Mathematik fur Wirtschaftswissenschaftler 1: Grundzuge der Analysis - Funktionen einer Variablen

Franz Pfuff Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 1

Franz Pfuff

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 1 Grundzüge der Analysis – Funktionen einer Variablen 5. Auflage Mit 93 Abbildungen STUDIUM

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

Dr. rer. Pol. Franz Pfuff ist apl. Professor an der Wirtschaftswissenschaftlichen Fakultät der Universität Regensburg. E-Mail: [email protected]

1. Auflage 1979 2. Auflage 1981 3. Auflage 1983 4. Auflage 2001 5. Auflage 2009 Alle Rechte vorbehalten © Vieweg+Teubner |GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2009 Lektorat: Ulrike Schmickler-Hirzebruch | Nastassja Vanselow Vieweg+Teubner ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.viewegteubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN 978-3-528-47238-2

v Inhaltsverzeichnis

Inhalt Band 2 . . . . . . . . . . .

,

Vorwort

V

Liste der verwendeten Symbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kapitel 1 Grundzüge der Analysis §1 §2 §3 §4

§5 §6 §7 §8 §9

N

VI

.

Grundlagen der mathematischen Logik Mengen Abbildungen . ... . . . . . . . . . . .... . . . . . .. ..... . ........ Rechenregeln für reelle Zahlen Ungleichungen und beschränkte Mengen Folgen und Reihen ' .' , Differenzengleichungen und Finanzmathematik . . . . . . . . . . . . . . . . Kombinatorik Programmablaufpläne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 7 14 21 26 31 40 48 55

Kapitel 2 Funktionen einer Variablen

60

§ 10 Grundlegende Begriffe § 11 Einige in den Wirtschaftswissenschaften verwendete Arten von Funktionen § 12 Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 13 Die Ableitung einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 14 Die Berechnung von Ableitungen § 15 Die Exponentiai- und Logarithmusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . .. § 16 Wachstumsraten und Elastizitäten § 17 Kurvendiskussionen § 18 Das bestimmte Integral § 19 Das unbestimmte Integral § 20 Differentialgleichungen und andere Anwendungen der Integralrechnung

60 65 71 76 82 86 91 96 106 113 120

Weiterführende Literatur

132

Sachwortverzeichnis

133

................ ,

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Band 2 Lineare Algebra, Funktionen mehrerer Variablen Kapitel 3 Lineare Algebra Grundlegende Begriffe aus der Matrizenrechnung - Rechenoperationen für Matrizen - Vektoren im n-dimensionalen Raum IR n - Lineare Gleichungssysteme Determinanten - Die inverse Matrix - Punktmengen im IR n und lineare Programmierung. . Kapitel 4 Funktionen mehrerer Variablen Grundlegende Begriffe - Wichtige ökonomische Funktionen mehrerer VariablerDie partielle Ableitung - Das totale Differential - Extrema ohne Nebenbedingungen - Extrema unter Nebenbedingungen.

VII

Vorwort

Das vorliegende Buch entstand aus verschiedenen Vorlesungen, die ich an der Universität Regensburg gehalten habe. Band I behandelt Grundzüge der Analysis und Funktionen einer Variablen, Band 2 Lineare Algebra und Funktionen von mehreren Variablen und Band 3 enthält eine umfangreiche Sammlung von Klausur- und übungsaufgaben mit vollständigen Lösungen. Das Hauptziel des Buches besteht darin, die bei den Studenten der Wirtschaftswissenschaften oftmals ungeliebte Mathematik so verständlich wie möglich zu machen. Es wurde deshalb versucht, aufübertriebenen Formalismus zu verzichten, ohne jedoch dafür einen Mangel an Exaktheit in Kauf zu nehmen. Jeder wichtige Begriff wird durch eine Reihe von Anwendungsbeispielen und Zeichnungen ausführlich erläutert. Soweit wie möglich wird ferner immer auf die Anwendungsmöglichkeiten des behandelten Stoffes in den Wirtschaftswissenschaften hingewiesen. Bei der Stoffauswahl wurde insbesondere darauf geachtet, nur solche mathematischen Begriffe und Verfahren zu beschreiben, die ein Student während seines Studiums oder später in der Praxis auch tatsächlich benötigt. Das Buch ist in erster Linie als Textbook zu den Grundvorlesungen über Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler geeignet. Darüberhinaus kann es jedoch auch zum Selbststudium benützt werden.

In diese zweite Auflage habe ich auf Anregung vieler Leser noch zwei Abschnitte über Differenzen- und Differentialgleichungen aufgenommen. Außerdem wurden einige Druckfehler verbessert. Ich danke auch weiterhin für kritische Bemerkungen über die Auswahl des Stoffes und seiner Darstellung, die mir aus dem Leserkreis zukommen. Regensburg, im Juni 1981

Franz Pfuff

VIII

liste der verwendeten Symbole

Seite

Symbol

Bedeutung

..,p

"n icht p" ; Negation »P und q" ; Konjunktion »P oder q"; Disjunktion "aus p folgt q" bzw. "wenn p - dann q" ; Implikation " p gilt genau dann , wenn q gilt" bzw. " p ist notwendige und hinreichende Bedingung fiir q" ; Äqu ivalenz

2 2 3 3 5

aEA } A3 a

a ist Element der Menge A

7

a$A } A$ a

a ist nicht Element von A

7

f/J IN 2

leere Menge Menge der natürlichen zahlen

Menge der positiven reellen zahlen Menge der negativen reellen Zahlen Anzahl der Elemente von A; Mächtigkeit von A

8 8 8 8 8 8 8 8

ACB} B:::>A

A Teilmenge von B

8

A;b a;:;'b (a, b) Ca, b) (a, b) Ca, b) Ca, 00) (-oo,b) 00 lai UE(a)

s" = inf A

Infimumvon A

s* = min A t* = supA t*=maxA

Minimum von A Supremum von A Maximum von A

(an)nEIN lim an =a

Folge der Zahlen al , a2, a3, . . . "Limes von an für n gegen Unendlich" ; Grenzwert der Folge (an)n E N "a n strebt gegen den Grenzwert a für n gegen Unendlich"

n~oo

an

--->

a

n~oo

33

X

Symbol

Bedeutung

Seite

00

L aj

unendliche Reihe

36

n!

n-Fakultät

48

(~)

"n über k" ; Binomialkoeffizient

48

Grenzwert der Funktion f an der Stelle Xo

71

rechtsseitiger Grenzwert der Funktion f an der Stelle Xo linksseitiger Grenzwert der Funktion f an der Stelle Xo

73

Ableitung von f an der Stelle Xo

78

t; (xo)

rechtsseitige Ableitung von f an der Stelle Xo

78

f, (xo)

linksseitige Ableitung von f an der Stelle Xo

78

n-te Ableitung von f an der Stelle Xo

82

Ableitung der Umkehrfunktion (natürliche) Exponentialfunktion (natürliche) Logarithrnusfunktion allgemeine Exponentialfunktion zur Basis a allgemeine Logarithmusfunktion zur Basis a Wachstumsrate von f Elastizität von f im Punkt Xo

86 86 88 90 91 92 94

f'(x) dx

bestimmtes Integral von f in den Grenzen a und b

108

f(x)dx

uneigentliches Integral von f in den Grenzen a und 00

111

unbestimmtes Integral von f

114

"F (x) in den Grenzen a und b"

116

j =I

Um f'(x)

x -+xo

f r (xo)

t, (xo) ((x,)

df dx (xo)

1

!'"I(x,)

dnf dx n (xo)

1

(f'")' (x) e X = exp(x) lnx aX alog x f'(t) Ef(XO)

f

73

b

a

f a

Jf{x) dx F(x)

· b

la

Kapitel 1 Grundzüge der Analysis

§ 1 Grundlagen der mathematischen Logik

In der Mathematik wie auch in anderen Wissenschaften benötigt man zur präzisen Darstellungder behandelten ProblemesogenannteAussagen. Eine Aussage beschreibt irgendeinenbestimmten Sachverhalt,der mit Hilfeder Umgangssprache oder mathematischen Formeln definiert wird. Wirwollennun im folgenden untersuchen, was wir hier unter einer Aussage verstehenund welcheRegeln für den Umgang mit Aussagengelten. (1.1) Definition

Eine Aussage ist ein Satz, der entweder wahr (w) oder falsch (f) ist.

Bezeichnung: Wirbezeichnenhier Aussagen mit kleinen lateinischenBuchstaben p, q, r, S, • •• Gemäß dieserDefinition betrachten wir also nur Aussagen, von denen man genau feststellenkann, ob sie wahr oder falschsind. Eine solcheEntscheidungwird in der Praxisnatürlich nicht immer einfach zu treffen sein. BeivielenAussagen hängt es noch von zusätzlichenVoraussetzungen ab, welchenWahrheitswert man ihnen zuordnen kann. Dazu betrachten wir einige Beispiele (1) p: ,,Die Kosten sind niedrig." q: ,,Der Gewinnist hoch." Die Bestimmung der Wahrheitswerte von p und q hängt natürlichaußer von der Frage, wasman unter niedrigenKosten bzw. einem hohen Gewinnversteht auch noch davon ab, welchenspeziellen Betrieb man geradebetrachtet. (2) r :x + 3 =5 Die Aussage r ist wahr für x =2 und falsch für alle x =P 2. (3) s : 3 = 0 (f) t : 2 + 2 = 4 (w). Vor allemin der Mathematikist man häufiggezwungen, aus gegebenen Aussagen durch Umformungund Verknüpfungwiederneue Aussagen zu gewinnen. Solche zusammengesetzten Aussagen wollen wir nun hinsichtlichihrer Wahrheitswerte untersuchen. Dabei benützen wir sogenannteWahrheitstafeln, in denen man auf übersiehtliehe Weise alle möglichen Wahrheitswerte der in Fragekommenden Aussagen darstellen kann. F. Pfuff, Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 1, DOI 10.1007/ 978-3-8348-9763-3_1, © Vieweg+Teubner|GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2009

2

Kap itell Grundzüge der Analysis

Negation Aus der Aussage p erhält man durch Negation (Verneinung) die Aussage -, p (= nicht p) :

p .... -, p. (1 .2) Definition Die Aussage -, p ist wahr , wenn p falsch ist und falsch, wenn p wahr ist . Es gilt also folgende Wahrheitstafel:

W -, p

w

f

w

f

Beispiele

Aus den Aussagen des vorhergehenden Beispiels erhält man durch Negation -, p : "Die Kosten sind nicht niedrig." -, q : " Der Gewinn ist nicht hoch."

-'r : x + 3 * 5 -'s : 3*0 (w) -, t : 2 + 2 4 (f) .

*

Konjunktion Aus den beiden Aussagen p und q erhält man durch Verknüpfung die Aussage pA q(= pund q):

p, q ....(p A q). (1.3) Definition Die Aussage pA q ist wahr, wenn sowohl p als auch q wahr sind; sie ist falsch , wenn eine der beiden Teilaussagen falsch ist bzw. wenn beide Teilaussagen falsch sind. Hierbei ergibt sich die Wahrheitstafel : p

q

pAq

w

w f w f

w f f f

w f f

3

§ 1 Grundlagen der mathematischen Logik

Beispiele p A q : ,,Die Kosten sind niedrig und der Gewinn ist hoch ." (f) s At : (3 =0) A (2 + 2 =4) ..., s At : (3 0) A (2 + 2 = 4) (w) r A s : (x + 3 =5) A (3 =0) (f) für alle x.

*

Disjunktion Eine andere Art der Verknüpfung zweier Aussagen p und q ist die Disjunktion pvq(=poderq) :

p, q -. (p v q). (1.4) Definition Die Aussage p V q ist wahr, wenn mindestens eine Teilaussage wahr ist; sie ist falsch, wenn sowohl p als auch q falsch sind.

Bemerkung: Wie man aus der Definition ersieht, entspricht die Disjunktion nicht dem umgangssprachlichen "entweder - oder". Beide Aussagen schließen einander also nicht aus. Man erhält die folgende Wahrheitstafel : p

q

pvq

w

w

w f

w

f f

w f

w f

w

Beispiele p V q : ,,Die Kosten sind niedrig oder der Gewinn ist hoch ." sV t : (3 = 0) V (2+ 2 = 4) (w) s v rt t : (3 = 0) V (2 + 2 4) (f) r V s : (x + 3 =5) V (3 =0) (w) bei x =2, (f) bei x 2.

*

*

Implikation Bei der Implikation wird aus den beiden Aussagen p und q die zusammengesetzte Aussage p => q (= "aus p[olgt q" bzw. "wenn p - dann q") gebildet:

p, q -. (p

=>q).

