Analysis fur technische Oberschulen: Ein Lehr- und Arbeitsbuch

Karl-Heinz Pfeffer Analysis für technische Oberschulen

Karl-Heinz Pfeffer

Analysis für technische Oberschulen Ein Lehr- und Arbeitsbuch 8., überarbeitete und erweiterte Auflage Mit 311 Abbildungen und über 1650 Aufgaben STUDIUM

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

Bis zur 6. Auflage erschien das Buch unter dem Titel Analysis für Fachoberschulen beim gleichen Verlag.

1. Auflage 1981 Nachdruck 1983 2., durchgesehene Auflage 1985 Nachdruck 1986 3., verbesserte Auflage 1988 3 Nachdrucke 4., verbesserte und erweiterte Auflage 1998 5., durchgesehene Auflage 2000 6., überarbeitete Auflage 2003 Nachdruck 2004 7., überarbeitete und erweiterte Auflage 2007 Nachdruck 2009 8., überarbeitete und erweiterte Auflage 2010 Alle Rechte vorbehalten © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2010 Lektorat: Thomas Zipsner | Imke Zander Vieweg+Teubner Verlag ist eine Marke von Springer Fachmedien. Springer Fachmedien ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.viewegteubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Technische Redaktion: Stefan Kreickenbaum, Wiesbaden Bilder: Graphik & Text Studio, Dr. Wolfgang Zettlmeier, Barbing Druck und buchbinderische Verarbeitung: MercedesDruck, Berlin Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. ISBN 978-3-8348-1024-3

V

Vorwort Analysis für technische Oberschulen ist das Nachfolgewerk der seit 1981 aufgelegten „Analysis für Fachoberschulen“, ergänzt durch Elemente der analytischen Geometrie und Grundlagen zum Rechnen mit komplexen Zahlen. Es ist ein Lehr- und Arbeitsbuch für Lernende an Fach- und Berufsoberschulen sowie an Fachgymnasien und für Studierende an Fachhochschulen im Erstsemester, ausgerichtet auf die Fachrichtung Technik. Die spezifisch technische Akzentuierung der Inhalte ist dabei so behutsam erfolgt, dass innermathematische Problemstellungen nicht zu kurz kommen und eine Verwendung des Buches in beruflichen Oberschulen nichttechnischer Fachrichtungen ebenfalls gut möglich ist. Es berücksichtigt in besonderem Maße unterschiedliche mathematische Vorkenntnisse, indem wiederholende Thematik angeboten wird, die je nach Bedarf mehr oder weniger selbstständig von den Nutzern erarbeitet werden kann. Der didaktische Leitgedanke dieses Buches beinhaltet, grundlegende Kenntnisse über Funktionen zu vermitteln, ohne dabei die Theorie überzubewerten. Dazu gehört es, hinführend zu den klassischen Methoden der Analysis auch die hierfür wesentlichen elementaren Rechentechniken und geometrischen Denkweisen bereitzustellen und einzuüben. Das geschieht zunächst durch bewusst breit angelegte Überlegungen zu den linearen und quadratischen Funktionen, an die sich die einschlägigen Nullstellenermittlungen ganzrationaler Funktionen höheren Grades anschließen. Abgerundet wird die elementare Funktionenlehre durch Betrachtung der trigonometrischen Grundfunktionen und mündet ein in die Erarbeitung der allgemeinen Sinusfunktion. Dieser Einstieg in die Analysis, je nach Lerngruppe und Lernintention abkürzbar, hat den Vorteil, dass nach der sich anschließenden optionalen Erarbeitung des Grenzwertbegriffes über Folgen bzw. über Funktionen den Lernenden die Problemstellungen der Differential- und der Integralrechnung durchsichtiger erscheinen: Grundsätzliche Vorgehensweisen werden wieder aufgegriffen (Wiederholungseffekt!) und gemäß Spiralprinzips in erweitertem Zusammenhang angewandt. Besonders erwähnenswert ist, dass die Integralrechnung nicht über Ober- und Untersummenermittlung, sondern anschaulich-direkt über Flächeninhaltsfunktionen eingeführt wird. Neu ist der Einbezug von Elementen der Analytischen Geometrie und grundlegender Ausführungen zum Rechnen mit komplexen Zahlen; auf „Nahtstellen“ zur Analysis wird bewusst hingewiesen. Viele Beispielaufgaben mit Lösungen (Ź) erleichtern das selbstständige Einüben des Stoffes. Das umfangreiche, zum großen Teil ganzheitlich-anwendungsbezogene Aufgabenmaterial ermöglicht handlungsorientierte Unterrichtsansätze, schülerorientierte Übungsphasen und intensive Vorbereitung auf Lernkontrollen. Die Aufgabenanordnung ist innerhalb derselben Thematik weitmöglichst im Sinne einer methodischen Reihe schwierigkeitsgraddifferenziert erfolgt; besonders schwierige Aufgaben sind kursiv gekennzeichnet. Die mit * versehenen Inhalte dienen der Abrundung. Sie können ohne Einfluss auf das weitere Vorgehen auch weggelassen werden. - Im Unterricht bieten sie sich durchaus als Themen für Referate an. Meinen Kolleginnen und Kollegen danke ich für die über die Jahre hinweg erfolgten hilfreichen Anregungen und Bestätigungen, meiner Ehefrau Gertrud Annedore für unermüdliches Korrekturlesen. Besonderer Dank gilt Herrn Thomas Zipsner aus dem Lektorat des Vieweg+Teubner Verlages für konstruktive Hinweise und kritische Sichtung des Manuskriptes. Hannover, im Februar 2010

Karl-Heinz Pfeffer

VII

Inhaltsverzeichnis

Mathematische Zeichen und Begriffe ..............................................................................

X

Teil A: Analysis .................................................................................................................

1

1 Die reellen Zahlen ........................................................................................................

2

1.1

Die Grundeigenschaften der reellen Zahlen ......................................................... 1.1.1 Von den natürlichen zu den reellen Zahlen ............................................. 1.1.2 Lagebeziehungen reeller Zahlen ............................................................. Das Rechnen in R ................................................................................................. 1.2.1 Der binomische Satz ................................................................................ 1.2.2 Gleichungen und Ungleichungen ............................................................

2 2 11 15 15 19

2 Funktionenlehre ...........................................................................................................

39

1.2

2.1 2.2

2.3

2.4 2.5

Grundlagen ........................................................................................................... 2.1.1 Paarmengen ............................................................................................. 2.1.2 Funktionen .............................................................................................. Ausgewählte elementare Funktionen .................................................................... 2.2.1 Lineare Funktionen ................................................................................. 2.2.2 Quadratische Funktionen ........................................................................ *2.2.3 Lineare und quadratische Betragsfunktionen .......................................... Ganzrationale Funktionen ..................................................................................... 2.3.1 Reine Potenzfunktionen .......................................................................... 2.3.2 Ganzrationale Funktionen als verknüpfte Potenzfunktionen .................. 2.3.3 Nullstellen ganzrationaler Funktionen .................................................... 2.3.4 Kurvenverlauf und Symmetrie ................................................................ Wurzelfunktionen ................................................................................................. 2.4.1 Umkehrfunktionen (Umkehrrelationen) .................................................. 2.4.2 Wurzelfunktionen im engeren Sinn ......................................................... Trigonometrische Funktionen (Kreisfunktionen) ................................................. 2.5.1 Die Eigenschaften der trigonometrischen Grundfunktionen ................... 2.5.2 Die allgemeine Sinusfunktion .................................................................

39 39 42 47 47 74 94 95 95 96 98 109 113 113 118 120 120 129

3 Folgen und Reihen ....................................................................................................... 133 3.1

3.2

Grundlagen ........................................................................................................... 3.1.1 Folge als Funktion ................................................................................... 3.1.2 Schreibweise von Folgen ........................................................................ 3.1.3 Eigenschaften von Folgen ....................................................................... 3.1.4 Reihen ..................................................................................................... Spezielle (endliche) Folgen .................................................................................. 3.2.1 Arithmetische Folgen und Reihen ........................................................... 3.2.2 Geometrische Folgen und Reihen ...........................................................

133 133 134 136 138 140 140 147

VIII 3.3

Inhaltsverzeichnis Grenzwert von Folgen .......................................................................................... 155 3.3.1 Unendliche geometrische Folgen und Reihen ......................................... 155 *3.3.2 Verallgemeinerung des Grenzwertbegriffes ............................................ 162

4 Grenzwert von Funktionen – Stetigkeit ...................................................................... 165 4.1

Grenzwerte von Funktionen .................................................................................. 4.1.1 Erfordernis diverser Grenzwertbetrachtungen ........................................ 4.1.2 Rechnerischer Umgang mit Grenzwerten ................................................ *4.1.3 Anwendung auf Kurvenuntersuchungen einfacher gebrochenrationaler Funktionen .............................................................................. 4.2 Stetigkeit ............................................................................................................... 4.2.1 Begriff der Stetigkeit ............................................................................... 4.2.2 Globale Stetigkeit ....................................................................................

165 165 169 176 183 183 186

5 Differentialrechnung ................................................................................................... 187 5.1

Das Tangentenproblem ......................................................................................... 5.1.1 Die Differenzenquotientenfunktion ......................................................... 5.1.2 Allgemeine Definition des Differentialquotienten .................................. 5.1.3 Einfache Differentiationsregeln .............................................................. *5.1.4 Differenzierbarkeit und Stetigkeit ........................................................... *5.1.5 Anwendung in der Physik ....................................................................... 5.1.6 Newton’sches Näherungsverfahren ......................................................... 5.2 Anwendung auf Kurvenuntersuchungen .............................................................. 5.2.1 Extremstellen von Funktionen – Krümmungsverhalten .......................... 5.2.2 Wendepunkte ........................................................................................... 5.2.3 Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen ......................................... 5.2.4 Funktionssynthese ................................................................................... 5.3 Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen .......................................................

187 187 191 192 198 199 202 203 204 208 213 218 221

6 Integralrechnung ......................................................................................................... 228 6.1

Das bestimmte Integral ......................................................................................... 6.1.1 Das Flächenproblem ................................................................................ 6.1.2 Die Berechnung des bestimmten Integrals ganzrationaler Funktionen ... *6.2 Die Integration als Umkehrung der Differentiation .............................................. 6.2.1 Stammfunktion und unbestimmtes Integral ............................................. 6.2.2 Die Berechnung bestimmter Integrale mit Hilfe von Stammfunktionen .

228 228 238 251 251 254

7 Vertiefung der Differential- und Integralrechnung .................................................. 255 7.1

Weitere Differentiationsregeln .............................................................................. 7.1.1 Produktregel ............................................................................................ 7.1.2 Quotientenregel ....................................................................................... 7.1.3 Kettenregel .............................................................................................. 7.2 Kurvendiskussion gebrochen-rationaler Funktionen ............................................ 7.3 Kurvendiskussion trigonometrischer Funktionen ................................................. 7.3.1 Die Differentiation der trigonometrischen Grundfunktionen .................. 7.3.2 Zusammengesetzte trigonometrische Funktionen ...................................

255 255 256 257 261 273 273 278

Inhaltsverzeichnis 7.4

Exponentialfunktionen .......................................................................................... 7.4.1 Allgemeine Exponentialfunktionen ......................................................... 7.4.2 Euler’sche Zahl und e-Funktion .............................................................. 7.4.3 Wachstum und Zerfall ............................................................................. 7.4.4 Kurvendiskussion verknüpfter e-Funktionen .......................................... *7.5 Krümmung und Krümmungsradius einer Kurve ..................................................

IX 281 281 283 289 293 296

Teil B: Analytische Geometrie .......................................................................................... 301 8 Vektoren ....................................................................................................................... 302 8.1

8.2 8.3

Grundlagen ........................................................................................................... 8.1.1 Skalare und vektorielle Größen ............................................................... 8.1.2 Der Vektorbegriff .................................................................................... 8.1.3 Eigenschaften von Vektoren ................................................................... 8.1.4 Vektoren im Anschauungsraum .............................................................. Elementare Rechenoperationen ............................................................................ 8.2.1 Vektoraddition und -subtraktion ............................................................. 8.2.2 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar (S-Multiplikation) ......... Vektormultiplikationen ......................................................................................... 8.3.1 Das Skalarprodukt ................................................................................... 8.3.2 Das Vektorprodukt .................................................................................. 8.3.3 Das Spatprodukt ......................................................................................

302 302 302 305 307 313 313 323 333 333 344 349

9 Vektorgeometrie .......................................................................................................... 352 9.1

9.2

Vektorgeometrie der Geraden ............................................................................... 9.1.1 Die vektorielle Geradengleichung in Parameterform .............................. 9.1.2 Lagebeziehungen von Punkt und Gerade ................................................ 9.1.3 Schnittpunkt zweier Geraden .................................................................. 9.1.4 Abstand Punkt – Gerade .......................................................................... 9.1.5 Abstand windschiefer Geraden ............................................................... Vektorgeometrie der Ebene .................................................................................. 9.2.1 Die vektorielle Ebenengleichung in Parameterform ............................... 9.2.2 Koordinatenform der Ebenengleichung .................................................. 9.2.3 Schnittpunkt Gerade – Ebene .................................................................. 9.2.4 Abstand Punkt – Ebene ...........................................................................

352 352 355 358 361 364 366 366 368 370 372

10 Komplexe Zahlen ......................................................................................................... 374 10.1 Grundlagen ........................................................................................................... 10.1.1 Zahlenbereichserweiterung von R auf C ................................................ 10.1.2 Darstellung komplexer Zahlen ................................................................ 10.2 Grundrechenarten ................................................................................................. 10.2.1 Addition und Subtraktion komplexer Zahlen .......................................... 10.2.2 Multiplikation komplexer Zahlen ............................................................ 10.2.3 Division komplexer Zahlen .....................................................................

374 374 375 376 376 377 378

Ausblick .............................................................................................................................. 379 Sachwortverzeichnis .......................................................................................................... 382

X

Mathematische Zeichen und Begriffe 1 Logik :=

definitionsgemäß gleich; Kennzeichnung einer Definitionsgleichung, bei welcher der zu definierende Begriff auf der Seite des Doppelpunktes steht.

∧

und (im Sinne von sowohl ... als auch)

∨

oder (im nicht-ausschließenden Sinn)

Ÿ

daraus folgt; wenn ..., dann (p Ÿ q: Aus p folgt q, d. h. p ist hinreichende Bedingung für q und q ist notwendige Bedingung für p.)

⇔

äquivalent (gleichwertig); genau dann ..., wenn (p ⇔ q: Aus p folgt q und umgekehrt)

2 Relationen zwischen Zahlen a=b

a gleich b

a≠b

a ungleich b

ab

a größer b

a≤b

a kleiner oder gleich b

a≥b

a größer oder gleich b

a≈b

a ungefähr gleich b

ˆb a=

a entspricht b (gebräuchlich z. B. bei Maßstabsangaben)

3 Mengen A, B, C, ..., M, N, ...

Mengen

a ∈ M (M ∋ a )

a ist Element von M (M enthält a)

a∉M

a ist nicht Element von M

{a, b, c, d}

Menge mit den Elementen a, b, c und d

{x | ...}

Menge aller x, für die gilt ...

{x | ...}M

Menge aller x ∈ M, für die gilt ...

{}

leere Menge

A=B

A gleich B, d. h. x ∈ A ⇔ x ∈ B

A ⊂ B (B ⊃ A)

A ist (echte) Teilmenge von B: x ∈ A Ÿ x ∈ B und A ≠ B (B ist (echte) Obermenge von A)

A⊆B

A ist echte oder unechte Teilmenge von B (d. h. A ⊂ B oder A = B)

Mathematische Zeichen und Begriffe

XI

A ⊆/ B

A ist nicht Teilmenge von B

A ∩ B := {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}

A geschnitten B Schnittmenge (Durchschnitt) von A und B Technik: Zwei Schalter in Reihe geschaltet

A ∪ B := {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}

A vereinigt B Vereinigungsmenge von A und B Technik: Zwei Schalter parallel geschaltet

B \ A := {x | x ∈ B ∧ x ∉ A} := {x | x ∉ A}B für A ⊆ B

A´B

A × B := {(x; y) | x ∈ A ∧ y ∈ B}

B ohne A; Differenzmenge von B und A Ergänzungsmenge von A zu B, d. h. A ∪ A´B = B A kreuz B; Paarmenge von A und B (kartesisches Produkt)

charakteristische Mengen N:= {0, 1, 2, 3, ...}

Menge der natürlichen Zahlen

N* := N \ {0}

Menge der natürlichen Zahlen ohne 0

Z
:= {..., – 1, 0, 1, 2, ...}

Menge der ganzen Zahlen

Z* := Z \ {0}

Menge der ganzen Zahlen ohne 0

Q
:={

p | p∈Z ∧ q∈Z*} q

Menge der rationalen Zahlen

R

Menge der reellen Zahlen


:= {x | x ∉ Q}R

Menge der irrationalen Zahlen

R+

Menge der positiven reellen Zahlen

R 0+

:= R+ ∪ {0}

R– := R

\
R 0+

Menge der positiven reellen Zahlen einschl. 0 Menge der negativen reellen Zahlen

R* := R \ {0}

Menge der reellen Zahlen ohne 0

C := {z| z = x + iy ∧ x, y ∈ R}

Menge der komplexen Zahlen

i=

imaginäre Einheit, definiert zu i2 = -1

−1

z = x + iy z = x - iy

konjugiert-komplexe Zahlen

[a; b] := {x | a ≤ x ≤ b}R

geschlossenes Intervall

]a; b[ := {x | a < x < b}R

offenes Intervall

[a; b[ := {x | a ≤ x < b}R ]a; b] := {x | a < x ≤ b}R


|x| :=

+ x für x ∈ R 0+ – x für x ∈ R–

halboffene Intervalle Betrag einer (reellen) Zahl x

XII

Mathematische Zeichen und Begriffe

4 Funktionen →

Zahlen- und Mengenzuordnungspfeil

R

Relation als Teilmenge eines kartesischen Produkts

f (auch g oder h)

Funktion als Spezialfall einer Relation

f: x → f (x)

Funktionsvorschrift

f (x)

Funktionswert (Bild von x); aber auch Funktionsterm

y = f (x)

Funktionsgleichung

f:

D→W x → f (x)

Funktion f mit Definitionsmenge D und Wertmenge W

f –1 (R–1)

Umkehrfunktion (Umkehrrelation)

Gf ∋ P

Graph von f (Punktmenge) mit dem Punkt P(x|y)

P(x|y)

Punkt der x, y-Ebene: R2-Ebene

P(x|y|z)

Punkt des (Anschauungs-) Raumes: R3

≡

Identitätszeichen („ist identisch gleich“); z. B. Gerade g ≡ y = 2x-1

f ° g (g ° f )

Verknüpfungszeichen für verkettete Funktionen ( f nach g bzw. g nach f )

f ', f ", f '", ..., f (n)

1., 2., 3., ..., n-te Ableitungsfunktion von f

b

³ f ( x) dx

bestimmtes Integral der Funktion f über [a; b]

³ f ( x) dx

unbestimmtes Integral der Funktion f

F ( x) = ³ f ( x) dx

Stammfunktionen von f mit F '(x) = f (x).

a

5 Weitere Zeichen (an)

Folge mit den Gliedern (a1, a2, ..., an, ...)

n

¦ ak

Summationssymbol: a1 + a2 + ... + an–1 + an

∞

unendlich

k =1

lim an

Grenzwert einer Folge für n gegen ∞

lim f ( x)

Grenzwert einer Funktion f für x gegen x0

n →∞

x→ x 0

Mathematische Zeichen und Begriffe

XIII

6 Zeichen aus der analytischen Geometrie G G G G G G a , b , c ,..., x , y , z Vektoren

JJJG

G

G

v = AB

AB als Repräsentant von v

-v

Gegenvektor zu v

|v |

Betrag von v

G

G

G

G

G

G

G

v ° oder ev

Einheitsvektor in Richtung v

ex , e y , ez

Basisvektoren des R3

0

Nullvektor

G

G

G

G

G

Ortsvektor zu einem Punkt P : rP = OP

rP ⎛v ⎞

x G ⎜ ⎟

G

v =⎜ v y ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ vz ⎠

Spaltenschreibweise von v : Spaltenvektor

v = (v x , v y , v z )

Zeilenschreibweise von v : Zeilenvektor

a a12 § a11 a12 · ¨¨ ¸¸ bzw. 11 a21 a22 © a21 a22 ¹

2×2-Matrix bzw. 2-reihige Determinante

(a , b) = a ⋅b

Skalar- oder Punktprodukt

[a , b]= a × b

Vektor- oder Kreuzprodukt

G

G

GG

G G

GG

G G

GG G

Spatprodukt

a , b, c

G

G

G

G

G

G

x = r0 + λ⋅v

vektorielle Geradengleichung

G

x = r0 + λ⋅v + μ⋅ w

vektorielle Ebenengleichung

7 Wichtige Begriffe

Definition

Die Bedeutung eines verwendeten Namens oder Zeichens wird erklärt bzw. festgelegt.

Satz

Unter Beachtung der Gesetze der Logik werden aus bereits bekannten Aussagen Schlussfolgerungen (Behauptungen) gezogen, die es zu beweisen gilt. – Zur Beweisführung darf auf Definitionen zurückgegriffen werden.

Axiom

Anerkannter, nicht beweisbarer Grundsatz, aus dem sich Sätze ableiten lassen.

1

Teil A: Analysis Eines der bedeutsamsten Gebiete der Mathematik ist die Analysis, unter der man ganz allgemein die Lehre von den Funktionen versteht. Ihre charakteristischen Methoden finden inzwischen1) mannigfaltig Anwendung in Wirtschaft, Wissenschaft und Technik; sie basieren auf den Begriffen Zahl, Funktion, Grenzwert. Zahl und Funktion dürften aus vorangegangener Beschäftigung mit der Mathematik mehr oder weniger gut bekannt sein und müssen nunmehr im Rahmen eines systematischeren Aufbaus ergänzt und vertieft werden. - Elementare Funktionsuntersuchungen rücken dabei zunächst in den Vordergrund der Überlegungen. Mit dem Begriff Grenzwert, sowohl über Folgen als auch über Funktionen eingeführt, erschließt sich das Rechnen mit infinitesimalen Größen. Damit werden die Grundlagen geschaffen für die Differential- und Integralrechnung mit ihren grundlegenden Problemstellungen, nämlich der Tangenten- und der Flächenproblematik und ihren verwandten Themenbereichen.

1)

d. h. seit dem 18. Jahrhundert

2

1 Die reellen Zahlen

1 Die reellen Zahlen 1.1 Die Grundeigenschaften der reellen Zahlen 1.1.1 Von den natürlichen zu den reellen Zahlen Peter Hoeg hat es in „Fräulein Smillas Gespür für Schnee“ in schöner Prosa festgehalten: „Weißt du, was hinter der Mathematik steckt? Hinter der Mathematik stecken die Zahlen. Wenn mich jemand fragen würde, was mich richtig glücklich macht, dann würde ich antworten: die Zahlen. Schnee und Eis und Zahlen. Und weißt du warum? … Weil das Zahlensystem wie das Menschenleben ist. Zu Anfang hat man die natürlichen Zahlen. Das sind die ganzen und positiven. Die Zahlen des Kindes. Doch das menschliche Bewusstsein expandiert. Das Kind entdeckt die Sehnsucht, und weißt du, was der mathematische Ausdruck für die Sehnsucht ist? … Es sind die negativen Zahlen. Die Formalisierung des Gefühls, dass einem etwas abgeht. Und das Bewusstsein erweitert sich immer noch und wächst, das Kind entdeckt Zwischenräume. Zwischen den Steinen, den Moosen auf den Steinen, zwischen den Menschen. Und zwischen den Zahlen. Und weißt du, wohin das führt? Zu den Brüchen. Die ganzen Zahlen plus die Brüche ergeben die rationalen Zahlen. Aber das Bewusstsein macht dort nicht halt. Es will die Vernunft überschreiten. Es fügt eine so absurde Operation wie das Wurzelziehen hinzu. Und erhält die irrationalen Zahlen. … Es ist ein Wahnsinn. Denn die irrationalen Zahlen sind endlos. Man kann sie nicht schreiben. Sie zwingen das Bewusstsein ins Grenzenlose hinaus. Und wenn man die irrationalen Zahlen mit den rationalen zusammenlegt, hat man die reellen Zahlen. … Es hört nicht auf. Es hört nie auf. Denn jetzt gleich, auf der Stelle, erweitern wir die reellen Zahlen um die imaginären, um die Quadratwurzeln der negativen Zahlen. Das sind Zahlen, die wir uns nicht vorstellen können. Zahlen, die das Normalbewusstsein nicht fassen kann. Und wenn wir die imaginären Zahlen zu den reellen Zahlen dazurechnen, haben wir das komplexe Zahlensystem. Das erste Zahlensystem, das eine erschöpfende Darstellung der Eiskristallbildung ermöglicht. Es ist wie eine große, offene Landschaft. Die Horizonte. Man zieht ihnen entgegen, und sie ziehen sich immer wieder zurück. …“ 1)

Die natürlichen Zahlen Sie sind Grundlage für den Zahlenaufbau und gemäß DIN 1302 wie folgt definiert: Menge der natürlichen Zahlen:

N: = {0, 1, 2, 3,...} .

Die wesentlichsten Merkmale dieser Zahlenmenge: 1. 0 ist die kleinste natürliche Zahl. 2. Zu jeder natürlichen Zahl n existiert ein eindeutig bestimmter Nachfolger n' = n + 1 (Also: 0' := 1 = 0 + 1; 1' := 2 = 1 + 1; 2' := 3 = 2 + 1; usw.)

3. Es gibt keine letzte (= größte) natürliche Zahl. (Zu einer vermeintlich letzten natürlichen Zahl ließe sich wiederholt die 1 addieren.)

1)

Peter Hoeg, Fräulein Smillas Gespür für Schnee. Roman. Aus dem Dänischen von Monika Wesemann. © 1994 Carl Hanser Verlag, München.

1.1 Die Grundeigenschaften der reellen Zahlen

3

N ist angeordnet Die natürlichen Zahlen sind gemäß Kleiner-Relation 1) geordnet: So ist z. B. 2 < 5 und 5 < 7, was auf 2 < 7 schließen lässt. Der in Bild 1.1 dargestellte Zahlenstrahl veranschaulicht die Grundsätze, wobei die Pfeilrichtung das Größerwerden anzeigt. Bild 1.1 ¾ Eine wichtige Teilmenge von N ist die der positiv-ganzen Zahlen: N* = N\{0} = {1, 2, 3, ...}.

































Meinungsstreit, die Zahl 0 betreffend In der mathematischen Literatur findet sich auch, dass die Zahl 1 kleinste natürliche Zahl sei. Um die Zahl 0 als neutrales Element der Addition einzubeziehen, wird entsprechend wie folgt definiert: N0 = {0}∪{1, 2, 3, ...}= {0, 1, 2, 3, ...}. Zur Klarstellung: Für die Beschäftigung mit der Mathematik ist es letztendlich unerheblich, ob die Zahl 0 der Menge N
zugerechnet wird oder aber nicht; es ist einzig Definitionssache. Sonderfall: Die Zahl 1 Sie ist neutrales Element der Multiplikation und erwirkt keine Veränderung eines Produktes. N ist abgeschlossen Die Summe und das Produkt zweier natürlicher Zahlen sind wieder natürliche Zahlen. Die beiden Verknüpfungen „ + “ und „ · “ führen nicht aus N heraus. Die Notwendigkeit von Zahlenbereichserweiterungen Die Menge N bietet wenig Möglichkeiten, Rechenoperationen ohne Einschränkungen gelten zu lassen. Algebraisch leistungsfähigere Zahlen müssen her, was prinzipiell wie folgt geschieht: 1. Der neue Zahlenbereich lässt sich mit Hilfe bereits definierter Zahlen beschreiben. 2. Die für die ursprünglichen Zahlen formulierten Grundsätze gelten auch in der erweiterten Zahlenmenge (Permanenzprinzip). 3. Für den erweiterten Zahlenbereich werden – soweit nötig – zusätzliche, widerspruchsfreie Axiome formuliert. Ganze Zahlen Die Einführung der negativ-ganzen Zahlen mit Z– := {x | x = – n ∧ n ∈ N*} ermöglicht die Zahlenbereichserweiterung von N zur Menge der ganzen Zahlen:

Z:= Z– ∪ N

, also Z = {..., – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, ...}.

N und Z– sind ebenso in Z enthalten wie die positiv-ganzen Zahlen2) mit Z+ = N*.
Erwähnenswert sind ferner Z 0+ := Z+ ∪ {0} (= N), Z 0− := Z– ∪ {0} und Z * := Z \ {0} . 1) 2)

von relatio (lat.): Beziehung somit gilt + n = n (n ∈ N*)

4

1 Die reellen Zahlen

Entsprechend gilt Z = Z+ ∪ Z– ∪ {0}, was Bild 1.2 veranschaulicht. Bild 1.2 Z: = Z+ ∪ Z– ∪ {0}

¾ Sonderformen 1)

Z + steht für die nicht-negativen ganzen Zahlen incl. der Zahl 0 und Z *+ := Z + \ {0}. Z ist angeordnet Zu jeder positiv-ganzen Zahl n existiert eine negativ-ganze Zahl – n mit n + (–n) = 0. Bild 1.3 zeigt die orientierte Zahlengerade und veranschaulicht das Größerwerden: Je weiter die Zahlen links von der 0 stehen, desto kleiner sind sie, je weiter sie rechts davon angeordnet sind, desto größer werden sie. Bild 1.3 Z ist angeordnet

Rationale Zahlen Die ganzen Zahlen leisten algebraisch mehr als die natürlichen Zahlen. Aber auch mit ihnen ist es nicht möglich, für Gleichungen wie z. B. 2x = 3 eine Lösung anzugeben. Bruchzahlen werden benötigt (Quotient, bestehend aus Zähler und Nenner), was eine nochmalige Zahlenbereichserweiterung erfordert: ⎧p ⎫ Menge der rationalen 2) Zahlen mit Q = ⎨ p ∈ Z ∧ q ∈ Z *⎬

. ⎩q ⎭ Die Elemente von Z sind in Q enthalten, was die folgenden Beispiele zeigen: Beispiele: 2 = +2 = +4 = ... = −2 = ...; − 3 = +3 = −3 = ... +1

+2

−1

−1

+1

Wie die ganzen Zahlen lassen sich auch die rationalen Zahlen weiter unterteilen, und zwar in – negativ-rationale Zahlen, bezeichnet mit Q– und – positiv-rationale Zahlen, bezeichnet mit
Q+. Folglich gilt Q :=
Q+ ∪
Q– ∪ {0}, also ist auch 0∈ Q . Die Null kann in der Form

0 q

mit q ∈ Z* geschrieben werden.

Erwähnenswert sind ferner Q 0− :=
Q– ∪ {0}, Q 0+ :=
Q+ ∪ {0} sowie Q* :=
Q \ {0} . ¾ Sonderformen 3) Q + steht für die nicht-negativen rationalen Zahlen incl. der Zahl 0 und Q *+ := Q + \ {0}. 1) 2) 3)

Sie sind nach DIN 5473 auch zugelassen, werden in diesem Rahmen jedoch nicht verwandt. ratio (lat.): Vernunft, Verstand, aber auch Verhältnis wie 1)

1.1 Die Grundeigenschaften der reellen Zahlen

5

Konstruktion rationaler Zahlen Wie Q aus der Menge N bzw. Z hervorgeht, veranschaulicht Bild 1.4: Mittels 1. Strahlensatzes wird exemplarisch der Bildpunkt der rationalen Zahl r =

2 3

konstruiert.

¾ Q ist gemäß Permanenzprinzip angeordnet1).

Bild 1.4 Konstruktion der rationalen Zahl r =

2 3

Q ist dicht 1. Keine rationale Zahl weist einen unmittelbaren Vorgänger oder Nachfolger auf. 2. Zwischen zwei rationalen Zahlen (a < b) existiert mindestens eine weitere rationale Zahl r=

a+b mit a < r < b gemäß Bild 1.5. 2

Bild 1.5 a
0. Ź Beispiel: Es sei f (x) =

1 3 3 2 3 3 x − x + x + , x ∈ R. 4 2 4 2

Zu bestimmen sind die Wendepunkt-Koordinaten sowie die Funktionsgleichung der Wendetangente. Lösung: f '(x) =

3 2 3 3 x − 3x + ⇒ f "(x) = x − 3 ; 4 4 2 3 f "(x) = 0: x − 3 = 0 ⇔ x = 2 ⇒ y = f (2) =−1 . 2

Ferner ist y'" = 3 und damit f '" (2) ≠ 0, was hinreichend gewährleistet, dass W(2|– 1) Wendepunkt ist. 2

Für das Erstellen der Funktionsgleichung der Wendetangente – das ist die Tangente im Wendepunkt – ist es zunächst einmal erforderlich, die Tangentensteigung zu ermitteln. Mit der Punktsteigungsform der Geradengleichung resultiert schließlich das gewünschte Ergebnis:

210

5 Differentialrechnung 3 3 y' (2) = ⋅22 − 3⋅2 + 4 4 9 Ÿ y' (2) = – (Steigung der Wendetangente) 4 9 y – (– 1) = – (x – 2) 4 9 7 Ÿ y = – x + (Gleichung der Wendetangente). 4 2 Bild 5.23 Graph mit Wendepunkt und Wendetangente

Bild 5.23 zeigt Gf ausschnittsweise in einer Umgebung des Wendepunktes. Die Wendetangente veranschaulicht die generelle Änderung im Krümmungsverhalten eines Graphen. ¾ Sonderfall: Sattelpunkt

Der Sachverhalt soll anhand eines durchgerechneten Beispiels verdeutlicht werden. Ź Beispiel: f (x) =

1 3 3 2 x − x + 3 x ist auf Extrem- und Wendepunkte zu untersuchen. 4 2

Lösung Extrema 3 2 x − 3x + 3 4 y' = 0 y' =

Ÿ

3 2 x – 3x + 3 = 0 ⇔ x2 – 4x + 4 = 0 ⇔ (x – 2) (x – 2) = 0; 4

x = 2 ist doppelte Nullstelle der 1. Ableitungsfunktion f '; ferner gilt f (2) = 2. Um eine Aussage über die Art des Extremums und damit über das Krümmungsverhalten des Funktionsgraphen an der Stelle x = 2 anzustellen, bedarf es der 2. Ableitungsfunktion: 3 y" = f " (x) = x − 3 Ÿ y" (2) = 0; 2 der Funktionsgraph ist gemäß Satz 5.5 weder rechts- noch linksgekrümmt, also existiert kein Extremum. Wendepunkte

⎪ 3 y '' = 32 x − 3⎫ ⎬⇒ 2 x − 3 = 0 ⇔ x = 2. ⎪ y '' = 0 ⎭ Bild 5.24 Graph mit Sattelpunkt und waagerechter Tangente

Wegen y'"(2) ≠ 0 ist W(2|2) Wendepunkt des Graphen von f, allerdings mit einer Besonderheit: Die Wendetangente verläuft parallel zur x-Achse, also y' (2) = 0 (Bild 5.24). ¾ Ein Sattel- oder Terrassenpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangentensteigung.

5.2 Anwendung auf Kurvenuntersuchungen

211

Notwendige und hinreichende Bedingungen für Extrem- und Wendepunkte

In nachfolgender Tabelle sind die erarbeiteten Kriterien für Extrem- und Wendepunkte zusammengefasst; unterschieden wird zwischen notwendigen und hinreichenden Bedingungen: Extrempunkte Maximum (HP) Notwendige Bedingung Hinreichende Bedingung

Wendepunkte

Minimum (TP)

normal

Sattelpunkt

y" (xW) = 0

y' (xW) = y" (xw) = 0

y"(xW) = 0 ∧ y"'(xw) ≠ 0

y' (xW) = y"(xW) = 0 ∧ y'" (xw) ≠ 0

y' (xE) = 0 y'(xE) = 0 ∧ y"(xE) < 0

y'(xE) = 0 ∧ y"(xE) > 0

Hinweis: xE bzw. xW stehen jeweils für die Extrem- bzw. Wendestellen. Die Tabelle bedarf zusätzlicher Erläuterungen: 1. Mit y'(xE) = 0 ∧ y"(xE) ≠ 0 Ÿ Extremum wird die hinreichende Bedingung für Extrema festgeschrieben. Die Pfeilrichtung darf nicht umgekehrt werden; denn y"(xE) ≠ 0 ist keine notwendige Bedingung für Extrema, wie folgendes Beispiel zeigt: Beispiel: Die geraden Potenzfunktionen y = x4, y = x6, ..., y = x2n (n ∈ N* \ {1}) besitzen alle mit E(0; 0) ein Minimum, dennoch ist jeweils y"(0) = 0.

Wenn also trotz y"(xE) = 0 ein Extremum vermutet wird, untersucht man das Verhalten der 1. Ableitungsfunktion in der Umgebung ihrer Nullstelle, was wie folgt geschieht: gl = lim 4 x3 =− 0

y = x4 Ÿ y' = 4x3

x→−0

g r = lim 4 x3 =+ 0

Ÿ Extremum für xE = 0.

x→+0

Hinweis: Wegen der Steigstelle ist das Extremum ein Minimum.

Einfacher ist das Extremum gemäß nachstehender Vorgehensweise nachzuweisen: Es wird so oft differenziert, bis sich schließlich eine höhere Ableitung geraden Grades ergibt, die für x = xE nicht Null wird. Es liegt dann ein relatives Maximum bzw. Minimum in xE vor, je nach dem, ob diese Ableitung an der Stelle xE negativ oder positiv ist. Für obiges Beispiel mit xE = 0 gilt somit y = x4 Ÿ y' = 4x3 Ÿ y" = 12x2 Ÿ y'" = 24x Ÿ yIV = 24. Da y' (0) = y"(0)= y'"(0) = 0, aber yIV(0) = 24 > 0, ergibt sich für x = 0 ein Tiefpunkt. 2. Mit y"(xW) = 0 ∧ y'"(xW) ≠ 0 Ÿ Wendepunkt wird die hinreichende Bedingung für Wendepunkte festgeschrieben. Wieder darf die Pfeilrichtung nicht umgekehrt werden; denn y'"(xW) ≠ 0 ist keine notwendige Bedingung für Wendepunkte, wie folgendes Beispiel zeigt: Beispiel: Der Graph von f(x) = x5 – x, x ∈ R, besitzt einen Wendepunkt W(0|0), dennoch ist y'"(0) = 0.

212

5 Differentialrechnung

Wenn also trotz y"'(xW) = 0 ein Wendepunkt vermutet wird, untersucht man das Verhalten der 2. Ableitungsfunktion in der Umgebung ihrer Nullstelle: gl = lim 20 x3 =− 0

y = x5 – x Ÿ y' = 5x4 – 1 Ÿ y" = 20x3

x→−0

g r = lim 20 x3 =+ 0

Ÿ Wendepunkt mit xw=0.

x→+0

Hinweis: Wegen der Steigstelle ist es ein Wendepunkt mit Übergang von Rechts- zu Linkskrümmung.

Einfacher ist der Wendepunkt wie folgt nachzuweisen: Man differenziert so lange, bis sich eine höhere Ableitung ungeraden Grades ergibt, die für x = xw nicht Null wird. Dann liegt ein Wendepunkt vor. Für obiges Beispiel gilt somit y = x5 – x Ÿ y' = 5x4 – 1 Ÿ y" = 20x3 Ÿ y'" = 60x2 Ÿ yIV = 120x Ÿ yV = 120. Da y"(0) = y'"(0) = yIV(0) = 0, aber yV(0) = 120 ≠ 0, ergibt sich für x = 0 ein Wendepunkt. Hinweis: Ein geradezu klassisches Beispiel stellen auch die ungeraden Potenzfunktionen mit den Funktionsgleichungen y = x2n+1 (n ∈ N*) dar, wobei im Ursprung wegen y'(0) = 0 jeweils ein Sattelpunkt auftritt. ¾ Sonderfall: Flachpunkt 1 4 1 3 3 2 läuft zunächst alles routinemäßig ab: Für z. B. f ( x ) = 16 x −2 x +2 x

Doppelnullstelle im Ursprung (= Tiefpunkt), keine weiteren Null- bzw. Extremstellen. Die Wendepunkt-Ermittlung führt über f ''( x) = 34 x 2 − 3 x + 3 auf die Gleichung 0 = 34 x 2 − 3x + 3 ⇔ 0 = ( x − 2)( x − 2)

⇒ xw1,2 = 2.

.

Aber: f '''( x) = 32 x − 3 ⇒ f '''(2) = 0. Der Graph hat keinen Wendepunkt; er weist einen sog. Flachpunkt aus für F(2|3). In der Umgebung dieses Punktes verläuft der Graph relativ gerade. – Lassen Sie sich den Funktionsgraphen einmal ausdrucken (Aufgabe!). Anschaulich dürfte der Sachverhalt klar sein: Wenn zweimal im gleichen Punkt eine Kurvenänderung „angesagt“ ist, gibt es keine. ¾ Ein Flachpunkt ist ein „scheinbarer“ Wendepunkt mit doppelter Wendestelle.

5.2 Anwendung auf Kurvenuntersuchungen

213

5.2.3 Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen Auf der Basis der bereits mehrfach praktizierten Nullstellenermittlung (→ Abschnitt 2.3.3) lassen sich mit dem Kriterienkatalog zur Bestimmung von Extrem- und Wendepunkten ganzrationale Funktionen genauer als bisher untersuchen. Vorab bedarf es einer selbstverständlich anmutenden Feststellung, stillschweigend schon früher1) als richtig unterstellt: ¾ Zwischen zwei aufeinander folgenden Nullstellen einer ganzrationalen Funktion liegt mindestens ein Extremum2).

