Analisis Matematico - Volumen I Spanish

BIBUOT~ UCM

IIfJIII 111111111111111111111'11111111111111111111111111111111

530303413X

JULIO

REY

PEDRO C

~

S

PI

ARA.

-

L

PASTOR CALLEJA T

R E JO

Aná lisis matemático Volumen 1: Análisis algebraico • Teoría de ecuaciones Cálculo infinitesimal de una variable

',.

" .

(".tr, ' ,)"f\::. . ~

, l·' .. _ . ., "'). "'\: ... ~. "'.1 '1·:- "· .~ ,,--..;;'-,;;,; .",Y'

EDITOR

~#'

ti~

I

AL

"::~:E-:E:X.VS:Z Moreno 372 '

Ouenos Aires

Estár. p.-chtt lldas y penadas pe;- ta ley la rep roducCiÓn y la d ifusión lotales o pa rCiales de eól a obra, en cualqUIer fOtme, por medios mer.-ánicos o electrónicos. indus'lie por lotocopia grabacién magnetofónica y cualquier otro sistema de alr nacenam¡enlo ó e Intormación, sir. el previo COIlsentlm.enlc esenIo del edilor

Todos loS , Iw!lc;h os III$IIIV. \lII,. lit" u,D. 19/J:!\ EDI lOAIAL KN'ElUSZ SA U""'I()II AllljI 1,~h'J l .htr.I(>t!'1o 1111(\ a:.,al,lllcu Id Iny t i 123

OCf'1Ví1 OO/Clórr. jl/lío ,111 r I UII'lO DE EOICION I\RllCtJllt~A A,!'U.' '' ' lI'1unlll'l\

ÍNDICE GENERAL PÁG.

P'resenta,ción . . . . . . ... .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Nota a 1ft segunda. edición ......................... Nota (l lt[ séptima edición . . .. ...................... Plan de la obra..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . 1. F llla lidlld y estrOlctura. grafia general.

2. Contenido.

XVII

XIX XIX

xx

3. Biblio-

CAPÍTULO 1

FUNDAMEN TACIóN DEL NúMERO RACIONAL § 1.

Int roducción lógica . ............ .. ............

1

1. Un idad y conj unto. 2. L6gica deductiva. 3. Métodos de demos tra ción. 4. Conceptuación matemática. 5. Igualdad. Relaciones de equivalencia. 6. Definiciones por a bstracción. 7. Axiomática. 8. Est ructura de la Matemática. E jel'clclOS.

§ 2.

El númel'o natUl'al .......... . ................

lE

L Diversas f undamentaclones delnúmel'o l1atUl'1l1, 2. Inc!u!!ci ón cOJlJpleta, Axiomas de PEA NO, 3. Definicioncs pOI' rec un encia. 4. Opel'aciones fnndamentales. 5. Definición de mayo!' y menOl'. Le~Tes de la desigualdad. 6. Leyes fo rm:..les: l)l'inci pio ele permanencia. 7. Concep to deE den. 8, Col"re:;,pondencia. 9. Conjuntos fi ni tos. 10. N úmer o _Tl aritmético de los númel'os complejos.

2. Definición de número complejo. Operaciones fundamentuk!f.

126

íNVICE GENERAL

Vil PÁG,

3. Rep resentación geométrica., 4. Módu lo y argumento de un número comp lejo, 5. Las operaciones racionales en el campo complejo. Ejercicios. ~

10. Potencias y raíces en el campo complejo ........

137

2. Raíces de los números complejos: represen t.aciÓn gráfica, 3. Raíz cualirada en fOI'ma binómica. 4. Raíces de los números reales. 5. Raíces primitivas de la unidad. EjerciCios. l. P()tencias de exponente entero.

Nntcl8 al Capít?llo Il . . ...... , . • ....... , .. ,.........

144

1. Plenitud y unidrlad del sistema de los númel'os reales. n. El infini to ma temlitico. UI. Sistemas hipel'compleIV. EibliUl!" ·afia. jos. CA PíTULO

IU

COMBINATORIA. ÁLGEBRA LINEAL ~

11.

Análisis combinatorio ........................

153

1. Variaciones. 2. Permutaciones. 3. Combinaciones. 4. Números combinatol'ios. 5. Sustituciones. 6. Sus-

tituciones cu:culares: descomposicióll en ciclos. cicios.

§ 12.

Poten das de binomios y polinomios 1. Potencia de un binomio. E jercici()s.

§ 13.

Ejer·

166

2. Potencia de un polinomío.

Determinantes ................. ,..... . .......

170

1. Origen tIe la teol'ia ele los detemtinantes. 2. Determ inant es de segundo y tel'Cel' Ol·den. 3. Det erminantes de orden cualquiera : sus pl·opieU:!ItiluciOll tls entrc permutaciones. h lll1l1'rlÚl ••

214

~U[

CAPi'l'UL.O IV

ALGORITMO AL:Ipec to a T (fig. 1), Si se forma n las 25 pRrcjas" q UE' p ueden obtenerse al tomar dos de "'s as relaciones como premisas de hipótesis, los correspondientes diagra, mas darán la conduliión a que pllelle llegarse o no según los casos. Estl:: método gráfico de fO l'mar l'a~onamielltos es el 11a111ndo algoritmo de D1AZ t :I1:RCONNE.

EJEMPLOS: 6. Si están relacionadas p or exclusión las clases P y C. las e y V (lig. 3), sólo podrá a fi rmarse de las P y V que su rl!ladón mutua puede sel' cualqniet'a ele las del cuadro de Df AZ GER·

IlRí L'(IUlO

I;OKNE.

7, Si están relacionadas Tlor inclusión la clase T respecto a la P, y JII P resp cct() a la F (fig, l), podrá segur amente afi rmarse que la clase ' f' est á incluída en la F, E l algo\'i Lmo de DiAz G ERGONNE da ya un a representación más clara y completa de los silogismos que lB. reali~da pm.' A RISTÓTELES, pel'o el IlI'ogreso f undamen tal en este sentido, lo reali za G E ORGES · BOOLE haC'Í1I 1>
Ll

l NTRODUC('IÓN LÓClf.A

embargo. sólo aplicando las reglAs del juego a una interlll'elación COnCl"Etll que permita desarrollarlo podrá comprobarse su compatibilidad.