Wir wollen uns nun überlegen, welche Wahrheitswerte man der Implikation p => q zuordnen kann . Dazu betrachten wir einige

4

Kapitel 1 Grundzüge der Analysis

Beispiele p : "Der Himmel ist blau." q : "Es regnet nicht." r : 3 = 2 (f)

=O(w) t : 6 = 4 (f).

s :0

Wie man leicht sieht, ist die Aussage p ~ q : "Wenn der Himmel blau ist, dann regnet es nicht." Wahr, falls p, q wahr bzw . falsch, falls p wahr und q falsch . Weiter erhält man aus der falschen Aussage

r:3 = 2 durch Multiplikation mit 0 die wahre Aussage s : 0 = 0 bzw . durch Multiplikation mit 2 die falsche Aussage t : 6 = 4. Man ordnet daher willkürlich den beiden Aussagen r ~ sund r ~ t den Wahrheitswert (w) zu. Aufgrund der überlegungen in diesem Beispiel gelangt man zu folgender (1.5) Definition Die Implikation p ~ q ist falsch , wenn p wahr und q falsch ist , in allen übrigen Fällen ist sie wahr. Es ergibt sich also die Wahrheitstafel : p

q

w w f f

w f w f

p~q

w f w w

Bemerkung: Bei der Implikation p ~ q bezeichnet man oft die Aussage p als Voraussetzung(Prämisse) und die Aussage q als Folgerung (Konklusion). In vielen Fällen sagt man auch: »P ist eine hinreichende Bedingung für q" bzw . " q ist eine notwendige Bedingung für p",

Beispiele (a) p: a, bUngerade} (p ~ q) q : a + b gerade p ist hinreichende Bedingung für q und q ist notwendige Bedingung für p. (b) p : a ist größer als 1 } q : a 2 ist größer als 1 (p ~ q) P ist hinreichende Bedingung für q und q ist notwendige Bedingung für p.

§ 1 Grundlagen der mathematischen Logik

5

Äquivalenz Gelten für die beiden Aussagen p und q jeweils die Implikationen p ~ q und q ~ p, so bezeichnet man sie als äquivalent und schreibt p - q. Man sagt dazu auch oft : "p gilt genau dann, wenn q gilt" bzw. »P ist notwendige und hinreichende Bedingung für q".

Die Äquivalenz p q ist also gleichbedeutend mit der Aussage (p ~ q) A (q ~ p), so daß man folgende Wahrheitstafel erhält: p

q

w w f f

w f w f

p~q

w f w w

q~p

w w f w

pq w f f w

Es ergibt sich also

(1.6) Definition Die Äquivalenz p q ist wahr, wenn p, q den gleichen Wahrheitswert besitzen; sie ist falsch, wenn für p, q verschiedene Wahrheitswerte gelten .

Beispiele (a) 2 + 2 = 4 2 ·3 = 6 (w) o. 0 = 1 2 . 2 = 5 (w) 0 ·0 =0-2 ·2=5(f). (b) p: b ist größer als a } q : a - b ist negativ p q P ist notwendig und hinreichend für q. (c) p: a, bUngerade} q :a+bgerade p q p ist nicht notwendig und hinreichend für q. Es gilt nämlich z. B. für a = 2, b = 6: 2 + 6 = 8 geradzahlig t> 2 bzw. 6 ungerade. Bemerkung: Sind mehrere Aussagen miteinander verknüpft, so müssen zunächst die in den Klammern stehenden Anweisungen ausgeführt werden. Bezüglich der Reihenfolge, in der die einzelnen logischen Operationen durchzufiihren sind , unterscheiden wir zwischen drei verschiedenen Stufen : 1. Stufe

...,

2. Stufe

v, A

3. Stufe

~,



6

Kapitell Grundzüge der Analysis

So gilt z. B. für die folgende Aussage:

(p 1\ -, q) v r ~ -, s v q. ,,'L..........I "~, Wir wollen nun noch einige Bemerkungen zum Beweis mathematischer Sätze machen. Dabei unterscheiden wir hier hauptsächlich zwischen direkten und indirekten Beweisen. Auf den sogenannten Beweis durch vollständige Induktion gehen wir in § 6 ein. Beim direkten Beweis verwendet man bekannte mathematische Definitionen, Sätze, Regeln usw ., um aus der Voraussetzung durch Implikation neue Aussagen herzuleiten. Diese logischen Schlüsse führt man solange durch, bis sich die Folgerung unmittelbar ergibt . Beim indirekten Beweis nimmt man an , die zu beweisende Aussage sei falsch. Ähnlich wie beim direkten Beweis führt man ImpHkationen durch, bis sich ein Widerspruch zu einer richtigen Aussage ergibt. Damit ist dann gezeigt , daß die ursprüngliche Aussage richtig ist .

Beispiele Behauptung:

2I (a + b) = v'iib ~ a = b (p)

(q)

Beweis (direkt): 1 2(a+b) = ~

v'iib

1 '4(a+b)2 =ab

~a2 +2ab+b 2 =4ab ~a2 -2ab +b 2 = 0 ~

(a

r

b)? =0

~

a=b

Beweis (indirekt): Wir nehmen nun an : 1 2(a+b)=Väb

und b=a+k

mit kif:O.

§

7

2 Mengen

Durch Einsetzen von b in Gleichung (p) ergibt sich:

~(a+a +k) = v'a(a+k) a +~ k2

~a2 +ka+--

4

=y'iTtka = a2 +ka

k2

4"=0, was einen Widerspruch zu k

* 0 bedeutet. Damit ist die Behauptung p

~

q bewiesen .

Bemerkung: Es ergibt sich insbesondere, daß man eine Aussage durch Angabe eines Gegenbeispiels widerlegen kann. Dagegen ist eine Aussage jedoch noch keineswegs bewiesen, wenn man zeigt, daß sie für ein spezielles Beispiel richtig ist. § 2 Mengen

Mengen spielen bei der fortschreitenden Formalisierung vieler Wissenschaften heute eine wichtige Rolle . Insbesondere in der Mathematik, den Wirtschaftswissenschaften und der Wahrscheinlichkeitsrechnung werden Zusammenfassungen gleichartiger Objekte mit Hilfe von Mengen charakterisiert. Eine mathematisch exakte Definition des Begriffs einer Menge ist in diesem Rahmen nicht möglich. Deshalb beschränken wir uns auf folgende

(2.1) Definition Eine Menge ist eine Gesamtheit A von Objekten (= Elementen), wobei alle Elemente nur einmal in der Menge enthalten sein dürfen. Für jedes beliebige Element muß dabei genau entschieden werden können, ob es zur Menge gehört oder nicht. Abkürzend schreiben wir meist : A = {ala hat die Eigenschaft p} .

Bezeichnungen: Wir bezeichnen hier Mengen mit großen lateinischen Buchstaben A, B, C,

a, b, c,

und die Elemente einer Menge mit kleinen lateinischen Buchstaben

, x, y, z.

Ist das Element a in der Menge A enthalten, so schreiben wir : aEA bzw, A3a ; ist a jedoch kein Element von A, so schreiben wir hierfür : a$A bzw. A~a .

8

Kapitel 1 Grundzüge der Analysis

Es ist gleichgültig, in welcherReihenfolge die einzelnenElemente angeordnetwer-

den. Um nicht für jede Menge von vornhereinuntersuchen zu müssen, ob sie überhaupt Elementeenthält, ist es zweckmäßig, die sogenannte leereMenge einzuführen, die defmitionsgemäß kein Element enthält. Manbezeichnet ~lie leere Menge üblicherweise mit dem Symbol '/J.

Beispiele (1) A = (ala ist Konsument in der BRD}; (2) A =

{o, 1~' l~"'"

;~, I} ist die Menge aller möglichen Ausschußanteile

bei einer Warenlieferung von 100 Stück; (3) A = (ala ist gerade Zahl} = (0, ± 2, ± 4, . .. }; (4) A = (ala 2 = I} = (-1, I} ; (5) Bei der folgenden Zusammenfassung A = (1,2,3,4, 3} handelt es sich um keine Menge, da das Element 3 zweimal in A enthalten ist; (6) A = (ala 2 = - 1 Aareelle Zahl} = 0. Für die folgenden häufigbenötigten Zahlenmengen haben sich folgende Bezeichnungsweisen eingebürgert: IN = (xix natürliche Zahl} = (1,2,3, . . .}; Z = [xlx ganze Zahl} = (. . . , - 2, - 1,0,1 ,2, ... } = (0,

A), wennjedes Element von A auch in B enthalten ist (Bilder I-I und 1-2).

§

9

2 Mengen

@ AcB

ActB

(A nicht Teilmenge von B)

Bild 1-1

Bild 1-2

Beispiele (1) A = {O}, B = {3}, C = {O,1, 2} . Es ist dann A C C, aber B b bedeutet : a größer als b oder a b.

=

Ausdrücke dieser Form heißen Ungleichungen. Für das Rechnen mit Ungleichungen ergeben sich folgende Regeln: o ( b I

o

b

•

o ) b

IR

I

b

Bild 1-20

o

Bild 1-21

(5.2) Satz Seien a, b, c, d E IR. Dann gilt : (a) Aus a 0 und a E IR erfiillen. Um diese Menge zu bestimmen, lösen wir das Betragszeichen auf. Wir unterscheiden dabei : 1. Fal/.·Für x - a ~ 0 ist Ix - al = x - a < e, woraus sich x< a + e ergibt. 2. Fa//:Für x - a f(l) = 1 und für die Argumente 1 < 2 ist f(1) = 1 < f(2) = 4 (Bild 2-6).

-L---L~tL-...l..-----'--_

-2

x

Bild 2·6

Konvexität bzw. Konkavität (10 .3) Defmition Sei I C IR ein Intervall und f : I 4 IR eine Funktion. Dann heißt f (a) konvex, falls für alle XI, X2 E I mit XI < X2 gilt : f(Axl + (1 - X)X2)';;;H(xI) + (1 - X) f(x2)

für XE [0 ,1];

(b) konkav , falls für alle xr , X2 E I mit XI < X2 gilt : f(XxI + (1 - X)X2);;. H(xl) + (1 - X) f(x2)

für XE [0, 1].

Diese Definition wollen wir nun noch in geometrischer Hinsicht interpretieren. Wir betrachten zwei verschiedene Punkte XI und X2 aus dem Defmitionsbereich. Es lassen sich dann alle Punkte, die auf der Geraden zwischen XI und X2 liegen, durch geeignete Wahl von XE [0, 1] in der Form X =XXI + (1 - X) X2 ausdrücken (Bild 2.7). So ergibt sich beispielsweise für X = 1 der Wert X = XI, für X = der Wert X = X2 , für X = ~ der Streckenmittelpunkt X = ~ (XI + X2) usw.

°

Bild 2·7 Xl

Auf analoge Weise erhält man natürlich auch alle Punkte, die auf der Geraden zwischen f'(x.) und f(x2) liegen, in der Form z = H(xl) + (1 - X) f(x2) für XE [0, 1]. Dies ergibt dann folgende anschauliche Interpretation der Definition (10.3) : Bei einer konvexen Funktion f liegt die Bildkurve für alle XI, X2 E I immer unterhalb der durch f(xI) und f(x2) gehenden Geraden ; bei einer konkaven Funktion liegt die Bildkurve immer oberhalb dieser Geraden (Bilder 2·8 bis 2-10) .

§

65

11 Einige verwendete Arten von Funktionen

Beispiele f(x)

flAX 1 +(l-A)X z)

x,

Ax, +(l-A)xz

x,

Xz

AX, +(l-A)xz

fkonvex Bild 2-8

Bild 2-9

f(x)

-+-...lx,

-'-_x

Bild 2·10

f weder konkav noch konvex

§ 11

Einige in den Wirtschaftswissenschaften verwendete Arten von Funktionen

In den Wirtschaftswissenschaften ist es oft sehr schwierig, für die funktionale Abhängigkeit zwischen zwei zahlenmäßigmeßbaren Größen eine eindeutig festgelegte Zuordnungsvorschriftanzugeben. Aufgrund von theoretischen überlegungen und empirischen Untersuchungen kann man jedoch vielfachzumindest eine Aussage über die Form einer solchen Funktion machen. So kann man beispielsweise annehmen, daß sich in einem bestimmten ökonomischen Zusammenhangdie abhängige Variable proportional zur unabhängigenVariable ändert oder daß y im Vergleichzu x quadratisch wächst bzw. abnimmt usw. Damit ist nun zwar der jeweiligeFunktionstyp bestimmt, die genaue Lage und Steigungeiner solchen Funktion ist jedoch in der Regelnoch nicht bekannt.

66

Kapitel2 Funktionen einer Variablen

Man setzt deshalb für diese Koeffizienten statt fester Zahlen einfach allgemeine reellwertige Parameter a, b , c, . . . in die Funktion ein . Diese Parameter hängen etwa ab von den Besonderheiten eines Marktes oder einer Volkswirtschaft, von technischen Gegebenheiten usw . Sie ändern sich natürlich, falls sich die ihnen zugrundeliegenden ökonomischen Bedingungen ändern. In bestimmten Fällen ist es möglich, durch die Verwendung statistischer Methoden Schätzwerte für die Parameter zu erhalten. Wir wollen nun einige dieser Funktionstypen genauer betrachten.

(a) Bei der Funktion f'(x) =a + bx handelt es sich um eine Gerade mit der Steigung b , die auf der y-Achse durch den Punkt y = a geht (Bild 2-11).

