Vieweg Handbuch Maschinenbau - Grundlagen und Anwendungen der Maschinenbau-Technik 18. Auflage

A

A 1–70 B 1–52 C 1–138 D 1–81 E 1–100 F 1–39 G 1–67 H 1–34 I 1–195 K 1–70 L 1–127 M 1–56 N 1–35 O 1–120 P 1–39 Q 1–84 R 1–48 S 1–95 T 1–24

Alfred Böge (Hrsg.) V Beiträge und Mitarbeiter Dr. Friedrich Kemnitz, Prof. Dr. Arnfried Kemnitz Gert Böge, Prof. Dr. rer. nat. Peter Kurzweil Alfred Böge, Gert Böge, Prof. Dr.-Ing. Dominik Surek Alfred Böge, Gert Böge Wolfgang Weißbach Heinz Wittig Gert Böge Prof. Dr.-Ing. Werner Roddeck Alfred Böge, Wolfgang Böge, Prof. Dr.-Ing. Ulrich Borutzki, Prof. Dr.-Ing. Frank Weidermann, Prof. Dr.-Ing. Petra Wieland Dr.-Ing. Johannes Sebulke Wolfgang Böge, Manfred Ristau Wolfgang Böge, Prof. Dr.-Ing. Ulrich Borutzki Alfred Böge Prof. Dr.-Ing. Werner Bahmann Rainer Ahrberg, Jürgen Voss Werner Thrun Berthold Heinrich Klaus-Dieter Arndt, Prof. Jürgen Bauer Prof. Jürgen Bauer

Alfred Böge (Hrsg.)

Vieweg Handbuch Maschinenbau Grundlagen und Anwendungen der Maschinenbau-Technik Mit 2022 Bildern, 441 Tabellen und mehr als 5000 Stichwörtern

18., überarbeitete und erweiterte Auflage

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der A Approbiert bi t für fü den d Unterrichtsgebrauch U t i ht b h an Fachschulen F h h l für fü Maschinenbau M hi b und d verwandte Richtungen Richtungen, für Deutschen Nationalbibliographie; detaillierte im Internet überuunter Metallbearbeitung, Metallbearbeitung g für Feinwerktechnik und fürbibliografische BetriebstechnikDaten in dersind Republik Österreich abrufbar und Höheren Technischen und Gewerblichen Lehranstalten in der Aktenzeichen Z1.25.845/4–14a/8 Republik Österreich unter Aktenzeichen Z1.25.845/1–14a/79. 1. Auflage 1964 Nachdruck 1968 2., überarbeitete und erweiterte Auflage 1969 Nachdruck 1971, 1975 3., völlig neu überarbeitete Auflage 1977 4., überarbeitete Auflage 1979 5., überarbeitete Auflage 1981 6., durchgesehene Auflage 1982 7., überarbeitete Auflage 1983 8., überarbeitete und erweiterte Auflage 1985 9., überarbeitete Auflage 1986 10., überarbeitete und erweiterte Auflage 1987 11., überarbeitete und erweiterte Auflage 1989 12., überarbeitete und erweiterte Auflage 1990 13., überarbeitete Auflage 1992 14., überarbeitete und erweiterte Auflage 1995 15., überarbeitete und erweiterte Auflage 1999 16., überarbeitete Auflage November 2000 17., vollständig neu bearbeitete Auflage September 2004 18., überarbeitete und erweiterte Auflage Januar 2007 Bis zur 16. Auflage erschien das Buch unter dem Titel Das Techniker Handbuch ebenfalls unter der Herausgeberschaft von Alfred Böge.

Umschlaggestaltung unter Verwendung eines Fotos der Firma Demag Cranes & Components GmbH, Wetter. 1. Auflage August 2004 Alle Rechte vorbehalten © Friedr. Vieweg & Sohn Verlag | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2007 Lektorat: Thomas Zipsner / Imke Zander Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. Der Vieweg V www.vieweg.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für V Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de Technische Redaktion und Satz: Hartmut Kühn von Burgsdorff, Wiesbaden Satz: Zerosoft, Temeswar Bilder: Graphik & Text Studio, Dr. Wolfgang Zettlmeier, Barbing Druck und buchbinderische Verarbeitung: Tˇeˇsínská tiskárna, a.s.; Tschechische Republik Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier ISBN 978-3-8348-0110-4

V

Vorwort zur 18. Auflage Das „Vieweg Handbuch Maschinenbau“ ist seit der 17ten Auflage die völlige Neubearbeitung des Techniker Handbuchs, das sich mit über 100.000 verkauften Exemplaren in der Technikerund Ingenieurausbildung einen festen Platz erworben hat. Neue Autoren aus dem Fachhochschulbereich und verantwortlicher Industriearbeit haben ihren Erkenntnisstand und ihre fachwissenschaftlichen Erfahrungen engagiert in die Entwicklung des neuen Handbuchs eingebracht. Das Handbuch Maschinenbau erfasst in der bewährten praxisnahen und verständlichen Darstellung neben dem aktualisierten Stoff neue, unerlässliche Stoffgebiete wie Mechatronik und Produktionslogistik mit SAP. Der Abschnitt A Mathematik wurde inhaltlich vollständig neu gestaltet, ebenso der Abschnitt B Naturwissenschaftliche Grundlagen, der jetzt einen Abschnitt zur Chemie enthält. Im Abschnitt C Mechanik wurde die Hydrodynamik überarbeitet und um die Gasdynamik erweitert. Der Abschnitt I Maschinenelemente enthält jetzt eine Einführung in die Konstruktionsmethodik. Im Abschnitt L Kraft- und Arbeitsmaschinen wurden bei den Verbrennungsmotoren die Einspritzsysteme für Ottomotore und die elektronisch gesteuerte Dieseleinspritzung aktualisiert, ebenso Maßnahmen zur Leistungssteigerung und zur Verringerung von Abgasemissionen. Im Abschnitt O Werkzeugmaschinen werden nun auch Zahnbearbeitungsmaschinen, Maschinen zur Feinstbearbeitung und Umformmaschinen behandelt. Im Abschnitt Q Steuerungstechnik wurden Beispiele für bibliotheksfähige Programmbausteine aufgenommen, die in Anwenderprogrammen aufgerufen und parametriert werden können. Zur Projektierung der dezentralen Peripherie einer SPS wurden Beispiele ergänzt. Die neuen Sprachen Strukturierter Text und Ablaufsprache (Graph) nach IEC 61131 wurden angemessen berücksichtigt. Der Abschnitt R Regelungstechnik enthält neu die Fuzzy-Regelung. Der Abschnitt S Betriebswirtschaft wurde vollständig überarbeitet und enthält jetzt die Kapitel Betriebswirtschaftliche Grundlagen, Arbeitswissenschaft und Qualitätsmanagement. Der überarbeitete Abschnitt P Produktionslogistik enthält nun Produktkalkulation, Wirtschaftlichkeitsrechnung, Materialfluss im Fertigungsprozess, Lagercontrolling und Auftragskontrolle. Im Handbuch Maschinenbau führen anwendungsorientierte Problemstellungen in das Stoffgebiet ein, Berechnungs- und Dimensionierungsgleichungen werden mit vielen Abbildungen verständlich hergeleitet und die Anwendung an Beispielen gezeigt. Das Werk ist als Arbeitsbuch für das Studium an Fach- und Fachhochschulen und als Nachschlagewerk für die Praxis unverzichtbar. Es unterstützt auch Bachelor-Studiengänge für die Fachbereiche des Maschinenbaus. Autoren, Herausgeber und Verlag nehmen jede Anregung zur Verbesserung des Handbuchs dankbar an. Email-Adresse des Herausgebers: [email protected]. Braunschweig, Dezember 2006

Alfred Böge

VII

Inhaltsverzeichnis

A Mathematik 1 Grundlagen ................................................................................................................... 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

1

Mengen ................................................................................................................ Aussageformen und logische Zeichen ................................................................. Indizes, Summenzeichen, Produktzeichen ........................................................... Einteilung der Zahlen .......................................................................................... Komplexe Zahlen ................................................................................................. Matrizen und Determinanten ................................................................................

1 1 2 2 3 8

2 Funktionen ...................................................................................................................

13

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7

Definition und Darstellungen von Funktionen ..................................................... Verhalten von Funktionen .................................................................................... Einteilung der elementaren Funktionen ................................................................ Ganze rationale Funktionen.................................................................................. Gebrochene rationale Funktionen......................................................................... Irrationale Funktionen .......................................................................................... Transzendente Funktionen....................................................................................

13 14 16 18 21 24 25

3 Trigonometrie ..............................................................................................................

27

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6

Definition der trigonometrischen Funktionen....................................................... Trigonometrische Funktionen für beliebige Winkel............................................. Beziehungen für den gleichen Winkel.................................................................. Graphen der trigonometrischen Funktionen ......................................................... Sinussatz und Kosinussatz.................................................................................... Arkusfunktionen ...................................................................................................

27 27 28 29 30 30

4 Analytische Geometrie ................................................................................................

32

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6

Koordinatensysteme ............................................................................................. Geraden................................................................................................................. Kreise.................................................................................................................... Kugeln .................................................................................................................. Kegelschnitte ........................................................................................................ Vektoren ...............................................................................................................

32 34 36 37 38 43

5 Differenzial- und Integralrechnung ...........................................................................

47

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5

Folgen ................................................................................................................... Reihen................................................................................................................... Grenzwerte von Funktionen ................................................................................. Ableitung einer Funktion...................................................................................... Integralrechnung...................................................................................................

47 50 52 55 62

VIII

Inhaltsverzeichnis

B Naturwissenschaftliche Grundlagen B1 Physik 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Physikalische Größen und und Größenarten .................................................................. Basisgrößen und abgeleitete Größen .............................................................................. Größengleichungen ........................................................................................................ Dimension einer Größe .................................................................................................. Einheiten ........................................................................................................................ Basiseinheiten, abgeleitete Einheiten, kohärente Einheiten, Hilfs- oder Sondereinheiten ............................................................................................................. Das Meter ist die Basiseinheit der Basisgröße Länge .................................................... Das Kilogramm ist die Basiseinheit der Basisgröße Masse ........................................... Die Sekunde ist die Basiseinheit der Basisgröße Zeit .................................................... Krafteinheit Newton ....................................................................................................... Arbeits- und Energieeinheit Joule .................................................................................. Skalare und Vektoren ..................................................................................................... Geschwindigkeit ............................................................................................................ Beschleunigung .............................................................................................................. Masse ............................................................................................................................. Dichte ............................................................................................................................. Gewichtskraft ................................................................................................................. Gravitation oder Massenanziehung ................................................................................ Trägheit und Trägheitsgesetz ......................................................................................... Dynamisches Grundgesetz ............................................................................................. Wechselwirkungsgesetz ................................................................................................. Kraft ............................................................................................................................... Trägheitskraft ................................................................................................................. Statisches Gleichgewicht ............................................................................................... Dynamisches Gleichgewicht ..........................................................................................

1 2 2 3 4 4 5 6 6 6 7 7 8 9 10 11 11 12 13 13 14 15 16 17 19

B2 Chemie 1 Stoffe .............................................................................................................................

26

2 Aufbau der Materie .....................................................................................................

26

2.1 2.2 2.3

Atomaufbau und atomare Konstanten .................................................................. Elementsymbole und Atommassen ...................................................................... Radioaktivität und Kernchemie ...........................................................................

26 26 27

3 Periodensystem der Elemente (PSE) ..........................................................................

27

3.1 3.2 3.3 3.4

Atommodelle und Quantenzahlen ........................................................................ Aufbau des Periodensystems ............................................................................... Elektronenkonfiguration ...................................................................................... Periodische Eigenschaften der Elemente .............................................................

27 28 29 30

4 Chemische Bindung .....................................................................................................

32

4.1 4.2

Ionenbindung (Salze) ........................................................................................... Atombindung (Moleküle) ....................................................................................

33 34

Inhaltsverzeichnis 4.3 4.4 4.5

IX

Metallbindung (Metalle und Legierungen) .......................................................... Koordinationsverbindungen („Komplexe“) ......................................................... Zwischenmolekulare Kräfte .................................................................................

36 36 38

5 Chemische Reaktionen ................................................................................................

38

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5

Stöchiometrie ....................................................................................................... Thermochemie ..................................................................................................... Chemisches Gleichgewicht .................................................................................. Katalyse ............................................................................................................... Chemische Reaktionen ........................................................................................

38 39 39 40 40

6 Säuren und Basen ........................................................................................................

41

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10

Definitionen und Eigenschaften ........................................................................... Benennung von Säuren und Salzen ..................................................................... Beispiele für Säuren und Basen ........................................................................... Luftschadstoffe und saurer Regen ....................................................................... Bauchemie und Wasserhärte ................................................................................ Verbrennungsvorgänge ........................................................................................ Anorganische Basen ............................................................................................ Stärke von Säuren und Basen .............................................................................. Neutralisation und Hydrolyse .............................................................................. Konzentrationsmaße ............................................................................................

41 41 41 42 42 42 42 42 43 44

7 Fällungen und Wasserhärte ........................................................................................

44

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5

Löslichkeitsprodukt ............................................................................................. Wasserhärte ......................................................................................................... Wasserreinigung .................................................................................................. Kennwerte der Wasserqualität ............................................................................. Trinkwasseraufbereitung .....................................................................................

44 45 45 45 45

8 Elektrochemie ..............................................................................................................

46

8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9

Oxidation und Reduktion ..................................................................................... Elektrochemische Zellen ..................................................................................... Normalpotential ................................................................................................... Galvanische Elemente und Korrosion ................................................................. Batterien und Akkumulatoren .............................................................................. Brennstoffzellen ................................................................................................... Elektrolyse ........................................................................................................... Metallgewinnung ................................................................................................. Galvanotechnik ....................................................................................................

46 46 46 47 48 49 50 50 51

9 Organische Chemie ......................................................................................................

51

9.1 9.2

Kohlenwasserstoffe ............................................................................................. Stoffklassen .........................................................................................................

51 51

X

Inhaltsverzeichnis

C Mechanik 1 Statik starrer Körper in der Ebene ............................................................................ 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

1

Grundlagen ........................................................................................................... Zusammensetzen, Zerlegen und Gleichgewicht von Kräften in der Ebene .......... Kräfte im Raum (Sonderfälle) .............................................................................. Schwerpunkt (Massenmittelpunkt) ....................................................................... Guldin’sche Regeln............................................................................................... Standsicherheit, Gleichgewichtslagen .................................................................. Statik der ebenen Fachwerke ................................................................................ Reibung.................................................................................................................

2 6 13 16 22 23 24 30

2 Dynamik.........................................................................................................................

43

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

Bewegungslehre (Kinematik) ............................................................................... Mechanische Arbeit und Leistung; Wirkungsgrad; Übersetzung ........................ Dynamik der Verschiebebewegung (Translation) des starren Körpers................. Dynamik der Drehung (Rotation) des starren Körpers ......................................... Gegenüberstellung der Gesetze für Drehung und Schiebung .............................. Gerader zentrischer Stoß.......................................................................................

44 56 60 66 74 75

3 Statik der Flüssigkeiten (Hydrostatik) .......................................................................

81

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10

Eigenschaften der Flüssigkeiten und Gase............................................................ Hydrostatischer Druck (Flüssigkeitsdruck, hydraulische Pressung)..................... Druck-Ausbreitungsgesetz.................................................................................... Anwendung des Druck-Ausbreitungsgesetzes...................................................... Hydraulische Kraftübertragung ............................................................................ Druckverteilung durch Gewichtskraft der Flüssigkeit .......................................... Hydrostatische Kräfte gegen ebene Wände offener Gefäße ................................. Auftrieb................................................................................................................. Schwimmen .......................................................................................................... Gleichgewichtslagen schwimmender Körper .......................................................

82 82 82 82 83 84 85 85 86 86

4 Hydrodynamik; Eindimensionale stationäre inkompressible Strömung ................

88

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12

Einführung ............................................................................................................ Stromlinie, Bahnlinie, Stromfaden und Stromröhre ............................................. Kontinuitätsgleichung für die eindimensionale Strömung (Stromfadenströmung).. Bernoulligleichung................................................................................................ Impulssatz ............................................................................................................ Eindimensionale inkompressible reibungsbehaftete Strömung ........................... Ähnlichkeitsgesetze der Strömungsmechanik ...................................................... Strömungswiderstand umströmter Körper ........................................................... Düsen- und Diffusorströmung ............................................................................. Grenzschicht ........................................................................................................ Strömungstechnische Messtechnik ...................................................................... Numerische Berechnung instationärer Strömungen .............................................

89 89 89 90 91 92 103 106 107 108 109 113

Inhaltsverzeichnis

XI

5 Gasdynamik; Eindimensionale kompressible stationäre Strömung ........................ 115 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9

Einführung ........................................................................................................... Schallgeschwindigkeit und Schallausbreitung ..................................................... Energiegleichung der kompressiblen eindimensionalen Strömung; Bernoulligleichung der kompressiblen Strömung ................................................ Ruhegrößen und kritischer Zustand ..................................................................... Das Geschwindigkeitsdiagramm der Energiegleichung ...................................... Die Durchflussfunktion ....................................................................................... Isentrope Strömung in Düsen und Blenden ......................................................... Beschleunigte kompressible Strömung ................................................................ Verdichtungsstoß .................................................................................................

115 115 118 120 121 122 123 124 133

D Festigkeitslehre 1 Allgemeines ................................................................................................................... 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

3

Aufgaben der Festigkeitslehre .............................................................................. Schnittverfahren.................................................................................................... Spannung .............................................................................................................. Formänderung....................................................................................................... Hooke'sches Gesetz (Elastizitätsgesetz) ............................................................... Die Grundbeanspruchungsarten............................................................................ Zusammengesetzte Beanspruchung...................................................................... Festigkeit .............................................................................................................. Zulässige Spannung und Sicherheit......................................................................

3 3 5 6 6 7 8 8 13

2 Die einzelnen Beanspruchungsarten ..........................................................................

16

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

Zug und Druck...................................................................................................... Biegung................................................................................................................. Knickung .............................................................................................................. Abscheren ............................................................................................................. Torsion (Verdrehung) ........................................................................................... Flächenpressung ...................................................................................................

16 20 56 64 66 70

3 Zusammengesetzte Beanspruchungen .......................................................................

73

3.1 3.2 3.3

Gleichzeitiges Auftreten mehrerer Normalspannungen........................................ Gleichzeitiges Auftreten mehrerer Schubspannungen.......................................... Gleichzeitiges Auftreten von Normal- und Schubspannungen.............................

73 75 76

4 Beanspruchung bei Berührung zweier Körper .........................................................

80

4.1 4.2 4.3

Voraussetzungen................................................................................................... Bedeutung der Formelzeichen .............................................................................. Berechnungsgleichungen......................................................................................

80 80 80

XII

Inhaltsverzeichnis

E Werkstofftechnik 1 Grundlagen ................................................................................................................... 1.1

2

Allgemeines ..........................................................................................................

2

2 Metallkundliche Grundlagen ......................................................................................

4

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

Struktur der Metalle und Legierungen .................................................................. Eigenschaften und Verhalten der Metallgitter ...................................................... Verhalten bei höheren Temperaturen.................................................................... Zweistofflegierungen (binäre Legierungen) ........................................................... Kristall- und Gefügeveränderungen......................................................................

4 6 8 9 14

3 Eisen und Stahl .............................................................................................................

15

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

Stahlerzeugung ..................................................................................................... Das Eisen-Kohlenstoff-Diagramm........................................................................ Die Wärmebehandlung der Stähle, Stoffeigenschaftändern ................................. Stahlsorten ............................................................................................................ Eisen-Kohlenstoff-Gusswerkstoffe.......................................................................

15 17 21 29 44

4 Nichteisenmetalle .........................................................................................................

48

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9

Bezeichnung der NE-Metalle................................................................................ Aluminium und Al-Legierungen........................................................................... Kupfer................................................................................................................... Titan...................................................................................................................... Magnesium ........................................................................................................... Nickel (DIN 17743) .............................................................................................. Blei (DIN EN 12659, DIN 17640-1) .................................................................... Zink (DIN EN 1774)............................................................................................. Zinn (DIN EN 611-1) ...........................................................................................

48 48 52 58 58 59 59 59 60

5 Kunststoffe (Polymere) ...............................................................................................

60

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5

Herstellungsweg und wichtige Begriffe................................................................ Struktur der Polymere........................................................................................... Duroplastische Kunststoffe................................................................................... Thermoplastische Kunststoffe .............................................................................. Elastomere ............................................................................................................

60 62 63 66 69

6 Werkstoffe besonderer Herstellungsart oder Verarbeitung ....................................

72

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5

Pulvermetallurgie.................................................................................................. Keramische Werkstoffe ........................................................................................ Verbundwerkstoffe ............................................................................................... Werkstoffe für Lötungen ...................................................................................... Druckgusswerkstoffe ............................................................................................

72 73 75 77 78

7 Oberflächenbeanspruchung durch Korrosion, Verschleiß und Schutzmaßnahmen ..................................................................................................................

80

Inhaltsverzeichnis 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5

XIII

Korrosion.............................................................................................................. Tribologie ............................................................................................................. Verschleiß............................................................................................................. Lager- und Gleitwerkstoffe................................................................................... Beschichtungen und Schichtwerkstoffe................................................................

80 81 86 86 89

8 Prüfung metallischer Werkstoffe ...............................................................................

91

8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7

Prüfung der Härte ................................................................................................. Zugversuch .......................................................................................................... Kerbschlagbiegeversuch ....................................................................................... Prüfung der Festigkeit bei höheren Temperaturen................................................ Prüfung der Festigkeit bei schwingender Beanspruchung, ................................... Untersuchung von Verarbeitungseigenschaften.................................................... Zerstörungsfreie Werkstoffprüfung ......................................................................

91 94 95 96 96 97 97

F Thermodynamik 1 Grundbegriffe .............................................................................................................. 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

2

Temperatur ........................................................................................................... Druck .................................................................................................................... Volumen ............................................................................................................... Spezifische Wärmekapazität................................................................................. Wärmeausdehnung ............................................................................................... Aggregatzustände .................................................................................................

2 2 3 5 9 12

2 Wärme und Arbeit .......................................................................................................

14

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11

Thermodynamisches System ................................................................................ Innere Energie....................................................................................................... Wärme .................................................................................................................. Arbeit.................................................................................................................... Dissipationsenergie............................................................................................... Erster Hauptsatz.................................................................................................... Kreisprozesse........................................................................................................ Thermischer Wirkungsgrad .................................................................................. Zweiter Hauptsatz................................................................................................. Entropie ................................................................................................................ Exergie und Anergie .............................................................................................

14 14 14 15 16 17 17 18 18 18 19

3 Zustandsänderungen idealer Gase .............................................................................

20

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6

Thermische Zustandsgleichung ............................................................................ Zustandsänderungen ............................................................................................. Isochore Zustandsänderung .................................................................................. Isobare Zustandsänderung .................................................................................... Isotherme Zustandsänderung ................................................................................ Isentrope Zustandsänderung .................................................................................

20 21 21 23 24 25

XIV 3.7 3.8 3.9 3.10

Inhaltsverzeichnis Polytrope Zustandsänderung................................................................................. Carnot-Prozess...................................................................................................... Drosselung ............................................................................................................ Gasmischungen.....................................................................................................

27 29 30 30

4 Wärmeübertragung .....................................................................................................

32

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

Allgemeines .......................................................................................................... Wärmeleitung ....................................................................................................... Wärmeübergang (Wärmekonvektion) ................................................................... Wärmedurchgang.................................................................................................. Wärmestrahlung....................................................................................................

32 32 33 34 37

G Elektrotechnik 1 Grundlagen ................................................................................................................... 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

3

Elektrischer Stromkreis......................................................................................... Leistung, Arbeit, Energieumrechnungen .............................................................. Grundschaltungen der Praxis ................................................................................ Elektrochemie ....................................................................................................... Magnetismus......................................................................................................... Induktion und Kraftwirkung im Magnetfeld......................................................... Elektrisches Feld................................................................................................... Wechselstrom ....................................................................................................... Drehstrom (Dreiphasenwechselstrom)..................................................................

3 8 9 12 14 19 23 27 33

2 Anwendungen ...............................................................................................................

35

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14

Verteilung der elektrischen Energie...................................................................... Beleuchtungstechnik............................................................................................. Elektrischer Unfall und Schutzmaßnahmen.......................................................... Transformatoren ................................................................................................... Gleichstrommaschine als Generator ..................................................................... Gleichstrommaschine als Motor ........................................................................... Drehstrommaschine als Motor.............................................................................. Einphasen-Wechselstrommotoren ........................................................................ Wechselwirkung zwischen Elektromotor und Arbeitsmaschine........................... Stromrichter .......................................................................................................... Steuerung von Drehzahl und Drehmoment bei Motoren ...................................... Sondererscheinungen der Elektrizität ................................................................... Elektrische Messgeräte ......................................................................................... Elektrische Messungen .........................................................................................

35 39 42 43 46 49 52 54 56 58 60 62 63 65

Inhaltsverzeichnis

XV

H Mechatronik 1 Einleitung ..................................................................................................................... 1.1 1.2 1.3 1.4

1

Begriffsbildung..................................................................................................... Mechatroniker....................................................................................................... Mechatronische Systeme ...................................................................................... Unterschiede zwischen Maschinenbau, Elektrotechnik und Mechatronik............

1 1 3 5

2 Modellbildung und Simulation ...................................................................................

8

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

Verfahren der Modellbildung ............................................................................... Unterschiedliche Modelltypen von technischen Systemen................................... Modelle mechanischer Systeme............................................................................ Modelle elektrischer Systeme............................................................................... Simulation.............................................................................................................

9 16 22 25 26

3 Industrieroboter als mechatronisches System ...........................................................

29

3.1 3.2

Sensorkorrektur von Bewegungsdaten ................................................................. Nachführen eines Roboterarms an einer Freiformfläche ......................................

30 30

I Maschinenelemente 1 Einführung in die Konstruktionsmethodik ............................................................... 1.1

1

Einordnung des konstruktiven Entwicklungsprozesses in den Produktlebenszyklus............................................................................................. Grundlagen ........................................................................................................... Phasen des Entwicklungs- und Konstruktionsprozesses ...................................... Gestaltungshinweise zu bestimmten Forderungen ...............................................

1 3 12 17

2 Normzahlen, Toleranzen, Passungen .........................................................................

22

1.2 1.3 1.4

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

Normzahlen ......................................................................................................... ISO-Passungen ..................................................................................................... Maßtoleranzen ..................................................................................................... Eintragen von Toleranzen in Zeichnungen .......................................................... Verwendungsbeispiele für Passungen ..................................................................

22 22 24 25 25

3 Praktische Festigkeitsberechnungen im Maschinenbau ...........................................

31

4 Klebverbindungen .......................................................................................................

31

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

Allgemeines ......................................................................................................... Klebstoffe ............................................................................................................. Herstellung der Klebverbindung .......................................................................... Berechnung .......................................................................................................... Gestaltungshinweise ............................................................................................

31 31 32 33 34

XVI

Inhaltsverzeichnis

5 Schweißverbindungen .................................................................................................. 5.1 5.2 5.3

34

Grundsätze ............................................................................................................ Berechnung von Schweißverbindungen................................................................ Berechnungsbeispiele ...........................................................................................

34 38 44

6 Nietverbindungen .........................................................................................................

47

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6

Allgemeines .......................................................................................................... Nietformen............................................................................................................ Nietwerkstoffe ...................................................................................................... Herstellen der Nietverbindungen .......................................................................... Verbindungsarten, Schnittigkeit ........................................................................... Nietverbindungen im Stahlbau .............................................................................

47 47 47 47 48 48

7 Schraubenverbindungen .............................................................................................

52

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7

Allgemeines .......................................................................................................... Gewinde................................................................................................................ Schrauben und Muttern......................................................................................... Schraubensicherungen .......................................................................................... Scheiben................................................................................................................ Berechnung von Befestigungsschrauben .............................................................. Berechnung der Bewegungsschrauben .................................................................

52 52 53 54 55 55 70

8 Bolzen, Stiftverbindungen, Sicherungselemente .......................................................

76

8.1 8.2 8.3 8.4 8.5

Allgemeines .......................................................................................................... Bolzen................................................................................................................... Stifte...................................................................................................................... Bolzensicherungen................................................................................................ Gestaltung der Bolzen- und Stiftverbindungen.....................................................

76 76 76 77 78

9 Federn ...........................................................................................................................

79

9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6

Allgemeines .......................................................................................................... Kenngrößen an Federn.......................................................................................... Federwerkstoffe .................................................................................................... Zug- und druckbeanspruchte Metallfedern ........................................................... Biegebeanspruchte Metallfedern .......................................................................... Drehbeanspruchte Metallfedern............................................................................

79 79 82 82 82 93

10 Achsen, Wellen und Zapfen ........................................................................................

99

10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8

Allgemeines .......................................................................................................... Werkstoffe, Normen ............................................................................................. Berechnung der Achsen ........................................................................................ Berechnung der Wellen ........................................................................................ Auszuführende Achsen- und Wellendurchmesser ................................................ Berechnung der Zapfen......................................................................................... Gestaltung ............................................................................................................. Tragfähigkeit für Wellen und Achsen...................................................................

99 99 99 99 101 101 101 105

Inhaltsverzeichnis

XVII

11 Nabenverbindungen .................................................................................................... 109 11.1 Übersicht............................................................................................................... 11.2 Zylindrische Pressverbände .................................................................................. 11.3 Kegelige Pressverbände (Kegelsitzverbindungen) ............................................... 11.4 Klemmsitzverbindungen....................................................................................... 11.5 Keilsitzverbindungen............................................................................................ 11.6 Ringfederspannverbindungen ............................................................................... 11.7 Längsstiftverbindung ............................................................................................ 11.8 Querstiftverbindung.............................................................................................. 11.9 Passfederverbindungen (Nachrechnung) .............................................................. 11.10 Keilwellenverbindung...........................................................................................

109 112 118 121 122 122 124 124 126 127

12 Kupplungen .................................................................................................................. 127 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5

Allgemeines .......................................................................................................... Feste Kupplungen ................................................................................................. Bewegliche, unelastische Kupplungen ................................................................. Elastische Kupplungen ......................................................................................... Schaltkupplungen .................................................................................................

127 128 129 129 131

13 Lager ............................................................................................................................. 133 13.1 Allgemeines .......................................................................................................... 133 13.2 Wälzlager.............................................................................................................. 133 13.3 Gleitlager .............................................................................................................. 154 14 Zahnräder ..................................................................................................................... 169 14.1 Allgemeines .......................................................................................................... 14.2 Verzahnungsgesetz ............................................................................................... 14.3 Begriffe, allgemeine Verzahnungsmaße............................................................... 14.4 Verzahnungsarten ................................................................................................. 14.5 Geradstirnräder ..................................................................................................... 14.6 Schrägstirnräder.................................................................................................... 14.7 Kegelräder ............................................................................................................ 14.8 Schneckengetriebe ................................................................................................ 14.9 Gestaltung der Zahnräder aus Metall.................................................................... 14.10 Schmierung der Zahnradgetriebe.......................................................................... 14.11 Zahnräder aus Kunststoff......................................................................................

169 169 170 171 179 183 186 189 193 194 169

K Fördertechnik 1 Überblick über das Gesamtgebiet der Fördertechnik .............................................. 1.1 1.2 1.3 1.4

Begriffsbestimmung und Abgrenzung.................................................................. Häufig gestellte Fragen ........................................................................................ Einteilung der Fördermittel................................................................................... Transportarbeit, Transportleistung........................................................................

2 2 2 3 3

XVIII

Inhaltsverzeichnis

2 Die Baukastensystematik in der Fördertechnik ........................................................ 2.1 2.2

4

Begriffsbestimmungen.......................................................................................... Nutzen des Baukastenprinzips für die Betreiber und Hersteller fördertechnischer Anlagen.............................................................................................. Komponenten der Fördertechnik ..........................................................................

4

3 Bauelemente der Fördertechnik .................................................................................

5

2.3

3.1 3.2 3.3

5 5

Bauelemente der Seiltriebe ................................................................................... Bauelemente für Kettentriebe ............................................................................... Lastaufnahmeeinrichtungen und Ladehilfsmittel..................................................

6 12 14

4 Antriebe ........................................................................................................................

20

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

Handantrieb........................................................................................................... Elektrische Antriebe ............................................................................................. Pneumatische Antriebe ......................................................................................... Hydrostatische Antriebe ....................................................................................... Verbrennungsmotoren und Dampfmaschinen.......................................................

20 20 21 22 22

5 Steuerungen in der Fördertechnik .............................................................................

22

5.1 5.2

Ablaufsteuerungen ................................................................................................ Mikroprozessorsteuerungen..................................................................................

22 23

6 Bremsen und Rücklaufsperren ...................................................................................

26

6.1 6.2

Reibungsbremsen.................................................................................................. Rücklaufsperren....................................................................................................

26 29

7 Hebezeuge .....................................................................................................................

31

7.1 7.2

Handhebezeuge..................................................................................................... Elektroseilzüge .....................................................................................................

31 31

8 Krane und Hängebahnen ............................................................................................

37

8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9

Berechnung nach DIN 15018................................................................................ Kranbauformen ..................................................................................................... Laufkrane.............................................................................................................. Konsolkrane, Säulendrehkrane, Wandschwenkkrane ........................................... Hängekrane, Hängebahnen ................................................................................... Portalkrane............................................................................................................ Fahrzeugkrane....................................................................................................... Verladeanlagen und Hafenkrane........................................................................... Stapelkrane und Regalförderzeuge .......................................................................

37 41 41 42 42 43 44 44 46

9 Stetigförderer ...............................................................................................................

50

9.1 9.2 9.3 9.3

Definition, Einteilung, Hauptanwendungen.......................................................... Gurtförderer .......................................................................................................... Gliederbandförderer.............................................................................................. Becherwerke .........................................................................................................

50 50 53 55

Inhaltsverzeichnis 9.4 9.5 9.6

XIX

Schaufelradlader ................................................................................................... Rutschförderer ...................................................................................................... Pneumatische Förderanlagen ................................................................................

56 57 59

10 Stetigförderer für Stückgut .........................................................................................

62

10.1 Rollenförderer....................................................................................................... 10.2 Kreisförderer......................................................................................................... 10.3 Zielsteuerungen für Stückgutfördersysteme .........................................................

62 62 66

11 Flurförderzeuge ...........................................................................................................

67

11.1 11.2 11.3 11.4

Flurförderer ohne Lastaufnahmeeinrichtung ........................................................ Flurförderer mit eigener Lastaufnahmeeinrichtung .............................................. Automatisch gesteuerte Flurförderer .................................................................... Flurförderzeuge im Untertagebergbau..................................................................

67 68 69 69

L Kraft- und Arbeitsmaschinen 1 Feuerungstechnik ......................................................................................................... 1.1 1.2 1.3 1.4

2

Brennstoffe ........................................................................................................... Verbrennungswärme (Heizwert) und Verbrennungsluft....................................... Verbrennungskontrolle ......................................................................................... Feuerungsarten .....................................................................................................

2 3 4 5

2 Dampferzeugung ..........................................................................................................

9

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

Dampfarten ........................................................................................................... Kesselwirkungsgrad, Verdampfziffer................................................................... Heizteile................................................................................................................ Wärmeaustausch................................................................................................... Kesselbauarten......................................................................................................

9 9 11 11 12

3 Dampfturbinen .............................................................................................................

16

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9

Erzeugung der kinetischen Energie ...................................................................... Nutzung der kinetischen Energie.......................................................................... Geschwindigkeitsstufung (Curtisrad) ................................................................... Druckstufung (Zoellyturbine)............................................................................... Überdruckstufung ................................................................................................. Labyrinthdichtung ................................................................................................ Regelung............................................................................................................... Radialturbinen ...................................................................................................... Turbinenanlagen ...................................................................................................

16 19 22 25 27 27 28 28 28

4 Wasserturbinen ............................................................................................................

29

4.1 4.2

Stauanlagen........................................................................................................... Durchfluss, Höhenwerte .......................................................................................

29 30

XX 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7

Inhaltsverzeichnis Freistrahlturbinen.................................................................................................. Francisturbinen ..................................................................................................... Kaplanturbinen ..................................................................................................... Spezifische Drehzahl ............................................................................................ Kavitation .............................................................................................................

30 34 37 39 39

5 Windkraftanlagen ........................................................................................................

40

5.1 5.2 5.3

Nutzung der kinetischen Energie .......................................................................... Aufbau einer Windkraftanlage.............................................................................. Getriebe und Generator.........................................................................................

40 40 41

6 Pumpen .........................................................................................................................

42

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5

Fördermenge, Förderhöhe..................................................................................... Pumpenleistung und Wirkungsgrad...................................................................... Kolbenpumpen...................................................................................................... Kreiselpumpen...................................................................................................... Vergleich zwischen Kolben- und Kreiselpumpen.................................................

42 42 43 48 53

7 Verdichter .....................................................................................................................

54

7.1 7.2 7.3 7.4

Mehrstufige Verdichtung und Kühlung ................................................................ Verdichterleistung und Wirkungsgrad .................................................................. Kolbenverdichter .................................................................................................. Kreiselverdichter (Turboverdichter) .....................................................................

54 55 55 58

8 Verbrennungsmotoren ................................................................................................

62

8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 8.10 8.11 8.12 8.13 8.14 8.15 8.16 8.17

Grundlagen ........................................................................................................... Bauteile der Verbrennungsmotoren ...................................................................... Kraftstoffe............................................................................................................. Kraftstoff-Förderanlage ........................................................................................ Luftfilter................................................................................................................ Gemischbildung bei Ottomotoren......................................................................... Gemischbildung bei Dieselmotoren...................................................................... Maßnahmen zur Verminderung der Abgasschadstoffe bei Verbrennungsmotoren .......................................................................................... Zweitaktmotoren................................................................................................... Motorschmierung.................................................................................................. Motorkühlung ....................................................................................................... Abgasanlagen........................................................................................................ Aufladung von Verbrennungsmotoren.................................................................. Zündanlagen ......................................................................................................... Generator .............................................................................................................. Starter.................................................................................................................... Alternative Verbrennungsmotoren........................................................................

62 68 81 82 83 83 92 101 104 107 110 112 113 117 121 122 123

Inhaltsverzeichnis

XXI

M Spanlose Fertigung 1 Urformen ...................................................................................................................... 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

1

Gießverfahren ....................................................................................................... Modelle und Kokillen ........................................................................................... Formerei ............................................................................................................... Herstellung der Schmelze ..................................................................................... Strangguss............................................................................................................. Schleuderguss ....................................................................................................... Druckguss ............................................................................................................. Feinguss (Schalenformverfahren).........................................................................

1 1 3 4 7 9 10 11

2 Trennen und Umformen .............................................................................................

12

2.1 2.2 2.3

Trennverfahren ..................................................................................................... Umformverfahren ................................................................................................. Stahlbleche und ihre Verarbeitung .......................................................................

12 20 36

3 Verbindende Verfahren ..............................................................................................

39

3.1 3.2 3.3

Schweißen............................................................................................................. Thermisches und nichtthermisches Schneiden ..................................................... Löten.....................................................................................................................

39 51 55

N Zerspantechnik 1 Drehen und Grundbegriffe der Zerspantechnik ...................................................... 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

1

Bewegungen ......................................................................................................... Zerspangeometrie ................................................................................................. Kräfte und Leistungen .......................................................................................... Wahl der Schnittgeschwindigkeit ......................................................................... Berechnung der Hauptnutzungszeit ......................................................................

1 2 6 9 11

2 Hobeln und Stoßen ......................................................................................................

12

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

Bewegungen ......................................................................................................... Zerspangeometrie ................................................................................................. Kräfte und Leistungen .......................................................................................... Wahl der Schnittgeschwindigkeit ......................................................................... Berechnung der Hauptnutzungszeit th...................................................................

12 12 12 12 14

3 Räumen .........................................................................................................................

15

3.1 3.2 3.3 3.4

Bewegungen ......................................................................................................... Zerspangeometrie ................................................................................................. Schnittkraft (Räumkraft)....................................................................................... Wahl der Schnittgeschwindigkeit .........................................................................

15 15 16 16

XXII 3.5

Inhaltsverzeichnis Berechnung der Hauptnutzungszeit th ...................................................................

16

4 Fräsen ............................................................................................................................

17

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

Bewegungen ......................................................................................................... Zerspangeometrie ................................................................................................. Kräfte und Leistungen .......................................................................................... Wahl der Schnittgeschwindigkeit und Grundregeln für Fräsen ............................ Berechnung der Hauptnutzungszeit th ...................................................................

17 18 20 22 23

5 Bohren ...........................................................................................................................

26

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5

Bewegungen ......................................................................................................... Zerspangeometrie ................................................................................................. Kräfte und Leistungen .......................................................................................... Wahl von Schnittgeschwindigkeit und Vorschub ................................................. Berechnung der Hauptnutzungszeit th (Maschinenlaufzeit)..................................

26 26 27 28 28

6 Schleifen ........................................................................................................................

33

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6

Bewegungen ......................................................................................................... Zerspangeometrie ................................................................................................. Schleifkraft und Schleifleistung............................................................................ Wahl von Geschwindigkeit, Vorschub und Zustellung ........................................ Oberflächen-Rautiefen.......................................................................................... Berechnung der Hauptnutzungszeit th (Maschinenlaufzeit)..................................

33 33 33 34 34 35

O Werkzeugmaschinen 1 Grundlagen ................................................................................................................... 1.1 1.2 1.3

1

Definition.............................................................................................................. Gebrauchswertparameter einer Werkzeugmaschine ............................................. Kenngrößen und Kennlinien von Werkzeugmaschinen........................................

1 1 3

2 Baugruppen von Werkzeugmaschinen ......................................................................

4

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

Arbeitsspindeln (Hauptspindeln) und ihre Lagerungen ........................................ Hauptantriebe........................................................................................................ Vorschub- und Stellantriebe ................................................................................. Geradführungen an Werkzeugmaschinen ............................................................. Gestelle von Werkzeugmaschinen ........................................................................ Werkzeug- und Werkstückspanner .......................................................................

4 12 23 36 48 57

3 Steuerungs- und Automatisierungstechnik an Werkzeugmaschinen ......................

61

3.1 3.2 3.3 3.4

Baugruppen und Aufgaben ................................................................................... Konventionelle Steuerungstechnik an Werkzeugmaschinen ................................ Numerische Steuerungen ...................................................................................... Die numerische Achse ..........................................................................................

61 61 64 66

Inhaltsverzeichnis

XXIII

4 Entwicklung der Werkzeugmaschine zum Komplettbearbeitungszentrum ........... 4.1 4.2 4.3

71

Weichbearbeitung von Teilen mit überwiegend runder Gestalt ........................... Hartbearbeitung von Teilen mit überwiegend runder Gestalt............................... Bearbeitung von Teilen mit prismatischer Gestalt................................................

71 75 79

5 Werkzeugmaschinen zur Herstellung von Verzahnungen .......................................

83

5.1 5.2

Grundlagen der spanenden Verzahnungsherstellung ........................................... Verzahnmaschinen mit geometrisch bestimmten Schneiden zur Bearbeitung von Zylinderrädern und Zylinderschnecken ......................................................... Verzahnmaschinen mit geometrisch unbestimmten Schneiden zur Bearbeitung von Zylinderrädern und Zylinderschnecken ......................................................... Verzahnmaschinen zur Kegelradherstellung .......................................................

83

6 Werkzeugmaschinen zur Feinstbearbeitung .............................................................

94

5.3 5.4

6.1 6.2 6.3 6.4

84 89 92

Definition der Feinstbearbeitung ......................................................................... 94 Spanende Feinstbearbeitungsmaschinen für Werkzeuge mit geometrisch bestimmter Schneide ............................................................................................ 94 Spanende Feinstbearbeitungsmaschinen für Werkzeuge mit geometrisch unbestimmter Schneide ........................................................................................ 95 Umformende Feinstbearbeitungswerkzeuge ........................................................ 102

7 Umformende und schneidende Werkzeugmaschinen ............................................... 103 7.1 7.2 7.3

Maschineneinteilung ............................................................................................ 103 Werkzeugmaschinen zum Massivumformen ....................................................... 103 Werkzeugmaschinen zur Blechbearbeitung ......................................................... 110

P Programmierung von Werkzeugmaschinen 1 Geometrische Grundlagen für die Programmierung ............................................... 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

1

Koordinatensystem ............................................................................................... Lage der Achsrichtungen...................................................................................... Bezugspunkte im Arbeitsbereich einer CNC-Werkzeugmaschine ...................... Bezugspunktverschiebung ................................................................................... Zeichnerische Grundlagen für die Programmierung ............................................

1 1 1 2 4

2 Informationsfluss bei der Fertigung ...........................................................................

6

2.1 2.2

Informationsverarbeitung und Informationsträger................................................ Informationsquellen..............................................................................................

6 7

3 Steuerungsarten und Interpolationsmöglichkeiten ...................................................

7

3.1 3.2 3.3 3.4

Punktsteuerungsverhalten ..................................................................................... Streckensteuerung................................................................................................. Bahnsteuerung ...................................................................................................... Interpolationsarten ................................................................................................

