Mathematik 2 Lehrbuch fur ingenieurwissenschaftliche Studiengange

Springer-Lehrbuch Albert Fetzer Heiner Fränkel Mathematik 2 Lehrbuch für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge M...

Author: Fetzer A. | Frankel H.

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Springer-Lehrbuch

Albert Fetzer Heiner Fränkel

Mathematik 2 Lehrbuch für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge Mit Beiträgen von Akad. Dir. Dr. rer. nat. Dietrich Feldmann Prof. Dr. rer. nat. Albert Fetzer Prof. Dr. rer. nat. Heiner Fränkel Prof. Dipl.-Math. Horst Schwarz† Prof. Dr. rer. nat. Werner Spatzek† Prof. Dr. rer. nat. Siegfried Stief †

6. Auflage

123

Professor Dr. Albert Fetzer Hochschule Aalen Beethovenstraße 1 73430 Aalen [email protected]

ISSN 0937-7433 ISBN 978-3-540-34246-5 DOI 10.1007/978-3-540-34247-2 Springer Dordrecht Heidelberg London New York

Professor Dr. Heiner Fränkel Hochschule Ulm Prittwitzstraße 10 89075 Ulm [email protected]

e-ISBN 978-3-540-34247-2

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2009, 1999, 1995 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und MarkenschutzGesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Satz und Herstellung: le-tex publishing services oHG, Leipzig Einbandentwurf: WMX Design GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier Springer ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (www.springer.de)

Vorwort zur sechsten Auflage Die sechste Auflage dieses Bandes ist ein korrigierter Nachdruck der fünften Auflage. Wir bedanken uns für die eingegangenen Bemerkungen und Hinweise. Aalen, Ulm, April 2009


Vorwort zur vierten Auflage Seit fast zwanzig Jahren wird das vorliegende Mathematikwerk von Studenten und Dozenten an Fachhochschulen und Technischen Hochschulen verwendet und hat sich sowohl als Lehr- und Lernmittel wie auch als autodidaktisches Hilfsmittel äußerst gut bewährt. Neue Aufgabengebiete und Anforderungen der betreffenden Bildungseinrichtungen haben nun jedoch eine vollständige Überarbeitung notwendig erscheinen lassen. Damit wird der Entwicklung im Bereich von Computer- und Kommunikationstechnik Rechnung getragen. Berücksichtigt wird auch, daß der Computereinsatz neue Arbeitsmethoden und Algorithmen ermöglicht. Die Aufnahme neuer Stoffgebiete machte eine straffere Darstellung einiger Kapitel erforderlich. Die Inhalte wurden nunmehr auf zwei Bände verteilt. Folgende Themen wurden zusätzlich aufgenommen: • • • • • • • •

Geometrische Transformationen und Koordinatentransformationen im R2 und R3 Eigenwerte von Matrizen Problematik der Rundungsfehler bei numerischen Verfahren QR-Algorithmus Kubische Splines Fourier-Transformation Lineare Differentialgleichungen der Ordnung n mit konstanten Koeffizienten Numerische Verfahren für Anfangswertaufgaben

Inhalt dieses Bandes 1. 2. 3. 4. 5.

Anwendung der Differential- und Integralrechnung Reihen Funktionen mehrerer Variablen Komplexwertige Funktionen Gewöhnliche Differentialgleichungen

VI

Vorwort zur vierten Auflage

In Abschnitt 1 werden die Methoden der Differential- und Integralrechnung angewendet. Die Absicht der Autoren war es, möglichst viele Probleme ausführlich und anschaulich darzustellen. Auf Anwendungen aus der Geometrie, die auch die Interpolation mit Hilfe kubischer Splines enthält, folgen zahlreiche Beispiele aus der Physik. Die Aufgaben in den Abschnitten 8 und 9 von Band 1 werden hier durch eine umfassende Aufgabensammlung ergänzt. Die Theorie der Reihen wird in Abschnitt 2 behandelt, zunächst in ausführlicher Darstellung die Zahlenreihen. Besonderer Wert wird auf die in der Praxis häufig auftretenden Potenz- und Fourier-Reihen gelegt. Mit Hilfe der gliedweisen Integration und Differentiation werden Potenzreihen von einigen wichtigen Funktionen hergeleitet und damit Näherungsformeln für z.B. den Umfang einer Ellipse, das Durchhängen eines Seiles usw. angegeben. Die Fourier-Reihe wird, auch in komplexer Form, ausführlich diskutiert, wobei sich die Erweiterung auf nicht periodische Funktionen, die Fourier-Transformation, anschließt. Beispiele aus der Elektrotechnik zeigen, wie diese Theorien in der Praxis verwendet werden. Bei der Behandlung der Funktionen mehrerer Variablen in Abschnitt 3 ist besonderer Wert auf Anschaulichkeit gelegt worden. Das geschieht aus folgendem Grund: Ein Ingenieur muß z.B. bei der Bestimmung eines Trägheitsmomentes (mehrfaches Integral), der Berechnung der Arbeit eines Feldes (Linienintegral) oder der Untersuchung des Temperaturgefälles (Gradient) seine Fragestellung in eine geeignete mathematische Formulierung „übersetzen“ können. Die dabei entstehenden mathematischen Probleme sind häufig geometrisch interpretierbar, also einer Anschauung zugänglich. Das bedeutet, daß zunächst der „Raum“, der dreidimensionale Anschauungsraum, mit einigen seiner möglichen Koordinatensysteme behandelt wird. Da die mathematische Beschreibung von Körpern (z.B. von Kegeln, Zylindern, Ringen) erfahrungsgemäß dem Anfänger Schwierigkeiten bereitet, wurde ihr im ersten Teilabschnitt breiter Raum gewidmet. Die Technik des partiellen Differenzierens fällt Anfängern meist leicht, so daß (im zweiten Teilabschnitt) besonderer Wert auf eine anschauliche und ausführliche Erläuterung der Begriffe „partielle Ableitung“ und „Differenzierbarkeit“ gelegt werden konnte. Die Integralrechnung im dritten Teilabschnitt ist ebenfalls anschaulich dargestellt und enthält viele Anwendungen für Ingenieure. Ein weiterer Teilabschnitt ist einigen elementaren Grundbegriffen der Vektoranalysis gewidmet. Hier wird insbesondere das Linienintegral auf eine Weise eingeführt, die unseres Erachtens für Ingenieure besonders geeignet ist: Es wird zunächst ein Problem der Naturwissenschaften gelöst (Arbeit eines Feldes längs einer Kurve) und danach der mathematische Begriff „passend“ erklärt. Bei der Behandlung der Wegunabhängigkeit von Linienintegralen (konservative Felder) wurde auf mathematische Allgemeinheit bewußt verzichtet, da in nahezu allen für Anwender wichtigen Fällen der etwas umständliche Begriff des „einfach zusammenhängenden Gebietes“ unnötig allgemein ist. In Abschnitt 4 werden komplexwertige Funktionen behandelt, und zwar ausschließlich im Hinblick auf die Anwendung in der Wechselstromlehre. Der Vorteil der komplexen Schreibweise besteht darin, daß lineare Wechselstromkreise nach den gleichen Gesetzen behandelt werden können wie solche für Gleichstrom. Die ersten beiden Teilabschnitte vermitteln die für die Berechnung von linearen Wechselstromkreisen nötigen Kenntnisse, wie z.B. die Abbildung w D 1=z. Nachdem dann die komplexe Schreibweise in der Wechselstromtechnik eingeführt ist, werden die Ortskurven von Netzwerkfunktionen anhand von Beispielen erläutert.

Vorwort zur vierten Auflage

VII

Abschnitt 5 ist in sechs Teilabschnitte gegliedert. Zunächst werden die theoretischen Grundlagen untersucht. Wir stellen hier insbesondere Kriterien für die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen zur Verfügung. Der zweite Teilabschnitt behandelt einige Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung, und es werden Lösungsmethoden dafür vorgestellt. Einen wesentlichen Teil bilden hier Anwendungen aus der Physik und der Elektrotechnik. Als nächstes werden lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten diskutiert, anschließend die Theorie der linearen Differentialgleichungen der Ordnung n. Wir stellen mehrere Lösungsmethoden vor, die in Abhängigkeit von der speziellen Gestalt der Differentialgleichung anwendbar sind. Zuletzt diskutieren wir hier einige mechanische und elektrotechnische Probleme, die auf Differentialgleichungen der Ordnung zwei führen. Im fünften Teilabschnitt untersuchen wir lineare Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Wir lösen sie und untersuchen Aufgaben, die auf diese Systeme führen. Im letzten Teilabschnitt werden numerische Verfahren für Anfangswertaufgaben vorgestellt. Inhalt des ersten Bandes Mengen, reelle Zahlen, Funktionen, Zahlenfolgen und Grenzwerte, Grenzwerte von Funktionen, komplexe Zahlen, lineare Gleichungssysteme, Matrizen, Determinanten, Vektoren und ihre Anwendungen, Differentialrechnung, Integralrechnung. Eine Vielzahl von Beispielen und Abbildungen veranschaulichen und vertiefen auch in diesem Band den Stoff. Zahlreiche Aufgaben mit Lösungen zu jedem Kapitel erleichtern das Selbststudium. Wir danken dem VDI-Verlag für die gute Zusammenarbeit. Düsseldorf, März 1995


Auszug aus dem Vorwort zur ersten Auflage Zielgruppen

Das dreibändige Werk richtet sich hauptsächlich an Studenten und Dozenten der technischen Fachrichtungen an Fachhochschulen. Auch Studenten an Universitäten und Technischen Hochschulen können es während ihrer mathematischen Grundausbildung mit Erfolg verwenden. Die Darstellung des ausgewählten Stoffes ist so ausführlich, daß es sich zum Selbststudium eignet. Vorkenntnisse

Der Leser sollte mit den folgenden Themen, die in Band 1 ausführlich diskutiert werden, vertraut sein: Mengen .und reelle Zahlen, Funktionen, Zahlenfolgen und Grenzwerte, Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit, Differential- und Integralrechnung. Darstellung

Besonderer Wert wurde auf eine weitgehend exakte und doch anschauliche Darstellung gelegt. Das erfordert, einerseits Beweise mathematischer Sätze nicht fortzulassen und andererseits sie durch Beispiele und Zusatzbemerkungen zu erhellen. Da die Beweise einiger Sätze jedoch über den Rahmen dieses Buches hinausgehen, wurde in solchen Fällen der Beweis ersetzt durch zusätzliche Gegenbeispiele, die die Bedeutung der Voraussetzungen erkennen lassen. Hinweise für den Benutzer

Die Strukturierung ist ein wertvolles didaktisches Hilfsmittel, auf das die Autoren gerne zurückgegriffen haben. Die Hauptabschnitte werden mit einstelligen, die Teilabschnitte mit zweistelligen Nummern usw. versehen. Am Ende eines jeden Teilabschnittes findet der Leser ausgewählte Aufgaben (schwierige Aufgaben sind mit einem Stern gekennzeichnet), an Hand derer er prüfen kann, ob er das Lernziel erreicht hat. Zur Kontrolle sind die Lösungen mit zum Teil ausführlichem Lösungsgang im Anhang zu finden, so daß sich eine zusätzliche Aufgabensammlung erübrigt. Definitionen sind eingerahmt, wichtige Formeln grau unterlegt, Sätze eingerahmt und grau unterlegt. Das Ende des Beweises eines Satzes ist durch einen dicken Punkt gekennzeichnet. Oft werden Definitionen und Sätze durch anschließende Bemerkungen erläutert, oder es wird auf Besonderheiten hingewiesen. Hannover, im März 1978


Inhaltsverzeichnis

1 Anwendungen der Differential- und Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . .

1.1 Geometrische Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Kurven in der Ebene. . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . 1.1.2 Kurventangente und Kurvennormale, Berührung höherer 1.1.3 Bogenlänge einer ebenen Kurve. . . . . 1.1.4 Krümmung ebener Kurven. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5 Interpolation mit Hilfe kubischer Splines . . . . . . . . . . 1.1.6 Flächeninhalt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.7 Volumen und Oberflächeninhalt von Rotationskörpern. Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . Ordnung. . . . . . . . .

1.2 Anwendungen in der Physik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Schwerpunkte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Momente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Arbeit einer Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Mittelwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5 Durchbiegung eines Balkens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6 Bewegung im Schwerefeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.7 Weitere Anwendungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

2 Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1 Zahlenreihen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Definitionen und Sätze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Bedingte und absolute Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

1 1 15 22 26 35 45 51 61 68 68 77 82 85 87 90 96 99 103

. . . . . .. . . .. .

103 103 108 123 126

2.2 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2.2.1 Darstellung von Funktionen durch Potenzreihen . 2.2.2 Sätze über Potenzreihen . . . . . 2.2.3 Die Taylor-Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Reihen mit komplexen Gliedern. . . . . . . . . . . Aufgaben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

129 129 136 144 158 163

2.3 Fourier-Reihen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Trigonometrische Reihen und Fourier-Reihen. . 2.3.2 Beispiele von Fourier-Reihen. . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Komplexe Schreibweise der Fourier-Reihe. . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

166 166 172 179 182

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

X

Inhaltsverzeichnis 2.4 Fourier-Transformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Einführung und Definition der Fourier-Transformation. 2.4.2 Beispiele zur Fourier-Transformation. . . . . . . . . . . . 2.4.3 Eigenschaften der Fourier-Transformation . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . .

185 185 188 192 201

. . . . . . . . . . . . .

203

3 Funktionen mehrerer Variablen. . . . . . . . . . . . . .

3.1 Grundbegriffe: n-dimensionaler Raum, Stetigkeit . . 3.1.1 Die Ebene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Der drei-und der n-dimensionale Raum. . . . 3.1.3 Beispiele für Funktionen mehrerer Variablen und die Veranschaulichung von Funktionen zweier Variablen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4 Stetige Funktionen mehrerer Variablen. . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

203 203 207

3.2 Differentialrechnung der Funktionen mehrerer Variablen . . . . 3.2.1 Partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Differenzierbarkeit, totales Differential . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Extrema der Funktionen mehrerer Variablen . . . . . . . . 3.2.4 Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.5 Richtungsableitung und Gradient . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.6 Implizite Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.7 Integrale, die von einem Parameter abhängen. . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

233 233 239 250 259 263 271 275 278

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

.

. . . . .

217 226 232

3.3 Mehrfache Integrale (Bereichsintegrale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Doppelintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Dreifache Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3 Anwendungen dreifacher Integrale: Masse, Schwerpunkt und Trägheitsmoment eines Körpers Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

280 280 288

3.4 Linienintegrale und ihre Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Vektorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Kurven im Raum. . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3 Das Linien- oder Kurvenintegral . . . . . 3.4.4 Wegunabhängigkeit und Potentialfelder. 3.4.5 Divergenz und Rotor eines Vektorfeldes . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

305 306 313 315 322 331 335 338

4 Komplexwertige Funktionen .

4.1 Komplexe Funktionen. . . 4.1.1 Lineare komplexe Funktionen. 4.1.2 Die Funktion

1 mit l(z) =

293 303

1 -

z

. . . . . .

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

338 339 339 344

Inhaltsverzeichnis

XI

4.2 Komplexwertige Funktionen einer reellen Variablen . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

345 347

4.3 Anwendungen bei der Berechnung von Wechselstromkreisen 4.3.1 Komplexe Schreibweisen in der Wechselstromtechnik . 4.3.2 Ortskurven von Netzwerkfunktionen . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

347 347 350 355

. . . .

. . . . . . . . . . . . . .

5 Gewöhnliche Differentialgleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.1 Grundlegende Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Differentialgleichungen erster Ordnung. . . . . . . . . . . 5.2.1 Geometrische Deutung. . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Spezielle Lösungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Geometrische Anwendungen. . . . . . . . . . . . . . 5.2.4 Physikalische Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

357 357 364

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

364 364 368 378 383 390

5.3 Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten .. 5.3.1 Die homogene Differentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5.3.2 Das Grundlösungsverfahren zur Lösung der inhomogenen Differentialgleichung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5.3.3 Der Ansatz in Form des Störgliedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.4 Operatorenmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.5 Lösung mit Hilfe der Laplace-Transformation. . . . . . . . 5.3.6 Anwendungen der linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. . . . . . . . . . . . Aufgaben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

392 392 397 398 406 417

5.4 Lineare Differentialgleichungen der Ordnung n mit konstanten Koeffizienten . 5.4.1 Die homogene Differentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5.4.2 Das Grundlösungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.3 Der Ansatz in Form des Störgliedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.4 Operatorenmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

455 456 461 462 467 469

5.5 Lineare Differentialgleichungssysteme erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1 Grundlagen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.2 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

470 470 475 480

5.6 Numerische Verfahren für Anfangswertaufgaben . . . . . . . . . . . 5.6.1 Das Polygonzugverfahren (Euler-Verfahren) der Ordnung 1 5.6.2 Das verbesserte Polygonzugverfahren der Ordnung 2 . 5.6.3 Das Verfahren 2. Ordnung von Heun . . . . . . . . . 5.6.4 Gewinnung zweistufiger Verfahren. . . . . . . . . . 5.6.5 Das klassische Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung. .

480 482 483 484 485 487

434 454

XII

Inhaltsverzeichnis 5.6.6 Runge-Kutta-Verfahren für 2 x 2-Systerne 1. Ordnung. . . . . . . . . . . .. 5.6.7 Runge-Kutta-Nyströrn-Verfahren für Anfangswertaufgaben 2. Ordnung..

490 494

Anhang: Aufgabenlösung . . . .

499

Zu Zu Zu Zu Zu

499 529 550 571 576

Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt

1. 2. 3. 4. 5.

. . . .

Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

583

1 Anwendungen der Differential- und Integralrechnung 1.1 Geometrische Probleme 1.1.1 Kurven in der Ebene Bei der Veranschaulichung einer Funktion f wurde die Punktmenge {(x, y) IXED fund y = f(x)} in einem kartesischen Koordinatensystem dargestellt. Als Schaubilder der betrachteten Funktionen ergaben sich meist Kurven oder Kurvenstücke. Beispiel 1.1 Kurven als Graphen von Funktionen (vgl. Bild 1.1 und 1.2)

J

a) y = 4 - Xl mit XE [ - 2, 2J hat als Graph einen Halbkreis. b) y = 4 - Xl mit XE [ - 2, 2J hat als Graph einen Halbkreis.

c)

J

y

y

b)

y

c)

2

-2

-2

2 x

-1

-1

2

2

x

X

Bild 1.1a-c: Graphen zu Beispiel 1.1

d)

-5

y

5x

Bild 1.2d-f: Graphen zu Beispiel 1.1

-2

2

X

2

1 Anwendungen der Differential- und Integralrechnung 1

c) y

= -

d) y

=

x

3

mit XE~\{O} hat als Graph eine Hyperbel.

J ~~ 1-

mit

XE [ -

5, 5] hat als Graph eine Halbellipse.

e) y = 1 - x mit XE~ hat als Graph eine Parabel. f) y = mit XE ~ hat als Graph eine an der y-Achse gespiegelte Halbparabel. 2

JN

Eine Möglichkeit zur Beschreibung von Kurven besteht also in der Angabe der Zuordnungsvorschrift y = f(x) einer Funktion. Man sagt dann, die Kurve ist in expliziter Form gegeben. Wegen der eindeutigen Zuordnung von Argument und Funktionswert enthalten so beschriebene Kurven nie zwei Punkte mit gleicher Abszisse x. Kurven können aber auch durch Gleichungen der Form F(x,y) = 0

(1.1)

beschrieben werden. Die Kurve ist dann die Menge aller Punkte (x, y), für deren Koordinaten die Gleichung (1.1) gilt. Zum Beispiel gilt für alle Punkte eines Kreises vom Radius R um den Nullpunkt: x 2 + y2 - R 2 = O. Eine durch (1.1) beschriebene Kurve nennt man in impliziter Form gegeben oder dargestellt. Beispiel 1.2 In impliziter Form gegebene Kurven (vgl. Bild 1.3) a) (x -

X O)2

+ (y -

R2 = 0

YO)2 -

ol

b)

Y

Y

>b

Yo

beschreibt einen Kreis vom Radius R um den Mittelpunkt (x o, yo).

d)

!J

Y /

"-

~b x /

x

x

/

a

~

x

"

Bild 1.3a-d: Kurven zu Beispiel1.2

r r

b)

(X ~ Xo + (y ~ Yo ~ 1 =

c)

(~r

d) - (

~

-Grr r-

1= 0

+(~

1= 0

0

beschreibt eine Ellipse mit den Halbachsen a und b, deren Mittelpunkt (x o, Yo) ist. beschreibt eine Hyperbel. beschreibt eine Hyperbel.

1.1 Geometrische Probleme

3

Die Darstellung einer implizit gegebenen Kurve in einern kartesischen Koordinatensystem ist mitunter ein Problem. I. allg. versucht man zunächst F(x, y) = 0 »nach Y aufzulösen« und zu gegebenem Xl E~ die y-Werte zu bestimmen, für die F(x 1 , y) = 0 gilt, z.B.:

IXl + sin X 1 I = O y = In IXl + sin X 1 I· Gelingt dies nicht, so versucht man, F(x, y) = 0 nach X aufzulösen und zu gegebenem Yl E ~ die x-Werte zu bestimmen, für die F(x, Yl) = 0 gilt, z.B.: F (x l' y) = eY -

F(x, Yl) =

Yi + e

Y1

-

x 2 = O(x = +

J Yi + e

Y1

oder x = -

J Yi + e

Y1

).

Läßt sich F(x, y) = 0 weder nach x noch nach Y auflösen, so verwendet man Näherungsverfahren, wie sie in Band 1, Abschnitt 8.8 behandelt wurden. Will man z.B. die durch y 2 + eY -Ix + sinxl = 0 implizit gegebene Kurve darstellen, so gibt man sich ein Xl ElR vor und verwendet ein Iterationsverfahren zur Bestimmung der y-Werte, für die y2 + eY = IX 1 + sinx 1 gilt. 1

Neben der expliziten und der impliziten Darstellung von Kurven kennen wir bereits eine dritte Möglichkeit: Bei der Definition der Sinus- und der Kosinusfunktion wurde der Einheitskreis als Menge aller Punkte (x, y) mit x = cos t

und

y = sin t

(1.2)

beschrieben. Dabei entsprach t dem Bogenmaß vom Punkt (1,0) zum Punkte (x, y). Durchläuft t monoton wachsend das Intervall [0,2nJ, so durchläuft der t entsprechende Punkt (x, y) den Kreis entgegen dem Uhrzeigersinn genau einmal (s. Bild 1.4). y

t =Tt

t=o f= 2Tt

X

Bild 1.4: Parameterwerte zu (1.2)

Definition 1.1 Eine Punktmenge C c ~2 heißt stetige Kurve, wenn es zwei auf einem Intervall I stetige Funktionen cp, ljJ gibt, so daß für jeden Punkt (x, y)EC x = cp(t),

Y = ljJ(t)

mit tEl

(1.3)

gilt. Die Gleichungen (1.3) nennt man eine Parameterdarstellung der Kurve C. Schreibweise: C: x = cp(t), Y = ljJ(t) mit tEl. Ist I das abgeschlossene Intervall [tl' t 2J und gilt cp(t 1 ) = cp(t 2) und ljJ(t 1 ) = ljJ(t 2), so heißt die stetige Kurve geschlossen.

4

1 Anwendungen der Differential- und Integralrechnung

Bemerkungen:

1. Da beide Koordinaten eines Punktes P vom Parameter t entsprechend der Parameterdarstellung abhängen, sprechen wir auch kurz vom Punkt P(t) statt vom Punkt (cp(t), t/J(t)). 2. Neben (1.3) gibt es noch unendlich viele andere Parameterdarstellungen der Kurve C. Der Einheitskreis läßt sich z.B. auch durch x= -sinr,y=cosT

bzw.durch x=cosr,y= -sinr mit rE[O,2nJ

beschreiben (vgl. Bild 1.5). Diese Parameterdarstellungen erhält man aus (1.2) durch die . n Parametertransformatlonen t = r + - bzw. durch t = - r. 2 3. Der Begriff Parameterdarstellung wird in analoger Weise auch für nicht stetige Kurven verwendet. 4. Eine Kurve wird auf I stückweise stetig genannt, wenn die Koordinatenfunktionen cp und t/J auf I stückweise stetig sind. 5. Ist in einer gegebenen Parameterdarstellung die Funktion cp oder t/J unstetig, so kann doch eine stetige Kurve beschrieben sein. Z.B. beschreibt x

= cp(t) = {

R ·cos t -R'cost

für tE[O, nJ für tE(n,2nJ'

y = t/J(t) = R'sint

für tE[O,2nJ

eine stetige Kurve (nämlich den Kreis x 2 + y2 = R 2 ), obwohl cp in t = n unstetig ist. 6. Durchläuft bei einer geschlossenen stetigen Kurve der Parameter t monoton wachsend das Intervall [t l' t 2J, so erhält die geschlossene Kurve eine Orientierung. Der Umlaufsinn wird positiv genannt, wenn das von der Kurve eingeschlossene Gebiet beim Durchlaufen der Kurve stets zur Linken liegt, andernfalls negativ. Der in Bild 1.4 dargestellte Kreis erhielt dementsprechend durch (1.2) eine positive Orientierung. Die in Bild 1.5 gezeichneten Kreise sind unterschiedlich orientiert. 7. Statt x = cp(t), Y = t/J(t) mit tEl ist auch folgende vektorielle Schreibweise üblich: ---+ r = ---+() r t

=

(cp(t)) t/J(t)

. tE I . mIt

y T =0 T=2Tt

T=1t

T=21t

x

T=O

T

Bild 1.5: Zu anderen Parameterdarstellungen des Einheitskreises

=.!t 2

X


5

Diese Schreibweise bietet sich insbesondere für Raumkurven an. Zum Beispiel stellt

R.cost) r=r(t)=

(

R.~int

mit tEIR1

eine Schraubenlinie mit der Ganghöhe 2n dar. Beispiel 1.3 Parameterdarstellung einer Ellipse mit den Halbachsen a und b Durch x

y

= a'cos t mit 0 ~ t ~ 2n = b'sin t

wird eine geschlossene stetige Kurve beschrieben. Wegen sin 2 t + cos 2 t = 1 gilt nämlich für alle Punkte (x, y) die Gleichung

Die Parameterdarstellung beschreibt also eine Ellipse mit dem Mittelpunkt (0,0). Sie wird im positiven Sinn durchlaufen (vgl. Bild 1.6). Im Fall a = b = R wird ein Kreis vom Radius R beschrieben.

y y

3 b f=2

f=2rr x

Bild 1.6: Ellipse

3

5

7

Bild 1.7: Gerade

Beispiel 1.4 Eine Parameterdarstellung einer Geraden Aus Band 1, Abschnitt 7.2.3 ist uns die Zweipunktegleichung einer Geraden bekannt:

x=X1 +t(X2 -X1 )

9

x

6 mit

1 Anwendungen der Differential- und Integralrechnung tE [R.

Eine Gleichung der Geraden durch die Punkte Ei (1,4) und

~(5, 2)

lautet z.B.:

was die folgende Parameterdarstellung der Geraden ergibt (vgl. Bild 1.7): x=1+4t,

y=4-2t,

tE[R.

Beispiel 1.5 Zykloide Bei einigen technischen Anwendungen sind »Rollkurven « von Interesse. Hier soll nur der einfache Fall, daß ein Kreis vom Radius R auf einer Geraden abrollt, betrachtet werden. Man stelle sich etwa ein Rad vor, das auf einer Ebene rollt, ohne zu gleiten. Wir beschreiben die Lage eines Punktes P auf der Peripherie des Kreises in Abhängigkeit vom Drehwinkel t. Zu Beginn (d.h. für t = 0) möge P der Berührungspunkt von Kreis und Gerade sein. Das Koordinatensystem wird entsprechend Bild 1.8 gewählt. Rollt der Kreis auf der Geraden ab, dann» hebt sich« der Punkt von der Achse, hat nach einer halben Umdrehung (t = n) einen maximalen y- Wert und ist nach einer vollen Umdrehung (t = 2n) wieder Berührpunkt von Kreis und Gerade. Bei einer Drehung um t ist der Bogen R· t des Kreises auf der Geraden abgerollt, woraus sich die folgende Parameterdarstellung ergibt (vgl. Bild 1.8): x = Rt - R· sin t y=R-R·cost. Mit tE [0, 2n] wird genau eine Umdrehung beschrieben. Die Kurve ist nicht geschlossen. Man nennt sie (gewöhnliche) Zykloide.

y f= Tt

R y(f)

x(f)

Rt

TtR

x

Bild 1.8: Zykloide

Bisher wurde ein Punkt stets durch seine kartesischen Koordinaten gekennzeichnet. Oft ist es nützlich, davon abzuweichen, und die Punkte einer Ebene auf ein anderes Koordinatensystem zu beziehen:


7

Wir zeichnen einen in der Ebene liegenden Punkt 0 als Pol und eine von 0 ausgehende Halbgerade als Polgerade aus. Die Lage eines beliebigen von 0 verschiedenen Punktes P läßt sich dann durch die Maßzahl r der Länge der Strecke OP und durch das (vorzeichenbehaftete) Bogenmaß

qJ

des Winkels zwischen der Polgeraden und OP

kennzeichnen (s. Bild 1.9). Durch die Angabe eines geordneten Zahlenpaares (qJo, r o ) ist dann eindeutig ein Punkt ~ im qJ, r-System festgelegt (vgl. Bild 1.10). Es beschreibt qJ = qJo eine Halbgerade durch 0 und ~ und r = r 0 einen Kreis um 0 durch ~, roheißt der Radiusvektor von ~ und qJo das Argument von~.

p

p

o

Bild 1.9: Pol und Polgerade

Bild 1.10: Koordinatenlinien im qJ, r-System

Bild 1.11: Zusammenhang zwischen kartesischen Koordinaten und Polarkoordinaten

Durch diese Festlegung ist zwar jedem Paar (qJ, r) mit r ~ 0 eindeutig ein Punkt der Ebene zugeordnet, nicht aber umgekehrt jedem Punkt der Ebene eindeutig ein Zahlenpaar (qJ, r). Vielmehr entsprechen einem Punkte P unendlich viele Zahlenpaare, die sich alle im Argument um ein ganzzahliges Vielfaches von 2n unterscheiden. Soll die Zuordnung umkehrbar eindeutig sein, so muß der Argumentbereich eingeschränkt werden, z.B. durch 0 ~ qJ < 2n für r > O. Zwar entsprechen dem Pol 0 dann noch immer alle Paare (qJ, 0), die Zuordnung der von 0 verschiedenen Punkte der Ebene auf die Paare (qJ, r) mit 0 ~ qJ < 2n und r > 0 ist dann aber umkehrbar eindeutig. Man nennt die dem Punkt P auf diese Weise zugeordneten Zahlen qJ und r die Polarkoordinaten von P. Die Koordinatenlinien im Polarkoordinatensystem 1 ) sind dann Halbgeraden durch 0 (qJ konstant) und konzentrische Kreise um 0 (r konstant - vgl. Bild 1.10). Der Zusammenhang mit den kartesischen Koordinaten ist Bild 1.11 zu entnehmen. Fällt die Polgerade mit der positiven x-Achse zusammen, so gilt: x = r·cos qJ y = r·sin qJ

(1.4)

1) In mancher Literatur wird das oben erwähnte qJ, r-System als Polarkoordinatensystem bezeichnet, obwohl dann die Zuordnung der Paarmenge {(qJ, r)lqJEIR, rEIR+} zu den von 0 verschiedenen Punkten der Ebene nicht umkehrbar eindeutig ist.

8


und

arctan E x

für x> O,y ~ 0

arctan E+ 2n für x > 0, y < 0 qJ=

x

y arctan x

+n

für x < 0

n (2-sgny)·-

für x=O

2

r=Jx 2 +y2.

(1.5)

Beispiel 1.6 Von kartesischen Koordinaten zu Polarkoordinaten und umgekehrt a) x=3, y=4 =>r2=25,tanqJ=~, x= -3,y=4 =>r 2 =25,tanqJ= -~, X = 3, y = -4=>r 2 = 25, tan qJ = -j, x= -3,y= -4=>r2=25,tanqJ=~, x=O, y=-4=>r 2 =16,sgny=-1,

also qJ = 0,927 also qJ = 2,214

,r = 5 ,r = 5

also qJ = 5,355 also qJ = 4,068

,r = 5 ,r = 5

also qJ = in,

r= 4

Dabei ist zu beachten, daß die (z.B. mit dem Taschenrechner berechneten) Werte der arctanFunktion im Intervall ( -

~,~ )

liegen.

n n n Jb) m=- r=2=>x=2·cos-=1 y=2·sin-= 3 't' 3' 3' 3 m=2 n=2' y=4·sin 23 n= -2J3. n' r=4=>x=4·cos 23 't' 3

Entsprechend der Darstellung in kartesischen Koordinaten gibt es die folgenden Beschreibungen von Kurven in einem Polarkoordinatensystem: Explizite Darstellung: r = f(qJ) mit qJED f Implizite Darstellung: F(qJ, r) = 0 Parameterdarstellung: r = g(t), qJ = h(t) mit tEl, wobei I ein Intervall ist. Meist ist es vorteilhafter, eine Kurve in einem qJ, r-System zu beschreiben. In diesem Fall erspart man sich die für Polarkoordinaten häufig nötigen Fallunterscheidungen. Beispiel 1.7 Gerade im qJ, r-System. Die nicht durch 0 gehende Gerade 9 möge von 0 den Abstand ro haben. Der Fußpunkt des Lotes von 0 auf 9 habe die Koordinaten qJo und r o. Für einen beliebigen Punkt der Geraden gilt dann (s. Bild 1.12): o r = cos(qJ - qJo) r

oder

r=

o r für qJE(qJO -~, qJo + ~). cos(qJ - qJo) 2 2


9

Das ist eine explizite Darstellung der Geraden. Unter Verwendung des Additionstheorems des Kosinus erhält man die folgende implizite Darstellung einer Geraden: r(cos qJo cos qJ

+ sin qJo sin qJ) -

ro

= O.

Berücksichtigt man die Umrechnungsregeln (1.4), dann folgt aus der letzten Gleichung die sogenannte Hessesehe Normalform einer Geraden in kartesischen Koordinaten: x·cos qJo

+ y·sin qJo = r o ·

y

9

o

x

Bild 1.12: Gerade im ({), r-System

Beispiel 1.8 Kreise in

qJ,

r-Systemen

Einige spezielle Kreise sind in Bild 1.13 in r

= R für

für

qJE[O,

2n];

qJE[qJo - n, qJo]

r

= cos qJ für

mit

qJo

qJE[ -

= arctan 2

Bild 1.13: Kreise in ({), r-Systemen

qJ,

r-Systemen dargestellt:

in, in];

r

= sin qJ für

qJE [0, n]; r

= 2 cos qJ - sin qJ

10


Es soll nur der Nachweis geführt werden, daß r = 2 cos qJ - sin qJ einen Kreis beschreibt: r2 = 2r· cos qJ - r· sin qJ => x 2 + y2 = 2x - y => x 2 - 2x + 1 + y2 + Y + i = % =(x -

W + (y +j)2 =

(fr.

Es ist also ein Kreis mit dem Radius ~J5 um den Mittelpunkt (1, -~) beschrieben. Beispiel 1.9 Ellipse im

qJ,

r-System

Für jeden Punkt P einer Ellipse mit den Brennpunkten 1\ und F;. gilt: P1\ + P F;. = 2a (vgl. Bild 1.14a). Legen wir ein qJ, r-System so, daß der PolO mit 1\ übereinstimmt und die Polgerade durch ~ geht (vgl. Bild 1. 14b)), dann gilt nach dem Kosinussatz: PFl

=

PFl + (2e)2 - 2·2e· PF1 cos qJ und wegen PF2 = 2a - r: 4a 2 - 4ar + r 2 = r 2 + 4e 2 - 4er·cos qJ

bzw.

r=----

a - e·cos qJ

a a - e·cos qJ

e l--·cos qJ a

b2

e

Setzt man nun - = 8 (Exzentrizität) und - = p (Ellipsenparameter), so erhält man eine explizite a a Darstellung der Ellipse durch: r=

1-

p

mitqJE[0,2n]undO(r'sin qJ)3 + (r'cos qJ)3 = ar'sin cp'r'cos qJ =>x 3 + y3 = axy.

(1.7)

Mit dem Ansatz y = t· x kann man daraus eine Parameterdarstellung gewinnen: x3

at

+ y3 = axy => x 3 + t 3x 3 = axtx => x 3(1 + t 3) = atx 2 => x = - - 3 l+t

für x # 0, t # - 1.

Weil auch der Nullpunkt ein Kurvenpunkt ist, muß nur t # -1 gefordert werden: at x = - -3 1+ t '

tE~\{-l}.

Wir haben gesehen, daß eine bestimmte Kurve der Ebene durch unterschiedliche Funktionen beschrieben werden kann. Umgekehrt läßt sich eine Funktion f mit t~ f(t) auf verschiedene

12


Weisen durch Kurven veranschaulichen. Z.B. liefert die Veranschaulichung von t ~ im kartesischen Koordinatensystem und im ep, r-System die Bilder 1.16.

Jr für tE lR;

f(t)

2

3

2

4

t

Bild 1.16: Veranschaulichung von tl---t0 für tE lRt

Ist eine Kurve in expliziter Darstellung durch y = f(x) gegeben, dann läßt sie sich stets implizit (z.B. durch y - f(x) = 0) und mittels einer Parameterdarstellung beschreiben (z.B. durch x = t, Y = f(t) mit tED f). Daß sich umgekehrt zu einer impliziten Form nicht immer eine explizite angeben läßt, wurde bereits zu Anfang dieses Abschnitts erwähnt. Nun liegt die Frage nahe, ob zu C: x = ep(t), Y = JjJ(t), tEl immer eine implizite (oder gar eine explizite) Darstellung angegeben werden kann. Ist cjJ stetig in t o und cjJ(t o) i= 0, dann existiert wegen der Stetigkeit von cjJ eine Umgebung von t o, in der cjJ das Vorzeichen nicht wechselt, in der also ep streng monoton ist (vgl. Band 1, Satz 8.32). Nach Band 1, Satz 2.1 existiert dort die (ebenfalls stetige) Umkehrfunktion ep -1 mit t = ep -l(X). In einer Umgebung von t o gibt es damit eine explizite Darstellung y = JjJ(t) = JjJ(ep -l(X)) = f(x) mit f = JjJoep-1. Beispiel 1.12 Von einer Parameterdarstellung zur impliziten Darstellung Für a, b >

°

beschreibt x = a·cos t, y = b·sin t, tE[O, 2n] eine Ellipse mit den Halbachsen a und b. x

Auf [0, n] ist x = a·cos t umkehrbar, und es gilt: t = arccos-. Für y ~ a Y = b'Sin(

arccos~) = b·

°

erhalten wir so:

J (~)2. 1-

x

Für tE[n,2n] istx = a·cost auch umkehrbar, und es gilt: t = 2n - arccos-. Daraus folgt für y < 0:

J Gr a

Y = b'Sin( 2n Es gilt deshalb

(~ )

2

arccos~) = -b'Sin( arccos~) = -h' + ( ~)

2 -

1 = 0 für alle Ellipsenpunkte.

1-


13

Gilt ep(t o) = 0, aber ~(to) =1= 0, so erhält man analog: x = cp(t) = cp(tjJ-1(y)) = g(y) mit g = cpotjJ-1. Ein Punkt P(to), in dem sowohl ep als auch ~ verschwindet, wird singulärer Punkt genannt. Im folgenden werden oft Kurven, die singuläre Punkte enthalten, aus den Betrachtungen ausgeschlossen. Außer Betracht bleiben häufig auch Kurven mit» Doppelpunkten«: Durch eine Parameterdarstellung wird jedem tEl genau ein Punkt P(t) der Kurve C zugeordnet.Gemäß Band 1, Abschnitt 2.1 ist damit eine Funktion P: I ~ C gegeben. Diese Funktion von I in C mit t~P(t) ist genau dann umkehrbar, wenn für alle t 1, t 2EI gilt: t 1 =1= t 2 =>P(t 1) =1= P(t 2), d.h. wenn die Kurve keinen Doppelpunkt P(t 1) = P(t 2) mit t 1 =1= t 2 besitzt (s. Bild 1.17).

Bild 1.17: Kurven mit Doppelpunkten

Definition 1.2 Eine stetige Kurve C wird glatt genannt, wenn sie auf einem Intervall I durch C: x

= cp(t),

y = tjJ(t),

tEl

(1.8)

mit stetig differenzierbaren Funktionen cp und tjJ beschrieben werden kann und für alle tEl gilt: (1.9) Man nennt dann (1.8) eine zulässige Parameterdarstellung von C. Ist zusätzlich die durch cp und tjJ gegebene Abbildung P: I ~ C mit t~ P(t) umkehrbar, so wird C glatte Jordankurve genannt.

Bemerkungen:

1. Eine glatte Jordankurve ist also eine stetige Kurve ohne Doppelpunkt und ohne singulären Punkt. 2. Eine Kurve heißt stückweise glatt, wenn eine Zerlegung des Intervalls I in endlich viele Teilintervalle existiert, so daß jedem dieser Teilintervalle ein glattes Kurvenstück entspricht. 3. Für ein und dieselbe glatte Kurve kann es sowohl zulässige als auch nicht zulässige Parameterdarstellungen geben: a) x = t, Y = t, tE [R ist z.B. eine zulässige Parameterdarstellung der explizit durch y = x beschriebenen Geraden: (ep(t))2 + (~(t))2 = 2 =1= 0 für alle tE[R. b) x = t 3 , Y = t 3 , tE[R ist keine zulässige Parameterdarstellung dieser Geraden, denn (ep(t))2 + (~(t))2 = 18t 4 verschwindet für t = 0. 4. Wird im folgenden von einer glatten Jordankurve C: x = cp(t), Y = tjJ(t), tEl gesprochen, so sollen cp und tjJ stets zulässige Parameterfunktionen sein.

14


Beispiel 1.13 a) Der Kreis C: x=R·cost, y=R·sint, tE[0,2n] ist wegen (ciJ(t))2+(~(t))2=R2 eine glatte Kurve und bei Einschränkung auf das Intervall [0,2n) eine glatte Jordankurve. b) Die Ellipse C: x = a·cos t, y = b·sin t, tE [0, 2n] ist wegen (ciJ(t))2 + (~(t))2 = a2 sin 2 t + b2 cos 2 t > für alle tE [0, 2n] eine glatte Kurve. c) Die folgende Darstellung der Zykloide C: x = R(t - sin t), y = R(l - cos t), tE [0, 2n] ist wegen (ciJ(t))2 + (~(t))2 = 2R 2(1 - cos t) = für t = und t = 2n keine zulässige Parameterdarstellung. d) Durch x = a·cosh t, y = b·sinh t, tEIR wird wegen cosh 2 t - sinh 2 t = 1 für tEIR ein Teil der

°

Hyperbel

°

-

°

(~r (~r = 1 beschrieben (s.

Bild 1.18 a). Dieser Hyperbelast ist eine glatte

Jordankurve, denn es gilt P(t 1 ) =I- P(t 2) für alle t 1 , t 2EIR mit t 1 =I- t 2 und (ciJ(t))2 + (tiJ(t))2 = a2 sinh 2 t + b2 cosh 2 t > 0. e) Durch x = a·cos 3 t, y = a·sin 3 t, tE[0,2n] wird eine Astroide (Sternkurve) beschricben. Für n . t k = k·- (k = 0, 1,2,3,4) gilt (ep(t))2 + (lj;(t))2 = 0. Die Kurve ist nicht glatt. Das Schaubild weist 2

in den genannten Punkten P(tk ) Spitzen auf (vgl. Bild 1.18 b)). f) Die in Beispiel 1.11 angegebene Parameterdarstellung des kartesischen Blattes a·t 2 y=-3- mit tEIR\{ -I} t +1

a·t x =3 - t + l'

1--r ist nicht auf einem Intervall definiert (s. Bild 1.18 c)). Durch die Transformation t = - -r gelangt man zu der Parameterdarstellung x=

a('[2 -

'[3)

1 - 3-r + 3-r

2

y= '

a('[ -

2'[2

+ -r 3 )

1 - 3-r + 3-r 2

mit -r E IR,

in der die Parameterfunktionen qJ und lj; auf einem Intervall definiert sind und der Bedingung (1.9) genügen. Die Kurve ist zwar glatt, aber wegen P(O) = P(l) = (0,0) keine glatte Jordankurve (s. Bild 1.18 d)).

a}

c)

b}

y

x

x

Bild 1.18a-d: Kurven in Parameterdarstellung zu Beispiel 1.13

d)


15

1.1.2 Kurventangente und Kurvennormale, Berührung höherer Ordnung

Wir befassen uns zunächst mit dem Problem, wann eine durch Parameterdarstellung in kartesischen Koordinaten beschriebene Kurve eine Tangente besitzt und diskutieren dann das Problem für Polarkoordinaten. Eine glatte Jordankurve C sei durch die zulässige Parameterdarstellung x = qJ(t), Y = ljI(t) mit tE [tl' t 2 ] gegeben. Wir betrachten die Kurve in einer Umgebung von t oE(t 1, t 2 ). Da die Kurve glatt ist, muß ci!(t o ) =1= 0 oder ~(to) =1= 0 gelten. Im Falle ci!(t o) =1= 0 wechselt ci! in einer Umgebung von t o das Vorzeichen nicht, qJ ist dort streng monoton. Dann existiert in dieser Umgebung die Umkehrung t = qJ -l(X), und es gilt die explizite Beschreibung y = ljI(t) = ljI(qJ-1(X)) = f(x)

mit f = ljIoqJ-1.

Für den Anstieg (bezogen auf die x-Achse) gilt dann nach der Kettenregel und Satz 8.15 (Band 1): f'(x)1 _ = d Y ! = dljll '~I = x-x, dx X=Xo dt t=t o dx X=Xo

•

~(t

0

).dqJ-1(X)1 = dx X=Xo

~(t )._1_1 0

ci!(t)

~(to) t=t

o

cp(to)

Im Falle ci!(to) =1= 0 und ~(to) = 0 gilt f'(x o ) = O. Die Tangente liegt dann parallel zur x-Achse. Im Falle ci!(t o) = 0 und ~(to) =1= 0 gilt für den Anstieg bezogen auf die y-Achse wegen x = qJ(t) = qJ(r l(y)) = g(y) mit g = qJoljl-1:

g'(y)l

= dxl

_ y

y

,

dy

= dqJl y=Yo

dt

t=t o

. dt I = ci!(to) dljl-1(y)1 dy y=Yo dy y=Yo

(1.10)

ci!(to) -

~(to)

Die Tangente verläuft wegen ci!(to) = g'(yo) = 0 parallel zur y-Achse. Satz 1.1

Bemerkung:

Im Falle ~(to) =1= 0 gilt für den Anstieg bezogen auf die y-Achse, falls x Beschreibung der Kurve in einer Umgebung von t o ist:

=

g(y) die explizite

Beispiel 1.14 Anstieg einer Hyperbel Eine Parameterdarstellung eines Hyperbelteils ist uns aus Beispiel 1.13 d) bekannt:

16


x = a·cosh t, Y = b·sinh t, tE~. Wegen <jJ(t) = a·sinh t, tiJ(t) = b·cosh t gilt für alle vom Scheitel (a, 0) verschiedenen Punkte (d.h. für t -# 0): tiJ(t) b'cosh t b f'(x) = = = -'coth t. <jJ(t) a' sinh t a Wegen <jJ(t) a' sinh t a g'(y)=-.-= =-·tanht t/J(t) b'cosht b

füralletE~

ist die Tangente im Scheitelpunkt parallel zur y-Achse (<jJ(0) = 0, ~(O) -# 0). Insbesondere gilt: lim f'(x) =

b

b

+ - und

t~oo

a

lim f'(x) = - -. Bild 1.18 a zeigt, daß dies die Steigungen a

t~-oo

der Asymptoten an die Hyperbel sind. C: x = cp(t), Y = t/J(t) mit tEl beschreibe eine glatte Jordankurve. In einer Umgebung von toEl mit <jJ(to) -# 0 gilt für den Anstieg im Punkt'P(t o) Gleichung (1.11). Mit X o = cp(t o) und Yo = t/J(to) lautet dann die Punkt-Richtungs-Form der Tangentengleichung:

y - Yo = f'(xo)'(x - x o)· Dementsprechend hat die Tangentengleichung einer in Parameterdarstellung gegebenen glatten Jordankurve im Punkte P(t o) die Form: (1.12) Beispiel 1.15 Tangente an eine Ellipse Eine Ellipse mit dem Mittelpunkt (x M, YM) sei in Parameterdarstellung gegeben: x =

XM

Y = YM

+ a' cos t . . mit tE[0,2n] (vgl. BeispIel 1.3). + b· Sin t

Wegen <jJ(t) = -a·sin t und ~(t) = b·cos t lautet die Gleichung der Tangente im Punkt P(to): Y - (YM + b'sin t o) =

b·cost o . (x - (x M+ a·cos t o)) -a·SIn t o

für sin t o -# 0

oder (y - YM)·a·sin t o + (x - xM)·b·cos t o - a·b = O.

(1.13)

Bild 1.19 zeigt die Tangenten an die Ellipse mit den Halbachsen a = 4, b = 2 und dem Mittelpunkt (5,3) für t o = in, t o = ~n, t o = ~n. Für die Tangentengleichungen gilt nämlich:

n) J2 J2 11J2+8 inP ( :4 : (y-3)-4+(x-S)·2· -8=0 bzw.y= -~x+ 2J2

T

inpG) (y-3)-4-1+

T

0

-8=0

1

-2 x + 8,32 ...

bzwoy=S

inpC:}(Y-3)-4.~2 +(X-S)o2( -f)-8=0 bzw.y=~x+~~8=~X+3,32.. o

1.1 Geometrische Probleme Aus (1.12) läßt sich durch die Substitution x ~ q>(t o ) = cp(to) herleiten:

= cp(t o) + ep(to)·T . y = t/J(to) + t/J(to)·T

7:

17

eine Parameterdarstellung der Tangente

.

x

mIt TE[R.

Besitzt die Kurve C in P(to) eine Tangente, dann wird die durch P(to) gehende, zur Tangente orthogonale Gerade die Normale in P(to) genannt (vgl. Bild 1.19).

y 9 ~'. (;j~fv.

~'-

7

~« oS

5 3

3

5

7

9

x

Bild 1.19: Tangenten an Ellipse

Unter Berücksichtigung der Orthogonalitätsbedingung mtOmn = -1 lautet die Normalengleichung in kartesischen Koordinaten: y - t/J(t o) =

-

~~::~ o(x •

°

Mit Hilfe der SubstItutIon

q>(t o)) x - cp(t o)

. t/J(t o)

für

tf(t o) -# O.

= T erhält man daraus eine Parameterdarstellung der

Normalen: x = cp(t o) + ~(tO)·T Y = t/J(to) - ep(to)·T

mit

TE[Ro

Beispiel 1.16 Normalen einer Ellipse (vgl. Bild 1.19) Die Normale der in Beispiel 1.15 durch:

angegeb~nen

Ellipse in einem Punkte P(to) wird beschrieben

18


Die Gleichung der Normalen im Punkte

Y - (3 + 2· 1 J2) = 2

p( ~) lautet danach:

-4'~J2.(x - (5 + 4· 1 J2)) 2'iJ2

Y = 2x - 7 -

3J2 =

bzw.

2

2x - 11,24....

Im Zusammenhang mit Tangente und Normale werden oft bestimmte Längen betrachtet: Es sei 11J ein Punkt der Kurve C, P~ dessen Projektion auf die x-Achse und T bzw. N seien die

Schnittpunkte von Tangente bzw. Normale mit der x-Achse. Dann heißt:

Pa T die Länge der Tangente Pa' T die Länge der Subtangente Mit tan ri =

PaN Pa' N

die Länge der Normalen die Länge der Subnormalen.

Yo gilt dann (vgl. Bild 1.20):

Po'T =

I~~I

(1.14)

Po'N = lyo·Yol.

und

y

T

x

Bild 1.20: Subtangenten- und Subnormalen-Länge

Beispiel 1.17 Tangentenkonstruktion an Parabel und Ellipse a) Für die durch y 2 = 2px (p > 0) beschriebene Parabel gilt: Y' y' = p für alle XE ~ +. Die Länge der Subnormalen ist damit wegen (1.14) für alle vom Scheitel verschiedenen Parabelpunkte gleich groß. Das gestattet eine einfache Konstruktion der Parabeltangenten (s. Bild 1.21 a). Für alle Subtangenten-Längen gilt nämlich:

171 = I:~,I = 1 :

2 x

l

= 2x.


19

y:

b) Eine Ellipse mit den Halbachsen a und b um den Nullpunkt sei durch x: + = 1 implizit a b b2 x 2 2 gegeben. Dann erhält man wegen y2 = b - - für die Länge der Subnormalen: 2 a

1- (~ ) I· Die Länge der Subtangente hängt nicht von bund y ab: 2

Iyy' I =

X

D.h. aber: Alle Ellipsen mit der gleichen Halbachsenlänge a haben in Punkten, deren Abszisse X a ist, die gleiche Subtangenten-Länge. Das gilt insbesondere auch für den Kreis mit dem Radius a. Dies gestattet eine einfache Konstruktion der Ellipsentangenten (s. Bild 1.21 b).

01

y

b)

y

T

T

x

Bild 1.21a,b: Tangentenkonstruktion bei Parabel und Ellipse

Nach diesen Ausführungen über den Anstieg einer in kartesischen Koordinaten beschriebenen Kurve noch eine Bemerkung zum Anstieg einer glatten Jordankurve, die explizit durch, = f( qJ) in Polarkoordinaten gegeben ist. Mit x = ,·cos qJ = f(qJ)·cos qJ und y = ,·sin qJ = f(qJ)·sin qJ erhält man eine Parameterdarstellung mit dem Parameter qJ, und es gilt für den Anstieg tan (X der Tangente in einem Punkt (qJa, f(qJa)) dx der Kurve (vgl. Bild 1.22) im Falle - =1= 0: dqJ dyl tan(X=~ dx

X=Xo

1 Y! dyl_ . =d.dqJl = also dqJ '1'='1'0 dx X=Xo dqJ '1'='1'0 dx dqJ q>~q>o 1

'

20


y

x Bild 1.22: Zum Anstieg in Polarkoordinaten

Beispiel 1.18 Wo hat die Lemniskate (vgl. Bild 1.15) eine Tangente parallel zur x-Achse, d.h. wo gilt y' = O? a sin 2qJ Aus der Polarkoordinaten-Darstellung r = a cos 2qJ folgt f'( qJ) = und damit für cos 2qJ n qJ #-: 4

J

-a·sin2qJ

J cos

dy

dx

-J

J-cos 2qJ·cos qJ

2qJ

-a·sin2qJ

J cos

sin qJ + a

--

(1.16)

J-a cos 2qJ'sin qJ

cos qJ -

2qJ

Für einen extremen y- Wert ist dann notwendig: a·sin2qJ

J

sin qJ = a

J-cos 2qJ cos qJ

cos 2qJ und wegen

n

qJ

#"2 + kn (kEZ):

3 sin 2 qJ = cos 2 qJ tan qJ = J~ qJ

tan qJ = - J~

oder

n

n

n

n

6

6

6

6

= - oder qJ = - - n oder qJ = - - oder qJ = - - + n.

Der Nenner in (1.16) verschwindet für diese Werte nicht. Wir verzichten auf die Berechnung der 2. Ableitung und auf die weitere Untersuchung, ob Minima oder Maxima vorliegen. Wir betrachten zwei Kurven Cl und C 2 , die sich im Punkte (x o, Yo) berühren. Diese Berührung kann - wie wir aus Band 1, Abschnitt 8.5.3 über approximierende Polynome wissen - von verschiedener Art sein (vgl. Bild 1.23).


21

Schmiegeparabel

Tangente

Bild 1.23: Berührung verschiedener Ordnung

Definition 1.3

Zwei Kurven seien explizit durch y = f(x) und y = g(x) gegeben. Die Kurven berühren einander im Punkte P(x o,Yo) von der Ordnung n, wenn die Funktionswerte und die ersten n Ableitungen von fund g in X o existieren und übereinstimmen: (1.17) Man sagt: Die Kurven berühren genau von der Ordnung n, falls zusätzlich j(n+ l)(X O ) # g(n+ l)(X O ) gilt oder falls nicht beide (n + l)-ten Ableitungen in X o existieren. Beispiel 1.19 Berührung von Kreis und Parabel Es soll der Kreis bestimmt werden, der die Normalparabel y = x 2 von möglichst hoher Ordnung in (0,0) berührt. Offenbar muß wegen der Symmetrie (vgl. Bild 1.24) der Mittelpunkt des Berührkreises im Abstand R auf der y-Achse liegen. Für den unteren Halbkreis gilt y = g(x) = R - JR 2 - x 2 . = x2,

g(x)

f'(x) =2x,

g'(x)

f"(x) =2,

g"(x) =

f"'(x) = 0,

g"'(x)

f(4)(X) = 0,

g(4)(X) =

f(x)

= R - JR 2

-

x2

x

JR -X 2 R2

und speziell: f"(O) = g"(O), falls R = ~

23

3x'R 2 JR 2 -X

R2

2

JR -X

und speziell: f"'(O) = g"'(O)

25

+ 4x 2 27

= g(O)

und speziell: f'(O) = g'(O)

2

JR 2 -X

und speziell: f(O)

·3· R 2

.

und spezIell: f(4)(0) # g(4)(0) =

3

-3'

R

Der gesuchte Kreis hat den Radius R =~. Die Berührung von Kreis und Parabel ist genau von der Ordnung 3.

22

Anwendungen der Differential- und Integralrechnung

y

x Bild 1.24: Berührung von Kreis und Normalparabel

1.1.3 Bogenlänge einer ebenen Kurve Eine Kurve sei explizit durch die Zuordnungsvorschrift y = f{x) einer Funktion f: Ca, b] ~ IR gegeben. Wir wollen die Länge einer solchen Kurve definieren. Bisher wurde der Begriff nur bei Strecken verwendet. Es ist deshalb naheliegend, mit Hilfe der Längen von Strecken den Begriff Länge einer Kurve zu erklären 1). Durch eine Zerlegung Z des Intervalls Ca, bJ zeichnen wir Argumente Xi (i = 0, 1, ... , n) aus, denen Punkte Pi = (Xi' Yi) mit Yi = f{xJ auf der Kurve entsprechen (s. Bild 1.25). Die geradlinige Verbindung dieser Punkte ergibt einen »einbeschriebenen« Streckenzug, dessen Länge Sz die Summe der Längen der Teilstrecken ~Si ist: Sz=

± ±J{Xi~Xi-l)2+{Yi-Yi-l)2= ± L1s i =

i=l

JL1x;

i=l

+ L1y;

i=l

Ist f auf Ca, bJ stetig differenzierbar, dann existieren nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung (Satz 8.25, Band 1) in allen Intervallen (Xi-i' xJ Zwischenstellen ~i mit: L1Yi = f{xJ - f{X i~Xi

1)

= f'(!;J.

X i -Xi - 1

Damit hat der zur Zerlegung Z gehörige Streckenzug die Länge n

Sz

=

I

J1 + (f'{~J)2 ~Xi'

i= 1

1) Auf ähnliche Weise wurde in Abschnitt 9.1.1, Band 1 der Begriff Flächeninhalt mit Hilfe der bekannten Rechteckflächen erklärt.


23

y

Pa I I

Xo=Q

x,

xn=b

X i -,

x

Bild 1.25: Streckenzug zu einer Zerlegung Z

Mit f' ist auch g =

J 1 + f'

2

auf Ca, b] stetig, und es existiert nach Satz 9.5, Band 1 und Definition n

9.1, Band 1 der Grenzwert lim dZ~O

I

g(~J ~Xi

und hat den Wert

i= 1

b

S

= JJl + (f'(x))2 dx.

Definition 1.4

Eine Kurve C sei explizit durch eine auf Ca, b] stetig differenzierbare Funktion f gegeben und X l ,x 2 E[a,b]. Dann verstehen wir unter der Bogenlänge zwischen den Punkten (xl,f(x l )) und (x 2, f(x 2)) die Zahl

1Jl + (f'(x)f dx. 2

s=

Isl wird Maßzahl der Länge der Kurve zwischen den Punkten genannt. Bemerkung:

Aufgrund dieser Definition ist die Bogenlänge für Xl > positiv.

X2

negativ, für Xl = x 2 Null und für Xl < x 2

Im folgenden werden wir der Reihe nach die Längen von Kurven berechnen, die a) explizit b) durch Parameterdarstellung c) in Polarkoordinaten gegeben sind.

24


Beispiel 1.20 a) Länge der Kettenlinie Man bezeichnet den Graphen der Funktion f mit f(x) = cosh x als Kettenlinie. Wir woUen ihre Länge über dem IntervaU Ca, b] berechnen. Es gilt f'(x) = sinh x und damit: b

S =

b

JJ 1 + sinh 2 x dx = Jcosh x dx =

[ sinh

x] ~ = sinh b - sinh a.

Die Länge des Bogens von x = 0 bis x = b beträgt danach: s = sinh b =

~(eb

- e - b).

b) Länge eines Parabelbogens y = x 2 beschreibt eine Normalparabel. Welche Länge hat ein Parabelstück zwischen Wegen f'(x) = 2x erhält man: Xz

Xl

und x 2 ?

Xz

S =

J J1 + 4x 2 dx = 2· J J±+ x 2 dx = 2·G(xJ± + x 2 +±ln(x + J± + X2))J~:

s=

[x J± + x; +±ln(x + J± + x;J] - [x J±+ xi +±ln(x + J±+ xill 2

2

1

1

Die Länge des Bogens der Normalparabel zwischen den Punkten (0,0) und (1, 1) beträgt also: s =~JS + ±on(l + ~JS) -ln~) =~JS +±ln(2 +

JS)

=

1,4789 ....

Ist C: x = q>(t), Y = t/!(t), tE[t 1, t 2] eine glatte Kurve und 4J(t) ""' 0 für aUe tE[t 1, t 2], dann existiert eine explizite Beschreibung durch y = f(x) mit f = t/! q> -1, und für den Anstieg gilt Gleichung (1.11). Daraus folgt für die Bogenlänge mit Hilfe der Substitutionsmethode (Satz 9.25, Band 1) und der Substitution x = q>(t): 0

s=

TJ1 + (f'(x)f dx f J1 + (~(t))2 4J(t)dt. 4J(t) =

x,

t

t,

Gilt 4J(t) = 0 an einer SteUe tE [tl' t 2], so ist dort ~(t) ""' 0 (denn C ist glatt), und mit Hilfe von (1.10) erhält man ebenfaUs (1.18). Beispiel 1.21 a) Länge einer Astroide Die »Sternkurve« wurde in Beispiel 1.13 e) beschrieben. Für sie gilt: 3a·cos 2 t· sin t,

x = a·cos 3 t,

4J(t) =

-

y = a·sin 3 t,

~(t)

3a·sin 2 t·cos t,

=

tE[0,2n].


25

Unter Ausnutzung der Symmetrie (vgl. Bild 1.18 b)) erhält man: ~2

~2

J J<jJ(t)2+~(t)2dt=4' J J9a2cos4t·sin2t+9a2sin4t·cos2tdt

s=4'

o

0 ~2

~2

o

0

=12a'

J cost·sint·Jcos 2 t+sin 2 tdt=6a J 2'sint'costdt

n/2

J sin2tdt = -3a[cos2tn/2 = -3a'[cosn -

= 6a'

cosO] = 6a.

o

b) Länge eines Ellipsenbogens Wir betrachten eine Ellipse mit dem Mittelpunkt (0, 0), den Halbachsen a und b mit b > a und der Parameterdarstellung x = a-cos t y = b'sin t,

,

<jJ(t) = -a-sint . ' ljJ(t) = b·cos t,

tE[0,2n].

Wegen der Symmetrie gilt für den Umfang einer Ellipse: n/2

n/2

o

0

J Ja 2 sin 2 t+b 2 cos 2 tdt=4' J Ja 2 sin 2 t+b 2(l-sin 2 t)dt

s=4'

~2

~2

o

0

=4'

J Jb 2 +(a 2 -b 2)sin 2 tdt=4'b J n/2

= 4b·

J J l - k2 sin

2

tdt.

o

Dieses Integral ist nicht »elementar«, d.h. man kann keine Stammfunktion unter den elementaren Funktionen finden. Es wird (vollständiges) elliptisches Integral 2. Gattung genannt. In der Literatur findet man Reihenentwicklungen und Tabellen. Gilt speziell a = b = R (Kreis vom Radius R), dann erhält man wegen k 2 = 0: s=4R

n/2

n

o

2

J dt=4R·-=2nR.

Ist eine glatte Kurve C in Polarkoordinaten durch r = f(qJ) beschrieben, so ist durch x = f(qJ)'cos qJ und y = f(qJ)'sin qJ eine Parameterdarstellung mit dem Parameter qJ gegeben, und es gilt:

dX)2 + (dy)2 dqJ (dqJ

=

(f'( qJ) cos qJ - f( (p) sin qJ)2

= (f'(qJ))2

+ (f(qJ))2

+ (f'( qJ) sin qJ + f( qJ) cos qJ)2

26


Beispiel 1.22 Bogenlängen von Kurven in Polarkoordinaten a) Umfang eines Kreises Die Beschreibung des Kreises ist in Polarkoordinaten kurz: r = R für alle qJE [0, 2n]. Mit f'( qJ) = 0 erhält man dann: 2n 2n S= S JO+R 2 dqJ= S RdqJ=R·2n. o

0

b) Länge einer Kardioide Für die in Bild 1.15 b) dargestellte Kardioide gilt f(qJ) = a(1 + cos qJ) und f'(qJ) Ausnutzung der Symmetrie erhält man für die Bogenlänge: n

S = 2· SJ a 2 sin 2 qJ + a 2(1

=

-a·sin qJ. Unter

n

+ cos qJ)2 dqJ = 2aJ2 SJ1 + cos qJ dqJ.

o

0

Wegen cos 2x = 2· cos 2 X

-

1 gilt: 1 + cos qJ = 2· cos 2 T.- und damit: 2

n J2cos-dqJ qJ S = 2aJ2- S = 4a [qJJn 2·sin- = 8a. o

2

2

0

1.1.4 Krümmung ebener Kurven

Neben der Bogenlänge spielt ein anderer Begriff bei ebenen Kurven eine bedeutende Rolle. Jedem Autofahrer ist der Unterschied zwischen einer stark und einer schwach gekrümmten Kurve bekannt. Wir wollen versuchen, die Krümmung einer ebenen Kurve in einem Punkt Pa dieser Vorstellung entsprechend zu erklären.

Bild 1.26: Unterschiedliche Krümmungen

Bild 1.26 zeigt drei Kurvenstücke, von denen das erste nicht gekrümmt ist. Die Krümmung hat in diesem Sinne den Wert Null, die Richtung (d.h. der Anstieg) ändert sich nicht. Die Krümmung einer Kurve wird um so größer sein,je größer die Änderung des Neigungswinkels der Tangente ist. Obwohl im zweiten und dritten Teil von Bild 1.26 die Richtungsänderung vom Punkt Pa zum Punkt ~ die gleIche ist (die gezeichneten Tangenten veranschaulichen dies), sind die Kurven doch


27

unterschiedlich stark gekrümmt. Das liegt daran, daß die Änderung des Neigungswinkels auf unterschiedlich langen Kurvenstücken erfolgt. Definition 1.5 (vgl. Bild 1.27)

C sei eine glatte Kurve und s die von einem beliebigen Kurvenpunkt Q aus gemessene Bogenlänge. Bezeichnen So die zu einem Punkt PoEC gehörige Bogenlänge, ds die Bogenlänge von P nach Po und da die Differenz der Neigungswinkel der Tangenten in P und Po, dann heißt der Grenzwert da da K = - = limds L\s~O ds' falls er existiert, die Krümmung von C in Po. Zur Veranschaulichung dient Bild 1.27. Es bezeichnet darin da den Unterschied zwischen den Neigungswinkeln der Tangenten in Po und P.

y

Q

f

Q

x

Bild 1.27: Zur Definition der Krümmung

Im folgenden werden wir der Reihe nach die Krümmungen von Kurven berechnen, die a) explizit b) durch Parameterdarstellung c) in Polarkoordinaten gegeben sind.

x

28


Eine Kurve C sei explizit durch y = f(x) auf Ca, bJ gegeben, und f sei zweimal differenzierbar auf [a,b]. Bezeichnet s(x) die Bogenlänge von (a,f(a)) bis zum Punkte (x,f(x)), also x

S=

SJl + (f'(u)f du,

dann gilt nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (Satz 9.15, Band 1):

Wegen /

rr

=

rr

tan a für - - < a < - folgt dann: 2 2

da da dx d arctan / dx = -'- = ds dx ds dx ds

K = -

1 1+/ ds dx y

(Kettenregel)

f"

1 1+f'2 Jl+f'2'

K=--'-=---' 2

Die Krümmung einer in kiutesischen Koordinaten explizit beschriebenen Kurve hat in Po(x o, Yo) den Wert (1.20)

Kund f" haben in jedem Punkt gleiches Vorzeichen, weshalb man einige Sätze aus Abschnitt 8.7.3, Band 1 auch mit Hilfe der Krümmung formulieren kann: Satz 1.2 Eine Kurve C sei explizit durch eine auf Ca, bJ zweimal differenzierbare Funktion f gegeben. Dann gilt:

f

ist auf (a, b) genau dann konvex (bzw. konkav), wenn K ~ 0 (bzw. K ~ 0) für alle xE(a, b) gilt. b) f ist auf (a, b) streng konvex (bzw. streng konkav), wenn K > 0 (bzw. K < 0) für alle xE(a,b) gilt. c) Hat in Po(x o,Yo) einen Wendepunkt, dann gilt K(X o) = O. dige Bedingung dafür, daß Po ein Wendepunkt ist.) a)

Weil entsprechend der Orientierung der x-Achse der Graph einer Funktion »von links nach rechts« orientiert ist, entspricht einem Wert K > 0 eine Linkskrümmung, und K < 0 bedeutet Rechtskrümmung.

