Differentialgeometrie : Differentialtopologie und Riemannsche Geometrie

Einführung in die moderne Differentialgeometrie Differentialtopologie und Riemannsche Geometrie Tx M TN TM X dF (X ...

Author: Ciprian Nedisan

165 downloads 1411 Views 1MB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

Einführung in die moderne

Differentialgeometrie Differentialtopologie und Riemannsche Geometrie

Tx M

TN TM

X

dF (X ) dF

πM M

x

F

πN F (x )

dY X

∇Y X

Created by cipri ! Non-Copyrighted Material! Free to Copy!

N

D IFFERENTIALGEOMETRIE D IFFERENTIALTOPOLOGIE

UND

R IEMANNSCHE G EOMETRIE

CREATED BY

cipri

22. März 2014

Inhaltsverzeichnis

Vorwort

1

Einleitung

2

1 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten 1.1 Topologische Grundbegriffe (“Märchenstunde”) . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Topologische Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Teilmengen topologischer Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Trennungseigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Abzählbarkeitseigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5 Abbildungen zwischen topologische Räume . . . . . . . . . . . . 1.1.6 (Für uns) Wichtige topologische Sätze . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.7 Definition und Eigenschaften topologischer Mannigfaltigkeiten 1.2 Definition einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

3 3 3 5 6 7 9 9 10 12

2 Abbildungen zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten 2.1 Differenzierbare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Tangentialräume und Differentiale . . . . . . . . . . . . . 2.3 Immersionen, Einbettungen, Untermannigfaltigkeiten . 2.4 Einbettungen in einem flachen Raum RN . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

22 22 24 36 51

3 Tangentialbündel und andere Faserbündel 3.1 Das Tangentialbündel . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Andere Vektorraumbündel . . . . . . . . . . . . . 3.3 Allgemeine Faserbündel . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Ergänzung: Lie-Gruppen und Hauptfaserbündel 3.4.1 Lie-Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Hauptfaserbündel (Prinzipialbündel) . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

55 55 58 67 70 70 71

. . . .

74 74 78 85 92

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

4 Einführung in die Riemannsche Geometrie 4.1 Riemannsche Metriken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Lineare Zusammenhänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Der Levi-Civita-Zusammenhang und seine Krümmungen 4.4 Parallelverschiebung und Geodätische . . . . . . . . . . . 5 Übungen

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

98

Literaturverzeichnis

103

Index

104

Vorwort Dieses Buch basiert auf eine Vorlesung in Differentialgeometrie gehalten von Prof. Dr. Helmut Pabel mit dem Ziel diese Vorlesung möglichst gut wiederzugeben, insbesondere auch die graphische Darstellung. Falls etwas an diesem Buch gut gemacht ist, dann ist das Prof. Pabel zu verdanken, alles andere was möglicherweise nicht so gut gelungen ist, insbesondere Fehler, nehme ich gerne auf mich, da Prof. Pabel dieses Buch nicht korrektur-gelesen hat. Meine tiefe Überzeugung ist, dass ein Lehrbuch der Mathematik, insbesondere eine Einführung, nicht auf die farbige Gestaltung verzichten sollte, auch wenn der LATEX-Aufwand noch so groß sein möge. Es nimmt zwar dem Autor viel zeit in Anspruch, spart aber vielen Studenten viel Zeit, die ohnehin sehr knapp bemessen ist. Die Abbildungen und die Farb-Codes erleichtern nicht nur das Lesen, das Verstehen und das Merken der Sätze, sondern auch das schnelle Wiederfinden der Sätze. Es wird nicht immer alles genau bewiesen, oft sind nur Beweis-Skizzen angegeben, und ganz selten nur Sätze zitiert. Die Begründung ist, dass dies eine möglichst zügige Einführung darstellen soll, sodass der Leser nicht geneigt ist an einer Stelle nicht mehr weiterzukommen. Denn das Ziel dieses Buches ist mehr, den Leser mit den Begriffen der modernen Differentialgeometrie vertraut zu machen. Der interessierte Leser wird in Michael Spivak’s Buchreihe “A Comprehensive Introduction to Differential Geometry” eine Vervollständigung dieses Buches finden. Auch “Einführung in die Differentialtopologie” von Theodor Bröcker ist sehr zu empfehlen. Ein besonderes Buch ist “Topics in Differential Geometry” von Peter W. Michor. Das vorliegende Buch, sollte den Zugang zu dieser weiterführenden Literatur deutlich vereinfachen. Ein weiter Grund, dieses Buch zu verfassen, liegt in meiner Überzeugung, dass ein Lehrbuch möglichst wenig kosten soll. Das gilt insbesondere für ebooks, da hier sehr viele Kosten entfallen. Deshalb will ich das Kopieren dieses Buches nicht verbieten, sondern sogar fördern und unterstüzen. Da das Verfassen dieses Werkes viel (unbezahlte) Zeit in Anspruch genommen hat, freue ich mich über jedes verkaufte Exemplar, aber jeder andere der sich das nicht leistet bzw. den Kaufpreis als nicht angemessen empfindet, der kann (und soll!!) es von nedisan.eu/books/ umsonst herunterladen. Dieses Buch kann ohne Einschränkung kopiert und auf beliebig andere Internetseiten vertrieben werden, solange aus diesem Buch dieses Vorwort nicht entfernt wird. LYX in verbindung mit TexLive 2013 auf Ubuntu wurden für die Erstellung dieses Dokuments eingesetzt, deshalb an dieser Stelle auch ein großes Dankeschön an die gesamte Open Source Community. Man kann mit Gewissheit sagen, dass die Open Source Bewegung nicht mehr zu stoppen ist und noch viel Gutes uns bringen wird. In diesem Sinne ist auch der LATEX bzw. LYX Source Code dieses Buches frei Verfügbar ohne irgendwelche Einschränkungen und kann beliebig kopiert und weiterwendet werden. Bitte kontaktiert mich dazu unter [email protected] und es muss kein besonderer Grund angegeben werden. Auch bin ich dankbar für das Aufdecken von Fehlern und für Verbesserungsvorschläge. Viel Spaß beim Lesen,

cipri

Einleitung Dieses Buch gibt eine Einführung in die • Differentialtopologie [ = Theorie differenzierbarer Mannigfaltigkeiten ] • Riemannsche Geometrie [ = punktal euklidische Geomtrie auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ] Grundsätzlich wird vom Leser nicht viel vorausgesetzt, außer Grundlegendes aus Analysis, Lineare Algebra und gewöhnliche Differentialgleichungen. Insbesondere wird die klassische Differentialgeometrie nicht vorausgesetzt. Als Ziel hat dieses Buch den Leser schnell mit wichtigen Themen der modernen Differentialgeomtrie vertraut zu machen. In diesem Sinne wird nicht immer alles bewiesen sondern mache starke Sätze einfach nur zitiert und im Gegesatz gibt es viele farbige Abbildungen die das Lesen, das Verstehen und das Merken der Sätze deutlich erleichtern.

Hintergrund In der klassichen anschaulichen Differentialgeomtrie (Vorlesung Einführung in die Differentialgeomtrie) werden parametrisierte (Kurven/) Flächen x :G ⊂ Rp → M := x (G) ⊂ Rn untersucht (z.B. Kugelstücke, Zylinder, etc.) Rp G x

M

Rn

Unzulänglichkeiten i) Alle Definitionen / Konstruktionen benutzen wesentlich den umgebenden Raum Rn . Viele (sog. innergeometrische) Begriffe lassen sich aber schon in dem p-dimensionalen Parametergebiet G formulieren, das mit einer geeigneten Metrik ausgestattet ist, und sind unabhängig von der Einbettung des Bildes M = x (G) in einem Rn . Ein umgebender Raum wird gar nicht benötigt! Damit können die Parametrisierungen x :G → M = x (G) n Rn+1 als bijektiv angenommen werden (notfalls “Entfaltung” R ). Die “Fläche M” ist -1 dann über x und x (falls diese stetig) homöomorph zu einem Gebiet des Rp . ii) Aber nicht jede konkrete Fläche kann global so dargestellt werden (z.B. Kugelfläche / Torus). Die abgeschwächte Forderung, M soll nur lokal homöomorph zu einem Gebiet des Rp sein, führt zum Begriff einer topologischen Mannigfaltigkeit (mit weiteren Zusatzeigenschaften, um exotische Sonderfälle auszuschließen), eine zusätzliche Differenzierbarkeitsstruktur zum Begriff einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit.

1

Differenzierbare Mannigfaltigkeiten 1.1 Topologische Grundbegriffe (“Märchenstunde”) 1.1.1 Topologische Räume Ein topologischer Raum ist nichts weiter als eine Menge, in der (mehr oder weniger) gewisse Teilmengen als “offen” ausgezeichnet werden. 1.1 Definition: topologischer Raum Ein topologischer Raum (X , T(X )) besteht aus einer nicht-leeren Menge X und einem System T(X ) ⊂ P (X ) [Potenzmenge] so genannter offener Teilmengen, so dass gilt (O1) Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen. (Insbesondere ist die Leermenge ∅ = ∪∅ offen) (O2) Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist offen. (Insbesondere ist der Gesamtraum X = ∩∅ offen) Schöne Beispiele 1.2 Beispiel: Metrische Räume / Quasimetrische Räume Metrische Räume (X ,d ), also Mengen X , ∅ versehen mit einer Metrik (Abstandsfunktion) d :X × X → R mit den Eigenschaften (M1a) Positivität, d.h. ∀x,y∈X : d (x,y) ≥ 0 (M1b) Definitheit, d.h. ∀x,y∈X : d (x,y) = 0 =⇒ x = y (M2) Symmetrie, d.h. ∀x,y∈X : d (x,y) = d (y,x ) (M3) ∆-Ungleichung, d.h. ∀x,y∈X : d (x,y) + d (y,z) ≥ d (x,z) Verzichtet man auf die Definitheit (M1b), so erhält man Quasimetrische Räume. In solche metrische bzw. quasimetrische Räume sind definiert

1.1. Topologische Grundbegriffe (“Märchenstunde”)

4

• ε-Umgebungen Uε (x ) := y ∈ X d (x,y) < ε von x ∈ X • Umgebungen U von x ∈ X als Obermengen von ε-Umgebungen von x ∈ X .

x

x

• Offene Mengen Q ⊂ X , die Umgebungen jedes ihrer Punkte sind

Q

Die dadurch induzierte Topologie Td (X ) erfüllt (O1) und (O2) . Noch schönere Spezialfälle 1.3 Beispiel: Normierte (Vektor-)Räume Normierte (Vektor-) Räume (X , |·|) versehen mit einer (positiv definiten, homogenen) Norm (Längenfunktion, mit ∆−Ungleichung). Diese induziert durch d (x,y) := y − x eine Metrik und damit eine Topologie Td . 1.4 Beispiel: Standard-Topologie Der Rn mit seiner Standard-Topolgoie Tnat erzeugt von den üblichen (topologisch äquivalenten) Normen v t n X ∀r ∈N: |x |r := r und |xi |r |x | ∞ := max |xi | i∈{1,...,n}

i=1

Weniger schöne Spezialfälle 1.5 Beispiel: Diskrete Topologie Die diskrete Topologie

Tdis (X ) := P (X )

auf einer Menge X (alle Teilmengen sind offen) wird erzeugt von der Metrik   0 d (x,y) =   1 

für x = y für x , y

1.6 Beispiel: Indiskrete Topologie Die indiskrete Topologie (“Klumpentopologie” / “Triviale Topologie”) Tind (X ) := {∅,X } (nur ∅ und X sind offen) wird erzeugt von der (echten) Quasimetrik d (x,y) = 0 .


5

Ganz hässliche Beispiele 1.7 Beispiel: Cofinite Topologie Die cofinite Topologie

( Tcof (X ) := Q ⊂ X | {Q = X \ Q

auf einer unendlichen Menge X .

) endlich ∪ {∅}

1.8 Beispiel: Co-Abzählbare Topologie Die co-abzählbare Topologie

( Tcoab (X ) := Q ⊂ X | {Q = X \ Q

auf einer überabzählbaren Menge X .

) abzählbar ∪ {∅}

In allgemeine topologische Räume (X , T(X )) gibt es i.a. keine ε-Umgebungen, aber doch Umgebungen von Punkten x ∈ X . 1.9 Definition: Umgebung und Umgebungssystem Eine Teilmenge U ⊂ X eines topologischen Raumes (X , T(X )) heißt eine Umx Q U gebung des Punktes x ∈ X , wenn eine offene Menge Q ∈ T(X ) mit x ∈ Q ⊂ U existiert. Alle Umgebungen eines Punktes x ∈ X bilden das sogenannte Umgebungssystem U (x ) von x .

1.1.2 Teilmengen topologischer Räume 1.10 Definition: abgeschlossen und kompakt Sei (X , T(X )) ein topologischer Raum. Dann heißt • A ⊂ X abgeschlossen, wenn das Komplement {A = X \ A offen ist. • K ⊂ X (quasi-) kompakt, wenn jede offene Überdeckung (Qi )i∈I von K (d.h. K ⊂ S i∈I Qi und Qi offen) eine endliche Teilüberdeckung enthält.

[Heine-Borel] In (Rn , Tnat (Rn )) gilt K kompakt ⇐⇒ K abgeschlossen und beschränkt Kompakte topologische Räume (also X selbst kompakt) sind recht harmlos, aber seltener anzutreffen. Eine Abschwächung ist


6

1.11 Definition: lokalkompakter topologischer Raum Ein topologischer Raum (X , T(X )) heißt lokalkompakt wenn jeder Punkt x ∈ X eine kompakte Umgebung besitzt.

