Losungen zur Aufgabensammlung Technische Mechanik

Alfred Böge Walter Schlemmer

Lösungen zur Aufgabensammlung Technische Mechanik Unter Mitarbeit von Gert Böge, Wolfgang Böge und Wolfgang Weißbach 13., durchgesehene Auflage Mit 746 Abbildungen Diese Auflage ist abgestimmt auf die 18. Auflage der Aufgabensammlung Technische Mechanik

Viewegs Fachbücher der Technik

Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

1. Auflage 1975 2 Nachdrucke 2., überarbeitete Auflage 1979 1 Nachdruck 3., überarbeitete Auflage 1981 4., durchgesehene Auflage 1981 1 Nachdruck 5., durchgesehene Auflage 1983 6., überarbeitete Auflage 1984 5 Nachdrucke 7., überarbeitete Auflage 1990 1 Nachdruck

8., überarbeitete Auflage 1992 2 Nachdrucke 9., überarbeitete Auflage 1995 2 Nachdrucke 10., überarbeitete Auflage 1999 1 Nachdruck 11., überarbeitete Auflage Juni 2001 12., überarbeitete und erweiterte Auflage April 2003 13., durchgesehene Auflage August 2006

Diese Auflage ist abgestimmt auf die 18. Auflage der Aufgabensammlung Technische Mechanik.

Alle Rechte vorbehalten © Friedr. Vieweg & Sohn Verlag | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2006 Lektorat: Thomas Zipsner Der Vieweg Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. www.vieweg.de

Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.

Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de Technische Redaktion: Hartmut Kühn von Burgsdorff Druck und buchbinderische Verarbeitung: MercedesDruck, Berlin Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN-10 3-8348-0151-8 ISBN-13 978-3-8348-0151-7

Vorwort zur 13. Auflage Dieses Buch enthält die ausführlichen Lösungen zu den ca. 900 Aufgaben aus der 18. Auflage der Aufgabensammlung zur Technischen Mechanik. Mit dem Lösen einer Aufgabe soll sich der Studierende selbst beweisen, dass er mit den im Unterricht erarbeiteten Gleichungen zielgerichtet umgehen kann. Danach kann er seinen Lösungsweg mit dem im Buch gewählten vergleichen, die Bestätigung für sein Vorgehen finden oder falsche Ansätze erkennen. Er kann nachschlagen, falls er keinen Lösungsweg gefunden hat. Ebenso wird ihm deutlich gemacht, wie notwendig und hilfreich es ist, bei der numerischen Lösung die physikalische Größe als Produkt aus Maßzahl und Einheit zu schreiben. Die übersichtliche Darstellung vieler Lösungsgänge für einzelne Aufgabengruppen ist auch hilfreich beim Entwickeln von PC-Berechnungsprogrammen, z. B. für die Ermittlung von Gleichgewichtskräften im zentralen und allgemeinen Kräftesystem, für die Bestimmung der Stützkräfte an Fachwerkträgern oder für die Dimensionierung torsions- und biegebeanspruchter Getriebewellen. Hinweise, Fragen und Anregungen können an die folgende E-Mail-Adresse gerichtet werden: [email protected] Braunschweig, August 2006

Alfred Böge Walter Schlemmer

Lehr- und Lernsystem Technische Mechanik

• Technische Mechanik (Lehrbuch) von A. Böge • Aufgabensammlung Technische Mechanik von A. Böge und W. Schlemmer • Lösungen zur Aufgabensammlung Technische Mechanik von A. Böge und W. Schlemmer • Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik von A. Böge

1. Statik in der E b e n e Das Kraftmoment (Drehmoment) 8,

1. a) M = FI = 200 N . 0,36 m = 72 Nm

a) M1 = F l l = 220 N. 0,21 m = 46,2 Nm

b) Kurbeldrehmoment = Wellendrehmoment F l = Fa d

b) Das Kettendrehmoment ist gleich dem Tretkurbeldrehmoment:

7

M k =M1 dl Fk~- =/1

FI = F 7 = 200N. 2.0,36m = 1200N 0,12m 2. d 0,2m M= F7 = 7.10SN.~= 700Nm

Fk-

2M1 - 2" 46,2 Nm dl 0,182m =507,7N

c) M2 = Fk ~

= 5 0 7 , 7 N 0,065m2 - 16,5Nm

3, F-M-62Nm l 0,28 in

M = FI

221,4N

4~ M = FI

l

M F

d) Das Kraftmoment aus Vortriebskraft F v und Hinterradradius 12 ist gleich dem Drehmoment M2 am Hinterrad.

396Nm=3,3m 120N

Fvl2=M2

F v - M2 16,5Nm 12 - ~ - 4 7 , t ~ . ~

5, M=F

d 7

F =

2M d

2-860Nm 0,5 m

~,

3440N

6. dl a) M1 = Fu ~ -

Fu=

2M1 2 9 10 " 10 s Nmm - 200 N d~- = 10mm

d: 180 m m 5)/1/2 = F u ~ - = 200 N ' ~ M2 = 18 000 Nmm = 18 Nm

7,

Das Freimachen der Bauteile

a) d l = zl m l / 2 = 15 " 4 m m = 60 m m d2 = z2 roll 2 = 30 9 4 m m = 120 m m d 2, = z 2, m2,/3 = 15 " 6 m m = 90 m m d3 = zsm2'13 = 2 5 " 6 m m = 1 5 0 m m

9. !

/

da b)M1 = F u l l 2 ~ 2M1 Full2 = d l

2 - 120 " 103 Nmm 60 m m = 4000 N

_e,

2M2 d2'

2"240"103Nmm 90 m m

d3 150 m m e) Ms = Fu2'/s T = 5333 N ' ~ M 3 = 4 9 l 0 s Nmm = 400 Nm

/

I

/ 10.

M: = 2,4 9 105 Nmm = 240 Nm =

-e, 7rs

d2 120 m m c) M: = Ful/2 ~ - = 4000 N ' ~ - ~

d) Fu2, / 3

r,

5333 N

Statik

11.

/

I

12.

-i ~.

If,

.~i ,~ ~,',3L~ -~ I ~, I

/

22.

-

~ i ~,

- -

I

13.

14. 23.

r,

r
I-t = m g d

rad 207r ~ -

2" 0 , 1 2 0 3 N m 1 0 k g "9,81 m . 0 , 0 2 0 m

2,6.60s

0,1226

a = 0,4028 r~ s-

587.

b) M R = Mre s = J a

l a) M r e s = F ~ = J a ~

rad M R = 3 kgm=- 0,4028 ~-

t~

M R = 1,208 N m

B r e m s m o m e n t = restfltierendes M o m e n t Mres A t = J A w

Aco J =

400 N. 40 m rad = 8 " 10 -4 - 2" 10 v k g m 2 s2

ACO cot b) ~ = $ 7 = A~- ~

583.

~ ~rn 30

Mre s A t J= A--~r r . 3 0 0 rad 30 s

100 N m . 100 s = 318,3 k g m 2 1~u T r rad ~

120

rad 107r -g--

Fl a = 2~J

cot = c~Zxt

cot = 8 - 1 0 -4 r a d . 30 s = 2 , 4 . 1 0 -2 tad s s" d c) B r e m s k r a f t F1 aus Mre s = F1 ~ = J a l 2Jal FI= d cot I. a l = A~

cot A t II. A~ = ~

~o,t-Diagramm s. L6sung 4 8 6 !

Dynamik I. A t = ~

al

F = m g sin# + m a + m g tlo cos3

inII. eingesetzt: A ~ = ~

F = m [a + g ( s i n 3 + #o cos~)] m + m 9 o F = 10kg [3,398 ~ 9,81 ~ - ( s m 3 0 + 0,2-cos30~

tad2

2 LOt

5,76 - 10-4 - S2 -

2Atp

2(~mm) rad

F = 100N

rad a~= 11,52 "10 -4 s~-

590.

2 9107kgm 2 911,52-10 -4 s~FI =

m2red

oder mit Energieerhaltungssatz far Bremsvorgang: Erot E = Erot A - lYab

m2red = 5 k g

nl

c) Fre s = FG1 = m l g = 2 kg" 9,81 ~ = 19,62 N tad2

J m t2

lOVkgm 2 . 5 , 7 6 . 1 0 .4 s ~ =

- 576 N

2"5m

588.

F , V

Last:

~o

Fs=mg-ma=mg-mar

~

m~

Fs= T - = m g - m a r 7~=mg

mgr i x = -

_

m_l r ~

r~

,

Ja Fs= 7~Fy=O=Fs +ma-mg

m- l g-

-

m l + J2 - g m l r ~

~~ ] ~ ~

Fres a = rages

d ) / ? r e s = mges a ~ a=

a) Trommel: EM=0 =Fsr-Ja

J+

~ m ~mtg

(0,1 m ) 2

b) rages = m 1 + m2 red = 7 kg

Erot A AS

O=Er~

m ~

0,05 kg m 2

= 576 N

40m

Fa=2As

J2

a) m2 red = r~-2

rad

a

+ J2

= 19,62 N = 2,803 ~7 kg

Wird nach der Kraft F s im Sell w~ihrend des Beschleunigungsvorgangs mit a = 2,803 m/s 2 gefragt, ftihrt ein gedachter Schnitt unterhalb der (eingezeichneten)reduzierten Masse m2 red zum Ziel. Mit dem dynamischen Grundgesetz gilt dann: F S = m 2 red " a

FS = 5 kg" 2,803 m/s 2 FS = 14,015 k g m / s 2 = 14,015 N

mr 2

2500 kg" 9,81 s~ "0,2 m

_ 4 6 8 tad

4 , 8 k g m = + 2500 kg . (0,2 m) 2 -

'

s2

591. a) J =

b) a = a r = 4 6 , 8 r$a2 d . o 2, m _

--

9,361 m s~-

m r2

Vp r 2

7r r 2 s p r 2

2

2

2

~rr4sp

7r(0,15 m) 4 " 0 , 0 0 2 m . 7 8 5 0 kg

m3

J=

c) o = 2 x / 2 a ~ = x/@9,361 ~ . 3 m = 7,494 m 589. a) Mres = EM(M ) = J a - F R o m a x r

...,~1~.~

fROmaxr J

I S 1( 0 ~ '15m)2

= V 2- = I/

b) J =

~

0,1061 m

(R 4 - r 4)

Lg 7r" 0,002 m" 7850 m3 (0,154 _ 0,024) m 4 J= 2

-f-

S•

2

= ~-

m g cos31ao r 2 mr 2 = 2g/10 cos3

a =2-9,81

m (R2 + rZ) = (R ~ - r 2) 7rs p (R 2 + r 2) ?rsp

FRO max r2

a -

i

2

i = 106,1 m m

a= T a r

2 J = 0,012 484 k g m 2

m

Y = 0,012481 k g m 2 (d.h. Bohrung ist vernachl~issigbar)

90 , 2 " c o s 3 0 ~ = 3,398 ~

b) Ere s = Z F x = F - F G s i n 3 - m a F = F o sin 3 + m a + FRo max

i = ~ - F R o max

=

{(0,15m)~+(0,02m)

2

2

= 0,107 m

i = 107mm 121

Dynamik 592.

594. Einteilung: 1 : 1 Vollscheibe 2 : 1 Vollzylinder 3: 1 Vollzylinder davon abziehen: 4 : 1 Zylinder 5 : 1 Bohrung 6 : 6 Bohrungen

Einteitung: Groge Scheibe 1, kleine Scheibe 2,

J= mr2 2

Wellenrest3, Jges =J1 +J2 +Ja;

m=rrpr2h;

mit k = l r p = T r . 7 8 5 0

wird m = kr2h = 24 660 3

kg

=24660~-

r2h (fOr Bauteile

aus

Stahl). Damit k6nnen die Massen zylindrischer K6rper schneller berechnet werden (auch in den folgenden Aufgaben).

