4-dimensionale Translationsebenen mit irreduzibler Kollineationsgruppe

552

ARCH, MATH.

4-dimensionale Translationsebenen mit irreduzibler Kollineationsgruppe

DIETER BETTEN"

Einleitung. Nach ersten Beispielen fiir nicht-desarguessche 4-dimensionale Translationsebenen [2; 12] wurde in [3] bewiesen, dab jede 4-dimensionale Translationsebene mit mindest~ns 9-dimensionaler KollineationsgTuppe desarguessch ist. Falls die Kollineationsgruppe 8-dimensional ist und die Standgruppe A auf einem eigentlichen Punkt reduzibel auf dem R 4 wirkt, ergibt sich eine einparametrige Schar nichtdesarg~esscher Ebenen [3, Satz 5] oder eine Einzelebene [4], je nachdem, ob A keine bzw. eine Gerade durch den eigentlichen Punkt festl~$t. Im folgenden wird die Klassifikation nicht-desarguesscher 4-dimensionaler Trans]ationsebenen mit 8-dimensionaler Kollineations~uppe abgeschlossen und bewiesen, dal3 bei irreduzibel wirkender Standgruppe A genau eine nicht-desarguessche Ebene existiert. Die yon Hering [8] angegebenen Translationsebenen sind endliche Analoga dieser Ebene. Hflfsmittel. Sei ~ eine Partition des R 4 in 2-dimensionale Teilr~ume, dann entsteht dutch Verschieben yon ~ und projektives AbschlieBen eine Translationsebene P (~). Wenn diese Translationsebene eine topologische projektive Ebene -- kurz: 4-dimensionale Translationsebene -- ist, nennen wir die Partition ~ topologisch. In [3] wurde folgendes Konstruktionsprinzip ffir topologische Partitionen des R 4 angegeben: Sei R 4 = {(x, y, u, v) ; x, y, u, v e R), dann bezeichnen wir den dutch die G]eichungen

Ferner sei S der dutch x = y = 0 gegebene Teilraum. Sei z : l~e --~ R e ein ,,transversaler" HomSomorphismus der reellen Ebene, das ist eine topologisehe Abbildung mit der Eigenschaft: Ffir je zwei gewShnliche parallele Geraden H , K gilt [ H ~ K 7 1 = 1. Wenn ~ in Koordinaten gegeben ist als T = ((~, fi)~> (f(~, fi), g(~,/~))), dann ist

eine topologisehe Partition des R 4, und umgekehrt l~Bt sieh jede topologisehe Partition des R 4 in 2-dimensionale TeilrS~ume auf diese Weise konstruieren. Die Ebene P (~z) ist genau dann desargtlesseh, wenn "~linear ist. Zwei nieht desarguessehe 4-dimensionale Translationsebenen P (N1) und P (~z) sind genau dann isomorph, wenn die erzeugenden Partitionen ~81 und ~8~ linear isomorph

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4-dimensionale Translationsebenen