1.12 Beispiel (Rn , Tnat (Rn )) ist nicht kompakt, da unbeschränkt, aber lokalkompakt weil Uε (x ) eine kompakte Umgebung von x ∈ Rn ist. (Nicht leere) Teilmengen eines topologischen Raumes sind selbst topologische Räume (ohne zusätzliche Vorgaben). 1.13 Definition: Spur-/Relativtopologie Auf einer Teilmenge A , ∅ eines topologischen Raumes (X , T(X )) wird durch T(A) := Q ∩ A Q ∈ T(X ) ⊂ P(A)

eine Topologie definiert, die sogenannte Spur- oder Relativtopologie. (A, T(A)) heißt dann topologischer Unterraum von (X , T(X )) , kurz A ⊂: X

1.14 Beispiel i) ]0, 1] ist nicht offen in (R, Tnat (R)) , aber (relativ) offen in A := [-1, 1] ⊂: R denn ]0, 1] = ]0, 2[ ∩ A . ii)

S1

relativ offen in S 1 ⊂: R2

1.1.3 Trennungseigenschaften 1.15 Definition: Hausdorffraum Ein topologischer Raum (X , T(X )) heißt Hausdorffraum (T2 -Raum, erfüllt das 2-te Trennungsaxiom T2 ), falls sich je zwei verschiedene Punkte durch offene Umgebungen trenV U y x nen lassen


7

1.16 Beispiel Jeder metrische Raum (X , Td (X )) ist hausdorffsch, insbesondere (Rn , Tnat (Rn )) . Ein echt quasimetrischer Raum (X , Td (X )) ist kein Hausdorffraum [ Punkte x,y mit d (x,y) = 0 lassen sich nicht trennen ]. Auch (X , Tcof (X )) ist nicht hausdorffsch, falls X unendlich. Eine Verschärfung ist 1.17 Definition: normaler Hausdorffraum Ein Hausdorffraum heißt normal (T4 -Raum), falls sich je zwei disjunkte abgeschlossene Teilmengen durch offene Umgebungen trennen lassen.

U

A

B

V

1.18 Beispiel Metrische Räume erfüllen T4 .

1.1.4 Abzählbarkeitseigenschaften 1.19 Definition: Basis Eine Teilsystem B(X ) ⊂ T(X ) heiße eine Basis der Topologie T(X ) auf X , wenn sich jede offene Menge Q ∈ T(X ) als Vereinigung von Basismengen Bi ∈ B(X ) darstellen lässt, d.h. [ Q= Bi i∈I

Nicht jedes beliebige System B(X ) ⊂ P (X ) von Teilmengen ist als Basis einer Topologie auf X geeignet (Es gibt Schwierigkeiten bei der Durchschnittsbildung, (O2) ist i.a. verletzt). Eine Abschwächung ist 1.20 Definition: Subbasis Eine Subbasis S(X ) für eine Topologie auf X ist eine Menge von Teilmengen von X deren Vereinigung ganz X ist. Die Topologie generiert von der Subbasis S(X ) ist definiert als die Menge T(X ) welche alle endliche Durchschnitte der Elemente von S(X ) enthält. Erst alle endlichen Durchschnitte von Subbasismengen bilden eine Basis einer Topologie auf X . Eine Subbasis kann beliebig vorgegeben werden.


1.21 Definition: 2. Abzählbarkeitsaxiom Z 2 Man sagt, ein topologischer Raum erfüllt das 2. Abzählbarkeitsaxiom Z 2 , wenn seine Topologie eine abzählbare Basis besitzt.

1.22 Beispiel i) Im Rn bilden die offenen Quader ]a 1 ,b1 [ × · · · × ]an ,bn [ mit rationalen ai ,bi ∈ Q (oder die Umgebungen U1/n (a) mit n ∈ N, a ∈ Q) eine abzählbare Basis der natürlichen Topologie Tnat . Benutzt wird wesentlich, dass Q dicht in R liegt. ii) Ein diskreter überabzählbarer Raum (X , Tdis (X )) besitzt keine abzählbare Basis. Diese müsste alle offenen Einermengen {x } (x ∈ X ) erzeugen .

1.23 Definition: Umgebungsbasis Ein Teilsystem B(x ) ⊂ U (x ) des Umgebungssystems eines Punktes x ∈ X heißt eine Umgebungsbasis von x , wenn jede Umgebung U ∈ U (x ) eine Basisumgebung B ∈ B(x ) enthält.

1.24 Definition: 1. Abzählbarkeitsaxiom Z 1 Ein topologischer Raum erfüllt das 1. Abzählbarkeitsaxiom Z 1 , wenn jeder Punkt eine abzählbare Umgebungsbasis besitzt.

1.25 Beispiel In einem metrischen Raum (X ,d ) besitzt jeder Punkt x ∈ X die abzählbare Umgebungsbasis B(x ) = U1/n (x ) n ∈ N aber nicht unbedingt eine abzählbare Basis der induzierten Topologie. Es gilt aber Z 2 =⇒ Z 1 . Weitere Eigenschaften von Z 2 -Räumen sind • Sie sind separabel, d.h. sie besitzen eine abzählbare dichte Teilmenge. [ So wie Qn ⊂ Rn ]

• Jede offene Überdeckung einer Teilmenge enthält zumindest eine abzählbare Teilüberdeckung. [ vergleiche “kompakt” ]

8


9

1.1.5 Abbildungen zwischen topologische Räume 1.26 Definition: stetig Eine Abbildung f : X → Y zwischen topologische Räume (X , T(X )) und (Y , T(Y )) heißt stetig im Punkt x ∈ X , wenn es zu jeder Umgebung V von f (x ) eine Umgebung U von x mit f (U ) ⊂ V gibt.

U

f

x

f (x ) f (U )

V

i) Bei Abbildung zwischen metr. Räume kann man das übliche ε-δ -Kriterium verwenden. ii) Eine Abbildung f : X → Y ist genau dann (überall) stetig, wenn das Urbild f -1 (Q ) jeder in Y offenen Teilmenge Q ⊂ Y offen in X ist. (Das Bild einer offenen Menge braucht nicht offen zu sein.)

1.27 Definition: Homöomorphismus Ein Homöomorphismus zwischen topologischen Räume (X , T(X )) und (Y , T(Y )) ist eine Bijektion f :X → Y , so dass f und f -1 stetig sind.

Er induziert eine Bijektion T(X ) 3 Q 7→ f (Q ) ∈ T(Y ) der zugehörigen Topologien. Wie in Rn gilt allgemein: Stetige Bilder kompakter Teilmengen eines topologischen Raumes sind wieder kompakt.

1.1.6 (Für uns) Wichtige topologische Sätze 1.28 Satz In einem lokalkompakten Hausdorffraum besitzen jede abgeschlossene Teilmenge A und jeder Punkt y < A disjunkte offene Umgebungen [ “T3 -Eigenschaft” ].

U2

A

y

U1

Beweis. Sei K eine kompakte (also nach Übung 1 auch abgeschlossene) Umgebung von y • Fall 1: A ∩ K = ∅ Dann ist U1 := {K eine offene Umgebung von A und K enthält eine offene Umgebung U2 von y , so dass U1 ∩ U2 = ∅ . • Fall 2: A ∩ K , ∅ Dann ist A ∩ K (siehe Übung 1) ebenfalls kompakt und es gibt disjunkte offene Umge bungen Q 1 ⊃ A ∩ K und Q 2 ⊃ y . Dann ist U1 := Q 1 ∪ {K eine offene Umgebung von A und U2 := Q 2 ∩ K eine Umgebung von y mit U1 ∩ U2 = · · · = ∅ .


10

1.29 Satz: Lemma von Tychonoff A1

Besitzt der Raum zusätzlich eine abzählbare Basis, so ist er sogar normal, d.h. beliebige disjunkte abgeschlossene Teilmengen lassen sich durch offene Umgebungen trennen. [ T3 ∧ Z 2 =⇒ T4 ]

A2 y

Der Beweis ist sehr technisch und wird deshalb hier nicht vorgeführt. Er benutzt wesentlich, dass in einem Z 2 -Raum jede offene Überdeckung einer Menge, eine abzählbare Teilüberdeckung enthält.

1.30 Satz: Urysohnscher Metrisationssatz Jeder normale Hausdorffraum mit abzählbarer Basis ist metrisierbar. (D.h. er besitzt eine Metrik, die seine Topologie erzeugt.)

Beweis. Wir zeigen hier nur die grobe Beweisidee. Man zeigt, dass der Raum X homöomorph zu einem topologischen Teilraum T des “Hilbertswürfels” [0, 1]N (mit seiner natürlichen Topologie) ist. Dann gilt: [0, 1] ⊂: (Rn , Tnat (Rn )) ist metrisierbar H d(x,y) H 1+d(x,y)

] daraus folgt P dass [0, 1]N als abzählbarer Produktraum metrisierbar ist [ setze d ? (x,y) := i∞ 21i d (x,y) ] . Weiter folgt, dass T ⊂: [0, 1]N als topologischer Teilraum metrisierbar ist und dies impliziert dass X (homöomorph zu T ) metrisierbar ist.

[ es existiert sogar eine Metrik d mit ∀x,y : d (x,y) ≤ 1 ; setze d (x,y) :=

Aus den obigen Sätzen folgt lokalkompakt + T2 + Z 2 =⇒ metrisierbar

1.1.7 Definition und Eigenschaften topologischer Mannigfaltigkeiten 1.31 Definition: Topologische Mannigfaltigkeit Eine (reelle) topologische Mannigfaltigkeit ist ein topologischer Raum (M, T(M )) mit den Eigenschaften (1) M ist lokal homöomorph zu einem Zahlenraum Rn , d.h. zu jedem Punkt x ∈ M ex. ein HomöomorU phismus φ : U ⊂ M → UH ⊂ Rn einer offenen Umgebung U von x auf eine offene Menge UH eines Rn (versehen mit der Standard-Topologie)

(2) Die Topologie T(M ) ist hausdorffsch

(3) Die Topologie T(M ) besitzt eine abzählbare Basis

x

H φ U

Rn φ (x )


Eigenschaften • Aus (1) folgt, dass eine topologische Mannigfaltigkeit lokalkompakt ist. • Erst aus (1) + (2) + (3) folgt, dass eine topologische Mannigfaltigkeit metrisierbar ist (dass ihre Topologie nicht allzu pathologisch ist). • Nur lokale Eigenschaften einer topologischen Mannigfaltigkeit können aus lokalen Eigenschaften des Rn abgeleitet werden. [ M sieht lokal aus wie ein Stück eines Rn ]

11

1.2. Definition einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit

12

1.2 Definition einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit Sie ist möglich auf der Grundlage einer topologischen Mannigfaltigkeit (differenzierbare Mannigfaltigkeit = topologische Mannigfaltigkeit + zusätzliche verträgliche Differenzierbarkeitsstruktur). Praktischer ist: Einführung einer Differenzierbarkeitsstruktur auf einer Menge, die dann automatisch eine Topologie induziert. 1.32 Definition: Karte / Koordinatensystem Sei M eine nicht leere Menge. Eine Karte oder ein (lokales) Koordinatensystem der H ⊂ Rn einer TeilmenDimension n ∈ N \ {0} von M ist eine Bijektion φ :U ⊂ M → U H := φ (U ) des Rn . Das n-tupel φ (x ) liefert die ge U von M auf eine offene Menge U Koordinaten x 1 , . . . ,xn eines Punktes x ∈ M bezüglich dieser Karte φ .

1.33 Definition: C r -Diffeomorphismus Sei f eine Abbildung dann definieren wir f C r -Diffeomorphismus : ⇐⇒ f bijektiv mit f und f -1 r -mal stetig differenzierbar.

1.34 Definition: C r -Verträglichkeit und Kartenwechsel Sei M eine nicht leere Menge. Zwei Karten φ :U ⊂ M → UH ⊂ Rn

und

φ 0 :U 0 → UH0 ⊂ Rn

0

von M heißen miteinander C r -verträglich mit r ∈ {0, 1, . . . , ∞,ω} , wenn ihre Definitionsbereiche U und U 0 disjunkt sind oder φ (U ∩ U 0 ) offen in Rn

und

φ 0 (U ∩ U 0 ) offen in Rn

0

sind sowie der Kartenwechsel oder die Koordinatentransformation φ 0 ◦ φ -1 : φ (U ∩U 0) ⊂ Rn → φ 0 (U ∩ U 0 ) ⊂ Rn xi 7→ x 0j x i

0

φ

H U

U U0

φ 0 ◦ φ -1 φ0

H0 U

ein C r -Diffeomorphismus (für r = 0 ein Homöomorphismus) ist.

Rn

Rn0


13

0

i) Zwei Karten φ,φ 0 von M mit U φ ∩U φ = ∅ sind stets C r -verträglich (für alle r ). Deswegen ist die C r -Verträglichkeit von Karten keine Äquivalenzrelation. φ 1 vertr. φ 2 und φ 2 vertr. φ 3 =⇒ 6 φ 1 vertr. φ 3 U φ2

U φ 1 Ärger

U φ3

ii) Die Einschränkung einer Karte auf das Urbild einer offenen Teilmenge ist mit ihr C r -verträglich (für alle r ), genauer: H ⊂ UH offen mit Q := φ -1 Q H , dann ist Sei φ : U ⊂ M → UH ⊂ Rn eine Karte und Q φ U 0 r H φ := φ Q :Q → Q mit φ C -verträglich Q H Q H φ0 U Die Koordinatentransformation ist die Identität. 0

iii) Zwei verträgliche Karten φ,φ 0 mit U φ ∩ U φ , ∅ besitzen die gleiche Dimension, da sonst keine Diffeomorphismen (auch keine Homöomorphismen) existieren können ). (wohl aber stetige Abbildungen

1.35 Definition: C r -Atlas Ein C r -Atlas A (M ) einer Menge M ist ein System paarweise C r -verträglicher Karten von M, deren Definitionsbereiche M überdecken. D.h. [ A (M ) C r -Atlas : ⇐⇒ ∀φ,ψ ∈A(M ): φ,ψ sind C r -vertr. Karten von M und Uφ = M φ∈A (M )

1.36 Definition: Karte verträglich mit C r -Atlas Sei M eine Menge. Eine Karte ψ von M heißt verträglich mit einem C r -Atlas A (M ), wenn A (M ) ∪ ψ wieder ein C r -Atlas von M, also wenn ψ mit jeder Karte aus A (M ) C r -verträglich ist.

