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Johannes Gutenberg-Universit¨ at Mainz Institut f¨ ur Mathematik Staudinger Weg 9 55099 Mainz
Vorlesungsskript
Differentialgeometrie Marc A. Nieper-Wißkirchen WS 2005/06–SS 2006
Inhaltsverzeichnis I.
Differenzierbare Mannigfaltigkeiten
7
1. C k -Mannigfaltigkeiten 9 1.1. Die Kategorie der C k -Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2. Differenzierbare Funktionen und die Zerlegung der Eins . . . . . . . . . . 11 2. Lineare Approximation 2.1. Der Tangentialraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Tangentialvektoren als Derivationen . . . . . . . . . . . . . 2.3. Die Tangentialgarbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Die Kotangentialgarbe und das Differential von Funktionen 2.5. Kritische Stellen differenzierbarer Abbildungen . . . . . . .
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13 13 16 18 19 20
3. Lokale Eigenschaften differenzierbarer Abbildungen 23 3.1. Immersionen und Submersionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.1.1. Der Sardsche Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2. Der Rangsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4. Surjektive Submersionen 31 4.1. Faserr¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 5. Vektorfelder und Fl¨ usse 33 5.1. Operationen mit Vektorfeldern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.2. Die Liesche Klammer von Vektorfeldern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 6. Liesche Gruppen 6.0.1. Linearisierung Liescher Gruppenhomomorphismen 6.1. Liesche Untergruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Die adjungierte Darstellung einer Lieschen Gruppe . . . . 6.3. Fundamentale Vektorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . .
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35 35 36 37 38
7. Tensorfelder auf Mannigfaltigkeiten 7.1. Tensorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Die Liesche Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Differentialformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41 41 44 49
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3
Inhaltsverzeichnis 8. Integration auf Mannigfaltigkeiten 8.1. Die Orientierungsgarbe . . . . . . . 8.2. Mannigfaltigkeiten mit Rand . . . 8.3. Integration von Volumenformen . . 8.4. Der de Rhamsche-Kohomologiering
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57 57 61 63 68
II. Horizontale Strukturen
75
9. Horizontale Strukturen auf Submersionen 9.1. Horizontale Strukturen . . . . . . . . . . 9.2. Horizontale Hochhebungen . . . . . . . . 9.3. Zusammenh¨ ange . . . . . . . . . . . . . 9.4. Die Kr¨ ummungsform . . . . . . . . . . . 9.5. Zusammenh¨ ange auf Hauptfaserb¨ undeln
77 77 79 82 85 88
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10.Kovariante Ableitungen 93 10.1. Kovariante Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 10.2. Modul-wertige Differentialformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 10.3. Der induzierte Zusammenhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 11.Affine Mannigfaltigkeiten 101 11.1. Affine Mannigfaltigkeiten und die zweite Fundamentalform . . . . . . . . 101 11.2. Der Torsionstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
III. Ausgew¨ ahlte Kapitel
105
IV. Mathematische Physik
107
V. Anh¨ ange
109
A. Grundlagen 111 A.1. Kategorientheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 A.2. Operationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 B. Lineare Algebra 117 B.1. Die ¨ außere Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 C. Topologie 119 C.1. Topologische R¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 C.2. Lokale topologische R¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 C.3. Metrische R¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4
Inhaltsverzeichnis C.4. Parakompakte Hausdorffr¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 C.5. Eigentliche Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 D. Lokal geringte R¨ aume 123 D.1. Garben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 D.2. Weiche und feine Garben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 D.3. Lokal geringte R¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 E. Analysis 131 E.1. Differenzierbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 F. Liesche Algebren 133 F.1. Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 F.2. Der Satz von Ado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5
Inhaltsverzeichnis
6
Teil I.
Differenzierbare Mannigfaltigkeiten
7
1. C k -Mannigfaltigkeiten 1.1. Die Kategorie der C k -Mannigfaltigkeiten Definition 1.1. Seien X ein topologischer Raum, n ∈ N0 und k ∈ Nˆ0 . Eine n-dimensionale C k -Struktur auf X ist eine Garbe CXk lokaler R-Algebren auf X, so daß X zusammen (k) mit CXk als Strukturgarbe lokal isomorph zu (Rn )0 ist. ˆ 0 . Die Garbe C k Beispiel 1.1. Sei n ∈ N0 , G ∈ U(Rn ) eine offene Teilmenge und k ∈ N G der k-fach stetig differenzierbaren Funktionen auf G definiert die kanonische C k -Struktur von G. Bemerkung 1.1. Sei X ein topologischer Raum. Eine C k -Struktur CXk auf X ist eine Untergarbe der Garbe CX der stetigen reellwertigen Funktionen auf X. ˆ 0 . Sei (Ui )i∈I eine offene Beispiel 1.2. Seien X ein topologischer Raum, n ∈ N0 und k ∈ N n ¨ Uberdeckung von X und xi : Ui → R ein Hom¨oomorphismus auf die offene Teilmenge n x(Ui )inU(R ) f¨ ur jedes i ∈ I. Ist dann xi0 ◦ x−1 i : xi (Ui ∩ Ui0 ) → xi0 (Ui ∩ Ui0 ) f¨ ur je zwei Indizes i, i0 ∈ I eine C k -Abbildung, so existiert genau eine C k -Struktur CXk auf X, so daß xi : Ui → Rn zusammen mit dem Morphismus x∗i :
−1 k i Cxi (Ui )
→ CUki , f 7→ f ◦ xi
von Garben lokaler R-Algebren u ur jedes i ∈ I ein Morphismus lokal geringter ¨ber Ui f¨ R¨aume u ¨ber k ist. In dieser Situation heißt xi : Ui → Rn eine n-dimensionale Karte der C k -Struktur CXk auf X u ¨ber Ui , xi0 ◦ xi−1 der Kartenwechsel von xi nach xi0 und die ¨ Familie (xi )i∈I ein n-dimensionaler C k -Atlas von X zur Uberdeckung (Ui )i∈I . ˆ 0 . Seien n ∈ N0 und sei V ein n-dimensionaler R-Vektorraum. Sei Beispiel 1.3. Sei k ∈ N A ein affiner Raum u ¨ber V . Sei (xi )i∈I die Familie der affinen Karten xi : A → Rn . Dann ¨ ist (xi )i∈I ein n-dimensionaler C k -Atlas von A zur Uberdeckung (A)i∈I . Dieser definiert k k die kanonische C -Struktur CA auf A. Definition 1.2. Seien n ∈ N0 und k ∈ Nˆ0 . Eine n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit P ist ein lokal geringter parakompakter Hausdorffraum P , dessen Strukturgarbe CXk eine n-dimensionale C k -Struktur auf P ist. (k) Sei x ∈ X. Ein Isomorphismus Xx → (Rn )0 lokal geringter R¨aume u ¨bee R heißt n-dimensionale lokale C k -Karte von X an x.
9
1. C k -Mannigfaltigkeiten Seien P und Q zwei C k -Mannigfaltigkeiten. Ein Morphismus f : P → Q von C k Mannigfaltigkeiten ist ein Morphismus f : P → Q lokal geringter R¨aume. Wir nennen einen solchen Morphismus auch eine C k -Abbildung von P nach Q. Mit Diff (k) bezeichnen wir die konkrete Kategorie der C k -Mannigfaltigkeiten. ˆ 0 . Seien n ∈ N0 und sei V ein n-dimensionaler R-Vektorraum. Sei Beispiel 1.4. Sei k ∈ N
A ein affiner Raum u ¨ber V . Dann ist A zusammen mit der kanonischen C k -Struktur CAk eine n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit. ˆ 0 . Sei X eine C k -Mannigfaltigkeit und G ∈ U(X) eine offene Beispiel 1.5. Sei k ∈ N Teilmenge von X. Dann ist X zusammen mit der C k -Struktur CGk := CXk |G eine C k Mannigfaltigkeit, die offene Untermannigfaltigkeit G von X. Bemerkung 1.2. Der Vergißfunktor U : Diff (k) → Top, der jede C k -Mannigfaltigkeit P auf den zugrundeliegenden topologischen Raum P und jeden Morphismus f : P → Q f¨ ur zwei C k -Mannigfaltigkeiten P und Q auf die zugrundeliegende stetige Abbildung abbildet, ist treu. Eine stetige Abbildung f : P → Q definiert genau dann einen Morphismus von C k Mannigfaltigkeiten, wenn f¨ ur alle Punkte p ∈ P C k -Karten xp : Pp → Rm 0 und yf (p) : Qf (p) → n R0 existieren, so daß m n yf (p) ◦ fp ◦ x−1 p : R0 → R0 k-fach stetig differenzierbar ist. Beispiel 1.6. Sei (Pi )i∈I ` eine Familie n-dimensionaler C k -Mannigfaltigkeiten. Dann ist der lokal geringte Raum i∈I Pi u ¨ber`R wieder eine n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit. Die Inklusionsabbildungen ji : Pi →` i∈I Pi sind Ck -differenzierbar. Zusammen mit diesen Morphismen ji f¨ ur i ∈ I ist i∈I Pi eine (kanonische) Summe in der Kategorie Diff (k) . Beispiel 1.7. Sei P eine m-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit und Q eine n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit. Dann gibt es genau eine (m + n)-dimensionale C k -Struktur CPk×Q auf dem Produktraum P × Q, so daß (x, y)(p,q) : (P × Q)(p,q) → Rm+n 0 n f¨ ur alle (p, q) ∈ P × Q und C k -Karten xp : Pp → Rm 0 und yq : Qq → R0 eine (m + n)dimensionale Karte wird. Zusammen mit dieser C k -Struktur heißt P × Q die Produktmannigfaltigkeit von P und Q. Die Projektionen f : P × Q → P, (p, q) 7→ p
und g : P × Q → Q, (p, q) 7→ q sind C k -differenzierbar. Zusammen mit den Morphismen p und q ist P × Q ein (kanonisches) Produkt in der Kategorie Diff (k) . Sei V ein m-dimensionaler Vektorraum und W ein n-dimensionaler Vektorraum. Sei A ein affiner Raum u ¨ber V und B ein affiner Raum u ¨ber W . Dann ist die C k -Struktur auf dem Produkt A × B dieselbe wie die kanonische C k -Struktur auf dem affinen Raum A×B u ¨ber V × W .
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1.2. Differenzierbare Funktionen und die Zerlegung der Eins
1.2. Differenzierbare Funktionen und die Zerlegung der Eins Bemerkung 1.3. Sei P eine C k -Mannigfaltigkeit. Wir nennen eine stetige Funktion f ∈ CPk (U ) f¨ ur eine offene Menge U ∈ U(P ) eine C k -Funktion (von P ) u ¨ber U . Eine stetige Funktion f : U → R ist genau dann eine C k -Funktion, wenn f¨ ur alle n −1 n p ∈ U eine Karte x : Pp → R0 existiert, so daß f ◦ (xp ) : R0 → R eine k-fach stetig differenzierbare Funktion ist. Beispiel 1.8. Seien P eine C k -Mannigfaltigkeit, p ∈ P und x = (x1 , . . . , xn ) : Pp → Rn0 eine Karte von P an p. Dann ist jede Koordinatenfunktion xi : Pp → R0 eine C k -Funktion. Bemerkung 1.4. Seien P und Q zwei C k -Mannigfaltigkeiten und f : P → Q eine stetige Abbildung. Dann ist f genau dann eine C k -Abbildung, wenn f¨ ur alle p ∈ P und u ∈ k CQ,f gilt, daß (p) k u ◦ fp ∈ CP,p .