-~-!-------_x

Bild 2-11

Hält man den Parameter b konstant und setzt für a verschiedene Werte ein, so ergibt sich eine Schar paralleler Geraden (Parallelverschiebung; Bild 2-12). Ist dagegen fest , so erhält man für verschiedene Werte von b eine Schar von Geraden mit verschiedenen Steigungen, die durch den Punkt y = a gehen . Speziell ergibt sich für b = 0 die konstante Funktion f'(x) = a (Bild 2-13).

a

y

b=-1

b=2 b=1

~----b=O -~.L--,.l.L..-------,,,,L_X

_-+------.I---+-_ _

Bild 2-12

Bild 2-13

.. x

~-

67

§ 11 Einige verwendete Arten von Funktionen

(b) Bei der Funktion f'(x) = b(x-a)2 handelt es sich um eine Parabel, die um die Strecke a vom Nullpunkt verschoben ist und deren Steigung vom Parameter b abhängt. Für b > 0 ist die Parabel nach oben, für b < 0 nach unten geöffnet. Wir erhalten die in Bild 2-14 dargestellten Kurvenscharen. y

1 b=2 b=1 b=T

y

a ___".......,--_ _-+-_x

-t------".....""'------x

a

b=-2 b=-1

Bild 2·14

(c) Eine Funktion f'(x) = ao + a.x + a2x2 + . . . + anx n heißt ein Polynom vom Grad n (n E IN). Es besitzt höchstens n reellwertige Nullstellen.

Beispiel Die Funktion f'(x) = 5 x 6 - x 2 + 2 x + 1 ist ein Polynom vom Grad n = 6. (d) Der Quotient zweier Polynome vom Grad n und m ao+a.x+ . .. +anx n

fex) =

bo+b.x+ . . . +bmx

m

heißt eine rationale Funktion. Diese Funktion ist natürlich nicht defmiert für solche Argumente x E IR, für die das Nennerpolynom gleich Null ist. An diesen Stellen kann die Funktion gegen Unendlich streben (polstelle ; Bild 2-15). Wir wollen nun noch einige oft verwendete ökonomische Funktionen kurz beschreiben, ohne jedoch auf deren Voraussetzungen und Aussagefähigkeit sowie die Dimension der einzelnen Variablen genauer einzugehen. Bei den meisten Funktionen dieser Art hängt die abhängige Variable im allgemeinen von mehreren unabhängigen Vari-

68

Kapitel 2 Funktionen einer Variablen

f(x)= .L

x

_,'L

----,-+---'----__ x

Bild 2-15

ablen ab . Man erhält daraus jedoch Funktionen von einer Variablen, indem man nur eine Einflußgröße als variabel, die übrigen aber als konstant annimmt (ceteris-paribusBedingung). Diese Vorgehensweise ist in vielen Fällen ökonomisch sinnvoll. Der Definitionsbereich von ökonomischen Funktionen ist in der Regel eine beschränkte Menge, da Variable wie der Preis oder die Menge in der Praxis weder negative Werte annehmen noch beliebig groß werden können. Außerdem gelten für die in diesen Funktionen vorkommenden allgemeinen Parameter vielfach gewisse Einschränkungen, um zu gewährleisten, daß die für den jeweiligen Zusammenhang angenommenen ökonomischen Bedingungen erfüllt sind .

Konsumfunktion Die Konsumfunktion C(Y) beschreibt, wie der Gesamtverbrauch C (wertmäßiger Verbrauch von Gütern und Dienstleistungen) einer Volkswirtschaft vom Volkseinkommen Y abhängt. Dabei wird üblicherweise eine Beziehung der Form

C =a + bY mit a> 0 und b > 0 unterstellt. b stellt hierbei die marginale Konsumquote dar und a den autonomen Konsum, der unabhängig vom Volkseinkommen getätigt wird (Bild 2-16).

GlYl

-t-----------y

Bild 2-16

69

§ 11 Einige verwendete Arten von Funktionen

Nachfragefunktion Die Nachfragefunktion x = x(p) beschreibt die mengenmäßige Nachfrage x nach einem Gut in Abhängigkeit von dessen Preis p. Sie gibt also an , welche Menge bei einem bestimmten Preis abgesetzt wird . In vielen Fällen ist die Annahme gerechtfertigt , daß die Nachfragefunktion monoton fallend ist , wie dies z. B. bei der Funktion a-p x(p) = -bmit a, b > 0 der Fall ist (Bild 2-17) .

o

xlpl

b

Bild 2-17

+------~~p

o

Weitere typische Formen von Nachfragefunktionen werden z. B. beschrieben durch die Gleichungen

a- p2 x(P)=-b- '

a

x(P)=p+b -c,

x(p)=bp-a+ c

mit a,b,c>O.

Umsatzfunktion Die Umsatzfunktion U gibt an , welchen Erlös ein Anbieter erzielt, der von einem bestimmten Gut die Menge x zum Preis p absetzt. Sie ist definiert als das Produkt U = P . x und kann sowohl als Funktion U (p) = p . x (p) des Preises p als auch als Funktion U (x) = x . p (x) der Absatzmenge x aufgefaßt werden. Ist z. B. die Nachfrage nach einem bestimmten Gut gegeben durch die Funktion a-p

x(P) =-b-' so erhält man hieraus durch Auflösen nach p eine Funktion p (x) = a - bx . Die Umsatzfunktion U(x) hat dann die Gestalt : U(x) = x vp (x) = ax

r

bx?

(Bild 2-18) .

70

Kapitel 2 Funktionen einer Variablen

U(x)

-f--------'------'-- x

Bild 2·18

Kostenfunktion Die Kostenfunktion beschreibt die gesamten Kosten eines Betriebes , die bei der Produktion der Menge x eines bestimmten Gutes anfallen . Man unterscheidet dabei zwischen den fixen Kosten Kr, die unabh ängig von jeder Produktion auftreten und den variablen Kosten Kv , die mit der Ausbringungsmenge x in der Regel monoton wachsen. In vielen Fällen benützt man als Kostenfunktion ein Polynom dritten Grades : K(x) = Kr+alx-a2x2 +a3x 3 mit al , a2, a3 > 0 (Bild 2-19) . K(x)

K,

-+--- - - - - - - - - x

Bild 2·19

Es sind jedoch auch Kurvenverläufe gemäß den Funktionen K(x) = Kr+ax ,

K(x) = Kr+alx+a2x2,

x + a2 K(x) = Kr + a.x - - usw. x +a3

denkba r. Bei vielen Untersuchungen ist auch noch die sogenannte Durchschnittskostenfunktion • K(x) K(x) = -xinteressant, die die auf eine Mengeneinheit von x bezogenen Kosten angibt.

§

71

12 Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit

Gewinnfunktion Die Gewinnfunktion G (x) gibt an, welcher Gewinn beim Verkauf der Menge x eines Gutes erzielt wird. Sie ist definiert ~ der Unterschied zwischen dem bei der Menge x getätigten Erlös (Umsatz) und den Jüerbei anfallenden Gesamtkosten. d. h. G(x)

= U(x) -

K(x).

Analog zur Kostenfunktion kann man auch wieder die Durchschnittsgewinnfunktion A

G(x)

G(x)

= -x-

bilden .

§ 12 Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit

Der Begriff des Grenzwertes einer Funktion ist von zentraler Bedeutung für den Aufbau der Differential- und Integralrechnung und damit auch bei der Definition wichtiger wirtschaftstheoretischer Begriffe. (12 .1) Defmition Sei f : D --> IR eine Funktion mit D C IR. Dann heißt f an einer Stelle xo , die nicht notwendigerweise im Definitionsbereich D enthalten sein muß , konvergent gegen die Zahl ao E IR, falls für jede gegen Xo konvergente Folge von Argumenten x n die Folge der Bildpunkte f(x n) gegen ao konvergiert , d. h. also : f(x n) --> ao, falls Xn --> Xo für jede Folge (Xn)nE IN CD. Wir schreiben abkürzend : ao = Um f(x n) = Um f'(x) (Bild 2-20). Xn-XO

X-Xo

fix)

fix,) -

,/'

00

= (im fIx)

,,,x-Xe , ,, I I

· · ··· 1

,, I

Xn

Xo

Bild 2·20

Kapitel2 Funktionen einer Variablen

72 Beispiele

f(x)

(1) Die Funktion f :IR~IR ,

f(x)=a(=const.)

-0

I

I

besitzt für alle Xo E IR den Grenzwert lim f(x) = lim a = a (Bild 2-21). x-+xo

0=0 0

-

f( x.)

+---.---"'Tr,.-......- 111

111

1•.••.••11 1 I tI '

I II I _-+__--'---'.L..l...--'

x-+xo

Xo

-

X

Xn

Bild 2-21

f( x)

(2) Die Funktion f : IR ~ IR, f'(x) = a + bx besitzt an jeder Stelle Xo den Grenzwert Um f(x) = lim (a + bx) = a + bx, x""xo

x-+xo

(Bild 2-22). x.

X

xo

Bild 2-22 (3) Die Funktion f : IR \ {O} ~ IR mit f(x) = {

f(x )

1, falls x>O - 1, falls x < 0

-1

besitzt an der Stelle Xo = 0 keinen Grenzwe rt, da z. B.

Oll 1 ...' , - 2" ", '" 1 '1 ""11' o "2

x

' 11

für die Folgen Xn = k ~ Xo =0

Bild 2-23

und x~= -~~xo=O gilt : lim f(x n ) = lim f

Xn-Xo

.Iim

Xn-+Xo

n -+~

f(x~) =

(k) =

lim f (-

0-+00

lim 1 = 1 und n-+~

k) =

lim - 1 = - 1 (Bild 2-23).

0-+00

Wie aus dem letzten Beispiel ersichtlich ist , kann für eine Funktion f der Grenzwert lim f'(x) verschiedene Werte annehmen, je nachdem die Folge Xn von ,,rechts" x-+xo

oder "links" gegen Xo konvergiert.

§

73

12 Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit

Wirsetzen deshalb: (12.2) Definition Sei f : D ...... IR eine Funktion. Dann heißt der Ausdruck (a) fr(xo) = lirn f(x n ) rechtsseitiger Grenzwert von f an der Stelle xo; Xn--+Xo

Xo"'XnED

(b) f , (xo) =

lim

X n -+ Xo

f(x n ) linksseitiger Grenzwert von f an der Stelle xo.

xo>xnED

Man kann nun eine Aussage über die Existenz des Grenzwerts einer Funktion f an der Stelle Xo machen gemäß (12.3) Satz Eine Funktion f: D ...... IR besitzt in Xo den Grenzwert ao E IR,falls links- und rechtsseitiger Grenzwert existieren und übereinstimmen, d. h. falls gilt: f , (xo) = ao = fr(xo)·

Beispiel Bei der Funktion f(x) = { _

~ ~~ ~ ~ ~

ist für Xo = 0

f , (0) = - 1 und fr(O) = 1. f besitzt also an dieser Stelle keinen Grenzwert.

Bemerkung: Von einem uneigentlichen Grenzwert spricht man, wenn an einer nicht dem Definitionsbereich angehörenden Stelle Xo (z. B. einem Pol) der rechts- bzw. linksseitige Grenzwert gegen ± co strebt . Nähert sich dagegendie Funktion f für x ...... ± co asymptotisch einer Geraden y = b, so nennt man lim f(x) = b bzw. lim f'(x) = b Grenzwerte im Unendlichen. x-co

flXIL

x--+-oo

Beispiel Bei der Funktion f: IR" CO} ...... IR, 1

f(x)=i+b(bEIR) ist für Xo = 0, f, (0) = -

-----b

und fr(O) = co (Bild 2-24). Ferner ist lim f(x) = bund lirn f(x) = b. x-+oo

co

___---O>..-----+-

x--+-oo

Bild 2-24

x

74

Kapitel 2 Funktionen einer Variablen

Für Grenzwerte von Funktionen halten wir noch folgende Eigenschaften fest : (12 .4) Satz Es seien f, g : D -+ IR Funktionen mit Xo E D. Dann gilt für die Grenzwerte ao = lim f(x) und b o = lim g(x): X-'Xo

(a) (b)

X-Xo

lim (f + g)(x) = !im f(x) + !im g(x) = ao + b o ;

X-Xo

X -Xo

X-Xo

lim (f · g)(x) = lim f(x)' lim g(x) = ao ' b o ;

X-Xo

X-Xo

x-+xo

lim f(x)

f x-+xo ao (c) x~o g(x) = lim g(x) = b o x-Xo

für alle x E D mit g (x) =1= 0 und b o =1= O.

Mit Hilfe des Grenzwertbegriffes wollen wir nun genau definieren , was wir unter einer stetigen Funktion verstehen : (12.5) Defmition Sei f: D -+ IR eine Funktion. Dann heißt (a) f in Xo E D stetig, falls für jede Folge (Xn)nEIN CD mit xn -+ Xo gilt: lim f(x) = lim f(x n) = f(xo) ;

x - Xo

Xn -+ Xo

(b) f stetig in D, falls f stetig ist für alle x E D. Beispiele

(1) Die Funktion f : IR-+IR, f(x)=ax +b ist stet ig in jedem Punkt Xo E IR , da gilt : lim f(x) = ax, + b = f(xo)

fix)

x-+xo

(Bild 2-25) . f ist also im ganzen Definitionsbereich IR stetig.