553

sind [3, Kor. zu Satz 2]. Die volle Kollineationsgruppe/" einer nicht desarguesschen 4-dimensionalen Translationsebene P(!8) l/s die Translationsachse fes~ und ist das semidirekte Produkt der linearen Gruppe der Partition ~ mit der TranslationsgTuppe R 4. Um die Linearit~t der StandgTuppe auf einem eigentlichen Punkt benutzen zu kSnnen, setzen wir die Ebene immer als nicht desargxlessch voraus. Ferner ffihren wir folgende Bezeichnungen ein : Der eigentliche Punk~ sei der Punkt 0 e R 4, !~ sei das Biischel der Geraden durch 0, und A ~ (/"0) 1 sei die Zusammenhangskomponente der Standgruppe y o n / " auf dem Punkt 0. Lemma 6 aus [3] b e s a ~ folgendes : Sei G eine mindestens 2-dimensionale Kollineationsgruppe einer 4-dimensionalen Translationsebene, und G halte drei Geraden durch einen eigentlichen Punkt lest. Darm ist die Ebene desarguessch. In 4-dimensionalen topol%~ischen projektiven Ebenen gilt folgendes ,,Viereckslemma" [14, 4.1] : L/iBt eine Kollineation y aus der Zusammenhangskomponente I'1 die Ecken eines Vierecks lest, so ist ?: ---- 1. Ffir weitere Begriffe und Hilfsmittel, die ohne Zitat benutzt werden, sei auf die Arbeiten [3; 13; 14; 15] und die dort angegebene Literatur verwiesen. Satz. Sei P ~ (P, ~) eine nicht-desarguessche 4.dimensionale Translationsebene mit 8-dimensionaler Kollineationsgruppe I1, und die Gruppe A ~- (/"o) 1 wirke irreduzibel au] diem R 4. Dann hat A au/ der 2-Sphgre ~ genau drei Bahnen, yon denen eine zur Kreislinie hom6omorTh ist. .Ferner gilt/"o ~ G L2 (R), und /'o wirkt /olgendermaflen:

[ / aa .5. N 3a2b l'o=~]~3ab2

a2c 2 a b c + a2d 2abd_.f_b2 c

[\

b2 d

b3

ac 2 2 a c d ~- bc 2 2bcd+ad2 b d ~"

c3 t 3c2d 3cd2];

} ad--bc#O

.

; beR, d>0

~)

d3 /

Es ergibt sich eine Einzelebene, erzeugt yon der Partition ~-{S)

w|\_2ba

; beR

U [ \ _ 2 b a -- 2 bd 2 be _ d2/3 ; b ~R, d > 0 . Beweis. (a) Die Gruppe A enth~lt eine zu SL2 (R) isomorphe Untergruppe, und SL2 (R) wirkt auf ~ mit drei Bahnen, yon denen eine zur Kreislinie hom6omorph ist. Znm B e w e i s sei S A die U n t e r ~ u p p e yon A, die aus den Matrizen der Determinante 1 besteht, und es sei M -~ (SA) 1 die Zusammenhangskomponente des Einselementes. Dann ist M eme 3-dimensionale zusammenh/~ngende Gruppe, welche wegen der Irreduzibilit~t yon A keine nul]dimensionale Bahn auf !~ besitzt. Angenommen, M h/itte nur 2-dimensionale Bahnen auf !~, so wSre M transitiv auf ~ und die Ebene nach [3, Satz 3] desarguessch. Es folgt, dab M auf !~ eine eindimensionale Balm hat. Angenommen, M[e I w/~re mindestens eindimensional, dann erg/ibe sich zusammen mit den Streckungen aus A eine 2-dimensionale Gruppe, welche jede Gerade aus festhKlt, und nach [3, Lemma 6] w~re die Ebene desarguessch, hTach dem Satz yon Brouwer [6; 13,3.18] folgt daher, dab ~ hom6omorph zur Kreislinie ist und dab M

554

D. BETTEN

A~GH.MATH.

auf | eine endlich-bl~ttrige Uberlagerungsgruppe yon ~ = PSL~(R) induziert. Damit ist auch M eine Uberlagerungsgruppe yon ~ : M --~ f2(~, k ~ 1 oder k = r Da mit A auch M irreduzibel und treu auf dem R 4 wirkt, ergeben die ]~berlegungen aus (b), dab k ---- 2 ist, also M ~_ ~(2) = SLz(R) mit dem Zentrum Z-----