Beispiel 1.23 Krümmung einer explizit in kartesischen Koordinaten beschriebenen Kurve


29

a) Für m, nE~ beschreibt y = mx + n eine Gerade. Wegen y' = mund y" = 0 gilt K(X) = 0 für alle Punkte einer Geraden. b) y = R 2 - x 2 ist auf [a, bJ mit a, b E( - R, R) zweimal differenzierbar und beschreibt einen Teil .. -x d" -R2 ·1 emes KreIses. Wegen y' = un y = - - - gl t: R 2 -X2 (~R2_X2)3

J

J

-R 2 2

K(X)=(-JR 2 - X ,

)3'(Jl+

1

1

x 2

)3=-R·

2

R -x

2

Die Ergebnisse von a) und b) bestätigen, daß die Definition der Krümmung unserer Vorstellung entspricht: Eine Gerade ist nicht gekrümmt, und ein Kreis besitzt eine konstante Krümmung, deren Betrag einen um so größeren Wert hat, je kleiner der Radius ist. Man sagt: Die Krümmung ist umgekehrt proportional zum Radius. c) y = sin x ist auf ~ zweimal differenzierbar, und es gilt wegen f'(x) = cos x,f"(x) = - sin x nach (1.20): -slnx K(X) = . (~1 + cos 2 X)3 Im Intervall (0, n) ist die Sinusfunktion streng konkav (K < 0). Die Sinus-Kurve besitzt in diesem Intervall eine Rechtskrümmung. Das Vorzeichen der Krümmung wechselt genau in den Wendepunkten bei x = kn mit kE7L. d) y = e -x beschreibt die Kurve, die in Beispiel 8.83, Band 1 diskutiert wurde. Für die Krümmung gilt wegen f'(x) = - 2xe- und f"(x) = e- (4x 2 - 2): 2

x2

K(X)

Es gilt

X2

2e- X2 (2x 2 - 1) =

K

(~1

+ 4x e2

. 2X2

)3

< 0 für alle x mit lxi
0 für alle x mit lxi>

eine RechtskrÜlllmung zwischen den Wendepunkten ( -

1 J2' D.h. die Kurve besitzt

J!, J~) (J!, .fi) und

und ist

außerhalb dieses Intervalls linksgekrümmt (vgl. Bild 8.25, Band 1). Ist eine Kurve C durch eine Parameterdarstellung x = qJ(t), Y = t/J(t) mit tE[t 1, t 2J gegeben, und sind die Funktionen qJ und t/J auf [tl' t 2J zweimal differenzierbar, dann gilt für =(f"

" 0qJ= x = f·cos cp - r' (jJ' sin ep => Y' x = r,f, sin ep'cos ep - r2 . (jJ' sin 2 ep

Y = r(t)· sin ep (t) => Y = f· sin cp + r' (jJ , cos ep => x . y = r' f, sin ep' cos ep + r 2 • (jJ . COS 2 ep,

und daraus folgt: • • 2, 2 2" 2 2 dep X'Y-Y'x=r 'cp'cos ep+r 'cp'Sln ep=r'dt


y

49

f,

Xl

Bild 1.38: Fläche innerhalb einer geschlossenen Kurve C

Unter Berücksichtigung dieser Gleichheit lautet Satz 1.4 1 ): Satz 1.5 (Sektorformel)

Besitzt ein ebenes Gebiet als Berandung eine glatte Jordankurve C: x = q.>(t), Y = 'P(t), tE [t], tz ] und zwei Strahlen durch den Nullpunkt und P(tl ) bzw. P(tz), dann gilt für den Flächeninhalt dieses Gebietes:

=+ f (q.>(t) JjJ(t) - eilet) 'P(t) )dt. 12

A

(1.51 )

tl

Bemerkung:

Entsprechend der Orientierung der Winkel erhält die Berandung eine Orientierung (vgl. Bild 1.39). Beispiel 1.33 Flächeninhalte von Gebieten, deren Rand in Parameterdarstellung gegeben ist a) Flächeninhalt der von einer Ellipse berandeten Fläche Durch x = a-cos t, y = b· sin t mit tE [0, 2n] wird eine Ellipse beschrieben (vgl. Beispiel 1.21b)). Nach (1.51) gilt für den Flächeninhalt: Zn a.bZn A = 1 S [a'cos t(b'cos t) - ( - a'sin t)b'sin t] dt = ~ S (COS Z t + sin Z t) dt = n-ab. o 2 0

1) Man beachte, daß nun
0) erhält man für den Flächenschwerpunkt:

Bemerkung:

Die Zahl im Nenner entspricht dem Flächeninhalt.

72


Beispiel 1.41 a) Schwerpunkt eines Dreiecks Das in Bild 1.50 gezeichnete rechtwinklige Dreieck wird durch die x-Achse und die Geraden x = b h und Y = b· x begrenzt. Nach (1.62) gilt für die Koordinaten des Flächenschwerpunktes:

y

y h

b--r----

.s

h

3"

b

a

x

Bild 1.50: Schwerpunkt eines Dreiecks

b h

SX -

x dx

XS=Ob:

S- x dx

ob

b

Bild 1.51: Teil einer Ellipse

b h2

b3 -

S x 2 dx

1

S-

=-Ob--=:2=%b, Ys= 2~~2

SX dx

b3 -

x 2 dx

=;b:2=f h.

S- X dx

2

°

x

2

ob

Der Abstand des Schwerpunktes von einer Seite beträgt damit ein Drittel der zugehörigen Höhe. Dies gilt auch bei nicht rechtwinkligen Dreiecken. Der Schwerpunkt liegt andererseits (aus Symmetriegründen) im Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. Nebenbei wurde also bewiesen, daß der Abstand des Schnittpunktes der Seitenhalbierenden von den Seiten gleich einern Drittel der entsprechenden Seitenhöhen ist. b) Schwerpunkt einer» Viertelellipse« Durch die Achsen und den Graphen von y =

b --J a x mit XE[O, a] wird die in Bild 1.51 a 2

2

-

gezeichnete Fläche umrandet. Für die Koordinaten des Flächenschwerpunktes gilt: a b --S x-Ja 2 -x 2 dx ° a [_~(~)3]~ ~a3 4a X s = ab --2 2 J a - x dx [ xJa2- x 2 + a2 arcsin a2 - 0 ] 3n'

~~

~

~! ~(a2 -x )dx ~G 2

Ys =

a

b

---

S-Ja 2 -x 2 dx oa

~

y!

2 2 (a - x )dx

I ~[ ~

=~(a3 _a3)= 4b.

b 2 n -·a .a 4

na 3 4R

Für a = b = R (Viertelkreis) gilt speziell: X s = Ys = - . 3n

3

3n

1.2 Anwendungen in der Physik

73

Besteht eine Fläche oder ein Volumen aus mehreren Teilen, so kann (1.61) bzw. (1.59) verwendet werden: Beispiel 1.42 a) In Bild 1.52 a) ist ein Rotationskörper gezeichnet, der sich aus der Hälfte eines Rotationsellipsoids und einern aufgesetzten Kegel zusammensetzt. Für die Schwerpunktskoordinaten und die Volumen gilt: Ellipsoid:

X s '=

Ys

Kegel:

xs=Ys=O,

=

0,

Zs =

- 3

-g-b und V

2

= 3na

2

b

na 2 h

h

zS=4 und V=-3-

Für den Gesamtschwerpunkt gilt damit nach (1.59): x s = Ys = 3 2 2 h na h --·b·-na b+-·-8 3 4 3

Zs=

2

na h lna 2 b+-3

°

und

2

2

3

--b 4

2b

2

h +4

h2

-

3b 2

4(h + 2b)

+h

3

b)

y JQ+----I

b

A,

s·

" '+

X

IA 3 r--

o

x6

I

I I

A2

I

b

Q

X

y Bild 1.52a,b: Zusammengesetzte Rotationskörper und Flächen

b) Eine Fläche sei durch die Achsen und die Geraden x = a, Y = a, x + y = a + b berandet. Teilt man wie in Bild 1.52 b) diese Fläche in drei Teile, so gilt für die Flächeninhalte und Schwerpunktskoordinaten: b und X s =-, 2 a+b undx s = - - , 2 a-b a-b und X s = b +--, ys=b+--· 3 3

74

1 Anwendungen der Differential- und Integralrechnung Für den Schwerpunkt der gesamten Fläche gilt nach (1.61):

b a+b (a- W (2b+a) ab·-+b(a-b)--+--2 2 2 3 Xs = ab + b(a - b) + ~(a - W W (2b+a) (a- ab-a + b(a - b)·-b + -2 2 2 3 Ys=

ab+b(a-b)+~·(a-W

a3 + 3a 2 b - b3 3(a 2 + 2ab - b 2 )

a3 + 3a 2 b - b3 3(a 2 +2ab-b 2 )·

Wegen der Symmetrie muß X s = Ys gelten. 3. Kurvenschwerpunkt In der x,y-Ebene möge y=f(x) mit xE[a,bJ explizit eine Kurve beschreiben. Denken wir uns jeden Kurvenpunkt-wie in Bild 1.53 veranschaulicht-als Schwerpunkt eines senkrecht zur Kurve stehenden Rechtecks der Breite [ und der Höhe h, so liegt der Schwerpunkt des betrachteten Volumens bei Zs = O. Für die anderen Koordinaten dieses Kurvenschwerpunktes erhält man durch Annäherung des Volumens i1Vk (ähnlich wie in Bild 1.25) mit i1Vk = [·h·i1s k (wobei i1s k = j i1x; + i1y; gilt) und anschließende Grenzwertberechnungen aus (1.59):

z

y

Bild 1.53: Zum Kurvenschwerpunkt

Bemerkungen:

1. Die Zahl im Nenner entspricht der Bogenlänge. 2. Ist die Kurve durch eine Parameterdarstellung x 12

Xs =

=

R; ist 1HZ > 1yz . Nach Gleichung (1.66) muß dann wHZ < WYZ gelten. D.h. der 2

2

Vollzylinder dreht sich schneller. Betrachten wir nun einen beliebigen Rotationskörper, der durch Rotation des Meridians y = f(x) mit xE[a, bJ um die x-Achse entsteht, und denken wir uns den Körper durch n Zylinder der Höhe L\xk = Xk - Xk- 1 angenähert (vgl. Bild. 1.43). Entsprechend dem letzten Beispiel gilt für das Massenträgheitsmoment 1=

n

f2( ~k)

k= 1

2

I

-_·p·nf2(~k)·(Xk-Xk-l)·

Bei immer feinerer Unterteilung des Intervalls [a, bJ existiert der Grenzwert für stetiges f, und wir erhalten:


79

Beispiel 1.47 Massenträgheitsmoment einer Kugel Durch Rotation des Meridians y=JRz-x z mit Kugel. Für deren Massenträgheitsmoment gilt: pn 1=-

2

XE[ -R,R]

R pn [ R 4 x-2R z ,-+x x JR S (Rz-xzfdx=-

-R

2

3

5

3

5

_R

um die x-Achse entsteht eine

=..!i.- np R 5 =lR z p±nR3 =lRzm. 15

5

3

5

2. Flächenträgheitsmomente In der Festigkeitslehre, besonders in der Biegetheorie, spielt das Flächenträgheitsmoment oder Flächenmoment eine bedeutende Rolle. Es steht in keinem physikalischen Zusammenhang mit dem Massenträgheitsmoment, kann aber formal als Sonderfall aus (1.65) abgeleitet werden (indem man Massenpunkte betrachtet, die alle in derselben Ebene liegen). Eine Fläche in der x, y- Ebene sei durch die Geraden x = a, x = b und die Graphen von y = fl (x) und y = fz(x) mit xE[a, b] berandet (vgl. Bild 1.57a).

a)

b)

y

y

d

c x Bild 1.57a,b: Zum Flächenträgheitsmoment

Die Fläche wird durch n Rechtecke mit den Flächeninhalten I1F k = (f1 (~k) - fz( ~k) )l1xk angenähert. Für eine sehr kleine Breite I1x k besitzen alle Punkte eines Rechteckes nahezu denselben Abstand ~k von der y-Achse. Jedes einzelne Rechteck hat dann bez. der y-Achse das Trägheitsmoment ~; ·I1Fk , und das Trägheitsmoment der Fläche, die aus allen Rechtecken gebildet ist, hat den Wert

I k=1

~;(fl(~k) -fz(~k))l1xk'

80


Bei immer feinerer Unterteilung des Intervalls Ca, bJ existiert für stetige Berandungenil undiz der Grenzwert dieser Summe.

Entsprechend hat das Flächenträgheitsmoment bez. der x-Achse für eine durch die Geraden Y = c, Y = d und die Graphen von x = gl(Y) und x = gz(y) begrenzte Fläche (s. Bild 1.57b) den Wert d

Ix

=

SyZ(gl(Y) -

gz(y)) dy.

Beispiel 1.48 a) Flächenträgheitsmoment eines Rechtecks bez. der Symmetrieachsen Für das in Bild 1.58 a) skizzierte Rechteck der Breite b und der Höhe h gilt:

0) y

b)

c)

y

y

h

b

2

b

b

-2

"2

Ys-=C

x

-

~

s

h

h

-2

x Bild 1.58a-c: Zu Flächenträgheilsmomenten

b) Flächenträgheitsmoment einer Kreisfläche Der in Bild 1.58b) skizzierte Kreis wird durch y = il(X)

=

YM

+ jr z -

(x - XM)2 und Y = iz(x) = YM - jr z - (x - xM)Z

o=xs

x


81

mit XE[X M- r, XM+ r] begrenzt. Für das Flächenträgheitsmoment bez. der y-Achse gilt: nr 4

xM+r

Iy

=

x,,~r x 2 '2Jr z - (x - xM)Z dx

Entsprechend gilt Ix = nrZy~

=

nrzx~ + 4 (nach längerer Rechnung).

+ inr 4 . Für X M=

YM = 0 gilt insbesondere Ix = I y =

nr 4

4

c) Trägheitsmoment eines Rechtecks bez. einer zur Seite parallelen Achse Für das in Bild 1.58c) skizzierte Rechteck der Breite b und der Höhe h gilt:

z+ -hb.3 I a+~J [( + -h) - (h)] c~dx h[x3]a+~ hba 2 2 3 12 =

y

X

Z

=

C

a-"

=

b

a- 2

2

Die Ergebnisse in Teil c) lassen sich einfacher durch Anwendung des folgenden Satzes gewinnen. Satz 1.8 (Satz von Steiner)

Bild 1.59a) veranschaulicht den Satz von Steiner.

Beweis: Wir führen den Beweis bez. der y-Achse und verwenden die Bezeichnungen von Bild 1.59 b). Mit x - X s gilt:

x=

b

I y=

JX2(fl(X) -

b

J

fz(x)) dx = (x + XS)2(fl(x) -f2(X)) dx

b

I y = xi

b

J(fl(X) -

f2(x))dx b

I y = xi' A

+ 2xs J(x -

+ 2xs Jx(fl(X) -

b

f2(x))dx

+ JX2(fl(X) -

f2(x))dx

b

J

XS)(fl(X) -f2(X)) dx + (x - XS)2(fl(X) - fz(x)) dx.

(1.68)

Das letzte Integral ist das Trägheitsmoment bez. der Parallelen durch den Schwerpunkt der

82

Anwendungen der Differential- tLnd Integralrechnung

a)

b)

p

Y

d

9 I

)(-1 I

a

Xs

x b

x

Bild 1.59a,b: Zum Satz von Steiner

Fläche. Für die Schwerpunktsabszisse gilt: b

JX(f1(X) Xs =

f2(X)) dx

ab

J(f1(X) -

b b ' also X s · J(f1 (x) - f2(X)) dx = JX(f1 (x) - f2(X)) dx,

f2(X)) dx

•

+ Ip

weshalb der zweite Summand in (1.68) verschwindet. Es gilt: I y = x~ .A 1.2.3 Arbeit einer Kraft

Wirkt eine konstante Kraft F auf einen Körper, der von einem Punkt P 1 aus geradlinig nach einem Punkt P 2 bewegt wird (vgl. Bild 1.60) und bezeichnet s den Weg, so leistet F die Arbeit (s. Band 1, Abschnitt 7.1.3) W

= F·s = IFI·lsl·cos1: (F, s) = 1;;·lsl.

Welche Arbeit wird aber geleistet, wenn sich die wirkende Kraft längs des geradlinigen Weges stetig ändert? Wir betrachten den Fall, daß eine variable Kraft F in Richtung des geradlinigen Weges wirkt. Dann gilt W = F·s = F·s. Für den Fall, daß die Kraft F nicht in Richtung der Geraden wirkt, ist F durch die Komponente 1;; der Kraft in Richtung der Geraden zu ersetzen.

5

r

-

-

-

R

-2,/,,/

~===-=~--=-~f-.---~" I ....~ _ ~ L...-;,. _ _ ?"',...J

()

Bild 1.60: Arbeit einer konstanten Kraft

(J

Ik

/ -' 0

•

a I

Xo

I

x··· 1

tAXkj Xk - 1

xk

•••

I

xn -1

b I xn

•

X

Bild 1.61: Zur Arbeit einer variablen Kraft

Wir bezeichnen mit x den Abstand des Angriffspunktes der Kraft von einem festen Punkt 0 der Geraden. Die stetige Änderung der Kraft sei durch x~F(x) gegeben. Welche Arbeit leistet diese Kraft, wenn der Kraftangriffspunkt von x = a nach x = b verschoben wird?


83

Wir zerlegen das Intervall Ca, b] in n Teilintervalle I k = [x k_ I' x k] (k = 1, ... , n) mit den Längen L1x k (vgl. Bild 1.61) und setzen die Kraft in jedem Teilintervall konstant: F(x)

=

F((k) mit (kE [X k-

I,

x k] für alle xEl k.

Dann gilt für die auf dem Intervall I k geleistete Arbeit L1Wk = F((k)·tU k

und für die Arbeit auf Ca, b]:

I

L1Wk =

k=1

I

F((k)L1X k·

k=1

Für stetiges F existiert der Grenzwert bei immer feinerer Zerlegung, und wir erhalten:

Beispiel 1.49 Arbeit bei Dehnung (oder Stauchung) einer Feder Bekanntlich bewirkt die Dehnung einer Feder (nach dem Hookeschen Gesetz) eine Zugkraft F1 in der Feder, die (innerhalb gewisser Grenzen) proportional zur Ausdehnung und dieser entgegengerichtet ist. Bezeichnet 0 den Endpunkt der Feder vor der Ausdehnung und x die Dehnung (vgl. Bild 1.62), so heißt das:

1';

=

-k·x.

Dabei ist k die für die Feder charakteristische Federkonstante. Die zur Dehnung nötige Kraft F hält in jedem Augenblick der Zugkraft das Gleichgewicht: F = - 1';. Für die Arbeit bei einer Dehnung bis zur Stelle x = s gilt also nach (1.69): S

W=

S

k

S F(x)dx= S k·xdx=-s2. o

0

2

F Bild 1.62: Dehnung einer Feder

84


Beispiel 1.50 Arbeit bei Ausdehnung eines Gases Wir betrachten ein Gas in einem Zylinder. Es werde durch einen Kolben begrenzt (vgl. Bild 1.63) und habe das Volumen V und den Druck p. Entsprechend der Zustandsgleichung für ideale Gase gilt: p·V=n·R·T,

(1.70)

wobei T die absolute Temperatur, n die in Kilomol angegebene Stoffmenge und R die allgemeine Gaskonstante bezeichnen. Der Flächeninhalt des Zylinderquerschnitts sei A. Bei Ausdehnung des Gases bewegt sich der Kolben nach rechts. Wie groß ist die dabei geleistete Arbeit? Auf den Kolben wirkt die Kraft F Arbeit

=

p. A, so daß bei einer Verschiebung des Kolbens um Llx die

LlW = p·A·Llx

geleistet wird. Für eine Verschiebung von

Xl

nach

X2

erhalten wir:

Xz

W=A· S pdx.

I ~

A

1--

I

Bild 1.63: Ausdehnung eines Gases

Bezeichnet X die Entfernung des Kolbens von der Ausgangsstellung, so kann wegen V = A· X bzw. 1 dx 1 x = - V das Volumen V als neue Variable dienen. Für die Arbeit gilt wegen - = - : A dV A vZ

W= S pdV

(1.71)

Ist der Druck als Funktion des Volumens bekannt, so kann hieraus die Arbeit berechnet werden. Wir betrachten zwei Prozesse: a) isothermer Prozeß Man führt dem Gas von außen Energie in Form von Wärme so zu, daß die Temperatur des Gases c bei Ausdehnung konstant bleibt. Aus (1.70) folgt dann: p. V = c (konstant), d.h. p = -, und für die V Arbeit erhalten wir: W=

C

V2

1

V

V

v!

V

VI

VI

S -dV = c·(ln V2 -ln VI) = c·ln-2 = PI Vl·ln-.2


85

b) adiabatischer Prozeß Bei diesem Prozeß wird dem Gas weder Energie zugeführt noch entzogen. Die Temperatur des Gases nimmt dann bei Ausdehnung ab. Entsprechend dem Poissonschen Gesetz gilt in diesem Fall p. V = k (konstant), wobei K > 1 eine für das Gas charakteristische Konstante ist. Aus (1.71) folgt für die Arbeit bei Ausdehnung des Gases: V V 21- K- V1-K V2 kV-2 K- V 1 kV-1 K P2 V2 - Pl V 1 1 W= S kV KdV=k = =. K

2

1-K

V1

1-K

1-K

Beispiel 1.51 Arbeit eines Wechselstroms Sind in einem Stromkreis Spannung u und Stromstärke i konstant: u = V, i = I, so hat die während der Zeit.T geleistete Arbeit den Wert W= V·I·T

Wir betrachten nun einen Stromkreis, in dem Stromstärke und Spannung zeitlich veränderlich sind und interessieren uns für die in der Zeit T geleistete Arbeit. Dabei verwenden wir das schon häufig gebrauchte Verfahren und zerlegen das Intervall [0, TJ in Teilintervalle I k der Breite ~tk und setzen sowohl i als auch u in den Teilintervallen konstant: i(t) = i(~k)' u(t) = U(~k) mit ~kE [t k- 1 , tkJ für alle tElk. Dann erhalten wir als Näherungswert für die im Intervall I k = [t k- 1 , tkJ geleistete Arbeit: ~ W k = u(~k)i(~k)· ~tk

und als Grenzwert für die vom Strom i geleistete Arbeit: T

W

=

S u(t)i(t) dt. o

Eine Wechselspannung u(t) = Uo sin (cut), die den Strom i(t) = io sin (cut + ep) bewirkt, leistet dann 2n z.B. während der Zeit einer Periode T = - die Arbeit cu T

W = SUo sin (cut)i o sin (cut + ep) dt o

bzw. mit cut = x: u i 2n W

U

i

2n

= --.2...Q S sin x sin (x + ep) dx = --.2...Q S (sin 2 x cos ep + sin x cos x sin ep) dx cu

cu

0

0

= uoio lcos ep (x _ sin 2X) _ sin ep cos 2XJ21t = uoio cos qJ 2n, 2

cu

also ist W

T = -

2

2

22

0

cu2

uoi o cos ep.

1.2.4 Mittelwerte

Für eine auf

Ca, bJ stetige

Funktion

f existiert nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung b

(Satz 9.12, Band 1) mindestens eine Stelle ~E[a,bJ, für die Sf(x)dx=(b-a)f(~) gilt. Der

86


entsprechende Funktionswert f(~) wird linearer Mittelwert von f auf [a, bJ genannt: 1 b m1 = - - Sf(x) dx. b-a a Unter dem quadratischen Mittelwert der Funktion f auf Ca, bJ versteht man die Zahl 1 b -S(f(x))2dx. b-a a

Diese Mittelwerte besitzen u.a. in der Wechselstromlehre eine Bedeutung. Für die durch Wechselspannungen u(t) = U o sin(wt) erzeugten Wechselströme i(t) = io sin (wt + cp) erhält man in m 1 und m 2 zeitunabhängige Größen, mit deren Hilfe die Wirkung des Wechselstroms gut beschrieben werden kann. Der lineare Mittelwert über eine Periode heißt Gleichrichtwert, der quadratische Mittelwert über eine Periode wird Effektivwert genannt. Beispiel 1.52 Gleichrichtwert eines Einweggleichrichters 2n Der Strom des in Bild 1.64 a) skizzierten Einweggleichrichters habe die Periode T = - und werde w durch n io sin wt für 0 -~ t~ -w i(t) = n 2n für -< t _ pZ

1

dt - dqJ dt - 2 (1

+ S cos qJ)2

'OJ _

k

d.h.

-,

OJ

= 2k(1 + czeos q»z. P

Bild 1.72: Planetenbahn

2. Rakete im kräftefreien Feld Aus einer Rakete der Masse mo (beim Start) werde mit der Austrittsgeschwindigkeit VA (relativ zur Rakete) Masse ausgestoßen. Die im Zeitintervall ~t ausgestoßene Teilmasse ~m soll gerade so ~m

groß sein, daß jederzeit -

~t

= k (k konstant) gilt.

Nach einem Satz aus der Mechanik ist die zeitliche Änderung des Impulses gleich der Summe der äußeren Kräfe F i : d(mv) dt

= ~ F .. ~

1


97

Für eine Rakete im kräftefreien Raum bleibt danach der Gesamtimpuls zeitlich konstant, und es gilt: in·V = (m - 1\m)(v + 1\v) + 1\m(v - VA) 1\m·1\v = m·1\v - 1\m·vA.

N ach Division durch die Zeit 1\t gilt: 1\m 1\v 1\m -1\v=m---v. 1\t 1\t 1\t A Betrachten wir die Grenzwerte für 1\t ~ 0 und beachten, daß 1\m die abgestoßene Masse, m aber 1\m die Raketenmasse bezeichnet, so erhalten wir mit rh = - lim - = - k und wegen 1\v ~ 0 für dt~O 1\t 1\t~O;

O=m·v+rh·vA bzw.

k v=-vA. m

N ach der Kettenregel (Satz 8.14, Band 1) folgt wegen

v 1 dv dv dt - = _ . _ = --= --VA dm dt dm k m und damit nach der Substitutionsmethode (Satz 9.25, Band 1) für die Geschwindigkeit der Masse m i : Vi mi dv mi 1 Im I Vi = Sdv= S -dm= -VA S-dm= -vA·ln ----..!.. o mo dm mom mo

Die Geschwindigkeit

Vi

wird dementsprechend erreicht von der Masse

3. Seilreibung Wir betrachten eine zylindrische Trommel über die ein Seil geführt wird. Das Seil möge längs des Bogens AB anliegen (s. Bild 1.73). Wirken an den Seilenden die Kräfte ~ und F;. mit ~ f:- F;., dann

Bild 1.73: Zur Seilreibung

Bild 1.74: Zur Seilreibung

98


kann das Gleiten des Seiles innerhalb gewisser Grenzen durch die Reibungskraft F verhindert werden, Wir wollen diese bestimmen. Bezeichnen ((JA und ((JB die in Bild 1.73 eingezeichneten Winkel, dann zerlegen wir das Intervall [ ((JA' ((JB] in n Teilintervalle der Länge ~((Jk und betrachten zunächst nur ein solches Teilintervall (Bild 1.74). Für die in diesem Teilintervall auf die Trommel wirkende Normalkraft ~N gilt: ~N

~qJk

,

= Sk' sln

2

.

~qJk

+ (Sk + ~Sk)'sln2'

wobei Sk in dem durch qJk-l festgelegten Punkt der Trommel und Sk + ~Sk in dem durch ((Jk festgelegten Punkt wirkt. Die Zerlegung des Intervalls [qJ A' qJB] bewirkt also eine Zerlegung des Intervalls [~, F;] in Teilintervalle der Breite ~Sk = Sk+ 1 - Sk' .. kl' A ~((Jk' was F ur eIne W'Ink e1 ß((Jk gl'1' t Sin 2~((Jk ~ 2

ergibt. Setzen wir ferner

~qJk

~Sk

so klein voraus, daß

sehr viel kleiner als

Sk

ist, dann gilt:

~N ~ Sk' ~qJk'

Für die Reibungskraft, die proportional zur Normalkraft ist, bedeutet das: ~R

= f.1·~N ~ f.1·Sk·~qJk'

Aus der Gleichgewichtsbedingung (senkrecht zur Normalenrichtung) folgt: ~Sk = ~R ~ f.1·Sk·~((Jk

~Sk

bzw. -

= f.1·~((Jk·

Sk

Für den gesamten Bogen gilt entsprechend: n

I

~S

n

_k k=l Sk

=

I

f.1·~qJk'

k=l

Daraus erhalten wir für F 2 dS ({JB

S-

= f.1

~((Jk ~ 0

und damit auch

S dqJ~lnF; -ln~ =

~Sk ~ 0:

F,

f.1(qJB -

qJ A)~-.3. =

S ({JA ~ Die gesamte Reibungskraft ist gleich der Differenz F;

eJl«({JB-({JA)~F;

= ~ ·eJl«({JB-({J).

F1

F; -

~

-~:

= ~ (e Jl «({J2-({Jl) - 1).

4. Barometrische Höhenformel Wir wollen den Luftdruck P in Abhängigkeit von der Höhe h über dem Meeresspiegel angeben. Der Luftdruck in Meereshöhe (h = 0) sei Po' Wir betrachten eine zylindrische Säule mit der Querschnittsfläche A und teilen diese in Scheiben der Höhe ~Xk (vgl. Bild 1.75). Nach dem Gesetz von Boyle-Mariotte gilt: Pk Po

Pk Po'


99

wobei Pk bzw. Pk die Dichte bzw. den Druck in der Höhe X k und Po die Dichte in Meereshöhe bezeichnen. Die Gewichtskraft des Volumens ~ Vk verändert den Druck zwischen Xk und Xk + ~Xk um ~Pk

Pkg~Vk

= ---- = A

. ~Pk D.h. es gl1t: Pk

Pog

=- -

Pkg·~Xk

=

Pk

-_·POg·~Xk·

Po

~Xk.

Po

h

- -

t xk

l1Xk

l1Vk

- -

t

Bild 1.75: Zur Herleitung der barometrischen Höhenformel

Für das gesamte Volumen von der Höhe Null bis zur Höhe h gilt p(h) dp P gh dem Grenzwert S - = - _0_ Sdx. p(O) P Po 0

Daraus folgt In p(h) -lnp(O)

I

I1Pk = - po·g

k=l Pk

Po· gh

p(h)

Po

p(O)

= - - - bzw. -

I

Po k=l

I1x k mit

= e-pogh/po.

Für den Druck in der Höhe h gilt deshalb die barometrische Höhenformel p(h) = Po ·e-pogh/po. Aufgaben 1. Bestimmen Sie den Schwerpunkt des Körpers, der bei Rotation des beschriebenen Flächenstücks um die genannte Achse entsteht. a) y = x 2 , Y = 9, x = 0 b) Y =x 2 , y=9, X= 0 c) y=x(4-x),y=x d) y=x(4-x),y=x

e) x 2 - y2

= 16, y = 0, x = 8

Rotation um die y-Achse Rotation um die x-Achse Rotation um die x-Achse Rotation um die y-Achse Rotation um die x-Achse

100

1 Anwendungen der Differential- und Integralrechnung f) x 2 - y2 = 16, y = 0, x = 8 g) 3x + 4y = 8, x = 0, y = 0, x = 2 h) y = i(x 2 + 4), x = 0, y = 5 i) y=16-x 2 ,x=-2,x=2,y=0

Rotation Rotation Rotation Rotation

um die um die um die um die

y-Achse x-Achse y-Achse x-Achse

2. Man berechne den Schwerpunkt einer Kugelschicht der Höhe h, wenn der untere Abschlußkreis den Kugelradius R besitzt. 3. Man berechne die Lage des Schwerpunkts eines Kegelstumpfes der Höhe h mit den Abschlußkreisradien r undR. 1 4. Der Graph von f mit f(x) = - rotiere um die x-Achse. Wo liegt der Schwerpunkt des entstehenden x Rotationskörpers der durch x = 1 und x = a > 1 begrenzt wird? Existiert der Grenzwert fiir a ----7 oo? 5. Man bestimme den Schwerpunkt des Flächenstücks, dessen Berandung nachstehend gegeben ist: a) y = x 3 - 8, x = 2, x = 3, y = c) y = x(3 - x), y = e) y =

-fi, y = x

g) Y = x, Y = x

°

°

°

0,

b) y = x = 0, x = 2, y = d) y = cosh x, x = 0, x = X o, Y = 0 f) y = 4 - x 2 , X = 0, y =

°

2

TC

2

h) y = 2sin(3x), x = 0, x =3"' y =

i) y = sin 2 x, x = 0, x =

TC,

°

k) y=x 2 ,y=x+2

Y=0

*1) x = a·cos 3 t, y = a·sin 3 t und x = 0, y = 0

1 m) r = - - , cos qJ

n

TC

qJ

= - -, 4

qJ

=-

3

6. Um die Endpunkte einer Strecke der Länge 5 cm werden Kreisbögen vom Radius 5 cm beschrieben. Wo liegt der Schwerpunkt der Spitzbogenfläche? *7. Wo liegen die Schwerpunkte der folgenden Flächenstücke? a) Fläche im I. Quadranten innerhalb von r = 4 sin 2 qJ b) Fläche im I. Quadranten innerhalb von r = 1 + cos qJ

8. Wo liegt der Schwerpunkt des beschriebenen Kurvenstücks?

+ y2 = 25, x ~ 0, y ~ O b ) x~ + y~ = a~, x ~ 0, y ~ 0 *c) x = a(t - sin t), y = a(l - cos t), ~ t ~ 2n d) x = a·cos 3 t, y = a·sin 3 t, x ~ 0, y ~ a) x 2

e) r = 2 sin qJ

+ 4 cos qJ,

°

~ qJ ~

°

°

TC

"2

9. Man bestimme mit Hilfe der 1. Guldinschen Regel:

a) b) c) d)

den Schwerpunkt einer Viertelkreisfläche den Schwerpunkt des von der x-Achse und 4y = x 2 - 36 berandeten Gebietes das Volumen des geraden Kreiskegels mit der Höhe h und dem Grundkreisradius R das Volumen der Ringfläche, die durch Rotation von 4(x - 6)2 + 9(y - 5)2 = 36 um die x-Achse entsteht.

10. Man bestimme mit Hilfe der 2. Guldinschen Regel a) den Kurvenschwerpunkt eines Viertelkreises b) den Oberflächeninhalt der Ringfläche mit dem Meridian x 2 + (y - r)2 = r 2 bei Rotation um die x-Achse c) den Oberflächeninhalt des Körpers, der entsteht, wenn sich ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge a um eine Achse dreht, die im Abstand c vom Schwerpunkt des Dreiecks entfernt ist d) den Oberflächeninhalt des Körpers, der entsteht, wenn sich ein Rechteck mit den Seitenlängen a und b um eine Achse dreht, die im Abstand c (a, b < c) vom Schwerpunkt des Rechtecks entfernt ist. 11. Wie muß man die Halbachsen a und b einer Ellipse wählen, damit der Schwerpunkt des Teils im I. Quadranten in (4,2) liegt?

12. Von einem Parallelogramm falle eine Seite mit der x-Achse zusammen. Beweisen Sie, daß der Schwerpunkt im Schnittpunkt der Diagonalen liegt.


101

13. Geben sie das Trägheitsmoment des gegebenen Flächenstücks bezüglich der genannten Geraden an. *a) y = 4 - x 2, X = 0, y = 0 bezüglich x-Achse, y-Achse und x = 4 b) y = 8x 3 , Y = 0, x = 1 bezüglich x-Achse und y-Achse c) y2 = 4x, x = 1 bezüglich x-Achse, y-Achse und x = 1 *d) y = 0, 5'eX, x = 0, x = 2, y = 0 bezüglich x-Achse und y-Achse 2 e) y = x ,x = 2,y = 0 bezüglich y-Achse 14. Wie groß ist das Trägheitsmoment eines Kreises vom Radius r bezüglich einer Geraden, die vom Mittelpunkt die Entfernung a hat? 15. Das angegebene Flächenstück rotiert um die genannte Achse. Geben Sie das Trägheitsmoment des Rotationskörpers bezüglich der Rotationsachse an. a) y = 4x - x 2, Y = 0 Rotation um x-Achse und y-Achse b) 4x 2 + 9 y 2 = 36 Rotation um x-Achse und y-Achse c) y = sin(3x) ( 0

~ x ~ ~), y = 0

Rotation um die x-Achse

16. Man bestimme das Massenträgheitsmoment des Rotationsparaboloids mit dem Grundkreisradius R und der Höhe h bezüglich der Rotationsachse. 17. Wie groß ist das Trägheitsmoment eines Kegelstumpfes mit der Höhe h und den Grundkreisradien rund R bei Rotation um seine Symmetrieachse? 18. Wie groß ist das Trägheitsmoment einer Halbkugel bei Rotation um die Symmetrieachse? 19. Geben Sie das Trägheitsmoment einer Hohlkugel an (innerer Radius R i , äußerer Ra)' die um einen Durchmesser rotiert. 20. Aus einem zylindrischen Becken mit dem Grundkreisradius 2m wird Wasser gepumpt. Der Austritt liegt 1 m höher als der Wasserstand (Höhe 2,5 m) zu Beginn im Becken. Welche Arbeit muß geleistet werden, um das Becken leer zu pumpen? 21. Ein nach oben offenes Rotationsparaboloid ist bis zum Rand mit Wasser gefüllt. Seine Abmessungen sind: oberer Radius 2 m, Höhe 4 m. Welche Arbeit muß man leisten, um das Wasser in die Höhe des oberen Randes zu pumpen? 22. Welche Arbeit muß bei Aufgabe 21 entsprechend verrichtet werden, wenn das Gefäß ein nach oben offener Kreiskegel ist? 23. Beweisen Sie, daß die Arbeit, die geleistet werden muß, um einen stehenden zylindrischen Tank leerzupumpen, gleich der Arbeit ist, die geleistet wird, wenn man den Inhalt vom Schwerpunkt bis zur Austritthöhe hebt. 24. Welche Arbeit muß man leisten, um eine Masse von 1kg in eine Höhe von 1000 km über der Erdoberfläche zu bringen? (Man beachte: Die Erdbeschleunigung ist nicht konstant.) 25. Wie groß ist die Arbeit, die gegen die Schwerkraft geleistet wird, wenn eine Rakete von 1000 kg Masse in eine Höhe von 300 km gebracht wird? 26. Welche Arbeit wird geleistet, wenn man 100kg Kohle aus 55m Tiefe über ein Seil hebt, das 30N/m wiegt? 27. Ein Safe von 7000 N Gewicht wird durch ein 30 m langes Seil, das 70 N/m wiegt, 24 m hochgezogen, wobei das Seil aufgewickelt wird. Welche Arbeit wird geleistet. 28. Eine Kraft von 300 N dehnt eine Feder von 2 m auf 2,2 m. Man bestimme die Arbeit, die geleistet wird, um die Feder auf 2,5 m auszudehnen. 29. Die Federkonstante in einem Prellbock beträgt 4.10 6 N/m. Man berechne die Arbeit, die zu leisten ist, um die Feder um 2 cm zusammenzudrücken. 30. Ein Kolben schließt einen mit Luft gefüllten Zylinder ab. Bei einem Druck von 1000 N/m 2 ist das Volumen 2,5 m 3 . Geben Sie die Arbeit an, die man leisten muß, wenn die Luft auf 0,6 m 3 zusammengedrückt werden soll. a) Nehmen Sie dabei p' V = konstant an. b) Nehmen Sie dabei p' V1. 4 = konstant an.

102


31. Ein sich ausdehnendes Gas bewegt in einem Zylinder einen Kolben so, daß das Volumen des eingeschlossenen Gases von 200cm 3 auf 400cm 3 wächst. Man bestimme die geleistete Arbeit unter der Annahme, daß p. V1.4 = k gilt. 32. Welche Arbeit ist für die adiabatische Verdichtung von Luft des Volumens O,2m 3 und des Drucks 100000N/m 2 auf ein Volumen von O,05m 3 nötig? (K ~ 1,4.) 33. Den linearen Mittelwert bezeichnet man bei Kurven y diese

=

f(x), a ~ x

~

b als mittlere Ordinate. Bestimmen Sie

J

a) für einen Halbkreis y = a 2 - x 2 , - a ~ x ~ a b) für die Parabel y = 4 - x 2 , - 2 ~ x ~ 2 c) für einen Zykloidenbogen x = a(t - sin t), y = a(l - cos t), 0 ~ t ~ 2n. 34. Beim freien Fall gilt s = ! gt 2 und v = gt = yI2is. Zeigen Sie, daß der lineare Mittelwert von v auf dem Intervall 0 ~ t ~ t 1 gleich der halben Endgeschwindigkeit ist. 35. Ein Teilchen bewege sich nach dem Gesetz x = cos t - 1, y = 2 sin t + 1, wobei t die Zeit (in Sekunden) angibt. Welche Geschwindigkeit hat das Teilchen in

p( 5;) und p( 531r)? Wo hat es die größte und wo die kleinste

Geschwindigkeit? 36. Welche Weglänge durchfällt ein Körper, der mit der Geschwindigkeit va horizontal abgeschossen wird und auf den um h tieferen Boden fällt? 37. Ein Gefäß von der Form einer Halbkugel wird mit einem konstanten Wasservolumen pro Zeiteinheit Va gefüllt. Bestimmen Sie die Steiggeschwindigkeit des Wassers, wenn dieses bei Beginn bereits die Höhe h a aufweist. *38. Ein Balken werde, wie in Bild 1.76 veranschaulicht, auf Biegen beansprucht. a) Geben Sie die Durchbiegung der Punkte der neutralen Faser an. b) Wie groß ist die maximale Durchbiegung?

q

q.[

Bild 1.76: Gesamtlast P =

-

2

2

Reihen

2.1 Zahlenreihen 2.1.1 Definitionen und Sätze

Gegeben sei eine Folge (an> = a I , a 2 , a 3 , Folge mit Sn' also

•••

Bezeichnen wir die Summe der ersten n Glieder dieser

= av = a 1 + a2 , S3 = a 1 + a 2 + a 3 ,

Sl

S2

Sn = a 1 + a 2

+ a3 + ... + an =

I

k=l

ak,

so erhalten wir eine neue Folge

nämlich die Folge der Partialsummen von eine geometrische Reihe. Allgemein definiert man: Definition 2.1

Gegeben sei eine Folge< ak ). Dann heißt die Folge <sn) ihrer Partialsummen Sn = zu der Folge < ak ) gehörende unendliche) Reihe.

I k=l

ak (die

104

2 Reihen

Bemerkungen:

1. Die Zahlen

Sn nennt man Teilsummen der unendlichen Reihe <sn> =

(tl

ak ) . die Zahl a k

heißt das k- te Reihenglied.

(~o a

2. Ist noEN o, so bezeichnet man auch

als Reihe.

k)

Beispiel 2.2 a) Arithmetische Reihe Es sei a 1 ElR und dElR\ {O}, dann erhält man aus der arithmetischen Folge mit ak = a 1 + (k -l)d, die arithmetische Reihe <sn> mit n

Sn =

I

k= 1

(al + (k - l)d)

n

=

-(2a l + (n - l)d) 2

n

=

-(al + an)' 2

b) Geometrische Reihe Es sei a l ElR und qElR\ {O; 1}, dann erhält man aus der geometrischen Folge< ak>mit ak = al'qk-l die geometrische Reihe <Sn mit

>

Sn=

1- qn al·qk-l=a 1 · - - · k= 1 1- q

I

c) Harmonische Reihe 1

Aus der Folge mit ak = k erhalten wir die harmonische Reihe <sn> mit Sn =

~ 1 ~

- = 1 + 21 + "31 + ... + -1 .

k= 1 k

n

Es ist beispielsweise Sl = 1; S2 = 1,5; S3 SSO = 4,49 ... ;SlOO = 5,18 ...

1,83 ... ;S4 = 2,08 ... ; Ss

=

=

2,28 ... ; SlO

=

2,92 ... ;

Da eine Reihe eine Folge (von Partialsummen) ist, können alle Begriffe, die wir von den Folgen her kennen, direkt auf Reihen übertragen werden, insbesondere der der Konvergenz.

Definition 2.2

Konvergiert die Reihe< sn> mit Sn = konvergent und besitze die Summe s.

Schreibweise: S =

I k=l

ak = lim n~oo

I k=l

I k=l

ak gegen s, so sagen wir, die (unendliche) Reihe sei

ak = a l

+ a2 + ....

2.1 Zahlenreihen

105

Bemerkungen: 1. Eine Reihe ist demnach genau dann konvergent gegen die Summe s, wenn es zu jedem c > 0 ein

no gibt, so daß für alle nEN mit Schreibweise

n~no gilt:

IS-Snl=IS-

i

f: a verwenden, folgt aus I f: a I< c für alle nE k

k

k=l

akl

>

C1J

C1J

I

divergent, so schreibt man symbolisch

ak =

00

bzw.

k=l

3. Mit

I

ak = -

00.

k=l

n~l an = s bezeichnen wir den Grenzwert der Reihe (sn> = \ktl ak). Wir wollen nun C1J

eine bequemere Schreibweise für Reihen einführen und das Symbol

I

an auch zur

n=l

Bezeichnung der Reihe selbst verwenden. Dasselbe Symbol bezeichnet daher einerseits eine Folge und hat einen Sinn, unabhängig davon, ob diese Folge konvergiert oder nicht, andererseits aber auch den Grenzwert dieser Folge und hat dann nur einen Sinn, wenn die

I

Folge konvergent ist. Die Schreibweise

an = S soll demnach stets bedeuten, daß die Reihe

n=l

I

an konvergent ist mit dem Grenzwert s.

n=l

4. Die Addition ist kommutativ und assoziativ, daher ist die Summe endlich vieler Zahlen unabhängig von der Reihenfolge der Summanden, bzw. unabhängig davon, ob Klammern gesetzt werden oder nicht. Für unendliche Reihen gilt dies i.allg. nicht, wie folgendes Beispiel C1J

zeigt. Die Reihe

I

(1 - 1) = (1 - 1) + (1- 1) + ... besitzt wegen

n= 1

Sl

= S2 = ... = 0 den Grenz-

C1J

wert Null, wohingegen die Reihe I (- 1t- 1 = 1 - 1 + 1 - 1 ± ... wegen Sl usw. divergent ist. n=1

= 1, S2 = 0, S3 = 1

In Beispiel 2.25 zeigen wir, daß auch die Reihenfolge der Summanden die Summe beeinflussen kann. Beispiel 2.3 Die geometrische Reihe ist für Iq I < 1 konvergent. Es gilt (vgl. Band 1, Seite 88, (3.7)): C1J a I a 1 ·qk-1 = _ 1 _ für Iql < 1. k= 1

1-

q

±

So ist beispielsweise 1 + i + + %+ ... =

I

(i)k-1

= 2.

k=l

Beispiel 2.4 C1J

Wir untersuchen die Reihe

I

1

---auf Konvergenz. n= 1 n(n + 1)

111 Dazu zerlegen wir das n-te Glied dieser Reihe in Partialbrüche und erhalten - - - = - - - - . n(n

+ 1)

n

n

+1

106

2 Reihen

Es ist also

s = n

1 In (1- -1 -) = In -In

k=l

k

k+1

k=lk

1 n -=1+ I k=lk+1 k=2k

1 1 1 In --=1--. k=2k n+1 n+1

Daher ist die Folge <sn> konvergent mit dem Grenzwert 1, also 1

I

--=1. n= 1 n(n + 1) Beispiel 2.5 n

Die harmonische Reihe <sn> mit Sn =

1

I - ist divergent.

k=l k

Wir zeigen, daß <sn> nicht beschränkt ist. Aufgrund von Band 1, Satz 3.3 ist <sn> dann auch nicht konvergent. Es sei n ~ 4 und n E N. Dann liegt n zwischen zwei benachbarten Potenzen von 2, d.h. es gibt ein k E N mit 2 k + 1 ~ n < 2 k + 2 • Wir erhalten: 1

1

1

1

sn = 1 + 2 + "3 + ... + 2k+ 1 + ... + ~

1 + (1 + ... + -) 1 + ... + (1- + ... + - 1 ) + ... +-1 = 1 + -1 + (-1+1-) + (-1 + ... + -) 2 3 4 5 8 9 16 2k + 1 2k + 1 n

Ersetzen,wir in jeder Klammer alle Summanden durch den dort auftretenden kleinsten (z.B. in

(~+ ... +~) durch ~) und vernachlässigen wir die nach verkleinern wir offensichtlich, und es ergibt sich: 2

;+1 auftretenden Summanden, so

1

S n

_ = 1 +.12 +.12 +.12 +.12 + ... +.12· > 1 +.12 + 2·.14 + 4·.18 + 8·-.L + ... + 2k .2_ 16 k+1 k + 1 Summanden

k k+3 Daher 1st S > - + - = - - . n 2 2 2 .

3

Die Folge <sn> ist also nicht beschränkt, und es gilt 00

1

n= 1

n

I - = CIJ. Beispiel 2.6 n Ein Kreis mit Radius r ist in Kreisausschnitte mit den Mittelpunktswinkeln - geteilt. Vom 6

Endpunkt eines Radius ist das Lot auf den nächsten gefällt, von diesem wiederum das Lot auf den nachfolgenden usw. (vgl. Bild 2.1). Wie groß ist die Summe der Längen aller Lote? Übernehmen wir die Bezeichnungen von Bild 2.1, so ergibt sich für das (n + 1)-te bzw. n-te Lot: an + 1 n an n an + 1 n 1 - - = sin -, - = tan -, woraus - - = cos - = 2 3 folgt. Die an bilden daher eine geometrische rn 6 rn 6 an 6

J-

2.1 Zahlenreihen

107

Bild 2.1: Zu Beispiel 2.6

n

r

-

Folge mit a 1 = r'sin"6 = 2 und q = ~j3. Wir erhalten also für die Summe der Längen der Lote: Cf)

S= I

n~l

Cf)

an=

I

r

r

-

-(~j3rl =-j_=(2+ j 3)r=r.3,73 ....

n~12

2-

3

Da Reihen spezielle Folgen sind, lassen sich entsprechende Sätze über Folgen auf Reihen übertragen. So erhalten wir z.B. Satz 2.1

Beispiel 2.7 3n+ 1 _ 2n+ 1 konvergent? Gegebenenfalls ist der Grenzwert zu berechnen. n n= 1 6 3k+1 _ 2k+1 Es ist = 3· (~)k - 2· (t Da die (geometrischen) Reihen I (~)" - 1 und I (t)" - 1 nach k 6 n= 1 n= 1 Beispiel 2.3 konvergent sind, folgt mit Satz 2.1: 3n + 1 _ 2n + 1 I 6n =3-I (~)"-2-I (t)"=3-1=2. Cf)

Ist die Reihe

I

Cf)

t

Cf)

Cf)

Cf)

n=l

n=l

n=l

Es gilt auch folgender Satz.

108

2 Reihen

Satz 2.2

Das Abändern endlich vieler Glieder oder das Hinzufügen bzw. Weglassen endlich vieler Glieder einer Folge hat keinen Einfluß auf den Grenzwert dieser Folge (vgl. Band 1, Abschnitt 3.2). Bei Reihen gilt folgender

Satz 2.3

Bemerkung:

Der Satz besagt, daß endlich viele Glieder keinen Einfluß auf das Konvergenzverhalten der Reihe haben. Die Änderung endlich vieler Glieder beeinflußt i. allg. den Grenzwert, was bei Folgen nicht der Fall ist.

2.1.2 Konvergenzkriterien Bei Reihen ergeben sich (wie auch bei Folgen) zunächst zwei Hauptfragen, nämlich erstens die Frage nach der Konvergenz und, falls diese positiv beantwortet werden kann, zweitens die Frage nach der Summe der unendlichen Reihe. Ist der Grenzwert bekannt, so ist die Konvergenz offensichtlich. Nicht immer ist es möglich (wie in den Beispielen 2.2a), b) und 2.4) die Partialsummen geschlossen darzustellen und daraus (durch Grenzwertbildung) die Summe der Reihe direkt zu bestimmen. Oft ist nur die Frage nach der Konvergenz von Interesse bzw. kann aufgrund der Konvergenzaussage die Summe der Reihe ermittelt werden. In diesem Abschnitt stellen wir Kriterien zusammen, mit Hilfe derer die Konvergenz (bzw. Divergenz) einer Reihe nachgewiesen werden kann, ohne den Grenzwert zu bestimmen. Zunächst formulieren wir das Cauchysche Konvergenzkriterium. Dieses hat den Vorteil, daß 00

nicht der» Reihenrest«

I

a k (mit unendlich vielen Gliedern) abgeschätzt werden muß, sondern

k=n+l

»nur« der Term

I k=n+l

ak mit endlich vielen Summanden.

2.1 Zahlenreihen

109

Satz 2.4 (Cauchysches Konvergenzkriterium)

Bemerkung:

Setzt man m = n + p, so lautet das Cauchysche Konvergenzkriterium: Die Reihe giert genau dann, wenn es zu jedem 8 > 0 ein noE N gibt, so daß

I

niP akl

I

an konver-

n= 1

= + +... + la n+1

an+pl < 8 für alle nEN mit n ~ no und alle pEN ist.

an+2

k=n+l

Beispiel 2.8 00

1

n=l

n

I (- 1)"+ 1._ = 1 -! + t - ±± .. ·ist konvergent.

Die Reihe

Für den Beweis verwenden wit das Cauchysche Konvergenzkriterium und setzen zunächt p als gerade voraus.

niP

Ik=n+1

(_lr1·~I=I±(_1

n+1

k

1_+_1

n+2

n+3

1_±... __1_)1

n+4

n+p

=IC~l-n~2)+C~3-n~4)+···+C+~-1 n~p)l. Alle Klammerausdrücke sind positiv, daher können die Betragsstriche weggelassen werden. Es ist

nf

Ik~n+1

(_1)k+1·~I=_1 __ (_1 k

n+1

n+2

1_)_ ... __1_~_1_ - - 1 und alle pE N, da sich auch für ungerades p die gleiche Abschätzung ergibt. 8

Es sei darauf hingewiesen, daß Klammern gesetzt bzw. weggelassen werden konnten, da es sich immer nur um endlich viele Summanden handelte. Wir geben nun eine notwendige Bedingung für die Konvergenz von unendlichen Reihen an.

Satz 2.5

110

2 Reihen

Bemerkung: Die Bedingung !im

an =

0 ist nur notwendig und nicht hinreichend für die Konvergenz, wie das

Beispiel der harmonischen Reihe (vgl. Beispiel 2.5) zeigt.

Beweis:

<sn >mit sn = I k

ak

sei gegen S konvergent, d.h. es gelte lim

1

Dann folgt (w:gen

Sn = S

und damit auch lim

n--+ CIJ

an

=

I

ak -

k~l

nIl

ak

= Sn -

Sn _

n--+

Sn _ 1 =

s.

Cf)

1):

k~l

• Die Kontraposition des Satzes 2.5 lautet:

Beispiel 2.9

k- )k ist divergent, da lim ( -k)k >mit Sn = k~In ( - = k +1 k~w k + 1

(1)1 +-

k= - # 0 k e ist. Die nach Satz 2.5 notwendige Bedingung für die Konvergenz ist nicht erfüllt, daher ist die Die Reihe< Sn

1

Reihe divergent, also (da< Sn

>monoton wachsend ist) Iw ( -n- )n = n~ 1

n+1

lim

k~w

1

00.

Im folgenden geben wir hinreichende Bedingungen für Konvergenz bzw. Divergenz von Reihen an. Von besonderer Bedeutung sind dabei die sogenannten Vergleichskriterien. Man vergleicht dabei die zu untersuchende Reihe mit einer zweiten, deren Konvergenzverhalten bekannt ist. Satz 2.6 (Majoranten- und Minorantenkriterium) a) Majorantenkriterium w

Gegeben sei die Reihe

L n=

~,

1) Die Reihe ist dann sogar absolut konvergent (vgl. Bemerkung 2 zu Satz 2.11).

2.1 Zahlenreihen

111

Bemerkungen: 1. Die Reihe

00

I n=1

Cn in Teil a) heißt eine Majorante von

00

I

an und die Reihe

n=l

I

n=1

dn in Teil b) eine

I ann=l 2. Es genügt, daß lanl ~ Cn bzw. an ~ dn erst ab einer Stelle noE N gilt. 3. Teil b) gilt entsprechend für bestimmte Divergenz gegen - 00. Minorante von

Beweis von Satz 2.6: 00

a)

I

n=l

ist konvergent, d.h. zu jedem e > 0 existiert aufgrund des Cauchyschen Konvergenz-

Cn

kriteriums (Satz 2.4) ein n 1 = n 1(e)E N, so daß Wegen Ck > 0 für alle kEN folgt:

Ik=~+

1

akl;;;

k=~+

lakl ;;;

1

k=~+

1 C

1

I

ckl < e für

alle m, n mit m> n

k=n+1

~ n 1 ist.

k< e

für alle m, n mit m ~ n ~ n 1. Mit dem Cauchyschen Konvergenzkriterium(Satz 2.4) folgt daraus die Behauptung. b) Wegen Sn =

I

ak ~

00

I

k=1 k=1 also bestimmt divergent.

dn für alle nEN ist die Folge <sn> nicht beschränkt, die Reihe

I

n=l

an

•

Die folgenden Beispiele demonstrieren die Anwendung des Majoranten- und Minorantenkriteriums. Beispiel 2.10 00

Die Reihe

I

1

2: ist konvergent. n= 1 n

1 ~ - -1- . Nach Beispiel 2.4 ist die Reihe I00 --1 Für alle nE N mit n > 1 gilt nämlich 2: n - n(n - 1) n= 1 n(n + 1) 1

1

00

konvergent und daher auch die Reihe 00

von

I

1

I ---. Damit haben wir eine konvergente Majorante

n=2 (n - l)n 1 2: gefunden, und nach dem Majorantenkriterium ist

n=1 n

00

Wir werden in Abschnitt 2.3 (Beispiel 2.67) zeigen, daß

I

1 2:

n=1 n

00

I

1 2: konvergent.

n=1 n 2

= ~ ist. 6

Beispiel 2.11 00

Wir untersuchen die Reihe

I

1 3/- mit Hilfe des Minorantenkriteriums.

n=1y'n

112

2 Reihen

Für alle nE N gilt

3

1 1 r;;: -. Da

yn

1 3 r= y n

00

gilt:

I

n~1

00

1

I - bestimmt divergent ist (vgl. harmonische Reihe, Beispiel 2.5)

n~ln

n

00.

Beispiel 2.12 00

Mit Hilfe des Majorantenkriteriums zeigen wir die Konvergenz der Reihe

1

I -. n= 1 n!

I

n~1

00

(~)n -

1

ist also eine konvergente Majorante (geometrische Reihe mit q = ~), daher ist

1

I -

n=1 n!

konvergent. Wie wir in Abschnitt 2.2 zeigen werden (s.(2.17)) ist 1 1 1 -= 1 + 1 +- +-+ n=O n! 2! 3! 00

I

... =e = 2,718281828 ...

Diese Reihe konvergiert »schnell«, es ist z.B. 52 = 2,5; 53 = 2,666 ... ; 55 = 2,716 ... ; = 2,71828180 ... ; 5 10 stimmt, wie man sieht, bereits auf 7 Stellen hinter dem Komma mit e überein. 5 10

00

Als Vergleichsreihen werden oft die Reihen

I

1

~

mit IXE~ herangezogen.

n= 1 n

Für

IX

~ 0 ist die notwendige Bedingung ( n-tlim ~ = 0) nicht erfüllt, und daher ist für IX ~ 0 die n 00

Reihe divergent. Für 0
2 folgt:

00

nE

1

~ für 0

n

N. Da die harmonische Reihe

1

I - divergent ist (divergente

n=ln

< IX ~ 1 divergent.

I~a I ~ ~2 für alle nE N. Damit haben wir eine konvergente Majorante (vgl. Beispiel

2.10). 00

In Beispiel 2.20 zeigen wir, daß

I

1

~ auch konvergent ist für 1
0 ein n , so daß 1 < a +-1 == q < Ian +-1 I für alle Zu b) Ist a > 1, so gibt es wegen (2.2) zu B == o

2

2

~

nE N mit n ~ no gilt, d.h. es ist an+ 11> lanl > ... > la no I> 0 für alle n ~ no (vgl. Bild 2.2b)). • Also ist die notwendige Bedingung (s. Satz 2.5) lim an == 0 nicht erfüllt. 1

n-+

00

Beispiel 2.14 00

Die Reihe

n2

I ----;; ist konvergent, denn wir erhalten:

n= 1 3

1( 1)2 ==3< 1 1,

n . i an + 1 (n+1)2'3 . hm - - == hm n+1. 2 == hm 3 1 +n-+ 00 an n-+ 00 3 n n-+ 00 n 1

.

woraus mit dem Quotientenkriterium (Satz 2.7) die Konvergenz folgt. Beispiel 2.15 00

Die Reihe

I

3n n ist divergent. Es ist nämlich

--5

n= 1 2 'n

1)5 == 23> 1,

n 1 n 5 n 1 . . la hm - +- == hm +31 + ·2 ·n5 == hm 2 1- -n-+ 00 an n-+ 00 2 n . (n + 1) .3n n-+ 00 n+ 1 1

.

woraus die Divergenz folgt.

3(

2.1 Zahlenreihen

115

Beispiel 2.16 5n

00

Die Reihe

I -

n=ln!

konvergiert wegen lim

5n+ 1 ·n!

n~00(n+1)!·5n

5

= lim - - = 0 < 1. n~oon+l

Wie man dem Beweis des Quotientenkriteriums entnehmen kann, benötigt man als Voraussetzung nur, daß es eine Zahl q gibt mit

la::11~q1 fürallen~no. Die Existenz des Grenzwertes lim 1an + 11 n~oo an

-=1=

(2.3)

1 impliziert zwar eine dieser Ungleichungen, jedoch

kann eine Ungleichung wie in (2.3) bestehen, ohne daß die Folge \

I

a:: 11) konvergent ist.

In Fällen, in denen dieser Grenzwert nicht existiert, kann also die Konvergenz bzw. die Divergenz eventuell aufgrund von (2.3) nachgewiesen werden. Dazu folgendes Beispiel. Beispiel 2.17

00

Die Reihe

I

an mit an =

n=l

J3

3 (n-1)

1

J3

3n

-

4

für ungerades n für gerades n,

i

also 1 + + ~ + ~ + ft + ~ + ... ist auf Konvergenz zu untersuchen. Es ergibt sich

J~

la:: 11 =

J3

J~ 1

J3

Die Folge \

1

1

3 (n+1)-4

3n

9

3 für ungerades n für gerades n.

a:: 11) = 1, i, 1, i, 1, i,··· konvergiert offensicht~ich nicht. Aufgrund obiger Bemer-

kung ist trotzdem eine Konvergenzaussage über die Reihe

I

an möglich, da für alle

nE N

gilt:

n=l

Wie schon bemerkt wurde, ist eine Aussage über die Konvergenz der Reihe I an mit Hilfe des a n= 1 Quotientenkriteriums nicht möglich, wenn lim ~ = 1 ist. In einigen Fällen kann die Konvern~ an genzfrage eventuell dann mit Hilfe des Wurzelkriteriums beantwortet werden (vgl. Beispiel 2.19) 1

00

J

2 Reihen

116

Satz 2.8 (Wurzelkriterium)

Der Beweis dieses Kriteriums erfolgt ähnlich wie der des Quotientenkriteriums (Satz 2.7) mit Hilfe des Majoranten- bzw. Minorantenkriteriums (Satz 2.6). Bemerkungen:

1. Ebenso wie beim Quotientenkriterium genügt für den Nachweis der Konvergenz bzw. der Divergenz, daß es eine Zahl q gibt mit y/~:;2; q < 1 bzw. y/~ ~ q > I für alle nEN mit n~no'

2. Das Wurzelkriterium ist in der Handhabung oftmals schwieriger als das Quotientenkriterium, dafür jedoch, wie oben schon erwähnt, weitreichender (vgl. Beispiel 2.19). 3. Ist der Grenzwert lim y/~ = 1, so kann mit Hilfe dieses Satzes über die Konvergenz von 00 n-+CIJ 00 1 I_ an keine Aussage gemacht- werden. Es gilt z.B. für die divergente harmonische Reihe I_ -n n-1

(vgl. Beispiel (2.5): !~~ lim n--t

00

nJn1

Jl

n

CD 1 n-1 ~ = 1, für die konvergente Reihe n~l n 2 (vgl. Beispiel 2.10):

1.

2 =

CD

Es gibt also divergente und konvergente Reihen

I

an' für die lim

n=1

Beispiel 2.18 a) Die Reihe

I -n1- ; ist konvergent, da oc

lim

n=l

n-+oo

JT

n

~= n

n--+oo

lim -1 = 0 ist. n-oon

CD

b) Die Reihe

I

(y/"2 - l)n ist konvergent, da

n=1

lim Y/ry/2- l ln n--+oo

=

lim (y/"2-1) = 0 ist. n-ClJ

1) Die Reihe ist dann sogar absolut konvergent (vgl. Bemerkung 2 zu Satz 2.11).

y/~ = 1 ist.

2.1 Zahlenreihen

5n

00

c) Die Reihe

I

--4

n=l

n

4 ·n

5 ist divergent, da lim

n~oo

n /

4· V n 4

117

= ~ > 1 ist.

Folgendes Beispiel belegt die Bemerkung 2 zum Wurzelkriterium (Satz 2.8). Beispiel 2.19 1 1 1 Wir betrachten - + - + - 3 3 52 3 1

I

an mit a n.=

n=l

1

1

falls nungerade

3n '

00

1

+ -54 + -3 5 + -56 + ... ' also die Reihe

1

5n '

falls n gerade.

Wir versuchen, die Konvergenz mit Hilfe des Quotientenkriteriums (Satz 2.7) zu beweisen und bilden dazu a 2n + 1 l

a2n

1

=~=1.(~)2n 2n+ 1 3 3 3

bzw.

(~)2n

Da nicht beschränkt ist, gibt es kein n o und kein q, so daß n ~ no gilt (vgl. 2.3)).

lan + 11 ~ q < 1 für alle nEN mit an

Die Konvergenz läßt sich also nicht mit Hilfe des Quotientenkriteriums beweisen. Untersuchen wir jedoch ~~, so ergibt sich

-#

2~-1a 2-1_ - 2n n

_ = _1

52n

5

{l =~

bzw.

J

=~

1 ist, gibt es ein no und ein q, so daß 32n - 1 Z/~ ~ q < 1 ist für alle nEN mit n ~ no. Aufgrund der Bemerkung 1 zum Wurzelkriterium (Satz 2.8) ist die vorgelegte Reihe konvergent. Da sowohl lim

2n

n~oo V~

als auch lim

n~oo

2n-1

00

Man kann die Summe einer unendlichen Reihe

I

an auch geometrisch veranschaulichen. Wir

n=l

zeigen das für den Fall, daß alle an > 0 sind. Dazu trägt man in einem kartesischen Koordinatensystem die Punkte P n(n, an) ein und erhält daraus, wie in Bild 2.3 ersichtlich, eine» Treppenfläche«. Der Flächeninhalt dieser (nach rechts nicht beschränkten) Treppenfläche veranschaulicht den 00

Grenzwert der unendlichen Reihe

I

an-

n= 1

Diese geometrische Veranschaulichung legt es nahe, mit Hilfe eines uneigentlichen Integrals die Konvergenz bzw. Divergenz einer unendlichen Reihe nachzuweisen. In der Tat gilt folgender

118

2 Reihen

tIn) 0,

3

2

5

4

6

n

Bild 2.3: Geometrische Veranschaulichung der Summe einer unendlichen Reihe.

Satz 2.9 (Integralkriterium)

Bemerkungen: 1. Ist das uneigentliche Integral divergent, so divergiert die unendliche Reihe.

2. Während bei den bisherigen Kriterien die Glieder positiv oder negativ sein konnten, ist das Integralkriterium nur anwendbar, wenn alle Glieder nichtnegativ sind. 3. Der Satz gilt entsprechend für das Intervall [k, 00). Beweis:

Da

J monoton fallend ist, gilt für alle nEN: J(n

+ 1) ~ J(x) ~ J(n)

mit

n ~ x ~ n + 1.

Aufgrund der Monotonie des Integrals (vgl. Band 1, Satz 9.10) folgt dann n+1

S

n+1

J(n + l)dx ~

S

n+1

J(x)dx ~

S

J(n)dx,

d.h.

n+1

J(n

+ 1) ~ S

J(x)dx ~ J(n)

für alle nE N.

Durch Addition ergibt sich daraus J(2) + ...

+ J(n) ~ SJ(x)dx ~ J(I) + ... + f(n 1

1).

2.1 Zahlenreihen Bezeichnen wir die Teilsummen mit Sm d.h. Sn

=

I

119

f(k), so ergibt sich (vgl. Bild 2.4)

k~l

Sn - f(1) ~ S f(x)dx ~ Sn~ 1

(2.4)

für alle nEN.

1

w

Ist das uneigentliche Integral

S f(x)dx konvergent, so folgt wegen 1

o ~ Sn -

f(l) ~

S f(x)dx 1

~

S f(x)dx für alle nE N 1

die Beschränktheit der Folge <sn>' Weiterhin ist <sn> monoton wachsend, daher ist <sn> konvergent. Wenn umgekehrt die Reihe <sn> gegen S konvergiert, dann gilt sn Ungleichung von (2.4) folgt dann

~

sfür alle nEN. Aus der rechten

[,]+ 1

o~

S f(x)dx 1

~

S f(x)dx =

S[']

~

S

für alle t ~ 1,

1

w

d.h.

•

S f{x)dx existiert, da der Integrand nichtnegativ ist. 1

a)

b)

fIx)

fIx) f(1)

'(2)

2

3

4

5

6x

2

3

Bild 2.4a,b: Abschätzung einer Reihe mit Hilfe eines uneigentlichen Integrals

Beispiel 2.20 w

Es sei rx > O. Wir untersuchen die unendliche Reihe

I

n~ 1

1 Wir setzen an = -a = f(n), d.h. f: [1, (0)---+ ~ mit f(x) n

1

~

n

1

=-.

xa

auf Konvergenz.

4

5

6x

120

2 Reihen

f ist wegen f'(x) = -

(X

< 0 für alle xE[l, (0) monoton fallend, weiter ist f(x)

---;+1

x

~

0 für alle

(0). Damit erfüllt f die Voraussetzungen des Integralkriteriums. Wie in Band 1 mit Beispiel 00 dx 9.68 gezeigt wurde, ist das uneigentliche Integral divergent für (X ~ 1 und konvergent für 1 X 00 1 (X > 1. Aufgrund des Integralkriteriums ist damit auch die unendliche Reihe ~ divergent für (X ~ 1 und konvergent für (X > 1. n= 1 n

XE [1,

J---;

I

Beispiel 2.21 Für welche

(XE

00

1

n=2

n·(lnnt

I --- konvergent, für welche divergent?

~ ist die Reihe

1

1 Wegen an = f(n) = - - - wählen wir f: [2, (0) ~ ~ mit f(x) = . n'(lnn)a x'(lnx)a

Wie man leicht nachweisen kann, erfüllt

f

die Voraussetzungen des Integralkriteriums. Wir 00 dx untersuchen daher das uneigentliche Integral J . Mit Hilfe der Substitution t = In X 2 x'(Inxt ( dt =

~) erhalten wir dx

R

InR dt

Jx'(lnx)~ = J ~. 2

Für

(X

In2

#- 1 ergibt sich: 1 1 J -a = -_. tl-alInR = -_. ((lnR)l-a -

InR dt

t

In 2

1-

(X

1-

In 2

(ln2)1-a).

(X

dx

00

' wohingegen für x·(lnxt uneigentliche Integral divergiert. Für (X = 1 erhalten wir Für

(X

> 1 konvergiert also

J

(X

< 1, wegen lim (In R)l - a = R~oo

2

InR dt

J-

t

In2

00,

dieses

= In t I~~ ~ = In (In R) - In (In 2),

d.h. das uneigentliche Integral

00

dx

2

x·lnx

J- - existiert nicht.

Zusammenfassend ergibt sich: 1

00

I

---a

n=2

n·(lnn)

ist konvergent für

(X>

1 und divergent für

(X

~ 1.

Zum Abschluß geben wir noch ein Kriterium an, das sich aufReihen anwenden läßt, deren Glieder abwechselnd negativ und positiv sind. Man nennt solche Reihen alternierend. Für alternierende 00

Reihen

I

n=l

an gilt also

2.1 Zahlenreihen

121

Beispiel 2.22 1

00

Die Reihe< sn) mit Sn = I (_1)k + I Reihe. k~ I

.

k = 1 - ±+ t -:t + - ... + (-1 r

1 I '-

ist eine alternierende

n

Satz 2.10 (Leibniz-Kriterium)

Bemerkung:

Dieses Kriterium läßt sich selbstverständlich auch auf Reihen anwenden, die erst ab einer Stelle alternierend sind. Dasselbe gilt, wenn die Folge< Ian I) erst ab einem n o E N eine monoton fallende Nullfolge ist. noE N

Beweis:

Es sei a l > 0 (für a l < 0 läuft der Beweis entsprechend). Da die Reihe alternierend ist, gilt: a 2m - 1 >

°

und

a 2m

< 0 für alle mEN.