Xo

Bild 2-25 tlx)

(2) Die Funktion f: IR -+ IR mit f(x) = { 1 für x =1= 0 o für x =0 ist unstetig im Punkt Xo = 0, da gilt : !im f(x) = 1 =1= f(O) = 0 (Bild 2.26). x-+xo

::!. . ,11! u t

x, - 0 Bild 2·26

:11

x,

§

75

12 Grenzwerte von Funktionen und Stetigke it

Eine Funktion f ist also an einer Stelle Xo nur dann stetig, wenn der Grenzwert von f in Xo existiert und mit dem Funktionswert f(xo) übereinstimmt. In geometrischer Hinsicht ist eine stetige Funktion dadurch charakterisiert, daß ihre Bildkurve keine "Sprünge" aufweist, sondern zusammenhängend ist. Durch die Berechnung von rechts- und linksseitigen Grenzwerten kann man auf einfache Weisedie Stetigkeit einer Funktion überprüfen wie folgt : (12 .6) Satz Eine Funktion f: D ..... IR ist in Xo E D stetig, falls gilt: (a) es existieren die Grenzwerte f,(xo) und fr(xo) gemäß Definition (12 .2); (b) f,(xo) = fr (xo) = f(xo). Aus stetigen Funktionen erhält man wiederum stetige Funktionen, wenn man auf sie folgende Rechenoperationen anwendet:

(12.7) Satz Seien f, g : D ..... IR stetige Funktionen. Dann gilt: (a) Die Funktionen f ± g, f · g, ~(ftir g (x) =1= 0) sind stetig ; (b) Existiert die zusammengesetzte Funktion g e f, so ist diese stetig ; (c) Existiert die Urnkehrfunktion r l , so ist sie stetig.

Beispiele (I) Aus den stetigen Funktionen f'(x) Funktionen

=3 und g (x) =x 2 erhält man die stetigen (für x =1= 0).

Mit Hilfe von (12 .7) (a) kann man insbesondere zeigen, daß jedes Polynom 'und jede rationale Funktion (mit Ausnahme der Nullstellen des Nennerpolynoms) stetig sind. (2) Aus den beiden stet igen Funktionen f'(x) die zusammengesetzten Funktionen (g 0 f) (x) (f 0 g)(x)

=a + x 2 und g(x) =Ibxl

=g(f'(x) =g(a + x 2 ) =lb (a + x 2 )1=lab + bx 2 1 =f'(gfx) =f'(lbx l) =a + b 2x2 ,

erhält man

und

die ihrerseits wieder stetig sind. (3) Als Urnkehrfunktion der stetigen Funktion f : IR+ ..... IR, f'(x) =x 2 erhält man die stetige Funktion r l (x) =VX. Die Verwendung stetiger Funktionen in den Wirtschaftswissenschaften ist nicht unproblematisch. Voraussetzung dafür ist natürlich, daß sich sowohl die unabhängige als auch die abhängige Variable kontinuierlich verändern lassen. Dies ist aber in der Praxis nicht immer möglich. Dazu etwa folgendes

76

Kapitel2 Funktionen einer Variablen

Beispiel Die Preise für verschiedene Güter sind gestaffelt nach der Abnahmemenge x. So ergibt sich beispielsweise auf dem Markt für Heizöl die Preisfunktion

p(x) =

80 70 62 54 50

1

für 0 <x';;; 500 Liter für 500 <x';;; 1000 Liter für 1000< x';;; 1500 Liter für 1500< x .;;; 2500 Liter für 2500 < x';;; 5000 Liter

Die Preise verstehen sich in DM pro 100 Liter. Hierbei kann man die unabhängige Variable, also die Absatzmenge x , ohne Schwierigkeit als kontinuierlich auffassen. Die abhängige Variable dagegen , also der Preis, ändert sich nur sprungweise. Eine solche unstetige Funktion nennt man ihrer Gestalt wegen auch eine Treppenfunktion (Bild .2-27).

plx)

80 60

:.-.-

---,

' - - - - ' - - - - - - -.....

40 20

+---:-:':::---:=c:-----=-~-~----'----x

1000

2000

3000

4000

5000

Bild 2·27

Viele in der Praxis auftretende Funktionen sind ihrer Natur nach unstetig. Man setzt aber häufig aus Bequemlichkeit trotzdem einen stetigen Verlauf voraus, wenn nämlich eine solche "angenäherte" Funktion und die der Realität entsprechende Funktion nur geringfügig voneinander abweichen. Ist jedoch der Unterschied zwischen diesen beiden Funktionen zu groß, so muß die Annahme der Stetigkeit fallengelassen werden, da dies sonst zu Fehlinterpretationen führen würde. Für die meisten in der volkswirtschaftlichen Theorie betrachteten Funktionen wird Stetigkeit angenommen.

§ 13 Die Ableitung einer Funktion

In den Wirtschaftswissenschaften ist man naturgemäß besonders daran interessiert, in welcher Weise sich die verschiedenen ökonomischen Funktionen in Abhängigkeit von der unabhängigen Variablen verändern. Bei der Ermittlung solcher Änderungs. raten stellt die Ableitung einer Funktion ein wichtiges Hilfsmittel dar. Daneben wird

77

§ 13 Die Ableitung einer Funktion

die Ableitung noch häufig dazu benützt, den Verlauf einer Funktion zu untersuchen (Kurvendiskussion). In geometrischer Hinsicht versteht man unter der Ableitung einer Funktion f an der Stelle Xo ihres Definitionsbereichs die Steigung der Tangente an die Funktion im Punkt xo. Man berechnet diese Steigung der Tangente mit Hilfe eines Grenzprozesses, den wir nun anschaulich beschreiben wollen. Dazu betrachten wir zunächst die Steigung einer Geraden y = f'(x) . Diese ist für beliebige Argumente Xo und x aus dem Definitionsbereich definiert als der Quotient zwischen der Differenz der Funktionswerte f'(x) - f(xo) und der Differenz der Argumente x - Xo : Steigung einer Geraden =

fex) - f(xo) x Xo

(Bild 2.28).

f(x) f(x) f(xol

J}f(X)-f(Xol

I ~I I X-X

o

I

I

I

I

I

I

-+

:

I

I

I ...l.-

I ......L._ _

x

x

Bild 2·28

Man bezeichnet einen solchen Ausdruck auch als Differenzenquotienten. Für eine beliebige Funktion f'(x) bilden wir nun, wie in Bild 2·29 angedeutet, eine Folge von Sekanten, die alle durch den Punkt f(xo) gehen und berechnen deren Steigungen.

Tangente

f(x)

Xo

-

x'

x

Bild 2·29

78

Kapitel 2 Funktionen einer Variablen

Wie man sieht, nähern sich die Steigungen der Sekanten immer mehr der Steigung der Tangente, wenn x ....Xo strebt. Man setzt deshalb als Steigung der Tangente und folglich als Ableitung der Funktion f an der Stelle Xo den Grenzwert der Differenzen quotienten, den sogenannten Differentialquotienten . f'(x) - f(xo) 11m . x.... xo X-Xo

(13.1) Defmition Sei I C IR ein Intervall und f : I .... IR eine Funktion. Dann heißt f an der Stelle Xo E I differenzierbar, wenn der Grenzwert .

f' (xo) = 11m

X--Xo

) f'(x) - f(xo) (df x- x = -d (xo) 0

x

(sprich : f Strich von Xo bzw. df nach dx an der Stelle xo) existiert. f' (xo) nennt man die Ableitung von f an der Stelle Xo und f heißt differenzierbar in I, falls f für alle x E I differenzierbar ist. Die Gleichung der Tangente an die Funktion f im Punkt Xo hat dann die Form T(x) = f(xo) + f" (xo) (x - xo). Zwischen Stetigkeit und Differenzierbarkeit einer Funktion besteht folgender Zusammenhang.

(13.2) Satz Ist die Funktion f im Punkt Xo differenzierbar, so ist sie in Xo auch stetig. Zur überprüfung der Differenzierbarkeit einer Funktion f an einer Stelle Xo ist es in vielen Fällen günstig, rechts- und linksseitige Ableitungen zu bilden . Wir setzen:

(13.3) Defmition Sei I C IR ein Intervall und f : I .... IR eine Funktion sowie Xo E I. Dann heißt der Grenzwert (a) c;(xo)

= lim

fex) -f(xo) x.... xo x Xo x > xo rechtsseitige Ableitung von f in xo ;

(b)

~ (xo)

=

lim fex) - f(xo)

X-Xo

x <xo

x

Xo

linksseitige Ableitung von f in xo.

79

13 Die Ableitung einer Funktion

• gilt dann 3.4) Satz ne Funktion f : (a, b) ~ IR ist differenzierbar in Xo E (a, b), falls die rechts- und iksseitigen Ableitungen von f in Xo existieren und übereinstimmen, d.h. falls gilt : [.(xo) =

f/ (xs) ,

iispiele ) Bei der konstanten Funktion f'(x) = a(= const.) ist der Differentialquotient a-=- a = 0 = x-+xo X Xo .

lim fex) - f(xo) = tim

x-+xo

x

Xo

f' (xo)

für alle Xo aus dem Definitionsbereich; es ist also die Ableitung 2-30).

f' (x) = 0 (Bild

fIx)

-----0+-----------+,..-----_x

Bei der Geradengleichung f'(x) = a tim x-+xo

f'(x) - f(xo) x

Xo

= tim x-+xo

Bild 2·30

+ bx ist der Differentialquotient

[a + bx - (a + bxo)] X Xo

= tim b = b . x-+xo

Die Ableitung f' (xo) = b stimmt also für alle Xo aus dem Definitionsbereich mit der Steigung der Geraden überein (Bild 2·31). f(x)=o+bx

f{xl I I

I

I

f{x)-t(x o) =b

I

- - - - - -----1

x-xo

I

I

o

I

I

I

I

x

X

Bild 2-31 o

80

Kapitel2 Funktionen einer Variablen

(3) Bei der Betragsfunktion f(x) = lxi = { _ ~

~: ~ ~ ~

ist an der Stelle Xo = 0 die linksseitige Ableitung f, (xo) =- 1 und die rechtsseitige Ableitung (.(xo) =1. Die Funktion ist also in Xo = 0 nicht differenzierbar, obwohl sie dort stetig ist (Bild 2-32). fix)

f(xl=lxl

------~ 1 für x > O. Da die Reihe konvergent ist, darf man sie ferner gliedweise differenzieren und es gilt : 3 2 x' = ( l+x+"2+"6+ x X (e) '"

2

x

= 1 + x + "2 + . .. =

Beispiele

) '

=0+1+ 2x

3x

2

2+ 6+ "

e".

r

(1) f'(x) = be ax, (x) = abe ax ; (2) f(x) = g(e- aX2) , f'{x) = g'(e-aX2) 'e-ax2 '(_2ax);

(3) f(x) = _ a _ = a (I + be -X)- I 1 + be'" , f" (x) = - a(l + be-

r

x 2

(- be?') = ab (1 +

~:-X)2 .

,=

88

Kapitel2 Funktionen einer Variablen

Aus den in Satz (15 .1) angegebenen Eigenschaften kann man nun erkennen, daß alle Bildkurven der Funktion y =f(x) =eax die Ordinate im Punkt y =1 schneiden. Für a > 0 ist die Funktion streng monoton wachsend , für a < 0 ist sie streng monoton fallend (Bild 2-36).

-3

-2

Bild 2·36

-1

Die Funktion y =f(x) =be" schneidet die Ordinate im Punkt y streng monoton steigend, für b < 0 streng monoton fallend.

=b und ist für b > 0

Bemerkung: Für den Wert x = I kann die Exponentialfunktion e X auch mit Hilfe der Folge an = (1 + k)n berechnet werden. Als Grenzwert ergibt sich hierbei die sogenannte Eulersche zahl e

=e 1 =n-+lim

OO

(1 + *)n = 2,71828 . ..

Da die Exponentialfunktion bijektiv ist, existiert auch deren inverse Funktion. Man bezeichnet diese Umkehrfunktion als Logarithmusfunktion.

(IS .3) Defmition Die Umkehrfunktion der (natürlichen) Exponentialfunktion

In : IR+ 0 und a > 0 stellen dabei die Blldkurven Geraden dar der Form ln f'(x) = ln b + x ln a

(Bild 2·38).

Infix) 4

3

-2 -3

§

16 Wachstumsraten und Elastizitäten

Die Wachstumsfunktion y = f(t) beschreibt das Wachstumeiner ökonomischen Größe wie z. B. der Bevölkerung,des Kapitalstocks usw. in Abhängigkeitvon der Zeit t. Wirwollen hier vor allem solche Wachstumsfunktionen betrachten, bei denen die abhängige Variable in jeder Periode um denselben Prozentsatz zunimmt. Dies ist z. B. der Fall bei einem Kapital Ko , das zu einem Zinssatz p auf Zinseszinsen angelegt ist. Wie in § 7 abgeleitet wurde, hat das nach t Perioden zur Verfügungstehende Kapital den Wert K(t) = Ko(l +p)t .

92

Kapitel2 Funktionen einer Variablen

*

Wir nehmen nun an, daß jede Periode weiter unterteilt wird in n gleiche Zeitabstände. Wird dann das in jeder dieser nt Perioden vorhandene Kapital zu % verzinst, so ergibt sich : K(t)=Ko

(I+*r

Für n ..... 00 werden die Zeitabstände immer geringer, so daß praktisch zu jedem Zeitpunkt eine Verzinsung erfolgt. Als Grenzwert erhalten wir :

Man nennt dies eine stetige, d. h, kontinuierliche Verzinsung. Auf analoge Weise kann man zeigen, daß sich die Wachstumsprozesse für viele andere ökonomische Größen durch eine Exponentialfunktion beschreiben lassen. . Als Wachstumsrate bezeichnet man im allgemeinen die relative Änderung : (~;) ,die näherungsweise angibt , um welchen Prozentsatz sich die Wachstumsfunktion f(t) pro Zeiteinheit ändert. (16.1) Defmition Sei I C IR ein Intervall und f: I ..... IR differenzierbar in I. Dann heißt die Funktion

.. f'(t)

f'{t)

= f(t)

für alle tE IR mit f(t)"* 0 die Wachstumsrate von f.

