Elektrodynamik

Martin R. Zirnbauer Elektrodynamik 3. Juli 1998 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York London Paris Tokyo Hong Ko...

Author: Zirnbauer M. R.

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Martin R. Zirnbauer

Elektrodynamik 3. Juli 1998

Springer-Verlag

Berlin Heidelberg New York London Paris Tokyo Hong Kong Barcelona Budapest

Inhaltsverzeichnis

0. Mathematische Grundlagen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.20

Euklidischer Raum : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Linearformen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Alternierende Multilinearformen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : A u eres Produkt : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Inneres Produkt : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Zuruckholen alternierender Multilinearformen : : : : : : : : : : : : : : Hodgescher Sternoperator : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Dichten... : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Vektorfelder und 1-Formen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Dierentialformen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Cartan-Ableitung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Poincaresches Lemma : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Pullback : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Kurvenintegrale : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Flachen- und Volumenintegrale im E3 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Integration von Dierentialformen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Allgemeiner Satz von Stokes : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Lie-Ableitung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Stromformen und Stromlinien : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Laplace-Operator : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

1 3 6 9 11 13 14 16 17 22 24 28 30 33 38 44 47 50 52 58

1. Prinzipien des Elektromagnetismus : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 63

1.1 Mathematischer Rahmen und Ma system : : : : : : : : : : : : : : : : : : 63 1.2 Axiom 1: Erhaltung der elektrischen Ladung : : : : : : : : : : : : : : : 64 1.3 Konsequenzen der Ladungserhaltung: die inhomogenen MaxwellGleichungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 67 1.4 Axiom 2: Feldstarken und Kraftwirkung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 71 1.5 Axiom 3: Induktionsgesetz (Erhaltung des magnetischen Flusses) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 74 1.6 Flu linienbild : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 76 1.7 Axiom 4: Materialgesetze : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 80 1.8 Energiesatz : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 85 1.9 Anschlu bedingungen an Grenzachen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 86

VI

Inhaltsverzeichnis

1.10 Elektrodynamik in Materie : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 93 1.11 Flu linien : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 98

2. ElektroMagnetostatik : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 101

2.1 Elementare Anwendungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 102 2.1.1 Elektrostatik: Kugelkondensator : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 102 2.1.2 Magnetostatik: Messung von 0 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 104 2.2 Poisson-Gleichung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 107 2.2.1 Elektrostatik : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 107 2.2.2 Magnetostatik : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 109 2.3 Multipolentwicklung (kartesisch) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 113 2.3.1 Elektrostatik : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 113 2.3.2 Magnetostatik : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 114 2.4 Randwertaufgaben : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 117 2.4.1 Die Greenschen Identitaten : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 117 2.4.2 Elektrostatik: Poisson- und Dirichlet-Problem : : : : : : : : 117 2.4.3 Magnetostatik: Abschirmung durch Suprastrome : : : : : 122 2.5 Energiebetrachtungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 122 2.5.1 Kapazitatskoezienten : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 122 2.5.2 Induktionskoezienten : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 125 2.6 ElektroMagnetostatik mit Stromformen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 128

3. Netzwerke : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 133

3.1 k-Komplexe : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 133 3.2 Kapazitive und resistive Netzwerke : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 136 3.2.1 Kapazitives Netzwerk : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 136 3.2.2 Resistive Netzwerke : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 140 3.3 Diskretisierung der Maxwellschen Theorie : : : : : : : : : : : : : : : : : 144 3.3.1 Homogene Maxwell{Gleichungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 144 3.3.2 Inhomogene Maxwell{Gleichungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : 145 3.3.3 Materialgleichungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 145 3.4 Flu linien : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 147 3.5 Dynamik (diskret) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 151

4. Elektromagnetische Wellen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 157

4.1 Wellengleichungen fur B , D, H und E : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 157 4.2 Ebene Wellen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 159 4.2.1 Ein Beispiel fur Pulserzeugung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 159 4.2.2 Skin-Eekt : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 161 4.2.3 Brechung an ebenen Grenzachen : : : : : : : : : : : : : : : : : : 162 4.2.4 Losung der inhomogenen Wellengleichung : : : : : : : : : : : 162 4.3 Wellengleichung in drei Raumdimensionen : : : : : : : : : : : : : : : : : 164 4.3.1 Losung der homogenen Gleichung : : : : : : : : : : : : : : : : : : 164 4.3.2 Abruptes Abschalten eines Kreisstroms : : : : : : : : : : : : : : 168 4.3.3 Losung der inhomogenen Gleichung : : : : : : : : : : : : : : : : : 169

Inhaltsverzeichnis

4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9

VII

Elektrische Dipolstrahlung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 170 Strahlung einer beschleunigten Punktladung : : : : : : : : : : : : : : : 173 Beugungsphanomene : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 174 Symmetrien und Erhaltungssatze : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 174 Das Feynmansche Paradoxon : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 174 Geometrische Optik : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 178

5. Relativistisch kovariante Theorie : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 179

Der Minkowski-Raum M4 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 179 Die Poincare-Gruppe : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 180 A u erer Kalkul auf M4 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 181 Kovariante Formulierung der Theorie : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 181 Invarianzeigenschaften der Maxwellschen Theorie : : : : : : : : : : : 183 Anschauliche Deutung mittels Stromformen : : : : : : : : : : : : : : : : 183 Altes relativistisch aufgewarmt : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 184 Transformationsverhalten der Felder und Strome : : : : : : : : : : : 186 5.8.1 Transformation des Viererstroms : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 186 5.8.2 Transformation der Felder : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 187 5.8.3 Aharonov-Casher-Eekt : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 188 5.9 Erhaltungssatze : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 188

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8

6. Wirkungsprinzip f ur klassische Feldtheorien : : : : : : : : : : : : : : 191 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5

Lagrange-Formulierung der Elektrodynamik : : : : : : : : : : : : : : : 193 Erhaltene Strome : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 194 Ginzburg-Landau-Theorie : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 195 Abelsches Higgs-Modell : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 199 Quanten-Halleekt und Chern-Simons-Wirkung : : : : : : : : : : : : 202

A. Kleine Formelsammlung f ur das Rechnen mit Di erentialformen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 205

0. Mathematische Grundlagen

0.1 Euklidischer Raum Perspektive. Zur Formulierung der Elektrodynamik benotigen wir ein mathematisches Modell der physikalischen Raum-Zeit. In der ersten Halfte dieser Vorlesung behandeln wir die Zeit separat vom Raum und modellieren den physikalischen Raum durch den dreidimensionalen Euklidischen Raum E3 . In der zweiten Halfte werden wir dann zum Zweck der relativistisch kovarianten Formulierung der Elektrodynamik zu einer einheitlichen Beschreibung von Raum und Zeit ubergehen und die physikalische Raum-Zeit durch den vierdimensionalen Minkowski-Raum M4 modellieren. (Wir wollen hier nur erwahnen, ohne darauf weiter einzugehen, da das MinkowskiModell adaquat ist, solange die raumkrummenden Eekte der Gravitation vernachlassigt werden konnen.) Beiden Modellen, E3 und M4 , liegt der Begri eines anen Raumes zugrunde. Der n-dimensionale ane Raum An . Der Begri des "Vektorraumes\ (oder linearen Raumes) wird als bekannt vorausgesetzt, und wir erinnern nur daran, da die "Vektoren\ genannten Elemente eines solchen Raumes addiert und mit reellen Zahlen multipliziert werden konnen. Per Denition besteht nun ein aner Raum nicht aus Vektoren, sondern aus Punkten, und die letzteren lassen sich nicht sinnvoll addieren. Ein aner Raum ist also kein Vektorraum, obwohl er zu einem solchen in enger Beziehung steht. Jedem Paar von Punkten a und b eines anen Raumes ist namlich in eindeutiger Weise ein Vektor zugeordnet. Au erdem ist es moglich, zu einem Punkt a eines anen Raumes einen Vektor v zu addieren, was einen neuen Punkt b = a + v zum Resultat hat. Die Operation des Addierens von Vektoren zu Punkten ist assoziativ und fuhrt einen Punkt nur dann in sich uber, wenn der hinzugefugte Vektor der Nullvektor ist. Diesen Sachverhalt fassen wir in der folgenden Denition zusammen: ein aner Raum A ist ein Tripel (M V +), bestehend aus einer Punktmenge M , einem reellen Vektorraum V und einer Addition + : M V ! M , (a v) 7! a + v mit den Eigenschaften (1) a + (v + w) = (a + v) + w (a 2 M v w 2 V ) (2) a + v = a () v = 0 (a 2 M v 2 V ) (3) zu jedem Paar a b 2 M existiert ein v 2 V mit b = a + v :

2


Der nach (2) eindeutige Vektor v von (3) hei t der "Dierenzvektor\ von a und b und wird mit b ; a bezeichnet. Fur V = Rn ist A = (M V +) der n-dimensionale ane Raum An . Aufgabe 0.1.1. Gegeben sei ein Tripel von Punkten a b c 2 M . Deduzieren Sie aus den Axiomen (1)-(3) die Beziehung c ; a = (c ; b) + (b ; a). Unter der Geraden durch a in Richtung von v versteht man die Menge von Punkten der Form a + sv mit beliebigem s 2 R. Der von m Vektoren v1 :::Pvmm aufgespannte Spat mit Basispunkt p ist die Punktmenge faja = p + i=1 ti vi g fur 0 t1 ::: tm 1. Fur m = 2 sprechen wir auch von einem Parallelogramm. Ein anes Koordinatensystem ist eine Gesamtheit (o e1 e2 ::: en ), bestehend aus einem ausgewahlten Punkt o 2 M ("Koordinatenursprung\) P und n linear unabhangigen Elementen e1 ::: en von V . Die durch a ; o = ni=1 xi ei einem Punkt a 2 M zugeordneten Zahlen x1 ::: xn hei en ane Koordinaten von a bezuglich (o e1 ::: en ). Eine ane Abbildung : M ! M bildet Geraden auf Geraden ab. e2 a 2

x

x1 o

e1

Abbildung 0.1.

Anes Koordinatensystem (o e1 e2 ) und ane Koordinaten x1 , x2 eines Punktes a 2 A2 .

Aufgabe 0.1.2. Zeigen Sie, da jede ane Abbildung sich in der Form (p) = (o) + L(p ; o) ausdrucken la t, wobei o ein beliebig gewahlter Referenzpunkt und die Abbildung L : V ! V linear ist. Euklidischer Vektorraum. Der Dierenzvektorraum V eines anen Raumes hat zu wenig Struktur, als da es moglich ware, Langen von Vektoren oder von Vektoren eingeschlossene Winkel zu messen. Diese Moglichkeit wird erst durch die Einfuhrung eines positiv deniten Skalarprodukts h i eronet. Ein Vektorraum V mit positiv denitem Skalarprodukt h i hei t Euklidischer Vektorraum p . Die Lange jvj eines Vektors v ist in diesem Fall erklart durch jvj = hv vi und der Winkel (u v) zwischen zwei Vektoren u und v durch cos (u v) = hu vi=jujjvj.

0.2 Linearformen

3

Der n-dimensionale Euklidische Raum En . Unter einem Euklidischen Raum E versteht man einen anen Raum A, dessen Dierenzvektorraum V die zusatzliche Struktur eines Euklidischen Vektorraums hat. Der Abstand d(a b) zweier Punkte a b 2 M wird durch d(a b) = jb ; aj erklart. Der ndimensionale Euklidische Raum wird mit En bezeichnet. Ein kartesisches Koordinatensystem von En ist ein anes Koordinatensystem (o e1 ::: en ) mit der zusatzlichen Eigenschaft, da die Vektoren e1 ::: en eine Orthonormalbasis bilden: hei ej i = ij (i j = 1 ::: n) : Hierbei ist ij Kroneckers Delta-Symbol, d.h. ij = 1 fur i = j , und ij = 0 fur i 6= j . Sind xi und yi die Koordinaten von a 2 M und b 2 M bezuglich eines solchen Systems, dann gilt:

v u n n X uX d(a b) = j(b ; o) ; (a ; o)j = (xi ; yi )ei = t (xi ; yi )2 : i=1

i=1

Da d(a b)Pvon der Wahl des Koordinatensystems unabhangig ist, folgt dasselbe fur ni=1 (xi ; yi )2 . Euklidische Bewegungen. Sei E ein Euklidischer Raum und : E ! E eine ane Abbildung. Wir nennen eine Euklidische Bewegung, wenn fur jedes Paar a b 2 E gilt j(a) ; (b)j = ja ; bj : Euklidische Bewegungen lassen also den Abstand zwischen Punkten ungeandert. Aus der Behauptung von Aufgabe 0.1.2 folgt, da jede Euklidische Bewegung in der Form (a) = (o) + R(a ; o) ausgedruckt werden kann, wobei die lineare Abbildung R : V ! V der Orthogonalitatsbedingung hRv1 Rv2 i = hv1 v2 i unterliegt. Der Spezialfall R = id hei t Translation, fur (o) = o liegt eine Rotation mit Fixpunkt o vor.

0.2 Linearformen Hier und im folgenden bezeichne V immer einen Vektorraum der Dimension n uber dem reellen Zahlenkorper R. Eine Linearform auf V ist eine lineare Abbildung, die jedem Element von V eine reelle Zahl zuweist. In Formeln schreiben wir :V !R v 7! (v) d.h. wir bezeichnen die v 2 V durch zugewiesene Zahl mit (v). Linearitat der Abbildung bedeutet, da fur alle u v 2 V und x y 2 R gilt:

4


(xu + yv) = x(u) + y(v) : Linearformen lassen sich wie Vektoren in naturlicher Weise addieren und mit reellen Zahlen multiplizieren: ( + )(v) := (v) + (v) (x)(v) := x(v) : Sie bilden also ihrerseits einen linearen Raum, den sogenannten "Dualraum\ von V , den wir mit L(V R) oder kurzer mit V bezeichnen. Man sieht leicht, da V die gleiche Dimension wie V hat. Damit ist schon alles gesagt, was es an dieser Stelle uber Linearformen zu wissen gibt, und wir konnten jetzt im Prinzip sofort zu Abschn. 0.3 ubergehen. Fur manche Zwecke ist es aber hilfreich, mit dem abstrakten Begri der Linearform eine anschauliche Vorstellung verbinden zu konnen. Graphische Veranschaulichung. Nach obiger Denition setzt der Begri der Linearform einen reellen Vektorraum V voraus und sonst nichts. Um den Begri der Linearform graphisch zu veranschaulichen, ist es jedoch gunstig, V als den Dierenzvektorraum eines anen Raumes A = (M V +) zu interpretieren, was wir hier tun wollen. Ein Vektor v 2 V la t sich dann als ein Pfeil auassen, der zwei Punkte von M miteinander verbindet. Addition zweier Vektoren u und v erfolgt in diesem Bild dadurch, da man den Schaft des Pfeils von v durch Parallelverschiebung an die Spitze des Pfeils von u setzt.1 Der Summenvektor u + v ist dann derjenige Pfeil, der vom Schaft von u zur Spitze von v zeigt. Dieser nutzlichen Veranschaulichung des Vektorbegris und der Addition von Vektoren entspricht eine Vorstellung von Linearformen, die in Abb. 0.2 illustriert ist. +3 +2

a f o α

e

+3 +2

b v

+1 0 -1 -2

+1 0 -1 -2

o α

Abbildung 0.2. Anes Modell einer Linearform

α(v)= 2,69

Abb. 0.2 entsteht auf die folgende Weise. Wir geben uns einen Punkt o und einen Vektor e vor und zeichnen die Gerade durch o in Richtung von e. Diese Gerade nennen wir die "Nullgerade\. Nun nehmen wir einen zweiten, von e linear unabhangigen Vektor f , bringen den Schaft von f durch Parallelverschiebung auf irgendeinen Punkt (z.B. o) der Nullgeraden und zeichnen die Gerade durch die Spitze von f in Richtung von e. Dann schieben wir 1 Parallelverschiebung beruht auf der algebraischen Relation b + v = a + v +(b ; a).

0.2 Linearformen

5

den Schaft von f auf einen Punkt der so entstandenen "Einsgeraden\ und legen durch die Spitze von f wiederum eine Gerade in Richtung von e. Diesen Proze setzen wir fort und produzieren auf diese Weise eine Schar durchnumerierter und paralleler Geraden, die wir mit bezeichnen (Abb. 0.2a). Nach dieser vorbereitenden Konstruktion wahlen wir nun irgendeinen Vektor v 2 R2 und bringen seinen Schaft (wiederum durch Parallelverschiebung) auf die Nullgerade (Abb. 0.2b). Die Spitze von v wird dann im allgemeinen nicht auf einer der gezeichneten Geraden liegen, sondern auf einer gedachten Zwischengeraden, deren "Nummer\ durch lineare Interpolation bestimmbar ist in Abb. 0.2b ware dies ungefahr die Gerade 2,69. Durch die Geradenschar wird also dem Vektor v die reelle Zahl 2,69 eindeutig zugeordnet. Eine solche Zuordnung existiert oensichtlich nicht nur fur v sondern fur jedes Element des R2 . Die Geradenschar deniert folglich eine Abbildung von R2 nach R, und diese Abbildung ist per Konstruktion von linear. Mit anderen Worten, die Geradenschar von Abb. 0.2 veranschaulicht in graphischer Weise ein Element von L(R2 R). Ganz analog kann man sich die Elemente von L(R3 R) als Scharen paralleler Ebenen im dreidimensionalen anen Raum, und allgemein die Elemente von L(Rn R) als Scharen von (n ; 1)-dimensionalen Hyperebenen im n-dimensionalen anen Raum, vorstellen.

v

Abbildung 0.3. Modell einer Linearform 3 α

2 L(R R). Der Wert von (v) wird festgestellt, indem man die von v durchstoenen Ebenen von abzahlt und linear interpoliert. Der Pfeil von legt die positive Zahlrichtung fest.

Beispiel 0.2.1. In den Kursen fur Physik-Anfanger wird die physikalische Gro e "Kraft\ ublicherweise als Vektor eingefuhrt. In der Tat ist in einem Euklidischen Raum jedem Kraftfeld eindeutig ein Vektorfeld zugeordnet. Jedoch la t sich der Begri "Kraft\ bereits auf einem anen Raum, d.h. vor Einfuhrung eines Skalarprodukts mit Sinn erfullen. Ein konservatives Kraftfeld wird namlich vollstandig charakterisiert durch die Arbeit, die aufzubringen ist, um einen Korper von einem Punkt zu einem anderen zu transportieren. Fur ein homogenes Kraftfeld hangt diese Arbeit nur vom Dierenzvektor der beiden Punkte ab, nicht aber von ihrer individuellen Position. Bewegt man den Korper zunachst von a nach b und dann von b nach c, so setzen sich die Arbeiten linear zusammen. Ein homogenes Kraftfeld la t sich also als eine lineare Abbildung auassen, die jedem (Verschiebungs-)Vektor die Arbeit zuordnet, die beim Verschieben eines Korpers vom Schaft bis zur Spitze des

6


betreenden Vektors aufzubringen ist. Kurz gesagt, ein homogenes Kraftfeld ist eine Linearform. Beispiel 0.2.2. Es sei hier betont, da die Denition des Begris der Linearform kein Skalarprodukt erfordert. Fur dieses zweite Beispiel wollen wir aber den Vektorraum V dennoch mit einem Skalarprodukt h i versehen. Auf V lassen sich dann Linearformen dadurch erzeugen, da man in das erste (oder das zweite) Argument des Skalarprodukts permanent einen fest gewahlten Vektor einsetzt: = hv i. Ist speziell v = e ein Vektor der Lange Eins, dann entspricht die Linearform = he i fur V = R2 einer Geradenschar im E2 mit der Eigenschaft, da die Geraden der Schar auf e senkrecht stehen und Abstand Eins haben. Basisdarstellung. Sei e1 e2 ::: en eine Basis von V . Die sogenannte \Dualbasis" 1 2 ::: n von V wird eindeutig festgelegt durch die Forderung i (ej ) = ji (i j = 1 ::: n) wobei ji Kroneckers Delta-Symbol ist. Fur den Fall n = 2 werden Basis und zugehorige Dualbasis in Abb. 0.4 graphisch veranschaulicht.PSind ein Vektor v und eine Linearform in Basisdarstellung durch v = i vi ei und = P i i i gegeben, so folgt aus der Denition der Dualbasis sofort

(v) =

n X i=1

i vi : θ1

+2 +1

e1

0 -1 -2

θ2

e2

-1

0

+1

+2

+3

Abbildung 0.4. Basis und Dualbasis

0.3 Alternierende Multilinearformen In Abschn. 0.2 haben wir Linearformen als lineare Abbildungen eines Vektorraums in die reellen Zahlen kennengelernt. Solche Abbildungen konnen

0.3 Alternierende Multilinearformen

7

wir uns auch als \Maschinen" vorstellen, die einen Eingabeschlitz fur Vektoren haben und auf die Eingabe eines Vektors mit der Ausgabe einer reellen Zahl antworten. Wir nehmen nun eine Verallgemeinerung vor und betrachten Maschinen mit nicht nur einem sondern k Eingabeschlitzen (k 1) fur Elemente eines n-dimensionalen Vektorraumes V . Wie zuvor seien die Maschinen so konstruiert, da sie die Eingabe von k Vektoren v1 v2 ::: vk mit der Ausgabe einer reellen Zahl quittieren. Den von der Maschine ausgegebenen Wert bezeichnen wir mit (v1 v2 ::: vk ). Wir stellen zwei zusatzliche Forderungen an unsere Maschinen. Erstens sollen sie in allen Argumenten linear sein. In Formeln hei t das: (xu + yv w :::) = x(u w :::) + y(v w :::) (u xv + yw :::) = x(u v :::) + y(u w :::) usw: (Hierbei sind u v w 2 V und x y 2 R.) Zweitens verlangen wir die Eigenschaft des Alternierens\, d.h. wenn wir die Eingabe durch Austausch zweier Argumente" abandern, dann soll die ausgegebene reelle Zahl dem Betrag nach gleichbleiben aber ihr Vorzeichen wechseln. In Formeln: (::: u ::: v :::) = ;(::: v ::: u :::) : Nichttriviale Maschinen mit der zweiten Eigenschaft existieren nur fur k n. Abbildungen vom beschriebenen Typ hei en alternierende Multilinearformen vom Grad k oder etwas kurzer "alternierende k-lineare Formen\. Solche Abbildungen lassen sich in naturlicher Weise addieren und mit reellen Zahlen multiplizieren. Sie bilden also ebenfalls einen linearen Raum, den wir mit Altk (V ) bezeichnen. Beispiel 0.3.1. Wir bezeichnen die Komponenten eines Vektors u in V = R3 bezuglich einer fest gewahlten Basis e1 e2 e3 mit ui (i = 1 2 3) und die Komponenten der Vektoren v w entsprechend mit vi bzw. wi . Die durch 0 u1 v1 w1 1

(u v w) = Det @ u2 v2 w2 A u3 v3 w3 denierte Abbildung ist 3-linear und alternierend und ist folglich ein Element von Alt3 (V ). Beispiel 0.3.2. Die xy-Ebene durch den Koordinatenursprung des dreidimensionalen Euklidischen Raums werde von zwei orthonormalen Basisvektoren ex und ey aufgespannt. ! sei die alternierende 2-lineare Form, die jedem Paar von Vektoren u und v in R3 die reelle Zahl !(u v) = hex uihey vi ; hex vihey ui zuweist. Der Absolutbetrag von !(u v) ist dann die Flache der Projektion eines von u und v aufgespannten Parallelogramms auf die xy-Ebene. Aufgabe 0.3.1. Weisen Sie nach, da der Raum Altk (V ) fur maximalen Grad k = dimV eindimensional ist.

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Orientierung. Sei e1 ::: en eine fest gewahlte, geordnete Basis von V . Die Anwendung eines von Null verschiedenen Elements 2 Altn (V ) auf e1 ::: en resultiert in einer reellen Zahl (e1 ::: en ), die entweder positiv oder negativ ist. Auf diese Weise wird der eindimensionale Raum Altn (V ) in zwei A quivalenzklassen eingeteilt, eine positive und eine negative Klasse. Umgekehrt legt die Wahl eines Elements 2 Altn (V ) ( 6= 0) eine Einteilung in positive und negative Systeme von Basisvektoren e1 ::: en fest. Diese Einteilung hangt nur von der enthaltenden A quivalenzklasse ab, nicht aber von selbst. Durch die Entscheidung fur eine der beiden A quivalenzklassen wird, wie man sagt, eine Orientierung bestimmt. Im R3 xiert man die Orientierung ublicherweise durch die sogenannte Rechte-Hand-Regel. Danach hei t ein System von linear unabhangigen Vektoren u, v, w rechtshandig oder positiv orientiert, wenn sich die Vektoren mit Daumen, Zeigenger und Mittelnger der rechten Hand (in der angegebenen Reihenfolge) zur Deckung bringen lassen. Andernfalls hei t das System linkshandig oder negativ orientiert. Graphische Veranschaulichung. Nach Abschn. 0.2 lassen sich Linearformen 2 L(R3 R) als Scharen paralleler Ebenen im anen Raum A3 darstellen. In analoger Weise konnen wir auch alternierende Multilinearformen hoheren Grades veranschaulichen. Zum Beispiel dient als anes Modell eines Elements ! 2 Alt2 (R3 R) eine homogene Schar paralleler Geraden mit Schraubensinn (Abb. 0.5a). Um den Wert !(u v) auf zwei Vektoren u und v zu ermitteln, zahlen wir ab, wieviele Geraden der Schar ein Parallelogramm mit den Basisvektoren u und v schneiden (der Basispunkt des Parallelogramm ist beliebig) und interpolieren linear. Die Schnittpunkte zahlen wir als positiv (bzw. negativ), wenn der Schraubensinn der Geraden mit der Orientierung der Vektoren u, v ubereinstimmt (bzw. nicht ubereinstimmt). Durch die Berucksichtigung des Schraubensinns wird gewahrleistet, da der Wert !(u v) unter Austausch von u und v sein Vorzeichen wechselt.

a v

ω

b

ω

w

ρ

ρ u ω

ω

ρ

ρ

ρ v

ρ

ρ u

Abbildung 0.5. Modelle ... Modelle

ρ

0.4 A ueres Produkt

9

Im Falle einer alternierenden 3-linearen Form 2 Alt3 (R3 R) verwenden wir zur Veranschaulichung ein System von Gitterpunkten. Die Punkte sind nicht strukturlos, sondern tragen eine Orientierung. Der Absolutwert von (u v w) wird der Zahl der in einem Spat mit Kantenvektoren u, v und w bendlichen Gitterpunkte gleichgesetzt. (Auch hier mu linear interpoliert werden, und die genaue Position der Basis des Spats ist dann wieder irrelevant). Stimmt die Orientierung der Punkte mit der Orientierung des Systems von Vektoren uberein, so ist das Vorzeichen von !(u v w) positiv, andernfalls negativ.

0.4 A ueres Produkt Perspektive. In den folgenden Abschnitten werden wir vier mathematische Operationen kennenlernen, die auf dem Raum der alternierenden Multilinearformen agieren: das au ere Produkt, das innere Produkt, das Zuruckholen von Formen, und den Hodgeschen Sternoperator. Die ersten drei Operationen setzen keine metrische Struktur voraus. Au eres Produkt von Linearformen. Gegeben seien zwei Linearformen 2 L(V R). Unter ihrem au eren Produkt ^ verstehen wir die Abbildung ^ : V V !R (u v) 7! ( ^ )(u v) := (u) (v) ; (v) (u) : Diese Abbildung ist oensichtlich linear in beiden Argumenten und alternierend. Folglich gilt: ^ 2 Alt2 (V ). Beispiel 0.4.1. Wir betrachten den Euklidischen Vektorraum V = (R2 h i) mit Orthonormalbasis e1 e2 und Flachenform !(u v) = he1 uihe2 vi ; he1 vihe2 ui = u1v2 ; v1 u2 : Mit der Denition2 #i = hei i (i = 1 2) konnen wir schreiben ! = #1 ^ #2 . Aufgabe 0.4.1. Zeige, da der Ausdruck #1 ^ #2 unter eigentlichen Drehungen von V invariant ist. Visualisiere Linearformen im dreidimensionalen Raum als Ebenenscharen. Das auere Produkt der Linearformen entspricht dann der Schnittmenge der Ebenenscharen (einer Schar von Geraden).

2

In einem Euklidischen Vektorraum mit Orthonormalbasis ei gilt #i (ej ) = hei ej i = ij = i (ej ) (wie immer sind i die Elemente der Dualbasis). Dagegen ist in einem nicht-Euklidischen Vektorraum wie z.B. dem Lorentzraum der speziellen Relativitatstheorie zwischen #i und i zu unterscheiden.

10


Au eres Produkt alternierender Multilinearformen. Allgemein versteht man unter dem au eren Produkt zweier Elemente 2 Altk (V ) und 2 Altl (V ) (k l 1) die durch ( ^ )(v(1) : : : v(k) v(k+1) : : : v(k+l) ) = 1 X sign() (v((1)) ::: v((k)) ) (v((k+1)) ::: v((k+l)) ) k !l !

denierte Abbildung ^ 2 Altk+l (V ), wobei die Summe uber alle Permutationen der Indexmenge 1 2 ::: k + l lauft und sign() das Signum von ist. Das so denierte Produkt hat die Eigenschaften (1) ^ = (;1)kl ^ (2) ( ^ ) ^ = ^ ( ^ ) : Aufgabe 0.4.2. Beweise die Super-Kommutativitat (1) und die Assoziativitat (2) des au eren Produkts! Eine sofortige Konsequenz von (1) ist ^ = ; ^ = 0 fur 2 Alt2l+1 (V ). Fur den Spezialfall v(1) ::: v(k) 2 V und (1) ::: (k) 2 V gilt: 0 (v(1)) : : : (v(k) ) 1 (1) (1) CA : . .. . . . ((1) ^ ::: ^ (k) )(v(1) ::: v(k) ) = det B @ . . . (k) (v(1) ) : : : (k) (v(k) ) Es ist zweckma ig, das au ere Produkt ^ auch fur den Fall zu erklaren, da und/oder reelle Zahlen sind. Wir vereinbaren, da ^ in diesem Fall mit der gewohnlichen Multiplikation zusammenfallt. Zum Zweck der bequemen Notation spater einzufuhrender Operatoren denieren wir Alt1 (V ) = V und Alt0 (V ) = R. Beispiel 0.4.2. Im orientierten E3 sei eine alternierende 3-lineare Form

dadurch erklart, da einem Tripel von Vektoren u v w das Volumen eines von ihnen aufgespannten Spats zugewiesen wird. Hierbei zahlen wir das Volumen positiv (bzw. negativ), wenn u v w ein rechtshandiges (bzw. linkshandiges) System bilden. hei t Volumenform. Wenn wir wie oben eine Basis von Linearformen #i auf R3 durch #i = hei i (i = 1 2 3) erklaren, dann ist

= #1 ^ #2 ^ #3 . Basisdarstellung. Sei e1 e2 ::: en eine Basis von V und entsprechend 1 , 2 , ..., n die Dualbasis von V . Die Gesamtheit der au eren Produkte i1 ^ i2 ^ ::: ^ ik fur 1 i1 < i2 < ::: < ik n bildet eine Basis von Altk (V ), d.h. jedes Element ! von Altk (V ) ist darstellbar als geordnete Summe X != !i1 :::ik i1 ^ ::: ^ ik : 1i1 1 eine k-Zelle = (#0 1]k ). Der k-dimensionale Einheitskubus #0 1]k (gemeint ist hier das \Urbild" der k-Zelle) hat 2k Seitenachen, deren jede sich als (k ; 1)-dimensionaler Einheitskubus im Rk;1 auassen la t. Ist Sj = #0 1]k;1 eine dieser Seitenachen, so bezeichnen wir die Einschrankung der Abbildung auf Sj mit j (j = 1 ::: 2k). Eine Orientierung j auf Sj erklaren wir wie folgt. Sei n ein nach au en gerichteter Normalenvektor von Sj . (Fur diesen Schritt wird Rk in der ublichen Weise als orientierter Euklidischer Vektorraum aufgefa t.) Dann deklarieren wir eine geordnete Basis e1 ::: ek;1 der Sj enthaltenden (k ; 1)-dimensionalen Hyperebene als positiv orientiert, wenn das System n e1 ::: ek;1 bezuglich positiv orientiert ist. Nach diesen Vorbereitungen denieren wir nun den Rand @ der k-Zelle als die Summe der (k ; 1)-Zellen (Sj j j ) mit reellen Koezienten +1: @ =

2k X

j =1

(#0 1]k;1 j j ) :

Siehe dazu Abb. 0.22. Fur den Spezialfall k = 1 denieren wir @ als die aus dem Endpunkt b und dem Anfangspunkt a der Kurve bestehende 0-Kette mit reellen Koezienten +1 bzw. ;1: @ = b ; a. (Achtung! Verwechsle die 0-Kette b ; a nicht mit dem Dierenzvektor P b ; a zweier Punkte eines anen Raumes.) Der Rand @c einer Kette c = ri i wird per Linearitat erklart: @c = @ (r1 1 + ::: + rm m ) : Aufgabe 0.16.1. Zeige, da der Rand des Randes einer jeden k-Kette verschwindet: @@c = 0.

0.17 Allgemeiner Satz von Stokes

47

1

γ

IR2

1

Abbildung 0.22. Der Rand der k-Zelle von Abb. 0.21 Denition 0.8. FP ur k 1 denieren wir das Integral einer k-Form ! uber eine k-Kette c = ri i durch

Z

c

! = r1

Z

1

! + ::: + rm

Z

m

!:

Das \Integral" einer Funktion f uber eine 0-Kette r1 a1 + ::: + rm am ist ganz einfach die Linearkombination der Funktionswerte an den Punkten a1 ::: am :

Z

r1 a1 +:::+rm am

f := r1 f (a1 ) + ::: + rm f (am) :

Damit haben wir nun einen Integralbegri, der genugend elastisch ist, um alle fur uns interessanten Anwendungen in der Physik zu erfassen. Beispiel 0.16.3. Vielleicht ware hier noch ein Beispiel angebracht? (Volumen und Oberfl ache eines Torus im dreidimensionalen Raum?)

Irgendwo (vielleicht am besten hier) wird noch ein Abschnitt uber gerade und ungerade Differentialformen (oder Dichten) ben otigt. Dabei w are auch auf den Unterschied zwischen innerer und auerer Orientierung einzugehen.