Aus der Monotonie der Folge< lanl) folgt a 2m + a 2m + I ~

° und

a 2m -

1

+ a 2m ~ 0

für alle

mE N.

(2.5)

Wir betrachten nun die zwei Folgen <s2m-l) und <S2m)' Die erste ist monoton fallend, die zweite monoton wachsend, denn für alle mE N gilt wegen (2.5):

Wir zeigen nun, daß beide Folgen beschränkt sind. Aufgrund der Monotonie beider Folgen ist SI eine obere Schranke von <S2m-l) und S2 eine untere Schranke von <S2m)' Weiterhin gilt

daher ist S2 auch eine untere Schranke von

<S2m-l)

und SI eine obere Schranke von< S2m)'

Die Folgen <S2m-l) und <S2m) sind danach beschränkt und monoton und daher konvergent (vgl. Band 1, Satz 3.8). Es ist also lim SO -

S2m-l

s' = lim

= s' und lim

S2m -

lim

S2m

S2m-l

= SO. Daraus folgt

= lim

(S2m -

S2m-l)

= lim a 2m = 0, m---"'oo

da nach Voraussetzung< Ia m I) und somit auch < am ) eine Nullfolge ist. Die beiden Folgen <S 2m _ 1) und < S 2m) streben also gegen den gleichen Grenzwert, die Folge < sn) ist daher konvergent. •

122

2 Reihen

Beispiel 2.23 1

00

a) Die Reihe "~1 (-1)"+ 1. ~ = 1 -

0, d.h. a2m -

1

>0

und

>

a 2m sind daher monoton, haben den gleichen Grenzwert, und es gilt ~ S ~ S2m-1 für alle mE N.

S2m

2.1 Zahlenreihen Daraus schließt man für alle

mE N:

IS2m-1-sl=s2m-1-s~s2m-1-s2m=

IS 2m- si = s -

123

und

-a 2m =la 2m l

S2m ~ S2m+1 - S2m = a 2m +1 =

la 2m + 1 1,

also gilt die Abschätzung (2.6). Beispiel 2.24 00

Wieviel Glieder der Reihe

I

1 (-lt+ 1. - müssen mindestens addiert werden, damit der Grenzn

n=l

wert In 2 auf 4 Stellen nach dem Komma genau ist?

si ~ la n + 11 =

1

< 0,5 .10- 4 , wozu n > 2.10 4 -1 genügt. Man muß n+1 also 20000 oder mehr Summanden addieren, um die geforderte Genauigkeit zu erreichen. Man sagt, die Reihe konvergiere »langsam«, sie eignet sich also nicht gut zur Berechnung von In2.

Aus (2.6) erhalten wir

ISn -

--

2.1.3 Bedingte und absolute Konvergenz

Bei der Definition der Summe einer unendlichen Reihe (Definition 2.2) haben wir mit Bemerkung 4 bereits darauf hingewiesen, daß die Reihenfolge der Summanden die Summe beeinflussen kann. Folgendes Beispiel belegt dies. Beispiel 2.25 00

Wir betrachten die nach Beispiel 2.23 a) konvergente Reihe

I

1 (-lt+ 1. - . Es ist also

n= 1

1-

n

-! + ~ - i + i-i + ~ - i + - ... = s.

Diese Reihe ordnen wir nun um und zwar so, daß jeweils auf einen positiven Summanden zwei negative folgen, also 1-

-! - i + ~ - i-i + i - {o -

{2 + ~ -

114 -

/6

+ - ...

Setzen wir Klammern, so ergibt sich (1 -

i) - i + (~- i) - i + (i -

{o) -

/2 + (~- /4) - {6 + - ...

und daraus .1 _ .1 2

4

+ .1 _ .1 + --.L _ 6

8

10

--.L 12

+ --.L _ 14

--.L 16

+ _ ... = ~ (_ l)n + 1 . ~ n~l

2n·

Die letzte Reihe ist aufgrund des Leibniz-Kriteriums (Satz 2.10) konvergent. Der Faktor ~ kann also vor die Summe gezogen werden. 1 00 1 (-lt+ 1·-=i· (-lt+ 1·-=i· s. n= 1 2n n= 1 n 00

I

I

124

2 Reihen 1

00

Durch die vorgenommene Umordnung der Reihe

I

n~1

(_1)"+1._ mit der Summe s erhielten wir n

also eine wiederum konvergente Reihe, jedoch mit der Summe ~. s. Definition 2.3

Eine gegen s konvergente Reihe heißt bedingt konvergent, wenn es eine Umordnung gibt, so daß die umgeordnete Reihe entweder divergent ist oder gegen eine von s verschiedene Summe konvergiert. Es gibt Reihen, die bei jeder Umordnung konvergent sind und auch die gleiche Summe besitzen. Man nennt diese Reihen auch unbedingt konvergent. Wie man zeigen kann, sind dies genau die 00

Reihen

00

I

an' für die auch

n=l

I

lanl konvergent sind.

n=l

Definition 2.4 00

I

Eine Reihe

an heißt absolut konvergent, wenn die Reihe

I

lanl konvergent ist.

n=l

n=l

Bemerkung:

Konvergente Reihen, die nur nichtnegative Glieder besitzen (d.h. an ~ 0 für alle nE N), sind, wegen an = Ian I, absolut konvergent. Beispiel 2.26 00

Die Reihe

I

n= 1

1 2 ist nach Beispiel 2.10 konvergent und gleichzeitig absolut konvergent.

n

Satz 2.11

Der Beweis erfolgt mit dem Majorantenkriterium. Bemerkungen: 00

1. Die Umkehrung dieses Satzes ist nicht richtig, wie die Reihe

I

1

(-1)"+ 1._ zeigt. Diese Reihe n~ 1 n

ist (obwohl sie konvergent ist) nicht absolut konvergent, denn wir erhalten mit

001

I001 (-1)"+ 1._11 = I - die divergente harmonische Reihe. n=1

n

n~ln

2. Wird die Konvergenz einer Reihe mit dem Majoranten-, Quotienten- oder Wurzelkriterium bewiesen, so ist die Reihe sogar absolut konvergent.

2.1 Zahlenreihen

125

Wie oben schon angedeutet wurde, besteht ein Zusammenhang zwischen den unbedingt konvergenten und den absolut konvergenten Reihen. In der Tat läßt sich folgender Satz beweisen. Satz 2.12

Bemerkung:

Aufgrund dieses Satzes dürfen absolut konvergente Reihen umgeordnet werden; der Grenzwert ändert sich dabei nicht. Will man zwei konvergente unendliche Reihen

I

I

an und

n=l

bn miteinander multiplizieren, so

n=l

treten dabei folgende Summanden auf:

Die Summe dieser Produkte ist (wie man zeigen kann) unabhängig von der Reihenfolge dieser 00

Summanden, wenn beide Reihen

I

n= 1

00

an und

I

bn absolut konvergent sind. In diesem Fall wählt

n= 1

man als Anordnung zweckmäßig »Schrägzeilen« also: a l b l + (al b2 + a 2 b l ) + (al b 3 + a 2 b 2 + a 3 b l ) + (al b4 + ... + a4 b l ) + .... Bezeichnenwiralb[ =c[,a l b 2 +a 2 b[ =c 2 ,also

I

akb n- k+ l =cmsostelltsichdieFrage,obdas

k= [ 00

Produkt zweier unendlicher Reihen sich durch die Reihe

I

n~

läßt. Dazu folgender Satz 2.13

Cn mit Cn = [

I k~

akbn-k+ [ berechnen [

126

2 Reihen

Aufgaben 1. Bestimmen Sie den Grenzwert nachstehender Reihen

<sn>

mit Hilfe der Partialbruchzerlegung (vgl.

Beispiel 2.4). b) s n -

d)

sn =

5

~

k~l (k

.

+ 5)(k + 6)'

1 - - - mit mEN; k=l k(k + m) n

I

2. Welche der nachstehenden Reihen sind nach Satz 2.5 divergent? 00

a)

I

b)

I

n= 1

I

00

- n )zn.

(

n=l

n=l y n 00

d)

1 n ;:;

n-1 (-lt·-; n+1

n+1 1

00

e)

'

I--;

1

I

f)

n= 1 arctan n

1) ;

n-l - n·ln ( 1 +~

3. Mit Hilfe des Majoranten-bzw. Minorantenkriteriums (Satz 2.6) sind folgende Reihen auf Konvergenz bzw. Divergenz zu untersuchen:

I

00

a)

~

I;=I

2n-1

00

-y-z n _- .1; n=l n + 1

b)

I - 31; n=l +

c)

n

00

1

n=Z

fi2=1

I--;

V

z n 4 Z/n +I ; ~ ~~ 7 + z . 5 n=ln'Vn +n-1 n=lVn +3n -2

I

4. Verwenden Sie das Quotienten- bzw. Wurzelkriterium (Satz 2.7 bzw. 2.8) um die Konvergenz oder die Divergenz der nachstehenden Reihen zu zeigen. a)

I (~-lt mit n=l

b)

aE[R+;

I (Y;;; -lt; n=l

n' c) I . ; n= 1 2·4·6··· 2n

00 n-2 d) I (i)n._; n=l n+ 2

00 100n e) I - , ; n=l n.

00 n5 f) I , ; n=l n.

00 n! g) I 9 ; n=l n

h) I n4'(fo)n; n=l

00 3n 00 ( i)I -1- )" ' j) I~· n= 1 arctan n ' n=l n

5. Prüfen Sie das Konvergenzverhalten der alternierenden Reihen mit Hilfe des Leibniz-Kriteriums. 00

a)

d)

(_l)n+ 1

00

(_l)n+ l ' n

(-It'n

I--;

b)

I

e) !ln(ln2)-iln(ln3)± ....

n=l 2n + 1

n=l

(-lt+l(I-~);

I

n=l

n

Z

+1

;

c)

I ( )Z ; n=4n-3 +1

n 00 (-lt+ 1 6. Wieviel Glieder müssen mindestens addiert werden, wenn - durch die unendliche Reihe I - - - auf 4 n= 1 2n-1 3 Stellen nach dem Komma genau berechnet werden soll?

2.1 Zahlenreihen 7. Berechnen Sie die Summe (-lt+

00

a)

I

1

00

b)

- - 2- ;

n= 1

n

I

n= 1

127

der ersten vier Glieder von

S4

(-lt 1 -,-=--1, n. e

und schätzen Sie den Fehler

Is - s41 ab.

8. a) Es sei an ~ 0 für alle nEN und die Reihe I an konvergent. Zeigen Sie, daß dann auch die Reihe I a~ konvergiert. n= 1 n= 1 b) Geben Sie ein Beispiel an, durch das gezeigt wird, daß die Bedingung an ~ 0 für alle nEN nicht fortgelassen werden kann. 9. Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz: a)

I

n=

+ 1)3

J(n 2 1 V(n 4

+

n2

+ 1)5

;

00 (n+ 1t d)I~; n=l n

g)

b)

e)

1

I

.

n= 3 n(ln n)(ln In n)P' ( _l)n'n

I

n=l (n

00

c)

n= 1 n 00

.

f)

+ l)(n + 2)'

n!

I-;;; (n!)2

I-'

n=l (2n)!'

00 sin2n i)In n=l 3

I

n=l

10. Für welche CiElR konvergieren die Reihen

00

11.

a) Zeigen Sie, daß die Reihe n~l

(

l)n

j;;

zwar konvergent,j:dOCh nichtooabsolut konvergent ist.

*b) Für das Produkt zweier absolut konvergenter Reihen

I

an und

n=l

I n=l

bn gilt:

Zeigen Sie, daß diese Gleichung i.allg. nicht mehr richtig ist, wenn keine der beiden Reihen absolut konvergiert. Wählen Sie dazu die Reihen mit

an

= bn = (- ~n und beweisen Sie, daß dann yn

I

Cn

divergiert.

n=l

1 2 mit a, zeigen Sie, daß dann gilt: n=l n 00

12. Bezeichnen wir die Summe der absolut konvergenten Reihe

I

1 1 3 l+-+-+ .. ·=-a. 32 52 4

13. Zeigen Sie, daß für alle Iq I < 1 gilt: 1

00

a)

I

n=l

n·qn-l

=--2;

(l-q)

2 n(n+ l)·qn-l = - - 3 . n=l (l-q) 00

b)

I

14. Nach Bild 2.6 werden Halbkreise so aneinandergesetzt, daß eine Spirale entsteht. Der Radius des ersten Kreises sei a, der Radius des jeweils folgenden Halbkreises sei -i mal so groß. Berechnen Sie die Länge s der gesamten Spirale. *15. Homog.ene Ziegelsteine der Länge I sollen mit einem Überhang gestapelt werden (s. Bild 2.7) Wie groß kann dieser Uberhang T maximal werden, wenn genügend Steine vorhanden sind und labiles Gleichgewicht noch zugelassen wird?

128

2 Reihen

Bild 2.6: Zu Aufgabe 14

I..

"I

..t::===::1:::::::::==::::=..T- - Bild 2.7: Zu Aufgabe 15 *16. Beweisen Sie:

Sind

L n= 1

an

und

L 11=

bn konvergente Reihen, dann gilt die

1

Schwarzsehe Ungleichung:

17. Gegeben ist die Punktfolge 1 ab (vgl. Bild 2.8) Wie weit springt der Ball?

19. An eine Viertelellipse mit den Halbachsen a o und bo (a o > bo) ist (s. Bild 2.9) eine zweite Viertelellipse mit den Halbachsen a l = bo und bl , an diese eine dritte Viertelellipse mit den Halbachsen a z = bl und b z angesetzt usw.

Die Achsen werden dabei immer im gleichen Verhältnis verkleinert. Berechnen Sie den Gesamtflächeninhalt der entstandenen Figur.



2.2 Potenzreihen 2.2.1 Darstellung von Funktionen durch Potenzreihen In der Praxis werden häufig Potenzreihen verwendet, deshalb wollen wir sie genauer untersuchen. Definition 2.5 Gegeben sei eine Folge

mit nEN o und eine reelle Zahl x o. Dann nennt man (2.7)

Potenzreihe mit dem Entwicklungspunkt x o. Die Zahlen ao, a 1 , ... heißen Koeffizienten der Potenzreihe (2.7). Beispiel 2.27 00

(x + 1)n

(x + 1)2

n=O

n!

2!

I --- = 1 + (x + 1) + - - - + ... und den Koeffizienten

1 an = -. n!

ist eine Potenzreihe mit dem Entwicklungspunkt - 1

130

2 Reihen 00

Durch die Substitution y == x -

I

anyn, also eine n=O Potenzreihe mit dem Entwicklungspunkt O. Daher genügt es, den Fall X o == 0 zu betrachten. Die wichtigste Frage ist, für welche 00

daß für x == 0 jede Potenzreihe

erhält man aus (2.7) die Potenzreihe

Xo

I

XE IR

die Potenzreihe konvergiert. Zunächst stellen wir fest,

anx n konvergiert. Die folgenden Beispiele zeigen, daß eine

n=O Potenzreihe (mit Entwicklungspunkt 0) für x == 0, für alle XE IR oder auf einem zu 0 symmetrischen offenen oder abgeschlossenen Intervall konvergent sein kann. Das Intervall kann auch halboffen sein. Daß es andere Möglichkeiten nicht gibt, zeigt Satz 2.14 Beispiel 2.28

I nn. x n konvergiert nur für x == O. Für x#-O ergibt sich nämlich mit dem Wurzeln=l kriterium (Satz 2.8): Die Reihe

lim Vlnnxnl n---+oo

==

lim n---+oo

nlxl == 00,

also ist die Potenzreihe für alle x#-O divergent. Beispiel 2.29 n

n

I x + 1 . n! I Ix I konvergiert absolut für alle xEIR. Es ist lim == lim - - == 0, womit n= 1 n! n---+ 00 (n + 1)!x n n---+ 00 n + 1 aufgrund des Quotientenkriteriums (Satz 2.7) die Behauptung folgt. Die Reihe

I -x 00

Beispiel 2.30 Wir wollen die XElR bestimmen, für die die Reihe

1

n

+1I

nx n konvergiert. Mit Hilfe des Quotienten-

n=l

kriteriums ergibt sich (n + )x lim n n---+ 00 I nx

I

==

(1)lxi

lim 1 + n---+ 00 n

==

lxi·

Daraus folgt, daß die Reihe für alle x mit Ix I < 1 absolut konvergent und für Ix I > 1 divergent ist. 00

Für x == 1 ergibt sich die gegen

+ 00

bestimmt divergente Reihe

I (- 1tn, daher ist die Reihe I n=l n=l konvergent und für alle x mit Ix I ~ 1 divergent. unbestimmt divergente Reihe

I

n und für x == - 1 die n=l nxn für alle XE( - 1,1) absolut

Beispiel 2.31 00

Die Reihe

xn

I -

ist für alle

XE[ -

1,1) konvergent.

n=l n n

Es ist lim nl xl + 1 n = n---+oo (n + l)lxl

lxi, d.h. für alle XE( - 1,1) ist die Potenzreihe absolut konvergent, für alle

2.2 Potenzreihen

131

x mit IxI > 1 divergent. Für x = 1 ergibt sich die divergente harmonische Reihe (vgl. Beispiel 2.5) und für x

1 die nach dem Leibniz-Kriterium (Satz 2.10) konvergente Uedoch nicht absolut 00 1 1)"·-. konvergente) Reihe n~l n = -

I (-

Beispiel 2.32

I

00

Die Reihe 00

~-2-

n

n~ 1

n

n

n=ln (-1)"

I

sowie

x

2: ist für alle XE [

-

1n2

1 1, 1] absolut konvergent, da lim I x + 2 n 1 = Ix Iist und 00 2: n~oo (n+l) x n=ln

I

konvergente Reihen sind.

Folgender Satz zeigt, daß jede Potenzreihe entweder nur für x = 0 oder auf einem Intervall konvergiert. Dieses Intervall ist symmetrisch zu 0, wenn die Randpunkte nicht beachtet werden. Satz 2.14

Bemerkung: 1

Für x =

-

a

bzw. x =

1

--

a

macht der Satz keine Aussage.

Beweis: a) Wir verwenden das Wurzelkriterium (Satz 2.8). Es ist lim

z/Ian·xnl = a = 0,

i) Ist

lim z/~·Ixl.

d.h. lim z/~ = 0, so ist auch lim

n-C!J

n~oo

reihe konvergiert für alle

XEIR

absolut.

ii) Ist a > 0, so ergibt sich lim n~

00

z/Ianxnl =

lim ~·Ixl

=

a·lxI.

z/I an· xnI = 0 rur alle x E IR, d. h. die Potenz-

132

2 Reihen 1 1 Das Produkt a·1 x I ist genau dann kleiner als 1, wenn Ix I < - ist, d.h. für alle x mit Ix I < konvergiert die Potenzreihe absolut. a a

Ist

1

lxi> -, dann ist a·lxl > 1, d.h. die Reihe ist divergent. a

lxi>

0, so heißt die Zahl p = -a

anx n.

n=O Ist lim z/~ = 0, so schreibt man symbolisch p =

00,

ist
nicht beschränkt, so setzt

n~oo

man p =

o.

Bemerkungen: 00

I

anx n statt des Wurzeln=O kriteriums (Satz 2.8) das Quotientenkriterium (Satz 2.7), so ergibt sich für den Konvergenzradius

1. Verwendet man bei der Bestimmung des Konvergenzbereichs von

= lim Ian + 1 I = !~~ an + 1 1

p

n~oo

I

an

I

'

an

falls dieser Grenzwert existiert. 2. Satz 2.14 besagt also, daß die Potenzreihe

I

anxn für alle

XE( -

p, p) absolut konvergent ist

n=O

und für alle XE ~ \ [ - p, pJ divergent ist. Ist p = 0, so konvergiert die Potenzreihe nur für x = 0; ist P = 00, so ist sie für alle XE~ absolut konvergent. 3. Es läßt sich zeigen, daß jeder Potenzreihe ein Konvergenzradius zugeordnet werden kann, auch solchen, bei denen die Folge

Beispiel 2.33 Die Potenzreihe

I

nx n besitzt den Konvergenzradius 1, denn es ist p = lim

1 n j-

= 1.

n~ooVn

n=l Beispiel 2.34 00

Es sei aE~;. Der Konvergenzradius p der Reihe verhalten für Ix I = p.

I

xn

~ ist zu bestimmen sowie das Konvergenzn= 1 n

2.2 Potenzreihen

133

Wir erhalten für a #- 0: p = lim ~na = 1 n----'> 00

und für a = 0: p =

1

lim ~1

= 1.

n----'> 00

Also ist die Potenzreihe für alle XE( - 1, 1) absolut konvergent. Um das Konvergenzverhalten am Rand zu untersuchen machen wir eine Fallunterscheidung. 00

i) a = 0 ergibt

I (- 1t bzw. I n=l

1n. Beide Reihen sind divergent (die notwendige Bedingung

n=l

lim an = 0 ist nicht erfüllt). ii) 0< a ~ 1, in diesem Fall ist 1

00

I

00

1t

(

I

--a-

n=l

n

nach dem Leibniz-Kriterium (Satz 2.10) konvergent,

~ ist jedoch nach (2.1) divergent. Also ist die Reihe konvergent für alle XE[ -1,1). n

n= 1

iii) Ist a > 1, so konvergiert die Reihe absolut für alle

XE [ -

1, 1J, da sowohl

1

00

I n= 1

I

00

n= 1

1t

(

- - a-

als auch

n

~ konvergent sind. n

Wie schon in Bemerkung 1 zu Definition 2.6 festgestellt wurde, kann zur Bestimmung des Konvergenzradius auch das Quotientenkriterium benutzt werden, das in der Handhabung oft einfacher ist als das Wurzelkriterium. Beispiel 2.35 Von folgenden Potenzreihen ist der Konvergenzradius zu bestimmen. a)

00

xn

n=O

n!

I-. Es ist p = lim (n + I)! = lim (n + 1) = n----'>oo n! n----'>oo

b)

nt (:}x

n

00,

d.h. die Reihe konvergiert absolut für alle XEIR.

mit C(EIR\N o·

Für aE N hat diese Potenzreihe nur endlich viele Glieder, da n > m, daher interessiert nur aElR\N o.

Wir erhalten (wegenC) = C(C(-l)· .. ~t-n+

p=lim n----'>oo

(

I)}

(m) = 0 ist für alle m, nE N mit n

(:) . I a(a-1)·····(a-n+1)(n+1)! I . In+11 =hm =hm--=1 a) n----'>oo n!a(a-1)·····(a-n+1)(a-n) n----'>oo a-n ' n+1

die Reihe ist also für alle

XE( -

1, 1) absolut konvergent.

134

2 Reihen

Für den Konvergenzradius erhalten wir: 10n+ 1

p = lim - = 10, also ist diese Potenzreihe absolut konvergent für alle n--'> 00 10n 00

d)

2 n 2n .

I

n 3x

2

~:lergibtsiCh nlim I~I= lim n}n an n (n + 1) .3n

+1

=t·lim

XE( -

10, 10).

(_n_)2 =t. +

n 1) 2 2n Beachten wir x = (x t, so ist die Potenzreihe absolut konvergent für alle x mit x 2 < ist sie absolut konvergent für alle x mit lxi < J~. --'>

e)

I

+1

00

--'> 00

n

--'> 00

i, folglich

2n n(x - 3t·

n=l Der Entwicklungspunkt dieser Potenzreihe ist 3. Ist p sein Konvergenzradius, so konvergiert 2n 'n diese Reihe für alle xE(3 - p, 3 + p). Es ist P = lim n + 1 = also konvergiert diese Potenzreihe absolut für alle XE(%, ~). n~oo 2 ·(n + 1)

i,

00

Gegeben sei die Potenzreihe

I

anx nmit dem Konvergenzradius p. Durch diese Reihe wird jedem

n=O XE( -

p, p) eine Zahl zugeordnet. Damit ist eine auf( - p, p) definierte Funktionf mit f: x ~

I

anx n

n=O

gegeben. Sie heißt die durch die Potenzreihe dargestellte Funktionf und man schreibt:

I

f(x) =

anx n für alle x des Konvergenzintervalles.

n=O

Beispiel 2.36 Die geometrische Reihe

I

xn

besitzt den Konvergenzradius 1 und stellt daher auf (- 1, 1) die n=O 1 Funktion f: (- 1, 1) ~ [R mit f(x) = - - dar, also ist

1-x

1 xn = - n=O 1- x 00

I

für alle x mit lxi< 1.

(2.8)

In Bild 2.10 ist der Graph von f dargestellt sowie die Graphen von f1' f2 und f3 mit f1(X) = 1 + x, f2(X) = 1 + x + x 2 und f3(X) = 1 + x + x 2 + x 3. Beispiel 2.37 Folgende Funktionen sind durch Potenzreihen darzustellen und das Konvergenzintervall ist anzugeben.

2.2 Potenzreihen

x

-1 Bild 2.10: Zu Beispiel 2.36

1 a) f mit f(x) = - - . 2-3x

Wir erhalten:

1 1 1 1 2-3x =2"l-~x=2"n~o (ixt= 00

00

3n . x n

n~o2n+l

(Die letzte Gleichheit gilt aufgrund von Satz 2.1)

Also gilt 1

00

3n . x n

- - = ~ -+1

2-3x

für alle XE(-~3'~3);

n~o2n 2

b) f mit f(x) = 3 + 8x· Wir erhalten: 221

3 + 8x

00

=~·I(-~xt=~·I(-~t·xn. 3 1 - (- "3 x) n =0 n =0

--=_.

8

Konvergenzradius: p = lim I( - ~t·( - ~t+ 11 =~. n~oo

135

136

2 Reihen

Also gilt 2

00

--=~.

3+8x

I

n=O

(_~)"'xn

fürallexE(-~,~).

Umgekehrt kann durch (2.8) in manchen Fällen die durch die Potenzreihe dargestellte Funktion einfacher dargestellt werden. Beispiel 2.38 Das Konvergenzintervall der folgenden Potenzreihen ist anzugeben. Wie lauten die durch diese Potenzreihen dargestellten Funktionen? xn

00

a)

I -.n

n=O 3

3n+ 1

Es ist P = lim - - = 3, daher gilt für alle XE( - 3, 3): n--+

I

00

xn

-=

n~03n

b)

I

00

3"

(x)n n=O 3

I

00

-

3 x 1-3

3-x

(-t)"x n+ 1 .

n=O

Der Konvergenzradius ist 5, daher gilt für alle XE( - 5,5): 00

I

n~O

(-t)"x n+ 1 =x'

x 5x (-t)nxn= _ _ =_-. n~O 1 x 5+x +5 00

I

2.2.2 Sätze über Potenzreihen Eine unmittelbare Folgerung aus den Sätzen 2.1 und 2.13 ist Satz 2.15 Der Konvergenzradius von

L

n"""-O

der von

Lb

'1=0

n

xn

}. Dann gilt für alle x E (- p, p):

2.2 Potenzreihen

137

Bemerkungen: 1. Da die Summe mit n = 0 beginnt, ist hier

Cn

=

I

akb n - k

und nicht, WIe In Satz 2.13,

k=O

I

Cn =

akb n - k + 1·

k=O

2. Der Konvergenzradius der auf der rechten Seite stehenden Potenzreihen kann größer als P sein. Beispiel 2.39 Wir wollen die Funktion f mit f(x) = Dazu zerlegen wir den Term

3-4x

2 - 5x + 3x

3-4x

2 - 5x + 3x

2 in eine Potenzreihe entwickeln.

2 in Partialbrüche und erhalten mit (2.8) und Beispiel

2.37a): 3 - 4x 1 1 2 - 5x + 3x 2 = 1 - x + 2 - 3x =

3n x n n~o x + n~o 2n + l' 00

00

n

Der Konvergenzradius der ersten Potenzreihe ist Pi = 1, der der zweiten P2 =~. Aufgrund von Satz 2.15 erhalten wir wegen P =min{1,~} =~: 3 - 4x 00 2n + 1 + 3n n -----2= ~ 2-5x+3x n':o 2n+1 ·x für alle XE(-~3'~3)· Beispiel 2.40 1

Die Funktion f mit f(x) =

2 ist als Produkt der Funktion fl:

1-2x + x darstellbar. Aufgrund von Satz 2.15 erhalten wir für alle x mit lxi< 1 1

1 - 2x + x

2=(_1)2 1- x

=( I

n=0

x

n

).(

1

x~-- mit

1-x

I x )= I (I l)x =I (n+l)x n

n=0

n

n=0

k =0

n

sich selbst

,

n=0

also gilt 1

I

(1 - X)2

00

(n

+ 1)xn = I

n=O

nx n -

1

für alle

XE( -1,1).

(2.9)

n=l

Dieses Beispiel zeigt eine Eigenschaft auf, die alle Potenzreihen mit positivem Konvergenzradius haben. Nach Beispiel 2.40 erhält man die Ableitung auch dadurch, daß die unendliche Reihe gliedweise differenziert wird. Es gilt nämlich einerseits: 1

1

f(x) = - - ~ f'(x) = - - 2 1- x (1 - x)

138

2 Reihen

und andererseits, wenn man gliedweise differenziert: 00

I

00

(xny

I

=

n=O

nx n-l,

n=l

so daß (wegen (2.9» für alle x

E

(-1, 1) gilt:

In der Tat läßt sich folgender Satz beweisen. Satz 2.16

Beweis: 00

a) Da die Reihe

I

anx nfür alle x mit Ix I < P konvergent ist, gibt es (wegen Satz 2.5) zu jedem 8 > 0

n~O

ein n 1 E N, so daß Ianx nI ~ lanpnl < 8 für alle n ~ n 1 und alle x mit lxi< p. zwischen lxi und p, d.h. lxi< Xl< p. Dann gilt

Xl

sei nun eine Zahl

für alle n ~ n 1 .

~. I n-1~ln-1

Also ist die Reihe

eine Majorante von n=l Xl erhalten wir mit dem Quotientenkriterium:

Ihre Konvergenz

Xl

.

11m

n~oo

+ 1) lxi

Ixln·x~-l·(n n

x1·lxl

n-1

·n 00

b) Setzen wir fex)

=

I

=- 00 gegen Null konvergiert. Aufgrund von Satz 2.18 und wegen Bemerkung 2 zu diesem Satz gilt also

In(l

ro

(_1)n-1

n=l

n

+ x) = L

.x

n

für alle xe( - 1,1].

(2.20)

e) Taylor-Reihe der sinh- und cosh-Funktion Wegen (sinh x) 0 sowie die Spanna

weite 21 (I > 0) des Seiles gegeben (vgl. Bild 2.11). Gesucht ist a in Abhängigkeit von I und h. Wir erhalten a

+h=

I a

a' cosh -,

y

8

a -I

x

Bild 2.11: Kettenlinie

x da der Punkt B = (I, a + h) die Gleichung y = a'cosh - erfüllen muß. a

Sind h und I gegeben, so kann a z.B. mit Hilfe eines allgemeinen Iterationsverfahrens berechnet werden. Man kann jedoch auch eine Näherung dadurch erhalten, daß man die cosh-Funktion

2.2 Potenzreihen

151

durch die ersten beiden Glieder ihrer Taylor-Reihe ersetzt. Dies ergibt

a+ h::::-; a( 1 + ;~2),

a::::-; ~:

woraus

folgt.

Beispiel 2.51 Es soll der Umfang SE einer Ellipse mit den Halbachsen a und b mit 0 < b < a berechnet werden. Nach Abschn. 1.1.3, Beispiel 1.21 b) gilt für den Umfang dieser Ellipse: 1

"2 1t

= 4a'

SE

JJl- 8

2

sin 2 tdt,

(2.29)

o

e wobei 8 = - < 1 die numerische Exzentrizität und e2 = a2 - b2 ist. a

(Beachte: In Abschn.1.1.3, Beispiel1.21b) war b > a vorausgesetzt, durch Vertauschung von a und b ergibt sich (2.29).) Mit (2.15) erhalten wir, wenn man x

Wegen also

= - 8

2

sin 2 t und a = ~ setzt:

lxi = 18 2 sin 2 tl < 1 für alle tE[O,~nJ kann (vgl. (2.12)) gliedweise integriert werden. Es ist

1

"2

1

1

2 _ 1"2 1t

1t

J

Wegen sin 2n tdt=_n_o 2n

J sin

"2 2n

-

2

tdtund

0

1t

J dt=~nfolgt 0

1

"2

1t

Jo sin

2n

t dt =

Außerdem gilt

1.3 .5 ..... (2n - 1) n

2·4·6·····2n

(1)n = (- It+ 2

1.

12 I

OO

= 2an' 1 - - 8

S E

(

-

n= 2

4

(2n)!

n

'- = -2n- - ' - für alle nE No. 2 (n!)2 2

2

4(2n - 3)! 2 für alle nEN\{I}, so daß 2 nn!(n - 2)!

2)

4(2n)!(2n - 3)! .8 n 24n(n!)3(n - 2)!

ist. Berechnen wir die ersten 4 Glieder, so erhalten wir SE

= 2an'(1 -

i

8

2

-

3 6 4 84 -

2~6 8

6

-

1~~~4 8

8

-

(2.30)

... ).

Eine gute Näherung für den Umfang der Ellipse ist SE::::-;

n( 3· a; b -

Jdb).

152

2 Reihen

Wir wollen die Größenordnung des Fehlers dieser Näherung berechnen. Wegen

-- b Jle =a 2

folgt:

also a +bn ( 3.2

J-)

ab =2an(I-"41

e -64 e -256 e -4096e _...). 2

3

4

5

6

43

8

Die Übereinstimmung mit der Reihenentwicklung (2.30) von SE ist recht gut (bis auf einen Fehler der Größenordnung 16~84 e8 ). Beispiel 2.52 Bezeichnet T bzw. T o die Dauer einer gedämpften bzw. ungedämpften Zeigerschwingung eines . n Galvanometers, dann gIlt T o = T. 2 n +A?

J

.

2n Dabei ist A = - [) das sogenannte logarithmische Dekrement der Dämpfung (vgl. (5.77)). w

Für »kleine« Werte von A soll eine Näherungsformel für T o entwickelt werden. Es ist To = T 1 +

(

O~A

- . In2

Mit Hilfe des folgenden Satzes kann die Konvergenzuntersuchung von komplexen Folgen auf die von reellen zurückgeführt werden. Satz 2.19

Beweis: Für alle z = x + jy gilt (vgl. Band 1, (5.10) und Satz 5.2) max (lxi, lyl) für alle nEN: max(lx n

-

xl, IYn - yl) ~ IZn -

zl ~ IX n - xl + !Yn -

~

Ix + jyl

~

lxi

+ lyl, also gilt

yl·

Aus der linken Ungleichung folgt die Notwendigkeit, aus der rechten die Hinlänglichkeit.

•

Folgerung aus Satz 2.19: Sind (zn> und (W n>zwei konvergente komplexe Folgen mit den Grenzwerten

Z

und w, so sind

aufgrund von Satz 2.19 auch (zn+wn>' (zn·wn> bzw. (falls zn*O für alle n und z*O) (::) konvergente Folgen mit den Grenzwerten

W

Z

+ w, Z·w bzw.-. z

Beispiel 2.58 Aufgrund von Satz 2.19 ist die Folge

( konvergent gegen den Grenzwert 1 + 2j.

n+1 n

2nj ) n+1 2n wegen lim - - = 1 undIim - - = 2 n+3 n~ 00 n n~ 00 n + 3

--+--

2.2 Potenzreihen

161

Beispiel 2.59

n-l

Wir betrachten die geometrische Reihe I qn mit qEC. Aus Zn = I qk und qZn = I qk folgt n=O k=O k= 1 durch Subtraktion: (1 - q)zn = 1 - qn,

1- qn ..

d.h. Zn = - - fur alle qEC\ {O, 1}. 1-q

Ist Iql < 1, so ist wegen Iqnl = Iqln die Folge< qn >konvergent gegen Null. Aufgrund der Folgerung 00 1 zu Satz 2.19 folgt also I qn = - - für alle qEC mit Iql < 1. n=O 1- q Ist Iq 1 > 1, so ist die Folge< Iqn I> = < I q In> nicht beschränkt, also divergent und daher auch die 00

I

geometrische Reihe

00

qn. Da auch bei komplexen Reihen

n=O

I

n=l

Cn (mit CnEC) die Bedingung

lim Cn = 0 für die Konvergenz notwendig ist, ist die geometrische Reihe

n-+oo

I

n=O

qn auch für Iq I = 1

divergent. Zusammenfassend gilt also: 00

I

n=

qn=

°

{_1_

1- q divergent

für alle qEC mit Iql
IR heißt auf Ca, b] stückweise stetig, wennfauf Ca, b] bis auf endlich viele SprungsteIlen stetig ist. Sie heißt auf [a, b] stückweise glatt, wenn fund

l' auf [a, b] stückweise stetig sind.

In Bild 2.18 sind die Graphen einiger auf [ - n, n] stückweise glatten Funktionen dargestellt.

fIx)

fIx)

Bild 2.18: Stückweise glatte Funktionen

Es gilt folgender Satz 2.21

Bemerkungen:

1. Mitf(x

+ 0) bzw.j(x -

0) sind die Grenzwertelim f(t) bzw.lim f(t) bezeichnet. Istfalso an der tlx

tlx

Stelle xEIR insbesondere stetig, d.h.f(x + 0) = f(x - 0), so ist offensichtlich s(x) = f(x). In allen Stetigkeitspunkten vonfist daher der Wert der Fourier-Reihe vonfgleich dem Funktionswert. Wenn also f auf IR zusätzlich stetig ist, dann gilt: a f(x) = ---.2

2

00

+I

(an cos nx + bn sin nx)

für alle XE IR.

n= 1

2. Ratfin xEIR eine SprungsteIle, so nimmt die Fourier-Reihe vonfdort das arithmetische Mittel der einseitigen Grenzwerte an. 3. Die Bedingung, daß[auf [ - n, n] stückweise glatt ist, ist nur hinreichend. Es sind Funktionen bekannt, die nicht stückweise glatt sind, deren zugehörige Fourier-Reihen aber trotzdem konvergent sind. In der Praxis ist meist jedoch diese hinreichende Bedingung ausreichend.

172

2 Reihen

Mit Satz 2.21 haben wir nun die Möglichkeit, 2n-periodische Funktionen mit Hilfe ihrer zugehörigen Fourier-Reihe darzustellen, was ja zunächst auch unser Anliegen war. Teilsummen der zu ! gehörenden Fourier-Reihen werden in diesem Zusammenhang als Näherung von a a f benutzt, so heißt beispielsweise So = -.2. die o. Näherung, Sl (x) = -.2. + G l COS X + b l sin x die 1.

2

2

Näherung, allgemein . k sn(x) = -Go + ~ ~ (a k cos kx + bk SIn x)

2

k= 1

die n-te Näherung vonf.

2.3.2 Beispiele von Fourier-Reihen In diesem Abschnitt wollen wir die zugehörigen Fourier-Reihen von Funktionen berechnen, die häufig in der Praxis (hauptsächlich in der Elektrotechnik) auftreten. Da es sich dabei meist um sogenannte Zeitfunktionen handelt (d.h. die unabhängige Variable ist die Zeit), wollen wir in diesen Beispielen die unabhängige Veränderliche mit t bezeichnen. Beispiel 2.63 (Rechteckpuls) Es sei! die 2n-periodische Funktion mit

! (t) =

A A

2

o

für

Itl
S

dT

T

lassen sich durch

für alle nEZ

(2.58)

berechnen. Wird (2.58) in (2.57) eingesetzt, so ergibt sich 00

1

Tj2

T

-Tj2

I -

fT(t) =

n=-oo

S

. . fT(T)e-JnWrdTeJnwt

2n oder, wenn wir mit 2n erweitern und w = - beachten T Tj2 . 1 00 fT(t)=I w S fT(T)eJnw(t-r)dT. 2n n =_00 -Tj2

(2.59)

Wir zerlegen nun das Intervall (- 00, (0) äquidistant durch die Zerlegung Z: ... , - 2w, - w, 0, w, 2w,···; also durch die Zahlen W n = nw, nEZ. Jedes Intervall hat die Länge ~w = w n - w n - 1 = w. Das Feinheitsmaß 6 von Z ist daher 6 = w. Aus (2.59) folgt damit:

fT(t)=~

I (Tf fT(f)ejWnF*(w) = (F(w))*, dabei bedeutet der Stern die Bildung der konjugiert komplexen Zahl.

Nicht jede auf IR definierte Funktion besitzt eine Fourier-Transformierte. So hat z.B. die konstante Funktion keine Fourier-Transformierte. Das Integral Cf)

0

S ce - jwt dt = !im

S ce - jwt dt + lim S ce - jwt dt

R1--+-oo R

=c lim R,~-oo

R2 R2~OO

1

( 1 . 1°) _;--e- Jwt

JW

0

+c lim

R,

(1.

_;--e- Jwt

R,~oo

JW

IR2) °

existiert nicht, da e- jwR = cos(wR) - j sin(wR) für R ---> Cf) und R ---> - Cf) unbestimmt divergent ist. Der folgende Satz liefert eine hinreichende Bedingung für die Existenz der Fourier-Transformation. Satz 2.22

Beweis:

Für alle WEIR gilt: 00

00

00

00

I S f(t)e-jwtdtl.::; S If(t)e-jwtldt= S If(t)lle-jwtldt= S If(t)!dt0

I

für

-!

für t = O.

o

für t O. Dann heißt PT mit PT(t) == B(t + T) - B(t - T) der Rechteckimpuls. Mit a > 0 wird daraus ein Rechteckimpuls f mitf(t) == apT(t) für alle tE~. Dieser Rechteckimpuls hat die Dauer 2T und die Höhe a.

f ist gerade, wir können (2.66) verwenden. F(w) == 2a

Jcos wtdt == -2a sin wt IT == -2a sin Tw

T

w

o

0

für w # O.

W

T

Wegen F(O) == 2a

Jdt == 2aT ergibt sich o

2a sin T w F(w) ==

{

für w # 0 (2.68)

w

2aT

für w == 0

sin Tw Es ist lim F(w) == lim 2aT-- == 2aT, daraus folgt, F ist auf w~o w~o Tw

~

stetig. F ist eine gedämpfte

Sinusfunktion (Dämpfungsfaktor ~ ). Die Nullstellen liegen bei W k =

k;,k Z \ {O}. Der Graph E

von F ist in Bild 2.33 zu sehen.

w

-1

Bild 2.33: Spektraldichte des Rechteckimpulses (dabei ist T = 1,5 und a = 1)

2.4 Fourier-Transformation 2. Der Dreieckimpuls Es sei T > 0, dann heißt die Funktion qT mit qT(t) = ( 1

-li

191

)PT(t) Dreieckimpuls (vgl. Bild 2.34).

Da qT gerade ist, können wir (2.66) anwenden und erhalten für w # 0:

Jo (1 -~) cos wt dt = ~ sin wtl T w

QT(W) = 2

QT(W) =

2 sin Tw W

2 cos Tw Tw 2

Für w = 0 ergibt sich QT(O) = 4 sin 2 (~ W )

QT(W) =

_

0

~(CoS ~t + t sin wt) IT T

2 sin Tw W

2! (1-~ )dt =

w

w

0

2(1 - cos Tw) Tw 2

T, also

..

fur w # 0

- - - 2-

{

2

+ Tw 2 -

T

Tw

(2.69)

für w = o·

T

Wegen lim QT(W) = T ist QT auf IR stetig. Der Graph von QT ist in Bild 2.35 dargestellt. w~o

F(w)

T t

-1

Bild 2.34: Dreieckimpuls qT (mit T

=

3)

-1

w

Bild 2.35: Spektraldichte QT des Dreieckimpulses qT

3. Die ZeitfunktionJmitJ(t) = e- a1tl , aEIR+ Für die Fourier-Transformation F von! erhalten wir, da! gerade ist: R

00

F(w) = 2

Je-at

cos wt dt = 2lim

o =

R~oo

2

R~ooa

=

at

e

2 lim

- 2 ( - acos(wt) + WSin(wt))IR +W 0 e-aR

2 lim

R~oo (

2

a +w

Für alle a E ~ + gilt daher 2a

ff{e- a1tl } = a

2

Je-at cos wt dt 0

+ w2

.

2a

)

2(-

a

cos (wR) + w sin (wR)) +

2

a +W

2a 2 =

2

a +w

2·

192

2 Reihen

4. Die ZeitfunktionJmitJ(t) = e(t)e-at,aEIR+ Aufgrund der Definition der Fourier-Transformation ergibt sich:

a

JW

denn es ist (beachte a > 0) lim le -(a+ jw)RI R-co

= lim (I e -aR Ile - jwR I) = 0, da le - jwR 1= 1 für alle w, REIR. R-oc

In diesem Beispiel ist die Fourier-Transformierte eine komplexwertige Funktion. Die Amplitudendichte IF Iergibt sich zu 1 IF(w)l= -1- I = = Ia + jw la + jw I

Ja

1 2

+w2

.

2.4.3 Eigenschaften der Fourier-Transformation A) Die Linearität Die Fourier-Transformation ist linear. Satz 2.24 (Linearität)

Beispiel 2.69 Es soll die Fourier-Transformierte F der Funktion J mit

f(t) =

{

eat

für t < 0

1

für t = 0

o

für t > 0

(2.70)

berechnet werden, wobei a> 0 vorausgesetzt sei. Bezeichnen wir mit/; : t -7 Ir (t) = e- altl und}; : t -7 }; (t) = E(t) . e- at, so gilt offensichtlich J = Ir -};. Mit den Beispielen 3 und 4 des vorigen Abschnitts und mit Hilfe der !,.,inearität (Satz 2.24) folgt also F(w)=

2a 2

a +w

2

2.4 Fourier-Transformation

193

B) Der Vertauschungssatz

Die auf IR definierte Funktion u besitze die in Satz 2.23 geforderten Eigenschaften, U:w -> U(w) sei die Transformierte von u, also U = ff { u} bzw. U(w)= S u(t)e-jwtdt.

(2.71)

Dann ist u durch U darstellbar, und für alle 1 00 u(t) = - S U(w)ejwtdw. 2n - 00

tE IR

gilt: (2.72)

Es sei nun u* definiert durch u*:Wf->u*(w) = (u(w))*. Wegen (2.72) gilt also 1 00 u(w)=- S U(r)ejwTdr 2n _ 00

und daher

1 00 • u*(w)=- S U*(r)e-jWTdr, 2n - 00

(2.73)

wobei U* ähnlich wie u* definiert ist. Ersetzt man in (2.73) die Integrationsvariable r durch t und multipliziert mit 2n, so sieht man, daß 2nu* die Transformierte von U* ist. Damit ist folgender Satz bewiesen. Satz 2.25 (Vertauschungssatz)

Bemerkungen:

1 - f f {U*}. 2n 2. Ist u reell und gerade, also U ebenfalls reell, dann lautet der Vertauschungssatz 1. Kurz lautet der Vertauschungssatz: U

U

=

=

ff{ u} =u*

=

1 ff{u}=u =-ff{U}. 2n

3. Oft wird die Fourier-Transformation in Abhängigkeit der Frequenz fanstatt der Kreisfrequenz w dargestellt. Wegen w = 2nf ist dies nicht nur eine Umbenennung der Variablen, sondern eine Variablentransformation. Die Fourier-Transformation lautet dann U(f)

S

=

u(t)e - j2rrft dt

(2.74)

-00

und die Umkehrtransformation (beachte dw = 2n df)

S

u(t) =

U(f)ej2rrft df.

(2.75)

In diesem Fall lautet der Vertauschungssatz: Wenn U die F ourier-Transformierte von u ist, dann ist u* die Fourier-Transformierte von U*, oder U(f)

=

ff{u(t)}=u(f)

=

ff{U(t)},

falls u gerade.

In dieser Form wird der Name dieses Satzes besonders deutlich.

2 Reihen

194

Es sei noch darauf hingewiesen, daß (2.74) zusammen mit (2.75) eine andere Definition der FourierTransformation bedeutet. Beispiel 2.70 1

Der Rechteckimpuls U T = -PT hat nach (2.68) die Fourier-Transformierte 2T

F(w) =

sin Tw - - für w#O Tw { 1 für w = O·

Beide Funktionen sind reell daher:

n

TPT(w) = g;

(u~ = U T

und Ut

=

U T ), mit dem Vertauschungssatz (Satz 2.25) folgt

{sin Tt}

---rt '

oder, wenn beachtet wird, daß die Zeitfunktion gerade ist, d.h. die Eigenschaft (2.66) verwendet werden kann n für IwlT

0

Bemerkenswert an diesem Ergebnis ist die Lösung eines uneigentlichen Integrals, dessen Integrand keine elementare Stammfunktion besitzt. Mit der klassischen Methode (Aufsuchen einer Stammfunktion des Integranden) kann die Fourier-Transformierte der Zeitfunktion f mit sin Tt f(t) = - - nicht berechnet werden. Tt Beispiel 2.71 Die Funktion U sei der Dreieckimpuls mit U(t) = (1 -I tl) (E(t + 1) - E(t - 1)). Setzen wir T = 1 in (2.69), so erhalten wir für die F ourier-Transformierte

_{(Si:~)2

U(w)-

[ürw#O

2

1

•

für w=O

Wiederum sind beide Funktionen reell. Mit dem Vertauschungssatz (Satz 2.25) folgt $> {

Ci;1r}

= 2n(1

-I WI)(8(W + 1) -

8(W - 1)),

oder, wenn wir die Definition der Fourier-Transformation verwenden und wie oben beachten, daß die Zeitfunktion gerade ist

)2

(Sin 1 --- coswtdt= S o 1

ClJ

{n(l- lwl) 0

für Iwl< 1 . für Iwl~l

2.4 Fourier-Transformation Für w

=

195

0 ergibt sich daraus, wenn wir 2x = t (2dx = dt) setzen:

C) Der Zeitverschiebungssatz

Es sei toE IR und f eine auf IR definierte Funktion, die Fourier-transformierbar sei. Die Funktion 9 entstehe aus f durch Zeitverschiebung um t o, also g(t) = f(t - t o) für alle tEIR. Es soll die Fourier-Transformierte G = :F {g} der Zeitfunktion 9 bestimmt werden.

-00

-00

Mit Hilfe der Substitution t - t o = T, also dt

-00

wobei F

=

=

dT ergibt sich

-00

:F {f} ist. Damit haben wir folgenden Satz bewiesen.

Satz 2.26 (Zeitverschiebungssatz)

Bemerkungen: 1. In Kurzform lautet der Zeitverschiebungssatz:

:F(f(t)}

= F(w)=:F{f(t - to)} = e- jtoWF(w).

2. Der Satz besagt, daß einer Verschiebung im Zeitbereich eine Multiplikation mit e- jtow im Frequenzbereich entspricht. 3. Wegen le-jtowl = 1 für alle w, toEIR gilt für die Amplitudendichte [GI = [FI, eine reine Zeitverschiebung ändert sie also nicht. Beispiel 2.72 Die Fourier-Transformierte des Rechteckimpulses 9 mit g(t) = a(8(t) - 8(t - 2T)) soll berechnet werden. Bezeichnen wir mit f die im ersten Beispiel vorgestellte Funktion, also f(t) = apT(t), so gilt g(t) = f(t - T) für alle tEIR. Mit (2.68) und dem Zeitverschiebungssatz (Satz 2.26) folgt 2ae-jTWSinTw G(w)=

{

für w=l=O

w

2aT

für w =0

196

2 Reihen

D) Der Frequenzverschiebungssatz

Den mathematischen Hintergrund eines in der Praxis häufig angewandten Verfahrens liefert der folgende Satz 2.27 (Frequenzverschiebungssatz)

Beweis: Für alle

W E IR;

gilt

-00

-00

-00

Bemerkung: In Kurzform lautet der Frequenzverschiebungssatz: ~U(t)} = F(w)=>~{ejWotf(t)} = F(w ~wo).

Physikalische Interpretation des Frequenzverschiebungssatzes. Es sei g die im obigen Satz definierte Funktion. Wegen Re(g(t)) = Re(ejwotf(t)) =f(t)cos(wot) kann g als ein durch f amplitudenmoduliertes Signal mit der Trägerfrequenz Wo interpretiert werden. Der Frequenzverschiebungssatz besagt nun, daß durch die Amplitudenmodulation der Trägerfrequenz die Spektraldichte bzw. die Amplitudendichte des Signals f um Wo verschoben wird. Eine technische Realisierung ist in Bild 2.36 zu sehen. Darin ist U N das Nachrichtensignal und UTR der zu modulierende Träger mit der Kreisfrequenz WTR ' d.h. uTR(t) = UTR cos wTRt = i 0 TR(e jwTRt + e - jwTRt).

!

Multiplizierer

1_1 UTR (t)

Bild 2.36: Amplitudenmodulation

!


197

Verwendet man verschiedene Trägerfrequenzen W TRi ' W TR2 ' ... ' W TRn ' die genügend weit auseinander liegen, so werden die Spektraldichten der durch das Signal modulierten Trägerfrequenzen entzerrt. Werden insbesondere die Nachrichtensignale UNi' u N2 , •.• , u Nn zuvor auf einen Tiefpaß mit der Sperrfrequenz Ws < -k IW TRi - ~TR21 geschaltet, so beeinflussen sich die Spektren der modulierten Signale nicht, d.h. auf einer Ubertragungsleitung lassen sich mehrere Signale gleichzeitig übertragen (z.B. mehrere Telefongespräche über eine Leitung bei der Telecom). Die Bandbreite Ws der zu übermittelnden Nachricht, die meist technisch bedingt ist, bestimmt den Abstand der einzelnen Trägerfrequenzen. Mit Hilfe von Bandpaßfiltern lassen sich am Ende der Übertragungsleitung die einzelnen Nachrichtensignale wieder trennen. Beispiel 2.73 Die Fourier-Transformierte der (komplexwertigen) Funktion/ mit /(t) = PT(t)e jroot , wobei T> 0

soll berechnet werden. Aufgrund des Frequenzverschiebungssatzes (Satz 2.27) und wegen (2.68) erhalten wir

_{2a sin(T(w - wo)) F(w) -

W -

für w =1= Wo

Wo

für

2aT

W

= Wo

E) Der Faltungssatz

Wenn während der Zeit von T = 0 bis T = t gewisse Ursachen, sagen wir /l(T), wirken, so wird der t

t

"Effekt" durch das Integral S/l(T) dT gegeben (beispielsweise die Ladung q(t) = Si(T) dT, wenn mit o

0

i(t) die Stromstärke bezeichnet wird). Wenn jedoch jede Ursache mit einem Gewichtsfaktor /2 zu versehen ist, der von der Zeitspanne zwischen dem Zeitpunkt T ihres Auftretens und dem Zeitpunkt t der Beobachtung, also von t - T abhängt, so wird der Effekt durch das Integral t

S/1(T)/2(t - T) dT gegeben. o

Definition 2.14

Die Funktionen/i und/2 seien auf ~ absolut integrierbar. Dann heißt die Funktion/mit

-00

die Faltung von /1 und

/2' Schreibweise:/ =/1 */2

Bemerkungen: 1. Wird die T-Achse in der Mitte zwischen 0 und t gefaltet, so liegt der Punkt t - Tl auf Tl' daher der Name "Faltung". 2. Wird mit g:T~g(T) die auf ~ definierte Funktion mit g(T) = /2(t - T) für alle T, tE~ bezeichnet, so erhält man wegen g(T) = /2(t - T) =/2 (- (r-t)) = /2( - u) den Graphen von g aus/2, indem

198

2 Reihen

man zunächst den Graphen von f2 an der Ordinatenachse spiegelt und anschließend um t vorzeichenbehaftet (d.h. nach links, falls t < 0, andernfalls nach rechts) verschiebt. Die Faltung ist kommutativ und assoziativ, d.h. für alle auf IR absolut integrierbaren Funktionen fl,f2 undf3 gilt: f1 * f2 = f2 * f1

und fl *(f2 *f3) = (fl *f2)*f3·

Exemplarisch soll nur die Kommutativität bewiesen werden: 00

Es seif = fl *f2' dann giltf(t) = S fl(r)f2(t - r)dr. Mit u = t - r, also r = t - u, dr = - du folgt: -00 00

-00

•

S f2(U)f1(t - u) du = S f2(U)fl(t - u) du = (f2 *fl) (t).

f(t) = -

Da bei der F ourier-Transformation häufig Impulsfunktionen auftreten, soll zunächst eine Darstellung für die Faltung einiger spezieller Funktionen angegeben werden. Es sei Tl' T 2E IR und fl (t) f = fl *f2 bezeichnet wird: f(t) =

=

0 für alle t< Tl und f2(t) = 0 für alle t< T 2, dann gilt, wenn mit

{t-r !1(r)!Z(t - T)dT

für t> Tl

+ Tz

für t:::; Tl

+ T2

(2.76)

Tl

o

Als untere Grenze genügt Tl wegen f1. Wenn t - r < T2~r > t - T 2 ist, wird wegen f2 der Integrand Null. Daher genügt t - T 2 als obere Grenze. Ist die untere Grenze größer oder gleich der oberen, so wird das Integral Null; dies ist dann der Fall, wenn Tl 2:: t - T2~t:::; Tl + T 2 . Ebenso kann man zeigen: Wennf1(t) = 0 für alle t> Tl und f2(t) = 0 für alle t> T 2, dann gilt für die Faltungf = f1 * f2: Tl

S f1(r)f2(t - r) dr

f(t) =

t-

{

für t< Tl

+ T2

für t ~ Tl

+ T2

T2

o

(2.77)

Es sei nunh ein Rechteckimpuls, also f2(t) = c;(t - Tl) - c;(t - T 2) wobei Tl < T 2 vorausgesetzt sei. Istf1 eine auf IR absolut integrierbare Funktion, dann gilt für die Faltungf = fl *f2: t-Tl

f(t) =

S

(2.78)

fl(r)dr.

Wählen wir den Rechteckimpuls PT mit T> 0, so ergibt sich aus (2.78) (wegen Tl = - T und T 2 = T): t+T

(f *PT)(t) = S f(r) dr für alle auf IR absolut integrierbaren Funktionen f. t-T

Beispiel 2.74 Die c;-Funktion soll mit dem Rechteckimpuls PT gefaltet werden. t+T

Mit (2.79) erhalten wir (c;* PT)(t) =

S t-T

c;(r) dr.

(2.79)


199

Ist die obere Grenze (t + T) kleiner als Null, so ist das Ergebnis des Integrals Null. Ist t - T < 0 und t + T> 0 d.h. Itl < T, so genügt als untere Grenze Null, der Integrand ist die konstante Funktion 1, also hat die Faltung den Wert t + T. Ist die untere Grenze größer als Null, d.h. t> T, dann ist der Wert des Integrals 2 T. Damit ergibt sich: (B * PT) (t) =

o t+T

{ 2T

fürt~-T

für Itl < T . für t 2 T

Beispiel 2.75 Faltung f zweier Rechteckimpulse PT und PT 2. t+T Wir erhalten mit (2.79): f(t) = S PT2(r) d'L t-T Die Faltung ist kommutativ, ohne Einschränkung der Allgemeinheit kann daher Tl 2 T 2(Tl , T 2E[R+) vorausgesetzt werden. l

l

l

Fallunterscheidung: e T 2t > Tl

f(t) = o. ß) Die untere Integrationsgrenze ist zwischen - T 2 und T2 , d.h. - T 2 ~ t - Tl ~ T 2 Tl - T 2 ~ t ~ Tl + T 2, dann folgt, da Tl 2 T 2 ist

+ T 2, dann

ist

T2

S PT 2(r)dr=Tl +T2 -t.

f(t)=

t-T

l

y) Die untere Integrationsgrenze ist kleiner als - Tb die obere jedoch größer als T 2 (dies ist möglich, da Tl 2 T 2 ist), d.h. - (Tl - T 2) < t < Tl - T 2. Das Integral liefert dann den Flächeninhalt unter PT also f(t) = 2T2 • 2

'

Die Faltung zweier gerader Funktionen ergibt wieder eine gerade, somit erhalten wir für f:

o f(t)=

{

für Itl> Tl + T 2 -t+Tl +T2 f~r Tl-T2~ltl~Tl+T2. 2T2 fur Itl< Tl - T 2

Der Graph vonfist offensichtlich ein Trapez. Beispiel 2.76 1 Die Funktionf mitf(t) = - - 2 soll mit dem Rechteckimpuls gefaltet werden. l+t

Mit (2.79) erhalten wir: t+T 1 2T (f *PT)(t) = S - - 2 dr = arctan(t + T) - arctan(t - T) = arctan 2 2' falls 0 < T < 1. t-T1+r t +l-T

Die Einschränkung 0 < T < 1 ist nur für den letzten Term nötig.

200

2 Reihen

Satz 2.28 (Faltungssatz)

Bemerkung: Der Faltungssatz besagt, daß einer Multiplikation im Frequenzbereich eine Faltung im Zeitbereich entspricht. Beispiel 2.77 Gesucht ist die Zeitfunktionf, deren Fourier-Transformierte F gegeben sei durch F(w)

4sin 3 Tw =

Tw

3

,T>O.

F kann als Produkt von F 1 und F 2 geschrieben werden mit F 1 (w)

=

2 sin Tw

w

und F 2 (w) =

2 sin 2 Tw

Tw

2

Nach (2.68) und (2.69) lauten die zugehörigen Zeitfunktionen:

fl(t) = PT(t) undf2(t) =

(I

l

It ) (e(t - 2T

+ 2T) -

e(t - 2T)).

Also ist die gesuchte Zeitfunktion aufgrund des Faltungssatzes (Satz 2.28) gegeben durch f =f1 * f2' Wir verwenden die Beziehung (2.79):

f(t)=

t+T( J 1 -ITI) - (e(T+2T)-e(T~2T))dT. t-T 2T

(2.80)

Da F eine reelle Funktion ist, ist nach einer Bemerkung zur Eigenschaft (2.66) die Zeitfunktion gerade, es genügt daher die Berechnung für t> O. Wie man sieht, ist der Integrand Null für T::S: - 2T oder T ~ 2T (vgl. Bild 2.32). Ist also die obere Grenze kleiner als - 2T (also t + T::s: - 2T) oder die untere größer als 2T (also t - T ~ 2T), so ist das Integral Null. Daher ist

f

f(t)

=

0 für alle t mit

Itl ~ 3T.

Um das Intgeral (2.80) zu berechnen machen wir eine Fallunterscheidung. oe) T::s: t ::S: 3 T: Aus T::s: t folgt für die obere Grenze des Integrals (2.80) t + T ~ 2T, für T ~ 2T ist der Integrand jedoch Null, also genügt als obere Grenze 2T. Für die untere Grenze gilt: t - T ~ 0, d.h. T ~ 0, die Betragsstriche in (2.80) können daher weggelassen werden. Wir erhalten:

f(t)=

J

2T

t-T

1

2

2 (

1 -T- ) dT= ( T -T- ) 2T 4T

= 4T(t - 3T)2 für alle t mit

It -

1

T

t-T

2 -(t_T)2) 1 =2T-t+T--(4T 4T

2TI::s: T.


201

ß) -T< t< T:

Das Integrationsintervall enthält in diesem Fall immer die Null, die Aufspaltung in zwei Integrale (Intervalladditivität) ist sinnvoll: f(t)=

s

t-T

(1+~)d'l:+tST(I_~)dT=(T+~)IO +(T_~)lt+T 2T

2T

0

4T t-T

4T

0

.3 t2 = -T - - für alle t mit Itl < T. 2 2T Da, wie oben bereits erwähnt,j gerade ist ergibt sich: 3

j(t)=

t2

- T- 2 2T

für Itl < T

_1 (ltl-3T)2 4T

für

o

für Itl > 3T

IItl-2TI~T

(2.81)

j ist als Integralfunktion auf IR stetig. Man kann rasch zeigen, daßjauch auf IR differenzierbar ist, so gilt z.B.j'(T) = - 1 undj'(3T) = O. In Bild 2.37 ist der Graph vonj dargestellt. J(t)

T

-3T

-1

T

3T

-1

Bild 2.37: Der Graph der Funktion f von (2.81)

Aufgaben 1. Berechnen Sie die Fourier-Transformierten F der folgenden Funktionen/.

a) f{t)

=

(1 - t 2 )(8{t + 1) - 8{t - 1));

c) f(t) = (e(t +

~) - e( t -~) )cos t;

b) f(t)

=

(1

-I t 3 1){8{t + 1) - 8{t - 1));

d) f(t) = (e(t

+ n) -

e(t - n))lsin tl.

2. Im Zeitbereich ist die Funktionfdurch

gegeben. a) Berechnen Sie die Fourier-Transformierte F:w~F{w) vonf und zeigen Sie, daß F auf [R stetig ist. b) Mit Hilfe des Vertauschungssatzes ist eine weitere Korrespondenz anzugeben g ~ G, wobei die Zeitfunktion g durch g = F* zu wählen ist.

202

2 Reihen

c) Aufgrund der Korrespondenz in b) ist der Wert des nachstehenden uneigentlichen Integrals anzugeben TC . TC cos - t - t SIn - t 4 4 - - - - -2- d t . 1- t 3. Es sei a,bE[R+ undfa eine auf [R definierte Funktion mit b { bel-altl

fit) =

a) Wie ist

bE[R+

b) Für b =

für für

tl :::; ~ ~ < Itl 1

zu wählen, damit S fa(t)dt

=

1 für alle

aE[R+

gilt?

a

- ist die Fourier-Transformierte Fa von fa zu berechnen. Zeigen Sie, daß Fa auf [R stetig ist. 4 c) Mit Hilfe des Vertauschungssatzes ist eine weitere Korrespondenz g 0 - . G anzugeben, wobei die Zeitfunktion 9 durch 9 = F: zu wählen ist. Berechnen Sie daraus den Wert des uneigentlichen Integrals

t cos t + sin t - - - - -2 d t . t(l + t )

Ws

o

4. Im Zeitbereich ist die Impulsfunktionf durch f(t) = (e(t + 2) - e(t - 2))(1-lltl- 11)

gegeben. a) Berechnen Sie die Fourier-Transformierte F vonf, und untersuchen Sie F auf Stetigkeit. b) Mit Hilfe des Vertauschungssatzes und aufgrund des Ergebnisses in Teil a) dieser Aufgabe ist eine weitere Korrespondenz anzugeben. Folgern Sie hieraus cos 2 t(l - cos t) _ ~ 2 dt - . o t 4

Ws

5. Es sei a, f (t)

TE[R+

=

undfeine im Zeitbereich durch

a(e(t + T) - e(t - T)) It I,

tE [R

gegebene Funktion. a) Berechnen Sie die Fourier-Transformierte F:WHF(w) von f und zeigen Sie, daß F auf [R stetig ist. b) Mit Hilfe des Vertauschungssatzes ist eine weitere Korrespondenz anzugeben g 0--- G, wobei die Zeitfunktion g durch g = F* zu wählen ist. . c) Aufgrund der Korrespondenz in b) ist der Wert des nachstehenden uneigentlichen Integrals anzugeben 00

S o

cos Tt + Tt sin Tt - 1 2

t

cos wt dt für alle w E [R und alle

00

Berechnen Sie hieraus S o

(cos Tt + Tt sin Tt - 1) cos Tt 2

t

TE [R + .

dt.

6. Es sei Q > 0 und F:WHF(w) die Spektraldichte der Zeitfunktionf:tHf(t). Das Spektrum F werde durch eine Impulsfunktion rn beschnitten, d.h. es ist F n = F·r n . Bestimmen Sie die Zeitfunktionfn = g;-I(Fn ) für folgende Impulsfunktionen. a) Der Rechteckimpuls r n = Pn mit Pn(w) = e(w + Q) - e(w - Q). Folgern Sie hierausfn = f *6 n, wobei 6n der sinQt Fouriersche Kern 6n(t) = --ist. TCt b) Der Dreieckimpuls r" = q" mit q" (w) =

!( 1_1~1 )<S(W +

Qt 2

sin 2 wobei en der Fejersche Kern en(t) = - - 2 - ist. TCQt

0) - s(w - 0)). Folgern Sie hieraus f o = f*so,

3

Funktionen mehrerer Variablen

Die kinetische Energie E eines Körpers hängt von seiner Masse m und seiner Geschwindigkeit v ab, E ist eine Funktion der zwei Variablen m und v, es gilt E = 1mv2. Wenn der Körper zusätzlich eine Rotationsbewegung um eine feste Achse ausführt, so hängt E ferner von der Winkelgeschwindigkeit w und dem Trägheitsmoment J des Körpers bez. dieser Achse ab. E ist dann eine Funktion der vier Veränderlichen m, v, wund J. Im folgenden werden wir Funktionen von zwei oder mehr Veränderlichen untersuchen und Teile der Differential- und Integralrechnung auf sie übertragen.

3.1 Grundbegriffe: n-dimensionaler Raum, Stetigkeit Folgende Begriffe treten beim Aufbau der Differential- und Integral-Rechnung auf: Teilmengen in ~, insbesondere Umgebungen einer Zahl. Teilmengen, insbesondere offene und abgeschlossene Intervalle begegnen uns als Definitions- und Integrationsbereiche, Umgebungen spielen beim Grenzwertbegriff eine entscheidende Rolle. Diese Begriffe werden nun verallgemeinert.

3.1.1 Die Ebene

Wir legen in der Ebene ein rechtwinkliges Koordinatensystem zugrunde.

Definition 3.1

Unter dem zweidimensionalen Raum ~2 versteht man die Menge aller geordneten Paare reeller Zahlen. Seine Elemente heißen Punkte. Kurz: ~2 = {(X,Y)IXE~ und YE~}. Um eine formale Ähnlichkeit zwischen Funktionen einer und solchen mehrerer Variablen zu erhalten, verwenden wir auch hier Betragsstriche im Zusammenhang mit Abständen. Dazu sei daran erinnert, daß der Betrag einer Zahl x ihr Abstand vom Nullpunkt ist und daß Ix - Yl der Abstand der Zahlen x und y (der Punkte auf der Zahlengeraden) voneinander ist. Diese Bezeichnungen übernehmen wir für die entsprechenden Begriffe und bezeichnen mit IP - QI den Abstand der Punkte P und Qvoneinander. Wenn P = (a, b) und Q = (c, d) ist, so gilt nach dem Satz von Pythagoras

IP - QI = J(a und es ist IP I =

Ja

2

C)2

+ (b -

d)2,

+ b2 der Abstand des Punktes P vom Nullpunkt (0,0), vgl. Bild 3.1.

(3.1)

204

3 Funktionen mehrerer Variablen

y Q

d

\p... O\

---------~ I

b

I

I I I

c

Q

x

Bild 3.1: Punkte in der Ebene und ihr Abstand

Definition 3.2 Es sei

PoE[R2

und e > O. Die Menge Uc(Po) = {PIPE[R2

und

IP - Pol< e}

(3.2)

heißt die (offene) E-Umgebung des Punktes Po, kurz eine Umgebung von Po. Bemerkungen:

1. D;;(Po) ist eine Kreisscheibe mit dem Mittelpunkt Po vom Radius e, deren Rand, die Kreislinie, nicht zu Uc(Po) gehört (vgl. Bild 3.2). Sind P = (x, y) und Po = (a, b), so ist die Ungleichung IP - Po I< e gleichwertig mit (x - a)2 + (y - b)2 < e2. 2. Aus 0 < e' < e folgt offenbar D;;,(P) c D;;(P).

y

x Bild 3.2: Die offene

8- Umgebung

von Pa

Definition 3.3 Es sei D c

[R2.

Der Punkt PE[R2 heißt

a) innerer Punkt von D, wenn es eine Umgebung D;;(P) gibt, die in D liegt, für die also D;;(P) cD gilt; b) Randpunkt von D, wenn in jeder Umgebung D;;(P) sowohl ein Punkt von D als auch ein Punkt von [R2\D liegt, d.h. wenn für jedes e > 0 sowohl D;;(P) (lD -# ep als auch ~(P) (\ ([R2 \D) -# ep gilt.