Lemma 1.1. Seien P eine C k -Mannigfaltigkeit, A ⊂ P eine abgeschlossene Teilmenge von P und A ⊂ G ∈ U(X). Dann existiert eine C k -Funktion f ∈ CPk (P ) mit f |A = 1 und f |X\G = 0. Beweis. Da P ein lokal kompakter parakompakter Hausdorffraum ist, existieren lokal ¨ endliche Uberdeckungen (Ui )i∈I und (Ui0 )i∈I durch offene Mengen von P , so daß f¨ ur alle 0 ur i ∈ I gilt, daß U i ⊂ Ui und Ui0 kompakt ist, und so daß Ui ⊂ G oder Ui ⊂ X \ A f¨ jedes i ∈ I. Sei f¨ ur den folgenden Abschnitt i ∈ I fest gew¨ahlt. Sei p ∈ P . Wir w¨ahlen eine Karte xp : Pp → Rn0 von P an p mit x : U → Rn f¨ ur ein U ∈ U(P ). Dann w¨ahlen wir > 0, so daß U (0) ⊂ x(U ∩ Ui ). Nach Lemma E.1 existiert eine beliebig oft differenzierbare Funktion g : R → R mit g(t) = 0 f¨ ur t ≤ 0 und g(t) > 0 f¨ ur t > 0. Wir setzen g( 32 −kx(p0 )k) 2 f¨ ur p0 ∈ x−1 (U (0)) und 1 0 0 fp : P → R, p0 7→ g( 3 −kx(p )k)+g(kx(p )k− 3 ) 0 f¨ ur p0 ∈ P \ x−1 (U 2 (0)). 3
Dies definiert eine C k -Funktion fp mit fp ≥ 0, fp (p) > 0 und supp fp ⊂ Ui . Die kompakte Teilmenge U i wird durch (Up )p∈U i mit Up := fp−1 (R>0 ) offen u ¨berdeckt. Daher existieren p1 , . . . , pm ∈ U i mit Ui ⊂
m [
Upi .
i=1
Wir setzen fi :=
m X
fp : P → R.
i=1
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1. C k -Mannigfaltigkeiten Dies ist eine C k -Funktion fi mit fi ≥ 0, fi (p) > 0 f¨ ur p ∈ U i und supp fi ⊂ Ui . Schließlich setzen wir P i∈I,Ui ⊂G fi P . f := i∈I fi Aussage 1.1. Seien P eine C k -Mannigfaltigkeit. Dann ist die Strukturgarbe CPk eine weiche Garbe. Beweis. Sei A eine abgeschlossene Teilmenge von P und s ∈ CPk (A) eine C k -Funktion auf A. Wir suchen eine C k -Funktion sˆ ∈ CPk (P ) mit sˆ|A = s. Zun¨achst existieren eine offene Teilmenge A ⊂ U ∈ U(P ) und ein s˜ ∈ CPk (U ) mit s˜|A = s. Da P ein normaler Hausdorffraum ist, existiert ein A ⊂ V ∈ U(X) mit V ⊂ U . Nach dem Lemma w¨ ahlen wir eine C k -Funktion f : P → R mit f |A = 1 und f |X\V = 0. F¨ ur f · s˜ gilt dann, daß f · s˜|A = s und f · s˜|U \V = 0. Damit l¨aßt sich f · s˜ durch 0 zu einer CPk -Funktion sˆ ∈ CPk (P ) mit sˆ|A = s fortsetzen. Folgerung 1.1. Sei P eine C k -Mannigfaltigkeit. Die Strukturgarbe CPk von P besitzt Zerlegungen der Eins. Beweis. Dies folgt aus Aussage D.5.
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2. Lineare Approximation 2.1. Der Tangentialraum Definition 2.1. Sei Pp eine lokale C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0. Ein Kurvenkeim γ an Pp ist ein Morphismus γ : R0 → Pp lokaler C k -Mannigfaltigkeiten. Zwei Kurvenkeime γ1 , γ2 : R0 → Pp heißen ¨ aquivalent (in erster Ordnung), falls (f ◦ γ1 )0 (0) = (fp ◦ γ2 )0 (0).
∀fp ∈C k
P,p
¨ Die Aquivalenzklasse γ(0) ˙ eines Kurvenkeims γ : R0 → Pp heißt der durch γ definierte Tangentialvektor an Pp . Wir schreiben γ(0) ˙ · fp = (fp ◦ γ)0 (0). Die Menge T Pp (p) der an Pp definierten Tangentialvektoren heißt der Tangentialraum an Pp . Bemerkung 2.1. Ist P eine C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0, so sind Kurvenkeime, Tangentialvektoren und Tangentialr¨ aume von P an p durch die entsprechenden Begriffe an der lokalen C k -Mannigfaltigkeit Pp definiert. Dies gilt entsprechend f¨ ur den Begriff der Tangentialabbildung, der unter eingef¨ uhrt wird. Bemerkung 2.2. Seien Pp und Qq zwei lokale C k -Mannigfaltigkeiten und fp : Pp → Qq ein Morphismus lokaler C k -Mannigfaltigkeiten mit k > 0. Sind dann γ1 , γ2 : R0 → Pp Kurvenkeime an Pp , so gilt . . γ˙ 1 (0) = γ˙ 2 (0) =⇒ (f ◦ γ1 ) = (f ◦ γ2 ) . Damit induziert f eine Abbildung . T fp (p) : T Pp (p) → T Qq (q), γ(0) ˙ 7→ (f ◦ γ) (0), die Tangentialabbildung von fp . ˆ Beispiel 2.1. Sei k ∈ N.
Sei Pp eine lokale C k -Mannigfaltigkeit. Dann ist T idPp (p) = idT Pp (p) .
Sind Qq und Rr weitere lokale C k -Mannigfaltigkeiten und fp : Pp → Qq und gq : Qq → Rr Morphismen lokaler C k -Mannigfaltigkeiten, so ist T (gq ◦ fp )(p) = (T (gq )(q)) ◦ (T (fp )(p)).
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2. Lineare Approximation Damit definiert die Abbildung einer lokalen C k -Mannigfaltigkeit Pp auf die Menge T Pp und die eines Morphismus fp : Pp → Qq lokaler C k -Mannigfaltigkeiten auf T fp (p) einen Funktor von der Kategorie der lokalen C k -Mannigfaltigkeiten in die Kategorie der Mengen. Aussage 2.1. Sei m ∈ N0 . Seien V ein m-dimensionaler Vektorraum und A ein affiner Raum u ¨ber V . Sei a ∈ A. Dann definiert jeder Vektor v ∈ V den Tangentialvektor . (t 7→ a + t · v) (0) an Aa . Diese Zuordnung ist eine Bijektion V → T A(a), f¨ ur deren Umkehrung, die wir die Pfeilabbildung nennen, gilt T A(a) → V, γ(0) ˙ 7→ ~u = γ 0 (0). Sei weiter n ∈ N0 . Seien W ein n-dimensionaler Vektorraum und B ein affiner Raum u ¨ber W . Sei f : A → B eine C k -Abbildung. Dann gilt ∀u∈T A(a)
−−−−−−→ T f (a)(u) = Df (a)(~u).
Beweis. Zun¨ achst sei die Pfeilabbildung wie oben definiert, wobei wir aber aus Gr¨ unden der Wohldefiniertheit f¨ ur jeden Tangentialvektor einen festen Repr¨asentanten w¨ahlen. Dann gilt (t 7→ a + t · v)0 (0) = v, das heißt, die Pfeilabbildung ist eine Linksinverse. Um zu zeigen, daß sie auch Rechtsinverse ist, sei γ : R0 → Aa eine Kurve. Wir wollen −−→ . γ(0) ˙ = (t 7→ a + t · γ(0)) ˙ (0) zeigen. Dazu sei g ∈ Aa gegeben. Dann gilt ←−− −−→ . ∂ ˙ (t 7→ a + t · γ(0)) ˙ (0) · g = (0) g(a + t · γ(0)) ∂t −−→ ˙ = dg(a)(γ(0)) = dg(a)(γ 0 (0)) = (g ◦ γ)0 (0) = γ(0) ˙ · g. Um schließlich die letzte Aussage u ¨ber die Tangentialabbildung zu zeigen, sei γ : R0 → Aa ein Kurvenkeim an Aa . −−−−−−−−→ −−−−−−.−→ T f (a)(γ(0)) ˙ = (f ◦ γ) (0) = (f ◦ γ)0 (0) −−→ = Df (a)(γ 0 (0)) = Df (a)(γ 0 (0)).
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2.1. Der Tangentialraum Bemerkung 2.3. Sei V ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und A ein affiner Raum u ¨ber V . Aufgrund der letzten Aussage existiert auf den Tangentialr¨aumen T A(a) von A f¨ ur jedes a ∈ A eine eindeutige Struktur als Vektorraum, so daß die Pfeilabbildung T A(a) → V, u 7→ ~u eine Isomorphismus reeller Vektorr¨ aume wird. Aussage 2.2. Sei Pp eine lokale n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0. Dann existiert auf dem Tangentialraum T Pp (p) genau eine Struktur als n-dimensionaler Vektorraum, so daß f¨ ur jede C k -Abbildung fp : Pp → Af (p) in einen affinen Raum A u ¨ber einem endlich-dimensionalen reellen Vektorraum V die Abbildung −−−−−−→ dfp (p) : T Pp (p) → V, u 7→ T fp (p)(u) eine R-lineare Abbildung ist. In Zukunft betrachten wir die Tangentialr¨ aume immer auf diese Art und Weise als reelle Vektorr¨ aume. Beweis. Die Eindeutigkeit der Vektorraumstruktur folgt aus der Tatsache, daß dxp (p) : T Pp (p) → Rn f¨ ur eine beliebige Karte xp : Pp → Rn0 eine Bijektion ist. F¨ ur fp : Pp → Af (p) gilt dann dfp (p) = d(fp ◦ (xp )−1 ◦ xp )(p) = D(fp ◦ x−1 p )(0) ◦ dxp (p), so daß dfp (p) eine R-lineare Abbildung ist. Bemerkung 2.4. Seien Pp und Qq zwei lokale C k -Mannigfaltigkeiten mit k > 0. Dann ist die Tangentialabbildung T fp (p) : T Pp (p) → T Qq (q) eines Morphismus fp : Pp → Qq lokaler C k -Mannigfaltigkeiten eine R-lineare Abbildung. Beispiel 2.2. Sei Pp eine lokale n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0. Sei xp : Pp → Rn0 eine Karte von Pp an p. Sei (e1 , . . . , en ) die Standardbasis von Rn . Dann ∂ existiert f¨ ur jedes i ∈ {1, . . . , n} ein ∂x i (p) mit −−−−→ ∂ (p) = ei ∂xi und
∂ ∂ (p), . . . , n (p) ∂x1 ∂x
ist eine Basis von T P (p), die Gaußsche Basis von T P (p) zur Karte xp : Pp → Rn0 . k , so gilt Ist f ∈ CP,p ∂ (p) · f = ∂i (f ◦ x−1 p )(0) ∂xi f¨ ur jedes i ∈ {1, . . . , n}.
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2. Lineare Approximation Ist yp : Pp → Rn0 eine andere Karte von Pp an p, so gilt f¨ ur jedes i ∈ {1, . . . , n}, daß n
X ∂xj ∂ ∂ (p) = (p) · j (p) i i ∂y ∂y ∂x j=1
mit
∂xj := ∂i xj ◦ yp−1 . ∂y i
Beispiel 2.3. Seien Pp und Qq zwei lokale C k -Mannigfaltigkeiten. Seien f : (P ×Q)(p,q) → Pp und g : (P × Q)(p,q) → Qq die beiden kanonischen Projektionen. Dann ist (T f (p), T g(q)) : T (P × Q)(p, q) → T P (p) × T Q(q) ein Isomorphismus von R-Vektorr¨aumen. In Zukunft werden wir T (P × Q)(p,q) und T P (p) × T Q(q) verm¨ oge dieses Isomorphismus miteinander identifizieren.
