4-dimensionale Translationsebenen mit kommutativer Standgruppe

Math. Z. 154, 125-141 (19;/7)

Mathematische Zeitschrift

9 by Springer-Verlag 1977

4-dimensionale Translationsebenen mit kommutativer Standgruppe Dieter Betten MathematischesSeminarder Universit~it,Olshausenstral3e40-60, D-2300 Kiel, BundesrepublikDeutschland Herrn Giinter Pickert zum 60. Geburtstag

Einleitung Nachdem in [23] gezeigt worden war, dab jede 4-dimensionale projektive Ebene mit mindestens 9-dimensionaler Kollineationsgruppe desarguessch ist, und in [24, 25, 8], dab jede 4-dimensionale projektive Ebene mit 8-dimensionaler Kollineationsgruppe (bis auf Dualit~it) eine Translationsebene ist, wurden in [ 3 - 7] die 4-dimensionalen Translationsebenen mit 8- und 7-dimensionaler Kollineationsgruppe weitgehend bestimmt. Nut bei den Translationsebenen mit genau einer Fixrichtung ['7] blieben einige Situationen ungekl/irt. Diese verbleibenden F~ille werden in der vorliegenden Arbeit behandelt. Dabei ergibt sich noch genau eine Schar nicht-desarguesscher Ebenen. Die Standgruppe der Kollineationsgruppe auf einem eigentlichen Punkt ist dabei kommutativ und wirkt transitiv auf dem Komplement des Fixelementes auf der Translationsachse. Damit ist die Klassifikation aller 4-dimensionalen Translations.ebenen mit mindestens 7-dimensionaler Kollineationsgruppe abgeschlossen. Da jede 4-dimensionale Translationsebene eine mindestens 5-dimensionale Kollineationsgruppe besitzt und die Ebenen mit 5- und 6-dimensionaler Kollineationsgruppe sich nicht dutch endlich viele Parameter beschreiben lassen, ist das erzielte Ergebnis in gewissem Sinne bestm6glich. Wir w/ihlen die Bezeichnungen wie in den Arbeiten [ 3 - 7]. Insbesondere sei ~3 die Partition des 11t4 in 2-dimensionale Teilr~iume, welche die Translationsebene erzeugt, F sei die volle Kollineationsgruppe der Ebene und A =(Fo)1 die Einskomponente der Standgruppe auf dem eigentlichen Punkt 0E1R4. Im IR4 m6ge ein (x, y, u, v)-Koordinatensystem so gegeben sein, dab der durch x = y = 0 definierte Teilraum S zu ~3 geh6rt. Jede andere Gerade durch 0 wird dann beschrieben durch eine lineare Abbildung u=ax+fiy, v=fx+gy, und wir bezeichnen sie kurz dutch ihre Koeffizientenmatrix -(a fi].- Es sei K=ALsI={b~A,

\fg ] p~=p fiir alle p~S} der auf S induzierte Kern. Mit Ps bezeichnen wit den Raum der eindimensionalen Teilr~iume des 2-dimensionalen Vektorraumes S. Dann gilt folgendes

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Lemma. Aufier den in [6, 7] hergeleiteten Ebenen k6nnen weitere nicht-desar-

guessche 4-dimensionale Translationsebenen mit 7-dimensionaler Kollineationsgruppe h6chstens in folgender Situation vorkommen: dim K = l , d transitiv auf ~3 - {S} und A transitiv auf Ps. Beweis. Nach [7, Lemma 3] gilt dim K __ 0 und Fo=(A,o~,fl) fiir w=0. (Fiir n = 0 erh~It man Darstellungen der desarguesschen Ebene.)

