Mechanik in der Veranstaltungstechnik

Verlag, Herausgeber und Autor m a c h e n darauf a u f m e r k s a m , dass die im vorliegenden Buch genannten Markennamen, Prod u k t b e z e i c h n u n g e n u n d S c h a l t u n g e n i n d e r Regel p a t e n t - u n d w a r e n r e c h t l i c h e m S c h u t z u n t e r l i e g e n . Die V e r ö f f e n t l i c h u n g aller I n f o r m a t i o n e n u n d A b b i l d u n g e n g e s c h i e h t m i t größter Sorgfalt, d e n n o c h k ö n n e n Fehler nicht a u s g e s c h l o s s e n w e r d e n . Verlag, Herausgeber u n d Autor ü b e r n e h m e n deshalb für fehlerhafte A n g a b e n u n d deren Folgen keine Haftung. Sie sind d e n n o c h d a n k bar für Verbesserungsvorschläge u n d Korrekturen.

©2002 PPVMEDIEN G m b H , Bergkirchen 1. Auflage 2002 2. aktualisierte und erweiterte Auflage 2005 ISBN 3-937841-17-2 T i t e l f o t o : Ray F i n k e n b e r g e r - L e w i n T i t e l g e s t a l t u n g : n a v i m 9 6 , K o n s t a n t i n Frhr. v. G a i s b e r g Lektorat: Armin Krämer Satz u n d Layout: Sylvia Rasp, Brigitte Krimmer Abwicklung: Sabine Schnieder Druck: Scherhaufer Intern. Druck Alle Rechte vorbehalten. N a c h d r u c k , auch auszugsweise, s o w i e V e r v i e l f ä l t i g u n g e n j e g l i c h e r A r t nur m i t s c h r i f t l i c h e r G e n e h m i g u n g der PPVMEDIEN G m b H .

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Über dieses Buch In der Veranstaltungstechnik spielen neben der Licht- und Tontechnik zunehmend Traversen-Tragwerke, Bühnenüberdachungen, Podien und bewegte Konstruktionen eine Rolle. Der hohe Anspruch an die technische Ausstattung von Bühnen, Shows, Messen und Veranstaltungen erfordert grundlegende Kenntnisse in der technischen Mechanik hinsichtlich Planung und Ausführung der Gewerke. Hier setzt die "Mechanik in der Veranstaltungstechnik" an: Zunächst werden in diesem Buch die naturwissenschaftlichen Grundlagen der Mechanik erarbeitet, welche dann auf die spezifischen Probleme in der Veranstaltungstechnik angewendet werden. Ganz nebenbei werden auch die mathematischen Grundlagen zur Lösung von Gleichungen aufgefrischt und erklärt. Dieses Buch eignet sich als Nachschlagewerk und Lehrbuch gleichermaßen. Die beiliegende CD enthält zahlreiche Berechnungstabellen, die bereits in Excel angelegt sind und sofort eingesetzt werden können. Hierdurch wird die tägliche Arbeit des Veranstaltungstechnikers wesentlich erleichtert.

Über den Autor Dipl.-Ing. Michael Lück leitet seit 1994 das Ingenieurbüro Expo Engineering, das als Dienstleister für viele renommierte Unternehmen der Veranstaltungsbranche Lösungen zu Bühnen, Tribünen, Traversen und Sonderkonstruktionen erarbeitet. Michael Lück ist neben der aktiven Projektarbeit auch als Dozent an der Siemens Media Academy, der SRT (Schule für Rundfunktechnik), der HWK Köln, der IHK Köln und an der LEB Thüringen/IHK Erfurt tätig.

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Inhaltsverzeichnis Vorwort an den Leser I.Einführung 1.1 Körper 1.2 Kraft

9 11 11 12

2. K r ä f t e s y s t e m e - Z u s a m m e n w i r k e n v o n K r ä f t e n ..13 2.1 Darstellung einer Kraft 13 Bezeichnung 14 Einheiten 14 Genauigkeit 15 2.2 Lineares Kräftesystem 15 Zusammenwirkung von Kräften in Koordinaten-Richtung auf einer (Wirkungs-)Linie 15 Zusammenwirkung von Kräften beliebiger Richtung auf einer (Wirkungs-)Linie 17 2.3 Zentrales Kräftesystem 22 Übungsaufgabe 24 Übungsaufgabe 25

4

3. Gleichgewicht von Kräften 3.1 Gleichgewichtsbedingungen GGB beim linearen Kräftesystem 3.2 Gleichgewichtsbedingungen GGB beim zentralen Kräftesystem

29

Übungsaufgabe Übungsaufgabe Übungsaufgabe

41 43 46

30 38

Inhaltsverzeichnis

3.3 Gleichgewichtsbedingungen GGB beim allg. Kräftesystem Das Moment Übungsaufgabe Übungsaufgabe Übungsaufgabe 4. Ebene Fachwerke Folgende Eigenschaften kennzeichnen ein Fachwerk Berechnung von Stabkräften im Fachwerk 1. Schritt - Auflagerreaktionen 2. Schritt - Jeder Knoten ist ein zentrales Kräftesystem Übungsaufgabe Übungsaufgabe