1.37 Definition: C r -Struktur Eine C r - (Differenzierbarkeits-) Struktur C (M ) auf M ist ein maximaler (gesättigter) C r -Atlas von M, d.h. ein C r -Atlas, der alle mit ihm verträglichen Karten schon enthält.


14

1.38 Satz Zu jedem C r -Atlas A (M ) einer Menge M gibt es genau eine C r -Struktur C(M ) auf M , die A (M ) enthält, nämlich C (M ) := φ φ ist Karte von M und ist verträglich mit A (M ) ⊃ A (M )

Beweis. “Existenz”: Wir zeigen, dass die obige Menge C(M ) ein C r -Atlas von M ist, sogar ein maximaler. • Je zwei Karten φ 1 ,φ 2 ∈ C(M ) sind miteinander C r -verträglich: U1

φ1

Uφ φ ∈ A (M ) φ2

φ1 ◦

φ -1

φ2 ◦

φ -1

U2 • φi (U1 ∩ U2 ) ist offen in Rni (i = 1, 2) : Für alle φ ∈ A (M ) gilt

H1 ⊂ Rn1 U

Hφ ⊂ Rnφ U

H2 ⊂ Rn2 U

φ 2 ◦ φ -1 1

φ (U1 ∩ U φ ) ,φ (U2 ∩ U φ ) offen in Rnφ [ da φ 1 mit φ und φ 2 mit φ verträglich ] =⇒ φ (U1 ∩ U φ ) ∩ φ (U2 ∩ U φ ) = φ (U1 ∩ U2 ∩ U φ ) offen in Rnφ =⇒ φi ◦ φ -1 (φ (U1 ∩ U2 ∩ U φ )) = φi (U1 ∩ U2 ∩ U φ ) offen in Rni (i = 1, 2) S Wegen M = φ∈A(M ) U φ ist also auch [ φi (U1 ∩ U2 ) = φi (U1 ∩ U2 ∩ M ) = φi (U1 ∩ U2 ∩ U φ ) offen in Rni (i = 1, 2) φ∈A(M )

• φ 2 ◦ φ 1-1 :φ 1 (U1 ∩ U2 ) → φ 2 (U1 ∩ U2 ) ist ein C r -Diffeomorphismus: Zu jedem x i ∈ φ 1 (U1 ∩ U2 ) existiert eine Karte φ ∈ A (M ) mit x := φ 1-1 x i ∈ U φ . Die Einschränkung -1 φ 2 ◦ φ 1-1 = φ 2 ◦ φ -1 ◦ φ 1 ◦ φ -1 :φ 1 (U1 ∩ U2 ∩ U φ ) → φ 2 (U1 ∩ U2 ∩ U φ ) | {z } | {z } C r -diffbar C r -diffbar ist dann in x i C r -differenzierbar. Analog für die Umkehrabbildung φ 1 ◦ φ 2-1 . S • Wegen A (M ⊂ C(M )) ist φ∈C(M ) U φ = M , d.h. C(M ) ist ein Atlas. • Er ist maximal wegen Def.

φ verträglich mit C(M ) =⇒ φ verträglich mit A (M ) ⊂ C(M ) =⇒ φ ∈ C(M ) “Eindeutigkeit”: H ) eine weitere C r -Struktur auf M mit A (M ) ⊂ C(M H ) . Wegen Sei C(M

Def. H ) =⇒ φ verträglich mit A (M ) ⊂ C(M H ) =⇒ φ ∈ C(M φ ∈ C(M )

H ) ⊂ C(M ) , und wegen gilt C(M

H ) ⊂ C(M ) φ ∈ C(M ) =⇒ φ verträglich mit C(M

H ) = C(M ) . sogar C(M

H ) max. C(M

=⇒

H ) φ ∈ C(M


15

Zu einer vorgegebenen C r -Struktur C(M ) auf M suchen wir eine Topologie T(M ) , so dass die Definitionsbereiche aller Karten aus C(M ) offen sind [Existenz klar, setze T(M ) = P (M ) , aber albern]. Eine gröbste Topologie (mit den wenigsten offenen Mengen) ist die von der Basis B(M ) := U φ | φ ∈ C(M ) erzeugte (“initiale”) Topologie. 1.39 Satz Das System B(M ) := U φ | φ ∈ C(M ) der Definitionsbereiche aller Karten einer Differenzierbarkeitsstruktur C(M ) auf einer Menge M bildet eine Basis einer (eindeutig bestimmten) Topologie auf M, die von der Struktur C(M ) induzierte Topologie T(M ) . Jede offene Menge aus T(M ) ist also Vereinigung von Definitionsbereichen von Karten aus C(M ) . Bezüglich dieser Topologie sind alle Karten aus C(M ) Homöomorphismen. Beweis. • Es ist zu zeigen, dass das System B(M ) als Basis einer Topologie T(M ) geeignet ist. Bedingungen dafür sind nach Übung 4 S i) φ∈C(M ) U φ = M (erfüllt!) ii) U1 ,U2 ∈ B(M ) , U1 ∩ U2 , ∅ =⇒ U1 ∩ U2 ∈ B(M ) Seien also U1 ,U2 Definitionsbereiche von Karten φ 1 ,φ 2 ∈ C(M ) mit U1 ∩ U2 , ∅ . Dann ist etwa φ 1 (U1 ∩ U2 ) offen und damit φ 0 := φ 1 U1 ∩U2 eine mit φ 1 und damit mit sogar ganz C(M ) verträgliche Karte. Da C(M ) maximal, ist φ 0 ∈ C(M ) und U φ0 = U1 ∩ U2 ∈ B(M )

• Jede Karte φ :U ⊂ M → UH ⊂ Rn aus C(M ) ist ein Homöomorphismus, wegen:

i) φ ist stetig (d.h. das Urbild jeder offenen Menge ist offen), denn H ⊂ UH offen =⇒ Q := φ -1 Q H ist Definitionsbereich der Karte φ Q :Q → Q H, Q die (siehe oben) wieder in C(M ) liegt und somit Q ⊂ U offen.

ii) φ -1 ist stetig (d.h. das Bild jeder offenen Menge unter φ ist offen), denn [ Q ⊂ U offen =⇒ Q = Ui mit Karten φi ∈ C(M ) (i ∈ I ) =⇒ i∈I

=⇒

φ (Q ) = φ (Q ∩ U ) =

[ i∈I

φ (Ui ∩ U ) | {z }

offen

offen

Beim Beweis wurde stillschweigend benutzt i) Für offene Teilmengen U ⊂ X eines topologische Raumes (X , T(X )) gilt Q (relativ) offen in U ⇐⇒ Q offen in X ii) [Übung]

[Übung]


16

1.40 Folgerung Die von einer Differenzierbarkeitsstruktur C(M ) auf einer Menge M induzierte Topologie T(M ) lässt sich aus einem Teilatlas A (M ) ⊂ C(M ) gewinnen. Das System ( ) H ) := φ -1 Q H φ ∈ A (M ) , Q H offen ⊂ B(M ) B(M aller Urbilder offener Mengen unter Karten aus A (M ) bildet bereits eine Basis für T(M ).

Beweis. Für jeden Definitionsbereich U ψ ∈ B(M ) einer Karte ψ ∈ C(M ) gilt [ [ φ -1 (φ U ψ ∩ U φ ) Uψ ∩ U φ = Uψ = Uψ ∩ M = | {z } φ∈A(M ) φ∈A(M ) offen

Damit ist jedes H ). B(M

Uψ

und folglich jede offene Menge Q ∈ T(M ) Vereinigung von Mengen aus

1.41 Beispiel: Kreis

    cos t + *  M= t ∈ R    ,sin t - 

H Q

φ1

M

U1

-π U2

Q

φ2

0

0

π 2π

π

H1 ⊂ R U H2 ⊂ R U

φ 1 (U1 ∩ U2 ) = ]-π , 0[ ∪ ]0,π [ offen in R φ 2 (U1 ∩ U2 ) = ]0,π [ ∪ ]π , 2 π [ offen in R   t + 2 π für t ∈ ]-π , 0[ -1 C r -Diffeomorphismus φ 2 ◦ φ 1 (t ) =   t für t ∈ ]0,π [  A (M ) = φ 1 ,φ 2 ist ein 2-kartiger Atlas. Die induzierte Topologie T(M ) ist die Relativtopologie von M ⊂: R2 bezüglich Tnat . 1.42 Beispiel: “Acht”     - cos t + *  M =  sin t t ∈ R   , |sin t | -  

M

U φ

Q

-π

H Q 0

π

H⊂R U

A (M ) = φ ist ein 1-kartiger Atlas. Bezüglich der induzierten Topologie T(M ) ist Q := φ -1 (U2 (0)) offen, aber nicht (relativ) offen in M ⊂: R2 bezüglich Tnat : Es gibt keine offene Menge Qˆ in R2 mit Q = Qˆ ∩ M . Die induzierte Topologie ist feiner als die Relativtopologie.


Noch eine Karte von M ist ψ . φ und ψ sind nicht verträglich, denn

17

M ψ

  t + 2π für t ∈ ]-π , 0[     0 ψ ◦ φ -1 (t ) =  π für t = 0     t für t ∈ ]0,π [  ist unstetig. Die Karten erzeugen unterschiedliche Strukturen.

π

2π

1.43 Beispiel: Gerade mit Doppelpunkt M = (R \ {0}) ∪ {0+ , 0− }

M

Die beiden Karten

  x → 7 x φ + : M \ {0− } → R ,   x →  7 0

  x → 7 x φ − : M \ {0+ } → R ,   x →  7 0

für x , 0+ für x = 0+ für x , 0−

für x = 0−

bilden einen C ∞ -Atlas A (M ). Die induzierte Topologie T(M ) ist nicht hausdorffsch: 0+ und 0− lassen sich nicht durch offene Umgebungen trennen. ( =⇒ M nicht metrisierbar) 1.44 Beispiel: Die Prüfersche Fläche H := R3 bilden die Karten Auf M φHz :

R3

R2

→ (z ∈ R) (x,y,z) → (x,y) 7

einen überabzählbaren C ∞ -Atlas (aus 2-dim. Karten). BezügH ) besitzt M H überabzähllich der induzierten Topologie T(M bar viele Zusammenhangs-Komponenten; insbesondere gibt es keine abzählbare Basis der Topologie. Durch geeignete “Verklebungen” der Halbräume ( ) Hz := (x,y,z) ∈ R3 y > 0

H zusammenhängend gemacht werden. kann M Konstruktion:  [   A := (x,y) y > 0  M := A ∪ Bz mit   Bz := (x,y,z) y ≤ 0 z∈R 

H = R3 M

y x

y M

x


18

Für alle z ∈ R definieren wir Parametrisierungen fz :

Parameterlinien:

R2

→ A ∪ Bz ⊂ M    (x,y,z) ∈ Bz , falls y ≤ 0 (x,y) 7→    (z + x · y,y) ∈ A , falls y > 0 

y

R2

v =y

M

A

fz

x

u

z

φz

Bz Diese liefern Karten φz :=

fz-1

2

:A ∪ Bz → R ,

   (u,v)  (u,v,z) ∈ Bz 7→   (u,v) ∈ A 7→ 1 (u − z) ,v v 

, falls v ≤ 0

, falls v > 0

Sie sind miteinander verträglich, denn für z , w gilt auf (A ∪ Bz ) ∩ (A ∪ Bw ) = A [ mit φz (A) ,φw (A) offen ] ! z −w -1 ,y (C ∞ -Diffeomorphismus da y > 0) φw ◦ φz (x,y) = x + y A (M ) := φz z ∈ R bildet also einen überabzählbaren C ∞ -Atlas. Induzierte Topologie T(M ): Es genügt rechteckige Basisumgebungen mittels φz-1 bzw. fz vom R2 nach M zu übertragen: y

R2

M fz

0

a

b

x

φz

v =y

A z + ay

z

z + by u

Bz


19

Eigenschaften des topologischen Raumes (M, T(M )): A

i) M ist (bogenweise) zusammenhängend (klar)

z w Bz /Bw

ii) M ist hausdorffsch ◦ Zwei Punkte, von denen einer in A oder in einem Bz liegt, lassen sich offensichtlich trennen A

Bz Kritische Fälle sind Punkte, die beide auf einer Grenzgerade y = 0 liegen. Fall 1.

(x 1 , 0,z) , (x 2 , 0,z) ,x 1 , x 2 x1

A

x2 z

Fall 2.

Bz

(x 1 , 0,z 1 ) , (x 2 , 0,z 2 ) ,z 1 , z 2 a

A

ε z1

b Bz 1

z2

a

z 1 + bε < z 2 + aε =⇒ ε
r

(

F (U ) = y ∈ V yr +1 = · · · = yn = 0 !