Beweis

(a) Herleitung der Gruppe Bisher hatten wir in ~ihnlicher Situation das Koordinatensystem so gelegt, dab der Teilraum W = ( ~

~)zur

Partition geh6rt, ferner hatten wir immer die

Scherungsgruppe A =Ats J auf die Form

1 t

, ten 1

gebracht und erst dann eine komplement~ire Einparametergruppe B bestimmt. In der jetzigen Situation wird bei diesem Vorgehen das Aufintegrieren des zu B geh6rigen Endomorphismus Y zu kompliziert. Wir normieren daher jetzt zun~chst B, indem wir Y auf Jordannormalform bringen, was eine mtihelose Integration erlaubt. Dann bestimmen wir hierzu A und setzen die erzeugende Gerade von ~3-{S} an als ( 2

u). Nach [3] k6nnen wir die zu ~ - { S } geh6rigen

2-dimensionalen Teilr~iume yon IR4 durch Matrizen der Form

f(ct, fl)

g(g, fl) '

mit geeigneten Funktionen f u n d g beschreiben. Hierbei treten in der ersten Zeile alle Paare (e, fl) reeller Zahlen auf, und zu verschiedenen Paaren geh6ren verschiedene Geraden durch 0elR 4. Wenn eine Untergruppe yon F0 transitiv auf ~3- {S} wirkt, dann induziert sie folglich auch eine transitive Wirkung auf der (e, fl)-gbene. Da A transitiv auf Ps operiert, wirkt A nach [7, Lemma 2] auch transitiv auf 1R4/S, und wir k6nnen den Endomorphismus Y auf eine der folgenden Jordannormalformen bringen:

(a bl )

Y

-

b~

aI

a2

b2

-b2

a2

-

oder

Y=

a

a 1 -b

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;))

mit bl, b2, b ~ O. Im ersten Fall erh~ilt man durch Integration

eOlS( cosb1 sinbls B(s)=expsY=

- s i n b l s cosbls]

~ ea2 s

und Anwendung auf die erzeugende Gerade (O \m sionale Teilr~iume des IR4: (~

~)BtS)=ea2s( cosb2 s sinb2 \-sinb2s cosb22)( O

= (e (a2-"l'~M(s) \e (a2-al)s f(s)

,

cosb2 s sinb2 \ - sin b2 s cos b2 0] ergibt folgende 2-dimenn/

{ cosbas s i n b l S t ] ~)[ealS\-sinbls cosbls/]

e (. . . . '~N(s)] (c~(s) fl(s)] e (a~-al)s G(s) ] = \f(s) g(s)]'

-1

seN,

wobei M, N, F und G rationale Funktionen in sin b i s, cos b~s, m u n d n sind. Wenn al=a2 gilt, dann ist {(a(s), fl(s)), s~IR} beschr~inkt in der (c~,fl)-Ebene. Falls a 2 - a l + O ist, etwa a 2 - a l > 0 , dann konvergiert (e(s),fl(s)) gegen einen Punkt der (e, fl)-Ebene ftir s ~ - oo. In beiden F~illen erh~ilt man einen Widerspruch, wenn man die von AB auf der (e, fl)-Ebene induzierte transitive Wirkung betrachtet. Es gilt n~imlich folgender Hilfssatz. Die Gruppe G = I R 2 oder L 2 wirke transitiv auf der reellen Ebene und B sei eine Einparameteruntergruppe yon G. Dann zerlegt jede B-Bahn die Ebene in zwei z u ]R E hom6omorphe Komponenten. Beweis. Die B-Bahnen sind entweder gew/Shnliche Geraden oder Exponentiallinien und zerlegen daher die Ebene in der gewiinschten Art. Es bleibt also

y=

-b

a 1

a

'

1 -b wobei wir durch Kombination mit der Streckungsgruppe des IR4 annehmen k6nnen, dab a = 0 gilt. Durch eventuelle Konjugation mit

I t

1 1

/

vl/

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k6nnen wit auBerdem auf b > 0 normieren. Integration und Parameterwechsel s~--~s/b = cs ergibt die Gruppe

/tc~ Sins. ccossc - sin s

B=

~

cos s sins

\-cssins

cscoss

coss -sins

sins

t ] , stiR ,

c>0.

coss/

Die Scherungsgruppe A wird von dem Endomorphismus

X=

0

(i ~

B o

g

0

erzeugt. Die Kommutatorbedingung [X, Y] = k X ergibt folgendes Gleichungssystem: - f l - f =kc~

-g+~=kf f +fl=kg.