Diese Gesetzmäßigkeit erschließt sich aus dem Mittelwertsatz (siehe S. 201), auf den hier nicht weiter eingegangen werden soll. Verlaufsschema für Kurvendiskussionen ganzrationaler Funktionen

Vorbemerkung: Eine Aussage über den Definitionsbereich kann in der Regel unterbleiben; denn ganzrationale Funktionen sind für alle x ∈ R definiert. 1. Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

a) Schnitt mit der y-Achse – Kriterium: x = 0 setzen! b) Schnitt mit der x-Achse (Nullstellen) – Kriterium: y = 0 setzen! ¾ Eine ganzrationale Funktion n-ten Grades hat maximal n Nullstellen. 2. Lage und Art der Extrema

a) Lage der Extrema – Kriterium: y' = 0 setzen! b) Art der Extrema – Kriterien: y" < 0 (Maximum) bzw. y" > 0 (Minimum). ¾ Eine ganzrationale Funktion n-ten Grades hat maximal (n – 1) Extrema. 3. Wendepunkte

a) Lage der Wendepunkte – Kriterium: y" = 0 setzen! b) Art des Krümmungsübergangs – Kriterien: y'" < 0 (Links-Rechtskrümmung), y'" > 0 (Rechts-Linkskrümmung); c) ggf. Sonderfall des Sattelpunktes beachten – Kriterium: y' = 0 ∧ y" = 0. ¾ Eine ganzrationale Funktion n-ten Grades hat maximal (n – 2) Wendepunkte. 4. Graph

Der Funktionsgraph wird qualitativ (ggf. kleine Wertetabelle) unter Berücksichtigung des Grenzverhaltens der Funktion für x → ± ∞ im kartesischen Koordinatensystem dargestellt.

1)

2)

Geschehen ist es in Verbindung mit dem Zeichnen ganzrationaler Funktionsgraphen als Resultat von Nullstellenermittlung und Gebietseinteilung. Genau genommen ist es stets eine ungerade Zahl von Extrema.

214

5 Differentialrechnung

Beim Zeichnen ist ein eventuell existierendes Symmetrieverhalten1) in die Überlegungen einzubeziehen: a) Symmetrie zur y-Achse – Kriterium: f(x) = f(–x). b) Symmetrie zum Ursprung – Kriterien: 1. Graph geht durch O(0|0); 2. f(–x) = – f(x). Zusätzlich ist es hilfreich, das Steigungsverhalten des Graphen in den Nullstellen bzw. Wendepunkten zu berücksichtigen. Ź Beispiel 1: Eine Kurvendiskussion ist durchzuführen für f ( x ) = 13 x3 − 12 x 2 − 2 x + 10 . 3 Lösung 1. Schnitt mit den Koordinatenachsen 10 a) y-Achse: x = 0 Ÿ y = ; 3 1 1 10 b) x-Achse (Nullstellen): y = 0 ⇒ x3 − x 2 − 2 x + = 0 3 2 3 3 3 2 ⇔ x − x − 6 x +10 = 0 . 2 Die zu ratende Lösung findet sich unter den Teilern Polynomdivision des absoluten Gliedes 10, hier: x1 = 2, also 3 1 ( x3 − x 2 − 6 x +10) : ( x − 2) = x 2 + x − 5 3 2 2 x3 − x 2 − 6 x +10 = 0 ⇒ (x – 2) · P(x) = 0, 2 – (x3 – 2x2) wobei P(x) durch Polynomdivision bestimmt wird: 1 2 x −6x 2 3 3 2 2 1 x − x − 6 x +10 = 0 ⇔ ( x − 2)( x + x − 5) = 0 1 2 2 −( x 2 − x) 2 1 ⇔ x = 2∨ x 2 + x − 5 = 0 . – 5x + 10 2 – (– 5x + 10) –– 1 1 + 5 , d. h. Die Nullstellen ergeben sich zu x1 = 2 und x2,3 = − ± 4 16 5 x1,2 = 2 und x3 = − . (Achtung: x1,2 = 2 ist Doppelnullstelle!) 2 2. Lage und Art der Extrema y' = x2 – x – 2 y' = 0

Ÿ x2 – x – 2 = 0 ⇔ (x – 2) (x + 1) = 0 ⇔ x = 2 ∨ x = – 1.

Für x4 = 2 ist y4 = f (x4) = 0, für x5 = – 1 ist y5 = f (x5) = y"= 2x – 1

9 . 2

y" (2) = 3

Ÿ Minimum (Tiefpunkt) für T(2|0)

y" (– 1) = – 3 Ÿ Maximum (Hochpunkt) für H(–1|4,5).

Hinweis: Die Doppelnullstelle „entpuppt“ sich als Extremum . 1)

siehe hierzu nochmals Abschnitt 2.3.4

5.2 Anwendung auf Kurvenuntersuchungen

215

3. Wendepunkte

y" = 2x – 1

Ÿ 2x – 1 = 0 ⇔ x =

y" = 0

1 . 2

9 . 4 y'" = 2 > 0 Ÿ W (0,5|2,25) ist Wendepunkt, und zwar mit R-L-Übergang.

Der Funktionswert zu x6 =

1

ist y6 =

2

4. Graph

Grenzverhalten für x → ± ∞: ⎛1 ⎛1 1 1 10 ⎞ 2 10 ⎞ lim ⎜ x3 − x 2 − 2 x + ⎟= lim x3⎜ − − 2 + 3 ⎟=+∞ ; 2 3 ⎠ x→+∞ ⎝ 3 2 x x x→+∞⎝ 3 3x ⎠ ⎛1 1 2 10 ⎞ lim x3⎜ − − 2 + 3 ⎟=−∞ . ⎝ 3 2x x 3x ⎠ Der Graph (Bild 5.25) verläuft von „links unten nach rechts oben“. x→−∞

Bild 5.25

1 1 10 Graph von f (x) = x3 − x 2 − 2 x + , x ∈ R 3 2 3 ¾ Wendepunkt – Symmetrie

Ganzrationale Funktionen 3. Grades – und nur diese ! – zeichnen sich durch eine Besonderheit aus; ihre Graphen sind punktsymmetrisch zum Wendepunkt: xW p =

xH + xT 2

bzw.

yW p =

yH + yT . 2

Die Zusammenhänge lassen sich anhand der 1. und 2. Ableitungsfunktion verdeutlichen (Aufgabe !). Hinweis: Der Graph der 1. Ableitungsfunktion ist immer eine Parabel. 1

1

8

2

Ź Beispiel 2: Es sei f (x) = x 4 − x3 , x ∈ R. – Eine Kurvendiskussion ist durchzuführen. Lösung 1. Schnitt mit den Koordinatenachsen a) y-Achse: x = 0 Ÿ y = 0 (Graph von f geht durch den Ursprung) 1 1 b) x-Achse: y = 0 Ÿ x 4 − x3 = 0 ⇔ x3(x – 4) = 0, 8 2 Nullstellen sind x1,2,3 = 0 (Dreifachnullstelle!) und x4 = 4. 2. Lage und Art der Extrema

y' = 12 x3 − 23 x 2 y' = 0

⇒

1 3 3 2 x − x = 0 ⇔ x 2 ( x − 3) = 0 . 2 2

Nullstellen der 1. Ableitungsfunktion sind x5,6 = 0 und x7 = 3; y7 = f(x7) = – 3,375. y" =

3 2 x − 3x 2

y" (0) = 0 Ÿ (vermutlich) kein Extremum, sondern Sattelpunkt. 9 y" (3) = > 0 ⇒ Minimum (Tiefpunkt) für T(3|–3,375). 2

216

5 Differentialrechnung

3. Wendepunkte

3 2 x − 3x 2 y" = 0 y" =

⇒

3 2 x − 3x = 0 ⇔ x( x − 2) = 0 . 2

Man erhält x8 = 0 und x9 = 2; y9 = f (x9) = – 2. y'"(0) = – 3 Ÿ

W1(0|0) ist Wendepunkt (= Sattelpunkt) mit Übergang von Links- zu Rechtskrümmung;

y'"(2) = + 3 Ÿ

W2(2|– 2) ist Wendepunkt mit R-L-Übergang.

y'" = 3x – 3 4. Graph

Grenzverhalten für x → ± ∞: ⎛1 ⎛1 1 ⎞ 1 ⎞ lim ⎜ x 4 − x3 ⎟= lim x 4 ⋅⎜ − ⎟=+∞ ; 2 ⎠ x→+∞ ⎝ 8 2 x ⎠ x→+∞⎝ 8 ⎛1 4 1 3⎞ ⎛1 1 ⎞ lim ⎜ x − x ⎟= lim x 4 ⋅⎜ − ⎟=+∞ ; 2 ⎠ x→−∞ ⎝ 8 2 x ⎠ x→−∞⎝ 8 Der Graph (Bild 5.26) verläuft von „links oben nach rechts oben“.

Bild 5.26

1 1 Graph von f (x) = x 4 − x3 , x ∈ R 8 2

• Aufgaben 5.29

5.30

Führen Sie eine Kurvendiskussion durch: 1 a) f1(x) = − x3 + 2x2 – 3x; 3

b) f2(x) = – 6x3 + 18x2 – 15x;

d) f4(x) = – x3 + 6x2 – 9x + 2;

e) f5(x) =

1 3 3 2 9 x + x + x−2 ; 8 4 8

c) f3(x) = 3 x3 - 6 x2 +6x ; f) f6(x) = 2x3 + 4x2 + 4x + 2.

Ebenso: 1 4 1 2 x + 2 x3 + 3 x 2 ; b) f2(x) = −2 x 4 + 2 x3 + 4 x 2 ; c) f3(x) = − x 4 + x3 ; 3 6 3 3 3 5 9 1 11 d) f4(x) = − x 4 + 4 x3 − 6 x 2 ; e) f5(x) = x 4 − x3 + x 2 ; f) f6(x) = − x 4 + 2 x3 − x 2 + 6 x . 4 8 2 2 4 2 a) f1(x) =

5.31

Ebenso: a) f1(x) =

5.32

1 4 x − 2 x 2 +1 ; 3

b) f2(x) =

1 4 x − x2 +3 ; 2

c) f3(x) =

1 4 9 x + 2 x2 − . 4 4

Ebenso: 1 4 3 x − x3 − x 2 + 2 x + 2 ; 2 2 1 4 9 2 c) f3(x) = x − x + x + 3 ; 4 4

a) f1(x) =

e) f5(x) = − 1 x 4 + 1 x3 + 3 x 2 − 5 x ; 2

2

2

2

9 4 9 x − 3 x3 + x 2 − 3 ; 16 2 1 4 20 3 d) f4(x) = − x + x − 4 x 2 + 3 ; 3 9

b) f2(x) =

f) f6(x) = − 1 x 4 + x + 13 . 4

4

5.2 Anwendung auf Kurvenuntersuchungen 5.33 Ebenso: a) f1(x) = 12 x5 + 12 x 4 − 52 x3 − 12 x 2 + 4 x ;

c) f3(x) = 6x5 + 15x4 + 10x3 + 2;

217

b) f2(x) = − 18 x5 + 2 x + 3 ; d) f4(x) = 53 x5 − 2 x 4 + 2 x3 +1 .

Hinweis: Die Graphen zu b), c) und d) haben jeweils nur eine Nullstelle. 5.34

Eine Zulieferfirma der Autoindustrie, die u.a. Bauteile für die Steuerelektronik von Pkw herstellt, modelliert im Jahresabschluss ihre Gesamtkosten für diese Bauteile durch die Kostenfunktion K(x) = 0, 25 x3 − 0,75 x 2 + x + 2 mit dem ökonomischen Definitionsbereich DÖk=[0;5], wobei x für Mengeneinheiten ME in Stück/10.000 und K(x) in €/100.000 steht . a) Berechnen Sie die Gewinnschwelle und die Gewinngrenze, wenn der Erlös durch die Erlösfunktion E(x) = 2,5x beschrieben werden kann. Hinweis: Für Gewinnschwelle und -grenze gilt E(x) = K(x). b) Ermitteln Sie den maximalen Gewinn, wenn für die Gewinnfunktion gilt G(x) = E(x)-K(x). c) Stellen Sie den gesamten Sachverhalt in einem Koordinatensystem dar.

5.35

Anbietende Unternehmen versuchen der abnehmenden Attraktivität alternder Produkte und somit dem Umsatzrückgang durch verbesserte und modernisierte Produkte ab einem bestimmten Zeitpunkt entgegenzuwirken. Eine derartige Wiederbelebung wird für ein bestimmtes Produkt durch eine besondere Art von Gewinnfunktion G dargestellt, die sog. Zwei-Höcker-Funktion; hier: G ( x) =−x 4 + 20 x3 −137 x 2 + 358 x − 240 , wobei x für Jahre und G(x) für 1000 € steht. a) Bestätigen Sie, dass die erste Gewinnphase bei x = 1 beginnt und bei x = 5 endet und ermitteln Sie Anfang und Ende der zweiten Phase, in der positive Gewinne erwirtschaftet werden. b) Berechnen Sie, wann in beiden Phasen Maximalgewinne aufgetreten sind und welche Ausmaße sie gehabt haben.

5.36

Geben Sie für nachstehende Funktionen die Wendetangenten ihrer Funktionsgraphen an: a) f1(x) = – 2x3 + 4x + 1; 1 c) f3(x) = x3 − 3x 2 + 4 x −1 ; 2

5.37

b) f2(x) = x3 + 3x2; 1 d) f4(x) = x3 + x 2 + x + 3 . 3

Erstellen Sie für nachfolgende Funktionen die Funktionsgleichungen der Wendenormalen und errechnen Sie, wo und unter welchen Winkeln sich jeweils die Wendenormale mit zugehörigem Funktionsgraphen schneidet: 1 3 1 5 a) f1(x) = − x3 + x 2 − x + ; b) f2(x) = x3 – 3x2 + 4x + 1. 2 2 2 2 Hinweis: Die Wendenormale verläuft orthogonal zur Wendetangente.

5.38

Es sei f(x) =

1 4 x − x3 , x ∈ R. 4

Erstellen Sie die Funktionsgleichung der Wendetangente mit Steigung mt ≠ 0 und geben Sie Schnittpunkt sowie Schnittwinkel mit dem Graphen von f an. 5.39

Berechnen Sie, in welchen Punkten und unter jeweils welchem Winkel sich die Wendetangenten der Graphen folgender Funktionen schneiden: 1 9 5 1 3 3 a) f1(x) = – x 4 + x3 − x 2 + 2 x − ; b) f2(x) = + x 4 − x3 + x 2 . 8 4 8 8 4 2

218

5 Differentialrechnung

5.2.4 Funktionssynthese Neben den bislang praktizierten Kurvenuntersuchungen sind solche Problemstellungen von Bedeutung, bei denen aufgrund vorgegebener Bedingungen wie z. B. Mess- oder Planungsdaten die Funktionsgleichungen mehr oder weniger angenähert zu ermitteln sind, gewissermaßen also eine umgekehrte Kurvendiskussion zu erfolgen hat. Für ganzrationale Funktionen n-ten Grades bedeutet es, über (n +1) voneinander unabhängige Informationen zu verfügen, mittels derer ein Gleichungssystem mit (n +1) algebraischen Gleichungen erstellt werden kann. Ź Beispiel 1: Bild 5.27 zeigt zwei geradlinig verlaufende Teile einer in Planung befindlichen Achterbahn. Das fehlende Zwischenstück soll ohne Knick und ohne Sprung durch ein parabelförmiges Segment ergänzt werden. Unter Bezug auf ein bestimmtes KO-System kann zur Bestimmung der Parabelgleichung von folgenden Planungsdaten (Angaben in m) ausgegangen werden: linkes Geradenstück:

gl(x) = – x + 5, x∈[–8;0],

rechtes Geradenstück: gr(x) =

1 2

Bild 5.27

x + n , x∈[12;20], wobei n = ?

Lösung Für die gesuchte Funktionsgleichung ergibt sich der Ansatz y = f ( x) = ax ² + bx + c . Aufgrund vorgegebener Planungsdaten resultieren folgende Aussagen: a) Sprungfreier Übergang von gl zur Parabel: f ( x) = ax 2 + bx + c⎫ ⎬⇒ c = 5; f (0) = 5 ⎭

b) knickfreier Übergang von gl zur Parabel: f '( x) = 2ax + b⎫ ⎬⇒ 2a⋅0 + b =−1, also b =−1; f '(0) =−1 ⎭ c) knickfreier Übergang von der Parabel zu gr: f '( x) = 2ax + b ⎫ ⎪ 1 1 ⎬⇒ 2a⋅12 + b = , also 24a + b = . f '(12) = 12 2 2 ⎪ ⎭ Mit b = –1 folgt 24a - 1 =

1 1 ⇔ a= . 2 16

1 2 Die Funktionsgleichung für das einzusetzende Parabelstück lautet f ( x ) = 16 x − x + 5.

Um einen sprungfreien Übergang von der Parabel zur Geraden gr zu gewährleisten, muss das im Stützpunkt P(12|2) erfolgen; entsprechend ist gr durch gr(x) =

1 2

x - 4 (Aufgabe!) zu modellieren.

5.2 Anwendung auf Kurvenuntersuchungen

219

Ź Beispiel 2: Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades besitzt für x = – 1 eine waagerechte Tangente sowie einen Wendepunkt W(1|2); die Wendetangente verläuft parallel zur Geraden g ≡ y = – 2x. – Die beschriebene Funktion ist anzugeben . Lösung: Die gesuchte Funktion lässt sich allgemein in der folgenden Form schreiben: y = ax3 + bx2 + cx + d. Aufgrund vorgegebener Bedingungen resultieren nunmehr nachstehende Bestimmungsgleichungen: a) W gehört zum Funktionsgraphen, also Punktprobe mit W(1|2): f (x) = ax3 + bx2 + cx + d f (1) = 2

Ÿa+b+c+d=2

(1);

b) waagerechte Tangente für x = – 1: f '(x) = 3ax2 + 2bx + c f '(– 1) = 0

Ÿ 3a – 2b + c = 0

(2);

c) Wendetangente parallel zu g ≡ y = – 2x, also mtw = – 2: f '(x) = 3ax2 + 2bx + c f '(1) = – 2

Ÿ 3a + 2b + c = – 2

(3);

d) Wendepunkt hat die Abszisse xWp = 1: f "(x) = 6ax + 2b f "(1) = 0

Ÿ 6a + 2b = 0

(4).

Das (lineare) Gleichungssystem für die Variablen a, b, c und d besteht aus vier voneinander unabhängigen algebraischen Gleichungen. Es ergeben sich die Lösungen (bitte nachprüfen !) 1 1 3 23 a = , b =− , c =− und d = , also 6 2 2 6 1 1 3 23 y = x3 − x 2 − x + . 6 2 2 6

• Aufgaben 5.40

Bestimmen Sie jeweils die Funktionsgleichung der Parabel, die a) die x-Achse bei x0 = – 1 schneidet und in P(3|2) eine waagerechte Tangente besitzt ; b) in P(– 3|1) eine Tangente hat, die die x-Achse in N(– 1|0) schneidet und für die durchgängig y" = 1 gilt.

5.41

Eine Skischanze bestimmter Bauart lässt sich im Absprungbereich des Schanzentisches wie folgt modellieren (Angabe in m): 1 2 f ( x ) = 40 x für x ∈ [0; 20] . - Für x ∈ [20; 30] verläuft die Schanze übergangslos geradlinig. Berechnen Sie die Absprunggeschwindigkeit der Skispringer, wenn sich der Schanzeneinstieg horizontal gemessen 30 m vom Schanzentisch entfernt befindet. Hinweis: Zwecks Vereinfachung soll der Energieerhaltungssatz m⋅ g ⋅h = m2 v 2 gelten.

5.42

Ermitteln Sie, zu welcher ganzrationalen Funktion 3. Grades ein Funktionsgraph mit Extremum E(– 1|5) sowie Wendepunkt W(1|3) gehört.

220

5 Differentialrechnung

5.43

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades geht durch den Ursprung und besitzt einen Wendepunkt mit der Abszisse xW = – 2, ferner schneidet die Wendenormale die x-Achse in N (− 4 | 0) unter einem Winkel von σN = 45°. – Geben Sie seine Funktionsgleichung an . 3

5.44

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades schneidet die Parabel mit P(x) = x2 – 2x im Ursprung rechtwinklig und hat seinen Wendepunkt dort, wo die Parabel ein zweites Mal die x-Achse schneidet. – Geben Sie die Funktionsgleichung an .

5.45

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades berührt mit seinem Wendepunkt die Parabel mit der Funktionsgleichung P(x) = x2 – 2x in deren Scheitel und schneidet die Ordinatenachse in Q(0|–2). – Geben Sie die Funktionsgleichung an .

5.46

Geben Sie die ganzrationale Funktion 3. Grades an, deren Graph einen Hochpunkt H(–2|3) aufweist und die Parabel P ≡ y = – x2 + 2x + 4 an der Stelle xB = – 1 berührt .

5.47

Wie lautet die Funktionsgleichung der ganzrationalen Funktion 3. Grades, deren Graph einen Wendepunkt mit der Abszisse xW = 1 hat, die x-Achse im Ursprung berührt und sie ein weiteres Mal unter 45° schneidet ?

5.48

Es sei f (x) = x3 – 3x2 – x + 3, x ∈ R. a) Gesucht ist die ganzrationale Funktion 3. Grades, die für x ∈ R+ (!) dieselben Nullstellen aufweist wie f und deren Graph in W (0|– 1) einen Wendepunkt besitzt. b) Wo schneidet der Graph von f den Graphen der gesuchten Funktion ein weiteres Mal ?

5.49

Der wirtschaftliche Zusammenhang zwischen der Produktionsmenge x, den Herstellungskosten K(x) und den Grenzkosten K’(x) eines bestimmten Produktes ist unvollständig in nebenstehender Tabelle festgehalten. – Vervollständigen Sie diese.

5.50

x K(x) K’(x)

0

2 31

15

4

6

11

45

Berechnen Sie zwecks CNC-Programmierung des in Bild 5.28 dargestellten Blechteiles die Ordinate des Stützpunktes P, wenn die Kontur dem Graphen einer ganzrationalen Funktion 3. Grades entspricht. Hinweis: Geben Sie die Maßangaben in cm ein.

Bild 5.28

Zwei geradlinig verlaufende Straßenabschnitte (jeweils 6 m Breite) sollen durch einen Übergangsbogen gemäß Bild 5.29 (Angabe in m) möglichst glatt miteinander verbunden werden. Um die Straßenführung abstecken zu können, muss die Funktionsgleichung ermittelt werden. Geben Sie diese unter Bezug auf das einen Messpunkt markierende eingetragene Koordinatensystem an.

40m y P(-20|10) 20m

5.51

Bild 5.29

x

Q(20|-10)

5.3 Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen 5.52

221

In einer Sägerei werden zum Betrieb der Sägen Drehstrom-Asynchron-Motoren eingesetzt, für die folgende Daten gelten: Antriebsdrehmoment: MA = 62,5 Nm, Nenndrehmoment Mn = 25 Nm bei nn = 2835 min-1 . Das maximale Drehmoment von 74,5 Nm stellt sich bei einer Drehzahl von 2000 min-1 ein. Zur Kundeninformation soll die Drehzahl-Drehmomenten-Kennlinie der Motoren möglichst genau mit einem Computerprogramm gezeichnet werden. Ermitteln Sie dazu die Gleichung der ganzrationalen Funktion 3. Grades in der Form M = f (n), wobei die Skalierung von n auf der Horizontalachse in

min−1 1000

vorgenommen werden soll.

Hinweis: Geben Sie die Koeffizienten a, b, c gerundet als ganze Zahlen an. 5.53

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 4. Grades besitzt im Ursprung einen Hochpunkt und weist in P(2|–4) eine Ursprungsgerade als Wendetangente auf. – Geben Sie die zugehörige Funktionsgleichung an.

5.54

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 4. Grades geht durch den Ursprung des Koordinatensystems, hat in W1 (1| −0,625) einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente sowie einen weiteren Wendepunkt mit der Abszisse xW = 3.- Geben Sie die Funktionsgleichung an.

5.55

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 4. Grades besitzt einen Tiefpunkt T (0|0) und einen Flachpunkt mit der Abszisse xF = 2; die Tangente ist dort mit tF ≡ y = 4x – 2 angegeben. Wie heißt die zugehörige Funktionsgleichung ?

5.56

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 4. Grades hat in Sp(2|0) einen Sattelpunkt und geht unter einem Winkel von 135° durch den Ursprung. – Geben Sie die Funktionsgleichung an .

5.57

Der zur y-Achse symmetrische Graph einer ganzrationalen Funktion 4. Grades geht durch P(–3|1) und hat in W ( 3 | 3) einen Wendepunkt. Wie heißt die Funktionsgleichung?

5.58

Der zur y-Achse symmetrische Graph einer ganzrationalen Funktion 4. Grades besitzt einen Wendepunkt Wp(1|1) mit R-L-Übergang. – Bestimmen Sie die zugehörige Funktionsgleichung, wenn die Wendetangenten orthogonal zueinander sind .

5.59

Ermitteln Sie jeweils die Gleichung der ganzrationalen Funktion 5. Grades, deren Graph

2

a) sowohl im Ursprung als auch für P(–1|–2) je einen Sattelpunkt aufweist; b) die x-Achse bei x0 = 2 berührt und im Ursprung eine Wendenormale nw(x) =

1 2

x hat.

5.3 Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen Optimalität ist eine Fundamentalidee menschlichen Strebens: Viele Probleme naturwissenschaftlicher, technischer und auch nichttechnischer Art erfordern eine optimale (sprich wirtschaftliche) Lösung, d. h. je nach Problemstellung ist eine Maximierung bzw. Minimierung anzustreben. Dazu ist oftmals hilfreich, den zu optimierenden Sachverhalt mittels differenzierbarer Funktion zu beschreiben und für den zugehörigen Funktionsgraphen die Abszisse zu ermitteln, für die sich ein Maximum oder ein Minimum ergibt. Die Vorgehensweise entspricht einer verkürzten Kurvendiskussion: Die Nullstellen sind wegen des Definitionsbereichs bis zu einem gewissen Grade relevant; in erster Linie interessiert das Extremum, nicht dagegen ggf. existierende Wendestellen und auch nicht der Graph.

222

5 Differentialrechnung

Ź Beispiel 1: Zur Herstellung eines Blechbehälters mit quadratischer Grundfläche soll zunächst aus 21,3 m langem gleichschenkligem Winkelstahl ein umlaufender Versteifungsrahmen gefertigt werden. Es sind die Abmessungen (in mm) zu bestimmen, die ein maximales Behältervolumen gewährleisten. Lösung Aufgrund der in der Schemazeichnung (Bild 5.30) eingeführten Variablen ergibt sich für das zu maximierende Volumen V = x2y, wobei V Funktion zweier Veränderlicher ist: V = f (x, y). Mittels Nebenbedingung lässt sich eine Variable durch die andere beschreiben: 21,3− 8 x ⇔ y =−2 x + 5,325 . Somit resultiert 21,3 = 8x + 4y ⇔ y = 4 V = x2 ⋅ (– 2x + 5,325),

Bild 5.30

wobei nunmehr V Funktion einer Veränderlichen ist: V = f (x); also V(x) = –2x3 + 5,325x2 (gelesen: V von x gleich ...). Bild 5.31 zeigt den Funktionsgraphen.

Bild 5.31

⎡ 5,325 ⎤ Graph von f: V(x) = – 2x3 + 5,325x2, x ∈⎢ 0; ⎥ ⎣ 2 ⎦ ⎧ ⎡ 5,325 ⎤⎫ ⎬ (wieso?), wobei den Randpunkten Der Definitionsbereich dieser Funktion ist Df = ⎨x | x ∈⎢ 0; ⎣ ⎦⎭ 2 ⎥ ⎩ R

des Intervalls hier nur untergeordnete Bedeutung zukommt: Das Volumen hat dort jeweils den Wert 0 . Die notwendige Bedingung für Extrema führt auf V ' (x) =

dV = – 6x2 + 10,65x dx

V ' (x) = 0

Ÿ – 6x2+ 10,65x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 1,775.

Die 2. Ableitung verschafft Gewissheit: V " (x) = – 12x + 10,65 Ÿ V " (1,775) < 0 Ÿ Maximum für x = 1,775 ; wegen der Nebenbedingung resultiert y = – 2 ⋅ 1,775 + 5,325 Ÿ y = 1,775. Der Behälter maximalen Volumens hat Würfelform mit einer Kantenlänge von x = y = 1775 mm. Das maximale Volumen beträgt Vmax = 5,59 m3, was der Ordinate des Hochpunktes entspricht.

Das Lösungsschema für Extremwertaufgaben lässt sich allgemein wie folgt angeben:

5.3 Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen

223

1. Soweit erforderlich, Skizze anfertigen und Variable einführen. 2. Für die Größe, die ein Maximum oder Minimum annehmen soll, mit Hilfe der Variablen den funktionalen Zusammenhang erstellen. – In der Regel ergeben sich Funktionen mehrerer Veränderlicher. 3. Mittels Nebenbedingung(en) den funktionalen Zusammenhang reduzieren auf eine Funktion mit einer Veränderlichen und den Definitionsbereich dieser Funktion angeben. 4. Abszisse des gesuchten Extremums1) bestimmen, also 1. Ableitung bilden und 0 setzen (notwendige Bedingung für Extrema). 5. Ggf. Nachweis bezüglich Maximum oder Minimum führen, also 2. Ableitung bilden (hinreichende Bedingung für Extrema). – Dieser Nachweis kann unterbleiben, wenn sich die Sachlage aus dem Zusammenhang heraus eindeutig ergibt. 6. Die in der Aufgabenstellung enthaltenen Fragen beantworten. Noch einmal: Vorrangig die Extremstellen sind von Interesse. Insofern ist es erlaubt, die zu untersuchende Funktion – soweit möglich ! – zu vereinfachen, indem man z. B. einen im Funktionsterm auftretenden konstanten Faktor wegfallen lässt oder gar das Quadrat der Funktion betrachtet: Die Extremstellen ändern sich dadurch nicht. – Dafür ein weiteres Beispiel: Ź Beispiel 2: Aus einer Edelstahlblechabwicklung mit der Stärke t = 5 mm und konstruktiv bedingt vorgegebener Mantellinie von s = 6 soll ein kegelförmiger Trichter für eine Getreidetrocknungsanlage angefertigt werden. – Durchmesser und Höhe des Trichters sind unter Vernachlässigung des Auslaufdurchmessers so anzugeben, dass das Volumen maximal wird. Lösung: Gemäß der in Bild 5.32 eingeführten Variablen ist das Volumen 1 π x2 V= ⋅ ⋅h ; 3 4

die Nebenbedingung liefert s 2 =

( 2x ) + h2 2

1 oder h = ⋅ 4 s 2 − x 2 . 2

Somit resultiert V ( x) = V ( x) =

π 12

π 24

1 x 2 ⋅ ⋅ 4s 2 − x 2 2

oder mit s =

Bild 5.32

6 dm

x 2 ⋅ 24 − x 2 , wobei x ∈ [0; 24 ] ist (wieso ?).

Die Vereinfachung besteht darin, den konstanten Faktor

π 24

des Funktionsterms wegfallen zu lassen und

nachfolgende Ersatzfunktion zu betrachten: V (x) = x2 ⋅ 24 − x 2 .

Diese Funktion kann mit den bislang dargestellten Differentiationsregeln nicht differenziert werden. Ein „Trick“ hilft weiter, nämlich die quadrierte Funktion der weiteren Untersuchung zu unterziehen:

1)

Überwiegend wird es sich hierbei um das absolute Extremum der Funktion handeln. Vorsicht ist angebracht, wenn die Abszissen der Extrema außerhalb des (sinnvollen) Definitionsbereichs liegen; insbesondere dann muss untersucht werden, ob Randextrema existieren.

224

5 Differentialrechnung [ V (x)]2 := Q(x) = x4 ⋅ (24 – x2) oder Q (x) = – x6 + 24x4.

Die notwendige Bedingung für Extrema liefert Q '( x) =

dQ =−6 x5 + 96 x3 = 0 ⇒ 6 x3 ( x 2 −16) = 0 ; dx

man erhält x1,2,3 = 0, x4 = 4 und x5 = – 4. Der Trichter muss einen Durchmesser von d := x = 4 m haben; seine Höhe ergibt sich aufgrund der Nebenbedingung zu h = 2 m. Alternativlösung: Sie bestätigt einerseits die Richtigkeit obiger Vorgehensweise (Quadrieren !) und zeigt andererseits, dass es unerheblich ist, mittels welcher Variablen der funktionale Zusammenhang beschrieben wird. Die Hauptbedingung V =

⎛ x ⎞2 x 2 h kann mit der Nebenbedingung s2 =⎜ ⎟ + h2 ⇔ x2 = 4s2 – 4h2 über⎝2⎠ 12

π

führt werden in V(h) = Ÿ V(h) =

V (h) =

π 12

π 3

π 3

(4s2 – 4h2) ⋅ h (Achtung: V = f (h))

⋅ (s2 – h2) ⋅ h oder mit s = 6 dm ⋅ (6 – h2) h.

Es genügt folgende Ersatzfunktion zu betrachten: V (h) = (6 – h2) ⋅ h = – h3 + 6h.

Die notwendige Bedingung für Extrema liefert V ' (h) =

dV = – 3h2 + 6 = 0 ⇔ h2 = 2, wobei nur die Lösung h = + 2 sinnvoll ist. dh

• Aufgaben 5.60

Lösen Sie – falls noch nicht im Zusammenhang mit Anwendung quadratischer Funktionen geschehen – die Aufgaben 2.138–2.143 (ĺ S. 92 f.) mittels Differentialrechnung.

5.61

a) In einer Stanzerei fallen quadratische Abfallstücke aus Messingblech (240 mm × 240 mm) an. Ein findiger Betriebsingenieur schlägt vor, hieraus durch Ausschneiden von Quadraten in den 4 Ecken (Bild 5.33), anschließendem Abkanten und Verlöten oben offene Kästchen herzustellen und auf den Markt zu bringen. Berechnen Sie, für welche Abszisse x das Volumen maximal wird. Geben Sie die Abmessungen der Kästchen an.

Bild 5.33

b) Ermitteln Sie, welche Kästchen-Abmessungen sich bei gleicher Zielsetzung ergeben, wenn die Abfallstücke DIN A4-Format (210 mm × 297 mm) haben. c) Lösen Sie das Problem allgemein für Abfallstücke mit den Maßen a × b.

5.3 Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen 5.62

225

Aus Karton (450 mm × 300 mm) werden durch Ausschneiden von Quadraten gemäß Bild 5.34 Halbzeuge gefertigt, aus denen sich Schachteln falten lassen, deren Deckel auf 3 Seiten übergreifen. Bestimmen Sie die ein maximales Volumen gewährleistenden Schachtelabmessungen. Bild 5.34

5.63

Oben offene Streichholzschachteln mit rechteckigem Querschnitt sollen wegen der besonderen Art von Zündhölzern zum Anzünden von Kaminholz bei einem geplanten Volumen von 0,54 l eine Länge von 200 mm aufweisen. Ermitteln Sie die Abmessungen unter Einbezug der Hülle so, dass zur Herstellung minimaler Materialverbrauch ansteht. Hinweis: Bei der Hülle ist zu berücksichtigen, dass für eine der beiden kleineren Flächen eine Materialüberlappung vorzunehmen ist. – Toleranzen sollen außer Acht bleiben.

5.64

Ein Teegroßhändler vertreibt verschiedene seiner Teesorten in Büchsen aus Weißblech mit quadratischer Grundfläche und verschließt sie mit einem Kunststoffdeckel. Geben Sie die Abmessungen an, wenn die Behälter bei minimalem Blechverbrauch ein Volumen von 1 l aufweisen.

5.65

Ein Hausbesitzer plant den Anbau einer 18 m2 großen Veranda, deren Dachgesims eine Holzverkleidung erhalten soll. – Wie sind die Verandaabmessungen (Länge × Breite) zu wählen, wenn die umlaufende Holzattika wegen der Kosten eine minimale Länge aufweisen soll ? Hinweis: Die Veranda wird an einer Seite von der Hauswand begrenzt .

5.66

In den Service-Informationen der Deutschen Post AG (Stand: 07/2006) heißt es unter der Rubrik „DHL Päckchen“ für den internationalen Versand von Päckchen in Rollenform, dass Länge plus zweifacher Durchmesser zusammen nicht mehr als 104 cm betragen dürfen. Welches sind die ein Maximalvolumen gewährleistenden Abmessungen ?

5.67

Aus gleicher Quelle ist zu entnehmen, dass quaderförmige Päckchen im internationalen Versand höchstens wie folgt abgemessen sein dürfen: „L + B + H = 90, keine Seite länger als 60 cm“. Welche Maße sind zu empfehlen, wenn ein maximales Volumen erwünscht ist und sich aus verpackungstechnischen Gründen Länge zu Breite wie 3:2 verhalten sollen ?

5.68

Kunststoff-Fenster werden zwecks besserer Steifigkeit mit einem Aluminium- oder Stahlkern versehen; aus diesem Grunde resultiert der Fensterpreis in erster Linie in Abhängigkeit von der Profillänge des Fensterrahmens. Welche Abmessungen sollte man zweckmäßigerweise für ein rechteckiges Fenster wählen, das wegen der einfallenden Lichtmenge eine Fläche von A = 2,25 m2 haben müsste ?

5.69

Welche Fensterabmessungen sind zu wählen, wenn das Fensterformat aus einem ringsum gerahmten Rechteck mit aufgesetztem Halbkreis besteht, für das Aufmaß eine Profillänge von 6 m zu Grunde gelegt und eine maximale Fensterfläche angestrebt wird ?

5.70

Zwei Kondensatoren ergeben parallel geschaltet eine Gesamtkapazität von C = C1 + C2 = 8 μF. Bestimmen Sie C1 und C2 so, dass bei Reihenschaltung die Gesamtkapazität maximal wird. Hinweis: Reihenschaltung von Kondensatoren: 1 = 1 + 1 . C C1 C2

226 5.71

5 Differentialrechnung Mit einem Schneidwerkzeug sollen Bleche mit den Abmessungen 3 mm × 60 mm × 100 mm mit je zwei Langlöchern (Bild 5.35) versehen werden, die aus konstruktiven Gründen zusammen eine Fläche von 1 400 mm2 aufweisen müssen. Wie sind die Abmessungen zu wählen, wenn die Schnittkante L wegen der damit in direktem Zusammenhang stehenden Schnittkräfte minimal sein soll ? Bild 5.35

5.72

Das Ergebnis der in Aufgabe 5.71 aufgeführten Problemstellung erfordert ein Umdenken: Es sollen nunmehr Langlöcher ausgeschnitten werden, die eine Rechteckform mit einem aufgesetzten Halbkreis aufweisen. – Geben Sie die Abmessungen an, wenn die Zielsetzung (minimale Schnittkantenlänge!) dieselbe sein soll .

5.73

Durch Tiefziehen sollen 2-Liter-Kochtöpfe ohne Deckel hergestellt werden. Geben Sie die Abmessungen so an, dass der Materialverbrauch minimal wird .

5.74

Eine Firma stellt zylinderförmige Dosen mit Deckel her. Als Halbzeuge dienen Weißbleche gemäß Bild 5.36 mit einer Fläche von A = 6 dm2. Bestimmen Sie die Dosenabmessungen für ein maximales Volumen. Bild 5.36

5.75

Ein Erdtank zur Lagerung von leichtem Heizöl soll aus zwei halbkugelförmigen Spezialbetonschalen und einem Hohlzylinder gleichen Materials so gefertigt werden, dass sich ein Fassungsvermögen von 6000 Litern ergibt. Wie sind die Abmessungen zu wählen, wenn wegen der erforderlichen Ummantelung mit glasfaserverstärktem Kunststoff die Oberfläche minimal sein soll ?

5.76

Ein an seinen Enden frei aufliegender Balken mit rechteckigem Querschnitt (b × h) biegt sich bei gleichmäßig auf gesamter Länge verteilter Last umso weniger durch, je größer das Wider1 standsmoment W = bh2 des Balkenquerschnitts ist. 6 a) Bestimmen Sie die Abmessungen des Balkens mit geringster Durchbiegung, der aus einem runden Holzstamm mit dem Durchmesser d = 300 mm herausgeschnitten werden kann. b) Geben Sie allgemein das Verhältnis von Breite zu Höhe an . c) Bewerten Sie in diesem Zusammenhang die folgende Zimmermannsregel: „Trage im kreisförmigen Querschnitt des Baumstammes den Durchmesser mit Anfangspunkt A und Endpunkt B ein. Teile AB in drei gleiche Abschnitte und errichte in den Teilungspunkten jeweils die Senkrechte, im ersten Teilungspunkt nach oben, im zweiten Teilungspunkt nach unten abgetragen. Diese Senkrechten markieren zusammen mit der Peripherie des Kreises die Schnittpunkte C und D. ABCD umreißt den Rechteckquerschnitt des auszuschneidenden Balkens mit optimaler Biegesteifigkeit.“

5.77

Ein größeres Drehteil hat die Form eines Zylinders mit aufgesetztem Kegel und muss wegen erforderlicher Gewichtskraftbeschränkung ein Volumen von V = 48 π Litern aufweisen. Ermitteln Sie die Abmessungen für Kegel und Zylinder, wenn die Oberfläche wegen der daraus resultierenden Kosten für eine nachfolgende Oberflächenhärtung minimal sein soll und die Höhe des Kegels aus konstruktiven Gründen

2 3

des Grundkreisdurchmessers zu betragen hat .

5.3 Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen

227

5.78

Ein Hersteller für Sonnenkollektoren und sog. Energiedächer will seine Erzeugnisse auf einer Fachmesse vorstellen. Zu diesem Zwecke wird ein Ausstellungspavillon in Form einer quadratischen Pyramide entworfen, der genügend Dachflächen bereitstellt (A = 173,205 m2). Geben Sie die erforderlichen Abmessungen so an, dass das Innere des Pavillons für zusätzliche Aggregate und Informationsstände einen möglichst großen umbauten Raum gewährleistet.