2.2. Tangentialvektoren als Derivationen Lemma 2.1. Seien Pp eine lokale C ∞ -Mannigfaltigkeit und xp = (x1p , . . . , xnp ) : Pp → ∞ Keime Rn0 eine Karte von Pp . Dann existieren f¨ ur jeden Funktionskeim φp ∈ CP,p (ψ1 )p , . . . , (ψn )p mit n X φp = φ(p) xip · ψi . i=1
Beweis. Wir setzen 0
Z
(ψp )i : Pp → R, p 7→
1
0 ∂i (φp ◦ x−1 p )(t · x(p )) dt.
0
F¨ ur
p0
∈ Pp gilt dann φ(p) +
n X
xip · ψi
i=1
Z = φ(p) + 0
n 1X
0 xip · ∂i (φp ◦ x−1 p )(t · x(p )) dt
|i=1
{z
∂ 0 (φp ◦x−1 p )(t·x(p )) ∂t
}
0 1 0 = φ(p) + (φp ◦ x−1 p )(t · x(p )) t=0 = φ(p ). Aussage 2.3. Seien Pp eine lokale C k -Mannigfaltigkeit. Dann ist T P (p) → DerC k (R), u 7→ (fp 7→ u · fp ) P,p
eine wohldefinierte injektive R-lineare Abbildung. Ist k = ∞, so ist die Abbildung ein Isomorphismus von R-Vektor¨ aumen.
16
2.2. Tangentialvektoren als Derivationen Beweis. Sei f¨ ur den Beweis D : T P (p) → DerC k (R), u 7→ (fp 7→ u · fp ). P,p
k . Dann gilt nach der Produktregel, daß Seien γ˙ ∈ T P (p) und fp , gp ∈ CP,p 0 0 0 γ(0)·(f ˙ ˙ ˙ p gp ) = ((fp gp )◦γ) (0) = g(p) (fp ◦γ) (0)+f (p) (gp ◦γ) (0) = g(p) γ(0)·f p +f (p) γ(0).
Damit ist die Abbildung wohldefiniert, das heißt, das Bild von D ist in den Derivationen k mit Werten in R. von CP,p Um die Linearit¨ at von D nachzuweisen, sei xp = (x1p , . . . , xnp ) : Pp → Rn0 eine Karte von Pp . Dann gilt f¨ ur v ∈ Rn , daß ∂ . −1 T x−1 (p)((t 7→ t · v) (0)) · fp = (0)(fp ◦ x−1 p )(t · v) = d(fp ◦ xp )(v), ∂t woraus folgt, daß D linear ist, denn T x−1 (p) ist linear. Als n¨achstes zeigen wir die Injektivit¨ aP t von D. Dazu sei u ∈ T P (p) mit D(u) = 0. ∂ Damit existieren u1 , . . . , un ∈ R mit u = ni=1 ui ∂x i (p). Dann folgt 0 = D(u) · xip =
n X
i uj ∂j (xip ◦ x−1 p )=u ,
j=1
f¨ ur jedes i ∈ {1, . . . , n}. Damit ist u = 0. Sei jetzt k = ∞. Wir zeigen, daß in diesem Falle D surjektiv ist. Dazu sei d ∈ ∞ (R) eine Derivation. Wir setzen DerCP,p n X
u :=
d(xip ) ·
i=1
∂ (p). ∂xi
∞ gegeben. Nach dem letzten Lemma Wir wollen D(u) = d zeigen. Dazu sei ein φp ∈ CP,p ∞ mit existieren (ψ1 )p , . . . , (ψn )p ∈ CP,p
φp = φ(p) +
n X
xip · (ψi )p .
i=1
Damit gilt D(u)(φp ) = =
n X
d(xip ) ·
i,j=1 n X
∂ (p) xjp · (ψi )p ∂xi
d(xip ) · (ψi )p
i=1
= d φ(p) +
n X
! xip · (ψi )p
= d(φp ).
i=1
17
2. Lineare Approximation
2.3. Die Tangentialgarbe Definition 2.2. Sei Pp eine lokale C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0. Wir setzen T Pp :=
a
T Pp (p0 ).
p0 ∈P
Ein Vektorfeld Xp von Pp an p ist ein Abbildungskeim Xp : Pp → T Pp mit Xp (p0 ) ∈ T Pp (p0 ),
∀p0 ∈Pp
k der Keim so daß f¨ ur alle C k -Funktionskeime fp ∈ CP,p
Xp · fp : Pp → R, p0 7→ X(p0 ) · f k . ein C k -differenzierbarer Keim ist, also ein Element in CP,p Die Menge der Vektorfelder von Pp an p wird mit ΘP,p bezeichnet.
Bemerkung 2.5. Sei Pp eine lokale C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0. Verm¨oge punktweiser Addition und punktweiser skalarer Multiplikation ist ΘP,p in kanonischer Weise ein CkP,p k ). Untermodul von DerC k (CP,p P,p
Beispiel 2.4. Seien Pp eine lokale n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0 und xp : Pp → Rn0 eine Karte von Pp an p. Dann ist ∂ ∂ 0 : Pp → TPp , p0 7→ (p ) i ∂x ∂xi f¨ ur jedes i ∈ {1, . . . , n} ein Vektorfeld von Pp an p, das i-te Gaußsche Basisvektorfeld zur Karte xp . k gilt F¨ ur ein fp ∈ CP,p ∂ = ∂i (fp ◦ x−1 p ). ∂xi Bemerkung 2.6. Seien Pp eine lokale n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0 und xp : Pp → Rn0 eine Karte von Pp an p. Dann ist
k CP,p
⊕n
→ ΘP,p , (u1 , . . . , un ) 7→
n X i=1
ui ·
∂ ∂xi
k -Moduln. ein Isomorphismus von CP,p
Bemerkung 2.7. Seien Pp eine lokale C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0. Dann ist ΘP,p (p) = ΘP,p ⊗C k R → T P (p), Xp ⊗ 1 7→ X(p) P,p
ein Isomorphismus von R-Vektorr¨aumen.
18
2.4. Die Kotangentialgarbe und das Differential von Funktionen Definition 2.3. Sei P eine n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0. Die Garbe ΘP :=
a
ΘP,p
p∈P
der Keime von Vektorfeldern von P heißt die Tangentialgarbe von P . F¨ ur jedes U ∈ U(X) heißen die Schnitte in ΘP (U ) Vektorfelder von P u ¨ber U . Bemerkung 2.8. Sei P eine n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0. Die Tangentialgarbe ΘP ist in kanonischer Weise ein CPk -Untermodul der Garbe DerC k CPk der P
Derivationen von CPk mit Werten in CPk .
Bemerkung 2.9. Sei P eine n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit und x : U → Rn eine Karte von P . Dann ist
CPk |U
⊕n
1
n
→ ΘP |U , (u , . . . , u ) 7→
n X
ui ·
i=1
∂ ∂xi
ein Isomorphismus von CPk |U -Moduln. Insbesondere ist ΘP ein lokal freier CPk -Modul vom Rang n.
2.4. Die Kotangentialgarbe und das Differential von Funktionen Definition 2.4. Sei P eine C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0. Die zur Tangentialgarbe ΘP duale Garbe k ΩP := Θ∨ P = H omC k (ΘP , CP ) P
heißt die Kotangentialgarbe von P . F¨ ur jedes p ∈ P heißt T ∨ P (p) = ΩP (p) der Kotangentialraum von P an p. k eine Beispiel 2.5. Seien Pp eine lokale C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0 und fp ∈ CP,p C k -Funktionenkeim von Pp . Dann ist
−−−−−−→ df (p) : T P (p) → R, u 7→ T f (p)(u) ein Element von T ∨ P (p), das Differential von f an p. Beispiel 2.6. Seien Pp eine lokale n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0 und xp : Pp → Rn0 eine Karte von Pp . Dann ist (dx1 (p), . . . , dxn (p))
19
2. Lineare Approximation eine Basis von T ∨ P (p), die duale Basis zur Gaußschen Basis ( ∂x∂ 1 (p), . . . , ∂x∂n (p)), das heißt insbesondere, daß ∂ i ∀i,j∈{1,...,n} dx (p) (p) = δji . ∂xj k , so gilt Ist fp ∈ CP,p
df (p) =
n X
df (p)
i=1
∂ (p) · dxi (p). ∂xi
Ist yp : Pp → Rn0 eine weitere Karte von Pp an p, so gilt f¨ ur jedes i ∈ {1, . . . , n}, daß i
dx (p) =
n X ∂xi j=1
∂y j
(p) · dy j (p).
Bemerkung 2.10. Seien Pp eine lokale n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0 und xp : Pp → Rn0 eine Karte von Pp . Dann ist
k CP,p
⊕n
→ ΩP,p , (u1 , . . . , un ) 7→
n X
un · dxip
i=1 k -Moduln. ein Isomorphismus von CP,p
2.5. Kritische Stellen differenzierbarer Abbildungen Definition 2.5. Seien Pp und Qq zwei lokale C l -Mannigfaltigkeiten mit l > 0 und ˆ 0 mit k ≤ l. Dann fp : Pp → Qq ein Morphismus lokaler C k -Mannigfaltigkeiten. Sei k ∈ N ist p eine kritische Stelle von f mindestens k-ter Ordnung genau dann, wenn ∀r∈{1,...,k},(X1 )p ,...,(Xr )p ∈ΘP,p
(X1 · · · · · Xr · f )(p) = 0.
Eine kritische Stelle mindestens erster Ordnung heißt einfach kritische Stelle. Beispiel 2.7. Seien Pp und Qq zwei lokale C k -Mannigfaltigkeiten mit k > 0 und fp : Pp → Qq ein Morphismus lokaler C k -Mannigfaltigkeiten. Dann ist p genau dann eine kritische Stelle mindestens erster Ordnung von fp , wenn T f (p) = 0. In diesem Falle sagen wir einfach, p ist eine kritische Stelle von f . Aussage 2.4. Seien Pp und Qq zwei lokale C l -Mannigfaltigkeiten mit l > 0 und fp : Pp → Qq ein Morphismus lokaler C k -Mannigfaltigkeiten. Seien k ≤ l und p eine kritische Stelle
20
2.5. Kritische Stellen differenzierbarer Abbildungen mindestens (k − 1)-ter Ordnung von f . Dann existiert genau eine symmetrische R-kmultilineare Abbildung k K k T f (p) : T P (p) → T Q(q) mit T k f (p)(X1 (p), . . . , Xk (p)) = (X1 · · · · · Xk · f )(p).
∀(X1 )p ,...,(Xk )p ∈ΘP,p
Beweis. Da die kanonische Abbildung T Pp → T P (p), Xp 7→ X(p) surjektiv ist, existiert h¨ ochstens ein T k f (p) mit der geforderten Eigenschaft. Die Existenz zeigen wir durch Konstruktion. Dazu sei xp : Pp → Rn0 eine Karte. Wir setzen ∂ ∂ ∂ ∂ k T f (p) (p), . . . , i (p) := · · · · · i · f (p). ∂xi1 ∂x k ∂xi1 ∂x k f¨ ur jedes k-Tupel (i1 , . . . , ik ) ∈ {1, . . . , n}k und definieren eine multilineare Abbildung T k f (p) : T P (p)×k → T Q(q) durch R-lineare Fortsetzung. Aufgrund des Schwarzschen Vertauschungssatzes ist diese Abbildung symmetrisch, entspricht also einer Abbildung T k f (p) :
Kk
T P (p) → T Q(q).
Um nachzurechnen, daß diese Abbildung die geeigneten Eigenschaften hat, seien (X1 )p , . . . , (Xk )p ∈ l T Pp gegeben. Dann existieren C l -Funktionskeime (X11 )p , . . . , (Xkn )p ∈ CP,p mit ∀j∈{1,...,k}
(Xj )p =
n X i=1
(Xji )p ·
∂ . ∂xip
Es folgt n X
∂ ∂ ik (X1 · · · · · Xk · f )(p) = · 1 · · · · · Xk · k · f (p) ∂x ∂x i1 ,...,ik =1 n X ∂ ∂ · · · · · · f (p) = X1i1 (p) · · · · · Xikk (p) · ∂x1 ∂xk i1 ,...,ik =1 n X ∂ ∂ i1 k k = X1 (p) · · · · · Xik (p) · T f (p) (p), . . . , k (p) = T k f (p)(X1 (p), . . . , Xk (p)); ∂x1 ∂x X1ii
i1 ,...,ik =1
dabei haben wir an einer Stelle ausgenutzt, daß p ein kritischer Punkt (k−1)-ter Ordnung von f ist.