53 53 60 62 65 69 70 71 73 73 76 78

5. I n n e r e K r ä f t e und S p a n n u n g e n 81 5.1 Normalkraft und Normalspannung 81 Übungsaufgabe 84 5.2 Scherkraft und Scherspannung 85 Übungsaufgabe 87 5.3 Lochleibungskraft und Lochleibungsspannung ....87 6. Schnittgrößen d e s b i e g e b e a n s p r u c h t e n Trägers ....91 6.1 Schnittgrößen für Träger mit einer Einzellast 94 1. Schritt - Auflagerreaktionen 94 2. Schritt - Schnittkräfte 95 Übungsaufgabe 96 1. Schritt - Auflagerreaktionen 96 2. Schritt - Schnittkräfte 97 Übungsaufgabe 98 6.2 Schnittgrößen für Träger mit mehrfachen Einzellasten 100 6.3 Schnittgrößen für Träger mit Streckenlasten 102 Übungsaufgabe 103 1. Schritt-Auflagerreaktionen 103 6.4 Schnittgrößen für Träger mit mehreren Feldern ..105

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7 . S p a n n u n g e n d e s b i e g e b e a n s p r u c h t e n Trägers 7.1 Biegespannung Übungsaufgabe 7.2 Schubspannung aus Querkräften 7.3 Torsionsmoment und Torsionsspannung 7.4 Überlagerung von Spannungen

..107 107 111 114 115 116

8. G i t t e r t r ä g e r 8.1 Baugruppen 8.2 Innere Kräfte der Gurtrohre 8.3 Innere Kräfte an den Verbindern 8.4 Innere Kräfte in den Streben Andere Strebenanordnungen Strebenanordnung an den Enden der Traversenelemente Versatz von Diagonal-Streben Ausschließlich senkrechte Streben 8.5 Aluminium-Werkstoffe 8.6 Welchen Typ für welche Anwendung? Profilgeometrie und Streben a) 2-Punkt-Gitterträger b)3-Punkt-Gitterträger c) 4-Punkt-Gitterträger d) Folding-Traverse Verbinder a) Statische Beurteilung b) Beurteilung der Toleranzen c) Beurteilung des Handlings 8.7 Interpretation von Datenblättern und Katalogen 8.8 Zertifikate und Prüfungen

117 118 119 124 126 130 ..131 132 133 134 136 136 136 136 137 137 138 138 138 139 .140 144

9 . A n s c h l a g e n und A u f h ä n g e n 9.1 Anschlagmittel und Lastaufnahmemittel 9.2 Hebezeuge Einsatz von BGV-D8 (früher VBG 8)-Hebezeugen in Produktionsstätten

6

147 147 149 149

Einsatz v o n B G V - C 1 - H e b e z e u g e n i n P r o d u k t i o n s s t ä t t e n 1 4 9 9.3 „Bridle" - A n s c h l a g e n im W i n k e l 10. Flächige Belastung - Podeste

150 153

G l e i c h last

153

Dreiecks-Trapezlast unter 45°

154

Dreiecks-Trapezlast unter 60°

154

10.1 S t a t i k d e r B ü h n e n p o d e s t e

156

10.2 Umrandungsprofile von Podesten

158

Profildaten Umrandungsprofil

159

1 1 . Dynamische Einflüsse durch Hebezeuge

163

12. Kinetik

169

12.1 D a s d y n a m i s c h e G r u n d g e s e t z

169

12.2 Arbeit und Energie

174

Hubarbeit

175

Beschleunigungsarbeit

175

Federarbeit

175

Arbeit der äußeren Kräfte

176

K i n e t i s c h e Energie d e s S y s t e m s

176

Arbeitssatz

177

A r b e i t d e r ä u ß e r e n Kräfte

178

K i n e t i s c h e Energie d e s S y s t e m s

178

Arbeitssatz

178

12.3 Leistung

178

13. Anhang und Formelsammlung

181

7

8

Vorwort an den Leser Der h o h e A n s p r u c h a n d i e t e c h n i s c h e A u s s t a t t u n g v o n B ü h n e , Show, Messe und Veranstaltung erfordert grundlegende Kenntn i s s e v o n t e c h n i s c h e r M e c h a n i k bei d e r P l a n u n g u n d A u s führung der Gewerke. In der Veranstaltungstechnik entwickelt sich neben der Licht- und Tontechnik z u n e h m e n d der Bedarf an Traversen-Tragwerken, Bühnenüberdachungen, Podien und bewegten Konstruktionen. Richtiges Anschlagen sowie die A u s wahl korrekter Anschlagmittel, Traversen und Hebezeuge setzen Kenntnisse der auftretenden Belastungen voraus, die sich w i e d e r u m mittels der Mechanik berechnen lassen. Dieses Buch k a n n s o w o h l als N a c h s c h l a g w e r k als a u c h als L e h r m a t e r i a l v e r w e n d e t w e r d e n . Die i n d e r A u s b i l d u n g b e f i n d l i c h e n P e r s o n e n für „ F a c h k r a f t f ü r V e r a n s t a l t u n g s t e c h n i k " , „ G e p r ü f t e r M e i s t e r für Veranstaltungstechnik" u n d „Ingenieur für Veranstaltungstechn i k " f i n d e n i n d i e s e m B u c h ein ihre A u s b i l d u n g u n t e r s t ü t z e n d e s W e r k . Q u e r - E i n s t e i g e r u n d A u t o d i d a k t e n k ö n n e n ihr t h e o r e t i sches Wissen durch das Selbststudium verbessern. Ein w i c h t i g e r G r u n d z u r W e i t e r b i l d u n g ist d i e s t e t i g w a c h s e n d e Anforderung an die Qualifikation v o n Veranstaltungstechnikern. Die Q u a l i f i k a t i o n d e r a m P r o d u k t i o n s p r o z e s s b e t e i l i g t e n P e r s o nen entscheidet daher auch über d e n Rahmen der auszuführenden Arbeiten und über die zu tragende Verantwortung. A u c h die A r t einer V e r a n s t a l t u n g ist ein K r i t e r i u m f ü r d i e e r f o r d e r l i c h e Q u a lifikation d e r p l a n e n d e n u n d a u s f ü h r e n d e n P e r s o n e n . Die B e rufsgenossenschaften und Verwaltungs-Berufsgenossenschaften sind z.Z. d a m i t beschäftigt, Regelungen zu treffen, um die z u n e h m e n d aufwendig werdenden Produktionen so sicher wie

9

möglich zu m a c h e n . Man beachte die Schriftenreihen Prävention und die Unfallverhütungsvorschriften. Der V P L T (Verband für p r o f e s s i o n e l l e L i c h t - u n d T o n t e c h n i k ) ist mit seinen Arbeitskreisen ebenfalls mit der Erstellung v o n S t a n d a r d s b e s c h ä f t i g t , s o d a s s d e m V e r a n s t a l t u n g s t e c h n i k e r viele Informationsquellen bereitstehen, s. www.arbeitssicherheit.de www.vplt.org Zunächst werden in diesem Buch die naturwissenschaftlichen G r u n d l a g e n e r a r b e i t e t , d i e d a n n auf d i e s p e z i f i s c h e n P r o b l e m e bei d e r V e r a n s t a l t u n g s t e c h n i k a n g e w e n d e t w e r d e n . Die m a t h e m a t i s c h e n Grundlagen z u m Lösen v o n Gleichungen w e r d e n aufg e f r i s c h t u n d erklärt. Die E r k l ä r u n g e n s i n d z u A n f a n g d e s B u c h e s besonders

ausführlich

„ L ü c k e n " hilfreich s e i n .

10

angelegt

und

werden

Lesern

mit

1. Einführung Die D e f i n i t i o n e i n i g e r B e g r i f f e d i e i n d e m B u c h b e s c h r i e b e n werden: Mechanik: Die M e c h a n i k ist ein Teilgebiet d e r P h y s i k . Sie e r f a s s t d i e B e w e g u n g und d e n Ruhezustand v o n Körpern und beinhaltet M o d e l le zur B e r e c h n u n g der Kräfte u n d der B e a n s p r u c h u n g e n . Statik: Die S t a t i k ist ein Teilgebiet d e r M e c h a n i k . S i e b e s c h r e i b t d e n R u hezustand der Körper unter Krafteinwirkung. Dynamik: Die D y n a m i k ist e b e n f a l l s ein Teilgebiet d e r M e c h a n i k . S i e b e s c h r e i b t d i e B e w e g u n g v o n K ö r p e r n infolge v o n K r ä f t e n .

1.1 Körper A l s K ö r p e r b e z e i c h n e t m a n alle „ g r e i f b a r e n " , f e s t e n O b j e k t e , d i e sich durch M a s s e , Volumen, Position u n d Stoff kennzeichnen. A u f alle K ö r p e r w i r k t auf d e r E r d e d i e E r d a n z i e h u n g , s o d a s s j e d e r K ö r p e r e i n e Eigenlast b e s i t z t . Die B a u t e i l e einer K o n s t r u k t i o n s i n d a l l e s a m t Körper.

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1.2 Kraft Kräfte können Körper in B e w e g u n g versetzen, deren B e w e g u n g ä n d e r n u n d sie d e f o r m i e r e n . K r ä f t e h a b e n eine R i c h t u n g u n d e i n e n B e t r a g , w o d u r c h sie m a t h e m a t i s c h z u s o g e n a n n t e n V e k toren werden. Im Gegensatz zu den Vektoren gibt es auch Größ e n , d i e nur d u r c h e i n e n B e t r a g d a r g e s t e l l t w e r d e n - z . B . d i e Temperatur oder die Masse.

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2. Kräftesysteme Zusammenwirken von Kräften Es g i b t in d e r M e c h a n i k v e r s c h i e d e n e K r ä f t e s y s t e m e , d i e unters c h i e d l i c h a u f w e n d i g z u b e r e c h n e n s i n d . U m Bauteile (Traversen, A n s c h l a g m i t t e l usw.) a u s w ä h l e n z u k ö n n e n , ist e s s e h r w i c h t i g , M e t h o d e n z u v e r w e n d e n , d i e a u c h k o m p l e x e r e , nicht s o f o r t z u d u r c h s c h a u e n d e S i t u a t i o n e n richtig analysieren. Kräfte lassen s i c h r e c h n e r i s c h als a u c h z e i c h n e r i s c h a d d i e r e n u n d s u b t r a h i e r e n . Die g e n a u e r e M e t h o d e ist d i e r e c h n e r i s c h e , d a d i e U n g e n a u i g k e i t e n lediglich d u r c h R u n d u n g e n t s t e h e n . Z e i c h n e r i s c h e L ö s u n g e n w u r d e n f r ü h e r h ä u f i g e r a n g e w e n d e t , d a n o c h keine T a s c h e n rechner zur Verfügung standen u n d d a s Rechnen sehr a u f w e n d i g war. A l l e r d i n g s k a n n d u r c h d i e V e r w e n d u n g v o n C A D - ( C o m p u t e r - A i d e d - D e s i g n - ) P r o g r a m m e n eine z e i c h n e r i s c h e L ö s u n g recht e x a k t ausfallen.

2.1 Darstellung einer Kraft K r ä f t e l a s s e n s i c h g r a p h i s c h g u t als Pfeile d a r s t e l l e n , d a ihr V e k t o r - C h a r a k t e r a u f d i e s e W e i s e e r f a s s t w i r d (hier: e i n e Kraft in einer E b e n e ) . Die L ä n g e d e s Pfeils g i b t d e n B e t r a g (Größe) d e r Kraft a n ; d i e R i c h t u n g d e r Kraft w i r d d u r c h d i e R i c h t u n g d e s Pfeils d a r g e s t e l l t . Für e i n e g r a p h i s c h e A n a l y s e ist d i e Kraft in ein Raster eingezeichnet, um einen M a ß s t a b festzulegen. W ü r d e der Maßstab 1 cm (1 Kästchen) 1 kN bedeuten, so w ü r d e d i e s e Kraft F 2 e i n e n B e t r a g v o n 4 , 4 7 k N h a b e n .

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Bezeichnung K r ä f t e w e r d e n m i t G r o ß b u c h s t a b e n (A, B, C, D ...) b e z e i c h n e t . H ä u f i g w i r d e i n e Kraft m i t F (Force , e n g l i s c h = K r a f t ) b e s c h r i e b e n . Treten m e h r e r e K r ä f t e auf, s o k a n n m a n m i t N u m m e r i e r u n g e n d i e K r ä f t e u n t e r s c h e i d e n : F 1 , F 2 , F3, ...F13 . . . . Einheiten Die Einheit d e r Kraft ist d a s N e w t o n (N). Ein K ö r p e r d e r M a s s e 1 k g e r f ä h r t d u r c h d i e E r d b e s c h l e u n i g u n g eine G e w i c h t s k r a f t v o n F = 1 kg * 9,81 m / s 2 = 9,81 N. Die E r d b e s c h l e u n i g u n g ist überall auf d e r E r d e eine k o n s t a n t e G r ö ß e , d i e d u r c h d i e M a s s e d e r Erde erklärt ist. Für d i e B e r e c h n u n g v o n s t a t i s c h e n P r o b l e m e n darf 1 kg < = > 10 N gesetzt werden. D a d i e Kräfte i m t e c h n i s c h e n B e r e i c h oft s e h r h o c h a u s f a l l e n , w i r d mit V o r s ä t z e n w i e K i l o - u n d M e g a - g e r e c h n e t . 100 k g < = > 1 k N .

14

Ein Kilo (k) e n t s p r i c h t d e m F a k t o r 10^3 = 1 0 0 0 . Ein M e g a (M) e n t s p r i c h t d e m F a k t o r 10^6 = 1 0 0 0 0 0 0 . Eine A n h ä n g e l a s t d u r c h e i n e P A B o x v o n 1 2 0 k g w ü r d e s o m i t als 1,2 k N i n einer B e r e c h n u n g angesetzt. Genauigkeit Eine G e n a u i g k e i t v o n z w e i S t e l l e n n a c h d e m K o m m a reicht a u s , um Kräfte aus d e m Bereich der Veranstaltungstechnik d a r z u s t e l l e n . W i r d d i e Last d e r P A - B o x m i t z w e i S t e l l e n n a c h d e m K o m m a d a r g e s t e l l t , s o b e s c h r e i b t d i e z w e i t e Stelle d i e a d ä q u a t e M a s s e i n k g . Eine d r i t t e S t e l l e w ü r d e d i e „ 1 0 0 g - S t e l l e " b e s c h r e i b e n u n d ist ü b e r f l ü s s i g .

2.2 Lineares Kräftesystem A l s lineares K r ä f t e s y s t e m b e z e i c h n e t m a n d a s W i r k e n v o n Kräften gleicher Richtung, daher gleicher (Wirkungs-)Linien, angreif e n d a n d e m g l e i c h e n P u n k t . Falls m e h r e r e K r ä f t e a n e i n e m P u n k t auf einer Linie a n g r e i f e n , s o ist e s w i c h t i g z u e r f a h r e n , w i e groß d i e S u m m e d e r Kräfte ist. M i t d e m linearen K r ä f t e s y s t e m f a s s t m a n z w e i o d e r m e h r K r ä f t e z u einer r e s u l t i e r e n d e n Kraft z u sammen. Zusammenwirkung von Kräften in KoordinatenRichtung auf einer (Wirkungs-)Linie L i e g e n d i e K r ä f t e auf einer ( W i r k u n g s - ) L i n i e , s o l a s s e n s i c h d i e B e t r ä g e d i r e k t e r m i t t e l n . B e s o n d e r s e i n f a c h ist d i e B e r e c h n u n g / d a s A b l e s e n , w e n n d i e K r ä f t e i n einer H a u p t a c h s e d e s K o ordinatensystems liegen:

15

Die S u m m e der z u s a m m e n w i r k e n d e n Kräfte lässt sich g r a p h i s c h ablesen: 3 Kästchen + 2 Kästchen = 5 Kästchen u n d m a t h e m a t i s c h d u r c h A d d i t i o n / S u b t r a k t i o n b e s t i m m e n . Die S u m m e d e r K r ä f t e n e n n t m a n d i e r e s u l t i e r e n d e Kraft „ F r e s " . Fres = 3,0 kN + 2,0kN = 5,0 kN Da die Kräfte a u c h in unterschiedlicher Richtung wirken k ö n n e n , w e r d e n die Richtungen über d a s Vorzeichen bestimmt . M a n k a n n s e i n K o o r d i n a t e n s y s t e m frei w ä h l e n , m u s s j e d o c h d a b e i bleiben, um korrekte Ergebnisse zu erzielen. W ü r d e F 2 n a c h links zeigen (entgegen d e r positiven x - R i c h t u n g ) , s o w ä r e d i e resultierende Kraft Fres = F1