1

--1

1

--1

Angenommen, M h/~tte auf ~ eine zweite Kreisbahn ~', dann wirkte M/Z auf ~ und auf | wie die Gruppe f2. FLxieren einer Geraden S e | hielte auch eine Gerade S' e | lest, und Festhalten einer weiteren Geraden T e | erg~be eine eindimensionale Untergvuppe yon M, welche drei Geraden dutch 0 festh~lt. Zusammen mit den Streekungen aus A w~re dies ein Widersprueh zu [3, Lemma 6]. Dami~ hat M ~-SL2 (It) auf genau drei Bahnen: eine Kreislinie | und zwei zur offenen Kreisseheibe homSomorphe Bahnen. (b) Es gibt bis auf ~quiva]enz genau eine irreduzible Darstellung der Gruppe SL2 (R) auf dem B 4. B e w e i s . Sei ~0: SLy(R) -~ GL4(B) eine irreduzible Darstellung, dann erh~lt man dureh Ableiten eine irreduzible DarsteUung d~: sl.~(R) --> End (R4) der Lie-Algebra. Bis auf ~quivalenz gibt es genau eine solche Darstellung der Lie-Algebra s/2(R), [9, Chap. III, Theorem 12] oder [16, Chap. IV, Theorem 2] mit ree]len Koeffizienten. Aus der DarsteUung der Lie-Algebra e r ~ b t sieh durch Integwation genau eine Darstellung ~ : ~ - > GL4 (It) der einfaeh zusammenh/~ngenden Uberlagerungsgwuppe yon SL2 (R), wobei das unendlich zyklische Zentrum Z yon ~ in Diagonalmatrizen abgebildet wird. Wenn 2Z im Kern yon ~ enthalten ist, kann man faktorisieren und bekommt eine irreduzible Darstellung ~0: ~ / 2 Z - ~ SL2 (R)--> GL4(ll). Daraus folgt, dab es hSchstens eine irreduzible Darstellung yon SL2 (R) auf dem l~4 ~o]bt. Zum Naehweis der Existenz lassen wir SL2 (R) a u f R 2 ----- {(x, y), x, y e R) operieren und heben die Wirkung hoeh auf die vier Funktionen x 3, z2y, xy ~ und y3 So erhalten wit die im Satz angegebenen Matrizen mit der Bedingung ad -- bc ----1. Ableiten dieser Darstellung ~ liefert die irreduzible Darstellung yon sl2 (R) (in der Form [16]), und damit ist ~ die gesuehte Darstellung. Weitere IAteraturangaben zu den irreduziblen Darstellungen der Gruppe SL2 (R) sind [20, Theorem 8.11.A, Seite 266], [5, Kapitel V, Satz 10.1] und [18, Seite 27]. (e) Konstruktion der Partition aus der Gruppe. Mit SL2 (R) wirkt aueh die Gruppe (GL2(R)) 1 auf der Partition (gleiche Matrizen, nur die Bedingung a d - - be---- 1 dutch a d - - bc ~ 0 ersetzt). Sie enth~lt die folgenden beiden Untergruppen:

~2

/52= /\

ba b2d

; beR, d>O bd 2 d~

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4-dimensionale Translationsebenen

L2 =

d

2cd d2

555

3c2d . 3 c d2] ' c e R, d > 0 . dV

( 1)

Wir bezeichnen mit S bzw. W die durch x----y-----0 bzw. u = v----0 gegebenen Teilr~ume, darm gil~ S z~ ---- S und Wz'-" ---- W. Ferner vertauscht die Kollineation

(~----

--1 1

die beiden Teilrs W und S. Wie ~fir in (e) zeigen werden, kSnnen ~ ohne Beschr~nkung der Isomorphietypen S e !~ annehmen. D a n n ~oilt auch S a ~- We-~, und u m die Bahn zu bestimmen, welche W und S enth$1t, wenden wir L2 auf W an: [('3b 2 2 b d I

d2

'

2b

3b~

Die Bahn yon S und W ist~ also eindimensional mid hat die F o r m ={S}w

/(-

3b 2 2b a b2 ; b ~ R

/

.