21
2. Lineare Approximation Beispiel 2.8. Seien Pp eine lokale C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0 und fp : Pp → R ein C k -Funktionskeim von P an p. Sei p eine kritische von f . Dann heißt dk f (p) :
2 K
−−−−−−−−−−→ T P (p) → R, u1 · u2 7→ T k f (p)(u1 , u2 )
die Hessesche von f an p. Beispiel 2.9. Seien Pp eine lokale C k -Mannigfaltigkeit mit k > 1 und γ : R0 → Pp ein Kurvenkeim in P an p. Sei 0 eine kritischer Stelle von γ, das heißt, γ(0) ˙ = 0. Dann heißt γ¨ (0) := T 2 γ(∂, ∂) ∈ T P (p) die Beschleunigung von γ an p. k . Sei Aussage 2.5. Seien Pp eine lokale C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0 und fp : CP,p r ∈ 2N0 mit r ≤ k, so daß p eine kritische Stelle von Pp mindestens (r − 1)-ter Ordnung ist. Ist dann Kk dk f (p) : T P (p) → R
positiv definiert, das heißt, ∀u∈T P (p)\{0}
dk f (p)(uk ) > 0,
so ist p ein striktes Minimum von fp . Beweis. Sei xp : Pp → Rn0 eine Karte von Pp . Dann ist die zu beweisende Aussage gleichbedeutend mit der Aussage, daß n fp ◦ x−1 p : R0 → R
bei 0 ein striktes Minimum hat. Dies folgt aus dem Kriterium f¨ ur Extrema aus der mehrdimensionalen Analysis.
22
3. Lokale Eigenschaften differenzierbarer Abbildungen 3.1. Immersionen und Submersionen Definition 3.1. Sei fp : Pp → Qq ein Morphismus lokaler C k -Mannigfaltigkeiten mit k > 0. Dann heißt rk f (p) := rk T f (p) der Rang von f an p. Ist rk f (p) = dim Pp , das heißt, ist T f (p) injektiv, so heißt f immersiv an p. Ist rk f (p) = dim Qq , das heißt, ist T f (p) surjektiv, so heißt f submersiv an p. Bemerkung 3.1. Sei fp : Pp → Qq ein Morphismus lokaler C k -Mannigfaltigkeiten mit k > 0. Dann ist f an p genau dann immersiv, wenn dim Pp ≤ dim Qq und f an p Maximalrang hat, und an p genau dann submersiv, wenn dim Pp ≥ dim Qq und f an p Maximalrang hat. Definition 3.2. Sei f : P → Q ein Morphismus von C k -Mannigfaltigkeiten mit k > 0. Dann heißt f immersiv, wenn f an allen p ∈ P immersiv ist, submersiv, wenn f an allen q ∈ Q submersiv ist. F¨ ur ein r ∈ N0 heißt die Abbildung f von konstantem Range r, wenn ∀p∈P
rk f (p) = r.
Bemerkung 3.2. Ist f : P → Q eine surjektive Submersion zwischen C k -Mannigfaltigkeiten mit k > 0, so k¨ onnen wir P verm¨ oge f als Raum u ¨ber Q auffassen. In diesem Zusammenhang nennen wir P einen Faserraum u ¨ber Q. Bemerkung 3.3. Sei f : P → Q eine injektive Immersion zwischen C k -Mannigfaltigkeiten mit k > 0. Induziert f dann einen Hom¨ oomorphismus f |P : P → f (P ) von P auf das mit der Teilraumtopologie versehene Bild f (P ), so nennen wir in diesem Falle dann f h¨ aufig eine Einbettung. Beispiel 3.1. Seien P eine C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0 und U ∈ U(P ) eine offene Teilmenge. Dann ist die Inklusionsabbildung i : U → P, p 7→ p eine Einbettung. Solche Abbildungen nennen wir offene Einbettungen. Weiter ist i submersiv.
23
3. Lokale Eigenschaften differenzierbarer Abbildungen Beispiel 3.2. Seien P und Q zwei C k -Mannigfaltigkeiten mit k > 0. Dann sind die beiden kanonischen Projektionen r : P × Q → P und s : P × Q → Q jeweils Submersionen und f¨ ur P 6= ∅, Q 6= ∅ sogar Faserr¨aume. Sind p ∈ P und q ∈ Q, so sind die Inklusionen P → P × Q, p0 7→ (p0 , q) und Q → P × Q, q 0 7→ (p, q 0 ) abgeschlossene Einbettungen, das heißt Einbettungen, deren Bild eine abgeschlossener Teilraum ist. Aussage 3.1. Sei f : P → Q ein Morphismus von C k -Mannigfaltigkeiten mit k > 0. Dann ist die Rangabbildung rk f : P → N0 , p 7→ rk f (p) nach unten halbstetig, also ∀p∈P ∃p∈U ∈U(P ) ∀p0 ∈U
rk f (p0 ) ≥ rk f (p).
Beweis. Sei p ∈ P . Wir setzen q := f (p). Es ist ∀p0 ∈Pp rk f (p0 ) ≥ f (p) n zu zeigen. Dazu w¨ ahlen wir Karten xp : Pp → Rm 0 und yq : Qq → R0 von P an p beziehungsweise von Q an q. Da dx(p0 ) : T P (p0 ) → Rm und dy(q 0 ) : T Q(q 0 ) → Rn f¨ ur alle p0 ∈ Pp und q 0 ∈ Qq Isomorphismen von R-Vektorr¨aumen sind, reicht es, die Bedingung f¨ ur m n g0 := yq ◦ fp ◦ x−1 p : R0 → R0
zu zeigen. In diesem Falle ist {u ∈ Rm 0 | rk g(u) ≥ rk g(0)} =
^rk g(0) u ∈ Rm | (Dg(u)) = 6 0 0
und die rechte Seite ist offen. Folgerung 3.1. Sei f : P → Q ein Morphismus von C k -Mannigfaltigkeiten mit k > 0. Dann sind die Mengen {p ∈ P | f ist an p immersiv} und {p ∈ P | f ist an p submersiv} offene Mengen.
24
3.1. Immersionen und Submersionen Beweis. Die Aussage folgt aus der vorhergehenden Aussage und der Charakterisierung von Immersivit¨ at beziehungsweise Submersivit¨at durch die Maximalit¨at des Ranges. Aussage 3.2. Sei fp : Pp → Qq ein Morphismus lokaler C k -Mannigfaltigkeiten mit k > 0 und dim Pp = dim Qq . Dann sind folgende Aussagen ¨ aquivalent: I Der Abbildungskeim fp ist an p immersiv. S Der Abbildungskeim fp ist an p submersiv. D Der Abbildungskeim fp ist an p ein lokaler Diffeomorphismus. Beweis. Seien xp : Pp → Rn0 und yq : Qq → Rn0 Karten von P an p beziehungsweise von Q an q. Die Aussagen I und S sind ¨ aquivalent zur Aussage rk f (p) = dim Pp = dim Qq , welche wiederum ¨aquivalent zur Invertierbarkeit von T f (p) : T P (p) → T Q(q) beziehungsweise von T g(0) : Rn0 → Rn0 ist, wobei n n g0 := yq ◦ fp ◦ x−1 p : R0 → R0 .
Nach dem lokalen Umkehrsatz der mehrdimensionalen Analysis ist die Invertierbarkeit von T g(0) ¨aquivalent zur Aussage, daß g0 und damit auch fp ein lokaler Diffeomorphismus ist, also zu D.
3.1.1. Der Sardsche Satz Definition 3.3. Sei P eine C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0. Eine Teilmenge N ⊂ P heißt Lebesguesche Nullmenge von P , falls f¨ ur alle Karten x : U → Rn von P das Bild x(U ∩ N ) eine Lebesguesche Nullmenge in Rn ist. Beispiel 3.3. Sei P eine C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0. Ist dann (Ni )i∈N eine abz¨ahlbare Familie Lebesguescher Nullmengen von P , so ist [ Ni i∈N
wieder eine Lebesguesche Nullmenge von P . Beispiel 3.4. Sei f : P → Q ein Morphismus von C k -Mannigfaltigkeiten mit k > 0. Ist dann N eine Lebesguesche Nullmenge von P , so ist das Bild f (N ) eine Lebesguesche Nullmenge von Q. Definition 3.4. Sei f : P → Q ein Morphismus von C k -Mannigfaltigkeiten mit k > 0. Ein Punkt q ∈ Q heißt regul¨ arer Wert von f , falls f an allen p ∈ P mit f (p) = q submersiv ist. Satz 3.1. Sei f : P → Q ein Morphismus zwischen C k -Mannigfaltigkeiten mit k > 0. Hat P abz¨ ahlbare Topologie und ist k > dim P − dim Q, so ist die Menge der nicht regul¨ aren Werte von f eine Lebesguesche Nullmenge von Q.
25
3. Lokale Eigenschaften differenzierbarer Abbildungen ¨ Beweis. Sei (Ui )i∈N eine offene Uberdeckung von P , so daß f¨ ur jedes i ∈ I Karten m n xi : Ui → R und yi : Vi → R mit Vi ∈ U(X) von P beziehungsweise von Q mit f (Ui ) ⊂ Vi existieren. Es reicht zu zeigen, daß f¨ ur jedes i ∈ N die Menge {f (p) | f |Ui ist an p ∈ Ui nicht submersiv} . eine Lebesguesche Nullmenge von Vi ist. Dies ist aber gleichbedeutend damit, daß {yi (f (p)) | yi ◦ f |Ui ist an p ∈ Ui nicht submersiv} eine Lebesguesche Nullmenge von Rn ist. Dies ist aber die Aussage des Sardschen Satzes aus der mehrdimensionalen Analysis. Beispiel 3.5. Sei f : X → Y ein Morphismus von C k -Mannigfaltigkeiten mit dim X < dim Y . Dann ist sein Bild f (X) eine Lebesguesche Nullmenge von Y .
3.2. Der Rangsatz Lemma 3.1. Sei Pp eine lokale C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0 und (u1 , . . . , uk ) ein System linear unabh¨ angiger Vektoren des Tangentialraumes T P (p). Dann existiert eine n Karte xp : Pp → R0 von P an p mit ∀i∈{1,...,k}
∂ (p) = ui . ∂xi
Beweis. Sei x ˜p : Pp → Rn0 eine beliebige Karte von P an p. Wir erg¨anzen (u1 , . . . , uk ) zu einer Basis (u1 , . . . , un ) von T P (p). Sei A : Rn → Rn derjenige Isomorphismus von R-Vektorr¨aumen, f¨ ur den ∀i∈{1,...,n}
A(d˜ x(p)(ui )) = ei
gilt, wobei (e1 , . . . , en ) die Standardbasis des Rn ist. Dann ist xp := A ◦ x ˜p : Pp → Rn0 eine geeignete Karte. Aussage 3.3. Sei fp : Pp → Qq ein Morphismus lokaler C k -Mannigfaltigkeiten mit k > 0. Sei yq : Qq → Rn0 eine Karte von Q an q, und f¨ ur d ∈ {1, . . . , n} gelte T Q(q) = f∗ (T P (p)) +
n M
R·
i=d+1
∂ (p). ∂y i
Dann existiert eine Karte xp : Pp → Rm 0 von P an p, so daß ∀i∈{1,...,d}
26
xip = yqi ◦ fp .