En lma disciplina pueden darse diversos sistefl1fts de axiomas equivalentes; una misma proposición pued€ ser axioma en 'un 8istema y teo-rema en otro : para darse cuenta de la arbitrariedad que existe en la elección de un adecuado sistema de axiomas, basta considerar la equivalencia proposicional que entraña toda condición necesaria y s uficiente (§ 1~3). Por ejemplo, la proposición de EUCLIDES sobre las pnra le~ las es equivalente (en el marco de loa otros axiomrus) al enunciado siguiente: " la suma de los ángulos de un b'iángulo es igual a dos rectos". Por consiguiente, si se tomara este último como axioma, la- proposición sobre 'las paralelas pasarla a ser teorema. Por eso no tiene sentido preguntar si una proposición puede demostrarse o no, si no se e'specifica el sistema de axiomas de la teoría a que se refiere. E l sistema de axiomas de toda teoria matemática debe mosb'ar como condición fundamental e ineludible, que no encierre escondida una contradicción: entonces se dice que el sistema de axiomas es compatible.

°

La compatibilidad de un slstema de axiomas se prueba. buseanos en q ue se euu meran otras propiedades que lógicamente p ueden cumplil'se o no. EJEMPLO: La sum a de los vcctol'es libres a y b IJllC se han introduci do como ejemplo de defi nición por abstl'ac"iú n (§ 1-6 ) , se obti ene aplicando al extremo de uno de los segmentos ol'ientados qu e r epresentan a. el origen de un segment o que represente b : el segmento orientado que va del Pl'huer origen al último extremo, l'~ prese l1 ta la s uma, Esta operación cumple la ley un iforme, por ser el resultado indellendien te de los segmentos or ientados q\le representan a los vectores sumandos; es oecir. Sl a, y a. son seg mentos equipolentes, y también lo son b, y b" la suma a. + b, se demuestra geométricamente (no es eviden fe p or sí mismo) que es eqUipOlente a la suma a. + 1>,.

Las operaciones fundamentales que liga n entre si a los númel'OS iiaturales son la aclición y la "m~LWplicación, b) Adición o SU1nCt de dos núm.eTos natuTCtles. - Se inb'oduce median te la siguiente definición por r ecurrencia (§ 2-3) : A cada par x, y de números naturales cOlTesponde un1.'/:0camente otr o número nah u al, que design aremos por x 7/, construído recurriendo a las nos siguientes definiciones explícitas: [2-5] x 1 = sg x para tütk ~c; [2-6] x + sg y = sg (x y ) pam todo x y para t odo 11, Como por [2-5] se expresa sg' x por x 1, la definición 1) = (;t: y) 1. [2-6] puede también escl'Íbil'se: a' f- ( JI Llegaremos por recUl'l'encia a cualquier x 1/. sin más que ver que se obtienen por aplicación l'eiterada de [2-5] y [2-6] las sumas: x 2 = x + sg 1 = sg (x 1) x 3 = x -1.. sg 2 = sg (x 2)

+

+

+

+

+ +

+

+

+

+

+ +

Aplicando los axiomas de P EA NO, y en part.icular el principio de inducción completa, se dC'I1LU.est1·an. como teoremas las siguientes reglas de cálculo : (Le?1 asociativa de [2-7] (Ct b ) + e = a + (b + e) la adició'il.). [2-8] ft +b = b +· a (L e y conm ut ativa de la adw-i6n ) ,

+

~

2

- IÍ

[2-91

21

EL N(rMEHU NATURAL

De b

+ a = e + a· se deduce

b= c

(Ley cM/,c'elat iv a de la ruli ción).

= +

En efecto, demostl'emos la ley asociativa . Para e 1 es (a+b) + 1 ::::: sg(a,+b) a, + s~ b ::::: a (b+ l) , donde las ig'ualdades pl'iment y tel'cera se jU!lt.ifican por [2-5], y la segunda por [2-6 ] . Supu~sto ahora cierta [2-7] , es (a+ b) + sgc sg [( a+b> + c] sg- [a +(b+c)] = a + sg(b + c) a + ( b+ sgc) , donde la segunda ig'ua ldad se justif ica por hipótesi!> inductiva y las dem ás por [ 2-6]. De ambos casos, P01' el Ax. V de PEII NO queda probada [2-7] par a tocio e, y tambiéll exis te para todos a y b por existencia de s uma. Para la ley conmutativa. se empieza por probal' inductivav1ente respecto de (t que sg a. ::::: 1 + a y luego en [2-8] se aplica inducción respecto de b, An álogamente se prueba (2-9) , c()n inducción resp ecto de a y aplicación del Ax. IV. Si dados düs números ?n y a existe a lgún número l' tal que 0, + r "----o m , se dice que l' es la diferencia, sustrc¿cción (\ -resta de

=

=

=

=

=

rn menos a, y se designa por r = m -a. P or eso se dice que la difel'encia es la operación int'e?'sa de la suma. La ley [2~9] asegura que a lo más existe un número natural '{' que haga a + r ='In (puede no haber ninguno, como veremos por [2~16]). c)

M ultiplicación o '{woducto (le dos n'Ú.m.e1'os

nat~lrale8.

-

Se introduce mecHante la siguiente definición por recLlrrencia: A cada par de números n aturales x, 11 conesponde unívocamente otro número natural, que desi gnaremos por X.y (ü x y), construído mediant e las dos siguientes def in iciones explícitas: (2-10] x.l = x pat'a todo x; [2-11] X.sg ~J = x . y x para todo x y todo y. La [2-11] expJ.'esa que x. (y 1) = xy x. Las [2-10J y [2-11] ponen en fo rma inductiva la def inición clásica de que multiplicar x pür 21 es sumar y veces x. En efect o, se obtiene por recurrel1cÍa cualquier x .1/ observando por aplicación reit erada de [2-10] y (2-11 ] , que es: :J; • 2 x . sg 1 x .1 x = x x x ,S = x.sg 2 = x.2 x x.4 = a:. sg 3 = x. S x

+

+

+

+ +

+

+

Inductivamente se demuestran como troremas las siguientes l'eglas de cálculo : [2-12] a . (b e ) = ab a·e (Ley clist'ributi'vCL ele la multiplicIJci6n 1'especto a w; (a+ b). e = ac + be suma). [2-13] (a b) e = a (b e) (Ley asociativa de la, m~il­ tlplicación) , [2-14] a .b : . .-= b.a. (Ley conm utativa de W.