7 7 8 9

XXIV 3.5

Inhaltsverzeichnis Ebenenauswahl .....................................................................................................

14

4 Manuelles Programmieren ..........................................................................................

15

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8

Kurzbeschreibung ................................................................................................. Aufbau eines CNC-Programms ............................................................................ Gliederung eines CNC-Programms ...................................................................... Satzaufbau............................................................................................................. Kreisprogrammierung beim Drehen und Fräsen................................................... Werkzeugkorrekturen beim Drehen und Fräsen ................................................... Programmierbeispiel............................................................................................. Besondere Programmierfunktionen für das Bohren, Fräsen und Drehen .............

15 15 15 16 21 23 27 34

Q Steuerungstechnik 1 Steuerungstechnische Grundlagen ............................................................................. 1.1 1.2 1.3

1

Grundbegriffe der Steuerungstechnik ................................................................... Unterscheidungsmerkmale für Steuerungen ......................................................... Grafische Darstellung von Steuerungsabläufen ....................................................

1 3 4

2 Signalverarbeitung in Steuerungen .............................................................................

9

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

Signalarten ............................................................................................................ Logische Grundverknüpfung binärer Signale ....................................................... Grundlagen und Anwendung der Schaltalgebra ................................................... Das Karnaugh-Veitch-Diagramm ......................................................................... Die Speicherfunktion ............................................................................................ Zeitelemente und Zähler in Steuerungen ..............................................................

9 10 12 15 16 19

3 Steuerungsmittel ..........................................................................................................

21

3.1 3.2 3.3

Mechanische Steuerungen und Speicher............................................................... Elektrische Steuerungen ....................................................................................... Fluidische Steuerungen.........................................................................................

21 23 28

4 Speicherprogrammierbare Steuerungen ...................................................................

38

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7

Das Automatisierungssystem ............................................................................... Grundlagen der Programmierung nach IEC 1131-3 ............................................. Bibliotheksfähige Programmbausteine ................................................................. Verknüpfungssteuerung für einen Drehstrommotor ............................................. Ablaufsteuerungen ................................................................................................ Analoge Signale in digitalen Steuerungen ........................................................... Busankopplung der speicherprogrammierbaren Steuerung .................................

38 41 50 55 59 71 78

5 Sicherheitsanforderungen an Steuerungen ................................................................

82

Inhaltsverzeichnis

XXV

R Regelungstechnik 1 Grundlagen ................................................................................................................... 1.1 1.2 1.3

1

Grundbegriffe ....................................................................................................... Grafische Darstellung von Regelkreisen mithilfe des Wirkungsplans.................. Beschreibung des Verhaltens von Regelkreisgliedern..........................................

1 4 7

2 Regelstrecken ...............................................................................................................

10

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

Einteilung der Strecken......................................................................................... Regelstrecken mit Ausgleich (P-Strecken) ........................................................... Regelstrecken ohne Ausgleich (I-Strecken).......................................................... Regelstrecken mit Verzögerung (PTn-Strecken)................................................... Regelstrecken mit Totzeit (Tt-Strecken) ...............................................................

11 12 14 15 18

3 Regler ............................................................................................................................

21

3.1 3.2 3.3 3.4

Einteilung der Regler............................................................................................ Unstetige Regler am Beispiel des Zweipunktreglers ............................................ Stetige Regler ....................................................................................................... Quasistetige Regler...............................................................................................

21 21 22 31

4 Zusammenwirken zwischen Regler und Strecke ......................................................

32

4.1 4.2 4.3 4.4

Beurteilungskriterien ............................................................................................ Regelung mit stetigen Reglern.............................................................................. Regelung mit Zweipunktreglern ........................................................................... Regelung mit einer SPS .......................................................................................

32 33 38 40

5 Fuzzy-Regelung ............................................................................................................

41

5.1 5.2 5.3

Fuzzy-Mengen ..................................................................................................... Fuzzifizierung ...................................................................................................... Regelwerk und Inferenz .......................................................................................

41 43 44

S Betriebswirtschaft Teil A: Betriebswirtschaftliche Grundlagen 1 Aufgaben und Zielsetzungen ....................................................................................... 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

1

Anwendungsgebiete der Betriebswirtschaft im technischen Umfeld ................... Hauptaufgaben...................................................................................................... Betriebswirtschaftliche Ziele und Erfolgsfaktoren .............................................. Kennzahlen .......................................................................................................... Wertschöpfungskette des Unternehmens .............................................................

1 1 1 2 2

2 Unternehmensplanung und Unternehmensorganisation ..........................................

3

XXVI 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

Inhaltsverzeichnis Unternehmensstrategie.......................................................................................... Die Wettbewerbsfähigkeit des Unternehmens im Markt ...................................... Die Aufbauorganisation des Unternehmens ......................................................... Prozessorganisation .............................................................................................. Führungsorganisation............................................................................................ Projektmanagement ..............................................................................................

3 4 5 7 7 8

3 Finanzierung .................................................................................................................

10

3.1 3.2 3.3

Aufgaben der Finanzierung................................................................................... Finanzierungsarten................................................................................................ Finanzkennzahlen .................................................................................................

10 10 10

4 Industrielle Kosten- und Wirtschaftlichkeitsrechnung .............................................

11

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8

Aufgaben .............................................................................................................. Kostenplanung ...................................................................................................... Produktkalkulation................................................................................................ Kostenstellenrechnung ......................................................................................... Deckungsbeitragsrechnung .................................................................................. Break Even-Analyse ............................................................................................ Betriebsergebnis und Absatzsegmentrechnung .................................................... Wirtschaftslichkeits- und Investitionsrechnung ...................................................

11 11 13 14 15 16 17 18

5 Produktmarketing und marktorientierte Produktgestaltung ..................................

20

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5

Marketing-Instrumente ......................................................................................... Marktforschung..................................................................................................... Marketingstrategien .............................................................................................. Target Costing ...................................................................................................... Wertanalyse ..........................................................................................................

20 21 21 22 23

Teil B: Arbeitswissenschaft 1 Arbeitswissenschaft im technischen Umfeld .............................................................. 1.1 1.2 1.3

24

Aufgaben und Zweck der Arbeitswissenschaft..................................................... Ziele der Arbeitswissenschaft ............................................................................... Rechtliche Vorschriften ........................................................................................

24 24 24

2 Grundlagen des Arbeitsstudiums ...............................................................................

28

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

Das Arbeitssystem ................................................................................................ Der Mensch im Arbeitssystem.............................................................................. Arbeitsleistung...................................................................................................... Arbeitsteilung ....................................................................................................... Einzel-Gruppen- und Mehrstellenarbeit................................................................ Fertigungsarten ....................................................................................................

29 32 32 32 32 33

3 Arbeitsvorbereitung und Arbeitsplanung...................................................................

41

3.1 3.2

Arbeitsplanerstellung ............................................................................................ Datenermittlung ....................................................................................................

42 45

Inhaltsverzeichnis 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7

XXVII

Vorgabezeitermittlung (Synthese) ........................................................................ Methoden der Zeitermittlung................................................................................ Leistungsgrad ....................................................................................................... Prozesszeiten ....................................................................................................... Rationalisierung der Zeitermittlung .....................................................................

49 56 57 58 64

Teil C: Qualitätsmanagement 1 Qualitätsmanagement................................................................................................... 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

68

Entwicklung des Qualitätsmanagements ............................................................. Begriffe des des Qualitätsmanagements .............................................................. Normen des Qualitätsmanagements ..................................................................... Normenreihe DIN EN ISO 9000:2000 ff. ............................................................ Forderungen an QM-Systeme der DIN EN ISO 9000:2000 ff. ........................... European Foundation for Quality Management (EFQM) ....................................

68 69 69 69 70 77

2 Qualitätsmanagementmethoden .................................................................................

83

2.1 2.2 2.3 2.4

Statistische Prozessregelung (SPC) ..................................................................... Grundlagen der Statistik ...................................................................................... Qualitätsregelkarten (QRK) ................................................................................. Prozessfähigkeitsuntersuchung PFU ....................................................................

83 83 84 90

T Produktionslogistik 1 Grundlagen der Produktionslogistik........................................................................... 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

1

Strategische Bedeutung ........................................................................................ Hauptaufgaben und Ziele der Produktionslogistik................................................ Organisationtypen der Produktionslogistik........................................................... ERP-Systeme ........................................................................................................ Prozesse in der Produktionslogistik......................................................................

1 1 2 3 7

2 Produktionslogistik mit ERP-Systemen .....................................................................

7

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

Programmplanung ................................................................................................ Materialplanung.................................................................................................... Terminplanung...................................................................................................... Kapazitätsplanung ................................................................................................ Rückmeldung und Betriebsdatenerfassung........................................................... Materialfluss im Fertigungsprozess .....................................................................

7 8 13 16 17 18

3 Supply-Chain-Management ........................................................................................

19

4 Spezielle Steuerungsmethoden in der Produktionslogistik ......................................

19

4.1 4.2 4.3

KANBAN-Fertigung ............................................................................................ Belastungsorientierte Auftragsfreigabe ................................................................ Steuerung mit Fortschrittszahlen ..........................................................................

19 19 20

XXVIII

Inhaltsverzeichnis

5 Kostenüberwachung und Wirtschaftlichkeitsrechnung ........................................... 5.1 5.2

21

Produktkalkulation ............................................................................................... Wirtschaftlichkeitsrechnung ................................................................................

21 22

6 Logistikcontrolling .......................................................................................................

22

6.1 6.2 6.3

Durchlaufzeitcontrolling ...................................................................................... Lagercontrolling .................................................................................................. Auftragskontrolle .................................................................................................

Sachwortverzeichnis

22 23 24

A 32

A Mathematik Formeln für negative Argumente:

arck sin x k  (1) k arcsin x ­(k 1)  arccos x arck cos x ® ¯kS  arccos x arc k tan x k  arctan x arck cot x k  arc cot x

falls k ungerade falls k gerade

arctan( x)  arctan x arccot( x)   arc cot x

Rechenprogramme geben immer die Hauptwerte der Arkusfunktionen an. Beziehungen zwischen den Hauptwerten: arcsin x arccos x arctan x arc cot x

  arccos x 2   arcsin x 2   arc cot x 2   arctan x 2

arcsin( x)  arcsin x arccos( x)   arccos x

arctan arc cot arcsin arccos

x 1 x 2 x 1 x 2 x



Beispiele: 1. arcsin 0 = 0; arcksin 0 = kS 2.

1 2

 1 ; arck cos 3 2

arccot1

 ; arc k cot 1 4

arccos

­  °° 3  (k  1) falls k ungerade ® °   k falls k gerade °¯ 3   k 4

1 x 2 x 1 x 2

4 Analytische Geometrie Der Grundgedanke der Analytischen Geometrie besteht darin, dass geometrische Untersuchungen mit rechnerischen Mitteln geführt werden. Geometrische Objekte werden dabei durch Gleichungen beschrieben und mit algebraischen Methoden untersucht.

4.1 Koordinatensysteme Die Verbindung von Geometrie und Algebra wird dadurch erreicht, dass man die geometrischen Objekte als Punktmengen auffasst und jedem Punkt Zahlenwerte zuordnet, durch die er sich von anderen unterscheidet. Eine Kurve oder eine Gerade ist dann eine Menge von Punkten, für deren Zahlenwerte bestimmte Bedingungen gelten, die man Gleichungen dieser Objekte nennt, zum Beispiel Gleichung eines Kreises oder einer Geraden. Das geometrische Bild einer linearen Gleichung in zwei Variablen ist immer eine Gerade, das einer quadratischen Gleichung in zwei Variablen immer ein Kegelschnitt. Die Grundlage für eine solche analytische Darstellung der Geometrie ist die Zuordnung zwischen Punkt und Zahl, die eindeutig sein muss. Auf einer Geraden oder allgemeiner auf einer Kurve genügt eine Zahl, auf einer Ebene oder einer Fläche ein Zahlenpaar und im Raum ein Zahlentripel (drei Zahlen), um einen Punkt eindeutig festzulegen. Umgekehrt bestimmt ein Punkt auf einer Kurve eindeutig eine Zahl, auf einer Fläche ein Zahlenpaar und im Raum ein Zahlentripel. Diese Zahlen werden Koordinaten des entsprechenden Punktes genannt. Die Koordinaten sind abhängig von dem zugrunde liegenden Koordinatensystem. Es gibt verschiedene Möglichkeiten für Koordinatensysteme, von denen hier einige wichtige beschrieben

werden. Allgemein kann man ein Koordinatensystem als ein System von geometrischen Objekten, mit deren Hilfe die Lage anderer geometrischer Objekte durch Zahlenwerte (Koordinaten) umkehrbar eindeutig beschrieben werden kann, bezeichnen. Legt man auf einer Geraden g einen Anfangspunkt 0 (Nullpunkt), eine positive Richtung (Orientierung) und eine Längeneinheit l (Maßstab) fest, dann entspricht jeder reellen Zahl x ein bestimmter Punkt dieser Geraden, und umgekehrt entspricht jedem Punkt der Geraden eine reelle Zahl. Die Gerade g wird Zahlengerade genannt. 4.1.1 Kartesisches Koordinatensystem der Ebene Um die Lage eines Punktes in der Ebene eindeutig festzulegen, sind zwei Zahlengeraden notwendig. Man ordnet die Zahlengeraden stets so an, dass ihre Nullpunkte zusammenfallen. Die Zahlengeraden werden Achsen des Koordinatensystems oder Koordinatenachsen genannt und als x- oder Abszissenachse und als y- oder Ordinatenachse bezeichnet. Der gemeinsame Nullpunkt, also der Schnittpunkt der beiden Geraden, heißt Koordinatenursprung oder Nullpunkt. Auf jeder der beiden Geraden wird vom Koordinatenursprung aus eine positive und eine negative Orientierung sowie ein Maßstab festgelegt. In einem kartesischen (rechtwinkligen) Koordinatensystem stehen die Koordinatenachsen senkrecht aufeinander, die Achsen haben den gleichen Maßstab und bilden ein so genanntes Rechtssystem: Die xAchse geht durch Drehung um einen rechten Winkel im mathematisch positiven Sinne (linksdrehend, entgegen dem Uhrzeigersinn) in die y-Achse über.

4 Analytische Geometrie Ein beliebiger Punkt P der Ebene kann dann durch seine kartesischen Koordinaten beschrieben werden: P(x|y) mit x als Abszisse und y als Ordinate. Dieses Koordinatensystem ist benannt nach dem französischen Mathematiker René Descartes, genannt Cartesius (1596–1650).

A 33 4.1.3 Zusammenhang zwischen kartesischen und Polarkoordinaten Ein beliebiges geometrisches Objekt kann in verschiedenen Koordinatensystemen beschrieben werden, zum Beispiel in einem kartesischen und in einem Polarkoordinatensystem. Für dieselben geometrischen Eigenschaften findet man dann zwei Gleichungen f1(x,y) = 0 und f2(r,M) = 0. Durch Transformation (Überführung) des einen Koordinatensystems in das andere geht die eine Gleichung des geometrischen Objekts in die andere über. Die Transformationsgleichungen für den Übergang von Polarkoordinaten zu kartesischen Koordinaten und umgekehrt ergeben sich mit Hilfe der trigonometrischen und der Arkusfunktionen. Zur Vereinfachung wird dabei vorausgesetzt, dass der Pol des Polarkoordinatensystems mit dem Koordinatenursprung des kartesischen Koordinatensystems und die Polarachse mit der x-Achse (Abszisse) zusammenfallen. Transformationsgleichungen:

Bild 1. Kartesisches Koordinatensystem der Ebene

4.1.2 Polarkoordinatensystem der Ebene Ein Polarkoordinatensystem der Ebene ist bestimmt durch einen festen Punkt, den Pol O, und einer von ihm ausgehenden fest gewählten Achse, der Polarachse, auf der wie bei einem Zahlenstrahl eine Orientierung und ein Maßstab festgelegt sind. Ein beliebiger Punkt P der Ebene lässt sich dann durch seine Polarkoordinaten beschreiben: P(r|M), wobei r der Abstand des Punktes P vom Pol O ist und M der Winkel, den der Strahl vom Pol O durch den Punkt P mit der Polarachse bildet. Dabei wird der Winkel M in mathematisch positiver Richtung (linksdrehend, entgegen dem Uhrzeigersinn) gemessen. Dieser Winkel M ist nur bis auf ganzzahlige Vielfache von 2S bestimmt. Man nenntM auch Polarwinkel des Punktes P.

Bild 2. Polarkoordinatensystem der Ebene

x

r cos M

y

r sin M

r cos M

x2  y 2 x x2  y2

, sin M

y x2  y 2

Bild 3. Kartesische Koordinaten und Polarkoordinaten 4.1.4 Kartesisches Koordinatensystem des Raums Ein kartesisches Koordinatensystem des Raums besteht aus drei paarweise aufeinander senkrecht stehenden Geraden (Koordinatenachsen), die sich in einem Punkt, dem Koordinatenursprung, schneiden. Die drei Koordinatenachsen bilden ein Rechtssystem: Winkelt man Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der rechten Hand so ab, dass sie aufeinander senkrecht stehen, dann können diese Finger als positive Richtungen eines Rechtssystems aufgefasst werden. Man bezeichnet die Achsen in dieser Reihenfolge meist als x-Achse, y-Achse und z-Achse. Auf allen drei Achsen sind die Maßstäbe gleich. Ein beliebiger Punkt P des Raums kann dann durch seine kartesischen Koordinaten beschrieben werden: P(x|y|z), wobei x, y und z die senkrechten Projektionen des Punktes auf die drei Koordinatenachsen sind.

A 34

A Mathematik Geraden, die Parallelen zur y-Achse sind, besitzen also keine Hauptform (Normalform).

Bild 4. Kartesische Koordinaten eines Raumpunktes P0

4.2 Geraden 4.2.1 Geradengleichungen Eine Gerade ist die kürzeste Verbindung zweier Punkte. Eine Gerade ist durch zwei beliebige auf ihr liegende Punkte eindeutig bestimmt. Für eine Gerade gibt es verschiedene Gleichungsformen. 1. Die Gleichung ax + by + c = 0 ist die allgemeine Geradengleichung, wobei die Koeffizienten a und b nicht gleichzeitig Null sein dürfen.

Bild 5. Hauptform der Geradengleichung Die Größe m wird Richtungskoeffizient oder Steigung der Geraden genannt. Die Steigung ist gleich dem Tangens des Winkels, den die Gerade mit der positiven Richtung der x-Achse einschließt. Die Strecke n wird von der Geraden auf der y-Achse abgeschnitten, deshalb heißt n auch Achsenabschnitt oder genauer y-Achsenabschnitt. Er kann ebenso wie der Tangens je nach Lage unterschiedliches Vorzeichen besitzen. 3. Sind von einer Geraden ein Punkt P1 = P(x1|y1) und die Steigung m bekannt, dann lautet die Gleichung der Geraden y = m(x – x1) + y1. Dies ist die Punktsteigungsform der Geradengleichung.

ax + by + c = 0 Die Variablen x und y sind die Koordinaten eines beliebigen Punktes der Geraden. Ein Punkt P0 = P(x0|y0) der Ebene liegt also genau dann auf der Geraden, wenn seine Koordinaten x0 und y0 die Gleichung erfüllen, wenn also ax0 + by0 + c = 0 gilt. Die Koeffizienten a, b, c legen die Gerade eindeutig fest. Für a = 0 ist die Gerade eine Parallele zur x-Achse, für b = 0 eine Parallele zur yAchse und für c = 0 verläuft die Gerade durch den Koordinatenursprung (Nullpunkt). 2. Dividiert man die allgemeine Geradengleichung durch b z 0 (die Gerade ist also nicht parallel zur a und y-Achse), dann ergibt sich mit m  b c die Hauptform oder Normalform der n  b Geradengleichung. y

mx  n

Bild 6. Punktsteigungsform der Geradengleichung y

m( x  x1 )  y1

Wegen der Ähnlichkeit der rechtwinkligen Dreiecke mit den Katheten y – y1 und x – x1 und mit den Katheten m und 1 gilt die Proportion y  y1 ( y  y1 ) : ( x  x1 ) m : 1 oder m. x  x1 Auflösung nach y ergibt die Punktsteigungsform.

4 Analytische Geometrie

A 35

4. Die Gleichung einer Geraden durch zwei Punkte P1 = P(x1|y1) und P2 = P(x2|y2) mit x1 z x2 ergibt die Zweipunkteform der Geradengleichung. y

y2  y1 ( x  x1 )  y1 x2  x1

oder y  y1 x  x1

y2  y1 x2  x1

Bild 8. Achsenabschnittsform der Geradengleichung 6. Die Hesse-Form oder Hessesche Normalform der Geradengleichung (nach dem deutschen Mathematiker Ludwig Otto Hesse, 1811–1874) lautet x cosM + y sinM – d = 0. Dabei ist d t 0 der Abstand des Koordinatenursprungs O von der Geraden g, also die Länge des Lotes von O auf die Gerade g (Fußpunkt F), und M mit 0 d M < 2S der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Lot OF . x cos M  y sin M  d

0

Bild 7. Zweipunkteform der Geradengleichung Die Proportion ergibt sich aus der Ähnlichkeit der rechtwinkligen Dreiecke mit den Hypotenusen P1P und P1P2 . 5. Hat eine Gerade den Achsenabschnitt x0 auf der x-Achse und den Achsenabschnitt y0 auf der yAchse, das heißt, die Gerade geht durch die Punkte P1(x0|0) und P2(0|y0), und gilt x0 z 0 und y0 z 0, dann lautet die Gleichung der Geraden x y  1. x0 y0 Dies ist die Achsenabschnittsform der Geradengleichung. x y  x0 y0

1

Aus der allgemeinen Geradengleichung ax + by + c = 0 ergibt sich die Achsenabschnittsform durch Division durch –c z 0.

Bild 9. Hessesche Normalform der Geradengleichung Man kann die Hessesche Normalform aus der allgemeinen Geradengleichung ax + by + c = 0 durch Multiplikation mit dem Normierungsfaktor r 21 2 a b

herleiten. Das Vorzeichen des Normierungsfaktors muss entgegengesetzt zu dem von c gewählt werden. 4.2.2 Abstände Mit Hilfe der Hesseschen Normalform der Geradengleichung lässt sich der Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden oder zwischen zwei parallelen Geraden berechnen. Zunächst werden jedoch Formeln zur Berechnung des Abstandes zwischen zwei Punkten hergeleitet.

A 36

A Mathematik

1. Punkt – Punkt Der Abstand zweier Punkte P1 und P2 ist die Länge P1P2 der Verbindungsstrecke P1P2 . Sind die Punkte im kartesischen Koordinatensystem dargestellt, also P1 = P1(x1|y1), P2 = P2(x2|y2), dann gilt für den Abstand d(P1,P2) von P1 und P2 nach dem Satz des Pythagoras d ( P1P2 )

P1P2

( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2

Sind die Punkte in Polarkoordinaten dargestellt, also P1 = P1(r1|M1), P2 = P2(r2|M2), dann folgt aus dem Kosinussatz d ( P1P2 )

P1P2

r12  r22  2r1r2 ˜ cos(M1  M 2 )

2. Gerade – Gerade Sind g1: y = mx + n1 und g2: y = mx + n2 zwei parallele Geraden (parallele Geraden haben gleiche Steigung), so ermittelt man die Hessesche Normalform der Geraden: g1 : x cos M  y sin M  d1 0, g 2 : x cos M  y sin M  d 2 0. Für den Abstand l der parallelen Geraden g1 und g2 voneinander gilt dann – l = |d1 – d2|, wenn die Geraden auf der gleichen Seite des Koordinatenursprungs liegen, – l = d1 + d2, wenn die Geraden auf verschiedenen Seiten des Koordinatenursprungs liegen.

3. Punkt – Gerade Ist P1(x1|y1) ein Punkt und g1: y = mx + n eine Gerade, dann ermittelt man zunächst die Hessesche Normalform von g1: g1 : x cos M  y sin M  d1 0. Durch den Punkt P1 legt man eine zu g1 parallele Gerade g2: g 2 : x cos M  y sin M  d 2 0. Ist l der Abstand zwischen P1 und g1, so ist l auch der Abstand zwischen den Geraden g1 und g2, und es gilt g 2 : x cos M  y sin M  (d1 B l ) 0. Da P1 auf g2 liegt, erfüllen seine Koordinaten die Geradengleichung x1 cos M  y1 sin M  (d1 B l ) 0, woraus sich für den Abstand l ergibt l x1 cos M  y1 sin M  d1 . 



2

x

20

4

y

20

7

0

20

(durch Multiplikation der allgemeinen Geradengleichung mit dem Normierungsfaktor 1 1 1 )    20 a2  b2 2 2  (4) 2 Hessesche Normalform von g2: 2 4 20 x y 0 20 20 20

Entgegengesetzte Vorzeichen der x- und y-Glieder, also liegen die Geraden auf verschiedenen Seiten des Koordinatenursprungs. Somit gilt für den Abstand l von g1 und g2:

l

7

d1  d 2



20

20

27

27

20

20

2˜ 5

3. Gegeben: Punkt P1(5|10) und Gerade g1: 3x – 4y + 10 = 0. Gesucht: Der Abstand l des Punktes P1 von der Geraden g1. 3 4 Hessesche Normalform von g1:  x  y  2 0 5 5 (durch Multiplikation der allgemeinen Geradengleichung mit dem Normierungsfaktor 1 1 1    ) 5 32  (4) 2 a2  b2 Durch Einsetzen der Koordinaten von P1 erhält man den gesuchten Abstand:

l



3 4 ˜ 5  ˜10  2 5 5

38 2

3

4.3 Kreise Der Kreis ist der geometrische Ort aller Punkte der Ebene, die von einem festen Punkt M (Mittelpunkt des Kreises) einen konstanten Abstand r (Radius des Kreises) haben. Für einen Kreis gibt es verschiedene Gleichungsformen. 1. Liegt der Mittelpunkt eines Kreises mit dem Radius r im Koordinatenursprung, dann lautet die Gleichung des Kreises in kartesischen Koordinaten x2 + y2 = r2. Dabei sind x und y die Koordinaten eines beliebigen Punktes P(x|y) des Kreises. Die Gleichung ergibt sich nach dem Satz des Pythagoras. x2  y2

r2

Beispiele: 1. Gegeben: Die Punkte P1(3|4) und P2(–2|6). Gesucht: Der Abstand d(P1, P2) von P1 und P2. Es gilt:

( x2  x1 )2  ( y2  y1 )2

d ( P1 , P2 )

(2  3)  (6  4)2 2

52  2 2

29

5,3851...

2. Gegeben: Die beiden parallelen Geraden g1: 2x – 4y + 7 = 0, g2: –3x + 6y + 30 = 0. Gesucht: Der Abstand l der beiden Geraden. Hessesche Normalform von g1:

27 ˜ 5 10

Bild 10. Kreisgleichung x 2  y 2

r2

4 Analytische Geometrie

A 37

2. Hat der Mittelpunkt allgemeiner die Koordinaten xm und ym, also M = M(xm|ym), dann ergibt sich die Mittelpunktsform oder Hauptform der Kreisgleichung. ( x  xm )2  ( y  ym ) 2

Dabei ist a = –xm = 1, b = –ym = –2, c = 3. Die Bedingung a2 + b2 – c > 0 ist erfüllt, denn 1 + 4 –3 = 2 > 0. Die Koordinaten des Kreismittelpunktes sind xm = –1, ym = 2, der Radius ist r

a2  b2  c

( x  1) 2  ( y  2) 2

r2

2 . Die Mittelpunktsform (Haupt-

form) dieses Kreises lautet somit

2

Die aus der gegebenen Gleichung abgeleitete Gleichung x2 + y2 + 2x – 4y + 3 = 0 lässt sich auch ohne Benutzung der Formeln für die Mittelpunktskoordinaten und den Radius auf die Mittelpunktsform bringen, und zwar mit Hilfe von quadratischen Ergänzungen: x2 + y2 + 2x – 4y + 3 = 0 (x2 +2x) + (y2 – 4y) = –3 (x2 +2x + 1) + (y2 – 4y + 4) = 1 + 4 –3 (x + 1)2 + (y – 2)2 = 2

4.4 Kugeln Eine Kugel ist der geometrische Ort aller Punkte des Raumes, die von einem festen Punkt M (Mittelpunkt der Kugel) einen konstanten Abstand r (Radius der Kugel) haben. Für eine Kugel gibt es verschiedene Gleichungsformen. Bild 11. Kreisgleichung ( x  xm ) 2  ( y  ym ) 2

r2

3. Löst man in der Mittelpunktsform die Klammern auf, dann ergibt sich die allgemeine Form der Kreisgleichung. x 2  y 2  2ax  2by  c

0

Hierin bedeuten a = xm , b =  ym , c xm2  ym2  r 2 . Aus der letzten Gleichung folgt a2 + b2 – c = r2 > 0 als Bedingung dafür, dass es sich bei einer Gleichung der allgemeinen Form wirklich um eine Kreisgleichung handelt (für c > a2 + b2 liefert die Gleichung keine reelle Kurve, für c = a2 + b2 ergibt sich ein einziger Punkt M(xm|ym)).

1. Liegt der Mittelpunkt einer Kugel mit dem Radius r im Ursprung eines (dreidimensionalen) kartesischen Koordinatensystems, dann lautet die Gleichung der Kugel x 2  y 2  z 2 r 2 . Dabei sind x, y und z die Koordinaten eines beliebigen Punktes P(x|y|z) der Kugel (Kugeloberfläche). x2  y 2  z 2

r2

4. Werden die beiden Koordinaten x und y jeweils als Funktion einer Hilfsvariablen t angegeben, so erhält man die Parameterdarstellung des Kreises mit dem Radius r und dem Mittelpunkt M(xm|ym) (vgl. Abschnitt 2.1.2). x

xm  r cos t , y

ym  r sin t , 0 d t  2

Bild 12. Kugel mit der Gleichung x 2  y 2  z 2 

Beispiel: Welches geometrische Objekt beschreibt die Gleichung 1,5x2 + 1,5y2 + 3x – 6y + 4,5 = 0 ? Lösung: Division durch 1,5 ergibt x2 + y2 + 2x – 4y + 3 = 0, eine Kreisgleichung in allgemeiner Form.

r2

Hat der Mittelpunkt allgemeiner die Koordinaten xm, ym und zm, also M = M(xm|ym|zm) dann ergibt sich die Mittelpunktsform oder Hauptform der Kugelgleichung. ( x  xm )2  ( y  ym )2  ( z  zm ) 2

r2

A 38

A Mathematik

Eine Kugel ist festgelegt durch den Mittelpunkt und einen weiteren Punkt oder durch vier Punkte (die nicht alle in einer Ebene liegen). 

Beispiele: 1. Gegeben: Mittelpunkt im Koordinatenursprung, also M = M(0|0|0), Punkt P1(4|3|1). Gesucht: Kugel mit dem Mittelpunkt M durch den Punkt P1. Berechnung des Radius: r

4 2  32  12

26

Die gesuchte Kugel hat die Gleichung x 2  y 2  z 2

26 .

2. Gegeben: Mittelpunkt M(2|–1|1), Punkt P1(0|4|–3). Gesucht: Kugel mit dem Mittelpunkt M durch den Punkt P1. Berechnung des Radius: r

(0  2) 2  (4  (1)) 2  (3  1) 2

45

Die gesuchte Kugel hat die Gleichung ( x  2)2  ( y  1)2  ( z  1)2

Bild 13. Kegelschnitt Ellipse

45.

4.5 Kegelschnitte Ein Kegelschnitt ist die Schnittfigur einer Ebene und des Mantels eines geraden Doppelkreiskegels. Ein gerader Kreiskegel entsteht durch Rotation einer Geraden (die Erzeugende oder Mantellinie) in einem festen Punkt (der Spitze) um eine vertikale Achse, wobei sich die rotierende Gerade entlang eines Kreises bewegt (also mit einem Kreis als Leitkurve), der in einer Ebene senkrecht zur Rotationsachse liegt. Ein gerader Doppelkreiskegel besteht aus zwei gleichen geraden Kreiskegeln, deren Rotationsachsen parallel sind und deren Spitzen sich berühren. Schneidet man einen geraden Doppelkreiskegel mit einer nicht durch die (gemeinsame) Spitze S gehenden Ebene E, dann entsteht als Kurve ein Kegelschnitt. Abhängig von der Lage der Ebene E zum Doppelkegel erhält man verschiedene Kurven. –

Kreis Liegt die Ebene senkrecht zur Kegelachse (Rotationsachse), so schneidet sie aus der Mantelfläche des Kegels einen Kreis heraus.

–

Ellipse Ist die Neigung der Ebene so, dass sie nur eine Hälfte des Doppelkegels schneidet und dass sie nicht parallel zu einer Mantellinie verläuft, so wird eine Ellipse ausgeschnitten.

–

Parabel Verläuft die Ebene parallel zu einer Mantellinie, so schneidet sie aus der Mantelfläche eine Parabel heraus.

–

Hyperbel Trifft die Ebene beide Hälften des Doppelkegels (zum Beispiel wenn sie parallel zur Kegelachse steht), dann ist die Schnittfigur eine Hyperbel (es werden zwei Kurven ausgeschnitten, die beiden Äste einer Hyperbel).

Bild 14. Kegelschnitt Parabel

Bild 15. Kegelschnitt Hyperbel Die Kegelschnitte lassen sich bezüglich der Lage der Ebene E zu den Mantellinien des Doppelkegels charakterisieren: Beim Kreis und bei der Ellipse ist die Ebene zu keiner der Mantellinien parallel, bei der Parabel ist die Ebene zu einer Mantellinie parallel, und bei der Hyperbel ist die Ebene zu zwei Mantellinien des Doppelkegels parallel.

4 Analytische Geometrie

A 39

Die Kegelschnitte lassen sich auch durch die Beziehung des Öffnungswinkels D des Kegels zum Neigungswinkel E der Schnittebene E zur Rotationsachse beschreiben: E 90q Kreis: Ellipse: Parabel:

D 2

E

 E  90q

4.5.1 Ellipsen Eine Ellipse ist der geometrische Ort aller Punkte einer Ebene, für die die Summe der Abstände von zwei festen Punkten F1 und F2 konstant ist. Die Punkte F1 und F2 heißen Brennpunkte der Ellipse. Bezeichnet man den Abstand eines beliebigen Punktes P1 der Ellipse zu F1 mit r1 und den Abstand von

D 2

Hyperbel: 0 d E 

1 1 x2 y2 , B = 0, C =  2 , D = E = 0, F = –1Ÿ 2  2 1 a2 b a b Mittelpunktsform der Gleichung einer Hyperbel mit dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung 5. A = B = C = 0, D = –1, E = 1, F = 0 Ÿ y = x Gleichung der Winkelhalbierenden (Gerade) 4. A =

D 2

P1 zu F2 mit r2, also P1F1 = r1, P1F2 = r2 dann gilt r1 + r2 =2a mit einer Konstanten a.

Bild 16. Beschreibung der Kegelschnitte Der Kreis ist bezüglich der verschiedenen Lagen von Ebene und Doppelkegel ein Spezialfall der Ellipse. Kreis und Ellipse sind beschränkt, nicht jedoch Parabel und Hyperbel. Die Parabel besteht aus einem einzigen Ast (sie ist also zusammenhängend), während die Hyperbel zwei getrennte symmetrische Äste besitzt. Falls die Ebene E durch die Kegelspitze S geht, dann besteht die Schnittmenge entweder nur aus einem Punkt (dem Punkt S) oder aus einer Gerade durch S oder aus einem durch S gehenden Geradenpaar. Solche Schnittmengen heißen entartete Kegelschnitte. Die nahe Verwandtschaft der Kegelschnitte zeigt sich auch in ihren Gleichungen. Jeder Kegelschnitt ist der Graph einer Funktion, die als Funktionsgleichung eine Gleichung zweiten Grades in x und y hat. In einer solchen Gleichung kommen x und y nur linear und quadratisch vor. Die allgemeine Gleichung eines Kegelschnitts lautet: Ax 2  2 Bxy  Cy 2  Dx  Ey  F

0

Diese Gleichung enthält als Sonderfälle auch Gleichungen von Punkten, Geraden, Geradenpaaren und imaginären Kurven. 

Beispiele: 1. A = –1, B = C = D = 0, E = 1, F = 0 Ÿ y = x2 Gleichung der Normalparabel 2. A = 1, B = 0, C = 1, D = E = 0, F = –r2 Ÿ x2 + y2 = r2 Mittelpunktsform der Gleichung eines Kreises mit dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung 3.

x2 y2 1 1 , B = 0, C = 2 , D = E = 0, F = –1 Ÿ 2  2 1 a2 b a b Mittelpunktsform der Gleichung einer Ellipse mit dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung A=

Bild 17. Bezeichnungen für die Ellipse –

Bezeichnungen M(0|0) F1(e|0), F2(–e|0) S1(a|0), S2(–a|0) S1c (0|b), S 2c (0|–b)

Mittelpunkt Brennpunkte Hauptscheitelpunkte Nebenscheitelpunkte

S1S 2

Hauptachse

S1cS 2c

Nebenachse

S1S 2

2a

Länge der Hauptachse

S1cS 2c

2b

Länge der Nebenachse (b < a)

MF1

MF2

p

Abstand der Brennpunkte vom Mittelpunkt

e

b2 a

Halbparameter (die halbe Länge einer parallel zur Nebenachse gezogenen Sehne durch einen Brennpunkt)

P1(x1|y1) P1F1

r1, P1F2

beliebiger Punkt der Ellipse r2

Abstand von P1 zu den Brennpunkten

A 40 –

A Mathematik

Eigenschaften r1  r2

H –

x2 y2  1. 6,25 4 Gesucht: Länge der Achsen, Brennpunkte, numerische Exzentrizität.

gilt nach dem Satz des Pythagoras

a2

e 1 a

Länge der Nebenachse = 2b = 2 · 2 = 4 (denn b Berechnung der Brennpunkte:

e2

heißt numerische Exzentrizität der Ellipse

Bemerkungen Eine der drei Größen a, b, e kann wegen e2 + b2 = a2 aus den beiden anderen berechnet werden. Im Falle a = b entartet die Ellipse zu einem Kreis. Die beiden Brennpunkte F1, F2 fallen dann mit dem Kreismittelpunkt zusammen.

Ellipsengleichungen 1. Fallen die Koordinatenachsen mit den Ellipsenachsen zusammen, und ist der Koordinatenursprung der Mittelpunkt der Ellipse, dann lautet x2



6,25

Länge der Hauptachse = 2a = 2 · 2,5 = 5 (denn a

heißt lineare Exzentrizität der Ellipse

a 2  b2 ! 0

Beispiel: Gegeben: Ellipsengleichung

Summe der Abstände ist konstant

2a

e2  b2

e



a2  b2

6,25  4

2,25 1,5 2

Numerische Exzentrizität: H

e a

Ÿ

1,5 2,5

4

2,5 )

2

F1 (1,5 0), F2 (1,5 0) 0,6

4.5.2 Hyperbeln

Eine Hyperbel ist der geometrische Ort aller Punkte einer Ebene, für die der Betrag der Differenz der Abstände von zwei festen Punkten F1 und F2 konstant ist. Die Punkte F1 und F2 heißen Brennpunkte der Hyperbel. Bezeichnet man den Abstand eines beliebigen Punktes P1 der Hyperbel zu F1 mit r1 und den Abstand von P1 zu F2 mit r2, also P1F1 = r1, P1F2 = r2 dann gilt r1  r2 2a mit einer Konstanten a.

y2

1 . Dies ist a 2 b2 die Normalform der Ellipsengleichung.

die Gleichung der Ellipse

x2 y 2  a 2 b2

1

2. Ist M(xm|ym) der Mittelpunkt der Ellipse, und sind die Ellipsenachsen parallel zu den Koordinatenachsen, dann erhält man die Mittelpunktsform der Ellipsengleichung. ( x  xm )2 ( y  ym ) 2  a2 b2

Bild 18. Bezeichnungen für die Hyperbel 1

3. Werden die beiden Koordinaten x und y jeweils als Funktion einer Hilfsvariablen t angegeben, so erhält man die Parameterdarstellung einer Ellipse, deren Achsen mit den Koordinatenachsen zusammenfallen (vgl. Abschnitt 2.1.2). x

a cos t , y

b sin t , 0 d t  2

Die Hyperbel ist nicht zusammenhängend, sie besteht aus zwei getrennten symmetrischen Ästen (die Hyperbel hat also auch keinen endlichen Flächeninhalt). Sie besitzt zwei Asymptoten. –

Bezeichnungen M(0|0) F1(e|0), F2(–e|0) S1(a|0), S2(–a|0)

S1S 2 Für die Fläche A und den Umfang u einer Ellipse gilt

Ellipsenfläche

A

ab

Ellipsenumfang

u |  ª¬1,5 (a  b)  ab º¼

Der Wert für den Umfang ist nur eine Näherung, eine exakte Formel gibt es nicht.

S1S 2

2a

MF1

MF2

Mittelpunkt Brennpunkte Scheitelpunkte Hauptachse (Hyperbelachse) Länge der Hauptachse

e

Q1, Q1´ , Q2 , Q2´

Abstand der Brennpunkte vom Mittelpunkt Schnittpunkte der Asymptoten mit den Senkrechten zur Hauptachse durch die Scheitelpunkte

4 Analytische Geometrie S1Q1c

S1Q1

S2Q2c

S2Q2 p

b

Halbparameter (die halbe Länge einer senkrecht zur Hauptachse gezogenen Sehne durch einen Brennpunkt)

P1(x1|y1)

–

3. Koordinatenachsen als Asymptoten, Mittelpunkt im Koordinatenursprung:

beliebiger Punkt der Hyperbel

r1 , P1F2

x˜ y

Abstand von P1 zu den Brennpunkten

r2

r1  r2

2a

Betragsdifferenz der Abstände ist konstant

a 2  b2

e2

gilt nach dem Satz des Pythagoras

H

heißt lineare Exzentrizität der Hyperbel

a 2  b2 ! 0

heißt numerische Exzentrizität der Hyperbel

e !1 a

Bemerkung Eine der drei Größen a, b, e kann wegen a2 + b2 = e2 aus den beiden anderen berechnet werden.

1. Scheitelpunkte auf der x-Achse, Mittelpunkt im Koordinatenursprung:

1

Beide Koordinatenachsen sind Symmetrieachsen der Hyperbel. Die Hyperbel ist nach rechts und nach links geöffnet. Diese Gleichung nennt man auch die Normalform der Hyperbelgleichung. b Gleichungen der Asymptoten: y r x a Nur im Falle a = b stehen die Asymptoten senkrecht aufeinander. Solche Hyperbeln heißen gleichseitige Hyperbeln. 2. Hauptachse parallel zur x-Achse, Mittelpunkt M(xm|ym): ( x  xm a2

)2



( y  ym b2

y

c (c z 0) x



Beispiel:

x2 y2  1. 16 20 Gesucht: Brennpunkte, numerische Exzentrizität. Berechnung der Brennpunkte: e2 a 2  b 2 16  20 36 62 Ÿ F1 (6 | 0), F2 (6 | 0)

Gegeben: Hyperbelgleichung

Numerische Exzentrizität: H

e a

6 4

1,5

4.5.3 Parabeln

Hyperbelgleichungen

x2 y 2  a 2 b2

c oder

Für c > 0 ist die Winkelhalbierende y = x die Hauptachse, die Hyperbeläste liegen im ersten und im dritten Quadranten. Im Falle c < 0 ist die Winkelhalbierende y = –x die Hauptachse, die Hyperbeläste liegen im zweiten und im vierten Quadranten. Gleichungen der Asymptoten: x = 0, y = 0

Eigenschaften

e

–

Die Hyperbel ist nach rechts und nach links geöffnet. Diese Gleichung heißt auch Mittelpunktsform der Hyperbelgleichung. Gleichungen der Asymptoten: b y r ( x  xm )  ym a

Abstand der Schnittpunkte zu den Scheitelpunkten

b2 a

P1F1

A 41

)2

1

Eine Parabel ist der geometrische Ort aller Punkte einer Ebene, die von einem festen Punkt F (Brennpunkt) und einer festen Geraden l (Leitlinie) den gleichen Abstand besitzen. Der Punkt, der in der Mitte zwischen dem Brennpunkt F und der Leitlinie l liegt, ist der Scheitelpunkt S. Die Gerade durch die Punkte F und S heißt Parabelachse. Sie ist Symmetrieachse für die Parabel und steht senkrecht auf der Leitlinie l. Der Abstand p des Brennpunkts F von der Leitlinie l heißt Parameter der Parabel. Der Brennpunkt hat die Eigenschaft, alle innen an der Parabel reflektierten achsenparallelen Strahlen in sich zu vereinigen (Anwendung: Parabolspiegel). Parabelgleichungen 1. x-Achse ist Parabelachse, Scheitelpunkt im Koordinatenursprung, Parabel nach rechts geöffnet: y2

2 px,

p!0

A 42

A Mathematik

Der Brennpunkt ist F (

p 0) , die Gleichung der 2

Der Brennpunkt ist F (0 |

p . Diese Gleichung nennt 2 man auch die Normalform der Parabelgleichung.