3.2. Der Rangsatz Beweis. Wir bemerken zun¨ achst, daß offensichtlich rk T f (p) ≥ d. Wir setzen R :=
n M
∂ (p) ⊂ T Q(q). ∂y i
R·
i=d+1
Nach Voraussetzung existieren u1 , . . . , un ∈ T P (p) und v1 , . . . , vn ∈ R, so daß ∂ (q) = f∗ (ui ) + vi . ∂y i
∀i∈{1,...,n}
Das System (u1 , . . . , ud ) muß in T P (p) linear unabh¨angig sein. Nach dem vorgehenden Lemma existiert somit eine Karte zp : Pp → Rm 0 von P an p mit ∀i∈{1,...,d}
∂ (p) = ui . ∂z i
Wir definieren xp : Pp → Rm 0 durch ∀i∈{1,...,m}
xip
( yqi ◦ fp = zi
f¨ ur 1 ≤ i ≤ d und f¨ ur d + 1 ≤ i ≤ m sonst.
Es bleibt zu zeigen, daß xp eine Karte ist. Dazu ist zu zeigen, daß xp : T P (p) → Rn0 ein lokaler Diffeomorphismus ist. Nun gilt f¨ ur alle i ∈ {d + 1, . . . , m} und j ∈ {1, . . . , m}, daß ∂xi (p) = δji , ∂z j und f¨ ur alle i, j ∈ {1, . . . , m}, daß ∂ ∂xi j j i (p) = ui · (y ◦ f ) = f∗ (ui ) · y = (q) − v · y j = δji . ∂z j ∂y i m Damit hat die Funktionalmatrix von xp ◦ zp−1 : Rm 0 → R0 an 0 die Gestalt
Id Im−d
∗ 0,
also ist xp ◦ zp−1 an 0 ein lokaler Diffeomorphismus und damit auch xp . Folgerung 3.2. Sei fp : Pp → Qq eine Submersion lokaler C k -Mannigfaltigkeiten mit k > 0. Ist dann yq : Qq → Rn0 eine Karte von Q an q, so existiert eine Karte xp : Pp → Rm 0 von P an p mit ∀i∈{1,...,n} xip = yqi ◦ fp . In dieser Situation heißt (yq1 , . . . , yqn , xn+1 , . . . , xm p p ) eine Faserraumkarte von fp .
27
3. Lokale Eigenschaften differenzierbarer Abbildungen Bemerkung 3.4. Sei fp : Pp → Qq eine Submersion lokaler C k -Mannigfaltigkeiten mit k > 0. Sind dann yq : Qq → Rn0 eine Karte von Q an q und xp : Pp → Rm 0 eine Karte von P an p wie in der Folgerung, so gilt m n yq ◦ fp ◦ x−1 p : R0 → R0 ,
(v 1 , . . . , v m ) 7→ (v 1 , . . . , v n ).
Insbesondere sind Submersionen offene Abbildungen. Der folgende Satz ist der sogenannte Rangsatz. Er ist wesentlich f¨ ur das lokale Studium von Abbildungen konstanten Ranges. Satz 3.2. Sei fp : Pp → Qq eine Morphismus konstanten Ranges r zwischen C k -Mannigfaltigkeiten mit k > 0. Dann existieren eine Karte xp : Pp → Rm 0 von P an p und eine Karte yq : Qq → Rn0 von Q an q, so daß ( xip f¨ ur 1 ≤ i ≤ r und ∀i∈{1,...,n0} yqi ◦ fp = 0 f¨ ur r + 1 ≤ i ≤ n. Beweis. Nach dem Lemma existiert eine Karte zq : Qp → Rm von Q an q mit r M
R·
i=1
∂ (q) = f∗ (T P (p)). zi
Daher existiert nach der Aussage (mit d = r) eine Karte xp : Pp → Rn0 von P an p mit ∀i∈{1,...,r}
xip = zqi ◦ fp .
m n Die Ableitung von zq ◦ fp ◦ x−1 p : R0 → R0 ist von der Form Ir 0 n : Rm 0 → Rm ∗ A0 n−r mit A0 : Rm 0 → Rm−r . Da fp allerdings konstanten Rang r hat, muß sogar A0 = 0 gelten. Damit existieren C k -Abbildungen hr+1 , . . . hn : Rr0 → R0 mit
∀i∈{r+1,...,n}
zqi ◦ fp = hi0 ◦ (x1 , . . . , xr )p .
Schließlich definieren die Karte yq : Qq → Rn0 von Q an q durch ( zqi f¨ ur 1 ≤ i ≤ r und i ∀i∈{1,...,n} yq = zqi − hi0 ◦ (z 1 , . . . , z r )q f¨ ur r + 1 ≤ i ≤ n.
Bemerkung 3.5. Sei fp : Pp → Qq ein Morphismus konstanten Ranges r lokaler C k Mannigfaltigkeiten mit k > 0. Sind dann xp : Pp → Rm 0 einze Karte von P an p und yq : Pp → Rn0 eine Karte von Qq wie im Rangsatz, so gilt m n yq ◦ fp ◦ x−1 p : R0 → R0 ,
(v 1 , . . . , v m ) 7→ (v 1 , . . . , v r , 0, . . . , 0).
Daher heißen Morphismen konstanten Ranges auch Subimmersionen.
28
3.2. Der Rangsatz Folgerung 3.3. Sei fp : Pp → Qq eine Immersion lokaler C k -Mannigfaltigkeiten mit k > 0. Dann existieren eine Karten xp : Pp → Rm 0 von P an p und eine Karte yq : Qq → Rn0 von Q an q, so daß ( xip f¨ ur 1 ≤ i ≤ m und i ∀i∈{1,...,n} yq ◦ fp = 0 f¨ ur m + 1 ≤ i ≤ n. Damit sind Immersionen lokal injektiv.
29
3. Lokale Eigenschaften differenzierbarer Abbildungen
30
4. Surjektive Submersionen 4.1. Faserr¨ aume
31
4. Surjektive Submersionen
32
5. Vektorfelder und Flu ¨sse 5.1. Operationen mit Vektorfeldern Definition 5.1. Sei f : P → Q ein Morphismus zwischen zwei C k -Mannigfaltigkeiten mit k > 0. Dann heißen zwei Vektorfelder X ∈ ΘP (P ) und Y ∈ ΘQ (Q) auf P beziehungsweise Q f -verwandt, falls f∗ X = f ∗ Y ∈ (f ∗ ΘQ )(P ), das heißt ∀p∈P
f∗ X(p) = Y (f (p)).
5.2. Die Liesche Klammer von Vektorfeldern Aussage 5.1. Sei f : P → Q ein Morphismus zwischen zwei C ∞ -Mannigfaltigkeiten. Sind dann Xi ∈ ΘP (P ) und Yi ∈ ΘQ (Q) f¨ ur i ∈ {1, 2} f -verwandt, so sind auch die Lieschen Klammern [X1 , X2 ] und [Y1 , Y2 ] f -verwandt, das heißt f∗ [X1 , X2 ] = f ∗ [Y1 , Y2 ]. Beweis. Seien p ∈ P , q := f (p) und ψq ∈ Cq∞ . Dann gilt (f∗ [X1 , X2 ])p · ψ = [X1 , X2 ] · (f ∗ ψ)p = X1 · X2 · (f ∗ ψ)p − X2 · X1 · (f ∗ ψ)p = X1 · (f∗ X2 )p · ψ − X2 · (f∗ X1 )p · ψ = X1 · (f ∗ Y2 )p · ψ − X2 · (f ∗ Y2 )p · ψ = (f∗ X1 )p · Y2 · ψ − (f∗ X2 ) · Y1 · ψ = (f ∗ Y1 )p · Y2 · ψ − (f ∗ Y2 )p · Y1 · ψ = (f ∗ [Y1 , Y2 ])p · ψ
Lemma 5.1. Sei f : X → Y ein Morphismus von lokal geringten R¨ aumen, und sei F ein OY -Modul. Sind dann p ∈ X, q := f (p) und sp ∈ (f ∗ F )p , so existieren (t1 )q , . . . , (tr )q ∈ Fq und φ1p , . . . , φrp ∈ Op mit r X sp = (φi f ∗ ti )p . i=1
Beweis. Es ist (f ∗ F )p = Op ⊗Oq Fq .
33
5. Vektorfelder und Fl¨ usse Das Lemma ist insbesondere f¨ ur folgendes Lemma interessant: Lemma 5.2. Seien f : X → Y ein Morphismus lokal geringter R¨ aume. Seien p ∈ X, q := f (p) und Ap , Bp ∈ Θp . Dann w¨ ahlen wir (C1 )q , . . . , (Cr )q ∈ Θq , φ1p , . . . , φrp , ψp1 , . . . , ψpr ∈ Op mit r r X X (f∗ A)p = (φi f ∗ Ci )p und (f∗ B)p = (ψ i f ∗ Ci )p . i=1
i=1
Dann gilt (f∗ [A, B])p =
r X i=1
Beweis.
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((A · ψ i − B · φi ) f ∗ Ci )p +
X 1≤i<j≤r
((φi ψ j − ψ i φj ) f ∗ [Ci , Cj ])p .
6. Liesche Gruppen 6.0.1. Linearisierung Liescher Gruppenhomomorphismen Definition 6.1. Sei fe : Ge → He ein Morphismus lokaler Liescher Algebren. Seien g und h die zugeh¨ origen Lieschen Algebren. Dann heißt die R-lineare Abbildung fL : g → h mit ∀A∈g
(fL (A))(e) = f∗ (A(e))
die Linearisierung von fe . Lemma 6.1. Sei fe : Ge → He ein Morphismus lokaler Liescher Algebren. Ist dann A ∈ g, so sind A und fL (A) f -verwandt. Beweis. Sei g ∈ G. Dann gilt fL (A)(f (g)) = (Lf (g) )∗ f∗ (A(e)) = f∗ (Lg )∗ (A(e)) = f∗ (A(g)).
Folgerung 6.1. Sei fe : Ge → He ein Morphismus lokaler Liescher Algebren. Dann gilt ∀A∈g
f ◦ γA = γfL (A) ,
das heißt f ◦ exp = exp ◦fL : g → He . Aussage 6.1. Sei fe : Ge → He ein Morphismus lokaler Liescher Algebren. Seine Linearisierung fL : g → h ist ein Homomorphismus Liescher Algebren. Beweis. Seien A, B ∈ g. Dann sind [A, B] und [fL (A), fL (B)] f -verwandt. Insbesondere gilt f∗ ([A, B](e)) = [fL (A), fL (B)](e). Außerdem ist [fL (A), fL (B)] linksinvariant. Damit folgt [fL (A), fL (B)] = fL ([A, B]).
Bemerkung 6.1. Ist He ⊂ Ge eine lokale Liesche Untergruppe einer lokalen Lieschen Gruppen und i : He → Ge die Inklusionsabbildung, so ist iL : h → g ein injektiver Morphismus Liescher Algebren, das heißt wir k¨onnen h als Liesche Unteralgebra von g auffassen. Bemerkung 6.2. Indem jeder lokalen Lieschen Gruppe Ge ihre Liesche Algebra GL und jedem Homomorphismus f : Ge → He lokaler Liescher Gruppen seine Linearisierung fL : GL → HL zugeordnet wird, wird ein Funktor von der Kategorie der lokalen Lieschen Gruppen LieG(∗) in die Kategorie der Lieschen Algebren LieAR (¨ uber R) definiert.