+

+

1nultiplicación) ,

22

~

L FUNDAMENTACIÓN Dl:L NÚMERO RACIONAL

[2.15J

De a. b = a. c. se deduce b = e

2 -4

(Ley cancelativa de la

l1~ultiplicCl ción ) •

En efecto, para las dos leyes distributivas [2-12] y asodativa [2-13] se a plica inducción respecto de e en forma análoga a la vista para la adición. PSl'a la ley conmutativa [2-14] se efectúa inrluccion respecto de b, demostrando que a . 1 == 1 . a por inducció!l respecto de a. La ley clUlcelativa [2-15] se demuestra efectuando inducción respecto de (J. Así pr imero se pI'ueba que a. b == a . 1 implica b 1, pues si a = 1, se aplica [2-14) y [2-10], mientras que si a"* 1 sería absurdo suponer que b =F 1, pues existirían ( § 2-2, ejercicio) pI' a y pr b; entonces sel'ía a. b = a sg( pr b)= a . pl' b a por [2-11) y de a. b a.1 se deducil'ía a. pl' b + a 1 + pI" a por [2-10], [2-5] Y [2.8] , de donde, por [2-7], [2-9] y [2-5] sería sg(a. prb);;:1 , en cont.ra del Ax. III de PEAN O. Supuesto ahol'a inductivamente cierto [2·15], se prueba que a . b a . sg e implica b sg e, viendo primcro que por lo anteriormente demostra do debe ser b,* 1 Y POi' tanto existir pI' b Y entonces por [2-11] y [2-9] de a . sg(pl' b) ;;:: a. Sil e se deduce ((. pI' b ;;;: (t • e, es decir, por h ipót esis inductiva pr b e, que pOlO el A x., 1I implica b sg c. La aplicación del Ax, V respecto de e prueba fi nalmente [2-15].

=

=

=

+

=

=

=

=

Si dados dos números b y a existe algún númel'o e tal que a. e = b, se dice que e es el cociente de dividir b por a ; as! se introduce la división como opemción inversa de la multiplicación. La ley [2-15] asegul'a que a lo más existe un número natural e que haga a. c = b (pue(le no haber ninguno, ya que entI'e números naturales sólo es posible la división CURlldo el dividendo es múltiplo del divisor) ( § 6-1 ).

5. Definición de mayor y menor. Leyes de la desigualdad. Se dice que b > a (b es mayor que a) bien a < b (a menor que b), si existe un número nat ural n tal que a n = b. Teniendo en cuenta la definición recurrente dada para la suma, esto equivale a decir que será a < b cuando el número a aparezca anteriorrnenfe (§ 2-7) al b en la sucesión n umér ica natural. En el § 2-10 relacionaremos la desigualdad con la coordinación. En todo caso, mediante el cumplimiento de las leyes siguientes. la desigualdad establece un orden (§ 2-7) entre los números naturales. Inductivamente se demuestran como teoremas las siguientes leyes de la desigualdad: J

°

+

[2-17]

Para cada par de números a. b vale (L e 11 de tricotouna, y sólo una, de las relaciones mfa). a < b, a = b, a > b De a < b y b < c se deduce a < c (Ley transitiva de

[2-18]

De a

[2-19]

De a < b se deduce a. e

r2-16]

la monotonía).


licado en N y que Para ello, teniendo en cuenta quP si (t.r > Qz Y b1 > b2, e~ (al - a2) (b¡ - b:1) = ( a l j- hd -- (a z b2) ;

+

(al aJ -

((2) . (b} (/2

< b¡- b~

b~) = (a,J)¡

+ a2b2 ) -

eqlli vale a al -+- b z

+

( a l b2

+ aZb

< a2+ b l ;

1) ;

defini1'emos: [3-9]

[3-10]

. {al-ad + {l)1-b 2 ) = { (a'l+bl)-( a~'1 b2) }. P'roducto: {fl.l~t'!! } .fbl- lh¡) =

S1I7/w,,:

= { (alb¡ -1-- [f,.~b 2) -(a. lb z -1- a~iJl) .l.

Desigualdad: Es ¡a l -a2} < {b¡-bd cuando 1/ s6lo cuando (('} bz < a::: + b1 . Estas definiciones nos permitirán operal' con los n úmeros enteros (balances) en función de los pares que los determinan {haber - debe h pero s u f ecundidad radica e11 que las reglas ope1'ato'r ías serán las mismas que las vistas ant el'ionnente en el § 2, Y por lo tanto, el nuevo concepto de número entero (balance) tomal'á como tal número imlJOrtancia propia e independien te. [3-11]

+

4. Ley uniforme y leyes formales. - Las definiciones del apar ta do anterior cumplen como teorema la ley mlÍ!vnYlc, es decir, el res ult a.do obtenido por ellas el' i1ld~ }Jencliente del pal' que Re elija para r epresentar cada número entero que en ellas interviene, Obsérvese que lll'er isamente por esto, las operaciones de suma y producto y la relación de desigualdad pueden considerarse defi nidas enh"e núm eros entel'os (es decir, entre clase¡;; de pares y 110 entre pal'ei4 a islados) ( ~ 2-4).

33

EL I'IÚMERO EN TERO

En efecto, si [a,-a J == [a/-a; ] con [b,-bz ]:::: [h,' -b,'] , es decir, por es a , -1- a.':::: n. + a; con b, + lh' :::: b, + b,'. para la ley tmifonne !le la su ma, r es ulta ser (a, +b,)+(a,' +bo' ) = (a,+bz )+ (a:+ b,') por Ilplicación de la hipótesis y de las leyes asociati va [ 2-7] y conmutativa [2-R l de la s um a dE' números n atm'ales, Para lB ley un iforme del Pl"O'¡" ;~;) se procede anñlogamente t eniendo en cuellta las leyes distributivas l . .. ¡ y cancelat iva de la s uma [2-9], P m'a la ley un ¡f orme de la desj . ,.Jaldad, ele la h ipótesis que exista un núnlet'O na t ural n t al que a, + - lb+n ::::: tb+b" se deduce (§ 2-4 , b) que a,+a,' + b, --!- h,'+n= -= a, + ",' + b,' Y aplicando las e qui\'alencias de part ida, resulta a, + a,' + b. + b: + 1~:::: eL, (!.-.J' -f-. /¡, -J-- b,', es decil' [n,'-(L;] < [b.'-b.'] , l ;~-2 ],