Leitlinie ist x

p ) , die Gleichung der 2

p . 2 Eine Parabel in dieser Lage ist der Graph einer quadratischen Funktion (vgl. Abschnitt 2.4.3).



Leitlinie ist y





Beispiel: Gegeben: Parabelgleichung y 2

6x .

Gesucht: Brennpunkt, Gleichung der Leitlinie. Parameter: p = 3 p 3 Brennpunkt: F ( 0) F ( 0) 2 2 Gleichung der Leitlinie: x



p 2



3 2

4.5.4 Anwendungsbeispiel

Bild 19. Parabel mit Brennpunkt F und Scheitelpunkt S 2. Parabelachse parallel zur x-Achse, Scheitelpunkt S(xs|ys), Parabel nach rechts geöffnet: ( y  ys ) 2

2 p ( x  xs ),

p!0

p  xs ys ) , die Gleichung 2 p der Leitlinie ist x xs  . Diese Gleichung 2 heißt auch Scheitelpunktsform der Parabelgleichung.

Der Brennpunkt ist F (

Ein parabelförmiger Brückenbogen (Achse vertikal und Parabel nach unten geöffnet) hat zwischen den in gleicher Höhe liegenden Lagern (Enden) des Bogens L und L' die Spannweite 2a LLc =32 m. Die Scheitelhöhe (Höhe des Scheitelpunktes S über LLc ) beträgt b = 10 m. Die horizontal verlaufende Straße liegt h = 4 m über LLc und schneidet den Brückenbogen in P1 und P1c , den Befestigungspunkten des Straßenkörpers. Der Straßenkörper wird außer von einem Vertikalstab im Scheitelpunkt S (Länge b – h = 6 m) noch von zwei weiteren Vertikalstäben gehalten, die in der Mitte des horizontalen Abstandes von S und P1 sowie von S und Pc1 in den Punkten P2 und P2c am Brückenbogen angebracht sind. Wie groß ist die Länge l dieser Vertikalstäbe? Wie groß sind P1P1c und P2 P2c ?

3. Parabelachse parallel zur x-Achse, Scheitelpunkt S(xs|ys), Parabel nach links geöffnet: ( y  ys ) 2

2 p ( x  xs ),

Der Brennpunkt ist F ( chung der Leitlinie ist x

p!0

p  xs ys ) , die Glei2 p xs  . 2

4. y-Achse ist Parabelachse, Scheitelpunkt im Koordinatenursprung, Parabel nach oben geöffnet: x2

2 py oder y

1 2 x 2p

( p ! 0)

Bild 20. Zum Anwendungsbeispiel Die Skizze veranschaulicht nur eine Hälfte der symmetrischen Straßenbrücke. Zur Lösung der Aufgabe denkt man sich ein Koordinatenkreuz gelegt, so dass die Parabel des Brückenbogens die Gleichung y  px 2 hat. Setzt man die Koordinaten des Lagerpunktes L ein, so ergibt sich b  b  pa 2 Ÿ p a2 Der Befestigungspunkt P1 hat nach Aufgabenstellung die Ordinate y1 = –(b – h). Mit Hilfe der Parabelglei-

4 Analytische Geometrie

A 43

chung y  px12 erhält man seine Abszisse x1 durch Auflösen nach x1 und Einsetzen von y1 und p:  (b  h)

y1 p

x1



Der

Befestigungspunkt

x2

1 x1 2

a 2

a

b a2

eines Vektors ist die Länge des Vektors, also die soll

P2

bh b

die

Abszisse

bh haben, also ist seine Ordinate b

b §¨ a a 2 ¨© 2

2

· bh ¸  . ¸ 4 ¹ Die gesuchte Vertikalstablänge l ist l = y2 – y1 = 3 (b – h). Die Strecken P1P1c und P2 P2c haben die 4 Längen y2

 px22



bh b

bh bh und 2 x2 a . b b Mit den gegebenen Abmessungen ergibt sich für die gesuchten Längen

2 x1

l

2 x2

2a

3 (10  4) 4 16

4,50m, 2 x1

10  4 10

G zeichnet: a PQ (gesprochen: Vektor a, Vektor PQ). Der Punkt P ist der Anfangspunkt und der Punkt Q G der Endpunkt des Vektors. Der Betrag a PQ

2 ˜16

10  4 10

24,78! m,

12,39! m .

4.6 Vektoren 4.6.1 Definitionen Eine gerichtete und orientierte Strecke bezeichnet man als Vektor. Ein Vektor ist durch drei Größen bestimmt: Richtung, Orientierung und Länge. Vektoren, die in diesen drei Größen übereinstimmen, sind gleich, unabhängig von ihrer Lage in der Ebene oder im Raum.

Länge der Verbindungsstrecke PQ . Der Betrag ist eine nichtnegativeG reelle Zahl. G Zwei G G Vektoren a und b sind gleich, in Zeichen a b , wenn sie den gleichen Betrag und gleiche Richtung und gleiche Orientierung haben. Vektoren dürfen daher parallel verschoben werden. Gleiche Vektoren gehen durch Parallelverschiebung ineinander über. Im Unterschied zu diesen so genannten freien Vektoren haben Ortsvektoren OP einen festen Anfangspunkt O. Ortsvektoren können also nicht verschoben werden.

Spezielle Vektoren G – Der Nullvektor 0 hat den Betrag 0 und unbestimmte Richtung. G G – Ein Vektor e mit dem Betrag e = 1 heißt Einheitsvektor. Man bezeichnet Einheitsvektoren auch als normierte Vektoren. 4.6.2 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar G Multipliziert man einen Vektor a mit einem Skalar (also einerG reellen Zahl) Oബ, dann erhält man einen G G Vektor a mit dem GBetrag a =  ¸ a (|O|-facher G G Betrag des Vektors a ). Für O > 0 haben a und a gleiche Richtung und Orientierung, für O < 0 haben G G a und a gleiche Richtung und entgegengesetzte Orientierung.

G G Bild 22. Vektoren a und 2a

Bild 21. Gleiche Vektoren Eine Größe, die durch einen einzigen reellen Zahlenwert charakterisiert wird, heißt Skalar. Beispiele für Skalare sind Temperatur, Arbeit, Masse, Energie. Vektoren dagegen sind Größen, zu deren vollständiger Beschreibung neben einem Zahlenwert, ihrem Betrag (Länge des Vektors), noch die Angabe ihrer Richtung und Orientierung erforderlich sind. Beispiele für Vektoren sind Kraft, Geschwindigkeit, Beschleunigung, magnetische Feldstärke. Vektoren werden meist mit kleinen lateinischen Buchstaben, die mit einem Pfeil versehen sind, be-

G Multiplikation mit O = –1 ergibt den Vektor a . Dieser Vektor hat den gleichen Betrag und die gleiG che Richtung wie der Vektor a , jedoch die entgegengesetzte Orientierung.

4.6.3 Addition und Subtraktion zweier Vektoren G G Sollen zwei Vektoren a und b addiert werden, so bringt man durch Parallelverschiebung den AnfangsG G b in den Endpunkt des Vektors a . punkt des Vektors G G Die Summe a  b Gist dann derjenige Vektor, G der vom Anfangspunkt von a zum Endpunkt von b führt.

A 44

A Mathematik 4.6.4 Komponentendarstellung von Vektoren in der Ebene Wählt man in einem kartesischenG Koordinatensystem der Ebene einen Einheitsvektor e1 mit Richtung und Orientierung wieG die positive x-Achse und einen Einheitsvektor e2 mit Richtung und Orientierung wie G die positive y-Achse, dann lässt sich jeder Vektor a in der Ebene in eindeutiger Weise als LinearkomG bination G der beiden so genannten Basisvektoren e1 und e2 darstellen. G a

Bild 23. Vektoraddition

G G Die Subtraktion zweierG Vektoren G a und b ist definiert als Addition von a und  b .

G

G

ab

G

G G a1e1  a2e2 , a1, a2 ബ

G G Die beiden Vektoren a1e1 und a2Ge2 werden G durch Parallelen zu den Basisvektoren e1 und e2 konstruiert.

G

a  (b )

G G Legt man die Anfangspunkte von G Ga und b übereinander, dann istG der Vektor a  b der G Vektor vom Endpunkt von b zum Endpunkt von a .

Bild 25. Komponentendarstellung eines Vektors in der Ebene G G G Der Vektor a = a1e1 + a2e2 wird identifiziert mit dem so genannten Spaltenvektor

G

a

Bild 24. Vektorsubtraktion G Zeichnet a G man ein Parallelogramm mit den G G Seiten b , so kann man die Diagonale als a  b oder als und G G b  a auffassen. Die Addition von Vektoren ist also kommutativ.

Kommutativgesetz G G G G ab b a Auch das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz sind erfüllt.

§ a1 · ©¨ a ¹¸ a

Dabei heißen a1 und a2 die beiden Komponenten oder G die kartesischen Koordinaten des Vektors a . Mit Hilfe der Komponenten lassen sich Addition und Subtraktion von Vektoren sowie die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar folgendermaßen darstellen:

G

G

§ a1 · § b1 · ¨© a ¸¹  ¨© b ¸¹ 2 2

§ a1  b1 · ¨© a  b ¸¹ 2 2

G

G

§ a1 · § b1 · ¨© a ¸¹  ¨© b ¸¹ 2 2

§ a1  b1 · ¨© a  b ¸¹ 2 2

§ a1 · § b1 · ˜¨ ¸  ¨ ¸ © a2 ¹ © b2 ¹

§ O a1 · ¨© O a ¸¹ 2

ab

Assoziativgesetz

G

G

G

a  (b  c )

G

G

G

(a  b )  c

G

G

G

abc

ab

Distributivgesetz G G  ˜ (a  b )

G G  ˜ a   ˜ b (Oബ

G

˜a

4 Analytische Geometrie

A 45

JJJG G Der Betrag a PQ , also die Länge des Vektors G a PQ , ist die Entfernung zwischen den Punkten P und Q. Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

G

a=

G

G

G

G

ab

a12 + a22 a b

4.6.5 Komponentendarstellung von Vektoren im Raum Ganz analog wählt man in einem kartesischen KoorG dinatensystem des Raums drei Einheitsvektoren e1 , G G e2 , e3 mit Richtung und Orientierung wie die positive x-Achse, die positive y-Achse undGdie positive zAchse. Dann lässt sich jeder Vektor a im Raum in eindeutiger Weise der drei G Gals Linearkombination G Basisvektoren e1 , e2 und e3 darstellen. G a

G G G a1e1  a2 e2  a3e3 , a1, a2, a3  ബ

G G G Die drei Vektoren a1e1 , a2e2 und Ga3e3G werden G durch Parallelen zu den Basisvektoren e1 , e2 und e3 konstruiert.

G

˜a

§ a1 · § b1 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ a2 ¸  ¨ b2 ¸ ¨a ¸ ¨b ¸ © 3¹ © 3¹

§ a1  b1 · ¨ ¸ ¨ a2  b2 ¸ ¨a  b ¸ 3¹ © 3

§ a1 · § b1 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ a2 ¸  ¨ b2 ¸ ¨a ¸ ¨b ¸ © 3¹ © 3¹

§ a1  b1 · ¨ ¸ ¨ a2  b2 ¸ ¨a b ¸ 3¹ © 3

§ a1 · ¨ ¸  ˜ ¨ a2 ¸ ¨a ¸ © 3¹

§ a1 · ¨ ¸ ¨ a2 ¸ ¨ a ¸ © 3¹

JJJG G Der Betrag a PQ , also die Länge des Vektors G a PQ , ist die Entfernung zwischen den Punkten P und Q. Durch zweimalige Anwendung des Satzes von Pythagoras errechnet man:

G

a

a12  a22  a32

4.6.6 Skalarprodukt G Für die beiden Vektoren a

§ a1 · G ¨ ¸ ¨ a2 ¸ und b ¨a ¸ © 3¹

§ b1 · ¨ ¸ ¨ b2 ¸ ¨b ¸ © 3¹

heißt

G G

a ˜b

Bild 26. Komponentendarstellung eines Vektors im Raum G G G G Der Vektor a a1e1  a2 e2  a3e3 wird identifiziert mit dem Spaltenvektor

G

a

§ a1 · § b1 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ a2 ¸ ˜ ¨ b2 ¸ ¨a ¸ ¨b ¸ © 3¹ © 3¹

a1b1  a 2 b2  a3b3

Skalarprodukt oder inneres Produkt. Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist kein Vektor, sondern eine reelle Zahl, also ein Skalar. Geometrisch ist das SkaG larprodukt das Produkt der Länge des Vektors a und G der Länge der senkrechten Projektion des Vektors b G G G auf a , also, falls M = ෵ ( a , b ) den Winkel zwischen G G a und b bezeichnet,

G G

a ˜b

G

G

a ˜ b ˜ cos M

§ a1 · ¨ ¸ ¨ a2 ¸ ¨a ¸ © 3¹

Dabei heißen a1, a2, a3 die Komponenten oder die G kartesischen Koordinaten des Vektors a . Mit Hilfe der Komponenten lassen sich auch im Raum Addition und Subtraktion von Vektoren sowie die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar darstellen:

G G

Bild 27. Skalarprodukt: a ˜ b

G

G

| a | ˜ | b | ˜ cos M

A 46

A Mathematik

G G Für den Winkel M = ෵ ( a , b ) gilt somit:

G G G G

cos M

a ˜b

a1b1  a2b2  a3b3

a ˜b

a12  a22  a32 ˜ b12  b22  b32

Die folgenden Rechenregeln lassen sich aus der Definition ableiten: G G G G 1. a ˜ bG = bG ˜ a G G G G 2. (G ˜ a )G ˜ b G aG˜ (G ˜ b )G G ˜ (a ˜ b ) 3. (Ga G b ) ˜ c aG˜ c  bG˜ c G G 4. a ˜ b 0 œ a A b ( a und b stehen senkrecht aufeinander) G G G 5. a a ˜a G G So folgt zum Beispiel aus 4., nämlich dass a ˜ b 0 genau für zwei senkrecht aufeinander stehende (man G G sagt auch orthogonale) Vektoren a und b gilt, dass genau dann der Winkel M gleich 90° ist (Ÿ cosM = 0). Das Skalarprodukt lässt sich entsprechend auch in der Ebene, also für Vektoren mit zwei Komponenten, definieren. 

Beispiel:

 4¬­  2¬­ G ž ­ G ž ­ Das Skalarprodukt der Vektoren a = ž ž 3­­ und b = žž5­­ ist ž ­­ žŸ1®

ž ­­ žŸ 2®

 2¬  4¬­ G G ž ­ ­ž ­ a¸b = ž žž 3­­ ¸ žžž5­­ = 2 ¸ 4 + 3 ¸ (5) + (1) ¸ 2 = 8  15  2 = 9 ­ ­ Ÿž1®­ Ÿž 2®­

4.6.7 Vektorprodukt G Sind a

§ a1 · G ¨ ¸ ¨ a2 ¸ und b ¨a ¸ © 3¹

§ b1 · ¨ ¸ ¨ b2 ¸ zwei Vektoren im Raum, ¨b ¸ © 3¹

so heißt der Vektor

G G

a ˜b

§ a1 · § b1 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ a2 ¸ ˜ ¨ b2 ¸ ¨a ¸ ¨b ¸ © 3¹ © 3¹

§ a2b3  a3b2 · ¨ ¸ ¨ a3b1  a1b3 ¸ ¨ab a b ¸ 2 1¹ © 1 2

Vektorprodukt oder Kreuzprodukt oder äußeres ProG G dukt der Vektoren a und b . Das Vektorprodukt ist im Unterschied zum Skalarprodukt nur im Raum definiert. Das Vektorprodukt besitzt folgende Eigenschaften: G G G G 1. b ˜ aG  a ˜b G G G G G 2. a ˜bG 0 , falls a = 0 oder b = 0 oder a parallel zu b G G G G G G 3. (a )G˜b a ˜(b ) G (a ˜b ) G G G G G 4. (a  b ) ˜c a ˜ c  b ˜ c G G G G 5. a ˜b steht senkrecht auf den Vektoren a und b G G G G G G G G 6. a ˜b a ˜ b ˜sin M a ˜ b ˜ sin ෵ (a , b ) G G G G 7. a , b , a ˜b bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem

G G G Der G Vektor a ˜b steht also senkrecht auf a und auf b . Sein Betrag (seine Länge) ist gleich G G dem Flächeninhalt des von den beiden Vektoren G a und b aufgespannten Parallelogramms. Falls a aufG dem kürzesG G ten Weg nach b gedreht wird, zeigt a ˜b in Richtung der Bewegung einer Schraube mit Rechtsgewinde.

.

G G G G Bild 28. Vektorprodukt a ˜b der Vektoren a und b 

Beispiel:

1¬  2¬ G ž ­ G ž ­ ­ ­ Für die Vektoren a = ž žž 2­­ und b = žžž 1­­ ergibt sich für das ­ žŸ2®­­ žŸ3®­ § 1 · G G ¨ ¸ Vektorprodukt a ˜ b ¨ 8 ¸ . ¨ 5 ¸ © ¹ Zur Probe kann man etwa Eigenschaft 5. benutzen: Es muss G G G G G G (a ˜ b ) ˜ a 0 (und auch (a ˜ b ) ˜ b 0 gelten: § 1 · § 1 · G G G ¨ ¸¨ ¸ (a ˜ b ) ˜ a ¨ 8 ¸ ˜ ¨ 2 ¸ 116  15 0 . ¨ 5 ¸ ¨ 3 ¸ © ¹© ¹

4.6.8 Spatprodukt G G G Sind a , b und c drei Vektoren im Raum, so heißt der Skalar

G G

G

(a ˜ b ) ˜ c

Spatprodukt. Aus der geometrischen Interpretation G G G des Skalarprodukts folgt, dassG (a ˜b ) ˜c gleich dem G Produkt aus der Länge von a ˜b und G der G Länge der G G G Projektion von c auf a ˜b ist. Da | a ˜ b | gleich dem G G Flächeninhalt des von a undG b aufgespannten PaG G rallelogramms ist, stellt (a ˜b ) ˜c das Volumen des G G G von den Vektoren a , b , c aufgespannten Spates dar, falls die Vektoren eine Lage wie in Bild 29 haben. Spat ist ein anderer Name für Parallelepiped oder G Parallelflach. Zeigt c nach unten, so ist das Spatprodukt negativ, und es ist dem Betrage nach das Volumen des Spates.

5 Differenzial- und Integralrechnung

.

A 47 2. Eine zyklische (kreisförmige) Vertauschung der Vektoren ändert das Spatprodukt nicht: G G G G G G G G G ª a , b , c º ªb , c , a º ªc , a , b º ¬ ¼ ¬ ¼ ¬ ¼

Bild 29. Geometrische Veranschaulichung des Spatprodukts Mit der abkürzenden Schreibweise

G G G

ªa, b , c º ¬ ¼

G G

3. Das Spatprodukt ändert das Vorzeichen (bei gleichem Betrag), falls zwei Vektoren miteinander vertauscht werden: G G G G G G G G G G G G ªb , a , c º ª c , b , a º ª a , c , b º  ª a , b , c º ¬ ¼ ¬ ¼ ¬ ¼ ¬ ¼ G G G G G G 4. ª¬ a , b , c º¼ 0 œ aG , b , c liegen in einer Ebene G G (man sagt dann: a , b , c sind linear abhängig) G G G G G G 5. ª¬ a , b , c º¼ ! 0 œ a , b , c bilden ein Rechtssystem G G G 6. Das Volumen V des von den Vektoren a , b , c

G

gebildeten Tetraeders ist V

(a ˜ b ) ˜ c

für das Spatprodukt können einige Eigenschaften des Spatprodukts formuliert werden: § a2b3  a3b2 · § c1 · G G G G G G ª a , b , c º (a ˜ b ) ˜ c ¨ a 3 b1  a1b3 ¸ ˜ ¨ c2 ¸ ¨ ¸¨ ¸ ¼ 1. ¬ ¨ a b b a ¸ ¨ c ¸ © 1 2 1 2 ¹ © 3¹



1 G G G ªa , b , c º . ¼ 6¬

Beispiel: Das Volumen V des von den Vektoren

 1¬­  2¬­ 1¬ G ž G ž ­ ž ­­ G žž ­­­ ­ a =ž žžž 0­­­ , b = žžž1­­­ , c = žžž1­­­ aufgespannten Tetraeders Ÿ1® Ÿ 1® Ÿ2® beträgt

c1 (a2b3  a3b2 )  c2 (a3b1  a1b3 )  c3 (a1b2  b1a2 )

V

1 G G G ªa, b , c º ¼ 6¬

1 G G G (a ˜ b ) ˜ c 6

§ 1 · § 1 · 1 ¨ ¸ ¨ ¸ 3 ˜ 1 6 ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸ © 1 ¹ © 2 ¹

1 6 6

1 ˜6 6

1.

5 Differenzial- und Integralrechnung sion wird an durch Folgenglieder mit kleineren Indizes definiert. Schreibweise von Folgen:

5.1 Folgen 5.1.1 Grundbegriffe Eine Folge besteht aus Zahlen einer Menge, die in einer bestimmten Reihenfolge angeordnet sind:

(a1, a2 , a3 ,!)

Eine konstante Folge an ist eine Folge mit an = (a, a, a,...).

a1, a2 , a3 ,!, an ,!

Sind alle diese Zahlen reelle Zahlen, dann nennt man die Folge auch reelle Zahlenfolge. Die Zahlen der Folge heißen Glieder der Folge. Handelt es sich um endlich viele Zahlen, so heißt die Folge endlich, andernfalls unendliche Folge. Eine unendliche Folge lässt sich auch als Funktion (Abbildung) definieren: f: ത o ബ, n 6 f (n)

( an )

an

Unter den Gliedern einer Folge können auch gleiche Zahlen auftreten. Eine Folge kann durch direkte Angabe ihrer Glieder oder auch durch einen arithmetischen Ausdruck gegeben sein. Ein solcher arithmetischer Ausdruck kann entweder eine explizite Formel für das Folgenglied an oder eine rekursive Definition sein. Bei einer Rekur-



Beispiele: 1. (an) = (n) = (1, 2, 3, 4, ...) 2. (an) = (4 + 3(n – 1)) = (4, 7, 10, 13, ...) 3. (an) = ((–1)n+1) = (1, –1, 1, –1, 1, ...) §1· § 1 1 1 · 4. (an) = ¨ ¸ ¨1, , , ,! ¸ ©n¹ © 2 3 4 ¹

Die erste Folge ist endlich, alle anderen sind unendlich. Die erste Folge ist durch Angabe ihrer Glieder definiert und alle anderen durch eine explizite Formel. Monotone Folgen Eine Folge (an) heißt – monoton wachsend, wenn a1 d a2 d a3 d ! d an d ! gilt, – streng monoton wachsend, wenn a1  a2  a3  !  an  ! gilt,

5 Differenzial- und Integralrechnung

.

A 47 2. Eine zyklische (kreisförmige) Vertauschung der Vektoren ändert das Spatprodukt nicht: G G G G G G G G G ª a , b , c º ªb , c , a º ªc , a , b º ¬ ¼ ¬ ¼ ¬ ¼

Bild 29. Geometrische Veranschaulichung des Spatprodukts Mit der abkürzenden Schreibweise

G G G

ªa, b , c º ¬ ¼

G G

3. Das Spatprodukt ändert das Vorzeichen (bei gleichem Betrag), falls zwei Vektoren miteinander vertauscht werden: G G G G G G G G G G G G ªb , a , c º ª c , b , a º ª a , c , b º  ª a , b , c º ¬ ¼ ¬ ¼ ¬ ¼ ¬ ¼ G G G G G G 4. ª¬ a , b , c º¼ 0 œ aG , b , c liegen in einer Ebene G G (man sagt dann: a , b , c sind linear abhängig) G G G G G G 5. ª¬ a , b , c º¼ ! 0 œ a , b , c bilden ein Rechtssystem G G G 6. Das Volumen V des von den Vektoren a , b , c

G

gebildeten Tetraeders ist V

(a ˜ b ) ˜ c

für das Spatprodukt können einige Eigenschaften des Spatprodukts formuliert werden: § a2b3  a3b2 · § c1 · G G G G G G ª a , b , c º (a ˜ b ) ˜ c ¨ a 3 b1  a1b3 ¸ ˜ ¨ c2 ¸ ¨ ¸¨ ¸ ¼ 1. ¬ ¨ a b b a ¸ ¨ c ¸ © 1 2 1 2 ¹ © 3¹



1 G G G ªa , b , c º . ¼ 6¬

Beispiel: Das Volumen V des von den Vektoren

 1¬­  2¬­ 1¬ G ž G ž ­ ž ­­ G žž ­­­ ­ a =ž žžž 0­­­ , b = žžž1­­­ , c = žžž1­­­ aufgespannten Tetraeders Ÿ1® Ÿ 1® Ÿ2® beträgt

c1 (a2b3  a3b2 )  c2 (a3b1  a1b3 )  c3 (a1b2  b1a2 )

V

1 G G G ªa, b , c º ¼ 6¬

1 G G G (a ˜ b ) ˜ c 6

§ 1 · § 1 · 1 ¨ ¸ ¨ ¸ 3 ˜ 1 6 ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸ © 1 ¹ © 2 ¹

1 6 6

1 ˜6 6

1.

5 Differenzial- und Integralrechnung sion wird an durch Folgenglieder mit kleineren Indizes definiert. Schreibweise von Folgen:

5.1 Folgen 5.1.1 Grundbegriffe Eine Folge besteht aus Zahlen einer Menge, die in einer bestimmten Reihenfolge angeordnet sind:

(a1, a2 , a3 ,!)

Eine konstante Folge an ist eine Folge mit an = (a, a, a,...).

a1, a2 , a3 ,!, an ,!

Sind alle diese Zahlen reelle Zahlen, dann nennt man die Folge auch reelle Zahlenfolge. Die Zahlen der Folge heißen Glieder der Folge. Handelt es sich um endlich viele Zahlen, so heißt die Folge endlich, andernfalls unendliche Folge. Eine unendliche Folge lässt sich auch als Funktion (Abbildung) definieren: f: ത o ബ, n 6 f (n)

( an )

an

Unter den Gliedern einer Folge können auch gleiche Zahlen auftreten. Eine Folge kann durch direkte Angabe ihrer Glieder oder auch durch einen arithmetischen Ausdruck gegeben sein. Ein solcher arithmetischer Ausdruck kann entweder eine explizite Formel für das Folgenglied an oder eine rekursive Definition sein. Bei einer Rekur-



Beispiele: 1. (an) = (n) = (1, 2, 3, 4, ...) 2. (an) = (4 + 3(n – 1)) = (4, 7, 10, 13, ...) 3. (an) = ((–1)n+1) = (1, –1, 1, –1, 1, ...) §1· § 1 1 1 · 4. (an) = ¨ ¸ ¨1, , , ,! ¸ ©n¹ © 2 3 4 ¹

Die erste Folge ist endlich, alle anderen sind unendlich. Die erste Folge ist durch Angabe ihrer Glieder definiert und alle anderen durch eine explizite Formel. Monotone Folgen Eine Folge (an) heißt – monoton wachsend, wenn a1 d a2 d a3 d ! d an d ! gilt, – streng monoton wachsend, wenn a1  a2  a3  !  an  ! gilt,

A 48 – –



A Mathematik

monoton fallend, wenn a1 t a2 t a3 t ! t an t ! gilt, streng monoton fallend, wenn a1 ! a2 ! a3 ! ! ! an ! ! gilt. Beispiele: Die Folgen der Beispiele 1 und 2 sind streng monoton wachsend, die Folge aus Beispiel 4 ist streng monoton fallend.

Alternierende Folgen Eine alternierende Folge ist eine Folge, deren Glieder abwechselnd unterschiedliche Vorzeichen haben. Von zwei aufeinander folgenden Gliedern ak und ak+1 einer solchen Folge (an) ist also genau ein Glied positiv und eins negativ. 

Beispiel: Die Folge aus Beispiel 3 ist alternierend.

Beschränkte Folgen Eine Folge (an) heißt – nach oben beschränkt, wenn es eine konstante Zahl Ko gibt, so dass für alle Glieder an d Ko gilt, – nach unten beschränkt, wenn es eine konstante Zahl Ku gibt, so dass für alle Glieder an t Ku gilt, – beschränkt, wenn die Folge sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist, wenn es also zwei Zahlen Ku, Ko gibt mit Ku d an d Ko für alle n  ത. Gleichwertig damit ist, dass es eine Konstante K > 0 mit |an| d K für alle n gibt. Monoton wachsende und streng monoton wachsende Folgen sind nach unten beschränkt, monoton fallende und streng monoton fallende Folgen sind nach oben beschränkt. 

Beispiele: Die Folgen der Beispiele 3 und 4 sind beschränkt, die Folgen der Beispiele 1 und 2 sind nach unten beschränkt.

5.1.3 Geometrische Folgen

Bei einer geometrischen Folge ist der Quotient je zweier aufeinander folgender Glieder konstant. Durch das Anfangsglied a1 = a und diesen Quotienten q ist die Folge dann eindeutig bestimmt. (an )

Das n-te Glied einer geometrischen Folge lautet an = aqn–1, n  ത. Das Glied a1 = a nennt man Anfangs-

Bei einer arithmetischen Folge ist die Differenz je zweier aufeinander folgender Glieder konstant. Durch das Anfangsglied a1 = a und diese Differenz d ist die Folge dann eindeutig bestimmt.

(an )

(a, a  d , a  2d , a  3d ,! , a  (n  1)d ,!)

Das n-te Glied einer arithmetischen Folge lautet an = a + (n – 1)d, n  ത. Das Glied a1 = a nennt man Anfangsglied der Folge und d = an+1 –an (für n = 1, 2, 3, ...) die (konstante) Differenz der Folge. In einer arithmetischen Folge ist jedes Folgenglied an (n t 2) das arithmetische Mittel seiner Nachbarglieder. 

Beispiele: 1. (an) = (n) = (1, 2, 3 ,4, ...) (arithmetische Folge mit a = 1 und d = 1) 2. (an) = (4 + 3(n – 1)) = (4, 7, 10, 13, ...) (arithmetische Folge mit a = 4 und d = 3)

an 1

(für n = 1, 2, 3, ...) den an (konstanten) Quotienten der Folge. In einer geometrischen Folge ist jedes Folgenglied an (n t 2) das geometrische Mittel seiner Nachbarglieder (bis eventuell auf das Vorzeichen). glied der Folge und q



Beispiele: 1. (an) = (3 · 2n–1) = (3, 6, 12, 24, ...) (geometrische Folge mit a = 3 und q = 2) 1 1 1 1 ¬ 2. (an) = (2–n) = žžž , , , ,!­­­ (geometrische Folge mit Ÿ 2 4 8 16 ®

a=

1 1 ) und q = 2 2

5.1.4 Grenzwert einer Folge

Man sagt, die Folge (an) besitzt den Grenzwert (oder auch Limes genannt) lim an a oder (an ) o a n of

(gesprochen: Limes an gleich a), wenn die Abweichung |a – an| der Folgenglieder an von diesem Wert a für genügend große n beliebig klein wird. Grenzwert (Limes) lim an

n of

5.1.2 Arithmetische Folgen

(a, aq, aq 2 , aq3 ,! , aq n 1 ,!)

a oder (an ) o a

Exakte Definition: Die Folge (an) besitzt den Grenzwert lim an n of

a,

wenn sich nach Vorgabe einer beliebig kleinen positiven Zahl H ein n0  ത so finden lässt, dass für alle n t n0 gilt a  an  H

Das n0 hängt offensichtlich von der Wahl von H ab, also n0 = n0(H). Besitzt (an) den Grenzwert a, so sagt man, dass (an) gegen a konvergiert. Eine Folge, die einen Grenzwert besitzt, heißt konvergent. Eine Folge, die keinen Grenzwert besitzt, heißt dagegen divergent. Eine Folge besitzt höchstens einen Grenzwert. Eine Nullfolge ist eine Folge, die den Grenzwert 0 besitzt.

5 Differenzial- und Integralrechnung



A 49

lim

Beispiel: 1.

Die Folge (an) mit an =

1 hat den Grenzwert a = 0, denn 10n

n of

die Differenz a  an

1 0 10n

n of

lim q n

1 wird für große n be10n

Konvergente Folgen sind beschränkt. Eine beliebige Folge kann also nur konvergent sein, wenn sie beschränkt ist. Es gilt folgendes Konvergenzkriterium: Eine monotone und beschränkte Folge ist stets konvergent. Für konvergente Folgen gelten verschiedene Rechenregeln: lim (an  bn )

n of

lim (an  bn )

lim an  lim bn

n of

lim (an ˜ bn )

nof

n of

lim bn

3. 4.

lim an lim an

n of

lim an

n of

n of

lim

1

0

n of n

lim

n

n of n  1

§ 1· lim ¨ ¸ n of © 2 ¹

2, 718 281828 4!

5.1.6 Divergente Folgen

lim

n

q

1 ( q ! 0)

lim

n

n

1

f

Eine Folge (an) heißt dagegen bestimmt divergent gegen –f, wenn zu jeder noch so kleinen vorgegebenen Zahl –K (K > 0) ein Index n0 existiert, so dass an < –K für alle Indizes n t n0 gilt. Eine solche bestimmt divergente Folge fällt für n o f unter alle Grenzen. Man schreibt dann

1

lim an

n of

f

0

Für einige wichtige konvergente Zahlenfolgen sind in der folgenden Tabelle ihre Grenzwerte angegeben.

cr n r  cr 1n r 1 !  c1n  co nof d s n s  d s 1n s 1  !  d1n  d o lim

e

Eine Folge, die keinen Grenzwert besitzt, heißt divergent. Bei divergenten Folgen unterscheidet man zwischen bestimmter und unbestimmter Divergenz. Eine Folge (an) heißt bestimmt divergent gegen +f, wenn zu jeder beliebig großen vorgegebenen Zahl K ein Index n0 existiert, so dass an > K für alle Indizes n t n0 gilt. Eine solche bestimmt divergente Folge wächst für n o f über alle Grenzen. Man schreibt dann

n

5.1.5 Tabelle einiger Grenzwerte

n of

n

lim an

Die Folge aus Beispiel 4 ist eine geometrische Folge. Es gilt: Jede geometrische Folge mit an = aqn–1 konvergiert gegen Null, wenn |q|, der Betrag von q, kleiner als 1 ist.

n of

§ 1· lim ¨1  ¸ n of © n¹

(a  ബ)

n of

, falls bn z 0 und lim bn z 0

n of

n of

0

n of

Beispiele:

2.

an n of n!

n of

nof

lim an

an n o f bn lim

n of

0 ( q  1)

lim an ˜ lim bn

n of



lim an  lim bn

n of

lim nq n

lim

0.

0 (a > 0, a z 0)

0 ( q  1)

n of

1 liebig klein. Wählt man etwa H = 10 so gilt |a – an| < H für 10

1 lim n t 11. Es gilt also lim an n of n of 10n Die Folge (an) ist somit eine Nullfolge.

log a n n

Eine Folge, die nicht konvergent und nicht bestimmt divergent ist, heißt unbestimmt divergent. Monoton (streng monoton) wachsende und nicht beschränkte Folgen (an) sind bestimmt divergent mit lim an = f. Monoton (streng monoton) fallende und nicht beschränkte Folgen (an) sind bestimmt divergent mit lim an = –f. 

Beispiele: 1. lim n n of

f

(denn (an) = (n) ist streng monoton wachsend und nicht beschränkt) 2.

­ cr für r s ° ® dr °0 für r  s ¯

(c0, c1, ..., cr, d0, d1, ..., ds  ബ, cr z 0, ds z 0)

lim ( n)3

n of

f

(denn (an) = (–n3) ist streng monoton fallend und nicht beschränkt) 3.

(a n ) = ((- 3)n ) = ((- 1)n ×3n ) ist unbestimmt divergent

Die Folge aus Beispiel 1 ist eine arithmetische Folge. Es gilt:

A 50

A Mathematik

Jede arithmetische Folge ist divergent, denn die Differenz zweier aufeinander folgender Glieder ist stets d. Für positive Werte von d werden die Glieder an der Folge ab einer Stelle größer als jede beliebig große Zahl. Für negative Werte von d werden die Glieder an dagegen ab einer Stelle kleiner als jede vorgegebene beliebig kleine Zahl. Jede arithmetische Folge ist also bestimmt divergent. Die Folge aus Beispiel 3 ist eine geometrische Folge. Es gilt: Jede geometrische Folge mit an = aqn–1 ist divergent, wenn der Betrag |q| größer als 1 ist, und zwar für q > 1 bestimmt divergent und für q < –1 unbestimmt divergent.

5.2 Reihen 5.2.1 Definitionen Eine Reihe ist die Summe der Glieder einer Folge (Zahlenfolge) (an). a1  a2 !  an !

Ist die Folge endlich, so nennt man auch die Reihe endlich. Für unendliche Folgen ergeben sich unendliche Reihen.

¦a

¦ 2k

f

¦ (a

3

Folgende Summen heißen Teilsummen oder Partialsummen der Reihe:

3.

sn a1  a2  a3 !  an

¦a ,!

k 1

f

k

c

¦a

k

k 1

2  2 ˜ 22  3 ˜ 23  4 ˜ 24  5 ˜ 25  6 ˜ 26

2  8  24  64  160  384

4.

¦k

642

1 2  3 !  n !

k 1

Diese unendliche Reihe ist bestimmt divergent, denn die Folge (an) = (n) ist bestimmt divergent (vgl. Abschnitt 5.1.6). 5.

¦ (1)k

1  1  1  1  1  1  !

k 1

k

Man spricht von einer konvergenten unendlichen Reihe, wenn die Folge (sn) der Partialsummen konvergiert, also einen Grenzwert s besitzt. k

¦ k ˜ 2k f

Für die Partialsummen gilt ì 0 falls n gerade ist sn = í î - 1 falls n ungerade ist

k 1

nof

k

k 1

k 1

f

n

f

k

Beispiele:

s1 a1 , s2 a1  a2 ,...,

¦a

f

¦ a  ¦b

f

6

3 2 33 3n  !  ! (unendliche Reihe) 2 3 n

s lim sn

k 1

k 1

¦c˜a 

3k ¦k k 1

 bk )

k 1

(endliche Reihe) f

f

2  4  8  !  1024

k 1

2.

¦ c ˜ ak ,

f

f

k

k 1

21  2 2  2 3  !  210

¦ (ak  bk ) und

k 1

c  ബ, und es gilt

Beispiele: 1.

, so kon-

k 1

Das Zeichen f bedeutet dabei, dass die Reihe nicht abbricht. Sie besteht aus unendlich vielen Summanden. Die Zahlen an, also die Summanden, heißen auch Glieder der Reihe. 10

f

¦ bk

und

k 1 k

k 1



f

¦ ak

Konvergieren die Reihen vergieren auch die Reihen

f

a1  a2 !  an !

Dieser Grenzwert s heißt die Summe der Reihe. Eine unendliche Reihe ist also genau dann konvergent, wenn die Folge der Partialsummen konvergiert. Besitzt die Folge der Partialsummen keinen Grenzwert, dann heißt die unendliche Reihe divergent. In diesem Fall können die Partialsummen unbegrenzt wachsen oder oszillieren (die Folge der Partialsummen ist alternierend). Die unendliche Reihe heißt bestimmt divergent, wenn die Folge (sn) der Partialsummen bestimmt divergent ist. Ist die Folge der Partialsummen unbestimmt divergent, so heißt auch die unendliche Reihe unbestimmt divergent. Die Frage nach der Konvergenz einer unendlichen Reihe wird somit auf die Frage nach der Existenz eines Grenzwertes der Folge (sn) der Partialsummen zurückgeführt. Die Folge der Glieder (an) einer konvergenten Reihe muss gegen Null konvergieren, also eine Nullfolge sein. Diese Bedingung ist notwendig, sie reicht jedoch für die Konvergenz einer unendlichen Reihe nicht aus (vgl. Abschnitt 5.2.4). Für konvergente Reihen gelten verschiedene Rechenregeln:

Die unendliche Reihe ist unbestimmt divergent. f

6.

¦

1

k 1 k (k  1)

Aus ak

1 1 1 1    ! 1˜ 2 2 ˜ 3 3 ˜ 4 4 ˜ 5

1 k (k  1)

1 1  folgt k k 1

5 Differenzial- und Integralrechnung n

sn

A 51

1 · 1 § 1 · § 1 1· § 1 1 · §1 ¨©1  ¸¹  ¨©  ¸¹  ¨©  ¸¹ !  ¨©  ¸ 1 n n  1¹ n 1 2 2 3 3 4

¦ ak

k 1

Wegen lim sn n of

1 · § lim ¨1  ¸ n  1¹

1  lim

n of ©

1

n of n  1

1 ist die

=

a + aq + aq2 + ... +

qsn =

aq + aq2 + ... +

ist

nicht

konvergent,

k 1 bilden wegen lim an ak = 3k  2 n of Nullfolge.

denn

die

n 1 lim n of 3n  2

Glieder 1 keine 3

n

¦ (a  (k  1)d )

¦ aq

sn

Eine arithmetische Reihe entsteht aus den Gliedern einer arithmetischen Folge. Da schon jede unendliche arithmetische Folge divergiert, ist auch jede unendliche arithmetische Reihe divergent. Da unendliche arithmetische Folgen bestimmt divergent sind (vgl. Abschnitt 5.1.6), sind auch unendliche arithmetische Reihen bestimmt divergent. Die Summe sn einer endlichen arithmetischen Reihe

aqn – 1 + aqn

Zieht man die zweite Gleichung von der ersten ab, so folgt sn – qsn = a – aqn und somit für die Summe sn einer endlichen geometrischen Reihe mit q z 1:

5.2.2 Arithmetische Reihen

n

aqn – 1

1.

f

7.

ergibt sich für

q z 1 aus folgender Rechnung: sn

f

k 1 ¦ k 1 3k  2

n

¦ aq k 1

k 1

gegebene Reihe konvergent mit dem Grenzwert 1: 1 ¦ k 1 k ( k  1)

lichen geometrischen Reihe

k 1

a

1  qn 1 q

3˜

9765624 4

k 1

 q z 1

Für q = 1 gilt sn = n · a. 

Beispiele: 5

1.

1  25 1 2

2k 1

¦

k 1

10

2.

¦ 3 ˜ 5k 1

3˜

k 1

lässt sich jedoch allgemein berech-

31

1  510 1 5

7324218

k 1

nen. Wegen a1 = a folgt sn = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + ... + (a1 + (n – 1)d). Dreht man die Reihenfolge der Summanden um und beachtet, dass die Differenz zweier aufeinander folgender Glieder gleich d ist, so folgt andererseits sn = an + (an – d) + (an – 2d) + ... + (an – (n – 1)d). Schreibt man diese beiden Ausdrücke für sn untereinander sn = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + ... + (a1 + (n – 1)d) sn = an + (an – d) + (an – 2d) + ... + (an – (n – 1)d) und addiert jeweils die beiden übereinander stehenden Terme, so folgt 2sn = n(a1 + an), denn jede dieser Summen ist a1 + an und es gibt insgesamt n solcher Summen. n

sn

¦ (a  (k  1)d ) k 1

n (a1  an ) 2

1 q n ist für q z 1 das n-te Glied 1 q der Folge der Partialsummen. Die Größen a und q sind Konstanten, die Konvergenz der Folge hängt nur von der Größe 1 – qn ab. Für q > 1 und q d –1 divergiert die Folge (qn), die geometrische Reihe ist dann also ebenfalls divergent. Für q t 1 ist die unendliche geometrische Reihe bestimmt divergent, für q d –1 ist sie unbestimmt divergent. Für |q| < 1 wird |q|n = |qn| beliebig klein, wenn n nur groß genug gewählt wird, das heißt, es gilt

Die Summe sn = a

lim q n

ge (qn), es gilt dann lim (1  q n ) 1  lim q n n of

n of

n

s

¦ aq

lim sn

n of

k 1

lim a

qn  1 q 1

60 § ¨a 23 ©

5, q

n of

k 1

a 1 q

( q  1)

Beispiele: 100

1.

¦k

50(1  100)

5050



k 1

100

2.

¦ (3  4k )

k 1

100 (7  403) 2

50 ˜ 410

20500

Beispiele: f

3.

§ 11·

¦ 5 ˜ ¨©  12 ¸¹

k 1

f

4.

§ 1·

¦ ¨© 2 ¸¹

k 1

k

5 11 12

1

k 1

5.2.3 Geometrische Reihen

Eine geometrische Reihe entsteht aus den Gliedern einer geometrischen Folge. Die Summe sn einer end-

1 . In

diesem Fall konvergiert die unendliche geometrische Reihe und hat den Grenzwert

Die Summe einer endlichen arithmetischen Reihe mit n Summanden ist also die Summe des ersten und des letzten Glieds multipliziert mit der halben Anzahl der Summanden. 