~ieht,

stellt also die Wachstumsrate Wie man leicht gung der Funktion In If(t)1 dar.

f (t) = (In I; (t) I)' = ~~~;

die Stei-

.

Beispiele (1) Bei der stetigen Verzinsung K(t) = Koe Pt ergibt sich Js Wachstumsrate der Zinssatz p :

•

.

K' (t)

pt

pKo e

K(t) = K (t) = KoePt = p.

a (2) f(t) = 1 + eg(t) , lai In If(t)1 = In - - = In lal-In(1 I + eg(l)

•

,

f(t) = (In lf'(t) I) = -

g' (t) 1 +e

eg(t) g (I) '

+ eg(I»

,

§

93

16 Wachstumsraten und Elastizitäten

Bei der Untersuchung vieler funktionaler Zusammenhänge in den Wirtschaftswissenschaften tritt die Frage auf, wie stark die abhängige Variable auf eine Veränderung der unabhängigen Variablen "reagiert". Betrachten wir dazu etwa die Nachfragefunktion x = x(p) = 100 - P (Bild 2.39). xlp]

80

75

.....

6.25 - 025 25 - •

125%

1 I I

I

I I 1 1

I I I I

I I

I

30 25

I I

I

I I -----;-r---------1

-----l-r-------- -~::!~

: : I

I

I

I

I

I

I

I

L

:7,14%

I

I

I

I

I

I

Bild 2-39

I

I

+-----::'::--:!:::------~~----'''--p

2025

7075

Eine Erhöhung des Preises von 20 DM auf 25 DM führt dabei zu einer Senkung des Absatzes von 80 auf 75 ME und eine Erhöhung des Preises von 70 DM auf 75 DM ergibt einen Absatzrückgang von 30 auf 25 ME. Es führt hier also jeweils eine absolute Preiserhöhung von 5 DM zu einer absoluten Senkung der Nachfrage von 5 ME. Trotzdem wirkt sich aber die Steigerung des niedrigeren Preises anders auf die Nachfrage aus als die Steigerung des höheren Preises. Man sieht dies erst , wenn man statt der absoluten die relativen, d. h. die prozentualen Änderungen betrachtet. In unserem Beispiel fuhrt beim Niveau von 20 DM eine 25 %·ige Preiserhöhung zu einer Abnahme der Nachfrage um 6,25 %, während beim Niveau von 70 DM durch eine Preissteigerungvon 7,14 % die Nachfrage um 16,7 % verringert wird . Aus den

6fs5

= 0,25 und ~~i~ = 2,3 kann man dann erkennen, daß die beiden Quotienten Nachfrage bei den beiden Preisniveaus unterschiedlich stark auf Preiserhöhungen reagiert. Allgemein stellt das Verhältnis f(xo + ~x) - f(xo) ~x f(xo + ~x) - f(xo) Xo f(xo) : X; = f(xo) . ~x zwischen der relativen Änderu~g der abhängigen Variablen y = f'(x) und der relativen Änderung der unabhängigen Variablen x eine Maßzahl für die Reaktion der Funktion f auf eine Erhöhung bzw. Verminderung von Xo um ~x dar. Man nennt diesen

94

Kapitel2 Funktionen einer Variablen

Quotienten auch die durchschnittliche relative Änderung von f im Intervall [xo, Xo+ .t.x] bzw . [xo - .t.x, xo] in Bezug auf die relative Änderung der unabhängigen Variablen x. Aus dieser auf ein Intervall bezogenen durchschnittlichen Änderungsrate erhält man den Quotienten der relativen Änderungen von f im Punkt xo , wenn man wie in § 13 den Grenzübergang .t.x .... 0 durchflihrt. Es ergibt sich dann : .

f(xo + .t.x) - f(xo)

Ax ....0

f(xo)

11m

Xo

._

.t.x

=-

Xo

-

f(xo)

.

Iim

f(xo + .t.x) - f(xo)

Ax ....0

.t.x

=

f' (xo)

=Xo • f(xo)

.

Für diesen Ausdruck hat sich die folgende Bezeichnung eingebürgert :

(16.2) Definition Sei I C IR ein Intervall und f : I .... IR differenzierbar in I. Dann heißt für alle Xo E I mit f(xo) 0 der Grenzwert

*

r

(xo) Ef (xo) = Xo f(xo) die Elastizität von f im Punkt xo.

Beispiele (1) f(x)

=a+bx;

Ef(X)

=a rbxbx '

c

(2) f(x) = a + bx ; Ef (x) = (3) f(x) = bx" ; Ef(X) =

- cb (a + bX)-2 x bx c (a + bx) I = - a + bx .

abx S - 1 ·x

bx"

- a.

Speziell ist also

Ef(X) =

1

Ef(X) = - 1

für f(x) = x und

für f(x)

=~.

abe ax. x (4) f(x) = beax; Ef(X) = b F = ax. Für das Rechnen mit Elastizitäten gelten folgende Regeln :

(16.3) Satz Sind f, g differenzierbare Funktionen. Dann gilt für die Elastizität (a) der Summe f+ g: E(f+g)

(x) =

f(x) Ef(X) + g(x) f(x) + g (x)

Eg

(x)

95

§ 16 Wachstumsraten und Elastizitäten

(b) des Produkts f· g: €r .g (x) = €r(x) + €g (x); (c) des Quotienten

f:

€r(x) = €r(x)-€g(x);

i

(d) der zusammengesetzten Funktion g e f: egor(X) = €g (f'(xj}: €r(X); (e) der Urnkehrfunktion

r'

von f:

I

€r' (Y) =€r ( x)' Die Elastizität gibt näherungsweise an, um wieviel Prozent sich eine Funktion y = f(x) ändert, wenn sich die unabhängige Variable x um I % ändert. In Bezug auf eine Nachfragefunktion f(p) bedeutet dann z. B. €r(p) = - S, daß die Nachfrage um 5 % sinkt, wenn der Preis um I %erhöht wird. In den Wirtschaftswissenschaften sind bei der Untersuchung von Elastizitäten häufig folgende Bezeichnungen gebräuchlich : (16.4) Definition Eine Funktion f heißt im Punkt Xo (a) elastisch , falls l€r(xo)1 > 1; (b) l-elastisch, falls l€r(xo)1 = I; (c) uneiastisch, falls l€r(xo)1 < 1. Betrachten wir dazu etwa die Nachfragefunktion f : [0, -~) -+ IR, f(p) = a + bp mit a > 0 und b < O. Es ist dabei a + bp > 0 und bp";;;0, so daß für die Elastizität gilt:

bp bp l€r(p)1 = 1 - - 1 = - - a +bp a + bp

> 1 fürp>-~ 2b a = I fiirp=-2b

1

< 1 für p 0 (Bild 2-46) .

4 -4

(4) (-4)

§

101

17 Kurvendiskussionen

Bild 2-46

(2) Bei einem Monopol kann der Anbieter den Preis festsetzen und der Nachfrager verhält sich üblicherweise als Mengenanpasser . Man geht hier in der Regel aus von einer Nachfragefunktion p = f'(x) , die den Preis p in Abhängigkeit von der nachgefragten Menge x angibt. Die Gewinnfunktion hat dann die Form G(x) = U(x)-K(x)= xf(x)-K(x). Als notwendige Bedingung für das Vorliegen eines Gewinnmaximums erhält man dann aus der Gleichung G' (x) = U' (x) - K' (x) = f'(x)

+ xf" (x) - K' (x) = 0

die Beziehung

U' (x) = f'(x)

+ xf"(x) = K' (x).

Bei einem maximalen Gewinn muß also stets der Grenzumsatz mit den Grenz kosten übereinstimmen. Bei einer Umsatz- und einer Kostenfunktion gemäß der folgenden Zeichnung gibt es zwei Punkte x, und X2, in denen beide Kurven parallele Tangenten besitzen, so daß also die notwendige Bedingung erfiillt ist . Ein Maximum kann aber nur bei X2 existieren, da hier der Umsatz über den Kosten liegt (Bild 2-47). G(x) U(x) K(x)

""'-_ _--'-_x

Bild 2-47

102

Kapitel 2 Funktionen einer Variablen

Als hinreichende Bedingung erhalten wir nach Satz (17 .3) die Ungleichung G" (x) = U" (x) - K" (x) =

zr' (x) + xf" (x) - K" (x) < O.

Bei einem Gewinnmaximum muß also die Steigung des Grenzumsatzes geringer sein als die Steigung der Grenzkosten. Dies ist in Bild 2-48 der Fall beim Punkt X2 , bei dem sich die Grenzkosten und der Grenzumsatz schneiden . K'(x) U'(x)

K'(x)

-4....1------'------" O. Die zweite Ableitung f" (x) einer Funktion f'(x) beschreibt die Steigung der ersten Ableitung f' (x) . Man kann damit die Krümmung einer Funktion untersuchen. Es gilt : (17 .7) Satz Sei I C IR ein Intervall und die Funktion f : I ..... IR zweimal differenzierbar in I. Dann ist (a) f konvex, falls für alle x E I gilt : f" (x) ~ 0 ; (b) f konkav, falls für alle x E I gilt: f" (x) .;;; O.

Beispiele (1) Die Funktion f'(x) = ~ ist im Bereich (0,00) konvex wegen f" (x) = ~ im Bereich (- 00 , 0) konkav wegen

f" (x)

= ; x

< O.

> 0 und

§

105

17 Kurvendiskussionen

(2) Wirwollen nun die lokalen Extrema der Durchschnittsfunktion f (x) = f ~X) einer Funktion f : IR. " {O} -+ IR bestimmen. Durch Nullsetzen der ersten Ableitung xf (x) - f'(x) • f' (x) = =0 2

x

erhält man sofort die notwendige Bedingung

f' (x)

fex)

=)(

("').

Stationäre Punkte sind also alle Stellen, bei denen die Grenzfunktion mit der Durchschnittsfunktion übereinstimmt. Setzt man nun ("') in die zweite Ableitung ein, so ergibt sich als hinreichende Bedingung: x 2 f" (x) - 2xf' (x) + 2f(x) r (x) •, f' (x) = 3 = -x- ' X

Bei f" (x) > 0 existiert ein lokales Minimum, bei f" (x) < 0 existiert ein lokales Maximum. Im ersten Fall liegt der stationäre Punkt also im konvexen, im zweiten Fall im konkaven Bereich von f'(x). Als Wendepunkt einer Funktion f'(x) bezeichnet man eine Stelle xo, bei der eine konvexe Bildkurvein eine konkave Bildkurveübergeht und umgekehrt. Ein Wendepunkt ist ein lokales Extremum der ersten Ableitung f' (x), Zur Bestimmungvon Wendepunkten gilt: (17.8) Satz Die Funktion f : (a, b) -+ IR sei in einer Umgebungvon Xo E (a, b) dreimal differenzierbar. Ist dann f" (xo) = 0 und f''' (xo) =1= 0, so besitzt die Funktion in Xo einen Wendepunkt.

Beispiel Die Funktion f'(x) = (x - 1)3 besitzt in Xo = 1 einen Wendepunkt wegen f" (x) = 6 (x - I) = 0 für Xo = I und f''' (x) = 6 =1= O. Sind die zweiten und dritten Ableitungen gleich Null, so gilt allgemein: (17.9) Satz Die Funktion f : (a, b) -+ IR sei in einer Umgebungvon Xo E (a, b) n-mal differenzierbar mit n > 3. Ist dann n ungerade und f" (xo) = f''' (xo) = . . . = f(n-1) (xo) = 0 sowie f(n)(xo) =1= 0, so existiert in Xo ein Wendepunkt.

106

§

Kapitel2 Funktionen einer Variablen

18 Das bestimmte Integral

Die Integralrechnung fmdet vor allem Verwendung in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik. Daneben wird sie heute in zunehmendem Maße auch bei der Beschreibung vieler ökonomischer Probleme benützt. Ursprünglich wurde die Integralrechnung vor allem deswegen entwickelt, um auch Flächen berechnen zu können , die nicht notwend igerweise von geraden Linien begrenzt sind. Bei einer konstanten Funktion f'(x) =c mit c > 0 stellt die Fläche F zwischen der Bildkurve von f'(x) und der x-Achse im Intervall [a, b] ein Rechte ck dar (Bild 2-51). Man erhält diese Fläche natürlich nach der Formel Grundlinie X Höhe , d. h. also :

F

= (b -

a) c.

f( x )

f(x)= c

c

-+_.f.LJ.~:LL.LL..C.L... 0 für x E [a, b] steht jedoch im allgemeinen für die Berechnung des von der Bildkurve von f'(x), der x-Achse und den Geraden x = a sowie x = b begrenzten Flächenstücks F keine aus der elementaren Geometrie bekan nte For mel zur Verfügung(Bild 2-52). fI x)

o

Bild 2-52 b

§ 18

107

Das bestimmte Integral

Ähnlich wie man in der Differentialrechnung die Steigung einer Tangente berechnet, löst man auch dieses Flächenproblem mit Hilfe eines Grenzprozesses . Dazu wird das Intervall [a, b I unterteilt in n Teilintervalle gemäß

= [xo, x.] U [XI> x21 U ... U [x, -I> xii U ... U [xn_1> xnl Xo =a und Xn =b . Für jedes dieser Teilintervalle bestimmt man nun den jeweils [a, bl

mit größten und kleinsten Funktionswert Mi m,

= sup {f(x)Ix E [x, -1, Xi)} = inf {f(x)lx E [x, - 1 , xii} .

und

Wir berechnen dann die Flächen der Rechtecke mit der Breite (x, - Xi-1) und der Höhe Mi bzw. m, und bezeichnen die Summe (a) S~n) (f) =

n

I

Mi (x, - Xi -d als die Obersumme von f im Intervall [a, bl

i =1

(Bild 2-53);

f lx]

~---''''''''A

fix)

Bild 2-53

n

(b) S~n) (f)

=I

m, (x, - Xi -1) als die Untersumme von f im Intervall [a, bl

i =1

(Bild 2-54). Wie man leicht sieht, ist die Obersumme größer, die Untersumme kleiner als die "wahre" Fläche F. Es gilt also: S~n) (f) ~ F ~ S~n) (f).