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6. Liesche Gruppen
6.1. Liesche Untergruppen Die zusammenh¨ angenden Lieschen Untergruppen einer Lieschen Gruppe G k¨onnen durch ihre Lieschen Algebren als Unteralgebren der Lieschen Algebra von G klassifiziert werden. Das ist die Aussage des folgenden Satzes: Aussage 6.2. Sei G eine Liesche Gruppe mit Liescher Algebra g. Dann induziert die Abbildung, welche einer Lieschen Untergruppe H von G ihre Liesche Algebra h zuordnet, eine Bijektion von der Menge der zusammenh¨ angenden Lieschen Untergruppen von G auf die Menge der Lieschen Unteralgebren von g. Beweis. Sei h eine Liesche Unteralgebra von g. Es ist zu zeigen, daß genau eine zusammenh¨ angende Liesche Untergruppe H von G existiert, deren Liesche Algebra h ist. Zun¨ achst wollen wir die Existenz von H zeigen. Dazu sei H der von h erzeugte CG∞ Untermodul von ΘG . Dieser ist lokal frei vom Rang dim h und sogar involutiv, da h unter der Lieklammer abgeschlossen ist. Sei H die durch H definierte maximale Integralmannigfaltigkeit mit e ∈ H. Da h nur aus linksinvarianten Vektorfeldern besteht, folgt, daß g · H die maximale Integralmannigfaltigkeit durch g ∈ G ist. Damit folgt, daß H abgeschlossen unter Multiplikation ist, also eine (abstrakte) Untergruppe von G ist. Aufgrund der Quasiregularit¨at von H ist damit H eine Liesche Untergruppe von G. Weiter ist T H(e) = {X(e) ∈ T G(e) | X ∈ h} und damit ist die Liesche Algebra von H gerade h. Auf der anderen Seite wird durch diese Konstruktion klar, daß H eindeutig so konstruiert werden muß. Bemerkung 6.3. Eine analoge Bijektion gibt es auch im Falle lokaler Liescher Gruppen. Satz 6.1. Der Funktor LieG(∗) → LieA0 R f , welcher einer lokalen Lieschen Gruppe Ge ihre Liesche Algebra GL und jedem Morphismus fe : Ge → He lokaler Liescher Gruppen ¨ seine Linearisierung fL : GL → HL zuordnet, ist eine Aquivalenz von Kategorien. Beweis. Zun¨ achst zeigen wir, daß der Funktor wesentlich surjektiv ist. Sei also g eine endlich-dimensionale Liesche Algebra u ¨ber R. Wir suchen eine lokale Liesche Gruppe Ge mit GL = g. Dazu beachten wir, daß wir nach dem Satz von Ado F.1 ohne Einschr¨ankung annehmen k¨ onnen, daß g eine Liesche Unteralgebra einer Lieschen Algebra der Form gl(V ) f¨ ur einen endlich-dimensionalen R-Vektorraum V ist. Nach der letzten Aussage existiert damit eine Untergruppe G der Lieschen Gruppe GL(V ), deren Liesche Algebra isomorph zu g ist. Als n¨ achstes m¨ ussen wir zeigen, daß der Funktor treu ist, das heißt, sind fe , fe0 : Ge → He zwei Morphismen zwischen lokalen Liescher Gruppen mit fL = fL0 : GL → HL , so ist (0) (0) fe = fe0 . Dies folgt aber daraus, daß exp ◦fL = fe ◦ exp und daß exp : (GL )0 → Ge und exp : (HL )0 → He (lokale) Diffeomorphismen sind. Schließlich zeigen wir, daß der Funktor voll ist, das heißt, ist l : GL → HL ein Homomorphismus Liescher Algebren f¨ ur lokale Liesche Gruppen Ge und He , so existiert ein
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6.2. Die adjungierte Darstellung einer Lieschen Gruppe Homomorphismus fe : Ge → He lokaler Liescher Gruppen mit fL = l. Dazu betrachten wir die lokale Liesche Gruppe Ke := (G×H)e , deren Liesche Algebra durch k := GL ×HL gegeben ist. Da l ein Homomomorphismus Liescher Algebren ist, folgt, daß l := {(X, l(X)) ∈ k | X ∈ GL } eine Liesche Unteralgebra von k ist. Aufgrund der Aussage existiert damit eine lokale Liesche Untergruppe Le von Ke , deren Liesche Algebra gerade durch l als Liesche Unteralgebra von k gegeben ist. Die Linearisierung der Projektion pe : Le → Ge ist gerade durch die Projektion l → GL gegeben, welche ein Isomorphismus ist. Damit ist pe (lokal) umkehrbar. Wir setzen schließlich fe := qe ◦ p−1 e , wobei qe : Le → He die andere Projektion ist, das heißt, Le ist der Graph der Abbildung fe . Die Linearisierung fL von fe ist dann gerade l.
6.2. Die adjungierte Darstellung einer Lieschen Gruppe Definition 6.2. Sei G eine Liesche Gruppe mit Liescher Algebra g. Wir bezeichnen mit I : G × G → G, (g, h) 7→ g · h · g −1 die Konjugationsoperation von G auf sich selbst. Dann heißt Ad : G → GL(g), g 7→ (L Ig ) die adjungierte Darstellung der Liegruppe G. Bemerkung 6.4. Sei G eine Liesche Gruppe mit Liescher Algebra g. Dann ist ihre adjungierte Darstellung Ad : G → GL(g) ein Homomorphismus Liescher Gruppen. Aussage 6.3. Sei G eine Liesche Gruppe und g ihre Liesche Algebra. Dann gilt f¨ ur die adjungierte Darstellung Ad : G → GL(g), daß −−−−−−−−→ ∀A ∈ A : (AdL (A))(e) = ad(A), das heißt insbesondere gilt Ad ◦ exp = exp ◦ ad : g → GL(g). Beweis. Seien A, B ∈ g. Es reicht zu zeigen, daß −−−−−−−→ AdL (A)(e)(B)(e) = ad(A)(B)(e) = [A, B](e) gilt. Dazu rechnen wir
−−−−−−−→ d d d AdL (A)(e)(B)(e) = Ad(γA (t))(B)(e) = (RγA (−t) )∗ (LγA (t) )∗ (B(e)) = (RγA (−t) )∗ B(γA (t)) = [A dt t=0 dt t=0 dt t=0
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6. Liesche Gruppen
6.3. Fundamentale Vektorfelder Definition 6.3. Seien Ge eine lokale Liesche Gruppe mit Liescher Algebra g und P eine C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0. Sei L : Ge × P → P eine Operation von G auf P . F¨ ur jedes A ∈ g AP := L∗ (−A(e), 0) ∈ ΘP (P ) das fundamentale Vektorfeld zu A auf P . Bemerkung 6.5. Operiere die lokale Liesche Gruppe Ge mit Liescher Algebra g auf der C k -Mannigfaltigkeit P mit k > 0. F¨ ur A ∈ g gilt dann ∀p∈P
. A(p) = (γ−A · p) ,
insbesondere also ∀p∈P,fp ∈C k
P,p
d A(p) · f = fp (exp(−tA) · p). dt t=0
Genauer ist sogar Φ : P × R → P, (p, t) 7→ γA (−t) · p der maximale Fluß von AP . Insbesondere ist AP ein vollst¨andiges Vektorfeld von P . Beispiel 6.1. Operiere die lokale Liesche Gruppe Ge trivial auf der C k -Mannigfaltigkeit P mit k > 0. Dann ist AP = 0 f¨ ur alle A ∈ g, wobei g die Liesche Algebra von Ge ist. Aussage 6.4. Operiere die lokale Liesche Gruppe Ge auf der C ∞ -Mannigfaltigkeit P . Sei g die Liesche Algebra zu Ge . Die Abbilding g → ΘX (X), A 7→ AP ist ein Homomorphismus Liescher Algebren. Beweis. Sei R : P × Ge → P, (p, g) 7→ g −1 · p die zu L geh¨orige Rechtsoperation. Dann gilt wegen T J(e) = −idT G(e) mit J : Ge → Ge der Inversenbildung, daß R∗ (0, A) = AP ◦ R, das heißt (0, A) und AP sind R-verwandt. Damit sind f¨ ur alle A, B ∈ g auch (0, [A, B]) und [AP , BP ] R-verwandt, das heißt [A, B]P ◦ R = R∗ (0, [A, B]) = [AP , BP ] ◦ R. Werten wir dies an (p, e) f¨ ur ein p ∈ P aus, so erhalten wir [A, B]P (p) = [AP , BP ](p). Bemerkung 6.6. Es k¨ onnen analog fundamentale Vektorfelder zu Rechtsoperationen definiert werden. Operiert etwa die lokale Liesche Gruppe Ge mit Liescher Algebra g von rechts auf der C k -Mannigfaltigkeit P mit k > 0, so gilt f¨ ur das fundamentale Vektorfeld zu A ∈ g, daß AP = R∗ (0, A(e)) ∈ ΘP (P ).
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6.3. Fundamentale Vektorfelder Beispiel 6.2. Operiere die Liesche Gruppe G mit Liescher Algebra g durch Rechtsmultiplikation auf sich selbst. Dann ist AG = A f¨ ur alle A ∈ g. Beispiel 6.3. Seien G eine Liesche Gruppe mit Liesche Algebra g und f : P → B ein G-Hauptfaserb¨ undel. Dann ist P × g →P V P, (p, A) 7→ Ap ein wohldefinierter Isomorphismus von Vektorb¨ undeln u ¨ber P .
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6. Liesche Gruppen
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7. Tensorfelder auf Mannigfaltigkeiten 7.1. Tensorfelder Definition 7.1. Sei P eine C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0. F¨ ur r, s ∈ N0 heißt der CX∞ -Modul ⊗r ⊗s Θr,s X := ΘX ⊗ ΩX die Garbe der (r, s)-Tensoren auf P . Mit T r,s P bezeichnen wir das Vektorb¨ undel, dessen Garbe von Schnitten gerade Θr,s P ist. Wir setzen außerdem M r,s ∗,∗ ΘX := ΘX . r,s∈N0
Dies ist eine assoziative doppelt-graduierte CXk -Algebra. Beispiel 7.1. Sei P eine C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0. Dann gilt 0,0 ΘX = CX∞
und
Θ1,0 X = ΘX .
Außerdem ist Θ0,s ur s ∈ N0 die Garbe der s-fach CX∞ -multilinearen Abbildungen auf X f¨ ΘX . Bemerkung 7.1. Sei P eine n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0. Seien r, s ∈ N0 . Verm¨oge der Darstellung
GL(n)×(Rn )⊗r ⊗(Rn )⊗s → (Rn )⊗r ⊗(Rn )⊗s , (A, u1 ⊗· · ·⊗ur ⊗v 1 ⊗· · ·⊗v s ) 7→ A·u1 ⊗· · ·⊗A·ur ⊗· · ·⊗(v 1 ·A−1 )⊗· · ·⊗ wird Θr,s P durch
⊗(r+s) Θr,s P = LP ⊗GL(n) R
als ein am GL(n)-Torsor LP der Basisfelder assoziierte lokal freier CPk -Modul dargestellt. Bemerkung 7.2. Seien P eine C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0 und R ∈ Θr,s X (X) mit r, s ∈ N0 . Dann induzert R eine s-fach C k (P )-multilineare Abbildung R : Θ(X) × · · · × Θ(X) → Θ(X)⊗r {z } | s
und damit eine (r + s)-fach C k (P )-multilineare Abbildung R : Ω(X) × · · · × Ω(X) × Θ(X) × · · · × Θ(X) → C k (P ). | {z } | {z } r
s
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7. Tensorfelder auf Mannigfaltigkeiten Beispiel 7.2. Sei P eine C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0. Seien r, s ∈ N und i ∈ {1, . . . , r} und j ∈ {1, . . . , s}. Dann der Kontraktionsmorphismus ˆ i ⊗·⊗Xr ⊗α1 ⊗· · ·⊗ˆ trij : Θr,s → Θr−1,s−1 , X1 ⊗· · ·⊗Xr ⊗α1 ⊗· · ·⊗αs 7→ αj (Xi ) (X1 ⊗· · ·⊗X αj ⊗·⊗Xs ) ein Morphismus von Grad (−1, −1). Lemma 7.1. Sei P ein parakompakter lokal geringter Raum, welcher Zerlegungen der Eins besitzt. Seien E1 , . . . , En , F Garben von OP -Moduln. Sei Q : E1 (P ) × . . . En (P ) → F (P ) eine O(P )-multilineare Abbildung. Dann existiert genau ein Homomorphismus ˜ : E1 ⊗ · · · ⊗ En → F Q von OP -Moduln, so daß f¨ ur si ∈ Ei (P ), i ∈ {1, . . . , n}, gilt, daß ˜ )(s1 ⊗ · · · ⊗ sn ) = Q(s1 , . . . , sn ). Q(P ˜ zu zeigen, definieren wir zun¨achst Keime Q ˜ p : (E1 )p ⊗ Beweis. Um die Existenz von Q · · · ⊗ En )p → Fp f¨ ur jedes p ∈ P . Aufgrund der Eindeutigkeit der Konstruktion wird ˜ p )p∈P zu einem globalen Homomorphismus Q ˜ verkleben. dann folgen, daß die (Q ˜ Um Qp zu definieren, seien (si )p ∈ (Ei )p , i ∈ {1, . . . , n} vorgegeben. Da die Garben E1 , . . . , En weich sind, also Ei (P ) → (Ei )p surjektiv ist, k¨onnen wir ohne Einschr¨ankung annehmen, daß die Repr¨ asentanten der Keime schon global definiert sind, also si ∈ Ei (P ). ˜ offensichtlich gelten, daß Dann muß im Falle der Existenz von Q ˜ p ((s1 )p ⊗ · · · ⊗ (sn )p ) = Q(s1 , . . . , sn )p , Q ˜ zeigt. Um die Existenz von Q ˜ p folgern zu k¨onnen, was die Eindeutigkeitsaussage u ¨ber Q bleibt zu die Wohldefiniertheit, das heißt, daß die rechte Seite der letzten Gleichung unabh¨ angig von den gew¨ ahlten Repr¨asentanten der Keime ist. Seien etwa s1 , s01 ∈ E1 (P ) mit (s1 )p = (s01 )p . Aufgrund der Weichheit der Garbe OP existiert ein f ∈ O(P ) mit fp = 0 und ∀p0 ∈P
s1 (p0 ) 6= s01 (p0 ) =⇒ f (p0 ) = 0.