W~ire die Gruppe A B nicht kommutativ, also k=t=0, dann folgte g = - c ~ und f = f l . Einsetzen in das Gleichungssystem erg~ibe - k c ~ - 2 f l = 0 , 2 a - k f l = 0 mit der einzigen L6sung ~ = fl = 0. Dann wtirde die Gruppe

A=

J(

die Gerade

1

0

0

ft

gt

(om

1

,

1/

t~lR

/

~) tiberfiihren in die,oTeilr~iumem (o m+ft

diese liegen nicht komplement~ir zu (m

o) ' t~lR,

n+gt

und

~ ) ' ein Widerspruch. Es folgt k = 0

und g = a , f = - f t . Da sich f/fir fl=O keine Partition ergibt (s.u.), ist fl40, und wir k6nnen auf fl= 1, a = w s l R normieren. Dies liefert die Gruppe

A=

wt

1 t

--t

wt

1

, tE1R ,

w~lR.

l

Insbesondere ist A B = IR2 kommutativ, also auch die zusammenh~ingende Standgruppe IR2 x IR.

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(b) Herleitung der Partition

AnwendungderGruppeABaufdieGerade(Om

0n) ergibt das Btischel

m

={[(

9

cscoss - c s sin s

(coss -sins

cssinst ( c o s s + c s cos s / x - s i n s

sins/-1 coss]

(w: +

sins t (0m coss/

t)

0n)]

} s, t ~ I R

wt ' ={(msinscoss+nsin2s+cs+wt nsinscoss-msin2s+t ] nsinscoss+mcosZs-t -msinscoss+ncos2s+cs+wt] ' s, t~lR}. Damit die Geradenbahn ( O

0n)~taus zueinander komplement~iren Teilr~iumen

besteht, ist notwendig -t-mWt

wttn_ = ( w 2 + l ) t 2 + ( m - n w ) t + O ffir alle t =l=0,

und dies liefert die Bedingung m--n w. Damit ~3. . . . . eine Partition des IR4 ist, muB die yon den zugeh/Srigen Matrizen definierte Abbildung v: (e,/~) ~-~(f(e,/?), g(e,/~)) der (e,/~)-Ebene transversal sein [3], das heiBt z mul3 jede gew/Shnliche Gerade L der (e, fl)-Ebene in eine Linie /2 abbilden, die jede Parallele yon L genau einmal trifft. Insbesondere muB die Gerade /3=0 transversal abgebildet werden: /?=n sin s cos s - m sin 2 s + t = 0 liefert t als Funktion yon s. Einsetzen in g = - m sins cos s + n

COS 2

S-~-CS-~-wt

gibt g = - 2 w n sin s cos s + n cos 2 s + w2 n sin 2 s + c s. Da die ersten drei Summanden beschr~inkt sind, folgt g(s)--, _+oo fiir s ~ _+oo. Die Funktion gist monoton in s, wenn die Ableitung definit in s ist:

g' = ( - 2 w n + c ) cos 2 s+2(w 2 - 1) n sins coss+(2wn+c) sin 2 s. Die Diskriminante dieser quadratischen Form in sins und cos s muB < 0 sein, also (W 2 - - 1) 2 n 2 - ( c - 2 w n ) ( c + 2 w n ) = ( w 2 + 1)2 n 2 --C 2 ~0. Somit erh~ilt man die notwendige Bedingung (W 2 -t'- 1)2 n 2 ~ c 2.

(c) Existenz Wir wollen nun zeigen, dab obige Bedingung auch hinreichend ist fiir die Existenz einer topologischen Translationsebene Pc. . . . -

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1. ~c, ,~,, ist komplement~ir.

Beweis. Wegen der Transitivit~it von AB auf ~B- {S} geniigt es zu zeigen, dab ftir jedes Element

(s,t)eAB, (s, t):# (0, 0), das Bild -( 0

\ w/'l

^"U) 's'', komplement~ir zu /q/

=(w2+l)t2+2wcst+c2s2-(wZ+l)n2sin2s4:0

gir alle (s, t)4=(0,0).

Die Diskriminante dieser quadratischen Form in t mug < 0 sein far alle selR, und dies ist der Fall wegen (w2+ 1)2 n 2 sin 2 s - c 2 s2__ 7 auskommt. D a h e r k a n n m a n ftir dim F__