)

FD = i ◦ p UH : UH ⊂ Rm → VH ⊂ Rn

mit der Koordinatenprojektion

p : Rm → Rn ,

x 1 , . . . ,x m 7→ x 1 , . . . ,x n

und der Koordinateneinbettung i : Rr → Rn ,

x 1 , . . . ,x r 7→ x 1 , . . . x r , 0, . . . , 0

wobei die Koordinatenumgebungen UH, VH jeweils quaderförmig angenommen werden können.

2.3. Immersionen, Einbettungen, Untermannigfaltigkeiten

40

Wir brauchen an sich nur die 2.24 Folgerung Jede Immersion F :M → N

(mit r = m = dim M ≤ dim N = n)

lässt sich lokal durch die Koordinateneinbettung FD = i |UH : x 1 , . . . ,x m 7→ x 1 , . . . ,x m , 0, . . . , 0

darstellen,

jede Submersion

F :M → N

(mit m = dim M ≥ dim N = n = r )

durch die Koordinatenprojektion FD = p UH : x 1 , . . . ,x n , . . . ,x m 7→ x 1 , . . . ,x n . Ergebnis: Jede Immersion / Submersion lässt sich durch geschickte Koordinatenwahl lokal trivialisieren. Auf der nächsten Seite, werden die Fälle für m,n ≤ 2 veranschaulicht.


41

Veranschaulichungen 1

m = n = 2, r = 1 M

U

F (U )

F

F (M )

F (x 0 )

x0

φ

H U

0

2

ψ FD = i ◦ p

ψ(F (U )) 0

x 1 , x 2 7→ x 1 , 0

N

V

H V

ψ(F (M ))

m = r = 1, n = 2 (Immersion) F (U )

M

F

U

F (M )

N

V

F (x 0 )

x0 ψ

φ H U

0

3

FD = i

x 7→ (x , 0)

ψ(F (U )) 0

H V

ψ(F (M ))

m = 2, n = r = 1 (Submersion) U

M F

x0

F (M )

F (x 0 ) φ

0

N

H U

FD = p

x 1 , x 2 7→ x 1

V = F (U )

ψ

0

H = ψ(F (U )) V


42

Beweis. [des Rangsatzes] Sei F : M → N eine C s -Abbildung (s ≥ 1) mit rg dF = r ≤ min {m,n} in der Umgebung von x0 ∈ M . i) Rückführung auf ein Problem der reellen Analysis Es existieren zunächst Karten φ 0 :U 0 ⊂ M → UH0 ⊂ Rm ψ 0 :V 0 ⊂ M → VH0 ⊂ Rn

mit φ 0 (x 0 ) = 0 mit F U 0 ⊂ V und ψ 0 (F (x 0 )) = 0 ,

so dass die lokale Darstellung

0 FD : UH0 ⊂ Rm → VH0 ⊂ Rn

(0 7→ 0)

C s -differenzierbar mit rg D FD0 = r in der Umgebung von 0 ∈ UH0 .

ii) Anwendung des Rangsatzes für C s -Abbildungen (s ≥ 1) f :G ⊂ Rm → H ⊂ Rn

(0 7→ 0)

f

hier f = FD0

g

Er liefert die Existenz einer offenen Umgebung U ⊂ G von 0 ∈ Rm und eines C s Diffeomorphismus д :U ⊂ Rm → UH ⊂ Rm mit д(0) = 0

und die Existenz einer offenen Umgebung V ⊂ H von 0 ∈ Rn mit f (U ) ⊂ V und eines C s -Diffeomorphismus

so dass die Abbildung durch gegeben ist, wobei sogar

h :V ⊂ Rn → VH ⊂ Rn

mit h(0) = 0

fH = h ◦ f ◦ д-1 : UH ⊂ Rm → VH ⊂ Rn

xH1 , . . . ,H x m 7→ xH1 , . . . ,H x m , 0, . . . , 0 | {z } n−r

) ! ( f (U ) = y ∈ V hr +1 (y) = · · · = hn (y) = 0

[ Zum Beweis siehe iv]

In unserem Falle existieren also Diffeomorphismen

mit wobei

д : UH00 ⊂ UH0 ⊂ Rm → UH ⊂ Rm h : VH00 ⊂ VH0 ⊂ Rn → VH ⊂ Rn FH := h ◦ FD0 ◦ д-1 ,

(0 7→ 0) 0 7→ 0 und FD0 UH00 ⊂ VH00

x 1 , . . . ,x m 7→ x 1 , . . . ,x r , 0, . . . , 0 | {z } n−r

yH ∈ FH0 UH00 ⇐⇒ yH ∈ VH00 ∧ hr +1 (H y ) = · · · = hn (H y) = 0

iii) Rücktransformation auf die Mannigfaltigkeiten: Setze U := ψ 0-1 UH00 , V := ψ 0-1 VH00 und

φ := д ◦ φ 0 U :U → UH

Beides sind zulässige Karten mit

,

offen in M bzw. N

ψ := h ◦ ψ 0 V :V → VH

φ (x 0 ) = 0, ψ (F (x 0 )) = 0 und F (U ) ⊂ V

⇔ FD0 UH00 ⊂ VH00 .


43

Die lokale Darstellung von F bezüglich dieser Karten ist FD = ψ ◦ F ◦ φ -1 = h ◦ ψ 0 ◦ F ◦ φ 0-1 ◦ д-1 = h ◦ FD0 ◦ д-1 = FH , wobei

y ∈ F (U ) ⇐⇒ ψ 0 (y) ∈ ψ 0 ◦ F (U ) = ψ 0 ◦ F ◦ φ 0-1 UH00 = FD0 UH00 ⇐⇒ ⇐⇒ ψ 0 (y) ∈ VH00 ∧ hr +1 ψ 0 (y) = · · · = hn ψ 0 (y) = 0 ⇐⇒ ⇐⇒ y ∈ V ∧ ψ r +1 (y) = · · · = ψ n (y) = 0 iv) Beweis des Rangsatzes für C s -Abbildungen f :G ⊂ Rm → H ⊂ Rn

(0 7→ 0)

mit s ≥ 1 , rg D f = r = const in der Umgebung von 0 ∈ G : Ohne Einschränkung sei det

∂ f 1, . . . , ∂ f ∂x 1 , . . . , ∂x r

r!

,0

r ×r

(sont Umnummerierung)

z}|{ REG ?+ Df = * ?, ?

also

a) Definiere

mit

also

д x 1 , . . . ,x m := f 1 (x ) , . . . , f r (x ) ,x r +1 , . . . ,x m =: xH1 , . . . ,H xm *. .. . Dд(x ) = .. .. ..

z

r

}|

∂f 1 ,...,∂f r ∂x 1 ,...,∂x r

m-r

(x )

{ z }| {

?

1

0

,

..

.

1

! ∂ f 1, . . . , ∂ f r (x ) , 0 det Dд(x ) = det ∂x 1 , . . . , ∂x r

   =r        = m-r   -  +/ // // // // /

in der Umgebung von 0 . Der lokale Umkehrsatz liefert: д :U ⊂ G ⊂ Rm → UH ⊂ Rm

(0 7→ 0)

ist ein C s -Diffeomorphismus. b) Betrachte l := f ◦ д-1 : UH ⊂ Rm → Rn . Wegen

! r ∀ : l k (H x ) = f k д-1 (H x ) = дk д-1 (H x ) = xHk

k=1

gilt mit

l xH1 , . . . ,H x m = xH1 , . . . ,H x r ,l r +1 (H x ) , . . . ,l n (H x)

r

*. .. Dl (H x ) = ... .. . ,

n-r }|

z }| { z 1

...

?

{

0

1

∂l r +1 ,...,∂l n ∂H x r +1 ,...,∂H xm

0 7→ 0

,

(H x)

+/ // // // // -

   =r        = m-r   


44

Es ist mit x := д-1 (H x) rg Dl (H x ) = rg (D f (x ) · (Dд(x )) -1 ) = rg D f (x ) = r , | {z } regulär

also ∀µ,ν >r : und damit

∂l µ (H x) = 0 ∂H xν

n ∀ : l µ xH1 , . . . ,H x m = l µ xH1 , . . . ,H x r , 0, . . . , 0 | {z } µ=r +1 m−r ∈ Rn

c) Definiere in einer genügend kleinen Umgebung von 0 h y 1 , . . . ,yn := y 1 , . . . ,yr ,yr +1 − l r +1 y 1 , . . . ,yr , 0, . . . , 0 , . . . . . . . . . , yn − l n y 1 , . . . ,yr , 0, . . . , 0 mit

*. .. . Dh(y) = .. .. ..

r z }| { z n-r }| {

, Der lokale Umkehrsatz liefert wieder: h :V ⊂ H ⊂ Rn → VH ⊂ Rn

1

..

.

?

0

1

1

..

.

1

   =r        = n-r   -  +/ // // // // /

ist ein C s -Diffeomorphismus Durch verkleinern von U bzw. UH erreicht man f (U ) = l UH ⊂ V .

d) Für

(0 7→ 0)

fH := h ◦ f ◦ д-1 = h ◦ l : UH → VH

gilt dann fH xH1 , . . . ,H x m = h xH1 , . . . ,H x r ,l r +1 (H x ) , . . . ,l n (H x) = x r , 0, . . . , 0 , . . . = xH1 , . . . ,H x r ,l r +1 xH1 , . . . ,H x m − l r +1 xH1 , . . . ,H ! = . . . ,l n xH1 , . . . ,H x m − l n xH1 , . . . ,H x r , 0, . . . , 0 = ! = xH1 , . . . ,H x r , 0, . . . , 0 nach (2.1), d.h fH = i ◦ p UH

д

0

h H U

fH

0

H V

(2.1)


45

e) Zur Gestalt der Definitionsbereiche: Die Bildbereiche UH von д und VH von h können offensichtlich quaderförmig angenommen werden (mit VH beginnen!) H × Rn−r p U H ⊂ Rm U 0

Falls setze

fH

0

H ⊂ Rn V

H p U

Rr

H0 = p U H × Rn−r ) ∩ V H V

) ( fH UH $ yH ∈ VH yHr +1 = · · · = yHn = 0

,

VH0 := p UH × Rn−r ∩ VH ,

ebenfalls offen und quaderförmig, sowie V 0 := h -1 VH0 offen im Rn . Dann gilt

y ∈ f (U ) = h -1 ◦ fH ◦ д (U ) = h -1 ◦ i ◦ p UH ⇔ y ∈ V 0 ∧ hr +1 (y) = · · · = hn (y) = 0

1. Anwendung: Immersionen sind lokal Einbettungen 2.25 Satz Jede Immersion F : M → N ist lokal eine Einbettung, d.h. jeder Punkt x 0 ∈ M besitzt eine offene Umgebung U , so dass F |U :U → N eine Einbettung ist. Weiter gilt mit einer geeigneten Karte ψ :U ⊂ N → Rn um F (x 0 ) ( ) F (U ) = y ∈ V ψ m+1 (y) = · · · = ψ n (y) = 0 d.h. F (U ) ist das Nullstellengebilde der Abbildung ψH :V ⊂ N → Rn−m , y 7→ ψH(y) := ψ m+1 (y) , . . . ,ψ n (y)

2.26 Satz Bei einer Einbettung F : M → N existiert zu jedem Punkt x 0 ∈ M eine Karte ψ :V ⊂ N → Rn um F (x 0 ) mit ( ) F (M ) ∩ V = y ∈ V ψ m+1 (y) = · · · = ψ n (y) = 0 . “ F (M ) liegt lokal in N wie der Rm in Rn ”


46

Unterschied • Immersion M

F (U )

F

F (M )

F (x 0 )

V

N ψ

x0

ψ(F (U )) 0

H ⊂ Rn V

ψ(F (M ))

(“Doppelpunkte” und topologische “Grenzpunkte” sind vorhanden, lassen sich aber ausblenden). • Einbettung M

N

V

F

F (M )

ψ

ψ(F (M ) ∩ V ) 0

H ⊂ Rn V

Beweis. [Satz 2.25] Bezüglich der Karten φ,ψ aus dem Rangsatz gilt ψ ◦ F ◦ φ -1 = i |UH , also F |U = ψ -1 ◦ i ◦ φ . Damit ist F |U :U ⊂ M → F (U ) ⊂: V ⊂: N injektiv und offen als Verkettung solcher Abbildungen, denn die Koordinateneinbettung i : UH ⊂ Rm → i UH ⊂: VH ⊂: Rn ist offen wegen

H Q

H U

i

H) i (Q

H V

+ *. H ⊂ UH offen =⇒ i Q H =. Q H × Rn−m ∩ VH// ∩ i Q H relativ offen [ in VH und Rn ] Q .| {z } / Rn , offen im | {z }offen in VH

Beweis. [Satz 2.26] Bezüglich Karten wie oben, gilt: F Einbettung

=⇒ =⇒

F (U ) ist offen in F (M ) ⊂: N =⇒ es ex. offene Menge Vˆ aus N mit F (U ) = F (M ) ∩ VD und o.E. YD ⊂ V


M

F

U

47

ψD := ψ UD ist dann eine zulässige Karte mit

H D V

N

D V

F (M )

ψ

H V

H V

) ! ( F (U ) = F (M ) ∩ VD = y ∈ VD ψDm+1 (y) = · · · = ψDn (y) = 0

2. Anwendung: Eindeutigkeit einer Untermannigfaltigkeit Auf einer Teilmenge M , ∅ einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit N braucht keine Struktur zu existieren, so dass M Untermannigfaltigkeit von N ist (aus topologischen Gründen). Falls aber eine solche existiert, dann ist sie eindeutig bestimmt. Dazu zunächst der 2.27 Hilfssatz M,M und N seien C r -Mannigfaltigkeiten (r ≥ 1), F : M → N eine C r -Immersion und G : M → M stetig. Dann gilt

M

F

N

G

G C r -differenzierbar ⇐⇒ F := F ◦ G C r -differenzierbar

M

F = F ◦G

“Gegenbeispiel”: F (x ) = x 2 , G (x ) = |x | , F (x ) = (F ◦ G)(x ) = x 2 Beweis. Sei x 0 ∈ M . Da F C r -Immersion, existieren Karten φ : U → UH von M um G (x 0 ) und ψ :V → VH von N um (F ◦ G)(x 0 ) mit F (U ) ⊂ V und ψ ◦ F ◦ φ -1 = i |UH . Da G stetig, existiert eine H von M um x mit G U ⊂ U . Für die lokale Darstellung von F = F ◦ G in der Karte φ :U → U 0

Umgebung U von x 0 folgt dann

d.h.,

D D , F = FE ◦ G = ψ ◦ (F ◦ G) ◦ φ -1 = ψ ◦ F ◦ φ -1 ◦ φ ◦ G ◦ φ -1 = i ◦ G

D: Also gilt in U und damit in U :

D DD F D x = G x , 0, . . . , 0 .