Damit ist f (s1 − s01 ) = s1 − s01 , also Q(s1 − s01 , . . . )p = Q(f (s1 − s01 ), . . . )p = (f Q(s1 − s01 , . . . ))p = 0.
Bemerkung 7.3. Dieses Lemma k¨onnen wir insbesondere auf die Situation von Tensorfeldern anwenden auf C k -Mannigfaltigkeiten mit k > 0 anwenden und erhalten: Seien r, s ∈ N0 und sei Q : (ΘP (P )∨ )r × ΘP (P )s → CPk (P ) eine CPk (P )-multilineare Abbildung. Dann existiert genau ein Tensorfeld R ∈ Θr,s (P ), so daß ∀α1 ,...,αr ∈ΘP (P )∨ ,X1 ,...,Xs ∈ΘP (P )
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Q(α1 , . . . , αr , X1 , . . . , Xs ) = (α1 ⊗· · ·⊗αr )(R(X1 ⊗· · ·⊗Xs )).
7.1. Tensorfelder Beispiel 7.3. Sei P eine C ∞ -Mannigfaltigkeit. Sei ∇ : Θ(P ) × Θ(P ) → Θ(P ), (X, Y ) 7→ ∇X Y eine R-lineare Abbildung mit ∀X,Y ∈Θ(P ),f ∈C ∞ (P )
∇f X Y = f ∇X Y
und ∇X f Y = f ∇X Y + (X · f ) Y.
(Abbildungen dieser Form werden im Teil u ¨ber horizontale Strukturen auftreten und heißen kovariante Ableitungen.) Dann ist Ω(P ) × Θ(P ) × Θ(P ) → C ∞ (P ), (α, X, Y ) 7→ α(∇X Y − ∇Y X − [X, Y ]) eine C ∞ (P )-multilineare Abbildung. Damit existiert nach der Bemerkung genau ein (1, 2)-Tensorfeld T ∈ Θ1,2 (P ) mit ∀X,Y ∈Θ(P )
T (X, Y ) = ∇X Y − ∇Y X − [X, Y ].
(Das Tensorfeld T heißt der Torsionstensor der kovarianten Ableitung ∇.) Definition 7.2. Sei f : P → Q eine differenzierbare Abbildung zwischen C ∞ -Mannigfaltigkeiten. Z Wir definieren einen Homomorphismus 0,∗ ∗ ΘQ → f∗ Θ0,∗ P , β 7→ f β
assoziativer Z-graduierter CQ∞ -Algebren durch die Setzung ∀V ∈U(Q),β∈Θ0,1 (V )=Ω(V ),X∈Θ(f −1 (V ))
(f ∗ β)(X) := β(f∗ X).
0,1 (Hier sei beachtet, daß die CQ∞ -Algebra Θ0,∗ Q durch ΘQ erzeugt wird.)
V Wir definieren einen Homomorphismus ΘP∗,0 → f ∗ Θ∗,0 Q , R 7→ f∗ R assoziativer Z-graduierter CP∞ -Algebren durch die Setzung ∀U ∈U(P ),R∈Θ1,0 (U )=Θ(U )
f∗ R := (T f )(R).
(F¨ ur den Fall von Vektorfeldern hatten wir diese Bezeichnung schon fr¨ uher eingef¨ uhrt. Außerdem sei wieder angemerkt, daß die CP∞ -Algebra Θ0,∗ durch Θ1,0 P P erzeugt wird.) I Ist f sogar ein Diffeomorphismus, so definieren wir einen Isomorphismus ∗,∗ ∗ Θ∗,∗ Q → f∗ ΘP , S 7→ f S
assoziativer Z-graduierter CQ∞ -Algebren durch ∀V ∈U(Q),T ∈Θ∗,0 (V ),β∈Θ0,∗ (V )
f ∗ (T ⊗ β) = (f∗−1 T ) ⊗ f ∗ β.
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7. Tensorfelder auf Mannigfaltigkeiten Bemerkung 7.4. Ist f : P → Q eine differenzierbare Abbildung zwischen C ∞ -Mannigfaltigkeiten, 0,∗ ∞ so k¨ onnen wir verm¨ oge des CQ∞ -Algebrenhomomorphismus’ f ∗ : Θ0,∗ Q → f∗ ΘP die CQ 0,∗ Algebra f∗ Θ0,∗ P insbesondere als ΘQ -Algebra auffassen.
Bemerkung 7.5. Ist f : P → Q ein Diffeomorphismus zwischen CQ∞ -Mannigfaltigkeiten, ∗,∗ ∗ ∗ ∗,∗ so k¨ onnen wir den Morphismus f ∗ : Θ∗,∗ Q → f∗ ΘP auch als einen Morphismus f : f ΘQ → ∗,∗ ΘP auffassen. Da dieser Morphismus ein Morphismus von CP∞ -Moduln ist, induziert er insbesondere faserweise lineare Abbildungen f ∗ : T ∗,∗ Q(f (p)) → T ∗,∗ P (p) f¨ ur jedes p ∈ P . Beispiel 7.4. Operiere die lokale Liesche Gruppe Ge von rechts verm¨oge R : Pp ×Ge → Pp auf der lokalen C ∞ -Mannigfaltigkeit Pp . Dann wird f¨ ur r, s ∈ N0 eine Abbildung ∗,∗ Ge → HomR (Θ∗,∗ P (p)), g 7→ (S 7→ (Rg )∗ S(p g) P,p , T
definiert. F¨ ur festes S ∈ Θ∗,∗ P,p ist die induzierte Abbildung Sˆ : Ge → T ∗,∗ P (p), g 7→ (Rg )∗ S(p g) differenzierbar. Von besonderem Interesse ist diese Konstruktion f¨ ur lokale 1-Parametergruppen, also Gruppenwirkungen, die durch den Fluß von Vektorfeldern gegeben sind.
7.2. Die Liesche Ableitung Definition 7.3. Sei f : P → Q eine differenzierbare Abbildung zwischen C ∞ -Mannigfaltigkeiten. Sei i : P → P × R, p 7→ (p, 0). Eine differenzierbare Abbildung F : (P × R)P ×0 → Q mit F ◦ i = f heißt eine Variation der differenzierbaren Abbildung f . Ist F eine Variation von f , so heißt F˙ := (∂ · F ) ◦ i0 ∈ Θ(f ) die von F induzierte infinitesimale Variation l¨ angs f . Jedes Vektorfeld l¨ angs einer Abbildung kann als infinitesimale Variation aufgefaßt werden. Um dieses zeigen zu k¨onnen, brauchen wir zun¨achst eine Aussage u ¨ber die Existenz von Differentialgleichungen zweiter Ordnung auf Mannigfaltigkeiten. Lemma 7.2. Sei P eine C k -Mannigfaltigkeit mit k ≥ 2. Dann existiert eine globale Differentialgleichung zweiter Ordnung auf P , das heißt ein Vektorfeld S ∈ Θ(T P ) mit (πP )∗ S = idT P .
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7.2. Die Liesche Ableitung ¨ Beweis. Wir w¨ ahlen eine Uberdeckung (Ui )i∈I von P , so daß Karten xi : Ui → Rn von P existieren. F¨ ur i ∈ I sei (p1i , . . . , pni , p˙1i , . . . , pni ) : πP−1 (Ui ) → R2n die kanonische B¨ undelkarte zu xi , f¨ ur die also f¨ ur j ∈ {1, . . . , n} insbesondere ∂ j und ∂ j verwandt sind ∂pi
bez¨ uglich πP . Dann setzen wir Si :=
n X
p˙ji
j=1
∂ ∂pji
∂xi
∈ Θ(πP−1 (Ui )),
es gilt also insbesondere (πP )∗ Si = idπ−1 (Ui ) . P
¨ W¨ahlen wir schließlich eine Zerlegung (fi )i∈I der Eins zur Uberdeckung (Ui )i∈I , so ist X S := fi Si ∈ Θ(T P ) i∈I
eine wohldefinierte Differentialgleichung zweiter Ordnung auf P . Lemma 7.3. Sei f : P → Q eine differenzierbare Abbildung zwischen C ∞ -Mannigfaltigkeiten. Jedes X ∈ Θ(f ) ist eine infinitesimale Variation von f , das heißt, es existiert eine Variation F : (P × R)P ×0 → Q von f mit X = F˙ . Beweis. Sei S ∈ Θ(T Q) irgendein Vektorfeld, welches eine Differentialgleichung zweiter Ordnung auf Q beschreibt, es gelte also (πQ ) ∗ S = idT Q . Sei Φ : (T Q × R)T Q×0 → Q eine universelle L¨osung dieser Differentialgleichung. Wir setzen F := Φ ◦ (X × idR ) : (P × R)P ×0 . Dann ist wegen Φ(·, 0) = (πQ )∗ X = f und (∂ · Φ)(·, 0) = idT Q die Abbildung F eine Variation von f , welche X als infinitesimale Variation hat. Aussage 7.1. Sei f : P → Q eine differenzierbare Abbildung zwischen C ∞ -Mannigfaltigkeiten. Sei X ∈ Θ(f ) ein Vektorfeld l¨ angs f . Dann existiert genau eine Derivation 0,∗ LX : Θ0,∗ Q → f∗ ΘP , α 7→ LX α 0,∗ 0,∗ der R-Algebra ΘQ in den ΘQ -Modul f∗ Θ0,∗ ur die folgende Axiome gelten: P , f¨
L1 Es gilt ∀V ∈U(Q),φ∈C ∞ (V )=Θ0,0 (V )
LX φ = X · φ ∈ C ∞ (f −1 (V )) = (f∗ Θ0,0 P )(V ).
L2 Es gilt ∀V ∈U(Q),φ∈C ∞ (V )=Θ0,0 (V )
LX (dφ) = d(X · φ) ∈ Ω(f −1 (V )) = (f∗ Θ0,1 P )(V ).