Unter- und Obersumme nähern sich immer mehr der Fläche F an, falls eine noch größere Zahl von Teilintervallen gewählt wird. Führt man nun eine solche Untertei-

108

Kapitel 2 Funktionen einer Variablen

f(x)

_ _-I

='2ZZ~~~~~~~L b

Bild 2-59

x

(e) Sei die Funktion f auf allen Intervallen [an. bnl mit an ~ integrierbar. Dann heißt der Grenzwert bn

an~oo

00

und b n ~ 00

+00

S f'(x) dx = S f'(x) dx

bn- +oo an

-00

das uneigentliehe Integral von f in den Grenzen -

fix)

.a>

00

und + 00 (Bild 2-60).

113

§ 19 Das unbestimmte Integral

(d) Die Funktion f sei im Intervall (a, b] stetig mit lim f(x) = ± 00 . Dann heißt der

Grenzwert

x- a

b

.-0 S lim

b

f(x) dx

=

a+e

Sf(x) dx a

das uneigentliche Integral von f in den Grenzen a und b (Bild 2-61). fix)

-+_---iLLL.t.:LL..CLLLL.t.'.LL.c..LL~

o

x

Bild 2-61

Dabei ist jeweils vorausgesetzt, daß der entsprechende Grenzwert existiert.

§

19 Das unbestimmte Integral

Neben dem bestimmten Integral führen wir nun den Begriff des unbestimmten Integrals ein . Damit stellen wir einen Zusammenhang zwischen Differential- und Integralrechnung her. Wie wir sehen werden, läßt sich damit in vielen Fällen die Berechnung bestimmter Integrale erheblich vereinfachen. Die Aufgabe der Differentialrechnung besteht darin, zu einer gegebenen Funktion f(x) deren Ableitung f' (x) zu bestimmen. In der Integralrechnung wird stattdessen eine Funktion F (x) (Stammfunktion) ermittelt, deren Ableitung F' (x) mit einer gegebenen Funktion übereinstimmt.

(19.1) Definition Eine Funktion F : [a, b] -+ IR heißt eine Stammfunktion von f: [a, b] -+ IR, wei.n für

alle xE [a, b] gilt :

F' (x) = f(x) .

Beispiele (1) Die Funktion f(x) F (x)

=x; ,

=x besitzt die Stammfunktion

da gilt : F ' (x)

=;x =x = f(x).

114

Kapitel 2 Funktionen einer Variablen

(2) Für f(x) = eX lautet die Stammfunktion F (x) = e X. Eine Stammfunktion läßt sich nicht auf eindeutige Weisebestimmen. Ist nämlich F (x) eine Stammfunktion von f(x), so ist auch G (x) = F (x) + c für beliebiges cE IR wieder eine Stamm funktion von f(x). Es gibt dann also unendlich viele Stammfunktionen, die sich alle nur durch eine additive Konstante unterscheiden. Das unbestimmte Integral führen wir nun ein gemäß (19.2) Deimition Sei F(x) eine Stammfunktion von f(x). Dann heißt die Menge {F (x) + clc E IR} aller Stammfunktionen das unbestimmte Integral von f. Man schreibt dafür :

Sf(x) dx = F (x) + c.

Beispiele (I) f(x)=x' mit aEIR, ai'-I .+1

1

Es ist hierbei F (x) = x. + 1 wegen F' (x) = :: 1 x' = x" und deshalb : x·+l

S

x'dx =--+c. a+I

(2) f(x)=~=X-l für x se O Es ist hierbei F (x) = In Ix I wegen F' (x) = ~ und deshalb

S~dx=lnlxl +c. (3) Für f(x) = e Xist SeXdx = eX + c,

Bemerkung: Aus den beiden folgenden Beziehungen

(Sf'(x) dx Y= (F (x) + c)' = F' (x) = f(x)

und

S(F(X) + c)' dx = Sf(X) dx = F(x) + c kann man nun erkennen, daß die Integration die Umkehroperation der Differentia tion darstellt. Wir wollen nun zeigen, wie sich unbestimmte Integrale zur Berechnung von bestimmten Integralen benützen lassen. Dazu betrachten wir die Funktion y

G(y) =

Sf(x) dx (Bild 2-62). a

§

19 Das unbestimmte Integral

115

fix) f{xl

x

- + - _...ILL .LL.L.L..'-L...O K(x) =

J(az? - bz + c) dz + K(O) = (~3 - b~2 + cz)

o a

r

+ K(O) =

0

3 b =3X -2X2 +cx+K(O).

(2) Es sei K' (x) = x

K (x) =

I

-Ix mit Kr = K (0) = 2. Dann ist

SVi dz + 2 = 2Z o

I

/

2 1x + 2 = 2 0

..,;x + 2

(Bild 2-63) .

K(x),K '(x)

8 7 6 5 4

3 2 K'(xl

Bild 2·63 2345678

Einige Formeln aus der Finanzmathematik Für den Gegenwartswert Weines Investitionsgutes, das zu Beginn jeder Periode die Einnahmen Zo,Zl, . .. , Zl erbringt, gilt bei einer Zinsrate p die Formel Zl Z2 Zt t~ Zj (1 + pi' W = Zo + (1 + p) + (1 + p)2 + . .. + (l + p)t =

i~O

122

Kapitel 2 Funktionen einer Variablen

Man kann dies analog zu den Oberlegungen in § 7 ableiten . Wir wollen nun dieses Ergebnis verallgemeinern auf den Fall eines kontinuierlichen Einkommensstromes und kontinuierlicher Verzinsung. Wie wir in § 16 gezeigt haben , wächst ein Kapital Ko , das bis zum Zeitpunkt t zu einem Zinssatz p angelegt ist, exponentiell auf den Wert K(t) = Koe Pt . Der Barwert (Gegenwartswert) von K(t) berechnet sich hierbei gemäß K(t) Ko = Pt = K(t) e-pt . e Werden nun die Einnahmen in Abhängigkeit von der Zeit t durch eine stetige Funktion z(t) beschrieben, so erhält man den Gegenwartswert dieses Einkommensstromes

L -z,'-;, sondern als bestimmtes Integral t

nicht mehr als Summe W =

i = 0 (1 +p) t

S

W = z(x) e- Px dx,

o wobei wir x als Integrationsvariable bezeichnen . Für den Fall konstanter Einnahmen z(t) = z ergibt sich dann : t

W=

S

ze- Px dx = z ( -

o

t

e-

px

I = z (-t e-pt + t eO) = ~ (1- e-Pt) . t

)

0

Nimmt man an, daß der Ertragsstrom zeitlich unbegrenzt ist, so stellt der Gegenwartswert ein uneigentliches Integral dar :

-I

bn

00

w=S

ze-pxdx= lim

b n -+ 00

o =z lim bn - oo

0

b

e-pxdx= lim z(_.!e-px)l b n -+ 00 P

n=

0

( _ .!p e-Pbn + .!p eO) = z(o + .!) = ~. p p

Bei der Berechnung des Endwertes K einer Reihe von Zahlungen gehen wir auf ähnliche Weise vor. Werden jeweils zu Beginn einer Periode die Zahlungen Zo, ZI , .. . , Zt vorgenommen , so ergibt sich bei einem Zinssatz p für das am Ende der toten Periode zur Verfügung stehende Kapital: l

K = (I + p)t Zo + (I + pt Z. + .. . + (1 + p) Zt-I +

L t

=

n =O

(I + p)t-n Zn.

Zt =

§ 20 Differentialgleichungen und andere Anwendungen der Integralrechnung

123

Wir wollen dies nun wieder verallgemeinern auf den Fall kontinuierlicher Zahlungen. Bei einem stetigen Zahlungsstrom Z(t) und bei kontinuierlicher Verzinsung erhält man dann für den Endwert das bestimmte Integral t

K

=SZ(x) e(t -x)p dx , o

wobei wieder x als Integrationsvariable gewählt sei. Bei konstanten Zahlungen Z(t) = Z gilt dann :

Einige Begriffe aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung In der Wahrscheinlichkeitsrechnung spielen die folgenden, mit Hilfe von uneigentliehen Integralen definierten Begriffe, eine wichtige RoUe.

(20.1) Deimition Es sei f : IR ....,R eine stückweise stetige Funktion mit f(x);;;' O. Dann heißt (a) die Funktion feine wahrscheinlichkeitsdichte, wenn gilt : +00

S f'(x) dx = 1;

. - 00

(b) die durch die Vorschrift y

F (y)

= Sf'(x) dx -00

definierte Funktion F : IR.... [0 , 1] eine Verteilung sfunktion; (c) derWert

f

+00

E(x) =

xf'(x) dx

ein Erwartungswert. Wir woUen diese Begriffe hier nur rein formal behandeln und nicht auf ihre Bedeutung eingehen.

124

Kapitel 2 Funktionen einer Variablen

Beispiel

Die Funktion f (x)

! für -4<x~4

={ 8 o sonst

ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte, da gilt: + 00

- 4

f

f(x )dx=

- 00

f

4

Odx+

f

00

k dX+

- 4

-00

f Odx=kx'-:=~ -(-~ )=l 4

f( x)

1

2 1 ----81 ------

-4

Bild 2·64

4

Für die Verteilungsfunktion F (y) erhält man hierbei

f y

fiir

y

4

16

= 16'-4 = 16 - 16 = O.

Differentialgleichungen Zur Beschreibung von ökonomischen Zusammenhängen benötigt man vielfach auch sogenannte Differentialgleichungen. Dies ist insbesondere bei der dynamischen Wirtschaftstheorie der Fall, wenn man das Verhalten von kontinuierlich (d.h. stetig) varüerbaren ökonomischen Größen in Abhängigkeit von der Zeit betrachtet. Wir behandeln hier nur Differentialgleichungen, die allgemein die Form

(*)

y' (t) - a(t) . y(t)

=b(t)

besitzen , wobei y(t) differenzierbar ist und a(t) bzw. b(t) stetige Funktionen darstellen. Man bezeichnet diesen Ausdruck als die Standardform einer linearen Differentialgleichung erster Ordnung. Es handelt sich also dabei um eine mathematische Gleichung, die neben einer unbekannten Funktion y(t) auch deren Ableitung y'(t) enthält. Eine Lösung dieser Differentialgleichung ist eine Funktion y(t), welche die Gleichung (*) identisch erfüllt. Ein sehr einfacher Spezialfall einer solchen Differentialgleichung ist z.B. die Ableitung

y' (t) =

!

t - 1.

Eine Lösung erhält man dabei ganz einfach durch Berechnung der Stammfunktion y(t)

ie

=S(!t-l) dt =

-t +C.

126

Kapitel2 Funkt ionen einer Variablen

Wie man sieht, gibt es hier eine ganze Schar von Lösungskurven, die sich alle nur durch die Konstante C unterscheiden.

C=2 C=1 C=Q C=-1

Eine spezielle Lösung erhält man dagegen, wenn man sich einen bestimmten Punkt vorgibt, durch den die Lösungskurve verlaufen soll. Man bezeichnet einen solchen Punkt auch als Anfangswert der Differentialgleichung. Wählt man z. B. y(2) = I , so ergibt sich aus der Gleichung: y(2) =~ . 4 - 2 + C = 1 die Konstante C =2. Man sagt dann, die Differentialgleichung

besitzt unter dem Anfangswert y(2) = 1 die Lösung y(t)

= 41 t 2 -

t + 2.

Wir wollen nun allgemein eine Formel für die Lösung der Differentialgleichung y'(t) - a(t) · y(t)

= b(t)

herleiten. Diese Differentialgleichung nennen wir inhomogen, falls b(t) 0/= 0 und

homogen , falls b(t) =0 ist.

Die Lösung der homogenen Differentialgleichung y'(t) - a(t) · y(t)

=0

erhalten wir sofort, wenn wir diese Gleichung in der Form y'(t) y(t)

= a(t)

schreiben. Es gilt nämlich tion Iny(t).

~g~ =(lny(t»', d.h. ~~~ ist die Ableitung der Funk -

§ 20 Differentialgleichungen und andere Anwendungen der Integralrechnung

127

Durch Integration ergibt sich somit

y(t) dt =S(lny(t))'dt = lny(t) = Sa(t) dt. SY'(t)

Wendet man nun auf beiden Seiten noch die Exponentialfunktion an, so erhalten wir schließlich emy(t)

=y(t) =efa(t)dt.

