus die Kr¨ afte berechnen, die von der Fl¨ ussigkeit auf die Berandungen ausge¨ ubt werden. In vielen F¨ allen ist die Ermittlung der Druckverteilung auf diesem Weg jedoch nicht m¨ oglich. Dann verwendet man zur Berechnung der Kräfte den Impulssatz (Band 3, Gl. (2.12)) F =

dp dt

(1.44)

(man verwechsle den Impuls p nicht mit dem Druck p!). Danach ¨ ist die zeitliche Anderung des Impulses gleich der Summe aller

48

1 Hydromechanik

afte, die auf einen materiellen K¨ orper wirken. Dies gilt äußeren Kr¨ unabh¨ angig davon, ob der K¨ orper fest oder fl¨ ussig ist. Es wird sich zeigen, dass man mit Hilfe des Impulssatzes Aussagen u ¨ber die Zust¨ ande am Rand eines Bereichs einer str¨ omenden Fl¨ ussigkeit treffen kann, ohne Kenntnisse u altnisse (zum Beispiel ¨ber die Verh¨ die Geschwindigkeits- und die Druckverteilung) im Innern zu besitzen.

Abb. 1.33

Wir beschr¨ anken uns im folgenden auf stationäre Strömungen und betrachten eine abgeschlossene Fl¨ ussigkeitsmenge, die sich zum Zeitpunkt t im raumfesten Bereich abcd einer Stromröhre befindet (Abb. 1.33). Ein Fl¨ ussigkeitsteilchen mit der Masse dm = dV und der Geschwindigkeit v besitzt den Impuls dp = vdm = vdV . Wir denken uns die Fl¨ ussigkeit aus unendlich vielen Fl¨ ussigkeitsteilchen aufgebaut und erhalten so den Gesamtimpuls der abgeschlossenen Fl¨ ussigkeitsmenge durch Summation (= Integration) u ¨ber alle Teilchen:

vdV . (1.45) p(t) = abcd

Die abgeschlossene Fl¨ ussigkeitsmenge bewegt sich in der Stromr¨ ohre und befindet sich zum Zeitpunkt t + dt im Bereich ef gh. Dann hat sie den Impuls

p(t + dt) = vdV . (1.46) ef gh

Zerlegt man die Volumenintegrale in (1.45) und (1.46) in je zwei Teilintegrale (Abb. 1.33), dann erh¨ alt man f¨ ur die Impulsänderung

1.3

Hydrodynamik

49

dp = p(t + dt) − p(t) = vdV + vdV − vdV + vdV . (1.47) ef cd

dcgh

abf e

ef cd

In den infinitesimalen Bereichen abf e bzw. dcgh d¨ urfen die Geschwindigkeiten v 1 bzw. v 2 als konstant betrachtet werden. Somit gilt vdV = v 1 A1 v1 dt , vdV = v 2 A2 v2 dt . (1.48) abf e

dcgh

Da die Str¨ omung station¨ ar ist, sind wegen v(t + dt) = v(t) die ¨ Integrale u ¨ber den Bereich ef cd in (1.47) gleich. Die Anderung des Impulses im Zeitintervall dt ist daher durch dp = ( A2 v2 v 2 − A1 v1 v 1 )dt

(1.49)

gegeben. Das Produkt Av ist nach der Kontinuitätsgleichung (1.31) konstant. Es stellt den Massenstrom, d.h. die pro Zeiteinheit durch einen festen Querschnitt str¨ omende Masse dar. Mit der Bezeichnung m ˙ = Av = Q

(1.50)

(man beachte, dass der Punkt hier keine Zeitableitung kennzeichnet) erhalten wir dann aus (1.49) dp = Q(v 2 − v 1 ) = m(v ˙ 2 − v1 ) . dt Einsetzen in (1.44) liefert den Impulssatz F = m(v ˙ 2 − v1 ) .

(1.51)

Er lautet in Komponenten Fx = m(v ˙ 2x − v1x ) , ˙ 2y − v1y ) , Fy = m(v ˙ 2z − v1z ) . Fz = m(v

(1.52)

50

1 Hydromechanik

Die resultierende Kraft F auf die abgeschlossene Fl¨ ussigkeitsmenge bewirkt deren Impuls¨ anderung. Sie setzt sich aus den Volumenkr¨ aften und den an der Oberfl¨ ache angreifenden Druckkräften zusammen. Bei der praktischen Anwendung des Impulssatzes wählt man ein raumfestes Kontrollvolumen (zum Beispiel das Volumen abcd in Abb. 1.33). Die Terme auf der rechten Seite von (1.51) lassen sich als der pro Zeiteinheit aus dem Kontrollvolumen ausfließende ˙ 2 bzw. der in das Kontrollvolumen einfließende Impuls Impuls mv mv ˙ 1 deuten. Demnach ist die resultierende Kraft F auf die im Kontrollvolumen enthaltene Fl¨ ussigkeit gleich der Differenz aus den ausfließenden bzw. einfließenden Impulsen. Wir wenden den Impulssatz auf die stationäre Strömung einer Fl¨ ussigkeit in einem Rohrkr¨ ummer an, der sich in einer horizontalen Ebene befindet (Abb. 1.34a). Die Querschnittsfläche des Rohres ver¨ andert sich vom Wert A1 an der Stelle { auf den Wert A2 an der Stelle | . Die Einstr¨ omgeschwindigkeit v1 und der statische Druck p1 sind gegeben. Wir wollen die Kraft bestimmen, die von der Fl¨ ussigkeit im Bereich { bis | auf den Kr¨ ummer ausge¨ ubt wird.

Abb. 1.34

Um diese Kraft zu bestimmen, w¨ ahlen wir ein Kontrollvolumen gem¨ aß Abb. 1.34b. Die Ausflussgeschwindigkeit v2 ergibt sich aus der Kontinuit¨ atsgleichung: v1 A1 = v2 A2 → v2 =

A1 v1 . A2

Der zugeh¨ orige statische Druck p2 folgt aus der Bernoullischen Gleichung:

1.3 1 2 2 v1

Hydrodynamik

51

+ p1 = 12 v22 + p2 → p2 = p1 + 12 (v12 − v22 ) .

Die resultierende Kraft auf die Fl¨ ussigkeit setzt sich aus den Druckkr¨ aften p1 A1 und p2 A2 in den Endquerschnitten sowie der vom Kr¨ ummer auf die Mantelfl¨ ache ausge¨ ubten Kraft K zusammen (Abb. 1.34b). Damit lautet der Impulssatz (1.51) ˙ (v2 − v1 cos β) , → : p1 A1 cos β − p2 A2 + Kx = m ↑ : − p1 A1 sin β + Ky = mv ˙ 1 sin β . Die gesuchte Kraft auf den Kr¨ ummer hat wegen actio = reactio den gleichen Betrag wie K, ist aber entgegengesetzt gerichtet. Wenn wir die Vorzeichen von Kx und Ky umdrehen, dann erhalten wir die Komponenten der Kraft auf den Kr¨ ummer. Mit m ˙ = A1 v1 ergibt sich Kx = p1 A1 cos β − p2 A2 − A1 v1 (v2 − v1 cos β) , Ky = − p1 A1 sin β − A1 v12 sin β . Im Sonderfall eines Halbkreiskr¨ ummers mit konstanter Querschnittsfl¨ ache A sind die Geschwindigkeit v und der Druck p konstant. Dann erh¨ alt man mit β = π: Kx = − 2A(p + v 2 ) ,

Ky = 0 .

Mit Hilfe des Impulssatzes kann man in einfacher Weise die Kraft ermitteln, die von einer nach Abb. 1.35a aus einem Behälter ausstr¨ omenden Fl¨ ussigkeit (vgl. Abb. 1.29a) auf dessen Wände ausge¨ ubt wird. Mit dem Kontrollvolumen nach Abb. 1.35b folgt die Kraft F auf die Fl¨ ussigkeit aus dem Impulssatz in horizontaler

Abb. 1.35

52

1 Hydromechanik

Richtung: →: F = Av 2 . Die Kraft auf den Beh¨ alter ist entgegengesetzt gerichtet und ergibt sich mit v 2 = 2gh zu F = 2 ghA. Wenn der Behälter auf einer glatten Unterlage steht, bewegt er sich unter der Wirkung dieser Kraft nach links. B1.13

Ein Wasserstrahl tritt mit der Geschwindigkeit v aus einer D¨ use (Querschnittsfl¨ ache A) und trifft auf eine Turbinenschaufel (Abb. 1.36a). Dort wird er symmetrisch geteilt und umgelenkt (ebenes Problem). Man bestimme die vom Strahl auf die ruhende Schaufel ausge¨ ubte Kraft. Wie groß ist die Kraft, wenn sich die Schaufel mit der Geschwindigkeit v0 nach rechts bewegt? Bei welcher Geschwindigkeit v0∗ wird die Leistung der Kraft maximal?

Beispiel 1.13

Abb. 1.36

L¨ osung Der Atmosph¨ arendruck p0 wirkt von allen Seiten und braucht daher nicht ber¨ ucksichtigt zu werden. Aus der Bernoullinach { (Abb. 1.36b) schen Gleichung f¨ ur die Stromlinie von ur die Geschwindigkeit im umgelenkten erhalten wir mit p1 = p0 f¨ atsgleichung A1 = A/2, Strahl v1 = v. Damit liefert die Kontinuit¨ und die Massenstr¨ ome in den Strahlen sind durch

m ˙ = Av , m ˙ 1 = A1 v1 = A v/2 gegeben. Die von der Schaufel auf das Wasser ausge¨ ubte Kraft F folgt mit dem Kontrollvolumen nach Abb. 1.36b aus dem Impulssatz:

1.3

→: − F = − 2m ˙ 1 v1 cos β − mv ˙ →

Hydrodynamik

53

F = (1 + cos β) Av 2 .

Die Kraft auf die Schaufel ist entgegengesetzt gleich groß. Wenn sich die Schaufel mit der Geschwindigkeit v0 nach rechts bewegt, dann betr¨ agt die Auftreffgeschwindigkeit des Strahls v − v0 , und die Kraft ergibt sich zu F = (1 + cos β) A(v − v0 )2 . Die Leistung dieser Kraft (vgl. Band 3, Gl. (1.72)) ist durch P = F v0 = (1 + cos β) A(v − v0 )2 v0 gegeben. Sie wird maximal f¨ ur dP =0 dv0

→

v0∗ =

v . 3

Beispiel 1.14 Ein horizontaler Wasserstrahl (Querschnittsfl¨ ache A)

trifft mit der Geschwindigkeit v auf eine Schneide S und teilt sich dort (Abb. 1.37a). Ein Teil des Strahls bewegt sich mit der Geschwindigkeit v2 entlang der Schneide, der andere Teil wird um den Winkel α abgelenkt und besitzt die Geschwindigkeit v1 . Wie groß ist das Verh¨ altnis μ = A1 /A? Welche Kraft wirkt auf die Schneide?

Abb. 1.37

L¨ osung Aus der Bernoullischen Gleichung f¨ ur die Stromlinien von

nach { bzw. von nach | (Abb. 1.37b) erhalten wir zunächst ur die Geschwindigkeiten mit p1 = p0 und p2 = p0 f¨ v1 = v 2 = v .

B1.14

54

1 Hydromechanik

Damit liefert die Kontinuit¨ atsgleichung A1 v1 + A2 v2 = Av → A1 + A2 = A . F¨ ur die Massenstr¨ ome in den Strahlen erh¨ alt man m ˙ = Av , ˙ , m ˙ 1 = A1 v1 = μm ˙ . m ˙ 2 = A2 v2 = (1 − μ)m Wir betrachten nun das Kontrollvolumen nach Abb. 1.37b. Unter Beachtung, dass von der Schneide keine Kraft in x-Richtung auf die Fl¨ ussigkeit ausge¨ ubt wird (reibungsfreie Fl¨ ussigkeit), lautet der Impulssatz →:

˙ 2 v2 = − [μ sin α − (1 − μ)]mv ˙ , 0 = −m ˙ 1 v1 sin α + m

↑ : F = −m ˙ 1 v1 cos α + mv ˙ = (1 − μ cos α)mv ˙ . Die erste Gleichung liefert das Teilungsverh¨ altnis μ: μ sin α − (1 − μ) = 0 → μ =

1 . 1 + sin α

Damit folgt aus der zweiten Gleichung die Kraft F = (1 − μ cos α) Av 2 = B1.15

1 + sin α − cos α Av 2 . 1 + sin α

Beispiel 1.15 Ein mit Fl¨ ussigkeit gef¨ ulltes, horizontales Rohr (Quer-

undet in einer D¨ use (Querschnittsfläche A2 ). schnittsfl¨ ache A1 ) m¨ Es wird durch Hineinschieben eines Kolbens geleert (Abb. 1.38a). Welche Kolbenkraft FK ist erforderlich, um den Kolben mit konstanter Geschwindigkeit vK zu bewegen, und welche Lagerreaktionen treten dabei in B und C auf?

Abb. 1.38

1.3

Hydrodynamik

55

Der Atmosph¨ arendruck p0 wirkt von allen Seiten und braucht daher nicht ber¨ ucksichtigt zu werden. Die Kolbenkraft ist durch FK = p1 A1 bestimmt (Abb. 1.38b). Aus der Kontinuitätsgleichung und der Bernoullischen Gleichung f¨ ur eine Stromlinie von { nach | folgen A1 → v2 = v , A1 vK = A2 v2 A2 K 2 A1 1 2 1 2 1 2 v + p1 = v2 → p1 = vK −1 . 2 K 2 2 A2 L¨ osung

Damit wird FK

1 2 = p1 A1 = A1 vK 2

A1 A2

2

−1 .

Der Impulssatz f¨ ur das Kontrollvolumen nach Abb. 1.38b lieussigkeit ausge¨ ubte fert mit m ˙ = A1 vK die vom Rohr auf die Fl¨ Kraft FR : 2 A1 1 2 →: p1 A1 − FR = m(v ˙ 2 − vK ) → FR = A1 vK −1 . 2 A2 Die entgegengesetzt gleich große Kraft u ussigkeit auf das ¨bt die Fl¨ Rohr aus (Abb. 1.38c). Damit folgt aus Symmetriegr¨ unden 2 A1 1 1 2 −1 . B = C = FR = A1 vK 2 4 A2

1.3.3 Str¨ omung mit Energieverlusten 1.3.3.1 Allgemeines

In einer z¨ ahen Fl¨ ussigkeit wirken zwischen den sich bewegenden Fl¨ ussigkeitsteilchen Tangentialkr¨ afte, die Reibungswiderstände ¨ darstellen. Ihre Gr¨ oße h¨ angt von der Anderung der Geschwindigkeit der str¨ omenden Fl¨ ussigkeit normal zur Bewegungsrichtung ab. Um dies zu zeigen, betrachten wir den Scherversuch nach Abb. 1.39 f¨ ur eine Newtonsche Fl¨ ussigkeit. Eine zähe Fl¨ ussigkeit

56

1 Hydromechanik

Abb. 1.39

haftet an den Berandungen. Sie besitzt also an der bewegten Berandung die Geschwindigkeit v0 und ist an der festen Berandung in Ruhe. Dazwischen hat die Geschwindigkeit v bei einer einfachen Scherstr¨ omung u ¨berall die gleiche Richtung wie v0 und ist u ¨ber den Abstand h linear verteilt: z v(z) = v0 . h Im Zeitintervall dt bewegt sich die obere Platte um den Weg v0 dt nach rechts. Aus dem zugeh¨ origen Winkel dγ = v0 dt/h ergibt sich die Schergeschwindigkeit γ˙ = dγ/dt = v0 /h. Wegen dv/dz = v0 /h gilt auch γ˙ = dv/dz, und aus (1.1) folgt damit schließlich τ =η

dv . dz

(1.53)

Somit ist bei einer Newtonschen Fl¨ ussigkeit die Schubspannung proportional zur Geschwindigkeits¨ anderung normal zur Bewegungsrichtung. Bei einer reibungsfreien Str¨ omung werden die Schubspannungen vernachl¨ assigt, und man nimmt an, dass die Fl¨ ussigkeit mit endlicher Geschwindigkeit tangential an einer sie begrenzenden Wand entlangströmt (Abb. 1.40a). Bei einer realen Strömung tritt dagegen immer innere Reibung auf. Da die Fl¨ ussigkeit an der Wand haftet, sinkt die Geschwindigkeit innerhalb eines gewissen Bereichs auf den Wert Null ab (Abb. 1.40b). Dieser Bereich heißt

Abb. 1.40

1.3

Hydrodynamik

57

Grenzschicht. Dies bedeutet, dass die Idealisierung der reibungsfreien Str¨ omung nur dann zul¨ assig ist, wenn die Dicke der Grenzschicht sehr klein gegen die u ¨brigen Abmessungen des Strömungsfeldes ist. Bei der Bewegung einer viskosen Fl¨ ussigkeit treten wegen der inneren Reibung Energieverluste auf, so dass zur Aufrechterhaltung der Str¨ omung eine Energiezufuhr (z.B. durch einen Höhenunterschied oder einen Druckgradienten) erforderlich ist. Beispiele daf¨ ur sind die Bewegungen von Fl¨ ussigkeiten in Rohren oder Gerinnen (Kan¨ alen, Fl¨ ussen). Entsprechend muss auch bei der Bewegung eines festen K¨ orpers in einer ruhenden Fl¨ ussigkeit Energie aufgewendet werden, damit dieser nicht zum Stillstand kommt. 1.3.3.2 Verallgemeinerte Bernoullische Gleichung

Nach der Bernoullischen Gleichung (1.36) ist f¨ ur eine reibungsfreie Fl¨ ussigkeit die Str¨ omungsenergie“ l¨ angs einer beliebigen Strom” linie konstant. Bei realen (z¨ ahen) Fl¨ ussigkeiten wird allerdings ein Teil dieser Energie durch innere Reibung in andere Energieformen (z.B. W¨ arme) umgewandelt. Daher ist f¨ ur zähe Fl¨ ussigkeiten die Summe aus kinetischer, potentieller und Druckenergie nicht konstant, sondern sie nimmt in Str¨ omungsrichtung ab. Man kann dies in der Bernoullischen Gleichung dadurch ber¨ ucksichtiuhrt, der den Energiegen, dass man einen positiven Term Δpv einf¨ verlust darstellt (dieser h¨ angt im allgemeinen vom Abstand der Bezugspunkte auf der Leitstromlinie ab). Damit erhält man die verallgemeinerte Bernoullische Gleichung 1 2 2 v1

+ gz1 + p1 = 12 v22 + gz2 + p2 + Δpv .

(1.54)

Da man die auf das Volumen bezogene Energie als Druck deuten kann (vgl. Abschn. 1.2.1 und 1.3.2.3), nennt man Δpv auch Druckasst sich durch die dimensionslose Druckverlustzahl ζ verlust. Er l¨ charakterisieren. Man erh¨ alt sie dadurch, dass man den Druckverlust auf den Staudruck – zum Beispiel an der Stelle { – bezieht: Δpv . (1.55) ζ= v12 /2

58

1 Hydromechanik

In einem Anwendungsbeispiel betrachten wir die Strömung einer Fl¨ ussigkeit in einem horizontalen Rohr, dessen Querschnittsfl¨ ache sich nach Abb. 1.41 pl¨ otzlich von A1 auf A2 vergrößert. Vor der Querschnitts¨ anderung sind die Geschwindigkeit bzw. der ussigkeit strömt in Form eiDruck durch v1 bzw. p1 gegeben. Die Fl¨ nes Strahls in den Bereich mit dem gr¨ oßeren Querschnitt ein. Wir nehmen an, dass die Fl¨ ussigkeit seitlich vom Strahl ruht. Dann herrscht dort der gleiche Druck wie im Strahl, n¨ amlich p1 . Stromab von der Erweiterung vermischt sich der Strahl aufgrund der inneren Reibung unter starker Wirbelbildung mit der ihn umgebenden ¨ Fl¨ ussigkeit. Erst am Ende eines Ubergangsgebietes stellt sich wieder eine nahezu gleichf¨ ormige Str¨ omung mit der Geschwindigkeit ussigv2 und dem Druck p2 ein. Da bei einer reibungsbehafteten Fl¨ keit die Teilchen an der Rohrwand haften, sind v1 bzw. v2 hier die Mittelwerte der Geschwindigkeitsverteilungen in den Querschnitten. Wir wollen im folgenden v2 und p2 sowie die Druckverlustzahl ζ bestimmen.

Abb. 1.41

Die Geschwindigkeit v2 folgt aus der Kontinuitätsgleichung v1 A1 = v2 A2 zu v2 =

A1 v1 . A2

(1.56)

Durch die Wirbelbildung geht Str¨ omungsenergie verloren. Daher darf die Bernoullische Gleichung (1.36) nicht angewendet werden. onnen wir den Impulssatz auf das Zur Ermittlung des Drucks p2 k¨ Kontrollvolumen nach Abb. 1.41 anwenden. Dabei vernachlässigen wir die resultierende Kraft der an der Mantelfl¨ ache des Kontrollvolumens angreifenden Schubspannungen. Dann lautet der Impulssatz →: p1 A2 − p2 A2 = A2 v22 − A1 v12 .

(1.57)

1.3

Hydrodynamik

59

Einsetzen von (1.56) liefert p2 = p1 + v2 (v1 − v2 ) = p1 +

A1 v12 A2

A1 1− A2

.

(1.58)

Wenn man nun v2 und p2 nach (1.56) und (1.58) in die verallgemeinerte Bernoullische Gleichung (1.54) einsetzt, erhält man mit z1 = z 2 2 A1 Δpv = (v12 − v22 ) − (p2 − p1 ) = v12 1 − . (1.59) 2 2 A2 Dieser Druckverlust wird auch als Carnotscher Stoßverlust bezeichnet. Die Druckverlustzahl ergibt sich nach (1.55) zu 2 A1 ζ = 1− . (1.60) A2 Bei pl¨ otzlicher Verengung des Rohrquerschnitts tritt ebenfalls ein Verlust an Str¨ omungsenergie auf. Dieser ist jedoch kleiner als der Verlust bei der pl¨ otzlichen Erweiterung. Durch allmähliche Querschnitts¨ anderung k¨ onnen die Verluste stark herabgesetzt werden. Beispiel 1.16 In einem Kanal mit der Querschnittsfl¨ ache A be-

findet sich ein keilf¨ ormiger K¨ orper (Abb. 1.42a). Die strömende Fl¨ ussigkeit hat vor dem Keil die Geschwindigkeit v. Welche Kraft wird von der Fl¨ ussigkeit auf den Keil ausge¨ ubt?

Abb. 1.42

Aus der Kontinuit¨ atsgleichung und der Bernoullischen nach { (Abb. 1.42b) folgen Gleichung f¨ ur eine Stromlinie von

L¨ osung

1 2 2 v

Av = 23 Av1

→

v1 = 32 v ,

+ p = 12 v12 + p1

→

p − p1 = 58 v 2 .

B1.16

60

1 Hydromechanik

Unmittelbar hinter dem Keil ruht die Fl¨ ussigkeit. Daher herrscht ussigkeit ausdort ebenfalls der Druck p1 . Die vom Keil auf die Fl¨ ge¨ ubte Kraft folgt aus dem Impulssatz. Die Kraft auf den Keil ist entgegengesetzt gleich groß. Wenn wir die Reibung an den Kanalw¨ anden und am Keil vernachl¨ assigen, gilt mit dem Kontrollvolumen nach Abb. 1.42b f¨ ur diese Kraft →: − F + (p − p1 )A = Av(v1 − v) →

F = 81 Av 2 .

1.3.3.3 Str¨ omung in einem kreiszylindrischen Rohr

Wir betrachten nun die station¨ are Str¨ omung einer Newtonschen Fl¨ ussigkeit in einem horizontalen, zylindrischen Rohr mit Kreisquerschnitt (Radius R). Dabei nehmen wir an, dass die Stromlinien parallel zur Zylinderachse sind und die Geschwindigkeit v nur vom Abstand r abh¨ angt (Abb. 1.43a). Die Fl¨ ussigkeitsteilchen bewegen sich dann in Schichten, die sich nicht vermischen. omung oder Eine Str¨ omung dieses Typs nennt man Schichtenstr¨ laminare Strömung. Zur Bestimmung des Geschwindigkeitsprofils v(r) denken wir uns einen koaxialen Fl¨ ussigkeitszylinder mit der endlichen Länge Δl und dem Radius r aus der Fl¨ ussigkeit geschnitten (Abb. 1.43b). An den Stirnfl¨ achen wirken die Dr¨ ucke p1 bzw. p2 . Auf der Mantelfl¨ ache des Zylinders wirkt die Schubspannung τ . Sie ist f¨ ur eine Newtonsche Fl¨ ussigkeit entsprechend (1.53) durch dv τ (r) = η (1.61) dr gegeben. Die Schubspannung ist demnach in der Mantelfläche des Zylinders konstant und liefert die resultierende Kraft dv T = 2πrΔlτ = 2πηΔlr . (1.62) dr

Abb. 1.43

1.3

Hydrodynamik

61

Bei station¨ arer Str¨ omung tritt keine Beschleunigung auf. Daher ist die Summe der am Zylinder angreifenden Kr¨ afte Null: πr2 p1 + T − πr2 p2 = 0

→

p1 − p 2 dv =− r. dr 2ηΔl

(1.63)

Die Geschwindigkeit folgt mit Δp = p1 − p2 durch Integration zu v(r) = −

Δp 2 r +C. 4ηΔl

(1.64)

Die Integrationskonstante C bestimmen wir aus der Bedingung, dass die Fl¨ ussigkeit an der Rohrwand haftet: v(R) = 0

→

C=

Δp 2 R . 4ηΔl

Damit ergibt sich das gesuchte Geschwindigkeitsprofil zu r 2 R2 Δp 1− . v(r) = 4ηΔl R

(1.65)

(1.66)

Die Geschwindigkeitsverteilung hat somit die Form eines Rotationsparaboloids. Die maximale Geschwindigkeit tritt in der Rohrachse (r = 0) auf: vmax =

R2 Δp . 4ηΔl

(1.67)

Da die Geschwindigkeit von innen nach außen abnimmt, ist dv/dr < 0. Somit fällt nach (1.63) der Druck in Strömungsrichtung: p2 < p1 . Dieses Druckgef¨ alle ist zur Aufrechterhaltung der Str¨ omung erforderlich. Ebenfalls wegen v (r) < 0 ist nach (1.62) T < 0. Daher wirkt die Schubspannung τ in Wirklichkeit entgegen der in Abb. 1.43b angenommenen Richtung. Dies ist auch anschaulich klar, da die langsameren ¨ außeren Fl¨ ussigkeitsteilchen die schnelleren inneren Teilchen durch die Reibung verzögern. Wir wollen nun noch den Volumenstrom Q bestimmen. Das pro Zeiteinheit durch einen infinitesimalen Kreisring mit dem Radius r und der Dicke dr str¨ omende Volumen ist durch dQ = 2πrdrv(r) gegeben. Den gesamten Volumenstrom erh¨ alt man durch Integration:

62

1 Hydromechanik

R

Q=

2πrv(r)dr

→

0

Q=

πR4 Δp . 8ηΔl

(1.68)

Diese Beziehung nennt man das Gesetz von Hagen-Poiseuille (Gotthilf Hagen, 1797–1884; Jean Louis Marie Poiseuille, 1799–1869). Nach (1.68) ist der Volumenstrom proportional zur vierten Potenz des Rohrradius. Daher wird zum Beispiel bei einer Verdoppelung des Radius die Durchflussmenge sechzehnmal so groß. F¨ ur praktische Rechnungen bei Rohrstr¨ omungen ist es zweckuhren, mit deren Hilfe man m¨ aßig, eine Widerstandszahl λ einzuf¨ den Druckabfall im Rohr quantitativ erfasst. Sie wird durch Δp = λ

Δl 2 v¯ d 2

(1.69)

definiert. Dabei sind d der Durchmesser des Rohres und v¯ =

1 Q R2 Δp = vmax = 2 πR 8ηΔl 2

(1.70)

die mittlere Geschwindigkeit. Die Widerstandszahl stellt somit einen Proportionalit¨ atsfaktor dar f¨ ur den Zusammenhang zwischen dem Druckabfall Δp l¨ angs einer Strecke Δl, dem Rohrdurchmesser d und dem mit der mittleren Geschwindigkeit v¯ gebildeten Staudruck. Die Widerstandszahl λ h¨ angt mit der entsprechend (1.55) gebildeten Druckverlustzahl ζ = Δp/( v¯2 /2) gemäß Δl (1.71) ζ=λ d zusammen. Wenn man (1.69) in (1.70) einsetzt und nach λ auflöst, so erh¨ alt man 64η λ= . (1.72) v¯d Da λ dimensionslos ist, muss auch die Gr¨ oße Re =

v¯d η

(1.73)

dimensionslos sein. Man nennt Re die Reynoldszahl (Osborne Reynolds, 1842–1912). Damit folgt f¨ ur die Widerstandszahl

1.3

λ=

64 . Re

Hydrodynamik

63

(1.74)

Die Erfahrung zeigt, dass dieser Zusammenhang nur unterhalb einer bestimmten kritischen Reynoldszahl (also zum Beispiel bei hinreichend kleiner Str¨ omungsgeschwindigkeit) gilt. Bei größeren Reynoldszahlen ist die Widerstandszahl gr¨ oßer als die nach (1.74) berechnete. Dabei a¨ndert sich die Str¨ omungsform: die laminare Str¨ omung schl¨ agt in turbulente Str¨ omung um. Während sich bei laminarer Str¨ omung alle Fl¨ ussigkeitsteilchen mit konstanter Geschwindigkeit auf achsparallelen Geraden bewegen, vermischen sich bei turbulenter Str¨ omung die nebeneinanderfließenden Schichten st¨ andig. 1.3.3.4 Str¨ omung in offenen Gerinnen

Bei der Str¨ omung in einem Rohr ist die Fl¨ ussigkeit u ¨berall von einer festen Rohrwand umgeben. Im Gegensatz dazu tritt bei der Str¨ omung in offenen Gerinnen, wie zum Beispiel Fl¨ ussen oder Kan¨ alen, eine freie Oberfl¨ ache auf. Sie stellt in den meisten praktisch wichtigen F¨ allen die Trennfl¨ ache zwischen Luft und Wasser dar. An ihr herrscht somit der Atmosph¨ arendruck p0 .

Abb. 1.44

Die Str¨ omung in einem offenen Gerinne wird meist durch ein Gef¨ alle verursacht. Beim Abw¨ artsfließen wird die potentielle Energie der h¨ oher liegenden Fl¨ ussigkeitsteilchen in kinetische Energie ¨ umgewandelt bzw. zur Uberwindung der inneren Reibung aufgewendet. Wir wollen im folgenden voraussetzen, dass die Strömung station¨ ar ist. Dann h¨ angt auch der Volumenstrom Q f¨ ur einen beliebigen Querschnitt nicht von der Zeit ab. Man nennt eine station¨ are Str¨ omung gleichf¨ ormig, wenn die Geschwindigkeit in Strömungsrichtung konstant ist (v2 = v1 ). Dagegen heißt sie be-

64

1 Hydromechanik

schleunigt, wenn die Geschwindigkeit zunimmt (v2 > v1 ) bzw. verz¨ ogert, wenn sie abnimmt (v2 < v1 ). Nach der Kontinuitätsgleichung ist bei einer gleichf¨ ormigen Str¨ omung der Querschnitt konstant, w¨ ahrend er bei einer beschleunigten (verzögerten) Strömung abnimmt (zunimmt), vgl. Abb. 1.44. Wir wollen uns im folgenden mit der gleichförmigen Strömung in einem rechteckigen offenen Gerinne der Breite b befassen. Das Gerinne habe ein konstantes schwaches Gef¨ alle, das durch den Winkel α 1 gegeben ist (Abb. 1.45a). Die konstante Wassertiefe sei t. Weiterhin sei v die mittlere Geschwindigkeit in einem Querschnitt. Wir w¨ ahlen nun diejenige Stromlinie als Leitstromlinie, auf der die Geschwindigkeit der Teilchen gerade die mittlere Geschwindigkeit v ist. Wenn wir ber¨ ucksichtigen, dass bei gleichf¨ ormiger Str¨ omung die Geschwindigkeit konstant ist, dann erhalten wir aus der verallgemeinerten Bernoullischen Gleichung (1.54) f¨ ur zwei Punkte { und | auf der Leitstromlinie zunächst gz1 + p1 = gz2 + p2 + Δpv .

(1.75)

Wir nehmen nun an, dass die Druckverteilung im Querschnitt durch die statische Druckverteilung nach (1.5) gegeben ist. Dann gilt auf der Leitstromlinie p = p 1 = p2 = p 0 + g t ∗ .

(1.76)

Ein Druckgef¨ alle in Str¨ omungsrichtung ist somit nicht vorhanden. Durch Einsetzen in (1.75) k¨ onnen wir den Energieverlust (= Druckverlust) bestimmen: Δpv = g(z1 − z2 ) = gΔl sin α .

(1.77)

Abb. 1.45

1.3

Hydrodynamik

65

Nach (1.37) stellt H=

p v2 + +z 2g g

(1.78)

die hydraulische H¨ ohe dar. Mit p nach (1.76) und z = t − t∗ folgt daraus H=

p0 v2 + + t. 2g g

(1.79)

Da der Atmosph¨ arendruck p0 an jeder Stelle gleich ist, braucht er beim Vergleich der hydraulischen H¨ ohen verschiedener Querschnitte nicht ber¨ ucksichtigt zu werden. Somit vereinfacht sich (1.79) zu H = v 2 /2g + t . Bei gleichf¨ ormiger Str¨ omung sind die Geschwindigkeit v und die Tiefe t unabh¨ angig vom Ort. Daher ist in diesem Fall die hydraulische H¨ ohe konstant: H=

v2 + t = const . 2g

(1.80)

Die Geschwindigkeit v l¨ asst sich durch den Volumenstrom Q ausdr¨ ucken: Q = b t cos α v ≈ b t v

→

v = Q/(b t) .

(1.81)

Durch Einsetzen in (1.80) erh¨ alt man schließlich t3 − Ht2 + k = 0

mit

k = Q2 /(2g b2 ) .

(1.82)

Diese Beziehung muss bei gleichf¨ ormiger Str¨ omung zwischen den Parametern b, t, Q und H erf¨ ullt sein. Bei gegebenen Werten von b, t und Q k¨ onnen die Geschwindigkeit v aus (1.81) und die hydraulische H¨ ohe H aus (1.80) bestimmt werden. Sind dagegen b, Q und H gegeben, so stellt (1.82) eine kubische Gleichung f¨ ur die Wassertiefe t dar. Um zu untersuchen, f¨ ur welche Parameterwerte die Gleichung (1.82) positive reelle L¨ osungen t besitzt, skizzieren wir die Funk-

66

1 Hydromechanik

tion y = t3 − Ht2 + k

(1.83)

f¨ ur verschiedene Werte von H (Abb. 1.45b). Die Funktion y(t) hat an der Stelle t = 2H/3 das Minimum ymin = −

Q2 4H 3 + 27 2g b2

(1.84)

und bei t = 0 das Maximum ymax = k. Damit positive Werte f¨ ur die Wassertiefe existieren, muss ymin ≤ 0 gelten. Daher folgt nach (1.84) f¨ ur die hydraulische H¨ ohe Q2 3 3 Q2 4H 3 + ≤0 → H ≥ H0 = . (1.85) − 27 2g b2 2 g b2 Die hydraulische H¨ ohe, d.h. die Str¨ omungsenergie, muss somit einen Mindestwert H0 erreichen, damit eine gleichförmige Strömung m¨ oglich ist. Die zugeh¨ origen Werte f¨ ur die Grenztiefe“ t0 ” und die Grenzgeschwindigkeit“ v0 ergeben sich zu ” 2 Q2 → t0 = 3 , (1.86) t0 = H0 3 g b2 √ Q 1 = g b2 t30 → v0 = g t 0 . (1.87) v0 = b t0 b t0 Ist H > H0 , so existieren zu einer gegebenen Strömungsenergie zwei verschiedene Wassertiefen t1 und t2 (Abb. 1.45b). Entweder fließt das Wasser bei einer kleinen Tiefe t1 < t0 mit großer Geschwindigkeit v1 > v0 , oder es fließt bei einer großen Tiefe t2 > t0 mit kleiner Geschwindigkeit v2 < v0 . Im ersten Fall spricht ache), im zweiten Fall von man von schießendem Abfluss (Wildb¨ str¨ omendem Abfluss (Fl¨ usse). In der Natur treten h¨ aufig St¨ orungen der gleichförmigen Bewegung auf. So kann zum Beispiel ein kleiner Knick in der Sohle eine nahezu pl¨ otzliche Erhebung des Wasserspiegels verursachen (Abb. 1.46a). Diese Erscheinung wird als Wassersprung bezeichnet. Zur Untersuchung des Wassersprungs wenden wir den Im-

1.3

Hydrodynamik

67

Abb. 1.46

pulssatz auf das in Abb. 1.46b dargestellte Kontrollvolumen an. Dabei nehmen wir wieder an, dass die Druckverteilung im Querschnitt durch die statische Druckverteilung nach (1.5) gegeben ist. Außerdem vernachl¨ assigen wir die in Str¨ omungsrichtung zeigende Komponente der Gewichtskraft (geringe Neigung!) sowie die Schubspannungen an den Berandungen des Kontrollvolumens. Dann lautet der Impulssatz: 1 2 2 g t1 b

− 12 g t22 b = v1 b t1 (v2 − v1 ) .

(1.88)

Wenn wir die Geschwindigkeit v2 mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung v 1 t 1 b = v 2 t 2 b → v2 =

t1 v1 t2

eliminieren, so erhalten wir daraus t1 1 g(t1 + t2 )(t1 − t2 ) = v12 (t1 − t2 ) 2 t2 → t22 + t1 t2 −

2t1 v12 = 0. g

(1.89)

Durch Aufl¨ osen dieser quadratischen Gleichung folgt f¨ ur die Tiefe t2 hinter dem Wassersprung 2t1 v12 t1 + t21 + . (1.90) t2 = − (−) 2 4 g Da t2 positiv sein muss, ist nur das Pluszeichen vor der Wurzel physikalisch sinnvoll. Vor dem Wassersprung fließt das Wasser bei der kleineren Tiefe oßeren Geschwindigkeit v1 > v2 . Daher tritt ein t1 < t2 mit der gr¨ Wassersprung nur bei einem schießenden Abfluss auf.

68

1.4

1 Hydromechanik

1.4 Weiterf¨ uhrende Literatur Becker, E., Technische Str¨ omungslehre, Teubner, Stuttgart 1977 ¨ Becker, E., Piltz, E., Ubungen zur Technischen Str¨ omungsmechanik, Teubner, Stuttgart 1971 Batchelor, G.K., An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press 1967 Bollrich, G., Technische Hydromechanik 1, Verlag f¨ ur Bauwesen, Berlin 2000 Guyon, E., Hulin, J.P., Petit, L., Hydrodynamik, Vieweg, Wiesbaden 1994 Oertl, H., Str¨ omungsmechanik, Springer, Berlin 1995 ¨ Oertl, H. et al., Ubungsbuch Str¨ omungsmechanik, Vieweg, Wiesbaden 1998 Pnueli, D., Gutfinger, C., Fluid Mechanics, Cambridge University Press 1997 Schr¨ oder, R., Technische Hydraulik, Springer, Berlin 1994 Schr¨ oder, W., Fluidmechanik, Wissenschaftsverlag, Aachen 2004 Spurk, J., Str¨ omungslehre, Springer, Berlin 1996 Spurk, J., Aufgaben zur Str¨ omungslehre, Springer, Berlin 1996 Zierep, J., Grundz¨ uge der Str¨ omungsmechanik, Springer, Berlin 1997

Kapitel 2 Grundlagen der Elastizit¨ atstheorie

2

2 Grundlagen der Elastizit¨ atstheorie 2.1 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.1.5 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.4 2.5 2.5.1 2.5.2 2.5.3 2.5.4 2.6 2.6.1 2.6.2 2.6.3 2.7 2.7.1 2.7.2 2.7.3 2.8

Spannungszustand .............................................. Spannungsvektor, Spannungstensor, Indexschreibweise . Koordinatentransformation.................................... Hauptspannungen, Invarianten, Mohrsche Kreise ........ Hydrostatischer Spannungszustand, Deviator ............. Gleichgewichtsbedingungen ................................... Deformation und Verzerrung ................................. Allgemeines ...................................................... Infinitesimaler Verzerrungstensor ............................ Kompatibilitätsbedingungen .................................. Elastizitätsgesetz ................................................ Hookesches Gesetz ............................................. Isotropie .......................................................... Formänderungsenergiedichte .................................. Temperaturdehnungen ......................................... Grundgleichungen ............................................... Ebene Probleme ................................................ Ebener Spannungszustand, ebener Verzerrungszustand Spannungs-Differentialgleichungen, Spannungsfunktion Anwendungsbeispiele ........................................... Verschiebungs-Dgln., Rotationssymmetrie ................. Torsion ............................................................ Allgemeines ...................................................... Grundgleichungen ............................................... Verw¨ olbungsfunktion und Torsionsfunktion ............... Energieprinzipien ................................................ Arbeitssatz ....................................................... Sätze von Clapeyron und von Betti ........................ Prinzip der virtuellen Verr¨ uckungen ........................ Weiterf¨ uhrende Literatur ......................................

71 71 76 79 85 87 92 92 94 99 102 102 104 107 111 113 115 115 118 121 127 130 130 130 132 141 142 146 147 153

2.1

Spannungszustand

71

Einleitung In Band 2 haben wir uns schon mit Problemen der Elastostatik befasst, wobei wir uns dort im wesentlichen auf die Untersuchung von St¨ aben und Balken beschr¨ ankt haben. Um weitergehende Fragen behandeln zu k¨ onnen, sollen hier die Grundlagen der linearen Elastizit¨ atstheorie zusammengestellt werden. Das Beiwort line” ar“ deutet dabei an, dass sich diese Theorie auf das linear-elastische Stoffgesetz sowie auf kleine (infinitesimale) Verzerrungen beschr¨ ankt. Hinsichtlich der praktischen Anwendung wird hierdurch ein großer Bereich von Ingenieurproblemen abgedeckt.

2.1

2.1 Spannungszustand 2.1.1 Spannungsvektor und Spannungstensor, Indexschreibweise

Den Spannungsvektor und den Spannungstensor haben wir in Band 2, Abschnitt 2.1 schon kennengelernt. Der Spannungsvektor im Punkt P eines Schnittes ist definiert als t = lim

ΔA→0

dF ΔF = , ΔA dA

(2.1)

wobei ΔF die Kraft ist, welche auf die Fl¨ ache ΔA wirkt (Abb.

Abb. 2.1

72

2 Grundlagen der Elastizitätstheorie

2.1a). Er h¨ angt von der Orientierung des Schnittes durch P ab, die durch den Normaleneinheitsvektor n charakterisiert ist: t = t(n). Man kann t zerlegen in eine Komponente σ senkrecht (normal) zur Schnittfl¨ ache und in eine tangentiale Komponente τ , die in der Schnittfl¨ ache wirkt. Die erste heißt Normalspannung, die zweite nennt man Schubspannung. Der Spannungstensor σ ist durch die Spannungsvektoren in drei senkrecht aufeinanderstehenden Schnitten festgelegt. Wählen wir nach Abb. 2.1b die Schnitte senkrecht zu den Achsen eines x, y, z-Koordinatensystems und zerlegen wir die zugehörigen Spannungsvektoren in ihre kartesischen Komponenten, so kann er in folgender Matrixform dargestellt werden: ⎤ ⎡ τxz σxx τxy ⎥ ⎢ σ = ⎣ τyx σyy τyz ⎦ . (2.2) τzx

τzy

σzz

Dabei werden die Normalspannungen σxx , σyy , σzz oft kurz mit σx , σy , σz bezeichnet. Aufgrund des Momentengleichgewichts ist der Spannungstensor symmetrisch: τxy = τyx , τyz = τzy , τzx = ur die Spannungskomponenten wollen wir dieselbe Vorzeiτxz . F¨ chenkonvention wie bisher verwenden (Band 2, Abschn. 2.1). F¨ ur das weitere ist es zweckm¨ aßig, die Indexnotation einzuf¨ uhren. Sie erm¨ oglicht eine kompakte Schreibweise vieler Formeln. Hierbei werden die kartesischen Koordinaten an Stelle von x, y, z durch x1 , x2 , x3 gekennzeichnet; d.h. die drei Richtungen sind durch die Indizes 1, 2, 3 festgelegt (Abb. 2.1b,c). Entsprechendes gilt f¨ ur die Komponenten eines Vektors. Zum Beispiel lauten die Komponenten des Spannungsvektors t dann t1 , t2 , t3 oder allgemein ti mit i = 1, 2, 3. Damit gilt ⎡ ⎤ t1 ⎢ ⎥ oder t = [ti ] = ⎣ t2 ⎦ . t = t1 e1 + t2 e2 + t3 e3 (2.3) t3 asentiert werden, kann dieDa durch ti alle drei Komponenten repr¨ se Gr¨ oße auch als Symbol f¨ ur den Vektor selbst verwendet werden. ¨ Ahnlich l¨ asst sich der Normaleneinheitsvektor n mit den Kompo-

2.1

Spannungszustand

73

nenten n1 = cos α1 , n2 = cos α2 , n3 = cos α3 (Abb. 2.1c) kurz durch ni beschreiben: ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ n1 cos α1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ n = [ni ] = ⎣ n2 ⎦ = ⎣ cos α2 ⎦ . (2.4) n3

cos α3

Analoges gilt f¨ ur den Spannungstensor. Seine Komponenten nennen wir nun σ11 , σ12 , σ13 usw. (Abb. 2.1b) oder allgemein σij mit i, j = 1, 2, 3: ⎡ ⎤ σ11 σ12 σ13 ⎢ ⎥ σ = [σij ] = ⎣ σ21 σ22 σ23 ⎦ . (2.5) σ31

σ32

σ33

Dabei zeigen jetzt allein die Indizes an, ob es sich um eine Normalspannung oder um eine Schubspannung handelt. Gleiche Indizes kennzeichnen Normalspannungen, ungleiche Indizes Schubasentiert wieder alle Spannungsspannungen. Die Gr¨ oße σij repr¨ komponenten und kann deshalb als Symbol f¨ ur den Spannungstensor selbst angesehen werden. Mit Hilfe der Indexnotation lässt sich die Symmetrie des Spannungstensors einfach durch σij = σji

(2.6)

ausdr¨ ucken. Eine besondere Bedeutung gewinnt die Indexnotation im Zusammenhang mit der Summationskonvention. Danach wollen wir vereinbaren, dass zu summieren ist, wenn in einem Term der gleiche Index doppelt auftritt. Der Index durchl¨ auft dabei der Reihe nach die Werte 1, 2, 3. Dementsprechend bedeutet zum Beispiel σji nj wegen des doppelt vorkommenden Index j“ ausgeschrieben ” 3 σji nj = σ1i n1 + σ2i n2 + σ3i n3 . (2.7) σji nj = j=1

Dabei kann der Summationsindex j“ durch einen beliebigen an” deren Index (zum Beispiel k“) ausgetauscht werden: σki nk = ” σji nj . Andere Beispiele zur Anwendung der Summationskonven-

74


tion sind σii = tk nk =

3 i=1 3

σii = σ11 + σ22 + σ33 , (2.8) tk nk = t1 n1 + t2 n2 + t3 n3 .

k=1

Letzteres stellt das Skalarprodukt der Vektoren tk und nk dar: t · n = tk nk . In Verbindung mit der Indexnotation ben¨ otigt man manchmal das Kronecker-Symbol. Es ist definiert als 1 f¨ ur i = j , (2.9) δij = 0 f¨ ur i = j . Damit gelten zum Beispiel δii = δ11 + δ22 + δ33 = 3

und

δij nj = ni .

(2.10)

Abb. 2.2

Wir wollen nun zeigen, dass bei Kenntnis des Spannungstensors der Spannungsvektor f¨ ur jede beliebige Schnittrichtung ermittelt werden kann. Hierzu betrachten wir das Gleichgewicht am infinitesimalen Tetraeder nach Abb. 2.2, dessen Fl¨ ache dA eine beliebige, ur die u durch ni gegebene Orientierung hat. F¨ ¨brigen Tetraederfl¨ achen erh¨ alt man mit (2.4) durch Projektion von dA auf die Koordinatenebenen dA1 = dA n1 , dA2 = dA n2 , dA3 = dA n3 oder allgemein

2.1

dAi = dA ni .

Spannungszustand

75

(2.11)

Die Gleichgewichtsbedingungen in x1 -, x2 - und x3 -Richtung t1 dA = σ11 dA1 + σ21 dA2 + σ31 dA3 , t2 dA = σ12 dA1 + σ22 dA2 + σ32 dA3 , t3 dA = σ13 dA1 + σ23 dA2 + σ33 dA3 liefern damit t1 = σ11 n1 + σ21 n2 + σ31 n3 , t2 = σ12 n1 + σ22 n2 + σ32 n3 ,

(2.12a)

t3 = σ13 n1 + σ23 n2 + σ33 n3 . Diese Gleichungen lassen sich unter Verwendung der Indexschreibweise und der Summationskonvention kompakt in der Form ti = σji nj

(2.12b)

darstellen, wobei wegen (2.6) die Indizes von σji auch vertauscht werden k¨ onnen: ti = σij nj . Diese Beziehung wird häufig als Cauchysche Formel bezeichnet (A.L. Cauchy, 1789–1857). Danach ist bei gegebenem Spannungstensor σij jedem Normalenvektor ni ein Spannungsvektor ti zugeordnet, d.h. der Spannungszustand ist achlich vollst¨ andig bestimmt. Durch (2.12b) wird eidurch σij tats¨ ne lineare Beziehung (Abbildung) zwischen den Vektoren nj und oße, welche eine solche Abbildung vermittj beschrieben. Eine Gr¨ telt, nennt man einen Tensor 2. Stufe. Die lineare Vektorfunktion (2.12b) kennzeichnet σij dementsprechend als Tensor 2. Stufe. Angemerkt sei noch, dass die Cauchysche Formel mit (2.3) bis (2.5) auch in der symbolischen Schreibweise t = σT n

(2.12c)

angegeben werden kann. Wegen der Symmetrie des Spannungstensors (σ T = σ) kann dabei σ T durch σ ersetzt werden: t = σ n.

76

B2.1


Beispiel 2.1 Der Spannungszustand in einem Punkt eines K¨ orpers

sei durch

⎡

36 −27

0

⎢ [σij ] = ⎣ −27 −36

⎤

⎥ 0 ⎦ MPa

0 0 18 gegeben. F¨ ur einen Schnitt mit dem Normalenvektor [ni ] = 13 [2, −2, 1]T sollen der Spannungsvektor sowie seine normale bzw. tangentiale Komponente bestimmt werden. L¨ osung Nach (2.12a) erh¨ alt man f¨ ur die Komponenten des Spannungsvektors

t1 = σj1 nj = 36 ·

2 3

+ 27 ·

2 3

t2 = σj2 nj = −27 ·

2 3

t3 = σj3 nj = 18 ·

= 6 MPa .

1 3

+ 36 ·

= 24 + 18 = 42 MPa , = −18 + 24 = 6 MPa ,

2 3

Sein Betrag ergibt sich daraus zu t = |t| = t21 + t22 + t23 = 42,8 MPa . Die Normalspannung σ errechnet sich aus dem Skalarprodukt von t und n: σ = t · n = ti ni = 42 ·

2 3

−6·

2 3

+6·

1 3

= 26 MPa .

F¨ ur den Betrag der Schubspannung folgt damit τ = t2 − σ 2 = 34,1 MPa . 2.1.2 Koordinatentransformation

Wie sich die Komponenten des Spannungstensors bei einer Drehung des Koordinatensystems transformieren, wurde f¨ ur den zweiachsigen Fall in Band 2, Abschnitt 2.2.1 behandelt. Hier sollen nun die entsprechenden Beziehungen f¨ ur den dreiachsigen Zustand hergeleitet werden. Wir gehen davon aus, dass die Spannungskompouglich des Koordinatensystems x1 , x2 , x3 bekannt nenten σij bez¨

2.1

Spannungszustand

77

Abb. 2.3 sind. Aus ihnen sollen die Spannungskomponenten σkl bez¨ uglich des gedrehten Koordinatensystems x1 , x2 , x3 ermittelt werden (Abb. 2.3a). Die Richtungen der neuen Achsen werden durch die Einheitsvektoren ⎡ ⎡ ⎡ ⎤ ⎤ ⎤ a11 a21 a31 ⎢ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ e1 = ⎣ a12 ⎦, e2 = ⎣ a22 ⎦, e3 = ⎣ a32 ⎦ (2.13) a13 a23 a33

festgelegt, wobei die Transformationskoeffizienten akl = cos(xk , xl ) die Richtungskosinus (= Kosinus des Winkels zwischen den entsprechenden Achsen) sind. Wir betrachten nun das Tetraeder nach Abb. 2.3b, dessen geneigte Fl¨ ache senkrecht zu x1 steht. Ihr Nor malenvektor f¨ allt mit e1 zusammen: nk = a1 k . Damit liefert die Cauchysche Formel f¨ ur die Komponenten des Spannungsvektors (bzgl. des x1 , x2 , x3 -Systems) tl = σkl nk = σkl a1k . Seine Komponenten bez¨ uglich des x1 , x2 , x3 -Systems lauten = t · e1 = t1 a11 + t2 a12 + t3 a13 = tl a1l = σkl a1k a1l , σ11 = t · e2 = t1 a21 + t2 a22 + t3 a23 = tl a2l = σkl a1k a2l , σ12 = t · e3 = t1 a31 + t2 a32 + t3 a33 = tl a3l = σkl a1k a3l . σ13

Entsprechende Beziehungen ergeben sich f¨ ur die Schnittflächen senkrecht zur x2 - bzw. zur x3 -Achse. Insgesamt erhält man daher die Transformationsbeziehungen σij = σkl aik ajl .

(2.14)

78


Da auf der rechten Seite k und l doppelt vorkommen, muss u ¨ber beide Indizes summiert werden. Ausgeschrieben ergibt sich danach : zum Beispiel f¨ ur σ22 = σ11 a221 + σ12 a21 a22 + σ13 a21 a23 σ22

+σ21 a22 a21 + σ22 a222 + σ23 a22 a23 +σ31 a23 a21 + σ32 a23 a22 + σ33 a223 = σ11 a221 + σ22 a222 + σ33 a223 +2σ12 a21 a22 + 2σ23 a22 a23 + 2σ31 a23 a21 . Als Sonderfall sind in (2.14) die Transformationsbeziehungen f¨ ur den ebenen Fall (vgl. Band 2, Gl. (2.5)) enthalten, bei dem eine Drehung um die x3 -Achse erfolgt (Abb. 2.4). Mit x3 = x3 und dem Drehwinkel ϕ gelten a11 = a22 = cos ϕ ,

a12 = cos (π/2 − ϕ) = sin ϕ ,

a21 = cos (π/2 + ϕ) = − sin ϕ ,

a13 = a31 = a23 = a32 = 0 ,

und man erh¨ alt unter Verwendung der Achsenbezeichnungen x1 = ξ und x2 = η = σ11 cos2 ϕ + σ22 sin2 ϕ + 2σ12 sin ϕ cos ϕ , σξ = σ11 = σ11 sin2 ϕ + σ22 cos2 ϕ − 2σ12 sin ϕ cos ϕ , ση = σ22

τξη =

σ12

(2.15)

= −(σ11 − σ22 ) sin ϕ cos ϕ + σ12 (cos ϕ − sin ϕ) . 2

2

Abb. 2.4

Angemerkt sei an dieser Stelle noch, dass die Transformations¨ beziehung (2.14) lediglich die Anderung der kartesischen Komponenten des Spannungstensors infolge einer Koordinatendrehung ausdr¨ uckt. Die Beziehung (2.14) gilt deshalb genauso f¨ ur alle anderen Tensoren 2. Stufe (vgl. zum Beispiel Tr¨ agheitstensor, Band 3,

2.1

Spannungszustand

79

Gl. (3.54)). Im Unterschied dazu transformiert sich ein Tensor 1. Stufe tk (= Vektor) nach der Beziehung ti = tk aik . 2.1.3 Hauptspannungen, Invarianten, Mohrsche Kreise

Der Spannungstensor kann nach (2.14) in Bezug auf beliebig viele Achsensysteme angegeben werden. Unter ihnen gibt es ein ausgezeichnetes Koordinatensystem, das als Hauptachsensystem bezeichnet wird. In den zugeh¨ origen Schnitten hat der Spannungsvektor die Richtung des Normalenvektors. Das heißt, es wirken nur Normalspannungen – man nennt sie Hauptspannungen –, und die Schubspannungen sind Null. Kennzeichnet der Normalenvektor ni eine Hauptachsenrichtung (Hauptrichtung), so lässt sich der ucken, wobei σ die entspreSpannungsvektor durch ti = σ ni ausdr¨ chende Hauptspannung ist. Nach der Cauchyschen Formel (2.12b) gilt allgemein ti = σij nj . Durch Gleichsetzen erhalten wir σij nj = σ ni

bzw.

σij nj − σ ni = 0 .

Mit ni = δij nj (vgl. (2.10)) ergibt sich daraus (σij − σ δij )nj = 0

(2.16)

oder ausgeschrieben (σ11 − σ) n1 + σ12 n2 + σ13 n3 = 0 , σ21 n1 + (σ22 − σ) n2 + σ23 n3 = 0 ,

(2.17)

σ31 n1 + σ32 n2 + (σ33 − σ) n3 = 0 . Dieses homogene Gleichungssystem hat nur dann nichttriviale Lösungen f¨ ur n1 , n2 , n3 , wenn die Koeffizientendeterminante verschwindet: σ11 − σ

σ12

σ13

σ21

σ22 − σ

σ23

σ31

σ32

σ33 − σ

= 0.

(2.18)

Hieraus folgt die kubische Gleichung σ 3 − I1 σ 2 − I2 σ − I3 = 0 .

(2.19)

80


Darin sind I1 = σii = σ11 + σ22 + σ33 , I2 = 12 (σij σij − σii σjj ) 2 2 2 + σ23 + σ31 , = −(σ11 σ22 + σ22 σ33 + σ33 σ11 ) + σ12

σ11

σ12

σ13

I3 = det[σij ] = σ21

σ22

σ23 .

σ31

σ32

σ33

(2.20)

Da die L¨ osungen von (2.19) unabh¨ angig von der Wahl des Koordinatensystems sind, trifft dies auch auf I1 , I2 und I3 zu. Man bezeichnet diese Gr¨ oßen deshalb als Invarianten. Man kann zeigen, dass (2.19) drei reelle Lösungen σ1 , σ2 , σ3 f¨ ur die Hauptspannungen liefert. Diese sind Stationärwerte der Normalspannung: eine Hauptspannung ist die maximale Normalspannung, eine andere ist die minimale Normalspannung, und die dritte ist ein dazwischenliegender Station¨ arwert. Der zu eiorige Normalenvektor ner Hauptspannung, zum Beispiel zu σ2 , geh¨ kann aus zwei beliebigen Gleichungen von (2.17) unter Beachtung ur die von n21 + n22 + n23 = 1 ermittelt werden. Entsprechendes gilt f¨ beiden anderen Hauptspannungen. Damit liegen die Richtungen der Hauptachsen fest. Diese stehen senkrecht aufeinander. Die Bestimmung der Hauptachsenrichtungen sowie der Hauptspannungen nennt man Hauptachsentransformation. Im Hauptachsensystem nimmt der Spannungstensor die Diagonalform ⎤ ⎡ 0 0 σ1 ⎥ ⎢ σ=⎣ 0 (2.21) 0 ⎦ σ2 0

0

σ3

an. Die Invarianten k¨ onnen dann durch die Hauptspannungen ausgedr¨ uckt werden: I1 = σ1 + σ2 + σ3 , I2 = −(σ1 σ2 + σ2 σ3 + σ3 σ1 ) , I3 = σ 1 σ 2 σ 3 .

(2.22)

2.1

Spannungszustand

81

Mit den Hauptachsen und den Hauptspannungen liegen gleichzeitig die extremalen Schubspannungen sowie die Schnittflächen, in denen sie auftreten, fest. Man erh¨ alt f¨ ur die sogenannten Hauptschubspannungen τ1 = 12 |σ2 − σ3 | , τ2 = 12 |σ3 − σ1 | , τ3 = 12 |σ1 − σ2 | .

(2.23)

Sie wirken in Fl¨ achen, deren Normale jeweils senkrecht auf einer Hauptachse steht und mit den beiden anderen einen Winkel von 45◦ einschließt. Die Normalspannung ist in diesen Schnitten nicht Null. So geh¨ ort zur Hauptschubspannung τ1 die Normalspannung ur die anderen Hauptσ(τ1 ) = (σ2 + σ3 )/2. Entsprechendes gilt f¨ schubspannungen. Ordnet man die Hauptspannungen nach ihrer Größe und bezeichnet die gr¨ oßte mit σ1 , die kleinste mit σ3 (d.h. σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 ), so ist die maximale Schubspannung τmax = 12 (σ1 − σ3 ) .

(2.24)

Ein zweiachsiger Spannungszustand kann grafisch in einem σ, τ Diagramm durch einen Mohrschen Spannungskreis dargestellt werden (Band 2, Abschn. 2.2.2). Die grafische Veranschaulichung eines dreiachsigen Spannungszustandes erfolgt dagegen mit drei Mohrschen Kreisen (Abb. 2.5). Es l¨ asst sich zeigen, dass die Normalspannung σ und die zugeh¨ orige Schubspannung τ in einem beliebigen Schnitt nur im dunkel gekennzeichneten Gebiet liegen kann, das von den Kreisen begrenzt wird. Letztere sind durch die Hauptspannungen eindeutig bestimmt. Die Kreise selbst kennzeichnen dabei Schnitte, deren Normale jeweils senkrecht auf einer der drei Hauptachsen steht.

Abb. 2.5

82

B2.2


Beispiel 2.2 Der Spannungszustand in einem Punkt sei im x1 , x2 , x3 -Koordinatensystem gegeben durch ⎡ ⎤ 1 1 3 ⎢ ⎥ [σij ] = ⎣ 1 5 1 ⎦ · 102 MPa .

3

1

1

Man bestimme die Hauptspannungen, die maximale Schubspannung, die Hauptrichtungen und zeichne die Mohrschen Kreise. L¨ osung Nach (2.19), (2.20) errechnen sich die Hauptspannungen

aus σ 3 − I1 σ 2 − I2 σ − I3 = 0 mit den Invarianten I1 = σ11 + σ22 + σ33 = 7 · 102 MPa , 2 2 2 + σ23 + σ31 I2 = −(σ11 σ22 + σ22 σ33 + σ33 σ11 ) + σ12

= [−(5 + 5 + 1) + 12 + 12 + 32 ] · 104 = 0 , I3 = det[σij ] = [(5 + 3 + 3) − (45 + 1 + 1)] · 106 = −36 · 106 MPa3 . Als L¨ osungen der kubischen Gleichung erh¨ alt man (geordnet nach der Gr¨ oße) σ1 = 6 · 102 MPa , σ2 = 3 · 102 MPa , σ3 = −2 · 102 MPa . F¨ ur die maximale Schubspannung folgt daraus τmax = 12 (σ1 − σ3 ) = 4 · 102 MPa . Damit l¨ asst sich der Spannungszustand durch die Mohrschen Kreise nach Abb. 2.6 darstellen. Zur Bestimmung der Richtung der Hauptspannung σ1 verwenden wir zun¨ achst die ersten beiden Gleichungen von (2.17): (1 − 6)n1 + n2 + 3n3 = 0 , n1 + (5 − 6)n2 + n3 = 0 ,

→

−5n1 /n3 + n2 /n3 = −3 , n1 /n3 − n2 /n3 = −1 .

2.1

Spannungszustand

83

Abb. 2.6

Hieraus ergeben sich die Verh¨ altnisse n1 /n3 = 1, n2 /n3 = 2. Unter Beachtung der Bedingung, dass der Richtungsvektor den Betrag 1 haben soll, folgt damit ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ n1 /n3 1 1 1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ → n(σ1 ) = √ ⎣ 2 ⎦ . n(σ1 ) = λ⎣ n2 /n3 ⎦ = λ⎣ 2 ⎦ 6 n3 /n3 1 1 Dabei wurde der Normierungsfaktor λ gerade so gewählt, dass sich (wie gefordert) ein Einheitsvektor ergibt. Analog erhält man f¨ ur die Richtungen von σ2 und σ3 ⎡ ⎡ ⎤ ⎤ 1 1 1 ⎢ ⎥ 1 ⎢ ⎥ n(σ2 ) = √ ⎣ −1 ⎦ , n(σ3 ) = √ ⎣ 0 ⎦ . 3 2 1 −1 Da die Hauptachsenrichtungen senkrecht aufeinander stehen, muss das Skalarprodukt zweier verschiedener Richtungsvektoren verschwinden. Zur Probe bilden wir 1 1 n(σ1 ) · n(σ2 ) = √ √ (1 − 2 + 1) = 0 . 6 3 Beispiel 2.3 Die Scheibe (Dicke t) nach Abb. 2.7a ist durch eine

Einzelkraft F senkrecht zum Rand belastet. Hierdurch werden in der Umgebung der Kraftangriffsstelle die Spannungen σ11 = −

F sin ϕ cos2 ϕ , 2πt r

σ22 = −

F sin3 ϕ , 2πt r

B2.3

84


σ12 = −

F sin2 ϕ cos ϕ 2πt r

hervorgerufen. Alle anderen Spannungskomponenten sind Null. Man bestimme die Spannungskomponenten f¨ ur das Koordinatensystem ξ, η sowie die Hauptspannungen und deren Richtungen.

Abb. 2.7

L¨ osung Es liegt ein ebener Spannungszustand vor, f¨ ur den die

Transformationsbeziehungen (2.15) zutreffen. Danach ergibt sich σ ξ = σ11 cos2 ϕ + σ22 sin2 ϕ + 2σ12 sin ϕ cos ϕ =−

F sin ϕ F (sin ϕ cos4 ϕ + sin5 ϕ + 2 sin3 ϕ cos2 ϕ) = − , 2πtr 2πt r

σ η = σ11 sin2 ϕ + σ22 cos2 ϕ − 2σ12 sin ϕ cos ϕ F (sin3 ϕ cos2 ϕ + sin3 ϕ cos2 ϕ − 2 sin3 ϕ cos2 ϕ) = 0 , 2πtr = −(σ11 − σ22 ) sin ϕ cos ϕ + σ12 (cos2 ϕ − sin2 ϕ) =−

τ ξη

=−

F [−(sin ϕ cos2 ϕ − sin3 ϕ) sin ϕ cos ϕ 2πtr + sin2 ϕ cos ϕ(cos2 ϕ − sin2 ϕ)] = 0 .

Da die Schubspannung τξη verschwindet, sind σξ und ση Hauptspannungen (Abb. 2.7b): σ 1 = ση = 0 ,

σ 2 = σξ = −

F sin ϕ . 2πt r

Hiernach sind die Hauptachsen an jeder Stelle radial vom Kraftangriffspunkt bzw. senkrecht dazu gerichtet. In radialen Schnitten ist die Spannung Null, in Schnitten senkrecht dazu betragsmäßig am gr¨ oßten. F¨ ur r → 0 wachsen die Spannungen σξ unbeschränkt an (Spannungssingularit¨ at).

2.1

Spannungszustand

85

2.1.4 Hydrostatischer Spannungszustand, Deviator

Einen Spannungszustand der Art ⎡ ⎤ σ0 0 0 ⎢ ⎥ σ = ⎣ 0 σ0 0 ⎦ bzw. σkl = σ0 δkl

(2.25)

0 0 σ0 nennt man hydrostatischen Spannungszustand. In diesem Fall sind die drei Normalspannungen gleich und zugleich Hauptspannungen. Aus (2.14) mit (2.13) erh¨ alt man dann = σkl aik ajl = σ0 δkl aik ajl σij

= σ0 ail ajl = σ0 ei · ej = σ0 δij . Dies bedeutet, dass die Normalspannungen unabhängig von der Achsenrichtung immer die gleiche Gr¨ oße σ0 haben, während die Schubspannungen in jedem Schnitt verschwinden. Demzufolge existiert hier kein ausgezeichnetes Achsensystem; vielmehr ist jedes beliebige System ein Hauptachsensystem. Im weiteren wollen wir einen beliebigen Spannungstensor σij additiv zerlegen. Zu diesem Zweck f¨ uhren wir mit σm = 13 (σ11 + σ22 + σ33 ) =

1 3

σkk

(2.26)

asst sich der Spannungsdie mittlere Normalspannung ein. Damit l¨ tensor folgendermaßen aufspalten: ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ σ12 σ13 σ11 σ12 σ13 σm 0 0 σ11 − σm ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ σ21 σ22 σ23 ⎦ = ⎣ 0 σm 0 ⎦ + ⎣ σ21 σ22 − σm σ23 ⎦ σ31 σ32 σ33 σ31 σ32 σ33 − σm 0 0 σm ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ σm 0 0 s11 s12 s13 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎣ 0 σm 0 ⎦ + ⎣ s21 s22 s23 ⎦. (2.27) 0

0 σm

s31 s32 s33

Dies l¨ asst sich mit (2.26) kurz schreiben als σij =

1 σkk δij + sij . 3

(2.28)

86


Der erste Anteil beschreibt einen hydrostatischen Spannungszuahrend der zweite die stand infolge der mittleren Spannung σm , w¨ Abweichung“ hiervon darstellt. Man nennt σm δij den Kugelten” sor und sij = σij − σm δij den Spannungsdeviator. Der Deviator sij ist wie der Spannungstensor σij ein symmetrischer Tensor 2. Stufe.Wir k¨ onnen deshalb alle Eigenschaften, die aß auf sij u wir bei σij kennengelernt haben, sinngem¨ ¨bertragen. So existiert f¨ ur den Deviator ein Hauptachsensystem. Dieses stimmt mit demjenigen des Spannungstensors σij u ¨berein, da der hydrostatische Spannungszustand u ¨ber keine ausgezeichneten Richtungen verf¨ ugt. Daneben hat der Deviator Invarianten, die wir mit alt zum Beispiel f¨ ur die 1. und die J1 , J2 , J3 bezeichnen. Man erh¨ 2. Invariante des Deviators (vgl. (2.20)) J1 = sii = (σ11 − σm ) + (σ22 − σm ) + (σ33 − σm ) = 0 , 1 J2 = sij sij 2 1 (σ11 − σ22 )2 + (σ22 − σ33 )2 + (σ33 − σ11 )2 (2.29) = 6 2 2 2 + σ12 + σ23 + σ31 1 (σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ3 − σ1 )2 . = 6 Letztere spielt eine besondere Rolle bei der Formulierung von Stoffgesetzen in der Plastomechanik. B2.4

Beispiel 2.4 F¨ ur den Spannungszustand des Beispiels 2.2 bestimme

man den Spannungsdeviator und dessen 2. Invariante. L¨ osung Mit der mittleren Spannung

σm =

1+5+1 σ11 + σ22 + σ33 7 = · 102 = · 102 MPa 3 3 3

ergibt sich f¨ ur den Spannungsdeviator ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ σ11 − σm σ12 σ13 −4/3 1 3 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 2 [sij ]=⎣ σ21 σ22 − σm σ23 ⎦=⎣ 1 8/3 1 ⎦· 10 MPa. σ31 σ32 σ33 − σm 3 1 −4/3

2.1

Spannungszustand

87

Die Invariante J2 berechnen wir nach (2.29) zweckmäßig mit Hilfe der in Beispiel 2.2 ermittelten Hauptspannungen: 1 (σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ3 − σ1 )2 6 1 49 · 104 MPa2. (6 − 3)2 + (3 + 2)2 + (−2 − 6)2 · 104 = = 6 3

J2 =

2.1.5 Gleichgewichtsbedingungen

Die Gleichgewichtsbedingungen wurden f¨ ur einen räumlichen Spannungszustand schon in Band 2, Abschnitt 2.3 angegeben, wobei dort auf eine Herleitung verzichtet wurde. Diese kann auf unterschiedliche Weise erfolgen. Eine M¨ oglichkeit besteht in der Gleichgewichtsbetrachtung an einem infinitesimalen Element (vgl. Band 2, Abschn. 2.3). Ein anderer m¨ oglicher Ausgangspunkt ist die Formulierung der Gleichgewichtsbedingungen f¨ ur ein beliebiges, aus dem K¨ orper geschnittenes endliches Teilvolumen V mit der Oberfl¨ ache A (Abb. 2.8a). Dieses ist durch eine Volumenkraft achenbelastung (Spannungsvektor) ti belastet. fi und eine Oberfl¨ Damit der K¨ orper im Gleichgewicht ist, muss die Summe der äußeren Kr¨ afte verschwinden:

ti dA + fi dV = 0 . A

V

Mit der Cauchyschen Formel (2.12b) folgt daraus zunächst

σji nj dA + fi dV = 0 . A

Abb. 2.8

V

88


Das Oberfl¨ achenintegral k¨ onnen wir mit dem Gaußschen Satz in ein Volumenintegral umformen. Dabei wollen wir von nun an die partielle Ableitung einer Funktion, z.B. g(x1 , x2 , x3 ), nach xi symbolisch durch den Index i“ hinter einem Komma kennzeichnen: ” ∂g/∂xi = g,i . Damit gilt

∂σji σji nj dA = dV bzw. σji nj dA = σji,j dV . ∂xj A

V

A

V

Fassen wir noch die Volumenintegrale zusammen, so erhalten wir schließlich

(σji,j + fi ) dV = 0 . V

Diese Beziehung kann f¨ ur ein beliebiges Volumen V nur dann erf¨ ullt sein, wenn der Integrand verschwindet: σji,j + fi = 0 .

(2.30a)

Dies sind die Gleichgewichtsbedingungen; ausgeschrieben lauten sie ∂σ21 ∂σ31 ∂σ11 + + + f1 = 0 , ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂σ12 ∂σ22 ∂σ32 + + + f2 = 0 , ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂σ13 ∂σ23 ∂σ33 + + + f3 = 0 . ∂x1 ∂x2 ∂x3

(2.30b)

Mit (2.30) stehen drei Gleichungen zur Verf¨ ugung, aus denen die sechs unabh¨ angigen Spannungskomponenten σij im allgemeinen nicht bestimmt werden k¨ onnen: das Problem ist statisch unbestimmt. Die Gleichgewichtsbedingungen gelten f¨ ur jeden Punkt im Innern des K¨ orpers. Entlang der Oberfl¨ ache (Rand) ist häufig die außere Belastung durch eine gegebene Fl¨ achenlast t∗i vorgeschrie¨ ullt sein. Mit der ben. Dort muss die Randbedingung ti = t∗i erf¨ Cauchyschen Formel (2.12b) erh¨ alt man daraus

2.1

σji nj = t∗i

Spannungszustand

89

(2.31a)

bzw. ausgeschrieben σ11 n1 + σ21 n2 + σ31 n3 = t∗1 , σ12 n1 + σ22 n2 + σ32 n3 = t∗2 , σ13 n1 + σ23 n2 + σ33 n3 =

t∗3

(2.31b)

.

Darin beschreibt der nach außen weisende Normalenvektor nj die Orientierung der Berandung (Abb. 2.8b). Da durch diese Gleichungen Spannungen am Rand festgelegt werden, bezeichnet man sie auch als Spannungsrandbedingungen. Es ist nicht immer zweckm¨ aßig, die Gleichgewichtsbedingungen in der Formulierung (2.30b) mittels kartesischer Koordinaten zu verwenden. Vielmehr ist es bei verschiedenen Problemen sinnvoll, ein anderes – z.B. der K¨ orperform angepasstes – Koordinatensystem zu benutzen. Als Beispiel hierf¨ ur wollen wir die Gleichgewichtsbedingungen f¨ ur den ebenen Fall in Polarkoordinaten herleiten. Entsprechend den Koordinaten r, ϕ bezeichnen wir dabei die Spannungskomponenten mit σr , σϕ , τrϕ (Abb. 2.9a). Man nennt σr die Radialspannung und σϕ die Umfangsspannung. Im weiteren betrachten wir das infinitesimale Element der Dicke t nach Abb. 2.9b, an dessen Seitenfl¨ achen die Spannungen und ihre Zuw¨ achse wirken. Beachtet man, dass Glieder höherer Ordnung in der Grenze verschwinden, so erh¨ alt man mit sin dϕ → dϕ, cos dϕ → 1 aus der Kr¨ aftegleichgewichtsbedingung in radialer Richtung (siehe auch Abb. 2.9c)

Abb. 2.9

90


∂σr dr t (r + dr) dϕ − τrϕ t dr −σr t r dϕ + σr + ∂r

∂τrϕ dϕ t dr − (σϕ dϕ) t dr + fr t r dϕ dr = 0 + τrϕ + ∂ϕ bzw. 1 ∂τrϕ 1 ∂σr + + (σr − σϕ ) + fr = 0 . ∂r r ∂ϕ r

(2.32a)

Entsprechend liefert das Kr¨ aftegleichgewicht in Umfangsrichtung 1 ∂σϕ 2 ∂τrϕ + + τrϕ + fϕ = 0 . ∂r r ∂ϕ r

(2.32b)

Als Anwendungsfall betrachten wir noch einmal die Spannungen nach Beispiel 2.3. Da die Richtungen von ξ und η mit den entsprechenden Richtungen in Polarkoordinaten (r, ϕ) u ¨bereinstimmen, gilt σr = −

F sin ϕ , 2πt r

σϕ = 0 ,

τrϕ = 0 .

(2.33)

Sie erf¨ ullen mit fr = fϕ = 0 die Gleichgewichtsbedingungen (2.32) identisch. Wir wollen noch die Randbedingungen entlang des geraden Randes u ufen. Da dieser mit Ausnahme der Lastan¨berpr¨ griffsstelle (r = 0) unbelastet ist, lauten sie f¨ ur r = 0 σϕ |ϕ=0,π = 0 ,

τrϕ |ϕ=0,π = 0 .

Man erkennt, dass sie durch die Spannungen (2.33) ebenfalls befriedigt werden. B2.5

Die Wand eines Staudamms mit dreiecksförmigem Querschnitt ist durch den Wasserdruck (p = pu x2 /h) und durch das Eigengewicht (Volumenkraft f2 = g) belastet (Abb. 2.10). Dabei treten in der Wand die folgenden Spannungen auf: pu x2 , σ11 = − h g p

2pu u − σ22 = + x − g x2 , 1 tan α h tan3 α h tan2 α Beispiel 2.5

2.1

σ33 = ν(σ11 + σ22 ) , pu x1 , σ12 = − h tan2 α

Spannungszustand

91

σ23 = σ31 = 0 .

Man u ufe, dass die Gleichgewichtsbedingungen sowie die ¨berpr¨ ullt sind. Randbedingungen entlang der R¨ ander AB und AC erf¨

Abb. 2.10

L¨ osung Mit f1 = f3 = 0 sind die erste und die dritte Gleichge-

wichtsbedingung (2.30b) identisch erf¨ ullt, da die entsprechenden Ableitungen alle Null sind. Die zweite Gleichgewichtsbedingung liefert p

pu u + − g + 0 + g = 0 ; − h tan2 α h tan2 α sie ist also ebenfalls erf¨ ullt. Der Rand AB ist unbelastet: t∗1 = t∗2 = t∗3 = 0. Er wird durch die Geradengleichung x2 = x1 cot α beschrieben, und die Komponenten des nach außen weisenden Normalenvektors lauten n1 = cos α , n2 = cos(90◦ + α) = − sin α , n3 = 0 . Damit ist die dritte Gleichung (2.31b) identisch erf¨ ullt. Die ersten beiden liefern die Randbedingungen σ11 cos α − σ21 sin α = 0 , σ12 cos α − σ22 sin α = 0 . Durch Einsetzen erh¨ alt man daraus pu pu x1 cot α cos α + x1 sin α = 0 , − h h tan2 α g 2pu pu − − cos α − x x1 1 tan α h tan3 α h tan2 α p

u + cot α sin α = 0 . − g x 1 h tan2 α

92


Diese Randbedingungen werden also ebenfalls befriedigt. außere Last t∗1 = p, Der Rand AC (x1 = 0) ist durch die ¨ ∗ ∗ ur ihn gilt n1 = −1, n2 = n3 = 0. Dat2 = t3 = 0 belastet. F¨ mit lauten die Randbedingungen dort σ11 = − p ,

σ12 = 0 ,

σ13 = 0 .

Sie werden durch die gegebenen Spannungen erf¨ ullt. Es sei angemerkt, dass die gegebenen Spannungen einen ebenen Verzerrungszustand beschreiben (vgl. Abschn. 2.5.1). Die Konstante ν ist die Querkontraktionszahl. 2.2

2.2 Deformation und Verzerrung Aus Band 2, Abschnitt 3.1 wissen wir, dass die Kinematik eines deformierbaren Festk¨ orpers durch die Verschiebungen und die Verzerrungen beschrieben werden kann. Wir wollen hier auf diese Gr¨ oßen n¨ aher eingehen und sie auf den dreidimensionalen Fall erweitern. 2.2.1 Allgemeines

Wir betrachten nach Abb. 2.11 einen K¨ orper K zunächst in seinem undeformierten Ausgangszustand. Einen beliebigen materiellen Punkt (Partikel) P kennzeichnen wir durch den Ortsvektor X. Da hierdurch jeder materielle Punkt durch seine Koordinaten Xi im Ausgangszustand festgelegt ist, nennt man die Xi materielle Koordinaten. Bei einer Deformation geht der undeformierte K¨ orper K in den deformierten K¨ orper K u ¨ber. Dabei erfährt ein Partikel P eine Verschiebung u und befindet sich dann, im deformierten Zustand, am Ort P . Dieser ist durch den Ortsvektor x bzw. die Ortskoordinaten xi festgelegt. Damit gilt allgemein x−X =u

bzw.

xi − X i = u i .

(2.34)

Die Beschreibung der Lage¨ anderung kann nun auf zwei verschiedene Arten erfolgen. In der Lagrangeschen Beschreibung (Joseph Louis Lagrange, 1736–1813) wird die Bewegung“ (Lageänderung) ” eines materiellen Teilchens X verfolgt. Sein Ort im deformierten

2.2

Deformation und Verzerrung

93

Abb. 2.11

Zustand und seine Verschiebung sind gegeben durch x = x(X) , u = u(X) bzw. xi = xi (Xj ) , ui = ui (Xj ) . (2.35) Als unabh¨ angige Ver¨ anderliche treten hier die materiellen Koordinaten X1 , X2 , X3 auf. In der Eulerschen Beschreibung wird dagegen der Zustand“ in einem Raumpunkt x betrachtet. In der ” deformierten Lage befindet sich dort ein bestimmtes Partikel, das eine bestimmte Verschiebung erfahren hat: X = X(x) , u = u(x) bzw. Xi = Xi (xj ) , ui = ui (xj ) . (2.36) Die unabh¨ angigen Variablen sind in diesem Fall die Ortskoordinaten x1 , x2 , x3 . W¨ ahrend die Eulersche Darstellung insbesondere in der Str¨ omungsmechanik Verwendung findet (vgl. Abschn. 1.3.1), wird die Lagrangesche Darstellung in der Elastomechanik bevorzugt. Wir werden deshalb hier von der Lagrangeschen Beschreibung (2.35) ausgehen. Im weiteren betrachten wir nach Abb. 2.11 ein materielles Linienelement P Q, das im undeformierten Ausgangszustand durch den Vektor dX beschrieben wird. Dieses geht bei der Deformation durch Streckung und Drehung in das Element P Q u ¨ber, das ¨ durch den Vektor dx gekennzeichnet ist. Die Anderung dx − dX des Elementes ist durch die Verschiebungsdifferenz du der Punkte P und Q gegeben: dx − dX = du

bzw.

dxi − dXi = dui .

Letztere kann mit (2.35) in Indexschreibweise durch

(2.37)

94


dui =

∂ui ∂ui ∂ui ∂ui dX1 + dX2 + dX3 = dXj = Hij dXj ∂X1 ∂X2 ∂X3 ∂Xj

(2.38)

ausgedr¨ uckt werden (vollst¨ andiges Differential). Darin ist ∂ui Hij = (2.39) ∂Xj der Verschiebungsgradient. Bezieht man die Verschiebungsändeange dS = |dX|, so erhält man mit rung dui auf die Ausgangsl¨ nj = dXj /dS schließlich dui = Hij nj . (2.40) dS Die auf die Ausgangsl¨ ange bezogene Relativverschiebung benachbarter Punkte wird danach vollst¨ andig durch den Verschiebungsgradienten beschrieben. Die linearen Vektorgleichungen (2.38) bzw. (2.40) kennzeichnen Hij als Tensor 2. Stufe. Wie schon erw¨ ahnt, werden durch dui und folglich durch den Verschiebungsgradienten die L¨ angen¨ anderung (Streckung) und die Drehung eines Linienelementes beschrieben. Mit Hij steht damit ugung, das es ermöglicht, den Deforein Verzerrungsmaß zur Verf¨ mationszustand zu charakterisieren. Eine andere Möglichkeit, ein Verzerrungsmaß einzuf¨ uhren, besteht darin, anstelle von (2.37) die Differenz der L¨ angenquadrate ds2 − dS 2 zu betrachten. Dies kann insbesondere bei großen Deformationen zweckmäßig sein. Hierauf sei jedoch nicht n¨ aher eingegangen. 2.2.2 Infinitesimaler Verzerrungstensor

Nach (2.35) werden die Veschiebungen als Funktionen der materiellen Koordinaten ausgedr¨ uckt: ui = ui (Xj ). Dies kann auch in der impliziten Form ui = ui (xk (Xj )) mit xk = Xk + uk erfolgen. F¨ ur den Verschiebungsgradienten erh¨ alt man damit ∂ui ∂ui ∂xk ∂ui ∂uk Hij = δkj + . (2.41) = = ∂Xj ∂xk ∂Xj ∂xk ∂Xj F¨ ur sehr viele technische Anwendungen kann man den Verschiebungsgradienten als klein voraussetzen: ∂uk /∂Xj 1. Der zweite Ausdruck in der runden Klammer ist dann vernachlässigbar, und es ergibt sich

2.2


95

∂ui ∂ui = . (2.42) ∂Xj ∂xj In diesem Fall brauchen wir nicht zwischen materiellen Koordinaten und Raumkoordinaten zu unterscheiden. Da wir uns auf diesen Fall beschr¨ anken, fassen wir deshalb von nun an die Verschiebungen (wie schon in Band 2) als Funktionen der Koordinaten x1 , x2 , x3 auf: ui = ui (xj ). Der Verschiebungsgradient ist damit durch Hij = ui,j gegeben, wobei der Index j “ nach dem Komma wie” der die Ableitung nach xj symbolisiert. F¨ ur das weitere ist es zweckm¨ aßig, Hij folgendermaßen in zwei Anteile zu zerlegen: Hij =

Hij = ui,j = 12 (ui,j + uj,i ) + 12 (ui,j − uj,i ) = εij + ωij . ! "# $ ! "# $ εij

(2.43)

ωij

Der zweite Anteil ωij = (ui,j − uj,i )/2 ist antisymmetrisch (ωij = −ωji ) und wird als infinitesimaler Drehtensor bezeichnet. Seine Matrixdarstellung lautet ⎤ ⎡ 0 ω12 ω13 ⎥ ⎢ ω = ⎣ ω21 (2.44) 0 ω23 ⎦ ω31 mit

ω32

0

1 ∂u1 ∂u2 , − 2 ∂x2 ∂x1

1 ∂u2 ∂u3 , = − 2 ∂x3 ∂x2

1 ∂u3 ∂u1 . = − 2 ∂x1 ∂x3

ω12 = − ω21 = ω23 = − ω32 ω31 = − ω13

(2.45)

Die Komponenten dieses Tensors beschreiben die Drehung eines Elements. Man kann dies am Beispiel des Elements nach Abb. 2.12a erkennen. Hierf¨ ur liest man unter Beachtung kleiner Deformationen ab: α = ∂u2 /∂x1 , β = −∂u1 /∂x2 . F¨ ur den Drehwinkel alt man damit der Diagonale um die x3 -Achse erh¨ 1 ∂u2 1 ∂u1 . ω21 = (α + β) = − 2 2 ∂x1 ∂x2 Entsprechend werden durch ω23 bzw. ω31 die Drehungen um die

96


Abb. 2.12

x1 - bzw. die x2 -Achse beschrieben. Da die Drehungen keine Verzerrungen des Elementes bewirken, werden durch sie auch keine Spannungen hervorgerufen. Die Drehkomponenten ωij tauchen dementsprechend im Elastizit¨ atsgesetz nicht auf. Wir werden sie deshalb nicht weiter betrachten. Der erste Anteil in (2.43) εij = 12 (ui,j + uj,i )

(2.46)

ist symmetrisch (εij = εji ) und heißt infinitesimaler Verzerrungstensor. Verwenden wir alternativ die beiden Bezeichnungen x1 = ur die Achsen und u1 = u, u2 = v, u3 = w x, x2 = y, x3 = z f¨ f¨ ur die Verschiebungskomponenten, so kann er in der Matrixform (vgl. Band 2, Abschnitt 3.1) ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 1 γ γ ε11 ε12 ε13 εx xy xz 2 2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1 ε = ⎢ ε21 ε22 ε23 ⎥ = ⎢ 12 γyx (2.47) ⎥ εy γ 2 yz ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 1 1 ε31 ε32 ε33 εz 2 γzx 2 γzy dargestellt werden. Darin sind ∂u1 ∂u2 , ε22 = , ∂x1 ∂x2 die Dehnungen und ε11 =

∂u1 ∂u2 + , ∂x2 ∂x1 ∂u3 ∂u1 = + ∂x1 ∂x3

2ε12 = 2ε31

2ε23 =

ε33 =

∂u3 ∂x3

∂u2 ∂u3 + , ∂x3 ∂x2

(2.48a)

(2.48b)

2.2


97

¨ die Gleitungen (Winkel¨ anderungen). Aquivalent hierzu sind die Darstellungen ∂u ∂v ∂w , εy = , εz = , εx = ∂x ∂y ∂z (2.48c) ∂u ∂v ∂v ∂w ∂w ∂u γxy = + , γyz = + , γzx = + . ∂y ∂x ∂z ∂y ∂x ∂z Als Beispiele sind die Verformungen eines Elements aufgrund einer Dehnung ε11 bzw. einer Winkel¨ anderung 2ε12 in den Abb. 2.12b,c veranschaulicht. Die Dehnungen und die Winkeländerungen bezeichnet man auch als Verzerrungen. Sie sind im Elastizitätsgesetz mit den Spannungen verkn¨ upft. Wie der Spannungstensor ist auch der Verzerrungstensor ein symmetrischer Tensor 2. Stufe. Wir k¨ onnen deshalb alle Eigenschaften, die wir vom Spannungstensor kennen, sinngemäß auf den Verzerrungstensor u ¨bertragen. Dabei brauchen wir nur die Spannungen σij durch die Verzerrungen εij zu ersetzen. So lautet zum Beispiel die Transformationsbeziehung (vgl. (2.14)) εij = εkl aik ajl .

(2.49)

Weiterhin existieren drei Invarianten sowie ein Hauptachsensystem mit den zugeh¨ origen Hauptdehnungen ε1 , ε2 , ε3 . Dehnungen f¨ uhren im allgemeinen zu Volumenänderungen. Um sie zu bestimmen, betrachten wir das quaderf¨ ormige Element nach Abb. 2.13, das im undeformierten Zustand das Volumen dV = dx1 dx2 dx3 hat. Infolge der Dehnungen erfahren seine Kanten die Längenände-

Abb. 2.13

98


rungen ε11 dx1 , ε22 dx2 , ε33 dx3 , so dass das Volumen im deformierten Zustand gegeben ist durch dV + ΔdV = (1 + ε11 )dx1 (1 + ε22 )dx2 (1 + ε33 )dx3 . Bezieht man die Volumen¨ anderung ΔdV auf das Ausgangsvolumen dV , so erh¨ alt man die Volumendehnung (Dilatation) εv =

ΔdV = ε11 + ε22 + ε33 = εkk . dV

(2.50)

Dabei konnten wir wegen εij 1 die Produkte der Dehnungen als von h¨ oherer Ordnung klein gegen¨ uber den Dehnungen vernachl¨ assigen. In Abschnitt 2.1.4 haben wir den Spannungstensor additiv in zwei Teile aufgespalten. Dies ist auch beim Verzerrungstensor in manchen F¨ allen n¨ utzlich. Zu diesem Zweck f¨ uhren wir mit εm = 13 εv = 13 (ε11 + ε22 + ε33 ) = 13 εkk

(2.51)

die mittlere Dehnung ein. Damit gilt ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ε12 ε11 ε12 ε13 εm 0 0 ε11 − εm ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ε = ⎣ ε21 ε22 ε23 ⎦=⎣ 0 εm 0 ⎦+⎣ ε21 ε22 − εm ε31 ε32 ε33

⎡

0

0 εm

⎤ ⎡

ε31

ε32 ⎤

εm 0 0 e11 e12 e13 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ =⎣ 0 εm 0 ⎦+⎣ e21 e22 e23 ⎦ 0 oder kurz εkk δij + eij . εij = 3

0 εm

ε13 ε23

⎤ ⎥ ⎦

ε33 − εm (2.52)

e31 e32 e33 (2.53)

Der erste Anteil εkk δij /3 (= Kugeltensor) beschreibt eine reine Volumendehnung. Der zweite Anteil eij (= Deviator) charakterisiert die Verzerrungen bei konstantem Volumen; er beschreibt die Gestalt¨ anderung. Schon bei den Gleichgewichtsbedingungen (Abschn. 2.1.5) haben wir darauf hingewiesen, dass es zweckm¨ aßig sein kann, anstelle von kartesischen Koordinaten andere Koordinaten zu verwenden.

2.2


99

Als Beispiel hierf¨ ur wollen wir die kinematischen Beziehungen f¨ ur den ebenen Fall in Polarkoordinaten r, ϕ angeben: εr =

1 ∂uϕ ∂uϕ uϕ ∂ur ur 1 ∂ur , εϕ = + , γrϕ = + − .(2.54) ∂r r r ∂ϕ r ∂ϕ ∂r r

Darin sind ur bzw. uϕ die Verschiebungskomponenten in radialer Richtung bzw. in Umfangsrichtung. 2.2.3 Kompatibilit¨ atsbedingungen

Sind die drei Komponenten ui des Verschiebungsfeldes bekannt, so lassen sich aus ihnen die 6 Verzerrungen nach (2.48a,b) durch Differenzieren bestimmen. Sind umgekehrt die Verzerrungen gegeben, so stehen mit (2.48a,b) 6 Gleichungen f¨ ur die 3 unbekannten Verschiebungskomponenten zur Verf¨ ugung. Sollen die Verschiebungen eindeutig sein, so k¨ onnen demnach die Verzerrungen nicht unabh¨ angig voneinander sein. Man erkennt den Zusammenhang, indem man mit (2.46) (nach zweimaliger Differentiation) zum Beispiel die Ausdr¨ ucke 2ε12,12 = u1,212 + u2,112 , 2(ε12,13 + ε13,12 ) = u1,213 + u2,113 + u1,312 + u3,112 bildet. Die Verschiebungsableitungen auf den rechten Seiten kann man nun wieder mit (2.46) durch die Verzerrungen ersetzen. So gilt f¨ ur die erste Gleichung u1,212 + u2,112 = (u1,1 ),22 + (u2,2 ),11 = ε11,22 + ε22,11 . Sie nimmt damit die Form 2ε12,12 = ε11,22 + ε22,11 bzw. ∂ 2 ε22 ∂ 2 ε12 ∂ 2 ε11 + =2 2 2 ∂x2 ∂x1 ∂x1 ∂x2 an. Analog folgt aus der zweiten Gleichung (− ε23,1 + ε13,2 + ε12,3 ),1 = ε11,23 .