5.79

Die Querschnittsfläche eines durch Regenwasser ausgewaschenen Straßengrabens kann angenä1 8

hert als Parabelsegment mit der Funktionsgleichung y = x 2 −

3 2

aufgefasst werden.

Welche Abmessungen müsste der Graben erhalten, wenn er im Zuge einer Straßenverbreiterung rechteckig ausgemauert werden soll und ein maximaler Strömungsquerschnitt erwünscht ist ? 5.80

Der Mantel eines Kegels entspricht einer Kreisausschnittsfläche mit Zentriwinkel ϕ. – Wie groß muss ϕ gewählt werden, damit das Kegelvolumen maximal wird ? Hinweis: Beachten Sie, dass die Mantellinie konstant ist.

5.81

Eine Tunnelröhre, deren Querschnitt (Bild 5.37) sich angenä1 3

hert durch f (x) = – x2 + 4 symbolisieren lässt, soll wegen Baufälligkeit so ausgemauert werden, dass eine nunmehr rechteckige Durchfahrt mit maximaler Querschnittsfläche entsteht. Geben Sie die Abmessungen des rechteckigen Tunnelquerschnitts an. 5.82

Bild 5.37

Bei der Planung einer Schwimmhalle wird beabsichtigt, eine der beiden parabelförmigen Giebelseiten so zu verglasen, dass sich eine möglichst große dreieckige Fensterfläche mit rechtem Winkel gemäß Bild 5.38 ergibt. Ermitteln Sie die Fenstermaße. Bild 5.38

5.83

Das Bauamt einer Stadtverwaltung soll auf Beschluss des Stadtrates einen Bebauungsplan erstellen. Ein Eckgrundstück (Bild 5.39) ist so einzubeziehen, dass ein Bauplatz von 1010 m2 Größe ausgewiesen werden kann. Legen Sie die Abmessungen für die beiden Straßenfronten so fest, dass sie wegen resultierender Straßenreinigungskosten minimal lang werden. Hinweis: Eine mögliche Alternative ist gestrichelt angegeben.

Bild 5.39

5.84

Berechnen Sie, welcher Punkt der Parabel mit f (x) = x2 + 1 am nächsten z u P(3|1) liegt.

5.85

Es sei f (x) =

5.86

Durch P(3|2) soll eine Gerade so hindurchgezeichnet werden, dass die von ihr sowie den Koordinatenachsen begrenzte Dreiecksfläche im 1. Quadranten des Koordinatensystems minimal wird. Bestimmen Sie rechnerisch die Funktionsgleichung dieser Geraden .

5.87

Es sei f (x) =

4 2 x2

1 27

, x ∈ R+. Welcher Punkt von Gf hat die kürzeste Entfernung zum Ursprung ?

x3 , x ∈ R + 0 . Bestimmen Sie P ∈ Gf so, dass der Abschnitt, den die Normale in P

auf der y-Achse abschneidet, ein Minimum wird.

228

6 Integralrechnung

6 Integralrechnung Differential- und Integralrechnung werden üblicherweise unter dem Sammelbegriff Infinitesimalrechnung1) aufgeführt: Infinitesimalrechnung Differentialrechnung

Integralrechnung

(Tangentenproblem: Ableitung)

(Flächenproblem: bestimmtes Integral)

Bei der Integralrechnung steht eine geradezu klassisch anmutende anwendungsbezogene Thematik im Vordergrund, nämlich den Flächeninhalt beliebiger ebener Flächenstücke zu bestimmen. Eine Aufgabenstellung, die zunächst einmal keinen Zusammenhang mit dem Tangentenproblem der Differentialrechnung erkennen lässt und die obige Begriffszusammenfassung nicht zu rechtfertigen scheint. – Die Nahtstelle zwischen Differential- und Integralrechnung aufzuzeigen ist eine der Aufgaben dieses Kapitels.

6.1 Das bestimmte Integral 6.1.1 Das Flächenproblem Vorbemerkungen Es geht nicht darum, die unter elementar-geometrischen Gesichtspunkten zu ermittelnden Flächeninhalte geradlinig begrenzter Flächen wie Dreieck, Rechteck, Trapez usw. einer vertiefenden Betrachtung zu unterziehen. Vielmehr ist zu thematisieren, wie der Flächeninhalt eines beliebigen ebenen Flächenstücks allgemein definiert und berechnet werden kann. Dass diese Fragestellung praktischen Bezügen entspringt, zeigen nachfolgende Beispiele: 1. Einem Körper, der sich unter Einwirkung einer Kraft F entlang einer Wegstrecke s von s1 = a nach s2 = b bewegt, wird Arbeit W zugeführt. Sie entspricht im F, s-Diagramm der Größe des Flächenstücks, das zwischen dem Graphen der Kraft-Weg-Funktion und der Abszissenachse s liegt sowie von den Parallelen s1 = a und s2 = b begrenzt wird. Bild 6.1 zeigt ein solches Diagramm, und zwar mit veränderlicher 2) Kraft F. Bild 6.1 Arbeit W als Fläche im F, s-Diagramm (F ≠ const.)

1) 2)

Die Rechnung mit unendlich kleinen Größen Ist F konstant, resultiert die bekannte Beziehung W = F ⋅ s bzw. hier W = F ⋅ (sb – sa), was der Maßzahl einer entsprechend dimensionierten Rechteckfläche im F, s-Diagramm entspricht.

6.1 Das bestimmte Integral

229

Konkreter: Die Fläche unterhalb einer degressiven1) Federkennlinie (Bild 6.2) liefert die Maßzahl für die in einer Feder bei Belastung (hier bis zu einer Dehnung sx) gespeicherten Federungsarbeit. Das Flächenstück unter der Kurve eines Spannungs-Dehnungs-Diagramms (Bild 6.3) gibt das Maß für die beim Zugversuch aufzuwendende Verformungsarbeit bis zum Bruch des Probestabes an.

Bild 6.2 Federungsarbeit bei degressiver Federkennlinie

Bild 6.3 Verformungsarbeit als Fläche im Spannungs-Dehnungsdiagramm

2. Im ν, t-Diagramm wird mit der Fläche unterhalb des Kurvenzuges der zurückgelegte Weg s angegeben. – Bild 6.4 zeigt den Zusammenhang für eine Bewegung mit veränderlicher Beschleunigung (hier bis zu einer Zeit tx). 3. Die Verbrennungsarbeit eines 4-Takt-Motores ergibt sich als Maßzahl der in Bild 6.5 schraffierten Fläche eines p, V-Diagramms.

Bild 6.4 Der Weg als Fläche im ν, t-Diagramm

Bild 6.5 Verbrennungsarbeit als Fläche im p, V-Diagramm

Flächeninhaltsfunktion Das zu entwickelnde Verfahren soll an konkreten Beispielen aufgezeigt werden. Um die Richtigkeit der Vorgehensweise überprüfen zu können, erfolgt zunächst einmal die Flächenbestimmung geradlinig begrenzter Flächenstücke unter folgender Maßgabe:

1)

Bei Federn mit degressiven Kennlinien (z. B. Gummi bei Zugbelastung) nimmt die Federhärte mit steigender Belastung ab.

230

6 Integralrechnung

1. Die Flächenstücke liegen im 1. Quadranten des Koordinatensystems1) 2. Die 1. Begrenzungslinie ist generell die x-Achse. 3. Die zweite, in y-Richtung vorzunehmende Begrenzung ist jeweils durch einen Funktionsgraphen gegeben. Die zugehörige Funktion heißt demzufolge Randfunktion. 4. Ausgangspunkt (= Bezugspunkt) für die Maßzahlen der Flächeninhalte ist der Ursprung des Koordinatensystems bzw. die Ordinatenachse. 5. Die vierte, in positiver x-Richtung vorzunehmende Begrenzung ergibt sich durch die Variable x, die geometrisch eine Parallele zur y-Achse markiert. 1. Beispiel: Randfunktion

f1(x) = 1

Bild 6.6 veranschaulicht den Sachverhalt. Die Maßzahlen für die Rechteckflächen ergeben sich in Abhängigkeit von der jeweiligen Abszisse: x = 1 führt auf A(1) = [ A]10 = 1 FE (= Flächeneinheit),

x = 2 führt auf A(2) = [ A]02 = 2 FE,

x = 3 führt auf A(3) = [ A]30 = 3 FE, usw. Der Flächeninhalt offenbart einen funktionalen Aspekt.

Bild 6.6 f1(x) = 1 und [ x]10

Bezogen auf den Ursprung des Koordinatensystems2) ergibt sich die ¾ Flächeninhaltsfunktion A(x) :=

F1(x) = x

.

Entsprechend ist A(a) = F(a) = [ x]0a = a und A(b) = F(b) = [ x]b0 = b. Anschaulich erschließt sich für das von x = a und x = b mit a < b begrenzte Flächenstück A (Bild 6.7) A = [ A]ba = [ x]b0 – [ x]0a = : [ x]ba = b – a.

Bild 6.7 A(x) = [ x]ba

Mit der Schreibweise [ A]ba = [ x]ba wird angezeigt, dass –

das betrachtete Flächenstück A in x-Richtung durch das Intervall [a; b] markiert ist und

–

sich seine Maßzahl mit Hilfe der Flächeninhaltsfunktion F(x) = x bestimmen lässt.

Es geschieht, indem die Variable x erst durch die obere Intervallgrenze b, dann durch die untere Intervallgrenze a ersetzt und anschließend die Differenz gebildet wird.

1) 2)

Diese Einschränkung entfällt später. durch das Symbol [ ]0 gekennzeichnet

6.1 Das bestimmte Integral

231

f2(x) = 2x

2. Beispiel: Randfunktion

In Anlehnung an Bild 6.8 ergibt sich für die Maßzahlen der Dreiecksflächen der tabellarisch festgehaltene funktionale Zusammenhang wie folgt: x y A(x)

0 0 0

1 2 1

2 4 4

3 ... a ... b 6 ... 2a ... 2b 9 ... a2 ... b2

Bezogen auf den Ursprung des Koordinatensystems lautet offensichtlich die ¾ Flächeninhaltsfunktion A(x) := F2 ( x) = x 2 Bild 6.8 f2(x) = 2x und [ x 2 ]10

Für die in Bild 6.9 dargestellte Trapezfläche gilt dann A = [ A]ba = [ x 2 ]ba = b2 – a2. Die Berechnung mittels Trapezformel bestätigt das Ergebnis: 2 a + 2b

A = [ A]ba =

2

= (b – a) =(b + a) (b – a)

Ÿ A = b2 – a2. Bild 6.9 A(x) = [ x 2 ]ba 3. Beispiel: Randfunktion f3 ( x) = 2 x +1

Für die Maßzahlen der Trapezflächen (Bild 6.10) resultiert folgender Zusammenhang: x y A(x)

0 1 0

1 3 2

2 5 6

3 7 12

... a ... b ... 2a + 1 ... 2b + 1 ... a2 + a ... b2 + b Bild 6.10 f3(x) = 2x + 1 und [ x 2 + x]10

Bezogen auf den Koordinatenursprung lautet diesmal die ¾ Flächeninhaltsfunktion A(x) := F3 ( x) = x 2 + x

Für die in x-Richtung durch x = a und x = b markierte Trapezfläche (Bild 6.11) resultiert somit A = [ A]ba = [ x 2 + x]ba = (b2 + b) – (a2 + a), was sich wiederum mittels Trapezformel nachweisen ließe. Bild 6.11 A(x) = [ x 2 + x]ba

232

6 Integralrechnung

4. Beispiel: Randfunktion f 4 ( x) = 3 x 2

Erstmalig erfolgt in y-Richtung eine krummlinige Begrenzung des Flächenstücks (Bild 6.12). Den funktionalen Zusammenhang für die Flächenmaßzahlen anzugeben, scheint zunächst einmal nicht möglich zu sein.

Bild 6.12

f4(x) = 3x2 und [ x3 ]10

Über einen Umweg kommt „Land in Sicht“. Es müssen zunächst Parabelsegmente berechnet werden, wie sie in Bild 6.13 gezeigt sind. Es geschieht mit der Beziehung A = 2 ⋅ s ⋅ h 3

1)

. Bild 6.13

Der funktionale Zusammenhang ergibt sich nun wie folgt: x y A(x)

0 0 0

1 2 3 ... a ... b 3 12 27 ... 3a2 ... 3b2 1 8 27 ... a3 ... b3

Bezogen auf den Ursprung des Koordinatensystems erschließt sich für die ¾ Flächeninhaltsfunktion A := F4 ( x) = x3

Für die in x-Richtung durch x = a und x = b markierte Fläche (Bild 6.14) resultiert schließlich Bild 6.14 A(x) = [ x3 ]ba

A = [ A]ba = [ x3 ]ba = b3 – a3.

Die folgende Übersicht fasst die gewonnenen Erkenntnisse zusammen und hilft, eine Vermutung über den Zusammenhang zwischen Randfunktion und Flächeninhaltsfunktion zu äußern: Randfunktion

1)

Flächeninhaltsfunktion

f1(x) = 1

F1(x) = x

f2(x) = 2x

F2(x) = x2

f3(x) = 2x + 1

F3(x) = x2 + x

f4(x) = 3x2

F4(x) = x3

Das Verfahren geht auf Archimedes zurück (ĺ Abschnitt 2.2.2, S. 93)

6.1 Das bestimmte Integral

233

Offensichtlich und doch verblüffend: ¾ Die Ableitung der Flächeninhaltsfunktion liefert die Randfunktion. ¾ Die „Aufleitung“ der Randfunktion führt auf die Flächeninhaltsfunktion. Verallgemeinerung Bild 6.15 zeigt ein Flächenstück, begrenzt durch – – –

die x-Achse, die Geraden x = a und x = b, den Graphen einer in [a; b] stetigen und monoton steigenden Randfunktion y = f(x).

Mit F(x), der auf den Ursprung des Koordinatensystems bezogenen Flächeninhaltsfunktion, resultiert für die Maßzahl des markierten Flächenstücks A = [ A]ba = [ F ( x)]ba = F(b) – F(a). Unterteilt man die Fläche in ein einbeschriebenes (= zu klein geratenes) und ein umschreibendes (= zu groß geratenes) Rechteck, dann ergibt sich folgende Abschätzung: f(a) ⋅ (b – a) ≤ F(b) – F(a) < f(b) ⋅ (b - a), Division mit dem Faktor (b – a), wobei b ≠ a, führt auf f(a) ≤

F (b) − F (a) ≤ f (b) . b−a Bild 6.15 f (a) ⋅ (b – a) < A(x) < f (b) ⋅ (b – a)

Der eingeschachtelte Quotient erinnert an Eingangsüberlegungen zur Differentialrechnung. Mit a := x0 und b := x wird es noch deutlicher:

F ( x) − F ( x0 ) ≤ f ( x) . x − x0 F ( x) − F ( x0 ) ≤ f ( x0 ) Da f stetig ist, gilt lim f (x) = f (x0), also auch f ( x0 ) ≤ lim x − x0 x→ x0 x→ x0 F ( x) − F ( x0 ) ⇒ f ( x0 ) = lim , x → x0 x→ x0 wofür gemäß Definition 5.1 geschrieben werden kann f ( x0 ) ≤

f (x0) = F '(x0) oder

f (x) = F '(x) .

Reine Potenzfunktionen als Randfunktion Gemäß eben angestellter Ausführungen ist es ein Leichtes, für Flächenstücke, die von Graphen reiner Potenzfunktionen (Bild 6.16) begrenzt werden, Aussagen über die jeweilige Flächenmaßzahl A anzustellen:

234

6 Integralrechnung b

y = x:

ª x2 º b2 a2 A=« » = − ; 2 2 «¬ 2 »¼ a

b

y=

x2:

ª x3 º b3 a 3 A=« » = − ; 3 3 «¬ 3 »¼ a

y=

x4:

ª x5 º b5 a 5 . A=« » = − 5 «¬ 5 »¼ a 5

b

y=

x3:

ª x4 º b4 a4 A=« » = − ; 4 4 ¬« 4 ¼» a

b

… (d) b

b

b

b

ª x5 º ª x3 º ª x2 º ª x4 º » ; (b) y = x2: A = « » ; (c) y = x3: A = « » ; (d) y = x4: A = « » «¬ 2 »¼ «¬ 4 »¼ ¬« 5 ¼» a ¬« 3 »¼ a a a

Bild 6.16 (a) y = x: A = «

Hinweis: Für (a) und (b) geht es auch herkömmlich, für (c) usw. hilft nur noch das neue Verfahren.

Das bestimmte Integral als Operator dy ; dx für das Aufleiten muss er noch vorgestellt werden:

Für das Ableiten ist der Operator bekannt: y' =

Das in Bild 6.17 dargestellte Flächenstück, in positiver y-Richtung vom Graphen einer stetigen Randfunktion f begrenzt, soll flächenmäßig bestimmt werden. Die Maßzahl ergibt sich als Summe unendlich vieler Rechteckstreifen mit – infinitesimaler Breite dx1) und – Länge f (x), aufsummiert von x = a bis x = b. Bild 6.17 Infinitesimales Flächenstück dA = f (x) · dx

Symbolisiert wird dieser Grenzwert 2 ) einer Flächen-Summe durch ein langgezogenes s: ³ , Integral genannt.

1)

infinitesimal: zum Grenzwert hin immer kleiner werdend; dx := lim Δx (→ Differentiale)

2)

falls er existiert

Δx→0

6.1 Das bestimmte Integral

235

Definition 6.1

Es sei f eine im Intervall [a; b] stetige Funktion mit f (x) ≥ 0 für alle x ∈ [a; b]. Dann versteht man unter dem bestimmten Integral der Funktion f in den Grenzen von a bis b die Maßzahl der vom Graphen von f und der x-Achse sowie den Geraden x = a und x = b eingeschlossenen Fläche: b

[ A]ba =

³ f ( x) ⋅ dx

(gelesen: Integral f (x) dx von a bis b).

a

Die Randfunktion wird auch Integrandenfunktion genannt; entsprechend heißt der Funktionsterm f (x) auch Integrand. a und b nennt man untere bzw. obere Integrationsgrenze. Hauptsatz der Infinitesimalrechnung

Das bestimmte Integral als Operator fordert auf, – die Funktion F(x) zu ermitteln, die abgeleitet die Integrandenfunktion f (x) liefert, und – anschließend die Differenz der Funktionswerte F(b) – F(a) zu bilden: b

[ A]ba =

³ f ( x) ⋅ dx = [ F ( x)]ba = F(b) – F(a), wobei F '(x) = f (x).

(Hauptsatz)

a

Hinweis: F(x) wird auch Stammfunktion genannt (ĺ Abschnitt 6.2.1)

Für die bisherigen Beispiele mit Integrandenfunktion der Form y = xn mit n ∈ {1, 2, 3, 4} und x ∈ R+ 0 (ĺ Bild 6.16), lässt sich jetzt unter Verwendung des bestimmten Integrals schreiben: b

⎡

2 ⎤b

2

2

a) y = f1(x) = x: [ A]ba = ∫ x ⋅dx =⎢ x ⎥ = b − a ; 2 2 ⎣ 2 ⎦ a a

b

⎡

3 ⎤b

3

3

4

4

5

5

b) y = f2(x) = x2: [ A]ba = ∫ x 2 ⋅ dx =⎢ x ⎥ = b − a ; 3 3 ⎣ 3⎦ a a

b

⎡

4 ⎤b

c) y = f3(x) = x3: [ A]ba = ∫ x3 ⋅ dx =⎢ x ⎥ = b − a ; 4 4 ⎣ 4 ⎦ a a

b

⎡

5 ⎤b

d) y = f4(x) = x4: [ A]ba = ∫ x 4 ⋅ dx =⎢ x ⎥ = b − a . 5 5 ⎣ 5 ⎦ a a

Verallgemeinernd zeichnet sich die wichtigste Regel der Integralrechnung ab:

236

6 Integralrechnung

Potenzregel Satz 6.1

Für Potenzfunktionen der Form f (x) = xn mit n ∈ N* und [a; b] ⊂ R gilt b

∫

xn

a

⎡ x n+1 ⎤b b n+1 a n+1 ⎥ = − dx =⎢ . n +1 n +1 ⎣ n +1 ⎦

(Potenzregel)

a

x n+1 ⇒ F '( x) = x n . n +1

Plausibel lässt sich das machen, indem differenziert wird: F(x) = Integrationsgrenzen für [a; b] ⊂ R

Die Integrationsgrenzen a und b sind nicht auf die positive x-Achse beschränkt. Sie treten als Differenz auf, genügen der Ungleichung b – a > 0. Diese Aussage ist wahr für alle a, b ∈ R mit a < b: Es bedarf keiner Einschränkung hinsichtlich des Intervalls [a; b]. Ź Beispiel: Gesucht ist der Inhalt A der Fläche, die vom Graphen der Funktion f (x) = x4 und der x-Achse einerseits sowie andererseits von folgenden Geraden begrenzt wird: a) x = 2 und x = 3 bzw. b) x = – 3 und x = – 2. Lösung a) Es ist A

= [ A]32

3

⎡ x5 ⎤ = ∫ x dx =⎢ ⎥ ⎣ 5 ⎦2 2 3

4

b) Es ist A

5 5 A = 3 − 2 = 211 ⇒ A = 42, 4 FE. 5 5 5

2 = [ A]− −3

A=

−2

−2

⎡ x5 ⎤ = ∫ x dx =⎢ ⎥ ⎣ 5 ⎦−3 −3 4

(−2)5 (−3)5 211 − = ⇒ A = 42, 4 FE. 5 5 5

Hinweis: Dass die beiden Flächen hier gleich groß sind, kommt nicht von ungefähr (wieso?).

• Aufgaben 6.1

Errechnen Sie den Integralwert und skizzieren Sie das inhaltsmäßig festgelegte Flächenstück: 3

a)

4

∫ x dx ;

b)

1

6.2

∫ x dx ; 0

∫ x 2 dx ;

1

d)

∫ x 2 dx ;

−2

2

2

e)

∫ x3 dx ;

5

f)

1

∫ dx . 2

Bestimmen Sie 2,5 für y = f1(x) = x; a) [ A]0,5

6.3

3

c)

2 2 b) [ A]− 1 für y = f2(x) = x ;

c) [ A]13 für y = f3(x) = x3.

Geben Sie die jeweils unbekannte Integrationsgrenze an, wenn gilt: b

a)

∫ xdx = 6 2

1

;

b)

∫ x 2dx = 3 ; a

b

2

c)

∫ x3dx =1 ; a

d)

∫ x3dx = 0 .

−2

6.1 Das bestimmte Integral

237

Das bestimmte Integral für f (x) < 0

Alle bisherigen Überlegungen haben sich auf solche Funktionen bezogen, für die f (x) ≥ 0 ist. b

³ f ( x) dx

¾ Das bestimmte Integral

kann nur dann Flächenmaßzahl mit [ A]ba ≥ 0 sein, wenn

a

jedes einzelne infinitesimale Flächenstück dA = f(x) ⋅ dx positive Länge aufweist. Für Funktionen mit f(x) < 0 für a ≤ x ≤ b resultiert dA = f(x) dx < 0 b

⇒ A = ∫ f ( x) dx < 0 . a

Schlussfolgerung: Treten im Intervall [a; b] sowohl positive als auch negative Funktionswerte auf, stimmt der Integralwert nicht mehr überein mit der Maßzahl des Flächeninhaltes [ A]ba . Beispiel Der Flächeninhalt des vom Graphen der Funktion f (x) = x, der x-Achse sowie den Geraden x = – 2 und x = + 2 eingeschlossenen Flächenstücks wird unter Missachtung obiger Ausführungen falsch wie folgt bestimmt: +2

+2

⎡ x2 ⎤ 22 (−2) 2 ⎥ = − =0 ; 2 2 ⎣ 2 ⎦−2

∫ x dx =⎢

−2

ein Ergebnis, das der Anschauung (Bild 6.18) völlig widerspricht Bild 6.18 f (x) = x, x ∈ [– 2; + 2], mit negativem und positivem Integralwert

Der Fehler liegt an der Integration über das gesamte Intervall [– 2; +2]: Die Funktionswerte sind für [– 2; 0[ negativ, nämlich 0

⎡ x2 ⎤

0

∫ x dx =⎢ 2 ⎥ ⎣

−2

⎦−2

= 0−

(−2) 2 =−2 . 2

Der negative Integralwert signalisiert, dass das von x = – 2 und x = 0 begrenzte Flächenstück unterhalb der x-Achse liegt.

Teilintegrale Zur Flächenberechnung muss das Gesamtintegral korrekterweise in zwei Teilintegrale zerlegt werden. Für f(x) < 0 dient der Betrag des bestimmten Integrals als Summand: 2 A = [ A]+ −2 =

0

2

−2

0

∫ x dx + ∫ x dx

Ÿ A = | – 2| + (+ 2) Ÿ A = 4 FE.

238

6 Integralrechnung

Verallgemeinernd lässt sich Folgendes feststellen: Bei der Ermittlung von [ A]ba ist die Berechnung von Teilflächen immer dann erforderlich, wenn die Randfunktion innerhalb des Intervalls [a; b] Nullstellen aufweist. – Diese liefern die Integrationsgrenzen der Teilintegrale. Inwieweit schließlich der jeweilige Teilintegralwert oder aber dessen Betrag zur inhaltsmäßigen Bestimmung der Gesamtfläche herangezogen werden muss, hängt letztendlich davon ab, ob f(x) ≥ 0 oder aber negativ im Teilintervall ist.

6.1.2 Die Berechnung des bestimmten Integrals ganzrationaler Funktionen Integrierbarkeit

Die bisherigen Ausführungen haben bewusst auf strenge Entwicklung des Integralbegriffes über Grenzwertbildung verzichtet. Dass Grenzwertüberlegungen mitgespielt haben, ist zumindest angedeutet worden. Damit dürfte klar sein, dass es generell nicht selbstverständlich ist, dem bestimmten Integral immer einen Zahlenwert zuordnen zu können. Vor diesem Hintergrund ist die folgende Feststellung sinnvoll: Definition 6.2

Reelle Funktionen f heißen im Intervall [a; b] ihres Definitonsbereiches integrierbar, b

wenn ein Zahlenwert existiert für ∫ f ( x ) dx . a

Zwei erfreuliche Schlussfolgerungen, wobei auf Beweise verzichtet wird: ¾ Jede im Intervall [a; b] ⊂ R
stetige Funktion ist dort auch integrierbar. ¾ Ganzrationale Funktionen sind in jedem Intervall [a; b] ⊂ R
integrierbar. Anmerkung Die Stetigkeit ist eine hinreichende Bedingung für die Integrierbarkeit einer Funktion.

Im Intervall [a; b] ⊂ R abschnittsweise definierte beschränkte Funktionen mit endlich vielen Unstetigkeitsstellen lassen sich ebenfalls integrieren. Eine Zerlegung in Teilintegrale ist erforderlich, wobei die Integrationsgrenzen abhängig von den Unstetigkeitsstellen sind. Für den in Bild 6.19 dargestellten Sachverhalt ergibt sich folgender Ansatz zur Bestimmung des Flächeninhaltes: c

d

b

a

c

d

[ A]ba = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx . Bild 6.19 Bestimmtes Integral abschnittsweise stetiger Funktionen

6.1 Das bestimmte Integral

239

• Aufgaben Bestimmen Sie

6.4

3 a) [ A]+ −1 für y = f1(x) = x;

b) [ A]+ −

3 2

für y = f2(x) = x3;

1 5 c) [ A]+ −2 für y = f3(x) = x .

Geben Sie den jeweiligen Integralwert an und begründen Sie, ob es die Flächenmaßzahl ist.

6.5

+1

4

a)

∫ x dx ;

b)

−3

∫ x 2 dx ;

−2

+2

c)

∫ x3 dx .

−1

⎧ x für x ∈ [−2;0] Zeichnen Sie den Funktionsgraphen für f (x) = ⎨ 2 . ⎩ x für x ∈ ]0;+2]

6.6

+2

Bestimmen Sie a)

∫ f ( x) dx ;

−2

2 b) [ A]+ −2 .

⎧ x für x ∈ [−3;−1] Zeichnen Sie den Funktionsgraphen für f (x) = ⎨ 2 . ⎩ x für x ∈ ]−1;+2]

6.7

+2

Bestimmen Sie a)

∫ f ( x) dx ;

−3

2 b) [ A]+ −3 .

⎧x 2 für x ∈ [−2;−1] ⎪ Zeichnen Sie den Funktionsgraphen für f (x) = ⎨ x3 für x ∈]−1;+1[ . ⎪ x für x ∈ [+1;+3] ⎩

6.8

3

Bestimmen Sie a)

∫ f ( x) dx ;

−2

3 b) [ A]+ −2 .

Integrationsregeln

Das Integral als Operator fordert auf, diejenige Funktion F(x) zu erstellen, die differenziert die Integrandenfunktion f(x) ergibt: F ' ( x) = f ( x) . Satz 6.2

Es sei f eine ganzrationale Funktion. Dann gilt: ⎡ a ⋅ x n+1 an−1 ⋅ x n + ∫ (an x n + an−1x n−1 +...+ a1x + a 0 )dx =⎢ n n ⎣ n +1 a b

⎤b a1 ⋅ x 2 +...+ + a0 ⋅ x ⎥ . 2 ⎦ a

Plausibel lässt sich das machen, indem differenziert wird: a ⋅ x n+1 an−1⋅ x n a ⋅ x2 F ( x) = n + +...+ 1 + a0 ⋅ x ⇒ F '( x) = an ⋅ x n + an−1⋅ x n−1 +...+ a1⋅ x + a0 = f ( x). 2 n +1 n Den Integralwert zu ermitteln, erfordert – die Funktionswerte F(b) und F(a) zu bestimmen und – die Differenz F(b) – F(a) zu bilden. Das alles allgemein hinzuschreiben, würde zu umfangreich werden. Ein Beispiel bringt Klarheit:

240

6 Integralrechnung b

Ź Beispiel: Es ist allgemein der Wert für ∫ (2 x3 − 6 x 2 + 3 x −1) dx anzugeben . a

Lösung

⎡ x4 ⎤b ⎡ x 4 ⎤b x3 x2 3 2 3 3 2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ (2 6 3 1) d 2 6 3 2 x − x + x − x = ⋅ − ⋅ + ⋅ − x = − x + x − x ∫ 3 2 2 ⎣ 4 ⎦a ⎣ 2 ⎦a a b

⎡ b4 ⎤ ⎡ a4 ⎤ 3 3 =⎢ − 2b3 + b 2 − b ⎥−⎢ − 2a3 + a 2 − a ⎥. 2 2 ⎣ 2 ⎦ ⎣ 2 ⎦ Ein Vergleich des in eckiger Klammer aufgeführten Polynoms 4. Grades x4 3 F ( x ) = − 2 x3 + x 2 − x mit dem Integranden f (x) = 2 x3 – 6x2 + 3x – 1 bestätigt F '(x) = f (x). 2 2

Die Lösungsstrategie zeigt, dass neben der Potenzregel andere analog zur Differentialrechnung geltende Integrationsregeln eingesetzt worden sind: Faktoren-, Konstanten- und Summenregel Faktorenregel:

b

∫ a

c⋅ x n

b

dx = c ∫

xn

a

⎡ x n+1 ⎤b ⎥ . dx = c⋅⎢ ⎣ n +1 ⎦ a

¾ Ein konstanter Faktor c ∈ R*
bleibt erhalten und wird vor das Integral geschrieben. b

b

a

a

Konstantenregel: ∫ c dx = c⋅∫ dx = c⋅[ x]ba = c(b − a) . Summenregel:

Jeder Summand des Funktionsterms wird einzeln integriert.

Die Lösung zum obigen Beispiel lässt sich demnach (umständlicher) auch so schreiben: b

b

b

b

b

a

a

a

a

a

∫ (2 x3 − 6 x 2 + 3x −1) dx = 2∫ x3 dx − 6∫ x 2 dx + 3∫ x dx − ∫ dx = ... ¾ Regeln für die Integrationsgrenzen b

c

b

1. Für a ≤ c ≤ b gilt ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx a

a

c

1)

2.

b

a

a

b

∫ f ( x) dx =−∫ f ( x) dx

a

¾ Sonderfall: a = b: ∫ f ( x) dx = 0 . a

1)

Begründung: Bestimmte Integrale sind letztendlich Grenzwerte (ĺ Grenzwertsätze: Kapitel 4.2).

6.1 Das bestimmte Integral

241

• Aufgaben 6.9

Berechnen Sie nachstehende Integrale: 2

b)

−1 0

d)

+1

3

∫ (2 x −1) dx ;

a)

∫ ( x3 − x +1) dx ;

e)

∫ (−x 2 + 2 x) dx ;

c)

0

−1

−1

+1

∫ ( x4 − x 2 −1) dx ;

f)

−2

−1

∫ ( x2 − 3x +1) dx ;

∫ ( x5 − x3 ) dx .

−1

Klären Sie begründet, ob der jeweilige Integralwert für die Flächenmaßzahl steht.

6.10

Ebenso: 2

a)

−1

c)

6.11

+1

−1

0

∫ ( x3 − 3x2 + x −1) dx + ∫ ( x3 − 3x2 + x −1) dx ;

b)

2

0

1

2

−1

0

1

∫ (7 x6 − 2 x5 ) dx + ∫ (7 x6 − 2 x5 ) dx + ∫ (7 x6 − 2 x5 ) dx .

Geben Sie die obere Integrationsgrenze b ∈ R so an, dass gilt: b

a)

b

∫ (−2 x +1) dx =−6 ;

b)

∫ (3x 2 − 2 x +1) dx = 4 ;

−1

0

6.12

0

3

∫ ( x 2 − 3) dx + ∫ ( x 2 − 3) dx ;

b

c)

∫ (4 x3 − 6 x) dx = 6 .

+1

Bestimmen Sie die Integrationsgrenzen für b ∈ R+, wenn gilt: b+1

b

a)

∫ 2 x dx = 5 ;

b−1 b

c) ∫ ( x 2 − 2 x +1) dx = −b

b)

∫ (3x2 −1) dx =18 ;

b b+2

8 ; 3

d)

∫ ( x3 + x) dx = 24 . b

Fläche zwischen Funktionsgraph und x-Achse

Die wesentlichsten Überlegungen sind erfolgt; hier nochmals die Besonderheit: Für die Flächeninhaltsbestimmung der in Bild 6.20 schraffierten Flächenstücke ist vorab die Ermittlung der Nullstellen erforderlich: Ein Integrieren über die Nullstellen hinweg liefert zwar einen Integralwert, der aber wegen z.T. negativer Funktionswerte nicht mit der Maßzahl des Flächeninhalts übereinstimmt. - Der Ansatz lautet wie folgt: c

d

b

a

c

d

A = [ A]ba = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx .

Bild 6.20 Flächen oberhalb ( + ) und unterhalb ( – ) der x-Achse

242

6 Integralrechnung

1 1 2 Ź Beispiel: Es sei f (x) = x3 − x 2 − x , x ∈ R. – Zu bestimmen ist der Inhalt des Flächenstücks, das 6 2 3 von der x-Achse sowie dem Graphen von f begrenzt wird. Lösung: Die Integrationsgrenzen der Teilintegrale ergeben sich mittels Nullstellenbestimmung: 1 1 2 f (x) = 0 ⇔ x3 − x 2 − x = 0 ⇔ x (x2 – 3x – 4) = 0 ⇔ x (x – 4) (x + 1) = 0; 6 2 3 Nullstellen also für x1 = – 1, x2 = 0 und x3 = 4.

Bild 6.21 1

1

2

6

2

3

Graph von f ( x) = x3 − x 2 − x und die x-Achse begrenzen zwei Flächenstücke Mit f (x) < 0 für x ∈ ]0; +4[ (Bild 6.21) ergibt sich für den gesuchten Flächeninhalt 0 ⎛1 3 1 2 2 ⎞ 4 = A = [ A]+ ⎜ x − x − x ⎟dx + ∫ −1 ⎝6 2 3 ⎠ −1

4

⎛1

2 ⎞

1

∫⎜⎝ 6 x3 − 2 x2 − 3 x⎟⎠dx 0

+4 ⎡ ⎡x 3 128 131 x x x3 x 2 ⎤ 4 ⎢x ⎥ ⎢ ⎥ ⇒ A= FE. A = [ A]+ − − + − − = = +− −1 24 24 24 3 ⎦ 3 ⎦ ⎣ 24 6 ⎣ 24 6 −1 0 4

3

2 ⎤0

4

• Aufgaben 6.13

Rechnen Sie – falls noch nicht geschehen – die Aufgaben 2.144 – 2.147 (ĺ S. 93).

6.14

Bestimmen Sie jeweils den Flächeninhalt der von x-Achse und Funktionsgraph eingeschlossenen Flächen: 1 a) f1(x) = x3 – 4x; b) f2(x) = – x3 + 2x2 + 3x; c) f3(x) = − x3 + x 2 ; 3 3 3 9 2 3 2 3 e) f5(x) = x + 2x – x – 2; f ) f6(x) = x + 2x2 + 2x + 1, x ∈ R− d) f4(x) = − x + x − 3 0 . 4 4

6.15

Ebenso: a) f1(x) =

1 12

1 b) f2(x) = − x 4 + 2 x 2 ; 2

1

x 4 − x3 ; 3

1 3 c) f3(x) = − x 4 + x3 + x 2 − 2 x − 2 ; 2 2 6.16

Ebenso: a) f1(x) = x5 – 4x3;

6.17

1 9 1 3 d) f4(x) = − x 4 + x 2 − x − . 8 8 2 2

1 b) f2(x) = − x5 + 2 x3 − 4 x ; 4

c) f3(x) = x5 + x4 – 5x3 – x2 + 8x – 4.

Ermitteln Sie die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion 3. Grades, deren Graph die x-Achse im Ursprung berührt und bei x0 = 2 so schneidet, dass das zusammen mit der Abszissen4

achse eingeschlossene Flächenstück einen Inhalt von A = 3 FE aufweist . 6.18

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades schneidet die Koordinatenachsen in S(0|3) 2

und N(1|0), ferner besitzt er einen Wendepunkt mit der Abszisse xwp = 3 .

6.1 Das bestimmte Integral

243

Geben Sie die Funktionsgleichung an, wenn das von Koordinatenachsen und Graph eingeschlos5 sene Flächenstück einen Inhalt von A = 6 FE hat . 6.19

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades berührt die Abszissenachse in xN = 2 und schneidet die Ordinatenachse bei + 4, wobei das vom Funktionsgraphen und den Koordinatenachsen begrenzte Flächenstück einen Inhalt von A1 = 4 FE besitzt. – Wie groß ist der Flächeninhalt der gesamten von Funktionsgraph und x-Achse eingeschlossenen Fläche ?

6.20

In einem Fischrestaurant soll ein 3 m breiter und 2 m hoher Wandbereich mit Leuchtdioden farbig so gestaltet werden, dass sich ein Fischsymbol als Blickfang ergibt. Die das Logo markierenden Kurven sind Graphen ganzrationalen Funktionen 3. Grades, dadurch gekennzeichnet, dass sie sich im Ursprung eines mit der Horizontalachse in Höhenmitte einzuplanenden Koordinatensystems schneiden, sich in 2 m Abstand vom linken Rand auf besagter Achse berühren und durch den rechten oberen ( f1) bzw. rechten unteren Eckpunkt ( f2) des Wandbereichs gehen. Berechnen Sie, wie viel % der Gesamtfläche von dem Fischsymbol abgedeckt werden. Hinweis: Für die Randfunktionen gilt f1 = –f2.

6.21

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 4. Grades besitzt in Sp(–1|0) einen Sattelpunkt und in P(0|– 2) eine Normale mit der Steigung mN = 0,2. – Berechnen Sie, in welchem Verhältnis die y-Achse das unterhalb der x-Achse gelegene, vom Graphen begrenzte Flächenstück teilt.

6.22

Die Dachform eines 30 m langen Gewächshauses soll angenähert als Graph einer ganzrationalen Funktion 2. Grades (Bild 6.22) aufgefasst werden. – Bestimmen Sie das für eine Wärmebedarfsrechnung benötigte eingeschlossene Volumen. Hinweis: Berechnen Sie die Parabelsegmentfläche mittels Integralrechnung und vergleichen Sie das Ergebnis mit der von Archimedes entwickelten Methode (ĺ Bild 6.13).

6.23

Eine 24 m breite Brücke mit parabelförmigem Bogen (Bild 6.23) wurde aus Beton geschüttet. Geben Sie mittels Integralrechnung an, wie viel m3 Beton erforderlich waren .

6.24

Ein kreisrundes Portalfenster (∅ 2 m) soll aus zwei flächengleichen, jedoch farblich unterschiedlichen Fensterhälften so erstellt werden, dass sich ein Symbol gemäß Bild 6.24 ergibt. Dabei kann der Kurvenverlauf einer zwischen beiden Fensterteilen erforderlichen Bleifassung als Funktionsgraph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades aufgefasst werden, der mit der markierten x-Achse zwei halbmondförmig aussehende Flächenstücke einschließt, deren Flächeninhalt zusammen 12,5% der Kreisfläche ausmacht.-Erstellen Sie die Funktionsgleichung der beschriebenen Kurve .

Bild 6.24

6.25

Bild 6.25

Die Form einer Dachrinne (Bild 6.25) entspricht annähernd dem Graphen einer ganzrationalen Funktion 4. Grades. – Bestimmen Sie die Querschnittsfläche in cm2.