0.17 Allgemeiner Satz von Stokes Motivation (heuristisch). Es sei U ein n-dimensionales Gebiet, und k (U ) bezeichne wie immer den Raum der k-Formen auf U . k (U ) ist ein linearer Raum unendlicher Dimension uber dem reellen Zahlenkorper R. Eine k-Kette c in U la t sich als Abbildung c : k (U ) ! RR ! 7! c ! =: c(!) auassen. Wegen der Linearitat des Integrals gelten fur x y 2 R und 2 k (U ) die Gleichungen

48


Z

Z

Z

c(x + y ) = (x + y ) = x + y = xc() + yc( ) c

c

c

d.h. c ist ebenfalls linear. In seiner Eigenschaft als lineare Funktion auf k (U ) ist c ein Element des Dualraums von k (U ). Dieser Dualraum ist zwar wie k (U ) unendlich-dimensional, trotzdem durfen wir getrost seine Existenz unterstellen. (Eine prazise Denition wurde die Spezikation der Dierenzierbarkeits- und Tragereigenschaften der Elemente von k (U ) erfordern. Dieser Muhe wollen wir uns hier nicht unterziehen, sondern einfach die vernunftige Annahme machen, da k (U ) und sein Dualraum mathematisch sauber deniert werden konnen.) Er hei e k (U ) := k (U ) . Nun erinnern wir an den folgenden, aus der linearen Algebra wohlbekannten Sachverhalt. Sind uns zwei lineare Raume V und W und eine lineare Abbildung A : V ! W gegeben, so haben wir immer auch eine Abbildung A : W ! V der Dualraume durch (A !)(v) = !(Av). Die Abbildung A existiert ungeachtet der Dimension von V und W , sofern nur A wohldeniert ist. Eine interessante Konsequenz ergibt sich, wenn wir V = k (U ) und W = k+1 (U ) setzen und A mit der au eren Ableitung d : k (U ) ! k+1 (U ) identizieren. Es resultiert dann ein Operator d , der (k + 1)-Ketten auf k-Ketten abbildet und durch (d c)(!) = c(d!) deniert ist. Kehren wir jetzt zur Schreibweise von c(!) als Integral zuruck, so haben wir

Z

c

d! =

Z

d c

!:

In andereren Worten: wir erwarten aus ganz allgemeinen Grunden, da das Integral der au eren Ableitung einer k-Form ! uber die (k +1)-Kette c gleich dem Integral von ! uber eine k-Kette d c ist. Es ware a priori denkbar, da d hochpathologische Eigenschaften hat. Da dem nicht so ist, sondern d sich gutartig verhalt und d c mit dem Rand @c von c zusammenfallt, ist die Aussage des folgenden Satzes. (Ende der Motivation.) Satz 0.2 (Allgemeiner Stokesscher Satz). Sei U ein n-dimensionales Gebiet, ! eine k-Form auf U und c eine (k + 1)-Kette in U . Dann ist das Integral der exakten Form d! uber c gleich dem Integral von ! uber den Rand @c:

Z

c

d! =

Z

@c

!:

Bemerkungen. (1) Zur Formulierung von Satz 0.2 hat eine Vielzahl von Mathematikern beigetragen, und er hei t ausfuhrlich der Satz von NewtonLeibniz-Gauss-Green-Ostrogradskii-Stokes-Poincare. Da man ihn heute kurz nach Stokes benennt, ist eine Konvention, die der historischen Entwicklung nicht vollig gerecht wird. (2) Aus der in der Physik traditionellen Vektoranalysis im dreidimensionalen Euklidischen Raum sind drei Spezialfalle von Satz 0.2 bekannt. Es sind dies die Integralsatze fur das Wegintegral des Gradienten einer Funktion, das Flachenintegral der Rotation eines Vektorfeldes

0.17 Allgemeiner Satz von Stokes

49

(\Satz von Stokes") und das Volumenintegral der Divergenz eines Vektorfeldes (\Satz von Gauss"). Beachte allerdings, da Satz 0.2 im Unterschied zu den drei genannten Integralsatzen keinerlei Gebrauch von einer metrischen Struktur (Euklidisch oder anders) macht. Beweis von Satz 0.2. Um Satz 0.2 zu beweisen, ist es wegen der Invarianz des Integrals unter pullback ausreichend, den Beweis fur den Fall zu fuhren, da die Kette c aus einem einzigen (k + 1)-dimensionalen Kubus = (#0 1]k+1 ) in U besteht. Dieser Kubus habe Basispunkt p und Kantenvektoren se1 ::: sek+1 (s 2 R): : #0 1]k+1 ! U P +1 t e : (t1 ::: tk+1 ) 7! p + s kj=1 j j Der Kubus la t sich in viele kleine Teilkuben i (i = R1 ::: N k+1 ) partitionieren, siehe Abb. 0.23, und per Linearitat von Integral und Randoperator @ gilt

Z

d! =

XZ

i

i

d!

und

Z

@

!=

XZ

@ i

i

!:

φ s e2

γ:

:

s e1 N Stucke

Abbildung 0.23.

p

Zum Beweis von Satz 0.2 reicht es daher, den reellen Zahlenfaktor s klein zu wahlen und alle Integrale in fuhrender Approximation in s zu berechnen. Der Rand @ besteht aus 2(k +1) Kuben 1 ::: k+1 1 0 :::, k+1 0 der Dimension k. Der k-Kubus j (j 2 f1 ::: k + 1g) hat Basispunkt p und Kantenvektoren se1 :::, sej;1 sej+1 ::: sek+1 , der k-Kubus j 0 hat Basispunkt p + sej und dieselben Kantenvektoren wie j . Wir betrachten jetzt speziell j = 1. Unter Berucksichtigung der Orientierung von 1 und 1 0 haben wir per Denition des Integrals die Formel

50


Z 1 + 1 0

!=

Z 1 Z 1 0

:::

0

!p+se1 +s Pi>2 ti ei ;

!p+s Pi>2 ti ei (se2 ::: sek+1 ) dtk+1 ::: dt2 :

P

Die Dierenz !p+se1 +sv ; !p+sv (mit v = i>2 ti ei ) wird in fuhrender Approximation durch (Dp !)(se1 ) genahert. Nach dieser Naherung sind die Integrale uber t2 ::: tk+1 trivial, und ihre Ausfuhrung ergibt

Z

1 + 1

;

! = sk+1 (Dp !)(e1 ) (e2 ::: ek+1 ) + O(sk+2 ) : 0

Das Integral von ! uber j + j 0 fur j 2 f2 ::: k + 1g wird analog berechnet. Aufsummieren aller Randintegrale fuhrt zu dem Zwischenergebnis

Z

@

!=

kX +1 Z

j =1 j + j 0

!=

kX +1 ; k +1 s (;1)j;1 (Dp !)(ej ) (e1 ::: ej;1 ej+1 ::: ek+1 ) + O(sk+2 ) : j =1

Der Ausdruck auf der rechten Seite la t sich, wie man durch Vergleich mit der Denition der au eren Ableitung in Abschn. 0.11 sieht, auch folgenderma en schreiben: Z ! = sk+1 (d!)p (e1 ::: ek+1 ) + O(sk+2 ) : @

Damit ist Satz 0.2 bewiesen, denn die rechte Seite der letzten R Gleichung ist gerade gleich der fuhrenden Approximation fur das Integral d!.

0.18 Lie-Ableitung Gegeben sei auf einem Gebiet U An ein Vektorfeld X : U ! Rn a 7! X (a) : Der Flu des Vektorfeldes, : U R ! U , (a s) 7! s (a) wird bestimmt durch die Dierentialgleichung 1. Ordnung d (a) = X ( (a)) s ds s mit der Anfangsbedingung s=0 = id. Insbesondere gilt d (a) = X (a) : ds s s=0

0.18 Lie-Ableitung

Beispiel 0.18.1.

51

In der klassischen Mechanik hat man das Hamiltonsche Vektorfeld H = ( )q ( ) p . Die Gleichung _ t ( ) = ( t ( )) ist in diesem Fall eine andere Schreibweise f ur die kanonischen Bewegungsgleichungen _= und _ = . Der Flu (mit gleich der Zeit ) beschreibt dann die dynamische Zeitentwicklung. F ur den harmonischen Oszillator = ( 2 + 2 ) 2] ist = q und p t ist eine Drehung in der -Ebene (Phasenraum) um den Drehwinkel 2 ( ist die Oszillatorperiode).

X

q @H=@p H qp

p

@H=@p @ ; @H=@q @

a

p @H=@q

q =

X p@ ; q@

s

X a

t

t=T T Denition 0.9 (Lie-Ableitung). Ist ! eine k-Form und s der Flu des Vektorfeldes X , dann wird die Lie-Ableitung LX ! von ! deniert durch d ! : LX ! := ds s s=0 Interpretation. ``Fischer-Ableitung''... Die Lie-Ableitung einer Funktion f fallt mit der Richtungsableitung: zusammen: d f = d ;f = (df )(X ) = (i d)f : LX f = ds s s=0 X s s=0 ds

Satz 0.3 (Hauptsatz der Cartanschen Dierentialrechnung).

LX = iX d + d iX : Beweisskizze. 1. Man zeigt zunachst, da LX eine Derivation der Algebra von Dierentialformen ist, d.h. der Leibnizregel genugt: d ( ^ ) LX ( ^ ) = ds s s=0 d = ds (s ^ s ) s=0 = (LX ) ^ + ^ (LX ) : 2. Dann beweist man durch explizites Rechnen und Anwenden der Produktregeln fur die Cartan-Ableitung und das innere Produkt, da iX d + diX ebenfalls eine Derivation ist. 3. Wegen 1. und 2. genugt der Nachweis des Hauptsatzes fur Funktionen f und 1-Formen dg: a) iX f := 0 ) LX f = iX df = (iX d + diX )f : b) d (dg) = d d ( g) LX (dg) = ds s=0 ds s s=0 s = d (iX dg) = (d iX ) (dg) = (diX + iX d) (dg) : Beispiel 0.18.2. Ein Geschwindigkeitsvektorfeld v mit Flu ft g beschreibe eine zeitunabhangige Stromung, die elektrische Ladungen mit sich tragt und auf diese Weise eine Stromdichte j bewirkt: Es folgt eine Relation fur die Ladungsdichte :

52

0. Mathematische Grundlagen D φt,p (u3 ) D φt,p (u2 )

Fluss u2

u3

φt (p) p u1

D φt,p (u1 )

Abbildung 0.24.

;

p (u1 u2 u3 0) = t (p) Dtp (u1 ) : : : t ; oder kurz p (: : : 0) = t p (: : : t). Dierenzieren nach der Zeit ergibt d @ 0 = @t t=0 + dt t t=0 oder _ + Lv = 0. (In dieser dierentiellen Form ist die Gleichung auch fur zeitabhangige Vektorfelder und beliebige Zeiten gultig.) Mit Lv = (div + iv d) = d(iv ) und iv = j (Stromdichte) folgt dann die Kontinuitatsgleichung _ + dj = 0 (siehe Abschn. 1.2). Beispiel 0.18.3.

Induktion in einer bewegten Schleife

0.19 Stromformen und Stromlinien Motivation. In der Physik begegnen wir zuweilen Funktionen und Dierentialformen, die Singularitaten aufweisen. Zum Beispiel ist die elektrische Flu dichte eines punktformigen geladenen Teilchens singular am Ort des Teilchens. Die Cartan-Ableitung einer solchen Dierentialform ist a priori nicht deniert, was den unangenehmen Eekt hat, das Rechnen recht beschwerlich zu machen. Beim Integrieren geht man typisch so vor, da man eine Umgebung der Singularitat aus dem Integrationsgebiet herausschneidet, was im Falle einer nachfolgenden Anwendung des Satzes von Stokes zu Randtermen fuhrt, die dann sorgfaltig diskutiert werden mussen. (Mehrere Beispiele solchen Vorgehens nden sich im Kapitel uber ElektroMagnetostatik.) Die hier anzukundigende gute Nachricht lautet, da derlei Umstandlichkeiten vermieden werden konnen, indem man den mathematischen Rahmen wie unten beschrieben erweitert. Die Erweiterung hat noch einen zweiten wichtigen Zweck: sie suggeriert die Idee, Dierentialformen durch Ketten zu approximieren, was fur die Visualisierung des elektromagnetischen Feldes sehr hilfreich ist. Insbesondere werden wir in die Lage versetzt, die magnetische und elektrische Flu dichte im dreidimensionalen Raum durch magnetische bzw. elektrische Flu linien

0.19 Stromformen und Stromlinien

53

veranschaulichen zu konnen. Im Unterschied zu den \Feldlinien" klassischer Texte zeichnen sich Flu linien durch eine invariante und metrikfreie Bedeutung aus, die auch der U bertragung zur relativistischen Formulierung im Minkowski-Raum standhalt. Distributionen. An den Anfang stellen wir eine kurze Skizze des mathematischen Hintergrundes. In einem n-dimensionalen Raum (bei unseren limitierten Vorkenntnissen hat dies der Rn oder An zu sein, allgemeiner wurde man eine n-dimensionale dierenzierbare Mannigfaltigkeit zugrundelegen) betrachten wir die Menge der Funktionen, die unendlich oft dierenzierbar sind und zudem kompakten Trager haben, d.h. au erhalb eines beschrankten Gebiets identisch verschwinden. Der reelle Vektorraum solcher \Testfunktionen", wie sie hei en, wird (in einer bestimmten, hier nicht naher spezizierten Topologie) mit D bezeichnet. Der Fokus richtet sich nun auf den Dualraum D0 , namlich den Vektorraum der stetigen linearen Abbildungen D ! R. Die Elemente von D0 hei en Distributionen. Als prominentes Beispiel fur eine Distribution sei die Abbildung angefuhrt, welche jeder Testfunktion f ihren Funktionswert im Punkt p zuweist: (p) : f 7! f (p) =: (p) #f ] : Sie hei t nach ihrem Physiker-Ernder die Diracsche -Distribution bzgl. p. Der Kalkul mit Distributionen wurde von dem franzosischen Mathematiker L. Schwartz initiiert und entwickelt. Er zeigte, da sich fast alle in der Analysis gebrauchlichen Operationen auf Funktionen in sinnvoller Weise auf Distributionen ubertragen lassen. Zum Beispiel wird die partielle Ableitung einer Distribution T : f 7! T #f ] durch @ i @xi T #f ] := ;T #@f=@x ] sinnvoll erklart. Wir werden dieses Thema hier nicht elaborieren. Die fur die Elektrodynamik benotigten Objekte sind ja die Dierentialformen (anstelle der Funktionen), denen wir uns nun zuwenden. Stromformen. Die Erweiterung der Schwartz'schen Theorie zu den Dierentialformen wurde von de Rham vorgenommen. Ihm folgend bezeichnen wir den Vektorraum der \Testformen", d.h. jener Dierentialformen, deren Koezienten Testfunktionen sind, wieder mit D (beachte die A nderung der Bedeutung des Symbols). Der Vektorraum D wird durch den Grad k der Dierentialformen graduiert: D = nk=0 k , d.h. k ist der Vektorraum der k-Formen in D. Wenden wir uns nun wieder dem Dualraum D0 zu. Dieser besteht aus den stetigen linearen Abbildungen T : D ! R, ! 7! T #!]. Durch die Graduierung von D und die Paarung von D mit D0 wird naturlich eine Graduierung D0 = nl=0 l induziert. Per Konvention ordnet man den Grad in D0 so zu, da T 2 n;k auf dem Komplement von k in D Null ist oder, anders ausgedruckt, n;k ist mit k gepaart. Sollten diese abstrakten Begrisbildungen nicht auf Anhieb einleuchten, werden die folgenden Beispiele

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helfen. (Bedeutungswechsel von k (U ) gegenuber fruher?) Beispiel 1: eine k-Kette c. Wie wir ja inzwischen gut verstehen, lassen sich k-Formen uber eine k-Kette c integrieren, was eine stetige lineare Abbildung c : k ! R,

Z

c#!] := ! c

also ein Element c 2 n;k , deniert. Beispiel 2: eine (n ; k)-Form . Wir konnen eine k-Form ! 2 k nehmen, das au ere Produkt mit bilden und die resultierende n-Form uber den gesamten n-dimensionalen Raum integrieren. (Die Existenz des Integrals wird durch die Kompaktheit des Tragers von ! guarantiert.) So bekommen wir wieder eine stetige lineare Abbildung : k ! R, durch

Z

#!] := ^ ! : Dem Leser konnte aufgesto en sein, da wir den Elementen von n;k noch keinen Namen gegeben haben. Nun, de Rham nennt sie \Strome" (franz. \courants") vom Grad n ; k. Er denkt dabei an den physikalischen Prototypen der ersten Beispielklasse fur k = 1, namlich die 1-Kette der elektrischen Stromlinien eines bewegten Systems von Punktladungen. Vom Standpunkt des Physikers, insbesondere des Elektrodynamikers, ist diese Wortwahl etwas unglucklich, da der Name \Strom" bereits an eine spezielle physikalische Gro e vergeben ist. Aber gegen den \Strom" der etablierten Nomenklatur anzuschwimmen ist aussichtslos, und wir mussen uns deshalb mit dem Kompromi Stromformen abnden. Au erer Kalkul mit Stromformen. Kurz gesagt lassen sich praktisch alle fur Dierentialformen erklarte Operationen auf die Stromformen ubertragen: das innere Produkt mit einem Vektorfeld, das au ere Produkt mit Dierentialformen, die Operation des Zuruckholens mittels einer Abbildung, der Hodgesche Sternoperator und die Cartan-Ableitung. In allen Fallen geschieht die U bertragung durch naturliche Transposition von D nach D0 , und zwar mit derjenigen Wahl des Vorzeichens, welche die resultierende Operation fur den Spezialfall einer Dierentialform (anstelle einer allgemeinen Stromform) genau so wirken la t wie gehabt. Es genuge die Illustration dieses Prinzips am Beispiel der au eren Ableitung. Fur jede Dierentialform ! 2 n;k;1 und eine k-Form gilt

Z

d ^ ! = ;(;1)k

Z

^ d! :

Der sonst beim partiellen Integrieren entstehende Randterm fehlt hier infolge des kompakten Tragers von !. Dementsprechend erklart man die CartanAbleitung eines beliebigen Elementes T 2 k durch dT #!] := ;(;1)k T #d!] :


55

Da d : n;k;1 ! n;k wohldeniert ist, bekommt man auf diese Weise eine sinnvolle Operation d : k ! k+1 . Was ergibt nun letztere auf einer (n ; k)-Kette c 2 k ? Die Antwort folgt aus dem Satz von Stokes,

Z

dc#!] = ;(;1)k c#d!] = (;1)k+1 d! = ;(;1)k c

Z

@c

!

und sie lautet dc = ;(;1)k @c. Fassen wir also eine (n ; k)-Kette als Stromform in k auf, so ist die au ere Ableitung der Kette (bis auf k + 1 Minuszeichen) gleich ihrem Rand. ...Andere Operationen: T #!] := T #!] (Transformationsverhalten unter Abbildung ) T ^ #!] := T # ^ !] (Dachprodukt mit Dierentialform ) ?T #!] := (;1)deg(T )(n;deg(T )) T #?!] (Sternoperator) iv T #!] := ;(;1)deg(T ) T #iv !] (inneres Produkt mit Vektorfeld v) Beispiel 0.19.1. Als einfaches und doch instruktives Beispiel mu nochmal (a) , die Raumwinkel-2-Form bzgl. a 2 E3 , herhalten. Im Punkt a ist (a) nicht dierenzierbar (auf E3 n fag ist (a) bekanntlich geschlossen, doch die Koezienten der Dierentialform divergieren bei Annaherung an a wie das inverse Quadrat des Abstandes), weshalb (a) sicher nicht in 2 (E3 ) liegt. Da R aber das Integral (a) ^ ! fur alle ! 2 1 (E3 ) wohldeniert ist, konnen wir den Raumwinkel problemlos als Stromform (a) 2 2 (E3 ) ansehen und als solche auch sinnvoll dierenzieren! Was ist nun in diesem wohlverstandenen Sinn die Cartan-Ableitung d (a) 2 3 (E3 )? Eine kurze Rechnung enthullt die Antwort: Z Z @f ( a ) ( a ) d #f ] = ; ^ df = ; @r dra ^ (a) a 1 Z2Z 0Z1 @F @ =; (ra a 'a )dra A sin a da d'a 0 0 0 Z2Z

= f (a)

0 0

@ra

sin dd' = 4f (a) = 4(a) #f ] :

Was auf der rechten Seite entstanden ist, erkennen wir als die Dirac--Distribution bzgl. a, aufgefa t als Stromform (a) 2 3 (E3 ). Dieses Resultat, d (a) = 4(a) ist insbesondere in der Elektrostatik von einigem Nutzen. Veranschaulichung der Operationen auf Differentialformen (nicht nur Cartan-Ableitung, sondern auch inneres und aueres Produkt, und Sternoperator) durch die entsprechenden Operationen auf Ketten. Das auere Produkt ist nat urlich wieder der Durchschnitt der Ketten, beim inneren Produkt ben utzt man das einzusetzende Vektorfeld, um den Grad der Kette zu

56


erh ohen (aus Linien werden Fl achen usw.), und der Sternoperator angewendet auf eine Fl ache produziert die orthogonalen ``Haare'' der Fl ache usw.

Regularisierung. Die Einsicht, da k-Ketten und (n ; k)-Formen Elemente ein und desselben Vektorraums D0 sind, schuf die Grundlage fur de Rhams zelebrierte Beweisarbeit zur Theorie dierenzierbarer Mannigfaltigkeiten und ihrer topologischen Invarianten. Uns suggeriert sie die Idee, Ketten durch Formen zu approximieren und umgekehrt. Da ein solches Bestreben Aussicht auf Erfolg hat und k-Ketten durch glatte (n ; k)-Formen tatsachlich beliebig gut angenahert werden konnen, davon uberzeugt man sich anhand einiger Beispiele. Lassen Sie uns die xy-Ebene, die z -Achse und den Koordinatenursprung im E3 als Stromformen 2 1(E3 ) bzw. 2 2 (E3 ) bzw. o 2 3 (E3 ) auassen. Die folgenden drei Grenzwerte fur f 2 0 (E3 ), 2 1 (E3 ) und ! 2 2 (E3 ) pruft man leicht nach:

Z

;83;1 fe;px2 +y2+z2=dx ^ dy ^ dz o#f ] := f (o) = lim !0

#] := #!] :=

Z

z;Achse

Z

;1 = lim !0 ()

xy;Ebene

Z

e;(x2+y2 )=dx ^ dy ^

Z = ! = lim !0 2 + z 2 dz ^ ! :

Charakteristisch fur die Integranden auf der rechten Seite ist das Auftreten einer durch parametrisierten Familie von Funktionen (hier vom Exponential, Gau - bzw. Cauchy-Typ), deren \Trager" im Limes ! 0 auf die Spur (definiert?) der entsprechenden Kette zusammenschrumpft. Die -abhangigen Normierungsfaktoren wurden so gewahlt, da die (3 ; k)-dimensionale, zur Spur der k-Kette transversale Integration in jedem Punkt der Spur genau Eins ergibt. Auf diese Weise konvergiert fur ! 0 das Raumintegral auf der rechten Seite gegen das k-dimensionale Integral uber die k-Kette. Wir sagen, die Familie von approximierenden Dierentialformen sei eine Regularisierung der als Stromform aufgefa ten Kette. Eine solche Regularisierung existiert immer. (Jede Kette, und allgemeiner jede Stromform, kann durch innitesimales \Verschmieren" glatt gemacht werden. Diese Behauptung wurde in einem mathematisch sauber denierten Sinn von Schwartz und de Rham bewiesen.) Die Regularisierung ist oensichtlich nicht eindeutig, wie durch die unterschiedliche Wahl der regularisierenden Familie von Funktionen in den Beispielen illustriert wird. Eindeutig ist lediglich der Limes (die Stromform), gegen den die Approximation fur ! 0 konvergiert. Diskretisierung. Oben haben wir \Diskretes" durch \Kontinuierliches" approximiert: durch die Ma nahme der Regularisierung wurde aus einer k-Kette (oder allgemeiner: einer Stromform T 2 n;k ) eine kontinuierliche Dierentialform. Interessant ist auch der umgekehrte Weg (\Diskretisierung") von


57

der glatten Dierentialform zur \diskreten" Kette. Zum Beispiel konnen wir eine kontinuierliche Ladungsdichte im E3 durch eine Verteilung von Punktladungen Qi and Orten pi (i = 1 ::: N ) annahern. Dazu plazieren wir in Raumbereichen mit hoher Ladungsdichte viele (oder gro e) Punktladungen, in Raumbereichen mit geringer Ladungsdichte wenige (oder kleine). Das Integral von gegen eine Testfunktion 2 0(E3 ) wird dann durch

Z

= #] '

Z N X i=1

Qi

pi

:=

N X i=1

Qi (pi )

P

approximiert. Der 3-Form entspricht also die 0-Kette i Qi pi . Um die Approximation zu verbessern, machen wir N gro er und verfeinern das System von Punktladungen entsprechend. Ganz ahnlich konnen wir versuchen, eine kontinuierliche Stromdichte j im E3 durch eine Verteilung von Stromen Ii langs Stromlinien i (i = 1 ::: N ) zu beschreiben. Wo die Stromdichte hoch ist, plazieren wir wieder viele Stromlinien (oder wahlen die Strome gro ), wo die Stromdichte niedrig ist, dorthin legen wir wenige Stromlinien (oder kleine Strome). Das Integral von j gegen eine 1-Testform A wird dann durch

Z

j ^ A = j #A] '

N Z X i=1

Ii

i

A

P

ersetzt. Der 2-Form j entspricht also die 1-Kette i Ii i . Um die Approximation zu verbessern, machen wir wieder N gro er und verfeinern das System von Stromlinien. Allgemeiner konnen wir auf die beschriebene Weise jede n-Form im ndimensionalen Raum durch eine 0-Kette approximieren, jede (n ; 1)-Form durch eine 1-Kette usw. Eine solche Diskretisierung ist fur didaktische Zwecke nutzlich, weil 1-Ketten sich leichter visualisieren lassen als (n ; 1)-Formen. Beispiel 0.19.2. Wir wollen uns uberlegen, wie die Veranschaulichung der auf den Koordinatenursprung o bezogenen Raumwinkel-2-Form durch eine 1Kette aussieht. In Kugelkoordinaten r ' haben wir R= sin d ^ ' und ^ = ^ r dr ( 2 1 (E3 )). Das Integral #] = ^ testet also nur die Radialkomponente r von . Folglich haben die \Stromlinien" der Stromform in Radialrichtung zu liegen. Als Randpunkt fur die Stromlinien kommt wegen d = ;@ = 4(o) nur der Koordinatenursprung o in Frage. Unter Berucksichtigung des richtigen Vorzeichens sind die Stromlinien von dann Halbachsen oder Strahlen i , die im Punkt o beginnen und sich bis ins Unendliche erstrecken. Da = r;2 @r (dx ^ dy ^ dz ) drehinvariant ist, sind die Strahlen (so gut sich das bei einer endlichen Anzahl einrichten la t) isotrop anzuordnen. Damit der Rand richtig herauskommt (@ = ;4(o)), bekommt jeder Strahl das Gewicht 4=N : N X 4 ' N i : i=1

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Abbildung: Veranschaulichung der Raumwinkel-2-Form als isotrope Schar von Strahlen, die im Ursprung beginnen und sich bis ins Unendliche erstrecken. Jeder der Strahlen tr agt das Gewicht 4 .

o N =N Aufgabe 0.19.1. Zeige, da das Integral von uber eine Flache S im Stromlinienbild durch 4=N mal der Zahl der S durchsto enden Strahlen approximiert wird.

0.20 Laplace-Operator Laplace-Operator auf Funktionen und 1-Formen im E3 . Der Laplace-Operator 4 auf den Funktionen im dreidimensionalen Raum wird in kartesischen Koordinaten x y z bekanntlich durch 2

2

2

4f = @@xf2 + @@yf2 + @@zf2

dargestellt. In der Elektrodynamik haben wir es hauptsachlich mit Dierentialformen zu tun. Man wu te daher gerne, wie der Laplace-Operator im au eren Kalkul aussieht. Von einer nutzlichen Verallgemeinerung z.B. auf 1-Formen im E3 wird man verlangen 4 (Ax dx + Ay dy + Az dz ) = (4Ax)dx + (4Ay )dy + (4Az )dz : Die Frage ist nun, ob ein solcher Operator existiert und in sinnvoller, d.h. koordinatenunabhangiger Weise deniert werden kann. Die Antwort lautet ja. Dazu bringen wir zunachst den Ausdruck fur 4 : 0 (E3 ) ! 0 (E3 ) in koordinatenfreie Form. Eine kleine Rechnung, @f @f @f ? d ? df = ? d @x dy ^ dz + @y dz ^ dx + @z dx ^ dy @2f @2f @2f = @x2 + @y2 + @y2 ? (dx ^ dy ^ dz ) = 4f zeigt, da 4 auf den Funktionen im E3 mit ? d ? d ubereinstimmt. Wahrend die au ere Ableitung d den Grad einer Dierentialform um Eins erhoht, hat die Verkettung ?d? die Eigenschaft, den Grad um Eins zu erniedrigen: ? 2;k (E ) ;! d 3;k ? k (E ) : k+1 (E3 ) ;! (E3 ) ;! 3 3 Im nachsten Schritt untersuchen wir die Wirkung des Dierentialoperators ? d ? d auf den 1-Formen im E3 . Die Operatoren d und ? sind linear und drehinvariant, weshalb es ausreicht, 1-Formen von der speziellen Gestalt f dx zu betrachten. In diesem Fall nden wir @f ? d ? d(f dx) = ? d @f @z dy ; @y dz

@ 2 f dz ; @ 2 f dx ; @ 2 f dx + @ 2 f dy : = @x@z @z 2 @y2 @x@y

0.20 Laplace-Operator

59

Zu dem fur den Laplace-Operator erwarteten Resultat fehlt oenbar noch etwas. Was hier fehlt, ist nicht schwer zu sehen es ndet sich in d ? d ? (f dx) = d ? @f d x ^ d y ^ d z @x 2 @ 2 f dy + @ 2 f dz : = @@xf2 dx + @y@x @z@x Durch Substraktion der Gleichungen nden wir (; ? d ? d + d ? d ? ) (f dx) = (4f )dx wie gewunscht. Insgesamt haben wir also die beiden folgenden Formeln fur den Laplace-Operator: 4 auf Funktionen im E3 : 4 = ? d ? d 4 auf 1-Formen im E3 : 4 = ; ? d ? d + d ? d ? : Wir sehen, da in die koordinatenfreie Formulierung des Laplace-Operators die metrische Struktur des Raumes in wesentlicher Weise eingeht. Es ist nun zweckma ig, einen Operator : ! 7! (;1)k ? d ? ! einzufuhren, der k + 1Formen auf k-Formen abbildet. Dieser Operator hei t kurz die Ko-Ableitung. Mit ihm konnen wir den Laplace-Operator in der einheitlichen Form 4 = d + d schreiben. (Der zweite Term in 4 verschwindet auf den Funktionen f wegen f 2 0;1 (E3 ) = 0.) Aufgabe 0.20.1. Im dreidimensionalen Euklidischen Raum existiert neben dem Gradienten (grad) und der Divergenz (div) auch der Vektordierentialoperator der Rotation (rot) siehe Abschn. 0.11. Drucke hiermit den LaplaceOperator auf Funktionen bzw. 1-Formen folgenderma en aus: 4 auf 0(E3 ) : 4 = div grad 4 auf 1(E3 ) : 4 = I (;rot rot + grad div) I ;1 : Allgemeine Formel fur die Koableitung. Der Dierentialoperator hat die folgende allgemeine Bedeutung. Sei U An ein n-dimensionales Gebiet mit Sternoperator ? : k (U ) ! n;k (U ). Wir denieren das Skalarprodukt zweier k-Formen !1 und !2 auf U durch (!1 j!2 )U =

Z

U

!1 ^ ?!2 :

Dieses Skalarprodukt ist symmetrisch, (!1 j!2 )U = (!2 j!1 )U , und in beiden Argumenten linear. (Unter Vorgabe einer Euklidischen Struktur auf U En ist es auch noch positiv denit, worauf es hier aber nicht ankommt.) Nun ist es bequem, den Raum der Dierentialformen vorubergehend dadurch einzuschranken, da ihr Verschwinden auf dem Rand @U verlangt wird. Fur eine k-Form und eine (k ; 1)-Form folgt dann durch partielle Integration

60


Z

;( jd)U = ; d ^ ? U

= (;1)k;1

Z

^d? =

Z ; (;1)k;1 ?;1 d ? ^ ?

U U wobei wegen @U = 0 = @U kein Randterm entstand. Wir denieren jetzt

den Operator als die Abbildung : k (U ) ! k;1 (U ) ! 7! ! = (;1)k;1 ?;1 d ? ! Die Motivation fur diese allgemeine Denition ist, da mit ihr die Relation ;( jd)U = ( j)U gilt, d.h. ist bzgl. des Skalarprodukts (mit der geforderten Randbedingung) zu ;d adjungiert. Aus d d = 0 folgt = 0. Im E3 , wo ? mit seinem Inversen ?;1 zusammenfallt, reduziert sich die allgemeine Denition von auf die anfangs gegebene. Denition 0.10. Der Laplace-Operator 4 : k (U ) ! k (U ) ist erklart durch 4=d+d : Aufgabe 0.20.2. Zeige die folgenden Eigenschaften des Laplace-Operators: (1) 4d = d4 (2) 4 = 4 (3) ? 4 = 4? (4) (!1 j4!2)U = (4!1j!2 )U + Randterme: Satz 0.4. Sei dx1 ::: dxn eine Basis von Koordinatendierentialen mit

(dxi dxj )p = gij

unabhangig von p. Dann gilt fur die Wirkung des Laplace-Operators auf eine k-Form ! mit Koordinatendarstellung X ! = !i1 :::ik dxi1 ^ ::: ^ dxik die Formel X 2 1:::lk l1 lk 4! = gij @@x!il@x j dx ^ : : : ^ dx :

Beweisskizze. Mit der Dualbasis der Vektorfelder ei = @i (p) sind uns P Projektoren i (i = 1 ::: n) auf den Vektoren durch i v = i j vj ej = vi ei gegeben. Hiermit denieren wir Operatoren di : k (U ) ! k+1 (U ) durch

(di !)p (v(0) ::: v(k) ) =

k X j =0

(;1)j (Dp !)(i v(j) ) (v(0) ::: v^(j) ::: v(k) ) :

0.20 Laplace-Operator

61

Diese Operatoren P antivertauschen miteinander (di dj = ;dj di), und ihre Summe ergibt i di = d (au ere Ableitung). Auf die k-Form ! mit der angegebenen Koordinatendarstellung wirken sie wie folgt: X@ i l1 lk di ! = ! i l1 :::lk dx ^ dx ^ ::: ^ dx : @x l1 :::lk

Der zu ;di (formal) adjungierte Operator i : k (U ) ! k;1 (U ) ist i = (;1)k;1 ?;1 di ? (i = 1 ::: n). AuchPdiese Operatoren antivertauschen (i j = ;j i ), und ihre Summe ergibt i i = . Ihre Wirkung in Koordinatendarstellung ist X@ ;1 i l1 lk i ! = ! i l1 :::lk I (dx ) (dx ^ ::: ^ dx ) @x l1 :::lk wie sich mit der Behauptung von Aufg. 0.7.5 P verizieren la t. Mit Hilfe der Formeln fur di und i und mit I ;1 (dxi ) = j gij @j zeigt man ohne Muhe X X 2 1:::lk l1 lk (i dj + dj i )! = gij @@x!il@x j dx ^ ::: ^ dx : ij

Andererseits gilt X (i dj + dj i ) = d + d = 4 ij

womit die Behauptung des Satzes folgt.