0 . Für |q| < 1 konvergiert deshalb die Fol-

n of

1 2 1

1 2

§ 1 ¨a ©

q

1· ¸ 2¹



11· ¸ 12 ¹

A 52

A Mathematik

5.2.4 Harmonische Reihen Ist

§1· (an ) ¨¨ ¸¸ ©2¹

chen haben, dann nennt man

n

, so nennt man ¦ ak k 1

harmonische Reihe und

f

n 1 ¦k k 1

f 1 k k 1

¦ ak ¦

k 1

alternierende Reihe und

harmonische Reihe. Ist

§ 1· (an ) ¨¨ (1) n 1 ¸¸ , n¹ ©

dann heißt die Reihe alternieren-

f

1

1 1 1 1 1 1 1 1       2 3 4 5 6 7 8

k 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1          ! 9 10 11 12 13 14 15 16 17 § 1· §1 1· §1 1 1 1· ¨1 ¸  ¨  ¸  ¨    ¸ © 2¹ © 3 4¹ © 5 6 7 8¹ §1 1 1 1 1 1 1 1 · 1  ¨        ¸  ! © 9 10 11 12 13 14 15 16 ¹ 17 § 1· § 1 1· §1 1 1 1· ! ¨ ¸¨  ¸¨    ¸ © 2¹ © 4 4¹ ©8 8 8 8¹ §1 1 1 1 1 1 1 1· 1  ¨        ¸  ! © 16 16 16 16 16 16 16 16 ¹ 32 1 1 1 1 1     ! 2 2 2 2 2

Die unendliche Reihe

f

¦ 12

ist eine arithmetische

k 1

Reihe (mit d = 0) und deshalb bestimmt divergent. Somit folgt f

1

¦k

k 1



Beispiele: 10

1.

¦ (1)k k

1  2  3  4  5  6  7  8  9  10

k 1

2.

f (1) k 1

¦

k 1

k

Für alternierende Reihen gibt es ein einfaches Kriterium, mit dem sich die Konvergenz der Reihe untersuchen lässt: Eine alternierende Reihe

f

¦ ak ,

bei der (|an|), also

k 1

die Folge der Beträge der Glieder, eine monoton fallende Nullfolge bildet, ist stets konvergent (Leibnizsches Konvergenzkriterium). 

Beispiel: f

3.

1

¦ (1)k 1 k

k 1

1

1 1 1 1    !  (1) n 1  ! n 2 3 4

Die alternierende harmonische Reihe ist konvergent nach dem Leibnizschen Konvergenzkriterium, denn die Folge der § 1· Beträge der Glieder, also ¨ (1)n 1 ¸ © n¹

§ 1· , ist monoton ©¨ n ¹¸

fallend und eine Nullfolge.

5.3 Grenzwerte von Funktionen 5.3.1 Grenzwert an einer endlichen Stelle Die Funktion y = f (x) besitzt an der Stelle x = a den Grenzwert lim f ( x) A oder f (x) o A für x o a xoa

f

k 1

Die harmonische Reihe ist bestimmt divergent, obwohl die Glieder der Reihe eine Nullfolge bilden. Die unendliche alternierende harmonische Reihe ist dagegen konvergent. 

f

¦ ak eine unendliche alter-

nierende Reihe.

de harmonische Reihe. Die unendliche harmonische Reihe ist bestimmt divergent, wie folgende Rechnung zeigt:

¦k

eine endliche

k 1

endliche

unendliche

n

¦ ak

(gesprochen: Limes f (x) gleich A für x gegen a), wenn sich die Funktion f (x) bei unbegrenzter Annäherung von x an a unbegrenzt an A nähert. Die Variable x nähert sich a unbegrenzt an, es gilt jedoch stets x z a. Die Funktion f (x) muss an der Stelle x = a den Wert A nicht annehmen und braucht an dieser Stelle auch nicht definiert zu sein.

Beispiele:

1.

6 1

¦

k 1k f

2.

1

1 1 1 1 1     (endliche harmonische Reihe) 2 3 4 5 6 1

¦ (1)k 1 k

k 1

1

1 1 1 1    !  (1)n 1  ! 2 3 4 n

ln 2

(unendliche alternierende harmonische Reihe)

5.2.5 Alternierende Reihen Ist (an) eine alternierende Folge, also eine Folge, deren Glieder abwechselnd unterschiedliches Vorzei-

lim f ( x) A oder f ( x) o A für x o a x oa

Exakte Definition: Die Funktion y = f (x) besitzt an der Stelle x = a den Grenzwert lim f ( x) A , wenn xoa sich nach Vorgabe einer beliebig kleinen positiven Zahl H eine zweite positive Zahl G = G H so finden lässt, dass für alle x mit |x – a| < G H gilt | f ( x) – A| < Heventuell mit Ausnahme der Stelle a.

5 Differenzial- und Integralrechnung Der Unterschied |f (x) – A| zwischen den Funktionswerten und dem Grenzwert wird kleiner als jede beliebig vorgegebene positive Zahl H, wenn die x-Werte sich um weniger als eine passend gewählte, von H abhängige Zahl G = G H  vom Wert a unterscheiden, wenn also 0 < |x – a| < G H gilt.

A 53 Rechtsseitiger Grenzwert lim f ( x)

x oa x !a

lim f ( x)

A

xoa  0

Die Variable x nähert sich a unbegrenzt an, es gilt jedoch stets x z a. Die Funktion f (x) muss an der Stelle x = a den Wert A nicht annehmen und braucht an dieser Stelle auch nicht definiert zu sein. Die Funktion y = f (x) besitzt an der Stelle x = a den Grenzwert A, wenn an dieser Stelle sowohl der linksseitige als auch der rechtsseitige Grenzwert existieren und gleich sind (=A). Grenzwert Bild 1. Veranschaulichung des Grenzwertbegriffes Besitzt die Funktion y = f (x) an der Stelle x = a den Grenzwert lim f ( x) A , so sagt man auch, der xoa

lim f ( x)



Grenzwert lim f ( x) existiert und ist gleich A. 

no0

­1 für x ! 0 ® ¯0 für x  0 xo0 x0

Rechtsseitiger Grenzwert: lim f ( x)

0. Soll etwa |x3 – 0|, der Unterschied zwischen y

xo0 x!0

3

= x und A = 0, kleiner als H = 0,000 001 sein, so ist dies erfüllt, wenn man für G =GH) < 0,01 wählt, denn (10–2)3 = 10–6. te Bedingung.

2x 2  5x ist an der Stelle x = 0 3x nicht definiert, da für x = 0 der Nenner Null ist. Es gilt f ( x)

2x2  5x 2x  5 lim 3x xo0 3 (Kürzen durch x z 0), und Anwendung der Rechenregeln für Grenzwerte (siehe Abschnitt 5.3.4) ergibt weiter 2 5 5 lim f ( x) lim x  . 3 xo0 3 3 xo0 Die Funktion y = f (x) besitzt an der Stelle x = 0 den Grenz5 wert . 3 lim f ( x)

xo0

lim

xo0

5.3.2 Einseitige Grenzwerte Die Funktion y = f (x) besitzt an der Stelle x = a den linksseitigen Grenzwert A, wenn sich die Funktion f (x) bei unbegrenzter Annäherung von x von links an a unbegrenzt an A nähert. Linksseitiger Grenzwert lim f ( x)

xoa xa

lim f ( x)

x oa 0

A

lim

f ( x)

xo00

f ( x)

0

1

5.3.3 Grenzwert im Unendlichen Die Funktion y = f (x) besitzt für x o f den Grenzwert A, wenn es zu jedem beliebigen H > 0 ein hinreichend großes Z = Z (H) gibt, so dass | f (x) –A| < H für alle x > Z (H) gilt. Man schreibt dafür lim f ( x)

x of

A

Analog besitzt die Funktion y = f (x) für x o –f den Grenzwert A, wenn es zu jedem beliebigen H > 0 ein hinreichend großes Z = Z (H) gibt, so dass | f (x) –A| < H für alle x < –Z (H) gilt. Man schreibt dann lim f ( x)

x o f

Die Grenzwerte

A

lim f ( x)

x of

und

lim f ( x) der

x o f

Funktion y = f (x) beschreiben, falls sie existieren, den Verlauf der Funktion im Unendlichen, das heißt, das Verhalten der Funktion für sehr großes positives und für sehr kleines negatives Argument x. 

Die Funktion y = f (x) besitzt an der Stelle x = a den rechtsseitigen Grenzwert A, wenn sich die Funktion f (x) bei unbegrenzter Annäherung von x von rechts an a unbegrenzt an A nähert.

lim

xo0  0

Die Funktion y = f (x) besitzt an der Stelle x = 0 sowohl den linksseitigen als auch den rechtsseitigen Grenzwert. Da diese jedoch verschieden sind, existiert der Grenzwert an der Stelle x = 0 nicht.

Für ein beliebiges positives H erfüllt G (H )  3 H die geforder-

2. Die Funktion y

A

xoa

Linksseitiger Grenzwert: lim f ( x)

Beispiele: 1. Die Funktion y = f (x) = x3 hat für x o 0 den Grenzwert A = 0: lim x3

x oa x!a

Beispiel:

f ( x)

xo a

A Ÿ lim f ( x)

lim f ( x)

x oa xa

Beispiele:

1.

Es ist lim

1

x of x

0 , denn es gilt

der Bedingung x ! Z (H )

1 0 x

1  H für alle x, die x

1 1 genügen. Ebenso gilt lim H x of x

0.

A 54

A Mathematik

2. Die Funktion y

f ( x)

5x  3 hat für x o r f den Grenz2x  7

5 5x  3 5x  3 5 lim wie folgende , also lim 2 2 x of 2 x  7 x of 2 x  7 Rechnung unter Anwendung der Rechenregeln für Grenzwerte (siehe Abschnitt 5.3.4) zeigt: 1 3 5  3 lim 5 5x  3 5 x of x x lim lim , 7 1 2 x of 2 x  7 x of 2 2  7 lim x x of x

wert

Die Rechnung für 3. Der Grenzwert

lim

5x  3

5 verläuft ganz analog. 2

x of 2 x  7

lim sin x existiert nicht. Wie groß man x

x of

auch wählt, es lassen sich wegen der Periodizität der Sinusfunktion unendlich viele größere x-Werte angeben, für die die Funktion einen vorgegebenen Wert zwischen –1 und 1 hat.

5.3.4 Rechenregeln für Grenzwerte Die für Folgen aufgestellten Regeln für das Rechnen mit Grenzwerten (vgl. Abschnitt 5.1.4) lassen sich auf das Rechnen mit Grenzwerten von Funktionen übertragen. Gilt lim f ( x) F und lim g ( x) G für zwei xoa

x oa

Funktionen f (x) und g(x), so existieren auch die folgenden Grenzwerte: lim > f ( x)  g ( x) @

xoa

lim > f ( x)  g ( x) @

lim f ( x)  lim g ( x) xoa

xoa

lim f ( x)  lim g ( x)

x oa

xoa

lim > c ˜ f ( x)@

c ˜ lim f ( x)

xoa

lim > f ( x) ˜ g ( x) @

xoa

lim

xoa

f ( x) g ( x)

Der Graph einer stetigen Funktion ist eine zusammenhängende Kurve. Ist dagegen die Kurve an verschiedenen Stellen (mindestens an einer) unterbrochen, dann heißt die zugehörige Funktion unstetig, und die Werte der unabhängigen Variablen x, an denen die Unterbrechung auftritt, heißen Unstetigkeitsstellen. Eine an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs stetige Funktion y = f (x) heißt stetig. Sind f (x) und g(x) zwei Funktionen mit dem Definitionsbereich D und dem Wertebereich W = ബ, und ist c eine reelle Zahl, so gilt: Sind f (x) und g(x) stetig an der Stelle x = a des Definitionsbereichs D, so sind auch f (x) + g(x), c · f (x), f ( x) (falls g(x) z 0 für x  D) und | f (x)| f (x) · g(x), g ( x) stetig an der Stelle x = a. Da die Sinusfunktion y = sin x eine stetige Funktion ist, folgt hieraus zum Beispiel, dass eine so kompliziert gebaute Funktion wie etwa x ¸ sin( x 2 + 1) f: ബ o ബ, f ( x) = ebenfalls stetig ist. 1 + sin x

xoa

lim f ( x) ˜ lim g ( x) xoa

lim f ( x)

xoa

lim g ( x)

xoa

F G

c ˜ F (c  \ )

xoa

xoa

F G



Beispiele: 1. Die Funktion f (x) = 5x + 2 ist an jeder Stelle x = a des Definitionsbereichs stetig, denn es gilt lim (5 x  2) 5a  2 f (a ). Die Funktion ist also eine stexoa

tige Funktion. 2. Die Funktion f (x) = 3x2 ist für jedes reelle x stetig, die Funktion ist eine stetige Funktion. 3. Die Funktion f ( x)

F ˜G

F ( g ( x) z 0, G z 0) G

Diese Regeln sagen aus, dass man die Operation der Grenzwertbildung mit der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division (falls G z 0) vertauschen darf. Die Regeln wurden schon bei den Beispielen der vorangegangenen Abschnitte angewandt. 5.3.5 Stetigkeit einer Funktion Die Stetigkeit einer Funktion y = f (x) an einer Stelle x = a wird mit Hilfe des Grenzwertes der Funktion an dieser Stelle definiert. Eine Funktion y = f (x) heißt an der Stelle x = a stetig, wenn f (x) an der Stelle a definiert ist und der Grenzwert lim f ( x) existiert und gleich f (a) ist. xo a

Das ist genau dann der Fall, wenn es zu jedem vorgegebenen H > 0 ein G = G (H) > 0 gibt, so dass | f (x) – f (a)| < H für alle x mit |x – a| < G gilt. Ist eine Funktion y = f (x) stetig, dann ändert sich bei kleinen Änderungen der Variablen x auch der Funktionswert f (x) nur geringfügig. Die meisten Funktionen, die in den Anwendungen vorkommen, sind stetig.

­1 für x t 0 besitzt für x = 0 eine Un® ¯0 für x  0

stetigkeitsstelle, also ist y = f (x) eine unstetige Funktion.

5.3.6 Unstetigkeitsstellen

Eine Unstetigkeitsstelle ist eine Stelle x = a einer Funktion y = f (x), an der die Funktion nicht stetig ist. Die Kurve einer Funktion ist an einer Unstetigkeitsstelle unterbrochen. Eine Funktion, die mindestens eine Unstetigkeitsstelle besitzt, heißt unstetig. Die häufigsten Unstetigkeitsstellen sind Sprungstellen und Pole. An einer Sprungstelle x = a sind der rechtsseitige Grenzwert lim f ( x) und der linksseitige Grenzxoa 0

wert

lim f ( x) voneinander verschieden. Die Funk-

x oa 0

tion f (x) springt beim Durchlaufen des Punktes x = a von einem auf einen anderen endlichen Wert. Die Funktion f (x) braucht für x = a nicht definiert zu sein. Ein Pol oder eine Unendlichkeitsstelle x = a einer g ( x) ist eine Stelle, für die der Funktion y f ( x) h( x ) Nenner von f (x) den Wert 0 hat und der Zähler von 0 verschieden ist, also h(a) = 0 und g(a) z 0 (vgl. Abschnitt 2.5). An einer solchen Stelle ist die Funktion also nicht definiert. Die Funktion strebt bei Annäherung an einen Pol nach (plus oder minus) Unend-

5 Differenzial- und Integralrechnung

A 55

lich. Die Kurve der Funktion läuft an einer solchen Stelle ins Unendliche. 

Beispiele: 1.

f ( x)

­1 für x ! 0 ® ¯0 für x  0

Linksseitiger Grenzwert: lim f ( x) xo0 x0

lim

xo00

Rechtsseitiger Grenzwert: lim f ( x) xo0 x!0

lim

xo0  0

0 1

Der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert der Funktion y = f (x) sind verschieden, also besitzt die Funktion bei x = 0 eine Sprungstelle. Die Funktion springt beim Durchlaufen des Punktes x = 0 von 0 auf 1.

Bild 2. Graph der Funktion von Beispiel 1 2.

f ( x)

1 , D = ബ, x z 0 x

Einseitige Grenzwerte: lim

1

xo0 x x0

f,

lim

1

xo0 x x !0

f

1 besitzt bei x = 0 einen Pol. Bei Annähex rung von links an den Pol strebt die Funktion nach minus Unendlich, bei Annäherung von rechts nach plus Unendlich. Die Funktion y

f c( x0 )

lim

xo x0

f ( x)  f ( x0 ) x  x0

( x0 D)

dann nennt man f c( x0 ) die Ableitung der Funktion f (x) an der Stelle x = x0 (gesprochen: f Strich von x0). Die Funktion f (x) heißt dann differenzierbar in x0. dy ( x0 ) Statt f c( x0 ) schreibt man auch yc( x0 ) oder dx df oder ( x0 ) (gesprochen: y Strich von x0 bzw. dy dx nach dx an der Stelle x0 bzw. df nach dx an der Stelle x0). f ( x)  f ( x0 ) Der Bruch heißt auch Differenzenquox  xo tient, da im Zähler die Differenz zweier Funktionswerte und im Nenner die Differenz zweier x-Werte steht. Deshalb nennt man den Grenzwert f ( x)  f ( x0 ) f c( x0 ) lim x o x0 x  xo statt Ableitung auch Differenzialquotient. Geometrische Deutung: Ist die Funktion y = f (x) als Kurve in einem kartesischen Koordinatensystem dargestellt, dann ist der Differenzenquotient gleich der Steigung (also dem Tangens des Steigungswinkels E ) der Sekante durch die Punkte P0(x0| f (x0)) und P(x| f (x)). Der Grenzwert f a( x0 ) ist die Steigung der Tangente in x0 an den Graphen von f (x), also f c( x0 ) tan D . Dabei ist D der Winkel zwischen der x-Achse und der Tangente an den Graphen in x0, wobei der Winkel von der positiven x-Achse zur Tangente im entgegengesetzten Drehsinn des Uhrzeigers gemessen wird. Anschaulich bedeutet die Existenz der Ableitung an der Stelle x = x0, dass der Kurvenverlauf in x0 glatt ist (keine „Knickstelle“ hat).

Bild 3. Graph der Funktion von Beispiel 2

5.4 Ableitung einer Funktion 5.4.1 Definitionen Existiert für eine Funktion y = f (x) mit dem Definitionsbereich D der Grenzwert

Bild 4. Geometrische Deutung des Differenzen- und des Differenzialquotienten

A 56

A Mathematik

Eine Funktion y = f (x) heißt (generell) differenzierbar, wenn sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs differenzierbar ist. Dann heißt die durch g(x) = f c( x) definierte Funktion yc f c(x) die Ableitung oder die Ableitungsfunktion von f (x). Eine an der Stelle x0 differenzierbare Funktion y = f (x) ist dort auch stetig. Falls f (x) an der Stelle x0 nicht stetig ist, kann f (x) dort auch nicht differenzierbar sein. Aus der Stetigkeit an der Stelle x0 folgt jedoch noch nicht die Differenzierbarkeit an dieser Stelle. Eine Funktion y = f (x) heißt stetig differenzierbar, wenn f (x) differenzierbar ist und die Ableitung f c(x) eine stetige Funktion ist. 

Beispiele: Für die konstante Funktion f (x) = c (c  ബ) gilt

1.

f c( x0 )

lim

x o x0

f ( x)  f ( x0 ) x  x0

lim

cc

x o x0 x  x0

lim 0

x o x0

0

Die Ableitungsfunktion einer konstanten Funktion ist somit f c( x) 0.

x 2 mit D = ബ ist in jedem Punkt x0  D

2. Die Funktion f ( x)

differenzierbar. Es ist x 2  x02 x  x0

f ( x )  f ( x0 ) x  x0 mit f c ( x0 )

lim

x o x0

Die Funktion f ( x)

( x  x0 )( x  x0 ) x  x0

f ( x)  f ( x0 ) x  x0

x  x0 und so-

lim ( x  x0 )

x o x0



y

f ( x)  g ( x) Ÿ

yc

f c( x)  g c( x)

y

f ( x)  g ( x) Ÿ

yc

f c( x)  g c( x)

Beispiel:

x 2  3x Ÿ

y

2 x.

Die folgenden Regeln gelten sowohl für die Ableitungen einer Funktion y = f (x) an einer bestimmten Stelle x = x0 als auch für die Ableitungsfunktionen yc f c(x) .

1. Konstante Funktion Die Ableitung einer konstanten Funktion ist Null (vgl. Beispiel 1 im Abschnitt 5.4.1).



f ( x)

Beispiel: y 3 Ÿ

c (c  ബ, konstant) Ÿ yc

0

yc 0

2. Faktorregel Die Ableitung einer Funktion mal konstantem Faktor ist gleich konstanter Faktor mal abgeleitete Funktion. y

c ˜ f (x) (c  ബ, konstant) Ÿ yc

2 x  3 , denn

d 2 x dx

2 x und

d 3x dx

f ( x ) ˜ g ( x ) Ÿ yc

y

f c( x) ˜ g ( x)  f ( x) ˜ g c( x)

Für die Ableitung des Produkts von drei Funktionen gilt y f ( x) ˜ g ( x) ˜ h( x) Ÿ yc f ( x) ˜ g ( x) ˜ hc( x)  f ( x) ˜ g c( x) ˜ h( x)  f c( x) ˜ g ( x) ˜ h( x)

Mehrfache Anwendung der Produktregel ergibt die Ableitung der Potenzfunktion (Potenzregel).

c ˜ f c(x)

x n (n  ത) Ÿ yc

y

nx n 1

Mit Hilfe von Polynomdivision lässt sich dieses Ergebnis auch direkt herleiten: n

d xn ( x ) 0 dx lim ( x

lim

x o x0

n 1

x o x0 n 1 nx0

n

x  x0 x  x0

 x0 x n  2  x02 x n 3  !  x0n 1 )

Durch Anwendung von Quotienten- und Kettenregel (siehe unten) kann man dieses Ergebnis auf reelle Exponenten ausweiten. x r (r  ബ) Ÿ yc

y

rx r 1

Summen- und Potenzregel zusammen ergeben die Ableitung eines Polynoms. n

y

¦c x k

k

c0  c1 x !  cn x n

k 0



Beispiel:

d 2 x y 3x 2 Ÿ y c 3 ˜ 2 x 6 x , denn dx (vgl. Beispiel 2 in Abschnitt 5.4.1)

Ÿ yc 2x

3

4. Produktregel Die Ableitung des Produkts zweier Funktionen ist gleich der Summe aus der ersten Funktion multipliziert mit der Ableitung der zweiten Funktion und der zweiten Funktion multipliziert mit der Ableitung der ersten Funktion.

5.4.2 Differenziationsregeln

y

yc

2 x0

x 2 ist eine (überall) differenzierbare

Funktion, und es gilt f c( x)

3. Summenregel Die Ableitung der Summe (Differenz) zweier Funktionen ist gleich der Summe (Differenz) der Ableitungen der Funktionen.

n

¦ k ˜c x k

k 0

k 1

c1  2c2 x !  ncn x n1

5 Differenzial- und Integralrechnung 

A 57

Beispiele:

1

1.

y

3x 2 ˜ sin x Ÿ

2.

y

x7 7 3

Ÿ

y c 7x 6

Ÿ

yc

7 53 x 3

3.

y

x

4.

y

3x 7  5 x 4  x 2  3 Ÿ

21x 6  20 x 3  2 x

yc

5. Quotientenregel Die Ableitung des Quotienten zweier Funktionen ist gleich der Differenz der Ableitung der Zählerfunktion multipliziert mit der Nennerfunktion und der Zählerfunktion multipliziert mit der Ableitung der Nennerfunktion dividiert durch das Quadrat der Nennerfunktion. f ( x) f c( x)˜ g ( x)  f ( x)˜ g c( x) ( g ( x) z 0) Ÿ yc g ( x) g 2 ( x)

y

Der Zähler von yc beginnt also mit der Ableitung der Zählerfunktion f (x). Im Spezialfall, dass f (x) eine konstante Funktion mit f (x) = 1 ist, gilt 1 g c( x) Ÿ yc  2 g ( x) g ( x)

y 

Beispiele: 5x  1 y Ÿ yc 2x  3

1.

2. 3.

y

y

x3 x2 1

Ÿ yc

1 x 2  3x

Ÿ yc

(2 x  3) ˜ 5  (5 x  1) ˜ 2

17

(2 x  3) 2

(2 x  3) 2

3x 2 ( x 2  1)  2 x ˜ x 3

x 2 ( x 2  3)

( x 2  1) 2

( x 2  1) 2

5.4.3 Höhere Ableitungen

Ist die Funktion y = f (x) differenzierbar oder zumindest in einem ganzen Intervall ihres Definitionsbereichs differenzierbar, so kann dort also an jeder Stelle die Ableitung f c(x) gebildet werden. Dann ist y f c(x) wieder eine Funktion von x. Ist diese Funktion wieder differenzierbar, so nennt man diese Ableitung der (ersten) Ableitung die zweite Ableitung der Ausgangsfunktion y = f (x), geschrieben f cc(x) d2y 2

( x) oder

f ( n ) ( x) y ( n ) ( x)

f c( z ) ˜ hc( x)

d2 f

( x) (gesprodx dx 2 chen: f zwei Strich von x bzw. y zwei Strich von x bzw. d zwei y nach dx Quadrat an der Stelle x bzw. d zwei f nach dx Quadrat an der Stelle x). Entsprechend kann es auch eine dritte, vierte, ... Ableitung von f (x) geben. Die n-te Ableitung von f (x) schreibt man

( x 2  3 x) 2 

dny dn f ( x) ( x) n dx dx n

Beispiele: 1. f ( x) 4 x 4  12 x3  5 x  2 Ÿ f c( x)

f cc( x) f 2.

( 5)

( x)

f ( x) f aa( x) =

f c(h( x)) ˜ hc( x)

Man nennt f c(h( x)) die äußere Ableitung und hc(x) die innere Ableitung der Funktion y = f (h(x)). 

1 f c( f 1 ( x))

( f 1 )c( x)

2x  3

df dh ˜ dz dx

2 5x2  7 x  8

7. Ableitung der Umkehrfunktion Ist y = f (x) eine differenzierbare Funktion mit f a( x) v 0 , die eine Umkehrfunktion y f 1 ( x) besitzt, so ist auch die Umkehrfunktion differenzierbar, und es gilt

oder ycc(x) oder

6. Kettenregel Die Kettenregel ist eine Regel zur Differenziation zusammengesetzter Funktionen. Ist y = F(x) eine zusammengesetzte Funktion, also F(x) = f (h(x)), und setzt man z = h(x), dann ist y = F(x) differenzierbar, wenn die Funktionen y = f (z) und z = h(x) differenzierbar sind, und es gilt yc F c( x )

10 x  7

1 2 z ˜ (10 x  7) 2

y c 3x 2 ˜ cos x  6 x ˜ sin x

48 x  72 x, f ccc( x) 96 x  72, f ( 4) ( x) 96, f ( 6) ( x) ! 0

x2

Ÿ

( x  1) 2

f c( x)



2x ( x  1) 3

y = F ( x) = ( x3  2 x + 1)3 , also z y

f ( z)

z

3

Ÿ

yc

F c( x)

h( x )

x 3  2 x  1 und

f c( z ) ˜ hc( x)

3z 2 ˜ (3x 2  2) 3( x 3  2 x  1) 2 ˜ (3x 2  2) 2.

y

F ( x)

5 x 2  7 x  8 , also z

y

f ( z)

z Ÿ

yc

F c( x)

h( x) 5 x 2  7 x  8 und

f c( z ) ˜ hc( x)

,

2(2 x + 1) 12( x + 1) , f aaa( x) =  ,! ( x 1)4 ( x 1)5

5.4.4 Ableitungen einiger algebraischer Funktionen

Mit den Differenziationsregeln aus Abschnitt 5.4.2 lassen sich die Ableitungen von algebraischen Funktionen berechnen.

Beispiele:

1.

16 x3  36 x 2  5,

2

Rationale Funktionen y c (c konstant) Ÿ y x Ÿ yc 1 y

xn

Ÿ

yc

nx n 1

yc

0

A 58

A Mathematik

y cn x n  cn1 x n1 !  c2 x 2  c1 x  c0 Ÿ yc ncn x n1  (n 1)cn1 x n2 !  2c2 x  c1 y y y

x

m

xn

Ÿ

y n

x

Ÿ

yc

x

Ÿ

yc

m

y

n

x x

Ÿ

Die Gleichung der Sekante durch die Punkte P1 und P2 lautet 5 2 y= ( x  (1)) + 2 = x + 3. 2  (1)

m

Eine Tangente ist eine Gerade, die den Graph einer Funktion y = f (x) in einem Punkt berührt, aber nicht schneidet (Tangente = Berührende). Die Funktion f (x) hat in dem Punkt P(a| f (a)) genau dann eine Tangente, wenn die Funktion in a differenzierbar ist. Die Ableitung der Funktion an der Stelle, also f c(a) , ist die Steigung der Tangente. Die Gleichung der Tangente an die Kurve im Punkt P(a| f (a)) lautet

1 2 x 1 n

n x n 1 nm mn

m

x

x

n 1

n

y

5.4.5 Ableitungen einiger transzendenter Funktionen



yc

y

cot x Ÿ

yc

1 2

y

a

x

Ÿ

yc

 , k  ള) 2

cos x 1  2 (x z kS, k  ള) sin x

Exponentialfunktionen y e x Ÿ yc e x

y

x

a ln a (a  ബ, a > 0 konstant)

Logarithmusfunktionen 1 ( x ! 0) x 1 1 1 y = log a x º y a = log a e = ¸ ln a x x (a Š \, a > 0, a v 1 konstant, x > 0) y

ln x Ÿ

yc

5.4.6 Sekanten und Tangenten

Eine Sekante ist eine Gerade, die eine Kurve, also den Graph einer Funktion y = f (x), in (mindestens) zwei Punkten schneidet (Sekante = Schneidende). Der Teil zwischen den Schnittpunkten heißt Sehne. Die Gleichung der Sekante durch die Punkte P1(x1| f (x1)) und P2(x2| f (x2)) lautet y

f ( x) = x 2 , P(1 | 1) f c( x)

(x z (2k + 1)

f ( x2 )  f ( x1 ) ( x  x1 )  f ( x1 ) x2  x1

f c(a )( x  a )  f (a)

Beispiele:

1.

Trigonometrische Funktionen y sin x Ÿ yc cos x y cos x Ÿ yc  sin x tan x Ÿ

f ( x) = x3 - 2 x + 1, P1 (1 | 2), P2 (2 | 5)

x n 1

yc

y

f ( x) = x 2 , P1 (0 | 0), P2 (1 | 1)

Die Gleichung der Sekante durch die Punkte P1 und P2 lautet 1 0 y ( x  0)  0 , also y = x. 1 0

2.

( m  n) x

yc

Beispiele: 1.

1 1 Ÿ yc  2 x x 1 n Ÿ yc  n 1 n x x

Irrationale Funktionen

y



2x Ÿ

f c(1)

2

Die Gleichung der Tangente an die Kurve im Punkt P(1|1) lautet somit y = 2( x 1) + 1 = 2 x 1. 2.

f ( x) = x3 - 2 x + 1, P(1 | 0) f c( x) 3x 2  2 Ÿ

f c(1) 1

Die Gleichung der Tangente an die Kurve im Punkt P(1|0) lautet somit y = 1¸ ( x 1) + 0 = x 1.

5.4.7 Extremwerte von Funktionen

Eine Funktion y = f (x) besitzt an der Stelle x = a ein relatives Maximum, wenn es eine Umgebung von a gibt, in der alle Funktionswerte kleiner als an der Stelle x = a sind. Dieser Funktionswert f (a) heißt relatives Maximum. Es gilt dann f (x) < f (a) für alle x z a aus einer passenden Umgebung von a. Alle benachbarten Funktionswerte sind also kleiner als f (a). Relatives Maximum f (a): f ( x)  f (a) für x z a

Entsprechend besitzt eine Funktion y = f (x) an der Stelle x = a ein relatives Minimum, wenn es eine Umgebung von a gibt, in der alle Funktionswerte größer als an der Stelle x = a sind. Der Funktionswert f (a) heißt dann relatives Minimum. Für ein relatives Minimum gilt analog f (x) > f (a) für alle x z a aus einer geeigneten Umgebung von a. Alle benachbarten Funktionswerte sind also größer als f (a).

5 Differenzial- und Integralrechnung

A 59

Relatives Minimum f (a):

3.

f c( x)

f ( x) ! f (a) für x z a

Es handelt sich bei einem relativen Maximum oder einem relativen Minimum um eine lokale Eigenschaft, denn es wird nur eine Umgebung von x = a betrachtet. Das absolute oder globale Maximum einer Funktion y = f (x), die in einem abgeschlossenen Intervall [c, d] differenzierbar ist, ist entweder ein relatives Maximum, oder es wird am Rand, also für x = c oder x = d, angenommen. Entsprechend ist das absolute oder globale Minimum ein relatives Minimum, oder es wird an einem der Intervallränder x = c oder x = d angenommen. Ein Extremwert einer Funktion ist ein Funktionswert f (a), der ein relatives Minimum oder ein relatives Maximum ist. Statt Extremwert sagt man auch Extremum oder relatives Extremum. Eine notwendige Bedingung dafür, dass die Funktion y = f (x) an der Stelle x = a ein relatives Extremum besitzt, ist das Verschwinden der Ableitung an dieser Stelle, also f c(a) 0 (falls sie existiert). Zur Bestimmung der relativen Extrema müssen alle x berechnet werden, die die Gleichung f c( x) 0 erfüllen. Eine hinreichende Bedingung für ein relatives Extremum (das heißt, ist die Bedingung erfüllt, dann liegt ein relatives Extremum vor) ist, dass die zweite Ableitung von Null verschieden ist, also f aa(a) v 0. Gilt jedoch auch f cc(a) 0 , so ist f (a) ein relatives Extremum, wenn es ein gerades n gibt, so dass f c(a) f cc(a) ! f ( n 1) (a) 0, f ( n ) (a) z 0 (n gerade). Ein Extremum liegt vor, wenn die erste an der Stelle a nicht verschwindende Ableitung von gerader Ordnung ist. Dieses relative Extremum ist ein relatives Minimum, wenn im ersten Fall f cc(a) ! 0 und im zweiten Fall f ( n) (a) ! 0 gilt. Das relative Extremum ist ein relatives Maximum, wenn im ersten Fall f cc(a)  0 und im zweiten Fall f ( n) (a)  0 gilt. Geometrisch bedeutet f c(a) 0 , dass die Tangente an die Kurve der Funktion im Punkt P(a| f (a)) waagerecht, also parallel zur x-Achse, verläuft. 

f ( x)

x3  4x2  4x 2

3x  8 x  4,

x( x  2) 2 f cc( x)

6x  8

2

f c( x)

0 Ÿ 3x  8 x  4 0 Ÿ

f cc(2)

2 4 ! 0, f cc( ) 3

4  0 Ÿ

x1

2, x2

f ( x1 )

ist ein relatives Minimum und f ( x2 )

2 f( ) 3

f ( 2)

2 3 0

32 27

ist ein relatives Maximum von y = f (x)

5.4.8 Krümmungsverhalten von Funktionen Das Krümmungsverhalten einer Funktion ist die Verteilung von konvexen und konkaven Bereichen der Kurve der Funktion. Eine Funktion y = f (x) heißt an der Stelle x = a von unten konvex, wenn alle Punkte der Kurve der Funktion in einer Umgebung von a oberhalb der Tangente im Punkt P(a| f (a)) liegen. In einem von unten konvexen Bereich ist die Ableitungsfunktion yc f c(x) monoton wachsend. Die Funktion y = f (x) hat dort eine Linkskrümmung (der Graph macht in x-Richtung eine Linkskurve). Existiert in dem Bereich auch die zweite Ableitung f aa( x), so ist die Kurve konvex, wenn f cc( x) t 0 gilt. Entsprechend heißt die Funktion an der Stelle x = a von unten konkav (oder von oben konvex), wenn alle Punkte der Kurve der Funktion in einer Umgebung von a unterhalb der Tangente im Punkt P(a| f (a)) liegen. In einem von unten konkaven Bereich ist die Ableitungsfunktion yc f c(x) monoton fallend. Die Funktion y = f (x) hat dort eine Rechtskrümmung (der Graph macht in x-Richtung eine Rechtskurve). Existiert in dem Bereich auch die zweite Ableitung f cc(x) , so ist die Kurve konkav, wenn f cc( x) d 0 gilt.

Beispiele: 1.

f ( x)

x2

f c( x)

2 x,

f c( x)

0 Ÿ

f cc(0)

2!0 Ÿ

f cc( x) x

Bild 5. Konkave und konvexe Bereiche der Funktion y= f (x)

2 0 f ( 0)

0 ist ein relatives Minimum von

y = f (x)

2.

f ( x)

x4 1

f c( x) 4 x3 , f cc( x) 12 x 2 , f ccc( x) 24 x, f (4) ( x) 24 f c( x)

f cc(0)

0 Ÿ

x

0

f ccc(0) 0, f ( 4)

24  0 Ÿ

latives Maximum von y = f (x)

f (0) 0 ist ein re-

Die Krümmung einer Funktion ist die Abweichung der Kurve der Funktion von der Geraden. Die Krümmung der Kurve der Funktion y = f (x) im Punkt P(x|y) ist definiert als der Grenzwert N des Quotienten aus der Differenz der Steigungswinkel D1 und D der Tangenten durch einen Punkt P1 und durch P an die Kurve und der Länge 's des Kurvenbogens zwischen den Punkten (falls der Grenzwert existiert):

A 60

N

A Mathematik

lim

D1  D

lim

s

P1 o P

P1 o P

D s

dD ds

Die Krümmung einer Funktion ist in einem konvexen Bereich (Linkskurve) positiv, in einem konkaven Bereich (Rechtskurve) negativ. Für eine Gerade gilt N = 0. Mit Hilfe der Kettenregel berechnet man für die Krümmung in einem Punkt P(x | y) der Funktion y = f (x): f cc( x)

N

ª¬1  f

c2 ( x )

f cc( x) º¼

3 2

ª 1  f c2 ( x ) º ¬ ¼

1

Für N z 0 heißt U

N

3

Krümmungsradius und der

Kreis mit diesem Radius Krümmungskreis der Kurve im Punkt P(x | y). 

Eine notwendige Bedingung für die Existenz eines Wendepunkts P(a| f (a)) einer Funktion y = f (x) ist das Verschwinden der zweiten Ableitung im Wendepunkt, also f cc( x) 0 (falls sie existiert). Zur Bestimmung der Wendepunkte müssen alle x berechnet werden, die die Gleichung f cc( x) 0 erfüllen. Eine hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt ist, dass die dritte Ableitung von Null verschieden ist, also f ccc( x) z 0 . Gilt jedoch auch f ccc( x) 0 , so hat f (x) an der Stelle a einen Wendepunkt, wenn es ein ungerades n gibt, so dass f cc(a) f ccc(a) ! f ( n 1) (a ) 0, f ( n ) (a) z 0 (n ungerade). Ein Wendepunkt liegt vor, wenn die erste an der Stelle a nicht verschwindende Ableitung von ungerader Ordnung ist. Falls in einem Wendepunkt P(a| f (a)) auch noch die erste Ableitung verschwindet, wenn also zusätzlich f c(a ) 0 gilt, dann ist dort die Tangente waagerecht. Ein solcher Wendepunkt heißt Sattelpunkt. 

Beispiele:

1.

Beispiel:

f ( x ) 3x 2  1 Ÿ

2

f c( x) 9 x ,

Es folgt: N

f cc( x) 18 x

18 x 3

x3  4x2  4x

x( x  2) 2

f c( x)

3x 2  8 x  4,

f cc( x)

f cc( x)

.

0 Ÿ 6x  8

§ 4· f ccc ¨ ¸ © 3¹

(1  81x 4 ) 2 Krümmung im Punkt P(1|2) zum Beispiel: N

f ( x)

18 3

| 0,0242.

P

82 2

2.

f ( x)

0 Ÿ x

6 z 0 Ÿ bei x

§4 4 · ¨ f ( )¸ ©3 3 ¹

6 x  8,

f ccc( x)

6

4 3

4 liegt der Wendepunkt 3

§ 4 16 · ¨ ¸ © 3 27 ¹

x 3  3x 2  3x

f c( x) 3x 2  6 x  3 3( x 1)2 , f cc( x) 6 x  6, f ccc( x) 6 f cc( x )

0 Ÿ

f ccc(1)

6z0 Ÿ

Da auch f c(1)

x 1

f ( x) besitzt bei x = 1 einen Wendepunkt

0 gilt, ist dort die Tangente waagerecht, und

somit ist P = (1|1) ein Sattelpunkt.

5.4.10 Kurvendiskussion Eine Kurvendiskussion ist die Untersuchung einer Funktion y = f (x) bzw. des Graphen der Funktion auf typische Eigenschaften. Dazu gehören die Untersuchung auf Symmetrie und Monotonie sowie die Bestimmung von Definitionsbereich, Nullstellen, relativen Extrema, Wendepunkten, Unstetigkeitsstellen und Asymptoten. Bild 6. Zur Definition der Krümmung einer Kurve 5.4.9 Wendepunkte von Funktionen Ein Wendepunkt einer Funktion y = f (x) ist ein Punkt P(a| f (a)), in dem sich das Krümmungsverhalten der Kurve ändert. In einem Wendepunkt findet der Übergang von einem konvexen zu einem konkaven Bereich oder umgekehrt statt. Die Kurve liegt in der unmittelbaren Nähe eines Wendepunktes nicht auf einer Seite der Tangente, sondern wird von dieser durchsetzt.



Beispiel: 1 f ( x) x( x  2) 3 2 Ableitungen: 1 3 1 f c( x) ( x  2)3  x( x  2)2 ( x  2)2 ( x  2  3x) ( x  2)2 (2 x 1) 2 2 2 f cc( x) 2( x  2)(2 x 1)  2( x  2)2 ( x  2)(4 x  2  2 x  4) 6( x 1)( x  2)

f ccc( x) 6( x  1)  6( x  2) 6(2 x  3)

Definitionsbereich: D=ബ

5 Differenzial- und Integralrechnung Nullstellen: 1 f ( x) x( x  2) 3 2

0 Ÿ x1

0, x 2

A 61 Die Gleichung für das Widerstandsmoment lautet:

2

f c( x) f cc( x3 )

1 2 f cc(2) 0, f ccc(2) 6 ! 0 (n ungerade) Ÿ

( x  2) 2 (2 x  1)

0 Ÿ x3

Wendepunkt; wegen f c(2) f cc( x4 )

1 f cc( ) 2

6˜

0 Ÿ

f ccc(1) z 0 Ÿ

2, x 4

bei x3 = 2

0 ist P(2|0) ein Sattelpunkt

1 3 ˜ !0 Ÿ 2 2

Wendepunkte: f cc( x) 6( x  1)( x  2) f ccc( x5 )

x5

Minimum bei x4

1, x6

x3

1 2

2

Wendepunkt bei x5 = 1

Sattelpunkt bei x6 = x3 = 2 (siehe oben) Zusammenfassung: Die Funktion f ( x)

hb 2 6 Nach dem Satz des Pythagoras gilt für die Beziehung zwischen b und h:

(1) W

Relative Extremwerte:

1 x( x  2) 3 hat die Nullstellen x1 = 0 und 2

1 x2 = 2, das relative Minimum f ( ) 2

1 1 § 3· ˜ ˜¨ ¸ 2 2 ¨© 2 ¸¹

§ 1· Wendepunkt P ¨ 1  ¸ (denn f (1) © 2¹

1 ˜1 ˜ (1) 3 2

3

 

27 , den 32

1 ) und den 2

Sattelpunkt P(2|0). Die Funktion besitzt keine Unstetigkeitsstellen und Asymptoten, sie ist weder zur y-Achse noch zum Koordinatenursprung symmetrisch. Die Funktion ist streng monoton fal§ 1º lend im Intervall ¨¨  f, » und streng monoton wachsend im In2¼ © ª1 · tervall « , f ¸¸ ¬2 ¹

Bild 7. Graph der Funktion f ( x)

1 x ( x  2) 3 2

5.4.11 Anwendungsbeispiele 1. Ein halbrunder Balken soll so besäumt werden, dass ein rechtwinkliger Balken mit maximalem Widerstandsmoment W entsteht.

Bild 8. Zu Anwendungsbeispiel 1

2

§b· (2) ¨ ¸  h 2 r 2 ©2¹ Auflösen von Gleichung (2) nach b2:

b 2 4( r 2  h 2 ) Einsetzen in (1): h 2 2 W ˜ 4( r 2  h 2 ) (r h  h3 ) 6 3 Da r eine feste Größe ist, hängt W nur von h ab, das heißt, W ist eine Funktion von h: W = W(h). Notwendige Voraussetzung für ein Maximum von W ist das Verschwinden der Ableitung: W c 0. Berechnung der Ableitung: 2 2 W c(h) (r  3h 2 ) 3 2 2 W c(h) 0 Ÿ (r  3h 2 ) 0 Ÿ 3 1 r 2  3h 2 0 Ÿ h r 3 3 (Da die Höhe h nicht negativ sein kann, kommt für das Maximum nur das positive Vorzeichen in 1 r 3 Frage.) Wegen W cc(h) 4h ist für h 3 die zweite Ableitung negativ, es liegt also ein Maximum vor.