D D C r -differenzierbar F C r -differenzierbar ⇐⇒ G

F C r -differenzierbar ⇐⇒ G C r -differenzierbar

Daraus erhält man


48

2.28 Satz Ist M eine nicht-leere Menge, N eine C r -Mannigfaltigkeit mit r ≥ 1 und F : M → N eine injektive Abbildung, so gibt es höchstens eine C r -Struktur auf M , so dass F : M → N eine C r -Einbettung ist.

Spezialfall Auf einer nicht-leeren Teilmenge M einer C r -Mannigfaltigkeit N (r ≥ 1) existiert höchstens eine C r -Struktur, so dass M Untermannigfaltigkeit von N ist. Beweis. [Satz 2.28] Seien C(M ), C(M ) zwei solche Strukturen, M und M die zugehörigen (als Punktmengen identische) Mannigfaltigkeiten und F : M → N und F : M → N C r -Injektionen (mit gleichen Werten). Da F : M → N eine Einbettung, F -1 : F (M ) → M stetig, also auch id = F -1 ◦ F : M → M .

M

F

N

id M

F = F ◦ id

Hilfssatz 2.27 liefert: Mit F : M → N ist auch id : M → M C r -differenzierbar. Vertauschen von M und M zeigt, dass id : M → M sogar ein C r -Diffeomorphismus ist. Folglich sind auch alle lokalen Darstellungen D = φ ◦ id ◦ φ -1 = φ ◦ φ -1 id

mit φ ∈ C(M ) , φ ∈ C(M )

C r -Diffeomorphismen. Damit sind die Strukturen C(M ) und C(M ) miteinander C r -verträglich und, da maximal, sogar identisch.

3. Anwendung: Kennzeichnung von Untermannigfaltigkeiten 2.29 Satz Sei N eine n-dimensionale C r -Mannigfaltigkeit mit r ≥ 1 . Eine nicht-leere Teilmenge M ⊂ N ist genau dann eine m-dimensionale C r -Untermannigfaltigkeit von N (wobei m ≤ n) , wenn um jeden Punkt x 0 ∈ M eine Karte ψ :V ⊂ N → VH ⊂ Rn

aus der Struktur C(N ) existiert mit ( ) M ∩ V = x ∈ V | ψ m+1 (x ) = · · · = ψ n (x ) = 0

Eine solche Karte heißt Schnittkarte von N für die Untermannigfaltigkeit M . M

N


49

Eine m-dimensionale Untermannigfaltigkeit einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit N ist also lokal Nullstellenmenge einer Abbildung ψH :V → Rn−m , x 7→ ψ m+1 (x ) , . . . ,ψ n (x ) . Umgekehrt definiert jede solche lokale Nullstellenmenge eine Untermannigfaltigkeit.

Beweis. (“ =⇒ ”): Klar nach Satz 2.26. Setze F (M ) = i (M ) = M (“⇐=”): Jede Schnittkarte ψ :V ⊂ N → VH ⊂ Rm von N für M liefert eine Karte φ :U := M ∩ V → UH ⊂ Rm , x 7→ ψ 1 (x ) , . . . ,ψ m (x ) von M. Die C r -Verträglichkeit von Schnittkarten ψ ,ψ 0 liefert: ψ 0 ◦ ψ -1 :ψ V ∩ V 0 → ψ 0 V ∩ V 0 ,

(y α ) 7→ y 0β (y α )

ist ein C r -Diffemorphismus, also auch die Abbildung ψ M ∩ V ∩ V 0 3 yi , 0 7→ y 0k yi , 0 , 0 ∈ψ 0 M ∩ V ∩ V 0 . Weglassen der überflüssigen Nullen zeigt, dass auch der Kartenwechsel φ 0 ◦ φ -1 :φ U ∩ U 0 → φ U ∩ U 0 , yi 7→ y 0k yi in M ein C r -Diffemorphismus ist. Damit ist auf M ein C r Atlas definiert. Bezüglich der induzierten Struktur ist die r Inklusion i : M → N eine (injektive) C -Immersion, denn lokal gilt D i yi = ψ ◦ i ◦ φ -1 yi = yi , 0 , also rg DD i =m . Es bleibt zu zeigen, dass die induzierte Topologie T(M ) H ⊂ UH ⊂ Rm ofdie Relativtopologie bezüglich N ist. Sei Q H eine Basismenge aus T(M ). Dann ist fen und B := φ -1 Q H × Rn−m ∩ VH offen in Rn und es gilt B = ψ -1 (Q ) ∩ M Q := Q

mit der offenen Menge ψ -1 (Q ) aus T(N ). Damit ist eine Basismenge B relativ offen und damit jede Menge aus T(M ).

ψ -1 (Q ) V B

ψ H Q

U

M

φ Q

H ⊂ Rn V

H ⊂ Rm U

4. Anwendung: Konstruktion von Untermannigfaltigkeiten Unter bestimmen Regularitätsvoraussetzungen sind bei einer differenzierbaren Abbildung F : M → N die Urbilder F -1 (y0 ) von Punkten y0 ∈ N Untermannigfaltigkeiten von M . 2.30 Definition: regulärer Wert / kritischer Wert Sei F : M → N eine differenzierbare Abbildung zwischen Mannigfaltigkeiten. Ein Punkt y ∈ F (M ) ⊂ N heißt regulärer Wert von F , wenn F in jedem Urbild x ∈ F -1 (y) (mit F (x ) = y) regulär ist, andernfalls ein kritischer Wert.

Jetzt gilt


50

2.31 Satz: Satz vom regulären Wert Ist y0 ∈ F (M ) regulärer Wert einer C r -Abbildung F : M → N mit r ≥ 1 und m = dim M ≥ dim N = n , so ist die Urbildmenge F -1 (y0 ) eine C r -Untermannigfaltigkeit von M der Dimension m − n . Spezialfall: Bei einer Submersion F : M → N sind alle Urbildmengen F -1 (y0 ) mit y0 ∈ F (M ) Untermannigfaltigkeiten von M . Beweis. Ist F in x 0 ∈ F -1 (y0 ) regulär, so besitzt dF x 0 in einer ganzen Umgebung von x 0 den Höchstrang n. Also gibt es nach dem Rangsatz • eine Karte φ :U ⊂ M → UH ⊂ Rm um x 0 mit φ (x 0 ) = 0

• eine Karte ψ :V ⊂ N → VH ⊂ Rn um y0 = F (x 0 ) mit F (U ) ⊂ V und ψ (y0 ) = 0 ,

so dass

FD = ψ ◦ F ◦ φ -1 : UH ⊂ Rm → VH ⊂ Rn gerade die Koordinatenprojektion p : x 1 , . . . ,x n , . . . ,x m 7→ x 1 , . . . ,x n ist. M

U

x0 F

φ 0

-1 (y

V

F

0)

N

y0

H⊂ U

Rm

ψ

FD = p

0

H ⊂ Rn V

Jetzt gilt x ∈ F -1 (y0 ) ∩ U ⇐⇒ x ∈ U ∧ F (x ) = y0

⇐⇒ x ∈ U ∧ p(φ (x )) = ψ ◦ F ◦ φ -1 (φ (x )) = ψ (F (x )) = ψ (y0 ) = 0 ⇐⇒ x ∈ U ∧ φ 1 (x ) = · · · = φ n (x ) = 0 .

φ ist also (bei anderer Koordinatennummerierung) eine Schnittkarte von M für F -1 (y0 ) . Satz 2.29 liefert: F -1 (y0 ) ist eine (m − n)-dimensionale Untermannigfaltigkeit von M . 2.32 Beispiel Die n-Sphäre S n ⊂ Rn+1 ist Urbild F -1 (0) unter der C ∞ -Abbildung F :R

n+1

→R,

n+1 X 2 i x 7→ xi − 1 . i=1

0 ∈ R ist regulärer Wert von F , denn grad F x i = 2x 1 , . . . , 2x n+1 hat auf S n = F -1 (0) den maximalen Rang 1 . Damit ist die S n eine n-dimensionale C ∞ -Untermannigfaltigkeit des Rn+1 , in diesem “eingebettet”.

2.4. Einbettungen in einem flachen Raum RN

51

2.4 Einbettungen in einem flachen Raum RN Man kann jede (echte) differenzierbare Mannigfaltigkeit in einem RN einbetten. Die stärkste Aussage macht der 2.33 Satz: Einbettungssatz von WHITNEY (1936) Jede n-dimensionale C ∞ -Mannigfaltigkeit lässt sich als abgeschlossene Untermannigfaltigkeit in den R2n+1 einbetten.

2.34 Beispiel Die “Acht” passt als Untermannigfaltigkeit in den R3 .

Wir beweisen nur eine “schwache” Version 2.35 Satz Jede kompakte C r -Mannigfaltigkeit mit 1 ≤ r ≤ ∞ lässt sich C r -differenzierbar in einem RN einbetten. Beweis. Sei M eine m-dimensionale kompakte C r -Mannigfaltigkeit. Zu jedem x ∈ M wählen wir eine Karte φ :U ⊂ M → UH ⊂ Rm mit φ (x ) = 0 und K 1 := {x ∈ Rm | |x | ≤ 1} ⊂ UH . U ⊂M

φ

W x

H ⊂ Rm U

K1 0 K 1/2

V

f f

1 0

Setze V := φ -1 (K 1 ) und W := φ -1 K 1/2 . Das System {Wx | x ∈ M } bleibt eine offene Überdeckung von M und es existiert eine endliche Teilüberdeckung {W1 , . . . ,WN }. Die zugehörigen Karten seien für i = 1, . . . , N φi :Ui → UHi

mit φi (Vi ) = K 1 und φi (Wi ) = K 1/2

Sei jetzt f : Rm → R eine C ∞ -Funktion mit f (D x) = 1 f (D x) = 0 f (D x ) ∈ ]0, 1[

1 für xD ≤ 2 für xD > 1

für

1 < xD < 1 2

d.h. xD ∈ K 1/2

d.h. xD ∈ {K 1

-1

-1/2

0

1/2

1


52

(Eine analytische Funktion mit dieser Eigenschaft gibt es nicht!) Sie liefert für i = 1, . . . , N C r -Abbildungen    f (φi (x )) x 7→   0 

fi : M → R , Definiere jetzt die C r -Abbildung

für x ∈ Ui

für x ∈ M \ V i

.

F : M → RN × (Rm ) N = RN x 7→ ( f 1 (x ) , . . . , f N (x ) ;ψ 1 (x ) , . . . ,ψ N (x )) mit

   fi (x ) · φi (x ) ψi (x ) =   0 

also

ψDi (D x ) = f (D x ) · xD

Es gilt

für x ∈ Ui

,

sonst

für xD ∈ UHi .

i) F ist injektiv Sei F (x ) = F (y) , also insbesondere n

∀ : fi (x ) = fi (y) .

i=1

Dann liegen x und y in einer gemeinsamen Umgebung W k mit einem k ∈ {1, . . . , N } , denn x ∈ W k und y < W k =⇒ fk (x ) = 1 , fk (y) . Aus ψk (x ) = ψk (y) folgt dann wegen

fk (x ) = fk (y) = 1 φk (x ) = φk (y) , also x = y . ii) F ist regulär Sei etwa x 0 ∈ Wk . Wir benutzen die Karte φk :Uk → UHk . In der Umgebung von x 0 gilt dann

(k )

(k )

F (x ) = ( f 1 (x ) , . . . , 1 , . . . , f N (x ) ;ψ 1 (x ) , . . . , φk (x ), . . . ,ψ N (x )) =⇒ FD(D x ) = F ◦ φk-1 x 1 , . . . ,x m = . . . ; . . . , x 1 , . . . ,x m , . . .

und dies impliziert

*. D DF (D x ) = .. . ,

1

..

.

1

+/ // / -

            

=m , also rg DFD(D x) = m .

Zusammen ist also F eine injektive C r -Immersion. Zu zeigen bleibt: F : M → F (M ) ⊂: RN ist auch offen, also ein Homöomorphismus. Dies liefert der folgende topologische


53

2.36 Hilfssatz Sei X ein kompakter topologischer Raum, Y ein topologischer Hausdorffraum und F :X → Y eine stetige Bijektion. Dann ist F auch offen, also sogar ein Homöomorphismus. Beweis. Sei Q offen in X , also A := X \ Q abgeschlossen. Da X kompakt, ist auch A kompakt (siehe Übung 1), ebenso F (A) ⊂ V , da f stetig. Weil Y ein Hausdorffraum, ist F (A) auch abgeschlossen in Y (siehe Übung 1), also f bij.

f (Q ) = f (X \ A) = f (X ) \ f (A) = Y \ f (A) offen in Y .