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1. Prinzipien des Elektromagnetismus

1.1 Mathematischer Rahmen und Masystem Ziel dieses ersten Kapitels ist es, { im Stile Sommerfelds1 { das elektromagnetische Feld einzufuhren, die fundamentalen Gleichungen der elektromagnetischen Theorie zu formulieren und Vorschriften anzugeben, wie sich die Feldgro en zumindest im Prinzip (d.h. per Gedankenexperiment) messen lassen. Dabei wird vieles notgedrungen unvollstandig bleiben. Einige Gleichungen werden wir ohne weitere Erlauterung einfach postulieren. Die Richtigkeit der Postulate folgt aus den Konsequenzen fur experimentell beobachtbare Gro en, die wir in den darauolgenden Kapiteln aus den Grundgleichungen ableiten. Den Kap. 1-?? liegt der dreidimensionale Euklidische Raum E3 als Modell fur den physikalischen Raum zugrunde. Der Zeit wird in diesen Kapiteln eine Sonderrolle zugewiesen, was die volle Schonheit und relativistische Kovarianz der elektromagnetischen Theorie zwar verschleiert, aber den didaktischen Vorteil eines intuitiveren und leichteren Zugangs fur den Studenten hat. Wir fassen kurz die wichtigsten Strukturen, Bezeichnungen und Rechenregeln zusammen, von denen wir dann im folgenden ausgiebig Gebrauch machen werden. Der Raum der Dierentialformen k-ten Grades (k = 0 1 2 3) auf E3 hei t k (E3 ). Hier sind auch die ungeraden Differentialformen zu erw ahnen. Auf dem Dierenzvektorraum von E3 ist ein Skalarprodukt h i erklart. Hierdurch wird ein kanonischer Isomorphismus I bestimmt, der Vektorfelder auf 1-Formen abbildet. h i induziert ein Skalarprodukt ( ) : k (E3 ) k (E3 ) ! 0 (E3 ). E3 wird in der konventionellen Weise durch die Rechte-Hand-Regel fur Tripel von Vektoren orientiert, was in Verbindung mit ( ) einen Sternoperator ? : k (E3 ) ! 3;k (E3 ) bestimmt. ? ist unter Euklidischen Bewegungen invariant. Die Wahl eines kartesischen Koordinatensystems (o e1 e2 e3) zeichnet drei Koordinatenformen dx = dx1 , dy = dx2 und dz = dx3 aus. ? wirkt auf sie { wie auch auf jede andere lokal orthonormale und rechtshandige Basis { in der folgenden Weise: ?dx = dy ^ dz , ?dy = dz ^ dx und ?dz = dx ^ dy. Da die Zeitvariable t in den Kap. 1-5 separat behandelt wird, meint "d\ hier immer die "raumliche\ 1

A. Sommerfeld, Elektrodynamik (Vorlesungen uber theoretische Physik, Band III), Dietrich'sche Verlagsbuchhandlung, Wiesbaden 1948

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Cartan-Ableitung. Die partielle Zeitableitung einer Dierentialform ! wird mit !_ = @!=@t bezeichnet.

Eine detaillierte Einf uhrung in die hier ben otigten mathematischen Grundlagen wird in Abschn. 0.1 bis 0.15 gegeben.

Zum Ma system. Fur die quantitative Buchfuhrung bei der Beschreibung rein mechanischer Vorgange reicht ein Ma system aus, das auf den fundamentalen Einheiten von Masse (Kilogramm), Lange (Meter) und Zeit (Sekunde) beruht. Mit der Erweiterung auf elektromagnetische Phanomene kommt als neue und unabhangige Qualitat physikalischer Korper ihre elektrische Ladung hinzu. Es ist unter Theoretikern beliebt, die Ladung zu \mechanisieren\ und sie in den Einheiten von Masse1=2 Lange3=2 Zeit;1 anzugeben. Dieser Praxis konnen wir uns nicht anschlie en. Wir folgen dem im Jahre 1948 von einer internationalen Kommission empfohlenen Standard ("SI-Ma system\), nach dem Ladungen in Einheiten von Coulomb gemessen werden. Die Ladungseinheit Coulomb wird im SI-Ma system aus der Stromeinheit Ampere = Coulomb/Sekunde als der grundlegenden elektromagnetischen Einheit abgeleitet.

1.2 Axiom 1: Erhaltung der elektrischen Ladung Die Erfahrung zeigt, da elektrische Ladungen in der mikroskopischen Welt von Atomen und subatomaren Teilchen stets als ganzzahlige Vielfache einer Elementarladung auftreten. So haben das Proton und das Elektron, die zwei Bausteine des Wasserstoatoms, eine dem Betrag nach gleiche und im Vorzeichen verschiedene Ladung von e = 1:602 10;19 Coulomb. Wir beschreiben diesen Sachverhalt mit der Aussage, die elektrische Ladung sei "quantisiert\.2 Die Quantisierung der Ladung macht das Bestimmen des Ladungszustandes zu einer im Prinzip sehr einfachen Aufgabe: um die gesamte Ladung Q(V ) in einem Gebiet V zu ermitteln, mussen wir lediglich die in V enthaltenen positiven und negativen Elementarladungen abzahlen, die Dierenz bilden und mit dem Ladungsquantum e multiplizieren. Nach dem gegenwartigen Stand unseres Wissens haben elementare Ladungstrager wie Elektronen oder Quarks keine raumliche Ausdehnung. Ein treues mathematisches Modell mu te demnach ein System von Ladungen als System strukturloser Punkte beschreiben { jedenfalls solange die Heisenbergsche Unscharferelation der Quantenmechanik au er acht gelassen werden kann. Fur das Thema dieser Vorlesung, namlich elektromagnetische Phanomene der makroskopischen Physik, ist die Punktformigkeit der Ladungen jedoch nicht wesentlich. Wir werden uber die diskrete und punktformige Natur 2 Quarks, die Konstituenten des Protons und anderer Hadronen, tragen 1=3 oder 2=3 der Elementarladung e. U brigens hangt die elektrische Ladung nach den Erkenntnissen der Quantenfeldtheorie als laufende Kopplungskonstante von der Beobachtungsskala ab. Fur die klassische Theorie, die es hier zu entwickeln gilt, hat diese Tatsache aber keine wesentlichen Konsequenzen.

1.2 Axiom 1: Erhaltung der elektrischen Ladung

65

der elektrischen Ladungen meist hinwegsehen und ihre raumliche Verteilung als kontinuierlich betrachten. Ladungsdichte. Wie modellieren wir nun eine kontinuierliche Ladungsverteilung auf mathematisch und physikalisch angemessene Art? Diese Frage fuhrt uns zur elektrischen Ladungsdichte, die wir mit dem Symbol bezeichnen. Sie wird durch die Forderung erklart, da ihr Integral uber ein Gebiet R V mit der in V enthaltenen Gesamtladung Q(V ) ubereinstimmt: Q(V ) = V . Der mathematische Formalismus sagt uns, da die naturlichen Kandidaten furs Integrieren unter den Dierentialformen zu suchen sind. Da die Gesamtladung durch Integration uber dreidimensionale Gebiete zu berechnen ist, konnte ein erster Vorschlag lauten, die Ladungsdichte als 3-Form zu modellieren. Dieser Vorschlag ist akzeptabel, solange wir nicht auf die Orientierung achten (oder Invarianz der Formulierung nur unter orientierungstreuen Transformationen verlangen). Bei sorgfaltigem Hinsehen fallt uns aber auf, da das Integral einer 3-Form die Eigenschaft hat, mit der Orientierung des Gebiets V das Vorzeichen zu wechseln, wogegen die in V enthaltene Gesamtladung von der Orientierung des Gebiets unabhangig ist { sie wird wie gesagt ganz einfach durch Abzahlen der Elementarladungen ermittelt. Um diese Diskrepanz zu beheben, modellieren wir die Ladungsdichte als ungerade 3-Form oder 3-Dichte. Das Integral der Ladungsdichte ist dann automatisch von der Orientierung des Gebiets unabhangig (und la t sich sogar fur nichtorientierbare Gebiete erklaren).3 (a)

(b) S V

Q(V) = ρ V

I(S) = j S

Abbildung 1.1. Zur denierenden Mevorschrift fur (a) die Ladungsdichte und (b) die Stromdichte j . Die positive Stromrichtung ist durch einen Normalenvektor der Flache S gegeben. 3

Traditionell meint man mit dem Begri "Ladungsdichte\ nicht die Dierentialform

an sich, sondern die ihr durch eine Basis von Koordinatenformen dx1 dx2 dx3 zugeordnete skalare Komponente 123 . Als koordinatenfrei denierte Groe ist fundamentaler und nutzlicher als 123 . Wir setzen uns deshalb uber die Tradition hinweg und ubertragen den Namen Ladungsdichte von 123 auf . Eine analoge Bemerkung gilt fur die elektrische Stromdichte j und ihre Komponenten j12 j23 j31 .

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Stromdichte. Die pro Zeiteinheit durch eine Flache S stromende Ladungsmenge hei t der Strom durch S und wird mit I (S ) bezeichnet. Zur quantitativen Beschreibung einer kontinuierlichen Stromverteilung bedient man sich der elektrischen Stromdichte j . Erklart wird sie durch die ForderungR der Gleichheit von I (S ) mit dem Integral von j fur beliebiges S : I (S ) = S j . Da das Integrationsgebiet S zweidimensional ist, ware es mathematisch am naturlichsten, j als Dierentialform zweiten Grades zu denieren. Eine solche Denition fuhrt aber wieder zu Widerspruchen, sobald orientierungsandernde Abbildungen zugelassen werden. Zum Beispiel andert der elektrische Strom unter Raumspiegelung seinen Richtungssinn, wahrend eine gewohnliche 2Form unter derselben Abbildung ihr Vorzeichen beibehalt. Wie schon bei der Ladungsdichte ist auch hier der physikalisch korrekte Ansatz, die Stromdichte als Dierentialform vom ungeraden Typus zu erklaren. Wir modellieren j also als ungerade 2-Form. Das anschauliche Bild fur j besteht dann aus Stromlinien, die mit einem Richtungssinn versehen sind (Abb. 1.1). Man beachte, da es zur Integration der ungeraden 2-Form j keines Orientierungssinnes der Flache S bedarf, sondern lediglich der Angabe einer positiven Stromrichtung (z.B. durch einen Normalenvektor). Koordinatendarstellung und physikalische Dimension. In Koordinatendarstellung schreiben wir = 123 dx1 ^ dx2 ^ dx3 und j = j12 dx1 ^ dx2 + j23 dx2 ^ dx3 + j31 dx3 ^ dx1 : Die Komponenten 123 und j12 j23 j31 sind Funktionen : Raum Zeit ! R. Sie haben die physikalische Dimension # 123 ] = Ladung/Volumen und #j12 ] = #j23 ] = #j31 ] = Strom/Flache. Da die Koordinaten-1-Formen dxi (i = 1 2 3) die Dimension einer Lange tragen, haben wir fur und j die "absoluten\ physikalischen Dimensionen

# ] = Ladung und #j ] = Strom : Da und j von der Wahl der Langeneinheit unabhangig sind, folgt unmittelbar aus ihrer Denition. Betrachten wir zum Beispiel die denierende GleiR chung Q(V ) = V . Die linke Seite wird (auf mikroskopischer Ebene) durch Abzahlen von Elementarladungen berechnet, die rechte Seite verwendet Einsetzen von Vektoren in alternierende Multilinearformen und Berechnung von Riemannschen Summen. Keine dieser Operationen erfordert Langen- oder Winkelmessung. ist also, wie wir sagen, metrikfrei erklart. Das gleiche gilt fur j . Kontinuitatsgleichung. Es ist eine Erfahrungstatsache, da elektrische Ladung nicht plotzlich aus dem Nichts auftaucht oder ins Nichts verschwindet. Zwar konnen in elementaren Prozessen Ni Teilchen in Nf andere Teilchen umgewandelt werden, aber dies geschieht immer so, da gleich viel positive wie negative Ladung erzeugt oder vernichtet wird. Wir sagen daher, Ladung

1.3 Konsequenzen der Ladungserhaltung: die inhomogenen Maxwell-Gleichungen γ e+ eγ

Abbildung 1.2. In der Quantenelektrodynamik konnen Paare von Elektronen (e; ) und Positronen (e+) aus einem Photon ( ) erzeugt werden oder sich unter Bildung eines Photons vernichten. Die elektrische Ladung bleibt dabei erhalten.

sei erhalten. Ihren mathematischen Ausdruck ndet diese Gesetzma igkeit in der sogenannten Kontinuitatsgleichung: Z Z @ Axiom 1 : @t + j = 0 : V @V Sie besagt in Worten, da die zeitliche A nderung der in einem Gebiet V enthaltenen Ladungsmenge mit einem dem Betrag nach gleichen und im Vorzeichen umgekehrten Stromu durch den Rand von V einhergehen mu . Wir konnen diesen Sachverhalt auch als dierentielles Gesetz formulieren. Der Stokessche Satz R gestattet uns, das Flachenintegral von j uber @V in das Volumenintegral V dj umzuformen. Da V beliebig ist, folgt _ + dj = 0 oder in Koordinatendarstellung 23 @j31 @j12 _123 + @j @x1 + @x2 + @x3 = 0 : Wir haben das Gesetz der Ladungserhaltung diesem Kapitel vorangestellt, weil es am Anfang der historischen Entwicklung der Elektrizitatslehre steht und, wie wir gleich sehen werden, die Form der inhomogenen MaxwellGleichungen festlegt. Aufgabe 1.2.1. Die lokale Stromungsgeschwindigkeit in einem einkomponentigen Plasma, z.B. einem Elektronengas, werde durch ein Vektorfeld v : Raum Zeit ! R3 beschrieben. Zeigen Sie, da in diesem Fall zwischen Ladungsdichte und Stromdichte j der Zusammenhang j = (v) besteht.

1.3 Konsequenzen der Ladungserhaltung: die inhomogenen Maxwell-Gleichungen Die elektrische Erregung. Als 3-Form hat die Ladungsdichte im dreidimensionalen Raum den maximalen Grad. Sie ist daher automatisch geschlossen (d = 0). Nach dem Poincareschen Lemma folgt dann sofort die Existenz eines Potentials auf jedem sternformigen Teilgebiet U des Raumes:

67

68


dD = : Dieses Potential D, eine 2-Form, nennen wir die elektrische Erregung, was zum Ausdruck bringt, da die Anwesenheit elektrischer Ladungen den umliegenden Raum in gewissem Sinne anregt. Da eine Dierentialform vom ungeraden Typ ist und die Cartan-Ableitung lediglich dierenziert und den Typ nicht andern kann, mu D wie ungerade sein. Wir erhalten ein zu dD = aquivalentes Gesetz, indem wir uber ein beliebiges Gebiet V integrieren und auf der linken Seite den Stokesschen Satz anwenden. Die resultierende Beziehung hei t das Gau sche Gesetz:

Z

@V

D=

Z

V

:

In Worten besagt es, da das Flachenintegral der elektrischen Erregung uber den Rand eines Gebietes V gleich der gesamten in V enthaltenen Ladung ist. Dieser Sachverhalt suggeriert die anschauliche Vorstellung von der elek-

Abbildung 1.3. Elektrische Flulinien einer kugelsymmetrischen Ladungsverteilung

trischen Erregung als einer elektrischen Flu dichte, d.h. der Stromdichte eines elektrischen Flusses, der aus elektrischen Ladungen herausquillt und von dort nach au en stromt. Wir sagen auch, Ladungen seien die Quellen des elektrischen Flusses. In Abb. 1.3 wird der elektrische Flu einer kugelsymmetrischen Ladungsverteilung durch sogenannte Flu linien bildlich dargestellt.4 Die physikalische Dimension von D ist5 4 5

Die prazise Formulierung des Flulinienbildes wird in Abschn. 1.6 gegeben. Eine Dimension Lange geht hier nicht ein. D ist ja metrikfrei erklart und folglich auch langenunabhangig.

1.3 Konsequenzen der Ladungserhaltung: die inhomogenen Maxwell-Gleichungen

#D] = Ladung : P In Koordinatendarstellung D = i<j Dij dxi ^ dxj hat das dierentielle Gesetz dD = die Gestalt @D23 + @D31 + @D12 = : 123 @x1 @x2 @x3 Die Komponenten von D tragen die physikalische Dimension #Dij ] = Ladung/Flache. Man beachte auch, da die Forderung dD = die elektrische Erregung nicht eindeutig bestimmt. Erfullt namlich D diese Forderung, so gilt wegen d d = 0 dasselbe fur D + d. Die eindeutige Festlegung von D erfolgt uber zusatzliche Relationen, die wir in den Abschn. 1.5 und 1.7 vorstellen. Als Konsequenz dieser Relationen ist D zum Beispiel vom Bewegungszustand der Ladungen abhangig. Eine Me vorschrift fur D wird in Abschn. 1.9 nachgereicht. Die magnetische Erregung. Im nachsten Schritt betrachten wir die Summe aus der elektrischen Stromdichte j und der Zeitableitung der elektrischen Erregung D. Beide sind ungerade 2-Formen und haben die physikalische Dimension Ladung/Zeit. Die Summe j + D_ ist somit eine mathematisch wie dimensionsma ig sinnvolle Gro e. Au erdem ist sie geschlossen: d(j + D_ ) = 0 was mit dem Gau schen Gesetz dD = sofort aus der Kontinuitatsgleichung dj + _ = 0 folgt. Das Poincaresche Lemma garantiert dann wieder die Existenz eines Potentials auf jedem sternformigen Gebiet U des dreidimensionalen Raumes: j + D_ = dH : Diese Gleichung hei t das Ampere-Maxwell-Gesetz in dierentieller Form. Die 1-Form H tragt den Namen magnetische Erregung6 und hat die physikalische Dimension #H ] = Strom : Aus Grunden mathematischer Konsistenz mussen wir verlangen, da H mit j und D_ eine Dierentialform vom ungeraden Typ ist. Auch hier ist es der anschaulichen Vorstellung dienlich, das dierentielle Gesetz dH = j + D_ in integrale Form umzuschreiben. Durch Integration uber eine beliebige Flache S und Anwenden des Stokesschen Satzes bekommen wir Z Z H = (j + D_ ) : @S

6

S

Wir machen uns hier die Sprechweise Sommerfelds zueigen, die sich durch besondere Pragnanz und Systematik auszeichnet.

69

70


Das Linienintegral von H langs einer geschlossenen Kurve @S ist also gleich dem Integral von j + D_ uber eine von @S berandete Flache S. Hieraus resultiert die bildliche Vorstellung (Abschn. 1.6), da der um die zeitliche A nderung des elektrischen Flusses erganzte elektrische R Strom von einem magnetischen Wirbelfeld begleitet ist. Das Integral H nennen wir die magnetische Spannung langs des Weges .

H

j

H

Abbildung 1.4. Magnetische Erregung eines unendlich langen geraden stromtragenden Leiters.

P

In Koordinatendarstellung H = Hi dxi gliedert sich das dierentielle Gesetz dH = j + D_ in drei skalare Gleichungen auf. Die erste davon lautet @H2 ; @H1 = j + D_ @x1 @x2 12 12 die anderen zwei entstehen durch zyklisches Vertauschen der Indexmenge f1 2 3g. Die Komponenten von H haben die physikalische Dimension #Hi ] = Strom/Lange. Was oben fur D gesagt wurde, gilt gleicherma en fur H : mit H ist auch H + df (f eine Funktion) eine Losung der Gleichung dH = j + D_ . Folglich wird H erst durch die Angabe zusatzlicher Relationen eindeutig bestimmt. Eine Me vorschrift fur H ndet sich in Abschn. 1.9. Es sei auch darauf hingewiesen, da die Unbestimmtheit von D durch die Gleichung dD = unserem logischen Aufbau keinen Abbruch tut. Der U bergang von D zu D + d erfordert lediglich die Ersetzung von H durch H ; _. Die Gleichungen dD = und dH = j + D_ hei en insgesamt die inhomogenen Maxwell-Gleichungen. Wie gezeigt wurde, sind sie eine unmittelbare Konsequenz des Axioms der Ladungserhaltung. Im Kapitel uber die relativistisch kovariante Formulierung der Elektrodynamik werden wir sie zu einem einzigen Gesetz vereinigen. Ladungsneutralitat des Universums. Es ist noch auf eine Subtilitat bei der Herleitung des Gau schen Gesetzes hinzuweisen. Wir waren dabei von der

1.4 Axiom 2: Feldstarken und Kraftwirkung

71

Geschlossenheit der Ladungsdichte im dreidimensionalen Raum ausgegangen und hatten aus dem Poincareschen Lemma gefolgert, da auf jedem sternformigen Teilgebiet des Raumes ein Potential D hat. Da wir als Modell fur den Raum den E3 zugrunde legen und E3 selbst sternformig ist, hatten wir auf den Zusatz "sternformiges Teilgebiet\ auch verzichten konnen. Interessant wird es jedoch, wenn wir E3 als Modell fur den Raum durch eine dreidimensionale Mannigfaltigkeit V , die geschlossen ist (@V = 0), ersetzen. Unter der Forderung, da die Gleichung dD = global auf V gultig sei, haben wir dann Z Z Z Q := = dD = D V

V

@V

und mit @V = 0 folgt das Verschwinden der Gesamtladung Q. Oensichtlich reicht die Gleichung d = 0 fur die globale Existenz von D im allgemeinen nicht aus. In einem raumlich geschlossenen Universum ist auch noch seine Ladungsneutralitat notwendige Voraussetzung. Anschaulich la t sich dies so verstehen, da in einem endlichen Raum der aus einer positiven Ladung hervorquellende elektrische Flu sich nicht im Unendlichen "verlieren\ kann, sondern auf einer negativen Ladung gleicher Gro e enden mu .

1.4 Axiom 2: Feldstarken und Kraftwirkung Die elektrische Feldstarke. Die Beobachtung zeigt, da ein elektrisch geladener Korper im ladungserfullten Raum einer raumlich veranderlichen Kraft unterliegt, die zu seiner Ladung proportional ist. Die Ursache dieses elektrischen Kraftfeldes ist das Vorhandensein einer den Raum erfullenden Qualitat, die wir die elektrische Feldstarke E nennen. Zu ihrer operativen Denition betrachten wir einen Testkorper, der genau eine Ladungseinheit tragt und moglichst geringe Ausdehnung hat. Beim Verschieben des Testkorpers langs eines Weges ist gegen das elektrische Kraftfeld Arbeit zu leisten. Diese Arbeit setzt sich aus vielen innitesimalen Arbeiten zusammen, die sich beim Durchlaufen von addieren, d.h. es wird langs integriert. Die Gro e, die integriert wird, ist abgesehen vom Vorzeichen die elektrische Feldstarke E . Oenbar ist sie ihrem mathematischen Charakter nach eine (gerade) Differentialform ersten Grades. Wenn wir die bei Verschiebung langs (pro Ladungseinheit) aufzubringende Arbeit { sie ist gleich minus der freiwerdenden Energie { mit We ( ) bezeichnen (Abb. 1.5), haben wir die denierende Gleichung

Z

E = ;We ( ) :

Durch U bergang zu einem innitesimalen Weg folgt, da auf eine ruhende Punktladung q am Ort p die elektrische Kraft Kp(e) = qEp

72


:

wirkt. Diese Kraft hei t auch die Coulomb-Kraft. Testkorper

γ Arbeit =: We (γ)

Abbildung 1.5. Per Denition ist die beim

Verschieben einer Einheitsladung langs Rfreiwerdende Energie gleich dem Wegintegral E der elektrischen Feldstarke E .

R

Wir betonen, da das Integral E im allgemeinen Fall nicht nur vom Anfangs- und Endpunkt von abhangt, sondernR von insgesamt oder differentiell ausgedruckt: dE 6= 0. Insbesondere ist E fRur einen geschlossenen Weg = @S im allgemeinen von Null verschieden. E hei t dieRelektrische Spannung langs . (Fur einen geschlossenen Weg nennen wir E die elektrische Ringspannung langs .) Die denierende Gleichung fur die elektrische Feldstarke bedeutet, da sich ihre physikalische Dimension #E ] wie folgt konstituiert: #E ] = Energie=Ladung : Im Unterschied hierzu tragen die Komponenten der elektrischen Feldstarke P E = Ei dxi die Dimension Energie/(LadungLange) = Kraft/Ladung. Die magnetische Feldstarke. Die Kraftwirkung der elektrischen Feldstarke auf eine Testladung ist von deren Bewegungszustand unabhangig. Fur sich allein genommen reicht sie nicht aus, um { in Verbindung mit dem Newtonschen Bewegungsgesetz { die Bewegung geladener Korper zu erklaren. Zum Beispiel erfahrt ein stromtragender Leiter in der Nahe eines Stabmagneten eine Kraft, die von seinem Ladungszustand unabhangig ist aber mit seinem Strom, d.h. mit der Dichte und Geschwindigkeit seiner frei beweglichen Ladungstrager, linear zunimmt. Dieses Phanomen, wie viele andere Beobachtungen auch, weist auf die Existenz einer geschwindigkeitsabhangigen Kraft, der sogenannten Lorentz-Kraft, hin. Die lokale Ursache der Lorentz-Kraft ist eine Gro e, die wir die magnetische Feldstarke B nennen. Wie E denieren wir auch B in metrikfreier und invarianter Weise uber den Arbeitsbegri. Es sei dazu ein Teststrom in Form eines elektrisch neutralen aber stromtragenden Leiterstucks mit moglichst kleinem Querschnitt gegeben. Der Teststrom betrage genau eine Stromeinheit. Wir xieren den Leiter an zwei Punkten a und b und bezeichnen mit den Weg des dazwischenliegenden Leiterstucks (Abb. 1.6). Nun verandern wir den Verlauf des Zwischenstucks von nach 0 . Dabei uberstreicht das Leiterstuck eine orientierte Flache S1 , die durch @S1 = 0 ; berandet ist. Das Verschieben des Leiters erfordert die Arbeit Wm(S1 ). Was wir soeben beschrieben haben, ist eine Prozedur, die jeder

1.4 Axiom 2: Feldstarken und Kraftwirkung γ

b

Teststrom I = 1 Stromeinheit

S1 a

73

S1 = γ − γ γ

Abbildung 1.6. Zur operativen Denition der magnetischen Feldstarke orientierten Flache S eine reelle Zahl, namlich gerade die entsprechende Arbeit Wm(S ), zuordnet. Die Funktion S 7! Wm (S ) ist linear und deshalb als Flachenintegral einer (geraden) Dierentialform zweiten Grades darstellbar. Diese 2-Form identizieren wir als minus die magnetische Feldstarke B . Die Denition von B wird also durch die folgende Formel ausgedruckt:

Z

B = ;Wm(S ) :

S

Oenbar hat B die physikalische Dimension #B ] = Energie=Strom = Wirkung=Ladung : R Das Flachenintegral S B hei t auch der magnetische Flu durch S . Wenn wir den Charakter von B als 2-Form besonders hervorheben wollen, nennen wir B alternativ P die magnetische Flu dichte. B hat die Koordinatendarstellung B = i<j Bij dxi ^ dxj . Die Komponenten von B tragen die physikalische Dimension #Bij ] = Wirkung/(LadungFlache). Um aus der uber den Arbeitsbegri formulierten Denition der magnetischen Feldstarke einen expliziten Ausdruck fur die Lorentz-Kraft zu gewinnen, betrachten wir eine idealisierte Situation, wie sie in Abb. ?? gezeigt ist. Dort wird ein kurzes gerades Leiterstuck, das anfangs zwischen den Punkten p und p0 verlauft, bei konstantem Strom I in die Endkonguration zwischen p1 und p01 parallel verschoben. Ist u der Vektor des Leiterstucks und u1 der Verschiebungsvektor, so wird per Denition von B die Energie (fur kleines )

I

Z

S

B = IBp (u1 u) + O(3 )

frei. Hieraus lesen wir ab, da auf das Leiterstuck unabhangig vom Verschiebungsvektor u1 die Kraft Bp ( Iu) wirkt. Nun stellen wir uns vor, da der Strom I durch das Geradenstuck p + su (0 s ) von einer einzelnen Ladung q mit Geschwindigkeit v verursacht wird und setzen Iu = qv (es kommt hier nur auf das Produkt qv { eben den Strom { an). Die Lorentz-Kraft auf diese Ladung ist dann gleich 7 7

In dem unter Theoretikern beliebten Gauschen Masystem steht in der Formel fur die Lorentz-Kraft ein Faktor der inversen Lichtgeschwindigkeit. Ein solcher

74


K (m) = Bp ( qv) = ;(qv)Bp : Wir fassen zusammen: auf eine Punktladung q mit Geschwindigkeit v wirkt am Ort p die elektromagnetische Kraft Axiom 2 : Kp = q (Ep ; (v)Bp ) (Kraft auf Punktladung). Wie aus den Me vorschriften per Wegintegration bzw. Flachenintegration zwingend folgt, mussen die in dieses Kraftgesetz eingehenden Feldstarken E und B Dierentialformen vom geraden Typ sein. Aufgabe R 1.4.1. Empirisch ndet man, da die magnetische Arbeit Wm(S ) = ; S B nur vom Rand @S = 0 ; der Flache S , nicht aber von der Flache selbst, abhangt. Antizipieren Sie aus dieser Beobachtung die Quellenfreiheit der magnetischen Feldstarke (dB = 0).

1.5 Axiom 3: Induktionsgesetz (Erhaltung des magnetischen Flusses) Per Konstruktion der Erregungen D und H in Abschn. 1.4 haben wir bereits die inhomogenen Maxwell-Gleichungen dD = und dH = j + D_ : Ihnen zur Seite stellen wir jetzt ein Gesetz, das die Feldstarken E und B miteinander verknupft. Es sei dazu S ein beliebiges orientiertes Flachenstuck mit Rand @S . Per Postulat verlangen wir das Verschwinden der Summe aus der Zeitableitung des magnetischen Flusses durch S und der elektrischen Ringspannung langs @S : @ Z B + Z E = 0 (Induktionsgesetz). Axiom 3 : @t S @S Wir sagen auch, da ein zeitlich veranderlicher magnetischer Flu eine elektrische Ringspannung induziert. Das relative Vorzeichen merkt man sich uber die Lenzsche Regel. Sie besagt folgendes. Der magnetische R Flu durch die orientierte Flache S nehme z.B. mitR der Zeit ab, d.h. S B_ sei negativ. Dann ist die induzierte Ringspannung @S E positiv. Verlauft nun langs @S eine Leiterschleife, so bewirkt die induzierte Ringspannung einen Strom, welcher dem Durchlaufsinn von @S folgt. Wie wir spater sehen werden, erzeugt ein solcher Strom nach dem Gesetz dH = j + D_ in Verbindung mit einer H und B verknupfenden Relation seinerseits einen positiven magnetischen Flu durch S . Der induzierte Strom wirkt also seiner Ursache entgegen (Lenzsche Faktor ist hier fehl am Platz. Wie die Herleitung uber den Arbeitsbegri deutlich herausstellt, ist die Lorentz-Kraft invariant deniert und hat keinerlei Kenntnis von der metrischen Information, die in der Lichtgeschwindigkeit steckt.

1.5 Axiom 3: Induktionsgesetz (Erhaltung des magnetischen Flusses)

75

Regel). Historisch war es so, da das postulierte Gesetz durch die experimentellen Beobachtungen von Faraday (1831) entdeckt wurde. Es hei t deshalb ausfuhrlich das Faradaysche Induktionsgesetz. Das Induktionsgesetz in dierentieller Form lautet B_ + dE = 0 : Wie nach mehrfacher Ausfuhrung derselben Manipulationen inzwischen klar sein sollte, wird es aus Gesetz in integraler Form gewonnen, indem man R dem das Kurvenintegral E mit Stokesschen Satz in das Flachenintegral R dE umwandelt und@Sdann diedem Beliebigkeit der Flache S ausnutzt. Das difS ferentielle Gesetz hat in Koordinatendarstellung die Gestalt 2 ; @E1 = 0 B_ 12 + @E 1 @x @x2 mit zwei weiteren Gleichungen, die wieder durch zyklisches Vertauschen der Indexmenge f1 2 3g entstehen. Die magnetische Feldstarke ist quellenfrei. Wir zeigen nun, da aus dem Induktionsgesetz in Verbindung mit der Aussage des Relativitatsprinzips { namlich, da die Naturgesetze in allen Inertialsystemen dieselbe Form haben { die Gleichung dB = 0 folgt. Dazu wenden wir auf das Induktionsgesetz in dierentieller Form die Cartan-Ableitung an und erhalten dB_ = ;d(dE ) = 0. Folglich gilt dB = m mit m einer zeitunabhangigen 3-Form. Per Analogie zur Gleichung dD = lie e sich m als magnetische Ladungsdichte auassen. Im Unterschied zu den elektrischen Ladungen waren aber die magnetischen Ladungen, wenn sie existierten, wegen m = const (unabhangig von t) fest mit dem Raum verankert. Es ware deshalb ein spezielles Bezugssystem ausgezeichnet, namlich jenes, bezuglich dessen die magnetischen Ladungen in Ruhe sind. Da dies im Widerspruch zum Relativitatsprinzip stunde, folgt das Gesetz dB = 0 : In Koordinatendarstellung schreibt es sich @B23 + @B31 + @B12 = 0 : @x1 @x2 @x3 Seine integrale Form

Z

@V

B=0

besagt, da der magnetische Flu durch jede geschlossene Flache @V verschwindet, d.h. die magnetische Flu dichte ist quellenfrei. Die Gleichungen B_ + dE = 0 und dB = 0 hei en die homogenen Maxwell-Gleichungen in dierentieller Form.

76


1.6 Flulinienbild Bevor wir den axiomatischen Aufbau der Elektrodynamik mit der Aufstellung der Materialgesetze abschlie en, wollen wir innehalten und das Formulierte der intuitiven Anschauung besser zuganglich machen. Erfreulicherweise zeichnet sich der au ere Kalkul durch den besonderen Vorzug aus, da er den Feldgro en und Gesetzen der Elektrodynamik eine bildliche Vorstellung mitliefert, mit der sich die physikalische Realitat gleicherma en anschaulich wie akkurat beschreiben la t. (A hnliches kann der traditionelle Vektorkalkul nicht von sich behaupten siehe z.B. Feynmans Diskussion der Unzulanglichkeiten des Feldlinienbildes.) Der Schlussel zur anschaulichen Darstellung im E3 ist die U bersetzung von (3 ; k)-Formen in k-Ketten, d.h. in Linearkombinationen von Flachenstucken der Dimension k. (In einem d-dimensionalen Raum ware hier die Zahl 3 durch d zu ersetzen.) Die Motivation fur eine solche U bersetzung liegt auf der Hand: k-dimensionalen Flachenstucke, namlich Punkte, Linien, Flachen und Gebiete (k = 0 1 2 3), lassen sich leichter visualisieren als Dierentialformen. Die Grundlage fur die U bersetzung schuf der franzosische Mathematiker de Rham mit dem von ihm entwickelten Begri der k-Strome, der k-Formen und (3 ; k)-Ketten in einer einzigen gro en Klasse von Objekten (namlich Dierentialformen mit distributionswertigen Koezienten) zusammengefa t. Es geht also darum, aus einer k-Form ! im E3 eine (3 ; k)-Kette c zu machen. Zu diesem Zweck vergleichen fur eine beliebige "TestdierentiR ! ^wir mit alform\ das Volumenintegral EP einer 3 R R Linearkombination von (3 ; k)-dimensionalen Integralen mi ci = P mi ci . Beide Ausdrucke sind invariant denierte lineare Funktionale (oder Distributionen) auf dem Raum derP Testformen. Diese Koinzidenz suggeriert die Idee, eine U bertragung ! ! c = mi ci durch folgende "Ubersetzungsformel\ (siehe Abschn. 0.19) zu versuchen:

Z

E3

!