Ergebnis: 1 2 h r 3 und b r 3 3 gen für das maximale beträgt 1 2 W r 3 (r 2  r 2 ) 3 9

6 sind die Abmessun-

Widerstandsmoment, es 4 3 r 3. 27

2. Aus einem kreiskegelförmigen Stück Holz soll ein Zylinder größtmöglichen Rauminhalts (Gewichts) gedreht werden. Welchen Radius x und welche Höhe y hat dieser Zylinder, wenn r der Radius und h die Höhe des Kegels sind? (1) V x 2 y Zylindervolumen h y h (2) Beziehung zwischen x und y x r Die Beziehung zwischen x und y folgt aus der Ähnlichkeit der schraffierten Dreiecke. Auflösen von (2) nach y:  x¬ y = h žž1 ­­­ žŸ r ®

A 62

A Mathematik funktion, denn eine additive Konstante verschwindet bei der Differenziation. Somit ist {F(x) + C|C  ബ} die Menge aller Stammfunktionen von f (x). Stammfunktionen sind also bis auf eine additive Konstante eindeutig bestimmt. 

Beispiele: 1. Funktion: f ( x)

x2  2x  3 1 3 x  x 2  3x , aber zum Beispiel 3

Stammfunktion: F ( x) auch F1 ( x)

1 3 x  x 2  3x  5 3

2. Funktion: f ( x) sin x  cos x oder etwa

Stammfunktion: F ( x) F1 ( x )

Bild 9. Zu Anwendungsbeispiel 2

  3 ¬ 3 ¬ V a( x) = 0 º h žž2 x  x 2 ­­ = hx žž2  x­­ = 0 žŸ Ÿž r ®­ r ®­ º x1 = 0 und x2 =

Stammfunktionen: F ( x)

4. Funktion: f ( x)

V aa( x2 ) < 0, das heißt, bei x1 liegt ein Minimum und bei x2 ein Maximum vor.

Ergebnis: 2 1 x r und y h sind Radius und Höhe des 3 3 gesuchten Zylinders, das maximale Zylindervo4 2 lumen beträgt V r h. 27

5.5 Integralrechnung

x 1

x k 1  C (C  ബ) k 1

1 x

Stammfunktionen: F ( x) 5. Funktion: f ( x)

ln x  C (C  ബ)

ex

Stammfunktionen: F ( x)

e x  C (C  ബ)

Die Gesamtheit aller Stammfunktionen F(x) + C heißt unbestimmtes Integral der Funktion y = f (x), gesprochen: Integral über f (x) dx und geschrieben

2 r 3

 6 ¬ Wegen V aa( x) = h žž2  x­­­ gilt V cc( x1 ) ! 0 und žŸ r ®

x k (k  ബ, k z –1)

3. Funktionen: f ( x)

Einsetzen in (1):  x¬  1 ¬ V = x 2 h žž1 ­­­ = h žž x 2  x3 ­­­ Ÿž r ® Ÿž r ® h ist eine feste Größe, V ist also eine Funktion der Variablen x: V = V(x). Berechnung der Ableitung:  3 ¬ V a( x) = h žž2 x  x 2 ­­­ žŸ r ®

 cos x  3

³ f ( x) dx

F ( x)  C

Das Zeichen ³ heißt Integralzeichen, und f (x) heißt Integrand. Die Variable x nennt man Integrationsvariable und C Integrationskonstante. Die Konstante C soll andeuten, dass F(x) durch die Funktion f (x) bis auf eine additive Konstante bestimmt ist. 

Beispiele: 3

1.

³x

2.

³ cos x dx

3.

³ (x

dx

4

1 4 x C 4

sin x  C

 3x 2  1) dx

1 5 1 x  3˜ x3  x  C 5 3

1 5 3 x  x  xC 5

5.5.1 Unbestimmtes Integral

5.5.2 Integrationsregeln

Ist y = f (x) eine Funktion mit einem Intervall I als Definitionsbereich, dann heißt eine differenzierbare Funktion F(x) mit demselben Intervall I als Definitionsbereich eine Stammfunktion von f (x), wenn für alle x  I gilt

Die folgenden Integrationsregeln zur Berechnung der unbestimmten Integrale von Funktionen lassen sich durch Differenziation der entsprechenden Gleichung beweisen.

F c( x)

f ( x)

Die Funktion f (x) heißt dann integrierbar. Ist F(x) eine Stammfunktion von f (x), so ist auch F(x) + c für eine beliebige Konstante c eine Stamm-

1. Faktorregel Ein konstanter Faktor im Integranden kann vor das Integralzeichen gezogen werden.

³ cf ( x)dx

c ³ f ( x)dx

(c  ബ)

5 Differenzial- und Integralrechnung 

A 63

Beispiel:

³ 3x dx

3³ x dx

1 3 ˜ x2  C 2

³ ln x

3 2 x c 2 2.

2. Potenzregel

³ x dx n

5

dx

1 n 1 x C n 1

1 x6  C 6

4³ x3 dx  3³ x 2 dx  ³ 5 dx

4˜

³ x ˜ cos x

dx



ln x 2  3x  5  C

2.

³ (x

2

1 oder dx 3

dx

1

³

dx

Setzt man u(x) = ln x und v c( x) 1 , dann ist u c( x)

1 und x

 1 C 3t

t2 , , dann ist 3

 1 ˜ 1 C 3 2  3x

8

 7) ˜ x dx

mit der Kettenregel M c(t )

³ (x

Beispiele:

dt 3

M (t )

dt , und es ergibt sich 3

M (t )

Die Substitution x2 + 7 = t, also x dx dt

t  7 , ergibt

1 1 ˜ ˜1 oder 2 t 7

dt 1 ˜ , und es folgt 2 t7

u ( x)v( x)  u c ( x)v( x) dx

x , und es ergibt sich

dx dt

³ (2  3x)2 ³ t 2 ˜

³ u ( x)vc( x) dx auf das oft leichter berechenbare Integral ³ u c( x)v( x) dx zurückgeführt.

v ( x)

Die Substitution muss so gewählt sein,

Beispiele: dx ³ (2  3x)2

Mc

Mit dieser Methode wird ein Integral der Form

³ ln x

x ˜ sin x  cos x  C

1.

dx

1.

x ˜ sin x  ³ 1 ˜ sin x dx

Substituiert man 2 + 3x = t, also x

5. Partielle Integration Lässt sich die Funktion f (x) als Produkt zweier Funktionen g(x) = u(x) und h( x) vc( x) darstellen, also f ( x) g ( x) ˜ h( x) u ( x) ˜ vc( x) , dann gilt



dx

dass x = M (t) nach t differenzierbar ist.

ln f ( x)  C

³ u( x)vc( x) dx

cos x , dann ist u c( x) 1 und

sin x , und es ergibt sich

³ f ( x) dx .

Beispiel:

2x  3

( x  1)e x  C

Durch geeignete Substitution kann das Integral auf der rechten Seite der Gleichung einfacher zu berechnen sein als das Ausgangsintegral

1 4 1 x  3 ˜ x3  5 x  C 4 3

4. Ist der Integrand ein Bruch, in dem der Zähler die Ableitung des Nenners ist, dann ist das unbestimmte Integral gleich dem natürlichen Logarithmus des Absolutbetrages der Nennerfunktion.

³ x2  3x  5 dx

xe x  e x  C

³ f ( x) dx ³ f (M (t ))M c(t ) dt

x 4  x3  5 x  C



e x , dann ist u c( x) 1 und

6. Substitutionsmethode Durch Substitution x = M (t) der unabhängigen Variablen einer Funktion y = f (x), also Einführung einer neuen Variablen t, ergibt sich für das unbestimmte Integral

³ (4 x3  3x 2  5) dx ³ 4 x3dx  ³ 3x2 dx  ³ 5 dx

f c( x) dx f ( x)

xe x  ³ 1 ˜ e x dx

³ x ˜ cos x

Beispiel:

³

³ xe x dx

v( x)

³ ( f ( x)  g ( x)) dx ³ f ( x) dx  ³ g ( x) dx

x ˜ ln x  ³ dx

e x , , und es folgt

Setzt man u(x) = x und vc( x)

3. Summenregel Das unbestimmte Integral einer Summe ist gleich der Summe der unbestimmten Integrale (falls Stammfunktionen existieren).



x ˜ ln x  ³ x ˜ 1 dx x

³ xee dx v( x)

Beispiel:

³x

dx

Setzt man u(x) = x und v c ( x)

3. 

³1˜ ln x

dx

x ˜ ln x  x  C

2

 7) 8 ˜ x dx

³t

dt 1 1 8 ˜ ³ t dt 2 t 7 2 1 1 9 1 2 ( x  7) 9  C ˜ ˜t  C 2 9 18

8

˜ t 7 ˜

Das letzte Integral lässt sich noch einfacher berechnen, wenn man die obige Substitutionsgleichung von rechts nach links liest (mit der Substitution u = M (t)).

³ f (M ( x))M c( x) dx ³ f (u) du

A 64 

A Mathematik

Beispiel 2. 1 u8 du 1 u 9  C 1 ( x 2  7)9  C 2³ 18 18 mit der Substitution u = x2 + 7, woraus du = 2x dx folgt.

³ (x

2

8

 7) ˜ x dx

Irrationale Funktionen

Spezialfall n ³ > f ( x)@ ˜ f c( x) dx



> f ( x)@n 1  C n 1

(n z 1)

Beispiel:

³ cos5 x ˜ sin x dx

 ³ cos5 x ˜ ( sin x) dx

1  cos 6 x  C 6

7. Partialbruchzerlegung Die Integration gebrochener rationaler Funktionen y = f (x) mit n

an x  an 1x

f ( x)

n 1

2

 !  a2 x  a1x  a0

bm x m  bm 1x m 1  !  b2 x 2  b1x  b0 wird oftmals durch eine Partialbruchzerlegung von f (x) (siehe Abschnitt 2.5.2) einfacher oder überhaupt erst möglich. 

Beispiel:

6x2  x  1 dx x3  x Partialbruchzerlegung der Funktion liefert:

³

2

6x  x  1

1 3 4   x x 1 x 1 x3  x Mit der Summenregel folgt: 6x2  x  1 1 3 4 ³ x3  x dx ³ x dx  ³ x  1 dx  ³ x  1 dx ln x  3ln x  1  4ln x  1  C

5.5.3 Unbestimmte Integrale einiger algebraischer Funktionen Mit den Integrationssregeln aus Abschnitt 5.5.2 lassen sich die unbestimmten Integrale von algebraischen Funktionen berechnen. Rationale Funktionen

³ a dx

x m 1  C (n z m  1) 1 m  n  1 xn

xm

³ xn dx

ax  C

1 2 x C 2 x n 1 ³ xn dx n  1  C

³ x dx

³  an xn  an 1xn 1  !  a1x  a0 dx an n 1 an 1 n a x  x  !  1 x 2  a0 x  C n 1 n 2

³ 1x dx ln x  C ³ x1n dx  n 1 1 xn11  C (n z 1)

³

x dx

³

x dx m

2 3 x2  C 3 2 3 x2  C 3

x

mn n  m  mn

³ n x dx

m

x

m 1

n

x

C

5.5.4 Unbestimmte Integrale einiger transzendenter Funktionen Auch für einige transzendente Funktionen lassen sich die unbestimmten Integrale mit den Integrationsregeln aus Abschnitt 5.5.2 berechnen. Trigonometrische Funktionen

³ sin x dx ³ cos x dx ³ tan x dx ³ cot x dx

 cos x  C sin x  C  ln cos x  C ln sin x  C  , k  ള) 2

³ cos12 x dx

tan x  C

³ sin12 x dx

 cot x  C (x z kS, k  ള)

(x z (2k + 1)

Exponentialfunktionen x

³ e dx x ³ a dx

x

e C 1 ˜ ax  C ln a

(a  ബ, a > 0 konstant)

Logarithmusfunktionen

³ ln x dx x ˜ (ln x  1)  C ( x ! 0) ³ log a x dx ln1a ˜ x ˜ (ln x  1)  C (a  ബ, a > 0 konstant, x > 0) 5.5.5 Bestimmtes Integral Ist y = f (x) eine beschränkte Funktion mit einem abgeschlossenen Intervall als Definitionsbereich, also D = [a,b], dann ist das bestimmte Integral von f (x) b

definiert durch

³ f ( x) dx a

n

¦ f ([k )'xk , n of lim

k 1

falls

5 Differenzial- und Integralrechnung

A 65

dieser Grenzwert existiert und unabhängig von der Wahl der Zahlen xk und [k ist (gesprochen: Integral von a bis b über f (x) dx). Dabei ist a = x0 < x1 < ... < xn = b eine Einteilung (Zerlegung) des Intervalls [a,b] mit 'xk = xk – xk–1 und [k, k = 1, 2, ... , n, ein beliebiger Zwischenpunkt mit xk–1 d [k d xk. b

³



n

f ( x) dx

a

lim

n of

¦

Existenz des bestimmten Integrals: Jede in einem Intervall [a,b] stetige Funktion ist dort auch integrierbar. Auch jede im Intervall [a,b] beschränkte Funktion, die in [a,b] nur endlich viele Unstetigkeitsstellen besitzt, ist in diesem Intervall integrierbar. Beispiel: Für die Funktion f (x) = c, c  ബ, D = [a,b] und eine beliebige Einteilung a = x0 < x1 < ... < xn = b des Intervalls [a,b] gilt

f ([k )xk

k 1

n

¦

lim

n of k 1

f ([k ) ' xk

n

lim

¦ c ˜ ' xk

n of k 1

lim c ˜ (b  a )

n

lim c ¦ ( xk  xk 1 )

n of k 1

c ˜ (b  a)

n of

Also ist die Funktion f (x) im Intervall [a,b] integrierbar, und es gilt b

³ c dx

c ˜ (b  a)

a

Bild 10. Zur Definition des bestimmten Integrals Die Funktion f (x) heißt dann im Intervall [a,b] integrierbar. Das Zeichen ³ heißt Integralzeichen. Man nennt a die untere Integrationsgrenze, b die obere Integrationsgrenze, f (x) den Integranden und x die Integrationsvariable. Diese Integraldefinition geht auf Bernhard Riemann zurück (deutscher Mathematiker, 1826–1866). Gilt f (x) t 0 für alle x  [a,b], dann ist

³

b a

b

³a

f ( x) dx der negative Flächeninhalt. Be-

sitzt y = f (x) in [a,b] Nullstellen, so ist

b

³a

Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung liefert den Zusammenhang zwischen bestimmtem und unbestimmtem Integral einer Funktion y = f (x). Ist die Funktion y = f (x) mit D = [a,b] im Intervall [a,b] integrierbar, und besitzt f (x) eine Stammfunktion F(x), so gilt b

³ f ( x) dx

f ( x) dx

gleich dem Inhalt des von der Kurve (Graph der Funktion y = f (x)) und der x-Achse zwischen x = a und x = b berandeten Fläche. Für f (x) d 0 für alle x  [a,b] ist

5.5.6 Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung

f ( x) dx

die Differenz der Flächeninhalte oberhalb („+“) und unterhalb („–“) der x-Achse.

Das bestimmte Integral ist also Funktionswert von F an der oberen Intervallgrenze minus Funktionswert von F an der unteren Intervallgrenze. Dabei ist F(x) eine beliebige Stammfunktion von f (x). Statt F(b) – F(a) schreibt man auch F ( x)

x= b x= a

= F ( x)

b a

Mit diesem Satz wird die Berechnung des bestimmten Integrals einer Funktion auf die Berechnung einer Stammfunktion der Funktion zurückgeführt. Der Satz stellt somit den Zusammenhang zwischen dem bestimmten und dem unbestimmten Integral einer Funktion y = f (x) her. Er wurde von Gottfried Wilhelm Leibniz (deutscher Mathematiker, 1646–1716) und Isaac Newton (englischer Mathematiker, 1642–1727) entdeckt. 

Beispiele: b

1.

³ x dx

a

5

2.

³x

3

1 2 b x | a 2

1 2 (b  a 2 ) 2

1 4 5 x | 1 4

1 4 1 4 5  1 4 4

dx

1

S

Bild 11. Bestimmtes Integral

F (b)  F (a)

a

3.

³ sin x dx

0

 cos x |

S 0

54  1 4

 cos   ( cos 0)

156

11

2

A 66

A Mathematik

5.5.7 Eigenschaften des bestimmten Integrals

3. Gleiche untere und obere Integrationsgrenze

Die folgenden Eigenschaften zur Berechnung des bestimmten Integrals einer Funktion lassen sich mit Hilfe der Definition beweisen.

a

³ f ( x) dx

0

a

1. Vertauschung der Integrationsgrenzen a

³



³

b

1 4 x 4

3

³ x dx

 f ( x) dx

f ( x) dx

Beispiel: 3

b

3

3 3

1 4 1 4 3  3 4 4

0

a

b



4. Existieren die bestimmten Integrale

Beispiel: 2

³ x dx 6

1 2 2 x | 6 2

6

1  x2 2

 ³ x dx 2

1 2 1 2 2  6 2 2

2  18

1 1 ( 6 2  22 ) 2 2

| 62

a

16

b

und (18  2)

16

2. Zusammenfassen der Integrationsintervalle b

³

c

f ( x) dx 

a

³ b

³ g ( x) dx , so gilt für beliebige c1, c2  ബ a

b

³

(c1 ˜ f ( x)  c2 ˜ g ( x)) dx

³

b

b

³

³

c1 f ( x) dx  c2 g ( x) dx

a

c

f ( x) dx

³ f ( x) dx

a

a

f ( x) dx

a



Beispiel: 4

³ (2 x  4 x

3

)dx

1

4

4

1

1

2³ xdx  4 ³ x3 dx

Einzelberechnung der Integrale 4

³ (2 x  4 x

3

)dx ( x 2  x 4 )

1

4

§1 22 ¨ x 2 ©2

³ x dx 1

Bild 12. Zusammenfassen der Integrationsintervalle 

S

S

sin x | 0

sin   sin 0

00

0

0





³02 cos x dx S

³ cos x dx

1· § 2¨8  ¸ 2¹ ©

15

4

5.5.8 Einige Anwendungen der Integralrechnung

2

0

Einzelberechnung der Integrale:

³ cos x dx

1 §1 · 2 ¨ ˜ 42  ˜ 12 ¸ 2 ©2 ¹

¹

S

³ cos x dx ³02 cos x dx  ³S cos x dx

S

(42  44 )  (12 14 ) 240  0 240

1 · 1· §1 · §1 § 4³ x3 dx 4 ¨ x 4 |14 ¸ 4 ¨ ˜ 44  ˜14 ¸ 4 ¨ 64  ¸ 255 4 ¹ 4¹ ©4 ¹ ©4 © 1

Beispiel: S

|14 ·¸

4 1

sin x 2

sin

0

sin x S

2

S 2

  sin 0 2

sin   sin

S 2

1 0

1

0 1

1

Es gibt sehr viele Anwendungen der Integralrechnung in der Technik und in den Ingenieurwissenschaften. Im Folgenden sind exemplarisch zwei davon genannt. Bogenlänge Die Länge eines Kurvenstücks bezeichnet man als Bogenlänge. Lässt sich der Bogen durch eine stetig differenzierbare Funktion y = f (x), f : [a,b] o W beschreiben, dann gilt für die Bogenlänge s b

³

s

1  > f c( x)@ dx 2

a



Beispiel:

Bogen: y

0

>a, b@ > 1,1@

(Halbkreis)

Bogenlänge:



Bild 13. ³ cos x dx

1 x2 , D

0

1

s

³

1

2

§ x · 1 ¨ ¸ dx ¨ 2 ¸ © 1 x ¹

1

³

1

1 1  x2

dx

arcsin x | 11



5 Differenzial- und Integralrechnung Volumen und Mantelfläche von Rotationskörpern Ein Rotationskörper ist ein Körper, der entsteht, wenn die Kurve einer Funktion y = f (x) mit f (x) t 0 um die x-Achse (Rotationsachse) zwischen x = a und x = b rotiert (oder die inverse Funktion um die y-Achse). Rotationskörper sind aus dem Alltag bekannt: Vasen, Gläser oder gedrechselte Figuren zum Beispiel.

A 67 Für das Volumen V und für den Inhalt AM der Mantelfläche eines Rotationskörpers gilt b

Volumen

³

 f 2 ( x) dx

V

a

b

2 f ( x) 1  > f c( x )@ dx

³

Mantelfläche AM

2

a



Beispiel: Die Gleichung des oberen Halbkreises mit dem Radius r lautet (explizite Form in kartesischen Koordinaten)

y

r 2  x2 ,

D = [ –r,r].

Bild 14. Rotationskörper Ein Rotationskörper ist durch zwei Schnitte senkrecht zur Rotationsachse begrenzt. Die von der Kurve, der x-Achse und den Geraden x = a und x = b begrenzte Fläche heißt die erzeugende Fläche des Rotationskörpers. Die Kugel ist zum Beispiel ein Rotationskörper. Sie entsteht durch Rotation eines Kreises mit dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung um eine der beiden Achsen. Auch gerade Kreiskegel und gerade Kreiszylinder sind Rotationskörper.

Die Ableitung dieser Funktion ist x 1 1 y c( x) (2 x) . 2 r 2  x2 r 2  x2

Somit berechnet man nach den obigen Formeln für das Volumen V und die Oberfläche AO (hier: Mantelfläche = Oberfläche) einer Kugel mit dem Radius r V

³

b r

a r

r

2 3 2 ˜ r 3 AO

2 ³

b r

a r

r

2



 x 2 dx

r

0



1 · r § 2 ¨ r 2 x  x3 ¸ | 0 3 ¹ ©

4 3 r 3 r 2  x2 1

x2 r 2  x2

4 ³ r dx 4 ˜ rx | 0r 4r 2 0



2 ³ r 2  x 2 dx

dx 4S ³

r

0

r 2  x2

r2 r 2  x2

dx

A 68

A Mathematik

Symbole und Bezeichnungsweisen = z  <  >    앑 앧 옰

gleich ungleich ungefähr gleich kleiner als kleiner oder gleich größer als größer oder gleich sehr viel kleiner als sehr viel größer als proportional plus oder minus minus oder plus

n

¦ ak

= a1 + a2 + a3 + . . . + an; Summe über ak von k = 1 bis k = n

k 1 n

– ak

= a1 · a2 · a3 · . . . · an; Produkt über ak von k = 1 bis k = n

{a, b, c} {x|E(x)}   Ž

Menge aus den Elementen a, b, c Menge aller x, die die Eigenschaft E(x) haben Element von nicht Element von Teilmenge

‡ ‰ ˆ |M| A š B A › B ᪰A A Ÿ B A œ B (a, b) (a, b, c)

leere Menge Vereinigung von Mengen Durchschnitt von Mengen Mächtigkeit der Menge M A und B A oder B

k 1

AB

nicht A (Negation von A) aus A folgt B A und B sind äquivalent (gleichwertig) geordnetes Paar geordnetes Tripel parallel Gerade durch die Punkte A und B

AB

Strecke AB

| AB | G a JJJG PQ JJJG G | a |, | PQ | a # ` ]

Länge (Betrag) der Strecke AB

_

Vektor a Vektor PQ Länge des Vektors ähnlich kongruent = {1, 2, 3, . . .}; Menge der natürlichen Zahlen = {. . . ,3,2,1, 0, 1, 2, 3, . . .}; Menge der ganzen Zahlen m = { |m, n  ] , n z 0}; Menge der rationalen Zahlen n

Symbole und Bezeichnungsweisen

A 69

\

Menge der reellen Zahlen

^

= {z = a + bi|a, b  \ , i =

]*

= {. . . ,3,2,1, 1, 2, 3, . . .} = {x|x  ] , x z 0}; Menge der ganzen Zahlen ohne die Null

_*

={

1 }; Menge der komplexen Zahlen

\*

m |m, n  ]* } = {x|x  _ , x z 0}; Menge der rationalen Zahlen ohne die Null n = {x|x  \ , x z 0}; Menge der reellen Zahlen ohne die Null

]

= ` = {1, 2, 3, . . .} = {x|x  ] , x > 0}; Menge der positiven ganzen Zahlen

\ IP

m |m, n  ` } = {x|x  _ , x >0}; Menge der positiven rationalen Zahlen n = {x|x  \ , x > 0}; Menge der positiven reellen Zahlen = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, . . .}; Menge der Primzahlen

i

=

_

={

1 ; imaginäre Einheit



unendlich (größer als jede reelle Zahl)



minus unendlich (kleiner als jede reelle Zahl)

|a| an

Betrag oder Absolutbetrag einer Zahl a a hoch n, n-te Potenz von a

n

a

Wurzel aus a

a

n-te Wurzel aus a

loga b

Logarithmus b zur Basis a

lg b

dekadischer Logarithmus (Zehnerlogarithmus), Logarithmus zur Basis a = 10

ln b

natürlicher Logarithmus, Logarithmus zur Basis a = e = 2, 718 281 82 . . .

ld b

binärer Logarithmus (Zweierlogarithmus), Logarithmus zur Basis a = 2

[a, b]

= {x|x  \ und a  x  b}; abgeschlossenes beschränktes Intervall

(a, b)

= {x|x  \ und a < x < b}; offenes beschränktes Intervall

[a, b)

= {x|x  \ und a  x < b}; halboffenes beschränktes Intervall

(a, b]

= {x|x  \ und a < x  b}; halboffenes beschränktes Intervall

[a,)

= {x|x  \ und x  a}; halboffenes Intervall, nach rechts unbeschränkt

(a,)

= {x|x  \ und x > a}; offenes Intervall, nach rechts unbeschränkt

(, a]

= {x|x  \ und x  a}; halboffenes Intervall, nach links unbeschränkt

(, a)

= {x|x  \ und x < a}; offenes Intervall, nach links unbeschränkt

(,)

= {x|x  \ }; offenes Intervall, nach links und nach rechts unbeschränkt

(an)

= (a1, a2, a3, . . .); Folge, Zahlenfolge

n

¦ ak

endliche Reihe

k 1 f

¦ ak

unendliche Reihe

lim an

Limes, Grenzwert der Folge (an)

lim f ( x)

Grenzwert (Limes) der Funktion f (x) f¨ur x gegen a

k 1

n of xo a

lim

f ( x)

linksseitiger Grenzwert der Funktion y = f (x) an der Stelle x = a

lim

f ( x)

rechtsseitiger Grenzwert der Funktion y = f (x) an der Stelle x = a

xo a 0 xo a 0

A 70

A Mathematik

f c ( x0 )

Ableitung von f (x) an der Stelle x = x0

df ( x0 ) dx f c ( x)

Ableitung von f (x) an der Stelle x = x0 Ableitung der Funktion f (x)

f cc( x)

zweite Ableitung der Funktion f (x)

f ccc ( x)

dritte Ableitung der Funktion f (x)

f n ( x0 )

n-te Ableitung der Funktion f (x)

³

f ( x) dx

unbestimmtes Integral der Funktion y = f (x)

f ( x) dx

bestimmtes Integral der Funktion y = f (x) von x = a bis x = b

b

³ a

Das griechische Alphabet

Alpha

A

Beta

α

Jota

I

ι

Rho

P

ρ

B

β

Kappa

K

κ

Sigma

Σ

σ

Gamma Γ

γ

Lambda

Λ

λ

Tau

T

τ

Delta

∆

δ

My

M

μ

Ypsilon Υ

υ

Epsilon

E

ǫ

Ny

N

ν

Phi

Φ

ϕ

Zeta

Z

ζ

Xi

Ξ

ξ

Chi

X

χ

Eta

H

η

Omikron O

o

Psi

Ψ

ψ

Theta

Θ

ϑ

Pi

π

Omega

Ω

ω

Π

2 Funktionen

A 13 Somit ergibt sich als Lösung des linearen Gleichungssystems:

Nennerdeterminante (Determinante der Koeffizientenmatrix):

D

3 15 8 5 10 12 2 7 1

30  360  280  160  252  75

Zählerdeterminanten: 10 15 8 Dx 1 10 12 100  180  56  80  840  15 1 7 1

Dy

3 10 8 5 1 12 2 1 1

3  240  40  16  36  50

Dz

3 15 10 5 10 1 2 7 1

30  30  350  200  21  75

Dy Dx  681 227 Dz  454  1, z 3, y 2 D  227 D  227 D  227 Die Lösung des Gleichungssystems ist also das (geordnete) Zahlentripel (x, y, z) = (3, –1, 2) (oder Lösungsmenge: L = {(3, –1, 2)}).

227

x

681

227

454

2 Funktionen Funktionswert y zu erhalten. Für x = 3 erhält man zum Beispiel y = f (3) = 5 · 3 = 15. Sowohl der Definitionsbereich als auch der Wertebereich sind die natürlichen Zahlen. Für die Bildmenge ergibt sich f (D) = {5, 10, 15, 20, ...}.

2.1 Definition und Darstellungen von Funktionen 2.1.1 Definitionen Eine Abbildung oder Funktion f ist eine Zuordnung, die jeder Zahl x einer gegebenen Zahlenmenge D eine Zahl y einer Zahlenmenge W zuordnet. Die Zuordnung ist eindeutig, das heißt, jeder Zahl x wird genau eine Zahl y zugeordnet. Man schreibt dafür y = f (x) oder manchmal auch x 6 f (x). Man nennt f (x) das Bild von x und umgekehrt x das Urbild von f (x). Die Menge D heißt Urbildmenge, Definitionsmenge oder Definitionsbereich. Die Menge W, aus der die Bilder stammen, heißt Wertemenge oder Wertebereich. Die Menge der Bilder (also alle y-Werte zusammen) heißt Bildmenge, bezeichnet mit f (D). D Definitionsbereich W Wertebereich f (D) Bildmenge Die Elemente der Bildmenge nennt man Funktionswerte. Die Bildmenge f (D) ist eine Teilmenge des Wertebereichs W, und W ist eine Teilmenge der Menge ബ der reellen Zahlen. f (D) Ž W Ž ബ Eine Funktion besteht aus drei Teilen: der Zuordnungsvorschrift f, dem Definitionsbereich D und dem Wertebereich W. Zwei Funktionen sind genau dann gleich, wenn sowohl die Zuordnungsvorschriften als auch die Definitionsbereiche als auch die Wertebereiche übereinstimmen. 

Beispiele:

1. y = f (x) = 5x, D = ത, W = ത Die Zuordnungsvorschrift ist hier „5 mal“, das heißt, man muss jeden x-Wert mit 5 multiplizieren, um den zugehörigen

2. y = f (x) = x + 2, D = ബ, W = ബ

2.1.2 Funktionsgleichung Explizite Darstellung der Funktionsgleichung Die Zuordnungsvorschrift für eine Funktion ist im Regelfall eine Gleichung, die Funktionsgleichung y = f (x) (gesprochen: y gleich f von x). Dabei heißt x unabhängige Variable und y abhängige Variable. Man nennt x auch das Argument der Funktion. Die Form y = f (x) heißt explizite Darstellung der Funktionsgleichung. Darüber hinaus gibt es die implizite Darstellung und die Parameterdarstellung der Funktionsgleichung (siehe A14). Funktionen können aber zum Beispiel auch durch Tabellen, Schaubilder (Graphen), Pfeildiagramme oder geordnete Wertepaare (Wertetabelle) dargestellt werden. Fehlt bei einer Funktion die Angabe des Definitionsbereichs, so gilt D = ബ. Fehlt bei einer Funktion die Angabe des Wertebereichs, so gilt ebenfalls W = ബ. Die Schreibweise y = f (x), f: D o W für eine Funktion bedeutet, dass y = f (x) die Funktionsgleichung ist, dass die Funktion den Definitionsbereich D und den Wertebereich W hat. y = f (x), f: D o W 

Beispiele:

1. y = f (x) = x3 – 4x2 – x + 4, f: ബoബ 2. y = f ( x)

x3 , x2  2

f : [1, 1] o ബ (also D = [1, 1], W = ബ)

Eine Funktion mit der Funktionsgleichung y = f (x), deren Definitions- und Wertemenge nur reelle Zahlen enthalten, nennt man eine reelle Funktion einer reellen Variablen.

A 14

A Mathematik

Implizite Darstellung der Funktionsgleichung Die Darstellung einer Funktion in der Form F(x,y) = 0 heißt implizit, falls sich diese Gleichung eindeutig nach y auflösen lässt. Statt impliziter Darstellung der Funktion sagt man auch einfach nur implizite Funktion. 

Beispiel: 3. F(x,y) = x2 + y2 – 1 = 0, D = [–1, 1], y t 0 Es handelt sich hierbei um die obere Hälfte des Einheitskreises mit dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung (vgl. Abschnitt 4.3). Man beachte, dass mit x2 + y2 – 1 = 0 keine reelle Funktion definiert wird, denn die Zuordnung ist nicht eindeutig, da jedem Element des Definitionsbereichs zwei Werte zugeordnet werden (einer auf dem oberen Halbkreis und einer auf dem unteren Halbkreis).

Parameterdarstellung der Funktionsgleichung Die Darstellung einer Funktion in der Form x = M (t), y = \ (t) heißt Parameterdarstellung. Die Werte von x und y werden dabei jeweils als Funktion einer Hilfsvariablen t angegeben, die Parameter genannt wird. Die Funktionen M (t) und \ (t) müssen denselben Definitionsbereich haben. 

Beispiel: 4.

x = 2t + 5, y = 8t + 4, t  ബ Durch Elimination von t erhält man 4x – 20 = y – 4 Ÿ y = 4x – 16, also eine Geradengleichung (in expliziter Form) (vgl. Abschnitt 4.2.1).

2.1.3 Graph einer Funktion Eine Möglichkeit der Funktionsdarstellung ist, den Graph der Funktion zu zeichnen. Der Graph einer Funktion f mit dem Definitionsbereich D ist das Bild, das man erhält, wenn man die geordneten Zahlenpaare (x,y) = (x, f (x)) mit x  D in ein Koordinatenkreuz einträgt. Geordnet bedeutet, dass in (x,y) die Reihenfolge von x und y wichtig ist: (x,y) ist verschieden von (y,x) (außer möglicherweise in Sonderfällen). 

Beispiel: Graph der Funktion mit der Funktionsgleichung y = f (x) = 2x + 1 und dem Definitionsbereich D = ബ:

In einem kartesischen Koordinatensystem (siehe Abschnitt 4.1) ist die waagerechte Achse die x-Achse oder Abszissenachse, die senkrechte Achse ist die yAchse oder Ordinatenachse. Die Zahl x ist die Abszisse und y die Ordinate eines Punktes (x|y) mit den Koordinaten x und y. Statt Graph einer Funktion sagt man auch Schaubild oder Kurve der Funktion. Bemerkung: Bei einem Zahlenpaar setzt man ein Komma oder ein Semikolon zwischen die beiden Komponenten: (x,y) oder (x;y). Bei der Darstellung eines Punktes setzt man einen senkrechten Strich zwischen die beiden Koordinaten: (x|y). 2.1.4 Wertetabelle einer Funktion Auch mittels einer Wertetabelle kann eine Funktion dargestellt werden. In einer Wertetabelle werden für einige ausgewählte Argumente x die geordneten Zahlenpaare (x,y) = (x, f (x)) für eine Funktion y = f (x) eingetragen. Dabei müssen die ausgewählten Werte für x Elemente des Definitionsbereichs D der Funktion sein. Man stellt oftmals eine Wertetabelle auf, um den Graph einer Funktion zeichnen zu können. 

Beispiel: Wertetabelle für die Funktion y = –x2 – 4x + 3, D = ബ: x

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

y

–2

3

6

7

6

3

–2

–9

2.2 Verhalten von Funktionen 2.2.1 Monotone Funktionen Eine Funktion mit der Gleichung y = f (x) heißt in einem bestimmten Bereich B (B ist eine Teilmenge des Definitionsbereichs D) – monoton wachsend, wenn aus x1 < x2 stets f (x1) d f (x2) folgt, – streng monoton wachsend, wenn aus x1 < x2 stets f (x1) < f (x2) folgt, – monoton fallend, wenn aus x1 < x2 stets f (x1) t f (x2) folgt, – streng monoton fallend, wenn aus x1 < x2 stets f (x1) > f (x2) folgt. Dabei sind x1, x2 beliebige Punkte aus diesem Bereich B. 

Beispiele: 1.

f (x) = 3x, D = ബ ist streng monoton wachsend in D.

2.

f (x) = 3, D = ബ ist in D monoton wachsend (und monoton fallend).

3. f (x) = x2, D = ബ ist in B1 = {x|x  D und x d 0} streng monoton fallend und in B2 = {x|x  D und x t 0} streng monoton wachsend.

Bild 1. Graph der Funktion mit der Gleichung y = f (x) = 2x + 1

2 Funktionen

A 15

2.2.2 Symmetrische Funktionen Der Graph einer Funktion mit der Gleichung y = f (x) ist symmetrisch zur y-Achse, wenn f (x) = f (–x) für alle x  D gilt. Eine solche Funktion heißt eine gerade Funktion. Der Graph einer Funktion y = f (x) ist symmetrisch zum Koordinatenursprung, wenn f (–x) = –f (x) für alle x  D gilt. Eine solche Funktion heißt eine ungerade Funktion. 

Beispiele: 1. f (x) = 2x4 + 1 Wegen f (–x) = 2(–x)4 + 1 = 2x4 + 1 = f (x) ist y = f (x) symmetrisch zur y-Achse, also eine gerade Funktion. 2. f (x) = 2x3 – 3x Wegen f (–x) = 2(–x)3 – 3(–x) = –2x3 + 3x = –f (x) ist y = f (x) symmetrisch zum Koordinatenursprung, also eine ungerade Funktion. 3. f (x) = x2 – x Wegen f (–x) = (–x)2 – (–x) = x2 + x, also f (x) z f (–x) und f (x) z –f (–x), ist y = f (x) weder eine gerade noch eine ungerade Funktion.

2.2.3 Beschränkte Funktionen Eine Funktion heißt nach oben beschränkt, wenn ihre Funktionswerte eine bestimmte Zahl nicht übertreffen, und nach unten beschränkt, wenn ihre Funktionswerte nicht kleiner als eine bestimmte Zahl sind. Eine Funktion, die sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist, heißt beschränkt. Bei einer beschränkten Funktion y = f (x) existieren also reelle Zahlen a und b mit a < b, so dass gilt:

f (D) = W 

Beispiele: Folgende Funktionen sind surjektiv:

1. y = f (x) = x + 2, f: ബ o ബ 2. y = f (x) = x3 – 4x2 – x + 4, f: ബ o ബ Folgende Funktionen sind nicht surjektiv: 1. y = f (x) = x2 – 1, f: ബ o ബ 2. y = f ( x)

x , f: ത o ബ

2.2.6 Bijektive Funktionen Eine Funktion heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist. Bei einer bijektiven Funktion ist also die Bildmenge gleich dem Wertebereich, und jedes Bild besitzt genau ein Urbild. Ist y = f (x), f : D o W eine bijektive Funktion, so sind die Mengen D und W gleich mächtig, das heißt, sie besitzen gleich viele Elemente. Die bijektiven Funktionen besitzen eine Umkehrfunktion. 

Beispiele: Folgende Funktion ist bijektiv:

y = f (x) = x + 2, f: ബ o ബ Folgende Funktionen sind nicht bijektiv: 1. y = f (x) = x3 – 4x2 – x + 4, f: ബ o ബ 2. y = f (x) = x2 – 1, f: ബ o ബ 3. y = f ( x)

x f: ത o ബ

2.2.7 Periodische Funktionen a d f (x) d b 

für alle x  D

Beispiele: 1. y = 1 – x2 ist nach oben beschränkt, denn y d 1. 2. y = ex ist nach unten beschränkt, denn y > 0. 4 ist beschränkt, denn 0 < y d 4. 3. y = 1  x2

2.2.4 Injektive Funktionen Eine Funktion heißt injektiv, wenn jedes Bild genau ein Urbild besitzt. Bei einer injektiven Funktion gehören zu verschiedenen Argumenten also stets verschiedene Bilder. x1 z x2 

Ÿ

f ( x1 ) z f ( x2 )

Beispiele: Folgende Funktionen sind injektiv:

1. y = f (x) = x + 2, f: ബ o ബ (also D = W = ബ) 2. y = f ( x)

x , f: ത o ബ

Folgende Funktionen sind nicht injektiv: 1. y = f (x) = x3 – 4x2 – x + 4, f: ബ o ബ 2. y = f (x) = x2 – 1, f: ബ o ബ

2.2.5 Surjektive Funktionen Eine Funktion heißt surjektiv, wenn ihre Bildmenge gleich dem Wertebereich ist.

Eine Funktion, deren Funktionsgleichung die Bedingung f (x + T) = f (x) erfüllt, wobei T eine Konstante (feste reelle Zahl) ist, heißt periodische Funktion. Die Gleichung f (x + T) = f (x) gilt für alle x aus dem Definitionsbereich. f (x + T) = f (x) Die kleinste positive Zahl T mit dieser Eigenschaft heißt die Periode der Funktion. Den absolut größten Funktionswert nennt man Amplitude der periodischen Funktion. Beispiele für periodische Funktionen sind die trigonometrischen Funktionen (vgl. Kapitel 3). 2.2.8 Umkehrfunktionen Die Funktion, die durch Vertauschen von x und y aus einer bijektiven Funktion y = f (x) entsteht, heißt Umkehrfunktion oder inverse Funktion von y = f (x). Bei einer bijektiven Funktion y = f (x), f: D o W ist jedes Element y  W Bild von genau einem Element x  D. Man kann eine neue Funktion definieren, die jedem y  W als Bild gerade das x  D zuordnet, das Urbild von y ist. Diese Funktion leistet das Umgekehrte wie f, ihr Definitionsbereich ist W, und ihr Wertebereich ist D. Man nennt diese Funktion daher die Umkehrfunktion von f und bezeichnet sie mit f –1.

A 16

A Mathematik 2. y = f (x) = 2x, D = ബ, W = ബ+

y = f –1(x), f –1: W o D Versteht man unter der Schreibweise g( f (x)), dass man auf x die Zuordnungsvorschrift f und dann auf f (x) die Vorschrift g anwendet, so gilt f –1( f (x)) = x und f ( f –1(x)) = x. Zu einer streng monoton wachsenden oder streng monoton fallenden Funktion existiert die Umkehrfunktion. Bestimmung der Umkehrfunktion: 1. Auflösen von y = f (x) nach x: x = f –1(y) 2. Vertauschen von x und y: y = f –1(x) Diesen Operationen entspricht die Spiegelung des Graphen der Funktion an der Winkelhalbierenden y = x. 

Beispiele: 1. y = f (x) = 4x – 1, D = W = ബ Umkehrfunktion: y

f 1 ( x)

1 1 x , D= W= ബ 4 4

Umkehrfunktion: y = f –1(x) = log2x, D = ബ+, W = ബ

2.2.9 Reelle und komplexe Funktionen Eine Funktion mit der Funktionsgleichung y = f (x), deren Definitions- und Wertebereich nur reelle Zahlen enthalten, nennt man eine reelle Funktion einer reellen Variablen. 

Beispiele: 1. y = x2, D = (–f,f), W = [0,f)

2. y =

x , D = [0,f), W = [0,f)

Ist dagegen die unabhängige Variable einer Funktionsgleichung eine komplexe Zahl z, dann wird durch w = f (z) eine komplexe Funktion einer komplexen Variablen beschrieben. Komplexe Funktionen werden in dem mathematischen Gebiet Funktionentheorie behandelt.

2.3 Einteilung der elementaren Funktionen Eine elementare Funktion ist eine Funktion, deren Funktionsgleichung durch einen geschlossenen analytischen Ausdruck dargestellt werden kann. Elementare Funktionen sind durch Formeln definiert, die nur endlich viele mathematische Operationen mit der unabhängigen Variablen x und den Koeffizienten enthalten. Man teilt die elementaren Funktionen in algebraische Funktionen und transzendente Funktionen ein. Bei algebraischen Funktionen lassen sich die Verknüpfung der unabhängigen Variablen x und der abhängigen Variablen y in einer algebraischen Gleichung folgender Form darstellen, wobei p0, p1, ..., pn Polynome in x beliebigen Grades sind. p0 ( x)  p1 ( x) y  p2 ( x) y 2  !  pn ( x) y n

Bild 2. Graphen der Funktionen von Beispiel 1

0

Ein Polynom n-ten Grades ist ein Ausdruck der Form n

an x n  an 1 x n 1  !  a2 x 2  a1 x  a0

¦a x k

k

k 0

mit a0, a1, a2, ..., an–1, an  ബ, an z 0, n  ത Elementare Funktionen, die nicht algebraisch sind, heißen transzendent. 

Beispiele für algebraische Funktionen: 1. y = 3x2 + 4 2x 2. y = 3 x  2x  1

3. 3xy3 4 xy  x3  1 p0 ( x)

Bild 3. Funktion y = 2x und Umkehrfunktion y = log2x sowie Funktion y = ex und Umkehrfunktion y = lnx

0 (hier also

x 3  1, p1 ( x)

4 x, p 2 ( x)

0, p3 ( x) 3x )

2 Funktionen

A 17

Zu den transzendenten Funktionen gehören zum Beispiel die Exponentialfunktionen, die Logarithmusfunktionen und die trigonometrischen Funktionen. 