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-F2 = 3kN-2kN =1

kN

Zusammenwirkung von Kräften beliebiger Richtung auf einer (Wirkungs-)Linie Die Kräfte d ü r f e n z w e c k s B e r e c h n u n g a u f ihrer W i r k u n g s l i n i e verschoben werden. Zeichnerisch lassen sich die Kräfte direkt ablesen, i n d e m m a n d a s E n d e d e r Kraft F 2 a n d i e S p i t z e d e r Kraft F 1 a n l e g t u n d d e n A b s t a n d d e s E n d e s d e r Kraft F 1 a n d i e S p i t z e d e r Kraft F 2 m i s s t . A u f d i e s e W e i s e liest m a n 4 , 4 7 c m - 2 , 2 4 c m = 2 , 2 3 c m a b . A u f d i e r e c h n e r i s c h e L ö s u n g soll n ä h e r e i n g e g a n g e n w e r d e n : R e c h n e r i s c h w e r d e n d i e e i n z e l n e n K r ä f t e i n ihre K o m p o n e n t e n x / y zerlegt u n d d a n n für j e d e Koordinate einzeln addiert. A b s c h ließend w e r d e n d i e K o m p o n e n t e n w i e d e r z u einer r e s u l t i e r e n d e n Kraft u m g e r e c h n e t . D a s W o r t „ K o m p o n e n t e n " b e z e i c h n e t d i e „ A n t e i l e " einer Kraft in d e n j e w e i l i g e n K o o r d i n a t e n - R i c h t u n g e n x u n d y.

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F1

wird in

Komponenten

zerlegt

F1x = 2,0kN (2 Kästchen abgelesen, F1y= (1

Richtung x negativ,

weil nach links)

1,0 kN Kästchen

abgelesen,

Richtung

y

negativ,

weil

nach

unten) F2

wird in

Komponenten

zerlegt

F2x = 4,0kN (4 Kästchen abgelesen,

Richtung x positiv,

weil nach rechts)

Richtung y positiv,

weil nach

F2y = 2,0kN (2 Kästchen abgelesen,

oben)

Die K o m p o n e n t e n w e r d e n z u r R e s u l t i e r e n d e n a d d i e r t , w o b e i d i e Vorzeichen nun berücksichtigt w e r d e n . Fres.x = -F1,x + F2,x = -2,0+ 4,0 = 2,0 kN Fres.y = -F1,y + F2,y = -1,0 + 2,0 = 1,0 kN N u n s i n d d i e K o m p o n e n t e n d e r R e s u l t i e r e n d e n e r m i t t e l t . Die „ A n t e i l e " i n x - u n d y - R i c h t u n g d e r r e s u l t i e r e n d e n Kraft s i n d b e kannt. Die r e s u l t i e r e n d e Kraft w i r k t „ z w e i K ä s t c h e n " n a c h r e c h t s ( p o s i t i v e s x ) u n d „ e i n K ä s t c h e n " n a c h o b e n ( p o s i t i v e s y). Die G r ö ß e d e r g e s a m t e n r e s u l t i e r e n d e n Kraft ist n o c h n i c h t b e k a n n t , k a n n a b e r m i t Hilfe d e r G e o m e t r i e b e r e c h n e t w e r d e n . Die Kraft u n d ihre K o m p o n e n t e n v e r h a l t e n s i c h w i e d i e L ä n g e n d e r S e i t e n i n e i n e m r e c h t w i n k l i g e n D r e i e c k . Der B e t r a g d e r R e s u l t i e r e n d e n w i r d m i t d e m Satz von Pythagoras b e r e c h n e t .

18

Der S a t z d e s P y t h a g o r a s : I m Original:

A

Für d i e K r ä f t e :

(Fres,y) + (Fres,x) = (Fres)

2

+ B

= C

2

2

2

2

2

U m d e n B e t r a g d e r g e s u c h t e n Kraft Fres z u e r h a l t e n , w i r d d i e Quadratwurzel gezogen. Fres = s q r ( 2 , 0

2

+ 1,0 ) = 2,24 k N , sqr bedeutet squareroot: 2

„Quadratwurzel aus..." D a s Z e r l e g e n v o n K r ä f t e n i n K o m p o n e n t e n lässt s i c h a u c h d u r c h eine W i n k e l a n g a b e b e w e r k s t e l l i g e n . D a s f o l g e n d e S y s t e m ist e t w a s steiler (10°) als d a s z u v o r b e r e c h n e t e . Die K r ä f t e s i n d a b e r gleich groß, so dass die Resultierende den gleichen Betrag h a b e n m u s s , w i e z u v o r b e r e c h n e t . N u r d i e R i c h t u n g ist e i n e a n d e r e . D a s V o r g e h e n ist i d e n t i s c h , j e d o c h w e r d e n d i e K o m p o nenten der Kräfte nicht d u r c h „ K ä s t c h e n zählen" ermittelt, s o n dern durch die trigonometrischen Funktionen. Diese m a t h e m a tischen Operationen ermöglichen es, die Beziehung zwischen Längenverhältnissen und Winkeln im rechtwinkligen Dreieck darzustellen:

19

A (Gegenkathete)

B (Ankathete) sinalfa=

Gegenkathete/ Hypotenuse =

cosalfa=

Ankathete/ Hypotenuse =

A/C

Sinus

B/C

Kosinus

tanalfa =

Gegenkathete / Ankathete =

A/B

Tangens

Als Hypotenuse bezeichnet m a n die längste Seite im rechtwinkligen D r e i e c k . Gegenkathete nennt man die d e m betrachteten Winkel gegenüb e r l i e g e n d e S e i t e . Die A n k a t h e t e ist d i e a n d e m b e t r a c h t e t e n Winkel anliegende Seite. Auf unser Kräftesystem angewandt, ergeben sich die K o m p o nenten der einzelnen Kräfte d u r c h Aufstellen der Sinus/KosinusZusammenhänge:

20

Die K o m p o n e n t e n f ü r F 1 : sin36,57°

=

F1,y

F1

=

cos36,57°

F1 ,y/F1

=

*sin36,57°

=

2,24kN*sin36,57°=1,33kN

F1.X/F1

F1,x = F1

*cos36,57° = 2,24 kN * cos36,57° =1,8kN

Die K o m p o n e n t e n f ü r F 2 : sin36,57°

=

F2,y/F2

F2,y = F2 cos36,57° F2,x = F2

*sin36,57° =

= 4,47kN

*sin36,57°

= 2,66kN

F2,x/F2

* cos36,57° = 4,47kN *cos36,57° = 3,59 kN

Die K o m p o n e n t e n w e r d e n z u r R e s u l t i e r e n d e n a d d i e r t (auf Vorzeichen/Richtungen achten!) Fres.x = -F1,x + F2,x = -1,8 + 3,59 = 1,79 kN Fres.y = -F1,y + F2,y = -1,33 + 2,66 = 1,33 kN

21

Der B e t r a g d e r R e s u l t i e r e n d e n w i r d m i t d e m Satz von Pythagoras b e r e c h n e t : Fres = s q r ( 1 , 7 9 + 1 , 3 3 ) = 2 , 2 3 k N - e n t s p r i c h t c a . 2 , 2 4 k N , w i e 2

2

z u v o r b e r e c h n e t . U n g e n a u i g k e i t e n e n t s t e h e n bei d e r r e c h n e r i schen Lösung aufgrund der Rundung.

2.3 Zentrales Kräftesystem A l s z e n t r a l e s K r ä f t e s y s t e m b e z e i c h n e t m a n d a s W i r k e n v o n Kräften unterschiedlicher Richtung, angreifend an d e m gleichen Punkt eines Körpers. Zeichnerisch lassen sich die Kräfte direkt a b l e s e n , i n d e m m a n d a s E n d e d e r Kraft F 2 a n d i e S p i t z e d e r Kraft F 1 a n l e g t u n d d e n A b s t a n d d e s E n d e s d e r Kraft F 1 z u r S p i t z e d e r Kraft F 2 m i s s t . Trägt m a n b e i d e K r ä f t e a n e i n a n d e r a n , s o erhält man das so genannte „Kräfteparallelogramm".

22

R e c h n e r i s c h g e h t m a n e b e n s o vor, w i e b e i m linearen K r ä f t e s y s tem: Die K o m p o n e n t e n für F 1 e r g e b e n s i c h a u s S i n u s / K o s i n u s - Z u sammenhang: sin53,13°

=

F1,y = F1

F1,y/F1 * sin53,13° = 5,0kN* sin53,13° = 4,0kN

cos53,13°

=

F1,x = F1

F1,x/F1 * cos53,13° = 5,0kN* cos53,13° = 3,0kN

Die K o m p o n e n t e n für F 2 : sin56,31°

=

F2,y = F2 cos56,31° F2,x = F2

F2,y/F2 *sin56,31°

=

= 3,61

kN*sin56,31° = 3,0kN

F2,x/F2 *cos56,31 ° = 3,61

kN*cos56,31° = 2,0kN

Die K o m p o n e n t e n w e r d e n z u r R e s u l t i e r e n d e n a d d i e r t (Vorzeichen beachten!) Fres,x = - F1,x + F2,x = -3,0 + 2,0 = -1,0kN Fres.y = F1,y + F2,y = 4,0 + 3,0 = 7,0 kN Der B e t r a g d e r R e s u l t i e r e n d e n w i r d m i t d e m Satz von Pythagoras b e r e c h n e t : Fres = sqr((-1,0) + 7,0^2) = 7,07 kN 2

Der W i n k e l d e r R e s u l t i e r e n d e n zur S e n k r e c h t e n k a n n ü b e r d e n Sinussatz berechnet werden: s / n a = Fres,x/Fres

=

-1,0 kN/7,07 kN

Der i n v e r s e S i n u s ( T a s c h e n r e c h n e r „sin"-^1") liefert d a s E r g e b n i s d e s W i n k e l s : a = sin-^1 (-1,0/7,07) = - 8 , 1 3 ° , d a s n e g a t i v e V o r z e i c h e n b e s c h r e i b t d e n Z u s t a n d , d a s s d e r W i n k e l auf d e r n e g a t i v e n S e i t e d e r x - A c h s e liegt, a l s o n a c h links zeigt. E s d ü r f e n b e l i e b i g viele K r ä f t e z u R e s u l t i e r e n d e n z u s a m m e n g e f a s s t w e r d e n . Treten d a h e r m e h r als z w e i Kräfte auf, s o w i r d auf

23

gleiche Weise verfahren. Es können auch Zwischenergebnisse ( F r e s l , Fres2...) g e b i l d e t w e r d e n , d i e n a c h h e r i n e b e n s o s u m mierbar sind. Übungsaufgabe: A n e i n e m H ä n g e p u n k t i n einer M e s s e h a l l e w e r d e n z w e i S t a h l seile a n g e s c h l a g e n , d i e z w e i A n z e i g e t a f e l n h a l t e n . B e r e c h n e n S i e d i e G e s a m t l a s t d e s H ä n g e p u n k t s ( r e s u l t i e r e n d e Kraft) u n d deren Winkel. D a s Seil d e r Tafel 1 z i e h t m i t einer Kraft v o n 2,0 k N a n d e m H ä n gepunkt. D a s Seil d e r Tafel 2 zieht m i t einer Kraft v o n 1,2 kN an d e m H ä n gepunkt.