Z

!^= : c

Das Ausrufezeichen soll zum Ausdruck bringen, da Gleichheit nur durch einen entweder auf der linken oder auf der rechten Seite durchzufuhrenden Grenzproze erreicht werden kann. Hier sind zwei kontrare Sichtweisen moglich und nutzlich. Zum einen konnen wir wie oben die kontinuierliche Differentialform ! auf der linken Seite als fundamental ansehen und sie mittels der U bersetzungsformel durch eine geeignete Kette c annahern ("Approximation des Kontinuierlichen durch das Diskrete\). Der gesunde Menschenverstand sagt uns, da wir unter der Voraussetzung hinreichender Glattheit der Testform die Approximation beliebig genau machen konnen, indem wir die Kette c genugend fein wahlen. (Ist ! eine 3-Form, zum Beispiel, verbessern wir die Gute der Approximation dadurch, da wir einen Punkt der 0-Kette c mit "Masse\ mi durch einen Schwarm von 100 Punkten mit Masse m =100 ersetzen usw.) Der andere mogliche Standpunkt ist, die vorgegebene i

1.6 Flulinienbild

77

Gro e in der diskreten Kette auf der rechten Seite zu sehen und aus ihr durch Verschmieren\ eine glatte Dierentialform zu machen ("Approximation des "Diskreten durch das Kontinuierliche\). Die zweite Sichtweise wurde bereits in Abschn. 1.2 implizit verwendet, als wir die elektrische Ladungsdichte einfuhrten. Das fundamentale Modell der Ladungsdichte P war ja ein System von Ladungen qi an Punkten pi, also eine 0Kette c = qi pi . Die zugehorige kontinuierliche Ladungsdichte bestimmte sich durch die Forderung

Z

E3

f =!

X

qi f (pi )

P Testfunktion f . Berucksichtigen wir die Schreibkonvention qi f (pi ) = Rfurfbeliebige , so hat diese Forderung genau die Form der obigen U bersetzungsformel. c

Gleichheit wird erzielt, indem man den Trager der kontinuierlichen Dierentialform durch einen Grenzproze auf die Punkte pi konzentriert. Die alternative Sichtweise ("Approximation des Kontinuierlichen durch das Diskrete\) wollen wir am Beispiel der elektrischen Ladungsdichte j illustrieren. Dazu betrachten wir ein System geschlossener Stromkreise i, die stationare Strome Ii (i = 1 2 :::) tragen. Sind die stromtragenden Kabel dunn genug (oder die Test-1-Form A hinreichend glatt), dann gilt in guter Naherung

Z

E3

j^A=

X Z Ii

i

A:

wobei die geschlossenen R der Strome wiederP Integrationswege i den Verlauf geben. Mit c#j ] := Ii i wird die rechte Seite zu cj] A, und die Gleichung nimmt wieder die Gestalt der obigen U bersetzungsformel an. In diesem Fall ubersetzen wir also die P kontinuierliche Stromdichte j naherungsweise in die diskrete 1-Kette c#j ] := Ii i . Man beachte, da die U bersetzungsformel nicht nur koordinatenfrei formuliert ist, sondern auch ohne jede metrische Struktur (Skalarprodukt oder ahnliches) auskommt. Zudem liegt Invarianz unter orientierungstreuen Diffeomorphismen des E3 vor, wenn wir die Transformationsgesetze 7! , ! 7! ! und c 7! ;1 c vereinbaren. Wir unterstreichen diese Invarianzeigenschaften, weil sie fur die logische Konsistenz unserer Darstellung unentbehrlich sind. Da auf der linken Seite der U bersetzungsformel der E3 mit seiner Orientierung eingeht, hat eine interessante Konsequenz, die wir gleich noch beleuchten werden. Im folgenden wollen wir die U bersetzungsformel dazu benutzen, uns ein anschauliches Bild von der magnetischen Feldstarke B zu verschaen. Da die Dierentialform B den Grad k = 2 hat, ubersetzt sie sich im E3 in eine Kette der Dimension 3 ; 2 = 1. Wir bezeichnen die 1-Kette von B mit c#B ]. Eine eben schon angedeutete Feinheit ist, da die linke Seite der U bersetzungsregel unter orientierungsandernden Dieomorphismen des E3 (z.B. Raumspiegelungen) das Vorzeichen wechselt, wahrend das Linienintegral auf

78


der rechten Seite von der Orientierung des einbettenden Raumes gar nicht abhangt und deshalb ungeandert bleibt. Um diese Diskrepanz im Transformationsverhalten zu beheben, versehen wir die 1-Kette c#B ] mit der au eren Orientierung durch einen Umlaufsinn (anstelle der gewohnlichen inneren OriR entierung durch einen Richtungssinn). Vor der Berechnung von B gema der Integrationregeln fur Dierentialformen ist dann die au ere Orientierung von c#B ] in eine innere Orientierung umzuwandeln. Da hierbei die RechteHand-Regel (oder die Linke-Hand-Regel) im E3 eingeht, ist hiermit fur die mathematische Konsistenz der U bersetzungsregel gesorgt. Anders verhalt es sich fur ungerade 2-Formen wie die Stromdichte j oder die elektrische Erregung D: hier hangt das Integral auf der linken Seite der U bersetzungsregel von der Orientierung des E3 nicht ab, und das korrekte Pendant auf der rechten Seite ist eine 1-Kette mit einer inneren Orientierung, d.h. einem Richtungssinn (siehe Abb. 1.3 und 1.1b). Abbildungen hier einf ugen

Die 2-Form der magnetischen Feldstarke B wird also durch eine 1-Kette c#B ] mit Umlaufsinn approximiert. Wir nennen die Elemente der 1-Kette magnetische Flu linien. Nun kommt es unserer Darstellung sehr entgegen, da die Natur spezielle physikalische Systeme kennt, wo die magnetischen Flu linien nicht nur ein periphares Dasein als mathematisch-anschauliche Hilfskonstruktion fristen, sondern eine experimentell beobachtbare Realitat annehmen! So dringt in der Shubnikov-Phase von Typ-II Supraleitern ein externes Magnetfeld in der Form von sogenannten "Vortizes\ oder magnetischen Flu schlauchen in den Supraleiter ein. Jeder Vortex tragt ein magnetisches Flu quant 0 = h=2e (h ist die Plancksche Konstante und e die Elektronladung). Die transversale Ausdehnung eines Vortex ist system- und > 10;7 m. #Fur die quantemperaturabhangig und von der Gro enordnung tenmechanische Erklarung des Phanomens der Supraleitung und der Flu quantisierung mussen wir auf die einschlagige Literatur der theoretischen Festkorperphysik verweisen. Kurz gesagt ist es fur die Elektronen des Supraleiters energetisch optimal, in einen makroskopisch koharenten und magnetfeldfreien Quantenzustand zu kondensieren. Wird einem Typ-II Supraleiter durch die experimentellen Randbedingungen ein magnetischer Flu von au en aufgezwungen, dann motorisiert er (bis zu einem oberen kritischen Feld) Abschirmstrome, die den magnetischen Flu auf schlauchformige Bereiche der transversalen Ausdehnung eingrenzen.] Fur die Zwecke der makroskopischen Physik durfen wir die endliche Dicke der Flu schlauche vernachlassigen und zu einem idealisierten Modell ausdehnungsloser Flu linien ubergehen. Es versteht sich von selbst, da das Bild quantisierter magnetischer Flu linien im Vakuum oder in Medien ohne Supraleitung nur als Hilfskonstruktion (ohne nachweisbare physikalische Realitat) unserer Anschauung nachhelfen soll. Es sei jedoch vorweggenommen, da sich das Flu linienbild (im Unterschied zum traditionellen Feldlinienbild des Vektorkalkuls) als mathematisch konsistent und durchaus akkurat erweisen wird, und auch nicht im Wider-

1.6 Flulinienbild

79

spruch zur Beobachtung steht, wenn wir die Flu linien nur feiner machen als das Experiment sie aufzulosen vermag. Im Flu linienbild (mit Flu quantisierung), das wir den folgenden Ausfuhrungen zugrunde legen, reduziert sich die Berechnung des magnetischen Flusses durch eine Flache S zu einer elementaren Zahlaufgabe: wir zahlen ganz einfach ab, wieviele Flu linien die Flache S kreuzen und multiplizieren mit dem Flu quant 0 . Dabei zahlen wir einen Kreuzungspunkt positiv oder negativ, je nachdem ob der Umlaufsinn der Flu linie mit der Orientierung von S ubereinstimmt oder nicht. Im Kontinuumslimes immer feiner werdender Flu linien (mit entsprechend verkleinertem Flu quant) geht dieses Abzahlverfahren R unmittelbar in das Integral S B uber, das ja invariant und metrikfrei erklart ist. 8 Was bedeutet nun die Quellenfreiheit der magnetischen Feldstarke im Flu linienbild? Dazu machen wir folgende formale Rechnung:

;

Z

E3

f dB =

Z

E3

B ^ df =

Z

cB ]

df =

Z

@cB ]

f

wobei neben der U bersetzungsregel B ! c#B ] auch partielle Integration und der Satz von Stokes verwendet wurde. Insgesamt folgt c#dB ] = ;@c#B ]. Das Gesetz dB = 0 entspricht demnach @c#B ] = 0, d.h. die 1-Kette c#B ] hat keinen Rand oder, anders ausgedruckt, magnetische Flu linien sind stets geschlossen. Fur kunftige Zwecke vermerken wir, da eine analoge Rechnung fur eine Dierentialform ! mit beliebigem Grad deg(!) zu der Relation c#d!] = (;1)deg(!)+1 @c#!] : fuhrt. Als nachstes fuhren wir den in Abschn. 1.5 angekundigten Beweis der A quivalenz des Induktionsgesetzes zu einem Erhaltungssatz fur magnetische Flu linien. Dazu zeigen wir zunachst, da die Bewegung eines Systems magnetischer Flu linien mit Geschwindigkeitsfeld v die elektrische Feldstarke E = (v)B induziert. Das Argument ist wie folgt. In Abwesenheit eines elektrischen Feldes wirkt im (lokalen) Ruhesystem der Flu linien auf einen geladenen Testkorper keine Kraft insbesondere erleidet der Testkorper keine Beschleunigung. Daran darf sich nach dem Relativitatsprinzip nichts andern, wenn wir in ein gleichformig geradlinig bewegtes Bezugssystem ubergehen, in dem die Flu linien wie die Testladung sich mit der Geschwindigkeit v bewegen. Die Testladung q unterliegt jetzt der Lorentz-Kraft K = ;(qv)B . Damit keine Beschleunigung eintritt, mu eine elektrische Kraft ;K wirken, die der Lorentz-Kraft genau die Waage halt. Dies erfordert aber die lokale Existenz einer elektrischen Feldstarke E = (v)B , wie behauptet. (In der Sprache der 8

Im Gegensatz hierzu benotigt der traditionelle Vektorkalkul zur Berechnung des magnetischen Flusses durch die Flache S das Skalarprodukt des Vektorfeldes von B mit dem Normalenvektor von S . Hierdurch wird die metrische Struktur des Raumes eingeschleppt, was ganz und gar unnotig und der Problemstellung an sich vollig fremd ist.

80


Relativitatstheorie besagt die Flu linien-Beziehung E = (v)B nichts weiter, als da E und B sich zu einem kovarianten Tensor zweiter Stufe, namlich der Faraday-Form F = B + E ^ dt, vereinigen.) Wir kommen jetzt zum zentralen Thema des Abschnitts: der Begrundung des Induktionsgesetzes im Flu linienbild. Ausgangspunkt hierzu ist das Postulat der Erhaltung des magnetischen Flusses. Im aktuellen Kontext besagt dieses Postulat, da magnetische Flu linien nicht abrupt verschwinden oder aus dem Nichts auftauchen. Zwar durfen sie sich auf jede erdenkliche Weise bewegen und ihre Form andern { sie konnen auch auf einen Punkt zusammenschrumpfen und auf diese Weise annihiliert oder im inversen Proze aus einem Punkt durch Expansion kreiert werden { aber der postulierte Erhaltungssatz verlangt, da all diese Vorgange kontinuierlich ablaufen. Da wir auf dem Gesetz dB = 0 (Nicht-Existenz magnetischer Monopole) insistieren, bleiben die magnetischen Flu linien au erdem zu allen Zeiten geschlossen. Seine mathematische Formulierung ndet der postulierte Erhaltungssatz im Verschwinden der totalen Zeitableitung der magnetischen Feldstarke, dB=dt = 0. Bekanntlich (hier wird noch ein Verweis benotigt) ist die totale Zeitableitung gleich der partiellen Zeitableitung B_ plus der duch das Stromen mit dem Geschwindigkeitsfeld v verursachten zeitlichen A nderung der Flu linien. Da letztere durch die Lie-Ableitung Lv = d(v) + (v)d von B ausgedruckt wird, schreibt sich der Erhaltungssatz in der Form d _ dt B = B + Lv B = 0 : (Es ist bequem, die Rechnung anhand der Dierentialform B durchzufuhren. Mit de Rhams Formalismus von Stromformen la t sie sich ohne weiteres auf die 1-Kette c#B ] ubertragen.) Nun vereinfacht sich aber mit dB = 0 und E = (v)B die Lie-Ableitung zu Lv B = d(v)B = dE , und es folgt das Induktionsgesetz 0 = dtd B = B_ + dE : Das Induktionsgesetz la t sich also als Kontinuitatsgleichung fur magnetische Flu linien verstehen. ahnliches Argument trit auch fur die elektrische Erregung zu... ... ...

1.7 Axiom 4: Materialgesetze Machen wir eine Bestandsaufnahme. Oben haben wir 12 unbekannte Funktionen : Raum Zeit ! R eingefuhrt, namlich die 3+3+3+3 Komponenten der Feldgro en E , B , D und H . Dieser Zahl stehen bislang 8 skalare Gleichungen gegenuber. Es sind dies die 1 + 3 + 3 + 1 Komponenten der Gleichungen dD = , dH = j + D_ , ;dE = B_ und dB = 0 in dieser Reihenfolge. Wir haben also mehr zu bestimmende Funktionen als Bestimmungsgleichungen.

1.7 Axiom 4: Materialgesetze

81

Das Mi verhaltnis ist sogar noch gro er als es auf den ersten Blick scheint, denn die skalaren Gleichungen dD = und dB = 0 sind gar keine dynamischen Gleichungen sondern Nebenbedingungen. Erfullen namlich D und B diese Gleichungen zur Zeit t = 0, so tun sie das infolge der Gultigkeit der dynamischen Gleichungen dH = j + D_ und ;dE = B_ fur alle Zeiten. Aufgabe 1.7.1. Veriziere diese Aussage fur die Gleichung dD = . Zur Bestimmung von 12 zeitabhangigen Funktionen stehen bislang 6 dynamische Gleichungen bereit. Es mussen daher zusatzliche Beziehungen zwischen den Feldern geknupft werden, um das Gleichungssystem zu schlie en. Dies geschieht durch die sogenannten Materialgleichungen, welche die elektrische Erregung und die elektrische Feldstarke einerseits, und die magnetische Erregung und die magnetische Feldstarke andererseits, zueinander in Beziehung setzen. Sie lauten: D = "0 ? E und B = 0 ? H : Hierbei ist ? der Sternoperator (?dx = dy ^ dz ), und "0 und 0 sind zwei empirische Konstanten. "0 hei t die dielektrische Konstante des Vakuums und 0 die magnetische Permeabilitat des Vakuums . Die Materialgleichungen zeichnen sich durch die folgenden Eigenschaften aus. Sie sind linear, sie sind lokal (d.h. sie verknupfen die elektromagnetischen Feldstarken am Ort p und zur Zeit t mit den elektromagnetischen Erregungen nur am selben Ort und zur selben Zeit), und sie sind wegen der Invarianz des Sternoperators unter Euklidischen Bewegungen translations- und rotationsinvariant. Man kann zeigen, da diese Eigenschaften ihrerseits die Form der Materialgleichungen vollstandig bestimmen.9 Die Invarianz der Materialgleichungen unter Translationenen und Rotationen druckt die Homogenitat und Isotropie des Raumes aus. Die Materialgleichungen sind mathematisch sinnvoll: in beiden Fallen wird durch ? eine Dierentialform ersten Grades auf eine Dierentialform zweiten Grades abgebildet. Da die Operation des Sternoperators die physikalische Dimension der 1-Form auf der rechten Seite jeweils um die einer Lange erhoht, gilt fur die Dimensionen der Proportionalitatskonstanten

9

Die Gultigkeit der Materialgleichungen in der angegebenen Form setzt voraus, da in den inhomogenen Maxwell-Gleichungen durch und j die gesamte Ladungsdichte und Stromdichte erfat wird. Zur phanomenologischen Beschreibung von Festkorpern und anderen Materieformen ist es jedoch zweckmaig, nur einen ausgewahlten Teil der Ladungstrager explizit zu behandeln und den Rest durch Umdenition der Felder D und H aus dem Gleichungssystem zu eliminieren. Wie wir Abschn. 1.11 sehen werden, gehen dabei im allgemeinen Lokalitat, Rotationsinvarianz, Translationsinvarianz und Linearitat der Materialgleichungen verloren.

82


#D] = Ladung2 #"0 ] = Lange #E] EnergieLange #B] = Energie2 Zeit2 : #0 ] = Lange #H] Ladung Lange Im SI-Ma system ist 0 per Denition der Stromeinheit Ampere auf den numerischen Wert 0 = 4 10;7 Newton=(Ampere)2 festgelegt. (Newton ist die Krafteinheit Kilogramm Meter=(Sekunde)2 .) Zum numerischen Wert von "0 werden wir gleich noch etwas sagen. In Koordinatendarstellung bezuglich eines kartesischen Koordinatensystems haben wir D12 = "0 E3 D23 = "0 E1 D31 = "0 E2 B12 = 0 H3 B23 = 0 H1 B31 = 0 H2 : Die durch die Materialgleichungen geknupften Verwandtschaften honorieren wir dadurch, da wir E wie D pauschal das elektrische Feld nennen, und B wie H pauschal das magnetische Feld. Alle Gro en E , D, B und H zusammen nennen wir das elektromagnetische Feld. Zusammenfassung. An dieser Stelle tragen wir alle Gleichungen zusammen, denen die elektromagnetischen Felder genugen: inhomogene Materialhomogene Maxwell-Gln Gleichungen Maxwell-Gln dD = D = "0 ? E dE = ;B_ _ dH = j + D B = 0 ? H dB = 0 Dies sind die Grundgleichungen der elektromagnetischen Theorie. Fur vorgegebene Ladungen und Strome bilden sie ein vollstandig determiniertes System. Zum Beispiel kann man die 1-Formen E und H zugunsten der 2-Formen D und B eliminieren und erhalt: D_ = ;j + 0 ;1 d ? B B_ = ;"0;1 d ? D : Diese Gleichungen zusammen mit den Nebenbedingungen dD = und dB = 0 denieren ein eindeutig losbares Anfangswertproblem, das wir im Kapitel uber elektromagnetische Wellenausbreitung untersuchen werden. Aufgabe 1.7.2. Dem elektromagnetischen Feld werden mittels ? und des kanonischen Isomorphismus I die Vektorfelder E = I ;1 E , B = I ;1 ? B , D = I ;1 ? D und H = I ;1H zugeordnet. Au erdem sei ! := ? und j := I ;1 ?j . Zeige, da die Gleichungen der elektromagnetischen Theorie unter diesen Zuordnungen mit den in Abschn. 0.10 denierten Dierentialoperatoren div und rot die folgende Gestalt annehmen: divD = !, rotH = j + @ D=@t, ;rotE = @ B=@t, divB = 0, D = "0 E und B = 0 H.

1.7 Axiom 4: Materialgesetze

83

Metrische und dierentielle Struktur. In den Grundgleichungen der elektromagnetischen Theorie, so wie sie oben aufgeschrieben sind, sehen wir die differentielle Struktur des Raumes (und der Zeit) von seiner metrischen Struktur klar getrennt. Die homogenen und inhomogenen Maxwell-Gleichungen enthalten neben den Feldern und Stromen nur den Dierentialoperator d. Da d metrikfrei erklart ist, sind die Maxwell-Gleichungen nicht an die metrische Struktur von E3 gebunden. Dies hat die erfreuliche Konsequenz, da sie beim U bergang zu einer gekrummten Raum-Zeit, wie sie die Einsteinsche Gravitationstheorie erfordert, ihre Gultigkeit behalten. Im Gegensatz hierzu hangen die Materialgleichungen durch den Sternoperator sehr wohl von der metrischen Struktur des Raumes ab. (Wie wir in der zweiten Halfte der Vorlesung sehen werden, bestimmen die empirischen Konstanten "0 und 0 eine Lorentzsche metrische Struktur auf der vierdimensionalen Raum-Zeit.) Bei der Einfuhrung der Maxwell-Gleichungen via Denition der Felder bzw. per Postulat haben wir alle Gleichungen in dierentieller Form jeweils auch in Koordinatendarstellung angegeben. Wir mochten hier besonders hervorheben, da diese Gleichungen in allen Koordinatensystemen { krummlinige eingeschlossen { dieselbe Form haben. Hierfur sind die kartesischen Koordinaten x1 x2 x3 lediglich durch krummlinige Koordinaten 1 2 3 zu ersetzen. Fur die Materialgleichungen in der angegebenen Koordinatendarstellung ist jedoch die Orthonormalitat der Basis dx1 dx2 dx3 wesentlich. Sie andern beim U bergang zu krummlinigen Koordinaten ihre Form. Paritatsinvarianz. Gehen wir zuruck und inspizieren wir die Formulierung aller Gesetze, dann fallt uns auf, da wir nirgendwo die Orientierung des Raumes benutzen mu ten... ... ... Magnetische Monopole. Wir wollen den Faden noch etwas weiter spinnen und auf die Moglichkeit hinweisen, da neben den elektrischen Ladungen auch magnetische Ladungen { als dynamische Gro en { existieren konnten. Der Widerspruch zum Relativitatsprinzip entstand ja dadurch, da das Induktionsgesetz in der angegebenen Form nur statische Ladungen (und somit gar keine) zula t. Wenn wir den magnetischen Ladungen eine dynamische Existenz zugestehen und das Induktionsgesetz um eine magnetische Stromdichte jm erweitern, entsteht das Gleichungssystem dB = m dD = e ;dE = jm + B_ dH = je + D_ wobei die Symbole e je fur j stehen. Dieses Gleichungssystem ist unter der Voraussetzung, da das Gesetz der Ladungserhaltung auch fur magnetische Ladungen gilt, mit allen bekannten Prinzipien der Physik vertraglich (siehe dazu Kap. ??), und es zeichnet sich au erdem durch eine perfekte Symmetrie { von einem Vorzeichen abgesehen { zwischen den elektrischen und magnetischen Feldern aus. Es ist aber bis heute nicht gelungen, die Existenz

84


magnetischer Ladungen experimentell nachzuweisen. Die Natur hat anscheinend von dieser theoretischen Moglichkeit keinen Gebrauch gemacht.10 Lichtgeschwindigkeit. Oben haben wir die physikalische Dimension der Naturkonstanten "0 und 0 angegeben. Die Kombination c := ("0 0 );1=2 hat, wie man sieht, die physikalische Dimension einer Geschwindigkeit. Um die Bedeutung dieser Geschwindigkeit zu klaren, machen wir eine kleine Rechnung. Im Vakuum, d.h. in Abwesenheit von Ladungen und Stromen, reduzieren sich die Feldgleichungen fur D und B zu dD = 0 dB = 0 D_ = 0 ;1 d ? B B_ = ;"0 ;1 d ? D : Spezielle Losungen hiervon sind leicht zu nden. Betrachte zum Beispiel fur eine dierenzierbare Funktion f : R ! R die Ausdrucke B = f (z ; ct)dz ^ dx und D = (0 c);1 f (z ; ct)dy ^ dz : Die angegebenen Flu dichten sind oensichtlich quellenfrei (dD = dB = 0), und an den Gleichungen B_ = ;cf 0(z ; ct)dz ^ dx = ;"0 ;1 d ? D D_ = 0 ;1 f 0 (z ; ct)dz ^ dy = 0 ;1 d ? B erkennt man, da auch die dynamischen Feldgleichungen fur B und D erfullt sind. Was ist nun die Bedeutung dieser Losung der Gleichungen fur das elektromagnetische Feld im ladungsfreien Raum? Sei dazu f eine \lokalisierte" Funktion (Abb. 1.7) mit Maximum bei Null. Die angegebene Losung beschreibt dann eine planare, in z -Richtung raumlich lokalisierte elektromagnetische Welle, deren Kamm zur Zeit t auf der Ebene z = ct liegt. Die Welle bewegt sich (ohne A nderung ihres Prols) mit der Geschwindigkeit c fort. c ist also die Lichtgeschwindigkeit, d.h. die Fortpanzungsgeschwindigkeit elektromagnetischer Wellen im Vakuum. Messungen haben fur c den Wert c = 2:9979 108 Meter=Sekunde ergeben. Hierdurch ist jetzt auch die Konstante "0 festgelegt. Sie hat den numerischen Wert "0 = 1=0 c2 = 8:8544 10;12 (Coulomb)2 =(Joule Meter). 10

Es sind theoretische Anstrengungen gemacht worden, Materie und Strahlung bei extrem hohen Energiedichten, wie sie z.B. fur den Bruchteil einer Sekunde nach dem Urknall existierten, durch sogenannte "groe vereinheitlichte Feldtheorien\ (engl. grand unied theories, kurz: GUTs) zu beschreiben. In diesen Feldtheorien werden magnetische Ladungen als topologisch nichttriviale Losungen der Feldgleichungen auf ganz naturliche Weise und in reicher Anzahl produziert. Es ist fur solche Feldtheorien daher problematisch, da magnetische Ladungen bislang nicht beobachtet worden sind. GUTs werden durch die Nichtbeobachtung magnetischer Ladungen aber nicht ausgeschlossen, denn es lassen sich kosmologische Modelle konstruieren, die fur eine hinreichend groe "Ausdunnung\ der magnetischen Ladungen sorgen. Beachte auch die physikalische Dimension m] = Energie/Strom = Wirkung/Ladung. Dirac hat schon 1932 gezeigt, da magnetische Ladungen, wenn sie existieren, den Prinzipien der Quantentheorie zufolge nur als ganzzahlige Vielfache von h=e mit h dem Planckschen Wirkungsquantum und e der Elektronladung auftreten konnen.

1.8 Energiesatz f (z-ct1)

85

f (z-ct2)

t1 < t2

z z = ct1

Abbildung 1.7. Fortp

anzung einer Wellenfront

z = ct2

1.8 Energiesatz In einer zeithomogenen Welt gilt ganz prinzipiell das Gesetz der Energieerhaltung. Da das elektromagnetische Feld auf geladene Korper Krafte ausubt und ihnen auf diese Weise Energie zufuhrt oder entzieht, mu auch das elektromagnetische Feld Trager von Energie sein. Ausdrucke fur die Energiedichte und die Energiestromdichte des elektromagnetischen Feldes werden aus den Grundgleichungen der Theorie wie folgt hergeleitet. Leistung des Feldes an der Materie. In einem vorbereitenden Schritt betrachten wir uber ein Gebiet V kontinuierlich verteilte Ladungstrager mit elektrischer Ladungsdichte . Jedem Punkt p 2 V werde durch das Vektorfeld v : V ! R3 (fur eine feste Zeit t) die lokale Geschwindigkeit v(p) der Ladungstrager zugeordnet. Gema ihrer Denition leistet die elektrische Feldstarke E an einem ausdehnungslosen Korper am Ort p mit Ladung q und Geschwindigkeit v(p) pro Zeiteinheit die Arbeit qEp (v(p)) = qiv(p) Ep . Materie in U wird also pro Zeiteinheit insgesamt die Energie RDer igeladenen E zugef u hrt. Wegen ^ E = 0 (als 4-Form im E3 mu ^ E verv V schwinden) gilt iv ( ^ E ) = 0 und folglich iv E = (iv ) ^ E . Mit iv = j (siehe 1.2.1) haben wir dann fur die Gesamtleistung den Ausdruck R E ^Aufgabe j . Besteht die Materie { wie das z.B. fur einen Festkorper oder ein V zweikomponentiges Plasma der Fall ist { aus mehreren durch k = 1 ::: N indizierten Komponenten, so fuhren wir die obige U berlegung fur jede Komponente separat durch und bilden am Ende diePSumme. Der Ausdruck fur die Gesamtleistung bleibt dann richtig mit j = j (k) . Aufgabe 1.8.1. Zeige, da die Leistung der magnetischen Feldstarke an der Materie gleich Null ist. (Tip: nach Aufgabe ?? hat die Lorentz-Kraft Kp auf einen Korper am Ort p mit Ladung q und Geschwindigkeit v(p) den Ausdruck Kp = ;qiv(p) Bp .) Im zweiten Schritt berechnen wir die Zeitableitung der 3-Form E ^ D: @ @ _ _ _ @t (E ^ D) = "0 @t (E ^ ?E ) = "0 (E ^ ?E + E ^ ?E ) = 2E ^ D : Ganz analog zeigt man die Relation @^t (B ^ H ) = 2B_ ^ H . Es folgt

86


1@ _ _ 2 @t (E ^ D + B ^ H ) = E ^ D + B ^ H = E ^ (dH ; j ) + (;dE ) ^ H = ;d(E ^ H ) ; E ^ j wobei fur das zweite Gleichheitszeichen die dynamischen Maxwell-Gleichungen D_ = dH ; j und B_ = ;dE benutzt wurden. Dieses Resultat nimmt mit den Denitionen u = (E ^ D + B ^ H )=2 und s = E ^ H die folgende Gestalt an: u_ + ds = ;E ^ j : Die rechte Seite ist, wie wir schon wissen, nach Integration uber V gleich der Rate der Energie, die vom elektromagnetischen Feld an die geladene Materie abgegeben wird. Die linke Seite hat { fur verschwindende rechte Seite und mit den Identikationen u ! , s ! j { die dierentielle Form einer Kontinuitatsgleichung. Die Interpretation des Resultats liegt somit auf der Hand: die 3-Form u = 21 (E ^ D + B ^ H ) ist die Energiedichte des elektromagnetischen Feldes, und die 2-Form s=E^H ist seine Energiestromdichte. E ^ H hei t traditionell \Poynting-Vektor". Wir nennen diese Gro e besser die Poynting-2-Form. Beachte, da { im Unterschied zur N -Teilchen-Mechanik, wo die potentielle Energie des Systems dem Raum nicht lokal zugeordnet ist { Energie und Energiestrom des elektromagnetischen Feldes lokalisierbar sind: mit Kenntnis von u und s konnen wir quantizieren, wo sich die Energie des elektromagnetischen Feldes bendet und wohin im Raum sie stromt.11 Aufgabe 1.8.2. Fur die in Abschn. 1.7 (Lichtgeschwindigkeit) angegebene Losung der Feldgleichungen gilt: E ^D = B ^H = u = 0 ;1 f (z ;ct)2 dx^dy ^dz und E ^ H = c0 ;1 f (z ; ct)2 dx ^ dy. Interpretiere dieses Ergebnis.

1.9 Anschlubedingungen an Grenzachen Motivation. An der Grenzache zwischen zwei Medien konnen sich in singularer Konzentration Ladungen ansammeln oder Strome ie en. Prominente Beispiele hierfur sind Metall-Vakuum- oder Supraleiter-Vakuum-Grenzachen. Die Ladungen und Strome in der Grenzache werden in makroskopischer Naherung als ausdehnungslos in der zur Grenzache senkrechten Richtung angesehen. Es resultieren dann gewisse Anschlu bedingungen, die festlegen, wie sich die Tangentialkomponenten des elektromagnetischen Feldes uber 11 Die hier angestellte Betrachtung legt u und s nicht eindeutig fest... in die angegebene Form geht eine zusatzliche Hypothese ein...

1.9 Anschlubedingungen an Grenz achen

87

die Grenzache hinweg fortsetzen. Die Herleitung dieser Anschlu bedingungen ist eine einfache Anwendung der homogenen und inhomogenen MaxwellGleichungen in integraler Form. Als Nebenprodukt erhalten wir Me vorschriften fur D und H , welche die schon angegebenen Me vorschriften fur E und B komplettieren. Anschlu bedingungen fur die Feldstarken. Gegeben seien zwei Medien 1 und 2, die von einer R Grenz R ache gegeneinander abgegrenzt werden. Das Induktionsgesetz ; @S E = S B_ erlaubt die Herleitung einer Anschlu bedingung fur die elektrische Feldstarke E in der folgenden Weise. Wie in Abb. 1.8a gezeigt ist, schneiden wir die Grenzache mit einem zweidimensionalen Flachenstuck S . Der Rand @S ist ein geschlossener Weg, der die Grenzache im Punkt a durchsticht, im Medium 1 parallel zur Grenzache (d.h. in konstantem Abstand von ihr) langs 1 verlauft, die Grenzache im Punkt b erneut durchsticht und schlie lich im Medium 2 parallel zu 1 langs 2 zum Ausgangspunkt zuruckkehrt. Die Kurvenstucke senkrecht zur Grenzache haben die Lange `. Wir schicken ` gegen Null. Unter dieser Kontraktion konvergieren die Kurven 1 und 2 gegen ; bzw. (Abb. 1.8b). R Gleichzeitig verschwindet die Flache von S und somit auch das Integral S B_ , denn die Zeitableitung der magnetischen Feldstarke B ist regular. Es folgt

Z

(E (2) ; E (1) ) = 0

wobei E (i) (i = 1 2) den Grenzwert bezeichnet, dem E bei Annaherung an die Grenzache vom Medium i her zustrebt. Aus der Beliebigkeit von schlie en wir nun, da sich die Tangentialkomponenten von E uber die Grenzache hinweg stetig fortsetzen.