3.1 Grundbegriffe: n-dimensionaler Raum, Stetigkeit

205

Bemerkungen: 1. Wenn P innerer Punkt von D ist, so gibt es sogar unendlich viele Umgebungen von P, die in D liegen, denn mit ~(P) liegt auch jede Umgebung ~,(P) in D, wenn 0 < c' < c. 2. Ist P innerer Punkt von D, so ist P nicht Randpunkt von D, ist P Randpunkt von D, so ist P nicht innerer Punkt von D. 3. Wenn P innerer Punkt von D ist, so gilt PED. Wenn P Randpunkt von D ist, so kann PED oder P~D gelten.

Definition 3.4 Die Menge D c ~2 heißt offen, wenn jeder Punkt PED innerer Punkt von D ist. D heißt abgeschlossen, wenn ~2 \ D offen ist. Die Menge aller Randpunkte von D heißt der Rand von D.

Bemerkungen: 1. Wenn D offen ist, so ist ~2 \D abgeschlossen. 2. [R2 und c/J sind sowohl offen als auch abgeschlossen. Dies sind allerdings auch die einzigen Mengen in ~2, die offen und abgeschlossen sind. 3. Es gibt Mengen, die weder offen noch abgeschlossen sind (z.B. die Menge D 3 aus dem folgenden Beispiel). 4. Liegt jeder Randpunkt von D in D, so ist D abgeschlossen und umgekehrt. D ist daher genau dann abgeschlossen, wenn der Rand von D Teilmenge von D ist.

Beispiel 3.1 Es seien D 1 ={(x,Y)11<x 0 ist. Diese Gleichung beschreibt eine

~~

226


Kugelfläche vom Radius

~ und dem Mittelpunkt (2, -

3,0). Im Falle c

~ 0 ist die»Niveau-

fläche« die leere Menge.

3.1.4 Stetige Funktionen mehrerer Variablen Im folgenden bezeichneDf den Definitionsbereich der Funktion f, dabei sei, wenn nichts anderes vorausgesetzt wird, stets 0 -# Df C ~n. Sind fund g Funktionen und ist CE~, so sind die Summe f + g, das Produkt f·g und die Funktion c· f wie im Falle der Funktionen einer Variablen definiert. Entsprechend wird der Quotient!... definiert. g Definition 3.14 Es sei g eine auf D C ~ definierte Funktion und f eine auf D f C ~n definierte Funktion, für deren Wertevorrat Uj = {zE~1 es gibt ein PEDf mit z = f(P)} gilt: Uj c D. Dann bezeichnet go f die auf Df durch P!---+g(f(P)) definierte Funktion. Bemerkung: Wenn gof definiert ist, ist fog nicht definiert, da der Wertevorrat von g eine Teilmenge von und nicht von ~n(n > 1).

~

ist

Beispiel 3.20 Ist f(P)

=

f(x, y, z) = x 2

g(f(P)) =

j

+ 3e x . jy und g(t) = jt· sint, so wird

f(P)·sinf(P) = Jx 2 + 3ex ·JY·sin(x 2 + 3e x .jy).

Definition 3.15 Die auf D definierte Funktion f heißt auf D beschränkt, wenn es eine Zahl A gibt, so daß für alle PED gilt If(P) I ~ A.

Beispiel 3.21 Die durch f(x, y) = sin(x + e Y ) definierte Funktion f ist auf ~2 beschränkt, da für alle (x, y)E ~2 gilt If(x,y)1 ~ 1. Die durch f(x, y, z) = (x 2 + y2 + Z2)-2 definierte Funktion ist auf D = {(x, y, Z)E~31 x 2 + y2 + Z2 > 10} beschränkt, da für alle PED gilt If(P) I ~ l~O. X

'

Die folgende Definition des Begriffes der Stetigkeit ist eine Verallgemeinerung der Bemerkung 4. zur Definition 4.8 aus Band 1:

3.1 Grundbegriffe: n-dimensionaler Raum, Stetigkeit

227

Definition 3.16

Die Funktion f sei auf Df definiert und PoEDf . f heißt stetig im Punkte Po, wenn es zu jedem B> 0 eine Zahl 0 gibt, so daß für alle Punkte PEUlJ(Po)nDf gilt: If(P) - f(Po) I < B. f heißt in 11 stetig, wenn f in jedem Punkt Po E Df stetig ist. Bemerkungen:

1. Da PE~(Po)nDf genau dann gilt, wenn PEDf und IP-Pol 0; wenn x ~ 0

eY -1 d) f(x,y) =

-2--2'

x +y { 0,

wenn (x, y) #- (0,0) wenn x = y = o.

6. Wie lautet die Gleichung der Fläche, die entsteht, wenn die Kurve mit der Gleichung z = lnx für x > 0 um die z-Achse rotiert? 7. Es sei 9 eine auf dem Intervall Ca, bJ c fR + definierte stetige Funktion. Die durch die Gleichung z = g(x) in der x, zEbene beschriebene Kurve rotiere um die z-Achse. Beweisen Sie, daß die entstehende Fläche das Schaubild einer stetigen Funktion fist.

3.2 Differentialrechnung der Funktionen mehrerer Variablen 3.2.1 Partielle Ableitungen

Zur Erläuterung der folgenden Begriffe beginnen wir mit Beispiel 3.33 Wir betrachten die Funktion f mit f(x,y)=(x-2)2+2y (s. auch Beispiel 3.14). Wir wollen Steigungen der durch z = f(x, y) definierten Fläche F etwa im Flächenpunkt (1,2, f(1, 2)) = (1,2, 5) bestimmen, d.h. das Steigungsverhalten der durch die Funktion f definierten Fläche über Pa = (1,2) untersuchen. Die Frage: »Welche Steigung hat die Fläche F an der Stelle (1,2, 5)?« ist sinnlos, denn offensichtlich hängt die Steigung von der Richtung ab, in der man sich von (1,2,5) aus bewegt, s. Bild 3.37. Zwei dieser Richtungen aber spielen eine besondere Rolle: Die der x- und y-Achse. Sinnvoll ist demnach die Frage» Welche Steigung hat die Fläche im Punkt (1,2,5) in Richtung der x-Achse und welche in Richtung der y-Achse?«. Eine weitere wichtige Fragestellung ist diese: »In welcher Richtung ist der Anstieg der Fläche im Punkt (1, 2, 5) am größten, in welcher am kleinsten?«. Diese letzte Frage beantwortet Satz 3.15, die erste soll nun behandelt werden.

234


z= f(x,y)

---

z y

x Bild 3.37: Zur Definition der partiellen Ableitungen

Wir schneiden die Fläche F mit der durch y = 2 definierten Ebene, die parallel zur x, z-Ebene ist. Die Schnittkurve dieser Ebene mit der Fläche F hat in jedem ihrer Punkte dieselbe Steigung wie die Fläche in x-Richtung für y = 2. Die Gleichung dieser Schnittkurve ist z = l(x, 2) = g(x) = (x - 2)2 + 4, an der Stelle x = 1 hat diese die Steigung ~ 2, wie sich aus der Ableitung g'(x) = 2 '(x - 2) bei x = 1 ergibt. Die Fläche hat daher an der Stelle (1,2,5) in x-Richtung die Steigung - 2, d.h. 1 hat im Punkt Po = (1,2) die Steigung -2 in x-Richtung. Man sagt, - 2 sei die partielle Ableitung von 1 nach x im Punkt Po = (1, 2) und schreibt dafür fx(1, 2) = - 2. Die Steigung der Fläche in y- Richtung an der Stelle (1, 2, 5) erhält man durch Schnitt mit der durch x = 1 bestimmten Ebene, also aus der Ableitung der durch 1(1, y) = h(y) = (1- 2)2 + 2y definierten Funktion. Diese Ableitung hat für y = 2 den Wert 2, so daß die gesuchte Steigung den Wert 2 hat; die partielle Ableitung von 1 nach y im Punkt Po = (1, 2) ist 2. Als Schreibweise ist .1;,(1,2) = 2 üblich.

Definition 3.18

Es sei 1 eine auf der offenen Menge D c [R2 definierte Funktion und Po = (x o, Yo)ED. 1 heißt im Punkte Po nach der ersten Variablen x partiell differenzierbar, wenn die Funktion XI----> l(x, Yo) im Punkte X o differenzierbar ist. Deren Ableitung heißt dann die partielle Ableitung von 1 nach x im Punkte Po. Schreibweisen: 1x(Po)

=

1

8 (Po). 8x

3.2 Differentialrechnung der Funktionen mehrerer Variablen

235

z

I

I

yo+k

I

J- __ /

I /

---

/

/

--

/

~--

/ /

/

Bild 3.38: Zu den partiellen Ableitungen von f in

Po

Bemerkungen:

Ix liest man auch kurz» I partiell nach x« oder, wenn keine Mißverständnisse zu befürchten sind, » I nach x«. 2. Die Zahl Ix(Po) gibt die Änderung des Funktionswertes an der Stelle Po bei Änderung der Variablen x an, wobei die andere Variable die durch Po festgelegten Werte beibehält. 3. Man berechnet eine partielle Ableitung, indem man alle Variablen bis auf die, nach der differenziert werden soll, als Konstante betrachtet und dann nach dieser einen Veränderlichen im gewöhnlichen Sinne differenziert. Es ist also (s. auch Bild 3.38) 1.

(3.17)

4. Die partielle Ableitung von

-1·

I y(x o, Yo ) -

1m

k--">O

I

nach y ist analog definiert. Hier gilt dann (s. auch Bild 3.38)

I(x o,Yo + k) - I(x o, Yo) . k

Die folgende Definition verallgemeinert diesen Begriff auf Funktionen von n Variablen:

(3.18)

236


Definition 3.19

Es sei f eine auf der offenen Menge D c !Rn definierte Funktion, Pa = (U 1 , U 2 , . .. , un)ED. heißt im Punkte Po nach Xi (1 ~ i ~ n) partiell differenzierbar, wenn die Funktion

f

an der Stelle

Ui

Ableitung von

f

differenzierbar ist. Ihre Ableitung an der Stelle nach Xi im Punkte Pa.

Schreibweisen: !x(Po) = t

Ui

heißt dann die partielle

a! (Po). oX i

Beispiel 3.34 Man berechne die drei partiellen Ableitungen von f mit f(x, y, z) = sin 2 X + z·e Y • J~ + 23 an der Stelle Po = (1, 1,5) und an der Stelle P = (x, y, z). Um fx(P) zu berechnen, hat man y und z als Konstante zu betrachten und in gewöhnlichem Sinne nach x zu differenzieren: . fx(P) = 2·slnx·cosx + z·eY •

1 J-. 2 x

Entsprechend erhält man die beiden partiellen Ableitungen:

fy(P) = z·eY • J~

fz(P) = eY • J~.

und

An der Stelle (1, 1,5) bekommt man hierfür:

fx(l, 1,5) = 2·sin l·cosl

+ 5·ei = 7,705 ...

h(l, 1,5) = 5e = 13,591 ...

fz(l, 1,5) = e = 2,718 ... Ändert man genau eine der drei Veränderlichen x, y oder z ausgehend von der Stelle (1, 1,5), so erfährt der Funktionswert die größte Änderung, wenn y geändert wird, denn h (Po) ist die größte der drei Zahlen fx (Po), h (Po) und fz (Po)· Die kleinste Änderung erfährt der Funktionswert bei Änderung von z, der kleinsten unter jenen drei partiellen Ableitungen in Po. Im Punkte (1, 1,5) hat die Variable y den größten, die Variable z den kleinsten Einfluß auf den Funktionswert. Beispiel 3.35 Es sei

xy f(x, y) = x 2 + y2' { 0,

wenn (x, y) # (0,0) wenn (x, y)

=

(0,0).

Diese Funktion f ist im Punkte (0,0) nicht stetig (vgl. Beispiel 3.26), ihre beiden partiellen Ableitungen existieren trotzdem in !R 2 , also auch in (0,0): y.(y2 _ x2) Wenn (x, y) # (0,0), erhält man durch Ableiten fx(x, y) = 2 2 2 . (x + Y )


237

Da für alle XE [R gilt f(x, 0) = 0, erhält man fx(O, 0) = 0. Die partielle Ableitung nach X lautet daher y.(y2 _ x2) f( x x,y ) -

{

(X 0,

2

+Y

22'

)

wenn (x,y) #(0,0) wenn (x, y) = (0,0),

sie existiert also in jedem Punkt PE [R2. Entsprechend bekommt man fy(x, y) =

{

x.(X2 _ y2) (x 2 + y2)2 '

wenn (x, y) # (0,0)

0,

wenn (x, y)

=

(0,0),

auch fy(x, y) existiert für alle Punkte (x, y)E[R2. Definition 3.20

Wenn die Funktion f auf der offenen Menge D c [Rn definiert ist und die partielle Ableitung nach Xi in jedem Punkt PED existiert, so nennt man die Funktion fXi: PI----t fXi(P), die auf D erklärt ist, die partielle Ableitung von/nach Xi. Definition 3.21

f sei eine auf der offenen Menge D c

[Rn definierte Funktion und dort nach Xi partiell differenzierbar. Wenn fXi in PE D nach x j partiell differenzierbar ist, so heißt diese Ableitung die zweite partielle Ableitung von f nach Xi' x j im Punkte P.

82 f Schreibweisen: fxox .(P) = - - (P). ox j 8x i 1

j

Bemerkungen:

02f 1. Man beachte in den Bezeichnungen fxox und - - die Reihenfolge von Xi und xi Zuerst wird 8x j 8x i nach Xb dann nach x j abgeleitet. Die Zahlen fXiXj(P) und fXjx/P) sind im allgemeinen nicht gleich. Der Satz von Schwarz, Satz 3.7 allerdings zeigt, daß unter recht schwachen Voraussetzungen beide einander gleich sind. 2. Eine Funktion f zweier Variablen besitzt also (wenn sie existieren) vier partielle Ableitungen zweiter Ordnung: fxx' fxy, fyx' f yy. 3. Die partielle Ableitung der Funktion fXiXj nach Xk ist eine partielle Ableitung dritter Ordnung, die (wenn sie existiert) entsprechend bezeichnet wird: 0

1

j

8f fx1xjXk = 0X 0X 0Xi j k 3

Beispielsweise besitzt eine Funktion leitungen 3. Ordnung:

f zweier Variablen die acht möglichen partiellen Ab-

238


Beispiel 3.36 Es sei f(x,y,z)

=

x 2 y + z'sin(x + y2). Die drei partiellen Ableitungen erster Ordnung sind

f)x, y, z) = 2xy + z'cos(x + y2), fy(x, y, z) = Xl

+ 2yz'cos(x + y2)

und

Partielle Ableitungen zweiter Ordnung sind Z.B. fxx(x, y,z) = 2y ~ z'sin(x + yl), fxy(x, y, z) = 2x - 2yz'sin(x + yl), hx(x,y,z) = 2x - 2yz'sin(x + yl) und Izz(x, y, z) =

o.

Die weiteren partiellen Ableitungen zweiter Ordnung möge der Leser berechnen. Man stellt übrigens fest, daß Ixy = Iyx' Ixz = Izx und Iyz = Iz y gilt, es kommt also auf die Reihenfolge der Differentiation hierbei nicht an. Partielle Ableitungen dritter Ordnung sind z.B. Ixyx(x,y,z)

=

2 - 2yz'cos(x + yl),

lxx/x, y, z) = 2 - 2zy-cos(x + yZ).

Weitere Ableitungen möge der Leser berechnen und feststellen, daß f xxy = f xyx = I yxx j~yz == f xzy

und I xyy = I yxy = hyx

und

= f yxz = f yzx = f zxy == hyx

usw. gilt. Diese Ableitungen sind also unabhängig von der Reihenfolge der Differentiation. Der folgende Satz nennt den Grund dafür.

Satz 3.7 (Satz von Schwarz über die Differentiationsreihenfolge)

Das folgende Beispiel zeigt, daß Iyx und Ixy verschieden sein können, wenn diese Ableitungen nicht stetig sind. Beispiel 3.37 Die Funktion I mit

I(x, y) = {

XZ _ y2 x yZ- - X + y2'

wenn (x, y) =I- (0,0)

0,

wenn x = y = 0


239

hat die partiellen Ableitungen (vgl. (3.17) und (3.18)) 2 -1· f(h, y) - f(O, y) _ 1. . h - y2 __ (0 ) x ,y 1m 1m y 2 2 y, f h~O h h~O h + Y . x 2 -k 2 . f(x,k)-f(x,O) fy(x, 0) = hm = hm x·2 - - 2 = x. k~O k k~O X +k Diese Gleichungen gelten für alle x und y. Hieraus folgt fxy(O,O) = - 1 #- fyx(O, 0) = 1.

In Polarkoordinaten ist f(x,y) = ±r2·sin4cp.

3.2.2 Differenzierbarkeit, totales Differential

Die Funktion f sei auf der offenen Menge D c ~2 definiert und Po = (x o, Yo)ED, f(1'o) = Z00 Wir wollen die Gleichung der Tangentialebene an die durch z = f(x, y) definierte Fläche F im Flächenpunkt (x o, Yo, zo) bestimmen unter der Voraussetzung, daß eine solche existiert. Wir gehen dabei von der anschaulichen Vorstellung aus: Die Tangentialebene E ist eine Ebene, die die Fläche F berührt, d.h. jede zur x,y-Ebene senkrechte Ebene S durch den Punkt (xo,Yo,zo) schneidet die Tangentialebene E in einer Geraden, die Tangente an die Schnittkurve von S mit der Fläche F in (x o, Yo, zo) ist. Jede Ebene durch (x o, Yo, zo) hat die Gleichung z = l(x, y), wobei l(x, y) = Zo + dl·(X - x o) + d2.(y - Yo) ist. Die Zahlen d1 und d2 sind nun so zu bestimmen, daß das oben Gesagte gilt. Insbesondere muß das für solche Schnittebenen S gelten, die zur x- bzw. y-Achse parallel sind. Die Steigung von f in x- bzw. y- Richtung in 1'0 ist fx(Po) bzw. fy(Po), die von der Funktion I entsprechend lx(Po) = d1 bzw. ly(Po) = d2. Aus der Gleichheit dieser Werte für die Tangentialebene folgt d1 = fx(Po) und d2 = /Y(1'o), so daß die Gleichung der Tangentialebene - falls letztere existiert - lautet (3.19)

Diese Gleichung legt die Vermutung nahe, daß aus der Existenz dieser beiden partiellen Ableitungen im Punkte Po auch die der Tangentialebene folgt. Daß dies aber keineswegs der Fall ist, zeigt die Funktion f aus Beispiel 3.35 für Po = (0,0): Wenn die Tangentialebene existiert, so lautet deren Gleichung wegen f(Po) = fx(Po) = /Y(Po) = 0 nach (3.19): z = (das ist die (x, y)Ebene). Bild 3.34 zeigt, daß diese Ebene wohl nicht als Tangentialebene bezeichnet werden sollte (f ist in Pa nicht stetig und nimmt in jeder Umgebung von Po jeden Wert zwischen - 0,5 und 0,5 an).

°

Wir halten fest: Falls die Tangentialebene existiert, so ist sie durch die zwei partiellen Ableitungen bestimmt, aber aus der Existenz dieser zwei Ableitungen folgt nicht die der Tangentialebene. Wir überlegen, unter welchen Voraussetzungen über f die Existenz dieser Ebene gesichert ist. Unsere Überlegungen werden uns auf den wichtigen Begriff der Differenzierbarkeit von Funktionen mehrerer Variablen führen. Eine Bemerkung vorweg: Wir notieren im folgenden in der linken Spalte geeignete Formulierungen für Funktionen einer Variablen (Tangente), in der rechten deren Übertragung auf Funktionen zweier Variablen (Tangentialebene); eine Verallgemeinerung auf Funktionen mehrerer Variablen schließt sich am Ende an.

240


z P={X,y)

Yo

-x

Bild 3.39: Die Fläche F und ihre Tangentialebene

1. Geometrisch-anschauliche Formulierung

Die Tangente an die Kurve mit der Gleichung y = f(x) im Kurvenpunkt (xo,f(x o)) ist eine Gerade, die durch diesen Punkt geht und die Kurve »berührt«. Sie hat die Gleichung y = l(x) mit l(x) = f(x o)+ d'(x - x o) (vgl. Bild 3.40).

Die Tangentialebene an die Fläche mit der Gleichung z = f(x, y) im Flächenpunkt (x o, yo,f(x o, Yo)) ist eine Ebene, die durch diesen Punkt geht und die Fläche» berührt«. Sie hat die Gleichung z = l(x,y) mit l(x, y) = f(x o, Yo) + d) '(x - x o) + dz '(y - Yo) (vgl. Bild 3.41).

2. Analytische Formulierung Diese Forderung bedeutet für Funktionen einer Variablen die Gültigkeit folgender Grenzwertbeziehung (vgl. Band 1, (8.9), Seite 352), die wir für Funktionen zweier Veränderlichen überneh-


241

f(P}

/

/

If{P)-/(P)I

/

/

f(x)

/

If(x)-/(x}1 /(x)

x

- /(P)

/

-----

/

L~---.--- ----~

Bild 3.40: Eine Kurve y = f(x) und deren Tangente y = l(x)

Pa

IP-~I

P

Bild 3.41: Ein Schnitt durch die Fläche z = f(x, y) aus

Bild 3.39 längs der strich-punktierten Geraden durch Pa und P senkrecht zur x,y-Ebene

men: Für Ix - xol ~O gilt If(x) -l(x)1

----~O.

Ix-xol

~I ~O

Für IP -

gilt

If(P) -l(P)1

----~O.

IP-~I

Nun zum Begriff der Differenzierbarkeit, dem wir zunächst eine geometrische Formulierung geben: Die auf (a, b) c [R definierte Funktion f ist in xoE(a, b) differenzierbar, wenn die durch Y = f(x) definierte Kurve in (x o, f(x o)) eine Tangente mit der Gleichung Y = l(x) = f{x o) + d'(x - x o)

Die auf der offenen Menge D c [R2 definierte Funktion f ist in ~ = {x o, Yo)ED differenzierbar, wenn die durch z = f (x, y) definierte Fläche in (xo,Yo,f(xo,Yo)) eine Tangentialebene mit der Gleichung z = l(x, y)

besitzt.

= f(~)

+ dl'(X - x o) + d2 '(y - Yo)

besitzt. Faßt man obige Definition der Tangente bzw. Tangentialebene mit der soeben gegebenen Formulierung zusammen, so erhält man im e-b-Formalismus folgende Definition der Differenzierbarkeit für Funktionen einer Variablen: f heißt im Punkt xoE{a, b) c [R differenzierbar, wenn es eine Zahl d gibt, so daß für alle e > 0 eine Zahl b > 0 existiert, derart daß für alle xE(a, b) mit Ix - X o I< b gilt If{x) - f(x o) - d'(x - xo)1

- - - - - - - - - - < e.

Ix-xol

Für Funktionen von zwei Veränderlichen übernehmen wir:

242


Definition 3.22 Es sei D c

[R2

offen, Pa = (x o,Yo)ED und f eine auf D definierte Funktion. f heißt im Punkte

Pa differenzierbar, wenn es Zahlen dI und d2 gibt, so daß für alle 8 > 0 eine Zahl b > 0 existiert, derart daß für alle PE D mit IP - Pa I < b gilt If(P) - f(Pa) - d ·(x - x ) - d .(y - Yo)1

2 - - - < 8. l o ---------IP-Pal

(3.20)

Wir fügen sogleich die Verallgemeinerung auf Funktionen von n Veränderlichen hinzu:

Definition 3.23 Die auf der offenen Menge D c [Rn definierte Funktion f heißt im Punkte Pa = (al' a 2 ,···, an)ED differenzierbar, wenn es Zahlen d l , d2 , ... , dn gibt derart, daß zu jedem 8> 0 eine Zahl b > 0 existiert, so daß aus P = (Xl' x 2 , •.. , Xn)E Uo(Pa) nD folgt !(p} - !(Po) I

.t l-l

d((x i -

aal < 8.

IP-Pal

(3.21)

Beispiel 3.38 Es sei f(x, y) = 2x 2 + y 2. Wir wollen f in [R2 auf Differenzierbarkeit untersuchen. Dazu sei (x o, Yo)E [R2. Der Quotient in (3.20) lautet hier 1(2x 2 + y 2) - (2x~ + y~) - d l ·(x - x o) - d2.(y - Yo)1 (3.22) J(x - X O)2 + (y - YO)2 Da wir untersuchen müssen, ob der Quotient (3.22) beliebig klein wird für alle P = (x, y), die hinreichend nahe bei Pa = (x o, Yo) liegen, ist es vorteilhaft, den Zähler als eine Funktion von (x - x o) und (y - Yo) umzuformen. Unter Verwendung geeigneter quadratischer Ergänzungen bekommt man dann für den Zähler, wie man leicht nachrechnen kann,

Wenn wir nun d l = 4x o und d2 = 2yo wählen, lautet der Zähler 2·(x -

X O)2

+ (y -

YO)2

und hat also die gewünschte Form. Der Quotient (3.22) lautet für diese Wahl von d l und d2 2·(x J(x -

+ (y XO)2 + (y -

X O)2

YO)2 YO)2· 8

Sei nun 8> O. Wir wählen b = - und erhalten dann für alle (x, Y)E D;,(Pa), d.h. für alle (x, y) mit 2


243

j(x - xo)Z + (y - Yo)Z < b, die Ungleichung 2·(x-xo)z+(y-yo)Z Pa in

i=1

dieser Ungleichung die rechte und die linke Seite gegen Null. Also gilt lim f(P)

=

f(Pa).

•

P~I:

Definition 3.24

Die auf der offenen Menge D definierte Funktion f heißt auf D differenzierbar, wenn jedem Punkt von D differenzierbar ist.

f in

Hinreichende Bedingungen für Differenzierbarkeit haben wir bisher noch nicht kennengelernt. Als notwendig für die Differenzierbarkeit von f erweisen sich die Stetigkeit von f und die Existenz aller partiellen Ableitungen erster Ordnung, doch beide Bedingungen sind nicht hinreichend, wie Beispiel 3.35 zeigt, vgl. auch die Untersuchungen zu Beginn dieses Abschnittes. Kommt aber die Stetigkeit dieser partiellen Ableitungen hinzu, so folgt die Differenzierbarkeit: Satz 3.10

Wir wollen auf den Beweis verzichten. Hieraus folgt, daß wenigstens eine der beiden partiellen Ableitungen fx und fy aus Beispiel 3.35 in (0,0) nicht stetig ist (tatsächlich sind sogar beide nicht stetig!). Aufgrund der Überlegungen, mit denen wir diesen Abschnitt begannen, werden wir die Tangentialebene wie folgt definieren: Definition 3.25

D C [R2 sei eine offene Menge, Po = (x o, Yo)ED und f eine auf D definierte und in Pa differenzierbare Funktion. Die Ebene mit der Gleichung z = f(Pa)

+ fx(PoJ-{x -

x o) + J;,(Po)'(Y - Yo)

(3.23)

heißt die Tangentialebene an die durch z = f(x, y) definierte Fläche im Flächenpunkt (x o, Yo,!(Pa))·


245

Bemerkungen:

1. Man beachte, daß von» Tangentialebene« nur gesprochen wird, wenn die Funktion f bei Po differenzierbar ist und nicht schon, wenn nur fx(Po) und fy(Po) definiert sind, also (3.23)

sinnvoll ist. 2. Eine (3.23) entsprechende Gleichung läßt sich auch für Funktionen von n Veränderlichen aufstellen: z = f (Po)

+I

fXi (Po)· (Xi

-

ai ),

i= 1

worin Po = (al' a 2, ... , an) ist. Die hierdurch definierte Menge in trisch anschauliche Bedeutung.

~n

hat keine direkt geome-

Beispiel 3.39 Die Gleichung der Tangentialebene an die durch z = f(x, y) = 2x 2 + xy2 definierte Fläche im Flächenpunkt (3, - 1, f(3, - 1)) = (3, - 1,21) ist zu berechnen. Da fx(x, y) = 4x + y2 und h(x, y) = 2xy in ~2 stetige Funktionen sind, ist f nach Satz 3.10 überall differenzierbar. Die Tangentialebene hat wegen fx(3, - 1) = 13 und fy(3, - 1) = - 6 die Gleichung z = 21 + 13·(x - 3) - 6·(y + 1) = 13x - 6y - 24.

Es sei f eine auf der offenen Menge D c ~2 definierte Funktion, die im Punkte JbED differenzierbar sei,

die Gleichung ihrer Tangentialebene und P = (x, y) = (x o + h, Yo + k)ED. Es seien I1f(Jb) = f(P) - f(Po) bzw. df(Po) = l(P) -l(Po) Funktionswert-Differenz bzw. die Differenz der entsprechenden Werte auf der Tangentialebene, vgl. Bild 3.42. Da l(Po) = f(Po), x - X o = hund y - Yo = k ist, folgt aus (3.23) (3.24) Da f in Po differenzierbar ist, gilt nach Definition 3.22: Für alle 8 > 0 gibt es eine Zahl b > 0, so daß aus PE~(Po)nD folgt Il1f(Po) - df(Po) I

------ 0 = f(ll), wenn y =f O. Das bedeutet, daß fin jeder e- Umgebung ~(ll) Werte annimmt, die größer f(Ii) sind und solche, die kleinerf(ll) sind:fhat im Punkte II kein relatives Extremum.

°

Zur Untersuchung von Ei kann man versuchen, die Funktionswerte längs der zwei Geraden x = 1 bzw. y = 0 zu untersuchen. Man findet dann, daß beide dann entstehenden Funktionen im betreffenden Punkt ein relatives Minimum haben. Hieraus folgt noch nicht, daß die Funktionswerte in einer vollen (Kreis-) Umgebung von Ei nicht größer als in Ei sind. Wir sind also gezwungen, f in einer solchen Umgebung ~(Ei) = {(x,y)l(x -1)2 + y2 < e2} zu untersuchen. Führt man Polarkoordinaten mit dem Zentrum Ei ein, also x-I = ,·cos cp und y = ,·sin cp, so wird diese e-Umgebung durch die eine Ungleichung 0 ~ , < e beschrieben. Man erhält dann nach leichter Rechnung f(x, y)

=

+ f·COS cp)3 - 3·(1 + f·COS cp)2 + f2· sin 2 cp 1 + f2. [1 + 2·cos 2 cp ·(1 + f·COS cp)].

2·(1

= -

Wenn nun 0< f 0 und daher [2·cos 2 cp·(l + f·COS cp)J ~ o. Hieraus folgt, daß für diese f gilt f2. [1 + 2·cos 2 cp·(l + f·COS cp)J ~ f2 > O. Damit ist gezeigt: Wenn PE U1(Ei) mit P i= P 2' so gilt f(P) > - 1 = f(Ei). Im Punkt ~ besitzt f daher ein eigentliches relatives Minimum. Einfache hinreichende Bedingungen für relative Extrema, die den Satz 8.33 aus Band 1 verallgemeinern, also etwa partielle Ableitungen zweiter Ordnung verwenden, sind für Funktionen mehrerer Variablen nicht so einfach aufzustellen. Für Funktionen zweier Variablen zitieren wir folgenden Satz ohne Beweis:

252


Satz 3.13

Bemerkungen:

1. Im Fall L1 = 0 liefert dieser Satz keine Entscheidung. In der Tat kann dann ein Extremum vorliegen oder nicht. 2. Dieser Satz wird folgendermaßen angewendet:

a) Man ermittelt alle Punkte von D, in denenfx undfy verschwinden, um dann b) für jeden dieser Punkte das Vorzeichen von L1 zu bestimmen. Beispiel 3.47 f(x, y) = x 2Y - 6xy + x 2 - 6x zwei Gleichungen

+ 8y2

soll in

[R2

auf relative Extrema untersucht werden. Aus den

fx(x, y) = 2xy - 6y + 2x - 6 = 2(x - 3)'(Y fy(x,y) = x 2 - 6x + 16y = 0

+ 1) =

0

gewinnt man die folgenden Punkte: ~ = (3, t6)' Pz = (8, - 1) und ß = ( - 2, - 1). Nur in diesen drei Punkten kann f relative Extrema besitzen. Aus fxx(x,y)=2y+2, fyy(x,y) = 16 und fx/x,y)=2x-6 erhält man im Punkte (x,y): L1=(2y+2)·16-(2x-6)2. Im Punkte ~ ist L1 = 50 > O. In ~ liegt daher ein relatives Extremum, dafyy(~) = 16> 0 ist, handelt es sich dabei um ein Minimum. Im Punkte Pz ist L1 < 0, hier liegt also kein Extremum. Das gleiche gilt auch für ß. Als Ergebnis halten wir fest: Der einzige Punkt, in dem fein relatives Extremum hat, ist (3, 196)' Hier liegt ein relatives Minimum, dessen Wert istf(3, t6) = - 3361.

Ein Problem der Ausgleichsrechnung Gegeben seien n-Punkte (n> 1) P; = (Xi' y;) (i = 1, ... , n) in der Ebene, die Xi seien nicht alle einander gleich. Es soll eine Gerade durch diesen »Punkthaufen« so gelegt werden, daß sie »möglichst gut« hindurchgeht (Bild 3.43). Was dabei unter »möglichst gut« verstanden werden soll, wird nun erläutert: Wenn eine Gerade g die Gleichung y = ax + b besitzt, so hat der Punkt P; von ihr in y-Richtung den Abstand d; = lax; + b - yJ Wir wollen »möglichst gut« so verstehen, daß die Summe der» Abweichungsquadrate«

I i= 1

d; =

I i= 1

lax i + b - Yil 2


~.

253

9

d3 I

~e

I

p,.e 2

I I I

x Bild 3.43: Zum Problem der Ausgleichsrechnung

ihr absolutes Minimum annimmt, d.h. a und b sollen so bestimmt werden, daß f(a, b) =

I

(ax i + b -

Yi)2

i= 1

das absolute Minimum annimmt. Wie wir sehen werden, sind a und b durch diese Forderung eindeutig bestimmt. Die dieser Forderung genügende Gerade nennt man die nach der »Methode der kleinsten Fehlerquadratsumme bestimmte Ausgleichsgerade« (in anderem Zusammenhang auch Regressions- oder Trendgerade). Da die Funktionfüberall partielle Ableitungen hat, ist die notwendige Bedingung fa(a, b) = fb(a, b) = 0 an der Minimumstelle (wenn eine solche existiert). Wir erhalten

Man beachte, daß I b = n· b ist. Die Forderung fa(a, b) = fb(a, b) = 0 ergibt ein lineares Gleichungsi= 1

system für a, b mit der Lösung

(3.40)

I

Yi-

a· I

b=i=l

i=l

n

Xi

(3.41)

Wir werden sehen, daß der Nenner von a genau dann Null ist, wenn alle Xi einander gleich sind; diesen Fall haben wir allerdings ausdrücklich ausgeschlossen. Die Zahlen a und b sind also durch

254


die Minimum-Forderung eindeutig bestimmt. Obige a und b liefern in der Tat das Minimum, wie mit Satz 3.13 leicht gezeigt werden kann. Eine typische Anwendung ist der Ausgleich von Meßwerten: Wenn zwischen der unabhängigen Variablen x und der abhängigen Y die lineare Bezieung Y = ax + b besteht, so sollen a und b durch ein Experiment bestimmt werden. Dabei erhält man zu den Werten Xl' ... ' x n die Meßwerte Yl' ... ' Yw Man wird feststellen, daß die Punkte (Xi' yJ gewöhnlich nicht auf einer Geraden liegen (Meßungenauigkeiten, Ablesefehler, Rundungen). Welche Werte a und b soll man als Resultat der Messung angeben? In vielen Fällen wird man die Ausgleichsgerade nach oben beschriebener Methode der kleinsten Quadrate wählen, d.h. a und b aus den Formeln (3.40) und (3.41) berechnen. Bei dieser Gelegenheit wollen wir die Formeln anders schreiben und dabei die vier folgenden Größen benutzen, die bei solchen Problemen eine große Rolle spielen: 1

s~

n

1

Xi

bzw.

Y = _. n

i=l

n

I

Yi

sind Mittelwerte der

Xi

bzw.

Yi'

die Zahl

Sx

~ 0 mit

i=l

n

I

= -_.

(Xi -

X)2

n -1 i= 1

1

Sxy

1

n

x = _. I

Die Zahlen

wird Standardabweichung der

Xi

genannt, die Zahl

n

I

= -_. n- 1

(Xi -

X)·(Yi -

y) die Kovarianz der Meßpunkte. Wir wollen die Zahlen a und

i= 1 n

b durch diese wichtigen Größen ausdrücken. Da

I

Xi

=

nx ist, findet man

i= 1

1 . =-_ n-1

[nI x;-nx ] = - _ 1 . [n I x;--1 (nI 2

i=l

n-1

i=l

n

Xi

)2]

.

i=l

Analog berechnet man durch Ausmultiplizieren

Setzt man diese Zahlen in a bzw. baus (3.40) und (3.41) ein, so erhält man Sxy

a = 2'

__

b = Y - ax.

Sx

Damit vereinfacht sich die Gleichung Y = ax + b der Ausgleichsgeraden zu Ausgleichsgerade: Y -

Y = a·(x - x),

(3.42)

Wir erkennen, daß diese Gerade durch den Punkt (x, y) geht. Ferner ist der Nenner in (3.42) in der Tat ungleich Null, denn Sx = 0 gilt aufgrund der Definitionsgleichung der Zahl Sx genau dann, wenn alle Xi einander gleich sind.


255

Beispiel 3.48 An eine Feder hängt man ein Gewicht, sie wird gedehnt. Die Länge Y der Feder in Abhängigkeit vom Gewicht x wird gemessen. Zwischen x und Y besteht bekanntlich die Gleichung Y = ax + b (Hookesches Gesetz). Die folgende Tabelle enthält die Meßwerte in den Spalten 1 und 2, die weiteren Spalten dienen der Berechnung der Zahlen a und b. Xi

I

Yi

x~l

Xi·Yi

5 10 15 20 25 30

34 52 66 79 97 110

25 100 225 400 625 900

170 520 990 1580 2425 3300

105

438

2275

8985

Man entnimmt den Spaltensummen (da n = 6):

x=

l~5

= 17,5 und y = 4~8 = 73.

Ferner erhält man aufgrund obiger Gleichungen für

s; = i(2275 Sxy

Sx

bzw.

Sxy:

2

6.17,5 ) = 87,5

= i(8985 - 6·17,5·73) = 264.

Hieraus folgt a = Rundungen)

s

x; = 3,017 ... und die Gleichung der Ausgleichsgeraden lautet (mit geeigneten

Sx

y-73=3·(x-17,5)

oder

y=3·x+20,5.

Wir weisen darauf hin, daß viele elektronische Taschenrechner feste Programme besitzen, die aus den Zahlen Xl' ... ' x n automatisch x und Sx berechnen, aus den Paaren (Xl' Yl)'···' (x mYn) automatisch die Zahlen a und b. Extrema mit Nebenbedingungen

Das folgende Beispiel wird auf einen bisher nicht behandelten Typ von Extremwertaufgaben führen, der für Funktionen einer Variablen kein Analogon besitzt. Beispiel 3.49 Ein Punkt bewege sich auf der Ebene mit der 9leichung X + Y + z = 0, sein Abstand vom Nullpunkt betrage 1. Welches ist sein kleinst-, welches sein größtmöglicher Abstand von der z-Achse? Man kann dieses Problem auch wie folgt geometrisch formulieren: Welche Punkte jener Ebene E, die auf der Kugelfläche vom Radius 1 mit dem Mittelpunkt (0,0,0) liegen, haben den kleinsten

256


bzw. größten Abstand von der z-Achse und wie groß sind diese Abstände? Bild 3.44 veranschaulicht dieses Problem. Der Punkt P = (x, y, z) liegt auf der Kugel K genau dann, wenn x 2 + y2 + Z2 = 1, auf der Ebene E genau dann, wenn x + y + z = 0 ist. Er liegt daher aufbeiden Flächen dann und nur dann, wenn für seine Koordinaten beide Gleichungen gelten. Sein Abstand von der z-Achse beträgt Jx 2 + y2. Daher lautet die analytische Beschreibung des Problems: Man bestimme Minimum und Maximum der Funktion f mit f(x,y,z)=JX 2 +y2 unter den zwei »Nebenbedingungen« x 2 + y2 + Z2 = 1 und x + y + z = o.

Bild 3.44: Zum Beispiel 3.49

Die Lösung eines solchen Problems, die Extrema von f(P) unter den k Nebenbedingungen gj(P) = 0 (j = 1, ... , k) zu bestimmen, geschieht mit der folgenden Multiplikatorenregel von Lagrange


257

Bemerkungen:

1. Wenn für alle PEA gilt f(P) ~ f(Po), so sagt man, f besitze in Po ein Minimum unter den Nebenbedingungen gj(P) = 0 für j = 1, ... , k. k

2. Setzt man F(x l , ... , Xm )~l' ... ' Ak ) = f(x l ,···, x n ) + I )~j" gj(X l ' ... ' Xn ), so kann man die Gleichungen (3.43) auch so schreiben: j= 1

8F

-(Po)=O

oX i

(3.45)

füri=1, ... ,n

und die Gleichungen (3.44)

8F

- (Po) = 0 OA j

für j = 1, ... , k.

(3.46)

Mit den Bezeichnungen dieser Bemerkung kann man kurz formulieren: Extremstellen von f(P) unter den Nebenbedingungen gj(P) = 0 (j = 1, ... , k) bestimmt man aus den notwendigen Bedingungen für Extrema von k

F: (Xl' ... ' Xm Al'· .. , Ak)r-+ f(x 1 ,· .. , x n ) +

I

A/ gj(X l '···' Xn )·

j= 1

3. Die Zahlen Aj heißen Lagrangesehe Multiplikatoren. Ihre Werte, die sich gewöhnlich bei der Lösung der Gleichungen (3.43) und (3.44) mit ergeben werden, sind für das Problem i. allg. nicht interessant, man wird sie auch nicht unnötig berechnen. 4. In vielen Fällen wird man aufgrund des Problems entscheiden können, ob an den gefundenen Stellen tatsächtlich Extrema liegen - die Bedingungen sind nämlich keineswegs hinreichend. Beispiel 3.50 Wir führen das Beispiel 3.49 fort. Es ist f(x,y,z) = Jx 2 + y2 gl(X,y,Z) = x 2

Setzt man F = abkürzend

Jx

+ y2 + Z2 -1,

f + Alg l + A2 g 2 , so erhält + y2 = r gesetzt wird:

2

a) ~: b)

F;:

c) F; : d) F;.1: x e)

F;.2:

+ A2 =

0

+ y2 + Z2 - 1 = X +Y+z =

0

2z Al 2

g2(X,y,Z) =

O.

X

+ Y + z.

man als Gleichungssystem (3.45) und (3.46), wenn

258


Wir lösen dieses nicht-lineare Gleichungssystem: Aus a) und b) folgt, wenn a) mit y und b) mit x multipliziert wird und dann diese Gleichungen voneinander subtrahiert werden, (y- x)A 2 = O.

Wir unterscheiden daher zwei Fälle:

)"2

= 0 und y - x = O.

1) ,12 = O. Aus c) folgt dann Z)"l = O. Daher unterscheiden wir weiter: a) z = O. Aus e) erhält man dann x = 11 = und ~ = ( b) gelten mit Al = - i.

(iJ"2, -iJ"2,O)

ß) Al = O. Aus a) und b) folgt dann dieser Fall tritt also nicht ein.

- y, aus d) dann x = ± iJ"2. Damit haben wir die Punkte iJ"2, iJ"2, 0). Man stellt noch fest, daß dann auch a) und

X=

y=O, aus e) weiter z = O. Dann ist aber d) nicht erfüllt,

iJ"6

2) x = y. Aus e) und d) bekommt man dann x = y = ± und z = +~J"6. Man stellt dann fest, daß )"1 und ,12 aus a) und b) eindeutig bestimmt werden können, was aber nicht nötig ist. Wir haben also die zwei Punkte ~ = -~J"6) und ~ = ~J"6).

(iJ"6, iJ"6,

(-iJ6, -iJ"6,

Nun erhält man in diesen vier genannten Punkten f(Fr) = f(~) = 1 und f(~) = f(~) = ~J3. Die Menge A ist hier eine Kreislinie (Schnittlinie zwischen der Kugel K und der Ebene E). Aus geometrischen Gründen ist klar, daß es auf diesem Kreis (mindestens) je einen Punkt gibt, der der z-Achse am nächsten liegt bzw. von ihr den größten Abstand hat. Die zwei Punkte ~ und ~ liegen der z-Achse am nächsten, ihr Abstand ist ~J3, die Punkte Fr und Fi haben auf A von der z-Achse den größten Abstand, dieser beträgt 1. Beispiel 3.51 Es sind die Extrema von f(x, y) = x 2 bestimmen.

+ y2

unter der Nebenbedingung (x-1)2

+ y2 = 1 zu

Geometrisch bedeutet diese Aufgabe, das Quadrat des kleinsten und größten Abstandes aller derjenigen Punkte auf der Fläche mit der Gleichung z = f(x, y) von der x, y-Ebene zu finden, die über der Kreislinie mit der Gleichung (x -1)2 + y2 = 1 liegen (Bild 3.45). Es ist F(x, y, ,1) = x 2 + y2 + A((x _1)2 + y2 -1). Die Lösung der Aufgabe ist aus dem System: ~(x,y,A)

= 2x + 2A(x -1) = 0

F;(x, y, ,1) = 2y + 2Ay = 0 = (x-1)2 + y2 -1 = 0

~(x,y,A)

zu bestimmen. Die sämtlichen Lösungen dieses Gleichungssystems sind 1) x=y=A=O

und

2) x=2,

y=O,

,1= -2.

Daher sind die einzigen Punkte, die diesen Gleichungen genügen, II = (0,0) und ~ = (2,0). Offensichtlich liegt im Punkt Ir ein (das) Minimum, in Fi das Maximum von f unter der genannten Nebenbedingung, die Extremwerte sind f(O, 0) = 0, f(2, 0) = 4.


259

z

2

Maximum

"'-

2

2

"'(x-1)+y = 1

3

x Bild 3.45: Zu Beispiel 3.51

3.2.4 Kettenregel

Folgendes Problem tritt in den Naturwissenschaften häufig auf: Eine Funktion zweier Variablen ist in Polarkoordinaten r, qJ gegeben oder nimmt in ihnen eine besonders einfache Form an. Wie lauten dann ihre partiellen Ableitungen nach den kartesischen Veränderlichen x, y? Folgendes Beispiel soll das zeigen. Beispiel 3.52 Die Funktion f mit xy

f(x, y) == - 2 - - 2 ' x +y

(x 2 + y2 # 0)

(3.47)

lautet in Polarkoordinaten f(x, y) == 1· sin2qJ == u(r, qJ),

(r # 0),

(3.48)

wobei x == r· cos qJ,

y

== r· sin qJ

3.49)

260


gilt (vgl. Beispiel 3.18). Will man die Ableitung dieser Funktionfnach x berechnen, so stellt sich die Frage, ob das nicht auch in Polarkoordinaten einfach möglich ist, da die Ableitung in diesen vermutlich auch eine einfachere Form haben wird als in kartesischen Koordinaten. Man könnte, wenn u(r, ep) gegeben ist, rund ep durch x und y ausdrücken, also (3.49) nach rund ep auflösen, das in u(r, ep) einsetzen (was natürlich (3.47) liefert) und dann nach x differenzieren. Anschließend ist dann wieder auf Polarkoordinaten umzurechnen, also x und y gemäß (3.49) zu ersetzen. Man bekommt so (vgl. auch Beispiel 3.35) y.(y2 _ x 2) 1. fx(x, y) = 2 2 2 = - _. Sin ep ·cos 2ep. (3.50) (x + y ) r 1

Also ist ux(r, ep) = - -sin ep·cos 2ep. Dieses Ergebnis kann man leichter durch folgende formale r

Rechnung mit dem totalen Differential von u gewinnen, deren Richtigkeit die Kettenregel zeigt (wir lassen im folgenden die Argumente fort): Das totale Differential von u ist ou ou du = -dr + -dep. or oep

(3.51)

»Dividiert« man nun du durch dx (bzw. in der für partielle Ableitungen üblichen Schreibweise ox), so ergibt sich ou ou or ou oep -=_.-+-.-. ox or ox oep ox

Wegen r

=

(3.52)

or x J -x -+ y2 gilt - = J = cos qJ und aus y = r' sin qJ folgt durch Ableiten nach 2 ox x + y2 2

) or 0ep or 0Y x ( da-=O die Gleichung O=-·sinep+r·cosep·_, aus der dann wegen -=cos ep folgt ox ox ox ox oep 1 - = - _. sin ep. Wir haben also zusammenfassend ox r

or oep 1. -=cosep, - = --·SInep. ox r ox

(3.53)

Diese Ableitungen hängen, das ist wichtig zu bemerken, nicht von der Funktion f bzw. u ab, sondern nur von den Transformationsformeln (3.49). Setzen wir diese beiden Gleichungen in (3.52) ein, so erhaIten wir

au = au. cosqJ + aU'(_!Sin qJ ).

ox

or

oep

r

(3.54)

ou ou Da nach (3.48) - = 0 und - = cos 2ep ist, erhält man or oep ou 1 - = - _·cos 2ep·sin ep, ox r

das nach (3.50) richtige Ergebnis. Analog erhält man übrigens aus (3.51) nach» Division« durch dy


261

(bzw. oy) über die (3.53) entsprechenden Gleichungen or. oqJ 1 -=slnqJ -=_·cosqJ oy 'oy r

(3.55)

OU 1 die Ableitung- = _·cos 2qJ·cos qJ. Ein Vergleich mit Beispiel 3.35 zeigt, daß auch dieses Ergebnis oy r richtig ist. Um die Bedeutung der Kettenregel zu illustrieren, wollen wir ein weiteres Beispiel behandeln: Beispiel 3.53 Die in Polarkoordinaten durch u(r, qJ) = r 2

+ sin qJ·ln r

definierte Funktion u ist nach x bzw. y zu differenzieren. Man beachte: Ur bzw. uqJ sind geometrisch die Steigungen der entsprechenden Fläche in r- bzw. qJ-Richtung, nicht in x- bzw. y-Richtung. Wir erhalten - ohne u in kartesische Koordinaten umzuschreiben! - aus dem totalen Differential ou ou 1 du = -·dr + -·dqJ = ( 2r + -·sin qJ ) ·dr + (cos qJ·ln r) ·dqJ or

oqJ

r

durch Division durch OX bzw. oy unter Verwendung der Formeln (3.53) und (3.55)

1) + 1)

1 1

-ou = ( 2r + -·sin qJ ·cos qJ - (cos qJ·ln r)·-·sin qJ OX r r -OU = ( 2r oy

-·sin qJ ·sin qJ + (cos qJ·ln r)·_·cos qJ. r

r

Wir wollen die Fragestellung, die beiden Beispielen zugrunde liegt, verallgemeinern: Gegeben sei eine Funktion (in den Beispielen u) von n Veränderlichen Xl' ... ' x n (in den Beispielen r, qJ). Diese Variablen werden ihrerseits durch Funktionen einer Variablen t oder mehrerer Variablen t 1 , ••• , t k ersetzt (im Beispiel jeweils r, qJ durch x, y vermöge (3.49) bzw. deren Umkehrformeln). Also ist

Wir fragen nach den Ableitungen der Funktion nach t bzw. nach den t i . Ein entsprechender Sachverhalt ist uns von Funktionen einer Variablen her bekannt: Ist y = f(x) und X = x(t), so ist nach der Kettenregel (vgl. Band 1, Satz 8.14) df = df. dx (in laxer aber prägnanter Schreibweise). dt dx dt Auch hier entsteht übrigens df durch »Division« des Differentials df = df ·dx durch dt. In dt dx unserem Falle gilt folgender

262


Satz 3.14 (Kettenregel)

f sei eine auf der offenen Menge

D c IR: n definierte und differenzierbare Funktion der

Variablen x l' ... , x n· a)

vn seien auf dem Intervall (a, b) c IR: definierte und differenzierbare Funktionen und für alle tE(a, b) sei (v 1(t), ... , vn(t))ED. Dann ist die Funktion

VI"'"

g: tl---> f(v 1(t), ... , vit»

(3.56) i== 1

b)

für alle tE(a, b). vn seien auf der offenen Menge M c IR: k definierte und differenzierbare Funktionen und für alle (t 1'"'' t k) = PEM sei (V 1 (P), ... , vn(P»ED. Dann ist die Funktion

VI"'"

h: Pl--->f(Vl (P), ... , vn(P)) der k Variablen t l' ... , t k auf M differenzierbar und es gilt für j

oh -(P) = otj

ov.

11

L. fX/ Vl(P),,,,,v (P»':!(P) ut lI

i= 1

=

1, ... , k (3.57)

j

für alle PEM. Auf den Beweis des Satzes wollen wir verzichten. Bemerkungen:

1. Setzt man inf(x 1 , xz, ... , XII) kurz Xi = v;(t) bzw. Xi = v;(t l' t z, ... , t k ) und läßt die Argumente fort, so erhält man für diese beiden Kettenregeln die ungenauen aber prägnanten Schreibweisen

I

df _ of.dxi dt i=10Xi dt

of =

ot

j

I

of OX i ,

i~ 1 OX i

ot

(3.58) j= 1,2, ... ,k.

(3.59)

j

2. Formal entsteht z.B. df durch» Division« des totalen Differentials df durch dt; das zeigt die dt Zweckmäßigkeit der Schreibweise df für das totale Differential. Beispiel 3.54 Es sei u eine auf der offenen Menge D c IR: z definierte Funktion mit stetigen partiellen Ableitungen zweiter Ordnung. Die Summe (3.60) spielt in vielen Problemen der Physik eine große Rolle. Oft ist dabei die Funktion u in Polarkoordinaten gegeben bzw. hat in diesem Koordinatensystem eine besonders einfache Form:


263

z = u(x, y) = f(r, ep), wobei x = r·cos ep und y = r·sin ep ist. Für diesen Fall wollen wir die (3.60) entsprechende Formel für Polarkoordinaten herleiten. Es ist nach (3.53) und (3.55) or ar. aep 1. aep 1 -=cosep, -=slnep, - = --·Slnep, -=_·cosep. ax oy ax r ay r

(3.61)

Damit erhalten wir nach der Kettenregel (3.57) bzw. (3.59) ou of ar af oep af of 1 . - = _ . - + _ . - = _·cos ep - -·-·Sln ep ox or ax aep ax ar aep r

(3.62)

ou af ar 0f oep af . af 1 - = _ . - + _ . - = -·Sln ep + _·_·cos ep. oy or oy aep ay or aep r

(3.63)

Erneute Differentiation ergibt mit (3.61) nach der Kettenregel und der Produktregel 2 a (au) oep a u a (au) ar ox 2 = ar ax .ox + aep ax .ox

a2 f 0 2f 1. af 1 . ep ) ·cos ep = _·cos ep --·-·Sln ep + -·-·Sln ( or 2 araep r oep r 2 +

(fPaeparf

of .sin qJ _ a f.~.sin qJ _ af.~·cos or aep2 r aep r 2

.coSqJ _

ep).( _L sinqJ ) r

02 U 0 (au) or 0 (au) oep oy2 = ar oy .oy + aep oy . oy 2 a2 f 1 af 1 ). a f. = -·Sln ep + -_·_·COS ep - _·_·COS ep ·Sln ep ( ar 2 araep r oep r 2

a2 f . af a2f 1 af 1. ) 1 + ( --·slnep+-·cosep+-·_·cosep--·-·slnep ·_·COSep. aepar or Oep2 r aep r r Daraus ergibt sich, wie man leicht nachrechnet uxx +

U yy

1 1 = frr + -·fr + 2·f 0, also wenn a in Richtung von grad f(P) zeigt. Dann ist -), = 1 und

1),1

f IC~_(P) I = Igrad f(P)I.

•

oa

Bemerkungen:

1. Bild 3.49 zeigt verschiedene Steigungen von firn Punkte P, d.h. Steigungen der Fläche mit der Gleichung z = f(x, y) in verschiedenen Richtungen; die strichpunktierten Geraden haben die Steigung

:~(P)

für den darunter liegenden Pfeil (Vektor)

Steigungen ist die in Richtung von grad f(P). 2. Der Vektor - grad f(P) zeigt in Richtung größten Gefälles.

a.

Die größtmögliche dieser


268

z y

x Bild 3.49: Zur geometrischen Bedeutung der Richtungsableitung

Beispiel 3.56 Sei f(x, y) = xy + x 2 . Dann ist fAx, y) = y + 2x und fy(x, y) = x. Im Punkte P = (1,2) erhalten wir grad f(P) = (4,1) und daher als Richtungsableitungen an dieser Stelle in Richtung

al

3f = (1,1): ----=:;-(P) = iJ2' [1-4 + I'IJ = 3,5355 ... aal

of

-

a2 = (2,1): ----=:;-(P) oa 2 = t J5· [2-4 + 1'IJ = 4,0249 ... a

3

of

= (3,1): ----=:;-(P) = /oJiO' [3'4 + 1'IJ = 4,1109 ...

oa

3

or a =(4,1): ---':::;-(P)=I\J17·[4·4+1·IJ=4,1231 ... 4

as = (5,1):

oa

4

of ----=:;-(P) =

oas

1 26

J26· [5'4 + 1'IJ = 4,1184 ...

Die Richtungsableitung ist am größten in Richtung des Gradienten vonf im Punkte P, also in Richtung a4 = (4, 1), was die berechneten Werte auch andeuten, die Ableitung in dieser Richtung

3.2 Differentialrechnung der Funktionen mehrerer Variablen ist 4,1231 ... Der Vektor Gefälles. Für Vektoren

a,

a4 =

269

- grad J(P) zeigt dann offenbar in die Richtung des stärksten

die zu grad f(P) senkrecht stehen, gilt :;(P) = 0; z.B. für

a = a6 = (1, -

4).

Solche Vektoren zeigen nämlich in Richtung der Tangente an die Höhenlinie durch den Punkt P, eine Richtung, in der sich J an der Stelle P nicht ändert. Man kann allgemein beweisen, daß der Vektor grad J(P) auf der durch P gehenden Höhenlinie senkrecht steht (vgl. Bild 3.50).

y 4

3 2

Bild 3.50: Höhenlinie _._.-.- durch P und verschiedene Richtungen in P für die Funktion f aus Beispiel 3.56

Wir wollen nun diese Begriffe und Resultate auf Funktionen von drei Variablen (x, y, z) übertragen. Definition 3.31

Die FunktionJsei auf der offenen Menge D c ~3 definiert und im Punkte PED differenzierbar. Der Vektor (Jx(P), Jy{P), JAP)) heißt der Gradient von firn Punkte P. Schreibweise: grad J(P). Bemerkung:

Wichtige Voraussetzung ist auch hier die Differenzierbarkeit vonJ im Punkte P. Beispiel 3.57 Istf(x,y,z)=Jx2+ y2+ Z2, so ist grad f(x,y, z)= J ~

r

grad f(P) =

1

x2

+ y2 + Z2

·(x,y,z), mit r=(x,y,z) also

171·

Überlegungen, die denen entsprechen, die zur Definition 3.30 führten, ergeben

270


Definition 3.32

Die Funktionf sei auf der offenen Menge D c [R3 definiert und im Punkte PED differenzierbar, a: = (al' a z , a 3) ein vom Nullvektor verschiedener Vektor. Unter der Richtungsableitung 1 von/im Punkte P in Richtung a versteht man die Zahl1a:1·a:·grad f(P). 8f

Schreibweise: 8a:(P),

Bemerkung: Es gelten hier sinngemäß die Bemerkungen zur Definition 3.30. Die Zahl

~~(P) gibt

Ga

also die Änderung von

f

im Punkte P an, wenn man in Richtung von

a: fortschreitet.

Satz 3.15 entspricht Satz 3.16

Der Beweis entspricht wörtlich dem von Satz 3.15 Beispiel 3.58 In jedem Körper, in dem kein Temperaturgleichgewicht herrscht, treten» Wärmeströmungen« auf. Der» Wärmefluß« im Punkte P des Körpers wird durch einen Vektor q(P) beschrieben, dessen Richtung die der Wärmeströmung und dessen Länge deren Stärke oder Intensität angibt.

Es sei T(P) die Temperatur des Körpers im Punkte P. Es zeigt sich, daß für feste Körper folgendes gilt: a) Der Wärmefluß in P hat die Richtung des stärksten Gefälles der Temperatur in P (vom Wärmeren zum Kälteren) und b) die Stärke des Wärmeflusses ist proportional zum Temperaturgefälle in der unter a) genannten Richtung. Der Vektor - grad T(P) hat diese zwei Eigenschaften (wir unterstellen, daß T eine differenzierbare Funktion ist). Daher gilt in jedem Punkt P des Körpers das »Grundgesetz der Wärmeleitung« q(P) = - )'(P)'grad T(P), wobei die Zahl ),(P) > 0 vom Zustand des Körpers in P abhängt und (innere) Wärmeleitfähigkeit genannt wird. Der Vektor grad T wird Temperaturgradient genannt, der Vektor - grad T Temperaturgefälle.


271

3.2.6 Implizite Funktionen

Wir wollen untersuchen, unter welchen Voraussetzungen die Gleichung x 2 + eyeY = 0 für jede Zahl x eindeutig nach y auflösbar ist. Wenn das der Fall ist, ist y eine Funktion von x. Eine Verallgemeinerung dieser Fragestellung führt auf folgendes Problem: Wenn 9 eine in der offenen Menge U E [R;2 definierte Funktion ist, so fragen wir: a) Unter welchen Voraussetzungen ist die Gleichung g(x,y)=O für jedes x eines geeigneten Intervalles (a, b) c [R; eindeutig nach y auflösbar? b) Wenn das der Fall ist, was kann man dann über die so entstehende Funktion f mit y = f(x) sagen? Unter welchen Voraussetzungen ist f stetig, unter welchen differenzierbar und wie lautet dann ihre Ableitung? Eine Antwort auf diese Fragen gibt der Satz 3.17

Bemerkungen:

1. Um Mißverständnissen vorzubeugen, sei betont, daß gx(x, f(x)) entsteht, indem man 9 partiell nach der ersten Variablen x differenziert und erst danach für die zweite Variable y den Ausdruck f(x) einsetzt - und nicht umgekehrt! 2. Man sagt, daß durch die Gleichung g(x, y) = 0 die Funktion f implizit definiert sei; für alle xE(a, b) gilt g(x,f(x)) = O. 3. Die Aussage des Satzes läßt sich auch so formulieren: Unter den gemachten Voraussetzungen über 9 existiert genau eine auf (a, b) definierte Funktion f, so daß für alle xE(a, b) gilt g(x,f(x)) = O. 4. Die Gleichung (3.65) dient zur Berechnung von f'(x). 5. Die Tatsache, daß die Gleichung g(x, y) = 0 genau eine Lösung y hat, also nach y »auflösbar« ist, heißt nicht, daß man die entstehende Funktion f explizit »hinschreiben« kann in dem Sinne, daß f sich aus den bekannten elementaren Funktionen aufbaut. Die Situation ist vergleichbar der von den Stammfunktionen einer Funktion her bekannten: Die Funktionf mit smx f(x) = - - besitzt als stetige Funktion in (0, CfJ) eine Stammfunktion, doch läßt sich keine x

dieser Stammfunktionen durch elementare Funktionen einfach aufbauen. Beweis von Satz 3.17:

Es sei I; > 0 so gewählt, daß für alle y mit Iy ~ Yo I ~ 8 gilt (x o, y)E U; das ist möglich, da U eine Umgebung von (x o, Yo) ist. Da g)x, y) i= 0 für alle (x, y)E U, ist die Funktion 9 für jedes x, für das

272


(x, Y)E U, eine streng monotone Funktion der Variablen Y (vgl. Band 1, Satz 8.32). Da g(x o, Yo) = 0 ist, hat g(x o, y) in den Punkten Y = Yo - 8 und Y = Yo + 8 verschiedenes Vorzeichen; sei ohne Beschränkung der Allgemeinheit g(x o, Yo - 8) < 0 und g(x o, Yo + 8) > O. Wir wählen nun () > 0 so, daß für alle (x, Y)E [R2, für die Ix - Xo I < () und IY - Yo I < 8 gilt, a) (x, Y)E U ist (was möglich ist, da U eine Umgebung von (x o, Yo) ist) und b) g(x, Yo - 8) < 0 und g(x, Yo + 8) > 0 gilt (was möglich ist, da g in U stetig ist). Es sei nun J = (a, b) = (x o - 6, Xo + 6) und XEJ. Da g auch stetige Funktion ihrer zweiten Variablen Y ist (vgl. Satz 3.6), hat die Funktion y~g(x, y) wegen der verschiedenen Vorzeichen in Yo - 8 und Yo + 8 und der strengen Monotonie genau eine Nullstelle Y in (Yo - 8, Yo + 8), das heißt, daß die Gleichung g(x, y) = 0 für jedes XEJ genau eine Lösung Y = j(x) hat. Damit ist die Existenz bewiesen. Es ist dann für alle x mit Ix - xol < () und 8 > 0 (wobei 8 obiger Bedingung genüge, insbesondere beliebig klein gewählt werden kann): Ij(x) - Yo I< 8, d.h., daß j in Xo stetig ist, da nach Konstruktion j(x o) = Yo ist. Auf den Beweis der Differenzierbarkeit wollen wir verzichten. Wenn aber f differenzierbar ist, so folgt (3.65) aus der Kettenregel (3.57): Da für alle XE] gilt g(x, f(x)) = 0, folgt durch Differenzieren gx(x,f(x)) + gy(x,j(x))·j'(x) = 0 für alle XEJ. •

Beispiel 3.59 Wir setzen unser einführendes Beispiel fort: g(x, y) = x 2 + eXyeY • Es ist g(O, 0) = 0 und für alle (x, Y)E [R2 mit Y #- - 1 ist gy(x, y) #- O. Daher besitzt die Gleichung g(x, y) = 0 in einer geeigneten Umgebung des Punktes (0,0) genau eine Lösung Y = f(x). Diese Funktion f läßt sich - wir betonen das erneut - nicht »elementar hinschreiben«, dennoch existiert sie; sie ist eben durch die Gleichung g(x, y) = 0 »implizit definiert«, wie man sagt. Da gx und gy stetig sind, ist f differenzierbar und es gilt nach (3.65) für die Ableitung f'(x): 2x + e X.j(x)·e!(x) + e X·e!(x).(1

+ j(x))· f'(x) = O.

Da g(O,f(O)) = f(O)·e!(O) = 0 ist, folgt j(O) =

(3.66)

o. Setzt man das in (3.66) ein, so folgt j'(O) = o.

Beispiel 3.60 Es sei g(x, y) = x 3 + y3 - i x· y.

(3.67)

Bild 3.51 veranschaulicht die durch g(x,y) = 0

definierte Punktmenge In untersuchen.

(3.68) [R2;

diese Kurve heißt Kartesisches Blatt. Wir wollen sie näher

a) Zunächst soll ermittelt werden, zu welchen Kurvenpunkten (x o, Yo) eine Umgebung (a, b) c [R von X o existiert, so daß (3.68) in (a, b) eindeutig nach y aufgelöst werden kann: y = f(x) mit g(x o, Yo) = 0 und g(x, f(x)) = 0 für alle xE(a, b). Da g und gy in [R2 stetige Funktionen sind, ist das der Fall, wenn gy(x o, Yo) #- 0 (nach Satz 3.4 ist gy dann auch in einer Umgebung U von (x o, Yo) ungleich Null). Wir bestimmen die» Ausnahmepunkte«, d.h. diejenigen Kurvenpunkte, für die gy verschwindet, die Punkte also, für die g(x,y)=X 3 +y3_ixy=0 (3.69)


273

I

I I

I

I

3~ -Yl: x 2

Bild 3.51: Das Kartesische Blatt aus Beispiel 3.60

und gy (X, y)

= 3y 2 -

~X

=0

(3.70)

ist. Löst man (3.70) nach x aufund setzt das in (3.69) ein, so bekommt man die Punkte Ir = (0,0) und li = (1· Z!4, 1· Z!2). In diesen zwei Kurvenpunkten läßt sich die Existenz der Funktion f aus dem Satz nicht folgern. Bild 3.51 zeigt, daß die Kurve sich in Ir selbst schneidet, eine eindeutige Auflösbarkeit von g(x, y) = 0 also in keinem Xl = 0 enthaltenden Intervall (a, b) möglich ist. In ~ hat die Kurve eine senkrechte Tangente, um x 2 = 1Z!4 existiert ebenfalls kein Intervall, in dem die Gleichung g(x, y) = 0 eindeutig nach y auflösbar ist. Zu jedem von Ir und li verschiedenen Kurvenpunkt Po = (x o, Yo) existiert ein solches X o enthaltendes Intervall (a, b), in dem g(x, y) = 0 eindeutig nach y auflösbar ist. In Bild 3.51 ist zu Po ein solches X o enthaltendes offenes Intervall (a, b) dick nebst dem Kurvenstück eingezeichnet: dieses Kurvenstück hat die Gleichung y = f(x). Man beachte aber den »lokalen« Charakter des Satzes: In einer Umgebung von X o kann nach y aufgelöst werden, das gesamte Kartesische Blatt läßt sich offensichtlich nicht durch eine Funktion y = f(x) beschreiben, die Gleichung g(x, y) = 0 sich demnach nicht in ganz ~ eindeutig nach y auflösen. b) Wir wollen noch einige besondere Punkte des Kartesischen Blattes bestimmen. Nach (3.65) gilt, wenn g(x, y) = 0 nach y aufgelöst werden kann, mit y = f(x): 2

f'(x) = _ gAx, y) = _ 2x gy(x, y) 2y 2

-

-

3y. 3x

(3.71)

Der Zähler ist 0, wenn 2x 2 - 3y = O. Setzt man das in (3.69) ein, so erhält man nach kurzer Rechnung die Punkte Ir = (0,0) und ~ = (1· Z!2, 1· Z!4). Ir wurde oben schon erwähnt, in ~ ist der Nenner aus (3.71) von Null verschieden, so daß in ~ gilt f'(x) = 0: Das Kartesische Blatt hat dort eine waagerechte Tangente. In ~ (s. Bild 3.51) ist f'(x) = - 1. Im Abschnitt 7.4, Band 1 wurden quadratische Formen behandelt. Wir wollen die dortige Behauptung beweisen, daß Ax eine Normale an die durch die quadratische Form x T Ax = c beschriebene Kurve ist. Dazu folgendes

274


Beispiel 3.61 Wir betrachten die "quadratische Form"

f(x, y) =

all x

2

+ 2a 12 xy + a22y2.

Setzt man

12 a ) a 22

mit a 12 = a 2l (Symmetrie) und x = (x), Y

so rechnet man leicht nach, daß dann

f(x,y) = x TAx gilt und ferner

+ a 12 y,a 12 x + a22 y) = 2·Ax.

gradf(x,y) = 2·(a ll x

Daher steht der Vektor Ax senkrecht auf der durch f(x, y) = c definierten Kurve im hierdurch bestimmten Kurvenpunkt. Beispiel 3.62 Durch die Gleichung

7x 2 - 6· J3· xy + 13y2 = 32

y

wird eine Ellipse beschrieben (s. Bild 3.52). Die sie bestimmende Matrix ist demnach

J 3).

-3 13

Der Punkt P = (- ~ + J3, 1 + ~J3) liegt auf der Ellipse. Daher steht der Vektor

4. ( - 2 +~) 1 +2J3

v = A.( -1/2 +_J3) = 1 +J3/2

in P senkrecht auf der Ellipse, d.h. auf ihrer Tangente dort. Bild 3.52: Ellipse Beispiel 3.63 Es sei A

=(- J 3 J31). 1

Dann lautet die hierdurch bestimmte

quadratische Form

f(x,y)

=

x TAx =

-

J3·x 2 + 2xy + J3·y2.

x


275

Durch f(x, y) = 4 wird die abgebildete Hyperbel beschrieben, auf ihr liegt der Punkt p = ( - 1/4 +

)3,

1 + )3/4).