Es gilt also der folgende (20.2) Satz Die homogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung y'(t) - a(t) · y(t)

=0

besitzt die Lösung y(t)

= efa(t)dt .

Es ergibt sich dabei natürlich wieder eine Schar von Lösungskurven, und man erhält daraus nur dann eine spezielle Lösung, wenn man sich einen Anfangswert vorgibt .

Beispiele (I)

Löse die Differentialgleichung

- ty' (t) = 6t3y(t)

bei

y(O) = 5.

Dividiert man diese Differentialgleichung durch - t, so erhält man y'(t) =- 6t2y(t) und daraus die Standardform y'(t) + 6t 2y(t)

=O.

Es ist dabei a( t)

=- 6 t 2

und als Lösung ergibt sich:

y(t) = ef-6t2dt = e- 2 t3+C = e C ·e- 2t3 . Wegen y(O) = eC ' eO = 5 gilt eC = 5, so daß wir als spezielle Lösung die Funktion y(t)

=5e- 2u

erhalten. (2)

Es soll eine Funktion y(t) best immt werden , die die Elastizität Eit) besitzt. Nach der Formel für die Elastizität gilt dabei die Gleichung Ey(t)

y'(t)

= t y(t) =3 + 2t.

=3 + 2 t

128

Kapitel 2 Funktionen einer Variablen

Multipliziert man diese Gleichung mit Y'(t)=(f+2) y(t) bzw.

y~t) , so ergibt sich daraus

y'(t)-( f+2) y(t) = O.

Wegen a(t) = f + 2 erhalten wir die Lösung dieser homogenen linearen Differentialgleichung mit Hilfe der Formel

J(1 + 2)dt y(t) = e t = e3Int+2t+C. Nach den Rechenregeln für die Exponentialfunktion gilt dann : y(t) = eC·e3Int·e2t = eC·(elnt )3 · e2t = eC ·t3 ·e2t . Die gesuchte Funktion hat also die Form y(t) = ct 3e2t (c E IR). Um die Lösung der inhomogenen Differentialgleichung y'(t) - a(t)· y(t) = b(t) zu erhalten, multiplizieren wir diese Gleichung mit e-fa(t)dt und erhalten so y' (t)· e" fa(t)dt - a(t) · y(t)· e" fa(t)dt = b(t)· e- fa(t)dt. Wieman sich nun durch Anwenden der Produktregelleicht überzeugen kann, stellt die linke Seite dieser Gleichung die Ableitung der Funktion y(t)· e-fa(t)dt dar, d.h. (y(t) · e" fa(t)dt)' = y' (t) e" fa(t)dt- a(t) y(t) e" fa(t)dt = b(t) e" fa(t)dt . Durch Integration ergibt sich dann daraus

S(y(t) · e- fa(t)dt)' dt = y(t) · e- fa(t)dt =S(b(t)· e- fa(t)dt) dt. Wir brauchen jetzt diese Gleichung nur noch mit efa(t)dt zu multiplizieren und erhalten daraus die Lösungsformel y(t) = efa(t)dt.

S(b(t) ·

e-fa(t)dt)

dt.

Es gilt also der folgende (20.3) Satz Die inhomogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung y' (t) - a(t) · y(t) = b(t) besitzt die Lösung y(t) = efa(t)dt.

S(b(t)· «:

fa(t)dt)

dt.

§

20 Differentialgleichungen und andere Anwendungen der Integralrechnung

129

Beispiele (I)

y'(t) = - 2y(t) + 4 bei y(O) = 5. In Standardform lautet diese Differentialgleichung y'(t)+2y(t) = 4. Es ist also a(t) = - 2 bzw. b(t} = 4 und nach Satz (20.3) ergibt sich die Lösung y(t) = e f =

2 dt

S(4e- f-

2 dt

)

dt = e- 2t

-S (4e 2t) dt =

e-2t(~e2t +c) = 2+Ce- 2t .

Bei dem Anfangswert y(O) = 2 + C . eO = 5 gilt dann C = 3 und wir erhalten die spezielle Lösung y(t)=2+3e- 2t . (2)

ty'(t) = y(t) + 2 bei y(-I) = 3. Dividiert man hierbei durch t, so erhält man y' (t) =! y(t) + ~, und die Standardform dieser Differentialgleichung lautet: t t y'(t)-fy(t)

=~.

Wegen a(t) = fund b(t) = ~ erhalten wir dann die Lösung y(t) = / =t

f dt . J(~ e- f t dt ) dt = elnt.S (~e-Int) dt =

J(f.

f )dt = t-5 2C 2 dt = t(-2t- 1 +C) =

=-2+C·t. Bei dem Anfangswert y(- I) = - 2 + C · (- I) = 3 gilt dann C = - 5 und die spezielle Lösung hat die Form y(t) = -2 - 5t. Wirwollen nun noch ein dynamisches Marktmodell betrachten und dabei unter suchen, wie sich der Preis p( t) eines bestimmten Gutes im Zeitablauf verändert. Die Nachfragefunktion bezeichnen wir bei diesem Modell allgemein mit

xN (t) = a + bp(t)

(a>O, b EIR)

und die Angebotsfunktion mit x A (t)

=a + ßp(t).

(a>O,ßEIR).

130

Kapitel 2 Funktionen einer Variablen

Um den Preis p zu bestimmen, bei dem sich Angebots- und Nachfragemenge ausgleichen, setzen wir einfach

= xN(t). Aus a + ßp(t) =a + bp(t) ergibt sich dann xA(t)

Man bezeichnet

(ß - b) p(t) =a - o, d.h. also

p auch als Gleichgewichtspreis .

x(t)

Wir nehmen nun an, daß sich der Preis gemäß der Beziehung

p' (t)

= k(xN (t) -

xA (t)

(k> 0)

ändert. Die Änderungsrate des Preises ist hier also proportional zur Differenz zwischen nachgefragter und angebotener Menge. Der Preis nimmt zu, falls die Nachfrage das Angebot übersteigt und nimmt ab, falls umgekehrt mehr angeboten als nachgefragt wird. Setzt man in diese Änderungsrate die Formeln für xA (t) und xN (t) ein, so ergibt sich der Ausdruck p' (t)

= k(a + bp(t) -

a - ßp(t»

= k(a -

o) + k(b - ß) p(t).

Wir erhalten somit also eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung der Form p'(t) - k(b - ß) p(t)

=k(a -a).

§

20 Differentialgleichungen und andere Anwendungen der Integralrechnung

131

Wegen a(t) = k(b - ß) und b(t) = k(a -a) gilt dann nach Satz (20.3) : pft) = e/k(b-{J)dt-J(k(a-a)' e-/k(b -{J)dl) dt = = ek(b-{J)l . S(k(a-a) 'e-k(b -{J)l)dt = -a) = ek(b-{J)l. ( -k(a -- ·e-k(b -{J)I+C) = k(b -ß)

= a-a +C'ek(b-{J)l

ß-b

.

Gibt man sich den Anfangswert p(O) = Po vor, so erhält man a-a p(O)=ß-b +C 'eo=po ,

d.h . a-a _ C = Po - ß- b = Po - p,

Die Preisfunktion hat dann also die Form p(t) =

p + (Po -

p) ek(b-{J)l .

Gilt dabe i b - ß< 0, so strebt ek(b - (J) t ~ 0 für t ~ 00 und die Preisfunktion p(t) nähert sich dem Gleichgewichtspreis p.

Bemerkung: Ist keine Verwechslung zu befürchten, so schreibt man Differentialgleichungen häufig in Kurzform, d.h. ohne die Variable anzugeben, von der die Lösungsfunktion und deren Ableitung abhängen . So stellt z.B. die Lösung der Differentialgleichung

eine Funktion y(t) und die Lösung der Differentialgleichung

z' -x 2 y = 3x eine Funktion z(x) dar.

132

Weiterführende Literatur

Weiterführende literatur

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F. Pfuff, Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 1, DOI 10.1007/ 978-3-8348-9763-3, © Vieweg+Teubner|GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2009

133

Sachwortverzeichnis

Sachwortverzeichnis

Abbildung 14 ff., 31,60 f. - bijektive 18 ff., 61 injekt ive 18 ff., 61 - surjektive 18 ff., 61 - Umkehrabbildung 20 f. - zusammengesetzte 17 f. abhängige Variable 60,65 ,67,75 f., 80 f., 91 ,93 Ableitung 76 tt., 113, 117, 119 - linksseitige 78 ff., 98, 102 - logarithmische 90 - n-te Ableitung 82 recht sseitige 78 tt.. 98, 102 Absolutbetrag 28 f. Abszisse 61 Änderung, relative 92 ff. Änderungsrate 81 - durchschnittliche 81, 94 - marginale 81 Äquivalenz 5 allgemeine Exponentialfunktion 90 f. allgemeine Logarithmusfunktion 91 altern ierende Folge 33 Amoroso-Robinson-Formel 96 Anfangskapital 45 ff., 91 f., 122 Argument 14 ff. , 20,60,64,67,71,77, 80,96 f., 108, 115 arithmetische Folge 32 t.. 36 arithmetische Reihe 36 ff. asymptotisch 73, 97 Assoziativität 12, 21 Aussage 1 tt., 39 - wahre 1 f. - falsche 1 f. Barwert 46 t., 122 Basis 25, 90 f. Bedingung 4 f., 99, 102 - hinreichende 4, 100, 102, 105 - notwendige 4,99 , 101, 105 - notwendige und hinreichende 5 beschränkte Folge 35 beschränkte Funktion 62

beschränkte Menge 26,29 r., 68 bestimmtes Integral 106, 108 ff., 113 ff., 122f. Beweis 6 direkter 6 - indirekter 6 - durch vollständige Induktion 6, 39 bijektive Abbildung 18 ff., 61 Bildkurve 61,64,75,80 f., 86, 88 f., 91, 96,98,105 r, Bildmenge 16 f., 18, 20, 61 f. Bildpunkt 14 ff., 20, 71, 96 Binornialkoeffiaient 48 f. Definitionsbereich 14, 16, 18,20,60,63 t., 68 ,71 ,73 t.. 77, 79, 96 ff. De-Morgan sche Gesetze 13 Dezimalbruch 39 Differential 77, 81 Different ialgleichung 120, 125 ff. - homogene 126 ff. - inhomogene 126, 128 f. Different ialquotient 78 f., 80 f. Differenzengleichung 40 ff., 45 Differenzenmenge 11 t. Differenzenquotient 77 t., 81 ff. differenzierbare Funktion 78 ff. , 82, 86 t.. 89,94,98 ff., 119 Differenzierbarkeit 78, 98 direkter Beweis 6 disjunkte Menge 10 Disjunktion 3 Distribu tivit ät 13,21 divergente Folge 33, 36, 38 Doppelsumme 23 f. Dreiecksungleichung 29 durchschnittliche Änderungsrate 81, 94 Durchschnittsfunk tion 70 t.. 105 Durchschnittskosten 70 Durchschnittsmenge 10 I-elastische Funktion 95 elastische Funktion 95

F. Pfuff, Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 1, DOI 10.1007/ 978-3-8348-9763-3, © Vieweg+Teubner|GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2009

134 Elastizität 91,94 f. Element einer Menge 13, 15, 20,48, 50 ff. endliche Menge 8 endliche Reihe 35 ff., 41

e-Umgebung 29,33 Ereignis 10 ff. Erwartungswert 123, 125 Eulersche Zahl e 88 Exponentialfunktion 79,82 rr., 83, 86 ff. - allgemeine 90 f. - natürliche 86, 88, 91 Extremwert 29,98 f. - globaler 98 f. - lokaler 98 f., 102 f. 105

Sachwortverzeichnis Gegenwartswert 47 f., 121 f. Gerade 20,64,66,73,77,79,89,91,

97,106 geometrische Folge 32 f., 36, 38 geometrische Reihe 36 ff. Gewinnfunktion 71,101 globaler Extremwert 98 t. globales Maximum 98 globales Minimum 98 Graph 61 Grenzfunktion 105, 120 Grenzkosten 82,101 f., 120 Grenzwert 31, 33 f., 36, 38, 88, 92, 108, 111 ff. Grenzwert einer Fu~ktion 71 ff., 78,

94,98

Fakultät 48 f. Finanzmathematik 40, 44 ff. 120 f. fixe Kosten 70, 121 Folge 31 ff. , 74, 88 - alternierende 33 - arithmetische 32 f., 36 - beschränkte 35 - divergente 33,36,38 - geometrische 32 f., 36, 38 - konvergente 33 ff., 38, 71 - monoton fallende 35 - monoton wachsende 35 - rekursive 31,40,45 Folgerung 4,6 Funktion 16, 60 ff. - beschränkte 62 - differenzierbare 78 ff., 82, 86 f ., 92, 98 ff., 102 ff . - integrierbare 109 - konkave 64 f., 104 f. konvexe 64 r., 104 f. - monoton fallende 63 f., 69, 88, 103 f. - monoton wachsende 63 f., 70, 87 ff., 103 f. - rationale 67,75 - stetige 74 ff., 78, 80, 108 f., 115 ff.,

119,122 - Umkehrfunktion 61 ,75,86,88,90,95 - unstetige 98 - von einer Variablen 16,60 f., 68 - von mehreren Variablen 16 - zusammengesetzte 61,75,85,95,119 Funktionswert 58,60 f., 75, 80, 98,116

linksseitiger 73, 75 - rech tsseitiger 73, 75 - uneigentlicher 73 - Grenzwert im Unendlichen 73 Grenzumsatz 82,95, 101 t. hinreichende Bedingung 4, 100, 102, 105 homogene Differentialgleichung 126 ff. Implikation 3 ff. Index 22 ff., 31, 33 indirekter Beweis 6 Induktionsbeweis 6, 39 Inflmum 30 inhomogene Differentialgleichung 126, 128 ff. injektive Abbildung 18 ff ., 61 Integral 106, 108 ff . - bestimmtes 106, 108 ff., 113 ff., 117 ff. - unbestimmtes 113 f. - uneigentliches 111 ff ., 122 Integrand 109 ff ., 116 ff. Integrationsgrenze 109,111 ,115 f. integrierbare Funktion 109 ff. Intervall 27 f., 62 ff., 81, 86, 94 f., 103 r., 106 ff., 111 ff. - abgeschlossenes 27, 62 - endliches 27, - linksoffenes 27 - offenes 27 - rechtsoffenes 27 - unendliches 27 Investitionsrechnung 47, 121 f.