b.·,

+

Se demuesh+a como t eoremas, que las leyes formales: asociat iva [2-7], conmutati va [2-8], cancelat iva [2-9] de la a dición; distribut iva [2-12], asociat iva [2-13] , conmutat iva [2-14] de la multi plicación; de tricotomía [2-16] , transitiva de la múnotonÍa [2-17] y de monotonía de la adición [2-18] se conservan; en camhio, la ley cancelat iva de la multiplicación [2-15] sólo se cumple sí el factor común es g =1=- O, Y la ley de monotonía de la multiplicación [2-19] sólo si el factor común es e > O. Así, p ues, ahora t endremos también demústradas comú teoremas: [3-12] De a.b = a.e y a * O se deduce b = e (Ley geneml cancelath'a de la 1nultiplicaci6n) : [3-13] De a < b y e > O « O, = O) se deduce a, e < b. e (> b . e, = b . e) (L ey gene1'ul de m.onot onía, de 1n multiplicación) , En efetto, VHC/'u se aceptó sólo desde el siglo XlII por LEONARDO DE PISA (también llamado PIBONACCI); éste lo tomó de la escuela a rábiga española, cuyo representante más prominente era JUA" DE SEVILLA, Los hindües , en su célebre numeración decimal, usaban el cero como hueco, lo que ya rep'c esenta el avance formidable de representar la nada (o ausencia de unidades) por un símbolo; es oportuno señalar que a esto llegaron también los mayas en su notable sistema ne numeración vigesimal. y hasta el siglo XVI! no fueron aceptados sin discusión los números negativos; los griegos nunca conside raron como solución de un problema una cantidad negativa o irracional. Aun las mismas "fracci ones" no eran números para los matemáticos griegos, sino "razones de números". Sin embargo el logistico húbil calculador entre los griegos, o esc,.ibr¡. entre los egipcios, persistía en "calcular" profesionalmente con la:;; "fracciones" como si fue sen "números" sin preocuparse 'J~ jl'stificar lógicamente sus reglas de cálculo e indiferente a las crítica& irónicas de PLAT6~, P or otra parte, muchas discusiones mod~rnas sobre fundamentación matemática tienen el mismo origen; tona abstracción es en si misma una fuente de contradicciones: s u depuración es larga y difícil, pues las ideas tardan siempre en madurar. Muchas definiciones que se han dado de conceptos ahora perfectamente claros, son las mismas que hoy día nos hacen estremece¡' cuanclo las escuchamos dé algún ahmmo,

=

=

EJERCICIOS 1. Efectual' las demostraciolle" completas de los teoremas que '" han

en unciado, 2. Deci¡' cuáles de las siguientes operaciones binarias entre ente¡'os so n asociativas, y cuúles conmutativa, : n-ll, o'+b' , ~ ( a+ú), -(¡ -b. 3, Dadas las desigualdades 2 a < b < 3 b, Y O < e - a < d - b < a, formar con los números a, b, e, d, 2 a, a + b, a + d, e - a y d - " una sucesión monótona. Intercalar en ella otros números; por e.iemplo: 2 d, b + e-a. 4, Respecto a la sucesión monótona buscada en el ejercicio anterior, ver qué podría afirmarse en el caso de ser 2 a < b < 3 b y e -- a < d - h

< a< o_

5. Si en los axiomas de PEANO que introducen el número natul'al (§ 2-2, a). se sustituye "natural" N por "entero" E, el axioma III por el axioma lII': Cada, número entel'O es el siguiente de a,lgún Ot1'0 entera

S fMBOLOS NUMÉR ICO.

• '" .:¿

y t,lPEIlATORIOS. pOLlx~nlroS

·'e· el.·

=

(Sí it. E, existe un pr x e E, tal que sg (pI' :c) x). y el axioma V por I teorema de reeurreneia entera (§ 3·6, e) tomado como axioma V', desarr6ll ese una teoría análoga a la del § 2, demostrando que el concepto de número así obtenido es isomorfo (§ 3-5) con d estudiado en este § 3. (Ver A. LoEWY: Lehrbuch der Algebra, Leipzig, 1915).

§ 4. SíMBOLOS NUMÉRICOS Y OPERATORIOS. POLINOMIOS 1. Símbolos numéricos. - El sistema de reglas y convenios mediante los cuales se logra representar todos los números, valiéndose de signos o cifras (o varias palabras), combinados convenientemente, se llama numeración. (Véase nota II)'. Estos signos, escritos o verbales, sólo son representaciones o expresiones de los entes abstractos que hemos llamado nútneros; sin embargo, para abreviar el lenguaje, suele llamarse también núme?'os a estos signos. La Aritmética decimal o vulgar estudia los números mediante su expresión decimal en cifras. Por el contrario, la Aritmética universal no necesita de ningún sistema de numeración para estudiar las propiedades generales de los números, y designa a éstos por letras: a, b, c, ." De este modo, no fijándonos en un caso particular, las demostraciones serán válidas . cualesquiera sean los números representados por estas letras. Cuando la~ letras del abec:edario no son suficientes, o conviene con· servar cierto paralelismo entre cl os clases de números, se acude a las letras griegas. He aquí su equivalencia con las del abecedario.

Fig1,ra

Equimlencia

Nombre

Figura I lVombre

¡E qui !'al r 11 cía

,

A B

a (J

r y el. ó

E e Z I H '1

G o T ,

K/(

" .H .\

l'

i Alfa Beta

I

A TI

Gamma I GD I Delta Epsilon E breve •

Dseta Eta 1 Theta Iota Kappa Lambda Mu

N v

;:

O

~

o

11 P p '" ~

(J

Z E larga Th (t)

T

T

Y

~,

1



'P

K L

M

Xx

l.V

If.;

n ~

Nu

Xi I Ornicron

I

Pi Rho Sigma ,, Tau Ypsilon Phi Ji (chi) Psi Omeg'a

I I !

\ N !; X O breve P

R S T i Y I (f) Ph I eh (e) ¡ Ps i O larga

I

!

2. Monomios. - a) Si un l)roducto se compone de a factores, todos iguales a a, se llama potencia cld número (l., y se representa más brevemente por a"; a se llama base, y Ct, exponente. b) Las propiedades conmutativa [2-14] y asociativa [2-13], aplicadas a este caso, demuestran:

40

1. Fl' Nl!A1VIENTACI ÓN DEL N ÍlMERO RAC'I07'lAL

~

4 -2

TEOR.: PaTa 1/l,1.tltipUCU1' vaTias 1JOtenci(l~ del mumw exponente, se multiplican las bases, c011~~ervanclo el mismo exponente, e) Se llama monomio o expres'ión rnononl-Í(L a la compuesta con varios números mediante la operación única de multiplicar. Cuando hay factores numéricos conocidos se efectúa su producto, y este número k llamado coeficiente, suele colocarse delante en la forma siguient e: [4-1] k.aa b/1 CY .,. l". Se llama grado de un monomio al número total de factores literales que contiene; por ej.: 2 a" es de grado 5. Ejemplos de monomios de grados 3, 4 Y 7: 1 1 p q r, - 5 a2 b d, 7 X y 3 Z t 2,

3. Símbolo n. - Cuando los factores de un producto son números que se deducen de lma expresión única, en la cual figura un número determinado i, dando a éste valores sucesivos (por ejemplo: i = 3, i = 4, i = 5, i = 6), el producto se representa más brevemente, utilizando el signo pi mayúscula (que se lee producto de), antepuesto a dicha expresión, y escribiendo debajo y encima los valores extremos que toma dicho número i. Así, por ejemplo: í

n

i 3 = P. 2~ . 3~ . 4" .5" . 6" . T'

·i.= 1 6

n

2h = 2.3.2 .4 ,2 . 5.2.6

h :::0

,.,

n a/

-=.