1Viii ~ r bezeiehnen wit diejenige Bahn, welehe die Gerade der Form und entsprechend enthalte !~ die Gerade ( - - :

[

enth/~lt,

0 ) . Da ~ r und ~ komplement~r

liegen, das heiBt, jede Gerade aus !~r komplement~ir zu jeder Geraden aus ~ ist, gilt I - 3 b 2 -31 2 b/

b2 2 b - g I = b 4 + ( 3 g - 1 ) b 2 + g + 2 [ b * O

fiiralle b ~ R .

Angenommen, es w~re 1 + 3g -----0, dann wiirde folgen b4 - - 2b 2 - - 1 / 3 . - - 2 [ b ffir alte b ~ It, ein Widerspruch. Daher gilt 1 + 3g * 0. Entspreehend folgt aus der Komplementarit~t yon ~t und ~, dab --3b 2+1 2b3--w

2b b2 - z

b4 ---- + ( 3 z + 1 )

b2

+2wb--z.O

fiirallebeR,

und daraus folgt - - 1 -~ 3 z . 0. Ferner liest man fiir b ----0 ab: g . 0 und z . 0. U m die Teilri~ume des ttalbbfischels !~r zu erhalten, wenden wir die Gruppe L2 auf

-

=

3 b~ + d~ 2b3_.k(l_3g)bd2+'d3[

b2..[..d2g ; b e R ,

d~O.

556

D.B~TTEN

ARCH. MATH.

Die lineare Abbildung

(~----

(

1

--1

1 ffihrt den Teilraum

]

fiber in

, der wiederum in ~ r liegt. Dies liefert

das Gleichungssystem -- 3b 2 A- d 2 ---- 1/g, 2b = ]/g, -- 2b 3 -~ (1 -- 3 g ) b d 2 -+- da/ = 0 und b 2 -~ dug ---- 1. Die erste und vierte Gleichung zusammen liefern gd2(1 -~- 3g) = =- 1 A- 3 g, und wegen 1 § 3 g * 0 folgt g d~ = 1. Aus tier vierten Gleichung f o l ~ dann b = 0, und wegen 2 b ---- f/9 ergibt sieh i ---- 0. Damit hat ~ r die F o r m ~r=

2b3+(l__3g)

bd2

b2~_d2g,

o)

Die linearen Teilr~ume des ttalbbfisehels ~ ergeben sich durch Anwendung yon L2 auf (-w 1

_

(--

3 b 2 -- d ~

-- \ - - 2b 3 - bd2(1 ~- 3z) -4- w d 3

b2+zd2

;

beR, d>0.

-- 1 ) e ~ ergibt sich das Gleichungssystem -- 3b2--d2----1/z, 2 b - ~ - - w / z , -- 2b 3 - (l + 3z)bd~-+ w d a = O und b 2 ~ - z d 2 = - 1 . Aus der ersten u n d letzten Gleichung zusammen e r ~ b t sieh - - z d 2 (-- 1 ~- 3 z) = ~- -- 1 + 3 z, wegen -- 1 -~ 3 z ~ 0 also -- z d 2 = 1. Daraus folgt b = 0 und daher w = 0. ~u erhalten folglich das ]inke Halbbiisehel ~z=

2b3_(gz.~_l)bd

2

b2._~zd2 ;

b~R, d>0

.

U m eine weitere Einschr~nkung fiir g zu bekommen, nutzen wir aus, da6 die Gruppe L'2 a u f ~ wirkt und ~ r in sich tiberfiihrt. Der eindimensionale Normalteiler C=

