4-Dimensionale Translationsebenen mit genau einer fixrichtung

DIETER BETTEN

4-DIMENSIONALE TRANSLATIONSEBENEN

MIT

GENAU EINER FIXRICHTUNG

EINLEITUNG Nachdem in [-3] gezeigt worden war, dab jede 4-dimensionale Translationsebene mit mindestens 9-dimensionaler Kollineationsgruppe desarguessch ist, wurden in [3, 4, 5] alle nicht desarguesschen 4-dimensionalen Translationsebenen mit 8-dimensionaler Kollineationsgruppe bestimmt. In [6] wurde bewiesen, dab bei 7-dimensionaler Kollineationsgruppe F die Zusammenhangskomponente/'~ entweder genau zwei oder genau einen Achsenpunkt festMlt, ferner wurden alle Ebenen mit genau zwei Achsenfixpunkten klassifiziert. In der vorliegenden Arbeit wird vorausgesetzt, dab die Standgruppe A = (Fo) 1 auf einem eigentlichen Punkt 0~R 4 genau eine Gerade S durch 0 festh/ilt. Dann ist A entweder isomorph zu R x L2 oder isomorph zu R3, ferner ist der Kern Ats I entweder 1- oder 0-dimensional, und schlieBlich h/fit A entweder genau zwei oder genau einen oder keinen eindimensionalen Teilraum yon S fest. Durch Kombination dieser F~ille ergeben sich die Situationen, in denen Ebenen existieren k6nnen. Insgesamt leiten wir 5 Scharen nicht-desarguesscher 4-dimensionaler Translationsebenen her und bestimmen jeweils die Isomorphietypen und die volle Kollineationsgruppe. Diese Scharen Mngen zum Teil yon 4 reellen Parametern ab. HILFSMITTEL Sei ~3 eine Partition des R4 in 2-dimensionale Teilr~iume, dann entsteht durch Verschieben yon ~ und projektives Abschliel3en eine Translationsebene P (~). Wenn diese Translationsebene eine topologische projektive Ebene - kurz: 4-dimensionale Translationsebene - ist, nennen wir die Partition ~ topologisch. In [3] wurde folgendes Konstruktionsprinzip ftir topologische Partitionen des ~4 angegeben: Sei R4= {(x, y, u, v); x, y, u, vER}, dann bezeichnen wir den durch die Gleichungen u = , x + f l y , v = f x + g y definierten 2-dimensionalen Teilraum mit ( f

~). Ferner sei S der durch

x = y = 0 gegebene Teilraum. Sei ~: R2--* ~z ein 'transversaler' Hom~50morphismus der reellen Ebene, das ist eine topologische Abbildung mit der Eigenschaft: Ftir je zwei gewtihnliche parallele Geraden H # K gilt ]Hr~ K*I = = 1. Wenn • in Koordinaten gegeben ist als • = ((~, fl)~-*( f (~, fl), g (cq fl))), Geometriae Dedicata 3 (1975) 405-440. All Rights Reserved Copyright © 1975 by D. Reidel Publishing Company, Dordrecht-Holland

406

DIETER BETTEN

dann ist ~,={S}w

f(cz, fl) 9(a, fl) '

