Bruchmechanik: Mit einer Einführung in die Mikromechanik, 5. Auflage

Bruchmechanik Dietmar Gross • Thomas Seelig Bruchmechanik Mit einer Einführung in die Mikromechanik 5., erweiterte A...

Author: Dietmar Gross | Thomas Seelig

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Bruchmechanik

Dietmar Gross • Thomas Seelig

Bruchmechanik Mit einer Einführung in die Mikromechanik 5., erweiterte Auflage

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Prof. Dr.-Ing. Dietmar Gross Festkörpermechanik Technische Universität Darmstadt Hochschulstraße 1 64289 Darmstadt [email protected]

Prof. Dr.-Ing. Thomas Seelig Institut für Mechanik Universität Karlsruhe (KIT) Kaiserstraße 12 76131 Karlsruhe [email protected]

ISBN 978-3-642-10195-3 e-ISBN 978-3-642-10196-0 DOI 10.1007/978-3-642-10196-0 Springer Heidelberg Dordrecht London New York Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1992, 1996, 2001, 2007, 2011 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Einbandentwurf: eStudio Calamar S.L. Gedruckt auf säurefreiem Papier Springer ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (www.springer.com)

Vorwort zur fu ¨ nften Auflage Dieses Buch ist aus Vorlesungen u ¨ber Bruchmechanik und Mikromechanik hervorgegangen, die wir f¨ ur Hörer aus den Ingenieur- und den Naturwissenschaften halten. Sein Ziel ist es, den Studierenden eine Hilfe beim Erlernen der Grundlagen dieser Fächer zu bieten. Zugleich soll es dem Fachmann in der Industrie den Einstieg in diese Gebiete ermöglichen und ihm das R¨ ustzeug zur Behandlung entsprechender Fragestellungen zur Verf¨ ugung stellen. Das Buch u uhrt in die ¨berdeckt die wichtigsten Teile der Bruchmechanik und f¨ Mikromechanik ein. Dabei kam es uns darauf an, die wesentlichen Grundgedanken und Methoden sauber darzustellen, um damit ein tragfähiges Fundament f¨ ur ein weiteres Eindringen in diese Gebiete zu schaffen. Im Vordergrund steht die Beschreibung von Bruchvorgängen mit Hilfe der Mechanik, wobei aber auch werkstoffkundliche und materialspezifische Aspekte gestreift werden. Inhaltlich werden zunächst die kontinuumsmechanischen und phänomenologischen Grundlagen zusammengestellt. Es folgt ein Einblick in die klassischen Bruch- und Versagenshypothesen. Ein beträchtlicher Teil des Buches ist dann der linearen Bruchmechanik und der elastisch-plastischen Bruchmechanik gewidmet. Weitere Kapitel befassen sich mit der Kriechbruchmechanik sowie der Bruchdynamik. In einem umfangreicheren Kapitel werden die Grundlagen der Mikromechanik und Homogenisierung bereitgestellt. Schließlich werden noch Elemente der Schädigungsmechanik und der probabilistischen Bruchmechanik abgehandelt. In den ersten beiden Auflagen umfasste das Werk ausschließlich die Bruchmechanik. Ab der dritten Auflage wurde der Inhalt auf die Mikromechanik ausgeweitet. Sie hat aufgrund der zunehmenden Verkn¨ upfung von bruch- und schädigungsmechanischen Fragestellungen mit mikromechanischen Modellierungen eine besondere Bedeutung erfahren. Die vorliegende Neuauflage haben wir genutzt, um eine Reihe weiterer Ergänzungen vorzunehmen. Aufgegriffen haben wir unter anderen Themen wie die Rissinitiierung an Kerben, Kohäsivzonenmodelle, den Peel-Test, die Fragmentierung oder die Verzerrungslokalisierung bei der duktilen ¨ Schädigung. Zu einigen Kapiteln haben wir daneben Ubungsaufgaben angef¨ ugt. Gedankt sei an dieser Stelle allen, die zur Entstehung dieses Buches beigetragen haben. Eingeschlossen sind auch die, von denen wir selbst gelernt haben. Wie sagt es Roda Roda so schön ironisch: “Aus vier B¨ uchern abzuschreiben ergibt ein f¨ unftes gelehrtes Buch”. Danken möchten wir auch Frau Dipl.-Ing. Heike Herbst f¨ ur die Anfertigung der meisten Zeichnungen. Nicht zuletzt sei dem Verlag f¨ ur die gute Zusammenarbeit gedankt. Darmstadt und Karlsruhe im Januar 2011

Dietmar Gross Thomas Seelig

Inhaltsverzeichnis

Einf¨ uhrung

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1 Einige Grundlagen der Festk¨ orpermechanik 1.1 Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Spannungsvektor . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Spannungstensor . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Gleichgewichtsbedingungen . . . . . . . . 1.2 Deformation und Verzerrung . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Verzerrungstensor . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Verzerrungsgeschwindigkeit . . . . . . . . 1.3 Stoffgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Elastizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Viskoelastizität . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Plastizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Energieprinzipien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Energiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Prinzip der virtuellen Arbeit . . . . . . . . 1.4.3 Satz von Clapeyron, Satz von Betti . . . . 1.5 Ebene Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Lineare Elastizität, Komplexe Methode . . 1.5.3 Idealplastisches Material, Gleitlinienfelder 1.6 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2 Klassische Bruch- und Versagenshypothesen 2.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Versagenshypothesen . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Hauptspannungshypothese . . . . . . . 2.2.2 Hauptdehnungshypothese . . . . . . . 2.2.3 Formänderungsenergiehypothese . . . . 2.2.4 Coulomb-Mohr Hypothese . . . . . . . 2.2.5 Drucker-Prager-Hypothese . . . . . . . 2.3 Deformationsverhalten beim Versagen . . . . . ¨ 2.4 Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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VIII 3 Ursachen und Erscheinungsformen des Bruchs 3.1 Mikroskopische Aspekte . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Oberflächenenergie, Theoretische Festigkeit 3.1.2 Mikrostruktur und Defekte . . . . . . . . . 3.1.3 Rissbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4 Perkolation . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Makroskopische Aspekte . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Rissausbreitung . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Brucharten . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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53 53 53 55 58 60 61 61 62 64

4 Lineare Bruchmechanik 4.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Das Rissspitzenfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Zweidimensionale Rissspitzenfelder . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Modus I Rissspitzenfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Dreidimensionales Rissspitzenfeld . . . . . . . . . . . . . . 4.3 K-Konzept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 K-Faktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Integralgleichungsformulierung . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3 Methode der Gewichtsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . 4.4.4 Risswechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.5 Spannungsintensitätsfaktoren und Kerbfaktoren . . . . . . 4.5 Die Bruchzähigkeit KIc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Energiebilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1 Energiefreisetzung beim Rissfortschritt . . . . . . . . . . . 4.6.2 Energiefreisetzungsrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.3 Nachgiebigkeit, Energiefreisetzungsrate und K–Faktoren . 4.6.4 Energiesatz, Griffithsches Bruchkriterium . . . . . . . . . . 4.6.5 J-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Kleinbereichsfließen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.1 Größe der plastischen Zone, Irwinsche Risslängenkorrektur 4.7.2 Qualitative Bemerkungen zur plastischen Zone . . . . . . . 4.8 Stabiles Risswachstum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9 Gemischte Beanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10 Rissinitiierung an Löchern und Kerben . . . . . . . . . . . . . . . 4.11 Erm¨ udungsrisswachstum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.12 Der Grenzflächenriss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.13 Piezoelektrische Materialien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.13.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.13.2 Der Riss im ferroelektrischen Material . . . . . . . . . . . ¨ 4.14 Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65 65 66 66 72 74 74 76 76 83 85 88 93 95 97 97 99 102 104 110 117 117 119 121 124 129 131 133 141 141 143 146

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IX 4.15 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 5 Elastisch-plastische Bruchmechanik 5.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Dugdale Modell . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Kohäsivzonenmodelle . . . . . . . . . . . 5.4 Rissspitzenfeld . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Idealplastisches Material . . . . . 5.4.2 Deformationstheorie, HRR−Feld 5.5 Bruchkriterium . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Bestimmung von J . . . . . . . . . . . . 5.7 Bestimmung von Jc . . . . . . . . . . . . 5.8 Risswachstum . . . . . . . . . . . . . . . 5.8.1 J–kontrolliertes Risswachstum . . 5.8.2 Stabiles Risswachstum . . . . . . 5.8.3 Stationäres Risswachstum . . . . 5.9 Konzept der wesentlichen Brucharbeit . . ¨ 5.10 Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . 5.11 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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151 151 152 156 160 160 166 172 174 175 179 179 181 183 190 192 193

6 Kriechbruchmechanik 6.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Bruch von linear viskoelastischen Materialien . . . . . . . . . . 6.2.1 Rissspitzenfeld, elastisch-viskoelastische Analogie . . . 6.2.2 Bruchkonzept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3 Risswachstum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Kriechbruch von nichtlinearen Materialien . . . . . . . . . . . 6.3.1 Sekundäres Kriechen, Stoffgesetz . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Stationärer Riss, Rissspitzenfeld, Belastungsparameter 6.3.3 Kriechrisswachstum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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195 195 196 196 199 200 204 204 206 210 216

7 Dynamische Probleme der Bruchmechanik 7.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Einige Grundlagen der Elastodynamik . . . . . . . . . . . 7.3 Dynamische Belastung des stationären Risses . . . . . . . 7.3.1 Rissspitzenfeld, K-Konzept . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2 Energiefreisetzungsrate, energetisches Bruchkonzept 7.3.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Der laufende Riss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1 Rissspitzenfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2 Energiefreisetzungsrate . . . . . . . . . . . . . . . .

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217 217 218 220 220 220 222 224 224 228

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X 7.4.3

Bruchkonzept, Rissarrest . . 7.4.4 Beispiele . . . 7.5 Fragmentierung . . . 7.6 Literatur . . . . . . .

Rissgeschwindigkeit, Rissverzweigung, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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8 Mikromechanik und Homogenisierung 8.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Ausgewählte Defekte und Grundlösungen . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Eigendehnungen, Eshelby-Lösung, Defekt-Energien . . . . 8.2.2 Inhomogenitäten, äquivalente Eigendehnung . . . . . . . . 8.3 Effektive elastische Materialeigenschaften . . . . . . . . . . . . . . 8.3.1 Grundlagen; RVE-Konzept, Mittelungen . . . . . . . . . . 8.3.2 Analytische Näherungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . 8.3.3 Energieprinzipien und Schranken . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Homogenisierung elastisch-plastischer Materialien . . . . . . . . . 8.4.1 Grundlagen; plastische Makroverzerrungen, Fließbedingung 8.4.2 Näherungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 Thermoelastisches Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 8.6 Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

241 241 243 243 252 258 259 268 288 295 296 304 310 313 313

9 Sch¨ adigung 9.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Spröde Schädigung . . . . . . . . . . . . . 9.4 Duktile Schädigung . . . . . . . . . . . . . 9.4.1 Porenwachstum . . . . . . . . . . . 9.4.2 Schädigungsmodelle . . . . . . . . . 9.4.3 Bruchkonzept . . . . . . . . . . . . 9.5 Entfestigung und Verzerrungslokalisierung 9.6 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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10 Probabilistische Bruchmechanik 10.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 Statistisches Bruchkonzept nach Weibull . 10.3.1 Bruchwahrscheinlichkeit . . . . . . 10.3.2 Bruchspannung . . . . . . . . . . . 10.3.3 Verallgemeinerungen . . . . . . . . 10.4 Probabilistische bruchmechanische Analyse 10.5 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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333 333 334 337 337 339 340 341 343

Sachverzeichnis

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345

Einfu ¨ hrung

Unter Bruch versteht man die vollständige oder teilweise Trennung eines urspr¨ unglich ganzen Körpers. Die Beschreibung entsprechender Phänomene ist Gegenstand der Bruchmechanik. Von Interesse f¨ ur den Ingenieur ist dabei in erster Linie die Betrachtung der Vorgänge aus makroskopischer Sicht. Hierf¨ ur hat sich die Kontinuumsmechanik als Werkzeug bestens bewährt. Mit ihrer Hilfe können Bruchkriterien und Konzepte erstellt werden, die eine Vorhersage des Verhaltens ermöglichen. In der Regel erfolgt die Trennung des Körpers, indem sich ein oder mehrere Risse durch das Material fortpflanzen. Die Bruchmechanik befasst sich deshalb in starkem Maße mit dem Verhalten von Rissen. Risse unterschiedlicher Größenordnung oder Defekte, die zu Rissen f¨ uhren, sind in einem realen Material fast immer vorhanden. Eine der Fragen, deren Beantwortung die Bruchmechanik ermöglichen soll, lautet: breitet sich ein Riss in einem Körper bei einer bestimmten Belastung aus und f¨ uhrt damit zum Bruch oder nicht? Andere sind die nach der Rissentstehung, nach der Bahn eines sich ausbreitenden Risses oder nach der Geschwindigkeit mit der die Ausbreitung erfolgt. Zur Beschreibung des mechanischen Verhaltens von Festkörpern verwendet die Kontinuumsmechanik Größen wie Spannungen und Verzerrungen. Diese sind allerdings nicht immer unmittelbar f¨ ur die Beschreibung von Bruchvorgängen geeignet. Dies liegt zum einen daran, dass diese Größen an der Rissspitze unbeschränkt groß werden können. Zum anderen kann man dies schon alleine aus der Tatsache folgern, dass sich zwei Risse unterschiedlicher Länge auch dann unterschiedlich verhalten werden, wenn sie der gleichen Belastung ausgesetzt sind. Bei einer Laststeigerung wird sich der längere Riss bereits bei einer geringeren Last ausbreiten, als der k¨ urzere. Aus diesem Grund f¨ uhrt man in der Bruchmechanik zusätzliche Größen ein, wie zum Beispiel Spannungsintensitätsfaktoren oder die Energiefreisetzungsrate, welche den lokalen Zustand an der Rissspitze bzw. das globale Verhalten des Risses bei der Ausbreitung charakterisieren. F¨ ur das Verstehen von Bruchvorgängen ist eine zumindest teilweise Einsicht in die mikroskopischen Mechanismen n¨ utzlich. So macht zum Beispiel ein Blick in die Mikrostruktur verständlich, wie ein Materialdefekt sich soweit vergrößert, bis man ihn als makroskopischen Riss ansehen kann. Mit der Bedeutung der Mikromechanismen ist auch die wichtige Rolle zu erklären, welche die Werkstoffwissenschaften und die Materialphysik bei der Entwicklung der Bruchmechanik gespielt haben und weiterhin spielen werden. In zunehmenden Maße werden heute die mikroskopischen Prozesse mechanisch modelliert und mit Hilfe von Kon-

2

Einf¨ uhrung

tinuumstheorien erfasst. Spezialgebiete, wie die Schädigungsmechanik oder die Mikromechanik sind aus diesen Bem¨ uhungen entstanden und stellen inzwischen wichtige Werkzeuge in der Bruchmechanik dar. So bildet die Mikromechanik den theoretischen Rahmen zur systematischen Behandlung von Defekten und ihrer Auswirkung auf unterschiedlichen Größenskalen. Die Bruchmechanik kann nach verschiedenen Gesichtspunkten eingeteilt werden. Häufig unterscheidet man die lineare Bruchmechanik von der nichtlinearen Bruchmechanik. Die erste beschreibt Bruchvorgänge mit Hilfe der linearen Elastizitätstheorie. Hiermit kann insbesondere der spröde Bruch erfasst werden, weshalb die lineare Bruchmechanik auch als Sprödbruchmechanik bezeichnet wird. In der nichtlinearen Bruchmechanik werden Bruchvorgänge beschrieben, die wesentlich durch ein inelastisches Materialverhalten geprägt sind. Je nachdem, ob sich das Material elastisch–plastisch verhält oder viskose Effekte eine Rolle spielen, kann man dabei noch in elastisch–plastische Bruchmechanik und in Kriechbruchmechanik untergliedern. Eine andere Einteilung orientiert sich am betrachteten Material. So unterscheidet man verschiedentlich eine Bruchmechanik von metallischen Werkstoffen, mineralischen Werkstoffe oder Kompositwerkstoffen. Werden im Gegensatz zur deterministischen Beschreibung von Bruchvorgängen statistische Methoden herangezogen, so spricht man von statistischer Bruchmechanik. Die Geschichte der Bruchmechanik reicht in ihren Wurzeln bis zu den Anfängen ¨ der Mechanik zur¨ uck. Schon Galileo Galilei (1564-1642) hat 1638 Uberlegungen zum Bruch von Balken angestellt, die ihn zu dem Schluss f¨ uhrten, dass hierbei das Moment das entscheidende Maß f¨ ur die Beanspruchung ist. Mit der Entwicklung der Kontinuumsmechanik im 19. Jahrhundert kam es zur Aufstellung einer Reihe verschiedener Festigkeitshypothesen, die zum Teil noch heute als Bruchkriterien Verwendung finden. In ihnen werden Spannungen oder Verzerrungen zur Charakterisierung der Materialbeanspruchung herangezogen. Entsprechende Bem¨ uhungen erfolgten seit Anfang dieses Jahrhunderts insbesondere im Zusammenhang mit der Entwicklung der Plastizitätstheorie. Im Jahre 1920 legte A.A. Griffith (1893–1963) einen ersten Grundstein f¨ ur eine Bruchtheorie von Rissen, indem er die f¨ ur den Rissfortschritt erforderliche Energie in die Beschreibung einf¨ uhrte und damit das energetische Bruchkonzept schuf. Ein weiterer Meilenstein war die 1939 von W. Weibull (1887-1979) entwickelte statistische Theorie des Bruchs. Der eigentliche Durchbruch gelang aber erst 1951 G.R. Irwin (1907-1998), der zum erstenmal den Rissspitzenzustand mit Hilfe von Spannungsintensitätsfaktoren charakterisierte. Das daraus folgende K–Konzept der linearen Bruchmechanik fand rasch Eingang in die praktische Anwendung und ist inzwischen fest etabliert. Seit Anfang der 60er Jahre wird an Problemen der elastisch–plastischen Bruchmechanik sowie weiterer Teilgebiete gearbeitet. Eine verstärkte Einbindung der Schädigungsmechanik und der Mikromechanik erfolgt seit dem vergangenen Jahrzehnt. Trotz großer Fortschritte ist die Bruchmechanik ein noch längst nicht abgeschlossenes Gebiet sondern nach wie vor Gegenstand intensiver Forschung. In starkem Maße angetrieben wurde und wird die Entwicklung der Bruchme-

Einf¨ uhrung

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chanik aus dem Bestreben, Schadensfälle an technischen Konstruktionen und Bauteilen zu vermeiden. Dementsprechend wird sie als Werkzeug u ¨berall dort angewendet, wo Bruch und ein damit verbundenes Versagen mit schwerwiegenden oder gar katastrophalen Folgen nicht eintreten darf. Typische Einsatzgebiete finden sich in der Luft- und Raumfahrt, der Mikrosystemtechnik, der Reaktortechnik, dem Behälterbau, dem Fahrzeugbau oder dem Stahl- und Massivbau. Daneben wird die Bruchmechanik in vielen anderen Gebieten zur Lösung von Problemen verwendet, wo Trennprozesse eine Rolle spielen. Beispiele hierf¨ ur sind die Zerkleinerungstechnik, die Geomechanik und die Materialwissenschaften.

1 Einige Grundlagen der Festk¨ orpermechanik

In diesem Kapitel sind einige wichtige Begriffe, Konzepte und Gleichungen der Festkörpermechanik zusammengestellt. Es versteht sich, dass diese Darstellung nicht vollständig sein kann und sich nur auf das Notwendigste beschränkt. Der Leser, der sich ausf¨ uhrlicher informieren möchte, sei auf die Spezialliteratur verwiesen; einige Angaben hierzu finden sich am Ende des Buches. Wie der Name schon andeutet, verfolgt die Festkörpermechanik das Ziel, das mechanische Verhalten von festen Körpern einer Analyse zugänglich zu machen. Sie basiert auf der Idealisierung des in Wirklichkeit diskontinuierlichen Materials als ein Kontinuum. Seine Eigenschaften sowie die mechanischen Größen können damit durch im allgemeinen stetige Funktionen beschrieben werden. Es ist klar, dass die darauf aufbauende Theorie ihre Grenzen dort hat, wo der diskontinuierliche Charakter des Materials eine Rolle spielt. So sind Begriffe wie Spannungen und Verzerrungen nur dann physikalisch sinnvoll anwendbar, wenn sie auf Bereiche bezogen sind, die hinreichend groß im Vergleich zu den charakteristischen Abmessungen der vorhandenen Inhomogenitäten sind (zum Beispiel bei makroskopischen Bauteilen aus polykristallinen Werkstoffen groß gegen¨ uber der Korngröße). Hierauf ist insbesondere bei der Anwendung der Kontinuumsmechanik auf mikroskopische Bereiche zu achten. Die Darstellung erfolgt im wesentlichen in kartesischen Koordinaten unter Verwendung der Indexschreibweise bzw. der symbolischen Notation. Sie beschränkt sich außerdem meist auf isotrope Materialien sowie auf kleine (infinitesimale) Deformationen.

1.1 1.1.1

Spannung Spannungsvektor

Wirken auf einen Körper äußere Kräfte (Volumenkräfte f , Oberflächenkräfte t), so werden hierdurch verteilte innere Kräfte - die Spannungen - hervorgerufen. Um sie zu definieren, denken wir uns den Körper im augenblicklichen (deformierten) Zustand durch einen Schnitt getrennt (Bild 1.1a), u ¨ber welchen die beiden Teilkörper durch entgegengesetzt gleich große Flächenlasten aufeinander einwirken. Ist ΔF die Kraft auf ein Flächenelement ΔA der Schnittfläche, so beschreibt der Quotient ΔF /ΔA die mittlere Flächenbelastung f¨ ur dieses Element. Den Grenzwert ΔF dF t = lim = (1.1) ΔA→0 ΔA dA

D. Gross, T. Seelig, Bruchmechanik, DOI 10.1007/978-3-642-10196-0_1, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

6

Einige Grundlagen der Festkörpermechanik

bezeichnet man als Spannungsvektor in einem Punkt der Schnittfläche. Seine Komponente σ = t · n in Richtung des Normaleneinheitsvektors n (senkrecht √ zum Flächenelement dA) heißt Normalspannung; die Komponente τ = t2 − σ 2 senkrecht zu n (tangential zum Flächenelement dA) nennt man Schubspannung (Bild 1.1b). Der Spannungsvektor t in einem Punkt hängt von der Orientierung des Schnittes, das heißt vom Normalenvektor n ab: t = t(n). Wir betrachten zunächst drei Schnitte senkrecht zu den Koordinatenachsen x1 , x2 , x3 , denen die Spannungsvektoren t1 , t2 , t3 zugeordnet sind (Bild 1.1c). Ihre kartesischen Komponenten werden mit σij bezeichnet, wobei die Indizes i, j die Zahlen 1, 2, 3 annehmen können. Der erste Index kennzeichnet die Orientierung des Schnittes (Richtung der Normale), während durch den zweiten Index die Richtung der Komponente zum Ausdruck kommt. Danach sind σ11 , σ22 , σ33 Normalspannungen und σ12 , σ23 etc. Schubspannungen. Es sei angemerkt, dass es manchmal zweckmäßig ist eine andere Notation zu verwenden. Unter Bezug auf die Koordinaten x,y,z bezeichnet man die Normalspannungen häufig mit σx , σy , σz und die Schubspannungen mit τxy , τyz etc. x3

t

τ

σ31

t dA

n

dA

n

σ33 σ32

σ13

σ

σ11 σ12

σ23

t2

σ21

σ22

x2

x1 a)

b)

c)

Bild 1.1 Spannungsvektor F¨ ur das Vorzeichen von Spannungen gilt folgende Vereinbarung: Komponenten sind positiv, wenn sie an einer Schnittfläche, deren Normalenvektor in positive (negative) Koordinatenrichtung zeigt, in positive (negative) Richtung wirken. Mittels der Komponenten lässt sich zum Beispiel der Spannungsvektor t2 in der Form t2 = σ21 e1 + σ22 e2 + σ23 e3 = σ2i ei ausdr¨ ucken. Analog gilt t1 = σ1i ei oder allgemein tj = σji ei . (1.2) Darin sind e1 , e2 , e3 die Einheitsvektoren in Richtung der Koordinaten x1 , x2 , x3 . Außerdem wurde Gebrauch von der Einsteinschen Summationsvereinbarung gemacht. Danach ist u ¨ ber einen Ausdruck zu summieren, wenn in ihm ein und derselbe Index doppelt vorkommt; der betreffende Index durchläuft dabei der Reihe nach die Werte 1, 2, 3.

7

Spannung

1.1.2

Spannungstensor

Die neun skalaren Größen σij sind die kartesischen Komponenten des Cauchyschen Spannungstensors σ (A.L. Cauchy, 1789-1857). Man kann ihn in Form der Matrix ⎞ ⎛ σ11 σ12 σ13 (1.3) σ = ⎝ σ21 σ22 σ23 ⎠ σ31 σ32 σ33 darstellen. Durch den Spannungstensor ist der Spannungszustand in einem Punkt, d.h. der Spannungsvektor f¨ ur jeden beliebigen Schnitt durch den Punkt, eindeutig bestimmt. Um dies zu zeigen, betrachten wir das infinitesimale Tetraeder nach Bild 1.2a. Die Orientierung der Fläche dA ist durch den Normalenvektor n bzw. durch seine Komponenten ni gegeben. Das Kräftegleichgewicht liefert dann zunächst t dA = t1 dA1 + t2 dA2 + t3 dA3 (etwaige Volumenkräfte sind von höherer Ordnung klein). Mit t = ti ei , dAj = dAnj und (1.2) erhält man daraus ti = σij nj

bzw.

t=σ·n,

(1.4)

wobei der Punkt in der symbolischen Schreibweise die einfache Indexsummation (hier u ¨ber j) kennzeichnet. Mit dem Spannungstensor σ liegt demnach der Spannungsvektor t f¨ ur jeden Schnitt n fest (hier und im weiteren wollen wir Tensoren und Vektoren alternativ durch ihre Symbole oder durch ihre Komponenten kennzeichnen und beide Schreibweisen oft parallel benutzen). Es sei angemerkt, dass (1.4) eine lineare Abbildung zweier Vektoren darstellt, durch welche σ als Tensor zweiter Stufe charakterisiert ist. Aufgrund des Momentengleichgewichts, auf das wir hier nicht eingehen wollen, ist der Spannungstensor symmetrisch: σij = σji . (1.5) Das heißt, die Schubspannungen in aufeinander senkrecht stehenden Schnitten sind einander paarweise zugeordnet. t1

x3

dA1 t2

x3

t

n

x3

x2

x2 dA3

dA2

x2 x1

dA x1

t3

x1 b)

a) Bild 1.2 Spannungszustand

8


In manchen Fällen ist es notwendig, den Spannungstensor bzw. seine Komponenten in einem zum x1 , x2 , x3 -Koordinatensystem gedrehten System x1 , x2 , x3 (Bild 1.2b) anzugeben. Der Zusammenhang zwischen den Komponenten bez¨ uglich des einen und des anderen Systems ist durch die Transformationsbeziehung σkl = aki alj σij .

(1.6) xk -

gegeben. Darin kennzeichnet aki den Kosinus des Winkels zwischen der und der xi -Achse: aki = cos(xk , xi ) = ek ·ei . Ein besonderes Achsensystem ist das Hauptachsensystem. Es ist dadurch ausgezeichnet, dass in Schnitten senkrecht zu den Achsen nur Normalspannungen und keine Schubspannungen auftreten. Das bedeutet, der Spannungsvektor ti und der zugehöriger Normalenvektor ni sind jeweils gleichgerichtet: ti = σni = σδij nj . Darin sind σ die Normalspannung im Schnitt und δij das Kronecker-Symbol (δij = 1 f¨ ur i = j und δij = 0 f¨ ur i = j). Gleichsetzen mit (1.4) liefert das homogene lineare Gleichungssystem (σij − σδij )nj = 0

bzw.

(σ − σ I) · n = 0 ,

(1.7)

wobei I den Einheitstensor mit den Komponenten δij darstellt. Es hat nur dann eine nichttriviale Lösung f¨ ur die nj , wenn seine Koeffizientendeterminate verschwindet: det(σij − σδij ) = 0. Dies f¨ uhrt auf die kubische Gleichung σ 3 − Iσ σ 2 − IIσ σ − IIIσ = 0 ,

(1.8)

wobei die Größen Iσ , IIσ , IIIσ unabhängig vom Koordinatensystem, d.h. Invarianten des Spannungstensors sind; sie lauten Iσ = σii = σ11 + σ22 + σ33 , IIσ = (σij σij − σii σjj )/2

IIIσ

2 2 2 + σ23 + σ31 , = −(σ11 σ22 + σ22 σ33 + σ33 σ11 ) + σ12 σ11 σ12 σ13 = det(σij ) = σ21 σ22 σ23 . σ31 σ32 σ33

(1.9)

Die drei Lösungen σ1 , σ2 , σ3 von (1.8) sind sämtlich reell. Sie werden als Hauptspannungen bezeichnet. Je einer Hauptspannung ist eine Hauptrichtung (Normalenvektor nj in Hauptachsenrichtung) zugeordnet, die sich aus (1.7) ermitteln lässt. Man kann zeigen, dass die drei Hauptrichtungen senkrecht aufeinander stehen. Die Hauptspannungen selbst sind Extremwerte der Normalspannung in einem Punkt. Bez¨ uglich des Hauptachsensystems kann der Spannungstensor durch ⎞ ⎛ σ1 0 0 (1.10) σ = ⎝ 0 σ2 0 ⎠ 0 0 σ3 dargestellt werden.

9

Spannung

In Schnittflächen, deren Normale jeweils senkrecht auf einer der Hauptachsen steht und mit den beiden anderen einen Winkel von 45◦ einschließt, treten extremale Schubspannungen auf. So wirkt zum Beispiel im Schnitt mit der Normalen senkrecht zur σ3 -Richtung eine Schubspannung τ3 = ±(σ1 −σ2 )/2. Allgemein sind die sogenannten Hauptschubspannungen gegeben durch τ1 = ±

σ2 − σ3 , 2

τ2 = ±

σ3 − σ1 , 2

τ3 = ±

σ1 − σ2 . 2

(1.11)

Sind σ1 die maximale und σ3 die minimale Hauptspannung, so ist demnach die maximale Schubspannung σ1 − σ3 . (1.12) τmax = 2 Von praktischer Bedeutung sind noch die Oktaederspannungen. Hierunter versteht man die Normal- und die Schubspannung in Schnitten, deren Normale mit den drei Hauptachsen gleiche Winkel einschließt. Es gilt σ1 + σ2 + σ3 σii Iσ = = , 3 3 3 1 = (σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ3 − σ1 )2 . 3

σoct = τoct

(1.13)

Die Spannung σoct kann man auch als mittlere Normalspannung deuten: σm = σkk /3 = σoct . Vielfach ist es n¨ utzlich, den Spannungstensor additiv zu zerlegen: σij =

σkk δij + sij 3

bzw.

σ = σm I + s .

(1.14)

Darin beschreibt 13 σkk δij eine Beanspruchung durch eine allseitig gleiche Spannung σm . Wegen der Analogie zum Spannungszustand in einer ruhenden Fl¨ ussigkeit wird dieser Anteil als hydrostatischer Spannungszustand bezeichnet. Den Tensor s nennt man Deviator . Durch ihn bzw. durch seine Invarianten Is = 0 , 1 1 sij sij = [(σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ3 − σ1 )2 ] 2 6 1 2 2 2 = [(σ11 − σ22 )2 + (σ22 − σ33 )2 + (σ33 − σ11 )2 ] + σ12 + σ23 + σ31 , 6 1 IIIs = sij sjk ski 3 IIs =

(1.15)

wird die Abweichung des Spannungszustandes vom hydrostatischen Zustand cha2 rakterisiert. Durch Vergleich mit (1.13) erkennt man: IIs = 32 τoct .

10


Zur grafischen Veranschaulichung des Spannungszustandes werden häufig die Mohrschen Spannungskreise herangezogen (O. Mohr, 1835-1918). Hierbei handelt es sich um die Darstellung der Normalspannung σ und der zugehörigen Schubspannung τ als Spannungsbildpunkte in einem σ-τ -Diagramm f¨ ur alle möglichen Schnitte. Geht man von einem Hauptachsensystem aus, so gilt mit (1.4) σ2 + τ 2 = ti ti = σ12 n21 + σ22 n22 + σ32 n23 , σ = ti ni = σ1 n21 + σ2 n22 + σ3 n23 . Damit lässt sich unter Beachtung von ni ni = 1 zum Beispiel die Identität (σ −

σ2 + σ3 2 σ2 + σ3 2 ) + τ 2 = −σ(σ2 + σ3 ) + ( ) + (σ 2 + τ 2 ) 2 2

in der Form (σ −

σ2 − σ3 2 σ2 + σ3 2 ) + τ 2 = n21 (σ1 − σ2 )(σ1 − σ3 ) + ( ) 2 2

(1.16)

schreiben. Man kann dies formal als Gleichung eines “Kreises” mit dem Mittelpunkt bei σ = (σ2 + σ3 )/2, τ = 0 und einem von n1 abhängigen Radius auffassen. Wegen 0 ≤ n21 ≤ 1 beträgt der minimale Mittelpunktsabstand der Spannungsbildpunkte (σ2 − σ3 )/2 = τ1 (f¨ ur n1 = 0), während der maximale Ab¨ ur n1 = ±1) ist. Analoge Uberlegungen können an zwei stand σ1 + (σ2 − σ3 )/2 (f¨ weiteren Gleichungen durchgef¨ uhrt werden, die sich aus (1.16) durch zyklische Vertauschung der Indizes ergeben. Ordnet man die Hauptspannungen nach ihrer Größe (σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 ), so erhält man zusammengefasst eine Darstellung nach Bild 1.3. Spannungsbildpunkte befinden sich danach nur in dem schraffierten Gebiet bzw. auf den Kreisen vom Radius τi . Die Kreise selbst entsprechen dabei jeweils Schnitten, deren Normale senkrecht zu einer der drei Hauptachsen steht. τ τmax σ, τ τ3 τ1 σ3

σ2

σ1

Bild 1.3 Mohrsche Spannungskreise

σ

11

Deformation und Verzerrung

1.1.3

Gleichgewichtsbedingungen

Auf einen beliebigen Teilkörper, der aus einem Körper herausgeschnitten ist, wirken im allgemeinen u ¨ ber die ¨ber das Volumen V verteilte Volumenkräfte fi sowie u Oberfläche ∂V verteilte Flächenkräfte (Spannungsvektor) ti . Kräftegleichgewicht herrscht dann, wenn die Resultierende dieser Kräfte verschwindet: ti dA + fi dV = 0 . (1.17) ∂V

V

Mit ti = σij nj und unter Anwendung des Gaußschen Satzes σ dV ergibt sich hieraus V ij,j (σij,j + fi ) dV = 0 .

∂V

σij nj dA =

(1.18)

V

Vorausgesetzt ist dabei, dass die Spannungen und ihre Ableitungen stetig sind; letztere sind durch Indizes nach dem Komma gekennzeichnet: σij,j = ∂σij /∂xj . Da das betrachtete Volumen V beliebig ist, folgt aus (1.18), dass f¨ ur jeden Punkt des Körpers die Gleichgewichtsbedingungen σij,j + fi = 0

bzw.

∇·σ+f =0

(1.19)

erf¨ ullt sein m¨ ussen. Dabei haben wir in der symbolischen Schreibweise den Vektoroperator ∇ = (∂/∂xj ) ej verwendet. Aus (1.19) erhält man unmittelbar die Bewegungsgleichungen, wenn man die bei der Bewegung auftretenden Trägheitskräfte −ρuï als zusätzliche Volumenkräfte auffasst: σij,j + fi = ρ uï . (1.20) Darin ist ρ die Dichte; u ¨ber eine Größe gesetzte Punkte kennzeichnen Ableitungen nach der Zeit. Auf die Momentengleichgewichtsbedingung wollen wir hier nicht näher eingehen. Sie f¨ uhrt auf die in (1.5) schon erwähnte Symmetrie des Spannungstensors.

1.2 1.2.1

Deformation und Verzerrung Verzerrungstensor

Zur Beschreibung der Kinematik eines deformierbaren Körpers werden u ¨blicherweise der Verschiebungsvektor und ein Verzerrungstensor herangezogen. Zu ihrer Erklärung betrachten wir einen beliebigen materiellen Punkt P , dessen Lage im undeformierten Zustand (zum Beispiel zur Zeit t = 0) durch die Koordinaten (Ortsvektor) Xi gekennzeichnet wird (Bild 1.4). Ein zu P benachbarter Punkt Q

12


Q

Q

dXi x3

x1

Xi x2

P

ui

dxi P

xi

Bild 1.4 Deformation im Abstand dS hat die Koordinaten Xi + dXi . Unter der Wirkung der Belastung verschiebt sich P nach P bzw. Q nach Q . Ihre aktuelle Lage (zur Zeit t) ist durch die Raumkoordinaten xi bzw. xi + dxi gegeben. Die Verschiebung von P nach P wird durch den Verschiebungsvektor ui = xi − Xi

(1.21)

ausgedr¨ uckt. Unter der Voraussetzung, dass eine umkehrbar eindeutige Zuordnung zwischen xi und Xi besteht, kann man den Verschiebungsvektor ui und den Ortsvektor xi als Funktionen der materiellen Koordinaten Xi auffassen: ui = ui (Xj , t) ,

xi = xi (Xj , t) .

(1.22)

Zur Herleitung eines geeigneten Deformationsmaßes vergleichen wir nun die Abstände der benachbarten Punkte im deformierten und im undeformierten Zustand. Es ist zweckmäßig hierzu die Abstandsquadrate ∂xk ∂xk dXi dXj ∂Xi ∂Xj = dXk dXk = dXi dXj δij

ds2 = dxk dxk = dS 2

heranzuziehen. Mit (1.22) erhält man

wobei

ds2 − dS 2 = 2 Eij dXi dXj ,

(1.23)

1 ∂ui ∂uj ∂uk ∂uk Eij = ( + + ) 2 ∂Xj ∂Xi ∂Xi ∂Xj

(1.24)

ein symmetrischer Tensor zweiter Stufe ist. Man nennt ihn Greenschen Verzerrungstensor (G. Green, 1793-1841). Es lässt sich zeigen, dass f¨ ur hinreichend kleine (infinitesimale) Verschiebungsgradienten (∂ui /∂Xj 1) die Ableitung nach den materiellen Koordinaten Xj durch die Ableitung nach den Ortskoordinaten xj ersetzt werden kann: ∂ui /∂Xj → ∂ui /∂xj = ui,j . Beachtet man, dass in diesem Fall das Produkt

13

Deformation und Verzerrung

der Verschiebungsgradienten in Eij von höherer Ordnung klein ist, so erhält man aus (1.24) den infinitesimalen Verzerrungstensor 1 εij = (ui,j + uj,i) . 2

(1.25)

Man kann ihn in Form der Matrix ⎛

⎞ ε11 ε12 ε13 ε = ⎝ ε21 ε22 ε23 ⎠ ε31 ε32 ε33

(1.26)

darstellen, die wegen εij = εji symmetrisch ist. Geometrisch lassen sich die Komponenten ε11 , ε22 , ε33 als Dehnungen (bezogene Längenänderungen) und ε12 , ε23 , ε31 als Gleitungen (Winkeländerungen) deuten. Hingewiesen sei in diesem Zusammenhang auf die technische Notation. Unter Bezug auf ein x, y, z-Koordinatensystem finden dort häufig die Bezeichnungen εx , εy , εz f¨ ur die Dehnungen und γxy /2, γyz /2, γzx /2 f¨ ur die Gleitungen Verwendung. Die Eigenschaften des Verzerrungstensors können wir sinngemäß vom Spannungstensor u ¨bertragen. So existiert ein Hauptachsensystem, in dem die Gleitungen verschwinden und nur die Hauptdehnungen ε1 , ε2 , ε3 auftreten. Daneben gibt es die drei Invarianten Iε , IIε , IIIε des Verzerrungstensors. Die erste charakterisiert dabei geometrisch die Volumendehnung (bezogene Volumenänderung): Iε = εV = εkk = ε1 + ε2 + ε3 .

(1.27)

Wird der Verzerrungstensor entsprechend εij =

εkk δij + eij 3

bzw.

ε=

εV I +e 3

(1.28)

zerlegt, so beschreibt der erste Anteil die Volumenänderung, während durch den Deviator e eine Gestaltänderung (bei gleichbleibendem Volumen) ausgedr¨ uckt wird. Angegeben sei noch die zweite Invariante des Deviators. Sie lautet in Analogie zu (1.15) IIe =

1 1 eij eij = [(ε1 − ε2 )2 + (ε2 − ε3 )2 + (ε3 − ε1 )2 ] . 2 6

(1.29)

Bei gegebenen Verzerrungskomponenten liegen mit (1.25) sechs Gleichungen f¨ ur die drei Verschiebungskomponenten vor. Soll in einem einfach zusammenhängenden Gebiet das Verschiebungsfeld (bis auf eine Starrkörperbewegung) eindeutig sein, so können die Verzerrungen nicht unabhängig voneinander sein; sie m¨ ussen den sogenannten Verträglichkeitsbedingungen (Kompatibilitätsbedingungen) gen¨ ugen. Letztere ergeben sich aus (1.25) durch Elimination der Verschiebungen zu (1.30) εij,kl + εkl,ij − εik,jl − εjl,ik = 0 .

14 1.2.2


Verzerrungsgeschwindigkeit

Der Verzerrungstensor ist nicht immer geeignet, die Deformation bzw. die Bewegung eines deformierbaren Körpers zu beschreiben. In manchen Fällen, wie zum Beispiel in der Plastizität, ist es vielmehr zweckmäßig, Verzerrungsänderungen bzw. Verzerrungsgeschwindigkeiten zu verwenden. Wir gehen hierzu vom Geschwindigkeitsfeld vi (xj , t) aus (Bild 1.5). Die Relativgeschwindigkeit zweier Partikel, die sich zur Zeit t in den benachbarten Raumpunkten P und Q befinden, wird durch ∂vi dxj = vi,j dxj (1.31) dvi = ∂xj ausgedr¨ uckt. Hierdurch ist der Geschwindigkeitsgradient vi,j als Tensor zweiter Stufe definiert, den man gemäß 1 1 vi,j = (vi,j + vj,i ) + (vi,j − vj,i ) = Dij + Wij 2 2

(1.32)

zerlegen kann. Q x3

x1

vi +dvi dxi

x2

P

xi

vi

Bild 1.5 Verzerrungsgeschwindigkeit Der symmetrische Anteil 1 Dij = (vi,j + vj,i ) 2

(1.33)

wird als Verzerrungsgeschwindigkeitstensor bezeichnet. Er charakterisiert die zeitliche Verzerrungsänderung der momentanen Konfiguration. Das sogenannte nat¨ urliche Verzerrungsinkrement ergibt sich mit ihm zu d ij = Dij dt .

(1.34)

Wenn die Verzerrungen f¨ ur alle Zeiten klein sind, dann können Dij bzw. d ij durch die zeitliche Ableitung des Verzerrungstensors ε˙ij bzw. durch dεij ersetzt werden. Dies wollen wir im folgenden meist voraussetzen. Angemerkt sei wieder, dass auf Dij bzw. d ij alle Eigenschaften, die beim Spannungstensor diskutiert wurden, sinngemäß zutreffen. Daneben gelten auch die Kompatibilitätsbedingungen, wenn in (1.30) εij durch Dij bzw. durch d ij ersetzt wird. Der schiefsymmetrische Anteil Wij in (1.32) beschreibt die augenblickliche Drehgeschwindigkeit (Spin), auf die wir hier jedoch nicht weiter eingehen.

15

Stoffgesetze

1.3

Stoffgesetze

Wir beschränken uns im weiteren auf kleine (infinitesimale) Verzerrungen, was f¨ ur eine große Klasse von Problemen zulässig ist und die Formulierung von Stoffgesetzen stark vereinfacht. 1.3.1 1.3.1.1

Elastizit¨ at Linear elastisches Material

In Verallgemeinerung des einachsigen Hookeschen Gesetzes σ = E ε (R. Hooke, 1635-1703) sind bei einem linear elastischen Material die Verzerrungen und die Spannungen im dreiachsigen Fall gemäß σ=C:ε

bzw.

σij = Cijkl εkl

(1.35a)

miteinander verkn¨ upft. Dabei kennzeichnet der Doppelpunkt bei der symbolischen Schreibweise die Summation u ¨ber zwei Indexpaare (hier k, l). Der Elastizitätstensor C (Tensor vierter Stufe) charakterisiert mit seinen Komponenten Cijkl die elastischen Eigenschaften des Materials. Man kann zeigen, dass es im allgemeinsten Fall einer Anisotropie maximal 21 voneinander unabhängige Konstanten gibt; dabei gelten die Symmetrien Cijkl = Cjikl = Cijlk = Cklij . Löst man (1.35a) nach den Verzerrungen auf, so lautet das Elastizitätsgesetz ε=M :σ

bzw.

εij = Mijkl σkl .

(1.35b)

ur Darin ist M = C −1 der Nachgiebigkeitstensor mit den Komponenten Mijkl , f¨ welche die gleichen Symmetrieeigenschaften wie f¨ ur Cijkl gelten. Im Fall eines isotropen Materials ist C durch alleine zwei unabhängige Konstanten festgelegt (isotroper Tensor): Cijkl = λ δij δkl + μ (δik δjl + δil δjk ) .

(1.36)

Damit erhält man aus (1.35a) das Elastizitätsgesetz σij = λ εkk δij + 2 μ εij ,

(1.37)

worin λ und μ die Lamé schen Konstanten sind (G. Lamé, 1795-1870). Ihr Zusammenhang mit dem Elastizitätsmodul E, dem Schubmodul G, der Querkontraktionszahl ν (Poissonsche Konstante, S.D. Poisson, 1781-1840) und dem Kompressionsmodul K ist in Tabelle 1.1 gegeben. Löst man das Elastizitätsgesetz (1.37) entsprechend (1.35b) nach den Verzerrungen auf, so gilt mit den Beziehungen nach Tabelle 1.1 εij = −

ν 1+ν σkk δij + σij . E E

(1.38)

16


Tabelle 1.1 Beziehungen zwischen den elastischen Konstanten Zugrunde liegendes Konstantenpaar μ, K E, G E, ν

λ, μ λ

λ

K − 23 μ

G(E − 2G) 3G − E

μ

μ

μ

G

K

λ + 23 G

K

GE 3(3G − E)

Eν (1 + ν)(1 − 2ν) E 2(1 + ν) E 3(1 − 2ν)

μ(3λ + 2μ) λ+μ λ 2(λ + μ)

9K μ 3K + μ 3K − 2μ 2(3K + μ)

E

E

E 2G − 1

ν

E ν

Eine weitere mögliche Schreibweise des isotropen Elastizitätsgesetzes folgt durch Trennung in den hydrostatischen (volumetrischen) und den deviatorischen Anteil. Mit (1.14), (1.28) und den Beziehungen nach Tabelle 1.1 ergibt sich σkk = 3 K εkk ,

sij = 2 μ eij .

(1.39)

Ein anisotropes Material verhält sich nicht in allen Richtungen gleich. Wir wollen uns hier auf zwei Fälle beschränken. Bei Orthotropie hat der Werkstoff aufeinander senkrecht stehende Vorzugsrichtungen. Fallen sie mit den Koordinatenrichtungen zusammen, so lautet das Elastizitätsgesetz in Matrizenform ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ 0 0 h11 h12 h13 0 σ11 ε11 ⎢ ⎢ ε22 ⎥ ⎢ h12 h22 h23 0 ⎥ 0 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ σ22 ⎥ ⎢ ε33 ⎥ ⎢ h13 h23 h33 0 ⎥ ⎢ σ33 ⎥ 0 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ . (1.40) ⎢ ⎢ 2 ε23 ⎥ = ⎢ 0 ⎥ 0 0 h44 0 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ σ23 ⎥ ⎣ 2 ε31 ⎦ ⎣ 0 0 0 0 h55 0 ⎦ ⎣ σ31 ⎦ 0 0 0 0 0 h66 2 ε12 σ12 Dabei hängen die 9 von Null verschiedenen Nachgiebigkeiten hij mit den Tensorkomponenten Mijkl und den technischen Konstanten Ei (Elastizitätsmoduli), νij (Querdehnzahlen), μij (Schubmoduli) wie folgt zusammen: 1 , E1 1 h22 = M2222 = , E2 1 h33 = M3333 = , E3 h11 = M1111 =

ν12 ν21 =− , E1 E2 ν23 ν32 h23 = M2233 = − =− , E2 E3 ν13 ν31 h13 = M1133 = − =− , E1 E3 h12 = M1122 = −

1 , μ23 1 h55 = M3131 = , μ31 1 h66 = M1212 = . μ12 h44 = M2323 =

(1.41)

17

Stoffgesetze

Zeigt ein orthotropes Material keine Abhängigkeit der Materialeigenschaften bei einer Drehung um eine Achse (zum Beispiel die x3 -Achse), dann nennt man es transversal isotrop. Aufgrund der dann herrschenden Beziehungen zwischen den Nachgiebigkeiten h11 = h22 ,

h13 = h23 ,

h44 = h55 ,

h66 = 2(h11 − h12 )

(1.42)

wird ein solches Material durch nur 5 unabhängige Konstanten charakterisiert. Erwärmt man ein spannungsfreies Material um die Temperaturdifferenz ΔT , so f¨ uhrt dies zu thermischen Dehnungen εth , die in erster Näherung proportional zur Temperaturänderung sind: εth = k ΔT

εth ij = kij ΔT .

bzw.

(1.43)

Darin stellt k den Tensor der Wärmedehnungskoeffizienten dar, welcher bei thermisch isotropem Material durch einen einzigen Parameter gegeben ist: kij = k δij . Fasst man die elastischen und die thermischen Verzerrungen zu den Gesamtverzerrungen ε zusammen, so erhält man das Duhamel-Neumann-Gesetz (J.M. Duhamel, 1797-1872, F. Neumann, 1798-1895) σ = C : (ε − εth ) . 1.3.1.2

(1.44)

Form¨ anderungsenergiedichte

Bei einem elastischen Material ist die bei einer Deformation pro Volumeneinheit geleistete Arbeit εkl U = σij dεij (1.45) 0

unabhängig vom Deformationsweg. In diesem Fall ist der Integrand dU = σij dεij ∂U ein vollständiges Differential (dU = ∂ε dεij ), und es gilt ij σij =

∂U . ∂εij

(1.46)

Man bezeichnet U = U(εij ) als Formänderungsenergiedichte oder spezifisches elastisches Potential. Neben U(εij ) kann man eine spezifische Ergänzungsenergie oder spezifische (σij ) einf¨ uhren. Sie ist definiert durch Komplementärenergie U σkl = σij εij − U = εij dσij . U

(1.47)

0

Analog zu (1.46) gilt εij =

∂U . ∂σij

(1.48)

18


Im Spezialfall des linear elastischen Materials folgt die Formänderungs- bzw. die Komplementärenergiedichte durch Einsetzen von (1.35a) und (1.35b) in (1.45) und (1.47) zu = U =U

1 1 1 σij εij = ε : C : ε = σ : M : σ . 2 2 2

(1.49)

Sie lässt sich unter Verwendung von (1.14), (1.28) und (1.39) in zwei Teile aufspalten: 1 U = K ε2kk + μ eij eij = UV + UG . (1.50) 2 Darin ist UV = 12 Kε2kk = 12 KIε2 die Volumenänderungsenergiedichte (=Energieanteil infolge reiner Volumendehnung), während UG = μ eij eij = 2 μ IIe die Gestaltänderungsenergiedichte (=Energieanteil infolge reiner Gestaltänderung) beschreibt. 1.3.1.3

Nichtlinear elastisches Material

Ist ein Material isotrop, so hängt die Formänderungsenergiedichte U nur von den Invarianten Iε , IIε , IIIε des Verzerrungstensors ab. Dabei lassen sich IIε , IIIε auch durch die Invarianten IIe , IIIe des Deviators ersetzen: U = U(Iε , IIe , IIIe ). Mit Iε = εij δij , IIe = 12 eij eij , IIIe = 13 eij ejk eki und (1.46) kann man demnach ein allgemeines nichtlineares Elastizitätsgesetz in der Form σij =

∂U ∂U ∂U δij + eij + eik ekj ∂Iε ∂IIe ∂IIIe

(1.51)

angeben. F¨ ur viele Materialien kann man annehmen, dass sich die Formänderungsenergiedichte (wie beim linearen Material) entsprechend U = U1 (Iε ) + U2 (IIe ) aus einem Volumenänderungsanteil und einem Gestaltänderungsanteil zusammensetzt. In diesem Fall reduziert sich (1.51) auf σij =

dU1 dU2 δij + eij , dIε dIIe

(1.52)

woraus sich durch Zerlegung in den hydrostatischen und den deviatorischen Anteil die folgenden Gesetzmäßigkeiten ergeben: σkk = 3

dU1 = f (εkk ) , dIε

sij =

dU2 eij = g(IIe) eij . dIIe

(1.53)

Wird das Material zusätzlich noch als inkompressibel angesehen (εkk = 0), so entfällt in (1.53) die erste Gleichung. Die Funktion g(IIe ) kann man dann durch das einachsige Spannungs-Dehnungs-Verhalten σ(ε) des Materials ausdr¨ ucken. Zu diesem Zweck definieren wir zunächst eine einachsige Vergleichsspannung oder effektive Spannung σe folgendermaßen: ein dreiachsiger Spannungszustand σ

19

Stoffgesetze

(bzw. s) ist hinsichtlich der Materialbeanspruchung äquivalent zu einem einachur beide gleich ist. Hiermit ergibt sich aus sigen Spannungszustand σe , wenn IIs f¨ (1.15) mit σ1 = σe , σ2 = σ3 = 0 der Zusammenhang σe2 =

3 3 sij sij = s : s . 2 2

(1.54a)

Analog sehen wir beim inkompressiblen Material einen dreiachsigen Verzerrungszustand ε (bzw. e) als äquivalent zu einer einachsigen Dehnung εe an, wenn IIe in beiden Fällen gleich ist. Dies f¨ uhrt mit (1.29) und ε1= εe , ε2= ε3= −ε1 /2 auf die Definition der einachsigen Vergleichsdehnung oder effektiven Dehnung ε2e =

2 2 eij eij = e : e . 3 3

(1.54b)

Bildet man nun unter Verwendung von (1.53), (1.54a,b) das Produkt sij sij , so folgt g = 23 σe /εe und damit schließlich sij =

2 σe eij . 3 εe

(1.55)

Als Beispiel betrachten wir einen einachsigen Spannungs-Dehnungs-Zusammenhang in Form eines Potenzgesetzes: ε = B σn

bzw.

σ = b εN .

(1.56)

Darin sind n = 1/N und B = 1/bn Materialkonstanten. Seine dreidimensionale Verallgemeinerung lautet unter der Voraussetzung der Inkompressibilität eij =

3 B σen−1 sij 2

bzw.

sij =

2 N −1 eij . bε 3 e

(1.57)

Die Formänderungsenergiedichte und die spezifische Komplementärenergie ergeben sich in diesem Fall zu U=

1.3.2

n sij eij , n+1

= U

1 sij eij . n+1

(1.58)

Viskoelastizit¨ at

Viskoelastische Materialien kombinieren elastisches mit viskosem Verhalten. Sie sind dadurch gekennzeichnet, dass das Materialverhalten zeitabhängig bzw. eine Funktion der Belastungs- oder Deformationsgeschichte ist. Typische viskoelastische Effekte sind Kriech- und Relaxationserscheinungen, wie sie zum Beispiel bei Polymeren oder im höheren Temperaturbereich auch bei Stählen auftreten.

20


1.3.2.1

Linear viskoelastisches Material

Das Stoffgesetz von linear viskoelastischen Materialien unter einachsiger Beanspruchung kann alternativ durch t ε(t) = −∞

t

dσ J(t − τ ) dτ , dτ

E(t − τ )

σ(t) = −∞

dε dτ dτ

(1.59)

ausgedr¨ uckt werden. Darin sind J(t) bzw. E(t) Materialfunktionen, die das Verhalten bei einer plötzlich aufgebrachten, konstanten Spannung σ0 bzw. konstanten Dehnung ε0 beschreiben. Man bezeichnet J(t) = ε(t)/σ0 als Kriechfunktion oder Kriechnachgiebigkeit und E(t) = σ(t)/ε0 als Relaxationsfunktion (Bild 1.6). Sie sind miteinander durch die Beziehung d dt

t J(t − τ ) E(τ ) dτ = 1

(1.60)

0

verkn¨ upft. Die untere Grenze bei den Integralen in (1.59) deutet an, dass das Verhalten des Materials zum Zeitpunkt t von der gesamten zuvor durchlaufenen Spannungs- bzw. Dehnungsgeschichte abhängt. E Eg

J Je

Jg

Ee t

a)

t

b)

Bild 1.6 a) Kriechfunktion, b) Relaxationsfunktion Bei isotropem Materialverhalten ist es zweckmäßig, die dreidimensionale Verallgemeinerung von (1.59) in den hydrostatischen und den deviatorischen Anteil zu trennen. Dabei setzt man häufig die bei vielen viskoelastischen Materialien zu beobachtende Tatsache voraus, dass die Volumendehnung rein elastisch erfolgt (σkk = 3Kεkk ). F¨ ur den deviatorischen Anteil gilt dann eij =

1 2

t Jd (t − τ ) −∞

dsij dτ , dτ

t sij = 2 −∞

G(t − τ )

deij dτ . dτ

(1.61)

21

Stoffgesetze

Die Kriechfunktion Jd (t) und die Relaxationsfunktion G(t) hängen wieder wie im einachsigen Fall zusammen. Integrale vom Typ (1.59), (1.61) nennt man Faltungsintegrale. F¨ ur ihre Behandlung bietet sich die Laplace-Transformation an. Die Laplace-Transformierte f¯(p) einer Funktion f (t) ist definiert als ∞ f¯(p) =

f (t) e−pt dt .

(1.62)

0

Wendet man die Transformation zum Beispiel auf die zweite Gleichung von (1.61) an, so ergibt sich unter der Annahme, dass die Verzerrungsgeschichte zum Beispiel zum Zeitpunkt τ = 0 beginnt, ¯ e¯ij . s¯ij = 2 p G(p)

(1.63)

Durch Vergleich mit (1.39) erkennt man, dass das transformierte viskoelastische Materialgesetz und das Elastizitätsgesetz die gleiche Form haben. Dies trifft auch auf weitere Gleichungen, wie die Gleichgewichtsbedingungen oder die kinematischen Beziehungen zu. Man spricht aus diesem Grund von der elastisch– viskoelastischen Analogie, aus der sich das Korrespondenzprinzip herleitet. Danach erhält man die Laplace-transformierte Lösung eines viskoelastischen Problems aus der Lösung des entsprechenden elastischen Problems, indem man die elastischen Konstanten geeignet durch Kriech- bzw. Relaxationsfunktion ersetzt ¯ (z.B. G → p G(p)). Die endg¨ ultige Lösung folgt dann durch R¨ ucktransformation. 1.3.2.2

Nichtlinear viskoelastisches Material, Kriechen

Zur Beschreibung des nichtlinear viskoelastischen Verhaltens bedient man sich häufig formaler, pragmatisch begr¨ undeter Näherungen. Hierzu gehört zum Beispiel der f¨ ur Polymere gedachte Ansatz (H. Leaderman, 1943) t J(t − τ )

ε(t) = −∞

d(σf ) dτ . dτ

(1.64)

Darin ist f (σ) eine zusätzliche Materialfunktion. Sie charakterisiert die Abhängigkeit der Kriechdehnung von der Größe der angelegten konstanten Spannung ¨ von (1.64) auf den dreidiσ0 in der Art ε(t) = σ0 f (σ0 )J(t). Eine Ubertragung mensionalen Fall kann sinngemäß wie beim linearen Material erfolgen. Wegen seiner praktischen Bedeutung sei hier noch auf das Kriechen metallischer Werkstoffe eingegangen. Man unterscheidet dabei zwischen primärem, sekundärem und tertiärem Kriechen. Das sekundäre Kriechen zeichnet sich dadurch aus, dass im einachsigen Fall die Dehnungsgeschwindigkeit ε˙ unter festgehaltener Spannung σ zeitlich konstant ist; sie hängt nur von der Größe der Spannung

22


ab: ε˙ = ε(σ). ˙ Zur Beschreibung dieser stationären Kriechbewegung finden unter anderen die Ansätze von Norton-Bailey (F.H. Norton, R.W. Bailey, 1929) ε˙ = B σ n

(1.65)

oder von Prandtl (L. Prandtl, 1875-1953) ε˙ σ = [sinh( )]n ε˙ σ

(1.66)

sowie modifizierte Ansätze der Art d σ σ ε˙ = C ( )m + ( )n ε˙ d t σ σ

(1.67)

Verwendung. Darin sind B, C, n, m, σ und ε˙ Materialkonstanten. Die Stoffgesetze f¨ ur viskoses Fließen und elastisches Verhalten weisen häufig eine analoge Struktur auf. So erhält man zum Beispiel (1.65) aus (1.56), indem man die Verzerrungen durch die Verzerrungsgeschwindigkeit ersetzt. Setzt man voraus, dass die Ausdr¨ ucke (Arbeitsraten) σkl = ε˙ij dσij , D

ε˙kl D=

0

σij dε˙ij = σij ε˙ij − D

(1.68)

0

unabhängig vom Integrationsweg sind, so gelten die zu (1.48), (1.46) analogen Beziehungen ∂D ∂D ε˙ij = , σij = . (1.69) ∂σij ∂ ε˙ij ij ) als Fließpotential und D(ε˙ij ) als spezifische FormändeMan bezeichnet D(σ rungsenergierate; die Größe σij ε˙ij stellt die spezifische Dissipationsleistung dar. Nimmt man an, dass das Material inkompressibel ist (ε˙kk = 0) und das Fließpotential nur von IIs abhängt, so liefert (1.69) e˙ ij =

dD 3 ε˙e sij = sij dIIs 2 σe

(1.70)

mit σe = ( 32 sij sij )1/2 und ε˙e = ( 23 e˙ ij e˙ ij )1/2 . Zum Beispiel lauten dann das auf drei Dimensionen verallgemeinerte Nortonsche Kriechgesetz e˙ ij =

3 B σen−1 sij 2

(1.71)

und die zugehörige spezifische Formänderungsenergierate sowie das Fließpotential D=

n sij e˙ ij , n+1

= D

1 sij e˙ ij . n+1

(1.72)

23

Stoffgesetze

Diese Beziehungen sind vollkommen analog zu den Gleichungen (1.57), (1.58) f¨ ur das nichtlinear elastische Verhalten entsprechend einem Potenzgesetz; man muss nur die Verzerrungen durch die Verzerrungsraten ersetzen. Als Folge hiervon sind auch die Lösungen f¨ ur zugeordnete Randwertprobleme analog. Das heisst, man kann die Lösung eines nichtlinear elastischen Problems auf ein zugeordnetes Kriechproblem u ¨bertragen, indem man die Verzerrungen durch die Verzerrungsraten ersetzt. 1.3.3

Plastizit¨ at

¨ Uberschreitet die Materialbeanspruchung eine bestimmte Grenze, so kommt es insbesondere bei metallischen Werkstoffen zu plastischem Fließen. Hierbei zieht im Unterschied zur Viskoelastizität eine Belastungsänderung meist eine unmittelbare (zeitunabhängige) Deformationsänderung nach sich. Plastisches Fließen hat unter anderem zur Folge, dass nach einer Entlastung bleibende Deformationen auftreten. Bei der Beschreibung eines elastisch-plastischen Materialverhaltens wird u ¨ blicherweise angenommen, dass sich die Verzerrungen und damit auch die Verzerrungsinkremente additiv aus einem elastischen und einem plastischen Anteil zusammensetzen: ε = εe + εp , dε = dεe + dεp . (1.73a) Bezieht man die Verzerrungsinkremente auf ein zugeordnetes Zeitinkrement dt, dann lässt sich dies auch in der Form ε˙ = ε˙ e + ε˙ p

(1.73b)

ausdr¨ ucken. F¨ ur den elastischen Anteil setzt man dabei einen linearen SpannungsDehnungs-Zusammenhang zum Beispiel in Form von (1.35a) voraus. Mit (1.73a) lautet somit das Elastizitätsgesetz σ = C : εe = C : (ε − εp ) .

(1.74)

Als Stoffgesetz f¨ ur den plastischen Anteil finden sowohl Formulierungen in den Verzerrungsinkrementen (inkrementelle Theorie) als auch in den totalen Verzerrungen (Deformationstheorie) Verwendung. Beide machen häufig Gebrauch von der Annahme, dass keine plastischen Volumenänderungen auftreten: εpkk = 0; dies hat dann εp = ep zur Folge. 1.3.3.1

Fließbedingung

Wir nehmen an, dass f¨ ur plastisches Fließen ein bestimmter Zustand vorliegen muss, der durch die Spannungen σij gegeben ist. Eine solche Fließbedingung kann durch F (σ) = 0 (1.75a)

24


ausgedr¨ uckt werden, was sich auch als Darstellung einer Fläche (=Fließfläche) im neundimensionalen Raum der Spannungen σij deuten lässt. Ein Spannungszustand auf der Fließfläche (F = 0) charakterisiert danach Fließen, während Punkte innerhalb der Fließfläche (F < 0) elastischem Verhalten zugeordnet sind. Die erweiterte Form der Fließbedingung F (σ) ≤ 0

(1.75b)

beschreibt danach die Menge aller u ¨berhaupt möglichen (zulässigen) Spannungszustände. Die Fließfläche kann ihre Lage und Form im Verlauf des Fließvorganges verändern. Spezialfälle sind die selbstähnliche Aufblähung (isotrope Verfestigung) und die reine Translation (kinematische Verfestigung). Bleibt die Fließfläche unverändert, so nennt man das Material idealplastisch. Aufgrund des Prinzips der maximalen plastischen Arbeit, auf das wir noch eingehen werden, ist die Fließfläche konvex. Die Fließbedingung kann bei isotropem Material nur von den Invarianten Iσ , IIσ , IIIσ oder, was gleichbedeutend ist, nur von Iσ , IIs , IIIs abhängen. Ber¨ ucksichtigt man, dass bei vielen Materialien (insbesondere bei metallischen Werkstoffen) der hydrostatische Anteil des Spannungszustandes nur zu elastischer Volumenänderung f¨ uhrt und den Fließvorgang nicht beeinflusst, so folgt aus (1.75a) die Fließbedingung F (IIs , IIIs ) = 0 . (1.76) Aus der F¨ ulle der Möglichkeiten, welche (1.76) bietet, seien hier nur zwei bewährte und weit verbreitete Fließbedingungen herausgegriffen. Die von Misessche Fließbedingung (R. von Mises, 1883–1953) lautet 1 sij sij − k2 = 0 . 2

(1.77a)

1 [(σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ3 − σ1 )2 ] − k2 = 0 6

(1.77b)

F = IIs − k2 = 0

bzw.

F =

Mit (1.15) lässt sie sich auch in der Form F =

¨ ausdr¨ ucken. Danach tritt Fließen auf, wenn IIs einen Wert k2 erreicht. Aquivalent hierzu sind die Aussagen, dass f¨ ur Fließen eine bestimmte Oktaederschubspannung τoct erforderlich ist bzw. dass beim linear elastischen Material die Gestaltänderungsenergiedichte UG begrenzt ist. Durch (1.77b) ist im dreidimensionalen Raum der Hauptspannungen eine Kreiszylinderfläche definiert, deren Mittelachse√ mit der hydrostatischen Geraden σ1 = σ2 = σ3 zusammenfällt und deren Radius 2k beträgt (Bild 1.7a). Beim idealplastischen Material ist k konstant. Mit der Fließspannung σF unter einachsigem Zug (σ1 = σF , σ2 = σ3 = 0) und der Fließschubspannung τF f¨ ur reinen Schub (σ1 = −σ3 = τF , σ2 = 0) gilt dann √ der Zusammenhang k = σF / 3 = τF . Im Fall einer isotropen Verfestigung hängt

25

Stoffgesetze

k von den plastischen Deformationen ab. Dann ist σF durch die aktuelle Fließ√ spannung zu ersetzen: k = σ/ 3. Aus (1.77a) ergibt sich damit die einachsige Vergleichsspannung σe = ( 32 sij sij )1/2 , die wir schon in (1.54a) kennengelernt haben; sie wird auch von Misessche Vergleichsspannung genannt.

σ3

Tresca

hydrostatische Achse

σ2 Tresca

σF

σ2

σF

v.Mises

σF

−σF

σ1 σF

v.Mises −σF σ1

a)

b)

Bild 1.7 Fließbedingungen nach von Mises und Tresca Im Spezialfall des ebenen Spannungszustandes (σ3 = 0) folgt aus (1.77b) die Fließbedingung (1.78) σ12 + σ22 − σ1 σ2 = σF2 . Die zugehörige Fließkurve ist eine Ellipse (Bild 1.7b). Die Fließbedingung von H.E. Tresca (1868) geht von der Annahme aus, dass plastisches Fließen auftritt, wenn die maximale Schubspannung einen bestimmten Wert annimmt: F = τmax − k = 0. Mit den Hauptschubspannungen nach (1.11) muss daher eine der Bedingungen σ1 − σ3 ± 2k = 0 ,

σ2 − σ1 ± 2k = 0 ,

σ3 − σ2 ± 2k = 0

(1.79)

erf¨ ullt sein. Die zugehörige Fließfläche im Raum der Hauptspannungen ist ein hexagonales Prisma, dessen Mittelachse die hydrostatische Gerade ist (Bild 1.7). Beim idealplastischen Material ist der Zusammenhang zwischen k und den Fließspannungen σF (einachsiger Zug) und τF (reiner Schub) durch k = σF /2 = τF gegeben. 1.3.3.2

Inkrementelle Theorie

Im weiteren wird vorausgesetzt, dass der Werkstoff dem Prinzip der maximalen plastischen Arbeit (1.80) (σij − σij0 ) dεpij ≥ 0 gen¨ ugt. Darin sind σij der tatsächliche Spannungszustand auf der Fließfläche und σij0 ein Ausgangszustand innerhalb oder auf der Fließfläche. Dieses Prinzip lässt

26


sich dahingehend interpretieren, dass unter allen Spannungszuständen σ ˜ij , welche die Fließbedingung erf¨ ullen, die tatsächlichen Spannungen σij die plastische Arbeit σ ˜ij dεpij zum Extremum machen. Diese Extremalaussage kann in der Art ∂ [˜ σij dεpij − dλ F (˜ σij )] = 0 ∂ σ˜ij

f¨ ur

σ ˜ij = σij

(1.81)

formuliert werden, wobei dλ ≥ 0 ein noch freier, Lagrangescher Multiplikator ist. Hieraus ergibt sich die Fließregel dεpij = dλ

∂F , ∂σij

(1.82a)

die wir auch in den folgenden Formen schreiben können: ∂F ε˙pij = λ˙ ∂σij

bzw.

∂F ε˙ p = λ˙ . ∂σ

(1.82b)

Ohne im einzelnen darauf einzugehen sei angemerkt, dass aus dem Prinzip der maximalen plastischen Arbeit bzw. aus der Fließregel Konsequenzen erwachsen. Zu ihnen gehören unter anderen die erwähnte Konvexität der Fließfläche und die Normalenregel. Letztere besagt, dass die plastischen Verzerrungsinkremente normal zur Fließfläche gerichtet sind (vgl.(1.82a,b)). Legt man die von Misessche Fließbedingung (1.77a,b) zugrunde, so folgt aus (1.82a,b) dεp = dλ s. Die Hauptrichtungen von dεp stimmen demnach mit denen des Deviators s und folglich auch mit denen von σ u ¨berein. Der Faktor dλ kann bestimmt werden, indem wir die einachsige Vergleichsspannung σe = ( 32 sij sij )1/2 und unter Ber¨ ucksichtigung der plastischen Volumenkonstanz ein einachsiges Vergleichsverzerrungsinkrement dεpe = ( 23 dεpij dεpij )1/2 einf¨ uhren. Aus dεpij dεpij = p 3 2 (dλ) sij sij erhält man dann dλ = 2 dεe /σe und damit dεpij =

3 dεpe sij 2 σe

bzw.

ε˙ p =

3 ε˙pe s. 2 σe

(1.83a)

ur verfestigendes Material schreibt man F¨ ur idealplastisches Material ist σe = σF ; f¨ (1.83a) unter Verwendung des plastischen Tangentenmoduls g = dσe /dεpe = σ˙ e /ε˙pe auch häufig in der Form dεpij =

3 sij dσe 2 g σe

bzw.

ε˙ p =

3 σ˙ e s. 2 g σe

(1.83b)

Durch Zusammenfassen der elastischen und der plastischen Verzerrungsinkremente entsprechend (1.73a,b) ergibt sich schließlich als Stoffgesetz im Fließbereich (F = 0, dσe > 0) das sogenannte Prandtl-Reuss-Gesetz ε˙kk =

1 σ˙ kk , 3K

e˙ =

3 σ˙ e 1 s˙ + s. 2μ 2 g σe

(1.83c)

27

Stoffgesetze

Geht man von der Trescaschen Fließbedingung in der Form F = σ1 −σ3 −k = 0 aus (σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 ), so liefert die Fließregel in Hauptachsenrichtung dεp1 = dλ ,

dεp2 = 0 ,

dεp3 = −dλ .

(1.84)

Hierdurch wird ebenfalls die Bedingung plastischer Volumenkonstanz erf¨ ullt. 1.3.3.3

Deformationstheorie

In der Deformationstheorie wird angenommen, dass zwischen den plastischen Verzerrungen und den deviatorischen Spannungen die Beziehung εp = λ s

(1.85)

besteht, wobei der Faktor λ vom Spannungszustand und den plastischen Verzerrungen abhängt. Er ergibt sich unter Zugrundelegung der von Misesschen Fließbedingung mit der Vergleichsspannung σe = ( 32 sij sij )1/2 und der plastischen Vergleichsverzerrung εpe = ( 23 εpij εpij )1/2 zu λ = 3εpe /2σe . Fasst man nach (1.73a) die elastischen und die plastischen Verzerrungen zusammen, so erhält man das finite Hencky-Ilyushin-Gesetz 1 1 3 εpe e= σkk , + εkk = s. (1.86) 3K 2 μ 2 σe Durch Vergleich von (1.86) mit (1.55) erkennt man, dass die Deformationstheorie ein plastisches Materialverhalten wie ein nichtlinear elastisches Verhalten beschreibt. Sie ist dementsprechend nicht in der Lage zum Beispiel Entlastungsvorgänge adäquat zu modellieren. Physikalisch sinnvoll kann sie nur im Bereich monoton wachsender Belastung angewendet werden. Dabei ist sie insbesondere dann gut geeignet, wenn eine Proportionalbelastung vorliegt, das heisst wenn gilt s = P s0 .

(1.87)

Darin sind s0 ein Bezugsspannungszustand (zum Beispiel bei der Endbelastung) und P ein skalarer Belastungsparameter. Man kann zeigen, dass in diesem Fall die Deformationstheorie und die inkrementelle Theorie a¨quivalent sind. Als hinreichend gute Approximation des realen Stoffverhaltens spezialisiert man häufig die allgemeine Beziehung (1.85) durch das Potenzgesetz (1.56) bzw. (1.57). Dieses f¨ uhrt immer zu einer Proportionalbelastung nach (1.87), wenn die Belastung eines Körpers oder Teilkörpers durch einen einzigen Lastparameter P (z.B. durch eine Kraft) vorgegeben ist. F¨ ur die Verzerrungen und die Verschiebungen ergibt sich in diesem Fall εp = P n εp 0 ,

u = P n u0 .

(1.88)

Darin sind εp 0 und u0 die zum Bezugsspannungszustand s0 zugeordneten plastischen Verzerrungen und Verschiebungen. Sind dementsprechend die Spannungen

28


und Verzerrungen f¨ ur eine bestimmte Last bekannt, so kennt man sie auch f¨ ur alle anderen Lasten. An dieser Stelle sei angemerkt, dass die Eigenschaften des Potenzgesetzes sinngemäß von der Deformationstheorie auf Kriechvorgänge u ¨bertragen werden können. Aufgrund der Analogie der Stoffgesetze f¨ ur nichtlinear elastisches Verhalten und f¨ ur das Kriechen (vgl. Abschnitt 1.3.2.2) m¨ ussen nur die Dehnungen durch die Dehnungsraten und die Verschiebungen durch die Geschwindigkeiten ersetzt werden, d.h. es gelten dann die Beziehungen s = P s0 ,

1.4

ε˙ p = P n ε˙ p 0 ,

u˙ = P n u˙ 0 .

(1.89)

Energieprinzipien

Im folgenden sind einige klassische Energieprinzipien f¨ ur deformierbare Körper zusammengestellt. Dabei wird davon ausgegangen, dass bei Zustandsänderungen des Körpers die materielle Oberfläche unverändert bleibt. Ein etwaiges Risswachstum ist hier also ausgeschlossen. Der k¨ urzeren Schreibweise wegen nehmen wir noch an, dass als äußere Kräfte nur Oberflächenkräfte und keine Volumenkräfte wirken. Letztere können sinngemäß aber ohne weiteres ber¨ ucksichtigt werden. 1.4.1

Energiesatz

¨ Der Energiesatz der Kontinuumsmechanik besagt, dass die Anderung der Gesamtenergie (innere Energie + kinetische Energie) eines Körpers dem Energiefluss in den Körper entspricht. Dies kann alternativ in Form der Gleichungen t2 E˙ + K˙ = P + Q ,

(E + K)2 − (E + K)1 =

(P + Q) dt

(1.90)

t1

ausgedr¨ uckt werden. Darin sind E die innere Energie, K die kinetische Energie und P die Leistung der äußeren Kräfte. Sie sind gegeben durch 1 E = ρ e dV , K= ρ u˙ · u˙ dV , P = t · u˙ dA , (1.91) 2 V

V

∂V

wobei e die spezifische innere Energie ist. Durch Q wird der Energietransport in den Körper beschrieben, welcher nicht durch P erfasst wird (zum Beispiel Wärmetransport); wir wollen ihn hier nicht näher festlegen. F¨ ur ein elastisches Material lässt sich ρ e mit der Formänderungsenergiedichte U identifizieren. Im Spezialfall einer quasistatischen Belastung (K = 0) und f¨ ur Q = 0 lautet dann der Energiesatz a . Πi2 − Πi1 = W12

(1.92)

29

Energieprinzipien

Hierbei wurden die Abk¨ urzungen i

a W12

U dV ,

Π = V

u2 = [ t · du] dA ∂V u1

(1.93)

f¨ ur die Formänderungsenergie des Körpers und f¨ ur die Arbeit der äußeren Kräfte zwischen den Zuständen 1 und 2 eingef¨ uhrt. Man nennt Πi auch elastisches Potential . 1.4.2

Prinzip der virtuellen Arbeit

Wir betrachten einen Körper im Gleichgewicht, auf dessen Teiloberflächen ∂Vt ˆ vorgeschrieben sind. Die bzw. ∂Vu die Belastungen ˆt bzw. die Verschiebungen u statischen und die kinematischen Grundgleichungen hierf¨ ur lauten σij,j = 0 εij =

1 (ui,j 2

+ uj,i)

in V ,

σij nj = tî

auf ∂Vt ,

in V ,

ui = uî

auf ∂Vu .

(1.94)

ullt die Gleichgewichtsbedingungen Ein statisch zulässiges Spannungsfeld σ (1) erf¨ und die Randbedingungen auf ∂Vt . Analog gen¨ ugt ein kinematisch zulässiges Verschiebungsfeld u(2) bzw. Verzerrungsfeld ε(2) den kinematischen Beziehungen und den Randbedingungen auf ∂Vu . Multipliziert man nun die Gleichgewichtsbedingung f¨ ur σ (1) mit den Verschiebungen u(2) und integriert u ¨ber das Volumen V , so erhält man aus (1.94) unter Verwendung des Gaußschen Satzes den allgemeinen Arbeitssatz ˆt(1) · u(2) dA + ˆ (2) dA . σ(1) : ε(2) dV = t(1) · u (1.95) V

∂Vt

∂Vu

Aus (1.95) lassen sich verschiedene Gesetzmäßigkeiten herleiten. Verwendet man als Kraftgrößen die zu einem Gleichgewichtszustand gehörigen wirklichen Größen und als kinematische Größen die virtuellen Verschiebungen δu bzw. virtuellen Verzerrungen δε aus der Gleichgewichtslage, dann erhält man das Prinzip der virtuellen Arbeit (Prinzip der virtuellen Verr¨ uckungen) δW i = δW a

mit

σ : δε dV ,

δW i = V

(1.96) ˆt · δu dA .

δW a =

(1.97)

∂Vt

Die virtuellen Verr¨ uckungen sind dabei als gedacht, infinitesimal und kinematisch zulässig zu verstehen. Befindet sich ein Körper im Gleichgewicht, so ist nach diesem Prinzip die bei einer virtuellen Verr¨ uckung geleistete Arbeit δW i der inneren Kräfte gleich der Arbeit δW a der aüßeren Kräfte.

30


¨ F¨ ur ein elastisches Material entspricht die Arbeit der inneren Kräfte der Anderung des elastischen Potentials. Nach (1.45) ist nämlich σ : δε = δU, woraus mit (1.97) und (1.93) die Beziehung δW i = δΠi folgt. Sind zusätzlich noch die äußeren Kräfte aus einem Potential herleitbar, so wird δW a = −δΠa , und man erhält aus (1.96) δΠ = δ(Πi + Πa ) = 0 . (1.98) In der Gleichgewichtslage nimmt das Gesamtpotential Π demnach einen Stationärwert an. Man kann zeigen, dass es sich dabei um ein Minimum handelt, sofern das Potential konvex ist: Π = Πi + Πa = Minimum .

(1.99)

Dies ist das Prinzip vom Stationärwert (Minimum) des Gesamtpotentials. Es lässt sich auch in folgender Form ausdr¨ ucken: unter allen zulässigen (mit den kinematischen Randbedingungen verträglichen) Deformationen machen die wahren Deformationen das Potential Π zu einem Stationärwert (Minimum). Angemerkt sein, dass das Potential bei einem linear elastischen Material und festen Spannungs- oder Verschiebungsrandbedingungen tatsächlich konvex ist, in der Gleichgewichtslage also ein Minimum annimmt. Aus (1.95) ergibt sich das Prinzip der virtuellen Komplementärarbeit (Prinzip der virtuellen Kräfte), wenn man als Verschiebungsgrößen die wirklichen Verschiebungen bzw. Verzerrungen einsetzt und als statisch zulässige Kraftgrößen ¨ virtuelle Anderungen aus der Gleichgewichtslage verwendet. Dann folgt i = δ W a , δW wobei i = δW

a = δW

ε : δσ dV , V

(1.100) ˆ · δt dA u

(1.101)

∂Vu

die Komplementärarbeiten der inneren und äußeren Kräfte sind. In Analogie zum Vorhergehenden f¨ uhren wir bei elastischem Material das innere Komplementärpotential i = U dV Π (1.102) V

a, a = −W ein. Existiert zusätzlich noch ein äußeres Komplementärpotential mit Π so ergibt sich aus (1.100) a) = 0 . = δ(Π i + Π δΠ

(1.103)

In der Gleichgewichtslage nimmt also auch das Komplementärpotential einen Sta konvex ist, was tionärwert an. Es handelt sich dabei um ein Minimum, wenn Π bei linear elastischen Systemen zutrifft: =Π i + Π a = Minimum . Π

(1.104)

31

Ebene Probleme

Man nennt dies das Prinzip vom Stationärwert (Minimum) des Komplementärpotentials. Danach machen unter allen zulässigen (mit den statischen Randbedingungen verträglichen) Spannungsfeldern die wahren Spannungen das Komplementärpotential zu einem Stationärwert (Minimum). 1.4.3

Satz von Clapeyron, Satz von Betti

Wir f¨ uhren jetzt in (1.95) als statische und kinematische Größen die wirklichen, aktuellen Größen ein. Setzt man die äußeren Kräfte als Totlasten voraus (t = t(x)), so entspricht die rechte Seite von (1.95) der Arbeit W a dieser Kräfte vom undeformierten zum aktuellen, deformierten Zustand. Da Totlasten ein Potential besitzen, gilt zudem W a = −Πa . F¨ ur ein linear elastisches Material wird die linke Seite von (1.95) mit σ : ε = 2 U und (1.94) zu 2 Πi . Damit erhält man den Satz von Clapeyron (B.P.E. Clapeyron, 1799-1864) 2 Πi + Πa = 0 .

(1.105)

Im Sonderfall eines inkompressiblen nichtlinear elastischen Materials in Form des Potenzgesetzes (1.56) erhält man unter Verwendung von (1.58) f¨ ur die linke Seite i Π und damit von (1.95) zunächst n+1 n n+1 i Π + Πa = 0 . n

(1.106)

Wir betrachten nun nochmals den Fall eines linear elastischen Materials mit dem Elastizitätsgesetz σij = Cijkl εkl (vgl.(1.35a)). Wegen der Symmetrie des (1) (2) (2) (1) Elastizitätstensors (Cijkl = Cjikl = Cijlk = Cklij ) gilt allgemein σij εij = σij εij . Integration u ¨ ber das Volumen liefert mit dem Arbeitssatz (1.95) den Satz von Betti (Reziprozitätstheorem, E. Betti, 1823-1892) t(1) · u(2) dA = t(2) · u(1) dA . (1.107) ∂V

∂V

Danach sind f¨ ur zwei verschiedene Belastungszustände (1), (2) eines Körpers die Arbeiten der Randlasten des einen Zustandes an den Verschiebungen des anderen Zustandes jeweils gleich.

1.5 1.5.1

Ebene Probleme Allgemeines

Probleme der Festkörpermechanik sind vielfach ebene (zweidimensionale) Probleme, oder sie können näherungsweise als solche beschrieben werden. Besonders wichtig f¨ ur die Anwendungen sind der ebene Verzerrungszustand (EVZ) und der

32


ebene Spannungszustand (ESZ). Daneben besitzt der longitudinale (,,nichtebene”) Schubspannungszustand noch eine gewisse Bedeutung. Zu ihrer Darstellung bedienen wir uns im weiteren der technischen Notation mit den Koordinaten x, y, z, den Verschiebungen u, v, w, den Verzerrungen εx , γxy , . . . und den Spannungen σx , τxy , . . . . Der ebene Verzerrungszustand ist dadurch gekennzeichnet, dass die Dehnungen bzw. Verschiebungen in einer Richtung (z.B. in z-Richtung) verhindert sind. In diesem Fall sind w, εz , γxz , γyz , τxz , τyz Null, und alle anderen Größen hängen nur von x und y ab. Die Gleichgewichtsbedingungen (ohne Volumenkräfte), die kinematischen Beziehungen und die Kompatibilitätsbedingungen reduzieren sich dann auf ∂σx ∂τxy ∂τxy ∂σy + =0, + =0, (1.108) ∂x ∂y ∂x ∂y εx =

∂u , ∂x

εy =

∂v , ∂y

γxy =

∂u ∂v + , ∂y ∂x

∂ 2 γxy ∂ 2 εx ∂ 2 εy + = . 2 2 ∂y ∂x ∂x∂y

(1.109) (1.110)

Auch das Stoffgesetz vereinfacht sich. So erhält man zum Beispiel aus (1.38) f¨ ur ein isotropes, linear elastisches Material εx =

1−ν 2 ν 1−ν 2 ν τxy (σx − σy ) , εy = (σy − σx ) , γxy = E 1−ν E 1−ν G

(1.111)

sowie σz = ν(σx + σy ). Beim ebenen Spannungszustand wird angenommen dass σz , τxz , τyz , γxz , γyz verschwinden und die restlichen Spannungen und Verzerrungen von z unabhängig sind. Ein entsprechender Zustand tritt näherungsweise (nicht exakt) in Scheiben auf, deren Dicke klein ist im Vergleich zu den Abmessungen in der Ebene und die nur durch Kräfte in der Ebene belastet werden. Die Gleichgewichtsbedingungen, die kinematischen Beziehungen und die Kompatibilitätsbedingung stimmen mit den Gleichungen (1.108 – 1.110) des EVZ u ¨berein. Die Verschiebungen u, v, w sind jetzt allerdings im allgemeinen von z abhängig. Das Stoffgesetz lautet im Fall der linearen Elastizität bei Isotropie εx =

1 (σx − νσy ) , E

εy =

1 (σy − νσx ) , E

γxy =

τxy ; G

(1.112)

außerdem gilt Eεz = −ν(σx + σy ). Die Gleichungen (1.112) weichen von (1.111) nur durch geänderte Elastizitätskonstanten ab. Lösungen von Randwertproble¨ men des EVZ können demnach durch Anderung der elastischen Konstanten auf den ESZ u ¨bertragen werden und umgekehrt. Häufig ist es erforderlich, die Spannungen in einem zum x, y-System um den Winkel ϕ gedrehten ξ, η-System anzugeben (Bild 1.8). Die entsprechenden Trans-

33

Ebene Probleme

formationsbeziehungen erhält man aus (1.6) zu 1 1 (σx + σy ) + (σx − σy ) cos 2ϕ + τxy sin 2ϕ , 2 2 1 1 (1.113) ση = (σx + σy ) − (σx − σy ) cos 2ϕ − τxy sin 2ϕ , 2 2 1 τξη = − (σx − σy ) sin 2ϕ + τxy cos 2ϕ . 2 Sie können auch durch den Mohrschen Kreis in Bild 1.8 veranschaulicht werden. σξ =

τ τmax

τxy 2ϕ

η

y

ση

ξ ϕ

2ϕ

σy

σξ σ1

σx

σ2

τξη ∗

σ

x −τmax Bild 1.8 Mohrscher Spannungskreis Eine Hauptrichtung ist sowohl im EVZ als auch im ESZ durch die z-Richtung gegeben. Die beiden anderen liegen in der x, y-Ebene; die hierzu gehörigen Hauptspannungen und Hauptrichtungen sind durch σx + σy σx − σy 2 2τxy 2 , σ1,2 = tan 2ϕ∗ = (1.114) ± ( ) + τxy 2 2 σx − σy bestimmt. In Schnitten unter ϕ∗∗ = ϕ∗ ± π/4 tritt die Hauptschubspannung σ1 − σ2 σx − σy 2 2 = ( ) + τxy τ3 = (1.115) 2 2 auf. Sie ist f¨ ur σ1 ≥ σz ≥ σ2 auch die maximale Schubspannung τmax . Die hier angegebenen Formeln f¨ ur die Spannungen können sinngemäß auf die Verzerrungen, die Verzerrungsinkremente und die Verzerrungsgeschwindigkeiten u ¨bertragen werden. Der nichtebene oder longitudinale Schubspannungszustand zeichnet sich dadurch aus, dass alle Größen bis auf w, γxz , γyz , τxz , τyz verschwinden; diese sind wiederum unabhängig von z. Die Gleichgewichtsbedingung, die kinematischen Beziehungen und die Kompatibilitätsbedingung lauten in diesem Fall ∂τxz ∂τyz + =0, ∂x ∂y

γxz =

∂w , ∂x

γyz =

∂w , ∂y

∂γxz ∂γyz = . ∂y ∂x

(1.116)

34


F¨ ur linear elastisches Material gilt das Stoffgesetz γxz = τxz /G ,

γyz = τyz /G .

(1.117)

Seiner Einfachheit wegen wird der longitudinale Schubspannungszustand häufig als Modellfall herangezogen. In der Plastizität und Viskoelastizität werden die Deformationen in der Regel nicht unmittelbar durch die totalen Verschiebungen und Verzerrungen sondern durch deren Inkremente bzw. durch Geschwindigkeiten beschrieben. In diesem Fall sind in den vorhergehenden Gleichungen die kinematischen Größen sinngemäß zu ersetzen. 1.5.2

Lineare Elastizit¨ at, Komplexe Methode

Zur Lösung von ebenen Problemen der linearen Elastizitätstheorie existiert eine Reihe von Verfahren. Eines der fruchtbarsten ist die Methode der komplexen Spannungsfunktionen, die hier kurz erläutert werden soll. Bei diesem Lösungsverfahren werden die Spannungen und Verschiebungen als Funktionen der komplexen Variablen z = x + iy = reiϕ bzw. der konjugiert komplexen Variablen z = x − iy = re−iϕ aufgefasst. Man kann dann zeigen, dass Lösungen der Grundgleichungen des EVZ und des ESZ aus nur zwei komplexen Funktionen Φ(z) und Ψ(z) konstruiert werden können. Ihr Zusammenhang mit den kartesischen Komponenten von Spannung und Verschiebung ist durch die Kolosovschen Formeln σx + σy = 2[Φ (z) + Φ (z)] , σy − σx + 2iτxy = 2[zΦ (z) + Ψ (z)] ,

(1.118a)

2 μ (u + iv) = κΦ(z) − zΦ (z) − Ψ(z) , mit

κ=

3 − 4ν EVZ (3 − ν)/(1 + ν) ESZ

(1.118b)

gegeben. Vielfach ist es zweckmäßig, Polarkoordinaten r, ϕ (Bild 1.9) zu verwenden; dann gilt σr + σϕ = 2[Φ (z) + Φ (z)] , σϕ − σr + 2iτrϕ = 2[zΦ (z) + Ψ (z)z/z] ,

(1.119)

2μ(ur + iuϕ ) = [κΦ(z) − zΦ (z) − Ψ(z)]e−iϕ . Bei der Formulierung von Randbedingungen werden verschiedentlich noch die Beziehungen zwischen Φ, Ψ und den resultierenden Kraftkomponenten X, Y auf

35

Ebene Probleme

uglich des Ursprungs benötigt (Bild den Bogen AB bzw. deren Moment M bez¨ 1.9).Es gelten B X + iY =

B (tx + ity )ds = −i Φ(z) + Ψ(z) + zΦ (z) , A

B

A

(x ty − y tx )ds = −Re [zzΦ (z) + zΨ(z) −

M=

(1.120)

Ψ(z)dz]B A

.

A

z y

t

ty

B r

ds

tx

ϕ x

s A

Bild 1.9 Komplexe Ebene Lösungen des longitudinalen Schubspannungszustandes lassen sich besonders einfach darstellen. In diesem Fall können die Spannungen und die Verschiebung aus alleine einer komplexen Funktion Ω(z) gewonnen werden: τxz − iτyz = (τrz − iτϕz )e−iϕ = Ω (z) , μ w = Re Ω(z) . 1.5.3

(1.121)

Idealplastisches Material, Gleitlinienfelder

Die Lösung von Randwertproblemen der Plastomechanik gelingt in vielen Fällen nur unter Einsatz numerischer Methoden, wie zum Beispiel des Verfahrens der Finiten Elemente. Eines der wenigen Verfahren, das eine weitgehend analytische Behandlung zulässt, ist die Gleitlinientheorie. Sie erlaubt die Untersuchung von Spannungen und Deformationen im Fall des ebenen Verzerrungszustandes bei Vorliegen eines starr-idealplastischen Materials, f¨ ur das wir hier die von Misessche Fließbedingung zugrunde legen wollen. ur die Aus der Bedingung dεpz = 0 folgt zunächst mit dεpij = dεij und (1.83a) f¨ Spannung sz = 0 bzw. σz = σ3 = (σx + σy )/2 = σm . Die Fließbedingung (1.77b) vereinfacht sich damit zu 2 (σx − σy )2 + 4τxy = 4k 2 ,

(1.122)

36


womit f¨ ur die Hauptspannungen σ1 = σm + k, σ2 = σm − k und f¨ ur die maximale Schubspannung τmax = k gelten. Die Fließbedingung stellt zusammen mit den Gleichgewichtsbedingungen (1.108) ein hyperbolisches System von drei Gleichungen f¨ ur die drei Unbekannten σx , σy und τxy dar. y β-Linie

yβ

α-Linie xα

σm

φ

k σm

φ

x Bild 1.10 Gleitlinien Es ist nun zweckmäßig ein orthogonales Netz von α- und β-Linien einzuf¨ uhren, deren Richtungen in jedem Punkt mit den Hauptschubspannungsrichtungen u ¨bereinstimmen (Bild 1.10). Da letztere mit den Richtungen maximaler Gleitungsänderung zusammenfallen nennt man sie Gleitlinien. Es sei angemerkt, dass diese Linien die Charakteristiken des hyperbolischen Gleichungssystems sind. Bezeichnet man den Winkel zwischen der x-Achse und der Tangente an die α-Linie (=Hauptschubspannungsrichtung) mit φ, so folgen mit (1.114) die Beziehungen σx = σm − k sin 2φ ,

σy = σm + k sin 2φ ,

τxy = k cos 2φ .

(1.123)

Sie erf¨ ullen die Fließbedingungen identisch. Einsetzen in die Gleichgewichtsbedingungen (1.108) liefert ∂φ ∂φ ∂σm − 2 k cos 2φ − 2 k sin 2φ = 0, ∂x ∂x ∂y ∂σm ∂φ ∂φ − 2 k sin 2φ + 2 k cos 2φ = 0. ∂y ∂x ∂y Da die Wahl des Koordinatensystems x, y beliebig ist, können wir auch ein lokales System xα , yβ verwenden, dessen Achsen in Richtung der Tangenten an die α- bzw. an die β-Linie zeigen (Bild 1.10). Mit φ = 0 vereinfachen sich die obigen Beziehungen dann zu gewöhnlichen Differentialgleichungen entlang der Gleitlinien: d d (σm − 2 k φ) = 0 , (σm + 2 k φ) = 0 . dxα dyβ

37

Ebene Probleme

Integration liefert die Henckyschen Gleichungen (H. Hencky, 1885-1952) σm − 2 k φ = Cα = const

entlang α-Linie ,

σm + 2 k φ = Cβ = const

entlang β-Linie .

(1.124)

Sie erlauben bei gegebenen Spannungsrandbedingungen die Bestimmung von Cα , Cβ und damit des Gleitlinien- und Spannungsfeldes. Liegen dagegen kinematische Randbedingungen vor, so reichen die Gleichungen (1.124) nicht aus. Es m¨ ussen dann noch die kinematischen Beziehungen herangezogen werden. Darauf soll hier jedoch nicht näher eingegangen werden. Ohne Herleitung sei auf zwei geometrische Eigenschaften des Gleitlinienfeldes hingewiesen. Nach dem 1. Henckyschen Satz ist der Winkel zwischen zwei Gleitlinien einer Familie (α) im Bereich des Schnittes mit Gleitlinien der anderen Familie (β) konstant. Befindet sich danach in einer Familie ein Geradenst¨ uck, so besteht die gesamte Familie aus Geraden (z.B. parallele Geraden, Fächer). Der 2. Henckysche Satz besagt, dass bei Fortschreiten längs einer Gleitlinie sich der Kr¨ ummungsradius der orthogonalen Schar proportional zur zur¨ uckgelegten Strecke ändert. Erwähnt sei noch, dass eine Gleitlinie auch eine Unstetigkeitslinie f¨ ur die Normalspannung tangential zur Gleitlinie bzw. f¨ ur die Tangentialgeschwindigkeit sein kann. Analog zum ebenen Verzerrungszustand lässt sich der longitudinale Schubspannungszustand behandeln. Hier lauten die Fließbedingung und die Gleichgewichtsbedingung ∂τxz ∂τyz 2 2 τxz + τyz = k2 = τF2 , + =0. (1.125) ∂x ∂y Wir f¨ uhren nun wieder α-Linien ein, deren Richtung φ die Schnitte kennzeichnet, in denen die Fließspannung τF auftritt; auf β-Linien können wir verzichten. Mit τxz = −τF sin φ ,

τyz = τF cos φ

(1.126)

liefert dann die Gleichgewichtsbedingung dφ =0 . dxα

(1.127)

Die α-Linien sind demnach Geraden. Die Fließregel dεij = dεpij = dλ sij nach Abschnitt 1.3.3.2 lässt sich in diesem Fall mit ∂w ∂w , 2 ε23 = γyz = (1.128) 2 ε13 = γxz = ∂x ∂y als d

∂w ∂x

∂(dw) = 2 dλ τxz , = ∂x

d

∂w ∂y

=

∂(dw) = 2 dλ τyz ∂y

(1.129)

38


schreiben. Ersetzt man das x, y-Koordinatensystem durch das gleichberechtigte xα , yβ -System, so nimmt sie mit (1.126) und φ = 0 die Form ∂(dw) =0, ∂xα

∂(dw) = 2 dλ τF ∂yβ

(1.130)

an. Längs der α-Linie sind die Verschiebungsänderungen dw danach konstant. Geht man von einem undeformierten Anfangszustand aus, so erfahren also beim Fließen alle Punkte auf einer α-Linie die gleiche Verschiebung w.

1.6

Literatur

Altenbach, J., Altenbach, H. (1994). Einführung in die Kontinuumsmechanik. Teubner, Stuttgart Betten, J. (2001). Kontinuumsmechanik. Springer, Berlin Betten, J. (2002). Creep Mechanics. Springer, Berlin Chakrabarty, J. (1987). Theory of Plasticity. McGraw-Hill, New York Christensen, R.M. (1982). Theory of Viscoelasticity. Academic Press, New York Doghri, I. (2000). Mechanics of Deformable Solids. Springer, Berlin Eschenauer, H., Schnell, W. (1993). Elastizitätstheorie. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim Fung, Y.C. (1965). Foundations of Solid Mechanics. Prentice-Hall, Englewood Cliffs Gould, P.L. (1994). Introduction to Linear Elasticity. Springer, New York Hill, R. (1983). The mathematical theory of plasticity. Clarendon Press, Oxford Khan, A.S. and Huang, S. (1995). Continuum Theory of Plasticity. John Wiley & Sons, New York Lemaitre, J. and Chaboche, J.-L. (2000). Mechanics of Solid Materials. Cambridge University Press, Cambridge Lubliner, J. (1990). Plasticity Theory. Macmillan Publ. Comp., New York Maugin, G.A. (1992). The Thermomechanics of Plasticity and Fracture. Cambridge University Press, Cambridge

39 Mußchelischwili, N.I. (1971). Einige Grundaufgaben zur mathematischen Elastizitätstheorie. Hanser, M¨ unchen Nadai, A. (1963). Theory of Flow and Fracture of Solids, Vol. 1 & 2. McGrawHill, New York Rabotnov, Y.N. (1969). Creep Problems in Structural Members. North Holland, Amsterdam Sokolnikoff, I.S. (1956). The Mathematical Theory of Elasticity. McGraw-Hill, New York

2 Klassische Bruch- und Versagenshypothesen

In diesem Kapitel soll ein kurzer Einblick in einige klassische Bruch- und Versagenshypothesen f¨ ur statische Materialbeanspruchung gegeben werden. Das Wort klassich deutet in diesem Zusammenhang an, dass die meisten dieser Festigkeitshypothesen, wie sie auch genannt werden, schon älteren Datums sind. Sie gehen teil¨ weise auf Uberlegungen Ende des 19. bzw. Anfang des 20. Jahrhunderts zur¨ uck, und sie sind untrennbar mit der Entwicklung der Festkörpermechanik verbunden. Durch die moderne Bruchmechanik wurden sie, was die Forschung betrifft, etwas in den Hintergrund gedrängt. Wegen ihrer weiten Verbreitung, die nicht zuletzt mit ihrer Einfachheit zusammenhängt, haben sie jedoch eine beachtliche Bedeutung.

2.1

Grundbegriffe

Festigkeitshypothesen sollen eine Aussage dar¨ uber machen, unter welchen Umständen ein Material versagt. Ausgangspunkt sind dabei Experimente unter speziellen, meist einfachen Belastungszuständen. Als Beispiel sind in Bild 2.1 zwei typische Spannungs-Dehnungs-Verläufe f¨ ur Materialien unter einachsigem Zug schematisch dargestellt. Bis zu einer bestimmten Grenze verhalten sich viele Werk¨ stoffe im wesentlichen rein elastisch. Bei duktilem Verhalten treten nach Uberschreiten der Fließgrenze plastische Deformationen auf. Die Bruchgrenze wird in diesem Fall erst nach hinreichend großen inelastischen Deformationen erreicht. Im Gegensatz dazu ist sprödes Materialverhalten dadurch gekennzeichnet, dass vor dem Bruch keine bemerkenswerten inelastischen Deformationen auftreten. σ

σ Bruch

σB

Bruch

σB Fließen

σF

a)

ε b) Bild 2.1 Materialverhalten: a) duktil, b) spröd


ε

42

Klassische Bruch- und Versagenshypothesen

Abhängig von der Problemstellung kennzeichnet man häufig die Festigkeit bzw. das Versagen eines Materials durch die Fließgrenze oder durch die Bruchgrenze. Gemeinsam ist beiden, dass sich an ihnen das Materialverhalten drastisch ändert. An dieser Stelle sei darauf hingewiesen, dass duktiles bzw. sprödes Verhalten keine reinen Stoffeigenschaften sind. Vielmehr hat der Spannungszustand einen wesentlichem Einfluss auf das Materialverhalten. Als Beispiel sei nur erwähnt, dass ein hydrostatischer Spannungszustand bei Materialien, die als plastisch deformierbar gelten, im allgemeinen zu keinen inelastischen Deformationen f¨ uhrt. Unter bestimmten Beanspruchungen kann sich ein solcher Werkstoff also durchaus spröde verhalten. Wir nehmen nun an, dass sowohl f¨ ur den betrachteten einfachen Belastungszustand als auch f¨ ur eine beliebig komplexe Beanspruchung das Verhalten des Materials und damit auch die Versagensgrenze alleine durch den aktuellen Spannungszustand oder Verzerrungszustand charakterisierbar sind. Dann kann die Versagensbedingung durch F (σij ) = 0

oder

G(εij ) = 0

(2.1)

ausgedr¨ uckt werden. Wie die Fließbedingung, die ja durch (2.1) miterfasst wird, kann man die Versagensbedingung F (σij ) = 0 als Versagensfläche im sechsdimensionalen Raum der Spannungen bzw. im dreidimensionalen Raum der Hauptspannungen deuten. Ein Spannungszustand σij auf der Fläche F = 0 charakterisiert dabei Versagen infolge Fließen oder Bruch. Eine Versagensbedingung der Art (2.1) setzt voraus, dass der Materialzustand beim Versagen unabhängig von der Deformationsgeschichte ist. Dies kann mit hinreichender Genauigkeit auf das erstmalige Einsetzen des plastischen Fließens bei duktilen Materialien oder auf den Bruch von spröden Werkstoffen zutreffen. Daneben muss das Material bis zum Erreichen der Versagensgrenze als Kontinuum ohne makroskopische Defekte aufgefasst werden können. Das bedeutet insbesondere, dass nicht etwa makroskopische Risse das Verhalten eines Werkstoffes bestimmen. Der Deformationsprozess bei plastisch verformbaren Werkstoffen – hierzu zählt man häufig auch Beton oder geologische Materialien – nach Erreichen der Fließgrenze kann durch die Fließregel beschrieben werden. Die Kinematik des Bruches bei sprödem Materialverhalten wird durch letztere nicht bestimmt. Einfache kinematische Aussagen sind dann im allgemeinen nur bei speziellen Spannungszuständen möglich.

2.2

Versagenshypothesen

Es ist formal möglich, beliebig viele Versagenshypothesen vom Typ (2.1) aufzustellen. Im folgenden sind einige gängige Bedingungen zusammengestellt, von denen ein Teil auf bestimmte Materialklassen mit technisch hinreichender

43

Versagenshypothesen

Genauigkeit angewendet werden kann. Ein Teil hat allerdings nur noch historische Bedeutung. Auf die von Misessche und die Trescasche Fließbedingung wird hier nicht nochmals eingegangen; sie sind in Abschnitt 1.3.3.1 diskutiert. 2.2.1

Hauptspannungshypothese

Diese Hypothese geht auf W.J.M. Rankine (1820–1872), G. Lamé (1795–1870) und C.L. Navier (1785–1836) zur¨ uck. Nach ihr wird das Materialverhalten durch zwei Kennwerte – die Zugfestigkeit σz und die Druckfestigkeit σd - bestimmt. Versagen wird angenommen, wenn die größte Hauptnormalspannung den Wert σz oder die kleinste Hauptnormalspannung die Grenze −σd erreicht, das heißt, wenn eine der Bedingungen σz , σz , σz , (2.2) σ1 = σ2 = σ3 = −σd , −σd , −σd erf¨ ullt ist. Die zugehörige Versagensfläche im Raum der Hauptspannungen ist durch die Oberfläche eines W¨ urfels gegeben (Bild 2.2a). Als Versagenskurve f¨ ur den ebenen Spannungszustand (σ3 = 0) ergibt sich ein Quadrat (Bild 2.2b). σ3 σz −σd

σ3 = 0 σ2

−σd

σ2 σz σz σ1

σz −σd

σ1 b)

a)

Bild 2.2 Hauptspannungshypothese Die Hauptspannungshypothese soll in erster Linie das spröde Versagen von Werkstoffen beschreiben. Bei Zugbeanspruchung verbindet man mit ihr im allgemeinen die kinematische Vorstellung einer Dekohäsion der Schnittflächen senkrecht zur größten Hauptspannung. Die Hypothese vernachlässigt den Einfluss von zwei Hauptspannungen auf das Versagen; sie ist nur recht eingeschränkt anwendbar. 2.2.2

Hauptdehnungshypothese

Bei der von de Saint-Venant (1797–1886) und C. Bach (1889) vorgeschlagenen Hypothese wird angenommen, dass Versagen eintritt, wenn die größte Hauptdehnung einen kritischen Wert εz annimmt. Setzt man linear elastisches Verhalten

44


bis zum Versagen voraus und f¨ uhren wir mit σz = Eεz die kritische Spannung σz ein, so folgen die Versagensbedingungen σ1 − ν(σ2 + σ3 ) = σz ,

σ2 − ν(σ3 + σ1 ) = σz ,

σ3 − ν(σ1 + σ2 ) = σz . (2.3)

Die Versagensfläche wird in diesem Fall durch eine dreiflächige Pyramide um die hydrostatische Achse mit dem Scheitel bei σ1 = σ2 = σ3 = σz /(1 − 2ν) gebildet (Bild 2.3a). Die Versagenskurve f¨ ur den ebenen Spannungszustand ist in Bild 2.3b dargestellt. hydrostatische Achse

σ3 −σd

σ3 = 0

σz σ2

−σd

σ2 σz

−σd σz

σz

σ1

σ1

−σd a)

b) Bild 2.3 Hauptdehnungshypothese

Nach dieser Hypothese m¨ usste Versagen unter einachsigem Druck bei einem Betrag σd = σz /ν auftreten. F¨ ur die meisten Werkstoffe widerspricht dies der experimentellen Erfahrung. 2.2.3

Form¨ anderungsenergiehypothese

Die Hypothese von E. Beltrami (1835-1900) postuliert Versagen, wenn die Formänderungsenergiedichte U einen materialspezifischen kritischen Wert Uc erreicht: U = Uc . Dabei wird in der Regel von linear elastischem Verhalten bis zum Versagen ausgegangen. F¨ uhrt man mit Uc = σc2 /2E eine einachsige Versagensspannung σc ein und dr¨ uckt man U = UV + UG unter Verwendung von (1.50) durch die Hauptspannungen aus, so ergibt sich (1 + ν)[(σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ3 − σ1 )2 ] + (1 − 2ν)(σ1 + σ2 + σ3 )2 = 3σc2 . (2.4) Die entsprechende Versagensfläche ist ein Rotationsellipsoid um die hydrostati sche Achse mit den Scheiteln bei σ1 = σ2 = σ3 = ±σc / 3(1 − 2ν). Nach dieser Hypothese kommt es bei hinreichend großen hydrostatischem Druck immer zum Versagen; dies steht in Widerspruch zu experimentellen Ergebnissen. Lässt man in U den Anteil UV der Volumenänderungsenergiedichte weg (inkompressibles Material), so geht die Beltramische Hypothese in die von Misessche Fließbedingung u ¨ ber.

45

Versagenshypothesen

In neuerer Zeit wurde die Formänderungsenergiehypothese in modifizierter Form wieder zur Verwendung in Rissausbreitungskriterien vorgeschlagen (vgl. S-Kriterium, Abschnitt 4.9). 2.2.4

Coulomb-Mohr Hypothese

Diese Hypothese soll vor allem das Versagen infolge Gleiten bei geologischen und granularen Materialien, wie zum Beispiel Sand, Gestein oder Böden beschreiben. Solche Materialien können Zugspannungen nicht oder nur in beschränktem Maße aufnehmen. Zur physikalischen Motivierung gehen wir von einer beliebigen Schnittfläche aus, in welcher die Normalspannung −σ (Druck) und die Schubspannung τ herrschen. Das Coulombsche Reibungsgesetz – angewandt auf die Spannungen – postuliert Gleiten, wenn τ einen kritischen Wert annimmt, der proportional zur Druckspannung −σ ist: | τ |= −σ tan ρ. Darin ist ρ der materialabhängige Reibungswinkel . F¨ ur −σ → 0 folgt aus diesem Gesetz auch | τ |→ 0; Zugspannungen können in diesem Fall nicht auftreten. Vielfach setzt Gleiten f¨ ur σ = 0 allerdings erst bei einer endlichen Schubspannung ein. Auch können die Materialien häufig beschränkte Zugspannungen aufnehmen. Es bietet sich dann an, von der modifizierten Gleitbedingung | τ |= −σ tan ρ + c

(2.5)

auszugehen. Diese ist als Coulomb-Mohr-Hypothese bekannt (C.A. Coulomb (1736– 1806); O. Mohr (1835–1918)). Den Parameter c bezeichnet man als Kohäsion. σ3

τ A 2Θ σ3

σ2

τ σ σ1 A

a)

c

−σd σz

ρ

−σd σ

hydrostatische Achse

σ2

σ2

σ3 = 0 σz −σd

σ1 σz

σz σ1

c/ tan ρ

−σd

−σd b)

c)

Bild 2.4 Coulomb-Mohr-Hypothese Im σ-τ -Diagramm entsprechen der Gleitbedingung (2.5) zwei Geraden, welche die Einh¨ ullende der zulässigen Mohrschen Kreise bilden (Bild 2.4a). Gleiten tritt f¨ ur diejenigen Spannungszustände ein, bei denen der größte Mohrsche Kreis die Einh¨ ullende gerade tangiert. F¨ ur die zugehörigen Hauptspannungen liest man die

46 Bedingung


| σ1 − σ3 | c σ1 + σ3 = − sin ρ 2 tan ρ 2

(2.6)

ab. Hieraus ergibt sich zum Beispiel die Zugfestigkeit bei einachsiger Beanspruchung mit σ1 = σz und σ3 = 0 zu σz = 2c cos ρ/(1 + sin ρ); analog folgt die Druckfestigkeit mit σ1 = 0 und σ3 = −σd zu σd = 2c cos ρ/(1 − sin ρ). Angemerkt sei noch, dass (2.6) als Spezialfall f¨ ur ρ → 0 die Trescasche Fließbedingung beinhaltet (vgl. Abschnitt 1.3.3.1). Es ist manchmal zweckmäßig, anstelle der Parameter ρ und c die Materialkennwerte σd und κ = σd /σz zu verwenden. Aus (2.6) ergibt sich dann, dass f¨ ur Gleiten eine der folgenden Bedingungen erf¨ ullt sein muss: κσ2 − σ1 κσ3 − σ2 κσ1 − σ3 (2.7) = σd , = σd , = σd . −σ1 + κσ3 −σ2 + κσ1 −σ3 + κσ1 Hierbei wurden die Hauptspannungen nicht von vornherein ihrer Größe nach geordnet. Die zugehörige Versagensfläche ist eine sechsflächige Pyramide um die hydrostatische Achse (Bild 2.4b). Ihr Scheitel befindet sich bei σ1 = σ2 = σ3 = σd /(κ − 1). Die Versagenskurve im ebenen Spannungszustand wird durch das in Bild 2.4c dargestellte Sechseck gebildet. Wie eingangs erwähnt, nimmt man an, dass Gleiten in Schnitten stattfindet, in welchen (2.5) erf¨ ullt ist. Ihnen entsprechen in Bild 2.4a die Punkte A und A . Die Normale der Gleitebene liegt demgemäß in der von der größten Hauptspannung σ1 und der kleinsten Hauptspannung σ3 aufgespannten Ebene. Sie schließt mit der Richtung von σ1 die Winkel Θ1,2 = ±(45◦ − ρ/2)

(2.8)

ein. Die mittlere Hauptspannung σ2 hat nach dieser Hypothese keinen Einfluss auf das Versagen und den Versagenswinkel. Hingewiesen sei noch auf die Tatsache, dass Versagen entlang der durch (2.8) bestimmten Fläche nur dann eintritt, falls dies auch kinematisch möglich ist. Das Ergebnis (2.8) f¨ ur die Orientierung der Versagensfläche wird unter anderem in der Geologie dazu benutzt, um unterschiedliche Typen von Verwerfungen der Erdkruste zu erklären. Dabei wird davon ausgegangen, dass alle Hauptspannungen Druckspannungen sind (|σ3 | ≥ |σ2 | ≥ |σ1 |) und in vertikaler Richtung (senkrecht zur Erdoberfläche) bzw. horizontaler Richtung wirken. Eine NormalVerwerfung wird danach mit einer Situation erklärt, bei der die vertikale Hauptspannung betragsmäßig größer ist als die in horizontaler Richtung wirkenden Hauptspannungen (Bild 2.5a). Bei einer Schiebe-Verwerfung wird dagegen angenommen, dass die vertikale Druckspannung die betragsmäßig kleinste Hauptspannung ist (Bild 2.5b). Schließlich bringt man eine durchlaufende Verwerfung in Verbindung mit einem vertikalen Druck σ2 , der betragsmäßig zwischen der größten und der kleinsten Hauptspannung liegt (Bild 2.5c).

47

Versagenshypothesen

σ3

σ1

σ2

σ3

σ1

σ3

θ a)

θ

σ1

θ

b)

c)

Bild 2.5 Verwerfungen Aus Experimenten geht hervor, dass die Coulomb-Mohr-Hypothese das Verhalten verschiedener Materialien zwar im Druckbereich gut, doch im Zugbereich weniger gut beschreibt. Verantwortlich hierf¨ ur kann in verschiedenen Fällen eine ¨ Anderung des Versagensmechanismus gemacht werden. Dies trifft insbesondere dann zu, wenn im Zugbereich Versagen nicht infolge Gleiten eintritt, sondern mit einer Dekohäsion der Schnittflächen senkrecht zur größten Zugspannung verbunden ist. Eine Möglichkeit zur Verbesserung der Versagensbedingung besteht dann zum Beispiel darin, die Versagensfläche durch Normalspannungsabschnitte (tension cutoff ) zu modifizieren (Bild 2.6). hydrostatische Achse

σ3 −σd

σ3 = 0 σ2

σz −σd

−σd

σ2 σz

σ1 σz

σz σ1 −σd

−σd a)

b) Bild 2.6 Tension cutoff

Die Hypothese (2.5) geht von einem linearen Zusammenhang zwischen τ und σ aus. Eine Verallgemeinerung der Art | τ |= h(σ)

(2.9)

wurde von O. Mohr (1900) vorgeschlagen, wobei die Funktion h(σ) experimentell zu bestimmen ist. Letztere stellt im σ-τ -Diagramm die Einh¨ ullende der zulässigen Mohrschen Kreise dar (Bild 2.7). Wie schon bei der Hypothese (2.5) hat auch hier die mittlere Hauptspannung σ2 keinen Einfluss auf das Versagen. Insofern

48


kann man beide als spezielle (nicht allgemeine) Formen einer Versagensbedingung F (σ1 , σ3 ) = 0 ansehen. τ

τ = h(σ)

σ3

σ2

σ1

σ

Bild 2.7 Mohrsche Versagenshypothese

2.2.5

Drucker-Prager-Hypothese

Nach der Hypothese von D.C. Drucker (1918-) und W. Prager (1903-1980) kommt es zum Versagen, wenn die Bedingung (2.10a) F (Iσ , IIs ) = α Iσ + IIs − k = 0 erf¨ ullt ist. Darin sind Iσ , IIs Invarianten des Spannungstensors bzw. seines Deviators und α, k Materialparameter. Mit σm = σoct = Iσ /3 und τoct = 2 IIs /3 kann man (2.10a) ähnlich wie die Mohr-Coulomb-Hypothese deuten. Versagen tritt danach ein, wenn die Oktaederschubspannung τoct einen Wert annimmt, der linear von der mittleren Normalspannung σm abhängt (vgl. (2.5)): √ (2.10b) τoct = − 6 α σm + 2/3 k . Die durch (2.10a,b) aufgespannte Versagensfläche im Raum der Hauptspannungen bildet einen Kreiskegel um die hydrostatische Achse mit dem Scheitel bei ur den ebenen σ1 = σ2 = σ3 = k/3α (Bild 2.8a). Die zugeordnete Versagenskurve f¨ Spannungszustand (σ3 = 0) ist eine Ellipse (Bild 2.8b). Wie die Coulomb-MohrHypothese findet die Drucker-Prager-Hypothese als Fließ- bzw. Bruchbedingung vorwiegend Anwendung bei granularen und geologischen Materialien. F¨ ur α = 0 geht sie in die von Misessche Fließbedingung u ¨ber. Experimente zeigen, dass in manchen Fällen die Beschreibung der Versagensbedingung mittels zweier Materialparameter nicht hinreichend ist. Sie muss dann geeignet modifiziert werden. Als Beispiel sei eine Möglichkeit der Erweiterung der Drucker-Prager-Hypothese angegeben, welche verschiedentlich Anwendung findet: F (Iσ , IIs ) = α Iσ + IIs + β Iσ2 − k = 0 . (2.11)

49

Deformationsverhalten beim Versagen

Darin ist β ein weiterer Materialkennwert. hydrostatische Achse

σ3 σz −σd

σz =

k √ α + 1/ 3

−σd σz

σz −σd

a)

σ2

σ2

σ1

−σd =

σ1

k √ α − 1/ 3

b) Bild 2.8 Drucker-Prager-Hypothese

2.3

Deformationsverhalten beim Versagen

Die Versagensbedingungen alleine lassen keinen unmittelbaren Schluss auf das Deformationsverhalten bzw. die Kinematik beim Versagen zu. Aussagen hieru ¨ber kann man nur dann machen, wenn mit der Versagenhypothese a priori eine bestimmte kinematische Vorstellung verbunden ist, oder wenn man eine solche Annahme zusätzlich einf¨ uhrt.

σ1

σ1

τ σ

σ1 a)

b) Bild 2.9 Bruchflächen

Beim Versagen infolge Bruch wird ein Körper in zwei oder mehrere Teile getrennt. Dies geht einher mit der Schaffung neuer Oberflächen, d.h. der Bildung von Bruchflächen. Der dabei ablaufende kinematische Vorgang kann mit einfachen Mitteln nicht beschrieben werden. Nur bei hinreichend gleichförmigen Spannungszuständen lassen sich Aussagen treffen, die sich an experimentellen Erfahrungen

50


orientieren. Letztere zeigen zwei Grundmuster der Bildung von Bruchflächen. Beim normalflächigen Bruch fällt die Bruchfläche mit der Schnittfläche zusammen, in der die größte Hauptnormalspannung wirkt; diese muss eine Zugspannung sein (Bild 2.9a). Wird die Bruchfläche dagegen von Schnitten gebildet, in denen eine bestimmte Schubspannung (z.B. τmax , τoct etc.) einen kritischen Wert annimmt, so spricht man von einem scherflächigen Bruch (Bild 2.9b). Abhängig vom Spannungszustand und vom Materialverhalten treten diese beiden Typen auch in vielfältigen Mischformen auf. Kennzeichnet “Versagen” das Einsetzen von Fließen, so entspricht die Versagensbedingung einer Fließbedingung. Im Rahmen der inkrementellen Plastizität lassen sich dann die beim Fließen auftretenden Deformationen mit Hilfe der Fließregel dεpij = dλ ∂F/∂σij beschreiben (vgl. Abschnitt 1.3.3.2). F¨ ur die von Misessche und die Trescasche Fließbedingung sind die entsprechenden Gleichungen in (1.83a) und (1.84) zusammengestellt. Als Beispiel seien hier noch die inkrementellen Spannungs-Dehnungs-Beziehungen f¨ ur das Drucker-Prager-Modell angegeben. Vorausgesetzt sei dabei, dsss die Fließfläche unabhängig von der Deformationsgeschichte ist (ideal plastisches Material). Die Fließregel liefert in diesem Fall mit (2.10a,b), Iσ = σkk = σij δij und IIs = 12 sij sij formal das Ergebnis sij p √ dεij = dλ α δij + . (2.12) 2 IIs Auf die Bestimmung von dλ sei hier verzichtet. Es sei angemerkt, dass nach (2.12) im allgemeinen plastische Volumenänderungen auftreten; f¨ ur das entsprechende Inkrement ergibt sich dεpkk = 3α dλ. Experimente legen allerdings nahe, dass bei granularen Materialien die assoziierte Fließregel nicht g¨ ultig ist. Fließen erfolgt hier also nicht senkrecht zur Fließfläche. Gleichung (2.12) sollte folglich f¨ ur solche Werkstoffe nicht verwendet werden.

2.4

¨ Ubungsaufgaben

Aufgabe 2.1 a) Leiten Sie f¨ ur das rotationssymmetrische ebene Problem eines linear-elastischen dickwandigen Zylinders (Innenradius ri , Außenradius ra ) unter Innendruck p die Spannungsverteilung her. Verwenden Sie dazu die komplexen Potentiale Φ(z) = Az

,

Ψ(z) =

B . z

ri p

b) Bestimmen Sie potentielle Versagensorte im Zylinder gemäß dem Hauptnormalspannungskriterium und dem Hauptschubspannungskriterium.

ra


51

L¨ osung a)

σϕϕ (r) = p

(ra /r)2 + 1 = σ1 > 0 (ra /ri )2 − 1

σrr (r) = −p

(ra /r)2 − 1 = σ2 < 0 (ra /ri )2 − 1

σrϕ = 0 b) Versagen nach dem Hauptnormalspannungskriterium findet wegen σϕϕ = σ1 > 0 auf Flächen senkrecht zur Umfangsrichtung (d.h. in radialer Richtung) statt. Die Hauptschubspannungslinien verlaufen wegen σrϕ = 0 u ¨ berall im Zylinder unter 45◦ zur radialen (bzw. Umfangs-) Richtung; sie sind demnach durch die Differentialbeziehung dr = rdϕ gegeben, deren Lösung ϕ(r) = ϕ0 + ln(r/ri ) logarithmische Spiralen beschreibt.

2.5

Literatur

Gould, P.L. (1994). Introduction to Linear Elasticity. Springer, New York Paul, B. (1968). Macroscopic Criteria for Plastic Flow and Brittle Fracture. In Fracture – A Treatise, Vol. 2, ed. H. Liebowitz, pp. 315-496, Academic Press, London Nadai, A. (1950). Theory of Flow and Fracture of Solids, Vol. 1. McGraw-Hill, New York

3 Ursachen und Erscheinungsformen des Bruchs

Die Ursachen und Erscheinungsformen des Bruchs sind sehr vielgestaltig. Dies liegt daran, dass die Phänomene entscheidend von den mikroskopischen Eigenschaften des Werkstoffes bestimmt werden, welche wiederum von Material zu Material stark variieren. In diesem Buch steht die kontinuumsmechanische Beschreibung des makroskopischen Bruchverhaltens im Vordergrund. Hierf¨ ur ist es jedoch vorteilhaft, einen gewissen Eindruck vom mikroskopischen Geschehen zu besitzen. Aus diesem Grund sind in diesem Kapitel sowohl einige mikroskopische als auch makroskopische Aspekte zusammengestellt. Erstere haben allerdings nur exemplarischen Charakter und orientieren sich an Erscheinungen in kristallinen bzw. polykristallinen Materialien, zu denen unter anderen die Metalle zählen.

3.1 3.1.1

Mikroskopische Aspekte Oberfl¨ achenenergie, Theoretische Festigkeit

Bruch ist die Trennung eines urspr¨ unglich ganzen Körpers in zwei oder mehrere Teile. Dabei werden die Bindungen zwischen den Bausteinen des Materials gelöst. Auf mikroskopischer Ebene sind dies zum Beispiel die Bindungen zwischen Atomen, Ionen, Molek¨ ulen etc.. Die Bindungskraft zwischen solchen zwei Elementen kann durch eine Beziehung a b F =− m+ n (3.1) r r ausgedr¨ uckt werden (Bild 3.1a). Darin sind a, b, m, n (m < n) Konstanten, die vom Typ der Bindung abhängen. F¨ ur kleine Auslenkungen aus der Gleichgewichtslage d0 kann F (r) durch einen linearen Verlauf approximiert werden; dies entspricht einem Stoffgesetz, wie es sich makroskopisch im Hookeschen Gesetz manifestiert. Bei der Lösung der Bindung, d.h. der Trennung der Elemente, leistet die Bindungskraft eine materialspezifische Arbeit W B , die negativ ist. Infolge der Trennung a¨ndert sich zum Beispiel bei einem idealen Kristall die Gittergeometrie in ¨ der unmittelbaren Umgebung der neugeschaffenen Oberfläche. Diese Anderung ist auf einige Gitterabstände ins Innere hinein beschränkt. Sieht man von etwaigen dissipativen Vorgängen ab, und betrachtet man das Material vom makroskopischen Standpunkt als Kontinuum, so kann man die Arbeit der Bindungskräfte als Oberflächenenergie (= gespeicherte Energie an der Oberfläche) wiederfinden.


54

Ursachen und Erscheinungsformen des Bruchs

σ

F F

σ

Hooke

σc r d0

d0 + x

d0 r

WB

d0

a)

a

σ

x

b)

Bild 3.1 Theoretische Festigkeit Diese ist definiert als Γ0 = γ 0 A ,

(3.2)

0

worin A die neugeschaffene Oberfläche und γ die spezifische Oberflächenenergie sind. Im weiteren betrachten wir als Beispiel den Trennvorgang von zwei Atomebenen eines Kristallgitters, wobei wir f¨ ur die dabei auftretende Spannung σ einen Verlauf ähnlich zur Bindungskraft annehmen (Bild 3.1b). Dieser kann im Zugspannungsbereich durch eine Beziehung σ ≈ σc sin (πx/a) approximiert werden. F¨ ur kleine Verschiebungen x folgt hieraus σ ≈ σc πx/a. Gleichsetzen mit dem Hookeschen Gesetz σ = Eε = Ex/d0 liefert f¨ ur die bei der Trennung zu u ¨berwindende Kohäsionsspannung oder sogenannte Theoretische Festigkeit σc ≈ E

a . πd0

(3.3)

Nehmen wir zusätzlich noch an, dass die Bindung f¨ ur a ≈ d0 vollständig gelöst ist, so erhält man die Abschätzung σc ≈

E . π

(3.4)

Aus der Arbeit der Spannung lässt sich mit den getroffenen Annahmen auch die Oberflächenenergie γ 0 bestimmen. Unter Beachtung, dass bei der Trennung zwei neue Oberflächen geschaffen werden, ergibt sich zunächst ∞

a σ(x)dx ≈

2γ 0 = 0

σc sin

2a πx dx = σc . a π

(3.5)

0

Mit a ≈ d0 und (3.4) folgt hieraus γ0 ≈

Ed0 . π2

(3.6)

Mikroskopische Aspekte

55

Wendet man die Beziehungen (3.4) und (3.6) auf Eisen bzw. Stahl an, so errechnen sich mit E = 2, 1 · 105 MPa und d0 = 2, 5 · 10−10 m die Ergebnisse σc ≈ 0, 7 · 105 MPa , γ 0 ≈ 5 J/m2 . Entsprechenden Werten kann man allerdings nur bei defektfreien Einkristallen (Whiskern) nahekommen. Bei realem, polykristallinem Material ist die Bruchfestigkeit dagegen um zwei bis drei Zehnerpotenzen geringer. Gleichzeitig u ¨ bersteigt der Energiebedarf bei der Schaffung neuer Bruchoberflächen den Wert nach (3.6) um mehrere Zehnerpotenzen. Die Ursachen hierf¨ ur liegen in der inhomogenen Struktur des Materials und vor allem in seinen Defekten. An dieser Stelle sei angemerkt, dass die Bindungskraft (3.1) aus einem Wechselwirkungspotential Φ(r) hergeleitet werden kann: F = −∂Φ/∂r. Ein typisches Potential f¨ ur die Wechselwirkung von Atomen ist das Lennard-Jones Potential (J. Lennard-Jones, 1924) A B ΦLJ (r) = − 6 + 12 . (3.7) r r Sein erster Term beschreibt die anziehenden van der Waal’s-Kräfte während der zweite Term f¨ ur die nahwirkenden, abstoßenden Kräfte verantwortlich ist. Obwohl es oft die wirkenden Kräfte nicht genau widergibt, wird dieses Potential häufig f¨ ur grundlegende Untersuchungen verwendet. Hierzu gehören insbesondere molekulardynamische Simulationen, die auch Trennprozesse auf der Mikroskala einschließen. 3.1.2

Mikrostruktur und Defekte

Polykristallines Material besteht aus Kristallen (Körner), die entlang der Korngrenzen miteinander verbunden sind. Die einzelnen Kristalle haben anisotrope Eigenschaften; die Orientierung ihrer kristallografischen Ebenen bzw. Achsen ändert sich von Korn zu Korn. Die Eigenschaften der Korngrenzen weichen zudem von denen der Körner zum Beispiel aufgrund von Ausscheidungen ab. Neben diesen Unregelmäßigkeiten im Materialaufbau enthält ein reales Material von Anfang an eine Anzahl von Defekten unterschiedlicher Größenordnung. Von der charakteristischen Länge einer oder mehrerer Kornabmessungen können zum Beispiel durch den Herstellungsprozess bedingte Einschl¨ usse mit stark abweichenden Materialeigenschaften, Hohlräume oder Mikrorisse sein. Aus physikalischer Sicht spricht man dabei meist von Defekten auf der Mesoskala. Hinzu kommen die Defekte auf der Mikroskala, worunter Fehler im Kristallgitter selbst verstanden werden. Man unterscheidet dabei Punktimperfektionen (Leerstellen, Zwischengitteratome, Fremdatome), Linienimperfektionen (Versetzungen) und Flächenimperfektionen (Kleinwinkelkorngrenzen, Großwinkelkorngrenzen, Zwillingsgrenzen). Eine besondere Rolle hinsichtlich des mechanischen Verhaltens spielen die Versetzungen. Die Geometrie dieser Gitterstörung ist in Bild 3.2a f¨ ur die Stufen-

56


versetzung und in Bild 3.2b f¨ ur die Schraubenversetzung dargestellt. Charakterisiert werden kann eine Versetzung durch den Burgers-Vektor b (J.M. Burgers (1895-1981)): bei der Stufenversetzung steht b senkrecht auf der Versetzungslinie, bei der Schraubenversetzung zeigt b in Richtung der Versetzungslinie (Bild 3.2a,b). Es sei angemerkt, dass Versetzungen ein Eigenspannungsfeld bewirken, dem eine elastische Energie zugeordnet werden kann (vgl. Abschnitt 8.2.1).

Versetzungslinie Versetzungslinie b

b

a)

b) τ τ

Gleitebene

τ

τ c)

d) Bild 3.2 Versetzungen

Unter der Wirkung von Schubspannungen kommt es in der Umgebung der Versetzungslinie zur Umordnung der Atome und damit zu einer Verschiebung der Versetzung (Bild 3.2c). Die dabei geleistete Arbeit wird im wesentlichen als Wärme (= Gitterschwingung) dissipiert. Die Bewegung von Versetzungen hat ein “Abgleiten” der Gitterebenen zur Folge und kann zur Bildung einer neuen Oberfläche f¨ uhren (Bild 3.2d). Auf diesen mikroskopischen Mechanismus ist das makroskopisch plastische Materialverhalten zur¨ uckzuf¨ uhren. Die Versetzungsbewegung innerhalb eines Kristalls ist dabei häufig nicht gleichförmig verteilt, sondern in Gleitbändern lokalisiert. In der Regel können Versetzungen nicht unbeschänkt wandern. Vielmehr stauen sie sich an Hindernissen, wie zum Beispiel Einschl¨ ussen


57

oder Korngrenzen auf. Makroskopisch macht sich dieser Versetzungsstau als Verfestigung bemerkbar. Im Gegensatz zu kristallinen Materialien liegen in amorphen Festkörpern wie Gläsern oder zahlreichen Kunststoffen die einzelnen Atome und Molek¨ ule völlig ungeordnet vor. Dadurch lassen sich keine Störungen eines regelmäßigen Gitters mehr wie Versetzungen oder Korngrenzen identifizieren; Defekte sind im wesentlichen durch eingeschlossene Fremdpartikel oder Mikroporen gegeben. Charakteristisches Merkmal polymerer Materialien (Kunststoffe) ist ihr Aufbau aus langen Molek¨ ulketten, die im Fall einer amorphen Mikrostruktur regellos verknäuelt sind. Der Zusammenhalt zu einem Festkörper wird durch zwei Arten von Kräften bzw. Bindungen gewährleistet: a) den intramolekularen Kräften zwischen benachbarten Atomen innerhalb einer Polymerkette aufgrund kovalenter chemischer Bindungen und b) den deutlich schwächeren intermolekularen van der Waals-Kräften zwischen Atomen unterschiedlicher Ketten. Aufgrund von lokalen Verschlaufungen oder auch chemischen Bindungen bilden die Molek¨ ulketten ein verzweigtes dreidimensionales Netzwerk. Mikroskopische Deformationen unter der Wirkung einer äußeren Belastung finden zunächst in Form von Rotationen einzelner Kettensegmente und die Verstreckung der Ketten statt. Die Auflösung intermolekularer Vernetzungspunkte und das Reißen von Ketten stellen mikroskopische Schädigungsmechanismen dar, die bevorzugt an Heterogenitäten des Molek¨ ulnetzwerks sowie an eingeschlossenen Fremdpartikeln (z.B. Staubkörner) ¨ auftreten. Ahnlich wie im Fall kristalliner Materialien kommt es dabei zur lokalen Bildung von Mikroporen. Mit zunehmender Deformation findet die Porenbildung lokalisiert in d¨ unnen Zonen senkrecht zur makroskopischen Hauptbelastungsrichtung statt, wobei das Polymermaterial zwischen den Poren zu sogenannten Fibrillen (B¨ undeln aus Molek¨ ulketten) verstreckt wird (Bild 3.3). Dieser mesoskalige Schädigungsmechanismus wird als Crazing bezeichnet und stellt in Kunststoffen häufig die Vorstufe zur Bildung von Mikrorissen dar. Letztere entstehen aus Craze-Zonen durch das Reißen der Fibrillen.

Bild 3.3 Craze-Zone in thermoplastischem Kunststoff

58


In mehrphasigen Werkstoffen wie faser- oder partikelverstärkten Kompositen aber auch Beton und Asphalt ist die bruchmechanisch relevante Mikrostruktur durch die gezielt heterogene Zusammensetzung gegeben. Die maßgeblichen mikroskopischen Schädigungsmechanismen, die zu einer Rissbildung f¨ uhren können, sind der lokale Bruch der u ¨ blicherweise spröden Verstärkungspartikel (-fasern) sowie deren Grenzflächenablösung von der umgebenden Matrix. Das Zusammenwachsen dieser mesoskaligen Defekte zu einem makroskopischen Riss spielt sich in der Regel auf einem räumlich wesentlich weiter ausgedehnten Bereich ab als bei unverstärkten Kunststoffen oder polykristallinen Metallen. 3.1.3

Rissbildung

In polykristallinen Werkstoffen gibt es beim Deformationsprozess unterschiedliche Mechanismen der Bildung von Mikrorissen im zunächst rissfreien Material. Eine Trennung der Atomebenen ohne begleitende Versetzungsbewegung kommt in dieser Reinheit kaum vor. Mikrorissbildung und -ausbreitung ist praktisch immer mit mehr oder weniger stark ausgeprägten mikroplastischen Vorgängen verbunden.

a)

b) Bild 3.4 a) transkristalliner Riss, b) interkristalliner Riss

Ein wichtiger Mechanismus bei der Bildung von Mikrorissen ist der Stau von Versetzungen an einem Hindernis. Er bewirkt eine hohe Spannungskonzentration, die zur Lösung der Bindungen entlang bevorzugter Gitterebenen und damit zu einem Spaltriss (cleavage) f¨ uhren kann. Durchläuft ein solcher Riss mehrere Körner, so ändert sich die Orientierung der Trennfläche entsprechend den lokalen Vorzugsrichtungen der Kristalle (Bild 3.4a). Man bezeichnet solch einen Bruch als transkristallin. Bei hinreichend schwachen Bindungen entlang der Korngrenzen kommt es – beg¨ unstigt durch Versetzungsstau und Korngrenzengleiten – dort zur Separation. Man spricht dann von einem interkristallinen Bruch (Bild 3.4b). Beide genannten Brucharten verlaufen makroskopisch spröd . Sie sind mit keinen oder nur sehr geringen makroskopisch inelastischen Deformationen verbunden, und sie benötigen eine geringe Energie. Ein Versetzungsstau bewirkt nicht nur eine Spannungskonzentration, sondern man kann ihn auch als die Ursache f¨ ur die Bildung submikroskopischer Poren und Löcher verantwortlich machen. Dies ist in Bild 3.5 schematisch dargestellt:


59

Bild 3.5 Bildung und Wachstum von Poren

die Vereinigung von Versetzungen f¨ uhrt zur Bildung und zum Wachstum von Hohlräumen. Kristalline Werkstoffe sind häufig mehrphasig; sie enthalten eine hohe Zahl von Partikeln, die an den Korngrenzen oder in den Kristallen eingebettet sind. In ihrer Umgebung kommt es bei hinreichender Mobilität der Versetzungen vor einer Mikrorissbildung zunächst zu plastischen Deformationen. Der damit verbundene Versetzungsstau f¨ uhrt dann zur Bildung und zum Wachstum von Hohlräumen um die Partikel: deren Bindungen zur umgebenden Matrix werden gelöst. Mit zunehmender makroskopischer Deformation wachsen die Löcher durch mikroplastisches Fließen an, vereinigen sich und f¨ uhren auf diese Weise zur Separation (Bild 3.6). Entsprechende Bruchoberflächen zeigen eine typische Struktur von Waben oder Gr¨ ubchen (dimples), die durch mikroplastisch stark verformte Zonen getrennt sind. Die f¨ ur so einen Bruch erforderliche Energie ist um ein vielfaches größer als die des Spaltbruchs.

Bild 3.6 Bruch durch Lochbildung und -vereinigung

Die Lokalisierung der Gleitvorgänge in Gleitbändern kann ebenfalls Anlass zur Rissbildung sein. Insbesondere bei hinreichend großer wechselnder Belastung f¨ uhrt sie an der äußeren Oberfläche oder an Inhomogenitäten zu Extrusionen und Intrusionen (Bild 3.7). Ergebnis der zunehmenden “Aufrauhung” der Oberfläche ist die Bildung eines Ermüdungsrisses.

60


Bild 3.7 Bildung eines Erm¨ udungsrisses 3.1.4

Perkolation

Defekte in einen realen Material sind im allgemeinen nicht in perfekt regelmäßiger räumlicher Anordnung verteilt (Bild 3.8a). Daher kommt es in einer solchen Mikrostruktur mit zunehmendem Anteil an Defekten (z.B. Volumenanteil oder Rissdichte) zwangsläufig zur Bildung sogenannter Cluster, d.h. lokalen Anhäufungen von Defekten (Bild 3.8b; siehe auch Bild 3.6). In einem Cluster sind mehrere Defekte physikalisch so miteinander verbunden (z.B. zusammengewachsene Mikrorisse oder -poren), dass sie sich wie ein einzelner größerer Defekt auswirken. Solange solche Cluster isoliert in der umgebenden Matrix vorliegen, ist ihr Einfluss auf das makroskopische Verhalten eines heterogenen Materials begrenzt. Jedoch wird bei einem kritischem Defektanteil fc , der sogenannten Perkolationsgrenze, die Situation erreicht, dass ein zusammenhängendes Cluster sich durch die gesamte Mikrostruktur erstreckt (Bild 3.8c). Je nach Defekttyp erfahren die makroskopischen physikalischen Eigenschaften eines Materials dabei drastische ¨ Anderungen. Im Fall von Mikroporen oder -rissen beispielsweise kann die maa)

b)

c)

Bild 3.8 Zunehmender Defektanteil f in irregulärer Mikrostruktur: a) isolierte Defekte: f1 fc , b) einzelne (isolierte) Cluster: f2 < fc , c) Perkolationsgrenze f = fc

61

Makroskopische Aspekte

krokopische Permeabilität (Durchlässigkeit) eines Festköpers gegen¨ uber Fluiden an der Perkolationsgrenze von Null auf einen endlichen Wert springen (und f¨ ur f > fc weiter ansteigen), während die makroskopische elastische Steifigkeit nach einer kontinuierlichen Abnahme f¨ ur f > fc völlig verschwindet. Die Perkolationsgrenze hängt maßgeblich von der Defektgeometrie ab, aber auch davon, ob die Defektverteilung als räumlich (dreidimensional) oder eben (zweidimensional) betrachtet wird. Wegen der vielfältigen physikalischen Bedeutung wird das Phänomen der Perkolation nicht nur experimentell sondern auch theoretisch mit statistischen Methoden und massiven Computersimulationen untersucht. Einige auf diese Weise ermittelte Perkolationsgrenzen sind in Tabelle 3.1 angegeben. Der Aspekt der Perkolationsgrenze in Zusammenhang mit analytischen mikromechanischen Modellen wird auch in Abschnitt 8.3 diskutiert. Tabelle 3.1 Perkolationsgrenzen fc Defekttyp Kugeln (3D) 0.289 ... 0.3 zufällig orientierte W¨ urfel (3D) 0.217 ... 0.28 Kreisscheiben (2D) 0.67 ... 0.68 zufällig orientierte Quadrate (2D) 0.625 ... 0.67

3.2 3.2.1

Makroskopische Aspekte Rissausbreitung

Aus makroskopischer Sicht betrachten wir das Material im weiteren als Kontinuum, das a priori rissbehaftet ist. Dabei kann es sich entweder um einen tatsächlich vorhandenen makroskopischen Riss gegebener geometrischer Konfiguration handeln, oder um angenommene, hypothetische Risse von eventuell sehr kleiner Größe. Letztere sollen die makroskopisch nicht sichtbaren, im realen Material jedoch immer vorhandenen Defekte oder Mikrorisse nachbilden. Die Frage der Rissentstehung in einem anfangs ungeschädigten Material wird bei dieser Betrachtungsweise ausgeklammert. Sie lässt sich mit den Mitteln der klassischen Kontinuumsmechanik nicht beantworten. Eine Beschreibung der Rissentstehung ist nur mit der Kontinuums-Schädigungsmechanik möglich, welche die mikroskopische Defektstruktur mitber¨ ucksichtigt (vgl. Kapitel 9). Ein Bruchvorgang ist immer mit einem Risswachstumsprozess verbunden. Beide kann man nach verschiedenen phänomenologischen Gesichtspunkten klassifizieren. Die typischen Phasen im Verhalten eines Risses bei einer Belastung werden folgendermaßen gekennzeichnet. Solange der Riss seine Größe nicht a¨ndert,

62


spricht man von einem stationären Riss. Bei einer bestimmten kritischen Belastung bzw. Deformation kommt es zur Rissinitiierung, das heißt der Riss beginnt sich auszubreiten; er wird instationär. Bei der Rissausbreitung unterscheidet man verschiedene Arten. Man nennt ein Risswachstum stabil , wenn f¨ ur eine Rissvergrößerung eine Erhöhung der äußeren Belastung erforderlich ist. Im Gegensatz dazu ist ein Risswachstum instabil , wenn ein Riss sich von einem bestimmten Punkt an ohne weitere Erhöhung der äußeren Last spontan ausbreitet. An dieser Stelle sei schon darauf hingewiesen, dass im stabilen bzw. instabilen Risswachstum nicht nur Werkstoffeigenschaften zum Ausdruck kommen. Ganz wesentlich gehen auch die Geometrie und die Art der Belastung des Körpers ein. Eine Rissausbreitung unter konstanter Belastung, die sehr langsam, kriechend erfolgt (z.B. mit 1 mm/s oder weniger), heißt subkritisch. Unter Wechselbelastung kann sich sich Riss in kleinen “Schritten” fortpflanzen (z.B. mit 10−6 mm pro Zyklus): dies ist dann ein Ermüdungsrisswachstum. Findet die Rissausbreitung mit Geschwindigkeiten statt, die in die Größenordnung der Schallgeschwindigkeit kommen (z.B. 600 m/s oder mehr), so nennt man sie schnell . Kommt solch ein schneller Riss wieder zum Stillstand, so bezeichnet man dies als Rissarrest. Zur weiteren Kennzeichnung unterscheidet man noch zwischen quasistatischer und dynamischer Rissausbreitung. Die Trägheitskräfte spielen bei ersterer keine Rolle, sind aber bei der zweiten nicht zu vernachlässigen. 3.2.2

Brucharten

Der Bruchvorgang ist beendet, wenn die Rissausbreitung zum Stillstand gekommen ist, oder wenn - was häufiger eintritt - eine vollständige Trennung des Körpers in zwei oder mehrere Teile erfolgt ist. Nach den typischen Erscheinungen teilt man das Gesamtereignis Bruch in verschiedene Arten ein. Bei einem duktilen Bruch (Zähbruch) ist die dem Bruch vorhergehende bzw. die ihn begleitende plastische Deformation groß. Bei einachsiger Zugbelastung von metallischen Stäben ohne makroskopischen Anriss treten dabei inelastische Dehnungen von mehr als 10% auf. Bei Körpern mit einem Anriss sind diese Dehnungen häufig auf die Umgebung der Rissspitze bzw. die Umgebung der Bruchoberfläche konzentriert. Der zugehörige mikroskopische Versagensmechanismus bei metallischen Werkstoffen ist plastisches Fließen mit Hohlraumbildung und -vereinigung. Von einem Sprödbruch spricht man, wenn makroskopisch nur kleine inelastische Deformationen auftreten (= verformungsarmer Bruch) oder diese Null sind (= verformungsloser Bruch). In diesem Fall sind an zugbelasteten Stäben ohne Anriss plastische Dehnungen von 0 vorausgesetzt; hiermit ist dann auch die Formänderungsenergie beschränkt. Den Sonderfall λ = 0 klammern wir zunächst aus; er entspricht nach (1.121) einer spannungsfreien Starrkörperverschiebung. Aus (4.1) errechnet sich nach (1.121) mit z = reiϕ 2iτyz = Ω (z) − Ω (z) = Aλr λ−1 e−i(λ−1)ϕ − Aλrλ−1 ei(λ−1)ϕ . Die Randbedingungen verlangen, dass die Rissufer (ϕ = ±π) belastungsfrei sind: τyz (±π) = 0. Dies f¨ uhrt auf das homogene Gleichungssystem Ae−iλπ −Aeiλπ Aeiλπ

=0,

−Ae−iλπ = 0 .

(4.2)

Eine nichttriviale Lösung existiert, wenn seine Koeffizientendeterminante verschwindet. Die “Eigenwerte” λ ergeben sich danach wie folgt: sin 2λπ = 0

→

λ = n/2

n = 1, 2, 3, . . . .

(4.3)

Einsetzen dieses Resultats in eine Gleichung aus (4.2) liefert schließlich A = (−1)n A.

68

Lineare Bruchmechanik

Zu jedem der unendlich vielen Eigenwerte λ gehört eine Eigenfunktion vom Typ (4.1), welche die Randbedingungen erf¨ ullt. Die Eigenfunktionen können beliebig superponiert werden: Ω = A1 z 1/2 + A2 z + A3 z 3/2 + . . . .

(4.4)

Dementsprechend lassen sich die Spannungen ταz mit α = x, y und die Verschiebung w in folgender Form darstellen: ταz = r−1/2 τˆαz (ϕ) + (1)

w − w0 = r1/2 wˆ (1) (ϕ)

(2)

(3)

τˆαz (ϕ) + r1/2 τˆαz (ϕ)

+... ,

+ rwˆ (2) (ϕ) + r3/2 wˆ (3) (ϕ) + . . . .

(4.5)

(1)

Hierin sind τˆαz (ϕ), wˆ (1) (ϕ), . . . Funktionen vom Winkel ϕ, die bis auf jeweils einen Faktor festgelegt sind. Durch w0 soll eine mögliche Starrkörperverschiebung erfasst werden. Nähert man sich der Rissspitze (r → 0), dann kann das Feld alleine durch den dominierenden ersten Term in (4.4) bzw. in (4.5) beschrieben werden; er gehört zum kleinsten Eigenwert λ = 1/2. Die zugeordneten Spannungen und Verschiebungen sind durch τxz − sin (ϕ/2) r KIII 2KIII √ = sin (ϕ/2) (4.6) , w= G 2π 2πr cos (ϕ/2) τyz gegeben. Danach haben die Spannungen an der Rissspitze eine Singularität vom Typ r −1/2 . Das singuläre Rissspitzenfeld ist durch (4.6) bis auf den Faktor KIII festgelegt. Dieser wird als Spannungsintensitätsfaktor oder kurz als K-Faktor bezeichnet, wobei der Index auf die Modus III Rissöffnung hindeutet. Man kann KIII als Maß f¨ ur die “Stärke” des Rissspitzenfeldes ansehen, welches letztlich durch ihn vollständig charakterisiert wird. Umgekehrt lässt sich KIII aus (4.6) bestimmen, wenn in der Umgebung der Rissspitze die Spannungen oder Verschiebungen bekannt sind. Nach (4.6) gilt zum Beispiel √ KIII = lim 2πr τyz (ϕ = 0) . (4.7) r→0

Wie die Spannungen und Verschiebungen hängt die Größe des K-Faktors von der geometrischen Form des Körpers und von seiner Belastung ab. Der zweite Term in (4.5) gehört zum Eigenwert λ = 1. Er f¨ uhrt auf die nichtsingulären Spannungen und Verschiebungen (2) τxz τ τ , w(2) = T r cos ϕ = T x , (4.8) = τT G G τyz wobei τT eine noch unbestimmte konstante Schubspannung ist. Dieser Beitrag zum gesamten Feld ist unmittelbar an der Rissspitze von untergeordneter Bedeutung. In einiger Entfernung von der Rissspitze kann er jedoch nicht vernachlässigt werden.

69

Rissspitzenfeld

EVZ und ESZ, Modus I und Modus II F¨ ur den ebenen Verzerrungszustand (EVZ) und den ebenen Spannungszustand (ESZ) bestimmen wir das Rissspitzenfeld unter Verwendung der zwei komplexen Funktionen Φ(z) und Ψ(z) (vgl. Abschnitt 1.5.2). Die Vorgehensweise ist dabei analog zum longitudinalen Schub. Als Lösungsansatz findet Φ(z) = Az λ ,

Ψ(z) = Bz λ

(4.9)

Verwendung, wobei der Exponent λ wieder als reell und positiv angenommen wird. Aus (4.9) bestimmen wir nach (1.120) zunächst σϕ + iτrϕ = Φ (z) + Φ (z) + zΦ (z) + Ψ (z)z/z = Aλr λ−1 ei(λ−1)ϕ + Aλr λ−1 e−i(λ−1)ϕ

(4.10)

+Aλ(λ − 1)r λ−1 ei(λ−1)ϕ + Bλrλ−1 ei(λ+1)ϕ . ullt Entlang der Rissufer ϕ = ±π m¨ ussen die Randbedingungen σϕ + iτrϕ = 0 erf¨ sein. Sie liefern unter Beachtung von e−iπ = eiπ = −1 das homogene Gleichungssystem Aλe−iλπ +Aeiλπ +Be−iλπ =0, Aλeiλπ

+Ae−iλπ

Ae−iλπ

+Aλeiλπ

+Beiλπ

Aeiλπ

+Aλe−iλπ

+Be−iλπ = 0 .

+Beiλπ

=0,

(4.11)

=0,

Die letzten beiden Gleichungen sind dabei das konjugiert Komplexe der ersten beiden. Durch Nullsetzen der Koeffizientendeterminante erhält man eine Eigenwertgleichung, die auf die gleichen Eigenwerte wie beim longitudinalen Schubspannungszustand f¨ uhrt: cos 4λπ = 1

→

λ = n/2

n = 1, 2, 3, . . . .

(4.12)

Setzt man dies in eine Gleichung aus (4.11) ein, dann ergibt sich noch B = −nA/2 − (−1)n A. Die Spannungen σij und Verschiebungen ui mit i, j = x, y können wieder als Summe der zu den Eigenwerten gehörigen Eigenfunktionen dargestellt werden: σij = r−1/2 σ îj (ϕ) + (1)

ui − ui0 = r1/2 uˆ(1) i (ϕ)

(2)

(3)

(2)

(3)

σ îj (ϕ) + r 1/2 σ îj (ϕ) + . . . ,

(4.13)

+ rˆ ui (ϕ) + r 3/2 uî (ϕ) + . . . .

Darin beschreibt ui0 eine mögliche Starrkörperverschiebung. F¨ ur r → 0 dominiert der erste, in den Spannungen singuläre Term. Es ist zweckmäßig das zugeordnete Feld in einen symmetrischen und in einen antisymmetrischen Anteil bez¨ uglich der x-Achse aufzuspalten. Das symmetrische singuläre Feld entspricht einer Modus I

70


Rissöffnung, während das antisymmetrische Feld zu einer Modus II Rissöffnung f¨ uhrt. Die entsprechenden Rissspitzenfelder (Nahfelder) lassen sich in der folgenden Form darstellen: Modus I: ⎧ ⎫ ⎫ ⎧ σ 1 − sin (ϕ/2) sin (3ϕ/2) ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ x ⎪ ⎬ ⎬ ⎨ KI = √ σy cos (ϕ/2) 1 + sin (ϕ/2) sin (3ϕ/2) , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2πr ⎩ ⎭ ⎭ ⎩ τxy sin (ϕ/2) cos (3ϕ/2) cos (ϕ/2) u r KI , (κ − cos ϕ) = 2G 2π sin (ϕ/2) v Modus II: ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ σ − sin (ϕ/2)[2 + cos (ϕ/2) cos (3ϕ/2)] ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎨ x ⎪ ⎬ ⎨ KII σy sin (ϕ/2) cos (ϕ/2) cos (3ϕ/2) = √ , ⎪ ⎪ ⎪ 2πr ⎪ ⎩ ⎭ ⎭ ⎩ τxy cos (ϕ/2)[1 − sin (ϕ/2) sin (3ϕ/2)] sin (ϕ/2)[κ + 2 + cos ϕ] u KII r . = 2G 2π cos (ϕ/2)[κ − 2 + cos ϕ] v

(4.14)

(4.15)

Dabei gilt EVZ : ESZ :

κ = 3 − 4ν , κ = (3 − ν)/(1 + ν) ,

σz = ν(σx + σy ) , σz = 0 .

(4.16)

Danach liegt die Verteilung der Spannungen und Deformationen in der Umgebung der Rissspitze eindeutig fest. Sie wird exemplarisch f¨ ur den Modus I in Abschnitt 4.2.2 diskutiert. Die “Stärke” (Amplitude) des Rissspitzenfeldes wird durch die Spannungsintensitätsfaktoren KI und KII bestimmt. Diese hängen von der Geometrie des Körpers (einschließlich Riss) und von seiner Belastung ab. Sie lassen sich aus den Spannungen oder Deformationen ermitteln, sofern diese bekannt sind. Nach (4.14) und (4.15) gelten zum Beispiel die Beziehungen √ √ KII = lim 2πr τxy (ϕ = 0) . (4.17) KI = lim 2πr σy (ϕ = 0) , r→0

r→0

F¨ ur größere Abstände r von der Rissspitze kann der zweite Term in (4.13), der zum Eigenwert λ = 1 gehört, nicht vernachlässigt werden. Die zugehörigen nichtsingulären Spannungen und Verschiebungen lauten ⎧ ⎫(2) ⎧ σ σ ⎪ ⎪ ⎨ x ⎪ ⎨ T ⎬ σy 0 = ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⎭ 0 τxy

⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

,

u v

(2)

σ = T 8G

(κ + 1) x (κ − 3) y

,

(4.18)

71

Rissspitzenfeld

wobei σT eine noch unbestimmte konstante Spannung ist. Da sie transversal (längs zum Riss) wirkt, nennt man sie kurz T-Spannung. Aus (4.18) erkennt man, dass dieser Anteil des Feldes symmetrisch zur x-Achse ist und nur zur Modus-I Rissöffnung beiträgt. Die T-Spannung spielt eine wichtige Rolle wenn KI Null oder hinreichend klein ist. Sie repräsentiert dann den dominanten Teil des Modus-I Feldes. Das Feld in der Umgebung einer Rissspitze eines geraden Risses mit lastfreien Rissflanken wird nach (4.5) und (4.13) aus einer Summe von Eigenfunktionen gebildet. Von ihnen dominiert der singuläre erste Term (= Nahfeld), wenn man sich der Rissspitze nähert (r → 0); f¨ ur einen hinreichend großen Abstand r d¨ urfen die höheren Terme allerdings nicht vernachlässigt werden. Es lässt sich zeigen, dass das Nahfeld von der gleichen Form (4.6), bzw. (4.14), (4.15) ist, wenn die Rissufer belastet sind (Bild 4.4a) oder wenn Volumenkräfte auftreten. Dies trifft auch auf einen Riss zu, der im Bereich der Rissspitze gekr¨ ummt ist (Bild 4.4b).

y

r ϕ x

a)

b)

Bild 4.4 a) Rissuferbelastung, b) gekr¨ ummter Riss ur eine Rissspitze. Singuläre Spannungen Die r −1/2 –Singularität ist typisch f¨ mit einem eventuell anderem Typ der Singularität können aber auch bei vielen anderen Problemen der linearen Elastizität auftreten. Als Beispiel sei hier nur eine “rissähnliche” Spitzkerbe betrachtet, deren Flanken einen Winkel 2α bilden (Bild 4.5a). Der Ansatz (4.9) f¨ uhrt mit (4.11) und den Randbedingungen (σϕ + iτrϕ )ϕ=±α = 0 wieder auf ein homogenes Gleichungssystem. Dieses unterscheidet sich von (4.11) nur dadurch, dass an Stelle des Winkels π nun der Winkel α auftritt. Durch Nullsetzen der Koeffizientendeterminante erhält man die Eigenwertgleichung sin 2λα = ±λ sin 2α . (4.19) In Bild 4.5b ist der daraus resultierende kleinste Eigenwert dargestellt (auf die Angabe höherer Eigenwerte und der Eigenfunktionen sei hier verzichtet). Im Fall 2α ≤ π ist λ = 1; aus (4.9) folgen dann keine Spannungssingularitäten (vgl. auch (4.11)). F¨ ur die “einspringende Ecke” π < 2α < 2π liegt λ im Bereich 1/2 < λ < 1, und im Grenzfall 2α = 2π (Riss) ergibt sich das schon bekannte Ergebnis λ = 1/2. Hierzu gehören dann entsprechend (4.9) Spannungssingularitäten vom Typ σij ∼ rλ−1 . Damit lässt sich zum Beispiel die Spannung σy unmittelbar vor

72


λ y

r α

1

ϕ 1/2

x α

π/2

α

π

b)

a)

Bild 4.5 a) Spitzkerbe, b) kleinster Eigenwert der Kerbspitze im Fall einer Modus I Belastung in der Form K∗ σy = √ I xλ−1 2π

(y = 0, x > 0)

(4.20)

darstellen. Darin ist KI∗ ein verallgemeinerter Modus I Spannungsintensitätsfaktor. Bei einer Rundkerbe mit endlichem Kerbradius können die Spannungen ebenfalls sehr groß werden. Im Gegensatz zum Riss oder zur Spitzkerbe gehen sie im Kerbgrund jedoch nicht gegen Unendlich sondern bleiben beschränkt (siehe Abschnitt 4.4.5). 4.2.2

Modus I Rissspitzenfeld

Das Modus I Rissspitzenfeld kann durch die Beziehungen (4.14) beschrieben werden. Danach sind die Spannungen σij (und entsprechend dem Hookeschen Gesetz auch die Verzerrungen εij ) singulär vom Typ r −1/2 , d.h. sie wachsen mit r → 0

σij σϕ (0)

a)

r

π/2

π ϕ

ϕ

σϕ 1/2

v+ v−

σr 1

σy

τrϕ

σϕ

τrϕ

x, r b)

Bild 4.6 Modus I Rissspitzenfeld

σr

73

Rissspitzenfeld

unbeschränkt an. Als Beispiel hierf¨ ur ist in Bild 4.6a der Verlauf von σy vor der Rissspitze (ϕ = 0) schematisch dargestellt. Die Verschiebungen zeigen ein r1/2 Verhalten. Dieses f¨ uhrt entlang der Rissflanken (ϕ = ±π) f¨ ur positives KI zu einer parabelförmigen Rissöffnung (Bild 4.6a): KI v = v(±π) = ± 2G ±

r (κ + 1) . 2π

(4.21)

¨ (DurchIst KI negativ, dann kommt es nach (4.14) formal zu einer “Uberlappung” dringung) der Rissufer. Physikalisch ist dies nicht möglich. Vielmehr sind beim Rissschließen die beiden Rissufer in Kontakt und u ¨ ben Kräfte aufeinander aus. Manchmal ist es zweckmäßig, das Nahfeld nicht durch seine kartesischen Komponenten (4.14) sondern durch äquivalente oder abgeleitete Größen zu beschreiben. So erhält man zum Beispiel durch Korrdinatentransformation die Spannungskomponenten in Polarkoordinaten (vgl. 1.114)): ⎫ ⎧ ⎧ ⎫ 5 cos (ϕ/2) − cos (3ϕ/2) ⎪ σ ⎪ ⎪ ⎬ ⎨ ⎨ r ⎪ ⎬ KI 3 cos (ϕ/2) + cos (3ϕ/2) . σϕ = √ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ ⎩ ⎭ 4 2πr ⎪ sin (ϕ/2) + sin (3ϕ/2) τrϕ

(4.22)

Ihre Winkelabhängigkeit ist in Bild 4.6b dargestellt. Die Hauptspannungen in der x, y-Ebene und die Hauptrichtungen – hier mit α bezeichnet – errechnen sich aus (1.114) zu

σ1 σ2

KI =√ cos (ϕ/2) 2πr

1 + sin (ϕ/2)

,

1 − sin (ϕ/2)

α=±

π 3 + ϕ. 4 4

(4.23)

Die dritte Hauptspannung ist durch σz gegeben; sie ist nach (4.16) im EVZ und im ESZ unterschiedlich: KI cos (ϕ/2) (EVZ) , σ3 = 2ν √ 2πr

σ3 = 0 (ESZ) .

(4.24)

Danach ist σ1 die größte Hauptspannung, die kleinste kann je nach Spannungszustand und Winkel ϕ entweder σ3 oder σ2 sein. Mit den Hauptspannungen lässt sich unmittelbar die maximale Schubspannung bestimmen. Aus τmax = (σmax − σmin )/2 ergibt sich ESZ:

τmax = σ1 /2

EVZ: τmax =

(σ1 − σ2 )/2

fu ¨r

sin (ϕ/2) ≥ 1 − 2ν ,

(σ1 − σ3 )/2

fu ¨r

sin (ϕ/2) ≤ 1 − 2ν .

(4.25)

74


4.2.3

Dreidimensionales Rissspitzenfeld

In verschiedenen Fällen muss der dreidimensionale Charakter eines Rissproblems beachtet werden. Dies ist im allgemeinen der Fall, wenn die Rissfront gekr¨ ummt ist. Beispiele hierf¨ ur sind ein pfennigförmiger Innenriss oder ein halbelliptischer Oberflächenriss (Bild 4.7a). Aber auch bei einem Riss mit gerader Rissfront in einer ebenen Scheibe mit endlicher Dicke hat man es genaugenommen mit einem räumlichen Problem zu tun: der Spannungszustand ändert sich im Rissfrontbereich u ¨ber die Dicke. Es lässt sich zeigen, dass im dreidimensionalen Fall das Rissspitzenfeld lokal vom gleichen Typ ist, wie bei ebenen Problem. Es setzt sich im allgemeinen aus den Nahfeldern der drei Moden zusammen, wobei hinsichtlich der Deformationen beim Modus I- und beim Modus II-Anteil vom EVZ auszugehen ist. Legt man in einen beliebigen Punkt P der Rissfront ein lokales Koordinatensystem nach Bild 4.7b, dann gilt f¨ ur r → 0 σij = √

1 ˜ijI (ϕ) + KII σ˜ijII (ϕ) + KIII σ ˜ijIII (ϕ)] . [KI σ 2πr

(4.26)

Darin sind σ ˜ijI (ϕ), . . . Winkelfunktionen, die durch (4.14), (4.15) und (4.6) festgelegt sind. Das Feld in der Umgebung der Rissfront wird danach durch die Spannungsintensitätsfaktoren KI , KII , KIII vollständig charakterisiert. Letztere können sich entlang der Rissfront ändern: KI = KI (s), . . .. Rissfront

y s rϕ P

A

z

x

b)

a)

Bild 4.7 Zum dreidimensionalen Rissspitzenfeld Die Darstellung (4.26) gilt entlang der Rissfront mit Ausnahme einiger besonderer (singulärer) Punkte. Zu ihnen zählen zum Beispiel ein Knickpunkt in der Rissfront oder ein Punkt, in dem eine Rissfront auf eine freie Oberfläche trifft (vgl. Punkt A in Bild 4.7a). Dort können dann Spannungssingularitäten auftreten, die nicht vom Typ r−1/2 sind.

4.3

K-Konzept

Wir beschränken uns bei den folgenden Betrachtungen zunächst auf den f¨ ur die Anwendungen wichtigsten Fall einer reinen Modus I Rissöffnung. Das zugehörige Rissspitzenfeld ist, wie schon erwähnt, durch den Spannungsintensitätsfaktor

K-Konzept

75

KI eindeutig charakterisiert. Dieses KI -bestimmte Feld dominiert in einem nach außen begrenzten Bereich um die Rissspitze, der in Bild 4.8 schematisch durch den Radius R gekennzeichnet ist. Außerhalb von R können die höheren Terme nicht vernachlässigt werden. plastische Zone

KI –bestimmtes Feld

r rp ρ R

Bild 4.8 K-Konzept Die G¨ ultigkeit des KI -bestimmten Feldes ist aber auch nach innen begrenzt, weil die lineare Elastizitätstheorie unterhalb einer bestimmten Schranke von r die tatsächlichen Gegebenheiten nicht mehr richtig beschreibt. Dies schon alleine deshalb, weil kein reales Material unbeschränkt große Spannungen erträgt. Die formal auftretenden singulären Verzerrungen widersprechen zudem den Voraussetzungen der linearen Elastizität (kleine Verzerrungen). Bei den meisten realen Materialien kommt es vielmehr aufgrund der zur Rissspitze hin stark ansteigenden Spannungen zu plastischem Fließen oder allgemeiner, zu inelastischen Deformationen. Außerdem befindet sich an der Rissspitze die kleine, aber immerhin endliche Prozesszone. Ihre charakteristische Abmessung ist in Bild 4.8 mit ρ, diejenige der plastischen Zone mit rp bezeichnet. Wir setzen nun voraus, dass das KI -bestimmte Gebiet groß ist im Vergleich zur eingeschlossenen Region (= black box), welche nicht durch das Nahfeld beschrieben wird (ρ, rp R). Dann kann man davon ausgehen, dass die in ihr ablaufenden Vorgänge alleine durch das umgebende KI -bestimmte Feld gesteuert werden. Dies ist die Hypothese, die dem K-Konzept zugrunde liegt: der Zustand in der Prozesszone bzw. an der Rissspitze kann indirekt durch KI charakterisiert werden. Der Spannungsintensitätsfaktor wird, ähnlich wie die Spannungen selbst, als eine Zustandsgröße angesehen, die ein Maß f¨ ur die “Belastung” im Rissspitzenbereich ist. Mit dem Spannungsintensitätsfaktor steht damit eine Größe zur Verf¨ ugung, welche die Formulierung eines Bruchkriteriums erlaubt. Danach kommt es zum Einsetzen des Rissfortschrittes (Bruch), wenn der Spannungsintensitätsfaktor KI eine materialspezifische kritische Größe KIc erreicht: KI = KIc .

(4.27)

Unter diesen Umständen liegt in der Prozesszone ein kritischer Zustand vor, welcher zur Separation f¨ uhrt. Dabei haben wir stillschweigend angenommen, dass der Prozesszonenzustand allein durch die aktuelle Größe von KI bestimmt ist und nicht etwa von der Belastungsgeschichte der Rissspitze abhängt.

76


Die Größe KIc auf der rechten Seite von (4.27) nennt man Bruchzähigkeit. Sie ist ein Materialkennwert, der in geeigneten Experimenten bestimmt wird (vgl. Abschnitt 4.5). Entsprechend (4.22) hat ein K-Faktor die Dimension [Spannung]·[Länge]1/2 ; er wird in Vielfachen der Einheit Nmm−3/2 bzw. MP a mm1/2 angegeben. Die Verwendung von Spannungsintensitätsfaktoren in einem Bruchkriterium geht auf G.R. Irwin (1951) zur¨ uck. Im Kriterium (4.27) f¨ ur reinen Modus I wird die Beanspruchung der Rissspitze alleine durch KI charakterisiert. Entsprechende 1-parametrige Bruchkriterien lassen sich auch f¨ ur reinen Modus II bzw. f¨ ur reinen Modus III aufstellen: KII = KIIc

(Modus II) ,

KIII = KIIIc

(Modus III) .

(4.28)

Im Fall einer gemischten Beanspruchung durch KI , KII und KIII muss dagegen von einem allgemeinen Bruchkriterium f (KI , KII , KIII ) = 0

(4.29)

ausgegangen werden (siehe Abschnitt 4.9).

4.4

K-Faktoren

Es gibt sehr viele Methoden zur Bestimmung von K-Faktoren. Da letztere direkt mit den Feldgrößen zusammenhängen, sind grundsätzlich alle Verfahren anwendbar, welche in der linearen Elastizität zur Bestimmung der Spannungen und Deformationen existieren. Manchmal ist es allerdings notwendig, sie auf die Besonderheit von Rissproblemen (Spannungssingularitäten) zuzuschneiden. Analytische Methoden werden hauptsächlich verwendet, wenn man an Lösungen in geschlossener Form interessiert ist. Diese sind allerdings nur bei relativ einfachen Randwertproblemen zu erzielen. Bei komplizierteren Problemen ist man auf numerische Methoden angewiesen. Hierbei werden zum Beispiel Finite Elemente Verfahren, Randelementverfahren oder Differenzenverfahren verwendet. Daneben können auch experimentelle Methoden, wie Dehnungsmessungen im Rissspitzenbereich oder die Spannungsoptik herangezogen werden. Eine sachgerechte Behandlung aller Verfahren w¨ urde den Rahmen dieses Buches sprengen. Diesbez¨ uglich sei der Leser auf die Spezialliteratur verwiesen. Im folgenden werden nur einige Lösungen f¨ ur ausgewählte Risskonfigurationen und Belastungen diskutiert. Anschließend wird beispielhaft auf eine Integralgleichungsformulierung von Rissproblemen, auf die Methode der Gewichtsfunktionen sowie auf ein Verfahren zur Untersuchung von vielen Rissen eingegangen. 4.4.1

Beispiele

Als einfachsten Fall betrachten wir zuerst einen geraden Riss R der Länge 2a in einer unendlich ausgedehnten Ebene unter einachsigem Zug σ (Bild 4.9a). Hier und

K-Faktoren

77

σ

σ (1)

y x −a

+a

x

= R

R

σ

a)

(2)

y

y

x +a

+ −a σ

σ σy = σx

y

A v

−a −a b)

σ

−σ

+a

u A

x +a

x c)

Bild 4.9 Einzelriss unter Belastung σ bei vielen anderen Rissproblemen ist es zweckmäßig, die Lösung durch Superposition zweier Teillösungen zu erzeugen. Teilproblem (1) betrifft die elastische Ebene ohne Riss unter der gegebenen Belastung σ. Entlang des gedachten Schnittes R (1) tritt dabei die Spannung σy |R = σ auf. Beim Teilproblem (2) wird die elastische Ebene mit Riss alleine entlang der Rissufer durch genau diese Spannung, (2) allerdings mit umgekehrten Vorzeichen, belastet: σy |R = −σ. Die Randbedingung des Ausgangsproblems (belastungsfreie Rissufer) ist nach Superposition der (1) (2) Teillösungen erf¨ ullt: σy |R = σy |R + σy |R = 0. Beim Teilproblem (1) ist kein Riss und dementsprechend auch kein Spannungsintensitätsfaktor vorhanden. Dies bedeutet, dass die K-Faktoren des Ausgangsproblems und des Teilproblems (2) u ¨bereinstimmen. Unter Verwendung der komplexen Methode lassen sich die Lösungen der Teilprobleme und des Ausgangsproblems folgendermaßen darstellen: √ Φ = Φ(1) + Φ(2) , Φ(1) (z) = 14 σz , Φ(2) (z) = 12 σ[ z 2 − a2 − z] , (4.30) √ Ψ = Ψ(1) + Ψ(2) , Ψ(1) (z) = 12 σz , Ψ(2) (z) = − 12 σa2 / z 2 − a2 . F¨ ur das Teilproblem (2) erhält man daraus zum Beispiel f¨ ur die Spannungen entlang der x-Achse (Bild 4.9b) ⎧ |x| < a ⎨ −1 (2) (4.31) τxy =0, σy(2) = σx(2) = σ x ⎩ √ − 1 |x| > a . 2 2 x −a

78


Die Verschiebungen des oberen (+) und des unteren (−) Rissufers (|x| ≤ a) ergeben sich zu (Bild 4.9c) √ 4Gv ± = ±(1 + κ)σ a2 − x2 . (4.32) 4Gu± = −(1 + κ)σx , Den Spannungsintensitätsfaktor kann man direkt aus dem komplexen Potential Φ ermitteln. Hierzu betrachten wir zunächst eine Rissspitze, die sich an einer beliebigen Stelle z0 befindet. Nach den Kolosovschen Formeln in Verbindung mit (4.14), (4.15) gilt allgemein f¨ ur r → 0 bzw. z → z0 2Φ (z) + 2Φ (z) = σx + σy = 2(2πr)−1/2 [KI cos (ϕ/2) − KII sin (ϕ/2)] = (2πr)−1/2 [(KI − iKII )e−iϕ/2 + (KI − iKII )e−iϕ/2 ] . Mit reiϕ = z − z0 ergibt sich hieraus die Darstellung 2Φ (z) = (KI − iKII )[2π(z − z0 )]−1/2 oder umgekehrt

(z → z0 ) ,

√ √ KI − iKII = 2 2π lim z − z0 Φ (z) . z→z0

(4.33)

F¨ ur das konkrete Beispiel tritt aufgrund der Symmetrie nur eine Modus I Belastung auf (KII = 0), die an beiden Rissspitzen gleich ist. Einsetzen von (4.30) in (4.33) liefert den Spannungsintensitätsfaktor √ KI = σ πa . (4.34) In einem weiteren Beispiel werde nun der Riss nach Bild 4.10a an den Rissufern durch entgegengesetzte Einzelkräfte belastet. Wirkt nur P (Q = 0), dann lauten die komplexen Potentiale a2 − b2 P , Ψ (z) = −zΦ (z) . (4.35) Φ (z) = 2π(z − b) z 2 − a2 Durch sie werden alle Randbedingungen erf¨ ullt. Die zugehörigen KI -Faktoren (KII ist aus Symmetriegr¨ unden Null) an der rechten (+) und an der linken (−) Rissspitze ergeben sich aus (4.33) zu a±b P ± KI = √ . (4.36) πa a ∓ b Analog erhält man f¨ ur eine Belastung nur durch Q (reiner Modus II) Q a±b ± ± KII = √ KI = 0 , . πa a ∓ b

(4.37)

K-Faktoren

79

y

b P

Q P a a

P

Q

2b

y c c

P

x

σ x

P

a)

2a

P

a

a

c)

b)

τ p(x) y τ x a

τ

a

τ

τ 2a

2a

d)

f)

e)

τ

Bild 4.10 Rissbelastungen Die Lösungen (4.36), (4.37) kann man als Grundlösungen verwenden, mit deren Hilfe man weitere Lösungen konstruieren kann. So folgt f¨ ur eine Rissbelastung nach Bild 4.10b durch Superposition & ' a+b a−b P P 2a . (4.38) + =√ √ 2 KI = √ πa a−b a+b πa a − b2 Unter Zuhilfenahme dieses Resultats errechnet sich f¨ ur die Rissbelastung nach Bild 4.10c a a dx a π c √ = 2σ KI = 2σ − arcsin . (4.39) π π 2 a a2 − x2 c

Im Sonderfall c = 0 ergibt sich hieraus das schon bekannte Ergebnis (4.34). Auf ur einen Riss ähnliche Art erhält man unter Verwendung von (4.36) die Lösung f¨ unter der beliebigen Belastung nach Bild 4.10d: KI±

1 =√ πa

+a a±x p(x) dx . a∓x

(4.40)

−a

Genauso kann man bei Schubbelastungen vorgehen. So ergibt sich mit (4.37) f¨ ur einen Riss unter reiner Schubbelastung (Modus II) nach Bild 4.10e √ (4.41) KII = τ πa .

80


σ

σ

y 2a 2b

x

2a 2b σ

σ b)

a)

Bild 4.11 a) Kollineare Rissreihe, b) Scheibenstreifen mit Innenriss ur und f¨ ur den Fall nach Bild 4.10f stimmen u Der KII -Faktor hierf¨ ¨berein. Bild 4.11a zeigt eine periodische Reihe von kollinearen Rissen gleicher Länge 2a im unendlichen Gebiet unter einer Zugspannung σ. Hierf¨ ur lautet die Lösung in komplexen Potentialen Φ (z) =

σ ( 2

1

sin (πa/2b) 1− sin (πz/2b)

2 ,

Ψ (z) = −zΦ (z) .

(4.42)

Der Spannungsintensitätsfaktor KI folgt hieraus mit (4.33) zu √ KI = σ πa

2b πa tan . πa 2b

(4.43)

Hiernach steigt KI stark an, wenn sich die Rissspitzen einander nähern. Dies ist auf die gegenseitige Wechselwirkung der Risse zur¨ uckzuf¨ uhren (vgl. Abschnitt 4.4.4). Kommen sich die Rissspitzen sehr nahe (a → b), so ergibt sich mit der Bezeichnung c = b − a aus (4.43) das Ergebnis KI = σ

4b π

b c

f¨ ur

cb.

(4.44)

Man kann (4.43) auch als eine Näherung f¨ ur die Konfiguration in Bild 4.11b verwenden, wenn die Ränder hinreichend weit von den Rissspitzen entfernt sind. In der Tabelle 4.1 sind K–Faktoren f¨ ur einige Fälle zusammengestellt. Lösungen f¨ ur viele weitere Konfigurationen sind in den einschlägigen Handb¨ uchern f¨ ur Spannungsintensitätsfaktoren zu finden. Angaben hier¨ uber finden sich im Literaturverzeichnis.

81

K-Faktoren

Tabelle 4.1

K–Faktoren

σ

τ

1

τ

KI KII

2a

σ τ

=

√ πa

σ

b PQ

2

Q P 2a

KI± KII±

=

P Q

1 √ πa

a±b a∓b

σ τ

2b

3

KI KII

2a

τ

=

σ τ

πa 2b tan 2b

σ

P

4

Q

Q b

P

KI KII

=

P Q

√

2 2πb

σ

5

√ KI = 1, 1215 σ πa

a σ

√ KI = σ πa FI (a/b) 6

σ

2b

2a

σ FI =

1 − 0, 025(a/b)2 + 0, 06(a/b)4 cos (πa/2b)

82


K–Faktoren (Fortsetzung)

Tabelle 4.1

7

σ

b

σ

a

σ

σ b

8

√ ) 2b tan πa GI (a/b) KI = σ πa πa 2b 0, 752+2, 02 a +0, 37(1−sin πa )3 b 2b GI = cos πa 2b

a σ

σ

√ ) 2b tan πa GI (a/b) KI = σ πa πa 2b 0, 923 + 0, 199(1 − sin πa )4 2b GI = cos πa 2b

σ 9

KI =

a

2 √ σ πa π

σ σ σ KI =

10 b

11

a

MT P

MT 2b

2a

P

2 √ σ πa 1 − 1 − (b/a)2 π

√ KI = P 2 πa 1 − a/b GI (a/b) πa √ KIII = 2M3T πa 1 − a/b GIII (a/b) πa GI = 12 (1+ 2ε + 83 ε2 − 0, 363ε3 +0, 731ε4) 5 ε3 + 35 ε4 GIII = 83 (1+ 2ε + 83 ε2 + 16 128 +0, 208ε5 ) ,

σ a

12

θ σ

ε = a/b

√ KI (θ) = σ πa FI (θ) 2 (1, 211 − 0, 186√sin θ ) FI = π 10◦ < θ < 170◦

83

K-Faktoren

4.4.2

Integralgleichungsformulierung

Ein möglicher Ausgangspunkt zur Lösung von Rissproblemen ist deren Formulierung durch Integralgleichungen. Von den verschiedenen Arten, welche dabei existieren, sei hier nur eine diskutiert. Ihr Grundgedanke besteht in der Darstellung eines Risses durch eine Versetzungsbelegung. Zur Vorbereitung der Formulierung betrachten wir zunächst die aus den komplexen Potentialen Φ(z) = A ln z , Ψ(z) = A ln z (4.45) folgenden Verschiebungen und Spannungen, wobei wir A hier speziell durch die reelle Größe A = −Gby /π(κ+1) ersetzen: u (κ − 1) ln r − cos 2ϕ −by = , 2π(κ + 1) (κ + 1) ϕ − sin 2ϕ v ⎧ ⎫ ⎧ σ ⎪ ⎪ cos ϕ + cos 3ϕ ⎨ x ⎪ ⎬ −by G ⎨ σy 3 cos ϕ − cos 3ϕ = ⎪ ⎪ π(κ + 1) r ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ τxy − sin ϕ + sin 3ϕ

⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

(4.46) .

Während die Verschiebung u bei einem Umlauf von ϕ = 0 bis ϕ = 2π keine ¨ Anderung erfährt, tritt bei v ein Verschiebungssprung (Diskontinuität) der Größe v(0) − v(2π) = v + − v − = by auf. Die Potentiale (4.45) beschreiben danach eine Stufenversetzung mit einem Verschiebungssprung in y-Richtung (Bild 4.12, vgl. Abschnitt 3.1.2). Entlang der x-Achse wirken dabei die Spannungen σy = σx = −2Gby /π(κ + 1)x, τxy = 0. Soll ein allgemeiner Verschiebungssprung um by in y- und um bx in x-Richtung beschrieben werden, dann muss die Konstante A in (4.45) zu A = G(by − ibx )/π(κ + 1) gesetzt werden. y r ϕ

by x

Bild 4.12 Verschiebungssprung infolge Stufenversetzung Als konkretes Problem sei im weiteren der schon zuvor untersuchte Riss unter der Rissuferbelastung σ (Druck) nach Bild 4.13a betrachtet. Dabei stellen wir uns nun den Riss erzeugt vor durch eine kontinuierliche Verteilung von Versetzungen, welche im Bereich −a ≤ t ≤ +a auf der x-Achse angeordnet sind (Bild 4.13b).

84


y

y

σ x +a

−a

dby x t +a

−a

σ b)

a)

Bild 4.13 Riss als Versetzungsverteilung Mit den Umbenennungen by → dby = μdt, x → x − t, z → z − t erhält man dann aus (4.45), (4.46) zum Beispiel f¨ ur die Spannung σy entlang der x-Achse und f¨ ur das Potential Φ die Darstellungen 2G σy (x, 0) = − π(κ + 1) G Φ (z) = − π(κ + 1)

+a −a

+a −a

μ(t)dt , x−t

(4.47)

μ(t)dt . z−t

(4.48)

In unserem Fall ist die Spannung σy im Rissbereich bekannt: σy = −σ. Gleichung (4.47) stellt dementsprechend eine singuläre Integralgleichung f¨ ur die unbekannte Verteilung μ dar. Ihre Lösung lautet μ(x) =

x σ(κ + 1) √ . 2G a2 − x2

(4.49)

Hiermit ist das Problem im Prinzip gelöst, da sich aus μ die Potentiale Φ und Ψ durch Integration bestimmen lassen. So erhält man aus (4.48) Φ (z) = −

σ 2π

+a −a

xdx σ z √ √ = −1 , 2 (z − x) a2 − x2 z 2 − a2

(4.50)

woraus man dann unter anderem den Spannungsintensitätsfaktor ermitteln kann. Ist man nur am Spannungsintensitätsfaktor interessiert, so kann dieser auch unmittelbar aus μ bestimmt werden. Entlang des Risses gilt nämlich μ = dby /dx = d(v + − v − )/dx. Unter Verwendung der Nahfeldformeln (4.14) ergibt sich daraus f¨ ur die rechte Rissspitze der Zusammenhang 2G √ √ 2π a − x μ(x) . x→a κ + 1 √ Einsetzen liefert das bekannte Ergebnis KI = σ πa. KI = lim

(4.51)

85

K-Faktoren

Die Integralgleichungsformulierung ist nicht nur auf gerade Risse anwendbar. Man kann sie ohne weiteres auf gekr¨ ummte Risse, auf berandete Gebiete und auf beliebige Belastungen erweitern. Sie bietet sich zudem als Ausgangspunkt f¨ ur numerische Verfahren zur Behandlung von Rissproblemen an. 4.4.3

Methode der Gewichtsfunktionen

F¨ ur viele geometrische Konfigurationen sind K-Faktoren f¨ ur bestimmte Belastungen zum Beispiel aus Handb¨ uchern bekannt. Wie man hieraus K-Faktoren f¨ ur andere Belastungen ermitteln kann, soll hier gezeigt werden. Wir wollen uns dabei auf ebene Modus I-Probleme beschränken.

(1)

(1)

σy

(2)

(2)

σy

x a

x

ε

a

ξ

ε ξ

a)

b) Bild 4.14 Anwendung des Bettischen Satzes

Ausgangspunkt ist der Satz von Betti (vgl. Abschnitt 1.4.3) (1) (2) (2) (1) ti ui dA = ti ui dA A

(4.52)

A

mit ti = σij nj , den wir auf die zwei Konfigurationen in Bild 4.14 anwenden. Abgesehen von der Belastung unterscheiden sich beide nur dadurch voneinander, dass die Risslänge der Konfiguration (2) um den kleinen Betrag ε größer ist. Da (4.52) nur auf geometrisch gleiche Konfigurationen angewendet werden kann, denken wir uns die Konfiguration (1) vor der Rissspitze entlang der x-Achse um die Strecke ε aufgeschnitten. Die dort wirkenden Normalspannungen sind √ (1) (1) durch die Nahfeldformeln (4.14) gegeben: σy (ξ) = KI (a)/ 2πξ. Analog gilt f¨ ur die Verschiebung v im unbelasteten Bereich 0 ≤ ξ ≤ ε der Konfiguration (2): + 1 K (2)(a+ε)(ε − ξ)/2π. Mit den Bezeichnungen aus Bild 4.14 und v (2) (ξ) = κ2G I unter Ber¨ ucksichtigung der Symmetrie folgt dann aus (4.52) a ε (1) KI (a) κ + 1 (2) ε−ξ (1) (2) √ σy (x) v (x,a+ε)dx + KI (a+ε) dξ 2G 2π 2πξ 0 0 a = σy(2) (x) v (1) (x) dx . 0

86


Daraus erhält man mit den Entwicklungen v (2) (x, a+ε) = v (2) (x, a)+

∂v (2) ε+. . . , ∂a

(2)

(2)

(2)

KI (a+ε) = KI (a) +

dKI ε+ ... da

und unter Beachtung von a

ε (

a σy(1)

(2)

σy(2)

v (x, a) dx =

0

(1)

v (x, a) dx ,

0

πε ε−ξ dξ = ξ 2

0

nach Grenz¨ ubergang ε → 0 das Ergebnis a σy(1)

∂v (2) κ + 1 (1) (2) dx + K (a) KI (a) = 0 . ∂a 8G I

(4.53)

0

Wir fassen nun die Konfiguration (2) als bekannte Referenzkonfiguration auf, während f¨ ur die Konfiguration (1) der Spannungsintensitätsfaktor gesucht wird. Mit den Umbenennungen (2)

KI , v (2) → KIr , v r , ergibt sich dann KI = −

8G 1 κ + 1 KIr

(1)

KI , σy(1) → KI , σy a σy

∂v r dx . ∂a

(4.54)

0

Darin bezeichnet man den Ausdruck [8G/(κ + 1)KIr ]∂v r /∂a als Gewichtsfunktion; mit ihr wird die gegebene Belastung σy bei der Integration “gewichtet” um den zugehörigen K–Faktor zu bestimmen. Die Formel (4.54) gilt zunächst nur f¨ ur einen Riss mit einer Rissspitze. Man kann sie aber auch auf einen Riss mit zwei Rissspitzen anwenden. Die Integration hat dann u ¨ber die gesamte Risslänge zu uglich derjenigen Rissspitze vorzuerfolgen, wobei die Ableitung ∂v r /∂a nur bez¨ nehmen ist, f¨ ur die der K–Faktor bestimmt werden soll (die andere Rissspitze ist festzuhalten). Bei einem symmetrisch belasteten Riss mit KI+ = KI− reduziert sich (4.54) auf die Integration u ¨ ber die halbe Risslänge. Als Beispiel wollen wir K f¨ u r den Riss nach Bild 4.15a mit der RissflankenbelaI stung σy = −σ0 1 − x2 /a2 bestimmen. Als Referenzlastfall verwenden wir den Riss mit einer konstanten Belastung σyr = −σ (vgl. Abschnitt 4.4.1). Hierf¨ ur √ √ gelten KIr = σ πa und 4Gv r = (1 + κ)σ a2 − x2 . Einsetzen in (4.54) liefert unter Beachtung der Symmetrie das Ergebnis 8G 1 √ KI = κ + 1 σ πa

a σ0 0

1−

x2 1 + κ 2 √ σa √ dx = σ0 πa . 2 a 4G π a2 − x2

(4.55)

87

K-Faktoren

y

y

σy x +a

−a

x

p a b)

a)

Bild 4.15 Zur Methode der Gewichtsfunktionen Häufig ist f¨ ur eine Referenzbelastung σyr zwar der Spannungsintensitätsfaktor r KI bekannt, doch die Referenzverschiebung v r unbekannt. In solchen Fällen ist es möglich, unter Verwendung eines Verschiebungsansatzes zu Näherungslösungen f¨ ur KI zu gelangen. Um dies zu zeigen, nehmen wir der Einfachheit halber an, dass die Referenzbelastung u ¨ ber die Risslänge konstant ist: σyr = −σ = const F¨ ur die Referenzverschiebung verwenden wir den zweigliedrigen Ansatz (PetroskiAchenbach-Ansatz) √ 1+κσ (a − x)3/2 √ vr = √ 4f (a) a (a − x)1/2 + h(a) (4.56) a 8 2 G mit

√ KIr = σ πa f (a) ,

(4.57)

der sich an der Nahfeldlösung orientiert. Die Funktion h(a) wird dabei aus der Bedingung der Selbstkonsistenz bestimmt. Danach muss f¨ ur σy = σyr auch KI = r KI sein. Aus (4.54) folgt dann (KIr )2

8G = σ 1+κ

a

∂v r dx ∂a

a (KIr )2

bzw.

0

8G da = σ 1+κ

0

a v r dx 0

und nach Einsetzen √ a 20 5 2π af 2 (a) da − f (a) . h(a) = 2a2 3

(4.58)

0

Als Beispiel hierzu betrachten wir den einseitigen Randriss mit dreiecksförmiger Rissflankenbelastung nach Bild √ 4.15b. F¨ ur den Referenzlastfall unter konstanter Belastung gilt KIr = 1, 1215 σ πa , d.h. f = 1, 1215 = const (vgl. Tabelle 4.1, Nr.5). Einsetzen von (4.56) und der Belastung σy = −p(1 − x/a) in (4.54) liefert schließlich als Näherung f¨ ur den K–Faktor √ KI 0, 435 p πa . (4.59)

88


√ Der exakte Wert beträgt KIex = 0, 439 p πa . Begn¨ ugt man sich beim Ansatz (4.56) nur mit√dem ersten Glied (h = 0), dann erhält man die gröbere Näherung KI 0, 480 p πa . 4.4.4

Risswechselwirkung

Häufig hat man es nicht nur mit einem Riss sonderen mit mehreren Rissen oder mit einem System aus sehr vielen Rissen zu tun. Ist der Abstand der Risse groß im Vergleich zu ihrer Länge, so beeinflussen sie einander nur wenig. Man kann dann jeden einzelnen Riss in erster Näherung so behandeln, als gäbe es die anderen Risse nicht. Liegen die Risse dagegen hinreichend dicht beieinander, so kann die Wechselwirkung zwischen ihnen je nach geometrischer Konfiguration zu einer Vergrößerung oder zu einer Verkleinerung der Rissspitzenbelastung, d.h. der K–Faktoren f¨ uhren. Man spricht in diesem Fall von Verstärkungs- oder von Abschirmeffekten. Exakte Lösungen f¨ ur solche Probleme sind nur in wenigen Sonderfällen möglich. Aber auch numerische Verfahren unterliegen starken Einschränkungen; sie sind im allgemeinen nur bei einer geringen Risszahl praktikabel. Ein Beispiel, f¨ ur das eine exakte Lösung existiert, ist die kollinearen Rissreihe nach Bild 4.11a bzw. nach Tabelle 4.1, Nr.3. Bei Annäherung der benachbarten Rissspitzen (a → b) wachsen hier die K–Faktoren unbeschränkt an (Verstärkung).

y “1“

2

x

1

−a

+a b

c

¨ Bild 4.16 Zur Definition des Ubertragungsfaktors Im folgenden wollen wir das Prinzip eines Verfahrens kennenlernen, das auf M. Kachanov (1983) zur¨ uckgeht, und mit dessen Hilfe gute Näherungslösungen auch f¨ ur komplexe Risssysteme gewonnen werden können. Zur Vorbereitung betrachten wir nach Bild 4.16 einen Riss 1, auf dessen Rissflanken eine konstante Einheitsbelastung wirkt. Die Lösung f¨ ur dieses Problem ist bekannt (vgl. Abschnitt 4.4.1), und wir können die Spannungen in jedem Punkt oder entlang jeder beliebigen Linie bestimmen. So ergibt sich zum Beispiel nach (4.31) entlang der Linie 2 (x-Achse) die Normalspannung (die Schubspannung ist dort Null) σy (x) = f12 (x) = √

x −1. − a2

x2

(4.60)

89

K-Faktoren

¨ Ihren Mittelwert im Intervall (b, c) bezeichnen wir als Ubertragungsfaktor : Λ12

1 = f12 = c−b

√

c f12 (x)dx = b

√ c2 − a2 − b2 − a2 −1. c−b

(4.61)

Er beschreibt die globale Belastung der Linie 2 infolge einer Einheitsbelastung des Risses 1 und ist alleine durch die geometrische Konfiguration bestimmt. Zur Erklärung des Verfahrens von Kachanov beschränken wir uns im weiteren der Einfachheit halber auf zwei kollineare Risse unter einer reinen Modus I Belastung durch die Zugspannung σ0 (Bild 4.17). Da wir nur an den Spannungsintensitätsfaktoren interessiert sind, gen¨ ugt es, das System mit den Rissflanken∞ belastungen p∞ = p = σ zu untersuchen. Die Lösung hierf¨ ur lässt sich formal 0 1 2 durch Superposition zweier Teilprobleme erzeugen. Beim ersten ist nur der Riss 1 1 (x) vorhanden. mit der noch unbekannten Rissflankenbelastung p1 (x) = p∞ 1 +p ¨ Dabei beschreibt p1 (x) die Anderung der Belastung des Risses 1 aufgrund der Existenz des Risses 2. Entlang dessen Linie tritt infolge der Belastung p1 (x) die Spannung σ2 (x) auf. Diese ersetzen wir nun näherungsweise durch die Spannung p1 f12 (x), welche infolge einer konstanten Rissbelastung durch den Mittelwert p1 zustande kommt. Wir ber¨ ucksichtigen danach hinsichtlich der Auswirkung

σ0 1

σ0 p∞ 1 = σ0

2

+

=

p∞ 1

˜1 (x) p1 (x) = p∞ 1 +p

p∞ 2

p∞ 2 = σ0

p2 (x) = p∞ ˜2 (x) 2 +p +

= σ2 (x) ≈ p1 f12 (x)

σ1 (x) ≈ p2 f21 (x)

p1

p1 (x) =

+

Bild 4.17 Verfahren von Kachanov

90


auf den Riss 2 nur die mittlere (globale) Belastung des Risses 1. Beim zweiten Teilproblem gehen wir entsprechend vor. Nach der Superposition f¨ uhren damit die Randbedingungen f¨ ur beide Risse p1 (x) − p2 f21 (x) = p∞ 1 ,

p2 (x) − p1 f12 (x) = p∞ 2

auf die Darstellungen p1 (x) = p∞ 1 + p2 f21 (x) ,

p2 (x) = p∞ 2 + p1 f12 (x) .

(4.62)

Die darin noch unbekannten Mittelwerte p1 und p2 bestimmen wir aus der Bedingung, dass die Gleichungen (4.59) selbstkonsistent sein m¨ ussen, d.h., dass sie auch zur Bildung der Mittelwerte selbst verwendet werden können: p1 = p∞ 1 + p2 f21 ,

p2 = p∞ 2 + p1 f12 .

Diese Selbstkonsistenz-Gleichungen stellen ein lineares Gleichungssystem f¨ ur ¨ p1 , p2 dar, das unter Verwendung der Ubertragungsfaktoren nach (4.58) in der Form p1 − Λ21 p2 = p∞ 1 , (4.63) −Λ12 p1 + p2 = p∞ 2 geschrieben werden kann. Nach seiner Lösung liegen die Rissbelastungen p1 (x) und p2 (x) entsprechend (4.62) fest, und wir können mit Hilfe von (4.40) die Spanur die einzelnen Risse bestimmen. nungsintensitätsfaktoren KI± f¨ Treten nicht nur zwei sondern n Risse unter einer Modus I Belastung auf, so ergibt sich in Verallgemeinerung von (4.63) das Gleichungssystem (δji − Λji) pj = p∞ i ,

i = 1, . . . , n

(4.64)

mit Λij = 0 f¨ ur i = j. Wenn die Risse auch eine Modus II Belastung erfah¨ ren, dann muss dies in den Ubertragungsfaktoren und in den Randbedingungen ber¨ ucksichtigt werden. Man erhält in diesem Fall bei n Rissen 2n Gleichungen f¨ ur die jeweils n Mittelwerte der Normal- und der Schubbelastungen. Als Anwendungsbeispiel betrachten wir die in Bild 4.18a dargestellten zwei gleich großen, kollinearen Risse. Hierf¨ ur ergibt sich aus (4.63) unter Beachtung von Λ12 = Λ21 = Λ, p1 = p2 = p (Symmetrie!) p − Λ p = p∞ wobei

bzw.

Λ=

p =

2(1 + κ) √ −1 . 1+ κ

p∞ , 1−Λ

91

K-Faktoren

σ 2l p∞ = σ0 y p∞ = σ0

2a d

x

ϕ

2a

2a

2a

κl a)

σ

b) Bild 4.18 Zwei gleich große Risse

Nach (4.62) und (4.60) liegt damit die Rissbelastung zum Beispiel des rechten Risses (Koordinatentransformation beachten) fest: ' & 2x + 1 + κ ∞ −1 . p(x) = p + p 2 (x + κ)(x + 1) Einsetzen in (4.40) liefert schließlich f¨ ur die K–Faktoren die Näherungslösung 1 1 ± 0 KI = KI 1+ [±4E(α) ∓ 2κ(κ+1)K(α) − π(1−κ)] . (4.65) 1−Λ 2π(1−κ) √ ur einen einzelnen (ungestörten) Riss Hierin sind KI0 = σ0 πa der K–Faktor f¨ und K(α) bzw. E(α) die vollst¨ √andigen elliptischen Integrale erster bzw. zweiter Art mit dem Argument α = 1 − κ2 . In der Tabelle 4.2 sind einige Ergebnisse der Näherungslösung den exakten Werten gegen¨ ubergestellt. Man erkennt, dass der Fehler selbst bei recht kleinen Rissabständen gering ist. Tabelle 4.2 Vergleich der Näherungslösung mit exakten Werten κ

KI+ /KI0

(KI+ /KI0 )exakt

KI− /KI0

(KI− /KI0 )exakt

0,2 0,05 0,01

1,052 1,118 1,175

1,052 1,120 1,184

1,112 1,452 2,134

1,112 1,473 2,372

Zum Abschluss wollen wir f¨ ur dieses Beispiel noch den Sonderfall betrachten, dass der Rissmittenabstand d = 2(κl + a) groß ist im Vergleich zu den Risslängen: d a. Aus (4.60) erhält man in diesem Fall zunächst durch Reihenentwicklung

92


f¨ ur x a entlang der x-Achse die Spannung f12 = σy ≈ 12 (a/x)2 . Sie kann im Bereich der Risslinie 2 mit x ≈ d als konstant angesehen werden: f12 = Λ12 = σy ≈ 12 (a/d)2 . Hiermit ergibt sich p ≈ p∞ [1 + 12 (a/d)2 ], und wir erhalten f¨ ur die K-Faktoren 1 * a +2 KI ≈ KI0 1 + . (4.66) 2 d Sie unterscheiden sich in erster Näherung an der linken bzw. an der rechten Rissspitze nicht. Auf gleiche Weise folgt f¨ ur die allgemeinere Risskonfiguration nach Bild 4.18b a2 KI ≈ KI0 1 + 2 (2 cos 2ϕ − cos 4ϕ) , 2d (4.67) 2 a 0 KII ≈ KI 2 (− sin 2ϕ + sin 4ϕ) . 2d Man erkennt, dass die Wechselwirkung der Risse mit zunehmenden Abstand d sehr schnell abklingt. So ergibt sich f¨ ur d = 10 a bei kollinearen Rissen (ϕ = 0) nur noch eine KI -Vergrößerung um 1/200 bzw. bei u ¨bereinander liegenden Rissen (ϕ = π/2) eine KI -Verkleinerung um 3/200. Die Ursache hierf¨ ur liegt im Abklingverhaltens der Spannungen von einem Riss, der entsprechend Bild 4.16 belastet ist. Dieses ist im ebenen Fall f¨ ur r a allgemein vom Typ (a/r)2 . Im dreidimensionalen Fall zum Beispiel eines kreisförmigen Risses klingen die Spannungen f¨ ur große Abstände (r a) dagegen mit (a/r)3 , d.h. noch schneller ab. Bei gleichen Rissabständen ist dementsprechend die Wechselwirkung im 3D-Fall deutlich geringer als im ebenen Fall. Bei der Ausbreitung wechselwirkender Risse treten mitunter interessante Phänomene auf, wovon wir eines kurz diskutieren wollen. Wir betrachten dabei eine Scheibe, in der sich zwei kollineare, gerade Risse befinden (Bild 4.19). Experimente zeigen, dass diese Risse unter einer Zugbelastung zunächst wie erwartet aufeinander zu laufen. Mit geringer werdendem Abstand lenken sich die einander näher kommenden Rissspitzen jedoch ab und vereinigen sich nicht auf dem

Bild 4.19 Wechselwirkung zweier aufeinander zu laufender Risse

93

K-Faktoren

k¨ urzesten Weg. Vielmehr laufen die beiden Rissspitzen aufgrund ihrer Wechselwirkung in einem gewissen Abstand umeinander herum und vereinigen sich erst später mit dem jeweils anderen Riss. Bild 4.19 zeigt das Ergebnis einer numerischen Simulation, die diesen Vorgang recht deutlich wiedergibt. Auch wenn sich solche krummlinigen Rissbahnen nur numerisch berechnen lassen, lässt sich das beobachtete Phänomen qualitativ mit den Ergebnissen (4.67) f¨ ur die Risskonfiguration nach Bild 4.18b erklären. Wie in Abschnitt 4.9 erläutert wird, ist der Winkel, um den eine sich ausbreitende Rissspitze abgelenkt wird, maßgeblich durch den KII -Faktor bestimmt. Dieser ändert sich nach (4.67) mit dem Winkel ϕ, d.h. mit der relativen Lage der Rissspitzen und erfährt einen Vorzeichenwechsel. F¨ ur kleine Winkel ϕ ist KII positiv, was eine anfängliche Ablenkung des linken Risses in Bild 4.19 nach unten und des rechten Risses nach oben bewirkt: die Rissspitzen weichen sich danach aus. F¨ ur größere Winkel ϕ wird KII dagegen negativ, und die beiden Risse werden aufeinander zu gelenkt. 4.4.5

Spannungsintensit¨ atsfaktoren und Kerbfaktoren

An rissähnlichen Kerben mit einem hinreichend kleinem Kerbradius treten ähnlich wie in der Umgebung von Rissspitzen oft sehr große Spannungen auf. Allerdings bleiben die Spannungen im Kerbgrund im Gegensatz zur Rissspitze immer beschränkt und sind nicht singulär. Man spricht in diesem Fall von Spannungskonzentration und erfasst die durch die Kerbe hervorgerufene Spannungserhöhung gegen¨ uber einer Nennspannung durch einen sogenannten Kerbfaktor. Eine genauere Analyse zeigt, dass zwischen den Spannungsfeldern in der Umgebunge einer Rissspitze und der Umgebung eines Kerbgrundes enge Beziehungen bestehen, die hier kurz diskutiert werden sollen. σ y

y b

ρ

x a

a)

σ

x

a

b)

Bild 4.20 Elliptisches Loch unter einachsigem Zug Als typisches Beispiel betrachten wir zunächst das in Bild 4.20a dargestellte elliptische Loch mit den Halbachsen a und b in einer unendlich ausgedehnten Ebene unter einachsigem Zug σ senkrecht zur großen Halbachse a. Ohne auf die Herleitung einzugehen lässt sich zeigen, dass die maximale Randspannung in den

94


Scheiteln x = ±a der Ellipse auftritt und den Betrag * a a+ =σ 1+2 σmax = σ 1 + 2 b ρ

(4.68)

hat. Darin ist ρ = b2 /a der Kr¨ ummungsradius im Scheitel, vgl. Bild 4.20b. Man erkennt, dass die Spannungserhöhung umso größer ist, je kleiner das Halbachsenverhältnis b/a bzw. je kleiner ρ/a ist. F¨ ur sehr enge Ellipsen (b a bzw. ρ a) vereinfacht sich (4.68) zu a σmax = 2σ . (4.69) ρ Im Grenzfall b → 0 bzw. ρ → 0 entartet das elliptische Loch zu einem Riss der Länge 2a, und die Maximalspannung wächst u ¨ber alle Grenzen. Um den Zusammenhang zwischen dem Rissspitzenfeld und dem Kerbspannungsfeld herzustellen, betrachten wir in Bild 4.21a die unmittelbare Umgebung des Scheitels. Dort entspricht der Rand dem einer tiefen Kerbe mit einer parabelförmigen Kontur. Legen wir den Koordinatenursprung in den Brennpunkt der Parabel, dann wird sie alternativ durch x=

ρ y2 + 2 2ρ

ρ oder z = (1 − i η)2 , 2

−∞ < η < ∞

(4.70)

mit z = x + iy = r eiϕ beschrieben. Das zugehörige Modus I Kerbspannungsfeld ergibt sich durch Superposition zweier Felder. Eines ist das Rissspitzenfeld einer Rissspitze im Koordinatenursprung, das durch (4.14) gegeben ist. Dieses Spannungsfeld ruft entlang der Parabelkontur eine Randbelastung hervor, die durch ein zweites Feld mit den komplexen Potentialen Φ (z) = 0 ,

Ψ (z) =

ρKI √ 2z 2πz

(4.71)

gerade zu Null reduziert wird; d.h. der Rand der Parabelkerbe ist dann belastungsfrei. Das Kerbspannungsfeld ergibt sich damit aus der Summe von (4.14) und den Spannungen aus (4.71): ⎧ ⎧ ⎫ ⎫⎤ ⎡ ϕ sin 3ϕ ⎪ 3ϕ ⎪ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ 1 − sin cos ⎪ ⎪ ⎪ σ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 2 ⎪ 2 ⎪ ⎨ x ⎪ ⎬ ⎨ ⎬ ⎬⎥ KI ⎢ ρ ϕ⎨ ⎥ ⎢ ϕ 3ϕ 3ϕ √ σy = − ⎥ . (4.72) ⎢cos 1 + sin 2 sin 2 − cos 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎦ 2 2r ⎣ 2πr ⎩ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⎭ ⎭ ϕ 3ϕ 3ϕ τxy sin 2 cos 2 sin 2 Die Intensität des Kerbspannungsfeldes ist demnach eindeutig durch den Spanur die nungsintensitätsfaktor KI eines zugeordneten Risses festgelegt. So folgt f¨ maximale Randspannung σmax = σy im Kerbgrund (r = ρ/2, ϕ = 0) 2KI σmax = √ . πρ

(4.73)

Die Bruchz¨ ahigkeit KIc

95

y

ρ π−α

x

ρ

a)

y

r

ρ/2 ρ/2

b)

r x

(1 − π/2α)ρ

Bild 4.21 a) parabelförmige Kerbe, b) V-förmige Kerbe Diese allgemein g¨ ultige Beziehung erlaubt es bei gegebener Belastung, aus dem Modus I Spannungsintensitätsfaktor f¨ ur einen Riss auf die maximale Spannung in einer entsprechenden tiefen Kerbe mit bekanntem Kerbradius zu schließen. Umgekehrt kann man aus der Beziehung KI = lim

ρ→0

1√ πρ σmax 2

(4.74)

bei Kenntnis von σmax den Spannungsintensitätsfaktor bestimmen. Analog gelten im reinen Modus II bzw. Modus III: KII = lim

ρ→0

1√ πρ σmax , 2

KIII = lim

ρ→0

1√ πρ τmax . 2

(4.75)

Einen gleichartigen Zusammenhang gibt es zwischen dem verallgemeinerten ur eine scharfe Spitzkerbe nach Bild4.5 (vgl. auch Spannungsintensitätsfaktor K ∗ f¨ (4.20)) und der maximalen Randspannung σmax in einer abgerundeten V-förmigen Kerbe mit dem Kerbradius ρ nach Bild 4.21b: K∗ σmax = √ I f (α) ρλ−1 . 2π

(4.76)

¨ Darin hängen ur α = π (Riss) √ f (α) und λ vom Offnungswinkel der Kerbe ab. F¨ gelten f = 2 2 und λ = 1/2.

4.5

Die Bruchz¨ ahigkeit KIc

Die Bestimmung der Bruchzähigkeit KIc eines Werkstoffes erfolgt in der Regel in genormten Versuchen (z.B. nach dem ASTM–Standard E399-90), auf deren Details hier nicht näher eingegangen werden soll. Verwendung finden dabei unterschiedliche Probenformen, von denen zwei in Bild 4.22 dargestellt sind. Die Proben m¨ ussen u ugen, welcher bei metallischen Werkstoffen ¨ber einen Anriss verf¨ von einem Kerb ausgehend durch eine geeignete Schwingbeanspruchung erzeugt

96


F F

a

a

F W

W

F/2

B b)

a)

F/2

B

Bild 4.22 a) Kompakt-Zugprobe (CT), b) 3-Punkt-Biegeprobe (3PB) wird. Aus der gemessenen Belastung, bei welcher die Rissausbreitung einsetzt, lässt sich dann mittels des Zusammenhanges zwischen Spannungsintensitätsfaktor, Belastung und Risslänge die Bruchzähigkeit ermitteln. Damit aus Messungen tatsächlich geometrieunabhängige Bruchzähigkeiten gewonnen werden können, haben die Proben die Bedingungen der linearen Bruchmechanik zu erf¨ ullen. Danach muss die plastische Zone klein sein im Vergleich zu allen relevanten Abmessungen einschließlich der Größe des KI -bestimmten Gebietes (vgl. Abschnitte 4.3 und 4.7). Dies wird durch die Größenbedingung 2 KIc (4.77) a, W − a, B ≥ 2, 5 σF gewährleistet, wobei f¨ ur σF die Streckgrenze Re eingesetzt wird. Unter diesen Umständen ist dann auch gesichert, dass in der Umgebung der Rissfront im wesentlichen der EVZ vorherrscht. Wie sich eine Verringerung der Probendicke auf den kritischen Spannungsintensitätsfaktor auswirkt, ist in Bild 4.23a dargestellt. Die wesentliche Ursache f¨ ur das Ansteigen des Kc –Wertes ist dabei die Abnahme ¨ der Fließbehinderung, welche mit der Anderung des Spannungszustandes einhergeht (vgl. Abschnitt 4.7.2). KIc

Kc

KIc

a)

B

b)

T

Bild 4.23 a) Einfluss der Probendicke, b) Einfluss der Temperatur

97

Energiebilanz

Die Bruchzähigkeit eines Werkstoffes hängt von zahlreichen Faktoren ab. Zu ihnen gehören unter anderen die Eigenschaften der Mikrostruktur (z.B. Korngröße), die Vorgeschichte der Belastung, die Wärmebehandlung und das Umgebungsmedium (z.B. Luft oder Wasser). Bild 4.23b zeigt schematisch den signifikanten Einfluss der Temperatur bei vielen Metallen. In der Tabelle 4.3 sind Anhaltswerte f¨ ur die Bruchzähigkeiten einiger Werkstoffe zusammengestellt. Zuverlässige Werte f¨ ur ein zum Einsatz gelangendes Material sollten allerdings immer an diesem selbst bestimmt werden. Tabelle 4.3 Bruchzähigkeiten einiger Werkstoffe Material hochfeste Stähle 30CrNiMo8 (20o ) 30CrNiMo8 (−20o ) Baustähle Ti-Legierungen Ti6Al4V Al-Legierungen AlCuMg AlZnMgCu1,5 Al2 O3 -Keramik Marmor Glas Beton

4.6 4.6.1

√ KIc/[MPa mm ] 800. . . 3000 3650 2000 1000. . . 4000 1200. . . 3000 2750 600. . . 2000 900 950 120. . . 300 40. . . 70 20. . . 40 5. . . 30

Rp0,2/[MPa] 1600. . . 2000 1100 0 Druckspannungen im Interface auftreten und folglich die Rissspitze geschlossen sein wird. F¨ ur die Konfiguration nach Bild 4.51d ergibt sich schließlich (vgl. auch Tabelle 4.1, Nr. 4) P cosh πε , K1 = √ πa

Q K2 = √ cosh πε . πa

(4.170)

An Hand der Beispiele nach Bild 4.51a,b können wir die Länge des Kontaktbereiches an der Rissspitze abschätzen. Zu diesem Zweck identifizieren wir die Kontaktlänge mit dem größten Abstand rk , bei dem die Rissöffung δ = v + − v − aufgrund der Oszillation zum ersten Mal Null wird. Dies f¨ uhrt nach (4.162a) auf die Bedingung Re [K (rk /2a)i ε /(1 + 2i ε)] = 0, und durch Einsetzen von (4.168) ergibt sich Re [rk /2a]i ε = cos[ε ln(rk /2a)] = 0. Hieraus folgt schließlich rk /2a = exp (−π/2 ε) .

(4.171)

Ein extremer Wert, den ε f¨ ur μ2 → ∞ und ν1 = 0 annimmt, beträgt εmax = 0, 175. In den meisten praktisch interessierenden Fällen ist allerdings ε 1. So ergeben sich zum Beispiel ε = 0, 039 f¨ ur die Materialkombination T i/Al2 O3 , ε = 0, 028 f¨ ur ur Au/MgO. Setzen wir in (4.155) den Wert ε = 0, 05 Cu/Al2 O3 und ε = 0, 004 f¨ ein, dann ergibt sich rk /2a ≈ 2 · 10−14 , d.h. die Kontaktzone ist vernachlässigbar klein. Dies trifft - wie schon angedeutet - auf eine reine Scherbelastung nicht zu. Ist ihr aber zumindest ein kleiner Zug u uhrt, ¨ berlagert, der zu einer Rissöffnung f¨ dann wird die Kontaktzone wieder vernachlässigbar klein. Das Rissspitzenfeld eines Bimaterialrisses ist eindeutig durch den modifizierten komplexen K-Faktor nach (4.164) bzw. durch seinen Real- und Imaginärteil bestimmt. Es liegt deshalb nahe, ein Bruchkriterium formal in der Art K = K c zu formulieren. Dies stößt jedoch auf mehrere Schwierigkeiten. So ist schon die ¨ Ubertragung von K-Faktoren nicht elementar. F¨ ur zwei Risse mit den unterschiedlichen Risslängen 2a∗ und 2a liegen bei gleichem ε nämlich nur dann gleiche Rissspitzenfelder (und damit Rissbeanspruchungen) vor, wenn gilt ∗

|K ∗ | ei ψ (2a∗ )−i ε = |K| ei ψ (2a)−i ε bzw.

|K|∗ = |K| ,

ψ ∗ = ψ − ε ln a/a∗ .

(4.172a) (4.172b)

138


Dementsprechend m¨ ussen sich die Phasenwinkel (d.h. K2 /K1 ) f¨ ur beide Konfigurationen voneinander unterscheiden. Weitere Schwierigkeiten bestehen in der ¨ Ubertragung eines experimentell bestimmten K c -Wertes auf eine davon abweichende Situation sowie in ihrer von ε abhängenden Dimension. Aus den genannten Gr¨ unden wendet man häufig eine pragmatische Näherung an. In vielen praktisch relevanten Fällen ist es wegen ε 1 berechtigt, K ≈ K bzw. K1 ≈ KI und K2 ≈ KII zu setzen. Damit wird der Rissspitzenzustand in guter Näherung wie bei homogenem Material durch die u ¨ blichen Modus I¨ und Modus II Spannungsintensitätsfaktoren beschrieben. Aquivalent hierzu ist eine Charakterisierung der Rissbeanspruchung durch KI2 + KII2 und KII /KI bzw. durch die Energiefreisetzungsrate G und den Phasenwinkel ψ. Das Bruchkriterium kann damit in der Form G(ψ) = Gc(i) (ψ)

mit

tan ψ =

KII KI

(4.173)

ausgedr¨ uckt werden. Die Interface-Bruchzähigkeit Gc(i) weist darin im allgemeinen eine starke Abhängigkeit von ψ auf. Wenden wir dieses Bruchkriterium auf die Beispiele nach Bild 4.51a,b an, dann liefert es mit (4.166) und (4.168) bei gegebener Belastung σ eine kritische Risslänge (i) 18 cosh2 (πε) Gc (0) . (4.174) ac = π(1 + 4ε2 )(c1 + c2 ) σ 2 (i)

Mit ε 1 kann man sie noch zu ac ≈ 18 Gc (0)/π(c1 + c2 ) σ 2 vereinfachen. Als typisches Anwendungsbeispiel betrachten wir die Delamination zweier Schichten (1) und (2), welche mit der Ausbreitung eines Interfacerisses einhergeht (Bild 4.52a). Mit einem ähnlichen Problem haben wir schon in Abschnitt 4.6.2 befasst. In Verallgemeinerung hierzu sei nun eine endliche Dicke h2 der Schicht (2) angenommen, die wie h1 aber klein im Vergleich zu allen anderen Abmessungen sein soll: h1 , h2 a. Aufgrund einer Eigendehnung ε0 der Schicht (2) zum Beispiel infolge einer Erwärmung herrsche im System ein Eigenspannungszustand. Diesen können wir durch die in beiden Schichten resultierenden Kräfte N und Momente M1 , M2 = M1 + (h1 + h2 )N/2 charakterisieren. Die Eigendehnung ε0 beschreibt dabei den Dehnungsunterschied beider Schichten f¨ ur den Fall, dass jede einzelne Schicht sich unbehindert deformieren kann. Die Energiefreisetzungsrate G lässt sich exakt mit Hilfe der Balkentheorie ermitteln. Danach ergeben sich f¨ ur x h1 , h2 zunächst N =f

E1 h1 ε0 , B

−1 (1 + H)2 eH , f = 1 + eH + 3 1 + eH 3 (4.175)

(1 + H)eH 3 h2 N , M1 = − 2(1 + eH 3 )

(1 + H) h2 N , M2 = 2(1 + eH 3 )

139

Der Grenzfl¨ achenriss

wobei B die Breite der Schichten ist und die Abk¨ urzungen e = E1 /E2 , H = h1 /h2 verwendet wurden. Mit 1 M22 N2 N2 M12 i + 12 3 + 12 3 + dΠ = dΠ = − B da , 2 E1 h1 E2 h2 E1 h1 E2 h2 und der Bezugsspannung σ = E1 ε0 errechnet sich damit G=f

(1 − ν12 ) σ 2 h1 . 2 E1

(4.176)

Danach ergibt sich im Grenzfall h1 /h2 → 0 mit f → 1 gerade das Ergebnis aus Abschnitt 4.6.2, während der Grenzfall zweier gleicher Schichten (e = 1, H = 1) auf f = 0, 2 f¨ uhrt. FI,II 0,6

M1 h1

E1 , ν1

h2

E2 , ν2

(1) x

FI 0,4

N

da

ν1 = ν2 -1

a)

FII

0,5

(2) M2

a

N

b)

1

E1 −E2 E1 +E2

Bild 4.52 Delamination Die Spannungsintensitätsfaktoren lassen sich nicht auf eine solch einfache Weise bestimmen. Hierf¨ ur ist vielmehr die Lösung des elastischen Randwertproblems f¨ ur die Umgebung der Rissspitze erforderlich. Allgemein lässt sich die Lösung in der Form KI = FI N h1 , KII = FII N h1 (4.177) darstellen, wobei FI und FII von H = h1 /h2 und den den elastischen Konstanten abhängen. F¨ ur den Sonderfall einer d¨ unnen Schicht auf einem dicken Substrat (h1 /h2 → 0) und ν1 = ν2 sind FI , FII in Bild 4.52b dargestellt. Aufgrund der unterschiedlichen Materialeigenschaften liegt bei einem Bimaterialriss auch bei ansonsten symmetrischen Konfigurationen meist eine gemischte Beanspruchung durch KI und KII vor. Dies kann zur Folge haben, dass eine mögliche Rissausbreitung nicht im Interface erfolgt sondern der Riss in eines der beiden Materialien ausweicht. Das Verhalten des Risses hängt dabei sowohl vom Phasenwinkel ψ als auch von den Bruchzähigkeiten des Interfaces und der einzelnen

140


σ

σ (1)

y

τxy

σy τxy (x)

(2) b)

σ

σ (1)

τxy

σ σ (1)

(1) τxy (x)

σy

(2) σ

(2) c)

σ

d)

(1)

(1) τxy

x

a)

σ

e)

(2) f)

σ

Bild 4.53 Rissablenkung Materialien ab. An Hand des Beispiels nach Bild 4.53a sei dies durch rein quali¨ tative Uberlegungen erklärt. Wir wollen dabei μ1 < μ2 , und ν1 = ν2 annehmen, d.h. das Material (1) ist “weicher” als das Material (2). Unter einer Zugbelastung f¨ uhrt dies zu Schubspannungen im Interface, die an der rechten Rissspitze ein negatives KII bzw. einen negativen Phasenwinkel ψ bewirken (Bild 4.53b). Nehmen wir nun an, dass sich der Riss infolge einer Störung schon geringf¨ ugig in das Material (1) fortgepflanzt hat, dann können wir die Rissablenkungshypothesen nach Abschnitt 4.9 anwenden. Diese ergeben alle f¨ ur die entsprechende Situation einen positiven Ablenkungswinkel ϕ0 , d.h. eine Rissfortpflanzung vom Interface weg in das weichere Material (1) hinein (vgl. auch (4.150)). Wendet man die glei¨ che Uberlegung f¨ ur eine hypothetische kleine Rissfortpflanzung in das Material (2) an, dann ergibt sich auch hier ein positiver Ablenkungswinkel ϕ0 , der nun aber den Riss wieder zum Interface zur¨ uck f¨ uhrt. Insgesamt hat der Riss also das Bestreben aus dem Interface heraus und in das weichere Material hineinzulaufen (Bild 4.53c). Dies wird allerdings nur eintreten, wenn f¨ ur die Bruchzähigkeiten (1) (i) gilt: Gc ≤ Gc . Ein anderes Verhalten ergibt sich f¨ ur den Bimaterialriss nach Bild 4.53d, bei

141

Piezoelektrische Materialien

dem wir die gleichen Materialeigenschaften wie zuvor annehmen. Die Zugbelastung f¨ uhrt in diesem Fall zu einer Schubspannungsverteilung im Interface, die ein positives KII bewirkt (Bild 4.53e). Dementsprechend wird jetzt der Riss die Tendenz haben, in das “steifere” Material hineinzulaufen sofern die Bruchzähigkeit dort geringer ist als im Interface (Bild 4.53f).

4.13


4.13.1

Grundlagen

Piezoelektrika zeichnen sich dadurch aus, dass Deformationen nicht nur infolge mechanische Kräfte sondern auch infolge angelegter elektrischer Felder auftreten. Man bezeichnet dieses Phänomen als Elektrostriktion. Umgekehrt rufen Deformationen bei diesen Materialien auch elektrische Felder hervor, was piezoelektrischer Effekt genannt wird. Aufgrund ihrer Verwendung als Stellglieder oder als Sensoren haben unter diesen Werkstoffen insbesondere die ferroelektrischen Keramiken eine große technische Bedeutung erlangt. Bei ihnen tritt ein makroskopischer piezoelektrischer Effekt erst nach einer Polarisierung mittels eines hinreichend starken elektrisches Feldes auf. Infolgedessen verhalten sich diese Werkstoffe dann transversal isotrop, d.h. es existiert eine Vorzugsrichtung, die mit der Polarisationsrichtung u ¨ bereinstimmt. Ohne in die Details zu gehen, wollen wir im folgenden die wichtigsten Grundgleichungen zur Behandlung bruchmechanischer Fragestellungen zusammenstellen. Hierbei beschränken wir uns auf den sogenannten Kleinsignalbereich, der in guter Näherung durch ein lineares Stoffverhalten mit unveränderlicher Polarisierung gekennzeichnet ist. In diesem Fall sind alle wesenlichen Beziehungen ganz analog zu denen, die wir bei den u ¨blichen, rein elastischen Materialien schon kennengelernt haben. Allerdings treten jetzt wegen der Kopplung des mechanischen und des elektrischen Problems Zusatzterme auf. Daneben f¨ uhrt das anisotrope Materialverhalten zu einer gewissen Aufblähung der Gleichungen. Das lineare, gekoppelte elektromechanische Materialverhalten von Piezoelektrika kann beschrieben werden durch (vgl. auch (1.35a)) σij = Cijkl εkl − ekij Ek ,

Di = eikl εkl + ik Ek .

(4.178)

Darin sind Dk die dielektrische Verschiebung, Ei die elektrische Feldstärke und ekij sowie ij die Tensoren der piezoelektrischen und der dielektrischen Materialkonstanten (man verwechsle die Verzerrungen εij nicht mit den Materialkonstanten ik und eijk nicht mit dem Permutationssymbol!). Im Fall von transversal isotropen Ferroelektrika, bei denen die Polarisationsrichtung mit der x3 -Richtung

142 zusammenfällt, ⎡ ⎤ ⎡ σ11 c11 ⎢ σ22 ⎥ ⎢ c12 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ σ33 ⎥ ⎢ c13 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ σ23 ⎥ = ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ σ31 ⎦ ⎣ 0 0 σ12


kann das Stoffgesetz auch in der Matrizenform ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ε11 0 0 e31 c12 c13 0 0 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ c11 c13 0 0 0 ⎥ ⎥⎢ ε22 ⎥ ⎢ 0 0 e31 ⎥ E1 ⎢ ε33 ⎥ ⎢ 0 0 e33 ⎥ c13 c33 0 0 0 ⎥ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ E2 ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 0 c44 0 0 ⎥ ⎥⎢ 2 ε23 ⎥ ⎢ 0 e15 0 ⎥ E3 ⎣ ⎣ ⎦ ⎦ 0 0 0 c44 0 e15 0 0 ⎦ 2 ε31 0 0 0 0 c66 0 0 0 2 ε12 ⎡

⎡

⎤ ⎡ D1 0 0 0 0 e15 ⎣ D2 ⎦ = ⎣ 0 0 0 e15 0 e31 e31 e33 0 0 D3

⎤ ε11 ⎤⎢ ε22 ⎥ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎥ 0 ⎢ 11 0 0 E1 ⎢ ε33 ⎥ ⎥ ⎣ ⎦⎣ E2 ⎦ 0 ⎦⎢ ⎢ 2 ε23 ⎥ + 0 11 0 ⎢ ⎥ 0 0 0 ⎣ E3 33 2 ε31 ⎦ 2 ε12

(4.179)

geschrieben werden, wobei c66 = (c11 − c12 )/2. Die Verzerrungen εij hängen nach (1.25) mit den mechanischen Verschiebungen ui zusammen. Daneben lässt sich die Feldstärke Ei sich aus dem elektrischen Potential φ herleiten. Die entsprechenden Gleichungen lauten 1 εij = (ui,j + uj,i ) , 2

Ei = −φ,i .

(4.180)

Hinzu kommen die Feldgleichungen σij,j = 0 ,

Di,i = 0 ,

(4.181)

wobei wir angenommen haben, dass keine Volumenkräfte und Raumladungen vorhanden sind. Zur vollständigen Beschreibung eines Problems gehören schließlich noch die mechanischen und die elektrischen Randbedingungen. Letztere machen eine Aussage u ¨ber das Potential φ oder die Normalkomponente Dn der dielektrischen Verschiebung am Rand. In Erweiterung der Formänderungsenergiedichte (vgl. Abschnitt 1.3.1.2) kann man das spezifische elektromechanische Potential (elektrische Enthalpiedichte) W =

1 1 Cijkl εij εkl − ekij Ek εij − ij Ei Ej 2 2

einf¨ uhren. Es existiert dann das Oberflächenintegral Jk = (W δjk − σij ui,k + Dj Ek )nj dA

(4.182)

(4.183)

∂V

mit sinngemäß den gleichen Eigenschaften wie der J-Integralvektor (4.107). Schließt ∂V einen Defekt ein, so charakterisiert Jk eine Konfigurationskraft, die bei einer

143


¨ der Gesamtenergie Π des pieVerschiebung des Defektes um dsk eine Anderung zoelektrischen Systems bewirkt: dΠ = −Jk dsk . Die Grundgleichungen der transversal isotropen Piezoelektrizität lassen sich in vielen Fällen vereinfachen. Ein ebener Verzerrungszustand (EVZ) liegt bei einer Polarisierung in x3 -Richtung vor, wenn die mechanischen und elektrischen Felder unabhängig z.B. von x2 sind. Mit u2 = 0, ε22 = ε32 = ε12 = 0, E2 = 0 reduziert sich das Stoffgesetz (4.179) dann auf ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ σ11 c11 c13 0 ε11 0 −e31 ⎢ σ33 ⎥ ⎢ c13 c33 0 ⎢ ⎥ 0 −e33 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ε33 ⎥ ⎢ σ31 ⎥ = ⎢ 0 ⎢ ⎥ (4.184) 0 c44 −e15 0 ⎥ ⎢ 2 ε31 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ , ⎣ D1 ⎦ ⎣ 0 0 ⎦ ⎣ E1 ⎦ 0 e15 11 e31 e33 0 D3 0 33 E3 und die Feldgleichungen lassen sich mit εij = (ui,j + uj,i)/2 folgendermaßen zusammenfassen: c11 u1,11 + (c13 + c44 )u3,13 + c44 u1,33 + (e31 + e15 )φ,13 = 0 , c44 u3,11 + (c13 + c44 )u1,31 + c33 u3,33 + e15 φ,11 + e33 φ,33 = 0 ,

(4.185)

e15 u3,11 + (e15 + e31 )u1,13 + e33 u3,33 − 11 φ,11 − 33 φ,33 = 0 . Besonders einfach gestaltet sich der longitudinale (nichtebene) Schubspannungszustand, f¨ ur den u1 = u3 = 0, E3 = 0 gilt. Bei einer Polarisierung wieder in x3 -Richtung vereinfacht sich das Stoffgesetz zu ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ c44 0 2ε23 σ23 0 −e15 ⎢ ⎥ ⎢ σ12 ⎥ ⎢ 0 c44 −e15 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2 ε12 ⎥ , ⎢ (4.186) ⎣ D1 ⎦ = ⎣ 0 e15 11 0 ⎦ ⎣ E1 ⎦ e15 0 D2 0 11 E2 und es folgen die Feldgleichungen c44 Δu3 + e15 Δφ = 0 ,

e15 Δu3 − 11 Δφ = 0 ,

(4.187)

mit Δ(.) = ∂ 2 (.)/∂x21 + ∂ 2 (.)/∂x23 . 4.13.2

Der Riss im ferroelektrischen Material

Wir betrachten im weiteren einen Riss im ferroelektrischen Material mit zunächst noch beliebiger Polarisationsrichtung (Bild 4.54). Ohne auf die Herleitung einzugehen ergibt sich unter der Annahme, dass die dielektrische Verschiebung entlang ur das der Rissflanken verschwindet (impermeable Ränder: D2− = D2+ = 0) f¨ Rissspitzenfeld (r → 0) ein Verhalten, das vom gleichen Typ ist wie beim rein elastischen Material: σij ∼ r −1/2 ,

ui ∼ r 1/2 ,

Di ∼ r−1/2 ,

φ ∼ r 1/2 .

(4.188)

144


Polarisierung

x2 r ϕ x3

x1 Rissfront

Bild 4.54 Riss im ferroelektrischen Material Danach hat die dielektrische Verschiebung genau wie die Spannungen an der Rissfront (Rissspitze) eine Singularität vom Typ r −1/2 . Das Feld lässt sich vollständig mittels der nunmehr insgesamt vier ”Spannungsintensitätsfaktoren” KI , KII , KIII und KIV beschreiben. Der Einfachheit halber seien hier nur die Größen vor der Rissspitze (ϕ = 0) angegeben, wobei wir uns auf das Koordinatensystem in Bild 4.54 beziehen: KI , σ22 = √ 2πr

KII σ12 = √ , 2πr

KIII σ13 = √ , 2πr

KIV D2 = √ . 2πr

(4.189)

Dementsprechend beschreibt KIV die Stärke der singulären dielektrischen Verschiebung. F¨ ur die Energiefreisetzungsrate (Rissausbreitungskraft) beim geraden Rissfortschritt ergibt sich damit die Darstellung G=J =−

dΠ = CM N KM KN da

(M, N = I, II, III, IV ) ,

(4.190)

wobei u ¨ber M und N zu summieren ist. Darin ist J = J1 die x1 -Komponente der Konfigurationskraft Jk nach (4.183), und die CM N sind Materialkonstanten, die von der Polarisationsrichtung abhängen. Ein technisch wichtiger Sonderfall liegt bei einer Polarisierung senkrecht zur Rissflanke vor, wie sie in Bild 4.55a dargestellt ist. Man beachte, dass hier abweichend von den bisherigen Darstellungen die x3 -Achse senkrecht zur Rissflanke steht. Im Fall des EVZ, wenn die Felder unabhängig von x2 sind und außerdem noch symmetrische Verhältnisse bez¨ uglich der x1 -Achse vorliegen, verschwinden KII und KIII . Es liegt dann eine Modus I Rissöffnung vor, und f¨ ur r → 0 ergeben sich hinter der Rissspitze (ϕ = ±π) u± 3 = ±4

r 2π

KIV KI + cT e

,

φ± = ±4

r 2π

KIV KI − + . e

(4.191)

Darin kennzeichnen cT , und e zusammengefasste elastische, dielektrische und piezoelektrische Materialeigenschaften, die sich durch die Materialkonstanten in

145


(4.184) ausdr¨ ucken lassen. Die Energiefreisetzungsrate folgt damit zu KI KIV KIV KI G = Gm + Ge = KI + + KIV − + cT e e 2 KI KIV KI2 KIV − +2 . = cT e

(4.192)

Die beiden Anteile Gm und Ge lassen sich als der mechanische und der elektrische Teil der Energiefreisetzungsrate interpretieren.

D0

F r E ϕ x1 Polarisierung

x3

σ0 x3 x1 2a Polarisierung

b) σ0

a)

D0

Bild 4.55 Elektromechanische Rissbelastung Aufgrund der elektromechanischen Kopplung treten bei einer rein mechanischen oder rein elektrischen Belastung im allgemeinen beide Spannungsintensitätsfaktoren KI und KIV auf. Bestimmte Belastungen können im Sonderfall aber auch nur einen einzigen K-Faktor zur Folge haben. Ein Beispiel hierf¨ ur ist der impermeable endliche Riss im unbeschränkten Gebiet nach Bild 4.55b. Infolge einer Belastung durch σ0 bzw. durch D0 ergeben sich hier √ √ KIV = D0 πa . (4.193) KI = σ0 πa , Der Rissspitzenzustand ist bei symmetrischer Rissbelastung eindeutig durch ur KI und KIV charakterisiert. Dementsprechend lässt sich ein Bruchkriterium f¨ diesen Fall formal in der Form f (KI , KIV ) = 0

(4.194)

angeben. Konkret vorgeschlagen wurden unter anderen die Kriterien (A)

G = Gc ,

(B)

Gm = Gmc ,

(C)

KI = KIc ,

(4.195)

146


wobei das Kriterium (A) häufig vorgezogen wird. Unabhängig vom gewählten Kriterium ist allerdings die Bestimmung sowohl der Beanspruchungsgrößen als auch der materialspezifischen kritischen Größen mit Unsicherheiten behaftet. Der Grund hierf¨ ur ist, dass die elektrischen Randbedingungen entlang des Risses bei realen Materialien oft nicht eindeutig festgelegt werden können.

4.14

¨ Ubungsaufgaben

Aufgabe 4.1 Gegeben seien die Spannungsfunktionen √ Φ(z) = A z ,

√ 1 Ψ(z) = −( A − A) z , 2

A rein imaginär.

a) Bestimmen Sie die Spannungen σx , σy , τxy . b) Um welchen Belastungsmodus handelt es sich und in welchem Zusammenhang steht die Konstante A mit dem K-Faktor? L¨ osung:

Es handelt √ sich um ein reines Modus II Problem mit KI = 0 und KII = − 2π ImA

Aufgabe 4.2 a) F¨ ur das skizzierte Problem einer unendlichen Scheibe unter linear veränderlicher Spannung σy∞ = σ0 (b/a − x/a) bestimme man die K-Faktoren durch Integration der Grundlösung f¨ ur den Riss unter Einzelkräften. b) Unter welcher Voraussetzung gilt KI+ = 0 , und was bedeutet dies anschaulich ? L¨ osung: √ a) KI± = σ0 πa

b 1 ∓ a 2 KI+

σy°°

= 0, d.h. an der b) F¨ ur b = a/2 ist rechten Rissspitze liegt dann keine Spannungssingularität vor.

y x −a

b σy°°

a

147


Aufgabe 4.3 In dem skizzierten Stab aus einem Schichtwerkstoff breitet sich ein Riss in Richtung der Stabachse aus. a) Bestimmen Sie die Energiefreisetzungsrate unter Verwendung der Stabtheorie. b) Wie groß ist der Spannungsintensitätsfaktor im Fall E1 = E2 , wenn angenommen wird, dass ein reiner Modus II vorliegt ?

b F

E1 A1 a

E2 A2 (

F 2 A 2 E2 L¨ osung: a) G = , 2BA1 E1 (A1 E1 + A2 E2 )

F 2 A2 2BA1 (A1 + A2 )

b) KII =

Aufgabe 4.4 Man bestimme f¨ ur die skizzierten Proben die Energiefreisetzungsraten und die Spannungsintensitätsfaktoren näherungsweise mit der Energiemethode. a)

b)

u u h h

h

E

b E,v

u

a a

L¨ osung: a)

b)

3 uEh3 , G= 4 a4 G=

2 u2 E , b(1 − ν 2 )

u

√ 3 u Eh3/2 KI = 2 a2 ( KI = uE

2h b(b − h)(1 − ν 2 )

148

4.15


Literatur

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5 Elastisch-plastische Bruchmechanik

5.1

Allgemeines

Belastet man ein Bauteil aus duktilem Material, das einen Riss enthält, so kommt es zunächst in der Umgebung der Rissspitze zur Plastizierung. Dies hat zur Folge, dass mit zunehmender Belastung die Spitze mehr und mehr abstumpft: der Riss öffnet sich. Gleichzeitig wächst der plastische Bereich an, was je nach Werkstoff und Bauteilgeometrie zur völligen Durchplastizierung f¨ uhren kann. Bei einer bestimmten kritischen Belastung kommt es schließlich zur Initiierung des Risswachstums. In einem solchen Fall, wenn also kein Kleinbereichsfließen stattfindet, sondern größere plastische Zonen auftreten, kann die lineare Bruchmechanik nicht mehr angewendet werden. Die Bruchparameter und Bruchkonzepte, die wie das K–Konzept auf dem (außerhalb der Prozesszone) linear elastischen Materialverhalten basieren, haben dann ihre Bedeutung verloren. Man muss in diesem Fall vielmehr Parameter und Konzepte heranziehen, die dem nunmehr in größerem Bereich auftretenden plastischen Materialverhalten Rechnung tragen. In der elastisch-plastischen Bruchmechanik haben sich zwei alternative Parameter zur Charakterisierung des Rissspitzenzustandes durchgesetzt. Der eine ist das von J. Rice (1968) vorgeschlagene J–Integral , welches in der Bedeutung eines Spannungs- bzw. Verformungsintensitätsfaktors und nicht etwa einer Energiefreisetzungsrate gebraucht wird. Beim zweiten handelt es sich um die Rissspitzenöffnung δt oder CTOD (= crack tip opening displacement), die ein Maß f¨ ur den Deformationszustand an der Rissspitze sein soll. Dieser Vorschlag geht auf A.H. Cottrell und A.A. Wells (1963) zur¨ uck. Während J im wesentlichen durch die Deformationstheorie der Plastizität begr¨ undet wird, ist die Verwendung von δt eher experimentell und anschaulich motiviert. Wir werden allerdings zeigen, dass beide Größen meist direkt ineinander u uhrbar sind. ¨berf¨ Bei der Behandlung von elastisch–plastischen Rissproblemen werden wir uns auf einfache Materialmodelle der zeitunabhängigen Plastizität, wie zum Beispiel auf das idealplastische Material oder auf die Deformationstheorie beschränken. Außerdem setzen wir voraus, dass die äußere Belastung monoton zunimmt; eine globale Entlastung oder gar eine Wechselbelastung sei ausgeschlossen. Nur dann ist es in wenigen Sonderfällen möglich, zu Lösungen in analytischer Form zu gelangen, die eine Basis f¨ ur Bruchkonzepte bilden. Bei aufwendigen Materialmodellen oder bei der elastisch–plastischen Analyse von realen Bauteilen ist


152

Elastisch-plastische Bruchmechanik

man dagegen auf numerische Methoden angewiesen. Wie schon in der linearen Bruchmechanik werden wir uns auch hier auf ebene Probleme mit geraden Rissen unter Modus I Belastung konzentrieren.

5.2

Dugdale Modell

In d¨ unnen Platten aus duktilem Material beobachtet man häufig zungenförmige plastische Zonen vor der Rissspitze (Bild 5.1a). Diese kommen im wesentlichen durch Gleiten in Schnitten unter 45◦ zur Plattenebene zustande, wodurch ihre Ausdehnung in y-Richtung auf die Größenordnung der Plattendicke beschränkt ist (vgl. Abschnitt 4.7.2). y

plast. Zone x

a) y

C σF

x b)

δt a

δ d

Bild 5.1 Dugdale Modell Eine einfache Modellierung des entsprechenden elastisch-plastischen Modus I– Problems geht auf D.S. Dugdale (1960) zur¨ uck. Hierbei wird das Material als elastisch-idealplastisch angenommen und vorausgesetzt, dass die Ausdehnung der plastischen Zone in y-Richtung klein ist im Vergleich zu ihrer Länge d. Dann kann die plastische Zone als eine Linie (Streifen) angesehen werden, entlang welcher im ESZ nach der Trescaschen Fließbedingung die Fließspannung σF wirkt. Damit ist die Aufgabe auf das rein elastische Problem eines Risses zur¨ uckgef¨ uhrt, der fiktiv um die Strecke d verlängert ist und dessen Rissflanken dort durch σF belastet sind (Bild 5.1b). Die noch unbekannte Länge d folgt aus der Bedingung, dass die Spannungen nirgends die Fließspannung u urfen. Danach ¨berschreiten d¨ darf an der Spitze des fiktiven Risses (=Ende der plastischen Zone) auch keine Spannungssingularität auftreten, d.h. der K–Faktor muss verschwinden. Ausdr¨ ucklich sei betont, dass die Länge der plastischen Zone in diesem Modell keinen Einschränkungen unterliegt; sie kann hier durchaus von der Größenordnung der Risslänge oder einer anderen charakteristischen Länge sein.

153

Dugdale Modell

Entlang der fiktiven Rissverlängerung tritt eine Relativverschiebung der Rissufer um δ = v + − v − auf. Diese nimmt an der Rissspitze den Wert δt (= Rissspitzenöffnung) an und ist am Ende der plastischen Zone Null. Interpretiert man δ als Resultat der plastischen Deformation, dann ist δt ein mögliches Maß f¨ ur den Verformungszustand an der Rissspitze. Damit lässt sich ein elastisch–plastisches Bruchkriterium f¨ ur die Initiierung des Rissfortschrittes in der Form δt = δtc

(5.1)

postulieren. Darin ist die kritische Rissöffnung δtc ein Werkstoffkennwert. Wir wollen nun noch das J–Integral bestimmen. Hierzu wählen wir zweckmäßig eine Kontur C, die entlang der unteren und der oberen Flanke des Fließstreifens verläuft (Bild 5.1b). Nach (4.119) erhält man dann mit dy = 0 und τxy = 0 f¨ ur J den Ausdruck a+d J = −σF

0 ∂ / + . v − v − dx = −σF [ δ ]a+d a ∂x

a

Hieraus folgt wegen δ(a+d) = 0 und δ(a) = δt der einfache Zusammenhang J = σF δt .

(5.2)

Im Rahmen des Dugdale Modells ist danach ein Bruchkriterium J = Jc

(5.3)

äquivalent zum δt –Kriterium (5.1). Darin ist Jc = σF δtc ein Materialkennwert, der angibt, wann Risswachstum einsetzt. Wendet man das Dugdale Modell auf einen Riss der Länge 2a im unendlichen Gebiet unter einachsigem Zug an, so ergibt sich die in Bild 5.2 dargestellte Konfiguration. Dabei ist es zweckmäßig, die Lösung durch Superposition der beiden Lastfälle (1) einachsiger Zug“ und (2) Rissflankenbelastung“ zu gewinnen. Mit ” ” den Bezeichnungen nach Bild 5.2 gilt f¨ ur die entsprechenden K–Faktoren (vgl. Abschnitt 4.4.1) √ (1) KI = σ πb ,

2 √ a (2) KI = − σF πb arccos π b

und f¨ ur die Verschiebungen in y-Richtung an der physikalischen Rissspitze (x = a) 2σ √ 2 b − a2 , E √ 4σF a b 2 − a2 arccos − b . + a ln v (2) (a) = πE b a

v (1) (a) =

154


σ

σ y

(2)

(1)

σF

σF

+

=

x

2b = 2(a + d)

2a d

d

σ

σ

Bild 5.2 Dugdale Modell beim Riss unter einachsigem Zug (1)

(2)

Aus der Bedingung KI + KI = 0 ergibt sich die Größe der plastischen Zone zu ' & −1 πσ −1 . (5.4) d = b − a = a cos 2σF Hiermit erhält man f¨ ur die Rissspitzenöffnung (aus Symmetriegr¨ unden ist v − = −v + ) −1 / (1) 0 8 σF πσ (2) a ln cos δt = 2 v (a) + v (a) = πE 2 σF

(5.5)

und f¨ ur das J–Integral −1 8 σF2 πσ a ln cos . J = σF δt = πE 2 σF

(5.6)

In Bild 5.3a ist die Größe der plastischen Zone nach (5.4) dargestellt. Dieses ¨ 9 σF in guter Ubereinstimmung Ergebnis steht f¨ ur σ 25 . (5.63) σF

179

Risswachstum

Wegen der direkten Proportionalität von Jc /σF und δtc (vgl. (5.2), (5.51)) bedeutet dies, dass alle relevanten Abmessungen groß im Vergleich zur Rissspitzenöffnung bei der Rissinitiierung sein m¨ ussen. Neben (5.63) muss das Material noch die Forderung einer hinreichend großen Verfestigung erf¨ ullen. Andernfalls ist die Dominanz eines J–bestimmten Rissspitzenfeldes nicht gesichert (siehe Abschnitt 5.5).

5.8 5.8.1

Risswachstum J–kontrolliertes Risswachstum

Die Belastung eines Risses kann im allgemeinen auch bei großen plastischen Zonen auf ein mehrfaches des Initiierungswertes gesteigert werden, womit eine Rissverlängerung um einige Millimeter einhergeht (vgl. auch Abschnitt 4.8). Mit dem Risswachstum sind insbesondere in den Teilen der plastischen Zone hinter der Rissspitze Entlastungsvorgänge verbunden, welche mit der Deformationstheorie nicht richtig beschrieben werden können. Folglich sind auch die Voraussetzungen f¨ ur die Anwendung von J nicht erf¨ ullt. Bei geringem Risswachstum kann J unter bestimmten Bedingungen aber trotzdem noch einen sinnvollen Rissbeanspruchungsparameter darstellen. In solch einem Fall gilt im Verlauf der Rissausbreitung die Bruchbedingung J = JR (Δa) ,

(5.64)

wobei JR der von der Rissverlängerung Δa abhängige Risswiderstand ist. Man nennt JR (Δa) auch die J–Widerstandskurve eines Materials; ihr prinzipieller Verlauf ist in Bild 5.21a dargestellt. Der anfängliche steile Anstieg f¨ ur J < Jc ist alleine auf die Abrundung der Rissspitze durch plastische Deformation zur¨ uckzuf¨ uhren. Dieser Teil wird als blunting line bezeichnet. Nimmt man an, dass die Risserweiterung infolge der Abrundung ungefähr der halben Rissöffnung entspricht (Δa ≈ δt /2), so erhält man unter Verwendung von J = σF δt (vgl. (5.2) und (5.51)) f¨ ur die blunting line die grobe Abschätzung J ≈ 2σF Δa .

(5.65)

An die blunting line schließt sich f¨ ur J ≥ Jc die eigentliche JR –Kurve an, bei der ein Rissfortschritt durch Materialtrennung zustande kommt. Bild 5.21b zeigt schematisch die Verhältnisse an der Rissspitze bei einem Rissfortschritt um Δa. Ein J–kontrollierter Zustand kann offenbar nur dann vorliegen, wenn das Rissspitzenfeld des stationären Risses in seinem prinzipiellen Charakter durch den Rissfortschritt nur geringf¨ ugig geändert wird. Hierf¨ ur ist erforderlich, dass die charakteristische Länge der Entlastungsbereiche, d.h. der Rissfortschritt selbst, klein ist im Vergleich zur Abmessung des J-bestimmten Gebietes: Δa R.

180


J–bestimmtes Gebiet

JR J

dJ r

da

R l

Jc blunting line Δa

Δa Entlastungszone b) y

r ϕ x

l

da c)

a)

Bild 5.21 J–kontrolliertes Risswachstum ¨ Weitergehende Aussagen kann man erhalten, wenn wir die Anderung des Rissspitzenfeldes mit Hilfe des HRR–Feldes abschätzen. Hierzu nehmen wir an, dass sich das Spannungsfeld nach (5.38) 1 n+1 J σ ˜ij (ϕ) σij (J, r, ϕ) = C r

mit der fortschreitenden Rissspitze mitbewegt (Bild 5.21c). Aufgrund einer Steigerung der Belastung um dJ und einer Rissspitzenverschiebung um da erfährt dann ein materieller Punkt die Spannungsänderung dσij = Diese kann mit

∂σij ∂σij dJ − da . ∂J ∂x

∂ ∂ ∂ = cos ϕ − sin ϕ ∂x ∂r r∂ϕ

auch in der Form 1 n+1 J da σ˜ij (ϕ) ∂ σ˜ij dJ σ˜ij (ϕ) + cos ϕ + sin ϕ dσij = C r J n+1 r n+1 ∂ϕ

(5.66)

geschrieben werden. Darin charakterisiert der erste Term in der geschweiften Klammer eine zum Lastinkrement dJ proportionale Zunahme der Spannungen

181

Risswachstum

(= Proportionalbelastung). Dies trifft f¨ ur den zweiten Term, welcher durch den Rissfortschritt verursacht ist, nicht zu. Beachtet man, dass die Ausdr¨ ucke in den eckigen Klammern von gleicher Größenordnung sind, so kann der zweite Term aber f¨ ur alle r vernachlässigt werden, f¨ ur welche die Bedingung da dJ r J

(5.67)

erf¨ ullt ist. Wir f¨ uhren nun mit J/l = dJ/da eine belastungsabhängige Länge l ein, welche f¨ ur hinreichend großen Anstieg dJ/da von der Größenordnung des Rissfortschrittes ist (Bild 5.21a). Damit ist der J–bestimmte Bereich, in dem Proportionalbelastung vorliegt, durch lr 1 Materialkonstanten sind. Die zugehörige Kriechkurve f¨ ur eine zur Zeit t = 0 aufgebrachte konstante Spannung σ ist in Bild 6.6b dargestellt. In diesem Fall liegen mit σ˙ = 0 bzw. ε˙e = 0 stationäre Verhältnisse vor und (6.26) reduziert sich auf das Nortonsche Kriechgesetz ε˙ = ε˙v = Bσ n

(6.27)

(vgl. (1.65)). Das instantane Verhalten (t → 0) ist rein elastisch. Anschließend nimmt die Kriechdehnung linear mit t zu. Zur Zeit t = 1/(EBσn−1 ) sind die elastische Dehnung und die Kriechdehnung gleich (εv = εe ), und nach einer hinreichend großen Zeit gilt εv εe ; die elastische Dehnung kann dann vernachlässigt werden. Die hierf¨ ur erforderliche Zeit ist umso kleiner je größer die Spannung σ ist. Das Stoffgesetz (6.26) reduziert sich auch f¨ ur zeitlich veränderliche Spannungen auf (6.27) sofern nur Bσ n σ/E ˙ gilt. Dies ist der Fall, wenn die Spannung σ sehr

206

Kriechbruchmechanik

groß wird (z.B. in Rissspitzenumgebung) und die zeitliche Spannungsänderung nicht zu schnell erfolgt. Die dreidimensionale Verallgemeinerung von (6.26) lautet unter Verwendung von (1.38) und (1.71) ν 1+ν 3 ε˙ij = ε˙eij + ε˙vij = − σ˙ kk δij + σ˙ ij + B σen−1 sij E E 2

(6.28)

mit σe = ( 32 sij sij )1/2 . Dabei wurde angenommen, dass die Kriechdehnungen aus einem Fließpotential herleitbar sind und inkompressibel erfolgen (ε˙vkk = 0). Ist der elastische Anteil vernachlässigbar, so vereinfacht sich (6.28) zu 3 (6.29) ε˙ij = B σen−1 sij . 2 In diesem Fall gilt nach Abschnitt 1.3.2.2 die Analogie zwischen nichtlinear elastischem Verhalten und Kriechen. Konkret bedeutet dies, dass alle Beziehungen und Lösungen, welche f¨ ur ein nichtlinear elastisches Material mit dem Potenzgesetz nach (1.57) bzw. (5.34) gelten, auf entsprechende Kriechvorgänge mit dem Stoffgesetz (6.29) u ¨bertragen werden können, indem die Dehnungen durch die Dehnungsraten ersetzt werden. An dieser Stelle sei noch darauf hingewiesen, dass ein nichtlinear viskoelastisches Stoffverhalten vom Typ (6.26) bzw. (6.28) in der Literatur häufig als viskoplastisches Materialverhalten bezeichnet wird. 6.3.2

Station¨ arer Riss, Rissspitzenfeld, Belastungsparameter

Wir betrachten einen stationären Riss in einem Bauteil mit dem Stoffverhalten nach (6.28). Die Belastung sei zunächst beliebig, d.h. entweder zeitabhängig oder konstant. An der Rissspitze (r → 0) erwarten wir ein singuläres Spannungsfeld der Art σij (r, ϕ, t) = r λ σ ˜ij (ϕ, t), wobei der Exponent λ < 0 zunächst noch unbestimmt ist. Durch Einsetzen in (6.28) erkennt man, dass der elastische Anteil im Vergleich zum Kriechanteil vernachlässigbar ist. In der Umgebung der Rissspitze wird das Stoffverhalten also durch (6.29) beschrieben, und die Lösung f¨ ur das Rissspitzenfeld ist demzufolge analog zur entsprechenden elastischen Lösung. Letztere ist durch das HRR-Feld gegeben, welches in Abschnitt 5.3.2 diskutiert wurde. Mit den Umbenennungen αε0 σ0n → B, εij → ε˙ij , ui → u˙ i , J → C(t) erhält man damit aus (5.39) 1 C(t) n+1 σij = σ ˜ij (ϕ) , IBr n C(t) n+1 (6.30) ε˜ij (ϕ) , ε˙ij = B IBr n C(t) n+1 u˜i (ϕ) . u˙ i − u˙ i0 = Br IBr

207

Kriechbruch von nichtlinearen Materialien

Darin sind I(n) und die Winkelfunktionen σ ˜ij (ϕ) etc. durch die entsprechenden Größen in Abschnitt 5.3.2 gegeben. Das Feld entspricht damit vom Typ genau dem HRR-Feld. Der zeitabhängige Belastungsparameter ist hier C(t); er kann in Analogie zu (5.37) durch das Konturintegral +π C(t) = lim [D n1 − σiβ u˙ i,1 nβ ] rdϕ r→0 −π

(6.31)

ausgedr¨ uckt werden (Bild 5.13), wobei die spezifische Formänderungsenergierate D durch (1.72) gegeben ist. Die Integrationskontur muss dabei im Rissspitzenfeld liegen, da das Stoffgesetz (6.29) ja nur dort gilt. Das C(t)-Integral ist also im allgemeinen nicht wegunabhängig. Um C(t) f¨ ur eine konkrete Risskonfiguration und eine vorgegebene Belastung zu bestimmen, muss das vollständige zeitabhängige Randwertproblem mit dem Stoffgesetz (6.28) gelöst werden. Dies ist in der Regel nur mit Hilfe numerischer Methoden möglich. Die Feldgrößen in Rissspitzennähe erlauben dann mit (6.31) die Ermittlung des Belastungsparameters. Im weiteren nehmen wir an, dass die Belastung des Bauteiles zeitlich konstant bleibt. Dies hat zur Folge, dass sich nach hinreichend großer Zeit im Bauteil ein stationärer Kriechzustand einstellt (σ˙ ij = 0 f¨ ur t → ∞), bei dem die elastischen Dehnungen vernachlässigbar sind. Dann gelten (6.29) und die Analogie zum elastischen Fall nicht nur in der Umgebung der Rissspitze, sondern im gesamten Körper. Das Rissspitzenfeld ist damit wieder durch (6.30) gegeben, wobei der Belastungsparameter nun allerdings zeitunabhängig ist: C ∗ = C(t → ∞) . Er kann durch das Konturintegral C ∗ = [D n1 − σiβ u˙ i,1 nβ ] dc

(6.32)

(6.33)

C

ausgedr¨ uckt werden, welches jetzt im Unterschied zu (6.31) wegunabhängig ist (vgl. J-Integral). Vom elastischen Problem lassen sich eine Reihe weiterer Beziehungen u ur J ¨bertragen. So ergibt sich zum Beispiel aus der Darstellung (5.54) f¨ die analoge Darstellung f¨ ur C ∗ ˙ i dΠ ∗ C =− (6.34) da u˙ F

mit

u˙ F ˙i = Π

F du˙ F . 0

(6.35)

208

Kriechbruchmechanik

Daneben können nat¨ urlich auch alle Lösungen f¨ ur spezielle Rissprobleme u ¨ bernommen werden (siehe Abschnitte 5.5 und 5.6). Wir betrachten nun die Entwicklung des Rissspitzenfeldes in einem Bauteil, das einer zur Zeit t = 0 aufgebrachten konstanten Belastung unterliegt. Das instantane Verhalten ist rein elastisch. An der Rissspitze liegt damit anfangs ein Kbestimmtes Feld vor, dessen Dominanzbereich in Bild 6.7a durch RK gekennzeichnet ist. F¨ ur t > 0 entwickelt sich innerhalb des elastischen Rissspitzenfeldes eine Kriechzone mit einem charakteristischen Radius ρ und einem C(t)-bestimmten Feld, dessen Dominanzradius RC ist (Bild 6.7b). Sowohl ρ als auch RC wachsen mit der Zeit an. Außerhalb der Kriechzone sind die Kriechdehnungen noch so klein, dass sie im Vergleich zu den elastischen Dehnungen vernachlässigt werden können. Der Fall des Kleinbereichskriechen liegt vor, solange ρ RK ist. Dies ist bis zu einer bestimmten Zeit t1 der Fall. Die Rissspitzenbelastung kann in diesem sogenannten Kurzzeitbereich durch den konstanten K-Faktor beschrieben werden. Mit weiter zunehmender Zeit breitet sich die Kriechzone zum Großbereichs-

t=0

K–bestimmtes Feld

t < t ≤ t1

K–bestimmtes Feld

Kriechzone r

r

RK ρ

RK RC C(t)–bestimmtes Feld b)

a)

t > t1

C(t)–bestimmtes Feld

t→∞

r

r RC

c)

C ∗ –bestimmtes Feld

RC ∗

d)

Bild 6.7 Zeitliche Entwicklung des Rissspitzenfeldes

209


kriechen aus. Dann kontrolliert das C(t)-bestimmte Feld den Rissspitzenzustand (Bild 6.7c). F¨ ur t → ∞ stellt sich schließlich im Körper ein stationärer Kriechzustand ein, bei dem die Rissspitzenbelastung durch C ∗ gegeben ist (Bild 6.7d). Die Entwicklung der Kriechzone im Kurzzeitbereich (Kleinbereichskriechen) lässt sich einfach abschätzen. Hierzu nehmen wir an, dass die Grenze ρ der Kriechur die Vergleichsdehnungen zone näherungsweise durch die Bedingung εve = εee f¨ auf dem Ligament festgelegt ist und dass außerhalb der Kriechzone die zeitlich konstante Spannungsverteilung des K-bestimmten Feldes gilt. F¨ ur eine konstante Vergleichsspannung σe ergibt sich damit aus dem Stoffgesetz zunächst die charakteristische Zeit (vgl. Abschnitt 6.3.1) 1 . EB σen−1

t=

(6.36)

Bei ihr erreicht die Kriechzone gerade einen materiellen Punkt, in dem bis zu dieser Zeit die Spannung σe des K-bestimmten Feldes herrschte. Im weiteren ¨ vernachlässigen wir außerdem in Bild 6.7b den Ubergangsbereich zwischen dem K- und dem C-bestimmten Feld, d.h. wir setzen RC = ρ. Die Spannungen werden dann außerhalb der Kriechzone durch (4.19), innerhalb der Kriechzone durch (6.30) beschrieben: ⎧ K ⎪ ⎪ √ r≥ρ ⎪ ⎪ ⎨ r σe (r) ∼ (6.37) 1 ⎪ ⎪ ⎪ C(t) n+1 r ≤ ρ . ⎪ ⎩ Br An der Grenze r = ρ zwischen beiden Bereichen m¨ ussen die Spannungen die gleiche Größenordnung haben: K √ ∼ ρ

C(t) Bρ

1 n+1

.

(6.38)

Unter Verwendung von (6.36) und (6.37) ergeben sich damit f¨ ur die Größe ρ(t) der Kriechzone und f¨ ur C(t) die zeitlichen Abhängigkeiten 2

ρ(t) = α1 K 2 (EBt) n−1 ,

C(t) = α2

K2 , Et

(6.39)

wobei die αi dimensionslose Konstanten von der Größenordnung 1 sind. Eine grobe Abschätzung f¨ ur die Zeit t1 , bis zur der Kleinbereichskriechen herrscht, können wir hieraus noch erhalten, indem wir C(t1 ) ≈ C ∗ setzen: t1 = α2

K2 . EC ∗

(6.40)

Zum Abschluss wollen wir noch untersuchen, wann es zur Rissinitiierung kommt. Hierzu verwenden wir das einfache Bruchkriterium (6.9) δt = δtc , wobei δt die

210

Kriechbruchmechanik

Rissöffnung in einem bestimmten Abstand rc von der Rissspitze sei. Bei hinreichend großer Belastung kommt es noch im Kurzzeitbereich zur Initiierung. Dann gilt mit (6.30) und (6.39) δ˙t = 2Brc u˜2 (π)

α2 K 2 EIBrc t

n n+1

.

(6.41)

Durch Zeitintegration und anschließendes Einsetzen in das Bruchkriterium erhält man f¨ ur diesen Fall die Inkubations- oder Initiierungszeit n+1 n δtc EIBrc ti = . (6.42) 2Brc u˜2 (π) α2 K 2 Sie ist danach umgekehrt proportional zu K 2n . Bei ausreichend kleiner Belastung setzt der Rissfortschritt dagegen erst ein, wenn im Bauteil ein stationärer Kriechzustand mit dem Belastungsparameter C ∗ herrscht. In diesem Fall folgt aus (6.30) δ˙t = 2Brc u˜2 (π)

C∗ IBrc

n n+1

,

(6.43)

woraus sich durch Zeitintegration und mit dem Bruchkriterium die Initiierungszeit n IBrc n+1 δtc ti = (6.44) 2Brc u˜2 (π) C∗ ergibt. Sie ist nun umgekehrt proportional zu C 6.3.3 6.3.3.1

∗

n n+1 .

Kriechrisswachstum Hui-Riedel-Feld

Nach der Initiierung wächst der Riss kriechend. Zur Beschreibung dieses Vorganges bestimmen wir zunächst das Rissspitzenfeld, wobei wir stationäre Verhältnisse und exemplarisch den ESZ voraussetzen wollen. Bei der Herleitung gehen wir ähnlich vor, wie in Abschnitt 5.3.2 beim HRR-Feld; zweckmäßig verwenden wir dabei das mitbewegte Koordinatensystem nach Bild 5.24. Setzt man das Stoffgesetz (6.28) unter Beachtung von (5.82) in die Kompatibilitätsbedingung (5.41) ein, so ergibt sich a˙ ∂ [Δ(σr + σϕ )] E ∂x1 0 1 ∂ 2 / n−1 0 B 1 ∂ 2 / n−1 rσ (2σϕ − σr ) + 2 σ (2σr − σϕ ) + 2 2 4 r ∂r r ∂ϕ 0 1 ∂ / n−1 3 ∂ ∂ n−1 − =0 σ (2σr − σϕ ) − 2 r (σ τrϕ ) r ∂r r ∂r ∂ϕ

(6.45)

211


mit

2 1 2 1/2 σ = σr2 + σϕ2 − σr σϕ + 3τrϕ

(6.46)

und ∂ ∂ ∂ = cos ϕ − sin ϕ , ∂x1 ∂r r∂ϕ

Δ=

1 ∂2 1 ∂ ∂2 + 2 + . 2 ∂r r ∂ϕ2 r ∂r

(6.47)

Wir f¨ uhren nun die Airysche Spannungsfunktion φ(r, ϕ) mit den Definitionen (5.44) ein, wodurch die Gleichgewichtsbedingungen identisch erf¨ ullt werden. F¨ ur das Rissspitzenfeld wählen wir den Ansatz ˜ . φ = A r s φ(ϕ)

(6.48)

a˙ s−3 ˜ + BAn−1 rn(s−2) D2 (φ) ˜ =0, r D1 (φ) E

(6.49)

Damit folgt aus (6.45)

wobei

∂ ] (s − 2)2 (s2 φ˜ + φ˜ ) + (s2 φ˜ + φ˜ ) , D1 = [(s − 4) cos ϕ − sin ϕ ∂ϕ D2 = n(s − 2)[1 + n(s − 2)]˜ σ n−1 [s(2s − 3)φ˜ − φ˜ ] σ n−1 [s(1 − s)φ˜ + 2φ˜ ] +[˜ σ n−1 (s(1 − s)φ˜ + 2φ˜ )] − n(s − 2)˜ +3[1 + n(s − 2)](s − 1)(˜ σn−1 φ˜ ) , σ ˜=

s2 (3 − 3s + s2 )φ˜2 + s(3 − s)φ˜φ˜ + φ˜2 + (s − 1)2 φ˜2

(6.50)

1/2 .

Der erste Term auf der linken Seite von (6.49) beschreibt den elastischen Anteil, der zweite Term den Kriechanteil des Rissspitzenfeldes. Um den noch unbekannten Exponenten s zu bestimmen, gehen wir zuerst von der Hypothese aus, dass der erste Term, d.h. der elastische Verzerrungsanteil, vernachlässigbar ist. Dies f¨ uhrt auf genau dieselben Beziehungen wie beim stehenden Riss. Das zugehörige Rissspitzenfeld ist nach (6.30) vom HRR-Typ mit σij ∼ r−1/(n+1) bzw. . Zur φ ∼ r (2n+1)/(n+1) ; der Exponent s hat in diesem Fall den Wert s = 2n+1 n+1 ¨ Uberpr¨ ufung der Richtigkeit der Hypothese setzen wir dies in (6.49) ein. Der erste Term ist dann vom Typ r −(n+2)/(n+1) und der zweite vom Typ r −n/(n+1) . F¨ ur r → 0 dominiert danach der erste Term, was einen Widerspruch zur urspr¨ unglichen Hypothese darstellt. Anders als beim stehenden Riss kann der elastische Verzerrungsanteil beim wachsenden Riss also nicht vernachlässigt werden. Wir nehmen nun umgekehrt an, dass in (6.49) der Kriechanteil im Vergleich zum elastischen Anteil vernachlässigt werden kann. Dann erhält man ein elastisches Rissspitzenfeld mit σij ∼ r−1/2 bzw. φ ∼ r 3/2 , und es gilt s = 3/2. Setzen wir dies

212

Kriechbruchmechanik

¨ zur Uberpr¨ ufung der Annahme wieder in (6.49) ein, so ist der erste Term vom ¨ Typ r−3/2 und der zweite vom Typ r−n/2 . In Ubereinstimmung mit der Annahme dominiert danach f¨ ur n < 3 der erste Term tatsächlich an der Rissspitze (r → 0). In diesem Fall stellt sich also das elastische Rissspitzenfeld ein, welches im Modus I durch (4.13) gegeben ist (vgl. auch Abschnitt 4.2.2). Dagegen ergibt sich f¨ ur n ≥ 3 ein Widerspruch zur Annahme, da dann die Terme von gleicher Größenordnung sind (n = 3) bzw. der zweite Term dominiert (n > 3). ¨ Aus den vorhergehenden Uberlegungen folgt, dass f¨ ur n > 3 beide Terme in (6.49) das gleiche asymptotische Verhalten f¨ ur r → 0 haben m¨ ussen. Somit gilt . Die Amplitude A können wir nun s − 3 = n(s − 2), und es ergibt sich s = 2n−3 n−1 1/(n−1) noch ohne Beschränkung der Allgemeinheit durch A = (a/EB) ˙ festlegen. Damit reduziert sich (6.49) auf die gewöhnliche nichtlineare Differentialgleichung 5. Ordnung ˜ + D2 (φ) ˜ =0 (6.51) D1 (φ) ˜ f¨ ur die noch unbekannte Funktion φ(ϕ). Vier der zugehörigen Randbedingungen f¨ ur den Modus I sind durch (5.48) gegeben; hinzu kommt die Bedingung, dass die Lösung an der Stelle ϕ = 0 regulär sein muss. Die Lösung von (6.51) unter Beachtung der Randbedingungen kann durch numerische Integration gewonnen werden. Hiermit liegen die Spannungsfunktion und folglich die Spannungen und Verzerrungen im Rissspitzenbereich (r → 0) eindeutig fest. Sie haben die allgemeine Form 1 n−1 a˙ σij = σ ˜ij (ϕ) , EB r (6.52) 1 n−1 1 a˙ εij = ε˜ij (ϕ) . E EB r Nach C.Y. Hui und H. Riedel, die das Kriechrisswachstum intensiv untersuchten, wird dieses Feld als Hui-Riedel-Feld bezeichnet. Im Unterschied zum stehenden Riss (HRR-Feld) haben die Spannungen und die Verzerrungen des Hui-RiedelFeldes das gleiche asymptotische Verhalten. In Bild 6.8 ist die Winkelabhängigkeit der Spannungen und Verzerrungen f¨ ur den Fall n = 5 dargestellt. Darin sind σ˜ und ε˜ die entsprechend (6.52) normierte Vergleichsspannung und Vergleichsdehnung. Man beachte, dass mit Annäherung an die Rissflanken (ϕ → ±π) die Größen σ˜ , ε˜, ε˜ϕ unbeschränkt anwachsen. Es ist dies als Resultat der Verzerrungsgeschichte zu verstehen, die ein materielles Partikel in der Umgebung der x-Achse erfährt, wenn sich die Rissspitze an ihm vorbeibewegt. Eine weitere bemerkenswerte Eigenschaft des Feldes (6.52) besteht darin, dass seine Amplitude alleine durch die Rissgeschwindigkeit a˙ und die Materialparameter EB festgelegt ist. Anders als beim HRR-Feld besteht hier keine explizite Abhängigkeit der Amplitude von der äußeren Belastung oder von der Geometrie des Bauteiles.

213


σ ˜ij

ε˜ij

2

4

σ ˜ 1

σr

0

ε˜

2

τrϕ

σϕ

-1 π/2

0

σr π

ϕ

ε˜r ε˜ϕ

-2 π/2

ε˜rϕ π

ϕ

Bild 6.8 Hui-Riedel-Feld, Winkelverteilung der Feldgrößen (ESZ, n = 5) Bei der Herleitung des Rissspitzenfeldes haben wir stationäre Verhältnisse (a˙ =const) vorausgesetzt. Dies ist nicht unbedingt erforderlich; vielmehr gelten die Ergebnisse auch f¨ ur den instationären Fall (a˙ =const). Man erkennt dies aus der Zeitableitung von (6.48) f¨ ur den allgemeinen (instationären) Fall, die nach (5.81) durch φ˙ = (∂φ/∂t) − a(∂φ/∂x ˙ 1 ) gegeben ist. Unter Beachtung von (6.47) s ist der erste Term vom Typ r und der zweite vom Typ rs−1 . Dementsprechend wird das asymptotische Verhalten von φ˙ f¨ ur r → 0 im instationären genau wie im stationären Fall allein durch den zweiten Term, d.h. durch die von uns benutzte Beziehung (5.82), beschrieben. Analoge Untersuchungen können nat¨ urlich auch f¨ ur den EVZ und den Modus II durchgef¨ uhrt werden. Die Struktur des Rissspitzenfeldes (6.52) ändert sich in diesen Fällen aber nicht. 6.3.3.2

Kleinbereichskriechen

Im weiteren setzen wir voraus, dass das Risswachstum unter Bedingungen des Kleinbereichskriechens stattfindet. Daneben wollen wir n > 3 und wie im vorhergehenden Abschnitt einen ESZ annehmen. Die dann in der Umgebung einer Rissspitze herrschenden Verhältnisse sind schematisch in Bild 6.9 dargestellt. In das K-bestimmte Feld mit dem Dominanzradius RK ist die Kriechzone mit dem charakteristischen Radius ρ RK eingebettet. Innerhalb der Kriechzone, an der Rissspitze befindet sich das Hui-Riedel-Feld, dessen Dominanzradius RHR ist. ¨ Die genaue Ermittlung des Feldes im Ubergangsbereich zwischen K-bestimmtem Feld und Hui-Riedel-Feld ist nur mit Hilfe numerischer Methoden möglich. Wir wollen uns deshalb hier mit einer Näherungslösung begn¨ ugen, aus der aber alle wesentlichen Aspekte ablesbar sind. Wir gehen dabei ähnlich vor, wie beim Kleinbereichskriechen des stehenden Risses (vgl. Abschnitt 6.3.2). Um die Größe ρ des Kriechbereiches zu bestimmen, nehmen wir zuerst an, dass diese Grenze

214

Kriechbruchmechanik

K–bestimmtes Feld Kriechzone r RK a˙ ρ RHR Hui-Riedel-Feld Bild 6.9 Risswachstum bei Kleinbereichskriechen, n > 3 näherungsweise durch die Bedingung εve = εee f¨ ur die Vergleichsdehnungen auf dem Ligament festgelegt ist und dass bis zu dieser Grenze die Spannungsverteilung des K-bestimmten Feldes gilt. Letztere ist f¨ ur die Vergleichsspannung auf dem √ Ligament im ESZ durch σe = K/ 2πr gegeben. Damit folgt nach (6.26) unter Beachtung von (.)· = −a˙ ∂(.)/∂r (auf dem Ligament ist x1 = r) εee =

σe K = √ , E E 2πr

∂εe v BK n = B σen = −a˙ ∂r (2πr)n/2

2BK n εe = . (2π)n/2 (n − 2)ar ˙ (n−2)/2

→

(6.53)

v

Die Integration bei εve erfolgte dabei in den Grenzen von RK → ∞ bis r. Gleichsetzen der beiden Dehnungen bei r = ρ liefert

EBK n−1 ρ= (2π)(n−1)/2 (n − 2) a˙ 2

womit sich

2 n−3

,

(6.54)

1 n−3 a˙ (6.55) π(n − 2) 2 EBK ¨ ergibt. Im weiteren vernachlässigen wir wieder den Ubergangsbereich zwischen dem K-bestimmten Feld und dem Hui-Riedel-Feld und setzen in erster Näherung ur die Kriechdehnung erhalten wir dann nach (6.53) und (6.52) ρ = RHR . F¨ ⎧ * + n−2 ⎪ ⎪ ⎪ ρ 2 r≥ρ ⎨ r εve (r) = εve (ρ) (6.56) ⎪ *ρ+ 1 ⎪ n−1 ⎪ ⎩ r≤ρ. r 1 εe (ρ) = εe(ρ) = E v

e

215


Um das Risswachstum zu beschreiben, benötigen wir noch ein Bruchkriterium. Zu diesem Zweck nehmen wir an, dass das Risswachstum so erfolgt, dass die Kriechdehnung εve in einem bestimmten Abstand rc vor der Rissspitze gerade den kritischen Wert εc annimmt: εve (rc ) = εc . Man beachte, dass in diesem Kriterium nur die Kriechdehnung und nicht etwa die Gesamtdehnung auftritt. Physikalisch kann man dies dadurch begr¨ unden, dass die Vergleichs-Kriechdehnung ein Maß f¨ ur das entstandene Porenvolumen ist, welches seinerseits wieder den Schädigungszustand des Materials beschreibt. Setzen wir (6.56) mit (6.54), (6.55) in dieses Bruchkriterium ein, so erhält man ⎧ n−3 ⎪ ⎪ 2 ρ ⎪ ⎪ rc ≥ ρ ⎪ ⎨ rc 1 (6.57) ¯ = ⎪ − n−3 K ⎪ 2(n−1) ⎪ ρ ⎪ ⎪ rc ≤ ρ ⎩ rc bzw. a ¯˙ =

¯n K

rc ≥ ρ

1

rc ≤ ρ ,

(6.58)

wobei

K a˙ n−2 ¯ = √ , K (6.59) n n−1 2 E B rc εc Eεc 2πrc die dimensionslose Rissgeschwindigkeit bzw. der dimensionslose K-Faktor sind. a¯˙ =

a¯˙ 100

n=5 n=4

10 a ¯˙ min = 1 ¯ min = 1 K

2

3

4 5 6

¯ K

Bild 6.10 Rissgeschwindigkeit Durch (6.58) werden zwei Lösungen f¨ ur die Rissgeschwindigkeit beschrieben; sie sind in Bild 6.10 dargestellt. Aus (6.57) kann man daneben entnehmen, dass ¯ ≥ 1 zur Folge haben. Der die Bedingungen rc ≥ ρ bzw. rc ≤ ρ in jedem Fall K minimale K-Faktor, f¨ ur den eine Rissausbreitung möglich ist, ist danach durch

216

Kriechbruchmechanik

¯ = 1 bzw. durch K

√ Kmin = Eεc 2πrc

(6.60)

gegeben. Ihm zugeordnet ist eine minimale Geschwindigkeit a ¯˙ = 1 bzw. a˙ min =

2 E n B rc εn−1 . c n−2

(6.61)

Wir betrachten nun den Lösungsast a ¯˙ = 1 und denken uns die Rissgeschwindigkeit a˙ bei konstantem K durch eine Störung etwas erhöht. Dann f¨ uhrt dies nach (6.54) zu einer Verkleinerung der Kriechzone, was zur Folge haben kann, dass rc > ρ ist. Dann gilt aber der andere Lösungsast, und die Geschwindigkeit “springt” auf den zugehörigen höheren Wert. In diesem Sinn bezeichnen wir den unteren Lösungsast als instabil . Die physikalisch interessante Lösung ist dementsprechend durch den ¯ n , d.h. durch die Beziehung oberen Lösungsast a ¯˙ = K n K 2 B rc √ (6.62) a˙ = n − 2 εc 2πrc gegeben. Danach wächst die Rissgeschwindigkeit mit K n .

6.4

Literatur

Bazant, Z.P. and Planas, J. (1997). Fracture and Size Effects in Concrete and Other Quasibrittle Materials. CRC Press, Boca Raton Bernasconi, G. and Piatti, G. (1978). Creep of Engineering Materials and Structures. Applied Science Publishers, London Gittus, J. (1975). Creep, Viscoelasticity and Creep Fracture in Solids. Applied Science Publishers, London Kanninen, M.F. and Popelar, C.H. (1985). Advanced Fracture Mechanics. Clarendon Press, Oxford Riedel, H. (1987). Fracture at High Temperature. Springer, Berlin Williams, J.G. (1987). Fracture Mechanics of Polymers. John Wiley & Sons, New York

7 Dynamische Probleme der Bruchmechanik

7.1

Allgemeines

Bis jetzt haben wir bei der Untersuchung der Rissinitiierung und der Rissfortpflanzung immer quasistatische Verhältnisse vorausgesetzt. Dies ist nicht mehr möglich, wenn die Trägheitskräfte oder hohe Verzerrungsraten das Bruchverhalten wesentlich beeinflussen. So ist es eine bekannte Tatsache, dass ein Material unter schlagartiger dynamischer Belastung eher versagt, als unter einer langsam ¨ aufgebrachten Last. Eine Ursache hierf¨ ur besteht in der Anderung des Materialverhaltens. Plastisches oder viskoses Fließen findet mit steigenden Belastungsraten in immer geringerem Maße statt: das Material verhält sich im dynamischen Fall häufig “spröder” als im statischen Fall. Dies sowie möglicherweise geänderte ¨ Versagensmechanismen in der Prozesszone f¨ uhren daneben meist zur Anderung der Bruchzähigkeit. Eine andere Ursache liegt darin, dass es bei einer dynamischen Belastung infolge der Trägheitskräfte zu höheren Spannungen in der Umgebung einer Rissspitze kommen kann als im entsprechenden quasistatischen Fall. Läuft ein Riss durch das Material, so erreicht er nach einer kurzen Beschleunigungsphase häufig eine sehr hohe Geschwindigkeit. Diese kann zum Beispiel u ¨ber 1000 m/s betragen. Bei dieser schnellen Rissausbreitung spielen die Trägheitskräfte und die hohen Verzerrungsraten eine wichtige Rolle und bestimmen das Bruchverhalten wesentlich mit. Letzteres ist aus Schadensfällen und aus gezielten Experimenten zum Teil gut bekannt. So u ¨berschreitet ein schneller Riss eine bestimmte Grenzgeschwindigkeit nur in Ausnahmefällen. Unter bestimmten Umständen verzweigt er sich ein- oder mehrfach, oder er wird hinsichtlich seiner Ausbreitungsrichtung instabil. Dies äußert sich darin, dass er selbst unter symmetrischen Verhältnissen versucht, von der geraden Bahn abzuweichen. Ein weiterer (oft erw¨ unschter) dynamischer Vorgang ist der Rissarrest, d.h. das Verzögern und schließliche Stoppen eines Risses. Ein Verständnis der genannten Phänomene und ihre sachgerechte quantitative Beschreibung ist nur mit einer dynamischen Bruchtheorie möglich. Einige Grundz¨ uge werden wir in den folgenden Abschnitten behandeln. Hierbei wollen wir uns im Sinne der linearen Bruchmechanik auf die Behandlung des Bruchs spröder Körper beschränken, deren Verhalten mit Hilfe der linearen Elastizitätstheorie beschrieben werden kann. Zwei typische Probleme stehen im Vordergrund der Betrachtung: a) der stationäre (stehende) Riss unter einer dynamischen Belastung und b) der instationäre (schnell laufende) Riss. Hinsichtlich des


218

Dynamische Probleme der Bruchmechanik

Bruchkonzeptes werden wir auf die schon bekannten Größen wie K-Faktoren oder Energiefreisetzungsraten zur¨ uckgreifen.

7.2

Einige Grundlagen der Elastodynamik

Die Grundgleichungen der linearen Elastodynamik sind durch die Bewegungsgleichungen (1.20), die kinematischen Beziehungen (1.25) und das Elastizitätsgesetz (1.37) gegeben. Setzt man sie ineinander ein, so erhält man im Fall verschwindender Volumenkräfte (fi = 0) die Navier-Lamé-Gleichungen ui (λ + μ)uj,ji + μui,jj = ρ¨

.

(7.1)

F¨ uhrt man ein Skalarpotential φ und ein Vektorpotential ψk so ein, dass u1 = φ,1 + ψ3,2 − ψ2,3 ,

u2 = φ,2 + ψ1,3 − ψ3,1 ,

u3 = φ,3 + ψ2,1 − ψ1,2 , (7.2)

so folgen aus (7.1) die Helmholtzschen Wellengleichungen c21 φ,ii = φ¨ , mit c21 =

λ + 2μ , ρ

c22 ψk,ii = ψ¨k

(7.3)

μ . ρ

(7.4)

c22 =

Darin beschreiben das Skalarpotential φ eine Volumenänderung (Dilatation) und das Vektorpotential ψk eine reine Gestaltänderung bei konstantem Volumen (Distorsion). Entsprechend ist c1 die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Dilatationswellen (Longitudinalwellen) und c2 die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Distorsionswellen oder Scherwellen (Transversalwellen). Ihre Größe ist f¨ ur einige Materialien in Tabelle 7.1 angegeben. Mit diesen Geschwindigkeiten breiten sich Störungen (Dilatation bzw. Gestaltänderung) in einem Körper aus, solange sie auf keine Berandungen treffen. Tabelle 7.1 Wellengeschwindigkeiten Material Stahl Aluminium Glas PMMA

c1

[m/s] c2 [m/s] cR [m/s] 6000 3200 2940 6300 3100 2850 5800 3300 3033 2400 1000 920

F¨ ur ebene Probleme vereinfacht sich die Darstellung. So reduziert sich (7.3) im EVZ mit u3 = 0 bzw. mit ψ1 = ψ2 = 0 und der Bezeichnung ψ = ψ3 auf die

219

Einige Grundlagen der Elastodynamik

beiden Wellengleichungen c21 φ,ii = φ¨ ,

c22 ψ,ii = ψ¨ .

(7.5)

Der ESZ wird durch die gleichen Beziehungen beschrieben; es m¨ ussen dann nur die elastischen Konstanten in den Wellenfortpflanzungsgeschwindigkeiten geändert werden (vgl. Abschnitt 1.5.1). Neben den Transversal- und den Longitudinalwellen spielen die Rayleigh-Wellen oder Oberflächenwellen eine wichtige Rolle bei dynamischen Rissproblemen. Es handelt sich dabei um Wellen, die sich entlang einer freien Oberfläche ausbreiten und die ins Innere hinein schnell (exponentiell) abklingen. Zu ihrer Beschreibung betrachten wir einen Körper im EVZ, der die obere Halbebene mit dem Rand x2 = 0 einnimmt und machen den Ansatz φ = A exp−αx2 cos k(x1 − cR t) ,

ψ = B exp−βx2 cos k(x1 − cR t) ,

(7.6)

Darin sind cR die noch unbekannte Geschwindigkeit der Rayleigh-Wellen und k die Wellenzahl. Einsetzen in (7.5) liefert α bzw. β, und aus den Randbedingungen σ22 (x1 , 0) = 0, σ12 (x1 , 0) = 0 ergeben sich das Verhältnis A/B sowie die folgende Beziehung f¨ ur cR : ( R(cR ) = 4 1 −

cR c1

2 (

1−

cR c2

2

& − 2−

cR c2

2 '2 =0.

(7.7)

Man bezeichnet R(cR ) als Rayleigh-Funktion. Gleichung (7.7) kann auch in der Form 6 4 2 cR cR 8(2 − ν) cR 8 −8 + − =0 (7.8) c2 c2 1−ν c2 1−ν geschrieben werden. Die Geschwindigkeit der Rayleigh-Wellen cR hängt danach wie c1 und c2 nur von den Materialkonstanten und nicht etwa von der Wellenzahl bzw. der Wellenlänge ab. F¨ ur 0 ≤ ν ≤ 1/2 folgt 0.864 ≤ cR /c2 ≤ 0.955. Insbesondere erhält man f¨ ur ν = 1/4 die Geschwindigkeit cR = 0.919c2 ; dieser Wert wurde in Tabelle 7.1 zugrunde gelegt. Besonders einfach ist der nichtebene (longitudinale) Schubspannungszustand. Bei ihm gehen wir zweckmäßig direkt von (7.1) aus. Mit u1 = u2 = 0 und der Bezeichnung w = u3 erhält man c22 w,ii = w¨ .

(7.9)

Die Bewegung wird in diesem Fall durch eine einzige Wellengleichung mit der charakteristischen Wellenfortpflanzungsgeschwindigkeit c2 beschrieben; Rayleighwellen treten hier nicht auf.

220

7.3 7.3.1


Dynamische Belastung des station¨ aren Risses Rissspitzenfeld, K-Konzept

Das Rissspitzenfeld eines dynamisch belasteten stationären Risses unterscheidet sich nicht von dem des statischen Falles. Man kann dies direkt aus den Feldgleichungen (7.1) erkennen. Dabei gehen wir davon aus, dass die Verschiebungen an der Rissspitze (r → 0) nichtsingulär und die Spannungen singulär sind, d.h. es gilt ui = r λ u˜i (ϕ, t) mit 0 < λ < 1. Die Glieder auf der linken Seite von (7.1) sind dann aufgrund der zweifachen Ortsableitung vom Typ r λ−2 , während die rechte Seite vom Typ r λ ist. Die Trägheitskräfte sind damit f¨ ur r → 0 von höherer Ordnung klein und brauchen nicht ber¨ ucksichtigt zu werden. Das Rissspitzenfeld leitet sich folglich im dynamischen Fall aus denselben Gleichungen her wie im statischen Fall und stimmt dementsprechend mit dem statischen Rissspitzenfeld nach Abschnitt 4.2 u ¨berein. Der einzige Unterschied zur Statik besteht darin, dass die Spannungsintensitätsfaktoren nunmehr von der Zeit abhängen: KI = KI (t) etc.. Letztere können in der Regel nicht aus der Statik u ¨bernommen werden, sondern ergeben sich aus der Lösung des dynamischen Randwertproblems (Anfangs-Randwertproblem). Hierbei m¨ ussen die Trägheitskräfte dann sehr wohl ber¨ ucksichtigt werden. Da das Rissspitzenfeld durch die K-Faktoren eindeutig bestimmt ist, liegt es nahe, das K-Konzept auch bei der dynamischen Belastung eines Risses zu verwenden. Danach findet im Modus I die Initiierung des Risswachstums statt, wenn die Bedingung KI (t) = KIc (7.10) erf¨ ullt ist. Die Anwendung dieser Beziehung wird allerdings durch zwei Fakten erschwert. Wie schon erwähnt, ist die Bruchzähigkeit KIc von der Belastungsrate K˙ I bzw. von einer charakteristischen Belastungszeit τ abhängig: KIc = KIc (τ ). Ihre Bestimmung setzt insbesondere bei impulsartigen Belastungen einen großen experimentellen Aufwand voraus, der nur von gut ausgestatteten Labors erbracht werden kann. Infolgedessen steht heute nur eine recht beschränkte Zahl zuverlässiger Materialdaten zur Verf¨ ugung. Zum anderen ist (7.10) nur g¨ ultig, wenn der Dominanzbereich des K-bestimmten Feldes hinreichend groß im Vergleich zu allen anderen charakteristischen Längen ist. Dieser kann in der Dynamik von der Zeit abhängen und unter Umständen kleiner sein als in der Statik. So ist zum Beispiel aufgrund der beschränkten Wellenausbreitungsgeschwindigkeiten bei einer stoßartigen Rissbelastung eine gewisse Zeit erforderlich, um ein hinreichend großes dominantes Rissspitzenfeld “aufzubauen”. 7.3.2

Energiefreisetzungsrate, energetisches Bruchkonzept

Die Energiefreisetzungsrate ist definiert als Abnahme der Gesamtenergie eines Körpers beim Rissfortschritt. Da im dynamischen Fall die kinetische Energie K

221

Dynamische Belastung des station¨ aren Risses

ber¨ ucksichtigt werden muss, gilt allgemein d(Π + K) G=− . (7.11) da Im vorliegenden Fall des stationären Risses (a˙ = 0) ist der Rissfortschritt dabei als “quasistatisch” (bzw. als gedacht) aufzufassen.

C

x2 x1

x2

C x1

A

a)

b)

ρ→0

Bild 7.1 Zur Energiefreisetzungsrate Wegen der in (7.11) zusätzlich auftretenden kinetischen Energie können wir f¨ ur G die Beziehungen der Statik (vgl. Abschnitte 4.6.2–4.6.5) nicht unbesehen u ¨bernehmen. Wir werden hier aber auf eine Herleitung verzichten, sondern bedienen uns des Ergebnisses f¨ ur den allgemeineren Fall des laufenden Risses in Abschnitt 7.4.3. Danach ergibt sich aus Gleichung (7.34) f¨ ur die Energiefreisetzungsrate beim ebenen Problem eines geraden stationären Risses (Rissgeschwindigkeit = Null) mit belastungsfreien Rissufern (7.12) G = (Uδ1β − σiβ ui,1 )nβ dc + σij,j ui,1 dA . C

A

Darin ist A die von einer beliebigen Kontur C eingeschlossene Fläche, welche die Rissspitze von einem Rissufer zum anderen Rissufer umläuft (Bild 7.1a). Im Unterschied zum statischen Fall ist die Energiefreisetzungsrate nun nicht mehr durch das wegunabhängige J-Integral gegeben, sondern es taucht in (7.12) ein zusätzliches Flächenintegral auf (vgl. auch Abschnitt 4.6.5.3). Dieses verschwindet nur dann, wenn man die Kontur auf die Rissspitze zusammenzieht (Bild 7.1b): G = lim (Uδ1β − σiβ ui,1 )nβ dc . (7.13) C→0

C

Die angegebenen Beziehungen sind auch im allgemeinen, nichtlinear elastischen Fall g¨ ultig, da kein spezielles Elastizitätsgesetz vorausgesetzt wurde. Liegt linear elastisches Materialverhalten vor, so stimmen beim stationären Riss wie schon erwähnt die Rissspitzenfelder des dynamischen und des statischen Falls u ¨berein. Aus (7.13) folgt damit unmittelbar, dass der aus der Statik bekannte Zusammenhang 1 1 2 K2 )+ (7.14) G = (KI2 + KII E 2G III

222


auch im dynamischen Fall gilt. Dementsprechend sind zum Beispiel im reinen Modus I wegen G = KI2 /E das K-Konzept und das energetische Konzept G = Gc

(7.15)

genau wie in der Statik äquivalent. Hierin ist Gc (τ ) die f¨ ur den Rissfortschritt benötigte Energie; sie kann von der Belastungsrate bzw. von der charakteristischen Belastungszeit τ abhängen. Angemerkt sei an dieser Stelle noch, dass (7.12) in Verbindung mit (7.14) vorteilhaft bei der Bestimmung dynamischer KFaktoren mittels numerischer Methoden benutzt werden kann. 7.3.3

Beispiele

Die Bestimmung dynamischer Spannungsintensitätsfaktoren ist mit Hilfe verschiedener Methoden möglich. Zu ihnen zählen insbesondere die experimentellen und die numerischen Methoden; analytische Verfahren sind nur in wenigen Sonderfällen anwendbar. Experimentelle Methoden erlauben die Ermittlung sowohl des Zeitverlaufes KI (t) der Rissspitzenbelastung als auch des Initiierungswertes KIc (τ ). Als besonders geeignet hat sich dabei das sogenannte Kaustikenverfahren erwiesen. Mit numerischen Methoden kann die Rissspitzenbelastung KI (t) bestimmt werden. Erfolgreich eingesetzt werden hierbei die Randelementmethode (BEM), das Verfahren der Finiten Elemente (FEM) und das Differenzenverfahren. Im folgenden werden die Ergebnisse von drei Beispielen diskutiert, die mit diesen Verfahren gewonnen wurden. KI (t) KIstat

c2 τ /a = 0 1,7 3,4

a 1

σ(t) σ0 c1 Wellenfront

τ 2

4

6

t c2 t/a

Bild 7.2 Stoßbelastung eines kreisförmigen Risses im unendlichen Gebiet Als erstes Beispiel betrachten wir den rotationssymmetrischen Fall eines kreisförmigen Risses (penny shaped crack) im unendlichen Gebiet, der durch eine senkrecht auftreffende Spannungswelle mit der charakteristischen Belastungszeit τ und der Amplitude σ0 stoßartig belastet wird (Bild 7.2). Trifft die Welle

223

Dynamische Belastung des station¨ aren Risses

zur Zeit t = 0 auf den Riss, so wächst K(t) zunächst an, erreicht einen Spitzenwert und√nähert sich dann oszillierend dem entsprechenden statischen Wert KIstat = 2σ0 πa/π. Das Abklingen kann dadurch erklärt werden, dass mit den am Riss reflektierten bzw. gestreuten Wellen laufend Energie ins Unendliche abgestrahlt wird. Diese Wellen tragen nicht mehr zur Rissbelastung bei. F¨ ur τ = 0 liegt der Spitzenwert um zirka 25 Prozent u ¨ber KIstat . Er wird etwa zur Zeit tR = 2a/cR erreicht, welche die Rayleighwellen benötigen, um den Rissdurchmesser 2a zu durchlaufen. Mit zunehmender Belastungszeit τ verringert sich der Spitzenwert. ¨ Eine merkliche dynamische Uberh¨ ohung tritt nur f¨ ur Belastungszeiten auf, die in 1 liegen. Dies ist zum Beipiel bei einem Riss von der Größenordnung von τ c2 /a < 2a = 20 mm Länge in einer Stahlplatte f¨ ur τ ≈ 6 · 10−6s der Fall. Solch kurze Belastungszeiten treten nur in seltenen Situationen auf.

σ(t)

KI (t) KIstat

σ(t) σ0 t

3 2c 2a

2 1

σ(t) 2b

0

10

20

30

-1

c1 t 2a

Bild 7.3 Stoßbelastung eines Risses im Rechteckgebiet (ESZ, ν = 0.25; a : b : c = 9.5 : 100 : 60) In einem zweiten Beispiel befinde sich ein gerader Riss in einem endlichen Rechteckgebiet, welches von beiden Seiten einen idealen Stoß σ0 H(t) erfährt (Bild 7.3). Darin ist H(t) die Heaviside-Funktion. Das auf den Riss treffende Wellenprofil wird in diesem Fall durch die Ränder des Gebietes mitbestimmt. Im Unterschied zum vorhergehenden Beispiel findet hier außerdem keine laufende Energieabstrahlung statt. Der K(t)-Verlauf ist qualitativ eine Schwingung, deren “Schwingungsdauer” im wesentlichen durch die Laufzeit einer Welle u ¨ber die Länge 2c bestimmt ist. Dieser Schwingung sind lokale Spitzen u ¨berlagert, die ebenfalls durch Wellenlaufzeiten mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten (c1 , c2 , cR ) erklärt werden können. Aufgrund der fehlenden Dämpfung klingt die Oszillation von K(t) nicht ab. Als letztes Beispiel sei eine stoßbelastete 3-Punkt-Biegprobe untersucht, wie sie zur Bestimmung dynamischer KIc -Werte verwendet werden kann (Bild 7.4).

224


/

F (t)

F

KI (t) MPa m

1/2

0

[kN ]

KI (t)

3

111 000

400 412

100

1111 0000 0000 1111

30

3

2

2

1

1 F (t) 0

0.5

1

1.5

2 t [ms]

Bild 7.4 Stoßbelastung einer 3-Punkt-Biegeprobe F¨ ur eine vorgegebene Auftreffgeschwindigkeit des Fallgewichtes wurde dabei der Belastungsverlauf F (t) gemessen, aus dem dann der dargestellte KI (t)-Verlauf resultiert. Man erkennt, dass die Zeitverläufe von F (t) und KI (t) insbesondere bei kleinen Zeiten völlig verschieden sind, d.h. aus der momentanen Größe von F kann nicht auf die momentane Größe von KI geschlossen werden. Angemerkt sei noch, dass die Probe bei solchen Belastungen eine Bewegung ausf¨ uhrt, bei der es zum ein- oder mehrfachen Kontaktverlust (Abheben) zwischen Probe und Fallgewicht sowie zwischen Probe und Lagern kommt.

7.4 7.4.1

Der laufende Riss Rissspitzenfeld

Wir betrachten einen Riss, der sich mit der Geschwindigkeit a˙ und der Beschleunigung a ¨ ausbreitet (Bild 7.5). Als einfachsten Fall untersuchen wir zunächst das dynamische Rissspitzenfeld f¨ ur den Modus III (longitudinaler Schub). Das entsprechende Problem wird durch die Bewegungsgleichung (7.9) beschrieben, die wir zweckmäßig auf die mitbewegten Koordinaten x , y transformieren (vgl. Abschnitt 5.7.3.2). Mit x = x − a(t), y = y gilt dann f¨ ur eine beliebige Feldgröße (hier die Verschiebung w) ∂2w ∂2w = , ∂x2 ∂x2

∂2w ∂2w = , ∂y 2 ∂y 2

w¨ =

2 ∂2 w ∂2w ∂w 2∂ w − 2 a ˙ + a ˙ . − a ¨ ∂t2 ∂x ∂t ∂x ∂x2

(7.16)

An der Rissspitze (r → 0) erwarten wir ein nichtsinguläres Verschiebungsfeld vom Typ w(r, ϕ, t) = r λ w(ϕ, ˜ t) und ein singuläres Spannungsfeld (0 ≤ λ < 1).

225

Der laufende Riss

y

y

r ϕ x

x

a, ˙ a ¨

a(t) Bild 7.5 Laufender Riss Unter Beachtung von ∂ ∂ ∂ = cos ϕ − sin ϕ ∂x ∂r r∂ϕ

,

∂ ∂ ∂ = sin ϕ + cos ϕ ∂y ∂r r∂ϕ

dominiert f¨ ur r → 0 dementsprechend bei w ¨ das letzte Glied u ¨ ber die ersten ur das drei, und es wird w ¨ = a˙ 2 ∂ 2 w/∂x2 . Damit lautet die Bewegungsgleichung f¨ Rissspitzenfeld 1 ∂2w ∂2w + 2 =0 2 ∂x α2 ∂y 2

mit

α22 = 1 −

a˙ 2 . c22

(7.17)

F¨ uhren wir noch die neuen Koordinaten x2 = r2 cos ϕ2 = x = r cos ϕ ,

y2 = r2 sin ϕ2 = α2 y = α2 r sin ϕ

(7.18)

ein (Stauchung der y-Koordinate), so ergibt sich daraus die Potentialgleichung ∂2 w ∂2w + =0. ∂x22 ∂y22

(7.19)

Ihre Lösung erfolgt am einfachsten unter Verwendung der komplexen Methode (vgl. Abschnitte 1.5.2 und 4.2.1). Danach gilt Gw = Re Ω(z2 ) , τxz − i

τyz α2

= Ω (z2 ) ,

(7.20)

wobei z2 = x2 + i y2 = r2 eiϕ2 . Im weiteren kann man genauso vorgehen wie im statischen Fall. Als dominante Lösung, welche die Randbedingungen erf¨ ullt, 1/2 erhält man Ω = Az2 . Definieren wir den Spannungsintensitätsfaktor wie in der Statik durch √ KIII = lim 2πr τyz (ϕ = 0) , (7.21) r→0

226


so ergibt sich schließlich das Rissspitzenfeld ⎫ ⎧ ⎨ τxz ⎬ ⎩

τyz

⎧ ϕ2 ⎫ 1 KIII ⎨ − α2 sin 2 ⎬ =√ , ⎭ ϕ ⎭ 2πr2 ⎩ cos 22

2KIII w= Gα2

ϕ2 r2 sin . 2π 2

(7.22)

Seine Struktur ist ähnlich wie im statischen Fall. Die Spannungen haben an der Rissspitze eine Singularität vom Typ r−1/2 . Die Winkelverteilung der Feldgrößen ist allerdings von α2 , d.h. von der Rissgeschwindigkeit a˙ abhängig. Steht der Riss (a˙ = 0), dann ergibt sich mit α2 = 1 und r2 = r, ϕ2 = ϕ genau das gleiche Feld wie im statischen Fall (vgl. (4.6)). Die Vorgehensweise im Modus I ist analog zu der im Modus III. Die Transformation von (7.5) auf das mitbewegte System liefert f¨ ur r → 0 zunächst ∂2 φ 1 ∂2φ + =0, ∂x2 α12 ∂y 2

∂2 ψ 1 ∂2ψ + =0 ∂x2 α22 ∂y 2

mit

αi2 = 1 −

a˙ 2 . (7.23) c2i

F¨ uhren wir in die erste Gleichung die Koordinaten x1 = r1 cos ϕ1 = x = r cos ϕ ,

y1 = r1 sin ϕ1 = α1 y = α1 r sin ϕ

(7.24)

und in die zweite Gleichung die Koordinaten (7.18) ein, so ergeben sich daraus die beiden Potentialgleichungen ∂2φ ∂2φ + 2 =0 , ∂x21 ∂y1

∂2 ψ ∂2 ψ + 2 =0 . ∂x22 ∂y2

(7.25)

Ihre Lösung f¨ ur das dominante symmetrische Rissspitzenfeld (Modus I) kann man 3/2 3/2 in der Form φ = A Re z1 , ψ = B Im z2 angeben, wobei z1 = x1 + iy1 = r1 eiϕ1 , iϕ2 z2 = x2 + iy2 = r2 e ; die reellen Konstanten A, B folgen aus den Randbedingungen (belastungsfreie Rissufer). Mit der Definition f¨ ur den Spannungsintensitätsfaktor √ KI = lim 2πr σy (ϕ = 0) (7.26) r→0

erhält man auf diese Weise ⎧ ⎧ ⎫ cos(ϕ /2) cos(ϕ ⎪ √ 2 /2) ⎪ − 4α1 α22 (1 + 2α12 − α22 ) √ 1 σ x ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ r1 r2 1 + α2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎨ ⎬ KI f cos(ϕ cos(ϕ /2) √ 2 /2) −(1 + α22 ) √ 1 + 4α1 α22 σy =√ r r2 1 + α ⎪ ⎪ ⎪ 1 2π 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ sin(ϕ /2) sin(ϕ /2) ⎪ ⎩ 2α1 √ 1 − 2α1 √ 2 τxy r1 r2

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

(7.27a)

227

Der laufende Riss

⎧ √ √ ϕ ϕ r1 cos 21 − r2 2α1 α22 cos 22 ⎪ 1 + α2 KI 2f ⎨ = √ ⎩ ⎭ G 2π ⎪ ⎩ −α1 √r1 sin ϕ1 + √r2 2α1 2 sin ϕ2 v 2 2 1 + α2 ⎧ ⎫ ⎨ u ⎬

mit f=

⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

(7.27b)

1 + α22 1 + α22 . = R(a) ˙ 4α1 α2 − (1 + α22 )2

(7.28)

Darin ist R(a) ˙ die in (7.7) definierte Rayleigh-Funktion. Die Spannungen und Verschiebungen haben danach prinzipiell das gleiche r-Verhalten, wie in der Statik. Ihre Größe und ihre Winkelverteilung hängen aber von der Rissgeschwindigkeit ab; die Rissbeschleunigung hat keinen Einfluss. Das Rissspitzenfeld ist eindeutig festgelegt, wenn der K-Faktor sowie die Geschwindigkeit bekannt sind. Man kann dies auch an den speziellen Ergebnissen f¨ ur die Spannung σy vor der Rissspitze (ϕ = 0) und f¨ ur die Rissöffnung δ = v(π) − v(−π) erkennen: r 4α1 (1 − α22 ) KI KI σy = √ . (7.29) , δ= G 2π R(a) ˙ 2πr Während σy durch KI eindeutig bestimmt ist, wächst δ bei festem KI mit der Rissgeschwindigkeit an und geht formal f¨ ur a˙ → cR gegen Unendlich. Dabei ist jedoch zu beachten, dass f¨ ur eine konkrete Risskonfiguration der dynamische Spannungsintensitätsfaktor selbst eine (abnehmende!) Funktion der Rissgeschwindigkeit ist (siehe hierzu die Anmerkungen am Ende von Abschnitt 7.4.2). √ 2πr σϕ K I

σy σx ϕ=0

0,6 1

1 0,2

0,5

a˙ = cR 0,5

a)

0,8 0,4

(a/c ˙ 2 )2 = 0 2

˙ 2) 1 (a/c

π/2

π ϕ

b) Bild 7.6 Einfluss der Rissgeschwindigkeit auf die Spannungen (ν = 1/4)

Aus dem Rissspitzenfeld lassen sich einige Schl¨ usse auf das Verhalten eines schnell laufenden Risses ziehen. Bild 7.6a zeigt, dass das Spannungsverhältnis

228


σy /σx vor der Rissspitze (ϕ = 0) mit wachsender Rissgeschwindigkeit abnimmt. Dementsprechend nimmt die Tendenz zur Materialtrennung in Ebenen senkrecht zur urspr¨ unglichen Ausbreitungsrichtung immer mehr zu. Erreicht der Riss die Rayleighwellengeschwindigkeit, so wird das Spannungsverhältnis Null: eine Rissausbreitung in Richtung von ϕ = 0 wird dann unmöglich. Die Rayleighwellengeschwindigkeit kann also als eine obere Schranke f¨ ur die Rissgeschwindigkeit angesehen werden. In Bild 7.6b ist die Winkelverteilung der Umfangsspannung σϕ in Abhängigkeit von der Rissgeschwindigkeit dargestellt. Während sich das Spannungsmaximum f¨ ur hinreichend kleine Geschwindigkeiten bei ϕ = 0 befindet, liegt es f¨ ur a˙ >0.6 c2 bei ϕ>π/3. Geht man davon aus, dass die Rissausbreitung in Richtung der maxi malen Umfangsspannung stattfindet, so bedeutet dies, dass der Riss bei a˙ >0.6 c2 instabil hinsichtlich seiner Ausbreitungsrichtung wird. Hierauf hat zum ersten Mal E.H. Yoffe (1951) hingewiesen. Man kann diese Stabilitätsgrenze als eine andere obere Schranke f¨ ur die Rissgeschwindigkeit auffassen. Völlig analog zum Modus I lässt sich auch das Modus II Rissspitzenfeld herleiten; es lautet ⎧ ⎫ 2 2 sin(ϕ2 /2) ⎪ ⎪ ⎧ ⎫ 1 /2) ⎪ −2α2 1 + 2α1 − α2 sin(ϕ ⎪ + 2α ⎪ ⎪ √ √ σ 2 x ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 + α22 r1 r2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎨ ⎬ K f⎨ sin(ϕ1 /2) sin(ϕ2 /2) II √ 2α2 − 2α2 σy (7.30a) = √ √ ⎪ ⎪ ⎪ r1 r2 2π ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ 4α1 α2 cos(ϕ1 /2) ⎪ ⎪ 2 cos(ϕ2 /2) ⎪ ⎪ τxy − (1 + α ) √ √ ⎩ ⎭ 2 1 + α22 r1 r2 ⎧ √ ⎪ ⎪ ⎨ r1

2α2 ϕ1 √ ϕ2 ⎫ ⎪ sin r α sin − ⎪ 2 2 1 + α22 2 2 ⎬ KII 2f = √ . ⎩ ⎭ G 2π ⎪ √ 2α2 α2 ϕ1 √ ϕ2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ − r1 ⎭ v cos r cos + 2 1 + α22 2 2 ⎧ ⎫ ⎨ u ⎬

7.4.2

(7.30b)

Energiefreisetzungsrate

Wir wollen nun die Energiefreisetzugsrate G f¨ ur das ebene Problem eines geradlinig laufenden Risses mit lastfreien Rissufern und punktförmiger Prozesszone bestimmen. Dabei gehen wir genau wie in Abschnitt 5.7.3.3 vor, wobei nun aber die kinetische Energie ber¨ ucksichtigt werden muss und das Material als elastisch angesehen wird. F¨ ur den Energiefluss −P ∗ in die Prozesszone gilt dann zunächst allgemein −P ∗ = P − E˙ − K˙ , (7.31) wobei E die Formänderungsenergie und K die kinetische Energie sind. Angewendet auf die Situation in Bild 7.7 erhält man daraus f¨ ur den Energiefluss −P ∗ = aG ˙ u ¨ber die Kontur CP (vgl. (5.89))

229

Der laufende Riss

A x2

x2

C x1

+

x1

C−

CP

a(t)

C a˙

Bild 7.7 Zur Energiefreisetzungsrate ti u˙ i dc −

aG ˙ = C

d dt

UdA − A

d dt

1 ρu˙ i u˙ i dA . 2

(7.32)

A

Hierin sind U die Formänderungsenergiedichte und ρu˙ i u˙ i /2 die spezifische kinetische Energie; die Kontur CP wird als verschwindend klein angesehen (CP → 0). Analog zum Vorgehen in Abschnitt 5.7.3.3 ergibt sich daraus nach einigen Schritten mit dem Reynoldschen Transporttheorem, der Umformung dU/dt = σij u˙ i,j = (σij u˙ i ),j − σij,j u˙ i , der Bewegungsgleichung σij,j = ρ¨ ui und dem Gaußschen Satz * + 1 aG ˙ =− a˙ U + ρu˙ i u˙ i n1 + ti u˙ i dc . (7.33) 2 CP

Wir gehen nun auf das mitbewegte Koordinatensystem x1 , x2 u ¨ber und fassen auch A und C als mitbewegt auf. Da wir voraussetzen können, dass ui an der Rissspitze regulär, ui,1 dagegen singulär ist (vgl. (7.27)), gilt nach (5.81) dann an ˙ i,1 . Aus (7.32) erhält man damit der Rissspitze u˙ i = −au * + 1 G=− U + a˙ 2 ρ ui,1 ui,1 n1 − ti ui,1 dc . (7.34) 2 CP

Wenden wir unter Beachtung von ti = σij nj noch den Gaußschen Satz auf die Fläche A mit dem Rand C + CP + C + + C − an (C + , C − liefern keinen Beitrag), so folgt f¨ ur die Energiefreisetzungsrate schließlich 1 2 G= (U + a˙ ρui,1 ui,1 )n1 − ti ui,1 dc + (σij,j ui,1 − a˙ 2 ρui,11 ui,1 )dA . (7.35) 2 C

A

Die Beziehung (7.35) vereinfacht sich in verschiedenen Spezialfällen. F¨ ur ein Risswachstum mit der konstanten Geschwindigkeit a˙ unter stationären Verhältui und uï = a˙ 2 ui,11 (vgl. nissen verschwindet das Flächenintegral wegen σij,j = ρ¨ auch (7.16)). Dann gilt * + 1 G= U + a˙ 2 ρui,1 ui,1 n1 − ti ui,1 dc . (7.36) 2 C

230


Im Sonderfall a˙ = 0 vereinfacht sich (7.35) auf (7.12). Liegen zusätzlich noch statische Verhältnisse vor (σij,j = 0), so reduziert sich G auf das J-Integral (4.119). Die Kontur C kann in (7.35) beliebig gewählt werden. Ziehen wir sie auf die Rissspitze zusammen, dann verschwindet das Flächenintegral, und es wird G = lim

*

C→0

+ 1 U + a˙ 2 ρui,1 ui,1 n1 − ti ui,1 dc . 2

(7.37)

C

Hieraus lässt sich der Zusammenhang zwischen G und KI im Modus I bestimmen, indem man (7.27) einsetzt: G=

α1 (1 − α22 ) α1 (1 − α22 ) 2 KI2 KI = . 2GR(a) ˙ 4α1 α2 − (1 + α22 )2 2G

(7.38)

Danach ist die Energiefreisetzungsrate durch den Spannungsintensitätsfaktor und die Rissgeschwindigkeit eindeutig festgelegt. Nach (7.7) verschwindet die Funktion R f¨ ur die Rayleighwellengeschwindigkeit. F¨ ur KI = 0 wächst dementsprechend G unbeschränkt an, wenn die Rissgeschwindigkeit gegen die Rayleighwellengeschwindigkeit geht. Umgekehrt geht bei beschränktem G der Spannungsintensitätsfaktor f¨ ur a˙ → cR gegen Null. Der dynamische Spannungsintensitätsfaktor KI ist selbst eine Funktion der Rissgeschwindigkeit. Vergleicht man f¨ ur eine gegebene Risskonfiguration (gleiche Geometrie und Belastung) die Spannungsintensitätsfaktoren f¨ ur einen ruhenden (stationären) und einen mit der Geschwindigkeit a˙ laufenden Riss, so ergibt sich ˙ Istat . KIdyn = k(a)K

(7.39)

1 − a/c ˙ R k(a) ˙ ≈ 1 − a/c ˙ 1

(7.40)

Darin ist

eine universelle Funktion, die f¨ ur a˙ = 0 gleich 1 ist und f¨ ur a˙ → cR gegen Null geht. Einsetzen in (7.38) f¨ uhrt auf den Ausdruck ˙ stat , G dyn = g(a)G

(7.41)

f¨ ur die Energiefreisetzungsrate, wobei g(a) ˙ monoton von g(a˙ = 0) = 1 auf g(a˙ = cR ) = 0 abfällt. D.h. mit wachsender Rissgeschwindigkeit wird die Energiefreisetzungsrate (und damit der Energiefluss in die Risspitze) verglichen mit dem statischen Wert immer geringer und verschwindet f¨ ur a˙ → cR . Die Rayur die dynamische leighwellengeschwindigkeit cR stellt somit eine obere Schranke f¨ Rissausbreitung unter Modus I dar.

231

Der laufende Riss

Im Fall eines laufenden Risses unter einer gemischten Rissspitzenbelastung durch KI , KII und KIII ergibt sich die allgemeine Beziehung 2 2 ) KIII (1 − α22 )(α1 KI2 + α2 KII 1 . (7.42) + G= 2G 4α1 α2 − (1 + α22 )2 α2 Sie geht f¨ ur a˙ = 0 in (7.14) u ¨ber. 7.4.3 Bruchkonzept, Rissgeschwindigkeit, Rissverzweigung, Rissarrest Im Rahmen der linearen Bruchmechanik kann das K-Konzept auch beim schnellen Risswachstum angewendet werden. Danach muss während des Rissfortschrittes im Modus I zu jeder Zeit die Bruchbedingung KI (t) = KId

(7.43)

erf¨ ullt sein. Hierin ist die dynamische Bruchzähigkeit KId ein Materialparameter, welcher in erster Näherung nur von der Rissgeschwindigkeit abhängt: KId = KId (a). ˙ Sein qualitativer Verlauf ist in Bild 7.8 dargestellt. Ausgehend vom Initiierungswert KIc wächst die Bruchzähigkeit meist zunächst nur schwach, dann aber stark mit der Rissgeschwindigkeit an. Als eine Ursache f¨ ur dieses Verhalten kann a/c ˙ 2 a˙ max

0,2 0,1 1

2

3

KId /KIc

Bild 7.8 Abhängigkeit der Bruchzähigkeit von der Rissgeschwindigkeit ¨ man die mögliche Anderung der Trennmechanismen in der Prozesszone ansehen. Ein bekanntes Indiz hierf¨ ur ist, dass die Rauhigkeit der Bruchoberflächen mit der Geschwindigkeit stark zunimmt. Eine weitere Ursache liegt in der Tatsache, dass (anders als in der Statik) KI alleine das Rissspitzenfeld bzw. den Zustand in der Prozesszone nicht mehr eindeutig charakterisiert. Nach Abschnitt 7.4.1 hängen nämlich die Spannungen und Deformationen noch von der Rissgeschwindigkeit ab. Während des Risswachstums muss auch die energetische Bruchbedingung G(t) = Gd (a) ˙

(7.44)

232


erf¨ ullt sein. Darin ist Gd (a) ˙ der materialspezifische und geschwindigkeitsabhängige Risswiderstand. Aufgrund des Zusammenhanges (7.37) zwischen G und KI sind die Bruchbedingungen (7.43) und (7.44) äquivalent. Aus Messungen ist bekannt, dass Risse auch in sehr spröden Materialien eine Maximalgeschwindigkeit von a˙ max ≈ 0.5 c2 nicht u ¨berschreiten (Ausnahmen sind Rissspitzen, denen durch besondere Maßnahmen von außen, z.B. u ¨ber einen Laser, Energie zugef¨ uhrt wird). Hierf¨ ur lassen sich einige Gr¨ unde anf¨ uhren; trotzdem steht eine allseits befriedigende Begr¨ undung f¨ ur diese Tatsache zur Zeit noch aus. So wird zum Beispiel als eine Erklärung f¨ ur die Maximalgeschwindigkeit die 0.6c2 herInstabilität der geraden Rissfortpflanzung f¨ ur Geschwindigkeiten a˙ > angezogen (vgl. Abschnitt 7.4.1). Hierf¨ ur spricht die mit der Rissgeschwindigkeit zunehmende Rauhigkeit (Welligkeit) der Bruchoberfläche sowie die zunehmende Tendenz zur Bildung von Sekundärrissen. Hierbei handelt es sich um Nebenrisse geringer Länge, die in der Umgebung des Hauptrisses liegen oder von diesem abzweigen. Mit der Welligkeit und mit einer hohen Zahl von Sekundärrissen lässt sich auch die Zunahme der dynamischen Bruchzähigkeit bzw. des Risswiderstandes qualitativ begr¨ unden. So ist insbesondere die Sekundärrissbildung ein Mechanismus, der stark zu einer Energiedissipation beitragen kann. Gegen die ‘Instabilitätshypothese’ spricht allerdings, dass die gemessenen Maximalgeschwindigkeiten oft deutlich unter der Instabilitätsgeschwindigkeit liegen. Ein anderer, rein qualitativer Erklärungsversuch geht von der diskreten Natur der Bindungslösung aus. Nach dieser Vorstellung breitet sich ein Riss in ‘Spr¨ ungen’ längs diskreter Elemente mit einer charakteristischen Mikrostrukturlänge lM aus. Um die gesamte Information u ¨ber den vorhergehenden ‘Sprung’ auf das nächste Element zu u ¨bertragen (maximaler Abstand 2lM ), bedarf es einer charakteristischen Wellenlaufzeit τ ≈ 2lM /c2 (statt c2 könnte man auch cR wählen). Nimmt man an, dass nach dieser Zeit der nächste ‘Sprung’ erfolgt, so gelangt man unabhängig von der genauen Größe der Mikrostrukturlänge auf die durchschnittliche Rissgeschwindigkeit a˙ ≈ lM /τ ≈ c2 /2. Ein häufig auftretendes Phänomen bei der schnellen Rissfortpflanzung ist die Rissverzweigung (Bild 7.9a). Sie tritt bevorzugt bei Geschwindigkeiten nahe der Grenzgeschwindigkeit a˙ max auf, kann aber (abhängig vom Material) auch bei kleineren Geschwindigkeiten beobachtet werden. Einer tatsächlichen Verzweigung gehen dabei in der Regel eine zunehmende Rauhigkeit der Bruchoberfläche sowie die Bildung von Sekundärrissen voraus, die man als ‘Versuche’ von Verzweigun¨ gen interpretieren kann. Ahnlich wie f¨ ur die Rissgeschwindigkeit gibt es auch f¨ ur die Rissverzweigung zur Zeit noch keine allgemein akzeptierte Begr¨ undung bzw. ein gesichertes Verzweigungskriterium. Die meisten Erklärungsversuche basieren auf der Analyse des Rissspitzenfeldes eines einzelnen laufenden Risses bzw. eines sich gerade verzweigenden Risses. So wurde zum Beispiel auch das Verzweigungsphänomen in Zusammenhang mit der Richtungsinstabilität gebracht, die bei einer Rissgeschwindigkeit von a˙ ≈ 0.6 c2 auftritt. Hierdurch können aber nicht Verzweigungen bei kleineren Geschwindigkeiten sowie der beobachtete Verzwei-

233

Der laufende Riss

gungswinkel von α ≈ 28◦ erklärt werden. Eine Begr¨ undung f¨ ur letzteren ergibt sich allerdings aus der plausiblen Annahme, dass beide Rissspitzen sich nach der Verzweigung jeweils unter lokalen Modus I Bedingungen fortpflanzen. Auf der Basis einer solchen Hypothese liefert schon eine quasistatische Analyse Resultate, die mit der Beobachtung sehr gut u ¨bereinstimmen. G stat Gc

a˙ 3 ≈ 28◦

a˙ 2

3 2

a1 (t)

a˙ 1

1 ac 1.Verzw. 2.Verzw.

a)

a

b) Bild 7.9 Rissverzweigung

Eine notwendige Bedingung f¨ ur die Rissverzweigung ist ein hinreichender Energiefluss in die Prozesszone, d.h. eine hinreichend große Energiefreisetzungsrate G, welche die Bildung zweier Risse und deren anschließende Fortpflanzung ermöglicht. Die Bestimmung von G ist in der Regel aufwendig, da diese Größe im allgemeinen von der Geometrie des Bauteiles, von der Zeit bzw. der aktuellen Risslänge und von der Rissgeschwindigkeit abhängt. Eine einfache, grobe Abschätzung f¨ ur G kann man aber unter Vernachlässigung der Trägheitskräfte aus dem entsprechenden statischen Problem gewinnen. Auf diese Weise ergibt sich zum Beispiel f¨ ur einen SeitenRiss unter einachsigem Zug (vgl. Tabelle 4.1, Nr.5) G ≈ G stat = (KIstat )2 /E = 1.26 πσ 2a. Nimmt man nun vereinfachend noch an, dass Verzweigungen gerade dann erfolgen, wenn G jeweils ein ganzzahliges Vielfaches der zur Initiierung eines Risses erforderlichen Rate Gc erreicht, so ergibt sich das in Bild 7.9b dargestellte Ergebnis. Dieses hat allerdings nur qualitativen Charakter. Von großer praktischer Bedeutung - weil in Bauteilen meist erw¨ unscht - ist der Rissarrest oder Rissstopp. Er tritt auf, wenn beim laufenden Riss der Spannungsintensitätsfaktor soweit abfällt, dass die Bruchbedingung (7.42) nicht mehr erf¨ ullt ist; der Riss kommt dann zum Stillstand. Die Arrestbedingung kann man in der Form KI (t) = KIa (7.45) ˙ als Arrestzähigkeit bezeichnet wird. Da der schreiben, wobei KIa = min[KId(a)] Rissarrest in einem Bauteil ein dynamischer Vorgang ist, bedarf es zu seiner Behandlung im allgemeinen einer vollständigen dynamischen Analyse der Struktur (unter Ber¨ ucksichtigung der Trägheitskräfte und Wellenphänomene). Es hat sich

234


jedoch gezeigt, dass in vielen praktischen Fällen eine quasistatische Untersuchung zu hinreichend guten Ergebnissen f¨ uhrt. Wie bereits am Ende von Abschnitt 7.4.2 diskutiert können sich Modus-I-Risse aus energetischen Gesichtspunkten nicht schneller als mit der Rayleighwellengeschwindigkeit ausbreiten, da die Energiefreisetzungsrate f¨ ur a˙ ≥ cR verschwindet. Bei Modus-II-Rissen ist dies nicht der Fall. Zwar geht auch hier √ die Energiefreisetzungsrate f¨ ur a˙ → cR gegen Null, sie nimmt jedoch f¨ u r a ˙ = 2c2 wieder einen √ positiven Wert an. Im Bereich cR < a˙ < 2c2 hängt die Rissspitzensingularität von der Rissgeschwindigkeit ab und und ist schwächer als r−1/2 , so dass die Energiefreisetzungsrate gleich Null ist. Dies bedeutet, dass sich Modus-II-Scherrisse mit sogenannter intersonischer Geschwindigkeit, d.h. größer als cR und c2 aber kleiner als c1 , ausbreiten können. Neuere experimentelle Untersuchungen sowie auch seismische Messungen bei Erdbeben belegen die Existenz solcher intersonischer Rissausbreitungsvorgänge. 7.4.4

Beispiele

Die Untersuchung des schnellen Risswachstums ist in der Regel recht aufwendig unabhängig davon, ob experimentelle, numerische oder analytische Methoden zur Anwendung gelangen. Sie vereinfacht sich jedoch erheblich, wenn angenommen werden kann, dass das Risswachstum mit konstanter Geschwindigkeit a˙ unter stationären Verhältnissen erfolgt. Die Transformation der Wellengleichungen (7.5) f¨ ur den EVZ auf das mit der Geschwindigkeit a˙ mitbewegte System x , y f¨ uhrt dann nämlich mit ∂(·)/∂t = 0 und a ¨ = 0 auf genau die Potentialgleichungen (7.25), welche wir schon in Abschnitt 7.4.1 kennengelernt haben. Ihre Lösung lässt sich allgemein in der Form φ = Re Φ(z1 ), ψ = Re Ψ(z2 ) angeben. Als Beispiel hierzu wollen wir das klassische Problem von Yoffe betrachten. Hierbei handelt es sich um die Bewegung eines Risses konstanter Länge in einem unendlichen Gebiet unter einachsigem Zug σ (Bild 7.10a). Dieser Riss öffnet sich also vorne und schließt sich (physikalisch unrealistisch) hinten wieder. Das entsprechende statische Problem wurde in Abschnitt 4.4.1 untersucht. Als Ansätze f¨ ur Φ und Ψ wählen wir ) ) Φ (z1 ) = A1 z12 − a2 + A2 z1 , Ψ (z2 ) = i B1 z22 − a2 + i B2 z2 , (7.46) aus denen sich die Verschiebungen und Spannungen mit Hilfe von (7.2) und dem ur Elastizitätsgesetz ermitteln lassen. Die Randbedingungen σy = 0, τxy = 0 f¨ |x | < a (lastfreie Rissflanken) und σy = σ, σx = 0 f¨ ur zi → ∞ liefern f¨ ur die Konstanten σ 1 + α22 σ 2(α12 − α22 ) 1 A1 = , A2 = − , G R(a) ˙ G R(a) ˙ 1 + α22 (7.47) 1 σ 2α1 σ (α12 − α22 )(1 + α22 ) ; , B2 = − B1 = 2 R(a) ˙ 2 α2 R(a) ˙ 2α2

235

Der laufende Riss

die Symmetriebedingungen v = 0, τxy = 0 f¨ ur |x | > a sind automatisch erf¨ ullt. Damit liegen die Spannungen und Verschiebungen im gesamten Gebiet eindeutig fest. Insbesondere erhält man f¨ ur die Spannung σy vor der Rissspitze und f¨ ur die Verschiebung v der oberen bzw. unteren Rissflanke x σy = σ √ 2 x − a2

v± = ±

,

σ α1 (1 − α22 ) √ 2 a − x2 . G R(a) ˙

(7.48)

Während σy unabhängig von a˙ ist (d.h. genau wie im statischen Fall verteilt ist), nimmt die Rissöffnung mit der Geschwindigkeit immer mehr zu und geht f¨ ur a˙ → cR gegen unendlich. Dementsprechend ergibt sich f¨ ur den K-Faktor der √ gleiche Wert wie in der Statik: KI = σ πa. Die Energiefreisetzungsrate wächst nach (7.41) dagegen mit der Rissgeschwindigkeit unbeschränkt an (Bild 7.10b).

2

σ

y

G , KI G stat KIstat

a˙

G

1

x

KI

2a ν = 1/4 a)

0,5

σ

b)

˙ 2 1 a/c a˙ = cR

Bild 7.10 Problem von Yoffe Als zweites Beispiel behandeln wir die stationäre Ausbreitung eines halbunendlichen Risses im unendlichen Scheibenstreifen, dessen Ränder nach Bild 7.11a um den konstanten Betrag 2δ gegeneinander verschoben sind. In diesem Fall kann man die Energiefreisetzungsrate recht einfach aus (7.36) ermitteln. Hierzu wählen wir die Kontur C so, dass ihr rechter bzw. linker vertikaler Teil weit von der Rissspitze entfernt im ungestörten Bereich liegen (Bild 7.11a). Dort gilt im EVZ vor bzw. hinter der Rissspitze δ , h

2Gδ(1 − ν) , h(1 − 2ν)

x1 h :

ε22 =

x1 −h :

ε22 = σ22 = ui,1 = 0 .

σ22 =

ui,1 = 0

Mit U = 12 σ22 ε22 liefert damit alleine der vertikale Teil von C vor der Rissspitze einen Beitrag (die Beiträge der horizontalen Teile von C heben sich auf), und

236


KI KIstat

h

111111111111 000000000000

h

y

x

a˙

1

C

2(h+δ)

0,5

11111111111 00000000000

ν = 0, 3 b)

a)

0,2

0,4

0,6

˙ 2 0,8 cR a/c

Bild 7.11 Stationäres Risswachstum im Scheibenstreifen man erhält G = 2h U|x1 h =

2(1 − ν) Gδ 2 . 1 − 2ν h

(7.49)

Die Energiefreisetzungsrate ist danach unabhängig von der Rissgeschwindigkeit; das Ergebnis (7.4.4) gilt also gleichermaßen f¨ ur den stehenden Riss. Der K-Faktor folgt damit aus (7.41) zu ( ˙ = 2Gδ KI (a)

(1 − ν)R(a) ˙ . h(1 − 2ν)(1 − α22 )α1

(7.50)

Er klingt mit zunehmender Geschwindigkeit ab und geht f¨ ur a˙ → cR gegen Null (Bild 7.11b). An dieser Stelle sei noch darauf hingewiesen, dass man mit ähnli¨ chen Uberlegungen zur Energiefreisetzungsrate auch das schnelle Risswachstum in langen Rohren behandeln kann. Dies stellt in der Praxis einen wichtigen Anwendungsfall dar. In einem weiteren Beispiel sei das instationäre Wachstum eines Randrisses in einer Rechteckscheibe aus Araldit untersucht, die durch einen idealen Stoß σH(t) belastet ist. Das Bild 7.12 zeigt die Ergebnisse einer numerischen Analyse im ESZ f¨ ur drei verschiedene Bruchkriterien. Im Fall (a) wurde das K-Kriterium (7.43) zugrunde gelegt, wobei KId (a) ˙ in Anlehnung an experimentelle Daten durch (a)

KId = KIc [1 + 2, 5(a/c ˙ 2 )2 + 3, 9 · 104 (a/c ˙ 2 )10 ]

(7.51)

√ mit KIc = 0.69 MPa m approximiert wurde. Im Fall (b) wurde ebenfalls das K-Kriterium herangezogen, die Bruchzähigkeit vereinfacht aber als geschwindig(b) keitsunabhängig angesehen: KId = KIc . Im Fall (c) schließlich wurde die energetische Bruchbedingung (7.44) angewendet, wobei Gd ebenfalls vereinfacht als un(c) 2 /E. Unter abhängig von der Geschwindigkeit betrachtet wurde: Gd = Gc = KIc

237

Der laufende Riss

σH(t) a(t) b 1,0

b = 60

(c) 120 a(t)

(b) (a)

0,5

0

75

150

225

t [μs]

σH(t) Bild 7.12 Schnelles Wachstum eines Randrisses; a(0)=29.5 mm Verwendung von (7.41) lässt sich das energetische Kriterium in das K-Kriterium u uhren; die Bruchzähigkeit ist in diesem Fall durch ¨berf¨ ( R(a) ˙ (c) (7.52) KId = KIc (1 − ν)α1 (1 − α22 ) gegeben. Die drei Fälle unterscheiden sich damit nur durch unterschiedliche KId (a)˙ (c) (b) (a) Verläufe, wobei im gesamten Geschwindigkeitsbereich KId ≤ KId ≤ KId ist. Dementsprechend bewegt sich der Riss f¨ ur (c) am schnellsten und f¨ ur (a) am langsamsten durch die Scheibe. Die erreichten Maximalgeschwindigkeiten betragen a˙ (c) ≈ a˙ (b) = 0.74 c2 bzw. a˙ (a) = 0.37 c2 . Erstere ist unrealistisch hoch, während die zweite im Bereich experimenteller Beobachtungen liegt. Es ist bemerkenswert, dass sich die Rissgeschwindigkeit im realitätsnahen Fall (a) trotz des zeitlich stark veränderlichen Spannungsfeldes u ¨ber die Lauflänge kaum ändert. Wie bereits angesprochen, können Spannungswellen, die sich infolge einer stoßartigen Belastung in einem Rissbehafteten Bauteil ausbreiten, aufgrund von Reflexionen wiederholt mit dem Riss wechselwirken. Dies f¨ uhrt zu einem komplexen zeitlichen K-Verlauf (vgl. Bild 7.3), wobei im allgemeinen eine gemischte (unsymmetrische) Rissspitzenbelastung nach Abschnitt 4.9 vorliegt. Ein Riss durchläuft dann eine krummlinige Bahn, die durch die Charakteristik der dynamischen Belastung bzw. durch die an jeder Stelle auftretende momentane Rissspitzenbelastung bestimmt wird. Dies sei an Hand eines Beispiels illustriert, bei dem die Rissausbreitung (inklusive der Richtung) “frei” erfolgt, d.h. nur durch ein Bruchkriterium gemäß Abschnitt 4.9 kontrolliert wird. Wir betrachten dazu nach Bild 7.13 eine Rechteckscheibe, deren Symmetrie durch die Lage des Anfangsrandrisses leicht gestört ist. Die Belastung erfolgt durch einen idealen Stoß σH(t) auf

238


den vertikalen Rändern sowie nach unterschiedlichen Zeitfunktionen σa (t) und σb (t) auf den horizontalen Rändern. In Bild 7.13 sind die aus numerischen Simulationen f¨ ur unterschiedliche Belastungsgeschwindigkeiten ( σ˙ a (t) σ˙ b (t) ) gewonnenen Rissverläufe dargestellt. Zu ihrer inkrementellen Ermittlung wurde das Bruchkriterium der maximalen Umfangsspannung (Abschnitt 4.9) und f¨ ur die Bruchzähigkeit die Beziehung (7.50) verwendet. Bei der Auswertung des Bruchkriteriums gelten jetzt jedoch nicht mehr die Beziehungen (4.129). Vielmehr ist ˙ ϕ) f¨ ur den schnell laufenden Riss vom dynamischen Risspitzenfeld σϕ (KI , KII , a, auszugehen (vgl. (7.27)). σa (t)

σH(t)

σb (t)

σH(t)

σH(t)

σH(t)

σb (t)

σa (t) b)

a)

Bild 7.13 Rissverläufe infolge Wellenbelastung; σ˙ a σ˙ b ¨ Die beiden völlig unterschiedlichen Rissverläufe in Bild 7.13 können durch Uberlagerungseffekte der von den Scheibenrändern ausgehenden Spannungswellen er¨ klärt werden. Bei diesen Uberlagerungen kommt es zu bestimmten Zeiten zu ¨ starken Anderungen des Spannungszustandes an der Rissspitze. Welcher Spannungszustand sich genau ergibt und welche Rissfortschrittsrichtung daraus resultiert hängt somit auf komplizierte Weise von der das Wellenprofil bestimmenden Randbelastung σa (t) bzw. σb (t) ab.

7.5

Fragmentierung

Ohne das Vorliegen eines makroskopischen Anfangsrisses kommt es bei hinreichend starker dynamischer Belastung häufig zum Zerbrechen eines Festkörpers in eine Vielzahl von Bruckst¨ ucken (Fragmente). Dieser in sehr kurzer Zeit stattfindende Vorgang wird als Fragmentierung bezeichnet. Er kann qualitativ durch den Austausch von kinetischer Energie und Bruchflächenenergie erklärt werden. Bei solchen Bruchprozessen stellt die durchschnittliche Größe und Anzahl der entstehenden Fragmente mitunter eine wichtige Frage dar, die genaugenommen nur

239

Fragmentierung

unter Ber¨ ucksichtigung statistischer Aspekte wie z.B. der Verteilung anfänglicher Defekte im Material (z.B. Mikrorisse) analysiert werden kann. Dennoch gestattet bereits eine rein deterministische energetische Behandlung (Grady, 1982) interessante Einblicke. Sie soll im folgenden anhand eines einfachen Beispiels erläutert werden. Wir betrachten dazu das rotationssymmetrische Problem eines d¨ unnwandigen Rings (bzw. Zylinders), der durch einen hinreichend hohen Innendruck belastet ist, so dass sich sein Material mit einer Geschwindigkeit v0 in radialer Richtung nach außen bewegt. Bei einem momentanen Radius r beträgt die Dehnrate in Umfangsrichtung ε˙0 = v0 /r. Wir nehmen im weiteren an, dass der Ring in n gleiche Teile der Länge l zerspringt (nl = 2πr). Daneben wird (gest¨ utzt auf experimentelle Beobachtungen) davon ausgegangen, dass zum Zeitpunkt des Bruchs die kinetische Energie des Rings sehr viel größer ist als seine elastische Energie und dass sich die radiale Geschwindigkeit v0 beim Bruch kaum ändert. Als Quelle zur Speisung der Bruchenergie wird die kinetische Energie der (Tangential-) Bewegung des Materials in jedem Fragment relativ zu dessen Massenmittelpunkt angesehen. Mit der Umfangsdehnrate ε˙0 und der vom (Massen-) Mittelpunkt des Fragments aus gezählten Umfangskoordinate s lautet diese Relativgeschwindigkeit vrel = ε˙0 s. Der entsprechende Anteil T ∗ an kinetischer Energie pro Fragment ist damit l/2 1 1 ∗ 2 Aε˙20 l3 T = Aε˙0 s2 ds = (7.53) 2 24 −l/2

wobei die Massendichte und A die Querschnittsfläche des Rings bezeichnet. Mit der spezifischen Bruchflächenenergie γ ist die Bruchenergie pro Fragment Γ = Aγ. Gleichsetzen des kinetischen Energieanteils T ∗ und der Bruchenergie Γ liefert die folgende Beziegung f¨ ur die Länge l eines Fragments in Abhängigkeit von spezifischer Bruchflächenenergie, Massendichte und Umfangsdehnrate: l=

24γ ε˙20

1/3 .

Bild 7.14 Fragmentation eines Rings unter Innendruck

(7.54)

240


Dementsprechend ist die Fragmentgröße l direkt proportional zu γ 1/3 und um2/3 gekehrt proportional zu ε˙0 . Trotz der einschränkenden Annahmen entspricht ¨ diese Skalierung der Fragmentgröße recht gut experimentellen Ergebnissen. Ahn¨ liche Uberlegungen lassen sich auch f¨ ur andere Körper anstellen.

7.6

Literatur

Achenbach, J.D. (1972). Dynamic effects in brittle fracture. In Mechanics Today Vol. 1, ed. S. Nemat-Nasser, Pergamon Press, New York Broberg, K.B. (1999). Cracks and Fracture. Academic Press, London Freund, L.B. (1993). Dynamic Fracture Mechanics. Cambridge University Press, Cambridge Gdoutos, E.E. (1993). Fracture Mechanics – An Introduction. Kluwer, Dordrecht Kanninen, M.F. and Popelar, C.H. (1985). Advanced Fracture Mechanics. Clarendon Press, Oxford Klepaczko, J.R. (ed.) (1990). Crack Dynamics in Metallic Materials. CISM courses and lectures no. 310, Springer, Wien Liebowitz, H. (ed.) (1968). Fracture – A Treatise, Vol. 2, Chap. 5. Academic Press, London Ravi-Chandar, K. (2004). Dynamic Fracture. Elsevier Science, Amsterdam Sih, G.C. (ed.) (1973). Dynamic Crack Propagation. Noordhoff, Leyden Sih, G.C. (ed.) (1977). Mechanics of Fracture, Vol. 4, Noordhoff, Leyden Weertmann, J. (1998). Dislocation Based Fracture Mechanics. World Scientific, Singapore Zhang, Ch. and Gross, D. (1997). On Wave Propagation in Elastic Solids with Cracks. WIT Press, Southampton

8 Mikromechanik und Homogenisierung

8.1

Allgemeines

Reale Materialien weisen bei genauem Hinsehen, z.B. durch ein Mikroskop, eine Vielzahl von Heterogenitäten auf, auch wenn sie makroskopisch homogen erscheinen mögen. Solche Abweichungen von der Homogenität können zum Beispiel durch Risse, Hohlräume, Bereiche aus einem Fremdmaterial, durch einzelne Schichten oder Fasern eines Laminates, durch Korngrenzen oder auch durch Unregelmäßigkeiten in einem Kristallgitteraufbau gegeben sein. Wir wollen sie im Weiteren als Defekte in einem verallgemeinerten Sinne bezeichnen. Gegenstand mikromechanischer Untersuchungen ist das Verhalten solcher Inhomogenitäten oder Defekte sowie ihre Wirkung auf die globalen Eigenschaften eines Materials. So können Heterogenitäten jeder Art aufgrund ihrer lokalen Wirkung als Spannungskonzentratoren beispielsweise zur Bildung und Vereinigung von Mikrorissen oder Mikroporen f¨ uhren und damit den Ausgangspunkt einer fortschreitenden Materialschädigung bilden (vgl. Abschnitt 3.1.2 sowie Kapitel 9). Defekte liegen auf unterschiedlichen Längenskalen vor, die f¨ ur ein konkretes Material und den jeweiligen Defekttyp charakteristisch sind (Bild 8.1). Eine wichtige Aufgabe der Mikromechanik ist folglich die Verkn¨ upfung mechanischer Zusammenhänge auf unterschiedlichen Skalen. Ausgehend von einer makroskopischen Betrachtungsebene bilden dabei die auf einer feineren Skala – der jeweiligen Mikroebene – vorliegenden Heterogenitäten und ihre räumliche Verteilung die sogenannte Mikrostruktur eines Materials. Was in einem konkreten Fall als Makroebene und Mikroebene anzusehen ist, hängt von der Problemstellung ab und ist eine Frage der Modellbildung. Wie in Bild 8.1 angedeutet, kann man zum Beispiel in einem technischen Bauteil eine Mikrostruktur in Form zahlreicher Risse im Millimeterbereich identifizieren. Das bei dieser Betrachtung scheinbar homogene Material zwischen den einzelnen Rissen kann bei einem metallischen Werkstoff jedoch selbst wieder als Makroebene bez¨ uglich einer polykristallinen Mikrostruktur mit charakteristischen Längen (Korngröße) im Mikrometerbereich angesehen werden. Und das einzelne Korn wiederum kann die Rolle der Makroebene u ¨ bernehmen gegen¨ uber der durch diskrete Versetzungen geprägten noch feineren Mikrostruktur des Kristallgitters. Ein wesentlicher Vorteil dieser Betrachtungsweise besteht darin, dass ein makroskopisch komplexes und rein phänomenologisch nur schwer zu beschreibendes Materialverhalten auf elementare Vorgänge auf der Mikroebene zur¨ uckgef¨ uhrt wird. Die Behandlung mikromechanischer Probleme kann nach wie vor im Rahmen der Kontinuumsmechanik erfolgen. Einem materiellen Punkt


242

Mikromechanik

der Makroebene wird dabei durch die zusätzliche Ber¨ ucksichtigung einer feineren Skala – der Mikroebene – eine räumliche Defektverteilung als Mikrostruktur zugeordnet.

∼ cm... ∼ m

111 000 000 111

11 00

∼ mm

∼ μm

∼ nm

("Mikroskop")

Bild 8.1 Makro- und Mikroebenen, charakteristische Skalen Die Untersuchung von Defekten lässt sich nach zwei wesentlichen Fragestellungen gliedern. Gegenstand des Interesses kann zum einen das Verhalten eines Defektes auf seiner eigenen charakteristischen Skala sein, wozu auch die Wechselwirkung mit weiteren dort vorliegenden Defekten zählt. Andererseits kann die Frage nach der Auswirkung vieler Defekte auf das makroskopischen Stoffverhalten auf einer größeren Skala im Vordergrund stehen. Im letzteren Fall wird das gesamte Verhalten der Mikrostruktur als mechanischer Zustand eines ma¨ teriellen Punktes der Makroebene interpretiert. Dieser Mikro-Makro-Ubergang erfolgt formal durch geeignete Mittelungsprozesse und wird als Homogenisierung ¨ bezeichnet. Veränderungen der Mikrostruktur dr¨ ucken sich dabei in einer Anderung der makroskopischen oder effektiven Eigenschaften eines Materials aus. Eine mikrostrukturelle Entwicklung wie das Wachstum von Mikrorissen oder -poren, die zu einer Reduktion makroskopischer Festigkeitseigenschaften f¨ uhrt, wird als Materialschädigung bezeichnet und wegen ihrer Bedeutung f¨ ur die Bruch- und Versagensmechanik gesondert in Kapitel 9 behandelt. Das vorliegende Kapitel dient der Einf¨ uhrung in grundlegende Konzepte und Methoden der Mikromechanik. Neben der Charakterisierung typischer Defekte ¨ und ihrer lokalen Wirkung werden wir uns mit der Frage des Ubergangs von der Mikro- zur Makroebene befassen sowie mit der Ableitung effektiver Materialeigenschaften aus einer gegebenen Mikrostruktur. Dabei wird im wesentlichen linear elastisches Materialverhalten vorausgesetzt, jedoch auch ein kurzer Einblick in die Behandlung elastisch-plastischer und thermoelastischer Materialien gegeben. Erste theoretische Untersuchungen zum Verhalten von Materialien mit Mikrostruktur gehen auf J.C. Maxwell (1831-1879), Lord Rayleigh (1842-1919) und A. Einstein (1879-1955) zur¨ uck. Während sich die ersten beiden mit der Bestimmung effektiver elektrischer Leitfähigkeiten eines heterogenen Materials befassten, untersuchte letzterer die effektive Viskosität eines Fluids, das kugelförmige

Defekte und Grundl¨ osungen

243

Partikel enthält. In der Festkörpermechanik stand zunächst die Frage nach der Bestimmung der elastischen Konstanten eines Vielkristalls aus denen eines Einkristalls im Vordergrund. Die ersten Ansätzen hierzu kamen von W. Voigt (18501919) und A. Reuss (1900-1968); wesentliche Beiträge lieferten in der zweiten Hälfte des vergangenen Jahrhunderts dann unter anderen E. Kröner (1919-2000) und R. Hill. Die dabei entwickelten analytischen Näherungsmethoden und Modelle, die sich auch auf moderne Kompositmaterialien anwenden lassen, wurden in j¨ ungerer Zeit auf inelastisches Materialverhalten verallgemeinert. Sie dienen dar¨ uber hinaus als Grundlage zur Behandlung des “inversen Problems”, d.h. der Entwicklung (Design) neuer Kompositmaterialien mit einer hinsichtlich des makroskopischen Verhaltens optimierten Mikrostruktur.

8.2

Ausgew¨ ahlte Defekte und Grundl¨ osungen

In einem elastischen Material sind mit Defekten immer inhomogene Spannungsund Verzerrungsfelder verbunden, durch welche die Defekte charakterisiert werden können. Wir unterscheiden dabei zwischen Defekten, die selbst Quelle eines sogenannten Eigendehnungs- oder Eigenspannungsfeldes sind (Versetzungen, Einschl¨ usse) und solchen, die erst unter der Wirkung einer äußeren Belastung eine Störung des homogenen (räumlich konstanten) Feldes bewirken wie beispielsweise Partikel aus Fremdmaterial, Löcher oder Risse. Im letzteren Fall materieller Inhomogenitäten ist es möglich und zweckmäßig, das gesamte Verzerrungs- und Spannungsfeld in zwei Teile aufzuspalten: (1) in einen homogenen Anteil, wie er in einem defektfreien Material vorläge, sowie (2) in die durch den Defekt hervorgerufene Abweichung. Den zweiten Anteil bezeichnet man als die dem Defekt äquivalente Eigendehnung bzw. Eigenspannung. Diese Aufspaltung gestattet es, ¨ unabhängig von der physikalischen Ursache eine formale Aquivalenz herzustellen zwischen einem inhomogenen Material und einem homogenen Material, in welchem eine bestimmte Eigendehnungs- bzw. Eigenspannungsverteilung vorliegt. Wir werden im folgenden einige typische Defekte anhand von Grundlösungen in einem unendlich ausgedehnten linear elastischen Medium diskutieren und dabei zunächst die Wirkung von Eigendehnungen in einem homogenen Material untersuchen. 8.2.1 8.2.1.1

Eigendehnungen Dilatationszentrum

Als Dilatations- oder Dehnungszentrum bezeichnet man die Idealisierung eines “punktförmigen” Bereiches, der eine “unendlich” starke radiale Expansion (Eigendehnung) erfährt. Ein Dilatationszentrum ruft ein singuläres, in isotropem Material radialsymmetrisches Dehnungs- und Spannungsfeld mit Zug in Umfangsrichtung und Druck in radialer Richtung hervor. Aufgrund seiner Wirkung kann

244

Mikromechanik

x2

r a x1

p

x3

Bild 8.2 Dilatationszentrum ein Dilatationszentrums auch als kugelförmiger Bereich vom Radius a interpretiert werden, in dem der Druck p herrscht (Bild 8.2). Das Verschiebungs- und Spannungsfeld im umgebenden Material besitzt in Kugelkoordinaten (r, ϕ, ϑ) die Darstellung ur = p

a3 , 4μr 2

uϕ = uϑ = 0 , (8.1)

σrr = −p

3

a , r3

3

σϕϕ = σϑϑ = p

a , 2r3

σrϕ = σrϑ = σϕϑ = 0 .

Ein Dilatationszentrum kann unter anderem als einfaches Modell f¨ ur die Wirkung eines Zwischengitteratomes (punktförmiger Defekt) in einem umgebenden Kristallgitter dienen. 8.2.1.2

Gerade Stufen- und Schraubenversetzung

Versetzungen sind linienförmige Defekte in kristallinen Festkörpern (vgl. Abschnitt 3.1.2). Ihre Wirkung kann kontinuumsmechanisch durch einen als BurgersVektor bezeichneten konstanten Sprung b beschrieben werden, den das Verschiebungsfeld bei einem Umlauf um die Versetzungslinie (x3 -Achse in Bild 8.3) erfährt (vgl. Bild 3.2). F¨ ur eine gerade Stufenversetzung nach Bild 8.3a mit dem Betrag b des BurgersVektors lässt sich das resultierende Verschiebungs- und Spannungsfeld in linear elastischem, isotropem Material wie folgt angeben: x1 x2 + x22 D * D (8.2a) u1 = 2(1 − ν)ϕ + 2 −(1 − 2ν) ln r + 2 , , u2 = 2μ r 2μ r

245


x2

x2 ϕ

ϕ

r

r b

x1

b

x3

x1

x3

a)

b)

Bild 8.3 a) Gerade Stufenversetzung, b) gerade Schraubenversetzung 3x21 + x22 x21 − x22 x21 − x22 , σ = D x , σ = D x . (8.2b) 12 1 22 2 r4 r4 r4 Darin sind D = bμ/2π(1 − ν) und r 2 = x21 + x22 . Die entsprechenden Felder einer geraden Schraubenversetzung (Bild 8.3b) haben die einfachere Darstellung σ11 = −D x2

u3 =

8.2.1.3

b ϕ, 2π

σ13 = −

bμ x2 , 2π r2

σ23 =

bμ x1 . 2π r 2

(8.3)

Einschluss

Im Gegensatz zu den vorangegangenen Beispielen punkt- oder linienfömiger Defekte betrachten wir nun die der Situation einer räumlichen Eigendehnungsverteilung εtij (x). Solche Verzerrungen resultieren beispielsweise aus Phasentransformationen in Festkörpern, bei denen sich die Atome in einem Gitter mit veränderter Geometrie neu anordnen. Da sie ursächlich nicht mit Spannungen verkn¨ upft sind, nennt man sie auch spannungsfreie Transformationsverzerrungen (hochgestelltes t). Formal können alle Verzerrungsanteile, die in einem Material bei Abwesenheit von Spannungen auftreten als Eigendehnungen aufgefasst werden. In diesem Sinne sind auch thermische oder plastische Verzerrungen (vgl. Abschnitt 1.3.3) als Eigendehnungen interpretierbar. Die Gesamtverzerrung εij setzt sich im Rahmen infinitesimaler Deformationen additiv zusammen aus den elastischen Verzerrun−1 gen εeij = Cijkl σkl und den Eigendehnungen: εij = εeij + εtij . Damit gilt σij = Cijkl (εkl − εtkl ) .

(8.4)

Liegen nur in einem Teilbereich Ω des homogenen Materials von Null verschiedene Eigendehnungen vor, so bezeichnet man diesen Bereich als Einschluss und das umgebende eigendehnungsfreie Material als Matrix (Bild 8.4). Ausdr¨ ucklich

246

Mikromechanik

Einschluss Ω Matrix

εtkl = 0 εtkl = 0

Bild 8.4 Einschluss in Matrix sei darauf hingewiesen, dass ein Einschluss die gleichen elastischen Eigenschaften besitzt wie die Matrix. Ist dies nicht der Fall, so spricht man von einer Inhomogenität. F¨ ur beliebige Einschlussgeometrien Ω und Eigendehnungsfelder εtkl (x) ist es nicht möglich, die Spannungsverteilung und das Gesamtverzerrungs- bzw. Verschiebungsfeld in einfacher geschlossener Form anzugeben. Einige Spezialfälle sind im folgenden Abschnitt diskutiert. 8.2.1.4

Eshelby-L¨ osung

Die wohl wichtigste analytische Grundlösung der Mikromechanik geht auf J. D. Eshelby (1916-1981) zur¨ uck. Betrachtet wird ein ellipsoidförmiger Einschluss Ω im unendlichen Gebiet mit den Hauptachsen ai (Bild 8.5): (x1 /a1 )2 + (x2 /a2 )2 + (x3 /a3 )2 ≤ 1 . Unterliegt der Einschluss einer konstanten Eigendehnung εtkl = const, so ergibt sich hierf¨ ur die bemerkenswerte Lösung, dass die Gesamtverzerrungen εkl innerhalb des Einschlusses Ω ebenfalls konstant sind. Sie hängen u ¨ber den vierstufigen Eshelby-Tensor Sijkl linear von den Eigendehnungen ab: εij = Sijkl εtkl = const

in Ω

.

(8.5)

Mit (8.4) lassen sich die in Ω dann ebenfalls konstanten Spannungen wie folgt darstellen in Ω , (8.6) σij = Cijmn (Smnkl − Imnkl ) εtkl = const wobei

1 Imnkl = (δmk δnl + δml δnk ) 2

(8.7)

247


x2

Ω

a2 a3

a1

x1

x3

Bild 8.5 Ellipsoid Ω im unendlichen Gebiet der symmetrische Einheitstensor vierter Stufe ist. Der Eshelby-Tensor ist symmetrisch in den vorderen und hinteren beiden Indizes, im allgemeinen jedoch nicht bez¨ uglich einer Vertauschung dieser Paare: Sijkl = Sjikl = Sijlk ,

Sijkl = Sklij .

(8.8)

Seine Komponenten hängen f¨ ur isotropes Material nur von der Querkontraktionszahl ν, den Hauptachsen ai und deren Orientierung bez¨ uglich des x1 , x2 , x3 −Koordinatensystems ab. Wegen der Länge der entsprechenden Ausdr¨ ucke verzichten wir hier auf ihre Darstellung und verweisen auf die Spezialliteratur (z.B. T. Mura, 1982). Außerhalb des Einschlusses Ω sind die Verzerrungs- und Spannungsfelder nicht konstant. Sie zeigen mit zunehmendem Abstand r vom Einschluss ein asympto¨r r → ∞, das dem eines tisches Abklingverhalten vom Typ εij , σij ∼ r −3 f u Dilatationszentrums entspricht. Das Resultat von Eshelby (1957) gilt allgemein f¨ ur anisotropes Material, jedoch ist nur im Fall eines isotropen Materials eine geschlossene Darstellung des Tensors Sijkl und der Felder außerhalb von Ω möglich. Die Eshelby-Lösung f¨ ur ellipsoidförmige Einschl¨ usse ist von fundamentaler Bedeutung f¨ ur analytische Homogenisierungsverfahren; wir werden in späteren Abschnitten intensiven Gebrauch von ihr machen. Vom allgemeinen Ellipsoid ausgehend lassen sich diverse Spezialfälle ableiten. So ergibt sich beispielsweise die zweidimensionale Lösung f¨ ur einen unendlich langen elliptischen Zylinder im ebenen Verzerrungszustand durch den Grenz¨ ubergang a3 → ∞ (Bild 8.6). Das äußere Verzerrungs- und Spannungsfeld in der x1 , x2 -Ebene zeigt dann ein asymptotisches Verhalten von εij , σij ∼ r−2 f¨ ur r → ∞ . Die nichtverschwindenden Komponenten des Eshelby-Tensors bei iso-

248

Mikromechanik

x2 a3 = ∞ a2 a1

Ω

x1

x3

Bild 8.6 Elliptischer Zylinder tropem Material ergeben sich f¨ ur die Hauptachsenorientierung nach Bild 8.6 zu S1111 = S2222 S1122 S2211 S1212

1 2(1 − ν)

a2 a22 + 2a1 a2 + (1 − 2ν) 2 (a1 + a2 ) a1 + a2

,

a1 a21 + 2a1 a2 , + (1 − 2ν) (a1 + a2 )2 a1 + a2 1 a2 a22 = − (1 − 2ν) , 2(1 − ν) (a1 + a2 )2 a1 + a2 1 a1 a21 , = − (1 − 2ν) 2(1 − ν) (a1 + a2 )2 a1 + a2 2 1 1 − 2ν a1 + a22 = + , 2(1 − ν) 2(a1 + a2 )2 2 1 = 2(1 − ν)

(8.9)

ν ν 2a2 2a1 , S2233 = , 2(1 − ν) a1 + a2 2(1 − ν) a1 + a2 a2 a1 = , S2323 = . 2(a1 + a2 ) 2(a1 + a2 )

S1133 = S1313

F¨ ur einen kugelförmigen Einschluss (ai = a) verschwindet bei isotropem Material die Abhängigkeit von den Hauptachsen und deren Orientierung (geometrische Isotropie), und der Eshelby-Tensor reduziert sich zu Sijkl = α

1 1 δij δkl + β ( Iijkl − δij δkl ) , 3 3

(8.10)

249


wobei α =

3K 1+ν = , 3(1 − ν) 3K + 4μ

β =

2(4 − 5ν) 6(K + 2μ) = 15(1 − ν) 5(3K + 4μ)

(8.11)

zwei skalare Parameter sind. Diese vollständige (elastische und geometrische) Isotropie des Problems gestattet eine Aufspaltung der Verzerrungen (8.5) in den kugelsymmetrischen und deviatorischen Anteil, wodurch die Bedeutung der Parameter α und β deutlich wird: εkk = α εtkk ,

eij = β etij

in Ω .

(8.12)

Als einfaches Beispiel betrachten wir die thermische Expansion infolge einer konstanten Temperaturerhöhung ΔT in einem kugelförmigen Bereich vom Radius a. Der Erwärmung zugeordnet ist eine Eigendehnung r≤a kΔT δij , εtij = (8.13) 0 , r>a mit dem thermischen Ausdehnungskoeffizienten k. Nach (8.12) ergibt sich im Einschluss (r ≤ a) f¨ ur die Dehnungen εkk = 3αk ΔT , eij = 0 bzw. in Kugelkoordinaten (r, ϕ, ϑ) 1+ν εr = εϕ = εϑ = k ΔT . (8.14) 3(1 − ν) Die Lösung außerhalb des Einschlusses (r > a) lautet εr = −2 8.2.1.5

1 + ν * a +3 k ΔT , 3(1 − ν) r

εϕ = εϑ =

1 + ν * a +3 k ΔT . 3(1 − ν) r

(8.15)

Defekt-Energien

Die auf der Mikroebene eines Materials vorliegenden Defekte wirken sich u ¨ber die von ihnen hervorgerufenen Spannungs- und Verzerrungsfelder auf den Energiehaushalt des Materials aus. Mit einer Defektentwicklung (z.B. Verschiebung oder Vergrößerung) sind daher auch Energieänderungen verbunden, die wiederum durch die Wirkung verallgemeinerter (materieller) Kräfte (vgl. Abschnitt 4.6.5.2) erklärt werden können. Von Bedeutung daf¨ ur sind Energieanteile, in denen die Wechselwirkung aüßerer Felder und defektinduzierter Felder zum Ausdruck kommt. Im folgenden betrachten wir einen beliebigen Einschluss Ω in einem endlichen Gebiet V auf dessen Rand ∂V eine Last t0i wirke (Bild 8.7); Volumenkräfte seien vernachlässigbar. Aufgrund der Linearität des Problems können alle Felder additiv in einen Anteil infolge der äußeren Last (Index 0) und einen Anteil infolge

250

Mikromechanik

t0i

Ω

V

εtkl = 0

∂V

εtkl = 0

Bild 8.7 Einschluss Ω in berandetem Gebiet unter äußerer Last der Eigendehnung εtij (x) des Einschlusses (ohne Index) aufgespalten werden. Das Gesamtpotential lautet damit 1 (σij0 + σij )(ε0ij + εij − εtij ) dV − t0i (u0i + ui ) dA Π = 2 5 67 8 V ∂V εeij 1 1 σij0 ε0ij dV − t0i u0i dA + σij (εij − εtij ) dV (8.16) = 2 2 V V ∂V 67 8 5 67 8 5 t 0 Π Π 1 0 t 0 + (σij (εij − εij ) + σij εij ) dV − t0i ui dA . 2 67 8 5 ∂V 67 5V 8 = 0 (∗) ΠW Das Verschwinden des mit (∗) bezeichneten Terms kann wie folgt gezeigt werden. Durch Einsetzen des Elastizitätsgesetzes werden zunächst die Terme im Integranden zusammengefasst. Anwenden des Gaußschen Satzes liefert ein Randintegral sowie ein Volumenintegral, deren Integranden jeweils verschwinden, da Eigendehnungen alleine keine Spannungen auf ∂V hervorrufen (ti |∂V = 0) und die Gleichgewichtsbedingung σij,j = 0 erf¨ ullt ist: 1 0 t 0 [εkl Cijkl(εij − εij ) + σij εij ] dV = σij ε0ij dV (∗) = 2 5 67 8 V V σkl = ti u0i dA − σij,j u0i dV = 0 . ∂V

V

251


Der Anteil Π0 des Gesamtpotentials (8.16) ist die potentielle Energie infolge der äußeren Randlast allein und hier nicht weiter von Bedeutung. Die nur aus der Eigendehnung herr¨ uhrende Energie Πt wird auch als Selbstenergie des Defektes bezeichnet; sie lässt sich weiter umformen zu 1 1 1 1 σij (εij − εtij ) dV = σij εij dV − σij εtij dV = − σij εtij dV . Πt = 2 2 2 2 V V Ω 5 V 67 8 = 0, vgl. (∗) (8.17) Speziell f¨ ur einen ellipsoidförmigen Einschluss im unendlichen Gebiet und eine konstante Eigendehnung ist auch die Spannung σij in Ω konstant. Dann vereinfacht sich Πt mit (8.6) weiter zu 1 1 Πt = − σij εtij VΩ = − Cijmn (Smnkl − Imnkl )εtij εtkl VΩ , 2 2

(8.18)

wobei VΩ das Einschlussvolumen bezeichnet. Die Wechselwirkungsenergie ΠW des Einschlusses ist definiert als ΠW = Π − 0 Π −Πt und somit gleich dem verbleibenden Term in (8.16). Dieser bringt die Arbeit der von den Eigendehnungen hervorgerufenen Verschiebungen an der äußeren Last zum Ausdruck; er lässt sich mit obigen Argumenten ebenfalls noch umformen: ΠW = − t0i ui dA = − σij0 εij dV = − ε0ij Cijkl (εekl + εtkl ) dV 5 67 8 εkl V V ∂V ε0ij σij dV − σij0 εtij dV = − σij0 εtij dV . (8.19) = − 5 67 8 = 0, vgl. (∗) V

V

Ω

Bei konstanter Eigendehnung und homogener äußerer Belastung (σij0 = const) vereinfacht sich dies zu ΠW = −σij0 εtij VΩ . (8.20) Den Zusammenhang zwischen der Wechselwirkungsenergie und der auf einen Defekt wirkenden verallgemeinerten Kraft illustrieren wir am Beispiel eines Dilatationszentrums nach Abschnitt 8.2.1.1 im unberandeten Gebiet. Die Eigendehnung eines sich am Ort x = ξ befindenden Dilatationszentrums kann mit Hilfe der Diracschen Deltafunktion δ(.) auch als εtij (x) = q δ(x − ξ) δij

(8.21)

geschrieben werden, wobei q die Intensität des Dilatationszentrums bezeichnet. Einsetzen in (8.19) liefert die Abhängigkeit der Wechselwirkungsenergie vom Ort

252

Mikromechanik

0 σjj

F

Bild 8.8 Verallgemeinerte Kraft auf Dilatationszentrum des Dilatationszentrums: 0 0 (x)δ(x − ξ) dV = −q σjj (ξ) . (8.22) ΠW (ξ) = − σij0 (x)εtij (x) dV = −q σjj V

V

0 Sie hängt danach nur vom hydrostatischen Anteil σjj des durch die äußeren Lasten hervorgerufenen Feldes ab. In Analogie zu Abschnitt 4.6.5.2 bestimmen wir die verallgemeinerte Kraft F auf das Dilatationszentrum u ¨ber die bei seiner Verschiebung dξ freigesetzte Energie dΠ = −Fk dξk . Da sich im vorliegenden Fall eines unberandeten Gebietes bei einer Verschiebung des Dilatationszentrums nur die Wechselwirkungsenergie ändert, ergibt sich

Fk = −

0 (ξ) ∂σjj ∂ΠW =q . ∂ξk ∂ξk

(8.23)

Die verallgemeinerte Kraft auf ein Dilatationszentrum ist also proportional zum Gradienten des hydrostatischen Anteils des aüßeren Spannungsfeldes (Bild 8.8). Man kann dieses Beispiel auch als Modell f¨ ur die spannungsunterst¨ utzte Diffusion eines Zwischengitteratoms in einem Kristallgitter ansehen. Danach bewirkt die verallgemeinerte Kraft eine bevorzugte Wanderung des Zwischengitteratoms in Bereiche größerer hydrostatischen Zugspannung, d.h. größerer Abstände zwischen den Gitteratomen. 8.2.2 8.2.2.1

Inhomogenit¨ aten Konzept der ¨ aquivalenten Eigendehnung

Wir wenden uns nun der zweiten Defektklasse zu, die nicht durch Eigendehnungen in einem homogenen Material sondern durch inhomogene, d.h. ortsabhängige Materialeigenschaften ausgezeichnet ist. Das Ziel ist es, solche Defekte zunächst

253


uî

uî

Cijkl (x)

0 = const = Cijkl

+

0 Cijkl = const

Bild 8.9

b)

uî

0 = const = Cijkl

ε∗ij

ε∗ij

∂V a)

V

V

V

V

d)

c)

a) Heterogenes Material, b) homogenes Vergleichsmaterial, c) a¨quivalente Eigendehnung, d) homogenisiertes Ausgangsproblem

durch eine äquivalente Eigendehnung in einem homogenen Ersatz- oder Vergleichsmaterial zu charakterisieren, um dann das Eshelby-Resultat auf inhomogene Materialien zu u ¨ bertragen. Dazu betrachten wir ein Gebiet V , dessen inhomogenes Stoffverhalten durch den ortsabhängigen Elastizitätstensor Cijkl (x) beschrieben sei und auf dessen Rand ∂V die Verschiebungen u î vorgegeben sind (Bild 8.9a). Unter Vernachlässigung von Volumenkräften wird dieses Randwertproblem beschrieben durch σij,j = 0 ,

σij = Cijkl(x) εkl ,

ui |∂V = uî .

(8.24)

Zusätzlich betrachten wir das geometrisch gleiche Gebiet V unter derselben Randbedingung jedoch nun f¨ ur ein homogenes Vergleichsmaterial mit den konstanten 0 elastischen Eigenschaften Cijkl (Bild 8.9b). Die bei diesem Problem vorliegenden Felder kennzeichnen wir mit dem Index 0: 0 σij,j =0,

0 σij0 = Cijkl ε0kl ,

u0i |∂V = uî .

(8.25)

Bildet man die Differenzfelder u˜i = ui − u0i ,

ε˜ij = εij − ε0ij ,

(8.26)

so folgt f¨ ur die Differenzspannung * + 0 εkl − ε˜kl σ ˜ij = σij − σij0 = Cijkl (x) εkl − Cijkl 5 67 8 ε0ij 0 −1 0 0 = Cijkl ε˜kl + Cklmn [ Cmnpq (x) − Cmnpq ] εpq . 5 67 8 −ε∗kl

(8.27)

254

Mikromechanik

F¨ ur die Differenzfelder gelten demnach die Gleichungen * + 0 σ ˜ij = Cijkl ε˜kl − ε∗kl , u˜i |∂V = 0 . σ ˜ij,j = 0 ,

(8.28)

0 Durch sie wird ein Randwertproblem f¨ ur ein homogenes Material Cijkl mit Eigendehnung ε∗kl (x) und auf dem Rand ∂V verschwindenden Verschiebungen beschrieben (Bild 8.9c). Dabei wird 0 −1 0 ε∗ij = − Cijkl (8.29) Cklmn (x) − Cklmn εmn

als die zur Heterogenität des Materials äquivalente Eigendehnung bezeichnet. Unter Verwendung eines zunächst beliebigen homogenen Vergleichsmaterials wurde somit das urspr¨ ungliche komplexe Problem nach Bild 8.9a reduziert auf das leichter zu behandelnde Problem nach Bild 8.9d mit homogenem Material und einer Eigendehnungsverteilung. Diese hängt zwar immer noch vom Verzerrungsfeld des 0 Originalproblems ab, jedoch nur u in den ela¨ber die Abweichung Cijkl(x) − Cijkl stischen Eigenschaften. Diese Vorgehensweise, die man auch als eine Filterung bezeichnen kann, ist in mehrfacher Hinsicht von praktischer Bedeutung. So kennen wir schon Grundlösungen f¨ ur Eigendehnungsprobleme in homogenem Material, wie zum Beispiel die Eshelby’sche Lösung, die nun formal auf materielle Inhomo0 genitäten u ¨bertragbar sind. Zum anderen bewirkt die Differenz Cijkl(x) − Cijkl 0 in (8.29) bei geeigneter Wahl von Cijkl , dass sich Fehler in der Approximation von εij (x) bei der Lösung des Randwertproblems (8.28) geringer auswirken als im Ausgangsproblem (8.24). Die in (8.29) auftretende, auch als Spannungspolarisation bezeichnete Größe 0 εkl (x) τij (x) = Cijkl (x) − Cijkl (8.30) bringt diesen Zusammenhang zum Ausdruck. Sie beschreibt die Abweichung der “wahren” Spannung σij = Cijkl εkl von der Spannung, welche die “wahre” urde. Die SpanVerzerrung εkl im homogenen Vergleichsmaterial hervorrufen w¨ nungspolarisation τij wird im Rahmen einer Variationsformulierung in Abschnitt 8.3.3.2 noch eine wichtige Rolle spielen. Die Methode der Subtraktion eines Randwertproblems f¨ ur homogenes (defektfreies) Material wurde im Prinzip schon in Abschnitt 4.4.1 bei der Aufspaltung in zwei Teilprobleme (Bild 4.9) angewandt. Die im dortigen Teilproblem (2) auftretende fiktive Rissbelastung kann auch als Eigenspannung, der Verschiebungssprung – wie wir noch sehen werden – auch als Eigendehnung interpretiert werden. Liegt zusätzlich zur Materialinhomogenität Cijkl(x) auch noch eine “echte” Eigendehnung εtij (x) nach Abschnitt 8.2.1.3 vor, so f¨ uhrt die obige Vorgehensweise auf eine im homogenen Vergleichsmaterial wirksame a¨quivalente Eigendehnung von * + 0 −1 0 Cklmn (x) − Cklmn εmn − Cklmn (x) εtmn . (8.31a) ε∗ij = − Cijkl

255


Angesichts der häufig auftretenden tensoriellen Ausdr¨ ucke werden wir uns im folgenden der leichterer Lesbarkeit halber neben der Indexnotation auch der symbolischen Schreibweise bedienen: σij , εij , Cijkl → σ, ε, C (vgl. Kapitel 1). In dieser Schreibweise nimmt beispielsweise Gleichung (8.31a) die folgende Form an: * + ε∗ = −C 0 −1 : C(x) − C 0 : ε − C(x) : εt . (8.31b) Zur Unterscheidung vom Einheitstensor zweiter Stufe I wird der Einheitstensor vierter Stufe (8.7) durch das Symbol 1 dargestellt. Die Vertauschung des ersten und zweiten Indexpaares eines vierstufigen Tensors wird durch ein hochgestelltes T (Transposition) gekennzeichnet: Amnij Bmnkl = (AT : B)ijkl . 8.2.2.2

Ellipsoidf¨ ormige Inhomogenit¨ aten

Als wichtigen Spezialfall, der es uns gestattet, das Eshelby-Resultat anzuwenden, betrachten wir nun eine ellipsoidförmige Materialinhomogenität Ω in einer unendlich ausgedehnten Matrix (Bild 8.10a). Die jetzt st¨ uckweise konstanten Eigenschaften sind gegeben durch den Elastizitätstensor C I in Ω (Inhomogenität) und C M in der umgebenden Matrix. Im Unendlichen sei das homogene Verzerrungsfeld ε0 = const vorgegeben. Als Vergleichsmaterial wählen wir das der Matrix, also C 0 = C M . Unter Verwendung von (8.26) und (8.29) ergibt sich damit die äquivalente Eigendehnung in Ω zu * + * + ε∗ (x) = − C −1 : C I − C M : ε˜(x) + ε0 . (8.32) M Außerhalb von Ω ist ε∗ = 0, so dass zur Bestimmung der Differenzverzerrung ε˜(x) in (8.28) das Eshelby-Resultat ε˜ = S : ε∗ = const

(8.33)

angewendet werden kann. Die hierf¨ ur vorausgesetzte Konstanz der Eigendehnungen wird durch Einsetzen von (8.33) in (8.32) bestätigt. Auflösen nach ε∗ liefert die äquivalente Eigendehnung infolge einer im Unendlichen vorgegebenen konstanten Verzerrung ε0 (Bild 8.10b): 0−1 0 / :ε in Ω . (8.34) ε∗ = − S + ( C I − C M )−1 : C M Mit (8.33) und (8.34) kann die Gesamtverzerrung ε = ε0 + ε˜ in der Inhomogenität Ω in Abhängigkeit von der äußeren Belastung ε0 als / 0−1 0 ε = 1 + S : C −1 : ( CI − CM ) : ε = const (8.35a) M 5 67 8 ∞ AI ∞

geschrieben werden. Der Tensor vierter Stufe AI , welcher den Zusammenhang zwischen der Verzerrung ε in der Inhomogenität und der aüßeren Belastung ε0

256

Mikromechanik

ε0

ε0 CM

CM CI

ε∗ = 0

=

ε∗ = 0 ε0

ε0

a) Bild 8.10

b) a) Ellipsoidförmige Inhomogenität, Eigendehnung

b) homogenes Material mit

herstellt, wird auch als Einflusstensor bezeichnet. Mit der Beziehung (8.35a) kann nun auch die in Ω ebenfalls konstante Spannung σ = C I : ε angegeben werden, die aus einer konstanten Belastung σ 0 = C M : ε0 im Unendlichen resultiert: ∞

: σ0 . σ = C I : AI : C −1 M

(8.35b)

Als konkretes Beispiel wollen wir σ f¨ ur eine kugelförmige isotrope Inhomogenität bestimmen, die sich in einer isotropen Matrix befindet. Dabei beschränken ∞ wir uns auf den hydrostatischen Anteil. In (8.35b) bzw. in AI sind dann gemäß (8.11) nur S durch α(νM ) sowie C I und C M durch die Kompressionsmoduli 3KI bzw. 3KM zu ersetzen: −1 0 3KI − 3KM σii in Ω . (8.36) σii = 3KI 1 + α 3KM 3KM ur Nach (8.11) ist α = 2/3 f¨ ur νM = 1/3. Mit diesen Werten folgt aus (8.36) f¨ eine “harte” Inhomogenität (KI KM ) eine hydrostatische Spannung in Ω von σii ≈ 1.5 σii0 . F¨ ur eine “weiche” Inhomogenität (KI KM ) ergibt sich dagegen σii σii0 . Außerhalb einer ellipsoidförmigen Inhomogenität sind die Spannungen und Verzerrungen nicht konstant. Die zum äquivalenten Eigendehnungsproblem (8.28) gehörenden Differenzfelder σ ˜ , ε˜, u ˜ zeigen dort das gleiche aymptotische Verhalten wie die in Abschnitt 8.2.1.4 diskutierte Lösung des Einschlussproblems. 8.2.2.3

Hohlr¨ aume und Risse

Einen Sonderfall materieller Inhomogenitäten stellen Hohlräume (Poren) und Risse in einem sonst homogenen Matrixmaterial dar. Man kann diese Bereiche for-

257


mal als Materialien mit verschwindender Steifigkeit ansehen. Es ist dann möglich, durch Nullsetzen der Steifigkeit der Inhomogenität (C I = 0) und geeignete Interpretation der dort vorliegenden Verzerrung (siehe auch Abschnitt 8.3.1.2) die f¨ ur allgemeine Inhomogenitäten gewonnenen Ergebnisse auf ellipsoidförmige Poren sowie auf Risse als deren Grenzfall (eine verschwindende Halbachse) zu spezialisieren. Es ist jedoch anschaulicher, das Randwertproblem f¨ ur solche Defekte in homogenem Matrixmaterial unter konstanter Belastung im Unendlichen direkt zu behandeln. Es sind dann Randbedingungen auf dem Hohlraumrand oder Riss zu ber¨ ucksichtigen, wobei wir im folgenden annehmen wollen, dass diese Ränder belastungsfrei sind. In Hinblick auf die später benötigten Größen gen¨ ugt uns die Kenntnis der Verschiebungen auf dem jeweiligen Defektrand. Sie seien nachfolgend f¨ ur drei wichtige Fälle angegeben. Die gesamten Spannungs- und Deformationsfelder können bei Bedarf der Spezialliteratur entnommen werden (siehe z.B. H.G. Hahn, 1985). a) Kreisloch (2D) F¨ ur eine unendlich ausgedehnte isotrope Scheibe mit einem kreisförmigen Loch vom Radius a unter konstanter Fernfeldbelastung σij0 (Bild 8.11a) lauten die Verschiebungen auf dem Lochrand (r = a) in Polarkoordinaten im ESZ a 0 0 0 σ11 (3 cos2 ϕ − sin2 ϕ) + σ22 ur (a, ϕ) = (3 sin2 ϕ − cos2 ϕ) + 8σ12 sin ϕ cos ϕ E

uϕ (a, ϕ) = 4

a E

0 0 sin ϕ cos ϕ + σ22 − σ11

0 σ22

(8.37) 0 sin ϕ cos ϕ + σ12 ( cos2 ϕ − sin2 ϕ ) . 0 σ33

0 σ22

0 σ23 0 σ13

x2 0 σ11

a

0 σ12

r ϕ x1

0 σ12

x2 −a

x3 x2 r x1 a

0 σ12

a

x1

0 σ11

0 σ11

0 σ12 0 σ22

a)

0 σ22

b)

c)

Bild 8.11 a) Kreisloch, b) gerader Riss, c) kreisförmiger Riss (3D) b) Gerader Riss (2D) Auf einem geraden Riss der Länge 2a in einer unendlich ausgedehnten isotropen Scheibe im ESZ unter konstanter Belastung σij0 im Unendlichen (Bild 8.11b)

258

Mikromechanik

erfährt das Verschiebungsfeld einen Sprung Δu. Er kann im x1 , x2 -Koordinatensystem wie folgt dargestellt werden (vgl. Abschnitt 4.4.1) Δui (x1 ) =

0 4 σi2 E

)

a2 − x21

(i, j = 1, 2) .

(8.38)

c) Kreisförmiger (‘penny shaped’) Riss (3D) Der Verschiebungssprung u ¨ber einen kreisförmigen Riss vom Radius a, dessen Normale mit der lokalen x3 -Richtung zusammenfällt (Bild 8.11c) lautet Δui (r) =

16(1 − ν 2 ) 0 √ 2 a − r2 σ πE(2 − ν) i3

(i = 1, 2) , (8.39)

8(1 − ν 2 ) 0 √ 2 σ33 a − r2 Δu3 (r) = πE mit r =

8.3

x21 + x22 .

Effektive elastische Materialeigenschaften

Wie bereits angesprochen besitzt ein makroskopisch scheinbar homogenes Material auf einer mikroskopischen Betrachtungsebene im allgemeinen eine heterogene Mikrostruktur. Wir wollen nun untersuchen, wie sich diese auf die u ¨bergeordnete Makroebene, d.h. auf einer gröberen Skala, auswirkt. Dabei werden wir uns zur Beschreibung der Heterogenität auf die zuvor betrachteten ausgewählten Inhomogenitäten bzw. Defekte beschränken. Unter noch zu diskutierenden Voraussetzungen ist es möglich, durch gedankliche Verschmierung der feinskaligen Heterogenität das Material auf der Makroebene als homogen zu beschreiben und ihm ortsunabhängige effektive Eigenschaften zuzuordnen, in welche die Mikrostruk¨ tur in einem gemittelten Sinne eingeht. Dieser Mikro-Makro-Ubergang wird als Homogenisierung bezeichnet. Um effektive Materialeigenschaften handelt es sich beispielsweise bei dem an geeigneten Probekörpern gemessenen Elastizitätsmodul oder der Querkontraktionszahl von Stahl; in vielen technischen Anwendungen lässt sich durch diese einfachen makroskopischen Größen das Verhalten des mikroskopisch äußerst komplex aufgebauten Werkstoffs (anisotrope Kristallite, Korngrenzen, Versetzungen, etc.) hinreichend gut beschreiben. Nat¨ urlich ist die Messung von Materialeigenschaften nur sinnvoll, wenn das Ergebnis nicht vom konkreten Probekörper abhängt oder davon, ob der Versuch kraft- oder weggesteuert durchgef¨ uhrt wird. Der Probekörper muss repräsentativ f¨ ur das Material sein. Bei der theoretischen Bestimmung makroskopischer effektiver Materialeigenschaften aus einer gegebenen Mikrostruktur gelten analoge Anforderungen, auf die wir im folgenden genauer eingehen werden.

259

Effektive elastische Eigenschaften

8.3.1 8.3.1.1

Grundlagen Repr¨ asentatives Volumenelement (RVE)

Im Rahmen eines deterministischen und kontinuumsmechanischen Zugangs kann der Vorgang der Homogenisierung und die Rolle der makroskopischen und mikroskopischen Betrachtungsebenen mit ihren typischen Skalen anhand von Bild 8.12 veranschaulicht werden. An einem beliebigen Ort xmakro der Makroebene (z.B. eines Bauteils), auf der das Material als homogen, d.h. mittels ortsunabhängiger effektiver Eigenschaften beschrieben werden soll, wird durch Vergrößerung (Mikroskop) die räumlich ausgedehnte feinskalige Mikrostruktur sichtbar. l (Mikrostruktur) L x3 xmakro

∂V

x2 x1

V

d (RVE)

Cijkl (x)

(Homogenisierung) ∗ Cijkl

xmakro 3

L xmakro 2 xmakro 1

Bild 8.12 Homogenisierung und charakteristische Längen Wir nehmen an, dass das Materialverhalten auf der Mikroebene bekannt und linear elastisch ist. F¨ uhren wir dort ein zusätzliches Koordinatensystem ein, so kann die Mikrostruktur durch die Abhängigkeit des Elastizitätstensors Cijkl (x) von den Ortskoordinaten xi der Mikroebene beschrieben werden. Genau wie bei der Messung makroskopischer Materialeigenschaften am repräsentativen Probekörper betrachten wir einen Volumenbereich V der Mikroebene, der repräsentativ f¨ ur das gesamte Material sein soll. Anhand dieses Volumenbereichs werden dem Material u ¨ber einen HomogenisierungsProzess Makroeigenschaften in Form des räumlich ∗ zugewiesen. Damit dieses Ergebnis konstanten effektiven Elastizitätstensors Cijkl makro unabhängig von x ist, muss die Gesamtheit der durch Cijkl (x) beschriebenen ∗ beitragenden mikrostrukturellen Details ebenfalls unabhängig vom und zu Cijkl Ort auf der Makroebene sein. Man sagt auch, als Voraussetzung einer Homogenisierung m¨ ussen die Defekte (Heterogenitäten) statistisch homogen im Material ∗ nicht von der Größe oder Form des gewählverteilt sein. Außerdem darf Cijkl

260

Mikromechanik

ten Volumenbereichs V abhängen. Bei einer regellosen Defektverteilung muss der Bereich V also eine hinreichend große Anzahl von Einzeldefekten enthalten und damit in seiner Abmessung d sehr viel größer sein als eine charakteristische Länge l der Mikrostruktur. Letztere ist zum Beispiel durch die typische Größe oder den Abstand von Einzeldefekten gegeben (Bild 8.12). Wie die elastischen Eigenschaften Cijkl (x) mit dieser “Wellenlänge” l fluktuieren, so schwanken auch die Spannungs- und Verzerrungsfelder auf der Mikroebene. Andererseits muss der Volumenbereich V aber auch so klein sein, dass er auf der Makroebene näherungsweise als Punkt angesehen werden kann (Bild 8.12). Eine charakteristische Länge L auf dieser Ebene ist gegeben durch die Geometrie, durch die räumliche Variation der Belastung oder durch die sich im makroskopisch homogenen Material einstellenden Spannungs- und Verzerrungsfelder (“Makrofelder”). Damit in einer konkreten Situation die Wahl eines zur Homogenisierung geeigneten Volumenbereichs möglich ist, m¨ ussen die charakteristischen Längen also die Voraussetzung ldL

(8.40)

erf¨ ullen. Der Bereich V wird dann als Repräsentatives Volumenelement (RVE) bezeichnet. Offensichtlich kann die beidseitige Einschränkung von d nach (8.40) unter Umständen die Existenz eines RVE und damit eine sinnvolle Homogenisierung ausschließen. Eine solche Situation liegt beispielsweise an einer makroskopischen Rissspitze vor, wo die Verzerrungen im homogenen Material singulär werden, sich also u ¨ber beliebig kleine Längen L stark ändern. Die Größe d eines RVE m¨ usste nach (8.40) unendlich klein werden und w¨ urde den notwendigen skalenmäßigen Abstand zur Mikrostruktur (l) jedes realen Materials verletzen. Man nimmt u ¨blicherweise an, dass dies erst in der Prozesszone (vgl. Abschnitt 4.1) ¨ erfolgt. Ahnliches gilt in der Mikrosystemtechnik, in der Bauteile oft so klein sind, dass klassische, anhand herkömmlicher (großer) Proben gemessene Materialeigenschaften nicht mehr zu ihrer Beschreibung verwendet werden können. Diese Beispiele betreffen beide den rechten Teil der Ungleichung (8.40), den wir wie auch die statistische Homogenität des Materials im folgenden als erf¨ ullt ansehen wollen. Den linken Teil der Ungleichung, nämlich die Bedingung f¨ ur die Mindestgröße d eines RVE werden wir in Abschnitt 8.3.1.3 anhand des konkreten Homogenisierungsprozesses diskutieren, der quantitative Aussagen gestattet. Als praktische Anhaltswerte können beispielsweise f¨ ur Keramiken und polykristalline Metalle d ≈ 0.1mm und f¨ ur Beton d ≈ 100mm angesehen werden (vgl. Bild 8.1). Besondere Vorsicht ist auch bei der Beschreibung sogenannter Gradientenmaterialien mit räumlich veränderlichen makroskopischen Eigenschaften geboten. Bei ihnen weist die Verteilung der mikrostrukturellen Details eine Ortsabhängigkeit auf, so dass die zur Definition effektiver Eigenschaften vorausgesetzte statistische Homogenität der Mikrostruktur streng genommen nicht gegeben ist. Die Verwendung solcher effektiver Eigenschaften stellt daher nur eine pragmatische Näherung dar.

261


Die Voraussetzung der statistischen Homogenität einer lokal unregelmäßigen Defektverteilung er¨ ubrigt sich im Sonderfall einer streng periodischen Defektanordnung. Dann ist bereits eine Einheitszelle dieser Anordnung repräsentativ f¨ ur das gesamte heterogene Material. 8.3.1.2

Mittelungen

¨ Uber die Zweiskalenbetrachtung nach Bild 8.12 wird einem materiellen Punkt der Makroebene ein Volumenbereich V der Mikroebene zugeordnet; dort liegen Spannungen und Verzerrungen als fluktuierende (Mikro-) Felder vor. Die den mechanischen Zustand des makroskopischen Punktes beschreibenden Makrospannungen und -verzerrungen definieren wir als die Volumenmittelwerte 1 1 σij = σij (x) dV , εij = εij (x) dV (8.41) V V V

V

der mikroskopischen Felder und verwenden als Abk¨ urzung daf¨ ur das Klammersymbol · . Mit Hilfe des Gaußschen Satzes können die Makrogrößen (8.41) auch durch Integrale u uckt werden. ¨ber den Rand ∂V des Mittelungsbereichs ausgedr¨ Setzen wir voraus, dass keine Volumenkräfte auftreten, so gilt mit der Gleichgewichtsbedingung σik,k = 0 und xj,k = δjk f¨ ur die Spannungen zunächst die Identität (xj σik ),k = xj,k σik + xj σik,k = σij . Einsetzen in (8.41) liefert f¨ ur die Makrospannungen die Darstellung 1 1 1 σij = (xj σik ),k dV = xj σik nk dA = ti xj dA . V V V V

∂V

F¨ ur die Makroverzerrungen ergibt sich 1 1 εij = ( ui,j + uj,i ) dV = ( ui nj + uj ni ) dA . 2V 2V V

(8.42)

∂V

(8.43)

∂V

In (8.42) und (8.43) wurde stillschweigend die Differenzierbarkeit des Spannungs- und Verschiebungsfeldes und damit die Anwendbarkeit des Gaußschen Satzes in ganz V angenommen. Dies ist jedoch gerade im Fall heterogener Materialien mit sich sprungartig ändernden Eigenschaften nicht gegeben. Trotzdem gelten die Darstellungen (8.42) und (8.43) der Makrogrößen durch Randintegrale ganz allgemein, d.h. unabhängig vom Stoffverhalten und auch f¨ ur Mikrostrukturen, die Hohlräume oder Risse enthalten. Um dies zu zeigen, betrachten wir nach Bild 8.13a eine innere Grenzfläche S, die im Volumenbereich V zwei Teilbereiche V1 und V2 mit unterschiedlichen Eigenschaften voneinander trennt und an der die

262

Mikromechanik

nj

nj

nj

nj V2

V1

VM

S

Bild 8.13

Γ+

S = ∂Vc VM ∂V

∂V

a)

nj nj Γ− ∂V

c)

b)

Volumenbereich V mit a) innerer Grenzfläche S, c) Riss Γ = Γ+ + Γ−

b) Hohlraum,

Spannungen und Verschiebungen im allgemeinen nicht differenzierbar sind. Der Gaußsche Satz ist daher auf den Teilbereichen getrennt anzuwenden, wobei S einmal als Rand von V2 (äußere Normale nj ) sowie als innerer Rand von V1 (äußere Normale −nj ) auftritt. F¨ ur die Spannungen f¨ uhrt dies auf (2) (1) σij dV = σij dV + σij dV = ti xj dA + ( ti − ti ) xj dA (8.44) V

V1

V2

∂V

S

und f¨ ur den Verschiebungsgradienten auf (2) (1) ui,j dV = ui,j dV + ui,j dV = ui nj dA + ( ui − ui ) nj dA . (8.45) V

V1

V2

(1,2)

S

∂V

(1,2)

und ui der Randspannungs- und der Randverschiebungsvektor Darin sind ti (1) (2) (1) (2) in V1 und V2 entlang der Fläche S. Wegen ti = ti und ui = ui an der Grenzfläche verschwinden in (8.44) und (8.45) die Integrale u ¨ ber S. Die Darstellungen der Makrogrößen σij =

1 V

ti xj dA , ∂V

εij =

1 2V

( ui nj + uj ni ) dA

(8.46)

∂V

gelten daher auch bei unstetigem Materialverhalten. Da dies unabhängig vom konkreten Material und der Geometrie des Teilbereichs V2 gilt, umfasst dieses Ergebnis auch den Sonderfall von Hohlräumen, den man durch den Grenz¨ ubergang zu einer verschwindenden Steifigkeit des Materials in V2 erhält (Bild 8.13b). ¨ Durch einen weiteren Ubergang S → Γ zu einem unendlich d¨ unnem Bereich V2 (Bild 8.13c) wird auch die Situation von Rissen abgedeckt. In vielen Fällen besteht der Volumenbereich V aus n Teilvolumnia Vα (α = n 9 cα = 1, in denen die ela1, ..., n) mit den Volumenanteilen cα = Vα /V und α=1

stischen Eigenschaften C α jeweils konstant sind. Man spricht dann von einer

263


Mikrostruktur aus diskreten Phasen, und es gilt σ =

n :

cα σα ,

α=1

cα εα ,

(8.47)

α=1

wobei σα =

ε =

n :

1 Vα

σ dV ,

εα =

Vα

1 Vα

ε dV

(8.48)

Vα

die Phasenmittelwerte der Spannungen und Verzerrungen sind. F¨ ur diese ist dann jeweils σα = C α : εα in Vα . (8.49) F¨ ur eine Mikrostruktur, die nur Hohlräume oder Risse enthält, ist es zweckmäßig, die Makrogrößen (8.46) in einer anderen Form darzustellen. Dazu bilden wir zunächst f¨ ur den Fall von Hohlräumen die mittlere Verzerrung εij M des umgebenden Matrixvolumens VM = cM V . Unter Verwendung des Gaußschen Satzes erhält man (vgl. Bild 8.13b) 1 εij M = (ui,j + uj,i) dV 2VM VM 1 1 = (ui nj + uj ni ) dA − (ui nj + uj ni ) dA , 2VM 2VM ∂V

∂Vc

wobei ∂Vc den Hohlraumrand bezeichnet. Ersetzt man das erste Integral auf der rechten Seite durch (8.43), so ergibt sich f¨ ur die Makroverzerrung 1 εij = cM εij M + (ui nj + uj ni ) dA . (8.50a) 2V ∂Vc 67 8 5 εij c F¨ ur Risse erhält man daraus mit ∂Vc → Γ = Γ+ + Γ− (Bild 8.13c) und Δui = − u+ i − ui den Zusammenhang 1 εij = cM εij M + (Δui nj + Δuj ni ) dA . (8.50b) 2V 5 Γ 67 8 εij c Die Makroverzerrung setzt sich im Fall von Hohlräumen oder Rissen also zusammen aus der mittleren Matrixverzerrung sowie der Größe εc , die als die mittlere Verzerrung der Defektphase bezeichnet wird (c f¨ ur cavity oder crack): ε = cM εM + εc .

(8.51)

264

Mikromechanik

Im Gegensatz dazu ist f¨ ur belastungsfreie Löcher und Risse die Makrospannung allein durch die mittlere Matrixspannung gegeben: σ = cM σM .

(8.52)

F¨ ur ein Material, das ausschließlich Risse enthält, ist der Volumenanteil der Matrixphase cM = 1. Ist das Matrixmaterial homogen mit C M = const , so ergibt sich mit σM = C M : εM und (8.47) sowie (8.50a) σ = C M :

*

ε − εc

+ bzw.

: σ + εc . ε = C −1 M

(8.53)

Nach dieser Darstellung kann εc auch als eine zusätzlich zur elastischen Matrixverzerrung auftretende Eigendehnung interpretiert werden. 8.3.1.3

Effektive elastische Konstanten

Analog zum Elastizitätsgesetz im Mikrobereich σij (x) = Cijkl (x) εkl (x)

(8.54)

∗ durch die Beziehung zwischen den Makroist der effektive Elastizitätstensor Cijkl spannungen und Makroverzerrungen (8.41) definiert: ∗ ε . σij = Cijkl kl

(8.55)

∗ als Materialeigenschaft sind einige FordeAn die Interpretierbarkeit von Cijkl rungen gekn¨ upft. So ist es plausibel, die Gleichheit der mittleren Formänderungsenergiedichte U des Volumenbereichs V zu verlangen, wenn diese mittels der mikroskopischen oder makroskopischen Größen gebildet wird: 1 1 ∗ ε . U = εij Cijkl εkl = εij Cijkl kl 2 2

(8.56)

Diese auch als Hill-Bedingung (Hill, 1963) bezeichnete Forderung kann mit (8.54) und (8.55) in der Form σij εij = σij εij

(8.57)

geschrieben werden. F¨ uhren wir die Fluktuationen σ˜ij (x) = σij (x) − σij und ε˜ij (x) = εij (x) − εij der Mikrofelder um ihre Mittelwerte ein, so folgt daraus ˜ σij ε˜ij = 0 .

(8.58)

265


Die Spannungsschwankungen (Fluktuationen) d¨ urfen im Mittel also keine Arbeit an den Verzerrungsschwankungen leisten. Unter Verwendung des Gaußschen Satzes und der Gleichgewichtsbedingung σik,k = 0 kann dies durch Größen auf dem Rand des Mittelungsbereichs ausgedr¨ uckt werden: * + + * 1 (8.59) ui − εij xj σik − σik nk dA = 0 . V ∂V

In dieser Form ist die Hill-Bedingung auch so zu interpretieren, dass die in einem heterogenen Material auf dem Rand eines RVE fluktuierenden Felder im energetischen Sinne gleichwertig sind zu ihren Mittelwerten (Bild 8.14). Wie bereits in Abschnitt 8.3.1.1 diskutiert, ist dies nur zu erwarten, wenn der Mittelungsbereich V eine hinreichend große Anzahl von Defekten enthält. σ, ε

σ, ε

Bild 8.14 Auf dem RVE-Rand fluktuierende Mikrofelder und ihre Mittelwerte Um die Felder σij (x) und εij (x) in einem Volumenbereich V der Mikroebene tatsächlich berechnen zu können, ist die Gleichgewichtsbedingung σij,j = 0 und das Elastizitätsgesetz (8.54) durch Randbedingungen auf ∂V zu ergänzen, d.h. es ist ein Randwertproblem zu formulieren. Der heterogene Volumenbereich soll äquivalent zu demselben Bereich aus homogenem (effektivem) Material sein und gleichzeitig auf der Makroebene einen Punkt repräsentiert, welcher nur homogene Spannungen und Verzerrungen “wahrnimmt”. Es liegt deshalb nahe, solche homogenen Zustände auch als Randbedingungen auf ∂V vorzugeben. Dazu gibt es zwei Möglichkeiten: ui = ε0ij xj auf ∂V mit ε0ij = const . xi nj dA = V δij das Ergebnis Hierf¨ ur folgt aus (8.43) mit

a) lineare Verschiebungen:

∂V

εij = ε0ij b) uniforme Spannungen:

ti = σij0 nj

.

auf ∂V

(8.60a) mit σij0 = const .

266

Mikromechanik

Aus (8.42) erhält man hierf¨ ur σij = σij0

.

(8.60b)

F¨ ur einen beliebigen heterogenen Volumenbereich V sind danach vorgegebene homogene Randverzerrungen ε0ij gleich dem Volumenmittelwert der Verzerrungen. Analog sind vorgegebene homogene Randspannungen σij0 gleich dem Mittelwert der Spannungen in V , sofern dort keine Volumenkräfte wirken. Bei homogenem Material sind die beiden Typen von Randbedingungen äquivalent und rufen in einem Volumenbereich homogene Felder hervor. Die Beziehungen (8.60a) und (8.60b) werden häufig auch als ‘average strain theorem’ und ‘average stress theorem’ bezeichnet. Anhand von (8.59) sieht man, dass durch beide Typen von Randbedingungen die Hill-Bedingung identisch, d.h. unabhängig vom Bereich V erf¨ ullt wird. Dies ist nicht verwunderlich, da die aus der Hill-Bedingung folgende Ersetzbarkeit auf ∂V fluktuierender durch homogene Felder in den Randbedingungen (a) oder (b) bereits vorweg genommen wurde. Desweitern wird die Hill-Bedingung in der Form (8.57) bzw. (8.59) bei Zugrundelegung der Randbedingungen (a) oder (b) unabhängig von einer Verkn¨ upfung der Felder σij und εij erf¨ ullt. Sie kann daher (1) auf beliebige statisch zulässige Spannungsfelder σij und kinematisch zulässige (2) Verzerrungsfelder εij verallgemeinert werden: (1) (2)

(1)

(2)

σij εij = σij εij .

(8.61)

Dieser Zusammenhang, von dem wir später wiederholt Gebrauch machen werden, folgt unter den Randbedingungen (a) oder (b) auch direkt aus dem allgemeinen Arbeitssatz (1.96). Aufgrund der Eindeutigkeit der Lösungen von Randwertproblemen der linearen Elastizitätstheorie hängen die Felder im Gebiet V linear von der “Belastung”, d.h. von den Parametern ε0ij oder σij0 der Randbedingungen (a) oder (b) ab. Sie können damit in der folgenden Form dargestellt werden: a)

εij (x) = Aijkl (x) ε0kl

fu ¨r

ui = ε0ij xj

auf ∂V ,

(8.62a)

b)

0 σij (x) = Bijkl (x) σkl

fu ¨r

ti = σij0 nj

auf ∂V .

(8.62b)

Darin sind Aijkl (x) bzw. Bijkl(x) die Komponenten sogenannter Einflusstensoren A(x) und B(x). Diese Einflusstensoren repräsentieren die vollständige Lösung des jeweiligen Randwertproblems und hängen von der Mikrostruktur im gesamten Volumenbereich V ab. Dabei erf¨ ullt Aijkl (x) bez¨ uglich seiner ersten beiden Indizes (genau wie εij ) die Kompatibilitätsbedingung (1.30). Entsprechend erf¨ ullt Bijkl (x) die Gleichgewichtsbedingung: Bijkl,j (x) = 0. Außerdem kann man durch

267


Mittelung von (8.62a), (8.62b) u ¨ber V und unter Beachtung von (8.60a), (8.60b) erkennen, dass der Mittelwert dieser Funktionen der Einheitstensor (8.7) ist: A = 1 ,

B = 1 .

(8.63)

F¨ ur den effektiven Elastizitätstensor C ∗ bzw. den effektiven Nachgiebigkeitstensor C ∗ −1 gelten nach (8.54) und (8.55) in symbolischer Schreibweise die Zusammenhänge C ∗ : ε = σ = C : ε

bzw. C ∗ −1 : σ = ε = C −1 : σ .

(8.64)

Sie f¨ uhren im Fall der Randbedingung (a) durch Einsetzen von (8.62a) auf die Darstellung C ∗ (a) = C : A (8.65a) und im Fall (b) mittels (8.62b) auf C ∗ (b) = C −1 : B−1 .

(8.65b)

Durch Einsetzen von (8.62a) und (8.62b) in den Energieausdruck (8.56) erhält man damit die alternativen Darstellungen C ∗ (a) = AT : C : A

bzw.

C ∗ (b) = B T : C −1 : B−1 ,

(8.66)

aus denen die Symmetrie des effektiven Elastizitätstensors bez¨ uglich des ersten und des zweiten Indexpaares ersichtlich ist. Durch das hochgestellte (a) bzw. (b) soll hervorgehoben werden, dass diese u ¨ber einen zunächst beliebigen heterogenen Volumenbereich V gebildeten Mittelwerte im allgemeinen vom Typ der Randbedingungen auf ∂V abhängen. Deswegen kann man bei C ∗ (a) bzw. C ∗ (b) streng genommen noch nicht von effektiven Materialeigenschaften sprechen, da das gewählte Volumen V nicht von vornherein die Voraussetzungen eines RVE erf¨ ullen muss. Der Abstand zwischen C ∗ (a) und (b) ∗ C (im Sinn einer geeigneten Norm) kann als Maß f¨ ur die G¨ ute eines Mittelungsbereiches angesehen werden. Erst wenn der Bereich V so beschaffen ist, dass C ∗ (a) = C ∗ (b) = C ∗ , kann C ∗ als (eindeutige) makroskopische Materialeigenschaft interpretiert werden. Es versteht sich, dass dies auch f¨ ur jeden größeren Bereich, der V enthält gewährleistet sein muss. Eine wichtige Aufgabe der Mikromechanik ist es, mit Hilfe der in Abschnitt 8.2 vorgestellten Grundlösungen und geeigneten Approximationen explizite Darstellungen f¨ ur die Einflusstensoren A(x) oder B(x) und damit f¨ ur die Mikrofelder sowie die effektiven elastischen Konstanten herzuleiten. Wir werden dazu im folgenden Abschnitt eine Reihe unterschiedlicher Methoden diskutieren.

268 8.3.2 8.3.2.1

Mikromechanik

Analytische N¨ aherungsmethoden Allgemeines

Nach (8.65a) oder (8.65b) lassen sich die effektiven elastischen Konstanten C ∗ als die mit einem Einflusstensor (z.B. A(x)) gewichteten Mittelwerte der mikroskopischen elastischen Eigenschaften C(x) darstellen. F¨ ur eine reale Mikrostruktur ist jedoch weder die exakte Funktion C(x) bekannt, noch lässt sich im allgemeinen der zugehörige Einflusstensor in geschlossener Form angeben. Man ist also bei der Modellierung der Mikrostruktur hinsichtlich der verf¨ ugbaren Information wie auch der Darstellung von Einflusstensoren auf geeignete Approximationen angewiesen. Es bietet sich an, sich zunächst auf Mikrostrukturen aus diskreten Phasen mit jeweils homogenen elastischen Eigenschaften gemäß (8.49) zu beschränken, was f¨ ur viele Materialien tatsächlich auch zutrifft (z.B. Polykristalle, Komposite). Unter Beachtung von (8.60a), (8.60b) folgt dann aus (8.62a), (8.62b) f¨ ur die Phasenmittelwerte bei vorgegebenen Makroverzerrungen ε = ε0 bzw. Makrospannungen σ = σ0 εα = Aα : ε

σα = B α : σ

bzw.

(8.67)

mit Aα = Aα

und

B α = Bα .

(8.68)

Darin dr¨ ucken die konstanten Einflusstensoren Aα bzw. B α den u ¨ber das Volumen einer Phase α gebildeten Mittelwert eines Feldes in Abhängigkeit von der entsprechenden Makrogröße aus. Aus (8.65a) und (8.65b) wird damit .−1 - n n : : C ∗ (a) = c C :A bzw. C ∗ (b) = c C −1 : B , (8.69) α

α

α

α

α=1

wobei wegen

α

α

α=1 n : α=1

cα Aα = 1 ,

n :

cα B α = 1

(8.70)

α=1

zur Darstellung der effektiven elastischen Konstanten C ∗ nur die Einflusstensoren Aα oder B α von n − 1 Phasen benötigt werden. Der Einfachheit halber werden wir uns im folgenden auf ein zweiphasiges Material beschränken; die diskutierten Methoden gelten jedoch allgemein. Bezeichnen wir die eine Phase als Matrix (M) und die andere als Inhomogenität (I), so folgt aus (8.69) und (8.70) C ∗ (a) = C M + cI ( C I − C M ) : AI bzw.

2−1 1 C ∗ (b) = C −1 + cI ( C −1 − C −1 ) : BI . M I M

(8.71a)

(8.71b)

269


Diese Beziehungen sind nicht unmittelbar auf den Spezialfall einer homogenen Matrix anwendbar, die als zweite “Phase” Hohlräume oder Risse enthält. In diesem Fall dr¨ ucken wir die lineare Abhängigkeit der in (8.50a), (8.50b) definierten mittleren Hohlraum- oder Rissverzerrung εc von den jeweils vorgegebenen Makrogrößen ε0 bzw. σ 0 durch Einflusstensoren D und H aus: εc = D : ε f u ¨r ε = ε0

,

εc = H : σ f u ¨r σ = σ 0 .

(8.72)

Mit (8.53) ergibt sich dann aus (8.64) f¨ ur die effektiven elastischen Konstanten C ∗ (a) = C M : (1 − D)

/ 0−1 C ∗ (b) = C −1 +H . M

bzw.

(8.73)

In Anbetracht der Tatsache, dass Hohlräume und Risse eine Reduktion der effektiven Steifigkeit eines Materials bewirken, kann der Einflusstensor D auch als Schädigungsmaß interpretiert werden (vgl. Kapitel 9), während H eine zusätzliche Nachgiebigkeit beschreibt. Im folgenden werden wir einige Approximationen, Modelle und Methoden diskutieren, die eine näherungsweise Bestimmung effektiver elastischer Eigenschaften erlauben. 8.3.2.2

Voigt- und Reuss-Approximation

In einem homogenen Material folgen aus den Randbedingungen (8.60a) oder (8.60b) homogene Spannungen und Verzerrungen. F¨ ur einen heterogenen Volumenbereich besteht daher die einfachste Näherung darin, in Einklang mit den Randbedingungen (a) oder (b) je eines der Mikrofelder als konstant zu approximieren. Setzt man nach Voigt (1889) die Verzerrungen in V als konstant an (ε = ε = const), so folgt aus (8.62a) f¨ ur den Einflusstensor A = 1. Nach (8.65a) bzw. (8.69) wird der effektive Elastizitätstensor in diesem Fall durch den Mittelwert der Steifigkeiten angenähert: C ∗(Voigt) = C =

n :

cα C α .

(8.74a)

α=1

Analog dazu geht der Ansatz von Reuss (1929) von einem konstanten Spannungsfeld aus (σ = σ = const), was der Approximation B = 1 in (8.62b) entspricht. Dies f¨ uhrt nach (8.65b) bzw. (8.69) als Näherung f¨ ur den effektiven Nachgiebigkeitstensor auf die mittlere Nachgiebigkeit ∗ −1 = C −1 = C (Reuss)

n : α=1

cα C −1 . α

(8.74b)

270

Mikromechanik

F¨ ur den Sonderfall diskreter Phasen aus isotropem Material ergeben sich daraus f¨ ur den effektiven Kompressions- und Schubmodul die Näherungen ∗ K(Voigt) =

n :

n :

μ∗(Voigt) =

cα Kα ,

α=1

bzw. ∗ −1 = K(Reuss)

cα μα

(8.75a)

α=1

n : cα , K α α=1

∗ −1 = μ(Reuss)

n : cα . μ α=1 α

(8.75b)

Man beachte, dass danach das makroskopische Verhalten immer als isotrop approximiert wird, obwohl in Wirklichkeit eine Anisotropie aufgrund der geometrischen Anordnung der Phasen vorliegen kann (z.B. faserverstärkte Materialien). Im Fall einer Matrix mit Hohlräumen oder Rissen f¨ uhrt die verschwindende Steifigkeit bzw. unendliche Nachgiebigkeit dieser Defektphase auf die Voigt- und Reuss-Approximationen ∗ C (Voigt) = cM C M

∗ C (Reuss) =0.

bzw.

(8.76)

Ist hingegen eine der Phasen starr (z.B. C I → ∞), so erhält man ∗ C (Voigt) →∞

bzw.

∗ C (Reuss) =

1 C . cM M

(8.77)

Die Approximation effektiver elastischer Eigenschaften durch die mittleren Steifigkeiten bzw. mittleren Nachgiebigkeiten wird gelegentlich auch als “Mischungsregel” bezeichnet. Sie ist nur in den eindimensionalen Sonderfällen einer “Parallelschaltung” unterschiedlicher Materialien (Voigt) oder einer “Reihenschaltung” (Reuss) exakt. Im allgemeinen wird bei Annahme konstanter Verzerrungen das lokale Gleichgewicht (z.B. an Phasengrenzen) und bei konstanten Spannungen die Kompatibilität der Deformation verletzt. Neben diesem offensichtlichen Defizit haben die einfachen Ansätze von Voigt und Reuss jedoch den Vorteil, dass die resultierenden Approximationen exakte Schranken f¨ ur die tatsächlichen effektiven elastischen Konstanten eines heterogenen Materials darstellen. In Abschnitt ∗ ∗ ∗ ≤ K ∗ ≤ K(Voigt) , μ(Reuss) ≤ μ∗ ≤ μ∗(Voigt) 8.3.3.1 werden wir zeigen, dass K(Reuss) gilt. Da die Voigt- und Reuss-Approximationen häufig sehr weit auseinander liegen, besteht ein pragmatischer Verbesserungsansatz zur Bestimmung der effektiven Konstanten in der Verwendung der Mittelwerte K∗ ≈

2 1 1 ∗ ∗ , K(Reuss) + K(Voigt) 2

μ∗ ≈

2 1 1 ∗ ∗ . μ + μ(Voigt) 2 (Reuss)

(8.78)


8.3.2.3

271

Wechselwirkungsfreie (“d¨ unne”) Defektverteilung

Mit Hilfe der in Abschnitt 8.2.2 bereitgestellten exakten Grundlösungen ist es möglich, mikromechanische Modelle zu entwickeln, die sowohl das lokale Gleichgewicht als auch die Kompatibilität der Deformation gewährleisten. Wir betrachten dabei ein zweiphasiges Material bestehend aus einer homogenen Matrix mit C M = const, die nur eine Sorte jeweils gleicher Defekte (die 2. Phase) enthält. In Hinblick auf die verf¨ ugbaren Grundlösungen werden diese entweder als ellipsoidförmige elastische Inhomogenitäten mit C I = const, als Kreislöcher (2D) oder als gerade (2D) bzw. kreisförmige (3D) Risse approximiert. Die einfachste Situation liegt vor, wenn die Inhomogenitäten bzw. Defekte so “d¨ unn” in einer homogenen Matrix verteilt sind, dass ihre Wechselwirkung untereinander oder mit dem Rand des betrachteten Volumenbereichs (RVE) vernachlässigt werden kann (‘dilute distribution’). Nach Bild 8.15 kann dann jeder Defekt als allein in einem unendlichen Gebiet unter der Wirkung eines homogenen Feldes ε0 = ε oder σ 0 = σ betrachtet werden. Die charakteristischen Abmessungen der Defekte m¨ ussen dazu klein sein im Vergleich zu ihren Abständen untereinander und zum Rand des RVE. Die unter dieser Idealisierung gewonnenen Lösungen sind selbst zwar nur f¨ ur sehr kleine Volumenanteile (cI 1) g¨ ultig; sie bilden jedoch den Ausgangspunkt f¨ ur wichtige Verallgemeinerungen.

ε0 bzw. σ0

ε0 bzw. σ 0

∂V

Bild 8.15 Modell der d¨ unnen Defektverteilung a) Ellipsoidförmige Inhomogenitäten Im Fall einer ellipsoidförmigen Inhomogenität Ω ist nach Abschnitt 8.2.2.2 die Verzerrung in der Inhomogenität konstant (ε = I in Ω) und u ¨ber den in ∞ (8.35a) eingef¨ uhrten Einflusstensor AI gegeben. Nach (8.71a) lautet also der effektive Elastizitätstensor f¨ ur ein Material mit d¨ unn verteilten ellipsoidförmigen Inhomogenitäten gleicher Orientierung, gleicher Achsenverhältnisse und dem Volumenanteil cI ∞ ∗ (a) C (DD) = C M + cI ( C I − C M ) : AI , (8.79a)

272

Mikromechanik

wobei (DD) f¨ ur ‘dilute distribution’ steht. Einsetzen von (8.35a) f¨ uhrt auf die Darstellung / 0−1 ∗ (a) C (DD) = C M + cI ( C I − C M ) : 1 + S M : C −1 : (C I − C M ) (8.79b) M mit dem vom Matrixmaterial abhängigen Eshelby-Tensor S M . Liegen mehrere Sorten von ellipsoidförmigen Inhomogenitäten mit z.B. unterschiedlicher Orientierung vor, so ist von (8.69) auszugehen, wobei die individuellen Einflusstensoren ∞ Aα dann u ¨ber den Eshelby-Tensor die jeweilige Orientierung der Ellipsoide wiederspiegeln. In (8.79a,b) kommt durch das hochgestellte (a) zum Ausdruck, dass dieses Resultat nur f¨ ur den Fall (a) vorgegebener Makroverzerrungen gilt. Wertet man das Modell der d¨ unnen Defektverteilung f¨ ur vorgegebene Makrospannungen (b) aus, ∗ (a) so kommt man bei endlichem Volumenanteil cI zu einem von C (DD) abweichenden Ergebnis. Im Gegensatz zur Voigt- oder Reuss-Approximation ist das durch (8.79a,b) beschriebene effektive Stoffverhalten auch bei isotropem Material der beiden Phasen im allgemeinen anisotrop aufgrund einer im Eshelby-Tensor ber¨ ucksichtigten möglichen Vorzugsorientierung der Ellipsoide. Im Sonderfall kugelförmiger isotroper Inhomogenitäten in einer isotropen Matrix ist auch das makroskopische (effektive) Verhalten isotrop, und (8.79b) kann mit (8.10) bzw. (8.12) in den volumetrischen und den deviatorischen Anteil aufgespalten werden: ∗ = KM + cI K(DD)

(KI − KM ) KM , KM + α (KI − KM ) (8.80)

μ∗(DD) = μM

(μI − μM ) μM + cI . μM + β (μI − μM )

Entsprechend dem Modell einer Matrix mit d¨ unn verteilten Inhomogenitäten ergeben sich die effektiven elastischen Konstanten aus denen der Matrix und einem (kleinen) in cI linearen Zusatzterm. Die Parameter α und β des Eshelby-Tensors hängen nach (8.11) von der Querkontraktionszahl νM = (3KM −2μM )/(6KM +2μM ) und damit von beiden Moduli KM und μM des Matrixmaterials ab. Sie bewirken daher eine Kopplung der Kompressions- und Schubsteifigkeit. Der effektive Elastizitätsmodul kann aus E ∗ = 9K ∗ μ∗ /(3K ∗ + μ∗ ) bestimmt werden. Wir betrachten abschließend noch den Spezialfall starrer kugelförmiger Inhomogenitäten (KI , μI → ∞) in einer inkompressiblen Matrix (KM → ∞). Mit dem Wert β = 2/5 aus (8.11) f¨ uhrt (8.80) auf ein makroskopisch inkompressibles Material mit 5 μ∗(DD) = μM 1 + cI . (8.81) 2 Beachtet man die Analogie zwischen der linearen Elastizitätstheorie und einem Newtonschen (linear viskosen) Fluid, so entspricht dieses Resultat genau der von

273


A. Einstein (1906) gefundenen Beziehung f¨ ur die effektive Viskosität einer Suspension aus einem zähen Fluid und starren Partikeln. b) Kreislöcher (2D) Als zweiten Anwendungsfall des Modells der d¨ unnen Defektverteilung behandeln wir eine unendlich ausgedehnte isotrope Scheibe im ESZ mit Kreislöchern vom Radius a (Bild 8.16). Aufgrund der vernachlässigten Wechselwirkung erhält man die mittlere Verzerrung εij c jedes einzelnen Loches bei homogener äußerer Belastung σij0 mittels (8.50a) durch Integration der Grundlösung (8.37) u ¨ ber den Lochrand: 2π 1 ( ui nj + uj ni ) a dϕ . (8.82) εij c = 2A 0

Darin sind u1 = ur cos ϕ − uϕ sin ϕ , u2 = ur sin ϕ + uϕ cos ϕ , n1 = cos ϕ , n2 = sin ϕ. In diesem zweidimensionalen Problem erfolgt die Mittelung u ¨ ber die Fläche A der Scheibe, so dass statt des Flächenintegrals in (8.50a) nur ein Kurvenintegral auszuwerten ist. 0 σ22

0 σ12

a

0 σ11

0 σ11

0 σ12

x2 0 σ22

x1

Bild 8.16 Scheibe mit Kreislöchern Aus dem Zusammenhang (8.72) zwischen mittlerer Lochverzerrung und äußerer ∞ Belastung σ 0 ergibt sich der zusätzliche Nachgiebigkeitstensor H , mit dem nach (8.73) der effektive Elastizitätstensor bei d¨ unner Defektverteilung dargestellt werden kann: ∞ 0−1 ∗ (b) / C (DD) = C −1 +H . (8.83) M Die nichtverschwindenden Komponenten von H ∞

∞

∞

∞

H1111 = H2222 =

3c , E

∞

lauten

∞

∞

H1122 = H2211 = −

c , E (8.84)

∞

∞

H1212 = H2121 = H1221 = H2112

4c = E

274

Mikromechanik

mit dem Flächenanteil c = πa2 /A der Löcher und dem Elastizitätsmodul E −1 −1 des Matrixmaterials. Mit C1111 = 1/E und C1212 = 1/2μ lassen sich daraus der effektive Elastizitäts- und Schubmodul ableiten: 4c E ∗ = E ≈ E (1 − 3c) , μ∗ = ≈ μ (1 − ) . (8.85) E(DD) (DD) 1 + 3c 2(1 + ν + 4c) 1+ν Wie zu erwarten nehmen beide Steifigkeiten mit wachsendem Lochanteil ab. c) Gerade Risse (2D) Genau wie beim Kreisloch lässt sich f¨ ur einen geraden Riss der Länge 2a dessen mittlere Verzerrung gemäß (8.50b) bei homogener äußerer Belastung aus der Grundlösung (8.38) ermitteln (vgl. Bild 8.11b): ε11 c = 0 ε12 c =

ε22 c =

1 2A 1 A

a Δu1 (x1 ) dx1 = −a

a

Δu2 (x1 ) dx1 = f −a

a2 π 0 π 0 σ = f σ12 A E 12 E

(8.86)

2π 0 σ . E 22

Dem Volumen- oder Flächenanteil eines Defektes entsprechend wurde hier der uhrt, der wegen der vorausgesetzten d¨ unnen Rissdichteparameter f = a2 /A eingef¨ Verteilung klein sein muss: f 1. Die nichtverschwindenden Komponenten des zusätzlichen Nachgiebigkeitstensors lauten damit π 2π ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ , H2222 = f . (8.87) H1212 = H2121 = H1221 = H2112 = f E E F¨ ur eine Scheibe aus homogenem isotropem Material, die parallele Risse der einheitlichen Länge 2a enthält (Bild 8.17a), ergeben sich nach (8.83) die effektiven elastischen Konstanten E E1∗(DD) = E , E2∗(DD) = ≈ E (1 − 2πf ) , 1 + 2πf (8.88) E πf ∗ ≈ μ (1 − ). μ12 (DD) = 2(1 + ν + πf ) 1+ν Aufgrund der ausgezeichneten Rissorientierung ist das effektive Materialverhalten hier anisotrop mit einer normal zu den Rissen geringeren Steifigkeit. Liegen die Risse hingegen mit statistisch gleichverteilten Orientierungen vor (Bild 8.17b), so kann im Rahmen des Modells der d¨ unnen Verteilung der zusätzliche Nachgiebigkeitstensor (8.87) der Einzelbeiträge u ¨ber alle Orientierungen gemittelt werden zu 2π 1 π ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ Hijkl = Hi j k l (ϕ) dϕ ; H1111 = H1212 = H2121 = H2222 = f . (8.89) 2π E 0

275


0 σ22

0 σ22

0 σ11

0 σ11

2a

0 σ12

ϕ

2’

2’

0 σ12

0 σ12

0 σ11

1’

ϕ ϕ 1’

x2

x2 a)

1’

2’

0 σ12

0 σ22

x1

b)

x1

0 σ22

Bild 8.17 a) Parallele und b) statistisch gleichverteilte Rissorientierung Da das Material dann auch makroskopisch keine ausgezeichnete Richtung besitzt, ist das effektive Verhalten isotrop mit ∗ = E(DD)

E ≈ E (1 − πf ) , 1+πf

∗ = μ(DD)

πf E ≈ μ (1 − ). 2(1+ν +πf ) 1+ν

(8.90)

d) Kreisförmige (‘penny shaped’) Risse (3D) Mit der gleichen Vorgehensweise wie zuvor erhält man aus der Grundlösung (8.39) f¨ ur einen kreisförmigen Riss vom Radius a im unendlichen Gebiet unter der Belastung σij0 den zusätzlichen Nachgiebigkeitstensor aus (8.50b) und (8.72). Im lokalen Koordinatensystem mit der Rissnormalen in x3 -Richtung lauten dessen nichtverschwindende Komponenten ∞

H3333 = f

16(1 − ν 2 ) , 3E

∞

∞

H1313 = H2323 = f

32(1 − ν 2 ) , 3E(2 − ν)

(8.91)

wobei der Rissdichteparameter nun (3D) durch f = a3 /V definiert ist. Damit ergeben sich die effektiven elastischen Konstanten eines Materials, das aus einer isotropen Matrix mit d¨ unn verteilten parallelen und gleich großen Rissen besteht, zu E ∗ ∗ E1∗(DD) = E2∗(DD) = E , ν12 μ12 , (DD) = ν , (DD) = μ = 2(1 + ν) E3∗(DD) =

3E , 3 + f 16(1 − ν 2 )

∗ ∗ μ13 (DD) = μ23 (DD)

−1 16(1 − ν) =μ 1+f , 3(2 − ν)

(8.92)

276

Mikromechanik

−1 16(1 − 2ν)(ν 2 − 1) 16(1 − ν 2 ) ∗ ∗ ν13 = ν = ν 1 + f . 1 + f (DD) 23 (DD) 3ν(2 − ν) 3 ∗ ∗ angig voneinander Man beachte, dass E1∗(DD) , ν12 (DD) und μ12 (DD) nicht unabh¨ sind und durch alleine 2 Konstanten gegeben sind. Das damit durch insgesamt 5 unabhängige Größen charakterisierte makroskopische Materialverhalten weist Isotropie in der x1 , x2 -Ebene auf und besitzt mit der x3 -Achse (Rissnormale) eine ausgezeichnete Richtung. Diese Art der Anisotropie wird als Transversalisotropie bezeichnet (vgl. (1.41), (1.42)). Bei gleichhäufigem Auftreten aller möglichen Rissorientierungen ist das makroskopische Verhalten wieder isotrop. Die Mittelung ∞

Hijkl

1 = 4π

2π π

∞

Hi j k l (ϕ, ϑ) cos ϑ dϑ dϕ 0

0

von (8.91) u ¨ber alle Raumrichtungen liefert ∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

H1111 = H2222 = H3333 =

f 16(1 − ν 2 )(10 − 3ν) E 45(2 − ν)

H1122 = H2233 = H3311 = − H1212 = H2323 = H3131 =

f 16ν(1 − ν 2 ) E 45(2 − ν)

(8.93)

f 32(1 − ν 2 )(5 − ν) , E 45(2 − ν)

woraus die effektiven Elastizitätskonstanten −1 2 16(1 − ν 2 )(10 − 3ν) ∗ = E 1 + f 16(1 − ν )(10 − 3ν) E(DD) ≈E 1−f , 45(2 − ν) 45(2 − ν) μ∗(DD)

−1 32(1 − ν)(5 − ν) 32(1 − ν)(5 − ν) =μ 1+f ≈μ 1−f 45(2 − ν) 45(2 − ν)

(8.94)

folgen. 8.3.2.4

Mori-Tanaka-Modell

Die Approximation einer d¨ unnen, wechselwirkungsfreien Defektverteilung ist gleichbedeutend mit der Annahme, dass in hinreichendem Abstand von einem Defekt näherungsweise das konstante Verzerrungs- bzw. Spannungsfeld ε0 bzw. σ 0 der vorgegebenen äußeren Belastung wirkt. Diese Annahme ist ein erster Ansatzpunkt zu einer Verfeinerung des Modells in Hinblick auf die Ber¨ ucksichtigung

277


der Wechselwirkung von Defekten und damit ihres endlichen Volumenanteils. Im Mori-Tanaka-Modell (1973) wird dazu das Verzerrungs- oder Spannungsfeld in der Matrix in hinreichend großem Abstand von einem Defekt durch den Mittelwert εM bzw. σM approximiert (Bild 8.18). Die Belastung eines jeden Defektes hängt somit u ¨ ber die mittlere Matrixverzerrung εM bzw. Matrixspannung σM vom Vorhandensein weiterer Defekte ab. Allerdings wird bei dieser Wechselwirkung die Fluktuation der Felder vernachlässigt.

ε0 bzw. σ 0

εM bzw. σM

∂V

Bild 8.18 Defektwechselwirkung bei Mori-Tanaka-Modell Durch die idealisierte Betrachtung eines einzelnen Defektes in einer unendlich ausgedehnten Matrix unter einer homogenen effektiven Belastung εM bzw. σM entspricht das Mori-Tanaka-Modell formal dem der d¨ unnen Verteilung (vgl. Bild ∞ ∞ 8.15) und gestattet die Verwendung der bereits bekannten Tensoren AI und H zur Beschreibung der mittleren Defektverzerrung: ∞

εI = AI : εM

bzw.

εc = H

∞

: σM .

(8.95)

Zur Darstellung der effektiven Materialeigenschaften wird die mittlere Defektverzerrung in Abhängigkeit von den Makrogrößen ε = ε0 bzw. σ = σ 0 benötigt (vgl. (8.67)); wir eliminieren daher die Matrixgrößen εM und σM . Mit ε = cM εM + cI εI f¨ uhrt (8.95) im Fall ellipsoidförmiger Inhomogenitäten auf εI = AI (MT) : ε, wobei 0−1 / / 0−1 ∞ AI (MT) = cI 1 + cM AI −1 = 1 + cM S M : C −1 : (C I − C M ) M

(8.96a)

der Einflusstensor des Mori-Tanaka-Modells ist. Bei Hohlräumen und Rissen geht (8.95) mit σ = cM σM in εc = H (MT) : σ u ¨ber mit dem zusätzlichen Nachgiebigkeitstensor 1 ∞ H . (8.96b) H (MT) = cM

278

Mikromechanik

Als effektive elastische Konstanten erhält man damit nach (8.71a) bzw. (8.73) f¨ ur die beiden Defektklassen ∗ C (MT) =

⎧ ⎨ C M + cI ( C I − C M ) : AI (MT) 0−1 ⎩ / −1 C M + H (MT)

(Ellipsoide) .

(8.97)

(Hohlräume, Risse)

Aus den Gleichungen (8.96a) und (8.97) erkennt man, dass das Mori-TanakaModell – im Gegensatz zum Modell der d¨ unnen Verteilung – die Grenzfälle cI = 0 und cI = 1 (homogenes Material) korrekt wiedergibt, formal also bei beliebigem Volumenanteil cI anwendbar ist. Allerdings kann die Grundannahme (Defekt in homogenem Feld) nur bei kleinen oder großen Werten von cI erf¨ ullt werden. Im letzteren Fall u ¨ bernimmt dann die Inhomogenität die Rolle der Matrix. Bei Hohlräumen liefern (8.96b) und (8.97) einen makroskopischen Verlust der Tragfähigkeit des Materials (C ∗(MT) → 0) f¨ ur den Grenzfall cM → 0, der jedoch unrealistisch ist. Man kann zeigen, dass die auf dem Mori-Tanaka-Modell basierenden Approximationen f¨ ur die effektiven Eigenschaften eines Materials unabhängig vom Typ der vorgegebenen Makrogrößen ε0 oder σ 0 sind. F¨ ur einen kleinen Defektvolumenanteil (cI 1) gehen sie asymptotisch in die Ergebnisse der d¨ unnen Verteilung u ¨ber. Im Sonderfall einer isotropen Matrix, die isotrope kugelförmige Inhomogenitäten enthält, liefert das Mori-Tanaka-Modell unabhängig von deren räumlicher Anordnung ein isotropes effektives Verhalten mit den elastischen Konstanten (vgl. (8.80)) ∗ K(MT) = KM + cI

(KI − KM ) KM , KM + α (1 − cI ) (KI − KM ) (8.98)

∗ μ(MT) = μM + cI

(μI − μM ) μM . μM + β (1 − cI ) (μI − μM )

Eine aus der geometrischen Defektanordnung möglicherweise resultierende makroskopische Anisotropie ist also mit diesem Modell (wie beim Modell der d¨ unnen Verteilung) nicht wiedergebbar. Man beachte, dass die effektiven Konstanten (8.98) im Gegensatz zu (8.80) nun nichtlinear von der Konzentration cI der Inhomogenitäten abhängen. Sie reduzieren sich im Grenzfall starrer Kugeln (KI , μI → ∞) in einer inkompressiblen Matrix (KM → ∞, β = 2/5) auf (vgl. (8.81)) cI 5 ∗ = μM 1 + . (8.99) μ(MT) 2 (1 − cI ) F¨ ur das 2D-Beispiel einer Scheibe im ESZ mit Kreislöchern vom Flächenanteil c nach Bild (8.16) liefert die Mori-Tanaka-Methode durch Einsetzen von (8.84)

279


in (8.96b), (8.97) ∗ =E E(MT)

1−c , 1 + 2c

∗ μ(MT) =μ

(1 − c)(1 + ν) . 1 + ν + c (3 − ν)

(8.100)

Risse haben aufgrund ihres verschwindenden Volumens (cM = 1) keinen Einfluss auf die mittlere Spannung: σM = σ. Dadurch erhalten wir mit dem Mori-Tanaka-Modell f¨ ur ein Material mit geraden oder kreisförmigen Rissen die gleichen effektiven elastischen Konstanten, wie unter der Annahme der d¨ unnen Rissverteilung bei vorgegebenen Makrospannungen (siehe (8.88), (8.90), (8.92) bzw. (8.94)). Auf Risse angewendet sagt das Mori-Tanaka-Modell demnach auch bei beliebig hoher Rissdichte keinen Verlust der makroskopischen Tragfähigkeit voraus. 8.3.2.5

Selbstkonsistenzmethode

Bei der analytischen Bestimmung effektiver Materialeigenschaften beschränkt man sich wegen der Verf¨ ugbarkeit geschlossener Grundlösungen in der Regel auf die Betrachtung eines Einzeldefektes im unendlichen Gebiet. Die Wechselwirkung von Defekten hatten wir dabei im vorigen Abschnitt durch geeignete Approximation der Belastung der einzelnen Defekte ber¨ ucksichtigt, wof¨ ur ihr hinreichender Abstand in einer homogenen Matrix Voraussetzung war. Diese Situation ist jedoch häufig nicht gegeben. So grenzen z.B. bei einem Polykristall die Inhomogenitäten in Form einzelner Körner direkt aneinander und es liegt gar keine ausgezeichnete Matrixphase vor. In Hinblick auf diesen Anwendungsfall wurde die Selbstkonsistenzmethode entwickelt. Bei ihr wird die gesamte Umgebung jedes einzelnen Defektes zu einer unendlich ausgedehnten homogenen Matrix verschmiert, deren elastische Eigenschaften gerade durch die zu bestimmenden effektiven Eigenschaften des heterogenen Materials gegeben sind (Bild 8.19). Die Lösung des

ε0 bzw. σ 0

ε0 bzw. σ 0 CM ∂V C∗

Bild 8.19 Modell der Selbstkonsistenzmethode

280

Mikromechanik

entsprechenden Randwertproblems (Einzeldefekt unter Belastung ε0 = ε bzw. σ 0 = σ) im Innern des Defektes ergibt sich formal aus der Lösung bei d¨ unner Defektverteilung indem die Matrixeigenschaften durch die effektiven Eigenschaften ersetzt werden (vgl. Bild 8.15). F¨ ur die mittlere Defektverzerrung und die Einflusstensoren gilt dementsprechend bei ellipsoidförmigen Inhomogenitäten εI = AI (SK) : ε , AI (SK)

(8.101a)

/ 0−1 = AI (C M = C ∗ ) = 1 + S ∗ : C ∗ −1 : ( C I − C ∗ ) ∞

und bei Hohlräumen und Rissen εc = H (SK) : σ ,

H (SK) = H (C M = C ∗ ) . ∞

(8.101b)

Die effektiven elastischen Eigenschaften ergeben sich durch Einsetzen in (8.71a) bzw. (8.73). Von ihnen fordern wir, dass sie gerade die zur Darstellung der Einflusstensoren in (8.101a), (8.101b) verwendten effektiven Matrixeigenschaften C ∗ sind, was den Begriff Selbstkonsistenz erklärt. Damit f¨ uhrt die Selbstkonsistenzmethode auf eine implizite Darstellung des effektiven Elastizitätstensors in Form nichtlinearer algebraischer Gleichungen. Diese lauten mit (8.71a) bzw. (8.73)

C ∗(SK) =

⎧ ∞ ∗ ⎪ ⎨ C M + cI ( C I − C M ) : AI (C (SK) ) ⎪ ⎩ /C −1 + H ∞ (C ∗ )0−1 (SK) M

(Ellipsoide) .

(8.102)

(Hohlräume, Risse)

Wie das Mori-Tanaka-Modell liefert auch die Selbstkonsistenzmethode ein eindeutiges, d.h. von den Makrogrößen unabhängiges Ergebnis, welches die Grenzfälle f¨ ur einphasiges Material korrekt enthält. Man beachte auch, dass bei der ∞ Selbstkonsistenzmethode bereits in dem f¨ ur die Grundlösung AI (C ∗(SK) ) bzw. ∞ ∗ ) anzusetzenden effektiven Materialverhalten eine aus der relativen H (C (SK) Defektorientierung oder -anordnung resultierende makroskopische Anisotropie zu ber¨ ucksichtigen ist. Als Beispiel seien hier parallele Risse genannt, die als Defekte selbst eine ausgezeichnete Richtung besitzen. Aber auch durch Vorzugsrichtungen in der räumlichen Verteilung isotroper Defekte kann eine makroskopische Anisotropie bedingt sein. Nur bei vollständiger (materieller und geometrischer) Isotropie der Mikrostruktur ergibt sich auch ein isotropes effektives Verhalten. Typisches Beispiel hierf¨ ur ist eine isotrope Verteilung kugelförmiger Inhomogenitäten aus isotropem Material in einer isotropen Matrix. In diesem Fall lassen sich nach Einsetzen der Parameter α∗ (ν ∗ ), β ∗ (ν ∗ ) des isotropen Eshelby-Tensors (8.11) die Bestimmungsgleichungen f¨ ur den effektiven Kompressions- und Schubmodul in der Form

281


0 =

0 =

cM c 3 + ∗ I − ∗ ∗ , K(SK) − KM 3K(SK) + 4μ(SK) (SK) − KI

K∗

cM c + ∗ I μ∗(SK) − μI μ(SK) − μM

+ * ∗ + 2μ∗ 6 K(SK) (SK) * + − ∗ ∗ ∗ 5μ(SK) 3K(SK) + 4μ(SK)

(8.103)

angeben. An dieser Darstellung wird deutlich, dass bei der Selbstkonsistenzmethode keine der beteiligten Phasen mehr die ausgezeichnete Rolle einer umgebenden Matrix spielt, was der Situation einer polykristallinen Mikrostruktur oder eines Durchdringungsgef¨ uges gerecht wird. F¨ ur den Sonderfall starrer Kugeln (KI → ∞ , μI → ∞) in einer inkompressiblen Matrix (KM → ∞) liefert die Selbstkonsistenzmethode im Gegensatz zu (8.81) und (8.99) ∗ = 2 μM . (8.104) μ(SK) 2 − 5 cI Daraus folgt bereits bei einem Volumenanteil der Kugeln von cI = 2/5 die makroskopische Starrheit des Materials (μ∗(SK) → ∞). Auch der Sonderfall kugelförmiger Poren (KI → 0 , μI → 0) in einer inkompressiblen Matrix (KM → ∞) lässt sich direkt aus (8.103) ableiten zu ∗ = K(SK)

4 μM (1 − 2 cI )(1 − cI ) , cI (3 − cI )

∗ = μ(SK)

3 μM (1 − 2 cI ) . 3 − cI

(8.105)

Hieraus erkennt man, dass die Selbstkonsistenzmethode f¨ ur ein poröses Material bei einem Porenvolumenanteil von 50% (cI = 1/2) den völligen Verlust der ∗ → 0 , μ∗ → 0) vorhersagt. Das durch makroskopischen Tragfähigkeit (K(SK) (SK) (8.104) und (8.105) beschriebene makroskopische Grenzverhalten eines heterogenen Materials ist qualitativ richtig, da statistisch bereits bei einem Volumenanteil starrer Partikel oder Poren deutlich unterhalb von 1 starre Br¨ ucken oder Hohlräume vorliegen, die das gesamte Material durchziehen und dessen effektives Verhalten bestimmen. Man bezeichnet diesen Effekt auch als Perkolation; die entsprechende statistische Theorie heißt Perkolationstheorie (s. Abschnitt 3.1.4). Diese vermeintliche Stärke der Selbstkonsistenzmethode wird allerdings dadurch relativiert, dass die zur Homogenisierbarkeit eines heterogenen Materials vorausgesetzte statistische Homogenität (RVE) durch das Vorhandensein solcher Br¨ ucken verletzt wird. Ein weiterer Kritikpunkt an der Selbstkonsistenzmethode liegt in ihrer Vermischung der eigentlich strikt getrennten mikro- und makroskopischen Betrachtungsebenen. So wird ein einzelner, nur auf der Mikroebene “sichtbarer” Defekt in ein nur auf der Makroebene definiertes effektives Medium eingebettet. Um diese Inkonsequenz abzumindern, kann im Rahmen einer verallgemeinerten Selbstkonsistenzmethode der Defekt und die unendlich ausgedehnte effektive Matrix durch

282

Mikromechanik

eine begrenzte Schicht des wahren Matrixmaterials getrennt werden. Auf diese recht aufwendige Methode sei hier jedoch nicht näher eingegangen. Zum Abschluss wollen wir noch die Ergebnisse der Selbstkonsistenzmethode nach (8.102) f¨ ur Kreislöcher und Risse auswerten. Beim Problem einer Scheibe mit isotrop verteilten kreisförmigen Löchern (makroskopische Isotropie) ist dazu ∗ zu ersetzen, lediglich in (8.84) der Elastizitätsmodul E der Matrix durch E(SK) was auf ∗ = E (1 − 3 c) , E(SK)

μ∗(SK) =

E (1 − 3 c) 2 [1 + c + ν(1 − 3 c)]

(8.106)

f¨ uhrt. Der völlige Verlust der effektiven Steifigkeit der Scheibe wird danach bereits f¨ ur einen Flächenanteil an Löchern von c = 1/3 vorausgesagt. Experimentell ermittelte oder auf der Perkolationstheorie basierende Werte sind dagegen etwa doppelt so groß (siehe Bild 8.21). Die Anwendung der Selbstkonsistenzmethode auf Materialien mit parallelen Rissen erfordert wie schon erwähnt wegen der makroskopischen Anisotropie die etwas aufwendige Grundlösung eines Einzelrisses in einem anisotropen Material. Unter Verweis auf die Spezialliteratur (T. Mura, 1982) verzichten wir daher auf eine weitere Behandlung und beschränken uns auf die Situation statistisch gleichverteilter Rissorientierungen, f¨ ur die das effektive Materialverhalten isotrop ist. Im Fall gerader Risse der Länge 2a in einer Scheibe (ESZ) ist dann in (8.89) ∗ zu ersetzen. F¨ nur E durch E(SK) ur den effektiven Elastizitäts- und Schubmodul ergibt sich auf diese Weise ∗ = E (1 − πf ) , E(SK)

μ∗(SK) =

E (1 − πf ) . 2 [1 + ν(1 − πf )]

(8.107)

Hiernach wird ein völliger Verlust der makroskopischen Steifigkeit f¨ ur f = 1/π vorhergesagt. Bei diesem Wert ist die von einem Riss bei Variation seiner Richtung u ur das ¨ berstrichene Fläche πa2 gleich der Bezugsfläche A des Materials. F¨ dreidimensionale Problem kreisförmiger Risse statistisch gleichverteilter Orientierung erhält man den isotropen zusätzlichen Nachgiebigkeitstensor H (SK) = ∞ ∗ ) aus (8.93) durch Ersetzen von E und ν durch E ∗ und ν ∗ , was H (C (SK) (SK) (SK) mit (8.102) auf nichtlineare Gleichungen f¨ ur die effektiven isotropen Elastizitätskonstanten f¨ uhrt: ∗ ν(SK) E∗

(SK)

=

∗ (1 − ν ∗2 ) 16ν(SK) ν (SK) +f ∗ )E ∗ , E 45(2 − ν(SK) (SK)

∗2 )(5 − ν ∗ ) ∗ 32(1 − ν(SK) 1 + ν(SK) 1+ν (SK) + f = . ∗ ∗ )E ∗ E E(SK) 45(2 − ν(SK) (SK)

(8.108)

283


8.3.2.6

Differentialschema

Im Gegensatz zur Selbstkonsistenzmethode, bei der jede Phase des heterogenen Materials mit ihrem vollen Volumenanteil in einem einzigen Schritt in die effektive Matrix eingebettet wird, basiert das Differentialschema auf einer Unterteilung dieser Einbettung in infinitesimale Schritte. Man kann damit gedanklich die tatsächliche Herstellung eines heterogenen Materials durch schrittweises Einbringen einer Phase (Inhomogenität) in ein urspr¨ unglich homogenes Ausgangsmaterial (Matrix) verbinden, wobei unerheblich ist, welcher Phase die Rolle des Ausgangsmaterials zukommt. Da in jedem Schritt nur ein infinitesimales Volumen dV der Defekt- oder Inhomogenitätsphase mit dem Elastizitätstensor C I in eine unendlich ausgedehnte homogene Matrix eingebettet wird, sind das Modell der d¨ unnen Verteilung und die entsprechenden Beziehungen f¨ ur die effektiven Eigenschaften dann exakt. In einem beliebigen Schritt wird die Matrix durch die effektiven Eigenschaften C ∗ (cI ) charakterisiert, die dem bis dahin eingebetteten Volumenanteil cI = VI /V entsprechen. dVI = cI dV dV, C I

dV

C ∗(cI + dcI )

∗

C (cI )

Bild 8.20 Differentialschema Die Vorgehensweise ist in Bild 8.20 anhand einer ellipsoidförmigen Inhomogenität dargestellt. Unter Erhaltung des Gesamtvolumens V wird ein infinitesimales Volumen dV der Inhomogenitätsphase eingebracht, wozu das gleiche Volumen aus dem effektiven Matrixmaterial entfernt werden muss. Dabei ändert sich der Volumenanteil der Inhomogenitätsphase auf cI + dcI , und ihre Volumenbilanz kann f¨ ur diesen Vorgang wie folgt geschrieben werden (cI + dcI ) V = cI V − cI dV + dV

;

dV dcI . = V 1 − cI

(8.109)

Weil in diesem Schritt nur ein infinitesimales Volumen dV (Volumenanteil dV /V ) eingebettet wird, ist die Beziehung (8.79a) des Modells der d¨ unnen Verteilung

284

Mikromechanik

exakt und lautet auf die vorliegende Situation angewandt + dV * ∞ C ∗(cI + dcI ) = C ∗(cI ) + C I − C ∗(cI ) : AI . 5 67 8 5 67 8 V Matrix

(8.110)

Matrix

Darin hängt der Einflusstensor vom effektiven Matrixmaterial ab: AI (C ∗(cI )). Mit C ∗(cI + dcI ) = C ∗(cI ) + dC ∗(cI ) und (8.109) erhält man ∞

2 1 1 dC ∗(cI ) ∞ = C I − C ∗(cI ) : AI . dcI 1 − cI

(8.111)

Das Differentialschema f¨ uhrt also auf eine nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung f¨ ur den effektiven Elastizitätstensor in Abhängigkeit vom Volumenanteil cI der eingebetteten Phase. Das Ausgangsmaterial (zweite Phase) tritt nur in der Anfangsbedingung auf: C ∗ (cI = 0) = C M . Im Fall der vollständigen (materiellen und geometrischen) Isotropie erhält man aus (8.111) f¨ ur den effektiven Kompressions- und Schubmodul das folgende gekoppelte Differentialgleichungssystem ∗ ∗ ∗ dK(DS) 1 1 ∗ 2 3K(DS) + 4μ(DS) , KI − K(DS) = ∗ dcI 1 − cI 3KI + 4μ(DS) (8.112) * + ∗ + 4μ∗ 5μ∗(DS) 3K(DS) dμ∗(DS) (DS) 1 1 ∗ 2 * + * + = μI − μ(DS) dcI 1 − cI ∗ ∗ ∗ μ + 8μ 9K + 6μ K ∗ + 2μ∗ (DS)

(DS)

(DS)

I

(DS)

(DS)

∗ (c = 0) = K , μ∗ (c = 0) = μ . mit den Anfangsbedingungen K(DS) I M M (DS) I F¨ ur das Beispiel starrer Kugeln (I) in einer inkompressiblen Matrix (M) reduziert sich (8.112) auf ∗ ∗ dμ(DS) 1 5 μ(DS) = (8.113) dcI 1 − cI 2 mit der Lösung μM . (8.114) μ∗(DS) (cI ) = (1 − cI )5/2 Im Gegensatz zur Selbstkonsistenzmethode (vgl. (8.104)) liefert das Differentialschema offenbar erst f¨ ur cI → 1 die Starrheit des effektiven Materials. Bei der Anwendung des Differentialschemas auf Materialien mit Hohlräumen oder Rissen sind diese als die einzubettende Phase zu behandeln. Im Fall kreisförmiger Löcher in einer Scheibe nach Bild 8.16 gehen wir dabei direkt von den Beziehungen (8.85) bei d¨ unner Lochverteilung aus, die wir in der Form 1 3 1 = +c , ∗ E E E(DD)

1 4 1 +c = 2μ E 2μ∗(DD)

(8.115)

285


schreiben. Die inkrementelle Erhöhung dc des Flächenanteils c der Löcher f¨ uhrt dann mit der gleichen Vorgehensweise wie bei den Inhomogenitäten auf die Differentialgleichungen ∗ −1 dE(DS) dc

=

−1 dμ∗(DS)

1 3 ∗ , 1 − c E(DS)

dc

=

1 8 ∗ 1 − c E(DS)

(8.116)

∗ (c = 0) = E , μ∗ (c = 0) = μ . Die erste mit den Anfangsbedingungen E(DS) (DS) ∗ (c) Differentialgleichung in kann direkt, die zweite erst nach Einsetzen von E(DS) integriert werden. Dies f¨ uhrt auf die Lösungen ∗ (c) = μ μ(DS)

∗ (c) = E (1 − c)3 , E(DS)

3(1 + ν)(1 − c)3 . 4 + (3ν − 1)(1 − c)3

(8.117)

¨ Ahnlich wie im vorhergehenden Beispiel liefert das Differentialschema im Gegensatz zur Selbstkonsistenzmethode den Grenzfall völligen makroskopischen Steifigkeitsverlustes erst f¨ ur c → 1. Zum besseren Vergleich sind die Resultate der verschiedenen Näherungsmethoden f¨ ur den effektiven Elastizitätsmodul einer Scheibe mit Kreislöchern in Bild 8.21 einander gegen¨ ubergestellt. Zusätzlich angegeben sind experimentelle Ergebnisse und die Perkolationsgrenze, die bereits f¨ ur einen Flächenanteil c < 1 den völligen makroskopischen Steifigkeitsverlust (E ∗ → 0) zeigen. Dies wird quantitativ lediglich von der Selbstkonsistenzmethode (SK) vorhergesagt. Das Modell der d¨ unnen (Loch-) Verteilung (DD) ist voraussetzungsgemäß nur f¨ ur sehr kleine Werte von c g¨ ultig.

E ∗ /E 1

: DD : MT : SK : DS :

Experiment ohne Wechselwirkung Mori-Tanaka Selbstkonsistenzmethode Differentialschema

0.5 DD SK

DS

1/3 0.5

MT

1

c

"Perkolationsgrenze" (~0.6)

Bild 8.21

Effektiver Elastizitätsmodul einer Scheibe mit isotrop verteilten Kreislöchern

286

Mikromechanik

Tabelle 8.1

Effektive elastische Konstanten kugelförmige Inhomogenitäten

1

K I , μI KM , μM

K ∗ = KM + cI μ∗ = μM + cI

(KI − KM ) KM KM + α (1 − cI ) (KI − KM )

(μI − μM ) μM μM + β (1 − cI ) (μI − μM )

kugelförmige Poren * K∗ = K 1 −

2

+ c 1 − β(1 − c)

* μ∗ = μ 1 −

K, μ

+ c 1 − α(1 − c)

unidirektionale Fasern (Inhomogenitäten) ∗ = μ12

E3∗ = cI EI + (1 − cI )EM , EM , νM

3

2 1

EI , νI 3

∗ = 2(1 + cI ) E , μ∗13 = μ23 5(1 − cI ) M

2 + cI E , 5(1 − cI ) M

∗ = ν ∗ = 1/4 , ν31 32

1 + 1 1* 1 5(1 − cI ) + = + ∗ 4 μ∗12 2EM (2 + cI ) 4E3∗ E1,2 fu ¨r νI = νM = 1/4 ,

EI EM ,

cI < 1

unidirektionale Hohlzylinder (EVZ) 4

2 3

E, ν

∗ = E1,2

1

(1 − c)E , 1 + c(2 − 3ν 2 )

μ∗12 =

(1 − c)μ 1 + 3c − 4νc

isotrop verteilte Fasern EM , νM

5 EI , νI

E∗ =

1 + cI /4 + c2I /6 cI EI + EM , 6 1 − cI

ν∗ =

EI EM ,

cI < 1

fu ¨r νI = νM = 1/4 ,

1 4

287


Tabelle 8.1

Effektive elastische Konstanten (Fortsetzung)

parallele Kreisrisse im 3D E3∗ =

∗ =E, E1,2 3

6 KM , μM

∗ =ν, ν12

3E , 3 + f 16(1 − ν 2 )

∗ 2 ∗ = ν ∗ = ν 1 + f 16(1 − 2ν)(ν − 1) E3 , ν13 23 3ν(2 − ν) E μ∗12 =

E , 2(1 + ν)

−1 ∗ = μ∗ = μ 1 + f 16(1 − ν) μ13 23 3(2 − ν)

isotrop verteilte Kreisrisse im 3D −1 16(1 − ν 2 )(10 − 3ν) E∗ = E 1 + f , 45(2 − ν)

7 KM , μM

−1 32(1 − ν)(5 − ν) ∗ μ =μ 1+f 45(2 − ν)

Kreislöcher im 2D (ESZ) E, ν

8

E∗ = E

E, ν

9 2 1

1−c , 1 + 2c

μ∗ = E

1−c 2(1 + ν + c (3 − ν))

parallele Risse im 2D (ESZ) E1∗ = E ,

E2∗ =

E , 1 + 2πf

∗ = μ12

E 2(1 + ν + πf )

isotrop verteilte Risse im 2D (ESZ) 10

E, ν

E∗ =

E , 1 + πf

μ∗ =

E 2(1 + ν + πf )

288

Mikromechanik

In gleicher Weise wie bei Löchern lässt sich das Differentialschema zur Homogenisierung von Materialen mit verteilten Rissen der Rissdichte f anwenden. Unter Verzicht auf die Herleitung sei hier nur das Ergebnis f¨ ur den isotropen Fall gleichverteilter Risse gleicher Größe im ESZ angegeben: ∗ (f ) = E(1 − f )π , E(DS)

∗ (f ) = μ μ(DS)

(1 + ν)(1 − f )π . 1 + ν(1 − f )π

(8.118)

Auch hier erfolgt der Verlust der makroskopischen Tragfähigkeit des Materials erst f¨ ur den Grenzfall f → 1. F¨ ur kleine Werte von f geht (8.118) asymptotisch in das Ergebnis (8.90) f¨ ur die d¨ unne Verteilung u ¨ ber. In Tabelle 8.1 sind effektive elastische Konstanten f¨ ur einige Fälle mit isotroper oder transversalisotroper Mikrostruktur zusammengestellt. Dabei wurde jeweils eine möglichst einfache Darstellung gewählt. Deutlich betont sei noch einmal, dass es sich bei diesen Konstanten um Approximationen handelt, deren G¨ ute mit wachsendem Defektvolumenanteil ( cI , c, f ) abnimmt.

8.3.3

Energieprinzipien und Schranken

In den vorangegangenen Abschnitten haben wir die effektiven elastischen Eigenschaften eines heterogenen Materials durch Lösen des Randwertproblems f¨ ur ein RVE bestimmt. Hierbei waren wir auf Näherungen und Vereinfachungen angewiesen. So haben wir zum Beispiel das RVE als unendlich ausgedehnt angesehen und die Wirkung verteilter Inhomogenitäten immer mit Hilfe der Grundlösung f¨ ur einen einzelnen Defekt erfasst. Die unterschiedlichen Vereinfachungen der mikromechanischen Modelle f¨ uhrten auf unterschiedliche Approximationen der effektiven Eigenschaften. Diese Näherungslösungen können recht weit auseinander liegen und zeigen in Sonderfällen ein qualitativ unterschiedliches Verhalten (siehe z.B. Bild 8.21). Daneben liegen keine Aussagen u ¨ ber die Genauigkeit der Verfahren vor. Es ist daher w¨ unschenswert, einen exakten Bereich anzugeben, in dem die effektiven Eigenschaften eines heterogenen Materials u ¨berhaupt liegen können. Den Schl¨ ussel dazu bilden die Extremalprinzipien der Elastizitätstheorie, welche es gestatten, aus Energieausdr¨ ucken obere und untere Schranken f¨ ur die effektiven Eigenschaften abzuleiten. 8.3.3.1

Voigt- und Reuss-Schranken

Die in Abschnitt 8.3.2.2 eingef¨ uhrten Voigt- bzw. Reuss-Approximationen bieten neben ihrer Einfachheit den Vorteil, dass sie obere und untere Schranken f¨ ur die effektiven Eigenschaften eines heterogenen Materials darstellen. Um dies zu zeigen, betrachten wir zunächst das Prinzip vom Minimum des Gesamtpotentials (1.99). Danach machen unter allen kinematisch zulässigen Verzerrungsfeldern die wahren Verzerrungen das Gesamtpotential zu einem Minimum. Sind auf dem gesamten

289


Rand ∂V des Volumenbereichs Verschiebungen vorgegeben, so verschwindet das Potential der Randlasten, und das Gesamtpotential ergibt sich f¨ ur ein kinematisch ˆ ε) = Π ˆ i (ˆ ˆ zu Π(ˆ ˆ:C:ε ˆ dV = V2 ˆ ˆ zulässiges Verzerrungsfeld ε ε) = 12 V ε ε:C:ε ˆ nicht die wahren Verzerrungen sein m¨ (man beachte, dass ε ussen). F¨ ur die Randbedingung linearer Verschiebungen u|∂V = ε0 · x mit ε0 = const = ε ist die (wahre) Formänderungsenergie nach der Hill-Bedingung (8.56) Π = V2 ε : C ∗ : ˆ ε) ≥ Π folgt damit ε. Aus dem Extremalprinzip Π(ˆ ˆ ≥ ε : C ∗ : ε ˆ ε:C:ε

(8.119)

ˆ, die mit obiger Randbedingung verträglich sind. Ein f¨ ur alle Verzerrungsfelder ε ˆ = const solches zulässiges Verzerrungsfeld stellt beispielsweise der Voigt-Ansatz ε = ε dar. Einsetzen in (8.119) liefert ε : C : ε ≥ ε : C ∗ : ε bzw.

1 2 ε : C − C ∗ : ε ≥ 0 .

(8.120)

Im Sinne einer quadratischen Form in ε ist also der mittlere Elastizitätstensor C größer als C ∗ und stellt damit eine obere Schranke f¨ ur den effektiven Elastizitätstensor dar. In gleicher Weise kann man vom Prinzip vom Minimum des Komplementärpoˆ die Gleichgetentials (1.104) ausgehen, bei dem zulässige Spannungsfelder σ wichtsbedingung erf¨ ullen und mit den vorgegebenen Randspannungen verträglich sein m¨ ussen. F¨ ur reine Spannungsrandbedingungen ist das Komplementärpotenˆ ˆ ˆ : C −1 : σ ˆ gegeben. Daneben ist im Fall uniformer Randtial durch Π(σ) = V2 σ spannungen t|∂V = σ 0 · n mit σ 0 = const = σ nach der Hill-Bedingung die ˆ folgt also = V σ : C ∗−1 : σ. Aus Π( ˆ ≥Π σ) (wahre) Komplementärenergie Π 2

ˆ : C −1 : σ ˆ ≥ σ : C ∗−1 : σ σ

(8.121)

ˆ Ein solches Feld stellt gerade der Reuss-Ansatz σ ˆ = f¨ ur alle zulässigen Felder σ. const = σ dar, und man erhält f¨ ur ihn 2 1 (8.122) σ : C −1 − C ∗−1 : σ ≥ 0 . Danach stellt die Reuss-Approximation (8.74b) im Sinne einer quadratischen Form in σ eine untere Schranke f¨ ur C ∗ dar. Fassen wir beide Ergebnisse zusammen, so liegt der effektive Elastizitätstensor zwischen der Voigt- und der Reuss-Schranke: C ∗(Voigt) = C ≥ C ∗ ≥ C −1 −1 = C ∗(Reuss) .

(8.123)

Im Fall eines Materials aus diskreten isotropen Phasen, die makroskopisch isotrop verteilt sind, ist auch das effektive Verhalten isotrop, und (8.123) kann in die

290

Mikromechanik

Kompressions- und Schubsteifigkeiten aufgespalten werden. So gilt zum Beispiel f¨ ur ein zweiphasiges Material ∗ = cI KI + cM KM ≥ K ∗ ≥ K(Voigt)

KI KM ∗ = K(Reuss) cI KM + cM KI (8.124)

μ∗

(Voigt)

= cI μI + cM μM

≥ μ∗

μ I μM ∗ ≥ = μ(Reuss) . cI μM + cM μI

Die Voigt- und Reuss-Schranken gelten völlig unabhängig von der vorliegenden Mikrostruktur. Die ihnen zugrunde liegenden Ansätze konstanter Spannungen oder Verzerrungen verletzen in allgemeinen die Kompatibilität der Deformation bzw. das lokale Gleichgewicht (vgl. Abschnitt 8.3.2.2). In einer realen Mikrostruktur sind Kompatibilität und Gleichgewicht jedoch erf¨ ullt, so dass die extremen Werte der Schranken nicht angenommen werden können. Die effektiven Eigenschaften aller realen Mikrostrukturen liegen daher immer innerhalb dieser Grenzen. 8.3.3.2

Hashin-Shtrikman-Variationsprinzip und -Schranken

Die aus den klassischen Extremalprinzipien gewonnenen Voigt- und Reuss-Schranken f¨ ur die effektiven Elastizitätskonstanten liegen im allgemeinen recht weit auseinander, was ihren Wert beeinträchtigt. Zu schärferen Schranken gelangt man mit Hilfe eines Variationsprinzips, das von Hashin und Shtrikman (1962) speziell f¨ ur heterogene Materialien entwickelt wurde. Hierbei werden nicht wie zuvor das gesamte Spannungs- oder Verzerrungsfeld sondern geeignet gewählte Hilfsfelder betrachtet, in denen nur noch die Abweichung von einer Bezugslösung zum Ausdruck kommt. Dadurch wirkt sich der bei einer Approximation gemachte Fehler geringer auf das Endergebnis aus. Ein solches Hilfsfeld stellt beispielsweise die in Abschnitt 8.2.2.1 eingef¨ uhrte Spannungspolarisation τ (x) dar. Im folgenden betrachten wir einen Volumenbereich V eines heterogenen Materials, auf dessen Rand die Randbedingung u|∂V = ε0 · x mit ε0 = const = ε vorgegeben ist. Die Spannungspolarisation (8.30) beschreibt die Differenz der wahren Spannung von der Spannung, welche durch die wahre Verzerrung ε(x) in einem homogenen Vergleichsmaterial mit dem Elastizitätstensor C 0 hervorgerufen w¨ urde. Sie lässt sich mit Hilfe der Verzerrungsfluktuation ε˜(x) = ε(x) − ε0 wie folgt darstellen τ (x) = C(x) − C 0 : ε0 + ε˜(x) . (8.125) Aus den Grundgleichungen (8.28) f¨ ur die Fluktuationen + * u ˜|∂V = 0 ∇·σ ˜ =0, σ ˜ = C 0 : ε˜ − ε∗ ,

(8.126)

291


ergibt sich ε˜(x) in Abhängigkeit von der äquivalenten Eigendehnung ε∗ (x). Zwischen dieser und der Spannungspolarisation besteht nach (8.29),(8.30) der lineare Zusammenhang τ (x) = −C 0 : ε∗ (x), so dass die Lösung von (8.126) formal auch als ε˜[τ (x)] angegeben werden kann. Einsetzen in (8.125) liefert damit eine Bestimmungsgleichung f¨ ur τ (x) in Abhängigkeit von der Makroverzerrung ε0 : −1 − C(x) − C 0 : τ (x) + ε˜[τ (x)] + ε0 = 0 . (8.127) Mit Hilfe der Variationsrechnung lässt sich zeigen, dass (8.127) äquivalent ist zum Hashin-Shtrikman-Variationsprinzip ; < 1 τ ] + 2ˆ τ : ε0 dV F (ˆ τ) = −ˆ τ : (C − C 0 )−1 : τˆ + τˆ : ε˜[ˆ V V

(8.128)

= stationär , wobei F (ˆ τ ) bez¨ uglich des Feldes τˆ zu variieren ist. Danach nimmt der Ausdruck F (ˆ τ ) unter allen denkbaren τˆ f¨ ur die exakte Spannungspolarisation τ einen Stationärwert an. Um zu Aussagen u ¨ber die effektiven Eigenschaften C ∗ zu gelangen, bestimmen wir zunächst den Stationärwert von F (ˆ τ ). Man erhält ihn durch Einsetzen des wahren τ nach (8.125) und (8.127) in (8.128). Unter Verwendung der Hill-Bedingung ergibt sich der Stationärwert zu F (τ ) = ε0 : (C ∗ − C 0 ) : ε0 . Man kann zeigen, dass es sich dabeium ein Maximum handelt, wenn f¨ ur beliebige τ der 0 Ausdruck τ (x) : C(x) − C : τ (x) ≥ 0 ist, d.h. wenn die Differenz C(x) − C 0 positiv definit ist. Umgekehrt nimmt F (ˆ τ ) f¨ ur das exakte τ ein Minimum an, wenn C(x) − C 0 negativ definit ist. Schließlich modifizieren wir den Integralausdruck in (8.128) noch etwas. Wegen der Randbedingung u ˜|∂V = 0 in (8.126) ˆ muss f¨ u r beliebiges τ der Mittelwert der Verzerrungsfluktuation verschwinden: 1 1 ε ˜ dV = 0. Daher ist auch ˆ τ : ε ˜ dV = 0, und der zweite Term unter V V V V dem Integral kann zu (ˆ τ − ˆ τ ) : ε˜ erweitert werden. Zusammenfassend folgt damit aus (8.128) F (ˆ τ)

≤ ≥

wobei F (ˆ τ) =

1 V

ε : (C ∗ − C 0 ) : ε0 0

fu ¨r C − C

0

pos. def.

,

(8.129a)

; < τ − ˆ τ ) : ε˜[ˆ τ ] + 2ˆ τ : ε0 dV . −ˆ τ : (C − C 0 )−1 : τˆ + (ˆ

(8.129b)

neg. def.

V

Bei geeigneter Wahl des homogenen Vergleichsmaterials C 0 und einer Approximation f¨ ur τˆ liefert also F (ˆ τ ) nach (8.129b) eine obere oder untere Schranke

292

Mikromechanik

f¨ ur ε0 : (C ∗ − C 0 ) : ε0 . Die Auswertung dieser Schranken erfordert noch die Bestimmung von ε˜ in Abhängigkeit von τˆ , was nur f¨ ur Sonderfälle möglich ist. Einer dieser Sonderfälle ist der wichtige Fall eines aus n diskreten Phasen mit den Teilvolumina Vα = cα V und jeweils konstanten Steifigkeiten C α bestehenden Materials. Es liegt hier nahe, auch die Spannungspolarisation als st¨ uckweise konstant zu approximieren: τˆ (x) = τ α = const in Vα . Mit deren Mittelwert n 9 cα τ α und den Phasenmittelwerten ε˜α = ˜ εα der Verzerrungsfluktuatiˆ τ = α=1

on vereinfacht sich F (ˆ τ ) zu F (τ α ) = −

n :

cα τ α : (C α − C 0 )−1 : τ α

α=1

+

n :

(8.130) cα (τ α − ˆ τ ) : ε˜α + 2ˆ τ : ε . 0

α=1

Im Eigendehnungsproblem (8.126) zur Bestimmung der Verzerrungsfluktuation ε˜ treten die einzelnen Phasen nur noch als Bereiche Vα konstanter Eigendehnung ε∗α = −C 0 −1 : τ α im homogenen Vergleichsmaterial auf (Einschl¨ usse). Man kann zeigen, dass bei Isotropie aller Phasen und deren makroskopisch isotroper Verteilung in einem unendlichen Gebiet die mittlere Verzerrung ε˜α jeder Phase in (8.126) gleich ist der (konstanten) Verzerrung in einem kugelförmigen Einschluss der Eigendehnung εα∗ = −C 0 −1 : τ α . Es gilt dann mit dem isotropen EshelbyTensor S nach (8.10) der Zusammenhang ε˜α = S : ε∗α = −S : C 0 −1 : τ α ,

(8.131)

der die noch benötigte Lösung ε˜[τ ] von (8.126) darstellt. Nach Einsetzen in (8.130) liegt F (τ α ) als explizite Funktion der n Parameter τ α vor. Um in (8.129a) zu möglichst engen Schranken zu gelangen, sind die τ α so zu wählen, dass der Ausdruck F (τ α ) extremal wird. Die dazu notwendigen Bedingungen ∂F =0 ∂τ α

(8.132)

τ α : (C α − C 0 )−1 + (τ α − ˆ τ ) : S : C 0 −1 = ε0

(8.133)

liefern die n Gleichungen

zur Bestimmung der “optimalen” Parameter τ α (ε0 ). Diese sind linear von ε0 abhängig, so dass durch Einsetzen in F (τ α ) die linke Seite der Ungleichung in (8.129a) ein quadratischer Ausdruck in ε0 wird. Im Sinne einer quadratischen Form in ε0 f¨ uhrt (8.129a) somit auf obere und untere Schranken f¨ ur C ∗ , die als Hashin-Shtrikman-Schranken bezeichnet werden. Als wichtigen Anwendungsfall betrachten wir ein heterogenes Material aus zwei isotropen Phasen mit Steifigkeiten C M und C I bzw. KM , μM und KI , μI , wobei

293


wir KM < KI und μM < μI annehmen. Dadurch ist es möglich, die elastischen Eigenschaften eines der Materialen jeweils als die des homogenen Vergleichsmaterials zu wählen, wodurch die positive oder negative Definitheit von C − C 0 gewährleistet wird. Diese Wahl hat daneben den Vorteil, dass nach (8.133) f¨ ur eine der Phasen die Spannungspolarisation verschwindet. Wir betrachten zunächst den Fall C 0 = C M , womit τ M = 0 und τ = cI τ I wird und sich (8.129b) mit (8.130) auf 0 : τ − 2ε F (τ I ) = −cI τ I : (C I − C M )−1 : τ I + cM S M : C −1 I M (8.134)

≤ ε0 : (C ∗ − C M ) : ε0

reduziert. Die Extremalbedingung ∂F/∂τ I = 0 liefert unter Ausnutzung der Symmetrie der Elastizitätstensoren und des Eshelby-Tensors sowie mit (8.96a) 0−1 0 / τ I = (C I − C M )−1 + cM S M : C −1 : ε = AI (MT) : (C I − C M ) : ε0 . (8.135) M dass dabei auf der rechten Seite gerade der Einflusstensor (8.96a) auftaucht, stellt einen bemerkenswerten Zusammenhang zwischen dem Mori-Tanaka-Modell und dem Hashin-Shtrikman-Variationsprinzip im Fall der Isotropie dar. Einsetzen von (8.135) in (8.134) f¨ uhrt auf F (τ I ) = cI τ I : ε0 = τ : ε0 , wobei der letzte Ausdruck auch im allgemeinen Fall eines n-phasigen Materials gilt. Die Ungleichung (8.134) kann damit zu * / 0−1 + 0 (8.136) : ε ≤ ε0 : C ∗ : ε0 ε0 : C M + cI (C I − C M )−1 + cM S M : C −1 M umgeformt werden und liefert die untere Hashin-Shtrikman-Schranke / 0−1 C ∗(HS− ) = C M + cI (C I − C M )−1 + cM S M : C −1 M

(8.137a)

f¨ ur den effektiven Elastizitätstensor. Durch Vergleich erkennt man, dass sie mit dem Ergebnis (8.96a), (8.97) des Mori-Tanaka-Modells u ¨bereinstimmt. Wählt man das steifere Material als Vergleichsmaterial (C 0 = C I ), so f¨ uhrt das völlig analoge Vorgehen auf die obere Hashin-Shtrikman-Schranke ∗ + = C + c /(C − C )−1 + c S : C −1 0−1 . (8.137b) C (HS ) I M M I I I I Sie entspricht dem Mori-Tanaka-Resultat bei Vertauschung der Rollen von Matrixmaterial und Inhomogenität. F¨ ur den effektiven Elastizitätstensor gilt also (im Sinne einer quadratischen Form) C ∗(HS+ ) ≥ C ∗ ≥ C ∗(HS− ) .

(8.138)

Hieraus folgt aufgrund der vorausgesetzten phasenweisen und makroskopischen Isotropie ∗ + ≥ K∗ ≥ K∗ − K(HS ) (HS )

und

∗ − μ∗(HS+ ) ≥ μ∗ ≥ μ(HS )

(8.139)

294

Mikromechanik

mit ∗ − = K +c K(HS ) M I ∗ + = K +c K(HS ) I M ∗ − = μ +c μ(HS ) M I μ∗

(HS+ )

= μI + c M

1 3 cM + KI − KM 3KM + 4μM 1 3 cI + KM − KI 3KI + 4μI

−1

−1

6 cM (KM + 2μM ) 1 + μI − μM 5 μM (3KM + 4μM ) 1 6 cI (KI + 2μI ) + μM − μI 5 μI (3KI + 4μI )

−1

(8.140)

−1 .

Die Hashin-Shtrikman-Schranken (8.139), (8.140) grenzen den Bereich, in dem die effektiven Eigenschaften eines heterogenen Materials liegen können, wesentlich stärker ein als die Voigt- und Reuss-Schranken (8.124). F¨ ur spezielle Mikrostrukturen zeigt sich daneben, dass der effektive Kompressionsmodul je nach Zuordnung von Matrixmaterial und Inhomogenität mit der oberen oder unteren Hashin-Shtrikman-Schranke u ¨ bereinstimmen kann. Dies ist zum Beispiel beim sogenannten Composite Spheres Model der Fall, bei dem der gesamte Raum von kugelförmigen Inhomogenitäten unterschiedlicher Größe und umgebenden Matrixschalen ausgef¨ ullt wird, wobei die Radien von Kugeln und Matrixschalen in einem festen Verhältnis stehen (siehe z.B. R.M. Christensen, 1979). Aufgrund ∗ + und K ∗ − die dieser tatsächlichen Realisierbarkeit sind die Schranken K(HS ) (HS ) bestmöglichen, d.h. die schärfsten, die basierend allein auf den Volumenanteilen und Phaseneigenschaften angegeben werden können. F¨ ur ein isotropes zweiphasiges Material mit KI = 10KM und μI = 10μM sind die Hashin-Shtrikman- und Voigt-Reuss-Schranken sowie die Näherungslösungen der unterschiedlichen Modelle anhand des effektiven Kompressionsmoduls in Bild 8.22 einander gegen¨ ubergestellt. Die Ergebnisse f¨ ur den effektiven Schubmodul zeigen qualitativ gleiche Verläufe. Wie zu erwarten liefern die Hashin-ShtrikmanSchranken einen deutlich engeren Bereich möglichen effektiven Materialverhaltens als die Voigt-Reuss-Schranken. Sie stimmen wie bereits erwähnt mit den Resultaten des Mori-Tanaka-Modells u ¨berein. Das Ergebnis der Selbstkonsistenzmethode, der keine ausgezeichnete Matrixphase zugrundeliegt, geht f¨ ur große oder kleine Volumenanteile asymptotisch in diese Lösungen u ¨ber. Dieses asymptotische Verhalten entspricht bei kleinem cI der hier nicht dargestellten Lösung f¨ ur eine d¨ unne Verteilung von Inhomogenitäten. Im Grenzfall einer starren Phase (KI → ∞ , μI → ∞) f¨ uhrt (8.140) genau wie die Voigt-Schranke (8.77) auf das Ergebnis einer unendlichen oberen HashinShtrikman-Schranke. Entsprechend liefert bei einem Material mit Hohlräumen die untere Hashin-Shtrikman-Schranke genau wie (8.76) den Wert Null.

295

Homogenisierung elastisch-plastischer Materialien

K ∗ 10 KM

HS = Hashin-Shtrikman SK = Selbstkonsistenzmethode DS = Differentialschema

9 8 7

Voigt

6 5

DS

HS+

HS−

4

SK 3

Reuss

2 1

0

0.2

0.4

cI

0.6

0.8

1

Bild 8.22 Effektiver Kompressionsmodul bei KI = 10KM , μI = 10μM Die Auswertung des Hashin-Shtrikman-Variationsprinzips f¨ ur ein n-phasiges Material kann analog zur Vorgehensweise beim zweiphasigen Material erfolgen. Sie ist jedoch wegen der Bestimmung der dann n − 1 freien Parameter τ α wesentlich aufwendiger. Zahlreiche Verallgemeinerungen dieser hier in der Grundversion vorgestellten Methode in Hinblick auf anisotrope, periodische oder stochastische Mikrostrukturen sowie auch auf nichtlineares Materialverhalten sind in der Spezialliteratur zu finden.

8.4


Reale Materialen verhalten sich häufig inelastisch und weisen einen nichtlinearen Spannungs-Verzerrungs-Zusammenhang auf. Hierauf sind die bisher diskutierten Modelle und Homogenisierungsmethoden nicht anwendbar. Bei ihnen war ja gerade ein linear elastisches Stoffverhalten und die Verf¨ ugbarkeit entsprechender Grundlösungen Voraussetzung. Zur Behandlung des effektiven Verhaltens mikro¨ heterogener inelastischer Materialien sind daher weitergehende Uberlegungen notwendig. Wir wollen uns dabei auf den Fall der ratenunabhängigen Plastizität (vgl. Abschnitt 1.3.3) beschränken. Die Mikromechanik gestattet es, den Begriff der Plastizität sehr allgemein zu fassen und eine Vielzahl völlig unterschiedlicher mikroskopischer Vorgänge zu betrachten, die allesamt Ursache des makroskopischen Phänomens von bleibenden, plastischen Deformationen sind. Dabei kann es sich um die verschiedenskaligen Mechanismen der Metallplastizität wie Versetzungswanderung und Gleitvorgänge

296

Mikromechanik

auf Kristallgitterebenen oder Korngrenzen handeln, aber auch um reibungsbehaftete Gleitvorgänge entlang von Mikrorissen in sprödem Gestein. Im Rahmen dieser Einf¨ uhrung werden wir uns allerdings auf eine Materialbeschreibung mittels der phänomenologischen Elastoplastizität nach Abschnitt 1.3.3 beschränken. Damit lassen sich wichtige Materialklassen wie Metallmatrix-Komposite oder metallinfiltrierte Keramiken modellieren, aber auch der Einfluss einer mit der Schädigung duktiler Materialien (Kapitel 9) einhergehenden Porosität. 8.4.1

Grundlagen

Wir betrachten wieder einen Volumenbereich V auf der Mikroebene eines heterogenen Materials (Bild 8.23a), innerhalb dessen die Gleichungen nach Abschnitt 1.3.3 gelten sollen. Danach wird das elastisch-plastische Stoffverhalten (Mikrostruktur) beschrieben durch den ortsabhängigen Elastizitätstensor C(x) sowie die ebenfalls ortsabhängige Fließbedingung * + F σ(x), x ≤ 0 . (8.141) Letztere charakterisiert zulässige, d.h. vom Material ertragbare Spannungszustände, die daneben der Gleichgewichtsbedingung ∇·σ(x) = 0 gen¨ ugen. Sie sind u ¨ber das Elastizitätsgesetz mit den elastischen Verzerrungsanteilen εe (x) verkn¨ upft, die sich nach (1.73) mit den plastischen Verzerrungen εp (x) zu den Gesamtverzerrungen addieren: * + (8.142) σ = C(x) : εe = C(x) : ε − εp . Hierzu kommt als weitere Gleichung im Rahmen der inkrementellen Theorie die Fließregel (1.82) f¨ ur die plastischen Verzerrungsinkremente ε˙p oder im Rahmen der Deformationstheorie die Gleichung (1.86). Zur Beschreibung des makroskopischen oder effektiven Verhaltens des Materials suchen wir im folgenden Zusammenhänge zwischen den nach (8.41) als Mittelwerte u ¨ber den Volumenbereich V definierten Makrospannungen σ und Makroverzerrungen ε bzw. deren Inkrementen. Dabei geben wir wie im elastischen Fall homogene Randbedingungen ε0 oder σ 0 vor (Bild 8.23a). Jeweils eine der Makrogrößen ist dann durch die vom Stoffverhalten unabhängigen Beziehungen (8.60a) oder (8.60b) bekannt. 8.4.1.1

Plastische und elastische Makroverzerrungen

Wie bereits erwähnt, sind die Makroverzerrungen ε als Volumenmittelwerte der mikroskopischen Verzerrungen ε(x) definiert. Entsprechendes gilt in dieser einfachen Form aber nicht f¨ ur die plastischen oder elastischen Verzerrungsanteile. Wir wollen deshalb untersuchen, wie die auf der Mikroebene räumlich verteilten

297


V

*

ε0 , σ 0

C∗ * + F ∗ σ ≤ 0

C(x)

+ F σ(x), x ≤ 0

b)

a)

Bild 8.23

ε, σ

V

a) Mikroheterogenes elastisch-plastisches Material, siertes Material

b) homogeni-

plastischen und elastischen Verzerrungen εp (x) und εe (x) auf der Makroebene zum Ausdruck kommen. Dazu betrachten wir zusätzlich ein rein elastisches Vergleichsproblem f¨ ur den heterogenen Volumenbereich unter den gleichen Randbedingungen jedoch bei verschwindenden plastischen Verzerrungen. Die zugehörigen Felder kennzeichnen wir mit einer Tilde. Diese sind statisch und kinematisch zulässig und lassen sich f¨ ur beide Typen von Randbedingungen mittels der in (8.62a) und (8.62b) eingef¨ uhrten Einflusstensoren darstellen: a)

u|∂V = ε0 · x :

ε˜(a) (x) = A(x) : ε0 ,

˜ ε(a) = ε = ε0 , (8.143)

b)

t|∂V = σ 0 · n :

σ ˜ (b) (x) = B(x) : σ 0 ,

˜ σ (b) = σ = σ 0 ,

˜ (b) = C : ε˜(b) gilt. Multipliziert man im Fall wobei σ ˜ (a) = C : ε˜(a) bzw. σ der Randbedingung (a) das Elastizitätsgesetz (8.142) mit ε˜(a) (x) und bildet den Mittelwert u ¨ ber V , so erhält man σ ˜ (a) 7 85 6 : ε80 − εp : C : A : ε0 . σ : ε˜(a) = ε : C : A 5 67 ε˜(a) ˜ (a) sowie ε und σ kinematisch bzw. statisch zulässig sind, Da die Felder ε˜(a) und σ kann diese Gleichung unter Verwendung von (8.61) und (8.65a) umgeschrieben werden zu σ : ε0 = ε : C : A : ε0 − εp : C : A : ε0 = ε : C ∗: ε0 − εp : C : A : ε0 .

298

Mikromechanik

Weil dies f¨ ur beliebige ε0 gilt, folgt daraus der makroskopische Spannungs-Verzerrungs-Zusammenhang * + σ = C ∗ : ε − E p (8.144) mit der Darstellung

E p = C ∗ −1 : εp : C : A

(8.145a)

f¨ ur den makroskopischen plastischen Verzerrungsanteil. Dementsprechend erhält man f¨ ur den elastischen Anteil der Makroverzerrungen E e = ε − E p = C ∗ −1 : εe : C : A

.

(8.145b)

Die makroskopischen elastischen und plastischen Verzerrungsanteile sind also tatsächlich nicht die einfachen Mittelwerte, sondern die mit der elastischen Heterogenität (in Form der Tensoren C und A) gewichteten Mittelwerte der entsprechenden Mikrofelder. Nur f¨ ur ein elastisch homogenes Material (C = const, A = 1) oder f¨ ur homogene elastische und plastische Verzerrungen ist E p = εp und E e = εe . Im Fall der Randbedingung (b) f¨ uhrt eine analoge Vorgehensweise unter Verwendung des elastischen Vergleichsfeldes σ ˜ (b) auf die etwas k¨ urzere Darstellung E p,e = εp,e : B ,

(8.146)

wobei der effektive Elastizitätstensor dann durch (8.65b) ausgedr¨ uckt wird. F¨ ur ein repräsentatives Volumenelement (RVE) m¨ ussen beide Darstellungen ineinander u ¨bergehen. 8.4.1.2

Elastische Energie und Dissipation

Wird ein mikroheterogenes elastisch-plastisches Material nach vorangegangenem plastischen Fließen makroskopisch entlastet (σ → 0), so findet im allgemeinen nicht in allen Punkten x der Mikroebene eine vollständige Entlastung (σ(x) → 0) statt. Es bleibt vielmehr elastische Energie in einem inhomogenen Restspannungsfeld (Eigenspannungsfeld) gespeichert. Um dies etwas genauer zu untersuchen betrachten wir ein Material, das sich auf der Mikroebene elastisch-idealplastisch verhält. Bei ihm ist eine Energiespeicherung nur in Form elastischer Verzerrungen möglich, und die Formänderungsenergiedichte lautet U(x) =

1 e ε : C(x) : εe . 2

(8.147)

Unter der Randbedingung (b) vorgegebener Makrospannungen σ = σ 0 f¨ uhren wir nun die Abweichung der wahren Spannung σ(x) des elastisch-plastischen Problems von der Spannung σ ˜ (b) (x) im rein elastischen Vergleichsproblem als Hilfsfeld ein: σ r (x) = σ(x) − σ ˜ (b) (x) = σ(x) − B(x) : σ 0 .

(8.148)

299


Dieses beschreibt bei makroskopischer Entlastung (σ 0 = 0) die im Volumen V vorhandenen Restspannungen. Offensichtlich hat dieses Feld die Eigenschaften ∇ · σr = 0 in V ,

σ r · n = 0 auf ∂V ,

σ r = 0 ,

(8.149)

und es verschwindet nur, wenn keine plastischen Verzerrungen εp in V vorliegen. Ersetzt man das elastische Verzerrungsfeld in (8.147) unter Verwendung von (8.148) durch 1 2 εe = C −1 (x) : σ = C −1 (x) : B(x) : σ 0 + σ r (8.150) und mittelt u ¨ ber V , so erhält man U =

=

2 1 2 1 1 −1 C : B : σ 0 + C −1 : σ r : C : C −1 : B : σ 0 + C −1 : σ r 2 1 0 1 σ : B T : C −1 : B : σ 0 + σ r : C −1 : σr + σ r : C −1 : 5B 67 : σ80 . 67 8 5 2 2 ˜ (b) 8 C ∗ −1 , vgl. (8.66) 5 67σ ε˜(b)

Der letzte Klammerausdruck verschwindet wegen (8.149) und (8.61), so dass sich die mittlere Formänderungsenergiedichte in V zu U =

1 0 ∗ −1 : σ 0 + 1 σ r : C −1 : σ r σ : C67 8 25 2 Ee : C∗ : Ee

(8.151)

ergibt. Darin beschreibt der erste Term die Energie der makroskopischen elastischen Verzerrungen während der zweite Anteil die inhomogenen Restspannungen enthält. Bei idealplastischem Materialverhalten wird auf der Mikroebene die Leistung der Spannungen an den plastischen Verzerrungen vollständig dissipiert, und die mittlere Dissipationsleistung im Volumenbereich V lautet D = σ : ε˙p .

(8.152)

Unter Verwendung der inkrementellen Formen von (8.61) und (8.149) sowie des Hilfsfeldes * * + + p ˙ − E˙ ˙ − B(x) : σ˙ 0 = C(x) : ε(x) ˙ − ε˙p (x) − B(x) : C ∗: ε σ˙ r (x) = σ(x) 67 8 67 8 5 5 σ(x) ˙ σ˙ 0 lässt sich der Zusammenhang p 1 . D = σ : E˙ − σ r : C −1 : σ r 2

(8.153)

300

Mikromechanik

herleiten. Er besagt, dass die Leistung der Makrospannungen an den makroskopischen plastischen Verzerrungen nur zum Teil dissipiert wird. Der Rest wird als elastische Energie der Restspannungen gespeichert. Die unter der Randbedingung (b), d.h. bei vorgegebenen Makrospannungen σ 0 gewonnenen Ergebnisse (8.151) und (8.153) lassen sich auch bei Vorgabe der Makroverzerrungen ε0 erhalten, wobei dann das Verzerrungshilfsfeld εr (x) = εe (x) − A(x) : E e

(8.154)

zu verwenden ist. F¨ ur einen statistisch repräsentativen Volumenbereich (RVE) sind beide Zugänge äquivalent, und f¨ ur die Hilfsfelder gilt σ r (x) = C(x) : εr (x). 8.4.1.3

Makrofließbedingung

Findet in einem Punkt der Mikroebene plastisches Fließen mit ε˙p = 0 statt, so liegt nach (8.141) der Spannungszustand σ in diesem Punkt auf der Fließfläche F = 0. F¨ ur Spannungszustände, die im Innern (F < 0) dieser Fläche liegen, verhält sich das Material dagegen elastisch. Wir betrachten nun wieder ein mikroskopisch elastisch-idealplastisches Material, bei dem sich die Fließfläche infolge des Fließens also nicht verändert (mikroskopisch keine Verfestigung). Sie kann jedoch wegen der Ortsabhängigkeit der Materialeigenschaften von Ort zu Ort auf der Mikroebene eine unterschiedliche Gestalt aufweisen. Zur Untersuchung der Konsequenzen f¨ ur die Makrospannungen σ wählen wir f¨ ur den Volumenbereich V die Randbedingung σ = σ 0 (Bild 8.23). Wir gehen zunächst von einer Situation aus, in der an keiner Stelle in V plastische Verzerrungen vorliegen: εp (x) = 0. Das Spannungsfeld in V ist dann rein elastisch und lässt sich nach (8.62b) als σ(x) = B(x) : σ schreiben. Durch Einsetzen in die Fließbedingung (8.141) f¨ ur jeden Punkt x ergeben sich die (unendlich vielen) Bedingungen an die Makrospannungen σ * + * + F B(x) : σ, x ≡ Fx∗ σ ≤ 0 f¨ ur alle x in V , (8.155) die formal zu der Makrofließbedingung * + F ∗ σ ≤ 0

(8.156)

zusammengefasst werden können. Die der Bedingung (8.156) gen¨ ugende Menge der zulässigen Makrospannungszustände stellt die Schnittmenge aller σ dar, f¨ ur welche (8.155) in allen Punkten x erf¨ ullt ist. Wir illustrieren dies durch die Betrachtung zweier Punkte xa und xb und stellen die zugehörigen Fließflächen als Kurven in der 1,2-Ebene des Hauptspannungsraumes dar (Bild 8.24). Der schraffierte Bereich bezeichnet darin die Menge der zulässigen Makrospannungen σ, f¨ ur welche die Mikrospannungen σ(x) die Bedingung (8.141) sowohl in xa als auch in xb erf¨ ullen. Der Einflusstensor B u uhrt als lineare Abbildung ¨berf¨

301


σ2

σ2 B

* + F ∗ σ ≤ 0

1111 0000 0000 1111 0000 1111

σ1 Fa ≤ 0

* + Fa∗ σ ≤ 0

Fb ≤ 0

σ1 * + Fb∗ σ ≤ 0

Bild 8.24 Elastische Bereiche und Fließflächen auf Mikro- und Makroebene ∗ =0; die konvexen Mikrofließflächen Fa,b = 0 in ebenfalls konvexe Flächen Fa,b als deren Schnitt ist auch der schraffierte Bereich zulässiger Makrospannungen konvex. Da Makrospannungen, die plastisches Fließen hervorrufen, auf dessen Rand liegen, kann dieser als Makrofließfläche F ∗ (σ) = 0 interpretiert werden. Um den möglichen Einfluss plastischen Fließens auf die Makrofließfläche zu untersuchen, betrachten wir nun einen Punkt x der Mikroebene, in dem eine Plastizierung εp = 0 stattgefunden hat und der Spannungszustand σ auf der Fließfläche liegt (Bild 8.25). Der entsprechende Makrospannungszustand σ befindet sich dann auf der Makrofließfläche. Infolge der Plastizierung ist gleichzeitig das in (8.148) eingef¨ uhrte Hilfsfeld von Null verschieden: σr (x) = 0. Eine Entlastung an der Stelle x f¨ uhrt zu einem mikroskopischen Spannungszustand σ ∗ innerhalb des elastischen Bereichs (Bild 8.25). Findet eine Entlastung in allen Punkten der Mikroebene statt, so geht der Makrospannungszustand in einen

σ2

σ

σ−σ ∗ σ∗ σ1

* + F σ(x), x ≤ 0 Bild 8.25 Elastische Entlastung auf Mikroebene

302

Mikromechanik

Zustand σ∗ innerhalb des makroskopischen elastischen Bereichs u ¨ber (vgl. Bild ¨ 8.24). Der Zusammenhang zwischen der Anderung des Mikrospannungsfeldes und der Makrospannungen kann dann mit (8.62b) zunächst in der Form + * (8.157) σ(x) − σ ∗ (x) = B(x) : σ − σ∗ geschrieben werden. Mit Hilfe des Restspannungsfeldes (8.148) erhält man daraus B(x) : σ∗ = σ ∗ (x) − σ r (x) .

(8.158)

Dieser Zusammenhang ist g¨ ultig f¨ ur alle Werte σ∗ innerhalb der Makrofließfläche, d.h. f¨ ur Makrospannungen, die in jedem Punkt x der Mikroebene einen Spannungszustand σ∗ innerhalb der lokalen Mikrofließfläche hervorrufen. Danach ergibt sich die Makrofließfläche (bzw. die Menge aller in ihrem Innern liegenden Spannungszustände σ∗ ) aus den zulässigen Mikrospannungen σ ∗ (x) durch eine Translation um σ r (x) sowie die Transformation mit B(x) und die Schnittmengenbildung bez¨ uglich x. Die Translation mit σ r (x) hat zu Folge, dass die Makrofließfläche infolge mikroskopischer plastischer Verzerrungen ihre Lage im Spannungsraum ändert. Das makroskopische Materialverhalten eines heterogenen elastisch ideal plastischen Materials weist demnach eine kinematische Verfestigung auf (vgl. Abschnitt 1.3.3.1). Dieser Sachverhalt lässt sich am eindimensionalen Beispiel der Parallelschaltung eines rein elastischen und eines elastisch ideal plastischen Stabes illustrieren (Bild 8.26). Der Einfachheit halber seien die elastischen Steifigkeiten beider Stäbe (1) σ, σ

σ, ε

111111 000000 000000 111111

rein elast. 1

makro

elast.

2 ideal

k

(2)

makroskopischer elastischer Bereich nach plastischem Fließen

plast.

11111 00000

ε, ε

σ, ε −k

Bild 8.26 Zur Illustration der kinematischen Verfestigung


303

gleich; die Fließspannung des Stabes (2) sei k. Der in Bild 8.26 dargestellte Beund Entlastungszyklus (durchgezogene Linie) zeigt die Verschiebung des makroskopischen elastischen Bereiches infolge plastischen Fließens in Stab (2). Nach der makroskopischen Entlastung σ = 0 beträgt die inhomogene Restspannung im elastischen Stab (1) σ1 = k und im Stab (2) σ2 = −k. F¨ ur den Fall, dass die Fließbedingung in jedem Punkt der Mikroebene durch die von Misessche Fließbedingung (1.77) mit einer ortsabhängigen Fließspannung k(x) gegeben ist, kann man eine grobe obere Schranke f¨ ur die Makrofließspannung angeben. Aus 1 s(x) : s(x) ≤ k 2 (x) 2

f¨ ur alle x in V

(8.159)

folgt nämlich durch Mittelung 1 1 s : s ≤ s : s ≤ k 2 . 2 2

(8.160)

Der Bereich zulässiger Makrospannungen liegt danach innerhalb des von Mises Zylinders vom Radius 2k2 (vgl. Bild 1.7). Diese Schranke ist jedoch nicht mehr sinnvoll, wenn das Material in einem Teilbereich der Mikroebene rein elastisch (k = ∞) ist. F¨ ur ein poröses Material mit der Porosität f und der Matrixfließspannung k = const folgt aus (8.52), dass die Markospannungen gemäß der Bedingung 1 (8.161) s : s ≤ (1 − f )2 k 2 2 eingeschränkt sind. Während f¨ ur die deviatorischen Makrospannungen nur Schranken angegeben werden können (s.o.), gestattet der Fall der rein hydrostatischen Belastung eines porösen ideal-plastischen Materials die Herleitung einer exakten Lösung. Dazu betrachten wir das kugelsymmetrische mikromechanische Modell einer kugelförmigen Pore umgeben von einer dickwandigen Matrixschale (Hohlkugel) mit Innenradius r = a und Außenradius r = b (Bild 8.27). Der Innenrand (Pore) sei belastungsfrei, d.h. σr (r = a) = 0, und auf dem Außenrand wirke die konstante Radialspannung σr (r = b) = Σm . Letztere ist in diesem Zellmodell auch gleichzeitig die mittlere hydrostatische Spannung (vgl. 8.52). Die Porosität ist durch f = (a/b)3 gegeben. Das Matrixmaterial sei starr-ideal-plastisch und gen¨ uge der ) von Mises-Fließbedingung 32 s : s = σe ≤ k, wobei s die deviatorische Mikrospannung ist. Deformationen können in diesem Modell nur auftreten, wenn sich alle Punkte des Matrixmaterials im Zustand plastischen Fließens befinden. Aus der Gleichgewichtsbedingung und der Fließbedingung dσr 2 − (σϕ − σr ) = 0 , dr r

σϕ − σr ≡ σe = k = const

(8.162)

304

Mikromechanik

Σm

a b

r

Bild 8.27 Hohlkugel unter makroskopisch rein hydrostatischer Belastung ergibt sich die Spannungsverteilung (Mikrospannungen) in der Matrixschale: *r + (8.163) , σϕ (r) = σr (r) + k . σr (r) = 2k ln a Einsetzen der Randbedingungen f¨ uhrt auf die makroskopische Fließbedingung 2k 3Σm 1 Σm = (8.164) bzw. 2f cosh − (1 + f 2 ) = 0 , ln 3 f 2k * 2 + wobei f¨ ur die zweite Form von (8.164) die Identität ln(x) = Arcosh x 2x+1 verwendet wurde. Die Einschränkung, dass (8.164) zunächst nur f¨ ur das Zellmodell einer einzelnen Hohlkugel gilt, welches nicht raumf¨ ullend ist, kann durch die kollektive Betrachtung einander ber¨ uhrender unterschiedlich großer aber geometrisch ähnlicher Hohlkugeln gleicher Porosität f behoben werden, analog zum Composite-SpheresModell (Abschnitt 8.3.3.2). Dadurch lässt sich der Raum vollständig ausf¨ ullen, uben. Die Mawobei die Hohlkugeln alle die Radialspannung Σm aufeinander aus¨ krofließbedingung (8.164) gilt demnach f¨ ur ein raumf¨ ullendes poröses Medium mit starr-ideal-plastischer Matrix und Porosität f unter rein hydrostatischer Belastung. Es ist jedoch anzumerken, dass in realen porösen Materialien die Porengröße i.a. nicht gemäß dem Composite-Spheres-Modell verteilt ist. Die exakte Lösung (8.164) spielt eine wichtige Rolle im sogenannten Gurson-Modell, das in Abschnitt 9.4.2. diskutiert wird. 8.4.2

N¨ aherungen

Die im vorangegangenen Abschnitt gewonnenen allgemeinen Aussagen u ¨ber das effektive Verhalten mikroheterogener elastisch-plastischer Materialien basieren allein auf der Existenz der Einflusstensoren A(x) oder B(x) bzw. der durch sie beschriebenen elastischen Hilfsfelder. Ihre expliziten Darstellungen mit Hilfe der Eshelby-Lösung sind nur f¨ ur das Innere ellipsoidförmiger Inhomogenitäten (in


305

sonst homogener Matrix) verf¨ ugbar. F¨ ur die Homogenisierung rein elastischer Materialien war diese Information ausreichend. Dies ist jedoch nicht mehr der Fall, wenn zusätzlich räumlich verteilte ortsabhängige plastische Verzerrungen vorliegen – auch wenn diese formal als Eigendehnungen betrachtet werden können. Zur Anwendung analytischer Homogenisierungsmethoden in der Elastoplastizität sind daher weitergehende Approximationen notwendig. Von der Vielzahl unterschiedlicher Zugänge, die in der Spezialliteratur diskutiert werden und die aktueller Forschungsgegenstand sind, können hier nur einige grundlegende Gesichtspunkte angesprochen werden. Wir betrachten dazu ellipsoidförmige Inhomogenitäten (I) in einer unendlich ausgedehnten Matrix (M) mit jeweils konstanten Stoffeigenschaften in Form der Elastizitätsgesetze σ = C α : (ε − εp ) (8.165) mit α = I, M und der Fließregeln (vgl. (1.82)) ∂Fα (σ) . (8.166) ε˙p = λ˙ α ∂σ Vor dem Einsetzen plastischen Fließens sind die Spannungen und Verzerrungen in einer einzelnen Inhomogenität aufgrund der Eshelby-Lösung konstant. Verhält sich alleine die Inhomogenität plastisch, so sind die sich dort gemäß der Fließregel entwickelnden plastischen Verzerrungen ebenfalls konstant. Da wir sie als Eigendehnungen auffassen können, treten sie analog zu εt in der Gleichung (8.31a) f¨ ur die äquivalente Eigendehnung auf und ermöglichen damit weiterhin die direkte Anwendung des Eshelby-Resultats. F¨ ur die Homogenisierung im Rahmen des Modells der d¨ unnen Verteilung oder der Mori-Tanaka-Methode sind dann keine zusätzlichen Approximationen notwendig, die u ¨ber die bei rein elastischem Materialverhalten hinausgehen. Die Selbstkonsistenzmethode hingegen erfordert wegen der Einbettung der Inhomogenität in das effektive, jetzt elastisch-plastische Material bereits bei diesem einfachsten Sonderfall Modifikationen, die wir jedoch nicht näher betrachten wollen. Im weiteren wenden wir uns dem f¨ ur praktische Anwendungen wichtigeren Fall von Inhomogenitäten in einer duktilen Matrix zu, in welcher inhomogene plastische Verzerrungen auftreten. Hierf¨ ur werden wir einige gängige Näherungen und deren Unterschiede diskutieren. Wir beschränken uns dabei auf kugelförmige Inhomogenitäten, auf isotropes elastisches Verhalten beider Phasen sowie auf die von Mises-Fließbedingung (1.77). 8.4.2.1

St¨ uckweise konstante plastische Verzerrungen

Der einfachste Zugang besteht darin, die plastischen Verzerrungen in beiden Phasen jeweils als konstant und damit gleich ihren Mittelwerten zu approximieren: εp I in VI p ε (x) = . (8.167) εp M in VM

306

Mikromechanik

Daneben verwenden wir nur die jeweiligen Phasenmittelwerte der Spannungen in den lokalen Fließregeln (8.166): ∂FI (σI ) , ε˙p I = λ˙ I ∂σI

∂FM (σM ) ε˙p M = λ˙ M . ∂σM

(8.168)

Aufgrund dieser Näherung können wir auf die in Abschnitt 8.4.1.3 diskutierte formale Konstruktion einer Makrofließbedingung F ∗ (σ) ≤ 0 verzichten und uns auf die Auswertung der lokalen Bedingungen Fα (σα ) ≤ 0 beschränken. Da hierzu die Phasenmittelwerte der Spannungen benötigt werden, beschreiben wir im folgenden das effektive Materialverhalten implizit durch ein System von Gleichungen zwischen Phasenmittelwerten und Makrogrößen. Wegen der als phasenweise konstant approximierten plastischen Verzerrungen können die makroskopischen plastischen Verzerrungen (8.145a) in der Form * + E p = C ∗ −1 : cI εp I : C I : AI + cM εp M : C M : AM

(8.169)

geschrieben werden. Darin sind cI und cM die Volumenanteile, und es gilt der Zusammenhang cM AM = 1 − cI AI (vgl. (8.70)). F¨ ur den Einflusstensor AI der Inhomogenität, mit dem nach (8.71a) auch der effektive Elastizitätstensor C ∗ bekannt ist, kann nun jede der in Abschnitt 8.3.2 nach verschiedenen Methoden hergeleiteten Darstellungen verwendet werden. Der Vollständigkeit halber seien noch die weiteren Gleichungen angegeben, aus denen bei Vorgabe der Makroverzerrung ε = ε0 alle Phasenmittelwerte sowie die Makrospannungen bestimmt werden können: * + * + σα = C α : εα − εp α , σ = C ∗ : ε − E p , (8.170) σ = cI σI + cM σM ,

ε = cI εI + cM εM .

Der wesentliche Bestandteil dieses einfachen Zugangs, der die Verwendung elastischer Grundlösungen wie des Eshelby-Tensors gestattet, ist die Annahme phasenweise konstanter plastischer Verzerrungen. Konkrete Auswertungen am Beispiel steifer elastischer Partikel (I) in einer weichen (duktilen) Matrix zeigen jedoch auch seine Schwäche. Danach fällt das vorhergesagte effektive Verhalten im Vergleich zu Resultaten von Finite-Elemente-Rechnungen und alternativen Homogenisierungstechniken (Abschnitt 8.4.2.3, Bild 8.28) viel zu steif aus. Der Grund daf¨ ur ist die vernachlässigte Konzentration plastischen Fließens der Matrix in der unmittelbaren Umgebung der Partikel (Spannungskonzentratoren). Im vorgestellten Modell befinden sich die Partikel in einer gegen¨ uber der Realität scheinbar weniger nachgiebigen Umgebung; ihr Beitrag zum Gesamtverhalten des Materials (Versteifung) wird dadurch u ¨berschätzt.


8.4.2.2

307

Inkrementelle Theorie

Wir verzichten nun auf die Annahme st¨ uckweise konstanter plastischer Verzerrungen und gehen zunächst von einem im Fließbereich g¨ ultigen inkrementellen Stoffgesetz aus. Hierf¨ ur kann das Prandtl-Reuss-Gesetz (1.83c) 3 s⊗s 1 1+ : s˙ (8.171) e˙ = 2μα 2gα s : s f¨ ur beide Phasen verwendet werden, wobei die Summe aus e(x) ˙ und dem rein elastischen volumetrischen Anteil die Gesamtverzerrungsrate ε(x) ˙ ergibt. Mit dem Symbol ⊗ wird dabei das dyadische Produkt zweier Tensoren bezeichnet: (σ ⊗ σ)ijkl = σij σkl . Die Beziehungen zwischen den Spannungs- und Verzerrungsinkrementen können unter Verwendung der elastisch-plastischen Tangententen˜ α in der Form soren C ˜ α : ε˙ σ˙ = C

(α = I, M)

(8.172)

geschrieben werden. Man beachte, dass diese Tangententensoren u ¨ber die ak˜α = C ˜ α (s(x)). Zwischen den tuelle Spannungsverteilung vom Ort abhängen: C Inkrementen besteht nach (8.172) formal eine zum heterogenen Elastizitätsgesetz (8.54) analoge Beziehung. Allerdings sind die Tangententensoren nun selbst bei isotropem elastischen Materialverhalten anisotrop, da sie durch den zweiten Anteil in (8.171) von der Richtung des plastischen Fließens im Spannungsraum abhängen. Im weiteren approximieren wir die Spannungsabhängigkeit der Tangententensoren durch die Abhängigkeit nur vom Spannungsmittelwert der jeweiligen Phase. Hierdurch erhält man f¨ ur die Inkremente ein lineares Stoffgesetz mit phasenweise konstanter Tangentensteifigkeit: * + ˜ α sα : ε˙ . σ˙ = C (8.173) Damit lässt sich wieder das Eshelby-Resultat anwenden, wobei allerdings der ˜ (s ) zu verwenden ist. Eshelby-Tensor f¨ ur ein anisotropes Matrixmaterial C M M Die in Abschnitt 8.3.2 dargestellten Homogenisierungsmethoden f¨ uhren schließ∗ ˜ lich auf einen effektiven Tangententensor C (sα ) zur Beschreibung des makroskopischen Materialverhaltens: + * ˜ ∗ sα : ε ˙ . (8.174) σ ˙ =C Bei der Auswertung in inkrementellen Schritten sind jeweils die momentanen Mittelwerte sI und sM der deviatorischen Spannungszustände in den beiden Phasen zu bestimmen, mit denen die Tangententensoren aktualisiert werden. Wegen der sich mit der Belastung a¨ndernden Anisotropie der Tangententensoren und

308

Mikromechanik

des Eshelby-Tensors ist dieses Verfahren sehr aufwendig. Es f¨ uhrt jedoch zu realistischeren Resultaten, da die plastischen Verzerrungsraten in der Matrix mit 3 sM ⊗ sM p : s(x) ˙ (8.175) ε˙ (x) = 2gM sM : sM hier nicht mehr konstant sind. 8.4.2.3

Deformationstheorie

Erhebliche Vereinfachungen ergeben sich, wenn wir uns auf monotone und proportional erfolgende Belastungsvorgänge beschränken (vgl. Abschnitt 1.3.3.3). Wegen der Koaxialität von σ, s und σ˙ gilt dann s(s : s) ˙ = (s : s)s˙ = 23 σe2 s, ˙ und (8.171) kann zum Hencky-Ilyushin-Gesetz s = 2μsα e

(8.176)

integriert werden (vgl. (1.86)). Es hat die Gestalt eines isotropen nichtlinearen angt vom SpanElastizitätsgesetzes mit dem Sekantenmodul μs (σe (x)). Dieser h¨ )

nungszustand nur u ¨ ber die einachsige Vergleichsspannung σe = 32 s : s ab. Im Fall isotroper Verfestigung mit einer von der einachsigen plastischen Vergleichs) 2 p p dehnung p ≡ εe = 3 ε : εp abhängigen Fließspannung k(p) = k0 +A p1/n lautet der Sekantenmodul μ σe An (8.177) μs (σe ) = σe − k )n σe An + 3μ( √ 0 3 √ f¨ ur σe ≥ 3 k0 , wobei k0 die Anfangsfließspannung ist. Zur Elimination der Ortsabhängigkeit der Sekantensteifigkeiten beider Phasen werden die inhomogenen Spannungsfelder durch ihre Phasenmittelwerte approximiert. Damit ergeben sich die einachsigen Vergleichsspannungen zu Σα = ) 3 sα 2

: sα . Aus (8.176) folgt auf diese Weise wieder ein Elastizitätsgesetz mit phasenweise konstanten Steifigkeiten s = 2μsα (Σα ) e .

(8.178)

Wegen der jetzt räumlichen Konstanz der Matrixsteifigkeit lässt sich auch auf dieses nichtlineare Problem das Eshelby-Resultat f¨ ur eine Einzelinhomogenität u ¨bertragen. Dabei hängt der Eshelby-Tensor u ¨ber den Sekanten-Schubmodul μsM (ΣM ) vom Mittelwert der Matrixspannung bzw. der daraus gebildeten einachsigen Vergleichsspannung ΣM ab. Im Fall kugelförmiger Inhomogenitäten lauten die Parameter (8.11) des isotropen Eshelby-Tensors (8.10) daher αs (ΣM ) =

3KM , 3KM + 4μsM

β s (ΣM ) =

6(KM + 2μsM ) . 5(3KM + 4μsM )

(8.179)

309


Eine Homogenisierung kann nun mittels der in Abschnitt 8.3.2 erläuterten Verfahren durchgef¨ uhrt werden, wobei in den Darstellungen f¨ ur die effektiven Steifigkeiten die Schubmoduli μI und μM durch μsI (ΣI ) und μsM (ΣM ) zu ersetzen sind. Dies f¨ uhrt auf die effektiven Sekantenmoduli Ks∗ und μ∗s und damit auf ein makroskopisches Stoffgesetz der Form σkk = 3Ks∗ kk ,

s = 2μ∗s e

.