/!1

1

2c

3c

" c~R

(1 31c)(1 g ) [ ( 1 ; ) ~ _ (2 2 3 : : ) ( 1 g ) ] - l _

/ ( i-3c2g-2cg 2gc3g(l~-C(39--~-c2)1))D1, c ~ R ,

Vol. XXIu 1 9 7 5

4-dimensionale Translationsebenen

557

m i t D ----g c4 -~ (3 g - - 1) c2 ~- 1. (Aus der Bedingxmg for die K o m p l e m e n t a r i t i t y o n u n d ~ r folgt wegen [ = 0, daft D =~0 ist for alle c e It.) Da der B i l d t e i l r a u m wieder i n ~ r liegt, e r h a l t e n wir die Gleiehungen 2b---- ( c ( 3 g - 1) + 2gc3)/D, d 2 - - 3 b 2 = = (1 - - 3c2g)/D u n d b2 ~- d2g ----g(1 ~- c2)/D. E l i m i n a t i o n y o n b u n d d liefert

c2(1-4-3g)(992--10g+l)=O

foralle

ceR.

W e g e n 1 ~- 3 g ~=0 folgt 9 g2 _ 10g -? 1 = 0 m i t den b e i d e n LSsungen g---- 1 u n d g ----1/9. W/~re g ----1/9, d a n n lieferte die Beding~mg for die Komplementarit/~t y o n !~r u n d 6 , dal3 b4 - - 2b2/3 ~- 1/9 # 0 for alle b e R , ein Widerspruch. Somit folgt g = 1. EntspreehendlassenwirjetzteinElementc~Cauf(

- - 2 z c 3--~c(1-4-3z))

[3zc 2-1

=\

2cz

z(1--c2)

-1

z) w i r k e n :

1

_~'

ceR,

m i t D = - - z c 4 + (3z A- 1) c 2 -? 1. W e g e n der K o m p l e m e n t a r i t ~ t y o n ~ u n d ~ trod wegen w = 0 gilt D ~=0 for alle c e R . D a der B i l d t e i l r a u m wieder i n ! ~ l i e ~ , ergeben sich die Gleichungen 2 b = ( - - 2 z c 3 -4- c(1 A- 3z))/D, - - d 2 - - 3 b 2 ---- (3zc 2 - - 1)/D, b 2 ~- d 2 z ---- z (1 - - c2)/D. E l i m i n a t i o n y o n b u n d d liefert 02(1 - - 3 z) (9z 2 ~- 10z ~- 1 ) = 0 fOr alle c e R, u n d wegen 1 - 3 z ~=0 ergibt sich die Gleichung 9 z2 -? 1 0 z - ? 1 = 0 m i t d e n beiden L 6 s u n g e n z 1 und z 1/9. I_m Fall z 1 lieferte die Bedinffung for die K o m p l e m e n t a r i t g t y o n ~ u n d ~ einen Widerspruch, u n d daher gilt z = - - 1/9. =

- -

=

- -

=

- -

I n ~z gibt es g e n a u eine Gerade,welche u n t e r ~ i n sieh iibergeht, u n d zwar

_ 89 .