Beispiele für transzendente Funktionen: 1. y = ex 2. y = sin x 3. y = ln x

Die algebraischen Funktionen untergliedern sich in die rationalen Funktionen und in die irrationalen Funktionen. Eine rationale Funktion ist eine algebraische Funktion, für die die Funktionsgleichung y = f (x) als eine explizite Formel angegeben werden kann, in der auf die unabhängige Variable x nur endlich viele rationale Rechenoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) angewandt werden. Eine algebraische Funktion, die nicht rational ist, heißt irrational. 

y

Gebrochene rationale Funktionen sind Funktionen mit einer Funktionsgleichung y = f (x), bei der f (x) als Quotient zweier Polynome darstellbar ist. Sie besitzen also eine Darstellung folgender Form mit a0, a1, ..., an, b0, b1, ..., bm  ബ, an, bm z 0, n  ള, n t 0, m  ത.

an x n  an1 x n1 !  a2 x 2  a1 x  a0 y bm x m  bm1 x m1 !  b2 x 2  b1 x  b0

2 x 2  3x  5

y

2.

y

( x 2  1) x

Für rationale Funktionen ist f (x) ein Polynom (dann ist y = f (x) eine ganze rationale Funktion) oder ein Quotient aus Polynomen (dann heißt y = f (x) eine gebrochene rationale Funktion). Ganze rationale Funktionen lassen sich also darstellen in folgender Form mit a0, a1, a2 ..., an–1, an  ബ, an z 0, n  ള, n t 0. n

an x n  an 1 x n 1  !  a2 x 2  a1 x  a0

i

¦b x

k

i

i o m

k 0

3x 2  4 3

¦a x k

x 3  3x 2  2

Beispiele für irrationale Funktionen:

1.

Beispiele für ganze rationale Funktionen: 1. y = 23x4 – 12x + 4 2. y = 1 – 3x + x6 – 2x2 3. y = 3x – 4S(lineare Funktion) 4 y = 4x3 – 2x +5 (kubische Funktion)

n

Bei irrationalen Funktionen tritt die unabhängige Variable auch unter einem Wurzelzeichen auf.

y



Beispiele für rationale Funktionen: 1 1. y 3x 3  4

2.



Konstante Funktionen: y = a0 Lineare Funktionen: y = a1x + a0 Quadratische Funktionen: y = a2x2 + a1x + a0 Kubische Funktionen: y = a3x3 + a2x2 + a1x + a0

¦a x k

k

k 0

Ist n der Grad des Polynoms, so nennt man die Funktion ganze rationale Funktion n-ten Grades. Bei ganzen rationalen Funktionen werden auf die unabhängige Variable x nur die Operationen Addition, Subtraktion und Multiplikation angewandt. Ganze rationale Funktionen vom Grad 0 (y = a0) nennt man konstante Funktionen, vom Grad 1 (y = a1x + a0) lineare Funktionen, vom Grad 2 (y = a2x2 + a1x + a0) quadratische Funktionen und vom Grad 3 (y = a3x3 + a2x2 + a1x + a0) kubische Funktionen.

Eine gebrochene rationale Funktion kann also immer als Quotient zweier ganzer rationaler Funktionen dargestellt werden. Bei gebrochenen rationalen Funktionen werden auf die unabhängige Variable x nur die Grundrechenarten (also die Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) angewandt. Die Definitionsmenge einer gebrochenen rationalen Funktion besteht aus denjenigen reellen Zahlen, für die der Nenner nicht Null wird. Für n < m heißt die Funktion echt gebrochene rationale Funktion, für n t m heißt sie unecht gebrochene rationale Funktion. Gebrochene rationale Funktionen mit n = 1 und m = a1 x  a0 1, also y heißen gebrochene lineare b1 x  b0 Funktionen. 

Beispiele für gebrochene rationale Funktionen: 2 y x

1.

2x

2.

y

3.

y

2x  4 (gebrochene lineare Funktion) x3

4.

y

x2  x 

x 3  5x 2  2x  1

1 x

§ ¨ ¨ ©

x 3  x 2  1 ·¸ ¸ x ¹

Bei den ersten beiden Beispielen handelt es sich um echt gebrochene rationale Funktionen, bei den letzten beiden Beispielen um unecht gebrochene rationale Funktionen.

A 18

A Mathematik Der Schnittpunkt des Graphen der Funktion mit der x-

Zusammenfassende Übersicht über die elementaren Funktionen algebraische Funktionen

transzendente Funktionen

rationale Funktionen

irrationale Funktionen

Achse ist S x

 0 , der Schnittpunkt mit der y-Achse n m

S y (0 n ) . Ist n = 0, so nennt man die lineare Funktion y = mx (m  ബ, m z 0) auch Proportionalfunktion. Der Graph einer Proportionalfunktion ist eine Gerade durch den Koordinatenursprung, und zwar mit der Steigung m. Man nennt m auch den Proportionalitätsfaktor der y Gleichung, denn es gilt m . x 2.4.3 Quadratische Funktionen

ganze rationale Funktionen

gebrochene rationale Funktionen

Funktionen mit einer Funktionsgleichung y

echt gebrochene rationale Funktionen

konstante Funktionen

lineare Funktionen

quadratische Funktionen

unecht gebrochene rationale Funktionen

kubische Funktionen

2.4 Ganze rationale Funktionen 2.4.1 Konstante Funktionen Funktionen mit einer Funktionsgleichung y = f (x) = n (n  ബ) Der Graph einer konstanten Funktion ist eine Parallele zur x-Achse, und zwar im Abstand n. Im Fall n = 0 ist die Gerade die x-Achse selbst. Die Geradengleichung der x-Achse ist also y = 0. 2.4.2 Lineare Funktionen Funktionen mit einer Funktionsgleichung y = f (x) = mx + n (m,n  ബ, m z 0)

f ( x)

a2 x 2  a1 x  a0 (a2, a1, a0  ബ, a2 z 0)

Eine quadratische Funktion ist eine ganze rationale Funktion 2. Grades. Der Graph jeder quadratischen Funktion ist eine Parabel (vgl. auch Abschnitt 4.5.3). Für spezielle Koeffizienten a2, a1, a0 in der Funktionsgleichung erhält man spezielle Parabeln. Normalparabel Mit den Koeffizienten a2 = 1, a1 = 0, a0 = 0 in der Gleichung y a2 x 2  a1x  a0 der quadratischen Funktion erhält man die Gleichung y = x2 der Normalparabel. y = x2

Der Punkt (0|0), also der Koordinatenursprung, ist der Scheitelpunkt der Normalparabel. Die Normalparabel ist symmetrisch zur y-Achse und nach oben geöffnet. Der Definitionsbereich ist D = ബ, der Wertebereich ist W = ബ, und die Bildmenge f (D) ist die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen: f (D) = ബ 0 = ബ+ ‰ {0}.

Eine lineare Funktion ist eine ganze rationale Funktion 1. Grades. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade (daher der Name lineare Funktion), und zwar die Gerade mit der Steigung m und dem Achsenabschnitt n auf der y-Achse (vgl. Abschnitt 4.2.1). Die Steigung m einer Geraden ist der „Höhenzuwachs“ (die Differenz der y-Werte) bei einem Schritt um 1 nach rechts. Der Achsenabschnitt n ist der y-Wert, bei dem die Gerade die y-Achse schneidet. Für m > 0 ist die Funktion streng monoton wachsend, für m < 0 ist sie streng monoton fallend. Bild 4. Normalparabel

2 Funktionen

A 19

Allgemeiner Fall a2 x 2  a1 x  a0

y

Für a2 > 0 ist die Parabel nach oben, für a2 < 0 nach unten geöffnet. Für |a2| > 1 ist die Parabel im Vergleich zur Normalparabel gestreckt und für |a2| < 1 gestaucht. Man nennt |a2| deshalb den Streckungsfaktor der Parabel. Eine Änderung des Koeffizienten a1 bewirkt eine Verschiebung der Parabel in x-Richtung, eine Änderung von a0 bewirkt eine Verschiebung in y-Richtung. Scheitelpunkt S der Parabel:

§ a a2 · S(xs|ys)= S ¨  1 a0  1 ¸ 4a2 ¹ © 2a2

besitzt die Funktion ein Maximum und ein Minimum (siehe Abschnitt 5.4.7). Für a3 > 0 ist die Funktion dann von –f bis zum Maximum monoton wachsend, monoton fallend vom Maximum bis zum Minimum und danach bis +f wieder monoton wachsend. Für a3 < 0 (und D < 0) ist die Funktion von –f bis zum Minimum monoton fallend, vom Minimum bis zum Maximum monoton wachsend und danach bis +f wieder monoton fallend. Es gibt einen, zwei (dann ist ein Schnittpunkt ein Berührpunkt) oder drei Schnittpunkte mit der x-Achse (abhängig von den Koeffizienten a3, a2, a1, a0. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist S y (0 a0 ) .

Man nennt die Gleichung y  ys a2 ( x  xs ) 2 Scheitelform der quadratischen Funktion, wohingegen y a2 x 2  a1x  a0 Normalform der quadratischen Funktion heißt. y  ys

a2 ( x  xs ) 2

Schnittpunkt Sy mit der y-Achse: S y S y (0 a0 ) . Der Wert D a12  4a2 a0 heißt Diskriminante der quadratischen Funktion y a2 x 2  a1x  a0 . Gilt D > 0, so hat die zugehörige Parabel zwei Schnittpunkte mit der x-Achse. Für D = 0 gibt es einen Schnittpunkt (der Schnittpunkt ist dann ein Berührpunkt). Für D < 0 gibt es keinen Schnittpunkt mit der x-Achse. Schnittpunkte mit der x-Achse: § 1 · S x1 ¨ ( a1  a12  4a2 a0 ) 0¸ , © 2a ¹ 2

§ 1 · S x2 ¨ ( a1  a12  4a2 a0 ) 0¸ © 2a ¹ 2

2.4.4 Kubische Funktionen

Funktionen mit einer Funktionsgleichung y

f ( x)

a3 x3  a2 x 2  a1 x  a0

(a3, a2, a1, a0  ബ, a3 z 0) Eine kubische Funktion ist eine ganze rationale Funktion 3. Grades. Der Graph einer kubischen Funktion ist eine kubische Parabel. 

Beispiele: 1.

y

x 3 (kubische Normalparabel

2.

y



3.

y

1 3 x x 4

1 3 x 2

Das Verhalten der Funktion hängt wesentlich von dem Koeffizienten a3 und der Diskriminante D 3a3a1  a22 ab. Wenn D t 0 ist, dann ist die Funktion für a3 > 0 monoton wachsend und für a3 < 0 monoton fallend (vgl. Abschnitt 2.2.1). Für D < 0

Bild 5. Graphen der kubischen Funktionen 1 1 3 y x3 , y  x 3 und y x x 4 2 2.4.5 Ganze rationale Funktionen n-ten Grades

Funktionen mit einer Funktionsgleichung folgender Art, wobei a0, a1, a2, ... , an–1, an  ബ, an z 0, n  ത, heißen ganze rationale Funktionen n-ten Grades. n

y

an x n  an 1 x n 1  !  a2 x 2  a1 x  a0

¦a x k

k

k 0

Die rechte Seite der Gleichung heißt auch Polynom nten Grades. Der Graph einer ganzen rationalen Funktion n-ten Grades ist eine zusammenhängende Kurve, die von links aus dem Unendlichen kommt und nach rechts

A 20

A Mathematik

im Unendlichen verschwindet. Dabei hängt der Kurvenverlauf ganz wesentlich vom Grad n der Funktion und vom Vorzeichen von an ab. Es gilt: n gerade

(n = 2, 4, 6, ...) und an > 0: x o –f Ÿ y o +f x o +f Ÿ y o +f

n gerade

(n = 2, 4, 6, ...) und an < 0: x o –f Ÿ y o –f x o +f Ÿ y o –f

2.

y = x3 und y = x5 Die Graphen dieser Funktionen sind Parabeln 3. bzw. 5. Ordnung.

n ungerade (n = 1, 3, 5, ...) und an > 0: x o –f Ÿ y o –f x o +f Ÿ y o +f n ungerade (n = 1, 3, 5, ...) und an < 0: x o –f Ÿ y o +f x o +f Ÿ y o –f Dabei bedeutet zum Beispiel x o –f, dass x sich –f nähert. Ist von den Koeffizienten in der Funktionsgleichung nur an z 0, gilt also a0 = a1 = a2 = ... = an–2 = an–1 = 0, dann nennt man die Funktion Potenzfunktion. n

y = anx

(n  ത, an  ബ, an z 0)

Die Graphen der Potenzfunktionen heißen für n t 2 Parabeln n-ter Ordnung. Der Definitionsbereich der Potenzfunktionen ist D = ബ. Für die Bildmenge gilt f (D) = {z|z  ബ, z t 0} für gerade n t 2 und an > 0, f (D) = {z|z  ബ, z d 0} für gerade n t 2 und an < 0 und f (D) = ബ für ungerade n. Die Kurve der Funktion y = axn ist im Vergleich zur Kurve der Funktion y = xn für |a| < 1 gestaucht, für |a| > 1 gestreckt und für a < 0 an der x-Achse gespiegelt. 

Bild 7. Parabeln 3. und 5. Ordnung 3.

1 6 1 5 17 4 1 3 16 2 1 12 x  x  x  x  x  x 100 100 100 20 25 25 25 Das Polynom der rechten Seite lässt sich umformen: 1 6 1 5 17 4 1 3 16 2 1 12 x  x  x  x  x  x 100 100 100 20 25 25 25 1 ( x 2  1)( x 2  4)( x 2  x  12) 100 Da ein Produkt genau dann gleich 0 ist, wenn mindestens einer der Faktoren gleich 0 ist, erhält man als Nullstellen der gegebenen Funktion die Lösungen der drei quadratischen Gleichungen x2 – 1 = 0, x2 – 4 = 0 und x2 + x – 12 = 0: x1 = 1, x2 = –1, x3 = 2, x4 = –2, x5 = 3, x6 = –4 Die Nullstellen sind die Abszissen der Schnittpunkte des Graphen der Funktion mit der x-Achse. y

Beispiele: 1. y = x2 und y = x4 Die Graphen dieser Funktionen sind Parabeln 2. bzw. 4. Ordnung.

Bild 8. Graph der Funktion zu der Gleichung aus Beispiel 3

Bild 6. Parabeln 2. und 4. Ordnung

Weil eine algebraische Gleichung n-ten Grades höchstens n reelle Wurzeln besitzt, hat die Kurve für den gegebenen Grad die Höchstzahl an Schnittpunkten mit der x-Achse, nämlich n = 6. 1 ! 0 und n = 6 geradzahlig ist, kommt die KurDa a n 100 ve von links aus dem Positiv-Unendlichen und geht nach rechts ins Positiv-Unendliche. Zur Berechnung des Schnittpunkts Sy mit der y-Achse setzt man in der Funktionsgleichung x = 0 ein und erhält

2 Funktionen

A 21

12 als Ordinate des Schnittpunkts und damit als 25 Schnittpunkt mit der y-Achse: y



n  ള, n t 0, m  ത heißen gebrochene rationale Funktionen. n

§ 12 · Sy ¨ 0  ¸ 25 ¹ ©

Sy

an  an 1  !  a2  a1 x  a0 bm x m  bm 1 x m 1  !  b2 x 2  b1 x  b0

y

2.4.6 Horner-Schema

n

¦a x k

k

gegeben und der Funktionswert

y

n

nom ¦ ak x k durch (x – x0): k 0

(an x n  an 1 x n 1  !  a2 x 2  a1 x  a0 ) : ( x  xo ) cn an x n 1  c1 x n  2  !  cn  2 x  cn 1  . x  x0 Für die Koeffizienten ci gilt c1 = anx0 + an–1 und ci = ci–1x0 + an–i für i = 2,3, ..., n. Damit kann die Funktion f (x) auch durch die Gleichung f ( x) (an x n 1  c1 x n  2  !  cn  2 x  cn 1 )( x  x0 )  cn beschrieben werden. Für x = x0 ergibt sich dann f (x0) = cn. Die Berechnung des Funktionswertes f (x0) ist somit auf die Berechnung der Konstante cn zurückgeführt worden, die man in n Schritten durch einander folgende Berechnung von c1, c2, ..., cn ermittelt. Man berechnet zuerst c1 aus c1 = anx0 + an–1, dann c2 aus c2 = c1x0 + an–2, und so weiter und schließlich cn aus cn = cn–1x0 + a0. Dieses Verfahren nennt man Horner-Schema (nach dem englischen Mathematiker William George Horner, 1786–1837). Es lässt sich folgendermaßen schematisch darstellen:

an–1 an x0 c1

an 

an–2 c1x0 c2

... ... ...

a1 a0 cn–2x0 cn–1x0 cn–1 cn

Beispiel:

f ( x)

2 x 4  8 x 3  2 x 2  28 x  48

Gesucht ist f (–3), also der Funktionswert an der Stelle x0 = –3. Horner-Schema: 2 +

–8

2

28

–48

–6

42

–132

312

(= 2 (–3)) (= (–14) (–3)) (= 44 (–3)) (= (–104) (–3)) 2

–14

i

¦b x

k

i

i o m

Eine gebrochene rationale Funktion y = f (x) kann immer als Quotient zweier ganzer rationaler Funktionen dargestellt werden (sowohl Zähler als auch Nenner sind Polynome in x).

an der Stelle x0 gesucht, so dividiert man das Poly-

an

¦a x k 0

k 0

+

x2

k

Das Horner-Schema ist ein Verfahren zur Berechnung von Funktionswerten ganzer rationaler Funktionen. Ist eine Funktion f ( x) an x n  an 1 x n 1  ! a2x2 + a1 x  a0

x n 1

xn

44

–104

264

Es gilt also f (–3) = 264.

2.5 Gebrochene rationale Funktionen 2.5.1 Nullstellen, Pole, Asymptoten Funktionen mit einer Funktionsgleichung folgender Art, wobei a0, a1, ... , an, b0, b1, ... , bm  ബ, an, bm z 0,

Pn ( x) Pm ( x)

Eine gebrochene rationale Funktion ist nicht für alle x definiert. Die Nullstellen des Nenners gehören nicht zum Definitionsbereich der Funktion. Ist der Grad des Nennerpolynoms größer als der Grad des Zählerpolynoms (n < m), dann heißt die Funktion echt gebrochene rationale Funktion, andernfalls (also für n t m) heißt sie unecht gebrochene rationale Funktion. Gebrochene rationale Funktionen, bei denen sowohl das Zählerpolynom als auch das Nennerpolynom den Grad 1 haben (also n = 1 und m = 1), heißen gebrochene lineare Funktionen. y

a1 x  a0 b1 x  b0

Die Graphen der gebrochenen rationalen Funktionen a

y

xn

, n  ത, a  ബ, a z 0 heißen Hyperbeln n-ter

Ordnung (zu Hyperbeln vgl. auch Abschnitt 4.5.2). Durch Polynomdivision lässt sich jede unecht gebrochene rationale Funktion y = f (x) darstellen als Summe einer ganzen rationalen Funktion g(x) und einer echt gebrochenen rationalen Funktion h(x): y = f (x) = g(x) + h(x). 

Beispiel:

1.

2 x 4  3x 3  5 x 2  4 x  1 x 2  3x  1

2 x 2  9 x  30 

77 x  29 x 2  3x  1

Eine Zahl x0 ist eine Nullstelle von y = f (x) = Pn ( x) P ( x) , wenn an der Stelle x = x0 der Zähler Pm ( x) Q( x) Null ist und der Nenner von Null verschieden, also P(x0) = 0, Q(x0) z 0. Eine Stelle x = xp heißt ein Pol der Funktion P( x) y , wenn xp eine Nullstelle des Nenners Q(x) Q( x) ist und der Zähler P(x) an der Stelle xp von Null verschieden ist, also Q(xp) = 0, P(xp) z 0. Ist x = xp eine

A 22

A Mathematik

k-fache Nullstelle des Nenners Q(x) und gilt P(xp) z P( x) 0, dann heißt xp ein Pol k-ter Ordnung von y . Q( x) Zwei Polynome P(x) und Q(x) heißen teilerfremd, wenn alle ihre Nullstellen verschieden sind. Gilt also für eine Stelle x = x1, dass P(x1) = 0, so folgt Q(x1) z 0, und gilt umgekehrt für eine Stelle x = x2, dass Q(x2) = 0, so folgt P(x2) z 0. Jede gebrochene rationale Funktion lässt sich als Quotient zweier teilerfremder Polynome darstellen. y

– –

–

P( x) , P( x) und Q( x) teilerfremd Q( x)

Ist y = f (x) eine echt gebrochene rationale Funktion, gilt also n < m, dann ist die x-Achse (Gerade mit der Gleichung y = 0) eine Asymptote. Im Falle n = m ist die zur x-Achse parallele Geraan de mit der Gleichung y eine Asymptote. bm Ist n > m, so gilt y = f (x) = g(x) + h(x), wobei g(x) eine ganze rationale Funktion und h(x) eine echt gebrochene rationale Funktion sind. Die Funktion y = f (x) verhält sich dann im Unendlichen wie die rationale Funktion y = g(x).

Eine solche Darstellung heißt Normalform der gebrochenen rationalen Funktion. Die Nullstellen einer gebrochenen rationalen Funktion in Normalform sind die Nullstellen des Zählerpolynoms P(x). Ist x = xp ein Pol k-ter Ordnung der Funktion y = P ( x) mit teilerfremden P(x) und Q(x), dann lässt Q( x) sich die Funktion in der Nähe des Pols darstellen P ( x) 1 P( x) ˜ durch y . Q ( x) ( x  x p ) k Q1 ( x) Dabei haben weder P(x) noch Q1(x) in der Nähe von x = xp eine Nullstelle, sie ändern also ihr Vorzeichen nicht. Ihr Quotient hat deshalb einen von Null verschiedenen, beschränkten positiven oder negativen 1 wächst aber, wenn Wert. Die Funktion ( x  x p )k

Bild 9. Funktionsverlauf bei Polen ungerader Ordnung

sich x dem Pol xp nähert, über alle Grenzen. Nähert man sich dem Pol mit wachsenden x-Werten (also x < xp), so ist x – xp negativ. Für ungerade k (k = 1 gegen –f, für gerade 1, 3, 5,...) geht dann ( x  x p )k k (k = 2, 4, 6,...) dagegen gegen +f. Nähert man sich dem Pol mit abnehmenden x-Werten 1 (also x > xp), so ist x – xp positiv, geht ( x  x p )k dann also stets gegen +f. P ( x) dreht sich das Q1 ( x) Vorzeichen der Funktion y = f (x) um. Die Gerade x = xp heißt Asymptote der gebrochenen rationalen Funktion y = f (x). Asymptoten einer Funktion sind Geraden, denen sich der Graph der Funktion unbeschränkt nähert, ohne sie je zu erreichen (Asymptote = Nichtzusammenlaufende). Das Verhalten einer gebrochenen rationalen Funktion Pn ( x) y f ( x) im Unendlichen: Pm ( x)

Für negative Werte des Faktors

Bild 10. Funktionsverlauf bei Polen gerader Ordnung 

Beispiele: 1 2. y x Zum Definitionsbereich gehören alle x außer x = 0. 1 1   f ( x) ist die Funktion ungeraWegen f ( x) x x de, der Graph der Funktion ist also symmetrisch zum Nullpunkt (Koordinatenursprung). Die Funktion hat keine Nullstelle, denn der Zähler ist stets von Null verschieden (P(x) = 1).

2 Funktionen

A 23

Die Stelle x = 0 ist ein Pol erster Ordnung der Funktion. Nähert man sich diesem Pol mit wachsenden x-Werten (also x < 0), dann geht y gegen –f. Nähert man sich dem Pol dagegen mit abnehmenden x-Werten (also x > 0), so geht y gegen +f. Die Geraden x = 0 (y-Achse) und y = 0 (x-Achse) sind Asymptoten der Funktion. Der Graph der Funktion ist eine Hyperbel.

x

r3

r2

r1,5

r1,1

r0,9

r0,5

0

y

0,125

0,333

0,800

4,762

–5,263

–1,333

–1

Bild 12. Graph der Funktion mit der Gleichung 1 y x2 1 2.5.2 Partialbruchzerlegung

Bild 11. Graph der Funktion mit der Gleichung y

3.

y

1 x

1

x2 1 Die Funktion ist für alle die x definiert, für die der Nenner ungleich 0 ist. Die Nullstellen des Nenners berechnet man, indem man den Nenner (das Nennerpolynom) gleich Null setzt: x2 – 1 = 0. Diese quadratische Gleichung hat die Lösungen x1 = 1 und x2 = –1. 1 1 Wegen f ( x) f ( x) ist die Funktion ( x) 2  1 x 2  1

gerade, der Graph der Funktion ist also symmetrisch zur yAchse. Die Funktion hat keine Nullstellen (Schnittpunkte mit der xAchse), denn der Zähler ist für alle x des Definitionsbereiches von Null verschieden. Die Stellen x1 = 1 und x2 = –1 sind Pole erster Ordnung der Funktion. Nähert man sich dem Pol x2 mit wachsenden x-Werten (also x P( x) 1 < –1), dann ist der Faktor in der Zerlegung Q1 ( x) x  1 der Funktion P ( x) 1 P( x) 1 1 y ˜ ˜ Q( x) x  x2 Q1 ( x) x  (1) x  1 negativ, das heißt, y geht gegen +f. Nähert man sich entsprechend dem Pol x2 mit abnehmenden x-Werten (also x > –1) oder dem Pol x1 mit wachsenden xWerten (also x < 1), so geht y gegen –f. Nähert man sich dagegen x1 mit abnehmenden x-Werten (also x > 1), so geht y gegen +f. Die Geraden x1 = 1 und x2 = –1 sowie y = 0 (x-Achse) sind Asymptoten der Funktion. Funktionswerte für –1 < y d 0 gibt es nicht, da der Nenner nicht kleiner als –1 werden kann. Wertetabelle (y-Werte auf drei Stellen nach dem Komma gerundet):

Eine Partialbruchzerlegung ist die Zerlegung einer gebrochenen rationalen Funktion y = f (x) mit f (x) = an x n  an 1 x n 1  !  a2 x 2  a1 x  a0 in eine Sumbm x m  bm 1 x m 1  !  b2 x 2  b1 x  b0 me von Brüchen. Durch eine Partialbruchzerlegung von f (x) wird oftmals die Integration der Funktion einfacher oder überhaupt erst möglich (vgl. Abschnitt 5.5.2). Jede echt gebrochene rationale Funktion (also n < m) kann eindeutig in eine Summe von Partialbrüchen zerlegt werden. Praktische Durchführung der Partialbruchzerlegung: 1. Im Falle n t m Abspalten des ganzen rationalen Anteils mit Polynomdivision. 2. Kürzen des Bruches (also Division des Zählers und des Nenners) durch bm, den Koeffizienten der höchsten Potenz des Nenners: f ( x)

cn x n  cn 1x n 1  !  c2 x 2  c1x  c0

x m  d m 1x m 1  !  d 2 x 2  d1x  d 0

Es gilt also

ai bm

ci (1 d i d n) und

bj bm

dj

(1 d j < m). 3. Bestimmung der Nullstellen x1, x2, ..., xr (r d m) des Nennerpolynoms. 4. Zerlegung des Nennerpolynoms in die Form x m  d m1 x m1 !  d 2 x 2  d1 x  d o ( x  x1 )k1 ˜ ( x  x2 ) k2 ˜!˜ ( x  xr ) kr ˜ ( x 2  p1 x  q1 )l1 ( x 2  p2 x  q2 )l2 ˜!˜ ( x 2  ps x  qs )ls Eine solche Zerlegung ist immer möglich. Dabei sind x1, x2, ..., xr alle reellen Nullstellen mit den Vielfachheiten k1, k2, ..., kr. Die restlichen quadra-

A 24

A Mathematik A + B =3, A + B + C = 0, A + C = –2 Ÿ A = 1, B = 2, C = –3

tischen Faktoren ergeben die konjugierten Paare komplexer Nullstellen (also pi2  4qi  0 ). 5. Zerlegung von f (x) in eine Summe von Brüchen: A11 A12 A1k1 f ( x)  !  x  x1 ( x  x1 )2 ( x  x1 )k1 A A22 A2 k2  21  ! x  x2 ( x  x2 )2 ( x  x 2 ) k2 !!!!!!!!!!!!!!! A Ar 2 Arkr  r1  !  ( x  xr ) kr x  xr ( x  xr ) 2 B C x B C x B C x  2 11 11  2 12 12 2 !  2 1l1 1l1 l ( x  p1 x  q1 ) 1 x  p1 x  q1 ( x  p1 x  q1 ) B C x B C x B  C2l2 x  2 21 21  2 22 22 2 !  2 2l2 x  p2 x  q2 ( x  p2 x  q2 ) ( x  p2 x  q2 )l2 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! B C x B C x B  Csls x  2 s1 s1  2 s 2 s 2 2 !  2 sls ( x  ps x  q s ) l s x  p s x  q s ( x  p s x  qs ) Dabei sind die Koeffizienten Aij, Bij, Cij reelle Zahlen. 6. Bestimmung der Koeffizienten der Partialbrüche zum Beispiel mit der Methode des Koeffizientenvergleichs. Die Brüche im Schritt 5 nennt man die Partialbrüche der gebrochenen rationalen Funktion f (x). Spezialfälle: – Wenn das Nennerpolynom nur reelle Nullstellen besitzt, dann fallen die Partialbrüche mit den nicht zerlegbaren quadratischen Funktionen im Nenner weg. – Besitzt das Nennerpolynom nur die einfachen reellen Nullstellen x1, x2, ..., xm, dann lautet die Partialbruchzerlegung f ( x) 

A1 A2 Am  ! . x  x1 x  x2 x  xm

Beispiel:

f ( x)

6x 2  4 2x3  4x 2  4x  2

Division durch b3 = 2: f ( x)

Lösung somit: f ( x)

6x 2  4 3

2x  4x 2  4x  2

1 2x  3  x 1 x2  x 1

2.6 Irrationale Funktionen Irrationale Funktionen sind algebraische Funktionen, die nicht rational sind. In der Funktionsgleichung y = f (x) einer rationalen Funktion werden auf die unabhängige Variable x nur endlich viele rationale Rechenoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) angewandt. Bei irrationalen Funktionen tritt die unabhängige Variable x auch unter einem Wurzelzeichen auf. 

Beispiele:

1.

y

x2  x  x

2.

y

5x3  2

3.

y

7

( x 2  1)3 5 x  1

Eine besonders wichtige Klasse von irrationalen Funktionen sind die so genannten Wurzelfunktionen. n

y

x (n  ത, n t 2)

Der Definitionsbereich der Wurzelfunktionen ist D = {x|x  ബ, x t 0} für gerade n und D = ബ für ungerade n, die Bildmenge ist gleich dem Definitionsbereich, also f (D) = D. Die Wurzelfunktionen sind im ganzen Definitionsbereich streng monoton wachsend. Für ungerade n ist y n x eine ungerade Funktion, der Graph der Funktion ist also punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Die Graphen der Wurzelfunktionen gehen durch den Koordinatenursprung und durch den Punkt P(1|1). Für das Verhalten der Wurzelfunktionen im Unendlichen gilt:

3x 2  2

n  ത, n t 2:

3

x  2x 2  2x  1 Nullstelle des Nennerpolynoms: x1 = –1 Zerlegung des Nennerpolynoms: x3 + 2x2 + 2x + 1 = (x + 1) (x2 + x + 1) Zerlegung von f (x) in eine Summe von Partialbrüchen:

x o +f Ÿ y o +f

n ungerade (n = 3, 5, 7, ...) x o –f Ÿ y o –f

3x 2  2

A Bx  C  x  2x 2  2x  1 x  1 x 2  x  1 Bestimmung der Koeffizienten A, B, C durch Koffizientenvergleich: f ( x)

f ( x)

3

3x 2  2 ( x  1)( x 2  x  1) A( x 2  x  1)  ( Bx  C )( x  1) ( x  1)( x 2  x  1)

Ÿ 3x 2  2

A( x 2  x  1)  ( Bx  C )( x  1)

( A  B) x2  ( A  B  C ) x  ( A  C ) Vergleich der Koeffizienten von x2, von x und der Absolutglieder links und rechts vom Gleichheitszeichen ergibt:

Bild 13. Graph der Wurzelfunktionen y

x und y

4

x

2 Funktionen

A 25 Man bezeichnet allgemeiner auch Funktionen y a n x , a  ബ, a z 0 als Wurzelfunktionen. Die Kurve der Funktion y a n x ist im Vergleich zur Kurve der Funktion y n x für |a| < 1 gestaucht, für |a| > 1 gestreckt und für a < 0 an der x-Achse gespiegelt.



Bild 14. Graph der Wurzelfunktionen y

3

x und y

5

x

Die quadratische Funktion y = x2 ist in den zwei getrennten Intervallen 0 d x < +f und –f < x d 0 jeweils monoton. Sie hat deshalb zwei Umkehrfunktionen, und zwar y  x und y  x . Für beide Umkehrfunktionen ist der Definitionsbereich 0 d x < +f (entspricht 0 d y < +f der Funktion y = x2), die Bildmenge ist 0 d y < +f bzw. –f < y d 0. Die Graphen der Umkehrfunktionen ergeben sich aus der Normalparabel durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden y = x. Die (positive) Quadratwurzelfunktix zum Beispiel ist also die Umkehrfunktion on y der Funktion des rechten Normalparabelastes.

Beispiel: 4.

y = b  r 2  ( x  a )2 , D = {x||x–a| d r}, W = ബ

Der Graph dieser Funktion ist der obere Halbkreis des Kreises mit dem Mittelpunkt M(a|b) und dem Radius r. Fehlerwarnung: Die Gleichung (x – a)2 + (y – b)2 = r2 des Kreises mit dem Mittelpunkt M(a|b) und dem Radius r (vgl. Abschnitt 4.3) ist keine (implizite) Funktion, denn die Zuordnung einer Zahl y zu einer Zahl x ist nicht eindeutig, wie in der Definition einer Funktion gefordert (zu jedem x mit |x–a| < r gibt es zwei y)! Analog zu oben ist der Graph der Funktion y = b –

r 2  ( x  a) 2 D = {x||x–a| d r}, W = ബ die untere Hälfte des Kreises mit dem Mittelpunkt M(a|b) und dem Radius r.

Bild 16. Graphen der Funktionen von Beispiel 4

2.7 Transzendente Funktionen Bild 15. Graphen von Funktionen und ihren Umkehrfunktionen Die kubische Funktion y = x3 ist in ihrem ganzen Definitionsbereich D = (–f,f) monoton steigend. Ihre Umkehrfunktion ist y 3 x . Der Definitionsbereich der Umkehrfunktion ist –f < x < f, die Bildmenge –f < y < f. Der Graph der Umkehrfunktion ergibt sich aus der kubischen Normalparabel durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden y = x. Allgemein gilt: –

–

Für ungerade n ist die Wurzelfunktion y = f (x) = n x , f : ബ o ബ die Umkehrfunktion der Potenzfunktion y f ( x) x n f :ബoബ Für gerade n ist die Wurzelfunktion y = f (x) = n x , f : [0,f) o [0,f) die Umkehrfunktion der Potenzfunktion y f ( x) x n , f : [0,f) o [0,f).

Elementare Funktionen, die nicht algebraisch sind, heißen transzendent. Wichtige Klassen von transzendenten Funktionen sind die Exponentialfunktionen, die Logarithmusfunktionen sowie die trigonometrischen Funktionen und ihre Umkehrfunktionen, die Arkusfunktionen. Die trigonometrischen Funktionen und die Arkusfunktionen werden in Kapitel 6 behandelt. 2.7.1 Exponentialfunktionen Bei einer Exponentialfunktion steht die unabhängige Variable x im Exponenten. y

a x , a  ബ+

Dabei ist die Basis a eine beliebige positive reelle Zahl. Alle Exponentialfunktionen y a x ; a  ബ+ haben als Definitionsbereich D = ബ und, falls a z 1, als

A 26

A Mathematik

Bildmenge W = f (D) = ബ+. Alle Funktionswerte sind also positiv. Wegen a0 = 1 gehen die Graphen aller Funktionen durch den Punkt P(0|1). Für a > 1 ist die Funktion y a x streng monoton wachsend mit y o 0 für x o –f und y o f für x o f. Die (negative) x-Achse ist also Asymptote. Für 0 < a < 1 ist die Funktion y a x streng monoton fallend mit y o f für x o –f und y o 0 für x o f. Die (positive) x-Achse ist somit Asymptote. Der Graph der Funktion nähert sich um so schneller der x-Achse, je größer |ln a| ist, für a > 1 also je größer a ist und für a < 1 je kleiner a ist.

Bild 17. Graphen von Exponentialfunktionen

y = logax. Die Umkehrfunktion der e-Funktion ist die natürliche Logarithmusfunktion y = ln x. 2.7.2 Logarithmusfunktionen Logarithmusfunktionen sind Funktionen der Form y

log a x , a  ബ+, a z 1

Alle Logarithmusfunktionen y log a x a  ബ+, a z 1 haben als Definitionsbereich D = ബ+ und als Bildmenge W = f (D) = ബ Wegen loga 1 = 0 gehen die Graphen aller Funktionen durch den Punkt P(1|0). Für a > 1 ist die Funktion y log a x streng monoton wachsend mit y o f für x o f und y o –f für x o 0, x > 0. Die (negative) y-Achse ist also Asymptote. Für x > 1 gilt log a x ! 0 , für x = 1 gilt log a 1 0 und für x mit 0 < x < 1 gilt log a x  0 . Für 0 < a < 1 ist die Funktion y log a x streng monoton fallend mit y o –f für x o f und y o f für x o 0, x > 0. Die (positive) y-Achse ist somit Asymptote. Für x > 1 gilt log a x  0 , für x = 1 gilt log a 1 0 und für x mit 0 < x < 1 gilt log a x ! 0 . Der Graph der Funktion nähert sich für alle a um so schneller der y-Achse, je größer |ln a| ist, für a > 1 also je größer a ist und für a < 1 je kleiner a ist.

Für a = 1 gilt y = 1, der Graph der Funktion ist also eine Parallele zur x-Achse. Die Exponentialfunktionen y a x , a > 0 können wegen der Regeln der Logarithmen- und der Potenzrechnung auch in der Form eln( a

ax

y

x)

e x ˜ln a

dargestellt werden. Dabei ist e = 2,718 281 828 4... die Eulersche Zahl (vgl. Abschnitt 5.4.5). Die Funktion y e x , D = ബ, W = f (D) = ബ+also die Exponentialfunktion mit der Basis a = e, heißt natürliche Exponentialfunktion oder e-Funktion. y

x

e , D = ബ, W = f (D) = ബ

+

Es handelt sich um eine spezielle Exponentialfunktion, die häufig als die Exponentialfunktion bezeichnet wird. Diese Funktion spielt bei vielen Wachstumsprozessen eine wichtige Rolle. Noch allgemeiner bezeichnet man manchmal auch solche Funktionen, die eine algebraische Funktion des Arguments x im Exponenten haben, als Exponen2 tialfunktionen, zum Beispiel y 23 x  7 x . Die Umkehrfunktionen der Exponentialfunktionen y a x sind für a z 1 die Logarithmusfunktionen

Bild 18. Graphen der logarithmischen Funktionen y lg x und y log 1 x . 10

Die Logarithmusfunktionen y log a x , a > 0, a z 1 können wegen der Regeln der Logarithmenrechnung auch in folgender Form dargestellt werden. y

log a x

1 ˜ ln x, a z 1 ln a

Dabei heißt die Logarithmusfunktion mit der Basis a = e = 2,7182... natürliche Logarithmusfunktion.

3 Trigonometrie y

A 27

ln x , D = ബ+, W = f (D) = ബ

Allgemeiner noch bezeichnet man auch solche Funktionen, die eine algebraische Funktion des Arguments x als Numerus haben, als Logarithmusfunktion, zum Beispiel y log 2 (5 x 2  4 x) . Die Logarithmusfunktion y log a x ist für a z 1 die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion y = ax und umgekehrt. Die natürliche Logarithmusfunktion y ln x ist die Umkehrfunktion der e-Funktion y = ex und umgekehrt.

3 Trigonometrie

Bild 19. Graphen von y ihrer Umkehrfunktionen

ln x und y

log 2 x und

Das Wort Trigonometrie kommt aus dem Griechischen und bedeutet Dreiecksmessung. Die Trigonometrie ist die Lehre von der Dreiecksberechnung mit Hilfe von Winkelfunktionen (trigonometrischen Funktionen).

3.1 Definition der trigonometrischen Funktionen In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse die dem rechten Winkel gegenüberliegende Dreiecksseite, die beiden anderen Seiten (also die Schenkel des rechten Winkels) sind die Katheten. In einem rechtwinkligen Dreieck mit den Winkeln D, E und J = 90° gilt D + E = 90°. Die Ankathete eines Winkels D in einem rechtwinkligen Dreieck ist die Kathete, die auf einem Schenkel von D liegt. Die andere Kathete heißt Gegenkathete von D. Das Verhältnis zweier beliebiger Seiten im rechtwinkligen Dreieck ist abhängig von dem Winkel D (und wegen E = 90° – D natürlich auch vom Winkel E), das heißt, das Verhältnis zweier Seiten ist eine Funktion des Winkels D (bzw. des Winkels E). Die trigonometrischen Funktionen sind definiert als das Verhältnis zweier Seiten im rechtwinkligen Dreieck. In einem rechtwinkligen Dreieck ist – sinD, der Sinus des Winkels D, das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse, – cosD, der Kosinus des Winkels D, das Verhältnis von Ankathete zu Hypotenuse, – tanD, der Tangens des Winkels D, das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete, – cotD, der Kotangens des Winkels D, das Verhältnis von Ankathete zu Gegenkathete.

Bild 1. sin D

a , cos D c

b , tan D c

a , cot D b

b a

a Gegenkathete Hypotenuse c Ankathete b Kosinus: cos D c Hypotenuse a Gegenkathete Tangens: tan D Ankathete b Ankathete b Kotangens: cot D a Gegenkathete

Sinus:

sinD

Andere, weniger gebräuchliche Namen für die trigonometrischen Funktionen sind Winkelfunktionen oder Kreisfunktionen oder goniometrische Funktionen.

3.2 Trigonometrische Funktionen für beliebige Winkel Die Definition der trigonometrischen Funktionen eines Winkels D im rechtwinkligen Dreieck ist nur für spitze Winkel möglich (also 0° < D < 90°). Am Einheitskreis (Kreis mit dem Radius r = 1) lassen sich die trigonometrischen Funktionen für beliebige Winkel definieren. Der Mittelpunkt des Einheitskreises sei der Koordinatenursprung O eines kartesischen Koordinatensystems (vgl. Abschnitt 4.1.1). Ein beliebiger Punkt P = P(x|y) auf dem Einheitskreis legt einen Winkel D fest, nämlich den Winkel zwischen der x-Achse und der Geraden durch O und P. Dabei wird D in mathematisch positiver Richtung, also gegen den Uhrzeigersinn, gemessen.

A Mathematik Friedrich Kemnitz Arnfried Kemnitz

1 Grundlagen 1.1 Mengen Die in der Mathematik betrachteten Gegenstände werden oftmals durch Symbole, meistens Buchstaben, bezeichnet. Dabei kennzeichnen manche Symbole feste Dinge, zum Beispiel  das Verhältnis zwischen Umfang und Durchmesser eines beliebigen Kreises. Andere Symbole sind Veränderliche (auch Variable oder Platzhalter genannt), das heißt, sie können jeden Gegenstand einer Klasse von Gegenständen bezeichnen. In der Mathematik wird jede Zusammenfassung von bestimmten wohlunterscheidbaren Objekten zu einer Gesamtheit eine Menge genannt. Eine Menge ist definiert, wenn feststeht, welche Objekte zu dieser Menge gehören und welche nicht. Die zur Menge gehörenden Objekte heißen ihre Elemente. Mengen werden meistens mit großen lateinischen Buchstaben bezeichnet und die Elemente mit kleinen Buchstaben. Es gibt zwei Möglichkeiten, Mengen zu definieren: – Durch Aufzählen ihrer Elemente, die in beliebiger Reihenfolge zwischen geschweiften Klammern (Mengenklammern) gesetzt sind und durch Kommata getrennt werden (Schreibweise: {Element 1, Element 2, ...}). – Durch Angabe einer die Elemente charakterisierenden Eigenschaft (Schreibweise: {x|x erfüllt Eigenschaft}). Eine Menge von Punkten heißt Punktmenge. 

Beispiele: 1. A = {1,2,3} (die Menge A besteht aus den Elementen 1, 2 und 3) 2. B = {x|x2 – 1 = 0} (die Menge B besteht aus den Elementen x, für die x2 – 1 = 0 gilt 3. B = {1, –1} (da x2 – 1 = 0 die Lösungen x = 1 und x = –1 besitzt, kann man die Menge B auch in dieser Form schreiben) 4. C = {–1,0,1,2,3,4,5} (die Menge C besteht aus den Elementen –1,0,1,2,3,4,5)

Gehört ein Objekt a einer Menge M an, so schreibt man a  M (gelesen: a ist Element von M). Gehört a nicht zu M, so schreibt man a  M. Wenn jedes Element einer Menge M auch Element einer Menge N ist, so nennt man M Teilmenge von N und schreibt M  N. Nach dieser Definition ist offenbar jede Menge Teilmenge von sich selbst. Die leere Menge  = {} enthält kein Element. 