(a)

:

Medium 1

a

γ1

b

Querschnitt durch die Grenzflache

γ2

:

l

Flache S

a

1

Medium 2 b

γ

2

(b)

Abbildung 1.8. Skizze zur Herleitung der Anschlubedingung fur die elektrische Feldstarke an der Grenz ache zweier Medien

88


:

ZurR Herleitung einer Anschlu bedingung fur B gehen wir von der Gleichung @V B = 0 aus und wahlen das Gebiet V als einen deformierten Quader, welcher einen Teil der die Medien 1 und 2 gegeneinander abgrenzenden Trennache enthalt (Abb. 1.9). Der Rand von V besteht aus zwei gro en Seitenachen S1 und S2 , die parallel zur Grenzache in den Medien 1 bzw. 2 liegen, und vier kleinen Seitenachen senkrecht zur Grenzache. Die Orientierung des deformierten Quaders bestimmt eine Orientierung auf S1 und auf S2 . Wir lassen die RLange der Kanten senkrecht zur Grenzache wieder gegen Null gehen. Zu @V B tragen dann nur die Flachenstucke S1 ! ;S und S2 ! S bei. Bezeichnen wir den Grenzwert von B bei Annaherung von Grenzflache

S2

S1

(hinten)

:

V

(vorn)

Linie in der Grenzflache

Abbildung 1.9. Skizze zur Herleitung der Anschlubedingung fur die magnetische

Feldstarke

Medium i an die Grenzache mit B (i) (i = 1 2), so erhalten wir

Z

S

(B (2) ; B (1) ) = 0 :

Da S ein beliebiger Teil der Grenzache ist, folgt die Stetigkeit der zur Grenzache tangentialen Komponente von B . In traditionellen Lehrbuchern ndet man an dieser Stelle immer die Aussage, es sei die Normalkomponente von B , die sich stetig verhielte. Dazu ist folgendes anzumerken. Die traditionelle Formulierung des Gesetzes von der Quellenfreiheit der magnetischen Flu dichte B besagt in Worten, da die uber eine geschlossene (aber ansonsten beliebige) Flache integrierte Normalkomponenente des Vektorfeldes B = I ;1 ? B verschwindet. Die sich hieraus ergebende Anschlu bedingung fur B ist \metrisch verseucht", setzt sie doch


89

uber den Begri des Normalenvektors einer Flache eine metrische Struktur voraus, die, wie unsere Herleitung zeigt, fur diesen Zweck uberhaupt nicht gebraucht wird! Wir vertreten den Standpunkt, da physikalische Gro en wie die magnetische Flu dichte B , deren Bestimmung es ist, uber Flachen integriert zu werden, als Dierentialformen zweiten Grades aufzufassen sind. R Nach Abschn. 0.14 ist fur ein orientiertes Flachenstuck S das Integral S B durch die zu S tangentiale Komponente von B vollstandig bestimmt. Um mit der traditionellen Formulierung der Anschlu bedingung ubereinzustimmen, mu ten wir von unseren Konventionen abweichen und in Koordinatendarstellung B = Bxy dx ^ dy + Byz dy ^ dz + Bzx dz ^ dx z.B. die zur xy-Ebene tangentiale Komponente Bxy in \Normalkomponente" umbenennen. Eine solche Umbenennung ware inkonsequent. Anschlu bedingungen fur die Erregungen. Das Verhalten ErR der elektrischen R regung D an Grenzachen wird durch das Gesetz @V D = V bestimmt. Wir betrachten nochmals Abb. 1.9 und fuhren denselben Grenzproze durch wie fur die magnetische Feldstarke B . Falls eines der beiden Medien elektrisch leitet, ist jetzt die Moglichkeit zu berucksichtigen, da sich an der Grenzache elektrische Ladungstrager in sehr hoher Dichte ansammeln. Typischerweise konzentrieren sich solche Oberachenladungen in einer dunnen Schicht von etwa 10;10 Metern Dicke. Fur alle praktischen Zwecke der makroskopischen Physik ist es zulassig, eine so kleine Lange wie 10R ;10m durch Null zu ersetzen. Mit dieser Idealisierung bleibt das Integral V fur ` !R 0 endlich. R Wir denieren die Flachenladungsdichte , eine 2-Form, durch V ! S fur `R ! 0. Mit denselben Schreibkonventionen wie vorher folgt die Gleichung (2) ; D(1) ) = R oder, in dierentieller Form ( D S S (2) (1) (D ; D ) tang = d.h. die Tangentialkomponente von D verhalt sich uber die Grenzache hinweg unstetig, und die Diskontinuitat ist gerade gleich der Flachenladungsdichte . Um eine Anschlu bedingung fur die magnetische Erregung H herzuleiR R ten, gehen wir vom Amp'ere-Maxwell-Gesetz @S H = S (j + D_ ) aus und stellen eine ahnliche U berlegung an wie fur die elektrische Feldstarke E . Der Unterschied zu vorher besteht darin, da wir zwar die Regularitat von D_ { wie zuvor von B_ { voraussetzen, aber singulares Verhalten der Stromdichte j in der Grenzache zulassen. Ein typisches Beispiel sind Vakuum-SupraleiterGrenzachen mit gro en Oberachenstromen in einer Schichtdicke von etwa ` 10;7 Metern, die fur die Zwecke der makroskopischen Physik vernachlassigt werden kann. Wir charakterisieren die singulare Stromdichte an der Grenzache durch die Linienstromdichte k, eine 1-Form, die folgenderma en deniert ist. Betrachte einen in der Grenzache liegenden Weg und ein Flachenstuck S , das die Grenzache langs schneidet (Abb. 1.10). Die Orientierung von S wird so gewahlt, da der Durchlaufsinn von @S im Medium 2 mit dem von ubereinstimmt. Mit diesen Konventionen verlangen

90

1. Prinzipien des Elektromagnetismus ..

Medium 1 (oben)

Grenzflache

γ

S

positiver Strom Medium 2 (unten)

Abbildung 1.10. Das Wegintegral der Linienstromdichte k langs ist gleich dem

kreuzenden Strom. Die positive Stromrichtung wird durch den gestrichelten Pfeil angedeutet.

R

R

wir S j ! k fur ` ! 0, d.h. das Integral der Linienstromdichte langs ist gleich dem kreuzenden Strom. Aus der Denition von j uber die RechteHand-Regel (Abschn. 1.2) ergibt sich die in Abb. 1.10 durch den gestrichelten Pfeil angedeutete positive Stromrichtung. Ausfuhren des Grenzprozesses `R ! 0 im Amp'ere-Maxwell-Gesetz resultiert dann in der Anschlu bedingung (2) ; H (1) ) = R k . Ihre dierentielle Formulierung ( H

(H (2) ; H (1))tang = k besagt, da der tangentiale Teil von H beim Durchgang durch die Grenzache um die Linienstromdichte k springt. Aufgabe 1.9.1. Es seien p ein Punkt in der stromfuhrenden Grenzache und v ein Vektor, der am Punkt p tangential zur Grenzache liegt. Weiter sei u irgendein Vektor, der am Punkt p ins Medium 2 hineinzeigt. Begrunde warum kp (v) unabhangig von der genauen Wahl von u durch den Ausdruck

kp (v) =

Z +" ;"

jp+su (u v)ds

gegeben ist. Me vorschrift fur D. Metallische Leiter werden durch die freie Beweglichkeit eines Teils ihrer Ladungstrager, der sogenannten Leitungselektronen, charakterisiert. Ein Leiter im Gleichgewicht ist in seinem Inneren notwendig elektrisch feldfrei, denn eine von Null verschiedene elektrische Feldstarke wurde ja die frei beweglichen Ladungstrager beschleunigen und einen Strom bewirken. Die Feldfreiheit wird durch Oberachenladungen erzielt, die sich auf der Leiteroberache justament so ansammeln, da sie das Leiterinnere gegen ein au eres elektrisches Feld abschirmen. Wegen D = "0 ? E 12 verschwindet mit 12

Von der metrischen Struktur wird hier kein wesentlicher Gebrauch gemacht. Wir benuzen lediglich E = 0 , D = 0.


91

der elektrischen Feldstarke auch die elektrische Erregung D im Inneren eines Leiters im Gleichgewicht. Dieser Sachverhalt ermoglicht im Prinzip die Messung von D durch folgende Prozedur. Unsere Aufgabe bestehe darin, R fur ein vorgegebenes (orientiertes) Flachenstuck S den elektrischen Flu S D zu messen. Fur diesen Zweck beschaen wir uns eine Me sonde, die aus zwei S nachgeformten, dunnen Metallplatten besteht. Vor Me beginn werden die beiden Platten in den elektrisch neutralen Zustand versetzt und aufeinandergelegt. Die Platten im vereinigten Zustand bringen wir mit dem Flachenstuck S zur Deckung, um sie dann wieder zu separieren (vgl. Abb. 1.11). Die Platten sind jetzt elektrisch geladen. (Wahrend (a)

S

(b)

+Q

(c) +

+ −

+

D=0

−

−

+ −

+Q -Q

-Q

Abbildung 1.11. Zur Messung von D: Zwei Metallplatten werden mit der orientierten Flache S zur Deckung gebracht (a) und dann separiert (b). In (c) ist die Abschirmung des elektrischen Flusses (D = 0) durch die induzierte Flachenladungsdichte in einer Seitenansicht skizziert. Eine gute Abbildung (c) wurde das Abknicken der elektrischen Flulinien andeuten. Die elektrischen Flulinien laufen ja immer senkrecht auf metallische Oberfl achen zu. Auerdem ben otigt die Fl ache eine auere Orientierung.

S

des Kontakts rearrangierten sich die Leitungselektronen, um das Innere der vereinigten Metallplatten gegen die elektrische Feldstarke am Ort der Messung abzuschirmen.) Die Ladungen der beiden Platten sind dem Betrag nach gleich und im Vorzeichen verschieden. Durch das Flachenstuck S wird beiden Platten eine Orientierung mitgegeben. Wir messen die Ladung derjenigen Platte, die von au en gesehen die mathematisch positive Orientierung (Gegenuhrzeigersinn) tragt. Aus der Anschlu bedingung, die D uber eine geladene Platte hinweg fortsetzt, und aus dem Verschwinden von D zwischen den innitesimal Platten folgt, da das Resultat der Messung gleich R D ist. Soll separierten die elektrische Erregung im Inneren eines Festkorpers gemessen S werden, so mussen wir ein Loch bohren und die Me sonde an die betreende Stelle bringen. Falls Zeitabhangigkeit vorliegt, mussen wir schneller messen als das Feld D sich andert. Aufgabe 1.9.2. Die Me vorschrift fur D basiert auf dem Gau schen Gesetz (dD = ). Nun wird aber D durch dD = nicht eindeutig festgelegt, denn mit D ist ja auch D +d Losung der Gleichung! Man konnte daher einwenden, da eine blo e Ladungsmessung zur Bestimmung von D nicht ausreichen kann. Warum funktioniert die Me vorschrift trotzdem?

92


Me vorschrift fur H. Supraleiter13 haben die hochinteressante Eigenschaft, Magnetfelder unterhalb einer kritischen Starke vollstandig aus ihrem Inneren zu verdrangen. Man sagt, Supraleiter seien perfekte Diamagneten. Die Magnetfeldverdrangung wird dadurch erreicht, da an der Oberache eines Supraleiters Strome zirkulieren, deren Magnetfeld das externe Magnetfeld im Inneren des Supraleiters exakt kompensiert. Dieser Eekt gestattet im Prinzip die Messung von H durch eine Prozedur, die der oben beschriebenen Me vorschrift fur D analog ist. Sie basiert auf der Anschlu bedingung fur die Tangentialkomponente von H und funktioniert folgenderma en. Wir stellen Runs die Aufgabe, fur einen beliebigen Weg die magnetische Spannung H zu messen. Dazu verwenden wir einen schlauchformigen Testkorper aus supraleitendem Material (Abb. 1.12). Der Schlauch sei in Form Suprastrom

γ

Abbildung 1.12. Skizze zur Mevorschrift fur H und Lange dem Weg exakt nachgebildet, habe aber einen endlichen Querschnittradius ( 10;7 m) (Erinnerung daran, wie es zu dieser mikroskopischen L ange kommt). Wir bringen den supraleitenden Schlauch an den Me ort. Der Supraleiter setzt dann in Reaktion auf ein au eres Magnetfeld Strome in Bewegung, die an seiner Oberache ie en und die magnetische Flu dichte B , und damit auch die magnetische Erregung H , aus seinem Inneren vollig verdrangen. Auf der Oberache des Schlauches sei eine Me apparatur angebracht (Gedankenexperiment), die es uns gestattet, den um den Schlauch zirkulierenden Oberachenstrom zu messen. Wir messen den Oberachenstrom durch den Weg R . Das Resultat der Messung ist dann gleich der zu messenden Gro e H .

R

Aufgabe 1.9.3. Begrunde warum fur das korrekte Vorzeichen von H die positive Stromrichtung so wie in Abb. 1.12 durch Pfeile angedeutet zu wahlen ist.

13

Supraleitung ist ein quantenmechanisches Vielteilchenphanomen, fur dessen Erklarung wir auf die Lehrbucher der theoretischen Festkorperphysik verweisen mussen.

1.10 Elektrodynamik in Materie

93

1.10 Elektrodynamik in Materie Motivation. Die Gleichungen der elektromagnetischen Theorie zusammen mit dem Kraftgesetz fur bewegte Ladungen geben im Prinzip eine vollstandige Beschreibung elektromagnetischer Phanomene im Rahmen der klassischen Physik. Ihre Gultigkeit setzt jedoch voraus, da in die inhomogenen MaxwellGleichungen wirklich alle Ladungen und Strome eingehen { die in Materie auf atomaren oder mikroskopischen Skalen existierenden eingeschlossen. Dieser Umstand nimmt der oben formulierten exakten Theorie ihre Vorhersagekraft, denn die atomaren Ladungsverteilungen und -bewegungen und ihre Reaktion auf elektromagnetische Felder sind im allgemeinen zu kompliziert, als da wir hoen konnten, sie im Detail zu erfassen. Zudem erfordert ihre korrekte Beschreibung den Formalismus der Quantenstatistik, der den Rahmen dieser Vorlesung bei weitem sprengt. Um das schwierige Problem der Berechnung atomarer Prozesse von unserem eigentlichen Ziel, namlich der Vorhersage makroskopischer elektromagnetischer Phanomene, abzutrennen, fuhren wir Naherungen ein und formulieren eine Maxwellsche Theorie in Materie, welche die mikroskopischen Details auf einfache Weise berucksichtigt. Unser Vorgehen wird dabei so sein, da wir im ersten Schritt ein exaktes Umschreiben der elektromagnetischen Theorie vornehmen. Im zweiten Schritt fuhren wir dann ein Raum- und Zeitmittel durch, das die in Materie rapiden Schwankungen der elektromagnetischen Felder auf mikroskopischen Skalen eliminiert, und ersetzen die Materialgleichungen durch phanomenologische Beziehungen. Wir beginnen, indem wir eine Aufspaltung der Ladungen und Strome in zwei Anteile vornehmen: = ext + mat und j = j ext + j mat: Den jeweils ersten Summanden nennen wir den externen Anteil, den zweiten den Materieanteil. Generell haben wir uns vorzustellen, da sich die externen Ladungen und Strome au erhalb der Materie benden oder jedenfalls durch au eren Zugri manipuliert werden konnen. Im Unterschied hierzu ist der Materieanteil der sich jenseits unserer Kontrolle bendliche Anteil, welcher sich in Reaktion auf die Kraftwirkung elektromagnetischer Felder in Materie einstellt. Die Aufspaltung in zwei Anteile ist nicht immer eindeutig, sondern mu der jeweiligen Problemstellung angepa t werden. Eine sinnvolle Aufspaltung erfullt die Kontinuitatsgleichung _ext + dj ext = 0 : Es folgt dann mit _ + dj = 0 auch die Kontinuitatsgleichung fur Materieladungen und -strome. Wir vereinbaren au erdem, uberschussige Ladungen immer als extern zu zahlen, d.h. mat verschwinde nach Integration uber den gesamten von Materie erfullten Raumbereich. Elektrische Polarisierung. In einem polarisierbaren Medium bewirkt die Anwesenheit elektrischer Felder eine Umorganisation der mikroskopischen Ladungen. Zwei Mechanismen sind zu nennen. Zum einen konnen durch die

94


Kraftwirkung der elektrischen Feldstarke Ladungen, die sich sonst neutralisieren, gegeneinander verschoben werden, zum anderen richten sich permanent getrennte Ladungen, z.B. Molekule mit einem statischen Dipolmoment, langs des elektrischen Feldes aus (Abb. 1.13). Die Umorganisation von Ladungen

+ + + + +

- +

-

- + - +

-

- +

+ - +

Abbildung 1.13. Polare Molekule (z.B. in einem Losungsmittel) richten sich im elektrischen Feld aus.

wird durch die elektrische Polarisierung P , eine 2-Form, R quantitativ erfa t. Fur eine beliebige orientierte Flache S denieren wir S P als die gesamte Materieladung, die infolge der Kraftwirkung der elektrischen Feldstarke durch S \hindurchgeschoben" wurde. Dabei zahlen wir die Materieladung relativ zu einem lokal neutralen Referenzzustand in der fernen Vergangenheit. Ist V ein dreidimensionales Gebiet mit Rand @V , so folgt:

Z

V

mat = Qmat(V ) = ;

Z

@V

P =;

Z

V

dP :

Das Minuszeichen erklart sich aus der Tatsache, da das Hinausie en positiver Ladung durch @V eine entsprechende negative Ladung in V zuruckla t. Die Beliebigkeit von V resultiert in mat = ;dP: U berdeckt V den gesamten materieerfullten Raum, so ergibt R sich wegen P = 0 au erhalb der Materie die Gleichung Qmat(V ) = ; @V P = 0, d.h. die gesamte Materieladung verschwindet in U bereinstimmung mit der oben getroenen Vereinbarung. Magnetisierung. Das magnetische Analogon zu einem elektrisch polarisierbaren Medium ist ein Material, das sich unter dem Einu einer magnetischen Feldstarke B magnetisch ordnet. In der Atomphysik lernt man, da der orbitale Drehimpuls und der Spin von Elektronen in ungesattigten Atomhullen Ursache eines atomaren magnetischen Dipolmoments ist. In einem simplen klassischen Bild konnten wir uns vorstellen, da die Elektronen der Atomhulle sich auf elliptischen Bahnen bewegen, was einem atomaren Kreisstrom, und somit einem magnetischen Dipolmoment (siehe Kap. 2), entspricht. Diese


95

atomaren Kreisstrome werden durch die Kraftwirkung der magnetischen Feldstarke polarisiert, d.h. sie richten sich im Feld partiell aus und addieren sich zu einem lokalen Gesamtstrom, dem sogenannten Magnetisierungsstrom. Zur quantitativen Beschreibung dieses Sachverhalts fuhren wir die Magnetisierung M , eineR 1-Form, ein. Sie ist durch die Forderung deniert, da das Linienintegral M fur eine beliebige Kurve dem um zirkulierenden Magnetisierungsstrom gleich sei (Abb. 1.14).

γ

Abbildung 1.14. Das Linienintegral R M

Magnetisierungsstrom.

ist gleich dem um zirkulierenden

Zur Herleitung einer zu mat = ;dP analogen Formel fur j mat betrachten wir eine orientierte Flache S und berechnen den gesamten Materiestrom I mat(S ) durch S . Dabei ist zu berucksichtigen, da zu I mat(S ) neben dem Magnetisierungsstrom auch der von der zeitlichen A nderung von P herruhrende Polarisierungsstrom beitragt. Es gilt daher Z Z Z Z @ mat mat j = I (S ) = @t P + M = (P_ + dM ) S S @S S woraus die folgende Gleichung resultiert: j mat = P_ + dM : Man uberzeugt sich leicht, da dieser Ausdruck zusammen mit jenem fur mat die Kontinuitatsgleichung fur die Materieladungen erfullt. Wie P verschwindet auch M au erhalb der Materie. Mathematische Argumentation. Vom didaktischen Gesichtspunkt leidet unsere Darstellung unter dem Mangel, da sie ein gewisses Verstandnis der Atomphysik sowie einiger Begrie wie des elektrischen und magnetischen Dipolmoments, die im folgenden erst noch zu entwickeln sind, voraussetzt. Wir wollen deshalb als zusatzliche Information anbieten, da die Gleichungen fur die Ladungs- und Stromdichte in Materie auch mathematisch gut motiviert sind (das Argument ist vollig analog zur Einfuhrung der elektromagnetischen Erregungen D und H in Abschn. 1.4), und zwar wie folgt. Als topdimensionale und deshalb geschlossene Form mit verschwindendem Raumintegral besitzt

96


mat ein Potential: mat = ;dP . Nach obiger Diskussion wird P als die Polarisierung identiziert. Wie mat ist auch die 2-Form j mat ; P_ geschlossen: d(j mat ; P_ ) = ; _mat + _mat = 0. Folglich ist sie nach Poincare auf jedem sternformigen Materiegebiet exakt, und wir konnen j mat ; P_ = dM setzen. Das Potential M la t sich wie oben erlautert als die Magnetisierungs-1-Form auassen. Maxwellsche Theorie in Materie. Es sei betont, da die Polarisierung P im allgemeinen nichtlokal von E abhangt. Anders ausgedruckt wird Pa (::: t) nicht nur durch E am Ort a zur Zeit t bestimmt, sondern auch durch die Werte von E zu fruheren Zeiten t0 < t und anderswo im Raum. Die Ursachen dieser Nichtlokalitat sind die Tragheit und endliche Ausdehnung der Materieladungen.14 Um die nichtlokale oder funktionale Abhangigkeit der Polarisierung von der elektrischen Feldstarke evident zu machen, schreiben wir auch P #E ] fur P . A hnlich wie P #E ] in nichtlokaler Weise von E abhangt, so ist auch M ein im allgemeinen nichtlokales Funktional der magnetischen Feldstarke B , und wir schreiben zur besonderen Betonung dieser Abhangigkeit M #B ] fur M . Wir konnen jetzt die Materieladungen und -strome zugunsten der Polarisierung P und der Magnetisierung M aus den Gleichungen der elektromagnetischen Theorie eliminieren. Dazu denieren wir die 2-Form D = D + P und die 1-Form H = H ; M . Die Gro en D und H sind Hilfsfelder ohne direkte physikalische Bedeutung. Sie genugen den modizierten inhomogenen Maxwell-Gleichungen dD = ; mat = ext und dH = j + D_ ; dM = j + D_ ; j mat = j ext + D_ in die nur noch der externe Anteil der Ladungen und Strome eingeht. Au erdem treten an die Stelle der Materialgleichungen im Vakuum die Beziehungen D = "0 ? E + P #E ] und H = ;0 1 ? B ; M #B ] : Diese Gleichungen drucken die Hilfsfelder D und H durch die elektromagnetischen Feldstarken E und B aus. Infolge der Eigenschaften der Funktionale P #E ] und M #B ] sind sie im allgemeinen zeitlich und raumlich nichtlokal, anisotrop (in Kristallen), inhomogen (in ungeordneten Medien) und nichtlinear (in Ferroelektrika und Ferromagneten). Zusammenfassend haben wir das folgende Gleichungssystem der Maxwellschen Theorie in Materie: inhomogene Materialhomogene Maxwell-Gln Gleichungen Maxwell-Gln ext dD = D = "0 ? E + P #E ] dE = ;B_ ; 1 ext _ dH = j + D H = 0 ? B ; M #B ] dB = 0 14

Die raumliche Nichtlokalitat ist typisch von atomarer Dimension, wahrend die Nichtlokalitat in der Zeit durch atomare Schwingungsdauern bestimmt wird.


97

Phanomenologie. Die obige Reformulierung der Maxwellschen Theorie ist exakt und deshalb genauso schwierig zu behandeln wie die Theorie in ihrer ursprunglichen Form. An die Stelle der Berechnung von mat und j mat tritt jetzt das aquivalente Problem der Berechnung von P #E ] und M #B ]. Die Nutzlichkeit der Umformulierung besteht darin, da sie sich gut fur die Einfuhrung von Naherungen eignet. Zu diesem Zweck fuhrt man zunachst eine Mittelungsprozedur durch, um die rapiden zeitlichen und raumlichen Schwankungen auf atomaren Skalen zu eliminieren. (Wie eine solche Mittelung im Prinzip durchgefuhrt werden kann, ohne die Struktur der Maxwell-Gleichungen zu verletzen, ist Thema von Kap. 3.) Die Mittelung vereinfacht die komplizierten funktionalen Abhangigkeiten P #E ] und M #B ] und la t uns die Materialgleichungen durch einfache \makroskopische" Beziehungen ersetzen. Homogenes Dielektrikum. Im Fall eines homogenen Dielektrikums gilt per Denition des dielektrischen Tensors "kij = ;"kji

Dij (x t) = "0

Z 1 Z X 0

k

"kij (x ; x0 t ; s)Ek (x0 s)d3 x0

!

ds :

Fur ein isotropes Medium im statischen Limes reduziert sich "kij zu einer einzigen skalaren Gro e ", und wir erhalten die simple Materialgleichung D = "0 " ? E : Homogenes Magnetikum. Im magnetischen Fall ist es Konvention, die Feldstarke durch die Erregung auszudrucken. Die Materialgleichungen in linearer Naherung lauten dann

Bij (x t) = 0 kij =

Z 1 Z X 0

!

kij (x ; x0 t ; s)Hk (x0 s)d3 x0 ds :

k k ;ji hei t der Tensor der magnetischen Permeabilitat. Im isotropen

und statischen Limes resultiert wieder ein sehr einfaches Gesetz: B = 0 ? H : Fur > 1 wird B , die totale magnetische Feldstarke in Materie, relativ zum au eren Feld B ext = 0 ? H verstarkt. Das magnetische Medium hei t in diesem Fall ein Paramagnet. Im umgekehrten Fall (0 < < 1) liegt ein Diamagnet vor. Supraleiter, die ein au eres Magnetfeld vollstandig verdrangen, sind perfekte Diamagneten ( = 0). Ohmsches Gesetz. Die Gleichungen der Elektrodynamik in Materie eignen sich besonders gut zur Beschreibung von Dielektrika und magnetischen Materialien. Anders ist die Situation in metallischen Leitern. Die vollstandige Abschirmung au erer Felder im Gleichgewicht entspricht einer divergenten dielektrischen Konstanten (" = 1). In Metallen bewirkt die Anwesenheit eines elektrischen Feldes (im quasi-stationaren oder dynamischen Fall) mehr als nur eine elektrische Polarisierung. Die Kraftwirkung der elektrischen Feldstarke

98


beschleunigt die Leitungselektronen, und dissipative Prozesse, wie z.B. Kollisionen mit dem Atomgitter, bewirken dann eine Relaxation (uber Zeitskalen der Gro enordnung 10;14s) zu einem stromfuhrenden Zustand, der durch das Ohmsche Gesetz j =?E bestimmt ist. Die Materialkonstante hei t die elektrische Leitfahigkeit. Sie hat die physikalische Dimension #] = Strom=(Spannung Lange). Zum Beispiel hat Kupfer bei T = 300K (Zimmertemperatur) die elektrische Leitfahigkeit = 5:7 107(Ohm Meter);1 . Dabei ist 1 Ohm = 1 Volt/Ampere die Einheit des elektrischen Widerstandes im SI-Ma system.

1.11 Flulinien Dieser Abschnitt spielt eine zentrale Rolle in der Didaktik dieser Vorlesung. Hier wird der physikalische Inhalt der Gleichungen der Elektrodynamik mit Hilfe des Flulinienbildes veranschaulicht. Flulinien sind besser als Feldlinien... Eine kritische Diskussion der Vorz uge und Defizite der traditionellen Feldlinien findet man in den Feynman Lectures on Physics. Feynman kritisiert insbesondere die fehlende relativistische Kovarianz des Feldlinienkonzepts. In Kap.?? werden wir sehen, wie sich die Flulinien von und zu den Weltfl achen der Faraday- und Maxwell-2-Formen relativistisch erweitern. Zun achst wird wiederholt, was man unter einer Stromform versteht. An die Operationen inneres Produkt, aueres Produkt, Cartan-Ableitung und Sternoperator auf Stromformen wird erinnert, und es wird dann zu den Ketten spezialisiert. Die 2-Formen der magnetischen Feldst arke , der elektrischen Erregung und der elektrischen Stromdichte werden im 3 durch 1-Ketten approximiert und veranschaulicht. Die Linien der 1-Kette von heien elektrische Stromlinien, die Linien der 1-Ketten von und heien magnetische bzw. elektrische Flulinien. Die 1-Formen der elektrischen Feldst arke und der magnetischen Erregung werden durch 2-Ketten approximiert und veranschaulicht. Der 3-Form der elektrischen Ladungsdichte entspricht eine 0-Kette, d.h. ein System von Punktladungen. (Magnetische Flulinien sind ubrigens kein rein theoretisches Konstrukt sondern haben eine physikalische Realit at in Typ-II-Supraleitern in der gemischten Phase. Eine entsprechende Realisierung elektrischer Flulinien ist nicht bekannt. Allerdings kennt man den gluonischen String der Quantenchromodynamik.]) Zuerst interpretieren wir das Gesetz von der Quellenfreiheit der magnetischen Fludichte (d = 0). Als Stromform betrachtet l at sich durch eine 1-Kette approximieren. Das Gesetz d = 0 wird dann zu = 0. Der Rand der 1-Kette von verschwindet also,

B

D

j

D

B

E

B

E

H

B

B

;@B

B

B

E

j

1.11 Flulinien

99

B

und wir k onnen sagen, da aus randlosen Linien zusammengesetzt ist: magnetische Flulinien haben keinen Anfang und kein Ende. Abbildung: einige erlaubte Konfigurationen magnetischer Flulinien Ganz analog interpretieren wir das Gausche Gesetz d = . Die (als Stromform aufgefate und durch eine 1-Kette approximierte) elektrische Erregung setzt sich aus elektrischen Flulinien zusammen, die elektrische Ladungsdichte aus Punktladungen. Das Gausche Gesetz wird zu = . Dies bedeutet, da elektrische Flulinien entweder geschlossen sind ( = 0 = 0) oder aber auf positiven Ladungen beginnen und auf negativen enden. Die Zuordnung positiv Anfang, und negativ Ende (und nicht umgekehrt) ber ucksichtigt das Minuszeichen im reformulierten Gauschen Gesetz.] Abbildung: einige mit dem Gauschen Gesetz vertr agliche Konfigurationen elektrischer Flulinien. Beachte, da diese Abbildung wie auch die letzte keiner realen physikalischen Situation entspricht. (Die Studenten wollen an dieser Stelle immer wissen, wie das Feld denn nun ``wirklich aussieht''.) Die Abbildung illustriert lediglich den physikalischen Inhalt des Gauschen Gesetzes und sonst nichts. (Um herauszufinden, wie das Feld wirklich aussieht, m ussen alle Gleichungen der Elektrodynamik gleichzeitig betrachtet und gel ost werden.) Im Flulinienbild wird das Integral S ganz einfach durch (v ollig metrikfreies) Abz ahlen der kreuzenden Flulinien berechnet. (Wenn alle Flulinien denselben Flu tragen, multiplizieren wir einfach mit dem Elementarflu, ansonsten ist nat urlich jede Flulinie mit dem ihr eigenen Flu zu gewichten.) Eine analoge Aussage gilt f ur das Integral S .

D

D

;@D

$ @D

$

$

R B

S

R D

Abbildung 1.15. _ =d . Deutung des Induktionsgesetzes Betrachte zun achst den statischen Limes _ = 0. Unter der Approximation von durch eine 2-Kette wird die Gleichung d = 0 zu = 0, d.h. die kleinen Fl achenst ucke der 2-Kette von m ussen sich zu randlosen oder geschlossenen Fl achen, sogenannten Aquipotential achen,

;B

E

E B

E

E

@E

100


E

zusammenf ugen. (Der Rand von im dynamischen Fall entspricht dem, was man gew ohnlich das dem Vektorfeld von zugeordnete Wirbelfeld nennt.) Genauer gesprochen symbolisiert jede solche Fl ache einen Spannungsabfall. Die Spannung wird berechnet, indem man die Spannungsabf alle an den vom Weg durchstoenen Fl achen von aufsammelt.

RE

E

E

+ + + + -

Abbildung 1.16. Jetzt kommen wir zur dynamischen Interpretation des Induktionsgesetzes. Dies ist etwas heikel, weil die Bildung der Zeitableitung _ einen weiteren Grenz ubergang erfordert, was die Anschauung erschwert. (Zu einer wirklich befriedigenden Interpretation werden wir erst im Rahmen der relativistischen Formulierung gelangen.) Eine wandernde magnetische Flulinie zieht wie ein Komet einen ``Schweif'' elektrischer Feldst arke hinter sich her... Eine pfiffige Idee ist, einen ``Zaun'' von magnetischen Flulinien (am besten in der Zaunebene selbst) wandern zu lassen. Das Induktionsgesetz behauptet dann, da die Zaunfl ache ein Fl achenst uck der 2-Kette von ausmacht (Beweis mittels Lie-Ableitung...) Analoges Vorgehen f ur das Amp ere-Gesetz (Sprechweise noch nicht eingef uhrt): aus d = wird = . Folglich liegen die Rander der Fl achenst ucke der magnetischen Erregung (in der Magnetostatik) genau auf den Stromlinien der elektrischen Stromdichte ... Versuch einer Interpretation des dynamischen Amp ere-Maxwell-Gesetzes... Weitere Themen:... Deutung der Lorentz-Kraftform qv im Flulinienbild... Anschauliche Deutung der Poynting-2-Form als 1-Kette (den Stromlinien der Energie), die sich als Durchschnitt der 2-Ketten von und ergibt...

B

E

H j

@H j

i B

E

H

H

E ^H

j

2. ElektroMagnetostatik

Thema dieses Kapitels ist die Maxwellsche Theorie im statischen Limes, d.h. in Grenzfallen, wo die Zeitableitungen der elektromagnetischen Felder und ihrer Quellen verschwinden oder vernachlassigbar klein sind. Die Analyse des statischen Grenzfalls ist ein nutzlicher Schritt hin zum Verstandnis der vollen dynamischen Theorie. Historisch war es so, da die Elektrodynamik aus bereits bekannten, im statischen Limes gultigen Gesetzen (Coulomb-Gesetz und Amp'ere-Gesetz) durch die von Faraday und Maxwell entdeckten bzw. postulierten Erweiterungen erhalten wurde. Fur den Studenten hat die Untersuchung der Statik den didaktischen Vorteil strukturell einfacherer Gleichungen, an denen sich der noch ungewohnte mathematische Formalismus illustrieren und einuben la t. Au erdem kann die Losung der statischen Gleichungen auch fur das Verstandnis dynamischer Vorgange hilfreich sein. Bekanntlich haben die Naturgesetze nach dem Einsteinschen Relativitatsprinzip in allen Inertialsystemen dieselbe Form. Diese Kovarianzeigenschaft ermoglicht es zum Beispiel, das elektromagnetische Feld einer gleichformig geradlinig bewegten Ladungsverteilung aus dem Feld der ruhenden Ladungsverteilung in einfacher Weise durch Transformation der Raum-Zeit-Koordinaten zu gewinnen. Der statische Grenzfall ist formal dadurch erklart, da alle Zeitableitungen durch Null ersetzt werden: _ = 0, D_ = 0, B_ = 0 usw. Die Gleichungen der elektromagnetischen Theorie zerfallen dann in zwei Teilsysteme: dD = D = "0 ? E dE = 0 (Elektrostatik) dH = j B = 0 ? H dB = 0 : (Magnetostatik) In das erste System geht nur das elektrische Feld ein, in das zweite nur das magnetische. Dementsprechend nennen wir die beiden Teilsysteme die Elektrostatik bzw. Magnetostatik. Der statische Grenzfall dH = j des Amp'ereMaxwell-Gesetzes hei t das Amperesche Gesetz. Die Gleichung dE = 0 besagt, da die elektrische Feldstarke in der Elektrostatik wirbelfrei ist. Zwischen den Gleichungssystemen der Elektro- und Magnetostatik besteht oensichtlich eine starke formale A hnlichkeit. Wir werden sehen, da infolge dieser A hnlichkeit die Losungsmethoden im wesentlichen identisch sind, weshalb wir die zwei Systeme weitgehend parallel behandeln konnen.