244

6 Integralrechnung

Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

Die anzustellenden Überlegungen zielen darauf ab, jene Flächen inhaltsmäßig zu berechnen, die von den Graphen vorgegebener Funktionen eingeschlossen werden. Die Entwicklung erfolgt allgemein; in den Aufgaben werden dann ausschließlich ganzrationale Integranden verwandt. Für den im Bild 6.26 dargestellten Sachverhalt lässt sich der Flächeninhalt A als Flächenbilanz wie folgt ermitteln: b

b

a

a

A = ∫ f ( x) dx − ∫ g ( x ) dx (wieso?)

oder

b

A = ∫ [ f ( x) − g ( x)]dx .1) a

Bild 6.26 b

Fläche zwischen zwei Kurven: A = ∫ [ f ( x ) − g ( x )]dx a

Das Ergebnis soll schärfer festgehalten werden: Satz 6.3

Es seien f und g zwei reelle Funktionen, ferner x = a und x = b die Abszissen der Schnittpunkte ihrer Funktionsgraphen. Sind dann f und g im Intervall [a; b] integrierbar und ist f(x) ≥ g(x) für alle x ∈ [a; b], so ist b

A = ∫ [ f ( x) − g ( x)]dx a

die Flächenmaßzahl der von den Funktionsgraphen zu f und g eingeschlossenen Fläche. Anmerkungen 1. Die Flächenberechnung erfolgt unabhängig von den Nullstellen der Funktionen f und g. 2. Ist nicht bekannt, ob für alle x ∈ [a; b] die Aussage f (x) ≥ g(x) oder aber f (x) ≤ g(x) gilt, ist eine graphische Darstellung angebracht bzw. die Flächenberechnung wie folgt in Ansatz zu bringen: b

A=

∫[ f ( x) − g ( x)]dx

.

a

3. Die Voraussetzung, dass x = a und x = b die Abszissen der Schnittpunkte sein müssen, kann mit Blick auf die in Bild 6.27 schraffierte Fläche fallen gelassen werden: Obige Formel gilt auch hier.

1)

Betrachtung der infinitesimalen Rechteckstreifen: dA = dAf - dAg = f(x)⋅dx -g(x)⋅dx (ĺ Bild 6.17)

6.1 Das bestimmte Integral

245

Bild 6.27 Fläche zwischen zwei sich nicht schneidenden Kurven: b

A = ∫[ f ( x) − g ( x )]dx a

Ź Beispiel 1: Gesucht ist der Flächeninhalt des Flächenstücks, das von der Geraden mit der Funktionsgleichung f (x) = x + 2 sowie der Normalparabel mit der Gleichung g(x) = x2 begrenzt wird. Lösung: Der Sachverhalt ist in Bild 6.28 graphisch dargestellt, wobei sich die Schnittstellen mit x1 = – 1 bzw. x2 = + 2 ergeben. Gemäß Satz 6.3 ist dann 2

2

A = ∫ [( x + 2) − x 2 ] dx = ∫ (−x 2 + x + 2) dx −1

−1

+2

⎡ x3 x 2 ⎤ A =⎢− + + 2 x ⎥ 2 ⎣ 3 ⎦

−1

⎛ 8 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ A =⎜− + 2 + 4⎟−⎜+ + − 2⎟ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 2 ⎠ ⇒ A= 4,5 FE.

Bild 6.28 Fläche zwischen den Graphen zu f(x) = x + 2 und g(x) = x2

Ein 2. Beispiel zeigt die Vorgehensweise, wenn sich mehr als zwei Schnittpunkte ergeben. Ź Beispiel 2: Der Flächeninhalt der von den Graphen von f mit f (x) = x3 – 4x und g mit g(x) = x2 – 4 eingeschlossenen Flächen ist zu berechnen . Lösung Die Schnittpunktbestimmung führt auf die algebraische Gleichung x3 – x2 – 4x + 4 = 0 mit den selbst nachzuprüfenden Lösungen x1 = – 2, x2 = + 1 und x3 = + 2 (Aufgabe!). Eine kleine sich anschließende Kurvendiskussion liefert schließlich den in Bild 6.29 dargestellten Sachverhalt mit f (x) ≥ g(x) für alle x ∈ [– 2; + 1] und f (x) ≤ g(x) für alle x ∈ [+ 1; + 2] . Bild 6.29 Fläche zwischen den Graphen zu f (x) = x3 – 4x und g(x)= x2 – 4

Hieraus resultiert 1

2

−2

1

A = A1 + A2 = ∫ [ f ( x) − g ( x)] dx + ∫[ g ( x) − f ( x)] dx

oder

246

6 Integralrechnung 1

2

A = A1 + A2 = ∫ [( x3 − 4 x) − ( x 2 − 4)] dx + ∫[( x 2 − 4) − ( x3 − 4 x)] dx −2 1

1

2

A = A1 + A2 = ∫ ( x3 − x 2 − 4 x + 4) dx + ∫ (−x3 + x 2 + 4 x − 4) dx −2

1

1

2

⎡ x 4 x3 ⎤ ⎡ x 4 x3 ⎤ A = A1 + A2 =⎢ − − 2 x 2 + 4 x ⎥ +⎢− + + 2 x 2 − 4 x ⎥ 3 3 ⎣ 4 ⎦−2 ⎣ 4 ⎦1

A = A1 + A2 =11, 25 +

7 Ÿ A =11,83 FE. 12

1

2

Hinweis: Der Ansatz A = ∫ [ f ( x) − g ( x)] dx +

∫[ f ( x) − g ( x)] dx

−2

führt zum gleichen Ergebnis.

1

• Aufgaben 6.26

6.27

1 1 2 x + 3 und g(x) = x – x – 3. 2 4 Bestimmen Sie die Größe des von beiden Funktionsgraphen eingeschlossenen Flächenstücks. Gegeben seien die Funktionen f (x) = –

Es sei f (x) = – 2x2 + 4x, x ∈ R. a) Berechnen Sie den Flächeninhalt des vom Funktionsgraphen und der 1. Winkelhalbierenden eingeschlossenen Flächenstücks. b) Welches Größenverhältnis besteht zwischen dieser Fläche und der, die vom Graphen von f und der x-Achse begrenzt wird ?

6.28

Vor der Nordseeküste hat ein Tanker Öl verloren. Die Ränder des Ölfilmes lassen sich bezogen auf das Messblatt einer Luftbildaufnahme annähernd durch folgende Funktionen beschreiben: f ( x ) = −0,25 x 2 + 2,5 x + 1 und g ( x ) = 0,5 x 2 − 3,5 x + 10 (Koordinatenangaben in km).

Berechnen Sie zwecks Kalkulation des Bindemitteleinsatzes die Ölmenge in Liter, wenn die Ölschicht durchschnittlich 1 cm dick verteilt ist. 6.29

Die Funktionswerte der Geraden g: y = – x – 3 stimmen für x1 = – 4 und x2 = + 1 mit denen einer quadratischen Funktion überein, deren Graph die y-Achse bei – 5 schneidet. Welche Fläche wird von Gerade und Parabel eingeschlossen ?

6.30

Eine Parabel mit dem Formfaktor a = – 1 habe dieselben Achsenschnittpunkte wie die Gerade mit der Funktionsgleichung y = −

2 3

x + 2. – In welchem Verhältnis teilt die Gerade das von der Para-

bel und der x-Achse begrenzte Flächenstück ? 6.31

Es sei f (x) = – x2 + 3x + 1, x ∈ R. Wie groß ist der Inhalt des Flächenstücks, das vom Funktionsgraphen sowie der Normalen in B(xB|yB) eingeschlossen wird, die orthogonal zur 1. Winkelhalbierenden verläuft ?

6.32

Eine Parabel ist Graph der Funktion f (x) = – x2 + 3x + 4, x ∈ R+ 0 . Die Tangenten in den Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen begrenzen zusammen mit dem Parabelbogen, der die beiden Schnittpunkte miteinander verbindet, ein Flächenstück. Geben Sie dessen Inhalt an .

6.33

Berechnen Sie den Inhalt der von wie folgt definierten Parabeln eingeschlossenen Fläche: P1 ≡ y = x 2 +

5 2

x − 4 und P2 ≡ y = −

1 2

x2 + x −1 .

6.1 Das bestimmte Integral 6.34

247

Gegeben seien die Funktionen f (x) = −

1 2

x2 +

3 2

1 3 + x , x ∈ R+ 0 und g(x) = x , x ∈ R0 . 8

In welchem Verhältnis teilt der Graph von g die von Gf und x-Achse eingeschlossene Fläche? 6.35

Berechnen Sie den Flächeninhalt der von den Graphen Gf1 und Gf2 eingeschlossenen Fläche. Skizzieren Sie beide Graphen unter Festlegung ihrer Nullstellen : a) f1(x) = x3 – 3x2 und f2(x) = x3 – 5x2 + 6x;

6.36

3

Die Graphen Gf1 und Gf2 begrenzen zwei Flächenstücke; bestimmen Sie jeweils deren Größe : a) f1(x) =

1 2

b) f1(x) = c) f1(x) = 6.37

b) f1(x) = x3 – 4x2 + 3x und f2(x) = 2 x3 – 2x2.

x3 + x 2 −

1 2 2 3

x3 + x2 –

3 2

x und f2(x) = x + 3; 5 2

x – 3 und f2(x) = – x2 – 3x;

x3 – x2 – x + 2 und f2(x) = –

1 3

x3 + x2.

Bestimmen Sie die Größe des Flächenstücks, das vom Graphen von f (x) = 1 x3 – 3

2 2 x 3

– x sowie

seiner Tangente in B(2|yB) eingeschlossen wird. 6.38

Es sei f (x) = –

1 8

x4 +

1 2

x3, x ∈ R.

Wie groß ist der Flächeninhalt der Fläche, die von der Wendetangente mit mt ≠ 0 und Gf begrenzt wird ? 6.39

Es sei f (x) =

1 4

x3 –

3 4

x2 + x + 2, x ∈ R.

Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche, die vom Funktionsgraphen, der Wendenormalen und der Normalen in N(x0|0) begrenzt wird. 6.40

Berechnen Sie jeweils den Inhalt der Fläche, die vom Graphen der Funktion selbst und dem ihrer Umkehrrelation eingeschlossen wird: a) f (x) = –

6.41

1 4

x2 + 2x, x ∈ R;

b) g (x) = –

1 4

x2 + 1 x + 2

15 4

, x ∈ R.

Eine 15 m breite Brücke mit in Bild 6.30 gezeigtem Querschnittsprofil ist in A(0|0) und B(36|18) gelagert(Angabe in m); der Brückenbogen läuft mit Steigung m = 2 ins Festlager A ein. Berechnen Sie, wie viel m3 Beton zur Schüttung der Brücke mindestens erforderlich gewesen sind, wenn die Fahrbahn 25 m über A verläuft. Hinweis: siehe auch Aufgabe 5.23 (ĺ Bild 5.11) Bild 6.30

6.42

Der in Bild 6.31 gezeigte stilisierte Fisch soll in einem modernen Kirchenfenster (5 m × 5 m) mit dunkelblauem Glas dargestellt werden. Die Bleifassungen hierfür sind Parabelstücke, wobei der am linken Fensterrand in 2 m Höhe beginnende Parabelast eine Steigung von m = -1 aufweist. - Berechnen Sie, wie viel % der Fensterfläche vom blauen Fischsymbol eingenommen werden, wenn für den anderen Parabelast das Optimum bei x = 4 liegen soll. Bild 6.31

248

6 Integralrechnung

6.43

Gummiwerkstoffe (Elastomere) haben die Fähigkeit, große Formänderungen mitzumachen und nach der Entlastung mit sehr geringer Verzögerung wieder in den Ausgangszustand zurückzukehren. Ihre Dämpfungsfähigkeit beruht darauf, weniger Arbeit aus dem Gummiwerkstoff herauszulassen als hineingesteckt wird. Das kann bei schnell anhaltenden Wechselverformungen zu einer starken Wärmeentwicklung mit der Gefahr der Zerstörung des Werkstoffs führen: Ein einwandfreies Funktionieren des Werkstoffes setzt also eine geringe Eigenerwärmung voraus. a) Prüfen Sie vor diesem Hintergrund rechnerisch die Funktionsweise der Dämpfung einer Werkzeugmaschine durch Elastomerlager (Dämpfungsarbeit max. 50 Nm), wenn sich die bei jedem Schwingungsspiel in Wärme umgesetzte Arbeit als Flächenmaßzahl einer von Be- und Entlastungskurve eingeschlossenen Fläche ergibt und sich die Kurven wie folgt modellieren lassen: Belastung: FB ( x) = x3 − 9 x 2 + 28 x bzw. Entlastung: FE ( x) = x3 + x . Hinweis: x steht dabei für das Schwingungsspiel in mm; F(x) wird in kN gemessen. b) Stellen Sie zum besseren Verständnis das Be- und Entlastungsspiel im KO-System dar und legen Sie den technologisch sinnvollen Definitionsbereich fest.

6.44

Für ein Unternehmen, das u. a. Stopper für Inline-Skater herstellt, ergibt sich in der Jahresbilanz die Kostenfunktion durch K ( x) =1,5 x3 −12 x 2 + 60 x + 60 und die Erlösfunktion durch E ( x) = 60 x, wobei x jeweils für Mengeneinheiten in 1000 Stück und die Funktionswerte für Geldeinheiten in 1000 € stehen. a) Berechnen Sie das Flächenmaß für die Gewinnlinse, also die Fläche, die vom Graphen der Gewinnfunktion und der x-Achse eingeschlossen wird. b) Zeigen Sie rechnerisch, dass die Gewinnlinse flächenmäßig übereinstimmt mit der von den Graphen zu K und E eingeschlossenen Fläche. - Begründen Sie, dass das generell so ist.

Rotationsvolumen

Wird ein beliebiges Flächenstück um eine Achse gedreht, so entsteht ein Rotationskörper. Naheliegend werden zunächst Drehkörper betrachtet, die erzeugt werden durch Rotation um die x-Achse

Die Entwicklung zur Berechnung der Volumina erfolgt allgemein. In den Aufgaben werden dann solche Problemstellungen erfasst, die auf ganzrationale Integranden hinauslaufen. Die Rotation des in Bild 6.32 dargestellten infinitesimalen Flächenstücks um die x-Achse ergibt ein „hauchdünnes“ Zylinderscheibchen folgenden Volumens: dVx = π ⋅ [f(x)]2 ⋅ dx.

Bild 6.32 Rotation um die x-Achse: dV = π ⋅ [ f (x)]2⋅ dx

6.1 Das bestimmte Integral

249

Das Rotationsvolumen resultiert als Summe aller (unendlich vielen) Zylinderscheibchen, aufsummiert von x = a bis x = b: b

Vx = ∫ π ⋅[ f ( x)]2 ⋅ dx

b

Vx = π ⋅∫[ f ( x)]2 ⋅ dx

oder

a

(Rotation um die x-Achse).

a

Ź Beispiel: Ein Flächenstück, begrenzt durch Gerade g: f (x) = x, x-Achse sowie x = 0 und x = 3, rotiert um die x-Achse. Das Kegelvolumen ist gesucht. 3 3 ⎛ 33 03 ⎞ ⎡ x3 ⎤ ⎜ − ⎟ ⎟= 9 π ⇒ Vx = 9π VE. Lösung: Vx = π ∫ x 2 dx = π ⋅⎢ ⎥ = π ⋅⎜ 3⎠ ⎣ 3 ⎦0 ⎝3 0

Hinweis: Das Kegelvolumen lässt sich auch herkömmlich berechnen (Aufgabe!).

• Aufgaben 6.45

Ein Flächenstück, begrenzt durch Funktionsgraph, x-Achse sowie die Grenzen x = a und x = b, rotiert um die x-Achse. Berechnen Sie jeweils das Rotationsvolumen Vx: 1 a) f1(x) = x + 2, a = 0, b = 3; b) f2(x) = x +1, a = 2, b = 4; 2 1 1 2 c) f3(x) = − x + 2, a = – 1, b = 2; d) f4(x) = x , a = – 2, b = 2. 2 4 Bestätigen Sie die Ergebnisse von a) – c) herkömmlich.

6.46

Für das Kegelvolumen gilt V =

6.47

Ein durch den Graphen von f (x) = – x2 + 2x und die x-Achse markiertes Parabelsegment, rotiert um diese. Berechnen Sie das Volumen.

6.48

Gegeben: f (x) = x , x ∈ [0; 4]. Wie groß ist das Volumen des durch Rotation um die x-Achse entstehenden Paraboloids ?

6.49

Die Randkurve eines waagerecht gehaltenen Weinglases (x-Achse ist Symmetrieachse) sei bei cm-Skalierung der Koordinatenachsen durch die Funktionsgleichung f (x) = 2 ⋅ x symbolisiert. An welcher Stelle x = h muss der Eichstrich für V = 0,2 l Inhalt angebracht werden ?

6.50

Die Randkurve eines waagerecht gehaltenen Sektkelches entspricht bei cm-Skalierung der Koor1 x x , x ∈ [0; 16]. dinatenachsen einer Neilschen Parabel1) mit der Funktionsgleichung f ( x) = 16

1 3

π ⋅ r2 ⋅ h. - Leiten Sie die Formel her.

Berechnen Sie das Inhaltsvermögen, wenn das Glas in Gebrauchslage randvoll gefüllt wird. 6.51

Ein Halbkreis mit Radius r = 2 ist durch f (x) =

4 − x 2 beschrieben.

a) Geben Sie den Definitionsbereich an. b) Berechnen Sie das Rotationsvolumen Vx. c) Entwickeln Sie mittels Integralrechnung die Volumenformel der Kugel. Hinweis: Kreisgleichung (oberer Halbkreis) lautet y = r 2 − x 2 .

1)

auch semikubische Parabel genannt; allgemeinere Form: a ⋅ y 2 = x3 mit a ∈ R* (Sonderfall: a = 1)

250

6 Integralrechnung

Rotation um die y-Achse

Die Gebrauchslage vieler Gegenstände wie z. B. oben offene Rundbehälter etc. lassen es zweckmäßig erscheinen, geeignete Flächenstücke um die y-Achse rotieren zu lassen. Vom Prinzip her ändert sich kaum etwas: Ein infinitesimales Flächenstück mit Radius x = f(y) ergibt ein „hauchdünnes“ Zylinderscheibchen folgenden Volumens: dVy = π ⋅ [ f(y)]2 ⋅ dy. Das Rotations-Volumen resultiert als Summe aller (unendlich vielen) Zylinderscheibchen, aufsummiert von y = a bis y = b: b

V y = ∫ π ⋅[ f ( y )]2 dy oder a

b

V y = π ⋅∫ [ f ( y )]2 ⋅ dy

(Rotation um die y-Achse).

a

Ź Beispiel: Ein Flächenstück, begrenzt durch die Neilsche Parabel mit f (x) = x x , x ∈ R+ 0 , y-Achse sowie y = 0 und y = 2, rotiert um die y-Achse. Das Rotationsvolumen ist gesucht. Lösung: Aus y = x x folgt y 2 = x3 , also 2

2 4 7⎞ 3 ⎡3 7⎤ 3 ⎛ 7 V y = π ∫ y 3 dy = π ⋅⎢ y 3 ⎥ = π ⋅⎜ 2 3 − 0 3 ⎟= π ⋅4 3 2 Ÿ Vy ≈ 6,785 VE. ⎣7 ⎦ 7 ⎝ ⎠ 7 0 0

Hinweis: Stellen Sie den Sachverhalt graphisch dar. - Tragen Sie insbesondere eines der um die y-Achse rotierenden Flächenstücke ein.

• Aufgaben 6.52

Der Rührbottich in einer Großbäckerei hat die Form eines Paraboloiden mit Innendurchmesser d = 2,4 m und Höhe h = 1,2 m. a) Berechnen Sie das aufzunehmende Teigvolumen, wenn der Bottich höchstens bis 20 cm unterhalb der Oberkante befüllt werden darf. b) Bei welcher Höhe wäre der Bottich halb gefüllt?

6.53

Die Dachkontur eines aufgeständerten runden Ausstellungspavillons lässt sich im Querschnitt durch die folgenden Funktionen symbolisieren: f a ( x) =−x 2 + 4 und fi ( x) =− 14 x 2 + 3 . Stellen sie den Sachverhalt im Querschnitt graphisch dar und berechnen Sie a) die Ständerlänge; b) das umschlossene Dachvolumen.

6.54

a) In einem kugelförmigen Erdtank (Ød = 2 m) steht das Öl noch etwa 750 mm hoch. Berechnen Sie die Ölmenge in Liter. b) Wie hoch steht das Öl, wenn sich noch etwa 1.047 Liter im Tank befinden?

6.55

Die Schnittflächen einer Kugelzone haben die Durchmesser d1 = 12 dm und d2 = 16 dm. Berechnen Sie das Volumen, wenn der Kugeldurchmesser 20 dm beträgt.

*6.2 Die Integration als Umkehrung der Differentiation

251

*6.2 Die Integration als Umkehrung der Differentiation 6.2.1 Stammfunktion und unbestimmtes Integral Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung steht für die wichtige Erkenntnis: ¾ Die Integration ist die Umkehrung der Differentiation.

Dieser bislang am bestimmten Integral orientierte Sachverhalt lässt sich verallgemeinern: Definition 6.3

Gilt für Funktionen f und F mit gleichem Definitionsbereich die Aussage F '(x) = f(x), so heißt F Stammfunktion von f. Beispiel: F1 ( x) = x3 – x2 + x ist eine Stammfunktion von f (x) = 3x2 – 2x + 1, denn F1 ' (x) = 3x2 – 2x + 1 = f (x).

Offensichtlich ist, dass F2 ( x) = x3 – x2 + x + 1 F3 ( x) = x3 – x2 + x – 1 F4 ( x) = x3 – x2 + x – 5

ebenfalls Stammfunktionen von f sind.

Es lassen sich unendlich viele Stammfunktionen angeben: F (x) = x3 – x2 + x + C steht für die Menge aller Stammfunktionen von f . ¾ Stammfunktionen von f unterscheiden sich höchstens durch eine additive Konstante C ∈ R.

Die Beweisführung basiert auf der Konstantenregel der Differentialrechnung. Die in Bild 6.33 dargestellte Kurvenschar veranschaulicht den Sachverhalt. Die einzelnen Kurven stehen für Graphen von Stammfunktionen gleicher Charakteristik. Sie sind wegen der unterschiedlichen additiven Konstante C lediglich in y-Richtung parallel verschoben. ¾ Alle Kurvenpunkte mit gleicher Abszisse x0 haben dieselbe Steigung (wieso ?). Für das Beispiel lässt sich die Menge aller Stammfunktionen an das „Aufleiten“ erinnernd mit einem Integralzeichen schreiben:

∫ (3x 2 − 2 x +1) dx = x3 − x 2 + x + C . Bild 6.33 Die Kurvenschar von F(x) = ³ (3x2 – 2x +1) dx

Das unbestimmte Integral

Der neu eingeführte Operator – Integralzeichen ohne Integrationsgrenzen – wird unbestimmtes Integral genannt. Der Aufforderungscharakter besteht darin, zu einer Funktion ƒ die Menge aller Stammfunktionen F zu ermitteln. – Genaueres steht in nachfolgender Definition.

252

6 Integralrechnung

Definition 6.4

Es sei f eine stetige Funktion und F eine (beliebige) Stammfunktion von f. Dann nennt man die Menge aller ihrer Stammfunktionen unbestimmtes Integral von f und schreibt

∫ f ( x) = F ( x) + C , wobei C ∈ R Integrationskonstante heißt. Integrationsregeln

Die dargestellten Zusammenhänge zwischen Differential- und Integralrechnung führen zu den folgenden selbstverständlich anmutenden Integrationsregeln: Satz 6.4

(1)

∫ dx = x + C

(Konstantenregel)

n+1

(3)

x + C , n ∈ N* n +1 ∫ c ⋅ f ( x ) dx = c ⋅ ∫ f ( x ) dx , c ∈ R

(4)

∫[ f ( x) ± g ( x)] dx = ∫ f ( x) dx ± ∫ g ( x) dx

(2)

∫ x n dx =

(Potenzregel) (Faktorenregel) (Summenregel)

Das Verifizierungsprinzip dient zur Beweisführung. Mittels Differentiation wird gezeigt, dass die im Satz enthaltene Aussage wahr ist. Für (2): F (x) =

x n+1 n +1 n + C ⇒ F '( x) = x = x n = f ( x) . n +1 n +1

Anhand der vorgestellten Regeln kann für beliebige ganzrationale Funktionen die Menge ihrer Stammfunktionen ermittelt werden. Ist zusätzlich eine sog. Randbedingung gegeben, lässt sich sogar speziell eine Stammfunktion bestimmen. Ź Beispiel: Für f (x) = x2 – 2x + 1 ist die Stammfunktion anzugeben, deren Graph durch P(1|2) geht. Lösung: Die Menge der Stammfunktionen von f ist gegeben durch 1 F (x) = ∫ ( x 2 − 2 x +1) dx = x3 − x 2 + x + C . 3 1 5 Zur Ermittlung von C bedarf es der Punktprobe mit P (1|2): 2 = ⋅13 −12 +1+ C ⇔ C = . 3 3 1

5

3

3

Die Funktionsgleichung y = x3 − x 2 + x +

steht für die gesuchte Stammfunktion von f.

Erweiterung der Potenzregel Die Aussage ∫ x n dx = sogar n ∈ R \ {– 1}.

x n+1 + C gilt nicht nur für n ∈ N*, sondern auch für n ∈ Q \ {– 1} und n +1

*6.2 Die Integration als Umkehrung der Differentiation

253

Beispiele x−2+1

−1

1

∫ x 2 dx = (−1)⋅∫ x−2 dx =−−2+1 +C = x + C ,

1.

1 1 d. h. y = + C ist die Menge der Stammfunktionen von y = f (x) = – 2 für x ∈ R*. x x 1

1 − +1

1

1 − 1 x 2 ∫ 2 x dx = 2 ⋅∫ x 2 dx = 2 ⋅ − 1 + C = x 2 + C = x + C , 2 1

2.

d. h. y = x + C liefert die Menge der Stammfunktionen von y = f (x) =

1 2 x

für x ∈ R+.

¾ Sonderfall: n = – 1

Es bedarf zusätzlicher Überlegungen; hier lediglich das Ergebnis: 1 ∫ x−1 dx = ∫ dx = ln x + C . x • Aufgaben 6.56

6.57

Geben Sie jeweils die Menge der Stammfunktionen an: a) f1(x) = 3x5 – 4x3 + x;

b) f2(x) = 2⋅ x ;

d) f4(x) = x⋅ x ; 1 g) f7(x) = 3 ; x

e) f5(x) = x 2 ; 2 1 h) f8(x) = ⋅ 4 ; 3 x

−

d) f4(x) = –

5x4

+

2x3;

3

6.61

i) f9(x) = x +

b) f2(x) = – x3 + x – 1; e) f5(x) =

x4

–

3x2

1 . x

+ 2;

c) f3(x) = 4 x3 − x 2 + 2 x +1 ; 3

f) f6(x) = 6 x5 + x3 − x +

b) durch P(– 2|5) geht.

Ermitteln Sie jeweils die Funktion f, wenn gilt a) f '(x) = x2 – x – 6 und (−3 | 2,5) ∈ Gf ;

6.60

f) f6(x) = x 4 ;

Geben Sie jeweils die Funktion f an, für die f '(x) = 2x – 1 gilt und deren Graph a) durch den Ursprung;

6.59

1

Geben Sie die Stammfunktionen so an, dass deren Graphen alle durch P(1|2) gehen: a) f1(x) = 3x2 – 2x + 1

6.58

c) f3(x) = 3 x 2 ;

b) f ' (x) = x2 – 2x + 6 und (1| 43 ) ∈ Gf.

Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f mit f '(x) = 3x2 + 4x – 5 und (– 2|4) ∈ Gf. Ermitteln Sie jeweils die Funktion f, wenn gilt a) f "(x) = x – 2 und Gf berührt die x-Achse in N(–2|0); b) f "(x) = 3x2 + 2x + 3 und Gf geht unter 45° durch den Ursprung.

6.62

Es sei f " (x) =

−1 , x ∈ R+. x⋅ x

Ermitteln Sie die Funktion f so, dass ihr Graph durch P1(1|3) und P2(4|1) geht .

1 . 2

254

6 Integralrechnung

6.2.2 Die Berechnung bestimmter Integrale mit Hilfe von Stammfunktionen Die in Abschnitt 6.1.2 vorgestellten Integrationsregeln für die Berechnung bestimmter Integrale ganzrationaler Funktionen lassen sich jetzt unter gewissen Voraussetzungen verallgemeinern. Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung lautet nun wie folgt: Satz 6.5 Es sei f eine im Intervall [a; b] stetige Funktion und F beliebige Stammfunktion von f.

Dann gilt b

b

∫ f ( x) dx =⎣⎡ ∫ f ( x) dx ⎦⎤a = [ F ( x)]ba = F (b) − F (a) . a

b

Beispiel: Es ist verständlich, Satz 6.1 auch so zu schreiben:

b

b

⎡ x n+1 ⎤

∫ x n dx =⎡⎣ ∫ x n dx ⎤⎦a =⎢ n +1 ⎥ ⎣

a

⎦a

usw.

Da die Integrationskonstante sowieso heraus fällt (wieso ?), wählt man C = 0.

• Aufgaben 6.63

Berechnen Sie folgende bestimmte Integrale: 4

a)

d) 6.64

∫

8

x dx ;

b)

1

−1

−1

4

−2 dx ; 3 −2 x

∫

e)

2

∫ 3 x dx ;

∫(x

c)

1

∫ x2 dx ; 1

64 3

x − x ) dx ;

1

f)

x2 dx . x

∫ x⋅ 1

Gegeben sei die Funktion f (x) = x , x ∈ R+ 0 . - Berechnen Sie den Flächeninhalt für a) das von Funktionsgraph, x-Achse und der Geraden x = 4 eingeschlossene Flächenstück ; b) das von Gf und dem Graphen der zu f inversen Funktion f –1 begrenzte Flächenstück.

6.65

Berechnen Sie die Größe des von beiden Funktionsgraphen eingeschlossenen Flächenstücks: a) f1(x) = x mit x ∈ R+ 0 und f2 (x) =

1 2

x;

c) f1(x) = 2⋅ 3 x mit x ∈ R+ 0 und f2(x) = 2x; 6.66

2 b) f1(x) = 2⋅ x mit x ∈ R+ 0 und f2 (x) = x – 3x.

1 5 1 d) f1(x) = − x 2 + und f2(x) = , x ∈ R+. 4 4 x

1 , x ∈ R*. x2 a) Berechnen Sie die Maßzahl des Flächenstücks, das vom Funktionsgraphen, der x-Achse sowie

Es sei f (x) = −

den Geraden x =

1 4

und x = 2 begrenzt wird.

b) Wie groß wird der Flächeninhalt werden, wenn bei fester unterer Integrationsgrenze (x =

1 4

)

die obere Integrationsgrenze über alle Maßen wächst? c) Wie wird sich der Flächeninhalt verändern, wenn bei fester oberer Integrationsgrenze (x = 2) die untere Integrationsgrenze gegen 0 strebt?

255

7 Vertiefung der Differential- und Integralrechnung

7.1 Weitere Differentiationsregeln Die vorgestellten Differentiationsregeln reichen nicht aus, jede in ihrem Definitionsbereich differenzierbare Funktion auch tatsächlich abzuleiten. Dazu bedarf es zusätzlicher Regeln.

7.1.1 Produktregel Werden zwei auf demselben Intervall differenzierbare Funktionen additiv miteinander verknüpft, so erhält man die Ableitungsfunktion durch gliedweises Differenzieren der Summanden (Summenregel). Für die multiplikative Verknüpfung gilt nichts Analoges: Satz 7.1 Für differenzierbare Funktionen der Form f(x) = u(x) ⋅ν (x) gilt f(x) = u(x) ⋅ ν (x) Ÿ f '(x) = u'(x) ⋅ ν (x) + u(x) ⋅ ν '(x)

(Produktregel).

Beweis: Gemäß Definition 5.1 ist y ' = lim

x→ x0

u ( x)⋅ν( x) − u ( x0 )⋅ν( x0 ) , (x ≠ x0); x − x0

eine sachdienliche Umformung führt auf u ( x)⋅ν ( x) − u ( x0 )⋅ν ( x) + u ( x0 )⋅ν( x) − u ( x0 )⋅ν( x0 ) x − x0 x→ x0

y ' = lim

oder

[u ( x) − u ( x0 )]⋅ν( x) + u ( x0 )⋅[ν( x) − ν( x0 )] x − x0 x→ x0

y ' = lim

u ( x) − u ( x0 ) ν( x) − ν( x0 ) ⋅ν( x ) + lim u ( x0 )⋅ x − x0 x − x0 x→ x0 x→ x0

⇒ y ' = lim

⇒ y ' = lim

x→ x0

u ( x ) − u ( x0 ) ν ( x) − ν( x0 ) ⋅ lim ν( x) + lim u ( x0 )⋅ lim x − x0 x − x0 x→ x0 x→ x0 x→ x0

⇒ y ' = u '( x0 )⋅ν( x0 ) + u ( x0 )⋅ν '( x0 ) oder auch

y' = u'(x) ⋅ν (x) + u(x) ⋅ν '(x). Ź Beispiel: Zu differenzieren ist die Funktion y = f (x) = x2 ⋅ x3. Lösung: Mit u(x) = x2 Ÿ u'(x) = 2x bzw. ν (x) = x3 Ÿ ν '(x) = 3x2 erschließt sich y = x2 ⋅ x3 Ÿ y' = 2x ⋅ x3 + x2 ⋅ 3x2 oder y' = 5x4, was sich mittels Potenzregel bestätigt.

256

7 Vertiefung der Differential- und Integralrechnung

• Aufgaben 7.1

Differenzieren Sie je einmal unter Anwendung der Produktregel: a) f 1(x) = (x2 + 2) (x3 – 1);

7.2

7.3

c) f 3(x) = (x4 – 1) (x4 – x2 – 1).

Ebenso: a) f 1(x) = x⋅ x ;

b) f 2(x) = x ⋅ 3 x ;

c) f 3(x) = ( x +1)( x −1) ;

d) f 4(x) = (x2 – x + 1) ⋅ x ;

e) f 5(x) = (x2 – 2x) ( x −1) ;

f) f 6(x) = ( x +1)( x 2 −1) .

Es gilt (sin x)' = cos x bzw. (cos x)' = – sin x. - Geben Sie die 1. Ableitungsfunktion an für a) f 1(x) = x ⋅ sin x;

7.4

b) f 2(x) = (1- x3) (x3 – x2);

b) f 2(x) = x2 ⋅ cos x; c) f 3(x) = sin x ⋅ cos x;

d) f 4(x) = sin x – x ⋅ cos x.

1 Ebenso, wenn gilt (ex)' = ex (!) bzw. (ln x)' = : x a) f 1(x) = x ⋅ ln x;

b) f 2(x) = x2 ⋅ ln x;

d) f 4(x) = x ⋅ ex;

e) f 5 (x) = ex ⋅ sin x;

1 ⋅ ln x; x f) f 6(x) = ex ⋅ ln x. c) f 3(x) =

¾ Die e-Funktion ist die einzige Funktion, deren Ableitung wiederum die e-Funktion ist.

7.1.2 Quotientenregel Sie ist wichtig für gebrochen-rationale Funktionen und kann wie folgt formuliert werden: Satz 7.2 Es sei f(x) =

u ( x)

ν( x)

Dann gilt f ( x) =

Beweis: y =

eine in ihrem Definitionsbereich differenzierbare Funktion mit v(x)  0. u ( x)

ν( x)

⇒ f '( x) =

u '( x)⋅ν( x) − u ( x)⋅ν '( x)

ν 2 ( x)

(Quotientenregel).

u ( x) ⇔ u ( x) = y ( x)⋅ν( x) ν( x) ⇒ u '( x ) = y '( x)⋅ν( x) + y ( x)⋅ν '( x) ⇔ y '( x) =

u '( x) − y ( x)⋅ν '( x) ; mit ν( x) u ( x) ⋅ν '( x) ν( x) ν( x)

u '( x) − y '( x) = y '( x) =

oder

u '( x) ν( x) − u ( x) ν '( x)

ν 2 ( x)

.

y ( x) =

u ( x) ν( x)

folgt

7.1 Weitere Differentiationsregeln

257

Ź Beispiel: Zu bestimmen ist die 1. Ableitung der Funktion y =

x , x ∈ R. x 2 +1

Lösung: Mit u(x) = x Ÿ u'(x) = 1 bzw.ν (x) = x2 + 1 Ÿ ν '(x) = 2x erschließt sich y=

x 1⋅( x 2 +1) − x⋅2 x −x 2 +1 ⇒ y '= = 2 x +1 ( x 2 +1) 2 ( x +1) 2 2

oder

y '=

1− x 2 . (1+ x 2 ) 2

• Aufgaben 7.5

7.6

Differenzieren Sie je einmal mittels Quotientenregel: x 4 −1 x2 x3 − x +1 ; ; c) f3 ( x) = 4 ; b) f 2 ( x) = a) f1 ( x) = 2 2 x +1 x −4 x

d) f 4 ( x) =

1+ x ; 1− x

Bilden Sie die 1. Ableitung der Tangens- und der Kotangensfunktion. Hinweis: Es gilt tan x :=

sin x cos x bzw. cot x := . cos x sin x

2x mit x ∈ R \ {– 1}. x +1 Geben Sie die Funktionsgleichung der Tangente in B(1|yB) an.

7.7

Es sei f (x) =

7.8

Es sei f (x) =

x +1 mit x ∈ R \ {1}. x −1 a) In welchen Punkten berühren Geraden mit der Steigung m = – 2 den Graphen von f ? b) Erstellen Sie die zugehörigen Tangentengleichungen.

7.9

3 3 Gegeben seien f1(x) =− x 2 + c mit x ∈ R und f2(x) = mit x ∈ R \ {1}. 4 x −1 a) Berechnen Sie, für welche Abszisse x0 beide Funktionsgraphen dieselbe Steigung haben. b) Bestimmen Sie c ∈ R so, dass sich die beiden Graphen berühren. c) Skizzieren Sie den für b) geltenden Sachverhalt.

7.10

1+ 3 x mit x ∈ R \ {1}. 1− x Berechnen Sie, in welchen Punkten P ∈ Gf es Tangenten gibt, die durch den Ursprung gehen.

Es sei f (x) =

7.1.3 Kettenregel Ein mehrmaliges Ableiten mittels Quotientenregel führt wegen des Nennerpolynoms ν 2(x) auf Funktionsterme, die mit den bislang vorgestellten Differentiationsregeln nur unter zusätzlicher zeitraubender Anwendung der Produktregel zu differenzieren sind. Grund genug, eine der wichtigsten Differentiationsregeln überhaupt vorzustellen, die Kettenregel. Sie bezieht sich auf verkettete oder zusammengesetzte Funktionen, auf deren Besonderheiten zunächst anhand eines Beispiels hinzuweisen ist:

258

7 Vertiefung der Differential- und Integralrechnung

Die Funktion mit der Funktionsgleichung y = F(x) = (3x – 1)2 setzt sich zusammen aus einer Funktion z := g(x) = 3x – 1, auf die danach die Funktionsvorschrift f(z) = z2 angewandt wird. Also: Jeder Zahl x ∈ R ordnet man direkt einen Funktionswert F(x) = (3x – 1)2 zu oder es wird – zunächst z = g(x) = 3x – 1 ermittelt und – dann f(z) = z2 gebildet. Beides läuft auf dasselbe hinaus; z. B. ist F(1) = (3 ⋅ 1 – 1)2 = 4 oder aber z(1) = g(1) = 3 ⋅ 1 – 1 = 2 Ÿ f(2) = 4. Man nennt F eine zusammengesetzte Funktion und definiert allgemein wie folgt: Definition 7.1 Eine Funktion der Form F(x) = f [g(x)] mit x ∈ DF heißt zusammengesetzte Funktion. Sie stellt in der Reihenfolge „ f nach g“ die Verkettung der Funktionen g mit f (z) dar, wobei z = g (x). Die Funktion g heißt innere, die Funktion f äußere Funktion.

Bild 7.1 veranschaulicht die Definition und unterstreicht, dass sich F(x) = f [g(x)] über den „Umweg“ einer Verkettung von g mit f ergibt, wobei die Reihenfolge wesentlich ist. Bild 7.1 f ° g: f nach g

Beispiele zusammengesetzte Funktion F

äußere Funktion f

innere Funktion g

a) F(x) = (2x – 1)3

f (z) = z3

z = g(x) = 2x – 1

⎛ 1− x ⎞2 b) F(x) =⎜ ⎟ ⎝ 1+ x ⎠

f (z) = z2

z = g(x) =

c) F(x) = x 2 −1

f (z) = z

z = g(x) = x2 – 1

d) F(x) = sin 2x

f (z) = sin z

z = g(x) = 2x

f (z) = ln z

z = g(x) =

e) F(x) = ln

1 x

1− x 1+ x

1 x

7.1 Weitere Differentiationsregeln

259

Hinweis: Die Variable der äußeren Funktion mit z zu bezeichnen, dient lediglich zur Unterscheidung von der Variablen der inneren Funktion; man könnte auch wie gewohnt x verwenden.

Definitionsbereich von DF Ohne auf Feinheiten eingehen zu wollen: DF = Dg oder aber DF ⊂ Dg (kürzer: DF ⊆ Dg). Beispiel 1: F1(x) = (x2 – 1)2 Beispiel 2: F2(x) = x 2 −1

Ÿ Dg = R, also

DF1 = R; DF2 = R \ ]– 1; + 1[.

Für die Differentiation zusammengesetzter Funktionen gilt Folgendes: Satz 7.3

Für zusammengesetzte differenzierbare Funktionen der Form y = f [g(x)] mit y = f(z) und z = g(x) gilt y = f [ g ( x) ] ⇒ y ' = f '( z )⋅ g '( x)

(Kettenregel).