Beispiele: 2  A; 2  C; 4  C; 4  A; A  C;  = { x|x  x}

Die Vereinigung A  B zweier Mengen A und B besteht aus denjenigen Elementen, die in A oder in B,

also in mindestens einer der beiden Mengen A, B enthalten sind: A  B = {x|x  A oder x  B} Der Durchschnitt A B zweier Mengen A und B besteht aus denjenigen Elementen, die sowohl in A als auch in B, also gleichzeitig in beiden Mengen A, B enthalten sind: A B = {x|x  A und x  B} 

Beispiel: A = {1,2,3}, B = {1,–1};

A  B = {–1,1,2,3}, A B = {1}

Eine Menge heißt endlich, wenn sie nur endlich viele Elemente besitzt. Die Anzahl der Elemente einer endlichen Menge M heißt Mächtigkeit der Menge, bezeichnet mit |M|. 

Beispiele: 1. M = {2,4,6,8,10}

2. M = {1,2,3,...,99,100}

|M| = 5 |M| = 100

1.2 Aussageformen und logische Zeichen 1.2.1 Aussageformen Eine Aussageform ist ein mathematischer Ausdruck, in dem Variable vorkommen. Aussageformen erhalten einen Wahrheitswert, wenn allen in ihnen vorkommenden Variablen ein Wert zugeordnet wird. 

Beispiele: 1. Die Aussageform „x – 3 = 5“ wird zu einer wahren Aussage, wenn man für x die Zahl 8 einsetzt (x = 8 ist die Lösung der Gleichung). 2. Die Aussageform „x2 = 1“ wird zu einer wahren Aussage, wenn man für x die Zahl 1 oder –1 einsetzt (x1,2 =  1 sind die Lösungen der quadratischen Gleichung). 3. Die Aussageform „x + 1 = 3“ wird zu einer falschen Aussage, wenn man für x die Zahl 1 einsetzt (denn die Lösung der Gleichung ist x = 2).

1.2.2 Logische Zeichen In der Mathematik ist es häufig sinnvoll, kompliziertere Aussagen mit Hilfe logischer Zeichen zu formalisieren. Sind A und B Aussagen, dann bedeutet A B, dass A und B gelten, A B, dass A oder B gilt,  A (nicht A), dass das Gegenteil von A gilt, A B, dass B aus A folgt, A  B, dass sowohl A B als auch B A gelten.

A2

A Mathematik

Die logischen Zeichen bezeichnet man auch als Junktoren. Das Symbol › ist das nicht ausschließende Oder (also nicht entweder ... oder). Eine Aussage A B heißt eine Implikation, man sagt: A impliziert B. Man nennt A die Prämisse, B die Konklusion. Die Prämisse enthält die Voraussetzungen, unter denen die Aussage B gilt. Gilt A  B, so sagt man, die beiden Aussagen A und B sind äquivalent oder gleichwertig. 

Zum Beispiel gilt 

n

n

k 1

i 1

j 1

Beispiele: 7

 k 2  12  22  32  42  52  62  72

3.

k 1

4

 3i 

4.

32  33  34  32 3 4  39

i 2

1.4 Einteilung der Zahlen

Beispiele: 1. Für eine natürliche Zahl n ist die Implikation „6 teilt n 2 teilt n“ wahr. Die umgekehrte Implikation gilt nicht. 2. „6 teilt n“ und „2 teilt n und 3 teilt n“ sind zwei äquivalente Aussagen.

komplexe Zahlen

reelle Zahlen

1.3 Indizes, Summenzeichen, Produktzeichen Ein Index (Plural Indizes) ist ein Zeichen, das an Symbole für Variable, Funktionen oder Operationen angebracht wird. Bezeichnet man zum Beispiel eine Variable mit x, dann kennzeichnet man verschiedene Variable dadurch, dass man an das x verschiedene tiefgestellte Indizes anhängt: x1, x2, x3, ... . Ein Index ist meistens eine Zahl. Das Summenzeichen  (entstanden aus dem griechischen Buchstaben für S) dient zur vereinfachten Darstellung von Summen (gesprochen: Summe über ak von k = 1 bis k = n). n

 ak 

a1  a2  a3  ...  an

k 1

Man erhält alle Summanden der Summe, wenn man in ak für den Index k zunächst 1, dann 2 usw. und schließlich n setzt. Dieser Buchstabe k heißt Summationsindex und kann durch einen beliebigen anderen Buchstaben ersetzt werden. Es gilt also zum Beispiel n

n

n

a  a  a k

k 1



n

 ak   ai   a j .

i

i 1

j

.

j 1

Beispiele: 6

1.

k

2

 12  22  32  42  52  62

k 1 3

2.

 log(2i)  log 2  log 4  log 6 i 1

Das Produktzeichen  dient zur vereinfachten Darstellung von Produkten (gesprochen: Produkt über ak von k = 1 bis k = n). n

 ak

 a1  a2  a3  ...  an

k 1

Man erhält alle Faktoren des Produkts, wenn man in ak für den Index k zunächst 1, dann 2 usw. und schließlich n setzt. Der Index k kann durch einen beliebigen anderen Buchstaben ersetzt werden.

{a + bi | a, b ≠ 0}

rationale Zahlen

natürliche Zahlen

0

irrationale Zahlen

gebrochene Zahlen

ganze Zahlen

imaginäre Zahlen

algebraische irrationale Zahlen

transzendente Zahlen

negative ganze Zahlen

Einige der Zahlenbereiche werden häufig in Mengenschreibweise dargestellt: ത = {1,2,3...}: Menge der natürlichen Zahlen ള = {...,–3,–2,–1,0,1,2,3,...}: Menge der ganzen Zahlen ഩ={

m n

|m, n  ള, n z 0}:

Menge der rationalen Zahlen ബ: Menge der reellen Zahlen ഑ = {z = a + bi|a,b  ബ, i = Menge der komplexen Zahlen

1 }:

Die natürlichen Zahlen sind die positiven ganzen Zahlen. Eine Teilmenge der natürlichen Zahlen sind die Primzahlen. Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als 1, die nur durch 1 und durch sich selbst ohne Rest teilbar ist. Die Primzahlen sind die Zahlen 2,3,5,7,11,13,17,19, 23,29,..., die Zahl 1 ist keine Primzahl. Es gibt unendlich viele Primzahlen, das heißt, es gibt keine größte Primzahl, zu jeder Primzahl gibt es noch größere. 2 ist die einzige gerade Primzahl. Alle Primzahlen zusammen bilden die Menge ന der Primzahlen, die eine Teilmenge der Menge ത der natürlichen Zahlen ist.

1 Grundlagen

A3

Jede natürliche Zahl n t 2 lässt sich in ein Produkt von Primzahlen zerlegen, die Zerlegung ist eindeutig bis auf die Reihenfolge der Faktoren (so genannte Primfaktorzerlegung). 

Beispiele zur Primfaktorzerlegung: 100 = 2 · 2 · 5 · 5 = 22 · 52; 546 = 2 · 3 · 7 · 13

Die ganzen Zahlen setzen sich zusammen aus den natürlichen Zahlen, der Null und den negativen ganzen Zahlen. 

Beispiele für ganze Zahlen: 38; –700632; 0; 105

Die rationalen Zahlen sind alle ganzen und gebrochenen Zahlen. Rationale Zahlen lassen sich als Brüche aus ganzen Zahlen darstellen. Jede rationale Zahl kann als endlicher oder unendlicher periodischer Dezimalbruch dargestellt werden. 

Beispiele für rationale Zahlen: 4 3 –2; = 1,5; = 1,333... = 1, 3 ; 2 3

–



1 8

= –0,125;

16 = –1,454545... = – 1, 45 (der periodische Teil wird überstrichen) 11

Die reellen Zahlen sind alle Zahlen, die auf der reellen Achse der Zahlenebene (Gaußsche Zahlenebene, vgl. Abschnitt 1.5.1), der so genannten Zahlengeraden, darstellbar sind. 

Beispiele für reelle Zahlen:

–4;

3 4

; 4 – S; e3;

Beispiele für irrationale Zahlen:

3 = 1,732 050 808...;

3

4 = 1,587 401 052...;

5 – 2 3 = 1,535 898 385...; –S = 3,141 592 654...; e = 2,718 281 828...

Man unterteilt die irrationalen Zahlen in algebraische irrationale Zahlen und transzendente Zahlen. Eine algebraische irrationale Zahl ist eine irrationale Zahl, die Lösung (Wurzel) einer algebraischen Gleichung (Bestimmungsgleichung) xn + an–1xn–1 + an–2 xn–2 +...+ a1x + a0 = 0 mit rationalen Zahlen als Koeffizienten an–1, an–2, ..., a1, a0 ist, wobei n für eine natürliche Zahl steht. Irrationale Zahlen, die nicht algebraisch irrational sind, heißen transzendent. 

Beispiele für algebraische irrationale Zahlen:

3 (denn 3 ist Lösung der Gleichung x2 – 3 = 0); 3

4 (denn

3

Beispiele für transzendente Zahlen: –S; e

Es gibt keine reelle Zahl, die Lösung der Gleichung x2 + 1 = 0 ist. Deshalb werden die reellen Zahlen zu den komplexen Zahlen erweitert. Komplexe Zahlen sind Zahlen der Form z = a + bi, wobei a und b reelle Zahlen sind und i die imaginäre Einheit, i 2 = –1 (i ist eine Lösung der algebraischen Gleichung x2 + 1 = 0). Eine komplexe Zahl z besteht also aus einem reellen Teil a (Realteil) und einem imaginären Teil b (Imaginärteil). Komplexe Zahlen z mit Realteil gleich 0 (also a = 0) heißen imaginäre Zahlen, die komplexen Zahlen z mit Imaginärteil gleich 0 (also b = 0) sind die reellen Zahlen. Komplexe Zahlen lassen sich in der Zahlenebene darstellen. 

Beispiele für komplexe Zahlen:

3 + 2i ; –1 + 5i; e + S2i; –4i (imaginäre Zahl); 3 2 (reelle Zahl)

Ein hochgestelltes Plus bedeutet die Menge der entsprechenden positiven Zahlen: ള+ = ത = {1,2,3,...} = {x|x  ള, x > 0}: Menge der positiven ganzen Zahlen ഩ+ = {

m n

|m,n  ത} = {x|x  ഩ, x > 0}:

Menge der positiven rationalen Zahlen ബ+ = {x|x  ബ, x > 0}: Menge der positiven reellen Zahlen

3 ; sin 5°

Die reellen Zahlen setzen sich zusammen aus den rationalen Zahlen und den irrationalen Zahlen. Der Dezimalbruch einer irrationalen Zahl hat unendlich viele Stellen und keine Periode. 



4 ist Lösung der Gleichung x3 – 4 = 0);

5 – 2 3 (denn 5 – 2 3 ist Lösung der Gleichung x2 – 10x +13 = 0)

1.5 Komplexe Zahlen 1.5.1 Algebraische Form Im Bereich der reellen Zahlen besitzt die Gleichung x2 + 1 = 0 keine Lösung. Ebenso stellen  3 oder 4  6 keine reellen Zahlen dar. Falls eine quadratische Gleichung keine reelle Lösung besitzt, ist es trotzdem möglich, Lösungen anzugeben und zwar komplexe Zahlen als Lösungen. Zur Darstellung dieser komplexen Zahlen wird eine Erweiterung des Bereichs der reellen Zahlen vorgenommen. Ausgangspunkt ist die imaginäre Einheit i, deren Quadrat gleich –1 ist: i 2 = –1. Imaginäre Einheit i

i 2 = –1

Für die imaginäre Einheit gilt i 2 = –1, i 3 = –i, i 4 = 1 i 4n–3 = i, i 4n–2 = –1, i 4n–1 = –i, i 4n = 1 (n  ത) Die Zahlen i und –i sind Lösungen der quadratischen Gleichung x2 + 1 = 0.

A4

A Mathematik

Mit dieser imaginären Einheit i und zwei reellen Zahlen a und b stellt z = a + bi eine komplexe Zahl dar. z = a + bi, a, b  ബ, i 2 = – 1

Die Darstellung einer komplexen Zahl in der Form z = a + bi, bei der kartesische Koordinaten verwendet werden, heißt algebraische Form. Daneben gibt es für die Darstellung der komplexen Zahlen die trigonometrische Form und die Exponentialform.

Eine komplexe Zahl z besteht also aus einem reellen Teil a (Realteil) und einem imaginären Teil b (Imaginärteil). Wenn a und b alle möglichen reellen Werte durchlaufen, dann werden alle möglichen komplexen Zahlen z erzeugt. Alle komplexen Zahlen bilden zusammen die Menge ഑ der komplexen Zahlen. ഑ = {z = a + bi | a, b  ബ` Komplexe Zahlen z mit Realteil gleich 0 (also a = 0) heißen imaginäre Zahlen, die komplexen Zahlen z mit Imaginärteil gleich 0 (also b = 0) sind die reellen Zahlen. Die komplexen Zahlen umfassen also die imaginären Zahlen und die reellen Zahlen. z = a + bi komplexe Zahlen z = bi (a = 0) imaginäre Zahlen z = a (b = 0) reelle Zahlen Komplexe Zahlen z = a + bi und z = a – bi , also mit gleichem Realteil und entgegengesetzt gleichem Imaginärteil, heißen konjugiert komplex. Komplexe Zahlen sind nicht mehr auf einer Zahlengeraden, sondern nur noch in einer Zahlenebene, der so genannten Gaußschen Zahlenebene, darstellbar (Name nach dem deutschen Mathematiker Carl Friedrich Gauß, 1777 – 1855).

Bild 2. Konjugiert komplexe Zahlen z und z in algebraischer Form 1.5.2 Trigonometrische Form Neben der Darstellung der komplexen Zahlen in algebraischer Form gibt es die Darstellung in trigonometrischer Form (vgl. Abschnitt 3): z = r(cosM+ isinM). Dabei heißt r Modul oder Absolutbetrag (also r = | z |) und M Argument der komplexen Zahl z. Der (orientierte) Winkel M wird im Bogenmaß gemessen und ist nur bis auf Vielfache von 2S bestimmt. Deshalb wählt man meist für M das halboffene Intervall [0,2S), also 0 d M  2S.

z = r (cosM+ isinM), r  ബ, r t 0, 0 d M < 2S Für M = 0 ergeben sich die positiven reellen Zahlen, für M S die negativen reellen Zahlen, für

M=

 2

M=

3 2

die positiven imaginären Zahlen und für S die negativen imaginären Zahlen.

Statt trigonometrischer Form sagt man mitunter auch goniometrische Form der komplexen Zahlen.

Bild 1. Darstellung komplexer Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene Dabei wird in einem kartesischen Koordinatensystem der Ebene (siehe Abschnitt 4.1.1) der Realteil a von z auf der Abszissenachse und der Imaginärteil b von z auf der Ordinatenachse abgetragen. Jeder komplexen Zahl entspricht ein Punkt der Ebene und umgekehrt. Die Zuordnung von Zahl und Punkt ist eineindeutig. Die reellen Zahlen liegen auf der Abszissenachse, die imaginären Zahlen liegen auf der Ordinatenachse. Deshalb nennt man die Abszissenachse auch reelle Achse und die Ordinatenachse imaginäre Achse.

Bild 3. Algebraische und trigonometrische Form einer komplexen Zahl z Für die Darstellung der komplexen Zahlen in der Ebene werden für die trigonometrische Form Polar-

1 Grundlagen

A5

koordinaten (siehe Abschnitt 4.1.2) verwendet, wohingegen für die algebraische Form kartesische Koordinaten (siehe Abschnitt 4.1.1) benutzt werden. Für den Zusammenhang zwischen algebraischer und trigonometrischer Form gilt r=

a 2  b 2 , tanM =

b a

1.5.4 Multiplizieren komplexer Zahlen Komplexe Zahlen z1 = a1 + b1i und z2 = a2 + b2i in algebraischer Form werden wie algebraische Summen multipliziert (denn z1 · z2 = (a1 + b1i)(a2 + b2i) = a1a2 + a1b2i + b1a2i + b1b2i2 = (a1a2 – b1b2) + (a1b2 + a2b1)i wegen i2 = –1).

z1 · z2 = (a1 + b1i)(a2 + b2i) = (a1a2 – b1b2) + (a1b2 – a2b1)i

a = r cosM, b = r sinM Derselbe Zusammenhang gilt für die kartesischen Koordinaten und die Polarkoordinaten eines Punktes in der Ebene. Multiplizieren, Dividieren, Potenzieren und Radizieren komplexer Zahlen lassen sich in der trigonometrischen Form einfacher durchführen.

Das Produkt konjugiert komplexer Zahlen ist reell.

z · z = (a + bi)(a – bi) = a2 + b2 

1.5.3 Addieren und Subtrahieren komplexer Zahlen Komplexe Zahlen z1 = a1 + b1i und z2 = a2 + b2i werden addiert, indem man die Realteile addiert und die Imaginärteile addiert. z1 + z2 = (a1 + b1i) + (a2 + b2i) = (a1 + a2) + (b1 + b2)i

Beispiele: 1. z1 · z2 = (3 + 4i)(5 – 2i) = (3 · 5 – 4 · (–2)) + (3.(–2) + 5 · 4)i = 23 + 14i 2. z · z = (2,4 + 0,9i)(2,4 – 0,9i) = (2,4)2 + (0,9)2 = 5,76 + 0,81 = 6,57

Komplexe Zahlen z1 = r1(cosM + isinM) und z2 = r2(cosM+ isinM) in trigonometrischer Form werden multipliziert, indem man die Moduln (r1 und r2) multipliziert und die Argumente (M1 und M2) addiert.

z1 · z2 = r1(cosM1+ isinM1) · r2(cosM2+ isinM2) = r1r2[cos(M1+ M2) + isin(M1 + M2)]

Komplexe Zahlen z1 = a1 + b1i und z2 = a2 + b2i werden voneinander subtrahiert, indem man die Realteile subtrahiert und die Imaginärteile subtrahiert. 

z1 – z2 = (a1 + b1i) – (a2 + b2i) = (a1 – a2) + (b1 – b2)i

Beispiele: 3. z1 = 3(cos 20° + isin 20°), z2 = 7(cos 65° + isin 65°) Ÿ z1 · z2 = 3(cos 20° + isin 20°) · 7(cos 65° + isin 65°) = 21(cos 85° + isin 85°) 5 5 4. z1 = 5(cos 30° + isin 30°) = 3 i, 2 2

z2 = 13(cos 60° + isin 60°) =

13 13  3i 2 2

1 1 und sin 60° = cos 30° = 3 ). 2 2 Es folgt z1 · z2 = 5(cos 30° + isin 30°) · 13(cos 60° + isin 60°) = 65(cos 90° + isin 90°) = 65i

(denn sin 30° = cos 60° =

· §5 5 · § 13 13 3  i ¸¸ ¨¨  3i ¸¸ oder z1 · z2 = ¨¨ 2 ¹ © 2 2 ¹ ©2

Bild 4. Addition und Subtraktion komplexer Zahlen z1 und z2 (die mit # gekennzeichneten Strecken sind parallel und gleich lang) Die Summe konjugiert komplexer Zahlen z = a + bi und z = a – bi ist reell, die Differenz konjugiert komplexer Zahlen ist imaginär.

z + z = (a + bi) + (a – bi) = 2a z – z = (a + bi) – (a – bi) = 2bi 

Beispiele: 1. z1 + z2 = (2,66 + 0,89i) + (–0,81 + 1,49i) = 1,85 + 2,38i 2. z1 – z2 = (2,66 + 0,89i) – (–0,81 + 1,49i) = 3,47 – 0,60i 3. z + z = (2,4 + 0,9i) + (2,4 – 0,9i) = 4,8 4.

z – z = (2,4 + 0,9i) – (2,4 – 0,9i) = 1,8i

=

65 65 § 65 ˜ 3 65 · ¸i = 65i 3 3  ¨¨  4 4 4 ¸¹ © 4

1.5.5 Dividieren komplexer Zahlen Komplexe Zahlen z1 = a1 + b1i und z2 = a2 + b2i in algebraischer Form werden dividiert, indem man mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners (Divisors) erweitert. z1 z2

a1  b1i a2  b2i

a1a2  b1b2 b1a2  a1b2  i ( z2 z 0) a22  b22 a22  b22

Der Quotient konjugiert komplexer Zahlen ist wieder eine komplexe Zahl.

A6

A Mathematik a  bi a  bi

z z 

Beispiele: z1 3  4i z2 5  2i

a 2  b2 2ab i ( z2 z 0)  a 2  b2 a 2  b2

3 ˜ 5  4 ˜ (2) 4 ˜ 5  3 ˜ (2)  2 i 52  (2)2 5  (2)2

1.

15  8 20  6  i 25  4 25  4 2, 4  0,9i 2, 4  0,9i

z z

2.

1 ˜ ( i ) i ˜ ( i )

1 i

zn = [r (cosM + isin M)]n = r n(cos nM + isin nM) (n  ത)

7 26  i 29 29

(2, 4)2  (0,9)2 2 ˜ 2, 4 ˜ 0,9  i (2, 4)2  (0,9) 2 (2, 4) 2  (0,9) 2

5, 76  0,81 4,32  i 5, 76  0,81 5,76  0,81 3.

4,95 4,32  i 6,57 6,57

i

Beispiele: 4. z1 3(cos 20q  i sin 20q), z2

z2 = 13(cos 60° + isin 60°) =

7 (cos 45q  i sin 45q) 3

65 4

5 2 13 2

3

 

3  52 i  65 4

13 2

13 2

3i

˜ 3i  169

5 §1 1 · 3  i¸ ¨ 13 © 2 2 ¹

5 5 3 i 26 26

65 i 4



3  132 65 4

3

 3i 

13 2

13 2



13 2

 132

3i

3i

5 5 3 i 26 26

1.5.6 Potenzieren komplexer Zahlen

Ist n eine nichtnegative ganze Zahl, so wird die n-te Potenz zn von z wie üblich durch z0 = 1, zn = zn–1 · z definiert. 

4

2

2

§5 · § 5 · § 5· § 5· 3 ¸  6¨ 3¸ ¨ ¸  ¨ ¸ ¨ ©2 ¹ © 2 ¹ © 2¹ © 2¹

4

3 ª § 5 ·3 5 5 §5· º  «4 ¨ 3¸ ˜  4 3¨ ¸ »i 2 © 2 ¹ ¼» ¬« © 2 ¹ 2

625 ˜ 9 6 ˜ 25 ˜ 3 ˜ 25 625    16 4˜4 16 ª 4 ˜ 125 ˜ 3 ˜ 3 ˜ 5 4 ˜ 5 ˜ 3 ˜ 125 º  « »i 8˜2 2 ˜8 ¬« ¼» 

4.

z4

625 625 ˜ 3  i 2 2

[5(cos30q  i sin 30q)]4

§ 1 1 · 54 ¨   3i ¸ © 2 2 ¹

5 (cos(30q)  i sin(30q)) 13

5 i 2

4

54 (cos120q  i sin120q)

5 ( sin 30q  i cos30q)

oder 5 2

5 º ª5 « 2 3  2 i» ¬ ¼

z4

5 5 3 i 2 2

4

13 13  3i 2 2

5(cos 30q  i sin 30q) 13(cos 60q  i sin 60q)

5 (cos 30q  i sin 30q) 13

z1 z2

5(cos30q  i sin 30q)

z

7(cos65q  i sin 65q)

7(cos 65q  i sin 65q) 3(cos 20q  i sin 20q)

5 5 3 i, 5. z1 = 5(cos 30° + isin 30°) = 2 2

Es folgt z1 z2

Beispiel:

3.

r1 (cos M1  i sin M 1 ) r2 (cos M 2  i sin M  ) r1 [cos(M1  M 2 )  i sin(M1  M 2 )] r2

z1 z2

z Ÿ 2 z1

Eine komplexe Zahl in trigonometrischer Form wird also in die n-te Potenz erhoben, indem man den Modul (r) in die entsprechende Potenz rn erhebt und das Argument (M) mit dem Exponenten n multipliziert. 

Komplexe Zahlen z1 = r1(cosM+ isinM) und z2 = r2(cosM+ isinM) in trigonometrischer Form werden dividiert, indem man die Moduln (r1 und r2) dividiert und die Argumente (M1 und M2)subtrahiert.



Hilfe von Additionstheoremen für die trigonometrischen Funktionen erhält man die Formel von Moivre (nach dem französischen Mathematiker Abraham de Moivre, 1667–1754).

Beispiele: 1. z3 = (a + bi)2 (a + bi) = a3 – 3ab2 + (3a2b – b3)i 2. z4 = (a + bi)3 (a + bi) = [a3 – 3ab2 + (3a2b – b3)i](a + bi) = a4 – 6a2b2 + b4 + (4a3b – 4ab3)i

Einfacher lässt sich das Potenzieren komplexer Zahlen in der trigonometrischen Form durchführen. Mit



625 625 ˜ 3  i 2 2

Die Moivresche Formel lässt sich durch vollständige Induktion beweisen. Ihre Gültigkeit lässt sich schrittweise bis auf reelle Exponenten ausdehnen. 1.5.7 Radizieren komplexer Zahlen

Die n-te Wurzel n z einer komplexen Zahl z ist definiert als eine komplexe Zahl w, deren n-te Potenz gleich z ist, also eine Lösung der Gleichung wn = z. Setzt man z = r (cosM+ i sin M) und w = U (cos\+ i sin \), dann folgt mit der Formel von Moivre wn = U n(cos n\+ i sin n\) und wegen wn = z = r (cosM+ i sin M) weiter Un = r, cos n\ = cosM, sin n\ = sin M. Aus Un = r ergibt sich U n r , während es für cos n\ = cos M, sin n\= sin M wegen cos M = cos(M + 2kS), sinM = sin(M + 2kS) genau n verschiedene LösunM  (k    , k 1, 2,3, ... , n, gibt. gen \ N n Somit gilt: Für n  ത besitzt die Gleichung wn = z = r (cosM+ i sinM) genau n verschiedene Lösungen w1, w2, ..., wn (die n-ten Wurzeln aus z).

1 Grundlagen

wk k

A7

M  k  1) M  k  1) · § r ¨ cos  i sin ¸¹ , © n 2 1, 2,..., n n



Beispiele: 1. n = 2 : z = w2 = 1 w1 = 1(cos 0° + isin 0°) = 1; w2 = 1(cos 180° + isin 180°) = –1 2.

Die n-te Wurzel aus z ist also nicht eindeutig. Für k = 1 ergibt sich der so genannte Hauptwert w1 der nten Wurzel.

w1

Hauptwert

n

M M· § r ¨ cos  i sin ¸ © n n¹

Stellt man die n-ten Wurzeln wk, k = 1, 2, 3,..., n in der Gaußschen Zahlenebene dar, so ergeben sich die Eckpunkte eines regelmäßigen n-Ecks mit dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung. Die Punkte liegen auf einem Kreis mit dem Radius U n r . Der Hauptwert w1 besitzt das Argument

M n

n = 3: z = w3 = 1 w1 = 1(cos 0° + isin 0°) = 1 w2 = 1(cos 120° + isin 120°)

1 1 3i = 1(–cos 60° + i sin 60°) =   2 2 w3 = 1(cos 240° + isin 240°) 1 1 3i = 1(–cos 60° – isin 60°) =   2 2 4 3. n = 4: z = w = 1 w1 = 1(cos 0° + isin 0°) = 1 w2 = 1(cos 90° + isin 90°) = i w3 = 1(cos 180° + isin 180°) = –1 w4 = 1(cos 270°+ isin 270°) = –i

.

Durch wiederholte Drehung um den Winkel

2 erhält n

man die weiteren Lösungen. 

Beispiele: z = 2,985 984 (cos 60°+isin 60°) = (1,2)6 (cos 60°+ isin 60°), n = 6 M 60q 10q lauten die sechsWegen n r 6 (1, 2)6 1, 2 und n 6 ten Wurzeln aus z: w1 = 1,2 (cos 10° + isin 10°), w2 = 1,2 (cos 70° + isin 70°), w3 = 1,2 (cos 130° + isin 130°), w4 = 1,2 (cos 190° + isin 190°) w5 = 1,2 (cos 250° + isin 250°), w6 = 1,2 (cos 310° + isin 310°).

Bild 6. Die n-ten Einheitswurzeln für n = 2, n = 3 und n=4

1.5.8 Eulersche Formel

Die Eulersche Formel für komplexe Zahlen z verknüpft die Exponentialfunktion (vgl. Abschnitt 2.7.1) und die trigonometrischen Funktionen (siehe Abschnitt 3) miteinander (nach dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler, 1707–1783). Dabei ist e = 2,718 281 828 4 ... die Eulersche Zahl. eiz = cos z + isin z, z  ഑ Bild 5. Die sechsten Wurzeln w1, w2, ... ,w6 aus z = (1,2)6 (cos 60° + isin 60°)

Die n-ten Wurzeln aus z = 1 sind die so genannten nten Einheitswurzeln. n-te Einheitswurzeln:

Lösungen von wn = z = 1

Für reelle Zahlen x (die reellen Zahlen sind eine Teilmenge der komplexen Zahlen) gilt eix = cos x + isin x. Setzt man x = M, dann erhält man die so genannte Exponentialform der komplexen Zahlen. z = r(cosM + isinM) = reiM

Dabei ist r der Modul und M das Argument der komplexen Zahl z.

A8

A Mathematik Dies ist eine (3,4)-Matrix, also eine Matrix mit 3 Zeilen und 4 Spalten. Zum Beispiel ist a12 = –2 das Element, das in der ersten Zeile und zweiten Spalte steht.

Für das Produkt und den Quotienten zweier komplexer Zahlen z1 r1 ˜ eiM1 und z2 r2 ˜ eiM 2 ergibt sich z1 ˜ z2

iM 1

z1 z2 

r1 ˜ e iM1 ˜ r2 ˜ e iM 2 r1 e r2 e iM 2

r1 i (M1  M 2 ) e r2

r1 ˜ r2 ˜ e

i (M1  M ) 2

( z2 z 0)

Beispiel für eine komplexe Zahl in verschiedenen Formen:

z

§1 3 · i¸ 2 ¨¨  2 ¸¹ ©2

1  3i

 · § 2 ¨ cos  i sin ¸  ¹ © S i 2e 3

(algebraische Form)

(trigonometrische Form)

Achtung: Die Doppelindizes sind einzeln zu lesen, zum Beispiel wird a12 gesprochen: a – eins – zwei. Quadratische Matrizen: Gilt m = n, also Zeilenanzahl gleich Spaltenanzahl, dann heißt A eine n-reihige quadratische Matrix oder eine quadratische Matrix der Ordnung n. Die Elemente einer quadratischen Matrix, für die i = j gilt, bilden die so genannte Hauptdiagonale der Matrix. 

A

1.6 Matrizen und Determinanten 1.6.1 Matrizen Eine Matrix (Plural Matrizen) ist ein System von m · n Größen, die in einem rechteckigen Schema von m (waagerechten) Zeilen und n (senkrechten) Spalten angeordnet sind. Die m · n Größen nennt man die Elemente der Matrix, es sind beliebige reelle (oder komplexe) Zahlen. Die Stellung eines Elementes, etwa aij, im Schema wird durch einen Doppelindex gekennzeichnet. Dabei gibt der erste Index i die Zeile und der zweite Index j die Spalte an, in der das Element steht. Die Nummerierungen der Zeilen verlaufen von oben nach unten, die der Spalten von links nach rechts. Das Element aij befindet sich also im Kreuzungspunkt der i-ten Zeile und der j-ten Spalte. Eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten nennt man (m,n)-Matrix. Meist kürzt man Matrizen durch große lateinische Buchstaben A, B, ... ab. Man schreibt eine Matrix, indem man das Schema in eckige Klammern (oder auch in runde Klammern) setzt:

A

ª a11 a12 «a « 21 a22 «" " « ¬ am1 am 2

" a1n º " a2 n »» " "» » " amn ¼

A

§ a11 a12 ¨ ¨ a21 a22 ¨" " ¨¨ © am1 am 2

" a1n · ¸ " a2 n ¸ " "¸ ¸ " amn ¸¹

Matrix

Abkürzend schreibt man dafür auch A = (aij). 

Beispiel:

A

ª 5 2 0 5º « » «14 0 6 1 » «¬ 1 0 2 5 »¼

Beispiel:

ª 4 0  52 º « 5 » « 1 1 1» « » 4 «¬ 1 10  3 »¼ A ist eine quadratische 3-reihige Matrix. Die Hauptdiagonalelemente sind 4 4 a11 , a22 1, a33  . 5 3 Alle Elemente der zweiten Zeile sind gleich 1: a21 = a22 = a23 = 1.

(Exponentialform)

Nullmatrix 0: Eine Matrix, deren Elemente alle gleich Null sind, also aij = 0 für i = 1, ..., m und j = 1, ..., n, heißt eine Nullmatrix. Einheitsmatrix E: Eine quadratische Matrix heißt Einheitsmatrix, falls ­1 für i j , aij ® ¯0 für i z j . Diagonalmatrix: Eine quadratische Matrix, bei der für alle i z j die Elemente aij gleich Null sind, heißt Diagonalmatrix. 

Beispiele:

A

0 0º ª2 « 0 3 0 » « » ¬«0 0 7 »¼

Obere Dreiecksmatrix: Eine quadratische Matrix, bei der für alle i > j die Elemente aij gleich Null sind, heißt obere Dreiecksmatrix. 

Beispiele:

A

ª 1 « « 0 ¬« 0

6 4 0

0º » 1» 7 ¼»

Untere Dreiecksmatrix: Eine quadratische Matrix, bei der für alle i < j die Elemente aij gleich Null sind, heißt untere Dreiecksmatrix.

1 Grundlagen

A9

Matrizen vom gleichen Typ: Zwei Matrizen heißen vom gleichen Typ, wenn sie die gleiche Anzahl von Zeilen und die gleiche Anzahl von Spalten haben, wenn also beide (m,n)-Matrizen sind mit dem gleichen m und dem gleichen n. 

Beispiel: ª 1 6 º « » ¬ 0 4¼ A und B sind vom gleichen Typ, C ist jedoch nicht vom gleichen Typ wie A und B. A

ª 1 2 3 º « »; ¬ 1 24 0 ¼

B

ª2 2 0º « »; C ¬0 6 1 ¼

A – B = (aij) – (bij) = (aij – bij) Eigenschaften der Addition: 1. A + B = B + A (Kommutativgesetz) 2. (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C (Assoziativgesetz) 3. (A + B)T = AT + BT 

Gleichheit von Matrizen: Zwei Matrizen A und B heißen gleich, wenn beide vom gleichen Typ sind und wenn die entsprechenden Elemente übereinstimmen, wenn also aij = bij für alle i = 1, ..., m und j = 1, ..., n gilt. 

ª 1 2 « ¬ 1 24

3º »; 0¼

B

ª 1 2 « ¬ 1 24

3º »: 0¼

A

B

Transponierte Matrix: Die transponierte oder gespiegelte Matrix AT der Matrix A ist die Matrix, die durch Vertauschung von Zeilen und Spalten von A gebildet wird:



A B

ª6 1 « 3 ¬0

AB

ª 2 « ¬ 2

Beispiel: A

A

Beispiele: ª 2 2 0 º A « »; B ¬ 1 3 2 ¼

ª a11 a12 «a « 21 a22 «" " « ¬ am1 am 2

" a1n º " a2 n »» T ; A " "» » " amn ¼

ª a11 «a « 12 «" « ¬ a1n

a21 " am1 º a22 " am 2 »» " " "» » a2 n " amn ¼

Beispiel:

A

ª 2 3 1º « »; ¬ 5 0 4 ¼

AT

ª 2 5º « » « 3 0» «¬ –1 4 »¼



Beispiel:

A

ª 1 2 « « 2 6 0 ¬« 3

3º » 0» 5 ¼»

AT

3 º » 0¼

3

3º »; B  A 4¼

3

ª2 « ¬2

3 3 º » 3 4 ¼

Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl: Man multipliziert eine Matrix A mit einer reellen Zahl k, indem man jedes Element der Matrix mit k multipliziert: kA = k (aij) = (k aij) Eigenschaften: Sind k und l zwei reelle Zahlen und A und B zwei Matrizen, so gilt: 1. k (lA) = l (kA) = (kl)A 2. (k + l) A = kA + lA 3. k (A + B) = kA + kB 4. (kA)T = kAT 

Beispiel:

3A

Symmetrische Matrix: Eine quadratische Matrix A heißt symmetrisch, wenn A = AT ist, wenn also aij = aji für alle i und j gilt.

ª 4 1 3 º « » ¬ 1 0 2 ¼

ª 2 2 3« ¬ 1 3

ª 6 6 0º « » ¬ 3 9 6¼

0º » 2¼

Multiplikation von Matrizen: Das Produkt AB zweier Matrizen A und B kann nur dann gebildet werden, wenn die Spaltenanzahl von A gleich der Zeilenanzahl von B ist. Ist A = (aij) eine (m, n)-Matrix und B = (bjk) eine (n,r)Matrix (Anzahl der Spalten von A = Anzahl der Zeilen von B), so ist die Produktmatrix C = AB eine n

Antisymmetrische Matrix: Eine quadratische Matrix A heißt antisymmetrisch oder schiefsymmetrisch, wenn AT = –A ist. Addition und Subtraktion von Matrizen: Matrizen können nur dann addiert oder subtrahiert werden, wenn sie vom gleichen Typ sind. Zwei Matrizen vom gleichen Typ werden addiert bzw. subtrahiert, indem man ihre korrespondierenden Elemente addiert bzw. subtrahiert: A + B = (aij) + (bij) = (aij + bij)

(m, r)-Matrix mit den Elementen cik

¦a

ij

˜ b jk .

j 1

Das Element cik von C = AB für ein festes i und ein festes k erhält man also, indem man das j-te Element der i-ten Zeile von A mit dem j-ten Element der k-ten Spalte von B multipliziert für j = 1, ..., n und alle diese Produkte addiert. A

(b jk ) Ÿ C

(aij ), B n

mit cik

¦a

ij

j 1

˜ b jk

AB

(cik )

A 10

A Mathematik

Schematische Darstellung: ªb11 b12 " b1k " b1r º «b b " b " b » 2k 2r » « 21 22 B «""""""""" » « » ¬«bn1 bn 2 " bnk " bnr ¼» ª a11 «a « 21 A « ai1 « «" « am1 ¬ 

a12 " a1n º a22 " a2 n »» ai 2 " ain » » " " "» am 2 " amn »¼

ª" «" « «" « «" «" ¬

" " " " "

" " " " "

" " "º " " " »» cik " " » AB » " " "» " " " »¼

Beispiel:

A

ª2 3 « ¬1 4

4º »; B 0¼

ª1 1 « «0 1 ¬«1 1 ª1 1 « «0 1 «¬1 1

4º » 0¼ ª6 5 10 AB « ¬1 5 6 BA existiert nicht. A

ª2 3 « ¬1 4

ª6 5 « ¬1 5

2 1º » 2 1» 0 1»¼ 2 1º » 2 1» 0 1»¼ 10 3 º » 6 5¼

Eine Determinante D ist ein algebraischer Ausdruck, der jeder n-reihigen quadratischen Matrix A mit reellen (oder komplexen) Elementen aij eindeutig zugeordnet wird. Dieser algebraische Ausdruck ist eine reelle (oder komplexe) Zahl. Die Determinante einer n-reihigen quadratischen Matrix nennt man n-reihige Determinante. Man schreibt eine Determinante, indem man das quadratische Schema der Matrix zwischen senkrechte Striche setzt, oder in Kurzform D = det(A) = | A |. Determinante:

D

det( A)

AB

A

D

Inverse Matrix: Eine Matrix B heißt Inverse der quadratischen Matrix A, wenn AB = E (E Einheitsmatrix) gilt. Man schreibt dann B = A–1. Existiert die Inverse einer Matrix, dann ist sie eindeutig. Eine Matrix A, für die die Inverse A–1 existiert, heißt regulär, andernfalls heißt sie singulär.

a1n a21

"

" " "

an1

an 2 " ann

Definition für zweireihige Determinanten (n = 2):

3º » 5¼

Orthogonale Matrix: Eine quadratische Matrix A heißt orthogonal, wenn A AT = AT A = E (E Einheitsmatrix) ist.

a12 " a22 "

a11 a21

B

Eigenschaften der Matrizenmultiplikation: 1. A(BC) = (AB)C (Assoziativgesetz) 2. A(B + C) = AB + AC (Distributivgesetz) 3. AB z BA (Kommutativgesetz gilt nicht) 4. AE = EA = A (E Einheitsmatrix) 5. A0 = 0A = 0 (0 Nullmatrix) (Reihenfolge ändert sich) 6. (AB)T = BT AT



1.6.2 Determinanten

a11 a12 a21 a22

a11a22  a12 a21

Die Elemente a11, a22 bilden die Hauptdiagonale, die Elemente a12, a21 die so genannte Nebendiagonale. Merkregel zur Berechnung: Produkt der Hauptdiagonalelemente minus Produkt der Nebendiagonalelemente. 

Beispiel:

D

1 1 2 1

(1) ˜ 1  1 ˜ 2

3

Die allgemeine Lösungsformel y

x

b2 c1  b1c2 , a1b2  a2b1

a1c2  a2c1 für ein lineares Gleichungssystem a1b2  a2b1

a1 x  b1 y c 1 , a2 x  b2 y c2 lässt sich auch mit Hilfe von zweireihigen Determinanten schreiben:

Beispiel: Man berechne die Inverse der Matrix A

3º ª –2 « ». ¬ 1 –2 ¼

ªa b º 1 «c d » A ¬ ¼ ª –2 3º ª1 0 º A « »« » E ¬ 1 –2 ¼ ¬ 0 1 ¼ Es ergibt sich das lineare Gleichungssystem –2a + 3c = 1, –2b + 3d = 0, a – 2c = 0, b – 2d = 1. Die Lösung des Gleichungssystems ist a = –2, b = –3, c = –1, d = –2. Es folgt: ª 2  3 º Inverse A1 « » ¬ 1  2 ¼

x

c1 b1 c2 b2 ,y a1 b1 a2 b2

a1 a2 a1 a2

c1 c2 b1 b2

Die gemeinsame Nennerdeterminante wird aus den Koeffizienten von x und y der beiden Gleichungen in der gegebenen Anordnung gebildet. Die Nennerdeterminante heißt deshalb auch Koeffizientendeterminante. Man erhält die Zählerdeterminante von x, indem man die Koeffizienten von x durch die Absolutglieder ersetzt, und die Zählerdeterminante von y

1 Grundlagen

A 11

entsprechend durch Ersetzung der Koeffizienten von y durch die Absolutglieder (immer in der gleichen Reihenfolge, also Ersetzung von b1 durch c1 usw.). Man nennt diese Methode Cramersche Regel zur Berechnung der Lösung eines linearen Gleichungssystems (nach dem schweizerischen Mathematiker Gabriel Cramer, 1704–1752). 

D

D

Beispiel: Lineares Gleichungssystem: x – 2y = 4 2x +5y = 35

x

y

1 4 2 35 1 2 2 5

a11 ˜ A11  a21 ˜ A21  a31 ˜ A31

Zur Berechnung kann man die Determinante nach einer beliebigen Zeile oder Spalte entwickeln. Entwicklung nach einer beliebigen Zeile:

Einsetzen von a1 = 1, a2 = 2, b1 = –2, b2 = 5, c1 = 4, c2 = 35 in die Determinantengleichungen für x und y ergibt:

4 2 35 5 1 2 2 5

a11 ˜ D11  a21 ˜ D21  a31 ˜ D31

Die mit dem Faktor (–1)i+j (dieser Faktor ist +1 oder –1) multiplizierte Determinante Dij heißt Adjunkte oder algebraisches Komplement Aij des Elements aij. Somit kann man für das obige Entwickeln auch schreiben

3

D ai1 ˜ Ai1  ai 2 ˜ Ai 2  ai 3 ˜ Ai 3

¦ a A , 1d i d 3 ij ij

j 1

4 ˜ 5  (2) ˜ 35 1 ˜ 5  (2) ˜ 2

1 ˜ 35  4 ˜ 2 1 ˜ 5  (2) ˜ 2

20  70 54

35  8 54

27 9

90 9

10,

Bei Entwicklung nach der ersten Zeile ist i = 1, bei Entwicklung nach der zweiten Zeile ist i = 2, und bei Entwicklung nach der dritten Zeile ist i = 3. Entwicklung nach einer beliebigen Spalte:

3

3

D a1 j ˜ A1 j  a2 j ˜ A2 j  a3 j ˜ A3 j

¦ a A , 1d j d 3 ij ij

i 1

Definition für dreireihige Determinanten (n = 3):

D

a11 a12 a21 a22 a31 a32

a13 a23 a33

a12  a31 a22

a13 a23

a11

a22 a32

a23 a12  a21 a33 a32

a13 a33

a31 (a 12 a23  a13a22 ) a12 a23a31  a13a22 a31

7 2 0 6

2 4

1

Beispiel:

Entwicklung nach der zweiten Zeile: D a21 ˜ A21  a22 ˜ A22  a23 ˜ A23 7 2 3 7  0 ˜ A22  6 ˜ (1)2  3 4 1 2 4

4[7 ˜ 1  (2)(4)]  0  6[3 ˜ (4)  7 ˜ (2)] 4 ˜ (1)  6 ˜ 2

0 6 7 2 7 2 4  (2) 3 4 1 4 1 0 6

3(0 ˜ 1  6(4))  4(7 ˜ 1  (2)(4))  2(7 ˜ 6  (2)0) 3 ˜ 24  4(1)  2 ˜ 42

3 7 2 4 0 6 2 4 1

4 ˜ (1)2 1

a11a22 a33  a11a23a32  a13a21a32  a12 a21a33 

Beispiel: 3 D 4



D

a11 (a22 a33  a23a32 )  a21 (a12 a33  a13a32 ) 



Bei Entwicklung nach der ersten Spalte ist j = 1, bei Entwicklung nach der zweiten Spalte ist j = 2, und bei Entwicklung nach der dritten Spalte ist j = 3.