W e n n wir L2 a u f diesen T e i l r a u m a n w e n d e n , erhalten wir !~l i n der i m Satz angegebenen F o r m . (d) 57achweis der Existenz. W i r b e t r a c h t e n die d u r c h die P a r t i t i o n gegebene A b b i l d u n g ~ der (~., fl)-Ebene u n d wollen zeigen, da$ ~ ein t r a n s v e r s a l e r H o m S o m o r p h i s m u s ist. A b b i l d u n g der gew6hnlichen G e r a d e n der F o r m / ~ = const. ~ b t g = b 2 ~ d 2 in ?St u n d g = b 2 - - d 2 / 3 in i~z, daher werden die G e r a d e n fl ---- const, t r a n s v e r s a l abgebfldet. Jede a n d e r e Gerade h a t die F o r m or k, a e R , u n d S c h n i t t m i t der P a r a b e l ~ - - - - - - 3 b 2, f l = 2 b g i b t die Gleichung 3 b2 + 2 k b A- a = 0 m i t der D i s k r i m i n a n t e D ----k 2 - - 3 a. Sei zun~chst D = k 2 - - 3 a < 0, darm liefert das rechte Halbbiischel die Gleichung d 2 = 2 k b ~- a ~- 3 b 2. Sei (d, b) ein P u n k t a u f der G e r a d e n ~ = kf1-4- a, d a n n schneider die Parallele d u r c h den B i l d p u n k t (d, b) T die ~-Achse in x = ] - - k g = - - 2 b 8 - - 2 b d 2 - --k(b2--t-d 2) = - - S b a - - S k b 2 - ( 2 k 2 . - ] - 2 a ) b - - k a . D a x eine kubische F n n l c t i o n y o n b ist, gilt x--> • oo for b --> ~= oo. Es g~lt dx/db = - - 24 b 2 - - 16 k b - - (2 k 2 -? 2 a). FOr die D i s k r i m i n a n t e dieser q u a d r a t i s c h e n F u n k t i o n i n b gilt n a c h Voraussetzung 64k 2 - - 4 8 (k 2 A-a) = 16 (k 2 - - 3 a) ~ 0. D a h e r ist dx/db definit u n d x m o n o t o n i n b. Es folgt, d a b die Gerade ~ = kfl-~ a, k ~ - - 3 a < 0, t r a n s v e r s a l abgebfldet wird. ' J e t z t sei D = k 2 - - 3 a > 0. D a n n schneidet die Gerade ~ = k fl + a die P a r a b e l i n 2 P u n k t e n . I m A u S e n g e b i e t der P a r a b e l (rechtes Halbbiischel) gilt wie o b e n x = - - 8 ba - - 8 k b2 - - (2 k 2 ~- 2 a) b - - k a, also x --> -4- oo for b -> ~= oo.

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D. BETTEN

ARCH. MATH.

I m AuBengebiet und auf der Parabel grit b2 + 2 k b / 3 -[-a/3 ~> O, und daher ist dx/db ~ 1 6 k b + 8 a - - 16kb - - (2k 2 + 2a) = 2 ( 3 a -- k 2) ~ 0 nach Voraussetzung. Innerhalb der Parabel liefert das linke Halbbfischel fiir die Gerade 6r k f l + a die Gleichung d 2 b 2 -- 2 k b/3 - - a/3, und daraus folg% x ---- "]- - k g = - - 2 b 3 - - 2 b d~ - - - k b 2 + kd2/3 ---- (-- 2k2/9 + 2 a / 3 ) b - - a k / 9 . Es folg% dx/db ------- - 2 k2/9 ~- 2 a / 3 < 0 wegen k 2-- 3 a > 0. Damit ist dx/db < 0 auf der ganzen Geraden ~ = k fl ~- a, k 2 - 3 a > 0, -----

- -

und diese Gerade wird transversal abgebfldet. Somit ist bewiesen, dab jede gewShnliche Gerade transversal abgebfldet wird, und damit ist ~ auch injektiv. Es bleibt noch zu zeigen, dal3 ~ stetig und surjektiv ist. Dazu bereehnen wit explizit die Komponenten f u n d g yon ~: f ~- ~ f l / 3 ,

g -= ~]9 + fl2/3

fox

/=_~_~3,

g=~+~2

fox ~ > - 3 ~ 2 / 4 .

a ~ - - 3fl2/4,

Die Beschr~nkungen ~r und ~l yon ~ auf das Aul3engebiet bzw. Innengebiet der Parabel sind stetig und stimmen auf der Parabel iiberein, daher ist ~ stetig. Das T-Bfld der Parabel ~ = --3fl2/4 ist eine Kurve, die ganz im Bereieh g ~ 0 lie~, und das ~-Bfld des Innen- bzw. AuBengebietes der Parabel liegt unterhalb bzw. oberhalb dieser Kurve. Zur Umkehrung yon ~z e r ~ b t sieh das Gleichungssystem :r 9 g -- 3 f12, f = ( 9 g - 3fl 2) fl/3: Die zweite Gleiehung ist kubiseh in fl und hat eine L6sung fl, #. e r ~ b t sich dann aus der ersten Gleichung. Zur Umkehrung yon ~r nehmen wir (1, g) 4 (0, 0) an. Dann ist g > 0, und es f o l ~ fl -- ]/g, :r g - - f12. Da T und folglich ~-1 die beiden Halbbereiche respektiert, folgt die Surjektivit~t yon T. Da jede bijektive stetige Abbildung der reellen Ebene topologisch ist, ist bewiesen, dab !~ eine topologdsche Partition des R 4 ist. =