eine topologische Partition des ~*, und umgekehrt l~igt sich jede topologische Partition des ~4 in 2-dimensionale Teilr/iume auf diese Weise konstruieren. Die Ebene P (~,) ist genau dann desarguessch, wenn r linear ist. Zwei nicht-desarguessche 4-dimensionale Translationsebenen P ( ~ t ) und P (~2) sind genau dann isomorph, wenn die erzeugenden Partitionen ~1 und ~32 linear isomorph sind [3, Kor. zu Satz 2]. Die volle Kollineationsgruppe F einer nicht-desarguesschen 4-dimensionalen Translationsebene P (~3) l~iI3t die Translationsachse fest und ist das semidirekte Produkt der linearen Gruppe der Partition ~3 mit der Translationsgruppe ~4. Um die Linearitgt der Standgruppe auf einem eigentlichen Punkt benutzen zu kSnnen, setzen wir die Ebene immer als nicht-desarguessch voraus. Lemma 6 aus [3] besagt folgendes: Sei G eine mindestens 2-dimensionale Kollineationsgruppe einer 4-dimensionalen Translationsebene, und G hare drei Geraden durch einen eigentlichen Punkt fest, dann ist die Ebene desarguessch. In 4-dimensionalen topologischen projektiven Ebenen gilt folgendes 'Viereckslemma': L/i•t eine Kollineation ? aus der Zusammenhangskomponente F 1 die Ecken eines Vierecks fest, so ist ?= 1 [20, 4.1]. Ferner werden wir den Satz von Brouwer [8; 17, 3.18] benutzen, der alle transitiven und effektiven Wirkungen yon zusammenh~ngenden lokalkompakten Gruppen auf der Zahlengeraden und der Kreislinie bestimmt. Ftir weitere Begriffe und Hilfsmittel sei auf die Arbeiten [3; 17; 20; 21] verwiesen. Im folgenden sei P = (P, 9,) immer eine nicht-desarguessche 4-dimensionale Translationsebene mit 7-dimensionaler Kollineationsgruppe F. Weiter sei 0e R¢ ein eigentlicher Punkt und A = (Fo) 1 die Zusammenhangskomponente der Standgruppe yon F auf 0. AuBerdem setzen wir voraus, dab A genau eine Gerade S durch 0 festh~ilt. LEMMA 1. Die Gruppe A ist das direkte Produkt der positiven Streckungsgruppe des g~4 und der speziellen Gruppe SA. Es gilt entweder SA ~- ~2 und A wirkt transitiv auf ~ - { S } , oder es ist SA ~-L2, und A wirkt entweder transitiv auf ~ - {S} oder hat dort genau eine zu R und zwei zu R z hom6omorphe Bahnen. Beweis. Die Gruppen SA = {6~A, det6= 1} und

N=

/( ) r

r

r

,

r>O

4-DIMENSIONALE TRANSLATIONSEBENEN

407

sind Normalteiler von A. Da A als zusammenh~ingende Gruppe nut Matrizen mit Determinante > 0 enth~It, und da ferner eine positive Streckung des R4 mit Determinante 1 die Einheitsmatrix ist, folgt die Produktzerlegung A = R × SA. Insbesondere ist SA eine 2-dimensionale zusammenh~ingende Lie-Gruppe, also SA ~ ~2, L2, S02 x R oder (SO2) 2. In den letzten beiden F~llen wiJlde ein Faktor SO2 entweder auf ~3-{S} trivial wirken oder genau eine Gerade We~3- {S) festhalten. Die triviale Wirkung scheidet aus, sonst erg~ibe sich zusammen mit der positiven Streckungsgruppe ein Widerspruch zu [3, Lemma 6]. Daher l~iBt S02 und folglich ganz A eine Gerade We ~3 - {S} fest im Widerspruch zur Voraussetzung. Die Gruppe A hat auf ~ - {S} keine nulldimensionale Bahn, sonst bliebe wegen des Zusammenhangs von A eine Gerade W ~ - ( S ) unter A fest im Widerspruch zur Voraussetzung. Daraus folgt, dab A entweder transitiv auf ~ - IS} wirkt oder auf ~3 - i S} mindestens eine eindimensionale Bahn besitzt. G~ibe es im Fall A-~ R 3 eine eindimensionale Bahn auf ~3-{S}, dann erhielte man durch Fixieren einer Geraden dieser Bahn eine 2-dimensionale Gruppe, die wegen der Kommutativit~t von A jede Gerade dieser Bahn festh~ilt im Widerspruch zu [3, Lemma 6]. Daraus folgt, dab die Gruppe A ~ R 3 transitiv auf ~3 - {S) wirkt. Nun sei A -~ R x L2, und A wirke nicht transitiv auf ~3 - iS}. Dann hat A auf ~ - i S} mindestens eine eindimensionale Bahn R, und fiir die effektive Wirkung yon Lz auf dieser Bahn gilt nach dem Satz yon Brouwer: (R, L2/L2Ea~)~-(g~, R), (S ~, S 0 2 ) oder (R, L2). In den ersten beiden F~illen w~ire der Kern L z ~a~ eindimensional und erg~be zusammen mit der positiven Streckungsgruppe des g~* einen Widerspruch zu [3, Lemma 6]. Da L2 keine nichttrivialen nulldimensionalen Normalteiler besitzt, folgt L2rm=l, und L2 wirkt auf R g R effektiv als affine Gruppe { x ~ ax + b, a > 0, b e R). G~ibe es eine zweite eindimensionale Bahn R', dann w~ire die Standgruppe yon L2 auf einer Geraden X e R komplement~r zum Translationsnormalteiler {x~--~x + b, be R) yon L2 und hielte eine Gerade X' ~R' fest im Widerspruch zu [3, Lemma 6]. Es gibt folglich genau eine eindimensionale Bahn R ~ R von A auf ~3- {S}. Nach Home [12] besitzt A auf ~ - iS} eine abgeschlossene Bahn. W~re R nicht abgesehlossen, so g~be es eine 2-dimensionale abgeschlossene Bahn, die auch often ist. Wegen des Zusammenhangs von ~3 - (S} w~ire A transitiv auf ~3-{S}, ein Widerspruch. Somit ist die eindimensionale Bahn R ~ abgeszhlossen und zerlegt ~ 3 - i S } in genau zwei weitere Bahnen, die homSomorph zu ~2 sin& LEMMA 2. Die zusammenhiingende Standgruppe A = (Fo ) 1 auf einem eigentlichen Punkt 0~R 4 einer nicht-desarguessehen 4-dimensionalen Translations-

408

DIETER BETTEN

ebene sei 3-dimensional und halte genau eine Gerade S~O fest. Falls der K e r n K = Ats ~ mindestens eindimensional ist, dann gilt A = R × A B mit

R--

l(r ) r

r

r>0/'

r

1 t

1

)

tee

und B = {e sY, seE} mit

y =

(i bd fl g

m c

wobei m = a + 1, n = b + 1 gilt, falls A nicht kommutativ ist und m = a, n = b, wenn A kommutativ ist. Beweis. Wit zeigen zun~chst, dab der Kern K = A tsl = (6 EA, p~ = p ffir alle p e S} einen zu R isomorphen Normalteiler A v o n A enth~ilt: Da K komplemenffir zur positiven Streckungsgruppe des R 4 liegt, gilt dimK~O

y

und der Gruppe L z = A B mit

1

t

tee

1

und

B=

/(

eds

) j [

e(a+l) s

, sE~

e(d+ 1) s

, a+d+

l =O,

und A hat auf ~ - {S} genau eine zu R und zwei zu R 2 hom6omorphe Bahnen.

DIETER BETTEN

412

Die Ebene wird yon folgender Partition des R 4 in 2-dimensionale Teilriiume erzeugt : ......

,,.

= {s}

k.)

u

t

'

t (we(l_r)s e(i +r)s ), ze s + t

t.) (pe(l_r)s t

- qe e s(l+r) + t s/,

S, t e R} U S, teN},

wobei r = a - d und w, z, p, q reelle Parameter mit 0 < r < 1, z 2 + 4w (1 - r 2) ~ 0 existiert mit w'=kZw, z ' = k z , p ' = k 2 p zmd q'=kq. Die Ebenenschar hiingt yon vier reellen Parametern ab. Beweis. (a) Herleitung der Gruppe A und der Partition ~3. Nach Lemma 1 gilt A = ~ x L2, und A hat auf ~3- {S} genau eine zu

4-DIMENSIONALE TRANSLATIONSEBENEN

413

und zwei zu N2 homSomorphe Bahnen. Wenn wir das Koordinatensystem des N4 geeignet w~ihlen, dann hat der eindimensionale Normalteiler A yon L 2 nach Lemma 2 die Form

A=

t

1

1

t

'

ten

"

1

Wenn wir das Koordinatensystem auBerdem so legen, dab der 2-dimensionale Teilraum

zur eindimensionalen Geradenbahn R gehSrt, dann wird eine zu A komplement~re Einparametergruppe B yon L~ yon einem Endomorphismus y=

d a+l c

b d+l

erzeugt (Lemma 2). Da in S genau zwei eindimensionale Teilr~ume festbleiben, k6nnen wir durch Konjugation mit einer geeigneten 4 x 4-Matrix

annehmen, dab b = c= 0 gilt. Durch Integration yon Y erhalten wir die im Satz angegebene Gruppe B. Diese ist genau dann Untergruppe yon SA, wenn eaSedSe("+l)~e(e+l)s= 1 ffir alle s e n gilt, das heiBt, wenn a+d+ 1 = 0 ist. Wenn wir den Parameter r = a - d einftihren, dann ergeben sich a und d umgekehrt als a = ( r - 1)/2 und d = ( - r - 1)/2. Sei L die 2 x 2-Matrix, die einer zu S komplement/ffen Geraden entspricht. Dann geht die Gerade L unter einer linearen Abbildung

des R 4 tiber in die Gerade (C+DL) A -1. Anwendung der Gruppe A auf die Gerade

ergibt die eindimensionale Geradenbahn

414

DIETER BETTEN

Die beiden zu R 2 hom6omorphen Bahnen k6nnen wir konstruieren als

(0w lz)L2

und

C

q l ) L2

wobei die reellen Parameter w, z, p, q zun~chst beliebig gew/ihlt seien. Die Gerade

(0 :)

geht unter einem Element der Gruppe B fiber in ( e("+~)~

e(d+~)~)(0w

lZ)( e-"~

e-dS) = 0 : (we(l+d-a)s e(l+a-d)s~ zes ]

und anschliegendes Anwenden der Gruppe A ergibt das Halbbtischel (0w :)L~ wobei

r=a-d (;

{( t e(~+O~'~ ----- we(l_r) s zeS+t],

}

s,t~R ,

gesetzt ist. Entsprechend ergibt sich das andere Halbbiischel t ql)L2={(pe(~-')~

- qe~+t e(1+')"~]'

s, t e R } .

(b) Existenz. Zun~ichst haben wir die notwendigen Bedingungen 1 + r ~ 0 und 1 - r ~ 0, sonst wtirden in den Matrizen von B in der ersten Zeile nicht alle Paare ( ~ , / 3 ) ~ 2 bzw in der zweiten Zeile nicht alle Paare (f, #)~R 2 angenommen, und ~3 wiirde den R4 nicht tiberdecken. Ferner ist notwendig r ~ 0, sonst wtirde A jeden eindimensionalen Teilraum von S festhalten, und es wiire dim Ats]= 2 im Widersprueh zu Lemma 3. Das Btischel ~3,, ,~,~,p, ~ ist genau dann eine topologische Partition des R 4, wenn die zugeh6rige Abbildung r = ( ( ~ , / 3 ) ~ ( f , g)) der (~,/3)-Ebene ein transversaler Hom6omorphismus ist. Zun/ichst sieht man, dab die Geraden der Form/3 = const, transversal abgebildet werden: Wenn n/imlich e (1 + o s = c bzw. - e (1+ r)= c ist, dann ist auch ze ~ bzw. qes konstant, und zeS+ t bzw. qe~+ t liiuft mit c¢= t monoton von - oo bis + Go. Wegen (t, 0) ~= (0, t) wird auch die ~-Achse transversal abgebildet. Da die Gruppe A transitiv auf der ~-Achse wirkt, gentigt es, nur noch die Geraden ~ = kfl, k ~ R, zu betrachten. Sei (~,/3) ein Punkt aufeiner solchen Geraden Lk, dann schneidet die Parallele zu L~ durch (~,/3)~ die ~-Achse im Wert x=f-kg. Im Halbbtischel, das die

4-DIMENSIONALE TRANSLATIONSEBENEN

415

Gerade

(0w enth~lt, kurz: im oberen Halbbiischel, ergibt sich x = e (~ - ") S w - k z e ~ - k t = we°-')~-kze~-k2e(l+r)~. Wegen l + r ¢ 0 ist e a+')s monoton in s, und wir erhalten die notwendige Bedingung ftir die Existenz einer Ebene, dab x monoton in s ist. Es gilt dx d--s = w(1 - r) e (1-')s - k z e ~ - k2(1 + r) e(l+')s, und wenn wir dies als quadratische Funktion in k auffassen, erhalten wir als Bedingung, dab fiir die Diskriminante D = e 2~(z 2 + 4w (1 - r2)) gelten muB D ~ 0 und a/d> 0 hat. Dann schreiben wir a

fl = ~ ce(1+')~ als fl = e(l +r) (s+so)

mit a +r) so -- C -: e (1 ~

d

_ =[_~__l/(l+r)[c/\ e so

\af]

und erhalten

f : wc2r/(1 +r)

e(1 -r) (S+So)

418

DIETER

BETTEN

und

g = Cr/(l+r)

e(s+s°)+ ct,

und daran liest man ab: w'--wk 2, z' =zk mit k > 0. Entsprechend ist 1)' =Pk 2 und q' = qk. Von den 5 Parametern fgllt also einer heraus und die Ebenenschar ist 4-parametrig. Die Faktorgruppe Fo/A kann h~Schstens isomorph zu Z2 x Z2 x Z2 sein, wobei die erste Gruppe Z2 der Orientierungs/inderung yon .R und der zweite Faktor dem Vertauschen der beiden Halbbtischel entspricht. Die dritte Gruppe Z2 wird erzeugt yon der Kollineation

(1

)

-1

t~=

--1

'

-1 welche jede Gerade durch 0 in sich iiberftihrt. Unter Benutzung der oben angegebenen Spiegelungen im Fall w'= w, z ' = z, p' =p und q'=q erhalten wir die im Satz angegebenen Standgruppen. SATZ 2. Die zusammenMingende Standgruppe A = (Fo) 1 auf einem eigentlichen Punkt 0~g~4 einer nicht-desarguesschen 4-dimensionalen Translationsebene sei 3-dimensional und halte genau eine Gerade S~O fest. Ferner sei der KernK= A rsl eindimensional, und A halte genau einen eindimensionalen Teilraum yon S fest. Schliefllich wirke A nicht transitiv auf f23- {S}. Dann ist A das direkte Produkt der Streckungsgruppe

r

;

r>

r

o]

r

und der Gruppe L 2 = AB mit

t und

1 1I ;

t~

I f e-S/2

e- s/2 eS/2 I seS/2 eS/2

; S~R},

4-DIMENSIONALE

419

TRANSLATIONSEBENEN

und A hat auf ~3- (S) genau eine zu ~ und zwei zu ~2 hom60morphe Bahnen. Die Ebene wird von folgender Partition des ~4 erzeugt: 3w,

= {s}

t

U

wes~

{( U

'

S2e s -

gse s

seS+t pe s - qse s+

s e s - k Ze s - k t

" '

-e s ) qe s - se~ + t "'

sZeS

S, t ~

U

} S, t ~ R

.

Dabei sind w, z, p, q reelle Parameter mit (z/2) 2 ~< - w - 1 und (q/2) z ~ 1 >12 cos2s - 1 ffir alle s~R. Aus k"(s) 0 2 sein. Dies liefert - 1 ~