(l.~ a~.

a.,; , . .

((H'

]=4

El producto de los n números naturales podría representarse mediante este símbolo, pero como se pl'esenta con gr an frecuencia en los cálculos (principalmente en la Combinatoria). se suele designar por una notación especial, que consiste en enCErrar el último facto l' 11 en un á ngulo recto, o en agregar le el p,igno ! así: ~ o 1I!, y se lee factorial de '1'1.• Por ejemplo: ~ = 8! ~. 1.2 . 3 .4 . 5 . 6.7 .8, Por comodidad ti pográfica se usa, pl'eferentemente, la segtll1da notación; pero cuando el f~ctoriaI se refiere a un n úmero resultado de algu na operación, habr á que encerrar a éste enb'€ p al'énte~Í.s. P or ejemplo: (2 . 3 )! 4. Símbolo :S. - Cuando los sumandos de una suma se deducen todo:> de una mi:;;ma expresión, dando valores sucesivos

41

SÍMBOLOS NUMÉRICOS Y OPERATORIOS. P OLINOMIOS

§ " ·ñ

a un número indeterminado que en ella figu ra, se representan abrevia damente, escribiendo delante de dicha expresión el símbolo de sumación sigma, poniendo debajo y encima del mismo los valores p rimero y último que toma dicho Índice. Por ejemplo, la suma de los cubos de los veinticinco primeros números natul'ales , la suma de los cinco primeros números pares que siguen a l 4 la suma de los ocho primeros números impares que siguen al 3, se represental'án, respectivamente, así: J

7

25

~

na,

l: 2 i,

-n. = 1

i

=

l: (2 h

3

. ;'

~

+ 1)

2

A veces se usa et signo de sumación en un sentido más general, par a r epresentar la suma de todos los valores que toma una expresión, cuando varios índices que en ella f iguran cumplen condiciones determinadas: por ejemplo: l:

aab!3cr

=

as

aab!3

ab 2

8,4

l:

=

+ a b + a c + ab + abe + ac + b + b c + 2

2

2

2

2

S

+ ab' + ab ~ + a b + a b + Q,2b + a"b + 2

2

2

3

6. Producto de potencias de igual base. -

Por definición: A

~

a

2

4

aa a{J ... a X = (a a , .. a) (a a ... a) ... (a a . . . a) [4-2] p = aa . ~.:.~~:':~.~. a = aa+ + ... +A. En particular, si todos los exponentes son iguales. [4-3]

(a a)n

=

a: a" ... (f

=

aa +o:+ ... + a = a"a

=

Así establecemos los teoremas : TEOR. 1: Pa'm 1nultipl.ica'1' vU1"'I:as potencias de la misnUi bao se, se conse'rva ést.a y se suman los exponentes. TEOR. 2: Para elevar a.l exponente n una potencia de ea;ponente a, se multiplican los dos exponentes. 'r~

a

an

Resulta de aqu í: (a" ) = (an ) = a ; expresiones que no deben confundirse con estas otras, las cuales suelen escribirse suprimiendo los paréntesis: a [4-4] a ,(a'" = ((a n , a( n ) = anCl. Con t res cifras puede escribir s e el número

9~·

(mayor que el

(S9) 9 = 9 81), imposible pl'ácticamente de eX}l resar en nurneración decimal

ordinaria, teniendo má s unidades que número de átomos se cree existen en el Universo.

11

42

1. FUNDAMENTACIÓN DEL NÚMERO RACIONAL

6. Supresión de paréntesis. - Hasta ahora hemos introducido los signos operatorios y .; las operaciones a + b, a - b, a. b, representan la suma, la diferencia y el producto de los números a y b. Cuando con estos resultados y otros números se efectúan nuevas adiciones, sustracciones y multiplicaciones, es preciso encerrar aquéllos entre parént esis, para indicar que es el resuJtado, y no Jos datos, lo que se somete a las nuevas operaciones. Cada paréntesis equivale. pues, a una soja letra; y el cálculo de una expresión se efectúa, sin ambigüedad, mediante operaciones sucesivas entre dos datos. Para simplificar la escritura, sin perder nada en pl'ecisión, se hacen los siguientes convenios, alguno de los cuales ya hemos aplicado. 1Q Cuando las operaciones efectuadas son multiplicaciones solamente, o sólo adiciones, en cualquier orden, se suprimen LOdos ]os paréntesis. POl' ejemplo: [(m+n)+p] + (1'+S) = 1n+n + p+1·+S. Q 2 Cuando a la suma (o diferencia) de dos números, a -+- b. se suma (o resta) c, al resultado se suma (o resta) d. al resultado se suma (o resta) otro numero. etc., se suprimen todos Jos paréntesis, conservando el mismo orden de los datos. Por ejemplo: [( (a - b) - c) d] - e = a - b - e + d - e. Recíprocamente, dada una expresión de la f Ol'ma a±b -+- ••• + l, habrán de efectuarse las oper aciones, sucesivamente, en este mismo orden. 3Q Dados varios números, por ejemplo: a, b, e, d, si elevamos al exponente a el número b, después elevamos e al resultado obtenido ba , y por último elevamos d al result ado anterior. en vez de escribir:

+, -

+

"

b

pondremos. simplemente : d' En cambio, el resultado de laf'\ operaciones: (de) b )~ en virtud de [4-3] es: deba. De la supresión de paréntesis en las expresiones compuestas de adiciones, sustracciones y multiplicaciones, nos ocupamos en los párrafos siguientes.

7. Polinomios. - Cuando varios números están sometidos a operaciones enteras: suma, resta y multiplicación ( § 3-6, b ) la expresión se llama ente1'a. Toda expresión entel'a puede reducirse a un monomio o a una suma de monomios, que llamare. mos expresión polinómica, o simplemente polinomio. Ejeruplos: J

-1:1

SlMIIOL08 NUMÉRICOS Y OPERATORIOS, P OLINOMIOS

(x~ -2x).