135

Sachwortverzeichnis Kettenregel 81, 119 Kombination 51 tt. Kombinatorik 48 f. Kommutativität 12, 21 Komplementärmenge 12 Konjunktion 2 konkave Funktion 64 f., 104 f. Konsumfunktion 68 , 82 kontinuierliche Verzinsung 122 f. kontinuierliche Zahlungen 123 konvergente Folge 33 ff., 38, 71 konvexe Funktion 64 f., 104 f. Koordinatensystem (halblogarithmisch) 91 Kosten 70,81,101,120 - fixe 70, 121 - variable 70, 120 f. Kostenfunktion 70,81 f., 101 Krümmung 104 Kurvendiskussion 77, 96 Kurvenschar 67

monoton wachsende Folge 35 monoton wachsende Funktion 63 f., 70, 87 ff., 103 f.

Laufindex 22,56 leere Menge 8 ff . Leibnitzsche Zinseszinsformel 46 Lineare Differentialgleichung 125,127 f., 130 - Differenzengleichung 40 f ., 45 linksseitige Ableitung 78 ff., 98, 102 linksseitiger Grenzwert 73,75 logarithmische Ableitung 90 Logarithmusfunktion 83, 86 , 88 f. - allgemeine 91 - natürliche 88, 90 f. lokaler Extremwert 98 f. 102 f., 105 lokales Maximum 98 ff., 102 f., 105 lokales Minimum 98 ff., 102 r., 105

Paar 14 Parabel 67 Parallelverschiebung 66 Parameter 66,68 partielle Integration 117 f. periodischer Dezimalbruch 39 Permutation 50 Pol 73,96 Polstelle 67 f. Polynom 67,70,75,84 Potenz 25, 34 Potenzfunktion 83 Potenzmenge 9 f. Preiselastizität 95 Produktmenge 13 f. Produktregel 84, 117 Produktzeichen 24 Programmablaufplan 55 ff.

Mächtigkeit 8 marginale Änderungsrate 81 Maximum 30,59,98 ff. - globales 98 - lokales 98, 102 f., 105 Menge 7 ff., 29 - beschränkte 26,29 f., 68 disjunkte 10 endliche 8 leere 8 ff. unendliche 8 Minimum 30, 98 ff. - globales 98 - lokales 98, 102 f., 105 monoton fallende Folge 35 monoton fallende Funktion 63 f., 69, 88, 103 t.

Nachfragefunktion 69,93,95,101,104 nachschüssige Zahlungsweise 45 ff. natürliche Exponentialfunktion 86,88,91 natürliche Logarithmusfunktion 88, 90 f. natürliche Zahl 8 Negation 1 notwendige Bedingung 4,99, 101, 105 notwendige und hinreichende Bedingung 5 n-te Ableitung 82 n-tupel 13 f. Nullstelle 67,75,97,99 f. obere Schranke 30 oberer Summationsindex 22 Obersumme 107 f. Ordinate 61,88,91

quadratische Gleichung 25 Quotientenregel 84 rationale Funktion 67,75 rationale Zahl 8 rechtsseitige Ableitung 78 ff., 98, 102 rechtsseitiger Grenzwert 73,75 reelle Zahl 8,12,21 f., 24 ff., 31, 48, 60, 97 Reihe 31,35 ff. , 86 arithmetische 36 ff. endliche 35 ff., 41 geometrische 36 ff. unendliche 35 r., 38 r., 86 f.

136 relative Änderung 92 ff. rekursive Folge 31,40,45 Rentenrechnung 46 Schranke 30 - obere 30 - untere 30 Schuldentilgung 47 Sekante 77 f. Stammfunktion 113 ff. Standardform einer Differentialgleichung 125,127 ff. stationärer Punkt 99 f., 105 Steigung 65 ff., 77 ff., 82, 92, 102, 107 stetige Funktion 74 ff., 78, 80, 106, 108 f., 115 ff. stetige Verzinsung 92 Stetigkeit 71,75 f., 78, 98 Substitutionsmethode 119 Summationsindex 22 Summenzeichen 22 Supremum 30 surjektive Abbildung 18 ff., 61 Tangente 77 f., 81, 99, 101,107 Teilmenge 8 r., 16, 27, 29, 60 Treppenfunktion 76 Tripel 14 Umgebung 29,33,98,100,103,105 Umkehrabbildung 20 t. Umkehrfunktion 61,75,86,88,90,95 Umsatzfunktion 61,69,101 unabhängige Variable 60,65,75 f., 80 f., 93 f., 95 unbestimmtes Integral 113 f. uneigentlicher Grenzwert 73 uneigentliches Integral 111 tt., 122 f.

Sachwortverzeichnis unelastische Funktion 95 Unendlich 27,33,67 unendliche Menge 8 unendliche Reihe 35 f., 38 t.. 41,86 f. Ungleichung 26 f., 29, 102 unstetige Funktion 98 unterer Summationsindex 22 untere Schranke 30 Untersumme 107 f. Urbildmenge 16 f., 61 Variable 56 t; 60 tt; 68, 119 - abhängige 60,65,75 f., 80 f., 93 - unabhängige 60,65,75 r., 80 f., 93 r., 95 variable Kosten 70, 120 f. Venn - Diagramm 8 Vereinigungsrnenge 11 Verteilungsfunktion 123 t. Verzinsung, stetige 92 Voraussetzung 4, 6 vorschüssige Zahlungsweise 45 ff. Wachstumsfunktion 91 f. Wachstumsrate 91 f. Wahrheitstafel 1 ff. Wahrheitswert 1,3,5 Wahrscheinlichkeitsdichte 123 f. Wendepunkt 105 Wertebereich 14, 16, 18, 20, 60 Wertetabelle 61 Zahlengerade 26,28,33 Zinseszinsen 44 ff. , 91 Zinssatz 45 ff., 91 r., 122 zusammengesetzte Abbildung 17 f. zusammengesetzte Funktion 61,75,85, 95,119

Wichtige Formeln im Überblick Einleitend soll darauf hingewiesen werden, dass eine Division durch 0 natürli ch nicht definiert ist und die in den entsprechenden Formeln vorkommenden Ableitungen, Integrale usw. existieren . Aus Gründen der Vereinfachung wird hier deshalb nicht bei jeder einzelnen Rechenregel extra darauf eingegangen.

1. Arithmetik 1.1. Rechnen mit Brüchen a,

c.

a c a ·d+b ·c b+'d= b d. v

ra

c

a

bad

a ·d

'd = ~ = b . ~ = ~ d

1.2. Rechnen mit Potenzen a.

b.

x a . xb = x a+b

c.

d.

x a. ya = (x . y)a

e.

f.

(x a)b

g.

vam

1

= x a·b

.

h. - - = a _m

vam

= a~

1.3. Lösung einer quadratischen Gleichung ax 2 + bx + c = 0 ~

X l ,2

=

-b ± Vb 2 - 4ac 2a für b2. - 4ac ~ O.

Faktorisierung Sind Xl und Xz die Lösungen der quadratischen Gleichung, so gilt:

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138

Wichtige Formeln im Überblick

1.4. Binomische Formeln b. (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

a , (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2 c.

(a + b) . (a - b) = a2 - b2

2. Rechenregeln für Ungleichungen a.a a+ c

3. Ableitungsregeln a.

f(x) = x a => f'(x) = a - x a- l für alle a E R .

+ g(x))'

b . (J(x)

= f'( x)

+ g/(x)

Summenregel

f'( x) . g(x) -+- f( x) . g'(x)

c.

(J(x) · g(x))'

d.

f (X)) ' = f'( x ) . g(x) - f(x) . g'(x) ( g(x) g2(X)

=

Potenzfunktion Produktregel Quotientenregel

e. (J(g(x)))' = f'(g(x)) . g/(x)

Kettenregel

Gleichung einer Geraden durch die Punkte (xo,Yo) und (Xl,Yl): Yl-YO - . (X - Xo ) + Yo · f () X = Xl- XO Gleichung der Tangente an die Funktion f(x , y) an der Stelle xo: T(x)

=

f(xo)

+ f'( xo) . (x -

xo).

4. Exponential- und Logarithmusfunktion 4.1. Exponentialfunktion Y = f(x)

e" = exp(x) ist str eng monoton wach~nd für alle xE Dj

=

a , eX > 0 für alle c.

!im e

X

x- co

-+ 00

X

b . eO = 1

E D]

und !im e

X

x--+-oo

-+

0

d . el

= e = 2,718 . ..

=

IR

139

Wichtige Formeln im Überblick

4.2. Logarithmusfunktion Y = f(x ) = Inx ist streng monoton wachsend für alle x E D f = ]0, 00["

a. c.

- 00

°

< In x < 00

lim

x-to,x>o

In x --.

- 00

und lim In x --.

b. In 1 = d . Ine = 1

00

X -CX)

4.3. Rechenregeln für die e- und ln-Funktion a , eX+Y = e" >eY

c.

e" eX-Y = eY

e. e= = (eX)D 1n x

g. e

i.

= x

(e")' = e"

k . (ef (x»)' = f' (x ) . ef(x)

b. In(x · y) = In x + ln y d . In f.

(~)

= In x - Iny

ln z" = a -In z

h . In e" = x

j.

(ln x )' = -1

1.

(lnf (x ))' = f' (x ) · f (lX)

x

5. Kurvendiskussion 5.1. Monotonie- und Krümmungsverhalten

° °°

Die Funkt ion f (x ) ist im Intervall I C Df • streng monoton wachsend, falls gilt: f'( x) > • streng monoton fallend, falls gilt: f' (x ) < • konvex (= linksgekrümmt ), falls gilt : f"( x) > • konkav (= rechtsgekrümmt) , falls gilt : f" (x)
o. c. Wendepunkte Ist f"( xw) = 0 und fll/(x w) # 0 =} f hat in Xw einen Wendepunkt.

6. Integralrechnung 6.1. Unbestimmtes Integral

f f (x ) dx = F( x) + c mit c E lR F(x) heisst Stammfunktion zu f (x) , falls gilt: F'(x ) = f (x ). Wichtige Formeln zur Berechnung von Stammfunktionen:

x a+1 f xadx= - - füra#-1 a+l x f exd x= e c.

=

J;

= In x für x > 0

a,

b. f

e.

1 d. f eax dx = - . eax für a # 0 a f. f f'( x ) . ef(x) dx = ef(x)

J

f' (x ) dx f( x )

= In If( x )1

X-I

dx

dx

6.2 . Berechnung des bestimmten Integrals b

f f (x )dx a

= F( x )l: = F (b) - F (a)

mit F(x ) Stammfunktion zu f (x) .

Rechenregeln fiir bestimmte Integrale: b

a. J[f(x) a

+ g(x)] dx =

b

b . fA ' f( x) dx c.

a

b

=

A. f f (x ) dx

a b

b

a a

ff (x )dx=-ff (x)dx a

b

b

f f( x) dx + f g(x) dx a

141

Wichtige Formeln im Überblick

d.

a

J fex) dx =

0

a

b

e.

eb

J f(x)dx = J f(x)dx+ J f(x)dx für c E [a,b]. a

a

7. Finanzmathematik 7.1. Arithmetische und geometrische Reihen Summenwert der endlichen arithmetischen Reihe:

n Sn = a + (a + d) + (a + 2d) + ...+ [a + (n - l)dJ = "2[2a + (n - l)d].

Summenwert der endlichen geometrische Reihe: Sn = a + aq + aq2 + ... + aqn-l

= a-

1 n 1- q für q # 1.

-q

Summenwert der unendlichen geometrische Reihe: S = a + aq + aq2 + aq3 + ... = - a1 für -1 < q < 1. -q

7.2. Zinseszinsrechnung Zinseszinsformel: Anfangskapital K o, Zinssatz p Endkapital K n nach n Perioden: K n = (1 + p)n . Ko

Berechnung des Zinssatzes: Anfan gskapital K o, Endkapital K n , Laufzeit n

V

· n~ Zmssatz p= K;; - 1 Berechnung der Laufzeit: Anfangskapital K o, Endkapital K n , Zinssatz p

In

(K

n

)

Ko . Lau f zeit n = I ( ) nl+p

In(Kn ) - In(Ko) In(1 + p)