=

(e) Die Kollineations~uppe. r Sei C der eindimensionale Normalteiler yon Le, dann reehnet m a n naeh, da~ C die drei Bahnen ~, !Sz und ~ r in sieh iiberfiii~t, und da L2 und C zusammen mit den positiven Streckungen des R 4 die Gruppe (GL2 (R)) 1 erzeugt, folgt, dab (GL~ (R)) 1 als KoUineationsgruppe der Partition wirkt. Die Gruppe S L 2 (It) ist transitiv auf !Dr, und fOx einen 2-dimensionalen Teilraum T e ~ r ist die Standgruppe yon S L 2 (R) auf T transitiv auf den eindimensionalen Teilr~umen yon T. Daraus folgt, dab SLy(R) transitiv auf der Menge der zu !Sr gehSrigen eindimensionalen Teilr~ume ist, und entsprechendes gilt fox ~ . Da in einer eindimensionalen Bahn 2-dimensionaler Teilr&ume eine h6chstens 2-Aimensionale Menge eindimensionaler Teilrgume enthalten ist, folgt, dab die Gruppe S L ~ (It) genau eine eindimensionale Bahn 2-dimensionaler Teilr&ume besitzt: die Bahn ~. Daher ist notwendig S ~ ~. (1) Zur Bestimmung der vollen Standgruppe F0 sei ~ = -- 1 e GL~(R) -- (GL2(R))~.

Das Element F wirkt auf R 4 als Abbfldung

mensionalen Teilraum (7 fig) tiber in ( 2

-

-

(' ) -- 1

1

und ffihrt den 2-di-

Vol. XXIV, i973

4-dimensionale Translationsebenen

559

Zahl d rechts oben u n d links unten in ungerader P o t e n z auftritt, f o l ~ , da$ q a u f der Partition !~ wirkt. Die Kollineation ~ kehrt die 0rientierung der Kreisbahn ~ u m u n d fiihrt die beiden Halbbfisehel !3~ u n d !~r jeweils in sich fiber. Angenommen, es g/~be eine Kollineation ~, welche !~r u n d ! ~ vertauseht, d a n n kSnnen wir dutch Hinzuffigen einer Kollineation aus GL2 (R) annehmen, dab ~ unter :r elementweise festbleibt. Insbesondere ffihrt a die Teilr/~ume S u n d W in sich fiber und h a t die F o r m

:tllr:t) Es gilt

(-

2b/

:) (- 3b-

2n~ba+(n~_3m~)b2_4_2m~b = --2#sb 3 +(s~--3fer)b 2 +2r~b

--2nvb3+(n(~--3m~)b2+2m(~b~ 2 +2r~b ]"

--2s~b 3 -~(sa--3r~)b

Identische ~ b e r e i n s t i m m u n g in b m i t d e m Teilraum

2 b3

b2

impliziert, dal3 an

jeder Stelle der Matrizen die Koeffizienten y o n b 3, b 2 u n d b fibereinstimmen. Dies liefert ~ = / z , m ---- s u n d ff ~- 1/m. D a m i t ergibt sich

u n d ~ s t i m m t fiberein mit der W i r k u n g des Elementes ( ml/3 ist gezeigt, dab GL2(R) die volle S t a n d g r u p p e / ~ 0 ist.

ml/3) eGZ2(R).

Damit

Literaturverzeichnis

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560

D. BETTs

A~CH. MATH.

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