Daher steht in diesem Punkt der Vektor

v=Ax= (-t2++J3/2)::::; (-1.134) yI3 2

3.964

senkrecht auf der Kurve.

1

:r

Bild 3.53: Hyperbel

3.2.7

Integrale, die von einem Parameter abhängen

Wir betrachten eine stetige Funktion 9 der zwei Veränderlichen x und t. Dann läßt sich 9 nach t integrieren. Sind obere und untere Grenze Funktionen von x, so ergibt sich die Frage, ob die entstehende Funktion von x stetig ist, unter welchen Voraussetzungen sie differenzierbar ist, und wie dann ihre Ableitung lautet. Es gilt der folgende Satz 3.18 (Leibnizsche Regel)

Bemerkungen:

1. Da in (3.72) die Integrationsvariable t ist, nennt man x auch einen Parameter, man sagt, das Integral hänge von einem Parameter - nämlich x - ab. Man spricht dann von der Differentiation nach einem Parameter oder Differentiation unter dem Integralzeichen. (3.73) heißt die Leibnizsche Regel. 2. Zwei wichtige Sonderfälle ergeben sich, wenn u oder v oder beide konstant sind. Insbesondere erhält man für c,dEIR dann

d

d

d

- Sg(x, t) dt = S gx(x, t) dt, dx c d

(3.74)

c

x

x

dx c

c

- Sg(x, t) dt = SgAx, t) dt + g(x, x). Die Ausdrucksweise »Differentiation unter dem Integral« rührt von (3.74) her.

(3.75)

276


Beweis: Es sei xE[a, b], x + hE[a, b]. Dann gilt v(x+h) v(x) f(x + h) - f(x) = S g(x + h, t)dt - S g(x, t)dt u(x+h) u(x) v(x) v(x + h) v(x) u(x) = S g(x + h, t) dt + S g(x + h, t) dt + S g(x + h, t) dt - S g(x, t) dt u(x + h) u(x) v(x) u(x) v(x) v(x+h) u(x+h) = S [g(x + h, t) - g(x, t)] dt + S g(x + h, t) dt - S g(x + h, t) dt. u(x) v(x) u(x) Nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung (s. Band 1, Satz 9.12) gibt es Zahlen Tl bzw. T2 zwischen v(x) und v(x + h) bzw. u(x) und u(x + h), so daß folgende Gleichungen gelten: v(x+h) (3.76) S g(x + h, t) dt = g(x + h, Tl)· [v(x + h) - v(x)] v(x) u(x+h) (3.77) S g(x + h, t) dt = g(x + h, T 2)· [u(x + h) - u(x)] u(x) Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung (s. Band 1, Satz 8.25) gibt es, da g nach x differenzierbar ist, eine Zahl ~ zwischen x und x + h, so daß gilt: g(x + h, t) - g(x, t) =

Hieraus folgt v(x) S [g(x u(x)

gx(~'

t)·h. v(x)

+ h, t) -

g(x, t)] dt = h·

S gx(~' t) dt.

(3.78)

u(x)

Setzt man (3.76), (3.77) und (3.78) in obige Gleichung für die Differenzf(x + h) - f(x) ein, so erhält man f(x + h) - f(x) _ V(SX) • v(x + h) - v(x) .u(x + h) - u(x) . -----gx(~,t)dt+g(x+h,T1) -g(X+h,T 2 ) h u(x) h h

Wenn nun h ~ 0 strebt, so folgt: 1. Tl ---* v(x) und T 2 ---* u(x), da u und v stetig sind. 2. g(x + h, Tl) ---* g(x, v(x)) und g(x + h, T2) ---* g(x, u(x)), da g auf D stetig ist. 3. gx(~,t)---*gx(x,t), da ~---*x und gx stetig ist in D. v(x + h) - v(x) u(x + h) - u(x) 4. ---* v'(x) und ---* u'(x), da u und v in Ca, b] differenzierbar sind.

h

h

Daher konvergiert der obige Differenzenquotient mit h ---* 0 gegen die rechte Seite in (3.73). Also ist differenzierbar und (3.73) bewiesen. •

f

Beispiel 3.64 Die Funktion tl---+e(x-t)2

=

g(x, t)

(3.79)


277

ist für alle XE IR eine auf IR stetige Funktion. Daher ist sie für jedes XE IR (nach t) integrierbar über jedes abgeschlossene Intervall (Band 1, Satz 9.5). Da gx auf 1R 2 stetig ist und u(x) = X und v(x) = x 2 auf IR stetig differenzierbare Funktionen sind, wird durch f(x) =

v(x)

x2

u(x)

x

J g(x, t) dt = J e(x-t)2 dt

(3.80)

eine auf IR stetige Funktion f definiert. Obwohl g nicht elementar integrierbar ist, f sich also in gewissem Sinne nicht »integralfrei« schreiben läßt, kann man f' berechnen: Nach (3.73) ist f'(x) =

J2·(x-t)·e(x-t)2dt+e(X-X2)22x-1 x

Beispiel 3.65

f eine zweimal stetig f(t) = O. Dann gilt für die

g und h seien auf IR stetige Funktionen, a und b reelle Zahlen. Ferner sei

differenzierbare Funktion, für die für alle tEIR gilt t· f"(t) Funktion w mit x

w(x, y) = Jf(u)·g(t) dt

+ f'(t) -

y

+ Jf(v)· h(t) dt,

(3.81)

b

wobei u = (y - b)·(x - t) und v = (x - a)·(y - t) sind, die Gleichung w xy - w = O. Diese Gleichung heiß t Telegraphengleichung. Beweis:

Um w nach X zu differenzieren, müssen wir nach der Leibnizschen Regel (Satz 3.18) zuerst unter beiden Integralen differenzieren (Kettenregel) und dann die entsprechenden Produkte aus (3.73) addieren. Die Ableitung des ersten Integranden nach x lautet f'(u)·(y - b)·g(t), die des zweiten f'(v)·(y - t)·h(t). Der erste Integrand an der oberen Grenze ist f(O)·g(x) - man beachte, daß für t = x sich u = 0 ergibt - dieser wird mit der Ableitung der oberen Grenze nach x multipliziert, also mit 1; die Ableitung der oberen Grenze des zweiten Integrals nach x ist O. Also erhält man x

wx(x,.y) = Jf'(u)·(y - b)·g(t)dt + f(O)·g(x) a

y

+ Jf'(v)·(y -

t)·h(t)dt.

b

Differenziert man diesen Ausdruck nach y, bekommt man x

WXy(x, y)

=

y

J[f"(u)·(y -

b)·(x - t) + f'(u)J ·g(t) dt

a

+ J[f"(v)·(y -

t)·(x - a) + f'(v)J· h(t) dt;

b

man beachte dabei, daß nach der Produktregel unter den Integralen zu differenzieren ist. Bildet man nun w xy - w und faßt entsprechende Integrale zusammen, bekommt man x

WXy(x,y) - w(x,y) =

J[f"(u)·(y -

b)·(x - t) + f'(u) - f(u)J·g(t)dt

a y

+ J[f"(v)·(y b

t)·(x - a) + f'(v) - f(v)J· h(t) dt.

278


Da die Integranden verschwinden, weil die in den eckigen Klammern stehenden Ausdrücke nach Voraussetzung Null sind, ist wxy - w = o. •

Aufgaben x2

1. Es sei f(x, y) = 2 a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) 1) m)

+ xy und !b = (1,2), P = (1,1; 1,9).

Berechnen Sie alle partiellen Ableitungen von f bis zur Ordnung 3. In welchen Punkten ist f differenzierbar? Berechnen Sie in !b das totale Differential von f. Berechnen Sie f(!b) und f(P) sowie deren Differenz f(P) - f(!b). Berechnen Sie den Wert a des totalen Differentials aus c) für die Zuwächse dx = 0,1 und dy = - 0,1. Vergleichen Sie die Zahl aus e) mit der Differenz aus d). Vergleichen Sie f(P) mit f(!b) + a; was gilt für deren Werte? Wie lautet die Gleichung z = l(x, y) der Tangentialebene an die Fläche mit der Gleichung z = f(x, y) im Flächenpunkt (1; 2; 2,5)? Berechnen Sie I(P) und vergleichen Sie diese Zahl mit denen aus d) bis f). Wie lautet grad f im Punkte (x, y)? Berechnen Sie die Richtungsableitung von f im Punkte !b in den Richtungen (2,3), (- 1, - 3), (3,2), (3,1), ( - 2, - 3), ( - 3, - 1) und ( - 1,3). Welchen Wert hat die größtmögliche aller Richtungsableitungen von f im Punkte ~ und in welcher Richtung wird sie angenommen? Skizzieren Sie Höhenlinien von f, insbesondere die durch ~ gehende Höhenlinie, und in !b die Vektoren aus k).

2. Ein beidseitig aufliegender Stab der Länge I mit quadratischem Querschnitt (Kantenlänge a klein gegen 1) wird in der Mitte mit einer Kraft belastet, er biegt sich durch. Die Durchbiegung sei durch den Winkel a (siehe Bild) gekennzeichnet. Für seinen Elastizitätsmodul E gilt dann 3 F E =_·_·P·cota. 4 a4

Es wurden gemessen:

1= (100 ± O,Ol)cm, F = (120

± 0,96) N,

a = (1 (X

± O,Ol)cm,

= 0,017 ± 0,000085.

Bild 3.53a: Zu Aufgabe 2

Schätzen Sie den absoluten und relativen Fehler bei der Berechnung von E.

3. Die magnetische Feldstärke im Mittelpunkt einer zylindrischen Spule mit 1000 Windungen und der Länge I, dem Radius r und der Stromstärke I beträgt 1000· I ( 1-2· H=H(I,I,r)=-I-·

(r)2) I .

Schätzen Sie den absoluten und relativen Fehler bei der Berechnung von H, wenn

1= (20 ± 0,01) cm, r = (2 ± 0,01) cm, 1= (1

± 0,03) A gemessen wurden.

4. Die Funktion f mit f(x, y) = x 3 . y2·(1 - x - y) ist in

[R2

auf relative Extrema zu untersuchen.

5. Die absoluten Extrema von f(x, y) = x + xy + y2 - 2x -1 y sind in den Dreiecken a) C = {(X,y)E[R21- 1 ~ x ~ 1 und ~ y ~ x + 1}; b) D = { (x, y) E [R21- 1 < x < 1 und < y < x + 1}. 2

°°

zu bestimmen.

3.2 Differentialrechnung der Funktionen mehrerer Variablen 6. f mit f(x, y) = [(x - 3)2 + (y + 1)2 - 4J' suchen.

J (x -

3)2 + (y

279

+ 1)2 ist auf relative und absolute Extrema zu unter-

7. Für welche Punkte (x, y, z), die auf der Kugel vom Radius 1 um den Ursprung (0, 0, 0) und auf der Zylinderfläche mit der z-Achse als Mittellinie liegen, ist die Summe ihrer Koordinaten am größten? vom Radius

v1

8. Welche Abmessungen muß ein quaderförmiger Behälter von 32 m 3 Rauminhalt haben, der an einer Seite offen ist, damit seine Oberfläche möglichst klein ist? *9. Ein Viereck (eben) ist so zu konstruieren, daß sein Inhalt bei gegebenen Seitenlängen möglichst groß ist. 10. Man bestimme den höchsten und tiefsten Punkt auf der Ellipse mit der Gleichung 2x 2 + 6xy + 3y2 + 6 = 0. 11. Es soll der Ohmsche Widerstand R eines Stromkreises ermittelt werden. Dazu mißt man zu verschiedenen Spannungen U den Strom I und erhält folgende Tabelle:

U [VJ

10

12

14

16

18

20

I

2,0

2,3

2,9

3,2

3,5

4,1

[mAJ

Mit der Methode der kleinsten Quadrate bestimme man hieraus R. 12. Es sei f(x, y, z) = 2xy 3 - yz2 und P = (2, 1, - 1). a) Bestimmen Sie die Richtungsableitung von f in P in Richtung zr = (3,0, 1). b) Desgleichen mit Ti = - zr. c) In welcher Richtung c ist die Richtungsableitung von f in P am größten, in welcher am kleinsten? Wie groß ist in jedem dieser Fälle diese Ableitung? 13. Beweisen Sie die Gültigkeit folgender Produktregel für Gradienten: grad (f g) = f 'grad g + g'gradf, wobei fund g auf derselben offenen Menge D c [R3 definierte Funktionen seien. 14. Die Funktion f habe in Polarkoordinaten die Gleichung z = u(r, ep) = r 2 - 8'cos2ep (Lemniskate). Wie lauten ihre partiellen Ableitungen nach den kartesischen Koordinaten x und y? 15. Die Funktionen fund g seien auf [R zweimal stetig differenzierbar und CE[R. Zeigen Sie, daß für die Funktion u mit u(x, t) = f(x + ct) + g(x - ct) die sogenannte Wellengleichung U tt = c 2·u xx gilt. 16. Untersuchen Sie die durch g(x,y) =

°

definierte Kurve, wenn g(x, y) = (x 2 + y2)2 - 8'(x 2 - y2) ist (Lemniskate).

17. Untersuchen Sie, welche der folgenden Differentialformen P(x, y) dx + Q(x, y) dy totale Differentiale sind und berechnen Sie ggf. das zugehörige Potential.

18. Für die einem Gas vom Volumen V und der Temperatur T zugeführte Wärmemenge bQ gilt unter gewissen Voraussetzungen

RT bQ =-dV + c(T)dT, V wobei R die allgemeine Gaskonstante und c(T) seine spezifische Wärme ist. a) Untersuchen Sie, ob bQ totales Differential einer Funktion der zwei Variablen (V, T) ist. b) Bestimmen Sie eine nur von T abhängende Funktion f so, daß die Differentialform f(T)'bQ totales Differential einer Funktion S von (V, T) ist. c) Wie lautet qann S(V, T), wenn c(T) = Cv = const. ist (ideales Gas)? S ist die Entropie des Gases.

280


3.3 Mehrfache Integrale (Bereichsintegrale) In diesem Abschnitt wird der Begriff des bestimmten Integrals auf Funktionen mehrerer Variablen übertragen.

3.3.1 Doppelintegrale Es sei Ge [Rl eine beschränkte abgeschlossene (nichtleere) Menge und f eine auf G definierte beschränkte Funktion. Wir gehen von folgendem Problem aus, das dem Flächeninhaltsproblem aus dem Abschnitt Integralrechnung (Band 1, Abschnitt 9.1.1) entspricht: Es sei f(P) ~ 0 für alle PEG. Wir wollen das Volumen V desjenigen Körpers bestimmen, der durch die Menge {(x, y, Z)E [R31(x, y)EG und 0 ~ Z ~ f(x, y)}

beschrieben ist (Bild 3.54). Es handelt sich dabei um einen» Zylinder«, der senkrecht auf der x, yEbene steht und nach oben durch die Fläche mit der Gleichung Z = f(x, y) und nach unten durch die x, y-Ebene begrenzt ist und dessen horizontaler »Querschnitt« G ist. Um das genannte Volumen-Problem zu lösen, werden wir analog zur Flächenberechnung (Band 1, Abschnitt 9.1.2) vorgehen. Dabei ist, wie auch dort, unwesentlich, ob f(P) ~ 0 in G, doch nur in diesem Fall lösen wir dieses Volumenproblem (s. Band 1, Definition 9.1, Bemerkung 3).

z

z= f(x"y) I I

I

I I

I I

_

--1 '-

I

I

I

----:1 I I G ~~ -~ - -------....

x

y

Bild 3.54: Der Körper, dessen Volumen bestimmt werden soll

Wir »zerlegen« G in Teilbereiche g1, gb ... ,gn und berechnen als Näherung für das gesuchte Volumen die Summe der Volumina der »Säulen« aus Bild 3.55, die nach oben waagerecht begrenzt sind. Genauer: 1. Z sei eine Zerlegung von G in n nichtleere Teilmengen 9 l' ... , gn' für die folgendes gilt: a) Jede Teilmenge gi hat einen Flächeninhait, den wir mit I1gi bezeichnen. b) Die Vereinigung aller gi ist G. c) Die gi sind paarweise disjunkt, d.h. aus i =1= j folgt gingj = 0.

3.3 Mehrfache Integrale (Bereichsintegrale)

281

d) Sei bi = sup{ IP ~ QllPEg i und QEgJ; dann heiße d = d(Z) = max{bil i = 1,2, ... , n} das Feinheitsmaß der Zerlegung Z. 2. a) In jeder Menge gi wird ein »Zwischenpunkt« P;Eg i gewählt und das Produkt f(P;)·f\..gi gebildet. b) Es wird die zur gewählten Zerlegung Z und zu den gewählten Zwischenpunkten gehörige »Riemannsche Zwischensumme« S = S(Z)

=

I

f(P;)' f\..gi

(3.82)

i= 1

gebildet (sie ist eine Näherung für das gesuchte Volumen). Bild 3.55 zeigt die Menge G in der x, y-Ebene (hier der Einfachheit wegen ein Rechteck) und eine Menge gi der Zerlegung Z (ebenfalls als Rechteck gezeichnet). In gi liegt der Punkt~. Über gi sind zwei Säulen eingezeichnet: Eine wird durch die Fläche mit der Gleichung z = f(x, y) begrenzt, die andere durch eine horizontale Ebene in der Höhef(p;). Ihre Volumina sind etwa gleich, letztere hat das Volumen f(P;)' f\..gi (Höhe mal Grundfläche). Das Bild entspricht Bild 9.5 aus Band 1.

Bild 3.55: Die zwei Säulen über gi

Nach diesen Vorbereitungen schließen wir die Definition des Integrals einer Funktion zweier Variablen an, das eine Verallgemeinerung der Definition des bestimmten Integrals von Funktionen einer Veränderlichen ist (Band 1, Definition 9.1):

282


Definition 3.33

Die Funktion f sei auf der abgeschlossenen beschränkten Menge G c IR 2 definiert und beschränkt. Dann heißt f über G integrierbar, wenn es eine Zahl 1 gibt, so daß zujedem 8> ein b > existiert, so daß für jede Zerlegung Z, deren Feinheitsmaß d(Z) < b ist, und für jede Wahl der Zwischenpunkte It gilt: 18(Z) - 11< 8.

°

°

Die Zahl 1 nennt man das Integral von f über G. Schreibweise: 1 = GS fdg. Bemerkungen:

1.

Sf dg wird auch Doppelintegral oder zweifaches Integral genannt. Der Grund hierfür ist in Formel (3.83) zu sehen.

G

2. Weitere Namen sind Bereichsintegral, Gebietsintegral. Die Menge G heißt der Integrationsbereich. Es sind folgende weitere Schreibweisen verbreitet:

GS f

GSS f(P)dg = GSS f(x,y)dxdy. 3. Ist f(P) = 1 für alle PEG, so ist GS f dg = GS dg gleich dem Flächeninhalt von G. Um Formeln zur Berechnung des Integrals einer über G integrierbaren Funktion f dg =

GS f

dg =

zu erhalten, werden wir uns auf gewisse einfache Integrationsbereiche beschränken müssen. Bei Funktionen einer Variablen beschränkt man sich bekanntlich von vornherein auf Intervalle Ca, bJ c IR. Definition 3.34

g und h seien auf Ca, bJ c IR definierte stetige Funktionen, für die g(t) ~ h(t) für alle gilt. Dann heißt jede der Mengen

J

tE Ca, b

G1 = {(X,y)EIR2Ia ~ x ~ bund g(x) ~ y ~ h(x)} G2

=

{(x, y)E IR 2 a ~ y ~ bund g(y) ~ x ~ h(y)}

ein Normalbereich in der Ebene IR

1

2

.

Bemerkungen: b

1. Die Normalbereiche G 1 und G2 haben denselben Flächeninhalt, nämlich S[h(t) - g(t)Jdt. a

2. Die Normalbereiche G 1 und G 2 gehen durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden y = x auseinander hervor (vgl. Bilder 3.56 und 3.57 miteinander). Beispiel 3.66 t2

Sei h(t) = 4 und g(t) = - sin t und Ca, bJ = [0, 2J. Dann sind G1 =

{(X'Y)E~210 ~ x ~ 2 und _ sinx ~ y ~ :2}

3.3 Mehrfache Integrale (Bereichsintegrale) und

G2 D

283

y2 ; .x; y/ 2 R 0 y 2 und sin y x 4 ˇ

2ˇ

die in Bild 3.56 und 3.57 skizzierten Normalbereiche.

y

y

1

2 y = –41 x 2 1

–1

G2 G1

2

x = –41 y 2

1

x x=–sin y

y=–sin x

–1

1



Beispiel 3.67 Der Kreis aus Bild 3.58 ist ein Normalbereich, da er sich wie folgt beschreiben läßt: o n p p .x; y/ 2 R2 j 2 x 2 und 4 x 2 y 4 x 2 :

y 2 1

1


2

x

x

284


Der folgende Satz enthält eine Existenzaussage und eine Berechnungsformel für Gebietsintegrale: Satz 3.19

Auf den Beweis des Satzes müssen wir verzichten. Bemerkungen: 1. Die Klammern um das innere Integral pflegt man fortzulassen. 2. Die Berechnung nach (3.83) erfolgt folgendermaßen: a) Man integriertf(x, y) »nach y«, d.h. man betrachtet x bez. dieser Integration als Konstante, setzt dann für y die obere Grenze h(x) bzw. untere Grenze g(x) ein und bildet die entsprechende Differenz wie beim bestimmten Integral. b) Das dann entstandene Integral ist ein gewöhnliches Integral für eine Funktion einer Variablen x, erstreckt über [a, b]. 3. Wenn

f in

GI f dg das Volumen des oben beschriebenen Körpers; b 1 für alle PEG gilt, so ist GI f dg = GI dg = I [h(x) - g(x)J dx der Flächeninhalt

G nicht-negativ ist, so ist

wenn f(P) = von G. Beispiel 3.68

Es sei G = {(x, y) 11 ~ x ~ 3 und 1 ~ y ~ x 2} (vgl. Bild 3.59) und f(x, y) = x 2 + xy. Dann erhält man 3

GJfdg

X,7,

3

3

1

1

= J .f (x 2 + xy)dydx = I [x 2y + !xy2]~:~' dx = I (x 4 +!x 5 - x 2 -!x)dx = 98,4. 1 .1

Da f(x, y) ~ 0 für alle (x, Y)EG, ist 98,4 das Volumen des Körpers, der in der x,y-Ebene durch G nach unten begrenzt ist und nach oben durch die Fläche mit der Gleichung z = x 2 + xy.

Beispiel 3.69 Es sei Cl der in Bild (3.60) skizzierte Bereich und j(x, y) '''' x. Man berechne Es ist

GJ f

dg.


285

Daher erhält man 1 x2

1

GSfdg = S S xdydx = S (x 2 o -x 0

+ x)'xdx = ±+± = ?2' y

y 9

x 5

+---+---'-'--'-="'----y =1

-1

y=-x

x

2 3 Bild 3.59: Zu Beispiel 3.68


Ist der Integrationsbereich G ein Rechteck, also alle vier Integrationsgrenzen konstant, so kommt es auf die Reihenfolge der Integrationen in (3.83) nicht an. Es kann aber sein, daß man zuerst nach x integriert und dann nach y, während es umgekehrt nicht möglich ist. So ist z.B. 2n 1

S Sex'. sin y dx d y in dieser Integrationsreihenfolge nicht zu bestimmen (da e' nicht elementar zu o

0

integrieren ist), aber dieses Integral ist gleich 1 2n

1

S S e"sinydydx= - S eX'·(cos2n-cosO)dx=O. 0 0 0

Zur Integration von Funktionen[ einer Variablen erweist sich die Substitutionsregel in vielen Fällen b

ß

als zweckmäßig (Band 1, Satz 9.25). Die Substitutionsregellautet Sf(x) dx = Sf(g(t))'g' (t) dt (wenn a

a

füber Ca, bJ integrierbar ist, g auf [0(, ßJ stetig differenzierbar und umkehrbar und g(O() = a und g(ß) = b gilt). Für Funktionen zweier Variablen x, y werden Substitutionen durch ein Paar von Gleichungen beschrieben: x = x(u, v), y = y(u, v) [Polarkoordinaten z.B. x = x(r, (p) = r'cos qJ, y = y(r, qJ) = r'sin (p]. Ziel ist dabei, a) den Integranden zu vereinfachen oder b) die den Integrationsbereich beschreibenden Ungleichungen zu vereinfachen. Dieser zweite Gesichtspunkt - fast der wichtigere-fehlt bei Funktionen einer Variablen völlig: Sowohl [a,bJ als auch [O(,ßJ sind

286


Intervalle. Es erhebt sich die Frage: Durch welchen Ausdruck ist dann d zu ersetzen? (Bei einer Variablen ist dx durch 0 .t/ dt zu ersetzen). Wir beschränken uns hier auf den praktisch wichtigsten Fall der Polarkoordinaten, durch die Kreise, Ringe u.ä. einfach zu beschreiben sind. Der folgende Satz entspricht Satz 3.19 und wird hier ebenfalls ohne Beweis angegeben: Satz 3.20 Die Funktion f sei auf der abgeschlossenen Menge G R2 definiert und stetig. und h seien auf Œa; b definierte stetige Funktionen, für alle t 2 Œa; b sei .t/ h.t/. Ferner sei x D r cos ', y D r sin '. a) Wenn G beschrieben wird durch die Ungleichungen a r b und .r/ ' h.r/ (wobei a 0 und 0 .r/ 2 und 0 h.r/ 2 für alle r 2 Œa; b vorausgesetzt werden), so ist f über G integrierbar, und es gilt G

b h.r/

s f d D s s f .r cos '; r sin '/ r d' dr: a .r/

(3.85)

b) Wenn G beschrieben wird durch die Ungleichungen a ' b und .'/ r h.'/ (wobei 0 a b 2 und 0 .'/ für alle ' D Œa; b vorausgesetzt werde), so ist f über G integrierbar, und es gilt G

b h.'/

s f d D s s f .r cos '; r sin '/ r dr d': a .'/

(3.86)

Bemerkung: Der Ausdruck r dr d' ist hier für d einzusetzen, die Grenzen sind die von G in Polarkoordinaten. Man nennt d D r dr d' das »Flächenelement« in Polarkoordinaten.

y 1 x –2

–1

1 –1


–2

2


287

Beispiel 3.70 Der in Polarkoordinaten durch die Ungleichungen 1 ~ r ~ 2 und (r - l)n ~ qJ ~ rn beschriebene Bereich G der x, y-Ebene ist in Bild 3.61 skizziert. Wir wollen den Inhalt von G berechnen. Zur Skizze: Wenn r = 1 (untere Grenze), das sind Punkte eines Kreisbogens vom Radius 1 um (0, 0), so »läuft« qJ von (r - l)n = 0 bis rn = n (0° bis 180°). Wenn r =~, das sind Punkte des gestrichelt gezeichneten Kreises, so läuft qJ von (r - l)n = in bis rn = ~n. Wenn r = 2 (obere Grenze), so läuft qJ entsprechend von n bis 2n. Für andere Werte von r, die zwischen 1 und 2 liegen, ergeben sich entsprechende Laufbereiche für den Winkel qJ. Der Inhalt von G ist nach Bemerkung 3 zu Satz 3.19 gleich GJ dg. In Polarkoordinaten ist dg = r dr dqJ und daher aufgrund der Grenzen: 2

rn

GJdg=J

J

1 (r - l)n

2

rdqJdr=nJrdr=~n. 1

Beispiel 3.71 Es soll das Volumen V des Kegels aus Beispiel 3.9 berechnet werden. Der Bereich G in der x, y- Ebene wird in Polarkoordinaten durch die Ungleichungen 0 ~ r ~ Rund 0 ~ qJ ~ 2n beschrieben. Vom Volumen des Zylinders der Höhe h, das R 2hn beträgt, subtrahieren wir das Volumen V* des Körpers, der nach unten durch den Bereich G und nach oben durch die Fläche, h deren Gleichung in Polarkoordinaten z = - r lautet, begrenzt wird (s. Beispiel 3.9). Es ist h R V* = GJ -rdg mit dg = rdrdqJ, also R R 2n h R h V* = J J -r 2 dqJdr= J -r2'2ndr=~nR2h, o 0 R 0 R

so daß V=R2hn-V*=~R2h ist, eine bekannte Formel für das Volumen eines geraden Kreiskegels. 3 Beispiel 3.72 Es ist das Volumen des in Bild 3.62 dargestellten Körpers zu berechnen: Aus dem Körper, dessen obere Begrenzungsfläche die Gleichung z = 1 - x 2 - y2 hat (Paraboloid), ist ein zylindrisches Loch gebohrt worden, dessen Achse zur z-Achse parallel ist und das den Durchmesser 1 hat. Wir berechnen zunächst das Volumen V des herausgebohrten Teiles. Es wird nach unten durch den Kreis G in der x, y-Ebene begrenzt und nach oben durch die Fläche mit der Gleichung z = 1 - x 2 - y2. Daher ist (3.87) 2 Wir verwenden Polarkoordinaten. Dann ist z = 1 - r , dg = r dr dqJ und die obere Hälfte von G wird durch die Ungleichungen 0 ~ qJ ~ in, 0 ~ r ~ cos qJ beschrieben (s. Bild 3.63). Daher folgt mit (3.87) aus Symmetriegründen tn cOSqJ

V = 2· J

tn

J (1 - r 2)'r dr dqJ = 2 J (icos 2 qJ - ~COS4 qJ) dqJ =

0 0 0

5 32

n.

288


z y

x 1-

x

2

3

"2

y Bild 3.62: Zu Beispiel 3.72

Bild 3.63: Zu Beispiel 3.72: Draufsicht

Das Volumen des Paraboloids ohne die Bohrung ist KI (1 - x 2 - y2) dg, worin K der Einheitskreis ist, in Polarkoordinaten: 0 ~ qJ ~ 27[, 0 ~ r ~ 1. Daher ist dessen Volumen gleich Zn 1

S S(l-r2)rdrdqJ=~7[. o

0

Das Volumen des genannten Restkörpers ist die Differenz ~ 7[ -

5 3 27[

=

g 7[.

3.3.2 Dreifache Integrale

Bei der Einführung von Doppelintegralen im vorigen Abschnitt ließen wir uns vom geometrischanschaulichen Begriff» Volumen« leiten. Um zu dreifachen Integralen - die für Anwendungen wichtiger sind - zu gelangen, können wir uns von geometrischen Problemen nicht mehr leiten lassen. Die Anwendungsbeispiele im folgenden Abschnitt illustrieren jedoch, daß der nun einzuschlagende Weg zu wichtigen und sinnvollen Begriffen führt. Wir werden nämlich die Definition 3.33 wörtlich übernehmen. Vorbemerkung: Ge [R13 sei eine nichtleere beschränkte abgeschlossene Menge und f eine auf G definierte beschränkte Funktion. Wir zerlegen G in Teilmengen g 1"'" gm die dieselben Eigenschaften wie die unter 1) zu Beginn des vorigen Abschnittes genannten haben mögen (dabei ist natürlichjeweils »Flächeninhalt« durch» Rauminhalt« zu ersetzen). Die Punkte 2) und 3) aus jenem Abschnitt übernehmen wir wörtlich (die Riemannsche Zwischensumme hat allerdings keine geometrische Bedeutung mehr). Die Definition 3.33 wird wörtlich übernommen, man ersetze nur [R12 durch [R13.


289

Bemerkungen: 1. Es ist weitgehend üblich, die Menge G R3 mit V (»Volumen«) oder K (»Körper«) zu bezeichnen und dann statt Gs f d zu schreiben V s f dv oder Ks f dk, auch Ks f dV ist eine verbreitete Schreibweise. 2.

K

3.

K

s f dk wird dreifaches Integral von f über K genannt, K sein Integrationsbereich. s dk ist das Volumen des Körpers K.

Um zu Berechnungsformeln, die (3.83) und (3.84) entsprechen, zu gelangen, werden wir uns wieder auf Normalbereichen entsprechende Bereiche K R3 beschränken. Definition 3.35 Es seien f1 und f2 in Œa; b R und 1 und 2 in ˚ G D .x; y/ 2 R2 jx 2 Œa; b und f1 .x/ y f2 .x/ stetige Funktionen. Dann heißt die Menge ˚ K D .x; y; z/ 2 R3 ja x b und f1 .x/ y f2 .x/ und 1 .x; y/ z 2 .x; y/ ein Normalbereich in R3 (vgl. Bild 3.64). Bemerkung: Vertauscht man in den definierenden Ungleichungen x, y und z untereinander, so entstehen weitere Mengen, die man auch Normalbereiche nennt, der Leser möge sich alle 6 möglichen Fälle veranschaulichen! Durch den folgenden Satz werden Integrale über Normalbereiche auf drei »verschachtelte« Integrale zurückgeführt: Satz 3.21 Die Funktion f sei auf dem Normalbereich K aus Definition 3.35 stetig. Dann ist f über K integrierbar, und es gilt K

s f dk D s

b f2 .x/ 2 .x;y/

s

s

a f1 .x/ 1 .x;y/

f .x; y; z/ dz dy dx:

(3.88)

Bemerkungen: 1. Die Berechnung dieses Integrals erfolgt durch Integration »von innen heraus«, völlig analog zum Vorgehen bei doppelten Integralen, man hat lediglich eine Integration mehr auszuführen. 2. Bei den anderen fünf möglichen Normalbereichen sind die Integrationen nach z, y und x entsprechend zu vertauschen.

290


3. Wenn f(P) = 1 für alle PEK, so erhält man mit b h(x)

KSfdk=S S [gl(X, y)-g[(x, y)Jdydx, a j,(x)

wie oben schon bemerkt, das Volumen von K.

z

Z=9, (x,yl

----

a

y

b x

--- ---

Bild 3.64: Der Normalbereich K

=

{(x,y,z)la ~ x ~ bund 11 (x) ~ Y ~ 12(X) und Yl(X,y) ~ z ~ Y2(X,y)}

Beispiel 3.73 Es sei K = {(x,y,Z)EIR310 ~ x ~ 2 und 0 ~y ~x und 0 ~z ~ x + Y + I}

und f(x, y, z) = 2xz + y1. Dann ist 1xx+y+l

KS f dk = S S 00

S 0

(2xz

+ y1)dzdydx =

1X[ Zl

S S 2x'- + y1z 00 2

lZ~x+y+[

dydx z=O

1x

= SS [x'(x 00

+ Y + If + y1·(X + Y + l)Jdydx

4 4 4 x x x x3l dX=[04. =S1 [ X4+_+X1+X4+2X3+X3+_+_+o 3 343 3


291

Beispiel 3.74 Es sei K

=

{(X,y,Z)IO

~x ~~ und x ~y ~ 2 und °~z ~ y} und f(x, y,z)= e'sinx- y.

Dann erhält man rr

~ 2 Y

KS f

dk =

JSS[e'sinx -

2: 2

y]dzdydx = SS[e'sinx - y"z]~:~dydx

ox 0

0 x

rr

-;:2

=

SS[eY'sinx -

y2 - sinx]dydx

Ox

=

S[e 2 sin x -

~

- 2· sin x-ex sin x + t x 3

+ x· sin x] dx

o

Wird im dreifachen Integral KS f dk eine Substitution der Variablen x, y, z durchgeführt, z.B. durch Verwendung von Zylinder- oder Kugelkoordinaten, so ergeben sich die Grenzen als entsprechende Grenzen der neuen Variablen. Es bleibt die Frage, durch welchen Ausdruck dk zu ersetzen ist. Es gilt der Satz 3.22

Es seien g1 und g2 auf [a,b]c[O,co) stetige Funktionen, für die für alle uE[a,b] gilt

o ~ g1(u) ~ gz(u) ~ 2n. Ferner seien h 1 und h z auf G = {(u, v)la ~ u ~ bund gl(U) ~

v~ gz(u)}

stetige Funktionen. Es sei K c 1R 3 in Zylinderkoordinaten durch die Ungleichungen

beschrieben und

f eine auf K stetige Funktion. Dann gilt b g2(Y) h 2(Y,cp)

KS f

dk = S

S

S·

f(x, y, z)"r dzd 00 gegen 0 konvergiert, in Beispiel 3.100 also c = O. Beispiel 3.102 Das Vektorfeld aus Beispiel 3.92 und Beispiel 3.99 v(x, Y, z)

1 = -2--2 ( -

x

+y

besitzt für alle (x,y,z)ED

=

{(x,y,z)lx 2 + y2 ,,",0 und x ""' O} das Potential U mit

y U(x,y,z)=arctan-+c. x

(3.141 )

y, x, 0)

(3.142)

cEIR,

wie man leicht bestätigt. Um den Zusammenhang zwischen Wegunabhängigkeit des Linienintegrals und der Existenz des Potentials näher zu untersuchen, müssen wir uns auf Mengen D c 1R 3 beschränken, die eine bestimmte Form besitzen. Diese Mengen werden nun beschrieben:

Definition 3.42

Die Menge D heißt ein Halbraum, wenn D durch eine Ebene begrenzt wird, wenn es also Zahlen a, b, C und d gibt mit (a, b, c) ""' (0,0,0), so daß D = {(x,y,Z)EIR3Iax

+ by + cz > d}

oder D={(X,y,z)EIR3Iax+by+cz~d}

ist.

3.4 Linienintegrale und ihre Anwendungen

325

Definition 3.43

Die Menge D c a) b) c) d)

D=

[R3

[R3

heißt ein zulässiger Bereich, wenn D offen ist und wenn gilt:

oder

D ist eine Kugel oder D ist Durchschnitt endlich vieler Halbräume oder D = K 1 \K2 , wobei K 1 und K 2 Kugeln, Halbräume oder gleich [R3 sind.

Bemerkungen: 1. K 1 und K 2 dürfen offen oder abgeschlossen sein, lediglich D muß eine offene Menge sein. 2. K 2 darf auch aus nur einem Punkt bestehen (Radius 0).

Beispiel 3.103 Die Menge D = {(X,y,Z)E[R31 0,5 < x 2

+ y2 + Z2}

ist ein zulässiger Bereich: Ist K 2 die Kugel K 2 = {(x, y, Z)E[R3Ix 2

so ist D =

[R3 \ K 2 ,

+ y2 + Z2 ~ 0,5},

und D eine offene Menge.

Beispiel 3.104 Die Menge D = {(X,y,Z)E[R31 0,5 < x 2

+ y2 + Z2 < 4}

ist ein zulässiger Bereich, denn D ist offene Menge und Differenz der Kugeln K1

=

{(x, y, Z)E[R3Ix 2

+ y2 + Z2 < 4}

K 2 = {(x, y, Z)E[R3Ix + y2 + Z2 ~ 0,5}. 2

Beispiel 3.105 Die Menge D = {(x, y, Z)E[R3Iz > O} wird durch die zulässiger Bereich.

x,

y-Ebene begrenzt und ist offen, also ein

Beispiel 3.106 Die Menge D = [R3 \ { (O,O,O)} ist ein zulässiger Bereich, da D eine offene Menge ist und {(O, 0, O)} eine Kugel vom Radius ist.

°

Beispiel 3.107 Die Menge D = {(X,y,Z)E[R3Ix 2 + y2 #o}

ist kein zulässiger Bereich, denn die (offene) Menge D besteht aus allen Punkten des Raumes, die

326


nicht auf der z-Achse liegen, da nur für diese x 2 + y2 = 0 ist. Diese Menge D läßt sich offensichtlich nicht als Differenz zweier Kugeln oder Halbräume darstellen. Der Definitionsbereich des Vektorfeldes (3.115) ist daher kein zulässiger Bereich, eine Tatsache, die weitreichende Konsequenzen hat. Satz 3.27

Bemerkungen: 1. Die Gleichung (3.143) entspricht der für bestimmte Integrale, wobei U die Rolle einer Stammfunktion spielt. 2. Man beachte die Voraussetzungen über D. Der Definitionsbereich D des Vektorfeldes v aus (3.115) ist kein zulässiger Bereich (Beispiel 3.107). Obwohl v Potentialfeld ist (Beispiel 3.102), ist das Linienintegral nicht für alle Kurven wegunabhängig (Beispiel 3.99). 3. Ist v = grad U, dr = (dx, dy, dz) (s. auch (3.129)), so ist nach (3.130) und (3.26) der Integrand

v dr =

Uxdx

+ [lydy + Uzdz = dU

totales Differential von U. Dann gilt für den Integranden in (3.127) nach der Kettenregel (3.56) .

v(r(t))'r(t)

dU

=

ili'

(3.144)

In diesem Falle erhält man die Gleichung

BdU CI vdr=cI grad Udr= I -dt= U(B)- U(A). A

dt

(3.145)

Diese Gleichung zeigt eine formal weitgehende Übereinstimmung mit dem bestimmten Integral einer Funktion einer Variablen (s. Band 1, Satz 9.16). 4. Mit den Bezeichnungen aus Bemerkung 3 kann man den Satz 3.27 unter den dort gemachten Voraussetzungen auch so formulieren: cI v dr ist wegunabhängig genau dann, wenn der Integrand v dr = V 1 dx + V 2 dy + V 3 dz totales Differential einer Funktion U ist. Wir wollen auf den Beweis des Satzes verzichten, die Formel (3.143) aber herleiten: Ist v ein Potentialfeld, so ist nach Definition v = grad U, wobei U Potential von v ist. Daraus folgt b

CI v dr = I v(r(t))·?(t)dt

b

=

I [Ux(r(t))'x(t)

+ Uy(r(t))'y(t) + Uz(r(t))·z(t)J dt.

Nach der Kettenregel (3.56) ist der Integrand die Ableitung von F(t)

=

U(x(t), y(t), z(t)),

(3.146)


327

daher bekommt man weiter b

dF(t)

cIv dr = I a

dt

b

dt

= F(t) 1= F(b) -

F(a),

a

was nach (3.146) gleich U(B) - U(A) ist. Um zu prüfen, ob ein Linienintegral wegunabhängig ist, kann man nach Satz 3.27 prüfen, ob das Feld ein Potentialfeld ist. Um das wiederum festzustellen, hat man gemäß Definition 3.41 zu prüfen, ob ein Potential existiert. Das führt gewöhnlich auf die Lösung der Gleichungen (3.132), also auf Integrationen, wie in den Beispielen gezeigt wurde. Daher wird man nach hinreichenden Bedingungen dafür suchen, daß ein Feld v Potentialfeld ist, ohne das Potential zu bestimmen. (Um zu prüfen, ob eine Funktion f einer Variablen über [a,b] integrierbar ist, wird man sie zunächst auf Stetigkeit in Ca, b] untersuchen, da diese für Integrierbarkeit hinreichend ist, man wird also nicht versuchen, eine Stammfunktion zu berechnen!) Es sei v ein Potentialfeld und U Potential: v = grad U, also gilt (3.147)

Wenn nun

v

partiell differenzierbar ist, so erhält man aus der ersten Gleichung von (3.147)

8v und aus der zweiten Gleichung UyX = 8v 1 • Wenn diese Ableitungen stetig sind, so folgt 8y 8x aus dem Satz von Schwarz (s. Satz 3.7) die Gleichheit von UXY und UyX' daher ist dann

UXY

1

=

8v 1 8y

-

8v 1 8x

-

(3.148)

Analog erhält man die Gleichungen

8v 1 8z

8v 3 ~'

8v 1 8z

8v 3 8y

(3.149)

Es zeigt sich nun, daß diese drei Gleichungen (3.148) und (3.149) notwendig und hinreichend für die Existenz des Potentials sind, es gilt Satz 3.28

Bemerkungen: 1. Die Notwendigkeit von (3.150) ist oben gezeigt worden. Auf den Beweis dafür, daß diese

Gleichungen auch hinreichend sind, wollen wir verzichten. 2. Die Gleichungen (3.150) heißen wegen der aus ihnen folgenden Formel (3.143) auch die Integrabilitätsbedingungen. Die Integrabilitätsbedingungen sind also notwendig und hinrei-

chend für die Existenz eines Potentials unter den genannten Differenzierbarkeitsvoraussetzungen.

328


Beispiel 3.108 Für das in Beispiel 3.101 behandelte Vektorfeld v(x, y, z) = (xy, x 2

+ yz, xz)

8v 8v mit dem Definitionsbereich D = [R3 gilt _ 2 = Y und _3 = 0, so daß für keine offene Menge in [R3 8z oy die Integrabilitätsbedingungen erfüllt sind. Es gibt daher keine offene Menge, in der v ein Potential besitzt.

Beispiel 3.109 Wir untersuchen erneut das wichtige Beispiel des magnetischen Feldes eines stromdurchflossenen Leiters, s. auch Beispiel 3.92, Beispiel 3.99 und Beispiel 3.102. Es sei also 1 v(x, y, z) = - 2 - - 2 ( - y, x, 0). x +Y

Es gelten in Du = { (x, y, z) E [R 31 x 2 + y2 # O} die Integrabilitätsbedingungen, wie man leicht nachrechnet. Die Menge Du ist aber nach Beispiel 3.107 kein zulässiger Bereich. a) Die Menge D 1 = {(x, y, z)E[R31 x > O} ist als Halbraum ein in Du liegender zulässiger Bereich. v hat daher in D 1 ein Potential. Man rechnet leicht nach, daß die Funktion U mit U(x, y, z) = arctan ~ Potential von x

b) Die Menge D 2

=

v auf D 1 ist; man beachte, daß U auf D 1 definiert ist.

{(x, y, Z)E[R3IY > O} ist als Halbraum ebenfalls ein in Du liegender zulässiger x

Bereich. Die Funktion U mit U(x, y, z) = arccot - ist, wie man leicht bestätigt, auf D 2 Potential von

y

v.

c) Die Menge D 3 = {(x, y, Z)E[R3Ix + y > O} ist als Halbraum auch ein in Du liegender zulässiger Bereich. Diese Menge aber enthält Punkte (x, y, z) mit x = 0 als auch solche mit y = 0; in ersteren ist die Funktion U aus a), in letzteren die Funktion U aus b) nicht definiert. Die Funktion U mit y

arctan -, wenn x # 0 U(x, y, z) =

x

x

arccot -, y

wenn y # 0

ist Potential auf D 3 , denn für alle (x, y, z)ED mit x # 0 und y # 0 (für die sich die zwei Definitionen überschneiden) gilt nach Band 1, Tabelle S. 66: arctan ~ = arccot ~. x y Wir wollen die für zulässige Bereiche gefundenen Ergebnisse abschließend in einem Hauptsatz zusammenfassen.


329

Satz 3.29

Wir wollen abschließend noch die drei wichtigen Fälle des Schwere- oder Gravitationsfeldes einer Masse, des elektrischen Feldes einer Ladung sowie des magnetischen Feldes eines geraden stromdurchflossenen Leiters untersuchen. Beispiel 3.110 Das Vektorfeld ü(x, y, z)

=

-1 J .(x, y, z) ( x2 + y2 + Z2)3

ist nach Beispiel 3.100 ein Potentialfeld. Für jedes U(x,y,z)=J

1 x

2

+ y2 + Z2

(3.151) CE~

ist die Funktion U mit

+c

(3.152)

nach (3.140) Potential von Ü. Da v m dem nach Beispiel 3.106 zulässigen Bereich D = { (x, y, Z)E ~31 x 2 + y2 + Z2 "'" O} definiert ist und dort stetige partielle Ableitungen 2. Ordnung hat, ist jedes Linienintegral ü d7wegunabhängig und für jede geschlossene Kurve C gilt e~ü d7 = (C muß natürlich in D liegen, darf also nicht durch den Ursprung (02..0, 0) gehen). Das Schwerefeld einer in (0, 0, 0) liegenden Masse m hat das Kraftfeld (Schwerefeld) F = k· ü mit einer Konstanten k > (s. Beispiel 3.87). Auch das elektrische Feld einer in (0,0,0) liegenden elektrischen Ladung q hat diese Form: I! = kü, wie in demselben Beispiel gezeigt wurde. Die Arbeit W, die erforderlich ist, um eine Einheitsmasse (Einheitslad ung) längs einer Kurve C von einem Punkt Po zum Punkt P zu bewegen, ist daher

°

W

=

es

°

es F d7

im Falle des Schwerefeldes F

(3.153)

und

es Ed7 im Falle des elektrischen Feldes E. (3.154) Da das Integral es ü d7 weg2nabhäggig ist, sind es auch die Integrale aus (3.153) und (3.154), w=

U*

=

k· U ist Potential von F bzw. E. Nach Satz 3.27 ist daher in beiden Fällen W

=

U*(P) - U*(Po).

(3.155)

Diese Formel ist Ausdruck der Tatsache, daß die Arbeit im Schwerefeld und im Coulombschen

330


Feld einer Ladung nur vom Anfangs- und Endpunkt der Kurve abhängt. Legt man einen dieser Punkte fest, etwa den Anfangspunkt Pa, so ist die Arbeit eine Funktion von P allein, eine »reine Ortsfunktion«, wie man betonend formuliert. Meist wählt man die Konstante c in (3.152) zu Null, dann gilt U ~o für r~ 00, man sagt in diesem Falle, »das Potential U verschwindet im Unendlichen«. W(P) - W(Q) ist die Arbeit, die erforderlich ist, wenn im Falle des Schwerefeldes die Probemasse von Q nach P gebracht wird. Diese Differenz ist wegen k > 0 negativ, wenn Q näher als P an der das Feld erzeugenden Masse m liegt, wenn also IQI < IPI. Man bewegt in diesem Falle die Masse von m fort. Will man die verbrauchte Arbeit als positiv normieren, so hat man U durch - U zu ersetzen, für das Potential also v = - grad U zu fordern (vgl. Bemerkung 3 zu Definition 3.41). Das geschieht in der Physik häufig. W(P) - W(Q) ist im Falle des Schwerefeldes F also die Differenz der potentiellen Energie (diese Tatsache gab dem Potential seinen Namen) und im elektrischen Feld E die elektrische Spannung zwischen Q und P (häufig ändert man auch hier das Vorzeichen).

Beispiel 3.111 ~

Es sei H(x, y, z) =

1 - 2- - 2 . ( -

~

y, x, 0) das zuletzt in Beispiel 3.109 behandelte Feld. H ist bis auf eine

x +y positive Konstante das magnetische Feld eines stromdurchflossenen Leiters, der längs der z-Achse verläuft (s. Beispiel 3.92). Nach Beispiel 3.99 ist dann cfil dr = 2n, wenn C der dort genannte den Leiter umschließende Kreis ist, einmal durchlaufen wird. Für jeden Kreis C, der den Leiter,~also die z-Achse, nicht umschließt, gilt nach Beispiel 3.109 cfil dr = O. In der Physik ist cS H dY die magnetische Spannung, ist C eine geschlossene Kurve, so spricht man von »Ringspannung«.

Wir wollen unsere Hauptergebnisse abschließend noch mit dem Begriff »totales Differential« statt »Potentialfeld« formulieren, da hiervon namentlich in der Wärmelehre Gebrauch gemacht wird. Es sei im folgenden D c [R3 ein zulässiger Bereich, P, Q und Rauf D definierte stetige Funktionen. 1. Der Ausdruck Pdx + Qdy + Rdz

(3.156)

heißt eine Differentialforrn. 2. Die Differentialform (3.156) ist totales Differential einer auf D differenzierbaren Funktion U genau dann, wenn (P, Q, R) = grad U, also P = Ux ' Q = Uy and R = ~ gilt. (P, Q, R) ist dann ein Potentialfeld, U Potential des Feldes. 3. Wenn P, Q und Rauf D stetige partielle Ableitungen erster Ordnung haben, so ist (3.156) totales Differential genau dann, wenn ~ = Qx' 1; = R x und Qz = R y ist (s. Satz 3.28). 4. Ist v = (P, Q, R), so ist das Linienintegral CSvdY = cS Pdx + Qdy + Rdz

genau dann wegunabhängig, wenn (3.156) ein totales Differential ist.

(3.157)


331

3.4.5 Divergenz und Rotor eines Vektorfeldes

Abschließend sollen noch die beiden in der Überschrift genannten Begriffe der» Vektoranalysis« behandelt werden. Es ist hier nicht der Raum, auf sie im einzelnen einzugehen, dennoch werden wir ihre anschauliche Bedeutung an einem Beispiel zu verdeutlichen versuchen. Beide Begriffe spielen in der Strömungslehre und der Elektrizitätslehre eine große Rolle. Definition 3.44

Es sei v = (v l , V 2 , v 3 ) ein auf der offenen Menge D c 1R 3 definiertes und dort differenzierbares Vektorfeld. Dann heißt das Skalarfeld

.

~

dlVV

aV ax

aV ay

aV az

2 l 3 =-+-+-

(3.158)

die Divergenz oder Quelldichte von V. Das Vektorfeld rot v

=

(av 3 _ aV 2 aV l _ aV 3 aV 2 _ av l ) ay az' az ax' ax ay

(3.159)

heißt die Rotation oder der Rotor von V. Bemerkungen:

1. Die Divergenz wird bisweilen auch Ergiebigkeit genannt. 2. Es sei betont, daß die Divergenz eines Vektorfeldes ein Skalarfeld ist, d.h. eine reellwertige Funktion dreier Variablen, die Rotation eines Vektorfeldes aber wieder ein Vektorfeld ist. 3. Man nennt diejenigen Punkte PED, für die div V(P) >0 bzw. div V(P) 0. Da E, denselben Abstand wie ~ von der z-Achse hat, nämlich i, gilt für die Drehvektoren in beiden Punkten Iw7 1= Iw 2 1.

w

w

iJS,

v

Wir berechnen nun als »Gegenstück« die Vektoren rot in den genannten Punkten. Der Leser möge sich überzeugen, daß in allen Punkten rotv(~) und wi bis auf einen konstanten positiven Faktor gleich sind. Aus rotv(P) = ( - 2yz,2xz, 0) erhalten wir die Vektoren rotv(ll), die wir den entsprechenden Vektoren i der Übersichtlichkeit wegen gegenüberstellen:

w

rotv(E,) = (-iJ:2,iJ:2,O)

= (0,0,0) w2 = (0, UJ 2 , 0) w3 = (0, UJ 3 , 0) w4 = -w3 Ws = (-w 2 ,0,0) w6 = 2w 2 w7 = (- w 7 , w 7 ' 0)

Irotv(~)1 =

Iw 7 1= Iw2 1·

rot v(~) = (0,0,0)

Wl

rot v(~) = (0, 1,0) rot v(f!,) = (0,

i, 0) i, 0) = -

rot v(~) = (0, -

rot v(f!,)

rotv(Ps) = (-1,0,0) rotv(~) =

(0,2,0) =

2·rotv(~)

1 = Irotv(~)1

Der sich hierin ausdrückende enge Zusammenhang zwischen dem Drehvektor W und der Rotation des Feldes rechtfertigt dessen Namen. Man sagt, das Feld (die Strömung) besitze Wirbel.

Aufgaben 1. Skizzieren Sie einige Vektoren des ebenen Vektorfeldes v(x,y)

(x + y,-!x 2 ).

=

2. Skizzieren Sie das ebene Vektorfeld v(x, y) = (1, sinx). 3. Veranschaulichen Sie das Vektorfeld a) v(x,y,z)=(0,0,J1-x 2 - y 2);

b) v(x, y, z) = (0,0,1 - x 2

_

y2).

4. Skizzieren Sie die Kurve mit der Parameterdarstellung r(t)

=

(Rcost, R sint,-Jf),

t~0

und berechnen Sie einen Tangentialvektor in den Kurvenpunkten r(2n) und r(4n) und r(t). 5. Veranschaulichen Sie sich die Kurve mit der Parameterdarstellung r(t) = (t 2 . cos t, t 2 . sin t, 0), a) für t ~ 0

und

b) für tEIR.

6. Veranschaulichen Sie sich die Kurve mit der Parameterdarstellung r(t) = (t2 cos t, t 2. sin t, t), t ~ 0. Hinweis: Vergleichen Sie die Kurve mit der aus Aufgabe 5a).

336


7. Diese Aufgabe dient dazu, die Herleitung des Begriffes Linienintegral zu Beginn des Abschnittes 3.4.3 an einem Beispiel verständlich zu machen. Gegeben sei das Kraftfeld F(X,y,Z)=( ; y

x +y

2'~'0), x +y

(x,y) #(0,0)

und die Kurve C mit der Parameterdarstellung r(t) = (t·cost, t·sint,O),

tElR.

n Es sei t o =-. 2 a) Skizzieren Sie Kurve und Kraftfeld in der x, y-Ebene und markieren Sie den Kurvenpunkt r(t o). b) Welche Kraft wirkt im Kurvenpunkt r(t o)? c) Welche Richtung hat die Tangente an die Kurve im Kurvenpunkt r(to)? d) Welches ist die Tangentialkomponente der Kraft in r(t o)? e) Welche Arbeit ist etwa erforderlich, um ein »Einheitsteilchen« auf der Kurve C von r(to) nach r(t o + 0,01) bzw. nach r(t o + ~t) zu bewegen (~t klein)? f) Welche Arbeit ist erforderlich, das Teilchen längs C von r(O) nach r(2n) zu bewegen? 8. Es sei E =

Ixl1 3 . x mit x =

Berechnen Sie 9. Es sei v = (2y

C

(x, y, z) und C die Kurve mit der Parameterdarstellung r(t) = (t3, t, t - 3), 2 ~ t ~ 3.

JEds.

+ 3, xz, yz -

x). Man berechne cJv dr für

°

a) C: r(t) = (2t 2, t, t 3), ~ t ~ 1. b) C: die Strecke mit demselben Anfangs- und Endpunkt wie die Kurve aus a). 10. Berechnen Sie das über das Feld v = (x 2 + y2) Linienintegral.

1.(-

y, x, 0) längs C: r(t)

= (cos t, sin t, 1), 0 ~ t ~ 4n erstreckte

11. Berechnen Sie cJv d, für v = (2x - y, - y2 z 2, xyz) und C: r(t) = (cost, sint, 0), ist C? Ist v konservativ?

°

~ t ~ 2n. Was für eine Kurve

12. Untersuchen Sie, ob das Vektorfeld v = (2xy + 2z·sinx·cosx, x 2 + Z, Y + sin 2 x) ein Potentialfeld ist und bestimmen Sie ggf. sein Potential. 13. Untersuchen Sie, ob die Differentialform (2xy

+ 2z·sinx·cosx)dx + (x 2 + z)dy + (y + sin 2x)dz

totales Differential einer Funktion f dreier Variablen ist und berechnen Sie ggf. f. Vergleichen Sie auch mit Aufgabe 12. 14. Es sei C: r(t) = (cos2nt, cos 2 nt, lnt), 1 ~ t ~ 2 und v das Vektorfeld aus Aufgabe 12. Berechnen Sie cJvdr. 15. Es sei C eine a) einmal, b) n-mal durchlaufene Kreislinie im Raum, die die z-Achse nicht schneidet und

1

v(x,y,z) = -2--2·( - y,x, 0). Welchen Wert hat

x

+y

C

t vdr?

16. Untersuchen Sie, ob das Vektorfeld v = (y, x, 0) ein Potentialfeld ist und bestimmen Sie ggf. das Potential. Ist ydx + xdy totales Differential einer Funktion f dreier Veränderlichen (x,y,z)? Wie lautet f gegebenenfalls? 17. Es seif(x, y, z) = e X + x·ln(x 2 + y2 + 1) und C:r(t) = (t2, t·ln t, 2 t ), 1 ~ t ~ 4. Berechnen Sie C gradf d r.

J

18. Es sei v

= (e',xeY,~)

19. Es sei v

=

und C:r(t)

= (cos t, sin t, 5 + cos 3t), 0 ~ t ~ 271:.

Berechnen Sie

es v dr.

grad In(x 2 + y2), C ein Kreis in der x, y-Ebene, der die z-Achse nicht schneidet. Berechnen Sie C

Jv dr.

3.4 Linienintegrale und ihre Anwendungen 20. Es sei v = grad ln(x 2 Sie c~ v d?

337

+ y2), C eine von A nach B verlaufende Gerade, die die z-Achse nicht schneidet. Berechnen

21. Beweisen Sie: Sind v und w Potentialfelder im Gebiet Ge [R3 mit den Potentialen V bzw. W, sind ferner c und d reelle Zahlen, so ist c v + dw ein Potentialfeld in G und c V + dW Potential. 22. Beweisen Sie: Ist v ein stetiges ZentralfeId mit dem Pol Pa und C ein Kreis mit dem Mittelpunkt durchlaufen, so ist v d? = O. Was gilt, wenn C nur ein Teilbogen eines solchen Kreises ist?

es

23. Es sei? = (x,y,z). Ist das Vektorfeld v = 24. Es sei

Irl 2 r

konservativ? Wie lautet ggf. das Potential von

Jb,

einmal

v?

v (x, y, z) = (yz, xz, xy). Berechnen Sie div v und rot V.

25. Es sei v das Vektorfeld aus Aufgabe 3a bzw. 3b. Berechnen Sie div v und rot v und erklären Sie anschaulich, warum diese beiden Felder quellfrei sind. Führen Sie eine ähnliche Diskussion durch, wie dies in Beispiel 3.115 gemacht wurde. 26. Das Vektorfeld v und das Skalarfeld f seien auf der offenen Menge D c [R3 definiert und haben dort stetige partielle Ableitungen zweiter Ordnung. Beweisen Sie folgende Rechenregeln: a) b) c) d)

div rot v = 0 rot grad f = 0

div(f·v)=f·divv+v·gradf rot (f· v) = f . rot v + (grad f) x V.

27. Beweisen Sie: Sind v und w auf derselben offenen Menge D c gilt div (v x w) = w'rot v - v'rot W.

[R3

definierte und differenzierbare Vektorfelder, so

4

Komplexwertige Funktionen

Dieser Abschnitt hat vor allem Anwendungen in der Wechselstromlehre zum Inhalt. Durch Einführung einer komplexen Schreibweise der Wechselstromgrößen gelingt es zum Beispiel, die Gesetze in Wechselstromkreisen analog zu denen in Gleichstromkreisen zu formulieren. Sind die Funktionswerte einer Funktion j komplexe Zahlen und die Argumente reell, so sagt man,jsei eine komplexwertige Funktion einer reellen Variablen. Sind sowohl die Funktionswerte als auch die Argumente aus C, so spricht man von einer komplexwertigen Funktion einer komplexen Variablen oder kurz von einer komplexen Funktion. In diesem Abschnitt werden zunächst komplexe Funktionen und dann solche mit reellen Argumenten behandelt.

4.1 Komplexe Funktionen Zur Veranschaulichung von komplexen Funktionen können zwei Gaußsche Zahlenebenen dienen. In der einen werden Elemente Zi des Definitionsbereiches gekennzeichnet, in der anderen die zugehörigen Funktionswerte Wi = j(Zi). Beispiel 4.1 Durch w = j(z) = Z2 mit ZEC wird eine Funktionj definiert, die jeder Zahl Z = r·ejqJEC die Zahl w = r2 ej2qJ zuordnet (vgl. Band 1, S. 195). Hat ein Punkt in der z-Ebene das Argument ep, so hat der zugehörige Funktionswert das Argument 2ep. Alle Punkte einer in der z-Ebene durch den Nullpunkt gehenden Geraden werden so auf Punkte in der w-Ebene abgebildet, die wiederum auf einer Geraden durch den Nullpunkt liegen. Alle Punkte, die in der z-Ebene auf einem Kreis vom Radius R um den Nullpunkt liegen, haben Funktionswerte, die in der w-Ebene auf einem Kreis vorn Radius R 2 um w = 0 liegen. Bild 4.1 veranschaulicht dies.

Imw 4

w-Ebene

z-Ebene Imz

2

1

"2

2 Rez

-4

-3

Bild 4.1: Veranschaulichung der Funktion u = f(z)

-2 = Z2

-1

1

7;

2

3

4Rew

4.1 Komplexe Funktionen

339

4.1.1 Lineare komplexe Funktionen Entsprechend der Definition bei reellen Funktionen verstehen wir unter einer linearen Funktion eine Funktion f mit w=f(z)=a'z+b

(a,bEiC,a""O).

Der Fall a = 0 wird ausgenommen, da w =f(z) = b eine konstante Funktion ist. 1. Wir betrachten zunächst den Fall a = 1: w = z + b.

Nach dieser Zuordnungsvorschrift wird zu jedem z die Konstante b = b j + jb z mit bj,bzEIR addiert. Das bedeutet eine Parallelverschiebung. Bild 4.2 veranschaulicht dies für b = 1 + j2.

v

z-Ebene z=x+jy

y

w-Ebene w=u +jv

4

4

< \

2

2 ....•.

4

2

X

/ /g 2

4

u

Bild 4.2: Veranschaulichung der Funktion w = z + 1 + j2

2. Wir betrachten nun den Fall a "" 0, a "" 1 und b = O. Es ist dann w = a' z, und es wird jeder z-Wert mit derselben komplexen Zahl a multipliziert. Da bei einer Multiplikation komplexer Zahlen die Argumente addiert und die Beträge multipliziert werden, wird für alle ZEiC zum Argument arg z derselbe Winkel arg a addiert und jeder Betrag Izl wird mit lai multipliziert. Man spricht deshalb von einer Drehstreckung. In Bild 4.3 ist die Abbildung w = (1 + j ). z veranschaulicht. 3. Im allgemeinen Fall ist die lineare Funktion w=f(z)=a'z+b als Verkettung goh der Funktionen h mit h(z) = a' z und g mit g(() = , + beine Drehstreckung mit nachfolgender Parallelverschiebung. 4.1.2 Die Funktionfmitf(z)

1

=-

z

1 Die auf iC\ {O} definierte Funktion f mit w =f(z) = - ordnet jeder von Null verschiedenen z komplexen Zahl z = r'ej
0 über dem Ohmschen Widerstand R mit der Gleichspannung Uo aufgeladen (vgl. Bild 5.1). Wir bestimmen den zeitlichen Verlaufder am Kondensator anliegenden Spannung uc ( t) und des in den Kondensator fließenden Stromes ic(t).

6r---------lc=]t----l uot ~~

~)

t

T

4:(f)

Bild 5.1: Aufladung eines Kondensators

Aus der Physik entnehmen wir 1

uc(t) =

-

t

SicCr) d!.

Co

(5.2)

Durch Anwendung der Kirchhoffschen Regeln erhalten wir Uo = uR(t) + uc(t), wenn wir mit uR(t) die am Widerstand R abfallende Spannung bezeichnen. Nach dem Ohmschen Gesetz folgt weiter (5.3)

358

5 Gewöhnliche Differentialgleichungen

Durch Einsetzen in Gleichung (5.2) ergibt sich 1

V o - Ric(t) =

-

t

SicCr) dr

Co

und durch Differentiation nach t (vgl. Band 1, Formel (9.9) auf Seite 474): - R

di (t) -t-

1

=

C ic(t).

(5.4)

In dieser Gleichung sind der Strom ic(t) und seine Ableitung miteinander verknüpft. Eine Gleichung zur Bestimmung einer Funktion heißt Differentialgleichung, wenn sie mindestens eine Ableitung der gesuchten Funktion enthält. Die Ordnung der in der Differentialgleichung vorkommenden höchsten Ableitung der gesuchten Funktion heißt Ordnung der Differentialgleichung. Hängt die in der Differentialgleichung gesuchte Funktion nur von einer Veränderlichen ab, so nennt man die Differentialgleichung gewöhnlich. Enthält die Differentialgleichung partielle Ableitungen, so heißt sie partiell. Beispiel 5.3 a) Gleichung (5.1) ist eine gewöhnliche Differentialgleichung der Ordnung 2 für die Funktion x. b) Gleichung (5.4) ist eine gewöhnliche Differentialgleichung der Ordnung 1 für die Funktion i c ' c) y"'(x) + 2y'(x) + 3y(x) = sin x ist eine gewöhnliche Differentialgleichung der Ordnung 3 für die Funktion y. 8u(x, y) = ou(x, y) 1st .. . 11e D·ffi . 1g1elc . h ung d er 0 rd nung 1 f"ur d'le F un k·tIon u. d) --eIne partIe 1 erentIa ox 8y

Wir wollen in diesem Abschnitt nur gewöhnliche Differentialgleichungen behandeln. Aus den obigen Erklärungen ergibt sich: Eine gewöhnliche Differentialgleichung der Ordnung n hat die implizite Form F(x, y, y', ... , y(n))

=0

(5.5)

oder, falls die Auflösung nach der höchsten Ableitung möglich ist, die explizite Form y(n) = f(x, y, y', ... , y(n-l)).

Wir haben hier mit x die unabhängige Variable bezeichnet, mit y die gesuchte Funktion y", ... , y(n) die zugehörigen Ableitungen.

(5.6) 1

),

mit y',

1) Die Bezeichnungsweise einer Funktion unterscheidet sich in diesem Abschnitt von der in diesem Buche üblichen. Wir sprechen hier von der Funktion y = f(x) oder y(x) als Abkürzungfürf x ~ f(x) oder y: x ~ y(x). Diese etwas kürzere Sprechweise ist bei Differentialgleichungen üblich. Wir wollen ferner die Sprechweise »der zu f gehörige Graph« in einigen Fällen ersetzen durch »die Kurve y = f(x)«.

5.1 Grundlegende Begriffe

359

Definition 5.1

Eine Funktion y = ep(x) heißt Lösung oder Integral der Differentialgleichung F(x, y, y', ... , y(n)) = 0

bzw.

y(n) = f(x, y, y', ... , y(n-1))

auf dem Intervall I, wenn a) ep auf dem Intervall I n-mal differenzierbar ist und b) F(x, ep(x), ep'(x), ... , ep(n)(x)) = 0 bzw. ep(n)(x) = f(x, ep(x), ep'(x), ... , ep(n-1)(x)) für alle XEI gilt. Bemerkung:

Man sagt in diesem Falle, daß die Differentialgleichung von y = ep(x) gelöst wird. Beispiel 5.4 Die Differentialgleichung y" + Y = 0 hat auf [R als Lösung y = sin x. Die Sinusfunktion ist zweimal stetig differenzierbar. Es ist y' = cos x, y" = - sin x, also y" + Y = O. Weitere Integrale der Differentialgleichung sind etwa y = cos x oder y = 2· sin x - 3· cos x. Beispiel 5.5 Die für den Strom ic(t) geltende Differentialgleichung (5.4) wird auf [R; durch 1

ic(t) = k·e -

t

R·C

für jedes

kE[R

(5.7)

gelöst. Die Herleitung dieser Lösung erfolgt später. Es gibt also, bedingt durch die beliebige Konstante k unendlich viele Lösungen der Differentialgleichung (5.4). Man kann zeigen (vgl. Beispiel 5.9), daß man durch (5.7) sogar alle Lösungen der Differentialgleichung (5.4) erhält. Da das physikalische Problem genau eine Lösung hat, muß es möglich sein, k zu bestimmen. Zur Zeit t = 0 gilt nach (5.3) wegen uc(O) = 0 (5.8) Wir erhalten durch Einsetzen von t = 0 in (5.7) in Verbindung mit (5.8)

Ua

ic(O) = k =R.

(5.9)

Als Lösung von (5.4) mit (5.9) ergibt sich U __l_ t ic(t) = - ae R·C R

für tE[R;.

Für die am Kondensator anliegende Spannung folgt dann aus (5.3)

360


t Bild 5.2: Spannungsverlauf beim Aufladen eines Kondensators

Wie wir an den Beispielen 5.4 und 5.5 gesehen haben, kann eine Differentialgleichung mehr als eine Lösung haben. Wir vereinbaren Die Menge aller Lösungen einer Differentialgleichung heißt deren allgemeine Lösung oder allgemeines Integral.