Andere Schreibweisen: y = f [g(x)] Ÿ y' = f ' (z) z' oder dy dy dz := y ' = ⋅ . dx dz dx

¾ Merkregel: „Äußere Ableitung mal innere Ableitung.“ Ź Beispiel 1: Die Funktion y = f (x) = (1 – x)2 ist mittels Kettenregel abzuleiten. Lösung: Es ist y = f [g(x)] = (1 – x)2 mit f (z) = z2 und z = g(x) = 1 – x; somit gilt f ' (z) = 2z bzw. z' = g'(x) = – 1 und schließlich mit y' = f '(z) ⋅ z' = 2z ⋅ (– 1) oder y' = 2 (1 – x) ⋅ (– 1) ⇔ y' = – 2 (1 – x), was sich auch durch Ausmultiplizieren von y = (1 – x) und anschließendem Differenzieren ergibt. Ź Beispiel 2: Ebenso für y = x 2 −1 . Lösung: Es ist y = f [g(x)] mit f(z) = z und z = g(x) = x2 – 1; somit gilt 1 bzw. z' = g'(x) = 2x und schließlich f '(z) = 2 z 1 x ⋅2 x ⇒ y ' = . y' = f ' (z) ⋅ z' Ÿ y' = 2 2 z x −1 Hinweis: Mit etwas Übung kann auf die Zerlegung in Teilfunktionen verzichtet werden.

Ausweitung der Kettenregel Sind Funktionen durch mehr als zwei Teilfunktionen miteinander verkettet, lässt sich die Kettenregel ebenfalls anwenden; so gilt z. B. y = f (g [h(x)]) Ÿ y' = f ' (g [h(x)]) ⋅ g' [h(x)] ⋅ h'(x).

260

7 Vertiefung der Differential- und Integralrechnung

Mit z := g(u) und u := h(x) lässt sich die 1. Ableitungsfunktion anschaulicher angeben: y '= Beispiel:

dy dy dz du = ⋅ ⋅ . dx dz du dx (sin 2 x ) ' = cos 2 x ⋅

1 2⋅ 2 x

⋅2

dy dz du =: =: dz du dx Ausblick: Für noch mehr ineinander verschachtelte Funktionen muss die Kettenregel entsprechend oft angewandt werden . =:

• Aufgaben 7.11

Differenzieren Sie mittels Kettenregel: a) f 1(x) = (3x2 – 4x)2;

7.12

b) f 2(x) = (2x2 – 1)3;

Ebenso: a) f 1(x) =

2x ; ( x+1) 2

b) f 2(x) =

x2 ; (2 x −1)3

c) f 3(x) =

(2 x −1)3 ; (1− 3 x 2 )4

⎛ x3 ⎞2 e) f 5(x) =⎜ ⎜ x 2 −1 ⎟ ⎟ ; ⎝ ⎠

⎛ x 2 + a 2 ⎞3 f ) f 6(x) =⎜ ⎜ x2 − a2 ⎟ ⎟ , (a ∈ R). ⎝ ⎠

a) f 1(x) = 1− 2x ;

b) f 2(x) = x 2 − 2 x − 3 ;

c) f 3(x) =

d) f 4(x) = 2 x3 ⋅ 3 x −1 ;

e) f 5(x) =

⎛ 1+ x ⎞2 d) f 4(x) =⎜ ⎟ ; ⎝ 1− x ⎠ 7.13

c) f 3(x) = (x2 – 3x – 1)4.

Ebenso:

x⋅ x −1 ; x +1

7.14

Erstellen Sie für den Graphen zur Funktion

7.15

Gegeben seien f1(x) =

x+2 ; x −3

f ) f 6(x) = x − 1− x .

1+ y = 4 x 2 die Gleichung der Tangente in B(0|yB) . 1− y

2 mit x ∈ R \ {0} und f2(x) = x

x 2 − 3 mit x ∈ Df2.

a) Bestimmen Sie die Definitionsmenge Df2. b) Berechnen Sie, unter welchem Winkel sich die Graphen beider Funktionen schneiden. c) Skizzieren Sie den Sachverhalt im Koordinatensystem. 7.16

Abseits von einer geradlinig verlaufenden Landstraße liegt in 450 m Entfernung eine Neubausiedlung S (Bild 7.2), die an das Gasversorgungsnetz angeschlossen werden soll. Berechnen Sie, wie die Gasleitung am kostengünstigsten von der bereits vor längerer Zeit eingerichteten Übergabestation Ü zur Siedlung hin verlegt werden kann, wenn das Verlegen der Rohre entlang der Seitenstraße bzw. quer durch das Gelände 10 mal soviel kostet wie eine Verlegung parallel zur Landstraße .

Bild 7.2

7.2 Kurvendiskussion gebrochen-rationaler Funktionen 7.17

261

Die Teilnehmer einer Rallye erfahren am Kontrollpunkt A (Bild 7.3), dass sie als Nächstes einen im Gelände liegenden Kontrollpunkt B anzufahren haben. Weiter wird ihnen bekannt gegeben, dass es die örtlichen Gegebenheiten zulassen, auf der Landstraße im Mittel ν1 = 80 km/h, im Gelände aber nur ν2 = 20 km/h zu fahren. An welcher Stelle P sollten die Motorsportler die Landstraße verlassen, um schnellstens B zu erreichen ? Hinweis: Die Koordinaten von B sind km-Angaben.

7.18

Bild 7.3

Eine zwischen den Orten A und B geradlinig verlaufende Bundesstraße (Bild 7.4) stellte bislang die einzige Möglichkeit dar, um vom Küstenort C zum Küstenort D zu fahren. Um diesem Umstand abzuhelfen, soll eine Eckverbindung mit Kreuzung K wie dargestellt gebaut werden. Berechnen Sie, in welcher Entfernung von A die Kreuzung K vorzusehen ist, damit die Strecke von C nach D möglichst kurz wird. Maße wie folgt: | AB | = 12 km, | AD | = 3 km, | BC | = 5 km; AD , BC

AB .

Bild 7.4

7.2 Kurvendiskussion gebrochen-rationaler Funktionen Mit Kenntnis von Quotienten- und Kettenregel lässt sich nun die bereits praktizierte Form der Kurvenuntersuchung auf gebrochen-rationale Funktionen übertragen. Neben der Bestimmung von Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen, Extrem- und Wendepunkten ist eine Untersuchung hinsichtlich der Definitionslücken, Polstellen und Lücken des Funktionsgraphen sowie der Asymptoten vonnöten. Die in Abschnitt 4.1.3 gewonnenen Erkenntnisse kommen ebenso voll zum Tragen wie auch das im Zusammenhang mit der Nullstellenbestimmung ganzrationaler Funktionen vorgestellte Verfahren der Gebietseinteilung (→ Abschnitt 2.3.3). Ź Beispiel 1: Die Funktion f (x) = Lösung: Mit y =

2x ist zu diskutieren. x −1 2

P( x) 2x := bietet sich folgendes Verlaufsschema der Kurvendiskussion an: Q ( x) x 2 −1

a) Angabe des max. Definitionsbereichs Nenner Q(x) = 0: x2 – 1 = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = – 1 Ÿ Df = R \ {– 1, + 1}. b) Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

y-Achse: x = 0 Ÿ y = 0 x-Achse: y = 0 Ÿ x = 0

Ÿ Funktionsgraph geht durch den Ursprung .

c) Polstellen und Lücken Die Definitionslücken x = 1 bzw. x = – 1 liefern keine Lücken des Funktionsgraphen, weil die Linearfaktoren (x – 1) bzw. (x + 1) im Zählerpolynom P(x) nicht auftreten. Zwecks Polstellen-Bestätigung sind die Grenzwerte für x → – 1 ± 0 bzw. x → + 1 ± 0 zu ermitteln:

262

7 Vertiefung der Differential- und Integralrechnung

Grenzwert für x → – 1 ⎛ ⎛ 1⎞ 1⎞ 2⎜−1− ⎟ −2n⎜1+ ⎟ 2x ⎝ ⎝ n⎠ n⎠ = lim = lim =−∞ gl = lim 2 2 1 x→−1−0 x −1 n→∞⎛ n→∞ 1⎞ + 2 − − − ⎜ 1 ⎟ 1 n ⎝ n⎠

⎛ ⎛ 1⎞ 1⎞ −2n⎜−1+ ⎟ 2⎜−1+ ⎟ 2x ⎝ ⎝ n⎠ n⎠ = lim = lim =+∞ g r = lim 2 1 x→−1+0 x 2 −1 n→∞⎛ n →∞ 1⎞ 2− ⎜−1+ ⎟ −1 n ⎝ n⎠

Ÿxp = – 1 ist Polgerade .

Grenzwert für x → + 1: ⎛ 1⎞ 2⎜+1− ⎟ 2x ⎝ n⎠ = lim = ... =−∞ gl = lim 2 x→+1−0 x 2 −1 n→∞⎛ 1⎞ + − − 1 1 ⎜ ⎟ ⎝ n⎠

⎛ 1⎞ 2⎜+1+ ⎟ 2x ⎝ n⎠ = lim = ... =+∞ g r = lim 2 x→+1−0 x 2 −1 n→∞⎛ 1⎞ + + − 1 1 ⎜ ⎟ ⎝ n⎠

Ÿ xp = + 1 ist Polgerade .

d) Asymptoten Es müssen die Grenzwerte für x → ± ∞ bestimmt werden: 2x

2 =+0 ⎛ 1 ⎞ x→+∞ x⎜1− 2 ⎟ ⎝ x ⎠ Ÿ yA = 0 ist Asymptote. g1 = lim

x→+∞ x 2 −1

= lim

g 2 = lim

2x

x→−∞ x 2 −1

2 =−0 ⎛ 1 ⎞ x→−∞ x⎜1− 2 ⎟ ⎝ x ⎠

= lim

e) Extrema f '( x) =

2( x 2 −1) − 2 x⋅2 x x 2 +1 ; die notwendige Bedingung für Extremstellen führt auf =−2 2 2 2 ( x −1) ( x −1) 2

x2 + 1 = 0 ⇔ x2 = – 1 Ÿ keine Extrema ! f) Wendepunkte f "( x) =−2⋅ f "( x) =−4

2 x ( x 2 −1)2 − ( x 2 +1)⋅2( x 2 −1)⋅2 x ( x 2 −1)4

(kürzen !)

x ( x 2 −1) − ( x 2 +1)⋅2 x −x3 − 3 x =−4 2 ; die notwendige Wendepunkte-Bedingung liefert 2 3 ( x −1) ( x −1)3

– x3 – 3x = 0 ⇔ x (x2 + 3) = 0. Einzige Lösung ist x1 = 0, denn x2,3 ∉ R, also Wp(0|0). g) Graph Der qualitative Kurvenverlauf ergibt sich mittels Gebietseinteilung fast zwangsläufig: y=

2x ⇔ y (x2 – 1) = 2x ⇔ y (x + 1) (x – 1) = 2x; x 2 −1

beim Überschreiten der Geraden x = – 1, x = + 1 und x = 0 ändert y jedes Mal das Vorzeichen.

7.2 Kurvendiskussion gebrochen-rationaler Funktionen

263

4

Da z. B. f (2) = 3 , resultieren „erlaubte“ bzw. „verbotene“ Gebiete unter Berücksichtigung des „Schachbretteffektes“ wie in Bild 7.5 zusammen mit dem Graphen dargestellt.

Bild 7.5

Graph von f ( x) =

2x , x ∈ R \ {– 1, + 1} x 2 −1

Hinweis: Die Gebietseinteilung vermag die häufig mühsame Grenzwertbetrachtung hinsichtlich der Polstellen einer Funktion zu ersetzen; denn von der Anschauung her erschließt sich, auf welche Weise die Annäherung des Funktionsgraphen an die Polgeraden erfolgt. Der Funktionsgraph schneidet seine waagerechte Asymptote, was durchaus nicht selten ist. Rechnerisch nachzuweisen ist die Schnittstelle mittels Schnittpunktbedingung: 2x x 2 −1 y=0 y=

Ÿ

2x =0 ⇔ x=0 . x 2 −1

Symmetrieverhalten Der Funktionsgraph zeigt Punktsymmetrie zum Ursprung, was sich wie folgt nachweisen lässt: Bedingung: f (x) = -f (-x), also

2x 2(−x) ; wahre Aussage! =− x 2 −1 (−x) 2 −1

Symmetriekriterien

Die bekannten Symmetrieeigenschaften lassen sich verallgemeinernd wie folgt angeben: Satz 7.4

Es sei f(x) =

P ( x) eine gebrochen-rationale Funktion. Q( x)

Dann kennzeichnet den Graphen von f – Achsensymmetrie zur y-Achse, wenn die Graphen von Zähler- und Nennerfunktion beide entweder achsensymmetrisch zur y-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung sind; – Punktsymmetrie zum Ursprung, wenn die Zählerfunktion Achsensymmetrie zur y-Achse und die Nennerfunktion Punktsymmetrie zum Ursprung aufzeigt oder umgekehrt.

Beweis: Es gilt f ( x) =

P ( x) P(−x) ⇒ f (−x) = . Q( x) Q(−x)

264

7 Vertiefung der Differential- und Integralrechnung

Zeigen dann die Zählerfunktion P(x) und die Nennerfunktion Q(x) beide Achsensymmetrie zur y-Achse, ergibt sich f (−x) =

P (−x) P ( x) ⇒ f (−x) = ⇒ f (−x) = f ( x) . Q(−x) Q( x)

Herrscht sowohl für die Zähler- als auch die Nennerfunktion Punktsymmetrie zum Ursprung, lässt sich schlussfolgern f (−x) =

P (−x) −P ( x) ⇒ f (−x) = ⇒ f (−x) = f ( x) . Q(−x) −Q( x)

Die Beweisführung für den 2. Teil des Satzes verläuft entsprechend. Der in Bild 7.5 dargestellte Graph von f(x) = P(x) = 2x ist punktsymmetrisch Q(x) = x2 – 1 ist achsensymmetrisch

2x x 2 −1

veranschaulicht die Ausführungen:

Ÿ Gf zeigt Punktsymmetrie.

¾ Die Graphen gebrochen-rationaler Funktionen sind asymmetrisch, wenn Zähler- oder1) Nennerpolynom keine Symmetrieeigenschaften aufweisen.

Ź Beispiel 2: Die Funktion f (x) =

2 x3 − 2 x 2 + 2 x ist zu diskutieren. x3 + x

Lösung (verkürzt wiedergegeben): a) Angabe des max. Definitionsbereichs Q(x) = 0: x3 + x = 0 ⇔ x (x2 + 1) = 0 Ÿ Df = R*. b) Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen y-Achse: (x = 0) – Vorsicht ! Grenzwertbetrachtung erforderlich ! x-Achse: y = 0 Ÿ x3 – x2 + x = 0 ⇔ x (x2 – x + 1) = 0; man erhält x1 = 0, wobei x2,3 ∉ R. c) Polstellen und Lücken Für x = 0 werden sowohl der Zähler als auch der Nenner 0; die Definitionslücke liefert eine Lücke des Funktionsgraphen (vgl. Definition 4.6): 2 x3 − 2 x 2 + 2 x 2 x( x 2 − x +1) gl = lim = lim =2 , 3 x→−0 x→−0 x +x x( x 2 +1) 2 x3 − 2 x 2 + 2 x = ... = 2 also Lücke für L(0|2); keine Polstellen ! x→+0 x3 + x

g r = lim

Hinweis: Zweckmäßigerweise wird mit dem gekürzten Funktionsterm weiter gerechnet .

1)

oder ist hier im mathematischen Sinne gebraucht

7.2 Kurvendiskussion gebrochen-rationaler Funktionen

265

d) Asymptoten 2x2 − 2 x+ 2 = ... = 2 x→+∞ x 2 +1

g1 = lim

2 x2 − 2 x + 2 = ... = 2 x→−∞ x 2 +1

Ÿ yA = 2 ist Asymptote.

g 2 = lim e) Extrema y ' = 2⋅

x 2 −1 ( x 2 +1) 2

Ÿ x2 – 1 = 0 ⇔ (x + 1) (x – 1) = 0.

y' = 0 Man erhält x4 = 1 mit Funktionswert y4 = 1 und x5 = – 1 mit Funktionswert y5 = 3. Art der Extrema y "= 4x

−x 2 + 3 , ( x 2 +1)3

also ist

y" (1) = 1 > 0 Ÿ TP(1|1) bzw. y" (– 1) = – 1 < 0 Ÿ HP(–1|3).

f) Wendepunkte y " = 4 x⋅

−x 2 + 3 ( x 2 +1)3

Ÿ x (– x2 + 3) = 0 Ÿ x = 0 (s. oben!) ∨ x2 = 3.

y" = 0 Es ergeben sich x6 = 3 und x7 = – 3 mit Funktionswerten y6 ≈ 1,13 und y7 ≈ 2,87. g) Graph Unter Berücksichtigung „erlaubter“ bzw. „verbotener“ Gebiete ergibt sich Gf qualitativ gemäß Bild 7.6. Der Funktionsgraph schneidet wiederum seine waagerechte Asymptote, wie folgende Rechnung zeigt: 2x2 − 2x + 2 x 2 +1 y=2 y=

Ÿ 2x2 – 2x + 2 = 2 (x2 + 1) ⇔ x = 0 (ĺ Lücke, s. o.).

Bild 7.6

Graph von f ( x) =

Hinweis:

2 x3 − 2 x 2 + 2 x , x ∈ R* x3 + x

Gf ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung, wohl aber punktsymmetrisch zu P(0|2), was hier nicht bewiesen werden soll.

Schiefe Asymptoten

Bislang diskutierte gebrochen-rationale Funktionen führten bei Ermittlung des Grenzwertes für x → ± ∞ auf waagerechte Asymptoten. Dieser Sachverhalt ist nicht immer gegeben, wie das folgende Beispiel zeigt:

266

7 Vertiefung der Differential- und Integralrechnung

Ź Beispiel: Für f(x) =

x2 − 2 x −3 ist die Funktionsgleichung der schiefen Asymptote anzugeben. x −1

Lösung Der Funktionsterm ist mittels Polynomdivision aufzuschlüsseln. Das läuft für x ∈ R \ {1} wie folgt ab: −4 (x2 – 2x – 3) : (x – 1) = x – 1 + . x −1 – (x2 – x) –x–3 – (– x + 1) –4

Es gilt demnach f (x) =

x2 − 2 x −3 −4 , ⇔ f ( x) = x −1+ x −1 x −1

wobei R(x)= x−1 und

P( x) −4 −4 := mit lim =0 . Q ( x) x −1 x→±∞ x −1

Die Gerade yA mit der Funktionsgleichung A(x) = x – 1 ist schiefe Asymptote des Funktionsgraphen, d. h. der Graph von f kommt dieser Geraden für x → ± ∞ beliebig nahe. Bild 7.7 zeigt den Sachverhalt, wie er sich nach vollständiger Kurvendiskussion (Aufgabe!) ergibt.

Bild 7.7

Graph von f ( x) =

x2 − 2 x −3 , x ∈ R \ {1} x −1

Der Sachverhalt bedarf der Verallgemeinerung: Definition 7.2

f(x) =

P( x) sei gebrochen-rationale Funktion mit voll gekürztem Funktionsterm. Q( x)

Gilt dann

lim [ f ( x) − (mx + b)] = 0 ,

x → ±∞

so heißt die Gerade mit A(x) = mx + b (m, b ∈ R) Asymptote des Graphen von f. Diese Definition schließt für m = 0 die waagerechten Asymptoten ein. Für m ∈ R* existieren schiefe Asymptoten, deren Funktionsgleichungen sich mittels Polynomdivision erstellen lassen: f ( x) =

P ( x) P ( x) ⇔ f ( x ) = R ( x) + , wobei Q( x) Q( x)

R(x) = mx + b und

P( x) = 0. x → ±∞ Q( x) lim

7.2 Kurvendiskussion gebrochen-rationaler Funktionen

267

Asymptotenkriterien Der Graph einer gebrochen-rationalen Funktion mit vollständig gekürztem Funktionsterm hat genau dann eine schiefe Asymptote, wenn gilt: ¾ Der Grad des Zählerpolynoms P(x) ist genau um 1 größer als der Grad des Nennerpolynoms Q(x).

Zusammenfassend nochmals die unterschiedlichen Fälle: 1. np < nQ

Ÿ x-Achse ist waagerechte Asymptote: A(x) = 0; 1 x 2 −1 Beispiele: y = , y = 3 . x x

2. np = nQ

Ÿ Parallele zur x-Achse ist waagerechte Asymptote: A(x) = b (b ∈ R); 2 x −3 2 x3 − 8 ⇒ A( x) = ; y = ⇒ A( x) = 12 . Beispiele: y = 3x + 4 3 2 x3

3. np = nQ + 1 Ÿ schiefe Asymptote (Polynomdivision!): A(x) = mx + b (m ∈ R*, b ∈ R); x3 x 2 +1 ⇒ A( x) = x; y = ⇒ A( x) = x −1 . Beispiele: y = 2 x +1 x −1 ¾ Ist der Grad des Zählerpolynoms um mehr als 1 größer als der Grad des Nennerpolynoms, ergeben sich keine Asymptoten. Der Funktionsgraph zeigt dann asymptotische Annäherung an den Graphen einer ganzrationalen Funktion R(x) mindestens 2. Grades, die sich wiederum durch Polynomdivision ergibt. x3 schmiegt sich für x → ± ∞ beliebig dicht an die Parabel mit der x −1 x3 1 Funktionsgleichung y = x2 + x + 1 an; denn f(x) = ⇔ f (x) = x2 + x + 1 + , wobei x−1 x−1 P( x) 1 1 := mit lim R(x): = x2 + x + 1 und =0 . Q ( x) x −1 x→±∞ x −1

Beispiel: Der Graph von f (x) =

• Aufgaben 7.19

7.20

Führen Sie Kurvendiskussionen durch: a) f1(x) =

1 ; 1− x 2

b) f2(x) =

2x ; x −9

c) f3(x) =

x 2 −1 ; x2 − 4

d) f4(x) =

x2 + x ; x + x −6

e) f5(x) =

4 ; x +1

f) f6(x) =

x2 −9 ; x2 +3

g) f7(x) =

36 − x 2 ; 12 + x 2

h) f8(x) =

x2 + 4 x + 4 . x2 − 4 x + 4

2

2

2

Ebenso: a) f1(x) =

2 x +1 ; x2

b) f2(x) =

x2 + x − 2 ; x2

c) f3(x) =

10 x 2 −10 x − 20 ; x3

d) f4(x) =

x2 + x − 6 ; x 2 − 2 x +1

e) f5(x) =

x2 − 2 x ; x 2 −1

f ) f6(x) =

x2 − x − 6 . x2 + x − 6

Hinweis: Die Funktionsgraphen schneiden ihre Asymptoten.

268 7.21

7 Vertiefung der Differential- und Integralrechnung Ebenso: a) f1(x) =

7.22

x +1 x3 − x 2 − 2 x

;

b) f2(x) =

x3 − 2 x 2 + x ; x3 − 2 x 2 − x + 2

c) f3(x) =

x 4 +18 x 2 −12 . x3

x2 − 4 sowie f2(x) = 1 x2 + c. 4 x2 a) Bestimmen Sie c ∈ R so, dass sich die Graphen beider Funktionen berühren. Gegeben seien die Funktionen f1(x) =

b) Erstellen Sie die Funktionsgleichung der gemeinsamen Tangente im Berührpunkt B(xB|yB) mit xB ∈ R+. - Berechnen Sie, in welchem Punkt diese Tangente Gf1 schneidet. c) Stellen Sie den gesamten Sachverhalt graphisch dar. 7.23

4 x 2 + 4 x −8 , x ∈ R*. x2 a) Berechnen Sie, in welchem Punkt B eine Tangente parallel zur 1. Winkelhalbierenden den Funktionsgraphen berührt. Es sei f (x) =

b) In welchem Punkt S schneidet diese Tangente den Funktionsgraphen ? c) Stellen Sie den Sachverhalt graphisch dar, indem Sie eine für diese Problemstellung erforderliche Kurvendiskussion durchführen. 7.24

7.25

Führen Sie eine Kurvendiskussion durch: a) f1(x) =

x2 ; x−1

b) f2(x) =

x 2 + 3 x +1 ; x

c) f3(x) =

−x 2 + 3 x − 3 ; x−2

d) f4(x) =

x 2 + 3x + 3 ; x +1

e) f5(x) =

−x 2 − 2 x −1 ; x+ 2

f) f6(x) =

x 2 − 2 x +1 . | x|

−x3 + x 2 + 3 x − 2 ; x2

b) f2(x) =

−3 x3 + 24 ; 4 x 2 +8 x + 4

c) f3(x) =

x3 + 3x 2 + 3 x − 7 . x2 + 4x + 4

Ebenso: a) f1(x) =

7.26

ax 2 + bx + c weist einen Funktionsgraphen auf, der durch P(1|2) x geht und die Winkelhalbierende des 1. Quadranten als schiefe Asymptote hat.

Eine Funktion der Form y =

Bestimmen Sie die Koeffizienten a, b, c ∈ R und führen Sie eine Kurvendiskussion durch. 7.27

Eine gebrochen-rationale Funktion der Form y =

ax sei für x ∈ R \ {–2,+2} definiert. x2 +b

Bestimmen Sie a, b ∈ R so, dass der Funktionsgraph im Ursprung eine Steigung von m0 = –

3 4

aufweist. – Diskutieren Sie anschließend die Funktion. 7.28

Es sei f(x) =

ax 2 + b mit a, b, c ∈ R. x2 + c

Bestimmen Sie die Koeffizienten so, dass der Graph von f durch P1(– 2|0) und P2(0|2) geht und einen Wendepunkt mit xWp = + 1 aufweist. – Führen Sie danach eine Kurvendiskussion durch.

7.2 Kurvendiskussion gebrochen-rationaler Funktionen

7.29

269

ax3 + bx + c berührt die x-Achse für x2 x1 = 1 und geht durch P(2|1). - Diskutieren Sie die Funktion.

Der Graph einer gebrochen-rationalen Funktion mit f (x) =

7.30

Gegeben sei die folgende Kostenfunktion: K ( x) = x3 −10 x 2 + 42 x + 24 , wobei die Variable x für die Produktionsmenge in 1000 Stück steht. - Berechnen Sie, für welche Stückzahl xBo das Betriebsoptimum resultiert. K ( x) minimal werden. Hinweis: xBo ist die Ausbringungsmenge, für die die Stückkosten k ( x) = x

7.31

Ein Testpilot lenkt einen Überschall-Jet aus großer Höhe kommend im Sturzflug der Erde zu, fängt ihn in bestimmter Höhe hx ab und geht dann wieder in den Steigflug über. Den Beobachtern im Tower ergibt sich am Firmament eine Flugbahn, die der Computer unter bestimmten nicht näher zu erläuternden Voraussetzungen als Funktion wie folgt beschreibt: h( x) =

x3−10 x 2 + 35 x +15 , x > 0. (Angaben in km, wobei die x-Achse den Horizont markiert.) x2

Errechnen Sie die gegen Grund gemessene Höhe hx in Metern. 7.32

Die nachfolgende Funktion beschreibt als reduziertes mathematisches Modell unter verkehrsüblichen Größenzuordnungen verschiedener Parameter wie Bremsbeschleunigung, durchschnittliche Fahrzeuglänge, Sicherheitsabstand sowie Reaktionszeit die Verkehrsdichte D in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit v: 8v D(v) = . v ² + 8v +160 Die Geschwindigkeit v ≥ 0 ist in m/s anzugeben; die Verkehrsdichte ergibt sich in 1/s. a) Berechnen Sie, bei welcher Geschwindigkeit sich die größte Verkehrsdichte ergibt und geben Sie diese in Fahrzeuge pro Stunde an. b) Ermitteln Sie zusätzlich die Wendestelle, skizzieren Sie den Graphen und begründen Sie das sich abzeichnende Grenzwertverhalten für v ĺ ∞.

7.33

Von einer 10 mm dicken Stahlblechtafel mit den Abmessungen 2000 mm × 1000 mm soll dreieckförmig die rechte untere Ecke abgeschnitten werden. Der gerade Schnitt ist aus konstruktiven Gründen so zu führen, dass er durch einen Punkt geht, der 1500 mm von der linken Breitseite und 300 mm von der unteren Längsseite entfernt liegt. Berechnen Sie Anfangs- und Endpunkt der Schnittführung, wenn das Abfallstück ein minimales Flächenmaß haben soll. Hinweis: Rechnen Sie der Einfachheit halber in dm.

7.34

Für einen Kurgarten sollen Blumenbeete in Form von rechtwinkligen Dreiecken mit einer Beeteinfassung von jeweils 20 m Länge angelegt werden. – Ermitteln Sie, welche Abmessungen erforderlich sind, wenn aus gartenarchitektonischen Gründen angestrebt wird, möglichst kurze Hypotenusen zu erhalten .

7.35

Das Querschnittprofil eines Bergwerkstollens entspricht angenähert dem Flächenstück, das vom Graphen der Funktion f (x) =

25 − x 2 8+ x2

sowie der Abszissenachse begrenzt wird (Angabe in m).

Der Stollen soll aus Sicherheitsgründen so ausgemauert werden, dass sich eine rechteckige Querschnittsfläche maximalen Inhalts ergibt. – Geben Sie die Abmessungen an.

270

7 Vertiefung der Differential- und Integralrechnung

7.36

In einer Kathedrale ist ein 10,5 m hohes Chorfenster mit bedeutender Glasmalerei zu sehen, dessen unterer Rand sich 3,5 m über dem Fußboden befindet. Aus welcher Entfernung muss ein Kunstfreund (Augenhöhe: 1,5 m) dieses Werk betrachten, wenn er es unter möglichst großem Blickwinkel ϕ (Bild 7.8) sehen will? Hinweise 1. Erstellen Sie die Funktion tan ϕ = f (x). Sie sagt aus, wie sich ϕ in Abhängigkeit vom Betrachtungsabstand x ändert. 2. Es ist tan (β – α) =

tan β − tan α . 1+ tan α ⋅ tan β

Bild 7.8 7.37

In der Montagehalle eines Herstellers für Elektromotoren verschiedener Bauart sind eine Vielzahl von Monteuren mit der Montage diverser Motorteile beschäftigt. Wenn die Monteure Materialien und Werkzeuge benötigen, gehen sie zur Materialausgabestelle. Dort erfasst ein Beschäftigter die Daten am PC; er darf die Monteure nicht bedienen, das machen andere. Dabei kommt es immer wieder zu Wartezeiten, die sich durch folgende Funktion modellieren lassen: 20 , wobei x für die Gesamtanzahl der Beschäftigten in der Materialausgabe steht und x −1 sich t(x) in Minuten ergibt. t ( x) =

Einem Unternehmensberater stehen weitere Daten zur Verfügung: Der Stundenlohn der Beschäftigten in der Materialausgabe beträgt 22 €, der der Monteure 32 €; 33 Monteure kommen durchschnittlich pro Stunde zur Materialausgabestelle. a) Geben Sie die Wartezeit an, wenn zwei Beschäftigte (davon 1 Datenerfasser), tätig sind. Begründen Sie die Einschränkung des Definitionsbereichs. b) Erstellen Sie die Funktionsgleichung der gesamten personellen Materialausgabekosten und prognostizieren Sie rechnerisch belegt, wie viele Beschäftigte der Unternehmensberater vorschlägt in der Materialausgabe einzusetzen.

Integration gebrochen-rationaler Funktionen Die Vorgehensweise hängt im Wesentlichen von der Gestaltung des Nennerpolynoms Q(x) ab. Es gilt mehrere Fälle zu unterscheiden: 1. Das Nennerpolynom Q(x) ist (reine) Potenzfunktion

Das ist thematisiert worden:

∫

darüber ist informiert worden: ∫

1 1 dx =− + C (ĺ Potenzregel); x² x 1 dx = ln | x | +C . x

Also bereitet ein Integral wie z. B. ∫

∫

ax 2 + bx + c dx kein Problem; es wird zerlegt: x

ax ² + bx + c c a dx = ∫ (ax + b + )dx = x ² + bx + c⋅ln | x | +C. x x 2

7.2 Kurvendiskussion gebrochen-rationaler Funktionen

271

Ź Beispiel: Gesucht ist die Menge der Stammfunktionen für f ( x) = Lösung:

∫

x3 + x 2 − 3 x − 2 . x2

x3 + x 2 − 3x − 2 3 2 x2 2 ( 1 ) dx = x + − − dx = + x − 3⋅ln | x | + + C. ∫ 2 2 x 2 x x x

2. Das Nennerpolynom Q(x) ist linear

In Analogie zum „Aufleiten“ von f (x) = 1 kann für gebrochen-rationale Funktionen mit lineax

rem Nenner Q(x) = a ⋅ x + b, a ≠ 0, die Menge der Stammfunktionen wie folgt angegeben werden: 1 1 dx = ⋅ln | a⋅ x + b | + C , was durch Differentiation (Aufgabe!) nachzuprüfen ist. ∫ a⋅ x + b a Besteht zusätzlich der Zähler aus linearem (oder quadratischem) Polynom, muss zunächst mittels Polynomdivision der Funktionsterm passend umgeformt werden wie nachfolgendes Beispiel zeigt: 4 x −5 schließt zusammen mit den Koordinatenachsen ein Flächen2x −3 stück ein, dessen Inhalt zu berechnen ist.

Ź Beispiel: Der Graph von f ( x) =

Lösung: Die Integrationsgrenzen ergeben sich zu a = 0 und b = 5

5

5 (wieso ?), also gilt 4 5

4 ⎡ ⎤4 4x −5 1 1 1 ) dx =⎢ 2 x + ⋅ln | 2 x − 3 |⎥ = … = ⋅ (5 – ln6) ⇒ A ≈ 1,604 FE. A= ∫ dx = ∫ (2 + ⎣ ⎦0 − − 2 2 3 2 3 2 x x 0 0 4

3. Das Nennerpolynom Q(x) ist quadratisch

Bislang praktizierte Lösungsstrategien versagen; eine Partialbruchzerlegung ist vorzunehmen. Zur grundsätzlichen Vorgehensweise beispielhaft soviel vorab: Die beiden Funktionen g(x) =

1 1 und h(x) = x− 2 x+1

bilden bei additiver Verknüpfung eine neue gebrochen-rationale Funktion 1 1 + , was gleichbedeutend ist (Aufgabe!) mit x − 2 x +1 2 x −1 f (x) = , wobei x ≠ –1 und x ≠ 2. x² − x − 2

f (x) = g(x) + h(x) =

In der Regel ist umgekehrt vorzugehen. Der Funktionsterm muss in seine Partialbrüche (= Teilbrüche) zerlegt werden, wobei deren Zähler unbekannt sind. Folgender Ansatz hilft: 2 x −1 A B = + ; x ² − x − 2 x − 2 x +1 eine Multiplikation mit dem Nennerpolynom liefert 2 x −1 = A⋅( x +1) + B⋅( x − 2) .

272

7 Vertiefung der Differential- und Integralrechnung

Um die Konstanten A und B zu bestimmen, werden die Grenzwerte wie folgt gebildet: a) x ĺ – 1: lim (2 x −1) = lim A⋅( x +1) + lim B⋅( x − 2) x→−1

x→−1

x→−1

b) x ĺ 2: lim(2 x −1) = lim A⋅( x +1) + lim B⋅( x − 2) x→2

⇒ – 3 = A ⋅ 0 + B(– 3) oder B = 1.

x→2

x→2

⇒ 3 = A ⋅ 3 + B ⋅ 0 oder A = 1.

Das Integrieren geschieht nun wie folgt:

∫

2 x −1 x2 − x − 2

dx = ∫ (

1 1 + ) dx = ln | x − 2 | +ln | x +1| +C. x − 2 x +1

¾ Verallgemeinerung

Gilt für das Polynom Q(x) = x2 + px + q = (x – x1) (x – x2) mit x1 ≠ x2, resultiert die Partialbruchzerlegung wie folgt: P ( x) P ( x) A B , wobei P(x) ein Polynom 1. oder 0. Grades sein muss. = = + Q( x) x 2 + px + q x − x1 x − x2

Ź Beispiel: Gesucht ist die Menge der Stammfunktionen für f ( x) =

x3 + 2 x − 3 . x2 − x − 6

Lösung: Die Partialbruchzerlegung kann zunächst nicht durchgeführt werden, da der Grad des Zählerpolynoms größer als der des Nennerpolynoms ist. Abhilfe erfolgt mittels Polynomdivision (Aufgabe !):

∫

x3 + 2 x − 3 9x +3 x2 3 x +1 dx = ∫ ( x +1+ 2 ) dx = + x + 3⋅∫ 2 dx . 2 2 x − x −6 x − x−6 x − x−6

Die Partialbruchzerlegung wird eingeleitet mit dem Ansatz 3 x +1 A B = + und liefert A = 2 und B = 1. x² − x − 6 x −3 x + 2 Somit folgt

∫

x3 + 2 x − 3 x2 2 1 dx = + x + 3⋅∫ ( + ) dx und schließlich 2 2 x −3 x+ 2 x − x−6

∫

x3 + 2 x − 3 x2 dx = + x + 3⋅(2⋅ln | x − 3 | +ln | x + 2 |) + C. 2 2 x − x−6

¾ Sonderfall: x1 = x2

Gilt für das Polynom Q(x) = x2 + px + q = (x – x1) (x – x1), geschieht die Partialbruchzerlegung wie folgt: P( x) P( x) A B , was nicht weiter begründet werden soll. = = + Q( x) x 2 + px + q x − x1 ( x − x1 )2

7.3 Kurvendiskussion trigonometrischer Funktionen • Aufgaben 7.38

2

Geben Sie den Integralwert an:

∫ 1

273

x2 + 2 dx. x2

3

x − 35 x − 30 die Stammfunktion zu, deren Graph durch P(5|5,6) geht. x3

7.39

Ordnen Sie f ( x) =

7.40

In vielen technischen Geräten wie z. B. in Handy’s werden Datenübertragungsfunktionen verarbeitet. Das Integral dieser Funktionen ist unter bestimmten technologischen Voraussetzungen ein Maß für den Energiebedarf bzw. ggf. auftretende Verluste eines solchen Systems. 2s + 3 Erstellen Sie für H ( s ) = 2 , s >1 , die Stammfunktion FH ( s ) = ∫ H ( s )⋅ds . s −1 Hinweis: s steht für die Datenübertragungsfrequenz in 1/s.

7.41

Berechnen Sie jeweils das von Funktionsgraph, x- und y-Achse eingeschlossene Flächenstück: a) f1 ( x) =

7.42

7.43

x −1 ; x2 − 4

b) f 2 ( x) =

x 2 − 2 x +1 ; x2 − 2 x −3

c) f3 ( x) =

x3 + x 2 −1 . x 2 −1

x3 − 3x − 2 , die x-Achse und die zugehörige schiefe Asymptote x2 markieren eine im 3. Quadranten liegende Fläche. Berechnen Sie deren Maßzahl. Der Graph der Funktion f ( x) =

x3 . 3( x −1) 2 Die Koordinatenachsen, die Polgerade und die schiefe Asymptote markieren ein im 1. Quadranten liegendes Trapez. – Berechnen Sie, in welchem Verhältnis Gf die Trapezfläche teilt.

Gegeben sei die Funktion f ( x) =

7.3 Kurvendiskussion trigonometrischer Funktionen 7.3.1 Die Differentiation der trigonometrischen Grundfunktionen Die Stetigkeit ist notwendige Bedingung für die Differenzierbarkeit einer Funktion. Insofern müsste zunächst geprüft werden, ob auch die Winkelfunktionen diese Voraussetzung erfüllen. Anschauungsorientiert wird ohne Nachweis davon ausgegangen, dass die trigonometrischen Grundfunktionen diese Bedingung erfüllen. Demzufolge lassen sich die Sätze über Grenzwerte von Funktionen und über Stetigkeit auf folgende Problemstellung anwenden: sin x . x→0 x

Der Grenzwert lim

sin x , x ∈ R*, x an der Stelle x = 0 stetig fortzusetzen. Das ist gleichbedeutend damit, den Differentialquotienten der Sinusfunktion an der Stelle x = 0 zu ermitteln.

Zwecks Grenzwertbetrachtung ist die Differenzenquotientenfunktion d: f ( x) =

274

7 Vertiefung der Differential- und Integralrechnung sin x − sin x0 , ( x ≠ x0 ) , also x − x0 x→ x0 sin x − sin 0 sin x y '(0) = lim = lim , ( x ≠ x0 ) . x −0 x→0 x→0 x

Definitionsgemäß gilt y '( x0 ) = lim

Ein Blick auf die Sinuskurve lässt vermuten, dass für die Steigung im Ursprung gilt: y'(0) = 1. Veranlassung genug, die Grenzwertaussage wie folgt zu formulieren: Satz 7.5 sin x =1 . x→0 x

Es gilt lim

Beweis π

Gemäß Bild 7.9 gilt für 0 < x < 2 unter Berücksichtigung geometrischer Überlegungen folgende Abschätzung der Flächeninhalte: A (ΔOPQ) < A (Sektor OPQ) < A (ΔOPR) 1 2

⋅ r ⋅ sin x
cos x bleibt auch für x ∈ ]−2 ; 0[ gültig; denn x sin (−x) −sin x sin x cos (–x) = cos x und = = (wieso ?). −x −x x

Die Ungleichungskette 1>

1)

Für kleine Werte |x| ≤ 0,1 rad (≈ 5,75°) ist die Abschätzung x ≈ sin x ≈ tan x hilfreich.