(.(';< -

(3:x,3_ XH) = 2) .2y = (2x" y)

+

+ (-4.r 4). (-4y).

(2x 5 )

Cada monomio de la suma se llama término del polinomio. Hemos llamado ( § 4-2 ) grado de un monomio al número de factor es literales que lo forman, o sea, a la suma a + f3 +A de los exponentes de todas sus letras. Grado de un polinomio se llama al mayor de los grados de sus términos; y un polinomio se llama homogéneo, cuando todos sus términos son de igual grado. El trinomio (3 x 8 ) + (- 5 x 2y) 7 y3) es homogéneo de tercer grado. Los polinomios homogéneos reciben a veces el nombre de formas. Los polinomios de primer grado se llaman también lineales (porque en Geometria analítica sirven para representar rectas). Por ejemplo, son lineales: 2 y + x + 1; m + (2 p) q; x y + (- z) + t.

+ ...

+

+ (-

+

+

En la notación de los polinomios podemos suprimir los paréntesis interiores de cada monomio; convendremos, además, en omitir el paréntesis que enciena. cada monomio y operar con los signos, escribiendo así: 2x:y - 4y, pero el5tc h inomio es siempl'e una suma. de monomios con coefi cientes 2 y -4. Con este convenio, dada una sucesión óe números ligados por los signos -1-, - , ' , cada signo + o - }'epresentará la adición o sustracción, no del número siguiente, sino del producto obtenido multiplicando todos los númel'os siguientes, hasta el próximo signo + o - . Si no hiciér amos explícitamente este convenio, el significado natural de la expresión anterior sería este otro: (2x'y- 4) 1/,

8. Producto de dos sumas. - a) Aplicando la propiedad distributiva obtenemos los t eoremas: al) El producto de dos

sumas

(al + a2 + aa + -,. + a",) (b 1 + b 2 + b a + .. , + b ll ) es igual a la suma de todos los productos obtenidos multiplicando cada término de la primera PO?' cada uno de la segunda. 0,2 ) El producto de dos sU?nas cuyos números de sumandos son m y n, respectivamente, tiene m n tb'minos. En particular se tiene: [4-5] (al + a2+ .,. +a"J2 = al 2+a2,2+ .,. +a",2+ f-- 2 (al al! + al a", a2 as a!! a m + '" +am-l a",) , es decir. queda demostrado el teOl'ema:

+ .,.

+

+ ... +

aa) E ~ cuadrado de una suma es igual a la suma de los cuadrados de todos ' lOB sumandos, más el dupZ-O d e los productos bi-nari08 de éstos. b) Empleando el símbolo ::-;, se abrevia notablemente la expresión del producto de dos sumas :

[4-6]

¡ ( S·a, bJ) = i -. I

j

::- I

; -::- I

; ---: 1

- I

L ~'lI N1.AM E N1'ACIÚN DEL N (¡!\1I!:RO RACIONAl.

14

Los paréntesis pueden omitirse sin inconveniente y el orden de lBS dos sigmas puede invel'tirse. sin al terar el resultado. Fi.nalmente, oh serVaremos que la suma de los tél'minos del producto puede hacerse en cualquier orden, dando a los Índices i, j del términ o gene¡'al al b j todos los valores de 1 a ?n y de 1 a n, respectivamente, combi.nalldo cada um, en i con todos los de j; esta suma suele expre· sal'se así : m, " i

==

I n,

1,

bJ

j:::: 1

y se llama suma doble.

9. Producto de varias sumas. -

(a,+a.o+ ... +a... )

(b ,

+ b.+.,.+b.)

Para efectuar el producto

a)

(c1-\-c,+ ...+c~ )... (fl + 1.+ ... +/r)

se aplican los siguientes teoremas de demostración inmediata : a,) El producto de va1'ia8 8wmas es la smna de todos los p roduct08 qUe se pueden lormar tomando como factor un tlÍ1'rnino de cada· una de tus sumas. a.) El número de los térmt'no8 del producto es el producto de 108 números de té1'minos de las dive?'sas sumas, b) Utilizando el símbolo de sumación. puede expresarse en fó rmulas el teorema a" Limitándonos, por brevedad, a considera. tres sumas, resulta, supl-imiendo los paréntesis:

.

".

l:

~ a.

[4-7] i

==

1

1

; o-

7J

:::;;

}: 1

c.

k = 1

"

~ /< =

l'

:s

bJ

'"

}';

..

!

1= 1

m

p

....' c.

a, b,

1: -;==1

~

1,-

-= 1

-

m , n, P.

a, b; c~ =

i = l ; -= 1

~ i ~1 , j :::c 1, k

al b J e" =1

Esta última expresión da los términos del prodllcto en cualquier orden; la anterior los ordena l'especto de las a, de las b y de las c.

lO, Casos notables. - He aquí algunos, que el lect or puede enunciar como teoremas: (a b ) (a - b ) = a~ - b 2 (a+b) (a2 -ab+b 2 ) =uS +b 3 (a - b) (u 2 +ab+b 2 ) =a8 _b 8 y en general: [4-8] «(t - b) (a."-l aH b a b1r.--2 bk-1) = ak _ b". Siendo a > b > O, de esta última igualdad se deduce esta desigualdad notable: [4-9] k (a.-b ) bl'-l < (J}'_b It < k (a-b) a k - l

+

+

+ ... +

+

11. Valor numérico de un polinomio. - La expresión gene· ral de un polin omio de grado k con una sola variable x, es: f4-10] y = ao Xk + al X"- l + a2x l O, será e> O por la l'egla de los signos (§ 3-9), Si fu~se a < b, 1101' la ley de monotonía de la multiplicación [3-13] quedaría a.c·< b.c = ::: a, de donde c 1, pues si fuese e S. 1, po," la misma [3-13] sería /,. e a. Es decir, es absurdo suponer a < b, pues entonces exjstiría un l!Jltero e tal que O e 1, )0 que ya hemos visto es imposible (§ 3-6, b). I'M no ser a asociado a b, debe cumplirse lb I Ial, como queríamos demostrar.