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7. Tensorfelder auf Mannigfaltigkeiten Die Derivation LX heißt die Liesche Ableitung l¨angs des Vektorfeldes X. Beweis. Im Falle der Existenz ist LX sicherlich eindeutig, da die Garbe Θ0,∗ Q von R∞ ∞ Algebren u ¨ber Q durch CQ und ΩQ erzeugt wird und ΩQ als Garbe von CQ -Algebren wiederum durch das Bild von d : CQ∞ → ΩQ erzeugt wird. Damit bleibt, die Existenz zu zeigen. Dazu w¨ahlen wir eine Variation F : (P ×R)P ×0 → Q von f mit X = F˙ . F¨ ur V ∈ U(Q), α ∈ Θ0,s (V ) mit s ∈ N0 und Z1 , . . . , Zs ∈ Θ(f −1 (V )) definieren wir dann d ∀p∈f −1 (V ) (LX α)(Z1 , . . . , Zs )(p) := α(F (·, t)∗ Z1 (p), . . . , F (·, t)∗ Zs (p)). dt t=0 Dies definiert eine Derivation wie gefordert, welche die Axiome erf¨ ullt. Bemerkung 7.6. Sei f : P → Q eine differenzierbare Abbildung zwischen C ∞ -Mannigfaltigkeiten. Sei F : (P × R)P ×0 → Q eine Variation von f . Ist dann α ein (0, ∗)-Tensorfeld auf Q, so induziert F eine Variation F ∗ α des Tensorfeldes f ∗ α auf P . Nach dem Beweis ist die zu F ∗ α geh¨ orende infinitesimale Variation dann offensichtlich durch das Tensorfeld . (F ∗ α) = LF˙ α auf P gegeben. Bemerkung 7.7. Sei f : P → Q eine differenzierbare Abbildung zwischen C ∞ -Mannigfaltigkeiten. Dann wird durch die Liesche Ableitung ein Morphismus 0,∗ f ∗ ΘQ → f −1 DerR (Θ0,∗ Q , f∗ ΘP ), X 7→ LX
von R-Moduln u ¨ber P definiert, das heißt die Liesche Ableitung ist mit Lokalisierung auf P vertr¨ aglich. Beispiel 7.5. Seien f : P → Q und g : Q → R zwei differenzierbare Abbildungen zwischen C ∞ -Mannigfaltigkeiten. Ist dann X ∈ Θ(f ) ein Vektorfeld l¨angs f , so gilt ∀β∈Θ0,∗ R
Lg∗ X β = LX (g ∗ β).
Beispiel 7.6. Seien f : P → Q und g : Q → R zwei differenzierbare Abbildungen zwischen C ∞ -Mannigfaltigkeiten. Ist dann Y ∈ Θ(g) ein Vektorfeld l¨angs g, so gilt ∀β∈Θ0,∗ R
Lf ∗ Y β = f ∗ LY (β).
Folgerung 7.1. Seien f : P → Q und g : Q → R zwei differenzierbare Abbildungen zwischen C ∞ -Mannigfaltigkeiten. Seien dann X ∈ Θ(Q) und Y ∈ Θ(R) verwandte Vektorfelder bez¨ uglich g, so folgt ∀β∈Θ0,∗ R
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LX (f ∗ β) = f ∗ (LY β).
7.2. Die Liesche Ableitung Aussage 7.2. Sei P eine C ∞ -Mannigfaltigkeit. Sei X ∈ Θ(P ) ein globales Vektorfeld auf P . Dann existiert genau eine Derivation ∗,∗ LX : Θ∗,∗ P → ΘP , R 7→ LX R
der R-Algebra ΘP∗,∗ in den ΘP∗,∗ -Modul Θ∗,∗ ur die folgende Axiome gelten: P , f¨ L1 Es gilt ∀U ∈U(P ),φ∈C ∞ (U )=Θ0,0 (U )
LX φ = X · φ.
L2 Es gilt ∀U ∈U(P ),φ∈C ∞ (U )=Θ0,0 (U )
LX (dφ) = d(X · φ).
L3 Es gilt ∀U ∈U(P ),Y ∈Θ(U )=Θ1,0 (U )
LX Y = [X, Y ].
Die Derivation LX heißt wieder die Liesche Ableitung l¨angs des Vektorfeldes X. Beweis. Im Falle der Existenz ist LX sicherlich eindeutig, da die Garbe Θ∗,∗ P von R∞ Algebren u ¨ber P durch CP , ΘP und OmegaP erzeugt wird und ΩP als Garbe von CP∞ -Algebren wiederum durch das Bild von d : CP∞ → ΩP erzeugt wird. Damit bleibt, die Existenz zu zeigen. Dazu sei Φ : P × R0 → P der lokale Fluß von X mit Φt (p) = Φ(p, t) f¨ ur p ∈ P , t ∈ R0 . F¨ ur U ∈ U(P ), α ∈ Θr,s (V ) mit r, s ∈ N0 und definieren wir dann d ∀p∈U (LX α)(p) := ((Φ∗t R)(Φt (p))). dt t=0
Dies definiert eine Derivation wie gefordert, welche die Axiome erf¨ ullt. Bemerkung 7.8. Die so definierte Liesche Ableitung stimmt auf (0, ∗)-Tensoren mit der vorher definierten Lieschen Ableitung f¨ ur den Fall eines Vektorfeldes l¨angs der Identit¨at u ¨berein. Beispiel 7.7. Operiere die lokale Liesche Gruppe Ge von rechts verm¨oge R : Pp ×Ge → Pp auf der lokalen Mannigfaltigkeit Pp . Sei : g → T G(e), A 7→ A(e) der kanonische Isomorphismus von der Liealgebra g von G in den Tangentialraum von G am neutralen Element e. Ist dann S ∈ Θ∗,∗ ur die Ableitung der Abbildung P,p , so gilt f¨ Sˆ : Ge → T ∗,∗ P (p), R 7→ ((Rg )∗ S)(p g) gerade ˆ ◦ : g → T ∗,∗ , A 7→ LA S, (dS) P denn f¨ ur A ∈ g gilt bekanntlich d ˆ (dR)(A(e)) = ((Rexp(tA(e)) )∗ S)(p exp(tA(e))) = LAP S, dt t=0 nach Definition des fundamentalen Vektorfeldes AP zu A.
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7. Tensorfelder auf Mannigfaltigkeiten Beispiel 7.8. Sei P eine C ∞ -Mannigfaltigkeit. Seien U ∈ U(P ) und α ∈ Ω(U ) = Θ0,1 (U ). Dann gilt f¨ ur jedes Vektorfeld X ∈ Θ(P ), daß ∀Y ∈Θ(U ) (LX α)(Y ) = X · α(Y ) − α([X, Y ]). Um dies nachzurechnen, k¨onnen wir α = f dφ mit f, φ ∈ C ∞ (U ) annehmen. Dann gilt (LX (f dφ))(Y ) = (X · f )(Y · φ) + f (Y · X · φ) = X · (f dφ)(Y ) − (f dφ)([X, Y ]). Beispiel 7.9. Sei P eine C ∞ -Mannigfaltigkeit. Seien r, s, i, j ∈ N0 mit i ≤ r und j ≤ s. Die Spur trij ist f¨ ur jedes Vektorfeld X ∈ Θ(P ) invariant, das heißt r−1,s−1 [trij , LX ] = trij ◦LX − LX ◦ trij : Θr,s . P → ΘP
Um dies nachzurechnen, k¨ onnen wir ohne Einschr¨ankung r = s = i = j = 1 annehmen. Sei weiter U ∈ U(P ) und Y ∈ Θ(U ) und α ∈ Ω(U ). Dann gilt
tr(LX (Y ⊗α)) = tr(LX (Y )⊗α+Y ⊗LX (α)) = α(LX (Y ))+(LX α)(Y ) = α([X, Y ])+X·α(Y )−α([X, Y ]) Aussage 7.3. Sei P eine C ∞ -Mannigfaltigkeit. Sind X, Y ∈ Θ(P ) zwei Vektorfelder, so gilt f¨ ur den Kommutator der Operatoren LX und LY , daß [LX , LY ] = L[X,Y ] , das heißt die Liesche Ableitung induziert einen Morphismus ∗,∗ L : ΘP → DerR (Θ∗,∗ P , ΘP ), X 7→ LX
von Garben Liescher Algebren u ¨ber R. Beweis. Die Idee des Beweises ist nachzurechnen, daß die Derivation [LX , LY ] die Axiome der Lieschen Ableitung in Richtung [X, Y ] erf¨ ullt. Seien f ∈ C ∞ (P ) und Z ∈ Θ(P ). Dann gelten [LX , LY ]f = X Y f − Y X f = L[X,Y ] f und damit [LX , LY ](df ) = d([LX , LY ]f ) = d(L[X,Y ] f ) = L[X,Y ] (df ). Schließlich haben wir aufgrund der Jacobi-Identit¨at [LX , LY ]Z = [X, [Y, Z]] − [Y, [X, Z]] = [[X, Y ], Z] + [Y, [X, Z]] − [Y, [X, Z]] = L[X,Y ] (Z). Aussage 7.4. Sei Pp eine lokale C ∞ -Mannigfaltigkeit und R ∈ Θ∗,∗ P,p ein lokales Tensorfeld. Dann ist R genau dann unter dem Fluß Φ : Pp × R0 → Pp , (p0 , t) 7→ Φt (p0 ) eines Vektorfeldes Xp ∈ ΘP,p invariant, das heißt also ∀p0 ∈Pp ,t∈R0
(Φ∗ R)(Φ(p0 , t)) = R(p0 ),
wenn LXp Rp = 0. Beweis. Seien s, t ∈ R0 und p0 ∈ Pp . Wir setzen Rt (p0 ) := Φ∗t R(Φt (p0 )). Dann gilt d d d 0 0 ∗ Rt (p ) = Φt+s R(Φs+t (p )) = Φ∗t (Φ∗s R(Φs (Φt (p)))) = Φ∗t LX R(Φt (p)). dt ds ds s=0
s=0
Aus dieser Gleichung l¨ aßt sich die Behauptung dann in beiden Richtungen ablesen.
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7.3. Differentialformen
7.3. Differentialformen Definition 7.4. Sei P eine C ∞ -Mannigfaltigkeit. F¨ ur k ∈ N0 heißt der CX∞ -Modul ΩkX :=
k ^
ΩX
die Garbe der (Differential-)k-Formen auf X. Wir setzen außerdem M ΩkX . Ω∗X := k∈N0
Dies ist eine kommutative Z-graduierte CX∞ -Algebra. Beispiel 7.10. Sei P eine n-dimensionale C ∞ -Mannigfaltigkeit. Dann ist Ω0X = CX∞ , und f¨ ur k > n ist ΩkX = 0. Beispiel 7.11. Sei P eine C ∞ -Mannigfaltigkeit. Ist U ∈ U(P ) und f ∈ CX∞ (U ), so ist df ∈ Ω1X (U ) = ΩX (U ). Bemerkung 7.9. Sei P eine n-dimensionale C ∞ -Mannigfaltigkeit. Seien k ∈ N0 . Verm¨oge der Darstellung GL(n) × wird ΩkP durch
k ^
Rn , (A, u1 ∧ . . . ∧ uk ) 7→ (u1 · A−1 , . . . , un · A−1 ) ΩkP = LP ⊗GL(n) R⊗(r+s)
als ein am GL(n)-Torsor LP der Basisfelder assoziierter lokal freier CPk -Modul dargestellt. Beispiel 7.12. Sei P eine n-dimensionale C ∞ -Mannigfaltigkeit. Dann ist ΩnP an den GL(n)-Torsor LP verm¨ oge der Darstellung GLG(n) × R → R, (A, v) 7→ (det A)−1 v assoziiert. Bemerkung 7.10. Sei P eine C ∞ -Mannigfaltigkeit und x : U → Rn mit U ∈ U(P ) eine Karte von P . Dann gilt k ∈ N0 , daß M ΩkX |U = CX∞ |U · dxi1 ∧ · · · ∧ dxik . 1≤i1