7.3 Kurvendiskussion trigonometrischer Funktionen

275

sin x ≥ lim cos x x→−0 x x→−0

Für den Grenzwert x → - 0 ergibt sich lim 1≥ lim x→−0

sin x ≥1 , d. h. x→−0 x

sin x =1 . x→−0 x

1≥ lim

lim

Links- und rechtsseitiger Grenzwert existieren und stimmen miteinander überein, somit ist sin x lim =1 . x→0 x tan x . x sin x tan x sin x = lim folgt g = lim , also Lösung: Mit tan x := cos x x→0 x x→0 x⋅cos x

Ź Beispiel: Zu bestimmen ist der Grenzwert lim

x→0

sin x 1 ⋅ lim =1 . x→0 x x→0 cos x

g = lim

• Aufgaben x =1 . x→0 sin x

7.44

Zeigen Sie, dass lim

7.45

Geben Sie folgende Grenzwerte an: sin 2 x ; x x→0

a) lim 7.46

tan 2 x ; x x→0

b) lim

x→0

sin 2 x ; x

d) lim

sin 2 x

x→0 sin 3 x

;

e) lim

x→0

tan 3 x . tan 2 x

Ebenso: 1− cos 2 x ; x x→0

b) lim

−1+ cos 2 x ; x→0 3 x⋅ tan x

e) lim

a) lim

d) lim 7.47

c) lim

cos 2 x −1 ; x→0 x⋅sin x

1− cos 2 x ; x→0 x2

c) lim

tan 2 x − cos 2 x +1 ; 2 x⋅sin x x→0

f) lim

1− cos x ; x→0 x2

c) lim

1+ cos 2 x . x→0 2⋅cot x

Ebenso: 1− cos x ; x x→0

a) lim

d) lim

x→0

1− x sin x − cos x ; x2

b) lim e) lim

x→0

tan x − sin x ; x2

x⋅sin x ; x→0 cos x −1

f) lim

x→0

sin x − tan x . x3

x Hinweis: Setzen Sie cos x = cos 2⋅ . 2

Die Ableitungen des Sinus und Kosinus Sinus- und Kosinusfunktion gemeinsam ist, dass die Extremstellen der einen übereinstimmen mit den Nullstellen der anderen. Der offensichtliche Zusammenhang zwischen der jeweiligen Ausgangsfunktion mit der zugehörigen Ableitungsfunktion ergibt sich folgendermaßen:

276

7 Vertiefung der Differential- und Integralrechnung

Satz 7.6

Satz 7.7

Für alle x ∈ R gilt y = sin x Ÿ y' = cos x.

Für alle x ∈ R gilt y = cos x Ÿ y' = – sin x.

Beweis zu 7.6 sin x − sin x0 , (x ≠ x0); x − x0 x + x0 x − x0 ⋅sin folgt mit dem Additionstheorem sin x − sin x0 = 2cos 2 2 x + x0 x − x0 x − x0 ⋅sin 2cos x + x0 sin 2 2 2 = lim cos ⋅ ⋅ y '( x0 ) = lim x − x0 2 x − x0 x→ x0 x→ x0 2 x − x0 sin x + x0 2 , also ⇒ y '( x0 ) = lim cos ⋅ lim 2 x→ x0 x→ x0 x − x0 2 y' (x0) = cos x0 ⋅ 1, was sich vereinbarungsgemäß auch so angeben lässt:

x0 ∈ R ⇒ y '( x) = lim

x→ x0

y' = cos x.

( ) y ' = cos ( π2 − x )⋅(−1) ⇒ y ' =−sin x .

Beweis zu 7.7: Aus y = cos x = sin π2 − x folgt mit Hilfe der Kettenregel

Ź Beispiel: Zu berechnen ist, in welchem Punkt und unter welchem Winkel sich die Graphen von ⎡ π⎡ Sinus- und Kosinusfunktion im Intervall⎢ 0; ⎢ schneiden. ⎣ 2⎣ Lösung: Die Schnittpunktbedingung führt auf eine goniometrische1) Gleichung: sin x = cos x ⇔ tan x = 1 ⇔ x = ⎛π ⎞ 1 Mit y = sin x Ÿ y’ = cos x ⇒ y '⎜ ⎟=2 ⎝4⎠

π 4

(bzw. x = π4 ± n⋅π ∧ n ∈ N) :

2

und

(

Schnittpunkt S π4 |

2 2

).

⎛π ⎞ 1 2 y = cos x Ÿ y’ = – sin x ⇒ y '⎜ ⎟=− ⎝4⎠ 2

⎛ 1 ⎞ 1 2 ⎟ – arctan 2 resultiert für den Schnittwinkel ε = arctan⎜− ⎝ 2 ⎠ 2 Ÿ ε = 144,74° – 35,26° = 109,48° (≈ 1,91 rad).

Die Ableitungen des Tangens und Kotangens sin x cos x und cot x: = lassen sich die Ableitungsfunktionen des Tangens cos x sin x und Kotangens aus den Sätzen 7.6 und 7.7 mittels Quotientenregel entwickeln (Aufgabe !):

Wegen tan x: =

1)

Goniometrie: Lehre von der Winkelmessung; von gonia (grch.): Winkel

7.3 Kurvendiskussion trigonometrischer Funktionen

277

Satz 7.8 π

1. Für alle x ∈ R \ {x | x = (2k + 1) 2 ∧ k ∈ Z} gilt: y = tan x ⇒ y' = 2. Für alle x ∈ R \ {x | x = k ⋅ π ∧ k ∈ Z} gilt:

1

. cos 2 x 1 y = cot x ⇒ y' = − 2 . sin x

Ź Beispiel: Für f (x) = tan x, x ∈ R \ [–π; +π], sind die Stellen des Funktionsgraphen mit der Steigung m = 1 zu errechnen. Lösung y = tan x ⇒ y ' =

1 cos 2 x

⇒

mt = 1 ⇒ y’ = 1

1 =1 cos 2 x

⇔ cos2 x = 1⇔ cos x = 1 ∨ cos x = – 1;

der Graph von f weist für x1 = 0 sowie x2,3 = ± π (Nullstellen !) eine Steigung von m = 1 auf.

¾ Die Tangenskurve schneidet für x = k ⋅π mit k ∈ Z die x-Achse jeweils unter 45°.

• Aufgaben 7.48

Beweisen Sie (cos x)' = – sin x. Hinweis: Gehen Sie analog zur Beweisführung von Satz 7.6 vor.

7.49

Entwickeln Sie die Ableitung der Kotangensfunktion mit Hilfe der Identitäten ⎛π ⎞ 1 . a) cot x = tan⎜ − x ⎟ ; b) cot x = ⎝2 ⎠ tan x

7.50

Berechnen Sie, in welchen Punkten und unter jeweils welchem Winkel sich im Intervall ] 0; 2 [ die Funktionsgraphen

π

a) der Tangens- und Kotangensfunktion; b) der Sinus- und Kotangensfunktion; c) der Kosinus- und Tangensfunktion schneiden. 7.51

Bilden Sie die 2. Ableitung der vier trigonometrischen Grundfunktionen und geben Sie den jeweiligen Definitionsbereich an.

7.52

Differenzieren Sie je einmal:

7.53

a) f 1(x) = sin 2x;

b) f 2(x) = – cos 3x;

c) f 3(x) = tan 2x;

d) ƒ4(x) = sin x2;

e) f 5(x) = cos

x ;

f) f 6(x) = cot 2 x ;

g) f 7(x) = 1+ cos 2 x ;

h) f 8(x) = 1− tan 2 x .

a) f 1 (x) = x ⋅ sin x;

b) f 2(x) = x2 ⋅ cos x;

Ebenso:

e) f 5(x) =

cos x ; 1− sin x

f) f 6(x) =

1+ 2⋅sin x ; cos x

−2cot x ; x sin 2 x +1 h) f 8(x) = . sin 2 x −1

c) f 3(x) = x ⋅ tan x ; d) f 4(x) = g) f 7(x) =

sin 2 x ; cos x

278

7 Vertiefung der Differential- und Integralrechnung

7.3.2 Zusammengesetzte trigonometrische Funktionen Für die in der Praxis häufig anzutreffenden und durch Überlagerung entstandenen zusammengesetzten trigonometrischen Funktionen ist eine nach bewährtem Schema ablaufende Kurvendiskussion erforderlich. Zusätzlich ist die Frage nach der Periodizität von Bedeutung. Aussagen hierüber erlauben es, sich bei der Kurvenuntersuchung auf eine Periodenlänge zu beschränken. Ź Beispiel: Die Funktion f (x) = sin 2x + 2 ⋅ sin x mit x ∈ R ist vollständig zu diskutieren. Lösung 1. Schnittpunkte mit den KO-Achsen

a) y-Achse: x = 0 Ÿ y = 0;

b) x-Achse: y = 0 Ÿ sin 2x + 2 sin x = 0 2 sin x cos x + 2 sin x = 0 sin x (cos x + 1) = 0.

Es gilt sin x = 0 ⇔ x = k ⋅ π ∧ k ∈ Z oder cos x + 1 = 0 ⇔ x = (2k + 1) ⋅ π ∧ k ∈ Z. Die Periodizität beträgt 2π; man kann sich im Folgenden auf die Periodenlänge [0; 2π] beschränken. 2. Lage und Art der Extrema

y' = 2 ⋅ cos 2x + 2 ⋅ cos x y' = 0

Ÿ cos 2x + cos x = 0 ⇔ 2 cos2x – 1 + cos x = 0 ⇔ cos2x +

Substitution z : = cos x liefert

1 cos x – 2

1 2

= 0.

1 1 1 z 2 + z − = 0 ⇔( z +1) ( z − ) = 0 , also 2 2 2

cos x + 1 = 0 ⇔ cos x = – 1; man erhält x1 = π mit y1 = 0. 1 1 π 5π mit y2,3 ≈ ± 2,598. cos x − = 0 ⇔ cos x = ; es ergeben sich x2 = ; x3 = 2 2 3 3 y" = 2 ⋅ (– 2 sin 2x – sin x) Ÿ y" (π) = 0 Ÿ kein Extremum, sondern Sattelpunkt; ⎛π ⎞ Ÿ y "( π3 ) < 0 Ÿ HP⎜ | +2,598⎟; ⎝3 ⎠ ⎛ 5π ⎞ ⎛ 5π ⎞ | −2,598⎟ . Ÿ y "⎜ ⎟> 0 Ÿ TP⎜ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 3. Wendepunkte

y" = 2 (– 2 sin 2x – sin x) y" = 0

⎛ 1⎞ Ÿ 2 sin 2x +sin x = 0 ⇔ 4 sin x⎜cos x + ⎟ = 0 ⎝ 4⎠ 1 ⇔ sin x = 0 oder cos x = − . 4

1 erhält man x4,5 = π ± 1,318, 4 d. h. x4 = 1,824 mit y4 = 1,45 bzw. x5 = 4,46 mit y5 = – 1,45. Aus cos x = −

Im Intervall [0; 2π] ergeben sich somit fünf Wendepunkte, einer davon ist Sattelpunkt.

7.3 Kurvendiskussion trigonometrischer Funktionen

279

4. Graph

Der Graph ist punktsymmetrisch zu den Wendepunkten mit den Abszissen xwp = k ⋅ π ∧ k ∈ Z und ergibt sich durch Überlagerung – Superposition1) – der Graphen zu g1(x) = sin 2x und g2(x) = 2 sin x (Bild 7.10).

Bild 7.10 Graph von f (x) = sin 2x + 2 sin x, x ∈ [0; 2π]

• Aufgaben 7.54

Zur Berechnung der effektiven Stromstärke in der Wechselstromtechnik wird die reelle Funktion f (x) = 2sin2x verwandt. Führen Sie für f eine Kurvendiskussion durch.

7.55

Diskutieren Sie folgende Funktionen: a) f1(x) = sin 2x – 2 sin x;

7.56

b) f2(x) = sin x – cos x + 1;

c) f3(x) = cos 2x – 2 sin x.

Ebenso: a) f1(x) = x – sin x;

7.58

c) f3(x) = – sin2x + sin x + 2.

Ebenso: a) f1(x) = sin x + cos x;

7.57

b) f2(x) = sin2x – 2 sin x + 1;

b) f2(x) = x + sin 2x.

Ebenso: 2sin 2 x + sin x −1 2 − 4sin 2 x 3 ; c) f3(x) = ; b) f2(x) = ; 2 + cos x sin x sin x sin x +1 ; e) f5(x) = tan2x – 2 tan x + 1; f) f6(x) = tan x + cot x. d) f4(x) = cos x Hinweis: Achten Sie auf den eingeschränkten Definitionsbereich . a) f1(x) =

7.59

Wählen Sie rechnerisch begründet den Basiswinkel α eines sog. Nurdach-Hauses (Bild 7.11) so, dass die als gleichschenkliges Dreieck gestaltete Giebelseite bei vorgegebener Schenkellänge einen maximalen Flächeninhalt aufweist . Bild 7.11

7.60

Auf einem kreisrunden öffentlichen Platz mit Radius r sollen Fahnenmasten so aufgestellt werden, dass diese in ihrer Gesamtheit die Begrenzungslinien eines einbeschriebenen gleichschenkligen Dreiecks bilden. Berechnen Sie, welche Dreiecksabmessungen sich ergeben, wenn der Dreiecksumfang wegen der aufzustellenden Masten maximal sein soll .

1)

vgl. Abschnitt 2.3.2, Bilder 2.67 und 2.68

280

7 Vertiefung der Differential- und Integralrechnung

7.61

Beim schiefen Wurf nach oben ergibt sich die Wurfweite W unter Vernachlässigung des Luftwiderstandes zu W=

ν02 sin 2α g

. - Berechnen Sie, für welchen Winkel α die Wurfweite W maximal wird.

Hinweis: α ist der gegen die Horizontalebene gemessene Abwurfwinkel, ν 0 die Anfangsgeschwindigkeit des Körpers und g die Erdbeschleunigung. 7.62

7.63

Das Querschnittsprofil einer bestimmten Bauart eines Förderbandes entspricht dem eines regelmäßigen Trapezes und besteht aus einem horizontal geführten Gurt und zwei seitlich geneigten Gurten (Bild 7.12). Ermitteln Sie den Neigungswinkel α so, dass während der Betriebsdauer möglichst viel Stückgut abtransportiert werden kann.

a a a

a

Bild 7.12

Um einen Körper mit der Gewichtskraft FG auf einer Horizontalebene fortzubewegen (Bild 7.13), ist eine Kraft wie folgt erforderlich, wobei μ der Reibungskoeffizient ist:

μ ⋅ FG . Bild 7.13 cos α + μ ⋅sin α a) Unter welchem Winkel α muss die Kraft F angreifen, wenn sie minimal sein soll ? – Geben Sie das Ergebnis allgemein und für μ = 0,8 an. F=

b) Leiten Sie die o. g. Gesetzmäßigkeit her. 7.64

In einem Haus geht ein 2,1 m breiter Korridor rechtwinklig über in einen nur noch 1,4 m breiten. Berechnen Sie, wie lang Gegenstände unter Vernachlässigung ihrer Tiefe höchstens sein dürfen, damit sie von einem Korridor in den anderen zu transportieren sind.

7.65

Bei der Konzeption eines Fahrstuhlschachts mit den Innenmaßen 2 m × 2 m gilt es zu berücksichtigen, dass für die Montage des Fahrstuhles Führungsschienen aus Edelstahl von jeweils 6 m Länge eingebracht werden sollen. Berechnen Sie, welche Höhe für den Einschnitt in der Mauer, der späteren Einstiegsöffnung, mindestens vorzusehen ist. Hinweis: Der Schienenprofil-Querschnitt kann bei den Überlegungen unberücksichtigt bleiben.

7.66

Über einem runden Arbeitstisch mit dem Durchmesser d = 2 m soll mittig eine höhenverstellbare Leuchte angebracht werden. Die Beleuchtungsstärke E für den Randbereich des Tisches ergibt I sich aufgrund physikalischer Gesetzmäßigkeiten zu E = 2 ⋅cosα . s I steht für die Lichtstärke in Candela und E wird in cd/m2 gemessen. Das Maß s gibt die Entfernung der Leuchte zum Tischrand in Meter an, und α ist der im Bogenmaß anzugebende Winkel, den die zum Tischrand gerichteten Lichtstrahlen mit der Normalen des Tisches einschließen. a) Zeigen Sie, dass sich die Zielfunktion konkret zu E(α) = I ⋅ sin2 α ⋅ cos α ergibt. b) Berechnen Sie, in welcher Höhe h über der Tischmitte die Leuchte hängen muss, damit die Arbeitsplätze am Tischrand eine möglichst hohe Lichtausbeute haben.

7.67

Die periodische Spannung u ( x) = 5sin( x + 0,75) bewirkt in einer komplexen Schaltung einen Strom von i( x) = 3sin( x − 0,5).

a) Stellen Sie beide Graphen in einem gemeinsamen KO-System dar für x ∈ [-1,5; 6,5].

7.4 Exponentialfunktionen

281

b) Skizzieren Sie auf der Basis der Ergebnisse von a) und unter Ermittlung der Nullstellen den ungefähren Verlauf der Leistungskurve zu p(x) = u(x) ⋅ i(x). c) Berechnen Sie die Extremalpunkte der Leistungskurve. Hinweis: Der Funktionsterm p(x) muss vor dem Ableiten durch Substitution so umgeformt werden, dass sich das Additionstheorem sin α ⋅sin β = 0,5⋅[cos(α − β ) − cos(α + β )] verwenden lässt. 7.68

⎡ π π⎤ Es sei f (x) = cos x mit x ∈⎢− ;+ ⎥ . ⎣ 2 2⎦ a) Einem von Funktionsgraph und Abszissenachse begrenzten Flächenstück soll ein Rechteck maximalen Flächeninhalts einbeschrieben werden. Geben Sie seine Abmessungen an. b) Wie viel % der Gesamtfläche werden vom Rechteck abgedeckt? Hinweis: Schätzen Sie die Lösung der sich für a) ergebenden goniometrischen Gleichung unter Zuhilfenahme des ET-Rechners ab und wenden Sie das Newtonsche Näherungsverfahren an.

7.4 Exponentialfunktionen 7.4.1 Allgemeine Exponentialfunktionen Die Struktur der Funktionsterme ist anders: Die Variable x tritt als Exponent auf. Definition 7.3

Reelle Funktionen der Form f ( x) = a⋅b x

mit a ∈ R*, b ∈ R* \ {1}

heißen allgemeine Exponentialfunktionen. ¾ Terme der Form 2x, 3x usw. wachsen für x ∈ R+ stärker als ganzrationale Terme wie x2, x3 usw.

Zur Klärung grundlegender Eigenschaften werden zunächst die reinen Exponentialfunktionen betrachtet.

Sonderfall: a = 1 (reine Exponentialfunktionen) Alle Funktionsgraphen haben wegen b0 := 1 den Ordinatenschnittpunkt Sy(0|1). Ansonsten ergeben sich abhängig von der Basis b zwei grundlegende Unterschiede: 1.

b>1

Bild 7.14 zeigt die Graphen „gängiger“ Exponentialfunktionen, wobei der „Klassiker“, die e-Funktion gesonderter Ausführungen bedarf (→ S. 287 ff.).

282

7 Vertiefung der Differential- und Integralrechnung

Offensichtlich dabei ist, dass alle Funktionsgraphen a) sich bei fortschreitend kleiner werdenden Abszissen immer dichter an die x-Achse annähern, also asymptotisches Verhalten zeigen und b) insgesamt gesehen streng monoton steigend sind.

Bild 7.14 Kurvenbüschel ausgewählter Exponentialfunktionen

2.

0 1, ⎝ n⎠ ⎝ n⎠

⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1 ⎞n ⎛ 1 ⎞ ⎜1+ ⎟⋅an =⎜1+ ⎟ ⋅⎜1+ ⎟, mit bn: =⎜1+ ⎟an folgt ⎝ n⎠ ⎝ n⎠ ⎝ n⎠ ⎝ n⎠ ⎛ 1 ⎞n+1 bn =⎜1+ ⎟ . ⎝ n⎠

Für die zahlenwertmäßig größere Folge (bn) ergeben sich die Glieder zu b1 = 4; b2 = 3,38; ...; b4 = 3,05; ...; b12 = 2,83; ....

Die Überraschung ist groß: (bn) fällt monoton. 1)

2) 3)

Werden natürliche Zerfallsprozesse (= negativ-stetiges Wachstum) wie z. B. der des radioaktiven Zerfalls einbezogen, ist die Legitimation für diese Ausführungen erst recht gegeben. Müsste allgemein gezeigt werden, was hier wegen des rechnerischen Aufwandes unterbleibt. Ein 2. Konvergenzkriterium: Jede monotone und beschränkte Folge ist konvergent.

7.4 Exponentialfunktionen

287

Die zahlenwertmäßig kleinere Folge (an) ist beschränkt: ⎛ 1 ⎞n ⎛ 1 ⎞n 2 0 streng monoton steigend , y = eλ ⋅ x, dabei ist die Funktion für ® ¯ λ < 0 streng monoton fallend . Die Hinzunahme eines Formfaktors a ∈ R+ schließt den Kreis: y = a ⋅ eλ ⋅ x. • Aufgaben 7.86

Nach Angaben der Vereinten Nationen leben zurzeit1) knapp 6,7 Milliarden Menschen auf der Erde. Das Bevölkerungswachstum wird dabei unter Berücksichtigung leicht abnehmender Geburtenrate und zunehmender Lebensdauer der Erdenbürger auf 7,38 ‰ (= Promille) geschätzt. a) Prognostizieren Sie rechnerisch belegt unter Berücksichtigung uneingeschränkten exponentiellen Wachstums, wie viele Menschen im Jahr 2050 unsere Erde bevölkern werden. b) Innerhalb welcher Zeitspanne ist unter der Annahme der jetzigen Wachstumsrate mit einer Verdoppelung der Menschheit zu rechnen ? c) Nach dem o.g. UN-Bericht wird sich die Einwohnerzahl der fünfzig ärmsten Länder in der Welt von zurzeit 0,8 auf 1,7 Milliarden Menschen im Jahre 2050 mehr als verdoppeln. Geben Sie die Zuwachsrate in % an.

1)

Stand: März 2007

7.4 Exponentialfunktionen

291

7.87

Bei der Holzvorratsinventur eines Mischwaldes wurde der Holzbestand auf 12.000 Festmeter Holz geschätzt, 10 Jahre später auf 15.000 Festmeter. Berechnen Sie, wie viele Jahre nach der 2. Inventur 20.000 Festmeter Holz zu erwarten sind.

7.88

Der radioaktive Zerfall lässt sich in Abhängigkeit von der Zeit wie folgt beschreiben: ln 2 nt = n0 ⋅ e–λ ⋅ t mit λ := . T Dabei steht n0 für die Anzahl der unzerfallenen Kernbausteine und λ ist die von der Halbwertzeit T abhängige Zerfallskonstante. a) Berechnen Sie die Zerfallskonstante für Uran 238 (Halbwertzeit: T = 4,5 ⋅ 109 Jahre). b) Wie viele Jahre dauert es etwa, bis 1 % des strahlenden Materials zerfallen ist ?

7.89

Die Radiokarbonmethode – die Altersbestimmung organischer Organismenreste durch 14C-Isotopenanalyse – beruht auf dem Wissen über die Halbwertzeit des in der Luft nur in geringen, aber beständigen Anteilen auftretenden Kohlenstoffisotops 14C (T = 5700 Jahre) und der Tatsache, dass nach dem Tode eines Organismus kein 14C-Nachschub mehr aus der Atemluft erfolgt. Bestimmen Sie das Alter für einen abgestorbenen Organismus mit 12,5% 14C-Anteil .

7.90

Auf einer Apfelplantage bestimmter Größe wird kurz vor der Ernte ein Pflanzenschutzmittel gespritzt, das 50 kg Biozide enthält, die sich innerhalb von 8 Tagen auf 20 % abbauen. Berechnen Sie, wie viele Tage nach dem Spritzen die Ernte vorgenommen werden darf, wenn zu Erntebeginn nur noch ein Restbestand von 1 kg Biozid auf der Plantage vorhanden sein darf.

7.91

Bei der Entladung eines Kondensators mit der Kapazität C (in Farad gemessen: 1 F = 1 As/V) über einem ohmschen Widerstand R sinkt die Kondensatorspannung U0 in Abhängigkeit von der Zeit t nach folgender Gesetzmäßigkeit ab: −

U (t) = U0⋅ e Zeitkonstante.

1 ⋅t CR .

- Der Faktor CR liefert die Abklingzeit, eine für den Stromkreis relevante

a) Bestimmen Sie die Abklingzeit τ : = CR für C = 1 μ F und R = 5 MΩ. b) Geben Sie für diesen speziellen Fall und unter Berücksichtigung einer Kondensatorspannung von 230 V die konkrete Funktionsgleichung an. – Skizzieren Sie den graphischen Verlauf. c) Nach welcher Zeit ist die Kondensatorspannung auf 55 V abgesunken ? 1

d) Für den Entladestrom gilt gemäß Ohm’schen Gesetzes I (t ) =

U 0 − CR ⋅t ⋅e . R

Berechnen Sie den nach t = 0,5 s fließenden Strom in mA. 7.92

Der Luftdruck verändert sich in Abhängigkeit von der Höhe h bei konstanter Temperatur gemäß ρ − 0 g⋅h p0

barometrischer Höhenformel p (h) = p0 e

.

Dabei ist p0 der auf Meereshöhe (h = 0) herrschende Druck der Dichte ρ0, und g ≈ 9,81 m/s2 ist die Fallbeschleunigung. Für z. B. 0 °C gilt dann p(h) ≈ 1,013 bar ⋅ e–0,125h, wenn h in km eingesetzt wird. a) Bestimmen Sie die Abklingkonstante k :=

ρ0 ⋅ g

unter Mitführung der Einheiten. p0 b) Berechnen Sie die Höhe des Luftdrucks auf der Zugspitze (h = 2963 m) . c) In welcher Höhe ist der Luftdruck etwa auf die Hälfte abgesunken ?

292

7 Vertiefung der Differential- und Integralrechnung

7.93

Grünen Tee sinnvoll zubereiten heißt kochendes Wasser auf 80 °C abkühlen lassen, dann die Teeblätter damit übergießen, je nach Geschmack 2 – 4 Minuten ziehen lassen und anschließend in ein Aufbewahrungsgefäß abgießen. Wie viele Minuten nach Bereitstellung kochenden Wassers und 2-minütigem Ziehen ist der Tee trinkfähig (40 °C), wenn die Abkühlung von 100 °C auf 80 °C bei Raumtemperatur (20 °C) etwa 5 Minuten dauert und unterstellt wird, dass die Abkühlung gemäß Newton’scher Abkühlungsfunktion erfolgt, die da lautet T(t) = (T0 –Tu) · e–k · t + Tu. 1 [T0, T u: Anfangs-, Umgebungstemperatur; t: Zeit in Minuten, k: Abkühlungskoeffizient in min ].

7.94

In der Forschungsabteilung eines Automobil-Zulieferers wird für Bremssysteme bestimmter Bauart eine neue Bremsflüssigkeit entwickelt, die einen hohen Siedepunkt besitzen und nach Bremsvorgängen schnell wieder abkühlen soll. Im Labor mit einer Umgebungstemperatur Tu kühlt sich eine Bremsflüssigkeitsprobe in einem Gefäß kontinuierlich ab (ĺ Messprotokoll):

Zeit t in min Temperatur T in °C

0

5

10

100

60

40

a) Ermitteln Sie auf der Basis Newton’scher Abkühlungsgesetzmäßigkeit die Funktion, die den Abkühlungsprozess der Bremsflüssigkeit modelliert. - Geben Sie TU an. Hinweis: e−10 k = (e−5k ) 2 . b) Berechnen Sie, welche Temperatur die Bremsflüssigkeit nach einer halben Stunde besitzt und nach wie viel Minuten sie sich auf 50 °C abgekühlt hat. 7.95

In einem Ingenieurbüro für Wasserwirtschaft ist ein System entwickelt worden, das aus fließenden Abwässern Wärme gewinnt. Mit Hilfe eines so genannten Gegenstromwärmetauschers wird die im Abwasser befindliche Wärme an eine kältere Flüssigkeit abgegeben, die in einem angrenzenden nicht isolierten Rohrsystem im Gegenstrom fließt. Im konkreten Fall soll der Wärmetauscher rechnerisch untersucht werden. Die Abkühlung des Abwassers lässt sich relativ gut modellieren mit der Funktionsgleichung f1 ( x) = 20⋅(1+ 2⋅e−0,2 x ) , wobei f1(x) in °C und Strecke x in m gemessen werden. Das Aufwärmen der kälteren Flüssigkeit kann nach Auswertung der im Ingenieurbüro ermittelten Messdaten durch folgende Aufwärmfunktion beschrieben werden: f 2 ( x) = 40⋅(1− e−0,1x ) , wiederum f2(x) in °C und Strecke x in Metern anzugeben. a) Ermitteln Sie für jede der beiden Temperaturfunktionen bzw. ihre Graphen die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. Berechnen Sie den für den technischen Sachverhalt wichtigen gemeinsamen Schnittpunkt der beiden Funktionsgraphen. Hinweis: Es gilt e−0,2⋅x =(e−0,1⋅x ) 2 . b) Wählen Sie einen der Anwendung entsprechenden Definitionsbereich und stellen Sie beide Funktionsgraphen unter Bestimmung des jeweiligen asymptotischen Verhaltens in einem gemeinsamen Schaubild bei sinnvoller Skalierung graphisch dar. c) Die Fläche zwischen den beiden Graphen und der Ordinatenachse ist ein Maß für die übertragene Wärmemenge im Wärmetauscher. Berechnen Sie dieses Maß im Intervall [0; 10].

7.4 Exponentialfunktionen

293

7.4.4 Kurvendiskussion verknüpfter e-Funktionen Thematisiert werden e-Funktionen, die multiplikativ mit Polynomfunktionen verknüpft sind: f ( x) = P( x)⋅e x bzw. g ( x) = P( x)⋅e−x .

Die Kurvendiskussion - eingeschränkt auf lineare und quadratische Polynome - läuft nach bekanntem Schema ab, wobei neue Aspekte auftreten.

1. Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen Beispiele f1 ( x) = x⋅e x f 2 ( x) = (2 x −1)⋅e 2

⇒ Graph geht durch den Ursprung; x

⇒ Sy(0|-1), Sx(0,5|0); −x

f3 ( x) = ( x − x − 2)⋅e

⇒ Sy(0|-2), Sx1(-1|0) und Sx2(2|0).

¾ Relevant ist immer nur P(x).

2. Extrema und Wendepunkte Das gehört zum mathematischen Allgemeinwissen (ohne Beweis): (e x )' = e x . Die Differentiation von f und g erfolgt mittels Produktregel; bei g kommt die Kettenregel dazu: f ( x ) = P ( x )⋅e x ⇒ f '( x) = P '( x)⋅e x + P( x)⋅(e x )'

g ( x) = P( x)⋅e−x ⇒ g '( x) = P '( x)⋅e−x + P ( x)⋅(e−x )' = P '( x)⋅e−x + P( x)⋅e−x ⋅(−1)

= P '( x)⋅e x + P ( x)⋅e x f '( x) = [ P '( x) + P( x)]⋅e x

g '( x) = [ P '( x) − P( x)]⋅e−x

Beispiele 1 also Extremstelle für xE =− ; 4 7 g ( x) = (3 x − 4)⋅e−x ⇒ g '( x) = [3− (3x − 4)]⋅e−x = (−3 x + 7)⋅e−x , also Extremstelle für xE = . 3 f ( x) = (4 x − 3)⋅e x ⇒ f '( x) = [4 + (4 x − 3)]⋅e x = (4 x +1)⋅e x ,

Hinweis: Schrittweises Vorgehen unter Anwendung von Produkt- und ggf. Kettenregel ist auch möglich.

3. Graph Die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Extremal- und Wendepunkte liefern die gewohnt guten „Anhaltspunkte“. Das Grenzwertverhalten für x ĺ ± ∞ mit Rückschlüssen auf asymptotisches Verhalten ermöglicht dann, den qualitativen Kurvenverlauf zu skizzieren. Hierbei sind mehrere Fälle zu unterscheiden, abhängig davon, ob das Polynom P(x) - linear (bzw. ungerade) oder quadratisch (bzw. gerade) ist, - einen positiven oder negativen Leitkoeffizienten (= LK) enthält, - multiplikativ mit dem Term ex oder e-x verknüpft ist. In nachfolgender Tabelle sind die Möglichkeiten für Polynome 1. Grades zusammengefasst. Diese lassen sich generell übertragen auf Polynome mit ungeradem höchsten Exponenten.

294

7 Vertiefung der Differential- und Integralrechnung

P(x) ist 1. Grades f ( x ) = P ( x )⋅e x g ( x) = P ( x)⋅e−x

P(x) mit negativem LK lim f ( x) =+0

x→−∞

lim g ( x ) =∞

lim f ( x) =−∞

x→∞

lim g ( x) =−0

x→−∞

x→∞

P(x) mit positivem LK lim f ( x) =−0

x→−∞

lim g ( x ) =−∞

x→−∞

lim f ( x) =∞

x→∞

lim g ( x) =+0

x→∞

ŹBeispiel: Die Funktion f ( x) = (3− 2 x)⋅e x soll diskutiert werden. Lösung 1. Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen: Sy(0|3), Sx(1,5|0); 2. Extremalpunkte: f '( x) = (−2)⋅e x + (3− 2 x)⋅e x = (−2 x +1)⋅e x = 0, ⇒ also E (0,5 | 2 e ) .

3. Wendepunkte:

f ''( x) = (−2)⋅e x + (−2 x +1)⋅e x = (−2 x −1)⋅e x = 0 ⇒ also W (−0,5 |

4 ). e

Art des Extremums: f ''(0,5) =−3,3 < 0 ⇒ E ist Hochpunkt. 4. Asymptotisches Verhalten ⎧x →−∞ asymptotische Annäherung an die x-Achse ( + 0) Nach Tabelle ergibt sich für ⎨ ⎩ x →∞ uneigentliches Grenzwertverhalten ( −∞). 5. Graph (Aufgabe!)

Integration verknüpfter e-Funktionen ¾ Integration von f ( x) = P ( x)⋅e x

Sie verläuft unter Zugriff auf die Produktregel der Differentialrechnung: ( P ( x)⋅e x ) ' = P '( x)⋅e x + P( x)⋅(e x ) ' ⇔ P( x)⋅(e x )' = ( P( x)⋅e x ) '− P '( x)⋅e x oder

∫ P( x)⋅(e x ) ⋅' dx = ∫ ( P( x)⋅e x ) ⋅' dx − ∫ P '( x)⋅e x ⋅dx , also ∫ P(x)⋅e x ⋅dx = P( x)⋅e x − ∫ P '( x)⋅e x ⋅dx

.

ŹBeispiel: Die Funktion f ( x ) = (3− 2 x )⋅e x soll integriert werden. Lösung Gemäß dargestellter Regel folgt

∫ (3− 2 x)⋅e x ⋅dx = (3− 2 x)⋅e x − ∫ (−2)⋅e x ⋅dx = (3− 2 x)⋅e x + 2⋅e x , also

∫ (3− 2 x)⋅e x ⋅dx = (5− 2 x)⋅e x . Kontrolle: F ( x) = (5 − 2 x)⋅e x + C ⇒ F '( x) = (−2)⋅e x + (5 − 2 x)⋅e x = (3− 2 x)⋅e x = f ( x).

¾ Integration von g ( x) = P ( x)⋅e−x

Analog zu obiger Vorgehensweise und wegen ∫ e−x dx =−e−x + C (wieso?) resultiert

∫ P(x)⋅e−x ⋅dx = P( x)⋅e−x ⋅(−1) − ∫ P '( x)⋅e−x ⋅(−1)⋅dx ∫ P(x)⋅e−x ⋅dx = ∫ P '( x)⋅e−x ⋅dx − P( x)⋅e−x

.

oder

7.4 Exponentialfunktionen

295

ŹBeispiel: Die Funktion f ( x) = (2 − 3 x) ⋅ e − x soll integriert werden. Lösung Gemäß dargestellter Regel folgt

∫ (2 − 3x)⋅e−x ⋅dx = ∫ (−3)⋅e−x ⋅dx − (2 − 3x)⋅e−x = −3⋅e−x ⋅(−1) − (2 − 3x)⋅e−x , also

∫ (2 − 3x)⋅e−x ⋅dx = (3x +1)⋅e−x . Kontrolle: G ( x) = (3x +1)⋅e x + C ⇒ F '( x) = [3− (3 x +1)]⋅e−x = (2 − 3 x)⋅e−x = g ( x).

Produktregel der Integralrechnung

Die dargestellte Vorgehensweise ist dadurch begünstigt, dass die Funktionsterme ex bzw. e-x auftreten; der Gültigkeitsumfang der Formeln ist entsprechend eingeschränkt. Das Integrieren beliebiger multiplikativ verknüpfter Funktionen muss partiell erfolgen, was sich verallgemeinernd folgendermaßen formulieren lässt: Satz 7.11

Für differenzierbare Funktionen der Form f (x) = u(x)⋅ v(x) gilt (1) (2)

∫ u ( x)⋅v '( x)⋅dx = u ( x)⋅v( x) − ∫ u '( x)⋅v( x)⋅dx oder ∫ u '( x)⋅v( x)⋅dx = u ( x)⋅v( x) − ∫ u ( x)⋅v '( x)⋅dx .

Anmerkungen 1. Welche der beiden Formeln zweckmäßig ist, hängt von der Art der Integrandenfunktion ab. Treten Terme wie ex bzw. e-x auf, ist die Version (1) mit der Festsetzung v′( x ) = e x geeignet (wieso?). 2. Bei komplizierteren Sachverhalten muss das partielle Integrieren mehrfach angewandt werden.

• Aufgaben 7.96

a) Führen Sie eine Kurvendiskussion durch für f ( x) = ( x − 2)⋅e x , bestimmen Sie also Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Extrema und Wendepunkte und zeichnen Sie Gf unter Berücksichtigung des Verhaltens an den Rändern des Definitionsbereichs (ĺ Tabelle). b) Berechnen Sie die Größe der von Gf und den Koordinatenachsen eingeschlossenen Fläche.

7.97

a) Führen Sie eine Kurvendiskussion durch für f ( x) = ( x 2 −1)⋅e x und zeichnen Sie Gf. Erstellen Sie gemäß vorgegebener Struktur eine Tabelle, die für die multiplikative Verknüpfung von ex bzw. e-x mit quadratischen Polynomen P(x) Aussagen über das Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs ermöglicht.

7.98

b) Erstellen Sie rechnerisch die Funktionsgleichung der Wendenormalen an der Stelle x = -1. c) Berechnen Sie die Größe der Fläche, die von Gf und dem Graphen von f * ( x) = (1− x 2 )⋅e x eingeschlossen wird. Die Graphen der Funktionen f ( x) = 2( x − 2)⋅e x und g ( x) = ( x 2 − 4 x + 4)⋅e x schließen zusammen ein im 1. Quadranten liegendes Flächenstück ein. - Geben Sie seine Maßzahl an.

296

7 Vertiefung der Differential- und Integralrechnung

7.99

Stoßdämpfer haben die Aufgabe, die durch Fahrbahnunebenheiten verursachten Schwingungen auszugleichen. Für einen von der Zeit t abhängigen Einschwingvorgang lassen sich die Höhenabweichungen des Fahrzeugaufbaues vom Normalniveau konkret durch f (t ) = 3⋅( t −1)⋅e−t und t ≥ 0 beschreiben, wobei t in 0,1 s und f (t) in cm gemessen werden.. a) Berechnen Sie den Zeitpunkt, bei dem die Linie des Normalniveaus durchschritten wird, den höchsten und tiefsten Punkt des Fahrzeugaufbaus sowie mögliche Wendepunkte im Kurvenverlauf. b) Zeichnen Sie den Kurvenverlauf unter Einbeziehung markanter Punkte im Bereich 0 ≤ t ≤ 5 . Geben Sie eine plausible Erklärung des Kurvenverlaufs nach Ursache und Wirkung ab. c) Der hier eingesetzte Stoßdämpfer gilt als tauglich, wenn nach 0,5 s Einschwingdauer die Höhenabweichung des Fahrzeugaufbaus geringer als 0,1 cm ist. Überprüfen Sie diese Forderung rechnerisch.

7.100 Ein Möbelhersteller produziert Schalensitze aus Kaltschaum, deren Sitzkontur sich annähernd durch den Graphen Gf der Funktion f ( x) = 0, 4( x 2 − x +1)⋅e x im Bereich −2 ≤ x ≤1,1 (Angabe in m) beschreiben lässt. Die Lehne ist im ersten, die Sitzfläche im zweiten Quadranten dargestellt. Die Abszissenachse ist als Bezugslinie für die Konturplanung anzusehen.

a) Berechnen Sie die Lehnenhöhe an der Stelle x = 1,1 und die gegenüber der Bezugslinie maximale Sitzflächenhöhe. b) Berechnen Sie die Koordinaten der Sitzposition, an denen sich die Sitzflächenkrümmung ändert (= Wendepunkt). c) Zeichnen Sie Gf unter Einbeziehung markanter Punkte im Bereich x ∈⎡ ⎣−2;1,1 ⎤ ⎦. d) Berechnen Sie dort, wo die Lehne gegenüber der Bezugslinie gemessen 80 cm hoch ist, ihren Steigungswinkel. Hinweis: Die fehlende x-Koordinate muss mit Hilfe des Newton’schen Näherungsverfahrens berechnet werden (Startwert x1 = 1; zwei Iterationsschritte). e) Berechnen Sie die Masse des Schalensitzes ( ρ = 0,055 kg/dm3 ) in kg, wenn er 50 cm breit ist.

*7.5 Krümmung und Krümmungsradius einer Kurve Bisherige Überlegungen zur Krümmung haben sich darauf beschränkt, mit der 2. Ableitungsfunktion zu untersuchen, ob Kurven links- oder rechtsgekrümmt sind. Weiter ist in Verbindung mit quadratischen Funktionen geäußert worden, der Scheitelpunkt zugehöriger Parabeln sei die Stelle der stärksten Krümmung. - Keine Aussage ist darüber erfolgt, in welch’ starkem Maße Kurven tatsächlich gekrümmt sind. Betrachten wir zunächst einmal als einfachsten Fall Kreise mit vorgegebenem Radius und fixiertem Mittelpunkt. Geometrisch-anschaulich dürfte klar sein: ­ klein, so ist der Kreis stark gekrümmt, ¯ groß, so ist der Kreis schwach gekrümmt.

Ist der Radius des Kreises ®

Es drängt sich auf, Krümmung als Quotient wie folgt festzulegen: Krümmung k = wobei R für den Radius des Kreises steht. 1 . mm 1 Für immer größere Kreise gilt dann letztendlich k ∞ = lim =0. R R →∞

Beispiel: R = 100 mm, dann ist die Krümmung k = 0,01

1 , R

*7.5 Krümmung und Krümmungsradius einer Kurve

297

¾ Schlussfolgerung: Geraden haben eine Krümmung vom Maß 0.

Um ein Maß für die Krümmung einer Kurve mit wechselndem Krümmungsverhalten zu erhalten, ist es sinnvoll, die Kurvenkrümmung in ihren verschiedenen Kurvenpunkten festzulegen. Das bedeutet, in dem zu untersuchenden Punkt denjenigen Kreis (= Krümmungskreis) herauszufinden, der die Kurve dort berührt und die gleiche Krümmung wie sie hat. Ist das getan, lässt sich jeweils auf Krümmungsradius R und Krümmung k schließen. ¾ Die Krümmung einer Kurve in einem Punkt ist ein Vergleichsmaß für die Abweichung der Kurve von der Tangente in diesem Punkt. Ź Beispiel: f ( x) =

1 2 x – Das Krümmungsverhalten im Punkt P0(4|1) ist gesucht. 16

Lösung – Normale in P0 1 1 Aus f ' ( x) = x folgt f ' (4) = , also m N 0 = −2 . 8 2 Die Punktsteigungsform liefert y − 1 = −2( x − 4) oder y = −2 x + 9 . (*)

y Mk

N1 N0 1 16 Bild 7.19 1 2 f ( x) = x - Krümmungskreis in P0(4|1) 16

(4+h) 2

P1

1

P0 t0

4

4+h

1 ( 4 + h) 2 ) : 16 1 1 8 Aus f ' ( x) = x folgt f ' (4 + h) = ( 4 + h) und damit m N 1 = − . 8 8 4+h 1 8 Punktsteigungsform führt auf y − (4 + h) 2 = − [ x − (4 + h)] oder 16 4+h 1 8 y=− x + 8 + ( 4 + h) 2 . 16 4+h Die Schnittpunktbedingung hilft weiter: 8 1 −2 x + 9 = − x + 8 + ( 4 + h) 2 4+h 16 1 8 ) x = −1 + (4 + h) 2 (−2 + 16 4+h 1 − 2hx = (4 + h)[−1 + (4 + h) 2 ] 16 h 1 − 2hx = (4 + h)(−16 + 16 + 8h + h 2 = (4 + h)(8 + h) 16 16 1 Ÿ x N = − (4 + h)(8 + h) . 32

– Normale im „dicht bei“ liegenden Punkt P1 (4 + h |

x

298

7 Vertiefung der Differential- und Integralrechnung

Und nun die entscheidende Überlegung: Die Ermittlung des Grenzwertes für h → 0 liefert die xk -Komponente des Krümmungskreis-Mittelpunktes, also 1 xk = lim [− (4 + h)(8 + h)] = −1 . 32 h →0 Eingesetzt in (*):

yk = −2(−1) + 9 = 11 , also M k (−1 | 11) .

Der Krümmungsradius resultiert zu Rk = (4 − (−1)) 2 + (1 − 11) 2 Ÿ R ≈ 11,18LE ; somit gilt für das Maß der Krümmung k ≈ 0,089

1 . LE

Zugegeben: Die Rechnung ist nicht einfach und kann bei komplizierteren Funktionen selbst bei CAS-Rechnereinsatz (ĺ Ausblick, nach Kapitel 10) immer aufwändiger werden. Land ist in Sicht, wenn die Verallgemeinerung angegangen wird. Verallgemeinerung Für den Graphen einer zweimal differenzierbaren Funktion ƒ(x) ist das Krümmungsverhalten im Punkt P0 ( x0 | f ( x0 )) gesucht. – Bild 7.19 hilft veranschaulichen, wenn die Koordinaten von P0 und P1 entsprechend geändert werden. – Normale in P0 Mit mt ( x0 ) = f ' ( x0 ) folgt mN 0 = −

1 1 und damit y − f ( x0 ) = − ( x − x0 ) oder f ' ( x0 ) f ' ( x0 )

(**) y = −

1 1 x+ x0 + f ( x0 ) . f ' ( x0 ) f ' ( x0 )

– Normale im „dicht bei“ liegenden Punkt P1 ( x0 + h | f ( x0 + h) : Mit mt ( x0 + h) = f ' ( x0 + h) folgt mN1 = − y − f ( x0 + h) = − y=−

1 und damit f ' ( x0 + h)

1 ( x − ( x0 + h)) oder f ' ( x0 + h) 1 1 x+ ( x0 + h) + f ( x0 + h) . f ' ( x0 + h) f ' ( x0 + h)

Die Schnittpunktbedingung liefert −

1 1 1 1 x+ x0 + f ( x0 ) = − x+ ( x0 + h) + f ( x0 + h) f ' ( x0 ) f ' ( x0 ) f ' ( x0 + h) f ' ( x0 + h) (

und

1 1 1 1 1 )x = ( − − ) x0 + h + f ( x0 + h) − f ( x0 ) . f ' ( x0 + h) f ' ( x0 ) f ' ( x0 + h) f ' ( x0 ) f ' ( x0 + h)

Und so geht es weiter – eine echte Herausforderung für Lernende – und führt zunächst auf x N = x0 −

f ' ( x0 ) +

f ( x0 + h) − f ( x0 ) ⋅ f ' ( x0 + h) ⋅ f ' ( x0 ) h . f ' ( x0 + h) − f ' ( x0 ) h

*7.5 Krümmung und Krümmungsradius einer Kurve

299

¾ Die xk -Komponente des Krümmungskreises resultiert als Grenzwert für h → 0 : xk = lim x N = lim ( x0 − h →0

f ' ( x0 ) +

h→0

f ( x0 + h) − f ( x0 ) ⋅ f ' ( x0 + h) ⋅ f ' ( x0 ) h ) , also f ' ( x0 + h) − f ' ( x0 ) h

xk = x0 −

f ' ( x0 ) + f ' ( x0 ) ⋅ f ' ( x0 ) ⋅ f ' ( x0 ) oder f ' ' ( x0 )

xk = x0 −

1 + [ f ' ( x0 ]2 ⋅ f ' ( x0 ) f ' ' ( x0 )

( xk -Komponente des Krümmungskreis-Mittelpunktes).

Zur Ermittlung der yk -Komponente wird xk in Gleichung (**) eingesetzt: yk = −

1 1 xk + x0 + f ( x0 ) oder f ' ( x0 ) f ' ( x0 )

yk = −

1 + [ f ' ( x0 ]2 1 1 ⋅ ( x0 − ⋅ f ' ( x0 )) + ⋅ x0 + f ( x0 ) , also f ' ( x0 ) f ' ' ( x0 ) f ' ( x0 )

yk = f ( x0 ) −

1 + [ f ' ( x0 ]2 1 ⋅ f ' ( x0 )) + ⋅ x0 + f ( x0 ) f ' ' ( x0 ) f ' ( x0 )

yk = f ( x0 ) +

1 + [ f ' ( x0 ]2 f ' ' ( x0 )

( yk -Komponente des Krümmungskreis-Mittelpunktes).

Für den Krümmungsradius gilt allgemein Rk = ( xk − x0 ) 2 +( yk − y0 ) 2 , also 2

§ · § · 1 + [ f ' ( x0 )]2 1 + [ f ' ( x0 )]2 ⋅ f ' ( x0 ) − x0 ¸ + ¨ f ( x0 ) + − y0 ¸ Rk = ¨ x0 − ¨ ¸ ¨ ¸ f ' ' ( x0 ) f ' ' ( x0 ) © ¹ © ¹ 2

2

§ 1 + [ f ' ( x0 )]2 · § (1 + [ f ' ( x0 )]2 · ¸ = Rk = ¨ − ⋅ f ' ( x0 ) ¸ + ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ f ' ' ( x ) f ' ' ( x ) 0 0 © ¹ © ¹

Rk =

(1 + [ f ( x0 )]2 )3 f ' ' ( x0 )

2

oder

(1 + [ f ' ( x0 )]2 ) 2 ⋅ ([ f ' ( x0 )]2 + 1) [ f ' ' ( x0 )]2

bzw.

, wobei f ' ' ( x0 ) ≠ 0 .

In einschlägigen Formelsammlungen findet sich die Aussage häufig wie folgt geschrieben: Rk =

(1 + [ f ' ( x0 )]2 )1,5 f ' ' ( x0 )

(Radius des Krümmungskreis-Mittelpunktes).

Damit erschließt sich für das Krümmungsverhalten inhaltlich folgender Satz:

300

7 Vertiefung der Differential- und Integralrechnung

Satz 7.12

Der Graph einer zweimal differenzierbaren Funktion ƒ hat an der Stelle x0 ein Krümmungsverhalten von k=

f ' ' ( x0 ) 1 = Rk (1 + [ f ' ( x0 )]2 )1,5

¾ k < 0: Kurve ist rechtsgekrümmt; k > 0: Kurve ist linksgekrümmt.

• Aufgaben 7.101 Berechnen Sie ohne Verwendung „fertiger“ Formeln den Krümmungsradius der Parabel zu 1 2 f ( x) = x in ihrem Scheitelpunkt. 16 7.102 Berechnen Sie Krümmung und Krümmungskreismittelpunkt der Parabel mit f ( x) = 0,04 x 2

a) in ihrem Scheitelpunkt;

b) an der Stelle x = 5.

7.103 Weisen Sie generell nach, dass die xS-Komponente des Scheitelpunktes einer Parabel identisch ist mit der Stelle ihrer stärksten Krümmung. 7.104 Für die in Bild 7.20 dargestellte mit einer parabelförmigen Zufahrt beginnende Loopingbahn ist das Maß xS zu berechnen und die Parabelgleichung anzugeben (Angabe in m).

Bild 7.20

y 25

R10

xS

x

7.105 Greifen Sie zurück auf die Aufgabe 5.50 (ĺ S. 220) und berechnen Sie das Maß der Krümmung im Stützpunkt P. – Äußern Sie sich generell über das Krümmungsverhalten in Wendepunkten. 7.106 Die Trassierung einer Straße soll für einen bestimmten Bereich x∈[-1; 5] (Angabe in 100 m) 1 4 1 3 modelliert werden gemäß der Funktion f ( x ) = x − x + x2 . 24 3

a) Berechnen Sie jeweils das Krümmungsmaß für x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3 und x4 = 4. b) Interpretieren Sie das Ergebnis für x2 = 2 und skizzieren Sie den Straßenverlauf. 7.107 Auf einem Umschlagplatz für Containerverladung verlaufen zwei Gleisanlagen, die vom Logistikcenter ausgehend gemessen den Graphen folgender Funktionen entsprechen: 1 1 f ( x) = und g ( x) = 2 , wobei gilt x ≤ 5 und y ≤ 5 bei einem Maßstab von 1:10.000. x x Berechnen Sie, mit wie viel % die Gleisverläufe an der Weiche in ihrem Krümmungsverhalten voneinander abweichen. 7.108 Berechnen Sie das Krümmungsmaß der Sinuskurve (Periodenlänge: 2π) in ihren Extremstellen. 7.109 Ermitteln Sie rechnerisch die Funktionsgleichung der Parabel, die an der Stelle x0 = 0 die gleiche Krümmung wie der Graph der Cosinusfunktion g ( x) = cos x aufweist. 7.110 a) Berechnen Sie das Krümmungsmaß des Graphen zu f ( x) = e x im Ordinatenschnittpunkt.

b) Untersuchen Sie, an welcher Stelle die e-Funktion die stärkste Krümmung aufweist.

301

Teil B: Analytische Geometrie Neben der Analysis gehört die Analytische Geometrie zu den bedeutsamsten Gebieten der Mathematik. Es geht im Wesentlichen darum, den Anschauungsraum unter Angabe von Koordinaten geometrisch zu erfassen, also geometrische Sachverhalte und rechnerische Methoden in einer sogenannten Koordinatengeometrie miteinander zu verbinden. Die Grundlagen dazu finden sich bereits bei den Griechen, wesentliche Erweiterungen dieser Überlegungen sind insbesondere René Descartes1) zu verdanken. Der eigentliche Durchbruch ist mit Einführung der Vektorrechnung erfolgt. Vektoren2) als Pfeile stehen im Mittelpunkt der folgenden Überlegungen. Zunächst ist es das elementare Rechnen mit diesen mathematischen Objekten, die Vektoralgebra; dann erfolgt die Erweiterung auf Geraden und einschränkend auf Ebenen im Raum. Der eigentlichen Zielsetzung der Analytischen Geometrie in ihrer Einführung auf schulischer Ebene wird damit Rechnung getragen. Angedeutet werden soll, dass sich mit den Vektoren mehrdimensionale Räume rechnerisch erfassen lassen und sich mannigfaltige Anwendungen wie z. B. in der Atomphysik erschließen. Auf Nahtstellen zwischen der Analysis und der Analytischen Geometrie wird hingewiesen, so u. a. durch Bezüge zu den Geraden im R2 und zu den komplexen Zahlen. Ausblickend noch soviel: Mit der Vektoranalysis3) werden die Grenzen zwischen den beiden Themengebieten verwischt.

1) 2)

3)

siehe Seite 40 Der Begriff Vektor stammt von William R. Hamilton (1805–1865); irischer Mathematiker. Er gilt neben dem deutschen Mathematiker Graßmann (1809–1877) als Erfinder der Vektorrechnung. Angelegenheit von Hochschulen und Universitäten

302

8 Vektoren

8 Vektoren

8.1 Grundlagen 8.1.1 Skalare und vektorielle Größen Der Begriff der naturwissenschaftlichen oder technischen Größe wird als bekannt vorausgesetzt. Zur Erinnerung noch einmal die Kurzformel: Größe = Zahlenwert mal Einheit. Mit der Feststellung, ein Körper habe eine Masse von m = 75 kg, ist alles Wesentliche zu seiner Materialmenge gesagt. Wirkt auf diesen Körper eine bestimmte Kraft ein, z. B. 150 N, reicht diese Angabe nicht aus, die physikalische Tragweite hinreichend zu erfassen. Die Richtung der einwirkenden Kraft muss gekennzeichnet werden, dann erst erschließt sich, wohin der m Körper sich mit hier a = 2 2 beschleunigt fortbewegt1). s Je nach physikalischer Charakteristik wird unterteilt in skalare und vektorielle Größen, wobei wie folgt unterschieden wird: Skalar : Vektor :

Größe, bei der es nur auf die Angabe von Maßzahl und Einheit ankommt. Eine Größe, bei der es zusätzlich der Angabe ihrer Wirkrichtung bedarf.

Beispiele für Skalare Masse m t Zeit W Arbeit T Temperatur elektr. Spannung U

Beispiele für Vektoren Kraft Weg Beschleunigung elektrische Feldstärke magnetische Feldstärke

F s a E H

Skalar- und Vektor-Begriff sind auch und gerade in der Mathematik unverzichtbar. ¾ Skalare sind schlichtweg Zahlen, den Unterschied zum Vektor herausstellend.

8.1.2 Der Vektorbegriff Ein Blick auf das Wetter soll helfen, den Vektorbegriff weiter zu erhellen. Von Millionen in den Medien mit Interesse verfolgt, ist es Aufgabe des meteorologischen Dienstes, tägliche Voraussagen zu treffen.

1)

Newton’sches Axiom: Kraft = Masse mal Beschleunigung

8.1 Grundlagen

303

Üblich ist es, die Hoch- bzw. Tiefdruckgebiete in Wetterkarten darzustellen und ihre voraussichtlichen Verlagerungen zu markieren. Bild 8.1 zeigt den Ausschnitt einer solchen Wetterkarte, hier mit einer durch Vollpfeil gekennzeichneten Kaltfrontverlagerung und einer mit umrahmtem Pfeil dargestellten abziehenden Warmluft. Jeweils e i n Pfeil repräsentiert a l l e Verschiebungen der Luftpartikel in einer Richtung. Der Blick in den Mikrobereich erschließt sich gemäß Bild 8.2: Die dargestellten Pfeile kennzeichnen unter Berücksichtigung eines geeigneten Maßstabes die auf einzelne Luftpartikel einer jeweiligen Wetterfront wirkende Verschiebung. Sie veranschaulichen damit als gerichtete Strecke (ausschnittsweise) die Gesamtheit aller Verschiebungen

Bild 8.1 Wetterkarte mit Kalt- und Warmfront

JJJG

Bild 8.2 AZ als Repräsentant

derselben Charakteristik. Und genau diese Menge parallelgleicher Pfeile ist es, die V e k t o r 1) genannt wird.

G

Unter Verwendung des Symboles v (gelesen: Vektor v) ergibt sich

G

JJJJG JJJJG JJJJG

JJJG

v = { P1P1' , P2 P2' , P3 P3' ,..., AZ ,... }.

Definition 8.1 Ein Vektor ist eine Größe für die Gesamtheit aller Verschiebungen gleicher Länge, Richtung und Orientierung.

G

Zwecks Schreibweise von Vektoren verwendet man neben v die Symbole GG G G G G a , b, c ,..., x , y, z . Der aufgesetzte Pfeil stellt den geometrischen Aspekt der gerichteten Strecke heraus. Die Definition offenbart es: Ein Vektor an sich ist von der Anschauung her ein unhandliches Gebilde, in seiner Gesamtheit letztendlich nicht zu zeichnen. Gleichwohl genügt jeder Pfeil für sich allein, den Vektor in seiner Charakteristik zu veranschaulichen.

1)

von vehere (lat.): fahren

304

8 Vektoren

G

Sinnvoll ist es daher, für den in A beginnenden Repräsentanten von v (Bild 8.2) kürzer zu G sagen, es sei der in A abgetragene Vektor v .

G JJJG

Die vereinfachte Schreibweise v = AZ , (gelesen: Vektor AZ), ist akzeptabel, obwohl gemäß G Definition 8.1 ein Unterschied besteht zwischen dem eigentlichen Vektor v und seinen Repräsentanten, den einzelnen Pfeilen. Entsprechend tituliert man gelegentlich unter geometrisch-anschaulichem Aspekt ⎫ Anfangspunkt A als Fuß ⎬ des Vektors. End − /Zielpunkt Z als Spitze ⎭

Im Klartext: Es ist verständlich und der Mathematik nicht abträglich, wenn bereits der einzelne Pfeil (nicht ganz korrekt) als Vektor bezeichnet wird. Betrag des Vektors

Man versteht darunter die Länge (= Betrag) des Vektors und schreibt

G

JJJG

| v | = | AB | = v mit v • 0. Der Zahlenwert (in der Anwendung mit Einheit zu versehen) ist ein Skalar. Sonderfälle G 1. Einheitsvektor e : Vektor mit dem Betrag 1.1) G 2. Nullvektor 0 : Vektor mit dem Betrag 0. Es erfolgt keine Verschiebung. Geometrische Merkmale eines Vektors

G

Bild 8.3 zeigt einen Repräsentanten von v . Seine geometrischen Merkmale – Betrag – Richtung – Orientierung (= Richtungssinn)

Bild 8.3 Betrag eines Vektors

ergeben sich aus der Darstellung. Vektor und Gegenvektor

Ein Vektor wird durch einen Pfeil mit Anfangspunkt A und Zielpunkt Z repräsentiert (und nicht umgekehrt). Das rechtfertigt den Begriff Orientierung (= Richtungssinn) zu verwenden.

G

Der zu v inverse Vektor (Bild 8.4) heißt Gegenvektor.2) Er ist gekennzeichnet durch gleiche Richtung und gleichen Betrag, aber umgekehrte Orientierung.

1) 2)

über Bedeutung und weitere Schreibweisen später mehr in der Mechanik beim Freimachen von Kräften von Bedeutung: „actio = reactio“

8.1 Grundlagen

305

JJJG JJG G Man schreibt - v = - AZ = ZA , wobei G G |- v | = | v | = v.

Bild 8.4: Vektor und Gegenvektor

8.1.3 Eigenschaften von Vektoren Gleichheit

Die bisherigen Ausführungen haben gezeigt, dass jeder andere der dargestellten parallelgleichen Pfeile den Vektor repräsentieren könnte. Somit ist es sinnvoll, die Gleichheit wie folgt zu definieren: Definition 8.2

G

G

G

G

Vektoren a und b sind gleich ( a = b ), wenn ihre Repräsentanten übereinstimmen nach Länge, Richtung und Orientierung. Kollinearität

Die Eigenschaft steht für gleichgerichtete Vektoren. Definition 8.3

Vektoren heißen kollinear zueinander, wenn sich ihre Repräsentanten parallel verschieben lassen auf eine die gemeinsame Richtung vorgebende Gerade. ¾ Schlussfolgerung: Kollineare Vektoren sind zu ein und derselben Geraden parallel.

Sie heißen ⎫ − bei gleicher Orientierung parallel ⎬ zueinander. − bei entgegengesetzter Orientierung anti- parallel ⎭ Parallele und anti-parallele Vektoren Zwecks Unterscheidung formuliert man anschaulicher, sie seien zueinander

− gleichsinnig (↑ ↑ ) ⎫

⎬ parallel. − gegensinnig (↑ ↓ ) ⎭ Bild 8.5 Kollineare Vektoren

G G G G G G Aus Bild 8.5 ergibt sich z. B. a ↑ ↑ b bzw. a ↑ ↓ c , also folgt b↑ ↓ c (Transitivität!).

306

8 Vektoren

Sonderfall: Einheitsvektoren

G

G

G

Der zu v kollineare Einheitsvektor wird bezeichnet mit e v = v ° (Gelesen: v oben null). G G G G G G Entsprechend: a °, b°, c °," , x °, y °, z °. Und noch eine Besonderheit: ¾ Dem Nullvektor ist keine Richtung zuzuordnen; er ist kollinear zu jedem anderen Vektor. Komplanarität

Trägt man zwei Repräsentanten nicht-kollinearer Vektoren an einem gemeinsamen Anfangspunkt an, spannen sie im Raum eine Ebene auf. Definition 8.4

Vektoren heißen komplanar zueinander, wenn sich ihre Repräsentanten parallel verschieben lassen auf eine durch zwei nicht-kollineare Vektoren aufgespannte Ebene. ¾ Schlussfolgerung: Komplanare Vektoren sind zu ein und derselben Ebene parallel.

Die im Tetraeder (Bild 8.6) durch Anfangspunkt P1 und die Endpunkte P2 bzw. P3 gekennzeichneten Repräsentanten der Vektoren G G G a , b und c veranschaulichen, dass diese komplanar sind. Entsprechendes (Aufgabe!) lässt sich unter Einbeziehung des Punktes P4 für die drei anderen durch Vektoren aufgespannten Ebenen aussagen. ¾ Der Nullvektor ist komplanar zu jedem Vektor.

G G

G

Bild 8.6 Komplanare Vektoren a , b und c

Freie, linientreue, gebundene Vektoren

Der mathematische Vektorbegriff basiert auf der Gesamtheit aller Verschiebungen, der physikalische geht vom einzelnen Pfeil aus. In der Anwendung ist es ratsam, weitere Eigenschaften von Vektoren einfließen zu lassen: 1. Freie Vektoren dürfen unter Beibehaltung von Betrag, Richtung und Orientierung frei verschoben werden; sie entsprechen im Wesentlichen dem mathematischen Vektorbegriff. Beispiel: Geschwindigkeitsvektor einer gleichförmigen Bewegung. 2. Linientreue (= linienflüchtige) Vektoren dürfen nur längs ihrer Wirkungslinie verschoben werden; man nennt sie gelegentlich auch Linienvektoren. Beispiel: Kräfte, die an einem (starren) Körper angreifen. 3. Gebundene Vektoren sind solche, die von einem festen Anfangspunkt ausgehen.

8.1 Grundlagen

307

a) Ortsvektoren (ĺ S. 308) stellen einen Spezialfall dieses Typs dar. Im Ursprung eines beliebigen Koordinatensystems beginnend, markieren sie die Lage verschiedener Punkte in diesem System. b) Feldvektoren sind von besonderer Bedeutung für Physik und Elektrotechnik. Die Strömungsverhältnisse eines Flusslaufes sollen als Beispiel dienen. Das inhomogene Geschwindigkeitsfeld der Oberflächenströmung (Bild 8.7) erfordert, für z. B. zwei an verschiedenen Stellen befindliche Körper (durch die G G Ortsvektoren r1 und r2 markiert) auch verschiedene Geschwindigkeitsvektoren anzugeben, die nicht mehr frei verschiebbar sind. Es leuchtet ein, dass für konkrete Anwendungen Untersuchungen räumlicher Strömungsfelder notwendig sind.

Bild 8.7 Gebundene Vektoren

Durch Wahl eines geeigneten 3-dimensionalen Koordinatensystems lassen sich unterschiedliche vektorielle Größen exakt erfassen. Die Ausführungen sind übertragbar auf das Kraftfeld unserer Erde1) und generell auf magnetische oder elektrische Felder. JJG Der magnetische Feldstärkevektor H ist es, der jedem Punkt eines Magnetfeldes Richtung und Stärke der magnetischen Kraft zuordnet; JG für den elektrischen Feldstärkevektor E gilt Entsprechendes. Freier Vektor hin, gebundener Vektor her. Ein Gemeinsames gibt es, das Rechnen mit Vektoren, die Vektoralgebra.

8.1.4 Vektoren im Anschauungsraum Rückblickend könnte die Formulierung Gesamtheit aller Verschiebungen 2) durchaus noch auf ein gewisses Unverständnis stoßen. Zwei Beispiele sollen den vorgestellten mathematischen Vektorbegriff verinnerlichen helfen und im Hinblick auf den algebraischen Umgang mit Vektoren behutsam erweitern.

1)

2)

Bezogen auf den Mittelpunkt der Erde weist ein Körper der Masse m je nach Lage unterschiedliche Gewichtskräfte auf: Am Äquator ist die Gewichtskraft kleiner als an den Polen; je höher es hinaus geht, desto leichter wird er. Eine klassische Anwendung für eine solche „Gesamtheit“ liefern die Nachformfertigungsverfahren, wie z. B. das Anfertigen eines Nachschlüssels.

308

8 Vektoren

1. Beispiel: Verschiebung in der R2-Ebene (x,y-Ebene)

Die Verschiebung der Normalparabel P: y = x2 aus dem Ursprung des Koordinatensystems heraus in den Scheitelpunkt S(5|2) bedeutet letztendlich, das mit jedem Punkt der Parabel P auf genau gleiche Art zu tun. Tabelle 8.1

xi

yi

x i’

y i’

xi’- xi

yi’- yi

P1ĺP1’

-2

4

3

6

5

2

P2ĺP2’

-1

1

4

3

5

2

OĺS

0

0

5

2

5

2

P3ĺP3’

1

1

6

3

5

2

P4ĺP4’

2

4

7

6

5

2

y P1 '

P4

P1

Bild 8.8 Verschiebung einer Parabel im R2

Z v P2'

A

P2

P3'

S

1 P3 0

P4 '

1

x

Gemäß Tabelle 8.1 repräsentiert jeder dargestellte Pfeil den geometrischen Vorgang, ⎧ x-Richtung um 5 Einheiten ⎫ ⎬ zu verschieben. jeden Punkt der Parabel P in ⎨ ⎩ y -Richtung um 2 Einheiten⎭

Als Vektor geschrieben gilt für die Gesamtheit der Verschiebungen JJJJG JJJJG JJJJG JJJG JJJG ⎛ 5⎞ G v = { P1P1' , P2 P2' , P3 P3' ,..., AZ ,..., OS ,... } = ⎜ ⎟1) . ⎝ 2⎠ JJJG G Somit kann auch AZ in Bild 8.8 als Repräsentant für Vektor v herhalten, obwohl weder der Anfangspunkt A(0,5|2,5) noch der End- oder Zielpunkt Z(5,5|4,5) auf der aus dem Ursprung heraus verschobenen Parabel liegen.

G ⎛ x − x A ⎞ ⎛ 5,5 − 0,5 ⎞ ⎛ 5⎞ Das Charakteristikum der Verschiebung ist gegeben: v =⎜ Z ⎟=⎜ ⎟=⎜ ⎟. ⎝ yZ − y A ⎠ ⎝ 4,5 − 2,5⎠ ⎝ 2⎠ Ortsvektor

G

Ein spezieller Repräsentant des Vektors v ist der (Orts-)Pfeil von O(0|0) nach S(5|2). Sein Anfangspunkt liegt im Ursprung des Koordinatensystems; er wird Ortsvektor genannt. Als gebundener Vektor markiert er die Lage von S bezüglich des Ursprungs: S(5|2).

G JJJG ⎛ 5⎞ Die Schreibweise v = OS =⎜ ⎟ steht im Einklang mit den bisherigen Ausführungen. ⎝ 2⎠

G

¾ Die skalaren Komponenten von v stimmen mit den Koordinaten von S überein.

1)

Vorwegnehmend: Bei dieser Darstellung handelt es sich um die Spaltenschreibweise eines Vektors im R2; die Zahlen 5 und 2 werden Koordinaten (oder skalare Komponenten) des Vektors genannt.

8.1 Grundlagen

309

2. Beispiel: Verschiebung im R3

Das Beispiel aus der 3D-Fertigungstechnik zeigt ein in Bild 8.9 dargestelltes Formstück. Tabelle 8.2

xi

yi

zi

x i’

y i’

zi’

xi’- xi

yi’- yi

zi’- zi

P1ĺP1’

0

5

0

5

2

-1

5

-3

-1

P2ĺP2’

0

6

-0,875

5

3

-1,875

5

-3

-1

P3ĺP3’

0

7

-1,5

5

4

-2,5

5

-3

-1

P4ĺP4’

0

8

-1,875

5

5

-2,875

5

-3

-1

S ĺ S’

0

9

-2

5

6

-3

5

-3

-1

P5ĺP5’

0

10

-1,875

5

7

-2,875

5

-3

-1

P6ĺP6’

0

11

-1,5

5

8

-2,5

5

-3

-1

P7ĺP7’

0

12

-0,875

5

9

-1,875

5

-3

-1

P8ĺP8’

0

13

0

5

10

-1

5

-3

-1

Ausgehend von der y,z-Ebene besteht gemäß Tabelle 8.2 die Notwendigkeit, jeden Punkt des Parabelbogens P1P8 zu verschieben in ⎧ x-Richtung um + 5 Einheiten ⎫ ⎪ ⎪ ⎨ y -Richtung um − 3 Einheiten ⎬ . ⎪ ⎩ z -Richtung um −1 Einheiten ⎪ ⎭

Bild 8.9 Verschiebung einer Parabel im R3

Die Charakteristik der Werkzeugbewegung in ihrer Gesamtheit ergibt sich als Vektor zu

G

v =

JJJJG JJJJG JJJJG

JJJG

{ P1P1' , P2 P2' , P3 P3' ,..., SS ',... }

⎛+5⎞ ⎜ ⎟ = ⎜−3⎟ . ⎜ ⎟ ⎝−1⎠

Wie auch im Beispiel 1 (R2-Ebene) fällt auf, dass die Koordinaten-Differenzen der Punktepaare Pi Pi' den Vektor ausmachen, und zwar unabhängig vom jeweiligen Anfangspunkt Pi. Das ist Veranlassung, den in Definition 8.1 festgeschriebenen Vektorbegriff zu ergänzen:

310

8 Vektoren

Definition 8.5

Im R3 sei eine Verschiebung markiert durch Anfangspunkt P1(x1|y1|z1) und Endpunkt P2(x2|y2|z2).

G

Dann steht Vektor v für die Gesamtheit aller gerichteten Strecken, die hinsichtlich ihrer Koordinatendifferenzen (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) der Reihe nach übereinstimmen. ⎛v ⎞ ⎛ x − x ⎞ 2 1 ⎟ Man schreibt v =⎜ v y ⎟=⎜ y2 − y1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ vz ⎠ ⎝ z2 − z1 ⎠

G ⎜ x⎟ ⎜

(Spaltenschreibweise)

G

und nennt die Koordinatendifferenzen skalare Komponenten bzw. Koordinaten von v .

Bild 8.10 veranschaulicht die Ausführungen.

⎛x −x ⎞ G ⎜ 2 1⎟ Bild 8.10 v =⎜ y2 − y1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ z2 − z1 ⎠

Spalten- und Zeilenvektor Der in Spaltenschreibweise angegebene Vektor heißt üblicherweise Spaltenvektor.

G

Bei Zeilenvektoren erfolgt die Koordinatenangabe in Zeilenschreibweise: v = (vx, vy, vz ). Sonderfall: Vektoren im R2 (x,y-Ebene)

G ⎛ x −x ⎞ Die Koordinatendifferenz (z2 – z1) ist zu streichen, also v =⎜ 2 1 ⎟ (ĺ Beispiel 1, Bild 8.8). ⎝ y2 − y1 ⎠ Ortsvektoren

In Bild 8.11 wird die Verschiebung repräsentiert durch ein Punktepaar mit Anfangspunkt O(0|0|0) und Endpunkt P(xP|yP|zP). Die sich auf den Ursprung des 3-dimensionalen Koordinatensystems beziehenden Koordinatendifferenzen G markieren den Ortsvektor r : ⎛ x −0⎞ ⎛ x ⎞ p ⎟ ⎜ p⎟ r = OP =⎜ y p − 0⎟=⎜ y p ⎟. ⎜ z −0⎟ ⎜ z ⎟ ⎝ p ⎠ ⎝ p⎠

G

JJJG ⎜

G Bild 8.11 Ortsvektor r

Seine skalaren Komponenten entsprechen den Koordinaten des Punktes P(xP |yP |zP) im R3.

8.1 Grundlagen

311

¾ Ortsvektoren legen umgekehrt eindeutig Punkte im Raum fest.

G G G

Ortsvektoren r1, r 2 , r3 , ... markieren die Punkte P1, P2, P3 , ...;

G G

G

Ortsvektoren rA , rB , rC , ... führen zu Eckpunkten A, B, C , ...

G ⎛ 0⎞ Nullvektor: Die Koordinatenschreibweise liefert im R2: 0 =⎜ ⎟, ⎝ 0⎠

⎛ ⎞ G ⎜ 0⎟ im R3: 0 =⎜ 0⎟. ⎜ ⎟ ⎝ 0⎠

Betrag des Vektors

Definition 8.5 sagt nichts über den Betrag des Vektors. Das ist auch nicht erforderlich, weil JJJJG sich durch P1P2 die Länge infolge zweimaliger Anwendung des Pythagoras1) erschließt. Satz 8.1

JJJJG G Es seien P1(x1|y1|z1) und P2(x2|y2|z2) zwei Punkte im R3, die mit P1P2 Vektor v repräsentieren.

G

JJJJG

Dann gilt für seinen Betrag v = v =| P1P2 |= ( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) 2 + ( z2 − z1 )2 .

G

Für den konkreten Fall (Beispiel 2, Bild 8.9) ist v = v = 52 + (−3) 2 + (−1) 2 ⇒ v = 35 LE. 1. Sonderfall: R2-Ebene

G

JJJJG

Wegen Fortfalls der z-Koordinatendifferenz resultiert v = v =| P1P2 |= ( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 )2 . G JJJJG Für Beispiel 1 (Bild 8.8) ergibt sich v = v =| P1P2 |= 52 + 22 ⇒ v = 29 LE. 2. Sonderfall: Zahlengerade R

G

JJJJG

Die y-Koordinatendifferenz entfällt zusätzlich: v = v =| P1P2 |= ( x2 − x1 )2 oder v = | x2 − x1 | . Gleichheit von Vektoren

Aus den Definitionen 8.2 und 8.5 erschließt sich für in Koordinatenschreibweise angegebene Vektoren des R3 die Gleichheit wie folgt: Satz 8.2

G

G

Vektoren a und b sind gleich, wenn sie in ihren skalaren Komponenten übereinstimmen: ⎛ a ⎞ ⎛ b ⎞ ⎧a = b ⎫ x⎪ ⎜ x⎟ ⎜ x⎟ ⎪ x ⎨ a = b ⇔ a = b y y y y⎬ . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎝ a z ⎠ ⎝ bz ⎠ ⎩ a z = bz ⎭

1)

Es ist nichts anderes, als die Raumdiagonale eines Quaders zu bestimmen.

312

8 Vektoren

Ɣ Aufgaben 8.1

Unterscheiden Sie zwischen skalaren und vektoriellen Größen: Leistung, Geschwindigkeit, Druck, elektrische Stromstärke, Zugspannung, Drehmoment, Volumen, Dichte, elektrischer Widerstand, Reibung.

8.2

Für den in Bild 8.12 dargestellten Keil soll gelten G G a = | a | = |AB|, b = | b | = |BC|, JG G c = | c | = |CG|, d = | d | = |AE|. a) Geben Sie alle weiteren Repräsentanten von G G G G a , b , c , d an.

G

b) Welche Beziehung besteht zwischen a und JJJG CD ?

JJJG

c) Benennen Sie den Gegenvektor zu BG , dessen Anfangspunkt nicht G ist.

Bild 8.12

G

d) Geben Sie drei verschiedene, zu c kollineare Vektoren an. JJJG JJJG JJJG JJJG e) Welche Eigenschaft verbindet BC mit FG bzw. AC mit EG ? JJJG G f) Welcher Vektor ist komplanar zu a und BG ? - Markieren Sie die aufgespannte Fläche. g) Geben Sie mittels der Skalare a, b, c und d die Beträge von BD, BH, DF und EG an. 8.3

G G Welche Äquivalenz resultiert aus | a | = 0 bzw. | b | = 1?

8.4

G ⎛−3⎞ G ⎛ 2⎞ Die Ortsvektoren r1 =⎜ ⎟ und r2 =⎜ ⎟ markieren die Punkte P1 und P2 in der R2-Ebene. ⎝1⎠ ⎝ 3⎠ JJJJG

Welchen Vektor repräsentiert P1P2 ? 8.5

8.6

G ⎛ 3⎞ 1 Die Parabel P mit f (x) = − (x-2)2 + 8 wird mit v =⎜ ⎟ überführt in die Parabel P '. ⎝ 4⎠ 4 Berechnen Sie die Nullstellen von P '. a) Erstellen Sie die Funktionsgleichung für den in Bild 8.9 dargestellten Parabelbogen P1P8. b) Ebenso für Parabelbogen P '1P '8 .

8.7

Ein Portalroboter fährt in einer Arbeitsebene E1 folgende Positionen an (Angabe in dm): P1(1|3|5), P2 (5|4|3) und P3 (3|6|4); in einer zweiten Arbeitsebene E2 sind es die Positionen R1(3|6|6), R2(7|7|4) und R3(5|9|5).

G

a) Ermitteln Sie den für die Punktsteuerung von E1 zu E2 relevanten Vektor v . Was schließen Sie daraus hinsichtlich der geometrischen Lagebeziehung beider Ebenen zueinander? b) Berechnen Sie den Weg in mm für die Punktsteuerung von P1 zu R8.

G

c) Geben Sie den zu v inversen Zeilenvektor an. 8.8

Prüfen Sie rechnerisch, welche der nachfolgenden Vektoren Einheitsvektoren sind:

8.2 Elementare Rechenoperationen

⎛1 2⎞ 2 ⎟ a) ⎜ ⎜ 1 2 ⎟; ⎝2 ⎠

8.9

⎛ 1 3⎞ 2 ⎟ b) ⎜ ⎜1 6⎟ ; ⎝4 ⎠

G

313

⎛ 1 3 ⎞ ⎜ 3 ⎟ 1 ⎟; c) ⎜ 3 ⎜ ⎟ ⎜− 1 3 ⎟ ⎝ 3 ⎠

⎛1 5⎞ ⎜5 ⎟ e) ⎜ 0 ⎟. ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 5 ⎠

⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ d) ⎜1 ⎟; ⎜ ⎟ ⎝ 0⎠

G

Für die folgenden Vektoren v gelte | v | = 3. Bestimmen Sie jeweils die als Variable angegebene nicht-negative skalare Komponente: ⎛1⎞ ⎜ ⎟ a) ⎜ 2⎟ ; ⎜ ⎟ ⎝ z⎠

8.10

⎛ x ⎞ ⎜ ⎟ b) ⎜ 5 ⎟; ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠

⎛−2 2 ⎞ ⎜ ⎟ c) ⎜ y ⎟; ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠

⎛− 3 ⎞ ⎜ ⎟ d) ⎜− 2 ⎟ ; ⎜ z ⎟ ⎝ ⎠

⎛ x ⎞ ⎜ ⎟ e) ⎜1,5 2 ⎟ . ⎜ 1,5 ⎟ ⎝ ⎠

Ermitteln Sie die jeweiligen skalaren Komponenten nachfolgender Vektoren: ⎛ 2a ⎞ ⎛ b +1⎞ a) ⎜ ⎟=⎜ ⎟; ⎝ b ⎠ ⎝ a +1⎠

⎛3a + 2⎞ ⎛ 2b − 3⎞ b) ⎜ ⎟=⎜ ⎟; ⎝ −3b ⎠ ⎝ 2a −1⎠

⎛ a ² −1⎞ ⎛ 2b + 5⎞ c) ⎜ ⎟=⎜ ⎟; ⎝ −4b ⎠ ⎝ 2a ⎠

⎛ a + 2⎞ ⎛ c − b ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ d) ⎜ b ⎟=⎜ a − c ⎟; ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2c ⎠ ⎝ a + 3⎠

⎛ 2a ⎞ ⎛ b + 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ e) ⎜b + 2⎟=⎜ a − c ⎟; ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ c ⎠ ⎝3b − 2a ⎠

⎛ a ² − 4⎞ ⎛b ² +1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ f) ⎜ b − 2 ⎟=⎜ c + 2 ⎟ . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ c +3 ⎠ ⎝ a −3⎠

8.2 Elementare Rechenoperationen 8.2.1 Vektoraddition und -subtraktion Vektoraddition

Klassisches Beispiel aus der Mechanik: das Kräfteparallelogramm. Zwei Massepunkt m angreifende Kräfte G an einem G F1 und F2 (Bild 8.13) erzeugen eine Resultierende, die die gleiche physikalische Wirkung erzielt wie die beiden Einzelkräfte, also G G G FR = F1 + F2 .

FR

F2 m

F1

G

G

G

Bild 8.13 Resultierende FR = F1 + F2

Ihre zeichnerische Ermittlung erfolgt gemäß Parallelogrammregel: Das von beiden Kraftvektoren aufgespannte Parallelogramm markiert die Diagonale als resulG tierende Kraft FR .