Beispiel 5.6 a) Die allgemeine Lösung von (5.4) ist 1

I c = {i c Iic (t)

=

k· e - R· C t mit k E [R} .

Der Beweis folgt später. b) Gegeben sei die Differentialgleichung y" + Y = O. Man kann zeigen, daß Y

= {YI y(x) = Cl COS X + Cl sin x mit Cl' Cl E[R}

die allgemeine Lösung ist. Der Beweis folgt später. Es ist üblich, auch (5.10) als allgemeine Lösung zu bezeichnen. Das hat den Vorteil, daß Formulierungen wie: »man differenziert die allgemeine Lösung« oder »man setzt die allgemeine Lösung in die Differentialgleichung ein« sinnvoll sind, weshalb wir im folgenden die allgemeine Lösung einer Differentialgleichung meist in der Form (5.10) angeben werden. Beispiel 5.7 Die Differentialgleichung y'" - y" - y' + Y = 0 wird von y = a·e + b'e -x + c'sinh x mit a, b, CE [R gelöst. Das ist aber nicht die allgemeine Lösung, da die Differentialgleichung auch noch von y = x'e gelöst wird und man dieses Integral durch keine Wahl der Konstanten a, b, C aus der ersten Lösung gewinnen kann. X

X

Die allgemeine Lösung einer Differentialgleichung enthält Konstanten, die wir als Integrationskonstanten bezeichnen.


361

Jedes durch eine spezielle Wahl aller Konstanten in der allgemeinen Lösung entstehende Integral der Differentialgleichung heißt spezielle oder partikuläre Lösung. Die Konstante der Lösung in Beispiel 5.5 läßt sich durch eine zusätzliche Bedingung festlegen. Bei einer Differentialgleichung der Ordnung n gelingt das in einigen Fällen durch Vorgabe von n Bedingungen. Man unterscheidet Anfangsbedingungen und Randbedingungen. In Beispiel 5.5 ist (5.8) eine solche Anfangsbedingung. Man sagt deshalb auch, man habe ein Anfangswertproblem gelöst. Allgemein vereinbart man Gegeben sei die Differentialgleichung y(n) = f(x, Y, y', ... ,y(n-t») sowie x o,Yo,Yt, ... , Yn-l ER Dann bezeichnet man als Anfangswertproblem die Aufgabe, eine Funktion zu finden, die a) der Differentialgleichung auf dem Intervall I mit xoEI genügt und b) die Bedingungen y(x o) = Yo,

y'(x o) = Yl'

y"(x o) = Yb···, in-t(x o) = Yn-l

(5.11)

erfüllt. Die Werte Yo, Yl' ... ' Yn-t EIR1 heißen Anfangswerte, die Bedingungen (5.11) Anfangsbedingungen, X o heißt Anfangspunkt. Unter gewissen Bedingungen hat das Anfangswertproblem genau eine Lösung. Es gilt

Satz 5.1 (Existenz- und Eindeutigkeitssatz)

Auf den Beweis soll verzichtet werden.

Bemerkung:

Man kann diesen Satz verwenden, um nachzuprüfen, ob eine Menge M von Lösungen der Differentialgleichung (5.12) die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung ist: Die Funktion f erfülle auf ganz IR1 n + 1 die Voraussetzungen des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes. Dann ist die Menge der Lösungen aller Anfangswertprobleme gleich der allgemeinen Lösung der Differentialgleichung (5.12). Um in diesem Falle zu beweisen, daß eine Menge M von Lösungen dieser Differentialgleichung die allgemeine Lösung ist, genügt es, zu zeigen, daß die Lösung jedes Anfangswertproblems (5.12) und (5.13) Element von Mist.

362


Beispiel 5.8 Die Funktion f mit f(x, u, u l ) = -

erfüllt aufganz [R3 die Voraussetzungen des Existenz- und vf of of(x, u, u l ) of(x, u, u l ) Eindeutlgkeltssatzes. Es sInd namhch f, - , - wegen = -1, = 0 auf [R3 OU oU l OU oU l st et Ig. o

0

0

0

U

00'

o

Daher hat das Anfangswertproblem yl/ = f(x, y, y') = - y mit beliebigen Anfangsbedingungen y(x o) = Yo, y'(x o) = Yl genau eine Lösung. Sind k l , k 2 reelle Zahlen, so ist (5.14) Lösung obiger Differentialgleichung. Es ist sogar jede Lösung in dieser Form darstellbar. Setzt man nämlich die Anfangswerte ein, so folgt

k l sinx o + k 2 cosx O = Yo k l cosX o - k 2 sinx o = Yl' Wegen Sinx o cos X o I = - (sin 2 X + cos 2 x ) = - 1 #- 0 o o sInx o cosx o I hat dieses Gleichungssystem für k l , k 2 die eindeutige Lösung (vgl. Band 1, Satz 6.17)

D=

0

o

k 1 = Yo sinx o + Yl cosx o

k 2 = - Yl sinx o + Yocosx o'

Die Lösung des Anfangswertproblems ist also Y = (Yo sin X o + Yl cos x o) sin x + (Yo cos X o - Yl sin x o) cos x.

Da die Lösung eindeutig bestimmt ist, ist jedes Integral dieser Differentialgleichung in der Form (5.14) darstellbar. Beispiel 5.9 Die Differentialgleichung (5.4) erfüllt ebenfalls die Voraussetzungen des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes (Satz 5.1). Es ist nämlich die

1

0

0

d(= - R·Cle=f(t,lJ. fund die partielle Ableitung 1

:!

sind stetig auf

IR~ x IR. Die Lösung (5.7)

ist die allgemeine

lc

to

Lösung, da man wegen e- RoC #- 0 für alle t o, io jede Anfangsbedingung erfüllen kann. Beispiel 5.10

x

Die Differentialgleichung Y' = f(x, y) = - - + 2

~2

- + Y mit der Anfangsbedingung y(2) = - 1 4

erfüllt die Voraussetzungen des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes (Satz 5.1) nicht. An der Stelle Xo =

2, Yo = - 1 existiert die partielle Ableitung von f nach Y nicht. Es ist fy(x, y) = 2

J

1

ix

2

+Y

für


363

y# -iX2. Das obige Anfangswertproblem hat fürx~2 die beiden Lösungen y= -ix 2

und y = - x + 1, wie man durch Einsetzen bestätigt. In Bild 5.3 sind die beiden Lösungen skizziert.

y

2

3

4

5

x

-1

-2 -3 =-x+1

-4


Beispiel 5.11 Die Funktion g sei auf dem Intervall (a, b) stetig. Ist y Lösung der Differentialgleichung + g(x)y = 0 und ~E(a, b) Nullstelle von y, so ist y die Nullfunktion auf (a, b).

y'

Dazu betrachten wir das Anfangswertproblem y'

+ g(x)y = 0 mit

y(~)

= O.

Es hat nach dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz (Satz 5.1) in (a, b) genau eine Lösung. y = 0 ist Lösung des Problems und damit auch einzige Lösung. Wir betrachten Randwertprobleme. Hierbei werden Funktionswerte an verschiedenen Stellen vorgeschrieben. Wir wollen Randwertprobleme nur an Beispielen behandeln. Eine allgemeine Aussage übersteigt den Rahmen dieses Buches. Beispiel 5.12 Gesucht sind Lösungen der Differentialgleichung y" + Y = 0 mit den folgenden Randbedingungen: a) y( 0) = 1, y ( ~ n) = O.

Nach Beispiel 5.8 ist die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung y = k 1 sin x + k 2 cos x. Die Randwerte fordern y(O) = k2 = 1, y(~ n) = k 1 = O. Wir erhalten als Lösung y = cos x. b) y(O) = 1, y(n) = O. Es folgt y(O) = k 2 = 1, y(n) = - k 2 = O. Diese beiden Gleichungen enthalten einen Widerspruch. Es existiert keine Lösung des Randwertproblems.

364


c) y(O) = 1, y(n) = - 1. Wegen y(O) = k 1 = 1, y(n) = - k 1 = - 1 ist k 1 = 1 eindeutig bestimmt, k l ist beliebig. Es gibt unendlich viele Lösungen, nämlich y = k 1 sinx + cos x mit k 1 E [R.

Aufgaben 1. Man zeige, daß y = ce -4x die allgemeine Lösung der Differentialgleichung y' + 4y = 0 ist. 2. Hat das Anfangswertproblem y' = -

~2 -

J

2

y + x mit y(O) = 1 genau eine Lösung? 4

3. Man zeige, daß das allgemeine Integral der Differentialgleichung y" - y = 0 in der Form a) y = a'e x + b'e- x; b) y = a'e X + b'sinh x; c) y = a'sinh x + b'cosh x darstellbar ist. 4. Man löse unter Zuhilfenahme von Aufgabe 3 das Anfangswertproblem y" - y = 0 mit y(O) = 0, y'(0) = 1. 5. Man löse unter Zuhilfenahme von Aufgabe 3 das Randwertproblem y" - y = 0 mit y(O) = 0, y(l) = 1. 6. Man zeige, daß y = a' e

X

+ b· e - x + C' sinh x + d· cosh x Lösung, aber nicht allgemeine Lösung von y 0 entgegen (r heißt Reibungskoeffizient), wobei v(t) die Geschwindigkeit des Massenpunktes ist. Nach einem Grundgesetz der Mechanik ist dann dv

m - = F - rv dt '

also

mdv

F

r dt

r

v+--=-.

5.2 Differentialgleichungen erster Ordnung

387

Es handelt sich um eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung. Die allgemeine Lösung ist

F

v = ke - rt/m + - mit k E~. Ist v = r

°

zur Zeit t = 0, so folgt k =

F

- -

r

und wir erhalten (5.25)

Bilden wir in (5.25) den Grenzübergang für

F

t -+ 00,

so ergibt sich lim v = -. Bei Reibung kann die r

t-+ 00

F Geschwindigkeit also nicht beliebig groß werden, sie kann den Grenzwert - nicht überschreiten. r

Der Verlauf der Geschwindigkeit ist in Bild 5.19 dargestellt. v(t)

E r

t Bild 5.19: Geschwindigkeits-Zeitdiagramm beim freien Fall mit Reibung

Spannungsverlauf an einer verlustbehafteten Spule Nach der untenstehenden Schaltung soll die Ausgangsspannung ua(t) angegeben werden. Die Größen ue(t), L, R sind dabei als bekannt vorauszusetzen.

Va - - - - - - - - - - -

f Bild 5.21: Skizze zu Beispiel 5.41

Bild 5.20: Serienschaltung einer Spule

und eines Ohmschen Widerstandes

Mit den in der Schaltung gewählten Richtungspfeilen ist ua(t) = ue(t) - uL(t). Wegen di(t) uL(t)=Ldt

und

. uR(t) ua(t) z(t)=-=-

R

R

388


folgt udt) =

~ dua(t) und wir erhalten für ua(t) die Differentialgleichung R

dt

(5.26) Es handelt sich um eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung. Die allgemeine Lösung ist nach (5.20) ua(t) =

e-~t( k + ~ Je~t Ue(t)dt)

mit kEIft

(5.27)

Beispiel 5.41 Ist in (5.27) ue(t) = Va eine Gleichspannung, so folgt ua(t) = ke _~t + Va' Fordern wir weiter ua(O) = 0, so ist k = - Va und ua(t) = V a(l - e _~t). Der Spannungsverlauf ist in Bild 5.21 dargestellt. Beispiel 5.42 Ist in (5.27) ue(t) = sin t, so erhält man wegen t

SerR sin t dt = erR

t 2

L

R)

2

2

(

-

R +L

cos t + - sin t L

die Ausgangsspannung

ua(t)=ke-~t + R zRL z(-cost+~sint). +L L

(5.28)

Wir zerlegen ua(t) in u 1 (t)

=

ke-~t

und

uz(t) =

zRL z ( - cos t + ~sin t). R +L L

Es ist lim u 1 (t) = 0, so daß nach genügend großer Zeit ua(t) ~ u 2 (t) gilt. Man bezeichnet u 2 (t) daher t~oo

als stationäre Lösung. u 1 (t) ist Lösung der zu (5.26) gehörigen homogenen Differentialgleichung, u 2 (t) spezielle Lösung von (5.26). Wir wollen u 2 (t) in der Form A sin(t + Ci) mit geeigneten A, CiE [R darstellen. Es muß gelten A(sin t cos IX + cos t sin IX) =

zRL z ( - cos t + ~ sin t). L

R +L

Diese Gleichung ist erfüllt, wenn A cos Ci =

R2 2

2

R +L

gilt. Daraus folgt A z =

und

A sin Ci =

-RL 2

2

R +L

R 2 (R 2 + L2 ) z z z . Wir setzen A = (R

+L )

J R R+ 13 .dann ist tan 2

L

IX

= - - und wegen R

5.2 Differentialgleichungen erster Ordnung n sin a < 0, cos a > 0 ergibt sich - - < a < 2

u 2 {t) =

389

o. Wir erhalten

J R R+ L Sin(t-arctan~). R 2

2

n u 2 (t) ist gegenüber ue(t) phasenverschoben. Diese Phasenverschiebung ist kleiner als -. Die Funktionen ue(t) und u 2 (t) sind in Bild 5.22 dargestellt. 2 U

f

Bild 5.22: Skizze zu Beispiel 5.42

Spannungsverlauf an einem Re-Glied

In der unten stehenden Schaltung soll die Spannung uR(t) berechnet werden, wobei R, C, ue(t) bekannt sind.

r-im tue(f)

1

--------'

Bild 5.23: Serienschaltung eines Kondensators und eines Widerstandes

Mit den gewählten Bezeichnungen und Richtungspfeilen gilt ue(t) = uc(t) + uR(t). Wegen 1t uc(t) = - SicCr) dT Co

und

uR(t) = R· ic(t)

folgt 1

ue(t) =

-

t

SicCr) dT + Ric(t)·

Co

Differenzieren wir diese Gleichung nach t, so ergibt sich weiter due(t) dt

1. dic(t) (t)+R-C c dt

--=-l

390


Diese lineare Differentialgleichung erster Ordnung hat die allgemeine Lösung (s. (5.20))

due(t) ~t dt ) , ic(t)=e -~t RC ( k+ 1 S~eRC

R

woraus (5.29) folgt.

Beispiel 5.43 Wir wählen in (5.29) speziell ue(t) = sin t. Dann ist 1 1 t uR(t) = e - RC (kR + Scos te Rct dt) __l_ t RC R 2C 2 =e R·C ·k·R+ cost+ sinto 2 2 1+ R C 1 + R 2c 2 1 t Wir zerlegen wie in Beispiel 5.42 in u 1(t) = e - RC ·k· R mit lim u 1 (t) = 0 und in die stationäre t -+ 00 Lösung

u 2(t) =

RC 2

I+RC

2cos t +

R 2C 2 2

I+RC

2

sint .

Der Ansatz u 2 (t) = A sin(t + a) ist erfüllbar durch A =

J 1 +RCR 2C 2 und tan a = -RC1 mit 0 < a 0 und cos a > O. Es tritt wie in Beispiel 5.42 eine Phasenverschiebung ein. Hier ist a allerdings positiv, dort war a negativ. Man erhält dadurch in Beispiel 5.42 eine Verschiebung der Eingangsspannung ue(t) nach links, während hier eine Verschiebung nach rechts stattfindet. Es ist zu vermuten, daß durch eine Hintereinanderschaltung einer geeigneten Spule und eines geeigneten Kondensators diese Phasenverschiebung zu Null gemacht werden kann.

Aufgaben 1. Lösen Sie folgende Differentialgleichungen 1 + y2 a) xyy'=--; 1 + x2

c) x 2y'

=

x2

+ xy + y2;

e) y' + 2y = cosx; g) y2 _ x 2 + xyy' = 0; i) (x 2 + xy)y' = x 2 + y2; k) y' + ytanx=cosx;

b) y'

=

sin(x - y);

x2 + y2

d) y ' = - - ; xy f) xy' = x 2 - y; 2 h) (x + xy + 2y 2) y' = xy + y2 j) (3x - 2 y )y' = 6x - 4 y + 1; 1) y' + ytanx = 2sinxcosx.

5.2 Differentialgleichungen erster Ordnung

391

2. Mit Hilfe der angegebenen Substitution löse man die folgenden Differentialgleichungen a) y' + ~ = y3

Substitution: z = y - 2;

X

b) y' - y =

~ Substitution: z = 3y 2

y3.

3. Lösen Sie die folgenden Anfangswertprobleme a) y'+2y=x

mit

y(O)

=

1;

b)

c) (x + Y + l)y' = x + Y - 2 mit

y'+2~=ex mit x

y(I)=e;

y(O) = O.

4. Bestimmen Sie die Differentialgleichungen folgender Kurvenscharen a)

X

2 +y2=C 2;

x

2

b) y=c-cosx;

d) y = cx + c 3;

c) 2" + y2 = 1; C

e) alle Kreise mit r = 1 und dem Mittelpunkt auf der x-Achse; f) alle Parabeln 2. Ordnung mit dem Scheitel im Nullpunkt. 5. Berechnen Sie die orthogonalen Trajektorien folgender Kurvenscharen a) x 2 + y2

=

c2;

c) y=clnx;

b) y = cx 2; (x-l)2 d) y=c---.

x

6. Gesucht sind alle Kurven, bei denen die Tangentenabschnitte zwischen den Koordinatenachsen durch die Berührungspunkte halbiert werden. 7. Es sollen diejenigen Kurven bestimmt werden, bei denen der Schnittpunkt der Tangente mit der Ordinatenachse vom Ursprung des Koordinatensystems jeweils den gleichen Abstand hat wie der Berührungspunkt der Tangente mit der Kurve. 8. Bestimmen Sie alle Kurven der Ebene, deren Subtangenten (Abstand des Schnittpunktes der Tangente mit der x-Achse von der Projektion des Berührungspunktes auf die x-Achse) ein konstantes Längenmaß besitzen. 9. Man bestimme alle Kurven, deren Subtangenten gleich den zugehörigen Subnormalen (Abstand des Schnittpunktes der Normalen mit der x-Achse von der Projektion des Schnittpunktes der Normalen mit der Kurve auf die x-Achse) sind. 10. Für welche den Ursprung enthaltende Kurve ist der Subnormalenabschnitt überall gleich dem geometrischen Mittel aus den Koordinaten des zugehörigen Punktes? 11. Bei welchen Kurven ist der Flächeninhalt des von den Achsen, der Tangente und der Ordinate begrenzten Trapezes gleich I? 12. Aus einem Behälter, der bis zur vom Boden aus gemessenen Höhe hmit Flüssigkeit gefüllt ist, ströme diese durch ein Loch im Boden mit der Geschwindigkeit v = 0,6' (g = Erdbeschleunigung) aus. Wann hat sich eine mit Wasser gefüllte Halbkugel mit dem Radius 1 m durch ein unten angebrachtes Loch mit der Öffnung 5 cm 2 entleert?

-fiih

13. Ein Spiegel ist so auszubilden, daß parallel einfallende Strahlen so reflektiert werden, daß diese durch einen Punkt gehen. 14. Man berechne lim i(t) für die Schaltung aus Bild 5.20 für ue(t) = U oElR und i(O) = O. t-+w

15. Man berechne lim i(t) für die Schaltung aus Bild 5.23 für ue(t) = U oElR. t-+w

392


5.3 Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten Die Funktion der Form

f sei auf dem Intervall (a, b) stetig und ao, a 1E~. Eine Differentialgleichung (5.30)

bezeichnet man als lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienf die Nullfunktion, so heißt die Differentialgleichung homogen, sonst inhomogen. f heißt Störfunktion oder Störglied. ten. Ist

Die Lösungen der Differentialgleichung (5.30) lassen sich ähnlich wie die Lösungen der linearen Differentialgleichung erster Ordnung finden. Es gilt ein zu Satz 5.3 analoger Satz 5.5

Der Beweis bleibt dem Leser überlassen. Um die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (5.30) zu erhalten, ist nach Satz 5.5 folgendes Vorgehen zweckmäßig: Man bestimmt a) alle Lösungen der zugehörigen homogenen Differentialgleichung, b) eine Lösung der Differentialgleichung (5.30).

5.3.1 Die homogene Differentialgleichung

Die homogene Differentialgleichung erfüllt in ganz ~3 die Voraussetzungen des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes (Satz 5.1). Zu beliebigen Anfangsbedingungen y(x o) = Yo, /(x o) = Yl mit x o, Yo, Yl E~ gibt es also eine eindeutig bestimmte Lösung. Umgekehrt ist eine Lösungsschar die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung, wenn diese Lösungsschar für alle x o, Yo, Yl E~ jeweils eine Funktion enthält, die die Anfangsbedingungen y(x o) = Yo, /(x o) = Y1 erfüllt. Beispiel 5.44 Die Differentialgleichung y" + 2/ - 3y = 0 wird gelöst durch Y = a·e mit aE~. Diese Lösungsschar enthält aber nicht für alle x o, Yo, Y1 E ~ jeweils eine Funktion, die zusätzlich den Anfangs-

5.3 Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

393

bedingungen y(x o) = Yo, y'(x o) = Yl genügt. Fordern wir beispielweise y(O) = 1, so folgt a = 1 und Y = e X • Eine zweite Anfangsbedingung y'(0) = 2 ist dann nicht mehr mit dieser Lösung erfüllbar. Das gleiche gilt für Y = beX+c mit b, cEIR oder y = d·e- 3x mit dER Kombinieren wir jedoch die Lösungen y = a· e und y = d·e - 3x in der Form y = a· eX + d·e - 3\ so erhalten wir hierdurch die allgemeine Lösung der Differentialgleichung. Durch Einsetzen zeigt man zunächst, daß auch die Summe Lösung ist. Es lassen sich auch beide Anfangsbedingungen mit jeweils einer Funktion dieser Lösungsschar erfüllen. Wir erhalten nämlich y(x o) = a·e XO + d·e- 3xo = Yo, y'x o) = a·e o - 3d·e- 3xo = Yl· Beide Bedingungen sind für a = ie-XO(3yo

+ Yl)'

d = ie 3Xo (yo - Yl)

erfüllt. Es ist zu vermuten, daß die allgemeine Lösung zwei frei wählbare Konstanten enthalten muß, da auch zwei Anfangsbedingungen zu erfüllen sind. Allerdings ist nicht jede Lösungsschar, die zwei frei wählbare Konstanten enthält, allgemeine Lösung, wie Y = b·e+ c zeigt. Die beiden Anfangsbedingungen y(O) = 1, y'(0) = 2 führen nämlich wegen be c = 1 und be c = 2 auf einen Widerspruch. Eine Kombination der Lösungen Y = a·e X und Y = b·ex+c in der Form y = a·e + b·ex+c liefert auch nicht die allgemeine Lösung, wie man leicht nachweist, obwohl diese Kombination sogar drei frei wählbare Konstanten enthält. Um die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung zu erhalten, werden wir auch komplexwertige Funktionen einer reellen Veränderlichen betrachten. Es seien ao, a 1 EIR, u, v seien auf dem Intervall I definierte Funktionen, die Funktionen f, 9 seien auf I stetig. Dann heißt die komplexwertige Funktion w = u + jv Lösung der Differentialgleichung y" + ad + aoy = f(x) + jg(x), wenn u Lösung der Differentialgleichung y" + ad + aoy = f(x) und v Lösung der Differentialgleichung y" + ad + aoy = g(x) ist. Bemerkung: Ist 9 die Nullfunktion, so erhält man die Differentialgleichung (5.30). Als Verallgemeinerung von Beispiel 5.44 gilt Satz 5.6

Der Beweis folgt durch Einsetzen der Linearkombination in die homogene Differentialgleichung. Wir betrachten zunächst noch einmal die lineare Differentialgleichung erster Ordnung y' + a· y = 0 mit aEIR. Diese Differentialgleichung ist separabel, sie hat die allgemeine Lösung y = ke- ax mit kEIR. Die Lösung können wir auch durch einen speziellen Ansatz bestimmen, wir setzen y = A ·e Ax mit A, lEIR. Dann ist y' = A},e AX , und wir erhalten durch Einsetzen AeAx(l + a) = O. Diese Gleichung ist mit l = - a für alle x erfüllt, und es ergibt sich y = Ae -ax.

394


Es muß jetzt noch gezeigt werden, daß dies die allgemeine Lösung ist, d.h. daß mit der Lösung jedes Anfangswertproblem zu lösen ist. Wir gehen bei der homogenen Differentialgleichung zweiter Ordnung ähnlich vor und machen auch hier den Ansatz Y = Ae AX

mit A, AEC.

Um die allgemeine Lösung zu erhalten, müssen wir komplexe Werte zulassen. A soll so bestimmt werden, daß Ae AX Lösung der betrachteten Differentialgleichung ist. Aus y" + a 1' y' + ao' y = 0 folgt dann AeAX()~2 +

a 1' A+ ao) = O.

Da A = 0 nicht die allgemeine Lösung liefert und e AX nicht verschwindet, muß A2 + a 1 A+ ao = 0 sein. Definition 5.3 Das Polynom p(A) = A2 + a 1 ' A+ ao heißt charakteristisches Polynom der Differentialgleichung y" + a 1y' + aoy = 0, die Gleichung p(A) = 0 ihre charakteristische Gleichung. Als quadratische Gleichung hat p(A) = 0 zwei Lösungen A

1,2

= -

a1+ J(a 1)2 -a.° 2 -

2

Es sind 3 Fälle zu unterscheiden: 1. Das charakteristische Polynom besitzt 2 verschiedene reelle Nullstellen Al' A2. In diesem Falle sind Y1 = A 1e A1X'Y2 = A 2e A2X Lösungen der homogenen Differentialgleichung

und wir erhalten in

die allgemeine Lösung. Betrachten wir nämlich die Anfangsbedingungen y(x o) = Yo, Y' (x o) = Y 1 mit x o, Yo, Y1 E~, so können wir Al und A 2 stets so bestimmen, daß diese erfüllt sind. Es muß gelten y(x o) = Ale A1XO + A2eA2XO = Yo y'(x o) = A1A1eA1XO + A2A2eA2XO = Y1'

Dieses Gleichungssystem für die Unbekannten Al' A 2 hat, da seIne Koeffizientendeterminante

wegen Al i= A2 nicht verschwindet, immer genau eine Lösung. 2. Das charakteristische Polynom besitzt zwei konjugiert komplexe Lösungen Al' A2.


395

Wir machen den Ansatz YH = Ale A1X + A 2e A2X . Die beiden e-Funktionen sind hier komplexwertig, die Zahlen Al' A2 reell. Setzen wir

J

rx = Ial ~ aoI' so ist

al . A1 = --+Ja 2 '

Dann folgt

und nach der Eulerschen Formel (vgl. (2.33)) Y = e - -ta 1x(A 1 (cos ax + j sin ax) + A 2(cos ax - j sin ax)) = e - -t a1X((Al + A 2) cos ax + (jA l - jA2) sin ax).

Da der Realteil und der Imaginärteil auch für sich allein die Differentialgleichung lösen, ist auch

a

Lösung der Differentialgleichung. - ---.!. ist hierbei der Realteil und ader Imaginärteil der 2

Lösungen der charakteristischen Gleichung. Wie im ersten Falle kann auch hier gezeigt werden, daß Y die allgemeine Lösung der Differentialgleichung ist. 3. Das charakteristische Polynom hat zwei gleiche reelle Lösungen. Wie erhalten zunächst nur eine Lösung

und bestimmen die zweite Lösung durch Variation der Konstanten. Dazu setzen wir

Durch Differenzieren und Einsetzen ergibt sich Y; + al·Y~

+ aO ·Y2 =

(A"(x) + (a o

-i a i)A(x))e--t a1X .

Da das charakteristische Polynom zwei gleiche Nullstellen hat, ist ao = i aJ, und es folgt A"(x) = 0, also A'(x) = A 2 und A(x) = A 2· X + A 3 mit A 2, A 3 E~. Wir erhalten in Y2 = (A 2x + A 3 )e - -talX eine zweite Lösung der homogenen Differentialgleichung. Wie im ersten Fall, zeigt man auch hier, daß

mit B l = Al

+ A 3 E ~ und B 2 = A2E ~ die allgemeine Lösung ist.

Zusammenfassend ergibt sich

396


Satz 5.7

Beispiel 5.45 Man löse die Differentialgleichung y" + 4y' - 5y = O. Die charakteristische Gleichung ist A2 + 4,), ~ 5 = O. Die Lösungen sind allgemeine Lösung der Differentialgleichung lautet YH = Al·e + A 2 'e - 5x.

}'I

= 1,

}'2

= - 5. Die

Beispiel 5.46 Man bestimme die allgemeine Lösung von y"

+ 4y' + 4y = O.

Die charakteristische Gleichung hat die Lösungen )'1 = A2 = -2. Damit ist YH = A l e- 2x + A 2 xe- 2x . Beispiel 5.47 Man löse die Differentialgleichung y" + 4y' + 13y = O. Die charakteristische Gleichung lautet },2 + 4'}, + 13 = O. Sie hat die Lösungen 2 - 3j. Daher ist die allgemeine Lösung der Differentialgleichung YH = e -2X(A 1 cos 3x + A 2 sin 3x).

}eI = -

2 + 3j,

)'2 = -

Die inhomogene Differentialgleichung

Wir bestimmen jetzt eine partikuläre Lösung der inhomogenen Differentialgleichung. Es gibt hierzu mehrere Verfahren. Wir stellen drei von ihnen vor. Das erste, das Grundlösungsverfahren, ist auf sehr viele Typen anwendbar. Es erfordert aber einen höheren Rechenaufwand. Die beiden anderen haben einen kleineren Anwendungsbereich, der Aufwand ist dafür weitaus geringer. Sie umfassen aber fast alle in der Praxis vorkommenden Fälle.


397

5.3.2 Das Grundlösungsverfahren zur Lösung der inhomogenen Differentialgleichung Satz 5.8

Beweis:

Nach dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz (Satz 5.1) existiert die Funktion g. Wir differenzieren Yp(x) nach x (vgl. Leibnizsche Regel (Satz 3.18)). x

y~(x) = g(xo)f(x)

+ S g'(x + X o ~ t)f(t)dt xo

und erhalten wegen g(x o) = 0 x

S g'(x + X o - t)f(t)dt.

y~(x) =

(5.31)

xo

Daraus folgt x

y~(x) = f(x)g'(x o) +

S g"(x + X o -

t)f(t)dt

und wegen g'(x o) = 1 x

y~(x) =f(x)

+ S g"(x + X o ~ t)f(t)dt.

(5.32)

Xo

Setzen wir (5.31) und (5.32) in die linke Seite der inhomogenen Differentialgleichung ein, so ergibt sich x

f(x)

+ S [g"(x + X o -

t) + ajg'(x + X o ~ t) + aog(x + X o - t)Jf(t) dt.

xo

Der Inhalt der eckigen Klammer verschwindet, da 9 Lösung der homogenen Differential• gleichung ist, und die obige inhomogene Gleichung ist erfüllt. Beispiel 5.48 Mit Hilfe des Grundlösungsverfahrens löse man y"

+ Y = x.

Es ist YH = A cos x + B sin x. Wir wählen X o = 0 und bestimmen gaus g(x) = YH mit g(O) = A = 0, g'(O) = B = 1 zu g(x) = sin x. Daraus folgt x

x

Yp(x) = Sg(x - t)f(t) dt = Ssin(x - t)t dt o

0

398


und durch partielle Integration mit u = t, v' = sin(x - t) t=x

Yp(x) = tcos(x - t)

x

t=x

I - J cos(x t=O

t)dt = x

+ sin(x -

t)

0

I = x - sinx. t=O

Für die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung erhalten wir Y = YH

+ YP = A cos x + B sin x + x -

sin x = A cos x + (B - 1) sin x + x.

Führen wir neue Konstanten Al = A, B l = B - 1 ein, so ergibt sich Y = Al cos X

+ B 1 sin x + x,

so daß auch YPl = x eine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung ist. Beispiel 5.49 Man bestimme die allgemeine Lösung von y" + Y =

1 SInx

-.-.

°

Wir erhalten YH = A cos x + B sin x. Die Wahl x o = ist hier nicht möglich, da die Störfunktion an

dieser Stelle nicht definiert ist. Wir wählen X o =~. Dann wird g(x) = - cos x, weil g( ~) = B = 0,

g'(~) = -A = 1 ist. Wir erhalten also

x(

n)

x (

n)l

Yp(x)=Jg x+--t f(t)dt= -Jcos x+--t -.-dt. 2 2 SIn t 2 2 ]I

]I

Unter Anwendung des Additionstheorems für cos(a + ß) mit a = x - t, ß =

n

-

2

folgt:

x 1 x 1 x cos t x Yp(x) = J sin(x - t)-.-dt = J(sinxcost - cosxsint)-.-dt = sinx J-.-dt - cosx J dt. Jl SIn t SIn t Jl SIn t 2 2 2 2 ]I

]I

. f'(t) . Das erste Integral hat dIe Form J--dt und es 1st f(t) yp(X)

mit

XE

= sin x·ln Isin tl ,']:" - t·cos x ,~I:" = sin x'ln Isin xl- ( x -

~) cos x

(0, n). Die allgemeine Lösung der betrachteten Differentialgleichung in (0, n) ist also

Y = A cos x + B sin x + (sin x) ·ln Isin x I - x cos x.

5.3.3 Der Ansatz in Form des Störgliedes

Mit der hier beschriebenen Methode ist es möglich, eine partikuläre Lösung der inhomogenen Differentialgleichung zu bestimmen, wenn die rechte Seite eine spezielle Form hat.


399

Satz 5.9

Bemerkung: Ist die rechte Seite ein Polynom, so gibt es eine Lösung, die wieder ein Polynom ist. Diese spezielle Lösung hat die Form der rechten Seite.

Beweis:

I ßkXk und versuchen, die ßk so zu bestimmen, daß yp k=O Lösung der inhomogenen Differentialgleichung ist.

Es sei Pn(x) =

I

IXkX k. Wir setzen qn(x) =

k~O

a) Für a o # 0 folgt durch Einsetzen von yp

I

I

ßk·k·(k-l)x k- l +a 1·

k~2

=

qn(x) in die Differentialgleichung

ßk·k·x k- 1 +a o·

k~1

I k~O

ßk Xk =

I

IXkX k

k=O

und nach Umbenennung der Summationsindizes n-Z n-l I ßk+z(k + 2)(k + l)x k +a 1· I ßk+l(k+ l)x k +a o· I ßk Xk = k~O k=O k~O

I

IXkX k.

k~O

Führen wir einen Koeffizientenvergleich durch, so ergibt sich bei den jeweils angegebenen Funktionen ao · ßn =:1.",

also ßn

:1. n

= -

ao

1 x n- 1: a 1·ßn·n+a Oßn-l =IX n- 1, d.h. ßn-l =-(IXn- 1 -a j ßn·n) ao x k: ßk+ z(k + 2)(k+ 1)+ a j ßk+ 1·(k+ 1)+ aOßk = IX k für O~ k ~ n- 2.

Diese Gleichung läßt sich immer nach ßk auflösen. Setzt man der Reihe nach k = n - 2, n - 1, ... ,0, so erhält man nacheinander die Koeffizienten des Polynoms qn. Durch Einsetzen bestätigt man, daß das so berechnete Polynom die betrachtete Differentialgleichung löst. b) Für ao = 0, a 1 # 0 verläuft der Beweis analog. c) Für ao = a 1 = 0 folgt die Behauptung durch zweifache Integration der Differentialgleichung. Beispiel 5.50

•

Man bestimme eine partikuläre Lösung der Differentialgleichung y" + y' - 2y = Xl. Wegen a o = - 2 # 0 und pz(x) = Xl setzen wir yp = q2(X) = ax z + bx + c und erhalten wegen

400 Y~ =

5 Gewöhnliche Differentialgleichungen 2ax + b, Y~ = 2a durch Einsetzen in die Differentialgleichung - 2ax 2

+ (2a - 2b)x + (2a + b - 2c) = x 2 •

Der Koeffizientenvergleich ergibt - 2a = 1, 2a - 2b = 0, 2a + b - 2c = 0. Daraus folgt a = - ~,b = - ~, c =

x2

X

3

-l Eine partikuläre Lösung lautet also Yp = -:2 - 2- 4:'

Beispiel 5.51 Man bestimme eine partikuläre Lösung der Differentialgleichung y" + y' a 1 = 1 =1= setzen wir

°

yp = x(ax 2

=

x 2 . Wegen ao = 0,

+ bx + c) = ax 3 + bx 2 + cx.

Durch Einsetzen in die Differentialgleichung ergibt sich (6ax

+ 2b) + (3ax 2 + 2bx + c) = x 2 .

Daraus folgt durch Koeffizientenvergleich 3a = 1, 6a + 2b = 0, 2b

x3

b = - 1, c = 2. Wir erhalten yp =:3 - x 2

+ c = 0. Die Lösung ist a = ~,

+ 2x.

Wir wollen den Anwendungsbereich der Methode erweitern. Satz 5.10

Bemerkungen:

1. Eine spezielle Lösung hat wie bei Satz 5.9 die Form der rechten Seite. 2. Für b = folgt Satz 5.9 aus Satz 5.10. 3. Bei den Sätzen 5.9 und 5.10 spricht man im Falle b) von einfacher Resonanz, im Falle c) von zweifacher Resonanz. Die physikalische Begründung folgt später.

°

Beweis:

Wir beweisen exemplarisch nur den Fall b). Da beinfache Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist, gilt b 2 + a 1 b + a o = und 2b + a 1 =1= 0, da die Ableitung des charakteristischen Polynoms an der Stelle b nicht verschwindet (vgl. Band 1, Beispiel 8.29).

°

5.3 Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten Es sei Pn(x) ==

I

l1

k=O Yp

== ebx . X·

k kX . Wir setzen qix) ==

I

bx

y; = e

ßk Xk . Dann ist

k=O

ßkXk == ebx . I ßk Xk +1 k=O

k=O

Y~ = e

I

401

(b kt ßkXk+ 1 + kt ßk(k + l)xk ) 2

bX (

b kto ßk"Xk+ 1 + 2b kto ßdk

+ 1)" x k +

kt

k 1 ßdk + 1)"k"X - )-

Wählt man ßk so, daß die folgenden Gleichungen gelten, so ist die Differentialgleichung erfüllt. Die Koeffizienten der links angegebenen Ausdrücke stimmen dann überein. x n+1 ebx : b 2 ßn + a l bßn + aoßn == ßn(b 2 + a l b + a o) == 0, da b Lösung der charakteristischen Gleichung ist. xne bx : b2 ßn-l + 2bßn(n + 1) + a l (bßn-l + ßin + 1)) + aOßn-l == l1 m also ßn_l(b 2

+ a l b + ao) + ßn(2b + a l )(n + 1) == l1 n d.h. wegen b 2 + a l b + ao == 0,

2b + a l =f 0: l1 n

ßn = = . (2b + a l )(n + 1) xke bk : b 2 ßk_l

(5.33)

+ 2bßk(k + 1) + ßk+ l(k + 2)(k + 1) + a l (bßk-l + ßk(k + 1)) + aOßk-l == l1 k

fürl~k~n-1

(b 2

+ a 1 b + aO)ßk-l + ßk(2b + a l )(k + 1) + ßk+ l(k + 2)(k + 1) == l1k" Diese Gleichung läßt sich wegen 2b + a l =f 0 nach ßk auflösen, und man erhält, da b2 + a l b + ao == 0 ist: l1

ßk = X

O

k - ßk+ l·(k + 2)(k + 1) (2b + a 1)(k + 1) "

ebx : 2bßo + 2ßl

+ a l ßo == l1 0

(5.34) (5.35)

Aus (5.33) erhält man ßw Setzt man in (5.34) der Reihe nach k == n - 1, n - 2, ... , 1, so lassen sich • alle Koeffizienten von qn bestimmen. ßo erhält man aus (5.35). Beispiel 5.52 Man bestimme eine partikuläre Lösung der Differentialgleichung y" + y' - 2y == xe 3x . Die charakteristische Gleichung A2 + A- 2 == 0 hat die Lösungen Al == 1, A2 == - 2. Es liegt also keine Resonanz vor. Nach Satz 5.10 machen wir den Ansatz yp == e3x(ax + b) und erhalten 3X 3X y~ == e (3ax + 3b + a), y~ == e (9ax + 9b + 6a). Setzen wir dies in die Differentialgleichung ein, so folgt e 3X(9ax + 9b + 6a + 3ax + 3b + a - 2ax - 2b) == xe 3x .


402

Setzen wir lOa = 1, 7a + lOb = 0, so ist die Differentialgleichung erfüllt. Daraus folgt a = b=

-

7 100'

7)

/0'

. X Also 1st Yp = e 3X( 10 - 100 .

Beispiel 5.53 Gesucht ist eine spezielle Lösung der Differentialgleichung y" + /

-

2y = xe

X •

Die charakteristische Gleichung },z +}, - 2 = 0 hat die Lösungen }'1 = 1, Az = - 2. Da Al = 1 einfache Lösung ist, besteht einfache Resonanz. Nach Satz 5.10 lautet der Lösungsansatz yp = eXx(ax + b) = e(ax Z + bx). Das liefert y~

= eX(ax Z + (2a + b)x + b),

y~

= e(ax Z + (4a + b)x + 2a + 2b).

Wir erhalten durch Einsetzen in die Differentialgleichung e(ax z + (4a + b)x + 2a + 2b + ax z + (2a + b)x + b ~ 2ax z - 2bx) = xe. Setzen wir 6a = 1, 2a + 3b = 0, d.h. a = Z

yp=e (

x)

i, b = - i, so ist die obige Gleichung erfüllt. Es ist daher

X 6-"9 .

Beispiel 5.54 Gesucht ist eine partikuläre Lösung der Differentialgleichung y" - 2/ + y = x·e Die charakteristische Gleichung hat die Lösungen Al Nach Satz 5.10 lautet der Ansatz yp = eXxZ(ax + b) = eX(ax 3 + bx Z).

=

X •

Az = 1. Es besteht zweifache Resonanz.

Es ist y~ = e X(ax 3

+ (3a + b)x z + 2bx), y~ = e(ax 3 + (6a + b)x Z + (6a + 4b)x + 2b). Die Differentialgleichung ist erfüllt, wenn wir 6a = 1, 2b = 0 setzen. Daraus folgt a = i, b = 0 und yp=e

x3

6·

Die Methode läßt sich auf noch allgemeinere rechte Seiten anwenden. Es gilt Satz 5.11

Auf den Beweis wird verzichtet.


403

Bemerkungen:

1. Für b = 0 ergibt sich Satz 5.10 2. Im Falle b) spricht man von einfacher Resonanz, zweifache Resonanz kann hier nicht auftreten. 3. Die Polynome Pm qn können auch verschiedene Grade haben. In diesem Falle ist der höhere Grad für n zu nehmen.

Beispiel 5.55 Man bestimme eine spezielle Lösung der Differentialgleichung y" + Y = xe sin x. X

Das charakteristische Polynom p(A) = A2 + 1 hat nicht die Nullstelle 1 + j. Es besteht daher keine Resonanz. Mit den Bezeichnungen des Satzes 5.11 hat qn den Grad 1. Wir wählen daher für r n und Sn auch Polynome vom Grad 1. Wir setzen y p = e X((ax + b) cos x + (ex + d) sin x). Dann ist y~

= eX(((a + e)x + a + b + d) cos x + ((e - a)x + d - b + e) sin x)

y~ =

eX((2ex + 2d + 2a + 2e)cosx + (- 2ax - 2b + 2e - 2a)sinx).

Durch Einsetzen erkennt man, daß die Differentialgleichung erfüllt ist, wenn wir fordern: a + 2e = 0, 2a + b + 2e + 2d = 0, e - 2a = 1, - 2a - 2b + 2e + d = O. Dieses Gleichungssystem hat die Lösungen a = b = ~1, e d = - 225 • Es ist also

-i,

yp = e

X ( ( -

=i,

i x + ~ 1) cos x + (i x -

}5 ) sin x).

Beispiel 5.56 Gesucht ist eine partikuläre Lösung der Differentialgleichung y" + Y = sin x. Die charakteristische Gleichung hat die Lösungen Al = j, A2 = - j. Es liegt einfache Resonanz vor. Der Lösungsansatz lautet yp = ax cos x + bx sin x. Dann ist y~

= (bx + a)cosx + (b - ax)sinx,

y~

= (- ax + 2b)cosx + (- bx - 2a)sinx.

Durch Einsetzen in die Differentialgleichung erhalten wir 2b cos x - 2a sin x = sin x. Diese Gleichung ist für a = -~, b = 0 erfüllt. Daher ist yp =

x

-

"2cos x.

Beispiel 5.57 Gesucht ist eine spezielle Lösung der Differentialgleichung y" + y' - Y = xe -x cos 3x. Die charakteristische Gleichung hat die Lösungen Al = - ~ + ~J5, A2 = - ~ - ~J5. Da keine Resonanz vorliegt, machen wir nach Satz 5.11 den Ansatz yp = (ax + b)e -x cos 3x + (ex + d)e -x sin 3x. Daraus folgt y~

= ((3e - a)x + a - b + 3d)e-Xcos 3x + (( - 3a - e)x - 3b + e - d)e-Xsin 3x

und y~ =

(( - 8a- 6e)x - 2a - 8b + 6e - 6d)e -x cos 3x + ((6a- 8e)x - 6a + 6b - 2e - 8d)e -x sin 3x.

404


Die Differentialgleichung ist erfüllt, wenn wir fordern, daß die Koeffizienten gleicher Funktionen übereinstimmen. Daraus folgt für die jeweils angegebenen Funktionen xe-xcos 3x: -10a - 3c = 1, e - xcos 3x: - a - lOb + 6c - 3d = 0,

xe -x sin 3x: 3a - 10c = 0, e-xsin 3x: - 6a + 3b - c -10d = O.

Aus den beiden ersten Gleichungen folgt a = -

/0°9 , C

=-

1 ~9.

269 606 Setzt man diese Werte in die dritte und vierte Gleichung ein, so ergibt sich b = - - - 2 ' d = - - 2 . . t 109 109 D a h er IS Yp = e ~x ( _ lOx cos 3x - 3x sin 3x 109

i~~ cos 3x + ~g~ sin 3x).

Man kann diese Lösung auch noch auf eine andere Art bestimmen. Die rechte Seite f(x) = xe -x cos 3x der gegebenen Differentialgleichung ist nach der Eulerschen Formel ej3x = cos 3x + j sin 3x der Realteil von xe -xej 3x = xe x (-l +3j). Wir bestimmen zunächst eine spezielle Lösung zp der Differentialgleichung z" + z' - z = xe x ( -1 +3j). Die Rechnung ist bei dieser Differentialgleichung einfacher als bei der gegebenen. Die Funktion zp ist komplexwertig. Der Realteil von zp ist spezielle Lösung der gegebenen Differentialgleichung y" + y' - Y = xe -x cos 3x, der Imaginärteillöst die Differentialgleichung y" + y' - Y = xe -x sin 3x. Es liegt keine Resonanz vor. Wir setzen daher zp = (ax + b)e x ( - l +3j). In diesem Ansatz sind nur zwei komplexe Unbekannte vorhanden, die erste Rechnung enthielt vier reelle Unbekannte. Wir erhalten z~

= (a( -1 + 3j)x + a + b( -1 + 3j))ex(-1 +3j),

z"p = (a( - 8 - 6j)x + a( - 2 + 6j) + b( - 8 - 6j))e x(-1 +3j).

Die Differentialgleichung ist erfüllt, wenn wir fordern, daß die Koeffizienten gleicher Funktionen übereinstimmen. Wir erhalten bei den angegebenen Funktionen: 1 a=----10 - 3j

-10 + 3j 109

b _ a( - 1 + 6j) _ - 269 - 606j - 10 + 3j . 109 2

Es ergibt sich

e- x

zp

= -(x( - 10 + 3j)(cos 3x + j sin 3x) + (- i~~ - j ~g~)(cos 3x + j sin 3x)). 109

Um eine spezielle Lösung der gegebenen Differentialgleichung zu erhalten, müssen wir noch den Realteil der Lösung zp bestimmen. Spezielle Lösungen von Differentialgleichungen, deren rechte Seiten aus Linearkombinationen der in den Sätzen 5.9, 5.10 und 5.11 betrachteten Funktionen bestehen, kann man mit Hilfe des Superpositionsprinzips bestimmen.

5.3 Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnl.\ng mit konstanten Koeffizienten

405

Satz 5.12 (Superpositionsprinzip)

Beweis: Da Yl und Y2 spezielle Lösungen sind, folgt y~ +adl +a oYl =f,(x), y~

+ alY~ + aOY2 =

f2(X).

Multiplizieren wir die erste Gleichung mit Cl' die zweite mit Gleichungen, so ergibt sich (C 1Yl + C2Y2)" + a 1(c 1Yl + C2Y2)' + ao(c,y, + C2Y2)

und mit Yp = c 1Y, Y~

=

C2

und addieren die multiplizierten

CJ1(X) + c2f2(X)

+ C2Y2:

•

+ alY~ + aoY p = CJ1(X) + c 2f2(X).

Wir wenden Satz 5.12 in den folgenden Beispielen an. Beispiel 5.58 Gesucht ist eine partikuläre Lösung der Differentialgleichung y" + 2y' - 3y =

e + x 2 + 4x -

5.

a) Wir bestimmen zunächst eine spezielle Lösung von y" + 2y' - 3y = e. Die charakteristische Gleichung hat die Lösungen}l = 1, }'2 = - 3. Es liegt einfache Resonanz vor. Daher ist Yl = axe und y~ = (ax + a)eX, y'{ = (ax + 2a)e. Durch Einsetzen in die Differentialgleichung folgt e(ax + 2a + 2ax + 2a - 3ax) = e. Diese Gleichung ist für 4a = 1, d.h. a = ± erfüllt und wir erhalten Yl

x

=

"4e.

b) Wir berechnen als nächstes eine partikuläre Lösung von y" + 2y' - 3y = x 2 + 4x - 5. Hier liegt keine Resonanz vor, wir setzen Y2 = ax 2 + bx + c. Dann ergibt sich durch Einsetzen in die Differentialgleichung 2a + 2(2ax + b) - 3(ax 2 + bx + c) = x 2 + 4x - 5. Wir erhalten durch Koeffizientenvergleich - 3a = 1, 4a - 3b = 4, 2a + 2b - 3c = - 5 und daher a = - t, b = - 196 , C = 277. Es folgt x2

Y2

=

16x

7

-3-9+ 27·

Eine spezielle Lösung der Differentialgleichung y" + 2y' - 3y = 2

x x 16x 7 Yp =Yl +Y2="4 e -3-9+27·

e + x 2 + 4x -

5 ist also

406


Beispiel 5.59 Gesucht ist eine partikuläre Lösung der Differentialgleichung y" + 2y' - y = e 3x + sin 2x

+ 2y' -

y = e 3x . Die charakteristische Gleichung hat die Lösung Al = - 1 + )"2, A2 = - 1 - )"2. Es liegt keine Resonanz vor. Wir setzen Y1 = ae 3x und erhalten durch Einsetzen in die Differentialgleichung 14ae 3x = e 3x . Es ergibt sich Y 1 = /4 e 3x . b) y"+2y'-y=sin2x. Es ist Y2 = a sin 2x + b cos 2x. Durch Einsetzen in die Differentialgleichung erhalten wir (- 5a - 4b)sin 2x + (4a - 5b) cos 2x = sin 2x. Daraus folgt a = - 11' b = - 441 , d.h. Y2 = 4\ (- 5 sin 2x - 4 cos 2x). a) y"

Eine spezielle Lösung der gegebenen Differentialgleichung ist also Yp =

/4 e 3x -

i1

(5 sin 2x + 4 cos 2x).

5.3.4 Operatorenmethode

Im folgenden stellen wir eine Methode vor, mit der man für gewisse rechte Seiten von Differentialgleichungen eine partikuläre Lösung sehr einfach bestimmen kann. Wir werden zunächst durch rein formale Rechenoperationen eine Funktion bestimmen. Wir werden dann nachweisen, daß die so berechnete Funktion die Differentialgleichung erfüllt, daß die formale Rechnung also zu einer Lösung der Differentialgleichung führt. Unter der Voraussetzung, daß die vorkommenden Ausdrücke existieren, schreibt man d - f(x) = D f(x) dx und nennt D Differentiationsoperator. Man vereinbart ferner Dnf(x) = f(n)(x) für nEN und D üf(x) = f(x)

Beispiel 5.60 Mit den oben getroffenen Vereinbarungen ist a) Dsin x=cosx; b) D 2 sinx= -sinx; c) DneX=e X für nEN ü; d) Dnxn=n! für nEN ü; e) Df(x) = 0 fürfmitf(x) = CElR für alle xElR. Die Differentiationsregeln lauten unter Verwendung dieser Schreibweise: 1. Es seienfl undf2 n-mal differenzierbar, Cl' C2ElR, nEN ü' Dann ist

nn(clfl(X) + c 2f2(X)) = clDnfl(X) + c 2D nf2(X). 2.

f sei (n + m)-mal differenzierbar, n, mENü' Dann ist Dn(Dmf(x)) = Dn+mf(x) = Dm(Dnf(x)).


407

3. Es seien a, bE [R, n, mE No' Die Funktionf sei n-mal und rn-mal differenzierbar. Dann gilt (aD n + bDm)f(x) = aDnf(x) + bDmf(x). Beispiel 5.61 a) D 3 (3e X + 2 sin x) = 3D 3 ex + 2D 3 sin x = 3e x - 2 cos x; b) D 5 (4 cosh x + 5x 3 ) = 4D 5 cosh x + 5D 5 x 3 = 4 sinh x; c) Dn(ax m) = 0 für alle aE[R und n, mEN o, falls n > mist. Beispiel 5.62 Es ist a) b) c) d)

(2D 3 - 4D 2)X 3 = 2D 3x 3 - 4D 2x 3 = 12 - 24x; (3D + 2D 4 ) cos X = 3D cosx + 2D 4 cos X = - 3 sinx + 2 cos x; (aDn + b Dm)x k = 0 für n, m, k ENo; n, m > kund a, bE [R; (2D 2 + 4)x 3 = 2D 2x 3 + 4Dox 3 = 12x + 4x 3 . Der Operator DO wird häufig weggelassen.

Es ergeben sich folgende weitere Eigenschaften des Operators D: Es seien a, b, c, dE [R und k, I, m,. nE No. Die Funktionf sei genügend oft differenzierbar. Dann ist 1. (aD k + bD1)f(x) = (bD 1+ aDk)f(x);

2. (aD k + bD1)(cD m+ dDn)f(x) = (acDk+m + bcD1+m + adDk+n + bdD1+n)f(x); 3. (aD k + bD1)"f(x) =

±(~)aib"-iDk'iH("-i)f(X) ±(~)an-ibiDk.(n-i)+l'if(X). =

i=O

1

i=O

1

Wegen der Analogie zu den Rechenregeln für Polynome sprechen wir auch von Polynomen in D. Beispiel 5.63 a) (2 + 3D)2 f(x) = (4 + 12D + 9D 2 )f(x) = 4f(x) + 12f'(x) + 9fl/(x) b) (1 + 4D)3 X 2 = (1 + 12D + 48D 2 + 64D 3)X 2 = x 2 + 24x + 96 c) (aD + bD 2 t(cx k ) = 0 für alle a,b, CE [R und n, kE No, falls n > k. Wir wollen die obigen Regeln anwenden, um partikuläre Lösungen von Differentialgleichungen zu bestimmen. Dazu betrachten wir zunächst die lineare Differentialgleichung erster Ordnung y' + 2y = x 2 + 1. Eine spezielle Lösung dieser Differentialgleichung ist yp

x2

X

3

="2 -"2 + 4' Wir wollen zeigen, daß wir

diese Lösung mit Hilfe der Differentiationsoperatoren durch eine formale Rechnung erhalten können. Dabei treten Ausdrücke auf, die wir noch nicht erklärt haben. Wir schreiben die Differentialgleichung in der Form (D + 2)y = x 2 + 1 und lösen formal nach yauf:

Y= D

1

2

1

1

2

+ 2 (x + 1) = 2:------n(x + 1). 1+2

408


1 Den Ausdruck - - entwickeln wir formal in eine geometrische Reihe: D

1+2

1

D

D2

D3

--=1--+---+··· D 2 4 81+2

Wir erhaIten durch Einsetzen 2

Y=~(1D +D 2 2 4 und wegen Dn(x 2

3 _ D

+"')(X 2 +1)

8-

+ 1) = 0 für n ~ 3

2 2 2 2 2 + 1- D(x + 1) + D (X + 1)) =~(X2 + 1- 2x +~) = x _~+~ y=!(x 2 2 4 2 2 4 2 2 4' d.h. die oben angegebene Lösung. Wir wenden das Verfahren auf die Differentialgleichung

y" + a1y' + aoy = f(x)

(5.36)

an. Sie läßt sich in die Form

(5.37) bringen. Wir werden eine Funktion durch rein formale Rechnung gewinnen und anschließend beweisen, daß diese Funktion eine Lösung von (5.36) ist. Aus (5.37) folgt formal 1

Y= 0

2

+ a1 0 + a/(x).

Setzen wir zunächst ao #- 0 voraus, so ist

und es ergibt sich durch formale Entwicklung in eine geometrische Reihe

= -1 ( f(x) ao

D2 +a D f(x) + (D 2 +a D)2 f(x) - (D 2 +a D)3 f(x) ± ... ) . 1

ao

1

ao

1

ao

D)k f(x) D +a a 2

Istfein Polynom Pn vom Grade n, so bricht diese Reihe ab, da der Summand

(

1

o nur die k-te bis (2k)-te Ableitung vonfenthält und p~n+ l)(X) = 0 ist. Die Methode ist zunächst auf


409

diesen Fall beschränkt. Wir erhalten

(5.38)

Wir beenden hier die formale Rechnung und zeigen, daß (5.38) Lösung der Differentialgleichung (5.36) ist.

Satz 5.13

Differeil1ialgleichung Beweis:

Es ist

Hieraus folgt weiter, da sich einige Summanden aufheben

Y~ + alY~ + a1y

2

p

= - (-

1 1)n+ 1 (D :oa D

J+

2

1 Pn(X)

+ (_1)0 (D :oa 1D

In (5.39) verschwindet der erste Summand auf der rechten Seite, da die (n Polynoms vom Grad n Null ist. Der zweite Summand ergibt Pn(x),

Y

Pn(x),

(5.39)

+ l)-te Ableitung eines •

Beispiel 5.63 Mit Hilfe der Operatorenmethode bestimme man eine partikuläre Lösung der Differentialgleichung y" + 2y' - 3y = x 2

+ 3x -

4.

410


In Operatorenschreibweise lautet die Differentialgleichung (D 2 + 2D - 3)y = x 2 + 3x - 4. Dann folgt durch formale Rechnung yp =

1 1 2 (x 2 + 3x - 4) = D + 2D - 3 3

1 2 (x 2 + 3x - 4) D + 2D 1---3

2

2

1( 1 + D +2D = - 3 3 + (D +2D)2 3 + ... ) (x 2 + 3x + 4) 2

4

2

3

= - -1( 1 + D + 2D + D + 4D + 4D + ... ) (x 2 + 3x - 4). 339

Führen wir die Differentiationen aus und beachten dabei, daß alle Ableitungen von der dritten Ordnung an verschwinden, so erhalten wir 2 1( 2 2 + 2(2x + 3) 0 + 4·0 + 4·2 ) x 13 4 yp= -3 x +3x-4+ 3 + 9 +0 = -3-9 x +27' Wir betrachten den bisher ausgeschlossenen Fall ao = O. Die Differentialgleichung lautet dann y" + a1y' = f(x), d.h. (D 2 + a 1D)y = f(x).

(5.40)

Die formale Auflösung liefert 1 Yp

=

D2

+ atD!(x) =

1 1 D D + a/(x),

(5.41)

1 Es ist also noch der Operator - zu definieren. D

1

Es sei u stetig, v differenzierbar. Dann erhalten wir aus -u(x) = v(x) durch formale Auflösung D

u(x)

= Dv(x) = v'(x). Daraus folgt v(x) = Su(x)dx, so daß folgende Vereinbarung sinnvoll ist:

Die Funktion u sei stetig. Dann setzen wir 1

-u(x) = Su(x)dx. D

1

Unter dem Operator Dn verstehen wir eine n-fache Integration. Bemerkung:

1

Die Reihenfolge der Operatoren D und - ist im allgemeinen nicht vertauschbar, d.h. es ist D

1

1

D

D

- D f(x) =I- D- f(x). Bei der Berechnung einer partikulären Lösung der Differentialgleichung (5.40) sind diese beiden Operatoren allerdings kommutativ.

5.3 Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten Wir erhalten aus (5.41) für a j

=1=

411

0

1 1 1 1 n (D)k Yp=----Pn(x)=-JI (_1)k Pn(x)dx.

aj D

aj

D 1+aj

k~O

aj

Da nur eine partikuläre Lösung gesucht ist, ist auch nur eine Stammfunktion zu nehmen, wir setzen also die Integrationskonstante c = O. Wir wollen beweisen, daß das formal berechnete Ergebnis richtig ist. Satz 5.14

Bemerkung:

Ist a j

=

0, so erhält man die Lösung der Differentialgleichung durch zweifache Integration.

Beweis:

Wir setzen Yp in die Differentialgleichung ein und erhalten

y~+alY~=(D2+alD)Yp=(D+al)D~Ji a1

=(D+aj)(~ i

a 1 k=O

k~O

(_1)k(D)k pn (X)dX

a1

(_1)k(D)k pn (X))

a1

kt (_1)k(~)k+lpn(X)+ kt (-1)k(~YPn(X) =

(D)O Pn(x).

D)n+l (-1)" ( a Pn(x) + (_1)0 a 1 1

Nach der gleichen Schlußweise wie im Beweis des Satzes 5.13 folgt dann

Y~

+ ajY~ =

Pn(x).

•

Beispiel 5.64 Mit Hilfe der Operatorenmethode bestimme man eine partikuläre Lösung der Differentialgleichung y" + 2y' = x 2 • Es ist (D 2

+ 2D)y =

x 2 und

YP=D2~2Dx2=~D~2x2=~~~X2=~~(1-~+ ~2 ~3 ±... )x 2 _

=

~ ~ ( x2 _X+

D~ (~3 _~2 =

1 +2

+ ~ )-

Die Integrationskonstante kann 0 gesetzt werden, da nur eine partikuläre Lösung gesucht ist.

412


Wir wollen den Anwendungsbereich der Operatorenmethode erweitern. Für differenzierbare Funktionen f gilt nach der Produktregel

Der Vorteil dieser Formel besteht darin, daß der Operator D auf der rechten Seite nicht mehr auf die e-Funktion angewandt werden muß. Gleichung (5.42) gilt auch noch in verallgemeinerter Form. Es ist

Diese Formel kann durch vollständige Induktion bewiesen werden. Aus (5.43) folgt Satz 5.15 (Verschiebungssatz)

Es sei f(x) ein Polynom. Dann ist auch qk(a + D)f(x) ein Polynom. Wir setzen qk(a + D)f(x) = Pn(x)

(5.45)

und erhalten durch formale Auflösung nach f(x) f(x)

=

1 qk(a + D/n(x).

(5.46)

Nach dem Verschiebungssatz gilt qk(D) e"X f(x)

=

1 qk(D) e"X qk(a + D) Pn(x)

=

1 eaXqk(a + D) qk(a + D) Pn(x)

=

e"XPn(x).

Daraus folgt

und

Mit Hilfe von (5.47) und (5.48) läßt sich der Anwendungsbereich der Operatorenmethode erweitern. Es sei Pn ein Polynom vom Grade n. Wir betrachten die Differentialgleichung y" + al/ + aoy

=

ebxPn(x)

mit a l , a o, bEiR(.


413

Die formale Rechnung liefert (D 2 + a l D + ao)y = ebxPn(x),

I yp = D2 + a D + a ebxPn(x). l o

d.h.

Wenden wir (5.47) an, so ergibt sich bx YP -- e (D +

1

W + a l (D + b) + a o P (x) n

1 bx e D 2 + (2b + al)D + b 2 + a l b + ao Pn(x). Wir setzen voraus, daß b 2 + a l b + ao 0 ist, d.h. daß b nicht Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist. Ist diese Voraussetzung nicht erfüllt, so kann wie im Falle ao = 0 weiter gerechnet werden. Wir erhalten ebx =

"*

yp = b 2 + a l b + a o D 2 + (2b + al)DPn(X) 1 + - =2- - - - - " - b + alb + ao bx 2 n k(D + (2b + al)D)k e = 2 I (-1) 2 Pn(X). b +alb+aOk~O b +alb+a o

Die Reihe bricht ab, da Pn nur endlich viele von Null verschiedene Ableitungen besitzt. Die formale Rechnung ist damit beendet. Satz 5.16

Der Beweis erfolgt durch Einsetzen in die Differentialgleichung. Beispiel 5.65 Mit Hilfe der Operatorenmethode bestimme man eine partikuläre Lösung der Differentialgleichung y" + 3y' - 4y = e 2x x. 1 Es ist (D 2 + 3D - 4)y = e 2x . x d.h.}' = 2 e 2x . x. , P D + 3D-4 Nach (5.47) gilt weiter

1

1 2x e D 2 + 7D + 6 x 2 2X 2 2x I e ( D + 7D (D + 7D)2 _ ) e 7 x D 2 +7D =(j 16 + 6 + ... x=(j(x- 6 )·

2x yp = e

(D + 2)2

2x e 6

1+

+ 3(D + 2) _ 4 x =

6

414


Beispiel 5.66 Man bestimme eine partikuläre Lösung von y 00 C 4y 0 C 4y D e2x x 3 . 1 Wir haben .D2 C 4D C 4/y D e2x x 3 und yp D 2 e2x x 3 . D C 4D C 4 Die Formel (5.47) liefert yp D e2x

4 5 1 3 2x 1 3 2x 1 x 2x x x D e : D e x D e .D 2/2 C 4.D 2/ C 4 D 4 20 D2

Die Aussage von Satz 5.16 ist auch für komplexes b richtig (ohne Beweis). Dadurch können wir den Anwendungsbereich der Operatorenmethode noch einmal erweitern. Setzen wir b = ˛ +jˇ, so können wir mit Hilfe der Operatorenmethode eine partikuläre Lösung der Differentialgleichung y 00 C a1 y 0 C a0 y D e.˛Cjˇ /x pn .x/

(5.49)

bestimmen. Diese partikuläre Lösung ist eine komplexwertige Funktion einer reellen Veränderlichen. Nach der Eulerschen Formel gilt e jˇx D cos ˇx C j sin ˇx:

(5.50)

Setzen wir (5.50) in die Differentialgleichung ein, so folgt y 00 C a1 y 0 C a0 y D e˛x pn .x/.cos ˇx C j sin ˇx/: Der Realteil von yp ist partikuläre Lösung der Differentialgleichung y 00 C a1 y 0 C a0 y D e˛x pn .x/ cos ˇx; der Imaginärteil von yp ist partikuläre Lösung der Differentialgleichung y 00 C a1 y 0 C a0 y D e˛x pn .x/ sin ˇx: Man kann also mit Hilfe der Operatorenmethode auch dann eine partikuläre Lösung der betrachteten Differentialgleichung bestimmen, wenn die rechte Seite von der Form e˛x pn .x/ cos ˇx bzw. e˛x pn .x/ sin ˇx ist. In diesem Falle sind zunächst cos ˇx bzw. sin ˇx durch e jˇx zu ersetzen, und dann ist der Realteil bzw. der Imaginärteil der berechneten Lösung zu nehmen. Das folgende Beispiel erläutert das Verfahren. Beispiel 5.66a Man bestimme eine partikuläre Lösung der Differentialgleichung y 00 C y D x sin x. Wir ersetzen sin x durch e jx und lösen zunächst die Differentialgleichung z 00 C z D x e jx . Die partikuläre Lösung der gegebenen Differentialgleichung ist dann der Imaginärteil der berechneten Lösung von .D2 C 1/z D x e jx . 1 1 1 x D e jx 2 zp D 2 x e jx D e jx x .D C j/2 C 1 D C1 D C 2jD D D2 1 1 1 1 x D e jx 1 C 2 x D e jx D D C 2j 2j D 2j 4j jx jx 2 1 e x x e dx D : D s x 2j 2j 2j 2 2j


415

Diese berechnete Lösung ist in Real- und Imaginärteil zu zerlegen Z

2 = COsx+jsinx(x - - -x) = p 2j 2 2j

(x-4 sin x + -4x cos x ) + j (x - - cos x + -x sin ) x . 4 4 2

2

Eine partikuläre Lösung der gegebenen Differentialgleichung ist also x2

x

4

4

Yp=Im(zp)= --cosx+-sinx. Anmerkung: x2

X

Yp = Re(zp) = - sin x + - cos x ist eine spezielle Lösung der Differentialgleichung y" + Y = x cos x. 4 4 Beispiel 5.67 (vgl. Beispiel 5.57) Man bestimme eine Lösung der Differentialgleichung y" + y' - Y = x e -x cos 3x. Wir lösen zunächst z" + z' - z = xe - Xe j3x und bestimmen dann den Realteil dieser Lösung, weil x·e -X·cos 3x der Realteil von x·e -x· e j3x ist. In Operatorenschreibweise lautet die Differentialgleichung für die Funktion z (D 2 + D -:.- l)z = x ex (-1 +3j),

also

Daraus folgt wegen (5.47) 1 x=ex(-1+3j) 1 x z =e x (-1+3j) D 2 + D( -1 + 6j) + (-10 - 3j) p (D - 1 + 3j)2 + (D - 1 + 3j) - 1 ex (-1+3j)

1

-10 - 3j

D + D( -1 + 6j) 1+------10 - 3j

------2 -----x =

ex (-1+3j)( -10 - 3j

1-

D 2 +D(-1+6j) -10 - 3j

X = e (-1+3j)(x_ -1+6j ). -10 - 3j -10 - 3j Wir zerlegen in Real- und Imaginärteil: z = e -X(cos 3x + j sin 3x)( -10 + 3j) (x _ (-1 + 6j)( -10 + 3j) ) (-10 - 3j)( -10 + 3j) (-10 - 3j)( -10 + 3j) p

e- X

= - ( ( -10 cos 3x - 3 sin 3x) + j(3 cos 3x - 10 sin 3x))(x + 199 + j 16039) 109

e- X

= - ( ( -10x cos 3x - 3x sin 3x - i~~ cos 3x + ~g~ sin 3x) 109 + j (3x cos 3x - 10x sin 3x - ~g~ cos 3x - i~~ sin 3x)).

+ ... -

)

x

416


Eine partikuläre Lösung der Differentialgleichung y" + y' - Y = xe - x cos 3x ist also e- x (

269

.

606.)

yp = Re (zp ) = 109 -10x·cos 3x - 3x·sln 3x - 109 cos 3x + 109 sln 3x .