2.37 Folgerung Eine injektive Immersion einer kompakten Mannigfaltigkeit ist automatisch eine Einbettung.

2.38 Beispiel: Die Projektive Ebene P2 Sie entsteht aus der affinen Ebene R2 durch Hinzunahme einer “Ferngeraden”, damit sich alle Geraden, eventuell “im Unendlichen”, auf dieser Ferngeraden schneiden. ( ) ( ) ∧ ( ) P2 := x,y,z (x,y,z) ∈ R3 \ {0} = x,y,z (x,y,z) ∈ S 2 = {x, -x } | x ∈ S 2 .

Die Karten

y z y z φ x : x,y,z = 1, , 7→ , ∈ R2 x x! " x x# x z x z φy : x,y,z = , 1, 7→ , ∈ R2 y y y y x y x y φz : x,y,z = , , 1 7→ , ∈ R2 z z z z

machen P2 zu einer 2-dimensionalen C ∞ -Mannigfaltigkeit. Eigenschaften i) P2 ist nicht in den R3 einbettbar Weglassen überflüssiger Diametralpunkte auf der S 2 liefert eine Halbkugel, bei der Diametralpunkte auf dem Äquatorkreis zu “verkleben” sind. Dies ist im R3 ohne Selbstdurchdringungen nicht möglich. ii) P2 ist in den R4 einbettbar

(wobei x , 0) (wobei y , 0) (wobei z , 0)


54

Die Abbildung 2

4

f :P → R ,

! 1 2 2 x,y,z 7→ y · z,z · x,x · y, · x − y 2

ist wohldefiniert, injektiv, regulär, also eine Einbettung, da P2 kompakt. iii) Es existiert eine Immersion der P2 in dem R3 Projektion der Einbettung f auf die ersten 3 Koordinaten liefert die Steinersche Römerfläche (Jakob Steiner 1838). Diese besitzt aber 6 Singularitäten (keine Immersion!) Parameterdarstellung:

д : P2 → R3 ,

x,y,z 7→ (y · z,z · x,x · y) .

”Glätten” dieser Spitzen liefert die Boysche Fläche. (Werner Boy 1901, sollte zeigen, dass es keine Immersion gibt). Explizite Parameterdarstellung erst 1978. Eine Variante der Römerfläche ist die Kreuzhaube, ebenfalls mit Singularitäten. iv) P2 ist nicht orientierbar Veranschaulichung

Halbkugel

abgeschlossene Kreisscheibe

enthält ein Möbiusband

Ergänzungen • Jeder projektive Raum Pn ist in den R2n einbettbar. • Jeder projektive Raum P2n+1 ist orientierbar (siehe Übung für n = 1) • Jeder projektive Raum P2n ist nicht orientierbar.

3

Tangentialbündel und andere Faserbündel 3.1 Das Tangentialbündel Die Tangentialräume Tx M einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M in verschiedenen Punkten x ∈ M sind definitionsgemäß disjunkt (sieht man von Identifikationen in trivialen Mannigfaltigkeiten ab). Ihre Vereinigung [ • TM := Tx M x ∈M

kann in natürlicher Weise mit einer Differenzierbarkeitsstruktur versehen werden Tx M TM

X

U

π x

H × Rm U

φ

M

xi

U

3.1 Satz M sei eine m-dimensionale C r -Mannigfaltigkeit mit m r ≥ 1 , [ • Tx M TM := x ∈M

die (disjunkte) Vereinigung ihrer Tangentialräume und π : TM → M , die natürliche Projektion. Dann gilt:

xi , X i

X ∈ Tx M 7→ x ∈ M

H U

Rm

3.1. Das Tangentialbündel

56

i) Eine Karte

m φ : U ⊂ M → UH ⊂ R x 7→ x i

von M induziert eine Karte

m 2m φ : U := π -1 (U ) ⊂ TM → UH × R ⊂ R Pm i ∂ X = i=1 X · ∂x i 7→ x i ,X i x

von TM der Dimension 2m, genannt die zu φ assoziierte Karte. Die Menge A (TM ) := φ φ ∈ C(M )

aller assoziierten Karten bildet einen C r −1 -Atlas von TM, wodurch TM zu einer 2mdimensionalen C r −1 -Mannigfaltigkeit wird, genannt das Tangentialbündel von M. ii) Die Projektion π : TM → M ist für r ≥ 2 eine C r −1 -Submersion. Die einzelnen Fasern Tx M := π -1 (x ) bilden dann also jeweils eine C r −1 -Untermannigfaltigkeit von TM . Beweis. i) Für assoziierte Karten φ,φ 0 gilt: 0 φ U ∩ U = φ U ∩ U 0 × Rm ist offen in R2m . φ,φ 0 sind C r −1 -verträglich, denn für die Koordinatentransformation 0 0 φ 0 ◦ φ -1 :φ U ∩ U = φ U ∩ U 0 × Rm → φ 0 U ∩ U 0 × Rm = φ 0 U ∩ U gilt nach Satz 2.11 iii) m m m X X -1 ∂ ∂ φ 0 * 0k j X ∂x 0k j i + i 0k i i φ = → 7 X = 7 x x , x ·X x ,X → X · X · ∂x i x ∂x i ∂x 0k x , i=1 k=1 i=1

dies ist ein C r −1 -Diffeomorphismus

U

U

0

TM

φ φ

π

0

M

H × Rm U H0 × Rm U

ii) Bezüglich Karten φ,φ gilt für die Projektion π : TM → M: πD = φ ◦ π ◦ φ -1 :φ U = UH × Rm → φ (U ) = UH , x i ,X i 7→ x i .

Sie besitzt also überall Höchstrang m. Demnach ist jeder Punkt x ∈ M regulärer Wert von π . Anwendung von Satz 2.31 liefert das gewünschte.

3.1. Das Tangentialbündel

57

3.2 Folgerung Jede C r -Koordinatentransformation xD 7→ T (D x ) := φ 0 ◦ φ -1 (D x)

induziert im Tangentialbündel die C r −1 -Koordinatentransformation D 7→ T xD, X D = T (D D xD, X x ) , DT (D x ) ·X Der assoziierte Atlas A (TM ) ist im allgemeinen nicht maximal! So wie die punktalen Tangentialräume Tx M können auch die punktalen Differentiale dF : Tx M → TF(x ) N x

einer differenzierbaren Abbildung F : M → N “gebündelt” werden Tx M

TN

TM

X

dF (X ) dF

πM M

x

πN

F

F (x )

N

3.3 Satz M, N seien C r -Mannigfaltigkeiten mit r ≥ 1 und F : M → N eine C r -Abbildung. Dann ist dF : TM → TN , eine C r −1 -Abbildung mit der Eigenschaft

X 7→ dF (X ) := dF π M(X ) (X )

π N ◦ dF = F ◦ πM

(Fasertreue) ,

genannt das Differential von F . Beweis. Für assoziierte Karten

φ :U → UH × Rm ,

ψ :V → VH × Rn ,

(mit F (U ) ⊂ V =⇒ dF U ⊂ V ) gilt:

X 7→ x i ,X i

Y 7→ (y α ,Y α )

L = ψ ◦ dF ◦ φ -1 : UH × Rm → VH × Rn dF m m X X dF | x φ -1 ψ ∂ FDµ j ∂ i i i ∂ (X ) x ,X 7→ X = X x 7 → → 7 dF = x i i µ ∂x x ∂x ∂y F(x ) i=1 i=1 m X ψ ∂ FDµ j i + µ j * D 7→ F x , x ·X i ∂x , i=1 L xD, X D = FD(D D Diese Abbildung ist C r -differenzierbar. Es gilt also dF x ) , D FD(D x ) ·X

3.2. Andere Vektorraumbündel

58

3.2 Andere Vektorraumbündel Die Konstruktion einer Differenzierbarkeitsstruktur auf dem Tangentialbündel kann fast wörtlich auf andere Vektor(raum)-Bündel übertragen werden. 3.4 Definition: Vektorraumbündel (E, M, π ) Ein Vektorraumbündel (E, M, π ) besteht aus • einem Basisraum M

[ = m-dim. differenzierbare Mannigfaltigkeit ] • S

• einem Bündelraum E =

Ex

[ = disjunkte Vereinigung N -dim. VR Ex ]

x ∈M

• einer (surjektiven) Projektion π : E → M mit Fasern Ex = π -1 (x )

für x ∈ M

so dass gilt: • Jede Karte φ von M induziert für x ∈ U φ eine (wohlbestimmte) Basis (e 1 |x , . . . , e N |x ) von Ex und • jede Koordinatentransformation φ 0 ◦ φ -1 in M induziert für x ∈ U φ ∩ U φ0 eine (wohlbestimmte) – Basistransformation e I |x =

N X K=1

aKI x i · eK0

x

– also auch eine (lineare) Koordinatentransformation der Gestalt N X I 0K i J * X 7→ X x ,X = aKI x i · X I + , , I =1 -

d.h.

D0 xD, X D = A(D D X x ) ·X

Ex

D = T (D D T xD, X x ) ,A(D x ) ·X

bzw.

E X

U

π x

D xD, X

M U

H ⊂ RN U T

φ xD

H ⊂ Rm U

T

D0 xD0 , X xD0

Zur Konstruktion von Beispielen machen wir einen Ausflug in die multilineare Algebra.


59

Ausflug in die multilineare Algebra [Zunächst einmal eine meist ausreichende “Schmalspur”-Fassung] Gegeben: • Vektorraum V (über R) mit dim V = m, Basis (e 1 , . . . ,em ) P k • Basisdarstellung von X ∈ V : X = m k=1 X · ek Eine Basistransformation ek =

m X l=1

alk · el0

liefert eine (kontravariante) Koordinatentransformation

X 0l =

m X

k=1

al · X k k

f g D0 = A· X D X

Aus V lassen sich eine Reihe weiterer Vektorraumkonstruktionen mit induzierten Basen und induzierten Koordinatentransformation erzeugen.

0. Dualraum V ? von V Der Dualraum von V ist der Vektorraum aller Linearformen auf V , d.h. V ? := L(V ; R) = ξ :V → R ξ linear

Induzierte Dualbasis von V ? : 1 ϑ , . . . , ϑ m , definiert durch ∀i,k : ϑ k (ei ) := δik ,

also dim V ? = m

Basisdarstellung von ξ ∈ V ? :

ξ =

m X

k=1

ξk · ϑ k

mit ξk = ξ (ek )

Die induzierte Basistransformation: 0l

ϑ =

m X

k=1

al · ϑ k k

liefert eine (kovariante) Koordinatentransformation ξk = l -1 bzw. mit a k := alk :

und in Matrix-Notation:

ξ0 = l

ξD0 = A? · ξD

mit

m X

k=1

Pm

k

a l · ξk

T A? := A-1

l l=1 ak

· ξl0


60

1. p-faches Tensorprodukt von V ? Das p-fache Tensorprodukt von V ?, auch kovarianter Tensorraum der Stufe p über V genannt, ist definiert als der Vektorraum aller p-fachen Multilinearformen auf V , d.h. Op V ? := L(V , . . . ,V ; R) = ω :V × · · · × V → R ω p-fach linear | | {z } | {z } p-mal

p-mal

Op

Ein Element aus V ? wird auch kurz als p-Linearform oder p-Form bezeichnet. Spezielle p-Linearformen sind Tensorprodukte ξ 1 · · · ξp

definiert durch

von Linearformen ξ 1 , . . . ,ξ p ∈ V ?

ξ 1 · · · ξp

X 1 , . . . , Xp := ξ 1 (X 1 ) · · · ξ p Xp

Op Induzierte Basis von V? : k ϑ 1 · · · ϑ kp 1 ≤ k 1 , . . . ,kp ≤ m Op also dim V ? = mp . Basisdarstellung einer p-Form ω ∈ ω=

m X

k 1 ,...,kp =1

k k ϑ 1 · · · ϑ kp ei 1 , . . . ,eip := δik11 · · · δipp

mit

Op

V? : ωk1 ...kp := ω ek1 , . . . ,ekp

mit

ωk1 ···kp · ϑ k1 · · · ϑ kp

Die induzierte (p-fach kovariante) Koordinatentransformation lautet:

ω 0l1 ···lp

=

m X

k 1 ,...,kp =1

k1

kp

a l1 · · · a l · ωk1 ···kp p

2. p-fach äußeres Produkt von V ? Das p-fach äußere Produkt von V ? ist definiert als der Vektorraum aller p-fachen alternierenden Multilinearformen auf V , d.h. ^p Op V ? := AL(V , . . . ,V ; R) := ω ∈ V ? ω schiefsymmetrisch | {z } p-mal

Spezielle schiefsymmetrische p-Formen sind äußere Produkte X ξ 1 ∧· · ·∧ξ p := sgn π · ξ π(1) · · · ξ π(p) von Linearformen ξ 1 , . . . ,ξ p ∈ V ? π ∈Sp

mit

ξ 1 ∧· · ·∧ξ p X 1 , . . . ,Xp =

X π ∈Sp

sgn π · ξ π(1) (X 1 ) · · · ξ π(p) Xp = det ξ k (Xi )

ξ 1 (X ) · · · ξ 1 X p 1 . .. = p p ξ (X 1 ) · · · ξ Xp

i,k=1,...,p

=


Induzierte Basis von

also dim

^p

m V? = * + ,p -

^p

Grenzfälle dim

^1

dim

^m−1

dim

^m

V?

V?

V? : k ϑ 1 ∧· · ·∧ϑ kp 1 ≤ k 1 < · · · < kp ≤ m

*m+ ,1-

=

V?