950,5 m X 0,06 m 950,5 m X 0,14 m 950,19 m X 0,24 m 950,46 m X 0,14 m 950,1 m X 0,3 m 950,08 m X 0,06 m (Steinerscher Verschiebesatz)

= 24660 ~ a r 2 h; r 10"am

r2

h

m

10-4m 2

10-2m

kg

1

10

100

2

4,932

246,61

2

5

25

2

1,233

15,41

3

1

1

5

0,1233

10-4kgm 2

0,062

593. Einteilung: Aui~enzylinder 1, Innenzylinder 6 2 VoUscheiben 2, 2 Bohrungen 5, Wellenmittelsttick 3, 2 Lagerzapfen 4.

in-

'~

r lO-lm

1

10

2

9,85

3

1

r2 10-2 m2

h lO-lm

100

9

97,0225

J kgm 2

22195

11097,7

957,1

6

148,0 94,7

1

4

0,8

0,64

2-3

5

0,8

0,64

2-0,2 -

6

9,85

97,0225

9

464,3

r2 lO-2m

h lO-lm

2,5

6,25

0,6

92,48

289,00

2,5

6,25

1,4

215,79

674,34

3

0,95

0,9025

2,4

53,42

4

2,3

5,29

1,4

7182,64

2 Bohrungen

5

"0,5

0,25

3,0

- i8,50

-

-

6

0,4

0,16

6"0,6

- 14,21

1,65

2,723

1 2 3

9 2 2,5

81 4 6,25

-

- 483,09 2,31 -

39,81 462,23

~

1/4,622kgm 2 = 1 / 1-~fi'~g =O,1777m=177,7mm

Jges = J 1 - J2 - 3 Ja

-10446,6

r2

24,10 -

595. Einteilung: Vollscheibe 1, Zentralbohrung 2, exzentrische Bohrung 3.

2 Scheiben 2 Zapfen

10 -4 m 2

Js+ml 2 10-2 kgm2

1

c) i =

0,30

r

12 10-2m

a) Jges = 4,622 kg m = b) m = 146,3 kg

0,02

10-2m

l lO-lm

2

tg rn = 24660 ~-~ r2h

r~

m kg

,/6 = 39,81" 10-2 kgm 2

0,74

6,3 -

-21534,5

mr2 2

146,34

mr 2 2

m kg

2.0,2

J =

/ r2 J6 = m6 ~ ~ + l') = 14,21 kg (0,08 + 2,723)" 10-2m2

Jges = J1 + 2J2 +Ja + 2,/4 - 2 J s - J 6 r 2 h (siehe 592.); J =

r lO-lm

['~

Jges = 0,02621 kgm 2

m = 24660 ~

(siehe 592.)

J

r 2

(siehe 592.);

J= m ~-

h 10-2m

m

Js

l

l2

ml 2

kg

10-4 kgm2

10-2m

10--4m2

10-4 kgm2

3 3 3-3

5,9928 0,2959 1,3872

242,71

Js+ml

2

10-4 k g m 2

-

-

+ 242,71

0,592

-

-

-

0,592

4,335

5,5

-

46,298

30,25

41,96

Jges = 195,8 910 .4 k g m 2 = 0,01958 k g m 2 a) Jges = 1116 kg m ~ b) m = 1854 kg

.

/3-

c) l = ] / m = V

b

~ ~

=0,7759m

Einteilung: Nabe 1, Segmentstiick 2

~

ml=rrlp(r2-r])

~

4(t~)

m l = ~r-O,02 m . 7850 ~-~ (0,02 - 0,01252) m 2 ml = 0,1202 kg 122

~-~

Dynamik r 2 + r] (22 + 1,252) 9 1 0 Jl =m ~ = 0,1202 kg 2

-4

m2

, Fw

40N 103kg

m

~rb p ( R 2 - r 2) 6

m 0,04sT

m;

J1 = 0 , 3 3 4 4 . 1 0 -4 k g m 2 m2 =

40kgm 1000kgs 2

312,5m

2 "0,04

(~ Hohlzylinder)

m v2

7r. 0,04 m - 7850 mK~ga- (0,062 - 0,022) m 2 m2 = 6

J to2

r

b) O=~+--~--FwmAs Igl r r 2

ms = 0,5261 kg

I=-T-,

R2 + r2 k g (62 + 22). 10-4 m2 J2 = m2 ~ = 0,5261 2

m 02

0=~

0) 2 = 0 2

r~-

m r r 2 I/2

--~

FwmAS

2.2r 2 mr

J2 = 1 0 , 5 2 . 1 0 -4 k g m 2 Jges = J l +J2 = (0,3344 + 10,52)" 10 -4 k g m 2 Jges = 10,86- 10-4 k g m 2 = 0,001086 k g m 2

v2 2F w

2xs

m+T m

v2 ( m r ) 2Fw l + ~ m

Masse m r flit 4 Riider:

47rdZsp

Energie bei Drehbewegung

mr=

= 7r .(0,9 m) 2 . 0 , 1 m 97850 ~

4

mr = 1997,6 kg

597.

(5 m 2 ~-) As=2.0,04s~

J

( 1,998 t ~ = 320,3 m 2-40t/

1+

7rnl 7r.2800 rad rad wl =~0 -= 3~ s =293,2~600. J 60] - 2 AWrot

60~=

s-

602 = i

145 k g m 2 - (293,2 ~ 4 ) 2 - 2- 1200 000 Nm 145 k g m 2

rad 602 = 263,5 ~-30602

n2 = ~

=

mO2x + j 6 0 2

-~-

2516 1 .

= 2 5 1 6 m i n -1

mln

2

2 Vx

J 2 a) AEro t = ~ ( 6 o 1 6o2) 7rn 1 rad 601 = ~ 0 - = 1007r ~ - ; 2 AEro t 2

~-=

2

~r n2 rad co2 = ~ - = 66,677r ~ -

2 Vx

+~-= gh2

7 h2 = l ~ g = 0 , 7 - ~

2" 2 0 0 0 0 0 Nm

2=

rad 2

co 1 - 6o2

7r2 (1002 - 66,672) ~ -

h2 = 0 , 7

J = 7,295 k g m 2 R 2 + r2

b) J k = O ' 9 J = m

mgh2

mVx 2 m r 2. Vx ~ 2 - + 2-5 r 2 = mgh2

598.

or =

Energie der Kugel an der Ablaufkante = Energie am Startpunkt: m E E = E A ; E E mit Vx = 1,329 s nach L6sung 447 berechnet.

2

2 90,9 J 2 . 0 , 9 - 7,295 kg m 2 m=R2+r 2 =(0,4m)2+(0,38m)2

43,14kg

(1,329 m)2 " -0,126m 9,81 ~-2

Rechnung ohne Kenntnis des Betrages yon 0 x : Kugel fallt wtihrend A t im freien Fall h = l m tief, gleichzeitig legt sie gleichf6rmig den Weg s x = 0,6 m zuriJck. Sx=0x

599. a) E z = E a - Wab m 02

2_ 2 2h 2_ 2 Sx -- 0 x g ----+ 0 x - Sx

0= ?2--F;mAs m v2

AS= - - r

2Fwm

=

1)2

2Fw

(Fw Fahrwiderstand in N j e t Waggonmasse)

g

(weiter wie oben, vorletzte Zeile:)

h2 -0'7gS~2x - 0,7s2x = 0,7 '(0'6 m)2 = 0,126 m 2gh 2h 2.1m 123

Dynamik 601. a) Ez

604.

=Ea +-0

r/mot

Aw=z

J2 6o2

m 1 02

- - 2+

=mlgh

2

b) w = ~

eingesetzt

zrn2 c~ = 30

=/2"2kg'9'81 2

7r- 100 tad 30 s

2 k g + O'05kgm2 (0,1 m) 2

b) Pmot = Mmot 6~ C~176

602.

=

7rnmo t 30 Pmot

Mmo t

09mot

a) EE = E a -+ 0 J1 co2

Jew 2

7r-960 rad rad =32zr-30 s s 1000

+mg(l+7)=3mgl c) M s A t = J 2xw

co~ ( 3 l 2

2 m ( 2 1 ) 2)

-2+~ m~J/, e ~) ~g+

l

J(wl-co2)

=mg(31-I - 2 )

A t = - - Ms

3 =~mgl

= -

-

2

~

raft rad 16kgm2"Tr(4~ --3,333S- ) 79,58 Nm

A t = 0,4211 s

36o2 l 2 3gl 2

9,947 Nm

~. tad ozTr ~-

M s = iMmo t = 8 99,947 Nm = 79,58 Nm

l

2 +~

605.

0.) =

a) Mre s A t = JAco ~

At -

Jco

Mres 2 lad 0 , 8 k g m -33,337r S At = 50Nm = 1,676s

Vu= 2lw= 2l ] f ~ = 2 V ~ -

i=

rad 3,333 7r

AW = 386 J

s~-lm

rn v = 2,368 ~-

b)

21

Tedl b) A ~ = -w- ~At - = 2~z

2rag

wAt

Oezugsebene .~ ........ Z..H!

z=2-2~ ~

rad 33,33 "Tr S - " 1,676 s = 4~r

z = i3,96 Umdrehungen

~2m9

I~~

t w

0

Vu

c) WR =MRA~O = 2~ZMres (MR = Mr.s) WR = 2 " 13,967r r a d ' 50 N m = 4386 J

603. a)

120 min -1

2r~) =mlgh

V= ~ -2- W~

--

960 min -1 - - 8=

7rnl 7r-120 r a d _ 4 7 r r a d c~ = ~ 0 - = 30 s ~-

~e(m~ + le \ 2

i

Ez

= E a + Wzu d) Q = 4 3 8 6 J ' 4 0 1 = 175,5 kJh

Jco~ 2

= 0 + M k A~~

b)Mk=Fr;

A~0 = 27rz

Fliehkraft - - = 2 lrzFr 2 Jw~ z = 4rrF~;

1000 7r rad co = - 3O ~-

33,33

tad 7r

7-

610. a) Vu = rs w = 0,42 m" ~807r ~rad - = 3,519m

3 k g m e ( 3 3 , 337r s-)rade z-

c)

47r-150N.0,4m

M2At=JAw; At =

124

n 1

= 43,63

b) Fz=mrsC~

2 Uu ~-s = l l 0 k g

(3,519 ~-)m2 - 0- , 4=2 m 3 2 4 2

Me

i= n~=~i~k ~ M 2 = i M k

J co2

3 k g m 2 . 33,33 7r ~-~

iMk

0,1 9 150 N- 0,4 m

611.

Fz=mrco 2 = 52,36 s

1300kg-7,2m\

F z = 6 4 1 5 0 0 0 N = 6,415 MN

(2507r ~ _ ) 2 30

N

Dynamik 612. Fz -

m r s 6o2 2

Fz=

m . 2 rm CO2 2~r

b) F r = ~ / F ~ +I;2z=m

2 rm

+

rs=

F z = 1 2 0 k gm. 0l ,r5

~(

m rm CO2 7r

fr = 9OOkg.

. (207r ~d-) 2

Fr = 10,43 kN

m 2+ (123,5 s ~ 2

F z = 75 398 N = 75,4 kN

FG m g gr tan a t = fizz = m v2 = ~v r

613.

a r = arctan ~

9,81 m 9 20 m s~ (4O m) 2 3,6 s

01"

EFy=0=Fs-F

G-F z

h~0~m--]

9,81 ~ )

= arctan

[4"] , a r = 57,82 ~ ~

13= 32,18 ~

F s = m g + mY2 "7~=mo

Fs:m

c) Po =/3 - 7 = 32,18 ~ - 4 ~ = 28,18 ~ /~o = tan0o = tan 28,18 ~ = 0,5357 /2o ~_ 0,5357

g+ T

h =l-lcosa v = ~/2gl (1 - c o s a ) Fs:m

g+

2gl(1-cosa)~ ~ ]=m[g+ 2g(1-cosa)]

F s = m g (3 - 2 cos c0 = 2000 kg. 9,81 ~ (3 - 2 .cos 20 ~ F s = 21986 N = 21,99 kN

616. a) WL der Resultierenden aus F G und F z verl~iuft durch die Kippkante K. FG 2h tan a r = ~zz = I -

614.

+

I. ~ F y = 0 = F R 0 m a x - F G

ii. ZFx = 0 = G - F N I- FR0 max = F N g o = F G II. FN = F z = m r w ~, in I. eingesetzt: g R 0 m a x = mr~21ao = F G

F~=mg~FR~"x

F Gl

Fz

n

30wTr

_~0

m~_l

gm

(Zahlenwertgleichung!) 30 ] / 2 " 9 , 8 1 min_ 1 = 38,61 min -1 n=~~ 3-0,4

mo 2 Ts

mgl

mgl 2h ~

(m

1/glrs v= I: 2h

d

#o

m

i

2.1,35m

m km v = 32,29 ~- = 116,3 ~ -

b) Oberh6hungswinkel c~

'G v - ~ \ , = l

rn v 2 _ v 2 mgr gr

615. v2 c~= arctan }-7 = arctan-

(SO m~2 "3,6 s :

5,615 ~

9,81 m . 200 m

900 kg Fz -

S~..~

tritt zwischen den WL der Kraft F G und der Resultierenden aus F G and F z auf. Fz t a n a =FG

m v2 a) F z = T

g

9,81 ~ ' l , 4 3 5 m - 2 0 0 m

Co= ~r@o 2~o

~

2h

v= m r co212o = m g ~

.

20m

F z : 5556 N

m/

h sin a = 7 ~

h = I sin a = 1,435 m . sin 5,615 ~

h = 0,1404 m = 140,4 m m 125

Dynamik 617. a) 3 = a +"/

~

l 1,5m tan a = - - = = 0,5 2h 2 . t , 5 m a = arctan 0,5 = 26,57 ~

r

z

7rn 30

b) F z = m r s W 2 ;

~=--=

F z = 1100 kg.0,0023 m (6 1

it. 180 rad --=67r-30 s rad] 2

rad s

F z = 898,9 N = 0,8989 kN

~

hi sin 3" = ~ hi 30mm 7 = arcsin ~ - = arcsin 1500 m m 3=a+T=27,71

1,146 ~

~ 'EM(A) = 0 = F B (12 + 12) - (FG + Fz) 12

b) t a n 3 = ~ ' z = m a z = a z mg

g

FB = (FG + F z ) l l = (10,79 + 0,8989) k N ' 0,45 m

m

12 + 12

az = g tan{J = 9,81 ~-. tan 27,71 ~ = 5,153 m $2

1,5 m

F B = 3,507 kN

i)2

ZYy = 0 =FA +FB - F G - F z F A = F o + F z - F B = 10,79 kN + 0,8989 k N - 3 , 5 0 7 kN F a = 8,183 kN

1)= ] / 5 , 1 5 3 s~- 150m = 27,8 m = 100,1 ~ 618.

d)

a) I 3 F y = 0 = F z - F G = ~ s

-rag

2 m 1)o

rs

= mg

~7 s

1)0 = ~ S Do =

~/9,81 s ~ ' 2 , 9 m = 5,334 m = 19,2 FB-

b)E E =EA+0

= 0 = F B ( I 1 + 12) + (FG - F z ) l l (FG - F z ) l a 11+12

(10,79 - 0,8989) kN" 0,45 m 1,5m

F B = 2,968 kN

Epoto + G i n o =Ekinu 2

m Vo mg2rs + 2

~,Fy = O = F A + FB - FG + F z

2

m Ou 2

ouu = 4 g r s + 02o = 4 g r s + grs

Vu= 5x~grs =

r 5 " 9 , 8 1 ~m 7"2,9m

FA = F G - F B - F z FA = 10,79 kN - 2,968 kN - 0,8989 kN = 6,924 kN Beide Sttitzkrtifte sind, wie in der Skizze angenommen, nach oben gerichtet.

Vu _2-i_1,93 m =42,94 - ~ 620.

c) 1)u=

2,/~h ~

2

5grs

2g

2g

h = -1)u - = - -

7rn = 7r. 250 rad = rad 26,18 ~o = 30 3 ~ ~-

h = 2,5 r s = 2,5 92,9 m = 7,25 m

FG

a) t a n a - F z

mg h -mrco 2 =r

619. a) ~M(A ) = 0 = FB(ll + la) - F G I ~ FB - 11 + la

g h-

9,81 s~

602 -

rad 2

(26,18 T - )

h = 0,01431 m = 14,31 m m

F G = m g = 1100 kg" 9,81 N = 10,79 kN

FB = 10,79 kN. 0,45 m 0,45 m + 1,05 m = 3,237 kN ]~Fy = 0 =F A +F B -F

o -'--> F a = m g - F B

FA = 1100 k g ' 9 81 ~ F A = 7554 N = 7,554 kN

126

b) ~ 2 = ~g

-----~ 0 2 =

~/~ rad

w = V 0,1m

3237 N r/=

=9,9045~-

3 0 w = 30- 9,9045 rain-1 = 94,58 min -1 7~

7r

Dynamik

c) tan ]3 - Fz - m r0 (0o2

ro cog

y = Asin A9 = Asin(2~rfAt. 180~ ~r

r?t~!~:

sinA9=A= COO= ~

g

ro tan]3

~ ,

e, Mit den gegebenen Lgngen l und r o kann im Dreieck die cos-Funktion angesetzt werden. rn Jetzt muss tanfl mit Hilfe yon cosfl cos fl = / ausgedr~ckt werden. tan]3 = sin]3 = ~

cos3

9cm =0,321~A9=18,72o 28 cm 180~ 2~rfAt. = 18,72 ~ 18'72~ =0,0261; f = 2.180~ s

T=f=38,46s

622. a) T = A t = 10__ss= 0,4 s z 25

_ 1 ~ - ( ~~

cos]3

b) f = ! = 1 = 2 , 5 1 = At T s

l

2,5 Hz

c) co = 21rf = 2~r. 2,51 = 15,711 ro ~

12

S

r0

ro=~

S

623.

tan 13

y= Asin(21rft)= 30 mm.sin(2~r. 50 sl--2.10-2s ) y = 30 mm. sin (27r)

c ~ 1 7 6

=

y = 30 mm. sin 360 ~ = 30 ram. 0 = 0 (Nulllage)

X/(0,2 m)2 _(0,05 m)2

Vy = Acocos(2n:f t) (00 = 7,117 rad S //0 =

30(00

=

co = 2zcf = 27r. 501 = 100~r 1 S

30.7,117 min_ l = 67,97 min -I

S

Vy = 30 mm. 1001 cos(2~r. 501.2.10-2s)

621.

Vy = 30 mm. 100. lr. 1_. cos (2 ~r) = 9, 425 m S a y = - - y (0 2 = -- 0" (0 2 =

624. Aus dem Bild der harmonischen Schwingung lesen wir ab: Y2 =2yl Asing2 =2Asinqh;

S

0

b

,, 2

~o2 =91+A~0

,

sin (91 + A~o) = 2 sin 91 sin 91 cos Aq~+ cos ~o1sin A9 = 2 sin 9t 1 cosAg+

tangl

II: sin 91

sin A9 sinA9 = 2; tan91 = 2-cosA-----~

= sin 45 ~ = 0,707 = cos 45 ~

sinA9 = 0,707 =0,5468 tan91 = 2 - r 9 2-0,707 91 = 28, 7 ~

sin A9 und cos A9 sind gegebene Gr0fJen, denn es ist sin A9 = sin ( 2 ~ r - ~ ) = sin(2~r ~05s l ~ ~

Damit wird

Yl = A sin 91 = A sin 28, 7 ~ = 40 em. 0, 48 = 19, 2 cm =

)'2 = A sin (91 + A9) = 40 cm. sin (28, 7 ~ + 45~ = = 40 em. sin 73, 7 ~ Y2 = 40 era'0,96 = 38,4 em = 2Yl

127

Dynamik 625.

~m / 6 5kg.s2.m a)T=2~ ~]R - - = 2 ~ ~0,8.10 kg.m = 0'179 s

Mit dem Quotienten aus der Periodendauer fiir beide Schwingungsvorg/inge erhalt man eine Gleichung zur Bereehnung des gesuchten Trfigheitsmoments: T2

b) f = l = 1 = 5, 587! = 5, 587 Hz T 0,179s s c)v~

= A /~-~=0 25 ] 0'~104kgm ~/m ' ~]6,5kgs2m =8'771ms

47r2 3'1 = R J1 und daraus TK2S 4zc2Jl + JKS Jl + "/KS R =j1 7gs-T12 =4,622kgm2 0,82s 2 -0,52s 2 Jr, s 0, 5 2 S2

JKS = 7,21032kg m2

626. m a) Ro = AFGs= ~sg = 225 kg.9,81~ = 10'03"104 N 22.10"3m m f

b)

: T- : ~-~ ~ -

: 2--~~ ] ~ s = 2"-~-~~'22.----~m

fo = 3,317 Hz 627. Fiir hintereinander geschaltete Federn wird die resultierende Federrate R o berechnet aus: 1 1 1 l 1 1.cm 1-cm - +-- =---~ - I= Ro R2+R 2 Rl 2R 2 Rl 190N 60N =0,02193~;

R=MR =MT. MT=Aq~IpG Aq~

= 2n. /-;n-m= 2 n. /15 kg" s2 910-2m ~R0 ~ 45,6 kgm

0,36s

Die Anzahl z der Perioden ist dann: At 60s z. . . . 166,7 T 0,36s 628. T1 = 2 a ' ~ l l ; T2 =2Zr m ~2

'4&2 Bei hintereinander geschalteten Fedem gilt ftir die resultierende Federrate RoI: 2R2

l

2_

FOr parallel geschaltete Federn ist RO2 = R1+R 2 = 3R1 Setzen wir Tl = T2 = T und teilen beide Gleichungen durcheinander, so ergibt sich:

RT 2 2 , 0 1 1 ~ ' 0 , 4 ~2

22s2 2,038.10-3kg m 2

4 zc2

631.

I.

T12=4~'2/1; :::> li= T12g g 4~ 2

T2=4~2'l-Al=4~2(TI2g_Al] g

g ~47C2

T2=~2-4zr:Al=I22sS

) 4"zc2"0'2m-l'55s9,81~

632.

/~""

T 2 _ 4z2.m].3Rl _--.---9 ml. m l : m 2 = 2 : 9 T2 2 2 m2 ' 4ZC2. Rl .m 2

a)T=

629. Die Periodendauer T eines Schwingk6rpers vom Tr~igheitsmoment J betragt beim Torsionsfederpendel

b) f = ~ - = 0,176 Hz

128

32

zc (4 mm) 4. 80000 N 2010, 62 Nmm = 2, 011 kg m 2 32.1000 mm. mm 2 s2 (Beachte: 1 N = 1 kg m/s 2, siehe Lehrbuch, Kap. 4.4.4) Mit der Gleichung fiir die Periodendauer Taus dem Lehrbuch, Kap. 4. I 0.5.1, kann nun das Tr~igheitsmoment berechnet werden:

R 1 + R 2 = " ~ - 1 ='3/{1

T = 2z~.

/p= ~d4

;

R = zcd4 G und mit Gleitmodul G = 80000 N/mm 2 : 32.l

JRS

Ro' = R1R2

Acp '

R

R~

Ffir die Periodendauer T gilt damit: T

630. Die Federrate R des Torsionsstabes ist der Quotient aus dem ROckstellmoment MR und dem Drehwinkel A~o : R = MR / A~o. Mit den in der Festigkeitslehre im Lehrbuch Kapitel 5.8.3 hergeleiteten Beziehungen kann eine Gleichung ffir die Federrate R des Torsionsstabes entwickelt werden:

2n'7=2nl/~8m vg ~9,81~ 1

= 5'674s

) ~ "

~A-

A 1,5 m c) arcsin (2max = arcsin-- = arcsin = 10,8 l 8m

"-

Dynamik cos C%ax = 0,9823

Far Biegetr~iger ist

vo = 4 2 g 1 ( 1 - COSO~mx) = 1,67 m

R = - -F= f

S

2~r d) Es gilt mity = Ymax = A und ~o = - - = T =

27r =1,1071: 5,674s s

48.E.1 ; E = 2,1.107 N / c m 2 l3

I = Iy = 62,7 em 4 F~ir zwei parallel geschaltete Fedem wird die resultierende Federrate:

& = 2R = 2 . 4 8 " .E ' I

amax= A(O2= 1,5m.1,1072. s ~ = 1,838~2 e) Yl = A. sin 2~tl '180~ = 1,5m. sin 2.2,5s. 180 ~ T. ~ 5, 674 s Yl = 0,547 m

= 15800 1'4 cm Damit wird die Eigenfrequenzfo: lo

1 l 15800'102 N m_ fo = ~ 500 kg

1 ~=8,9471 2ff

s

633. Es gilt T1 = 27r/ix/~ und T2 = 2~rq~2/g ; also auch =T I0= -T~ 2

nkrit = 60 fo = 536, 8 min d

' 8944 = ~12

Mit Zl, z 2 als Anzahl der Perioden undAt = 60 s wird

_ z1 .

z2 _ z 1 - 2 0

A-X7, f~ . . . . .

f2 _ z 1 - 2 0 = 0,9844;

637. F~ir Torsionsschwingungen gilt: T = 27rj~ ;

daraus

J Trggheitsmoment,

20 = 189,4 Perioden, zl = 0,1056

j =lpzrr4 b= 2,89 kgm2

R = R o resultierende Federrate

z 2 = z I - 20 = 169,4 Perioden. _ z 1 _ 169,4 = 3,157 H z ,

A-XT- 6os

f2- z2 - 169,4 _ - A ' t - 60s - 2 , 8 2 3 Hz 634. Beim U-Rohr ist die Periodendauer T unabhgngig von der Art der Flfissigkeit (Dichtep), sie ist an ein und demselben Ort nur abh~ingig yon der Lgnge l der FlUssigkeitssaule. T = 2 z r f'~-~/=2~r / 0 , 2 m = 0 , 6 3 4 s ~2g ~ 2 . 9 , 8 1 ~2

RI=G.dl 4 10 l 1

0,81"107 N "54cm4 cmZ 10.25 c m

2, 025.107 Nero

Ebenso berechnet wird R 2 = 10,49 9 107 N c m und R 3 = 3,456 9 107 Ncm. FiJr hintereinander geschaltete Federn gilt: - -1= - - + 1- - + - - 1

Ro

R1R2

1

(

~-=

1 R3

1

1 + 1_._.~.10_7

1

2,025§

3,456)

Ncm

Ro = 1,138.107 N c m = 1,138.105 N m 635. Ep = R A 2 =Eth =mF.CStahlAT

Beachte: R ist die Federrate, Cst~ = 460 J/kg K ist

Damit wird die Eigenperiodendauer To: T~ = 2 ~ r ~ - ~ = 2re 11,138.1052'89 kgm2Nm = 0,0317s

die spezifische W~irmekapazitgt !

RA 2

36,5N.0,122 m 2 m 0,32.10 -2 K 2"mFCstahl 2.0,18kg.460 J kg K Die Periodendauer hat also keinen Einfluss ! AT

636. Fiir die Eigenfrequenz eines Federpendels gilt:

z_l_

1 /-~_

o-F-~/m,

m Masse des Schwingers, R o resultierende Federrate

z.

t . T

60 s . . 0,0317 s

1895

Die EigenfrequenzJ~ dieses Schwingungssystems betr~igt: 1 1 = 3 1 , 5 8 1 = 3 1 , 5 8 Hz f ~ =~'0 = 0,0317s s Die krifisehe Drehzahl nkr entspricht der Anzahl z der Eigenperioden in der Minute: nkr = 60. fo = (60- 31, 58) rain -1 = 1895 rain -~ 129

5. Festigkeitslehre

Inneres Kdiftesystem und Beanspruchungsarten Die L6sungen der A u f g a b e n 6 5 1 - 6 5 6 sind im Ergebnisteil der A u f g a b e n s a m m l u n g angegeben.

Beanspruchung auf Zug der f = [ /

661.

F S

Ozv~

12 0 0 0 N 60mm-6mm

N =33'3mm 2

N 1600 mm 2 N ~ = 2 0 0 ~10_6m

Ozzui

662. F = 2 5 0 0 0 N _ 178,57 m m 2 Serf = Oz zul 140 N mm 2 derf = 15,1 r a m ; d = 16 m m gewNtlt ( N o r m m a g ) oder zusammenfassend: F Oz = ~

4/~F-

/4.25000N

_

= /

17r.4 0 ~

= 15,lmm

F

F 4F rrd2 = 7/.rt d 2

n--T-

d = 16 m m gewg,hlt ( N o r m m a g )

7rnd2Ozvorh

663.

F=

157 m m 2 = 14 130 N

F ez zul

4800N 7 0 mN2.,

68,57mm 2

F ~d2

2~12 / ~

derf

gewiihlt M 1 2 m i t A s = 84,3 m m 2

4

= 26861N

668. F az = S

664.

lr "114" l m m 2 " 3 0 0 Nm 2

4

S p a n n u n g s q u e r s c h n i t t A s = 157 m m 2 Fmax = Oz zul A s = 9 0 & "

10% 9,81

667. ~

Serf=

4"40000 N

dorf V 222(20010~ d e fr = 1 , 2 2 - 1 0 - a m = 1,22 m m d = 1 , 4 m m ausgefiihrt ( N o r m m a g )

F _ 4F ~rd2 ~rd2 T

deft = V n ~ z ~ z z m - V

4F 7rn ( O z ~ l - l p g )

2F rrd 2 / 2" 20 0 0 0 N

d ~ f = 15,96 m m d = 1 6 r a m ausgefiihrt ( N o r m m a ~ )

665. F oz = ff =

F d2 ~ ' n.- T-

4F nerf = ~.d20-z zul

n Anzahl der DrSahte 4 -90000N rr. 1,62 m m 2 . 2 0 0 m~2 = 2 2 4 Drghte

669. Serf=

F 40000N Ozzul - 65 N = 615,4mm2 mm 2

gew~ihlt M 33 m i t A s = 6 9 4 m m 2 666. Oz-

F+FG S

7rd 2 F G = mg = Vpg = Slpg = n ~- lpg ff d 2 F + n "-T- l p g 0"z

7rd 2 n T

n Anzahl der Dr~ihte Dichte des Werkstoffes (7850 kg/m 3 fiir Stahl) Fallbeschleunigung (9,81 m/s2)

oznTr d 2 = 4 F + n r t d 2 l o g d 2 (n Oz rc - n 7rI p g ) = 4 F 130

670. ~

t $I = 2 8 5 0 m m 2

F_ F S Si-4dls

dl =17mm s = 5,6 m m

/'max = ~ zul (SI - 4 d l s) = 140 m ~

J

( 2 8 5 0 m m 2 - 4 ' 17 m m - 5,6 m m )

Fmax = 3 4 5 7 0 0 N = 3 4 5 , 7 k N

Festigkeitslehre 671.

677.

P = F R vR p FR =

az

( F R Riemenzugkraft, OR Riemen-

a) ZM(D ) = 0 =F z 12cos~ - F l l

geschwindigkeit)

FR

p

SR

VRSR

Fll Fz= 12cosa

7350 ~g~

50N-80mm 25mm.cos20 ~

Fz

8m'0,12m'0,006m

Fz

b) tr....h = ~ -

4Fz

= ~

170,3 N

4-170,3 N = 96,4 ~ w. 2,25 m m 2

= rrd 2

N o z = 1,276 m m 2 678. F

672.

F

~z=~=~

Fvorh = azvorh S;

S = 2 9 32,2 9 102 m m 2

F

N Fvorn= 100 nun 2 96 440 m m 2 = 644 kN

3 200 N

N 8 r a m . 2,5 mm2

bert" = s Oz zul =

=

160 m m

679.

673. F 0". . . . h

F

S

nd2

2~-

2F nd 2

2"5000N n-6~--~2=49'74~

N

~~ Sgef=S(b-d) b

674.

FK=pA 7rd 2 FK = P ~ -

b

entweder b = 10 s oder s = ~

FK Kolbenkraft [ 1 bar p Dampfdruck A Zylinderfltiche

=

l0 s

Sgef = ~

N

I

F OZ

S g ef

--

(b - d )

F 10F -;(b - d) b2 - bd

F K = 20 bar- 4 .(0,38 m) 2 = 20.10 s m~" 4 (0'38m)2

( b 2 - b d ) Oz-lOF=O

FB = 1,5 FK

b2 - b d -

1,5 .20.10 s N ~ (0,38m) 2 FB Serf = 16 Ozz--~-~ = 16"60 N mm 2

b0~ =

einsetzen:

[:az

10F=0 O"z

~)

~ -+

§

oz zu~

Serf = 354,4 m m 2 gew~hlt M24 mit A s = 353 m m 2 (ist nur geringfiigig kleiner als Serf)

b err = 12,5 rnm + X/156,25 m m 2 + 2 000 m m 2

berf = 12,5 m m + 46 nun = 58,5 m m gewghlt E l l 60 X 6

675.

tans

13

2 m = 0,5

~ ' ~ 2 ~ :

a = arctan 0,5 = 26,57 ~ f~ 14 = (ll + 12)" sin c~=4m" sin26,57~ = 1,7889 m

~M(A) = 0 = F K 14- E l 2 F12 8 0 0 0 N - 3 m FK

14 -

FN az- S

1,7889--------~ = 1 3 4 1 6 N FK 2"~d~

F

Oz vorh

I~ +12 4 m

S

s (b

Fd) =85'7

iN Xo iN 0,27mm

also Eulerfall (elastische Knickung)

e) F K =

=

906. - 48,7 N

uFs 2 l e tf - ETr2 3,5.60-103N.(1350mm)

2 - 18,47 " 1 0 a m m 4

/eft

2,1 - 105 & '

7r2

905. 4

a) FG =mg = Vpg = 25 0 1 6 N

F~

d e tf =

64 "/eft ~ -

64 ' 18,4

104mm 4

44 m m

~ F y = 0 = F A + F B - 1,2 ~ -

FG

ZM(B) = 0 = - F A l + 1,2 T FA -

1,2FG/1 1,2.25 016N. 2~ 2 92,5 m

1,2 F G FB 2

907.

l~

1,2 2 5 0 1 6 N FA 2

1,5m - 9006 N

Die in der Schubstange wirkende K o l b e n - D r u c k k r a f t betr~igt F s = 24,99 kN (Aufgabe 91.). Damit wird

uFs s2 9006 N = 6004 N

left=

E~r~ =

6. 2 4 9 9 0 N - ( 4 0 0 ram) 2 210000 N - 11575mm4 mm 2

M b max =

FB ll = 6 0 0 4 N" 1,5 m = 9 0 0 6 N m

Weft = MO max 9 0 0 6 " 103 N m m o~ zu~ 120 m~2 = 7 5 " 103 m m 3

4- 6 4 / ~ e f t i ~ 6 - 4 - 11 575 mm4 deft= V @ = __ ~ =22,2mm X-

gew~ihlt I P E 140 m i t Wx = 7 7 , 3 - 103 m m a

s i

4s 4-400mm d 22,2 m m

72 < Xo = 8 9 ,

d.h. es liegt unelastische K n i c k u n g vor (Tetmajerfall). 179

Festigkeitslehre Wie in Aufgabe 905 e r h 6 h t m a n den Durchmesser, hier z. B. a u f d = 25 m m . Damit wird

~ d err = V

4s 1600mm ~'neu = d - = 25 m m

d = 21 m m ausgeftihrt

Fs

X

"~kne u

=

N 295,3 m m 2

24990 N

50,9

(25 mnq) 2 Vv~ - Od vorh

50,9

s i

4s d

4"550mm 21ram

=104,8~105=Xo

Die R e c h n u n g n a e h Euler war (gerade n o e h ) berechtigt; es k a n n bei d = 21 m m bleiben.

N

910.

N 295,3 mm 2

OK

20,7 m m

64

u n d n a c h Tetmajer: OK = 335 -- 0,62

14/64" 8905 mm ~ = [/ 7r

~

a) Od

N = 5,8 mm 2

F

F

F

S

bh

b'3,5b

]/ F --3'5"Udzul=

b~

Vvorh ist n o c h etwas kleiner als verf = 6, d. h. der Durchmesser m u g n o c h etwas erh6ht u n d die Rechn u n g v o n ) k n e u = . . . an wiederholt werden. Mit d = 26 m m ergibt sich Vvorh = 6,3.

gew~ihlt ~

F 3,5b 2

/ 20000 N V3~'~0 ~ =9,8mm ram2

35 • 10;

S = 350 mm 2

hb 3

(35mm).(10mm) /rain = 1--2-= 12

3 - 2917mm4

Hinweis: Der Stab k n i c k t u m die Achse, ftir die das

908. Die Pleuelstange wiJrde u m die (senkrechte) y-Achse knicken, d e n n ganz sicher ist Iy = Imin < I x.

axiale Fl~ichenmoment den kleinsten Wert hat; daher m u g mit I = hb3/12, nicht mit I = bh3/12 gereehnet werden.

1 0 r a m . ( 2 0 m m ) 3 + 3 0 r a m - (15 ram) 3 Imin = 12 = 15104mm 4 (Ix = 9 5 4 1 7 m m 4 , also wesentlich gr6Ber als Imin .)

= V

s X= i

= 2,89 mm

300 mm 2,89 m m

104 > Xo = 89

also elastische K n i c k u n g (Eulerfall):

S=Hb - ( b - s ) h = [40 ' 2 0 - ( 2 0 - 15) ' 3 0 ] m m 2

Err 2 OK = ~k2

S = 650 mm 2 ~176

q/15 104mm 4 i= i/ 650mm2 X- s i

4,82mm

370mm ~ = 76,8 < Xo = 89 (Tetmajerfall):

F S

~ v~

OK Pvorh

=

909.

a~f=

287,4 m~

Imin =

a = 10,5 ~ 13 = 12 cos a

F1 Ii 4 k N " 150 m m F2 = 1 2 c o s a = 1 0 0 m m . c o s l 0 , 5 ~ left = Eft 2

180

N 57,1 m m 2

N 191";6 mm 2 57,1 N = 3,36 mm 2

F

1/-g- 1/2oo0o V~

= 1 / 6 0~

= 18,3mm

h4 a4 Imin = I x = Iy = I D = 1~ = 1~

100mm sins = 550mm = 0,1818

vF2 s 2

N 191,6 m m 2

gewNflt [] 19 • 19 = 11,7

:,

M(A ) = 0 = - F 111 + F213 ;

Vv~

20000 N 350mm2

2

b) od = ~ - = ~

16000N =24,6 N 650mm 2 mm 2

Od vorh - - 24,6 2m2

F S OK oa vorh

F

N =287,4mm 2

oK=335-0,62.x

2,1.10s&-~r 1042

6,1kN

10" 6 1 0 0 N - ( 5 5 0 m m ) 2 210000m--~-~2

8905 m m 4

(I 9 m m ) 4 = 1 0 8 6 0 m m 4 12

Die weitere R e c h n u n g wie u n t e r a) ergibt hier Vvorh = 5 , 4 3 ; also g r 6 g e r als beim Rechteckquerschnitt.

Festigkeitslehre 911. a) ~ M ( D ) = 0 = F 11i - F s

913. a) 1 _ v F s 2 6 " 3 0 . 1 0 3 N . ( 1 8 0 0 m m ) e r r - ETr2 2,1.10sm~.Tr 2

12

2 = 28'1 "104mm4

Fll

4kN.40mm FS = / ~ - - = 28mm b) F K = F s v = 5 7 1 4 N . 3

5714N

--

l-~d

= 17142 N

F K s 2 17142 N . (305 m m ) 2 c) Ierr = E~r2 210000&.~r 2 - 769mm 4

d) I = ~4 (D4 - d ' ) = 6~ [ O ' - (0,8 D) 4 ] = ~4 (D4 - 0 , 4 1 D ' ) ff

4

I=~D

"/T

4

~ derr = [/

4

] / 6 4 "28,1~ 1 0 4 m m 4

~r -'- =

- 48,9 m m

d = 5 0 m m ausgefiihrt X= s : t

4s d

4.1800mm 50ram

144 > Xo = 89

Die R e c h n u n g n a c h Euler war richtig.

7r

(1 - 0,41) = ~ 90 , 5 9 D ' b) M b = F l = 3 0 0 0 0 N" 3 2 0 m m = 9,6 - 106 N m m

D

~ / 6 4 .ier f

~ / 6 4 . 769 mm 4

ea=Vo,~.n=V

0~7~ ~

D = 13 mm ausgef'tihrt;

e)

Mb Mb

12,8 mm ab=

d=10mm

W-=

6Mb

~sh

= h

6

i-o

60Mb

h2-

h3

~ 60/ffOMb-b ~ / 6 0 . 9 , 6 - 1 0 6 N m m herr= V ~ =V 120_N~_~

i = O,25 v/D2 + d 2

= 170mm

111111-

i = 0,25 x/~-32 + 102) m m 2 = 4,1 m m

herr

Serf = ~ ' ~ = 1 7 m m s 305 m m f) X= i- = 4 , 1 m ~ = 7 4 , 4 > Xo;

die R e c h n u n g n a c h Euler war richtig.

912. F_ Aa

a) Odvorh

15000 N s 1 4 5 2 m m 2 - 10,3

2

914. F 40 000 N N =667mm 2 a) A3err = OdzuI 60-trim 2 b) T r 4 0 X 7 m i t

FP b) Pvorh-Trd2H1 m

1 5 0 0 0 N" 8 m m 7r . 4 8 m m . 4 m m - 1 2 0 m m

N Pvorh = 1,66 m m 2 C) X = s = 4 s = 4 " 1 8 0 0 m m = 167 > Xo = 89, also Euler i d3 43 m m

Aa = 804mm 2 da = 32 m m d2=36,5mm; H I = 3,5 m m

c) X= 4_ss = 4 - 8 0 0 m m d3 32 m m --~

4 -- ~_~_

d) l - 6 4 d 3 - 6 4 ( 3 2 m m )

FK d) Vvorh = F

EI~r 2 2 , 1 . 1 0 s s2F

N

mm 2

. ~r ( 4 3 m m ) 4 . z r Z

( 1 8 0 0 r a m ) u- 1 5 0 0 0 N

= 7,2

FR 4 (D2-d2)

= 5774N

4- 5774 N N zr(602 5 0 2 ) m m 2 = 6 , 7 m - m2

g) i = 0,25 V / ~ + d 2 = 0,25 x / ~ 0 2 + 502)ram 2 = 19,5 mm X= s = 8 0 0 r a m t ~ = 41 < Xo, St37 = 105 (Tetmajerfall) h)

aK = 3 1 0 - - 1 , 1 4 . X N o K = 3 1 0 - 1 , 1 4 " 4 1 = 263 - mm 2

_ 1 0 0 > Xo = 89 (Eulerfall) 4

=51472mm 4

El~r 2 = 2 ' l ' 1 0 5 m ~ ' 5 1 4 7 2 m m 4 " n 2 s2F ( 8 0 0 r a m ) 2 . 0 , 4 - 10SN FP

F 15000N e) F R = 3 . s i n 6 0 ~ - 3 - ~

f) Odvorh

FK Uvorh = F

r2 = 1 8 , 2 5 m m

e) merf = T r d 2 H l p z u l

=4,2

4 0 0 0 0 N" 7 n u n 7r.36,5mm.3,5mm.10mNm 2

mer = 70mm f) MRG =F~D =Fr2 t a n ( u + p ' ) ( H a n d r a d wird mit 2 Htinden gedreht: Kdiftepaar mit F1 u n d Wirkabstand D.) d: r2 = ~ - = 18,25 m m P 7 mm 3,49 ~ tan a = 2 lr r----~; a = arctan 27r- 18,25 m m = p' = arctan p' = arctan 0,1 = 5,7~ c~ + p ' = 9,2 ~

N

aK

263 ram2 = ~ = Pvorh = Odvorh 6,7 ~mTm 2

39,3

D = 4 0 000 N - 18,25 m m - tan 9,2 ~ = 3 9 4 m m 300 N 181

Festigkeitslehre 915.

Knickung im Stahlbau

F _50000N=833mm a) A3erf = Odzul 60 N mm 2 b) T r 4 4 •

2

920.

Tragsicherheitsnachweis nach DIN 18800: S = 2 9 1550 m m 2 = 3100 m m 2

mit A3 = 1 0 1 8 m m 2 d3 = 36 m m

9 l.

d2 = 40,5 ram; r2 = 20,25 mm H1 = 3,5 m m 4.1400mm 36mm 156 > X ~ = 89

4s C) ) k - d 3 7(

.

/232.104 m m 4 . ~ - 27,357 m m 3100mm

~

?~K = S_._K..K= 2000 m m = 73,104 i 27,357 m m ~K = ~-K = 73,104 = 0,788 ~'a 92,9

7(

4_

d) I = ~

E .

~

" d3 - ~ - (36 ram) 4 = 82 448 mm 4

Knickspannungslinie c mit a = 0,49

EIT( 2 Vv~

2 , 1 . 1 0 6 Nmm2 . 8 2 4 4 8 m m 4.7(2

s2F

=

- 1,74

(1400 mm) 2 - 5 0 0 0 0 N

FP e) merf - 7(. d2Hlpzul

k = 0,5. [1+ c~ ( ~ K - 0 , 2 ) + ~ ( ] = 0,955

50 000 N - 7 m m 7(.40,5mm-3,5mm.8

N mm 2

met f = 98,2 mm

f) MRG = Fr2 tan (a + p') MRG = 50 000 N " 20,25 m m 9 tan (3,15 ~ + 9,09 ~ mit p' = arctan bt' = arctan 0,16 = 9,09 ~ MRG = 219 650 Nmm MRG = fHan d ll MRG 219 650 Nmm FHan~300N =732mm

li

Abminderungsfaktor x far ~K = 0,788 > 0,2 :

K

1

=

= 0,669

k +4k2-~ 2 N .3100mm 2 = 744kN mm 2 Tragsicherheits-Hauptgleichung F 215kN = 0,432 < 1 x Fpl 0,669.744 kN Fpl = ReS = 240

Die Bedingung der Tragsicherheits-Hauptgleichung ist erfallt. 921.

g) o h =

Mb ,r.a~

;

Mb=FHandli

32 ~

dl =

/eft > 1,5.10 -3 F s 2 = 1,5.10 -3 . 300. 40002 m m 4

FHand li 9 32 ----7( 9 Obzul

di =

~

// 300 N ' 732 mm " 32 N = 33,4 m m 7(' 6 0 - mm 2

916.

p

Entwurfsformel far die Uberschliigige Querschnittsermittlung:

/eft = 720.104ram 4

l =-~4 (O4 - d4 ) deft = ~ D 4 - 64Ierfr~ = ~ ( 1 2 0 r a m ) 4 6 4 " 7 2 0 " 1m 0 4m 4 7 ~ d etf = 88,3 m m

F K _ E I 7(2 Fst

gewahlt d = 90 mm; ~ = 15 mm; S = 4948 m m 2

s2Fst Tragsicherheitsnachweis nach DIN 18800: 1

EI7( 2

Yst

S2Uvorh

10000 N mm 2 . ~7(" (150 ram) 4"7(2 (4500 mm) 2 9 10

i = 0 , 2 5 ~ D 2 + d 2 = 0,25~/(1202 + 9 0 2 ) m m 2 = 37,5 m m ~-K

si,: _ 4000 m m i 37,5 m m

Fst = 1 2 1 1 2 N Halbe Winkelhalbierende des gleichseitigen Dreiecks: 1500 mm WH = - cos 30 ~

1732mm

106,7; ~K -- ~'K _ 106,7 = 1,15 )La 92,9

Knickspannungslinie a (Hohlprofil, warm gefertigt) mit c~ = 0,21 Abminderungsfaktor ,r far ~v: = 1,15 > 0,2 :

Neigungswinkel der Sttitze:

k=0,5.[l+~K-0,2)+~

WH 1732 m m a = arccos - - s = arccos ~ 0 ~ m m m = 67,4 ~

k = 0,5. [1 + 0,21 (1,15- 0,2)+ 1,152]= 1,261

Fges = 3 F s t s i n a = 3 " 12 112 N 9 sin 67,4 ~

K=

Fges = 33 546 N = 33,5 kN 182

k

+

2]

1

1

~

1,261 +41,2612 - 1,152

Festigkeitslehre K = 0,562 N Fpl = ReS = 240 .4948 m m 2 = 1187,52 kN mm x Tragsicherheits-Hauptgleichung: F 300 kN 0,5 1,2 und t = 8 m m _ 0,2:

c)

k = 0,5. [1+ Ot~K - 0 , 2 ) + ~ 2 ] k = 0,5" [1 + 0,34 (1,571 - 0,2)+ 1,5712 ]= 1,967 1

K

1

=

k+~

1,967 + 41,9672 - 1,5712

K = 0,317

Annahme: 2 L x 8 DIN 1028 mit S = 2- 985 m m 2 = 1970 m m 2 I = 2 9 37,5 9 104 mill 4 = 75 9 104 m m 4 Tragsicherheitsnachweis nach DIN 18 800:

,= VS

Fo, = Re S = 2 4 0 ~ m

lO4mm4 V 1970mm 2 =19,512mm

2 92390 m m 2 = 573,6 kN )~I~ = S_.K._K = 3201 m m = 164,053 i 19,512 m m

Tragsicherheits-Hauptgleichung: F 75 kN --=0,412 0,2 wird k = 0,5.[1+ CZ(~K - 0 , 2 ) + ~ 2 ]

923.

k = 0,5" [1 + 0,49(1,766- 0,2)+ 1,7662 ]= 2,443

S =4 (D2-d2 )= 2137,54mm2

1

K k+~

1

= 0,242

2,443 + 42,4432 - 1,7662

i = 0,25~/D 2 + d 2 i = 0,254(114,32 + 101,72) mn'l 2

=

38,249 m m

Fp, = R e S = 2 4 0

N..1970mm 2=472,8kN mm z 183

Festigkeitslehre Tragsicherheits-Hauptgleichung: F 100 kN - = 0,874 < 1 ,r Fpl 0,242.472,8 kN Die Bedingung der Tragsicherheits-Hauptgleichung ist erftillt.

K=

1

r"""'=-_ -

k + .]k2-~, 2. Fpl = Re S = 240

1

_ = 0,157 3,584 + ~]3,5842 - 2,272

N .1100 mm2 = 264kN mm 2

Tragsicherheits-Hauptgleichung: F 17,4 kN 0,42 < 1 KFp] 0,157.264kN

925.

I=Z,~m

Die Bedingung der Tragsicherheits-Hauptgleichung ist effiJllt.

926.

a) IPE 200 mit I x = 1940.104 m m 4 ; l1 1 45 m o~= arctan-- = arctan ' =31 ~ l 2,4m sk

l

2,4m

ly = 142,104 mm4; S = 2850 mm2; t = 8,5 m m Tragsicherheitsnachweis nach DIN 18 800:

2,8 m

cosc~ cos31 ~ 12 = l sin c~ = 2,4 m . s i n 31 ~ = 1,24 m I

//~-x /1940.104mm 4 ix = ~--~-- = V ~ ).K

sK ix

82,5 m m

4000 m m _-48,485 82,5 m m

~K = )~...g_K= 48,485 = 0,522 ~a 92,9 Knickspannungslinie a bei h/b = 2; t = 8,5 min; c~= 0,21

Fres = F'A = 2 , 5 - ~ . 2,4 m. 3 m =18kN

Mit ~K = 0,522 > 0,2 wird

k :0,5 [1+

ZM(A ) = 0 = - F r e s / + Fl2

k = 0,5. [1 + 0,21(0,522 - 0,2)+ 0,5222 ] : 0,67

F = Fresl

K=

212

18kN.2,4m_17,4kN 2.1,24 m

/eft = 0,12 F sk2 = 0,12.17,4.2,82 cm 4

1

1

k + ~/'~ - ~'-K 2

=0,917

0,67+40,672-0,5222

Fp, = Re S = 2 4 0 - ~ m2 . 2850 m m 2 = 684 kN

/eft = 16, 4cm4 = 16,4.104 mm 4 gew~ihlt U80 DIN 1026 mit Iy = 19,4.104mm 4 und S = 1100 mm 2 Tragsicherheitsnachweis nach DIN 18 800: i

,F ./19'4'104mm4 =]~-S--=V ~ =13,280mm

Tragsicherheits-Hauptgleichung: F 380kN 0,606 < 1 K Fpl 0,917. 684 kN Die Bedingung der Tragsicherheits-Hauptgleichung ist efftillt. b)

)~K - s_K _ 2 8 0 0 m m = 210,843 Zy 13,280 m m ~K = ~ ' K = 210,843 = 2,27 )~a 92,9 Knickspannungslinie c mit o~= 0,49.

Y bl _ ~ _

x i ..............

Mit~K = 2,27 > 0,2 wird

k: 0,5 [1+ k : 0,5. [1 + 0,49 (2,27 - 0,2)+ 2,272]: 3,584 184

bl

........ t 2 _ x

Y

Festigkeitslehre

his31

+ 2I slb3 +hi sl(bl

I x +2--=ly 12

l 12

~.2

FN 6428 N N c) o . . . . h = ~ = 2 2 0 0 m m 2 = 2,92 m m 2

+ $2 / 2] 2)

1

Mb Die a l g e b r a i s c h e E n t w i c k l u n g f i h r t zu dem Term: r

.

kl

4 8 4 2 - 1 0 3 N m m _ 91,4 N

d) Obvorh = WI[ =

53 .103rnlrl 3

e) OresZug = Oz+ 0-bz = ( 2 , 9 2 + 9 1 , 4 ) m @

k2

mm 2 =943 N , mm 2

k3

Die N a h e r u n g s r e c h n u n g ergibt b 1 = 147,2 ram. A u s g e f i h r t w i r d b I = 150 ram, also if2/150 x 8.

0 Mb=FNI2-Fqll

Biegung und Zug/Druck A ! 927.

Fq II

12 = ~

=

=0

7,66 kN ' 8 0 0 r a m = 9 5 3 , 4 m m 6 , 4 2 8 kN

oder B

a) ravorh

Fsinoz

_--=-Fq F s i n a S ~d 2

FN F c o s a b) Ozvorh = ~ - = 4 62 Mb

C) O b v o r h = ~ - =

Fsin~.l ;d 3

6 0 0 0 N . sin 20 ~ n. (20 mm) 2 6000N.cos20 ~ 4 "(20mm)2

-

Mb =Fcosa'12-Fsinc~.ll

Y

6,53--N mm 2 17,9 N mm 2

12 =

Fsin~'ll Fcosa

=0

l sins sin50 ~ 1c ~ = 8 0 0 m m cos--50~ = 9 5 3 , 4 m m

929.

6 0 0 0 N" sin 20 ~ 6 0 r a m ~-2 " ( 2 0 m m ) 3

N ob vorh = 156,8 m m 2 N d) OresZug = Oz + Obz = (17,9 + 156,8) m m 2

A1 = 7 - 3 c m 2 = 2 1 cm 2 Az = l ' 4 c m 2 = 4 c m 2 A3= 1 "4cm 2= 4cm 2 A4=b.4cm A= NA = 29cm 2+b.4cm

N

OresZug = 174,7 m m 2

928.

;~ ~

eos0

~ ( ~ s "~-, ~ - ~ "

yl=l,5cm;

Obz + 0bd H FN = F cos a = l 0 k N . cos 50 ~ = 6 , 4 2 8 kN F q = F sin a = 10 k N . sin 50 ~ = 7,66 kN

b) ra vorh

= Fq

,.7][

7660N N 2 2 0 0 m m 2 = 3,48 m m 2

y3=29cm;

ya=33cm

Aus der Spannungsskizze:

qLI

M b = F c o s a " 1 2 - F s i n a "ll -FN 12-Fq ll Mb = 6 4 2 8 N ' 0 , 2 m - 7 6 6 0 N - 0 , 8 m = 4 8 4 2 N m

y:=5cm;

Obd el Obd

e~=HObz+Obd-350mm"

N 150 m~m2 N - 262,5 m m 2 0 0 ram2

M o m e n t e n s a t z for F l i c h e n :

A el =Alyl +Azy2 + A 3 7 3 + b" 4 c m "Y4 (29 cm2 + b ' 4 c m ) e l =Alyl+A2y2+A3y3+b'4cm'y4 29 cm 2 "el + b ' 4 c m "el = Alyl +A2y2 + A 3 Y 3 + b- 4 c m "Y4 b'4cm(y4-el) = 29cmZel-Alyj-A2y2-A3y3 b=

29 cm 2- 26,25 cm - (21 - 1,5 + 4 95 + 4 - 29) cm 3 4 c m ' (33 - 26,25) cm

b = 21,99cm b = 220mm 185

Festigkeitslehre 930.

~ ~

;~

931. A. . . .

lnneres Kraftesystem im Schnitt A B.

FMb< ares Zug = ~ + ~ -

"~ a z u l

Fres = X/Fz2 + Fz2 + 2 Fz: cos a = X/2 Fz2 ( I + cos c0 Fres = Fz ~

F

= 2 0 k N X/2(1 + cos 60 ~ = 34,6 kN

Fle

ares Zug = S + ~ -

Frx = Ere s sin a = 34,6 kN- sin 30 ~ = 17,3 kN

Mb Fry = FresCOS; = 3 4 , 6 k N . c o s 3 0 ~ = 3 0 kN

ares Druek = W -

ZM(B ) = 0 = Fill - F r x 13 - F r y 12

Frxl3+Fryl2 Fs=

F -- S- ~ a z u l

Fie

F

I

S

ares Druck

(17,3 " ~8 + 3 0 " 2 ) k N m 4m - 26,5kN

Ii

Fiir U 120 ist: S = 1 7 0 0 m m 2 b) s

x = 0 =FBx-Fs+Frx

~Fy=O=FBy-Fry

~

FBx = 9 , 2 k N

~

FBy = 30kN

Iy = 4 3 , 2 . 1 0 4 m m 4 el = 16 m m e2 = 39 mm

FB= ~ B x + F~y = 31,4kN c) a z

Fs S

N

Fs 7r 2

azul

n'~d

4Fs n e r f = n d 2 a zzul

=

60 mm ~ 1 le 2 1 450.39. 1 - 1456N + -7(1~ + ~ ) mm 2

F m a x 1 --

4 -26 500 N n.(1,5mm) 2.300 N

=50Drghte

azul

mm 2 Fmax2 d)

M b max =

Fs

14 = Fs (ll - / 3 ) = 26,5 k N ' 4 m = 35,3 kNm

Mb Mb Ob= W = ~7r D4-d = 32 D

60 raN2

-

le 2 1 ~--A

A50.39 ( 43~2~0

1 1 l~)mm 2

=

1499 N

32MbD rr [D 4 -

(9

_D) 4]

32MbD

932.

ab

rrD4(1- ~ )

a) Serf

32/145 ab -

- -

_ 320000/145

rrD 3 3439 10000

F Oz zul

180. 103N - 1286mm 2 140 N mm 2

3439 rrD 3

gewtihlt U 100 mit S = 1350 m m 2

3 / 320Mb max ]~320 Derf = V j , 4 3 9 n . ~bbzul = " 35'3 " 106Nmm 3,439 zr.100 N mm 2 D e fr = 216 mm

F 1 8 0 . 1 0 3 N = 133 N b) a) azvorh = ~-= 1,35 "103mm 2 mm 2

Fley. ~) % l v ~

Iy

s '

l=~+ey=23,5mm;

ausgetiihrt Rohr 216 X 12 DIN 2448 M b max 32 D M b max ff D 4 - d'* - 7r (D 4 d 4 )

M b max

e) ab vorh

-

W

32

ab vorh =

Oar~

180.103N 9 23,5 m m - 15,5 rnm ablvorh = -

D

31,4 kN = 4,08 ~ ( 2 1 6 2 - 1922) ram2 ~m ~ 99,1 ~
~k0 : d i = 4

15 m m 4 = 3,75 m m

)kv~

13 i

e) Eulerprtifung mit ~-vorh > )k0' :

Xv~

/ 12

E F x = 0 = + F D x - F s sinc~ ~ F D x = F s sina

b ) F m a x = 7azul Agef = 120 m - - ~ " 863,94 mill 2

l i

s

300 m m 3,75 m m

80 < X0 = 89 ftir StS0

Da ~kvorh < ~k0 ist, gelten die Tetmajergleichungen:

1000 m m 19,5 m m - 51,3 < )to = 105 Ftir St37,

Annahme : d = 17 mm

also gelten die Tetmajergleichungen:

d /=~=4,25mm;

Ok = 310 -- 1,14 Xvorh = (310 -- 1,14 9 51,3) ~ mm 2 N = 251,5 m m 2

N o k = 335 - 0,62 - X = (335 - 0,62 9 70,6) mm 2 N = 291,2 m m 2

ok Odzul

P

251 5 --~-N' mm 2 6

Fmax=OdzulA=41,9

NN

N 41,9 mm 2

mm 2

(siehe unter a)) Fma x = 36,2 kN

Od v~

.863,94mm 2 v-

13 3,=T=70,6

Fs -- =

N = 25,4 ~ . 172 mm 2 mm 2 4 N 291,2 mm 2 = = 11,5 25,4 mNz

= A

ok Gd v~

Die Annahme d = 17 m m ist brauchbar, denn es ist Vvorh = 11,5 > Vgefordert = 10.

12

e) Mbmax =Fl coSa(c-~ -ll ) 957. a) F s

F cosa

5000 N ~=5773,5N

( 0,25 m _ ] Mb raax = 2309,4 N " cos 30~ \ cos 30 o 0 , 1 m / = 377,35 Nm 195

Festigkeitslehre

f)

Mb _ 6 M b

Mb max Ob =

Mit

W~

bh~ 6

= 3 wird b = ~

d tan ( a + p') + Pa r~ 2

50 ' 10 a N m m

F~=

und

- 19 3 1 7 N

19,35 m m . tan (0,942 o + 14,036 o) + 0 2

6 M b = 18Mb % = _h h2 3

M

F~=

bh 2

/'1 = 19,3 kN

ha

herf=~:18Mbmax

~18

9377 350 N m m

Ob zul

d27r c) F = ~ - p

N

d=0,05 m N p = 80 bar = 80 - l 0 s m2

(0,05 m ) 2. 7r

100 - mm2

F =

4

= 40,8 m m

N

9 80 ' l 0 s ~

= 15 708 N

m

F = 15,7 kN gewghlt h = 42 m m b= 14mm

/;1 d) Odvorh

958 9

Fmax

F1 d2 H1 m

F1 Ozzul A = 140 ~ .

120 r a m - 8 m m = 1 3 4 4 0 0 N

e) p

Fma x = 134,4 kN

0 " = ~F =

f)

A left

Mb = F1 l~ = 19 317 N 9 50 m m = 965 850 N m m

bh 2

eE= ~ E

Flo Alerf=AE

7rd2Ham

= 19 317 N = 19,35 m m = 0,542 m m =40ram

N p = 14,7 m m 2

959.

s= T

19 317 N N 285mm 2 =67,8mm 2

AS

~'D = 6 -

=200N'2628mm

Mb

-42ram

250mm 2"50-N mm 2

10 m m 9 702 m m 2 6 = 8166,7 m m 3

=

965 850 N m m N " = 118 - = 8166,7 m m 3 mm ~

Ob vorh = ~

g)

7H

=21 m m B

960. a) Der Querschnitt A - B wird belastet dutch: eine senkrecht z u m Schnitt wirkende Normalkraft F N = F . cos/3, sie erzeugt Druckspannungen oa ; eine im Schnitt wirkende Querkraft Fq = F - sin/3, sie erzeugt Abscherspannungen %; ein senkrecht zur Schnittfltiche stehendes Biegemoment M b = F . sing " l, es erzeugt Biegespannungen % . F/cos/3 b ) are s = ad + % = ~ \ '

e

2;M(B ) = 0 = 19 317 N 986 m m - F 19 317 N ' 86 m m 125 mrn

FA

e2

mm

32 607 N

2;M(.4) = 0 = 19 317 N . 86 m m - F B 9 125 m m

FB =

19 317 N 9 86 m m 125 m m - 13 290 N

Kontrolle:

sinB-6 -/~ +

A 9125

T,Fy = 0 - 19 317 N + 32 607 N - 13 290 N = 0

]

FA h) A s e r f

2Ozzul

32 607 N 2.100_N_N

= 163 m m 2

mm 2

961.

a) M=Fhl= 5OO N .O,l m M = 50 Nrn = 50 9 103 N m m b) Nach der Formelsammlung ist d:

MA = M= Fl I ~ tan(a + p') + par. t P Daraus wird mit a = arctan d27r = 0,942 ~ 196

Gewtihlt nach der Gewindetabelle aus der Formelsammlung: 2 Schrauben M16 mit A s = 157 m m 2 oder 2 Schrauben M18 mit A s = 192 m m 2 i) Der gefiihrdete Querschnitt CD hat die Matte:

1 mm 19,35 m m 9 7r

~,tV///////////////////A

~

b~TSmm

.[

Festigkeitslehre M b = 13 2 9 0 N ' 61 m m = 8 1 0 6 9 0 N m m WD

10mm

sb2

= 6-

= Mb

O'b v~

-

~i]t~

.752mm 2 6

-

= 9375 mm 3

810 690 Nmm 9 375 mm 3

86,5

N mm 2

k ) M b = 19 3 1 7 N ' 5 0 m m = 9 6 5 8 5 0 N m A @ = 55 " n ' . 5 m m 2 = 8 6 4 m m 2 z" We = ~"

(60'* - 5 0 4 ) m m 4 60 mm - 10 9 7 9 m m 3

rschw s

19317N N 864 mm 2 = 22,4 mm 2

Oschwb

965 850 Nmm 10 9 7 9 m m 3

=

N 88 - - - mm 2

197

6. Fluidmechanik (Hydraulik) Hydrostatischer Druck, Ausbreitung des Druckes 1001. F P A

F 4d 2

d) p =

2s OzB d

2" 0,006 m" 600- 106m~ 0,45 m

N p =16-106~=160bar

4V4 = 1/. 480000

,,=

c) Der Kessel wird im L~ingsschnitt eher reit~en als im Querschnitt.

1/7r~ 16~'10 s Pa = 79,79 mm 1006.

1002. P

F A

s=~ F ~d 2

pd

(Zahlenwertgleichung)

8 -1000 s= ~ mm = 6,154 mm pd

F= ~d2p = ~ ' ( 0 , 0 1 5 m ) 2 " 4 , 5 - 1 0 s Pa=79,52N

(Kontrolle mit Gr6gengleichung s = ~ )

1007. 1003. F P =A

F 4F 4-520"103N a) p =~- = 7rd2 - "/'r"0,212m 2

F 4d2

p = 15013 910aPa = 150,1 bar

7~

F= 4d2P = ~" (0,15 m) 2 .15.10SPa = 0,2651-10s N b) qv F = 26,51 kN

1004. F1 P=A11

V At

7rd 2l 4At

7r(0,21m) 2 90,93 m 4"20s

ma l qv = 0,001611 ~ - = 96,63 - rain

F1

1008.

= ~" 2

F

4F

P =-A = nd 2 FI = ~7Td l 2p = ~~"' ( 0 , 0 2 m )

F: P

2

"6"10 s P a = 1 8 8 , 5 N

F2 7r 2 ~d2

A2 2

]4~_ dz = l/ ~ - -

]/7r4 93000 N .80.10SPa

dl = 21,85 mm

7T

0,1784 m

F2 = ~d2 p = ~ (0,08 m) 2 "6" l0 s Pa = 3016 N d2 =

1005.

7T 2

F1

p ~d

a) al =At = ~" ( d 4O- 10s 5 '

q" s ) $

pd 2 4 s (d + s)

4.0,006 m. 0,456 m N ol = 74,01 mm 2

Pl =~-~ = 740,1 9l0 s m2

mm

F2 P2=~2

F~ = F2 = F = Kraft in der gemeinsamen Kolbenstange

F=plA1 =p2A2 2

A1 ~dl d] P2 =P, ~ =Pa 4d--~2=Pl d~

pd b) o2 = 2--s40" l0 s m~' 0,45 m

198

178,4

1009. F~

0'452 m2

O1 =

a2 =

0,02185 m

2.0,006 m

= 1 5 0 0 . 1 0 s ~N=

150m_~

(0,3 m) 2 P2 = 6 bar 9(0,08 " ~ )m = 84,38 bar

Fluidmechanik (Hydraulik)

1010.

1014.

F=plAI=p2A2 ~ p l d ] = p z d ~

p=pgh

1 / 3 0 b a r .0,22m 2 = 0,1414 m V 60bar

d2 = V ~ - d ~ -

p = 1030 ~ 3 99,81 ~ - 6000 m = 606,3" 10s m~2 p = 606,3 bar

d2 = 141,4 mm

1015.

1011.

F

4F 4"6500N = 22,99" 105 N ;rd 2 rr-(0,06m) 2 ms

a) P = A

p = 54 200 Pa = 0,542 bar

p = 22,99 bar

F - Fr b) p~ = ~

F

Fr

rrp d h #

=~- - ~- = p -

1016.

A

p =pgh ~

7rdh#\_ (l_4.hl - 4d--~-]-P d /

pl=p(1

p = p g h = 1700 ~ a 99,81 s~" 3,25 m

p i = 2 2 , 9 9 b a r (1

h=

P

h = p~ N

100000 kg m = 0,7501 m = 750,1 mm 13590 ~3" 9,81

4.0,12.8mm~ 60mm / = 21,52 bar 1017.

1012.

F =pA =pgh~r 2

a) F lt = p ~~ d l2( l + 4 # ~ )

kg 9,81s2 2. 11000m.n.(1,1m) 2 =1030~5-.._

4F~ F=422,5.106

P = lrdt (dl+ 4 ~ h 1 ) 4 ' 2000 N P = 7r. 2 0 . 1 0 - a m .(20 + 4 . 0 , 1 2 . 8 ) . 10-3m

kgm sq-=422,5MN

1018. @

P = 5,341 91 0 6m~ = 53,41 bar

1- 4 ~ -

-

-

=

h2

2

b) r4= 1 + 4 # - ~

20mm

1 - 4 . 0 , 1 2 9 280mm 8mm 1+ 4"0,12" 20mm

A i = ~7]" (d 2i - d 2) = 7/" ~ (0,4 2 - 0,342) m 2 = 0,03487 m 2

r~ = 0,8102 A2 = ~(d2rr2 - d ~ ) = 4 (0'342 - 0'12) m2 = 0,08294 m 2 C) F '

~'' d~ --

(28 cm) 2 =2000N.~-0,8102

=317600N

F ; =317,6kN s~ d~

F1 = pl(A1 + A3) = pghl (ill + A3)

(20 mm) 2 s2=sl d-'~2--3Omm (280mm)2

F1 = 7,2"103 m~ '9,81 s~" 0,2 l m (34,87+ 6,6)

d~

e)

WI'~Frl

A 3 = Tf ~ (d 23 - d ~) --7]" - ~ (0,1 2 - 0,042) m 2 = 0,00660 m 2

0,1531mm

sl=2000N'0,03m=60J

I 1 0~3

F1 = 615,1N

Fz=p2 A2=pgh2 A2

f) W2 =F~ s2 = 317,6 -103N "0,1531-10-am = 48,61J

F2 = 7,2"103 m~- 9,81 s~. 0 , 2 4 m . 82,94.10-3m 2

g) z = s s2

F2 = 1406 N

28ram 0,t531mm

182,9 ~ 183 Htibe

m 2

F = F1 + F2 = 2021 N

Druckverteilung unter Beriicksichtigung der Schwerkraft

1013. p=pgh=lOOO~3"9,Sl~'O,3m

1019. Fb=pghA kg F b = 1000~-~'9,81 ~m' 2 , 4 m ' ~ "(0,16 m) 2 = 473,4 N

p = 2943 Pa = 0,02943 bar 199

Fluidmechanik (Hydraulik) Bernoulli'sche Gleichung

1020. = 1000 ~ "

Fs=pgAyo

9,81 ~ ' 4 " (0,08 m)2 94,5 m

F s = 221,9 N

1025. a) A t w i = A 2 w 2 2 Ax ~dl d] w2 = wl A--2= wi -~n~ = wl d~ 4~2 m (3 cm) 2 m w2 = 4 [ (2cm) 2 = 9 ~ -

1021. a) F s = p g A y o F s = 1000mk---~ga-9,81 s~.3,5 m . 0 , 4 m - l , 7 5 m = 2 4 0 3 0 N I b) e = A y o

b) Bernoulli'sche Druckgleichung b- h 3

e= h 12.bh.~

h - 3,5m = 0,5833m 6

P

P

+~w2

2

P 2 2 pz=pl +~(wi-w2)

(h H6he des Wasserspiegels tiber dem Boden) y=yo+e;

2

pi +}wl=P2

6

hl=h-y

(hi H6he des Druckmittelpunktes tiber dem Boden)

p2=10000Pa+500

ha = h -Yo - e = 3,5 m - 1,75 m - 0,5833 m = 1,167 m

kgm P2 = - 22500 s-~m2 = - 0,225 bar (Unterdruck)

c) mb = F s h l Mb = 24 030 N- 1,167 m = 28 040 Nm 1022.

1026. P 2

a) P2 _ hi

Pl

( 4 2 - 9 2 ) s2

pl+

h2

hi P2 = P l ~-2 = 1000

12mm =909,1-13,2mm m3 kg P2 1100 m~ b) hi = h2 ~ = 13,2mm" k ~ = 14,52 mm

P 2 ~wl=p2+~w2

erforderliche Str6mungsgeschwindigkeit: P 2

P 2

~w2=pl-p2+

~Wi

pi-P2

1000 m~

w2 =

hi HShe der Wasser~ule tiber der Trennfliiche h2 HShe der Olsiiule fiber der Trennfl~iche

+ 2 w21 ~ 2

5

kg (,I m] 2 000 m~ + 40000 m~ + 500 ~ 5 " , - s: = 10,3 m

w2 =

Auftriebskraft 1023.

Hinweis: - P2 = - ( - 0,4 bar) = + 0,4 bar.

+

F a= V p g = F G + F F = Vpg-F G =g(Vp-m)

500~ 3

g

A1 w 1 = A 2 w2 7r

2

_~r

(Kontinuit~itsgleichung)

d~w2

F = 9 , 8 1 ~m ( T gr ' 0 , 4 3 m 3 .1000 ~ 3 - 0 , 5 k g ) d2 =

F = 323,8 N

1024.

Fa = Fnutz + FG1 + FG2 - m2 Fnutz = FB - FG 1 - FG 2 = VOw g - m 1g

gf'~l~t+Fs2

Fnutz = (VPw - m 1 - m 2 ) g Fnutz = (10300 kg - 300kg - 7000 kg)" 9,81 kgm Fnutz = 29430 - 7 = 29,43 kN

200

1027. w2 a) 2 g

w-z1 { = i l

-4-m7 7 - " (80 mm) 2 = 49,86 mm O.~

(12 m 2 s-) in = 7,339 m 2"9,81s~

w2 b) H = h + ~ g - g = 1 5 m + 7 , 3 3 9 m = 2 2 , 3 4 m

m c) p = o g h = l O 0 0

m -9,81 ~ ' 1 5 m

p = 147150 Pa = 1,472 bar

Fluidmechanik (Hydraulik) Ausfluss aus Gef~il3en

c) qve =/'t 4 d2 2g~v/~l - h 2 ) ff

1028.

2

qve = 0,63 9 ~(0,08 m) 9~/2 99,81 s~(6 m - 2 m) m

m

a) w = 2v/~gh = ~/2 "9,81 ~ " 0 , 9 m =4,202 ~-

1113

m 3

qve = 0,02805 s - - = 101 ~ -

b) Ve = qvet = lzAwt = la 4 d 2 w t 1033. Ire = 0,64" 4" (0,02 m) 2- 4,202 m . 86 4005 Ve = 73 m 3

1029.

w -U 2"6"1~ 1000

vo

qw = t

=/1 qv

vo

t =#qv

34,64m

vo

=

#A~/2gh

(KontroUe mit Pu = ~ w2) 200 m 3

t=

1034.

0,815.0,001963 m 2- x/2" 9,81 s~" 7,5 m

a) we = ~o2 v / ~ z = 0,98 ~/2,9,81 ~ - 2 , 3 m

t = 10306 s = 2 h 51 m i n 4 6 s

Ill

= 6,583 ~-

b) qve =/~A ~

= 0,64" 0,00785 m 2. ~/2 '9,81 s~-2,3 m ms l qve = 0,03377 ~ - = 33,77

1030.

-Vel - = c) tl = qve

2m'8m-l,7m 0,03377 m-~a s tl = 13 rain 25,5 s

qve

qve = " A ~

--> A = IJ 2N/~

- 805,5 s

A=

0,96 .,/2.9,81

3,6 m

--

=

2-2 m- 8m'2,3 m

ttA 2 x / ~

A = 0,1239 910-3m 2 = 123,9 m m ~ d=~@-

2 Ve2

d) t2

0,64.0,00785m

2

x / 2 . 9 , 8 1 ~m' 2 , 3 m

t2 = 2179,7 s = 36 min 19,7 s

r

~

12,56

mm

tges = tl + h = 49 rain 45 s 1035.

1031. qve = # A ~ =

v~ Is= t A

a) w e = cp2 ~ g h = 0,98 ~/2.9,81 m 2 8 0 m = 72,64 rn Ve t

b)qvo=,4a2

2,v/~

q w = 0,98 9 ~lr. (0,15m)2 ' ~ / 2 - 9 , 8 1 ~ . 2 8 0 m

1,8 m 3

#=

m

= 0,9717

m 3 qve = 1,284

~-

106,5 s 9 0,001963 m 2 9~/2 "9,81 ~i " 4 m It/

c) P = -

=

t

W Arbeitsverm6gen des Wassers = kinetische Energie

1032.

row2 2 -mw

a) we=~o 2 ~ m we = 0,98 ~ / 2 . 9 , 8 1 s ~ - 6 m = 10,63 ~b) q v e = l a A ~ = # 4 d 2

t

Ekin

2V~

P=~t--

2

2t

w2

=qm-~-

qm Massenstrom, d.h. die Masse des je Sekunde durch die DNe str6menden Wassers m 2

qve = 0 , 6 3 " 4 ( 0 , 0 8 m) 2 - ~ / 2 " 9,81 s~' 6 m ms m3 qve = 0,03436 -~- = 123,7 - h -

P= 1284~-

(72 ,64 T ) 2

= 3 386 000 k "2~~

kgm 2 kgm in Nm P = 3386 kW (1 - ~ - - = 1 ~ T - ' I T = 1 ~ - = 1 J = lW)

201

Fluidmechanik (Hydraulik) Str6mung in Rohrleitungen

1038. a) qv =Aw =gxd2w

1036. a) qve =Aw

d Ve -~-

qve W

=

_

_

A

=

-

-

4 d2

4 Ve

=14~= ,/4-0,002 -~ r lrw r ~ . 2"--~-- = 0,03568 m

d = 36 m m (NW 36)

Ird2t

ll 4" 11 m 3 = 0,6079 I~w = 7r(0,08 m) 2. 3600 s

230m kg m 2 b) A p E X / ~P w 2 = 0,028 "0,-~m" 5 0 0 m-5" (0'6079 ~-)

qv 4 90,002 b) w = ~ - - T r . ( 0 , 0 3 6 m )

m 2

1,965s

l ~w2=0,025. 300m kg m 2 c) Ap = X ~ ~ 0,0--.~m" 500 ~-3" (1,965 ~-) Zkp = 402 160Pa = 4,022 bar

Ap = 14873 Pa = 0,1487 bar

d) ~ w = = 500 ~ ' ( 1 , 9 6 5 m)== 1930,4 Pa = 0,0193 bar 1037. 4Fe a) qve =Aw ---+w = rrd2~-

(s. L6sung 1036)

4" 280 m 3 w = lr '(0,125 m) 2. 3600 s b) Ap = X / 2 w 2 = 0,015" ~ " ZXp = 843 500Pa = 8,435 bar

e) pges = ~Pw 2 + p g h + A p

m 6,338 ~kg m 2 500 ~-3" (6,338 T )

ogh=lOOO~'9,81~'20m = 196200Pa = 1,962 bar Pges = 0,0193 bar + 1,962 bar + 4,022 bar Pges = 6,003 bar Energie ~ f) Leistung = Zeit P =

V Pges ~- = Pges qv

P = W = Pges V t t

P = 12,01 "102 W = 1,201 kW

202

N

= 6,003 " 10 s ~-"

2 " 10-a

m3 ~-