102


Diese Einheitlichkeit ist es, was durch die unkonventionelle Wahl der Kapiteluberschrift angekundigt werden soll. Ein Caveat zur Magnetostatik ist angebracht. Aus dem Amp'ereschen Gesetz folgt durch Dierenzieren dj = d(dH ) = 0. Fur die mathematische Konsistenz des magnetostatischen Gleichungssystems ist also die Quellenfreiheit der elektrischen Ladungsdichte notwendige Voraussetzung. Was hier besonders betont werden soll, ist, da dj = 0 global (und nicht etwa nur lokal) erfullt sein mu . Ist dj = 0 auf Teilen des Raumes verletzt, kann die Anwendung des Amp'ere-Gesetzes zu Widerspruchen fuhren. Ein Standardbeispiel ist das folgende. Betrachte eine punktformige Ladungsquelle, von der ein spharisch symmetrischer und zeitlich konstanter Stromu ausgeht. Experimentell la t sich eine solche Quelle als radioaktive Probe (z.B. 1 Gramm des Elements X { hier ist noch ein radioaktives Element mit einer geeigneten Halbwertszeit auszusuchen) realisieren. F ur Zeiten, die viel kurzer als die Halbwertszeit der Quelle sind, kann der Stromu im Kurzzeitmittel als stationar angesehen werden, was eine \statische" Situation suggeriert. Aufgrund des Ladungserhaltungssatzes gilt au erdem dj = 0 au erhalb der Probe, wo _ = 0 ist. Weil H = 0 in der Magnetostatik j = dH = 0 impliziert, konnte man jetzt den Fehlschlu ziehen, da die beschriebene Anordnung (fur die j ja von Null verschieden ist) ein Magnetfeld produzieren mu . Ein von Null verschiedenes Magnetfeld stunde aber im Widerspruch zur spharischen Symmetrie des Problems (in welche Richtung sollte der magnetische Flu denn zeigen?!) und liegt in Wirklichkeit auch gar nicht vor. Warum ist das Amp'ereGesetz hier nicht anwendbar? Die Antwort lautet, da der radial nach au en gerichtete Strom auf der radioaktiven Probe eine Gesamtladung zuruckla t, die mit der Zeit anwachst. Dadurch wird nach dem Gau schen Gesetz ein zeitlich veranderlicher elektrischer Flu (D_ 6= 0) erzeugt, der im Amp'ereMaxwell-Gesetz nicht vernachlassigt werden darf. (Vor dem Hintergrund

der anschaulichen Deutung des Amp ere-Maxwell-Gesetzes durch Flulinien ist dieser ganze Sachverhalt sofort klar.)

Aufgabe 2.0.1. Zeige j + D_ = 0 fur die beschriebene Anordnung.

2.1 Elementare Anwendungen An zwei elementaren Beispielen soll der praktische Umgang mit dem vielleicht noch ungewohnten au eren Kalkul demonstriert werden.

2.1.1 Elektrostatik: Kugelkondensator Aufgabe 2.1.1. Im E3 mit dem kartesischen Koordinatensystem fo ex ey ez g denieren wir spharische Polarkoordinaten (oder Kugelkoordinaten) r ' wie ublich durch x = r sin cos ', y = r sin sin ' und z = r cos . Zeige: (1) Die Volumenform = dx ^ dy ^ dz wird in Kugelkoordinaten durch

2.1 Elementare Anwendungen

103

= r2 sin dr^d^d' ausgedruckt. (2) Die drei 1-Formen (dr rd r sin d') bilden au er auf der z -Achse eine rechtshandige (lokale) Orthonormalbasis. (3) ?dr = r2 , wobei = sin d ^ d' die auf den Koordinatenursprung o bezogene Raumwinkelform ist. (4) Jede bzgl. o drehinvariante 1-Form bzw. 2-Form ist von der Gestalt f (r)dr bzw. g(r) . Feld einer kugelsymmetrischen Ladungsverteilung. Fur eine vorgegebene, bzgl. des Ursprungs drehinvariante Ladungsdichte = !(r)dx ^ dy ^ dz soll das zugehorige elektrische Feld berechnet werden. Naheliegend aufgrund der Symmetrie des Problems ist der \radiale" Ansatz E = f (r)dr. Als erstes uberprufen wir, da dieser Ansatz der Forderung der Wirbelfreiheit (dE = 0) genugt. Dierenzieren gibt dE = f 0 (r)dr ^ dr was wegen dr ^ dr = ;dr ^ dr = 0 tatsachlich verschwindet. Um nun eine Bestimmungsgleichung fur die unbekannte Funktion f (r) zu erhalten, setzen wir den Ansatz unter Verwendung der Materialgleichung in das Gau sche Gesetz ein: ="0 = dD="0 = d ? E = d(f (r) ? dr) = d(r2 f (r) ) @ ;r2 f (r)dr ^ = 1 @ ;r2 f (r)dx ^ dy ^ dz = @r r2 @r wobei fur das funfte Gleichheitszeichen die Geschlossenheit der Raumwinkelform (d = 0 fur r > 0) benutzt wurde. Vergleich der rechten Seite mit der Koordinatendarstellung von liefert eine gewohnliche Dierentialgleichung 1. Ordnung fur f (r): 1 @ r2 f (r) = !(r)=" : 0 r2 @r Hieraus folgt durch einfache Quadratur das Ergebnis ZR f (R) = " 1R2 !(r)r2 dr : 0 0 Beispiel 2.1.1 (Kugelkondensator). Der Kugelkondensator ist eine konzentrische Anordnung zweier metallischer Kugelschalen mit entgegengesetztem Ladungszustand (Abb. 2.1). Sei Q die Ladung auf der inneren Kugelschale mit Radius R1 und ;Q die Ladung auf der R au eren mit Radius R2. Ausfuhren des Radialintegrals gibt in diesem Fall 01 !(r)r2 drR = const fur R1 < R < R2 , und Null sonst. Mit dx ^ dy ^ dz = dr ^ r2 und = 4 folgt const = Q=4 und

Q dr=r2 fur R1 < r < R2 E = 4" 0 sonst : 0

Die elektrische Spannung U des Kondensators ist deniert als das Wegintegral der elektrischen Feldstarke zwischen zwei Punkten a und b auf der inneren bzw. au eren Kugelschale. Der Wert dieses Integral hangt nur von den beiden Radien ab: Zb Q Z b dr = Q Z R2 dr = Q 1 ; 1 : U = E = 4" 4"0 R1 r2 4"0 R1 R2 0 a r2 a

104


R2

R1

Abbildung 2.1. Kugelkondensator im Querschnitt Unter der Kapazitat C eines Kondensators versteht man das Verhaltnis von Ladung Q zu Spannung U . Fur den Kugelkondensator resultiert C = Q=U = 4"0 R1 R2 =(R2 ; R1 ) : Aufgabe 2.1.2. (1) Berechne die im Zwischenraum enthaltene Feldenergie Wfeld . (2) Wie gro ist die Energie w(Q)Q, die man aufbringen mu , um die innitesimale Ladungsmenge Q von der inneren zur au eren Schale zu transportieren? Welche Energie Wkonf ist daher notig, um die Konguration aufzubauen? Vergleiche das Ergebnis mit Wfeld . (3) Wie andert sich die Kapazitat des Kugelkondensators, wenn der Zwischenraum von einem (nichtleitenden) Dielektrikum mit der dielektrischen Konstanten " > 1 ausgefullt wird?

2.1.2 Magnetostatik: Messung von 0 Aufgabe 2.1.3. Zylinderkoordinaten r ' z entstehen aus den kartesischen Koordinaten x y z dadurch, da man in der xy-Ebene zur Polardarstellung ubergeht: x = r cos ', y = r sin '. Zeige: (1) Die drei 1-Formen (dr d' dz ) bilden fur r 6= 0 eine rechtshandige Orthogonalbasis mit (dr dr) = 1 = (dz dz ) und (d' d') = 1=r2 . (2) Der Sternoperator wirkt wie folgt: ?(dz ^ dr) = rd', ?(dr ^ d') = r;1 dz und ?(d' ^ dz ) = r;1 dr. Magnetfeld eines unendlich langen, geraden, stromfuhrenden Drahtes. Gegeben sei in Zylinderkoordinaten r ' z die Stromdichte

2 fur r < R j = dr ^ rd' I=R 0 sonst : Sie beschreibt den homogenen Stromu eines unendlich langen, geraden und um die z -Achse zentrierten Drahtes mit kreisformiger Querschnittsache R2

2.1 Elementare Anwendungen

105

und Gesamtstrom I . 1 Wie sieht das Magnetfeld eines solchen Stromusses aus? Dazu machen wir den allgemeinsten zylindersymmetrischen Ansatz: B = f (r)dr ^ d' + g(r)d' ^ dz + h(r)dz ^ dr : (Sicherlich ist das Resultat fur B jedem Physik-Studenten aus dem Einfuhrungskurs langst bekannt, aber wir stellen uns hier \dumm" und wollen sehen, ob wir mit dem allgemeinen Ansatz zurechtkommen.) Die Quellenfreiheit der magnetischen Feldstarke (dB = 0) erfordert g0 (r) = 0 und somit g(r) = g0 = const. Nun ist aber die 2-Form g0 d' ^ dz wegen der Unbestimmtheit der Winkel-1-Form d' auf der z -Achse r = 0 singular. (Regular ware rd' ^ dz mit einem zusatzlichem Faktor r.) Da es hier keinen Grund fur das Auftreten von Singularitaten in B gibt, folgt g0 = 0. Im nachsten Schritt ubersetzen wir die Feldstarke B mit der Materialgleichung in die Erregung H : 0 H = ?B = r;1 f (r)dz + rh(r)d' : Einsetzen dieses Ausdrucks in das Amp'eresche Gesetz liefert @ ;f (r)=rdr ^ dz + @ ;rh(r)dr ^ d' : 0 j = d(0 H ) = @r @r Durch Vergleich mit der vorgegebenen Stromdichte j folgen die Dierentialgleichungen @=@r (f (r)=r) = 0 und

1 @ rh(r) = 0 I=R2 fur r < R 0 sonst : r @r Die regularen Losungen dieser Gleichungen sind f (r) = f0 r bzw.

2 fur r < R h(r) = 20I r=R h0 =r sonst : Die Stetigkeit von H erfordert h0 = 1. Unbestimmt bleibt dagegen die Integrationskonstante f0 . Wie sollen wir das interpretieren? Hierzu ist zu bemerken, da B = f0 dr ^ rd' = f0 dx ^ dy eine Losung des homogenen Gleichungssystems d ?B = 0 = dB ist. Nun kann man zu einer Losung B von d ?B = 0 j und dB = 0 immer eine beliebige Losung des homogenen Systems hinzufugen und erhalt wieder eine Losung. Welche Losung die physikalisch richtige ist, wird erst durch die Angabe zusatzlicher Forderungen, oder Randbedingungen, festgelegt. (Diese Unterbestimmtheit bei fehlenden Randbedingungen ist eine generelle Eigenschaft linearer Dierentialgleichungen.) Wir suchen hier das Magnetfeld des stromfuhrenden Drahts und weiter nichts.2 Die fur unsere Zwecke richtige Losung wird also durch die Forderung B = 0 fur I = 0 bestimmt. Es folgt f0 = 0 und insgesamt 1

Vor dem Hintergrund der zu Anfang des Kapitels ausgesprochenen Warnung ist dieses Beispiel als schwach pathologisch einzustufen. Ein unendlich langer, gerader, stromfuhrender Draht akkumuliert Ladungen im Unendlichen. Dieses Problem lat sich dadurch umgehen, da man z = +1 mit z = ;1 identiziert. 2 Als Ursache des raumlich konstanten Magnetfeldes B = f0 dx ^ dy konnten wir uns eine kosmische Spule vorstellen, die den gesamten Raum umschliet.

106


2 fur r < R B = 20I dz ^ dr r=R 1=r sonst : Wie man an H = const d' (fur r > R) erkennt, fallt die magnetische Spannung langs der Koordinatenlinien des Winkels ' ab oder, anders ausgedruckt, der magnetische Flu zirkuliert um den Draht (Abb. 2.2).

B I

Abbildung

2.2. Magnetische Flulinien eines stromfuhrenden Drahtes Orientierung ist anzupassen

Festlegung von 0 . Wir kommentieren jetzt die Festlegung der empirischen Konstanten 0 im SI-Ma system. Dazu bringen wir in das eben berechnete Magnetfeld einen geraden Testdraht der Lange L. Der Testdraht sei praktisch ausdehnungslos und trage den Strom I 0 . Seine beiden Endpunkte seien mit p und p0 bezeichnet. Nach Aufg. ?? ist die Linearform der auf den Testdraht wirkenden Lorentz-Kraft K durch

K = I0

Z1 0

Bp+s(p0 ;p) ( p0 ; p)ds :

gegeben. Fur eine parallele Anordnung der Drahte (p0 ; p = Lez ) erhalten wir 0 II 0 L (dr) : K = I 0 Bp ( Lez ) = ; 2r (p) p Die Lorentz-Kraft zeigt fur II 0 > 0 radial nach innen, d.h. die beiden Drahte ziehen sich an, wenn die Strome in die gleiche Richtung ie en. Pro Lange L des Testdrahtes hat die Kraft im Abstand d = r(p) den Betrag 0 II 0 =2d. Im SI-Ma system trit man die willkurliche Festlegung 0 = 4 10;7Newton=(Ampere)2 . Hiermit folgt: Denition 2.1. 1 Ampere ist der Strom, den zwei unendlich lange, gerade, parallele Drahte tragen, wenn sie im Abstand von 1 Meter die Kraft 2 10;7 Newton pro Meter (ihrer Lange) aufeinander ausuben.

2.2 Poisson-Gleichung

107

Umgekehrt lie e sich die Naturkonstante 0 nach einer unabhangigen Festlegung der Stromeinheit durch die Messung der Kraft zwischen stromfuhrenden geraden Leitern nach obiger Formel bestimmen. Aufgabe 2.1.4. Gegeben sei die statische und quellenfreie Stromdichte j = f (x)dx ^ dy (mit irgendeiner Funktion f : R ! R). Um die RAkkumulation von Ladungen im Unendlichen zu vermeiden, verlangen wir R f (x)dx = 0 und f ( 1) = 0. Wie sieht das Magnetfeld dieser Stromdichte aus?

2.2 Poisson-Gleichung Das Gleichungssystem der Elektrostatik wie auch der Magnetostatik la t sich als Poisson-Problem auassen. Fur vorgegebene Ladungen und Strome ist dieses Problem eindeutig und in geschlossener Form losbar.

2.2.1 Elektrostatik Elektrostatisches Potential. Als unmittelbare Konsequenz der Wirbelfreiheit der elektrischen Feldstarke (dE = 0) ist in der Elektrostatik das Linienintegral von E langs eines beliebigen geschlossenen Weges = @S gleich Null:

Z

E=

Z

@S

E=

Z

S

dE = 0 :

Wir sagen auch, da die elektrostatische Ringspannung langs jeder Schleife = @S verschwindet. Betrachte nun zwei Wege 1 und 2 , die den Anfangsund Endpunkt a bzw. b gemein haben. Die Dierenz der Wege ist dann eine Schleife, 1 ; 2 = @S , und 0=

Z

@S

E=

Z

1 ; 2

E ()

Z

1

E=

Z

2

E:

Eine zum Verschwinden der Ringspannung aquivalente Aussage ist also, da R die Spannung E nur vom Rand @ = b ; a abhangt, nicht aberR vom Weg selbst. Es existiert daher eine Funktion mit der Eigenschaft E = (a) ; (b) fur jede Kurve : #0 1] ! E3 mit (0) = a und (1) = b. Diese Funktion ist nur bis auf eine additive Konstante bestimmt und hei t ein elektrostatisches Potential. Der dierentielle Zusammenhang zwischen E und lautet E = ;d. Potential einer Punktladung. In Abschn. 2.1.1 hatten wir das elektrische Feld eines um den Koordinatenursprung o zentrierten Kugelkondensators mit Ladung q und Radien R1 und R2 berechnet. Fur die Feldstarke im Zwischenraum R1 < r < R2 ergab sich E = (q=4"0)dr=r2 . Wir schicken jetzt R2 ! 1 und R1 ! 0. Was wir dann erhalten, ist das Feld einer Punktladung q am Ort o (mit einer neutralisierenden Ladung ;q im Unendlichen).

108


Bendet sich die Ladung am Ort p, so ist die auf den Ursprung bezogene Abstandsfunktion r durch den Abstand von p, rp (p0 ) = d(p p0 ) = jp ; p0 j, zu ersetzen: 1 q d r q p E = 4" r2 = ; 4" d r : 0 p

0

p

Durch Integration des Dierentials entsteht die Potentialdierenz zwischen zwei Punkten, 1 1 q ; : (a) ; (b) = 4" 0 rp (a) rp (b) Hieraus erhalten wir mit der Konvention (1) = 0 die Formel = 4"q r : 0 p

Das elektrostatische Potential einer am Ort p ruhenden Punktladung ist also invers proportional zum Abstand von p. Die Gro en und E = ;d sind wohldeniert auf E3 n fpg. Poisson-Gleichung. Durch Einsetzen von D = "0 ?E = ;"0 ? d in das Gau sche Gesetz (dD = ) erhalten wir die Gleichung = ;"0 d ? d. Anwenden des Sternoperators auf beiden Seiten ergibt ?d ? d = ; ? ="0 : Mit dem Operator : k+1 (E3 ) ! k (E3 ), 7! (;1)k ?;1 d ? la t sich die linke Seite auch in der kurzeren Form d schreiben. Die Verkettung d ist eine Halfte des Laplace-Operators 4 = d + d . Die andere Halfte durfen wir wegen = 0 ( verschwindet auf den Funktionen) erganzen. Es folgt 4 = ; ? ="0 : Die Gleichung 4f = g fur eine unbekannte und eine bekannte Funktion f bzw. g hei t Poisson-Gleichung. Wir sehen, da das elektrostatische Potential einer Poisson-Gleichung genugt. Im ladungsfreien Raum ( = 0) erfullt die Laplace-Gleichung 4 = 0. Losung der Poisson-Gleichung. Mit der uns schon bekannten Formel fur das Potential einer Punktladung konnen wir die Losung der Poisson-Gleichung sofort angeben. Fur eine Anordnung von N Ladungen qi an den Orten pi entsteht durch lineare Superposition N 1 X qi : (p) = 4" 0 i=1 jp ; pi j Im Limes einer kontinuierlichen Ladungsdichte wird die Summe zu einem Integral, 1 Z (p) = 4" 0 U rp


109

wobei wir voraussetzen, da alle Ladungen in einem beschrankten Raumgebiet U E3 enthalten sind. Fur eine vorgegebene Ladungsdichte ist das elektrostatische Problem hierdurch auf die Auswertung von Integralen zuruckgefuhrt und kann als im Prinzip gelost betrachtet werden. Damit ist das Thema der Elektrostatik aber mitnichten erschopft, denn die Ladungsdichte ist in vielen Fallen a priori unbekannt und mu erst berechnet werden. Beispiel 2.2.1. Die Voraussetzung der Beschranktheit von U garantiert die Existenz des Integrals. Sie la t sich abschwachen, aber nicht vollig eliminieren, wie das folgende Gegenbeispiel zeigt. Betrachte einen unendlich langen, geraden, metallischen Draht mit Ladung q pro Lange `. Der Draht liege auf der z -Achse. Ohne Muhe la t sich verizieren, da die Funktion q ln R=px2 + y2 = 2`" 0

mit einer beliebigen Konstanten R > 0 ein Potential fur dieses Problem ist. Andererseits fuhrt die Anwendung der Losungsformel fur die PoissonGleichung hier auf ein divergentes Integral: Z ? q (p) = 4`" p 2 dz 2 =1: 0 R x (p) + y (p) + z 2 (Der gewunschte Ausdruck fur la t sich wiedergewinnen, indem man das z -Integral bei z = R=2 mit R2 x2 (p) + y2 (p) abschneidet.)

2.2.2 Magnetostatik Vektorpotential. Auf einem sternformigen Gebiet U E3 ist die Bedingung dB = 0 durch B = dA global losbar. Die 1-Form A hei t ein Vektorpotential von B . Sie ist nicht eindeutig bestimmt, denn mit A lost auch A + d (mit einer beliebigen Funktion ) die Gleichung B = dA. Die Transformation A 7! A + d hei t Eichtransformation. Mitteilung. So wie wir das Vektorpotential eingefuhrt haben, bekommt man den Eindruck, es handle sich um ktive Hilfsgro e ohne direkte Beobachtbarkeit oder Realitat. Obwohl sich einer solchen Auassung im Rahmen der klassischen Elektrodynamik nicht ernsthaft widersprechen la t, wird man in der Quantenmechanik geladener Teilchen (z.B. durch den Aharonov-BohmEekt) eines anderen belehrt. Eine Andeutung von dieser tieferen Bedeutung gibt die Lagrange-Formulierung der Elektrodynamik (Kap. ??), die auf dem Vektorpotential (oder genauer: seiner relativistischen Erweiterung, dem Eichpotential) als dem fundamentalen Feld beruht. Coulomb-Eichung. Wir setzen 0 H = ?B = ?dA in das Amp'eresche Gesetz dH = j ein und wenden auf beiden Seiten den Sternoperator an. Dann folgt: ?d ? dA = 0 ? j :

110


Die linke Seite ist gleich ;dA. Wahlen wir A nun so, da A verschwindet, dann haben wir ;dA = ;(d + d)A = ;4A und es folgt eine Gleichung vom Poisson-Typ fur A: 4A = ;0 ? j (falls A = 0) : Die Nutzlichkeit des Vektorpotentials besteht also darin, da es uns die Reduktion des magnetostatischen Problems auf ein Poisson-artiges Problem ermoglicht. Die Bedingung A = 0 hei t Coulomb-Eichung. In kartesischen Koordinaten (A = Ax dx + Ay dy + Az dz ) lautet sie @Ax + @Ay + @Az = 0 : @x @y @z Die Coulomb-Eichung la t sich immer erfullen. In der Tat konnen wir fur A = f 6= 0 das Dierential einer Losung der Poisson-Gleichung ;4 = f zu A addieren, und es gilt dann (A + d) = A + 4 = f ; f = 0 d.h. das eichtransformierte Vektorpotential A0 = A+d genugt der CoulombEichung. P Losung der Poisson-Gleichung. Wir schreiben ?j = k (?j )k dxk . Mit der (nur in kartesischen Koordinaten gultigen!) Relation

4

X

!

X Ai dxi = (4Ai) dxi i i

folgt dann

@2 @2 @2 4Ak = @x 2 + @y 2 + @z 2 Ak = ;0 (?j )k

(k = x y z ) :

Dies sind drei entkoppelte Poisson-Gleichungen fur die kartesischen Komponenten von A. Ihre Losung ist uns aus der Elektrostatik bereits bekannt: Z Ak (p) = 40 (?jr )k dx ^ dy ^ dz (k = x y z ) : U p U ist hier ein beschranktes Gebiet, au erhalb dessen die Stromdichte verschwindet. Vektorpotential einer Stromschleife. Die Rechnung im folgenden Beispiel

ist noch unn otig umst andlich. Besser w are es, bereits hier die Relation die f ur eine Schleife mit Strom g ultige Relation

0 Z

Ak (p) = 4

U

I Z j ^ dxk = 0 I dxk rp

4 rp

zu beweisen und zu ben utzen. (Diese Art von Relation wird im vorliegenden Manuskript bei der Berechnung des magnetischen Dipolmoments einer stromf uhrenden Schleife ausf uhrlich hergeleitet.)


111

Beispiel 2.2.2. In der xy-Ebene liege eine kreisformige Leiterschleife mit Radius R und Mittelpunkt am Koordinatenursprung (Abb. 2.3). Es ie e der Strom I . Zu berechnen sei das Vektorpotential A in der Coulomb-Eichung A = 0. Aufgrund der Invarianz des Problems unter Drehungen um die z p

z

y R

x I

Abbildung 2.3. Skizze zu Bsp. 2.2.2

Achse bietet sich die Einfuhrung von Zylinderkoordinaten r ' z an. Leider gilt die Poisson-Gleichung nur fur die kartesischen Komponenten von A, weshalb wir kartesisch beginnen mussen. Der Strom ie t langs des Kreises C := fpjx2 (p) + y2 (p) = R2 z (p) = 0g. Da die Stromdichte linienformig ist, konnen wir das Volumenintegral fur Ax Ay Az zu einem Linienintegral langs C reduzieren. Die zu integrierende 1-Form bekommen wir dadurch, da wir die Zylinderkoordinaten z und r \ausintegrieren", d.h. das innere Produkt von rp;1 (?j )k dx ^ dy ^ dz mit den Vektorfeldern @z und @r bilden (wobei der Strom I aufgesammelt wird) und das Resultat auf C einschranken. Fur die y-Komponente erhalten wir (?j )y dx ^ dy ^ dz @r ;! @z I cos ' rd'C rp und somit (rC = R, 'C =: ): Z 2 cos d 0 Ay (p) = 4 IR h i1=2 : 0 (x(p) ; R cos )2 + (y(p) ; R sin )2 + z 2 (p) Fur die x-Komponente gilt eine analoge Gleichung, die durch die Substitution cos d ! ; sin d entsteht. Die z -Komponente Az verschwindet wegen (?j )z = jxy = 0. An dieser Stelle ist der Wechsel zu Zylinderkoordinaten (A = Ar dr + A' d') gefahrlos moglich. Die Radialkomponente Ar = Ax cos ' + Ay sin ' ergibt sich letztendlich zu Null, was seinen Grund in ?j d' hat. Fur die Winkelkomponente A' = ;Ax r sin ' + Ay r cos ' folgt nach einer Variablensubstitution ( + ' ! ) Z 2 cos d : A' = 40 IRr 0 (r2 + z 2 ; 2Rr cos + R2 )1=2

112


Dies ist ein sogenanntes elliptisches Integral es la t sich nicht durch elementare Funktionen ausdrucken, ndet sich aber in mathematischen Formelsammlungen tabelliert. Um hier noch weiterzukommen, spezialisieren wir zur Fernzone r2 + z 2 R2. In diesem Grenzfall durfen wir die Quadratwurzel im Nenner des Integranden Taylor-entwickeln, Rr cos 2 2 2 ; 1 = 2 2 2 ; 1 = 2 (r + z ; 2Rr cos + R ) = (r + z ) 1 + r2 + z 2 + ::: und Ausfuhren des Integrals resultiert in A = 40 IR2 (r2 + z 2);3=2 r2 d' + : : : : Einmal Dierenzieren gibt die magnetische Feldstarke ; B = dA = 40 IR2 (r2 + z 2);5=2 (2z 2 ; r2 )dr ; 3rz dz ^ rd' + : : : : B

I

Abbildung 2.4. Magnetische Flulinien einer stromfuhrenden Leiterschleife

In dieses Fernfeld bringen wir jetzt eine zweite kreisformige Leiterschleife mit Radius R0 und Strom I 0 . Wir interessieren uns fur die Kraft, die die beiden Schleifen aufeinander ausuben, wenn die zweite Schleife wie die erste zur xy-Ebene parallel liegt und um die z -Achse zentriert ist. Nach Aufg. ?? ist die z -Komponente der Lorentz-Kraft auf das innitesimale Stuck der zweiten Schleife am Ort p (r(p) = R0 ) mit Tangentenvektor @' (p) bleich Kz (p) = I 0 Bp (ez @'(p)) : Durch Auntegrieren der Beitrage erhalten wir fur die Gesamtkraft 0 2 0 02 dz Kz dz = ; 3 2 IR I R z 4 + ::: : Die anderen Kraftkomponenten mussen in diesem Spezialfall aus Symmetriegrunden verschwinden. Wir sehen, da die Kraft zwischen den Schleifen fur den Fall gleicher Stromrichtung (II 0 > 0) attraktiv ist und dem Betrag nach wie die vierte Potenz des inversen Abstands abfallt. Aufgabe 2.2.1. Wie hangt die Kraft vom Abstand ab, wenn die beiden Schleifen in der gleichen Ebene liegen?

2.3 Multipolentwicklung (kartesisch)

113

2.3 Multipolentwicklung (kartesisch) Fur vorgegebene Ladungen und Strome ist das Problem der ElektroMagnetostatik durch die Losung der Poisson-Gleichung auf Integrationen zuruckgefuhrt. Die exakte Berechnung der Integrale kann mitunter aufwendig sein. In der Praxis ist man jedoch oft nur am Verhalten der Losung fern von den Quellen interessiert. Wie wir schon gesehen haben, ergeben sich in diesem Grenzfall Vereinfachungen. Die Systematisierung der in Bsp. 2.2.2 verwendeten Naherung fuhrt auf eine Entwicklung nach Multipolen. Notation. Um die Notation abzukurzen, bedienen wir uns hier der im RicciKalkul ublichen Einsteinschen Summenkonvention, nach der uber jeden doppelt auftretenden, einmal hoch- und einmal tiefgestellten Index automatisch zu summieren ist. Im folgenden schreiben wir also xi xi anstelle von x2 + y2 + z 2.3

2.3.1 Elektrostatik Wir betrachten eine Anordnung von Ladungen, die in einem endlichen Raumbereich U E3 enthalten sind. Ohne Verlust an Allgemeinheit wahlen wir diesen Bereich als eine Kugel mit Radius R und Mittelpunkt am Koordinatenursprung, U = BR . Wir fragen jetzt, wie das elektrostatische Potential einer solchen Ladungsverteilung \in der Ferne aussieht". Dazu ist unser Ausgangspunkt die Formel 1 Z : (p) = 4" 0 BR rp Die auf den Punkt p bezogene Abstandsfunktion rp hat in kartesischen Koordinaten den Ausdruck q; ; rp () = d( p) = xi () ; xi (p) xi () ; xi (p) p = r2 () ; 2xi ()xi (p) + r2 (p) p wobei r = xi xi der Abstand vom Koordinatenursprung ist. Per Voraussetzung gilt2 R r(p), und mit der Taylor-Entwicklung (1 + x);1=2 = 1 ; x2 + 3x8 + O(x3 ) haben wir

2 i rp ();1 = r(p);1 1 + r () ; 22xi ()x (p)

;1=2

r (p) = r(1p) + r3 (p) xi () + 2 r5 (p) 3xi ()xj () ; ij r2 () + : : : : xi (p)

3

1 xi (p)xj (p) ;

Auf den tieferen Sinn der Tief- und Hochstellung von Indizes, namlich der Unterscheidung zwischen \kontravarianten" und \kovarianten" Tensoren, wie es in der alten Diktion heit, wird hier nicht eingegangen.

114


Wir setzen diese Entwicklung in die Formel fur (p) ein und fuhren die Integration aus. Dann resultiert 1 q(0) 1 + q(1) xi + 1 q(2) xi xj + : : : = 4" r i r3 2 ij r5 0 wobei die folgenden Gro en eingefuhrt wurden: Monopolmoment: Quadrupolmoment:

q(0) =

Z

q(1) =

Dipolmoment: i

Z; qij(2) = 3xi xj ; ij r2 :

Z

xi

Das Integral erstreckt sich in jedem Fall uber den endlichen, ladungserfullten Raumbereich U = BR . Beim Monopolmoment handelt es sich um nichts anderes als die Gesamtladung der Anordnung, und das zugehorige Potential fallt wie r;1 ab. Fur das Dipolmoment geht der Abfall wie r;2 , fur das Quadrupolmoment wie r;3 . Die angegebenen Terme sind die ersten drei in einer unendlichen Reihe, der sogenannten Multipol-Entwicklung. Das Potential des Multipolmoments l-ter Ordnung, q(l) , fallt ab wie r;l;1 . Aufgabe 2.3.1. Berechnung der Multipolmomente einiger einfacher Ladungsverteilungen... Aufgabe 2.3.2. Kraft zwischen elektrischen Dipolen...

2.3.2 Magnetostatik Auch hier gehen wir von der Losung der Poisson-Gleichung aus, Z Ak (p) = 40 (?jr )k dx ^ dy ^ dz : U p Fur den Zweck einer Multipol-Entwicklung ist es gunstig, den Integranden etwas umzuschreiben. Wir setzen = dx ^ dy ^ dz und machen folgende kleine Rechnung: (?j )k = (@k ? j ) ^ = (@k ) ^ ?j = j ^ ?(@k ) = j ^ dxk : Diese Rechnung geh ort nach oben (Poisson-Gleichung: Magnetostatik), und man sollte gleich mit der folgenden Gleichung beginnen: Hier-

mit wird die Formel fur das Vektorpotential zu Z j ^ dxk 0 Ak (p) = 4 : BR rp Jetzt spezialisieren wir wieder zur Fernzone, indem wir die Taylor-Entwicklung fur rp;1 einsetzen: Z 1 xl(p) Ak (p) = 40 + x ( ) + : : : j ^ dxk : l BR r(p) r3 (p)

2.3 Multipolentwicklung (kartesisch)

115

Wegen der Stromerhaltung (dj = 0) gilt R j ^ dxder= magnetostatischen R dj ^ x = 0, so Bedingung ; da der Monopolterm hier verschwindet. Der k k nachste Term in der Entwicklung ist k l A = 40 mkl x rd3x + : : : : Hierbei bezeichnet m einen antisymmetrischen Tensor zweiter Stufe,

Z

mkl := j ^ xk dxl = ;mlk der das magnetische Dipolmoment genannt wird. (Die Antisymmetrie folgt durch partielle Integration.) Wir sehen, da das Vektorpotential eines magnetischen Dipols wie das Quadrat des inversen Abstandes abfallt (vgl. das Potential eines elektrischen Dipols, Abschn. 2.3.1). Aufgabe 2.3.3. Gehe analog zum elektrischen Fall vor und treibe die Entwicklung bis zum magnetischen Quadrupolmoment. Aufgabe 2.3.4. Wie vergleichen sich die Felder des elektrischen und magnetischen Dipols? Sind sie identisch?

Beispiel 2.3.1. Gegeben sei eine Leiterschleife beliebiger Form mit Strom I (Abb. 2.5 illustriert den Fall, da in der xy-Ebene liegt). Was la t sich uber das magnetische Dipolmoment einer solchen Schleife sagen? (Die folgende

Rechnung wird durch die im Abschnitt uber die Poisson-Gleichung getroffene Vorbereitung redundant. Wir ben utzen sofort:)

Z

BR

j ^ xdy = I

Z

xdy :

R

Betrachte dazu speziell die xy-Komponente mxy = j ^ xdy. Wir behaupten, da fur den vorliegenden Fall einer linienformigen Stromdichte gilt

mxy =

Z

BR

j ^ xdy = I

Z

xdy :

Beim Beweis machen wir uns die Tatsache zunutze, da die Integration von Dierentialformen metrikfrei erklart ist. Wir fuhren krummlinige Koordinaten , und # mit Dierentialen d , d und d# ein und bezeichnen die Dualbasis der Vektorfelder wie ublich mit @ , @ und @ . Die Koordinaten wahlen wir so, da eine Koordinatenlinie von ist: = fp 2 E3 j (p) = 0 # (p) = #0 g : Fur einen Punkt a 2 setze u = @ (p), v = @ (p), w = @ (p) und betrachte das Parallelepiped mit Basispunkt p = a ; (u + w)=2 und Kantenvektoren u, v, w (vgl. R Abb. 2.5). Der Beitrag von diesem Parallelepiped zum Volumenintegral j ^ xdy ist

116


εu a

εv

y

p

x γ

Abbildung 2.5. Ein Teil der in der xy-Ebene liegenden Leiterschleife wird von dem Parallelepiped mit Basispunkt p und Kantenvektoren u, v, w uberdeckt.