61

m + = * ,m − 1*m+ ,m-

=

=m

1-Formen = Linearformen

=m

(m − 1) - Formen

=1

Determinantenformen

^p Basisdarstellung einer alternierenden p-Form ω ∈ V? : X ω= ωk1 ···kp · ϑ k1 ∧ · · · ∧ ϑ kp 1≤k 1 0

U

berechnen, um genauere Informationen zu

erhalten. Hier taucht der Krümmungstensor auf! Die Bedingung ∇T dt ≡ 0 ist nicht hinreichend für Kürzeste (siehe Großkreis auf einer Kugel), aber doch wenigstens lokal: Wir betrachten noch einmal ( bei festem x ∈ M ) die allgemeine Lösung (charakteristische Funktion, “Fluss”) (t,X ) 7→ cX (t ) des Anfangswertproblems

.

∇c ≡0 dt

und

.

( wobei c (0) = x )

c (0) = X

Sie ist definiert auf der offenen Menge W := { (t,X ) | X ∈ Tx M, t ∈ IX } ⊂ R × Tx M und dort (nach allen Argumenten) C ∞ -differenzierbar. R 1

W

IX

0

Wichtige Eigenschaft:

V

∀α ∈R: c α ·X (t ) = cX (α · t )

Tx M

X

(∗)

Beweis. d d d c α ·X (t ) = α · X = α · cX (t ) = cX (α · t ) dt dt t=0 t=0 dt t=0 und Geodätische mit gleichen Anfangsbedingungen stimmen überein.

4.4. Parallelverschiebung und Geodätische

96

∀α ∈R: t ∈ Iα ·X ⇐⇒ α · t ∈ IX

Es folgt:

(∗∗)

Den Definitionsbereich W und die charakteristische Funktion (t,X ) ∈ W 7→ cX (t ) ∈ M kennt man schon vollständig, wenn die Menge V := {X ∈ Tx M | (1,X ) ∈ W } und die Abbildung

X ∈ V ⊂ Tx M 7→ cX (1) ∈ M

bekannt ist, denn (0) V , ∅ , da (1, 0) ∈ W

(1) (t,X ) ∈ W ⇐⇒ t ∈ IX ⇐⇒ 1 ∈ It ·X ⇐⇒ (1,t · X ) ∈ W ⇐⇒ t · X ∈ V (2) cX (t ) = ct ·X (1) 4.32 Definition: Exponentialabbildung Die in einer offenen Umgebung V von 0 ∈ Tx M definierte C ∞ -Abbildung X ∈ V 7→ expx (X ) := cX (1) ∈ M heißt Exponentialabbildung im Punkt x ∈ M .

• Es gilt also nach (2)

cX (t ) = expx (t · X )

• Zur Bezeichnung In bestimmten Lie-Gruppen [ etwa SO(n, R) ] wird expx tatsächlich durch eine Exponentialreihe dargestellt. • Geometrische Beschreibung ◦

Für X , 0 sei X := |XX | der zugehörige Einheitsvektor. Dann gilt nach (∗) , mit α = |X1 | und t = |X | , expx (X ) = cX (1) = c ◦ (|X |) X

(Bogenlängenparametrisierung!) Man trägt auf der Geodätischen in Richtung X das Stück |X | ab. Jetzt gilt der wichtige

X

x |X |

expx (X )

4.4. Parallelverschiebung und Geodätische

97

4.33 Satz In jedem Punkt x einer C ∞ -Mannigfaltigkeit M ist die Exponentialabbildung expx :U ⊂ Tx M → UH ⊂ M

in einer Umgebung U von 0 ∈ Tx M ein C ∞ -Diffeomorphismus. Beweis. Es genügt zu zeigen, dass e := expx in 0 ∈ Tx M regulär ist, d.h. dass de x : T0 Tx M Tx M → Te(0) M = Tx M

ein Isomorphismus ist; dann Anwendung des lokalen Umkehrsatzes. Für die Abbildung t 7→ e (t · Y ) = cY (t ) (mit Y ∈ Tx M und t genügend klein) gilt nach der Kettenregel d !. d.h. de 0 =id Tx M . [e (t · Y ) ] = de 0 (Y ) =c Y (0) = Y , dt t=0 4.34 Folgerung 1. Jeder Punkt p einer C ∞ -Mannigfaltigkeit M besitzt eine Umgebung UH ⊂ M , so dass jeder andere Punkt q ∈ UH eindeutig durch eine Geodätische erreichbar ist. In dieser Umgebung sind die Geodätischen wirklich kürzeste Verbindungen.

p q

H U

2. Die Umkehrabbildung H ⊂ M → U ⊂ Tp M Rn expp-1 : U

der Exponentialabbildung in einem Punkt p ∈ M definiert eine Karte der Mannigfaltigkeit um p. Die zugehörigen Koordinaten heißen Riemannsche Normalkoordinaten.

4.35 Beispiel Auf der Sphäre S 2 ⊂ R3 kann man für UH eine offene Halbsphäre nehmen. Bemerkung zu 2. Verschärfend liefert das sogenannte “Gauß-Lemma” der Differentialgeometrie: Um jeden Punkt p einer Riemannschen C ∞ -Mannigfaltigkeit existieren geodätische Polarkoordinaten, erzeugt von radialen Geodätischen und dazu orthogonale geodätische Sphären.

5

Übungen 1)

a) Zeigen Sie, dass in einem Hausdorffraum (X , T(X )) jede kompakte Teilmenge K ⊂ X auch abgeschlossen ist, und folgern Sie daraus, dass jede Kompakte Teilmenge K und jeder Punkt y < K disjunkte offene Umgebungen besitzen. b) Beweisen Sie, dass umgekehrt in einem topologischen Raum jede abgeschlossene Teilmenge einer kompakten Menge ebenfalls kompakt ist.

2) Sei (X ,d ) ein metrischer Raum und M ⊂ X eine nicht leere Teilmenge Zeigen Sie: a) Die Abbildung

fM : (X , Td ) → (R, Tnat ) ,

x 7→ fM (x ) = d (x,M ) := inf d (x,y) ∈ R y ∈ M

ist stetig. [ Hinweis: ε-δ -Kriterium! ]

b) Es gilt für Punkte x ∈ X genau dann d (x,M ) = 0 , wenn x in der abgeschlossenen Hülle M von M liegt. Zusatzfrage: Gelten die obigen Aussagen auch in echt quasimetrischen Räume? 3) Folgern Sie aus Aufgabe 2, dass jeder metrische Raum (X ,d ) normal ist, sich also je zwei disjunkte abgeschlossene Teilmengen A1 ,A2 ⊂ X durch offene Umgebungen trennen lassen. Hinweis: Betrachten Sie die Abbildung x ∈ X 7→ f (x ) := d (x,A1 ) − d (x,A2 ) ∈ R Zusatzfrage: Sind echt quasimetrische Räume ebenfalls normal? 4) B = { Bi ∈ P (M ) | i ∈ I } sei ein System von Teilmengen der nicht leeren Menge M mit den Eigenschaften S (1) i∈I Bi = M (2)

∀i,j∈I : Bi ∩ B j , ∅ =⇒ Bi ∩ B j ∈ B

Zeigen Sie, dass dann durch

  [ T(M ) :=  Bi   i∈J 

eine Topologie auf M definiert wird.

  J ⊂ I     

99

5) Auf einer Menge M seien ein Atlas A (M ), eine Karte φ ∈ A (M ) und eine Teilmenge H := φ (Q ) gegeben. Q ⊂ U φ mit offenem Bild Q Zeigen Sie, dass dann die Einschränkung φ 0 := φ Q eine mit ganz A (M ) verträgliche Karte ist. 6) Konstruieren Sie

a) für die n-Sphäre S n ⊂ Rn+1

) ( b) für die Würfeloberfläche W n := x ∈ Rn+1 max {|x 1 | , . . . , |xn+1 | = 1} jeweils einen aus zwei Karten bestehenden C ∞ -Atlas. 7) Konstruieren Sie für den Torus ( 2 T := (x,y,z) ∈ R3

q

x 2 + y2 − b

2

!

2

+z = a

2

) (0 < a < b)

einen möglichst kleinen C ∞ -Atlas aus 2-dimensionalen Karten. Hinweis: Die Karten brauchen nicht explizit angegeben zu werden; es genügen Skizzen.

8) Zeigen Sie: Jede (echte) C r -Mannigfaltigkeit (r ≥ 0), deren Topologie eine abzählbare Basis besitzt, besitzt auch einen mit ihrer C r -Struktur verträglichen abzählbaren (Teil-) Atlas. 9) Beweisen Sie: Für jede offene Teilmenge Q einer C r -Mannigfaltigkeit M (r ≥ 0) mit Differenzierbarkeitsstruktur C(M ) bildet C(Q ) := φ ∈ C(M ) U φ ⊂ Q

eine C r -Struktur auf Q. Die induzierte Topologie T(Q ) ist dabei die Relativtopologie auf Q bezüglich T(M ) .

10) Der reelle projektive Raum Pn besteht aus allen (nicht orientieren) Geraden [x ] := R · x

mit x ∈ Rn+1 \ {0}

durch 0 ∈ Rn+1 . Konstruieren Sie auf Pn einen C ∞ -Atlas aus n-dimensionalen Karten. Hinweis: Betrachten Sie Schnitte mit geeigneten achsenparallelen Hyperebenen. Wem n zu groß ist, der versuche n = 1. 11) Untersuchen Sie, ob die Abbildung F :S 2 → R ,

(x,y,z) 7→ x + y + z ( ) auf der Sphäre S 2 = (x,y,z) ∈ R3 x 2 + y 2 + z 2 = 1 differenzierbar ist. Dabei besitze S 2 die von stereographischen Projektionen erzeugte C ∞ -Struktur.

12) Sei (e 1 , . . . ,en ) eine Basis des reellen Vektorraumes V und φ :x =

n X i=1

x i · ei ∈ V 7→ x i ∈ Rn

die induzierte globale Karte. Zeigen Sie, dass in jedem Punkt x 0 ∈ V der Isomorphismus X =

n X i=1

n X ∂ ∈ Tx 0V 7→ X i · ei ∈ V X · ∂x i x 0 i

i=1

von der speziellen Basiswahl unabhängig ist, Tx 0V also mit V identifiziert werden kann.

100

13)

a) Zeigen Sie, dass in der abgeschlossenen komplexen Ebene C := C ∪ {∞} die beiden Karten φ :x + i · y ∈ C 7→ (x,y) ∈ R2 1 ψ : ∈ C \ {0} 7→ (x,y) ∈ R2 , ψ : ∞ 7→ (0, 0) ∈ R2 x +i ·y einen C ∞ -Atlas bilden, wodurch C zu einer (reellen) C ∞ -Mannigfaltigkeit wird. b) Untersuchen Sie, ob und wie oft die Abbildungen F :z ∈ C 7→

1 ∈C z

und

G :z ∈ C 7→ z ∈ C

differenzierbar sind. c) Berechnen Sie in den Fixpunkten z der Abbildungen F :z 7→

14)

1 ∈C z

bzw.

G :z ∈ C 7→ z 2 ∈ C

die Linearisierungen dF z bzw. dG z und stellen Sie sie koordinatenfrei dar.

a) Schreiben Sie den Rangsatz samt Beweisskizze sinngemäß ab für Abbildungen f :G ⊂ Rm → H ⊂ Rn die speziell Immersionen bzw. Submersionen sind. Wie sind insbesondere die Funktionen д und h zu wählen? b) Versuchen Sie, den Satz über implizite Funktionen der reellen Analysis aus dem Rangsatz für Abbildungen aus dem Rm in den Rn herzuleiten.

15) Bestimmen Sie für den projektiven Raum P3 einen orientierten Atlas, der mit der StandardDifferenzierbarkeitsstruktur verträglich ist. 16) f : M → N sei eine beliebige C 1 -Abbildung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten. Zeigen Sie, dass durch F (x ) := (x, f (x )) eine Einbettung F : M → M × N definiert wird. Dabei sei M × N mit der von Produktkarten φ × ψ : (x,y) 7→ (φ (x ) ,ψ (y))

mit

φ ∈ C(M ) , ψ ∈ C(N )

erzeugten Differenzierbarkeitsstruktur versehen. 17) Beweisen Sie: a) Jede (nichtleere) offene Teilmenge Q einer C r -Mannigfaltigkeit M (r ≥ 1) ist eine C r Untermannigfaltigkeit von M . Wie sehen die Schnittkarten von M für Q aus? b) Ist P Untermannigfaltigkeit von M, M Untermannigfaltigkeit von N , so ist auch P Untermannigfaltigkeit von N .