ª

< <
l

r"-l

T"

1

[5-14]

a

r]

b 7'2

I

¡

1'3

•

~

•

•

t

•

•

•

•

•

•

t

•

•

•

'¡"'n- 2

r"

I

O

1« Alg u flcR .etltv)·e~ (,; • .gr. n. L~ \'A.N II~n VO¡ ltF:ftlmN } rlesi~n t-).n tarnl.Jié n e l minim o comú -n múlti p lo ele (J .Y ~t pu r t(l. ~ h]. 1"c·fÍl·jén (k·~ a tTU-E! el conjunto (le s us nlúltip)o!i es }R :l1tel:sección de Jo~ conju nt os dlo !'l1\ll tipJce de (l, y Ú. La notaci ón aqui :;¡e:{uiS un divisor del número dado. Recíprocamente, todo divisor de ese número conti ene como factores primos solamente los nú· h, 11., hk meros PI, 1J., " ' 1 Pk. l uego es d e 1a forma p, p, . _. p~ (pu dien do ser 11\110 5 algunos exponent es) con las condiciones {5-2l] ; po l' consiguiente, tal número es un término del producto hallado.

eOROLARIQ :

' !(e' . d ' dtVt801'es e imt7nero p. e, p. e, p, e, '" E l numero

1Jo_e,

( ' H:

JI

=

( 13.+ 1) (0.+1)

(e,+l) ...

(e~+l).

a.) Se obtienen metódicamente lodos los términos del producto [5-20],

es decir, todos los divisores del númel'O 1it e, p. 8 , p. e, .•• p .e. , escribiendo en una fila la unidad y las potencias sucesivas de p, hasta p.e, ; escribielldo debajo, en filat sucesivas, sus }lroduclos por P"I por pI, ... por (!!

lJ,

;

luego te multiplican todos los nÚl1lel'OS de este cuadro po r 1)"

P:' ,

por 1),', ,.. por y asi se sigue hasta multiplicar por p~" . El último n':ímero así obtenido es precisamente el dado,

"

141

mV)$U\TJ,lU Al¡ Nln¡ ¡;;RTCA

!)f)

He aQu í, p or ejemplo, todos los del número 2 016 = 2". 3' . '1 :

"lvi~(lt,(!S

16

32

24

48

72

144

96 288

2

4

6 18

12 36

7

14

56

21

42

28 84

1>3

126

252

a ~,

8

~- --

224 112 lfi8 336 672 504 1008 2 (l 16 Fil!, IS.

b) E l di a¡p'alna de H ASSE de los divisores de un ente ro que en su desl;Oll1posíción f adorial t iene Hn solo f actor primo, es lineal ; t al es el de M=: 2 3 (fig. 12). Si el entero tiene elos factol"eS p rimos distintos, el diaICl"I1ma de HASSE es una fi gura tle dos oimension es; sí tiene l res factOl'es 2" ":3.7, el dia!!,ruma apa rece como u n sólido Ilrimos di stiJltos , como 84 JIu tres dimensiones (fig, 18) . El diagrama de H ASSE p ara Jos divisores de 2 OH; 2° ,S', 7 tendría también tres dimens iones, y de él forma ría parte (!I cOllstl"uíd o en l a figura 18 pa ra 84 -= 2',3, 7. La figu ra 10 representa el diagTama de HASSE de los divisores de 210::;:: 2.3.5.7, que tiene (:uatro factol'cs primos en su descomposición factorial. Por ello viene representado por un hipel'cubo en el espado de cuatro rlimen siones con aristas paralela s p las 1-2, 1-3, 1-5, 1-7, que partell del

=

=

210

35

vé·tlce 1 Y Hfln {Jcrpendi culm'es dos a dos, Así 1'e."1l1ta n }()f' Ir. véTtiees, 32 " 11liW!'I. 24 ca r as y 8 "hipel'(~a\'a s" o hcelrlns" «:u1.os) indkadoH en la I'igtlJ"U

Hi,

Vemos, flllC!', fJue 1:1 (Iivisibilidad de lo" C11tl!rOS (·!
==

La condición es necesaria, )1\les si Q. b 4mód. 'ni), será a = mq r, b mq' r con 01 mismo resto r. Entonces: a-b = 'm(q--q') es divisible por m. Recíprocamente, si a- b = c.m, sea r el resto de dividir a por m, es aeclr, a = m.q +~. con 0:2,' m; entonces, b = a - c.m m(q - e) -+ r demuestra que r es también el resto de b l'cspeclo de m. b) La relación de congruencia respecto de un 1nódulo fijo, m, es una relación de equivalencia (§ 1-5). como consecuencia inmediata de su definición, es decil', dicha relación es:

+

=

+


l'em a: d .) Si h rs ]iI' im ll COII m, l'1"O¡U'Cf1 la CU I/rJI 'ut'¡¡('io b . J: ;:;; (/.. ( llIüji I'~ tit11.e una solución entera x. Dos Bolliciol1es cualesqu iera, x, y X" SIJ II cOt!oruentes mód. m. E n efecto, la hipótesis signific a (§ 5-5 , a) que existen ente ros, 8 y t , tales, que 1 s, b + t.'m. De aqu í deducimos que a -b (as ) .(athn, es decir, a == bJ' (mód. '71t) , t iene la solución x (l-8, Las pl'opiedades :iimÉ'lrica y h'ansit.iva de la congruen cia ( § 5-11 ,b ) aseguran que b.x, == n':'1 (ml.Íd. m ), ea decir, m ' b ( XI - x~), que implica m I (x. - x.) por ser m ~ b 1, HeglÍn el t eorema. de EUCLIDES ( § 5-6, c ) , P or 10 tanto, Xl == X. (111ú d. m ), ('urno q ueriamos demostrar. El t eol'ema anterior tiene como caso Ilayticular importan te aquel en 'Ille el módulo 111 es un númel'O primo /J, E ntonces podemos afi rmar : d.) Si p es ll1'i:mo, y si b ""'- O (mód_ 11), entonces la. ecu ación b ,:oc =:= {1 (mód, p) tiene 8i(Jmp~'e 'l/ na solución entera, que e8 v.1!ica, mó({t(/o 1), Pcr 10 tanto, en el sistema Ir eo)\ p primo, las operacion es de adición, flustI-aecióll, m ultiplicación y división de divisor' no nulo, llamadas operacienes racionales ( § 6-4), son sienlpre posibles. Se U/una cwwpo ( cllt!1/l-ntatil'o) o ca mpo de racionalidad a 1m ('mino (conmuta tivo) en el que habiwdo algú n elemento no t!u lo, la dit'isión. dI! ,l/visO?' no milo sea siempre posible dell t}'o del sistema, También puede definÜ'se el cuer(lo como un a nillo donde el conjunto .In elementos obtenidos al su pr imir el módulo de la adición. fonm\ g-r upo ¡'uspecto de la multi plicación del Imill o, Pruébese que un cuerpo conmutativo form a siempre un dom in io de IIItegl'idad, utilizando la existen cia univoca del elemento recíproco a- 1 de todo elemento a =f= o, d,) El sistema de enteros (mód, ,n) forma cuerpo cuando, !J sólo cHa1ldo, m es primo . Para verlo falta COn¡;;del'ar el caso de m compuesto.