314

8 Vektoren

8.2 Elementare Rechenoperationen

Definition 8.6

G

G

Unter der Addition zweier Vektoren a und b versteht man die Vorschrift, ihre Repräsentanten aneinander zu fügen unter Beibehaltung von Betrag, Richtung und Orientierung.

G

Die gerichtete Strecke vom Anfangspunkt des Vektors a zum Endpunkt des angefügten G Vektors b repräsentiert den G G G Summenvektor s = a + b . ¾ Die Vektoraddition verlangt weder einen gemeinsamen Angriffspunkt noch die Parallelogrammkonstruktion.

Konstruktion des Summenvektors Die grundsätzliche Vorgehensweise1) zeigt Bild 8.14.

G

G

G

Bild 8.14 Vektoraddition s = a + b

G

G

G

Variante (a): Der Summenvektor s = a + b resultiert, indem

G

1. Vektor b parallel so verschoben wird, dass er mit seinem Anfangspunkt im Endpunkt G von a angreift;

G

2. die gerichtete Strecke G vom Anfangspunkt des Vektors a zum Endpunkt des parallel verschobenen Vektors b gezeichnet wird.

G

Variante (b): Den Summenvektor s zu konstruieren heißt,

G

a parallel so zu verschieben, dass er mit seinem Anfangspunkt im Endpunkt – erst Vektor G von b auftrifft und

G

– anschließend den Pfeil G vom Anfangspunkt des parallel verschobenen Vektors a zum Endpunkt des Vektors b zu zeichnen. Dass diese gerichtete Strecke nicht deckungsgleich zu der gemäß Variante (a) gezeichneten ist, G bleibt unerheblich: Beide Pfeile sind Repräsentanten des gleichen Summenvektors s .

1)

Bei der Beschreibung der Vorgehensweise wird bewusst auf den Terminus „Repräsentant“ verzichtet.

8.2 Elementare Rechenoperationen

315

G

G

Eine weitere Variante (Übung!) besteht darin, a und b in ihren gemeinsamen Anfangspunkt zu verschieben und wie bei der Addition von Kräften die Parallelogrammregel anzuwenden. G Die Resultierende repräsentiert wiederum den Summenvektor s .

G

G

G

G

Diese Vorgehensweise veranschaulicht, dass es unerheblich ist, ob a zu b oder b zu a addiert wird: ¾ Die Vektoraddition ist kommutativ. Addition von drei Vektoren

Greifen drei (oder mehr) Kräfte an einem Massepunkt m an, lässt sich die die Einzelkräfte ersetzende Resultierende durch zwei- (oder mehr-) malige Anwendung der Parallelogrammregel konstruieren. Einfacher geht es in Anlehnung an Definition 8.6. Bild 8.15 zeigt die Vorgehensweise. Die gestrichelt eingezeichneten Parallelogramme wären hierbei nicht erforderlich gewesen. Sie zeigen die Gleichwertigkeit beider Verfahren. Bild 8.15 Addition dreier Vektoren

G G G Die Ausführungen lassen sich übertragen auf die Addition beliebiger Vektoren a , b und c . ¾ Die Vektoraddition ist assoziativ.

Die Gültigkeit veranschaulicht Bild 8.16: JJJJG JJJJG JJJJG G G G G s = a +b+ c (= P1P2 + P2 P3 + P3 P4 ); JJJJG JJJJG G G G G s = (a + b) + c (= P1P3 + P3 P4 ); JJJJG JJJJG G G G G s = a + (b + c ) (= P1P2 + P2 P4 ) .

Bild 8.16 Die Vektoraddition ist assoziativ

Vektorsubtraktion

Wie beim Rechnen mit Zahlen wird die Subtraktion von Vektoren als Umkehrung der Vektoraddition verstanden: Es bedarf des Gegenvektors. Definition 8.7

Unter dem Differenzvektor

JG

G

G

G

G

d = a − b = a + (−b)

G

G

versteht man die Addition des Vektors a mit dem zu b inversen Vektor.

316

8 Vektoren

Konstruktion des Differenzvektors JG G G Den Differenzvektor d = a − b gemäß Bild 8.17 zu konstruieren, bedeutet

G

1. Vektor b parallel so zu verschieben, dass er mit seinem Anfangspunkt im Endpunkt G von a angreift;

G

b

b a

2. zu dem parallel verschobenen Vektor b G seinen Gegenvektor (- b ) einzutragen und 3. die gerichtete Strecke vom Anfangspunkt G G des Vektors a zumG Endpunkt des zu b inversen Vektors (- b ) zu zeichnen.

d

-b

JG

G G

G

G

Bild 8.17 Differenzvektor d = a − b = a + (−b)

Das kürzere Verfahren besteht darin, die gleich so vorzunehmen, Parallelverschiebung G dass Vektor b unter Änderung seiner OrienG tierung im Endpunkt von a eingezeichnet wird. Weiteres Vorgehen erfolgt dann gemäß Position 3. Die Gegenüberstellung der Konstruktion von Summenvektor und Differenzvektor erfolgt in Bild 8.18.

G

Sonderfall: Addition und Subtraktion kollinearer Vektoren Bisherige Ausführungen gelten uneingeschränkt; der geometrische Sachverhalt vereinfacht sich (Bild 8.19): a) gleiche Orientierung (ĹĹ) JG G JG JJG G JJG Über s1 = a + b1 und s2 = a + b2 ergibt G

G

G

sich der Sonderfall s = a + b . Beispiel: Radfahren bei Rückenwind.

b) entgegengesetzte Orientierung (ĹĻ) JJG G JG JJG G JJG Über d1 = a − b1 und d 2 = a − b2 ergibt

JG

G

Bild 8.18 Summenvektor s und Differenzvektor d

G G

sich der Sonderfall d = a − b . Beispiel: Radfahren bei Gegenwind.

Bild 8.19 Addition und Subtraktion kollinearer Vektoren

8.2 Elementare Rechenoperationen

317

Vektor und Gegenvektor

G G G Werden Vektor und Gegenvektor addiert, resultiert der Nullvektor: v + (−v) = 0. Beispiel: Jogging auf einem Laufband.

Gesetzmäßigkeiten der Vektoraddition 1. Die Vektoraddition ist abgeschlossen: Die Summe ergibt wieder einen Vektor. G G G 2. Es gibt ein neutrales Element der Addition, den Nullvektor: a + 0 = a . G G G G G 3. Zu jedem Vektor a existiert ein inverses Element, der Gegenvektor (−a ): a + (−a ) = 0. G G G G G G G G G 4. Es gilt das Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz): a + (b + c ) = (a + b) + c = a + b + c .

G G

G

G

5. Es gilt das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz): a + b = b + a . ¾ Diese Gesetzmäßigkeiten stimmen überein mit denen der Addition und Subtraktion reeller Zahlen: Vektorgleichungen lassen sich gemäß bekannter zahlenalgebraischer Methoden äquivalent umformen. JG G G G G JG Beispiel: d = a − b ⇔ a = b + d .

Vektorketten Bei der Einwirkung zweier Kräfte auf ein Masseteil (Bild 8.20) gilt für die resultierende Kraft JJG G G FR = F1 + F2 ; G G G JJG die Äquivalenzumformung führt auf 0 = F1 + F2 − FR oder G G G JJG 0 = F1 + F2 + (−FR ) .

Bild 8.20 Kräftesystem im Gleichgewicht

Der Sachverhalt ist physikalisch begründbar: JJG JG JG JG JJG Wirkt auf FR = F 1 + F 2 eine entgegen gerichtete Kraft F =−FR ein, befindet sich das System im Gleichgewicht. Der Körper bewegt sich nicht bzw. behält seinen Bewegungszustand bei. Die das Krafteck markierenden Vektoren haben alle den gleichen Umlaufsinn.

318

8 Vektoren

Die Erkenntnisse sind übertragbar auf mehrgliedrige Summen von Vektoren (= Vektorketten), wie sie sich in Bild 8.21 zeigen.

Bild 8.21 Vektorketten mit unterschiedlichem Umlaufsinn

Für den zu ermittelnden letzten Vektor (= Schlussvektor) einer solchen Vektorkette gilt je nach festgelegtem Umlaufsinn in der Variante (a): G G G G JG G 0 = a + b + c + (−d ) + (−x )

Variante (b): G G JG G G G 0 = x + d + (−c ) + (−b) + (−a )

0 = a +b+c − d − x

0 = x + d − c −b − a

G

G G G JG G G G G G JG x = a +b+c − d .

G

G

G JG G G G G G JG

G

x = a +b + c − d .

Sinnvolle Vorgehensweise 1. Umlaufsinn festlegen (links- oder rechtsdrehend); 2. Vektoren, die zu dem willkürlich gewählten Umlaufsinn

G -gleichsinnig orientiert sind, positiv ⎫ ⎬ aufsummieren. - Die Summe ist der Nullvektor 0 . -gegensinnig orientiert sind, negativ ⎭

G

3. Vektorgleichung unter üblicher Beachtung der Algebraregeln umstellen nach x.

G

¾ Gesuchter Vektor x = Vektoren zur Spitze – Vektoren zum Fuß.

Für das in Bild 8.22 dargestellte Beispiel1) heißt es somit

G G

G

G JG

G

x = a −b+ c − d + e.

Man könnte auch an anderer Stelle „einsteigen“:

G

G

G

G

G JG

JG

G

G

G G

G

G G

G JG G

G

G G

G JG

a) c = b − a + x − e + d ⇔ x = a − b + c − d + e ;

G

G

b) d = e − x + a − b + c ⇔ x = a − b + c − d + e .

1)

Bild 8.22 G G G G JG G Schlussvektor x = a − b + c − d + e

Es ist unerheblich, dass sich hier die Pfeile z. T. überkreuzen.

8.2 Elementare Rechenoperationen

319

Vektoraddition und -subtraktion im Anschauungsraum

Die bisherigen Ausführungen lassen sich elegant übertragen auf in Koordinatenschreibweise angegebene Vektoren. Die geometrische Darstellung von Summen- und Differenzvektoren rückt in den Hintergrund, der algebraische Aspekt gewinnt an Bedeutung. Definition 8.8 ⎛a ⎞ ⎛ ⎞ x⎟ G ⎜ bx ⎟ Der Summenvektor s zweier Vektoren a =⎜ a y ⎟ und b =⎜by ⎟ ist erklärt durch Addition ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ az ⎠ ⎝ bz ⎠ ihrer skalaren Komponenten:

G ⎜

G

⎛

⎞ ⎛

⎞ ⎛

⎞

a b a +b G G ⎜ x⎟ ⎜ x⎟ ⎜ x x⎟

G

s = a + b =⎜ a y ⎟+⎜by ⎟=⎜ a y + by ⎟ . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ az ⎠ ⎝ bz ⎠ ⎝ a z + bz ⎠

Entsprechend gilt für den Differenzvektor

JG

⎛

⎞ ⎛

⎞ ⎛

⎞

a b a −b G G ⎜ x⎟ ⎜ x⎟ ⎜ x x⎟

d = a − b =⎜ a y ⎟−⎜by ⎟=⎜ a y − by ⎟ . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ a z ⎠ ⎝ bz ⎠ ⎝ az − bz ⎠

Betreffs Subtraktion bedarf es einer Ergänzung: Die im R3 durch Punktepaare P1(x1|y1|z1) und P2(x2|y2|z2) eindeutig definierten Verschiebungen der Form ⎛

⎞ ⎛ ⎞ v =⎜ v y ⎟=⎜ y2 − y1 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ vz ⎠ ⎝ z2 − z1 ⎠

G ⎜ vx ⎟ ⎜ x2 − x1 ⎟

G

G

erklären sich als Differenz der Ortsvektoren r1 und r2 ,

G

JJG JG

also v = r2 − r1 (Bild 8.23). G

JG JG

Bild 8.23 v = r2 − r1

Die Regel „Gesuchter Vektor = Vektor zur Spitze – Vektor zum Fuß“ wird bestätigt. Hinweis: Die Aussagen über Addition und Subtraktion von in Koordinatenschreibweise angegebenen Vektoren lassen sich auf Vektorketten übertragen. ŹBeispiel

⎛ 3⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 4⎞ G ⎜2⎟ G ⎜ ⎟ Gegeben seien die Vektoren a =⎜ 2⎟, b =⎜ 1 ⎟ und c =⎜−2⎟. ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 5⎠ ⎝−2⎠ ⎝1⎠

G ⎜ ⎟

Berechnen Sie, in welche Punkte eine durch P(0|1|0), Q(7|4|3) und R(2|3|7) aufgespannte Ebene verschoG G G G ben wird, wenn dies mit v = a + b − c erfolgt.

320

8 Vektoren

Lösung Die Verschiebung ergibt sich durch Addition bzw. Subtraktion der skalaren Komponenten, also

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ G ⎜ 3+ 2 − 4 ⎟ ⎜ 1 ⎟ v =⎜ 2 +1− (−2) ⎟=⎜ 5⎟ . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 5+ (−2) −1⎠ ⎝ 2⎠

⎧ P(0 |1| 0) über in P '(1| 6 | 2), ⎪ Somit geht ⎨Q(7 | 4 | 3) über in Q '(8 | 9 | 5), ⎪ ⎩ R (2 | 3 | 7) über in R '(3 | 8 | 9).

Ɣ Aufgaben 8.11

Für die in G Bild 8.24 repräsentierten Vektoren G a und b gilt G G | a | = 4 cm, α = 20°; | b | = 5 cm, β = 60°.

b a

b

Bild 8.24

G

G G JG

G G

JG

G

a

H

G

a) Konstruieren Sie s = a + b, d 1 = a − b und d 2 = b − a. b) Bestimmen Sie durch Messung sowohl die zugehörigen Beträge des Summenvektors bzw. der Differenzvektoren als auch jeweils den mit der Horizontalen H eingeschlossenen Winkel.

JG

JG

c) Welcher Zusammenhang besteht zwischen d 1 und d 2 ? (Begründung!) 8.12

G G

G

In Anlehnung an Bild 8.25 gilt für a , b und c Folgendes:

G G | b | = 3 cm, β = 30°; G

| a | = 5 cm, α = 20°; | c | = 8 cm,

b

c

Ȗ = 90°.

a

g b a

Bild 8.25

Konstruieren Sie

G G

G

a) a + b + c ;

G G

G

b) a − b + c ;

G G

G

c) a + b − c ;

G G

H

G

d) a − b − c .

Messen Sie sowohl die Beträge der Resultatsvektoren als auch jeweils ihre Schnittwinkel zur Horizontalen H. 8.13

G G

G

H

a , b und c spannen gemäß Bild 8.26 einen Spat1) auf.

JJJG JJJG JJJG

G

JJJG

Geben Sie die gerichteten Strecken AF , BH , CE und DF G G G jeweils durch geeignete Addition von a , b und c an.

E

F D

C

c b

Bild 8.26

1)

A

a

B

Parallelepiped oder Parallelflach genannt; ein Prisma, dessen Grundfläche ein Parallelogramm ist.

8.2 Elementare Rechenoperationen 8.14

321

Bestimmen Sie in Anlehnung an Bild 8.27 jeweils die folgende gerichtete Strecke: a) b) c)

G

JJJJG JJJJG JJJJJG

JG

JJJJJG JJJJG JJJJG

x = P1P3 + P3Q3 − Q2Q3 ; y = Q1Q3 − P3Q3 − P2 P3 ;

G

JJJJG JJJJJG JJJJJG JJJJG

z =−P1P3 + P1Q2 − P2Q2 + P2Q1 .

Bild 8.27

8.15

Geben Sie für die dargestellten Vektorketten (Bild 8.28a-c) jeweils die Vektorgleichung für den G Schlussvektor x an:

Bild 8.28 8.16

G

JJJG G

JJJG

G JJJG JJJG

Durch a = BC , b = AC und c = AB ist ein Dreieck ABC markiert, ferner halbiere Punkt D die

JG

Strecke BC und es gelte d = AD.

G

G

a) Konstruieren Sie den Summenvektor (b + c ).

JG JG G JJJG

G G JJJG Hinweis: Führen Sie hilfsweise den Vektor x = BD = DC ein.

b) Weisen Sie algebraisch die Richtigkeit nach: d + d = b + c .

c) Geben Sie den entsprechenden Lehrsatz aus der Geometrie an. 8.17

Zwei Vektoren sind wie folgt repräsentiert: G v1 durch Verschiebung von P1(3|1) nach P2(7|3); G v2 durch Verschiebung von Q1(1|3) nach Q2(2|6). Bestimmen Sie zeichnerisch und rechnerisch JG G G G G G a) s = v1 + v2 , b) d = v1 − v2 .

8.18

G G

Bestimmen Sie zeichnerisch und rechnerisch

G

G

G

G

G

G

G

G

a) x1 = r1 + r2 + r3 ; b) x2 = r1 + r2 − r3 ; 8.19

G

P1(5|1), P2 (-2|3) und P3 (-1|-2) markieren die Ortsvektoren r1, r2 und r3.

G

G

G

G

JJJJG

G

c) x3 = r1 −r2 + r3 ;

G

G

G

G

G

d) x4 = r1 − r2 − r3.

JJJJG

G

JJJJG

Auf der Basis der Daten von Aufgabe 8.18 soll gelten v1 = P1P2 , v2 = P2 P3 und v3 = P3 P1 .

322

8 Vektoren Bestimmen Sie zeichnerisch und rechnerisch

JG

G

JG

G

JG

G

G

G

G

a) d 1 = v1 − v2 ; b) d 2 = v2 − v3 ; c) d 3 = v3 − v1 .

G

G

G

G

Zusatzfrage: Was gilt für s = v1 + v2 + v3 ? (Begründung !)

8.20

⎛−1⎞ ⎛ ⎞ G ⎜2⎟ G ⎜ ⎟ Gegeben: a =⎜ 2 ⎟ und b =⎜−3⎟ . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝3⎠ ⎝−1⎠

G

Bestimmen Sie P2 ∈ R3, in welchen P1(1|-3|2) jeweils durch x verschoben wird, wenn gilt:

G

G G

G

G

G G

G

a) x − (a + b) = 0 ; b) x − (−a + b) = 0 . 8.21

Auf den Massemittelpunkt eines Körpers (m = 20 kg) wirken drei Kräfte ein (Angabe in daN):

G ⎛6⎞ G ⎛−2⎞ G ⎛−1⎞ F1 =⎜ ⎟, F2 =⎜ ⎟, F3 =⎜ ⎟ . ⎝1⎠ ⎝ 5⎠ ⎝−2⎠ Berechnen Sie die Beschleunigung in m/s2, mit der sich der Körper fortbewegt. 8.22

Drei Kräfte wirken auf den Massemittelpunkt eines Körpers ein (Angabe in kN): ⎛ ⎞ F1 =⎜ 1 ⎟ , ⎜ ⎟ ⎝1⎠

JJG ⎜ 4⎟

⎛ ⎞ JJG ⎜ 6 ⎟

F2 =⎜−3⎟ , ⎜ ⎟ ⎝4⎠

⎛ ⎞ JJG ⎜ 2 ⎟

F3 =⎜−2⎟ . ⎜ ⎟ ⎝−2⎠

JJG

Berechnen Sie die Größe von F4 so, dass sich der Körper nicht fortbewegt. 8.23

Zwei am gleichen Ufer eines Flusses gelegene Orte A und B werden mehrmals täglich im Wechsel von einem Wassertaxi angefahren. Dabei benötigt das Boot bei Fahrt stromaufwärts für die 7,2 km lange Strecke eine Fahrzeit von 15 Minuten. a) Mit welcher durch seinen Antrieb hervorgerufenen Geschwindigkeit vB fährt es, wenn die relativ konstante Strömungsgeschwindigkeit des Flusses mit vF = 2 m/s zu veranschlagen ist ? b) Berechnen Sie die Fahrzeit für die Rückfahrt (also stromabwärts), wenn die Eigengeschwindigkeit des Bootes gleich der auf der Hinfahrt ist. c) Mit welcher Eigengeschwindigkeit könnte das Boot zwecks Treibstoffersparnis stromabwärts fahren, wenn die Fahrzeit wie bei der Hinfahrt mit 15 Minuten im Fahrplan kalkuliert wird ?

Hinweis: Die Vektorgleichung für die Geschwindigkeiten (kollineare Vektoren !) lässt sich problemlos übertragen auf das Rechnen mit Beträgen. 8.24

Auf der Autobahn überholt ein 4,75 m langer Pkw mit einer Reisegeschwindigkeit vP =135 km/h einen 15 m langen Sattelschlepper, dessen Geschwindigkeit vS = 72 km/h während des gesamten Überholvorganges konstant bleibt. Berechnen Sie die Überholzeit in Sekunden und den Überholweg in Metern, wenn der Pkw 70 m hinter dem vor ihm fahrenden Sattelschlepper auf die Überholspur ausschert und 24 m vor diesem wieder auf die rechte Fahrspur wechselt.

G

Hinweis: Erstellen Sie zunächst die Vektorgleichung für den Überholweg s .

8.2 Elementare Rechenoperationen

323

8.2.2 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar (S-Multiplikation) Bei der Addition gleicher reeller Zahlen bedient man sich zwecks kürzerer Schreibweise der Multiplikation: a + a + a = 3a. Bei der Addition gleicher Vektoren verfährt man analog:

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

Bild 8.29 s = a + a + a = 3a

s = a + a + a = 3a .

G

G

Der Summenvektor s erschließt sich gemäß Bild 8.29 als ein zu a gleichgerichteter Vektor G G vom Betrag 3 ⋅ | a |; die gerichtete Strecke a wird verdreifacht. Entsprechend lässt sich eine Aussage über die in drei gleiche Abschnitte aufgeteilte gerichtete

G

G

G

Strecke s vornehmen: 13 ⋅ s = a .

G G Hieße dagegen der Faktor „ − 13 “, ergäbe sich der Gegenvektor zu a , also −a. Allgemeiner formuliert: Aus der Multiplikation einer reellen Zahl (= Skalar) mit einem Vektor, S-Multiplikation genannt, resultiert ein hierzu kollinearer Vektor, der je nach Größe und Vorzeichen der reellen Zahl - eine Längenänderung erfahren hat und - gleich oder gegensinnig orientiert ist. Definition 8.9

G

G

Gegeben sei ein Vektor a ≠ 0 , ferner eine reelle Zahl λ.

G

G 1)

Dann steht b = λ⋅a

G

für einen Vektor, dessen Betrag das λ-fache von | a | ist.

Es erschließen sich drei Fälle:

G

G

1. λ > 0: b ist gleichsinnig parallel (↑ ↑ ) zu a ; G G G G 2. λ < 0: b ist gegensinnig parallel (↑ ↓ ) zu a , speziell: (−1)⋅a =− a ;

G

G

G

3. λ = 0: b ist der Nullvektor, also 0 ⋅ a = 0 .

G

G

¾ Obige Definition, die den Nullvektor nicht zulässt, wird sinnvoll ergänzt: λ⋅0 = 0. Jetzt ergibt sich die Analogie zum Satz vom Nullprodukt reeller Zahlen.

1)

gelesen: Lamda mal a Der Malpunkt muss nicht gesetzt werden. – Üblich ist es, den Skalar links vom Vektor zu schreiben. λ (= l) soll auf die durch S-Multiplikation verursachte Längenänderung hinweisen.

324

8 Vektoren Beispiele G G a) b = 2 a: G G b) b = - 12 a:

Streckung oder Stauchung G G Ist |λ| > 1, resultiert | b | > | a |; G G

für |λ| < 1 folgt | b | < | a |.

G

G

G

G

G

G

b ist gleichsinnig zu a und 2-mal so lang wie a; b ist gegensinnig zu a und 12 -mal so lang wie a.

Beispiele für die S-Multiplikation aus Physik und Technik

G

G

G

a) gleichförmige Bewegung: s = t ⋅ v 1) oder v =

G

1 G G G ⋅ s (t > 0: s ↑ ↑ v ); t

G

G

G

G

G

b) gleichmäßig beschleunigte Bewegung: v = t ⋅ a oder a = 1t ⋅v (t > 0 : v ↑ ↑ a ) ;

JG

G

JG

G

c) Newton'sches Axiom: F = m⋅a (m > 0 : F ↑ ↑ a ) ;

JG

d) elektrische Feldstärke E. JG Zur Kennzeichnung der Stärke eines elektrischen Feldes dient die Kraft F , die dort auf ein positiv (+) oder negativ (-) geladenes Teilchen (Ladung Q in As gemessen) einwirkt: JG 1 JG JG JG JG JG JG JG E = Q F oder F = Q⋅ E (Q > 0 : E ↑ ↑ F ; Q < 0 : E ↑ ↓ F ) . S-Multiplikation im Anschauungsraum

Die Aussagen lassen sich ähnlich elegant wie bei Vektoraddition und -subtraktion übertragen auf in Koordinatenschreibweise angegebene Vektoren: Definition 8.10 ⎛a ⎞ ⎛ a ⎞ ⎛ λ⋅a ⎞ x⎟ x⎟ G ⎜ x⎟ ⎜ G Für Vektor a =⎜ a y ⎟und eine beliebige reelle Zahl λ gilt b = λa = λ⎜ a y ⎟=⎜ λ⋅a y ⎟. ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ az ⎠ ⎝ a z ⎠ ⎝ λ⋅az ⎠

G ⎜

⎛ 4⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ G 1 G 1 ⎜ 4 ⎟ ⎜ 2⎟ G ⎜ ⎟ 1 = = = 2 2 =⎜1 ⎟. a b a und λ = ergibt sich Beispiel: Für ⎜ 2 2⎜ 2 ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ 6 6 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 3⎠

Gesetzmäßigkeiten der S-Multiplikation 1. Es gibt ein neutrales Element der Multiplikation: 2. Es gilt das Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz): 3. Es gilt das Distributivgesetz (Verteilungsgesetz):

1)

G

G

G

G

1⋅ a = a.

G

G

λ(μ a ) = (λμ) a.

G G G (a) (λ+μ) a = λ a + μ a , G G G G (b) λ (a + b) = λ a + λ b.

Eine ungewöhnliche Schreibweise; geläufig ist s = v ⋅ t . G G Die S-Multiplikation ist an sich nicht kommutativ; erst a ⋅ λ : = λ⋅ a macht sie dazu.

8.2 Elementare Rechenoperationen

325

Beweis des Distributivgesetzes (b) ⎛ a + b ⎞ ⎛ λ(a + b ) ⎞ x⎟ ⎜ x x ⎟ ⎜ x Es gilt λ(a + b) = λ⎜ a y + by ⎟=⎜ λ(a y + by )⎟; ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ a z + bz ⎠ ⎝ λ(a z + bz ) ⎠

G G

unter Verwendung des Distributivgesetzes reeller Zahlen folgt ⎛ λa + λb ) ⎞ ⎛ λa ⎞ ⎛ λb ⎞ ⎛ a ⎞ ⎛ b ⎞ x ⎟ ⎜ x⎟ ⎜ x⎟ ⎜ x ⎜ x⎟ ⎜ x⎟ λ(a + b) =⎜ λa y + λby ) ⎟=⎜ λa y ⎟+⎜ λby ⎟= λ⎜ a y ⎟+ λ⎜by ⎟, somit ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ λa z + λbz ) ⎠ ⎝ λa z ⎠ ⎝ λbz ⎠ ⎝ a z ⎠ ⎝ bz ⎠ G G G G λ(a + b) = λa + λb .

G G

Bild 8.30 veranschaulicht die Gesetzmäßigkeit. Es bietet sich auch an, den Beweis mit Hilfe des Strahlensatzes zu führen (Aufgabe!).

Bild 8.30 Das Distributivgesetz der S-Multiplikation ŹBeispiel

G ⎛−1⎞ G ⎛ 5⎞ G G G G G Gegeben seien die Vektoren a =⎜ ⎟ und b =⎜ ⎟. Bestimmen Sie rechnerisch x = a − 3b − 2(a − b) . ⎝ 2⎠ ⎝3⎠ G

G

G

G

G

G G

G G

x = a − 3b − 2a + 2b =−a − b = (−1)(a + b) , also

Lösung:

⎛5+ (−1)⎞ ⎛ 4⎞ ⎛−4⎞ G x = (−1)⎜ ⎟= (−1)⎜ ⎟=⎜ ⎟. ⎝ 2+3 ⎠ ⎝ 5⎠ ⎝−5⎠

Sonderfall: Einheitsvektoren

v

G

Der zu v kollineare Einheitsvektor wird bezeichnet mit G G ev = v ° (gelesen: v oben null). Mit der S-Multiplikation eröffnet sich gemäß Bild 8.31 ein neuer Aspekt:

v° 1 v

G

G

Bild 8.31 v und v °

1 G G G G G Es gilt v =| v |⋅ v ° oder aber v ° = G ⋅v (= Normierung eines Vektors). |v |

G

G

G

1 G . 5

Beispiel: Für einen Vektor v mit | v | = 5 gilt v ° = ⋅v

¾ Umgekehrt ist die Division mit einem Vektor nicht erklärt und damit nicht möglich.

326

8 Vektoren

⎛ 3⎞ G Ź Beispiel: Gesucht ist der in Richtung a =⎜ 0⎟verlaufende Einheitsvektor a °. ⎜ ⎟ ⎝ 4⎠

G ⎜ ⎟

⎛ 3⎞ 1 G 1 ⎜ ⎟ G Lösung: Es gilt a ° = G ⋅a = G ⋅⎜ 0⎟; mit | a |= 32 + 02 + 42 = 5 folgt |a| |a| ⎜ ⎟ ⎝ 4⎠

G

⎛ 3⎞ ⎛0,6⎞ 1⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a ° = ⋅⎜ 0⎟=⎜ 0 ⎟. 5⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 4⎠ ⎝ 0,8⎠

G

Komponentendarstellung von Vektoren

Die Koordinatenschreibweise für Vektoren im R3 mit Angabe skalarer Komponenten in Spalten- oder Zeilenform lässt sich nun mit der S-Multiplikation begründen. Das 3-dimensionale kartesische Koordinatensystem mit O(0|0|0) als Bezugspunkt ist ein durch drei senkrecht aufeinander stehende Basisvektoren aufgespannter Raum, durch die Richtung und Skalierung der Koordinatenachsen festgelegt sind. Es sind dies die ⎛1⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ G ⎜ ⎟ Einheitsvektoren ex :=⎜ 0⎟, e y :=⎜1 ⎟ und ez :=⎜ 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0⎠ ⎝ 0⎠ ⎝1⎠

G

(Basisvektoren des R3).

Jedem Punkt P( x p| y p | z p ) des Anschauungsraumes lässt sich umgekehrt eindeutig ein G Ortsvektor rp zuordnen (Bild 8.32).

Bild 8.32 G Komponenten von r p

Es heißt nun unter Einbeziehung von Basisvektoren, S-Multiplikation und Vektoraddition ⎛1⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ G G G G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ rp = x p ⋅ex + y p ⋅e y + z p ⋅ez = x p ⋅⎜ 0⎟+ y p ⋅⎜1 ⎟+ z p ⋅⎜ 0⎟ oder ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0⎠ ⎝ 0⎠ ⎝1⎠

⎛xp ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ xp ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ rp =⎜ 0 ⎟+⎜ y p ⎟+⎜ 0 ⎟=⎜ y p ⎟. ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ zp ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝zp ⎠ ⎝

G

G

¾ x p , y p und z p sind die Koordinaten oder „skalare Komponenten“ des Vektors rp .

8.2 Elementare Rechenoperationen

327

Spricht man von vektoriellen Komponenten, sind die einzelnen vektoriellen Summanden gemeint, nämlich

G

G

G

x p := x p ⋅ex ,

G

G

G

y p := y p ⋅e y

G

und

G

G

G

z p := z p ⋅ez , somit gilt auch

rp = x p + y p + z p .

G Entsprechende Aussagen resultieren für jeden beliebigen, nicht ortsgebundenen Vektor v , dessen Repräsentant markiert ist durch eine Verschiebung von P1(x1|y1|z1 ) nach P2(x2|y2|z2):

G

G

G

G

v = ( x2 − x1 )⋅ex + ( y2 − y1 )⋅e y + ( z2 − z1 )⋅ez oder ⎛1⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ x2 − x1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ v = ( x2 − x1 )⋅⎜ 0⎟+ ( y2 − y1 )⋅⎜1 ⎟+ ( z2 − z1 )⋅⎜ 0⎟ =⎜ y2 − y1 ⎟. ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0⎠ ⎝ 0⎠ ⎝1⎠ ⎝ z2 − z1 ⎠

G

Sonderfall: R2-Ebene

G

G

G

Der Basisvektor ez entfällt; ex und e y spannen die x,y-Ebene auf. G ⎧vx eine Verschiebung in x-Richtung⎫ ⎬ , dann gilt Repräsentiert ⎨G ⎩v y eine Verschiebung in y -Richtung⎭ ⎛1⎞ ⎛ 0⎞ G G G G G v = vx + v y = vx ⋅ex + v y ⋅e y = vx⎜ ⎟+ v y ⋅⎜ ⎟ 0 ⎝ ⎠ ⎝1⎠

G ⎛ v ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ vx ⎞ v =⎜ x ⎟+⎜ ⎟=⎜ ⎟. ⎝ 0 ⎠ ⎝v y ⎠ ⎝v y ⎠ Für Ortsvektoren im R2 erfolgt die Zerlegung entsprechend. Anmerkungen 1. In der mathematischen Literatur finden sich auch folgende Festlegungen für die Basisvektoren:

G G G i := ex , j := e y , k := ez 1) .

⎛5⎞ G ⎜ ⎟ Beispiel: v = 5i - 3j + 2k =⎜−3⎟ . ⎜ ⎟ ⎝2⎠

2. Ausblickend der Hinweis, dass - die Komponentenbetrachtung auf n-dimensionale Räume (Rn) ausgedehnt wird, und - Basisvektoren nicht rechtwinklig zueinander sein müssen.

1)

Die Kürzel i, j und k sind von H. G. Graßmann eingeführt worden.

328

8 Vektoren

Anwendung in Physik und Technik

a) Kräftezerlegung

y

G

Die in Bild 8.33 dargestellte Kraft F lässt sich in ihre vektoriellen Komponenten zerlegen:

G

G

G

G

Fy

F

ey

G

F = Fx + Fy = Fx ⋅ex + Fy ⋅e y

Fx

ex

G

G

⎛1⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ Fx ⎞ F = Fx ⋅⎜ ⎟+ Fy ⋅⎜ ⎟=⎜ ⎟. ⎝ 0⎠ ⎝1 ⎠ ⎝ Fy ⎠

x

G

G

Bild 8.33 F mit den Komponenten Fx und Fy

G

Ist Winkel α vorgegeben, unter dem Kraft F gegen die Horizontale gemessen wirkt, ergibt sich gemäß einschlägiger trigonometrischer Beziehungen

G

G G ⎛ F ⋅cosα ⎞ ⎪ ⎛ cosα ⎞ Fx = ( F ⋅cosα )⋅ex ⎫ G G ⎬, also F =⎜ ⎟= F ⋅⎜ ⎟. ⋅ F sin α ⎝ ⎠ ⎝ sinα ⎠ Fy = ( F ⋅sinα )⋅e y ⎪ ⎭ ⎛ 0,5 3 ⎞ ⎛86,67 ⎞ G ⎛ cos30° ⎞ ⎟=⎜ Beispiel: Für F = 100 N und α = 30° resultiert F =100 N⎜ ⎟=100 N⎜ ⎟N . ⎝ sin30° ⎠ ⎝ 0,5 ⎠ ⎝ 50 ⎠

b) schiefer Wurf

G

Für einen Körper, der mit einer Geschwindigkeit v0 unter einem gegen die Horizontale gemessenen Winkel α abgeworfen wird, gilt Entsprechendes: ⎛ cosα ⎞ G ⎛ vx ⎞ ⎛ v ⋅cosα ⎞ v =⎜ ⎟=⎜ 0 ⎟= v0⎜ ⎟. v ⎝ sinα ⎠ ⎝ y ⎠ ⎝ v0 ⋅sinα ⎠

Vorsicht: Um den tatsächlichen Bewegungsablauf mathematisch zu erfassen, muss die physikalische Gesetzmäßigkeit „freier Fall“ berücksichtigt werden:

G

G

In y-Richtung wirkt ein zusätzlicher Vektor vg =−g ⋅t , also

G ⎛ vx ⎞ ⎛ v ⋅cosα ⎞ v =⎜ ⎟=⎜ 0 ⎟. ⎝ v y ⎠ ⎝ v0 ⋅sinĮ − gt ⎠

G ⎛ sx ⎞ ⎛ v0 ⋅cosα⋅t ⎞ G G ⎜ ⎟. Die Weg-Zeit-Gesetzmäßigkeit resultiert wegen s = v ⋅t zu s =⎜ s ⎟=⎜ 1 2⎟ ⎝ y ⎠ ⎝ v0 ⋅sinα ⋅t − 2 gt ⎠ c) waagerechter Wurf Der Bewegungsablauf lässt sich auffassen als Spezialfall des schiefen Wurfes, also α = 0°. Somit gilt

G ⎛ vx ⎞ ⎛ v ⎞ v =⎜ ⎟=⎜ 0 ⎟ ⎝ v y ⎠ ⎝−gt ⎠

Ÿ

G ⎛ sx ⎞ ⎛ v0 ⋅t ⎞ ⎜ 1 2⎟ . s =⎜ ⎟=⎜ ⎝ s y ⎠ ⎝− 2 gt ⎟ ⎠

8.2 Elementare Rechenoperationen

329

ł Aufgaben 8.25

G

G

Konstruieren Sie aus zwei beliebigen nicht-kollinearen Vektoren a und b

G G

G

G G

G

G G

G G

a) x = (a + b) + (a − b) ; b) y = (a + b) − (a − b) .

G ⎛ 2⎞ G ⎛ 3⎞ Was fällt auf ? - Bestätigen Sie algebraisch die Vermutung für a =⎜ ⎟ und b =⎜ ⎟. 4 ⎝ ⎠ ⎝1⎠ 8.26

Auf dem Freigelände einer Messe macht ein Aussteller auf seine Produkte durch das in Bild 8.34 schematisch dargestellte aufgeständerte Rohrmodell eines Parallelepipeds aufmerksam. Dabei beziehen sich die in der Tabelle unvollständig angegebenen Positionen (Angabe in m) auf den Informationsstand der Firma. Tabelle 8.3 P1

P2

P3

P4

P5

P6

P7

P8

x

5

9

12

-

6

-

-

-

y

1

3

6

-

2

-

-

-

z

2

3

5

-

5

-

-

Bild 8.34

a) Vervollständigen Sie die Tabelle. b) Zur Stabilisierung sind zusätzlich Rohr-Verstrebungen angebracht worden: P1 - P7 , P2 - P8 . Geben Sie die Position (Angabe der Koordinaten) des Rohrverbinders S an. Wie lang sind die einzelnen Rohre der beiden diagonalen Verstrebungen ? Hinweis: Die Raumdiagonalen eines Parallelepipeds halbieren sich. 8.27

Die Stationen A und B eines geradlinig verlaufenden U-Bahn-Streckenabschnitts können bezogen auf ein Kontrollzentrum mit folgenden Koordinaten (Angabe in m) markiert werden:

A(280|350|-12) und B(3200|410|-10). Mit welchen Koordinaten ist eine auf ¾ der Strecke von A nach B montierte Signalschleife im Kontrollzentrum ausgewiesen ? 8.28

Für eine andere U-Bahn-Strecke, ebenfalls geradlinig verlaufend zwischen den Stationen

C(-180|160|-9) und D(4200|-320|-12), ergibt sich für die Signalschleife eine Abszisse xS = 2740. Geben Sie die fehlende Ordinate an, wenn die Zahlen Meterangaben sind. 8.29

In einem geradlinig verlaufenden stark befahrenen Straßentunnel, dessen Ein- und Ausgang bezogen auf eine nahebei gelegene Leitstelle durch die Koordinaten (Angabe in m)

E(120|150|830) und A(180|990|850) markiert sind, sollen zwecks Smog-Warnung zwischen E und A gleichmäßig verteilt drei Messpunkte installiert werden. Gesucht sind die Koordinaten der einzelnen Messpunkte sowie der Abstand zwischen ihnen. 8.30

In einer automatischen Punktschweißanlage werden für ein Bauteil insgesamt 7 auf einer Geraden gleichmäßig verteilt liegende Positionen angefahren. Für zwei von ihnen lauten die Koordinaten (Angabe in mm) auf den Werkstück-Nullpunkt bezogen wie folgt: P4 (510|245|195) und P5 (660|320|245). Geben Sie die Koordinaten der zuerst (= P1) und zuletzt (= P7) anzusteuernden Position an.

330 8.31

8.32

8 Vektoren G

Bestimmen Sie jeweils den Einheitsvektor c° , wenn gilt a)

G ⎛ 2⎞ a =⎜ ⎟, ⎝1⎠

G ⎛1⎞ G G G G ⎛ 2⎞ b =⎜ ⎟, c = 5a + 2b ; b) a =⎜ ⎟, ⎝ 2⎠ ⎝ 3⎠

c)

⎛1⎞ G ⎜ ⎟ a =⎜ 4⎟, ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

⎛ ⎞ G ⎜ 3⎟ G G G b =⎜ 2⎟, c = a + 3b ; ⎜ ⎟ ⎝1⎠

⎛4⎞ G ⎜ ⎟ d) a =⎜−3⎟, ⎜ ⎟ ⎝1⎠

G ⎛−2⎞ G G G b =⎜ ⎟, c = 3a − b ; ⎝ 3⎠ ⎛ ⎞ G ⎜1⎟ G G G b =⎜−2⎟, c = 2a − 5b . ⎜ ⎟ ⎝−2⎠

G ⎛ 6⎞ G ⎛−3⎞ G G r1 =⎜ ⎟ und r2 =⎜ ⎟ markieren ein Winkelfeld der R2-Ebene mit ∠( r1, r2 )