8

Man nennt dies „Entwickeln“ der dreireihigen Determinante nach der ersten Spalte. Dabei wird nacheinander jedes Element der ersten Spalte mit derjenigen zweireihigen Determinante multipliziert, die man erhält, wenn man in der dreireihigen Determinante die Zeile und die Spalte streicht, in der das Element steht. Die so gebildeten Produkte werden mit alternierenden (wechselnden) Vorzeichen versehen, angefangen mit einem +, und anschließend addiert. Bezeichnet man die Determinante, die man durch Streichen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte der Determinante D erhält, mit Dij, so kann man das obige Entwickeln auch darstellen als

4  12

8

Dreireihige Determinanten können auch mit der Regel von Sarrus berechnet werden (nach dem französischen Mathematiker Pierre F. Sarrus, 1798–1861). Man fügt bei der Regel von Sarrus die ersten beiden Spalten der Determinante nochmals als 4. und 5. Spalte hinzu. Dann multipliziert man je drei diagonal aufeinander folgende Elemente und addiert (Hauptdiagonalen) bzw. subtrahiert (Nebendiagonalen) die so entstehenden sechs Produkte.

A 12

A Mathematik

Die Regel ausgeführt ergibt

det( A)

a11 a12 a21 a22 a31 a32

D

a13 a23 a33

Beispiel:

Dx

3 7 2 4 0 6 2 4 1

3 ˜ 0 ˜ 1  7 ˜ 6 ˜ (2)  (2) ˜ 4 ˜ (4)

c1 c2

a3

b3

c3

d1 d2 d3

8

Fehlerwarnung: Die Regel von Sarrus gilt nur für dreireihige Determinanten! Definition für n-reihige Determinanten (n t 4): Auch für beliebige n-reihige Determinanten lässt sich der Wert mit Hilfe des Entwicklungssatzes definieren. Entwicklung nach einer beliebigen Zeile:

a1 a2 a3

Dy

d1 d2 d3

ai1 ˜ Ai1  ai 2 ˜ Ai 2  !  ain ˜ Ain

x

Dx D

c1 c2 c3 c1 c2 c3

Dy D

a1 d 1 a2 d 2 a3 d3 a1 b1 a2 b2 a3 b3

c1 c2 c3 c1 c2 c3

Dz D

a1 b 1 d1 a2 b2 d 2 a3 b3 d3 a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3

Bei Entwicklung nach der ersten Zeile ist i = 1, bei Entwicklung nach der zweiten Zeile ist i = 2, usw., und bei Entwicklung nach der n-ten Zeile ist i = n. Entwicklung nach einer beliebigen Spalte: n

¦a A

y

ij ij

i 1

(1 d j d n)

Bei Entwicklung nach der ersten Spalte ist j = 1, bei Entwicklung nach der zweiten Spalte ist j = 2, usw., und bei Entwicklung nach der n-ten Spalte ist j = n. Die Cramersche Regel zur Berechnung der Lösung eines linearen Gleichungssystems ist immer dann anwendbar, wenn bei dem betrachteten linearen Gleichungssystem die Anzahl der Gleichungen und die Anzahl der Variablen übereinstimmen (und die Koeffizientendeterminante von Null verschieden ist). Die allgemeine Form eines linearen Gleichungssystems mit drei Gleichungen und drei Variablen x, y, z lautet: a1 x  b1 y  c1 z

d1

a2 x  b2 y  c2 z a3 x  b3 y  c3 z

d2 d3

Die Koeffizientendeterminante eines solchen linearen Gleichungssystems ist also

a1 a2 a3

b1 b2 b3 b1 b2 b3

ij ij

j 1

a1 j ˜ A1 j  a2 j ˜ A2 j  !  anj ˜ Anj

c1 c2 , Dz c3

d1 d2 d3 a1 a2 a3

¦a A

(1 d i d n)

D

c1 c2 c3

b1 b2 b3

d1 d2 d3

Für D z 0 ergibt sich dann als eindeutige Lösung des linearen Gleichungssystems

n

D

b1 b2 b3

Durch Ersetzen der Koeffizienten von y und z erhält man analog die Matrizen

(2) ˜ 0 ˜ (2)  3 ˜ 6 ˜ (4)  7 ˜ 4 ˜ 1 0  84  32  0  72  28

b1 b2

Ersetzt man die erste Spalte von D, also die Koeffizienten von x, durch die Absolutglieder des linearen Gleichungssystems, so ergibt sich die Determinante

a11a22 a33  a12 a23a31  a13a21a32 a13a22 a31  a11a23a32  a12 a21a33 

a1 a2

z

Ist jedoch D = 0, dann gibt es entweder keine oder unendlich viele Lösungen des linearen Gleichungssystems. In diesem Fall ist die Cramersche Regel nicht anwendbar. 

Beispiel: Lineares Gleichungssystem: 3x  15 y  8 z 10

5 x  10 y  12 z 2x  7 y  z

1 1

2 Funktionen

A 13 Somit ergibt sich als Lösung des linearen Gleichungssystems:

Nennerdeterminante (Determinante der Koeffizientenmatrix):

D

3 15 8 5 10 12 2 7 1

30  360  280  160  252  75

Zählerdeterminanten: 10 15 8 Dx 1 10 12 100  180  56  80  840  15 1 7 1

Dy

3 10 8 5 1 12 2 1 1

3  240  40  16  36  50

Dz

3 15 10 5 10 1 2 7 1

30  30  350  200  21  75

Dy Dx  681 227 Dz  454  1, z 3, y 2 D  227 D  227 D  227 Die Lösung des Gleichungssystems ist also das (geordnete) Zahlentripel (x, y, z) = (3, –1, 2) (oder Lösungsmenge: L = {(3, –1, 2)}).

227

x

681

227

454

2 Funktionen Funktionswert y zu erhalten. Für x = 3 erhält man zum Beispiel y = f (3) = 5 · 3 = 15. Sowohl der Definitionsbereich als auch der Wertebereich sind die natürlichen Zahlen. Für die Bildmenge ergibt sich f (D) = {5, 10, 15, 20, ...}.

2.1 Definition und Darstellungen von Funktionen 2.1.1 Definitionen Eine Abbildung oder Funktion f ist eine Zuordnung, die jeder Zahl x einer gegebenen Zahlenmenge D eine Zahl y einer Zahlenmenge W zuordnet. Die Zuordnung ist eindeutig, das heißt, jeder Zahl x wird genau eine Zahl y zugeordnet. Man schreibt dafür y = f (x) oder manchmal auch x 6 f (x). Man nennt f (x) das Bild von x und umgekehrt x das Urbild von f (x). Die Menge D heißt Urbildmenge, Definitionsmenge oder Definitionsbereich. Die Menge W, aus der die Bilder stammen, heißt Wertemenge oder Wertebereich. Die Menge der Bilder (also alle y-Werte zusammen) heißt Bildmenge, bezeichnet mit f (D). D Definitionsbereich W Wertebereich f (D) Bildmenge Die Elemente der Bildmenge nennt man Funktionswerte. Die Bildmenge f (D) ist eine Teilmenge des Wertebereichs W, und W ist eine Teilmenge der Menge ബ der reellen Zahlen. f (D) Ž W Ž ബ Eine Funktion besteht aus drei Teilen: der Zuordnungsvorschrift f, dem Definitionsbereich D und dem Wertebereich W. Zwei Funktionen sind genau dann gleich, wenn sowohl die Zuordnungsvorschriften als auch die Definitionsbereiche als auch die Wertebereiche übereinstimmen. 

Beispiele:

1. y = f (x) = 5x, D = ത, W = ത Die Zuordnungsvorschrift ist hier „5 mal“, das heißt, man muss jeden x-Wert mit 5 multiplizieren, um den zugehörigen

2. y = f (x) = x + 2, D = ബ, W = ബ

2.1.2 Funktionsgleichung Explizite Darstellung der Funktionsgleichung Die Zuordnungsvorschrift für eine Funktion ist im Regelfall eine Gleichung, die Funktionsgleichung y = f (x) (gesprochen: y gleich f von x). Dabei heißt x unabhängige Variable und y abhängige Variable. Man nennt x auch das Argument der Funktion. Die Form y = f (x) heißt explizite Darstellung der Funktionsgleichung. Darüber hinaus gibt es die implizite Darstellung und die Parameterdarstellung der Funktionsgleichung (siehe A14). Funktionen können aber zum Beispiel auch durch Tabellen, Schaubilder (Graphen), Pfeildiagramme oder geordnete Wertepaare (Wertetabelle) dargestellt werden. Fehlt bei einer Funktion die Angabe des Definitionsbereichs, so gilt D = ബ. Fehlt bei einer Funktion die Angabe des Wertebereichs, so gilt ebenfalls W = ബ. Die Schreibweise y = f (x), f: D o W für eine Funktion bedeutet, dass y = f (x) die Funktionsgleichung ist, dass die Funktion den Definitionsbereich D und den Wertebereich W hat. y = f (x), f: D o W 

Beispiele:

1. y = f (x) = x3 – 4x2 – x + 4, f: ബoബ 2. y = f ( x)

x3 , x2  2

f : [1, 1] o ബ (also D = [1, 1], W = ബ)

Eine Funktion mit der Funktionsgleichung y = f (x), deren Definitions- und Wertemenge nur reelle Zahlen enthalten, nennt man eine reelle Funktion einer reellen Variablen.

3 Trigonometrie y

A 27

ln x , D = ബ+, W = f (D) = ബ

Allgemeiner noch bezeichnet man auch solche Funktionen, die eine algebraische Funktion des Arguments x als Numerus haben, als Logarithmusfunktion, zum Beispiel y log 2 (5 x 2  4 x) . Die Logarithmusfunktion y log a x ist für a z 1 die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion y = ax und umgekehrt. Die natürliche Logarithmusfunktion y ln x ist die Umkehrfunktion der e-Funktion y = ex und umgekehrt.

3 Trigonometrie

Bild 19. Graphen von y ihrer Umkehrfunktionen

ln x und y

log 2 x und

Das Wort Trigonometrie kommt aus dem Griechischen und bedeutet Dreiecksmessung. Die Trigonometrie ist die Lehre von der Dreiecksberechnung mit Hilfe von Winkelfunktionen (trigonometrischen Funktionen).

3.1 Definition der trigonometrischen Funktionen In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse die dem rechten Winkel gegenüberliegende Dreiecksseite, die beiden anderen Seiten (also die Schenkel des rechten Winkels) sind die Katheten. In einem rechtwinkligen Dreieck mit den Winkeln D, E und J = 90° gilt D + E = 90°. Die Ankathete eines Winkels D in einem rechtwinkligen Dreieck ist die Kathete, die auf einem Schenkel von D liegt. Die andere Kathete heißt Gegenkathete von D. Das Verhältnis zweier beliebiger Seiten im rechtwinkligen Dreieck ist abhängig von dem Winkel D (und wegen E = 90° – D natürlich auch vom Winkel E), das heißt, das Verhältnis zweier Seiten ist eine Funktion des Winkels D (bzw. des Winkels E). Die trigonometrischen Funktionen sind definiert als das Verhältnis zweier Seiten im rechtwinkligen Dreieck. In einem rechtwinkligen Dreieck ist – sinD, der Sinus des Winkels D, das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse, – cosD, der Kosinus des Winkels D, das Verhältnis von Ankathete zu Hypotenuse, – tanD, der Tangens des Winkels D, das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete, – cotD, der Kotangens des Winkels D, das Verhältnis von Ankathete zu Gegenkathete.

Bild 1. sin D

a , cos D c

b , tan D c

a , cot D b

b a

a Gegenkathete Hypotenuse c Ankathete b Kosinus: cos D c Hypotenuse a Gegenkathete Tangens: tan D Ankathete b Ankathete b Kotangens: cot D a Gegenkathete

Sinus:

sinD

Andere, weniger gebräuchliche Namen für die trigonometrischen Funktionen sind Winkelfunktionen oder Kreisfunktionen oder goniometrische Funktionen.

3.2 Trigonometrische Funktionen für beliebige Winkel Die Definition der trigonometrischen Funktionen eines Winkels D im rechtwinkligen Dreieck ist nur für spitze Winkel möglich (also 0° < D < 90°). Am Einheitskreis (Kreis mit dem Radius r = 1) lassen sich die trigonometrischen Funktionen für beliebige Winkel definieren. Der Mittelpunkt des Einheitskreises sei der Koordinatenursprung O eines kartesischen Koordinatensystems (vgl. Abschnitt 4.1.1). Ein beliebiger Punkt P = P(x|y) auf dem Einheitskreis legt einen Winkel D fest, nämlich den Winkel zwischen der x-Achse und der Geraden durch O und P. Dabei wird D in mathematisch positiver Richtung, also gegen den Uhrzeigersinn, gemessen.

A 28

A Mathematik Für die Vorzeichen der trigonometrischen Funktionen in den einzelnen Quadranten gilt: Quadrant I II III IV

sin + + – –

cos + – – +

tan + – + –

cot + – + –

3.3 Beziehungen für den gleichen Winkel Für beliebige Winkel D gelten folgende Umrechnungsformeln 1): sin D 1 cos D cot D sin 2 D  cos 2 D 1 1 1  tan 2 D cos 2 D

cos D 1 sin D tan D tan D ˜ cot D 1

cot D

tan D

Bild 2. Definition der trigonometrischen Funktionen für beliebige Winkel Mit den vorzeichenbehafteten Koordinaten x und y des Punktes P werden die trigonometrischen Funktionen dann definiert durch Sinus: sin D

y

Kosinus: cos D

x

Tangens: tan D Kotangens: cot D

y x x y

Der Abschnitt des Einheitskreises zwischen der xAchse und dem Punkt P ist das Bogenmaß b des Winkels D. Durchläuft P den Einheitskreis im mathematisch positiven Drehsinn, dann sind D und b positiv. Durchläuft P den Einheitskreis jedoch im mathematisch negativen Drehsinn, dann sind D und b negativ. Im Einheitskreis sind damit die trigonometrischen Funktionen für beliebige Winkel D im Gradmaß oder für beliebige reelle Zahlen b (Bogenmaß von D) definiert, für die die entsprechenden Nenner nicht verschwinden. Bei der Berechnung von Funktionswerten muss beachtet werden, ob das Argument im Gradmaß oder im Bogenmaß angegeben ist. Durch die beiden orientierten Achsen eines kartesischen Koordinatensystems wird die Ebene in vier Teile eingeteilt, die Quadranten. Die Punkte des ersten Quadranten haben sowohl positive x- als auch positive y-Koordinaten, die Punkte des zweiten Quadranten haben negative x- und positive y-Koordinaten, die Punkte des dritten Quadranten haben negative x- und negative y-Koordinaten und die Punkte des vierten Quadranten haben positive x- und negative y-Koordinaten.

1  cot 2 D

1 sin 2 D

Diese Beziehungen lassen sich im rechtwinkligen Dreieck leicht nachrechnen. 

Beispiel: 2

2

§a· §b· a2  b2 1 , denn nach dem ¨¨ c ¸¸  ¨¨ c ¸¸ c2 © ¹ © ¹ Satz des Pythagoras gilt im rechtwinkligen Dreieck a2 + b2 = c2. sin 2 D  cos 2 D

Alle Beziehungen gelten auch allgemein, das heißt, für beliebige Winkel D. Nach diesen Beziehungen lässt sich jede trigonometrische Funktion durch jede andere desselben Winkels ausdrücken. Will man zum Beispiel sin D durch cosD ausdrücken, so folgt sin D

r 1  cos 2 D aus sin2D + cos2a = 1.

Für Winkel im ersten Quadranten, also für Winkel D mit 0° < D 90° gilt: sin D

cos D

sin D

sin D

1  cos 2 D

cos D

1 sin 2 D

cos D

sin D

1  cos 2 D cos D cos D

tan D cot D 

1  sin 2

D

1 sin 2 D sin D

1 cos 2 D

tan D tan D

cot D 1

1  tan 2 D 1

1  cot 2 cot D

1  tan 2 D

1  cot 2

tan D

1 cot D

1 tan D

cot D

Beispiel: Im dritten Quadranten sind sowohl sin D als auch cos D negativ. Deswegen gilt für Winkel D mit 180° < D < 270° zum Beispiel

sin D

 1  cos 2 D und cos D

 1  sin 2 D .

In den übrigen Quadranten sind die Vorzeichen der Wurzeln nach der Vorzeichentabelle (vgl. Abschnitt 3.2) oder am Einheitskreis zu bestimmen.

1) Für Potenzen (f (x))k von Funktionswerten ist die Schreibweise f k(x) üblich, etwa sin2D (gesprochen: Sinus Quadrat Alpha) für (sin D)2.

3 Trigonometrie

A 29

3.4 Graphen der trigonometrischen Funktionen Ein anschauliches Bild von Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen erhält man, wenn in einem kartesischen Koordinatensystem (vgl. Abschnitt 4.1.1) als Abszissen (x-Werte) die Winkel (im Gradmaß oder

im Bogenmaß) und als Ordinaten (y-Werte) die Werte der betreffenden trigonometrischen Funktionen eingetragen werden. Die Funktionswerte ergeben sich als vorzeichenbehaftete Längen der entsprechenden Strecken am Einheitskreis.

Bild 3. Sinuskurve und Kosinuskurve

Bild 4. Tangenskurve und Kotangenskurve Die Graphen der trigonometrischen Funktionen nennt man auch Kurven. So ist zum Beispiel die Sinuskurve der Graph der Sinusfunktion. In der folgenden Aufzählung sind alle Winkel im Bogenmaß angegeben. 1. Sinusfunktion Die Funktion y = sin x mit dem Definitionsbereich D = ബ und dem Wertebereich W = [–1,1]. Die Sinusfunktion hat die Periode 2S, es gilt also sin(x + 2kS) = sin x für k = 0, r1, r 2, .... Die Amplitude der Funktion ist 1, denn es gilt |sin x| d 1 und sin

 2

= 1.

Die Sinusfunktion ist wegen sin(–x) = –sin x für alle x eine ungerade Funktion. Die Sinuskurve ist also symmetrisch zum Koordinatenursprung. 2. Kosinusfunktion Die Funktion y = cos x mit dem Definitionsbereich D = ബ und dem Wertebereich W = [–1,1]. Die Kosinusfunktion hat ebenfalls die Periode 2S, es gilt cos(x + 2kS) = cos x für k = 0, r1, r2, ... Die Amplitude der Funktion ist 1, denn es gilt |cos x| d 1 und cos 0 = 1. Die Kosinusfunktion ist wegen cos(–x) = cos x für alle x eine gerade Funktion. Die Kosinuskurve ist also symmetrisch zur y-Achse. 3. Tangensfunktion Die Funktion y = tan x mit dem Definitionsbe

reich D = ബ; x z 2 + k , k  ള und dem Wertebe-

reich W = ബ.

Bild 5. y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x (von oben nach unten) 

Die Stellen x = 2 + k sind Pole der Funktion.

Nähert man sich einem Pol x = xp mit wachsenden x-Werten (also x < xp), dann geht tan x gegen +f. Nähert man sich dagegen einem Pol x = xp mit abnehmenden x-Werten (also x > xp), so geht tan x gegen –f. Die Geraden x = Asymptoten der Funktion.

 + 2

k sind

A 30

A Mathematik

Die Tangensfunktion hat die Periode S, es gilt also tan(x + kS) = tan x für k = 0, r1, r2, ... Eine Amplitude besitzt die Funktion nicht (Pole!). Die Tangensfunktion ist wegen tan(–x) = –tan x für alle x eine ungerade Funktion. Die Tangenskurve ist also symmetrisch zum Koordinatenursprung. 4. Kotangensfunktion Die Funktion y = cot x mit dem Definitionsbereich D = ബ; x z   k , k  ള und dem Wertebereich W = ബ. Die Stellen x = k , k  ള sind Pole der Funktion. Nähert man sich einem Pol x = xp mit wachsenden x-Werten (also x < xp), dann geht cot x gegen –f. Nähert man sich dagegen einem Pol x = xp mit abnehmenden x-Werten (also x > xp), so geht cot x gegen +f. Die Geraden x = k sind Asymptoten der Funktion. Die Kotangensfunktion hat die Periode S, es gilt also cot(x + kS) = cot x für k = 0, r1, r2, ... Eine Amplitude besitzt die Funktion nicht (Pole!). Die Kotangensfunktion ist ungerade, denn es gilt cot(–x) = –cot x. Die Kotangenskurve ist also symmetrisch zum Koordinatenursprung.

3.5 Sinussatz und Kosinussatz Sinussatz In einem beliebigen Dreieck verhalten sich die Längen der Seiten wie die Sinuswerte der gegenüberliegenden Winkel. sin D sin E sin J a b c

3.6 Arkusfunktionen Kennt man den Funktionswert einer trigonometrischen Funktion, etwa y = sin x, und will man daraus den zugehörigen Winkel bestimmen, so muss man die Gleichung nach dem Winkel x auflösen, was mit Hilfe der Arkusfunktionen möglich ist: x = arcsin y. Die Arkusfunktionen sind also die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen. Die Arkusfunktionen werden auch zyklometrische Funktionen oder inverse trigonometrische Funktionen genannt. Zu ihrer eindeutigen Definition wird der Definitionsbereich der trigonometrischen Funktionen in Monotonieintervalle zerlegt, so dass für jedes Monotonieintervall eine Umkehrfunktion erhalten wird (vgl. Abschnitt 2.2.8: Streng monotone Funktionen besitzen Umkehrfunktionen). Diese wird entsprechend dem zugehörigen Monotonieintervall mit dem Index k gekennzeichnet. Die Vorgehensweise wird am Beispiel des Arkussinus gezeigt. Der Definitionsbereich von y = sin x wird   d x d kS + mit in die Monotonieintervalle kS – 2 2 k = 0, r 1, r 2, ... zerlegt. Durch Spiegelung von y = sin x an der Winkelhalbierenden y = x erhält man die Umkehrfunktionen y = arcksin x mit den Definitionsbereichen Dk = [–1,1] und den Wertebereichen Wk =   [kS – , kS + ], wobei k = 0, r1, r2,... Die 2 2 Schreibweise y = arcksin x ist gleichbedeutend mit x = sin y.

y arck sin x œ

oder sin D :sin E :sin J a:b:c

Kosinussatz In einem beliebigen Dreieck ist das Quadrat einer Seitenlänge gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seitenlängen minus dem doppelten Produkt der Längen dieser beiden anderen Seiten und dem Kosinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels. a 2 b 2  c 2  2bc cos D b 2 a 2  c 2  2ac cos E

Die übrigen Arkusfunktionen ergeben sich analog. In der Tabelle sind die Definitions- und Wertebereiche aller Arkusfunktionen zusammengestellt, die Bilder 6 bis 9 zeigen die Graphen der Arkusfunktionen. Name

Schreibweise

Arkussinus

y

arc k sin x

Definitionsbereich

–1 d x d 1

c 2 a 2  b 2  2ab cos J

oder b2  c2  a 2 cos D 2bc a 2  c2  b2 cos E 2ac a 2  b2  c 2 cos J 2ab

x sin y

Wertebereich

kS –

 dy 2

 2 kS d y d (k+1)S

Gleichbedeutende trigometrische Funktion x = sin y

d kS +

Arkus- y kosinus Arkus- y tangens

arc k cos x

–1 d x d 1

arc k tan x

–f < x < f

arc k cot x

 2 –f < x < f kS < y < (k+1)S

kS –

 0. Die Kernbindungsenergie je Nucleon EB/A ist ein Maß für die Stabilität eines Atomkernes. Kerne mit 40 bis 100 Nucleonen sind am stabilsten. Die Spaltung schwerer Kerne und die Verschmelzung (Kernfusion) leichter Kerne führt zu stabilen Endprodukten mit höherer Kernbindungsenergie, wobei Energie freigesetzt wird. ■ Beispiel: Für Silber (Z = 47) mit der tabellierten Atommasse Ar = 108,90 berechnet sich mit Tabelle 1 der Massendefekt: m = [47 · (mp + me) + (109–47) · mn ] – 108,90 u = 1,0 u EB = m · 931,49 MeV = 931,49 MeV

Isotope sind Atomarten (Nuklide) desselben Elementes, die sich nur in der Massenzahl unterscheiden. Die Kohlenstoffisotope 12C, 13C und 14C verhalten sich in chemischen Reaktionen völlig gleich, aber sie haben 6, 7 bzw. 8 Neutronen, sind somit unterschiedlich schwer. Viele Isotope sind radioaktiv, z. B. Kohlenstoff-14 (14C), Cobalt-60 (60Co) und Tritium (3H).

B2 Chemie

B27

Reinelemente kommen in der Natur nur mit jeweils einer Neutronenzahl (einem Isotop) vor, z. B. Aluminium, Arsen, Gold, Natrium und Phosphor. Die meisten Elemente sind Mischelemente, also Gemische mehrerer Isotope. Isotopentrennung. Das natürliche Gemisch aus 238U, 235 U und 234U ist chemisch nicht trennbar. In Gaszentrifugen jedoch flieht 238UF6 zum Rand des Drehzylinders, leichteres 235UF6 sammelt sich im Inneren. Bei der Wasserelektrolyse reichert sich „schweres Wasser“ D2O an, weil H2O schneller zersetzt wird. Die im Periodensystem tabellierte Atommasse berücksichtigt das natürliche Isotopengemisch der Elemente; daher weicht sie von der ganzzahligen Nucleonenzahl ab. Tabelle 2. Tabellierte Atommasse von Chlor Isotop 35Cl 37Cl Ar(Cl)

Häufigkeit 75,77% · + 24,23% ·

Isotopenmasse in u 34,968853 36,965903 = 35,4527

Tabelle 4. Beispiele für den radioaktiven Zerfall -Zerfall

226 222 4 88 Ra → 86 Rn + 2 He

Das Tochternuklid steht im PSE 2 Stellen links vom Ausgangsnuklid (typisch Z > 83). -Zerfall

12 12 0 − 5 N → 6 C +−1 e + νe

Das Tochternuklid steht im PSE eine Stelle rechts vom Ausgangsnuklid. Häufig bei Nukliden mit Neutronenüberschuss. 1 1 0 − 0 n → 1 p +−1 e

+-Zerfall

+ νe

14 14 0 + 8 O → 7 N + 1e

( νe Antineutrino)

+ νe

Das Tochternuklid steht im PSE eine Stelle links vom Ausgangsnuklid. Häufig bei „künstlichen“ Nukliden mit Protonenüberschuss. 1 1 0 + 1p → 0 n + 1e

( νe Neutrino)

+ νe

Die natürlichen Isotope 14C und 40K eignen sich für die radioaktive Altersbestimmung. Jede Sekunde zerfallen gleiche Bruchteile  der vorhandenen Radionuklide. In frischem Holz finden 15,3 Zerfälle pro Minute und Gramm Kohlenstoff statt. 14 14 1 6 C → 7 N+ −1 e

mit = 5730 a

Tabelle 3. Bedeutung der Massenzahl im PSE

Massenzahl

A

Relative Atommasse Ar Absolute Atommasse m Molare Masse

M

Beispiel: Eisen 1 Atom Eisen enthält 56 Nucleonen 1 Atom ist 55,845-mal schwerer als ein zwölftel 12C-Atom. 1 Atom wiegt 55,845 u = 9,273 · 10-26 kg 1 mol Eisen wiegt 55,845 g und enthält 6,02  1023 Atome

2.3 Radioaktivität und Kernchemie Der radioaktive Zerfall ist kein chemischer Vorgang; durch Vorgänge im Atomkern entstehen jedoch neue Elemente und große Energiebeträge werden frei. In den natürlichen Zerfallsreihen treten -Strahlung (Heliumkerne), -Strahlung (Elektronen) und -Strahlung (elektromagnetische Wellen) auf, bei künstlichen Kernumwandlungen auch Positronenstrahlung. Der Zerfall in uranhaltigen Erzen endet bei Pb-206, in thoriumhaltigen Erzen bei Pb-208. Bei der künstlichen Kernumwandlung wird ein Zielkern (Target) mit einem Teilchen (Projektil) beschossen. Neue Elemente entstehen. 18 1 17 14 4 7 N + 2 He F* 8 O +1 H

19 1 9 F+ 0 n

oder 4N( ,p)17O

0 − 20F* 20 10 Ne + -1 e oder

F(n,e)20Ne

19

Aktivität: Zerfälle pro Sekunde Zerfallsgesetz: Restmenge zur Zeit t

A=

dN =−λ N dt

(s-1)

N = N 0⋅e−λt = N 0⋅2−t / τ

Zerfallskonstante: Kehrwert ln 2 1 der mittleren Lebensdauer λ= τ = T Halbwertszeit, Zeit, in der 50% der Kerne zerfallen:

τ=

Altersbestimmung

1 N t =− ln λ N0

ln 2

λ

≈

(s-1)

0, 693

λ

(s)

3 Periodensystem der Elemente (PSE) 3.1 Atommodelle und Quantenzahlen Wasserstoff und andere verdünnte Gase kann man in einer Gasentladungsröhre durch Elektronenstoß zum Leuchten anregen; angeregte Natriumatome in Kochsalz färben eine Bunsenflamme gelb. Die emittierte Strahlung lässt sich durch ein optisches Gitter in ein charakteristisches Linienspektrum zerlegen. Das Atommodell von Bohr beschreibt die „diskrete“ Linienstrahlung durch Sprünge von Elektronen zwischen Elektronenschalen unterschiedlicher Energie. Angeregte Elektronen kehren innerhalb von 10–8 s von angeregten Energieniveau E2 in den Grundzustand E1 zurück und emittieren Licht der Frequenz f bzw. Wellenlänge . E = E2 – E1 = h f = hc/

B 28

B Naturwissenschaftliche Grundlagen

h = 6,626 · 10-34 Js (Planck-Wirkungsquantum) Das wellenmechanische Atommodell geht von Wahrscheinlichkeitsräumen, den Orbitalen, aus. Dort hält sich das Elektron (als Teilchen) bzw. seine Ladung (Elektron als Welle) überwiegend auf. Nach der Unschärferelation von Heisenberg ist es grundsätzlich unmöglich, Ort und Impuls gleichzeitig exakt zu bestimmen. Folglich können exakte Umlaufbahnen für Elektronen nicht ermittelt werden. Die Z Elektronen der Atomhülle verteilen sich auf maximal sieben Elektronenschalen (K bis Q), die sich in Unterniveaus (s, p, d, f) gliedern. Jedes Elektron im Atom hat eine andere Energie und ist durch vier Quantenzahlen charakterisiert. 1. Hauptquantenzahl n = 1…7: Periode im Periodensystem bzw. äußerste Elektronenschale (K bis Q). 2. Nebenquantenzahl l = 0, 1, 2, 3: Zahl der Knotenebenen durch den Atomkern, in denen sich kein Elektron aufhalten darf. Geometrische Form der Orbitale: s (Kugel), p (Hantel), d und f (Rosette). Sie nehmen 2, 6, 10 bzw. 14 Elektronen auf. 3. Magnetquantenzahl m = –l,…,0,…l: Räumliche Ausrichtung der drei p-, fünf d- und sieben fOrbitale (mit je zwei Elektronen) in einem äußeren magnetischen oder elektrischen Feld (ZeemanEffekt bzw. Stark-Effekt). 4. Spinquantenzahl s = +½ oder –½: Der Eigendrehimpuls des Elektrons kann sich gleichsinnig (parallel) oder gegensinnig (antiparallel) zur Umlaufbahn ausrichten. Pauli-Prinzip. In einem Atom stimmen niemals zwei Elektronen in allen vier Quantenzahlen überein. Zwei Elektronen im gleichen Orbital müssen sich durch den „Spin nach oben“ oder „unten“ unterscheiden. Elektron

z

Elektron Neutron Proton x

y 2

Atomhülle Atomkern

1s 

Bild 2. Heliumatom im Atommodell nach Bohr, als sOrbital (Kugelwolke) und in Kästchenschreibweise.

Bild 3. Die p-Orbitale fassen 3 · 2 = 6 Elektronen.

Bild 4. Die d-Orbitale fassen 5 · 2 = 10 Elektronen.

3.2 Aufbau des Periodensystems Das Periodensystem ordnet die Elemente nach steigender Kernladungszahl (Ordnungszahl, Protonenzahl) und fasst Elemente mit ähnlichen chemischen Eigenschaften in Gruppen (senkrechte Spalten) zusammen. Nach steigender Atommasse geordnet, würden Argon und Kalium, Cobalt und Nickel, Tellur und Iod wegen ihrer häufigsten Isotope in vertauschte Gruppen fallen. Das chemische Symbol bezeichnet zugleich ein Element und ein Atom eines Elementes. Elemente, die schon im Altertum bekannt waren, tragen lateinische Kürzel. Seit 1985 sind internationale Schreibweisen üblich: Bismut statt Wismut, Iod statt Jod. Die künstlich erzeugten Transfermiumelemente werden bis zur endgültigen Festlegung mit Zahlworten benannt, z. B. Element 112 als Ununbium (Uub) oder „Eka-Quecksilber“. Die häufigsten Elemente, Sauerstoff und Silicium, bilden 74% der Erdrinde; Aluminium, Eisen, Calcium, Natrium, Kalium, Magnesium, Titan und Wasserstoff 25%, die übrigen Elemente zusammen 1%. Wasserstoff H2, Sauerstoff O2 und die Halogene (F2, Cl2, Br2, I2) kommen als zweiatomige Moleküle vor. Nur bei chemischen Reaktionen treten sie für Sekundenbruchteile „aktiv“ (atomar) auf. Die übrigen Elemente kommen atomar vor, etliche sind radioaktiv oder entstehen durch Kernumwandlung. Die Periode (waagrechte Zeile im PSE) bezeichnet die Nummer der äußersten BOHR-Schale. Innerhalb einer Gruppe wächst der Atomdurchmesser an. Das Bariumatom ist z. B. größer als das Calciumatom. Die Gruppen werden von 1 bis 18 durchnummeriert. Auch römische Gruppennummern sind üblich: Die Hauptgruppenelemente (Ia bis VIIIa) sind Metalle; Halbmetalle oder Nichtmetalle, die Nebengruppenelemente (Ib bis VIIIb) heißen Übergangsmetalle. Die Elemente in einer Gruppe besitzen in ihrer Außenschale die gleiche Zahl von Valenzelektronen. Sie gehen daher mit anderen Elementen Bindungen gleicher Oxidationsstufe („Wertigkeit“) ein.

B2 Chemie

B29

Bild 5. Periodensystem der Elemente (PSE) mit Gruppenbezeichnungen, Valenzorbitalen (s, p, d, f) und der höchsten Oxidationsstufe gegenüber Sauerstoff (positiv: in Oxiden und Sauerstoffsäuren) bzw. Wasserstoff (negativ: in Hydriden und Metallsalzen). Tabelle 5. Gruppen im Periodensystem der Elemente Gruppe

Hauptgruppen

Valenzelektronen

1

Ia

Alkalimetalle

s1 (sehr reaktiv)

2

IIa

Erdalkalimetalle

s2 (reaktiv)

13

IIIa

Erdmetalle, Borgruppe

s2p1

14

IVa Kohlenstoffgruppe

s2p2

15

Va

s2p3

16

VIa Sauerstoffgruppe, Chalkogene

s2p4 (reaktiv)

17

VIIa Halogene

s2p5 (sehr reaktiv)

18

VIIIa Edelgase

s2p6 (inert)

Stickstoffgruppe, Pnicogene

Nebengruppen 3

IIIb

Scandiumgruppe Lanthanoide: Ce ... Lu Actinoide: Th ... Lr

d1s2 f1s2 bis f14s2

4

IVb Titangruppe

d2s2

5

Vb

d3s2

6

VIb Chromgruppe

d5s1 (d4s2)

7

VIIb Mangangruppe

d5s2

Vanadiumgruppe

8–10 VIIIb Eisenmetalle (Fe, Co, Ni) Platinmetalle (Ru…Pt)

d6s2 bis d8s2

11

Ib

Kupfergruppe

d10s1

12

IIb

Zinkgruppe

d10s2 (reaktiv)

Die Periode (waagrechte Zeile im PSE) bezeichnet die Nummer der äußersten BOHR-Schale. Innerhalb einer Gruppe wächst der Atomdurchmesser an. Das Bariumatom ist z. B. größer als das Calciumatom. Die Gruppen werden von 1 bis 18 durchnummeriert. Auch römische Gruppennummern sind üblich: Die Hauptgruppenelemente (Ia bis VIIIa) sind Metalle; Halbmetalle oder Nichtmetalle, die Nebengruppenelemente (Ib bis VIIIb) heißen Übergangsmetalle. Die Elemente in einer Gruppe besitzen in ihrer Außenschale die gleiche Zahl von Valenzelektronen. Sie gehen daher mit anderen Elementen Bindungen gleicher Oxidationsstufe („Wertigkeit“) ein.

3.3 Elektronenkonfiguration Die Elektronenkonfiguration beschreibt die Anordnung der Elektronen im Atom. Das Energieniveauschema zeigt die Orbitale nach steigender Energie. s-Orbitale nehmen maximal zwei, p-Orbitale sechs, dOrbitale zehn, f-Orbitale 14 Elektronen auf. Wasserstoff und Helium füllen das 1s-Niveau auf, Alkali- und Erdalkalimetalle die höheren s-Niveaus. Die Nicht- und Halbmetalle besetzen die p-Niveaus. Die Nebengruppenelemente füllen die d-Niveaus, der vorletzten Schale (n-1 = 3,…,6). Lanthanoide und Actinoide füllen die 4f- bzw. 5f-Niveaus. Jedes hinzu kommende Elektron besetzt ein möglichst niedriges Energieniveau – was nicht immer der numerischen Reihenfolge entspricht.

B 30

B Naturwissenschaftliche Grundlagen 70

6s

5p 6p

7s

4d 5d 6d

4f 5f

Lanthanoide und Actinoide

5s

4p

3d

Übergangsmetalle

4s

3p

Cs

60

Rb K

50

Hauptgruppen IIIa bis VIIIa

3s

2p

Alkali und Edalkalimetal-

2s

Energie

1s

40

Xe

30 He

Sr Na

Rn

Eu Yb

Kr

Ca

Po

Ba

I Ar Y Te Ce Br Lu Bi P Pb Gd Cl Sc Ge Se Zr Sn S Hf Hg Ti Ga Cd 10 H Au Zn Mo Ag Al Cr W Ir Pt F Ru Fe Ni Be C

20

Th

N Li

0

10

20

30

40

50

60

70

80

U 90

Ordnungszahl

7p

Bild 8. Periodizität der Atomvolumina (in cm³/mol).

Bild 6. Reihenfolge der Orbitalauffüllung In den Nebengruppen Ib und Vb, bei einigen Platinmetallen und den Actinoiden gibt es Ausnahmen. Halb und vollbesetzte d-Schalen sind energetisch bevorzugt. An Stelle d4s2 tritt d5s1 (bei Cr, Mo). (bei Cu, Ag, Au). An Stelle d9s2 tritt d10s1 ■ Beispiel: Kupfer hat theoretisch die Besetzung [Ar] 3d94s2, experimentell ermittelt wurde [Ar] 3d104s1.

2

3s

2

2s

2

1s

3p

6

2p

6

2

3d

6

Energie

Edelgas Argon

Valenzelektronen 4s

Bild 7. Energieniveauschema von Eisen (26 e–). Elektronenkonfiguration: 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d64s2, kurz: [Ar] 3d64s2. Dabei wird 4s vor 3d gefüllt. Die Zahl der Elektronen im gleichen Energieniveau steht als Exponent im Termsymbol. Weil für chemische Reaktionen nur die Valenzelektronen wichtig sind, beginnt die Aufstellung zweckmäßig bei der abgeschlossenen Schale des vorangehenden Edelgases.

3.4 Periodische Eigenschaften der Elemente Nach der elektrischen Leitfähigkeit werden Metalle (Leiter), Halbmetalle (Halbleiter) und Nichtmetalle (Nichtleiter) unterschieden. Im PSE links stehen Metalle, rechts Nichtmetalle. Chemisch ähnliche Elemente fallen in den Gruppen zusammen.

Metalle sind elektropositiv. Wegen ihrer niedrigen Ionisierungsenergie – der Energieaufwand zur Abtrennung eines Valenzelektrons – bilden sie leicht positiv geladene Ionen (Kationen), die kleiner als das Metallatom sind. Weil die inneren Elektronenschalen die Kernladung abschirmen, werden die äußeren Elektronen weniger stark gebunden als die inneren. In einer Periode wächst jedoch mit jedem weiteren Proton im Kern die Ionisierungsenergie an. Die Alkalimetalle sind daher leicht ionisierbar, die Edelgase nur unter extremen Bedingungen. In der Schräge durch die 3. bis 6. Hauptgruppe finden sich Halbmetalle (z. B. Graphit, Silicium und schwarzer Phosphor), die den Nichtmetallen nahe stehen. Metametalle (Be, Zn, Cd, Hg, Ga, In, Tl, Sn, Pb, Bi) zeigen teilweise halbleitende Eigenschaften. Arsen hat metallische und nichtmetallische Modifikationen (Erscheinungsformen). Nichtmetalle sind elektronegativ. Wegen ihrer großen Elektronenaffinität – die freigesetzte Energie bei Aufnahme eines Elektrons in die äußerste Schale – bilden sie elektrisch negativ geladene Ionen (Anionen), die größer als das Nichtmetallatom sind. Die Elektronegativität (EN) charakterisiert die Neigung der Elemente, Elektronen an sich zu ziehen; sie steigt in den Perioden von links nach rechts, in den Hauptgruppen von unten nach oben. Am stärksten elektronegativ ist Fluor (4,0) am stärksten elektropositiv ist Francium bzw. Cäsium (0,7). Im PSE stehen die Basenbildner (Metalle) tendenziell links, die Säurebildner (Nichtmetalle) rechts. Nichtmetalloxide – CO2, NO2, SO2 und SO3 – bilden in Wasser Säuren; Metalloxide – Na2O, CaO – bilden Basen (Laugen). Mit steigender Oxidationsstufe nimmt die Basizität ab. Amphotere Oxide – wie Al2O3, MnO2 – bilden je nach Reaktionspartner Säuren oder Basen. Die reaktionsträgen Edelgase haben eine abgeschlossene p-Schale. Sie sind nullwertig; es sind jedoch Verbindungen bekannt. Metalle geben Valenzelektronen ab, Nichtmetalle nehmen Elektronen auf, um ebenfalls die stabile Edelgasschale zu erreichen.

B2 Chemie

B31

Tabelle 6. Bindigkeit von Hauptgruppenelementen + Elektronenabgabe, – Elektronenaufnahme. H



+I

H2

He 

0

Li [He] 

+I

Li2O, LiH

Be [He] 

+II

BeO, BeH2

+III

Al2O3, AlH3

+IV

CO2, CH4 N2O5, NH3

B [He] 



C [He] 





N [He] 







+V, –III

O [He]  





–II

H2O

F [He]   



–I

HF

Ne [He]    

0

Edelgase

3s 3p S [Ne]  





+VI, –II

SO3, H2S

Cl [Ne]   



+VII, –I

Cl2O7, HCl

Alkalimetalle, Erdalkalimetalle und Halogene sind daher besonders reaktionsfreudig. Nach der Regel von Hund werden p-, d- und fOrbitale zunächst einfach besetzt, ehe sich die Elektronen paaren (Prinzip der größten Multiplizität). Die Oxidationsstufe oder „stöchiometrische Wertigkeit“ beschreibt die maximale Bindigkeit eines Elementes und hängt von der Zahl der Valenzelektronen ab – die an der Gruppennummer im PSE ablesbar ist. Sie entspricht der Zahl der Wasserstoffatome, die ein Element binden oder in der Bindung ersetzen kann. Sauerstoff ist immer zweiwertig, nur in den Peroxiden einwertig. Fluor ist immer einwertig. