Analisis No Estandar

Carlos Ivorra ´ ´ ANALISIS NO ESTANDAR Si una cantidad no negativa fuera tan peque˜ na que resultara menor que cualqu...

Author: Ivorra Castillo Carlos

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Carlos Ivorra

´ ´ ANALISIS NO ESTANDAR

Si una cantidad no negativa fuera tan peque˜ na que resultara menor que cualquier otra dada, ciertamente no podr´ıa ser sino cero. A quienes preguntan qué es una cantidad infinitamente peque˜ na en matemáticas, nosotros respondemos que es, de hecho, cero. As´ı pues, no hay tantos misterios ocultos es este concepto como se suele creer. Esos supuestos misterios han convertido el c´ alculo de lo infinitamente peque˜ no en algo sospechoso para mucha gente. Las dudas que puedan quedar las resolveremos por completo en las p´ aginas siguientes, donde explicaremos este cálculo. Leonhard Euler

Índice General Introducci´ on

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Tema I: Teor´ıa de conjuntos no est´ andar

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Tema II: An´ alisis de una variable 2.1 N´ umeros finitos e infinitesimales 2.2 Continuidad . . . . . . . . . . . . 2.3 La topolog´ıa de R . . . . . . . . 2.4 Derivadas . . . . . . . . . . . . . 2.5 La integral de Riemann . . . . .

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Tema III: Topolog´ıa 3.1 Conceptos b´ asicos . . . . . 3.2 Topolog´ıa elemental . . . . 3.3 Compacidad y completitud 3.4 Espacios de funciones . . .

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Tema IV: An´ alisis de varias variables Tema V: Conceptos y t´ ecnicas no 5.1 Principios de permanencia . . 5.2 La sombra de un conjunto . . 5.3 Funciones S-continuas . . . . 5.4 Funciones de clase S 1 . . . .

est´ andar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Ap´ endice A: La teor´ıa de Hrbacek

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Ap´ endice B: El teorema de conservaci´ on B.1 Modelos internos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.2 Ultrapotencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.3 L´ımites inductivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.4 El teorema de conservación para la teor´ıa de Hrbacek

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Bibliograf´ıa

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´ Indice de Materias

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Introducci´ on En la historia de las matem´ aticas nos encontramos con muchos momentos en que los matemáticos han manejado con seguridad —por no decir con virtuosismo— conceptos cuya naturaleza y propiedades b´ asicas eran incapaces de precisar. El ejemplo t´ıpico lo tenemos en los algebristas de los siglos XVII y XVIII, que eran capaces de encontrar ra´ıces reales de polinomios pasando, en caso de ser necesario, por ra´ıces “imaginarias” de otros polinomios que aparec´ıan a lo largo del c´ alculo. Los n´ umeros imaginarios eran concebidos como unos conceptos ficticios en los que, sin saber cómo ni por qué, se pod´ıa “confiar”, en el sentido de que al incluirlos en los c´ alculos llevaban a conclusiones correctas. Naturalmente, la raz´ on por la que los c´ alculos con n´ umeros complejos eran correctos es que es posible construir los n´ umeros complejos, de tal modo que lo que hac´ıan los algebristas —aunque no lo supieran— era usar una serie de teoremas que no sab´ıan demostrar o siquiera enunciar (los n´ umeros complejos forman un cuerpo, etc.) Hay muchos otros casos similares: los f´ısicos han estado derivando funciones no derivables durante mucho tiempo, con la convicci´ on de que las derivadas eran unas “funciones generalizadas” que no sab´ıan definir, pero en la que también “se pod´ıa confiar”. La raz´ on por la que estos cálculos con funciones misteriosas que no eran funciones no llevaban a paradojas y contradicciones es, por supuesto, que es posible construir unos objetos (las distribuciones) con las propiedades que los f´ısicos postulaban impl´ıcitamente en el uso que hac´ıan de sus funciones generalizadas. También Kummer usó unos “divisores primos ideales” que no exist´ıan, y que finalmente formaliz´ o Dedekind a través de la noción de ideal de un anillo, los propios n´ umeros reales no estuvieron exentos de polémicas sobre sus propiedades hasta que Dedekind y Cantor dieron las primeras construcciones expl´ıcitas, etc. El an´ alisis no estándar es la respuesta u ´ltima a una asignatura pendiente que ten´ıa la matemática. En su origen, el c´ alculo diferencial se bas´ o también en unos “n´ umeros ideales” que nadie sab´ıa definir porque ten´ıan que ser no nulos y a la vez menores que cualquier cantidad positiva. Eran los infinitésimos. Por ejemplo, Leibniz explicaba as´ı el cálculo de la derivada de f (x) = x2 : tomamos un infinitésimo dx, calculamos el incremento df = f (x + dx) − f (x) y lo dividimos entre la cantidad (no nula) dx. Resulta df = 2x + dx. dx Ahora bien, puesto que dx es una cantidad infinitesimal, la presencia del u ´ltimo término es insignificante, por lo que podemos eliminarla y as´ı df = 2x + dx = 2x. dx Leibniz era consciente de las contradicciones de este argumento: primero suponemos que dx = 0 pero luego lo eliminamos como si fuera dx = 0. Pese a ello, también era consciente de que los resultados a los que se llegaba con este tipo de razonamientos eran correctos y estaba convencido de que los argumentos con infinitésimos ten´ıan que poder reformularse a argumentos “del estilo de Arqu´ımedes”, lo cual hoy es f´ acil traducir a “mediante pasos al l´ımite”. vii

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Introducci´ on

Uno de los grandes virtuosos de los infinitésimos fue Euler, quien parec´ıa convencido de que bastaba concebirlos como n´ umeros arbitrariamente peque˜ nos (pero no nulos) en lugar de como n´ umeros infinitamente peque˜ nos. Sin embargo sus razonamientos están bastante lejos del estilo moderno − δ. Al contrario de lo que sucedi´ o con los n´ umeros reales, los n´ umeros complejos, las distribuciones o los n´ umeros ideales de Kummer, los matemáticos del siglo XIX y la primera mitad del siglo XX fueron incapaces de construir unos objetos que se comportaran como deb´ıan comportarse los infinitésimos, y el resultado fue que los erradicaron de la matem´ atica teórica. Cauchy introdujo (con infinitésimos a´ un) la noci´ on de l´ımite y mostró que los restantes conceptos del análisis pod´ıan expresarse en términos de l´ımites. Posteriormente Weierstrass introdujo las definiciones y los razonamientos − δ. Ahora bien, la rebeld´ıa de los infinitésimos a dejarse formalizar no los hac´ıa menos pr´ acticos, por lo que los f´ısicos siguieron us´ andolos, con la convicci´ on de que son mucho m´ as intuitivos y c´ omodos que los épsilons y las deltas. El hecho de que los infinitésimos “funcionaran” indicaba claramente que deb´ıan poder construirse. Hubo algunos intentos previos poco satisfactorios, pero s´ olo a finales de los 60, Abraham Robinson consigui´ o este objetivo. Del trabajo de Robinson se sigue que es posible formalizar el c´ alculo diferencial definiendo las derivadas como cocientes de incrementos infinitesimales, porque, si bien en R no hay infinitésimos (como tampoco hay n´ umeros con ra´ız cuadrada negativa), lo cierto es que es posible extender R a un cuerpo que los tenga (igual que puede extenderse a C). Por desgracia, los infinitésimos de Robinson se constru´ıan y se manejaban mediante técnicas de l´ ogica matemática, que resultan bastante complejas y artificiales para los matem´ aticos no familiarizados con esta disciplina. No obstante, a finales de los 60 y principios de los 70 surgieron aproximaciones axiom´ aticas al an´ alisis no estándar, es decir, en lugar de construir los infinitésimos, que es complicado, lo que se hace es postular mediante unos axiomas sencillos su existencia y sus propiedades. Es como si en un curso de introducci´ on al an´ alisis no construimos los n´ umeros reales sino que postulamos la existencia de un cuerpo ordenado completo y arquimediano. El resultado es que partimos exactamente del mismo punto a donde habr´ıamos llegado si hubiésemos empezado por la construcción de R. Naturalmente, al eliminar la construcci´ on perdemos una informaci´ on, y es que el axioma que postula la existencia de R es en realidad un axioma inesencial, en el sentido de que todo lo que se demuestra con él, se puede demostrar también sin él (simplemente, demostrándolo y convirtiéndolo as´ı en un teorema). Lo mismo sucede con el análisis no estándar: Nosotros partiremos de una versi´ on axiom´ atica, pero debemos tener presente que los objetos cuya existencia postulan estos axiomas pueden ser construidos, de modo que los axiomas del an´ alisis no estándar no son como otros axiomas que pueden a˜ nadirse a los usuales (tales como la hip´ otesis del continuo, el axioma de Martin, etc.) sino que son “eliminables”, en el sentido de que cualquier afirmaci´ on “estándar” que pueda demostrarse con ellos, puede demostrarse también sin ellos. La prueba de este hecho (junto con algunas precisiones al enunciado que aqu´ı ser´ıa dif´ıcil explicar) la hemos incluido como apéndice. Para comprender c´ omo han de ser entendidos los infinitésimos del análisis no estándar, conviene compararlos con otros objetos ideales que no costó tanto formalizar: los puntos infinitos de la geometr´ıa proyectiva. La geometr´ıa proyectiva (plana) parte del supuesto de que las rectas paralelas tienen un punto en com´ un en el infinito. De este modo, dos rectas cualesquiera se cortan en un punto: éste será un punto finito si son realmente secantes y será un punto infinito si son paralelas. Con la introducci´ on de los puntos infinitos la “l´ ogica” de la geometr´ıa se vuelve mucho más simple y es posible tratar unificadamente casos que en la geometr´ıa eucl´ıdea plana son muy diferentes (por ejemplo, todas las c´ onicas son iguales: una par´ abola es una elipse con un punto en el infinito y una hipérbola es una elipse con dos puntos en el infinito, las as´ıntotas son las tangentes en el infinito, etc.) Si consideramos que “los objetos geométricos reales” son los puntos del plano eucl´ıdeo, entonces los puntos infinitos son “ideales” y, efectivamente, por mucho que prolonguemos dos rectas paralelas nunca encontraremos ese punto infinito en el que se supone que se cortan. Desde este punto de vista, los puntos infinitos son una invenci´ on u ´til para estudiar los objetos geométricos. Similarmente, la base del an´ alisis no estándar consiste en postular la existencia de “n´ umeros naturales infinitos”, es decir,

ix n´ umeros naturales mayores que 0, 1, 2, . . . y que nunca encontraremos por m´ as que avancemos en la sucesión de los n´ umeros naturales. Estos n´ umeros infinitos son como los puntos infinitos, un auxiliar espectacularmente u ´til para razonar con los objetos finitos. Debemos comprender que estos n´ umeros pueden ser construidos, exactamente igual que se construyen n´ umeros con ra´ız cuadrada negativa o derivadas de funciones discontinuas (distribuciones). El hecho de que su construcci´ on sea complicada no significa nada. Una vez admitimos su existencia, de aqu´ı obtenemos muchas consecuencias. Si µ es un n´ umero natural infinito, entre µ y µ + 1 tiene que haber infinitos n´ umeros racionales e irracionales infinitos, si ρ es un n´ umero real infinito (digamos positivo) entonces ξ = 1/ρ es un infinitésimo, es decir, un n´ umero real no nulo pero menor que 1/2, y que 1/3, y que 1/4, y que cualquier n´ umero real que podamos “ver” en una recta. Los axiomas que vamos a dar garantizan que estos n´ umeros infinitos e infinitesimales se comportan exactamente como deben comportarse para que podamos definir o caracterizar los l´ımites, las derivadas y las integrales en términos muy similares a como lo hac´ıan Leibniz o Euler. En realidad, la teor´ıa no estándar que vamos a desarrollar es una teor´ıa de conjuntos no est´ andar, capaz de tratar con los mismos principios los n´ umeros reales y los espacios topológicos en general, con lo que tenemos realmente una topolog´ıa no estándar, un an´ alisis funcional no est´ andar, una teor´ıa de la medida no estándar, una geometr´ıa diferencial no est´ andar etc. De todos modos, el prop´ osito de este curso es meramente introductorio, as´ı que nos limitaremos a exponer cu´ al es el tratamiento no estándar del cálculo infinitesimal de una y varias variables y la topolog´ıa b´ asica. Con ello esperamos mostrar que las técnicas no estándar son a menudo mucho m´ as intuitivas y a´giles que las técnicas estándar usuales. Uno de los inconvenientes principales del an´ alisis estándar es que a menudo hay que precisar locuciones como “suficientemente peque˜ no” mediante condiciones del estilo de |x| < 2 /3M . Esto obliga a hacer cuentas m´ as o menos engorrosas cuyos resultados deben ir formalmente al principio de las pruebas cuando realmente s´ olo pueden obtenerse al final, lo que vuelve artificiales los argumentos. En an´ alisis no estándar “suficientemente peque˜ no” se sustituye por “infinitesimal”, lo cual no requiere ninguna precisi´ on. Por ejemplo, para mostrar la continuidad de x2 no necesitamos estudiar cuánto podemos aumentar x sin que x2 aumente más de , sino que basta observar que si ξ es un n´ umero infinitesimal entonces (x + ξ)2 = x2 + 2xξ + ξ 2 , con lo que el incremento ha sido de 2xξ + ξ 2 , que es infinitesimal, porque el producto de un n´ umero finito por otro infinitesimal es infinitesimal y la suma de n´ umeros infinitesimales es infinitesimal. As´ı, incrementos infinitesimales producen incrementos infinitesimales, y eso es la continuidad. Una cuestión delicada es si el análisis no estándar ofrece ventajas frente al an´ alisis clásico de cara a la investigaci´ on. Hasta la fecha no hay ning´ un resultado demostrado con técnicas no estándar y que no pueda demostrarse de forma razonablemente pareja en dificultad mediante técnicas estándar. En cualquier caso, no ser mejor no significa ser peor. Al contrario, como ya hemos comentado, las técnicas no estándar aportan por regla general sencillez y claridad y, en definitiva, elegancia. Aspectos no esenciales, sin duda, pero nada desde˜ nables en matemáticas. Por citar un ejemplo concreto, el quinto problema de Hilbert consist´ıa en determinar si todo grupo topol´ ogico localmente eucl´ıdeo es un grupo de Lie. El problema fue resuelto afirmativamente en 1952 por Montgomery, Zippin y Gleason. En 1964 Kaplanski public´ o otra demostración. Sin embargo, en 1976 se celebró un congreso sobre los problemas de Hilbert en el que un especialista de cada rama deb´ıa explicar la soluci´ on de los que ya hab´ıan sido resueltos, pero el correspondiente a este problema dijo que las demostraciones conocidas eran tan técnicas y tan complejas que no pod´ıa siquiera esbozarlas. En 1990 J. Hirschfeld public´ o1 una prueba no est´ andar mucho m´ as simple y, cuanto menos, esbozable. Por otra parte el an´ alisis no estándar era, seg´ un dec´ıamos, una “asignatura pendiente” que ten´ıa la matemática teórica, pues el an´ alisis era no estándar cuando naci´ o y nunca ha dejado de existir en forma no est´ andar pese a su falta de rigor, por lo que no es descabellado decir que muchas de las ideas subyacentes bajo los épsilon y los delta modernos no pueden entenderse plenamente sin conocer la versi´ on 1 J.

Hirschfeld, The nostandard treatment of Hilbert’s fifth problem, Trans. Amer. Math. Soc. 321 (1) (1990).

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Introducci´ on

rigurosa del marco conceptual en que surgieron. La u ńica diferencia entre el an´ alisis no estándar y la teor´ıa de los n´ umeros complejos, las distribuciones o la geometr´ıa proyectiva es que, para el momento en se dispuso de una ter´ıa rigurosa sobre los infinitésimos, los matemáticos ya hac´ıa mucho que se hab´ıan rendido ante el problema y hab´ıan buscado una teor´ıa sustitutiva que hac´ıa prescindible a la otra.

Tema I

Teor´ıa de conjuntos no est´ andar La matemática trata con una inmensa variedad de conceptos: espacios vectoriales, funciones continuas, variedades diferenciales, fractales, etc. Por regla general, cada una de estas nociones est´ a determinada por una definici´ on que reduce el concepto definido a otros conceptos conocidos. Podemos entender que una definici´ on noes más que una mera abreviatura. Por ejemplo, el concepto de “inclusi´ on” se define como x ⊂ y ≡ u(u ∈ x → u ∈ y). Esto significa que cada vez que escribimos algo como N ⊂ R debemos entender que no es sino una forma abreviada de escribir u(u ∈ N → u ∈ R). Si tomamos cualquier enunciado matem´ atico y vamos sustituyendo en él cada término definido por su definici´ on, iremos obteniendo enunciados cada vez m´ as largos, pero tras un n´ umero finito de pasos llegaremos a un enunciado en el que no habr´ a más términos que sustituir. Esto suceder´ a cuando los u ńicos signos que aparezcan sean variables x, y, z, . . . , los signos l´ ogicos, como →, ¬, , =, etc. y el ´ relator de pertenencia ∈. Estos son los signos del lenguaje de la teor´ıa de conjuntos propiamente dicho. Cualquier otro signo no forma parte de este lenguaje, sino que es una abreviatura de signos de este lenguaje. Mientras que las propiedades de un concepto definido se deducen de su definici´ on, las propiedades de los signos no definidos est´ an determinadas axiom´ aticamente. Los axiomas lógicos determinan las propiedades de los signos l´ ogicos, tales como que α ∧ β ↔ β ∧ α, mientras que las propiedades de ∈ están determinadas por los axiomas de la teor´ıa de conjuntos. Aunque hay varias teor´ıas de conjuntos m´ as o menos equivalentes, nosotros consideraremos u ńicamente la teor´ıa de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC). No es necesario especificar sus axiomas. Basta saber que a partir de ellos se pueden demostrar todos los teoremas que los matemáticos reconocen como tales.1 Nosotros vamos a trabajar en la axiom´ atica de Nelson [5] para la teor´ıa de conjuntos no est´ andar. El lenguaje de esta teor´ıa consta de los mismos signos que el de la teor´ıa de conjuntos cl´ asica más un nuevo signo st, de modo que la f´ ormula st x se leerá “x es estándar”. Seg´ un estamos diciendo, no hay una definici´ on de “estándar”, pero, al igual que x ∈ y se interpreta informalmente como que el conjunto x es un elemento del conjunto y, la f´ ormula st x se interpreta como que x es un conjunto definible en la matemática clásica de ZFC. No obstante, hemos de recalcar que esto no es una definición. As´ı, seg´ un esta interpretaci´ on informal, el conjunto N “debe” ser un conjunto est´ andar, pero en u ´ltima instancia esto habr´ a que demostrarlo a partir de los axiomas que daremos sobre conjuntos est´ andar y no est´ andar. Podemos dividir las f´ ormulas2 del lenguaje de la teor´ıa de conjuntos no est´ andar en internas y 1 En realidad existen axiomas adicionales, como el axioma de Martin, el axioma de constructibilidad, la existencia de cardinales inaccesibles, etc. que tienen consecuencias adicionales no demostrables en ZFC, pero a´ un as´ı podemos considerar que estos resultados son teoremas de ZFC de la forma “el axioma de Martin implica que . . . ” 2 Aunque no va a ser necesario ning´ un conocimiento importante de l´ ogica matem´ atica, s´ı conviene usar algunos conceptos t´ ecnicos del ´ area: las f´ ormulas de un lenguaje son todas las combinaciones de signos sint´ acticamente correctas que “afirman”

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Tema 1. Teor´ıa de conjuntos no est´ andar

externas. Llamaremos fórmulas internas a aquellas que no contienen el nuevo signo st, es decir, a las f´ ormulas de la teor´ıa de conjuntos cl´ asica (ZFC). Por el contrario, las f´ ormulas externas son las que s´ı contienen el signo st. Pasemos ahora a describir los axiomas de la teor´ıa no estándar. En primer lugar: Todos los axiomas de ZFC son también axiomas de la teor´ıa de conjuntos no est´ andar. Como consecuencia, todos los teoremas clásicos siguen siendo teoremas de la teor´ıa de conjuntos no estándar sin cambio o precisi´ on alguna. Ahora bien, hay una falacia en la que es muy importante no caer: Los matemáticos definen con toda libertad conjuntos como {x ∈ R | x2 > 5}. Formalmente, esto está justificado por los axiomas de ZFC, que permiten demostrar que, bajo condiciones m´ınimas, cualquier propiedad define un conjunto. Ahora bien, los axiomas de ZFC son todos f´ ormulas internas, por lo que no dicen nada sobre en qué condiciones una f´ ormula externa define un conjunto. As´ı, el hecho de suponer estos axiomas no nos da derecho a postular la existencia de algo as´ı como {x ∈ R | st x ∧ x2 > 5}. La f´ ormula st x ∧ x2 > 5 es externa, luego no podemos ampararnos en ning´ un axioma o teorema de ZFC para justificar la existencia de este conjunto. Cuando introduzcamos los axiomas adicionales que regulan el uso del signo st veremos en qué condiciones podemos hacer algo similar a esto, pero de momento conviene pensar que las f´ ormulas externas NO definen conjuntos. El “conjunto” anterior simplemente no existe. Para enunciar los axiomas restantes de la teor´ıa de conjuntos no est´ andar conviene introducir la siguiente notaci´ on: si α es una f´ ormula, escribiremos st st xα ≡ x(st x → α), xα ≡ x(st x ∧ α). El primer axioma adicional es el siguiente: Principio de Transferencia Si α(x, x1 , . . . , xn ) es una f´ ormula interna cuyas variables libres sean exactamente las indicadas, la f´ ormula siguiente es un axioma:3 st st x1 · · · xn ( xα(x, x1 , . . . , xn ) → xα(x, x1 , . . . , xn )). Equivalentemente, (considerando el axioma correspondiente a ¬α e invirtiendo la implicaci´ on) st st x1 · · · xn ( xα(x, x1 , . . . , xn ) → xα(x, x1 , . . . , xn )). Informalmente, el principio de transferencia puede enunciarse as´ı: Si todo conjunto est´ andar cumple una propiedad interna que depende a lo sumo de par´ ametros est´ andar, entonces todo conjunto (est´ andar o no) cumple dicha propiedad. Equivalentemente, si existe un conjunto (est´ andar o no) que cumple una propiedad interna con par´ ametros est´ andar, entonces existe un conjunto est´ andar que también la cumple. algo, no necesariamente f´ ormulas matem´ aticas del estilo de x2 + y 2 = z 2 . Por ejemplo, todos los teoremas son f´ ormulas. As´ı mismo hablaremos de variables libres y ligadas en una f´ ormula. Por ejemplo, en la fórmula u(u ∈ x → u ∈ y) la variable u est´ a ligada (porque est´ a afectada por el cuantificador ) mientras que las variables x e y est´ an libres. 3 En t´ erminos estrictos, el principio de transferencia no es un axioma, sino un grupo de infinitos axiomas, uno por cada α(x, x1 , . . . , xn ). Lo mismo vale para los otros dos principios que vamos a introducir luego.

3 Como primera consecuencia: Todo conjunto definible expl´ıcitamente en ZFC es est´ andar. Consideremos por ejemplo el conjunto vac´ıo. La f´ ormula x = ∅ es interna y no tiene par´ ametros (su u ńica variable libre es x). Por lo tanto podemos aplicarle el principio de transferencia, en virtud del cual

xx = ∅ →

st

x x = ∅.

Ahora bien, la hip´ otesis es trivialmente cierta (es un teorema de ZFC), luego también lo es la tesis, que a su vez implica claramente st ∅. El mismo razonamiento aplicado a la f´ ormula x = N nos da que N es un conjunto est´ andar, y lo √ mismo vale para Z, Q, R, C, 0, 1, 2, π, 3/4, 3, etc. Si consideramos f´ ormulas con par´ ametros tenemos un resultado más general: Todo conjunto definible expl´ıcitamente (en ZFC) a partir de conjuntos est´ andar es est´ andar. Por ejemplo, la uni´ on de conjuntos est´ andar es estándar. Para probarlo basta considerar la f´ ormula interna x = y ∪ z, donde consideramos a y y a z como parámetros. El principio de transferencia dice que st st yz( x x = y ∪ z → x x = y ∪ z). As´ı pues, fijados dos conjuntos est´ andar y y z, trivialmente tenemos que x x = y ∪ z y por transfest rencia x x = y ∪ z, lo que equivale a que y ∪ z es estándar. El mismo razonamiento nos da que si y y z son estándar también lo son {y, z}, (y, z), y ∩ z, y × z, Py, etc. Igualmente podemos considerar propiedades que no tengan sentido para par´ ametros arbitrarios. Por ejemplo, veamos que la suma de n´ umeros reales estándar es estándar. Consideramos la f´ ormula interna x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ z ∈ R ∧ x = y + z. El principio de transferencia nos da que st yz( x(x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ z ∈ R ∧ x = y + z) → st

x(x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ z ∈ R ∧ x = y + z))

As´ı pues, fijados y, z ∈ R estándar, trivialmente tenemos x(x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ z ∈ R ∧ x = y + z), luego se cumple la tesis, que claramente implica que y + z es estándar. Veamos otro ejemplo: Si f : y −→ z es una funci´ on estándar y u ∈ y es estándar, entonces f (u) es estándar. Basta aplicar el principio de transferencia a la f´ ormula interna f es una funci´ on ∧ u ∈ dominio de f ∧ x = f (u), con par´ ametros f y u. Similarmente se prueba que el dominio de una funci´ on estándar es un conjunto est´ andar, que un intervalo [a, b] de n´ umeros reales es estándar si y s´ olo si lo son sus extremos a y b, etc. El segundo axioma nos da la existencia de conjuntos no est´ andar.

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Principio de Idealizaci´ on Si α(x, y) es una f´ ormula interna con al menos las variables libres x, y, entonces la f´ ormula siguiente es un axioma: st st z(z finito → x y ∈ z α(x, y)) ↔ x yα(x, y). El miembro izquierdo del axioma afirma que la f´ ormula interna α(x, y) determina una relaci´ on concurrente, es decir, que dado cualquier familia est´ andar finita z de conjuntos existe un conjunto x relacionado con todos ellos. As´ı, el principio de idealizaci´ on puede leerse as´ı: Una relaci´ on interna (tal vez con par´ ametros no est´ andar) es concurrente si y s´ olo si hay un conjunto relacionado con todos los conjuntos est´ andar. El resultado b´ asico sobre existencia de conjuntos no estándar es el siguiente: Teorema 1.1 Un conjunto es est´ andar y finito si y s´ olo si todos sus elementos son est´ andar. ´ n: Sea A un conjunto. Aplicamos el principio de idealizaci´ Demostracio on a la relaci´ on interna α(x, y) = x ∈ A ∧ x = y, donde A aparece como parámetro (no necesariamente estándar). La relaci´ on α es concurrente si y sólo si st z(z finito → x y ∈ z(x ∈ A ∧ x = y)) o equivalentemente, si A no está contenido en ning´ un conjunto est´ andar y finito z. Por tanto, si A es estándar y finito, por el principio de idealizaci´ on, st x y(x ∈ A ∧ x = y), pero esto equivale a que todos los elementos de A son estándar. Rec´ıprocamente, si todos los elementos de A son estándar tenemos que la relaci´ on α no es concurrente, y por tanto A está contenido en un conjunto est´ andar y finito z. Entonces A es finito y A ∈ Pz. Por el principio de transferencia, Pz es estándar y, como también es finito, la parte ya probada permite concluir que Pz sólo tiene elementos estándar. Luego A es también estándar. En la pr´ actica no es frecuente trabajar con relaciones definidas sobre todos los conjuntos, sino s´ olo sobre un conjunto prefijado. Por ello suele ser m´ as u ´til la siguiente versi´ on relativizada del principio: Teorema 1.2 Si α(x, y) es una f´ ormula interna con al menos las variables libres x, y, entonces la f´ ormula siguiente es un teorema: st st A z(z ⊂ A ∧ z finito → x y ∈ z α(x, y)) ↔ x y ∈ Aα(x, y) . ´ n: Aplicamos el principio de idealizaci´ Demostracio on a la f´ ormula β(x, y) ≡ y ∈ A → α(x, y). Si la relaci´ on α es concurrente en A, es decir, si cumple el miembro izquierdo del enunciado, entonces, para cada conjunto z estándar y finito tenemos que el conjunto z = z ∩ A es estándar (por el teorema anterior), es finito y est´ a contenido en A. Por hip´ otesis x y ∈ z α(x, y)), y esto es equivalente a que st x y ∈ z β(x, y). As´ı pues, β es concurrente, luego por el principio de idealizaci´ on x y β(x, y), lo st cual equivale a x y ∈ Aα(x, y). El rec´ıproco se prueba igualmente. Por ejemplo, aunque del teorema 1.1 ya se sigue que N contiene elementos no estándar, podemos probarlo directamente con el teorema anterior para A = N y la relaci´ on α(x, y) ≡ x ∈ N ∧ y ∈ N ∧ y < x.

5 La relación es concurrente en N, pues dado un conjunto finito de n´ umeros naturales siempre st existe x ∈ N mayor que todos sus elementos. Por consiguiente deducimos que existe µ ∈ N tal que n ∈ N n < µ, es decir, µ es un n´ umero natural mayor que todos los n´ umeros naturales estándar. En realidad, todo n´ umero natural no est´ andar es mayor que todos los n´ umeros naturales estándar, pues si n ∈ N es estándar el conjunto {m ∈ N | m < n} es estándar (porque est´ a definido a partir de un par´ ametro estándar n) y finito, luego por el teorema 1.1 todos sus elementos son estándar. Definici´ on 1.3 Los n´ umeros naturales no estándar se llaman también n´ umeros naturales infinitos, mientras que los n´ umeros naturales estándar se llaman n´ umeros naturales finitos. Esta definici´ on requiere ciertas precauciones: si µ es un n´ umero natural no est´ andar, decimos que es infinito para reflejar que I = {n ∈ N | n < µ} contiene al 0 y al 1, y al 2, y a todos los n´ umeros naturales que podemos nombrar, es decir, contiene “infinitos” n´ umeros naturales. Ahora bien, es un teorema de la teor´ıa de conjuntos que cada n´ umero natural deja bajo s´ı una cantidad finita de n´ umeros naturales, por lo que el conjunto I es finito. De hecho, su cardinal es un n´ umero natural, a saber, µ. Expresaremos esto diciendo que I es “internamente finito” pero “externamente infinito”. Con esto queremos indicar que te´ oricamente es finito, es decir, le podemos aplicar cualquier resultado v´ alido para conjuntos finitos, pero, visto metamatem´ aticamente, lo cierto es que contiene infinitos elementos (tenemos infinitos teoremas 0 ∈ I, 1 ∈ I, 2 ∈ I, etc. que muestran que en I hay infinitos elementos, pero no tenemos un u ńico teorema que exprese que I es infinito). Vemos, pues, que no debe sorprendernos que un conjunto del que sabemos que tiene infinitos elementos pueda ser internamente finito. De hecho, tenemos el siguiente resultado: Teorema 1.4 Existe un conjunto finito que contiene a todos los conjuntos est´ andar. ´ n: Basta aplicar el principio de idealizaci´ Demostracio on a la f´ ormula α(x, y) ≡ y ∈ x ∧ x es finito.

Existen varias aproximaciones a la teor´ıa de conjuntos no est´ andar en las que no se cumplen exactamente los mismos hechos básicos. En la teor´ıa que estamos estudiando el principio de idealizaci´ on es especialmente fuerte, por lo que de cara a traducir los resultados a otras aproximaciones al an´ alisis no estándar, conviene observar que en ning´ un momento usaremos el principio de idealizaci´ on en toda su generalidad, sino que nos bastar´ a usar los teoremas 1.1, 1.2 y la siguiente versión débil del teorema anterior: Teorema 1.5 Todo conjunto A tiene un subconjunto finito B que contiene a todos sus elementos est´ andar. ´ n: Basta tomar F ∩ A, donde F es un conjunto finito que contenga a todos los Demostracio conjuntos est´ andar. Conjuntos externos Los resultados que acabamos de ver originar´ an sin duda vacilaciones en todos aquellos que no estén familiarizados con el an´ alisis no estándar. Para erradicarlas, debemos insistir ante todo en que todos los teoremas clásicos están a nuestra disposici´ on en la teor´ıa no estándar. Por ejemplo, es un teorema de la teor´ıa de conjuntos que dos n´ umeros naturales cualesquiera se pueden sumar, y esto sigue valiendo ahora (tanto para n´ umeros estándar como no est´ andar), de modo que no tendr´ıa sentido cuestionarse si está definida la suma de n´ umeros naturales no estándar. Similarmente, a todo n´ umero natural se le puede restar otro menor, etc.

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Por otra parte, el principio de de n´ umeros estándar es transferencia nos garantiza que la suma st estándar: tenemos que xy ∈ N z ∈ N z = x + y, luego en particular xy ∈ N z ∈ N z = x + y y st st por transferencia concluimos que xy ∈ N z ∈ N z = x + y. Ejercicio: Demostrar que la suma de un n´ umero natural finito y un n´ umero infinito es infinita. Ídem con la suma de dos n´ umeros infinitos.

Vemos as´ı que si µ es un n´ umero natural infinito, entonces 1 < µ, luego podemos calcular µ − 1 y el resultado es infinito (porque en caso contrario µ = 1 + (µ − 1) ser´ıa finito). A partir de aqu´ı es fácil llegar a una falacia: Puesto que todo conjunto no vac´ıo de n´ umeros naturales tiene un m´ınimo elemento, debe existir el m´ınimo n´ umero natural infinito µ, pero por otra parte, µ − 1 deber´ıa ser un n´ umero infinito menor, y tenemos una contradicci´ on. El error est´ a en que aqu´ı estamos considerando impl´ıcitamente el conjunto de todos los n´ umeros naturales infinitos I = {n ∈ N | ¬ st n}, (1.1) pero la f´ ormula ¬ st n es externa, y ya hab´ıamos advertido que ning´ un axioma garantiza que se puedan definir conjuntos mediante f´ ormulas externas. De hecho, el razonamiento anterior es una prueba de que, en este caso concreto, no es posible: Es un teorema de la teor´ıa de conjuntos no est´ andar que no existe ning´ un conjunto cuyos elementos sean exactamente los n´ umeros naturales infinitos. Pese a ello, es conveniente mantener la notación (1.1): podemos escribir cosas como 4 ∈ / I, I ⊂ N, I ∩(N\I) = ∅ como forma abreviada de indicar que 4 no es un n´ umero infinito, que todo n´ umero infinito es un n´ umero natural o que ning´ un n´ umero natural es a la vez finito o infinito. Todas estas afirmaciones tienen completo sentido en el marco de la teor´ıa, pese a que el propio I no lo tenga en sentido estricto. A estos “conjuntos”, que se puede demostrar que no existen, pero de los que podemos hablar en este sentido, los llamaremos conjuntos estrictamente externos. Esta noci´ on es equivalente a la noci´ on de “clase propia” en la teor´ıa de conjuntos de ZFC: la clase V de todos los espacios vectoriales, o la clase B de todos los espacios de Banach “no existen”, en el sentido de que se puede demostrar que ning´ un conjunto contiene a todos los espacios vectoriales, o a todos los espacios de Banach.4 No obstante tiene sentido afirmar que B ⊂ V . Cuando queramos hablar de un conjunto sin distinguir si es interno o estrictamente externo diremos que es externo. Por ejemplo, conviene definir, para cada conjunto A, el conjunto externo ◦

A = {x ∈ A | st x}.

Seg´ un el teorema 1.1, si A es estándar finito entonces ◦ A = A, en cambio ◦ N es estrictamente externo, pues si fuera interno I = N \ ◦N también lo ser´ıa. Por otra parte, si µ es un n´ umero natural infinito, ◦ {n ∈ N | n ≥ µ} = ∅. El u ´ltimo axioma de la teor´ıa nos permite, en cierto sentido, definir conjuntos mediante f´ ormulas externas. Principio de Estandarizaci´ on Si α(x) es una f´ ormula (interna o externa) con al menos la variable libre x, entonces la f´ ormula siguiente es un axioma: st st st x y z(z ∈ y ↔ z ∈ x ∧ α(z)).

4 Hay que tener en cuenta que en ZFC las “clases propias” son colecciones de conjuntos “demasiado grandes” como para estar contenidas en un conjunto, mientras que la noci´ on de conjunto externo no tiene nada que ver con su magnitud.

7 Por el principio de transferencia, dos conjuntos est´ andar st con los mismos elementos estándar son iguales. En efecto, si x e y son estándar y cumplen que u(u ∈ x ↔ u ∈ y), por el principio de transferencia u(u ∈ x ↔ u ∈ y), luego x = y. Como consecuencia, dado un conjunto est´ andar x, el conjunto y que postula el principio de estandarización es u ńico, y podemos llamarlo S {z ∈ x | α(z)}. La S nos recuerda que un elemento de este conjunto no tiene por qué cumplir α(z) salvo que sea estándar. Por ejemplo, S {z ∈ x | st z} = x, ya que el conjunto x es ciertamente un conjunto estándar que tiene los mismos elementos estándar que x. Un caso particular especialmente frecuente del principio de estandarizaci´ on es el siguiente: Teorema 1.6 (Principio de extensi´ on) Si X e Y son conjuntos est´ andar y f : ◦X −→ ◦Y es una ¯ aplicaci´ on externa, entonces existe una aplicaci´ on est´ andar f : X −→ Y que extiende a f . ´ n: Hay que entender que f es cualquier criterio que asigna a cada elemento estándar Demostracio de X un u ńico elemento estándar de Y . M´ as concretamente, el enunciado supone que existe una f´ ormula α(x, y) (tal vez con par´ ametros) de modo que se demuestra que st

x∈X

1 st

y ∈ Y α(x, y).

Definimos f¯ = S {(x, y) ∈ X × Y | α(x, y)}. As´ı los elementos estándar de f¯ son pares ordenados de X × Y y para todo x ∈ X estándar existe un u ńico y ∈ Y tal que (x, y) ∈ f¯. Aplicando el principio de ¯ transferencia a estos hechos concluimos que f : X −→ Y , y claramente extiende a f . El teorema de conservaci´ on Aparte del interés en s´ı mismo del análisis no estándar, lo cierto es que puede considerarse como una herramienta m´ as para demostrar teoremas clásicos. Ello se debe al teorema de conservación, que afirma lo siguiente: Todo teorema interno de la teor´ıa de conjuntos no est´ andar es un teorema de ZFC. En otras palabras, que cualquier teorema cl´ asico que pueda demostrarse con el apoyo de los tres principios que hemos a˜ nadido a ZFC puede demostrarse también sin ellos. La prueba est´ a en el apéndice B, y requiere técnicas de la lógica matemática. Destacamos su carácter constructivo, es decir, proporciona un algoritmo para transformar expl´ıcitamente cualquier demostración de un teorema interno a partir de los axiomas de la teor´ıa de conjuntos no est´ andar en una demostraci´ on del mismo teorema en ZFC. Por otra parte también conviene observar que la prueba en ZFC usar´ a el axioma de elección tanto si la prueba original lo usa o no (pues se basa en la construcci´ on de ultrapotencias y, por consiguiente, en la existencia de ultrafiltros sobre un conjunto dado).

Tema II

An´ alisis de una variable Aunque podr´ıamos realizar una construcci´ on no estándar de R a partir de Q, ésta constar´ıa de pasos técnicos similares a los de la construcción cl´ asica, as´ı que supondremos conocido el cuerpo R de los n´ umeros reales, que es un cuerpo ordenado completo (en el sentido de que todo subconjunto no vac´ıo y acotado superiormente tiene supremo) y arquimediano. No supondremos ninguna otra propiedad algebraica o topol´ ogica1 sobre R.

2.1

N´ umeros finitos e infinitesimales

En el tema anterior hemos visto que los n´ umeros naturales no estándar son infinitos en el sentido de que son mayores que todo n´ umero natural est´ andar. As´ı pues, para n´ umeros naturales podemos identificar las nociones de “finito” y “est´ andar”. También podemos dividir los n´ umeros reales en finitos e infinitos, pero ahora esta divisi´ on no va a coincidir con est´ andar/no est´ andar. Definici´ on 2.1 Un n´ umero real r es infinito si existe un n´ umero natural infinito µ tal que |r| ≥ µ. Por el contrario, r es finito si existe un n´ umero natural est´ andar n tal que |r| ≤ n. Ante todo, observemos que, de acuerdo con estas definiciones, “infinito” equivale a “no finito”. La clave está en que podemos tomar partes enteras, de modo que 0 ≤ E(|r|) ≤ |r| ≤ E(|r|) + 1. As´ı, si E(|r|) es un n´ umero natural infinito tenemos que r es infinito por definici´ on, mientras que si E(|r|) es finito (estándar) también lo es E(|r|) + 1 por transferencia, luego r es finito. De esta relación se sigue a su vez otra caracterización interesante: Teorema 2.2 Un n´ umero real r es finito si y s´ olo si existe un n´ umero real est´ andar M tal que |r| ≤ M . ´ n: Si r es finito tomamos M = E(|r|) + 1 y si |r| ≤ M entonces E(M ) + 1 es un Demostracio n´ umero natural est´ andar mayor que |r|. En particular todo n´ umero real estándar es finito (basta tomar M = |r|). As´ı mismo es fácil demostrar que la suma y el producto de n´ umeros finitos es finito. (Si |r| ≤ M y |s| ≤ N entonces |r + s| ≤ M + N y |rs| ≤ M N .) 1 Supondremos conocidos aquellos conceptos y propiedades elementales que se construyen o demuestran sin necesidad de t´ ecnicas anal´ıticas, como la parte entera o el valor absoluto, o que podemos considerar Q ⊂ R.

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Tema 2. Análisis de una variable

Conviene observar que el conjunto O de los n´ umeros reales finitos es estrictamente externo (es decir, no existe), porque si fuera interno podr´ıamos definir O ∩ N = ◦N, y ya vimos en el tema anterior que ◦N es externo. Definici´ on 2.3 Diremos que un n´ umero real r es infinitesimal si para todo n´ umero estándar > 0 se cumple |r| < . Llamaremos infinitésimos a los n´ umeros infinitesimales distintos de 0. Obviamente todo n´ umero infinitesimal es finito. Los n´ umeros finitos no infinitesimales se llaman apreciables. Ciertamente existen infinitésimos, pues si r es un n´ umero real infinito entonces 1/r es un infinitésimo. En efecto, si > 0 es estándar entonces 1/ también lo es, luego es finito y 1/ < |r|. Por consiguiente |1/r| < . Igualmente se prueba que los inversos de los infinitésimos son los n´ umeros reales infinitos. El 0 es el u ńico infinitesimal est´ andar, pues si r = 0 es estándar entonces = |r|/2 > 0 es estándar y no se cumple |r| < . Se comprueba inmediatamente que la suma de infinitesimales es infinitesimal, que la suma de un n´ umero finito y otro infinitesimal es finita, y que el producto de un n´ umero finito por un n´ umero infinitesimal es infinitesimal. Por ejemplo, si |r| < M (con M estándar) y ξ es infinitesimal, entonces para todo > 0 estándar se cumple que |ξ| < /|r|, luego |rξ| < . Similarmente, si ξ1 y ξ2 son infinitesimales y > 0 es estándar, entonces |ξ| < 1 y |ξ | < . Por lo tanto |ξξ | < . El conjunto o de todos los n´ umeros infinitesimales es estrictamente externo, pues si fuera interno se podr´ıa probar la existencia de ◦ N = {n ∈ N | 1/n ∈ / o}. Podemos resumir las propiedades que acabamos de comentar diciendo que o es un ideal del anillo O de los n´ umeros reales finitos. Las unidades de o, es decir, los n´ umeros finitos con inverso en O, son precisamente los n´ umeros apreciables. Definici´ on 2.4 Diremos que dos n´ umeros reales r y s están infinitamente pr´ oximos, y lo representaremos por r ≈ s, si r − s ∈ o. Es inmediato comprobar que se trata de una relaci´ on de equivalencia. Es claro que r y s están infinitamente pr´ oximos si y sólo si su distancia en el sentido usual, |r − s|, es infinitesimal. Veamos las propiedades inmediatas: Teorema 2.5 Para todos los n´ umeros reales r, r , s, s se cumple: a) Si r ≈ s y r ≈ s entonces r + r ≈ s + s , b) si r ≈ s, r ≈ s y adem´ as r y r son finitos entonces rr ≈ ss , c) si r ≈ s, r ≈ s , r es finito y r no es infinitesimal, entonces r/r ≈ s/s , d) si r ≈ s, r ≈ s , r < r y r − r es apreciable, entonces s < s . ´ n: a) es inmediato. Demostracio Para probar b) observamos que s = r + ξ, s = r + ξ , donde ξ y ξ son infinitesimales, luego ss = rr + rξ + r ξ + ξξ ≈ rr .

2.1. N´ umeros finitos e infinitesimales

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Para c) tenemos en cuenta que s tampoco es infinitesimal, con lo que 1/r y 1/s son finitos y 1 1 s − r − = ≈ 0, r s r s y basta aplicar b). d) Digamos que s = r + ξ, s = r + ξ. Entonces ξ − ξ < r − r, pues si fuera 0 < r − r ≤ ξ − ξ tendr´ıamos que r − r ser´ıa un infinitésimo. Por consiguiente 0 < s − s. Ejemplo Vamos a probar que todo n´ umero real x > 0 tiene ra´ız n-sima para todo natural n. Por transferencia podemos suponer que x y n son estándar. Con m´ as detalle: queremos demostrar que xn(x ∈ R ∧ n ∈ N → x tiene ra´ız n-sima), st y por el principio de transferencia podemos cambiar por . Sea A = {x ∈ R | xn ≤ r}, que es un conjunto est´ andar no vac´ıo y acotado superiormente por máx{1, r}. Por consiguiente tiene supremo s ≥ 0 estándar. Observemos que s > 0. Para probarlo tomamos un infinitésimo ξ > 0, de modo que ξ n < ξ < r, luego ξ ∈ A y 0 < ξ ≤ s. Por consiguiente, 0 < s − ξ < s < s + ξ, luego (s − ξ)n ≤ r ≤ (s + ξ)n . Desarrollando los binomios vemos que n n n i n i n−i n n−i s ≈ s (−ξ) sξ ≤r≤ ≈ sn , i i=0 i=0 i luego claramente sn −r ≈ 0. Como esta diferencia es a la vez infinitesimal y estándar, ha de ser sn −r = 0 (en particular s > 0). Para terminar de perfilar el comportamiento b´ asico de los n´ umeros finitos e infinitesimales demostramos el siguiente teorema fundamental: Teorema 2.6 Un n´ umero real r es finito si y s´ olo si est´ a infinitamente cerca de un n´ umero est´ andar, que en tal caso es u ńico. Una implicaci´ on es obvia: si r está infinitamente cerca de un n´ umero estándar, éste será finito y r también. Supongamos ahora que r es finito. Sea M estándar tal que |r| ≤ M . El conjunto A = S {x ∈ R | x ≤ r} cumple

st

x(x ∈ A → x ≤ M ),

luego por transferencia A está acotado por M . Además es no vac´ıo, pues claramente −M ∈ A, luego tiene supremo s estándar. Vamos a ver que r ≈ s. En caso contrario |r − s| > > 0, para cierto n´ umero estándar . Si s < r entonces s + < r, por lo que s + ∈ A, contradicci´ on. Si r < s entonces r < s − luego, al igual que M , tenemos que s − es una cota superior de A, lo cual es absurdo. La unicidad es obvia: dos n´ umeros estándar distintos no pueden estar infinitamente cerca de un mismo n´ umero real, pues su diferencia ser´ıa infinitesimal y est´ andar, luego nula. Definici´ on 2.7 Si r es un n´ umero real finito, llamaremos parte est´ andar de r al u ńico n´ umero real estándar ∗ r tal que ∗ r ≈ r.

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2.2

Continuidad

En esta sección esbozamos un estudio no estándar de la continuidad y la continuidad uniforme. Teorema 2.8 Una funci´ on est´ andar f : A ⊂ R −→ R es continua en un punto est´ andar x0 ∈ A si y s´ olo si para todo x ∈ A tal que x ≈ x0 se cumple que f (x) ≈ f (x0 ). ´ n: Si f es continua en x0 y > 0 es estándar, tomamos un δ > 0 tal que si x ∈ A Demostracio cumple |x − x0 | < δ entonces |f (x) − f (x0 )| < . Si x ∈ A cumple x ≈ x0 entonces |x − x0 | < δ (porque es infinitesimal), luego |f (x) − f (x0 )| < . Esto prueba que f (x) ≈ f (x0 ). Rec´ıprocamente, si f y x0 cumplen el enunciado, hemos de probar que

( ∈ R ∧ > 0 →

δ · · ·),

donde la f´ ormula que sigue tiene u ńicamente los par´ ametros (estándar) f y x0 . Por el principio de transferencia podemos tomar > 0 estándar. As´ı, si tomamos δ > 0 infinitesimal, tenemos ciertamente que si x ∈ A cumple |x − x0 | < δ entonces x ≈ x0 , luego f (x) ≈ f (x0 ), luego |f (x) − f (x0 )| < .

Ejemplo

La funci´ on f (x) = x2 − 2x + 1 es continua en R.

Por el principio de transferencia, basta probar que f es continua en un punto est´ andar arbitrario x. Ahora bien, si ξ es infinitesimal, f (x + ξ) = x2 + 2xξ + ξ 2 − 2x − 2ξ + 1 ≈ x2 − 2x + 1 = f (x).

Ejemplo

La funci´ on f (x) =

x es continua en R \ {±1}. x2 − 1

Como en el ejemplo anterior tomamos x = ±1 estándar y ξ infinitesimal. As´ı (x + ξ)2 ≈ x2 = 1, luego (x + ξ)2 − 1 es apreciable: f (x + ξ) =

Ejemplo que

x+ξ x ≈ 2 = f (x). 2 (x + ξ) − 1 x −1

Si µ es un n´ umero natural infinito, la funci´ on f (x) = µx es continua. En general se prueba

f µ(f : R −→ R ∧ µ ∈ R ∧

x ∈ R f (x) = µx → f es continua).

Para ello usamos el principio de transferencia y suponemos que f y µ son estándar, con lo que es aplicable el teorema 2.8. M´ as en general, podemos probar as´ı que toda aplicaci´ on lineal o todo polinomio es una funci´ on continua. Sin embargo f no cumple la caracterización del teorema 2.8 para x = 1, pues tomando ξ = 1/µ tenemos que 1 ≈ 1 + ξ pero f (1 + ξ) = µ + 1 ≈ µ = f (1).

2.2. Continuidad

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Nota En este u ´ltimo ejemplo hemos visto que, aunque la caracterizaci´ on dada por el teorema 2.8 s´ olo es válida para funciones est´ andar, en realidad, combinada con el principio de transferencia nos permite obtener resultados sobre funciones arbitrarias. Veamos un ejemplo t´ıpico: Teorema 2.9 Si f es una funci´ on real continua en un punto x y g es una funci´ on real continua en f (x) entonces f ◦ g es continua en x. ´ n: Hemos de probar una afirmaci´ Demostracio on del tipo f gx(· · ·), donde los puntos suspensivos representan a la f´ ormula interna que afirma que x ∈ R, f es una funci´ on continua st en x, etc. Aplicando (tres veces) el principio de transferencia podemos cambiar el cuantificador por f gx, es decir, podemos tomar dos funciones est´ andar f y g y un punto est´ andar x. Esto nos permite aplicar el teorema 2.8: si y está en el dominio de f ◦ g y cumple y ≈ x, en particular est´ a en el dominio de f , por lo que f (y) ≈ f (x). La continuidad de g en f (x) nos da entonces que g(f (y)) ≈ g(f (x)). Podr´ıa objetarse que, aunque en la pr´ actica podamos trabajar con el teorema 2.8, en teor´ıa hemos necesitado la definici´ on estándar −δ de continuidad para definir la noci´ on de continuidad sobre funciones arbitrarias. No es as´ı. Si queremos, podemos definir la noci´ on de continuidad de forma no est´ andar sin necesidad de recurrir en ning´ un momento a la caracterización estándar: Definici´ on 2.10 Definimos el conjunto C = S {(f, x) ∈

RA × R |

A(f : A −→ R ∧ x ∈ A∧

A∈PR

y ∈ A(x ≈ y → f (x) ≈ f (y)))}.

Diremos que una funci´ on f : A −→ R es continua en un punto x ∈ A si y sólo si (f, x) ∈ C. Con esta definici´ on, una funci´ on estándar f es continua en un punto est´ andar x si y sólo si cumple el teorema 2.8, si y sólo si cumple la definici´ on − δ. Puesto que la continuidad en este sentido equivale a la continuidad − δ para funciones est´ andar en puntos est´ andar, por el principio de transferencia la equivalencia vale para toda funci´ on en todo punto. En la pr´ actica no es necesario hacer este tipo de construcciones. Basta saber que el principio de estandarizaci´ on nos permite definir impl´ıcitamente un concepto para conjuntos arbitrarios definiéndolo expl´ıcitamente para el caso de conjuntos estándar (y en la definici´ on podemos usar conceptos externos). El teorema siguiente caracteriza la continuidad uniforme. Alternativamente puede tomarse como una definici´ on no est´ andar. Teorema 2.11 Una funci´ on est´ andar f : A ⊂ R −→ R es uniformemente continua en A si y s´ olo si para todo x, y ∈ A tales que x ≈ y, se cumple f (x) ≈ f (y). ´ n: Si f es uniformemente continua (en el sentido cl´ Demostracio asico), tomamos x, y ∈ A tales que x ≈ y y hemos de ver que f (x) ≈ f (y). Sea > 0 estándar. Existe un δ > 0 (que podemos tomar estándar) tal que si |x − y| < δ entonces |f (x) − f (y)| < . Ahora bien, |x − y| es infinitesimal, luego ciertamente |x − y| < δ. Por lo tanto |f (x) − f (y)| < para todo estándar, luego f (x) ≈ f (y). Rec´ıprocamente, si f cumple la condici´ on del enunciado, hemos de probar que δ · · ·, pero por el principio de estandarizaci´ on podemos tomar > 0 estándar. Tomamos cualquier infinitésimo δ > 0, de modo que si x, y ∈ A cumplen |x − y| < δ entonces x ≈ y, luego f (x) ≈ f (y), luego |f (x) − f (y)| < .

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Ejemplo

La funci´ on x2 no es uniformemente continua en R.

En efecto, si x ∈ R y ξ es un infinitésimo, tenemos que f (x + ξ) − f (x) = 2xξ + ξ 2 , y esto no es infinitesimal, por ejemplo, si x = 1/ξ. (No obstante, si restringimos f a [0, 1] entonces s´ı que es uniformemente continua, pues si x está en este intervalo el incremento s´ı que es infinitesimal.) Ejemplo

La funci´ on 1/x no es uniformemente continua en ]0, 1].

Si x, x + ξ ∈ ]0, 1] y ξ es infinitesimal, tenemos que f (x + ξ) − f (x) =

1 1 −ξ − = x+ξ x (x + ξ)x

y esto no es infinitesimal si tomamos x = ξ > 0. Ejemplo

La funci´ on f (x) = 1/(x2 + 1) es uniformemente continua en R.

Si x, y ∈ R cumplen x ≈ y, entonces x2 + 1 ≈ y 2 + 1 ≈ 0, luego f (x) ≈ f (y). Ejemplo

La funci´ on f : Q −→ R dada por f (q) =

√ 0 si q < √2, 1 si q > 2,

es continua, pero no uniformemente continua. En efecto,√si q ∈ Q es estándar y r ∈ Q cumple r ≈ q, entonces q y r son ambos menores o ambos mayores que 2, luego f (q) = f (r). √ Sin embargo, podemos tomar ξ1 , ξ2 ∈ Q tales que ξ1 < 2 < ξ2 , ξ1 ≈ ξ2 , con lo que f (ξ1 ) ≈ f (ξ2 ). Teorema 2.12 (Heine-Cantor) Toda funci´ on continua en un intervalo [a, b] es uniformemente continua. ´ n: Sea f una funci´ Demostracio on continua en [a, b]. Por transferencia podemos suponer que f es estándar (con lo que también lo serán a y b). Si x, y ∈ [a, b] cumplen x ≈ y, entonces x ≈ ∗ x = ∗ y ≈ y. Además ∗ x ∈ [a, b], pues si fuera, por ejemplo, ∗ x < a, también ser´ıa x < a. Por la continuidad de f en el punto est´ andar ∗ x concluimos que f (x) ≈ f (∗ x) = f (∗ y) ≈ f (y). Veamos ahora una de las técnicas más potentes que aporta el an´ alisis no estándar: Teorema 2.13 (Teorema de Bolzano) Si f : [a, b] −→ R es una funci´ on continua tal que f (a) < 0 y f (b) > 0 entonces existe a < c < b tal que f (c) = 0. ´ n: Podemos suponer que f (y por consiguiente a y b) son estándar. Tomamos una Demostracio partici´ on infinitesimal de [a, b], por ejemplo la dada por xi = a + i(b − a)/µ, donde µ es un n´ umero natural infinito. As´ı a = x0 < x1 < · · · < xµ = b y xi−1 ≈ xi para todo i = 1, . . . , µ. Sea i el menor ´ındice tal que f (xi ) ≥ 0. Ciertamente i = 0, luego ha de ser f (xi−1 ) < 0. Como f es uniformemente continua, f (xi−1 ) ≈ f (xi ) ≈ f (∗ xi ). Vemos que si c = ∗ xi ∈ [a, b] entonces f (c) es un n´ umero estándar que est´ a infinitamente cerca de un n´ umero ≥ 0 y de un n´ umero < 0. Esto sólo es posible si f (c) = 0.

2.3. La topolog´ıa de R

2.3

15

La topolog´ıa de R

Veamos las caracterizaciones no estándar de los principales conceptos topol´ ogicos. Conviene introducir la noci´ on siguiente: Definici´ on 2.14 Si x ∈ R, se llama halo o m´ onada de x al conjunto de todos los n´ umeros reales infinitamente cercanos a x. Lo representaremos por h(x). Claramente el halo de un n´ umero real x es un conjunto estrictamente externo, pues si fuera interno podr´ıamos definir ◦N = {n ∈ N | x + 1/n ∈ / h(x)}. Teorema 2.15 Un conjunto est´ andar A ⊂ R es un entorno de un punto est´ andar x ∈ R si y s´ olo si h(x) ⊂ A. ´ n: Si A es un entorno de x existe un n´ Demostracio umero real > 0 tal que ]x − , x + [ ⊂ A, y por el principio de transferencia podemos tomar estándar. Es claro entonces que h(x) ⊂ ]x − , x + [ ⊂ A. Rec´ıprocamente, si h(x) ⊂ A tenemos que existe un infinitésimo > 0 tal que ]x − , x + [ ⊂ A, luego A es entorno de x. Este teorema caracteriza a los abiertos estándar, pues un conjunto est´ andar es abierto si y s´ olo si es un entorno de todos sus puntos (est´ andar). Teorema 2.16 Un punto est´ andar x ∈ R es un punto adherente de un conjunto est´ andar A ⊂ R si y s´ olo si existe un y ∈ A tal que x ≈ y. ´ n: Si x es un punto adherente de A entonces todo entorno de x corta a A. Tomamos Demostracio un infinitésimo > 0 y un y ∈ A ∩ ]x − , x + [. Rec´ıprocamente, si se cumple la condición del enunciado, hemos de probar que para todo > 0 la intersección A ∩ ]x − , x + [ es no vac´ıa. Por transferencia podemos suponer estándar, pero entonces la intersección contiene al conjunto y del enunciado. Teorema 2.17 Un subconjunto est´ andar de R es cerrado si y s´ olo si contiene a la parte est´ andar de cada uno de sus elementos finitos. ´ n: Si A ⊂ R es cerrado y x ∈ A es finito, entonces ∗ x está en la clausura de A por el Demostracio teorema anterior, luego está en A. Rec´ıprocamente, si A cumple la condici´ on del enunciado y x es un punto de adherente est´ andar de A, por el teorema anterior existe un y ∈ A tal que x ≈ y, luego y es finito y su parte est´ andar es x. Por hip´ otesis x ∈ A. As´ı pues, A contiene a todos sus puntos adherentes estándar, y por transferencia también a los no estándar. Esto quiere decir que A es cerrado. Teorema 2.18 R es conexo. ´ n: Si R = A ∪ B, donde A y B son cerrados disjuntos no vac´ıos, podemos suponer que Demostracio A y B son estándar. Sea x0 < x1 < · · · xµ un subconjunto finito de R que contenga a todos los n´ umeros estándar. Tiene que haber un i tal que xi ∈ A y xi+1 ∈ B o viceversa. Ahora bien x = ∗ xi = ∗ xi+1 es un punto adherente de A y B, luego está en ambos. Teorema 2.19 Un conjunto est´ andar A ⊂ R es relativamente compacto si y s´ olo si todos sus elementos son finitos, y es compacto si adem´ as contiene a la parte est´ andar de cada uno de sus elementos.

16


´ n: La compacidad relativa equivale a la acotaci´ Demostracio on. Si A está acotado entonces por transferencia tiene una cota est´ andar, luego sus elementos son finitos. Si los elementos de A son finitos entonces A está acotado por un n´ umero infinito cualquiera. Si A es compacto, entonces es cerrado, por lo que, dado x ∈ A, la parte estándar ∗ x es adherente a A, luego está en A. Rec´ıprocamente, si A cumple esta propiedad, para probar que A es cerrado basta ver que todo punto adherente est´ andar x de A está en A. Que sea adherente quiere decir que existe y ∈ A tal que x ≈ y, pero entonces x = ∗ y ∈ A. Veamos un ejemplo del uso no estándar de la compacidad: Teorema 2.20 Si f : A ⊂ R −→ R es continua y A es compacto, entonces f alcanza su m´ aximo y su m´ınimo. ´ n: Podemos suponer que f (y por lo tanto A) es estándar. Sea x0 < x1 < · · · < xµ Demostracio un subconjunto finito de A que contenga a todos sus elementos estándar. Sea i el ´ındice en el que f (xi ) toma el valor máximo. Por compacidad c = ∗ xi ∈ A. Veamos que M = f (c) es el máximo de f . Hemos de ver que x ∈ A f (x) ≤ M , pero por transferencia podemos tomar x ∈ A estándar. Entonces x = xj para cierto j, luego f (x) ≤ f (xi ) ≈ M . Como f (x) es estándar ha de ser f (x) ≤ M . Teorema 2.21 Una sucesi´ on est´ andar {xn }n de n´ umeros reales converge a un n´ umero est´ andar l ∈ R si y s´ olo si para todo natural infinito µ se cumple xµ ≈ l. ´ n: Si la sucesión converge y > 0 es estándar, existe un n0 (que podemos tomar Demostracio estándar) tal que para todo n ≥ n0 se cumple |xn − l| < . En particular, si µ es infinito tenemos que |xµ − l| < , luego xµ ≈ l. Rec´ıprocamente, si la sucesión cumple el enunciado, hemos de probar que δ · · · Por transferencia podemos tomar > 0 estándar. Ahora basta elegir un natural infinito µ0 y se cumple que para todo n ≥ µ0 tenemos |xn − l| < . Es inmediato comprobar que el l´ımite es u ńico, as´ı como que el l´ımite de la suma es la suma de los l´ımites, etc. Ejemplo

Si x ≥ 0 entonces l´ım xn /n! = 0. n

Podemos suponer que x es estándar. Si µ es un n´ umero natural infinito y n es el menor natural mayor que x, entonces µ−1 xµ xn x x = · ≈ 0. µ! n! k µ k=n+1

En efecto, el primer factor es finito porque es est´ andar, el segundo también porque todos los términos son menores que 1 y el tercero es infinitesimal. Teorema 2.22 Un n´ umero est´ andar x ∈ R es un punto de acumulaci´ on de una sucesi´ on est´ andar {xn } si y s´ olo si existe un natural infinito µ tal que xµ ≈ x. ´ n: Si x es un punto de acumulaci´ Demostracio on, fijado > 0 infinitesimal y ν infinito, ha de existir µ ≥ ν tal que |xµ − x| < , con lo que xµ ≈ x. Rec´ıprocamente, si xµ ≈ x, entonces para todo > 0 (que podemos suponer estándar) y para todo natural n (que podemos suponer finito) existe un natural µ ≥ n tal que |xµ − x| < , luego x es un punto de acumulaci´ on. Ahora es trivial que toda sucesi´ on acotada tiene un punto de acumulaci´ on.

2.3. La topolog´ıa de R

17

Teorema 2.23 Una sucesi´ on est´ andar {xn } de n´ umeros reales de de Cauchy si y s´ olo si para todos los naturales infinitos µ y ν se cumple que xµ ≈ xν . ´ n: Supongamos que la sucesi´ Demostracio on es de Cauchy. Dados µ y ν, sea > 0 estándar. Entonces existe un natural m0 , que podemos tomar estándar, de modo que si m, n ≥ m0 se cumple |xm − xn | < . En particular |xµ − xν | < , luego xµ ≈ xν . Rec´ıprocamente, para probar que la sucesi´ on es de Cauchy tomamos > 0 estándar y µ infinito, de modo que si m, n ≥ µ se cumple |xm − xn | < (porque es infinitesimal). Es claro que si una sucesión de Cauchy {xn } tiene un punto de acumulaci´ on x entonces converge a x: podemos tomarlo todo estándar y si xµ ≈ x, entonces para todo ν infinito se cumple xν ≈ xµ ≈ x. Teorema 2.24 Una sucesi´ on de n´ umeros reales es convergente si y s´ olo si es de Cauchy. ´ n: Toda sucesión convergente es trivialmente de Cauchy. Supongamos que {xn } es Demostracio de Cauchy (podemos tomarla estándar). Tomemos un n´ umero natural infinito µ. El conjunto {n ∈ N | |xn − xµ | ≤ 1} contiene todos los n´ umeros naturales infinitos, pero no puede contenerlos s´ olo a ellos, pues entonces ◦N ser´ıa interno. As´ı pues, existe un n ∈ N estándar tal que |xn − xµ | ≤ 1. Esto implica que xµ es finito, luego tiene una parte est´ andar l = ∗ xµ . Por lo tanto l es un punto de acumulaci´ on y la sucesión converge a l. Teorema 2.25 La serie ex =

∞ xn n=0 n!

converge en todo R. ´ n: Fijamos x ∈ R estándar y vamos a ver que la serie es de Cauchy. Para ello Demostracio tomamos dos n´ umeros naturales infinitos µ < ν y hemos de probar que la diferencia de las sumas parciales correspondientes es infinitesimal. ν ν ν

xn |x|n |x|µ xn−µ = ≤ n! n! µ! n=µ n!/µ! n=µ n=µ ≤

ν |x|µ |x|µ 1 − (|x|/µ)ν−µ+1 (x/µ)n−µ = ≈ 0. µ! n=µ µ! 1 − |x|/µ

Aqu´ı usamos que el segundo factor es claramente finito y el primero es infinitesimal, como hemos visto en un ejemplo anterior. La ecuación funcional de la funci´ on exponencial es f´ acil de probar (notemos que todas las manipulaciones son con sumas finitas, por lo que no necesitamos ning´ un teorema sobre intercambio de sumatorios, etc.) Fijemos x, y ∈ R estándar y µ un n´ umero natural infinito. Entonces ex ey

≈

=

µ µ 2µ n

xi y j 1 = xk y n−k i! j! k!(n − k)! n=0 i=0 j=0 2µ

1 n! n=0

n

k=0

k=0

2µ n k n−k (x + y)n = x y ≈ ex+y . k n! n=0

18

Tema 2. Análisis de una variable Como el primer y el u ´ltimo término son estándar, tenemos ex+y = ex ey .

Para demostrar la continuidad de la exponencial basta ver que si ξ es infinitesimal entonces eξ ≈ 1, pues entonces ex+ξ = ex eξ ≈ ex . Como ξ no es estándar, no podemos evaluar la serie en ξ. En su lugar tomamos x estándar con |x| < 1. As´ı µ µ xn |x| − |x|µ+1 |x| x |e − 1| ≈ |x|n = ≈ . < n! 1 − |x| 1 − |x| n=1 n=1 Por lo tanto |ex − 1| < |x|/(1 − |x|) para todo x estándar con |x| < 1. Por transferencia vale para incluso para un infinitésimo ξ, con lo que |eξ − 1|
0 estándar existe un δ > 0 estándar tal que si Demostracio |y − x| < δ entonces |f (y) − l| < . En particular, tomando y = x + ξ tenemos que |f (x + ξ) − l| < , luego f (x + ξ) ≈ l. Rec´ıprocamente, si se cumple la condición del enunciado y > 0 es estándar, tomando cualquier δ > 0 infinitesimal tenemos que si |y − x| < δ entonces |f (y) − l| < , luego se cumple la definici´ on de l´ımite para todo estándar y, por transferencia, para todo . Ejemplo

Se cumple que

ex − 1 = 1. x→0 x l´ım

En efecto, hemos de probar que si ξ es un infinitésimo entonces (eξ − 1)/ξ ≈ 1. Tomamos primero un x estándar tal que 0 < |x| < 1. Entonces, para todo natural infinito µ, se cumple ex ≈ 1 +

x2 xµ x + + ··· + , 1! 2! µ!

y as´ı (usando que 1/x es estándar, luego finito) ex − 1 x xµ−1 −1≈ + ··· + . x 2! µ! Por consiguiente x µ−1 e − 1 |x| ≈< |x| + · · · + |x|µ−2 = |x| − |x| − 1 ≈ x 1 − |x| 1 − |x|

2.4. Derivadas

19

y, como los extremos son estándar, tenemos la desigualdad x e − 1 < |x| . − 1 x 1 − |x| En principio vale para todo x estándar tal que 0 < |x| < 1, pero por transferencia vale incluso para el infinitésimo ξ, es decir, ξ e − 1 |ξ| x < 1 − |ξ| ≈ 0.

2.4

Derivadas

Seg´ un el u ´ltimo teorema de la sección anterior es evidente la siguiente caracterización no estándar de la derivabilidad: Teorema 2.27 Una funci´ on est´ andar f : ]a, b[ −→ R es derivable en un punto x de su dominio si existe un n´ umero est´ andar f (x) tal que para todo infinitésimo ξ se cumple f (x + ξ) − f (x) ≈ f (x). ξ Est´ a claro que f (x) en el sentido del teorema anterior es la derivada en el sentido usual. De la condici´ on del teorema se desprende la unicidad por la unicidad de la parte est´ andar. Si f es derivable en todo su dominio podemos hablar de la funci´ on derivada f . Ejemplo

Calculemos la derivada de f (x) = 1/x.

Si x ∈ R \ {0} es estándar y ξ es un infinitésimo, f (x + ξ) − f (x) = ξ

1 x+ξ

− ξ

1 x

=−

ξ 1 1 =− ≈ − 2. ξ(x + ξ)x (x + ξ)x x

As´ı pues, f (x) = −1/x2 . Ejemplo

La derivada de ex es ex .

Si ξ es un infinitésimo, tenemos que ex+ξ − ex eξ − 1 = ex ≈ ex , ξ ξ por el u ´ltimo ejemplo de la sección anterior. Ejercicio: Dar pruebas no est´ andar de las reglas de derivaci´ on de la suma, el producto, el cociente y la regla de la cadena.

Teorema 2.28 Toda funci´ on derivable en un punto es continua en dicho punto.

20


´ n: Podemos tomar una funci´ Demostracio on estándar f y un punto est´ andar x. Para todo infinitésimo ξ tenemos que f (x + ξ) − f (x) ≈ f (x), ξ luego f (x + ξ) − f (x) ≈ ξf (x) ≈ 0, lo que prueba la continuidad. Teorema 2.29 Si una funci´ on f es derivable en un punto x y tiene un extremo local en x, entonces f (x) = 0. ´ n: Podemos suponer que f y x son estándar. Si, por ejemplo, x es un máximo local Demostracio de f , entonces existe un > 0 (estándar) tal que si |x − y| < entonces f (x) ≥ f (y). En particular si ξ es infinitesimal entonces f (x) ≥ f (x + ξ). Por otra parte, si fuera f (x) > 0 tendr´ıamos que f (x + ξ) − f (x) > 0, ξ luego si ξ > 0 es f (x + ξ) − f (x) > 0 y f (x + ξ) > f (x). Si f (x) < 0 llegamos a una contradicci´ on similar tomando un infinitésimo negativo. De aqu´ı se deduce el teorema de Rolle: si una funci´ on es continua en un intervalo cerrado [a, b], derivable en el abierto y cumple f (a) = f (b), entonces por continuidad ha de alcanzar un m´ aximo local en el interior, con lo que su derivada se anula. A su vez de aqu´ı se deduce el teorema del valor medio mediante un razonamiento puramente “algebraico” (aplicando el teorema de Rolle a la funci´ on adecuada). No detallamos las pruebas porque ser´ıan las cl´ asicas. Terminamos la sección con un ejemplo de funci´ on continua no derivable en ning´ un punto. Vamos a necesitar este refinamiento de la caracterización de la derivabilidad: Teorema 2.30 Una funci´ on est´ andar f : ]a, b[ −→ R es derivable en un punto est´ andar p ∈ ]a, b[ si y s´ olo si existe un n´ umero est´ andar f (p) tal que para todo par de n´ umeros reales tales que x ≤ p ≤ y, x ≈ y, x = y, se cumple f (y) − f (x) ≈ f (p). y−x ´ n: Si se cumple esta condición, tomando x = p tenemos 2.27. Rec´ıprocamente, si f Demostracio es derivable en p existen infinitésimos ξ1 y ξ2 tales que f (y) − f (p) = f (p)(y − p) + (y − p)ξ1 , f (p) − f (x) = f (p)(p − x) + (p − x)ξ2 . Sumando y dividiendo entre y − x queda f (y) − f (x) y−p p−x = f (p) + ξ1 + ξ2 ≈ f (p), y−x y−x y−x pues las fracciones del segundo miembro son menores que 1. Consideremos ahora la funci´ on φ : R −→ R dada por la figura siguiente y extendida peri´ odicamente a R. Es claro que φ es continua en R y es derivable en todo R excepto en los n´ umeros enteros. Además, en todo punto existe φ+ (x) = ±1.

2.4. Derivadas

21 1

φ

0

1

Para cada natural n definimos φn (x) = funciones para los primeros valores de n:

2

1 n 2n φ(2 x).

La figura siguiente muestra las gr´ aficas de estas

1

φ0 φ1 φ2

0

1

2

Es f´ acil ver que φn es continua en R y es derivable en todo R menos en los puntos de la forma k/2n , con k ∈ Z, y en cualquier punto existe φn (x) = ±1. Definimos f : R −→ R como la funci´ on dada por f (x) =

∞

φn (x).

n=0

El criterio de mayoraci´ on de Weierstrass implica que la serie converge uniformemente en R, por lo que la suma f es una funci´ on continua. (En el tema siguiente daremos una demostraci´ on no estándar de estos resultados.) Llamemos m

fm (x) = φn (x). n=0

Es claro que si n > m y k ∈ Z entonces φn (k/2 ) = 0, luego f (k/2m ) = fm (k/2m ). m

Supongamos que f es derivable en un punto p. Tomemos un n´ umero natural infinito µ y sea ν ∈ Z tal que ν ν+1 x= µ ≤p< = y. 2 2µ Claramente x ≈ y, luego por el teorema anterior f (p) ≈

f (y) − f (x) fµ (y) − fµ (x) = = fµ+ (p). y−x y−x

En el u ´ltimo paso hemos usado que fµ es lineal en el intervalo [x, y]. Ahora bien, esto vale para todo n´ umero natural infinito µ, en particular para µ + 1, con lo que + + fµ+ (p) ≈ fµ+1 (p) = fµ+ (p) + φ+ µ+1 (p) = fµ (p) ± 1,

lo cual es absurdo. Por consiguiente f no es derivable en ning´ un punto.

22


2.5

La integral de Riemann

Recordemos los conceptos básicos que intervienen en la definici´ on cl´ asica de la integral de Riemann: Una partici´ on de un intervalo [a, b] es un conjunto finito P = {a = x0 < · · · < xn = b}. Para una partici´ on dada, definimos ∆xi = xi − xi−1 . La norma de P es el máximo P de las longitudes ∆xi . Si f : [a, b] −→ R es una funci´ on acotada, se definen las sumas de Riemann de f respecto de una partici´ on P como n n s(f, P ) = mi (f ) ∆xi , S(f, P ) = Mi (f ) ∆xi , i=1

i=1

donde mi (f ) y Mi (f ) son, respectivamente, el ´ınfimo y el supremo de f en el intervalo [xi−1 , xi ]. Una partici´ on P es un refinamiento de una partici´ on P si P ⊂ P . El teorema b´ asico para definir la integral es el siguiente: Teorema 2.31 Si f : [a, b] −→ R es una funci´ on acotada, P es una partici´ on de [a, b] y P es un refinamiento de P , entonces s(f, P ) ≤ s(f, P ) ≤ S(f, P ) ≤ s(f, P ). ´ n: La prueba es bien conocida, pero necesitamos una precisi´ Demostracio on que no suele hacerse. Supongamos que P resulta de a˜ nadir un u ńico punto y a P , de modo que xi−1 < y < xi . Entonces las sumas s(f, P ) y s(f, P ) se diferencian u ńicamente en que donde la primera tiene mi (f )(xi − xi−1 ) = mi (f )(xi − y) + mi (f )(y − xi−1 ), la segunda tiene m1 (xi − y) + m2 (y − xi−1 ), donde m1 y m2 son los ´ınfimos de f en los intervalos [xi−1 , y] e [y, xi ], respectivamente. Es claro que mi (f ) ≤ m1 , y mi (f ) ≤ m2 , de donde se sigue la desigualdad del enunciado. Pero podemos decir m´ as: s(f, P ) − s(f, P ) ≤ (m1 − mi (f ))(xi − y) + (m2 − mi (f ))(y − xi−1 ) ≤ 2KP , donde K es una cota de |f |. En general, si P y P se diferencian en n puntos tenemos la misma desigualdad y adem´ as s(f, P ) − s(f, P ) ≤ 2nKP (aqu´ı usamos que las normas de los sucesivos refinamientos de la partición son cada vez menores, por lo que podemos acotarlas por P ). Similarmente sucede con las sumas superiores. La desigualdad central del enunciado es obvia. As´ı podemos definir las integrales de Darboux

b

f (x) dx, −a

−b f (x) dx, a

como el supremo de las sumas inferiores y el ´ınfimo de las sumas superiores respectivamente. Ahora demostramos: Teorema 2.32 Si f : [a, b] −→ R es una funci´ on est´ andar acotada y P es una partici´ on infinitesimal de [a, b] (es decir, de norma infinitesimal), entonces −a

b

f (x) dx ≈ s(f, P ),

−b f (x) dx ≈ S(f, P ). a

2.5. La integral de Riemann

23

´ n: Sea > 0 estándar. Entonces existe una partici´ Demostracio on estándar P de [a, b] tal que b f (x) dx − < s(f, P ). a − Sea P = P ∪ P , de modo que −a

b

f (x) dx − < s(f, P ) ≤ s(f, P ).

Ahora bien, viendo a P como refinamiento de P , en la demostración de 2.31 hemos visto que 0 ≤ s(f, P ) − s(f, P ) ≤ 2nKP , donde n es el n´ umero de puntos a˜ nadidos a P para formar P (que es estándar), luego la diferencia es infinitesimal. As´ı pues b b f (x) dx − < s(f, P ) ≤ f (x) dx, −a −a y esto para todo > 0 estándar. Esto prueba la aproximaci´ on del enunciado. El caso de las sumas e integrales superiores es idéntico. Como consecuencia tenemos la siguiente caracterización de la integrabilidad Riemann: Teorema 2.33 Sea f : [a, b] −→ R una funci´ on est´ andar acotada y sea P una partici´ on infinitesimal de [a, b]. Entonces f es integrable Riemann en [a, b] si y s´ olo si s(f, P ) ≈ S(f, P ). En tal caso la parte est´ andar de este valor no depende de P y es la integral b f (x) dx. a

´ n: Por el teorema anterior, si se da la aproximaci´ Demostracio on indicada entonces b −b f (x) dx ≈ f (x) dx, a −a y como ambas son estándar han de ser iguales. Rec´ıprocamente, si la funci´ on es integrable entonces b b −b s(f, P ) ≈ f (x) dx = f (x) dx = f (x) dx ≈ S(f, P ). a a −a Lo más destacable de esta caracterización es que para determinar si una funci´ on es integrable podemos fijar de antemano la partici´ on. Veamos algunas aplicaciones: Teorema 2.34 Toda funci´ on continua en un intervalo [a, b] es integrable Riemann. ´ n: Podemos tomar una funci´ Demostracio on estándar f : [a, b] −→ R. Fijamos una partici´ on infinitesimal P , de modo que xi−1 ≈ xi para todo ´ındice i. Teniendo en cuenta que f alcanza su máximo y su m´ınimo en [xi−1 , xi ], as´ı como que f es uniformemente continua, concluimos que mi (f ) ≈ Mi (f ). Si llamamos δ al máximo de los n´ umeros Mi (f ) − mi (f ) tenemos que S(f, P ) − s(f, P ) =

µ i=1

(Mi (f ) − mi (f ))∆xi ≤ δ

µ i=1

∆xi = δ(b − a) ≈ 0.

24


Teorema 2.35 Toda funci´ on mon´ otona en un intervalo [a, b] es integrable Riemann. ´ n: Podemos suponer que f es estándar y mon´ Demostracio otona creciente. Tomamos una partición infinitesimal P de [a, b] en intervalos de la misma longitud, es decir, xi = a + As´ı, S(f, P ) − s(f, P ) =

µ

(b − a) i, µ

i = 0, . . . , µ.

(f (xi ) − f (xi−1 ))∆x = (f (b) − f (a))∆x ≈ 0.

i=1

En lugar de trabajar con sumas superiores e inferiores, podemos considerar sumas respecto a selecciones de puntos: Teorema 2.36 Sea f : [a, b] −→ R una funci´ on est´ andar y acotada y sea P una partici´ on infinitesimal de [a, b]. Entonces f es integrable Riemann con integral igual a un n´ umero est´ andar I si y s´ olo si para toda selecci´ on yi ∈ [xi−1 , xi ] se cumple que µ

f (yi )∆xi ≈ I.

i=1

´ n: Es claro que Demostracio s(f, P ) ≤

µ

f (yi )∆xi ≤ S(f, P ),

i=1

luego si f es integrable la suma está infinitamente cerca de la integral. Rec´ıprocamente, si dos sumas cualesquiera están infinitamente pr´ oximas entre s´ı, fijamos un infinitésimo ξ, con lo que existen puntos yi ∈ [xi−1 , xi ] tales que mi (f ) ≤ f (yi ) ≤ mi (f ) + ξ. Entonces s(f, P ) ≤

µ

f (yi )∆xi ≤ s(f, P ) +

i=1

µ

ξ∆xi = s(f, P ) + ξ(b − a)

i=1

Por consiguiente, s(f, P ) ≈

µ

f (yi )∆xi .

i=1

Similarmente encontramos otra selección {zi } tal que S(f, P ) ≈

µ

f (zi )∆xi .

i=1

Como estamos suponiendo que todas estas sumas están infinitamente pr´ oximas, concluimos que s(f, P ) ≈ S(f, P ), luego f es integrable. Ejemplo

Es f´ acil demostrar por inducci´ on la f´ ormula µ i=1

Con ella podemos calcular

i2 =

µ(µ + 1)(2µ + 1) . 6

1

x2 dx. 0

2.5. La integral de Riemann

25

Para ello tomamos la partici´ on xi = i/µ, para i = 0, . . . , µ, donde µ es un n´ umero natural infinito y aplicamos el teorema anterior: 1 µ µ i 2 1 1 1 1 1 2 1 2 2 x dx ≈ = 3 i = 1+ 2+ ≈ = . µ µ µ 6 µ µ 6 3 i=1 i=1 0 Las propiedades elementales de la integral se demuestran fácilmente. Veamos dos a t´ıtulo de ejemplo: Teorema 2.37 Sea f : [a, b] −→ R una funci´ on continua y g : [c, d] −→ [a, b] una funci´ on biyectiva, continua, derivable en ]c, d[ y con derivada positiva. Entonces b d f (x) dx = f (g(t))g (t) dt. a

c

´ n: Las hip´ Demostracio otesis sobre g implican que es estrictamente creciente. Por lo tanto, si {ti }µi=0 es una partici´ on infinitesimal de [c, d] y hacemos xi = g(ti ) entonces {xi }µi=0 es una partici´ on de [a, b], también infinitesimal porque g es (uniformemente) continua. Por el teorema del valor medio existe una selección ui ∈ ]ti−1 , ti [ tal que ∆xi = g (ui )∆ti . Por lo tanto b d µ µ f (x) dx ≈ f (g(ui ))∆xi = f (g(ui ))g (ui )∆ti ≈ f (g(t))g (t) dt. i=1

a

i=1

c

Como los dos extremos son estándar, se tiene la igualdad. Teorema 2.38 Sean a < c < b n´ umeros reales y f : [a, b] −→ R una funci´ on acotada. Entonces f es integrable en [a, b] si y s´ olo si lo es en [a, c] y en [c, b], y en tal caso b c b f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx a

a

c

´ n: Podemos suponer que f , a, b y c son estándar. Fijemos una partici´ Demostracio on infinitesimal P de [a, b] que contenga a c, de modo que P = P1 ∪ P2 , donde P1 es una partici´ on de [a, c] y P2 es una partici´ on de [c, b]. Claramente S(f, P ) − s(f, P ) = [S(f, P1 ) − s(f, P1 )] + [S(f, P2 ) − s(f, P2 )], donde los términos entre corchetes son mayores o iguales que 0. Es claro entonces que la suma es infinitesimal si y s´ olo si lo es cada sumando. Veamos ahora la relación entre integraci´ on y derivaci´ on. En primer lugar: Teorema 2.39 (Regla de Barrow) Sea f : [a, b] −→ R una funci´ on continua en [a, b] y derivable en el intervalo abierto. Si f es integrable Riemann en [a, b] entonces b f (x) dx = f (b) − f (a). a

´ n: Podemos suponer que f es estándar. Fijamos una partici´ Demostracio on infinitesimal y aplicamos el teorema del valor medio a cada intervalo, de modo que encontramos puntos yi ∈ [xi−1 , xi ] tales que f (xi ) − f (xi−1 ) = f (yi )(xi − xi−1 ). Entonces

a

b

f (x) dx ≈

µ i=1

f (yi )∆xi =

µ

(f (xi ) − f (xi−1 )) = f (b) − f (a).

i=1

Como el primer y el u ´ltimo término son estándar, de hecho se tiene la igualdad.

26


Teorema 2.40 Si f : [a, b] −→ R es una funci´ on continua, entonces la funci´ on x F (x) = f (t) dt a

es derivable en ]a, b[ y F = f . ´ n: Podemos suponer que f es estándar. Si a < x < x + h < b con x, h estándar, Demostracio entonces x+h h ´ınf f (t) ≤ f (t) dt ≤ h sup f (t) t∈[x,x+h]

t∈[x,x+h]

x

Por transferencia, lo mismo vale si cambiamos h por un infinitésimo ξ > 0. La continuidad (uniforme) de f hace que el supremo y el ´ınfimo de f en [x, x + ξ] esté infinitamente pr´ oximo a f (x), luego F (x + ξ) − F (x) ≈ f (x). ξ Si ξ < 0 se llega análogamente al mismo resultado. Por lo tanto existe F (x) = f (x). Finalmente demostramos un teorema de existencia de solución de ecuaciones diferenciales. de la forma x = f (x, t). Supondremos que f está definida en R2 para evitar problemas técnicos sobre el dominio de existencia de la soluci´ on. Teorema 2.41 Sea f : R2 −→ R una funci´ on continua y acotada y x0 ∈ R. Entonces existe una funci´ on derivable x : R −→ R tal que x (t) = f (x(t), t) y x(0) = x0 . ´ n: Podemos suponer que f y x0 son estándar. Fijamos un infinitésimo τ > 0 y Demostracio definimos una funci´ on ξ sobre los m´ ultiplos enteros de τ mediante ξ(0) ξ((n + 1)τ )

= x0 , = ξ(nτ ) + f (ξ(nτ ), nτ )τ,

ξ(−(n + 1)τ )) = ξ(−nτ ) − f (ξ(−nτ ), −nτ )τ. Extendemos ξ a todo R mediante ξ(t) = ξ(E(t/τ )τ ). Claramente, si s < t, se cumple ξ(t) − ξ(s) = f (ξ(nτ ), nτ )τ,

(2.1)

s 0 estándar tal que y ∈ / B (x), luego y no está en el halo topol´ ogico de x. M´ as adelante veremos que el halo topológico de un n´ umero real infinito contiene puntos no infinitamente cercanos. (cf. teorema 3.25). El ejemplo de R muestra también que los halos topol´ ogicos pueden 29

30

Tema 3. Topolog´ıa

ser conjuntos estrictamente externos. Por eso no tiene sentido decir que el halo topol´ ogico de un punto es un entorno del punto (s´ olo podemos decir que lo ser´ıa si existiese, tal y como muestra el teorema siguiente). Teorema 3.4 Si x es un punto de un espacio topol´ ogico est´ andar X, entonces ht (x) contiene un entorno de x. ´ n: Basta aplicar el teorema 1.2 al conjunto de los entornos de x con la relaci´ Demostracio on de inclusi´ on: para todo conjunto est´ andar finito de entornos de x existe un entorno de x contenido en todos sus miembros, luego existe un entorno de x contenido en todos los entornos est´ andar de x. La noci´ on de parte est´ andar se generaliza a espacios de Hausdorff. Para verlo demostramos la caracterización siguiente: Teorema 3.5 Un espacio topol´ ogico est´ andar es de Hausdorff si y s´ olo si los halos de los puntos est´ andar son disjuntos dos a dos. ´ n: Si X es un espacio de Hausdorff estándar y x, y son dos puntos est´ Demostracio andar distintos, entonces tienen entornos disjuntos, que por transferencia podemos tomar est´ andar. Como cada uno contiene al halo del punto correspondiente, los halos son disjuntos. Rec´ıprocamente, si dos puntos est´ andar tienen halos disjuntos, como cada halo contiene un entorno, los puntos tienen entornos disjuntos. Por transferencia lo mismo vale para puntos cualesquiera, no necesariamente estándar. Definici´ on 3.6 Un punto x de un espacio topol´ ogico estándar X es casi est´ andar si pertenece al halo de un punto est´ andar de X. Si el espacio X es de Hausdorff este punto estándar est´ a un´ıvocamente determinado, y se llama parte est´ andar de x. La representaremos por ∗ x. Los puntos que no son casi estándar se llaman remotos. Por simplicidad en todo lo que sigue supondremos que todos los espacios topol´ ogicos son de Hausdorff. Sabemos que en el caso de R los puntos casi estándar coinciden con los puntos finitos. Esto no es cierto en general. Un ejemplo sencillo es ]0, 1[, donde todos los puntos son finitos pero no todos son casi estándar. Otro m´ as sofisticado es el siguiente: Ejemplo Consideramos el espacio 7∞ con la métrica usual. Sea µ un n´ umero natural infinito. La sucesión x = (un ) dada por

1 si n = µ, un = 0 si n = µ, está obviamente acotada, luego x ∈ 7∞ , además es un punto finito, puesto que d(x, 0) = 1. Sin embargo no es casi estándar, ya que si estuviera en el halo (topol´ ogico, luego métrico) de una sucesión estándar y = (vn ), entonces tendr´ıamos que, para todo natural est´ andar n, |vn | = |vn − un | ≤ d(x, y) ≈ 0, luego vn = 0 (porque es infinitesimal y est´ andar). Por transferencia ser´ıa vn = 0 para todo natural n, pero entonces d(x, y) = 1. Por otra parte es obvio que todo punto casi est´ andar en un espacio métrico es finito (está a distancia infinitesimal de un punto est´ andar).

3.2. Topolog´ıa elemental

3.2

31

Topolog´ıa elemental

El resultado fundamental es que la topolog´ıa de un espacio estándar est´ a determinada por sus halos. En efecto: Teorema 3.7 Un subconjunto est´ andar U de un espacio topol´ ogico est´ andar X es abierto si y s´ olo si contiene a los halos de todos sus puntos est´ andar. ´ n: Por el teorema 3.4, si se da esta condición entonces U contiene un entorno de Demostracio cada uno de sus puntos est´ andar, y por transferencia contiene a un entorno de cada uno de sus puntos. Rec´ıprocamente, si U es abierto contiene un entorno (est´ andar, por transferencia) de cada uno de sus puntos est´ andar, luego contiene a los halos. Por ejemplo, ahora es claro que dos métricas estándar inducen la misma topolog´ıa en un conjunto estándar si y s´ olo si determinan la misma relación ≈ (pues entonces determinan los mismos halos topol´ ogicos de puntos estándar, luego los mismos abiertos estándar, luego los mismos abiertos). En particular, dos normas son equivalentes si y s´ olo si determinan los mismos infinitésimos. Para la topolog´ıa inducida por un espacio X en un subespacio estándar tenemos trivialmente que el halo en Y de un punto y ∈ Y es la intersección con Y de su halo en X. Respecto a la topolog´ıa producto tenemos: Teorema 3.8 Si X =

Xi es el producto de una familia est´ andar de espacios topol´ ogicos y x ∈ X es

i∈I

est´ andar, entonces y ∈ ht (x) ↔

st

i ∈ I yi ∈ ht (xi ).

´ n: Si y ∈ ht (x) e i ∈ I es estándar, entonces para cada entorno est´ Demostracio andar U de xi se cumple que πi−1 [U ] es un entorno est´ andar de x, donde πi es la proyección, luego y ∈ πi−1 [U ] y, por consiguiente, yi ∈ U . Esto prueba que yi ∈ ht (xi ). Rec´ıprocamente, si y cumple la condici´ on del enunciado y U es un entorno est´ andar (b´ asico) de x n −1 tenemos que U = πik [Uik ], donde n es un n´ umero natural est´ andar, cada ik ∈ I es estándar y Uik k=1

es un entorno est´ andar de xik . Tenemos que yik ∈ Uik , luego y ∈ ht (x). Por ejemplo, ahora es inmediato que los puntos infinitesimales de Rn (con n estándar) para todas las normas 7p (incluyendo p = ∞) son los vectores con todas sus componentes infinitesimales, luego todas ellas son equivalentes. M´ as a´ un, respecto a cualquiera de estas normas, un punto x ∈ Rn es finito si y sólo si cada xi es un n´ umero real finito, luego casi est´ andar, y entonces ∗ x = (∗ x1 , . . . , ∗ xn ) es un punto estándar infinitamente cercano a x. As´ı pues, los puntos finitos de Rn respecto a las normas 7p coinciden con los casi estándar. Esto basta para demostrar la equivalencia de todas las normas: Teorema 3.9 Todas las normas en Rn son equivalentes. ´ n: Consideramos en Rn una norma arbitraria (est´ Demostracio andar) y la norma supremo x∞ = máxi {|xi |}. Hemos de probar que ambas inducen los mismos infinitésimos. Llamemos e1 , . . . , en a la base canónica de Por una parte, si x∞ ≈ 0, entonces x ≤ |x1 | e1 + · · · + |xn | en ≈ 0, pues los ei son estándar, luego ei ha de ser finita y xi ≈ 0.

32

Tema 3. Topolog´ıa Supongamos ahora que x ≈ 0 pero x∞ ≈ 0. Entonces 1/x∞ es finito, luego x x∞ ≈ 0. Sin embargo,

x x∞

= 1,

∞

luego x/x∞ es finito respecto a la métrica ∞. Por la observaci´ on previa al teorema es casi estándar, luego podemos considerar su parte estándar y, que cumple x x∞ − y ≈ 0. ∞ Por la parte ya probada,

x x∞ − y ≈ 0,

luego y ≈ 0 y, al ser estándar, y = 0. Tenemos entonces que x 1= x∞ ≈ 0, ∞ contradicci´ on. Las caracterizaciones no estándar de los conceptos topol´ ogicos que consideramos en el tema anterior se generalizan trivialmente a espacios topológicos arbitrarios (o métricos, en el caso de los relativos a continuidad uniforme). As´ı, es fácil ver que si A es un subconjunto est´ andar de un espacio topol´ ogico estándar X entonces un punto est´ andar x ∈ X es adherente a A si y sólo si su halo topol´ ogico corta a A. El conjunto A es cerrado si y sólo si contiene las partes estándar de todos sus puntos casi est´ andar. Teorema 3.10 Una aplicaci´ on est´ andar f : X −→ Y entre espacios topol´ ogicos es continua en un punto est´ andar x ∈ X si y s´ olo si f [ht (x)] ⊂ ht (f (x)). ´ n: Supongamos que f es continua y sea y ∈ ht (x). Entonces, para cada entorno Demostracio estándar V de y, tenemos que f −1 [V ] es un entorno est´ andar de x, luego y ∈ ht (x) ⊂ f −1 [V ], luego f (y) ∈ V . Por consiguiente tenemos que f (y) ∈ ht (f (x)). Rec´ıprocamente, si se da esta condición y U es un entorno est´ andar de f (x), entonces ht (f (x)) ⊂ U , luego ht (x) ⊂ f −1 [U ], luego f −1 [U ] es un entorno de x. Por transferencia esto vale para todo entorno de f (x), estándar o no. La prueba del teorema siguiente es idéntica a 2.11. Teorema 3.11 Una aplicaci´ on est´ andar f : M −→ N entre espacios métricos es uniformemente continua si y s´ olo si cuando x, y ∈ M cumplen x ≈ y, entonces f (x) ≈ f (y). Veamos una aplicación interesante, para lo cual damos previamente la prueba no est´ andar de un hecho sencillo: Teorema 3.12 Si dos aplicaciones continuas coinciden sobre un conjunto denso entonces son iguales. ´ n: Podemos tomar dos aplicaciones estándar f , g : X −→ Y y un conjunto denso Demostracio estándar D ⊂ X. Si x ∈ X es estándar, existe y ∈ D ∩ ht (x) y, por hip´ otesis f (y) = g(y). Por continuidad, esta imagen com´ un est´ a en ht (f (x)) ∩ ht (g(x)), luego ha de ser f (x) = g(x). Ahora demostramos una interesante caracterización no estándar de las aplicaciones continuas que se pueden extender desde un conjunto denso:

3.3. Compacidad y completitud

33

Teorema 3.13 Sea X un espacio topol´ ogico condici´ on necesaria y suficiente para que una regular Y tenga una extensi´ on continua a X entonces sus im´ agenes son casi est´ andar en Y

est´ andar y D ⊂ X un subconjunto denso est´ andar. La aplicaci´ on continua est´ andar f : D −→ Y en un espacio es que si x, y ∈ D son casi est´ andar en X y ∗ x = ∗ y, y ∗ f (x) = ∗ f (y).

´ n: Si existe una extensi´ Demostracio on f¯ : X −→ Y , ésta es u ńica, luego es estándar. As´ı, si x, y ∈ D cumplen ∗ x = ∗ y = z, la continuidad de f en z hace que ∗ f (x) = ∗ f (y) = f (z). Rec´ıprocamente, supongamos que f cumple esta condición. Para cada x ∈ X estándar existe un y ∈ D ∩ ht (x) y por hip´ otesis el punto ∗ f (y) no depende de la elección de y. As´ı tenemos definida una ◦ aplicaci´ on externa X −→ ◦Y que por el principio de extensi´ on determina una aplicaci´ on estándar f¯ : X −→ Y determinada por que, para todo x ∈ X estándar, se cumple f¯(x) = ∗ f (y), donde y ∈ D ∩ ht (x). En particular, si x ∈ D es estándar podemos tomar y = x y tenemos que f¯(x) = f (x). Por transferencia f¯ extiende a f . Falta probar que la extensi´ on f¯ es continua. Basta probarlo en un punto est´ andar x ∈ X. Supongamos, por reducci´ on al absurdo, que f¯[ht (x)] no está contenido en ht (f¯(x)). Entonces existe un entorno estándar U de f (x) y un punto y ∈ ht (x) de modo que f¯(y) ∈ / U . Como Y es regular, existe un abierto estándar V tal que f (x) ∈ V ⊂ V ⊂ U . W

U

x y3 y2 D

V f¯(x)

y f (y3 ) y1 f (y2 )

f¯(y1 )

f¯(y)

Fijemos un abierto est´ andar W en X que contenga a x. Tenemos entonces que y ∈ W f¯(y) ∈ / V. Por transferencia existe un est´ andar y1 ∈ W tal que f¯(y1 ) ∈ / V . Como D es denso, existe y2 ∈ ht (y1 )∩D. Como W es abierto y2 ∈W y por definici´ on de f¯ tenemos que f¯(y1 ) = ∗ f (y2 ) ∈ / V , luego f (y2 ) ∈ / V. andar W que contenga a As´ı concluimos que y ∈ W ∩ D f (y) ∈ / V . Esto vale para todo abierto est´ x, luego también para todo entorno est´ andar de x. Por transferencia vale para todo entorno de x y por el teorema 3.4 llegamos a que y3 ∈ ht (x) ∩ D f (y3 ) ∈ / V , pero entonces f¯(x) = ∗ f (y3 ) ∈ / V , contradicci´ on. Como caso particular se tiene un teorema conocido: Teorema 3.14 Si M y N son espacios métricos, D ⊂ M es un subconjunto denso y f : D −→ N es uniformemente continua, entonces f se extiende a una aplicaci´ on uniformemente continua f¯ : M −→ N . Ejemplo El producto Q × Q −→ R no es una funci´ on uniformemente continua, pero s´ı que cumple la condici´ on del teorema de extensión: si (x, y) ≈ (x , y ) y ambos son casi estándar en R2 (lo cual equivale a que lo sean sus componentes, es decir, a que sean finitas) entonces xy ≈ x y .

3.3

Compacidad y completitud

La caracterización no est´ andar de la compacidad es especialmente interesante porque, al contrario de lo que sucede con los conceptos que hemos considerado hasta ahora, no es una consecuencia trivial de las definiciones, lo cual la hace especialmente potente.

34


Teorema 3.15 Un espacio topol´ ogico est´ andar es compacto si y s´ olo si todos sus puntos son casi est´ andar. ´ n: Sea X un espacio estándar. Si existe x ∈ X que no es casi estándar, consideramos Demostracio la familia C de todos los abiertos estándar de X que no contienen a x (que es un conjunto externo) y formamos su estandarizado S C. As´ı, S C es un conjunto est´ andar cuyos elementos estándar son los abiertos estándar que no contienen a x. Por transferencia S C es una familia de abiertos de X. Vamos a ver que es un cubrimiento. Si y ∈ X es un punto est´ andar, entonces x ∈ / ht (y), luego existe un abierto estándar U en X tal que y ∈ U pero x ∈ / U . As´ı, U ∈ S C, luego la uni´ on de todos los elementos de S C contiene a todos los puntos est´ andar de X. Por transferencia contiene a todo X. andar finito, cuyos eleSi S C admitiera un subcubrimiento finito, admitir´ıa un subcubrimiento est´ mentos ser´ıan todos abiertos est´ andar y x tendr´ıa que pertenecer a uno de ellos, lo cual es absurdo. Rec´ıprocamente, si todos los puntos de X son casi estándar y C es un cubrimiento abierto est´ andar de X, por el teorema 1.5 existe un subconjunto finito Y de X que contiene a todos los puntos est´ andar de X. Para cada punto y ∈ Y tomamos un abierto U ∈ C que contenga a y, con lo que formamos un subconjunto finito C de C. Se cumple que C es un cubrimiento, pues si x ∈ X entonces ∗ x ∈ Y , luego ∗ x ∈ U , para cierto U ∈ C . Claramente entonces x ∈ U . Es importante aclarar que para que un subespacio est´ andar A de un espacio estándar X sea compacto es necesario que cada punto de K sea casi estándar en A, lo cual equivale a que tenga parte est´ andar en X y ésta esté en A. La propiedad de que todos los puntos de A sean casi estándar en X caracteriza la compacidad relativa. Ahora es inmediato que todo subespacio compacto es cerrado y que todo cerrado en un compacto es compacto. Todo compacto en un espacio métrico está acotado (si lo suponemos estándar, est´ a contenido en cualquier bola de centro est´ andar y radio infinito). As´ı mismo es fácil ver que toda funci´ on continua en un espacio métrico compacto es uniformemente continua (comparar con 2.12). Teorema 3.16 (Teorema de Tychonoff ) El producto de una familia arbitraria de espacios compactos es un espacio compacto. ´ n: Sea X = Demostracio

Xi el producto de una familia est´ andar de espacios compactos. Si

i∈I

x ∈ X e i ∈ I es estándar, entonces xi es un punto del compacto est´ andar Xi , luego xi es casi estándar. ◦ Xi dada por i → yi = ∗ xi se extiende a una Por el principio de extensi´ on, la aplicaci´ on ◦ I −→ i

aplicaci´ on estándar y ∈ X, con la propiedad de que para todo i ∈ I estándar xi ∈ ht (yi ). Por 3.8 concluimos que x ∈ ht (y), luego x es casi estándar. Teorema 3.17 Toda imagen continua de un espacio compacto es compacta. ´ n: Sea f : X −→ Y una aplicaci´ Demostracio on continua y suprayectiva con X compacto. Podemos suponer que es estándar. Si y ∈ Y , existe x ∈ X tal que f (x) = y. Por hip´ otesis x es casi estándar, luego podemos considerar ∗ x ∈ X, de modo que x ∈ ht (∗ x), luego y ∈ ht (f (∗ x)). Esto prueba que y es casi estándar, luego Y es compacto. Se dice que un espacio métrico es propio si todo subespacio cerrado y acotado es compacto. La caracterización no est´ andar de esta propiedad tiene especial interés desde el punto de vista no estándar, pues determina la relaci´ on entre las propiedades de ser finito y casi est´ andar: Teorema 3.18 Un espacio métrico M es propio si y s´ olo si todos sus puntos finitos son casi est´ andar.

3.3. Compacidad y completitud

35

´ n: Si M es propio, cada punto finito de M está contenido en una bola cerrada de centro Demostracio estándar y radio est´ andar. Esta bola ser´ a compacta, con lo que x será casi estándar. Rec´ıprocamente, si todos los puntos finitos de M son casi estándar y A es un subconjunto est´ andar cerrado y acotado, entonces A está contenido en una bola que podemos tomar de centro y radio est´ andar. Todos los puntos de esta bola serán finitos, luego casi est´ andar (en la bola, por ser cerrada), luego la bola ser´ a compacta y A también. Notemos que todo espacio métrico propio es localmente compacto y que todo espacio normado localmente compacto es propio. Hay una caracterización u ´til de la compacidad local. Para verla introducimos el concepto siguiente: Definici´ on 3.19 Un punto de un espacio topol´ ogico estándar es compacto si pertenece a un subespacio compacto estándar. Es claro que todo punto est´ andar es compacto y que todo punto compacto es casi estándar. Por consiguiente un espacio topol´ ogico estándar es compacto si y sólo si todos sus puntos son compactos. Teorema 3.20 Un espacio topol´ ogico est´ andar es localmente compacto si y s´ olo si todos sus puntos casi est´ andar son compactos. M´ as concretamente, un punto est´ andar tiene un entorno compacto si y s´ olo si todos los puntos de su halo topol´ ogico son compactos. ´ n: Sea X un espacio topol´ Demostracio ogico estándar. Es obvio que si x ∈ X es un punto estándar con un entorno (est´ andar) compacto U , entonces ht (x) ⊂ U , luego todos los puntos de ht (x) son compactos. Rec´ıprocamente, si x no tiene entornos compactos aplicamos el teorema 1.2 al conjunto de todos los pares (U, K), donde U es un entorno de x y K un compacto en X, con la relaci´ on y ∈ U \ K. Obviamente es concurrente, por lo que existe un punto y ∈ ht (x) que no es compacto. Pasemos ahora a estudiar la completitud en espacios métricos y su relación con la compacidad. Ante todo observemos que las caracterizaciones 2.21 y 2.23 de las sucesiones convergentes y de Cauchy son v´ alidas en un espacio métrico arbitrario. Conviene introducir el concepto siguiente: Definici´ on 3.21 Un punto x de un espacio métrico estándar M es precompacto si toda bola de centro x y radio est´ andar contiene un punto est´ andar. Es claro que todo punto casi est´ andar x de un espacio métrico es precompacto, pues si > 0 es estándar la bola B (∗ x) es estándar, luego contiene un punto est´ andar, que estar´ a también en B (x), ya que x ≈ ∗ x. Teorema 3.22 Un espacio métrico est´ andar M es completo si y s´ olo si todo punto precompacto es casi est´ andar. ´ n: Supongamos que M es completo y sea x ∈ M un punto precompacto. Hemos de Demostracio probar que es casi estándar. Para cada natural est´ andar n elegimos1 un punto est´ andar yn ∈ M tal que d(x, yn ) < 1/n. Por el principio de extensi´ on esta asignación se extiende a una sucesión estándar {yn } en M , que es de Cauchy, pues si µ < ν son n´ umeros naturales infinitos se cumple (por el principio de transferencia) que d(yµ , yν ) ≤ 2/µ ≈ 0. Por hip´ otesis converge a un punto est´ andar y ∈ M , de modo que y = ∗ yµ , para todo natural infinito µ. El conjunto {n ∈ N | d(yn , x) < 1/n} contiene a todos los n´ umeros naturales estándar, pero no puede ser igual a ◦ N, luego también contiene a un n´ umero infinito µ, de modo que x ≈ yµ ≈ y, luego x es casi estándar. 1 M´ as concretamente, tomamos una funci´ on de elecci´ on (est´ andar) definida sobre el conjunto de todas las bolas abiertas en M y la usamos para definir el punto yn .

36


Supongamos ahora que M cumple la condici´ on del enunciado y sea {xn } una sucesión (estándar) de Cauchy en M . Si µ es un natural infinito y xµ no es casi estándar, entonces no es precompacto, luego existe un > 0 estándar tal que la bola B (xµ ) no contiene puntos est´ andar. En particular el conjunto umeros naturales finitos, luego ha de contener a alguno {n ∈ N | d(xn , xµ ) ≥ } contiene a todos los n´ infinito, pero esto contradice a la condici´ on de Cauchy. As´ı pues xµ es casi estándar, de donde se sigue claramente que la sucesión converge a ∗ xµ . Por ejemplo, si x es un punto infinito de un espacio métrico, entonces todos los puntos de B1 (x) son infinitos, luego ninguno es est´ andar, luego x no es precompacto. De aqu´ı se sigue que todo espacio métrico propio (en particular todo espacio métrico compacto) es completo. Teorema 3.23 Un espacio métrico est´ andar es precompacto si y s´ olo si todos sus puntos son precompactos. ´ n: Supongamos que M es un espacio métrico precompacto y sea x ∈ M . Dado > 0 Demostracio estándar, existen puntos x1 , . . . xn ∈ M (estándar) tales que M = B (x1 ) ∪ · · · ∪ B (xn ). As´ı pues x ∈ B (xi ) para cierto i, luego también xi ∈ B (x). Esto prueba que x es precompacto. Rec´ıprocamente, si todos los puntos de M son precompactos tomamos un conjunto finito F = {x1 , . . . , xµ } ⊂ M que contenga a todos los puntos est´ andar de M (teorema 1.5). Dado > 0, se ha de cumplir que M = B (x1 ) ∪ · · · ∪ B (xµ ), pues un punto que no estuviera en la uni´ on no ser´ıa precompacto. Ahora es inmediato el teorema siguiente: Teorema 3.24 Un espacio métrico es compacto si y s´ olo si es precompacto y completo. ´ n: Basta tener en cuenta que —para un espacio estándar— la compacidad equivale Demostracio a que todo punto sea casi estándar, la completitud a que precompacto implique casi est´ andar y la precompacidad a que todo punto sea precompacto. Veamos ahora otra caracterización de los puntos precompactos: Teorema 3.25 Un punto x de un espacio métrico est´ andar es precompacto si y s´ olo si ht (x) ⊂ hm (x). ´ n: Si existe un punto y ∈ ht (x) cuya distancia a x no es infinitesimal, podemos tomar Demostracio andar, pues si z ∈ B/2 (x) un > 0 estándar tal que d(x, y) > . Entonces B/2 (x) no contiene puntos est´ es estándar tenemos que x ∈ B/2 (z) y, como la bola es estándar, también y ∈ B/2 (z), pero entonces d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) < , contradicci´ on. Esto prueba que x no es precompacto. Rec´ıprocamente, si ht (x) ⊂ hm (x) y > 0 es estándar, hemos de probar que B (x) contiene puntos estándar. En caso contrario, aplicamos el teorema 1.2 al conjunto A de todos los entornos de x y a la relación α(y, U ) ≡ y ∈ U ∧ d(y, x) ≥ . Ciertamente, para cada familia est´ andar finita de entornos de x, la intersección es un entorno est´ andar de x, luego contiene un punto est´ andar y cuya distancia a x será mayor o igual que . Esto prueba que α es concurrente en A, luego existe un punto y que pertenece a todos los entornos estándar de x, es decir, y ∈ ht (x) y d(y, x) ≥ . Entonces y ∈ / hm (x), contradicci´ on. Terminamos con algunas pruebas m´ as de varias propiedades conocidas:

3.4. Espacios de funciones

37

Teorema 3.26 Si M es un espacio métrico y A ⊂ M es completo, entonces A es cerrado en M . Si M es completo y A es cerrado, entonces A es completo. ´ n: Podemos suponer que M y A son estándar. Si A es completo, para probar que es Demostracio cerrado hemos de ver que si x ∈ A es casi estándar en M , entonces ∗ x ∈ A. Para ello basta probar que x es casi estándar en A. En caso contrario existe un > 0 estándar tal que B (x) ∩ A no contiene puntos andar estándar. Ahora bien, x ∈ B (∗ x) ∩ A = ∅ y, como la intersección es estándar, existe un punto est´ y ∈ B (∗ x) ∩ A. Claramente y ∈ B (x) ∩ A, contradicci´ on. Si suponemos que M es completo y A es cerrado, entonces para todo x ∈ A, o bien x es casi estándar en M (luego en A), o bien existe > 0 tal que B (x) no contiene puntos est´ andar, luego B (x) ∩ A tampoco. De la completitud de Rn con cualquier norma se sigue que todo subespacio de dimensi´ on finita de un espacio normado es completo, luego cerrado. Usando este hecho deducimos lo siguiente: Teorema 3.27 Todo espacio normado localmente compacto es de dimensi´ on finita. ´ n: Tomemos un espacio normado estándar E de dimensi´ Demostracio on infinita y sea B una base estándar. Entonces B contiene un vector no est´ andar x, que podemos suponer de norma 1. Si E fuera localmente compacto ser´ıa propio, luego x ser´ıa casi estándar. Sea y = ∗ x. Como y es estándar, y pertenece al subespacio F generado por un subconjunto est´ andar finito de vectores de B. Sin embargo ∗ x∈ / F , pues x no puede estar en dicho subconjunto finito. Tenemos as´ı que x está en la clausura de F pero no en F , cuando por otra parte F es cerrado, contradicción.

3.4

Espacios de funciones

Si X e Y son dos conjuntos, llamaremos Y X al conjunto de todas las aplicaciones de X en Y . Si Y es un espacio topol´ ogico podemos considerar en Y X la topolog´ıa producto, que se conoce más com´ unmente como la topolog´ıa de la convergencia puntual, porque una sucesi´ on (m´ as en general, una red) de funciones converge a otra si y sólo si converge en cada punto. Si X e Y son estándar, el teorema 3.8 nos da que el halo topol´ ogico de una funci´ on estándar f ∈ Y X viene dado por st x ∈ X(g(x) ∈ ht (f (x)). g ∈ ht (f ) ↔ Si X es también un espacio topol´ ogico, el espacio C(X, Y ) de las funciones continuas de X en Y no es necesariamente cerrado para la topolog´ıa de la convergencia puntual. Ejemplo

La funci´ on f : R −→ R dada por

f (x) =

0 1

si x ≤ 0, si x > 0,

no es continua, pero es adherente a C(R, R), pues su halo contiene a la funci´ on continua 0 g(x) =

donde ξ > 0 es un infinitésimo. En efecto,

st

x/ξ 1

si x ≤ 0, si 0 ≤ x ≤ ξ, si x ≥ ξ,

x ∈ R f (x) = g(x).

38


Volviendo al caso general, si Y es un espacio métrico podemos dotar a X Y de la topolog´ıa de la convergencia uniforme, que es la inducida por la métrica

si x ∈ X d(f (x), g(x)) > 1, d(f, g) = 1 sup d(f (x), g(x)) en caso contrario. x∈X

El halo métrico de una funci´ on arbitraria f ∈ Y X respecto a esta métrica viene dado por g ∈ hm (f ) ↔ f ≈ g ↔ x ∈ X f (x) ≈ g(x). Si X es un espacio topol´ ogico, el conjunto C(X, Y ) s´ı que es cerrado para la convergencia uniforme. Para probarlo necesitamos un hecho elemental: Teorema 3.28 Si M es un espacio métrico, la distancia d : M × M −→ R es uniformemente continua, es decir, xyx y ∈ M (x ≈ x ∧ y ≈ y → d(x, y) ≈ d(x , y )). ´ n: Basta tener en cuenta que Demostracio |d(x, y) − d(x , y )| ≤ d(x, x ) + d(y, y ).

Teorema 3.29 Sea X un espacio topol´ ogico e Y un espacio métrico. Entonces C(X, Y ) es cerrado en Y X. ´ n: Podemos suponer que X e Y son estándar. Hemos de probar que Demostracio si g ∈ C(X, Y ) es casi estándar entonces f = ∗ g ∈ C(X, Y ). Tenemos que d(f, g) ≈ 0, es decir, que x ∈ X f (x) ≈ g(x). Como f es estándar, para probar que es continua basta ver que lo es en un punto est´ andar x ∈ X. Como g no es estándar no podemos usar la caracterizaci´ on no estándar de la continuidad. Lo que tenemos es que st > 0 δ > 0 y ∈ X(d(x, y) < δ → d(g(x), g(y)) < ). Por el teorema anterior st > 0 δ > 0 y ∈ X(d(x, y) < δ → d(f (x), f (y)) < ) y por transferencia podemos pasar a > 0, es decir, a que f es continua en x. Teorema 3.30 Si Y es un espacio métrico completo, entonces Y X también es completo con la topolog´ıa de la convergencia uniforme. ´ n: Podemos suponer que X e Y son estándar. Hemos de probar que toda funci´ Demostracio on precompacta f es casi estándar. Fijados x ∈ X y > 0 estándar, la precompacidad de f significa que existe g ∈ Y X estándar tal que d(f, g) < . En particular d(f (x), g(x)) < . Esto prueba que f (x) es on estándar precompacto en Y , luego es casi estándar. Definimos h(x) = ∗ f (x), extendida a una funci´ en X por el principio de extensi´ o n. Vamos a probar que f ≈ h, con lo que f ser´ a casi est´ a ndar. st Lo que sabemos es que x ∈ Xf (x) ≈ h(x) y hemos de probarlo para todo x no necesariamente estándar, pero no podemos aplicar el principio de transferencia. Dado /0 tomamos una funci´ on estándar st g tal que d(f, g) < /2. Entonces x ∈ Xd(g(x), h(x)) < /2, pero aqu´ı s´ı que podemos aplicar el principio de transferencia, lo que nos da que d(g, h) ≤ /2, luego d(f, h) < para todo estándar, es decir, f ≈ h. Como consecuencia inmediata tenemos:

3.4. Espacios de funciones

39

Teorema 3.31 (Criterio de mayoraci´ on de Weierstrass) Si {fn }n es una sucesi´ on de funciones fn : X −→ R, donde X es un espacio topol´ ogico y {Mn } es una sucesi´ on de n´ umeros reales tal que ∞ ∞ x ∈ X |fn (x)| ≤ Mn y la serie Mn es convergente, entonces la serie de funciones fn converge n=0

n=0

uniformemente en X a una cierta funci´ on. ´ n: Es obvio que si µ ≤ ν son n´ Demostracio umeros naturales infinitos entonces d(Sµ , Sν ) ≤

ν

Mn ≈ 0,

n=µ

donde Sµ representa a la suma parcial µ-ésima de la serie funcional, luego la serie es uniformemente de Cauchy, luego uniformemente convergente. Observemos que si Y es un espacio vectorial topol´ ogico real entonces Y X tiene estructura de espacio vectorial con las operaciones definidas puntualmente. Sin embargo, el producto no es continuo en general. Por ejemplo, si f es la identidad en R tenemos que el producto R × RR −→ RR no es continuo en (0, f ), pues si ξ es un infinitésimo se cumple que ξf ≈ 0f = 0 (ya que ξf (1/ξ) = 1 ≈ 0). De hecho, tampoco es continua la restricci´ on del producto a C(R, R). M´ as en general, es fácil ver que el producto no es continuo en C(X, Y ) siempre que existe una funci´ on continua no acotada de X en Y . Esto no sucede si consideramos la convergencia uniforme en compactos. En general, si X es un espacio topol´ ogico e Y es un espacio métrico, la topolog´ıa de la convergencia uniforme en compactos es la determinada por la base B(f, K, ) = {g ∈ Y X | x ∈ K d(f (x), g(x)) < }, donde f ∈ Y X , K ⊂ X compacto y > 0. Es claro que el halo topol´ ogico de una funci´ on estándar f respecto de esta topolog´ıa viene dado por g ∈ ht (f ) ↔ x ∈ X(x compacto → f (x) ≈ g(x)). En lo sucesivo nos restringiremos al caso en que X es localmente compacto, de modo que podemos sustituir “compacto” por “casi estándar”. Se cumple que C(X, Y ) es cerrado en Y X para esta topolog´ıa: En efecto, si g ∈ C(X, Y ) es casi andar x ∈ X y un entorno compacto K. Tenemos f (y) ≈ g(y) estándar y f = ∗ g, fijamos un punto est´ para todo punto casi est´ andar y ∈ X, luego en particular para todo punto de K. Esto significa que f |K ≈ g|K para la métrica de la convergencia uniforme en Y K . Además g|K ∈ C(K, Y ), luego concluimos que f |K ∈ C(K, Y ). En particular f es continua en x. Ahora nos restringimos al caso en que Y = R. Escribiremos C(X) en lugar de C(X, R). Teorema 3.32 Si X es un espacio topol´ ogico localmente compacto, la suma, el producto escalar y el producto de funciones en C(X) son funciones continuas cuando consideramos en C(X) la topolog´ıa de la convergencia uniforme en compactos. ´ n: Veamos u Demostracio ńicamente el caso del producto escalar. Tomamos (α, f ) ∈ R × C(X) estándar y otro par (β, g) de modo que β ≈ α, g ∈ ht (f ). Hemos de probar que βg ∈ ht (αf ), es decir, que para todo punto casi est´ andar x ∈ X se cumple αf (x) ≈ βg(x). Lo que sabemos es que f (x) ≈ g(x), as´ı como que f (x) y g(x) son n´ umeros reales finitos, porque f transforma puntos casi est´ andar en puntos casi estándar. La conclusi´ on es obvia. Como aplicación vamos a estudiar la convergencia de las series de potencias. Si {an }n es una sucesión acotada de n´ umeros reales definimos l´ım sup an = sup S {∗ aµ | µ ∈ N \ ◦N}. n

40


Teorema 3.33 Si

∞ n=0

an (x − x0 )n es una serie de potencias y 1 = l´ım sup n |an | R n

(entendiendo que R = ∞ si el l´ımite es 0), entonces la serie converge uniformemente en los compactos del intervalo ]x0 − R, x0 + R[ (en todo R si R = ∞) y diverge en todos los puntos con |x − x0 | > R. ´ n: No perdemos generalidad si suponemos que x0 = 0. As´ı mismo podemos suponer Demostracio que la serie es estándar y que la sucesi´ on de sus coeficientes está acotada (si no lo está, el teorema se cumple trivialmente considerando R = 0). Hemos de probar que para todo n´ umero real x casi estándar en el intervalo ]−R, R[ y todo n´ umero natural infinito µ se cumple µ ∞ an xn ≈ an xn . (3.1) n=0

n=0

Ahora bien, que x sea casi estándar en el intervalo equivale a que existe un n´ umero real estándar r tal que |x| ≤ r < R. Entonces r l´ım sup n |an | < 1, n

luego podemos tomar otro n´ umero estándar r l´ım sup

n

n

|an | < ρ < 1,

(3.2)

Si n es un n´ umero natural infinito no s´ olo se cumplir´ a r ∗ n |an | < ρ (por la definici´ on del l´ımite superior), sino que de hecho r n |a | < ρ, pues el miembro izquierdo est´ a infinitamente cerca del miembro n n n n izquierdo de (3.2). As´ı pues, |x| |an | < ρ, luego |an x | < ρ (para todo n´ umero natural infinito n). Si µ < ν son n´ umeros naturales infinitos tenemos que ν ν an xn ≤ ρn ≈ 0. n=µ

n=µ

Esto prueba que la serie de potencias restringida a [−r, r] es uniformemente de Cauchy, luego converge uniformemente, de donde se sigue (3.1). Para probar que la serie diverge fuera del intervalo basta considerar un punto est´ andar x y el razonamiento es pr´ acticamente el mismo que en la prueba clásica. As´ı, por ejemplo, ahora sabemos que la relaci´ on ex ≈

µ xn n=0 n!

es válida para todo n´ umero real finito x, y no s´ olo para los estándar. Esto simplifica considerablemente la comprobaci´ on de que ex es derivable.

Tema IV

An´ alisis de varias variables En este tema demostraremos a t´ıtulo de ilustraci´ on los resultados b´ asicos del cálculo diferencial en on no est´ andar de diferenciabilidad, claramente equivalente a la est´ andar, es la siguiente: Rn . La definici´ Definici´ on 4.1 Una funci´ on estándar f : D −→ Rm definida en un abierto D ⊂ Rn es diferenciable en un punto p ∈ D si existe una aplicaci´ on lineal est´ andar L : Rn −→ Rm tal que para todo infinitésimo n ξ ∈ R se cumple que f (p + ξ) − f (p) − L(ξ) ≈ 0. ξ Recordemos que esto define la diferenciabilidad de una funci´ on arbitraria a través del principio de estandarizaci´ on. La unicidad de la aplicaci´ on L es fácil de probar: si ei es el i-ésimo vector de la base canónica de Rn y ξ ∈ R es un infinitésimo tenemos que f (p + ξei ) − f (p) − L(ξei ) ≈ 0. ξ (Notemos que en el denominador deber´ıa aparecer |ξ|, pero podemos eliminar el valor absoluto). Claramente entonces f (p + ξei ) − f (p) L(ei ) ≈ . ξ Esto prueba que la parte est´ andar del miembro derecho no depende de ξ, luego, por definici´ on, es la derivada parcial de f respecto a xi . En definitiva ∂f L(ei ) = . ∂xi p Por lo tanto podemos definir df (p) = L. Es claro que toda funci´ on diferenciable es continua: de la definici´ on se sigue que f (p + ξ) − f (p) ≈ df (p)(ξ) ≈ 0, porque una aplicaci´ on lineal es trivialmente continua. Vamos a demostrar que toda funci´ on de clase C 1 es diferenciable, para lo cual conviene introducir el concepto siguiente: 41

42

Tema 4. Análisis de varias variables

Definici´ on 4.2 Una funci´ on estándar f : D −→ Rm definida en un abierto D ⊂ RN es estrictamente diferenciable en un punto p ∈ D si existe una aplicaci´ on lineal est´ andar L : Rn −→ Rm tal que para todo par de puntos distintos x ≈ p ≈ y se cumple f (x) − f (y) − L(x − y) ≈ 0. x − y Haciendo y = p vemos que toda funci´ on estrictamente diferenciable en p es diferenciable en p. Ahora demostramos: Teorema 4.3 Toda funci´ on de clase C 1 en un punto p es estrictamente diferenciable en p. ´ n: Podemos tomar una funci´ Demostracio on estándar f : D −→ Rm y un punto est´ andar p ∈ D. Es claro que una funci´ on f es estrictamente diferenciable o de clase C 1 si y sólo si lo son sus funciones coordenadas, por lo que no perdemos generalidad si suponemos m = 1. Definimos L : Rn −→ R como n

∂f L(x) = xi . ∂xi i=1

p

Si x ≈ p ≈ y, x = y, aplicamos el teorema del valor medio a la funci´ on G(t) = f (y + t(x − y)), de modo que existe un n´ umero real 0 < t < 1 tal que n

∂f ∂xi

(xi − yi ) −

n

∂f ∂xi

f (x) − f (y) − L(x − y) y+t(x−y) i=1 = i=1 x − y x − y n

∂f xi − yi ∂f = ≈ 0, − ∂x ∂x x − y i y+t(x−y) i p i=1

p

(xi − yi )

donde en el u ´ltimo paso hemos usado la continuidad en p de las derivadas parciales (notemos que el cociente de la derecha es menor que 1). En la prueba hemos usado la regla de la cadena. Una prueba no est´ andar es la siguiente: Teorema 4.4 (Regla de la cadena) Si f : D ⊂ Rn −→ Rm es una funci´ on diferenciable en p ∈ D as y g : E ⊂ Rm −→ Rk es diferenciable en f (p) ∈ E, entonces f ◦ g es diferenciable en p y adem´ d(f ◦ g)(p) = df (p) ◦ dg(f (p)). ´ n: Si ξ ∈ Rn es un infinitésimo, la continuidad de f implica que ξ = f (p + ξ) − f (p) es Demostracio infinitesimal. M´ as a´ un, por la diferenciabilidad de f tenemos que existe un vector infinitesimal ξ1 ∈ Rm tal que ξ = df (p)(ξ) + ξξ1 . Igualmente, de la diferenciabilidad de g se sigue que existe un vector infinitesimal ξ2 ∈ Rk tal que g(f (p + ξ)) = g(f (p) + ξ ) = g(f (p)) + dg(f (p))(ξ ) + ξ ξ2 = g(f (p)) + dg(f (p))(df (p)(ξ)) + ξdg(f (p))(ξ1 ) + ξ ξ2 . Llamando L = df (p) ◦ dg(f (p)) tenemos que g(f (p + ξ)) − g(f (p)) − L(ξ) ξ = dg(f (p))(ξ1 ) + ξ2 ≈ 0, ξ ξ

43 Donde hemos usado que

ξ ξ = df (p) + ξ1 ξ ξ

es finito. Demostramos ahora que la diferenciabilidad estricta est´ a muy cerca de la clase C 1 : Teorema 4.5 Si una funci´ on f : D ⊂ Rn −→ Rm es diferenciable en el abierto D y es estrictamente diferenciable en p ∈ D, entonces f tiene derivadas parciales continuas en p. En particular, si f es estrictamente diferenciable en D entonces es de clase C 1 . ´ n: Podemos suponer que f y p son estándar, as´ı como que m = 1. Tomemos un punto Demostracio x ≈ p y sea ei el vector i-ésimo de la base canónica de Rn . El hecho de que f sea diferenciable en x implica que f (x + λei ) − f (x) − df (x)(λei ) l´ım = 0. λ→0 λ Usando la definici´ on cl´ asica de l´ımite (la caracterización no estándar no sirve, porque x no es estándar), tenemos que si λ es suficientemente peque˜ no (en particular infinitesimal), el cociente ξ es infinitesimal, de modo que ∂f f (x + λei ) − f (x) = λ + λξ. ∂xi x Por otra parte, la diferenciabilidad estricta de f en p implica que existe un n´ umero infinitesimal ξ tal que ∂f f (x + λei ) − f (x) = λ + λξ . ∂xi p

Restando queda que

∂f ∂f − = ξ − ξ ≈ 0. ∂xi x ∂xi p

Una prueba incorrecta del teorema de Schwarz ser´ıa la siguiente: Si f (x, y) es una funci´ on de clase C 2 en un punto (a, b), entonces ∂f ∂f f (a+ξ,b+ξ)−f (a,b+ξ) − 2 ∂x ∂x − ∂ f (a,b+ξ) (a,b) ξ ≈ ≈ ∂x∂y (a,b) ξ ξ =

f (a+ξ,b)−f (a,b) ξ

f (a + ξ, b + ξ) − f (a, b + ξ) − f (a + ξ, b) + f (a, b) . ξ2

Si esto estuviera bien el teorema quedar´ıa probado, pues la u ´ltima expresi´ on es simétrica. Sin embargo el segundo paso es incorrecto, ya que estamos aplicando la caracterización no est´ andar de las derivadas parciales en un punto no est´ andar (a, b + ξ). Una prueba de que esto no es posible es observar que si estuviera bien no necesitar´ıamos la continuidad de las derivadas segundas. Sin embargo el razonamiento puede arreglarse usando el teorema del valor medio. Teorema 4.6 (Teorema de Schwarz) Si f : D ⊂ Rn −→ R es una funci´ on de clase C 2 en un punto p ∈ D, entonces ∂ 2 f ∂ 2 f = para i, j = 1, . . . , n. ∂xi ∂xj p ∂xj ∂xi p

44

Tema 4. Análisis de varias variables ´ n: No perdemos generalidad si suponemos que n = 2. Sea p = (a, b). Llamamos Demostracio ∆2 f (ξ) = f (a + ξ, b + ξ) − f (a, b + ξ) − f (a + ξ, b) + f (a, b). Basta probar que si ξ > 0 es un infinitésimo entonces ∂ 2 f ∆2 f (ξ) ≈ . ∂x∂y (a,b) ξ2

Si G(x) = f (x, b + ξ) − f (x, b), tenemos que ∆2 f (ξ) = G(a + ξ) − G(a). Podemos aplicar el teorema del valor medio a G, de modo que existe un infinitésimo 0 < ξ1 < ξ tal que ∂f ∂f 2 ∆ f (ξ) = ξG (a + ξ1 ) = ξ −ξ . ∂x (a+ξ1 ,b+ξ) ∂x (a+ξ1 ,b) ∂f Si ahora aplicamos el teorema del valor medio a la funci´ on obtenemos un infinitésimo ∂x (a+ξ1 ,x) 0 < ξ2 < ξ tal que 2 2 2 ∂ f ∆ f (ξ) = ξ . ∂x∂y (a+ξ1 ,b+ξ2 )

As´ı pues, usando la continuidad de la derivada segunda, ∆2 f (ξ) ∂ 2 f ∂ 2 f = ≈ . ξ2 ∂x∂y (a+ξ1 ,b+ξ2 ) ∂x∂y (a,b) Para terminar daremos una prueba no est´ andar del teorema de la funci´ on inversa debida a M. Behrens. Teorema 4.7 (De la funci´ on inversa) Sea f : D ⊂ Rn −→ Rn una aplicaci´ on estrictamente diferenciable en un punto p ∈ D. Si df (p) es biyectiva entonces existe un entorno U de p contenido en D tal que f [U ] es un entorno de f (p), la restricci´ on de f a U es biyectiva y su inversa es estrictamente diferenciable diferenciable en f (p). ´ n: Podemos suponer que f y p son estándar. Veamos que f biyecta el halo de p con el Demostracio halo de f (p). De aqu´ı se sigue ya la existencia de U (en principio un entorno contenido en h(p), que por transferencia podemos convertir en un entorno est´ andar). S´ olo quedar´ a demostrar la diferenciabilidad de la inversa. Suponemos conocido el concepto de norma de una aplicaci´ on lineal. En primer lugar, si x, x ∈ h(p) son distintos, la diferenciabilidad estricta implica que f (x) − f (x ) df (p)(x − x ) ≈ . x − x x − x

(4.1)

x−x Como el vector x−x tiene norma 1 y df (p) es un difeomorfismo, su imagen no puede ser infinitesimal, luego f (x) = f (x ). Tomemos ahora y ∈ h(f (p)) y veamos que tiene antiimagen en h(p). Para ello definimos la sucesi´ on

x0 = p,

xn+1 = xn + df (p)−1 (y − f (xn )).

Para que esta sucesión esté bien definida es necesario que cada xn esté en el dominio de f . De hecho xn ∈ h(p) pues si vale para n tenemos que xn+1 − xn = df (p)−1 (y − f (xn )) ≤ df (p)−1 y − f (xn ),

(4.2)

45 luego también vale para n + 1. Si f (xn ) = y para alg´ un n ya tenemos una antiimagen para y. Podemos suponer que no se da el caso, con lo que xn+1 = xn . Vamos a demostrar la relación siguiente: xn+1 − xn ≤

1 df (p)−1 y − f (p). 2n

En efecto, tenemos que y = f (xn ) + df (p)(xn+1 − xn ), luego f (xn+1 ) − y f (xn+1 ) − f (xn ) − df (p)(xn+1 − xn ) xn+1 − xn = . f (xn ) − y xn+1 − xn df (p)(xn+1 − xn ) El primer cociente es infinitesimal por la diferenciabilidad estricta de f en p, el segundo es finito porque es la norma de la inversa del valor de df (p) sobre un vector de norma 1. Por consiguiente el miembro izquierdo es infinitesimal. En particular f (xn+1 ) − y ≤

1 f (xn ) − y. 2

Usando (4.2) llegamos a que xn+1 − xn ≤ df (p)−1 y − f (xn ) ≤

1 1 df (p)−1 y − f (xn−1 ) ≤ · · · ≤ n df (p)−1 y − f (p). 2 2

De esta relación se sigue claramente que la sucesión {xn } es de Cauchy, luego converge a un punto x. Tomando l´ımites en la definici´ on de xn queda que y = f (x). Ahora sabemos que f es inyectiva en un entorno est´ andar de p, por lo que tiene una inversa est´ andar f −1 que podemos considerar de nuevo restringida sobre el halo de f (p). Para probar que f −1 es estrictamente diferenciable en f (p) tomamos dos puntos y, y ∈ h(f (p)), que serán de la forma y = f (x), y = f (x ). Seg´ un (4.1) tenemos que y − y df (p)(x − x ) ≈ . x − x x − x De aqu´ı se sigue en particular que el cociente x − x y − y es finito, pues su inverso es df (p) actuando sobre un vector unitario. Adem´ as df (p)−1 (y − y ) x − x ≈ , x − x x − x luego

df (p)−1 (y − y ) x − x f −1 (y) − f −1 (y ) ≈ = , y − y y − y y − y

lo que prueba la diferenciabilidad estricta de f −1 en f (p) (con diferencial igual a df (p)−1 ).

Tema V

Conceptos y t´ ecnicas no est´ andar Dedicamos el u ´ltimo tema a exponer algunos conceptos, resultados y técnicas de trabajo que son genuinamente no est´ andar, es decir, que no tienen un equivalente directo en la teor´ıa de conjuntos estándar.

5.1

Principios de permanencia

Los principios de permanencia son argumentos que nos permiten concluir bajo ciertas circunstancias que si todo conjunto est´ andar cumple algo entonces alg´ un conjunto no est´ andar cumple lo mismo. El principio de permanencia b´ asico es el principio de transferencia, pero hay otros que pueden usarse cuando éste no se puede aplicar. Uno de los más elementales es el siguiente: Principio de Cauchy Si todos los elementos de un subconjunto estrictamente externo E de un conjunto interno X cumplen una propiedad interna (quiz´ a con par´ ametros internos), entonces existe un x ∈ X \ E que también cumple la propiedad. Esto es trivial. Si llamamos φ(x) a la f´ ormula interna aludida en el principio (tal vez con par´ ametros), podemos formar el conjunto interno P = {x ∈ X | φ(x)}. Estamos suponiendo que E ⊂ P , pero no puede darse la igualdad porque entonces E ser´ıa interno, luego P \ E = ∅. Algunos casos particulares son: si todo n´ umero natural finito cumple una propiedad interna, entonces existe un n´ umero infinito que la cumple también; si todo infinitésimo cumple una propiedad interna entonces existe un > 0 estándar que la cumple también. Aqu´ı usamos que el conjunto de los n´ umeros naturales finitos y el conjunto de los infinitésimos son estrictamente externos. Veamos ahora otro principio de permanencia: Teorema 5.1 (Lema de Robinson) Si {xn } es una sucesi´ on de n´ umeros reales tal que para todo n finito se cumple xn ≈ 0 entonces existe un n´ umero natural infinito µ tal que xn ≈ 0 para todo n ≤ µ. ´ n: No podemos aplicar directamente el principio de Cauchy porque la propiedad no Demostracio es interna. Ahora bien, consideramos el conjunto A = {m ∈ N | n ≤ m |xn | < 1/n}, que contiene a todos los n´ umeros naturales finitos, luego también contiene un n´ umero infinito µ, el cual cumple claramente lo pedido. Veamos una aplicación: 47

48

Tema 5. Conceptos y técnicas no estándar

Teorema 5.2 El conjunto K = {x ∈ 72 |

n ∈ N |xn | ≤ 1/n}

es un subespacio compacto de 72 . ´ n: Hemos de probar que toda sucesión x ∈ K es casi estándar en K. Claramente xn Demostracio es finito cuando n es finito, luegoel principio de extensi´ on nos da una sucesi´ on estándar y ∈ 7∞ tal que st st ∗ n ∈ N yn = xn . Claramente n ∈ N |yn | ≤ 1/n, luego por transferencia vale para todo natural n, por lo que y ∈ C. (Notemos que esta condición ya implica la pertenencia a 72 .) Falta demostrar que x − y2 ≈ 0. Puesto que para n finito se cumple xn ≈ yn , es claro que, para todo m finito, m

|xn − yn |2 ≈ 0,

n=0

luego por el lema de Robinson lo mismo vale para un cierto natural µ infinito. As´ı, x − y22 ≈

∞

|xn − yn |2 ≤

n=µ

∞

||xn | + |yn ||2 ≤

n=µ

∞ 2 ≈ 0. 2 n=µ n

luego también x − y2 ≈ 0. Existen m´ as principios de permanencia, alguno de los cuales lo hemos usado impl´ıcitamente (al igual que los que hemos visto) en algunas demostraciones de los temas precedentes. No obstante no vamos a entrar en ello.

5.2

La sombra de un conjunto

Aun partiendo de conjuntos est´ andar, es f´ acil que en un razonamiento aparezcan conjuntos no estándar. Por ejemplo, si partimos de una sucesi´ on estándar de funciones continuas {fn }, las funumero natural infinito, son no est´ andar, por lo que no podemos aplicarles la ciones fµ , donde µ es un n´ caracterización no est´ andar de la continuidad. En tales casos suele ser u ´til la noci´ on de sombra de un conjunto, que definimos a continuaci´ on. Definici´ on 5.3 Si X es un espacio métrico y A ⊂ X, se define el halo métrico de A como el conjunto hm [A] = {x ∈ M | y ∈ Ay ≈ x}. La sombra de A es el estandarizado de hm [A]. La representaremos por [A] = S hm [A]. Ejemplos

1) Si ξ ∈ R es un infinitésimo, la sombra de la recta y = ξx es la recta y = 0.

En efecto, si llamamos R = {(x, ξx) | x ∈ R}, entonces para todo n´ umero real estándar x tenemos que (x, 0) ≈ (x, ξx), luego (x, 0) ∈ hm [R] y, al ser estándar, también (x, 0) ∈ [R]. Rec´ıprocamente, si un par est´ andar (x, y) ∈ [R], entonces (x, y) ∈ hm [R], luego (x, y) ≈ (x , ξx ), para cierto x ∈ R (claramente finito), luego y ≈ ξx ≈ ξx ≈ 0, lo que implica y = 0. Por consiguiente, [R] y la recta y = 0 tienen los mismos puntos estándar, luego son iguales. 2) M´ as en general, la sombra de la recta y − b = m(x − a), donde a, b y m son finitos es la recta y − ∗ b = ∗ m(x − ∗ a). Llamemos R a la recta de partida. Si x ∈ R es estándar tenemos que (x, ∗ b + ∗ m(x − ∗ a) ≈ (x, b + m(x − a)) ∈ R, luego el primer par est´ a en hm [R] y, como es estándar, también en [R].

5.2. La sombra de un conjunto

49

Rec´ıprocamente, si un par est´ andar (x, y) ∈ [R], entonces (x, y) ∈ hm [R], luego existe un par de la forma (x , b + m(x − a)) ∈ R infinitamente cercano a (x, y). Por consiguiente x ≈ x e y ≈ b + m(x − a) ≈ ∗ b + ∗ m(x − ∗ a. Como los dos extremos son estándar ha de ser y = ∗ b + ∗ m(x − ∗ a. Esto prueba que [R] tiene los mismos puntos estándar que la recta indicada, luego coinciden. Ejercicio: Calcular la sombra de una recta que pase por un punto finito con pendiente infinita.

3) Si ξ es un infinitésimo, la sombra de la gr´ afica de la funci´ on lineal a trozos f indicada a la izquierda es el subconjunto de R2 indicado a la derecha. 1

ξ La comprobaci´ on es similar a la del ejemplo anterior. 4) Si ρ > 0 es un n´ umero real infinito y C es la circunferencia de centro (0, ρ) y radio ρ, entonces [C] es la recta y = 0. Si (x, y) ∈ [C] es un punto est´ andar, entonces (x, y) ∈ hm [C], luego existe un par (x , y ) ∈ C tal que 2 2 2 2 2 (x, y) ≈ (x , y ). Se cumple x + (y − ρ) = ρ , de donde y = ρ − ρ − x . Por lo tanto

y ≈ y =

x2 ≈ 0, ρ + ρ2 − x2

de donde y = 0. Ahorahemos de probar que todo punto est´ andar (x, 0) está en [C]. Basta observar que si llamamos y = ρ − ρ2 − x2 las f´ ormulas anteriores muestran que (x, y ) ≈ (x, 0) y que (x, y ) ∈ C, luego llegamos a que (x, 0) ∈ hm [C]. 5) Si ρ > 0 es un n´ umero real infinito, la sombra de la gr´ afica de la funci´ on y = sen ρx es toda la banda R × [−1, 1]. Llamemos G = {(x, sen ρx) | x ∈ R}. Si (x, y) ∈ [G] es estándar, entonces (x, y) ∈ hm [G], luego (x, y) ≈ (x , sen ρx ), para cierto x ∈ R (finito). Por consiguiente |y| ≈ | sen ρx | ≤ 1. Como y es estándar, |y| ≤ 1. Esto prueba una inclusi´ on. Si (x, y) ∈ R × [−1, 1] es estándar, existe un x0 ∈ R estándar tal que y = sen x0 . Sea k el u ńico entero tal que x0 + 2(k + 1)π x0 + 2kπ x = ≤x< . ρ ρ Claramente x ≈ x y sen ρx = sen x0 = y. Por lo tanto (x, y) ≈ (x , y) ∈ G, luego (x, y) ∈ hm [G] y, al ser estándar, (x, y) ∈ [G]. Teorema 5.4 Si X es un espacio métrico y A ⊂ X, entonces [A] es cerrado en X.

50


´ n: Como [A] es estándar podemos usar la caracterizaci´ Demostracio on no estándar. Tomamos, pues, x ∈ [A] casi estándar y hemos de probar que y = ∗ x ∈ [A]. Esto equivale a probar que y ∈ hm [A]. Tenemos que st > 0 x ∈ X x ∈ [A] ∩ B (y), luego por transferencia, fijado > 0 estándar, podemos tomar x ∈ [A] ∩ B (y) estándar. Entonces x ∈ hm [A] ∩ B (y), luego existe z ∈ A tal que z ≈ x y d(x , y) < . Como x e y son estándar, también d(z, y) < . As´ı hemos probado que st > 0 z ∈ X z ∈ A ∩ B (y). No podemos aplicar transferencia porque A no es est´ andar, pero el principio de Cauchy nos asegura la existencia de un n´ u mero natural infinito µ tal que z ∈ X(z ∈ A ∩ B1/µ (y)), lo cual equivale a z ∈ X(z ∈ A ∧ z ≈ y). Esto prueba que y ∈ hm [A]. Ejercicio: Demostrar que la sombra de un conjunto est´ andar es simplemente su clausura.

Con la ayuda del concepto de “sombra” de un conjunto podemos dar una interpretaci´ on geométrica no estándar de la derivada. Necesitamos también el concepto de “lupa”. Definici´ on 5.5 Una lupa en Rn centrada en un punto c ∈ Rn es una homotecia de centro c y radio infinito. Por ejemplo, la lupa en R2 de centro (a, b) y radio ρ es la aplicación (x , y ) → (x, y) = (a + ρ(x − a), b + ρ(y − b)). Teorema 5.6 (Interpretaci´ on geom´ etrica de la derivada) Una funci´ on est´ andar f : A ⊂ R −→ R es derivable en un punto a ∈ A (donde A es abierto) con derivada f (a) si y s´ olo si la sombra de la imagen de f por cualquier lupa en R2 centrada en (a, f (a)) es un recta de pendiente f (a). ´ n: Llamemos fρ a la imagen de (la gr´ Demostracio afica de) f por la lupa de centro (a, f (a)) y radio ρ. Es claro que se trata de una funci´ on (las lupas son biyectivas). De hecho est´ a definida sobre todo n´ umero finito x, pues si hacemos x = a + ρ(x − a), despejando vemos que x = a + (x − a)/ρ ≈ a, luego x ∈ A y podemos calcular x − a fρ (x) = f (a) + ρ(f (x ) − f (a)) = f (a) + ρ f a + − f (a) . ρ Llamando ξ = (x − a)/ρ ≈ 0 queda fρ (x) = f (a) +

f (a + ξ) − f (a) (x − a). ξ

Esto no es una recta porque ξ depende de x, pero si f es derivable la parte estándar de la “pendiente” es siempre f (a), independientemente de x, y el razonamiento empleado en el ejemplo 2) de la p´ agina 48 se adapta m´ınimamente para probar que [fρ ] es la recta y = f (a) + f (a)(x − a). Rec´ıprocamente, si sabemos que [fρ ] es una recta de pendiente c para todo ρ, como obviamente (a, f (a)) ∈ fρ , luego (a, f (a)) ∈ [fρ ], de hecho será la recta y = f (a) + c(x − a). Fijemos un infinitésimo ξ, sea x = a + 1 y tomemos ρ = (x − a)/ξ = 1/ξ, de modo que se cumplen todas las f´ ormulas anteriores. Tenemos que (a + 1, f (a) + c) ∈ hm [fρ ], luego existe un punto (x, y) ≈ (a + 1, f (a) + c) tal que (x, y) ∈ fρ . De este modo c≈

f (a + ξ) − f (a) f (a + ξ) − f (a) (x − a) ≈ . ξ ξ

Para la segunda aproximaci´ on usamos que el cociente incremental es finito (por la primera aproximación). Esto prueba que existe f (a) = c.

5.3. Funciones S-continuas

5.3

51

Funciones S-continuas

Definici´ on 5.7 Una funci´ on f : X −→ Y entre espacios métricos estándar es S-continua en un punto x ∈ X si para todo punto x ∈ X tal que x ≈ x se cumple f (x ) ≈ f (x). Seg´ un sabemos, una funci´ on estándar f es continua si y sólo si es S-continua en todo punto est´ andar, y es uniformemente continua si es S-continua en todo punto. Para funciones no est´ andar la continuidad y la S-continuidad son independientes. Por ejemplo, si ξ es un infinitésimo, la funci´ on f : R −→ R dada por

0 si x < 0, f (x) = ξ si x ≥ 0, es S-continua, pero no es continua en 0. Por el contrario, la funci´ on del ejemplo 3) de la p´ agina 49 es continua pero no S-continua en 0. La S-continuidad puede caracterizarse como una “continuidad para miopes,” en el sentido siguiente: Teorema 5.8 Una funci´ on f : X −→ Y entre espacios métricos est´ andar es S-continua en un punto x ∈ X si y s´ olo si st st >0 δ > 0 x ∈ X(d(x, x ) < δ → d(f (x), f (x )) < ). ´ n: Supongamos que f es S-continua y sea > 0 estándar. La propiedad Demostracio x ∈ X(d(x, x ) < δ → d(f (x), f (x )) < ) la cumple todo infinitésimo δ > 0, luego por el principio de Cauchy la ha de cumplir un δ > 0 estándar. Rec´ıprocamente, si f cumple la condici´ on del enunciado y x ≈ x, para todo > 0 estándar se cumple d(x, x ) < δ, donde δ > 0 es el n´ umero estándar que da la condici´ on, luego d(f (x), f (x )) < . Esto prueba que f (x) ≈ f (x ). Definici´ on 5.9 Una funci´ on f : X −→ Y entre espacios métricos estándar es de clase S 0 en un punto x ∈ X si es S-continua en x y f (x) es casi estándar. Diremos que f es de clase S 0 en un conjunto A ⊂ X si es de clase S 0 en todo punto casi est´ andar de A. Esto equivale a que sea casi est´ andar en A (es decir, que tome valores casi estándar en puntos casi est´ andar) y que para todo punto casi est´ andar x ∈ A se cumpla ∗ f (x) = f (∗ x). La condici´ on de ser casi estándar es a menudo m´ as débil de lo que parece: Teorema 5.10 Sea f : X −→ Y una funci´ on S-continua entre espacios métricos est´ andar y supongamos que X es arcoconexo. Si f toma un valor finito sobre un punto casi est´ andar, entonces toma valores finitos sobre todos los puntos casi est´ andar. En particular, si Y es propio concluimos que f es casi est´ andar. ´ n: Sea x ∈ X un punto casi est´ Demostracio andar de X tal que f (x) sea finito y sea x cualquier otro punto casi est´ andar de X. No perdemos generalidad si suponemos que x y x son estándar. Por el principio de Cauchy existe un > 0 estándar tal que uv ∈ X(d(u, v) < → d(f (u), f (v)) < 1). Tomemos un arco (continuo) g : [0, 1] −→ X con extremos g(0) = x y g(1) = x . Podemos tomarla estándar. Una partici´ on infinitesimal {xi }m i=0 de [0, 1] tiene la propiedad de que si d(g(xi−1 ), g(xi )) < , y por transferencia podemos tomar una est´ andar, con m finito. As´ı, d(f (g(xi−1 )), f (g(xi )) < 1, de donde se sigue que d(f (x), f (x )) ≤ m, luego f (x ) es finito. El teorema principal sobre funciones S-continuas es el rec´ıproco del que vamos a demostrar a continuaci´ on.

52


Teorema 5.11 Sea f : X −→ Y una aplicaci´ on entre dos espacios métricos est´ andar tal que existe una aplicaci´ on est´ andar continua g : X −→ Y de modo que f (x) ≈ g(x) para todo punto casi est´ andar x ∈ X. Entonces f es de clase S 0 en X. ´ n: Si x ∈ X es un punto casi estándar, entonces f (x) ≈ g(x) ≈ g(∗ x), luego f (x) es Demostracio on f es casi estándar. Si y ≈ x, entonces f (y) ≈ g(y) ≈ g(∗ y) = g(∗ x) ≈ g(x) ≈ f (x), luego la funci´ S-continua en x. Notemos que si X es localmente compacto entonces la función g no es sino la parte estándar de f respecto a la topolog´ıa de la convergencia uniforme en compactos. As´ı pues, lo que dice el teorema en este caso es que si ∗ f ∈ C(X, Y ) entonces f es de clase S 0 . Para demostrar el rec´ıproco observamos que si f : X −→ Y es una funci´ on de clase S 0 podemos ˜ definir su estandarizada f : X −→ Y como la extensión estándar de la aplicaci´ on ◦ X −→ ◦ Y dada por ∗ ˜ f (x) = f (x). Teorema 5.12 (Teorema de la sombra continua) Si f : X −→ Y es una aplicaci´ on de clase S 0 ˜ ˜ entre espacios métricos est´ andar, entonces su estandarizada f es continua y cumple f (x) ≈ f (x) para todo punto casi est´ andar x ∈ X. ´ n: Basta probar que f˜ es continua, pues la segunda parte es entonces inmediata: Demostracio f˜(x) ≈ f˜(∗ x) = ∗ f (∗ x) ≈ f (∗ x) ≈ f (x). Como f˜ es estándar, basta probar que es continua en un punto est´ andar x ∈ X. Como f es S-continua tenemos que st st st >0 δ > 0 x ∈ X(d(x, x ) < δ → d(f (x), f (x ) < ). Fijados , el correspondiente δ y un x todos estándar, tenemos que d(f (x), f (x )) ≈ d(f˜(x), f˜(x )), luego st st st >0 δ > 0 x ∈ X(d(x, x ) < δ → d(f˜(x), f˜(x ) < ). Por el principio de transferencia pasamos a x , luego cambiamos a δ y de nuevo por transferencia a . As´ı tenemos la continuidad de f˜. Uniendo los dos u ´ltimos teoremas concluimos como caso particular: Teorema 5.13 Si X e Y son espacios métricos est´ andar y X es localmente compacto, entonces una funci´ on f ∈ Y X es de clase S 0 si y s´ olo si es casi est´ andar y ∗ f ∈ C(X, Y ), donde en Y X consideramos la topolog´ıa de la convergencia casi uniforme. El teorema siguiente es una versión geométrica del teorema de la sombra continua, de donde le viene el nombre: Teorema 5.14 Sea f : X −→ Y una funci´ on casi est´ andar entre espacios métricos est´ andar. Entonces f es de clase S 0 si y s´ olo si la sombra de su gr´ afica es la gr´ afica de una funci´ on continua. ´ n: Si f es de clase S 0 se cumple que [f ] = f˜. En efecto, si (x, y) ∈ [f ] es un punto Demostracio estándar, entonces (x, y) ≈ (x , f (x )) ∈ hm [f ], luego y = ∗ f (x ) = ∗ f (x) = f˜(x). Por lo tanto (x, y) ∈ f˜. Rec´ıprocamente, si (x, f˜(x)) ∈ f˜ es un par estándar, entonces (x, f˜(x)) ≈ (x, f (x)) ∈ f , luego (x, f˜(x)) ∈ hm [f ] y al ser estándar est´ a de hecho en [f ]. Por otra parte, si [f ] = g es una funci´ on continua, basta probar que f (x) ≈ g(x) para todo punto casi estándar x ∈ X (pues entonces podemos aplicar 5.11). En efecto (∗ x, ∗ f (x)) ≈ (x, f (x)) ∈ f ,

5.4. Funciones de clase S 1

53

luego (∗ x, ∗ f (x)) ∈ hm [f ] y, al ser estándar, (∗ x, ∗ f (x)) ∈ g, es decir, g(∗ x) = ∗ f (x). Por consiguiente g(x) ≈ g(∗ x) = ∗ f (x) ≈ f (x). Como aplicación del teorema de la sombra continua demostraremos el teorema de Ascoli. En primer lugar caracterizamos los conjuntos de funciones uniformemente equicontinuos. Teorema 5.15 Sean X e Y dos espacios métricos est´ andar. Un conjunto K ⊂ C(X, Y ) es uniformemente equicontinuo si y s´ olo si est´ a compuesto por funciones S-continuas en todo punto de X, es decir, si y s´ olo si f ∈ K xx ∈ X(x ≈ x → f (x) ≈ f (x )). ´ n: Si K es uniformemente equicontinuo, tomamos f ∈ K y x, x ∈ X tales que x ≈ x . Demostracio Por hip´ otesis > 0 δ > 0 f ∈ K xx ∈ X(d(x, x ) < δ → d(f (x), f (x ) < ). st st > 0 δ > 0. As´ı, para los puntos x ≈ x que hab´ıamos tomado Por transferencia podemos poner st concluimos que > 0 d(f (x), f (x )) < , es decir, f (x) ≈ f (x ). Rec´ıprocamente, si se da esta condición se cumple st

> 0 δ > 0 f ∈ K xx ∈ X(d(x, x ) < δ → d(f (x), f (x )) < ),

pues basta tomar δ infinitesimal. Ahora basta aplicar el principio de transferencia. Teorema 5.16 (Ascoli) Sean X e Y espacios métricos compactos y K ⊂ C(X, Y ), donde consideramos la topolog´ıa de la convergencia uniforme. Entonces K es relativamente compacto si y s´ olo si es uniformemente equicontinuo. ´ n: Si K es relativamente compacto, entonces toda f ∈ K tiene parte estándar en Demostracio C(X, Y ), luego por el teorema 5.13 es de clase S 0 en X, es decir, es S-continua en todos los puntos de X (porque todos son casi estándar al ser X compacto). Rec´ıprocamente, si K es uniformemente equicontinuo todas sus funciones son S-continuas en E, y también son casi estándar (como funciones, no como puntos) porque Y es compacto. Por lo tanto son de clase S 0 y el teorema 5.13 son casi estándar en C(X, Y ). As´ı pues, K es relativamente compacto.

5.4

Funciones de clase S 1

Las funciones de clase S 1 que pasamos a estudiar son a las funciones de clase C 1 lo que las funciones de clase S 0 que hemos estudiado son a las funciones continuas. Definici´ on 5.17 Una aplicaci´ on f : A ⊂ Rn −→ Rm definida en un abierto A es de clase S 1 en un punto p ∈ A si es casi estándar y existe una aplicaci´ on lineal est´ andar L : Rn −→ Rm tal que cuando x, y ∈ A, x ≈ p ≈ y, x = y se cumple f (x) − f (y) − L(x − y) ≈ 0. x − y Se dice que f es de clase S 1 en A si lo es en todo punto casi estándar de A.

54


Seg´ un los resultados del tema anterior, es claro que una funci´ on estándar es de clase S 1 en un punto p si y sólo si es estrictamente diferenciable en p, y f es de clase S 1 en un abierto A si y sólo si es de clase C 1 en A. Para el caso de funciones reales de variable real, en la definici´ on podemos sustituir la aplicaci´ on lineal estándar L por un n´ umero estándar a tal que f (x) − f (y) ≈ a. x−y Si ξ es un infinitésimo, la funci´ on f : R −→ R dada por

0 si x < 0, f (x) = ξx si x > 0, no es derivable en 0 pero es f´ acil ver que s´ı que es de clase S 1 en R. La funci´ on f (x) = sen(x/ξ), donde ξ es un infinitésimo, es de clase C 1 en R, pero no es de clase S 1 en 0 (ver 5.19). Veamos ahora algunos resultados an´ alogos a otros bien conocidos sobre funciones de clase C 1 . Por simplicidad nos restringimos al caso de funciones reales de variable real. Teorema 5.18 Toda funci´ on f : A ⊂ R −→ R de clase C 1 en un punto p ∈ A es de clase S 0 en p. ´ n: Por definici´ Demostracio on de clase S 1 tenemos que f (p) es casi estándar. Falta probar que f es S-continua en p, pero si ξ es un infinitésimo entonces f (p + ξ) − f (p) ≈ f (p), ξ luego f (p + ξ) − f (p) ≈ ξf (p) ≈ 0. Teorema 5.19 Sea f : A ⊂ R −→ R una funci´ on derivable y casi est´ andar en un abierto A. Entonces olo si f es de clase S 0 en A. f es de clase S 1 en A si y s´ ´ n: Si f es de clase S 0 y p ∈ A es casi estándar, por el teorema del valor medio, si x, Demostracio y ∈ A cumplen x ≈ p ≈ y, x = y, existe un z entre ellos (y por consiguiente z ≈ p) tal que f (y) − f (x) = f (z) ≈ f (p) ≈ ∗f (p), y−x luego f es de clase S 1 en p. Rec´ıprocamente, si f es de clase S 1 y p ∈ A es casi estándar, entonces, para cualquier infinitésimo ξ se cumple que f (p + ξ) − f (p) f (p) ≈ , ξ y este cociente es casi estándar por definici´ on de clase S 1 , luego f es casi estándar. M´ as a´ un, usando la definici´ on estándar de derivada, existe un δ > 0 suficientemente peque˜ no (en particular infinitesimal) tal que f (p + ξ + δ) − f (p + ξ) f (p + ξ) ≈ ≈ f (p), δ luego f es S-continua en p. Vamos a demostrar un teorema de la sombra derivable an´ alogo al teorema de la sombra continua. Para ello necesitamos la siguiente caracterización de la clase S 1 como una derivabilidad “para miopes”:

5.4. Funciones de clase S 1

55

Teorema 5.20 Una funci´ on casi est´ andar f : A ⊂ R −→ B es de clase S 1 en un punto p si y s´ olo si existe un n´ umero est´ andar b tal que st

st

>0

f (x) − f (y) δ > 0 xy ∈ A |x − p| < δ ∧ |y − p| < δ ∧ x = y → − b < . x−y

La demostración es análoga a la de 5.8. Con esto ya podemos probar el teorema principal: Teorema 5.21 (Teorema de la sombra derivable) Sea f : A ⊂ R −→ R una funci´ on de clase S 1 1 ˜ en el abierto A. Entonces su estandarizada f es de clase C en A y si p ∈ A es casi est´ andar, x ≈ p ≈ y, x = y, entonces f (x) − f (y) ≈ f˜ (p). x−y ´ n: Ante todo, el teorema de la sombra continua nos da que f˜ es continua y está Demostracio infinitamente pr´ oxima a f en todo punto casi est´ andar de A. Veamos que f˜ es estrictamente derivable ˜ en todo punto. Como f es estándar podemos tomar un punto est´ andar p ∈ A. Como f es de clase S 1 , por el teorema anterior existe un n´ umero estándar b tal que st

st

>0

st

δ>0

f (x) − f (y) − b < . xy ∈ A |x − p| < δ ∧ |y − p| < δ ∧ x = y → x−y

Ahora bien, si cambiamos f (x) y f (y) por f˜(x), f˜(y) el cociente incremental sufre una variaci´ on infinitesimal, luego st

st

>0

st

δ>0

f˜(x) − f˜(y) − b < . xy ∈ A |x − p| < δ ∧ |y − p| < δ ∧ x = y → x−y

Como f˜ es estándar podemos aplicar el principio de transferencia para eliminar las restricciones en los cuantificadores. Lo que resulta es la derivabilidad estricta de f˜. Por el teorema 4.5 concluimos que f˜ es de clase C 1 en A. M´ as a´ un, es claro que f˜ (p) = b =, luego tenemos la aproximaci´ on del enunciado cuando p es estándar. Si, en general, p es casi estándar, tenemos que f (x) − f (y) ≈ f˜ (∗ p) ≈ f˜ (p). x−y

Tiene especial interés el caso en que la función de partida es derivable: Teorema 5.22 Si f : A ⊂ R −→ R es una funci´ on derivable y de clase S 1 entonces la estandarizada f˜ 1 es de clase C y f˜ es la estandarizada de f . ´ n: Basta observar que, en la prueba del teorema anterior, si f es derivable en p Demostracio entonces el n´ umero b que consideramos es simplemente f (p), luego llegamos a que f (p) ≈ f˜ (p), para todo punto est´ andar p ∈ A. Por lo tanto, si llamamos g a la estandarizada de f , tenemos que ∗ ˜ f (p) = f (p) = g(p) y, como ambas funciones son estándar, de hecho son iguales.

56 Ejemplo

Tema 5. Conceptos y técnicas no estándar Sea ξ > 0 un infinitésimo. La funci´ on f  0 1 f (x) = ξ x  ξ

: R −→ R dada por si x ≤ 0, si 0 ≤ x ≤ ξ 2 , si x ≥ ξ 2 ,

es de clase S 0 , su estandarizada es la funci´ on constante nula, luego es de clase C 1 , pero f no es de clase S 1 en 0. Ejercicio: Demostrar el rec´ıproco del teorema de la sombra derivable, as´ı como una versi´ on geométrica similar a 5.14.

Terminamos con una aplicaci´ on del teorema de la sombra continua. En general no es cierto que si una sucesión de funciones derivables converge uniformemente a una funci´ on, entonces el l´ımite de la sucesión de las derivadas sea la derivada del l´ımite. Por ejemplo, la sucesión fn (x) =

x 1 + nx2

converge uniformemente a la funci´ on 0 en [0, 1] y las derivadas convergen a 1 en 0. M´ as a´ un, existen sucesiones de funciones de clase C ∞ que convergen uniformemente a funciones no derivables en ning´ un punto. El teorema cl´ asico sobre la relación entre un l´ımite de funciones y el l´ımite de sus derivadas es el siguiente: Teorema 5.23 Sea {fn }n una sucesi´ on de funciones fn : ]a, b[ ⊂ R −→ R de clase C 1 en el abierto A y que converja puntualmente en un cierto x0 ∈ ]a, b[. Supongamos que la sucesi´ on de las derivadas {fn }n converge uniformemente a un l´ımite g. Entonces {fn }n converge uniformemente en compactos a una funci´ on f tal que f = g. ´ n: Por el principio de transferencia podemos suponer que las dos sucesiones y el punto Demostracio x0 son estándar. Sea µ un n´ umero natural infinito. Tenemos que fµ ≈ g, luego fµ es de clase S 0 por el teorema 5.11. Por otra parte, el l´ımite de la sucesión estándar {fn (x0 )}n ha de ser un n´ umero estándar y0 tal que fµ (x0 ) ≈ y0 , por lo que fµ (x0 ) es casi estándar. Por el teorema 5.10 concluimos que fµ es casi estándar, y ahora podemos aplicar 5.19, que nos da que fµ es de clase S 1 . El teorema anterior nos da finalmente que f = f˜µ es de clase C 1 y f = g (pues claramente g es la estandarizada de fµ ). Esto (junto con que f (x0 ) = y0 ) prueba adem´ as que f no depende de µ, con que que f (x) ≈ fµ (x) para todo x ∈ A casi estándar (en ]a, b[), lo cual equivale a que la sucesi´ on {fn } converge uniformemente en compactos a f .

Ap´ endice A

La teor´ıa de Hrbacek En este apéndice expondremos la teor´ıa de conjuntos no est´ andar presentada por K. Hrbacek en [2], que se diferencia de la de Nelson en que axiomatiza los conjuntos externos. Nos referiremos a ella como H. El lenguaje de ZFC est´ a formado por las variables x, y, z, . . . , por los dos relatores ∈, =, el negador ´ ¬, el implicador →, el generalizador y por el descriptor |. Este u ´ltimo aparece en expresiones como ∅ = x| y y ∈ / x (el conjunto vac´ıo es el —´ unico— x tal que, para todo y, y no pertenece a x). Convendremos en que todas las descripciones impropias, como x|x · 0 = 0 o x|x ∈ ∅, es decir, las descripciones determinadas por una condici´ on que cumplen varios conjuntos o no la cumple ninguno, representan todas un mismo conjunto arbitrario. Por simplicidad supondremos que se trata del conjunto vac´ıo. Podemos expresar esto as´ı: x|(x = x) = ∅. Formalmente esto ha de entenderse como un axioma a˜ nadido a los axiomas de ZFC, pero en realidad es una definici´ on: estamos conviniendo que todo lo que esté mal definido es por definici´ on el conjunto vac´ıo. En la pr´ actica nunca vamos a trabajar con nociones mal definidas, pero al tratar sistem´ aticamente con expresiones arbitrarias hemos de contemplar la posibilidad de que sean descripciones impropias. En cuanto hayamos justificado la existencia del conjunto vac´ıo en H adoptaremos también este axioma en la teor´ıa de Hrbacek. Cualquier otro signo lo consideraremos como una abreviatura de una expresi´ on que contenga u ńicamente estos signos. Por ejemplo, x ∈ y ∨ x ∈ z ≡ ¬(x ∈ y) → x ∈ z, donde ≡ es un signo metamatemático que indica que ambos miembros son dos formas distintas de referirnos a la misma f´ ormula. No consideramos a los paréntesis como signos de nuestro lenguaje, pues teóricamente pueden suprimirse a condici´ on de alterar la sintaxis del lenguaje (ver [4]). El lenguaje de la teor´ıa de Hrbacek consta de los signos del lenguaje de ZFC más dos nuevos relatores st x (x es estándar) e in x (x es interno). Si α es una f´ ormula, usaremos las abreviaturas st st in in xα, xα, xα, xα con los significados obvios. Cuando hablemos de f´ ormulas de ZFC entenderemos que son fórmulas en las que no aparecen los relatores que acabamos de introducir, mientras que si hablamos de f´ ormulas de H entenderemos que pueden contener estos relatores. Para indicar que un conjunto es arbitrario, no necesariamente interno, diremos que es externo. Cuando queramos indicar que no es interno diremos que es estrictamente externo. La idea b´ asica que debe guiarnos es que los conjuntos estándar de H se corresponden con los conjuntos estándar de la teor´ıa de Nelson, los conjuntos internos de H se corresponden con los conjuntos de la teor´ıa 57

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Apéndice A. La teor´ıa de Hrbacek

de Nelson (los que existen formalmente, es decir, los internos) y los conjuntos estrictamente externos de H se corresponden con los conjuntos externos de la teor´ıa de Nelson, de los que sólo tiene sentido hablar metamatemáticamente.1 Desgraciadamente no podemos suponer que los conjuntos externos satisfacen la axiom´ atica completa de ZFC. Nos tendremos que limitar a la axiom´ atica de Zermelo incluido el axioma de elección, es decir, suprimimos el axioma de reemplazo e incluimos el axioma de especificación. Como contrapartida, extendemos dicho axioma a f´ ormulas arbitrarias de H, luego, a diferencia de lo que sucede en la teor´ıa de Nelson, podemos usar libremente los relatores st e in para definir conjuntos (lo que suceder´ a es que por regla general los conjuntos definidos con estos relatores ser´ an estrictamente externos). Expl´ıcitamente, los axiomas básicos son los siguientes: Extensionalidad xy( u(u ∈ x ↔ u ∈ y) → x = y), Par xy z u(u ∈ z ↔ u = x ∨ u = y), ń Unio x y u(u ∈ x → u ⊂ y), ń Especificacio

Partes ń Eleccio

Para toda f´ ormula α(u, x1 , . . . , xn ) de H, x y u(u ∈ y ↔ u ∈ x ∧ α(u, x1 , . . . , xn )), x y u(u ⊂ x → u ∈ y), Todo conjunto admite un buen orden.

El conjunto cuya existencia postula el axioma de especificaci´ on es u ńico por extensionalidad, y es el que se representa usualmente por {u ∈ x | α(u, x1 , . . . , xn )}. Notemos que de aqu´ı se sigue la existencia de un conjunto sin elementos (tomando α(u) ≡ u = u), por lo que no hemos necesitado el axioma del conjunto vac´ıo. Tampoco hemos incluido el axioma de infinitud porque se deducir´ a de los axiomas restantes. Veremos luego que el axioma del reemplazo y el axioma de regularidad son contradictorios con estos otros axiomas. La supresi´ on del axioma de reemplazo sólo hace que la teor´ıa de conjuntos se resienta en lo concerniente a la teor´ıa de ordinales y cardinales. Por ejemplo, no es posible demostrar la existencia del ordinal ω · 2, por lo que un conjunto bien ordenado no tiene por qué tener asociado un ordinal. Sin embargo, los resultados que no dependen directamente de estas nociones (lo cual incluye a los resultados b´ asicos del a´lgebra, la topolog´ıa o del an´ alisis) siguen disponibles en esta teor´ıa.2 En particular disponemos de todo el lenguaje conjuntista b´ asico: aplicaciones, relaciones, etc. Introducimos ahora dos axiomas que en la teor´ıa de Nelson son triviales, pues en ella todo conjunto es interno: st ´ n: Inclusio x in x (Todo conjunto est´ andar es interno.) in Transitividad: x u(u ∈ x → in u) (Los elementos de los conjuntos internos son internos.) El axioma de transitividad afirma que al introducir los conjuntos externos en la teor´ıa no estamos modificando los conjuntos internos, en el sentido de que no les a˜ nadimos elementos. Ahora debemos insistir en que una afirmaci´ on que en la teor´ıa de Nelson empiece por “para todo n´ umero natural. . . ” equivale a una afirmaci´ on de H que empiece por “para todo n´ umero natural interno. . . ” Para formalizar esta idea hemos de introducir la noci´ on de relativizaci´ on de una f´ ormula: 1 En realidad los axiomas de H determinan propiedades ligeramente distintas para los conjuntos internos que los axiomas de Nelson. Las diferencias son m´ınimas, pero debemos tener presente que la correspondencia entre ambas es aproximada. 2 Un uso elemental del esquema de reemplazo es la prueba de la existencia de x × y, pero teniendo en cuenta que (u, v) = {{u}{u, v}}, podemos obtener x × y por especificaci´ on desde P(P(x ∪ y)).

59 Si θ es una expresión de ZFC, definimos θin como la expresión determinada por las reglas siguientes: a) xin ≡ x, b) (x = y)in ≡ x = y,

(x ∈ y)in ≡ x ∈ y,

c) (¬α)in ≡ ¬αin , d) (α → β)in ≡ αin → β in , in in e) ( xα)in ≡ xα , f) (x|α)in ≡ x|(in x ∧ αin ). Son claras las identidades (α ∨ β)in ≡ αin ∨ β in ,

(α ∧ β)in ≡ αin ∧ β in ,

(α ↔ β)in ≡ αin ↔ β in ,

as´ı como las equivalencias lógicas in in ( xα)in ↔ xα ,

1 1 y ( xα)in ↔ x(in x ∧ αin ).

Por ejemplo α ∨ β ≡ ¬α → β y basta aplicar las reglas correspondientes a la implicaci´ on y a la negación. Lo mismo sucede con la conjunci´ on α ∧ β ≡ ¬(¬α ∨ ¬β) y la coimplicaci´ on α ↔ β ≡ (α → β) ∧ (β → α). Para el cuantificador existencial tenemos que xα ≡ ¬ x¬α, luego in ( xα)in ≡ ¬ x¬αin . in in Esto no es exactamente lo mismo que xα , pero ambas f´ ormulas son l´ ogicamente equivalentes, in luego en la pr´ actica relativizar un cuantificador es cambiarlo por . Similarmente sucede con la existencia u ńica. Ejemplo Veamos un ejemplo del “funcionamiento” de esta noci´ on. Todav´ıa no estamos en condiciones de justificar nada de lo que vamos a decir. Este ejemplo es meramente orientativo. Ahora tenemos que distinguir entre el conjunto N de los n´ umeros naturales y el conjunto Nin de los in n´ umeros naturales . El primero es el conjunto de los n´ umeros naturales (externos) construido a partir de los axiomas de Zermelo. Por ejemplo, podemos definir N como la intersección de todos los conjuntos (externos) que contienen a 0 = ∅ y que si contienen a un conjunto n contienen también a n+1 = n∪{n}. Con esta definici´ on se prueba que N sólo contiene n´ umeros estándar. La prueba se basa en que podemos definir el conjunto X = {n ∈ N | st n}, (lo cual no es l´ıcito en la teor´ıa de Nelson) y demostrar que 0 ∈ X ∧ n ∈ X n + 1 ∈ X. Por definici´ on de N tenemos que N ⊂ X, luego N = X. Por otra parte, Nin es la intersección de todos los conjuntos internos que contienen a 0 y que si contienen a n contienen a n ∪ {n}. El conjunto X resulta ser estrictamente externo, luego no forma parte de la intersección que estamos considerando. El resultado es que N ⊂ Nin , pero el segundo

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contiene muchos conjuntos que no est´ an en N, conjuntos que son n´ umeros naturalesin , pero no son n´ umeros naturales. Demostraremos que N = {n ∈ Nin | st n}. El siguiente grupo de axiomas de H es: ZFCin : Si α es un axioma de ZFC, entonces3 αin es un axioma de H. En otras palabras, los conjuntos internos (al igual que en la teor´ıa de Nelson) cumplen ZFC. El hecho de que los conjuntos externos no cumplan todo ZFC no tiene gran importancia, pues debemos tener presente que el objeto de la teor´ıa H es estudiar los conjuntos internos como herramienta a su vez para el estudio de los conjuntos est´ andar. Los conjuntos externos son un mero auxiliar. Ejemplo El axioma del conjunto vac´ıo en ZFC afirma que x y x ∈ / y, es decir, existe unconjunto sin elementos. Por el axioma de extensionalidad es u ńico, lo que justifica la definici´ on ∅ ≡ x| y y ∈ / x. in in Ahora tenemos que x yx ∈ / y es un axioma de H, es decir, existe un conjunto interno sin in elementos internos. A este conjunto lo deber´ıamos llamar ∅in ≡ x|(in x ∧ y y ∈ / x). Ahora bien, como los conjuntos internos s´ olo pueden tener elementos internos concluimos que ∅in no tiene elementos en absoluto, luego es simplemente ∅in = ∅. En particular tenemos que ∅ es interno. Veamos un resultado trivial. Recordemos que un término es una expresi´ on que nombra a un objeto, como x ∪ y, (por oposici´ on a “f´ ormula” que es una expresi´ on que afirma algo, como x ⊂ y). Teorema A.1 Sea t(x1 , . . . , xn ) un término del lenguaje de ZFC con las variables libres indicadas. in Entonces se prueba en H que x1 . . . xn in tin . ´ n: Un término ha de ser necesariamente una variable t ≡ x, en cuyo caso el teorema Demostracio es trivial, o bien una descripci´ on t ≡ x|α(x, x1 , . . . , xn ), y entonces tin es el u ńico x interno que cumple in α si es que existe (y entonces es interno) o bien es (x|x = x) = ∅ si no existe (y también es interno). En la teor´ıa de Nelson, al suponer todos los axiomas de ZFC tenemos automáticamente todos los teoremas de ZFC. El análogo para H no es igual de inmediato, pero también se cumple: Teorema A.2 Si α es un teorema de ZFC sin variables libres, entonces αin es un teorema de H. La prueba de este teorema es una comprobación rutinaria basada en la definici´ on de “demostración” que proporciona la l´ ogica matemática: una f´ ormula es un teorema de ZFC si se deduce en un n´ umero finito de pasos a partir de los axiomas de ZFC y de los axiomas l´ ogicos mediante la aplicación de ciertas reglas de inferencia. Se comprueba que si α es un axioma l´ ogico (con variables libres x1 , . . . , xn ) entonces in x1 · · · xn αin es un teorema de H; por otra parte, si α es un axioma de ZFC entonces αin es un axioma de H; finalmente, se comprueba que si α se deduce de otras fórmulas mediante una regla de inferencia, in entonces x1 · · · xn αin puede demostrarse en H a partir de las relativizaciones de las premisas. De aqu´ı se sigue fácilmente el teorema. La demostración es constructiva, en el sentido de que permite obtener expl´ıcitamente la demostración en H de cualquier f´ ormula αin sin variables libres a partir de la demostración de α en ZFC. Hemos demostrado que ∅in = ∅, y hemos anunciado que Nin = N. Vamos a ver ahora que la relativizaci´ on a conjuntos internos es trivial para los conceptos b´ asicos de la teor´ıa de conjuntos, es decir, que “en la medida de lo posible” los conceptos internos coinciden con los externos. Para ello introducimos el concepto siguiente: 3 Aqu´ ı suponemos que los axiomas de ZFC no tienen variables libres. En el caso del axioma del reemplazo, donde aparece una f´ ormula que puede tener par´ ametros x1 , . . . , xn , hay que entender que el axioma empieza con x1 · · · xn .

61 Definici´ on A.3 Diremos que un término t(x1 , . . . , tn ) de ZFC es absoluto si in x1 · · · xn tin (x1 , . . . , xn ) = t(x1 , . . . , xn ). Una f´ ormula α(x1 , . . . , xn ) de ZFC es absoluta si in x1 · · · xn (αin (x1 , . . . , xn ) ↔ α(x1 , . . . , xn )). Por ejemplo, hemos demostrado que ∅ es absoluto. El teorema siguiente nos permite reconocer muchas expresiones absolutas: Teorema A.4 Se cumple a) Un término t es absoluto si y s´ olo si lo es la f´ ormula x = t, donde x es una variable que no esté libre en t. b) Si una f´ ormula α es equivalente en la teor´ıa de Zermelo Z a una f´ ormula absoluta β entonces α es absoluta. c) x = y y x ∈ y son f´ ormulas absolutas. d) Si α y β son f´ ormulas absolutas, también lo son ¬α, α → β, α ∨ β, α ∧ β, α ↔ β, 1 x ∈ y α, x ∈ y α, x|(x ∈ y ∧ α).

x ∈ y α,

e) Si θ(x1 , . . . , xn ) es una expresi´ on absoluta y t1 , . . . , tn son términos absolutos, entonces θ(x1 , . . . , xn ) también es absoluta. ´ n: a) Si x = t es absoluta tenemos que Demostracio x1 · · · xn x(x = tin ↔ x = t), y sustituyendo x por tin obtenemos que tin = t. El rec´ıproco es similar. b) Si en Z tenemos x1 · · · xn (α ↔ β), entonces en H tenemos in x1 · · · xn (αin ↔ β in ), y x1 · · · xn (α ↔ β). in En particular x1 · · · xn (α ↔ β), con lo que la conclusi´ on es clara. c) es inmediato. d) La prueba para ¬α y α → β es inmediata. Para los conectores restantes se deduce de estos dos casos. Para el cuantificador universal tenemos que probar que in in x1 · · · xn y( x ∈ y α ↔ x ∈ y αin ). Como α es absoluta tenemos que in in in x1 · · · xn y( x ∈ y α ↔ x ∈ y αin ), in pero el axioma de transitividad nos permite cambiar el primer x por x, ya que los elementos de y son necesariamente internos. El caso del cuantificador existencial puede reducirse al anterior o demostrarse an´ alogamente. Para el cuantificador con unicidad tenemos que 1

x ∈ yα ↔

z ∈ y x ∈ y(α ↔ x = z),

luego también se reduce a los casos anteriores.

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Por u ´ltimo, fijados x1 , . . . , xn , y internos, tenemos que un conjunto x cumple x ∈ y ∧ α si y sólo si es interno y cumple x ∈ y ∧ αin , pues x ∈ y ya implica que x es interno y como α es absoluta αin equivale a α. Por consiguiente, o bien existe un u ńico conjunto interno x ∈ y que cumple αin , y éste es también el u ńico conjunto x que cumple x ∈ y ∧ α, o bien no se da ninguna de las dos unicidades. En cualquier in caso x|(x ∈ y ∧ α) = x|(x ∈ y ∧ α) (Si no se da la unicidad ambos miembros son el conjunto vac´ıo.) e) Si θ es una f´ ormula tenemos que in x1 · · · xn (θin (x1 , . . . , xn ) ↔ θ(x1 , . . . , xn )). Por otra parte, si y1 , . . . , ym son las variables libres en los términos t1 , . . . , tn , tenemos que in y1 · · · ym (tin i (y1 , . . . , ym ) = ti (y1 , . . . , ym )). Además, fijados y1 , . . . , ym tenemos que cada tin i es un conjunto interno, luego podemos sustituir en la f´ ormula anterior y queda in in y1 · · · ym (θin (tin 1 , . . . , tn ) ↔ θ(t1 , . . . , tm )). in in Es f´ acil ver que θin (tin on es absoluta. 1 , . . . , tn ) ≡ θ(t1 , . . . , tm ) , con lo que la composici´ Si θ es un término el resultado se sigue del caso que acabamos de probar aplicado a la f´ ormula x = θ.

Por ejemplo, ahora es claro que la uni´ on de conjuntos es absoluta, es decir, in xy (x ∪ y)in = x ∪ y. Una prueba directa es la siguiente: el miembro izquierdo es por definici´ on el u ńico conjunto interno cuyos elementos internos son los elementos internos de x o y, pero por transitividad sobran todas las especificaciones “interno”, es decir, (x∪y)st es el u ńico conjunto interno cuyos elementos son los elementos de x o y. As´ı pues, (x ∪ y)in = x ∪ y. En otras palabras, la uni´ on interna de conjuntos internos es simplemente su uni´ on. Por otra parte, el teorema anterior nos permite llegar mec´ anicamente a la misma conclusión: basta ver que z = x ∪ y ↔ u ∈ z(u ∈ x ∨ u ∈ y) y el miembro derecho es absoluto por el teorema anterior, luego el izquierdo también. Similarmente se prueba que x ∩ y, x \ y, {x}, {x, y}, x ⊂ y son absolutos. Ahora, el término (x, y) ≡ {{x}, {x, y}} es absoluto por el apartado e) del teorema. Por otra parte, z = x × y ↔ w ∈ z u ∈ x v ∈ y w = (u, v), luego x × y también es absoluto. Otros ejemplos de expresiones absolutas son f : x −→ y (inyectiva, suprayectiva, biyectiva), f (u), R es una relación (reflexiva, simétrica, antisimétrica, transitiva). Por ejemplo: f : x −→ y ↔ z ∈ f u ∈ x v ∈ y z = (u, v)∧

1 u ∈ x v ∈ y w ∈ f (w = (u, v) ∧ w ∈ f ).

Para probar que f (x) ≡ y|(x, y) ∈ f es absoluto observamos que si f y x son internos entonces f (x)in = y|(in y ∧ (x, y) ∈ f ), donde usamos que (x, y) es absoluto. Ahora bien, in y es redundante, pues si (x, y) ∈ f necesariamente y es interno, ya que y ∈ {x, y} ∈ (x, y) ∈ f , luego tenemos la igualdad. En definitiva, las propiedades y operaciones conjuntistas b´ asicas son absolutas. Esto implica en particular que al realizar dichas operaciones sobre conjuntos internos obtenemos conjuntos internos: la uni´ on, la intersecci´ on, el producto cartesiano, etc. de conjuntos internos es un conjunto interno. Por ejemplo x × y = (x × y)in , luego es interno por el teorema A.1.

63 Ejemplo

Anticipamos (sin prueba) un ejemplo de concepto no absoluto: Px.

En efecto, Pin Nin es por definici´ on el conjunto (interno) de todos los subconjuntos internos de Nin , in y no coincide con PN , que es el conjunto de todos los subconjuntos (internos y externos) de Nin . As´ı in pues, la f´ ormula x(Pin x = Px) falla cuando se aplica al conjunto interno x = Nin . Por consiguiente Px no es absoluto. Ejemplo Es un teorema de ZFC que 0 ∈ N ∧ n ∈ N n ∪ {n} ∈ N. Teniendo en cuenta que 0, ∪ y {x} son conceptos absolutos, la relativizaci´ on de este teorema es 0 ∈ Nin ∧ n ∈ Nin n ∪ {n} ∈ Nin . in Notemos que no hace falta poner n ∈ Nin porque Nin es interno, luego sus elementos son necesariamente internos. Esta f´ ormula es un teorema de H, y de ella se sigue que Nin es un conjunto infinito. Por ello no hemos incluido el axioma de infinitud entre los axiomas sobre los conjuntos externos. Ahora ya tenemos justificada la existencia de conjuntos (externos) infinitos y, en particular, la existencia de N. Los axiomas que faltan se corresponden aproximadamente con los principios de transferencia, idealización y estandarizaci´ on de la teor´ıa de Nelson. Para enunciar el principio de idealizaci´ on necesitamos unas definiciones: Definici´ on A.5 Para cada conjunto A, definimos ◦

A = {x ∈ A | st x}.

Diremos que un conjunto B tiene tama˜ no est´ andar si existe un conjunto est´ andar A y una aplicaci´ on f : ◦A −→ B suprayectiva. En particular, si A es un conjunto est´ andar entonces ◦A es un conjunto de tama˜ no estándar. Los axiomas restantes son: Transferencia: Si α(x, x1 , . . . , xn ) es una f´ ormula interna cuyas variables libres sean exactamente las indicadas, la f´ ormula siguiente es un axioma: st st in in x1 · · · xn ( xαin (x, x1 , . . . , xn ) → xα (x, x1 , . . . , xn )). ´ n: Para toda f´ Idealizacio ormula α(x, y, x1 , . . . , xn ) del lenguaje de ZFC in no estándar ∧ z(z ⊂ A ∧ z finito → x1 · · · xn A(A tiene tama˜ in in in in x y ∈ z αin (x, y, x1 , . . . , xn )) → x y ∈ A αin (x, y, x1 , . . . , xn )). ´ n: x st y st u(u ∈ y ↔ u ∈ x). Estandarizacio Del principio de transferencia se sigue que si dos conjuntos est´ andar tienen los mismos elementos estándar entonces tienen los mismos elementos internos y, por transitividad, son iguales. Por consiguiente, del principio de estandarizaci´ on se sigue que para todo conjunto A existe un u ńico conjunto estándar SA cuyos elementos estándar son los mismos que los de A. De principio de transferencia se sigue, an´ alogamente a como hemos hecho en la teor´ıa de Nelson, que las versiones internas de todos los conceptos definibles en ZFC son de hecho estándar. Por ejemplo, Nin es un conjunto est´ andar. Para probarlo aplicamos el principio de transferencia a la f´ ormula (sin in st in in in par´ ametros) (z = N) , lo cual nos da que zz = N → zz = N . Similarmente, la uni´ on de conjuntos est´ andar es estándar y, en general, cualquier conjunto definido mediante una expresi´ on de ZFC a partir de par´ ametros estándar es estándar.

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Los n´ umeros naturales Ahora ya podemos demostrar que, tal y como hab´ıamos anticipado, N = ◦Nin , es decir, que los n´ umeros naturales externos son los n´ umeros naturalesin estándar. Una inclusi´ o n es simple: Relativizando teoremas de ZFC a conjuntos internos tenemos 0 = ∅ ∈ Nin y n ∈ Nin n + 1 ∈ Nin . Aqu´ı hemos usado que x ∪ {x} es un término absoluto, con lo que si n es un in conjunto interno entonces (n + 1)in = (n = n ∪ {n}. ∪ {n}) ◦ ◦ ◦ M´ as a´ un, tenemos que 0 ∈ Nin y n ∈ Nin n + 1 ∈ Nin , pues si n es estándar entonces n + 1 es estándar (por transferencia). El principio de inducci´ on nos da entonces que N ⊂ ◦Nin . Supongamos ahora que A = ◦N in \ N = ∅. Entonces A ⊂ S A = ∅. Todo conjunto interno que contenga n´ umeros naturalesin contiene un m´ınimo n´ umero naturalin (esto es la versión interna de un S S andar y m teorema de ZFC). Sea m el m´ınimo n´ umero naturalin de A. Como A es un conjunto est´ S está definido a partir de A, el principio de transferencia nos da que m es estándar. En particular m ∈ ◦Nin \ N. Necesariamente m = 0, luego existe n = m − 1, que es un n´ umero naturalin que además es in on, pues la minimalidad estándar por transferencia. M´ as a´ un, (n < m) . Esto nos lleva a una contradicci´ de m fuerza a que n ∈ N, pero entonces también m = n + 1 ∈ N. No tiene sentido decir que la suma de n´ umeros naturales es absoluta. Esto ser´ıa tanto como decir que mn ∈ Nin (m + n)in = m + n, pero si m y n son n´ umeros naturalesin no estándar, el miembro derecho no est´ a definido (o, en sentido estricto, está definido como el conjunto vac´ıo y, en cualquier caso, no se da la igualdad). Lo que si es cierto es algo más débil que el car´ acter absoluto: mn ∈ N (m + n)in = m + n, es decir, la suma de n´ umeros naturalesin restringida a los n´ umeros naturales externos coincide con la usual. Esto es consecuencia de que ambas cumplen la misma relación recurrente. Lo mismo vale para el producto, la exponenciaci´ on, la relaci´ on de orden, etc. La finitud El concepto de finitud dista mucho de ser absoluto. Podemos definir los conjuntos finitos como los biyectables con n´ umeros naturales. Entonces un conjunto interno es finitoin si es biyectablein con un n´ umero naturalin . Observemos que “biyectable” no es absoluto: ser biyectablein con un conjunto supone que la biyecci´ on sea interna. As´ı pues, todo n´ umero naturalin es por definici´ on finitoin , pero no tiene por qué ser finito. En primer lugar demostramos lo siguiente: Teorema A.6 Un conjunto interno es est´ andar y finitoin si y s´ olo si es finito y todos sus elementos son est´ andar, si y s´ olo si es est´ andar y finito. ´ n: Sea x estándar y finitoin . Entonces su cardinalin es un n´ Demostracio umero naturalin estándar n, luego es un n´ umero natural, y existe una biyecci´ on f : n −→ x interna que, por transferencia, podemos tomar estándar. Como los elementos de n son todos estándar y la imagen de un conjunto est´ andar por una aplicaci´ on estándar es estándar, concluimos que todos los elementos de x son estándar. Obviamente x es finito. Rec´ıprocamente, si x es un conjunto finito formado por conjuntos est´ andar, probaremos que x es estándar finitoin por inducci´ on sobre su cardinal. Si x = ∅ es evidente. Supuesto cierto para conjuntos de cardinal n, pongamos que x tiene cardinal n + 1. Sea y ∈ x y sea x = x \ {y}. Por hip´ otesis de inducci´ on x es estándar y finitoin , pero {y} es interno porque el t´ e rmino {y} es absoluto, es estándar por transferencia y es finitoin porque es un teorema de ZFC que y({y} es finito). Por otra parte, la uni´ on de conjuntos est´ andar es estándar y la uni´ on de conjuntos finitosin es finitain , luego x es estándar in y finito .

65 Respecto a la otra equivalencia, por la parte ya probada tenemos que todo conjunto est´ andar finitoin es estándar y finito. Si x es estándar y finito probamos que es finitoin por el mismo argumento inductivo sobre el cardinal conla variante siguiente: si el cardinal de x es n+1, en particular x = ∅, luego y y ∈ x st y por transferencia y y ∈ x. Tomamos, pues y ∈ x estándar, y el resto del argumento vale igual. Para ir m´ as lejos necesitamos el principio de idealización. Vamos a demostrar el análogo al teorema 1.2: Teorema A.7 Sea α(x, y, x1 , . . . , xn ) una f´ ormula de ZFC. Entonces in

st in x1 · · · xn A( z(z ⊂ A ∧ z finito → x y ∈ z αin (x, y)) ↔ in st x y ∈ A αin (x, y)).

´ n: Fijados x1 , . . . , xn y A, suponemos la concurrencia y consideramos el conjunto Demostracio A, es decir, el conjunto de todos los elementos estándar del estandarizado de A, que obviamente tiene tama˜ no estándar. En efecto, se cumple que ◦S

z(z ⊂ ◦SA ∧ z finito →

in in x y ∈ z αin (x, y)),

pues basta tener en cuenta que si z ⊂ ◦SA ⊂ A es finito, como todos sus elementos son estándar, el teorema anterior nos da que es estándar, y podemos aplicar la hip´ otesis. in in x y ∈ ◦SA αin (x, y), de donde se sigue claramente que El principio de idealizaci´ on nos da que in st x y ∈ A αin (x, y). La implicaci´ on contraria es trivial, teniendo en cuenta que los elementos de un conjunto est´ andar finito son todos est´ andar. Ahora ya podemos demostrar el teorema general sobre existencia de conjuntos no estándar: Teorema A.8 Un conjunto interno A es est´ andar y finito si y s´ olo si todos sus elementos son est´ andar. ´ n: Aplicamos el teorema anterior a la relación dada por α(x, y) ≡ x ∈ A ∧ x = y. Demostracio Esta relaci´ on es concurrente en A si y sólo si A no es estándar y finito. Por el teorema anterior esto equivale a que A tiene un elemento no estándar. Para completar la compatibilidad con la teor´ıa de Nelson observamos que el teorema siguiente (an´ alogo de 1.5) se deduce del teorema anterior aplicado a la relaci´ on α(x, y) ≡ y ∈ x ∧ x ⊂ A ∧ x es finito. Teorema A.9 Todo conjunto interno tiene un subconjunto finitoin que contiene a todos sus elementos est´ andar. Ahora es claro que todos los resultados que hemos demostrado en los cap´ıtulos precedentes a partir de la axiom´ atica de Nelson pueden demostrarse también en la teor´ıa de Hrbacek. El teorema de extensi´ on La versión general que hemos dado del principio de idealizaci´ on permite demostrar una versi´ on fuerte del principio de extensi´ on (comparar con 1.6). Teorema A.10 (Teorema de extensi´ on) Si A es un conjunto est´ andar y f es una funci´ on externa en ◦A con valores internos, entonces f se extiende a una funci´ on interna definida en A.

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´ n: La funci´ Demostracio on f , es decir, el conjunto {(x, f (x)) | x ∈ ◦A}, tiene tama˜ no estándar, por lo que podemos aplicarle el principio de idealizaci´ on. Si z ⊂ f es finito, entonces z es una funci´ on cuyo dominio es un subconjunto finito a de ◦A. El conjunto a es finito y todos sus elementos son estándar, luego es estándar. Una simple inducci´ on sobre su cardinal demuestra que z es interno, y es una funci´ on que contiene a todos los elementos de f . Aplicamos el principio de idealizaci´ on a la f´ ormula “x es una funci´ on ∧y ∈ f ”, con lo que obtenemos una funci´ on F que contiene a f , luego su dominio contiene a ◦A y por transferencia a A.

Regularidad y reemplazo Es claro que el axioma de regularidad no se cumple en la teor´ıa de Hrbacek. Por ejemplo, si tenemos en cuenta que Nin no es sino el conjunto de todos los (ordinales finitos)in y que, ◦ por lo tanto, la relaci´ on de orden es la pertenencia, vemos que el conjunto Nin \ N no tiene un elemento minimal para la relaci´ on de pertenencia, lo cual contradice al axioma de regularidad. Tampoco podemos suponer el axioma de reemplazo. Para verlo observemos que si α es un ordinalin estándar, entonces ◦α está bien ordenado por la relaci´ on de pertenencia. En efecto, si x ⊂ ◦α y x = ∅, S entonces x ⊂ α es un subconjunto interno no vac´ıo de α, luego contiene un m´ınimo ordinal β, que por transferencia ser´ a estándar. As´ı pues, β ∈ x y es el m´ınimo de x. Si suponemos el axioma de reemplazo podemos considerar el (´ unico) ordinal α ˜ semejante a ◦α. Ahora ˜ probamos que si α ˜ = β entonces α = β. En efecto, tenemos una biyección f : ◦α −→ ◦β que conserva S el orden y, aplicando el principio de transferencia, es f´ acil ver que f : α −→ β es una biyección que conserva el orden, luego α = β. Consideremos ahora el conjunto de todos los ordinales de cardinal menor o igual que el cardinal de Nin (este cardinal tampoco puede definirse sin el axioma de reemplazo). De él seleccionamos el conjunto de los ordinales que son de la forma α, ˜ para cierto ordinalin estándar α, y otra vez por el axioma del ˜ es inyectable en Nin . reemplazo formamos el conjunto A de todos los ordinalesin estándar α tales que α in Ahora bien, el conjunto A contiene a todos los ordinales estándar, pues si α es uno de ellos y F es un conjunto finitoin tal que ◦α ⊂ F ⊂ α, existe f : F −→ Nin inyectiva, que se restringe a ◦α y prueba que α ∈ A. Cambiando A por su estandarizado, podemos suponer que A es estándar. Tenemos as´ı un conjunto est´ andar que contiene a todos los ordinalesin estándar. Por transferencia A contiene a todos los ordinalesin , pero esto es imposible, pues se demuestra en ZFC que ning´ un conjunto contiene a todos los ordinales.4 Pese a esto, en el apéndice B demostraremos que podemos suponer5 que la relaci´ on de pertenencia está bien fundada en la clase S de todos los conjuntos est´ a ndar, es decir, que para todo conjunto no vac´ıo A ⊂ S, x ∈ A y ∈ A y ∈ / x. Si dispusiéramos del axioma de reemplazo, podr´ıamos definir por recursi´ on transfinita sobre la relaci´ on de pertenencia una aplicaci´ on que a cada conjunto est´ andar x le asigna un conjunto x ˜ determinado por la relaci´ on recurrente x ˜ = {˜ y | y ∈ x ∧ st y}. M´ as a´ un, la teor´ıa general de recursi´ on transfinita (ver [4]) permite demostrar que esta aplicaci´ on biyecta la clase de todos los conjuntos estándar con una u ńica clase transitiva (su colapso transitivo) de modo que se conserva la relación de pertenencia, es decir, x ∈ y ↔ x ˜ ∈ y˜. En el apéndice B veremos que podemos suponer todo esto y que el colapso transitivo de la clase de todos los conjuntos est´ andar es 4 Esta ´ es una diferencia entre la teor´ıa de Hrbacek y la de Nelson: en ésta s´ı que existe un ordinal mayor que todos los ordinales est´ andar, por la versi´ on fuerte del principio de idealizaci´ on. 5 En todo este apartado “podemos suponer” significa que podemos tomarlo como axioma de modo que se sigue cumpliendo el teorema de conservaci´ on.

67 precisamente la clase R de todos los conjuntos regulares, es decir, la clase definida recurrentemente por R0 = ∅ ∧ α Rα+1 = PRα ∧ λ Rλ = Rδ ∧ R = Rα , δ

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