Z Z 0

0

(j ^ xdy)p+su+tw (u v w)dt ds + O(2 )

= (xdy)a (v)

Z Z 0

0

jp+su+tw (w u)dt ds + O(2 )

= (xdy)a (v) I + O(2 ) : R Da die rechte Seite der entsprechende Beitrag zum Linienintegral I xdy ist, folgt die Behauptung. Dieses Resultat la t sich auf einfache Weise geometrisch deuten. Sei xy die orthogonal Projektion von auf die xy-Ebene. Der Einfachheit halber nehmen wir an, da diese Projektion auf bijektiv ist und durch = ;1 (xy ) umgekehrt werden kann. Die 1-Form xdy bleibt unter dem Zuruckholen mittels ;1 ungeandert, so da mit xy = @S (S liegt nat urlich in der xy -Ebene) und dem Satz von Stokes folgt

mxy =I =

Z

;1 ( xy )

xdy =

Z

xy

xdy =

Z

S

dx ^ dy = Flache(S ) :

Die xy-Komponente des magnetischen Dipolmoments der Schleife ist also gleich dem Strom I mal der von der Projektion von auf die xy-Ebene (im orientierten Sinn) eingeschlossenen Flache. Eine analoge Aussage gilt fur die yz - und zx-Komponenten. Zum Schlu betrachten wir noch den Spezialfall einer kreisformigen Leiterschleife mit Radius R in der xy-Ebene. Mit mxy = IR2 und myz = mzx = 0 erhalten wir i j 2 x dy ; y dx A = 40 mij x rd3x = 0 IR 4 (x2 + y2 + z 2)3=2 : Nach U bergang zu Zylinderkoordinaten stimmt dieser Ausdruck mit dem fuhrenden Term des Resultats von Bsp. 2.2.2 uberein.

2.4 Randwertaufgaben

117

2.4 Randwertaufgaben 2.4.1 Die Greenschen Identit aten In der theoretischen Physik im allgemeinen, insbesondere aber fur die ElektroMagnetostatik, sind zwei nach Green benannte Identitaten von gro em Nutzen. Sie beruhen auf der folgenden Konstruktion. Gegeben sei ein beschranktes Gebiet U . Fur jedes Paar von 1-Formen und denieren wir das reellwertige Produkt (j )U :=

Z

U

^ ? :

Dieses Produkt ist in beiden Argumenten linear und wegen ^ ? = ^ ? symmetrisch. Au erdem P ist es positiv P denit, wie man an der Koordinatendarstellung ( = i i dxi , = i i dxi ) (j )U =

Z X 3 (

U i=1

i i )dx ^ dy ^ dz

sofort sieht. Es hat also die Eigenschaften eines Skalarproduktes. Nun setzen wir speziell = df und = dg, wobei f und g zwei Funktionen auf U sind, und wenden die Produktregel fur d an: df ^ ?dg = d(f ^ ?dg) ; f d ? dg : Der zweite Term auf der rechten Seite la t sich auch in der Form ;f ? 4g schreiben. Durch Integration uber U und Anwenden des Stokesschen Satzes im ersten Term auf Z der rechtenZ Seite entsteht (df j dg)U = f ? dg ; f ? 4g (1. Greensche Identitat): @U

U

Nun tauschen wir in der 1. Greenschen Identitat f und g aus, subtrahieren die Gleichungen und verwenden die Symmetrie ( df j dg)U = ( dgj df )U . Dann resultiert: Z Z (f ? dg ; g ? df ) = (f ? 4g ; g ? 4f ) (2. Greensche Identitat): @U

U

Wir sehen, da in die Formulierung der Greenschen Identitaten die metrische Struktur des Euklidischen Raumes in wesentlicher Weise eingeht.

2.4.2 Elektrostatik: Poisson- und Dirichlet-Problem Fur vorgegebene Ladungsdichte wird das elektrostatische Problem durch R die Losung der Poisson-Gleichung (p) = (4"0 );1 =rp auf die Berechnung von Integralen zuruckgefuhrt. In Anwesenheit metallischer Leiter ist die Ladungsdichte jedoch keine Gro e, die wir als gegeben ansehen konnen. Sie stellt sich im Gleichgewicht genau so ein, da das elektrische Feld im Innern

118


U U U1 U2

Abbildung 2.6. Eine typische Konstellation fur das Randwertproblem des Leiters verschwindet. Die Problemstellung besteht in einem solchen Fall u.a. darin, die auf der Oberache des Leiters induzierte Flachenladungsdichte zu berechnen. Betrachte zum Beispiel Abb. 2.6. Gezeigt ist dort ein Gebiet U , das von der Oberache @U eines metallischen Leiters berandet wird. In U benden sich Bereiche U1 und U2 (z.B. elektrisch geladene Isolatoren) mit vorgegebener Ladungsdichte = (1) + (2) . Der Leiter sei \geerdet", d.h. er habe eine leitende Verbindung nach Unendlich, so da @U = (1) = 0. Das Problem besteht nun darin, so zu bestimmen, da die Poisson-Gleichung ;4 = ? ="0 erfullt ist und gleichzeitig auf dem Rand von U verschwindet. Denition. Die Aufgabe: \Lose fur vorgegebene Ladungsdichte die PoissonGleichung ;4 = ? ="0 auf U n @U zur Randbedingung @U = 0" hei t Poisson-Problem. Von Interesse ist auch der Fall, da die Ladungsdichte auf dem Inneren von U verschwindet und der Rand @U (der auch aus mehreren Teilen bestehen kann) auf einem festen Potential gehalten wird. Denition. Die Aufgabe: \Lose 4 = 0 auf U n @U zu vorgegebenem Randpotential @U " hei t Dirichlet-Problem. Die allgemeinste Randwertaufgabe besteht in der Losung der Poisson-Gleichung unter Vorgabe der Ladungsdichte auf dem Inneren von U und des Potentials auf dem Rand von U . Wegen der Linearitat der Poisson-Gleichung zerfallt die allgemeine Aufgabe in ein Poisson-Problem und ein DirichletProblem. Unter schwachen Voraussetzungen an U la t sich zeigen, da Poisson- und Dirichlet-Problem eindeutig losbar sind. Die Losungstheorie beruht auf dem Konzept der Greenschen Funktion.

Beachte die Komplementarit at von Poisson- und Dirichlet-Problem: im ersten wird die Ladungsdichte im Inneren von vorgegeben und

U


119

das Potential auf dem Rand gleich Null gesetzt, im zweiten dagegen wird die Ladungsdichte im Inneren gleich Null gesetzt und das Potential auf dem Rand vorgegeben.

Denition. Sei U ein beschranktes Gebiet.

Besser w are es, schon hier und nicht erst sp ater mit der Dirac- -Distribution zu arbeiten. Die

Greensche Funktion zu U ist eine Abbildung: U U ! R, (a b) 7! G(a b) mit den Eigenschaften (1) G(a b) ; (4ja ; bj);1 ist regular fur a = b (2) (4G)( b) = 0 auf U n (@U fbg) (3) G( b)@U = 0 : In Worten: G(a b) ist (abgesehen von einem Faktor "0 ) das elektrostatische Potential im Punkt a, das eine im Punkt b ruhende Einheitsladung verursacht, wenn der Rand @U geerdet ist. Mitteilung. Die Beschranktheit von U wird verlangt, um mathematische Pathologien auszuschlie en. Gewohnlich existiert G (und ist eindeutig) auch fur unbeschranktes U . In diesem Fall wird man verlangen, da G im Unendlichen verschwindet. Zum Beispiel ist die Greensche Funktion zu U = E3 gleich G(a b) = 4ja1; bj : Eindeutigkeit der Greenschen Funktion. Die Bedingungen (1{3) legen G(a b) eindeutig fest. Zum Beweis der Eindeutigkeit nehmen wir an, es gabe zwei Greensche Funktionen G1 und G2 und betrachten fur einen fest gewahlten Punkt p 2 U n @U die Dierenz g := G1 ( p) ; G2 ( p). Diese Funktion ist aufgrund von (1) im Punkt p regular. Nach (2) und (3) gilt 4g = 0 auf U n @U und g@U = 0. Hiermit liefert die erste Greensche Identitat

(dgjdg)U =

Z

U

dg ^ ?dg =

Z

@U

g ? dg ;

Z

U

g ? 4g = 0 ; 0 = 0

und die positive Denitheit des Skalarprodukts (dgjdg)U 0 erzwingt g 0. Losung des Poisson-Problems. Per Denition der Greenschen Funktion ist das Potential (a) einer am Ort b ruhenden Ladung q gleich G(a b)q="0 . Durch U bergang zum Integral erhalten wir trivialerweise

(p) =

Z

U

G(p ) ="0 :

Losung des Dirichlet-Problems.

Die folgende Rechnung ist durch Verwenden der Dirac- -Distribution abzuk urzen. Unser Vorgehen ist hier ganz a hn-

lich wie in Bsp. 2.6.1. Es sei B (p) wieder der Ball mit Mittelpunkt p 2 U n @U und Radius . Wir wenden die zweite Greensche Identitat mit f = und g = G( p) auf das Gebiet U n B (p) an. Da dort 4G( p) = 0 = 4 gilt, folgt:

120

Z


@B (p)

(G( p) ? d ; ? dG( p)) =

Z @U

(G( p) ? d ; ? dG( p)) :

Der erste Term auf der rechten Seite verschwindet infolge der Randbedingung G( p)@U = 0. Auf der linken Seite erhalten wir (vgl. Bsp. 2.6.1) lim !0

Z

B (p)

(G( p) ? d ; ? dG( p)) = (p) :

Folglich wird das Dirichlet-Problem durch

(p) = ;

Z

@U

? dG( p)

gelost. Dieses Resultat druckt im Inneren von U durch seine Werte auf dem Rand @U aus. Symmetrie der Greenschen Funktion. Fur zwei Punkte a b 2 U n @U betrachten wir das Gebiet U n (@U B(a) B (b)) und setzen in der zweiten Greenschen Identitat f = G( a) und g = G( b). Eine analoge Rechnung wie oben fuhrt dann auf die Symmetrierelation G(a b) = G(b a) : Auch hier hilft die Dirac- -Distribution. Poisson-Kern. Die in der Losung des Dirichlet-Problems auftretende 2-Form ; ? dG( p)@U (p fest, anderes Argument variabel) hei t Poisson-Kern. Sie hat die folgende physikalische Interpretation. Wir bringen eine Ladung q an den Ort p und erden den Rand @U . Dann ist das elektrostatische Potential durch = G( p)q="0 gegeben, und es gilt D = "0 ? E = ;"0 ? d = ;q ? dG( p) : Die Verdrangung des elektrischen Feldes aus dem Metall wird durch Oberachenladungen auf mit Flachendichte-2-Form auf @U bewirkt. Die Anschlu bedingung fur die Tangentialkomponente von D auf @U lautet = ;D = q ? dG( p) : @U

@U Wir konnen also ?dG( p) @U als die durch eine Einheitsladung am Ort p auf

der metallischen Oberache @U induzierte Flachenladungsdichte auassen. (wobei @U durch die nach auen zeigende Normale orientiert wird. Bildladungsmethode. Hier ware kurz das Prinzip der Bildladungsmethode

zu erl autern. F ur den Halbraum kommt man mit einer einzigen Bildladung aus, f ur den Raum zwischen zwei parallelen Ebenen ben otigt man schon unendlich viele. Ein ber uhmtes nichttriviales Beispiel, wo mit einer Bildladung auskommt, ist die Kugel (Kelvin).


121

Beispiel 2.4.1. Oben haben wir gezeigt, da die Losung des Poisson- und Dirichlet-Problems durch die Greensche Funktion ausgedruckt werden kann. Unser Ziel ist daher die Berechnung der letzteren. Obwohl dies im allgemeinen die Hilfe eines Computers erfordert, gelingt in einigen Fallen mit hoher Symmetrie auch die analytische Berechnung. Ein solcher Spezialfall ist die Kugel U = BR . Ohne Verlust an Allgemeinheit legen wir den Kugelmittelpunkt in den Koordinatenursprung o. Zu berechnen ist fur einen festen Punkt a 2 BR n @BR die Greensche Funktion G( a), was sich mit dem folgenden Trick (Lord Kelvin) bewerkstelligen la t. Sei d(o a) 6= 0 der Abstand des Punktes a von o. Wir wahlen den Punkt A auf der Geraden durch o und a so, da gilt (siehe Abb. 2.7): R = d(o A) : d(o a) R p A o

a

BR BR

Abbildung 2.7. Skizze zu Bsp. 2.4.1

Zwischen den Koordinaten2 der Punkte a und A besteht dann die Beziehung xi (A) = (R=d(o a)) xi (a). Nun betrachten wir irgendeinen Punkt p auf @BR . Die beiden Dreiecke poa und poA sind einander ahnlich. (In der Tat ist ihnen ein Winkel gemein, und die Seiten haben per Wahl von A gleiche relative Langen.) Deshalb gilt die elementargeometrische Relation R=d(p a) = d(o A)=d(p A) oder aquivalent 1 = 1 d(o A) = 1 R : d(p a) d(p A) R d(p A) d(o a) Der wichtige Schlu , den wir hieraus ziehen, ist, da die Funktion g = 41 r1 ; r1 d(oR a) a A auf dem Rand der Kugel @BR verschwindet. Nun la t sich aber "0 g als das Potential zweier Punktladungen auassen: einer Einheitsladung am Ort a und einer \Spiegelladung" ;R=d(o a) am Ort A 2= BR . Als solches genugt g der Laplace-Gleichung auf BR nfag. Au erdem ist die Funktion g ; (4ra );1 am Punkt a regular. Damit erfullt g genau die an die Greensche Funktion gestellten Forderungen. Da die Greensche Funktion eindeutig ist, folgt g = G( a).

122


Aufgabe 2.4.1. Veriziere fur das Beispiel der Kugel U = BR die Symmetrie G(a b) = G(b a), und berechne den Poisson-Kern ;d ? G( p)@U .

2.4.3 Magnetostatik: Abschirmung durch Suprastr ome Das magnetostatische Analogon zur Abschirmung des elektrischen Feldes durch ein Metall ist die Verdrangung des magnetischen Feldes aus einem Supraleiter.4 To be continued

2.5 Energiebetrachtungen 2.5.1 Kapazit atskoezienten Energie eines Systems von Punktladungen. Ein punktformiger Korper, der sich am Ort p1 bendet und die Ladung q1 tragt, erzeugt wie wir wissen die elektrische Feldstarke E (1) = (q1 =4"0)drp1 =rp21 . Um in diesem Feld einen zweiten punktformigen Korper mit Ladung q2 aus dem Unendlichen an die Stelle p2 zu bringen, ist die Arbeit Z 1 q1 q2 =: W ;q2 E (1) = 4" 12 0 jp1 ; p2 j erforderlich. (Fur q1 q2 < 0 ist die Arbeit negativ, d.h. es wird Energie frei.) Transportieren wir nun im elektrischen Feld der schon vorhandenen Ladungen eine dritte Punktladung q3 an den Ort p3 , so ist die Arbeit W13 + W23 zu verrichten. Wir setzen diese Prozedur fort, bis wir N Punktladungen qi an die Positionen pi (i = 1 ::: N ) gebracht haben. Die zum Aufbau der Gesamtkonguration notige Energie ist dann eine Summe uber N (N ; 1)=2 Paare, X 1 X qi qj : W = Wij = 4" 0 i<j jpi ; pj j i<j A quivalent konnen wir schreiben N X 1 W = 2 (i) (pi )qi i=1

X qj jpj ; j 0

1 (i) = 4"

wobei in der Potentialfunktion (i)

j 6=i

der i-te Summand weggelassen wird, um den divergenten Beitrag der \Selbstenergie" Wii qi2 =jpi ; pi j = 1 auszuschlie en. 4

Genau gesprochen benotigt man einen Supraleiter in der sogenannten MeinerOchsenfeld-Phase.

2.5 Energiebetrachtungen

123

Energie eines Ladungskontinuums. In Abschn. 1.8 haben wir uber die Herleitung des Energiesatzes motiviert, da die Energiedichte des elektrischen Feldes durch (1=2)E ^ D gegeben ist. Demnach berechnet sich die in einer kontinuierlichen Ladungsverteilung mit elektrischer Feldstarke E und Erregung D gespeicherte Energie zu Z W~ = 12 E ^ D : Wie hangt dieser Ausdruck mit jenem fur das System von Punktladungen zusammen? Dazu machen wir mit E = ;d eine partielle Integration #wobei (1) = 0 benutzt wird] und verwenden das Gau sche Gesetz dD = : Z Z Z W~ = ; 21 d ^ D = 21 dD = 12 : Oenbar ist W~ die kontinuierliche Version des diskreten Ausdrucks W . Bei genauerem Hinsehen tut sich jedoch eine Diskrepanz auf. Die Energie Z Z; W~ = "20 E ^ ?E = "20 Ex2 + Ey2 + Ez2 dx ^ dy ^ dz 0 ist immer positiv, wahrend W auch negativ (z.B. fur ein System von zwei Punkten mit Ladungen unterschiedlichen Vorzeichens) sein kann. Der Unterschied ruhrt daher, da W~ Selbstenergiebeitrage enthalt, die in dem Ausdruck fur W weggelassen wurden. Die Problematik wird besonders deutlich, wenn wir die Feldenergie einer elektrisch geladenen Kugel mit Radius R betrachten. Aus dimensionellen Grunden (oder durch kurze Rechnung) folgt, da diese Energie im Limes einer Punktladung (R ! 0) wie R;1 divergiert. Diese Divergenz ist nichttrivialer Natur 5 und deutet an, da die Elektrodynamik bei kurzen Skalen modiziert und durch eine fundamentalere Theorie vervollstandigt werden mu . Kapazitatskoezienten. Wir betrachten jetzt wie in Abb. 2.8 illustriert eine Anordnung von N elektrischen Leitern U1 U2 : : : UN . Das elektrostatische U2 U1

p

5

U3

Abbildung 2.8. Eine kapazitives System metallischer Bereiche

In der Quantenelektrodynamik werden solche Divergenzen phanomenologisch beseitigt, indem man die Theorie \regularisiert" und \renormiert".

124


Potential ist auf jedemRLeiter konstant, Ui = i , und wir wahlen (1) = 0. Mit der Ladung Qi = Ui auf Ui erhalten wir dann fur die Gesamtenergie des Systems Z N X 1 1 ~ W = 2 = 2 i Qi : i=1 Die Ladungen sitzen alle auf den Oberachen @Ui . Unser Ziel ist es hier, die Energie als quadratische Form in den konstanten Potentialen i auszudru;cken. Es seien also die i vorgegeben. Wir haben es dann auf U = E3 n Ni=1 Ui mit einem Dirichlet-Problem zu tun, dessen Losung fur das Potential im Punkt p sich folgenderma en aufschreiben la t:

(p) =

N X j =1

j Kj (p)

wobei Kj durch Integrieren des Poisson-Kerns uber die Oberache ;@Uj berechnet wird,

Kj (p) :=

Z

@Uj

?dG( p) :

P

(Beachte @U = ; j @Uj .) Diesem Potential entspricht die elektrische Erregung X D = "0 ? E = ;"0 ? d = ; j "0 ? dKj : j

(i)

Es sei nun die Flachenladungsdichte auf der i-ten Leiteroberache @Ui (die durch den nach U gerichteten Normalenvektor orientiert wird). Dann gilt uber @Ui hinweg die Anschlu bedingung D@Ui = (i) und durch Integration uber @Ui erhalten wir die Ladung

Qi =

Z

@Ui

(i)

=

X Z j

j

@Ui

R

(;"0 ? dKj ) =

X j

Cij j :

Die reellen Zahlen Cij = ;"0 @Ui ?dKj hei en Kapazitatskoezienten. Sie sind allein durch die Geometrie der Anordnung bestimmt und vom Ladungszustand und/oder den Potentialen der Leiter unabhangig. Ihre Berechnung setzt die Kenntnis der Greenschen Funktion des Randwertproblems voraus und ist daher im allgemeinen schwierig. Aus der Symmetrie der Greenschen Funktion folgt

Cij = ;"0

Z

@Ui

?dKj = ;"0

Z

@Uj

?dKi = Cji :

Insgesamt erhalten wir fur die elektrostatische Energie der Anordnung


125

X W~ = 12 Cij i j : Beispiel.

ij

Welches?

2.5.2 Induktionskoezienten Energie eines Systems stromfuhrender Schleifen. Betrachte eine Anordnung von N Leiterschleifen i beliebiger Form, Gro e und Ausdehnung (ABBILDUNG). Ausgehend von einem Anfangszustand ohne Stromu werde der Strom in i auf den stationaren Wert Ii (i = 1 ::: N ) hochgefahren. Dabei ist von der Stromquelle wegen des Induktionsgesetzes eine Gesamtarbeit W zu verrichten, die nach dem Energiesatz (Abschn. 1.8) im aufgebauten Magnetfeld gespeichert wird: Z W = 12 B ^ H : R In der Elektrostatik haben wir gesehen, da die elektrische Feldenergie 21 E ^ D fur eine kontinuierliche Ladungsdichte mit Potential #(1) = 0] sich in R die Form 12 bringen la t. Ein analoges Umschreiben nehmen wir jetzt in der Magnetostatik vor, wobei das Vektorpotential A das Potential ersetzt, und die Rolle von durch j ubernommen wird. Sei also A ein Vektorpotential von B . Dann folgt durch partielle Integration Z Z Z W = 21 dA ^ H = 21 A ^ dH = 21 A ^ j : (Hier wurde naturlich angenommen, da das Magnetfeld im Unendlichen schnell genug abfallt, so da die Integrale existieren undR auch kein Randterm bei der partiellen Integration entsteht.) Der Ausdruck A ^ j ist nicht manifest eichinvariant, da A unter einer Eichtransformation inR A + d ubergeht. R Jedoch verschwindet der entstehende Zusatzterm dank d ^ j = ; dj und der magnetostatischen Zwangsbedingung dj = 0. Aufgabe 2.5.1. Die in einem System stromfuhrender Schleifen gespeicherte magnetische Energie ist quadratisch im Magnetfeld. Verdoppeln wir die Strome (und damit das Magnetfeld), so vervierfacht sich die Energie. Folglich nimmt die magnetische Energie zu, wenn wir zwei Leiterschleifen mit festen und gleichgerichteten Stromen I und I 0 aufeinander zubewegen. Man konnte deshalb meinen, da sich die Leiterschleifen fur II 0 > 0 absto en. In Abschn. 2.1.2 (Festlegung von 0 ) und Bsp. 2.2.2 hatten wir aber gezeigt, da die Kraft zwischen Schleifen mit gleichgerichteten Stromen attraktiv ist! Wo liegt der Denkfehler?

126


Induktionskoezienten. Wir nehmen jetzt an, da die Stromdichte j (i) der i-ten Leiterschleife mit dem Strom Ii skaliert: ?j (i) = Ii !(i) . Die dimensionslose 1-Form !(i) beschreibt das \Stromdichteprol" P der i-ten Schleife. Dann wahlen wir wieder die Coulomb-Eichung fur A = k Ak dxk und haben nach Abschn. 2.3.2 N Z ! (i) dV X 0 k Ak (p) = 4 Ii rp i i=1 wobei dV die kartesische Volumenform dx ^ dy ^ dz bezeichnet. Diesen Ausdruck setzenZ wir in die Formel W = 21 (Ax jyz + Ay jzx + Az jxy ) dV ein, worauf Doppelintegrale entstehen, P !(i)(x y z) !(j) (x0 y0 z0) Z Z 0 0 k k k p Lij = 4 dV dV (x ; x0 )2 + (y ; y0 )2 + (z ; z 0 )2 i j deren mit den Stromen gewichtete Summe die Energie W ergibt: N X 1 W=2 Lij Ii Ij : ij =1

Die Gro en Lij hei en Induktionskoezienten. Fur i 6= j sprechen wir von \Gegeninduktionskoezienten", fur i = j von \Selbstinduktionskoezienten". Energie eines Systems von Stromlinien. Wenn die Leiterschleifen linienformig (d.h. sehr geringer transversaler Ausdehnung) sind, konnen wir die Volumenintegrale fur W und A zu Linienintegralen reduzieren. Mit der gleichen Rechnung wie in Bsp. 2.3.1 nden wir N Z X X 1 W = 2 Ii Ak dxk i i=1 k X Z dxk 0 Ak (p) = 4 Ij : j rp j

P

Einsetzen des zweiten Integrals in das erste ergibt W = 21 Lij Ii Ij mit Z 3 Z X ; 0 0 dxk dxk (x ; x0 )2 + (y ; y0 )2 + (z ; z 0 )2 ;1=2 : Lij = 4 j k=1 i Zur weiteren Vereinfachung dieses Ergebnisses parametrisieren wir die Schleifen durch s 2 #0 1] 7! i (s) und t 2 #0 1] 7! j (t) und holen die 1-Formen dxk nach #0 1] zuruck. Dann entsteht


Z Lij = 40

1 Z1

0 0

127

0(s) 0 (t) i

j

ji (s) ; j (t)j dtds

wobei i0 (s) den Tangentialvektor (d=ds)i (s) bezeichnet und das Ska-

larprodukt des Euklidischen Vektorraumes von E3 ist. (Achtung! Die Selbstinduktionskoezienten Lii sind in dieser Naherung divergent. Fur sie ist die endliche transversale Ausdehnung der Leiterschleifen zu berucksichtigen.) z γ2 a

y 2

x

R

γ1

Abbildung 2.9.

Beispiel 2.5.1. Gegeben seien zwei kreisformige Leiterschleifen (Abb. 2.9) mit Parametrisierung 1 (s) = o + exR cos(s) + ey R sin(s) ; ez a=2 2 (t) = o + exR cos(t) + ey R sin(t) + ez a=2 : Der Abstand zwischen zwei Punkten auf den Schleifen und das Skalarprodukt der zugehorigen Tangentenvektoren berechnen sich zu

q ;

j1 (s) ; 2 (t)j = 2R2 1 ; cos(s ; t) + a2 0 (s) 0 (t) = R2 cos(s ; t) : 1 2

Damit erhalten wir fur den Gegeninduktionskoezienten

Z L12 = 40 R2

2Z2

0 0 2 Z

0R = p 2 20

q 2; cos(s ; t) 2 dtds 2R 1 ; cos(s ; t) + a

cos tdt p1 ; cos : t + a2 =2R2

Dieser Ausdruck ist wieder mal ein elliptisches Integral, das nicht elementar berechnet werden kann. Im Grenzfall a R gilt in fuhrender Naherung

128


4 L12 ' 2 0 Ra3 : Wer dies nicht auf einen Blick sieht, macht wenigstens einen Dimensionstest. Mit #0 ] = Energie=(Strom2 Lange) ergibt sich #L12 ] = Energie=Strom2 , wie es per Denition der Induktionskoezienten sein mu .

2.6 ElektroMagnetostatik mit Stromformen Hier wird das Rechnen mit Distributionen und Stromformen weiterf uhrend als bisher illustriert und einge ubt.

Elektrische Dipolschicht. = Stromform 2 3 (E3 ))

Ladungsdichte einer Dipolschicht

Abbildung zeigt im Querschnitt Ladung . (F ur sp ater: = ) Formale Definition:

Z

@

1=,

(einer

Abstand der Schichten

#f ] := ;Q ?df

Q

wobei =Dipolmoment/Flacheneinheit im Limes wird (beachte: # ] = Ladung / L ange). Potential (L osung der Poisson-Gleichung):

1

Q

!0

festgehalten

Z Q (p) = r =4"0 = ; 4" ?d r1 : p 0 p

Ein anderer, komplizierterer L osungsweg w are (um das Rechnen mit Stromformen zu uben!): w ahle eine spezielle L osung der Gleichung d = , zum Beispiel: (0) = . (physikalische Bedeutung: (infinitesimale) elektrische Flulinien, die eine Seite der Dipolschicht mit der anderen verbinden). Abbildung Verifikation (hier wird das Rechnen ge ubt):

D

D

Q?

dD(0) #f ] = ;D(0)#df ] = ;Q ? #df ] = ;Q#?df ] = ;Q

Z

?df = #f ] :

Allgemeine L osung: = (0) + d Aus d = 0 folgt 0 = d = d + d d oder d d = + , wenn = = d der Rand der Flache ist. In der ``Coulomb-Eichung'' d = 0 erhalten wir dann = usw. usw. Interessante Schlufolgerung: d , und damit letztlich auch das elektrische Feld, h angt nur vom der Fl ache = ab. Ist anschaulich klar (Dipolschicht!) und h atte sich auch rechnerisch sofort sehen lassen:

E @ ;

D D ?D Q

?

?

4 ;Q?

?

Rand

Q

@

Z

Q (p) = ; 4"

0

2.6 ElektroMagnetostatik mit Stromformen

129

Q Z : ?d r1 = ::: = 4" p p 0

Das Integral uber den Raumwinkel h angt offensichtlich nur vom Rand der Fl ache ab.

Magnetisches Skalarpotential einer Stromschleife.

Kurz an Rechnung mit Vektorpotential erinnern. Es geht aber auch anders (siehe Elektrostatik oben)... = Stromdichte einer Leiterschleife (eine Stromform 2 ( 3 )) per Definition: # ] = Abbildung (zeigt eine Fl ache , deren Rand gleich ist).

A

j

jA

j2 E

R

I A

(0) = . Amp eresches Gesetz d = hat die spezielle L osung (0) (0) (Verifikation: d = = = = .) allgemeine L osung: = (0) + d . Aus d = 0 folgt 0 = d = d (0) + d d = d + oder = d . Beachte die starke Analogie zur Elektrostatik: d entspricht der Ladungsdichte einer elektrischen Dipolschicht (siehe oben)... Die L osung dieser Poisson-Gleichung k onnen wir sofort angeben:

H

B

4$ ;I ? ?

H j H @H I@ I j H H $ ?H ?H ? $ I ? ?4$

I

?

Z 4$ (p)=I = d ? r1 = ; ? d r1 = ::: = p : p p $ springt uber die Flache hinweg die Kombination H (0) +d$

ist stetig. Korollar 1: perfekte Analogie zwischen dem elektrischen Feld einer Dipolschicht und dem Magnetfeld einer stromf uhrenden Schleife. Korollar 2: Schleife schrumpfen lassen das Feld von elektrischem und magnetischem Dipol sind (abgesehen von den Vorfaktoren) identisch. ( Uberpr ufung f ur = Kreisscheibe)

!

Zusammenfassung: m ogliche Strategien. 1. Die homogene Gleichung d = 0 oder d = 0 durch die Einf uhrung eines Potentials = d oder = d losen. Mit Materialgleichung oder ausdr ucken und damit in die inhomogene Gleichung d = oder d = gehen. Es resultiert Poisson-Gleichung f ur bzw. (im ersten Fall ist die Coulomb-Eichung zu w ahlen). 2. Spezielle L osung der inhomogenen Gleichung ansetzen. Durch Hinzuf ugen einer exakten Stromform die allgemeine L osung der inhomogenen Gleichung ausdr ucken. Damit (und mit Materialgleichung) in die homogene Gleichung gehen... Haben wir zuviel versprochen, als wir sagten, wir k onnten Elektrostatik und Magnetostatik in einheitlicher Weise behandeln. Nein. Der Kalk ul mit Differentialformen oder Stromformen macht's m oglich!

H j

D D

B

A

B

E ;

E

A

H

130


Magnetisches Skalarpotential einer Leiterschleife.

Es folgt jetzt noch die alte, umst andliche Rechnung. Vielleicht l at noch die eine oder andere Redewendung wiederverwenden. Wir greifen das Problem der stromf uhren-

den Leiterschleife ein letztes Mal auf und behandeln es jetzt mit einer amusanten Methode, die auf Amp'ere zuruckgeht. Wie zuvor folge die Leiterschleife dem Weg und trage den Strom I . Nach dem Amp'ere-Gesetz gilt dH = 0 auf dem stromfreien Gebiet V := E3 n . Nun wurde man gerne das Poincar'esche Lemma anwenden und ein Potential fur H einfuhren. Das ist aber nicht ohne weiteres moglich, da V nichtkontraktible Schleifen zula t (z.B. die Schleife in Abb. 2.10). In der Tat ergaRbe H =Rd$ wegen R @ = 0 eine verschwindende magnetische Ringspannung H = d$ = @ $ = 0, was ein Fehlschlu ist. R R Das richtige, aus dem Amp'ereschen Gesetz in integraler Form ( @ H = j ) resultierende Ergebnis ist

Z

H = I 6= 0 : I

S

α γ

Abbildung 2.10.

Wie durch die nichtkontraktible Schleife demonstriert wird, ist das Gebiet E3 n nicht einfach zusammenhangend. Wir sehen hier die Trennache S = S+ von \vorn".

Die Problematik der Nichtexaktheit von H la t sich durch einen Trick umgehen: wir schneiden V ganz einfach langs irgendeiner Flache S , die von berandet wird (@S = ), auf! Um das Argument moglichst klar herauszuarbeiten, erweitern wir S zu einer sehr dunnen Schicht US (S US ) und setzen V 0 := E3 n US . Das modizierte Gebiet V 0 hat den Rand @V 0 = S; ; S+ , wobei S; im Limes innitesimaler Schichtdicke gegen S konvergiert und S+ gegen ;S . Wir nennen S+ die vordere und S; die hintere Seite der Trennschicht. Das Gebiet V 0 ist per Konstruktion einfach zusammenhangend, und nach Poincare folgt jetzt, da die auf V 0 geschlossene 1-Form H dort auch exakt ist: H = d$ . Die Funktion $ hei t ein skalares magnetisches Potential von H . Auf dem stromfreien Gebiet V 0 genugt $ der Laplace-Gleichung 4$ = 0, denn ?4$ = d ? d$ = d ? H = ;0 1 dB = 0 : Da $ nicht global existiert, macht sich in einer Diskontinuitat an der Trennache S Zbemerkbar:Z I= H= d$ = $; ; $+

n(US \)

2.6 ElektroMagnetostatik mit Stromformen

131

wobei $; und $+ den Grenzwert von $ bei Annaherung an S von hinten (S; ) bzw. vorn (S+ ) bezeichnen. Das skalare magnetische Potential springt also uber S hinweg um einen Betrag, der durch den Strom I gegeben ist. Diese Tatsache in Verbindung mit der Laplace-Gleichung 4$ = 0 auf V 0 erlaubt es, $ (p) auf geometrische Weise auszudrucken. Es sei dazu B (p) der Ball mit Mittelpunkt p und Radius . Wir schneiden B (p) aus V 0 heraus und wenden auf das verbleibende Gebiet U := V 0 n B (p) die zweite Greensche Identitat mit f := $ und g := 1=rp an: Z 1 1 =0: ? d $ ; $ ? d rp @U rp Die rechte Seite verschwindet wegen 4f = 0 und 4g = 0 auf U . Die 2Form ; ? d(1=rp) ist mit der auf den Punkt p bezogenen Raumwinkelform p identisch: ; ? d r1 = ? drr2p = p : p

p

(Achtung! Das Subskript p in p ist hier kein Auswertungspunkt wie in unserer Notation fur Dierentialformen sonst ublich, sondern lediglich ein externer Parameter, der verschiedene Dierentialformen unterscheidet. Eine prazisere, aber umstandlichere Notation ware (p) .) Der Rand von U besteht aus drei Stucken, @U = S; ; S+ ; @B(p), so da folgt:

Z

;r;1 ? d$ + $ = Z

;r;1 ? d$ + $ : p p @B (p) S; ;S Da die Oberache des -Balles wie 2 skaliert, r;1 aber nur wie ;1 p

p

+

p @B (p)

divergiert, tragt zum Integral uber @B (p) im Limes ! 0 nur der zweite TermZ bei: Z ;r;1 ? d$ + $ ;! !0 $ (p) p = 4$ (p) : p p @B (p)

@B (p)

Wegen der Stetigkeit von d$ = H fallt der erste Term auch im Integral uber den zweiseitigen Rand S; ; S+ der Trennschicht weg, und die Diskontinuitat des zweiten Terms ($; ; $+ = I ) gibt

Z

S; ;S+

;r;1 ? d$ + $ = Z ($ ; $ ) = I Z : p ; + p p p S

S

Insgesamt folgt das hubsche Ergebnis Z $ (p) = 4I p : S Das skalare magnetische Potential im Punkt p ist also gleich I=4 mal dem Raumwinkel, R unter dem die Leiterschleife von p aus gesehen wird. Da das Integral S p von der Wahl der Trennache S nicht abhangt, ist anschaulich klar. Formal folgt die Unabhangigkeit aus der Geschlossenheit von p

132


(dp = 0 auf E3 n fpg). In der Tat la t sich fur zwei Flachen S1 und S2 mit gleichem Rand @S1 = @S2 = die Dierenz S1 ; S2 als der Rand eines dreidimensionalen Gebiets W auassen, und es gilt

Z

p ;

Z

Z

S2

p =

Z

p =

Z

dp = 0 S1 ;S2 @W W R R d.h. das Integral S1 p = S2 p hangt wirklich nur von der berandenden S1

p =

Schleife @S = ab und nicht von S selbst. Wir konnen diese Unabhangigkeit formelma ig explizit machen, indem wir lokal p = dp setzen #z.B. mit p = (1 ; cos p )d'p , wobei p und 'p der Polar- bzw. Azimuthwinkel bzgl. p sind] und mit dem Stokesschen Satz das Flachenintegral uber S in ein Linienintegral langs umwandeln: Z I $ (p) = 4 p : Aufgabe 2.6.1. Berechne fur die in Abb. 2.11 gezeigte Anordnung das skalare magnetische Potential $ und die magnetische Erregung H auf der z -Achse, und veriziere die U bereinstimmung des Resultats mit dem von Bsp. 2.2.2. z p

θp y R

γ

I

x

Abbildung 2.11. Skizze zu Aufg. 2.6.1

3. Netzwerke

Warnung: das folgende Kapitel ist noch in einem didaktisch sehr schlechten Zustand und findet bei den Studenten keine groe Resonanz. (Vielleicht sollte man das Kapitel deshalb ganz weglassen. Andererseits ist es aber f ur numerische Zwecke schon sehr wichtig zu verstehen, wie man die Maxwellsche Theorie richtig diskretisiert.)

In diesem Kapitel werden wir die Maxwellsche Theorie diskretisieren. Die Motivation hierfur ist zweifach: 1. Diskretisierung ist eine Vorbereitung fur die Anwendung numerischer Methoden in Situationen, wo analytische Losungsmethoden versagen. 2. Die diskrete Formulierung wird unser Verstandnis der Theorie vertiefen und unsere Anschauung verbessern. Insbesondere werden wir das \Flu linienbild" prazisieren. Abschnitt 1.1 dient u.a. dazu, einige allgemeine Strukturen einzufuhren, mit denen wir dann auf Netzwerken arbeiten werden.

3.1 k-Komplexe Wir betrachten eine Gesamtheit, die aus einer Menge von Punkten %0 = fp1 p2 p3 : : :g orientierten Linien %1 = f1 2 3 : : :g orientierten Flachen %2 = fS1 S2 S3 : : :g und orientierten Gebieten %3 = fV1 V2 V3 : : :g besteht plus einer Vorschift @ (\Randoperator"), die jeder/m 0 Linie 1 0 Punkte 1 @ Flache A die sie=es berandenden @ Linien A zuweist: Gebiet Flachen Beispiel 3.1.1. Tetraeder %0 = fp1 p2 p3 p4 g %1 = f12 13 14 23 24 34 g @ij = pj ; pi %2 = fS123 S124 S134 S234 g @Sijk = jk ; ik + ij %3 = Tetraeder = V1234 @V1234 = S234 ; S134 + S124 ; S123

134

3. Netzwerke

.

P4

γ

γ S134 γ 13

P1

γ

.

24

S 234 P3

γ

S123

.

vorn

34

14

23

γ 12

S 124

.

P2

Abbildung 3.1. Tetraeder Beispiel 3.1.2. Quader 7

.

.

8

.

4

oben

5

.

.

6 hinten

rechts

links vorn

3

. unten

1

.

.

Abbildung 3.2. Quader

2

%0 = fp1 p2 : : : p8 g @ij = pj ; pi %1 = f12 : : : 78 g @Srechts = 24 + 48 ; 68 ; 26 %2 = fSoben Sunten : : :g @Q = Srechts ; Slinks + Soben ; Sunten %3 = fQg Q = Quader +Shinten ; Svorn Die Elemente von %k spannen einen linearen Raum auf, den wir mit Ck bezeichnen. (In den Beispielen: p2 ; p1 2 C0 12 + 2P 24 ; 43 13 2 C1 .) Die Elemente von Ck hei en k{Ketten. Die Elemente von k hei en Basis{k{ Ketten oder, kurzer, k{Zellen. Die Gesamtheit der Raume Ck (k = 0 1 2 3) @ C ! @ @ zusammen mit dem Randoperator C3 ! 2 C1 ! C0 hei t 3{Komplex. (Verallgemeinerung zu k{Komplexen ist klar.) Wir betrachten jetzt den zu Ck dualen Raum Ck = C k (k = 0 1 2 3). Zur Erinnerung: \dual" hei t, da C k der lineare Raum ist, der aus den linearen Funktionen ! : Ck ! R besteht.

3.1 k-Komplexe

135

Die Elemente von C k hei en k{Coketten. Durch Anwendung einer k{ Cokette ! auf eine k{Kette c ensteht eine reelle Zahl, die wir mit !(c) bezeichnen. liegt nahe, diese Anwendung mit \Integrieren" gleichzusetzen: !(c) R !Es . Mit dieser Identication sind k{Coketten das diskrete Analogon zu k{ c Formen. Wir notieren die Dualbasis mit hochgestellten Indizes, d.h. pi (pj ) = i j i (j ) = ji usw. Dann ist also f = pi jene Funktion (= Null{Form), die uberall verschwindet au er im Punkt p = pi , wo sie den Wert f (p) = 1 hat. Genauso konnen wir ! = i als die 1{Form auassen, deren Integral langs jeder 1{Zelle (d.h. R jeder elementaren Linie) verschwindet au er langs c = i , wo gilt !(c) = c ! = 1: Der zum Randoperator @ : Ck ! Ck;1 duale Operator d : C k;1 ! C k hei t Corandoperator. Fur 2 C k;1 und c 2 Ck gilt per Denition von d als dem zu @ dualen Operator: (d )(c) = (@c) : (3.1) R R Mit den Identikationen ! (@c) = @c ! und (d )(c) = c d! schreibt sich (3.1) wie folgt:

Z

Z

! d.h. der Corandoperator ist das diskrete Analogon zur au eren Ableitung { was seine Bezeichnung mit d erklart {, und (3.1) ist die diskrete Version des Stokesschen Satzes. Wie im Kontinuum ist d auch auf einem k{Komplex genau so deniert, da der Stokessche Satz gilt. Beispiel 3.1.1 : Tetraeder X X (1) dP i = ni ; in c

d! =

@c

(2) d ij =

n 0) verschwindet. Es gelten also die Anfangsbedingungen E t=0 = 0 und E_ t=0+ = ";0 1 ? j t=0; :

P

In der ublichen kartesischen Basis setzen wir jetzt ?j jt=0; =: 3k=1 jk dxk . Nach Satz 4.1 haben wir dann fur die elektrische Feldstarke den Ausdruck Ek (p t) = M(p t)jk ="0 . Nun liege die Leiterschleife speziell in der xy-Ebene und sei kreisformig mit Mittelpunkt o und Radius R. Um Ek (p t) = M(p t)jk ="0 zu berechnen, legt man eine Sphare Sct (p) um den Punkt R p mit Radius ct (Abb. 4.7) und wertet das Integral Ek (p t) = (t=4"0) Sct (p) jk p aus. Aufgabe 4.3.1. Zeige das folgende: 1. E verschwindet auf der z -Achse fur alle Zeiten. 2. In der Zylinderbasis @r , @' und @z verschwinden die Komponenten Er und Ez uberall zu allen Zeiten. 3. In der xy-Ebene gilt ;R2 + r2 ; c2t2 d' I p E = 2" c p 2 0 R ; (ct ; r)2 (ct + r)2 ; R2 fur jct;rj < R, und Null sonst. (Skizze des Ergebnisses als Funktion von t)

4.3 Wellengleichung in drei Raumdimensionen y

169

p ct

R o

x I

Abbildung 4.7.

4.3.3 L osung der inhomogenen Gleichung Mit all den getroenen Vorbereitungen ist es jetzt leicht, die allgemeine Losung der inhomogenen Wellengleichung zu konstruieren. Dazu betrachten wir zunachst die Anfangswertaufgabe f = g (fur t > 0) mit f (p 0) = 0 und f_(p 0) = 0. In volliger Analogie zu dem in Abschn. 4.2 behandelten eindimensionalen Fall zeigt man

f (p t) = c

Zt 0

hs (p t)ds

wobei hs fur t > s durch die homogene Wellengleichung hs = 0 bestimmt wird und den Anfangsbedingungen hs (p t)jt=s = 0 und 1c h_ s (p t)jt=s = g(p s) genugt. Mit Satz 4.1 konnen wir hs sofort angeben: hs (p t) = c M(p t ; s) g( s) : Einsetzen in den Ausdruck fur f ergibt:

f (p t) = c2 = c2

Zt Zt 0 0

M(p t ; s) g( s)ds

2Zt M(p s) g( t ; s)ds = 4c 0

Nun benutzen wir cs = rp Scs (p) und

Z Scs (p)

g( t ; s)p s ds :

rp drp ^ p = rp;1 dx ^ dy ^ dz =: rp;1 dV : Es folgt dann die Formel Z g; t ; rp ()=c f (p t) = 41 dV : rp () Bct (p)

Durch Hinzufugen der Losung der homogenen Gleichung bekommen wir fur die Losung der Gleichung f = g zu den allgemeinen Anfangsbedinungen f (p 0) = u(p), f_(p 0) = v(p) das Ergebnis

170

4. Elektromagnetische Wellen

@ M(p t)u + 1 f (p t) = M(p t)v + @t 4

Z g; t ; rp ()=c dV :

Bct (p)

rp ()

Wahlen wir die Anfangsbedingungen f (p t0 ) = 0 = f_(p t0 ) zur Zeit t0 ! ;1, so resultiert Z f (p t) = 41 g( t r; rp =c) dV : p E3 Interpretation. Diese Formel merken wir uns wie folgt. Wir haben uns vorzustellen, da zur Zeit t0 am Ort p0 ein spharischer Puls (\Seifenblase") mit Amplitude g(p0 t0 ) erzeugt wird. (Ist g(p0 t0 ) = 0, so wird nichts erzeugt.) Dieser Puls breitet sich (ohne seine Form zu verandern) mit Lichtgeschwindigkeit isotrop aus, wobei seine Amplitude wie der inverse Abstand abnimmt. Er trit zur Zeit t = t0 + jp ; p0j=c am Ort p ein und tragt zum Funktionswert f (p t) bei. Zur Berechnung von f (p t) ist uber alle \Quellereignisse" (p0 t0 ) zu summieren #gewichtet mit g(p0 t0 )], die auf dem Mantel (oder Rand) n o ; := (p0 t0 ) jp ; p0 j = c(t ; t0 ) @Cpt ; liegen, des ruckwarts gerichteten Lichtkegels Cpt

n

o

; := (p0 t0 ) jp ; p0 j c(t ; t0 ) : Cpt

Zeit

(p,t) Cp,t Cp,t Raum

Abbildung 4.8. Mantel des ruckwarts gerichteten Lichtkegels

4.4 Elektrische Dipolstrahlung Als konkrete Anwendung der Ergebnisse von Abschn. 4.3.3 berechnen wir das Strahlungsfeld einer raumlich lokalisierten und harmonisch oszillierenden Quelle in elektrischer Dipolnaherung. Die Strahlungsquelle bende sich innerhalb einer um den Koordinatenursprung zentrierten Kugel BR mit Radius R. Sie sei elektrisch neutral, habe aber ein endliches elektrisches Dipolmoment.

4.4 Elektrische Dipolstrahlung

171

Unser erstes Ziel wird es sein, die magnetische Erregung H zu berechnen. Sie genugt der inhomogenen Wellengleichung H = ;j = ? d ? j , deren Losung durch Z 1 Hk (p t) = 4 (? d ? j )k ( t ; rp =c) rp;1 dV BR ausgedruckt wird. Wir beginnen mit der folgenden Nebenrechnung: (? d ? j )k dV = @k (? d ? j ) dV = (@k dV ) ^ ? d ? j = (d ? j ) ^ ?(@k dV ) = d ? j ^ dxk = d (?j ^ dxk ) : Die Zeitabhangigkeit von Strom- und Ladungsverteilung sei jetzt harmonisch: j = ~j sin !t und = ~ cos !t, mit zeitunabhangigem ~j , ~. Hiermit wird die Gleichung fur Hi zu Z sin(!t ; krp) Hi (p t) = 41 d(?~j ^ dxi ) rp BR wobei k = !=c gesetzt wurde. Wir werden sehen, da = k;1 die Wellenlange der emittierten Strahlung ist. Die weitere Rechnung fuhren wir unter den Bedingungen R r(p) durch. Die Ungleichung R bedeutet den Grenzfall gro er Wellenlangen, und r(p) deniert den Bereich der Fernzone. Fur einen Punkt a 2 BR durfen wir wegen R r(p) die Taylor-Entwicklung des Abstandes rp (a) = jp ; aj nach der ersten Ordnung abbrechen: j ; rp (a) = r(p) ; xr((pp)) xj (a) + O R2 =r(p) : #Ab hier bedienen wir uns wieder der Einsteinschen Summenkonvention.] Damit gehen wir nun in den Ausdruck sin(!t ; krp )=rp : sin(!t ; krp ) = sin(!t ; kr(p)) + cos(!t ; kr(p)) xj (p) kx + : : : : rp r(p) r(p) r(p) j Die Entwicklung der Sinusfunktion im Zahler wurde nach dem ersten Korrekturglied abgebrochen. Diese Naherung eliminiert Beitrage zum Strahlungsfeld, die von hoherer Ordnung in der kleinen Gro e kR 1 sind (Langwellenlimes). Die Ersetzung von rp durch den konstanten Wert r(p) im Nenner ist zulassig in der Fernzone. Mit einer partiellen Integration folgt jetzt j (p) Z cos( kr ( p ) ; !t ) kx 4r(p) dxi ^ dxj ^ ?~j : Hi (p t) = ; r(p) BR Nach einer weiteren Nebenrechnung, dxi ^ dxj ^ ?~j = ~j ^ ?(dxi ^ dxj ) = ijk ~j ^ dxk #ijk = ;jik usw. ist der total antisymmetrische Tensor in drei Dimensionen ], la t sich das verbleibende Integral durch das elektrische Dipolmoment & der Quelle ausdrucken:

172

Z


BR

dxk ^ ~j = ;

Z

BR

xk d~j = ;!

Z BR

xk ~ = ;!& k :

Hier wurde fur das zweite Gleichheitszeichen benutzt, da nach der Kontinuitatsgleichung ( _ + dj = 0) gilt d~j = ! ~. Es folgt ; !t) dxi xj & k : H ( t) = k! cos(kr ijk 4r r Der Ausdruck ijk xi dxj ^ dxk =2r3 ist die kartesische Koordinatendarstellung der Raumwinkel-2-Form , so da gilt j i k j ijk dxi xr & k = ;i ijk x dx2r^ dx = i r2 : Wir fuhren die Kugelachen-2-Form dS := r2 ein und haben damit das Resultat ; !t) i dS : H = k! cos(kr 4r Hier steckt noch irgendwo ein Vorzeichenfehler.

Ausgehend von der inhomogenen Wellengleichung fur die elektrische Feldstarke, E = ; "1 d ? ; 0 ? @j @t 0 zeigt man mit dem Zwischenergebnis Z cos(!t ; krp ) ; 1 ;1d ? ~ ; 0 ? ~j dV Ei (p t) = 4 ; " 0 i rp BR durch eine ahnliche Rechnung wie fur H das Resultat ; !t) (h& @ idr ; h& i) : E = 0 !2 cos(kr r 4r Der Term h& @r i dr kommt vom Ladungsanteil der Quelle, der Term h& i vom Stromanteil. (Achtung! Fur den Ladungsanteil ist der Kosinus bis zur zweiten Ordnung in k2 zu entwickeln!) Wir legen jetzt das Dipolmoment speziell in z -Richtung (& = j& jez ) und fuhren Kugelkoordinaten r ' ein. Aus @z = cos @r ; r;1 sin @ folgt i dS = ;j& jr sin2 d' und h& i ; h& @r idr = j& j;dz ; j& j cos dr = j& j d(r cos ) ; (dr) cos = ;j& jr sin d : Fur diese Wahl der Richtung des Dipolmoments haben wir also 2 E = 40! j& j sinr cos(kr ; !t) r d sin cos(kr ; !t) r sin d' : H = k! j & j 4 r

4.5 Strahlung einer beschleunigten Punktladung

173

Diskussion. 1. Wir ordnen der 1-Form E durch den kanonischen Isomorphismus I das Vektorfeld I (E ) = (E ) zu. Fur H verfahren wir genauso. Die nach au en gerichtete Kugelnormale @r , die die Ausbreitungsrichtung der Strahlung beschreibt, und die Vektorfelder I (E ) @ und I (H ) @' bilden dann ein rechtshandiges Orthonormalsystem. ez er

I (H) ~ eφ p o

I (E) ~ eθ

Abbildung 4.9. Zur Ausbreitung der abgestrahlten Welle

2. E und H verschwinden auf der Polarachse des Dipols (Faktor sin !) und sind in der A quatorialebene maximal. Diese Variation mit dem Sinus des Polarwinkels ist charakteristisch fur das Strahlungsfeld eines elektrischen Dipols. (Hohere Multipolmomente wurden durch die Langwellennaherung eliminiert. Sie haben ubrigens eine andere Winkelverteilung.) 3. Die zeitgemittelte Poynting-2-Form ist mit hcos2 (: : :)i = 1=2 gleich 3 2 2 hE ^ H i = 32k ! 2 "0 j& j sin : Integration liefert die gesamte abgestrahlte Leistung 0 j& j2 !4 =12c. Beachten Sie die starke Frequenzabhangigkeit! Aufgabe 4.4.1. Magnetische Dipol- und elektrische Quadrupolstrahlung

4.5 Strahlung einer beschleunigten Punktladung Hier k onnte man zun achst mit Hilfe des Flulinienbildes die Bremsstrahlung einer Punktladung diskutieren (siehe Thirring). Anschlieen w urde sich dann die exakte analytische Theorie. Denkbar w are auch, diesen Abschnitt vor dem uber die elektrische Dipolstrahlung einzuschieben und auf diese Weise die dort etwas l angliche Rechnung abzuk urzen.

174


4.6 Beugungsphanomene Ein ehrgeiziges Ziel w are, Sommerfelds L osung f ur die Beugung am Keil zu pr asentieren. Dazu ben otigt man aber wohl mehr Funktionentheorie und komplexe Analysis als hier zur Verf ugung steht.

4.7 Symmetrien und Erhaltungssatze In Vorbereitung des n achsten Abschnitts w are hier noch -- nach dem Skript vom Sommersemester 1993 -- die Herleitung des Impuls- und Drehimpulssatzes zu geben. Dieses Thema wird im relativistischen Kapitel wieder aufgegriffen und dort pr agnanter behandelt.

4.8 Das Feynmansche Paradoxon Feynman im Original. \Betrachte die in Abb. 4.10 gezeigte Apparatur. Eine Achse tragt in zu ihr senkrechter und konzentrischer Anordnung eine dunne, kreisformige Plastikscheibe. Die Achse ist hervorragend gelagert, soda die Scheibe ohne Reibungsverluste rotieren kann. Auf der Scheibe bendet sich ein Draht in Form einer konzentrisch zur Drehachse angeordneten Spule. Diese Spule tragt einen stationaren Strom I , der einer kleinen, ebenfalls auf der Scheibe montierten Batterie entnommen wird. In der Nahe des Scheibenrandes benden sich in gleichma iger Anordnung viele kleine Metallkugeln, die durch das Plastik der Scheibe voneinander und von der Spule elektrisch isoliert sind. Jede Metallkugel tragt die gleiche elektrische Ladung q. Alles ist stationar, und die Scheibe ruht. Nun wollen wir annehmen, da durch Zufall { oder Planung { der Strom in der Spule zum Erliegen gebracht wird, und zwar ohne irgendeine au ere Einwirkung. Solange der Strom ie t, existiert ein magnetischer Flu , der auf der Spule so ungefahr senkrecht steht. Dieser magnetische Flu mu verschwinden, wenn der Strom gestoppt wird. Es wird deshalb ein elektrisches Feld induziert, das um Kreise mit Mittelpunkt auf der Drehachse zirkuliert. Die geladenen Kugeln spuren dann ein zum Scheibenrand tangentiales elektrisches Feld. Die elektrische Kraft hat fur alle Kugeln denselben Drehsinn, was in einem an der Scheibe angreifenden totalen Drehmoment resultiert. Wir wurden aufgrund dieser Argumente erwarten, da die Scheibe mit dem Verschwinden des Stromes in der Spule zu rotieren beginnt... Wir konnten jedoch auch anders argumentieren. Da der Drehimpuls der Scheibe mit all ihrem Zubehor zu Anfang verschwindet, konnten wir unter Verwendung des Prinzips der Drehimpulserhaltung sagen, da der Drehimpuls der gesamten Anordnung fur alle Zeiten Null bleiben mu . Die Scheibe sollte also nach dem Abschalten des Stromes in Ruhe verweilen. Welches der

4.8 Das Feynmansche Paradoxon

175

beiden Argumente ist korrekt? Wird die Scheibe in Rotation versetzt oder nicht?..." (Ende des Zitats.) geladene Metallkugeln

I

Plastikscheibe

Abbildung 4.10. Die Feynmansche Anordnung (die Spule ist vereinfacht als Kreisstrom dargestellt)

Feynman fugt hinzu, da die korrekte Antwort nicht von irgendwelchen unwesentlichen Begleitumstanden wie zum Beispiel der asymmetrischen Position der Batterie abhange. Die Abgeschlossenheit des Systems, d.h. das Abschalten des Stromes ohne eine den Drehimpuls andernde au ere Einwirkung, konne man zum Beispiel durch folgende ideale Situation erreichen. Die Spule sei aus einem supraleitenden Draht gewickelt, in dem ein Strom ie e. Nachdem man die Anordnung sorgfaltig in den Ruhezustand versetzt hat, lasse man die Temperatur langsam ansteigen. Sobald die U bergangstemperatur zwischen supraleitendem und normalleitendem Zustand erreicht ist, wird der Strom in der Spule durch den Widerstand des Drahtes zum Erliegen gebracht. Wie zuvor sinkt der magnetische Flu ab, und es wird ein elektrisches Feld induziert. Abschlie end warnt Feynman den Leser, da die Auosung des Ratsels weder leicht noch ein Trick sei, sondern zur Entdeckung eines wichtigen Prinzips des Elektromagnetismus fuhre. Wir nehmen vorweg, da die erste Antwort die richtige ist: die Scheibe bendet sich nach dem Abklingen des Stromes tatsachlich in Rotationsbewegung. Unsere Aufgabe wird es demnach sein, die Drehimpulsbilanz in Ordnung zu bringen. Zunachst einmal fragt man sich, ob der mechanische Drehimpuls der in der Spule umlaufenden Elektronen wesentlich sein konnte. Dazu ist zu bemerken, da der Drehsinn der durch die Wirkung des induzierten elektrischen Feldes in Rotation versetzten Scheibe vom Vorzeichen der Ladungen q auf den Metallkugeln abhangt. Deshalb wird das Dezit in der mechanischen Drehimpulsbilanz durch Hinzunahme des Drehimpulses der Elektronen entweder gro er oder kleiner gemacht, je nachdem ob q positiv oder negativ ist. Zudem konnen wir durch Vergro ern der gesamten Ladung auf den Metallkugeln das angreifende Drehmoment - und damit auch den Drehimpuls der rotierenden Scheibe { variieren, wahrend der Drehimpuls der Elektronen fest bleibt. Wir entnehmen diesen U berlegungen, da der me-

176


chanische Drehimpuls der in der Spule umlaufenden Elektronen einer der im Feynmanschen Sinn unwesentlichen Begleitumstande des Ratsels ist und vernachlassigt werden kann.1 Auosung des Ratsels. Um das Dezit in der mechanischen Drehimpulsbilanz zu kompensieren, werden wir den Drehimpuls im elektromagnetischen Feld heranziehen mussen. Leider ist eine quantitative Analyse des von Feynman beschriebenen Vorgangs schwierig. Wir nehmen deshalb eine Vereinfachung vor, indem wir das System unter Translationen in Richtung der Drehachse invariant machen. (Wir stellen uns zum Beispiel vor, es seien sehr viele identische Scheiben von der beschriebenen Form ubereinander gestapelt.) Insbesondere ersetzen wir die ringformige Anordnung von Metallkugeln durch einen gleichma ig mit Flachenladung bedeckten Zylindermantel. Diese Abstraktion wird nicht nur das Rechnen erleichtern, sondern auch den Blick auf das Wesentliche des Problems lenken. Wir fuhren gewohnliche Zylinderkoordinaten r ' z ein und legen die Symmetrieachse der Anordnung auf die z -Achse. Mit u 2 3 (E3 ) bezeichnen wir die Dichte der z -Komponente des Drehimpulses im elektromagnetischen Feld. Aus dem vorangehenden Abschnitt kennen wir die Formel u = ;B ^ @' D, wobei @' das durch die Gleichungen (dr)(@' ) = 0, (d')(@' ) = 1 und (dz )(@' ) = 0 bestimmte Vektorfeld ist. (@' erzeugt Drehungen um die z Achse.) Im ersten Schritt untersuchen wir die statischen Situationen vor dem Zusammenbruch des Stromes zur Zeit t = 0 und lange danach. Vorher existiert ein magnetisches Feld innerhalb der Spule und ein elektrisches Feld au erhalb des geladenen Zylindermantels. Da die Raumbereiche, wo die Fel der von Null verschieden sind, nicht uberlappen, gilt ut 0), v ein Vektorfeld, eine Abbildung zwischen oenen Teilmengen zweier aner Raume (die Bildmenge von liege in En ) und C ein geeignetes Integrationsgebiet.

A ueres Produkt f ^ = ^ f := f ^ = (;1)kl ^ Inneres Produkt ! iv f = 0 iv

n X i=1

ai dxi =

iv ( ^ ) = (iv ) ^ Auere Ableitung

(A.1) (A.2) n X

ai vi i=1 + (;1)k ^ (iv )

(A.3) (A.4)

n @f X

i (A.5) i dx @x i=1 d ( ^ ) = (d) ^ + (;1)k ^ (d ) (A.6) d d = 0 Poincare : d = 0 =) (lokal :) = d( (A.7)

df =

Pullback

f = f ( ^ ) = ( ) ^ ( ) d = d

(A.8) (A.9) (A.10)

=

(A.11)

Integration Z Z "(C )

Stokes :

Z

C

d =

C

Z

@C

(A.12)

206

A. Kleine Formelsammlung fur das Rechnen mit Dierentialformen

Sternoperator (im E3) ?? = id ? dx = dy ^ dz ? dx ^ dy ^ dz = 1 ^ ? = ^ ?

(und zyklisch) (falls k = l)

(A.13) (A.14) (A.15) (A.16)

Index

(inneres Produkt), siehe Kap. 0.5 Ableitung { partielle, 18 Alternierende Multilinearformen, 7 Ampere, 64, 106 Basis { duale, 6 Basisdarstellung { alternierender Multilinearformen, 10 Boost, 186 Cooper-Paare, 195 Coulomb, 64 Coulomb-Eichung, 110 d (Operator), 181 4 (Laplace-Operator), siehe Kap. 0.20, 185 d'Alembert-Operator , 158 Determinante, 14 Dielektrische Konstante d. Vakuums, 81, 84 Dierential { einer Abbildung, 24 { einer Funktion, 18 Dierentialform { k-ten Grades (k-Form), 22 { ersten Grades (1-Form), 19 { exakte, 28 { geschlossene, 28 { Koordinatendarstellung, 23 { top-dimensionale, 22 Dilatation, 183 Dipolmoment { elektrisches, 114 { magnetisches, 115 Dirichlet-Problem, 118 Divergenz, 27 Dualraum, 4

"0 , siehe Dielektrische Konstante d. Vakuums Eektive Masse, 202 Eichfeld, 199 Eichpotential, 193 Eichtransformation, 109 Eindringtiefe, 161, 197 Elektroschwache Theorie, 199 Energiedichte, 86 Energiestromdichte, 86 Ereignis, 179 Erregung { elektrische, 67 { { Mesvorschrift, 90 { magnetische, 69 { { Mesvorschrift, 92 Faraday-Form, 181, 182 Faradaysches Induktionsgesetz, 75 Feld { elektrisches, 82 { elektromagnetisches, 82 { magnetisches, 82 Feldgleichungen, 192, 193, 199 Feldstarke { elektrische, 71 { magnetische, 72 Fernzone (Dipolstrahlung), 171 Flachenladungsdichte, 120, 124 Flachenladungsdichte, 89 Fluslinien, 68 Flus { elektrischer, 68 { magnetischer, 73 Flusdichte { elektrische, 68 { magnetische, 73 Gradient, 21 Greensche Funktion, 119 GUT, 84

207

208

Index

~,

siehe Plancksche Konstante Hamiltonsches Prinzip, 191 Hauptsatz der Cartanschen Dierentialrechnung, 51

Induktionsgesetz, siehe Faradaysches Induktionsgesetz Inertialsystem, 179

k-Form, 22 k-Kette, 46 k-Zelle, 44

Kapazitat, 104 Kausalitatsprinzip, 164 Koharenzlange, 198 Konforme Gruppe, 183 Kontinuitatsgleichung, 52, siehe Kap. 1.2, 181 Koordinatenform, 19 Koordinatenfunktion, 18 Koordinatensystem { anes, 2 { kartesisches, 3 Kopplungskonstante, 199 Kraft { Coulomb-, 72 Kugelkondensator, 103 LX (Lie-Ableitung), siehe Kap. 0.18 Ladung, 64 Ladungsdichte { elektrische, 65 { magnetische, 75 Ladungserhaltung, siehe Kap. 1.2, 181 Ladungsneutralitat (Universum), 70 Lagrange-Dichte, 191, 193 Leistung (d. Feldes an Materie), 85 Leitfahigkeit, 161 Lenzsche Regel, 74 Lichtgeschwindigkeit, 84 Lichtkegel, 164 Linearform, 3 Linienstromdichte, 89 London-Limes, 197, 198 Lorentz-Eichung, 185 Lorentz-Gruppe, 180 Lorentz-Kraft, 72, 85, 106, 178 M (Operator), 165 0 , siehe Magnetische Permeabilitat d. Vakuums Magnetische Monopole, 83 Magnetische Permeabilitat d. Vakuums, 81

Magnetisierung, 94 Materialgesetze, 80 Materialgleichungen, 182 Maxwell-Form, 182 Maxwell-Gleichungen { homogene, siehe Kap.1.4, 181 { Inhomogene, 67 Monopolmoment (elektrisches), 114 Ober achenladung, 89 Ohmsches Gesetz, 97, 161 Orientierung, 7 Parametrisierung, 34 Permeabilitat, siehe Magnetische P. Plancksche Konstante, 196 Poisson-Kern, 120 Poisson-Problem, 118 Polarisierung (elektrische), 93 Polarkoordinaten (spharische), 102 Potential { einer Punktladung, 107 { elektrostatisches, 107 { skalares magnetisches, 130 Poynting-Form, 86 Quadrupolmoment (elektrisches), 114 Quellterm (Wellengleichung), 158 Rand { einer k-Kette, 46 { einer k-Zelle, 46 Raum { aner, 1 Raumwinkel-Form, 23 Rechte-Hand-Regel, 8 Ringspannung { elektrische, 72 Rotation, 26 Skalarprodukt { Lorentzsches, 179 Skin-Tiefe, siehe Eindringtiefe Spannung { elektrische, 72 { magnetische, 70 { statische, 103 Sternformig, 28 Stromdichte { elektrische, 66 Supraleiter, 92, 195 Tangentenvektor, 34 Temporale Eichung, 200

Index Transformation { aktive, 186 { passive, 186 Vektorbosonen, 199 Vektorpotential, 109 Vierer-Strom, 181, 182, 194 Viererpotential, 185, 199 Weinberg-Salam-Glashow-Theorie, 202 Welle (elektromagnetische), 84 Wellenoperator, 158 Weltpunkt, siehe Ereignis Winkel-1-Form, 37 Wirkungsfunktional, 192 Wirkungsprinzip, 192 Zylinderkoordinaten, 104

209

Elektrodynamik

Elektrodynamik

R. Elektrodynamik

Elektrodynamik 003

Elektrodynamik 002

Elektrodynamik 001

Elektrodynamik 001.ps.gz

Classical electrodynamics - Klassische Elektrodynamik

Elektrodynamik 003.ps.gz

Klassische Elektrodynamik 001

Elektrodynamik 002.ps.gz

Grundkurs Theoretische Physik 3-Elektrodynamik

Grundkurs Theoretische Physik 3: Elektrodynamik

Elektrodynamik und Spezielle Relativitaetstheorie 001

Grundkurs Theoretische Physik 3. Elektrodynamik

Grundkurs Theoretische Physik 3: Elektrodynamik, 8. Auflage

Elektrodynamik: Einfuehrung in Experiment und Theorie

Theoretische Physik 2. Elektrodynamik und spezielle Relativitaetstheorie

Elektrodynamik: Lehrbuch zur Theoretischen Physik II

Elektrodynamik: Eine Einführung in Experiment und Theorie 4. Auflage

Theoretische Physik 2: Elektrodynamik und spezielle Relativitätstheorie (Springer-Lehrbuch)

3 Klassische Feldtheorie : von Elektrodynamik, nicht-Abelschen Eichtheorien und Gravitation

Theoretische Physik 3: Klassische Feldtheorie. Von Elektrodynamik, nicht-Abelschen Eichtheorien und Gravitation

Theoretische Physik 3: Klassische Feldtheorie. Von Elektrodynamik, nicht-Abelschen Eichtheorien und Gravitation

Elektrodynamik

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R. Elektrodynamik

Elektrodynamik 003

Elektrodynamik 002

Elektrodynamik 001

Elektrodynamik 001.ps.gz

Classical electrodynamics - Klassische Elektrodynamik

Elektrodynamik 003.ps.gz

Klassische Elektrodynamik 001

Elektrodynamik 002.ps.gz

Grundkurs Theoretische Physik 3-Elektrodynamik

Grundkurs Theoretische Physik 3: Elektrodynamik

Elektrodynamik und Spezielle Relativitaetstheorie 001

Grundkurs Theoretische Physik 3. Elektrodynamik

Grundkurs Theoretische Physik 3: Elektrodynamik, 8. Auflage

Elektrodynamik: Einfuehrung in Experiment und Theorie

Theoretische Physik 2. Elektrodynamik und spezielle Relativitaetstheorie

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Elektrodynamik: Eine Einführung in Experiment und Theorie 4. Auflage

Theoretische Physik 2: Elektrodynamik und spezielle Relativitätstheorie (Springer-Lehrbuch)

3 Klassische Feldtheorie : von Elektrodynamik, nicht-Abelschen Eichtheorien und Gravitation

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