(8.180)

Die Ermittlung von Ks∗ und μ∗s erfordert die Lösung eines nichtlinearen Gleichungssystems, da die aktuellen Phasenmittelwerte sα in Abhängigkeit von einer vorgegebenen Makrogröße mit zu bestimmen sind. Dazu ist es zweckmäßig, aus den allgemeinen Beziehungen f¨ ur die Makrogrößen die Verzerrungsmittelwerte zu eliminieren: cI sI + cM sM = s ,

cI sI c s + Ms M = e . s 2μI (ΣI ) 2μM (ΣM )

(8.181)

Als Anwendungsbeispiel betrachten wir ein elastisch-plastisches Kompositmaterial aus einer duktilen Aluminium-Matrix, in die rein elastische kugelförmige Aluminiumoxid-Partikel mit der Konzentration cI = 0.3 eingebettet sind. Das Verhalten der Matrix wird durch die Materialdaten EM = 75 GPa, νM = 0.3, k0 = 75 MPa, A = 400 MPa und n = 3 beschrieben und das der Partikel durch EI = 400 GPa und νI = 0.2. In Bild 8.28 ist das Spannungs-Dehnungs-Verhalten der beiden Phasen sowie das makroskopische Stoffverhalten unter einachsigem Zug dargestellt. Aufgrund der gewählten Materialparameter und der Morphologie des Komposits (steife Partikel in weicher Matrix) ist zu erwarten, dass das makroskopische Verhalten im wesentlichen durch die Matrix bestimmt wird. Verstärktes plastisches Fließen in der Umgebung der Partikel reduziert deren versteifende Wirkung gegen¨ uber einem rein elastischen Komposit. Zum Vergleich zeigt Bild 8.28 neben dem auf der Deformationstheorie basierenden effektiven Verhalten auch den aus der Annahme konstanter plastischer Verzerrungen (Abschnitt 8.4.2.1) resultierenden σ, ε-Verlauf. Zur Homogenisierung wurde bei beiden Methoden das Mori-Tanaka-Modell verwendet. Man erkennt, dass die Annahme homogener plastischer Verzerrungen zu einem unrealistisch schwachen Einfluss der Matrixplastizität auf das effektive Verhalten f¨ uhrt; hierauf wurde in Abschnitt 8.4.2.1 schon hingewiesen. Das auf der Deformationstheorie und der Ber¨ ucksichtigung inhomogener plastischer Verzerrungen basierende Resultat spiegelt hingegen sehr viel deutlicher die Dominanz der duktilen Matrix im makroskopischen Verhalten wieder.

310

Mikromechanik

400

Partikel (elast.) Komposit (konst. plast. Verz.)

300

Komposit (Deformationstheorie)

σ, σ 200

Matrix

100

0

0

0.002

0.004

ε, ε

0.006

0.008

0.01

Bild 8.28 Elastisch-plastisches Komposit, Vergleich der Näherungsmethoden

8.5

Thermoelastisches Material

Neben den rein elastischen Eigenschaften sind in heterogenen Materialien in der Regel auch andere Stoffparameter ortsabhängig. Einer der wichtigsten darunter ist der thermische Ausdehnungskeffizient k, der nach (1.43), (1.44) im DuhamelNeumann-Gesetz + * + * (8.182) σ(x) = C(x) : ε(x) − εth (x) = C(x) : ε(x) − k(x)ΔT (x) eines mikroinhomogenen Materials auftritt. F¨ ur die meisten praktischen Anwendungen ist es dabei zulässig, die Temperaturänderung ΔT auf der Mikroebene als konstant zu betrachten. Auf der Makroebene lässt sich dann das Materialverhalten durch den effektiven Elastizitätstensor C ∗ nach Abschnitt 8.3 sowie einen effektiven Wärmeausdehnungskoeffizienten k∗ charakterisieren: * + σ = C ∗ : ε − E th (8.183) mit E th = k∗ ΔT . Vergleicht man (8.182) und (8.183) mit (8.4) bzw. (8.142) und (8.144), so erkennt man, dass Wärmedehnungen εth = kΔT äquivalent zu spannungsfreien Transformationverzerrungen εt oder zu plastischen Verzerrungen εp sind. Diese schon wiederholt angesprochene Analogie können wir zur Bestimmung von k∗ ausnutzen. Danach liefert (8.145a) die makroskopische thermische Verzerrung E th = C ∗−1 : εth : C : A

(8.184a)

311

Thermoelastisches Material

und nach Einsetzen von E th und εth k∗ = C ∗−1 : k : C : A .

(8.184b)

Der effektive Wärmeausdehnungskoeffizient ist also der mit der elastischen Heterogenität (in Form von C(x) und dem Einflusstensor A(x)) gewichtete Mittelwert des mikroskopischen Wärmeausdehnungskoeffizienten. F¨ ur ein elastisch homogenes Material (C = const, A = 1) ist k∗ = k. Als wichtigen Anwendungsfall betrachten wir wieder ein Kompositmaterial aus zwei st¨ uckweise homogenen Phasen mit C M , C I , kM , kI und den Volumenanteilen cM , cI . Unter Beachtung von cI AI + cM AM = 1 erhält man daf¨ ur aus (8.184b) * + k∗ = C ∗−1 : kM : C M + cI (kI : C I − kM : C M ) : AI .

(8.185a)

Ersetzt man mit Hilfe von (8.71a) noch den Einflusstensor AI der Inhomogenitätsphase, so folgt * + k∗ = C ∗−1 : kM : C M +(kI : C I −kM : C M ) : (C I −C M )−1 : (C ∗ −C M ) . (8.185b) F¨ ur den effektiven Elastizitätstensor C ∗ kann nun jede der in Abschnitt 8.3.2 nach unterschiedlichen mikromechanischen Modellen hergeleiteten Darstellungen verwendet werden. Eine in der Praxis häufig auftretende Frage ist die nach thermisch induzierten Eigenspannungen beim Abk¨ uhlen oder Aufheizen eines heterogenen Gef¨ uges oder Komposits. Betrachtet man das Material dabei als makroskopisch belastungsfrei σ = 0, so gilt nach (8.47) f¨ ur die mittleren Spannungen in den beiden Phasen cI σI = −cM σM , und die mittlere Verzerrung ist ε = cI εI +cM εM = k∗ ΔT . Durch Einsetzen der Stoffgesetze σα = C α : (εα − kα ΔT ) erhält man f¨ ur die Spannungsmittelwerte 1 2 2−1 1 − C −1 : cI kI + cM kM − k∗ ΔT . cI σI = −cM σM = C −1 M I

(8.186)

Wir betrachten nun ein Material, dessen beide Phasen elastisch (Kα , μα ) sowie thermisch isotrop sind. Die lokalen thermischen Dehnungen sind dann rein volumetrisch: εth = kα ΔT I. Verhält sich das Material auch auf der Makroebene elastisch isotrop, so ist nach (8.185b) der effektive Wärmeausdehnungskoeffizient ebenfalls isotrop k∗ = k ∗ I und nur vom effektiven Kompressionsmodul abhängig: k∗ =

kM KM (KI − KM ) + (kI KI − kM KM )(K ∗ − KM ) . K ∗ (KI − KM )

(8.187)

Verwendet man im Fall einer Mikrostruktur aus kugelförmigen Inhomogenitäten zur Homogenisierung beispielsweise das Mori-Tanaka-Modell (Abschnitt 8.3.2.4),

312

Mikromechanik

so ergibt sich mit (8.98) und dem volumetrischen Anteil α = (1 + ν)/3(1 − ν) des isotropen Eshelby-Tensors (8.10), (8.11) ∗ =k +c k(MT) M I

KI (kI − kM ) . KM + (α + cI (1 − α))(KI − KM )

(8.188)

Einsetzen in (8.186) liefert die mittleren thermisch induzierten Spannungen in den beiden Phasen, die rein hydrostatisch sind: σI = −

cM −3KI KM cM (1 − α)(kI − kM ) σM = ΔT I . cI KM + (α + cI (1 − α))(KI − KM )

(8.189)

F¨ ur den Sonderfall einer sehr steifen Matrix (KM KI ) erhält man σI = −3KI (kI − kM )ΔT I .

(8.190)

Im Fall eines elastisch homogenen Materials (KM = KI = K) hingegen folgt σI = −3KcM (1 − α)(kI − kM ) ΔT I ,

(8.191)

worin f¨ ur eine rein auf die Inhomogenität beschränkte Wärmedehnung (kM = 0) und sehr kleine Volumenanteile (cI 1 , cM ≈ 1) das Ergebnis (8.14) enthalten ist: σI εI = (8.192) + kI ΔT I = α kI ΔT I . 3K Als praxisrelevantes Beispiel betrachten wir ein Gef¨ uge, das durch die Infiltration von Aluminium in eine poröse Keramikmatrix aus Aluminiumoxid (Al2 O3 ) entsteht. Da die Herstellung bei hohen Temperaturen erfolgt, kommt es beim Abk¨ uhlen auf Raumtemperatur zu thermisch induzierten Eigenspannungen in den beiden Phasen. Typische Materialdaten f¨ ur die Keramikmatrix (M) und die als kugelförmige Inhomogenitäten approximierte Aluminiumphase (I) sind: KM = 220 GPa, νM = 0.2, kM = 8 · 10−6 K−1 , KI = 60 GPa, νI = 0.3, kI = 2.4 · 10−5 K−1 . Damit ergibt sich α(νM ) = 0.5, und f¨ ur einen Volumenanteil an Aluminium von cI = 0.25 erhält man aus (8.188) den effektiven Wärmeausdehnungskoeffizienten zu k ∗ ≈ 10−5 K−1 . Eine Temperaturänderung beim Abk¨ uhlen von ΔT = −400 K f¨ uhrt nach (8.189) zu mittleren Druckeigenspannungen von σM ≈ −250 MPa in der Keramikmatrix (M) und Zugeigenspannungen σI ≈ 750 MPa im Aluminiuminfiltrat (I). Trotz der stark vereinfachenden Approximation der Morphologie durch kugelförmige Aluminiumpartikel entsprechen diese Werte recht gut dem experimentellen Befund. Man beachte, dass die mittlere Spannung in der Aluminiumphase weit u ¨ ber der Fließspannung von Aluminium liegt. Wegen des rein hydrostatischen Spannungszustandes tritt jedoch während des Abk¨ uhlvorganges kein plastisches Fließen auf, sondern es bilden sich Hohlräume (Kavitäten) in der Aluminiumphase.

313

Mikromechanik

8.6

¨ Ubungsaufgaben

Aufgabe 8.1 Von einem heterogenen, makroskopisch isotropen Material sei der effektive Kom¨ pressionsmodul K ∗ gemessen worden. Uber die Mikrostruktur sei bekannt, dass sie aus zwei isotropen Phasen mit elastischen Eigenschaften KI , μI , KM , μM besteht. Geben Sie mit Hilfe der Voigt-Reuss-Schranken und der Hashin-ShtrikmanSchranken den Bereich an, in dem die Volumenanteile cI bzw. cM = 1 − cI der beiden Phasen liegen können. Es sei KI = 10KM , μI = 10μM und K ∗ = 5KI . aus Voigt-Reuss-Schranken:

0.44 ≤ cI ≤ 0.88

aus Hashin-Shtrikman-Schranken:

0.56 ≤ cI ≤ 0.79

L¨ osung:

Aufgabe 8.2 Wenden Sie das Hashin-Shtrikman-Variationsprinzip auf das 1D-Beispiel eines heterogenen Zugstabes an.

E1 ,c1

x

E2 ,c2

u

L¨ osung: Wählt man als Vergleichsmaterial einmal E1 und einmal E2 , so erhält man als obere und untere Hashin-Shtrikman-Schranke jeweils den Wert E ∗ = E1 E2 /(c1 E1 + c2 E2 ); im vorliegenden 1D-Beispiel ist dies die exakte Lösung f¨ ur den effektiven E-Modul.

8.7

Literatur

Aboudi, J. (1991). Mechanics of Composite Materials - A Unified Micromechanical Approach. Elsevier, Amsterdam Christensen, R.M. (1979). Mechanics of Composite Materials. Wiley & Sons, New York Hashin, Z. (1983). Analysis of Composite Materials – A Survey. J. Appl. Mech. 50, 481-505

314

Mikromechanik

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9 Sch¨ adigung

9.1

Allgemeines

Ein reales Material enthält meist schon im Ausgangszustand eine Vielzahl von Defekten wie Mikrorisse oder Poren. Bei einem Deformationsvorgang können sich diese inneren Hohlräume vergrößern und verbinden, während es an Spannungskonzentratoren (z.B. Einschl¨ usse, Korngrenzen, Inhomogenitäten) gleichzeitig zu weiteren Materialtrennungen kommt, d.h. neue Mikrodefekte entstehen. Hierdurch ändern sich die makroskopischen Eigenschaften des Materials, und seine Festigkeit wird merklich reduziert. Diesen Prozess der Strukturänderung des Materials, welcher mit der Entstehung, dem Wachstum und der Vereinigung von Mikrodefekten verbunden ist, nennt man Schädigung (damage). Er f¨ uhrt in seinem Endstadium zur vollständigen Auflösung der Bindungen, d.h. zur Materialtrennung und zur Bildung eines makroskopischen Risses. Die Materialschädigung klassifiziert man ausgehend vom dominierenden makroskopischen Phänomen in spröde Schädigung, duktile Schädigung, Kriechschädigung und Erm¨ udungs-Schädigung. Vorherrschender Mechanismus bei der spröden Schädigung ist die Bildung und das Wachstum von Mikrorissen. Beispiele hierzu sind Keramiken, Geomaterialien oder Beton. Im Gegensatz dazu sind die duktile Schädigung und die Kriechschädigung in Metallen im wesentlichen mit dem Wachstum, der Vereinigung und der Neuentstehung von Mikroporen verbunden. Bei der Erm¨ udungs-Schädigung entstehen an Spannungskonzentratoren aufgrund der mikroplastischen Wechselbelastung zunächst Mikrorisse, die sich dann ausbreiten und vereinigen. Die Beschreibung des makroskopischen Verhaltens eines geschädigten Materials kann nach wie vor im Rahmen der Kontinuumsmechanik erfolgen. Die auftretenden Makrospannungen und Makroverzerrungen sind dann als Mittelwerte u ¨ber ein repräsentatives Volumenelement (RVE) aufzufassen, in welchem sich der SchädigungsProzess abspielt (siehe auch Abschnitt 8.3.1.1). Die zugehörigen charakteristischen Längen hängen dabei vom Material sowie vom Schädigungsmechanismus ab. Der Schädigungszustand wird durch sogenannte Schädigungsvariable (innere Variable) erfasst. F¨ ur diese muss ein Evolutionsgesetz aufgestellt werden, das die Entwicklung der Schädigung physikalisch adäquat beschreibt. Hierbei bedient man sich zweckmäßig mikromechanischer Modelle, welche die wesentlichen Eigenschaften der Defekte abbilden und eine detaillierte Untersuchung ihres Wachstums erlauben. Man kann eine entsprechende Schädigungstheorie als Bindeglied zwischen der klassischer Kontinuumsmechanik und der Bruchmechanik auffassen. Sie


316

Schädigung

ist prinzipiell in der Lage, die Entstehung eines Risses in einem makroskopisch zunächst Rissfreien Körper zu beschreiben. In diesem Kapitel wollen wir einige Elemente der Schädigungsmechanik behandeln. Dabei beschränken wir uns auf die einfachsten Fälle der spröden bzw. der duktilen Schädigung unter monoton zunehmender Belastung.

9.2

Grundbegriffe

Schädigungsvariable lassen sich auf verschiedene Weise einf¨ uhren. Eine einfache Möglichkeit zur Beschreibung des Schädigungszustandes besteht in seiner geometrischen Quantifizierung; diese Idee geht auf L.M. Kachanov (1914-1993) zur¨ uck. Wir betrachten dazu in einem Schnitt durch einen geschädigten Körper ein Flächenelement dA mit dem Normalenvektor n (Bild 9.1a). Den Flächenanteil der Defekte in diesem Element bezeichnen wir als ‘Defektfläche’ dAD . Dann kann man die Schädigung in diesem Element durch das Flächenverhältnis ω(n) =

dAD dA

mit

0≤ω≤1

(9.1)

charakterisieren. Danach entsprechen ω = 0 einem ungeschädigten Material und ω = 1 formal einem völlig geschädigten Material mit Verlust der Tragfähigkeit (=Bruch). In realen Werkstoffen treten allerdings bereits bei Werten von ω ≈ 0.2 . . . 0.5 Prozesse auf, die zu einem völligen Versagen f¨ uhren. Ist die Schädigung u ¨ber eine endliche Fläche konstant, wie dies zum Beispiel beim einachsigen Zug nach Bild 9.1b der Fall ist, dann vereinfacht sich (9.1) zu ω = AD /A. Offensichtlich eignet sich diese einfachste Schädigungsdefinition nur f¨ ur porenförmige Defekte, die eine räumliche Ausdehnung und damit in einem beliebigen Schnitt eine Defektfläche dAD aufweisen. Der Einfluss etwa von Mikrorissen, die schräg zur Schnittflache liegen, kann hiermit nicht hinreichend erfasst werden.

F dF dA

dA

n

n

A

AD

dAD a)

b) Bild 9.1 Definition der Schädigung

F

317

Grundbegriffe

Beim Deformationsprozess wachsen die Defekte bevorzugt in bestimmte Richtungen, die durch den Spannungszustand festgelegt sind. In diesem Fall ist ω von n abhängig; die Schädigung ist anisotrop. Von isotroper Schädigung spricht man, wenn die Defekte und ihre räumliche Verteilung keine Vorzugsrichtungen besitzen. Dann ist ω unabhängig von n, der Schädigungszustand also durch einen Skalar beschreibbar. Eine hinreichend kleine Schädigung kann man häufig in erster Näherung als isotrop ansehen. Bezieht man die im Schnitt wirkende Kraft dF auf die Fläche dA, so erhält man nach (1.1) den u ¨blichen Spannungsvektor t. Der effektive Spannungsvektor ˜t ergibt sich, indem man die Kraft auf die effektive (tragende) Fläche dA˜ = dA − dAD = (1 − ω)dA bezieht: ˜t = t dA = t . dA˜ 1 − ω

(9.2)

Dementsprechend folgen bei isotroper Schädigung (ω unabhängig von n) die effektiven Spannungen zu σij . (9.3) σ ˜ij = 1−ω Dabei sind σ ˜ij die mittleren Spannungen im ungeschädigten Matrixmaterial. Bei der Formulierung von Stoffgesetzen nimmt man häufig an, dass die effektiven Spannungen σ˜ij am geschädigten Material die gleichen Verzerrungen hervorrufen, wie die u ¨ blichen Spannungen σij am ungeschädigen Material (Dehnungs¨ Aquivalenz-Prinzip). Danach kann man das Spannungs-Dehnungs-Verhalten des geschädigten Materials durch das Stoffgesetz des ungeschädigten Matrixmaterials beschreiben, indem man die Spannungen durch die effektiven Spannungen ersetzt. Auf diese Weise ergibt sich zum Beispiel f¨ ur ein geschädigtes, linear elastisches Material im einachsigen Fall ε=

σ ˜ σ = , E (1 − ω)E

(9.4)

wobei E der Elastizitätsmodul des ungeschädigten Materials ist. Entsprechend kann man auch bei inelastischem Materialverhalten vorgehen. So folgt in der Plastizität f¨ ur den elastischen Anteil der Verzerrungen dεe =

d˜ σ dσ = E (1 − ω)E

bzw.

εe =

σ ˜ σ = . E (1 − ω)E

(9.5)

Danach lässt sich die Schädigung durch Messung des effektiven Elastizitätsmoduls E ∗ = (1 − ω)E

(9.6a)

des geschädigten Materials bestimmen (Bild 9.2): ω =1−

E∗ . E

(9.6b)

318

Schädigung

σ

σ E∗ 1

E

a)

E2∗

E

ε

E1∗

E2∗

E3∗

ε

b)

Bild 9.2 Schädigungsentwicklung: a) elastisch, b) elastisch-plastisch Es bietet sich an, die Darstellung (9.6a) mit dem Ergebnis (8.73) C ∗ = C : (1 − D)

(9.7)

aus der mikromechanischen Untersuchung von Materialien mit Hohlräumen und Rissen zu vergleichen. Man erkennt dann, dass die Schädigungsvariablen ω der eindimensionale Sonderfall des Einflusstensors D ist, der auch eine anisotrope Schädigung aufgrund von Vorzugsrichtungen der Defektorientierung erfasst. Die zur Herleitung von (9.7) in Abschnitt 8.3 zugrunde gelegte Randbedingung (RVE) vorgegebener Makroverzerrungen (vgl. (8.72), (8.73)) findet sich hier im ¨ Dehnungs-Aquivalenz-Prinzip wieder. Neben ω nach (9.1) oder D nach (9.7) werden auch andere Größen zur Charakterisierung der Schädigung verwendet. So lässt sich unabhängig vom Materialverhalten die anisotrope Schädigung durch Mikrorisse mit Hilfe des Schädigungstensors 1 ωij = (ni Δuj + nj Δui ) dA (9.8) 2V AR

beschreiben. Hierin sind V das Volumen des repräsentativen Volumenelements, Δui der Verschiebungssprung, ni der Normalenvektor, und die Integration hat u ¨ber die gesamte Rissfläche AR , d.h. u ¨ ber alle Risse im RVE zu erfolgen. Man kann die durch (9.8) definierte Größe auch als ‘Eigendehnungen’ auffassen, die durch die Schädigung induziert sind (vgl. auch (8.50b),(8.53)). Schließen sich die Mikrorisse beim Entlastungsvorgang nicht vollständig, dann beschreibt (9.8) die bleibenden (inelastischen) Verzerrungen. Die Schädigung durch Poren in duktilen Metallen wird meist durch die Porenvolumenfraktion oder kurz Porosität f=

Vp V

(9.9)

319

Spr¨ ode Sch¨ adigung

beschrieben, wobei Vp das Porenvolumen im Volumen V des RVE ist. Analog dazu kann bei einer Schädigung durch Mikrorisse auch der in Abschnitt 8.3 eingef¨ uhrte Rissdichteparameter als Schädigungsvariable verwendet werden.

9.3


Dominierender Mechanismus bei der spröden Schädigung ist die Ausbreitung und die Neubildung von Mikrorissen. Diese Risse haben in der Regel eine Vorzugsorientierung, die durch die Hauptachsen des Spannungstensors vorgegeben ist. So beobachtet man bei einer Zugbelastung Risse vorwiegend senkrecht zur größten Zugspannung (Bild 9.3). Ihre charakteristische Länge im Ausgangszustand ist daneben meist durch die Mikrostruktur des Materials (z.B. Korngröße) bestimmt. Bei zunehmender Belastung beginnen sich die Risse ab einer bestimmten Last zu vergrößern und zu vermehren, was zu einer abnehmenden Steifigkeit (abnehmender Elastizitätsmodul) in der entsprechenden Zugrichtung f¨ uhrt. Obwohl das ungeschädigte Matrixmaterial linear elastisch ist, verhält sich das geschädigte Material aufgrund der zunehmenden Schädigung makroskopisch nichtlinear (Bild 9.3). Der Deformationsvorgang verläuft auf diese Weise, bis das Material makroskopisch instabil wird und es zur Lokalisierung der Schädigung kommt (Abschnitt 9.5). Dann entwickelt sich die Schädigung nicht mehr gleichförmig im gesamten Gebiet sondern einer der Risse dominiert gegen¨ uber den anderen, und er alleine wächst weiter. Schädigung

σ1 > σ2

σ2

σ2

σ

Lokalisierung

σ1

ε

Bild 9.3 Spröde Schädigung bei Zugbelastung Bei einer Druckbelastung stellt man häufig Risse in Richtung der größten Druckspannung fest, die mit zunehmender Belastung wachsen (Bild 9.4a). Sie haben ihre Ursache in verschiedenen Mechanismen, die zu lokalen Zugspannungsfeldern f¨ uhren. Ein Beispiel hierf¨ ur ist der kugelförmige Hohlraum oder Einschluss, an dessen Polen unter globaler Druckbelastung ein lokaler Zug entsteht. Ein anderer Mechanismus besteht in Scherrissen unter Modus II Belastung, welche ab-

320

Schädigung

|σ3 | |σ1 |

σ3

σ1

b)

a)

Bild 9.4 Spröde Schädigung bei Druckbelastung knicken und dann unter lokalen Modus I Bedingungen in Richtung der Druckbelastung wachsen (Bild 9.4b). Makroskopisch verhält sich das Material aufgrund des Schädigungswachstums wiederum nichtlinear. Auch hier kommt es im Verlauf der Deformation zur Materialinstabilität bzw. zur Lokalisierung der Schädigung. Häufig beobachtet man dabei die Ausbildung von Scherbändern, welche durch die Vereinigung und das Wachstum von Scherrissen unter einem bestimmten Winkel zur Drucklast hervorgerufen werden. Im weiteren wollen wir als einfachstes Beispiel die Schädigung unter einachsigem Zug betrachten (Bild 9.5). Dabei modellieren wir das RVE als ebenen Bereich ΔA, der im Ausgangszustand nur einen Modus I Riss enthält. Seine Länge sei im Vergleich zum Abstand von weiteren Rissen immer so klein, dass eine Wechselwirkung der Risse nicht ber¨ ucksichtigt werden muss (vgl. Abschnitt 8.3.2.3). Die Beschreibung des makroskopischen Stoffverhaltens erfolgt unter Zuhilfenahme der (vgl. Abschnitt 1.3.1): Komplementärenergie U =U e (σij ) + ΔU (σij , a) . U

σ

(9.10)

σ ΔA 2a

Bild 9.5 2D-Schädigungsmodell f¨ ur Zugbelastung

321


Hierin beschreibt der erste Anteil die Energie des ungeschädigten Materials, wel e = σ 2 /2E gegeben ist. Der zweite Anteil che nach (1.50) in unserem Fall durch U kennzeichnet die Energieänderung infolge der Existenz der Mikrorisse. Diese errechnen wir - bezogen auf √ die Größe des RVE - aus der Energiefreisetzungsrate G = KI2 /E mit KI = σ πa zu = 2 ΔU ΔA

a Gda =

π σ 2 a2 . E ΔA

(9.11)

0

Damit ergibt sich f¨ ur die Komplementärenergie 2 (σ, a) = σ U 2E

1+

2π 2 a ΔA

,

(9.12)

und nach (1.48) erhält man durch Ableitung ∂U σ ε(σ, a) = = ∂σ E

2π 2 1+ . a ΔA

(9.13)

Darin hat die Risslänge die Bedeutung einer inneren Variablen. F¨ ur eine feste Risslänge (a = const) beschreibt (9.13) ein linear elastisches Verhalten, das man durch den zugehörigen effektiven Elastizitätsmodul E ∗ = E /(1 + 2πa2 /ΔA) charakterisieren kann (vgl. Bild 9.2a). Damit ist nach (9.6b) auch die Schädigung ω bestimmt. Im weiteren nehmen wir an, dass die Risse eine Ausgangslänge 2a0 haben und sich ab einer bestimmten Belastung σ0 bzw. Dehnung ε0 ausbreiten können. Der Rissfortschritt erfolge entsprechend der Fortschrittsbedingung G(σ, a) = R(Δa) (vgl. Abschnitt 4.8) bzw. KI (σ, a) = KR (Δa)

oder

√ σ πa = KR (Δa) ,

(9.14)

wobei KR die Risswiderstandskurve f¨ ur einen Mikroriss sei. Dies ist das Evolutionsgesetz f¨ ur die innere Variable. Zusammen mit (9.13) ist hierdurch das Stoffverhalten eindeutig festgelegt: σ ε(σ, a) = E

2π 2 a 1+ ΔA

√ a = const f¨ ur σ πa < KR (Δa) √ a˙ > 0 f¨ ur σ πa = KR (Δa)

(9.15)

Zur Illustration beschreiben wir die Risswiderstandskurve näherungsweise durch √ den Ansatz KR = K∞ [1 − (1 − K0 /K∞ )e−ηΔa/a0 ] mit K0 = σ0 πa0 . Hierin sind K0 der Initiierungswert und K∞ der Plateauwert von KR ; letzterer wird je nach Wahl von η schneller oder oder langsamer erreicht. In Bild 9.6 sind exemplarisch einige hiermit gewonnene Spannungs-Dehnungsverläufe dargestellt.

322

Schädigung

σ/σ0

K

η = 2, γ = 2.5

K∞ η = 1, γ = 2.5

1

KR

η = 1, γ = 2

K0 Δa

1

2

ε/ε0

Bild 9.6 Risswiderstandskurve und zugehörige σ-ε-Verläufe 2πa20 /ΔA = 0.05, γ = K∞ /K0

9.4 9.4.1

Duktile Sch¨ adigung Porenwachstum

Die duktile Schädigung ist durch das Wachstum, die Vereinigung und die Neuentstehung von Mikroporen gekennzeichnet. Diese bilden sich bevorzugt an eingeschlossenen Partikeln, an Korngrenzen oder an anderen Hindernissen f¨ ur die Versetzungsbewegung. Sie können aber auch durch das Aufreißen von spröden Mikroeinschl¨ ussen initiiert werden.

z a 2a

r ϕ

σ∞

Bild 9.7 McClintock Modell Zur Beschreibung alleine des Porenwachstums gibt es verschiedene Modelle, von denen wir hier das Modell von McClintock (1968) betrachten wollen. Bei ihm wird eine Einzelpore vereinfacht als zylindrisches Loch im unendlichen Gebiet unter radialer Zugspannung σ∞ angesehen (Bild 9.7). Zugrunde gelegt wird

323

Duktile Sch¨ adigung

ein starr-idealplastisches Materialverhalten sowie ein ebener Verzerrungszustand mit vorgegebener Verzerrungsgeschwindigkeit ε˙z = ε˙0 . Unter Verwendung von Zylinderkoordinaten und Beachtung der Rotationssymmetrie lauten hierf¨ ur die Gleichgewichtsbedingung dσr 1 − (σϕ − σr ) = 0 , dr r

(9.16)

die kinematischen Beziehungen ε˙r =

du˙ r , dr

ε˙ϕ =

u˙ r r

→

ε˙r =

d(r ε˙ϕ ) dr

(9.17)

sowie das Stoffgesetz (vgl. Abschnitt 1.3.3) ε˙r = λ˙ sr ,

ε˙ϕ = λ˙ sϕ , ε˙z = λ˙ sz (9.18) 1 1 2 mit λ˙ = ε˙r + ε˙ϕ + ε˙z = 0 (ε˙r + ε˙2ϕ + ε˙2z ) , τF 2 √ und τF = σF / 3. Dann ergibt sich zunächst aus der Volumenkonstanz nach (9.18) mit (9.17) durch Integration ε˙ϕ + r

dε˙ϕ + ε˙ϕ + ε˙0 = 0 dr

→

ε˙ϕ =

C1 ε˙0 − . r2 2

˙ = u˙ r (a)/a = ε˙ϕ (a) die Lochwachstumsrate ein, so folgen F¨ uhren wir mit ε˙a = a/a ε˙ϕ =

a2 (ε˙a + ε˙0 /2) − ε˙0 /2 , r2

ε˙r = −

a2 (ε˙a + ε˙0 /2) − ε˙0 /2 . r2

(9.19)

Mit der Abk¨ urzung 2a2 ε˙a + ε˙0 /2 ξ=√ ε˙0 3 r2 liefert (9.19) σϕ − σr = sϕ − sr = )

τF (ε˙ϕ − ε˙r ) 1 2 (ε˙ 2 r

+

ε˙2ϕ

+

ε˙2z )

2ξ . = τF 1 + ξ2

Hiermit lässt sich die Gleichgewichtsbedingung in folgender Form schreiben und durch Integration lösen: dσr τF = − dξ 1 + ξ2

→

σr = −τF arsinh ξ + C2 .

Mit den Randbedingungen f¨ ur r → ∞: σr = σ∞ und r = a: σr = 0 erhält man daraus schließlich ε˙0 √ σ∞ 3 sinh −1 , (9.20) ε˙a = 2 τF

324

Schädigung

wobei ε˙0 unter Verwendung von (9.20) auch durch die plastische Vergleichsverzerrungsrate im Unendlichen ersetzt werden kann: ε˙pe = [ 32 (ε˙2z + ε˙2ϕ + ε˙2r )]1/2 = ε˙0 . Berechnet man nun noch ur r → ∞ die hydrostatische Spannung zu σm = σkk /3 = √ f¨ σr − sr = σ∞ + τF / 3 und f¨ uhren wir mit V˙P /VP = 2ε˙a + ε˙0 die Wachstumsrate f¨ ur das Porenvolumen ein, so kann man das Ergebnis auch in der Form √ √ p V˙P σm − τF / 3 = 3 ε˙e sinh (9.21) VP τF schreiben. Danach ist f¨ ur ein Porenvolumenwachstum (V˙P > 0) ein hinreiched großer hydrostatischer Spannungszustand σm erforderlich; das Wachstum ist umso stärker, je größer σm ist. Zu einem ähnlichen Resultat gelangt das Modell nach Rice und Tracey (1969), bei dem die Wachstumsrate einer einzelnen kugelförmigen Pore in einem ideal plastischen, unendlich ausgedehnten Körper untersucht wird: V˙P 3σm = 0.85 ε˙pe exp . VP 2σF

(9.22)

Dabei wird angenommen, dass (wie zuvor) im Unendlichen die Dehnungsraten ε˙z = −2ε˙x = −2ε˙y = ε˙0 herrschen, was einem einachsigen Zug im inkompressiblen Material entspricht: ε˙pe = ε˙0 . Man kann diese Ergebnisse in der Schädigungsmechanik benutzen, wenn wir annehmen, dass die Poren soweit voneinander entfernt sind, dass sie sich gegenseitig nicht beeinflussen. Wir können sie aber auch unmittelbar in der elastisch plastischen Bruchmechanik anwenden. Vor einer Rissspitze ist der hydrostatische Spannungszustand im allgemeinen groß. Schätzen wir ihn nach (5.22) ab, so erhält man σm ≈ τF (1 + π), und es folgt aus (9.20) bzw. (9.21) (die Ergebnisse sind praktisch gleich) V˙ P /VP ≈ 31 ε˙pe. Dies lässt an der Rissspitze ein starkes Porenwachstum erwarten. 9.4.2

Sch¨ adigungsmodelle

Wir wollen nun das Verhalten eines duktilen geschädigten Materials betrachten. Dabei setzen wir eine isotrope Schädigung durch verteilte Poren voraus, welche durch die Porosität f charakterisiert wird. Die Beschreibung des elastischplastischen Stoffverhaltens kann ähnlich wie bei ungeschädigten Materialien erfolgen (vgl. Abschnitt 1.3.3). Hierzu spalten wir nach (1.73) die Verzerrungsraten in einen elastischen und einen plastischen Anteil auf, wobei f¨ ur den elastischen Anteil das Elastizitätsgesetz (1.38) g¨ ultig sei. Den plastischen Anteil ermitteln wir mit Hilfe einer Fließbedingung und einer Fließregel. Im Unterschied zum ungeschädigten Material geht nun aber in die Fließbedingung nicht nur der Spannungszustand σij sondern auch die Schädigungsvariable f ein: F (σij , f ) = 0. Daneben kann man jetzt nicht mehr annehmen, dass die hydrostatische Spannung σm bzw. die Invariante Iσ das Fließen nicht beeinflusst; sie steuert vielmehr

325

Duktile Sch¨ adigung

das Porenwachstum und damit auch die plastischen Volumendehnungen (vgl. Abschnitt 9.4.1). Dementsprechend lässt sich die Fließbedingung durch F (Iσ , IIs , f ) = 0 .

(9.23)

ausdr¨ ucken, wobei wir gleich angenommen haben, dass F von IIIs nicht abhängt. Die durch das Porenwachstum hervorgerufenen plastischen Volumendehnungen sind durch die Volumenänderung des RVE gegeben: V˙ /V = ε˙pV = ε˙pkk . Unter Beachtung der plastischen Inkompressibilität des Matrixmaterials ergibt sich damit aus (9.9) f¨ ur die Schädigungsvariable f˙ = (1 − f ) ε˙pkk .

(9.24)

Hinsichtlich der Fließbedingung und des weiteren Vorgehens gibt es unterschiedliche Modelle, von denen wir hier nur das Modell von Gurson (1977) betrachten wollen. Es geht von der Fließbedingung F (Iσ , IIs , f ) =

2 σe2 3σm 1 + 2f cosh − 1 + f2 = 0 2 σM 2σM

(9.25)

aus. Hierin sind σe = ( 32 sij sij )1/2 die makroskopische Vergleichsspannung und σM die aktuelle Fließspannung des Matrixmaterials. Bei σM handelt es sich um eine effektive, räumlich konstante Fließspannung, die den in Wirklichkeit inhomogenen Fließ- und Verfestigungszustand im die Poren umgebenden Matrixmaterial repräsentiert. Die Gurson-Fließbedingung (9.25) umfasst einige wichtige Spezialfälle. F¨ ur rein hydrostatische Belastung (σe = 0) reduziert sich (9.25) auf die analytische Lösung (8.164). Unter deviatorischer Belastung (σm = 0) hingegen stimmt (9.25) wegen cosh(0) = 1 mit der oberen Schranke (8.161) u ¨berein. Und f¨ ur f = 0 verschwindet der Einfluss der hydrostatischen Spannung und (9.25) geht in die von Mises’sche Fließbedingung (1.77) u ¨ ber. Die makroskopischen plastischen Verzerrungsraten ergeben sich aus der Fließregel ∂F ε˙pij = λ˙ . (9.26) ∂σij Daneben wird angenommen, dass die plastische Arbeitsrate der Matrixspannungen – ausgedr¨ uckt durch die Fließspannung σM und die zugehörige plastische Vergleichsdehungsrate ε˙pM – gleich ist der entsprechenden Arbeitsrate der makroskopischen Spannungen: σij ε˙pij = (1 − f )σM ε˙pM . (9.27) Bei Kenntnis der einachsigen Spannungs-Dehnungs-Kurve des ungeschädigten Materials, d.h. bei Kenntnis von ε˙pM (σ˙ M ) liegt damit das Stoffverhalten fest. Es hat sich gezeigt, dass das Verhalten eines duktil geschädigten Materials durch die Gleichungen (9.24) bis (9.27) nicht befriedigend wiedergegeben wird. So tritt der Verlust der Tragfähigkeit erst bei einer unrealistisch großen Schädigung ein.

326

Schädigung

Ein Grund hierf¨ ur ist, dass in dem Modell sowohl eine Porenneuentstehung als auch die sich verstärkende Wechselwirkung der Poren bei ihrem Wachstum und ihrer schließlichen Vereinigung unber¨ ucksichtigt sind. Bessere Ergebnisse erhält man mit der modifizierten Fließbedingung nach Tvergaard und Needleman (1984) F (Iσ , IIs , f ) =

2 σe2 3q2 σm 1 + 2q1 f ∗ cosh − 1 + (q1 f ∗ )2 = 0 , 2 σM 2σM

(9.28)

wobei q1 , q2 Materialparameter sind. Die Funktion f ∗ (f ) wird so gewählt, dass völliges Materialversagen bei einer realistischen Schädigung (f ≈ 0.25) eintritt. ¨ Zusätzlich wird die Anderung der Porosität infolge der Porenneuentstehung ber¨ ucksichtigt. F¨ ur eine dehnungskontrollierte Porenneubildung dient hierzu der Ansatz (εp − εN )2 1 D(εpM ) = √ exp − M 2 f˙N eu = D(εpM ) fN ε˙pM , , (9.29) 2σ σ 2π wobei fN die Volumenfraktion der Partikel ist, an denen neue Poren entstehen. Die Funktion D ist eine Normalverteilung mit dem Mittelwert εN und der Standardabweichung σ (vgl. Abschnitt 10.2). Einen ähnlichen Ansatz kann man f¨ ur eine spannungskontrollierte Porenneuentstehung (z.B. durch Aufreißen von Partikeln) machen, worauf wir hier jedoch verzichten wollen. Das gesamte Porenwachstum setzt sich also aus dem Wachstumsterm (9.24) und dem Entstehungsterm (9.29) zusammen. In Bild 9.8 ist das Materialverhalten unter einachsigem Zug f¨ ur eine spezielle Parameterwahl veranschaulicht. F¨ ur das Matrixmaterial wurde dabei ein Po-

σ

σkk

[MPa]

f

[MPa]

b

a

1000 b 0.5

1

a

1000

εp

0.5

1

b

0,1

εp

a

0.5

1

εp

Bild 9.8 Gurson-Modell: Einachsiger Zug, (a) ohne, (b) mit Querdehnungsbehinderung tenzgesetz zugrunde gelegt. Dargestellt sind die Verläufe der Zugspannung σ, der hydrostischen Spannung σkk und der Schädigung f in Abhängigkeit von der plastischen Dehnung εp (die elastische Dehnung εe ist vernachlässigbar klein).

327

Lokalisierung

Man erkennt, dass mit zunehmender plastischer Dehnung die Schädigung ansteigt, was zunächst zu einer Entfestigung und schließlich zum völligen Verlust der Spannungstragfähigkeit f¨ uhrt. Bemerkenswert ist daneben der Einfluss der Dehnungsbehinderung. Sie beg¨ unstigt eine stärkere Schädigungsentwicklung zu Lasten der makroskopischen Deformation und damit ein Versagen bei kleineren plastischen Dehnungen. 9.4.3

Bruchkonzept

Schädigungsmodelle beschreiben das Stoffverhalten bis zum völligen Verlust der Tragfähigkeit. Lokales Versagen bzw. Bruch tritt ein, wenn die Schädigung f einen bestimmten kritischen Wert fc erreicht: f = fc

(9.30)

Diese lokale Versagensbedingung kann man zur Behandlung von verschiedenen Problemen der Bruchmechanik verwenden. So lässt sich hiermit die Bildung eines Risses bei vorhergegangener Schädigungsentwicklung beschreiben. Daneben kann man (9.30) als Bruchkriterium verwenden, das bei der Rissinitiierung und bei der weiteren Rissausbreitung erf¨ ullt sein muss. Der Vorteil einer solchen Vorgehensweise ist, dass man dann auf Bruchparameter wie J, δt oder JR -Kurven nicht angewiesen ist. Abschließend sei hier noch auf einen Schwachpunkt der (Kontinuums-) Schädigungsmechanik hingewiesen: Wie mehrfach erwähnt, kommt es mit zunehmender Schädigung zu einer Instabilität im makroskopischen Materialverhalten (Entfestigung), die eine Lokalisierung der Deformation und Schädigung zur Folge hat (z.B. Wachstum nur noch eines Risses oder Porenwachstum und -neuentstehung in einem schmalen Band). Durch diese Lokalisierung werden die in Kapitel 8 diskutierten Voraussetzungen an ein RVE verletzt, und mikromechanisch motivierte Schädigungsmodelle verlieren ihre G¨ ultigkeit. Die Schädigungsvariablen besitzen dann nicht mehr die ihnen urspr¨ unglich zugewiesene physikalische Bedeutung; sie haben nur noch einen rein formalen Charakter. Ein weiterer Nachteil der Kontinuums-Schädigungsmechanik besteht in der Abhängigkeit numerischer Lösungen von der verwendeten Diskretisierung (Finite-Elemente-Netz), die als Folge der Lokalisierung in der Regel auftritt.

9.5

Entfestigung und Verzerrungslokalisierung

Der schon mehrfach angesprochen Zusammenhang zwischen einem durch Schädigung hervorgerufenen entfestigenden Materialverhalten und einer daraus folgenden Lokalisierung der Verzerrung soll im folgenden genauer analysiert werden. Als Entfestigung wird dabei die Situation einer mit zunehmender Deformation abfallenden Spannung bezeichnet, wie bereits in Bild 9.2 und 9.3 skizziert oder auch als Ergebnis konkreter Schädigungsmodelle in Bild 9.6 und 9.8 dargestellt.

328

Schädigung

Solange f¨ ur eine Zunahme der Deformation die Spannung erhöht werden muss, spricht man von einem stabilen Materialverhalten; dabei ist dσdε > 0 bzw. im 3D-Fall dσij dεij > 0. Demgegen¨ uber wird ein entfestigendes Materialverhalten mit dσdε < 0 auch als instabil bezeichnet; mit zunehmender Deformation wird der Widerstand gegen die Deformation geringer. Von besonderem Interesse ist der ¨ Ubergangspunkt, in dem wegen dσdε = 0 bei verschwindender Spannungsänderung verschiedene Dehnungsänderungen möglich sind und es zu einer Verzweigung (Mehrdeutigkeit) des Deformationszustandes kommt. Zur Illustration betrachten wir nach Doghri (2000) ein einfaches eindimensionales Materialgesetz mit Schädigung σ = E(1 − D)ε ,

(9.31)

wobei zu einem Zeitpunkt t die Schädigungsvariable D(t) :=

1 max ε(τ ) εf τ ≤t

(9.32)

durch den Maximalwert der bislang erreichten Dehnung gegeben ist und εf die Bruchdehnung des Materials bezeichnet, so dass 0 ≤ D ≤ 1. F¨ ur eine monoton zunehmende Dehnung ist D = ε/εf und der Spannungs-Dehnungs-Zusammenhang ε ε (9.33) σ = E 1− εf zeigt den in Bild 9.9 als durchgezogene Linie dargestellten parabolischen Verlauf.

a)

σ

b)

σ I

II

E (1−D(ε* )) ε*

εf

ε

Bild 9.9 a) R¨ ucknahme der Dehnung, R¨ ucknahme der Spannung

εI

εII

ε

b) Verzweigung der Deformation bei

Wird von einem beliebigen Zustand ε∗ ausgehend die Dehnung verringert, so folgt die Spannung dem gestrichelten linearen Verlauf in Bild 9.9a mit der Steigung E(1 − D(ε∗ )). Von der gesamten bis zum Zustand ε∗ verrichteten Arbeit

329

Lokalisierung

ε∗ (pro Volumen) 0 σdε (Fläche unter der σ(ε)-Kurve) wird dabei der Anteil unter der Entlastungsgeraden als elastische Energie zur¨ uckgewonnen, während der schraffierte Anteil durch die Schädigung dissipiert wurde. Erfolgt hingegen eine ¨ R¨ ucknahme der Spannung (Bild 9.9b), so gibt es ab Uberschreiten des Maximums der σ(ε)-Kurve, d.h. sobald dσdε ≤ 0, jeweils zwei Möglichkeiten der Dehnungsänderung hin zu Zuständen εI und εII (Verzweigung). Das Material kann entweder eine elastische Entlastung (I) oder aber eine fortschreitende inelastische Deformation mit Entfestigung (II) erfahren. In einem räumlich ausgedehnten Bereich wie dem 1D-Zugstab nach Bild 9.10a f¨ uhrt dies zum Vorliegen von Teilbereichen mit unterschiedlichen Deformationen εI und εII bei gleicher Belastung. Mit der Randverschiebung u und der Gesamtlänge L = LI + LII des Stabes ist dessen makroskopische Dehnung ε =

u LI I LII II = ε + ε L L L

,

(9.34)

während die makroskopische Spannung σ = σ ist. Das Materialverhalten in den einzelnen Bereichen ist durch σ = E(1 − D I )εI

mit DI =

εf /2 1 = εf 2

(elast. Entlastung ab εf /2) (9.35)

sowie εII σ = E(1 − D )ε = E 1 − εII εf II

II

(inelast. Deformation)

(9.36)

gegeben. Einsetzen in (9.34) liefert LI 2 LII εf ε = σ + L E L 2

(

1+

. 4 1− σ εf E

.

(9.37)

Das makroskopische Verhalten des Zugstabes ist f¨ ur verschiedene Größen LII des Bereichs zunehmender Deformation und Schädigung in Bild 9.10b dargestellt. Von den unendlich vielen Lösungen des Randwertproblems ist diejenige energetisch am g¨ unstigsten (geringste Dissipation), bei der die inelastische Deformation und Schädigung in einem unendlich schmalen Bereich (LII → 0) stattfindet. Dies bedeutet, dass ein entfestigendes Materialverhalten gemäß (9.31),(9.32) zu einer Lokalisierung der Deformation f¨ uhrt. Im Fall des betrachteten Zugstabes resultiert dies in der Bildung eines Risses. Die Zusammenhänge zwischen einem schädigungsinduzierten entfestigenden Materialverhalten und einer Lokalisierung der Verzerrung sollen im folgenden f¨ ur das dreidimensionale Kontinuum diskutiert werden. Der einer Lokalisierung vorangehenden Verzweigung der Deformation entspricht dabei das Auftreten einer Fläche

330

Schädigung

a)

b)

σ LI /L = 0

I

L

εI

II

L

σ, u

0.2 0.5

ε II

0.7

εf

ε

Bild 9.10 a) Zugstab, b) globales Spannungs-Dehnungs-Verhalten im Raum, u ¨ber die hinweg das Verzerrungsinkrement dεij bzw. der Verzerrungsgeschwindigkeitstensor eine Unstetigkeit (Sprung) erfährt I Δε˙ij = ε˙II ij − ε˙ ij = 0 .

(9.38)

Aufgrund des lokalen Gleichgewichts bleibt der Spannungsvektor ti = σij nj auf der Unstetigkeitsfläche dabei stetig ˙I Δt˙i = t˙II i − ti = 0 ,

(9.39)

wobei nj die Normalenrichtung der Fläche bezeichnet. In einen möglichen Sprung des Verzerrungsgeschwindigkeitstensors gehen zwei Richtungen ein: die Orientierung ni der Unstetigkeitsfläche sowie die Richtung der sich unstetig ändernden Verzerrungskomponente. Dies wird durch den Ansatz 1 (9.40) (ni gj + nj gi ) 2 mit einem beliebigen Vektor gi dargestellt. Ist gi parallel zu ni orientiert, so beschreibt Δε˙ij einen Dehnungssprung senkrecht zur Fläche (analog zu dem zuvor diskutierten 1D-Beispiel), während der Fall gi senkrecht zu ni einem Gleitungssprung entspricht. Das Materialverhalten sei in inkrementeller Form durch Δε˙ij =

σ˙ ij = C˜ijkl ε˙kl

(9.41)

beschrieben mit dem vierstufigen Tangententensor C˜ijkl. Wegen der Symmetrie von C˜ijkl bzgl. der Indizes k und l lässt sich dies auch als σ˙ ij = C˜ijkl u˙ k,l

(9.42)

schreiben mit dem Geschwindigkeitsgradienten u˙ k,l (siehe Abschnitt 1.2.1), dessen Sprung entsprechend (9.40) durch Δu˙ i,j = ni gj angesetzt wird. Einsetzen von (9.42) in (9.39) liefert * + II ˜ I ˙ Ik,l nj = 0 , C˜ijkl u˙ II (9.43) k,l − Cijkl u

331

Sch¨ adigung

I II und C˜ijkl das unterschiedliche Materialverhalten in den beiden wobei durch C˜ijkl Bereich I und II (elastische Entlastung bzw. inelastische Deformation) beschrieben wird. Im Moment der Verzweigung ist das Materialverhalten auf beiden Seiten II I der Unstetigkeitsfläche noch gleich, so dass C˜ijkl = C˜ijkl = C˜ijkl gilt und (9.43) II I sich mit u˙ k,l − u˙ k,l = Δu˙ k,l = gk nl auf

C˜ijkl nj nl gk = 0 5 67 8 Aik

(9.44)

reduziert. Dies stellt ein lineares homogenes Gleichungssystem f¨ ur der Vektor gk dar mit dem sogenannten Akustiktensor Aik . Als notwendige Bedingung f¨ ur die Existenz nichttrivialer Lösungen gk = 0 muss dessen Determinante verschwinden: det Aik = 0 .

(9.45)

Das Verschwinden der Determinante des Akustiktensor als Funktion des momentanen Materialverhaltens C˜ijkl und der Richtung ni stellt somit eine Voraussetzung f¨ ur das Auftreten einer Unstetigkeitfläche bzgl. der Verzerrungsgschwindigkeit, d.h. einer Verzweigung der Deformation (→ εIij , εII ij ), dar. Da die inelastische Deformation (Entfestigung) dabei in einem – energetisch beg¨ unstigten – unendlich schmalen Bereich erfolgt, bedeutet dies die Bildung eines Risses (gi parallel zu ni ) oder eines sogenannten Scherbandes (gi senkrecht zu ni ). Die Richtung ni dieser Lokalisierungszone ist durch die erstmalige Erf¨ ullung der Bedingung (9.45) im Verlauf der Deformation gegeben.

9.6

Literatur

Bazant, Z.P. and Planas, J. (1997). Fracture and Size Effects in Concrete and Other Quasibrittle Materials. CRC Press, Boca Raton Doghri, I. (2000). Mechanics of Deformable Solids. Springer, Berlin Gurson, A.L. (1977). Continuum theory of ductile rupture by void nucleation and growth. Journal of Engineering Materials and Technology 99, 2-15 Hutchinson, J.W. (1987). Micro-Mechanics of Damage in Deformation and Fracture, The Technical University of Denmark Kachanov, L.M. (1986). Introduction to Continuum Damage Mechanics. Martinus Nijhoff Publishers, Dordrecht Kachanov, M. (1993). Elastic Solids with Many Cracks and Related Problems. In Advances in Applied Mechanics, Vol. 30, pp. 259-445, Academic Press

332

Schädigung

Krajcinovic, D. (1996). Damage Mechanics. Elsevier, Amsterdam Lemaitre, J. (1992). A Course on Damage Mechanics. Springer, Berlin Miannay, D.P. (1998). Fracture Mechanics. Springer, New York Skrzypek, J. and Ganczarski, A. (1999). Modeling of Material Damage and Fracture of Structures. Springer, Berlin

10 Probabilistische Bruchmechanik

10.1

Allgemeines

Die Versagensanalyse einer Struktur erfolgt auf der Basis einer Bruch- oder Versagensbedingung. Ein Beispiel hierf¨ ur ist die Sprödbruchbedingung KI = KIc , nach der kein Versagen f¨ ur KI < KIc auftritt. Wendet man diese Bedingung im deterministischen Sinn an, so muss vorausgesetzt werden, dass alle erforderlichen Größen genau bekannt sind. Dies ist aber nicht immer der Fall. So können die Betriebsbelastung eines Bauteiles schwanken und die Bruchzähigkeit KIc des Materials streuen. Auch kennt man manchmal die Lage, Länge und Orientierung der Risse nicht genau. lässt man dies unber¨ ucksichtigt und verwendet ‘gemittelte’ Größen, so kann die deterministische Analyse zu unsicheren Aussagen f¨ uhren. Ber¨ ucksichtigt man dagegen die Schwankungen, indem man f¨ ur KI seinen oberen Grenzwert und f¨ ur KIc seinen unteren Grenzwert verwendet, so gelangt man zwar zu vermutlich sicheren aber möglicherweise u ¨bertrieben konservativen Aussagen. Hierbei ist zu beachten, dass die genannten Grenzwerte ja ebenfalls häufig nicht exakt bekannt sind. Das Bruchrisiko ist jedenfalls bei einer deterministischen Betrachtung unbekannt. Entsprechendes trifft auf beliebige andere Versagensbedingungen wie zum Beispiel auf die klassischen Versagenshypothesen (Kapitel 2) oder auf die Lebensdauerhypothese nach dem Paris-Gesetz (Abschnitt 4.10) zu. Im Unterschied zum deterministischen Vorgehen werden bei einer probabilistischen Betrachtungsweise die Streuungen der Materialeigenschaften und die Unsicherheiten hinsichtlich der Belastung und der Defektverteilung in geeigneter Weise ber¨ ucksichtigt. Hierbei wird angenommen, dass die in eine Versagensbedingung eingehenden Größen in Form von Wahrscheinlichkeitsverteilungen vorliegen. Dies f¨ uhrt dann auf Aussagen u ¨ber die Versagenswahrscheinlichkeit, durch die das Bruchrisiko bestimmt ist. Statistische Aspekte spielen aber auch eine Rolle, wenn man die bruchmechanisch relevanten Mikrostruktureigenschaften eines Materials erfassen will. So befinden sich in einem realen Material im allgemeinen sehr viele ‘Defekte’ wie Mikroporen, Mikrorisse, Einschl¨ usse oder Inhomogenitäten unterschiedlicher Größe, Form und Orientierung. Durch sie wird der BruchProzess wesentlich bestimmt. Aufgrund ihrer Vielzahl lassen sich diese Defekte in ihrer Auswirkung auf das makroskopische Verhalten zweckmäßig mit statistischen Methoden beschreiben. Wir wollen uns in diesem Kapitel nur mit den Grundz¨ ugen der probabilistischen Bruchmechanik befassen. Exemplarisch beschränken wir uns dabei auf spröde Materialien. Diese bieten sich unter anderem deshalb besonders an, weil bei ihnen die


334

Probabilistische Bruchmechanik

Festigkeitskennwerte besonders stark streuen können. Spröde Materialien zeigen auch häufig eine signifikante Abnahme der Festigkeit mit zunehmendem Volumen eines Körpers. Ursache hierf¨ ur ist die in ihnen vorhandene Defektstruktur. Sie lässt erwarten, dass die Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines kritischen ¨ Defektes umso größer ist, je größer das Volumen ist. Auf dieser Uberlegung beruht die auf W. Weibull zur¨ uckgehende statistische Theorie des Sprödbruchs. Sie wird in vielen Fällen zur Beurteilung des Verhaltens von keramischen Werkstoffen, faserverstärkten Materialien, Geomaterialien, Beton oder spröden Metallen herangezogen.

10.2

Grundlagen

Die Häufigkeit des Auftretens einer Größe x wie zum Beispiel der gemessenen KIc -Werte eines Materials oder der festgestellten Risslängen wird durch die Wahrscheinlichkeitsdichte f (x) beschrieben (Bild 10.1). Setzen wir voraus, dass x nur positive Werte annehmen kann, dann ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung durch x F (x) =

f (¯ x)d¯ x

(10.1)

0

gegeben. Durch sie ist die Wahrscheinlichkeit P festgelegt, dass eine Zufallsgröße X im Intervall 0 ≤ X ≤ x liegt: P (X ≤ x) = F (x) .

(10.2)

Dabei kann P Werte zwischen 0 und 1 annehmen. Dementsprechend gelten die Beziehungen ∞ P (X < ∞) = f (x)dx = 1 , 0

P (X ≥ x) = 1 − F (x) ,

(10.3)

b P (a ≤ X ≤ b) =

f (x)dx = F (b) − F (a) . a

Der Mittelwert X einer Zufallsgröße (auch Erwartungswert oder Median genannt) sowie die Varianz varX oder Streuung sind definiert als ∞ X = 0

∞ xf (x)dx = [1 − F (x)]dx , 0

∞ varX = [x − X]2 f (x)dx . 0

(10.4)

335

Grundlagen

f F (b)−F (a) f (x) P (a ≤ X≤ b)

1−F (a) P (X ≥ b)

a

b

x

Bild 10.1 Wahrscheinlichkeitsdichte und -verteilung Letztere kann man auch als mittlere quadratische Abweichung vom Mittelwert X √ bezeichnen. Die Wurzel aus der Varianz heißt Standardabweichung: σ = varX. Als Wahrscheinlichkeitsdichten oder -verteilungen finden unterschiedliche Funktionen Anwendung, von denen hier nur einige angegeben seien. Die Normalverteilung (Gaußsche Glockenkurve) ist durch 1 (x − μ)2 √ f (x) = exp − (10.5) 2σ 2 σ 2π gegeben (Bild 10.2a). Darin sind μ der Mittelwert und σ die Standardabweichung. Häufig werden KIc -Werte, Jc -Werte oder andere Werkstoffparameter sowie ihre Streuung näherungsweise durch Normalverteilungen beschrieben. Die logarithmische Normalverteilung oder kurz Lognormalverteilung (Bild 10.2b) ist definiert durch (ln x − μ)2 1 exp − f (x) = √ , (10.6) 2σ 2 σ 2πx 2

2

2

mit dem Mittelwert X = eμ+σ /2 und der Streuung varX = e2μ+σ (eσ − 1). Sie wird in vielen Fällen zur Beschreibung von Belastungen, Risslängen- und Defektverteilungen verwendet. Eine besondere Bedeutung kommt der Weibull-Verteilung zu. F¨ ur sie sind Dichte und Wahrscheinlichkeitsverteilung durch α

f (x) = λαxα−1 e−λx ,

F (x) = 1 − e−λx

α

(10.7)

gegeben (Bild 10.2c). Der Mittelwert und die Varianz folgen hieraus zu X =

Γ(1 + α1 ) , λ1/α

varX =

Γ(1 + α2 ) − [Γ(1 + α1 )]2 , λ2/α

(10.8)

336


f

f

0,3 0,2 0,1

0,4

a)

0,2 μ = 4, σ = 1 2

4

6

μ = 1, σ = 1 8 x

2

4

6

8 x

6

8 x

f

f α=2

0,4

0,3 0,2 0,1

α=1

0,2

λ = 0.3 c)

b)

1

2

3

4 x

d)

α = 2, λ = 0, 3 2

4

Bild 10.2 Wahrscheinlichkeitsdichte: a) Normalverteilung, b) Lognormalverteilung, c) Weibull-Verteilung, d) Gamma-Verteilung wobei Γ die Gammafunktion kennzeichnet. Die Weibull-Verteilung wird besonders häufig bei Erm¨ udungsvorgängen und bei der Erfassung von Rissgrößen- und Defektverteilungen in spröden Materialien verwendet. F¨ ur α = 1 bezeichnet man sie auch als Exponentialverteilung. Schließlich sei noch die Gamma-Verteilung genannt, die durch (λx)α−1 −λx f (x) = λ (10.9) e Γ(α) bestimmt ist (Bild 10.2d). F¨ ur sie gelten X = α/λ und varX = α/λ2 . Auch sie wird zur Approximation von Defektgrößenverteilungen herangezogen. Im Falle α = 1 folgt aus ihr wiederum die Exponentialverteilung. Die Lognormalverteilung, die Weibull-Verteilung und die Gamma-Verteilung sind unsymmetrisch. Dadurch eignen sie sich zur Charakterisierung von versagensrelevanten Größen besser als die symmetrische Normalverteilung. Eine Motivation hierf¨ ur erfolgt am Beispiel der Weibull-Verteilung im folgenden Abschnitt.

Statistisches Bruchkonzept nach Weibull

10.3


10.3.1

Bruchwahrscheinlichkeit

337

Wir betrachten ein isotropes, sprödes Material unter einachsiger, homogener Spannung σ, das innere Defekte (z.B. Mikrorisse) aber keinen makroskopischen Riss enthalten soll. Von den Defekten sei vorausgesetzt, dass sie statistisch homogen verteilt sind, d.h. die Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines Defektes bestimmter Art, Größe, Orientierung etc. ist u ¨berall gleich. Außerdem nehmen wir an, dass es zum totalen Versagen (=Bruch) des Körpers kommt, wenn nur ein einziger Defekt kritisch wird, sich also ausbreitet. Dies soll nur bei einer Zugspannung möglich sein; eine Defektausbreitung unter einer Druckspannung wollen wir hier der Einfachheit halber ausschließen. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Zugspannung σ in einem beliebigen Volumen V kein kritischer Defekt vorhanden ist, bezeichnen wir mit F ∗ (V ). Die entsprechende Wahrscheinlichkeit f¨ ur ein beliebiges anderes Volumen V1 (das V nicht enthält) sei F ∗ (V1 ). Setzt man die Unabhängigkeit der Ereignisse in V und V1 voraus, dann ist die Wahrscheinlichkeit des Nichtauftretens eines kritischen Defektes in V + V1 durch F ∗ (V + V1 ) = F ∗ (V )F ∗ (V1 )

(10.10)

gegeben. Ableitung bei konstantem V1 und anschließende Division durch (10.10) liefert ∗ ∗ dF (V + V1 ) dF (V ) dV dV dF ∗ (V + V1 ) dF ∗ (V ) ∗ = F (V1 ) , = dV dV F ∗ (V + V1 ) F ∗ (V ) bzw.

d d ln[F ∗ (V + V1 )] = ln[F ∗ (V )] = −c . dV dV Darin ist c eine Konstante, die nur von der Spannung abhängt: c = c(σ). Durch Integration unter Ber¨ ucksichtigung von F ∗ (0) = 1 folgt daraus schließlich die Wahrscheinlichkeit, dass kein kritischer Defekt vorhanden ist zu F ∗ (V ) = e−cV .

(10.11)

Umgekehrt ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich in V doch ein kritischer Defekt befindet, F (V ) = 1−F ∗ (V ) = 1−e−c(σ)V . Aufgrund der Annahme, dass ein einziger kritischer Defekt zum Bruch f¨ uhrt, ist dies auch die Bruchwahrscheinlichkeit Pf : Pf = 1 − e−c(σ)V .

(10.12)

Danach nimmt die Bruchwahrscheinlichkeit bei konstantem c (d.h. konstantem σ) ¨ mit zunehmendem Volumen zu. Die ‘Uberlebenswahrscheinlichkeit’ (kein Bruch) ist durch Ps = 1 − Pf = e−cV gegeben; sie nimmt mit zunehmendem Volumen ab.

338


Die Gleichung (10.12) ist recht allgemein. Sie enthält keine Annahme u ¨ber die physikalische Natur der Defekte. Ob es sich um Mikrorisse oder um andere Spannungskonzentratoren handelt, ist gleichg¨ ultig. Es versteht sich von selbst, dass man das Volumen bei flächenförmigen bzw. bei stabförmigen Körpern durch die Fläche bzw. die Länge ersetzen kann. Durch Vergleich mit (10.7) erkennt man, dass (10.12) bei festem c eine Exponentialverteilung darstellt. Dabei kann man c = 1/V¯ als Durchschnittskonzentration von Defekten interpretieren. Je kleiner das Durchschnittsvolumen V¯ pro Defekt ist, umso schneller erfolgt der Anstieg von Pf mit V . Man kann die Annahmen, die hinter (10.12) stehen auch als ‘Theorie des schwächsten Kettengliedes’ (weakest link theory) bezeichnen. Danach versagt eine Kette an der Stelle des schwächsten Gliedes, wenn dort die Zugfestigkeit u ¨berschritten wird. In (10.12) ist c(σ) eine zunächst noch unbekannte Funktion. F¨ ur sie wird häufig nach Weibull der empirische Ansatz m ⎧ 1 σ − σu ⎪ ⎨ f¨ ur σ > σu V0 σ0 c(σ) = (10.13) ⎪ ⎩ 0 f¨ ur σ ≤ σu eingef¨ uhrt. Darin sind V0 , σ0 Normierungsgrößen und σu die Schwellenspannung, unterhalb der die Bruchwahrscheinlichkeit Null ist. Diese wird vielfach der Einfachheit halber zu Null gesetzt. Den materialspezifischen Exponenten m bezeichnet man als Weibull-Modul ; einige Werte sind in Tabelle 10.1 angegeben. Einsetzen von (10.13) in (10.12) liefert f¨ ur die Bruchwahrscheinlichkeit die WeibullVerteilung (vgl. (10.7)) m V σ − σu Pf = F (σ) = 1 − exp − , (10.14) V0 σ0 wobei nun V als fest angesehen wird. Tabelle 10.1 Weibull-Modul Material Glas SiC Al2 O3 Graphit Gusseisen

m 2.3 4...10 8...20 12 38

Die Beziehung (10.14) gilt nur f¨ ur einen homogenen einachsigen Spannungszustand. Man kann sie jedoch leicht auf einen inhomogenen einachsigen Spannungszustand verallgemeinern, wie er zum Beispiel in Balken unter Biegung herrscht.

339


Zu diesem Zweck wenden wir (10.11) auf ein Volumenelement ΔVi an, in dem eine konstante Spannung σi herrschen soll: ci = c(σi ). Dann ist F ∗ (ΣΔVi ) = e−c1 ΔV1 e−c2 ΔV2 e−c3 ΔV3 . . . = e−Σci ΔVi die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Summe von Volumenelementen mit unterschiedlicher Spannung kein kritischer Defekt vorhanden ist. Durch Grenzwertbildung ergibt sich F ∗ (V ) = exp[− cdV ], und f¨ ur die Bruchwahrscheinlichkeit erhält man unter Verwendung von (10.13) ⎡ ⎤ m σ − σ 1 u dV ⎦ . Pf = F (σ) = 1 − F ∗ = 1 − exp ⎣− (10.15) V0 σ0 V

10.3.2

Bruchspannung

F¨ ur einen Körper unter homogenen Zug ist F (σ) durch (10.14) gegeben. Setzen wir σu = 0, dann erhält man nach (10.7), (10.8) die mittlere Bruchspannung (=Zugfestigkeit) und die Streuung zu

1 V0 m Γ(1 + 1/m) , σ ¯ = σ = σ0 V 2 < V0 m ; 2 Γ(1 + 2/m) − [Γ(1 + 1/m)]2 . var σ = σ0 V

(10.16)

Dementsprechend hängen beide Größen vom Volumen des Körpers ab. So ergibt sich f¨ ur ein und dasselbe Material bei unterschiedlichen Volumina V1 und V2 σ ¯1 = σ ¯2

V2 V1

1/m ,

(var σ)1 = (var σ)2

V2 V1

2/m .

(10.17)

¯1 /¯ σ2 = 2.24 und Danach folgen zum Beispiel f¨ ur V2 /V1 = 5 und m = 2 die Werte σ (var σ)1 /(var σ)2 = 5. Die mittlere Bruchfestigkeit ist also f¨ ur das kleinere Volumen V1 mehr als doppelt so groß als f¨ ur V2 ; die Streuung ist allerdings ebenfalls größer. Erwähnt sei noch, dass die erste Gleichung von (10.17) die Bestimmung von m erlaubt, indem die mittlere Bruchspannung f¨ ur unterschiedliche Volumina gemessen wird. Wir wollen nun noch den Einfluss eines veränderlichen Spannungszustandes untersuchen. Hierzu betrachten wir als Beispiel einen Balken der Länge l mit Rechteckquerschnitt (Breite b, Höhe h) unter konstantem Biegemoment. Die Spannungsverteilung u ¨ ber die Balkenhöhe ist in diesem Fall durch σ(z) = σB 2z/h gegeben, wobei σB die maximale Spannung am Rand ist. Durch Einsetzen in (10.15) erhält man f¨ ur diesen Fall mit V = lbh und unter Beachtung, dass nur

340


u ¨ber den Zugbereich integriert wird (im Druckbereich werden die Defekte als wirkungslos angenommen!) m 1 V σB Pf = F (σB ) = 1 − exp − . (10.18) V0 σ0 2(m + 1) Die mittlere Bruchspannung unter Biegung (=Biegefestigkeit) und die Streuung ergeben sich damit aus (10.7) zu 1 V0 m Γ(1 + 1/m)[2(m + 1)]1/m , σ ¯B = σB = σ0 V 2 < V0 m ; var σB = σ02 Γ(1 + 2/m) − [Γ(1 + 1/m)]2 [2(m + 1)]2/m . V

(10.19)

Durch Vergleich mit (10.16) erkennt man, dass sich die Abhängigkeit vom Volumen nicht geändert hat. Die mittlere Festigkeit und die Streuung sind f¨ ur Biegung allerdings größer als f¨ ur Zug. Kennzeichnen wir die Größen nach (10.16) mit dem Index ‘Z’, so gilt σ ¯B = [2(m + 1)]1/m , σ ¯Z

var σB = [2(m + 1)]2/m , var σZ

(10.20)

σZ = 1.64 folgt. woraus zum Beispiel f¨ ur m = 5 das Ergebnis σ ¯B /¯ 10.3.3

Verallgemeinerungen

Das Weibullsche Bruchkonzept lässt sich in verschiedene Richtungen verallgemeinern. So kann man es auf Druckspannungen und auf mehrachsige Spannungszustände erweitern. Daneben ist es möglich, die im konkreten Fall vorliegende Defektstruktur durch geeignete mikromechanische Modelle zu erfassen und damit das statistische Konzept abzust¨ utzen. Außerdem kann man das Weibullsche Konzept auch zur Beschreibung des zeitabhängigen Bruchs zum Beispiel von faserverstärkten Materialien einsetzen. In diesem Fall f¨ uhrt man f¨ ur c anstelle von (10.13) einen Ansatz vom Typ c = α tβ ein, wobei α und β von der Spannung σ abhängen und t die Zeit ist. Wir wollen hier nur eine Erweiterungsmöglichkeit diskutieren. Hierbei nehmen wir an, dass nicht nur ein einziger kritischer Defekt zum Bruch f¨ uhrt, sondern dass dazu eine bestimmte minimale Zahl n > 1 von kritischen Defekten erforderlich ist. Hiermit trägt man der Beobachtung Rechnung, dass oft viele Defekte (z.B. Mikrorisse) wachsen, bevor es zum endg¨ ultigen Versagen kommt. Ausgangspunkt ist die Wahrscheinlichkeit ∗ PX=k =

1 (cV )k e−cV , k!

(10.21)

341

Probabilistische bruchmechanische Analyse

f¨ ur das Auftreten von genau k voneinander unabhängigen kritischen Defekten im Volumen V . Sie wird auch als Poisson-Verteilung bezeichnet, und sie enthält als Spezialfall f¨ ur k = 0 die Wahrscheinlichkeit (10.11) f¨ ur das Nichtauftreten eines Defektes in V . Dann ergibt sich die Wahrscheinlichkeit f¨ ur das Vorliegen von weniger als n Defekten in V aus der Summe der Wahrscheinlichkeiten des Auftretens von 0 bis (n − 1) Defekten: ∗ PXn−1 = 1 − PX

Bruchmechanik: Mit einer Einführung in die Mikromechanik, 5. Auflage

Bruchmechanik: Mit einer Einführung in die Mikromechanik

Bruchmechanik: Mit einer Einfuhrung in die Mikromechanik 4. Auflage

Konzepte objektorientierter Programmierung: Mit einer Einführung in Java, 2.Auflage

Schnelleinstieg in die Buchführung. 5. Auflage

Mit einer Klappe

Verheiratet mit einer Untoten

Hydrodynamik und Strukturbildung: Mit einer kurzen Einführung in die Kontinuumsmechanik

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Einführung in Perl, 5. Auflage

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Die „Heilige Ordnung“ der Manner, 5. Auflage

Venedig und die Lagune, 5. Auflage (CityGuide)

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Uroonkologie 5. Auflage

Innere Medizin 5. Auflage

Ingenieurgeologie, 5. Auflage

Vorkurs Mathematik, 5. Auflage

Bruchmechanik: Mit einer Einführung in die Mikromechanik, 5. Auflage