(*

=

=

=

=

64

1, F· U~D;\f.-TENTACl6r-r DEL r.:Ú~IERO ft,\CWNAL

~

5 -12

==

La eCURelOn b.:¡; a (mód. 'm) con b ~ O (mód, 'In) no tiene solución si tomamos pm'a b y a disti ntos factOl'es primos de m, p\les entonces nunca podrá sel' a- b ,:t múltiplo de m, al no ~ er divisible a por b factor pl'imo de b, x ,-f- m. O tambié n, por que los divisores de m distintos de la unidad n~ tienen l'eeíproco, o porque la ley general eancelativa de la multiplicaclón no se cumple.

EJERCICIOS

1. ¿Cuál es e1 mayor entel'O que 8e puede agregar al dividendo, sin alterar el eoeien te? ¿ Y quitar? 2. Probar que si un sistema parcialmente orc!enado tiene "primer elemento" (§ 2-7), este elemento es único, y 10 mismo si tiene "último elemento". 3. Demostrar que si un conjunto de enteros es cerrado r especto a la sustracción, es tamb ién necesari a mente cerrado respecto a la adición, En consecuencia, simplificar la definrci óll de g n¡po adi t i1'O dada en § 5-3. 4. Probar que O ~ a = la I para cua lq\1iel' €lll:ero a. 5. El m. c. d. a ~ 1) puede no ser el 1/'lo,y or de todos los rlivisores cocomunes de a y z" Demostrarlo. 6. Mediante el algoritmo de EUCLIDES, halla r el m. c. d. 14 ~ S5 y el a-b. 11 ~ 15, Y expresarlos en la for ma 11 a +- t b 7. Si e es un entero tal qUf' para cualqu ier par de ente ros tI. y b. e ¡ (a b) implica e la ó e Ill, demostrar que e es O, :!.: 1 ó primo, (Cfr. § 5-8, a}. 8. Si dos números Q. y b son primos entre sí, su suma y su diferencia Ilon primas con el produdo tI. b. 9. Hallar los números tales que divididos por 2, 3, 4, 5 Y 6, den como resto: 1, 2, 3, 4 Y 5, respectivamente. 10. Demostrar que la sucesión de núm eros primos de la forma 4 n - 1 es indefinida, 11. Probal' que si a es positivo c.ompuesto, tiene un divisO!' -primo positivo tal que d" ';;; a, Aplicar el t eorema anterior para t'ol'mar la lista de los nÚlueros primos p08itivos menores Que 100. 12. Si 2 n + 1 es primo, los restos de dividir por él los J1(nneros 1', 2', S", 7f, son todos distintos. lS. Demostral' que si 2" + 1 es primo, m es de la fo rma 2 n• 14. ¿De cuántas maneras puede descom ponel'se m en un producto de dos factores primos e"!lt.re si'? 15. Demostrar que la suma S de todos lOE divj:;;ol'es positivo¡\ del núaCl. + 1 _ 1 b {3 + 1 _ 1 mero m = a a b {3 ••• l},. es S = - a - · 1 --- .

=

b-

l

l~+ 1 - 1 ---:;----:;---, y que su producto es: l -1 Aplicarlo al ejemplo rt/. c= 2 016. 16. Demostrar que el número 2 a - 1 (2" - .- 1) es igual a la su ma de todos sus d;visores positivos menores que él , si 2" - 1 es primo. 17. Demostrar que si p es primo (p > 3) , los n úmeros 2, 3, 4, ... , (p-2) se distribuyen en pares r=ft 8, tales que rs== 1 (mod. p). 18, Demostral' que la condición necesaria y suficiente par·a. que un número positivo p =ft 1 sea primo, e8 que cumpla (p -1)! + 1 P ( W IL-

=

SON).

, 4i . (

65

EL N ÚMERO RACIONAL

19. Calcular el resto (mod. 7 ) de 4 525 ~OO().

2u. Demostrar que la congruencia módulo cero eS la igualdad ordiIlorin. 21. Resolver las siguientes ecuaciones de congr uencia (x entero):

n ) Bz=2 (5}. b) 7:t: =8 (lO); e) :1: + 6=4(7); d) h+3=4(lO). 22. Ver ificar que en el dominJo de integ'ridatl de elementos a b V3 «(1 y b enteros) definido en § 6-12, e, la cOrl"csponden cia hiunívoca IJ b v'3 ~ a - b es un ÍSomorfisro.o.

+

+

va

§ 6. EL NÚM ERO RACIONAL

I:C

1. Definición de número racional. - Su introducción se hanecesaria pa ra PQder dal' solución en todos los casos a la

ecuaCÍón. [G-l]

a' . x = a (a' =F O) , es decir, poder efectuar la divi.'3ión de divisor no nulo sin excepción. Además, en la aplicación de la Aritmética a la teoría de magnitudes, se hace también necesaria su introducción para resolver e1 problema t1e la medida, Si a y a' son enteros, y a es múlt i plo de a' ( 4= O), se cumple : [6-2] a = a', s: !Ji otro par de números enteros cumple también [6-3] n = b', s, se verificará [ 6-4] a·o b' = a' . b. Recíprocamente, de [6-4] y [6-2] se deduce [6-3]. P ues bien, aun cuando a. no sea múltiplo de a' (=-¡- O), esta observación j ustifica que definamos el n ítmeTO Tadonal por LlD pa·1· ordenado de 'iní m eT08 e?/tw/'os, que simbolizaremos por la j1'acción ala' con a' :::j:- O (ele términos : a, numerado~'; a' . denominador), media nte la siguiente convención: a b [ 6-5] - = - f1A.ando y sólo cuando SCt1 a. b' = a'. b. a' b' ()!.

11ás precisam en te, e::.to significa definir el nú mel'o racional a 1J(J'r IIllStr CL(:dón ( § 1-{\) cOl'no cln,.~(j de T)lO'es oriknado8 a l a' de entel'nR, medi2.llte la ?'cCución ele eqtliJ.'< .,1 lH'ind:,io

.It' '1l'!'mancllc:ia ele la s le:v~s f \wmak'$ {~ 2·(;), En ef