Lösung: Die K o m p o n e n t e n für F 1 e r g e b e n s i c h a u s S i n u s / K o s i n u s - Z u sammenhang: sin50°

=

F1,x = F1

*sin50° = 2,0 kN *sin50° =

cos50°

F1,y/F1

=

F1,y = F1

24

F1,x/F1

* cos50° = 2,0kN* cos50° =

1,53 kN 1,29 kN

Die K o m p o n e n t e n f ü r F 2 : sin30°

=

F2,x/F2

F2,x = F2

*sin30°

cos30°

F2,y/F2

=

= 1,2 kN *sin30° = 0,6 kN

F2,y = F2 * cos30° = 1,2 kN * cos30° = 1,04 kN Die K o m p o n e n t e n w e r d e n z u r R e s u l t i e r e n d e n a d d i e r t : Fres,x

= - F1,x + F2,x = -1,53 + 0,6 = -0,93 kN

Fres,y = -F1,y - F2,y = -1,29 -1,04 = -2,33 kN Der B e t r a g d e r R e s u l t i e r e n d e n w i r d m i t d e m S a t z von Pythagoras b e r e c h n e t : Fres = sqr((-0,93) + 2

(-2,33^2)

= 2,51 kN

Der W i n k e l d e r R e s u l t i e r e n d e n z u r S e n k r e c h t e n k a n n ü b e r d e n S i n u s - Z u s a m m e n h a n g ermittelt w e r d e n : a = sin-^1 (-0,93/2,51) = - 2 1 , 7 5 ° . D a s n e g a t i v e V o r z e i c h e n b e s c h r e i b t d e n Z u s t a n d , d a s s d e r W i n k e l auf d e r n e g a t i v e n S e i t e d e r x - A c h s e liegt, a l s o n a c h links z e i g t . Übungsaufgabe: A n e i n e m T r a v e r s e n - T o w e r (Mast) s i n d z w e i S t a h l s e i l e h o r i z o n t a l g e s p a n n t ( i d e a l e r w e i s e mittig). D i e Seile z i e h e n m i t u n t e r s c h i e d licher R i c h t u n g u n d G r ö ß e . S1 = 1,8 k N , S2 = 2,1 k N . Die D r a u f s i c h t (s. f o l g e n d e Seite) z e i g t d i e R i c h t u n g e n d e r S e i l e . W i e g r o ß ist d i e r e s u l t i e r e n d e Kraft , u n d i n w e l c h e m W i n k e l w i r k t sie? Die Resultierende bestimmt die Biegebeanspruchung des Towers.

25

Lösung: Die K o m p o n e n t e n f ü r S 1 e r g e b e n s i c h a u s d e m S i n u s / K o s i n u s Zusammenhang: sin60°

=

S1,x

=

cos60°

=

S1,x/S1 S1

*sin60°=1,8kN*sin60°=1,56kN

S1,y/S1

S1,y = S1* cos60° =

1,8kN* cos60° = 0,9kN

Die K o m p o n e n t e n f ü r S 2 : sin50°

=

S2,y/S2

S2,y = S2 * sin50° = 2,1 kN* sin50° =1,61 kN cos50°

=

S2,x/S2

S2,x = S2 * cos50° = 2,1 kN* cos50° =

1,35 kN

Die K o m p o n e n t e n w e r d e n z u r R e s u l t i e r e n d e n a d d i e r t : Sres,x = - S1,x + S2,x = -1,56 + 1,35 = -0,21 kN Sres,y = -S1,y + S2,y = -0,9+

26

1,61

= 0,71 kN

Der B e t r a g d e r R e s u l t i e r e n d e n w i r d m i t d e m Satz von Pythagoras b e r e c h n e t : Fres

= sqr((-0,21)

2

+ 0,71 ) = 0,74 kN 2

Der Winkel der Resultierenden zur Senkrechten: alfa = sin-^1 ( - 0 , 2 1 / 0,74) = - 1 6 , 5 ° . D a s n e g a t i v e V o r z e i c h e n b e s c h r e i b t d e n Z u s t a n d , d a s s d e r W i n k e l auf d e r n e g a t i v e n S e i t e d e r x - A c h s e liegt, a l s o n a c h links z e i g t . Der W i n k e l d e r R e s u l t i e r e n d e n z ur H o r i z o n t a l e n : alfa = sin-^1 ( 0 , 7 1 / 0,74) = 7 3 , 6 ° . D a s p o s i t i v e V o r z e i c h e n b e s c h r e i b t d e n Z u s t a n d , d a s s d e r W i n k e l a u f d e r p o s i t i v e n S e i t e d e r y - A c h s e liegt, a l s o nach o b e n zeigt. Die g r a p h i s c h e L ö s u n g d e s P r o b l e m s :

27

Durch die Verwendung eines C A D - (Computer-Aided-Design-) S y s t e m s w e r d e n g e n a u e E r g e b n i s s e erzielt. E s w i r d d a s K r ä f t e parallelogramm gezeichnet und die Resultierende eingetragen. W i n k e l u n d B e t r a g l a s s e n s i c h a b t r a g e n . Ein C A D - S y s t e m e r l e digt die „ B e m a ß u n g " durch das Anklicken der Strecken.

28

3. Gleichgewicht von Kräften A l s G l e i c h g e w i c h t s z u s t a n d b e z e i c h n e t m a n i n d e r S t a t i k ein r u h e n d e s S y s t e m , bei d e m alle K r ä f t e z u e i n a n d e r i m G l e i c h g e w i c h t s t e h e n . D a s b e d e u t e t , d a s s d i e R e s u l t i e r e n d e g l e i c h null ist. A l l e K r ä f t e z u s a m m e n h a b e n n a c h a u ß e n d i e W i r k u n g , als w ä r e k e i n e Kraft v o r h a n d e n . Für alle r u h e n d e n K o n s t r u k t i o n e n gilt d e r G l e i c h g e w i c h t s z u s t a n d : z . B . f ü r e i n e T r a v e r s e m i t B e l e u c h t u n g s k ö r p e r n , e i n e g e f l o g e n e P A - B o x , f ü r ein P o d i u m m i t M e n s c h e n g e d r ä n g e usw. Für d a s G l e i c h g e w i c h t v o n K o n s t r u k t i o n e n s i n d b e i m E i n w i r k e n von Belastungen bestimmte „Haltekräfte" erforderlich, damit das S y s t e m in Ruhe bleibt.

Beginnt zu fallen

Bleibt in Ruhe

29

&1C85=1C9B38 792C 5B 495

7D>75> 8

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30

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9& 9& 



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9&

 9& 

9& 

9& 9&

9&  9& 9&





30.

  '  30.

31

Die Kraft w a r als links w i r k e n d a n g e n o m m e n w o r d e n , d a s Erg e b n i s ist negativ, d a h e r ist d i e u r s p r ü n g l i c h e R i c h t u n g s a n n a h m e f a l s c h . Die Kraft m u s s n a c h r e c h t s m i t e i n e m B e t r a g v o n 0,1 kN wirken. Ergeben sich negative Ergebnisse für berechnete K r ä f t e , s o w i r k e n sie i m m e r e n t g e g e n g e s e t z t z u r u r s p r ü n g l i c h e n Richtungsannahme. Die B e r e c h n u n g v o n u n b e k a n n t e n K r ä f t e n bei linearen S y s t e m e n ist r e c h t e i n f a c h , k a n n a b e r h ä u f i g a n g e w a n d t w e r d e n . I n s besondere Seilumlenkungen lassen sich mit der M e t h o d e analysieren. Beispiel: Seiltrieb im Theater W i e groß ist d i e H a l t e k r a f t d e s S e i l e n d e s ?

Masse = 50 kg

32

U m z u einer L ö s u n g z u k o m m e n , b e g i n n t m a n , d a s S y s t e m d o r t zu untersuchen, w o bereits Lasten bekannt sind. M a n „ s c h n e i d e t " d a z u d a s T e i l s y s t e m m i t d e r b e k a n n t e n Last frei. E s w i r d d a m i t n u r d e r K n o t e n p u n k t b e t r a c h t e t , a n d e m d i e Last e i n g e l e i tet wird und die n o c h unbekannten Kräfte ebenfalls angreifen. Ein w i c h t i g e r A s p e k t bei allen S e i l - u n d K e t t e n t r i e b e n ist z u b e r ü c k s i c h t i g e n . Bei e i n e m d u r c h g e h e n d e n Seil (wie i n o b i g e m Beispiel) ist d i e Seilkraft an j e d e r Stelle i m Seil g l e i c h ! E s g e h e n k e i n e K r ä f t e v e r l o r e n . E b e n s o v e r h ä l t s i c h eine K e t t e o d e r eine a n d e r e s e i l ä h n l i c h e Struktur. Zunächst wird also das Teilsystem am Lasteinleitungspunkt u n tersucht:

s

s

33

95 & 1 B B 5 2 5 F 9 A ; C 5 9 > 5 %1B C E ? >    ; ' 1 = * 3 8 F 5 A @ D > ; C 4 5 A & 1 B B 5 B 

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34

Beispiel: Kurbelstativ W i e groß ist d i e Z u g k r a f t f ü r d i e W i n d e ?

Seiltrieb 1

Seiltrieb 2 zur Winde

35

Die F u n k t i o n s w e i s e e i n e s s o l c h e n S t a t i v s : I n d a s ä u ß e r e R o h r s i n d z w e i (geführte) E i n s t e c k l i n g e e i n g e s e t z t . D a s Seil d e r W i n d e w i r d u m g e l e n k t u n d hält d e n e r s t e n E i n steckling. Wird dieser ausgefahren, so fährt die an diesem Einsteckling angeschlossene Umlenkrolle nach o b e n und zieht den zweiten Einsteckling heraus. Der L ö s u n g s w e g b e g i n n t w i e d e r a n d e r L a s t e i n l e i t u n g s s t e l l e .

1,5 kN

Die M a s s e b e w i r k t eine Last v o n F = 1,5 k N . D u r c h d e n V e rs a t z d e r S e i l - u n d d e r R o h r a c h s e e n t s t e h t ein s o g e n a n n t e s „ K i p p m o m e n t " , d a s d u r c h d i e F ü h r u n g b l o c k i e r t w i r d . Dieser U m s t a n d w i r d hier v e r n a c h l ä s s i g t , w e i l e r d i e S e i l k r ä f t e n i c h t d i r e k t b e e i n flusst. Um das Problem zu lösen, wird das Kräftegleichgewicht aufgestellt.

36

5 = K O 4 5 A 2 9 B 8 5 A 9 7 5 > $ ? ? A 4 9 > 1 C 5 >  5 6 9 > 9 C 9 ? > 9BC 4 9 5 ) 9 3 8 C D > 7 R > 1 3 8 ? 2 5 >  @?B9C9E R > 1 3 8 D > C 5 >  > 5 7 1 C 9 E 1 > 7 5 B 5 C I C

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