101

18) Die Funktion f : R2 → R sei gegeben durch 2 f (x,y) = x 2 + y 2 − 4 · x 2 − y 2 . a) Bestimmen Sie das Bild W := f R2 ⊂ R .

b) Bestimmen Sie die Menge K ⊂ W der kritischen Werte von f .

c) Geben Sie für z ∈ K eine explizite Darstellung der Urbildmenge f -1 (z) an (wenn möglich eine Parameterdarstellung) und skizzieren Sie diese.

d) Für welche z ∈ W ist f -1 (z) eine Untermannigfaltigkeit des R2 ? 2

19) Die Menge M (n, R) aller quadratischen (n × n)-Matrizen kann mit Rn identifiziert werden und bildet damit eine C ∞ -Mannigfaltigkeit. Zeigen Sie: a) Die Teilmenge

GL+ (n, R) := A ∈ M (n, R) | det A > 0

ist eine (offene) C ∞ -Untermannigfaltigkeit der Dimension n 2 . ( ) Sym(n, R) := A ∈ M (n, R) | A> = A

b) Die Teilmenge

ist eine C ∞ -Untermannigfaltigkeit der Dimension n · (n + 1) /2 .

c) Die Teilmenge

( ) SO(n, R) := A ∈ M (n, R) | A·A> = E, det A = +1

ist eine C ∞ -Untermannigfaltigkeit der Dimension n · (n − 1) /2 . Hinweis: Die Abbildung f : GL+ (n, R) → Sym(n, R) ,

A 7→ f (A) := A·A>

ist eine Submersion! 20) Beweisen Sie: a) f : Rn+1 → R , x 7→ |x | bezeichne die euklidische Norm. Dann ist die Sphäre S n = f -1 (1) eine C ∞ -Untermannigfaltigkeit von Rn+1 := Rn+1 \ {0} und von Rn+1 . 0 H n ) bezeichnet. ] [ Die zugehörige C ∞ -Struktur sei mit C(S b) C(S n ) sei die von den stereographischen Projektionen φ ± :S n \ {±en+1 } → Rn erzeugte C ∞ -Struktur auf der Sphäre S n ⊂ Rn+1 . 0 Die von diesen Karten induzierten Abbildungen n n+1 ψ ± : V± := Rn+1 \ { ±λ · en+1 | λ > 0} → R 0 ∞[ ⊂ R × ]-1, x 7→ φ ± |xx | , |x | − 1

sind mit der kanonischen Struktur von Rn+1 verträgliche Karten mit der Eigen0 schaft ( ) S n ∩ V± = x ∈ V± | ψ ±n+1 (x ) = 0

c) Auch (S n , C(S n )) ist eine C ∞ -Untermannigfaltigkeit von Rn+1 und Rn+1 . 0

H n ) sind identisch. d) Die Strukturen C(S n ) und C(S

102

21) M sei eine C ∞ -Mannigfaltigkeit und X ,Y : M → TM zwei C ∞ -Vektorfelder. a) Zeigen Sie, dass für jede C ∞ - Funktion f : M → R durch (X f ) x := X |x f

wieder eine C ∞ -Funktion X f : M → R definiert wird mit der lokalen Darstellung (X f ) x =

X i

∂ fD Xi xj · i xj ∂x

b) Iterieren Sie dies, indem Sie das Vektorfeld Y wie unter (a) jetzt auf die Funktion X f : M → R anwenden. Wie sieht Y (X f ) x in lokalen Koordinaten aus? c) Zeigen Sie, dass durch [X ,Y ] ( f ) := Y (X f ) − X (Y f )

für alle C ∞ -Funktionen f : M → R

ein tangentiales C ∞ -Vektorfeld [X ,Y ] : M → TM definiert wird. [ Genannt Kommutator oder Lie-Klammer von X und Y ]

d) Beweisen Sie möglichst ohne Verwendung von lokalen Darstellungen: Der Kommutator von X und Y verhält sich derivativ in beiden Argumenten, d.h. es gilt д·X ,Y = Y (д) · X + д · [X ,Y ] sowie

X ,д · Y = -X (д) · Y + д · [X ,Y ]

für alle C ∞ -Funktionen д auf M .

22) Beweisen Sie koordinatenfrei, dass die Lie-Klammer auf einer C ∞ -Mannigfaltigkeit die Jacobi-Identität [[X ,Y ] ,Z ] + [[Y ,Z ] ,X ] + [[Z ,X ] ,Y ] = 0 erfüllt. 23) (X ,Y ) 7→ ∇Y X sei ein linearer Zusammenhang auf einer C ∞ -Mannigfaltigkeit M . Zeigen Sie, dass durch T (X ,Y ) := ∇Y X − ∇X Y − [X ,Y ] R(Y ,Z ) X := ∇Z ∇Y X − ∇Y ∇Z X − ∇[Y ,Z ]X

Tensorfelder T : X(M ) 2 → X(M ) und R : X(M ) 3 → X(M ) auf M definiert werden, in dem Sie die Homogenität über den C ∞ -Funktionen zeigen (die Additivität ist klar). 24) Berechnen Sie im R3 T (X ,Y ) sowie R(Y ,Z ) X für den linearen Zusammenhang ∇Y X := dY X +

1 ·X ×Y 2

25) Beweisen Sie die folgenden (Schief-) Symmetrien des Krümmungstensors R des LeviCivita-Zusammenhangs ∇ eines Riemannschen Raumes (M,д) : Für beliebige C ∞ -Vektorfelder X ,Y ,Z ,W auf M gilt (1)

R(Y ,Z ) X = -R(Z ,Y ) X

(2)

R(Y ,Z ) X + R(Z ,X ) Y + R(X ,Y ) Z = 0

(3)

(∇X R)(Y ,Z ) W + (∇Y R)(Z ,X ) W + (∇Z R)(X ,Y ) W = 0

(1.Bianchi-Identität) (2.Bianchi-Identität)

26) Zeigen Sie. dass in einer 2-dim. Riemannschen Mannigfaltigkeit für die Gaußsche Krümmung K und die Einsteinsche Skalarkrümmung R gilt: R = 2 · K .

Literaturverzeichnis [Br1]

Bröcker, Theodor Einführung in die Differentialtopologie

[CSS1]

Chern, Shiing-Shen Lectures on Differential Geometry

[Kl1]

Klingenberg, Wilhelm Riemannian Geometry

[Kü1]

Kühnel, Wolfgang Differentialgeometrie

[La1]

Lang, Serge Fundamentals of Differential Geometry

[LJf1]

Lee, Jeffrey M. Manifolds and Differential Geometry

[LJM1] Lee, John M. Introduction to Topological Manifolds [LJM2] Lee, John M. Introduction to Smooth Manifolds [LJM3] Lee, John M. Riemannian Manifolds [M1]

Milnor, John W. Topology from the Differentiable Viewpoint

[Mi]

Michor, Peter W. Topics in Differential Geometry

[N1]

Nicolaescu, Liviu Lectures on the Geometry of Manifolds

[Spivak] Spivak, Michael Introduction to Differential Geometry Vol.1-5

Index Äquivalenz auf DM (x 0 ), 25 Abbildung differenzierbar, 22 Koordinatendarstellung, 22 stetig Abbildung, 9 abgeschlossen, 5 Ableitung klassisch, 24 kovariante Ableitung, 78 Abzählbarkeitsaxiom Z 1 , 8 Algebra Lie-Algebra, 81 Atlas C r -Atlas, 13 orientiert, 21 Bündel Äußere-Produkt-Bündel, 64 Bündelraum, 67 Bündelstruktur, 67 Cotangentialbündel, 64 Faser, 56, 58, 67 Faserbündel, 67 Fasertreue Bündelkarte, 67 G-Verträglichkeit, 67 Graßmann-Bündel, 90 Reperbündel, 71 Schnitt im VR-Bündel, 65 Standardfaser, 67 Tangentialbündel, 56 Tensorbündel, 64 Vektorraumbündel, 58 Bündelraum, 58 Basis, 7 Induzierte Dualbasis von V ?, 59 kanonische Basis von Tx 0 M, 28 natürliche Basis von Tx 0 M, 28 natürliche Dualbasis, 35 Subbasis, 7 Umgebungsbasis, 8 Basisraum, 58, 67 Boysche Fläche, 54

Derivation, 24 Diffeomorphismus C s -Diffeomorphismus, 23 C r -Diffeomorphismus, 12 Differential, 32 einer Abbildung zw. Mfkten., 57 Differentialgeometrie klassische, 24 differenzierbare Abbildung Immersion, 36 regulär, 36 Submersion, 36 Dualbasis natürliche Dualbasis, 35 Dualraum, 59 Dualrelation, 35 Einbettung, 37 Exponentialabbildung, 96 Faser, 56, 58, 67 Faserbündel, 67 Standardfaser, 67 Fasertreue, 57 Feld (Tangential-) Vektorfeld, 65 kovariantes Vektorfeld, 65 Tensorfeld, 65 Variationsfeld, 94 Fluss, 95 Form p-Form, 60 1-Form, 65 Differentialform, 65 Funktionskeim, 25 Menge aller Funktionskeime, 25 stationärer Funktionskeim, 25 Geodäte, 93 geodätisch vollständig, 93 Geodätische, 93 Hilbertswürfel, 10 Immersion, 36

Karte, 12 assoziierte Karte, 56 verträglich mit Atlas, 13 Kartenwechsel, 12 Kommutator, 80 kompakt, 5 kompakte Ausschöpfung, 76 Koordinaten geodätische Polarkoordinaten, 97 Riemannsche Normalkoordinaten, 97 Koordinatendarstellung, 22 Koordinateneinbettung, 39 Koordinatenprojektion, 39 Koordinatensystem, 12 Koordinatentransformation, 12 kontravariant, 59 kovariant, 59 kovariante Ableitung, 78 Krümmung, 81 Gaußsche Krümmung, 91 Skalarkrümmung R, 88 Kreuzhaube, 54 kritischer Wert, 49 Kurve 1.Variation der Länge einer Kurve, 95 Vergleichskurve, 94 Lemma Gauß-Lemma, 97 Lemma von Tychonoff, 10 Ricci-Lemma, 85 Lie Lie-Algebra, 81 Lie-Gruppe, 70 Lie-Klammer, 80 Liesche Transformationsgruppe, 70 linearer Zusammenhang, 78 Linearform p-Linearform, 60 Linearisierung, 32 lokalkompakt, 6 Maßtensorfeld, 74 Mannigfaltigkeit C r -Mannigfaltigkeit, 20 differenzierbare Mannigfaltigkeit, 20 Dimension der Mannigfaltigkeit, 20 Einbettung, 37 Graßmann-Mannigfaltigkeit, 90 immersierte Mannigfaltigkeit, 37 ∞ - dim. Mannigfaltigkeit, 21 komplex-analytische Mfk., 21 konstanter Krümmung, 90 mit Rand, 21

orientierbare differenzierbare Mfk., 21 Prä-Mannigfaltigkeit, 20 reine Mannigfaltigkeit, 20 topologische Mannigfaltigkeit, 10 Untermannigfaltigkeit, 38 Menge aller Funktionskeime, 25 aller stationären Funktionskeime in x 0 ∈ M, 25 diffbarer Abbildungen in x 0 ∈ M, 24 Metrik Lorentz-Metrik, 75 Riemannsche Metrik, 74 metrisch, 85 parallel geodätisch parallel, 85 Produktregel, 27 Projektion, 58, 67 natürliche Projektion, 55 Raum Bündelraum, 67 Basisraum, 67 C ∞ -Funktionen, 75 C ∞ -Vektorfelder, 75 Cotangentialraum T?x M in x, 34 dualer Tangentialraum T?x M in x, 34 Einstein-Raum, 89 Hausdorffraum, 6 lokalkomapkter top. Raum, 6 metrischer Raum, 3 Minkowski-Raum, 75 normaler Hausdorffraum, 7 Pseudo-Riemannscher Raum, 75 quasimetrischer Raum, 3 Riemannscher Raum, 74 Tangentialraum, 26 topologischer Unterraum, 6 Raum topologischer Raum, 3 Regel kontravariante Transformationsregel, 28 kovariante Transformationsregeln, 35 regulärer Wert, 49 Ricci-Tensor, 88 Riemann Fundamentalfeld, 74 Maßtensorfeld, 74 Pseudo-Riemannscher Raum, 75 Riemannsche Metrik, 74 Riemannsche Normalkoordinaten, 97 Riemannscher Raum, 74

Literaturverzeichnis

Satz über die universelle Eigenschaft, 64 Einbettungssatz von Whitney, 51 Satz von Schur, 91 Urysohnscher Metrisationssatz, 10 Schleife Doppelschleife, 73 Schnitt, 65 Schnittkarte, 48 separabel, 8 Skalarkrümmung R, 88 Steinersche Römerfläche, 54 Struktur C r -Struktur, 13 Strukturgruppe, 67 Submersion, 36 Tangentialabbildung Tx F , 32 Tangentialraum, 26 kanonische Basis, 28 klassisch, 24 natürliche Basis, 28 Tensorraum kontravarianter Tensorraum, 61 kovarianter Tensorraum, 60 Topologie co-abzählbare Topologie, 5 cofinite Topologie, 5 diskrete Topologie, 4 indiskrete Topologie, 4 initiale Topologie, 15 Klumpentopologie, 4 Relativtopologie, 6 Spurtopologie, 6 Standard-Topolgoie, 4

106

Triviale Topologie, 4 Torsion, 81 Träger, 76 Transformationsregel kontravariant, 28 kovariant, 35 Umgebung, 5 Umgebungssystem, 5 universelle Eigenschaft, 64 untergeordnete Zerlegung der Eins, 76 Untermannigfaltigkeit, 38 eingebettete Untermannigfaltigkeit, 38 immersierte Untermannigfaltigkeit, 37 Variationsfeld, 94 Vektorfeld geodätisch parallel, 92 kommutierende Vektorfelder, 81 Vergleichskurven, 94 verträglich G-Verträglichkeit, 67 Verträglichkeit C r -Verträglichkeit von Karten, 12 vollständig geodätisch vollständig, 93 Zerlegung Zerlegung der Eins, 76 Zusammenhang kanonischer Zusammenhang des Rn , 79 Krümmung, 81 Levi-Civita-Zusammenhang, 85 linearer Zusammenhang, 78 metrischer Zusammenhang, 85 Torsion, 81

Differentialgeometrie : Differentialtopologie und Riemannsche Geometrie

Tensorrechnung und Riemannsche Geometrie 001

Riemannsche Geometrie 002

Riemannsche Geometrie im Grossen

Riemannsche Geometrie 001