(2.55)

100


Durch zyklische Vertauschung der Indizes lassen sich daraus je zwei weitere Gleichungen gewinnen; insgesamt erhält man also ε11,22 + ε22,11 = 2ε12,12 , (− ε23,1 + ε13,2 + ε12,3 ),1 = ε11,23 , ε22,33 + ε33,22 = 2ε23,23 , (− ε31,2 + ε21,3 + ε23,1 ),2 = ε22,31 , (2.56) ε33,11 + ε11,33 = 2ε31,31 , (− ε12,3 + ε32,1 + ε31,2 ),3 = ε33,12 .

Man nennt diese Beziehungen zwischen den Verzerrungen Kompaaglichkeitsbedingungen. Man kann tibilit¨ atsbedingungen oder Vertr¨ zeigen, dass sie erf¨ ullt sein m¨ ussen, damit die Verzerrungen ein eindeutiges Verschiebungsfeld liefern. Im ebenen Verzerrungszustand verschwinden die Verzerrungskomponenten ε13 , ε23 , ε33 sowie die Ableitungen nach x3 . Dann verbleibt als Kompatibilit¨ atsbedingung nur noch die Beziehung (2.55). B2.6

Beispiel 2.6 Ein Balken mit Kreisquerschnitt ist bei x = 0 gelagert

und wird durch ein Moment M0 auf reine Biegung beansprucht (Abb. 2.14). Dabei treten die Verschiebungen u = − κB xz , v = κB νyz , w = 12 κB [x2 + ν(z 2 − y 2 )] auf, wobei κB und ν Konstanten sind. Man bestimme die Verzerrungen und pr¨ ufe, ob die Kompatibilit¨ atsbedingungen erf¨ ullt sind. Wie ist der Balken gelagert?

Abb. 2.14

L¨ osung Nach (2.48a,b) erh¨ alt man die Verzerrungen

ε x = − κB z ,

εy = κ B ν z = − ν ε x ,

ε z = κB ν z = − ν ε x ,

γxy = γyz = γzx = 0 .

Die Kompatibilitätsbedingungen (2.56) enthalten ausschließlich 2. Ableitungen der Verzerrungen. Da diese hier alle verschwinden, sind sie erf¨ ullt.

2.2


101

An der Stelle x = 0 gilt u = 0 , v = κB ν y z , w =

κB ∂w ν(z 2 − y 2 ) , w = = 0. 2 ∂x

Danach ist der Balken an dieser Stelle so eingespannt“, dass ” zwar u und w verschwinden, aber die Verschiebungen v, w in y, zRichtung nicht behindert sind. Es sei angemerkt, dass ν die Querkontraktionszahl ist. Die Bedeutung von κB kann man aus der Durchbiegung w = κB x2 /2 der Balkenachse (y = z = 0) bzw. aus ihrer zweiten Ableitung ummung w = κB = const erkennen. Danach beschreibt κB die Kr¨ der Balkenachse (vgl. Band 2, Gl. (4.32)). Beispiel 2.7 F¨ ur einen ebenen Verzerrungszustand lauten die Ver-

zerrungen ε11 = a x21 x2 − b x22 ,

ε22 = b x1 x2 ,

ε12 = c x1 x2 ,

wobei a und b bekannt sind. Man bestimme c so, dass die Kompatibilit¨ atsbedingung erf¨ ullt ist. Wie groß sind dann die Verschiebungen? L¨ osung Einsetzen der Verzerrungen in die Kompatibilit¨ atsbedin-

gung (2.55) liefert die gesuchte Konstante c: ∂ 2 ε22 ∂ 2 ε12 ∂ 2 ε11 + = 2 ∂x22 ∂x21 ∂x1 ∂x2

→ − 2b = 2c → c = − b .

F¨ ur die Verschiebungen ergibt sich durch Integration zunächst a u1,1 = ε11 → u1 = x31 x2 − b x1 x22 + f (x2 ) , 3 b u2,2 = ε22 → u2 = x1 x22 + g(x1 ) . 2 Dabei sind f bzw. g beliebige Funktionen von x2 bzw. von x1 . Einsetzen in die Beziehung f¨ ur ε12 nach (2.48b) liefert b a u1,2 + u2,1 = 2 ε12 → x31 − 2bx1 x2 + f,2 + x22 + g,1 = −2bx1 x2 3 2

b a 3 x1 + g,1 = − x22 + f,2 . → 3 2

B2.7

102


Da die linke Seite nur von x1 und die rechte nur von x2 abhängt, kann diese Gleichung nur dann erf¨ ullt sein, wenn beide Seiten gleich einer Konstanten sind, die wir mit C1 bezeichnen: a 3 x + g,1 = C1 , 3 1

b − x22 − f,2 = C1 . 2

Durch Umformung und anschließende Integration erhält man daraus a a g,1 = − x31 + C1 → g = − x41 + C1 x1 + C2 , 3 12 b b f,2 = − x22 − C1 → f = − x32 − C1 x2 + C3 . 2 6 Damit folgen die Verschiebungen u1 =

a 3 b x1 x2 − b x1 x22 − x32 − C1 x2 + C3 , 3 6

u2 =

b a x1 x22 − x41 + C1 x1 + C2 . 2 12

¨ ugt werden Uber die Konstanten C1 , C2 , C3 kann noch frei verf¨ (Randbedingungen).

2.3

2.3 Elastizit¨ atsgesetz 2.3.1 Hookesches Gesetz

Das mechanische Verhalten eines Materials wird durch ein Stoffgesetz beschrieben. Durch dieses werden die Spannungen mit den Verzerrungen verkn¨ upft. Das Stoffgesetz kann nur mit Hilfe von Experimenten (z.B. im Zugversuch) gewonnen werden. Verhält sich dabei ein Material in allen Punkten gleich, so nennt man es homogen, anderenfalls inhomogen. Sind die Materialeigenschaften von der Richtung unabh¨ angig, so bezeichnet man den Werkstoff als isotrop. Dagegen sind die Eigenschaften beim anisotropen Material abh¨ angig von der Richtung (z.B. bei faserverstärkten Kunststoffen).

2.3

Elastizitätsgesetz

103

F¨ ur viele Werkstoffe stellt man im langsamen (quasistatischen) einachsigen Zugversuch fest, dass einer Dehnung ε eindeutig eine Spannung σ zugeordnet ist: σ = σ(ε) (Band 2, Abschn. 1.3). Diese ist unabh¨ angig davon, ob die betreffende Dehnung durch monoton zunehmende Belastung oder durch Entlastung etwa nach einer gr¨ oßeren Deformation erreicht wird, d.h., die Spannung ist unabh¨ angig von der Deformationsgeschichte. Sie ist außerdem unabh¨ angig von der Zeit. Ein solches Verhalten nennt man elasti¨ agt man dies auf den dreiachsigen sches Materialverhalten. Ubertr¨ Fall, so ist bei elastischem Verhalten einem Verzerrungszustand eindeutig ein Spannungszustand zugeordnet: σij = σij (εkl ). H¨ aufig besteht ein linearer Zusammenhang zwischen Spannungen und Verzerrungen. Dieser wird im einachsigen Fall durch das Hookesche Gesetz σ =Eε

(2.57)

beschrieben, wobei E der Elastizit¨ atsmodul ist. Im dreiachsigen Fall kann die lineare Beziehung zwischen den Spannungs- und den Verzerrungskomponenten durch σij = Eijkl εkl

(2.58)

ausgedr¨ uckt werden. Danach gilt zum Beispiel f¨ ur die Spannungskomponente σ11 ausgeschrieben σ11 = E1111 ε11 + E1112 ε12 + E1113 ε13 + E1121 ε21 + E1122 ε22 + E1123 ε23 + E1131 ε31 + E1132 ε32 + E1133 ε33 . Die Gleichung (2.58) stellt eine lineare Beziehung (Abbildung) zwischen zwei Tensoren 2. Stufe (σij und εkl ) dar. Hierdurch ist Eijkl als Tensor 4. Stufe gekennzeichnet; er hat 34 = 81 Komatstensor und seiponenten. Man bezeichnet Eijkl als Elastizit¨ atskonstanten. Wegen der Symmene Komponenten als Elastizit¨ urfen auch bei Eijkl die Indizes i, j bzw. trie von σij und εkl d¨ k, l vertauscht werden: Eijkl = Ejikl = Eijlk = Ejilk . Dement-

104


sprechend besitzt der Elastizit¨ atstensor nur 36 voneinander unabh¨ angige Konstanten. Letzteres erkennt man besonders einfach, wenn man die Spannungs-Verzerrungs-Beziehung in der Form σ11 = a11 ε11 + a12 ε22 + a13 ε33 + 2a14 ε23 + 2a15 ε31 + 2a16 ε12 , σ22 = a21 ε11 + a22 ε22 + . . . ... bzw. in der Matrizenform ⎤ ⎡ ⎡ σ11 a11 a12 a13 a14 ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ σ22 ⎥ ⎢ a21 a22 a23 a24 ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ σ33 ⎥ ⎢ a31 a32 a33 a34 ⎥=⎢ ⎢ ⎢ σ23 ⎥ ⎢ a41 a42 a43 a44 ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎣ σ31 ⎦ ⎣ a51 a52 a53 a54 σ12 a61 a62 a63 a64

a15 a16

⎤⎡

ε11

⎤

⎥⎢ ⎥ ⎥ ⎢ a25 a26 ⎥ ⎥ ⎢ ε22 ⎥ ⎥⎢ ⎥ a35 a36 ⎥ ⎢ ε33 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥ ⎢ a45 a46 ⎥ ⎥ ⎢ 2ε23 ⎥ ⎥⎢ ⎥ a55 a56 ⎦ ⎣ 2ε31 ⎦ a65 a66 2ε12

(2.59)

schreibt. Die Elastizit¨ atskonstanten aij und Eijkl lassen sich durch Vergleich ineinander u uhren. So gelten zum Beispiel a11 = ¨berf¨ E1111 , a12 = E1122 oder a16 = (E1112 + E1121 )/2 = E1112 . In Abschnitt 2.3.3 werden wir zeigen, dass die Matrix aij symmetrisch ist: aij = aji . Damit gibt es im allgemeinen Fall der Anisotropie 21 unabh¨ angige Elastizit¨ atskonstanten. 2.3.2 Isotropie

Ein isotropes Material verh¨ alt sich in allen Richtungen gleich. Dies bedeutet, dass sich die Komponenten des Elastizitätstensors Eijkl bei einer Drehung des Koordinatensystems nicht a¨ndern d¨ urfen. Man kann zeigen, dass der einzige Tensor 4. Stufe, der diese Eigenschaft besitzt, durch Eijkl = λ δij δkl + μ(δik δjl + δil δjk ) + κ(δik δjl − δil δjk ) (2.60) gegeben ist, wobei λ, μ, κ Konstanten sind. Ber¨ ucksichtigt man, dass die Indizes i, j bzw. k, l vertauschbar sind, so fällt der zweite Klammerausdruck weg, und es bleibt Eijkl = λ δij δkl + μ(δik δjl + δil δjk ) .

(2.61)

2.3


105

Danach sind die Komponenten des Elastizit¨ atstensors durch die zwei unabh¨ angigen elastischen Konstanten λ und μ bestimmt. Einsetzen von (2.61) in (2.58) liefert das Elastizitätsgesetz σij = λ δij δkl εkl + μ (δik δjl εkl + δil δjk εkl ) = λ εkk δij + μ (εij + εji )

→ σij = λ εkk δij + 2μ εij .

(2.62)

Unter Verwendung der Achsenbezeichnungen x, y, z und der Notation σx , τxy , εx , γxy /2 etc. an Stelle von σ11 , σ12 , ε11 , ε12 etc. lautet es ausgeschrieben σx = λ(εx + εy + εz ) + 2μ εx , τxy = μγxy , σy = λ(εx + εy + εz ) + 2μ εy ,

τyz = μγyz ,

σz = λ(εx + εy + εz ) + 2μ εz ,

τzx = μγzx .

(2.63)

Die Elastizit¨ atskonstanten λ und μ heißen nach Gabriel Lamé (1795–1870) Lamésche Konstanten. Durch Vergleich mit dem Elastizit¨ atsgesetz f¨ ur die Schubspannung τxy = Gγxy nach Band 2, Abschnitt 3.2 stellt man fest, dass μ gleich dem Schubmodul G ist: μ = G. L¨ ost man (2.63) nach den Verzerrungen auf, so ergibt sich (Band 2, Abschnitt 3.2) 1 2(1 + ν) 1 [σx − ν(σy + σz )] , γxy = τxy = τxy , E E G 1 2(1 + ν) 1 τyz = τyz , εy = [σy − ν(σz + σx )] , γyz = E E G 1 2(1 + ν) 1 τzx = τzx , εz = [σz − ν(σx + σy )] , γzx = E E G

εx =

(2.64)

atsmodul und ν = wobei E = μ(3λ + 2μ)/(λ + μ) der Elastizit¨ λ/2(λ + μ) die Querkontraktionszahl (Poissonsche Zahl) sind. In Indexschreibweise l¨ asst sich (2.64) in kompakter Form schreiben: εij =

1+ν ν σij − σkk δij E E

(2.65)

106


Es gibt noch eine weitere M¨ oglichkeit, das Elastizitätsgesetz f¨ ur ein isotropes Material zu formulieren. Hierzu bilden wir zunächst durch Gleichsetzen der Indizes i“ und j“ in (2.62) die Span” ” nungssumme: σii = λ εkk 3 + 2 μ εii → σkk = (3λ + 2μ)εkk .

(2.66)

Dies stellt wegen σkk /3 = σm und εkk = εv (vgl. (2.26), (2.51)) eine Beziehung zwischen der mittleren Spannung und der Volumendehnung dar: σm = Kεv

bzw.

σkk = 3Kεkk .

(2.67)

Die Konstante K = (3λ + 2μ)/3 nennt man Kompressionsmodul. Wir bilden nun unter Verwendung von (2.62), (2.66) und (2.53) die Deviatorspannungen nach (2.28): sij = σij − 13 σkk δij = λ εkk δij + 2 μ εij − λ + 23 μ εkk δij = 2μ 13 εkk δij + eij − 23 μ εkk δij →

sij = 2μeij .

(2.68)

Die Deviatorspannungen sind danach proportional zu den entsprechenden Deviatorverzerrungen. Mit (2.67) und (2.68) liegt das Elastizit¨ atsgesetz getrennt f¨ ur die Volumen¨ anderung und f¨ ur die Gestalt¨ anderung vor. Aus der direkten Proportionalit¨ at von sij und eij nach (2.68) folgt, dass die Hauptachsen von sij und eij u ¨bereinstimmen. Dies trifft dann auch f¨ ur σij und εij zu, da deren Hauptachsen mit denen ihrer Deviatoren zusammenfallen. Damit kann man (2.64) auch im (gemeinsamen) Hauptachsensystem schreiben: E ε1 = σ1 − ν(σ2 + σ3 ) , E ε3 = σ3 − ν(σ1 + σ2 ) .

E ε2 = σ2 − ν(σ3 + σ1 ) ,

(2.69)

Zum Abschluss seien im folgenden einige Beziehungen zwischen den verschiedenen Elastizit¨ atskonstanten zusammengestellt:

2.3


107

λ E μ(3λ + 2μ) , ν= , G=μ= , λ+μ 2(λ + μ) 2(1 + ν) (2.70) E νE 2 , λ= . K =λ+ μ= 3 3(1 − 2ν) (1 + ν)(1 − 2ν)

E=

Beispiel 2.8 F¨ ur das Beispiel 2.5 sind die Verzerrungen im Punkt C zu bestimmen. Wie groß ist dort die Volumendehnung? L¨ osung Im Punkt C (x1 = 0, x2 = h) lauten die Spannungen

pu − gh , tan2 α = σ23 = σ31 = 0 .

σ11 = − pu ,

σ22 =

σ33 = ν(σ11 + σ22 ) ,

σ12

Nach (2.64) erh¨ alt man damit f¨ ur die Verzerrungen ν 1+ν −pu 1 − ν + + νgh , ε11 = E tan2 α

1+ν 1−ν −pu + ν − (1 − ν)gh , ε22 = E tan2 α ε33 = ε12 = ε23 = ε31 = 0 . Die Volumendehnung folgt daraus zu εv = ε11 + ε22 + ε33 =

1 (1 + ν)(1 − 2ν) − pu 1 − − gh . E tan2 α

Dieses Ergebnis kann man auch nach (2.67) mit σ33 = ν(σ11 +σ22 ) unmittelbar aus den Spannungen erhalten: 1+ν σkk = (σ11 + σ22 ) 3K 3K 1 (1 + ν)(1 − 2ν) − pu 1 − = − gh . 2 E tan α

εv =

2.3.3 Form¨ anderungsenergiedichte

Bei der Deformation eines elastischen K¨ orpers verrichten die inneren Kr¨ afte (Spannungen) eine Arbeit. Um sie zu bestimmen, betrachten wir das Volumenelement nach Abb. 2.15, bei dem der

B2.8

108


¨ Ubersichtlichkeit halber nur die Belastung durch die Spannung σ11 dargestellt ist. Eine infinitesimale Dehnungsänderung dε11 f¨ uhrt zu einer Verl¨ angerung dε11 dx1 der Elementlänge in x1 Richtung. Da man die Kraft σ11 dx2 dx3 bei dieser infinitesimalen Verr¨ uckung als konstant ansehen kann, verrichtet sie dabei die Arbeit σ11 dε11 dx1 dx2 dx3 . Entsprechende Arbeitsanteile werden von den anderen Spannungskomponenten bei den zugehörigen Verzerrungs¨ anderungen geleistet. Bezieht man diese Arbeit auf das Voalt man lumen dx1 dx2 dx3 , so erh¨ dW = σ11 dε11 + σ12 dε12 + σ13 dε13 + σ21 dε21 + · · · = σij dεij .

(2.71)

Die gesamte Arbeit (pro Volumeneinheit), die bei einer Deformation von einem verzerrungslosen Ausgangszustand bis zu einem Verzerrungszustand εij verrichtet wird, ergibt sich hieraus durch Integration:

εij εij . (2.72) W = σij d¯ 0

Man nennt W die spezifische Form¨ anderungsarbeit. Von einem elastischen K¨ orper fordert man, dass W nur vom akangt, also unabhängig davon tuellen Verzerrungszustand εij abh¨ ist, auf welchem Weg (z.B. durch monoton zunehmende Deformation oder durch Entlastung nach gr¨ oßerer Deformation) dieser erreicht wurde. Dies ist nur dann m¨ oglich, wenn im Arbeitsinteandiges Differential ist: gral (2.72) der Ausdruck σij dεij ein vollst¨ σij dεij = dU . In diesem Fall folgt aus (2.72) – wie gefordert –

Abb. 2.15

2.3

W =

εij 0


109

dU = U (εij ). Mit

σij dεij = dU =

∂U dεij ∂εij

ergibt sich dann σij =

∂U . ∂εij

(2.73)

Analog zu einer konservativen Kraft lassen sich danach die Spannungen im elastischen Fall aus einem Potential (Energie) ableiten (vgl. Band 1, Abschn. 8.1 und Band 3, Abschn. 1.2.7). Dementanderungssprechend bezeichnet man U (εij ) als spezifische Form¨ energie oder spezifisches elastisches Potential. Aufgrund von (2.73) reduziert sich beim linear elastischen Material die Zahl der Elastizit¨ atskonstanten. Bildet man nämlich die zweite Ableitung der Form¨ anderungsenergie und ber¨ ucksichtigt, dass die Reihenfolge der Differentiationen vertauschbar ist, so ergibt sich ∂2U ∂2U = ∂εij ∂εkl ∂εkl ∂εij

→

∂σij ∂σkl = . ∂εkl ∂εij

Hieraus folgt mit (2.58) bzw. mit (2.59) Eijkl = Eklij

bzw.

aij = aji ,

(2.74)

d.h. die Elastizit¨ atsmatrix aij ist, wie schon in Abschnitt 2.3.1 erw¨ ahnt, symmetrisch. Die Form¨ anderungsenergie f¨ ur das linear elastische Material l¨ asst sich bestimmen, indem man (2.58) in (2.72) einsetzt. Die Integration liefert als Ergebnis f¨ ur U eine homogene quadratische Form in den Verzerrungen:

εij 1 εij → U = Eijkl εkl εij . (2.75a) U = Eijkl ε¯kl d¯ 2 0

Die Richtigkeit dieses Ergebnisses kann man unter Verwendung von (2.74) durch Ableiten pr¨ ufen:

110


∂U = 12 Eijkl (δrk δsl εij + εkl δri δsj ) ∂εrs = 12 (Eijrs εij + Erskl εkl )

σrs =

= 12 (Ersij εij + Ersij εij ) = Ersij εij . Setzt man (2.58) in (2.75a) ein, so l¨ asst sich die Formänderungsenergie auch schreiben als U=

1 σij εij . 2

(2.75b)

Spaltet man den Spannungs- und den Verzerrungstensor gemäß (2.28), (2.53) auf, so ergibt sich daraus (beachte: δij δij = δii = 3) U = 12 13 σkk δij + sij 13 εll δij + eij = 16 σkk εll + 12 sij eij = Uv + Ug .

(2.75c)

andeDer erste Anteil Uv = σkk εll /6 = σm εv /2 heißt Volumen¨ anderungsrungsenergie, der zweite Anteil Ug = sij eij /2 Gestalt¨ alt man mit (2.67), (2.50), (2.68) energie. Im isotropen Fall erh¨ und (2.70) f¨ ur diese Gr¨ oßen Uv =

1 2

K εkk εll =

1 2

K ε2v ,

Ug = Geij eij .

(2.76)

Man kann zeigen, dass die Form¨ anderungsenergie (2.75a) positiv definit ist. Das heißt, dass U f¨ ur jeden beliebigen Verzerrungsoßer als Null ist: U (εij ) > 0. F¨ ur beliebige zustand εij = 0 gr¨ Verzerrungen ist dies nur m¨ oglich, wenn sowohl Uv > 0 als auch Ug > 0 sind. Aus (2.76) ergeben sich damit die folgenden Einschr¨ ankungen f¨ ur die elastischen Konstanten: G=

E > 0, 2(1 + ν)

⎫ ⎪ ⎪ ⎬

⎪ E ⎭ K= > 0⎪ 3(1 − 2ν)

→ E > 0, −1 ≤ ν ≤

1 . 2

(2.77)

Danach sind negative Querkontraktionszahlen durchaus zulässig; sie treten zum Beispiel bei bestimmten Schaumstoffen auf. Bei den

2.3


111

meisten Werkstoffen ist ν allerdings positiv. F¨ ur ν = 1/2 ergibt sich K → ∞, d.h. das Material ist dann inkompressibel. Wir kommen nun nochmals auf das Elastizitätsgesetz in der Form (2.59) zur¨ uck, wobei wir beachten, dass die Elastizitätsmatrix symmetrisch ist: aij = aji . In der praktischen Anwendung hat man es bei anisotropem Materialverhalten meist mit Sonderfällen zu tun, bei denen sich die Zahl der Elastizit¨ atskonstanten weiter verringert. Ein wichtiges Beispiel hierzu ist die Orthotropie (orthogonal anisotropes Verhalten), welche durch drei senkrecht aufeinander stehende Vorzugsrichtungen ausgezeichnet ist. Lässt man die Koordinatenachsen mit den Vorzugsachsen zusammenfallen, so lautet das Elastizit¨ atsgesetz in diesem Fall ⎛

σ11

⎞

⎛

a11 a12 a13 0

0

a22 a23 0

0

⎜ ⎟ ⎜ ⎜ σ22 ⎟ ⎜ a12 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ σ33 ⎟ ⎜ a13 ⎜ ⎟=⎜ ⎜ σ23 ⎟ ⎜ 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ σ31 ⎠ ⎝ 0

0

⎞⎛

ε11

⎞

⎟⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎟ ⎜ ε22 ⎟ ⎟⎜ ⎟ a23 a33 0 0 0 ⎟ ⎜ ε33 ⎟ ⎟⎜ ⎟. ⎟ ⎜ 0 0 a44 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ 2ε23 ⎟ ⎟⎜ ⎟ 0 0 0 a55 0 ⎠ ⎝ 2ε31 ⎠ 2ε12 0 0 0 0 0 a66

σ12

(2.78)

Hier treten 9 unabh¨ angige Elastizit¨ atskonstanten auf. Ein anderes Beispiel ist das Elastizit¨ atsgesetz f¨ ur das sogenannte monokline Material, bei dem 13 unabh¨ angige Konstanten auftreten: ⎛

σ11

⎞

⎛

a11 a12 a13 0

⎜ ⎟ ⎜ ⎜ σ22 ⎟ ⎜ a12 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ σ33 ⎟ ⎜ a13 ⎜ ⎟=⎜ ⎜ σ23 ⎟ ⎜ 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ σ31 ⎠ ⎝ 0 σ12

a16

0 a16

⎞⎛

ε11

⎞

⎟⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 0 a26 ⎟ ⎟ ⎜ ε22 ⎟ ⎟⎜ ⎟ a23 a33 0 0 a36 ⎟ ⎜ ε33 ⎟ ⎟⎜ ⎟. ⎟ ⎜ 0 0 a44 a45 0 ⎟ ⎟ ⎜ 2ε23 ⎟ ⎟⎜ ⎟ 0 0 a45 a55 0 ⎠ ⎝ 2ε31 ⎠ a26 a36 0 0 a66 2ε12 a22 a23 0

(2.79)

Anwendung finden beide Stoffgesetze insbesondere bei faserverst¨ arkten Kunststoffen und bei Laminaten. 2.3.4 Temperaturdehnungen

Erfährt ein unbelasteter K¨ orper eine Temperaturänderung ΔT , so f¨ uhrt dies bei einem isotropen Material zu keinen Winkelände-

112


rungen sondern nur zu allseitig gleichen Dehnungen, die in erster N¨ aherung proportional zu ΔT sind (vgl. Band 2, Abschn. 3.2): εT11 = εT22 = εT33 = αT ΔT

bzw.

εTij = αT ΔT δij .

(2.80)

Darin ist αT der thermische Ausdehnungskoeffizient. Unterliegt das Material zus¨ atzlich einer mechanischen Beanspruchung durch Spannungen, so folgt die Gesamtverzerrung aus der Summe des mechanischen und des thermischen Anteils. Mit (2.65) lautet dann das Elastizit¨ atsgesetz εij =

1+ν ν σij − σkk δij + αT ΔT δij E E

(2.81a)

bzw. ausgeschrieben 1 2(1 + ν) [σx − ν(σy + σz )] + αT ΔT , γxy = τxy = E E 1 2(1 + ν) τyz = εy = [σy − ν(σz + σx )] + αT ΔT , γyz = E E 1 2(1 + ν) τzx = εz = [σz − ν(σx + σy )] + αT ΔT , γzx = E E

εx =

1 τxy , G 1 τyz , (2.81b) G 1 τzx . G

Wenn das Material anisotrop ist, dann gilt f¨ ur die Temperaturdehnungen allgemein T ΔT . εTij = αij

(2.82)

T Komponenten eines Tensors, die Hier sind die Koeffizienten αij T ur die drei senkrecht aufaus den drei Hauptwerten α1 , α2T , α3T f¨ einander stehenden Hauptrichtungen bestimmbar sind (vgl. auch Hauptspannungen).

B2.9

Beispiel 2.9 Wie groß sind die Spannungen bzw. die Dehnungen in einem isotropen K¨ orper, der eine Temperaturänderung ΔT erf¨ ahrt, f¨ ur die F¨ alle a) εx = εy = εz = 0, b) εx = εy = 0, σz = 0, c) εx = 0, σy = σz = 0? L¨ osung Die gesuchten Spannungen und Dehnungen folgen aus dem Elastizit¨ atsgesetz (2.81b):

2.4

Grundgleichungen

113

a)

⎫ σx − ν(σy + σz ) = − EαT ΔT ⎪ ⎬ σy − ν(σz + σx ) = − EαT ΔT σz − ν(σx + σy ) = − EαT ΔT

⎪ ⎭

b)

⎫ ⎪ ⎬

σx − νσy = − EαT ΔT σy − νσx = − EαT ΔT εz = − ν(σx + σy )/E + αT ΔT

c) εy = − νσx /E + αT ΔT

/

εz = − νσx /E + αT ΔT

⎪ ⎭

→ σx = σy = σz = −

→ σx = σ y = − εz =

EαT ΔT . 1 − 2ν

EαT ΔT , 1−ν

1+ν α ΔT . 1−ν T

σx = − EαT ΔT , → εy = εz = (1 + ν)αT ΔT .

F¨ ur ν > 0 tritt die gr¨ oßte Spannung im Fall a) und die größte Dehnung im Fall b) auf. 2.4

2.4 Grundgleichungen Wir wollen an dieser Stelle die Grundgleichungen der linearen Elastizit¨ atstheorie zusammenfassen. Sie bestehen aus den Gleichgewichtsbedingungen (2.30a) σij,j + fi = 0 ,

(2.83a)

dem Elastizit¨ atsgesetz (hier f¨ ur isotropes Material in der Form von Gleichung (2.62)) σij = λ εkk δij + 2μ εij

(2.83b)

und den kinematischen Beziehungen (2.46) εij = 12 (ui,j + uj,i ) .

(2.83c)

Letztere k¨ onnen auch durch die Kompatibilit¨ atsbedingungen nach Abschnitt 2.2.3 ersetzt werden. Mit (2.83a-c) stehen 15 Gleichun-

114


gen f¨ ur die 15 Unbekannten (6 Spannungen, 6 Verzerrungen, 3 Verschiebungen) zur Verf¨ ugung. Hinzu kommen die Randbedingungen. Diese k¨ onnen als Spannungsrandbedingungen (2.31a) σij nj = t∗i auf At

(2.84a)

oder als Verschiebungsrandbedingungen ui = u∗i auf Au

(2.84b)

gegeben sein. Dabei kennzeichnen der Stern die gegebene Größe und At bzw. Au den Rand, entlang dessen die entsprechende Größe vorgegeben ist. In verschiedenen F¨ allen ist es vorteilhaft, die Grundgleichungen entweder nach den Verschiebungen oder nach den Spannungen aufzul¨ osen. So lassen sich durch Einsetzen von (2.83b) und (2.83c) in (2.83a) die Spannungen und die Verzerrungen eliminieren. Man erh¨ alt dann die Verschiebungsdifferentialgleichungen (λ + μ)uj,ji + μ ui,jj + fi = 0 .

(2.85)

Sie werden auch Naviersche oder Lamésche Gleichungen genannt (Claude-Louis Navier, 1785–1836). Damit ist das Problem auf 3 Gleichungen f¨ ur die 3 Verschiebungen reduziert. Die Differentialgleichungen (2.85) sind daf¨ ur aber von h¨ oherer Ordnung. Sollen die Grundgleichungen nach den Spannungen aufgelöst werden, so muss man anstelle von (2.83c) die Kompatibilitätsbedingungen benutzen. Die sich in diesem Fall ergebenden Gleichungen bezeichnet man als Spannungsdifferentialgleichungen oder als BeltramiMichell-Gleichungen (Eugenio Beltrami, 1835–1900; John Henry Michell, 1863–1940). Auf ihre Angabe wollen wir hier verzichten. Die L¨ osung eines dreidimensionalen Problems der Elastizitätstheorie ist nur in wenigen Sonderf¨ allen in analytischer Form möglich. Meist k¨ onnen L¨ osungen nur mit Hilfe numerischer Methoden erzielt werden. Viele technische Aufgabenstellungen lassen sich allerdings als ebene Probleme behandeln. Dann kann eine analytische L¨ osung noch in vielen F¨ allen gewonnen werden. Da die Gleichungen (2.83) linear sind, gilt das Superpositi-

2.5 (1)

(1)

(1)

Ebene Probleme (2)

(2)

115 (2)

onsprinzip. Sind danach σij , εij , ui und σij , εij , ui jeweils L¨ osungen von (2.83), so ist auch jede Linearkombination (1) (2) (1) (2) (1) (2) a σij + b σij , a εij + b εij , a ui + b ui mit beliebigen Konstanten a und b eine L¨ osung. Dies kann man in vielen Fällen bei der Behandlung von Problemen ausnutzen.

2.5 Ebene Probleme Wir wollen uns hier mit einigen ebenen Problemen befassen. Dabei beschr¨ anken wir uns auf isotropes Material bei konstanter Temperatur. 2.5.1 Ebener Spannungszustand, ebener Verzerrungszustand

Ein ebenes Bauteil, dessen Dicke t klein ist gegen¨ uber seinen Abmessungen in der Ebene und das nur durch Kr¨ afte in der Ebene belastet wird, nennt man eine Scheibe (Abb. 2.16a). Verwenden wir die in der Abbildung eingezeichneten Koordinaten, so gilt an der unbelasteten oberen bzw. unteren Deckfl¨ ache σz = τzx = τzy = 0. Von diesen Spannungskomponenten k¨ onnen wir in guter Näherung annehmen, dass sie auch im Innern u ¨berall klein und vernachl¨ assigbar im Vergleich zu den anderen Spannungskomponenten sind. Wir setzen dementsprechend in der gesamten Scheibe σz = τxz = τyz = 0. Es bleiben dann nur die Spannungskompoangen nur von x und y ab. Man nenten σx , σy und τxy . Diese h¨ spricht in diesem Fall von einem ebenen Spannungszustand (ESZ).

Abb. 2.16

Die Grundgleichungen des ESZ k¨ onnen wir aus den Gleichungen des dreiachsigen Falles erhalten. So folgen aus (2.64) das Elastizit¨ atsgesetz εx =

1 1 2(1 + ν) (σx − νσy ) , εy = (σy − νσx ) , γxy = τxy (2.86a) E E E

2.5

116


ν sowie γxz = γyz = 0 und εz = −ν(σx + σy )/E = − 1−ν (εx + εy ). Letzteres zeigt, dass im ESZ zwar eine Querdehnung εz auftritt, die aber durch εx , εy festgelegt ist. Das Elastizitätsgesetz (2.86a) kann man auch in anderer Form schreiben. Löst man nach den Spannungen auf, dann erh¨ alt man

E E (εx + ν εy ) , σy = (εy + ν εx ) , 1 − ν2 1 − ν2 E γxy . = 2(1 + ν)

σx = τxy

(2.86b)

Von den kinematischen Beziehungen (2.48c) werden nur die Gleichungen εx =

∂u , ∂x

εy =

∂v , ∂y

γxy =

∂u ∂v + ∂y ∂x

(2.87)

ben¨ otigt. Die Gleichgewichtsbedingungen (2.30b) vereinfachen sich mit fz = 0 zu ∂τxy ∂σx + + fx = 0 , ∂x ∂y

∂σy ∂τxy + + fy = 0 , ∂x ∂y

(2.88)

und die Kompatibilit¨ atsbedingung lautet (vgl. Abschn. 2.2.3) ∂ 2 εy ∂ 2 γxy ∂ 2 εx . + = 2 2 ∂y ∂x ∂x∂y

(2.89)

Ein ebener Verzerrungszustand (EVZ) liegt vor, wenn die Verschiebungskomponente w in z-Richtung u ¨berall Null ist und die beiden anderen Komponenten u, v nicht von z abhängen: w = 0 , u = u(x, y) , v = v(x, y) .

(2.90)

Ein solcher Zustand tritt in Bauteilen auf, deren Form und Belastung sich in z-Richtung nicht ¨ andert und bei denen eine Längenänderung in z-Richtung durch eine geeignete Lagerung verhindert ist. Ein Beispiel hierf¨ ur ist das dickwandige Rohr unter Innendruck p nach Abb. 2.16b, das sich in L¨ angsrichtung nicht ausdehnen kann. Nach (2.48c) werden im EVZ εz = γxz = γyz = 0, und f¨ ur die verbleibenden Verzerrungen εx , εy , γxy gelten die kinematischen Beziehungen (2.87). Damit liefert (2.64) zunächst

2.5

Ebene Probleme

117

τxz = τyz = 0 und σz = ν(σx + σy ). Im EVZ tritt zwar eine Spannung σz auf, die aber durch σx , σy bestimmt ist. Eliminiert man σz aus den verbleibenden Gleichungen in (2.64), so ergibt sich das Elastizit¨ atsgesetz zu 1 − ν2 ν 1 − ν2 ν σx − σy , εy = σy − σx , εx = E 1−ν E 1−ν 2(1 + ν) τxy . (2.91a) γxy = E Wenn man die Bezeichnungen E = E/(1−ν 2 ) und ν = ν/(1−ν) einf¨ uhrt, dann kann es auch analog zu (2.86a) in der Form εx =

1 1 2(1+ν ) (σ −ν σ ) , ε = (σ −ν σ ) , γ = τxy (2.91b) x y y y x xy E E E

geschrieben werden. Da die Verschiebungen nicht von z abhängen, h¨ angen auch alle auftretenden Verzerrungen und Spannungen nur von x und y ab. Damit gelten wie im ESZ die Gleichgewichtsbedingungen (2.88). Auch die Kompatibilit¨ atsbedingung ist im EVZ genau wie im ESZ durch (2.89) gegeben. Der einzige Unterschied zwischen den Grundgleichungen des ESZ und des EVZ besteht daher in den Konstanten, welche in den Elastizit¨ atsgesetzen (2.86a) und (2.91b) auftreten. Demnach kann man aus der Lösung eines Problems des ESZ die L¨ osung f¨ ur das entsprechende Problem des EVZ erhalten, indem man den Elastizit¨ atsmodul E durch E und die Querdehnzahl ν durch ν ersetzt. Aus diesem Grund können wir uns auf die Behandlung des ebenen Spannungszustandes beschr¨ anken. Mit (2.86), (2.87) und (2.88) stehen 8 Gleichungen f¨ ur die 8 Unbekannten (2 Verschiebungen, 3 Verzerrungen, 3 Spannungen) zur Verf¨ ugung. Eliminiert man die Verzerrungen und die Spannungen, indem man (2.86b) mit (2.87) in (2.88) einsetzt, so erhält man 2 Gleichungen, die nur noch die Verschiebungen u, v enthalten. Dies sind die Verschiebungsdifferentialgleichungen f¨ ur das ebene Problem (vgl. auch (2.85)). Eine andere Möglichkeit das Problem zu formulieren, besteht darin, die Grundgleichungen nach den Spannungen aufzul¨ osen. Dies gelingt, wenn man anstelle der kinematischen Beziehungen (2.87) die Kompatibilitätsbedingung

118


(2.89) verwendet. Man erh¨ alt dann die Spannungsdifferentialgleichungen. Diese Formulierung ist insbesondere dann zweckmäßig, wenn man nur an den Spannungen interessiert ist und wenn ausschließlich Spannungsrandbedingungen vorliegen. 2.5.2 Spannungs-Differentialgleichungen, Spannungsfunktion

F¨ ur das weitere wollen wir voraussetzen, dass die Volumenkräfte orper nur durch Randlasten belasfx , fy Null sind, d.h. dass der K¨ tet ist. Als kinematische Beziehung verwenden wir die Kompatibilit¨ atsbedingung (2.89). Eliminiert man aus ihr die Verzerrungen mit Hilfe des Elastizit¨ atsgesetzes (2.86a), so erhält man zunächst ∂ 2 σy ∂ 2 σy ∂ 2 σx ∂ 2 τxy ∂ 2 σx . −ν + −ν = 2(1 + ν) 2 2 2 2 ∂y ∂y ∂x ∂x ∂x∂y Es ist zweckm¨ aßig, diese Gleichung in eine andere Form zu bringen. Dazu differenzieren wir in (2.88) unter Beachtung von fx = fy = 0 die erste Gleichgewichtsbedingung nach x, die zweite Gleichgewichtsbedingung nach y und addieren anschließend: ∂ 2 τxy ∂ 2 σx ∂ 2 σy ∂ 2 τxy ∂ 2 σy ∂ 2 σx =0 → 2 =− + +2 − . 2 2 2 ∂x ∂y ∂x∂y ∂x∂y ∂x ∂y 2 Damit kann die Kompatibilit¨ atsbedingung in der Form ∂ 2 σx ∂ 2 σy ∂ 2 σy ∂ 2 σx + + + =0 ∂x2 ∂y 2 ∂x2 ∂y 2 bzw. Δ(σx + σy ) = 0

(2.92)

geschrieben werden, wobei Δ=

∂2 ∂2 + 2 2 ∂x ∂y

(2.93)

der (ebene) Laplace-Operator ist. Eine Gleichung vom Typ Δ(.) = 0 heißt Potentialgleichung. Nach (2.92) erf¨ ullt also die Spannungssumme σx + σy die Potentialgleichung. Die Gleichung (2.92) bildet zusammen mit den Gleichgewichtsbedingungen (2.88)

2.5

Ebene Probleme

119

ein System von 3 Gleichungen f¨ ur die drei Spannungskomponenten σx , σy , τxy . Die Zahl der Gleichungen l¨ asst sich weiter reduzieren, wenn man eine Funktion F (x, y) einf¨ uhrt, aus der sich die Spannungen nach folgender Vorschrift berechnen lassen: σx =

∂2F , ∂y 2

σy =

∂2F , ∂x2

τxy = −

∂2F . ∂x∂y

(2.94)

Dann werden die Gleichgewichtsbedingungen (2.88) f¨ ur fx = ullt. Die Kompatibilit¨ atsbedingung (2.92) erhält fy = 0 identisch erf¨ mit σx + σy = ΔF die Form ΔΔF = 0

(2.95)

bzw. mit (2.93) ∂4F ∂4F ∂4F +2 2 2 + = 0. 4 ∂x ∂x ∂y ∂y 4

(2.96)

Damit ist das ebene Problem auf eine einzige partielle Differentialgleichung vierter Ordnung zur¨ uckgef¨ uhrt, die man als Bipotentialgleichung oder als Scheibengleichung bezeichnet. Die Funktion F (x, y) nennt man nach George Biddell Airy (1801–1892) die Airysche Spannungsfunktion. Die Bipotentialgleichung (2.95) ist unabh¨ angig vom speziellen Koordinatensystem g¨ ultig. Verwendet man zum Beispiel Polarkoordinaten, so hat man dann den Laplace-Operator in Polarkoordinaten Δ=

∂2 1 ∂2 1 ∂ + 2 + 2 ∂r r ∂ϕ2 r ∂r

(2.97)

zu benutzen. In diesem Fall lassen sich die Spannungskomponenten folgendermaßen aus der Spannungsfunktion F (r, ϕ) herleiten: 1 ∂ 2 F 1 ∂F ∂2F ∂ 1 ∂F , σ . (2.98) σr = 2 + = , τ = − ϕ rϕ r ∂ϕ2 r ∂r ∂r2 ∂r r ∂ϕ Durch Einsetzen kann man sich davon u ¨berzeugen, dass hiermit

120


die Gleichgewichtsbedingungen (2.32a,b) f¨ ur fr = fϕ = 0 identisch erf¨ ullt werden. Eine allgemeine L¨ osung der Bipotentialgleichung ist nicht bekannt. Es ist jedoch m¨ oglich, spezielle L¨ osungen herzuleiten; in Tabelle 2.1 sind einige L¨ osungen zusammengestellt. Erf¨ ullen diese die Randbedingungen, so ist das entsprechende ebene Problem bez¨ uglich der Spannungen gel¨ ost. Wenn man auch an den Verschiebungen interessiert ist, so m¨ ussen diese in Verbindung mit dem Elastizit¨ atsgesetz aus den Verzerrungen durch Integration gewonnen werden. Tabelle 2.1 L¨ osungen von ΔΔF = 0

Koord.

F

x, y

1, x, x2 , x3 , xy, x2 y, x3 y, x4 y − x2 y 3 , x4 − 3 x2 y 2 , x5 − 5 x3 y 2 ,

x5 y − (5/3) x3 y 3 , x6 − 10 x4 y 2 + 5 x2 y 4

e±λy cos λ x, xe±λy cos λx, ln (x2 + y 2 ), x ln (x2 + y 2 ), x ↔ y vertauschbar, r, ϕ

cos(.) ↔ sin(.) austauschbar

1, r2 , ln r, r2 ln r, ϕ, ϕ2 , ϕ3 , r2 ϕ, ϕ ln r, r2 ϕ ln r, r ln r cos ϕ, (An rn + Bn r−n + Cn rn+2 + Dn r−n+2 ) cos n ϕ (n = 1, 2, 3, . . .)

cos(.) ↔ sin(.) austauschbar

Wir betrachten noch den Sonderfall, dass die Spannungsfunktion in Polarkoordinaten unabh¨ angig vom Winkel ϕ ist (Rotationssymmetrie): F = F (r). Dann vereinfacht sich der Laplaced2 1 d Operator zu Δ = dr 2 + r dr , und die Scheibengleichung nimmt die Form einer Eulerschen Differentialgleichung 2 d3 F 1 d2 F 1 dF d4 F =0 + − + 3 4 3 2 2 dr r dr r dr r dr

(2.99)

2.5

Ebene Probleme

121

an. Ihre allgemeine L¨ osung lautet F = C0 + C1 lnr + C2 r2 + C3 r2 lnr .

(2.100)

Hieraus folgen mit (2.98) die Spannungen C1 + 2C2 + C3 (1 + 2 lnr) , r2 C1 σϕ = − 2 + 2C2 + C3 (3 + 2 lnr) , r σr =

(2.101)

τrϕ = 0 . 2.5.3 Anwendungsbeispiele 2.5.3.1 Einfache Spannungszust¨ ande

a) Ein einachsiger Zug σ0 in x-Richtung (Abb. 2.17a) wird durch amlich nach (2.94) F = σ0 y 2 beschrieben. Hieraus folgen n¨ σx = σ 0 ,

σy = τxy = 0 .

b) Aus der Funktion F = Cy 3 /6 ergeben sich die Spannungen σx = Cy ,

σy = τxy = 0 .

Solch eine lineare Verteilung von σx tritt zum Beispiel bei der reinen Biegung eines Balkens auf (Abb. 2.17b). uhrt mit (2.100) und c) Die Spannungsfunktion F = C1 ln r f¨ (2.101) auf C1 τrϕ = 0 . σ r = − σϕ = 2 , r Hiermit l¨ asst sich die L¨ osung f¨ ur ein Kreisloch im unendlichen Gebiet unter dem Innendruck p0 (Abb. 2.17c) sofort angeben. Aus

Abb. 2.17

122


der Randbedingung σr (a) = −p0 folgt n¨ amlich C1 = −p0 a2 und damit f¨ ur die Spannungen a2 , τrϕ = 0 . r2 Die Spannungen klingen hiernach mit wachsendem r sehr schnell ab; sie betragen bei r = 10 a nur noch ein Hundertstel des Randwertes. Aus diesem Grund kann man in guter Näherung annehmen, dass die Spannungen in hinreichender Entfernung vom Loch (z.B. 5-facher Lochdurchmesser) vernachl¨ assigbar sind. Dementsprechend kann diese L¨ osung auch f¨ ur ein endliches Gebiet verwendet werden, sofern die Berandung nur hinreichend weit vom Loch entfernt ist. σ r = − σ ϕ = − p0

d) Aus der Funktion F = Cϕ ergibt sich nach (2.98) f¨ ur die Spannungen C τrϕ = 2 . σr = σϕ = 0 , r Analog zum vorhergehenden Beispiel erh¨ alt man nun mit der Randbedingung τrϕ (a) = τ0 die L¨ osung a2 r2 f¨ ur ein Kreisloch in der Ebene unter konstanter Randschubspannung τ0 (Abb. 2.17d). Diese bewirkt ein resultierendes Moment der Gr¨ oße M = 2πa2 tτ0 , wobei t die Dicke der Scheibe ist. σr = σ ϕ = 0 ,

τrϕ = τ0

2.5.3.2 Balken unter konstanter Belastung

Wir betrachten nun den Balken“ mit Rechteckquerschnitt unter ” konstanter Belastung p nach Abb. 2.18a. Aufgrund der vorhandenen Symmetrie w¨ ahlen wir f¨ ur F einen Ansatz, der symmetrisch

Abb. 2.18

2.5

Ebene Probleme

123

in x und nichtsymmetrisch in y ist und der die Scheibengleichung erf¨ ullt (vgl. Tabelle 2.1): F (x, y) = C1 x2 + C2 x2 y + C3 y 3 + C4 (x4 y − x2 y 3 ) + C5 (y 5 − 5 y 3 x2 ) . Hieraus folgen mit (2.94) die Spannungen σx = 6 C3 y − 6 C4 x2 y + C5 (20 y 3 − 30 y x2 ) , σy = 2 C1 + 2 C2 y + C4 (12 x2 y − 2 y 3 ) − 10 C5 y 3 , τxy = − 2 C2 x − C4 (4 x3 − 6 x y 2 ) + 30 C5 y 2 x . Die Konstanten Ci werden aus den Randbedingungen berechnet. Dabei verlangen wir, dass diese am oberen bzw. am unteren Rand exakt erf¨ ullt werden. Am rechten bzw. am linken Balkenende k¨ onnen wir die Randbedingungen mit dem gewählten Ansatz nicht exakt erf¨ ullen. Wir begn¨ ugen uns daher damit, sie in integraler Form (im Mittel) zu erf¨ ullen. Wir fordern, dass dort jeweils die Querkraft gleich der Lagerkraft sein muss und dass das Biegemoment sowie die Normalkraft verschwinden: σy (x, b) = −p :

2C1 + 2C2 b + C4 (12x2 b − 2b3 ) − 10C5 b3 = −p → C4 = 0,

σy (x, −b) = 0 :

2C1 − 2C2 b + 10C5 b3 = 0 ,

τxy (x, ±b) = 0 : +b

Q=t

−4C2 ab + 20C5 b3 a = pa ,

τxy (a, y)dy = pat :

−b +b

M =t N =t

−2C2 x + 30C5 b2 x = 0 ,

−b +b

yσx (a, y)dy = 0 :

2C3 b3 + C5 (4b5 − 10b3 a2 ) = 0 ,

σx dy = 0 :

−b

p → C1 = − , 4

C2 = 15C5 b2 = −

3p , 8b

C3 · 0 + C5 · 0 = 0 p 2 C3 = − 3 a2 − b2 . 8b 5

Die Ermittlung der 5 Konstanten Ci aus den 6 Randbedingungen war m¨ oglich, weil die Schubspannung τxy symmetrisch in y ist ur die und σx antimetrisch in y ist (N = 0). Damit erhält man f¨

124


Spannungskomponenten im Balken x2 3pa2 y 2 y2 2 b2 1− 2 + , − σx = − 3 2 4b a 3a 5 a2 1 3 y 1 y3 + − , σy = − p 2 4b 4 b3 y2 3px 1− 2 . τxy = 4b b Sie sind in Abb. 2.18b dargestellt. Diese Ergebnisse sind exakt, wenn die Lagerkr¨ afte an den Balkenenden durch verteilte Randlasten so aufgebracht werden, dass sie den errechneten Spannungen τxy (y) und σx (y) and den Stellen x = ±a entsprechen. Ist dies orungen auf, nicht der Fall, so treten an den Balkenenden Randst¨ die aber schnell abklingen. Die Gr¨ oße einer solchen Randstörzone entspricht dann ungef¨ ahr der H¨ ohe des Balkens. Die Maximalbetr¨ age der Spannungen ergeben sich zu 4 b2 3 a2 3a max , |σymax | = p . , τxy =p σxmax = p 2 1 + 4b 15 a2 4b max F¨ ur schlanke Balken (b a) folgt daraus σxmax τxy |σymax |, d.h. die Annahme σy ≈ 0 in der Balkentheorie ist dann gerechtfertigt. Zum Vergleich werden hier noch die Resultate der Balkentheorie f¨ ur diesen Fall angegeben (vgl. auch Band 2, Abschn. 4.4 und 4.6.1): y2 x2 3pa2 y 3px B 1− 2 . 1− 2 , σyB = 0 , τxy = σxB = − 3 4b a 4b b

Die Abweichung zwischen Balkentheorie und Scheibentheorie ist bei der Spannung σx von der Gr¨ oßenordnung (b/a)2 , während τxy exakt ist. 2.5.3.3 Kreisbogenscheibe unter reiner Biegung

Wir wollen nun die Spannungen in einer Kreisbogenscheibe mit ¨ beliebigem Offnungswinkel α bestimmen, die nach Abb. 2.19a durch zwei entgegengesetzte Momente M0 belastet ist. Dabei gehen wir davon aus, dass der Spannungszustand unabhängig von ϕ ist und durch (2.101) beschrieben wird. Die Integrationskonstan-

2.5

Ebene Probleme

125

Abb. 2.19

ten C1 , C2 , C3 bestimmen wir aus den Randbedingungen, wobei wir die Randbedingungen an den Seitenfl¨ achen wieder in integraler Form schreiben:

b

b σr (a) = 0 , σr (b) = 0 , t rσϕ dr = M0 , σϕ dr = 0 . a

a

Hieraus folgen 4M0 2 2 b a b ln , κ a M0 2 b − a2 + 2(b2 ln b − a2 ln a) , C2 = − κ 2M0 2 (b − a2 ) C3 = κ C1 =

mit

b 2 κ = t (b2 − a2 )2 − 4a2 b2 ln a

und damit die Spannungen 4M0 r r a2 b2 b 2 2 − a ln + b ln + 2 ln , σr = κ a b r a (2.102) 4M0 r r a2 b2 b 2 2 2 2 (b − a ) − a ln + b ln − 2 ln . σϕ = κ a b r a Sie sind in Abb. 2.19b f¨ ur das Radienverh¨ altnis b/a = 3/2 dargestellt. Wie schon im vorhergehenden Beispiel sind diese Ergebnisse nur dann exakt, wenn das Moment M0 an den Seitenflächen durch verteilte Randlasten entsprechend der errechneten Spannungsverteilung σϕ (r) aufgebracht wird.

126


2.5.3.4 Die Scheibe mit Kreisloch unter Zugbelastung

In einem letzten Beispiel bestimmen wir die Spannungen in einer unendlich ausgedehnten Scheibe mit Kreisloch, bei der im Unendlichen eine Zugspannung σ0 in x-Richtung wirkt (Abb. 2.20a). Die L¨ osung hierf¨ ur ist durch die Spannungsfunktion (r2 − a2 )2 σ0 2 r − 2a2 ln r − cos 2ϕ F (r, ϕ) = 4 r2 gegeben. Sie gen¨ ugt der Scheibengleichung (vgl. Tabelle 2.1). Die sich aus ihr ergebenen Spannungen a2 σ0 a2 a4 σr = 1 − 2 + 1 − 4 2 + 3 4 cos 2ϕ , 2 r r r 2 4 a σ0 a 1 + 2 − 1 + 3 4 cos 2ϕ , (2.103) σϕ = 2 r r a2 σ0 a4 −1 − 2 2 + 3 4 sin 2ϕ τrϕ = 2 r r erf¨ ullen die Randbedingungen σr (a, ϕ) = 0, τrϕ (a, ϕ) = 0 am Loch. F¨ ur r → ∞ ergibt sich aus ihnen σ0 σr = σ0 (1 + cos 2ϕ) , σϕ = σ0 (1 − cos 2ϕ) , τrϕ = − sin 2ϕ . 2 Mit Hilfe der Transformationsbeziehungen folgt daraus die geforderte Zugbeanspruchung σx = σ0 , σy = τxy = 0.

Abb. 2.20

Die Umfangsspannung am Lochrand σϕ (a, ϕ) = σ0 (1−2 cos 2ϕ) ist bei ϕ = ±π/2 am gr¨ oßten. Sie betr¨ agt dort σϕmax = 3σ0 . Diese Spannungserh¨ ohung um den Faktor 3 ist auf die Störung“ des ” homogenen Spannungszustandes durch das Loch zur¨ uckzuf¨ uhren.

2.5

Ebene Probleme

127

Man bezeichnet diesen Effekt als Spannungskonzentration. Die Spannungsverteilung ist in Abb. 2.20b l¨ angs der x- bzw. längs der y-Achse dargestellt. Dort ist die Schubspannung Null (Symmetrie). Es ist zu erkennen, dass die St¨ orung des homogenen Spannungszustandes durch das Loch sehr schnell abklingt. Aus diesem Grund kann man diese L¨ osung mit guter N¨ aherung auch f¨ ur eine endliche Scheibe verwenden, sofern die R¨ ander hinreichend weit (z.B. f¨ unffacher Lochdurchmesser) vom Loch entfernt sind. 2.5.4 Verschiebungs-Differentialgleichungen, Rotationssymmetrie

Wir beschr¨ anken uns auf den Sonderfall der Rotationssymmetrie und setzen voraus, dass keine Volumenkr¨ afte wirken. Hierf¨ ur nehmen die Grundgleichungen des ESZ in Polarkoordinaten eine besonders einfache Form an. Mit fr = fϕ = 0 und ∂(.)/∂ϕ = 0 folgen dann aus (2.32a,b) die Gleichgewichtsbedingungen 1 dσr + (σr − σϕ ) = 0 , dr r

2 dτrϕ + τrϕ = 0 . dr r

(2.104)

Aus (2.54) erh¨ alt man die kinematischen Beziehungen εr =

dur , dr

εϕ =

ur , r

γrϕ =

uϕ duϕ − , dr r

(2.105)

und das Elastizit¨ atsgesetz lautet analog zu (2.86b) σr =

E E (εr +νεϕ ), σϕ = (εϕ +νεr ), τrϕ = Gγrϕ . (2.106) 1−ν 2 1−ν 2

Diese Gleichungen sind in dem Sinne entkoppelt“, dass sie nun” mehr zwei voneinander unabh¨ angige Gleichungssysteme bilden: a) 5 Gleichungen f¨ ur das Problem der Radialverschiebung mit den ur das Problem Gr¨ oßen ur , εr , εϕ , σr , σϕ und b) 3 Gleichungen f¨ der Umfangsverschiebungen mit den Gr¨ oßen uϕ , γrϕ , τrϕ . Wir betrachten zun¨ achst den Fall der Radialverschiebung. Eliminiert man die Verzerrungen und die Spannungen, so erhält man aus (2.104) bis (2.106) die Verschiebungs-Differentialgleichung ur 1 dur d2 ur − 2 = 0. + dr2 r dr r

(2.107)

128


Aus ihrer allgemeinen L¨ osung ur = C1 r +

C2 r

folgen die Spannungen E C2 σr = (1 + ν)C1 − (1 − ν) 2 , 1 − ν2 r E C2 (1 + ν)C . + (1 − ν) σϕ = 1 1 − ν2 r2

(2.108)

(2.109)

In gleicher Weise l¨ asst sich der Fall der Umfangsverschiebung behandeln. Hierbei erh¨ alt man f¨ ur uϕ dieselbe Differentialgleichung wie f¨ ur ur (Gl. (2.107)). Damit folgt die Lösung C4 2C4 , τrϕ = − G 2 . (2.110) uϕ = C3 r + r r Als Anwendungsbeispiel betrachten wir das dickwandige Rohr unter Innendruck im EVZ nach Abb. 2.21a. Die Lösung f¨ ur diesen Belastungsfall ist im ESZ durch (2.108) und (2.109) gegeben. Die Konstanten C1 , C2 bestimmen wir aus den Randbedingungen σr (b) = 0 und σr (a) = −p zu p 1 − ν 2 a2 p 1 − ν 2 a2 b2 , C = . 2 E 1 + ν b2 − a2 E 1 − ν b2 − a2 Damit folgt f¨ ur die Radialverschiebung und f¨ ur die Spannungen b2 p a2 (1 − ν) + 2 (1 + ν) r , ur = 2 2 E b −a r 2 b2 b a2 a2 σr = − p 2 − 1 , σ = p + 1 . ϕ b − a2 r2 b2 − a2 r2 C1 =

Abb. 2.21

2.5

Ebene Probleme

129

Um vom ESZ zum EVZ zu gelangen, m¨ ussen wir die Elastizit¨ atskonstanten gem¨ aß Abschnitt 2.5.1 ersetzen: E → E =

E , 1 − ν2

ν → ν =

ν . 1−ν

Die Spannungen bleiben davon unber¨ uhrt. Dagegen ändert sich ur , und man erh¨ alt p a2 b2 EVZ = (1 + ν) (1 − 2ν) + 2 r . ur E b2 − a2 r F¨ ur das Radienverh¨ altnis b/a = 2 ergibt sich damit an den Rändern 5 pa p , ur = (5 − 2ν)(1 + ν) , 3 3E 2 pa 4(1 − ν 2 ) . σ ϕ = p , ur = 3 3E

r = a : σr = − p , σϕ = r = b : σr = 0 ,

Die Verl¨ aufe von σr , σϕ und ur sind f¨ ur b/a = 2 und ν = 0, 3 in Abb. 2.21b dargestellt. Beispiel 2.10 Eine Kreisringscheibe ist am Innenrand unverschieb-

lich gelagert und am Außenrand durch τ0 belastet (Abb. 2.22). Man bestimme die Spannungs- und die Verschiebungsverteilung in der Scheibe.

Abb. 2.22

L¨ osung Es liegt eine rotationssymmetrische Umfangsbelastung vor, f¨ ur welche die L¨ osung durch (2.110) gegeben ist. Die Konstanten k¨ onnen aus den Randbedingungen bestimmt werden: ⎫ C4 τ0 b2 ⎬ = 0⎪ C3 = , uϕ (a) = 0 : C3 a + a 2G a2 → 2 2C4 ⎪ τ0 b τrϕ (b) = τ0 : τ0 = − G 2 ⎭ . C4 = − b 2G

Damit ergeben sich f¨ ur die Spannungs- und f¨ ur die Verschiebungs-

B2.10

130


verteilung τrϕ = τ0

b2 , r2

uϕ =

a τ 0 b2 r − . 2Ga a r

Die gr¨ oßte Schubspannung tritt am Innenrand auf: max = τrϕ (a) = τ0 b/a2 . τrϕ

2.6

2.6 Torsion 2.6.1 Allgemeines

In Band 2 haben wir uns mit der Torsion von Stäben ausgewählter Querschnittsformen (Kreisquerschnitt, d¨ unnwandige Querschnitte) befasst, wobei wir uns einfacher (und f¨ ur diese Fälle zutreffender) Hypothesen bedienten. So konnten wir zum Beispiel bei der kreiszylindrischen Welle annehmen, dass die Querschnittsfläche bei der Verdrehung eben bleibt und sich nicht etwa verwölbt. Dies trifft bei anderen Querschnittsformen aber nicht zu. In diesem Abschnitt wollen wir nun die Torsion von Stäben beliebigen Querschnittes mit den Mitteln der Elastizitätstheorie behandeln. Dabei beschr¨ anken wir uns auf die reine Torsion durch ein konstantes Torsionsmoment MT und auf prismatische Stäbe mit konstantem Vollquerschnitt (Abb. 2.23a). Eine mögliche Querschnittsverw¨ olbung sei nicht behindert, sondern soll sich frei einstellen k¨ onnen. Da dieses Problem zuerst von de Saint Venant (1797–1886) gel¨ ost wurde, nennt man die entsprechende Theorie die St. Venantsche Torsionstheorie. 2.6.2 Grundgleichungen

Wir betrachten den Stab der L¨ ange l nach Abb. 2.23a, dessen linkes Ende festgehalten ist und dessen rechter Endquerschnitt sich unter dem Moment MT um den Winkel ϑl verdreht. Da das Torsionsmoment und der Querschnitt sich l¨ angs x nicht ändern, ist ¨ auch die Anderung des Drehwinkels ϑ pro L¨ angeneinheit (Verwin-

2.6

Torsion

131

Abb. 2.23

dung) konstant: κT = dϑ/dx = ϑl /l. Der Drehwinkel an der Stelle x ist dann ϑ = κT x. Bei der Formulierung der Grundgleichungen gehen wir von den folgenden kinematischen Annahmen aus (vgl. Band 2, Abschn. 5.2): a) die auf die y, z-Ebene projizierten Querschnitte drehen sich wie starre Scheiben um die x-Achse (Querschnittsgestalt bleibt erhalten), b) die Verschiebung u der Querschnittspunkte in x-Richtung und eine damit verbundene Verw¨ olbung ist nicht behindert. Sie ist unabh¨ angig von der Stelle x des Querschnittes: u = u(y, z). Infolge einer Drehung um ϑ erf¨ ahrt ein Querschnittspunkt P mit den Koordinaten y = r cos ϕ, z = r sin ϕ die Verschiebungen v, w ur sie gelten dann mit den Bezeichnungen nach P (Abb. 2.23b). F¨ der Abbildung die Beziehungen y + v = r cos(ϕ + ϑ) ,

z + w = r sin(ϕ + ϑ) .

Hieraus erh¨ alt man mit den Additionstheoremen unter der Annahme kleiner Drehwinkel (cos ϑ → 1, sin ϑ → ϑ) die Ergebnisse v = −ϑz und w = ϑy, wobei wir mit Hilfe von ϑ = κT x den Drehwinkel noch eliminieren k¨ onnen. Schreiben wir schließlich die uhren die Verschiebung u(y, z) in der Form u = κT U (y, z), so f¨ Annahmen von de Saint Venant auf folgende Ans¨ atze f¨ ur die Verschiebungen: u = κT U (y, z) ,

v = − κT xz ,

w = κT xy .

(2.111)

Die Funktion U (y, z) nennt man Verwölbungsfunktion; sie hat die Dimension (L¨ ange)2 .

132


Setzt man (2.111) in (2.48c) ein, so werden εx = εy = εz = ur die Spannungen σx = γyz = 0. Damit folgt aus (2.63) auch f¨ σy = σz = τyz = 0. Es verbleiben dann als Grundgleichungen nur die kinematischen Beziehungen

∂U ∂U − z , γxz = κT +y , (2.112) γxy = κT ∂y ∂z das Elastizit¨ atsgesetz τxy = Gγxy ,

τxz = Gγxz

(2.113)

und nach (2.30b) mit fi = 0 die Gleichgewichtsbedingung ∂τxz ∂τxy + = 0. ∂y ∂z

(2.114)

Man beachte, dass die Verzerrungen und die Spannungen unabh¨ angig von x sind. Anstelle der kinematischen Beziehungen (2.112) kann man auch die Kompatibilit¨ atsbedingung verwenden. Diese erh¨ alt man aus (2.112), indem man die Verwölbungsfunktion eliminiert: ∂γxy ∂γxz − = 2κT . ∂y ∂z

(2.115)

Zu diesen Gleichungen kommt noch die Randbedingung. Da die Mantelfl¨ ache des Stabes unbelastet ist, muss am Rand C des Querschnittes die Schubspannungskomponente senkrecht zum Rand verschwinden (zugeordnete Schubspannungen). Die Schubspannung ist entlang C also tangential gerichtet (Abb. 2.23c): τxz dz = dy τxy

→

τxz dy − τxy dz = 0 auf C .

(2.116a)

¨ Aquivalent hierzu ist die Bedingung τxy ny + τxz nz = 0

auf C ,

(2.116b)

welche sich mit t∗x = 0 aus (2.31b) ergibt. 2.6.3 Verw¨ olbungsfunktion und Torsionsfunktion

Setzt man der Reihe nach die Gleichungen (2.112), (2.113) und (2.114) ineinander ein, so erh¨ alt man

2.6

∂2U ∂2U + =0 ∂y 2 ∂z 2

bzw.

ΔU = 0 .

Torsion

133

(2.117)

Danach muss die Verw¨ olbungsfunktion einer Potentialgleichung gen¨ ugen (vgl. (2.92), (2.93)). Nach (2.116b) mit (2.113) und (2.112) hat sie dabei die Randbedingung

∂U ∂U − z ny + + y nz = 0 auf C ∂y ∂z zu erf¨ ullen. Diese kann unter Beachtung von (vgl. auch Abb. 2.24) ∂U ∂U ∂U = n · grad U = ny + nz , ∂n ∂y ∂z z = r sin ϕ , y = r cos ϕ , ny = sin(α − ϕ) , nz = cos(α − ϕ) alternativ auch in den Formen ∂U ∂U = z ny − y n z = − r cos α auf C (2.118) bzw. ∂n ∂n geschrieben werden. Darin ist ∂U/∂n die Ableitung in Normalenrichtung. Damit ist das Torsionsproblem auf die Bestimmung der Lösung der Potentialgleichung zur¨ uckgef¨ uhrt, welche die Randbedingung (2.118) erf¨ ullt. Wie bei der Bipotentialgleichung (2.96) ist auch bei der Potentialgleichung eine allgemeine L¨ osung nicht bekannt. Man kann allerdings spezielle L¨ osungen von ΔU = 0 finden; diese nennt man harmonische Funktionen. In Tabelle 2.2 sind einige Lösungen in kartesischen Koordinaten zusammengestellt. Im allgemeinen ist aber eine L¨ osung des Randwertproblems nur bei einfachen Querschnittsformen mit analytischen Mitteln m¨ oglich. Man ist deshalb

Abb. 2.24

134


häufig auf numerische Methoden angewiesen (vgl. Kap. 7). Es sei angemerkt, dass man ein Problem, f¨ ur das die Lösung der Potentialgleichung (2.117) bei entlang des Randes vorgegebener Ableitung gesucht ist, mathematisch als ein Neumann-Problem bezeichnet. Tabelle 2.2 L¨ osungen von ΔU = 0

U 1, y, yz, y 2 − z 2 , e±λz cos λ y, ln (y 2 + z 2 ) y ↔ z vertauschbar, cos(.) ↔ sin(.) austauschbar Als Beispiel betrachten wir den Torsionsstab mit Kreisquerschnitt (Abb. 2.25). Aufgrund der Rotationssymmetrie vereinfachen sich die Potentialgleichung (2.117) und die Randbedingung (2.118) in diesem Fall zu 1 dU d2 U =0 + dr2 r dr

mit

dU dr

= 0. r=a

Aus der allgemeinen L¨ osung U = C1 + C2 ln r erhält man nach Einarbeitung der Randbedingung (C2 = 0) das Ergebnis U = C1 = const. Das bedeutet, dass der Querschnitt tatsächlich, wie in Band 2 vorausgesetzt, eben bleibt. F¨ ur die Schubspannungen folgt aus (2.112) und (2.113) τxy = − GκT z ,

τxz = GκT y .

Mit y = r cos ϕ, z = r sin ϕ (Abb. 2.25) und τ = ergibt sich daraus τ = GκT r (vgl. Band 2, Gl. (5.2)).

Abb. 2.25

2 + τ2 τxy xz

2.6

Torsion

135

Eine andere, meist g¨ unstigere M¨ oglichkeit der Behandlung des Torsionsproblems besteht in der Aufl¨ osung der Grundgleichungen nach den Spannungen. Hierbei ist es zweckm¨ aßig, eine Spannungsfunktion Φ(y, z) so einzuf¨ uhren, dass f¨ ur die Spannungen gilt: τxy = − 2GκT

∂Φ , ∂z

τxz = − 2GκT

∂Φ . ∂y

(2.119)

Die Funktion Φ nennt man Torsionsfunktion. Mit (2.119) ist die Gleichgewichtsbedingung (2.114) identisch erf¨ ullt, und die Kompatibilit¨ atsbedingung (2.115) nimmt unter Beachtung von (2.113) die Form ∂2Φ ∂2Φ + =1 ∂y 2 ∂z 2

bzw.

ΔΦ = 1

(2.120)

an. Dies ist eine Poissonsche Differentialgleichung. Schließlich erh¨ alt man aus (2.116a) noch die Randbedingung ∂Φ ∂Φ dy + dz = dΦ = 0 → Φ = const auf C . ∂y ∂z

(2.121)

Die Konstante darf bei Vollquerschnitten (einfach zusammenhängende Querschnitte) ohne Beschr¨ ankung der Allgemeinheit zu Null gesetzt werden. Die Randbedingung lautet in diesem Fall also Φ=0

auf C .

(2.122)

Es sei angemerkt, dass dies bei Hohlquerschnitten (mehrfach zusammenh¨ angende Querschnitte) nicht zutrifft; dort nimmt Φ an jedem Rand einen unterschiedlichen konstanten Wert an. Daneben sei darauf hingewiesen, dass zur L¨ osung von (2.120) die Lage des Koordinatensystems y, z beliebig w¨ ahlbar ist, d.h. der Ursprung muss nicht im Fl¨ achenschwerpunkt liegen. Mit (2.120) und (2.122) ist das Torsionsproblem bei dieser Formulierung auf die Bestimmung einer Torsionsfunktion Φ reduziert, welche die Poissonsche Differentialgleichung erf¨ ullt und die am Rand Null ist. Ist Φ bekannt, so liegen nach (2.119) die Schubspannungskomponenten fest. F¨ ur den Betrag der resultierenden

136


Schubspannung folgt damit 2 ∂Φ ∂Φ 2 2 +τ 2 = 2Gκ τ = τxy + = 2GκT |grad Φ|. (2.123) xz T ∂z ∂y Außerdem erh¨ alt man den aus Band 2, Kapitel 5 bekannten Zusammenhang zwischen Torsionsmoment und Verwindung

MT dϑ = MT = (τxz y − τxy z)dA = GIT κT → κT = , (2.124) dx GIT A

wobei

IT = 2

∂Φ ∂Φ y+ z dA . ∂y ∂z

(2.125)

A

Die Beziehung (2.125) f¨ ur das Torsionsträgheitsmoment IT kann man noch vereinfachen. Dazu wenden wir zunächst die partielle Integration auf den ersten Teil des Integrals an. Mit den Bezeichnungen aus Abb. 2.26 gilt unter Beachtung, dass Φ am Rand Null ist + +

z y 2 (z)

z

y2

∂Φ ∂Φ y2 y dA = y dy dz = Φ y y − Φ dy dz ∂y ∂y ! "# 1$ y1 A z − y1 (z) z− =0

= − Φ dA . A

Das gleiche Ergebnis liefert der zweite Teil des Integrals. Damit erh¨ alt man insgesamt

IT = −4 Φ dA . (2.126) A

Abb. 2.26

2.6

Torsion

137

Fasst man danach die Torsionsfunktion als eine Fläche auf, die u ¨ber dem Querschnitt aufgespannt ist, so ist das Torsionsträgheitsmoment proportional zum Volumen unter dieser Fläche. Wie in Abschnitt 3.5.2 gezeigt wird, gen¨ ugt die Auslenkung einer u ¨ber einen Rand gespannten Membran unter Druckbelastung ebenfalls der Poissonschen Differentialgleichung. Hierauf beruht die Prandtlsche Seifenhautanalogie (Ludwig Prandtl, 1875–1953). Wird danach eine Membran (Seifenhaut), die u ¨ber die Kontur des Querschnittes gespannt ist, durch Druck belastet, dann entspricht ihre deformierte Form gerade der Form der Torsionsfunktion u ¨ber dem Querschnitt. Das Volumen unter der deformierten Membran ist folglich proportional zum Torsionstr¨ agheitsmoment, und die Neigung (Betrag des Gradienten) ist ein Maß f¨ ur die Größe der Schubspannung.

Abb. 2.27

Als erstes Anwendungsbeispiel wollen wir den elliptischen Querschnitt nach Abb. 2.27a untersuchen. F¨ ur diesen Fall erf¨ ullt die Funktion 2 y a2 b2 z2 Φ= + − 1 (2.127) 2(a2 + b2 ) a2 b2 sowohl die Differentialgleichung (2.120) als auch die Randbedingung (2.122). Das Torsionstr¨ agheitsmoment ergibt sich nach (2.126) mit der Fläche A = πab und den Fl¨ achenträgheitsmomenten Iy = πab3 /4, Iz = πa3 b/4 (Band 2, Tabelle 4.1) zu

1 πa3 b3 2a2 b2 1 2 2 = y dA + z dA − dA . IT = − 2 a + b2 a2 b2 a2 + b2 A A A ! "# $ ! "# $ ! "# $ Iz Iy A (2.128)

138


Die Spannungskomponenten folgen aus (2.119) mit (2.124) und dem nunmehr bekannten IT : 2MT 2MT MT ∂Φ MT ∂Φ =− = y . (2.129) z , τxz = 2 IT ∂z πab3 IT ∂y πa3 b 2 + τ 2 im QuerHieraus l¨ asst sich die Schubspannung τ = τxy xz schnitt ermitteln. Die gr¨ oßte Spannung tritt an den Randpunkten B (Enden des kleinen Durchmessers) auf: τmax = |τxy (±b)| = alt man daraus WT = πab2 /2 2MT /πab2 . Mit τmax = MT /WT erh¨ (vgl. Band 2, Tabelle 5.1). Mit den Spannungen nach (2.129) k¨ onnen wir nun auch die Verw¨ olbung des Querschnittes bestimmen. Nach (2.113) und (2.112) gilt τxz = GκT ( ∂U ∂z + y). Gleichsetzen mit τxz aus (2.129) liefert mit (2.124), (2.128) und nachfolgender Integration 2MT ∂U a2 − b2 ∂U + y = y → =− 2 y GκT 3 ∂z πa b ∂z a + b2 a2 − b2 yz . → U =− 2 a + b2 τxy = −2

Die Integrationskonstante wurde dabei so gewählt, dass die Verschiebung im Koordinatenursprung verschwindet. Die Verschieache; mit zunehmenden bung u = κT U bildet danach eine Sattelfl¨ x und y w¨ achst sie betragsm¨ aßig an. In Abb. 2.27b sind die Linien konstanter Verschiebung und ihr Vorzeichen dargestellt. In einem zweiten Beispiel untersuchen wir den Rechteckquerschnitt nach Abb. 2.28a. Als Ansatz f¨ ur die Torsionsfunktion wählen wir dabei zweckm¨ aßig die Darstellung von Φ als doppelte Sinus-Fourierreihe, wobei wir das im Bild eingezeichnete Koordinatensystem verwenden:

Abb. 2.28

2.6

Φ(y, z) =

∞ ∞

φmn sin

m=1 n=1

Torsion

139

nπz mπy sin . b h

Dieser Ansatz hat den Vorteil, dass durch ihn die Randbedingung (2.122) automatisch erf¨ ullt wird. In Abschnitt 3.6.3 wird gezeigt, dass man eine Konstante im Rechteckgebiet ebenfalls durch eine doppelte Fourierreihe darstellen kann. Ist diese Konstante gleich 1 (rechte Seite von (2.120)), so gilt insbesondere: ∞ ∞ nπz mπy 16 sin , m, n = 1, 3, 5, . . . . 1= sin 2 mnπ b h m=1 n=1 Setzt man beide Ausdr¨ ucke in (2.120) ein, dann erhält man φmn =

16 b2 h2 , mnπ 4 (m2 h2 + n2 b2 )

m, n = 1, 3, 5, . . . ,

womit die Torsionsfunktion festliegt. F¨ ur das Torsionsträgheitsmoment ergibt sich daraus nach (2.126)

h b ∞ ∞ nπz mπy sin dydz IT = − 4 φmn sin b h m=1 n=1 0

0

∞ ∞ 162 b3 h3 1 = , m, n = 1, 3, 5, . . . . 6 2 2 2 π m n (m h2 + n2 b2 ) m=1 n=1

Diese Reihe konvergiert sehr rasch, d.h. man benötigt nur wenige Glieder, um eine gute Genauigkeit zu erzielen. In Tabelle 2.3 sind einige Ergebnisse f¨ ur unterschiedliche Seitenverhältnisse zusammengestellt. Aus der Torsionsfunktion kann man dann auch die Schubspannungen ermitteln. Die gr¨ oßte Schubspannung tritt in der Mitte Tabelle 2.3 IT und WT f¨ ur Rechteckquerschnitt

h/b

1

2

3

4

5

6

8

10

IT hb3 /3

0,42

0,69

0,79

0,84

0,87

0,89

0,92

0,94

WT hb2 /3

0,64

0,76

0,82

0,87

0,90

0,92

0,95

0,97

140


der l¨ angeren Rechteckseite auf. Aus τmax = τxz (0, h/2) = MT /WT folgt mit (2.119) und (2.124) f¨ ur das Torsionswiderstandsmoment WT =

IT MT = = τxz (0, h/2) 2∂Φ/∂y|0,h/2

IT

. nπ mπ sin b 2 m=1 n=1 Ergebnisse f¨ ur verschiedene Seitenverh¨ altnisse finden sich in Tabelle 2.3. F¨ ur den d¨ unnwandigen Rechteckquerschnitt (b h) nach Abb. 2.28b l¨ asst sich eine einfache N¨ aherungsl¨ osung herleiten. In diesem Fall kann man in guter N¨ aherung annehmen, dass die Torsionsfunktion unabh¨ angig von z ist: Φ = Φ(y). Dann erhält man aus (2.120) und (2.122) die L¨ osung Φ(y) = y 2 /2 − b2 /8. Diese erf¨ ullt nun allerdings nur entlang der großen Seitenl¨ angen des Rechtecks die Randbedingung. F¨ ur das Torsionstr¨ agheitsmoment ergibt sich daraus (vgl. Band 2, Abschn. 5.3)

b/2 IT = − 4h

b2 y2 − 2 8

dy =

2

∞ ∞ 0 0

φmn

h b3 . 3

−b/2

Durch Vergleich mit Tabelle 2.3 erkennt man, dass sich dieses Ergebnis f¨ ur h/b = 10 nur um 6% vom exakten Wert unterscheidet. B2.11

F¨ ur den Querschnitt in Form eines gleichseitigen Dreiecks (Abb. 2.29) u ufe man, ob die Torsionsfunktion ¨berpr¨ 4 1 z 3 − h z 2 − 3 y 2 z − h y 2 + h3 Φ=− 4h 27

Beispiel 2.11

die Differentialgleichung (2.120) und die Randbedingung (2.122) erf¨ ullt. Dabei befindet sich der Koordinatenursprung im Schwerpunkt. Wie groß ist IT ?

Abb. 2.29

2.7

Energieprinzipien

141

L¨ osung Aus Φ erh¨ alt man durch zweifache Ableitung

∂2Φ 1 1 ∂2Φ (− 6z − 2h) , = − = − (6z − 2h) 2 2 ∂y 4h ∂z 4h ∂2Φ ∂2Φ 1 → + = − (− 6z − 2h + 6z − 2h) = 1 . ∂y 2 ∂z 2 4h Die Funktion Φ erf¨ ullt also die Poissonsche Differentialgleichung. Am Rand 1 ist z1 = −h/3 und folglich h3 1 h3 4 − − + h y 2 − h y 2 + h3 = 0 . Φ(z1 ) = − 4h 27 9 27 √ Die Gleichung des Randes 2 bzw. 3 lautet z2,3 = ∓ 3 y + 2h/3. Einsetzen in Φ liefert 1 √ 3 4√ 8 Φ(z2,3 ) = − ∓3 3 y + 6 y 2 h ∓ 3 y h2 + h3 4h 3 27 4√ 4 2 2 3yh + h −h 3y ∓ 3 9 √ 2 4 2 − 3 y ∓ 3 y + h − h y 2 + h3 3 27 1 √ 3 2 ∓3 3 y [1 − 1] + y h[6 − 3 − 2 − 1] =− 4h

h3 4√ ∓ y h2 3[1 − 1] + [8 − 12 + 4] = 0 . 3 27 √ F¨ ur das Torsionstr¨ agheitsmoment erh¨ alt man mit h = 3 a/2 unter Ausnutzung der Symmetrie z a −√ + 2h/3 √

3 3 3 4 a . Φ dy dz = IT = − 2 · 4 80 −h/3

0

2.7 Energieprinzipien In Band 2, Kapitel 6 haben wir den Arbeitsbegriff bei der Lösung von Stab- und von Balkenproblemen angewendet. Wir wollen nun Energieprinzipien herleiten, die f¨ ur beliebige elastische Körper gelten. Diese Prinzipien erweisen sich als n¨ utzlich bei der Formulie-

2.7

142


rung und L¨ osung von Gleichgewichtsproblemen. Sie bilden aber gleichzeitig auch die Grundlage f¨ ur verschiedene analytische Näherungsverfahren und numerische Methoden. 2.7.1 Arbeitssatz

Wir betrachten einen K¨ orper, der sich im Gleichgewicht befindet und entlang dessen Rand die Belastung bzw. die Verschiebung vorgegeben ist. Auf Volumenkr¨ afte wollen wir zunächst der Einfachheit halber verzichten. Hierf¨ ur lauten dann nach Abschnitt 2.4 die statischen und die kinematischen Grundgleichungen in V ,

σij nj = t∗i

auf At ,

εij = 12 (ui,j + uj,i ) in V ,

ui = u∗i

auf Au .

σij,j = 0

(2.130)

osung des Randwertproblems, d.h. die aktuellen (wirklich) Die L¨ auftretenden Spannungen, Verzerrungen und Verschiebungen, erf¨ ullt alle Gleichungen identisch. Nehmen wir dagegen allein die statischen Gleichungen (Gleichgewichtsbedingungen, Spannungsrandbedingungen), so werden diese nicht nur vom aktuellen Spannungsfeld, sondern in der Regel auch noch von vielen anderen Spannungsfeldern erf¨ ullt. Ein solches Feld nennt man ein sta(1) tisch zul¨ assiges Spannungsfeld; wir wollen es mit σij bezeichnen. (2) Analog bezeichnet man ein Verschiebungsfeld ui bzw. Verzer(2) rungsfeld εij als kinematisch zul¨ assig, wenn hierdurch die kinematischen Gleichungen (Verzerrungs-Verschiebungs-Beziehungen, Verschiebungsrandbedingungen) erf¨ ullt werden. Dieser Bedingung gen¨ ugen nicht nur die aktuellen Verschiebungen und Verzerrungen, sondern meist viele andere Felder. Im weiteren bringen wir die Gleichgewichtsbedingung f¨ ur ein (1) statisch zul¨ assiges Spannungsfeld σij in eine andere Form. Dazu multiplizieren wir sie mit kinematisch zul¨ assigen Verschiebungen (2) orpers: ui und integrieren u ¨ber das Volumen des K¨

(1) (2) σij,j ui dV = 0 . V

Mit der Umformung (beachte: σij = σji )

2.7 (1)

(2)

σij,j ui

(1) (2)

Energieprinzipien

143

(1) (2)

= (σij ui ),j − σij ui,j (1) (2)

(1) (2)

(1) (2)

= (σij ui ),j − 12 σij ui,j − 12 σji uj,i (1) (2)

(1) (2)

= (σij ui ),j − σij εij

wird daraus

(1) (2) (1) (2) σij εij dV = (σij ui ),j dV . V

V

Wendet man auf das rechte Integral den Gaußschen Satz

(.),j dV = (.)nj dA V

A

an, so folgt mit der Cauchyschen Formel (2.12b)

(1) (2) (1) (2) σij εij dV = ti ui dA . V

(2.131)

A

Teilt man noch die Oberfl¨ ache A des K¨ orpers auf in den Teil At , (1) auf dem Spannungsrandbedingungen (ti = t∗i ) vorliegen und in (2) den Teil Au , auf dem Verschiebungsrandbedingungen (ui = u∗i ) vorgeschrieben sind, so l¨ asst sich (2.131) in der Form

(1) (2) (1) ∗ (2) σij εij dV = ti ui dA + ti u∗i dA (2.132) V

At

Au

schreiben. Die auftretenden Integrale haben die Dimension einer Arbeit. Das linke Integral enh¨ alt dabei die inneren Kräfte (Spannungen), in den beiden Integralen auf der rechten Seite treten dagegen ¨ außere Kräfte auf. Man bezeichnet (2.132) häufig als allgemeinen oder verallgemeinerten Arbeitssatz. Deutlich sei an dieser Stelle aber darauf hingewiesen, dass es sich bei den auftretenden Gr¨ oßen nicht um die aktuellen Spannungen, Verzerrungen und Verschiebungen handeln muss, sondern dass diese nur statisch bzw. kinematisch zul¨ assig sein m¨ ussen. Dementsprechend beschreiben die Integrale nicht notwendigerweise die von den aktuellen Gr¨ oßen verrichtete Arbeit. Betont sei auch, dass bis zu dieser Stelle kein Gebrauch vom Elastizit¨ atsgesetz gemacht wurde; (2.132) gilt also unabh¨ angig vom Stoffverhalten.

144


Der allgemeine Arbeitssatz ist aus der Gleichgewichtsbedingung (2) in (2.130) hervorgegangen, indem wir mit ui multiplizierten und dann integrierten. Man bezeichnet (2.132) auch als eine schwache Form der Gleichgewichtsbedingung. Der Grund hierf¨ ur ist, dass die Spannungen hier direkt und nicht als Ableitungen auftreten; achere“ Differenzierbarkeitsbedingungen d.h. an σij werden schw¨ ” (2) gestellt. Die Funktion ui nennt man in der Variationsrechnung eine Testfunktion oder Vergleichsfunktion. Sie muss die kinematischen Randbedingungen erf¨ ullen. Diese nennt man auch nat¨ urliche oder wesentliche Randbedingungen. Aus (2.131) bzw. aus (2.132) lassen sich durch Spezialisierung verschiedene Gesetzm¨ aßigkeiten herleiten. Wenn man bei den statischen und den kinematischen Gr¨ oßen die aktuellen (wirklichen) Spannungen σij , Verzerrungen εij und Verschiebungen ui einsetzt, dann liefert (2.131)

σij εij dV = ti ui dA . (2.133) V

A

Diese Beziehung gilt unabh¨ angig vom Stoffgesetz, sie kann aber insbesondere bei elastischen K¨ orpern zweckmäßig eingesetzt werden (vgl. Abschn. 2.7.2). Eine andere Möglichkeit besteht darin, in (2.131) die wirklichen statischen Gr¨ oßen und die wirklichen Verzerrungsinkremente dεij bzw. Verschiebungsinkremente dui einzusetzen, die bei einer Deformations¨ anderung (z.B. infolge einer Laststeigerung) auftreten. In diesem Fall folgt

σij dεij dV = ti dui dA bzw. dWi = dWa . (2.134) ! "# $ V

dW

A

Darin ist dWi das Arbeitsinkrement der inneren Kräfte (σij ) im gesamten K¨ orper (= Form¨ anderungsarbeit, vgl. Abschn. 2.3.3), außeren Kräfte (ti ) kennw¨ ahrend dWa das Arbeitsinkrement der ¨ zeichnet. Durch Integration vom undeformierten Ausgangszustand bis zum aktuellen Zustand erh¨ alt man daraus

ui

εij σij d¯ εij dV = ti d¯ ui dA bzw. Wi = Wa . (2.135) V

0

A

0

2.7

Energieprinzipien

145

Die linke Seite beschreibt nun wegen (2.72) die gesamte im Körper geleistete Form¨ anderungsarbeit: Wi = V W dV . Die rechte Seite ist die gesamte bis zum aktuellen Zustand geleistete Arbeit der außeren Kr¨ afte. Die Arbeit der inneren Kr¨ afte und die Arbeit der ¨ außeren Kr¨ afte sind also gleich. Dies gilt unabh¨ angig davon, ob der ¨ K¨ orper sich elastisch oder inelastisch (z.B. plastisch) verhält. Wirken auf den K¨ orper neben den Oberfl¨ achenlasten auch noch Volumenkr¨ afte, dann muss Wa um die Arbeit dieser Kräfte ergänzt werden. Bei einem elastischen K¨ orper besitzen die inneren Kräfte (Spannungen) ein Potential; wir k¨ onnen dann die spezifische Formänderungsarbeit W durch die Form¨ anderungsenergiedichte U (εij ) ersetzen (vgl. Abschn. 2.3.3). Bezeichnen wir die gesamte im Körper enthaltene Form¨ anderungsenergie mit

Πi = U dV , (2.136) V

so folgt aus (2.135) der Arbeitssatz (vgl. Band 2, Abschn. 6.1) Π i = Wa ,

(2.137)

d.h. in Worten: die Arbeit der ¨ außeren Kr¨ afte ist gleich der gespeicherten Form¨ anderungsenergie. Als Anwendungsbeispiel hierzu betrachten wir das Kreisloch im unendlichen Gebiet unter Innendruck, f¨ ur das wir in Abschnitt 2.5.3.1,c die Spannungen ermittelt haben (vgl. Abb. 2.17c). Legt man den ESZ zugrunde, dann kann man die spezifische Formänderungsenergie nach (2.75b) unter Beachtung von (2.86a) zunächst allgemein in der Form 1 2 (σ 2 + σy2 − 2νσx σy + 2(1 + ν)τxy ) 2E x 1 2 (σ 2 + σϕ2 − 2νσr σϕ + 2(1 + ν)τrϕ ) = 2E r

U =

(2.138)

darstellen. Mit den Spannungen σr = −σϕ = −p0 a2 /r2 , τrϕ = 0 folgen damit f¨ ur unser Beispiel (dV = 2 π r t dr)

146


U = p20

1 + ν a4 , E r4 U dV = p20

Πi =

1+ν 4 a t2π E

∞

r dr 1+ν 2 a t2π. = p20 r4 E

a

V

Darin ist t die Dicke der Scheibe. Die Arbeit der äußeren Belastung p0 bei einer Laststeigerung von Null auf den Endwert p0 ist durch Wa = 12 p0 ur (a) 2 π a t = p0 ur (a) π a t gegeben, wobei ur (a) die noch unbekannte Radialverschiebung am Lochrand ist. Sie l¨ asst sich nach (2.137) durch Gleichsetzen von Πi und Wa bestimmen: p20

2(1 + ν) 1+ν 2 a t 2π = p0 ur (a) π a t → ur (a) = p0 a . E E

2.7.2 S¨ atze von Clapeyron und von Betti

In einer weiteren Spezialisierung wollen wir nun den Körper als linear elastisch voraussetzen. Hierf¨ ur ist die Formänderungsenergiedichte nach (2.75b) durch U = 12 σij εij gegeben. Die linke Seite von (2.133) kann dann mit (2.136) durch 2Πi ersetzt werden. Zus¨ atzlich nehmen wir an, dass die ¨ außeren Kräfte (ti ) Totlasten sind. Hierunter versteht man Kr¨ afte, die von der Deformation unabh¨ angig sind. Ein Beispiel hierf¨ ur ist die Gewichtskraft. Solche Kr¨ afte sind ein Sonderfall der konservativen Kräfte, welche sich gem¨ aß ti = −

â ∂Π ∂ui

(2.139)

ˆ a (ui ) (= potentielle Energie pro Flächeneinaus einem Potential Π ˆ a = −ti ui heit) herleiten lassen. F¨ ur Totlasten ist dieses durch Π gegeben. Bezeichnen wir mit

ˆ Πa = Πa dA = − ti ui dA (2.140) A

A

das Potential der ¨ außeren Totlasten, dann f¨ uhrt (2.133) auf

2.7

Energieprinzipien

2Πi + Πa = 0 .

147

(2.141)

Nach Benoit-Paul-Emile Clapeyron (1799–1864) nennt man diesen Zusammenhang den Satz von Clapeyron. Die Summe aus der doppelten Form¨ anderungsenergie und dem Potential der Totlasten ist also gerade Null. Letzteres entspricht nach (2.140) gerade der negativen Arbeit der Totlasten. Dementsprechend kann man (2.141) auch so ausdr¨ ucken: die doppelte Form¨ anderungsenergie ist gleich der Arbeit der Totlasten. Im weiteren betrachten wir einen linear elastischen Körper, bei dem zwei unterschiedlichen aktuellen Belastungszuständen (1) bzw. (2) je ein aktueller Deformationszustand (1) bzw. (2) zugeordnet ist. Dann gilt mit dem Elastizit¨ atsgesetz (2.58) unter Beachtung der Symmetrie des Elastizit¨ atstensors (vgl. (2.74)) die Umformung (1) (2)

(1) (2)

(1)

(2)

(1) (2)

(2) (1)

σij εij = Eijkl εkl εij = εkl Eklij εij = εkl σkl = σij εij . Dies bedeutet, dass man in (2.131) nicht nur auf der linken Seite die Ziffern (Zust¨ ande) vertauschen kann, sondern auch auf der rechten Seite, d.h. es wird

(1) (2) ti ui dA

A

(2) (1)

=

ti ui dA .

(2.142)

A (1)

(2)

Danach verrichten die Kr¨ afte ti an den Verschiebungen ui die (2) (1) gleiche Arbeit wie die Kr¨ afte ti an den Verschiebungen ui . Dies ist der Satz von Betti (vgl. Band 2, Abschn. 6.3). Er hat eine besondere Bedeutung als Ausgangspunkt f¨ ur die Methode der Randelemente. 2.7.3 Prinzip der virtuellen Verr¨ uckungen

Wir betrachten einen Gleichgewichtszustand mit den aktuellen Spannungen und Deformationen. Zus¨ atzlich zu den aktuellen Veruhren wir nun virtuelle Verschiebungen δui ein, schiebungen ui f¨ durch die sich das System aus der Gleichgewichtslage ui in die

148


Nachbarlage ui + δui begibt. Unter diesen virtuellen Verschiebungen wollen wir Funktionen vom Ort xi verstehen, die a) infinitesimal, b) gedacht, d.h. nicht wirklich vorhanden, und die c) kinematisch zul¨ assig sind. Letzteres bedeutet, dass entlang des Randes Au , an dem die Verschiebungen vorgegeben sind, die virtuellen Verschiebungen verschwinden: δui |Au = 0. Um die einschr¨ ankenden Bedingungen deutlich zu machen, denen virtuelle Verr¨ uckungen unterliegen, wird f¨ ur sie das Variationssymbol δui anstelle von dui verwendet. Mathematisch darf aber wie mit einem Verschiebungsinkrement bzw. wie mit einem Differential gerechnet werden. So gilt zum Beispiel allgemein die Vertauschungsregel δ(ui,j ) = (δui ),j . Aufgrund der virtuellen Verschiebungen δui kommt es zu den virtuellen Verzerrungen δεij = 12 δ(ui,j + uj,i ) = 12 [(δui ),j + (δuj ),i ] . Setzen wir in Gleichung (2.132) f¨ ur die statischen Größen die ur die kinematischen Größen die aktuellen Spannungen σij und f¨ virtuellen Verschiebungen δui bzw. die Verzerrungen δεij ein, so folgt als schwache Form der Gleichgewichtsbedingungen

σij δεij dV =

V

At

t∗i δui dA

bzw. δWi = δWa .

(2.143)

Darin sind δWi = V σij δεij dV die Arbeitder inneren Kräfte bei einer virtuellen Verr¨ uckung und δWa = At t∗i δui dA die entsprechende Arbeit der ¨ außeren, eingepr¨ agten Kräfte. Beide Arbeiten sind bei einem K¨ orper, der sich im Gleichgewicht befindet, also gleich. Man kann dies auch so ausdr¨ ucken: ein deformierbarer K¨ orper befindet sich dann im Gleichgewicht, wenn die Arbeiten der inneren und der ¨ außeren Kr¨ afte bei einer virtuellen Verr¨ uckung gleich sind. Diese Aussage wird als Prinzip der virtuellen Verr¨ uckungen oder als Prinzip der virtuellen Arbeiten bezeichnet. Es ist unabh¨ angig vom speziellen Stoffverhalten des Körpers g¨ ultig. Man beachte, dass bei den ¨ außeren Kr¨ aften nur die eingepr¨ agten Kr¨ afte auftreten; die Reaktionskr¨ afte verrichten bei einer virtuellen Verr¨ uckung keine Arbeit! Wenn neben den Oberflächen-

2.7

Energieprinzipien

149

lasten auch noch Volumenkr¨ afte vorhanden sind, so muss deren ucksichtigt werden. An dieser Stelle sei noch Arbeit in δWa mitber¨ angemerkt, dass man aus (2.132) bzw. aus den Grundgleichungen (2.130) auch noch andere Prinzipien herleiten kann. Ohne näher darauf einzugehen, seien die sogenannten erweiterten Prinzipien und das Prinzip der virtuellen Kr¨ afte erw¨ ahnt. Bei einem elastischen K¨ orper kann die virtuelle Arbeit der in∂U δεij = δU (εij ) durch neren Kr¨ afte mit (2.136) und σij δεij = ∂ε

ij δWi = σij δεij dV = δU dV = δ U dV = δΠi (2.144) V

V

V

ausgedr¨ uckt werden. Besitzen die ¨ außeren Kr¨ afte ein Potential, dann gilt mit (2.139) außerdem

∗ ˆ a dA = − δΠa , (2.145) δWa = ti δui dV = − δ Π At

At

ˆ a = ∂ Πˆ a δui = t∗ δui . F¨ wobei δ Π uhren wir noch mit Π = Πi + Πa i ∂ui das Gesamtpotential ein, so liefert (2.143) das Prinzip vom Station¨ arwert des Gesamtpotentials δΠ = δ(Πi + Πa ) = 0

bzw. Π = Πi + Πa = station¨ ar . (2.146)

Danach nimmt das Gesamtpotential in der Gleichgewichtslage einen Station¨ arwert (Extremum) an. F¨ ur den linear elastischen Körper l¨ asst sich zeigen, dass Π in der Gleichgewichtslage minimal ist: Π = Πi + Πa = Minimum .

(2.147)

In Worten l¨ asst sich dies folgendermaßen formulieren: unter allen kinematisch zulässigen Vergleichsfunktionen machen diejenigen Π zu einem Extremum (Minimum), f¨ ur die sich der Körper in der Gleichgewichtslage befindet. Auf dieser Tatsache beruhen verschiedene N¨ aherungsverfahren wie zum Beispiel das Verfahren von Ritz (vgl. Abschn. 7.5.6). Wir haben das Prinzip vom Station¨ arwert des Gesamtpotentials ausgehend von den Gleichgewichtsbedingungen hergeleitet.

150


Die kinematischen Gleichungen (Verzerrungs-Verschiebungs-Gleichungen, Verschiebungsrandbedingungen) gingen dabei als Nebenbedingungen ein, denen die virtuellen Verr¨ uckungen gen¨ ugen m¨ ussen. Geht man umgekehrt vom Prinzip (2.147) aus und wendet es auf einen elastischen K¨ orper an, so folgen aus ihm die Gleichgewichtsbedingungen sowie die statischen Randbedingungen. Dies trifft sinngem¨ aß nat¨ urlich auch auf spezielle Tragwerke, wie Stäbe, Balken, Platten oder Schalen zu.

Abb. 2.30

Als Anwendungsbeispiel betrachten wir den Stab nach Abb. 2.30, der durch eine verteilte Last n(x) sowie durch eine Randkraft F belastet ist. Wenn die ¨ außeren Belastungen Totlasten sind, dann lautet mit ε = du/dx = u das Potential der inneren bzw. der außeren Kr¨ afte (vgl. auch Band 2, Tabelle 6.2) ¨ Πi =

l

1 2

EA ε2 dx = 0 l

Πa = −

1 2

l

EA u 2 dx ,

0

n u dx − F u(l) . 0

Damit liefert das Prinzip vom Station¨ arwert des Gesamtpotentials achst δ(Πi + Πa ) = 0 mit δ(u 2 ) = 2u δu zun¨ l 0=δ

/ 1 EA u 2 − n u dx − F u(l) 2

0

l = 0

EA u δu −n δu dx − F δu(l) . ! "# $ !"#$ v

w

Den ersten k¨ onnen wir mittels partieller Inte l Teil des Integrals l gration 0 vw dx = − 0 v wdx + vw|l0 und dem Elastizitätsgesetz N = EA u umformen. Damit wird aus obiger Gleichung

2.7

Energieprinzipien

151

l (EA u ) δu +n δu dx + !EA 0=− δu |l0 − F δu(l) "#u$ !"#$ ! "# $ !"#$ v

0

l =−

w

v

w

[N + n]δu dx + [(N − F )δu]x=l − [N δu]x=0 .

0

F¨ ur ein beliebiges (kinematisch zul¨ assiges) δu ist diese Gleichung nur dann erf¨ ullt, wenn gilt: N + n = 0 ,

[(N − F )δu]x=l = 0 .

[N δu]x=0 = 0 ,

Die linke Gleichung ist die Gleichgewichtsbedingung (Band 2, Gl. (1.13)), die beiden rechten Beziehungen liefern die Randbedingungen. Im Beispiel ist der Rand x = 0 unverschieblich gelagert (= kinematische Randbedingung), d.h. dort ist δu = 0. Am Rand x = l ist dagegen δu beliebig; demnach muss dort die Bedingung N = F erf¨ ullt sein. Beispiel 2.12 Der schubstarre Balken nach Abb. 2.31 wird durch

eine Streckenlast q(x) und eine Einzellast F belastet. Es sollen die Differentialgleichung der Biegelinie und die Randbedingungen mit Hilfe des Prinzips vom Station¨ arwert des Gesamtpotentials hergeleitet werden.

Abb. 2.31

L¨ osung Die Potentiale der inneren Kr¨ afte bzw. der äußeren Kräfte

lauten (vgl. Band 2, Tabelle 6.2)

l

l 1 2 EIw dx , Πa = − q wdx − F w(0) . Πi = 2 0

0

Damit liefert die Bedingung δ(Πi + Πa ) = 0 zunächst

l 0= 0

(EIw δw − q δw)dx − F δw(0) .

B2.12

152


Wenden wir zweimal die partielle Integration an, so wird daraus

l 0=

[− (EIw ) δw − q δw]dx + EIw δw |l0 − F δw(0)

0

l =

[(EIw ) δw − q δw]dx + EIw δw |l0

0

− (EIw ) δw|l0 − F δw(0)

l = [(EIw ) − q]δw dx + EIw δw |l0 0

− (EIw ) δw|l0 − F δw(0) . Diese Gleichung wird f¨ ur eine beliebige zul¨ assige (virtuelle) Verr¨ uckung nur dann erf¨ ullt, wenn die eckige Klammer im Integral und alle Randterme f¨ ur sich verschwinden. Hiermit erhält man aus dem Integral die Differentialgleichung der Biegelinie (EIw ) − q = 0 . Wenn man das Elastizit¨ atsgesetz f¨ ur das Biegemoment EIw = −M einsetzt, dann erkennt man, dass dies die Gleichgewichtsbedingung M = −q darstellt. Aus den restlichen Termen folgen die Randbedingungen. Am rechten Rand (x = l) ist der Balken eingespannt. Dort sind δw = 0 und δw = 0, und damit verschwinden die entsprechenden Randterme. Am linken Rand (x = 0) sind ur die Randdagegen δw und δw beliebig. Damit ergibt sich dort f¨ bedingungen − EIw δw = 0 →

M δw = 0 → M = 0 ,

[(EIw ) − F ]δw = 0 → −(Q + F )δw = 0 → Q = −F .

2.8

Weiterf¨ uhrende Literatur

153

2.8 Weiterf¨ uhrende Literatur Eschenauer, H., Schnell, W., Elastizit¨ atstheorie, Bibliographisches Institut, 1993 Eschenauer, H., Schnell, W., Elastizit¨ atstheorie, Formel- und Aufgabensammlung, Bibliographisches Institut, 1994 Becker, W., Gross, D., Mechanik elastischer K¨ orper und Strukturen, Springer, Berlin 2002 Green, A.E., Zerna, W., Theoretical Elasticity, Clarendon Press, Oxford 1968 Hahn, H.G., Elastizit¨ atstheorie, Teubner, Stuttgart 1985 Leipholz, H., Theory of Elasticity, Nordhoff, Leyden 1974 Mal, A., Singh, S.J., Deformation of Elastic Solids, Prentice Hall, New York 1991 Ogden, R.W., Nonlinear Elasticity: Theory and Applications, Cambridge University Press, 2001 Timoshenko, S.P., Goodier, J.N., Theory of Elasticity, McGraw Hill, New York 1970 Ting, T.C.T., Anisotropic Elasticity, Theory and Applications, Oxford University Press, 1996 Washizu, K., Variational Methods in Elasticity and Plasticity, Pergamon Press, Oxford 1982

2.8

Kapitel 3 Statik spezieller Tragwerke

3

3 Statik spezieller Tragwerke 3.1 3.2 3.2.1 3.2.2 3.3 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.4 3.4.1 3.4.2 3.5 3.5.1 3.5.2 3.5.3 3.6 3.6.1 3.6.2 3.6.3 3.7

Einleitung......................................................... Der Bogenträger ................................................ Gleichgewichtsbedingungen ................................... Der momentenfreie Bogenträger ............................ Das Seil........................................................... Gleichung der Seillinie ......................................... Seil unter Einzelkräften ....................................... Kettenlinie........................................................ Der Schubfeldträger ............................................ Kraftfluss am Parallelträger .................................. Grundgleichungen ............................................... Saite und Membran ............................................ Die Saite ......................................................... Die Membran .................................................... Membrantheorie d¨ unner Rotationsschalen ................. Die Platte ........................................................ Grundgleichungen der Platte ................................. Randbedingungen f¨ ur die schubstarre Platte ............. Die Kreisplatte .................................................. Weiterf¨ uhrende Literatur ......................................

157 158 158 162 164 164 168 169 172 172 173 181 181 185 187 192 192 199 204 208

3.1

Einleitung

157

3.1 Einleitung Tragwerke sind K¨ orper mit Abmessungen in allen drei Raumrichtungen. Bei zahlreichen Bauteilen sind jedoch die Abmessungen der Querschnitte klein gegen die L¨ ange. Sie k¨ onnen dann häufig n¨ aherungsweise als linienhafte K¨ orper betrachtet werden. Ihre Gestalt wird durch die Angabe der Verbindungslinie der Schwerpunkte aller Querschnitte (Achse) und der Querschnitte beschrieben. Je nach Form der Achse und nach Art der Belastung unterscheidet man folgende Linientragwerke: a) Stäbe (gerade Achse, Last in Richtung der Stabachse, vgl. Band 1, Kap. 6), b) Seile (gekr¨ ummte Achse, nehmen nur Zugkräfte auf), c) Balken (gerade Achse, Last senkrecht zur Balkenachse, vgl. Band 1, Kap. 7), d) Bögen (gekr¨ ummte Achse, Last beliebig). Weiterhin gibt es Tragwerke, bei denen eine Abmessung (z.B. die Dicke) klein ist gegen¨ uber den anderen Abmessungen. Diese flächenhaften K¨ orper k¨ onnen wir durch Angabe der Mittelfläche und der Dicke t beschreiben. Dabei setzen wir t als klein voraus. Je nach Form der Mittelfl¨ ache und nach der Art der Belastung achentragwerke: unterscheidet man folgende Fl¨ a) Scheiben (ebene Mittelfl¨ ache, Last in der Mittelfläche, vgl. Abschnitt 2.5), b) Platten (ebene Mittelfl¨ ache, Last senkrecht zur Mittelfläche), ummte Mittelfl¨ ache, Last beliebig). c) Schalen (gekr¨ Bei allen genannten Tragwerken liegen genau genommen räumliche Spannungszust¨ ande vor, die von allen drei Koordinaten des Raums abh¨ angen. Unter gewissen Voraussetzungen können diese dreidimensionalen Probleme in guter N¨ aherung bei Linientragwerken auf eindimensionale, bei Fl¨ achentragwerken auf zweidimensionale Probleme zur¨ uckgef¨ uhrt werden. Wir werden in den folgenden Abschnitten zeigen, wie man hierzu bei den verschiedenen Tragwerken vorgehen kann.

3.1

158

3.2

3 Statik spezieller Tragwerke

3.2 Der Bogentr¨ ager 3.2.1 Gleichgewichtsbedingungen

Einen gekr¨ ummten Balken nennt man einen Bogen. Wir wollen uns im folgenden auf die Ermittlung der Schnittkräfte im Bogen beschr¨ anken. Auf die Verformungen werden wir nicht eingehen. Ein Bogen nach Abb. 3.1a sei durch Einzellasten Fi , Momente Mk und Streckenlasten q bzw. n belastet. Dabei wirkt q stets normal und n stets tangential zur Bogenachse. Wir f¨ uhren als Koordinate die Bogenl¨ ange s ein. Weiterhin ist r der Kr¨ ummungsradius an einer beliebigen Stelle s. Er soll groß sein gegen die Querschnittsabmessungen des Bogens. In Band 1, Abschnitt 7.3 wurden die Schnittgrößen an einem Bogen nur aus dem Gleichgewicht an freigeschnittenen Bogentei¨ len ermittelt. Ahnlich wie beim geraden Balken (vgl. Band 1, Abschn. 7.2.2) kann man auch f¨ ur den gekr¨ ummten Träger die Gleichgewichtsbedingungen am differentiell kleinen Element aufstellen und aus ihnen dann die Schnittgr¨ oßen durch Integration bestimmen. Hierzu betrachten wir nach Abb. 3.1b ein Element der Länge ds mit den Schnittgr¨ oßen und den Lasten q und n. Zu beachten ist, dass beim gekr¨ ummten Balken unter beliebiger Last neben der Querkraft Q und dem Moment M auch stets eine Normalkraft N auftritt. F¨ ur die weitere Rechnung ist es zweckmäßig, die Bogenl¨ ange ds mit Hilfe des Kr¨ ummungsradius r durch den Winkel dϕ auszudr¨ ucken, den zwei infinitesimal benachbarte Querschnitte miteinander bilden: ds = rdϕ.

Abb. 3.1

Das Gleichgewicht in Radialrichtung bzw. in Tangentialrichtung ergibt

3.2

↑:

→:

Der Bogenträger

159

dϕ dϕ − (Q + dQ) cos 2 2 dϕ dϕ − (N + dN ) sin − q ds = 0 , − N sin 2 2 dϕ dϕ (N + dN ) cos − N cos 2 2 dϕ dϕ − Q sin + n ds = 0 . − (Q + dQ) sin 2 2

Q cos

dϕ dϕ Da dϕ infinitesimal klein ist, gelten sin dϕ 2 → 2 und cos 2 → 1. Weiterhin fallen Produkte von Zuw¨ achsen als klein von höherer Ordnung heraus, und es folgt dann

− dQ − N dϕ − q ds = 0 ,

dN − Q dϕ + n ds = 0 .

Mit dϕ = ds/r wird daraus dQ 1 + N + q = 0, ds r 1 dN − Q + n = 0. ds r

(3.1) (3.2)

Schließlich ergibt das Momentengleichgewicht bez¨ uglich C Q

ds ds + (Q + dQ) + M − (M + dM ) = 0 → dM − Q ds = 0 2 2

oder dM − Q = 0. ds

(3.3)

Die Gleichgewichtsbedingungen (3.1) bis (3.3) bilden ein System von 3 gekoppelten Differentialgleichungen, aus denen bei gegebenen Belastungen q und n die 3 Schnittgr¨ oßen berechnet werden k¨ onnen. Im Sonderfall M = const ist nach (3.3) die Querkraft gleich Null. Im Sonderfall des Kreisbogentr¨ agers mit dem Radius r = a kann die L¨ osung f¨ ur n = q = 0 unmittelbar angegeben werden. Mit ds = a dϕ folgt durch Elimination von N aus (3.1) und (3.2)

160


d2 Q + Q = 0. dϕ2 Diese Schwingungsgleichung“ (vgl. Band 3, Gl. (5.3)) hat die ” Lösung Q = A cos ϕ + B sin ϕ .

(3.4)

Aus (3.1) bzw. (3.3) ergeben sich damit N =−

dQ dϕ

dM = aQ dϕ

→ N = A sin ϕ − B cos ϕ ,

(3.5)

→ M = (A sin ϕ − B cos ϕ)a + C .

(3.6)

Die drei Integrationskonstanten A bis C folgen aus den Randbedingungen. Im Sonderfall des geraden Tr¨ agers folgen aus (3.1) bis (3.3) mit r → ∞ und ds = dx die Gleichgewichtsbedingungen des Stabes dN/dx = −n und des Balkens dQ/dx = −q, dM/dx = Q (vgl. Band 2, Gl. (1.13) bzw. Band 1, Gln. (7.6), (7.7)). Die Gleichungen der Stabtheorie und der Balkentheorie sind danach entkoppelt. Eine besonders einfache L¨ osung findet man f¨ ur den geschlossenen Kreisring vom Radius a, wenn nur eine konstante radiale Belastung q0 wirkt. Dann h¨ angen die Schnittkräfte nicht von s ab, und wir erhalten N = − q0 a ,

Q = 0,

M = 0.

(3.7)

Diese Beziehung f¨ ur N entspricht der Kesselformel beim Zylinder. Auf einen Streifen der Breite b wirkt dort ein Innendruck“ p = ” −q0 /b, d.h., es wird N = p b a. Mit der Wandstärke t folgt damit die Umfangsspannung (vgl. Band 2, Gl. (2.19)) σ=

B3.1

a N =p . bt t

Beispiel 3.1 Der Kreisbogentr¨ ager nach Abb. 3.2a wird durch eine

Einzelkraft F belastet. Gesucht sind die Schnittgrößen.

3.2

Der Bogenträger

161

Abb. 3.2

L¨ osung An der Kraftangriffsstelle ϕ = 30◦ tritt eine Unstetigkeit

auf. Wir m¨ ussen daher in 2 Bereichen integrieren und f¨ uhren hierzu zweckm¨ aßig einen zweiten Winkel ψ nach Abb. 3.2b ein. Es wird dann nach (3.4) bis (3.6) I: 0 ≤ ϕ ≤ 30◦

II: 0 ≤ ψ ≤ 150◦

QI = A cos ϕ + B sin ϕ ,

QII = D cos ψ + E sin ψ ,

NI = A sin ϕ − B cos ϕ ,

NII = D sin ψ − E cos ψ ,

MI = (A sin ϕ − B cos ϕ) a + C ,

MII = (D sin ψ − E cos ψ) a + G .

Die sechs Integrationskonstanten folgen aus drei Randbedingungen MI (0) = 0 : a B = C , MII (0) = 0 : a E = G ,

QII (0) = 0 : D = 0

¨ und drei Ubergangsbedingungen (Abb. 3.2c) (Vorzeichen von QII beachten!) NII (150◦ ) + F sin 30◦ − NI (30◦ ) = 0 : √ √ F A D 3 3 + E+ − + B = 0, 2 2 2 2 2 QII (150◦ ) − F cos 30◦ − QI (30◦ ) = 0 : √ √ √ E B 3 3 3 D+ − F+ A+ = 0, − 2 2 2 2 2 MI (30◦ ) = MII (150◦ ) : √ √ 3 3 D A − B a+C = + E a + G. 2 2 2 2 Durch Aufl¨ osen ergibt sich

162


A=F, B=−

F F F F , C = − a, D = 0, E = , G = a 4 4 4 4

und damit NI = sin ϕ + 14 cos ϕ F , NII = − 14 F cos ψ , QII = 14 F sin ψ , QI = cos ϕ − 14 sin ϕ F , MI = sin ϕ + 14 cos ϕ − 14 aF , MII = 14 (1 − cos ψ) aF . Diese L¨ osung stimmt mit den Ergebnissen zu Beispiel 7.11 in Band 1 u aufe der Schnittgrößen aufge¨berein, wo auch die Verl¨ tragen sind (dort wird der Radius mit r bezeichnet). 3.2.2 Der momentenfreie Bogentr¨ ager

Es gibt spezielle Belastungen, f¨ ur die in einem Bogenträger gegebener Form nur L¨ angskr¨ afte und keine Biegemomente und Querkräfte auftreten (vgl. z.B. (3.7)). Wir wollen nun umgekehrt fragen, welche Form ein Bogentr¨ ager besitzen muss, damit er eine gegebene Belastung momentenfrei u ¨bertragen kann. Wegen (3.3) ist dann auch die Querkraft Null. Man nennt diese Form utzlinie. Die Rechnung wird einfacher, wenn in der Baustatik St¨ man statt der Koordinaten r, s kartesische Koordinaten verwendet. Wir beschr¨ anken uns jetzt auf eine rein vertikale Belastung q(x) und beschreiben die gesuchte Form des Trägers durch eine Funktion y(x) (Abb. 3.3a). Damit bei diesem Träger kein Moment auftritt, muss die L¨ angskraft – jetzt als Druckkraft D positiv eingef¨ uhrt – durch eine querkraftfreie Lagerung am Ende aufgenommen werden k¨ onnen. Nach Abb. 3.3b folgt aus den Gleichgewichtsbedingungen (wir zerlegen die einzig wirkende Schnittkraft D in die Horizontalkomponente H und die Vertikalkomponente V ) →: dH = 0 ↓: dV + q(x)dx = 0

→

H = const , dV = − q(x) . → dx

F¨ ur die Kraftkomponenten gilt ferner (D wirkt tangential): V /H = tan α = dy/dx . Differenzieren wir diese Gleichung und setzen die

3.2

Der Bogenträger

163

Abb. 3.3

Gleichgewichtsbedingungen ein, dann erhalten wir die Differentialgleichung f¨ ur die Form des momentenfreien Tr¨ agers: q(x) d2 y . =− dx2 H

(3.8)

Die zwei Integrationskonstanten in der L¨ osung von (3.8) und der noch unbekannte Horizontaldruck H folgen aus zwei Randbedingungen und einer zus¨ atzlichen Aussage, z.B. u ¨ber die Stichhöhe f . Die Druckkraft im Bogen l¨ asst sich bei bekanntem y(x) mit (·) = d(·)/dx aus D = H 2 + V 2 = H 1 + y 2 (3.9) ermitteln. Im Spezialfall einer konstanten Belastung q(x) = q0 ergibt zweimalige Integration von (3.8) eine quadratische Parabel: y=−

q0 2 x + C1 x + C2 . 2H

Liegen nach Abb. 3.3c die Lager auf gleicher H¨ ohe, so liefern die Randbedingungen q0 y(0) = 0 → C2 = 0 , l. y(l) = 0 → C1 = 2H Damit ist die Form des Bogentr¨ agers durch

2 2 q0 l x x y= − 2H l l bestimmt. Wenn wir die Stichh¨ ohe f = y(l/2) vorgeben, so wird 2 2 1 1 q0 l q0 l − . (3.10) = H= 2f 2 4 8f

164


Die Druckkraft D folgt aus (3.9). Da im Scheitel die Neigung y verschwindet, ist dort D = H. Zu den Lagern hin nimmt D zu 2 2 und erreicht mit y 2 (0) = y 2 (l) = (q0 l) / (2H) den Größtwert q0 l 2 16f 2 DA = DB = 1+ 2 . 8f l Die Vertikalkomponente am linken Lager wird VA = Hy (0) = q0 l/2, was sich aus dem Gleichgewicht am gesamten Bogen u ¨berpr¨ ufen l¨ asst: ↑: VA = VB = 12 q0 l . 3.3

3.3 Das Seil 3.3.1 Gleichung der Seillinie

Seile (und Ketten) haben bei Tragwerken einen breiten Anwen¨ dungsbereich, z.B. bei H¨ angebr¨ ucken, Seilbahnen oder Uberlandleitungen. Wir wollen annehmen, dass das Seil undehnbar ist und nur Zugkr¨ afte u ¨bertragen kann. Es kann daher keine Biegemomente oder Querkr¨ afte aufnehmen. Man nennt solch ein Tragwerk biegeschlaff. W¨ ahrend man beim Bogen jede beliebige Form vorgeben kann, stellt sich beim Seil passend zur Belastung jeweils eine Gleichgewichtsform ein, die erst ermittelt werden muss. Wir beschr¨ anken uns wieder auf vertikale Lasten q(x). Diese denken wir uns durch viele gewichtslose Seile auf das eigentliche Tragseil u ucke ¨bertragen, so wie z.B. die Fahrbahn einer Hängebr¨ am Tragseil aufgeh¨ angt ist (Abb. 3.4a). Wir k¨ onnen dann die Gleichung (3.8) des momentenfreien Tr¨ agers f¨ ur das Seil u ¨bernehmen, wenn wir noch beachten, dass beim Seil nur Zugkräfte auftreten. Daher z¨ ahlen wir jetzt H als Horizontalzug positiv, und mit der Vorzeichenumkehr von H folgt aus (3.8) die Differentialgleichung der Seillinie q(x) d2 y . = 2 dx H

(3.11)

3.3

Das Seil

Die Seilkraft S ergibt sich analog zu (3.9) aus S = H 2 + V 2 = H 1 + y 2 .

165

(3.12)

Im allgemeinen ist die Konstante H noch unbekannt. Beim Bogen konnten wir sie z.B. durch Vorgabe der Stichh¨ ohe f ermitteln. Beim Seil ist aber f meistens unbekannt, und nur die Seillänge L ist gegeben. Wir m¨ ussen daher den Zusammenhang zwischen L und y(x) formulieren, um H zu bestimmen. Wegen ds = dx2 + dy 2 = dx 1 + y 2 gilt

L=

ds =

l

1 + y 2 dx .

(3.13)

0

Hierin ist die L¨ osung von (3.11) einzusetzen. Eine analytische Berechnung des Integrals ist f¨ ur beliebige q(x) i.a. nicht möglich.

Abb. 3.4

Als Anwendungsbeispiel betrachten wir das Tragseil nach Abb. 3.4b, das bei gegebener Seill¨ ange L zwischen A und B eine konstante Streckenlast q(x) = q0 aufnehmen soll. Der Abstand l ist gegeben, der Durchhang f ist unbekannt. Gleichung (3.11) liefert f¨ ur y(x) eine quadratische Parabel: y =

q0 x + C1 , H

y=

q0 x2 + C1 x + C2 . 2H

Aus den Randbedingungen ergeben sich die Integrationskonstanten: y(0) = 0 → C2 = 0 ,

y(l) = 0 → C1 = −

q0 l . 2H

166


Das Seil nimmt daher die Form q0 l2 x 2 x y= − 2H l l an, wobei H noch unbekannt ist. Wir greifen auf (3.13) zur¨ uck:

l

2 q0 l x L= 2 −1 1+ dx . 2H l 0

q0 l x 2 −1 = Dieses Integral l¨ asst sich mit der Substitution 2H l sinh u l¨ osen: L=

H [u + sinh u cosh u]uuB . A 2q0

Bei gegebenem L kann man hieraus H numerisch ermitteln. Man erh¨ alt dann den gesuchten Durchhang f = − y(l/2) =

q0 l2 . 8H

Beim flach gespannten Seil (|y | 1) kann man mit |y |max = aherungsweise analytisch beq0 l/(2H) 1 den Durchhang f n¨ stimmen. Eine Reihenentwicklung des Integranden in der Gleichung f¨ ur L ergibt

2

2 q l x 1 q0 l 2 x 0 2 −1 2 −1 1+ ≈ 1+ 2H l 2 2H l

2 f 2 x 2 −1 , = 1+8 l l und damit folgt nach Integration und Einsetzen der Grenzen 3 8 f2 → f= (L − l)l . L=l+ 3 l 8 Um eine Vorstellung von der Gr¨ oßenordnung des Durchhangs zu erhalten, betrachten wir ein Zahlenbeispiel: f¨ ur l = 100 m und L = 102 m wird f = 8, 7 m. B3.2

Beispiel 3.2 Auf ein Kabel wirkt eine Dreieckslast so, dass ein Durchhang h auftritt (Abb. 3.5).

3.3

Das Seil

167

Wie lautet die Gleichung der Seillinie? Wie groß sind die maximale Seilkraft und die Seilkraft in der Mitte des Kabels?

Abb. 3.5

L¨ osung Wir legen den Koordinatenursprung ins linke Lager und nutzen die Symmetrie aus. F¨ ur 0 ≤ x ≤ l/2 gilt q(x) = q0 2x/l. Mit (3.11) folgt

q0 H q0 y = H q0 y= H

y =

2

x , l

x2 + C1 , l x3 + C1 x + C2 . 3l

Aus den Randbedingungen und aus der Symmetriebedingung ergeben sich y(0) = 0

→ C2 = 0 ,

⎫ q0 l2 l⎪ ⎬ + C1 ⎪ H 24 2 → ⎪ q0 l ⎪ ⎭ → C1 = − 4H

y(l/2) = −h → −h = y (l/2) = 0

3h , l q0 l2 H= . 12h

C1 = −

Das Seil nimmt f¨ ur x ≤ l/2 folgende Form an: 3 h q0 x x x 3 −3 x=h 4 . −3 y= H 3l l l l Die Seilkraft folgt aus (3.12). Ihr gr¨ oßter Wert tritt an den Rändern auf: 2 2 q h l 0 2 Smax = H 1 + y (0) = 1+9 . 12h l

168


Die Seilkraft in der Mitte ist gleich dem Horizontalzug H: Smitte = H

1 + y 2 (l/2) = H =

q0 l 2 . 12h

3.3.2 Seil unter Einzelkr¨ aften

Eine Einzelkraft F bewirkt einen Knick im Seil (Abb. 3.6a). Die Vertikalkomponente V und die Horizontalkomponente H der Seilkraft S erfahren an der Kraftangriffsstelle C jeweils einen Sprung in Gr¨ oße der jeweiligen Komponente von F . Wenn wir die Kräfte links von C mit einem Index L und die Kr¨ afte rechts von C mit R kennzeichnen, folgt aus dem Gleichgewicht (Abb. 3.6b) ↓: VR = VL − FV ,

→: HR = HL − FH .

Die Winkel¨ anderung in C ergibt sich aus FV 1− VR VL − F V VL VL = = . tan αR = FH HR HL − F H HL !"#$ 1 − HL tan αL ¨ Ahnlich wie im Knotenpunktverfahren beim Fachwerk (vgl. Band 1, Abschn. 6.3.1) liefern die Gleichgewichtsbedingungen an jeder Lastangriffsstelle zusammen mit den Randbedingungen den Verlauf der Seilkraft und die jeweilige Neigung des Seiles zwischen zwei Kr¨ aften. Die Seillinie, die sich bei gegebenen Kräften und gegebener Seill¨ ange einstellt, entspricht dem Seileck, das in Band 1, Abschnitt 3.1.5 als Hilfskonstruktion bei der Zusammensetzung von Kr¨ aften eingef¨ uhrt wurde. Entsprechend der Analogie zwischen (3.8) und (3.11) beschreiben St¨ utz- und Seillinie jeweils die

Abb. 3.6

3.3

Das Seil

169

Form momentenfreier Tragwerke. Diese Analogie war in fr¨ uheren Jahrhunderten beim Mauerwerksbau großer B¨ ogen und Kuppeln von Bedeutung. Da vom Mauerwerk nur Druckkräfte aufgenommen werden k¨ onnen, gab man den Tragwerken die Form einer St¨ utzlinie. Diese Form wurde z.B. von G. Poleni (1748) mittels eines durch Gewichte beschwerten Seiles experimentell ermittelt. 3.3.3 Kettenlinie

Bisher haben wir eine Belastung q(x) betrachtet, die auf die Horizontalprojektion des Seiles bezogen war. Wir suchen jetzt nach der Form eines Seiles oder einer Kette unter Eigengewicht, das konstant u ange des Seiles verteilt ist. Um die Ergebnisse ¨ber die L¨ des vorangegangenen Abschnitts verwenden zu können, projizieangeneinheit des Seiles) ren wir die Streckenlast q0 (Gewicht pro L¨ nach Abb. 3.7a auf die Horizontale. Da die gleiche Vertikalkraft u ¨bertragen werden muss, gilt q0 ds = q(x)dx. Auflösen ergibt mit ur das projizierte Eigengewicht ds2 = dx2 + dy 2 f¨ ds = q0 1 + y 2 . q(x) = q0 dx Man erkennt hieran, dass q(x) mit x ver¨ anderlich ist, obwohl q0 konstant ist. Einsetzen in (3.11) liefert q0 y = 1 + y 2 . H Zur L¨ osung dieser nichtlinearen Differentialgleichung substituie√ ren wir y = u, y = u und k¨ onnen dann in u = (qo /H) 1 + u2 die Variablen trennen: du q0 dx = √ . H 1 + u2

Abb. 3.7

170


Die Integration f¨ uhrt auf (q0 /H)(x − x0 ) = arsinh u, d.h. q q H 0 0 (x − x0 ) → y − y0 = (x − x0 ) . cosh u = y = sinh H q0 H Wenn man ein neues Koordinatensystem x ¯, y¯ so einf¨ uhrt, dass die y¯-Achse durch die tiefste Stelle des Seiles geht und die x ¯-Achse den Abstand H/q0 von dort hat (Abb. 3.7b), vereinfacht sich das Ergebnis f¨ ur die Seilform zu y¯ =

H q0 ¯. cosh x q0 H

(3.14)

Man nennt diese Kurve die Kettenlinie. Mit (3.12) und (3.14) findet man die Seilkraft q0 q0 2 ¯ = H cosh x ¯ = q0 y¯ . (3.15) S = H 1 + y¯ = H 1 + sinh2 x H H Die L¨ ange des Seiles ergibt sich nach (3.13) aus

x¯B

x¯B H q0 q0 2 ¯ d¯ x= ¯ 1 + y¯ d¯ x = cosh x sinh x L= H q0 H x ¯A

x ¯A

x ¯B

.

(3.16)

x ¯A

¯)/H 1, folgt F¨ ur eine flach durchh¨ angende Kette, d.h. (q0 x aus der Reihenentwicklung von (3.14) 1 q0 x H q0 2 H ¯ 2 x ¯ . 1+ + ... ≈ + y¯(x) = q0 2! H q0 2H Dies ist eine quadratische Parabel, wie wir sie beim Seil unter konur flachen Durchhang stantem q(x) = q0 kennengelernt haben. F¨ kann man demnach die Kettenlinie durch eine Parabel annähern. Dabei ist ein flacher Durchhang immer mit einem sehr großen Horizontalzug verbunden (qo l/H 1 bedeutet H q0 l). B3.3

Beispiel 3.3 Ein Kabel (q0 = 120 N/m) soll nach Abb. 3.8a zwi-

schen zwei Masten im Abstand l = 300 m so aufgehängt werden, dass der Durchhang f = 60 m betr¨ agt. Wie groß sind die maximale ange L? Seilkraft Smax und die Seill¨

3.3

Das Seil

171

Abb. 3.8

L¨ osung Wir m¨ ussen die Gleichung der Kettenlinie nach (3.14) der

Randbedingung anpassen: y¯(l/2) =

H +f q0

→ f=

H q0

cosh

q0 l −1 2H

.

Dies ist ein transzendenter Zusammenhang zwischen f und H, aus dem sich H bei gegebenem f nur numerisch oder graphisch ermitteln l¨ asst. Wir setzen hierzu (q0 l)/(2H) = u; dann wird cosh u = (2f /l)u + 1. Mit den gegebenen Abmessungen folgt cosh u = (2/5)u + 1 (Abb. 3.8b). Hieraus ergibt sich u∗ = 0, 762. Damit wird der Horizontalzug H=

q0 l 0, 12 · 300 = 23, 6 kN . = 2u∗ 2 · 0, 762

Die maximale Seilkraft folgt aus (3.15) zu H Smax = q0 y¯(l/2) = q0 + f = 30, 8 kN . q0 l Schließlich erhalten wir f¨ ur die Seill¨ ange nach (3.16) mit x ¯B = 2 unter Beachtung der Symmetrie L=2

47200 H q0 l = sinh 0, 762 = 330 m . sinh q0 H2 120

ur ein Seil mit Nach der N¨ aherungsformel L = l + (8f 2 )/(3l) f¨ flachem Durchhang (vgl. Abschn. 3.3.1) h¨ atten wir im Zahlenbei8·602 = 332 m erhalten. Dieser Wert spiel eine Seill¨ ange L = 300 + 3·300 weicht vom exakten Ergebnis nur um 1% ab, obwohl der f¨ ur die

172


N¨ aherung maßgebende Parameter (q0 l)/(2H) = u∗ = 0, 762 keineswegs sehr klein gegen Eins ist.

3.4

3.4 Der Schubfeldtr¨ ager 3.4.1 Kraftfluss am Paralleltr¨ ager

Im Ingenieurwesen werden unterschiedliche Tragwerke verwendet. In den B¨ anden 1 und 2 haben wir bereits das Fachwerk und den Balken kennengelernt. Eine Verbindung zwischen beiden Tragwerager her, ken stellt in gewisser Weise der sogenannte Schubfeldtr¨ den wir nun untersuchen wollen. Dabei beschränken wir uns auf die Berechnung von Schnittgr¨ oßen in statisch bestimmten Systemen. Zur Vorbereitung betrachten wir zun¨ achst einen Träger mit parallelem Ober- und Untergurt (Paralleltr¨ ager) in klassischer Fachwerkbauweise (Abb. 3.9a). Nach Ermittlung der Lagerkraft A k¨ onnen wir mit einem Ritterschen Schnitt (Band 1, Abschn. 6.3.3) z.B. die Stabkr¨ afte S6 bis S8 ermitteln. Sie sind in Abb. 3.9b so eingetragen, wie sie auf den Schnitt wirken (vgl. Band 1, Beispiel 6.1).

Abb. 3.9

Zerlegen wir die Kraft S7 im Diagonalstab in ihre horizontale Komponente 23 F und ihre vertikale Komponente 13 F , so werden nach Abb. 3.9c im betrachteten Schnitt des Trägers insge-

3.4

Der Schubfeldträger

173

samt eine Querkraft Q = 13 F und ein Biegemoment (Kräftepaar) abe haben danach unterM = 23 F l u ¨bertragen. Die Fachwerkst¨ schiedliche Aufgaben: Ober- und Untergurt u ¨bertragen das Moment, die Diagonalst¨ abe die Querkraft. Die Pfosten leiten zum einen o ¨rtlich Einzellasten ein, zum anderen verhindern sie – wie Nullst¨ abe im Fachwerk – eine Beweglichkeit des Systems. Die Flugzeugbauer, die ja besonders um niedriges Gewicht bem¨ uht sein m¨ ussen (Leichtbau), haben zuerst bemerkt, dass man die gerade beschriebene unterschiedliche Funktion von Teilen einer Konstruktion besser ausnutzen kann, wenn man statt der Diagonalst¨ abe d¨ unne Bleche einf¨ ugt. Da die Bleche, die längs ihrer R¨ ander mit den St¨ aben kontinuierlich verbunden sind, den Schub (Querkraft) u ¨bertragen sollen, nennt man diese Konstruktion Schubfeldtr¨ ager (Abb. 3.9d). 3.4.2 Grundgleichungen

Wir wollen nun die Schnittkr¨ afte (und hieraus die Spannungen) in einem Schubfeldtr¨ ager ermitteln. Um diese Konstruktion einer einfachen Berechnung zug¨ anglich zu machen, treffen wir folgende Annahmen: 1) Gurte und Pfosten sind gelenkig verbundene Stäbe; eine Biegung der St¨ abe wird vernachl¨ assigt. ¨ 2) Außere Lasten greifen nur als Einzelkr¨ afte an den Knoten an. 3) Die Bleche konstanter Dicke u ¨bertragen nur Schubspannungen. Diese sind u ander gleichf¨ ormig verteilt (Abb. 3.10a). ¨ber die R¨ Nach Band 2, Gleichung (2.3) sind zugeordnete Schubspannungen gleich: τxz = τzx .

(3.17)

Daher herrscht im Schubblech ein reiner Schubspannungszustand mit gleichen Spannungen an allen R¨ andern. Wir können deshalb die Indizes bei den Schubspannungen in (3.17) weglassen. Das Blech ist unter den Spannungen τ im Gleichgewicht. Zweckmäßig f¨ uhrt man noch f¨ ur ein Blech der Dicke t den Schubfluss T =τt

(3.18)

174


Abb. 3.10

ein (Dimension Kraft/L¨ ange). An einem Blechrand der Länge l wirkt dann insgesamt eine Kraft T l. Wir nehmen nun an, dass l¨ angs des Tr¨ agers die Querkraft Q und das Biegemoment M bekannt sind. Zur Berechnung der Stabkräfte und der Schubfl¨ usse schneiden wir aus dem Schubfeldträger ein beliebiges Feld mit allen benachbarten St¨ aben heraus (Abb. 3.10b) und stellen an jedem einzelnen Bauelement Gleichgewicht her. Wenn im Schnitt i (am rechten Rand des Feldes i) eine Querkraft Qi u ur den Schubfluss und f¨ ur die ¨bertragen wird, so folgen f¨ Schubspannung: Qi = Ti h →

Ti =

Qi , h

τi =

Ti ti

→ τi =

Qi . h ti

(3.19)

Aus dem Biegemoment Mi im betrachteten Schnitt ergeben sich in Analogie zum Ritterschen Schnittverfahren (Band 1, Abschnitt 6.3.3) die Stabkr¨ afte in den Gurten: Mi = Si+1 h →

Si+1 =

Mi . h

(3.20)

Schließlich erh¨ alt man aus dem Gleichgewicht am Pfosten den Zusammenhang zwischen den Schubfl¨ ussen in benachbarten Feldern: ↑: Ti h − Ti+1 h − Fi+1 = 0 → Ti+1 = Ti −

Fi+1 . h

(3.21)

3.4


175

Falls im (i+1)-ten Pfosten keine Kraft Fi+1 angreift, wird hiernach der Schubfluss unver¨ andert vom i-ten Blech auf das (i+1)-te Blech u ¨bertragen. Die Schubfl¨ usse verursachen in den Randst¨ aben Längskräfte. Um ihren Verlauf zu ermitteln, betrachten wir nach Abb. 3.10c einen Teilstab der L¨ ange x. Wenn am linken Rand eine Stabkraft angs des Stabes ein konstanter Schubfluss T wirken, so S0 und l¨ folgt aus dem Gleichgewicht die Stabkraft S(x) an beliebiger Stelle zu →: S(x) = S0 + T x .

(3.22)

Hiernach verl¨ auft die Stabkraft zwischen zwei Knoten linear. Zwischen den Kr¨ aften an den Stabenden folgt der Zusammenhang Si+1 = Si + Ti l .

(3.23)

Mit den Formeln (3.19) bis (3.23) k¨ onnen in einem Schubfeldträger mit parallelen Gurten alle Schubfl¨ usse und alle Stabkraftverläufe berechnet werden. Als Anwendungsbeispiel betrachten wir den Träger nach Abb. 3.9d. Er ist in Abb. 3.11a nochmals dargestellt, wobei die Bleche und die St¨ abe numeriert wurden. Querkraft- und Momentenverlauf sind in Abb. 3.11b dargestellt. Aus der Querkraft können wir

Abb. 3.11

176


mit (3.19) die Schubfl¨ usse berechnen: 1F 2F , T3 = − . T 1 = T2 = 3 l 3 l Hiernach tritt der gr¨ oßte Schubfluss im Blech } auf. Wenn dieses Blech die Dicke t3 hat, wirkt dort die Schubspannung τ = usse mit den Rich2F/(3 l t3 ). In Abb. 3.10b hatten wir die Schubfl¨ tungen, mit denen sie auf das Blech und auf die Stäbe wirken, eingetragen. In der praktischen Anwendung der Berechnungsmethode werden Blech und St¨ abe jedoch nicht getrennt. Wir wollen dann den in jedem Feld konstanten Schubfluss in das Blech so eintragen, wie er auf die St¨ abe wirkt (Abb. 3.11c). Aus (3.20) k¨ onnen die Gurtkr¨ afte berechnet werden. So ist z.B. am rechten Ende des Stabes 5 die Stabkraft S5r = 43 F l/l = 43 F . Die Stabkr¨ afte in den Gurten entsprechen dem Verlauf der Momentenlinie und unterscheiden sich f¨ ur Ober- und f¨ ur Untergurt nur durch die Vorzeichen. In Abb. 3.11c sind die Stabkräfte mit ihren Vorzeichen senkrecht zu den Gurten aufgetragen. Schließlich finden wir aus (3.22) die Stabkräfte in den Pfosten. So wird z.B. im Pfosten 1 die Lagerkraft A = 13 F u ¨ber den Schub T1 = F/(3 l) linear auf den Wert Null am oberen Knoten abgebaut“ (Abb. 3.11c). Der Stab 4 ist ein Nullstab, da beide ” Stabenden unbelastet sind. Die Kraft im Stab 7 ist der besseren ¨ Ubersichtlichkeit halber getrennt dargestellt. Die gr¨ oßte Stabkraft tritt am rechten Rand der Stäbe 5 und 6 (bzw. am linken Rand der St¨ abe 8 und 9) auf. Wenn z.B. der Stab 6 eine Querschnittsfl¨ ache A6 hat, so wird dort σ = 4F/3A6 . Die unmittelbare Berechnung der Schubfl¨ usse aus der Querkraft und der Stabkr¨ afte aus dem Moment ist nur bei Paralleltr¨ agern mit rein vertikaler Belastung m¨ oglich. F¨ ur komplizierter aus Rechteckelementen aufgebaute Tragwerkstrukturen gelten jedoch weiterhin die Grundgleichungen des Schubfeldschemas: 1) In jedem Rechteckfeld i herrscht ein reiner Schubspannungszustand, d.h. Ti = const .

(3.24)

3.4


177

2) In jedem Stab j, auf den ein Schubfluss Tk wirkt, verläuft die Stabkraft linear, d.h. Sj (x) = Sj (0) + Tk x .

(3.25)

Zur Ermittlung aller Stabkr¨ afte und aller Schubfl¨ usse muss man an jedem Knoten und an jedem Stab der Struktur Gleichgewicht herstellen. Dieses Vorgehen entspricht dem Knotenpunktverfahren beim Fachwerk nach Band 1, Abschnitt 6.3.1. Die Berechnung einer Schubfeldstruktur ist allein mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen nur dann m¨ oglich, wenn das System statisch bestimmt ist. Bei einer ebenen Struktur mit k Knoten, s St¨ aben, f Blechen und r Lagerreaktionen stehen 2k Gleichgewichtsbedingungen an den Knoten und s Gleichgewichtsbedingungen an den Stäben zur Verf¨ ugung. Unbekannt sind die 2s Endwerte der St¨ abe, die f Schubfl¨ usse in den Feldern und die r Lagerreaktionen. Damit die Lagerkr¨ afte und alle Schnittkräfte ermittelt werden können, muss daher die notwendige Bedingung 2k + s = 2s + f + r oder 2k = s + f + r

(3.26)

erf¨ ullt sein. Dieselbe Beziehung erh¨ alt man auch unmittelbar aus Band 1, Gleichung (6.1), wenn man dort die Zahl der Diagonalstäbe, die durch Bleche ersetzt wurden, mit f bezeichnet. Es sei ausdr¨ ucklich vermerkt, dass die Grundgleichungen (3.24) und (3.25) nur f¨ ur Rechteckfelder gelten. Bei z.B. Parallelogrammoder Trapezfeldern werden die Beziehungen komplizierter. Wir wollen nun die Spannungen in einem Balken vergleichen, wenn dieser zum einen nach der klassischen Balkentheorie und zum anderen nach der Schubfeldtheorie behandelt wird. Als Beispiel w¨ ahlen wir einen Balken, dessen Querschnitt ein d¨ unnwandiges I-Profil der H¨ ohe h ist (Abb. 3.12a). Nach der Balkentheorie sind die L¨ angsspannungen linear und die Schubspannungen quadratisch u ber die Stegh¨ ohe verteilt (Abb. ¨

178


Abb. 3.12

3.12b). Der Gr¨ oßtwert der Biegespannung ist (Band 2, Gl. (4.4)) σmax =

Mh , I 2

(3.27)

w¨ ahrend zur parabolisch verteilten Schubspannung (Band 2, Gl. (4.40)) der Gr¨ oßtwert in der Mitte Smax τmax = Q (3.28) I tS geh¨ ort. Wir berechnen zun¨ achst die Querschnittsgrößen I und ur das gegebene Profil und f¨ uhren dabei die Gurtfläche Smax f¨ ache AS = h tS ein. Dann werden das AG = b tG und die Stegfl¨ Tr¨ agheitsmoment h 2 h 2 1 AS 1 1+ I = 2AG + tS h3 = 2AG 2 12 2 6 AG und das statische Moment Smax = AG

1 AS h 1 h + tS h2 = AG 1 + . 2 8 2 4 AG

Damit erhalten wir aus (3.27) und (3.28) die Maximalspannungen 1 AS 1+ M Q 1 4 AG σmax = , τmax = . (3.29) 1 AS 1 AS h AG AS 1+ 1+ 6 AG 6 AG Nun berechnen wir den Tr¨ ager nach dem Schubfeldschema. Dabei fassen wir den Steg als Schubfeld und die Gurte als Stäbe“ auf. ” Dann werden alle L¨ angsspannungen nur von den Gurten u ¨bertragen, und im Steg wirkt eine konstante Schubspannung (Abb. 3.12c): σ∗ =

S M = , AG hAG

τ∗ =

Q . AS

(3.30)

3.4


179

Vergleicht man (3.30) mit (3.29), so erkennt man, dass es nur vom Verh¨ altnis der Fl¨ achen abh¨ angt, ob man die Spannungen im Balken (bei d¨ unnwandigen Stegen!) n¨ aherungsweise nach dem einfacheren Schubfeldschema berechnen darf. So unterscheiden sich zum Beispiel f¨ ur AS /AG = 1/4 die Spannungen im Schubfeldträger nur um wenige Prozent von den Gr¨ oßtwerten nach der Biegetheorie: 1 AS 1+ 1 AS τ∗ σ∗ 6 AG =1+ = 1, 04 , = = 0, 98 . 1 AS σmax 6 AG τmax 1+ 4 AG Der Unterschied wird um so kleiner, je kleiner die Stegfläche im Verh¨ altnis zur Gurtfl¨ ache ist. Beispiel 3.4 Gegeben ist ein Tragwerk, das aus St¨ aben und Blechen aufgebaut ist (Abb. 3.13a). Man ermittle die Schubfl¨ usse und die Stabkr¨ afte. L¨ osung Wir zeichnen zun¨ achst das Freik¨ orperbild und numerieren

alle St¨ abe, Knoten und Bleche (Abb. 3.13b). Mit k = 12, s = 16, f = 5 und r = 3 ist das Tragwerk nach (3.26) statisch bestimmt: 2 · 12 = 16 + 5 + 3. Die Lagerreaktionen k¨ onnen aus dem Gleichgewicht am Gesamtsystem berechnet werden: A = 2F ,

BH = F ,

BV = 3F .

Nun stellen wir f¨ ur jeden Knoten zwei und f¨ ur jeden Stab eine Gleichgewichtsbedingung auf. Wir kennzeichnen die Stabkräfte am linken bzw. am rechten Stabende mit den Indizes l bzw. r, am oberen bzw. am unteren mit o bzw. u. Wir beginnen an einem Knoten mit nur zwei Unbekannten, z.B. Knoten I (Abb. 3.13c): →: S2l = 0 ,

↓: S1o = 0 .

(a)

Mit (a) erhalten wir aus dem Gleichgewicht am Stab 1: ↑: 2F − T1 a = 0 → T1 =

2F . a

Den Schubfluss im ersten Feld u ¨bertragen wir mit den Richtungen,

B3.4

180


Abb. 3.13

wie er auf die St¨ abe wirkt, in das Bild der Schubfl¨ usse (Abb. 3.13d). Damit ist der Stabkraftverlauf in Stab 1 bekannt, und wir können diesen in die Abb. 3.13e u ¨bertragen. Nach diesem Schema werden nun jeder Knoten und jeder Stab betrachtet, wobei wir alle jeweils bereits bekannten Schnittkr¨ afte mit ihrem wirklichen Richtungssinn in die Freik¨ orperbilder u ¨bernehmen. Alle Ergebnisse werden unmittelbar in Abb. 3.13e eingetragen, wobei der ¨ besseren Ubersichtlichkeit wegen die Kr¨ afte in waagerechten und die Kr¨ afte in senkrechten St¨ aben in getrennten Bildern dargestellt werden. Wir erhalten so der Reihe nach: Stab 2: →:

S2r + 2(F/a)a = 0 → S2r = − 2F ,

Stab 3: →:

S3r − 2(F/a)a = 0 → S3r = 2F ,

3.5

Saite und Membran

181

Knoten II: →:

S5l + 2F = 0 → S5l = − 2F ,

↓:

4F + S4o = 0 → S4o = − 4F ,

Stab 5: →:

4F − T2 a = 0 →

T2 = 4F/a,

Stab 4: ↓: S4u + 4F − 2(F/a)a − 4(F/a)a = 0 → S4u = 2F . In gleicher Weise werden die restlichen Stabkräfte und Schubfl¨ usse berechnet und in die Schaubilder eingetragen. Dabei muss man das Gleichgewicht stets an solchen Knoten bzw. Stäben aufstellen, an denen h¨ ochstens zwei bzw. eine Unbekannte auftreten. Da die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht an der Gesamtstruktur ermittelt wurden, dienen die letzten drei Gleichungen zur Kontrolle.

3.5 Saite und Membran In Abschnitt 3.2 haben wir mit dem Seil ein Tragwerk kennengelernt, bei dem unter Querbelastungen nur Zugkr¨ afte auftreten. Ein vorgespanntes biegeschlaffes Seil nennt man Saite. Auf Grund der Vorspannung kann auch sie Querlasten aufnehmen. Es gibt zweidimensionale Tragwerke mit gleicher Eigenschaft. Man nennt sie Membranen. Zur Vorbereitung auf die zweidimensionale Theorie wollen wir zun¨ achst die Saite betrachten. 3.5.1 Die Saite

Eine Saite sei durch eine Zugkraft (Spannkraft) S vorgespannt und werde zus¨ atzlich durch Strecken- und Einzellasten belastet (Abb. 3.14a). Die Saite kann diese Belastung in ihrer horizontalen Ausgangslage nicht aufnehmen: sie wird eine Auslenkung w erfahren. Wir setzen voraus, dass der Neigungswinkel α in der ausgelenkten Lage klein ist: α 1 (Abb. 3.14b). Dann gilt cos α → 1, sin α ≈ tan α = w , wobei ( ) die Ableitung nach x kennzeichnet. Das Gleichgewicht in horizontaler Richtung am verformten

3.5

182


Abb. 3.14

Element liefert →: − S + S + dS = 0 → dS = 0 → S = const . Die Seilkraft ist hiernach auch im ausgelenkten Zustand konstant und gleich der Spannkraft S. In vertikaler Richtung folgt mit sin(α +dα) → w +dw = w +w dx die Gleichgewichtsbedingung ↑: Sw − S(w + w dx) − q dx = 0 →

q d2 w =− . dx2 S

(3.31)

Diese Gleichung beschreibt die Auslenkung w einer vorgespannten Saite unter gegebener Last q(x). Formal stimmt (3.31) mit (3.8) u ollig anderen physikalischen Inhalt. ¨berein, hat aber einen v¨ In (3.8) beschreibt y die Lage des Seils (Gleichgewicht am unverformten System), w¨ ahrend w in (3.31) die Verformung der Saite gegen¨ uber der waagerechten Ausgangslage angibt (Gleichgewicht am verformten System). Wir wollen nun die Auslenkung einer Saite ermitteln, wenn an der festen Stelle ξ eine Einzelkraft wirkt (Abb. 3.15a). Am Lastangriffspunkt tritt ein Knick auf. Zur Ermittlung der Auslenkung w(x) integrieren wir die dann homogene Gleichung (3.31) in zwei

Abb. 3.15

3.5

Saite und Membran

183

Bereichen: I: 0 ≤ x ≤ ξ

II:

wI = C1 , wI = C1 x + C2 ,

ξ≤x≤l wII = C3 , wII = C3 x + C4 .

Die Integrationskonstanten folgen aus den Randbedingungen wI (0) ¨ wI (ξ) = wII (ξ) und dem = 0, wII (l) = 0, der Ubergangsbedingung Gleichgewicht (Abb. 3.15b) an der Lastangriffsstelle (|w | 1) (ξ) = F . SwI (ξ) − SwII

Aus diesen vier Gleichungen erh¨ alt man die vier Konstanten C1 =

F l−ξ , S l

C2 = 0 ,

C3 = −

Fξ , S l

C4 =

F ξ. S

Damit werden die Absenkungen in den beiden Bereichen wI =

F l−ξ x, S l

wII =

F l−x ξ. S l

(3.32a)

Wir betrachten nun speziell die Einheitslast F = 1. F¨ ugt man im Argument von w zu der laufenden Koordinate x noch den Abstand ξ zum Lastangriffspunkt als Parameter hinzu, so kann man (3.32a) wie folgt schreiben: ⎧ 1 l−ξ ⎪ ⎪ x f¨ ur x ≤ ξ , ⎨ S l (3.32b) w(x, ξ) = G(x, ξ) = ⎪ ⎪ ⎩ 1 l − x ξ f¨ ur x ≥ ξ . S l Man nennt G(x, ξ) eine Greensche Funktion (George Green, 1793– 1841). Sie gibt an, wie groß die Auslenkung an der laufenden Stelle x infolge einer Last an der festen Stelle ξ ist. Man kann mit dieser Funktion bei mehreren Lasten Fi an den Stellen ξi die Gesamtauslenkung w durch Superposition der zugeh¨ origen Auslenkun0 gen wi (x, ξi ) erhalten: w = i wi (x, ξi ) . Es sei angemerkt, dass die Greensche Funktion f¨ ur einen Balken durch die Einflusszahlen (Band 2, Abschn. 6.3) gegeben ist. Mit der Greenschen Funktion l¨ asst sich auch die Auslenkung bei einer Streckenlast q(x) ermitteln. Zu diesem Zweck fassen wir

184


die Belastung als Summe (Integral) von Einzellasten q(ξ) dξ auf (Abb. 3.15c) und erhalten dann

l w(x) =

G(x, ξ) q (ξ) dξ .

(3.33)

0

Damit ist die Bestimmung der Auslenkung bei beliebiger Belastung q auf die Auswertung eines einzigen Integrals zur¨ uckgef¨ uhrt. alt man aus (3.33) Im Sonderfall q(ξ) = q0 = const erh¨

x

l q0 x q0 (l − x) ξ dξ + (l − ξ) dξ Sl Sl x 0 q0 l 2 x x 2 − . = 2S l l

w(x) =

Das gleiche Ergebnis findet man auch aus (3.31) durch zweifache Integration unter Beachtung der Randbedingungen. B3.5

Beispiel 3.5 Eine Saite der L¨ ange l wird durch eine Kraft S vor-

gespannt. Sie wird durch eine parabelf¨ ormig verteilte Streckenlast mit dem Gr¨ oßtwert q0 in der Mitte beansprucht (Abb. 3.16). Wie groß ist die maximale Absenkung?

Abb. 3.16

L¨ osung Die Belastung wird durch q(x) = 4q0 [(x/l) − (x/l)2 ] be-

schrieben. Setzt man dies in (3.31) ein und integriert zweimal, so erh¨ alt man x4 q0 x3 − + C1 x + C2 . w = −4 S 6l 12 l2 Aus den Randbedingungen folgen die Integrationskonstanten: w(0) = 0 → C2 = 0 ,

w(l) = 0 → C1 = 13 (q0 l/S) .

3.5

Saite und Membran

185

Damit werden die Absenkung x 3 x 4 q0 l 2 x −2 + w= 3S l l l und ihr gr¨ oßter Wert wmax = w(l/2) =

5 q0 l 2 . 48 S

3.5.2 Die Membran

Das zweidimensionale Analogon zur Saite ist die Membran. Unter einer Membran versteht man ein vorgespanntes, d¨ unnwandiges, ebenes Tragwerk konstanter Dicke t, das keine Biegemomente aufnehmen kann. Die Membran sei l¨ angs ihres Randes gelagert und werde durch eine l¨ angs des Randes verteilte Spannung σ0 so vorgespannt, dass in ihr ein homogener Spannungszustand herrscht (Abb. 3.17a). Bringt man nun senkrecht zur Membran eine Fl¨ achenlast p(x, y) auf, so ist – wie bei der Saite – nur in einer ausgelenkten Lage w(x, y) Gleichgewicht möglich. Wir setzen voraus, dass sich die Vorspannung in der Membran bei der Auslenkung nicht ¨ andert. Weiterhin seien die Neigungen der ausgelenkten Membran sehr klein.

Abb. 3.17

Zur Aufstellung der Gleichgewichtsbedingungen schneiden wir aus der Membran ein rechteckiges Element und tragen die Schnittkr¨ afte am verformten Element auf (Abb. 3.17b). Aus der Summe aller vertikalen Kr¨ afte folgt unter Beachtung, dass die Winkel klein sind: ∂ϕ ∂ψ dy dx + p dx dy = 0 . ↓: σ0 t dx dy + σ0 t ∂x ∂y

186


Mit den Winkeln ϕ = ∂w/∂x und ψ = ∂w/∂y (kleine Neigungen) ergibt sich hieraus 2 ∂ w ∂2w = −p. + σ0 t ∂x2 ∂y 2 Somit erh¨ alt man f¨ ur die Auslenkung w mit dem Laplace-Operator Δ die Membrangleichung Δw = −

p . σ0 t

(3.34)

Dies ist eine Poissonsche Differentialgleichung (vgl. (2.120)). Aus den vielen m¨ oglichen L¨ osungen dieser inhomogenen Differentialgleichung m¨ ussen diejenigen ausgew¨ ahlt werden, welche die Randbedingungen erf¨ ullen. Ist zum Beispiel der gesamte Membranrand unverschieblich gelagert, so gilt w|Rand = 0. Im Sonderfall einer Kreismembran unter rotationssymmetrischer Last kann man eine L¨ osung von (3.34) unmittelbar angeben. Setzt man (vgl. (2.97)) 1 d d 1 d d2 = r Δ= 2 + dr r dr r dr dr in (3.34) ein, so folgt dw p(r) 1 d r =− . r dr dr σ0 t

(3.35)

Die L¨ osung dieser gew¨ ohnlichen Differentialgleichung lautet w = wh + wp , wobei die L¨ osung der homogenen Differentialgleichung durch wh = C1 ln r + C2

(3.36)

gegeben ist. B3.6

Beispiel 3.6 Eine l¨ angs des Randes gelagerte kreisförmige Mem-

bran (Dicke t, Radius R) sei durch eine Spannung σ0 vorgespannt und werde durch einen konstanten Druck p0 belastet (Abb. 3.18). Wie groß ist die Absenkung in der Mitte?

3.5

Saite und Membran

187

Abb. 3.18

L¨ osung Da eine rotationssymmetrische Belastung vorliegt, ergibt

sich das Partikularintegral mit p(r) = p0 aus (3.35) zu wp = −

p0 r 2 , 4 σ0 t

und die vollst¨ andige L¨ osung lautet mit (3.36) w = wp + wh = −

p0 r 2 + C1 ln r + C2 . 4 σ0 t

Da die Auslenkung in der Mitte (r = 0) endlich sein muss, ist C1 = 0. Aus der Randbedingung w(R) = 0 folgt C2 = (p0 R2 )/(4σ0 t) und damit p0 (R2 − r2 ) . w= 4 σ0 t Die gr¨ oßte Absenkung tritt in der Mitte auf und hat den Wert wmax =

p0 R 2 . 4 σ0 t

Sie w¨ achst quadratisch mit dem Radius R und ist umgekehrt proportional zur Vorspannung σ0 und zur Dicke t. 3.5.3 Membrantheorie d¨ unner Rotationsschalen

Schalen sind gekr¨ ummte Fl¨ achentragwerke, die vielseitig Anwendung in der Technik finden (Hallend¨ acher, Kugeltanks, Raumfahrtkapseln etc.). Ihre allgemeine Behandlung geht u ¨ber den Stoff eines Grundkurses in Technischer Mechanik weit hinaus. Wir beschr¨ anken uns daher hier auf einen Sonderfall, bei dem man mit vereinfachenden Annahmen zu technisch brauchbaren Lösungen kommen kann. Eine Schale wird begrenzt durch zwei gekr¨ ummte Flächen, deren Abstand, die Schalendicke t, klein ist gegen die anderen Ab-

188


messungen. Diejenige Fl¨ ache, die u ¨berall die Schalendicke halbiert, ache. Bei d¨ unnen Schalen kann man in ersheißt Schalenmittelfl¨ ter N¨ aherung die Biegesteifigkeit der Schalenwand vernachlässigen. Dann werden keine Schnittmomente u ¨bertragen (biegeschlaffe Schale), und die Spannungen sind gleichm¨ aßig u ¨ber die Wandstärke verteilt. In der Schale herrscht dann ein Membranspannungszustand. Dabei muss man beachten, dass die Schale im Gegensatz zur Membran (vgl. Abschn. 3.5.2) Zug-, Druck- und i.a. auch Schubkr¨ afte aufnehmen kann. Auch bei biegesteifen Schalen spielt der Membranspannungszustand oft eine wichtige Rolle. Nur an R¨ andern oder an Unstetigkeitsstellen treten i.a. Abweichungen von ihm auf; dort muss ein Biegespannungszustand u ¨berlagert werden. Wir gehen beim Membranspannungszustand von folgenden Voraussetzungen aus: a) die Wandst¨ arke t sei konstant, b) alle Belastungen seien fl¨ achenhaft verteilt, c) die Verformungen sind so klein, dass wir die Gleichgewichtsbedingungen an der unverformten Schale aufstellen können, d) die Lagerung erfolgt so, dass am Rand keine Querkräfte und Momente auftreten. Zus¨ atzlich wollen wir uns in diesem Abschnitt auf Rotationsschaanken. Zu diesem Schalentyp geh¨ oren u.a. Kugel-, Kegellen beschr¨ und Zylinderschalen, die f¨ ur den Kuppel- und den Behälterbau große technische Bedeutung haben. Die Mittelfläche einer Rotationsschale entsteht nach Abb. 3.19a durch die Drehung einer ebenen Kurve (des Meridians) um eine in ihrer Ebene liegende Gerade (Kuppel- bzw. Beh¨ alterachse). Wir f¨ uhren zun¨ achst die Koordinaten ϕ und z ein. Die Kurven ϕ = const beschreiben Meridiane, die Kurven z = const Breitenkreise. Zus¨ atzlich f¨ uhren wir den Abstand r sowie den Winkel ϑ ein, den eine im Punkt P auf die Fl¨ ache errichtete Normale mit der Rotationsachse einschließt. Falls der Meridian einen Wendepunkt hat, ist ϑ nicht mehr eindeutig. Man verwendet dann zweckmäßig die vom Scheitel l¨ angs des Meridians gez¨ ahlte Bogenlänge s als Koordinate.

3.5

Saite und Membran

189

Abb. 3.19

Von hier ab wollen wir annehmen, dass auch die Belastung rotationssymmetrisch ist und dass keine Belastung in Umfangsrichtung auftritt. Auf die Schale wirken dann nur eine Flächenlast pϑ in Richtung des Meridians und ein Normaldruck pn , positiv nach angig vom Winkel ϕ. außen gez¨ ahlt (pϕ = 0). Diese sind unabh¨ Zur Ermittlung der Gleichgewichtsbedingungen schneiden wir ein infinitesimal kleines Element aus der Schalenwand heraus, dessen Lage durch ϕ und ϑ bestimmt ist und das zwischen zwei benachbarten Meridianen bzw. Breitenkreisen liegt (Abb. 3.19b). In diesen Schnitten treten keine Schubspannungen auf, und die Normalspannungen h¨ angen nicht von ϕ ab. Es bleiben die Umfangsspannungen σϕ , die sich wegen der Rotationssymmetrie am Element nicht a ¨ndern, und die Meridianspannungen σϑ , die am uhren wir an Stelle von σϕ Element einen Zuwachs dσϑ erfahren. F¨ bzw. σϑ die Umfangskraft Nϕ = σϕ t bzw. die Meridiankraft Nϑ = ange), so wirken auf das Element die σϑ t ein (Dimension Kraft/L¨ in Abb. 3.19b eingezeichneten Lasten und Schnittkräfte. Abbildung 3.19c zeigt das Schalenelement in der Meridianschnittebene. ummungsradius im Meridianschnitt, der zuDabei ist rϑ der Kr¨ gleich Hauptkr¨ ummungsradius ist. Der zweite Hauptkr¨ ummungs-

190


radius rϕ liegt in einer Schnittebene, deren Normale in Meridianrichtung zeigt. Der zugeh¨ orige Kr¨ ummungsmittelpunkt liegt auf der Rotationsachse. Es gilt daher nach Abb. 3.19a r = rϕ sin ϑ .

(3.37)

angs der Elementseite rϑ dϑ, die MeDie Umfangskraft Nϕ wirkt l¨ angs r dϕ. ridiankraft Nϑ l¨ Abbildung 3.19d zeigt die Breitenkreisebene mit den am Element angreifenden Kr¨ aften Nϕ . Da Nϕ in Richtung des Breitenkreises wirkt, geht in die Normalenrichtung die Komponente aftegleichgewicht in Normalenrichtung lieNϕ dϕ sin ϑ ein. Das Kr¨ fert dann pn dA − [Nϑ r dϕ + (Nϑ + dNϑ )r dϕ]

dϑ − Nϕ dϕ sin ϑ rϑ dϑ = 0 . 2

Mit dA = rϑ dϑ t dϕ und nach Weglassen des Gliedes, das von h¨ oherer Ordnung klein ist, folgt hieraus Nϑ Nϕ + = pn . rϕ rϑ

(3.38)

Eine zweite Gleichung zur Ermittlung von Nϕ und Nϑ erhält man am einfachsten, indem man die Schale l¨ angs des Breitenkreises ϑ = const (bzw. s = const) schneidet und das Gleichgewicht in z-Richtung an der Teilschale aufstellt (Abb. 3.19e). Bezeichnen wir den laufenden Winkel mit α, dann gilt

s s = 0. Nϑ 2 π r sin ϑ + (pϑ sin α − pn cos α)2 π r d¯ 0

Mit d¯ s = rϑ dα folgt 1 Nϑ = − r sin ϑ

ϑ (pϑ sin α − pn cos α)r rϑ dα .

(3.39)

0

Bei gegebener Belastung pϑ , pn kann hieraus Nϑ und damit aus (3.38) auch Nϕ berechnet werden. Man beachte, dass der Buchstabe r in (3.39) im Nenner den festen Wert an der festen Stelle ϑ

3.5

Saite und Membran

191

darstellt, w¨ ahrend r unter dem Integral den mit α veränderlichen Radius bezeichnet. In Sonderf¨ allen kann man auch schon aus (3.38) allein Schnittkr¨ afte berechnen. So folgen bei der Kugelschale vom Radius a unter Innendruck pn = p wegen rϕ = rϑ = a und Nϑ = Nϕ = N direkt die Schnittkr¨ afte und damit die Spannungen (Band 2, Gl. (2.20)): pa N = . σϕ = σϑ = t 2t Bei der Zylinderschale vom Radius a unter Innendruck pn = p wird mit rϕ = a und rϑ → ∞ die Umfangsspannung (Band 2, Gl. (2.19)) σϕ =

a Nϕ =p . t t

Beispiel 3.7 F¨ ur eine Kugelschale unter Eigengewicht ist die Flächenlast in z-Richtung durch p0 = g t gegeben (Abb. 3.20a). Es sind die Schnittkr¨ afte gesucht.

Abb. 3.20

L¨ osung Bei der Kugelschale sind rϕ = rϑ = r0 und r = r0 sin α. Das Eigengewicht wird zerlegt in pn = −p0 cos α und pϑ = p0 sin α. Damit folgt aus (3.39)

ϑ 1 Nϑ = − p0 (sin2 α + cos2 α)r02 sin α dα r0 sin2 ϑ 0

p0 r0 p0 r0 =− 2 (1 − cos ϑ) = − 1 + cos ϑ . sin ϑ Einsetzen in (3.38) liefert die Umfangskraft

B3.7

192


Nϕ =

p0 r0 1 − cos ϑ − cos2 ϑ − p0 r0 cos ϑ = p0 r0 . 1 + cos ϑ 1 + cos ϑ

Dabei muss die Schale so gelagert sein, dass am gelenkigen Rand nur eine L¨ angskraft aufgenommen werden kann (Abb. 3.20a). Bei anderer St¨ utzung treten am Rand Querkr¨ afte und Biegemomente auf, die nach einer Schalenbiegetheorie berechnet werden m¨ ussen. Die zugeh¨ origen Biegespannungen klingen meist rasch ab, jedoch k¨ onnen am Lager große Spannungsspitzen auftreten. Bei einer Halbkugel (0 ≤ ϑ ≤ π/2) ist die Meridiankraft Nϑ stets eine Druckkraft, w¨ ahrend die Umfangskraft Nϕ bei ϑ = 51, 8◦ ihr Vorzeichen wechselt und an der Lagerung den Wert Nϕ ( π2 ) = p0 r0 = −Nϑ ( π2 ) annimmt. In Abb. 3.20b sind die Schnittkraftverl¨ aufe dargestellt.

3.6

3.6 Die Platte Eine Platte ist ein ebenes Fl¨ achentragwerk, bei dem nur Belastungen senkrecht zur Oberfl¨ ache bzw. Momente am Rand auftreten (Abb. 3.21a). Die Plattendicke t wird als klein im Vergleich zu den Abmessungen in der Plattenebene und im folgenden auch als konstant vorausgesetzt. 3.6.1 Grundgleichungen der Platte

Wir wollen die Gleichungen in einem kartesischen Koordinatensystem ableiten, wobei die Achsen x und y in der Mittelebene der unverformten Platte liegen (alle Plattenpunkte haben dann eine zKoordinate zwischen −t/2 und t/2). Dazu schneiden wir aus der Platte einen Quader der H¨ ohe t und zeichnen an den positiven Schnittufern die positiven Spannungen ein, die im Abstand z von der Mittelebene wirken (Abb. 3.21b). Man f¨ uhrt nun ähnlich wie beim Balken (vgl. Band 2, Gl. (4.19)) Spannungsresultierende ein. Allerdings integriert man bei der Platte nur u ¨ber die Plattendicke. Damit haben diese Schnittgr¨ oßen die Dimension Kraft/Länge bzw. Moment/L¨ ange.

3.6

Die Platte

193

Abb. 3.21

Die Integrale u ¨ber σx , σy und τxy = τyx verschwinden bei der Platte, da nach Voraussetzung keine Lasten in Richtung der Plattenebene wirken. Es bleiben nur:

Querkr¨ afte Qx = τxz dz , Qy = τyz dz ,

My = σy z dz , (3.40) Biegemomente Mx = σx z dz ,

Torsionsmomente Mxy = Myx = τxy z dz . Dabei zeigen die Indizes bei den Momenten an, aus welchen Spannungen sie gebildet werden, z.B. Mx aus σx (in Band 1 bzw. 2 geben die Indizes dagegen an, um welche Achsen die Momente jeweils drehen). Zur Ableitung der Gleichgewichtsbedingungen betrachten wir ein Plattenelement mit allen daran angreifenden Lasten und Schnittgr¨ oßen (Abb. 3.22). Dabei zeigen positive Querkräfte am positiven Schnittufer in positive z-Richtung. Der Drehsinnn positiver Momente ergibt sich nach (3.40) aus dem Drehsinn der Spannungen. Aus dem Kr¨ aftegleichgewicht in z-Richtung erhal-

Abb. 3.22

194


ten wir

∂Qy ∂Qx dy dx + Qx + dx dy p dx dy + Qy + ∂y ∂x − Qy dx − Qx dy = 0 → ∂Qy ∂Qx + = −p. ∂x ∂y

(3.41a)

Entsprechend folgt aus dem Momentengleichgewicht um die ybzw. um die x-Achse ∂Myx ∂Mx + = Qx , ∂x ∂y ∂My ∂Mxy + = Qy . ∂x ∂y

(3.41b) (3.41c)

Die analogen Gleichungen beim Balken sind dQ/dx = −q und dM/dx = Q (vgl. Band 1, Gln. (7.6) und (7.7)). Differenziert man (3.41b) nach x bzw. (3.41c) nach y und setzt diese Gleichungen dann in (3.41a) ein, so werden die Querkräfte alt man eliminiert, und mit Mxy = Myx erh¨ ∂ 2 My ∂ 2 Mxy ∂ 2 Mx + +2 = −p. 2 ∂x ∂x ∂y ∂y 2

(3.42)

Diese Beziehung entspricht der Gleichung d2 M/dx2 = −q beim Balken (vgl. Band 1, Gl. (7.8)). Im Unterschied zum Balken kann man aber bei gegebenem p aus den Gleichgewichtsbedingungen allein die Schnittgr¨ oßen nicht ermitteln: die Platte ist innerlich statisch unbestimmt. Wir m¨ ussen daher die Verformungen in die Rechnung einbeziehen. In Analogie zum Balken (vgl. Band 2, Gl. (4.22)) treffen wir folgende Annahmen u ¨ber die Verschiebungen der Punkte an einer beliebigen Stelle x, y: a) Die Verschiebung w ist unabh¨ angig von z, d.h., w = w(x, y) .

(3.43a)

Alle Punkte auf einer Normalen zur Mittelfl¨ ache erfahren hiernach

3.6

Die Platte

195

Abb. 3.23

die gleiche Verschiebung (Durchbiegung) in z-Richtung; die Plattendicke ¨ andert sich bei der Verformung nicht (εz = ∂w/∂z = 0). b) Die Punkte P auf einer Normalen zur Mittelebene der Platte bleiben nach der Verformung auf einer Geraden. In Abb. 3.23 sind die Verformungen infolge dieser Annahmen in zwei Schnitten dargestellt. Die Normale ¨ andert bei der Verformung ihre Richtung. Die Neigungen der Normalen gegen¨ uber ihrer urspr¨ unglichen Richtung bezeichnen wir mit ψx bzw. ψy . Dabei kennzeichnen die Indizes die Richtungen der Verschiebungen, die durch die entsprechenden Drehungen zustande kommen und nicht die Drehachsen (so dreht zum Beispiel ψx um die y-Achse). Ein Punkt P im Abstand z von der Mittelebene erfährt infolge der Drehungen die Verschiebungen u(x, y, z) = z ψx (x, y) ,

v(x, y, z) = z ψy (x, y) .

(3.43b)

Mit den kinematischen Beziehungen (2.48c) erhalten wir hieraus ∂ψx ∂ψy ∂u ∂v =z , εy = =z , ∂x ∂x ∂y ∂y ∂ψx ∂ψy ∂u ∂v + =z + , = ∂y ∂x ∂y ∂x ∂u ∂w ∂w + = ψx + , = ∂z ∂x ∂x ∂v ∂w ∂w + = ψy + . = ∂z ∂y ∂y

εx = γxy γxz γyz

εz = 0 ,

(3.44)

Wir m¨ ussen jetzt noch den Zusammenhang zwischen den Schnittgr¨ oßen und den kinematischen Gr¨ oßen herstellen. Dabei treffen wir eine weitere Vereinfachung. Wenn die Belastung p(x, y)

196


nur an der Oberfl¨ ache z = −t/2 angreift, so muss die Spannung σz im Innern der Platte Werte zwischen −p(x, y) und Null (f¨ ur z = + t/2) annehmen. Im allgemeinen ist der Größtwert uber den Randwerten der Biegespannungen: von σz klein gegen¨ onnen daher in guter Näherung σz ver|σz | |σx |, |σy |. Wir k¨ nachl¨ assigen und f¨ ur die Normalspannungen das Hookesche Gesetz (2.86) des ebenen Spannungszustandes u ¨bernehmen: σx =

E (εx + ν εy ) , 1 − ν2

σy =

E (εy + ν εx ) . 1 − ν2

(3.45a)

F¨ ur die Schubspannungen gilt τxy = Gγxy ,

τyz = Gγyz ,

τzx = Gγzx .

(3.45b)

Dabei sei darauf hingewiesen, dass die gleichzeitige Annahme von σz = 0 und εz = 0 nicht widerspruchsfrei ist. Alle Vergleiche mit Versuchsergebnissen zeigen jedoch, dass bei d¨ unnen Platten die N¨ aherungstheorie, die auf beiden Annahmen basiert, sehr gute Ergebnisse liefert. Setzt man (3.44) in (3.45a,b) ein, so werden ∂ψy ∂ψx E ∂ψy E ∂ψx + ν z , σ + ν z, = σx = y 1 − ν 2 ∂x ∂y 1 − ν 2 ∂y ∂x ∂ψ ∂ψy x + z, τxy = G (3.46) ∂y ∂x

∂w ∂w , τxz = G ψx + . τyx = G ψy + ∂y ∂x Hiernach verlaufen die Spannungen σx , σy und τxy linear u ¨ber die Plattendicke, w¨ ahrend τxz und τyz konstant u ¨ber die Dicke sind. Da an den Deckfl¨ achen z = ± t/2 keine Schubspannunaußere Belastung in xgen τxz oder τyz wirken (es gibt keine ¨ oder in y-Richtung), m¨ ussen die Schubspannungen dort in zur Oberfl¨ ache senkrechten Schnitten auch verschwinden (zugeordnete Schubspannungen). Sie k¨ onnen daher u ¨ber die Dicke nicht konstant sein. Derselbe Widerspruch trat bereits beim Balken auf, und die in Wirklichkeit ver¨ anderliche Schubspannung in zRichtung wurde dort durch einen Schubkorrekturfaktor ber¨ ucksichtigt (vgl. Band 2, Gl. (4.45)).

3.6

Die Platte

197

Wenn man (3.46) in (3.40) einsetzt, so erh¨ alt man die Elastizitätsgesetze f¨ ur die Schnittgr¨ oßen. So wird zum Beispiel +t/2

t/2 ∂ψy ∂ψx E + ν Mx = σx z dz = z 2 dz 2 1 − ν ∂x ∂y −t/2 −t/2 ∂ψx ∂ψy E t3 +ν . = 12(1 − ν 2 ) ∂x ∂y Der Vorfaktor K=

E t3 12(1 − ν 2 )

(3.47)

wird Plattensteifigkeit genannt (vgl. die Biegesteifigkeit EI beim Balken, Band 2, Gl. (4.24)). Damit erhalten wir folgende Elastizit¨ atsgesetze f¨ ur die Schnittgr¨ oßen: ∂ψ ∂ψ ∂ψy ∂ψx x y +ν , My = K +ν , Mx = K ∂x ∂y ∂y ∂x (3.48a)

∂ψy 1−ν ∂ψx Mxy = Myx = K + , 2 ∂y ∂x ∂w ∂w Qx = G t S ψ x + , Qy = G tS ψy + . (3.48b) ∂x ∂y Dabei wurde bei den Querkr¨ aften eine Schubdicke tS < t eingef¨ uhrt, welche die u ormige Verteilung von ¨ber die Dicke ungleichf¨ ucksichtigt. Man nennt G tS die Schubsteifigkeit. τxz und τyz ber¨ Die Gleichungen (3.48a,b) sind die zweidimensionale Erweiterung der Elastizit¨ atsgesetze M = EIψ und Q = GAS (ψ + w ) beim Balken. Mit den drei Gleichgewichtsbedingungen (3.41) und den f¨ unf Elastizit¨ atsgesetzen (3.48a,b) stehen acht Gleichungen f¨ ur die acht Unbekannten (f¨ unf Schnittgr¨ oßen und drei kinematische Größen ugung. Die hierauf aufbauende Plattenw, ψx und ψy ) zur Verf¨ theorie wird nach Eric Reissner (1913–1996) und Raymond David Mindlin (1906–1987) benannt. Man kann aus den entsprechenden Gleichungen einzelne Unbekannte eliminieren und stellt dann fest, dass die Grundgleichungen der schubelastischen Platte insgesamt von 6. Ordnung bez¨ uglich x und y sind. Daher können an jedem Rand drei Randbedingungen vorgegeben werden. So m¨ ussen z.B.

198


an einem freien Rand x = const die Querkraft Qx , das Biegemoment Mx und das Torsionsmoment Mxy verschwinden. Da die partiellen Differentialgleichungen unter Beachtung der Randbedingungen i.a. schwierig zu l¨ osen sind, wollen wir eine zus¨ atzliche Vereinfachung treffen. Hierzu setzen wir – wieder in Analogie zum Balken (vgl. Band 2, Abschn. 4.5.1) – voraus, dass die Schubsteifigkeit G tS sehr groß ist (G tS → ∞). Da die Querkr¨ afte endlich bleiben, folgt damit aus (3.48b) mit (3.44) γxz = ψx +

∂w = 0, ∂x

γyz = ψy +

∂w = 0. ∂y

(3.49)

Eine Normale zur unverformten Mittelfl¨ ache steht in diesem Fall auch senkrecht auf der verformten Mittelfl¨ ache. Eine solche Platte nennt man schubstarr. Die zugeh¨ orige Theorie geht auf Gustav Kirchhoff (1824–1887) zur¨ uck. Aus (3.49) folgen die Biegewinkel ψx = −∂w/∂x und ψy = −∂w/∂y. Einsetzen in (3.48a) liefert die Elastizit¨ atsgesetze f¨ ur die Momente Mx = −K

∂2w ∂2w ∂2w , My = −K +ν 2 , 2 2 ∂y ∂y ∂x (3.50) ∂2w . = −K(1 − ν) ∂x ∂y

∂2w

Mxy = Myx

∂x2

+ν

F¨ ur die Querkr¨ afte gibt es in dieser Theorie kein Elastizitätsgesetz. Sie k¨ onnen aus den Gleichgewichtsbedingungen (3.41b,c) ermittelt werden. Unter Verwendung von (3.50) findet man dann (die Terme mit ν fallen heraus) 3 ∂Mxy ∂ w ∂ ∂Mx ∂3w + = −K = −K Δw , + Qx = 3 2 ∂x ∂y ∂x ∂x ∂y ∂x (3.51) 3 ∂Mxy ∂ w ∂ ∂My ∂3w Qy = + = −K = −K Δw . + ∂y ∂x ∂y 3 ∂x2 ∂y ∂y Mit (3.42) und (3.50) stehen vier Gleichungen zur Ermittlung der vier Unbekannten (drei Schnittmomente und die Durchbiegung w) zur Verf¨ ugung. Setzt man (3.50) in (3.42) ein, so fallen alle mit ν behafteten Glieder heraus, und man erhält

3.6

K

∂4w ∂4w ∂4w +2 2 2 + 4 ∂x ∂x ∂y ∂y 4

Die Platte

199

=p

oder mit dem Laplace-Operator ΔΔw =

p . K

(3.52)

Diese sogenannte Kirchhoffsche Plattengleichung ist das zweidimensionale Analogon zur Differentialgleichung der Biegelinie EIwIV = q des Balkens (vgl. Band 2, Gl. (4.34)). Sie ist eine inhomogene Bipotentialgleichung (vgl. Gl. (2.95)). Zur Ermittlung von L¨ osungen der homogenen Gleichung (p = 0) können die in Tabelle 2.1 zusammengestellten Bipotentialfunktionen verwendet werden. 3.6.2 Randbedingungen f¨ ur die schubstarre Platte

Die Plattengleichung (3.52) ist von 4. Ordnung in beiden Veränderlichen. Es k¨ onnen daher im Unterschied zur schubelastischen Theorie jetzt an den R¨ andern nur jeweils zwei Randbedingungen erf¨ ullt werden. Im folgenden wollen wir die wichtigsten Randbedingungen behandeln. Wir betrachten hierzu einen Rand x = const; f¨ ur einen Rand y = const gilt entsprechendes. L¨ angs eines gelenkig gelagerten Randes m¨ ussen die Durchbiegung w und das Biegemoment Mx verschwinden: w = 0,

Mx = 0 →

∂2w ∂2w + ν = 0. ∂x2 ∂y 2

(3.53a)

Wenn l¨ angs des Randes w = 0 ist, verschwinden dort alle Ableitungen bez¨ uglich y. Daher k¨ onnen wir die zweite Bedingung von (3.53a) auch durch Δw = 0 ersetzen und erhalten dann w = 0,

Δw = 0 .

(3.53b)

Diese Bedingungen heißen Naviersche Randbedingungen. Wenn die Platte am Rand starr eingespannt ist, m¨ ussen dort die Durchbiegung und die Neigung verschwinden: ∂w = 0. (3.54) w = 0, ∂x

200


An einem freien Rand m¨ ussen drei Schnittgrößen (Biegemoment, Torsionsmoment und Querkraft) verschwinden. Wegen der Vereinfachung bei der Theorie der schubstarren Platte können aber nur zwei Randbedingungen erf¨ ullt werden. Man umgeht diese Schwierigkeit, indem man zun¨ achst die Torsionsmomente Mxy am Rand x = const durch statisch gleichwertige, stetig verteilte Kr¨ aftepaare ersetzt (Abb. 3.24a). An der Grenze zweier benachbarter Randelemente heben sich die Kr¨ afte Mxy heraus, und es bleibt nur der Zuwachs dMxy = (∂Mxy /∂y)dy . Anstatt zu fordern, dass Torsionsmoment und Querkraft einzeln verschwinden, setzt man die Summe aus der Querkraft Qx und der Ersatzkraft“ ” ∂Mxy /∂y gleich Null. Am freien Rand gilt dann Mx = 0

∂2w ∂2w + ν = 0, ∂x2 ∂y 2 (3.55) ∂ ∂2w ∂2w =0 → = 0 . + (2 − ν) ∂x ∂x2 ∂y 2 →

¯ x = Qx + ∂Mxy Q ∂y ¯ x die Ersatzquerkraft. Man nennt Q

Abb. 3.24

In der Tabelle 3.1 sind die wichtigsten Randbedingungen f¨ ur den Rand x = const zusammengestellt (f¨ ur y = const gelten analoge Aussagen). Beim Bilden der Ersatzquerkr¨ afte tritt eine Besonderheit an den Plattenecken auf. Ersetzen wir n¨ amlich auf beiden Rändern die Torsionsmomente durch Kr¨ aftepaare, so bleibt an der rechtwinkligen Ecke (Abb. 3.24b) eine Einzelkraft (Eckkraft) der Größe A = Mxy + Myx , die sich mit Mxy = Myx auch

3.6

Die Platte

201

Tabelle 3.1 Randbedingungen bei der schubstarren Platte

Lager

Randbedingungen

Gelenkig gelagerter Rand w = 0, Mx = 0 → Freier Rand

Eingespannter Rand

A = 2Mxy

∂2w ∂2w +ν 2 =0 2 ∂x ∂y

∂2w ∂2w +ν 2 =0 2 ∂x ∂y 2 ∂ ∂2w w ∂ ¯ Qx = 0 → + (2 − ν) 2 = 0 ∂x ∂x2 ∂y Mx = 0 →

w = 0,

∂w =0 ∂x

(3.56)

schreiben l¨ asst. An einer freien Ecke k¨ onnen keine Kr¨ afte auftreten. Dementsprechend m¨ ussen wir fordern, dass dann die Eckkraft verschwindet: A = 2Mxy = 0. Ist die Ecke dagegen frei drehbar gelagert, so kann vom Lager eine Kraft aufgenommen werden. Bei einem positiven Torsionsmoment wirkt dann eine Zugkraft, und die Platte hat das Bestreben, im Bereich der Ecke von der Unterlage abzuheben. Sie muss daher dort so gelagert werden, dass die Eckkraft A aufgenommen werden kann. Sind die an eine Ecke anschließenden Plattenr¨ ander eingespannt, so verschwinden l¨ angs der Ränder die Torsionsmomente, und es tritt daher dann auch keine Eckkraft auf. Als Anwendungsbeispiel betrachten wir eine allseits gelenkig gelagerte Platte mit den Seitenl¨ angen a, b unter einer beliebigen Belastung p(x, y) (Abb. 3.25). Als Ansatz f¨ ur die Durchbiegung w(x, y) w¨ ahlen wir zweckm¨ aßig die doppelte Fourierreihe nπy mπx sin , wmn sin w(x, y) = a b (3.57) m n m, n = 1, 2, 3 . . . . Durch diesen Ansatz werden die Randbedingungen (3.53b) streng erf¨ ullt. Um die Plattengleichung (3.52) zu erf¨ ullen, stellen wir auch die Belastung p(x, y) durch die doppelte Fourierreihe

202


Abb. 3.25

p(x, y) =

m

n

pmn sin

nπy mπx sin , a b

dar, wobei die Fourier-Koeffizienten durch

a b nπy 4 mπx sin dx dy , p(x, y) sin pmn = ab a b 0 0 m, n = 1, 2, 3, . . .

(3.58a)

(3.58b)

gegeben sind. Setzt man nun (3.57) und (3.58a) in die Plattengleichung (3.52) ein, so erh¨ alt man aus einem Koeffizientenvergleich die Fourier-Koeffizienten der Durchbiegung zu pmn wmn = (3.59) 2 . m 2 n 2 4 Kπ + a b Aus der damit bekannten Durchbiegung (3.57) lassen sich dann nach (3.50), (3.51) auch die Schnittgr¨ oßen ermitteln. B3.8

Beispiel 3.8 Die allseits gelenkig gelagerte Platte nach Abb. 3.26

wird in einem Rechteckbereich durch eine gleichförmig verteilte Last p0 belastet.

Abb. 3.26

Gesucht ist die Durchbiegung. Weiterhin ermittle man im Son-

3.6

Die Platte

203

derfall einer quadratischen Platte (b = a) die gr¨ oßte Durchbiegung unter einer Vollast p0 bzw. unter einer Einzellast F in der Mitte. L¨ osung Die allgemeine L¨ osung f¨ ur die allseits gelenkig gelager-

te Platte ist durch (3.57) bis (3.59) gegeben. Aus (3.58b) erhalten wir unter Beachtung, dass nur in dem Rechteck mit den Seitenl¨ angen 2

204


samer konvergiert, da dort (nach zweimaliger Differentiation von w) kleinere Potenzen von m und n im Nenner auftreten. F¨ ur eine Einzellast F im Punkt u, v gehen c und d gegen Null und 4 c d p0 → F . Mit sin(m π c)/a → (m π c)/a , . . . folgen dann aus (a) die Fourier-Koeffizienten pmn =

nπv 4F mπu sin , sin 2 a a a

m, n = 1, 2, 3, . . . .

Wenn F speziell in der Mitte der Platte angreift, wird pmn =

nπ 4F mπ sin , sin a2 2 2

m, n = 1, 3, 5, . . . ,

und wir erhalten mit (c) die gr¨ oßte Durchbiegung unter der Last zu m−1 n−1 4F a2 F a2 1 wmax = (−1) 2 (−1) 2 ≈ 0, 93 . 4 2 2 2 Kπ m n (m + n ) Kπ 4

3.6.3 Die Kreisplatte

Bei einer Kreisplatte verwendet man zweckmäßigerweise Polarkoordinaten. Beschr¨ anken wir uns auf rotationssymmetrische Belastungen und Deformationen (keine Abh¨ angigkeit vom Umfangsd2 1 d + , und wir erhalten aus (3.52) winkel!) dann wird Δ = dr 2 r dr die gew¨ ohnliche Differentialgleichung (vgl. (2.99)) p 1 d2 w 1 dw d4 w 2 d3 w = . + − + 3 4 3 2 2 dr r dr r dr r dr K

(3.60)

Man kann zeigen, dass f¨ ur die Schnittgr¨ oßen in Polarkoordinaten folgende Elastizit¨ atsgesetze gelten (das Torsionsmoment verschwindet wegen der Symmetrie): 2 2 d w ν dw d w 1 dw , Mϕ = −K ν 2 + , + Mr = −K dr2 r dr dr r dr (3.61) d Qr = −K (Δw) . dr Die Gleichung (3.60) ist vom Eulerschen Typ. Ein Ansatz ur die homogene L¨ osung f¨ uhrt auf die charakteriswh = Crλ f¨

3.6

Die Platte

205

tische Gleichung λ2 (λ − 2)2 = 0. Mit den Doppelwurzeln λ1,2 = 0, osung (vgl. (2.100)) λ3,4 = 2 lautet die allgemeine L¨ w = wp + wh = wp + C0 + C1 ln

r r + C2 r2 + C3 r2 ln . (3.62) r0 r0

Hierin sind wp die Partikularl¨ osung und r0 ein Bezugsradius. Die vier Integrationskonstanten folgen bei der Kreisringplatte aus den jeweils zwei Randbedingungen am Innen- und am Außenrand. Bei der Vollplatte treten neben die zwei Bedingungen am Rand noch zwei Regularit¨ atsbedingungen in der Plattenmitte (z.B. w(0) muss endlich bleiben).

Abb. 3.27

Als Anwendungsbeispiel betrachten wir eine Kreisplatte vom aßig verteilter Belastung p = p0 (Abb. Radius r0 unter gleichm¨ 3.27). In der allgemeinen L¨ osung (3.62) muss C1 verschwinden, damit die Durchbiegung w(0) endlich bleibt. Außerdem muss C3 Null sein, damit auch die Querkraft Qr (0) beschr¨ ankt ist. Das Partikularintegral folgt aus (3.60) zu wp = p0 r4 /(64K), und damit lautet die L¨ osung w=

p0 r4 + C0 + C2 r2 . 64K

Wir wollen im weiteren zwei Lagerf¨ alle betrachten: 1) Gelenkige Lagerung am Rand r = r0 (Abb. 3.27a). Aus den Randbedingungen p0 r04 + C0 + C2 r02 = 0 , 64K

3 p r2 p r2 0 0 0 0 Mr (r0 ) = 0 → − K + 2C2 + ν + 2C2 = 0 16 K 16K w(r0 ) = 0 →

folgen die Integrationskonstanten C0 =

5 + ν p0 r04 , 1 + ν 64K

C2 = −

3 + ν p0 r02 . 1 + ν 32K

206


Damit erhalten wir die Durchbiegung 3 + ν r2 r4 p0 r04 5 + ν −2 + w= 64K 1 + ν 1 + ν r02 r04 mit dem Gr¨ oßtwert wmax = w(0) =

5 + ν p0 r04 . 1 + ν 64K

2) Starre Einspannung bei r = r0 (Abb. 3.27b). Aus den Randbedingungen p0 r04 + C0 + C2 r02 = 0 , w(r0 ) = 0 → 64K p0 r03 dw(r0 ) =0 → + 2 C2 r0 = 0 dr 16K folgen jetzt C0 =

p0 r04 , 64K

C2 = −

p0 r02 32K

und damit die Durchbiegung und ihr Gr¨ oßtwert

4 2 2 p0 r0 p0 r04 r w= 1− . → wmax = 64K r0 64K Letzterer betr¨ agt f¨ ur ν = 0, 3 nur ungef¨ ahr ein Viertel des Wertes bei gelenkiger Lagerung. B3.9

Beispiel 3.9 Eine gelenkig gelagerte Kreisplatte (Radius a) wird durch eine Einzelkraft F in der Mitte belastet (Abb. 3.28). Gesucht sind die maximale Durchsenkung und das Biegemoment Mr (r).

Abb. 3.28

L¨ osung In der allgemeinen L¨ osung (3.62) verschwindet wegen p = 0 das Partikularintegral. Da die Absenkung bei r = 0 endlich ist, muss C1 = 0 sein. Es bleibt dann nur (wir setzen r0 = a)

w = C0 + C2 r2 + C3 r2 ln

r . a

(a)

3.6

Die Platte

207

Zur Ermittlung der Integrationskonstanten bilden wir zunächst die Ableitungen

r dw = 2 C2 r + C3 2 r ln + r , dr a

d3 w r 2 d2 w + 3 , 2 ln = 2 C + C = C3 . 2 3 2 3 dr a dr r Einsetzen in die Randbedingungen ergibt mit (3.61) w(a) = 0 → C0 + C2 a2 = 0 , Mr (a) = 0 → 2 C2 (1 + ν) + C3 (3 + ν) = 0 . Eine dritte Bedingung folgt aus der Forderung, dass die Querkraft Qr in beliebigem Abstand r die gegebene Last F u ¨bertragen muss:

K 2 π rQr (r) + F = 0 → 2 π r − 4 C3 + F = 0 . r Damit erhalten wir die drei Konstanten C3 =

F , 8πK

C2 = −

F 3+ν , 16 π K 1 + ν

C0 =

F a2 3 + ν . 16 π K 1 + ν

Einsetzen in (a) ergibt die Durchbiegung r2 r2 a F a2 3 + ν 1 − 2 − 2 2 ln w= 16 πK 1 + ν a a r mit dem Gr¨ oßtwert wmax = w(0) =

3 + ν a2 F. 16(1 + ν) πK

Das Biegemoment wird 2 (1 + ν)F a d w ν dw = ln . Mr (r) = − K + dr2 r dr 4π r

(b)

Danach wird das Moment bei r = 0 unendlich groß. In Wirklichkeit gibt es jedoch keine Punktlast. Außerdem hatten wir bei der Ableitung der Plattengleichung fl¨ achenhaft verteilte Lasten vorausgesetzt, da sonst σz nicht vernachl¨ assigt werden darf. Die Gleichung (b) bleibt jedoch in einiger“ Entfernung von der Last” angriffsstelle g¨ ultig.

208

3.7


3.7 Weiterf¨ uhrende Literatur Basar, Y., Kr¨ atzig, W.B., Mechanik der Fl¨ achentragwerke, Vieweg, Wiesbaden 1984 Becker, W., Gross, D., Mechanik elastischer K¨ orper und Strukturen, Springer, Berlin 2002 Eschenauer, H., Schnell, W., Elastizit¨ atstheorie, Bibliographisches Institut, Mannheim 1993 Naghdi, P., Foundations of Elastic Shell Theory, in ’Progress in Solid Mechanics, vol. IV’, Sneddon, I.N. and Hill, R. (eds.), NorthHolland, Amsterdam 1963 Szillard, R., Theory and Analysis of Plates, Prentice Hall, New Jersey 1974 Timoshenko, S.P., Woinowsky-Krieger, S., Theory of Plates and Shells, McGraw Hill, New York 1970 Wempner, G., Talaslidis, T., Mechanics of Solids and Shells: Theories and Approximations, CRC Press, Boca Raton 2003 Wlassow, W.S., Allgemeine Schalentheorie und ihre Anwendung in der Technik, Akademie Verlag, Berlin 1958

Kapitel 4 Schwingungen kontinuierlicher Systeme

4

4 Schwingungen kontinuierlicher Systeme 4.1 4.2 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.3 4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.4 4.4.1 4.4.2 4.4.3 4.4.4 4.5 4.5.1 4.5.2 4.6 4.7

Einleitung......................................................... Die Saite ......................................................... Wellengleichung ................................................. d’Alembertsche L¨ osung, Wellen ............................. Bernoullische L¨ osung, Schwingungen ....................... Longitudinalschwingungen und Torsionsschwingungen .. Freie Longitudinalschwingungen ............................. Erzwungene Longitudinalschwingungen .................... Torsionsschwingungen.......................................... Biegeschwingungen von Balken.............................. Grundgleichungen ............................................... Freie Schwingungen ............................................ Erzwungene Schwingungen ................................... Wellenausbreitung .............................................. Eigenschwingungen von Membranen und Platten ....... Membranschwingungen ........................................ Plattenschwingungen........................................... Energieprinzipien ................................................ Weiterf¨ uhrende Literatur ......................................

211 212 212 214 218 224 224 230 233 235 235 238 247 251 254 254 258 261 268

4.1

Einleitung

211

4.1 Einleitung In Band 3 haben wir freie und erzwungene Schwingungen von mechanischen Systemen mit einem bzw. mit zwei Freiheitsgraden behandelt. Solche Systeme mit endlicher Zahl von Freiheitsgraden nennt man auch diskrete Systeme. Die Beschreibung ihrer Schwingungsbewegung f¨ uhrt auf gew¨ ohnliche Differentialgleichungen. In diesem Kapitel wollen wir nun Schwingungen kontinuierlicher Systeme untersuchen. Hierzu geh¨ oren unter anderem die Saite, der Balken und die Platte. Bei ihnen sind die f¨ ur die Schwingung maßgeblichen physikalischen Gr¨ oßen, wie die Masse und die Steifigkeit, kontinuierlich verteilt. Man kann solche Systeme auch als Systeme mit unendlich vielen Freiheitsgraden auffassen. Ihre Bewegung wird mittels partieller Differentialgleichungen beschrieben. Die mathematische Beschreibung der Schwingungen eines mechanischen Systems kann (je nach Art der Modellierung) entweder durch ein diskretes oder durch ein kontinuierliches System erfolgen. So l¨ asst sich ein eingespannter Balken mit einer Endmasse als ein Feder-Masse-System auffassen, sofern die Endmasse groß im Vergleich zur Balkenmasse ist und wenn man nur an der Grundschwingung interessiert ist. Sind die Massen dagegen von gleicher Größenordnung oder sollen auch h¨ ohere“ Schwingungsformen be” trachtet werden, so ist es zweckm¨ aßig, den Balken als Kontinuum anzusehen. Was die physikalischen Schwingungsphänomene betrifft, so k¨ onnen wir erwarten, dass sich kontinuierliche Systeme von diskreten Systemen nicht grunds¨ atzlich unterscheiden. Letztere f¨ uhren bei den freien Schwingungen auf eine endliche Zahl von Eigenfrequenzen und zugeh¨ origen Eigenformen, welche in der Regel der Zahl der Freiheitsgrade entspricht. Entsprechend werden bei kontinuierlichen Systemen unendlich viele Eigenfrequenzen und Eigenformen auftreten.

4.1

212

4.2

4 Schwingungen kontinuierlicher Systeme

4.2 Die Saite Eine Saite ist ein vorgespanntes fadenf¨ ormiges Kontinuum, das keine Biegesteifigkeit besitzt (vgl. Abschn. 3.5.1). Aus technischer Sicht haben Schwingungserscheinungen solcher Körper keine große Bedeutung. Die Saite stellt aber das einfachste kontinuierliche System dar, an dem sich wesentliche Erscheinungen relativ einfach studieren lassen. Wir beschr¨ anken uns bei ihr auf die Untersuchung freier Schwingungen.

4.2.1 Wellengleichung

Wir betrachten eine Saite mit der konstanten Massebelegung μ (Masse pro L¨ angeneinheit), die durch die Zugkraft S gespannt ist (Abb. 4.1a). Wird die Saite ausgelenkt und dann sich selbst u ¨berlassen, so f¨ uhrt sie eine freie Schwingung aus. Ihre Auslenkung w aus der Ruhelage ist dabei im allgemeinen vom Ort x und von der Zeit t abh¨ angig: w = w(x, t). Die Verschiebung u in x-Richtung kann vernachl¨ assigt werden, sofern w und die Neigung tan α = ∂w/∂x = w als klein vorausgesetzt werden. Die Bewegungsgleichungen formulieren wir am Element nach Abb. 4.1b (vgl. Abschn. 3.5.1). Hierbei gelten wegen w 1 die Vereinfachungen α ≈ sin α ≈ w , (α + dα) ≈ sin(α + dα) ≈ w + w dx, cos α ≈ 1, cos (α + dα) ≈ 1 und ds ≈ dx. Damit und mit dm = μ ds ≈ μ dx erh¨ alt man ∂S ∂S dx → = 0 → S = const, → : 0 = −S + S + ∂x ∂x ∂S dx (w + w dx) . ↓ : μ dx w ¨ = − S w + S + ∂x

Abb. 4.1

4.2

Die Saite

213

Darin ist w ¨ = ∂ 2 w/∂t2 die Beschleunigung in z-Richtung. Setzen wir ∂S/∂x = 0 in die zweite Gleichung ein, so folgt μ w ¨ = S w bzw. 1 ∂2w ∂2w = 2 2 2 ∂x c ∂t

mit c2 =

S . μ

(4.1)

Man bezeichnet diese Differentialgleichung als eindimensionale Wellengleichung. Die Konstante c hat die Dimension einer Geschwindigkeit und heißt Wellenfortpflanzungsgeschwindigkeit. Wenn wir die Massebelegung bzw. die Spannkraft durch μ = A bzw. S = σ A ausdr¨ ucken, wobei A die Querschnittsfläche, die Dichte und σ die Spannung der Saite sind, dann gilt f¨ ur c die Beziehung c = σ/. Die Bewegungsgleichung (4.1) f¨ ur die freie Schwingung einer Saite k¨ onnen wir auch erhalten, indem wir von der Gleichgewichtsbedingung (3.31) ausgehen. Dann muss man dort als äußere Be” lastung“ q(x) die d’Alembertsche Tr¨ agheitskraft −μ w ¨ einf¨ uhren: q = −μ w. ¨ Um die L¨ osung der Wellengleichung in einem konkreten Fall angeben zu k¨ onnen, ben¨ otigt man noch die Anfangsbedingungen und die Randbedingungen. Durch die Anfangsbedingungen sind die Auslenkung und die Geschwindigkeit der Saite zu Beginn der Bewegung (Zustand zum Zeitpunkt t = 0) festgelegt: w(x, 0) = w0 (x),

w(x, ˙ 0) = v0 (x).

(4.2)

Die Randbedingungen sind Aussagen u ¨ber die Deformations- bzw. die Kraftgr¨ oßen an den R¨ andern. Ist die Saite dort zum Beispiel wie in Abb. 4.1a in z-Richtung unverschieblich gelagert ( fester ” Rand“), so gelten w(0, t) = 0 und w(l, t) = 0. Wenn sich ein Saitenende dagegen in vertikaler Richtung unbehindert verschieben kann ( freier Rand“), so verschwindet dort die Vertikalkomponen” te S w der Kraft, d.h. wegen S = 0 gilt dann w |Rand = 0. Ganz allgemein bezeichnet man ein Problem, das durch eine Bewegungsgleichung sowie durch Anfangs- und durch Randbedingungen beschrieben wird, als Anfangs-Randwertproblem.

214


4.2.2 d’Alembertsche L¨ osung, Wellen

Die allgemeine L¨ osung der Wellengleichung (4.1) kann man durch Integration erhalten. Dazu ist es zweckm¨ aßig, zunächst die Variablen x und t durch die neuen Variablen ξ = x − c t und η = x + c t

(4.3)

zu ersetzen (Transformation). Mit ∂ ∂x ∂2 ∂x2 ∂ ∂t ∂2 ∂t2

∂ ∂ξ ∂ ∂η ∂ ∂ + = + , ∂ξ ∂x ∂η ∂x ∂ξ ∂η ∂2 ∂2 ∂2 + 2, = 2 +2 ∂ξ ∂ξ ∂η ∂η ∂ ∂ ∂ξ ∂ ∂η ∂ = + =c − + , ∂ξ ∂t ∂η ∂t ∂ξ ∂η ∂2 ∂2 ∂2 + = c2 − 2 ∂ξ 2 ∂ξ ∂η ∂η 2

=

folgt dann aus (4.1) 4

∂2 w = 0. ∂ξ ∂η

Diese Gleichung l¨ asst sich einfach integrieren. Man erhält die allgemeine L¨ osung w(ξ, η) = f1 (ξ) + f2 (η),

(4.4)

wobei f1 und f2 beliebige Funktionen sind. Mit (4.3) lässt sie sich in der Form w(x, t) = f1 (x − c t) + f2 (x + c t)

(4.5)

schreiben. Darin sind nun x − c t bzw. x + c t die Argumente der osung (4.5) wird nach d’Alembert Funktionen f1 bzw. f2 . Die L¨ auch die d’Alembertsche Lösung der Wellengleichung genannt. Ersetzt man in der Funktion f1 die Zeit t durch t∗ = t + τ und andert sich das Argument nicht, den Ort x durch x∗ = x + c τ , so ¨ und es gilt daher f1 (x, t) = f1 (x∗ , t∗ ) (Abb. 4.2). Die Funktion f1 (x−c t) beschreibt somit eine Welle, die sich mit der konstanten

4.2

Die Saite

215

Abb. 4.2

¨ Geschwindigkeit c ohne Anderung ihres Profils (ihrer Form) in positive x-Richtung fortpflanzt (Abb. 4.2). Analog stellt f2 (x+c t) eine Welle dar, die sich mit der Geschwindigkeit c in negative x-Richtung ausbreitet. Die Bewegung einer Saite kann also als Superposition zweier gegenl¨ aufiger Wellen angesehen werden. Die Funktionen f1 und f2 lassen sich aus den Anfangsbedingungen (4.2) bestimmen. Mit (4.5) lauten diese f1 (x) + f2 (x) = w0 (x), − c f1 (x) + c f2 (x) = v0 (x) . Die zweite Gleichung kann nach Integration in der Form

x 1 v0 (¯ x)d¯ x − f1 (x0 ) + f2 (x0 ) − f1 (x) + f2 (x) = c x0

geschrieben werden. Da wir x0 beliebig w¨ ahlen können, ist die urlich. Wir k¨ onnen sie deshalb ohne Differenz f1 (x0 ) − f2 (x0 ) willk¨ Beschr¨ ankung der Allgemeinheit auch zu Null setzen. Mit der ersur f2 durch Subtraktion ten Gleichung folgen damit f¨ ur f1 bzw. f¨ bzw. durch Addition

x 1 1 w0 (x) ∓ f1,2 (x) = v0 (¯ x)d¯ x . (4.6) 2 c x0

Setzt man diese Ergebnisse in (4.5) ein, so erh¨ alt man x−c

t 1 1 w(x, t) = w0 (x − c t) − v0 (¯ x)d¯ x 2 c

1 1 w0 (x + c t) + + 2 c

x0 x+c

t

v0 (¯ x)d¯ x . x0

216


Fassen wir nun noch die beiden Integrale zusammen, dann lautet die L¨ osung der Wellengleichung x+c

t 1 1 w(x, t) = w0 (x − c t) + w0 (x + c t) + v0 (¯ x)d¯ x . (4.7) 2 c x−c t

Sie wird besonders einfach, wenn die Anfangsgeschwindigkeit Null ist: v0 (x) = 0. In diesem Fall folgen aus (4.6) und (4.7) f1 (x) = f2 (x) = 12 w0 (x), w(x, t) = 12 [w0 (x − c t) + w0 (x + c t)].

(4.8)

Das Profil der gegenl¨ aufigen Wellen f1 und f2 ist dann durch die halbe Anfangsauslenkung gegeben. Als Beispiel hierzu ist in Abb. 4.3 f¨ ur eine dreiecksf¨ ormige Anfangsauslenkung die Lösung w(x, t) zu verschiedenen Zeitpunkten dargestellt.

Abb. 4.3

Die L¨ osung (4.7) bzw. (4.8) beschreibt die Auslenkung der Saite richtig, solange die Wellen auf keine R¨ ander treffen. Hat die Saite eine endliche L¨ ange, so m¨ ussen an den Rändern die Randbedingungen erf¨ ullt werden. Wir betrachten zunächst eine Welle, die auf einen festen Rand trifft (Abb. 4.4a). Die Randbedingung w = 0 wird erf¨ ullt, wenn man dieser einfallenden Welle eine reflektierte Welle gleicher Form aber mit umgekehrtem Vorzeichen ¨ und entgegengesetzter Laufrichtung u sind die ¨berlagert. Ahnlich Verh¨ altnisse an einem freien Rand (Abb. 4.4b). Damit die Beullt ist, muss in diesem Fall der dingung w = 0 am Rand erf¨ einfallenden Welle eine reflektierte Welle mit nunmehr gleichem Vorzeichen aber entgegengesetzter Laufrichtung u ¨berlagert wer-

4.2

Die Saite

217

Abb. 4.4

den. In beiden F¨ allen wird also eine einfallende Welle am Rand ¨ ohne Anderung ihrer Form reflektiert: am festen Rand mit Vorzeichenwechsel, am freien Rand ohne Vorzeichenwechsel. Hiermit kann man die L¨ osung f¨ ur eine Saite endlicher L¨ ange konstruieren. Als Anwendungsbeispiel betrachten wir eine Saite mit festen R¨ andern und dreiecksf¨ ormiger Anfangsauslenkung. Abb. 4.5 zeigt die L¨ osung zu verschiedenen Zeitpunkten. Die anfangs nach rechts bzw. nach links laufenden Wellen werden an den Rändern reflektiert, wobei eine Vorzeichenumkehr stattfindet. Die r¨ ucklau-

Abb. 4.5

218


fenden Wellen werden dann abermals an den gegen¨ uberliegenden Rändern reflektiert. Nach der Zeit T = 2l/c, welche eine Welle ben¨ otigt, um die Strecke 2l (doppelte Saitenlänge) zur¨ uckzulegen, ist gerade wieder der Ausgangszustand erreicht. Der Vorgang wiederholt sich danach periodisch: die Saite schwingt mit einer Schwingungsdauer T = 2l/c. 4.2.3 Bernoullische L¨ osung, Schwingungen

Wie wir gesehen haben, k¨ onnen die Schwingungen einer Saite endlicher L¨ ange mit Hilfe der allgemeinen L¨ osung nach d’Alembert beschrieben werden. Zweckm¨ aßiger ist es aber meist, mit Hilfe des Produktansatzes w(x, t) = W (x) T (t)

(4.9)

spezielle L¨ osungen von (4.1) zu suchen. Dieser Lösungsansatz geht auf Daniel Bernoulli (1700–1782) zur¨ uck und beschreibt eine Bewegung, bei welcher sich alle Punkte der Saite nach dem gleichen Zeitgesetz (synchron) bewegen. Mit (4.9) ergibt sich aus (4.1) T¨(t) 1 W (x) = . → c2 W (x) T (t) = 2 W (x) T¨(t) c W (x) T (t) In der rechten Gleichung sind die Variablen getrennt: die linke Seite h¨ angt nur von x, die rechte Seite nur von t ab. F¨ ur alle x und t kann diese Gleichung nur dann erf¨ ullt sein, wenn beide Seiten einer Konstanten gleich sind, die wir zweckmäßig mit −ω 2 bezeichnen: c2

T¨(t) W (x) = = − ω2 . W (x) T (t)

Hieraus folgen die beiden gew¨ ohnlichen Differentialgleichungen ω 2 W = 0, T¨ + ω 2 T = 0 . (4.10) W + c Ihre allgemeinen L¨ osungen lauten (vgl. Band 3, Abschn. 5.2.1) W (x) = A cos

ω ω x + B sin x, c c

T (t) = C cos ωt + D sin ωt, (4.11)

4.2

Die Saite

219

wobei A, B, C, D und ω noch unbestimmt sind. Der Zeitverlauf T (t) beschreibt danach eine harmonische Schwingung mit der Kreisfrequenz ω. Der zugeh¨ orige Ortsverlauf W (x) ist ebenfalls harmonisch und in seiner Periode durch ω/c festgelegt. Die Produktl¨ osung (4.9) kann damit in der Form ω ω w(x, t) = A cos x + B sin x (C cos ωt + D sin ωt) (4.12a) c c geschrieben werden. Gleichwertig hierzu ist wegen C cos ω t + D sin ω t = C ∗ cos (ω t − α) (vgl. Band 3, Abschn. 5.1) die Darstellung

ω ¯ sin ω x cos (ω t − α), w(x, t) = A¯ cos x + B c c

(4.12b)

wobei wir die Produkte AC ∗ , BC ∗ durch die neuen Konstanten ¯ B ¯ ersetzt haben. A, Im weiteren wollen wir zeigen, dass durch diese Lösung die Rand- und die Anfangsbedingungen erf¨ ullt werden können. Zu diesem Zweck betrachten wir als Anwendungsbeispiel die Saite mit festen R¨ andern nach Abb. 4.6a, die wir im vorhergehenden Abschnitt schon einmal untersucht haben. Die Randbedingungen liefern: w(0, t) = 0 → W (0) = 0 : w(l, t) = 0 → W (l) = 0 :

Abb. 4.6

A = 0, ω B sin l = 0. c

(4.13)

220


Wenn wir die triviale L¨ osung W (x) ≡ 0 ausschließen, dann muss B = 0 sein, und es folgt ω c ω l = k π → ωk = k π , k = 1, 2, ... . (4.14) sin l = 0 → c c l Die Gleichung sin(ωl/c) = 0 bezeichnet man als charakteristische Gleichung. Durch sie sind die Eigenfrequenzen (Eigenwerte) ωk festgelegt. Dabei haben wir hier den trivialen Fall ω0 = 0 ur k = und die physikalisch uninteressanten L¨ osungen ωk < 0 f¨ −1, −2, . . . gleich weggelassen. oren eine Eigenfunktion (EigenZu jeder Eigenfrequenz ωk geh¨ schwingungsform) Wk (x) = Bk sin

ωk kπx x = Bk sin c l

(4.15)

und damit nach (4.12a) eine L¨ osung wk (x, t) = Wk (x) Tk (t) = sin

kπ x (Ck cos ωk t + Dk sin ωk t).(4.16) l

Dabei wurde ohne Beschr¨ ankung der Allgemeinheit Bk = 1 gesetzt. Durch (4.16) wird eine Eigenschwingung mit der Eigenfrequenz ωk und der Eigenschwingungsform Wk (x) beschrieben. Aus (4.14) geht hervor, dass es unendlich viele Eigenschwingungen gibt (k = 1, 2, . . .). Die zu k = 1 geh¨ orige kleinste Frequenz ω1 nennt man Grundfrequenz, die entsprechende Schwingung heißt Grundschwingung. Ihre Schwingungsdauer betr¨ agt T1 = 2π/ω1 = 2l/c (vgl. die L¨ osung nach d’Alembert). Die Frequenzen ω2 , ω3 , . . . bezeichnet origen Schwingungen als man als Oberfrequenzen und die zugeh¨ Oberschwingungen. In Abb. 4.6b sind die Eigenschwingungsformen f¨ ur die Grundschwingung sowie f¨ ur die 1. und die 2. Oberschwingung dargestellt. Diese sind durch (4.15) bis auf jeweils die beliebige Konstante Bk bestimmt. Die Stellen W = 0 werden als Knoten bezeichnet; die Saite erf¨ ahrt dort bei der Schwingung keine Auslenkung. Schwingt die Saite in der Grundfrequenz, dann gibt es (abgesehen von den festen Enden) keinen Knoten. Bei der 1. Oberschwingung tritt ein Knoten, bei der 2. Oberschwingung treten zwei Knoten auf.

4.2

Die Saite

221

Die Eigenschwingungen (4.16) sind spezielle L¨ osungen von (4.1), welche die Randbedingungen erf¨ ullen. Da die Differentialgleichung (4.1) linear ist, stellt die Summe von Eigenschwingungen ebenfalls eine L¨ osung dar, die den Randbedingungen gen¨ ugt (Superpositi¨ on). Uberlagern wir alle Eigenschwingungen, dann erhalten wir die allgemeine L¨ osung“ ” ∞ ∞ kπx (Ck cos ωk t + Dk sin ωk t). (4.17) w(x, t) = wk = sin l k=1

k=1

Diese k¨ onnen wir auffassen als die Darstellung der Auslenkung w(x) zu jedem Zeitpunkt t durch eine Fourierreihe. Dabei sind die Tk (t) die Fourierkoeffizienten zum Zeitpunkt t. Da eine beliebige beschr¨ ankte Funktion im endlichen Intervall immer durch eine Fourierreihe dargestellt werden kann, ist die Bernoullische Lösung (4.17) somit a osung nach d’Alembert. ¨quivalent zur allgemeinen L¨ Gehen wir mit (4.17) in die Anfangsbedingungen (4.2), so erhalten wir Wk (x)

w(x, 0) = w0 (x) :

∞ k=1

w(x, ˙ 0) = v0 (x) :

∞

k=1

# $! " kπx = w0 (x), Ck sin l

(4.18)

kπx Dk ωk sin = v0 (x). ! "# l $ Wk (x)

Hieraus lassen sich die Konstanten Ck und Dk bestimmen. Dazu multiplizieren wir die Gleichungen mit Wi (x) = sin(iπx/l) und integrieren

222


Damit ist die L¨ osung (4.17) eindeutig bestimmt. Sie vereinfacht sich, wenn die Anfangsgeschwindigkeit v0 verschwindet; in diesem Fall gilt Dk = 0. atsrelation der EiDie Beziehung (4.19) wird als Orthogonalit¨ genfunktionen bezeichnet. Damit sie eine besonders einfache Gestalt bekommt, normiert man die Eigenfunktionen häufig gerade so, dass f¨ ur i = k auf der rechten Seite 1“ steht (anstelle von l/2 ” in unserem Fall). Dies ist m¨ oglich, da die Eigenfunktionen durch (4.15) nur bis auf einen beliebig w¨ ahlbaren Faktor bestimmt sind. Wir wollen nun noch f¨ ur den Fall einer dreiecksförmigen Anfangsauslenkung nach Abb. 4.6a und v0 (x) = 0 die Lösung vollst¨ andig angeben. Hierf¨ ur liefert (4.20) Dk = 0, und Ck errechnet ur 0 ≤ x ≤ l/2 sowie w0 = 2 f (1 − x/l) f¨ ur sich mit w0 = 2 f x/l f¨ l/2 ≤ x ≤ l zu l/2

l

kπx kπx 4f x x sin dx − − 1 sin dx Ck = l l l l l 0

l/2

8f kπ . = 2 2 sin k π 2 Damit folgt aus (4.17) schließlich kπ ∞ 8 sin 2 kπx w(x, t) = f 2 cos ωk t. sin π k2 l

(4.21)

(4.22)

k=1

¨ Die L¨ osung wird hierdurch als Uberlagerung der Grundschwingung (k = 1) mit unendlich vielen Oberschwingungen (k = 2, 3, . . .) dargestellt. An dieser Stelle sei angemerkt, dass es bei vielen praktischen Problemen ausreicht, die Eigenfrequenzen und die Eigenschwingungsformen zu bestimmen. Dies trifft zum Beispiel zu, wenn die Anfangsbedingungen unbekannt sind. Dies trifft aber auch zu, wenn erzwungene Schwingungen vorliegen, bei denen Resonanz vermieden werden soll. Wie bei diskreten Systemen kommt es n¨ amlich auch bei kontinuierlichen Systemen zur Resonanz, wenn die Erregerfrequenz gleich einer Eigenfrequenz ist (vgl. Abschnitt 4.3.2).

4.2

Die Saite

223

In realen Systemen werden die Schwingungen gedämpft. Die Dämpfung ist dabei meist umso gr¨ oßer, je h¨ oher die Frequenz ist. Dies hat zur Folge, dass die Oberschwingungen umso schwächer ” angeregt“ werden bzw. umso schneller abklingen, je höher ihre Ordnung ist. Deshalb sind in der Regel nur die Grundschwingung und die ersten Oberschwingungen von besonderer Bedeutung. Beispiel 4.1 Es sind die Eigenfrequenzen und die Eigenfunktionen

f¨ ur eine Saite zu bestimmen, bei der ein Rand fest und der andere Rand frei ist (Abb. 4.7a). Wie ¨ andert sich die Grundfrequenz, wenn die Spannkraft S in der Saite verdoppelt wird?

Abb. 4.7

L¨ osung Nach (4.11) lautet die allgemeine L¨ osung f¨ ur die Orts-

funktion ω ω x + B sin x. c c

W (x) = A cos

Die Randbedingungen liefern W (0) = 0 : W (l) = 0 :

A = 0, ω ω B cos l = 0. c c

Aus der zweiten Gleichung folgen mit B = 0 und ω > 0 (nichttriviale L¨ osung!) die charakteristische Gleichung cos

ω l=0 c

und damit die Eigenfrequenzen: 2k − 1 ω l= π c 2

→

ωk =

2k − 1 πc , k = 1, 2, . . . . 2 l

B4.1

224


Durch Einsetzen von ωk erh¨ alt man die Eigenfunktionen 2k − 1 π x Wk (x) = Bk sin , k = 1, 2, . . . . 2 l F¨ ur die Grundschwingung und die 1. Oberschwingung ergeben sich zum Beispiel πc πx , W1 = B1 sin , ω1 = 2l 2l 3π c 3π x ω2 = , W2 = B2 sin . 2l 2l Die entsprechenden Eigenschwingungsformen sind in Abb. 4.7b dargestellt. Die Grundfrequenz kann man mit der Wellenfortpflanzungsgeschwindigkeit c = S/μ nach (4.1) auch in der Form π S ω1 = 2 μ l2 darstellen. Wird oht sich die Frequenz um √ S verdoppelt, dann erh¨ den Faktor 2. Dies trifft auch auf die Oberfrequenzen zu.

4.3

4.3 Longitudinalschwingungen und Torsionsschwingungen von St¨ aben 4.3.1 Freie Longitudinalschwingungen

Wir betrachten einen homogenen Stab mit der Dichte und der konstanten Querschnittsfl¨ ache A, welcher freie Longitudinalschwingungen (L¨ angsschwingungen, Dehnschwingungen) ausf¨ uhrt (Abb. 4.8a). Dabei erfahren die Querschnitte eine Verschiebung u(x, t) in Richtung der Stabachse. Dann lautet das Bewegungsgesetz f¨ ur ein Element (Abb. 4.8b) ∂N dx → Au ¨ = N . (4.23) A dx u ¨ = −N + N + ∂x

4.3

Longitudinalschwingungen und Torsionsschwingungen

225

Abb. 4.8

Mit dem Elastizit¨ atsgesetz (Band 2, Gl. (1.14)) N = EA u

(4.24)

erh¨ alt man daraus u ¨ = E u bzw. 1 ∂2u ∂2u = 2 2 2 ∂x c ∂t

mit c2 =

E .

(4.25)

Die Dehnschwingungen eines Stabes werden danach wie die Schwingungen einer Saite durch die eindimensionale Wellengleichung beschrieben. Die Wellenfortpflanzungsgeschwindigkeit c hängt nun im Gegensatz zur Saite nur von den Materialkennwerten E und ab. F¨ ur Stahl mit E = 2, 1 · 105 N/mm2 und = 7, 8 g/cm3 beträgt sie c = 5190 m/s (vgl. cLuft ≈ 330 m/s). Die L¨ osung der Wellengleichung haben wir in Abschnitt 4.1 diskutiert. Da wir uns hier auf die Eigenschwingungen endlicher St¨ abe beschr¨ anken, ist es zweckm¨ aßig, die Bernoullische Lösung zu verwenden (vgl. (4.12b)). Wir wollen sie hier nochmals kurz herleiten. Dazu machen wir den Ansatz u(x, t) = U (x) cos(ωt − α) ,

(4.26)

in welchem von vornherein ein zeitharmonisches Verhalten vorausgesetzt ist. Einsetzen in (4.25) liefert die gew¨ ohnliche Differentialgleichung d2 U ω 2 + U =0 (4.27) dx2 c mit der allgemeinen L¨ osung ω ω U (x) = A∗ cos x + B sin x. c c

(4.28)

226


Die Konstante A∗ wurde dabei mit einem Stern gekennzeichnet, um eine Verwechslung mit der Querschnittsfl¨ ache A zu vermeiden. Aus (4.26) wird damit u(x, t) = U (x) cos(ωt − α) ω ω = A∗ cos x + B sin x cos(ωt − α) . c c

(4.29)

Als Anwendungsbeispiel bestimmen wir f¨ ur einen Stab die Eigenfrequenzen und die Eigenfunktionen bei verschiedenen Randbedingungen. Ist der Stab links fest gelagert und rechts frei (Abb. 4.9a), dann liefern die Randbedingungen A∗ = 0, ω ω N (l, t) = EA u (l, t) = 0 → U (l) = 0 → B cos l = 0. c c →

u(0, t) = 0

U (0) = 0 →

Mit B = 0 , ω > 0 folgt hieraus die charakteristische Gleichung ω (4.30a) cos l = 0 . c Unter Verwendung von c = E/ ergeben sich damit (vgl. Beispiel 4.1) 2k − 1 π E/l2 , ωk = 2 (4.30b) 2k − 1 πx , k = 1, 2, . . . . Uk (x) = Bk sin 2 l Entsprechend folgen f¨ ur den beidseitig gelagerten Stab (Abb. 4.9b) mit den Randbedingungen U (0) = 0 → A∗ = 0,

U (l) = 0 → sin

ω l=0 c

die Ergebnisse ωk = k π

E/l2 ,

Uk (x) = Bk sin

kπx . l

(4.30c)

Abb. 4.9

4.3


227

Beim beidseitig freien Stab nach Abb. 4.9c gelten die Randbedingungen ω U (l) = 0 → sin l = 0 , U (0) = 0 → B = 0 , c und man erh¨ alt ωk = k π E/l2 ,

Uk (x) = A∗k cos

kπx . l

(4.30d)

Man beachte, dass die Eigenfrequenzen in den beiden Fällen fest– ” fest“ und frei–frei“ gleich sind, die Eigenfunktionen sich aber ” unterscheiden.

Abb. 4.10

In einem weiteren Anwendungsbeispiel wollen wir die Eigenfrequenzen und die Eigenfunktionen des Stabes mit einer Endmasse nach Abb. 4.10a bestimmen. Die Randbedingung am linken Ende liefert u(0, t) = 0

→ U (0) = 0 : A∗ = 0.

Um die Bedingung am rechten Stabende zu formulieren, trennen wir dort die Masse vom Stab (Abb. 4.10b). Das Bewegungsgesetz f¨ ur die Masse liefert dann mit (4.24) zun¨ achst mu ¨(l, t) = − N (l, t) = − EA u (l, t) → − m ω 2 U (l) = − EA U (l) ω ω ω → m ω 2 B sin l = EA B cos l. c c c Hieraus ergibt sich mit c2 = E/ sowie den Abk¨ urzungen λ = ω l/c und ε = m/( A l) (= Massenverh¨ altnis: Endmasse/Stab-

228


masse) die charakteristische Gleichung ελ = cot λ .

(4.31)

Die Wurzeln dieser transzendenten Gleichung kann man zum Beispiel grafisch bestimmen (Abb. 4.10c). Man erkennt, dass es unendlich viele Eigenwerte λk gibt. Aus ihnen folgen die Eigenfrequenzen zu c (4.32a) ωk = λk = λk E/l2 , k = 1, 2, . . . . l Die zugeh¨ origen Eigenfunktionen sind durch x Uk (x) = Bk sin λk l

(4.32b)

gegeben. W¨ ahlen wir das Massenverh¨ altnis ε = 1, so liefert die Auswertung der charakteristischen Gleichung f¨ ur die Grundfrequenz und f¨ ur die 1. Oberfrequenz c λ1 = 0, 860 → ω1 = λ1 = 0, 860 E/l2 , l c λ2 = 3, 425 → ω2 = λ2 = 3, 425 E/l2 . l Im Sonderfall ε = 0 (keine Endmasse) vereinfacht sich die charakteristische Gleichung (4.31) zu cot λ = 0, und man erhält die Eigenwerte λk = (2 k−1)π/2. Dann folgen f¨ ur die Eigenfrequenzen und f¨ ur die Eigenfunktionen die Ergebnisse (4.30b). Ein anderer Sonderfall ist ε 1. In diesem Fall wird λ1 1 (Abb. 4.10c), und man kann cot λ1 = 1/ tan λ1 ≈ 1/λ1 setzen. Die charakteristische Gleichung liefert dann λ 21 = 1/ε bzw. ω 12 = c2 /(ε l2 ) = EA/(m l). Dies entspricht genau der Frequenz, die man erh¨ alt, falls man den Stab als reine Feder mit der Steifigkeit EA/l ansieht und seine Masse vernachl¨ assigt (vgl. Band 3, Abschn. 5.2.2). F¨ ur die h¨ oheren Eigenwerte liest man aus Abb. 4.10c die Beziehung λ ≈ k π bzw. ω ≈ k π E/ l2 ab. Dies sind gerade die Eigenfrequenzen, die sich f¨ ur den beidseitig fest gelagerten Stab ergeben (vgl. (4.30c)). Aufgrund der hohen Frequenz wirkt die tr¨ age Masse m dann wie ein unverschiebliches Lager.

4.3


229

Die Grundfrequenz eines einseitig fest gelagerten Stabes oh uhren wir ne Endmasse betr¨ agt nach (4.30b) ω1 = π2 E/ l2 . F¨ mit m0 = A l die Gesamtmasse des Stabes ein, dann gilt ω1 = π EA/m0 l. Die Eigenfrequenz eines 2 masselosen Stabes mit einer Endmasse m betr¨ agt dagegen ω = EA/m l. Beide Frequenzen stimmen dann u ¨berein, wenn die Masse m so gewählt wird, dass 2 2 m = mred = ( π ) m0 gilt. Man bezeichnet mred als die reduzierte Masse. Danach kann man die Grundfrequenz eines homogenen Stabes der Masse m0 berechnen, indem man seine reduzierte Masse am freien Ende konzentriert und den Stab selbst als elastisch (Steifigkeit EA) und als masselos auffasst. Der Stab nach Abb. 4.11a ist links an eine Feder angeschlossen und rechts eingespannt. Wie groß ist die Eigenfrequenz der Grundschwingung, wenn die Federkonstante durch c∗ = 2EA/l gegeben ist?

Beispiel 4.2

Abb. 4.11

L¨ osung Die Randbedingungen liefern mit (4.29) und Abb. 4.11b

N (0, t) = c∗ u(0, t) → c∗ U (0) − EA U (0) = 0 : ω = 0, c ω ω A∗ cos l + B sin l = 0 . c c A∗ c∗ − B EA

u(l, t) = 0 → U (l) = 0 :

Das homogene Gleichungssystem f¨ ur A∗ und B hat nichttriviale L¨ osungen, wenn seine Koeffizientendeterminante verschwindet. Dies liefert mit der Abk¨ urzung λ = ω l/c und dem gegebenen Wert f¨ ur c∗ die charakteristische Gleichung c∗ sin

ω ω λ ω l + EA cos l = 0 → tan λ + = 0 . c c c 2

B4.2

230


Die Auswertung dieser transzendenten Gleichung kann numerisch oder grafisch erfolgen (Abb. 4.11c). F¨ ur den kleinsten Eigenwert ur die Frequenz der Grundschwingung ergeben sich λ1 und damit f¨ c → ω 1 = λ1 = 2, 29 E/l2 . λ1 = 2, 29 l 4.3.2 Erzwungene Longitudinalschwingungen

Bisher haben wir nur freie Schwingungen betrachtet. Wir wollen nun untersuchen, wie sich ein kontinuierliches System verhält, das durch eine ¨ außere Kraft zu Schwingungen angeregt wird. Dazu betrachten wir als Beispiel den Stab nach Abb. 4.12a, an dessen rechtem Ende eine mit der Erregerfrequenz Ω harmonisch ver¨ anderliche Kraft wirkt.

Abb. 4.12

Die Bewegung des Stabes wird wie bisher durch die Wellengleichung (4.25) 1 ∂2u ∂2u = ∂x2 c2 ∂t2

(4.33)

beschrieben, und die Randbedingungen lauten nun u(0, t) = 0,

N (l, t) = EA u (l, t) = F0 cos Ωt .

(4.34)

Im Unterschied zu den freien Schwingungen ist hier bei einer Randbedingung die rechte Seite nicht Null, sondern durch F0 cos Ωt vorgegeben: es liegt eine inhomogene Randbedingung vor. Die allgemeine L¨ osung solch eines inhomogenen Problems setzt sich aus der allgemeinen L¨ osung uh (x, t) des homogenen Problems (= freie Schwingung, homogene Randbedingungen) und einer Lösung

4.3


231

up (x, t) des inhomogenen Problems zusammen: u(x, t) = uh (x, t) + up (x, t) .

(4.35)

onnen wir in der Form Die L¨ osung uh des homogenen Problems k¨ uh (x, t) =

∞

Uk (x)(Ck cos ωk t + Dk sin ωk t)

(4.36)

k=1

schreiben, wobei ωk die Eigenfrequenzen und Uk die Eigenfunktionen sind. Diese sind f¨ ur unser Beispiel durch (4.30b) gegeben. F¨ ur die Eigenfrequenzen gilt dabei nach (4.30a) die charakteristische Gleichung cos(ωl/c) = 0. F¨ ur die Partikularl¨ osung machen wir den Ansatz vom Typ der ” rechten Seite“ up (x, t) = Up (x) cos Ωt .

(4.37)

Setzen wir ihn in (4.33) ein, so erhalten wir die gewöhnliche Differentialgleichung Ω2 d2 Up + 2 Up = 0 . 2 dx c

(4.38)

Mit ihrer allgemeinen L¨ osung Up (x) = B1 cos

Ω Ω x + B2 sin x c c

(4.39)

wird also

Ω Ω up (x, t) = B1 cos x + B2 sin x cos Ωt . c c

(4.40)

Die Konstanten B1 und B2 bestimmen wir aus den Randbedingungen (4.34): up (0, t) = 0 : EA up (l, t) = F0 cos Ωt :

B1 = 0 , Ω Ω cos l = F0 c c F0 . → B2 = Ω Ω EA cos l c c EA B2

(4.41)

232


Die Partikularl¨ osung lautet folglich Ω F0 l sin c x up (x, t) = Up (x) cos Ωt = cos Ωt. Ω EA Ω l cos l c c

(4.42)

Die allgemeine L¨ osung (4.35) ist damit durch (4.36) und (4.42) gegeben. Die noch freien Konstanten Ck und Dk in (4.36) können aus den Anfangsbedingungen bestimmt werden. Bei realen Systemen klingt die L¨ osung des homogenen Problems, d.h. die freie Schwingung, wegen der stets vorhandenen D¨ ampfung mit der Zeit ab (vgl. Band 3, Abschn. 5.2.3). Nach hinreichend großer Zeit (Einschwingvorgang) kann sie vernachlässigt werden, und die L¨ osung ist dann allein durch die Partikularlösung (4.42) gegeben: u(x, t) = up (x, t). ur das In Abb. 4.12b ist die Verschiebungsamplitude“ Up f¨ ” Stabende (x = l) in Abh¨ angigkeit von der Erregerfrequenz Ω dargestellt. F¨ ur Ω → 0 ergibt sich mit sin(Ωl/c) → Ωl/c und cos(Ωl/c) → 1 eine Stabverl¨ angerung wie bei einer statischen stat Belastung: Up (l) → Up (l) = F0 l/EA. Wenn die Erregerfrequenz gegen eine Nullstelle von cos(Ωl/c) geht (Nenner von Up ), w¨ achst die Amplitude unbeschr¨ ankt an (Resonanz). Da durch cos(ωl/c) = 0 aber die Eigenfrequenzen bestimmt sind, ist dies gerade dann der Fall, wenn die Erregerfrequenz gegen die Eigenfrequenz geht (Ω → ωk ). Der Vorzeichenwechsel von Up an den Resonanzstellen zeigt an, dass dort jeweils ein Phasensprung stattfindet. So ist zum Beispiel der Ausschlag f¨ ur Ω < ω1 mit der Erregung in Phase, w¨ ahrend er f¨ ur ω1 < Ω < π c/l (Nullstelle von Up (l)) mit der Erregung in Gegenphase ist. Die L¨ osung (4.37) vom Typ der rechten Seite des inhomogenen Problems gilt nur, wenn keine Resonanz vorliegt. Wie bei einem diskreten System muss man im Resonanzfall (Ω = ωk ) vom Ansatz up (x, t) = Up (x) t sin Ωt

(4.43)

ausgehen (vgl. Band 3, Abschn. 5.3.1). Er beschreibt eine Schwingung mit zeitlich linear zunehmender Amplitude.

4.3


233

Bei dem eben behandelten Beispiel wird das System durch eine Kraft am Rand erregt. Dies f¨ uhrt bei der Beschreibung der erzwungenen Schwingung auf eine homogene Differentialgleichung und auf eine inhomogene Randbedingung. Wenn der Stab durch Kräfte erregt wird, die u ange verteilt sind, dann wird ¨ber seine L¨ die Differentialgleichung inhomogen, w¨ ahrend die Randbedingungen homogen bleiben. Die Vorgehensweise bei der Lösung ändert sich dadurch aber nicht grunds¨ atzlich. Wir werden diesen Fall bei den Balkenschwingungen (Abschnitt 4.4) untersuchen. 4.3.3 Torsionsschwingungen

Betrachtet wird nun ein homogener Stab mit konstanter Querschnittsfl¨ ache, der ohne W¨ olbbehinderung eine freie Torsionsschwingung (Drehschwingung) ausf¨ uhrt (Abb. 4.13a). Dabei erfahren die Querschnitte eine Drehung ϑ(x, t) um die x-Achse, f¨ ur die wir hier die Schwerachse w¨ ahlen. Die Bewegungsgleichung stellen wir wieder am Stabelement auf (Abb. 4.13b). Mit dem Masuglich der sentr¨ agheitsmoment dΘ = Ip dx des Elements bez¨ Schwerachse liefert der Drallsatz ∂MT dx → Ip ϑ¨ = MT . dΘ ϑ¨ = −MT + MT + ∂x Darin ist Ip das polare Fl¨ achentr¨ agheitsmoment der Querschnittsatsgesetzes (Band fl¨ ache. Eliminiert man MT mit Hilfe des Elastizit¨ 2, Gl. (5.5.)) MT = GIT ϑ ,

(4.44)

so erh¨ alt man Ip ϑ¨ = GIT ϑ bzw. 1 ∂2ϑ ∂2ϑ = ∂x2 c2 ∂t2

Abb. 4.13

mit c2 =

GIT . Ip

(4.45)

234


Dies ist wiederum die eindimensionale Wellengleichung, deren Lösung wir schon kennen. Beschr¨ anken wir uns auf Eigenschwingungen, dann ist es zweckm¨ aßig, mit der Bernoullischen Lösung ϑ(x, t) = θ(x) cos(ωt − α) ω ω = A cos x + B sin x cos(ωt − α) c c

(4.46)

zu arbeiten (vgl. (4.29)). Im Sonderfall einer kreiszylindrischen Welle ist das Torsionstr¨ agheitsmoment gleich dem polaren Fl¨ achenträgheitsmoment: IT = Ip . Dann ist die Wellenfortpflanzungsgeschwindigkeit durch alt man zum Beispiel f¨ ur Stahl c = G/ gegeben. Daraus erh¨ den Wert c = 3220 m/s. Die Geschwindigkeit von Torsionswellen (Scherwellen) ist demnach rund halb so groß wie die Geschwindigkeit von Longitudinalwellen. B4.3

Beispiel 4.3 Die homogene, abgesetzte kreiszylindrische Welle nach

Abb. 4.14a ist an beiden Seiten frei drehbar gelagert. Wie groß ist die Frequenz der Grundschwingung f¨ ur den Fall Ip1 /Ip2 = 1/2?

Abb. 4.14

L¨ osung Wenn wir in den beiden Abschnitten der Welle die unterschiedlichen Koordinaten x1 und x2 verwenden, dann gilt ω ω θ1 (x1 ) = A1 cos x1 + B1 sin x1 , c c ω ω θ2 (x2 ) = A2 cos x2 + B2 sin x2 . c c

¨ Die Rand- und die Ubergangsbedingungen liefern MT 1 (0, t) = 0 → θ1 (0) = 0 :

B1 = 0 ,

4.4

Biegeschwingungen von Balken

235

MT 2 (2a, t) = 0 → θ2 (2a) = 0 : ω ω ω ω − A2 sin 2a + B2 cos 2a = 0, c c c c ω ϑ1 (a, t) = ϑ2 (0, t) → θ1 (a) = θ2 (0) : A1 cos a = A2 , c MT 1 (a, t) = MT 2 (0, t) → G Ip1 θ1 (a) = G Ip2 θ2 (0) : ω ω ω − Ip1 A1 sin a = Ip2 B2 . c c c Durch Einsetzen der letzten beiden Gleichungen in die zweite Gleichung ergibt sich mit der Abk¨ urzung λ = ω a/c und dem gegebenen Verh¨ altnis der polaren Fl¨ achentr¨ agheitsmomente die charakteristische Gleichung cos λ sin 2λ +

1 2

sin λ cos 2λ = 0 .

Sie lässt sich unter Verwendung der Beziehung 2 sin α cos β = sin(α − β) + sin(α + β) auch in der Form sin λ + 3 sin 3λ = 0 schreiben. Die Auswertung dieser transzendenten Gleichung liefert f¨ ur den kleinsten Eigenwert bzw. f¨ ur die Kreisfrequenz der Grundschwingung (Abb. 4.14b) c λ1 = 1, 15 → ω 1 = λ1 = 1, 15 G/a2 . a Um einen Eindruck von ihrer Gr¨ oße zu bekommen, setzen wir 5 2 die Werte G = 0, 81 · 10 N/mm , = 7, 8 g/cm3 f¨ ur Stahl und eine L¨ ange a = 2m ein. Hierf¨ ur ergeben sich die Kreisfrequenz ω1 = 1853 s−1 und daraus die Frequenz f1 = ω1 /(2π) = 295 s−1 .

4.4 Biegeschwingungen von Balken 4.4.1 Grundgleichungen

Betrachtet wird ein homogener Balken, der freie bzw. erzwungene Schwingungen ausf¨ uhrt (Abb. 4.15a). Um zunächst noch

4.4

236


Abb. 4.15

möglichst allgemein zu bleiben, wollen wir annehmen, dass der Balken schubelastisch ist und sich seine Querschnittsfläche u ¨ber die L¨ ange ¨ andern kann. Bei der Bewegung erfährt ein Balkenquerschnitt eine Verschiebung w(x, t) in z-Richtung sowie eine Drehung ψ(x, t) um die y-Achse (Abb. 4.15b). Dementsprechend formulieren wir f¨ ur das Balkenelement den Schwerpunktsatz in zRichtung und den Drallsatz bez¨ uglich der zur y-Achse parallelen Achse durch den Schwerpunkt (Abb. 4.15c). Mit dm = Adx und dΘy = Idx liefert dies unter Beachtung, dass beim Drallsatz das Moment des Zuwachses (∂Q/∂x)dx von h¨ oherer Ordnung klein ist

∂Q dx + q dx → A w ¨ = Q + q , (4.47) dm w ¨ = −Q + Q + ∂x ∂M dx − Q dx → I ψ¨ = M − Q . (4.48) dΘy ψ¨ = −M + M + ∂x

Außerdem ben¨ otigen wir die Elastizit¨ atsgesetze f¨ ur das Biegemoment (Band 2, Gl. (4.24)) M = EI ψ

(4.49)

und f¨ ur die Querkraft (Band 2, Gl. (4.25)) Q = GAS (w + ψ) .

(4.50)

Damit stehen vier Differentialgleichungen f¨ ur die vier unbekannten Gr¨ oßen M, Q, w, ψ zur Verf¨ ugung. Durch sie werden neben der Biegung sowohl der Einfluss der Schubdeformation als auch die Drehtr¨ agheit“ ber¨ ucksichtigt. Man bezeichnet die auf die” sen Gleichungen aufbauende Theorie als Timoshenkosche Balkentheorie (St.P. Timoshenko, 1878–1972). Eliminiert man M und Q

4.4


237

mit Hilfe der Elastizit¨ atsgesetze aus den ersten beiden Gleichungen, so kann diese Theorie durch die zwei gekoppelten partiellen Differentialgleichungen 2. Ordnung Aw ¨ − [GAS (w + ψ)] = q,

(4.51)

I ψ¨ − [EI ψ ] + G AS (w + ψ) = 0 beschrieben werden. Hinzu kommen die Randbedingungen und die Anfangsbedingungen. Aus (4.47) bis (4.50) lassen sich durch Spezialisierung verschiedene Sonderf¨ alle herleiten. So k¨ onnen diese Gleichungen einfach zusammengefasst werden, wenn der Balken einen konstanten Querschnitt hat. Zu diesem Zweck schreiben wir (4.49) und (4.48) zun¨ achst in der Form M = EI(w + ψ) − EI w , ¨ − M + Q = 0. I(w + ψ)¨ − I w Wir leiten nun die zweite Gleichung nach x ab. Anschließend kann man aus ihr schrittweise durch Einsetzen der ersten Gleichung das Biegemoment M , der Gleichung (4.50) die Gr¨ oße (w + ψ) und der Gleichung (4.47) die Querkraft Q eliminieren. Auf diese Weise erh¨ alt man EA I ¨ w ¨ + A ¨ − I 1 + w ¨ EI wIV + A w GAS GAS =q+

I EI q¨ − q . (4.52) GAS GAS

Ein anderer Sonderfall ergibt sich, wenn angenommen wird, dass der Balken schubstarr ist und dass die Rotationsträgheit vernachl¨ assigbar ist (GAS → ∞, I → 0). In diesem Fall vereinfachen sich (4.48) zur Gleichgewichtsbedingung M − Q = 0 und (4.50) zur Bernoullischen Hypothese w + ψ = 0 (Band 2, Gl. (4.29)). Die vier Balkengleichungen“ lauten dann ” A w ¨ = Q + q,

M = Q,

EIψ = M,

w = − ψ .

(4.53)

238


Da sie auf den klassischen Annahmen von L. Euler und J. Bernoulli basieren, bezeichnet man die entsprechende Theorie als EulerBernoullische Balkentheorie. Eliminieren wir ψ, M und Q, indem wir die Gleichungen ineinander einsetzen, so erhalten wir die Bewegungsgleichung ¨ = q. (EI w ) + A w

(4.54)

Sie vereinfacht sich f¨ ur EI = const zu ¨ = q. EI wIV + A w

(4.55)

4.4.2 Freie Schwingungen 4.4.2.1 Euler-Bernoulli-Balken

Die freien Schwingungen gleichf¨ ormiger Balken (EI = const) werden nach (4.55) mit q = 0 durch die Bewegungsgleichung ∂4w A ∂2w + =0 ∂x4 EI ∂t2

(4.56)

beschrieben. Eine allgemeine L¨ osung von (4.56) analog zur d’Alembertschen L¨ osung (4.5) der eindimensionalen Wellengleichung ist nicht bekannt. Aus diesem Grund suchen wir von vornherein nach speziellen L¨ osungen der Art w(x, t) = W (x) cos(ωt − α) ,

(4.57)

durch welche harmonische Schwingungen ausgedr¨ uckt werden. Mit diesem Ansatz folgt aus (4.56) die gew¨ ohnliche Differentialgleichung d4 W − κ4 W = 0 dx4

mit

κ4 = ω 2

A . EI

(4.58)

Sie hat die allgemeine L¨ osung W (x) = A cos κx + B sin κx + C cosh κx + D sinh κx , und damit wird nach (4.57)

(4.59)

4.4


239

w(x, t) = (A cos κx + B sin κx + C cosh κx + D sinh κx) × cos(ωt − α).

(4.60)

Die Behandlung des Eigenschwingungsproblems erfolgt im weiteren analog zur Vorgehensweise bei der Saite und beim Stab. Allerdings treten beim Balken 4 Randbedingungen auf. Sie liefern die charakteristische Gleichung, aus der die Eigenfrequenzen ωk folgen. Damit sind dann die Eigenfunktionen Wk bis auf einen Faktor festgelegt. Eine Eigenschwingung mit der Frequenz ωk wird somit durch wk (x, t) = Wk (x) cos(ωk t − αk ) = Wk (x)(Ek cos ωk t + Fk sin ωk t)

(4.61)

beschrieben. Die Lösung f¨ ur ein beliebiges Anfangswertproblem ¨ erhalten wir durch Uberlagerung aller Eigenschwingungen: ∞ Wk (x)(Ek cos ωk t + Fk sin ωk t) . (4.62) w(x, t) = k=1

Die noch unbekannten Konstanten Ek und Fk lassen sich aus den Anfangsbedingungen bestimmen. Dabei muss Verwendung von der Orthogonalit¨ atsrelation der Eigenfunktionen gemacht werden, die hier ohne Herleitung angegeben werden soll (vgl. (4.19)):

l Wi (x)Wk (x)dx = 0

f¨ ur i = k .

(4.63)

0

Als Anwendungsbeispiel betrachten wir den beidseitig frei drehbar gelagerten Balken nach Abb. 4.16a. Bei ihm m¨ ussen an den R¨ andern x = 0 und x = l die Verschiebung w und das Moment M = −EI w verschwinden. Dies f¨ uhrt mit (4.57), (4.59) und κ = 0 (nichttriviale L¨ osung!) auf die vier Beziehungen W (0) = 0 :

A + C = 0,

W (l) = 0 :

A cos κl + B sin κl + C cosh κl + D sinh κl = 0 ,

W (0) = 0 :

−A + C = 0 ,

W (l) = 0 : −A cos κ l − B sin κ l + C cosh κ l + D sinh κ l = 0 .

240


Abb. 4.16

Daraus ergeben sich wegen sinh κl = 0 die Konstanten A = C = D = 0, und man erh¨ alt unter Beachtung von B = 0 die charakteristische Gleichung sin κ l = 0 .

(4.64a)

F¨ ur die Eigenwerte bzw. f¨ ur die Eigenkreisfrequenzen folgt damit EI EI = k2 π2 κk l = kπ → ωk = κ2k , k = 1, 2, . . . , (4.64b) A Al4 und die Eigenfunktionen werden Wk (x) = Bk sin κk x = Bk sin

kπx . l

(4.64c)

Die Eigenfrequenzen nehmen danach quadratisch mit der Ordnung k der Schwingung zu. Die Eigenschwingungsform der Grundschwingung ist eine halbe Sinuswelle, die der 1. Oberschwingung eine volle Sinuswelle mit einem Knoten usw. (Abb. 4.16b). Speziell f¨ ur die Grundschwingung und f¨ ur die erste Oberschwingung ergibt sich πx EI 2 , , W1 (x) = B1 sin ω1 = π Al4 l (4.64d) 2π x EI . , W2 (x) = B2 sin ω2 = 4π 2 Al4 l Wenn noch die Anfangsbedingungen eingearbeitet werden sollen, dann m¨ ussen wir nach (4.62) von der L¨ osung

4.4

w(x, t) =

∞

sin

k=1


kπx (Ek cos ωk t + Fk sin ωk t) l

241

(4.64e)

ausgehen, wobei Bk = 1 gesetzt wurde. Durch Einsetzen in ˙ 0) = v0 (x) erhalten wir w(x, 0) = w0 (x) und w(x, ∞

Ek sin

k=1

kπx = w0 (x) , l

∞

Fk ωk sin

k=1

kπx = v0 (x). (4.64f) l

Mit der Orthogonalit¨ atsrelation (4.63) folgt daraus (vgl. (4.19)) Ek =

2 l

l w0 (x) sin 0

kπx dx, l

Fk =

2 ωk l

l v0 (x) sin

kπx dx. l

(4.64g)

0

In einem weiteren Anwendungsbeispiel bestimmen wir die Eigenfrequenzen und die Eigenfunktionen f¨ ur die Grundschwingung und f¨ ur die erste Oberschwingung des Tr¨ agers nach Abb. 4.17a. F¨ ur ihn lauten die Randbedingungen w(0, t) = 0,

M (l, t) = −EI w (l, t) = 0,

w (0, t) = 0,

Q(l, t) = −EI w (l, t) = 0.

Mit (4.57) und (4.59) liefern sie unter Beachtung von κ = 0 das homogene Gleichungssystem W (0) = 0 :

A + C = 0,

W (0) = 0 :

B + D = 0,

W (l) = 0 :

− A cos κ l − B sin κ l + C cosh κ l + D sinh κ l = 0,

W (l) = 0 :

A sin κ l − B cos κ l + C sinh κ l + D cosh κ l = 0.

Eliminieren wir mit Hilfe der ersten beiden Gleichungen C und D aus den letzten beiden Gleichungen, so wird daraus A(cos κ l + cosh κ l) + B(sin κ l + sinh κ l) = 0, A(sin κ l + sinh κ l) − B(cos κ l + cosh κ l) = 0. Sollen nichttriviale L¨ osungen existieren, so muss die Koeffizien-

242


Abb. 4.17

tendeterminante verschwinden. Damit ergibt sich mit cosh2 κ l − sinh2 κ l = 1 die charakteristische Gleichung cosh κ l cos κ l + 1 = 0 bzw. cos κ l = −

1 . cosh κ l

(4.65a)

Die Auswertung dieser Beziehung liefert die gesuchten Eigenfrequenzen (Abb. 4.17b): EI EI 2 = 3, 516 κ1 l = 1, 875 → ω1 = κ1 , A A l4 (4.65b) EI EI = 22, 034 . κ2 l = 4, 694 → ω2 = κ22 A A l4 Um die Integrationskonstanten in (4.59) bis auf einen beliebigen Faktor zu bestimmen, k¨ onnen wir die ersten drei Gleichungen des homogenen Gleichungssystems verwenden; sie liefern C = − A,

B = −D = −A

cos κ l + cosh κ l . sin κ l + sinh κ l

Damit folgt f¨ ur die k-te Eigenschwingungsform 4 Wk (x) = Ak cos κk x − cosh κk x −

5 cos κk l + cosh κk l (sin κk x − sinh κk x) . sin κk l + sinh κk l

(4.65c)

In Abb. 4.17c sind die gesuchten Eigenfunktionen dargestellt. Analog zu den vorhergehenden Beispielen kann man auch f¨ ur andere Lagerungsarten eines Balkens die Eigenfrequenzen und die Eigenfunktionen bestimmen. In der Tabelle 4.1 sind f¨ ur einige

4.4


243

Tabelle 4.1 Eigenwerte f¨ ur verschiedene Lagerungen

Lagerung

charakt. Gleichung

gelenkig–gelenkig

sin κ l = 0

eingespannt–frei

cosh κ l cos k l + 1 = 0

eingespannt–gelenkig

tan κ l − tanh k l = 0

eingespannt–eingespannt

cosh κ l cos k l − 1 = 0

frei–frei

cosh κ l cos k l − 1 = 0

Tabelle 4.1 Eigenwerte f¨ ur verschiedene Lagerungen (Fortsetzung)

Lagerung

κ1 l

κ2 l

κ3 l

κk l (k > 3)

gelenkig–gelenkig

π

2π

3π

kπ

eingespannt–frei

1,875

4,694

7,854

≈ (2k − 1) π2

eingespannt–gelenkig

3,927

7,069

10,210

≈ (4k + 1) π4

eingespannt–eingespannt

4,730

7,853

10,996

≈ (2k + 1) π2

frei–frei

4,730

7,853

10,996

≈ (2k + 1) π2

F¨ alle die charakteristischen Gleichungen sowie die Eigenwerte zusammengestellt. Es sei darauf hingewiesen, dass in den letzten beiden F¨ allen die Eigenfrequenzen zwar u ¨bereinstimmen, die zugeh¨ origen Eigenformen jedoch unterschiedlich sind. So hat zum Beispiel die Grundschwingung des frei-freien Balkens zwei Knoten, w¨ ahrend diejenige des eingespannt-eingespannten Balkens knotenfrei ist. Beispiel 4.4 Der Balken nach Abb. 4.18a ist links eingespannt und

trägt rechts eine Masse m. Wie groß sind die Eigenfrequenzen der Grundschwingung und der 1. Oberschwingung f¨ ur ein Massenverh¨ altnis ε = m/(Al) = 3/4? L¨ osung Drei Randbedingungen k¨ onnen wir aus dem letzten Anwendungsbeispiel u ¨bernehmen:

B4.4

244


Abb. 4.18

w(0, t) = 0,

w (0, t) = 0,

M (l, t) = − EI w (l, t) = 0.

Um die vierte Randbedingung zu formulieren, trennen wir die Masse m vom Balken (Abb. 4.18b). Das Bewegungsgesetz f¨ ur die Masse liefert dann ¨ t) = 0. m w(l, ¨ t) = − Q(l, t) → EI w (l, t) − m w(l, Setzt man die Lösung (4.57), (4.59) in die Randbedingungen ein, so ergibt sich mit κ nach (4.58) und dem Massenverhältnis ε = m/(Al) das homogene Gleichungssystem A + C = 0, B + D = 0, − A cos κ l − B sin κ l + C cosh κ l + D sinh κ l = 0, A sin κ l − B cos κ l + C sinh κ l + D cosh κ l + ε κ l(A cos κ l + B sin κ l + C cosh κ l + D sinh κ l) = 0. Indem wir die Koeffizientendeterminante zu Null setzen, erhalten wir die charakteristische Gleichung 1 + cosh κl cos κl + εκl(sinh κl cos κl − cosh κl sin κl) = 0. Ihre Auswertung f¨ ur den gegebenen Wert ε = 3/4 liefert EI EI 2 = 1, 742 , κ1 l = 1, 320 → ω 1 = κ1 A A l4 κ2 l = 4, 060 → ω 2 =

κ22

EI EI = 16, 48 . A A l4

Ein Vergleich mit den Ergebnissen (4.65b) des Balkens ohne

4.4


245

Endmasse zeigt, dass durch die Zusatzmasse m beide Frequenzen betr¨ achtlich abgesenkt werden. F¨ ur ε = 0 folgt aus der charakteristischen Gleichung als Sonderfall die Eigenwertgleichung (4.65a) des Balkens ohne Endmasse. Dagegen erh¨ alt man f¨ ur ε → ∞ die Eigenwertgleichung des Balkens, der links eingespannt und rechts gelenkig gelagert ist (vgl. Tabelle 4.1): sinh κl cos κl − cosh κl sin κl = 0 →

tan κl − tanh κl = 0.

Die Endmasse wirkt in diesem Fall aufgrund ihrer Trägheit wie ein unverschiebliches Lager. 4.4.2.2 Timoshenko-Balken

Die freien Schwingungen eines Timoshenko-Balkens werden nach (4.52) mit q = 0 durch die Bewegungsgleichung EI

∂4w ∂2w EA ∂ 4 w I ∂ 4 w + A − I 1 + + A =0 ∂x4 ∂t2 GAS ∂x2 ∂t2 GAS ∂t4

(4.66) beschrieben. Mit dem Ansatz f¨ ur harmonische Schwingungen w(x, t) = W (x) cos(ωt − α) und mit den Abk¨ urzungen I A κ4 = ω 2 , i2 = , EI A

(4.67)

α=

EA GAS

(4.68)

(i = Tr¨ agheitsradius, vgl. Band 2, Gl. (4.7)) ergibt sich daraus die gew¨ ohnliche Differentialgleichung d2 W d4 W + κ4 i2 (1 + α) − κ4 (1 − κ4 i4 α)W = 0. 4 dx dx2

(4.69)

Wir wollen hier nicht die allgemeine L¨ osung dieser Gleichung diskutieren, sondern als Beispiel nur den beidseitig frei drehbar gelagerten Balken behandeln (Abb. 4.16a). Hierf¨ ur ist die Lösung von (4.69), welche auch die Randbedingungen erf¨ ullt, durch kπx , k = 1, 2, . . . (4.70) Wk (x) = Bk sin l

246


gegeben. Die Eigenfunktionen Wk (x) unterscheiden sich in diesem speziellen Fall also nicht von denen der Euler-Bernoulli-Theorie nach (4.64c). Dies trifft aber nicht auf die Eigenwerte κk zu. Wir k¨ onnen sie bestimmen, indem wir (4.70) in (4.69) einsetzen: k π 4 k π 2 − κ4 i2 (1 + α) − κ4 (1 − κ4 i4 α) = 0. l l Diese quadratische Gleichung in κ4 hat die L¨ osungen

1 A kπi 2 = 4 1 + (1 + α) κ4k1,2 = ωk21,2 EI 2i α l kπi 4 kπi 2 2 . ± 1 + 2(1 + α) + (1 − α) l l

(4.71)

Im Gegensatz zur Euler-Bernoulli-Theorie sind nun jedem k zwei unterschiedliche Eigenwerte κk1 > κk2 zugeordnet, d.h. zu jeder oren zwei Eigenfrequenzen ωk1 > ωk2 . Eigenfunktion Wk (x) geh¨ Der Grund hierf¨ ur liegt darin, dass in der Timoshenko-Theorie jeder Querschnitt mit w(x) und ψ(x) zwei voneinander unabhängige Bewegungsm¨ oglichkeiten (Freiheitsgrade) hat. Beim Euler-Bernoulli-Balken liegt wegen w = −ψ (vgl. (4.53)) dagegen nur eine unabh¨ angige Bewegungsm¨ oglichkeit vor. Aus technischer Sicht sind die hohen Frequenzen (Pluszeichen vor der Wurzel) von untergeordneter Bedeutung, weshalb wir sie auch nicht weiter betrachten. Wir beschr¨ anken uns vielmehr auf Schwingungen, f¨ ur welche kπi/l 1 gilt. In diesem Fall lässt sich unter Verwendung der Potenzreihenentwicklung √

1+u=1+

u3 u u2 − + − ··· 2 8 16

f¨ ur | u |≤ 1

(4.72)

eine N¨ aherung f¨ ur die Wurzel in (4.71) angeben: kπi 2 kπi 2 kπi 4 √ 1 − 2(1 + α) +··· . · = 1 + (1 + α) − 2α l l l Damit erh¨ alt man unter nochmaliger Anwendung von (4.72) f¨ ur die Eigenfrequenzen die N¨ aherung

4.4


k π i 2 ωk = k π 1 − (1 + α) l 2

2

247

EI . Al4

(4.73)

Der zweite Summand in der eckigen Klammer kennzeichnet die Abweichung der Timoshenko-Theorie von der Euler-BernoulliTheorie (vgl. (4.64b)). Seine Gr¨ oße h¨ angt ab vom Schlankheitsgrad λ = l/i des Balkens, vom Schwingungsgrad k und vom Faktor 1 + α. F¨ ur einen Rechteckquerschnitt der H¨ ohe h nimmt der Summand mit AS = (5/6)A und E/G = 8/3 (f¨ ur ν = 1/3) den Wert 3,45 (k h/l)2 an. Nehmen wir einen Balken mit l/h = 10 an, so betr¨ agt danach die Abweichung in der Grundfrequenz (k = 1) nur 3 Prozent, in der 1. Oberfrequenz (k = 2) aber schon 14 Prozent. Als Faustregel kann man sagen, dass die Euler-Bernoullische Theorie technisch befriedigende Ergebnisse liefert, solange die charakteristische Wellenl¨ ange“ l/k gr¨ oßer als die f¨ unffache Höhe des ” Balkens ist. Die Timoshenkosche Theorie gilt dagegen bis l/k ∼ >h. 4.4.3 Erzwungene Schwingungen

In diesem Abschnitt wollen wir die erzwungenen Schwingungen des Euler-Bernoulli-Balkens mit konstantem Querschnitt untersuchen. Diese werden nach (4.55) durch die Bewegungsgleichung EI

∂4w ∂2w + A =q ∂x4 ∂t2

(4.74)

beschrieben. Setzen wir eine zeitlich harmonische Belastung durch eine Streckenlast q(x, t) = q ∗ (x) cos Ωt

(4.75)

voraus, dann k¨ onnen wir im eingeschwungenen Zustand eine Lösung vom Typ der rechten Seite (Partikularl¨ osung) erwarten: w(x, t) = W (x) cos Ωt .

(4.76)

Damit erh¨ alt man aus (4.74) die gew¨ ohnliche inhomogene Differentialgleichung EI

d4 W − A Ω2 W = q ∗ . dx4

(4.77)

248


Ihre L¨ osung erfolgt zweckm¨ aßig, indem man q ∗ (x) und W (x) mit Hilfe der Eigenfunktionen Wk (x) des entsprechenden Eigenwertproblems folgendermaßen darstellt (Entwicklung nach Eigenfunktionen): q ∗ (x) =

∞

pk Wk (x),

W (x) =

k=1

∞

ηk Wk (x).

(4.78)

k=1

Diese Darstellung ist m¨ oglich, weil die Eigenfunktionen Wk (x) ein linear unabh¨ angiges (orthogonales), vollst¨ andiges Funktionensystem (= Basis) bilden. Die Koeffizienten pk können wir als bekannt ansehen; sie lassen sich aus der gegebenen Belastung q ∗ (x) unter Verwendung der Orthogonalit¨ atsrelation der Eigenfunktionen (4.63) bestimmen: l pk =

0 l

q ∗ (x)Wk (x)dx .

(4.79)

Wk (x)Wk (x)dx

0

Unbekannt sind an dieser Stelle noch die Koeffizienten ηk . Um sie zu ermitteln, setzen wir (4.78) in (4.77) ein. Beachten wir dabei, dass die Eigenfunktionen nach (4.58) die Beziehung EI

d4 Wk − A ωk2 Wk = 0 dx4

erf¨ ullen m¨ ussen, dann ergibt sich ∞

ηk A(ωk2 − Ω2 )Wk (x) =

k=1

∞

pk Wk (x) → ηk =

k=1

Damit lautet die L¨ osung insgesamt w(x, t) =

∞ k=1

pk Wk (x) cos Ωt. A(ωk2 − Ω2 )

pk . A(ωk2 − Ω2 )

(4.80)

(4.81)

Man erkennt, dass eine unbeschr¨ ankte Amplitude (Resonanz) immer dann auftritt, wenn die Erregerfrequenz Ω gegen eine Eigenfrequenz ωk geht.

4.4


249

In manchen F¨ allen erfolgt die harmonische Belastung durch Einzelkr¨ afte. Diese lassen sich dann zweckm¨ aßig mit Hilfe der Diracschen Delta-Funktion darstellen. Sie ist definiert durch δ(x − a) = 0 f¨ ur x = a und Hieraus folgt die Eigenschaft +∞

f (x) δ(x − a)dx = f (a).

+∞

δ(x − a)dx = 1 .

(4.82)

−∞

(4.83)

−∞

Danach gilt f¨ ur eine Einzelkraft F0 an der Stelle x = a die Darstellung q ∗ (x) = F0 δ(x − a) .

(4.84)

Als Anwendungsbeispiel betrachten wir den beidseitig gelenkig gelagerten Balken nach Abb. 4.19, der durch die Einzelkraft F0 harmonisch erregt wird. F¨ ur ihn sind die Eigenfunktionen und die Eigenfrequenzen nach (4.64c) und (4.64b) durch kπx EI 2 2 , ωk = k π (4.85a) Wk = Bk sin l A l4 gegeben. Mit der Darstellung der Belastung q ∗ (x) = F0 δ(x − l/2)

(4.85b)

folgen die Koeffizienten pk aus (4.79) zu Bk p k = F0

l

kπx δ(x − l/2)dx l kπ 2 F0 0 sin . = 2 Bk l 2 l kπx 2 sin Bk dx l 0 sin

Abb. 4.19

(4.85c)

250


Die L¨ osung (4.81) wird dementsprechend kπx kπ ∞ 2 F0 sin 2 sin l cos Ωt. w(x, t) = Al (ωk2 − Ω2 )

(4.85d)

k=1

Man beachte, dass in diesem Fall alle Glieder mit geradzahligem k verschwinden. Die zugeh¨ origen Eigenschwingungen werden durch die in der Mitte angreifende Kraft nicht angeregt. Wenn die harmonische Erregung nicht durch eine Streckenlast (bzw. Einzelkraft), sondern durch Randkr¨ afte oder durch Randverschiebungen erfolgt, dann k¨ onnen wir anders vorgehen (vgl. Abschnitt 4.3.2). Mit q = 0 bzw. q ∗ = 0 folgt in diesem Fall aus (4.77) die homogene Differentialgleichung d4 W −κ ¯4 W = 0 dx4

mit κ ¯ 4 = Ω2

A . EI

(4.86)

Sie unterscheidet sich von der Differentialgleichung (4.58) f¨ ur freie Schwingungen nur dadurch, dass nun κ ¯ vorgegeben ist. Die Lösung von (4.86) lautet (vgl. (4.59)) W (x) = A cos κ ¯ x + B sin κ ¯ x + C cosh κ ¯ x + D sinh κ ¯ x,

(4.87)

und damit wird w(x, t) = (A cos κ ¯ x + B sin κ ¯ x + C cosh κ ¯ x + D sinh κ ¯ x) cos Ωt. (4.88) Die Konstanten A, B, C, D k¨ onnen aus den Randbedingungen bestimmt werden, die in diesem Fall ein inhomogenes Gleichungssystem bilden. B4.5

Beispiel 4.5 Der Kragtr¨ ager nach Abb. 4.20 wird durch eine Einzelkraft harmonisch erregt. Wie groß ist die Schwingungsamplitude am rechten Balkenende?

Abb. 4.20

4.4


251

L¨ osung Da eine Erregung durch eine Randlast vorliegt, k¨ onnen wir von der L¨ osung (4.87) bzw. (4.88) ausgehen. Die Randbedingungen lauten

w(0, t) = 0,

M (l, t) = − EI w (l, t) = 0,

w (0, t) = 0,

Q(l, t) = − EI w (l, t) = F0 cos Ωt.

Dies f¨ uhrt auf das Gleichungssystem W (0) = 0 :

A + C = 0,

W (0) = 0 :

B + D = 0,

W (l) = 0 : − A cos κ ¯ l − B sin κ ¯ l + C cosh κ ¯ l + D sinh κ ¯ l = 0, F 0 W (l) = − : EI F0 l3 A sin κ ¯ l − B cos κ ¯ l + C sinh κ ¯ l + D cosh κ ¯l = − . EI(¯ κl)3 Hieraus ergeben sich die Konstanten zu A = −C = − B = −D =

sin κ ¯ l + sinh κ ¯l F0 l 3 , 2EI(¯ κl)3 1 + cos κ ¯ l cosh κ ¯l

F0 l3 cos κ ¯ l + cosh κ ¯l . 3 2EI(¯ κl) 1 + cos κ ¯ l cosh κ ¯l

Einsetzen in (4.87) liefert die gesuchte Schwingungsamplitude am rechten Balkenende: W (l) =

F0 l3 sin κ ¯ l cosh κ ¯ l − cos κ ¯ l sinh κ ¯l . EI(¯ κl)3 1 + cos κ ¯ l cosh κ ¯l

Durch die Nullstellen des Nenners sind die Eigenfrequenzen des Kragtr¨ agers festgelegt (vgl. (4.65a)). Geht danach die Erregerfrequenz gegen eine Eigenfrequenz, dann kommt es zur Resonanz, d.h. die Amplitude w¨ achst unbegrenzt an. 4.4.4 Wellenausbreitung

Bei der Saite sowie dem Dehn- und dem Torsionsstab kann nach ¨ d’Alembert die L¨ osung der Bewegungsgleichung als Uberlagerung zweier gegenl¨ aufiger Wellen dargestellt werden (vgl. (4.5)). Wir

252


wollen nun untersuchen, ob es auch beim Balken Lösungen gibt, durch die eine Wellenausbreitung beschrieben wird. Dabei beschr¨ anken wir uns auf Wellen, die sich mit der Geschwindigkeit c in positive x-Richtung fortpflanzen: w = f (x − ct).

(4.89)

Wir betrachten zun¨ achst den Euler-Bernoulli-Balken. Setzen wir (4.89) in die Bewegungsgleichung (4.56) ein, so folgt die gewöhnliche Differentialgleichung f IV + k 2 f = 0

mit k 2 = c2

A , EI

(4.90)

wobei f und f IV die Ableitungen nach dem Argument (x − ct) kennzeichnen. Ihre L¨ osung lautet f = C cos[k(x − ct) − γ] + C1 (x − ct) + C2 .

(4.91)

Darin charakterisieren die letzten beiden Glieder eine Starrkörperbewegung des Balkens (keine Biegung!). Eine Biegung wird allein durch das erste Glied ausgedr¨ uckt. Die einzig möglichen Biegewellen sind also harmonische Wellen. Setzen wir die Phasenverschiebung γ durch geeignete Wahl des Koordinatenursprungs zu Null, dann k¨ onnen sie durch w(x, t) = C cos k(x − c t) = C cos(k x − ω t)

mit ω = k c

(4.92)

ausgedr¨ uckt werden. Die Gr¨ oße k bezeichnet man als Wellenzahl. Zwischen ihr und der Wellenl¨ ange lw besteht die Beziehung (vgl.

Abb. 4.21

4.4


253

Abb. 4.21a) lw =

2π . k

(4.93)

Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit c der harmonischen Wellen nennt man auch Phasengeschwindigkeit. Sehen wir die Wellenzahl k (und damit die Wellenl¨ ange lw ) als gegeben an, so ergibt sie sich 2 nach (4.90) mit i = I/A zu 2π EI E E = ki = . (4.94) i cB = k A lw Dabei zeigt der Index ,B’ an, dass es sich um den Euler-BernoulliBalken handelt. Die Phasengeschwindigkeit w¨ achst danach linear mit der Wellenzahl an (Abb. 4.21b). Im Gegensatz zur Saite bzw. zum Stab ist c beim Balken also nicht konstant, sondern hängt von der Wellenzahl bzw. von der Wellenl¨ ange ab: c = c(lw ). Man nennt ein solches Verhalten Dispersion. Wenn man die gleiche Betrachtung f¨ ur den Timoshenko-Balken durchf¨ uhrt, dann erh¨ alt man auch f¨ ur ihn als einzig mögliche Wellenl¨ osung die harmonische Welle (4.92). F¨ ur die Phasengeschwindigkeit ergibt sich mit den Bezeichnungen nach (4.68) in diesem Fall 6 7 1 2 E/ 7 1 8 cT = + 1 + α ± + 1 + α − 4α. (4.95) 2α (ki)2 (ki)2 Der Index ,T ’ deutet dabei den Timoshenko-Balken an. Bei ihm gibt es nach (4.95) f¨ ur ein und dieselbe Wellenzahl k zwei verschiedene Phasengeschwindigkeiten. Von ihnen gehört die größere allerdings zu Wellen von untergeordneter technischer Bedeutung. Wir beschr¨ anken uns daher hier auf die kleinere Phasengeschwindigkeit. Das Ergebnis ist in Abb. 4.21b dargestellt. F¨ ur kleine Wellenzahlen (= große Wellenl¨ angen) steigt die Phasengeschwindigkeit wie beim Euler-Bernoulli-Balken anf¨ anglich linear mit k an. Mit wachsender Wellenzahl strebt sie dann aber einem Grenz wert zu, der durch c∗T = GAS /(A) gegeben ist.

254

4.5


4.5 Eigenschwingungen von Membranen und Platten 4.5.1 Membranschwingungen

Die Auslenkung w einer vorgespannten Membran unter einer statischen Belastung p wird nach (3.34) durch die Gleichung Δw = −

p σ 0 tm

beschrieben, wobei Δ der Laplace-Operator, σ0 die Spannung in der Membran und tm deren Dicke ist. Hieraus können wir die Gleichung einer frei schwingenden Membran erhalten, indem wir die d’Alembertsche Tr¨ agheitskraft als ¨ außere Belastung einf¨ uhren (vgl. Band 3, Abschnitt 4.1): p = − tm

∂2w . ∂t2

Damit ergibt sich die Bewegungsgleichung Δw =

1 ∂2w c2 ∂t2

mit c2 =

σ0 .

(4.96a)

Man bezeichnet diese als zweidimensionale Wellengleichung. In kartesischen Koordinaten nimmt sie mit Δ = ∂ 2 /∂x2 + ∂ 2 /∂y 2 die Form 1 ∂2w ∂2w ∂2w + = ∂x2 ∂y 2 c2 ∂t2

(4.96b)

an. Im Unterschied zur eindimensionalen Wellengleichung (4.1) kann f¨ ur (4.96a) keine allgemeine L¨ osung angegeben werden. Im weiteren beschr¨ anken wir uns auf die Untersuchung harmonischer Eigenschwingungen. Hierf¨ ur machen wir den Ansatz w(x, y, t) = W (x, y) cos ωt .

(4.97)

Setzen wir ihn in (4.96a) ein, dann folgt ΔW + κ2 W = 0

mit κ =

ω . c

(4.98)

4.5

Eigenschwingungen von Membranen und Platten

255

Nach Hermann Helmholtz (1821–1894) wird diese Gleichung auch Helmholtzsche Wellengleichung genannt. Ben¨ otigt werden nun noch die Randbedingungen. Ist die Membran fest gelagert, so gilt W |Rand = 0. An einem freien Rand verschwindet dagegen die Ableitung normal zum Rand: ∂W/∂n|Rand = 0. Die unbekannten Eigenwerte κ bzw. die Eigenkreisfrequenzen ω folgen dann aus der L¨ osung des Randwertproblems. Man kann sie in vielen Fällen (z.B. bei komplizierten R¨ andern) nur mit Hilfe numerischer Methoden bestimmen. Als erstes Beispiel, f¨ ur das eine analytische L¨ osung gelingt, wollen wir die Rechteckmembran behandeln (Abb. 4.22a). Bei ihr gehen wir von der Schwingungsgleichung (4.98) in kartesischen Koordinaten aus: ∂2W ∂2W + + κ2 W = 0. ∂x2 ∂y 2

(4.99)

Machen wir nun f¨ ur die Verschiebung W (x, y) den Produktansatz (Separationsansatz) W (x, y) = X(x) Y (y) ,

(4.100)

dann ergibt sich d2 Y d2 X Y + X 2 + κ2 XY = 0 → 2 dx dy

1 d2 X 1 d2 Y =− − κ2 . 2 X dx Y dy 2

In der rechten Gleichung sind die Variablen getrennt. Sie kann also nur dann erf¨ ullt sein, wenn beide Seiten einer Konstanten gleich sind, die wir mit −α2 bezeichnen (vgl. auch Abschnitt 4.2.3). Dies

Abb. 4.22

256


f¨ uhrt auf die beiden Differentialgleichungen d2 X + α2 X = 0, dx2

d2 Y + β2Y = 0 dy 2

mit α2 + β 2 = κ2 ,

deren L¨ osungen durch X = A cos αx + B sin αx, Y = C cos βy + D sin βy gegeben sind. Damit wird die Produktl¨ osung (4.100) W (x, y) = (A cos αx + B sin αx)(C cos βy + D sin βy). (4.101) Wenn die Rechteckmembran an allen vier Rändern fest (unverschieblich) gelagert ist, dann liefern die Randbedingungen W (0, y) = 0 → X(0) = 0 :

A = 0,

W (a, y) = 0 → X(a) = 0 :

B sin α a = 0,

W (x, 0) = 0 → Y (0) = 0 :

C = 0,

W (x, b) = 0 → Y (b) = 0 :

D sin β b = 0.

osung!) folgen daraus Wegen B = 0 und D = 0 (nichttriviale L¨ sin αa = 0 → αm = mπ/a, m = 1, 2, . . . , sin βb = 0 → βn = nπ/b,

n = 1, 2, . . . .

Damit erh¨ alt man f¨ ur die Eigenfrequenzen m π 2 n π 2 σ0 2 2 (4.102) + ωmn = c κmn = c αm + βn = a b und f¨ ur die zugeh¨ origen Eigenfunktionen nπy mπx sin . Wmn = Fmn sin a b

(4.103)

Dabei haben wir das Produkt BD durch die Konstante F ersetzt. Zu jedem Wertepaar m, n geh¨ oren nach (4.102) und (4.103) eine Eigenfrequenz ωmn und eine zugeordnete Eigenfunktion Wmn .

4.5


257

Die tiefste Frequenz (Grundfrequenz) tritt bei m = n = 1 auf. Die zugeh¨ orige Eigenschwingungsform ist nach (4.103) durch je eine halbe Sinuswelle in x- und in y-Richtung gegeben. F¨ ur die Oberschwingung mit m = 2 und n = 1 tritt dagegen in x-Richtung eine ganze Sinuswelle und in y-Richtung eine halbe Sinuswelle auf. In diesem Fall verschwindet die Auslenkung W nicht nur an den R¨ andern, sondern auch entlang der Geraden x = a/2. Man ur die bezeichnet diese Linie als Knotenlinie. Entsprechendes gilt f¨ weiteren Oberschwingungen. Abbildung 4.22b zeigt die Knotenlinien f¨ ur einige Fälle. Es sei angemerkt, dass unterschiedliche Wertepaare m, n die gleichen Eigenfrequenzen liefern können; die zugeh¨ origen Eigenfunktionen sind dabei verschieden. Als weiteres Beispiel betrachten wir die rotationssymmetrischen Eigenschwingungen einer Kreismembran (Abb. 4.23a). Mit dem d2 1 d alt Laplace-Operator (Rotationssymmetrie!) Δ = dr 2 + r dr erh¨ man in diesem Fall aus (4.98) die Besselsche Differentialgleichung 1 dW d2 W + κ2 W = 0. + dr2 r dr

(4.104)

Ihre allgemeine L¨ osung lautet W (r) = A J0 (κ r) + B Y0 (κ r) ,

(4.105)

wobei J0 (κr) bzw. Y0 (κr) die Besselschen Funktionen (Zylinderfunktionen) erster bzw. zweiter Gattung und 0-ter Ordnung sind. Man beachte, dass diese L¨ osung nicht nur f¨ ur eine Vollmembran, sondern auch f¨ ur eine Kreisringmembran gilt. Um die Eigenfrequenzen zu bestimmen, m¨ ussen wir die Randbedingungen formulieren. Hierzu wollen wir annehmen, dass eine

Abb. 4.23

258


Vollmembran vorliegt, die am Rand r = a unverschieblich gelagert ist. Bei ihr muss die Auslenkung in der Mitte (r = 0) beschränkt sein. Ber¨ ucksichtigt man, dass f¨ ur r → 0 die Funktion Y0 → −∞ geht, so ergibt sich mit A = 0 (nichttriviale L¨ osung!) W (0) = ∞ : W (a) = 0 :

B = 0, (4.106) J0 (κ a) = 0.

Die zweite Beziehung ist die charakteristische Gleichung. Sie hat unendlich viele Wurzeln κk a, denen die Eigenfunktionen Wk = ur die kleinsten beiden Eigenwerte Ak J0 (κk r) zugeordnet sind. F¨ erh¨ alt man: σ0 κ1 a = 2, 41 → ω1 = κ1 c = 2, 41 , a2 (4.107) σ0 κ2 a = 5, 52 → ω2 = κ2 c = 5, 52 . a2 Die zugeordneten Eigenfunktionen sind in Abb. 4.23b f¨ ur A k = 1 dargestellt. Wir haben hier der Einfachheit halber nur die rotationssymmetrischen Eigenschwingungen betrachtet. Neben diesen existieren aber auch noch Eigenschwingungen, die nicht rotationssymmetrisch sind. Auf sie wollen wir hier nicht n¨ aher eingehen. Erwähnt sei nur, dass ihre Eigenfrequenzen alle u ¨ber ω1 liegen, so dass man diese Frequenz als Grundfrequenz bezeichnen kann. 4.5.2 Plattenschwingungen

Um die Bewegungsgleichung der frei schwingenden Platte aufzustellen, gehen wir genauso vor wie bei der Membran. Die Durchbiegung einer Platte unter statischer Belastung p wird durch die Plattengleichung p ΔΔw = K beschrieben (vgl. (3.52)). F¨ uhren wir nun als ¨ außere Belastung die d’Alembertsche Tr¨ agheitskraft p = −tp ∂ 2 w/∂t2 ein, wobei tp die

4.5


259

Dicke der Platte ist, dann erhalten wir die Bewegungsgleichung ΔΔw +

tp ∂ 2 w = 0. K ∂t2

(4.108)

F¨ ur die harmonischen Eigenschwingungen machen wir wieder den Ansatz w(x, y, t) = W (x, y) cos ωt.

(4.109)

Damit ergibt sich aus (4.108) die Schwingungsgleichung ΔΔW − κ4 W = (Δ − κ2 )(Δ + κ2 )W = 0 mit κ4 =

(4.110)

tp ω 2 . K

Zur vollst¨ andigen Formulierung des Eigenwertproblems gehören noch die Randbedingungen. Ist die Platte zum Beispiel am Rand frei drehbar gelagert, dann gelten dort die Navierschen Randbedingungen W |Rand = 0 und ΔW |Rand = 0 (vgl. (3.53b)). Als erstes Anwendungsbeispiel betrachten wir die allseitig frei drehbar gelagerte Rechteckplatte nach Abb. 4.24a. Ausgangspunkt ist die Schwingungsgleichung (4.110) in kartesischen Koordinaten: ∂4W ∂4W ∂4W +2 2 2 + − κ4 W = 0. 4 ∂x ∂x ∂y ∂y 4

(4.111)

Wir verzichten in diesem Fall auf den allgemeinen Separationsansatz (4.100) und verwenden direkt den Ansatz W (x, y) = F sin αx sin βy.

Abb. 4.24

(4.112)

260


Dieser erf¨ ullt mit αm = m π/a, m = 1, 2, . . . , βn = n π/b, n = 1, 2, . . .

(4.113)

die Navierschen Randbedingungen W = 0 und ΔW = 0 an allen vier R¨ andern. Setzen wir (4.112) in (4.111) ein, so folgt α4 + 2α2 β 2 + β 4 − κ4 = 0 → α2 + β 2 = κ2 . F¨ ur die Eigenfrequenzen und die Eigenfunktionen erhalten wir damit mπ 2 nπ 2 K K K 2 2 2 = (αm + βn ) = + , ωmn = κmn tp tp a b tp Wmn = Fmn sin

nπy mπx sin . a b

(4.114)

Die Eigenfunktionen der Rechteckplatte sind danach genau die gleichen wie die der Rechteckmembran (vgl. (4.103)). Ein Vergleich der Eigenfrequenzen zeigt, dass diese bei der Platte mit zunehmendem m bzw. n schneller wachsen als bei der Membran. Als zweites Beispiel wollen wir noch die rotationssymmetrischen Eigenschwingungen der frei drehbar gelagerten Vollkreisplatte untersuchen (Abb. 4.24b). Zu diesem Zweck schreiben wir die Schwingungsgleichung (4.110) mit dem Laplace-Operator Δ = d2 1 d dr 2 + r dr in der Form 2 2 d d W 1 d 1 dW 2 2 −κ + κ W = 0. + + (4.115) dr2 r dr dr2 r dr Eine L¨ osung dieser Gleichung erh¨ alt man, wenn man den rechten Klammerausdruck f¨ ur sich zu Null setzt: ΔW + κ2 W =

d2 W 1 dW + κ2 W = 0. + dr2 r dr

(4.116)

Dies ist die Besselsche Differentialgleichung (vgl. (4.104)), deren L¨ osung durch (4.105) gegeben ist. In unserem Fall (Vollplatte) ist die Auslenkung in der Mitte beschr¨ ankt. Wegen Y0 (r → 0) → −∞ muss also B = 0 sein. Durch die verbleibende Lösung W (r) = ullen: A J0 (κ r) lassen sich die Navierschen Randbedingungen erf¨

4.6

Energieprinzipien

261

nach (4.116) hat n¨ amlich W = 0 auch ΔW = 0 zur Folge. Damit liefert die Randbedingung W (a) = 0 die gleiche charakteristische Gleichung wie bei der Membran (vgl. (4.106)): J0 (κa) = 0.

(4.117)

Folglich entsprechen auch die Eigenwerte κk a und die Eigenfunkur tionen Wk genau denen der Membran. Dies trifft aber nicht f¨ die Eigenfrequenzen zu! F¨ ur die ersten beiden erhalten wir K K 2 = 5, 78 , κ1 a = 2, 41 → ω1 = κ1 t t a4 (4.118) K K = 30, 47 . κ2 a = 5, 52 → ω2 = κ22 t t a4 Angemerkt sei, dass es bei der Platte wie bei der Membran neben den rotationssymmetrischen Eigenschwingungen auch nicht rotationssymmetrische Eigenschwingungen gibt. Die Grundschwingung ist allerdings durch den hier behandelten Fall k = 1 gegeben.

4.6 Energieprinzipien Wir wollen uns in diesem Abschnitt auf die Eigenschwingungen von elastischen K¨ orpern beschr¨ anken. F¨ ur diese lassen sich Energieprinzipien analog zu denen der Elastostatik herleiten (vgl. Abschnitt 2.7). Um dies zu zeigen, betrachten wir als einfaches Beispiel den Stab nach Abb. 4.25. Seine dynamischen Grundgleichun¨ = 0 (vgl. (4.23)) gen bestehen aus dem Bewegungsgesetz N −A u und der Randbedingung N (l, t) = 0 am freien Ende. Die einzige kinematische Gleichung ist die Randbedingung u(0, t) = 0. Im Fall von harmonischen Schwingungen a ¨ndern sich u und N zeitharmonisch mit der Kreisfrequenz ω: u(x, t) = U (x) cos ωt,

Abb. 4.25

4.6

262


ˆ (x) cos ωt. Setzen wir in u ¨(x, t) = −ω 2 U (x) cos ωt, N (x, t) = N die Grundgleichungen ein, so f¨ allt der Faktor cos ωt heraus, und ˆ (x). Wenn man erh¨ alt Gleichungen f¨ ur die Amplituden U (x) und N wir letztere von nun an wieder mit den urspr¨ unglichen Buchstaˆ (x) → N (x)) bezeichnen, dann lauten die ben (U (x) → u(x), N Grundgleichungen: N + ω 2 A u = 0,

Dynamik:

N (l) = 0, (4.119)

Kinematik:

u(0) = 0.

Im weiteren gehen wir genauso vor wie in Abschnitt 2.7.1. Mit N (1) , u(1) kennzeichnen wir (dynamisch zul¨ assige) Größen, welche die dynamischen Gleichungen erf¨ ullen und mit u(2) (kinematisch zul¨ assige) Gr¨ oßen, welche die kinematischen Gleichungen (hier nur die Randbedingung u(0) = 0) erf¨ ullen. Nun multiplizieren wir die Bewegungsgleichung f¨ ur die dynamisch zul¨ assigen Größen mit einer kinematisch zul¨ assigen Verschiebung u(2) (= Testfunktion) und integrieren u ange: ¨ber die Stabl¨

l

dN (1) (2) u dx + ω 2 dx

0

l Au(1) u(2) dx = 0 . 0

Durch partielle Integration folgt daraus

l

l

N

(1)

u

−

(2) 0

N

(1) du

l

(2)

dx

dx + ω

0

2

A u(1) u(2) dx = 0, 0

bzw. mit N (1) (l) = 0 und u(2) (0) = 0 sowie dem Elastizitätsgesetz N = EAu

l − 0

du(1) du(2) dx + ω 2 EA dx dx

l A u(1) u(2) dx = 0.

(4.120)

0

Dies ist der verallgemeinerte Arbeitssatz bzw. eine schwache Formulierung f¨ ur die freie Schwingung eines elastischen Stabes. Aus (4.120) lassen sich durch Spezialisierung verschiedene Gesetzm¨ aßigkeiten herleiten. Wenn man f¨ ur u(1) und u(2) die aktuelle

4.6

Energieprinzipien

263

(wirkliche) Verschiebung u(x) einsetzt, dann erh¨ alt man l l

EA u 2 (x) dx = ω 2 A u2 (x)dx. (4.121) 0

0

Darin beschreiben die beiden Ausdr¨ ucke bis auf den Faktor 1/2 ˆk der potenˆp und E gerade die Maximalwerte ( Amplituden“) E ” tiellen Energie Ep (hier das elastische Potential Πi ) und der kinetischen Energie Ek . Mit u(x, t) = u(x) cos ωt gilt nämlich l

l 1 1 2 2 EA u (x, t)dx = EA u (x)dx cos2 ωt Ep (t) = 2 2 0

0

ˆp cos2 ωt, =E 1 Ek (t) = 2

(4.122a)

l 2

EA u˙ (x, t)dx = 0

ω2 2

l

A u (x)dx sin2 ωt 2

0

ˆ ∗ sin2 ωt. = ω2 E ! "# k$

(4.122b)

ˆk E

Danach kann man (4.121) auch in der Form ˆp = E ˆk E

ˆk∗ ˆp = ω 2 E E

bzw.

(4.123)

schreiben. Hierdurch wird der Energiesatz f¨ ur ein konservatives schwingendes System ausgedr¨ uckt (vgl. Band 3, Abschnitt 5.2.1). L¨ osen wir (4.123) nach der Kreisfrequenz auf, dann ergibt sich ω2 =

ˆp E . ˆ E∗

(4.124)

k

Mit den Energieausdr¨ ucken (4.122a,b) folgt l 2

ω =

EA u2 (x)dx

0

l 0

.

(4.125)

A u2 (x)dx

Man nennt (4.124) bzw. (4.125) den Rayleigh-Quotienten (Lord Rayleigh, 1842–1919). Setzt man f¨ ur u(x) eine exakte Eigenfunk-

264


tion ein, so liefert er die zugeh¨ orige Eigenfrequenz ω. Verwendet man dagegen f¨ ur u eine N¨ aherung der Eigenfunktion, so folgt aus dem Rayleigh-Quotienten eine N¨ aherung f¨ ur die Eigenfrequenz (vgl. Abschnitt 7.5.6). Als weitere Spezialisierung von (4.120) setzen wir f¨ ur u(1) die (2) aktuelle (wirkliche) Verschiebung u(x) und f¨ ur u eine virtuelle Verr¨ uckung δu aus der aktuellen Lage ein. Damit folgt nach Multiplikation mit 1/2 sowie unter Beachtung von δ(u 2 /2) = u δu und δ(u2 /2) = u δu zun¨ achst ω2 2

l

1 A u δu dx − 2

0

1 =δ 2

l

l

EA u δu dx

0

(ω 2 A u2 − EA u 2 )dx = 0.

(4.126)

0

ˆp kann man ˆ=E ˆk − E Mit (4.122a,b) und der Lagrange-Funktion L (4.126) alternativ auch in den Formen ˆ = δ(E ˆk − E ˆp ) = δ(ω 2 E ˆp ) = 0 , ˆk∗ − E δL ˆp = ω 2 E ˆp = station¨ ˆ∗ − E ˆ=E ˆk − E ar L k

(4.127) (4.128)

schreiben. Wir bezeichnen dies als Prinzip vom Station¨ arwert der Lagrange-Funktion. Unter allen kinematisch zulässigen Vergleichsfunktionen machen danach die aktuellen (wirklichen) Verschieˆ zu einem Extremum. bungen L Wir haben (4.124) und (4.127) bzw. (4.128) am Beispiel des Stabes hergeleitet. Diese Beziehungen gelten aber allgemein f¨ ur linear elastische Systeme. So lautet zum Beispiel der RayleighQuotient f¨ ur den Balken l ω2 =

EI w 2 (x)dx

0

l 0

. A w2 (x)dx

(4.129)

4.6

Energieprinzipien

265

Sie treffen auch zu, wenn am schwingenden Körper zusätzliche Einzelmassen bzw. Einzelfedern befestigt sind. Man muss dann nur die entsprechenden Energieanteile in der kinetischen und in der potentiellen Energie ber¨ ucksichtigen. Die Prinzipien (4.127) bzw. (4.128) kann man einerseits verwenden, um Schwingungsgleichungen sowie die zugeh¨ origen Randbedingungen herzuleiten. Andererseits stellen sie einen Ausgangspunkt f¨ ur Näherungsverfahren dar (vgl. Verfahren von Ritz, Abschnitt 7.5.6). Beispiel 4.6 F¨ ur den elastisch gelagerten Stab mit einer Zusatz-

masse m nach Abb. 4.26 soll die Schwingungsgleichung mit Hilfe des Prinzips vom Station¨ arwert der Lagrange-Funktion hergeleitet werden.

Abb. 4.26

L¨ osung Wir stellen zun¨ achst die Energien auf. Dabei ber¨ ucksich-

tigen wir bei der kinetischen Energie sofort, dass eine harmonische Schwingung vorliegt (u˙ 2 → ω 2 u2 ): ˆp = 1 E 2

l 0 2

ˆk = ω E 2

1 EA u 2 dx + c u2 (l), 2

l A u2 dx +

ω2 m u2 (l). 2

0

Damit liefert (4.127) zun¨ achst 1 0=δ 2

l =

l

(ω 2 A u2 − EA u 2 ) dx + δ

ω2 c m u2 (l) − u2 (l) 2 2

0

(ω 2 A u δu − EA u δu ) dx + [ω 2 m u(l) − c u(l)] δu(l).

0

Den zweiten Teil des Integrals k¨ onnen wir mit partieller Integra-

B4.6

266


tion und mit dem Elastizit¨ atsgesetz N = EA u umformen. Man erh¨ alt auf diese Weise unter Beachtung von δu(0) = 0

l 0=

[ω 2 A u + (EA u ) ] δu dx − N (l) δu(l) + N (0) δu(0)

0

+ [ω 2 m u(l) − c u(l)] δu(l)

l =

[ω 2 A u + (EA u ) ] δu dx

0

+ [ω 2 m u(l) − c u(l) − N (l)] δu(l) .

F¨ ur ein beliebiges kinematisch zul¨ assiges δu ist diese Gleichung nur dann erf¨ ullt, wenn gilt: ω 2 A u + (EA u ) = 0 ,

N (l) = [ω 2 m − c] u(l) .

Die erste Gleichung ist die gesuchte Schwingungsgleichung des Stabes. Durch die zweite Gleichung wird die Randbedingung am rechten Stabende ausgedr¨ uckt. B4.7

Beispiel 4.7 F¨ ur den Stab aus Beispiel 4.6 soll mit dem Rayleigh-

Quotienten eine N¨ aherung f¨ ur die Grundfrequenz ermittelt werden. L¨ osung Als einfachste N¨ aherung f¨ ur die Eigenfunktion verwenden wir den Ansatz u ˜ = x. Er erf¨ ullt die kinematische Randbedingung u ˜(0) = 0. Damit ergibt sich (vgl. Beispiel 4.6)

ˆp = 1 EA E 2

l

1 1 2 1 ˜ (l) = EA l + c l2 , u ˜ 2 dx + c u 2 2 2

0

ˆ∗ = 1 A E k 2

l

1 1 1 ˜2 (l) = A l3 + m l2 , u ˜2 dx + m u 2 6 2

0

und es folgt nach (4.124) f¨ ur die Eigenfrequenz ω2 ≈

3EA + 3c l . A l2 + 3m l

4.6

Energieprinzipien

267

W¨ ahlen wir speziell c = 0 und m = Al, dann erhält man daraus 3 E 3EA E 2 = → ω ≈ 0, 866 . ω ≈ 2 2 A l (1 + 3) 4 l l2 Die Abweichung vom exakten Wert ω1 = 0, 860 E/l2 ist kleiner als 1 Prozent (vgl. Abschnitt 4.2.1). Wenn wir m = 0 und c = c∗ = 2EA/l setzen, dann ergibt sich 3EA + 6EA E E 2 =9 2 → ω≈3 . ω ≈ A l2 l l2 Die exakte L¨ osung ist in diesem Fall durch ω1 = 2, 29 E/ l2 gegeben (vgl. Beispiel 4.2); der Fehler betr¨ agt hier ungefähr 30 Prozent. Der gew¨ ahlte N¨ aherungsansatz beschreibt nun die wirkliche Bewegung nicht gut genug.

268

4.7


4.7 Weiterf¨ uhrende Literatur Bishop, R.E.D., Johnson, D.C., The Mechanics of Vibration, Cambridge University Press 1979 Fryba, L., Vibration of Solid Structures under Moving Loads, Telford, London 1999 Hagedorn, P., Kelkel, K., Technische Schwingungslehre II: Lineare Schwingungen kontinuierlicher mechanischer Systeme, Springer, Berlin 1989 Le, K.C., Vibrations of Shells and Rods, Springer, Berlin 1999 Magrab, E.B., Vibrations of Elastic Structural Members, Sijthoff Noordhoff, 1979 Natke, H.G., Baudynamik, Teubner, Stuttgart 1989 Rao, J.S., Advanced Theory of Vibrations, Wiley, New York 1993 Soedel, W., Vibrations of Shells and Plates, Dekker, New York 2004 Yu, Y.Y., Vibrations of Elastic Plates, Springer, Berlin 1998

Kapitel 5 Stabilit¨ at elastischer Strukturen

5

5 Stabilit¨ at elastischer Strukturen 5.1 5.2 5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.3 5.4 5.4.1 5.4.2 5.4.3 5.5 5.5.1 5.5.2 5.5.3 5.6

Allgemeines ...................................................... 271 Beschreibung typischer Stabilitätsfälle ..................... 272 Der elastisch eingespannte Druckstab als Beispiel f¨ ur ein Verzweigungsproblem .......................................... 272 Der Einfluss von Imperfektionen ............................ 278 Ein Beispiel f¨ ur ein Durchschlagproblem .................. 283 Verallgemeinerung .............................................. 285 Stabknicken ...................................................... 290 Der elastische Druckstab mit großen Verschiebungen – Die Elastica ................................................... 290 Ermittlung der Knickgleichung mit der Energiemethode 295 Der imperfekte Druckstab .................................... 299 Plattenbeulen .................................................... 302 Die Beulgleichung .............................................. 302 Die Rechteckplatte unter einseitigem Druck.............. 305 Die Kreisplatte .................................................. 311 Weiterf¨ uhrende Literatur ...................................... 314

5.1

Allgemeines

271

5.1 Allgemeines Der Begriff der Stabilit¨ at wird im allt¨ aglichen und im technischen Sprachgebrauch vielf¨ altig verwendet. Man muss daher stets genau angeben, um welches spezielle Stabilit¨ atsproblem es sich im konkreten Fall handelt. Wir besch¨ aftigen uns in diesem Kapitel ausschließlich mit der statischen Stabilit¨ at elastischer Tragwerke. Hierunter wollen wir die Untersuchung von Gleichgewichtslagen auf deren Stabilit¨ at verstehen (vgl. Band 1, Abschnitt 8.5). Wir werden die Betrachtungen zun¨ achst an einfachen Stab-FederModellen durchf¨ uhren. An ihnen kann man alle wesentlichen Phänomene erkennen, welche das Stabilit¨ atsverhalten von Tragwerken beschreiben. In Band 2, Abschnitt 7.1 haben wir bereits gezeigt, dass beim Druckstab unter einer Last F eine Verzweigung der Gleichgewichtslagen auftreten kann. Die zugehörige Last heißt ur F < Fkrit kritische Last. Wir wollen sie mit Fkrit bezeichnen. F¨ bleibt der Stab in seiner urspr¨ unglichen Lage. F¨ ur F > Fkrit wird das Problem mehrdeutig: neben der Ausgangslage existieren weitere Gleichgewichtslagen, die mit seitlichen Auslenkungen verbunden sind. Die Berechnung kritischer Lasten ist das Hauptanliegen der klassischen Stabilit¨ atstheorie. Wir werden zeigen, dass bei bestimmten Strukturen auch Gleichgewichtslagen f¨ ur F > Fkrit ermittelt und auf ihre Stabilit¨ at hin untersucht werden m¨ ussen. Wir werden anschließend die L¨ osungsmethoden, die wir bei den Modellen kennengelernt haben, auf elastische Kontinua u ¨bertragen. Dabei beschr¨ anken wir uns auf St¨ abe und Platten. Beim Stab nennt man das seitliche Ausweichen oberhalb der kritischen Last Knicken, bei der Platte (und der Schale) heißt es Beulen. Wir setzen beim Kontinuum stets ein ideal-elastisches Materialverhalten voraus. Außerdem sollen alle Kr¨ afte ein Potential besitzen, d.h. konservativ sein. Nicht behandeln werden wir hier das weite Feld der Stabilität der Bewegung von diskreten bzw. von kontinuierlichen Systemen. Diese haben z.B. in der Raumfahrt, im Maschinenbau oder in der Str¨ omungsmechanik eine große Bedeutung.

5.1

272

5.2

5 Stabilität elastischer Strukturen

5.2 Beschreibung typischer Stabilit¨ atsf¨ alle 5.2.1 Der elastisch eingespannte Druckstab als Beispiel f¨ ur ein Verzweigungsproblem

Wir betrachten einen starren Stab der L¨ ange l, der an seinem Fußpunkt durch eine lineare Drehfeder mit der Steifigkeit cT gehalten und durch eine richtungstreue Druckkraft F belastet wird (Abb. 5.1a). Die betrachtete Ausgangslage des Stabes ist offensichtlich eine Gleichgewichtslage. Wir suchen nun die Lasten, unter denen neben dieser Lage weitere Gleichgewichtslagen auftreten und die mit einer seitlichen Auslenkung des Stabes verbunden sind. Falls solche Lagen existieren, ist die Ausgangslage f¨ ur die zugeh¨ origen Lasten m¨ oglicherweise instabil. Zur Lösung dieses Stabilit¨ atsproblems wollen wir zwei Verfahren vorstellen. 1) Gleichgewichtsmethode. Wir denken uns bei dieser Methode den Stab um einen Winkel ϕ ausgelenkt (Abb. 5.1b) und stellen das Gleichgewicht am so verformten System auf. Aus dem Momentengleichgewicht bez¨ uglich A folgt F l sin ϕ − cT ϕ = 0 .

(5.1)

Danach kann es f¨ ur einen Wert von F neben der Ausgangslage ϕ = 0 noch weitere Gleichgewichtslagen geben. Unter welchen Bedingungen dies auftritt erkennt man, wenn man (5.1) umschreibt: Fl ϕ = . sin ϕ cT

(5.2)

Abb. 5.1

5.2

Beschreibung typischer Stabilitätsfälle

273

Da stets sin ϕ ≤ ϕ ist, existieren L¨ osungen ϕ = 0 nur f¨ ur F > cT /l. F¨ ur F < cT /l gibt es nur die lotrechte Gleichgewichtslage ϕ = 0 ¨ (1. L¨ osungsast). Mit Steigerung von F treten nach Uberschreiten von F = cT /l zwei weitere Gleichgewichtslagen ±ϕ∗ auf, die aus (5.1) bzw. (5.2) ermittelt werden k¨ onnen (2. L¨ osungsast). Die zugeh¨ orige Last-Verformungskurve F (ϕ) ist in Abb. 5.1c dargestellt. Der Schnittpunkt dieser Kurve mit der Geraden ϕ = 0 kennzeichnet den Verzweigungspunkt, die zugeh¨ orige Last heißt kritische ur F > Fkrit als Nachknickkurve Last Fkrit . Wir wollen F (ϕ) f¨ ¨ bezeichnen. Uber die Stabilit¨ at von Gleichgewichtslagen, die den Punkten auf dieser Kurve entsprechen, k¨ onnen wir mit der Gleichgewichtsmethode nichts aussagen. In vielen F¨ allen reicht es aus, nur die kritische Last zu ermitteln; sie ist durch den Verzweigungspunkt festgelegt. In der Umgebung des Verzweigungspunktes sind die zus¨ atzlichen Gleichgewichtslagen benachbart zur Lage ϕ = 0. Wir k¨ onnen daher die kritische Last aus der Gleichgewichtsbedingung (5.1) direkt erhalten, wenn wir sie f¨ ur kleine ϕ linearisieren, d.h. sin ϕ ≈ ϕ setzen. Es entsteht dann die lineare homogene Gleichung (F l − cT ) ϕ = 0 .

(5.3)

Sie ist erf¨ ullt f¨ ur ϕ = 0 (triviale L¨ osung) oder f¨ ur F = Fkrit =

cT . l

(5.4)

Man nennt Fkrit den Eigenwert des hier vorliegenden Eigenwertproblems. Die L¨ osung von (5.3) ist in Abb. 5.1d dargestellt: bei angigkeit F (ϕ) f¨ ur F = Fkrit erfolgt die Verzweigung. Die Abh¨ ϕ > 0 l¨ asst sich aus der linearen Theorie nicht ermitteln. 2) Energiemethode. Wir wollen nun dasselbe Problem auf einem zweiten Weg l¨ osen. Bei einer Auslenkung ϕ wird in der Feder eine Form¨ anderungsenergie Πi = 12 cT ϕ2 gespeichert. Da die Druckkraft richtungstreu sein soll, ist ihr Potential Πa = F l cos ϕ (Nullniveau in H¨ ohe des Lagers). Damit wird das Gesamtpotential 1 Π = Πa + Πi = F l cos ϕ + cT ϕ2 . 2

274


Die Gleichgewichtslagen folgen nach Band 1, Gleichung (8.11) aus dΠ =0 dϕ

→ − F l sin ϕ + cT ϕ = 0.

¨ Hieraus ergeben sich die Lage ϕ = 0 und in Ubereinstimmung mit (5.2) die Bestimmungsgleichung Fl ϕ = sin ϕ cT f¨ ur weitere Gleichgewichtslagen. Zus¨ atzlich k¨ onnen wir jetzt Aussagen u at dieser Lagen treffen (vgl. Band 1, Gl. ¨ber die Stabilit¨ (8.13)). Hierzu bilden wir die zweite Ableitung des Potentials d2 Π = − F l cos ϕ + cT . dϕ2 Wir setzen zun¨ achst ϕ = 0 in (5.5) ein und erhalten mit (·) c c Π < 0 f¨ Π > 0 f¨ ur F < T , ur F > T . l l

(5.5) d dϕ (·)

=

Die Lage ϕ = 0 ist hiernach nur bis zur kritischen Last Fkrit = cT /l (vgl. (5.4)) stabil. F¨ ur Lasten oberhalb des Verzweigungspunktes ist diese Lage instabil (vgl. Abb. 5.1c). Setzen wir den Winkel ϕ der weiteren Gleichgewichtslagen nach (5.2) in (5.5) ein, so wird ϕ . Π = − F l cos ϕ + cT = cT 1 − tan ϕ Wegen ϕ/ tan ϕ < 1 (f¨ ur | ϕ |≤ π/2) ist Π > 0: alle Gleichgewichtslagen auf dem L¨ osungsast ϕ = 0 sind stabil (vgl. Abb. 5.1c). Schließlich soll noch erw¨ ahnt werden, dass man die Frage nach der Stabilit¨ at einer Gleichgewichtslage nicht nur mit der Energiemethode, sondern auch mit Hilfe einer kinetischen Methode beantworten kann. Jede Gleichgewichtslage ist ja dadurch gekennzeichnet, dass sich das betrachtete System in ihr in Ruhe befindet. St¨ ort man diese Lage, indem man eine kleine Auslenkung (oder eine kleine Geschwindigkeit) aufzwingt, so wird sich das System i.a. bewegen. Man nennt eine Lage stabil, wenn kleine Störun-

5.2


275

gen nur kleine Abweichungen des Systems von der betrachteten Gleichgewichtslage bewirken. Die Lage heißt instabil, wenn sich das System nach Aufbringen der kleinen St¨ orung aus der betrachteten Gleichgewichtslage weiter entfernt. Wir wollen das Vorgehen am Modell nach Abb. 5.1a f¨ ur die Lage ϕ = 0 erl¨ autern. Der Stab kann eine Rotation um das Lager A ausf¨ uhren. Wir denken uns daher den Stab (Trägheitsmoment ΘA ) aus der Gleichgewichtslage ϕ = 0 um einen kleinen Winkel ϕ0 ausgelenkt und untersuchen die Bewegung, wenn er aus dieser gest¨ orten Lage ohne Anfangsgeschwindigkeit losgelassen wird. Als Bewegungsgleichung k¨ onnen wir den Drallsatz (vgl. Band 3, Gl. (3.12)) um A aufstellen, wobei wir kleine Winkel voraussetzen: ΘA ϕ¨ = MA = (F l − cT )ϕ

→

ϕ¨ +

cT − F l ϕ = 0. ΘA

(5.6)

Mit den Anfangsbedingungen ϕ(0) = ϕ0 und ϕ(0) ˙ = 0 hat diese Schwingungsgleichung die L¨ osung ϕ = ϕ0 cos ω t. Die Frequenz (vgl. Band 3, Abschn. 5.2.1) cT − F l (5.7) ω= ΘA h¨ angt von der Druckkraft F ab. F¨ ur F l < cT schwingt das gestörte ungliche Lage System mit der kleinen Amplitude ϕ0 um seine urspr¨ ϕ = 0. Die Lage ist daher stabil. Wegen einer stets vorhandenen D¨ ampfung geht in Wirklichkeit das schwingende System mit wachsender Zeit gegen die Ruhelage. Ist dagegen F l > cT , so hat (5.6) die L¨ osung F l − cT mit λ= . ϕ = ϕ0 cosh λt ΘA Das bei ϕ = 0 gest¨ orte System entfernt sich dann mit zunehmender Zeit t immer weiter von der Ausgangslage: diese ist instabil. Besonders wichtig ist der Grenzfall F = Fkrit = cT /l. Dann geht die Frequenz nach (5.7) gegen Null. Dieses Ergebnis kann verallgemeinert werden: bei einem schwingungsf¨ ahigen System, bei dem

276


eine Verzweigung des Gleichgewichts auftritt, strebt die Frequenz bei Ann¨ aherung an den Verzweigungspunkt gegen Null. Bisher haben wir bei allen L¨ osungsmethoden eine lineare Federkennlinie angenommen. Wir wollen zum Abschluss dieses Abschnitts am gleichen Modell noch den Einfluss einer nichtlinearen Federcharakteristik auf das Stabilit¨ atsverhalten untersuchen. Hierzu nehmen wir einen kubischen Verlauf f¨ ur das Federmoment M (ϕ) an: M (ϕ) = cT ϕ(1 + a ϕ + b ϕ2 ) .

(5.8)

In Abb. 5.2a sind die Kennlinien f¨ ur einige Sonderfälle der Federparameter aufgetragen.

Abb. 5.2

Zur Ermittlung der Gleichgewichtslagen und deren Stabilität wenden wir die Energiemethode an. Das Potential der äußeren Last bleibt unver¨ andert Πa = F l cos ϕ. Das Federpotential folgt mit (5.8) aus Πi = M (ϕ) dϕ zu 2 ϕ3 ϕ4 ϕ +a +b . Πi = cT 2 3 4

5.2


277

Aus dΠ /dϕ = 0 ergeben sich die Bedingungen f¨ ur das Gleichgewicht: Π = cT ϕ(1 + a ϕ + b ϕ2 ) − F l sin ϕ = 0 →

a) ϕ = 0 b) F = Fkrit

c ϕ + a ϕ2 + b ϕ3 mit Fkrit = T . sin ϕ l

(5.9)

Aussagen u at dieser Lagen erhalten wir aus der ¨ber die Stabilit¨ zweiten Ableitung: Π = cT (1 + 2 a ϕ + 3 b ϕ2 ) − F l cos ϕ. F¨ ur die Lage ϕ = 0 folgt Π (0) = cT − F l →

⎧ ⎨ F < Fkrit : stabil, ⎩

F > Fkrit : instabil.

F¨ ur die Lagen oberhalb des Verzweigungspunktes Fkrit wird mit (5.9) Π = cT (1 + 2 a ϕ + 3 b ϕ2 ) − cT (1 + a ϕ + b ϕ2 )

ϕ cos ϕ . (5.10) sin ϕ

Diese Gleichung kann f¨ ur gegebene a und b numerisch ausgewertet werden. Wenn wir die Stabilit¨ at nur in der Umgebung des Verzweigungspunktes untersuchen wollen, k¨ onnen wir (5.10) f¨ ur kleine ϕ entwickeln und erhalten 1 Π = cT a ϕ + 2 b + ϕ2 , ϕ 1 . (5.11) 3 Dieser Ausdruck kann je nach Wahl von a und von b positive bzw. negative Werte annehmen. Die zugeh¨ origen Gleichgewichtslagen sind dann stabil bzw. instabil. ur einiIn Abb. 5.2b ist die auf Fkrit bezogene Last nach (5.9) f¨ ge Federparameter aufgetragen. Die Abbildungen zeigen folgende Ergebnisse: ur 1) Die Lage ϕ = 0 ist bei allen Federn f¨ ur F/Fkrit < 1 stabil, f¨ F/Fkrit > 1 instabil.

278


2) F¨ ur a = b = 0 ist die Feder linear. Die Abbildung stimmt daher mit Abb. 5.1c u ¨berein. 3) F¨ ur a = 0, b = 1 (¨ uberlineare Feder) ¨ ahnelt F (ϕ) der vorangegangenen Abbildung. Nach (5.11) sind die Lagen in der Umgebung des Verzweigungspunktes stabil. Da keine weitere Verzweigung von dieser Kurve erfolgt, ist der gesamte Nachknickbereich stabil. 4) F¨ ur a = 0, b = −1 (unterlineare Feder) gibt es keine Lagen ϕ = 0 f¨ ur F/Fkrit > 1. Die Nachknickkurve ist nach (5.11) stets instabil. 5) F¨ ur a = 1, b = 1 ist die Nachknickkurve unsymmetrisch zum Verzweigungspunkt. Aus (5.11) k¨ onnen wir schließen: ur ϕ > 0 und f¨ ur ϕ < − 3/7 , Π > 0 f¨ ur − 3/7 < ϕ < 0 . Π < 0 f¨ ¨ Zu den Asten ϕ > 0 und ϕ < ϕ∗ = −3/7 gehören stabile Gleichgewichtslagen, zum Bereich dazwischen instabile Gleichgewichtslagen. Man kann zeigen, dass die Stabilit¨ atsgrenze ϕ∗ zum Minimum der Kurve F (ϕ) geh¨ ort. Dabei ist ϕ∗ = −3/7 = −0, 429 nicht der exakte Wert f¨ ur die Stabilit¨ atsgrenze, da er aus der N¨ aherung (5.11) ermittelt wurde. Aus dF/dϕ = 0 folgt vielmehr ϕ∗ = −0, 443. Zusammenfassend findet man, dass die Last-Verformungskurven in nichtlinearen Systemen sehr unterschiedlich verlaufen können. Hieraus resultiert auch das sehr unterschiedliche Stabilitätsverhalten von Systemen mit nichtlinearer Federcharakteristik. 5.2.2 Der Einfluss von Imperfektionen

Bisher hatten wir angenommen, dass der Stab f¨ ur F = 0 lotrecht steht und die Druckkraft mittig angreift. Wenn diese Idealisierungen erf¨ ullt sind, sprechen wir von einem perfekten Stab. In der realen Struktur treten aber meistens schon im unbelasteten Zustand Verformungen auf. Wir bezeichnen diese als Vorverformungen oder Imperfektionen. Außerdem greifen häufig die Lasten exzentrisch an. Diese beiden Abweichungen von der idealisierten Struktur zeigen ¨ ahnlichen Einfluss auf das Stabilitätsverhalten.

5.2


279

Einen Stab mit einer Vorverformung (oder einer außermittigen Last) wollen wir imperfekt nennen. Als Beispiel f¨ ur einen imperfekten Stab betrachten wir wieder das in Abschnitt 5.2.1 behandelte Modell, wobei der Stab im unbelasteten Zustand nun um einen Winkel ϕ0 ausgelenkt ist (Abb. 5.3a). Wir wenden die Energiemethode an und zählen ϕ von der Lage im unbelasteten Zustand aus. Die Kraft hat dann bei einer zus¨ atzlichen Auslenkung das Potential Πa = F l cos(ϕ + ϕ0 ). Die Feder soll die nichtlineare Kennlinie M (ϕ) = cT (1+a ϕ+b ϕ2 ) wie in (5.8) haben. Dann k¨ onnen wir das Gesamtpotential und die ersten beiden Ableitungen anschreiben: Π = cT ( 12 ϕ2 + a 13 ϕ3 + b 14 ϕ4 ) + F l cos(ϕ + ϕ0 ) ,

Π = cT (ϕ + a ϕ2 + b ϕ3 ) − F l sin(ϕ + ϕ0 ) ,

Π = cT (1 + 2 a ϕ + 3 b ϕ2 ) − F l cos(ϕ + ϕ0 ) . Die Gleichgewichtsbedingung Π = 0 liefert F = Fkrit

Abb. 5.3

ϕ + a ϕ2 + b ϕ3 sin(ϕ + ϕ0 )

mit

Fkrit = cT /l .

(5.12)

280


Hier gibt es f¨ ur positive ϕ jetzt nur noch einen Lösungsast. Beim imperfekten Stab findet keine Verzweigung statt: das Knickproblem wird zum Biegeproblem. Die Stabilit¨ at der Gleichgewichtslagen folgt aus dem Vorzeichen von ϕ . (5.13) Π = cT (1 + 2aϕ + 3bϕ2 ) − cT (1 + aϕ + bϕ2 ) tan(ϕ + ϕ0 ) In Abb. 5.3b sind die Ergebnisse der numerischen Auswertung von (5.12) und (5.13) f¨ ur vier verschiedene Fälle (Federparameter) dargestellt. Wir beschr¨ anken uns dabei auf eine positive Vorverformung und w¨ ahlen ϕ0 = 0, 05. Zum Vergleich sind die Ergebnisse des perfekten Stabes nach Abb. 5.2b mit eingetragen. Man erkennt, dass in allen vier F¨ allen F (ϕ) f¨ ur kleine ϕ zunächst ann¨ ahernd linear verl¨ auft. Mit wachsender Last macht sich die Nichtlinearit¨ at von F (ϕ) zunehmend bemerkbar. In den Fällen I, II und IV treten in der N¨ ahe der kritischen Last Fkrit bei der imperfekten Struktur große Verformungen auf. F¨ ur F > Fkrit schmiegen sich diese L¨ osungen an die Verzweigungsäste der perfekten St¨ abe an. Mit (5.13) kann man zeigen, dass alle Lagen ϕ > 0 f¨ ur diese drei imperfekten St¨ abe stabil sind. Es sei angemerkt, dass die Lasten in Wirklichkeit nicht beliebig anwachsen können, da Grenzen f¨ ur die Belastbarkeit durch zul¨ assige Spannungen bzw. zul¨ assige Verformungen vorgegeben sind. Ein v¨ ollig anderes Verhalten zeigt dagegen die Lösung im Fall III. Hier erreicht F (ϕ) im Punkt Fm , der unterhalb von Fkrit liegt, ein Maximum. Damit ist bereits f¨ ur F = Fm < Fkrit die Grenze der Tragf¨ ahigkeit der Struktur erreicht. Bei einer Laststeigeurde der Stab durchschlagen“ (vgl. Abrung u ¨ber Fm hinaus w¨ ” schnitt 5.2.3). Je gr¨ oßer die Vorverformung ϕ0 wird, desto kleiner wird Fm . Ein System mit einer Federkennlinie nach III nennt man daher besonders empfindlich“ gegen Imperfektionen. ” In allen vier F¨ allen gibt es nach (5.12) weitere Lösungsäste f¨ ur negative ϕ, die teils stabil, teils instabil sind. Sie sind in Abb. 5.3b ebenfalls eingetragen, haben aber keine praktische Bedeutung, da man diese Lagen bei quasistatischer Laststeigerung von F = 0 aus nie erreicht. Man k¨ onnte diese L¨ osungen nur verifizieren, indem man das System durch geeignete Manipulationen in Lagen mit

5.2


281

¨ ϕ < 0 zwingt und dann die Lasten aufbringt, die zu diesen Asten geh¨ oren. Es sei angemerkt, dass die Asymptote beim imperfekten System nicht bei ϕ = 0 sondern bei ϕ = −ϕ0 liegt. Dies ist wegen ϕ0 1 in den Abbildungen nicht zu erkennen. Beispiel 5.1 Ein gelenkig gelagerter Stab wird seitlich durch eine Feder (Steifigkeit c) gehalten. Die Feder wird so gef¨ uhrt, dass sie in jeder Lage waagerecht ist. Die Kraft F greift mit einer Exzentrizität e an (Abb. 5.4a). Gesucht ist die Grenzlast, die das System aufnehmen kann.

Abb. 5.4

L¨ osung Wir wenden die Energiemethode an. Wenn wir das Nullni-

veau des Potentials von F in der H¨ ohe l w¨ ahlen, so gilt (Abb. 5.4b)

e Πa = − F l 1 − cos ϕ + sin ϕ . l Mit der Federenergie Πi = 12 cx2 = 12 c(a sin ϕ)2 wird das Gesamtpotential Π = 12 c (a sin ϕ)2 − F l 1 − cos ϕ + el sin ϕ . Die Gleichgewichtslagen folgen aus

e (a) Π = 0 → c a2 sin ϕ cos ϕ − F l sin ϕ + cos ϕ = 0 . l Wenn wir die bezogene Last F¯ = F l/c a2 einf¨ uhren, dann erhalten wir hieraus f¨ ur die Last-Verformungskurve

B5.1

282


F¯ =

sin ϕ

(b) e . l Sie ist in Abb. 5.4c f¨ ur e/l = 0, 05 dargestellt. Um die Stabilit¨ at der Lagen zu untersuchen, bilden wir die zweite Ableitung des Potentials:

e Π = cos 2ϕ − F¯ cos ϕ − sin ϕ c a2 . (c) l Setzen wir (b) ein, so finden wir nach einigen trigonometrischen Umformungen

cos2 ϕ e 3 − tan ϕ c a2 . Π = e l tan ϕ + l Hiernach sind die Lagen mit tan3 ϕ < e/l stabil und solche mit tan3 ϕ > e/l instabil. Im Grenzfall tan3 ϕ = e/l wird dF¯ /dϕ = 0. Die Last-Verformungskurve des imperfekten Stabes hat dort ihr Maximum F¯m (vgl. Fall III in Abb. 5.3b). Der Stab kann keine größere Last aufnehmen. Setzt man tan3 ϕ = e/l in (b) ein, so erh¨ alt man – wiederum nach elementaren Rechnungen mit trigonometrischen Beziehungen – f¨ ur die gesuchte Grenzlast e 2/3 −3/2 . (d) F¯m = 1 + l tan ϕ +

Im Zahlenbeispiel liegt der Gr¨ oßtwert der Last bei ϕ∗ = 0, 35 und ¯ ur kleinere Exzentrizitäten (e/l 1) hat den Wert Fm = 0, 82. F¨ kann man Gleichung (d) entwickeln und findet dann näherungsweise 3 e 2/3 F¯m ≈ 1 − . (e) 2 l Aus dieser N¨ aherung folgt im Zahlenbeispiel die Grenzlast F¯m ≈ 0, 86. Die kritische Last nimmt mit wachsendem e ab: die Struktur ist empfindlich gegen Imperfektionen. F¨ ur e = 0 folgt aus (d) die kritische Last des perfekten Stabes zu a2 . (f) F¯krit = 1 → Fkrit = c l

5.2


283

Die Nachknickkurve f¨ ur e = 0 ist ein Kosinus (vgl. (b)). Dieser Ast ist nach (c) instabil. F¨ ur F¯ > F¯krit = 1 existiert dann nach (a) zus¨ atzlich die Gleichgewichtslage ϕ = 0. Sie ist nach (c) ebenfalls instabil (Abb. 5.4c).

5.2.3 Ein Beispiel f¨ ur ein Durchschlagproblem

Wir betrachten zwei gelenkig verbundene, starre Stäbe, die mit einem festen Lager bzw. mit einem elastisch abgest¨ utzten Rollenlager verbunden sind (Abb. 5.5a). Im unbelasteten Zustand sei die Feder entspannt, und jeder Stab hat einen Winkel α gegen¨ uber der Horizontalen. Wird das System durch eine vertikale Kraft F belastet, so wird die Feder zusammengedr¨ uckt, und die Stäbe bilden einen Winkel ϕ mit der Horizontalen (Abb. 5.5b). Wir wollen die Gleichgewichtslagen bei quasistatischer Steigerung der Last ermitteln und deren Stabilit¨ at untersuchen. Dabei wenden wir die Energiemethode an. Das Gesamtpotential des Systems lautet Π = − F l(sin α − sin ϕ) + 12 c (2l)2 (cos ϕ − cos α)2 . Setzen wir die erste Ableitung dΠ = F l cos ϕ + 4 c l2 (cos ϕ − cos α)(− sin ϕ) dϕ

Abb. 5.5

284


zu Null, so folgt f¨ ur die Gleichgewichtslagen F = sin ϕ − cos α tan ϕ . 4cl

(5.14)

Diese Gleichung, die f¨ ur −π/2 < ϕ ≤ α < π/2 gilt, stellt einen nichtlinearen Kraft-Verformungs-Zusammenhang F (ϕ) dar. Er ist in Abb. 5.5c dargestellt. Die Kurve beginnt im Punkt I bei ϕ = α. Bei quasistatischer Laststeigerung wird in II ein Punkt erreicht, bei dem zun¨ achst keine gr¨ oßere Last aufgebracht werden kann. Bei weiterer Laststeigerung ist Gleichgewicht nur auf dem Ast oberhalb von IV m¨ oglich, d.h. der Stabzweischlag schlägt in diese Lage mit großem negativem ϕ durch. In II ist dF /dϕ = 0. Daraus folgt der kritische Winkel ϕD f¨ ur den Durchschlag: cos α dF = 0 = cos ϕD − dϕ cos2 ϕD

→ cos ϕD =

√ 3

cos α .

(5.15)

Hiermit findet man die Durchschlaglast FD : FD = sin ϕD − cos α tan ϕD 4cl = sin ϕD − cos3 ϕD tan ϕD = sin3 ϕD .

(5.16)

Eine Aussage u ¨ber die Art des Gleichgewichts längs der Kurve erhalten wir aus der zweiten Ableitung des Potentials: d2 Π = −F l sin ϕ + 4 c l2 (cos ϕ − cos α)(− cos ϕ) + 4c l2 sin2 ϕ . dϕ2 Sie l¨ asst sich mit (5.14) auch in folgender Form darstellen:

d2 Π 2 cos α 2 − cos = 4 c l ϕ . (5.17) dϕ2 cos ϕ Im Bereich − cos α < cos3 ϕ < cos α ist die zweite Ableitung positiv, und damit liegt dort stabiles Gleichgewicht vor. In Abb. 5.5c sind dies mit (5.15) der Ast von I bis II und der Ast von III u ¨ber IV hinaus. Alle Gleichgewichtslagen zwischen II und III sind dagegen instabil. Anschaulich kann man dies z.B. an der Lage ϕ = 0 erkennen. Dort ist die Feder gespannt, ohne dass eine äußere Last F wirkt. Schon bei einer kleinen St¨ orung wird der Stabzweischlag

5.3

Verallgemeinerung

285

aus dieser instabilen Lage in eine der stabilen Lagen ±α u ¨bergehen.

5.3

5.3 Verallgemeinerung Die Methoden, die wir bei den Modellen mit einem Freiheitsgrad angewendet haben, k¨ onnen wir auf diskrete Systeme mit mehreren Freiheitsgraden und auf kontinuierliche Systeme verallgemeinern. Wenn f¨ ur eine Struktur ein Verzweigungspunkt existiert, liefern Gleichgewichts- und Energiemethode dieselben Gleichgewichtslagen. Allerdings erh¨ alt man mit der Gleichgewichtsmethode nur die Lagen, w¨ ahrend die Energiemethode zus¨ atzlich Aussagen u ¨ber deren Stabilit¨ at erm¨ oglicht. Bei einem diskreten System (aus starren K¨ orpern und Federn) mit n Freiheitsgraden muss man zur Anwendung der Gleichgewichtsmethode ein System von n Gleichgewichtsbedingungen aufstellen und l¨ osen. Sucht man eine L¨ osung mit Hilfe der Energiemethode, so gehen jetzt in die Federenergie die Anteile aller in dem System vorhandenen Federn ein (vgl. Beispiel 5.2). Wir beschreiben die ausgelenkte Lage durch die verallgemeinerten Koordinaten qi (Verschiebungen, Winkel, vgl. Band 3, Abschnitt 4.3). Das Gesamtpotential ist dann durch Π = Π(qi ) gegeben. Damit Gleichgewicht herrscht, muss die Bedingung ∂Π δΠ = 0 → δΠ = δqi = 0 ∂qi erf¨ ullt sein. Da die δqi beliebig sind, erhalten wir daraus die n Gleichgewichtsbedingungen ∂Π = 0, ∂q1

∂Π = 0, ∂q2

...,

∂Π = 0. ∂qn

(5.18)

Eine Gleichgewichtslage ist stabil, wenn das Potential dort ein Minimum hat. Um hier¨ uber eine Aussage treffen zu können, muss die folgende Determinante aus allen zweiten Ableitungen des Potentials gebildet werden:

286


D1 .. ∂2Π ∂2Π . 2 ∂q1 ∂q1 ∂q2 ··· ∂2Π ∂2Π Dn = ∂q2 ∂q1 ∂q22 ··· ··· ··· .. .. . . 2 2 ∂ Π ∂ Π ∂qn ∂q1 ∂qn ∂q2

D2 .. . ···

Dn ∂2Π ∂q1 ∂qn

.. . ···

···

.

∂2Π ∂qn2

Man kann zeigen, dass eine Gleichgewichtslage stabil ist, wenn angs der Hauptdiagonale Dn und alle Unterdeterminanten, die l¨ gebildet werden k¨ onnen, positiv sind: D1 > 0, D2 > 0, . . . , Dn > 0 . Ein Verzweigungspunkt liegt vor, wenn die Bedingungen ∂Π = 0, i = 1, 2, . . . , n ∂qi

und

Dn = 0

erf¨ ullt sind. Beim elastischen Kontinuum m¨ ussen bei Anwendung der Gleichgewichtsmethode neben den Gleichgewichtsbedingungen (am verformten System) konstitutive Gleichungen aufgestellt werden. Diese stellen einen Zusammenhang zwischen den Schnittgrößen und den kinematischen Gr¨ oßen her (sie treten an die Stelle der Federgesetze beim Mehrk¨ orpersystem). Bei der Energiemethode geht in das Gesamtpotential Π die Form¨ anderungsenergie Πi des betrachteten elastischen K¨ orpers ein. Die Ermittlung von Gleichgewichtslagen erfolgt wie bei diskreten Systemen aus δΠ = 0. Diese Bedingung muss nun wie in Abschnitt 2.7.3 behandelt werden. Eine Gleichgewichtslage ist stabil, wenn die Gesamtenergie in dieser Lage ein Minimum hat. Es muss daher δ 2 Π > 0 gelten. Will man nur die kritische Last ermitteln, so kann man sich auf kleine (infinitesimale) Auslenkungen gegen¨ uber der Ausgangslage beschr¨ anken. Beim diskreten System erh¨ alt man dann (nach

5.3

Verallgemeinerung

287

beiden Methoden) n lineare homogene algebraische Gleichungen. Eine nichttriviale L¨ osung folgt aus dem Nullsetzen der Koeffizientendeterminante. Dies liefert i.a. n verschiedene Eigenwerte. Setzt man diese in das Gleichungssystem ein, so kann man zu jedem Eigenwert die zugeh¨ orige Eigenform bestimmen. Beim elastischen Kontinuum f¨ uhrt die Linearisierung auf lineare homogene Differentialgleichungen, die man unter Beachtung der (homogenen) Randbedingungen l¨ osen muss.

Abb. 5.6

¨ Will man die Stabilit¨ at von Gleichgewichtslagen nach Uberschreiten der kritischen Last untersuchen, muss man stets große Verformungen ber¨ ucksichtigen. Alle Gleichungen werden dann nichtlinear und sind nur in Sonderf¨ allen analytisch lösbar. Die Berechnung der Nachknickkurven hat eine große Bedeutung darin, dass man absch¨ atzen kann, welchen Einfluss die stets vorhandenen Imperfektionen auf die kritische Last haben (vgl. Abb. 5.3b). In Abbildung 5.6 sind typische Kraft-Verschiebungsverläufe qualitativ f¨ ur einen Stab, eine Platte und eine Schale dargestellt. Dabei ist f die Verschiebung unter der Last. Der lineare Verlauf unterhalb der kritischen Last beschreibt die Verk¨ urzung infolge Längsdehnung. Die Abbildung zeigt, dass Stab und Platte unempfindlich gegen Imperfektionen sind, w¨ ahrend Imperfektionen bei Schalen eine erhebliche Minderung der kritischen Last (ND < Nkrit ) verursachen.

288


Schließlich wollen wir noch festhalten, dass man bei Strukturen, die durchschlagen k¨ onnen, stets große Deformationen ber¨ ucksichtigen muss. B5.2

Beispiel 5.2 F¨ ur das System aus starren St¨ aben und Federn nach

Abb. 5.7a ermittle man die Knicklasten und die Knickformen. Stäbe und Federn werden als gewichtslos angesehen.

Abb. 5.7

L¨ osung Es liegt ein Verzweigungsproblem vor. Zur Ermittlung der

Knicklasten gen¨ ugt es, sich auf die Umgebung der Verzweigung zu beschr¨ anken. Wir wollen zun¨ achst die Gleichgewichtsmethode anwenden und betrachten hierzu eine beliebige kleine Auslenkung aus der Ausgangslage (Abb. 5.7b). Sie kann bei dem hier vorliegenden System von 2 Freiheitsgraden durch die 2 Winkel ϕ und ψ beschrieben werden. Mit den kinematischen Beziehungen w1 = l ϕ alt man die Federkräfte und w2 = l ψ (kleine Winkel) erh¨ Fc1 = c l ϕ ,

Fc2 = c l ψ .

Damit folgt aus dem Momentengleichgewicht am Gesamtsystem bzw. am linken und am rechten Teilsystem B : 3lAV + 2c l2 ϕ + c l2 ψ = 0,

A : 3lB + 2c l2 ψ + c l2 ϕ = 0,

G1 : lAV + lϕF = 0,

G2 : lB + lψF = 0.

Die Elimination der Lagerkr¨ afte AV und B ergibt das folgende System von zwei linearen homogenen algebraischen Gleichungen:

5.3

Verallgemeinerung

289

(−3F + 2cl)ϕ + clψ = 0 ,

(a)

c l ϕ + (−3F + 2c l)ψ = 0 .

(b)

Damit nichttriviale L¨ osungen existieren, muss die Koeffizientendeterminante verschwinden: −3 F + 2c l

cl

cl

−3 F + 2 c l

= 0.

Hieraus folgt die charakteristische Gleichung (−3 F + 2 c l)2 − (c l)2 = 0

1 4 → F 2 − c l F + c2 l2 = 0 , 3 3

aus der man die Eigenwerte F1 =

1 c l, 3

F2 = c l .

erh¨ alt. Der kleinere Wert ergibt die kritische Last Fkrit = F1 = c l/3. Setzt man die Eigenwerte in (a) oder (b) ein, so erhält man die folgenden Eigenformen: zur kritischen Last Fkrit gehört die antisymmetrische Knickform ψ1 = −ϕ1 (Abb. 5.7c), zur höherort die symmetrische Knickform ψ2 = ϕ2 en Knicklast F2 geh¨ (Abb. 5.7d). Einen zweiten L¨ osungsweg bietet die Energiemethode. Das Potential der ¨ außeren Kraft folgt aus der Arbeit W = F δ. Dabei hat die Lagerverschiebung δ drei Anteile (Abb. 5.7b). Aus der Drehung des linken bzw. des rechten Stabes folgen δ1 = l(1 − cos ϕ) bzw. δ2 = l(1 − cos ψ). Der Drehwinkel γ des mittleren Stabes ergibt sich f¨ ur kleine Winkel aus γ l = w2 − w1 zu γ = ψ − ϕ. Sein Anteil zur Lagerverschiebung betr¨ agt daher δ3 = l(1−cos (ψ−ϕ)). Somit erh¨ alt man das Potential Πa = −F (δ1 + δ2 + δ3 ) zu Πa = − F l[(1 − cos ϕ) + (1 − cos ψ) + (1 − cos (ψ − ϕ))]. Wegen cos α ≈ 1 −

α2 (kleine Winkel) vereinfacht sich dies zu 2

Πa = − F l(ϕ2 + ψ 2 − ψ ϕ) .

290


Mit der Federenergie Πi = 12 c w12 + 12 c w22 = 12 c l2 ϕ2 + 12 c l2 ψ 2 wird das Gesamtpotential Π = Πi + Πa = 12 c l2 (ϕ2 + ψ 2 ) − F l(ϕ2 + ψ 2 − ψ ϕ) . Hieraus folgen mit (5.18) die Gleichgewichtsbedingungen in der ausgelenkten Lage: ∂Π = 0 : (− 2F l + c l2 )ϕ + F l ψ = 0, ∂ϕ ∂Π = 0 : (− 2F l + c l2 )ψ + F l ϕ = 0. ∂ψ Die nichttrivialen L¨ osungen F1 = c l/3 und F2 = c l dieses homogenen Gleichungssystems sind dieselben wie bei dem ersten L¨ osungsweg.

5.4

5.4 Stabknicken 5.4.1 Der elastische Druckstab mit großen Verschiebungen – Die Elastica

In Band 2, Abschnitt 7.2 wurde gezeigt, dass bei einem elastischen Stab bei Erreichen der kritischen Last Fkrit benachbarte Gleichgewichtslagen m¨ oglich sind (Verzweigung). Diese Last folgt aus der Differentialgleichung f¨ ur das Knickproblem EI wIV + F w = 0, welche aber nur f¨ ur kleine (infinitesimale) Verschiebungen w(x) gilt. Sie erm¨ oglicht es nicht, Durchbiegungen f¨ ur F > Fkrit zu ermitteln. Wir suchen nun die Durchbiegung w f¨ ur Gleichgewichtslagen oberhalb Fkrit . Hierzu betrachten wir als Beispiel einen beiderseits gelenkig gelagerten Stab der L¨ ange l, der nach Abb. 5.8a durch eine Druckkraft F belastet wird. Der Stab sei ideal gerade; die Druckkraft greife im Schwerpunkt des Querschnitts an. Weiterhin wollen wir die L¨ angen¨ anderung des Stabes vernachlässigen.

5.4

Stabknicken

291

Abb. 5.8

Als Koordinate verwenden wir die Bogenl¨ ange s längs des verformten Stabes. F¨ ur F > Fkrit formulieren wir das Gleichgewicht am verformten Stab (Abb. 5.8b): P: M − F w = 0.

(5.19)

Mit der Kr¨ ummung κB = dϕ/ds der Stabachse lautet das Elastizit¨ atsgesetz M = − EI

dϕ . ds

(5.20)

Es ist in dieser Form f¨ ur beliebig große Auslenkungen g¨ ultig. Nach Abb. 5.8c ist dw = sin ϕ ds. Damit folgt aus (5.19) und (5.20) durch Differentiation nach s die Differentialgleichung der Biegelinie f¨ ur große Deformationen zu EI

d2 ϕ + F sin ϕ = 0 . ds2

Mit λ2 = F/EI kann man sie in folgender Form schreiben: d2 ϕ + λ2 sin ϕ = 0 . ds2

(5.21)

Eine triviale“ L¨ osung dieser Gleichung ist ϕ(s) ≡ 0. Sie ist f¨ ur ” F < Fkrit die einzige L¨ osung.

292


Um zu der L¨ osung ϕ(s) f¨ ur F > Fkrit zu gelangen, formen wir d2 ϕ d dϕ dϕ (5.21) mit ds2 = [ dϕ ( ds )] ds um und finden nach Integration 1 2

dϕ ds

2 = λ2 cos ϕ + C1 .

Mit der Randbedingung →

M (0) = 0

dϕ ds

=0 s=0

und der Bezeichnung ϕ(0) = ϕA folgt dann C1 = −λ2 cos ϕA und damit dϕ = ± 2λ2 (cos ϕ − cos ϕA ) . ds Trennung der Variablen und nochmalige Integration u uhrt ¨ber ϕ f¨ auf

ϕ s=± ϕA

dϕ¯

.

(5.22)

2λ2 (cos ϕ¯ − cos ϕA )

Die Vorzeichen ±“ zeigen an, dass der Stab nach beiden Sei” ten ausknicken kann. Wir beschr¨ anken uns im weiteren auf das Minuszeichen. Mit (5.22) kennen wir zwar theoretisch den Winkel ϕ an jeder onnten wir dann mit Stelle s bei gegebenem ϕA . Aus ϕ(s) k¨ dw = sin ϕ ds

(5.23)

auch die Durchbiegung w(s) berechnen; solche Kurven heißen nach Euler Elastica. Praktisch ist das Integral in (5.22) jedoch nicht elementar l¨ osbar. Wir m¨ ussen daher auf N¨ aherungsverfahren zur¨ uckgreifen. In Abb. 5.8d ist eine Kraft-Verschiebungskurve aufgetragen, die durch numerische Integration gefunden wurde (vgl. Abb. 7.13b). Wenn wir weitere Vereinfachungen treffen, können wir (5.22) n¨ aherungsweise auch noch analytisch auswerten. Hierzu beschrän-

5.4

Stabknicken

293

ken wir uns zun¨ achst auf kleine Winkel ϕ. Mit cos ϕ ≈ 1 − ϕ2 /2 folgt aus (5.22)

ϕ

s=− ϕA

λ ϕA

dϕ¯

=

1 − (ϕ/ϕ ¯ A )2

1 λ

+ arccos

ϕ ϕA

→ ϕ = ϕA cos λs . Wenn wir annehmen, dass die Knickform symmetrisch zur Mitte s = l/2 ist, muss ϕ(l/2) = 0 sein, und daher wird cos λ

l π l =0 → λ = 2 2 2

→

F =

π 2 EI . l2

(5.24)

Dies ist genau die kritische Last, bei der Knicken (Eulerfall II) beginnt (vgl. Band 2, Abb. 7.5). F¨ ur die Durchbiegung ergibt sich dann aus der N¨ aherung von (5.23) f¨ ur kleine Winkel dw/ds ≈ ϕ durch Integration w=

ϕA sin λs . λ

(5.25)

Da ϕA unbekannt ist, erhalten wir mit dieser 1. Näherung f¨ ur w keine Lastkurve F (w). Um in einer 2. (verbesserten) Näherung zumindest den Anfang der Nachknickkurve analytisch zu ermitteln, formen wir (5.22) mit der Substitution sin(ϕ/2) = sin(ϕA /2) sin t um. Wir erhalten dann mit cos(ϕ/2)dϕ = 2 sin(ϕA /2) cos t dt und cos ϕ = 1−2 sin2 (ϕ/2) sowie unter Beachtung der Grenzen zunächst

t 1 dt¯ . s=− λ 2 ϕA 2¯ π/2 sin t 1 − sin 2 Mit sin(ϕA /2) = k und Vertauschen der Grenzen folgt daraus 1 s= λ

π/2 t

dt¯ 1 − k 2 sin2 t¯

.

(5.26)

Wenn wir weiterhin Symmetrie der Nachknickform annehmen, so muss ϕ(l/2) = 0 gelten, d.h. f¨ ur s = l/2 ist t = 0. Damit wird

294


1 l = 2 λ

π/2 0

dt 1 − k 2 sin2 t

.

(5.27)

Auf der rechten Seite steht ein vollst¨ andiges elliptisches Integral erster Gattung, das sich als folgende Reihe darstellen lässt:

π/2 0

dt 1 − k 2 sin2 t

=

1 2 1 · 3 2 π 1+ k2 + k 4 + . . . . (5.28) 2 2 2·4

F¨ ur kleine ϕ ist k klein (k ≈ ϕA /2), und es folgt daher aus (5.27) mit (5.28) 1π 1 ϕ2A l ≈ 1+ . 2 λ2 4 4 Wenn wir nun noch λ = F/EI einf¨ uhren und die Kraft F auf die Eulerlast Fkrit = π 2 EI/l2 beziehen, erhalten wir hieraus nach Quadrieren F 2 −1 . (5.29) ϕA ≈ 8 Fkrit Man erkennt, wie mit steigender Last F > Fkrit die Anfangsneigung (und damit auch die Durchbiegung) rasch anwächst. Die Lastkurve F (ϕA ) = Fkrit (1 + ϕ2A /8) zeigt einen quadratischen Zusammenhang zwischen Last und Winkel. Wir wollen im weiteren noch einen Zusammenhang zwischen F und der Lagerverschiebung f herleiten. Hierzu m¨ ussen wir zunächst f durch w ausdr¨ ucken. Nach Abb. 5.8c ist → ds = 1 + (dw/dx)2 dx . ds2 = dx2 + dw2 Daher wird mit (·) = d(·)/dx und unter Beachtung von w 2 1

l f= 0

l

l 1 2 (ds − dx) = ( 1 + w − 1)dx ≈ w 2 dx . (5.30) 2 0

0

Mit der L¨ osung (5.25) (f¨ ur kleine w ist dx ≈ ds) folgt

5.4

f=

1 2

l ϕ2A cos2 λx dx =

Stabknicken

295

1 2 1 ϕ l, 2 A2

0

und mit (5.29) ergibt sich hieraus F

F 1f f =2 . −1 l bzw. =1+ Fkrit Fkrit 2l Der Verlauf F (f ) ist in Abb. 5.8e qualitativ dargestellt: in 2. Näherung w¨ achst die Last F linear mit f . Ein Zahlenbeispiel soll das Ergebnis verdeutlichen: f¨ ur ¨ F = 1, 05 Fkrit wird f = 0, 1 l. Eine Uberschreitung der Knicklast um nur 5% f¨ uhrt danach bereits auf eine Lagerverschiebung von ¨ 10% der Stabl¨ ange. Zu kleinen Uberschreitungen der kritischen Last geh¨ oren also große Verformungen. Da solche Verformungen technisch meistens nicht zul¨ assig sind, beschr¨ anken wir uns im folgenden auf die Ermittlung der kritischen Lasten. 5.4.2 Ermittlung der Knickgleichung mit der Energiemethode

Um die kritischen Lasten von St¨ aben f¨ ur beliebige Lagerungen ermitteln zu k¨ onnen, ben¨ otigen wir eine allgemeine Knickgleichung. Wir haben diese in Band 2, Abschnitt 7.2 mit der Gleichgewichtsmethode gefunden. Nun wollen wir die Energiemethode anwenden, wobei der Stab durch eine Einzelkraft F und zus¨ atzlich durch sein gleichm¨ aßig verteiltes Eigengewicht μg = G/l belastet sein soll (μ = Masse/L¨ angeneinheit), vgl. Abb. 5.9a. Wir nehmen den Stab wieder als dehnstarr an. Da wir uns bei der Ermittlung der kritischen Last auf kleine Auslenkungen beschr¨ anken d¨ urfen, brauchen

Abb. 5.9

296


wir zwischen der Koordinate x im unverformten Zustand und der Bogenl¨ ange s l¨ angs der verformten Balkenachse (Abb. 5.9b) nicht zu unterscheiden. Daher wird die Form¨ anderungsenergie (vgl. Beispiel 2.12)

l 1 Πi = EI w 2 dx. 2 0

Bei der Aufstellung des Potentials des Eigengewichts m¨ ussen wir sorgf¨ altig zwischen einer laufenden Koordinate ξ und einer festen Stelle x unterscheiden. Das Eigengewicht eines Elementes dx an der Stelle x hat das Potential −μ g dx f (x), wobei f (x) = 1 x 2 dξ die Vertikalverschiebung an der Stelle x ist (vgl. (5.30)). 2 0 w Daher wird das Gesamtpotential infolge Eigengewicht

l x 1 2 w dξ dx . Πa1 = − μ g 2 0

0

Durch partielle Integration kann man sich davon u ¨berzeugen, dass allgemein gilt:

l x

l f (ξ)dξ 0

(l − x)f (x)dx .

dx =

0

0

Damit l¨ asst sich die doppelte Integration in Πa1 auf ein Einfachintegral zur¨ uckf¨ uhren, und man erh¨ alt f¨ ur das Gesamtpotential infolge Last F und infolge Eigengewicht μg 1 Πa = − F 2

l

1 w dx − μ g 2 2

0

l

(l − x) w 2 dx .

0

Die gesuchte Gleichgewichtslage folgt aus δ(Πi + Πa ) = 0, d.h.

EI δ 2

l w 0

2

F dx − 2

l 0

μg w dx − 2 2

l

2

(l − x) w dx = 0. (5.31) 0

Es sei angemerkt, dass diese Gleichung als Ausgangsgleichung f¨ ur N¨ aherungsmethoden verwendet werden kann.

5.4

Stabknicken

297

Mit δw 2 = 2 w δw etc. folgt aus (5.31) zun¨ achst

l

l

w δw dx − F

EI 0

l

w δw dx − μ g 0

(l − x) w δw dx = 0 .

0

Zweimalige Teilintegration liefert

l 0

[EI wIV + F w + μ g(l − x) w − μ g w ]δw dx

:l l 9 + EI w δw 0 − EI w + F w + μ g(l − x) w δw 0 = 0 .

Da die Verr¨ uckungen δw beliebig sind, m¨ ussen die drei Terme einzeln verschwinden. Aus dem Integral ergibt sich daher zum einen die Knickgleichung EI wIV + F w + μ g(l − x) w − μ g w = 0 .

(5.32)

Zum anderen m¨ ussen an den R¨ andern entweder die kinematischen Randbedingungen w = 0,

w = 0

oder (dort wo δw, δw nicht verschwinden) die mechanischen (statischen) Randbedingungen M = − EI w = 0,

Q = − EI w = F w + μ g(l − x) w

erf¨ ullt werden. Die zweite Gleichung ber¨ ucksichtigt, dass an Ränaußeren Kr¨ afte eine Komponente dern, an denen w = 0 ist, die ¨ quer zur Balkenachse haben. Im Spezialfall μg = 0 ergibt sich aus (5.32) die Knickgleichung EI wIV + F w = 0 ,

(5.33)

die bereits in Band 2, Abschnitt 7.2 abgeleitet wurde. Wird der Stab dagegen allein durch sein Eigengewicht belastet, so folgt EI wIV + μ g(l − x) w − μ g w = 0 .

(5.34)

298


Diese Differentialgleichung hat ver¨ anderliche Koeffizienten und ist daher nicht elementar zu l¨ osen. In Abschnitt 7.5.5 wird gezeigt, wie man die kritische Last (μg)krit mit einer Näherungsmethode numerisch ermitteln kann. Wir wollen hier nur noch erw¨ ahnen, dass man (5.34) durch geeignete Substitution neuer Variablen auf eine Besselsche Differentialgleichung der Ordnung n = 1/3 u uhren kann. Unter ¨berf¨ Beachtung der Randbedingungen findet man dann f¨ ur den Stab mit einer Lagerung nach Abb. 5.9a die kritische Last (μ g l)krit = 0, 795

π 2 EI . l2

(5.35)

Wenn das Gesamtgewicht als Einzelkraft F = μ g l am freien Ende eines dann gewichtslosen Stabes angebracht wird, ist nach dem ersten Eulerfall Fkrit = π 2 EI/(4 l2 ) (vgl. Band 2, Abb. 7.5). Bei gleichm¨ aßig verteiltem Gewicht ist also die kritische Last mehr als dreimal so groß. B5.3

Beispiel 5.3 Ein Druckstab ist am linken Ende gelenkig und am rechten Ende elastisch (Federsteifigkeit c) gelagert (Abb. 5.10 a). Man ermittle die kritische Last und diskutiere ihre Abhängigkeit von der Federsteifigkeit.

Abb. 5.10

L¨ osung Zur Ermittlung der kritischen Last k¨ onnen wir auf die Knickgleichung (5.33) zur¨ uckgreifen. Diese Differentialgleichung vierter Ordnung hat mit λ2 = F/EI die allgemeine Lösung (vgl. Band 2, Gl. (7.14))

w = A cos λx + B sin λx + Cλx + D .

(a)

Mit M = −EI w und Q = −EI w folgt aus den Randbedingungen:

5.4

Stabknicken

299

w(0) = 0

→

M (0) = 0

→

M (l) = 0

→ λ A cos λl + λ B sin λl = 0 ,

A + D = 0, A = 0, 2

Q(l) = F w (l) − c w(l)

2

→

− c A cos λl − c B sin λl + (F λ − c λ l)C − c D = 0 . Wegen A = D = 0 reduziert sich dieses homogene Gleichungssystem auf (F − c l)C = 0 .

B sin λl = 0,

F¨ ur B = 0 und C = 0 folgt der kleinste Eigenwert aus sin λl = 0 zu F1 =

π 2 EI . l2

F¨ ur C = 0 und B = 0 ergibt sich F2 = c l . F¨ ur kleine Werte von c ist F2 < F1 , und damit wird Fkrit = F2 . Mit wachsendem c steigt F2 an, bis es den Wert F1 erreicht. Aus orige Federsteifigkeit F1 = F2 folgt die zugeh¨ c∗ =

π 2 EI . l3

Man nennt diesen Wert die Mindeststeifigkeit. F¨ ur alle c > c∗ kann die Knicklast nicht weiter erh¨ oht werden, und der Stab knickt wie ein beiderseits gelenkig gelagerter Stab mit Fkrit = F1 = π 2 EI/l2 (vgl. Band 2, Abb. 7.5 Eulerfall II). Zusammenfassend gilt daher f¨ ur die kritische Last (Abb. 5.10b): Fkrit = c l

f¨ ur

c ≤ c∗ ,

Fkrit =

π 2 EI l2

f¨ ur c ≥ c∗ .

5.4.3 Der imperfekte Druckstab

Verzweigungsprobleme gibt es nur beim perfekt geraden, zentrisch gedr¨ uckten Stab. Sobald Imperfektionen vorhanden sind, treten

300


schon bei kleinen Kr¨ aften Auslenkungen auf. An Hand eines Beispiels wollen wir den Kraft-Ver formungsverlauf f¨ ur den imperfekten Stab mit Hilfe der Gleichgewichtsmethode ermitteln. Hierzu betrachten wir den beiderseits gelenkig gelagerten Stab nach Abb. 5.11a, der im unbelasteten Zustand (F = 0) bereits eine (spannungslose) Vorverformung w0 (x) besitzt. Der Stab sei durch eine Kraft F belastet, die mit einer Exzentrizität e gegen¨ uber der Schwerachse wirkt. Außerdem setzen wir kleine Verschiebungen w(x) und Neigungen w (x) voraus. Dann ergibt sich aus dem Gleichgewicht am verformten System das Moment M (x) = F [w0 (x) + e + w(x)] . Aufgrund der Annahme kleiner Deformationen können wir das Elastizit¨ atsgesetz in der unge¨ anderten Form M = −EI w (Band 2, Gl. (4.31)) f¨ ur den deformierten Stab u ¨bernehmen. Einsetzen liefert damit die inhomogene Differentialgleichung EI w + F w = − F [w0 (x) + e] .

(5.36)

Abb. 5.11

Als Vorverformung w¨ ahlen wir im folgenden die Sinushalbwelle πx . w0 (x) = a0 sin l Sie wird den Einfluss einer Vorbeule besonders deutlich machen, da sie der Knickform des perfekten Stabes (Eulerfall II) entspricht. Mit λ2 = F/EI erh¨ alt man damit aus (5.36) die Gleichung

πx +e . w + λ2 w = − λ2 a0 sin l Sie hat die allgemeine L¨ osung

5.4

w = A cos λx + B sin λx +

Stabknicken

301

πx a0 sin − e. 2 (π/λl) − 1 l

Aus den Randbedingungen w(0) = 0 und w(l) = 0 folgen die Konstanten A = e,

B=e

1 − cos λ l sin(λ l/2) =e . sin λ l cos(λ l/2)

Damit lautet die L¨ osung (nach geeigneter Zusammenfassung der Kreisfunktionen) πx cos(λ l/2 − λ x) a0 w= sin + e − 1 . (π/λ l)2 − 1 l cos(λ l/2) Die gr¨ oßte Durchbiegung tritt in der Mitte auf (x = l/2): 1 a0 + e − 1 . (5.37) wmax = (π/λ l)2 − 1 cos(λ l/2) Sie l¨ asst sich mit F = λ2 EI, der Eulerlast Fkrit = π 2 EI/l2 und (π/λ l)2 = Fkrit /F auch in folgender Form schreiben: ⎡ ⎤ 1 a0 − 1⎦ . +e ⎣ wmax = (5.38) Fkrit /F − 1 cos π F/F krit 2 Man erkennt am Ergebnis, dass f¨ ur F → Fkrit sowohl das erste als auch das zweite Glied sehr große Werte annehmen. Abb. 5.11b ur F = zeigt qualitativ den Verlauf von F (wmax ). So ergibt sich f¨ 0, 1Fkrit eine Durchbiegung wmax = 0, 11 a0 + 0, 14 e, während f¨ ur F = 0, 95Fkrit die Auslenkung u ¨berproportional auf wmax = achst. Dabei muss allerdings beachtet werden, 13 a0 + 24, 1 e anw¨ dass wir kleine Deformationen vorausgesetzt haben. Deshalb gilt (5.38) nur f¨ ur hinreichend kleine wmax . Will man die Durchbiegung w(x) f¨ ur gr¨ oßere F bzw. bei großen Deformationen bestimmen, dann muss man die Gleichungen, die zur Ermittlung der Elastica verwendet wurden, entsprechend verur große Verformungen allgemeinern. In Abb. 5.11c ist F (wmax ) f¨ schematisch dargestellt (vgl. auch Abb. 5.6).

302

5.5


5.5 Plattenbeulen In Abschnitt 3.6 wurde die Durchbiegung einer Platte unter Querlast untersucht. Ein ebenes Fl¨ achentragwerk kann aber auch allein unter Druck- bzw. Schubkr¨ aften, die in der Ebene wirken, seitlich ausweichen, wenn die Belastungen kritische Werte u ¨berschreiten. Man spricht dann von Plattenbeulen, obwohl der Spannungszustand unterhalb der kritischen Lasten dem einer Scheibe entspricht. Wir wollen hier die kritische Last mit der Gleichgewichtsmethode bestimmen und beschr¨ anken uns dabei auf Rechteck- und Kreisplatten. 5.5.1 Die Beulgleichung

Eine rechteckige Platte (Scheibe) sei am Rand durch Druck- und Schubspannungen belastet, die gleichm¨ aßig u ¨ber die konstante Dicke t verteilt sind. Analog zu den Querkr¨ aften und den Momenten (vgl. 3.40) f¨ uhren wir Normal- und Schubkr¨ afte als Spannungsresultierende ein, wobei wir hier Druckkr¨ afte zweckmäßig positiv z¨ ahlen und auch beim Schub das Vorzeichen umdrehen:

Nx = − σx dz = − σx t , Ny = − σy dz = − σy t , (5.39)

Nxy = − τxy dz = − τxy t , Nyx = − τyx dz = − τyx t . Die Platte sei nach Abb. 5.12a durch die Randkräfte Nx∗ , Ny∗ und ∗ ∗ = Nyx belastet. Nxy Solange die Randbelastung unterhalb eines kritischen Wertes ist, bleibt das Tragwerk eben. Daher gelten f¨ ur die Schnittkräfte die Gleichgewichtsbedingungen der ebenen Elastizitätstheorie (vgl. Abschnitt 2.5) ∂Nyx ∂Nx + = 0, ∂x ∂y

∂Nxy ∂Ny + = 0. ∂x ∂y

(5.40)

Sie folgen aus (2.93), wenn man dort die Volumenkräfte zu Null setzt und die Spannungen mit der Plattendicke t multipliziert. Man nennt den Spannungszustand vor dem Beulen den Grundspannungszustand.

5.5

Plattenbeulen

303

Abb. 5.12

¨ Uberschreitet die Randbelastung einen kritischen Wert, so können Auslenkungen aus der Plattenebene auftreten. Wir m¨ ussen dann das Gleichgewicht am verformten System aufstellen, wobei zur Ermittlung der kritischen Lasten die Verformungen noch als klein angenommen werden k¨ onnen. Abb. 5.12b zeigt ein Plattenelement mit den angreifenden L¨ angs- und Schubkräften sowie seine Deformation in der x, z-Ebene im Schnitt. Aufgrund der angenommenen kleinen Deformationen ¨ andern sich die Randlasten bei der Auslenkung nicht. Damit bleibt auch der durch (5.40) bestimmte Grundspannungszustand erhalten, d.h., die Gleichgewichtsbedingungen in x- und in y-Richtung sind auch am verformten Element erf¨ ullt. Im Unterschied zur Scheibe gehen jetzt aber diese L¨ angs- und Schubkr¨ afte auch in die Gleichgewichtsbedingung in z-Richtung ein. Infolge der unterschiedlichen Neigungen an den Stellen x und x+dx erhalten wir (bei kleinen Winkeln) aus der L¨ angskraft Nx eine resultierende Kraft in z-Richtung von der Gr¨ oße ∂w ∂Nx ∂w ∂ 2 w − Nx + dx + dx dy . Nx dy ∂x ∂x ∂x ∂x2

304


Nach Weglassen des Gliedes, das von h¨ oherer Ordnung klein ist, bleibt ∂ 2 w ∂Nx ∂w dx dy . − Nx 2 − ∂x ∂x ∂x Analog liefert die Normalkraft Ny eine Kraftkomponente in zRichtung ∂ 2 w ∂Ny ∂w dx dy . − Ny 2 − ∂y ∂y ∂y Zur Bestimmung der z-Komponenten der Schubkräfte Nxy und Nyx , betrachten wir das verformte Element nach Abb. 5.12c. Dabei ergeben sich die Kr¨ afte 2 ∂Nxy ∂w ∂ w − dx dy , − Nxy ∂x ∂y ∂x ∂y ∂Nyx ∂w ∂2w − Nyx − dx dy . ∂x ∂y ∂y ∂x Wir ber¨ ucksichtigen nun diese vier Anteile in der Gleichgewichtsbedingung (3.41a) der Platte, wobei jetzt keine Querbelastung vorliegt: p = 0. Aufgrund von (5.40) fallen dabei alle ersten Ableitungen der Normal- und der Schubkr¨ afte heraus, und man erhält mit Nxy = Nyx ∂ Qy ∂ Qx ∂2w ∂2w ∂2w + − Nx 2 − 2Nxy − Ny 2 = 0 . ∂x ∂y ∂x ∂x ∂y ∂y

(5.41)

Eliminieren wir mit (3.41b,c) die Querkr¨ afte, so folgt statt (3.42) nun ∂ 2 My ∂ 2 Mxy ∂ 2 Mx ∂2w ∂2w ∂2w + − N + 2 − N − 2N = 0. x xy y ∂x2 ∂x ∂y ∂y 2 ∂x2 ∂x ∂y ∂y 2 (5.42)

Mit dem (f¨ ur kleine Verformungen unver¨ andert g¨ ultigen) Elastizit¨ atsgesetz (3.50) folgt nach Zusammenfassen mit dem LaplaceOperator KΔΔ w + Nx

∂2w ∂2w ∂2w + Ny 2 = 0 . + 2Nxy 2 ∂x ∂x ∂y ∂y

(5.43)

5.5

Plattenbeulen

305

Die Randbedingungen (3.53) und (3.54) bleiben unverändert. Nur am freien Rand m¨ ussen zur Ersatzquerkraft nach (3.55) noch die Kraftkomponenten Nx∗

∂w ∗ ∂w + Nxy ∂x ∂y

bzw.

Ny∗

∂w ∗ ∂w + Nxy ∂y ∂x

ugt in Analogie zu F w beim Stab (vgl. Abschn. 5.4.2) hinzugef¨ werden. Aus (5.43) kann man eine kritische Last berechnen, wenn die Schnittkr¨ afte durch einen einzigen Lastparameter bestimmt sind. Dies ist z.B. der Fall f¨ ur Nx = N0 , Ny = Nxy = 0. 5.5.2 Die Rechteckplatte unter einseitigem Druck

Eine L¨ osung der Gleichung (5.43), welche die Randbedingungen erf¨ ullt, kann nur in Sonderf¨ allen in geschlossener Form gefunden werden. Als Beispiel betrachten wir die allseits gelenkig gelagerte Platte nach Abb. 5.13a unter einseitig konstantem Druck Nx∗ = N . Dann sind in der gesamten Platte Nx = N , Ny = Nxy = 0, und (5.43) vereinfacht sich zu KΔ Δ w + N

∂2w = 0. ∂x2

(5.44)

Um die kritische Last zu bestimmen, w¨ ahlen wir den Doppelreihenansatz w=

∞ ∞ m=1 n=1

wmn sin

nπy mπx sin , a b

m, n = 1, 2, . . . , (5.45)

der alle Randbedingungen identisch erf¨ ullt: w(0, y) =

w(a, y) = 0,

Mx (0, y) = Mx (a, y) = 0,

w(x, 0) =

w(x, b) = 0 ,

My (x, 0) = My (x, b) = 0 .

alt man Setzt man (5.45) in (5.44) ein, so erh¨ ∞ ∞ 4 mπ 2 5 nπy mπx mπ 2 nπ 2 2 sin = 0. K wmn sin + −N a b a a b m=1 n=1

Diese Gleichung ist f¨ ur alle x, y und f¨ ur wenigstens einen von Null

306


Abb. 5.13

verschiedenen Koeffizient wmn nur dann erf¨ ullbar, wenn die geschweifte Klammer verschwindet. Hieraus folgt f¨ ur die Druckkraft: 2 m π 2 n π 2 + K a b . N= m π 2 a Wir m¨ ussen nun die m, n-Kombination suchen, f¨ ur die N den kleinsten (kritischen) Wert annimmt. Man erkennt ohne weitere Rechnung, dass n = 1 (eine Halbwelle in y-Richtung) f¨ ur alle Seitenverh¨ altnisse α = a/b zum kleinsten Wert f¨ uhrt. Damit wird α 2 π2 K π2 K m + = k(m, α) 2 (5.46a) N= 2 b α m b mit m α 2 + . (5.46b) k= α m Der Beulwert (Beulfaktor) k h¨ angt von den Parametern m und α

5.5

Plattenbeulen

307

ab. Abb. 5.13b zeigt den Beulwert in Abh¨ angigkeit von α f¨ ur un√ terschiedliche m. F¨ ur α < 2 liefert m = 1 die kleinsten k-Werte. Damit gilt 2 π2 K 1 π2 K +α =k 2 . (5.47) Nkrit = 2 b α b Wenn wir bei konstanter Plattenbreite b die L¨ ange a ändern, so nimmt k den kleinsten Wert f¨ ur α = 1 mit k = 4 an: Nkrit = 4

π2 K . b2

(5.48)

Unter dieser Last beult eine quadratische Platte (α = 1). Abb. 5.13c zeigt die zugeh¨ orige Beulfl¨ ache. Sie wird beschrieben durch πy πx sin . w = w11 sin a a Diese Eigenfunktion, welche der kritischen Last zugeordnet ist, stimmt mit der Eigenfunktion f¨ ur die Grundschwingung einer Rechteckplatte nach (4.103) u ¨berein. Abbildung 5.13b zeigt, dass f¨ ur gr¨ oßer werdende α die Kurve f¨ ur m = 2 zu kleineren Beulwerten k f¨ uhrt als die Kurve f¨ ur m = 1. F¨ ur m = 2 gilt nach (5.46b) 2 α 2 + k= . (5.49) α 2 Dieser Beulwert hat das Minimum k = 4 bei α = 2, d.h., die Platte beult dann in quadratischen Feldern (Abb. 5.13c). Analoges gilt f¨ ur alle m = 3, 4, . . . . Alle Kurven haben bei α = m ein Minimum mit dem Wert k = 4. Die Aneinanderreihung der jeweils maßgebenden kleinsten Werte von k(α) nennt man Gir∗ zweier ussen nun noch den Schnittpunkt αm landenkurve. Wir m¨ benachbarter Kurven m und m + 1 suchen, um zu beurteilen, wie weit k zwischen den Minima ansteigen kann. Aus k(m) = k(m+1) folgt m/α + α/m = (m + 1)/α + α/(m + 1) . Daraus erhält man f¨ ur das Seitenverh¨ altnis ∗ = m(m + 1) . (5.50) αm

308


√ F¨ ur m = 1 wird α1∗ = 2 und damit k(α1∗ ) = 4, 5. Dieser Wert liegt um ca. 10% h¨ oher als das Minimum. Mit wachsenden m ∗ gekennzeichneten Girn¨ ahern sich die Werte an den durch αm landenecken immer mehr dem Wert k = 4 von oben. Man ist daher auf der sicheren Seite, wenn man beim Stabilitätsnachweis die kleine Zunahme von k zwischen zwei Minima vernachlässigt und f¨ ur alle α > 1 unabh¨ angig vom Seitenverhältnis stets k = 4 setzt (vgl. (5.48)), d.h. Nkrit = 4

π2 K . b2

¨ Ahnliche Ergebnisse erh¨ alt man f¨ ur andere Randbedingungen, wobei man jedoch den Beulwert h¨ aufig nur numerisch ermitteln kann. In Abb. 5.13d sind einige Zahlenwerte von k f¨ ur die quadra∗ ∗ tische Platte unter beidseitigem Druck Nx = Ny = N angegeben. asst sich die Beulgleichung (5.43) Mit Nx = Ny = N und Nxy = 0 l¨ dann wie folgt schreiben: KΔ Δw + N Δw = 0 .

(5.51)

Man sieht in der Abbildung, wie mit zunehmender Anzahl der eingespannten Seiten der Beulwert von k = 2 bei der allseits gelenkig gelagerten Platte bis zum Wert k = 5, 33 bei der allseits eingespannten Platte ansteigt. Wir wollen nun noch den Fall einer Platte untersuchen, die an zwei gegen¨ uberliegenden R¨ andern gelenkig und an den beiden anderen R¨ andern beliebig gelagert ist. In diesem Fall kann man die Berechnung des Beulwertes noch ein großes St¨ uck analytisch vorantreiben. Als Beispiel w¨ ahlen wir eine Rechteckplatte mit dem Seitenverh¨ altnis α = a/b unter einseitigem Druck Nx∗ = N , die an

Abb. 5.14

5.5

Plattenbeulen

309

den drei R¨ andern x = 0, x = a und y = 0 gelenkig gelagert ist, während der Rand y = b frei ist (Abb. 5.14). Wir erhalten die kritische Last Nkrit aus der Beulgleichung (5.44). Zu ihrer Lösung w¨ ahlen wir den Produktansatz (Separationsansatz) w=

∞

Wm (y) sin

m=1

mπx . a

(5.52)

Er erf¨ ullt die Randbedingungen w = 0 und Mx = 0 längs der gegen¨ uberliegenden R¨ ander x = 0 und x = a (vgl. Tabelle 3.1). Einsetzen in (5.44) f¨ uhrt auf ∞ 4 mπ 2 d2 W d4 Wm mπ 4 m K Wm − 2 + a a dy 2 dy 4 m=1 5 mπ 2 mπ x = 0. Wm sin −N a a Da der Sinus f¨ ur beliebige x im allgemeinen von Null verschieden ist, muss die geschweifte Klammer f¨ ur jedes m gleich Null sein. Wir k¨ onnen dann bei Wm auf den Index verzichten und erhalten mit der Abk¨ urzung μ = m π/a die gew¨ ohnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten 2 d4 W N 2 2d W 4 μ W = 0. (5.53) − 2μ + μ − dy 4 dy 2 K Zu ihrer L¨ osung machen wir den Ansatz W (y) = C eλy .

(5.54)

Einsetzen in (5.53) ergibt die charakteristische Gleichung N 2 μ = 0. λ4 − 2μ2 λ2 + μ4 − K Wenn wir annehmen, dass N > Kμ2 ist (vgl. (5.46)), dann hat sie die L¨ osungen N N 2 μ2 = ±β , λ3,4 = ±i −μ2 + μ = ±iγ . λ1,2 = ± μ2 + K K Setzt man diese Wurzeln in (5.54) ein, so kann man die Exponential-

310


funktionen mit reellen Exponenten zu Hyperbelfunktionen und die mit imagin¨ aren Exponenten zu Kreisfunktionen zusammenfassen und erh¨ alt damit W (y) = C1 cosh βy + C2 sinh βy + C3 cos γy + C4 sin γy.

(5.55)

Die vier Konstanten Ci folgen aus den Randbedingungen. Am gelenkig gelagerten Rand (y = 0) ergibt sich w=0

→

C1 + C3 = 0 ,

My = 0

→

(β 2 − ν μ2 ) C1 + (γ 2 + ν μ2 ) C3 = 0 .

Hieraus folgt C1 = C3 = 0, und von (5.55) bleibt nur W (y) = C2 sinh β y + C4 sin γ y → w(x, y) = (C2 sinh β y + C4 sin γ y) sin μ x . Aus den Bedingungen f¨ ur den freien Rand (y = b) erhält man (vgl. Tabelle 3.1): My = 0 →

∂2w ∂2w + ν =0 → ∂y 2 ∂x2

β 2 C2 sinh βb − γ 2 C4 sin γb − ν μ2 (C2 sinh βb + C4 sin γb) = 0 , ∂ ∂2w ∂2w ¯ Qy = 0 → + (2 − ν) 2 = 0 → ∂y ∂y 2 ∂x β 3 C2 cosh βb − γ 3 C4 cos γb − (2 − ν)μ2 (β C2 cosh βb + γ C4 cos γb) = 0 .

Eine nichttriviale L¨ osung f¨ ur dieses homogene Gleichungssystem folgt aus dem Verschwinden der Koeffizientendeterminante: (β 2 − ν μ2 ) sinh β b

−(γ 2 + ν μ2 ) sin γ b

β[β 2 − (2 − ν)μ2 ] cosh β b

−γ[γ 2 + (2 − ν)μ2 ] cos γ b

= 0.

Da die gesuchte Beullast Nkrit in β und γ enthalten ist, ist ihre Ermittlung nur numerisch m¨ oglich. Dabei zeigen die Ergebnisse, dass in diesem Beispiel die kleinste Beullast stets f¨ ur m = 1 auftritt: die Beulform hat nur eine Halbwelle in x-Richtung. Setzen

5.5

Plattenbeulen

311

wir wieder Nkrit = k π 2 K/b2 , so h¨ angt der Beulwert k nur vom Seitenverh¨ altnis α ab. In der Tabelle 5.1 sind einige Zahlenwerte f¨ ur die betrachteten Randbedingungen angegeben. Zum Vergleich wurden die Beulwerte f¨ ur eine Platte, die bei y = 0 eingespannt ist, in die Tabelle zus¨ atzlich aufgenommen. Man erkennt, dass die Einspannung (nur an einem von 4 R¨ andern) den Beulwert gegen¨ uber dem Wert bei gelenkiger Lagerung erheblich erhöht. Tabelle 5.1 Beulwerte k

Seitenverhältnis α

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

1,44

1,14

0,95

0,84

0,76

0,70

1,70

1,47

1,36

1,33

1,34

1,38

Randbedingungen y = 0: gelenkig gelagert y = b: frei y = 0: eingespannt y = b: frei

5.5.3 Die Kreisplatte

Wir wollen nun noch kritische Lasten f¨ ur eine Kreisplatte ermitteln. Die Platte vom Radius R sei durch eine längs des Randes gleichf¨ ormig verteilte Druckspannung σ0 belastet: N ∗ = σ0 t (Abb. 5.15a). Wegen der symmetrischen Randlast ist auch der Spannungszustand in der Scheibe (vor dem Beulen) rotationssymmetrisch. Mit ∂(·)/∂ϕ = 0 und τrϕ = 0 folgt aus (2.35) σr = σϕ = σ0

Abb. 5.15

→

Nr = Nϕ = N = σ0 t .

312


Wir k¨ onnen f¨ ur diesen homogenen Zustand die Beulgleichung in der Form (5.51) verwenden: N w = 0. (5.56) KΔ Δ w + N Δw = 0 → Δ Δ+ K Man kann zeigen, dass die L¨ osung dieser Differentialgleichung sich aus den L¨ osungen der beiden Differentialgleichungen Δw = 0

und

Δw +

N w=0 K

zusammensetzt. Nimmt man weiterhin an, dass neben der Belastung auch die Beulform, die sich f¨ ur N = Nkrit einstellt, rotationssymmetrisch ist (Abb. 5.15b), so vereinfacht sich der LaplaceOperator und man erh¨ alt die beiden gew¨ ohnlichen Differentialgleichungen d2 w 1 dw =0 + dr2 r dr

und

d2 w 1 dw N + w = 0 . (5.57) + dr2 r dr K

Die erste Gleichung ist vom Eulerschen, die zweite vom Besselschen Typ. Die Superposition der L¨ osungen dieser beiden Gleichungen ergibt mit N/K = β 2 r + C3 I0 (β r) + C4 N0 (β r) . w = C1 + C2 ln R Hierin sind I0 bzw. N0 die Besselsche bzw. die Neumannsche Funktion nullter Ordnung. Die Erf¨ ullung der Randbedingungen f¨ ur eine gelenkig gelagerte Platte w(R) = 0 und Mr (R) = 0 bzw. f¨ ur eine eingespannte Platte w(R) = 0 und

dw dr

=0 r=R

uhrt auf sowie der Bedingungen dw/dr|r=0 = 0 und w(0) = ∞ f¨ die Eigenwertgleichungen β R I0 (β r) − (1 − ν) I1 (β r) = 0

bzw.

I1 (β r) = 0 .

5.5

Plattenbeulen

313

Dabei ist I1 die Besselsche Funktion erster Ordnung, wobei die Beziehung I1 (ξ) = −dI0 (ξ)/dξ besteht. Die numerische Auswertung ergibt mit ν = 0, 3 die kritischen Lasten Nkrit = 4, 20 Nkrit

K R2

K = 14, 67 2 R

gelenkige Lagerung , (5.58) Einspannung .

Es soll abschließend erw¨ ahnt werden, dass die Platte trotz rotationssymmetrischer Belastung und Lagerung auch nichtsymmetrisch beulen kann. Man findet aber, daß die dann auftretenden Eigenwerte gr¨ oßer sind als diejenigen, die zu (5.58) f¨ uhren.

314

5.6


5.6 Weiterf¨ uhrende Literatur Baˇ zant, Z.P., Cedolin, L., Stability of Structures, Oxford University Press, 1991 Dym, C.L., Stability Theory and its Application to Structural Mechanics, Dover Publications, 2002 Leipholz, H., Stabilit¨ atstheorie, Teubner, Stuttgart 1968 Pfl¨ uger, A., Stabilit¨ atsprobleme der Elastostatik, Springer, Berlin 1975 Thompson, J.M.D., Hunt, G.W., A General Theory of Elastic Stability, Wiley, New York 1973 Timoshenko, S.P., Gere, J.M., Theory of Elastic Stability, McGraw Hill, New York 1965 Troger, H., Steindl, A., Nonlinear Stability and Bifurcation Theory, Springer, Berlin 1991 Ziegler, H., Principles of Structural Stability, Birkhäuser, Basel 1977

Kapitel 6 Viskoelastizit¨ at und Plastizit¨ at

6

6 Viskoelastizit¨ at und Plastizit¨ at 6.1 6.2 6.2.1 6.2.2 6.3 6.3.1 6.3.2 6.3.3 6.4

Einf¨ uhrung ....................................................... Viskoelastizität .................................................. Modellrheologie ................................................. Materialgesetz in integraler Form ........................... Plastizität ........................................................ Allgemeines ...................................................... Fachwerke ........................................................ Balken............................................................. Weiterf¨ uhrende Literatur ......................................

317 320 321 340 344 344 351 358 368

6.1

Einf¨ uhrung

317

6.1

6.1 Einf¨ uhrung Bisher haben wir bei der Untersuchung des Verhaltens von festen K¨ orpern immer angenommen, dass der Werkstoff elastisch ist. Dann besteht zum Beispiel bei einem Zugversuch (Abb. 6.1a) ein eindeutiger Zusammenhang zwischen der Spannung und der Dehnung: σ = σ(ε) (Abb. 6.1b). Dieser Zusammenhang ist zeitunabh¨ angig, d. h., bei einer Belastung des Stabes stellt sich die zugeh¨ orige Dehnung sofort ein. Wenn man den Stab anschließend vollst¨ andig entlastet, so nimmt er seine urspr¨ ungliche Länge wieder an: die Dehnung geht auf den Wert Null zur¨ uck. Dabei fallen die Belastungs- und die Entlastungskurve zusammen. F¨ ur Spannungen oberhalb der Proportionalit¨ atsgrenze σP (vgl. Band 2, Abschnitt 1.3) ist die Funktion σ = σ(ε) nichtlinear. F¨ ur σ < σP ist das Materialverhalten linear-elastisch, und es gilt das Hookesche Gesetz σ = E ε.

(6.1)

Da diese Beziehung analog zum linearen Federgesetz F = c x ist, l¨ asst sich das linear-elastische Materialverhalten durch eine Feder mit der Federkonstanten“ E veranschaulichen (Abb. 6.1c). ” Ein K¨ orper, dessen Stoffverhalten bei einem einachsigen Vorgang durch (6.1) beschrieben werden kann, wird als Hookescher K¨ orper bezeichnet. Dabei ist (6.1) repr¨ asentativ f¨ ur alle linearen Beziehungen bei elastischen K¨ orpern (z.B. τ = Gγ oder σm = Kεv ). Viele Materialien zeigen bei hohen Spannungen plastisches Verhalten. Dies gilt insbesondere f¨ ur Metalle bei nicht zu hohen Tem-

Abb. 6.1

318

6 Viskoelastizität und Plastizität

peraturen. Bei Erreichen der Fließspannung (Streckgrenze) σF im Zugversuch nimmt die Dehnung bei praktisch gleichbleibender Spannung zu: das Material beginnt zu fließen (Abb. 6.2a). Es sei angemerkt, dass viele Werkstoffe keine ausgeprägte Streckgrenze besitzen. Mit zunehmender Deformation steigt die Kurve bei vielen Metallen (zum Beispiel bei Stahl) wieder an, d. h., der Werkstoff kann eine weitere Belastung aufnehmen. Diesen Bereich nennt man Verfestigungsbereich (vgl. Band 2, Abschnitt 1.3). Abbildung 6.2a zeigt das Spannungs-Dehnungs-Diagramm schematisch (nicht maßst¨ ablich) f¨ ur Stahl und f¨ ur gegl¨ uhtes Aluminium.

Abb. 6.2

Wenn man den Stab u ¨ber die Fließspannung σF hinaus belastet und anschließend entlastet, so verl¨ auft die Entlastungslinie im wesentlichen parallel zur Geraden im linear-elastischen Bereich (Abb. 6.2a). Bei v¨ olliger Entlastung geht die Dehnung dann nicht auf Null zur¨ uck, sondern es bleibt eine plastische Dehnung εpl erhalten. Es besteht dementsprechend kein eindeutiger Zusammenhang zwischen der Spannung und der Dehnung: die im Stab wirkende Spannung ist abh¨ angig von der Deformationsgeschichte“. ” Sie stellt sich bei vielen Materialien wie im elastischen Bereich sofort ein, d. h., auch plastisches Verhalten ist zeitunabhängig. In manchen F¨ allen kann man das Materialverhalten durch ein idealisiertes Spannungs-Dehnungs-Diagramm nach Abb. 6.2b näherungsweise beschreiben (vgl. Abschnitt 6.3.1). Dieses Materialverhalten l¨ asst sich mit Hilfe der Coulombschen Reibung veranschaulichen, wobei hier der Haftungskoeffizient μ0 und der Reibungskoeffizient μ gleich sein sollen: μ0 = μ. Die Fließspannung σF des Reibelements“ nach Abb. 6.2c entspricht der Grenzhaf”

6.1

Einf¨ uhrung

319

tungskraft H0 = μ0 N . Das Reibelement symbolisiert daher die Eigenschaften eines Werkstoffs nach Abb. 6.2b: f¨ ur σ < σF gilt ε = 0 (entspricht Haften), f¨ ur σ = σF ist ε = 0 (entspricht Gleiten). Eine Verfestigung kann man mit diesem einfachen Modell nicht beschreiben. Bei vielen Werkstoffen – zum Beispiel Polymeren, aber auch Metallen bei hohen Temperaturen – stellt sich unter einer festen Spannung keine konstante Dehnung ein, sondern die Dehnung ist zeitabh¨ angig (Abb. 6.3a). Diese Werkstoffe besitzen Eigenschaften sowohl eines elastischen Festk¨ orpers als auch einer viskosen Fl¨ ussigkeit. Daher bezeichnet man ein solches Verhalten als viskoelastisch. Auch hier besteht kein eindeutiger Zusammenhang zwischen der Spannung und der Dehnung.

Abb. 6.3

Das Verhalten einer viskosen Fl¨ ussigkeit kann durch eine Stoffgleichung σ = f (ε) ˙ beschrieben werden (vgl. Abschnitt 1.1). Dabei ist ε˙ die Dehngeschwindigkeit (Dehnungsrate). Die Grundgleichung f¨ ur ein linear-viskoses Materialverhalten (Abb. 6.3b) ist durch σ = η ε˙

(6.2)

gegeben. Sie ist analog zur Stoffgleichung (1.1) der Newtonschen Fl¨ ussigkeit. Ein Material, dessen Verhalten durch (6.2) beschrieorper. Als Moben wird, nennt man daher einen Newtonschen K¨ dell daf¨ ur dient ein D¨ ampfer (vgl. Band 3, Abschnitt 5.2.3) mit der D¨ ampfungskonstanten η (Abb. 6.3c). Reale Werkstoffe besitzen immer elastische, plastische und viskose Eigenschaften. Unterschiedliche Bedingungen lassen jedoch

320


die eine oder andere Eigenschaft st¨ arker hervortreten. So sind zum Beispiel plastisches Fließen und viskoelastisches Verhalten stark von der Temperatur abh¨ angig. Wir wollen uns im folgenden mit dem viskoelastischen bzw. mit dem plastischen Verhalten befassen. Dabei beschr¨ anken wir uns auf einachsige Zustände, da man bereits damit die wesentlichen Ph¨ anomene beschreiben kann. 6.2

6.2 Viskoelastizit¨ at Das Verhalten eines elastischen Materials wird durch seine Elastizit¨ atskonstanten charakterisiert. Diese werden mit Hilfe von Experimenten gewonnen. Viskoelastische Werkstoffe besitzen sowohl elastische als auch viskose Eigenschaften. Ihr Verhalten wird durch charakteristische Materialfunktionen“ festgelegt, die ebenfalls aus ” Experimenten bestimmt werden m¨ ussen. Wir wollen hier zwei typische Versuche betrachten.

Abb. 6.4

Beim Kriechversuch belastet man einen Stab mit einer Zugkraft, die zum Zeitpunkt t = 0 aufgebracht und dann auf dem konstanten Wert F0 gehalten wird (Abb. 6.4a). Das Zeitintervall Δt, in dem die Belastung aufgebracht wird, sei klein im Vergleich zu der Zeit, in der man die Dehnung beobachtet. Dann kann man die Spannung im Stab durch den stufenf¨ ormigen Verlauf nach Abb. 6.4b idealisieren. Die zugeh¨ orige Dehnung ε(t) – bezogen auf den Wert σ0 – nennt man Kriechfunktion oder Retardationsfunktion: J(t) =

ε(t) . σ0

(6.3)

6.2

Viskoelastizität

321

Sie ist in Abb. 6.4c schematisch dargestellt. Ihr Wert J(0) zum Zeitpunkt t = 0 heißt momentane Nachgiebigkeit. Häufig geht die Kriechfunktion f¨ ur t → ∞ gegen einen festen Wert J(∞). Er wird als Gleichgewichtsnachgiebigkeit bezeichnet. Beim Relaxationsversuch bringt man dagegen zum Zeitpunkt t = 0 sprunghaft eine Dehnung auf, die dann konstant gehalten orige, auf den Wert ε0 bezowird: ε = ε0 (Abb. 6.5a). Die zugeh¨ gene Spannung heißt Relaxationsfunktion (Abb. 6.5b): G(t) =

σ(t) . ε0

(6.4)

atsmodul und G(∞) Man nennt G(0) den momentanen Elastizit¨ den Gleichgewichtsmodul.

Abb. 6.5

Die Retardationsfunktion beschreibt, wie sich die Dehnung zeitverzögert (retardierend) einstellt. Die Relaxationsfunktion zeigt das zeitliche Abklingen der Spannung (Spannungsrelaxation). Beide Funktionen charakterisieren das Verhalten eines linear-viskoelastischen Materials. 6.2.1 Modellrheologie

Mit dem Begriff Rheologie bezeichnet man die Lehre vom Verformungs- und Fließverhalten von K¨ orpern. Sie wurde als selbständige wissenschaftliche Disziplin von E.C. Bingham (1878–1945) und M. Reiner (1886–1964) begr¨ undet. Die auf den Grundmodellen Feder, D¨ ampfer und Reibelement aufbauende Theorie nennt man Modellrheologie. Modelle, die zum Beispiel gleichzeitig elastische und viskose Eigenschaften besitzen, werden dabei dadurch erzeugt, dass man Federn und D¨ ampfer geeignet kombiniert. Diese

322


Modelle sind insbesondere zur qualitativen Beschreibung der Phänomene geeignet; sie besitzen den Vorteil großer Anschaulichkeit. Wir beschr¨ anken uns hier auf eine Theorie, bei der ein linearer Zusammenhang zwischen Kraft- und Deformationsgrößen besteht. 6.2.1.1 Kelvin-Voigt-K¨ orper

¨ Ahnlich wie man in der Elektrotechnik Schaltbilder verwendet, kann man die Kombination der Grundelemente Feder und Dämpfer durch rheologische Schaltbilder symbolisieren. Als erste mögliche Kombination betrachten wir eine Parallelschaltung gemäß Abb. orper (Lord Kelvin, 6.6a. Dieses Modell wird als Kelvin-Voigt-K¨ 1824–1907; Woldemar Voigt, 1850–1919) bezeichnet.

Abb. 6.6

Unter der Wirkung einer Spannung σ(t) erfährt der Körper eine Dehnung ε(t). Der Zusammenhang zwischen σ und ε wird durch das Stoffgesetz beschrieben. Aus dem Schaltbild (Abb. 6.6a) kann man unmittelbar ablesen, dass die Dehnungen von Feder und D¨ ampfer gleich groß sind – n¨ amlich ε – und die Spannung σ die Summe der Spannungen σH = E ε in der Feder (Hookeampfer (Newtonscher Körper) scher K¨ orper) und σN = η ε˙ im D¨ ist. Damit folgt das Stoffgesetz f¨ ur den Kelvin-Voigt-Körper durch Superposition der Spannungen: σ = σH + σN , d.h. σ = E(ε + τ ε) ˙ .

(6.5)

Die Konstante τ = η/E hat die Dimension einer Zeit; sie heißt ¨ Retardationszeit (Ubergangszeit). Um die Kriechfunktion f¨ ur den Kelvin-Voigt-Körper zu bestimmen, geben wir die Belastung durch eine zur Zeit t = 0 aufgebrach-

6.2

Viskoelastizität

323

te Spannung σ0 nach Abb. 6.4b vor. Den Verlauf von σ(t) beschreiben wir zweckm¨ aßigerweise mit Hilfe der Heaviside-Funktion. Sie ist definiert durch ⎧ ⎨0 f¨ ur t < 0 (6.6) H(t) = ⎩1 f¨ ur t > 0 und entspricht dem F¨ oppl-Symbol t − t0 0 (vgl. Band 1, Abur die Spannung nach schnitt 7.2.5) mit t0 = 0. Mit (6.6) gilt f¨ Abb. 6.4b σ(t) = σ0 H(t) .

(6.7)

Damit liefert das Stoffgesetz (6.5) f¨ ur t > 0 die gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung σ0 ε + τ ε˙ = E f¨ ur die Dehnung ε(t). Ihre allgemeine L¨ osung setzt sich aus der L¨ osung εh = Ce−t/τ der homogenen Differentialgleichung und der Partikularl¨ osung εp = σ0 /E der inhomogenen Differentialgleichung zusammen: σ0 . (6.8) ε(t) = Ce−t/τ + E Mit der Anfangsbedingung ε(0) = 0 ergibt sich die Integrationskonstante in (6.8) zu C = −σ0 /E, und wir erhalten ε(t) =

σ0 (1 − e−t/τ ) . E

(6.9)

Nach (6.3) lautet somit die Kriechfunktion f¨ ur den Kelvin-VoigtK¨ orper J(t) =

1 (1 − e−t/τ ) . E

(6.10)

Sie ist in Abb. 6.6b dargestellt. Ein Sprung in der Spannung σ verursacht einen Sprung in der Dehngeschwindigkeit ε. ˙ Daher hat die Kurve J(t) an der Stelle t = 0 einen Knick. Die Dehngeschwindigkeit ist f¨ ur t > 0 durch ε(t) ˙ = (1/η) e−t/τ gegeben.

324


Bei einem Newtonschen K¨ orper (σ = η ε) ˙ f¨ uhrt ein Spannungssprung der Gr¨ oße “1“ zur Zeit t = 0 auf den linearen Dehnungsverlauf ε(t) = t/η. Dieser Verlauf wird durch die Tangente im Punkt t = 0 an die Kriechfunktion nach Abb. 6.6b dargestellt. Bei einem Hookeschen K¨ orper (σ = E ε) stellt sich dagegen sofort eine konstante Dehnung ε = 1/E ein. Der Kelvin-VoigtKörper besitzt somit ein fl¨ ussigkeitsartiges Anfangsverhalten und ein festk¨ orperartiges Endverhalten. Da die Dehnung ε einem endlichen Wert zustrebt (Gleichgewichtsnachgiebigkeit J(∞) = 1/E), ist der Kelvin-Voigt-K¨ orper im wesentlichen ein Festkörper. Die Tangente im Punkt t = 0 an die Kriechfunktion schneidet deren Asymptote J(∞) = 1/E an der Stelle t = τ (Abb. 6.6b). Zu diesem Zeitpunkt besitzt die Kriechfunktion den Wert J(τ ) = (1−1/e)/E. Sie hat damit bereits 63, 2% des Wertes der Asymptote erreicht (1/e = 0, 368). Die Retardationszeit τ stellt eine charakteristische Zeit f¨ ur das Verhalten des Materials dar. F¨ ur Zeiten ˙ ≈ 0, oßer sind als die Retardationszeit, gilt J(t) t, die deutlich gr¨ so dass dann praktisch station¨ are Verh¨ altnisse vorliegen. Beim Kelvin-Voigt-K¨ orper kann ein Dehnungssprung ε0 mit einer endlichen Spannung nicht aufgebracht werden. Außerdem zeigt der Kelvin-Voigt-K¨ orper keine Spannungsrelaxation bei festgehaltener Dehnung. In einem Anwendungsbeispiel wollen wir zeigen, wie man die Durchbiegung eines viskoelastischen Balkens ermitteln kann. Wir betrachten dazu einen einseitig eingespannten Balken aus KelvinVoigt-Material, der durch eine Kraft F = F0 H(t) belastet wird (Abb. 6.7). Als Grundgleichungen verwenden wir die statische Beziehung M = z σ dA, die kinematische Beziehung ε = −w z (vgl. Band 2, Kap. 4) sowie das Stoffgesetz (6.5) σ = E ε + η ε. ˙ Aus der Kinematik und dem Stoffgesetz erhalten wir zunächst σ = −E w z − η w˙ z. Nach Multiplikation mit z und Integration

Abb. 6.7

6.2

Viskoelastizität

325

u ache A folgt daraus ¨ber die Querschnittsfl¨ z σ dA = − E w z 2 dA − η w˙ z 2 dA oder EI w + η I w˙ = − M .

(6.11)

Diese Beziehung ist die Differentialgleichung der Biegelinie f¨ ur einen Balken aus Kelvin-Voigt-Material. ur t > 0 folgt aus (6.11) Mit M (x) = −F0 (l − x) f¨ (EIw + η I w) ˙ = F0 (l − x) .

(6.12)

Zweimalige Integration u uhrt auf ¨ber x f¨ 2 x + f (t) , (EIw + η I w) ˙ = F0 lx − 2 x2 x3 EIw + η I w˙ = F0 l − + f (t) x + g(t) . 2 6 Dabei sind f (t) bzw. g(t) noch zu bestimmende Funktionen der Zeit t. Die Randbedingungen an der Einspannung liefern: w(0, t) = w(0, ˙ t) = 0 → g(t) = 0 ,

(6.13)

w (0, t) = w˙ (0, t) = 0 → f (t) = 0 . Somit bleibt w + τ w˙ =

F0 l3 x2 x3 3 2 − 3 6 EI l l

mit

τ=

η . E

(6.14)

Die allgemeine L¨ osung dieser Differentialgleichung ist durch F0 l3 x2 x3 3 2 − 3 w = wh + wp → w(x, t) = C e−t/τ + 6 EI l l gegeben. Da ein Sprung in der Belastung beim Kelvin-Voigt-Körper keinen Sprung in der Durchbiegung hervorruft (momentane Nachgiebigkeit gleich Null), erhalten wir mit der Anfangsbedingung w(x, 0) = 0 schließlich x3 F0 l3 x2 3 2 − 3 (1 − e−t/τ ) . (6.15) w(x, t) = 6 EI l l

326


Die Durchbiegung des Balkens aus Kelvin-Voigt-Material geht demnach asymptotisch in die Durchbiegung des elastischen Balkens (Band 2, Abschnitt 4.5.2) u ¨ber. B6.1

Beispiel 6.1 Ein Stab aus Kelvin-Voigt-Material wird sprunghaft

zum Zeitpunkt t = 0 belastet und zum Zeitpunkt t = T wieder entlastet (Abb. 6.8a). Man bestimme den zeitlichen Verlauf der Dehnung.

Abb. 6.8

L¨ osung Der Spannungsverlauf wird durch

σ(t) = σ0 [H(t) − H(t − T )] beschrieben. Die dadurch hervorgerufene Dehnung folgt nach (6.5) aus der Differentialgleichung ε + τ ε˙ =

σ0 [H(t) − H(t − T )] . E

(a)

Mit Hilfe der Kriechfunktion kann die L¨ osung unmittelbar angegeben werden (Superposition der Kriechfunktionen f¨ ur die Spr¨ unge bei t = 0 und t = T ): ε(t) = σ0 [J(t) − J(t − T )] . Durch Einsetzen von (6.10) erh¨ alt man daraus ε(t) =

σ0 (1 − e−t/τ ) , E

0≤t≤T

(b)

sowie σ0 σ0 (1 − e−t/τ ) − (1 − e−(t−T )/τ ) E E σ0 T /τ (e − 1)e−t/τ , t≥T. = E

ε(t) =

(c)

6.2

Viskoelastizität

327

Der Verlauf der Kriech-Erholungs-Kurve“ ist in Abb. 6.8b dar” gestellt. Man erkennt, dass beim Kelvin-Voigt-Körper nach der Entlastung keine bleibende Deformation auftritt: ε(t → ∞) = 0. Beispiel 6.2 Ein Stab aus Kelvin-Voigt-Material wird durch eine

Kraft F = F0 cos Ωt belastet (Abb. 6.9a). Die Erregerfrequenz Ω sei dabei wesentlich kleiner als die erste Eigenfrequenz der Longitudinalschwingungen des Stabes (Abschnitt 4.2.1). Man bestimme die Dehnung ε(t) f¨ ur t τ .

Abb. 6.9

L¨ osung F¨ ur kleine Erregerfrequenzen k¨ onnen wir die Trägheitskr¨ afte vernachl¨ assigen (quasistatistische Verh¨ altnisse) und die Dehnung aus dem Stoffgesetz (6.5) bestimmen. Dabei ist die Spannung durch σ = (F0 /A) cos Ωt gegeben:

ε + τ ε˙ =

F0 cos Ωt . EA

(a)

Die L¨ osung εh = C e−t/τ der homogenen Gleichung klingt mit der Zeit ab und kann f¨ ur hinreichend große Zeit (t τ ) vernachlässigt werden. Uns interessiert deshalb nur die Partikularlösung. Wir machen f¨ ur sie einen Ansatz vom Typ der rechten Seite: ε(t) =

F0 V cos(Ωt − ϕ) . EA

(b)

Wenn wir F0 V (cos Ωt cos ϕ + sin Ωt sin ϕ) , EA F0 ε˙ = V Ω(− sin Ωt cos ϕ + cos Ωt sin ϕ) EA

ε=

in (a) einsetzen und ordnen, so folgt nach Division durch F0 /EA

B6.2

328


(V cos ϕ + V Ωτ sin ϕ − 1) cos Ωt + V (sin ϕ − Ωτ cos ϕ) sin Ωt = 0 . Diese Gleichung ist f¨ ur alle t nur dann erf¨ ullt, wenn beide Klammerausdr¨ ucke verschwinden. Aus der zweiten Klammer ergibt sich die Phasenverschiebung ϕ: tan ϕ = Ωτ .

(c)

Die erste Klammer liefert dann mit (c) und der trigonometrischen oßerungsfunktion V : Beziehung cos ϕ = 1/ 1 + tan2 ϕ die Vergr¨ V (cos ϕ + Ωτ sin ϕ) = V

1 (cos2 ϕ + sin2 ϕ) = 1 cos ϕ

→ V =

1 1 + (Ωτ )2

.

(d)

Der Verlauf der Dehnung nach (b) ist in Abb. 6.9b dargestellt. Abb. 6.9c zeigt die Vergr¨ oßerungsfunktion (d) in Abhängigkeit von der Frequenz. Je gr¨ oßer Ω ist, umso kleiner wird die Amplitude der Dehnung. 6.2.1.2 Maxwell-K¨ orper

Das rheologische Modell, das man durch eine Reihenschaltung von Feder und D¨ ampfer erh¨ alt (Abb. 6.10a), heißt Maxwell-Körper (J.C. Maxwell, 1831–1879). Um sein Stoffgesetz herzuleiten, beachten wir, dass in der Feder und im D¨ ampfer die gleiche Span-

Abb. 6.10

6.2

Viskoelastizität

329

nung – n¨ amlich σ – wirkt und die gesamte Dehnung ε die Summe der Dehnungen εH und εN der beiden Grundelemente ist. Da im Stoffgesetz (6.2) des Newtonschen K¨ orpers nicht die Dehnung εN , sondern die Dehngeschwindigkeit ε˙N auftritt, addieren wir ˙ und statt der Dehnungen die Dehngeschwindigkeiten ε˙H = σ/E alt man das Stoffgesetz ε˙N = σ/η. Mit ε˙ = ε˙H + ε˙N erh¨ σ + τ¯ σ˙ = η ε˙ .

(6.16)

Dabei ist τ¯ = η/E die sogenannte Relaxationszeit. Um die Kriechfunktion des Maxwell-K¨ orpers zu bestimmen, geben wir die Spannung mit σ(t) = σ0 H(t) vor. Dann folgt wegen σ(t) ˙ = 0 f¨ ur t > 0 aus (6.16) ε˙ =

σ0 . η

(6.17)

Die Dehnung erhalten wir durch Integration: σ0 t+C. ε(t) = η Aus dem Anfangssprung ε(0) = σ0 /E ergibt sich die Integrationskonstante zu C = σ0 /E: 1 t + . (6.18) ε(t) = σ0 E η Die Kriechfunktion J(t) = ε(t)/σ0 folgt damit zu J(t) =

t 1 + . E η

(6.19)

Sie ist in Abb. 6.10b dargestellt. Man sieht, dass die Spannung zur Zeit t = 0 eine sprungartige Dehnung (der Feder) erzeugt. Anschließend dehnt“ sich nur noch der D¨ ampfer. Der Maxwell” K¨ orper hat somit ein festk¨ orperartiges Anfangsverhalten (momentane Nachgiebigkeit J(0) = 1/E) und ein fl¨ ussigkeitsartiges Endverhalten: er ist im wesentlichen eine Fl¨ ussigkeit. Zur Bestimmung der Relaxationsfunktion geben wir die Dehnung mit ε(t) = ε0 H(t) vor. Dann folgt wegen ε(t) ˙ = 0 f¨ ur t > 0

330


aus (6.16) σ + τ¯ σ˙ = 0 .

(6.20)

Die allgemeine L¨ osung dieser homogenen Differentialgleichung lautet σ(t) = C e−t/¯τ . Aus der Anfangsbedingung σ(0) = E ε0 erhalten wir die Integrationskonstante zu C = E ε0 : σ(t) = ε0 E e−t/¯τ .

(6.21)

Die Relaxationsfunktion G(t) = σ(t)/ε0 ergibt sich zu (Abb. 6.10c) G(t) = E e−t/¯τ .

(6.22)

Der Dehnungssprung, der zur Zeit t = 0 allein von der Feder erbracht wird, erfordert einen Spannungssprung. Anschließend dehnt sich der D¨ ampfer bei einem gleichzeitigen Zusammenziehen der Feder. Damit wird die Spannung, die zur Aufrechterhaltung der Gesamtdehnung erforderlich ist, immer kleiner: das System entspannt sich. Diesen Vorgang bezeichnet man als Relaxation. Die Tangente im Punkt t = 0 an die Relaxationsfunktion schneidet die Abszisse an der Stelle t = τ¯ (vgl. Abb. 6.6b). Zu diesem Zeitpunkt besitzt die Relaxationsfunktion den Wert G(¯ τ ) = E/e. Die Spannung ist dann auf 36, 8 % ihres Anfangswertes gesunken. B6.3

Beispiel 6.3 Man bestimme die Spannung σ(t) in einem Stab aus Maxwell-Material, wenn die Dehnung ε(t) den in Abb. 6.11a dargestellten Verlauf hat. L¨ osung Aus der gegebenen Dehnung ε(t) erh¨ alt man einen Verlauf

der Dehngeschwindigkeit ε(t) ˙ nach Abb. 6.11b, wobei ε˙0 = εT /T ist. Damit folgt aus dem Stoffgesetz (6.16) σ˙ σ + = ε˙0 [H(t) − H(t − T )] . η E

6.2

Viskoelastizität

331

Abb. 6.11

Diese Gleichung ist analog zur Differentialgleichung (a) f¨ ur die Kriech-Erholungs-Kurve beim Kelvin-Voigt-K¨ orper (Beispiel 6.1). Die Spannung σ(t) folgt daher aus Beispiel 6.1, indem man dort in (b) und (c) die Gr¨ oßen folgendermaßen austauscht: ε → σ, alt dann mit τ¯ = η/E: σ0 → ε˙0 , 1/E → η. Man erh¨ σ(t) = η ε˙0 (1 − e−t/¯τ ),

0≤t≤T,

σ(t) = η ε˙0 (eT /¯τ − 1)e−t/¯τ ) ,

t≥T.

Der Verlauf der Spannung ist in Abb. 6.11c dargestellt (vgl. auch Abb. 6.8b). 6.2.1.3 Linearer Standardk¨ orper und 3-Element-Fl¨ ussigkeit

Die bisher diskutierten sehr einfachen Modelle sind im allgemeinen nicht in der Lage, das Verhalten von viskoelastischen Materialien hinreichend genau zu beschreiben. Zu allgemeineren Modellen gelangt man, indem man mehrere Federn und Dämpfer geeignet kombiniert. Zu diesem Zweck betrachten wir die in den Abb. 6.12a, b dargestellten Schaltbilder von zwei Federn und einem D¨ ampfer. Man kann sie als eine Reihenschaltung eines Hookeschen K¨ orpers mit einem Kelvin-Voigt-K¨ orper bzw. als eine Parallelschaltung eines Hookeschen K¨ orpers mit einem Maxwell-Körper auffassen. Es wird sich zeigen, dass beide Modelle gleichwertig sind. Der K¨ orper, dessen Verhalten sie beschreiben, heißt linearer Standardk¨ orper. Er wird auch nach J.H. Poynting (1852–1914) und J.J. Thomson (1856–1940) benannt. Der lineare Standardkörper wurde erstmals zur Untersuchung des Verhaltens von Venen und von Glasfibern verwendet.

332


Abb. 6.12

Wir wollen zuerst das Stoffgesetz f¨ ur das Modell nach Abb. 6.12a herleiten. Die Superposition der Dehnungen der beiden Teilk¨ orper liefert die gesamte Dehnung ε = εH + εKV .

(6.23)

Dabei gilt nach (6.1) und (6.5) σ = E0 εH ,

σ = E1 εKV + η1 ε˙KV .

(6.24)

Wenn man aus diesen drei Gleichungen die Größen εH , εKV und alt man ε˙KV eliminiert, so erh¨ η1 E 0 + E1 σ+ σ˙ = E1 ε + η1 ε˙ . E0 E0

(6.25)

F¨ ur das Modell nach Abb. 6.12b folgt das Stoffgesetz durch Superposition der Spannungen zu ¯∞ ¯1 + E ¯∞ 1 E E 1 σ + ¯ σ˙ = ε+ ε˙ . ¯ η¯1 η¯1 E1 E1

(6.26)

Mit der Substitution ¯1 = E

E02 ¯∞ = E0 E1 , η¯1 = , E E0 + E 1 E0 + E 1

6.2

Viskoelastizität

2

E0 E0 + E 1

η1

333

(6.27)

kann (6.26) in (6.25) u uhrt werden. Die beiden Materialge¨bergef¨ setze, die sich allgemein in der Form p0 σ + p1 σ˙ = q0 ε + q1 ε˙

(6.28)

schreiben lassen, beinhalten somit lediglich eine verschiedene Interpretation der Parameter. Daher sind die beiden Modelle nach Abb. 6.12a,b gleichwertig. Die Kriechfunktion des linearen Standardk¨ orpers lässt sich am einfachsten mit der Darstellung nach Abb. 6.12a bestimmen. Da man dabei nur die Dehnungen des Hookeschen Körpers und des Kelvin-Voigt-K¨ orpers superponieren muss, erh¨ alt man mit (6.1) und (6.10) unmittelbar (Abb. 6.12c) J(t) =

1 1 + (1 − e−t/τ ) E0 E1

(6.29)

mit der Retardationszeit τ = η1 /E1 . Man sieht, dass der lineare Standardk¨ orper sowohl eine momentane Elastizität (momentane Nachgiebigkeit J(0) = 1/E0 ) als auch eine Endelastizität (Gleichgewichtsnachgiebigkeit J(∞) = 1/E0 + 1/E1 ) besitzt. Dementsprechend ist der lineare Standardk¨ orper ein Festkörper. An den Schaltbildern erkennt man dies u ¨brigens daran, dass es einen Weg zwischen den Endpunkten des Modells gibt, der nur u ¨ber Federn f¨ uhrt. Die in Abb. 6.12c gestrichelt eingezeichnete KriechErholungs-Kurve deutet an, dass nach einer Entlastung zum Zeitpunkt t = T die Dehnung asymptotisch auf Null zur¨ uckgeht. Zur Bestimmung der Relaxationsfunktion verwenden wir zweckm¨ aßigerweise die Schaltung nach Abb. 6.12b. Dann m¨ ussen wir die Spannungen in den beiden K¨ orpern superponieren und erhalten mit (6.22) (Abb. 6.12d) ¯1 e−t/¯τ ¯∞ + E G(t) = E

(6.30)

334


¯1 . Man sieht, dass beim 3-Elemit der Relaxationszeit τ¯ = η¯1 /E ment-Festk¨ orper keine vollst¨ andige Spannungsrelaxation stattfindet. F¨ ur t → ∞ wird die Spannung nur noch vom Hookeschen Teilk¨ orper aufgenommen. Er bestimmt die Endelastizität (Gleich¯∞ ). gewichtsmodul G(∞) = E Mit Hilfe von (6.27) kann man zeigen, dass η1 E1 η¯1 = τ τ¯ = ¯ = E0 + E 1 E0 + E 1 E1 gilt. Somit ist beim linearen Standardk¨ orper die Relaxationszeit τ¯ kleiner als die Retardationszeit τ . Es sei angemerkt, dass ein Hookescher K¨ orper in Parallelschaltung mit einem Kelvin-Voigt-K¨ orper oder in Reihenschaltung mit einem Maxwell-K¨ orper keine neuen Modelle erzeugt, da dann die beiden Federn jeweils durch eine einzige Feder ersetzt werden k¨ onnen. Wir wollen im weiteren die m¨ oglichen Kombinationen von einer Feder mit zwei Dämpfern untersuchen (Abb. 6.13a, b). Diese Modelle wurden erstmals zur Untersuchung des Verhaltens von Blut bzw. der Erdkruste verwendet. Die Herleitung der Stoffgleichungen erfolgt wie beim linearen Standardk¨ orper. F¨ ur beide Modelle erh¨ alt man nun p0 σ + p1 σ˙ = q1 ε˙ + q2 ε¨

(6.31)

mit p0 =

E1 , η∞

p1 =

η1 + η∞ , η∞

q1 = E1 ,

q2 = η1

f¨ ur das Modell nach Abb. 6.13a bzw. mit p0 =

1 , η¯1

1 p1 = ¯ , E1

q1 =

η¯0 + η¯1 , η¯1

η¯0 q2 = ¯ E1

f¨ ur das Modell nach Abb. 6.13b. Da das Stoffgesetz f¨ ur beide Modelle durch (6.31) gegeben wird, charakterisieren die Abb. 6.13a bzw. 6.13b das gleiche Materialverhalten. Zur Ermittlung der Kriechfunktion ist die Schaltung nach Abb. 6.13a besonders geeignet. Durch Superposition der Dehnungen

6.2

Viskoelastizität

335

Abb. 6.13

(Superposition der Kriechfunktionen des Newtonschen und des Kelvin-Voigt-K¨ orpers) erhalten wir J(t) =

1 t + (1 − e−t/τ ) η∞ E1

(6.32)

mit der Retardationszeit τ = η1 /E1 . Die Kriechfunktion (Abb. 6.13c) zeigt, dass sich f¨ ur t → ∞ keine endliche Dehnung einstellt; das Material kriecht (fließt) unbeschr¨ ankt. Das Stoffgesetz (6.31) usbeschreibt daher das Verhalten einer Fl¨ ussigkeit (3-Element-Fl¨ sigkeit). Man erkennt dies am Stoffgesetz daran, dass nur Ableitungen von ε auftreten, nicht aber ε selbst. An den Schaltbildern kann man den Fl¨ ussigkeitscharakter daran erkennen, dass es keinen Weg zwischen den Endpunkten der Modelle gibt, der nur u ¨ber Federn f¨ uhrt. Aus der in Abb. 6.13c gestrichelt eingezeichneten Kriech-Erholungs-Kurve ersieht man, dass nach einer Entlastung zum Zeitpunkt t = T die Dehnung nicht auf Null zur¨ uckgeht. Die Relaxationsfunktion erhalten wir am einfachsten aus der ¨ Darstellung nach Abb. 6.13b. Durch Uberlagerung der Spannun-

336


gen infolge einer pl¨ otzlich aufgebrachten Dehnung folgt ¯1 e−t/¯τ + η¯0 δ(t) G(t) = E

(6.33)

¯1 . Darin ber¨ ucksichtigt der Term mit der Relaxationszeit τ¯ = η¯1 /E ampfer (¯ η0 ) eine unη¯0 δ(t), dass der Dehnungssprung im Einzeld¨ ” endlich große“ Kraft bewirkt. Die Relaxationsfunktion ist in Abb. 6.13d dargestellt. Man kann zeigen, dass im Gegensatz zum linearen Standardk¨ orper bei der 3-Element-Fl¨ ussigkeit die Retardationszeit τ kleiner als die Relaxationszeit τ¯ ist. B6.4

Beispiel 6.4 F¨ ur den linearen Standardk¨ orper bestimme man die Spannung σ(t), wenn die Dehngeschwindigkeit ε(t) ˙ den in Abb. 6.14a dargestellten Verlauf hat und der Ausgangszustand dehnungslos war.

Abb. 6.14

L¨ osung Wir ermitteln zun¨ achst aus der Dehngeschwindigkeit ε(t) ˙ durch Integration die Dehnung ε(t) (Abb. 6.14b). Durch Einsetzen von ε˙ und ε in das Stoffgesetz (6.28) erh¨ alt man eine Differentialgleichung f¨ ur die Spannung σ(t). Nach bereichsweiser Integration (t < T bzw. t > T ) und Ber¨ ucksichtigung der jeweiligen Anfangsbedingung folgt daraus der gesuchte Spannungsverlauf. Wir k¨ onnen die Spannung auch auf eine einfachere Weise bestimmen. W¨ ahlen wir das Modell nach Abb. 6.12b, so ergibt sie sich n¨ amlich durch die Superposition der Spannungen im Hookeschen K¨ orper und im Maxwell-K¨ orper. Die Spannung im Hooke¯ schen K¨ orper lautet σH (t) = E∞ ε(t). Die Spannung im MaxwellK¨ orper kann aus Beispiel 6.3 entnommen werden. Man erhält somit insgesamt

¯∞ t + η¯1 (1 − e−t/¯τ )] , σ(t) = ε˙0 [E

0 2(1 + E∞ /E1 ) negativ wird, obwohl die Dehnung positiv ist.

6.3

6.3 Plastizit¨ at 6.3.1 Allgemeines

Wir betrachten nun noch einmal den Zugversuch und diskutieren ihn ausf¨ uhrlicher als in Abschnitt 6.1. Ein zylindrischer Probestab mit der Ausgangsl¨ ange l0 und der Ausgangsquerschnittsufmaschine gedehnt, wobei die Zugfl¨ ache A0 wird in einer Pr¨

6.3

Plastizität

345

kraft F gemessen wird. Dabei nimmt er die aktuelle Länge l an. Im Spannungs-Dehnungs-Diagramm werden h¨ aufig die nominelle (konventionelle) Spannung σ = F/A0 und die konventionelle Dehnung ε = Δl/l0 = (l − l0 )/l0 aufgetragen. Abbildung 6.22a zeigt das Diagramm schematisch f¨ ur Stahl. Der Verlauf der Kurve ist bis zur Proportionalit¨ atsgrenze σP linear. Bei einer Erhöhung der Belastung wird der Zusammenhang zwischen σ und ε nichtlinear. Das Werkstoffverhalten ist dabei (f¨ ur σ < σF ) noch elastisch, d.h., bei einer vollst¨ andigen Entlastung geht die Dehnung entlang der Belastungskurve auf den Wert Null zur¨ uck. Es sei angemerkt, dass der nichtlinear-elastische Bereich f¨ ur viele Metalle sehr klein und h¨ aufig vernachl¨ assigbar ist.

Abb. 6.22

Nach dem Erreichen der Fließspannung σF setzt eine plastische Deformation ein. Zun¨ achst kann die Dehnung bei praktisch gleichbleibender Spannung zunehmen. Anschließend erfordert eine zus¨ atzliche Dehnung eine Erh¨ ohung der Belastung. Diesen Bereich nennt man Verfestigungsbereich. Der Kurvenverlauf wird dabei deutlich flacher als im elastischen Bereich. Schließlich wird als Maximum der Spannung die Zugfestigkeit σB erreicht (der maximalen Spannung entspricht ein Maximalwert Fmax = σB A0 der Zugkraft). Mit zunehmender Dehnung f¨ allt die Kraft F dann aufgrund von starken Einschn¨ urungen des Stabquerschnitts ab, und der Stab reißt bei der Bruchspannung σZ . Wenn man nach Erreichen eines beliebigen Punktes P im Verfestigungsbereich entlastet (Abb. 6.22a), so verläuft die Entlas-

346


tungskurve parallel zur Geraden im linear-elastischen Bereich, und man erh¨ alt eine bleibende (plastische) Dehnung εpl . Eine Wiederbelastung vom Punkt Q aus findet entlang der Geraden QP statt (in Wirklichkeit tritt zwar eine schmale Hystereseschleife auf; diese wird aber meist vernachl¨ assigt). Plastisches Fließen setzt dann erst wieder im Punkt P ein. Die entsprechende Spannung kann daher als neue Fließspannung f¨ ur das bereits plastisch deformierte Material betrachtet werden. Bei einer weiteren Erhöhung der Belastung wird die Kurve u ¨ber den Punkt P hinaus so durchlaufen, als ob keine Entlastung stattgefunden h¨ atte. Nach Abb. 6.22a kann man die Dehnung im Punkt P als die Summe der elastischen Dehnung εel und der plastischen Dehnung εpl auffassen: ε = εel + εpl

bzw.

ε = σ/E + εpl .

(6.46)

Bei vielen Metallen ist die Streckgrenze σF so schwach ausgepr¨ agt, dass man sie nicht genau erkennen kann. Man wählt als Materialkennwert dann eine Spannung, die zu einem bestimmten Wert der plastischen Dehnung geh¨ ort. So ist zum Beispiel σ0,2 die Spannung, die zur plastischen Dehnung εpl = 0, 2% gehört. In Wirklichkeit beh¨ alt die Querschnittsfl¨ ache bei einem Zugversuch nicht den Wert A0 , sondern sie nimmt wegen der Querkontraktion mit wachsender Dehnung ab. Dementsprechend wirkt im Stabquerschnitt nicht die konventionelle Spannung σ = F/A0 , sondern die wirkliche (physikalische) Spannung σw = F/A, wobei A die aktuelle Querschnittsfl¨ ache ist. Die plastische Dehnung (εpl ) ist bei vielen Werkstoffen mit keiner Volumenänderung verbunden; diese ist dann nur auf die elastischen Dehnungen (εel ) zur¨ uckzuf¨ uhren. Vernachl¨ assigt man die elastische Volumenänderung beim Zugversuch, dann kann man mit A l = A0 l0 den Zusammenhang zwischen der konventionellen Spannung σ und der wirklichen Spannung σw angeben: σw =

Fl F l = = σ = σ(1 + ε) . A A0 l0 l0

(6.47)

F¨ ur kleine Dehnungen (|ε| 1) sind σ und σw näherungsweise gleich groß.

6.3

Plastizität

347

Um auch die Definition der Dehnung dem physikalischen Verhalten besser anzupassen, beziehen wir nun die Längenänderung des Stabes nicht auf die Ausgangsl¨ ange l0 , sondern auf die aktuelle L¨ ange l. Dann ist ein Inkrement der Dehnung durch dε = dl/l ¨ gegeben. Die gesamte Dehnung bei einer Anderung der Länge von l0 bis l folgt durch Integration:

l ¯ dl εl = ¯l = ln l/l0 .

(6.48)

l0

Die so definierte Dehnung wird als logarithmische (nat¨ urliche) Dehnung bezeichnet. Ihr Zusammenhang mit der konventionellen Dehnung ε ist wegen l/l0 = 1 + ε durch εl = ln(1 + ε)

(6.49)

gegeben. F¨ ur kleine Dehnungen (|ε| 1) gilt εl ≈ ε. Tr¨ agt man im Spannungs-Dehnungs-Diagramm die wirkliche Spannung σw und die logarithmische Dehnung εl auf (Abb. 6.22b), dann stimmt der Verlauf mit demjenigen nach Abb. 6.22a f¨ ur Dehnungen ε 0,05 im wesentlichen u ¨berein. Anschließend weichen die Kurvenverl¨ aufe aber deutlich voneinander ab. Die wirkliche Spannung ist nach (6.47) stets gr¨ oßer als die konventionelle Spannung, und sie w¨ achst – auch im Bereich der starken Einschn¨ urung, in dem die Kraft F abnimmt – bis zum Reißen der Probe an. Der Anstieg T = dσ/dε der Kurve heißt Tangentenmodul. Es sei angemerkt, dass man in Spannungs-Dehnungs-Diagrammen als Abszisse statt der Gesamtdehnung ε (bzw. εl ) die plastische Dehnung (vgl. 6.46) εpl = ε − εel verwenden kann. Dann nennt man die entsprechende Steigung dσ/dεpl den plastischen Tangentenmodul. Wenn man die Kurve des σw , εl -Diagramms in einem doppeltlogarithmischen Maßstab auftr¨ agt, so stellt man fest, dass sie – abgesehen von den Bereichen sehr kleiner bzw. sehr großer Dehnung – f¨ ur viele Metalle n¨ aherungsweise gerade verläuft. Dies bedeutet, dass sie in einem großen Bereich durch ein Potenzgesetz der Form σ = C εn ,

0≤n 1 dimensionslose Konstanten, und σ0 ist eine Bezugsspannung. Hier hat die Spannungs-Dehnungs-Kurve im Ursprung den Anstieg E. Das Gesetz (6.50a) ist in (6.50b) bei vernachlässigbarer elastischer Dehnung als Sonderfall enthalten. Wir betrachten nun statt eines Zugversuchs einen Druckversuch. Wenn man daf¨ ur den Zusammenhang zwischen der konventionellen Spannung und der konventionellen Dehnung aufträgt, erh¨ alt man eine Kurve, die anders verl¨ auft als die des Zugversuchs. Dagegen ergeben sich im Zug- und im Druckversuch praktisch identische Verl¨ aufe, wenn man die physikalische Spannung und die logarithmische Dehnung benutzt. Insbesondere sind dann auch die Fließspannungen bei Zug bzw. bei Druck dem Betrag nach gleich groß. Belastet man dagegen eine Probe zuerst auf Zug, entlastet wieder und belastet anschließend auf Druck, so stellt man im Experiment fest, dass der Betrag der Fließspannung auf Druck nunmehr merklich gegen¨ uber dem urspr¨ unglichen Wert herabgesetzt ist. Dieses Ph¨ anomen nennt man Bauschinger-Effekt (J. Bauschinger, 1833–1893). Er spielt bei zyklischer Belastung eine wichtige Rolle.

6.3

Plastizität

349

Der Verlauf der Kurven im Spannungs-Dehnungs-Diagramm ˙ ab. Dieser Einfluss h¨ angt von der Dehngeschwindigkeit ε˙l = l/l ist allerdings bei nicht zu großer Geschwindigkeit vernachlässigbar (geschwindigkeitsunabh¨ angige Plastizit¨ at). Bei hohen Geschwindigkeiten (Plastodynamik) erh¨ oht sich im allgemeinen die Fließspannung. Dabei kann sich auch die Steigung der Kurve im Verfestigungsbereich ¨ andern. Die Temperatur hat ebenfalls einen Einfluss auf die Eigenschaften von Metallen. So k¨ onnen Metalle zum Beispiel bei sehr niedrigen Temperaturen ihre F¨ ahigkeit, plastisch zu fließen (duktiles Verhalten) verlieren. Sie verhalten sich dann bis zum Bruch elastisch. Solche Materialien nennt man spröde. Bei sehr hohen Temperaturen tritt dagegen Kriechen auf (vgl. Abschn. 6.1). Bei praktischen Anwendungen ist es h¨ aufig zul¨ assig, den gesamten elastischen Bereich als linear aufzufassen und den plastischen Bereich ebenfalls durch eine Gerade anzun¨ ahern. Man beschreibt dann das elastisch-plastische Materialverhalten statt durch die wirkliche Kurve durch eine bilineare N¨ aherung (Abb. 6.23a). Wenn man den Anstieg der Kurve im plastischen Bereich – d.h. die Verfestigung – nicht ber¨ ucksichtigt (Abb. 6.23b), so spricht man von einem elastisch-ideal plastischen Materialverhalten. Nehmen wir an, dass der Betrag der Fließspannung f¨ ur Zug und Druck gleich ist, so lautet in diesem Fall das Stoffgesetz: ⎧ ⎪ ⎨E ε , |ε| ≤ εF (|σ| ≤ σF ) , (6.51) σ= ⎪ ⎩σ , |ε| ≥ ε = σ /E . F F F Wird die elastische Dehnung im Vergleich zur plastischen Dehnung vernachl¨ assigt (E → ∞), so heißt das Verhalten starr-plastisch. Eine Idealisierung des Stoffverhaltens nach Abb. 6.2b wird starrideal plastisch genannt. Nach Abschnitt 6.1 l¨ asst sich das starr-ideal plastische Materialverhalten durch ein Reibelement (Abb. 6.2c) veranschaulichen. Modelle f¨ ur die in den Abb. 6.23a, b dargestellten Stoffgesetze erh¨ alt man durch geeignete Kombinationen des Reibelements mit Federn. Eine Reihenschaltung nach Abb. 6.23d lässt auch f¨ ur

350


Abb. 6.23

σ < σF eine Dehnung zu und beschreibt somit ein elastisch-ideal plastisches Verhalten. Elastisch-plastisches Materialverhalten mit Verfestigung wird durch die Schaltung nach Abb. 6.23c modelliert. Durch zus¨ atzliches Einbeziehen von D¨ ampfern kann man Modelle erzeugen, die viskoses Verhalten einschließen. Der in Abb. 6.24a dargestellte K¨ orper wird Bingham-Körper (E. C. Bingham, 1878–1945) genannt. Er ist ein Modell f¨ ur visko-plastisches Materialverhalten (z.B. Zahnpasta). Um das Stoffgesetz f¨ ur den BinghamK¨ orper zu bestimmen, treffen wir drei Fallunterscheidungen. Zuerst sei |σ| < σF . Dann verhindert das Reibelement eine Dehnung, und es gilt ε = 0. Wenn dagegen die aufgebrachte Zugspannung σ die Fließspannung σF u ¨berschreitet (σ > σF ), dann wird das Modell auseinandergezogen. Dabei gilt (vgl. Abb. 6.24b): σ = η ε˙ + σF (Superposition der Spannungen). Ist schließlich bei einem Druckversuch der Betrag der Spannung σ gr¨ oßer als die Fließspannung

Abb. 6.24

6.3

Plastizität

351

(|σ| > σF → σ < −σF ), dann wird das Modell zusammengeschoben, und der Spannungs-Dehnungs-Zusammenhang lautet σ = η ε˙ − σF (beim Zusammenschieben muss die Spannung im Reibelement in entgegengesetzter Richtung angesetzt werden). Zusammenfassen der drei F¨ alle liefert das Stoffgesetz: ⎧ 1 ⎪ ⎪ (σ + σF ) , σ < − σF , ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ η (6.52) ε˙ = 0 , − σF < σ < σ F , ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎩ (σ − σF ) , σ > σF . η Der Bingham-K¨ orper verh¨ alt sich f¨ ur Spannungen unterhalb der Fließgrenze wie ein starrer K¨ orper und oberhalb der Fließgrenze wie eine Newtonsche Fl¨ ussigkeit. 6.3.2 Fachwerke

Bei einem statisch bestimmten Fachwerk kann man die Stabkräfte allein aus den Gleichgewichtsbedingungen ermitteln. Ist das Fachwerk dagegen statisch unbestimmt, so m¨ ussen zur Ermittlung der Stabkr¨ afte auch das Stoffgesetz und die Verformung (Kompatibilität) einbezogen werden. In der Elastostatik wird dabei vorausgesetzt, dass alle St¨ abe des Fachwerks nur elastisch gedehnt werden. Wir wollen in diesem Abschnitt das Verhalten von Fachwerken untersuchen, wenn in einem oder in mehreren Stäben die Fließspannung erreicht wird. Von großer praktischer Bedeutung ist dabei zum Beispiel die Bestimmung der Belastung, bei der die Tragf¨ ahigkeit des Fachwerks verloren geht. Diese Belastung anken uns auf elastischbezeichnet man als Traglast. Wir beschr¨ ideal plastisches Materialverhalten nach (6.51) (vgl. Abb. 6.23b). Instabilit¨ aten (elastisches bzw. plastisches Knicken) werden ausgeschlossen. Wir betrachten als einfaches Beispiel f¨ ur ein statisch bestimmtes Fachwerk den Stabzweischlag nach Abb. 6.25a, der durch die abe bestehen aus Kr¨ afte FH und FV belastet ist. Die beiden St¨

352


Abb. 6.25

dem gleichen Material (Fließspannung √ σF ) und haben die Querschnittsfl¨ achen A1 = A und A2 = 2A. Wir wollen untersuchen, bei welcher Belastung plastisches Fließen auftritt. Zun¨ achst bestimmen wir die Stabkr¨ afte. Das Gleichgewicht am Knoten liefert √ √ 2 2 (FV + FH ) , (FV − FH ) . S1 = S2 = 2 2 Wenn die Spannungen in beiden St¨ aben dem Betrag nach kleiner als die Fließspannung sind, dann kann plastisches Fließen nicht auftreten. In diesem Fall sind die Ungleichungen |σj | < σF

→ − σ F < σj < σF ,

j = 1, 2

(6.53)

erf¨ ullt. Mit σ1 = S1 /A1 und σ2 = S2 /A2 folgen daraus √ F V − FH 2(FV + FH ) < 1, −1 < < 1. −1 < 2A σF 2A σF Wir f¨ uhren nun die Normalkraft Npl = σF A sowie die dimensionslosen Lastparameter fH = FH /Npl und fV = FV /Npl ein. Damit werden √ 1 2 (fV + fH ) < 1 , −1 < − 1 < (fV − fH ) < 1 . (6.54) 2 2 Wenn wir diese Ungleichungen durch die entsprechenden Gleichungen ersetzen, so werden dadurch in der Ebene der Lastparameter vier Geraden beschrieben (Abb. 6.25b). Die Ungleichun-

6.3

Plastizität

353

gen legen den von den Geraden eingeschlossenen Bereich fest. Da wir vorausgesetzt haben, dass die Fließspannungen f¨ ur Zug bzw. Druck betragsm¨ aßig gleich sind, ist dieser Bereich punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Wenn die Kr¨ afte FH und FV so groß sind, dass sie einem Punkt P im Innern des Bereichs entsprechen, dann ist die Spannung in beiden St¨ aben kleiner als die Fließspannung. Entspricht die Belastung dagegen einem Punkt P ∗ auf einer Geraden, die den Bereich begrenzt, so wird im zugeordneten Stab die Fließspannung erreicht, und√ der Stab fließt. Zum Beispiel f¨ uhrt eine Belastung mit fH = fV = 2/2 zum Fließen des Stabes 1 unter Zug. Dies ist in Abb. 6.25b durch das Symbol 1 Z an der entsprechenden Geraden angedeutet. Damit wird das Fachwerk beweglich (kinematisch unbestimmt), und seine Tragfähigkeit geht verloren. Bei einer Belastung, die einem Punkt P ∗∗ außerhalb des Bereichs entspricht, w¨ urden aus den Gleichgewichtsbedingungen am Knoten Spannungen folgen, die gr¨ oßer als die Fließspannung σF sind. Eine solche Belastung ist bei elastisch-ideal plastischem Materialverhalten nicht m¨ oglich (unzul¨ assig). Aus diesem Grund nennt man den durch die Zul¨ assigkeitsbedingungen |σj | ≤ σF

(6.55)

assigkeitsbereich. gegebenen abgeschlossenen Bereich den Zul¨ ¨ Die Uberlegungen, die wir f¨ ur den Stabzweischlag durchgef¨ uhrt haben, k¨ onnen verallgemeinert werden. F¨ ur ein Fachwerk mit n St¨ aben erh¨ alt man n Ungleichungen |σj | ≤ σF . Bei zwei unabh¨ angigen Lastparametern wird dann aus dem Fließviereck“ ” nach Abb. 6.25b ein Fließpolygon“. Wenn mehr als zwei un” abh¨ angige Lastparameter existieren, dann wird aus dem Fließpolygon ein Fließpolyeder“ (Fließfl¨ ache) in einem mehrdimensio” nalen Lastraum. Wir betrachten nun das statisch unbestimmte Fachwerk nach Abb. 6.26a. Es besteht aus drei St¨ aben gleichen Materials (Fließache A. Wir wollen auch spannung σF ) und gleicher Querschnittsfl¨ hier untersuchen, wann plastisches Fließen auftritt. Wenn die Kraft F hinreichend klein ist, werden alle drei Stäbe rein elastisch gedehnt. Dann kann man die Stabkräfte zu

354


Abb. 6.26

S1 = S3 =

1 √ F, 2+ 2

S2 =

2 √ F 2+ 2

(6.56)

bestimmen (Band 2, Abschnitt 1.6). Die Spannung σ2 = S2 /A im Stab 2 ist gr¨ oßer als die Spannungen σ1 = σ3 = S1 /A in den St¨ aben 1 und 3. Daher wird bei einer Erh¨ ohung der Belastung die Fließspannung zuerst im Stab 2 erreicht: √ σ2 = σF → Fel = (1 + 2/2) σF A . (6.57) Wir bezeichnen die Kraft F = Fel als elastische Grenzlast. Bei eiahigkeit des Stabes 2 erschöpft. ner Belastung durch Fel ist die Tragf¨ Im Gegensatz zu einem statisch bestimmten Fachwerk muss allerdings bei einem statisch unbestimmten Fachwerk das Erreichen der Fließspannung in einem Stab nicht zum Verlust der Tragfähigkeit f¨ uhren. Die Spannungen in den St¨ aben 1 und 3 haben f¨ ur amlich erst den Wert F = Fel n¨ σ1 = σ3 = σF /2

(6.58)

erreicht. Daher fließen diese St¨ abe unter der Wirkung der Kraft Fel noch nicht, und das Gesamtfachwerk ist weiterhin unbeweglich (kinematisch bestimmt). Somit ist es m¨ oglich, die Belastung u ¨ber den Wert Fel hinaus zu steigern. Dabei kann die Spannung σ2 die Fließspannung nicht u ¨berschreiten: σ2 = σF . Aus dem Gleichgewicht am Knoten (Abb. 6.26b) folgen nun die Spannungen in den St¨ aben 1 und 3: √ 1√ 2 F − σF . ↑: 2σ1 A 2 + σF A − F = 0 → σ1 = σ3 = 2 2 A

6.3

Sie erreichen die Fließspannung f¨ ur die Traglast √ FT = (1 + 2) σF A .

Plastizität

355

(6.59)

Unter ihrer Wirkung fließen alle drei St¨ abe, und das Fachwerk verliert seine Tragfähigkeit. Durch Vergleich mit (6.57) erkennt man, dass die zum endg¨ ultigen Versagen f¨ uhrende Traglast FT deutlich u ¨ber der elastischen Grenzlast liegt. Wir wollen abschließend noch die Absenkung v des Knotens unter der Wirkung der Kraft F ermitteln. F¨ ur F ≤ Fel gilt v=

2 S2 l Fl √ = . EA 2 + 2 EA

Mit F = Fel nach (6.57) ergibt sich daraus vel = σF l/E. F¨ ur Fel ≤ alt man F < FT erh¨ √ √ Δl1 σ1 l 2l F = 2 ε1 l1 = 2 = − σF . v= cos(π/4) E E A Dies liefert v = 2σF l/E = 2vel f¨ ur die Traglast FT . Der Zusammenhang zwischen der Last F und der Absenkung v ist in Abb. 6.26c dargestellt.

Abb. 6.27

Bei einem statisch bestimmten Fachwerk f¨ uhrt das Erreichen der Fließspannung in einem der St¨ abe – ideal-plastisches Materialverhalten vorausgesetzt – immer zu kinematischer Unbestimmtheit und damit zum Verlust der Tragf¨ ahigkeit. Ein statisch unbestimmtes Fachwerk kann beim Erreichen der Fließspannung in einem Stab in Sonderf¨ allen ebenfalls beweglich werden. Ein Beispiel daf¨ ur zeigt Abb. 6.27: wenn der Stab 1 plastisch fließt, kann sich das restliche Fachwerk um das Lager A drehen. Man muss daher bei einem Fachwerk, bei dem einzelne St¨ abe plastizieren, immer u ufen, ob es noch kinematisch bestimmt ist. ¨berpr¨

356

B6.7


Beispiel 6.7 Das Fachwerk nach Abb. 6.28a besteht aus f¨ unf Stäben

(Querschnittsfl¨ ache A, Fließspannung σF ). Es wird durch die Kräfte F1 und F2 belastet. Man bestimme das Fließpolygon. In welchem Stab wird f¨ ur F1 = F2 die Fließspannung bei einer Laststeigerung zuerst erreicht? Wie groß sind dann die Kr¨ afte?

Abb. 6.28

L¨ osung Das Fachwerk ist statisch bestimmt. Die Stabkr¨ afte kön-

nen zum Beispiel mit Hilfe des Knotenpunktverfahrens bestimmt werden. Man erh¨ alt

√ 2 S2 = F 1 + F 2 , S3 = − 2 F1 + F2 , S 1 = F2 , 3 √ √ 2 5 5 S4 = F1 , F1 . S5 = − 3 3 Mit Npl = σF A und den dimensionslosen Lastparametern f1 = F1 /Npl und f2 = F2 /Npl lauten daher die Zulässigkeitsbedingungen (6.55) − 1 ≤ f2 ≤ 1 , − 1 ≤ f1 + f2 ≤ 1 ,

√ 2 − 1 ≤ − 2 f1 + f2 ≤ 1 , 3 √ √ 2 5 5 −1 ≤ f1 ≤ 1 , f1 ≤ 1 . −1≤− 3 3

6.3

Plastizität

357

Das den zul¨ assigen Bereich begrenzende Fließpolygon ist in Abb. 6.28b dargestellt. Da der Rand des Bereichs nur von denjenigen Geraden gebildet wird, die zu den St¨ aben 1, 3 und 5 gehören, kann die Fließspannung auch nur in diesen St¨ aben erreicht werden. Abbildung 6.28b zeigt, dass sie f¨ ur F1 = F2 zuerst in Stab 3 erreicht wird (P ∗ ). Dann gilt √ 3 2 σ A. → F 1 = F2 = S3 = − σF A 10 F Beispiel 6.8 Man bestimme die elastische Grenzlast und die Trag-

last f¨ ur das aus f¨ unf gleichen St¨ aben bestehende Fachwerk nach Abb. 6.29a.

Abb. 6.29

L¨ osung Das Fachwerk ist einfach statisch unbestimmt. F¨ ur F ≤

afte zum Beispiel mit Hilfe des Prinzips der Fel können die Stabkr¨ virtuellen Kr¨ afte (Band 2, Abschn. 6.2) bestimmt werden: S1 = S2 = − 35 F ,

S3 = S4 = 25 F ,

S5 = − 25 F .

Da die Spannung in den St¨ aben 1 und 2 gr¨ oßer ist als diejenige in den anderen St¨ aben, wird die Fließspannung zuerst in diesen beiden St¨ aben erreicht: S 1 = S2 = − σ F A . Die elastische Grenzlast Fel lautet somit − 35 Fel = − σF A

→

Fel = 53 σF A .

B6.8

358


Bei einer Laststeigerung erh¨ alt man mit S1 = S2 = −σF A und S3 = S4 aus den Gleichgewichtsbedingungen an den Knoten (Abb. 6.29b) ↓: − 2σF A 12 + S5 + F = 0

→

S5 = σF A − F ,

↑:

→

S3 = S 4 = − S 5 .

2S3 12 + S5 = 0

Die Traglast ist erreicht, wenn das Fachwerk kinematisch unbestimmt wird. Im Beispiel gilt dann σ3 = σ4 = − σ5 = σF

→

FT = 2σF A .

6.3.3 Balken

In der Elastostatik haben wir uns mit der Biegung von Balken bei elastischer Deformation befasst (Band 2, Kap. 4). Wir wollen nun die Spannungsverteilung und die Durchbiegung bestimmen, wenn der Balken auch plastisch verformt wird. Dabei setzen wir wie in der Elastostatik voraus, dass Querschnitte, die vor der Deformation senkrecht auf der Balkenachse standen, bei der Deformation eben bleiben und auch danach senkrecht auf der deformierten Balkenachse stehen (Annahmen von Bernoulli f¨ ur schlanke Balken). Das Materialverhalten f¨ ur die Normalspannungen wird als elastisch-ideal plastisch angenommen; die Fließspannungen f¨ ur Zug- bzw. Druckbelastung sollen dem Betrag nach gleich sein (vgl. (6.51)). Da die Schubspannungen in vielen F¨ allen klein sind, werden sie hier nicht ber¨ ucksichtigt. Schließlich setzen wir noch voraus, dass die Normalkraft im Balken Null ist. 6.3.3.1 Spannungsverteilung

Wir beschr¨ anken uns im folgenden auf Balken mit Querschnitten, die symmetrisch zur z-Achse sind (Abb. 6.30). Wegen der Hypothese vom Ebenbleiben der Querschnitte ist die Dehnung linear von z abh¨ angig: ε = c z. Dabei ist c ein noch unbestimmter Parameter. Bei einer Belastung des Balkens, die nur elastische Dehnungen hervorruft (|ε| < εF , vgl. Abb. 6.23b), ist nach dem Hookeschen Gesetz die Spannungsverteilung ebenfalls linear, und

6.3

Plastizität

359

Abb. 6.30

es gilt |σ| = E |ε| < σF . Wenn man die Belastung erhöht, dann erreichen die Dehnung bzw. die Spannung in einer Randfaser die orige Biegemoment Werte εF bzw. σF . Wir bezeichnen das zugeh¨ Mel als elastisches Grenzmoment. Es ist durch σF =

Mel W

→

Mel = W σF

(6.60)

gegeben, wobei W das Widerstandsmoment darstellt (Band 2, Gln. (4.27) und (4.28)). Bei einer zus¨ atzlichen Steigerung der Belastung ist zwar die Dehnung wegen des Ebenbleibens der Querschnitte weiterhin linear verteilt, es ¨ andert sich jedoch die Spannungsverteilung. Zunächst von einem und dann auch vom anderen Rand her breitet sich je eine Zone aus, in der gilt: |ε| > εF , |σ| = σF (bei elastisch-ideal plastischem Materialverhalten kann die Fließspannung σF nicht u ¨berschritten werden). In diesen Zonen treten demnach plastische Dehnungen auf. Schließlich wird ein Zustand erreicht, bei dem die Spannung im gesamten Querschnitt gleich der Fließspannung ist. Man nennt dies den vollplastischen Zustand. Eine weitere Laststeigerung ist dann nicht mehr m¨ oglich.

360


Bei diesem Vorgang verschiebt sich die neutrale Faser. Ihre Lage kann aus der Bedingung N = 0 ermittelt werden. Im vollplastischen Zustand des Querschnitts folgt daraus mit den Teilflächen Ao und Au (Abb. 6.30) σF Ao − σF Au = 0

→

Ao = Au = A/2 .

Die Nullinie des Querschnitts teilt dann die Fläche in zwei gleich große Teile. Das zugeh¨ orige Biegemoment Mpl heißt vollplastisches Moment. Es ergibt sich als Resultierende der Spannungsverteilung zu A Mpl = σF (zo + zu ) = Wpl σF . (6.61) 2 Dabei sind zo bzw. zu die Abst¨ ande der Schwerpunkte der oberen bzw. der unteren Teilfl¨ ache von der Nullinie. Die Größe Wpl =

A (zo + zu ) 2

(6.62)

heißt plastisches Widerstandsmoment. Das Verhältnis α=

Mpl Wpl = Mel W

(6.63)

hängt nur von der Geometrie des Querschnitts ab und wird daher als Formfaktor bezeichnet. Bei einem Rechteckquerschnitt (Breite b, H¨ ohe h) ergibt sich wegen zo = zu = h/4 das plastische Widerstandsmoment zu Wpl = b h2 /4, und mit W = b h2 /6 erhalten wir den Formfaktor zu α = 3/2. Im Falle eines Kreisquerschnitts achst Wpl = 4r3 /3, und (Radius r) folgt mit zo = zu = 4r/3π zun¨ 3 mit W = π r /4 ergibt sich α = 16/3 π = 1, 70. Wenn das Biegemoment in einem Querschnitt das elastische Grenzmoment Mel u ¨bersteigt, tritt zwar plastisches Fließen auf, die Tragf¨ ahigkeit des Balkens geht dabei jedoch noch nicht verloren. Erst wenn das vollplastische Moment Mpl erreicht wird, d. h., der gesamte Querschnitt plastiziert ist, wird an dieser Stelle im Balken die Grenze der Tragf¨ ahigkeit erreicht. Dann wirkt der Querschnitt wie ein Gelenk“, welches das Moment Mpl u ¨berträgt. ” Ein statisch bestimmt gelagerter Balken wird dann kinematisch unbestimmt. Man bezeichnet dieses Gelenk als Fließgelenk, und

6.3

Plastizität

361

die Belastung, bei der der Balken kinematisch unbestimmt wird, heißt Traglast. Bei einem statisch unbestimmt gelagerten Balken f¨ uhrt die Ausbildung eines Fließgelenks im allgemeinen noch nicht zum Verlust der Tragf¨ ahigkeit. Als illustratives Beispiel betrachten wir den statisch bestimmt gelagerten Balken nach Abb. 6.31. Das maximale Biegemoment Mmax = F l/4 tritt in der Balkenmitte auf. Wenn F = Fel = 4 Mel /l = 4 W σF /l ist, dann beginnt dort in einer Randfaser das plastische Fließen. Bei der Traglast F = FT = 4 Mpl /l = 4 Wpl σF /l ist der Querschnitt in der Balkenmitte vollständig plastiziert, und die Tragf¨ ahigkeit ist damit ersch¨ opft.

Abb. 6.31

Wir wollen nun untersuchen, wie weit sich in einem Balken mit Rechteckquerschnitt bei einem gegebenen Biegemoment M > Mel die plastische Zone im Querschnitt ausbreitet. Bei einem Rechteckquerschnitt geht die neutrale Faser auch bei plastischer Verformung durch den Fl¨ achenschwerpunkt, und die Spannungsverteilung ist punktsymmetrisch (Abb. 6.32). Kennzeichnen wir die Grenze zwischen dem elastischen und dem plastischen Bereich onnen wir mit σ = E ε und ε = c z durch den Abstand zF , so k¨ die Spannungsverteilung im Bereich z > 0 schreiben als σ = E ε = E cz,

z < zF

(elastischer Bereich) ,

σ = σF = E c zF , zF < z < h/2 (plastischer Bereich) .

Abb. 6.32

362


Das Biegemoment folgt durch Integration (Band 2, Gl. (4.19a)) zu

zF

σ z dA = 2 b

M = A

= 2 b E c zF

h/2 E c z dz + 2 b E c zF z dz 2

0

zF

h2 z2 z2 − F = b σF − F . 8 6 4 3

h2

Durch Aufl¨ osen erhalten wir daraus mit (6.60) und W = b h2 /6 h M zF = 3−2 . (6.64) 2 Mel F¨ ur M = Mel ergibt sich zF = h/2 (Fließen in beiden Randfasern), f¨ ur M/Mel = 3/2 folgt zF = 0 (vollplastischer Zustand). Bei reiner Biegung ist das Biegemoment unabhängig von der L¨ angskoordinate x. Dann h¨ angt auch zF nicht von x ab, d. h., die plastische Zone hat dann entlang der Balkenachse eine konstante Dicke. Wenn sich dagegen das Biegemoment mit dem Ort andert, dann ¨ andert sich auch die Dicke der plastischen Zone. Als ¨ Beispiel daf¨ ur betrachten wir den Balken nach Abb. 6.33a unter einer Gleichstreckenlast. Wenn wir die x-Koordinate von der Balkenmitte z¨ ahlen, dann ist das Biegemoment durch x 2 q0 l2 1−4 M (x) = 8 l gegeben. Das elastische Grenzmoment Mel wird zuerst in der Balkenmitte erreicht. Die entsprechende Belastung bezeichnen wir mit qel . Mit Mel = qel l2 /8 sowie den dimensionslosen Größen uhrt dann (6.64) auf ξ = x/l und ζ = 2zF /h f¨

Abb. 6.33

6.3

ζ2 = 3 − 2

Plastizität

363

q0 q0 2 3 qel − 2 q0 (1 − 4 ξ 2 ) → ζ 2 − 8 ξ = . (6.65) qel qel qel

Demnach verl¨ auft hier die Grenze zwischen dem elastischen und dem plastischen Bereich hyperbelf¨ ormig (Abb. 6.33b). F¨ ur q0 = qel folgt aus (6.65) ζ 2 − 8 ξ 2 = 1. Da |ζ| ≤ 1 sein muss, ist dies nur f¨ ur ζ = ±1, ξ = 0 erf¨ ullt (Fließen in den Randfasern). Der vollplastische Zustand wird f¨ ur die Traglast q0 = qT = 3 qel /2 erreicht. Dann geht (6.65) in √ → ζ = ±2 3 ξ ζ 2 − 12 ξ 2 = 0 u ur ¨ber. Hierdurch sind die √ Asymptoten der Hyperbel festgelegt. F¨ ζ = ±1 wird ξ = ± 3/6. Die Ausdehnung des plastischen Bereichs entlang der Balkenachse beim Entstehen des √ Fließgelenks (vollplastischer Zustand) ist damit durch lpl = 3 l/3 = 0, 58 l gegeben. Bei dem beidseitig gelenkig gelagerten Balken unter der Einzelkraft F nach Abb. 6.34a lautet der Momentenverlauf ⎧ x Fl ⎪ ⎪ 1−2 , x > 0, ⎨ 4 l M (x) = ⎪ x Fl ⎪ ⎩ 1+2 , x < 0. 4 l Mit Mel = Fel l/4 f¨ uhrt (6.64) hier auf die Gleichung einer Parabel: F (1 ± 2 ξ) . (6.66) ζ2 = 3 − 2 Fel Die parabelf¨ ormigen Grenzkurven sind in Abb. 6.34b dargestellt. F¨ ur die Traglast F = FT = 3Fel /2 wird aus (6.66) ζ 2 = ±6 ξ. Mit

Abb. 6.34

364


ζ = ±1 erh¨ alt man daraus im vollplastischen Zustand ξ = ±1/6. Die Ausdehnung des plastischen Bereichs in Balkenlängsrichtung ist dann durch lpl = l/3 gegeben. B6.9

Beispiel 6.9 Man bestimme die Formfaktoren f¨ ur einen d¨ unnwandigen T-Querschnitt und f¨ ur einen Dreieckquerschnitt nach Abb. 6.35a.

Abb. 6.35

L¨ osung Wir bestimmen zun¨ achst das Widerstandsmoment W f¨ ur

den T-Querschnitt. Mit dem Fl¨ achentr¨ agheitsmoment

3 th 5 h 2 h 2 + t h3 th + th = Iy = 12 4 4 24 bez¨ uglich der y-Achse (Abb. 6.35b) und dem Randfaserabstand |z|max = 3h/4 erhalten wir (Band 2, Gl. (4.27)) W =

Iy 5 t h2 . = |z|max 18

(a)

Das plastische Widerstandsmoment Wpl folgt aus (6.62) mit A/2 = t h, zo = t/2 ≈ 0 und zu = h/2 zu Wpl = 12 A(zo + zu ) =

1 2

t h2 .

(b)

Nach (6.63) mit (a) und (b) erh¨ alt man somit f¨ ur den Formfaktor des d¨ unnwandigen T-Querschnitts α=

Wpl = 1, 8 . W

F¨ ur den Dreieckquerschnitt lautet das Fl¨ achenträgheitsmoment (Band 2, Tab. 4.1) Iy = b h3 /36, und wegen |z|max = 2h/3 erhält

6.3

Plastizität

365

man das Widerstandsmoment zu W = b h2 /24 .

(c)

Aus der Dreiecksfläche Ao = b h/4 = c ho /2, der Trapezfläche /2 sowie ho + hu = h folgen Au =√b h/4 = (b + c)hu√ √ die Höhen ho = 2 h/2, hu = (2 − 2)h/2 und die Breite c = 2 b/2 (Abb. 6.35b). Die Schwerpunkte So bzw. Su werden durch √ √ 8−5 5 hu 2 b + c = h zu = zo = ho /3 = 2 h/6 , 3 b+c 6 festgelegt. Damit gilt nach (6.62) √ 2− 2 2 Wpl = bh , 6 und der Formfaktor ergibt sich zu α=

(d)

√ Wpl = 4(2 − 2) = 2, 34 . W

6.3.3.2 Biegelinie

Die Differentialgleichung der Biegelinie f¨ ur einen Balken, der rein elastisch verformt wird, lautet w = −

M . EI

(6.67)

Wir wollen zun¨ achst diese Gleichung in eine Form bringen, die zum Vergleich mit der – noch herzuleitenden – Differentialgleichung der Biegelinie f¨ ur einen Balken mit plastischen Zonen besser geeignet ist. Dabei beschr¨ anken wir uns auf Balken mit Rechteckquerschnitt. Mit M (x) = Mel m(x), Mel = b h2 σF /6 gemäß (6.60) und I = b h3 /12 wird aus (6.67) w (x) = −

2σF m(x) . Eh

(6.68)

Da diese Gleichung nur bei elastischer Verformung gilt, unterliegt sie der Bedingung |m(x)| ≤ 1. Wir nehmen nun an, dass im Balken plastische Verzerrungen auftreten. Wegen der Bernoullischen Annahmen gelten auch hier

366


die kinematischen Beziehungen ε = u = ψ z und ψ = −w , d. h. w = −ε/z (Band 2, Gln. (4.22b) und (4.30)). Betrachten wir im Querschnitt die Grenze der plastischen Zone (z = zF ), so folgt darachst die Beziehung w = −σF /EzF . aus mit ε = εF = σF /E zun¨ ur Setzen wir noch zF nach (6.64) ein, so erhalten wir schließlich f¨ 1 ≤ |m(x)| < 3/2 (Rechteckquerschnitt) die Differentialgleichung w = −

2σF 1 . Eh 3 − 2m(x)

(6.69)

Die Differentialgleichungen (6.68) und (6.69) stellen wegen κ ≈ w (Band 2, Gl. (4.32b)) Beziehungen zwischen der Kr¨ ummung κ des Balkens und dem Biegemoment dar. Mit der Kr¨ ummung κel = 2σF /Eh beim Einsetzen des plastischen Fließens (|m| = 1) folgt bei elastischer Verformung aus (6.68) |κ| |M | = , Mel κel und beim Auftreten von plastischen Zonen erhält man aus (6.69) 1 κel 2 3 |M | 1− . = Mel 2 3 κ Der Zusammenhang zwischen dem Biegemoment und der Kr¨ ummung ist im elastischen Fall linear, w¨ ahrend im plastischen Fall eine nichtlineare Abh¨ angigkeit besteht und die Kr¨ ummung f¨ ur |M |/Mel → 3/2 gegen Unendlich geht (Abb. 6.36).

Abb. 6.36

B6.10

Beispiel 6.10 Ein beidseitig gelenkig gelagerter Balken mit Recht-

eckquerschnitt wird durch zwei Momente M0 belastet (Abb. 6.37a). Man bestimme die Biegelinie bei elastischer und bei plastischer Verformung.

6.3

Plastizität

367

Abb. 6.37

L¨ osung Das Biegemoment im Balken ist konstant: m0 = M0 /Mel .

Bei elastischer Verformung gilt 0 < m0 ≤ 1. Aus (6.68) erhält man mit κel = 2σF /(Eh) durch Integration w = − κel m0 x + C1 , w = − κel m0 x2 /2 + C1 x + C2 . Aus den Randbedingungen folgen die Integrationskonstanten: w (0) = 0 → C1 = 0 , w(l/2) = 0 → C2 = κel m0 l2 /8 . Damit lautet die Biegelinie bei elastischer Deformation x 2 κel m0 l2 1−4 , 0 < m0 ≤ 1 . w(x) = 8 l Bei plastischer Verformung gilt 1 ≤ m0 < 3/2. Dann erhält man durch Integration von (6.69) w = −

κel

x + C3 , 3 − 2m0 κel x2 + C3 x + C4 , w=− 3 − 2m0 2

und die Integrationskonstanten folgen zu C3 = 0 ,

κel l2 C4 = . 8 3 − 2m0

Daher lautet die Biegelinie bei plastischer Verformung

368


x 2 κel l2 1−4 , w= l 8 3 − 2m0

1 ≤ m0 < 3/2 .

Sie unterscheidet sich bis auf den Vorfaktor nicht von der elastischen Verformung. Die Durchbiegung w(0) in der Balkenmitte ist achst sie unbeschränkt in Abb. 6.37b dargestellt. F¨ ur m0 → 3/2 w¨ an.

6.4

6.4 Weiterf¨ uhrende Literatur Betten, J., Kontinuumsmechanik, Springer, Berlin 2001 Betten, J., Creep Mechanics, Springer, Berlin 2002 Chakrabarty, J., Theory of Plasticity, McGraw-Hill, 1987 Christensen, R.M., Theory of Viscoelasticity, Dover, New York 2003 Kreissig, R., Einf¨ uhrung in die Plastizit¨ atstheorie, Fachbuchverlag, Leipzig 1992 Lemaitre, J., Chaboche, J.L., Mechanics of Solid Materials, Cambridge University Press 1990 Lubliner, J., Plasticity Theory, McMillan, New York 1990

Kapitel 7 Numerische Methoden in der Mechanik

7

7 Numerische Methoden in der Mechanik 7.1 7.2 7.3 7.3.1 7.3.2 7.4 7.4.1 7.4.2 7.5 7.5.1 7.5.2 7.5.3 7.5.4 7.5.5 7.5.6 7.6 7.6.1 7.6.2 7.6.3 7.6.4 7.6.5 7.6.6 7.7

Einleitung......................................................... Differentialgleichungen in der Mechanik ................... Integrationsverfahren f¨ ur Anfangswertprobleme .......... Explizite Integrationsverfahren ............................... Implizite Integrationsverfahren ............................... Differenzenverfahren f¨ ur Randwertprobleme............... Gew¨ ohnliche Differentialgleichungen ........................ Partielle Differentialgleichungen ............................. Methode der gewichteten Residuen......................... Vorbemerkungen ................................................ Kollokationsverfahren .......................................... Galerkin-Verfahren .............................................. Numerische Integration ........................................ Beispiele .......................................................... Verfahren von Ritz ............................................. Methode der finiten Elemente ............................... Einf¨ uhrung ....................................................... Aufstellung der Gleichungssysteme.......................... Stabelement...................................................... Balkenelement ................................................... Element f¨ ur die Kreisplatte................................... Finite Elemente f¨ ur zweidimensionale Probleme ......... Weiterf¨ uhrende Literatur ......................................

371 371 374 374 383 387 387 393 398 398 399 399 402 404 410 419 419 423 426 429 435 438 455

7.1

Einleitung

371

7.1 Einleitung

7.1

Die mathematische Formulierung mechanischer Probleme f¨ uhrt auf Gleichungen, die f¨ ur konkrete Aufgabenstellungen gelöst werden m¨ ussen. Diese Gleichungen k¨ onnen je nach Fragestellung von ganz unterschiedlichem Typ sein. Sie schließen algebraische Beziehungen, Differentialgleichungen oder Variationsgleichungen ein. Beispiele daf¨ ur finden sich in den B¨ anden 1 – 3 der Lehrbuchreihe und in den vorangegangenen Kapiteln dieses Buches. Algebraische Gleichungen sind zum Beispiel die Gleichgewichtsbedingungen in der Statik starrer K¨ orper, w¨ ahrend die Gleichung der Biegelinie eines Balkens eine gew¨ ohnliche Differentialgleichung ist. In der Kinetik wird die Bewegung des Massenpunktes durch gewöhnliche Differentialgleichungen beschrieben. Die Gleichungen f¨ ur die Scheibe in Kapitel 2 oder f¨ ur die Membran in Kapitel 3 stellen dagegen partielle Differentialgleichungen dar. Variationsgleichungen f¨ ur den Stab und den Balken sind in Abschnitt 2.7.3 angegeben. In diesem Kapitel wollen wir uns auf die L¨ osung von Differential- und Variationsgleichungen beschr¨ anken und daf¨ ur numerische N¨ aherungsmethoden verwenden. In den vorangegangenen Abschnitten wurden die entsprechenden Gleichungen mittels analytischer Verfahren gel¨ ost, was aber oft nur f¨ ur spezielle Geometrien und Randbedingungen gelingt. Da bei vielen praktischen Problemstellungen entweder komplizierte Geometrien oder z.B. auch Differentialgleichungen mit ver¨ anderlichen Koeffizienten vorliegen, ist ein rein analytisches Vorgehen h¨ aufig nicht m¨ oglich. Dies gilt sowohl f¨ ur lineare als auch in besonderem Maße f¨ ur nichtlineare Differentialgleichungen, bei denen geschlossene L¨ osungen nur selten auffindbar sind. Dann wird zur Bestimmung der Lösung bzw. zur guten Approximation der L¨ osung der Einsatz von numerischen Verfahren erforderlich. Entsprechende Methoden sollen in den folgenden Abschnitten vorgestellt werden.

7.2 Differentialgleichungen in der Mechanik Am Beispiel von Aufgaben aus der Mechanik wollen wir unterschiedliche Problemtypen von Differentialgleichungen klassifizie-

7.2

372

7 Numerische Methoden in der Mechanik

ren. Dabei beschr¨ anken wir uns hier auf gewöhnliche Differentialgleichungen. Die Unterscheidungen gelten dann sinngemäß auch f¨ ur partielle Differentialgleichungen. Eine gew¨ ohnliche Differentialgleichung ist eine gegebene Beziehung der Form (7.1) F x, y(x), y (x), . . . , y (n) (x) = r(x) zwischen der Funktion y(x) und deren Ableitung bis zur n-ten Ordnung. Bei den Aufgabenstellungen, die auf gewöhnliche Differentialgleichungen f¨ uhren, unterscheiden wir die folgenden Typen. Bei Anfangswertaufgaben sind diejenigen Lösungen zu ermitteln, f¨ ur die an einer Stelle n Anfangsbedingungen f¨ ur den Funktionswert und f¨ ur seine Ableitungen bis zur Ordnung n − 1 gegeben sind. Als Beispiel sei die Differentialgleichung der erzwungenen, ged¨ ampften Schwingung einer Punktmasse (Band 3, Abschnitt 5.3.2) y¨(t) +

c 1 d y(t) ˙ + y(t) = F (t) m m m

mit den Anfangswerten zur Zeit t0 y(t0 ) = y0

und

y˙ (t0 ) = v0

angegeben, wobei y˙ = dy/dt ist. Bei Randwertaufgaben handelt es sich um Problemstellungen, bei denen die n zus¨ atzlichen Bedingungen, welche die Lösung festlegen, als Randbedingungen f¨ ur die Funktionswerte bzw. die Ableitungen an zwei Stellen (x1 und x2 ) gegeben sind. Ein Beispiel ist die Differentialgleichung der Biegelinie (Band 2, Gl. (4.34a)) (EI w ) = q mit den Randbedingungen (Kragtr¨ ager) w(0) = 0 w (l) = 0

und und

w (0) = 0 , w (l) = 0 .

Bei Eigenwertaufgaben handelt es sich um homogene Randwertprobleme, die von einem reellen Parameter λ abhängen. Man in-

7.2

Differentialgleichungen in der Mechanik

373

teressiert sich dabei f¨ ur die F¨ alle, in denen die Aufgabenstellung nicht eindeutig l¨ osbar ist, d.h. wenn neben der trivialen Lösung noch weitere L¨ osungen existieren. Dies ist nur f¨ ur bestimmte Eioglich. Als Beispiel nehmen wir die Differentialgleigenwerte λ m¨ chung der Stabknickung f¨ ur EI = const (Band 2, Abschn. 7.2) wIV + λ2 w = 0,

λ2 =

F EI

mit den Randbedingungen (Euler-Fall III) w(0) = 0

und

w (0) = 0,

w(l) = 0

und

w (l) = 0.

Hierin bestimmt der auftretende Parameter λ die nichttrivialen L¨ osungen. Die zum Eigenwert λ geh¨ orige L¨ osung heißt Eigenfunktion. Analog k¨ onnen wir auch Aufgabenstellungen, denen partielle Differentialgleichungen zugrunde liegen, klassifizieren. Ein Randwertproblem ist z.B. durch die Gleichung der vorgespannten Membran (3.34) und die zugeh¨ origen Randbedingungen definiert. Zus¨ atzlich gibt es bei partiellen Differentialgleichungen aber auch ur eine Veränderliche noch Anfangsrandwertprobleme, bei denen f¨ (z.B. die Zeit) Anfangswerte und f¨ ur die andere Veränderliche (z.B. die Ortskoordinate) Randbedingungen vorgegeben werden. Zu diesen Aufgabenstellungen geh¨ oren z.B. die Schwingungsgleichungen in Kapitel 4. F¨ ur diese unterschiedlichen Aufgabentypen sollen nun numerische Methoden zur Approximation der L¨ osung angegeben werden. Wir unterscheiden dabei Verfahren, die direkt auf die Differentialgleichungen angewandt werden und Verfahren, die auf Arbeitsoder Energieprinzipien beruhen. So kann man, wie in Kapitel 2 gezeigt wurde, anstelle von der Differentialgleichung der Biegelinie auch von der zugeh¨ origen Variationsformulierung (Prinzip vom Minimum des Gesamtpotentials)

l 1 EIw 2 − 2 q w dx → Minimum Π (w) = 2 0

374


ausgehen und hierf¨ ur numerische Methoden entwickeln. Direkt auf die Differentialgleichung werden bei Anfangswertproblemen z.B. sogenannte Ein- oder Mehrschrittverfahren oder bei Randwertproblemen das Differenzenverfahren angewendet. Weitere Verfahren f¨ ur Randwertaufgaben, wie das von Galerkin oder die Fehlerquadratmethode basieren auf der Minimierung des Fehlers (Defektes), der beim Einsetzen einer Näherungslösung in die Differentialgleichung entsteht. Sie erfordern – wie oben angesprochen – eine Umformulierung der Aufgabenstellung. Basierend auf Variations- oder Arbeitsprinzipien kann dann das Ritzsche Verfahren angegeben werden, das neben dem Galerkinschen Verfahren die Grundlage der heute weitverbreiteten Methode der finiten Elemente bildet.

7.3

7.3 Integrationsverfahren f¨ ur Anfangswertprobleme Wir wollen in diesem Abschnitt die L¨ osung von Anfangswertproblemen mittels numerischer Integrationsverfahren behandeln. Dabei beschr¨ anken wir uns auf die Behandlung gewöhnlicher Differentialgleichungen in Form der Bewegungsgleichungen der Dynamik: y¨ = f t, y (t), y˙ (t) . (7.2) Zur n¨ aherungsweisen L¨ osung dieser Probleme unterscheidet man explizite und implizite Integrationsverfahren. Aufgrund ihrer Konstruktion verhalten sich diese Verfahren grundsätzlich unterschiedlich. In den folgenden Abschnitten werden Vertreter dieser beiden Methoden behandelt. 7.3.1 Explizite Integrationsverfahren

Bevor wir verschiedene Integrationsverfahren betrachten, wollen wir noch eine Umformung der Differentialgleichung (7.1) vornehmen, die in vielen F¨ allen Vorteile in der Formulierung bringt. Allgemein k¨ onnen wir jede Differentialgleichung n-ter Ordnung

7.3

Integrationsverfahren f¨ ur Anfangswertprobleme

y (n) (x) = f x, y(x), y (x), . . . , y (n−1) (x)

375

(7.3)

auf ein Differentialgleichungssystem erster Ordnung mit n Differentialgleichungen transformieren. Das hat den Vorteil, dass die numerischen Verfahren nur f¨ ur Differentialgleichungen 1-ter Ordnung entwickelt werden m¨ ussen. Wir erhalten dann mit den Hilfsfunktionen z1 (x) = y(x) z2 (x) = y (x) ...

= ...

zn (x) = y (n−1) (x) anstelle von (7.3) das ¨ aquivalente Differentialgleichungssystem ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ z1 z2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ z ⎥ ⎢ ⎥ z3 ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ z =⎢ ⎥=⎢ (7.4) ⎥. ⎢. . .⎥ ⎢ ⎥ ... ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ zn

f (x, z1 , z2 , . . . , zn )

Als Beispiel sei die Differentialgleichung EA u (x) = −n(x) des Stabes umgeformt (vgl. Band 2, Gl. (1.20b)). Sie ist zweiter Ordnung und liefert mit z1 (x) = u(x) und z2 (x) = u (x) die zwei Differentialgleichungen erster Ordnung z1 (x) = z2 (x), z2 (x) = −

n(x) . EA

Nat¨ urlich k¨ onnen auch zeitabh¨ angige Differentialgleichungen in gleicher Weise in Form von (7.4) umgeschrieben werden. So liefert (7.2) mit z1 = y und z2 = y˙ das ¨ aquivalente Differentialgleichungssystem 1. Ordnung z˙1 (t) = z2 (t) , z˙2 (t) = f [t, z1 (t), z2 (t)] .

(7.5)

376


Um das Prinzip eines expliziten Integrationsverfahrens zu erl¨ autern, betrachten wir zun¨ achst nur die Gleichung z˙ = f t, z(t) . (7.6) Das einfachste Verfahren wird Eulersches Polygonzugverfahren genannt. F¨ ur seine Herleitung entwickeln wir die Funktion z(t) in eine Taylorreihe: z(t + Δt) = z(t) + z(t)Δt ˙ + O (Δt)2 . Mit der Beziehung (7.6) erhalten wir dann z(t + Δt) = z(t) + f [t, z(t)]Δt + O (Δt)2 .

(7.7)

Wenn wir den Fehlerterm vernachl¨ assigen, so können wir aus (7.7) ein Verfahren ableiten, bei dem aus der N¨ aherungslösung z˜k zu osung zum Zeitpunkt einem Zeitpunkt tk = t0 + kΔt die neue L¨ tk+1 = tk + Δt jeweils nach derselben Formel in einem Schritt berechnet wird (N¨ aherungen werden im weiteren durch Tilden gekennzeichnet). Man nennt diese Methode Einschrittverfahren. Die hierzu geh¨ orige Rekursionsformel lautet z˜k+1 = z˜k + f (tk , z˜k )Δt .

(7.8)

Beginnend mit dem Anfangswert z˜0 = z(t0 ) kann man die Lösunur k = 1, 2, . . . bestimmen gen zu den Zeitpunkten tk sukzessive f¨ (Polygonzug). Man nennt dieses Verfahren explizit, weil die neue L¨ osung z˜k+1 direkt aus den bekannten Werten z˜k folgt. F¨ ur das System von Differentialgleichungen (7.5) können wir sinngem¨ aß die gleiche Approximation machen. Dies f¨ uhrt auf die Rekursionsgleichungen z˜1k+1 = z˜1k + z˜2k Δt ,

(7.9)

z˜2k+1 = z˜2k + f (tk , z˜1k , z˜2k )Δt . Als Anwendungsbeispiel betrachten wir einen Massenpunkt, der unter einem Winkel von α0 = 50◦ mit der Geschwindigkeit v0 = 15 m/s von der Position x0 = 0, z0 = 5 m abgeworfen wird. Der

7.3


377

Abb. 7.1

Luftwiderstand soll durch das Gesetz Fw = κ v 2 (vgl. Band 3, Gl. (1.48a)) beschrieben werden. Wir wollen die Rekursionsgleichungen f¨ ur das Eulersche Polygonzugverfahren aufstellen und sie f¨ ur die Parameter m = 1 kg, κ = 0,04 kg/m auswerten. Abbildung 7.1 zeigt die auf den Massenpunkt wirkenden Kräfte. Die Widerstandskraft Fw ist der Bewegung entgegengerichtet (tangential zur Bahn). Damit lauten die Bewegungsgleichungen mx ¨ = − κ v 2 cos α, m z¨ = − m g − κ v 2 sin α. Mit x˙ = v cos α, z˙ = v sin α und v 2 = x˙ 2 + z˙ 2 erhalten wir das folgende System zweier gekoppelter nichtlinearer Differentialgleichungen: κ x ¨ = − x˙ x˙ 2 + z˙ 2 , m κ z¨ = − g − z˙ x˙ 2 + z˙ 2 . m Die Anfangsbedingungen sind durch den Abwurf (t = 0) festgelegt: x(0) = 0,

z(0) = z0 ,

x(0) ˙ = v0 cos α0 ,

z(0) ˙ = v0 sin α0 .

Die Transformation des Systems von zwei Differentialgleichungen 2. Ordnung auf vier Differentialgleichungen 1. Ordnung erfolgt durch Einf¨ uhrung der Hilfsvariablen u = x˙ und w = z: ˙ x˙ = u ,

378


κ 2 u u + w2 , m z˙ = w , κ w˙ = − g − w u2 + w2 . m u˙ = −

Damit erhalten wir analog zur Vorgehensweise in (7.9) die Rekursionsgleichungen x ˜k+1 = x ˜k + Δt u ˜k , κ u ˜k u u ˜k+1 = u ˜k − Δt ˜2k + w ˜k2 , m ˜k , z˜k+1 = z˜k + Δt w κ w ˜k u w ˜k+1 = w ˜k − Δt g + ˜2k + w ˜k2 . m Sie k¨ onnen beginnend mit den Anfangswerten (˜ x0 = 0, z˜0 = z0 , ˜0 = v0 sin α0 ) sukzessive ausgewertet weru ˜0 = v0 cos α0 und w den. Dies liefert N¨ aherungsl¨ osungen f¨ ur die Bahnkoordinaten x ˜k , ˜k , w ˜k zu den Zeitpunkz˜k und die Geschwindigkeitskomponenten u ten tk = t0 + k Δt. Die Rekursionsformeln lassen sich leicht auf einem PC programmieren. F¨ ur die gegebenen Werte erhält man mit dem Zeitschritt Δt = 0, 01 s die in Abb. 7.2 dargestellte Bahnkurve des Massenpunktes; hierf¨ ur werden 250 Zeitschritte benötigt. Die L¨ osung des schiefen Wurfes ohne Luftwiderstand ist zum Vergleich gestrichelt eingezeichnet.

Abb. 7.2

7.3


379

Rechenzeit kann dadurch gespart werden, dass man einen größeren Zeitschritt verwendet. Vom Zeitschritt Δt hängt jedoch die G¨ ute der Approximation der Ableitung und damit die Genauigkeit der N¨ aherungsl¨ osung ab. Dies dokumentiert die folgende Tabelle, in der die maximal erreichte H¨ ohe des Massenpunktes, z˜max , und angigkeit vom gew¨ ahlten Zeitschritt seine Wurfweite, x ˜max , in Abh¨ aufgetragen sind. F¨ ur Δt < 0, 031 s ¨ andert sich die Lösung nicht mehr: sie konvergiert.

Δt

0,500

0,250

0,125

0,063

0,031

0,010

z˜max

12,2

11,1

10,4

10,2

10,0

10,0

x ˜max

16,5

16,1

15,9

15,7

15,6

15,6

Das Eulersche Polygonzugverfahren zeichnet sich durch seine Einfachheit aus. Es hat jedoch nur eine Genauigkeit von der Ordnung der Schrittweite Δt, d.h. der Fehler des Verfahrens geht mit O(Δt) gegen Null, wenn Δt gegen Null geht. Praktisch bedeutet dies beim Polygonzugverfahren, dass f¨ ur eine gute Näherungsl¨ osung eine große Anzahl von Zeitschritten notwendig ist. Will man zur Steigerung der Effizienz gr¨ oßere Zeitschritte bei gleicher Genauigkeit verwenden, so ben¨ otigt man Verfahren höherer Genauigkeit. Aus der großen Anzahl der m¨ oglichen Einschrittverfahren sei hier das Runge-Kutta-Verfahren herausgegriffen, das aufgrund seiner hohen Genauigkeit h¨ aufig bei der numerischen Lösung von Anfangswertproblemen eingesetzt wird. Ihm liegt die Idee zugrunde, innerhalb der Taylorreihenentwicklung (7.7) noch weitere Glieder mitzunehmen und durch geeignetes Umformen den Abbruchfehler um mehrere Gr¨ oßenordnungen zu verkleinern, so dass sich eine Fehlerordnung von (Δt)4 ergibt. Dabei sind dann die Funktionsauswertungen nicht mehr nur am Anfang oder am Ende eines Zeitschrittes Δt durchzuf¨ uhren, sondern auch innerhalb dieses Intervalls. F¨ ur die Gleichung (7.6) erh¨ alt man die Iterationsvorschrift

380


z˜k+1 = z˜k + k(tk , z˜k )Δt mit

(7.10a)

k(tk , z˜k ) = 16 (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 )

und den Koeffizienten k1 = f (tk , z˜k ), Δt , z˜k + k2 = f tk + 2 Δt k3 = f tk + , z˜k + 2

1 k1 , 2 1 k2 , 2

(7.10b)

k4 = f (tk + Δt, z˜k + k3 ). aß auf Systeme von DifferentiDie Beziehung (7.10a) ist sinngem¨ algleichungen erster Ordnung (7.9) anzuwenden. Das Runge-Kutta-Verfahren ist wie das Eulersche Polygonzugverfahren einfach zu programmieren. Es erfordert jedoch in jedem Zeitschritt Δt vier Funktionsauswertungen von f anstatt der einen Auswertung beim Polygonzugverfahren. Dieser Nachteil wird aber dadurch aufgewogen, dass nun ein erheblich größerer Zeitschritt verwendet werden kann, da das Verfahren genauer ist. B7.1

Der in Abb. 7.3a dargestellte masselose Balken agt an seinem Ende eine Punkt(EI = 83, 33 kNm2 , l = 5 m) tr¨ masse (m = 103 kg). Er wird durch den dreiecksförmigen Kraftverlauf nach Abb. 7.3b belastet. Es sollen die Verschiebung der Masse als Funktion der Zeit und das maximale Biegemoment unter Verwendung des Runge-KuttaVerfahrens bestimmt werden. Beispiel 7.1

L¨ osung Da der Balken als masselos angenommen wird, kann er

durch eine Feder ersetzt werden (Abb. 7.3c). Die Federsteifigkeit berechnet sich mit den gegebenen Parametern zu c = 3EI/l3 = 2 kN/m (vgl. Band 3, Gl. (5.25)). Damit kann die Bewegung der Masse nun durch die Differentialgleichung des Einmassenschwingers m x ¨ + c x = F (t) beschrieben werden (Band 3, Abschn. 5.3.1). Diese f¨ uhren wir mit x = z1 und x˙ = z2 analog zu (7.5) auf zwei Differentialgleichungen erster Ordnung zur¨ uck:

7.3


381

Abb. 7.3

z˙1 = z2 , z˙2 =

1 [F (t) − c z1 ]. m

Auf dieses System kann sinngem¨ aß (7.10a) angewendet werden, und wir erhalten 1 z˜1k+1 = z˜1k + (k11 + 2 k12 + 2 k13 + k14 )Δt, 6 1 z˜2k+1 = z˜2k + (k21 + 2 k22 + 2 k23 + k24 )Δt 6 mit den Koeffizienten k11 = z˜2k ,

k21 = [F (tk ) − c z˜1k ]/m,

k12 = z˜2k + k21 /2,

k22 = [F (tk + Δt/2) − c(˜ z1k + k11 /2)]/m,

k13 = z˜2k + k22 /2,

k23 = [F (tk + Δt/2) − c(˜ z1k + k12 /2)]/m,

k14 = z˜2k + k23 ,

k24 = [F (tk + Δt) − c(˜ z1k + k13 )]/m.

Damit kann f¨ ur die gegebenen Gr¨ oßen und die Anfangswerte osung numerisch bestimmt x0=0, x˙ 0 = 0 der zeitliche Verlauf der L¨ werden. Er ist in Abb. 7.4a dargestellt, wobei mit einer Schrittweite von Δt = 0,1 s gerechnet wurde. Diese Lösung weist gegen¨ uber der exakten L¨ osung keine sichtbare Abweichung auf. Die maximale Durchbiegung z1max = 0,034 m wird zur Zeit T = 1,7 s erreicht, also wenn die Kraft bereits wieder Null ist. F¨ ur den masselosen Balken sind die Biegelinie und der Momentenverlauf

382


Abb. 7.4

durch die Verschiebung z1 des Balkenendes unter der am Ende angreifenden Kraft festgelegt. Man erh¨ alt f¨ ur die Auslenkung ur das zugeh¨ orige maximale Biegemoment z1max = F l3 /3EI und f¨ | M |= F l = 3EI z1max /l2 = 0,34 kNm (vgl. Band 2, Tabelle 4.3). Eine Konvergenzstudie zeigt, dass selbst bei einer Schrittweite von Δt = 0, 5 s (vier Zeitschritte w¨ ahrend des gesamten zeit-

7.3


383

lichen Belastungsverlaufes) nur eine geringf¨ ugige Abweichung in den L¨ osungspunkten von der L¨ osung im betrachteten Zeitraum auftritt (Abb. 7.4b). Verfolgt man allerdings mit dieser Schrittweite den L¨ osungsverlauf weiter, so nimmt die Amplitude ab, obwohl im mechanischen Modell keine D¨ ampfung enthalten ist. Man nennt diesen Effekt numerische D¨ ampfung. Wendet man das Eulersche Polygonzugverfahren mit der Schrittweite Δt = 0,1 s auf diese Aufgabe an, so sieht man in Abb. 7.4c, dass diese Methode divergiert. Hier muss also ein kleinerer Zeitschritt gew¨ ahlt werden. F¨ ur Δt = 0,001 s erhalten wir im gezeigten L¨ osungsbereich keine sichtbaren Abweichungen mehr von der L¨ osung des Runge-Kutta-Verfahrens. Dennoch f¨ uhrt dieser Zeitschritt bei einer Betrachtung langer Zeiträume zu Abweichungen von der exakten L¨ osung. In Abb. 7.4c erkennen wir, dass mit wachsender Zeit auch die L¨ osung anw¨ achst. Da die Abweichung nur durch das numerische Integrationsverfahren bedingt at bezeichnet. ist, wird dieses Ph¨ anomen als numerische Instabilit¨ Erst ein 200-fach kleinerer Zeitschritt (Δt = 0,0005 s) im Vergleich zum Runge-Kutta-Verfahren bringt eine zu diesem Verfahren gleich gute L¨ osung. Vergleicht man den numerischen Aufwand beider Methoden, dann stehen beim Runge-Kutta-Verfahren zwar vier Funktionsauswertungen einer einzigen Funktionsauswertung beim Euler-Verfahren gegen¨ uber, daf¨ ur ist aber bei diesem Beispiel ein Zeitschritt von 200-facher Gr¨ oße m¨ oglich. Damit ist das Runge-Kutta-Verfahren erheblich effizienter. 7.3.2 Implizite Integrationsverfahren

Als weitere M¨ oglichkeit zur Integration von Bewegungsgleichungen betrachten wir nun implizite Integrationsverfahren. Dabei beschr¨ anken wir uns exemplarisch auf die Bewegungsgleichung der Form u ¨(t) +

c 1 d u(t) ˙ + u(t) − F (t) = 0 . m m m

(7.11)

Im Unterschied zu den expliziten Methoden beruhen diese Verfahren darauf, dass die Bewegungsgleichung nicht zum Zeitpunkt

384


tk , sondern im zun¨ achst noch unbekannten Zustand zur Zeit tk+1 ausgewertet wird. Daneben wird im Zeitintervall Δt je ein Ansatz f¨ ur die unbekannte Geschwindigkeit bzw. die Verschiebung in Abh¨ angigkeit von der Beschleunigung gemacht. Je nach Ansatz erhalten wir unterschiedliche Methoden – wie z.B. das Wilson-θ-, das Houbolt- oder das Newmark-Verfahren. Wir wollen hier stellvertretend f¨ ur die genannten Verfahren das Newmark-Verfahren vorstellen. Bei ihm werden folgende Ansätze f¨ ur den unbekannten Geschwindigkeits- und den unbekannten Verschiebungsverlauf innerhalb eines Zeitschrittes gemacht: uk + δ u ¨k+1 ]Δt, u˙ k+1 = u˙ k + [(1 − δ)¨

(7.12)

uk+1 = uk + u˙ k Δt + [(0, 5 − β)¨ uk + β u ¨k+1 ](Δt) . 2

Darin sind β und δ zun¨ achst noch freie Konstanten. Wählt man 1 die Parameter β = 4 und δ = 12 , so entspricht dies einer konstanten Beschleunigung im Zeitintervall Δt. Ein linearer Beschleunigungsverlauf kann dagegen durch die Parameterwahl β = 16 und ucksichtigt werden. Nehmen wir an, dass der Zustand δ = 12 ber¨ ¨k zum Zeitpunkt tk bekannt ist, dann treten in (7.12) insuk , u˙ k , u ¨k+1 . Als dritte gesamt drei unbekannte Gr¨ oßen auf: uk+1 , u˙ k+1 , u Gleichung wird die Bewegungsgleichung (7.11) herangezogen und zur Zeit tk+1 angeschrieben: mu ¨k+1 + d u˙ k+1 + c uk+1 = F (tk+1 ) .

(7.13)

Diese drei Gleichungen lassen sich nach jeder der drei Unbekannten aufl¨ osen. Wir wollen hier eine Gleichung f¨ ur die Beschleunigung herleiten. Dazu schreiben wir (7.12) folgendermaßen um: ¨k+1 mit u˙ k+1 = v¯k+1 + δ Δt u ¨k , v¯k+1 = u˙ k + (1 − δ)Δt u ¯k+1 + β(Δt)2 u ¨k+1 mit uk+1 = u ¨k . u ¯k+1 = uk + u˙ k Δt + (0, 5 − β)(Δt)2 u Das Einsetzen dieser Gleichungen in (7.13) liefert dann

7.3


385

[m + δ Δt d + β(Δt)2 c] u ¨k+1 = F (tk+1 ) − d v¯k+1 − c u ¯k+1 . (7.14) Aus dieser Beziehung kann die Beschleunigung berechnet werden, und damit sind nach (7.12) auch die Geschwindigkeit und die Verschiebung zum Zeitpunkt tk+1 bekannt. Man kann zeigen, dass das Newmark-Verfahren f¨ ur δ ≥ 0,5 2 und β ≥ 0,25(δ + 0,5) unbedingt stabil ist. Das bedeutet, dass die L¨ osung f¨ ur beliebige Zeitschritte beschr¨ ankt bleibt. Je nach Wahl der Parameter δ und β wird allerdings eine numerische Dämpfung in das System eingebracht, was zu einer Abnahme der Amplitude f¨ uhrt. Dieser oft unerw¨ unschte Effekt kann jedoch durch die Wahl der Parameter δ = 0,5 und β = 0,25 (= ; konstanter Beschleunigung) vermieden werden, die gerade auf der Stabilitätsgrenze liegen. Beispiel 7.2 Der in Beispiel 7.1 gesuchte zeitliche Verlauf der Aus-

lenkung soll mittels des impliziten Newmark-Verfahrens berechnet werden. Man werte die entsprechenden Rekursionsgleichungen f¨ ur die Parameterpaare β = 0,25, δ = 0,5 und β = 0,31, δ = 0,6 aus. L¨ osung Vereinbaren wir im weiteren f¨ ur alle L¨ angen, Kräfte und

Zeiten die Einheiten m, kN, s, dann lautet die Bewegungsgleichung mit den Zahlenwerten nach Beispiel 7.1: x ¨ + 2 x = F (t). Damit ergibt sich nach (7.14) die Beziehung ¨k+1 = F (tk+1 ) − 2 u ¯k+1 , [1 + 2 β (Δt)2 ] u aus der die Beschleunigungen berechnet werden können. Die Verschiebungen und die Geschwindigkeiten folgen dann aus (7.12). In der nachstehenden Tabelle sind die Ergebnisse f¨ ur eine Schrittweite von Δt = 0, 2s und die Parameter β = 0,25, δ = 0,5 zusammengestellt. Die L¨ osung ist in Abb. 7.5a dargestellt. Man sieht, dass sie zwar stabil ist, aber von der exakten L¨ osung abweicht. Keine erkennbaren Abweichungen liefert das Newmark-Verfahren erst mit dem Zeitschritt Δt = 0,1 s. Da das Parameterpaar δ und β direkt auf der Stabilit¨ atsgrenze liegt, ist keine numerische Dämpfung vorhanden. Die Parameter β = 0,31, δ = 0,6 f¨ uhren mit dem

B7.2

386


t

u

u˙

u ¨

u ¯

v¯

0,0

,0000

,0000

,0000

,0000

,0000

0,2

,0004

,0039

,0392

,0000

,0000

0,4

,0023

,0154

,0754

,0016

,0078

0,6

,0068

,0296

,0664

,0062

,0229

0,8

,0135

,0375

,0130

,0134

,0362

1,0

,0207

,0346

-,0415

,0211

,0388

1,2

,0267

,0251

-,0534

,0272

,0305

1,4

,0306

,0137

-,0612

,0312

,0198

1,6

,0321

,0012

-,0642

,0327

,0076

1,8

,0310

-,0115

-,0621

,0317

-,0053

Zeitschritt Δt = 0, 2 s auf die in Abb. 7.5b angegebene Lösung. Man erkennt eine numerische D¨ ampfung, die sich in der Abnahme der Amplitude widerspiegelt. Diese numerische Dämpfung ändert

Abb. 7.5

7.4

Differenzenverfahren f¨ ur Randwertprobleme

387

sich auch bei dem Zeitschritt Δt = 0,1 s nicht. Beide Lösungen bleiben allerdings stabil, weil die Parameter β = 0,31, δ = 0,6 die oben genannte Stabilit¨ atsbedingung erf¨ ullen. Bei einem Vergleich expliziter und impliziter Integrationsverfahren k¨ onnen wir jetzt folgendes feststellen. Explizite Verfahren sind bedingt stabil, d.h. f¨ ur zu große Zeitschritte kann die Lösung exponentiell anwachsen und damit unbrauchbar werden. Daf¨ ur sind diese Verfahren einfach anwendbar und erfordern mit der Auswertung der rechten Seite von (7.4) nur wenige Rechenoperationen pro Zeitschritt. Implizite Verfahren k¨ onnen hingegen so konstruiert werden, dass sie unbedingt stabil sind. Damit ist es m¨ oglich, erheblich gr¨ oßere Zeitschritte als bei expliziten Verfahren zu w¨ ahlen. Der Nachteil besteht darin, dass Gleichung (7.14) gel¨ ost werden muss. Dies kann bei großen Differentialgleichungssystemen sehr aufwendig sein, da dann ein großes algebraisches Gleichungssystem zu l¨ osen ist.

7.4 Differenzenverfahren f¨ ur Randwertprobleme Wir wollen nun zeigen, wie man Randwertprobleme mittels Differenzenverfahren lösen kann. Dabei behandeln wir zunächst gew¨ ohnliche Differentialgleichungen. Danach wird dann das prinzipielle Vorgehen bei partiellen Differentialgleichungen erläutert. 7.4.1 Gew¨ ohnliche Differentialgleichungen

Die Idee des Differenzenverfahrens (Methode der finiten Differenzen) ist, den Differentialquotienten direkt durch einen Differenzenquotienten zu approximieren. Um die Vorgehensweise zu erläutern, betrachten wir eine Funktion y(x) und suchen N¨ aherungen f¨ ur die Ableitungen dy/dx, d2 y/dx2 , ... . Dazu bietet sich eine Taylorentwicklung an: y(xl+1 ) = y (xl + Δx) = y(xl ) +

dy dx

Δx + xl

d2 y dx2

d3 y (Δx)2 + 3 2 dx xl

(7.15) (Δx)3 + ... . 6 xl

7.4

388


Wenn wir nur die ersten zwei Terme in dieser Reihe mitnehmen, so k¨ onnen wir nach dem gesuchten Differentialquotienten aufl¨ osen und erhalten mit den Bezeichnungen yl = y (xl ) und aherung yl+1 = y (xl+1 ) die N¨ dy dx

xl

≈

yl+1 − yl . Δx

(7.16)

Man kann zeigen, dass der hierbei entstehende Fehler von der Ordnung Δx ist. Da hier die Werte an der Stelle xl+1 auftreten, nennt man diesen Quotienten auch vorderen Differenzenquotienten (v). Analog kann man die Taylorreihenentwicklung verwenden, um nach hinten“ zu schauen: ” y(xl−1 ) = y(xl − Δx) = y(xl ) −

dy dx

Δx + xl

d2 y dx2

d3 y (Δx)2 − 3 2 dx xl

(7.17) (Δx)3 + ... 6 xl

Dies liefert dann den hinteren Differenzenquotienten (h) dy dx

xl

≈

yl − yl−1 . Δx

(7.18)

Auch hier ist der Fehler in der Approximation der wirklichen Ableitung von der Ordnung Δx. Eine h¨ ohere Genauigkeit der Näherung kann durch die Mitnahme von weiteren Gliedern der Taylorreihe erreicht werden. Bei der Subtraktion der Gleichungen (7.15) und (7.17) f¨ allt der Term mit den zweiten Ableitungen heraus. Vernachl¨ assigen wir hier die Terme dritter Ordnung, so f¨ uhrt dies zu einer Fehlerordnung von (Δx)2 . Dieses Vorgehen liefert den f¨ ur praktische Anwendungen des Differenzenverfahrens wichtigen zentralen Differenzenquotienten (z): dy dx

xl

≈

yl+1 − yl−1 . 2 Δx

(7.19)

Die drei Differenzenquotienten sind in Abb. 7.6 veranschaulicht. H¨ ohere Ableitungen lassen sich ebenfalls durch Differenzenquotienten approximieren. Wenn man (7.15) und (7.17) addiert, dann erh¨ alt man unter Vernachl¨ assigung der Terme dritter und höherer

7.4


389

Abb. 7.6

Ordnung eine N¨ aherung f¨ ur die zweite Ableitung: d2 y dx2

xl

≈

yl+1 − 2 yl + yl−1 . (Δx)2

(7.20)

Diese Beziehung hat die Fehlerordnung (Δx)2 . Man kann allerdings die Fehlerordnung noch durch Hinzunahme von Termen h¨ oherer Ordnung in (7.15) oder (7.17) verbessern. Es gibt auch die M¨ oglichkeit, weitere St¨ utzstellen“ einzuf¨ uhren; dies f¨ uhrt dann ” zu einem Mehrstellenverfahren. Es sei hier noch angemerkt, dass sich explizite Integrationsverfahren, wie wir sie im Abschnitt 7.3 betrachtet haben, auch aus den hier angegebenen Differenzenformeln herleiten lassen. Dies wollen wir am Eulerschen Polygonzugverfahren erläutern. Dazu betrachten wir Gleichung (7.6) und ersetzen die Zeitableitung z˙ durch den vorderen Differenzenquotienten (7.16): zl+1 − zl = f (t, zl ). Δt Dies f¨ uhrt dann direkt auf die Rekursionsgleichung (7.8). Um die mit dem Differenzenverfahren verbundene Vorgehensweise zu veranschaulichen, wollen wir diese Methode in einem Anwendungsbeispiel auf den Stab nach Abb. 7.7 anwenden. Seine Deformation wird durch die Differentialgleichung EA u = −n mit den Randbedingungen u(0) = u(l) = 0 beschrieben. Mit (7.20) gilt dann die Beziehung ˜l + u ˜l−1 u ˜l+1 − 2 u = − nl . (7.21) EA 2 (Δx) z˙ ≈

390


Abb. 7.7

Wir teilen nun den Stab in N Abschnitte mit N + 1 Gitterpunk” ten“ und wenden (7.21) auf jeden inneren Gitterpunkt an. Damit ergibt sich das Gleichungssystem (Δx)2 n2 , EA (Δx)2 n3 , −u ˜2 + 2 u ˜3 − u ˜4 = EA ˜2 − u ˜3 = −u ˜1 + 2 u

... ... ... = ... , (Δx)2 −u Ñ −1 + 2 u n . Ñ − u Ñ +1 = EA N Hinzu kommen die Randbedingungen u ˜1 = 0 und u Ñ +1 = 0. Damit fallen diese Unbekannten aus dem Gleichungssystem heraus. Ñ . Dies liefert N − 1 Gleichungen f¨ ur N − 1 Unbekannten u ˜2 , . . . , u Das Gleichungssystem l¨ asst sich u ¨bersichtlicher und vorteilhafter f¨ ur eine numerische Behandlung in Matrizenschreibweise angeben: ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ u ˜2 n2 2 −1 0 0 ... 0 0 0 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ u˜ ⎥ ⎢ ⎢−1 2 −1 0 ... 0 0 0⎥ 3 ⎥ ⎢ n3 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ n4 ⎥ ⎢ 0 −1 2 − 1 . . . ⎥⎢ u ˜ ⎥ 0 0 0 4 ⎥⎢ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎢ ⎥⎢ ⎢ . ⎥⎢ . . . ⎥ ⎢ . . . ⎥ . . . . . . − 1 0 0 ⎥(Δx)2 ⎥=⎢ ⎢ ⎥⎢ . ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ EA ⎢ . ... ⎥ . . . ... . . . ⎥⎢ . . . ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ... ⎥ ⎢ ... ⎥ . . . ... 2 −1 0 ⎥⎢ ⎢ . ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎢ . ⎥ ⎣nN −1 ⎥ u ˜ . . . ... − 1 2 − 1⎥ ⎦ N −1 ⎣ ⎦⎢ ⎣ ⎦ u Ñ nN . . . . ... 0 −1 2 (7.22) Gleichung (7.22) liefert die Verschiebungen u ˜l an den diskreten Gitterpunkten xl , aber nicht an beliebigen Stellen x.

7.4


391

F¨ ur N = 4 und n = const erhalten wir mit Δx = l/4 und dem Faktor γ = n l2 /(16 EA) ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎡ ⎤ u ˜2 2 −1 0 1 ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ −1 ⎥ ⎢ 2 − 1⎦⎣u ˜3 ⎦ = γ ⎣ 1 ⎥ ⎦. ⎣ 0 −1 2 1 u ˜4 Dieses Gleichungssystem hat die L¨ osung u ˜2 = 1,5γ, u ˜3 = 2γ, u ˜4 = 1,5γ. Das Differenzenverfahren liefert hier in den Gitterpunkten die exakte L¨ osung. Man beachte, dass damit aber nicht der Verlauf der L¨ osung als Funktion von x bekannt ist. Will man diesen genauer bestimmen, so sind mehr Abschnitte zu wählen. Beispiel 7.3 Gegeben ist ein durch eine Kraft F = 50 kN belasteter Pfahl (l = 20 m, EA = 10 000 kN), der elastisch im Boden (Federkonstante pro L¨ angeneinheit k = 100 kN/m2 ) gebettet ist (Abb. 7.8a). Das Eigengewicht des Pfahles kann vernachlässigt werden. Mittels des Differenzenverfahrens soll eine N¨ aherungslösung f¨ ur die Verschiebung ermittelt werden. Man vergleiche die Näherungsl¨ osung bei einer Unterteilung in 4, 8 bzw. 16 gleich große Abschnitte mit der exakten L¨ osung F cosh λ(l − x) , λ = k/EA . u= λ EA sinh λl

Abb. 7.8

L¨ osung Die Gleichgewichtsbedingung formulieren wir am Element

nach Abb. 7.8b:

B7.3

392


N + dN − N − k u dx = 0

→

dN/dx − k u = 0 .

ur die LängsMit dem Stoffgesetz N = EA u ergibt sich dann f¨ verschiebung u die Differentialgleichung EA u − k u = 0 . Hinzu kommen die Randbedingungen N (0) = EA u (0) = − F,

N (l) = EA u (l) = 0 .

Die Anwendung des Differenzenschemas (7.20) liefert f¨ ur den Gitterpunkt i EA

˜i + u ˜i−1 u ˜i+1 − 2 u −ku ˜i = 0 2 (Δx) k(Δx)2 u ˜i − u → −u ˜i+1 + 2 + ˜i−1 = 0 . EA

Wir wollen hier nur das Gleichungssystem f¨ ur 4 Abschnitte angeben (Abb. 7.8c). Mit Δx = l/4 und den gegebenen Zahlenwerten erh¨ alt man ˜i − u ˜i−1 = 0 . −u ˜i+1 + 2, 25 u Diese Gleichung gilt an den inneren Gitterpunkten i = 2, 3, 4. In die Randbedingungen gehen die Ableitungen von u ein; daher muss man eine Approximation f¨ ur u einsetzen. Wir wählen zu diesem Zweck f¨ ur den Punkt i = 1 den vorderen Differenzenquotienten (7.16) und erhalten EA

u ˜2 − u ˜1 = −F l/4

→

u ˜1 − u ˜2 = 0, 025.

F¨ ur den Punkt 5 nehmen wir den hinteren Differenzenquotienten (7.18): EA

u ˜5 − u ˜4 =0 l/4

→

−˜ u4 + u ˜5 = 0.

Bei dieser Wahl der Differenzenquotienten f¨ ur die Randbedingungen geht eine Ordnung in der Genauigkeit verloren. Dies könnte

7.4


393

durch die Verwendung des zentralen Differenzenquotienten verhindert werden. Dann erh¨ alt man aber eine unsymmetrische Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems f¨ ur u ˜i , was bei vielen Unbekannten einen erheblichen Mehraufwand bei der Lösung mit sich bringt. Die Gleichungen f¨ ur die inneren Gitterpunkte und die Randpunkte lassen sich jetzt in Matrizenschreibweise zusammenfassen: ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 −1 0 0 0 0, 025 u ˜1 ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −1 2,25 ˜ ⎥ ⎢ 0 ⎥ −1 0 0⎥⎢u ⎢ ⎥⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 −1 2, 25 ⎢˜ ⎥ = ⎢ 0 ⎥ . −1 0⎥ 3⎥ ⎢ ⎢ ⎥⎢u ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0 ˜4 ⎦ ⎣ 0 ⎦ 0 −1 2, 25 −1 ⎦ ⎣ u 0

0

0

−1

1

u ˜5

0

Die L¨ osung des Gleichungssystems liefert die unbekannten Ver˜5 . Analog l¨ asst sich das Gleichungssystem schiebungen u ˜1 , . . . , u f¨ ur 8 bzw. 16 Abschnitte darstellen und l¨ osen. Die Ergebnisse sind in der folgenden Tabelle den exakten Werten gegen¨ ubergestellt. x

4 Abschnitte

8 Abschnitte

16 Abschnitte

exakt

0

0,0696

0,0598

0,0556

0,0537

l/4

0,0446

0,0378

0,0349

0,0324

l/2

0,0308

0,0253

0,0231

0,0213

3 l/4

0,0246

0,0198

0,0173

0,0155

l

0,0246

0,0181

0,0158

0,0138

Dem Vergleich der L¨ osungen entnehmen wir, dass sich mit zunehmender Anzahl der Abschnitte die N¨ aherungsl¨ osung der exakten L¨ osung immer mehr ann¨ ahert. Dies l¨ asst auf die Konvergenz des Verfahrens schließen. 7.4.2 Partielle Differentialgleichungen

Randwertprobleme mit partiellen Differentialgleichungen treten in der Mechanik h¨ aufig auf. Beispiele hierf¨ ur finden sich u.a. in Kapitel 2 (Scheibengleichung, Torsion, usw.) oder in Kapitel 3 (Platte,

394


Membran, usw.). Diesen Gleichungen ist gemeinsam, dass Funktionen von mehreren Ver¨ anderlichen und deren (partielle) Ableitungen wie z.B. u(x, y), ∂u/∂x und ∂ 2 u/∂x2 auftreten. Partielle Differentialgleichungen k¨ onnen ebenfalls mittels des Verfahrens der finiten Differenzen numerisch gel¨ ost werden. Die Vorgehensweise a hnelt der bei den gew¨ o hnlichen Differentialgleichungen an¨ gewandten Methodik: man ersetzt die (jetzt partiellen) Ableitungen durch entsprechende Differenzenquotienten. Zun¨ achst wollen wir die Differenzenquotienten f¨ ur die partiellen Ableitungen angeben. Da bei einer partiellen Ableitung nach einer Ver¨ anderlichen jeweils die andere Ver¨ anderliche festgehalten wird, k¨ onnen wir auf die im vorigen Abschnitt hergeleiteten Formeln zur¨ uckgreifen. Indem wir z.B. die Variable y festhalten und f¨ ur ¨ die Anderung bez¨ uglich x die Taylorreihe u(x + Δx, y) = u(x, y) +

∂ 2 u(x, y) (Δx)2 ∂u(x, y) Δx + + ... ∂x ∂x2 2

anschreiben, erhalten wir den vorderen Differenzenquotienten u(x + hx , y) − u(x, y) ∂u(x, y) ≈ ∂x hx

(7.23a)

und analog u(x, y + hy ) − u(x, y) ∂u(x, y) ≈ , ∂y hy

(7.23b)

worin hx = Δx und hy = Δy die Schrittweiten in x- bzw. yRichtung darstellen. Entsprechend folgen die zentralen Differenzenquotienten (vgl. (7.19)) u(x + hx , y) − u(x − hx , y) ∂u(x, y) ≈ , ∂x 2 hx u(x, y + hy ) − u(x, y − hy ) ∂u(x, y) ≈ . ∂y 2 hy

(7.24)

Bei der n¨ aherungsweisen L¨ osung von Randwertproblemen betrachten wir der Einfachheit halber im weiteren nur rechteckige Gebiete (Abb. 7.9). Damit haben wir die M¨ oglichkeit, ein kantenparalleles Netz von Gitterpunkten zu erzeugen. Um die Schreib-

7.4


395

Abb. 7.9

weise zu vereinfachen, wollen wir im weiteren einen Punkt (x0 + k hx , y0 + l hy ) durch (k, l) bezeichnen. Dann vereinfachen sich die Ausdr¨ ucke f¨ ur die zentralen Differenzenquotienten in folgender Weise: 1 ∂u ≈ (uk+1,l − uk−1,l ), ∂x 2 hx 1 ∂u ≈ (uk,l+1 − uk,l−1 ). ∂y 2 hy

(7.25)

F¨ ur die zweiten partiellen Ableitungen nach x bzw. y erhalten wir analog zum zentralen Differenzenquotienten (vgl. (7.20)) 1 ∂2u ≈ 2 (uk+1,l − 2 uk,l + uk−1,l ), ∂x2 hx 1 ∂2u ≈ 2 (uk,l+1 − 2 uk,l + uk,l−1 ). ∂y 2 hy

(7.26)

Entsprechende Differenzenquotienten lassen sich auch f¨ ur höhere Ableitungen bzw. f¨ ur gemischte Ableitungen gewinnen. In einem Anwendungsbeispiel wollen wir die partielle Differentialgleichung des Torsionsproblems (2.120) ΔΦ =

∂ 2 Φ(x, y) ∂ 2 Φ(x, y) + =1 ∂x2 ∂y 2

mit der Randbedingung Φ = 0 f¨ ur einen Rechteckquerschnitt n¨ aherungsweise l¨ osen. F¨ ur einen Gitterpunkt des Gebietes liefern hier die zentralen Differenzenquotienten (7.26) 1 1 (Φk+1,l − 2 Φk,l + Φk−1,l ) + 2 (Φk,l+1 − 2 Φk,l + Φk,l−1 ) = 1. (7.27) h2x hy

396


W¨ ahlen wir in x- und in y-Richtung die gleiche Schrittweite h = hx = hy , dann folgt daraus 1 (4 Φk, l − Φk+1, l − Φk−1, l − Φk, l+1 − Φk, l−1 ) = −1. (7.28) h2 Da dieser Ausdruck f¨ ur den Differenzenquotienten des Δ-Operators jetzt Differenzen von Φ sowohl in x- als auch in y-Richtung hat, spricht man auch von einem Differenzenstern. Er wird häufig in Matrixform angegeben: ⎡ ⎤ 0 −1 0 1 ⎢ ⎥ (7.29) ⎣ −1 4 −1 ⎦ . h2 0 −1 0 Im weiteren wollen wir (7.28) auf den in Abb. 7.10a gegebenen quadratischen Querschnitt mit dem dargestellten Gitter anwenden. Unter Ber¨ ucksichtigung der Randbedingungen erhalten wir folgendes Gleichungssystem in Matrixform: ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎤⎡ 4 −1 0 −1 0 0 0 0 0 1 Φ11 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎢ −1 4 −1 0 −1 0 0 0 0 ⎥ ⎢ Φ21 ⎥ ⎢1⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎢ 0 −1 4 0 0 −1 0 0 0 ⎥ ⎢ Φ31 ⎥ ⎢1⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎢ −1 0 0 4 −1 0 −1 0 0 ⎥ ⎢ Φ12 ⎥ ⎢1⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎢ 0 −1 0 −1 4 −1 0 −1 0 ⎥ ⎢ Φ22 ⎥ = − ⎢ 1 ⎥ h2 . ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎢ 0 0 −1 0 −1 4 0 0 −1 ⎥ ⎢ Φ ⎥ ⎢1⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ 32 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎢ 0 0 0 −1 0 0 4 −1 0 ⎥ ⎢ Φ13 ⎥ ⎢1⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎢ 0 0 0 0 −1 0 −1 4 −1 ⎥ ⎢ Φ ⎥ ⎢1⎥ ⎣ ⎣ ⎦ ⎦ ⎣ 23 ⎦ Φ33 0 0 0 0 0 −1 0 −1 4 1 (7.30)

Abb. 7.10

7.4


397

Dieses Gleichungssystem kann nach den unbekannten Knotenost werden. Die Koeffizientenmatrix lässt sich größen Φik aufgel¨ auch als ⎡

K −I

O

⎡

⎤

⎢ ⎥ ⎢ −I K −I ⎥ ⎣ ⎦ O −I K

⎢

4 −1

0

⎤

⎡

1 0 0

⎤

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 4 −1 ⎥ ⎦, I = ⎣ 0 1 0 ⎦ (7.31) 0 −1 4 0 0 1

mit K = ⎢ ⎣ −1

schreiben. Wir erkennen, dass die Dimension der Untermatrizen genau der Anzahl der Knoten pro Reihe entspricht. Auch ein Gitter mit gr¨ oßerer Knotenzahl liefert dieselbe Struktur wie (7.31). Lediglich die Untermatrizen K und I a ¨ndern dann ihre Dimension entsprechend der Zahl der Knoten pro Reihe. Da der quadratische Querschnitt doppeltsymmetrisch ist, sollte man zweckm¨ aßig diese Symmetrie ausnutzen. Wir erzielen das gleiche Ergebnis wie mit (7.30), wenn wir nur ein Viertel des Querschnitts betrachten (Abb. 7.10b). In das zugeh¨ orige Gleichungssystem sind hier allerdings die Symmetriebedingungen einzuarbeiten. Wir erhalten ⎡

⎤

⎡ ⎤ 1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎢ −2 4 0 −1 ⎥ ⎢ Φ21 ⎥ ⎢1⎥ 2 ⎢ ⎥ = −⎢ ⎥h . ⎥⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎣ −2 0 4 −1 ⎦ ⎣ Φ12 ⎦ ⎣1⎦ Φ22 0 −2 −2 4 1 4 −1 −1

0

⎤⎡

Φ11

Hieraus ergibt sich die L¨ osung ⎡

Φ11

⎤

⎡

0,6875

⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ Φ21 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = − ⎢ 0,8750 ⎥ h2 . ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ Φ12 ⎦ ⎣ 0,8750 ⎦ Φ22 1,1250

Damit ist die Torsionsfunktion Φ in den Gitterpunkten bekannt. Nach (2.119) folgt die Spannung τyz aus τyz = −2 G κT ∂Φ/∂x. Der Differentialquotient l¨ asst sich hierin durch den vorderen Differenzenquotienten ersetzen, und wir erhalten f¨ ur die maximale Randspannung (x = 0, y = a/2): Φ12 − Φ02 0,8750 − 0 2 G κT = 2 G κT h2 = 0,438 G κT a . τyz = h h

398


Diese Spannung ist erheblich geringer als die exakte Randspannung τyz = 0,675 G κT a nach Abschnitt 2.1.3. Das Ergebnis lässt sich verbessern, wenn man eine Interpolation der Funktion Φ in x-Richtung bei festgehaltenem y = a/2 durchf¨ uhrt. Dies soll hier jedoch nicht weiter ausgef¨ uhrt werden.

7.5

7.5 Methode der gewichteten Residuen 7.5.1 Vorbemerkungen

Bisher sind wir bei der Konstruktion von numerischen Methoden direkt von den gew¨ ohnlichen oder partiellen Differentialgleichungen ausgegangen, die dem zu behandelnden mechanischen Problem zugrunde lagen. In diesem Abschnitt wollen wir dagegen Formulierungen verwenden, bei denen der Fehler, der durch das Einsetzen einer N¨ aherungsl¨ osung in die Differentialgleichung entsteht, minimiert wird. Dabei gibt es unterschiedliche Vorgehensweisen, die in den folgenden Abschnitten erl¨ autert werden. Setzen wir in die Differentialgleichung (7.1) eine Näherungslösung y˜ ein, so wird der Fehler R(˜ y ) = F (x, y˜, y˜ , . . . , y˜(n) ) − r = 0

(7.32)

auftreten. Diesen Fehler bezeichnet man auch als Residuum. Analog erhalten wir einen Fehler in den Randbedingungen, die im allgemeinen von der N¨ aherungsl¨ osung y˜ ebenfalls nicht exakt erf¨ ullt y ) = 0. werden: Rr (˜ Die L¨ osung y(x) der Differentialgleichung k¨ onnen wir im allgemeinen durch ein vollst¨ andiges Funktionensystem aus linear unabh¨ angigen Funktionen Φk (x) darstellen: ∞ y(x) = ak Φk (x). k=1

Brechen wir die Reihe bei n ab, so ist die entstehende Näherung y˜(x) bis zur Ordnung n vollst¨ andig: n ak Φk (x). (7.33) y˜(x) = k=1

7.5

Methode der gewichteten Residuen

399

Dabei setzen wir voraus, dass die Funktionen Φk hinreichend stetig sind und die homogenen Randbedingungen erf¨ ullen. Zur Bestimmung der unbekannten Koeffizienten ak wollen wir im folgenden die Kollokationsmethode, die Methode der gewichteten Residuen und das Galerkinsche Verfahren n¨ aher betrachten. 7.5.2 Kollokationsverfahren

Bei dieser Methode werden die Koeffizienten ak aus der Forderung berechnet, dass das Residuum an bestimmten Punkten, den sogenannten Kollokationspunkten, verschwindet (R = 0). Hierbei w¨ ahlen wir die Ansatzfunktionen Φk so, dass sie alle Randbedingungen erf¨ ullen. Die ak bestimmen wir dann durch die Wahl von n Kollokationspunkten x1 , x2 , . . . , xn , wobei wir (7.33) in (7.32) einsetzen und an den Kollokationspunkten auswerten: R[˜ y (x1 )] = F [x1 , R[˜ y (x2 )] = F [x2 ,

0 0

ak Φk (x1 ), ak Φk (x2 ),

0 0

ak Φk (x1 ), . . .] − r(x1 ) = 0, ak Φk (x2 ), . . .] − r(x2 ) = 0,

(7.34)

... = ... R[˜ y (xn )] = F [xn ,

0

ak Φk (xn ),

0

ak Φk (xn ), . . .] − r(xn ) = 0.

Dies ist ein System von n Gleichungen f¨ ur die n Unbekannten ak . 7.5.3 Galerkin-Verfahren

Eine andere Vorgehensweise bei der Konstruktion von Näherungsl¨ osungen besteht in der Idee, dass der Fehler – im Gegensatz zur Kollokationsmethode – nicht in ausgew¨ ahlten Punkten, sondern im Mittel u ¨ber das gesamte Gebiet zu Null gesetzt wird: R(˜ y ) dx = 0. Noch allgemeiner k¨ onnen wir fordern, dass das Residuum in einem gewichteten Mittel Null ist: R(˜ y ) η dx = 0 (Methode der gewichteten Residuen). Es ist dabei zweckmäßig, die Wichtungsfunktion η (x) mit Hilfe eines zweiten Satzes linear unabh¨ angiger Funktionen Ψj (x) darzustellen: η(x) =

n j=1

bj Ψj (x).

(7.35)

400


Wir wollen im weiteren voraussetzen, dass die Ψj die homogenen Randbedingungen erf¨ ullen. Dies ist nicht unbedingt notwendig, vereinfacht aber die Schreibweise. Mit der zusätzlichen Annahme, ullen, erdass die Ansatzfunktionen Φk alle Randbedingungen erf¨ halten wir

l R[˜ y (x)]

n

bj Ψj (x) dx = 0 .

(7.36)

j=1

0

Da die Faktoren bj beliebig und die Funktionen Ψj (x) linear unabh¨ angig voneinander sind, folgen aus (7.36) n Gleichungen f¨ ur die n unbekannten Koeffizienten ak im Ansatz (7.33):

l R[˜ y (x)] Ψj (x) dx = 0,

j = 1, . . . , n .

(7.37)

0

Dieses allgemeine Vorgehen ist die Grundlage vieler Methoden. Selbst das Kollokationsverfahren kann hieraus hergeleitet werden, wenn als Funktionen Ψj Diracsche Delta-Funktionen gewählt werden. Im folgenden wollen wir das Galerkin-Verfahren näher betrachten, bei dem als Besonderheit derselbe Ansatz f¨ ur die Näherungsfunktion y˜ und die Wichtungsfunktion η gew¨ ahlt wird. Aus (7.37) erh¨ alt man dann mit (7.33)

l R 0

n

ai Φi (x) Φj (x) dx = 0 .

(7.38)

i=1

Damit die Methode funktioniert, muss der Näherungsansatz y˜ alle Randbedingungen erf¨ ullen. Weiterhin muss die Näherungslösung f¨ ur eine Differentialgleichung 2m-ter Ordnung (2m − 1)-mal stetig differenzierbar sein. Am Beispiel des eingespannten Balkens unter einer Endlast F und einem Endmoment M0 wollen wir dies veranschaulichen. Mit der Differentialgleichung der Bie˜i (x) gelinie EI wIV − q = 0 und den Ansatzfunktionen Φi (x) = w liefert (7.38)

7.5 n


401

l

[EI ai w ˜iIV − q] w ˜j dx = 0 .

(7.39)

i=1 0

Dabei m¨ ussen die Ansatzfunktionen die kinematischen Randbedingungen w(0) = 0, w (0) = 0 (wesentliche Randbedingungen) und die dynamischen Randbedingungen EIw (l) = −M0 und ullen. Die DiffeEIw (l) = −F (restliche Randbedingungen) erf¨ rentialgleichung hat die Ordnung 2m = 4, so dass die Ansatzfunktionen ( 2m − 1) = 3-mal stetig differenzierbar sein m¨ ussen (man ullen). sagt auch, w ˜ muss die Bedingung der C 3 -Stetigkeit erf¨ Diese strengen Bedingungen an die Stetigkeit und an die Randbedingungen erschweren oft die Wahl der Ansatzfunktionen. Um hier Abhilfe zu schaffen, wendet man die partielle Integration auf (7.38) an und ber¨ ucksichtigt dabei die dynamischen Randbedingungen. Dann sind vom N¨ aherungsansatz nur noch die wesentlichen Randbedingungen zu erf¨ ullen. Weiterhin muss dieser jetzt nur noch (m−1)-mal stetig differenzierbar sein (C m−1 -Stetigkeit). Am Beispiel des Balkens wollen wir die Umformung erläutern. Fordern wir, dass der N¨ aherungsansatz die wesentlichen, nicht aber die restlichen Randbedingungen erf¨ ullt, so liefert dies die Fehler ˜ (l) + M0 , R2 = EI w ˜ (l) + F. R = EI w ˜ IV − q, R1 = EI w Wir multiplizieren die Fehler mit der Gewichtsfunktion η. Da R1 und R2 nur an der Stelle l definiert sind, werden sie mit den Gewichten η1 und η2 versehen. Durch Aufsummieren der Fehler erhalten wir

l

(EI w ˜ IV − q) η dx + [EI w ˜ (l) + M0 ] η1 + [EI w ˜ (l) + F ] η2 = 0.

0

Zweimalige partielle Integration liefert

l 0

l l (EI w ˜ η − q η) dx + EI w ˜ η 0 − EI w ˜ η 0 + EI w ˜ (l) + M0 η1 + EI w ˜ (l) + F η2 = 0.

402


Da die Gewichtsfunktion η voraussetzungsgemäß die wesentlichen Randbedingungen erf¨ ullt, gilt η(0) = η (0) = 0. Es folgt damit

l

(EI w ˜ η − q η) dx + EI w ˜ (l)[η(l) + η2 ] + η2 F − EI w ˜ (l)[η (l) − η1 ] + η1 M0 = 0.

0

W¨ ahlen wir η1 = η (l) und η2 = −η(l), so verschwinden die eckigen Klammern:

l

(EI w ˜ η − q η) dx − η(l) F + η (l) M0 = 0.

(7.40)

0

Damit haben wir (7.39) so umgeformt, dass der Näherungsansatz nur die wesentlichen Randbedingungen zu erf¨ ullen hat. Hierbei m¨ ussen w ˜ und η nur (m − 1) = 1-mal stetig differenzierbar sein (C 1 -Stetigkeit). Beide Formen, (7.39) und (7.40), werden als Galerkin-Verfahren bezeichnet. W¨ ahlt man in (7.40) f¨ ur η und w ˜ jedoch unterschiedliche Ansatzfunktionen, so spricht man vom Petrov-Galerkin-Verfahren. 7.5.4 Numerische Integration

Wie wir im vorigen Abschnitt gesehen haben, sind bei der Anwendung des Galerkinschen Verfahrens Integrale auszuwerten. Diese können in manchen F¨ allen noch analytisch berechnet werden. Oft ist dies aber nicht m¨ oglich, so dass dann eine numerische Integration zu erfolgen hat. Außerdem ist es h¨ aufig konsistenter und auch effizienter, wenn man schon numerisch rechnet, dann auch die Integration numerisch durchzuf¨ uhren, selbst wenn diese analytisch vorgenommen werden k¨ onnte. In diesem Abschnitt sollen zwei gebr¨ auchliche Verfahren zur numerischen Integration angegeben werden. Dabei beschr¨ anken wir uns auf Einfachintegrale der Form

l f (x)dx. 0

7.5


403

Um die Integrationsformeln einfacher schreiben zu können, transformieren wir den Integrationsbereich auf ein Intervall der Länge 2. Mit x = x(ξ) = (ξ + 1)l/2 erhalten wir

+1 −1

dx dξ = f [x(ξ)] dξ

+1 g(ξ)dξ. −1

Man kann zeigen, dass sich dieses Integral n¨ aherungsweise aus einer Summe berechnen l¨ asst, indem man den Integranden g(ξ) an vorgegebenen St¨ utzstellen ξp auswertet und dort mit Wichtungsfaktoren wp multipliziert:

+1 g(ξ) dξ ≈

n

g(ξp )wp .

(7.41)

p=1

−1

Die Wahl dieser St¨ utzstellen und der Wichtungsfaktoren erfor¨ dert zus¨ atzliche mathematische Uberlegungen, auf die wir hier verzichten. Wir wollen an dieser Stelle nur die St¨ utzstellen und die Wichtungsfaktoren f¨ ur zwei Methoden angeben. Wegen ihrer hohen Genauigkeit ist die sogenannte Gauß-Integration von großer Bedeutung. Durch sie werden Polynome vom Grad q ≤ 2n − 1 exakt integriert. Die Tabelle 7.1 enhält f¨ ur n = ; Gaußpunkte) und die 1, 2, 3 die Werte f¨ ur die St¨ utzstellen ξp (= Wichtungsfaktoren wp . Man erkennt, dass die Gaußpunkte innerhalb des Integrationsgebiets liegen und nicht ¨ aquidistant verteilt sind. Tabelle 7.1 Gauß-Integration

n

ξp

wp

exakt f¨ ur q

1

0 √ ±1/ 3 0 ± 3/5

2

1

1

3

8/9 5/9

5

2 3

404


Manche Probleme erfordern Integrationsverfahren, bei denen die Randpunkte mit in die Berechnung eingehen. Dann kann man z.B. die Methode von Newton-Cotes w¨ ahlen, die in gleicher Weise wie die Gauß-Integration angewendet werden kann. Das Verfahren bleibt dabei gleich, nur die St¨ utzstellen und die Wichtungsfaktoren in (7.41) sind ge¨ andert. Sie sind in der Tabelle 7.2 zusammengefasst. Man erkennt, dass die Newton-Cotes-Integration eine erheblich geringere Genauigkeit aufweist. So integriert die Gaußsche Regel mit 3 Punkten ein Polynom bis zum Grad 5 exakt, w¨ ahrend die Newton-Cotes-Regel mit gleicher Punktzahl ein exaktes Ergebnis nur f¨ ur ein Polynom bis zum Grad 3 liefert. Die sich bei der Verwendung von drei Punkten ergebende NewtonCotes-Formel ist auch unter dem Namen Simpson-Regel bekannt. Tabelle 7.2 Newton-Cotes-Integration

n

ξp

wp

exakt f¨ ur q

2

±1 < 0 ±1 0 ±1/2 ±1

1

1

4/3 1/3

3

12/45 32/45 7/45

5

3

5

7.5.5 Beispiele

In diesem Abschnitt werden wir die Methoden der vorhergehenden Abschnitte auf Aufgabenstellungen aus der Mechanik anwenden. Als erstes Beispiel sei der beidseits gelenkig gelagerte Balken unter linear ver¨ anderlicher Streckenlast q(x) = q0 x/l gewählt (Abb. 7.11). Die Differentialgleichung der Biegelinie lautet EI wIV −q = 0. Mit den Randbedingungen w(0) = w(l) = M (0) = M (l) = 0 k¨ onnen wir in diesem Fall die exakte L¨ osung angeben (Band 2, Tabelle 4.3). Eine einfache N¨ aherungsl¨ osung lässt sich mit dem Kollokationsverfahren nach Abschnitt 7.5.2 gewinnen. Wir wählen

7.5


405

Abb. 7.11

zu diesem Zweck einen zweigliedrigen N¨ aherungsansatz, der die Randbedingungen erf¨ ullt (Rr = 0): w ˜ = a1 sin

πx 2πx + a2 sin . l l

Um die unbekannten Koeffizienten a1 und a2 zu bestimmen, bilden wir mit dem Ansatz das Residuum: R = EI w ˜ IV − q π4 πx 2 π x π4 x − q0 . + 16 a2 4 sin = EI a1 4 sin l l l l l Mit der Kollokation an den zwei Stellen x = l/2 und x = 3l/4 folgt das Gleichungssystem π4

l π π4 1 = EI a1 4 sin + 16 a2 4 sin π − q0 = 0, R w ˜ 2 l 2 l 2 3 l π4 3π 3π π4 3 R w ˜ = EI a1 4 sin − q0 = 0. + 16 a2 4 sin 4 l 4 l 2 4 Hieraus ergeben sich die Koeffizienten a1 =

√ q0 l 4 q0 l 4 , a2 = − (3 − 2) , 4 4 2 EI π 64 EI π

und damit lautet die N¨ aherungsl¨ osung √ πx 3− 2 2 π x q0 l 4 1 . sin − sin w ˜= 4 π EI 2 l 64 l Im Kollokationspunkt x = 3l/4 weicht die Näherungslösung w(3l/4) ˜ = 0, 00388 q0 l4 /EI von der exakten Lösung w(3l/4) = 0, 00484 q0 l4 /EI um -19,8 % ab (man beachte, dass im Kollokationspunkt zwar das Residuum der Differentialgleichung gleich Null ist, nicht aber der Fehler der N¨ aherungsl¨ osung w). ˜ Eine Verbesserung der N¨ aherungsl¨ osung kann man durch Hinzunahme weiterer Terme (z.B. a3 sin 3 π x/l) oder durch die Wahl anderer Ansatz-

406


funktionen (z.B. Polynome) erzielen. Als zweites Anwendungsbeispiel betrachten wir den am Fußpunkt eingespannten Stab nach Abb. 7.12, der durch sein Eigengewicht μ g (Gewicht pro L¨ angeneinheit) belastet ist. Wir wollen mit Hilfe des Galerkin-Verfahrens die Knicklast bestimmen. Nach (5.32) lautet die Differentialgleichung f¨ ur dieses Knickproblem EI wIV + μ g(l − x)w − μ g w = 0. Im konkreten Fall liegen die Randbedingungen w(0) = w (0) = 0, Q(l) = −EI w (l) = 0 und M (l) = −EI w (l) = 0 vor. Die L¨ osung wird mittels einer N¨ aherungsfunktion w ˜ approximiert und der gewichtete Fehler gem¨ aß (7.36) zu Null gesetzt:

l

[EI w ˜ IV + μ g(l − x)w ˜ − μ g w ˜ ] η dx = 0 .

0

Wir formen die Gleichung durch partielle Integration wie in Abschnitt 7.5.3 um. Damit sind dann von den Ansatzfunktionen nur noch die wesentlichen Randbedingungen zu erf¨ ulllen. Die Umformung des ersten Terms und die Einarbeitung der dynamischen Randbedingungen wurden in Abschnitt 7.5.3 schon beschrieben. Wir beschr¨ anken uns daher auf die Umformung der letzten beiden Terme. Mit

l

μ g(l − x)w ˜ η dx

l

0

=− 0

l w ˜ μ g(l − x)η − μ g η dx + w ˜ μ g(l − x)η 0 ! "# $ =0

Abb. 7.12

7.5


407

folgt f¨ ur die endg¨ ultige Form l

l EI w ˜ η dx − μ g(l − x) w ˜ η dx = 0. 0

0

Wir w¨ ahlen jetzt f¨ ur w ˜ und η einen eingliedrigen Ansatz, der die wesentlichen Randbedingungen erf¨ ullt. Die Eigenform f¨ ur die Knicklast des eingespannten Balkens unter Einzellast ist durch w(x) = a[1 − cos(πx/2l)] gegeben. Es liegt nahe, diese Funktion f¨ ur die N¨ aherung w ˜ bzw. η anzusetzen. Das Einsetzen liefert

l

l π 4 π 2 πx 2 πx dx − μ g(l − x) dx = 0. EI cos sin2 2l 2l 2l 2l 0

0

In diesem Fall k¨ onnen die Integrale analytisch ausgewertet werden. Damit erh¨ alt man π 4 l π 2 l2 l2 EI − μg − 2 =0 2l 2 2l 4 π EI → (μ g l)krit = 0, 841 π 2 2 . l Der Vergleich mit der exakten L¨ osung der Differentialgleichung 2 (5.32) (μ g l)krit = 0, 795 π EI/l2 (vgl. (5.35)) zeigt, dass die N¨ aherungsl¨ osung einen um 5,5% zu großen Wert liefert. Sie ist damit f¨ ur viele praktische Belange ausreichend genau. Wir wollen an dieser Stelle noch die numerische Integration mittels der Gaußschen Formel (7.41) anwenden und beispielhaft das zweite Integral auswerten. Dazu transformieren wir das Integral mit x = (ξ + 1)l/2 und erhalten mit dx = dξ l/2

l

+1 l2 π 2 πx dx = I2 = (l − x) sin (1 − ξ) sin2 (ξ + 1) dξ. 2l 4 4 0

−1

Zur Auswertung verwenden wir die 3-Punkt-Formel (Tabelle 7.1): 4 I2 = 14 l2 1 + 3/5 sin2 π4 − 3/5 + 1 59 + 1 − 3/5 sin2 π4 3/5 + 1 59 5 +(1 − 0) sin2 π4 (0 + 1) 89 = 0, 1491 l2 .

408


Wir erkennen durch Vergleich mit dem exakten Wert I2 = 0, 1487 l2 des Integrals, dass die numerische Integration trotz der geringen St¨ utzstellenzahl sehr genau ist. In einem dritten Anwendungsbeispiel wollen wir f¨ ur den Balken in Abb. 7.13a die Auslenkung wmax oberhalb der kritischen Last mit Hilfe des Galerkinschen Verfahrens berechnen.

Abb. 7.13

Die Differentialgleichung f¨ ur die Elastica lautet nach (5.21) d2 ϕ/ds2 + λ2 sin ϕ = 0 mit λ2 = F/EI. Da sie in dieser Form zur direkten Bestimmung der Durchbiegung nicht geeignet ist, leiten wir zun¨ achst eine Differentialgleichung f¨ ur w her. Zwischen der Durchbiegung w und dem Winkel ϕ besteht nach (5.23) der Zusammenhang dw = sin ϕ. (a) ds Aus der Gleichgewichtsbedingung (5.19) und dem Elastizitätsgesetz (5.20) folgt dϕ + λ2 w = 0. ds Die Differentiation von (a) liefert d2 w/ds2 = cos ϕ dϕ/ds, womit in der vorangegangenen Gleichung dϕ/ds eliminiert werden kann: d2 w + λ2 w cos ϕ = 0. ds2 asst sich die Gleichung der Mit cos ϕ = 1 − sin2 ϕ und (a) l¨ Elastica in der Form

7.5


409

dw 2 d2 w 2 + λ w 1 − = 0. (b) ds2 ds schreiben. Unter der Voraussetzung |dw/ds| ≤ 1 können wir den Wurzelausdruck in eine Potenzreihe entwickeln und f¨ ur kleine dw/ds n¨ aherungsweise nach dem zweiten Term abbrechen. Damit lautet die gen¨ aherte Differentialgleichung der Elastica (f¨ ur nicht zu große Auslenkungen) 1 2 dw 2 d2 w 2 λ + λ w − w = 0. ds2 2 ds Wenden wir auf diese nichtlineare Differentialgleichung das Galerkin-Verfahren an, so liefert (7.38)

l 2 1 2 dw ˜ d w ˜ 2 2 λ + λ w ˜ − w ˜ η ds = 0. (c) ds2 2 ds 0

F¨ ur w und η w¨ ahlen wir einen eingliedrigen Ansatz, welcher die Randbedingungen erf¨ ullt. Dabei verwenden wir die Knickfigur des linearisierten Problems (vgl. Band 2, Abschnitt 7.2): w(s) ˜ = a1 sin

πs , l

η(s) = b1 sin

πs . l

Einsetzen in (c) ergibt

l −

a1 b1

π 2 l

πs ds + λ2 cos l

l a1 b1 sin2

2

0

λ2 − 2

πs ds l

0

l a31 b1

π 2 l

cos2

πs πs sin2 ds = 0 . l l

0

Dies f¨ uhrt auf eine nichtlineare algebraische Gleichung f¨ ur a1 :

l π 2 l π 2 l + λ2 − λ2 a21 =0 a1 − l 2 2 l 16 2 π 2 1 l → a21 = 8 λ2 − . π l λ2 Eine elementare Umformung liefert mit der kritischen Last des

410


Eulerfalles Fkrit = EI(π/l)2 die gesuchte Auslenkung: Fkrit 8 a21 = 2 l2 1 − π F √ l Fkrit 8 = a1 = l 1− . ˜ → w ˜max = w 2 π F F¨ ur F < Fkrit wird die Wurzel imagin¨ ar; dann tritt kein Ausknicken auf. Auch bei der Knicklast F = Fkrit verschwindet die Durchbiegung. F¨ ur einige Lastparameter ist das Ergebnis in der folgenden Tabelle angegeben und in Abb. 7.13b dargestellt. Zum Vergleich der G¨ ute der N¨ aherung sind zus¨ atzlich die Werte angegeben, die auf einer exakten L¨ osung der Differentialgleichung (b) beruhen. F/Fkrit

1,001

1,005

1,01

1,02

1,05

1,10

1,20

w(l/2)/l ˜

0,029

0,064

0,090

0,126

0,197

0,272

0,368

w(l/2)/l

0,029

0,064

0,090

0,125

0,195

0,258

0,327

¨ Man sieht, dass schon f¨ ur sehr kleine Uberschreitungen der kritischen Last große Durchbiegungen auftreten. Weiterhin erkennen ¨ wir, dass bis zum Lastparameter 1,05 eine sehr gute Ubereinstimmung zwischen der N¨ aherungsl¨ osung und der exakten Lösung von (b) vorliegt. Dies ist umso erstaunlicher, als dann am Lager bereits eine Neigung dw/ds|s=0 = a1 π/l = 0,61 vorliegt, die eigentlich das Abbrechen der Potenzreihe f¨ ur den Wurzelausdruck in (b) nicht rechtfertigt. 7.5.6 Verfahren von Ritz

Dem Ritzschen Verfahren (W. Ritz, 1878–1909) liegen Energieprinzipien wie z.B. das Prinzip vom Station¨ arwert des Gesamtpotentials zugrunde, die wir allgemein als

l Π (y) =

F (x, y, y , y )dx → station¨ ar

(7.42)

0

schreiben k¨ onnen. Einige Beispiele f¨ ur das Gesamtpotential (Funk-

7.5


411

tional) aus der Mechanik sind in Tabelle 7.3 angegeben (vgl. Abschnitte 2.7.3 und 4.5). Tabelle 7.3 Differentialgleichungen und zugeh¨ orige Funktionale

Problem

Differentialgleichung

Funktional

Stab

(EA u ) + n = 0

1 2

(EI w ) − q = 0

Balken Stabknicken Balkenschwingung

(EI w ) + F w = 0 (E I w ) − ω 2 A w = 0

1 2 1 2 1 2

l 0 l 0 l

(EA u 2 − 2 n u)dx (EI w 2 − 2 q w)dx (EI w 2 − F w 2 )dx

0

l

(E I w 2 − ω 2 A w2 )dx

0

Wie schon beim Galerkinschen Verfahren wird eine Näherung f¨ ur die gesuchte Funktion u oder w angesetzt. Der Unterschied zum Galerkinschen Verfahren besteht darin, dass wir hier nicht von der Differentialgleichung ausgehen, sondern die Variationsfunktionale, wie sie z.B. in Tabelle 7.3 angegeben sind, zugrunde legen. Die Freiwerte der N¨ aherungsfunktion bestimmen wir hier aus der Forderung, dass das Funktional extremal werden muss. Wir machen also wie beim Galerkinschen Verfahren einen vollst¨ andigen N¨ aherungsansatz n φi (x)ai , (7.43) y˜(x) = i=1

wobei die φi nun nur die wesentlichen Randbedingungen erf¨ ullen m¨ ussen (um diesen Unterschied deutlich zu machen, verwenden wir im weiteren das Symbol φi anstelle von Φi ). Diesen setzen wir in das Funktional (7.42) ein und erhalten

l Π (˜ y) =

F (x, y˜, y˜ , y˜ )dx → stat.

(7.44)

0

Da die Ansatzfunktionen φi in (7.43) gegebene Funktionen von x sind, k¨ onnen wir die Integration ausf¨ uhren. Damit ist Π jetzt

412


nur noch eine Funktion der unbekannten Freiwerte ai des Näheur die rungsansatzes: Π (˜ y ) → Π (ai ). Die notwendige Bedingung f¨ Annahme eines Extremums von Π (ai ) ist dann ∂Π = 0, ∂ai

i = 1, . . . , n .

(7.45)

Dies liefert n Gleichungen f¨ ur die n unbekannten Koeffizienten ai . Wir wollen nun die Vorgehensweise des Ritzschen Verfahrens bei Randwert- bzw. Eigenwertproblemen beispielhaft f¨ ur einen Balken darstellen. Bei einem Randwertproblem gehen wir vom Prinzip des Station¨ arwertes der potentiellen Energie 1 Π (w) = 2

l

(EI w 2 − 2 q w)dx → stat.

(7.46)

0

aus (vgl. Beispiel 2.12). F¨ ur w wird ein vollständiger Ansatz w(x) ˜ =

n

φi (x) wi

(7.47)

i=1

ahlt. Hierin haben die mit den unbekannten Koeffizienten wi gew¨ ulAnsatzfunktionen φi die wesentlichen Randbedingungen zu erf¨ len. Damit erhalten wir aus (7.46) 1 Π (w) ˜ = 2

l EI

n i=1

0

φi wi

2

−2q

n

φi wi

dx → stat. (7.48)

i=1

Die Freiwerte wi bestimmen wir aus der Extremalbedingung (7.45): ∂Π = ∂wk

l EI 0

n

φi wi φk − q φk dx = 0, k = 1, 2, . . . , n. (7.49)

i=1

Dies stellt ein lineares Gleichungssystem f¨ ur die n unbekannten uhrung von Koeffizienten wi dar, das sich mit der Einf¨

l

l EI φi φk dx, Pk = q φk dx (7.50) kik = kki = 0

0

7.5


413

in folgende Form bringen l¨ asst: ⎡

k11 k12 k13 . . . k1n

⎢ ⎢ k21 ⎢ ⎢ ⎢ k31 ⎢ ⎢ . ⎢ ⎢ ⎣ .

kn1

⎤⎡

w1

⎤

⎡

P1

⎤

⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ k22 k23 . . . k2n ⎥ ⎥ ⎢ w2 ⎥ ⎢ P2 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ k32 k33 . . . k3n ⎥ ⎢ w3 ⎥ ⎢ P3 ⎥ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥. ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ . . ... . ⎥ ⎥⎢ . ⎥ ⎢ . ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ . . ... . ⎦⎣ . ⎦ ⎣ . ⎦ wn Pn kn2 kn3 . . . knn

(7.51)

Diese Gleichung kann auch in der symbolischen Matrixnotation Kw =P

(7.52)

geschrieben werden. Ihre L¨ osung lautet: w = K −1 P . Dazu ist es notwendig, dass die Inverse von K existiert. Dies ist immer dann gegeben, wenn die Ansatzfunktionen φi keine linearen Abhängigkeiten aufweisen (vollst¨ andiger Ansatz). Mit den Koeffizienten w ist dann die N¨ aherungsfunktion (7.47) vollst¨ andig bestimmt. Haben wir einen Ansatz mit nur einem Koeffizienten w1 gemacht, so ergibt sich dieser einfach zu w1 = P1 /k11 . Um die N¨ aherungsl¨ osung mit Hilfe des Ritzschen Verfahrens f¨ ur den zweiten Aufgabentyp – das Eigenwertproblem – zu veranschaulichen, wollen wir als Beispiel die Balkeneigenschwingung betrachten. Nach Tabelle 7.3 lautet hierf¨ ur (7.42) (vgl. auch Abschnitt 4.5)

1 l (EI w 2 − ω 2 A w2 )dx → stat. (7.53) Π (w) = 2 0 Darin ist ω die gesuchte Eigenkreisfrequenz. Dieses Funktional kann auch noch f¨ ur nE Einzelfedern (cj ) bzw. -massen (Mj ), die an den Stellen xj angebracht sind, erweitert werden. Dann sind die jeweiligen Energieanteile zu ber¨ ucksichtigen, was auf

14 l (EI w 2 − ω 2 A w2 )dx Π (w) = 2 0 +

nE 5 cj w(xj )2 − ω 2 Mj w(xj )2 → stat. j=1

(7.54)

414


f¨ uhrt. Diese zus¨ atzlichen Anteile werden zur Vereinfachung der Schreibweise zun¨ achst nicht weiter mitgef¨ uhrt. F¨ ur w wird nun der vollst¨ andige Ansatz nach (7.47) gew¨ ahlt. Das Einsetzen in (7.53) liefert

l n n

2 1 2 EI dx → stat., (7.55) Π (w) ˜ = φi wi − ω ˜ 2 A φi wi 2 i=1 i=1 0

wobei ω ˜ die N¨ aherung f¨ ur die Eigenkreisfrequenz ist. Die Freiwerte wi bestimmen wir wieder aus der Extremalforderung: ∂Π = ∂wk

l EI

n

n

φi wi φk − ω ˜2 A φi wi φk dx = 0,

i=1

0

i=1

(7.56)

k = 1, 2, . . . , n. Im Gegensatz zu (7.49) stellt (7.56) ein homogenes Gleichungssystem f¨ ur die Unbekannten wi dar, das sich mit der Einf¨ uhrung von

l kik = kki =

EI φi φk dx,

l mik = mki =

0

A φi φk dx

(7.57)

0

folgendermaßen schreiben l¨ asst: ⎛⎡

k11 k12 . . . k1n

⎤

⎡

⎜⎢ ⎥ ⎢ ⎜⎢ k21 k22 . . . k2n ⎥ ⎢ m21 m22 ⎜⎢ ⎥ ⎢ 2⎢ ⎜⎢ . . . . . . ⎥ − ω ˜ ⎜⎢ ⎥ ⎢ . ⎜⎢ ⎥ ⎢ ⎣ . ⎝⎣ . . . . . . ⎦ kn1 kn2 . . . knn

⎤⎞ ⎡

⎤

⎡ ⎤ 0 ⎥⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ . . . m2n ⎥⎟ ⎢ w2 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎥⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎟ ⎢ . ⎥ = ⎢ . ⎥. (7.58) ⎥⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎦⎠ ⎣ . ⎦ ⎣ . ⎦

m11 m12 . . . m1n

mn1 mn2 . . . mnn

w1

wn

0

In symbolischer Matrixnotation f¨ uhrt dies auf ˜ = 0. (K − ω ˜ 2 M )w

(7.59)

Gleichung (7.58) bzw. (7.59) beschreibt das Eigenwertproblem f¨ ur die unbekannten Eigenwerte ω ˜ und die zugeh¨ origen Eigenvektoren w. ˜ Durch letztere lassen sich mit (7.47) die Eigenfunktionen näherungsweise bestimmen. Man erh¨ alt im Gegensatz zu der analytischen Vorgehensweise in Abschnitt 4.3.2.1 nicht unendlich viele, sondern nur n Eigenwerte und -funktionen. Diese nichttrivialen

7.5


415

L¨ osungen bestimmt man durch Nullsetzen der Determinante der Koeffizientenmatrix: det(K − ω ˜ 2 M ) = 0. Deren Berechnung ist bei großen Gleichungssystemen (viele Ansatzfunktionen) sehr aufwendig, was dann die Anwendung spezieller Techniken erfordert. Wird nur ein eingliedriger N¨ aherungsansatz w ˜ = φ1 (x) w1 gew¨ ahlt, dann k¨ onnen wir den zugeh¨ origen Eigenwert direkt angeben. Wir erhalten ω ˜ 2 = k11 /m11 , oder mit φ = φ1 ausgeschrieben: l 2

ω ˜ =

EI φ 2 dx

0

l

. A φ2

(7.60)

dx

0

Man nennt diesen Quotienten auch Rayleigh-Quotient (vgl. (4.129)). Wenn zus¨ atzlich Federn oder Punktmassen zu ber¨ ucksichtigen sind, dann sind Z¨ ahler oder Nenner sinngemäß nach (7.54) zu erweitern. Der Rayleigh-Quotient l¨ asst sich auch f¨ ur andere Eigenwertaufgaben angeben. F¨ ur das Knickproblem des Stabes lautet er l F˜krit =

0

EI φ 2 dx l

. φ 2

(7.61)

dx

0

Wenn dem zugeh¨ origen Funktional ein Minimalprinzip (Π → Minimum) zugrundeliegt, so kann gezeigt werden, dass f¨ ur die Eigenwerte folgende Ungleichung besteht: ω ˜ 2 ≥ ω2 ,

F˜krit ≥ Fkrit .

(7.62)

Hierin sind ω bzw. Fkrit die exakten Eigenwerte; sie stellen eine untere Schranke f¨ ur die N¨ aherungsl¨ osung dar. Das Gleichheitszeichen gilt dann, wenn in den Rayleigh-Quotienten die exakte Eigenfunktion eingesetzt wird. Zusammenfassend stellen wir fest, dass man mit Hilfe des Ritzschen Verfahrens recht einfach N¨ aherungsl¨ osungen bestimmen kann, die auch noch Schrankeneigenschaften aufweisen. Ein Nachteil dieser Methode liegt jedoch darin begr¨ undet, dass der Nähe-

416


rungsansatz f¨ ur jedes neue Problem den entsprechenden Randbedingungen angepasst werden muss, was eine vollständig neue Aufbereitung bedeutet. Zum anderen werden die Koeffizientenmatrizen in (7.51) und (7.58) in der Regel vollbesetzt sein, was uhrt. Abhilfe bei vielen Freiwerten wi zu hohem Rechenaufwand f¨ schaffen hier Methoden, die von bereichsweisen Ansätzen ausgehen. Sie werden im n¨ achsten Abschnitt besprochen. B7.4

Beispiel 7.4 Der Balken nach Abb. 7.14 ist durch eine konstante

Linienlast q0 belastet. Man bestimme n¨ aherungsweise die Biegelinie mit einem dreigliedrigen Ansatz und werte sie an der Stelle x = l/2 aus.

Abb. 7.14

L¨ osung Der N¨ aherungsansatz muss die wesentlichen Randbedingungen erf¨ ullen. Wir w¨ ahlen einen vollst¨ andigen Poynomansatz der Form x 2 x 2 x x x 2 x 1− 1− 1− w(x) ˜ = w1 + w2 + w3 . (a) l $ !l "# l $ !l "# !l "# l $ φ1

φ2

φ3

Die unbekannten Freiwerte wi folgen aus dem Gleichungssystem (7.51). Wir erhalten mit x 2 x x 2 1 2 w2 + 2 1 − 6 + 6 w3 w ˜ = − 2 w1 + 2 2 − 6 l l l l l l die Koeffizienten kik des Gleichungssystems und die Komponenten Pk des Lastvektors:

l 2 2 4 EI k11 = EI − 2 dx = 3 , l l 0

l 2 2 EI x dx = 3 , EI − 4 2 − 6 k12 = k21 = l l l 0

l

x 2 1 4 EI EI 4 2 − 6 dx = 3 , k22 = l l l 0

7.5


417

x 2 2 2 x 1−6 +6 dx = 0, EI − 2 l l l 0

l x 2 x x 2 1−6 +6 dx = 0, EI 4 2 − 6 k23 = k32 = l l l l 0

l x 2 2 2 2 x 4 EI 1−6 +6 EI 2 dx = , k33 = l l l 5 l3 0

l q0 l x x 2 − , dx = q0 P1 = l l 6 0

l 2 q0 l x x dx = , 1− q0 P2 = l l 12 0

l 2 x 2 q0 l x P3 = . 1− dx = q0 l l 30 0 l

k13 = k31 =

Damit ergibt sich das Gleichungssystem ⎡ ⎡ ⎤ ⎤⎡ ⎤ 20 10 0 10 w1 EI ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ q0 l ⎢ ⎥ = ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ w2 10 20 0 5 ⎦. 5 l3 60 w3 0 0 4 2 Es liefert die L¨ osung w1 = w3 =

q0 l 4 , w2 = 0. 24 EI

Wir erkennen, dass sich der Freiwert w2 zu Null ergibt, d.h. die bez¨ uglich der Balkenmitte unsymmetrischen Anteile fallen aus der L¨ osung heraus. Mit den Koeffizienten wi ist die Näherungsfunktion w(x) ˜ f¨ ur die Biegelinie bekannt. An der Stelle x = l/2 erhalten wir l 1 5 q0 l 4 q0 l 4 1 w ˜ + = = . 2 24 EI 4 16 384 EI Dies stimmt mit dem exakten Ergebnis u ur ¨berein. Der Grund hierf¨ ist, dass der vollst¨ andige Ansatz (a) f¨ ur diese Belastung die Differentialgleichung erf¨ ullt. H¨ atte man einen eingliedrigen Ansatz mit nur dem ersten Glied in (a) gew¨ ahlt, so w¨ are das Resultat mit

418

w ˜


l 2

=

5 q0 l 4 480 EI

eine echte N¨ aherung gewesen. B7.5

Beispiel 7.5 Der in Abb. 7.15 dargestellte Balken ist links einge-

spannt und rechts gelenkig gelagert. An der Stelle x = 2l/3 ist eine Einzelmasse der Gr¨ oße M = Al/2 angebracht. Man bestimme mit Hilfe des Rayleigh-Quotienten eine Näherung ω ˜ f¨ ur die Grundfrequenz.

Abb. 7.15

L¨ osung Zur Anwendung des Rayleigh-Quotienten m¨ ussen wir einen N¨ aherungsansatz f¨ ur die unbekannte Eigenfunktion φ wählen, ˜ =0 der die wesentlichen Randbedingungen w(0) ˜ =w ˜ (0) = w(l) erf¨ ullt. Damit der Ansatz die Eigenschwingungsform der Grundschwingung (knotenfrei) m¨ oglichst gut ann¨ ahert, setzen wir

x 2 x w1 1− w(x) ˜ = φ(x) w1 = l l

und erhalten mit φ = 2(1−3x/l)/l2 f¨ ur den Rayleigh-Quotienten x 2 dx l 0 2 ω ˜ = l x 2 2 2 . x 2 l 1− A dx + M φ l l 3 0 l

EI

2 l2

1−3

Die Auswertung liefert 4 EI EI l3 ω ˜2 = = 195,1 A l4 8Al Al + 105 729

→

ω ˜ = 14,0

EI/( A l4 ).

Der Einfluss der Einzelmasse ist in diesem Beispiel recht groß. Ist sie nicht vorhanden, so ergibt sich die Grundfrequenz zu

7.6

Methode der finiten Elemente

419

ω ˜ = 20,5 EI/( A l4 ). Der exakte Wert betr¨ agt in diesem Fall ω = 15,4 EI/( A l4 ) (vgl. Tabelle 4.1).

7.6 Methode der finiten Elemente 7.6.1 Einf¨ uhrung

Nachdem wir in den vorausgegangenen Abschnitten das Ritzsche und das Galerkinsche Verfahren zur L¨ osung von Randwertproblemen kennengelernt haben, ist die Ableitung der Methode der oglich. Die wesentlifiniten Elemente (FEM) auf einfache Weise m¨ che Idee beruht darauf, anstelle eines N¨ aherungsansatzes f¨ ur das gesamte Gebiet nun N¨ aherungsans¨ atze zu w¨ ahlen, die nur auf Teilbereichen von Null verschieden sind. Dies wurde zuerst von dem Mathematiker Richard Courant (1888–1972) vorgeschlagen. Am Beispiel des Stabes soll die grunds¨ atzliche Vorgehensweise erl¨ autert werden. Wir teilen gem¨ aß Abb. 7.16a den zu approximierenden Bereich (0 ≤ x ≤ l) in n Teilbereiche – die finiten Elemente – auf. Der Einfachheit halber werden zun¨ achst Näherungsansätze gemäß Abb. 7.16b definiert. Damit l¨ asst sich die Näherungsfunktion u ˜ f¨ ur die Verschiebung als Polygonzug mit n + 1 zunächst noch unbekannten Knotenverschiebungen ui angeben:

Abb. 7.16

7.6

420


u ˜(x) =

n+1

Ni (x) ui .

(7.63)

i=1

Dabei stellen die Funktionen Ni (x) die Ansatzfunktionen dar, die abschnittsweise definiert sind: xi − x , xi − hi−1 ≤ x ≤ xi , Ni (x) = 1 − hi−1 (7.64) x − xi , xi ≤ x ≤ xi + hi . Ni (x) = 1 − hi Die Ansatzfunktionen N1 bzw. Nn+1 (R¨ ander) sind nur f¨ ur x ≥ 0 bzw. x ≤ l definiert. F¨ ur die Ableitung u ˜ (x) erhält man aus (7.63) u ˜ (x) =

n+1

Ni (x) ui

mit

i=1

1 , hi−1 1 Ni (x) = − , hi

Ni (x) =

xi − hi−1 ≤ x ≤ xi ,

(7.65)

xi ≤ x ≤ xi + hi .

Im Potential des Stabes nach Tabelle 7.3 treten nur erste Ab¨ leitungen auf. Da dann die wesentlichen Rand- und Ubergangsbedingungen nur Aussagen f¨ ur die Funktion selbst sind, gen¨ ugt der Ansatz (7.64) den zugeh¨ origen Stetigkeitsanforderungen (C 0 Stetigkeit), siehe auch Abschnitt 7.5.3. Setzen wir (7.63) und (7.66) in das Potential ein, so ergibt sich

l

2

2 n+1 n+1 1 l Π (˜ u) = EA Ni (x) ui dx − n(x) Ni (x) ui dx. 2 0 0 i=1 i=1 (7.66) Die Gleichgewichtsbedingungen folgen aus δΠ = 0 (Abschnitt 2.7.3), wobei die Variation bez¨ uglich der freien Parameter ui durchzuf¨ uhren ist. Sie liefert

l

n+1

n+1 EA Ni (x) ui Nk (x) δuk dx δΠ (˜ u) = 0

−

l

i=1 n+1

n(x) 0

k=1

k=1

Nk (x) δuk dx = 0

7.6


421

oder, wenn wir δuk ausklammern

l n+1 l

n+1 δuk EA Nk (x) Ni (x) ui dx − n(x)Nk (x)dx = 0. 0

k=1

0

i=1

(7.67)

ur jedes Da die virtuellen Verschiebungen δuk beliebig sind, muss f¨ k der eckige Klammerausdruck zu Null werden. Dies liefert n + 1 Gleichungen f¨ ur die Unbekannten u1 , u2 , . . . , un+1 :

l n+1 l EA Nk (x)Ni (x)dx ui − n(x)Nk (x)dx = 0, i=1

0

0

k = 1, 2, . . . , n + 1.

(7.68)

Man beachte, dass aufgrund der Definition der Ansatzfunktionen die Integration bereichsweise stattzufinden hat.

Abb. 7.17

Als Anwendungsbeispiel betrachten wir den gleichförmig belasteten Stab nach Abb. 7.17a. F¨ ur eine Unterteilung in zwei finite Elemente der Elementl¨ angen h1 und h2 wollen wir das Gleichungssystem f¨ ur die unbekannten Knotenverschiebungen bestimmen. Gem¨ aß der in Abb. 7.17b definierten Ansatzfunktionen kann der N¨ aherungsansatz (7.63) als u ˜(x) = N1 (x) u1 + N2 (x) u2 + N3 (x) u3

(a)

geschrieben werden. Als Unbekannte treten die drei Knotenver-

422


schiebungen u1 , u2 und u3 auf. F¨ ur die Ableitungen Ni (x) ergibt sich nach (7.66): Bereich 1: Bereich 2:

1 , h1 1 N2 = − , h2 N1 = −

1 , h1 1 N3 = . h2 N2 =

Das Einsetzen dieser Beziehungen in (7.68) liefert nach Integration f¨ ur k = 1: n0 EA h1 = 0. (u1 − u2 ) − h1 2

(b)

Analog verfahren wir f¨ ur k = 2 und k = 3, was auf die Gleichungen EA n0 EA (h1 + h2 ) = 0, (− u1 + u2 ) + (u2 − u3 ) − h1 h2 2 EA n0 h2 = 0 (− u2 + u3 ) − h2 2 f¨ uhrt. Dieses Gleichungssystem l¨ asst sich in der Matrixform ⎡ 1 ⎡ ⎤ ⎤ ⎤ ⎡ 1 − 0 h1 u1 ⎢ h1 ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎥ h1 ⎢ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ ⎥ n0 ⎢ ⎥ 1 1 1 ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ + − ⎥ ⎢ u2 ⎥ = h1 +h2 ⎥ EA ⎢ − ⎢ ⎥ h2 ⎥ ⎢ ⎥ 2 ⎢ ⎢ h1 h1 h2 ⎥ ⎢ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎥ ⎣ ⎣ ⎦ ⎦ ⎦ ⎣ 1 1 0 − u3 h2 h2 h2

(c)

zusammenfassen. Man sieht, dass sich die Koeffizientenmatrix aus den zwei Untermatrizen EA EA 1 −1 1 −1 , h1 −1 h2 −1 1 1 zusammensetzt, die jeweils nur von der Geometrie und der Steifigkeit des Teilbereiches 1 bzw. 2 abh¨ angen. Da diese Untermatrizen den einzelnen Teilbereichen oder Elementen direkt zugeordnet sind, nennen wir sie Elementmatrizen (Steifigkeitsmatrizen); wir werden sie im folgenden mit dem Buchstaben ke bezeichnen.

7.6


423

Die Eintr¨ age dieser beiden Matrizen werden dort addiert, wo die Kompatibilit¨ atsbedingung erf¨ ullt werden muss (Verschiebung ur eiu2 links = u2 rechts am Knoten 2). Diese Tatsache nutzt man f¨ ne allgemeine, problemunabh¨ angige Vorgehensweise zur Formulierung der Koeffizientenmatrix aus, wie wir im n¨ achsten Abschnitt sehen werden. Im obigen Gleichungssystem ist in diesem Beispiel nun noch die Randbedingung u(0) = 0 zu ber¨ ucksichtigen, was gleichbedeutend asst sich die erste Spalte im mit u1 = 0 ist. Mit dieser Bedingung l¨ allt die Gleichung Gleichungssystem streichen. Wegen δu1 = 0 entf¨ (b) und damit die erste Zeile in (c). Dies f¨ uhrt auf das reduzierte Gleichungssystem ⎤ ⎡ ⎡ ⎤ 1 1 ⎡ ⎤ 1 + − +h h u 2 2 ⎢ h1 h2 h2 ⎥ ⎥ n0 ⎢ 1 ⎥ ⎥⎢ EA ⎢ ⎣ ⎦. ⎣ ⎦= ⎦ ⎣ 1 1 2 − u3 h2 h2 h2 Hieraus erhalten wir die zwei unbekannten Knotenverschiebungen, deren Einsetzen in den Ansatz (a) die N¨ aherungslösung im gesamten Gebiet des Stabes liefert. Im Spezialfall h1 = h2 = l/2 lautet die L¨ osung u2 =

3 n0 l2 , 8 EA

u3 =

1 n0 l2 . 2 EA

Diese Verschiebungen stimmen mit der exakten Lösung (Band 2, Abschnitt 1.4) u ¨berein. Man kann zeigen, dass beim Stab unter der Voraussetzung EA = const auch f¨ ur allgemeine Belastungen die mit der FEM ermittelten Knotenverschiebungen exakt sind. 7.6.2 Aufstellung der Gleichungssysteme

¨ Ublicherweise geht man bei der Methode der finiten Elemente nicht so vor wie im vorangegangenen Beispiel, sondern man berechnet zun¨ achst die zu einem Element geh¨ origen Matrizen. Diese baut man dann so zu einem globalen Gleichungssystem zusammen, dass die Kompatibilit¨ at (geometrische Verträglichkeit) u ¨ber ein Element hinweg gew¨ ahrleistet ist. Die Vorgehensweise ist im folgenden Ablauf zusammengestellt:

424


1. Wahl von Ansatzfunktionen f¨ ur ein Element, die den Stetigkeitsanforderungen der Variationsaufgabe gen¨ ugen, 2. Berechnung der zum mechanischen Problem gehörenden Elementmatrizen mit den gew¨ ahlten Ans¨ atzen, 3. Zusammenbau der Matrizen unter Beachtung der Kompatibilit¨ at, 4. L¨ osung des Gleichungssystems. Die ersten beiden Punkte h¨ angen direkt mit dem mechanischen Problem zusammen. Die Punkte 3 und 4 k¨ onnen vollständig von der speziellen Aufgabe getrennt werden. Daher werden in FEProgrammen die Punkte 3 und 4 durch Programmteile realisiert, die unabh¨ angig von der eigentlichen mechanischen Problemstellung sind. Wir wollen zun¨ achst Punkt 3 – Aufstellung der Koeffizientenmatrix des Gesamtgleichungssystems (= Zusammenbau) – genauer erl¨ autern. Wenn wir z.B. einen Stab durch mehrere finite Elemente diskretisieren, so k¨ onnen wir durch den Zusammenbau aus den einur den zelnen Elementmatrizen ke das gesamte Gleichungssystem f¨ unbekannten Verschiebungsvektor V (Verschiebungen aller Knoten = globale Verschiebungen) aufbauen. Diesem Vorgang liegt die Erf¨ ullung der Kompatibilit¨ at zugrunde, die ja bedeutet, dass die Verschiebungen an den Elementgrenzen stetig sein m¨ ussen. Hierzu f¨ uhren wir Boolesche Matrizen be ein, die es ermöglichen, aus dem globalen Unbekanntenvektor V die zu einem bestimmten Element e geh¨ orenden Knotenverschiebungen v e (= lokale Verschiebungen) herauszufinden. Damit haben wir folgenden Zusammenhang in Matrizenform: v e = be V .

(7.69)

Zum Beispiel ist die Boolesche Matrix f¨ ur das Element 2 des vorherigen Anwendungsbeispiels durch folgende Beziehung festgelegt: ⎡ ⎤ u1 0 1 0 ⎢ ⎥ u2 = v2 = ⎣ u2 ⎦ = b2 V . u3 0 0 1 u3

7.6


425

Benutzen wir diese Art der Zuordnung zur Beschreibung der Gesamtenergie, so erhalten wir f¨ ur die Energie eines Elementes (Teilbereich der L¨ ange le )

le

le 1 1 EA u 2 dx − n u dx = v Te ke v e − v Te pe Πe = 2 0 2 0 (vgl. auch Abschnitt 7.6.3). Die Summation u ¨ber alle ne Elemente liefert ne ne 1 Π (˜ u) = Πe = V T [bTe ke be V − 2bTe pe ] 2 e=1 e=1 =

1 2

V T KV − V T P .

(7.70)

Hierin stellen K=

ne

bTe ke be

e=1

und

P =

ne

bTe pe

(7.71)

e=1

die globale Steifigkeitsmatrix K und den globalen Lastvektor P dar. Die Gr¨ oßen ke und pe sind die entsprechenden Elementmatrizen und -lastvektoren, die wir in den folgenden Abschnitten f¨ ur unterschiedliche Problemstellungen angeben werden. Die Variation des Gesamtpotentials liefert (weil K symmetrisch ist, gilt: V T K δV = δV T K V ) δΠ = 12 δV T K V + 12 V T K δV −δV T P = δV T [K V −P ] = 0. Da δV beliebig ist, folgt hieraus das lineare Gleichungssystem KV =P .

(7.72)

Dieses erm¨ oglicht bei bekanntem Lastvektor P und bekannter Steifigkeitsmatrix K die Ermittlung der Knotenverschiebungen V . In den folgenden Abschnitten werden wir f¨ ur verschiedene Bauteile die Elementmatrizen ke und die Elementlastvektoren pe herleiten, mit denen K und P nach (7.71) bestimmt werden können. F¨ ur ein Element hat die Boolesche Matrix be die Größe m × n, wobei m die Anzahl der unbekannten Knotengr¨ oßen am Element

426


und n die Anzahl der globalen Unbekannten ist. Da diese Matrix f¨ ur jedes Element nur m von Null verschiedene Einträge hat, ist es nicht sinnvoll, sie u uhrt ¨berhaupt im Rechner aufzubauen. Man f¨ vielmehr f¨ ur die Prozedur des Zusammenbaus ein sogenanntes Indexfeld ein, das die Zuordnung zwischen den lokalen Knoten der einzelnen Elemente und den globalen Knotennummern herstellt. F¨ ur das Anwendungsbeispiel in Abb. 7.17a w¨ urde diese Zuordnung wie folgt lauten: Elementnummer

Knotenlinks

Knotenrechts

1

1

2

2

2

3

Damit hat z.B. der rechte lokale Knoten des Elementes 1 die globale Knotennummer 2. Ein solches Indexfeld ist ausreichend, um den in (7.71) beschriebenen Zusammenbau zur Gesamtmatrix K programmtechnisch zu realisieren. Wegen der Allgemeinheit dieser Prozedur erhalten wir immer ein Gleichungssystem der Form (7.72). Wir gehen im folgenden davon aus, dass ein Algorithmus zur L¨ osung dieses Gleichungssystems vorhanden ist. Da die Effizienz der Methode der finiten Elemente wesentlich vom Lösungsalgorithmus abhängt, existieren eine große Anzahl von speziellen Techniken, deren Beschreibung den Rahmen dieses Buches sprengen w¨ urde. 7.6.3 Stabelement

Um die Elementmatrix eines Stabes herzuleiten, stellen wir uns ein Element der L¨ ange h vor, f¨ ur das wir die variierte Form des Potentials nach Tabelle 7.3 anschreiben:

h {δu (x) EA(x) u (x) − δu(x) n(x)} dx . (7.73) δΠe (u) = 0

Nun w¨ ahlen wir den linearen Verschiebungsansatz x x u1 + u2 u ˜(x) = N1 (x) u1 + N2 (x) u2 = 1 − h h

7.6


427

Abb. 7.18

(Abb. 7.18), den wir in Matrizenform als x x u1 , 1− u ˜(x) = = N ve h h u2

(7.74)

schreiben k¨ onnen. Darin enth¨ alt die Matrix N die Ansatzfunktionen und die Spaltenmatrix v e die unbekannten Knotenverschiebungen. F¨ ur die virtuelle Verschiebung gilt danach δ u ˜(x) = N δv e . In (7.73) ben¨ otigen wir noch die Ableitungen der Ansatzfunktionen, die sich in entsprechender Weise darstellen lassen: 1 1 u1 = B ve , δu ˜ (x) = B δv e . (7.75) u ˜ (x) = − , h h u2 Dabei enth¨ alt die Matrix B die Ableitungen der Ansatzfunktionen Ni . Setzen wir diese Matrizenbeziehungen in (7.73) ein, so folgt h

h u) = δv Te B T EA(x) B dx v e − N T n(x) dx . (7.76) δΠe (˜ "# $ "# $ !0 !0 pe ke Nach Ausmultiplizieren der Matrizen in dieser Gleichung und anschließender Integration k¨ onnen die Elementmatrizen angegeben werden. Dabei ist zu beachten, dass beim Integrieren von Matrizen jedes einzelne Matrixelement zu integrieren ist. F¨ ur EA = const und n = const erhalten wir

h EA 1 − 1 , (7.77) ke = EA B T B dx = h −1 1 0

h nh 1 T . (7.78) pe = n N dx = 2 1 0

428


Abb. 7.19

Bei einem Fachwerk werden die St¨ abe beliebig im Raum oder in der Ebene angeordnet (Abb. 7.19a). Bisher haben wir das Stabelement durch eine in Achsrichtung verlaufende Koordinate (lokale Koordinate) beschrieben, die wir hier mit x ¯ bezeichnen. Bei einer allgemeinen Anordnung des Elementes in der Ebene beziehen wir uns auf ein globales kartesisches Koordinatensystem nach Abb. 7.19b. Die Knotenverschiebung ui muss dann in diesem Koordinatensystem ausgedr¨ uckt werden. Nach Abb. 7.19b gilt f¨ ur die Transformation ui = uix cos α + uiy sin α . Da das Element gerade ist, sind die Winkel an beiden Knoten gleich. Damit k¨ onnen wir die Transformationsbeziehung f¨ ur beide Knotenverschiebungen zusammenfassen: ⎤ ⎡ u 1x ⎡ ⎤ ⎥ ⎢ cos α sin α 0 0 ⎢ u1y ⎥ u1 ⎥ = T v. (7.79) ⎢ ⎣ ⎦ = ve = ⎥ ⎢ u2 u ⎦ ⎣ 2x 0 0 cos α sin α u2y Sie stellt den Zusammenhang zwischen den zwei Knotenverschiebungen im lokalen und im globalen Koordinatensystem dar. Setzen wir diese Transformationsbeziehung, die auch f¨ ur die virtuellen Verschiebungen gilt (δv e = T δv), in (7.76) ein, so erhalten wir

h h u) = δv T T T B T EA(¯ x) B d¯ xT v − TT N T n(¯ x) d¯ x δΠe (˜ 0

0

ê v − p ê) . = δv (T ke T v − T pe ) = δv (k T

T

T

T

(7.80)

7.6


429

Die Auswertung dieser Beziehung liefert mit EA = const und n = const die Elementsteifigkeitsmatrix und den Lastvektor des Stabes f¨ ur ebene Fachwerke ⎡

a

b −a −b

⎤

⎡

cos α

⎤

⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ nh ⎢ sin α ⎥ ˆ e = EA ⎢ b c −b −c ⎥, p ⎢ ⎥, (7.81) ˆ = k e ⎥ ⎥ h ⎢ 2 ⎢ ⎣ −a −b a b ⎦ ⎣ cos α ⎦ −b −c b c sin α wobei die Abk¨ urzungen c = sin2 α,

a = cos2 α,

b = cos α sin α

verwandt wurden. 7.6.4 Balkenelement

Analog zum Stab gehen wir beim Balken vom Potential der Balkenbiegung (Tabelle 7.3) aus, dessen variierte Form wir f¨ ur ein einzelnes Element der L¨ ange h anschreiben:

h (δw EI w − δw q) dx. (7.82) δΠe (w) = 0

Hierin treten zweifache Ableitungen der Durchbiegung w nach x auf. Beim Balken sind daher die wesentlichen Randbedingungen f¨ ur die Durchbiegungen und f¨ ur die Neigungen zu formulie¨ ren. Demnach m¨ ussen die Ansatzfunktionen Ubergangsbedingun ullen, d.h. sie m¨ ussen stetig bez¨ uglich der gen f¨ ur w und w erf¨ Funktion und ihrer ersten Ableitung sein (C 1 -Stetigkeit). In dieser Forderung besteht ein Unterschied zu dem vorher behandelten Fachwerkstab, bei dem die Ansatzfunktionen nur die C 0 -Stetigkeit zu erf¨ ullen hatten. ¨ Um die geforderten Ubergangsbedingungen erf¨ ullen zu können, m¨ ussen wir f¨ ur ein Balkenelement mit zwei Knoten vier unbekannte Knotengr¨ oßen (zwei Verschiebungen und zwei Neigungen) einf¨ uhren. Der niedrigst m¨ ogliche Polynomansatz besteht daher aus einem kubischen Polynom, das durch vier Konstanten vollständig beschrieben wird. Wir wollen hier die Hermiteschen Polynome

430


Abb. 7.20

dritter Ordnung verwenden, die in Abb. 7.20 dargestellt sind. Mit der Einf¨ uhrung einer Koordinate −1 ≤ ξ ≤ 1 (es gilt die Transformation x ¯ = (ξ + 1)h/2) lauten die Polynome H1 = 14 (2 − 3 ξ + ξ 3 ),

¯ 1 = 1 (1 − ξ − ξ 2 + ξ 3 ), H 4

H2 = 14 (2 + 3 ξ − ξ 3 ),

¯ 2 = 1 (−1 − ξ + ξ 2 + ξ 3 ). H 4

(7.83)

Aus Abb. 7.20 entnehmen wir, dass H1 bzw. H2 mit den Durch¯1 biegungen an den Knoten 1 bzw. 2 verkn¨ upft sind, während H ¯ bzw. H2 den Knotenverdrehungen an den Knoten 1 bzw. 2 zugeordnet sind. Die Hermite-Funktionen besitzen die Eigenschaften ¯ 1 (−1) = H2 (−1) = H ¯ 2 (−1) = 0, H ¯ (−1) = 1, H1 (−1) = 1, H 1 ¯ (−1) = 0 usw.. Danach besitzt die FunkH (−1) = H (−1) = H 1

2

2

tion H1 am linken Knoten ξ = −1 den Wert 1, während alle anderen Funktionen dort Null sind. Dies gilt sinngemäß auch f¨ ur die weiteren Funktionen. Damit k¨ onnen wir die Ansatzfunktion als Funktion von ξ angeben:

¯ 1 (ξ) dw + H2 (ξ) w2 + H ¯ 2 (ξ) dw . w(ξ) ˜ = H1 (ξ) w1 + H dξ 1 dξ 2 Hierin ist die Knotenneigung noch auf x zu transformieren. Mit d¯ x = (h/2)dξ erhalten wir dw/dξ ˜ = dw/d¯ ˜ x(d¯ x/dξ) = w ˜ h/2 und damit in Matrixform ⎡ ⎤ w1 ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ¯ 1 (ξ) h , H2 (ξ), H ¯ 2 (ξ) h ⎢ w1 ⎥ = N (ξ)we . (7.84) w(ξ) ˜ = H1 (ξ), H ⎢ 2 2 ⎣ w2 ⎥ ⎦ w2 Von dieser Gleichung haben wir nun die zweite Ableitung nach x ¯ zu bilden:

7.6


⎡

w ˜ =

w1

431

⎤

⎥ ⎢ ⎢ w1 ⎥ 1 4 d2 w ˜ ⎢ ⎥ = B(ξ)w e . 6 ξ, h(3 ξ − 1), −6 ξ, h(3 ξ + 1) = ⎢ ⎥ h2 dξ 2 h2 ⎣ w2 ⎦ w2 (7.85)

Setzen wir diese Beziehung in (7.82) ein, so erhalten wir

δΠe (w) ˜ =

δwTe

+1 4 +1 h h 5 T B (ξ) EI(ξ) B(ξ) dξ we − N T (ξ) q(ξ) dξ . 2 2 −1 −1 ! ! "# $ "# $ pe ke (7.86)

Die beiden Integrale k¨ onnen bei ver¨ anderlichem EI(ξ) bzw. q(ξ) durch numerische Integration berechnet werden. F¨ ur EI = const treten im ersten Integral nur Polynome bis zur Ordnung 2 auf. Dann ist eine Gauß-Integration mit 2 St¨ utzstellen exakt, siehe Abschnitt 7.5.4. In diesem Fall l¨ asst sich die Integration aber auch leicht analytisch durchf¨ uhren. So erh¨ alt man z.B. f¨ ur den Term k23 in der Steifigkeitsmatrix

+1 6 ξ h EI 1 dξ = −6 2 . EI (3 ξ − 1) − 2 k23 = h h 2 h −1 Entsprechend ergeben sich die weiteren Terme der Elementsteifigur q = const: keitsmatrix ke bzw. des Lastvektors pe f¨ ⎡

12

6h −12

6h

⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 2 2⎥ ⎢ −6h 2h 6h 4h EI ⎢ ⎥ ke = 3 ⎢ ⎥, ⎥ h ⎢ ⎢ −12 −6h 12 −6h ⎥ ⎣ ⎦ 6h 2h2 −6h 4h2

⎡

1

⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ h/6 qh ⎢ ⎥ pe = ⎢ ⎥. ⎥ 2 ⎢ ⎢ 1 ⎥ ⎣ ⎦ −h/6

(7.87)

Bei ebenen Rahmentragwerken treten im allgemeinen sowohl Verschiebungen infolge L¨ angskraft als auch Durchbiegungen infolge Querbelastung auf. Zus¨ atzlich k¨ onnen die Tragwerksteile beliebig zu einem kartesischen Koordinatensystem x, y geneigt sein (Abb. 7.21a). Das zugeh¨ orige Tragverhalten kann im Rahmen

432


der finiten Elemente erfasst werden, indem man das Stabelement (7.77) mit dem Balkenelement (7.87) koppelt.

Abb. 7.21

Bez¨ uglich des Lagewinkels α = 0 sind die Deformationen von Stab und Balken entkoppelt. Wir k¨ onnen dann die erweiterte Steifigkeitsmatrix und den zugeh¨ origen Lastvektor direkt angeben: ⎡

A

0

0 −A

⎢ ⎢ ⎢ 0 12I/h2 6I/h ⎢ ⎢ ⎢ 6I/h 4I E⎢ 0 ke = ⎢ h⎢ ⎢ −A 0 0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 0 −12I/h2 −6I/h ⎣ 0 6I/h 2I ⎡ ⎤ n ⎢ ⎥ ⎢ q ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ h⎢ ⎢ q h/6 ⎥ pe = ⎢ ⎥. 2⎢ n ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ q ⎦ −q h/6

0

0

⎤

⎥ ⎥ 6I/h ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ −6I/h 2I ⎥ ⎥, ⎥ 0 0⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 12I/h2 −6I/h ⎥ ⎦ −6I/h 4I

0 −12I/h2 0 A 0 0

(7.88)

Die erste und die vierte Zeile bzw. Spalte entsprechen hier dem Stabelement, w¨ ahrend die restlichen Spalten und Zeilen dem Balkenelement zugeordnet sind. F¨ ur eine allgemeine Lage dieses Rahmenelementes (α = 0) ist nach Abb. 7.21b noch eine ebene Transformation der auf die Ele-

7.6


433

mentachse (¯ x, z¯-Koordinatensystem) bezogenen Verschiebungen ui und wi auf die Verschiebungen uix und uiy im x, y-Koordinatensystem durchzuf¨ uhren. Mit der ebenen Transformation f¨ ur die Verschiebungen und Verdrehungen am Knoten i ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎤⎡ ui cos α sin α 0 uix ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ v e = ⎣ wi ⎦ = ⎣ sin α − cos α 0 ⎦ ⎣ uiy ⎦ = t v i wi

0

0

1

wi

kann dann die Transformationsmatrix f¨ ur das Rahmenelement mit zwei Knoten aufgestellt werden: t 0 . (7.89) T = 0 t Analog zur Steifigkeitsmatrix f¨ ur das Fachwerkelement erhalten wir nun mit (7.88) und (7.89) f¨ ur das Rahmenelement in allgemeiner Lage die Elementsteifigkeitsmatrix und den Elementlastvektor ˆ e = T T ke T , k

ˆ e = T T pe . p

(7.90)

Beispiel 7.6 Der in Abb. 7.22a dargestellte Balken besteht aus zwei unterschiedlichen I-Profilen, die in der Balkenmitte zusammengeschweißt sind. Das Verh¨ altnis der Steifigkeiten beträgt I2 = 4 I1 . Folgende Zahlenwerte sind gegeben: E = 210 000 MPa, I1 = 318 cm4 und l = 300 cm. Es sind die Gesamtsteifigkeitsmatrix und der Gesamtlastvektor aufzustellen und die Durchbiegung und das Biegemoment an der

Abb. 7.22

B7.6

434


Angriffsstelle der Einzellast F = 5 kN zu bestimmen. L¨ osung Wir teilen den Balken nach Abb. 7.22b in zwei Elemente

ein. Mit (7.87) können wir die Elementsteifigkeitsmatrizen f¨ ur die beiden Elemente aufstellen. Diese liefern dann unter Beachtung der Kompatibilit¨ atsbedingung w2 l = w2 r und w2 l = w2 r (vgl. Abschnitt 7.6.1) das Gleichungssystem ⎡

12

6l

−12

6l

0

0

24 l

8 l2

0

0

⎤⎡

w1

⎤ ⎡

0

⎤

⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 6 l 4 l2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ −6 l 2 l2 0 0 ⎥ ⎢ ⎥⎢ w1 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ EI1 ⎢ −12 −6 l 12 + 48 −6 l + 24 l −48 24 l ⎥⎢ ⎢ w2 ⎥ ⎢ F ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥. 3 2 2 2 2 l ⎢ 6 l 2 l −6 l + 24 l 4 l + 16 l −24 l 8 l ⎥⎢ w2 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 −48 −24 l 48 −24 l ⎦⎣ w3 ⎦ ⎣ 0 ⎦ ⎣ 0 −24 l 16 l2

w3

0

Da auf den Knoten 2 eine Einzelkraft wirkt, muss diese in der entsprechenden Zeile ber¨ ucksichtigt werden. In das Gleichungssystem sind jetzt die Randbedingungen w(0) = w (0) = w(2 l) = 0 einzubauen. Dies ist gleichbedeutend mit w1 = w1 = w3 = 0. Damit k¨ onnen wir im obigen Gleichungssystem die ersten beiden Zeilen und Spalten sowie die f¨ unfte Zeile und Spalte streichen. Das so reduzierte Gleichungssystem entspricht dem globalen Gleichungssystem (7.72); es lautet: ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ 60 18 l 24 l F w2 ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 3 ⎢ l ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥. ⎢ 18 l 20 l2 8 l2 ⎥ ⎢ w2 ⎥ = ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ EI1 ⎣ ⎦ 24 l 8 l2 16 l2 w3 0 Nach Einsetzen der tems erhalten wir ⎡ ⎤ ⎡ 9,29 w2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ w2 ⎥ = ⎢ −1,16 ⎣ ⎦ ⎣ w3 −4,06

Zahlenwerte und L¨ osung des Gleichungssys· 10−1

⎤

⎥ ⎥ · 10−3 ⎥ ⎦ · 10−3

→

w2 = 0,929 cm.

Man beachte, dass hier die Verschiebung w2 die Einheit cm besitzt, w¨ ahrend die Neigungen w2 und w3 dimensionslos sind.

7.6


435

Zur Bestimmung des Biegemoments in Balkenmitte gehen wir ummung w können wir vom Stoffgesetz M = −EI w aus. Die Kr¨ mittels Gleichung (7.85) f¨ ur das Element 1 an der Stelle ξ = +1 berechnen: ⎡ ⎤ w1 ⎢ ⎥ ⎢ w1 ⎥ 1 ⎥ w ˜ (1) = 2 6, 2l, −6, 4 l ⎢ ⎢ ⎥. l ⎣ w2 ⎦ w2 Mit dem Stoffgesetz und den Zahlenwerten erhalten wir 21 000 · 318 [−6 (9,29 · 10−1 ) 3002 +1200 (−1,16 · 10−3 )] = 517 kNcm.

˜ = − M2 = −EI1 w

Die gewonnene L¨ osung ist an den Knotenpunkten exakt. Dies liegt daran, dass beim Balkenelement der N¨ aherungsansatz (7.84) die homogene Differentialgleichung erf¨ ullt. 7.6.5 Element f¨ ur die Kreisplatte

Im Abschnitt 3.5.4 wurde die Kreisplatte unter rotationssymmetrischer Belastung behandelt. Wir wollen hier das zugehörige finite Kreisringelement herleiten. Dazu gehen wir in diesem Fall vom Prinzip der virtuellen Arbeiten f¨ ur eine Kreisplatte aus (Abb. 7.23):

b

b (Mr δκr + Mϕ δκϕ ) r dr − 2π p δw r dr = 0 δW = 2π a

bzw.

b

δκT M r dr − 2π

δW = 2π a

Abb. 7.23

a b

δw p r dr = 0 . a

(7.91)

436


Darin werden durch M=

Mr , Mϕ

κ=

κr κϕ

⎡

⎤ d2 w − ⎢ dr2 ⎥ ⎥ =⎢ ⎣ ⎦ 1 dw − r dr

(7.92)

die Momente bzw. die Verkr¨ ummungen beschrieben. Das Elastizit¨ atsgesetz f¨ ur die Schnittmomente lautet (vgl. auch (3.61)) κr 1 ν E t2 Mr = = C κ. (7.93) M= 2 Mϕ 12(1 − ν ) ν 1 κϕ Im Rahmen der Methode der finiten Elemente wählen wir einen Ansatz f¨ ur die unbekannte Verschiebung w. Wie schon beim Balken treten in (7.91) zwei Ableitungen der Durchbiegung w auf. Dies erfordert einen Ansatz, der die C 1 -Stetigkeit erf¨ ullt. Wir wenden deshalb wieder kubische Hermitesche Polynome an. Mit der Umformung 2 dw dw dξ dw = w = = , dr dξ dr h dξ

h = ri+1 − ri

können wir direkt die Gleichung (7.84) benutzen. Wir haben dabei nur die Transformation x ¯ → ξ durch r → ξ ersetzt (Abb. 7.23). ummung κϕ Hiermit berechnet sich κr wie beim Balken. Die Verkr¨ enth¨ alt nur erste Ableitungen. Nach Einsetzen des Näherungsansatzes in (7.92) k¨ onnen wir die Ableitungsmatrix B f¨ ur die Verkr¨ ummungen angeben: ⎡

⎤ ⎡

wi

⎤

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 6 1 1 ⎢ −6ξ ⎥ ⎢ (1 − 3 ξ) ξ − (3 ξ + 1) ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ w ⎥ h2 h h2 h ⎥ ⎢ ⎢ i ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ κ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 3 ⎢wi+1 ⎥ 1 3 1 2 2 2 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢ (1 − ξ (1 + 2ξ − 3ξ (ξ (1 − 2ξ − 3ξ ) ) − 1) ) ⎦ ⎣2hr ⎦ ⎣ 4r 2hr 4r wi+1

= B(ξ)we .

(7.94)

Man beachte, dass sowohl in (7.94) als auch in (7.91) die Koordinate r auftritt. Wir m¨ ussen also noch r durch die Koordinate

7.6


437

des Anfangsknotens ri und die Koordinate des Endknotens ri+1 ausdr¨ ucken: r = 12 (1 + ξ) ri+1 + 12 (1 − ξ) ri .

(7.95)

Hiermit gilt dann dr = 12 (ri+1 − ri )dξ = 12 h dξ. Mit (7.95) können wir nun die Koordinate r in (7.94) als Funktion von ξ angeben. Die Matrixelemente stellen dann im Gegensatz zu (7.85) kein Polynom in ξ dar. Die Elementsteifigkeitsmatrix erhalten wir durch Einsetzen von (7.94) und (7.93) in das erste Integral von (7.91) mit a = ri und b = ri+1 :

+1 h ke = 2π B T(ξ) C B(ξ) 12 (1 + ξ)ri+1 + 12 (1 − ξ)ri dξ. (7.96) 2 −1 Da eine analytische Bestimmung dieses Integrals aufwendig ist, benutzen wir die numerische Integration nach Abschnitt 7.5.4: h T B (ξp ) C B(ξp )[(1 + ξp ) ri+1 + (1 − ξp ) ri ] wp . (7.97) 2 p=1 n

ke ≈ π

Es zeigt sich, dass eine Drei-Punkt Gauß-Integration ausreichend genau ist. Analog verfahren wir mit dem Lastvektor, der sich aus

+1

ri+1 π 2π δw p rdr = δwTe N T(ξ) p (ξ)[(1 + ξ)ri+1 + (1 − ξ)ri ]h dξ 2 ri −1 (7.98) berechnet. Im Sonderfall p = const ist die h¨ ochste in diesem Integral vorkommende Polynomordnung vom Grad vier. Dann ist eine Drei-Punkt Gauß-Integration exakt: ph T N (ξp )[(1 + ξp ) ri+1 + (1 − ξp )ri ] wp . 2 p=1 3

pe = π

(7.99)

Die entsprechenden Gaußpunktkoordinaten ξp und Wichtungen wp finden sich in Abschnitt 7.5.4. Beispiel 7.7 In Abb. 7.24a ist eine gelenkig gelagerte Kreisplatte dargestellt (E = 200 000 MPa, ν = 0,3, a = 100 mm, t = 1 mm),

B7.7

438


die durch eine Einzellast F = 10 N belastet ist. Man berechne die Absenkung in der Plattenmitte f¨ ur 2, 4 (Abb. 7.24b), 8 und 16 Elemente und vergleiche mit der analytischen Lösung nach Abschnitt 3.6.3.

Abb. 7.24

Die Verschiebung unter der Last wurde mittels eines FE-Programmes berechnet, da eine Handrechnung bei der hier ben¨ otigten numerischen Integration mit 3 Gauß-Punkten zu umfangreich ist. Als Ergebnis erhalten wir:

L¨ osung

Elementanzahl ne Absenkung w ˜ in [mm]

2

4

8

16

0,2727

0,2750

0,2755

0,2757

Aus dem Vergleich mit der analytischen L¨ osung w = 0,2757 mm erkennt man, dass die Verschiebung schon bei nur zwei Elementen sehr gut approximiert wird und die N¨ aherungslösung w ˜ schnell konvergiert. Es sei angemerkt, dass die Angabe von 4 Nachkommastellen technisch unsinnig ist. Sie wurde hier nur verwendet, um die Konvergenz des Verfahrens zu zeigen. 7.6.6 Finite Elemente f¨ ur zweidimensionale Probleme

Die L¨ osung von ebenen bzw. r¨ aumlichen Problemen der Festkörpermechanik gelingt nur in wenigen F¨ allen mit analytischen Methoden. Besonders wenn kompliziert berandete Gebiete vorliegen, sind N¨ aherungsverfahren oft das einzige Werkzeug des Berechnungsingenieurs, um Einsicht in das Tragverhalten der Bauteile zu bekommen.

7.6


439

In der Regel werden ebene bzw. r¨ aumliche Probleme der Festkörpermechanik durch partielle Differentialgleichungen beschrieben. Beispiele hierf¨ ur sind die Bipotentialgleichung f¨ ur die Spannungsfunktion ΔΔF = 0 (Abschnitt 2.5.2) oder die Membrangleichung Δw = −p/(σ0 t) (Abschnitt 3.5.2). Die Methode der finiten Elemente basiert allerdings nicht auf Differentialgleichungen, sondern auf der zugehörigen Variationsformulierung bzw. auf einer schwachen Formulierung. Wir wollen sie im folgenden beispielhaft auf die Membran und die Scheibe anwenden. 7.6.6.1 Membranelement

Die Absenkung einer Membran wird durch die Poissongleichung (3.34) beschrieben. Dieser partiellen Differentialgleichung liegen eine ganze Reihe weiterer mechanischer und physikalischer Problemstellungen zugrunde. Ein Beispiel hierf¨ ur ist die St. Venantsche Torsion, vgl. Abschnitt 2.6.3. Zu nennen sind aber auch noch die W¨ armeleitung oder die Potentialstr¨ omung. Daher können mit einer f¨ ur diese Gleichung entwickelten numerischen Methode eine große Anzahl von physikalischen Problemen gel¨ ost werden.

Abb. 7.25

Wir betrachten eine beliebig berandete Membran mit dem Gebiet Ω und dem Rand Γ . Das Gebiet Ω wird in ne finite Elemente Ωe eingeteilt und damit geometrisch approximiert (Abb. 7.25). Wir wollen dies durch die mathematische Symbolik ˜ = Ω ≈Ω

ne =

Ωe

(7.100)

e=1

darstellen, welche die Vereinigung aller Elementflächen Ωe zum ˜ bedeutet. Bei diesem Diskretisierungsprozess könGesamtgebiet Ω

440


Abb. 7.26

nen unterschiedliche Elementformen verwendet werden. Wir unterscheiden Dreiecks- und Viereckselemente mit geraden oder krummen R¨ andern (Abb. 7.26). Die Anzahl der Knoten in einem Element h¨ angt vom gew¨ ahlten Ansatz ab. So entstehen 3und 6-knotige Dreiecks- oder 4-, 8- und 9-knotige Viereckselemente. Je nach Problemstellung sind f¨ ur diese geometrischen Formen unterschiedliche Ansatzfunktionen zu w¨ ahlen, die von den Stetigkeitsanforderungen der Ausgangsgleichung (schwache Formulierung, Variationsprinzip) abh¨ angen. Die Differentialgleichung der vorgespannten Membran lautet gem¨ aß (3.34) ∂2w ∂2w + = − p¯ ∂x2 ∂y 2

mit

p¯ =

p . σ0 t

(7.101)

Darin sind w die Durchsenkung, σ0 die Vorspannung, t die Dicke und p die Querlast. Wir wollen jetzt die schwache Formulierung dieser partiellen Differentialgleichung herleiten. Dazu wird (7.101) mit einer Wichtungsfunktion η(x, y) multipliziert, die so gewählt ist, dass auf dem Rand, auf dem die Durchsenkung w vorgegeben ist, η = 0 gilt. Wir integrieren dann u ¨ber das Gebiet Ω und erhalten

2 ∂ w ∂2w + p ¯ η dΩ = 0. (7.102) + ∂x2 ∂y 2 Ω

Die Anwendung des Gaußschen Integralsatzes liefert

∂w ∂η ∂w ∂w ∂η ∂w − p¯ η dΩ − + nx + ny η dΓ = 0. ∂x ∂x ∂y ∂y ∂x ∂y (7.103) Ω Γ

7.6


441

Wenn wir annehmen, dass die Absenkung w auf dem gesamten Rand der Membran vorgegeben ist, entf¨ allt wegen η = 0 das Randintegral. Die reduzierte Form

∂w ∂η ∂w ∂η + − p¯ η dΩ = 0 (7.104) ∂x ∂x ∂y ∂y Ω

legen wir der Diskretisierung mittels finiter Elemente zugrunde. Wir w¨ ahlen nun f¨ ur ein Element mit n Knoten Ansätze gleicher Form f¨ ur die unbekannte Verschiebung und f¨ ur die Wichtungsfunktion: w ˜=

n

Ni (x, y) wi ,

i=1

η˜ =

n

Ni (x, y) ηi .

(7.105)

i=1

Darin sind wi die Knotenverschiebungen und ηi die Knotengrößen der Wichtungsfunktion. Die Ansatzfunktionen Ni sind zunächst noch beliebig. Sie h¨ angen von der Elementgeometrie und von der Anzahl der Knoten am Element ab. Die Ans¨ atze Ni werden häufig in einer Matrix N = [N1 , N2 , . . . , Nn ] zusammengefasst, so dass sich dann mit we = [w1 , w2 , . . . , wn ]T und η e = [η1 , η2 , . . . , ηn ]T auch die Matrixschreibweise w ˜ = N (x, y) we ,

η˜ = N (x, y) η e

(7.106)

einf¨ uhren l¨ asst. Da in der schwachen Formulierung (7.104) nur erste Ableitungen auftreten, gen¨ ugt es, wenn die Funktion w ˜ stetig u ¨ber die Ele0 mentgrenzen hinweg verl¨ auft (C -Stetigkeit). Mit (7.105) können die ben¨ otigten Ableitungen berechnet werden: ∂Ni ∂w ˜ = wi , ∂x ∂x i=1

∂w ˜ ∂Ni = wi , ∂y ∂y i=1

∂ η˜ ∂Ni = ηi , ∂x ∂x i=1

∂ η˜ ∂Ni = ηi . ∂y ∂y i=1

n

n

n

n

(7.107)

Zum Einsetzen in (7.104) ist es n¨ utzlich, wieder eine B-Matrix einzuf¨ uhren, die sich aus den einzelnen – an jedem Knoten i defi-

442


nierten – Matrizen B i zusammensetzt:

⎡ ∂N ⎤ i

B = [B 1 , B 2 , . . . , B n ]

⎢ ∂x ⎥ ⎥ Bi = ⎢ ⎣ ∂N ⎦ .

mit

(7.108)

i

∂y Nun kann die schwache Formulierung approximiert werden. Unter Verwendung der Symbolik f¨ ur die Vereinigung der Elemente zum Gesamtgebiet, die auch den geometrischen Zusammenbau enthalten soll, k¨ onnen wir eine Matrizendarstellung von (7.104) angeben:

ne

= (7.109) η Te B T B dΩ we − N T p¯ dΩ = 0 . Ωe Ωe e=1 "# $ "# $ ! ! pe ke Damit ist die Formulierung f¨ ur die Methode der finiten Elemente vorbereitet. Wir m¨ ussen jetzt noch geeignete Ansatzfunktionen w¨ ahlen, um ein spezielles finites Element explizit herzuleiten. Die einfachste Diskretisierung mittels finiter Elemente basiert auf einem Dreieckselement mit drei Knoten nach Abb. 7.27. F¨ ur die Durchsenkung w der Membran machen wir den Näherungsansatz ⎡ ⎤ c1 ⎢ ⎥ w ˜ = c1 + c2 x + c3 y = [1, x, y] ⎣ c2 ⎦ = p(x, y) c , (7.110) c3 worin p (x, y) ein lineares Polynom in x und y darstellt. Da wir ur die unbekannten Knotenin (7.105) die Ansatzfunktionen Ni f¨

Abb. 7.27

7.6


443

absenkungen wi ben¨ otigen, m¨ ussen wir (7.110) noch umformen. Dazu setzen wir die Koordinaten der drei Knoten ein und erhalten ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ w1 1 x1 y1 c1 ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢w ⎥ = ⎢1 x y ⎥⎢c ⎥ (7.111) → we = H c . 2 2⎦⎣ 2⎦ ⎣ 2⎦ ⎣ w3 1 x3 y3 c3 Wenn die drei Knoten nicht auf einer Geraden liegen, ist H nichtsingul¨ ar, und wir k¨ onnen nach c aufl¨ osen: c = H −1 we . Mit (7.110) ergibt sich dann die gesuchte Form (7.106): w ˜ = p(x, y)H −1 we = N (x, y)we .

(7.112)

Damit ist der Ansatz N explizit bestimmt. Die Ausrechnung liefert mit 2Ωe = det H N (x, y) =

1 {b0 + bx x + by y} 2 Ωe

(7.113)

mit den Matrizen ⎡ ⎡ ⎡ ⎤ ⎤ ⎤ x2 y3 − x3 y2 y2 − y3 x3 − x2 ⎢ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ b0 = ⎣ x3 y1 − x1 y3 ⎦, bx = ⎣ y3 − y1 ⎦, by = ⎣ x1 − x3 ⎦. (7.114) x1 y2 − x2 y1 y 1 − y2 x2 − x1 Damit k¨ onnen jetzt auch die Ableitungen der Ansatzfunktion nach x und y angegeben werden: 1 ∂N = bx , ∂x 2 Ωe

1 ∂N = by . ∂y 2 Ωe

Wir erhalten f¨ ur die B-Matrix ⎡ ⎤ T 1 ⎢ bx ⎥ B= ⎣ ⎦. 2 Ωe bTy

(7.115)

(7.116)

F¨ ur die Elementsteifigkeitsmatrix folgt damit nach (7.109)

1 (bx bTx + by bTy ) dΩ . (7.117) ke = B T B dΩ = 4 Ωe2 Ωe

Ωe

444


Da sowohl bx als auch by konstant sind, ist die Integration elementar. Sie liefert f¨ ur das dreiknotige Membranelement die Steifigkeitsmatrix 1 (bx bTx + by bTy ) . (7.118) 4 Ωe onnen wir f¨ ur p¯ = const Auch den Lastvektor pe = N T p¯ dΩ k¨ exakt integrieren und erhalten mit (7.113) ke =

⎡ ⎤ 1 p¯ Ωe ⎢ ⎥ pe = ⎣1⎦. 3 1

(7.119)

In einem Anwendungsbeispiel berechnen wir im folgenden die Absenkung einer L-f¨ ormigen Membran (Dicke t = 0,01 m) unter einer gleichf¨ ormigen Fl¨ achenpressung p = 0,1 kPa (Abb. 7.28a). Sie ist am gesamten Rand unverschieblich gelagert. Die konstante Vorspannung in der Membran betr¨ agt σ0 = 5 kPa. Wir w¨ ahlen unterschiedliche Elementaufteilungen und diskutieren die zugeh¨ origen numerischen Ergebnisse. Dabei soll auch die Konvergenz der Methode betrachtet werden. Dazu lösen wir das Problem f¨ ur die in den Abbildungen 7.28b–f gegebenen Netze. Die Durchsenkung wurde mittels eines Finite-Element-Programms berechnet, in dem das vorgestellte Element implementiert ist. Die Diskretisierungen in Abb. 7.28b (Typ A) und Abb. 7.28c (Typ B) unterscheiden sich weder in der Element- noch in der Knotenanzahl, sondern nur in der Art der Aufteilung. Die L-förmige Membran ist aus vier Quadraten der Kantenl¨ ange 5 m zusammengesetzt. Als Verfeinerungsparameter ist die Anzahl N der Elementseiten pro Kante eines Quadrats verwendet worden. In Tabelle 7.4 ist die maximale Absenkung w f¨ ur die unterschiedlichen Netze angegeben. Dabei wurde jeweils eine Verdoppelung der Elementanzahl pro Kante gew¨ ahlt, um sicherzustellen, dass die Lösung mit geringerer Elementanzahl im Ansatzraum des verfeinerten Netzes enthalten ist. Man sieht, dass die Dreieckselemente trotz gleicher Elementanzahl bei Typ A und B unterschiedliche Ergebnisse

7.6

Abb. 7.28


445

446

7 Numerische Methoden in der Mechanik Tabelle 7.4 Maximale Durchsenkung der L-f¨ ormigen Membran

Verfeinerungsparameter N

Typ A

Typ B

max w [m]

max w [m]

2

6,87 ·10−1

6,19 ·10−1

4

7,15 ·10−1

7,01 ·10−1

8

7,45 ·10−1

7,42 ·10−1

16

7,52 ·10−1

7,52 ·10−1

liefern. Die L¨ osung h¨ angt also von der Orientierung der Dreieckselemente im Netz ab. Dieses Verhalten korrigiert sich erst mit wachsender Elementanzahl, bei der dann die Lösung gegen einen Endwert konvergiert. Damit stellen wir fest, dass die Methode zwar unabh¨ angig von der Diskretisierung konvergiert, aber f¨ ur geringere Elementanzahl eine Abh¨ angigkeit der Lösung von der Orientierung vorhanden ist. Abbildung 7.28g zeigt die L¨ osung auf der Basis des feinsten achen gleicher Durchsenkung Netzes als Konturplot, bei dem Fl¨ mit gleichen Graut¨ onen gef¨ arbt sind. Damit kann man sich den Verlauf der Durchsenkung im gesamten Gebiet der Membran veranschaulichen. Es soll noch angemerkt werden, dass die Berechnung der Durchsenkung auch beim feinsten Netz (2048 Elemente, 945 Unbekannte) nur wenige Sekunden dauert.

7.6.6.2 Finite Elemente in der Elastizit¨ atstheorie

In diesem Abschnitt wird die FE-Formulierung f¨ ur Randwertprobleme der Elastostatik beschrieben, deren theoretischer Hintergrund im Kapitel 2 behandelt wurde. Wir beschränken uns hier der Einfachheit halber auf den ebenen Spannungszustand und isotropes Materialverhalten.

7.6


447

Bevor wir mit der FE-Formulierung beginnen, wollen wir hier noch einmal die Gleichungen der linearen Elastizitätstheorie zusammenstellen, die in die FEM eingehen. Neben der kinematischen Beziehung (2.46) εij = 12 (ui,j + uj,i )

(7.120)

ben¨ otigen wir das Elastizit¨ atsgesetz (2.58) σij = Eijkl εkl

(7.121)

und die schwache Formulierung des Gleichgewichts (vgl. (2.143))

δΠ = δεij σij dΩ − δui fi dΩ − δui t∗i dΓ = 0 . (7.122) Ω

Ω

Γ

Hinzu kommen noch die Randbedingungen f¨ ur die Verschiebungen ∗ ui = ui , falls diese auf Teilen des Randes vorgegeben sind. F¨ ur die FE-Formulierung ist es zweckm¨ aßig, diese Gleichungen in Matrixform zu schreiben. Wir erhalten dann f¨ ur die kinematische Beziehung (2.87) ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ∂u/∂x εxx ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ε = ⎣ εyy ⎦ = ⎢ (7.123) ⎥ ∂v/∂y ⎣ ⎦ γxy ∂u/∂y + ∂v/∂x und f¨ ur das Elastizit¨ atsgesetz (2.86b) ⎡ ⎤ ⎤ ⎡ 1 ν 0 σxx ⎥ E ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ν 1 0 ⎥ ⎣ σyy ⎦ = ⎣ ⎦ → 2 1−ν 1−ν 0 0 τxy

σ = E ε.

(7.124)

2

Mit dem Verschiebungsvektor u = [u, v]T , den Volumenkräften achenbelastungen t∗ = [t∗x , t∗y ]T lauf = [fx , fy ]T und den Oberfl¨ tet dann die schwache Form des Gleichgewichts

δΠ = δεT σ dΩ − δuT f dΩ − δuT t∗ dΓ = 0 . (7.125) Ω

Ω

Γ

448


Wir gehen wieder davon aus, dass das der Aufgabenstellung zugrunde liegende Gebiet Ω durch ne finite Elemente der Fläche Ωe diskretisiert wird: ˜ = Ω ≈Ω

ne =

Ωe .

(7.126)

e=1

Da in (7.125) nur erste Ableitungen der Verschiebungen auftreten, haben wir die gleichen Stetigkeitsanforderungen an die Ansatzfunktionen wie bei der Membrangleichung. Die C 0 -Stetigkeit erlaubt uns als niedrigste Ansatzordnung die Wahl von Polynomen, die linear in x und y sind. Wir k¨ onnten als einfachstes Element wieder das Dreieckselement mit drei Knoten verwenden. Da es sich jedoch herausgestellt hat, dass dieses Element nur sehr schlechte N¨ aherungen liefert, wollen wir diese M¨ oglichkeit nicht betrachten. Wir wollen hier vielmehr ein allgemeines Viereckselement herleiten, welches in der Lage ist, beliebige Geometrien zu approximieren. Dies ist m¨ oglich, wenn man das sogenannte isoparametrische Konzept zugrunde legt. Hierbei werden alle Feldgrößen und die ¯ mit dem loGeometrie auf ein quadratisches Referenzelement Ω kalen ξ, η-Koordinatensystem abgebildet (Abb. 7.29a). Es werden sowohl die Geometrie als auch das Verschiebungsfeld durch gleiche Ans¨ atze approximiert: 4 4 Ni (ξ, η) xi , u ˜= Ni (ξ, η) v i . (7.127) x ˜= i=1

i=1

Darin sind xi die Ortskoordinaten der Knotenpunkte und v i die Knotenverschiebungen. Die Funktionen Ni sind Ansatzfunktio¯ definiert sind. nen, die auf dem Referenzelement Ω

Abb. 7.29

7.6


449

Unter den verschiedenen M¨ oglichkeiten, isoparametrische Ansatzfunktionen einzuf¨ uhren, wird hier die bilineare Ansatzfunktion Ni = 14 (1 + ξi ξ)(1 + ηi η),

i = 1, 2, 3, 4

(7.128)

angegeben. Darin sind ξi , ηi die Knotenkoordinaten im Referenzelement. Die Ansatzfunktion N1 = 14 (1−ξ)(1−η) ist exemplarisch in Abb. 7.29b dargestellt. Eine Transformation zwischen dem Koordinatensystem ξ, η und dem Koordinatensystem x, y, in dem die Theorie formuliert wurde, kann mittels (7.127) durchgef¨ uhrt werden (siehe Abb. 7.29a). In (7.125) werden f¨ ur ε die Ableitungen des Verschiebungsfeldes ben¨ otigt. Innerhalb des isoparametrischen Konzeptes kann z.B. ∂u ˜ ∂Ni (ξ, η) = vi ∂x ∂x i=1 4

(7.129)

jedoch nicht direkt berechnet werden, da Ni eine Funktion von ξ = [ξ, η], aber nicht von x = [x, y] ist. Man wendet daher die Kettenregel an, um die partiellen Ableitungen von Ni nach x oder y zu bestimmen. Es gilt zun¨ achst ⎫ ∂Ni ∂x ∂Ni ∂y ⎪ ∂Ni ⎪ = + ∂ξ ∂x ∂ξ ∂y ∂ξ ⎬ ∂Ni ∂Ni =J . → ∂ξ ∂x ∂Ni ∂x ∂Ni ∂y ⎪ ∂Ni ⎪ ⎭ = + ∂η ∂x ∂η ∂y ∂η Da die Ableitungen nach x und nach y gesucht sind, m¨ ussen wir diese Beziehung invertieren. Dies liefert ∂Ni ∂Ni = J −1 ∂x ∂ξ ⎡ ∂N ⎤ i

→

⎡

∂y ∂η

⎢ ∂x ⎥ 1 ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ ∂N ⎦ = det J ⎣ ∂x i − ∂y ∂η

−

∂y ⎤⎡ ∂Ni ⎤ ∂ξ ⎥⎢ ∂ξ ⎥ ⎥⎢ ⎥, (7.130) ∂x ⎦⎣ ∂Ni ⎦ ∂ξ ∂η

wobei J die Jacobimatrix der Transformation zwischen den Linienelementen dξ, dη und dx, dy in den beiden Koordinatensystemen ist. F¨ ur das Fl¨ achenelement gilt dx dy = det J dξ dη. Man

450


beachte, dass die Ableitungen z.B. von x nach ξ in (7.130) berechenbar sind, da wir f¨ ur die Koordinate x im Element Ωe den Ansatz (7.127) gew¨ ahlt haben: ∂x ∂Ni (ξ, η) = xi . ∂ξ ∂ξ i=1 4

Hiermit und mit (7.127) und (7.130) k¨ onnen wir ε nach (7.123) approximieren: ⎤ ⎡ ∂Ni 0 ⎥ ⎢ ∂x ⎥ ⎢ 4 ⎢ ∂N i ⎥ ⎥. ˜= 0 B i vi mit Bi = ⎢ (7.131) ε ⎢ ∂y ⎥ ⎥ ⎢ i=1 ⎣ ∂Ni ∂Ni ⎦ ∂y ∂x Analog erh¨ alt man f¨ ur die virtuellen Verzerrungen δ ε˜ =

4

B i δv i .

(7.132)

i=1

Mit der Einf¨ uhrung der Matrix B = [B 1 , B 2 , B 3 , B 4 ] und der Matrix der Knotenverschiebungen am Element v e = [u1 , v1 , u2 , v2 , u3 , v3 , u4 , v4 ]T l¨ asst sich (7.132) auch als δ ε˜ = B δv e

(7.133)

schreiben. Ebenso k¨ onnen die Ansatzfunktionen in der Matrix ⎤ ⎡ N1 0 N2 0 N3 0 N4 0 ⎦ N =⎣ 0 N1 0 N2 0 N3 0 N4 zusammengefasst werden. Damit kann die Approximation (7.127) der Verschiebungen im Element kurz durch u ˜ = N ve

(7.134)

7.6


451

ausgedr¨ uckt werden. Das Einsetzen von (7.133) und (7.134) in (7.125) liefert mit (7.126)

/

ne = T T T ∗ T δv e B σ dΩ − N f dΩ − N t dΓ = 0 . (7.135) e=1

Ωe

Ωe

Γe

In dieser Gleichung kann σ mit dem Elastizitätsgesetz (7.124) durch ε ausgedr¨ uckt werden. Dann ergibt das erste Integral in (7.135) die Elementsteifigkeitsmatrix:

ke = B T E B dΩ . (7.136) Ωe

Die letzten beiden Terme in (7.135) stellen den Elementlastvektor dar:

T pe = N f dΩ + N T t∗ dΓ . (7.137) Ωe

Γe

Die Integration in (7.136) l¨ asst sich nur noch f¨ ur Rechteckelemente analytisch durchf¨ uhren. Aus diesem Grund wird in der Regel die numerische Integration zur Berechnung der Steifigkeitsmatrix und des Lastvektors angewandt. Wegen ihrer hohen Genauigkeit verwendet man die Gauß-Integration (Abschnitt 7.5.4), die sich auf zweidimensionale Integrale erweitern lässt:

+1 +1 np nq g(ξ, η) dξ dη = g(ξp , ηq ) wp wq . −1

−1

p=1 q=1

Hierin sind np bzw. nq die Zahl der Gauß-Punkte in ξ- bzw. ηRichtung. Fehlerbetrachtungen zeigen, dass f¨ ur die bilinearen isoparametrischen Vierknotenelemente eine 2 × 2 Integration ausreicht, so √dass die Steifigkeitsmatrix an den vier Gauß-Punkten √ ξp = ±1/ 3 und ηq = ±1/ 3 mit wp = wq = 1 auszuwerten ist. Mit dΩ = dx dy = det J dξ dη erhalten wir zunächst aus (7.136)

+1 +1 B T (ξ, η) E B(ξ, η) det J (ξ, η) dξ dη. ke = −1

−1

452


Hieraus folgt durch numerische Integration die Elementsteifigkeitsmatrix: ke ≈

2 2

B T (ξp , ηq ) E B(ξp , ηq ) det J (ξp , ηq ) .

(7.138)

p=1 q=1

In gleicher Weise k¨ onnen wir beim Elementlastvektor vorgehen. Wenn wir ein Scheibenproblem mit dieser Elementformulierung l¨ osen wollen, so wird zun¨ achst die zu berechnende Struktur diskretisiert. Der anschließende Zusammenbau der Elementsteifigkeitsmatrizen und -lastvektoren nach (7.71) liefert dann das Gleichungssystem (7.72) f¨ ur die unbekannten Verschiebungen. In den meisten F¨ allen ist der Ingenieur jedoch mehr an den Spannungen als an den Verschiebungen interessiert. Die Spannungen lassen sich mittels (7.131) und (7.124) aus der Knotenverschiebung bestimmen (R¨ uckrechnung): σ(ξ, η) = E B(ξ, η) v e .

(7.139)

Untersuchungen haben gezeigt, dass es hinsichtlich der Genauigkeit optimale Punkte zur Auswertung der Spannungen innerhalb eines Elementes gibt. Im Falle des Vierknotenelementes ist dies der Mittelpunkt: σ(0, 0) = E B(0, 0) v e . In einem Anwendungsbeispiel wollen wir die gelochte Scheibe unter Zugbeanspruchung nach Abb. 7.30a behandeln. Es sollen die maximale Verschiebung in y-Richtung und die maximale Spannung σyy bestimmt werden. Als Materialkonstanten werden E = 21 000 MPa und ν = 0,3 gew¨ ahlt. Da die Geometrie doppelte Symmetrie aufweist, brauchen wir nur ein Viertel der Scheibe zu diskretisieren. Dabei m¨ ussen allerdings die sich aus der Symmetrie ergebenden Randbedingungen (u(0, y) = 0 und v(x, 0) = 0) beachtet werden. Aus der analytischen L¨ osung f¨ ur die unendlich ausgedehnte Scheibe mit Loch wissen wir, dass in der N¨ ahe des Loches die größten Spannungen auftreten (Abschn. 2.5.3.4). Da sich die Spannungen in diesem

7.6

y

Abb. 7.30

6 -

x


453

454


Bereich außerdem stark ¨ andern, ist es sinnvoll, in der Nähe des Loches eine feinere Elementaufteilung zu w¨ ahlen. Dies liefert dann eine bessere N¨ aherungsl¨ osung. Wir wollen f¨ unf verschiedene FE-L¨ osungen vergleichen, die sich aus einer regelm¨ aßigen Verfeinerung des Netzes ergeben. Dazu unterteilen wir die Viertelscheibe in 8, 32 (Abb. 7.30b), 128 (Abb. 7.30c), 512 und 2048 finite Elemente. Die verformte Scheibe ist f¨ ur die Elementeinteilung mit 128 Elementen in Abb. 7.30d dargestellt, wobei die Verschiebungen stark vergr¨ oßert sind. Man sieht, dass aufgrund der Querkontraktion die Verschiebung u rechts von der vertikalen Symmetrieachse u ¨berall negativ ist und sich das Loch ovalisiert. Die maximale Verschiebung v tritt in der Mitte des oberen (unteren) Scheibenrandes auf. Abb. 7.30e zeigt einen Konturplot der Spannung σyy und die Konzentration der Spannung am Loch. Die maximale Spannung tritt am Lochrand auf. Die Ergebnisse f¨ ur die unterschiedlichen Netze sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt. Elemente

max v [mm]

max σyy [MPa]

8

5,60 ·10−4

1,59

32

−4

2,23

5,81 ·10

−4

2,78

5,83 ·10

−4

3,09

−4

3,25

128 512 2048

5,74 ·10

5,83 ·10

Die Verschiebungen konvergieren schnell zu einem Endwert. Die Spannungen hingegen konvergieren viel langsamer. Der Grund hierf¨ ur liegt darin, dass die Spannungen aus den Ableitungen der Ansatzfunktionen bestimmt und damit schlechter approximiert werden. Die Konvergenzstudie zeigt, dass bei einer ingenieurpraktischen Anwendung, bei der ein Fehler von ≈ 10% zugelassen wird, nur 8 Elemente ausreichen, um die Verschiebungen zu approximieren, w¨ ahrend man bei den Spannungen mindestens 128 Elemente ben¨ otigt.

7.7

Weiterf¨ uhrende Literatur

455

7.7 Weiterf¨ uhrende Literatur Bathe, K.J., Finite-Elemente-Methoden, Springer, Berlin 2002 Hughes, T.R.J., The Finite Element Method, Prentice Hall, New York 2000 Knothe, K., Wessels, H., Finite Elemente, Springer, Berlin 1991 Kr¨ atzig, W.B., Basar, Y., Tragwerke 3, Theorie und Anwendung der Finiten Elemente, Springer, Berlin 1997 Meis, T., Markowitz, U., Numerische Behandlung partieller Differentialgleichungen, Springer, Berlin 1978 Schwetlick, H., Kretschmar, H., Numerische Verfahren f¨ ur Naturwissenschaftler und Ingenieure, Fachbuchverlag, Leipzig 1991 Stoer, J., Bulirsch, R., Numerische Mathematik, Springer, Berlin 1990 Wriggers, P., Nichtlineare Finite Elemente, Springer, Berlin 2001

7.7

Englische Fachausdr¨ ucke Englisch

Deutsch

acceleration accuracy anisotropy approximate solution approximating interpolation arch Archimedes’ principle area axisymmetric

Beschleunigung Genauigkeit Anisotropie N¨ aherungsl¨ osung N¨ aherungsansatz Bogen Archimedisches Prinzip Fl¨ ache rotationssymmetrisch

backward differences bar barometer basic equations beam beam element beam theory bending stiffness of a plate Bernoulli’s equation bifurcation bifurcation point biharmonic equation body force boundary conditions boundary layer boundary value problem branching branching point brittle buckling buckling load buoyant force

hinterer Differenzenquotient Stab Barometer Grundgleichungen Balken Balkenelement Balkentheorie Plattensteifigkeit Bernoullische Gleichung Verzweigung Verzweigungspunkt Bipotentialgleichung Volumenkraft Randbedingungen Grenzschicht Randwertproblem Verzweigung Verzweigungspunkt spr¨ ode Beulen, Knicken Beulwert, Knicklast Auftrieb

cable Carnot’s shock loss

Seil, Kabel Carnotscher Stoßverlust

458

Englische Fachausdr¨ ucke

catenary center of pressure central differences chain rule circular frequency circular plate circumferential stress collocation method collocation point column compatibility condition compliance constitutive law continuity continuity equation continuous system control volume convective acceleration conventional strain convergence convolution integral creep creep function critical load curved beam

Kettenlinie Druckmittelpunkt zentraler Differenzenquotient Kettenregel Kreisfrequenz Kreisplatte Umfangsspannung Kollokationsverfahren St¨ utzstelle Druckstab Kompatibilit¨ atsbedingung, Vertr¨ aglichkeitsbedingung Nachgiebigkeit Materialgesetz, Stoffgesetz Stetigkeit Kontinuit¨ atsgleichung kontinuierliches System Kontrollvolumen konvektive Beschleunigung konventionelle Dehnung Konvergenz Faltungsintegral Kriechen Kriechfunktion kritische Last, Beulwert Bogen

deformation degree of freedom density derivative determinant deviator difference approximation dilatation discrete system discretization dispersion

Deformation Freiheitsgrad Dichte Ableitung Determinante Deviator Differenzenquotient Volumendehnung diskretes System Elementaufteilung Dispersion


displacement displacement element displacement gradient distorsion ductile dynamic pressure dynamic viscosity

Verschiebung Verschiebungselement Verschiebungsgradient Verw¨ olbung duktil, z¨ ah dynamischer Druck dynamische Viskosit¨ at, dynamische Z¨ ahigkeit

effective shear force eigenfrequency eigenfunction eigenvalue eigenvalue problem elastic elastic constants elastic potential elastica elasticity tensor element stiffness matrix elliptic integral energy energy conservation energy method energy principles engineering strain equation system equilibrium conditions equilibrium method equilibrium modulus equipotential surface Euler load excentricity excitation frequency

Ersatzquerkraft Eigenfrequenz Eigenform Eigenwert Eigenwertproblem elastisch Elastizit¨ atskonstanten elastisches Potential Elastica Elastizit¨ atstensor Elementsteifigkeitsmatrix elliptisches Integral Energie Energieerhaltung Energiemethode Energieprinzipien konventionelle Dehnung Gleichungssystem Gleichgewichtsbedingungen Gleichgewichtsmethode Gleichgewichtsmodul ¨ Aquipotentialfl¨ ache Eulerlast Exzentrizit¨ at Erregerfrequenz

finite elements flexural vibration flow fluid

finite Elemente Biegeschwingung Str¨ omung Fluid, Fl¨ ussigkeit

459

460


fluid element fluid particle forced vibrations forward differences frame of reference free vibrations friction factor

Fl¨ ussigkeitsteilchen Fl¨ ussigkeitsteilchen erzwungene Schwingungen vorderer Differenzenquotient Bezugssystem freie Schwingungen Widerstandszahl

Gauß quadrature global Green’s function grid point

Gauß-Integration global Greensche Funktion Gitterpunkt

harmonic equation harmonic operator harmonic waves heat conduction hereditary integral homogeneous Hooke’s law hoop stress hydraulic jump hydraulics hydrodynamics hydrostatic stress state hydrostatics

Potentialgleichung Laplace Operator harmonische Wellen W¨ armeleitung Faltungsintegral homogen Hookesches Gesetz Umfangsspannung Wassersprung Hydraulik Hydrodynamik hydrostatischer Spannungszustand Hydrostatik

ideal fluid imperfection imperfection method incident wave incompressible index notation inertia force inhomogeneous initial condition initial value problem integration by parts integration method

ideale Fl¨ ussigkeit Imperfektion Imperfektionsmethode einfallende Welle inkompressibel Indexnotation Tr¨ agheitskraft inhomogen Anfangsbedingung Anfangswertproblem partielle Integration Integrationsverfahren


461

interpolation function invariants inviscid fluid irrotational flow isoparametric element isoparametric shape functions isotropy

Ansatzfunktion Invarianten reibungsfreie Fl¨ ussigkeit wirbelfreie Str¨ omung isoparametrisches Element isoparametrische Ansatzfunktionen Isotropie

kinematic relation kinematically admissible kinematics kinetic energy kinetic method

kinematische Beziehung kinematisch zul¨ assig Kinematik kinetische Energie kinetische Methode

laminar flow Laplace’s operator limit load liquid load vector load-deflection curve local logarithmic strain

laminare Str¨ omung Laplace Operator Grenzlast, Traglast Fl¨ ussigkeit Lastvektor Last-Verformungskurve lokal logarithmische Dehnung, nat¨ urliche Dehnung Longitudinalschwingung

longitudinal vibration mapping mass flux material acceleration material coordinate material point matrix membrane membrane stress metacenter Mohr’s circle momentum multi-step method

Abbildung Massenstrom materielle Beschleunigung, substantielle Bescheunigung materielle Koordinate materieller Punkt Matrix Membran Membranspannung Metazentrum Mohrscher Kreis Impuls Mehrschrittverfahren

natural frequency

Eigenfrequenz

462


natural strain

nonlinear normal stress numerical damping numerical integration

nat¨ urliche Dehnung, logarithmische Dehnung Newtonsche Fl¨ ussigkeit Knotenverschiebungen Knotenverdrehung Knotenfreiwert Knoten nominelle Spannung, konventionelle Spannung nichtlinear Normalspannung numerische D¨ ampfung numerische Integration

one-step method open channel ordinary differential equation orthogonal relation orthotropy oscillation

Einschrittverfahren Gerinne gew¨ ohnliche Differentialgleichung Orthogonalit¨ atsrelation Orthotropie Schwingung

partial differential equation Pascal’s paradox pathline period phase velocity plane strain plane stress plastic flow plastic hinge plastic moment plastic strain plastic tangent modulus plasticity plate plate element Poisson’s equation Poisson’s ratio

partielle Differentialgleichung hydrostatisches Paradoxon Bahnlinie Periode, Schwingungsdauer Phasengeschwindigkeit ebener Verzerrungszustand ebener Spannungszustand plastisches Fließen Fließgelenk vollplastisches Moment plastische Dehnung plastischer Tangentenmodul Plastizit¨ at Platte Plattenelement, Scheibenelement Poissonsche Differentialgleichung Querkontraktionszahl

Newtonian fluid nodal displacements nodal rotation nodal value node nominal stress


postbuckling behaviour potential energy pressure pressure loss principal axis principal axis transformation principal strain principal stress principle of energy principle of linear momentum principle of work and energy

Nachbeulverhalten, Nachknickverhalten potentielle Energie Druck Druckverlust Hauptachse Hauptachsentransformation Hauptdehnung Hauptspannung Energiesatz Impulssatz Arbeitssatz

quadrilateral element

Viereckselement

reflected wave relaxation function relaxation spectrum relaxation time resonance retardation function retardation spectrum retardation time Reynolds number rope rotation tensor rotational flow

reflektierte Welle Relaxationsfunktion Relaxationsspektrum Relaxationszeit Resonanz Retardationsfunktion Retardationsspektrum Retardationszeit Reynoldszahl Seil Drehtensor wirbelbehaftete Str¨ omung

shape function shear flow shear stiffness shear stress shear viscosity shell shock loss sign convention snap-through snap-through buckling solution

Ansatzfunktion Scherstr¨ omung, Schubfluß Schubsteifigkeit Schubspannung Scherz¨ ahigkeit Schale Stoßverlust Vorzeichenkonvention Durchschlagen Durchschlagproblem L¨ osung

463

464


stability stable stagnation point stagnation pressure standard linear solid static pressure statically admissible steady flow stiffness stiffness matrix strain strain energy strain hardening strain rate strain tensor stream filament streamline streamtube stress components stress function stress state stress tensor stress vector string summation convention surface traction system of equations

Stabilit¨ at stabil Staupunkt Staudruck, Gesamtdruck linearer Standardk¨ orper statischer Druck statisch zul¨ assig station¨ are Str¨ omung Steifigkeit Steifigkeitsmatrix Dehnung Form¨ anderungsenergie Verfestigung Dehnungsgeschwindigkeit Verzerrungstensor Stromfaden Stromlinie Stromr¨ ohre Spannungskomponenten Spannungsfunktion Spannungszustand Spannungstensor Spannungsvektor Saite Summationskonvention Oberfl¨ achenbelastung Gleichungssystem

tangent modulus Taylor series tension test thermal strains thermal stresses three-parameter solid time step torsion torsional vibration triangular element

Tangentenmodul Taylorreihe Zugversuch Temperaturdehnungen Temperaturspannungen linearer Standardk¨ orper Zeitschritt Torsion Torsionsschwingung Dreieckselement


465

truss element turbulent flow

Stabelement turbulente Str¨ omung

unconditional stable method unidirectional flow unit vector unstable unsteady flow

unbedingt stabiles Verfahren Schichtenstr¨ omung Einheitsvektor instabil instation¨ are Str¨ omung

variational formulation velocity velocity field vibration vibration period virtual displacement virtual work viscoelastic viscosity viscous fluid volume flux volume strain vorticity vector

Variationsformulierung Geschwindigkeit Geschwindigkeitsfeld Schwingung Schwingungsdauer virtuelle Verschiebung virtuelle Arbeit viskoelastisch Viskosit¨ at, Z¨ ahigkeit z¨ ahe Fl¨ ussigkeit Volumenstrom Volumendehnung Wirbelvektor

warping wave wave equation wave length wave velocity weighted residuals weighting function work work hardening

Verw¨ olbung Welle Wellengleichung Wellenl¨ ange Wellenfortpflanzungsgeschwindigkeit gewichtete Residuen Wichtungsfunktion Arbeit Verfestigung

yield stress yield surface Young’s modulus

Fließspannung Fließfl¨ ache Elastizit¨ atsmodul

466


Deutsch

Englisch

Abbildung Ableitung Anfangsbedingung Anfangswertproblem Anisotropie Ansatzfunktion ¨ Aquipotentialfl¨ ache Arbeit Arbeitssatz Archimedisches Prinzip Auftrieb

mapping derivative initial condition initial value problem anisotropy interpolation function, shape function equipotential surface work principle of work and energy Archimedes’ principle buoyant force

Bahnlinie Balken Balkenelement Balkentheorie Barometer Bernoullische Gleichung Beschleunigung Beulen Beulwert Bezugssystem Biegeschwingung Bipotentialgleichung Bogen

pathline beam beam element beam theory barometer Bernoulli’s equation acceleration buckling buckling load, critical load frame of reference flexural vibration biharmonic equation curved beam, arch

Carnotscher Stoßverlust

Carnot’s shock loss

Deformation Dehnung Dehnungsgeschwindigkeit Determinante Deviator Dichte Differenzenquotient diskretes System Dispersion

deformation strain strain rate determinant deviator density difference approximation discrete system dispersion


467

Drehtensor Dreieckselement Druck Druckmittelpunkt Druckstab Druckverlust duktil Durchschlagen Durchschlagproblem dynamische Viskosit¨ at dynamische Z¨ ahigkeit dynamischer Druck

rotation tensor triangular element pressure center of pressure column pressure loss ductile snap-through snap-through buckling dynamic viscosity dynamic viscosity dynamic pressure

ebener Spannungszustand ebener Verzerrungszustand Eigenform Eigenfrequenz Eigenfunktion Eigenwert Eigenwertproblem einfallende Welle Einheitsvektor Einschrittverfahren Elastica elastisch elastisches Potential Elastizit¨ atskonstanten Elastizit¨ atsmodul Elastizit¨ atstensor Elementaufteilung Elementsteifigkeitsmatrix elliptisches Integral Energie Energieerhaltung Energiemethode Energieprinzipien Energiesatz Erregerfrequenz

plane stress plane strain eigenfunction natural frequency, eigenfrequency eigenfunction eigenvalue eigenvalue problem incident wave unit vector one-step method elastica elastic elastic potential elastic constants Young’s modulus elasticity tensor discretization element stiffness matrix elliptic integral energy energy conservation energy method energy principles principle of energy excitation frequency

468


Ersatzquerkraft erzwungene Schwingungen Eulerlast Exzentrizit¨ at

effective shear force forced vibrations Euler load excentricity

Faltungsintegral

convolution integral, hereditary integral finite elements area yield surface plastic hinge yield stress fluid fluid, liquid fluid particle, fluid element strain energy free vibrations degree of freedom

finite Elemente Fl¨ ache Fließfl¨ ache Fließgelenk Fließspannung Fluid Fl¨ ussigkeit Fl¨ ussigkeitsteilchen Form¨ anderungsenergie freie Schwingungen Freiheitsgrad Gauß-Integration Genauigkeit Gerinne Gesamtdruck Geschwindigkeit Geschwindigkeitsfeld gewichtete Residuen gew¨ ohnliche Differentialgleichung Gitterpunkt Gleichgewichtsbedingungen Gleichgewichtsmethode Gleichgewichtsmodul Gleichungssystem global Greensche Funktion Grenzlast Grenzschicht Grundgleichungen

Gauß quadrature accuracy open channel stagnation pressure velocity velocity field weighted residuals ordinary differential equation grid point equilibrium conditions equilibrium method equilibrium modulus equation system, system of equations global Green’s function limit load boundary layer basic equations


harmonische Wellen Hauptachse Hauptachsentransformation Hauptdehnung Hauptspannung hinterer Differenzenquotient homogen Hookesches Gesetz Hydraulik Hydrodynamik Hydrostatik hydrostatischer Spannungszustand hydrostatisches Paradoxon

harmonic waves principal axis principal axis transformation principal strain principal stress backward differences homogeneous Hooke’s law hydraulics hydrodynamics hydrostatics hydrostatic stress state Pascal’s paradox

ideale Fl¨ ussigkeit Imperfektion Imperfektionsmethode Impuls Impulssatz Indexnotation inhomogen inkompressibel instabil instation¨ are Str¨ omung Integrationsverfahren Invarianten isoparametrische Ansatzfunktionen isoparametrisches Element Isotropie

ideal fluid imperfection imperfection method momentum principle of linear momentum index notation inhomogeneous incompressible unstable unsteady flow integration method invariants isoparametric shape functions isoparametric element isotropy

Kettenlinie Kettenregel Kinematik kinematisch zul¨ assig kinematische Beziehung kinetische Energie kinetische Methode Knicken

catenary chain rule kinematics kinematically admissible kinematic relation kinetic energy kinetic method buckling

469

470


Knoten Knotenfreiwert Knotenverdrehung Knotenverschiebungen Kollokationsverfahren Kompatibilit¨ atsbedingung kontinuierliches System Kontinuit¨ atsgleichung Kontrollvolumen konvektive Beschleunigung konventionelle Dehnung konventionelle Spannung Konvergenz Kreisfrequenz Kreisplatte Kriechen Kriechfunktion kritische Last laminare Str¨ omung Laplace Operator

node nodal value nodal rotation nodal displacements collocation method compatibility condition continuous system continuity equation control volume convective acceleration conventional strain, engineering strain nominal stress convergence circular frequency circular plate creep creep function critical load

logarithmische Dehnung lokal Longitudinalschwingung L¨ osung

laminar flow harmonic operator, Laplace’s operator load vector load-deflection curve standard linear solid, three-parameter solid logarithmic strain local longitudinal vibration solution

Massenstrom Materialgesetz materielle Beschleunigung materielle Koordinate materieller Punkt Matrix Mehrschrittverfahren

mass flux constitutive law material acceleration material coordinate material point matrix multi-step method

Lastvektor Last-Verformungskurve linearer Standardk¨ orper


471

Membran Membranspannung Metazentrum Mohrscher Kreis

membrane membrane stress metacenter Mohr’s circle

Nachbeulverhalten Nachgiebigkeit N¨ aherungsansatz N¨ aherungsl¨ osung nat¨ urliche Dehnung Newtonsche Fl¨ ussigkeit nichtlinear nominelle Spannung Normalspannung numerische D¨ ampfung numerische Integration

postbuckling behaviour compliance approximating interpolation approximate solution natural strain, logarithmic strain Newtonian fluid nonlinear nominal stress normal stress numerical damping numerical integration

Oberfl¨ achenbelastung Orthogonalit¨ atsrelation Orthotropie

surface traction orthogonal relation orthotropy

partielle Differentialgleichung partielle Integration Phasengeschwindigkeit plastische Dehnung plastischer Tangentenmodul plastisches Fließen Plastizit¨ at Platte Plattenelement Plattensteifigkeit Poissonsche Differentialgleichung Potentialgleichung potentielle Energie

partial differential equation integration by parts phase velocity plastic strain plastic tangent modulus plastic flow plasticity plate plate element bending stiffness of a plate Poisson’s equation harmonic equation potential energy

Querkontraktionszahl

Poisson’s ratio

Randbedingungen Randwertproblem reflektierte Welle

boundary conditions boundary value problem reflected wave

472


reibungsfreie Fl¨ ussigkeit Relaxationsfunktion Relaxationsspektrum Relaxationszeit Resonanz Retardationsfunktion Retardationsspektrum Retardationszeit Reynoldszahl rotationssymmetrisch

inviscid fluid relaxation function relaxation spectrum relaxation time resonance retardation function retardation spectrum retardation time Reynolds number axisymmetric

Saite Schale Scheibenelement Scherstr¨ omung Scherz¨ ahigkeit Schichtenstr¨ omung Schubfluß Schubspannung Schubsteifigkeit Schwingung Schwingungsdauer Seil Spannungsfunktion Spannungskomponenten Spannungstensor Spannungsvektor Spannungszustand spr¨ ode Stab Stabelement stabil Stabilit¨ at station¨ are Str¨ omung statisch zul¨ assig statischer Druck Staudruck Staupunkt

string shell plate element shear flow shear viscosity unidirectional flow shear flow shear stress shear stiffness vibration, oscillation vibration period, period rope, cable stress function stress components stress tensor stress vector stress state brittle bar truss element stable stability steady flow statically admissible static pressure stagnation pressure stagnation point


473

Steifigkeit Steifigkeitsmatrix Stetigkeit Stoffgesetz Stoßverlust Stromfaden Stromlinie Stromr¨ ohre Str¨ omung St¨ utzstelle substantielle Bescheunigung Summationskonvention

stiffness stiffness matrix continuity constitutive law shock loss stream filament streamline streamtube flow collocation point material acceleration summation convention

Tangentenmodul Taylorreihe Temperaturdehnungen Temperaturspannungen Torsion Torsionsschwingung Tr¨ agheitskraft Traglast turbulente Str¨ omung

tangent modulus Taylor series thermal strains thermal stresses torsion torsional vibration inertia force limit load turbulent flow

Umfangsspannung unbedingt stabiles Verfahren

circumferential stress, hoop stress unconditional stable method

Variationsformulierung Verfestigung Verschiebung Verschiebungselement Verschiebungsgradient Vertr¨ aglichkeitsbedingung Verw¨ olbung Verzerrungstensor Verzweigung Verzweigungspunkt Viereckselement virtuelle Arbeit virtuelle Verschiebung

variational formulation strain hardening, work hardening displacement displacement element displacement gradient compatibility condition warping, distorsion strain tensor bifurcation, branching bifurcation point, branching point quadrilateral element virtual work virtual displacement

474


viskoelastisch Viskosit¨ at vollplastisches Moment Volumendehnung Volumenkraft Volumenstrom vorderer Differenzenquotient Vorzeichenkonvention

viscoelastic viscosity plastic moment volume strain, dilatation body force volume flux forward differences sign convention

W¨ armeleitung Wassersprung Welle Wellenfortpflanzungsgeschwindigkeit Wellengleichung Wellenl¨ ange Wichtungsfunktion Widerstandszahl wirbelbehaftete Str¨ omung wirbelfreie Str¨ omung Wirbelvektor

heat conduction hydraulic jump wave wave velocity

z¨ ah z¨ ahe Fl¨ ussigkeit Z¨ ahigkeit Zeitschritt zentraler Differenzenquotient Zugversuch

tough, viscous, ductile viscous fluid viscosity time step central differences tension test

wave equation wave length weighting function friction factor rotational flow irrotational flow vorticity vector

Sachverzeichnis

475

Sachverzeichnis Airysche Spannungsfunktion 119 Anfangs-bedingungen 213 – -randwertproblem 213, 373 – -wertaufgaben 372, 374 ff. Anisotropie 102, 104 Arbeitssatz 143 ff., 262 Archimedisches Prinzip 14 Auftrieb 13 ff. Ausdehnungskoeffizient, thermischer 112 Bahnlinie 34 Balken 157, 235 ff., 358 ff. – -schwingungen 235 ff. – -theorie von Euler-Bernoulli 238 – -theorie von Timoshenko 236, 245 ff. Bauschinger-Effekt 348 bedingt stabil 387 Beltrami-Mitchell-Gleichungen 114 Bernoullische - Gleichung 38 ff., 57 – L¨ osung 218 ff., 225 Beschleunigung –, konvektive 36 –, lokale 36 –, materielle 36 –, substantielle 36 Besselsche - Differentialgleichung 257, 260, 298, 312 – Funktionen 257, 312 Bettischer Satz 146 ff. Beulen 271, 302 ff. Beul-gleichung 302 ff. – -wert 306 Biege-linie 365 ff. – -schwingungen 235 ff. biegeschlaff 164

Bingham-K¨ orper 350 Bipotentialgleichung 119, 199 Bogen 157, 158 ff. –, momentenfreier 162 ff. Bruchspannung 345 Boolesche Matrix 424 Carnotscher Stoßverlust 59 Cauchysche Formel 75 charakteristische Gleichung 220 Clapeyronscher Satz 146 ff. D¨ ampfung, numerische 383 D’Alembertsche L¨ osung 214 ff. Defekt 374 Deformation 92 ff. Deformationsgeschichte 103, 318 Dehngeschwindigkeit 319 Dehnung 96 –, Haupt- 97 –, konventionelle 345, 347 –, logarithmische 347 –, mittlere 98 –, nat¨ urliche 347 –, plastische 318 –, Temperatur- 111 –, Volumen- 98 Dehnungsrate 319 Deviator 85 ff., 98 –, Spannungs- 86 –, Verzerrungs- 98 Differentialgleichung – der Biegelinie 325, 366 – der Kettenlinie 169 – der Seillinie 164 –, Laplacesche 118 –, Poissonsche 186

476

Sachverzeichnis

Differenzenquotient –, hinterer 388 –, vorderer 388, 394 –, zentraler 388, 394, 395 Differenzen-stern 396 – -verfahren 374, 387 ff. Dilatation 98 Diracsche Delta-Funktion 249, 400 Dispersion 253 Drehtensor, infinitesimaler 95 Druck –, dynamischer 39 – -energie 39 –, geod¨ atischer 40 –, Gesamt- 39 – -h¨ ohe 40 – -mittelpunkt 23 –, statischer 6, 39 –, Stau- 39 – -Verlust 57 – -Verlustzahl 57 Druckstab, imperfekter 299 ff. Durchschlag – -last 284 – -problem 280, 283 ff. dynamische Randbedingungen 401 dynamische Viskosit¨ at 3 dynamisch zul¨ assig 262 ebener – Spannungszustand 115 ff. – Verzerrungszustand 100, 115 ff. Eckkraft 200 Eigen-form 287 – -frequenz 220 – -funktion 220, 307, 373 – -schwingung 220, 254 ff. – -schwingungsform 220 – -wert 220, 243, 273, 287, 373 – -wertaufgabe 372, 414

Einschrittverfahren 374, 376 Elastica 290 ff., 408 elastische Grenzlast 354 elastisches - Grenzmoment 359 – Materialverhalten 103, 317 – Potential 109 Elastizit¨ ats-gesetz 102 ff. –, -konstanten 103, 107 –, -modul 103, 105 –, -modul, momentaner 321 –, -tensor 103 Element-lastvektor 425 ff. – -matrix 422 ff. – -steifigkeitsmatrix 422 ff. Elliptisches Integral 294 Energie –, Druck- 39 –, Form¨ anderungs- 107 ff. –, Gestalt¨ anderungs- 110 – -gleichung der station¨ aren Str¨ omung 39 – -methode 273 ff., 295 ff. – -prinzipien 141 ff., 261 ff., 373 –, Volumen¨ anderungs- 110 Ersatzquerkraft 200 erzwungene Schwingungen 230 ff., 247 Euler-Bernoulli-Balken 238 ff., 252 Euler-Bernoullische Balkentheorie 238 ff. Eulersche Beschreibung 93 Eulersches Polygonzugverfahren 376 ff. explizite Integrationsverfahren 374 ff. Fachwerk 351 ff. Faltungsintegral 341 Fl¨ achentragwerk 157 Fließ-gelenk 360

Sachverzeichnis

– -polyeder 353 – -polygon 353 – -spannung 318 Fl¨ ussigkeit –, ideale 4 –, inkompressible 4 –, Newtonsche 3, 56 –, reibungsfreie 4 –, schwere 7 –, viskose 4 –, z¨ ahe 4, 55 Fl¨ ussigkeits-menge, –, abgeschlossene 33 – -teilchen 33 – -volumen, materielles 33 Fluid 5 Form¨ anderungs-arbeit, spezifische 108 – -energie, spezifische 109 – -energiedichte 107 ff. Formfaktor 360 Frequenz –, Eigen- 220 –, Grund- 220 –, Ober- 220 Galerkin-Verfahren 374, 399 ff. Gauß-Integration 403 geod¨ atischer Druck 39 Gerinne 35, 63 ff. Gesamtdruck 39 Geschwindigkeits-h¨ ohe 40 – -feld 33 Gesetz von Hagen-Poiseuille 62 Gestalt¨ anderung 98 Gestalt¨ anderungsenergie 110 Girlandenkurve 307 Gleichgewichtsbedingungen 87 ff., 113, 116 –, schwache Form der- 144

477

Gleichgewichts-methode 272 ff. –, -modul 321 –, nachgiebigkeit 321, 333 Gleitung 97 globale Steifigkeitsmatrix 425 globale Verschiebungen 424 globaler Lastvektor 425 Greensche Funktion 183 Grenz-last 280, 282, 354 –, -moment, elastisches 359 –, -schicht 57 Grund-frequenz 220, 257, 258, 261 – -schwingung 220, 257, 258, 261 – -spannungszustand 302 Hagen-Poisseuille, Gesetz von 62 harmonische - Funktion 133 – Welle 252 Haupt-achsensystem 79, 85, 97 – -achsentransformation 80 – -dehnungen 97 – -spannungen 79 ff. Heaviside Funktion 323 Helmholtzsche Wellengleichung 255 Hermitesche Polynome 429 hinterer Differenzenquotient 388 homogenes Material 102 Hookesches Gesetz 102 ff. Hookescher K¨ orper 317 Hydraulik 35 hydraulische H¨ ohe 40 Hydrodynamik 33 ff. Hydrostatik 5 ff. hydrostatischer Spannungszustand 7, 85 hydrostatisches Paradoxon 8 ideale Fl¨ ussigkeit 4 imperfekter Druckstab 299 ff. Imperfektionen 278 ff., 287, 299

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Sachverzeichnis

implizite Integrationsverfahren 383 ff. Impulssatz 47 ff. Indexnotation 71 ff. infinitesimaler - Drehtensor 95 – Verzerrungstensor 94 ff. inhomogen 102 inkompressible Fl¨ ussigkeiten 4 Instabilit¨ at, numerische 383 instation¨ are Str¨ omung 34 Integrationsverfahren 374 ff. Invarianten 79 ff., 86, 97 isoparametrische Ansatzfunktionen 448 Isotropie 102, 104 ff.

–, materielle 92 –, Orts- 92 – -transformation 76 ff. Kreis-bogentr¨ ager 159, 160 – -platte 204 ff., 311 ff. Kriechen 349 Kriechfunktion 320, 323, 329, 333, 335, 339, 342 kritische Last 271, 273 Kronecker-Symbol 74 Kugel-schale 191 – -tensor 86, 98

Lagrange-Funktion 264 Lagrangesche Beschreibung 92 Lamésche - Gleichungen 114 Kelvin-Voigt-Gruppe 337 ff. – - Konstanten 105 – -K¨ orper 322 ff. laminare Str¨ omung 60 Kettenlinie 169 ff. Laplace-Operator 118, 119, 120 kinematisch zul¨ assiges Leitstromlinie 37 Verschiebungsfeld 142, 262 Linearer Standardk¨ orper 331 ff. kinematische Beziehungen 113, 116 Linientragwerk 157 kinematische Randbedingungen logarithmische Dehnung 347 144, 297, 401 lokale Verschiebungen 424 kinetische Methode 274 lokale Beschleunigung 36 Kirchhoffsche Plattengleichung 199 Longitudinalschwingungen 224 ff. Knicken 271, 290 ff. Ludwiksches Potenzgesetz 347 Knoten 220 Masse, reduzierte 229 – -linie 257 Massenstrom 49 – -verschiebungen 419, 424 materielle Beschleunigung 36 Kollokationsverfahren 399 ff. materielle Koordinaten 92 Kompatibilit¨ atsbedingungen materieller Punkt 33 99 ff., 119 materielles Fl¨ ussigkeitsvolumen 33 Kompressionsmodul 106 Maxwell-Gruppe 337 Kontinuit¨ atsgleichung 37 ff. – -K¨ orper 328 ff. Kontrollvolumen 50 mechanische Randbedingungen konvektive Beschleunigung 36 297 konventionelle Dehnung 345, 347 Mehr-schrittverfahren 374 konventionelle Spannung 345 – -stellenverfahren 389 Koordinaten

Sachverzeichnis

Membran 181, 185 ff. – -element 439 – -schwingungen 254 ff. – -spannungszustand 188 – -theorie 187 Meridian-kraft 189 – -spannung 189 Metazentrum 20 Methode – der finiten Differenzen 387 ff. – der finiten Elemente 419 ff. – der gewichteten Residuen 398 ff. – von Newton-Cotes 404 Mindeststeifigkeit 299 mittlere Dehnung 98 mittlere Normalspannung 85 Modellrheologie 321 ff. Mohrsche Kreise 79 ff., 81 momentane Nachgiebigkeit 321, 333 momentaner Elastizit¨ atsmodul 321 monoklines Material 111

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– Instabilit¨ at 383 – Integration 402 ff. Ober-frequenz 220 – -schwingungen 220, 247, 257 Orthogonalit¨ atsrelation 222, 239 Orthotropie 111 Orts-h¨ ohe 40 – -koordinaten 92

Paralleltr¨ ager 172 Pascalsches Paradoxon 8 Petrov-Galerkin-Verfahren 402 Phasengeschwindigkeit 253 Pitotrohr 44 plastische Dehnung 318 plastischer Tangentenmodul 347 plastisches Widerstandsmoment 360 Plastizit¨ at 344 ff. Platte 157, 192 ff. – schubstarre 198, 199 ff. Nachgiebigkeit, momentane 321, 333 Platten-beulen 302 ff. Nachknickkurve 273, 278, 283, 287, – -gleichung 199 – -schwingungen 258 ff. 290 ff. – -steifigkeit 197 Naviersche - Gleichungen 114 – -theorie, Kirchhoffsche 198 Randbedingungen 199 – -theorie, ReissnerN-Element-K¨ orper 337 ff. Mindlinsche 197 Neumann-Problem 134 Poissonsche - Differentialgleichung Neumann-Funktion 312 135, 186 Newmark-Verfahren 384 ff. – Zahl 105 Newton-Cotes-Integration 404 Polygonzugverfahren, Eulersches Newtonsche Fl¨ ussigkeit 3, 56 376 ff. Newtonscher K¨ orper 319, 324 Potential, elastisches 109 Niveaufl¨ ache 10, 11 Potentialgleichung 118, 133 Normalkraft 302 Potenzgesetz von - Ludwik 347 Normalspannung 72, 85 – Ramberg-Osgood 348 –, mittlere 85 Prandtl-Rohr 43 nominelle Spannung 345 – -sche Seifenhautanalogie 137 numerische - D¨ ampfung 383

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Prinzip, Archimedisches 14 – der virtuellen Arbeiten 148 – der virtuellen Kr¨ afte 149 – der virtuellen Verr¨ uckungen 147 ff. – vom Minimum des Gesamtpotentials 149, 373 – vom Station¨ arwert des Gesamtpotentials 149 – vom Station¨ arwert der LagrangeFunktion 264

Rheologie 321 Ritz, Verfahren von 265, 374, 410 ff. Rotationsschalen 187 ff. Rotationssymmetrie 127 Runge-Kutta-Verfahren 379

Saite 181 ff., 212 ff. Satz - von Betti 146 ff. – - von Clapeyron 146 ff. Schale 157, 187 ff., 287 Schalenmittelfl¨ ache 188 Scheibe 115, 157 Querkontraktionszahl 105 Scheibengleichung 119 Radialspannung 89 Scherstr¨ omung 56 Randbedingungen Scherz¨ ahigkeit 3 –, dynamische 401 Schichtenstr¨ omung 60 –, kinematische 144, 297, 401 Schlankheitsgrad 247 –, mechanische 297 Schub-feldtr¨ ager 172 ff. –, nat¨ urliche 144 – -fluß 173 –, Naviersche 199 – -kraft 302 –, restliche 401 – -modul 105 –, statische 297 – -spannung 72 –, wesentliche 144, 401 – -steifigkeit 197 Randst¨ orungen 124 schubstarre Platte 198, 199 ff. Randwertaufgaben 372 schwache Form der GleichgewichtsRayleigh-Quotient 263, 264, 415 bedingung 144 reduzierte Masse 229 Schwingungen 211 ff. reibungsfreie Fl¨ ussigkeit 4 –, Balken- 235 ff. Relaxation 330 –, Biege- 235 ff. Relaxations-funktion 321, 330, 333, –, erzwungene 230 ff., 247 ff. 335, 339, 342 –, Grund- 220, 247, 257, 258, 261 – -spektrum 340 –, Longitudinal- 224 ff. – -zeit 329, 334, 336 –, Membran- 254 ff. Residuum 398, 399 –, Ober- 220, 247, 257 Resonanz 222, 232, 248 –, Platten- 258 ff. Retardations-funktion 320, 323, –, Saiten- 212 ff. 329, 333, 335, 339 –, Torsions- 233 ff. – -spektrum 339 Schwingungs-dauer 218, 220 – -zeit 322, 333, 334, 336 – -form 211 Reynoldszahl 62 – -grad 247

Sachverzeichnis

Seifenhautanalogie, Prandtlsche 137 Seil 157, 164 ff. – -eck 168 – -linie 164, 168 Simpson-Regel 404 Spannung –, Bruch- 345 –, konventionelle 345 –, Meridian- 189 –, mittlere Normal- 85 –, nominelle 345 –, Normal- 72 –, physikalische 346 –, Radial 89 –, Schub- 72 –, Umfangs- 89, 189 –, wirkliche 346 Spannungs-deviator 86 – -Dehnungs-Diagramm 318, 345 ff. – -differentialgleichungen 114, 118 ff. – -feld, statisch zul¨ assiges 142 – -funktion 118 ff., 135 – -konzentration 127 – -randbedingungen 89, 114 – -resultierende 192, 302 – -tensor 71 ff. – -vektor 71 ff. – -zustand 71 ff. – -zustand, ebener 115 ff. – -zustand, hydrostatischer 7, 85 – -zustand, Membran- 188 spezifische - Form¨ anderungsarbeit 108 – Form¨ anderungsenergie 109 spezifisches elastisches Potential 109 spr¨ ode 349 Stab 157

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Stabilit¨ at 271 ff. Stabknicken 290 ff. Standardk¨ orper, linearer 331 ff. station¨ are Str¨ omung 34, 36 statisch zul¨ assiges Spannungsfeld 142 statischer Druck 6, 39 statische Randbedingungen 297 Stau-druck 39 – -punkt 43 – -rohr 44 Steifigkeitsmatrix 422, 424 ff. Stoßverlust, Carnotscher 59 Streckgrenze 318, 346 Str¨ omung –, instation¨ are 34 –, laminare 60 –, Scher- 56 –, Schichten- 60 –, station¨ are 34, 36 –, turbulente 63 –, wirbelfreie 35 Strom-fadentheorie 36 ff. –, -linien 34 –, -r¨ ohre 36 Str¨ omungsenergie 39, 57 St¨ utzlinie 162, 168 St. Venantsche Torsionstheorie 130 Summationskonvention 73 Superpositionsprinzip 114, 115 Tangentenmodul 347 Temperaturdehnung 111 ff. Tensor –, Kugel- 86 –, Spannungs- 71 ff. –, Verzerrungs- 94 ff. – 2. Stufe 75 – 4. Stufe 103 Testfunktion 144, 262

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Sachverzeichnis

thermischer Ausdehnungskoeffizient 112 Timoshenkosche Balkentheorie 236, 245 ff. Torricellische Ausflußformel 40 Torsions-funktion 132 ff., 135 – -moment 193 – -schwingungen 233 ff. – -tr¨ agheitsmoment 136 – -wellen 234 Totlast 146 Traglast 351, 361 turbulente Str¨ omung 63 ¨ Ubergangszeit 322, 333, 334, 336 Umfangs-kraft 189 – -spannung 89, 189 unbedingt stabil 385, 387

– -punkt 273, 285, 286 virtuelle Verschiebung 147 Viskoelastizit¨ at 320 ff. visko-plastisch 350 viskose Fl¨ ussigkeit 4 Viskosit¨ at, dynamische 3 vollplastischer Zustand 359 vollplastisches Moment 360 Volumen-¨ anderungsenergie 110 – -dehnung 98 –, Kontroll- 50 – -strom 38 vorderer Differenzenquotient 388, 394

Wassersprung 66 Wellen 214 ff. – -ausbreitung 251 ff. – -fortpflanzungsgeschwindigkeit Variationsformulierung 373 213, 225, 234 Venturirohr 43 – -gleichung 212 ff., 225, 233, 254 Verfahren von Ritz 265, 374, 410 ff. –, harmonische 252 Verfestigung 318 – -l¨ ange 247, 252 Verfestigungsbereich 318, 345 – -zahl 252 Vergleichsfunktion 144 wesentliche Randbedingungen 144, Verschiebungs-differentialgleichun401 gen 114, 117, 127 ff. Widerstands-moment, plastisches – -feld, kinematisch zul¨ assiges 142 360 – -gradient 94 – -zahl 62 – -randbedingungen 114 Wirbelvektor 35 Vertr¨ aglichkeitsbedingungen 99 ff. wirkliche Spannung 346 Verwindung 130, 131 z¨ ahe Fl¨ ussigkeit 4, 55 Verw¨ olbungsfunktion 131, 132 ff. Z¨ ahigkeit, dynamische 3 Verzerrung 92 ff., 97 zentraler Differenzenquotient 388, Verzerrungs-deviator 98 394, 395 – -feld, kinematisch zul¨ assiges 142 Zugfestigkeit 345 – -maß 94 Zul¨ assigkeitsbereich 353 – -tensor 94 ff. Zusammenbau 424 – -zustand, ebener 100, 115 ff. Zylinderschale 191 Verzweigungs-problem 271, 272 ff.

Technische Mechanik: Band 4: Hydromechanik, Elemente der Höheren Mechanik, Numerische Methoden, 6.Auflage

Formeln und Aufgaben zur Technischen Mechanik 4: Hydromechanik, Elemente der hoheren Mechanik, Numerische Methoden

Technische Mechanik