Die Operatorenmethode läßt sich auch dann anwenden, wenn die rechte Seite der Differentialgleichung y" + a 1y' + aoy = f(x) eine Linearkombination aus den bisher betrachteten rechten Seiten ist. Wir wenden das Superpositionsprinzip (Satz 5.12) in den beiden folgenden Beispielen an. Beispiel 5.68 (vgl. Beispiel 5.58) Man bestimme eine partikuläre Lösung der Differentialgleichungy" + 2y' - 3y = e X + x 2 + 4x - 5. a) Wir berechnen zunächst eine partikuläre Lösung der Differentialgleichung y" + 2y' - 3y = e Wir erhalten aus (D 2 + 2D - 3)y = e X

1 1 1 X X X Ypl = D 2 + 2D _ 3 e = e (D + 1)2 + 2(D + 1) _ 3 1 = e D 2 + 4D 1

=e

X

~ ~~ 1 = ~ ~ ( 1 - ~ ± ... )t = x;x. 1+4

Man beachte, daß 1 hier für die Funktion f mit f(x) = 1 für alle x steht. b) Wir bestimmen eine Lösung der Differentialgleichung y" + 2y' - 3y = x 2 + 4x - 5. yp2 =

1

2 (x 2 + 4x - 5) = D + 2D - 3 3 2

1

2 (x 2 + 4x - 5) 1---3 D + 2D

2

1 ( 1 + D +2D = - 3 3 + (D +2D)2 3 + ... ) (x 2 + 4x - 5) 2

= -!(x 2 +4X-5+ 2+2(2x+4) + 4.2)= _ x _16x

3

3

9

3

9

+~. 27

Eine partikuläre Lösung der gegebenen Differentialgleichung ist daher xe X x 2 16x 7 yp=yp1 +YP 2=4-3-9+27·

Beispiel 5.69 (vgl. Beispiel 5.59) Man bestimme eine Lösung der Differentialgleichung y" + 2y' - y = e 3x + sin 2x. Zu lösen sind die Differentialgleichungen y" + 2y' - y = e 3x und y" + 2y' - y = sin 2x. a) y"

+ 2y' -

y = e 3x .

Wir erhalten 1 3x 3x Yp1 -- D 2 + 2D _ 1 e -- -.L 14 e

nach Formel (5.48).

X •


417

b) y" + 2y' - y == sin2x. Wir lösen zunächst z" + 2z' - z == e j2x und bestimmen dann den Imaginärteil dieser Lösung. Es ist

z

p

==

1

D2

+ 2D -

.

1

1.

eJ2x == - - e J2x nach Formel (5.48). 4j - 5

Wir zerlegen diese Lösung in Real- und Imaginärteil: (cos 2x + j sin 2x)( -4j - 5) z == - - - - - - - - - p (4j - 5)(- 4j - 5)

- 5 cos 2x + 4 sin 2x . - 4 cos 2x - 5 sin 2x - - - - - - - - +J - - - - - - 41

41

Der Imaginärteil Im(zp) == - 4\ (4 cos 2x + 5 sin 2x) ist partikuläre Lösung der Differentialgleichung y" + 2y' - y == sin 2x. Eine Lösung der Differentialgleichung y" + 2y' - y == e3x + sin 2x ist daher yp

e3x 1 == - --(4cos 2x + 5 sin 2x). 14

41

5.3.5 Lösung mit Hilfe der Laplace-Transformation Wir stellen in diesem Abschnitt ein Verfahren zur Lösung der Differentialgleichung y" + a i y' + aoy

==

f(x)

vor, das die allgemeine Lösung in einer speziellen Form liefert. Das Verfahren ist in der Elektrotechnik weit verbreitet und wird dort erfolgreich angewandt. Eine mathematische Begründung würde den Rahmen des Buches überschreiten, wir wollen daher das Verfahren nur anwenden und auf strenge Beweise verzichten. Die allgemeine Lösung, die man mit diesem Verfahren erhält, enthält an Stelle allgemeiner Integrationskonstanten a, bE [R die Anfangswerte für X o == 0, so daß man das zugehörige Anfangswertproblem einfach lösen kann. Außerdem kann man die Abhängigkeit der Lösung von diesen Anfangswerten leicht erkennen.

Definition 5.4 Die Funktion f sei auf [0, oc) stetig, f

=

CfJ

Integral

°auf (-

00,0) und s, So E [R. Wenn das uneigentliche

Jf(x) e -sx dx für jedes s> So existiert, so heißt die durch o

F(s)

==

Jf(x) e -sx dx o

für s > So definierte Funktion F die Laplace-Transformierte der Funktion f. Schreibweise: 2 {f} oder F(s) == 2 {f(x)}.

(5.51)

418


Bemerkung:

Durch die Laplace-Transformation wird der auf [0, (0) definierten Funktion f (Originalfunktion) eine auf (so, (0) definierte Funktion F (Bildfunktion) zugeordnet: f 1---+ F. Das in der Definition vorkommende Integral heißt Laplace-Integral. Beispiel 5.70 Es sei f{x) = 1 für alle XE[O, (0). Dann ist e -SXIA

00

2{1} = J e-sxdx = lim o

A~oo

-s

Das Integral existiert nur für s > 1

2 {1} = -

So

0

=

.

°und es gilt

für s > 0,

S

1

Der Funktion f mit f{x) = 1 für XE[O, (0) wird also die Funktion F mit F{s) = - für s> s

°

zugeordnet. Beispiel 5.71 Wir berechnen die Laplace-Tr3:nsformierte der Funktion f mit f{x) = x für x e - sx It

2{x}=Jxe- sx dx=lim x o t~oo -s 00

(

°

0

1t

+-Je-sxdx

)

Laplace-Transformierte der Funktion f nur für s > So =

0. Wir erhalten

für s#o.

S 0

Da lim te -st nur für s> existiert und das uneigentliche Integral für s = t~oo

~

°definiert.

°nicht existiert, ist die

Der ausintegrierte Term verschwindet an beiden Grenzen. Das verbleibende Integral ist die Laplace-Transformierte der Funktion f mit f{x) = 1. Wir erhalten 1 1 2 {x} = - 2 {1} = 2" für s > 0. s s Beispiel 5.72 Wir berechnen die Laplace-Transformierte der Funktion f mit f{x) = x n für 2' {x n } =

7 x e dx o n

-sx

=

lim (x n e -sxlt + ~ x n - 1 e- sx sos 0

t~

j

00

dX)

nE No.

Wir erhalten

für s # 0.

-

Das Integral existiert nur für s > 0. In diesem Falle verschwindet der ausintegrierte Term an beiden Grenzen. Es ergibt sich die Rekursionsformel n

2{x n } =-2{x n s

1

}.


419

Durch wiederholte Anwendung der Rekursionsformel folgt n

2{x n } = -2{x n -

1

nn-1

}

= - - 2 { xn -

S

S

2

nn-1n-2

}

= - - - 2 { xn -

S

S

S

3

}

= ...

S

Daraus folgt

Das Ergebnis kann durch vollständige Induktion bewiesen werden.

Beispiel 5.73 Wir berechnen die Laplace-Transformierte der Funktion f mit f(x) = eax mit aE IR und x ~ o. Wir erhalten 00 00 (e(a-S)Xjt) 2{eaX } = Seaxe-sxdx = Se(a-s)xdx = lim - o 0 t-+ 00 a - s 0

Das Integral existiert nur für s > 1 2{eaX } = - -

s-a

So

für

S =1=

a.

= a. In diesem Falle ergibt sich

für s > a.

Beispiel 5.74 Gesucht ist die Laplace-Transformierte der Funktion f mit f(x) = sinax mit aEIR und Es ist 00

2{sinax} = Se-sxsinaxdx. o

Das Integral existiert nur für s > O. Für diese s folgt durch partielle Integration e -sxlt a t ) 2 {sin ax} = lim ( sin ax - - + - Se - sx cos ax dx t-+ 00 sos 0 t

e-sxlt --Se-sxsinaxdx a )) =lim ( -a( cosax-t-+ 00

S

-

a(1 a s s s

sos

= - - - - 2 {sin ax} a a2 = - - - 2{sin ax}. S2

S2

)

0

x~O.

420


Die Auflösung nach !l! { sin ax} liefert a

a

S2

!l! { sin ax} = - - 2 = -2--2 a S +a

für

o.

>

S

(5.52)

1+S2

Die folgende Tabelle gibt eine Übersicht über einige Originalfunktionen Transformierten F.

f und ihre Laplace-

Tabelle der Laplace-Transformierten Originalfunktion f mit Df =

[R;

Bildfunktion F mit DF = (so, CfJ)

n!

mit

1

mit

s-a

So =

So

0

=a

sin ax

mit aE [R

mit

So

=0

cos ax

mit aE [R

mit

So

=0

b s-a

x sin ax

mit aE [R

xcosax

mit

mit

So

=a

mit

So

=a

2as + a 2)2

mit

So

=0

a2 (S2 + a 2)2

mit

So

=0

mit

So

=a

(S2

S2 -

aE[R

(s-at+ 1

n!

[n~lJ (n+

- - - - 2- " ((s-a)2+b t+ 1 1~0

x n . eax . sin bx

mit nE No; a, bE [R

((s -

[~J

21

1) (_1)1b 21(s_a)n+1-21 mit s =a

~ + 1) 1 21 + 1 na)2 + b2t + 1 1~O 21 + 1 (- 1) b (s - a)

n!

(n

0

21

Wir stellen im folgenden einige Sätze über die Laplace-Transformation zusammen.

.

mIt So

=a


421

Satz 5.17 (Linearität der Laplace-Transformation)

Der Beweis folgt unmittelbar durch Einsetzen der Linearkombination m die definierende Gleichung. Satz 5.18

Auf den Beweis wird verzichtet. Definition 5.5

Die Funktionen 11: IR;

--+

1 mit

IR und 12: IR; H IR seien stetig, l(x)

=

XE IR;

. Dann heißt die Funktion

S11 (x - t)12(t) dt o

die Faltung der Funktionen 11 und 12' Schreibweise: 1 =

11 *12'

Bemerkung:

Da wir die Laplace-Transformierten der Funktionen 11 und 12 bilden werden, ist nach Definition 5.4 /1 (t) = 0 für t < 0 und /2 (x - t) = 0 für x - t < Ot > x zu setzen. Daraus ergibt sich /(x) =

S/1 (x - t)/2(t) dt = S /1 (x - t)12(t) dt o

Die obige Definition stimmt also mit der des Kapitels Fourier-Transformation überein. Wir verweisen insbesondere auf Formel 2.76 mit ~ = T;. = O. Beispiel 5.75 Es soll die Faltung / der Funktionen 11 mit 11 (x) = x für XE [0,(0) und (0) berechnet werden. Wir erhalten durch partielle Integration x e 2t Ix x e 2t x e 2x - 1 l(x) = S(x- t)e 21 dt =(x- t)- + S-dt = - - +--.

/2

mit /2(X)

=

e 2x für

XE[O,

o

2 0

02

2

4

Bemerkung:

Die Faltung ist kommutativ, d.h. es gilt /1 * /2 = x - t erkennt.

Z =

/2 */1' wie man leicht mit Hilfe der Substitution

422


Satz 5.19 (Faltungssatz)

Auf den Beweis wird verzichtet. Beispiel 5.76 1 1 2'{e} = - - für s> 1. Daraus folgt nach dem Faltungssatz (Satz 5.19) für s s-1 mit /; > 0, da für So = 1 + /; sogar beide Laplace-Integrale absolut konvergieren:

Es ist 2'{1} s~

1 + /;

=-,

2'{I}' 2' {eX} = _1~ = 2' s{s - 1)

{J 1.e dt} = 2' {eXt

I}.

0

Wir können das Ergebnis in diesem Falle nachprüfen:

2'{e -I}

=

2'{e} - 2'{1}

1 s-1

1 s

1 s{s-l)

=---=-~.

Satz 5.20 (Differentiationssatz)

Beweis:

Wir beweisen nur die Formel, nicht die Existenz von 2'{f}. Es ist A

S f'{x)e- SX dx =

o

A

j{x)e -sxlg + s Sj{x) e- sx dx 0

A

=

j{A)e- SA - j{O) + s S j{x)e-Sxdx. o

Es existieren die Grenzwerte der beiden Integrale für A ---> 00 nach Voraussetzung, es muß also auch lim j{A) e -sA existieren. Dieser Grenzwert ist Null nach Band 1, Satz 9.29, da sonst 2'{f} A~oo


423

nicht existiert. Es folgt

S f'(x)e~Sxdx=

- f(O)+s

o

S f(x)e~SXdx 0

2'{f'} = ~ f(O)

+ s2'{f},

•

die Behauptung des Satzes.

Beispiel 5.77 Mit Hilfe des Differentiationssatzes bestimmen wir die Laplace-Transformierte der Funktion f mit f(x) = cosax für XE[O, 00) und aEIR.

Es ist (sin ax)' = a cos ax und daher für s > 0 nach dem Differentiationssatz (Satz 5.20) as a2'{cosax} = 2'{(sinax)'} = - sinO + s2'{sinax} =-2--2' s +a

Daraus folgt 2'{cosax}

=

s -2--2 s +a

für s > O.

Satz 5.21

Beweis:

Wir beschränken uns wie bei Satz 5.20 auf den Nachweis der Formel. Wir beweisen die Behauptung durch vollständige Induktion. Nach Satz 5.20 ist die Behauptung für n = 1 richtig. Gilt die Behauptung für n = k, ist also 2' {f(k)} = -

(f(k~

1)(0) + SPk~ 2)(0) + ...

+ Sk~ 1f(O)) + Sk 2'{f},

(5.53)

so gilt nach Satz 5.20, wobei wir in diesem Satz die Funktionfdurch ihre k-te Ableitung ersetzen, 2'{f(k+l)(X)} = _pk)(O)

+ S'2'{f(k)(X)}

Setzen wir (5.53) in (5.54) ein, so folgt die Behauptung für n = k + 1.

(5.54)

•

424


Satz 5.22 (Integrationssatz)

Wir wenden jetzt die Laplace-Transformation auf die Differentialgleichung y"

+ ad + aoy = !(x)

(5.55)

an. Dabei lassen wir für!nur Funktionen zu, die in der Tabelle der Laplace-Transformierten (Seite 420) vorkommen. Löst man die Differentialgleichung mit einem der bisher beschriebenen Verfahren, so erkennt man, daß in diesem Falle die allgemeine Lösung eine Linearkombination aus Funktionen ist, die in der Tabelle enthalten sind. Das Gleiche gilt für die erste und zweite Ableitung der allgemeinen Lösung, so daß die Laplace-Transformierten der allgemeinen Lösung, ihrer ersten und zweiten Ableitung für genügend große sexistieren. Wir setzen 2' {y} 2'{y'}

= -

=

Y Dann folgt nach Satz 5.21

y(O) + sY,

2'{y"}

= -

(/(0) + sy(O))

+ s2y

(5.56)

Bilden wir die Laplace-Transformierten beider Seiten der Differentialgleichung, so stimmen diese nach Satz 5.18 überein und wir erhalten mit F = 2'{f} 2'{y" + ad + aoy} = 2'{f}.

Daraus folgt wegen der Linearität der Laplace-Transformation (Satz 5.17) 2'{y"}

+ a l 2'{y'} + ao2'{y} =

2'{f}.

(5.57)

Setzen wir (5.56) in (5.57) ein, so erhalten wir - (/(0) + sy(O)) + S2 Y(s)

+ a l ( - y(O) + s Y(s)) + aoY(s) = F(s) (S2 + alS + ao)Y(s) = F(s) + /(0) + (s + al)y(O). Setzen wir voraus, daß s so groß ist, daß S2 + alS + a o =/= 0 für alle s > So ist, so folgt F(s) + / (0) + (s + al)y(O) Y(s)

=

2

s +als+a O

•

(5.58)

Bemerkung:

Durch die Anwendung der Laplace-Transformation geht die Differentialgleichung für die Originalfunktion y über in eine algebraische Gleichung für die Bildfunktion 2'{y} = Y Diese algebraische Gleichung läßt sich für genügend große s nach Y(s) auflösen. Wir haben jetzt die Aufgabe, zu dieser Bildfunktion Y die Originalfunktion zu bestimmen. Das geschieht mit Hilfe der Tabelle (Seite 420). Y ist eine gebrochen-rationale Funktion in s. Wir können die Partialbruchzerlegung anwenden. Dadurch erhalten wir nur Bildfunktionen, die in der Tabelle vorkommen. Es ergibt sich folgendes Lösungsschema:

5.3 Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten Laplace-Transformation

Differentialgleichung

425

Algebraische Gleichung für 2 {y}

für y

Lösung der

Rücktransformation mit

Lösung der alge-

Differentialgleichung

Hilfe der Tabelle

braischen Gleichung Bildbereich

Originalbereich

Beispiel 5.78 Mit Hilfe der Laplace-Transformation löse man die Differentialgleichung y"

+ 3y' -

4y = e2x .

Da auf der rechten Seite der Differentialgleichung nur eine Funktion vorkommt, die in der Tabelle der Laplace-Transformierten (Seite 420) enthalten ist, existieren alle benötigten Laplace-Transformierten. Wir erhalten - y/(O) - sy(O) + s2y(S) + 3( - y(O) (S2

+ 3s -

Y(s) =

s-2

+ 3s 1

1

=~+ -5

s-2

+ y/(O) + (s + 3)y(0),

4) i= O. Wegen S2

(s - 2)(s - l)(s + 4) 1

1

= -

1 4 Y(s) = - , s-2

1 y' (0) + (s + 3)y(0) +- - - - (s - 2)(S2 + 3s - 4) S2 + 3s - 4

für (s - 2)·(S2 Y(s) =

4)Y(s)

+ s Y(s)) -

+

s-l

+ 3s - 4 = (s - l)(s + 4) gilt weiter (Partialbruchzerlegung)

y' (0) + (s + 3)y(0) +- - - - (s - l)(s + 4) y/ (0) + 4y(O) y' (0) -

1

30

s+4

+

5

+

s-l

y(O)

-5

_

s+4

Die Summe existiert für s > 2. Durch Anwendung der Tabelle auf Seite 420 kann die Rücktransformation erfolgen. Wir erhalten

Y

=

le 2x _lex + --.L - 4x + y'(O) + 4y(0) eX e 6 5 30 5

_

y'(O) - y(O) e- 4x

5

Sind neben der Differentialgleichung noch Anfangsbedingungen an der Stelle X o = 0 vorgeschrieben, so erhält man die Lösung des Anfangswertproblems unmittelbar durch Einsetzen der beiden Anfangswerte y(O) und y' (0). Beispiel 5.79 Mit Hilfe der Laplace-Transformation löse man das Anfangswertproblem y"

~

y ( ) = 0, y'

(~ ) = 1.

+Y= x

mit

426


Die Laplace-Transformation ist bei dieser Differentialgleichung anwendbar. Wir erhalten 1 (S2 + 1) Y(s) = y'(O) + sy(O) + 2' s 1 Y(s) = y'(0) S2

1

s

+ 1 + y(O) S2 + 1 + S2(S2 + 1)·

1 1 1 Wegen 2 2 = 2 - -2-- erhalten wir durch Rücktransformation mit Hilfe der Tabelle s +1 s (s + 1) s (Seite 420) y = y' (0) sin x + y(O) cos x + x - sin x.

Die Anfangsbedingungen fordern

o=

y

0)

1 = y' (

~)

= y' (0) +

=

-

~-

also y' (0) = 1 -

1,

y(O) + 1,

also y(O)

=

~

O.

Als Lösung des Anfangswertproblems ergibt sich n. y= --Slnx+x. 2

Beispiel 5.80 Mit Hilfe der Laplace-Transformation löse man das Anfangswertproblem y" + 2y' - 3y = e mit y(O) = 0, y'(O) = O. X

Die Laplace-Transformation ist auch bei dieser Differentialgleichung anwendbar. Wir erhalten für genügend große s 1 - y'(O) - sy(O) + s2y(S) + 2( - y(O) + s Y(s)) - 3 Y(s) = -

s-1

und durch Einsetzen der Anfangswerte (S2

Wegen

+ 2s - 3) Y(s) =

S2

1 --.

s-1

+ 2s - 3 = (s - 1)(s + 3) folgt für s > 1

Y(s) =

1

(s - 1)2(S + 3)

1

-~

~

= __4 _ + ~ + ---.1.L. (s - 1)2

Aus der Tabelle entnehmen wir

S-

1

s+3


427

Beispiel 5.81 Mit Hilfe der Laplace-Transformation löse man die Differentialgleichung y" - y = cos x. Wir erhalten s - y' (0) - sy(O) + S2 Y(s) - Y(s) = - 2 - ' S + 1 s

Y(s) =

+ 1)(s2 -

(S2

1)

y' (0) + sy(O) +-S2 - 1

für s > 1. Durch Zerlegung in Partialbrüche folgt

+ y(O)

y'(O) 1.

2

-1. s

1.

Y(s) = _ 4 _ + _ 4 _ + __ 2_ + s - 1 s + 1 S2 + 1

y'(O) - y(O)

-2

+

_

s+ 1

s- 1

Durch Anwendung der Tabelle erhalten wir 1

x

y=4 e

+1

4e

- x

1

-2COS X

+ y' (0) + y(0) 2

x

e-

y' (0) - y(0) - x

2

e.

Beispiel 5.82 Mit Hilfe der Laplace-Transformation löse man y"

+ y' -

2y = eX sinx.

Die Transformation ergibt für genügend große s - y'(O) - sy(O)

Y(S)(S2

+ S2 Y(s) - y(O) + s Y(s) - 2 Y(s) =

+ s - 2) =

1 2

(s-l) +1

1 2'

(s - 1)

+1

+ y'(O) + (s + l)y(O).

Wegen S2 + s - 2 = (s - l)(s + 2) gilt für s > 1 weiter 1 Y(s) = ((s-lf + l)(s-I)(s+2)

+

y'(O) + (s + l)y(O) (s-I)(s+2) .

Durch Partialbruchzerlegung ergibt sich y'(O) 1.

Y(s) = _ 3 _ s-1

-~

-2S+1.

s+2

(s-I)2+1

+ ----lQ. +

10

5

+

+ 2y(O) 3

y'(O) - y(O)

+

s-1

Wegen -fos+i (s - 1)2 + 1

1

3s- 2

10 (s - 1)2 + 1

1 3(s - 1) + 1 10(s-I)2 + 1

-3 s+2

_

428


erhaIten wir Y=

-Le - 2x - -L(3e Xcosx + eXsinx) +

lex 3

30

10

y'(O) + 2y(0) X y'(O) - y(O) e e - 2x. 3 3

Die Laplace-Transformation kann auch unter schwächeren Bedingungen an die Funktion definiert werden.

f

Die Funktion f sei auf [0, CIJ) erklärt, für (0, CIJ) stetig und über [0, a] mit a > 0 uneigentlich absolut integrierbar. Es sei s, So E [R. Wenn der Grenzwert lim S f(x)e-SXdx für jedes s> So existiert, so heißt die durch al0 a

F(s) = lim S f(x)e -sx dx al0 a

für s >

So

definierte Funktion F die Laplace-Transformierte der Funktion f.

Bemerkungen:

1. Ist f auf [0, CIJ) stetig, so stimmt diese Definition mit der Definition 5.4 überein. 2. Ist f eine in der Tabelle auf Seite 420 vorkommende Funktion, so kann man also auch Funktionen g mit

o g(x)

für x:::; 0

= { fex) für x: 0

transformieren. Ist bei der Berechnung des Integrals der Wert an der Stelle 0 einzusetzen, so ist bei der Funktion g nicht der Funktionswert an der Stelle 0 zu nehmen, sondern der rechtsseitige Grenzwert. Es ist dann !.e {f} = !.e {g}. Ist f(O) #- 0, so bezeichnet man g als Sprungfunktion. Solche Funktionen beschreiben in der Elektrotechnik Einschaltvorgänge. Beispiel 5.83 cosx Man löse die Differentialgleichung y" + Y = g(x) mit g(x) = { 0 Die Laplace-Transformation liefert für genügend große s - y'(O) - sy(O) + S2 Y(s)

+ Y(s) =

s

+ If +

y'(O) S2

~

O.

s -2-'

S

Y(s) = (S2

für x>O für x

+1

+ sy(O) +1 .

Durch Rücktransformation mit Hilfe der Tabelle erhalten wir die in diesem Falle nur für x> 0 gültige Lösung y =1xsinx + y'( +O)sinx + y( +O)cosx

mit y'( + 0) = lim y'(x) und y( + 0) = lim y(x). xl0

xlO

für x > 0


429

Auch wenn f im Innern des Intervalls [0,(0) Unstetigkeitsstellen hat, kann unter gewissen Bedingungen die Laplace-Transformierte definiert werden.

°

Die Funktion f sei auf [0, (0) erklärt, für x 1= X o > stetig und über das Intervall xoE[a, b] uneigentlich absolut integrierbar. Existieren die Grenzwerte

Ca, b] mit

x

lim

S f(t)e -st dt und lim S .f(t)e -st dt für jedes s > So

xjxo 0

(5.59)

xlxo x

so heißt die durch CfJ

F(s) = lim Sf(t)e -st dt + lim S f(t)e -st dt xjxo 0

für s> So

(5.60)

xlxo x

definierte Funktion F die Laplace-Transformierte der Funktion f. Bemerkungen:

1. Bei der Berechnung der Laplace-Transformierten spielt also der Funktionswert f(x o) keine Rolle. 2. Die Definition kann auch auf mehrere, endlich viele Unstetigkeitsstellen erweitert werden. Beispiel 5.84 Es sei f die Impulsfunktion mit f(x) = {

°A>O

für

Xl~X~X2

mit A,X l ,x 2 E[R+

sonst.

y

A

~

- - - - - -e...-----... I

I

I

I I I

I

I -~I-~I-~ X Xl X2

Bild 5.24: Die Irnpulsfunktion aus Beispiel 5.84

Wir berechnen die Laplace-Transformierte F der Impulsfunktion. Die Grenzwerte (5.59) und (5.60) existieren an den Stellen x = Xl und x = X 2 für s > 0, so daß die Laplace-Transformierte für s > definiert ist. Da f(x) nur für Xl ~ X ~ X 2 ungleich Null ist, erhaIten wir

°

SX X2

F(s) = X2S Ae -sxdx = A -eXl -s

I

A

= Xl

S

(e -SXl

-

e -SX 2 ).

430


Beispiel 5.85 Es sei

f

die Impulsfunktion mit A = 1,

y" + Y = f(x) mit y(O) = y'(0) = O.

Xl

= n, X z = 3n. Wir lösen das Anfangswertproblem

Durch Anwendung der Laplace-Transformation erhalten wir für genügend große s

Y(s)

=

1

_(e- Sn s

_

1

e- 3sn ) _ _ . Sz + 1

Die Rücktransformation ergibt wegen Y(s)

=

!l' {f(x)}·!l' {sinx}

mit Hilfe des Faltungssatzes (Satz 5.19)

o y = Ssin(x ~ t) f(t)dt = o

für x< n

Ssin(x {n o

t)dt = 1 + cosx für n ~

X

~ 3n

rurx>3~

Für x = n bzw. x = 3n ist y nicht zweimal differenzierbar, also ist y nur in solchen Intervallen Lösung, die die Punkte x = n bzw. x = 3n nicht enthalten. Die Lösung ist in Bild 5.25 dargestellt.

y 2

rc

2rc

3rc

x

Bild 5.25: Skizze zu Beispiel 5.85

Mit Hilfe des folgenden Satzes können wir den Anwendungsbereich der Laplace-Transformation erweitern. Satz 5.23 (Verschiebungssatz)


431

Bemerkung:

Den Graphen der Funktion g erhält man, indem man den Graphen der Funktion f um X o nach rechts verschiebt.

y

x Bild 5.26: Die Graphen der Funktionen/und 9 aus Satz 5.23

Beweis: A

A

Es ist für A > x o: Sg(x)e-SXdx = S g(x)e-Sxdx. Wir substituieren x = t + x o, d.h. dx = dt und erhalten 0 xo A A-xo A-xo Sg(x)e-SXdx = S g(t + xo)e-S(t+xo)dt = e- SXo S f(t)e-stdt o

0

0

wegen g(x) = f(x - x o), also g(t + x o) = f(t) mit t = x - x o. Bilden wir den Grenzübergang A-xo A ~ 00, so konvergiert S f(t)e -st dt für s > so, da die Laplace-Transformierte der Funktion o

A

f existiert. Dann konvergiert auch Sg(x)e-SXdx für s > so, d.h. die Laplace-Transformierte der o

Funktion g existiert und es folgt mit den Bezeichnungen des Satzes G(s) = e - SXoF(s)

•

für s > so.

Wir wenden den Verschiebungssatz in den folgenden Beispielen an. Beispiel 5.86 Wir berechnen die Laplace-Transformierte der Sprungfunktion f mit

o für alle x < x o f(x) = wobei A, X o > { A. . fur alle x ~ X o

°

ist.

Aus dem Verschiebungssatz folgt mit F = 2{f} 1 F(s) = e- SXo 2{A} = e- sxo 'A'2{1} = e- SXo A- für s > 0. s

432


y A

y - - - - - - ••- - - - - - - - - I

I

I I

x Bild 5.27: Die Sprungfunktion aus Beispiel 5.86

Bild 5.28: Die Anstiegsfunktion aus Beispiel 5.87

Beispiel 5.87 Es sei X o > 0 und f{x) = {

AE~.

Wir berechnen die Laplace-Transformierte der Anstiegsfunktion f mit

o A{x - xo)

für x< X o für x ~ X o

Nach Satz 5.23 ergibt sich mit F = fE{f} 1

F{s)=e-sxofE{Ax}=e-sxoA- fürs>O Sl

Beispiel 5.88 Es sei

AE~

und

Xl

Xl.

y A

----------~-------

x Bild 5.29: Die Rampenfunktion aus Beispiel 5.88


433

Wir stellen f als Summe zweier Funktionen fl und f2 dar mit für x< X 2

Dann ist mit F = 2{f}, F l = 2{fl} und F 2 = 2{f2}

Fl(s) = e- sx1

A _--

X2 -

Xl

1 A 1 SX2 --2" 2S > F 2(s) = - e- X - Xl S

und

2

(5.61)

Beispiel 5.89 Wir lösen das Anfangswertproblem y" . . n n 1st mIt A = -, Xl = -, X 2 = n.

2

+Y=

f(x) mit y(O) = y'(O) = 0, wo f die Rampenfunktion

2

N ach Beispiel 5.88 ist die Laplace-Transformierte dieser Rampenfunktion 1 F(s) = 2" (e- ns / 2 - e- Sn ). s

Durch Anwendung der Laplace-Transformation folgt mit Y = 2{y} für genügend große s (S2

1

+ 1) Y(s) = 2" (e -ns/2 -

e -sn),

S

1

Y(s) = - (e- ns / 2

_

S2

1

e- Sn ) ' - - . S2 + 1

Zur Rücktransformation benutzen wir den Faltungssatz (Satz 5.19). Es folgt x

y

=

Ssin(x -

t)f(t)dt

o

o

n für x 0 den Fall der starken Dämpfung, für R 2 = 4- den aperiodischen

L e e

Grenzfall, für R 2 - 4- < 0 den Schwingfal1. C

Wir betrachten verschiedene Störfunktionen. Ist ua(t) = VoE [R, so ist ip(t) = 0 wegen ua(t) = 0 eine partikuläre Lösung der Differentialgleichung (5.90). Diese Lösung ist gleichzeitig die stationäre Lösung, so daß in diesem Falle lim i(t) = 0 ist. t~oo

452


Daraus folgt lim uR(t) = lim uL(t) = 0 und wegen (5.89) lim uc(t) = Ua. t~w

t~w

t~w

Ist ua(t) = Ua sin WEt mit WE > 0, so lautet Gleichung (5.90) .. R. 1 Ua i(t) + L i(t) + L. e i(t) = wET cos WEt.

(5.91)

Eine partikuläre Lösung dieser Differentialgleichung ist Uaw E

arctan

für w~ L· e .

---

L.e

Diese Lösung ist gleichzeitig stationäre Lösung. Es handelt sich um eine ungedämpfte Schwingung mit der Amplitude

~=

(5.92)

LJ(_1_(2)2 + R2 2 w

L.e

L2

E

und der Anfangsphase ß +

E

~ wegen cos (wEt + ß) = sin ( WEt + ß + ~).

Wir untersuchen die Resonanz. Die Amplitude a wird am größten, wenn

L~~2 = ~~ ( (L~ C - w~

y+ ~:w~

)

am kleinsten wird. Wir differenzieren den zweiten Ausdruck nach W E und setzen diese Ableitung Null. Es ergibt sich 1 w E = -----=== .

JL·e

Man kann zeigen, daß für dieses

WE

die zweite Ableitung des obigen Ausdrucks positiv ist.

Für dieses W E wird die Amplitude des stationären Stromes am größten. Wegen (5.89) ist für dieses WE auch die Spannung uR(t) am Widerstand maximal. Für die Amplitude der an der Kapazität


453

anliegenden stationären Spannung uc(t) folgt wegen (5.92)

Uo

c

a =

L.CJ(L~C-W~Y +~:W~

Nach den Überlegungen bei den mechanischen Schwingungen wird in diesem Falle für wE

=

1 R2 L·C - 2'L2

J

(5.93)

die Amplitude maximal. Wir erhalten für die an der Induktivität anliegende Spannung uL(t) Uow~

L

a = r,(L

J(L~C-W~Y +~:W~

wird am größten, wenn

~~( (L~C-W~ Y+ ~: W~) am kleinsten wird. Setzen wir die erste Ableitung von (5.94) nach wE

(5.94) WE

Null, so folgt

1

= ---;:=====

J

R2C2

L·C---.

Für dieses

WE

2

wird die zweite Ableitung von (5.94) positiv.

Beispiel 5.96 Gegeben sei ein elektrischer Reihenschwingkreis mit dem Widerstand 100 Q, der Kapazität 10 J.lF, der Induktivität 50 mH. Wie groß muß die Frequenz der von außen angelegten Spannung sein, damit die Amplitude der stationären Spannung am Kondensator am größten wird? Es ergibt sich wegen (5.93) w E = 4,2426 ... ,10 3 . Daraus folgt

1

f = -WE = 0,675 .... 10 3 • Die

2n Spannung am Kondensator ist also ungefähr dann am größten, wenn die von außen angelegte Spannung die Frequenz 675 Hz hat.

Elektrischer Parallelschwingkreis

Wir betrachten den in Bild 5.43 dargestellten elektrischen Parallelschwingkreis. Nach den Kirchhoffschen Regeln gilt für den Knotenpunkt K iL(t) + ic(t) + iR(t) = i(t).

454

5 Gewöhnliche Differentialgleichungen i(t)

K

Bild 5.43: Elektrischer Parallelschwingkreis

Daraus folgt durch Differentiation nach t:

lL(t) + lc(t) + lR(t) = l(t) und wegen (5.89) und uL(t) = uc(t) = uR(t)

1

1. i(t),

L uc(t) + Cüc(t) + Ruc(t) =

1 1 1. üc(t) + R. Cuc(t) + L· Cuc(t) = Ci(t).

Wir erhalten auch in diesem Falle eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Die beim elektrischen Reihenschwingkreis durchgeführten Betrachtungen lassen sich auf diesen Fall übertragen. Aufgaben 1. Man bestimme die allgemeine Lösung folgender Differentialgleichungen a) y" + 7y' - 8 y = 0;

c) y" + 8y' + 25y = 0; e) y" + 8y = 0;

b) y" + 8 y' + 16 y = 0; d) y" + 8y' = 0; f) y"-4y'+4y=0.

2. Mit Hilfe des Grundlösungsverfahrens bestimme man die allgemeine Lösung folgender Differentialgleichungen a) y" + Y = tan x; b) y" + Y = cot x; c) y" + 2y' + Y = xe-x; d) y" + 3y' - 4y = sinx; e) y" + y' = x 2 + 4; f) y" + Y = cos x. 3. Mit Hilfe des Ansatzes in Form der rechten Seite bestimme man die allgemeine Lösung folgender Differentialgleichungen a) y" + 2y' + Y = xe-x; b) y" + 3y' - 4y = sinx; d) y" + 4y' - 5y = x 2 ex + x; c) y" + y' = x 2 + 4; f) y" + 4y' = x 3 ; e) y" + 4 y = sin 2x; g) y" - 2y' + 5y = e sin 2x. X

4. Mit Hilfe der Operatorenmethode bestimme man die allgemeine Lösung der Differentialgleichungen aus Aufgabe 3. 5. Man löse die Differentialgleichungen aus Aufgabe 3 mit Hilfe der Laplace-Transformation.

5.4 Lineare Differentialgleichungen der Ordnung n mit konstanten Koeffizienten

455

6. Man bestimme die allgemeine Lösung folgender Differentialgleichungen 1 a) y"+y=--; cosx c) y" - 6y'

b) y"-3y'+2y=xe x ;

+ 9y = x 2 + e

X

d) y"

;

+ 4y' + 13y = e sin x. X

7. Man löse die folgenden Anfangswertprobleme a) y" b) y"

+ Y = sinx

mit y(O) = 0, y'(0) = 2; + 2y' + Y = x + sinx mit y(O) = 1, y'(O) = 1;

c) y" + 9y = x 2

+ e 2x

mit y(3) = 7, y'(3) = 6.

8. Man bestimme die Differentialgleichung folgender Kurvenscharen

+ be 3x mit a, bErR; acosh 3x + b sinh 3x mit a, bErR;

a) y = ae X b) y =

c) y = e 2x(a sin 4x + b cos 4x)

mit a, bE rR.

9. Eine Feder wird durch ein Gewicht von 1 N um 5 cm gedehnt. Man hängt eine Masse von 20 kg an die Feder, dehnt die Feder zusätzlich um 5 cm und läßt sie dann los. Man beschreibe die Bewegung unter Vernachlässigung der Reibung. 10. Man beschreibe die Bewegung der Feder aus Aufgabe 9, wenn zusätzlich die Kraft (3'sin4t)N auf die Feder einwirkt. 11. Man beschreibe die Bewegung der Feder aus Aufgabe 10, wenn eine der Geschwindigkeit proportionale Reibungskraft mit dem Reibungsfaktor 120 kg der Bewegung entgegenwirkt. s 12. Ein elektrischer Schwingkreis besteht aus einer Reihenschaltung einer Induktivität mit L = 50 mH, eines Widerstandes mit R = 500 Q und eines Kondensators mit C = 50JlF. Man berechne die Spannung udt) am Kondensator, wenn zur Zeit t = 0 am Kondensator eine Spannung von 10 V liegt und kein Strom fließt. 13. Man zeige, daß die Ladung q(t) des Kondensators im elektrischen Reihenschwingkreis (Bild 5.42) der DifferenR 1 1 tialgleichung q(t) + L(z(t) + L'Cq(t) = LUa(t) genügt.

5.4 Lineare Differentialgleichungen der Ordnung n mit konstanten Koeffizienten Das folgende Kapitel ist eine Verallgemeinerung der Aussagen von 5.3. Es erschien sinnvoll, zunächst den Fall n = 2 zu behandeln, da in vielen Fällen nur dieser gebraucht wird. Es wird auch dem Leser empfohlen, vor dem Abschnitt 5.4 das Kapitel 5.3 durchzuarbeiten. Die Funktion f sei auf dem Intervall (a, b) stetig und Differentialgleichung der Form

I

aky(k)

aiE~

für 0 ~ i ~ n - 1, an = 1. Die

= y(n) + a n_ 1y(n-l) + ... + a 1y' + aoy = f(x)

(5.95)

k=O

bezeichnet man als lineare Differentialgleichung der Ordnung n mit konstanten Koeffizienten. Ist f die Nullfunktion, so heißt die Differentialgleichung homogen, sonst inhomogen. f heißt Störfunktion oder Störglied.

456


Die Lösungen der Differentialgleichung (5.95) lassen sich ähnlich wie die Lösungen der linearen Differentialgleichnung der Ordnung 2 bestimmen. Satz 5.24

Die Funktion f sei auf dem Intervall I stetig und aiEIR für 0 ~ i allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung

~

n -1, an = 1. Ist YH die

und yp eine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung n

L

aky(k)

= f(x),

k=O

so ist Y = {yjy = YH + Yp mit YHE YH} die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung. Auf den Beweis wird verzichtet. Um die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (5.95) zu erhalten, gehen wir wie im Falle n = 2 vor: Wir bestimmen a) alle Lösungen der homogenen Differentialgleichung b) eine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung und bilden dann aus diesen beiden Lösungen die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (5.95). 5.4.1 Die homogene Differentialgleichung

Wir bestimmen die allgemeine Lösung der Differentialgleichung

L

ak /

k

) =

O.

k~O

Dazu verallgemeinern wir zunächst Satz 5.6: Satz 5.25

Es seien gl, g2"" ,gk Lösungen der Differentialgleichung

L

adk)

=0

k=O

Dann ist auch g = c1g1 + c 2g2 + ...

Lösung dieser Differentialgleichung. Der Beweis bleibt dem Leser überlassen.

+ ckg k

mit

Cl' C2,···, CkEIR

5.4 Lineare Differentialgleichungen der Ordnung n mit konstanten Koeffizienten

457

Die homogene Differentialgleichung erfüllt die Voraussetzungen des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes. Eine Lösungsschar ist daher die allgemeine Lösung, wenn diese Lösungsschar für alle x o, Yo, Yl,"" Yn-l EIR jeweils eine Funktion enthält, die die Anfangsbedingungen y(x o) = Yo, y'(x o) = Yl'" ., y ( -X )2 Y=YM-a·cost= -(r+a)cost r-a

x M = r"sin t, YM

= -

r·cos t,

+ ( -Y- )2 -1 r+a

16. Vgl. Bild L1.S

. Y _ a _ 11 - X . 2 2 _ 2 Strahlensatz.------mlt/ 1 +/ 2 -s,

12

17 . Y

'=~=~ . .' cp x

S

/1

t2 b) y' = t2 _ l'

= e, y" =

°

e) y' = 2t 2 ,

18. y'=-2

19. y'

=

20. y' =

/1 = -s·-x , s- a

" xy-xy dy' 1 Y =~=dt·i

a) y' = 2t, y" = 2 d) y'

s· Y 12 =-, a

1 - O,S·t,

f'(cp)sincp

y'

=

°

3 - 2t y" = (t2 _ 1)3

y" = 4t 2

y" < 0 in P(2),

in P(2),

1 + 3t 2 c) y' = -2-t-,

3t 2 -1 Y"=4[3

f) y' = - 2· sin t, y" = - 1

H(32, 16)

+ f(cp)coscp

-------

f'(cp)cos cp - f(cp)sin cp .

a)f'(cp)=sincp,

f'G)=l,

fG)=l, y'=-l n

b) Vgl. Bild L1.6 Im Pol gilt 3·CPa = - + kn(kEZ), dort nur einseitig differenzierbar: f(CPa) = 0, f'(CPa) -# 0 2 y' = tan CPa mit CPa

n = -

6

n

+k-

3

(Tangenten unter - 30° bzw.

+ 30° bzw. 90° gegen positive x-Achse)

502

Aufgabenlösungen

y

y

I, Bild L1.4: Zu Aufgabe 15

Bild L1.5: Zu Aufgabe 16

1

X

Bild L1.6: Zu Aufgabe 20b)

3

S-n

c) y,=_v-'-----J_ nfi + 3

21. fl(CP)

=

f2(CP)· Es gilt für alle kEZ:

a) fl(CP)

=

3 ·cos cP, f2(CP)

=

1 + cos cP

n

,

-3fi,

-fi

CPl=3+ k · 2n : fl(CP1)=f2(CP1)=~' fl(CP1) = - 2 - ' f2(CP1)=-2, 1, Yl= fi' Y2=O,

fi

Itant5 I =-3-'

n

b=1,38... (d.h.79,1°...)

;;;; ;; 1 - cos t c) Cl: y 3y = x + 1, S: y 3·2·sin t·(l- cos t) = (2cos t + 2cos 2 t -1) + 1 =>y 3 - - - = cott=> 1 + cos t

J3 tan 2!:. = coeG) -1 =,>2J3.z = Z2(Z2 -1) 2

mit

t 2cot-

cot!:. = z: 2

2

ZI = 0,

Z2 =

tl =

J3,

n,

SI( -1,0),

t 2 = 1,047... ,

Y~ =

S2G,

1 J3'

J,}}

Y~ ---> 00, Itan 151 =

J3

Y~ = - Y~ = ~,

Itanbl =

22. Orthogonalitätsbedingung: y'IY~ = -1 a) fl(CP) = a·exy = jJx=>t = 2, W(3, - 14), mt = -12, t: Y = -12x + 22 37. a) S(2,1); Y1(2) = Y2(2) = 1, y~(2) = y~(2) = 1, y'{(2):f= y;(2). Die Kurven berühren genau von der Ordnung 1. b) Die Kurven schneiden sich in (9, - 6) und berühren einander in (1,2) genau von der Ordnung 2. c) Die Kurven berühren einander in (1, - 1) genau von der Ordnung 2. d) Die Kurven berühren einander in (0,1) genau von der Ordnung 5. e) Die Kurven berühren einander in (0,1) genau von der Ordnung 11. n n2 38. f mit f(x) = - 0,5x 2 + -x + 1 - 2 8 3 2 39. Y = - 0,144338x - 0,023275x + 1,009112x - 0,001269 x4 x 3 x 2 X 40. Y= --+---+-+ln2 64 24 8 2 4x(36 - 20x 2) - 2x 2 (3 - 5x 2) 41. f'(x) = , f"(x) = - , f",(x)=---2 2 3(11 + X )4 9 (11 + X )7 27(J1 + X 2)10 Y = 0,181904x 3 - 0,388381x 2 + 0,004402x + 1,000474 =>1 ~ 0,91869 ay x 2 implizites Differenzieren ergibt y' =~, y -ax 2 Kreis: (x - XM )2 + (y - YMf = a , 2(x - x M ) + 2(y - YM)Y' =

, 4a 42. Xo = -3'

2a Yo = -3'

°

Aus Übereinstimmung von Y und y' ergibt sich: XM =

sinh~,4

43. a) y' =

s=

(1 ± A ~)a,

YM

= (~+

-tr ~)a

S JCOSh2~dX = 4 sinh 1 4

0

2n

2n

b) s = J J a 2(1 - cos t)2 + a 2 sin 2 tdt = fia J )1 - cos tdt = 2afi[ - 2J1 + cos tJ~ = 8a o

c) s=

d) s =

0

~8

~8

o

0

4-

J ~dt= J t3Jt4+1dt=[-~(Jt4+1)3Ji8=1f

j2 COS ~ dcp = [2 sin ~ Jn 2

2dq>

4

4

"3"3

S

4

= 2 JJ1 +*xdx = 3 JJ~+ xdx = 2[(J~ + X)3J~ = Vl o

0

4

46. s =

JJ t

4

2

J

+ 6t + 9 dt = (t + 3) dt = 20

o

0

Ko

e) K=

f)

- cosx (Jl + sin

K = (

g) K=

Jx

2

,

4

+ 16

)3

3J2

i)

K =

1 M ' y2eq>

K

=

Ko =

+ 2)

- 2 13M h,M(-4n-2",-y2) 3y 3

3 2 Ko=-,Mh;a,O) 4a

,

~(konstant), M( - 2,~)

2 Ko =-,M(aJ2,aJ2) 3a

-1 2aJ2(1 - cos t)

1)

M,M(5, 4y 2

J2 KO =-,M(O, 1) 2

1 j) K=. , 3a SIn t cos t k) K=

+1

-

J2 Ko =4,M(4,4)

'

4aJ1 + cos c.p h) K=

=

X)3

2x

sin c.p

0

J1 + cos c.p

dc.p = - 4J2[J1 + cos c.pJ~ = 8

[q>~+ln(q>+~)]~=~ Jt + GY +ln(~+)1+ GY)

=

± ~fi. Wegen der Symmetrie bez. der x-Achse gilt:

45. y' =

n

J

,

-1 Ko=-,M(an, -2a) 4a

1 (konstant, da Kreis),

M(O,I)

510

Aufgabenlösungen

=

-x ~' (yx 2 +1)3

b) K =

+ (1 + y2)2'

48. a)

K

s(j2 -ln2) 2' 2

_ 2(1- y2)

c)

K =

d)

K=

e)

K

=

12

(J2 y 2 + 9)3

Sl( -4,0),S2(4,0)

,

J3

6(1 + cos ep) , a(J5 + 4cos ep)3

5J1O

p=~

-1

d) y" = -

e) y" = f) y" =

K

f) p=O

g) p=2j2a

S3(~' -~J3)

00,

-1), konvex auf( -1,

.yo.5), kein Wendepunkt, kein Flachpunkt

konvex auf [n, 2n], kein Wendepunkt, kein Flachpunkt (Kreis)

(~ ~ ~:)

3 ,

konvex auf ( -

27(t 2 - 6t + 12) 32(3 _ t)3 '

-2eqJ (cos ep + sin ep)3'

= - sinx,

5,0),

2j2a

c) p=1

g) y" = 8 c~s: ep - 152, 64 stn ep cos ep

51.

Sl(~' ~J3), S2( -

d) p = - 3

b) p=a

50. a) konvex auf lRt, W(0,7) 2(1 + t 3)4 b) y" = a(l- 2t 3)3' konvex auf( c) y" = -.-3-' stn t

J3

3a, -3- a) Sl(3a,0),S2(-a,0),S3 ( - 3a - ,3- -a) ,S4 ( - 4 4 4 4

5 , (J2(1 - sin t'sin 4t - cost'cos4 t)3

49. a) P=-3-

e)

S(O,O)

s(~,O

), p

00, -

1] und auf [1, (0), kein Wendepunkt (Kreis)

konvex auf (- 00,3), kein Wendepunkt, kein Flachpunkt konvex auf den Intervallen (-in

+ k2n, in + k2n) mit kEN o

konvex auf den ep-Intervallen (~, 3nJ und 2 4

[7n, nJ keine Wende- oder Flachpunkte 4

= 1, Schaubild s. Bild Ll.lO

y

n: -1

Bild Ll.I0: Zu Aufgabe 51

X

Anwendungen der Differential- und Integralrechnung 1 -1 = --2-. In Po(xo,Yo): Po = cosh 2 Xo, Normale: Y - coshx o = -.--(x - x o), cosh x slnh X o Schnitt mit Achse in S(x o + sinh X o·cosh x o, 0), SP 0 = cosh 2x o (J1 + cosh 2 x o)3 1 + cosh 2x O 2cosh 2 X o 53. a) P o = . ,xM=xo-coshx o 'YM=-.-. slnh X o Islnh X oI slnh X o 2 h h 2 cosh x(l - sinh x) b) 1(' = , Sl(ln(l + v 2),1), S2( -ln(l + v 2), - 1) (J1 + cosh 2x)5

52.

1(

c) Pl = P2 = 313, M 1 (ln(1 +)2)- 3)2,4), M 2( -ln(l +)2)+ 3)2, -4) k 1 :(x -ln(l +)2) + 3)2)2 + (Y- 4)2 = 27,

k 2 :(x + In(l +)2) - 3)2f + (y + 4)2 = 27

54. a) Wegen

x o(1) = ( _ ~) = x 1(0), x 1(1) =

G)

= xz{O),

. (1). . (1).

x o(1)=

i

o(1)

1 =x 1 (0), x 1 (1)=

1 =x 2(0),

= (~) = 'f 1(0), 'f 1(1) = (

_~) = 'f2(0) und 'fo(O) = 'fz{l) = Ö

ist S eine natürliche, kubische Spline-Kurve. Man erhält: so(x) = x 3 + 3x 2 + x-I für - 1 S x sO S: sl(x)=-2x 3 +3x 2 +x-1 für Osxs1 { S2(X) = x 3 - 6x 2 + 10x - 4 für 1s x s 2

y

1

So

Bild LI.II: Splinekurve aus Aufgabe 54a)

x

511

512

Aufgabenlösungen b) Wegen

xo(1) = ( - ~) =x (O), 1

xi(l) =

G) =x

2

(O), x 2 (l) =

G)

=

x (O), 3

. (1) . . (1). . (1). . (0) . . (0).. . (0) . . (0)(0)x.

x o(1)=

0

=x 1 (0), x 1 (1)=

5 =x 2 (0), x 2 (1) =

4 =x 3 (0),

x o(1)=

2

=x 1 (0), x 1(1)=

8 =x 2 (0), x 2 (1)=

-10 =x 3 (0),

ist S eine kubische Spline-Kurve, wegen xo(O) = 3(1) =

-52

-28

=I- 0 und

=I- 0 aber keine natürliche Spline-Kurve.

x

Bild LI.12: Splinekurve aus Aufgabe 54b)


513

Durch Elimination von t erhält man: so(x)

S-

=

Sl(X) =

.

{

S2(X) = S3(X)

=

+ 16x 2 + 17x + 6 + 4x 2 + 5x + 2 3x 3 + 4x 2 + 5x + 2

5x 3 x3

-7x 3 + 16x 2

für - 2:::;; x:::;; - 1 für - 1 :::;; x:::;; für x :::;; 1 7x + 6 für 1 :::;; x:::;; 2

-

°

°:: ;

55. Wir rechnen mit 3 Stellen nach dem Komma. -T

r r

a) Mit R =

n/2 n

1

-T

r

2

-T

r

3n/2 2n

3

-T

r

sinO sin n/2 sinn sin 3n/2 sin2n

°

0

-T

4

°

1,571 3,142 4,712 6,283

° ° ° 1

und der

-1

Matrix P (siehe (1.47)) erhalten wir die Tangentenrichtungsvektoren in den Knoten aus (1.45) zu T~

1,571

Ti

1,571 1,571 1,571 6,283

- 1,5 . Folglich lauten die Geometriematrizen Gi der Spline-Segmente xi(t) = Gi·]; (t), i = 0,1,2,3 (siehe (1.36)): 1,5

1,571 1,5

° '

TI TI TI

= p. R =

G _ (0 0-

G2 = (

°

1,571 1

3,142

1,5

°

°

4,712

°

1,571

-1 -1,5 Man erhält mit tE [0,1]:

=

G = (1,571

1,571)

1

1,571)

° '

1

G =( 3

3,142

4,712 _

1

1,571

° ° ° ° 6,283

1,571

1,571) -1,5' 1,571). 1,5

1,571t ) ( - O,5t 3 + 1,5t

Entsprechend wird (1,571t + 1,571 ) xt-G·bt1( ) - 1 () - 0,5t 3 -1,5t 2 + 1 ' _ (0,002t x 2 (t)=G 2 ·b(t)=

3

-

0,003t + 1,571t + 3,142) 3 ' O,5t - 1,5t 2

(1,571t + 4,712 ) xt=G·bt= 3( ) 3 () _ O,5t 3 + 1,5t 2 - 1 .

y

1

x

Bild Ll.13: Splinekurve aus Aufgabe 55a)

514

Aufgabenlösungen

b) Wegen f' (0) = f' (ln)

1 wählen wir als Richtungsvektoren in den Randpunkten

=

zr0 = zr4 =

C).

Hiermit

lautet die Matrix R (siehe (1.48)): 1

---T a

o

n/2 n

---T

3n/2 2n

r

R=

1

r

°

°

rl; ---T

4

---T a 4

1

1

° ° ° °

sin sin n/2 sin n sin 3n/2 sin 2n

1,571 3,142 4,712 6,283 1

1

1

-1

1

Die Tangentenrichtungsvektoren in den Knoten ergeben sich aus (1.45) mit Hilfe der Matrix P (siehe (1.49)) zu

Tl;

1

Ti TI TI TI

1,734 1,489 1.734

=P·R=

1

0,143 - 1,571 . Folglich lauten die Geometriematrizen Gi der Spline-Segmente 0,143 xJt) = Gi'b (t), i = 0,1,2,3 (siehe (1.36)):

1

1,571 1

0

° ° -

Go

=

(

G

=

(3,142

2

1

1,734) 0,143 ' 4,712 1

G

= 1

1,489 1,734) - 1,571 0,143'

G

(1,571 1

= (

3

-

3,142

°

4,712 1

6,283

°

Man erhält mit tE[O, 1]: ___

(0

°

xo(t) = Go'b(t)=

1,571 1

1 1,734) 1 0,143'

(1 ;t;t~ ;t;t

= ( - 0,408t

3

- 0,857t 3

3 )

t-2t 2 +t 3 - t2

+ t3

2

+ 0,979t + t) + 0,857t 2 + t .

Entsprechend wird 3

x

--(0,081t (t)- G 'b(t)1 1 0,572t 3

2

0,244t 1,715t 2

_ 3

--( - 0,002t x(t)-G'b(t)2 2 0,572t 3

x (t) =

G 'b(t) =

3

3

( - 0,408t

3

0,857t 3

_

+ 1,734t + 1,571)

+ 0,143t + 1

'

2

+ 0,083t + 1,489t + 3,142) _

0,001t 2

-

1,571t

'

2

+ 0,245t + 1,734t + 4,712) + 1,714t 2 +0,143t - 1 .

56. Wir rechnen mit 3 Stellen nach dem Komma. ---T 0

r r1 ---T r2 ---T r3 ---T r4 ---T

a) Mit R

=

4 2 2 1,414

°° 2 4

- 1,414 -2

1,734 0,143

und der Matrx P (siehe (1.47))

1,734 0,143

1,489)

~ 1,571 11)'

'


515

y

1

x

Bild Ll.14: Splinekurve aus Aufgabe 55b)

erhalten wir die Tangentenrichtungsvektoren in den Knoten aus (1.45) zu

TÖ

- 1,714 - 0,379

Ti

TI TI TX Go

=

G2 =

-2,571

°

- 1,621

2,571 1,714

-1 - 0,379

- 1,714 - 0,379

- 2,571) - 1 '

= p. R =

(4 2

2 1,414

(~

_ ~,414

_

-1

~,621

_

Folglich lauten die Geometriematrizen Gi der Spline-Segmente xi(t) = Gi·/; (t), i = 0,1,2,3 (siehe (1.36)):

G _ (2 1 1,414

~,571),

G3 = (

-1,714 - 0,379

- 2,571). - 1

°° --

_ ~,414

_

2,571 1

~

_

° ) - 1,621 '

~,571

_

~,~~~).

Man erhält mit tE[O, 1]: ---+

xo(t) = Go· b (t) =

(4 2

2 1,414

= (- 0,285t 3 - 0,001t 2 - 1,714t + - 0,207t 3

-

Entsprechend wird 3

---+

---+

x t-G·bt1( ) - 1 () ---+

(-

'

2

1,429t + 3,429t ) 0,207t 3 - 1,621t '

2)

(0,285t - 0,856t + 2,571t + _ 0,207t 3 + 0,621t 2 - t - 1,414 . 3

---+

xt=G·bt= 3( ) 3 ()

2)

2

(1,429t - 0,858t - 2,571t + 0,207t 3 - 0,621t 2 - t + 1,414 3

xt-G·bt2( ) - 2 () -

4).

0,379t + 2

2

b) Hier wählen wir als Richtungsvektor im ersten Knoten den Tangentenrichtungsvektor ä 0 1 ) Endknoten ä 4 = ( . Hiermit lautet die Matrix R (siehe (1.48)): -1/4

---+T

1 0,25 4 2 2 1,414

---+T

°° 2

- 1,414

---+T

4

-2

4

1

- 0,25

---+T

ao r0

---+T

R=

r r

a

1

4

= (

1 ), im 1/4

516

Aufgabenlösungen

y

1

x

Bild Ll.15: Splinekurve aus Aufgabe 56a)

Die Tangentenrichtungsvektoren in den Knoten ergeben sich aus (1.45) mit Hilfe der Matrix P (siehe (1.49)) zu

T6 Ti

TI TI TI

=

P·R=

2 1,414

Go

=

4 (2

G2

=

(

0

1 - 3.286 0,143 2,714 1 1 0,25

2 1,414

°_

Man erhält mit

-

0,25 1.171 1,567 . Folglich lauten die Geometriematrizen Gi der Spline-Segmente xJt) = Gi'b (t), i = 0,1,2,3 (siehe (1.36)): 1,046 0,25

- 3,286) - 1,171 '

0,143 _ 1,567

G _ (2 1 1.414

2,714) - 1,046 '

G3

=

°° --

(2 - 1,414

4 - 2

tE [0,1]:

_

(4 xo(t) = Go' b (t) = 2

2 1,414

1,714t3 - 4,714t 2 ( = 0,251t 3 - 1,087t 2

1 0,25

_ 3,286) . -1,171

+t +4

(1 ~t;~ ;t;t 2

t-2t +t - t2 + t3

)

+ 0,25t + 2 .

Entsprechend wird 3 2 (0,857t + 0,429t xt-G'bt1( ) - 1 ( ) - 0,090t 3 - 0,333t 2

-

3,286t + 2 ) 1,171t + 1,414 '

x

2 3 _ ( - 1,143t + 3t + 0,143t ) t-G·bt3 2( ) - 2 () - 0,215t _ 0,062t 2 - 1,567t '

_ x

2 3 ( - 0,286t - 0,428t t=G'bt= 3( ) 3 () _ 0,124t 3 + 0,584t 2

+ 2,714t + 2 -

) 1,046t - 1,414 .

3,286 1,171

3

3 )

0,143) - 1,567 '

2,714 - 1,046

1) - 0,25 .

Anwendungen der Differential- und Integralrechnung

517

y

1

x

Bild Ll.16: Splinekurve aus Aufgabe 56b)

57. a) Es ist (vgl. Beispiel 1.29 a)) 2 1 0 0 1 4 1 0 0 1 4 1 A= 0 0 1 4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 Folglich ergibt sich

0 0 0 0 0 1 2

-0,155 0,309 -0,083 0,022 -0,006 0,002 -0,001

0,577 - 0,155 0,041 -0,011 0,003 - 0,001 0

A- 1 =

0 0 0 0 0 0 1 0 4 1 1 4 0 1 wegen

und

0,041 - 0,083 0,290 - 0,078 0,021 - 0,006 0,003

B=

-3 -3 0 0 0 0 0

- 0,011 0,022 -0,078 0,289 -0,078 0,022 - 0,011

3 0 -3 0 0 0 0

0 3 0 -3 0 0 0

0,003 - 0,006 0,021 - 0,078 0,290 - 0,083 0,041

0 0 3 0 -3 0 0

- 0,001 0,002 - 0,006 0,022 - 0,083 0,309 - 0,155

0 0 0 3 0 -3 0

0 0 0 0 3 0 -3

0 0 0 0 0 3 3

0 - 0,001 0,003 - 0,011 0,041 - 0,155 0,577

die gesuchte Matrix zu - 1.268 - 0.464 0.124 - 0.033 0.009 - 0.003 0.001

P=A-1'B=

1.608 - 0.215 -0.746 0.2 - 0.054 0.015 - 0.008

- 0.431 0.862 - 0.015 -0.8 0.215 - 0.062 0.031

0.115 - 0.231 0.808 0 - 0.808 0.231 - 0.115

- 0.031 0.062 - 0.215 0.8 0.015 -0.862 0.431

0.008 - 0.015 0.054 -0.2 0.746 0.215 - 1.608

- 0.001 0.003 - 0.009 0.033 - 0.124 0.464 1.268

b) Entsprechend Beispiel1.29b) nehmen wir die Richtungsvektoren ä 0 und ä 8 in die Matrix R auf (siehe (1.48)) und erhalten die Matrizen

A=

1 1 0 0 0 0 0

0 4 1 0 0 0 0

0 1 4 1 0 0 0

0 0 1 4 1 0 0

0 0 0 1 4 1 0

0 0 0 0 1 4 0

0 0 0 0 0 1 1

und

B=

1 0 0 0 0 0 0

0 -3 0 0 0 0 0

0 0 -3 0 0 0 0

0 3 0 -3 0 0 0

0 0 3 0 -3 0 0

0 0 0 3 0 -3 0

0 0 0 0 3 0 0

0 0 0 0 0 3 0

0 0 0 0 0 0 1

518

Aufgabenlösungen Hieraus ergibt sich wegen

A- 1 =

1 - 0.268 0.072 - 0.019 0.005 - 0.001

0.268 -0.072 0.019 - 0.005 0.001

- 0.072 0.287 - 0.077 0.021 - 0.005

0.019 - 0.077 0.288 - 0.077 0.019

-0.005 0.021 -0.077 0.287 -0.072

0.001 - 0.005 0.019 - 0.072 0.268

°

°

°

°

°

°

1 - 0.268 0.072 - 0.019 0.005 -0.001 0

- 0.804 0.215 - 0.058 0.015 - 0.004

0.215 -0.862 0.231 -0.062 0.015

°

°

°

°

die gesuchte Matrix zu

P=A- 1 ·B=

°

°

°

°

°

r

-T

r

(x(1/3))T (x(1/2))T (x(2/3))T (x(l))T (X(2))T

1

R= -T

r

5

-T

r

0,286 0 0,222 0,5 0,444 0 - 0,571

(x( - l))T (X(O))T

0

6

°

-0.001 0.005 -0.019 0.072 -0.268 1

° °

-0.2 0.8 0 -0.8 0.2

0.746 0.015 - 0.808 0.215 -0.054 0

0.054 -0.215 0.808 -0.015 - 0.746 0

°

58. Die zu den angegebenen Knoten gehörige Matrix R lautet -T

°

°

°

- 0.015 0.062 -0.231 0.862 - 0.215

0.004 - 0.015 0.058 - 0.215 0.804

°

°

°

-0.001 0.005 - 0.019 0.072 - 0.268 1

- 0,571 0 0,444 0,5 0,222 0 0,286

Unter Verwendung der Matrizen A, A -1, Bund P aus Aufgabe 57 a) erhält man die Tangentenrichtungsvektoren in den Knoten zu - 0,413 - 0,031 0,345 0,149 - 0,276 - 0,547 - 0,584

=P·R=

Go = (

_

0,286 0,571

G _ (0,222 2 0,444 G _ (0,444 4 0,222

° - 0,413 ° 0,584

0,5 0,5

0,345 0,276

°° --

x

0,276 0,345

~

-

t-G·bt-

o( )

= (

0

() -

( _ 3

- 0,031) 0,547'

0,149), - 0,149 - 0,547) 0,031'

Man erhält mit tE[O, 1]: _

0,584 0,547 0,276 - 0,149 . Folglich lauten die Geometriematrizen Gi der Spline-Segmente xi(t) = Gi·/; (t), i = 0,1, ... ,5 (siehe (1.36)): - 0,345 0,031 0,413

0,286 0,571 2

°°

G = (0

°

1

0,222 0,444

- 0,031 0,547

_ (0,5 0,5

0,444 0,222

(0

- 0,571 0,286

G3

-

G

= 5

°

0,149 - 0,149 - 0,547 0,031

(1 _ + 3t 2

0,413 0,584

- 0,031 . 0,547)

0,128t - 0,001t - 0,413t + 0,286 ) - 0,011t 3 - 0,002t 2 + 0,584t - 0,571 .

0,345) 0,276 '

2t 3 )

2

3t - 2t 3 t - 2t 2 + t 3

- t2 + t3

- 0,276) , - 0,345 - 0,548). 0,413

1 Anwendungen der Differential- und Integralrechnung Entsprechend wird 3

2

( - 0,130t + 0,383t Xt-G·bt1( ) 1 ( ) _ 0,065t 3 _ 0,038t 2

-

0,031t)

+ 0,547t '

( - 0,005t 3 - 0,062t 2 + 0,345t + 0,222) xt-G·bt2( ) - 2 () 0,015t 3 - 0,235t 2 + 0,276t + 0,444 ' 3

( - 0,015t xt-G·bt3( ) - 3 ( ) 0,062t 3 3

_ (0,065t x t-G·bt4( ) - 4 () - 0,130t 3

-

2

0,190t 0,191t 2

+ 0,149t + 0,5) -

0,149t + 0,5 '

2

0,233t - 0,276t + 0,444) 0,007t 2 - 0,345t + 0,222 '

_

3

(0,011t xt=G·bt= 5( ) 5 () _ 0,128t 3

-

0,035t

2

-

0,547t)

+ 0,383t 2 + 0,031t . y 0.5

x

Bild Ll.17: Splinekurve aus Aufgabe 58 n

59. a) r

2

=

1 4

cos 00 2n + 1

( _1)n + 1 n I) . . I(_1)n + 1n1 ., . 2 1st monoton fallend und hm 2 = 0, d.h. dIe ReIhe konvergIert. n->oo n + 1 \ 1 n +1

(-1~nn+ 1 I) ist für n ~ 4 monoton fallend und n->lim I(n (-1~nn 1= 0, d.h. die Reihe konvergiert. - 3) + 1

c) / 1 \ (n - 3) d)

00

0, a =1= 1 streng monoton fallend und lim I( _l)n+ 1(1_~1 = 0, d.h. n->et) die Reihe konvergiert für a > 0, a =1= 1. Für a = 1 ist die Reihe ebenfalls konvergent, für a = ist sie divergent.

°

( - 1t + 1 \ I00 ---ln(ln(n+1)).Da n=l n+1 ton fallend ist (Beweis durch vollständige Induktion) und

e) Esistiln(In2)--§-ln(ln3)±···=

( I

1(

_1)n + 1 n 2 In(In(n+1)) n +1

I )

fürn~6mono-

I'

-1t+ 1 In(ln(n + 1)) lim ---ln(ln(n+ 1)) = hm + 1 =0 n->oo n+1 n->oo n

gilt (Beweis z.B. mit Regel von Bernoulli-de l'Hospital), ist die Reihe konvergent. 6. Vgl. (2.6). Es ist addieren. 7. a)

S4

ISn -

si ~

1

la n + 11 = - - < 0,5'10- 3 für n > 999,5, d.h. man muß mindestens 1000 Glieder 2n + 1

= 1 --k +!- -h = Li~; Is -

s41 ~ las/ = 0,04,

00

8. a) Da

I

n= 1

an konvergiert, ist nach Satz 2.5 lim an = 0. Folglich existiert zu einem 8> n->oo

Ian I < 8, d.h. wegen an ~ 0, auch a; ~ 8' an ist für alle n ~ no' Damit ist 00

der Reihe

I a;.

I

n=no

8a n eine

°

ein noEN so, daß

konvergente Majorante

n=no b) Es sei

an = ( -

~n

für

nEN.

yn 00

00

1

f: (-~n ist nach dem Leibniz-Kriterium (Satz 2.10) konvergent, die Reihe

n=l yn

I a; = I - jedoch nicht (harmonische Reihe).

n=l

n=l n

9. a) Die Reihe konvergiert, da wegen 00

I

2fi -2-

J(n 2 + 1)3 J(2n 2 )3 2fin 3 2fi < 41f:4\5 = - - 5- = - 2 - für alle nE N die Reihe ~(n4 + n 2 + 1)5 (n 4)S n n

V

eine konvergente Majorante ist.

n=l n 1 ist f: [3,00) ~ [R mit f(x) = . f erfüllt für n(In n)(In In n)p x(In x) (In In x)P die Voraussetzungen des Integralkriteriums. Für p =1= 1 ist

b) Integralkriterium: Wegen an = P>

°

7f(x)dx = R->oo lim j f(x)dx = lim [1 ~ (I (I 1 WR->oo P n nx 3

3

Das uneigentliche Integral

Jf(x)dx 3

1

JR. 3

konvergiert folglich für p > 1 und divergiert für p < 1. Für p = 1 ist

das Integral ebenfalls divergent. Damit konvergiert die Reihe für p> 1 und divergiert für p ~ 1. Für p < 0 ist die Reihe wegen Satz 2.5 divergent.

532

Aufgabenlösungen c) Die Reihe konvergiert, da mit dem Quotientenkriterium folgt:

(n+ l)!nn I

1·

,,~~ I(n+1r'n!

. nn . __ 1_ _ ~ = hm - - - = hm ( ) - < 1. ,,_00(n+1)" "-00 1+~" e

d) Die Reihe divergiert. Es ist nämlich

(n~ + 1)12 (n + 1)12 1 1 = - - - >- für alle nEN. Damit hat man mit n

n

n

n

I +(

n _l)12 l)(n + 2)

e) Die Reihe konvergiert, da / \ (n

I)

I00 -1 eine divergente Minorante.

n= 1 n

eine monoton fallende Nullfolge ist (vgl. Leibniz-Kriterium).

((n + 1)!)2(2n)!1 f) Die Reihe konvergiert, da mit dem Quotientenkriterium folgt: !~~ (2(n + 1))!(n!)2 =! < 1.

I

g) Die Reihe divergiert, da mit dem Wurzelkriterium folgt:

. 2 stn-

2 n lim ~ = lim n·sin- = lim 2 -2- = 2 > 1. 12---+00 12---+00 n n---+oo _ n

3

3

h) Die Reihe konvergiert, da mit dem Wurzelkriterium folgt: lim ~ = lim 2. arctan n =; < 1. 12---+00 12---+00 i) Die Reihe konvergiert, da wegen

ISi~,,2"1 ~ ~ für alle nEF\J die Reihe "~1 Hl" eine konvergente Majorante

(geometrische Reihe mit q < 1) ist. 00 a 212 00 a2 10. a) Wegen I 2 n-1 = (1 + a 2 ) I q12 mit q = - - 2 < 1 ist die Reihe für alle aElR konvergent (vgl. 12=1(1+a) n=1 l+a Beispiel 2.3).

°

b) Für a = ist jedes Glied Null, die Reihe demnach konvergent. Für Ial = 1 ist jedes Glied !, die Reihe also bestimmt divergent. a 2x Es sei aElR\{O, ± 1}. Die Funktion f: [1, CX))~ lR mit f(x) = - - 4 -x erfüllt das Integralkriterium, und es ist l+a 00 a 2x 1. 2x R 1. 2R 2 S- - dx = - - hm [arctan a ] 1 = --2 hm (arctan a - arctan a ). 4x 1 1+a lna 2 R---+oo In a R---+oo Da das uneigentliche Integral für alle aE lR\ {O, ± 1} existiert, konvergiert die Reihe für aE lR\ {O, ± 1}. 00 ( 1t 11. a) ,,~, ~ ist nach dem Leibniz-Kriterium (Satz 2.10) konvergent, jedoch nicht absolut konvergent, da 00 1 ,,~, ~ nach (2.1) divergiert. b) Mita,,=b,,=

(-lt

r:.

00

erhältmanc,,=(-lr'

yn 11.

1

ykJn-k+1

I fi

k=1 2

~ --

n+1

1

kJn-k+1

.Wegen

2n für alle kE N, ist Icnl ~-n+1

und damit< cn ) keine Nullfolge. Nach Satz 2.5 divergiert die Reihe. 1 ) und es gilt 12. Da I00 21 absolut konvergiert, konvergiert auch ihre Umordnung Ioo( - - 1- 2 + --2 n=1 n n=1 (2n-1) (2n) 1 1) 00 1 00 1 00 1 00 1 Ioo( ---2+--2 = I 2=a.Folglichist I ---2=a- I --2=a-! I 2=~a. 12=1(2n-1) n=1(2n) n=1 (2n-1) (2n) n=1 n n=1 n

2 Reihen

Iql < 1 ist

13. Für alle

00

I 11=1

a)

1 ~=

b)

I

(

00

q)

(1

q11-1

(1

11=1

)2 =

I

(00

11-1

q)

I

I

(

00

q11_1)2(

11 = 1

I

00(11

kq11-1 ) =

11=1 k=1

1 q11-1 = - - . Damit folgt nach Satz 2.13: l-q

I I

q11-1 ) =

11=1

=( I

q1l_1)3

11 = 1

=

q11-1 )

11=1

~=( I

I

q11-1 absolut konvergent und

00

11

11=1

k=1

I

OO(

qk-l q11-k=

I

00

q11-1)=(

I

k = Ioon -(n+l)q1l-1,d.h. 11=1 2

nq11 - 1)(

11 = 1

k=1

(

I

I

11

q11-1 ) =

k=1

I

00

00

I (I

11 = 1

11=1

I

nq11-1

11=1

q11-1)=

11 = 1

11)

q1l-1

I

11=1

I

11 = 1

11=1

533

kqk-lq1l-k)

k= 1

n(n+ l)q1l-1 = - -23 . (l-q)

14. Der Radius des k-ten Halbkreises ist a(-3:)k-l, k = 1,2,3, ... , seine Länge ist an(3:)k-l. Damit besitzt die Spirale

I

die Länge an

(-3:)k-l. Dies ist eine geometrische Reihe mit q =

i. Ihre Summe ist 4na.

k=1 15. Die Ziegelsteine werden von oben nach unten numeriert. Legt man k-l Ziegelsteine auf den k-ten Ziegelstein soweit wie möglich nach rechts, so beträgt der Abstand des Schwerpunktes aller k Ziegelsteine vom linken Ende !l + (k - 1)1 1 des untersten Ziegelsteins = 1- -I. Der Stapel fällt also dann um, wenn der k-te Ziegelstein mehr k 2k 1 .. als - I auf dem darunterliegenden Stein nach rechts verschoben wird. Der Uberhang T bei n Steinen kann daher 2k 11 I I 11 1 maximal T = I - = - I - betragen. Das bedeutet, daß man theoretisch, da hier die divergente, harmonische k= 1 2k 2 k= 1 k Reihe auftritt, beliebig viele Ziegelsteine stapeln kann, ohne daß der Stapel umfällt. 16. Es sei

AE[R+,

4 1 Es ist 8 1 :s;; - 7 - und 8 2 :S;; - - 7 - ' also der Fehler bei Abbruch nach dem 3. Glied kleiner als 8.10- 6 . -5·7 -239·7 9. fi=(I+(x-l))1/2=

I

n=O

(!)(X-ltfürallexmitO~x~2. n

2

x +3 ) . 3 1+u . ( u 10_ a) limx'ln--=lim-'ln--=hm6 1+ 3 +", =6, x--+ OCJ

x - 3

ulO

u

1-

U

ulO

2 Reihen x3

X

5

---+ ...

X - sinx 3! 5! b) lim - - . - = Iim x4 =0; x ..... OO x'Slnx x ..... oo 2 __ +_ ... X 3! 2 (X 2 _X)2

+---+ ...

X

ex2 c) lim

x + x-I 2! ~ = lim ~X2 + ~X4 + _ ... = 3;

11- x x ..... O 2 8 2 . 2~-X2_2 . -i+ix - + ... d) hm 2 = hm 3 11 2 x ..... O (eX -'Cosx)slnx x ..... 0 2+24 X + ... x ..... 00

2

•

-_1. -

6'

x2 2n - 2 1 e -1 1 ( 1 1 -x 1 00 (-lt+ 1 x 00 (-lt+ 1 11. a) J~dx=J 2 - 2 e dx=J I , dx= I ,=0,8615277 ... o x e 0 x x 0 n= 1 n. n= 1 (2n - 1)n. x2 e -1 Bemerkung: Wegen Iim ~ = 1, kann der Integrand an der Stelle Null stetig ergänzt werden. xlO x e 1 sinx 1 00 (-ltx 2n 00 (-lt b) J-dx=J I - - d x = I =0,946083 ... ; o x 0 n=O (2n+ I)! n=O (2n + 1)!(2n + 1) 4n c) 0j4 J1+7dx = 0j4 (1) x4ndx = (1)0,4 +1 = 0,40102 ...'; o 0 n= 0 n n= 0 n 4n + 1 2

)

I

d)

°f

,/1 - x 2 - x 3 dx =

o

I

°f n=OI 0

=

-

(1) (-ltx 2n (1 + xtdx n

I

f

(1)(_ltOfx2n. (n)XkdX n=O n 0 k=O k 2n k + + I00 2 (-lt· In (n) -2' -1 ) n= 0 n k= 0 k 2n + k + 1

°

((1.)

1 1( 1 1 2 1 ) - ... ~0,1975. =5-2 ~+ 541 '4) - 81 ( ~+~+~

e) Mit Beispiei 2.55 ergibt sich dx 0, 5 ( 1 5 61) 1 5 61 J - - = S 1+-x 2 +-x 4 +-x 6 + ... dx=1+--+--+--+···~0,5222. 0 2! 4! 6! 2!2 3 '3 4!2 5 '5 6!2 7 '7

0,5

o cosx

Exakter Wert:

O(o ~ = In tan(i +~) = 0,5222381 ... cosx 4

. sin 2n - 1 2
No,

4 -}n

8 n b = - cost-sin2ntdt=----n n o n 4n 2 - l'

I

Fourier-Reihe von f:

8 ~

n

8

1

2

-2---sin2nt=-(3sin2t+nsin4t+ ---)n n=l 4n - 1 n

-- LJ

S_ a) fist 2n-periodisch und ungerade, also an = 0 für alle

nE No,

2A in 4A n n bn = - sinntdt=--sinn--sinn-, n in nn 2 4 daher ist

I

2j2A (_1)n+l b4n - 3 =----4--3-' n n-

2j2A (-1t b4n - 1 = - - - - 4l' n n-

b2n-2=b2n=0-

2 Reihen

545

Fourier-Reihe: 2-J2A

(_l)n+ 1

2-J2A

(-lt

- - ' L ---·sin(4n-3)t+--· L --'sin(4n-l)t Cf)

n= 1 4n - 3

n

2-J2A . t=- (Sln n

' "3lSln

3t -

' 5"lSln

Cf)

n= 1 4n - 1

n

5t + "7lSln ' 7 t + ... ).

b) fist T-periodisch und gerade, also bn = 0 für alle nEN, 4 tr 2r a =- J dt=o ToT'

4 tr 2n 2 nnr a =- J cos-ntdt=-'sinn ToT nn T '

r 2 1 nnr 2n Fourier-Reihe:-+-' -·sin-·cos-nt. T n n=l n T T

L Cf)

c) fist T-periodisch und gerade, also bn = 0 für alle nE N,

jr (1

ao =~, T

_

an = ~ _~ t).cos 2n ntdt = ~'(1 Tor T rn 2n 2

cos n nr). T

r 2T 1( nr) 2n Fourier-Reihe:-+---z' 2 1-cosn- ·cos-nt. 2T rn n=l n T T

L Cf)

d)

f

hat die Periode 4 und ist ungerade, also an = 0 für alle nE No,

1 n 2 n 8 n bn = Jt'sin-ntdt + J(2 - t)'sinntdt = 22'sin n-, o 2 1 2 nn 2

. (_l)n+ 1'8 daher 1st b 2n = 0 und b 2n - 1 = 2 2' (2n-l) n

Fourier-Reihe:

8 (-lt+ n 8 ( . n 3n -' L ---'sln-(2n -l)t=-2 sln-t- g sln-t+ 2 1

Cf)

n

n =1

.

(2n - 1)2

l'

2

n

2

2

) ....

6. a) S. Bild L2.9. Da f ungerade ist, ist an = 0 für alle nE No 2a IX 2a 1t - IX 2a 1t 2a bn=-Jx'sinnxdx+- J sinnxdx+- J (n-x)'sinnxdx=--2'(sinna+sinn(n-a)), an 0 n IX an 1t - IX ann

daher ist 4a sin(2n - l)a 2 und b 2n = 0 b 2n - 1 = - ' an (2n -1)

y

für alle nEN,

y --+-----:::::I~:.....------~~--_SO S1

n:

Bild L2.9: Zu Aufgabe 6a)

Bild L2.10: Zu Aufgabe 7d)

2n:

X

546

Aufgabenlösungen Fourier-Reihe: 4a

_. I

sin(2n - 1)cx

00

(2n -1)

cxn n==l

2

4a

·sin(2n-1)x=-(sincx·sinx+!sin3cx·sin3x+-rssin5cx·sin5x+ ... ).

cxn n b) Für cx = -lautet die Fourier-Reihe: 3

6J3a (.sin x -

- - 2-

n

l sin ' 5x 25

+

l sin ' 7x 49

l sin ' TIT

-

11 x + - ....)

7. a) Ist aEZ, so ist sin ax die Fourier-Reihe von f. Im folgenden sei daher aE IR\Z, dann ist 1 2n n- sin 2an bn = - S sin ax· sin nx dx = 2 2 '

1 2n a(1 - cos 2an) an = - S sin ax· cos nx dx = 2 2 ' n 0 n(a - n )

n

n(a - n )

0

Fourier-Reihe: 1 - cos 2an

s(x) =

2an

a

+-.

~ '-.J

(1 - cos 2an) 2

n n= 1

2

a - n

1 ~ n· sin 2an . ·cosnx+-· '-.J -2--2-·sInnx. n n== 1 a - n

f

hat an der Stelle 0 einen Sprung, die Fourier-Reihe nimmt dort das arithmetische Mittel der einseitigen Grenzwerte an, also gilt s(O) = !sin 2an. b) Aus s(O) =! sin 2an folgt: 1 - cos 2an a 00 1 !sin2an=

I

+-(1-cos2an)· -2--2' n n=l a - n

2an

also 1

00

1

n~l n 2 -

c) Aus lim a--+O

sin 2an

n

a 2 = 2a 2 - 2a·1- cos2an·

~

1

'-.J - - -

n= 1 n 2 - a 2

(1 n sin 2an) 1 - cos 2an - an sin 2an = lim - 2 -_. = lim - - -2 - - - - - a--+O 2a a--+O 2a (1 - cos 2an) 2a 1 - cos 2an

folgt durch Vertauschung der Grenzprozesse: ~ ~ _. '-.J

n= 1 n

2 -

11m

2 sin 2 an - 2an sin an·cos an 2

.

2

4a sin an

a --+ 0

lim

sin an - an cos an

a--+O

n 3 cosan

= lim - - - - - - - - - 2 -a--+O 4n cos an + 2n cos an - 2an sin an

2a 2 sin an n2

n 2 sin an = lim------a--+O 4 sin an + 2an cos an

6

d) S. Bild L2.10 8. a) fist n-periodisch und gerade, also ist bn = 0 für alle nE N, 4 tn

4

4 tn

a o = - S cos x dx = -, n o n

4

1

an = - S cos x· cos 2nx dx = - ( - l)n + 1 . , n o n (2n-1)(2n+1)

Fourier-Reihe: 00 ( - 1t+ 1 2 4( 1 1 ) ---·cos2nx=-+- -cos2x--cos4x+ - .... n n= 1 4n 2 - 1 n n 1· 3 3· 5

2 4 -+-. n

I

b) Wegen f (0) = 1 und cos 0 = 1 erhalten wir: 1 =~+~(~-~+~- + ... ), n n 1·3 3·5 5·7

woraus~-~=~-~+~-+ ... folgt.

9. Die Ausgangsspannung sei U A' dann ist U A(t) =

4

2

1·3

3·5

5·7

n

IU o· sin wtl. U A hat die primitive Periode - und ist gerade, also ist w

bn = 0, n

ao =

4w

2W

n

4

-I U o 1S sin wt dt = -I U o I, non

an =

4w

2W

4

-I U o I S sin wt· cos 2nwt dt = - -I U o I· n o n

1 (2n+1)(2n-1)

,

2 Reihen also gilt 00 1 2 4 uA(t)=-luol--luol· L -2-·cos2nwt n n n= 1 4n - 1

2 4 (1 1 1 ) =-Iuol--Iuol -cos2wt+-cos4wt+-cos6wt+ .... n n 1·3 3·5 5·7 In . 1+(-lt+ 1 ·e- n 1 o. 10. a) c = - J e(l-Jn)xdx+-Je-(1+Jn)Xdx=-----n 211: _ n 211: 0 11:(1 + n 2) ,

1 Fourier-Reihe: _.

00

L

nn=-oo

(-lt·e -1

00

I

Fourier-Reihe:

n= -

1 + (_ l)n + 1 e - n . 2 ·e Jnx ; l+n

1+ n

00

2

2

. ·e Jnnx .

11:

2.4 1

1. a)

f ist gerade ~ F(w) = 2 J (1 - t 2) cos wt dt. Für w i= 0 ergibt sich daraus: o

2 2 sin w [ 2:coswt+ 2t (t--"3 2) sinwt J 1 . Fürw=0:F(0)=2J(1-t 1 2)dt=1· F(w)=---2 w w w w 0 0 Damit ist 4(sin w - w cos w) ---3---

w

F(w)=

4 {3

für w i= 0 .

.

für

w=o

1

b)

f ist gerade ~ F(w) = 2 J (1 - t 3 ) cos wt dt. Für w i= 0 ergibt sich daraus: o

2 F(w) = 2 sin w _ 2[(3t2 -~)cos wt + w w w4

(~_~) sinwtJl. 3 W

w

0

1

Für w = 0: F(O) = 2 J (1 - t 3 ) dt =

1.

o

Damit ist

F(w)=

-;((2 - ( 2)cosw - 2(1- w sinw)) w {3 2

für w i= 0 für w = 0

TC

"2

c)

f ist gerade ~ F(w) = 2 J cos t cos wt dt. Für Iw I i= 1 ergibt sich daraus: o

F(w) = [

sin(1 - w)t

l-w

+

sin(1 + W)tJ1

l+w

0

1 11: . Für Iwl = 1: F( ± 1) = 2 J cos 2 tdt =-. 0 2

547

548

Aufgabenlösungen n

n

n

+ w)- = cos-w ist 222

Wegen sin(l- w)- = sin(l

n 2cosw-

2

F(w)

für Iwl i= 1

1-w 2

=

n

2: d)

f

für Iwl

=

1

J

ist gerade => F(w) = 2 sin t cos wt dt. Für Iw I i= 1 ergibt sich daraus: o

F(w)= [ -

+ w)t

cos(l

cos(l - w)tJn

l+w

}-w

. Für Iwl

=

n

1: F(± 1)=2Jsintcostdt=O.

0

0

Wegen cos(l - w)n = cos(l + w)n = - cos nw ist 2(1

+ cosnw)

für Iwl i= 1

----2-

F(w) =

1-w {

o

für Iwl = 1 n

2. a)

f

"4

ist gerade => F(w)

J

2 cos t cos wt dt. Für Iw I i= 1 ergibt sich daraus:

=

o

F(w) = [

sin(l - w)t

l-w

+

+ W)tJ* . Für Iwl l+w 0

sin(l

=

*

l:F( ± 1) = 2 Jcos 2 tdt =

n 1 +-. 4 2

-

0

Wegen sin(rx ± ß) = sin rx cos ß ± cos rx sin ß ist

ß(coS~W-WSin~w) für Iw I i= 1

1 _ w2

F(w) =

für Iwl

=

1

Da F gerade ist, genügt es, die Stetigkeit an der Stelle 1 zu zeigen. Mit der Regel von Bemoulli-de l'Hospital erhalten wir

ß( -~sin~w 44

limF(w)=

sin~w - ~wcos~w) 4 4 4

-

-2w

w---+l

nl

=-+-. 4

2

b) Es ist

ß(COS~ g(t)

=

n

1

tSin~t)

t-

1_

t2

für Itl i= 1 ( ( . . ' woraus G(w)=2n 8

4 + 2:

fur Itl

=

w+~

)

1

mit Hilfe des Vertauschungssatzes folgt.

n

00

c) Es ist G(w) = 2 ß

n . n cos - t - t Sin - t 4 4

n

COS - t - t sin - t 4 4

Jo -----coswtdt. Mit G(O) = 1- t

~ --1---t-2 - - dt =

2

n M

2: vi 2.

2n folgt hieraus:

-8

(

w-~

))

COSW

2 Reihen 3. a)

1

00

a

00

4b

-00

0

1.

a

J fa(t)dt = 2b Jdt + 2eb Je-atdt = - =

549

a

l~b =-.

4

b) Fa(O) = 1 wegen a). Für w =j:. 0 ergibt sich: 1

aa ae 00 Fa(w) = - cos wt dt + e - at cos wt dt 20 2 1.

J

J

a 1 ae a [ e -at =-sin-w+-lim -2--2(-acoswt+wsinwt) 2w a 2R->00 a+w

JR 1., a

woraus

_{a aSin~w + WCOs~w) 2

..

(

Fa(w) -

2

fur w =I- 0

1

2w(a +W ) 1

für w = 0

folgt. Mit der Regel von Bernoulli-de l'Hospital: lim Fa(w) = 1, Fa ist auf [R stetig. w->O

c)

{a aSin~: +t:os~t) 2

g(t) =

für t # O.

(

2t(a

+t

für t =

1

G(w) = 2nf(w) =

Mit dem Vertauschungssatz folgt:

)

{~a

o.

1 für O~lwl~a

na el-alwl

für

2

~
+ 8yf'V2 +a;f'V3

8v 1 8v 2 8v 3 = fx' V1 + fy'v 2 + fz'v 3 + f'7);+ f·ay+ f'a;= (gradf)'v + f'div V.

d) Die erste Koordinate von rot (f' v) lautet 8 8 8v 3 8v 2 8yf'V3 -a;f' V2 = fy'v 3 - fz'v 2 + f·ay - f'a;' die erste Koordinate vonf 'rot v + (grad f) x

a;

8V3 8V2) f' ( ay -

v lautet

+ (fy'v 3 - fz'v 2);

also sind beide einander gleich. Entsprechend kann man die Gleichheit der übrigen zwei Koordinaten bestätigen. 27. Durch Ausrechnen bestätigt man diese Produktregel.

4 Komplexwertige Funktionen 4.1 1. V gl. Bild L4.1

1 1 1 u a) W= u + jv = - - . - = - - -j, - = - 1, Gerade durch w = 0 mit Anstieg - 1. (1

+ J)t

2t

2t

v

1 2 t u 2 2 b) W= u+jv=--. = - -2- j - - 2, -= --,U = - - -2, 4u 2 +4v 2 =2u, (U_-.1)2 + v 2 =(-.1)2, 2 + Jt 4 + t 4+ t V t v 4 4 4+4-2 Kreis um w =

u

i mit Radius i.

. 1 t . 1 u - 1 - v2 2 1 2 1 2 c) w=u+JV=-. =--2 - J - -2, -= -t, V =--2 =-2--2' u +(V+ 2 ) =(2) , t+J l+t l+t v u u +v 1+-2 v Kreis um w = -!j mit Radius!. d) w=u+jv=

u=

1 -t+j(l-t)

-t =

1-2t+2t 2

+j

t-l

u

-t

-=--

1-2t+2t 2'v

t-l'

u t=-u+v'

- t - u(u + v) 1 2 1 2 l ' 1'" fi 2= 2 2' (u + 2) + (v +2) = 2' KreIs um w = -2(1 + J) mIt RadIus V 2' 1- 2t + 2t u +v

572

Aufgabenlösungen

a)

b)

c)

d)

f=2 ~

I

9

0

~

11

11

"t-

"t-

11 "t-

t~J

/'

2

-..11

9

o

Bild L4.1 a-d: Zu Aufgabe 1

2. a) Kreis um w = 0 mit Radius i. b) Der von z = 0 am weitesten entfernte Punkt des Kreises ist z = 4. Es geht der Kreis k durch z = 0, also ist k eine Gerade und zwar durch w = i parallel zur imaginären Achse. c) Der von z = 0 am weitesten entfernte Punkt des Kreises ist z = 6j. Es geht der Kreis k durch z = 0, also ist k eine Gerade und zwar durch w = - ij parallel zur reellen Achse. d) Der von z = 0 am weitesten entfernte Punkt des Kreises ist z = 2 + 2j. Es geht der Kreis k durch z = 0, also ist k eine Gerade und zwar durch w = i - ji mit dem Anstieg + 1. e) Der von z = 0 am weitesten entfernte Punkt des Kreises k ist z = 3, dem Nullpunkt am nächsten liegt z = - 1. Ein Durchmesser des Kreises k geht also von w = -! nach w = - 1. k ist ein Kreis um w = - -! mit dem Radius ~. 3. Vgl. Bild L4.2 Der erste Rand ist ein Kreis k 1 um z = 0 mit dem Radius.6, weshalb k1 ein Kreis um w = 0 mit dem Radius i ist. Der zweite Rand ist ein Kreis k 2 um z = 6 mit dem Radius 6, der durch z = 0 geht. k 2 ist also eine Gerade. Von z = 0 am weitesten entfernt auf k 2 ist z = 12. Die Gerade k2 geht durch w = -b und ist parallel zur imaginären Achse. Der dritte Rand ist ein Kreis k 3 um z = 3 + 3fij mit dem Radius 6. der durch z = 0 geht. k3 ist also eine Gerade. Von z = 0 am weitesten entfernt auf k 3 ist z = 6 + 6fij, auf der Geraden k3 liegt deshalb 1 11 w= = - - - dem Punkt w = 0 am nächsten. k 3 hat den Anstieg M' 6 + 6fij 24 v3

fij

-

4. Vgl. Bild L4.3 1. Geradenschar: g ist jeweils eine Parallele zur imaginären Achse im Abstand a(a = 1,2,3,4,5). 1 Kreis mit einem Durchmesser von w = 0 nach w =-.

9 ist jeweils ein

a

2. Geradenschar: g ist jeweils eine Parallele zur reellen Achse im Abstand b (b 1 Kreis mit einem Durchmesser von w = 0 nach w = --j.

=

1,2,3,4,5).

9 ist jeweils ein

b

b

5. a) Aus z = a' z + b folgt für a f= 1: z = - - ist Fixpunkt. Für a = 1 besitztJkeinen Fixpunkt.

1-a

1

b) Aus z =- folgt: z

Zl

=

+ 1 und Z2 = -1 sind Fixpunkte vonf.

c) Aus 1 = a + bund - 2 = a(l + j) + b folgt a = 3j, b = 1 - 3j. Die lineare Funktion w = 3jz + (1 - 3j) besitzt die gwünschten Eigenschaften.

4 Komplexwertige Funktionen

573

Imw

Imw 1

6"

1

"2

Rew

-1 Bild 1.4.3: Zu Aufgabe 4

Bild L4.2: Zu Aufgabe 3

4.2

b)

a)

v

v

u

o

-2

-1 -1

Bild L4.4 a, b: Zu Aufgabe 1

1. V gl. Bild 1.4.4 a) u = t 2 b)

U=

-

1, v = t(t + 2) für w = u + jv.

(l

+ t)

1+(1+t)2'

- 1 V=

1+(l+tj2

fürw=u+jv

,

574

Aufgabenlösungen

2. a) f'(t)

= hm

. f(t + h) - f(t)

h

h---+O

.

(1 + j)(t + h)2 + 2j(t + h) - 1 - (1 + j)t 2 - 2jt + 1 h

= hm - - - - - - - - - - - - - - h---+O

1 = lim -((1 + j)(2th + h 2) + 2jh) = (1 + j)2t + 2j h---+O

h

1(1 b)f'(t)=limh ---+ 0 h 1 + j + (t + h)

1) 1 + j + t - 1 - j - (t + h) - - =lim------1+ j + t h ---+ 0 h( 1 + j + t + h) (1 + j + t)

-1 (1 + j + t? .

4.3 Vs As V Für die Einheiten gilt: 1 H = 1-, 1F = 1-, 10= 1-.

A

V

A

1. Z = R + jwL + -.1_ = 5000 + j ( 1000· 0,4 1 6) = 5000 - 100j JWC 1000·2·10-

Z = 5001·e j (-1,14576')(Einheit: 10). Wegen fj = Z·l eilt 1 um 1,14576° voraus (qJu = 0°, qJI = 1,14576°).

°

10. 1= _·eJ"1,14576 = 001999 +J'O 000040 (Einheit: 1 A) - 5001 ' , 0

tl R= R·1 = 5000(0,001999 + j 0,000040) = 9,996 + j 0,2 (Einheit 1 V) tlL = jwL·1 = j·1000·0,4(0,001999 + jO,000040) = - 0,016 + jO,8 (Einheit 1 V) 0,001999 + jO,000040 _6 j" 1000·2·10

I

tlc =:-=- = . JWC

. . . . . - 500J(0,001999 + JO,000040) = 0,020 - J (EInheIt 1 V)

2. Y =~+~+ jWC=~+j(WC _~)=_1_+j(1000.10-6 R jwL R wL 5000 1

1_) 1000·0,5

1

= 5000 + j(O,OOl- 0,002) = 0,0002 - jO,OOl (Einheit: 10- )

1 10000 20000 + 100000j 192,3 + j961,5 (Einheit: 10) Z = - = --= - X 2 -10j 104 1 . 3. Zl = R 1 + - = 50J 6 = 50-100j (Einheit: 10) jwC 1000·10·10-

Z2 =

R 2 + jwL = 20 + j ·1000·0,1 = 20 + 100j (Einheit: 10)

Y = Y1 -

+ Y2 =

1

Z = Y= I ges =

-

U

-=- = Z

-

1 1 .+ . 50 - 100J 20 + 100J

0,005923 - j·O,001615 (Einheit: 10- 1)

157,14 + j ·42,85 (Einheit: 10) 220 157,15 + j42,85

1,303 - j '0,355 (Einheit: 1 A)

_ 100j 1 ilU = 50 220

0,88 + j·1,76 (Einheit: 1 A)

2 i2U = 20 +220100j

0,423 -j·2,115 (Einheit: 1 A)

1 = 1

=

4. Vgl. Bild L4.5 a) Z=R+jwL, fj=Z·l=(R+jwL)I o

4 Komplexwertige Funktionen

a)

b)

c)

d)

ImY

ImZ

ImY

Im?

575

ReU

R

Re?

ReZ Bild L4.5 a-d: Zu Aufgabe 4

5_ Sonderfall von 4b): Vgl. Bild L4_6a) ()) =

2nf = 100n (Einheit: 1 S-l) 100-n-0 1-200

Z = R + j-100-n-0,05 + j , = R + 4,816 + 46,37j (Einheit: 1 Q) 200 + j-100-n-0,1 R + 4,816 - 46,37j 1 Y= Kreis durch Y = 0 mit dem Radius und dem Mittelpunkt in Y = (R + 4,816)2 + 46,37 2' 92,7 -

1 92,7

- -j_

b)

a)

ImZ

ImY

0,01

R

40

i

i

I

I

0

20

40

60

-0,01

20

40

R

20

40

Rel

-0,02 o


Re.!::"

~:P

576

Aufgabenlösungen

6. Xl

1_+jWC=j(wc-~) wL

=-.

JwL

1 Z=R+-=R

-

Xl

1

y= - =

- Z

jwL (wC)(wL) - 1

2,25L-l 500(2,25L - 1 - 3jL)

ImZ

a)

=500-j

1500L 2,25L - 1

(Einheit: 10)

, (Einheit: 10- 1 ), Kreis um Y = 0,001 mit Radius 0.001 (vgl. Bild L4.7b)) ,0,44

b)

0,15

ImY 0,001

./

0

~

./

0,1

100

0,05

0

500

0,002

0,001

ReZ

0,44

o Rer

500 L

l1~ 10


L

-0,001 0,2

5 Gewöhnliche Differentialgleichungen 5.1 1. Man zeigt zunächst durch Differenzieren und Einsetzen, daß Y Lösung ist. Die Differentialgleichung erfüllt in

[R2

die Voraussetzungen des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes. Der Beweis ist erbracht, wenn man zeigen kann, daß man jede Anfangsbedingung y( x a) = Ya mit X a, Ya E [R mit einer Lösung Y erfüllen kann. Wegen e - 4xo =1= 0 ist das der Fall. Man erhält c = Yae4xo. 2. Die gegebene Differentialgleichung y' = j{x,y) erfüllt wegen jy{x,y) = -

1

~

an der Stelle X o = 0, Yo = I

2'./Y+ 4

die Bedingungen des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes. Das Anfangswertproblem hat genau eine Lösung. 3. Man zeigt zunächst durch Differenzieren und Einsetzen, daß die angegebenen Funktionen Lösungen sind. Die Differentialgleichung erfüllt in [R3 die Voraussetzungen des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes. Man hat daher noch zu beweisen, daß das zu den Anfangsbedingungen y(x a) = Ya, y'(x a) = Yl gehörige Anfangswertproblem mit den angegebenen Funktionen gelöst werden kann. Man erhält beispielsweise bei a):


577

also

a=

1e- XO(yo + Yl)'

b=

1eX o(yo -

Yl)'

4. Unter Zuhilfenahme von 3a folgt a + b = 0, a - b = 1, also a = 5. Unter Zuhilfenahme von 3a folgt a + b = 0, ae

1, b = -l -e

e

1-e

1-e

+ be - 1 = 1, also a = - - 2 ' b = - - 2 '

6. Man zeigt durch Differenzieren und Einsetzen, daß Y Lösung ist. Es folgt Y(O) = y"(O) = a + b + d, y'(O) = y"'(O) = a - b + c. Die Anfangsbedingungen Y(O) = 0, y'(O) = 0, y"(O) = 1, y"'(O) = 1 sind mit der Lösung nicht erfüllbar. Da die Differentialgleichung in lR s die Voraussetzungen des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes erfüllt, gibt es auch zu diesen Anfangsbedingungen eine Lösung. Diese Lösung ist in der gegebenen Schar nicht enthalten. Die angegebene Lösung ist nicht die allgemeine. 7. a) Keine Lösung, b) allgemeine Lösung (Beweis analog wie bei Aufgabe 3), y = e-X(x + 1) erfüllt die Anfangsbedingungen, c) keine Lösung, d) Lösung, aber nicht allgemeine Lösung. Die Anfangsbedingungen y(O) = 1, y'(O) = sind nicht erfüllbar.

°

8. Man zeigt durch Differenzieren und Einsetzen, daß v(t) Lösung der Differentialgleichung ist. Setzt man t = 0, so folgt v(O) = 0. Es ist v(l) = 2g(1 - e- o. S ) = 7,7... und lim v(t) = 2 g = 19,62....

5.2

+ y2

1. a) Separable Differentialgleichung: lnl1 b) Substitution: z = x - y:

-2 x-y tan---1 2

c) Substitution: z =~: arctan ~ = In Ixl x x d) Substitution: z

= x

1

= 2lnlxl-lnl1

+ x 2 + cmitcElR: 1

n

+ c und y = x - - + 2kn mit CElR und kE7L; 2

+ Cmit CE lR;

=~: (~r = 21n Ixl + c mit cEIffi;

e) lineare Differentialgleichung erster Ordnung: y = k'e - 2x + i(2 'cos x

k

+i

f) lineare Differentialgleichung erster Ordnung: y = -

x

+ sin x) mit kE lR;

x 2 mit kE lR;

g) Substitution: z

=~: -ln 11- 2 Y:1 = 4·(c + lnx) mit CElR und y =

h) Substitution: z

=~:x 2y +~y - 2ln I~Ix = 2ln lxi + Cmit CElR und y = 0;

i) Substitution: z

=~:x -~x -

x

x

± _l_ x;

v0

2

X

2

2ln 11

-~Ix = In lxi + Cmit CElR und y = x;

j) Substitution: z = 3x - 2y: 3x - 2y - 2ln 13x - 2y + 21 = - x + Cmit CElR; k) lineare Differentialgleichung erster Ordnung: y = (k

+ x)· cos x mit k ElR;

1) lineare Differentialgleichung erster Ordnung: y = k·cos x - 2 cos 2 x mit kElR.

2

2. a) Die Substitution führt auf die lineare Differentialgleichung erster Ordnung z' - - z = - 2. x 1 2 Lösung: z = k· x + 2x mit kElR, also y = ± und y = 0. 2

Jk'x +2x b) Die Substitution liefert die lineare Differentialgleichung erster Ordnung z' - 3z = x. Lösung: z = k'e 3x -!(3x + 1) mit kElR, also y =Z!k'e 3x -!(3x + 1). 3. a) Allgemeine Lösung: y = k'e- 2x + i(2x - 1); y(O) = 1, also k =:t, d.h. y = :te-2x + i(2x -1). b) Allgemeine Lösung: y = k2 X

+ eX(1 -

~X + X22): y(l) = e, also k = 0, d.h. y = eX(1 - ~X + X22),

578

Aufgabenlösungen c) Allgemeine Lösung: !(x + y + 1) !(y - x) - iln I~x + ~y + 11 = O.

4. a) x + yy' = 0:

b) y' = - y tan x;

i In 12x + 2y + 31 = x + C und y =

c) 1 - y2 + xyy' = 0;

- x -~. Wegen y(O) = 0 ergibt sich:

d) y = xy' + (y')3:

e) Die Gleichung der Kreisschar lautet (x - C)2 + y2 = 1, die Differentialgleichung dieser Kurvenschar ist y2(1 + (y')2) = 1; f) Die Gleichung der Parabelschar ist y = cx 2 mit CE~, die zugehörige Differentialgleichung lautet x' y' = 2y. 5. a) Differentialgleichung der orthogonalen Trajektorien: x'y' = y, Lösung: y = b) x2+2y2=kmitkE~+; c) y2 = - x 2 1n x + 1x 2 + k mit kE~; d) y2 = - x 2 + 4x -41nlx + 11 + kmitkE~.

k'xmitkE~:

Für die Lösung der Aufgaben 6-11 gilt folgendes Bild:

v

y-xy'

Normale

/

y

v=f(u) Tang~ente

mit -Steigung y'

x+yy'

x_I

x

y'

u

Bild L5.1: Zu den Aufgaben 6-11 6. Da der Fußpunkt des Lotes vom Berührungspunkt der Tangente auf die x-Achse die Strecke zwischen dem Ursprung des Koordinatensystems und dem Schnittpunkt der Tangente mit der x-Achse halbiert, folgt die Differentialgleichung (x Hyperbeln. 7. Aus BildL5.1 folgty - xy' =

2:.) - x = x, d.h. y'

Jx

2

+

y2.

k=l=O. 8. Aus Bild L5.1 ergibt sich

~=

yy', d.h. y = y 10. Das geometrische Mittel 9. Es folgt

Ist x, y

~

y' = -

~.x

Die allgemeine Lösung ist y =

~x mit CE~. Das sind

1- k 2 x 2 Diese Differentialgleichung hat die allgemeine Lösungy = - - - mit 2k

2:.y' = c. Die allgemeine Lösung ist y = K· e?J. ±x +

0

Cmit

CE~.

aus den Koordinaten x, y eines Punktes ist nur für x, y ~ 0 oder x, y < 0 definiert.

0, so ergibt sich

P

P

= + C mit CE [R. Aus a) für y' ~ 0 die Differentialgleichung yy' =~. Die allgemeine Lösung ist y(O) = 0 folgt c = 0 und wir erhalten y = x für x ~ O. b) für y' < 0 die Differentialgleichung - yy' =~. Die allgemeine Lösung ist = + c mit CE~. Aus y(O) = 0 folgt wieder C= O. Die Gleichung = ist nur für x = y = 0 erfüllt.

p

P

p

p

Ist x, y < 0, so ergibt sich a) für y' ~ 0 die Differentialgleichung - yy' =~. Wir erhalten als Lösung y = x für x < O. b) für y' < 0 die Differentialgleichung yy' =~. Wir erhalten x = y = O.

5 Gewöhnliche Differentialgleichungen 11. Wir erhalten die Differentialgleichung! x(y + y - xy') =

579

2

± 1. Die allgemeine Lösung ist y = co x 2 ± 3x mit CE~.

12. Bezeichnen wir die Öffnungsfläche mit A und die Höhe des Wassers in der Halbkugel zur Zeit t mit h(t), so hat das bis zur Zeit t durch das Loch geflossene Wasser das Volumen Vi

=A.j 0,6j2gjhWdT. o

Durch diesen Ausfluß sinkt der Wasserspiegel in der Halbkugel von der Höhe h(O) = R (Radius der Halbkugel) auf die Höhe h(t). Das Volumen des Wassers in der Halbkugel nimmt nach Definition 1.8 ab um R-h(t)

J

V2 = n·

(R 2

x 2 )dx

-

o

= n·(R 2 (R - h(t)) --t(R - h(t))3). Aus Vi n·(h

2

-

=

V 2 ergibt sich durch Differentiation die Differentialgleichung

2·R·h)h' = A·O,6·j2gJh.

Die allgemeine Lösung ist

n·(~p -1Rß3) = A·O,6~t + C mit CE~. Aus h(O) = R folgt

C

14n lD5

= - - v ' R 5 • Setzen wir h = 0, so ergibt sich t = 2206,56 .... Der Behälter ist also nach 15

etwa 36,8 Minuten leer. 13. Wir wählen die x-Achse so, daß sie zu den einfallenden Strahlen parallel ist und legen den Sammelpunkt der reflektierten Strahlen in den Nullpunkt (vgl. Bild L5.2).

y

Tangente

x Bild L5.2: Zu Aufgabe 13 Aus Bild L5.2 folgt, da die Tangente die Steigung y' und der Strahl durch den Nullpunkt die Steigung ~ haben, x

nach Band 1, (2.17) y

y'

=

,

1~+-~Y/ also y' ~( -1 + )1 + (~)) =

x

Die allgemeine Lösung ist U 14. lim i(t) =--.5!.. t-+oo R

15. lim i(t) = 0. t-+oo

y2

=

k2

+ 2kx mit kE~. Das sind Parabeln mit dem Brennpunkt im Nullpunkt.

580

Aufgabenlösungen

5.3 = Ae X+ Be-SXmit A, BER: c) y = e- 4X(Acos 3x + Bsin 3x); e) y = A cos fix + B sin fix;

1. a) y

b) y

= e- 4X(A + B·x);

d) y = A + Be- sx ;

f) y = e 2X(A + Bx). x tan- + 1 2

2. a) y=Acosx+Bsinx-cosxln - - - ; x tan- -1 2 b) y = A cosx + B sinx + sin x·ln

Itan~l;

c) y = e-X(A + Bx +i-x 3); d) y = A e X+ Be - 4x - -h (5 sin x + 3 cos x); e) y = A + Be - x + t x 3 - x 2 + 6x;

f) y = 3. a) y = b) y = c) y = d) y = e) y = f) y = g) y =

A cos x + B sin x + ! x· sin x. e-X(A + Bx +i-x 3); A e X+ Be - 4x - -h (5 sin x + 3 cos x); A + Be -x + t x 3 - x 2 + 6x;

Ae x + Be- 5x + 16seX(6x3 - 3x 2 + x) -is(5x + 4); A cos 2x + B sin 2x - i· x· cos 2x;

A + Be- 4x + 11s(8x 4 - 8x 3 + 6x 2 - 3x); eX(Acos2x + Bsin2x) -ix·ex·cos2x.

4. Vgl. Aufgabe 3. 5. a) y = e-X[y(O) + (y(O) + y'(O))x +i-x 3J; b)

Y y'(O) + --L) x + (y(O) -5 y'(O) _ --L) -4x _ --L(5· + 3 ). y -- (4 (0) + 5 10 e S5 e 34 sIn x cos x ,

c) y = (6 - y'(O))e- X+ (y'(O) + y(O) - 6) +tx 3 - x 2 + 6x; d) y = (i-(5y(0) + y'(0)) + 1266}050) e X+ (i-(y(O) - y'(0)) - 16S2300)e- 5x + 16s e X(6x 3 - 3x 2 + x) -is(5x + 4);

k) sin 2x - ix cos 2x; f) y = y(O) +iy'(O) + 5f2 + (-iy'(O) - Sf2)e- 4x + 11s(8x4 - 8x 3 + 6x 2 - 3x); g) y = eX·(y(O) cos 2x + [!(y'(0) - y(O)) + kJ sin 2x) - ix e Xcos 2x. e) y = y(O) cos 2x + (! y' (0) +

6. a) y = A cosx + B sinx + x·sin x + cosx·ln Icosxl; b) y = A e X+ Be 2x - e X(!x 2 + x); c) Y = e 3X(A + Bx) + fy(3x 2 + 4x + 2) + ie x; d) y = e - 2x( A cos 3x + B sin 3x) + 315 eX (1 7 sin x - 6 cos x).

7. a) y=!(5sinx-x·cosx); b) y = 1e - X(1 + x) + x - 2 - ! cos x; c) y = A cos 3x + B sin 3x + !x 2 - ir + -Ae 2X mitA = 30,57 ... B = 6,92 .... 8. Man differenziert zweimal und eliminiert die Parameter. a) y"-4y'+3y=0;

b)y"-9y=0; c) y" -4y' +20y=0.

9. Man erhält die Differentialgleichung 20i(t) + 20x(t) = O. Die allgemeine Lösung ist x(t) = A cos t + B sin t mit A, BE IR. Aus den Anfangsbedingungen x(O) = 0,05, x(O) = 0 folgt x(t) = 0,05· cos t. Man erhält eine ungedämpfte Schwingung mit der Amplitude 0,05.


581

10. Es ergibt sich die Differentialgleichung 20i(t) + 20x(t) = 3 sin 4t. Die allgemeine Lösung ist x(t) = A cos t + B sin t - 0,01 sin 4t. Aus den Anfangsbedingungen x(O) = 0,05, i(O) = folgt A = 0,05, B = 16. Die Lösung ist also x(t) = 0,05 cos t + 0,04 sin t - 0,01 sin 4t.

°

11. Man erhält die Differentialgleichung 20i(t) + 120x(t) + 20x(t) = 3 sin 4t. Die allgemeine Lösung ist x(t) = A e(-3+;"S)t + Be(-3-.jS)t - 17180(5 sin4t + 8 cos4t).

°

Aus den Anfangsbedingungen x(O) = 0,05, x(O) = folgt A = 0,058 ... , B = - 0,0036 .... .. R. 1 12. Das Problem wird beschrieben durch die Differentialgleichung i(t) + -i(t) + -i(t) = 0. Setzt man die L L·C Zahlenwerte ein, so folgt ·t(t) + 104·i(t) + 4·10 5 ·i(t) = 0. Die Lösungen der zugehörigen charakteristischen Gleichung sind Al ~ - 104, A2 ~ - 40. Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung ist daher i(t) = A·e -10 4t + B·e -40t mit A, BE [R.

°

Aus i(O) = folgt B = - A und i(t) = A(e- 104t _ e- 40t ) ~ _ Ae- 40t . Wir setzen i(t) = - A e- 40t . Für die Ladung q(t) des Kondensators gilt q(t) = i(t) und q(t) = C·uc(t).Wir erhalten wegen lim q(t) =

°

q(t) =

A

-

40

e -40t, also q(O) =

A

-

40

=

50.10 6 ·10, d.h. A

=

0,02.

1 t Daraus folgt i(t) = - 0,02e- 40t . Wegen uc(t) = 10 + - Ji(r)dr ist uc(t) = 10e- 40t. Co 1

13. Aus Gleichung (5.87) folgt mit (5.89) und uc(t) = -q(t) die gegebene Differentialgleichung. C

5.4 1. a) y=Ae 2x +Be 3x + Ce- x b) y = e 3X(A + Bx) + Ce- 2x c) y

=

A e 2x + B cos 2x + C sin 2x + Bx + Cx 2 + Dx 3) e-X(A + Bx + Cx 2) + eX(D + Ex) A cos x + B sin x + e 2x(C cos x + D sin x + Ex cos x + Fx sin x)

d) y = eX(A

e) y

=

f) y =

2. a) Mit x o =

=

ie 2x - i sin 2x - i cos 2x

+ B sin 2x + C cos 2x - ! x e -ts e g(x)vgl. a), y = Ae 2x + Bsin2x + Ccos2x --hxsin2x +-hxcos2x und y

b)

°ist g(x)

=

Ae

2x

X

X

°

c) Mit x o = ist g(x) =! x 2 eX und y = eX(A + Bx + Cx 2) + e 2x(x 2 - 6x + 12) d) g(x) vgl. c), y = eX(A + Bx + Cx 2) + -f4x 4 ex e) Mit x o =

°

ist g(x) = -hsin 2x - ixcos2x und y = (A + Bx)sin2x + (C + Dx)cos 2x + !sinx + Bx)sin2x + (C + Dx)cos2x -ftx 2 sin2x

f) g(x) vgl. e), y = (A

3. Die Lösungen können der Aufgabe 2 entnommen werden. Wir geben nur die Ansätze an: a) y = eX(ax + b) c) Y = e 2x (ax 2 + bx + c) e) y = a sin x + b cos x

b) y = ax sin 2x + bxcos 2x = eXx 3(ax + b) 1) y = ax 2 sin 2x + bx 2 cos 2x d) y

4. Vgl. 2

5.5 1. a) Man erhält für die Funktion x die Differentialgleichung x- 4i - 12x = - et - 4e - t. Daraus folgt x(t) = A e6t + Be - 2t + ise t + 4e - t. Aus der ersten Gleichung des Systems erhält man y(t) = -Ae6t+Be-2t+net+ie-t,

582

Aufgabenlösungen

b) Es ist X- 2x - 3x = cos t - sin t - 2t und

x(t) = A e 3t + B e- t + fo( - 3 cos t + sin t) + !(6t - 4) und 3t t - A e + Be- + fo( - 2cos t + 4sin t) +!(3t - 5).

y(t) =

c) x-6x-16x= -3t 2 +7t+5,also x(t) = A e 8t + B e- 2t + Si2 (96t 2 - 296t - 37) und y(t) = A e 8t - Be- 2t + Si2 (- 160t 2 + 216t - 37).

x-

2x - 8x = 3 cos t, also x(t) = A e4t + B e- 2t - is(27 cos t + 6 sin t) y(t) = A e4t - Be - 2t - is( - 7 cos t - 11 sin t) - te t • 2. a) x(t) = [!(x(O) - y(O)) + isJ e 6t + [!(x(O) + y(O)) -~J e- 2t + tset +4e- t; y(t) = - [!(x(O) - y(O)) + isJ e 6t + [!(x(O) + y(O)) -~J e- 2t + et +~e-t; b) x(t) = [!(x(O) - y(O)) - l~OJ e 3t + [!(x(O) + y(O)) + iJ e- t + fo( - 3 cos t + sin t) + !(6t - 4); y(t) = - [!(x(O) - y(O)) - l~OJ e 3t + [!(x(O) + y(O)) + iJ e- t + fo( - 2cos t + 4sin t) + !(3t - 5); c) x(t) = [!(x(O) + y(O)) + s3?2J e 8t + !(x(O) - y(O))e- 2t + Si2 (96t 2 - 296t - 37) d)

n-

y(t) = [!(x(O) + y(O)) + ll72J e 8t -1-(x(O) - y(O))e- 2t + Si2( -160t 2 + 216t - 37) d) x(t) = [!(x(O) + y(O)) + ~igJ e4t + [!(x(O) - y(O)) + ioJ e- 2t -is(27 cos t + 6 sin t) y(t) = [!(x(O) + y(O)) + ?t2J e4t - [!(x(O) - y(O)) + ioJ e- 2t - is( - 7 cos t - 11 sin t) - te t • 3. a) x(t) = -!6(e 7t - e -t)

t

+- e -t, 2

y(t) = -!6(e 7t + e -t) -

~e -t(4t

+ 1);

b) x(t) = et; y(t) = - et.

Cl Ül (t), da der Kondensator Cl

4. Es ist i(t) = folgt

entladen wird und i(t) = i l(t)

1

+ i2(t) = - U l(t) + C 2Ü2(t).

1

- ClÜl(t) = -ul(t) + C 2üz{t). R2

R

Daraus

2

(L5.1)

W eiterhin gilt

ul(t) = i2(t)R l

+ u 2(t) = R l C 2Ü2(t) + u 2(t)·

(L5.2)

Aus (L5.2) folgt

ü 2(t)

=

1 1 --ul(t) - - - u 2(t)

R l C2

R l C2

(L5.3)

eine Gleichung des Differentialgleichungssystems. Aus (L5.1) folgt mit (L5.3)

Ül(t)

1) u (t)+--u 1 -+(t), l R l R2 RlC l 2

1 ( 1 = --

Cl

(L5.4)

die andere Gleichung des Systems. Für ul(t) ergibt sich die Differentialgleichung

ül(t)-

(

1 1 -+ -1- + -1 -)ül(t)+ ul(t)=O. RlC l R 2C l R l C 2 R l R 2C l C 2

Die Lösungen Al, ~ der zugehörigen charakteristischen Gleichung sind negativ (vgl. 5.4.2). Die allgemeine Lösung ist U l (t) = A e A1t + B e A2t mit A, BE IR; Al' A2 E IR -. Aus Gleichung (L5.4) folgt dann u2 (t). Die Konstanten A, B lassen sich aus den Anfangsbedingungen U l (0) = u 2 (0) = 0 bestimmen. Die Diskussion der Lösung erfolgt wie in Abschnitt 5.4.2.

U o,

Sachverzeichnis

qJ, r-System

7 -, Ellipse im 10 -, Gerade im 8 -, Kreise im 9 Abklingkonstante 437 Ableitung -, partielle 231, 236 -, partielle, dritter Ordnung 237 -, partielle, von/nach Xi 237 -, zweite partielle 237 Abstand 216 Achse eines Vektorfeldes V 310 Ähnlichkeitsdifferentialgleichung 374 Amplitudendichte 186, 188, 196 Amplitudenmodulation 196 Analyse, harmonische 170 Anfangsbedingung 361, 471 Anfangspunkt 361, 471 Anfangswert 361, 471 Anfangswertproblem 361, 471 Anstiegsfunktion/ 432 aperiodischer Grenzfall 438 Arbeit 316, 329 - bei Ausdehnung eines Gases 84 - bei Dehnung (oder Stauchung) einer Feder 83 - einer Kraft 82 - eines Wechselstroms 85 - im Schwerefeld 329 Arbeitsintegral 318 Argument 7 Astroide (Sternkurve) 14 Ausgleichsgerade 253 Ausgleichsrechnung 252

Balken -, Durchbiegen eines 87, 90 - mit konstanter Belastung 89 Barometrische Höhenformel 98, 99 Bereichsintegral 282 Berührung -, von der Ordnung n 21 Bewegung - im Schwerefeld 90 Bildfunktion 186, 418 Bindefunktion 38 Blindwiderstand 349 Bogenlänge 22 - von Kurven in Polarkoordinaten 26

Cauchysches Konvergenzkriterium Coulombfeld 308 - einer Ladung 329

109

Dämpfung -, logarithmisches Dekrement der 152, 440 -, starke 437 Dämpfungskraft 434 Dämpfungsfaktor 437 Differential -, totales 239, 246 Differentialform 247, 330 Differentialgleichung 358 -, allgemeine Lösung einer 360 -, allgemeine Lösung einer homogenen 378, 456 -, allgemeine Lösung einer inhomogenen 378, 456 -, allgemeines Integral einer 360 -, charakteristische Gleichung einer 458 -, charakteristisches Polynom einer 458

584

Sachverzeichnis

Differentialgleichung 358 - der harmonischen Schwingung 93 - einer Biegelinie 89 - einer Kurvenschar 378 - erster Ordnung 364 -, explizite Form einer 358 -, gewöhnliche 358 -, gleichgradige 374 -, homogene 375,378, 455 -, implizite Form einer 358 -, inhomogene 375,396,455 -, Integral einer 359 -, lineare, der Ordnung n mit konst. Koeffizienten 455 -, lineare, erster Ordnung, homogen, inhomogen 375 -, lineare, zweiter Ordnung, homogen, inhomogen 392 -, Lösung einer 359 -, Ordnung einer 358 -, partielle 358 -, partikuläre Lösung einer 361 -, separable 368 -, spezielle Lösung einer 361 -, spezielle Lösung einer inhomogenen 378,456 Differentialgleichungssystem -, lineares, erster Ordnung mit konst. Koeffizienten 470 Differentialgleichungssystems -, allgemeine Lösung eines 472 -, Lösung eines 470 Differentiation - nach einem Parameter 275 - unter dem Integralzeichen 275 Differentiationsoperator 406 Differentiationssatz 422 Differenzierbarkeit 239,241 Divergenz 331 Doppelintegral 280, 282 Doppelpunkt 13

Doppelweggleichrichter 87 Drehmoment 68 Dreieckimpuls 176, 191 Durchbiegung eines Balkens 87, 90 Ebene - im Raum 221 Effektivwert 86 - eines Wechselstroms 87 Eigenkreisfrequenz 435,440 Einheitssprung 189 Einschaltvorgang 428 Einschrittverfahren 489 Einschwingvorgang 444 Einweggleichrichter 177 elektrischer Parallelschwingkreis 453 elektrischer Reihenschwingkreis 450 elektrisches Feld 308 - einer Ladung 329 Ellipse 5 -, Parameterdarstellung einer 5 -, Umfang einer 151 Energie 316 Entropie 279 Entwicklungspunkt 130 Ergiebigkeit 331 Erregerkreisfrequenz 442 Erste Guldinsche Regel 302 Eulersche Formel 162, 414 Euler-Verfahren 482 E-Umgebung 158, 204, 208, 217 Existenz- und Eindeutigkeitssatz 361 Extremum 250 - mit Nebenbedingungen 255 exzentrische Druckbelastung eines Stabes 156 Exzentrizität 10 Fadenpendel 95 Faltung 197, 421 Faltungssatz 200, 422

Sachverzeichnis

Federkonstante 83 Federkraft 434 Fehler -, absoluter 248 -, relativer 248 Feinheitsmaß 281 Feld -, konservatives 320 -, magnetisches 312, 328 Fixpunkt 344 Fläche -, rotationssymmetrische 222 Flächenelement in Polarkoordinaten 286 Flächeninhalt 45 Flächenschwerpunkt 71 Flächenträgheitsmoment 79 - bez. der x-Achse 80 - bez. der y-Achse 80 - einer Kreisfläche 80 - eines Rechtecks 80 Fluchtgeschwindigkeit 386 Folge 159 -, divergente 159 -, komplexe 158, 159 -, konvergente, gegen z 159 -, Konvergenzuntersuchung einer komplexen 160 Fourier-Integral 186 Fourier-Koeffizienten - einer Funktionj 169, 178 -, komplexe 182 Fourier-Reihe - in komplexer Form 181, 182 -, komplexe 178 -, zur Funktionjgehörende 169, 178 Fourier-Transformation 185, 186 -, Eigenschaften der 192 -, Existenz der 187 Fourier-Transformierte vonj 186 freier Fall aus großer Höhe 385 freier Fall eines Massenpunktes 152

585

Frequenz 94 Frequenzverschiebungsgesetz 196 Fundamentalsystem 457 Funktion 217 -, (reellwertige), von n (reellen) Veränderlichen 217 -, auf der Menge D differenzierbare 244 -, beschränkte 226 -, differenzierbare 242, 346 -, durch eine Potenzreihe dargestellte 134 -, Eigenschaften einer stetigen 229 -, Extrema einer, mehrerer Variablen 250 -, implizite 271 -, in Pl stetige 227 -, integrierbare 282 -, komplexe 338 -, komplexwertige 346 -, linear komplexe 338 - mehrerer Variablen 217 -, partiell differenzierbare 234, 236 -, stetige 227 -, stückweise glatte 171 -, stückweise stetige 171 -, Veranschaulichung einer, zweier Variablen 217

Galvanometer -, Zeigerschwingung eines 152 Gebietsintegral 282 Geometriematrix 38 Gerade -, Parameterdarstellung einer 5 Gesamtmoment 295 Gibbssches Phänomen 174 Gleichung -, charakteristische 395 Gleichung von Van der Pol 496 Gleichungssystem -, tridiagonales, lineares 39 Gleichwert 86 - eines Einweggleichrichters 86

586

Sachverzeichnis

Gradient 263 - von/im Punkte P 264, 269 Gravitationsfeld 3 16 - einer Masse 329 Grenzfall, aperiodischer 438 Grenzwert 159 - einer Reihe 105 Grundgesetz der Wärmeleitung 270 Grundlösungsverfahren 396,461 Grundschwingung 173 Guldinsche Regel 75, 76 Halbraum 324 Hessesche Norrilalform 9 Heun, Verfahren von 484,487 Höhenlinie 220 Höhenlinienskizze 219 Horner-Schema -, modifiziertes 153 Hyperbel 15 -, Anstieg einer 15

Implizite Funktion 271 Impulsfunktion 189, 429 innerer Punkt 204, 217 Integrabilitätsbedingung 247, 327 Integral 282 -, dreifaches 289 -, zweifaches 282 Integralkriterium 118 Integrationsbereich 282 Integrationssatz 424 Integrationsweg 318 Interpolation -, kubische 35 -, lineare 35 - mit Hilfe kubischer Splines 35, 37 -, quadratische 35 Interpolationsbedingung 35 Interpolationsknoten 35 Interpolationspolynom 35

Inversion - an einem Kreis 352 Inversion am Einheitskreis 340 Isokline 366 Isoklinenverfahren 366 Jordankurve, glatte

13

Kardioide 11 kartesisches Blatt 11, 272 Kegel -, Schwerpunkt eines 70 -, Volumen eines 54 Kettenlinie 150 Kettenregel 259,262 Kirchhoffsches Gesetz 349 klassisches Runge-Kutta-Verfahren 487 komplexer Scheinleitwert 350 komplexer Wechselstrom 349 Kondensator -, Aufladung eines 357 kontinuierliches Spektrum 188 konvergente Reihe 104 Konvergenz -, absolute 123, 161 -, bedingte 123 - von unendlichen Reihen 109 Konvergenzkriterium 108 -, Cauchysches 109 Konvergenzradius 132 Koordinatenfläche 212 Koordinatenfunktion 4 Kosinusreihe 166 Kovarianz 254 Kraft, äußere 434 Kreisverwandtschaft 341 Kreiszylinder Z 210 Kriechfall 437 Krümmung 27 - ebener Kurven 26 Krümmungskreis 32

Sachverzeichnis Krümmungsradius 32 Kugel 211,215 -, Massenträgheitsmoment einer 79 -,Oberflächeninhalt einer 58 -, Volumen einer 56 Kugelausschnitt 216 Kugelkoordinaten 212 Kurve -, Bogenlänge einer 22 Kurve, explizite Darstellung einer 3 - geschlossene 3 - glatte 13 - im Raum 313 -, itnplizite Darstellung einer 3 - in expliziter Form 2 - in impliziter Form 2 -, Krümmung einer ebenen 26 -, Orientierung einer 4 -, Parameterdarstellung einer 3 -, Scheitel einer 31 -, Schwerpunkt einer 74 -, stetige 3 -, stückweise glatte 13 -, stückweise stetige 4 Kurvenintegral 318 Kurvenschar -, Differentialgleichung einer 378 -, einparametrige 379 -, zweiparametrige 379 Kurvenschwerpunkt 74 - eines Halbkreisbogens 75 Lagrange -, Multiplikatorenregel von 256 Lagrangesche Multiplikatoren 257 Länge - einer Kettenlinie 24 - einer Normalen 18 - einer Subnormalen 18 - einer Subtangente 18 - einer Tangente 18

587

- eines Ellipsenbogens 24 - eines Parabelbogens 24 Laplace-Integral 418 Laplace-Transformation 417, 473 -, Linearität der 421 Laplace-Transformierte 417 - der Funktion! 428, 429 Leibniz-Kriterium 121 Leibnizsche Regel 275 Lemniskate 11 Linearität der Fouriertransformation 192 Linienintegral 318 -, wegunabhängiges 320, 326 Linkskrümmung 28 logarithmische Spirale 11 lokaler Diskretisationsfehler 485 Lösungskurve 364

magnetisches Feld 312,328 - eines geraden stromdurchflossenen Leiters 329 Majorante 111 Majorantenkriterium 110 Masse 295 Massendichte p 294 Massenschwerpunkt 69 Massenträgheitsmoment 77 - einer Kugel 79 mathematisches Pendel 447 Maximum -, absolutes 250 -, relatives 250 Mehrschrittverfahren 489 Menge -, abgeschlossene 205,209,217 -, beschränkte 205, 209 -,offene 205,209,217 -, unbeschränkte 205, 209 Methode der kleinsten Fehierquadratsumme 253

588

Sachverzeichnis

Minimum -, absolutes 250 -, relatives 250 - unter Nebenbedingungen 257 Minoraote ]]] Minorantenkriterium ]] 0 Mittelwert 85, 254 -, linearer 86 -, quadratischer 86 Moment 77,295 -, statisches 68 Multiplikatorenregel von Lagrange 256 Netzwerkfunktion 350 Newtonsches Abkühlungsgesetz 385 Niveautläche von! 225 Normalbereich 282, 289 Normale 17, 273 -, Länge einer -n 18 Normalengleichung 17 Obertläche - einer rotierenden Flüssigkeit 95 Obertlächeninhalt 5 ] - einer Kugel 56 - einer Ringtläche 58,76 - eines Rotationskegels 77 - eines Rotationskörpers 51, 58 Oberfunktion 186 Oberschwingung eines periodischen Vorgangs 173 Ohmsches Gesetz rür Wechselstrom 349 Operatorenmethode 406, 467 Ordnung eines numerischen Verfahrens 482 Originalfunktion 186, 418 orthogonale Trajektorien 381 Ortskurve 350 Parameterdarstellung - einer Geraden 314

- einer Normalen 17 - einer Tangente 16 - eines Hyperbelteils 15 - eines kartesischen Blattes 14 -, zulässige ] 3 Partialsumme 103 partielle Ableitung 233, 234 Pendelschwingung 495 -, gedämpfte 496 Phasenraum 495, 497 Phasenverschiebung 445 Planetenbewegung 96 Pol 7 Polarkoordinaten 7, 206 Polarkoordinatensystem 7 Polgerade 7 Polygonzugverfahren 482 -, verbessertes 483, 487 Polynom -, charakteristisches 395 Potential - eines Vektorfeldes 322 Potentialfeld 322, 327 Potenzreihe ]29

-, Darstellung einer Funktion durch eine ]29, ]34 -, Eindeutigkeitssatz rür eine 142 -, gliedweise Differentiation 138 -, Koeffizienten einer 129 -, Quotient zweier 154 Potenzreihenentwicklung 157 - der arctan-Funktion 138 - der tan-Funktion 155 Produkt - zweier unendlicher Reihen 125 Prozeß -, adiabatischer 85 -, isothermer 84 Punkt -, innerer 204, 209

Sachverzeichnis Punkt -, singulärer 3 Punktfolge 228 -, konvergente 228 Quader 209 quadratische Form 273 Quellen eines Feldes 331 Quotientenkriterium 113 radioaktiver Zerfall- 383 Rakete in} kräftefreien Feld 96 Rampenfunktionf 432 Rand einer Menge 205, 209 Randbedingung -, natürliche 39, 363 Randpunkt 204,209 Randwertproblem 363 Räuber-Beute-Modell 491 Raum -, dreidimensionaler 208 -, Ebene im 221 -, n-dimensionaler 216 -, zweidimensionaler 203 Rechteckimpuls 172, 189, 190 Rechtskrümmung 28 Regressionsgerade 253 Reibungskraft 434 Reihe 103, 104, 105 -, absolut konvergente 124, 161 -, alternierende 120 -, arithmetische 104 -, bedingt konvergente 124 -, divergente 105 -, geometrische 103,104,105,161 -, Grenzwert einer 105 -, harmonische 104, 106 -, komplexe 158, 161 -, konvergente, gegen die Summe s 105 - mit komplexen Gliedern 158 -, punktweise konvergente 166 -, trigonometrische 166

-, unbedingt konvergente 124 Reihenentwicklung - der Arcusfunktionen 149 - der Areafunktionen 149 Reihenglied -, k-tes 104 Resonanz -, einfache 403 -, r-fache 464 -, zweifache 400, 403 Resonanz-Kreisfrequenz 445 Richtung - des größten Gefälles 267 - des stärksten Anstiegs 267,270 Richtungsableitung - einer Funktion 263, 270 Richtungselement 364 Riemannsche Zwischensumme 281 Ringfläche 223 -,Oberflächeninhalt einer 58, 76 -, Volumen einer 75 Ringspannung 330 Rotation 331 Rotationsellipsoid -, Schwerpunkt eines 70 -, Volumen eines 54 Rotationskegel -,Oberflächeninhalt eines 77 -, Volumen eines 75 Rotationskörper -,Oberflächeninhalt eines 51,58 -, spezieller 52 -, Volumen eines 51 Rücktransformation 187,425, 474 Runge-Kutta-Nyström-Verfahren - für Anfangswertaufgaben 2. Ordnung 494 Runge-Kutta-Verfahren - für 2x2 Systeme 490 -, klassisches 487 Rutschen eines Seils 448

589

590

Sachverzeichnis

Sägezahn 175 Sägezahnspannung 166 Satz - vom Maximum und Minimum 230 - von Schwarz 238 Satz von Steiner 81, 300 Säule gleicher Querschnittsbelastung 383 Scheitel - der e-Funktion 31 - einer Ellipse 31 - einer Kurve 31 Scheitelkrümmungskreis 32 Schraubenlinie 5, 313 -, Ganghöhe einer 313 Schwarzsehe Ungleichung 128 Schwerefeld 308 Schwerpunkt 68, 294, 295 - einer Viertelellipse 72 - eines Dreiecks 72 - eines Kegels 70 - eines Kreiskegels 298 - eines Rotationsellipsoids 70 -, geometrischer 295 Schwerpunktskoordinaten - eines homogenen Rotationskörpers 70 Schwingfall 440 Schwingung - einfache 92 -, erzwungene, mit Dämpfung 435 -, freie gedämpfte 435 -, freie ungedämpfte 435 -, harmonische, Differentialgleichung der 93 - in einer Flüssigkeit 449 -, mechanische 434 Schwingungsdauer 95, 448 Sei lrebung 97 Sektorformel 49 Senke eines Feldes 331 senkrechte Schnitte 220 Sinusreihe 166 Skalarfeld 306

Spannungsverlauf - an einem Re-Glied 389 - an einer verlustbehafteten Spule 387 Spektraldichte 186, 188 Sperrfrequenz 197 sphärisches Feld 310 Spiegelung am Einheitskreis 340 Spline-Kurve -, kubische 37 -, natürliche 39 Sprungfunktion 189, 431 Standardabweichung 254 stationäre Lösung 388, 444 Superpositionsprinzip 405 Störfunktion 392, 455 Störglied 375, 392, 455 -, Ansatz in Form eines 398, 463 Stoßspannungsanlage 475 Strömung -, laminare 309 -, schlichte 309 Strömungsfeld 308 Strömungsprofil 308 StützsteIle 35 Stützwert 35 Subnormale, Länge einer 18 Subtangente, Länge einer 18 Substitutionsregel 285 Substitution - eines linearen Terms 374 Summe einer Reihe 104

Tangente - an eine Ellipse 16 -, Länge einer 18 Tangenteneinheitsvektor 315 Tangentengleichung 17 Tangentenkonstruktion - an einer Ellipse 18 - an einer Parabel 18 Tangentialebene 239, 240, 244

Sachverzeichnis Tangentialvektor 3 14 Taylor-Koeffizient 144 Taylor-Reihe - der cos-Funktion 148 - d~r cosh-Funktion 148 - der e-Funktion 145, 147 - einer Funktionf 144 - der sin-Funktion 148 - der sinh-Funktion 148 - vonfbezüglich der Stelle Xo 145 Telegraphengleichung 277 Temperaturgradient 270 Temperaturgefalle 270 Torus 223 Trägerfrequenz 196 Trägheitsmoment 294, 296 - einer Vollkugel 299 - eines homogenen Quaders 299 - von Hohl- und Vollzylinder 77 Trendgerade 253 Trennung der Veränderlichen 370 Übergangsbedingung 37 Umlaufintegral 318 Unterfunktion 186 Van der Pol, Gleichung von 496 Variation einer Konstanten 377 Vektorfeld 306 -, differenzierbares 309 -, Divergenz eines 331, 333 -, ebenes 306 -, partiell differenzierbares 309 -, Quelldichte eines 331 -, quellfreies 331 -, räumliches 306 -, Rotation eines 331, 334 -, Rotor eines 331 -, stetiges 309 -, wirbelfreies 331 Verfahren von Heun 484, 487 Vergleichskriterium 110

Vergleichsreihe 112 Verschiebungssatz 412, 430 Vertauschungssatz 193 Volumen 51, 54, 284 - einer Kugel 56 - einer Ringfläche 75 - einer Rotationsfläche 54 - eines Kegels 54 - eines Körpers ~ 289 - eines Paraboloids 288 - eines Rotationsellipsoids 54 - eines Rotationskegels 75 - eines Rotationskörpers 303 Volumenelement - in Kugelkoordinaten 292 - in Zylinderkoordinaten 291 Volumenschwerpunkt 69 Wechselstrom -, Arbeit eines 85 -, Effektivwert eines 87 Wechselstromkreis 347 Wegintegral 3 18 Wellengleichung 279 Wirkwiderstand 349 Wronski-Determinante 457 Wurf -, -Dauer 92 -, -Höhe 92 -, schiefer 91 -, -Weite 92 Wurzelkriterium 116 Zeitfunktion 186 Zeitverschiebungssatz 195 Zentralfeld 310 Zerlegung einer Menge 280 zulässiger Bereich 325 Zwischenpunkt 281 Zykloide 6 Zylinder 211 Zylinderfeld 310 Zylinderkoordinaten 210

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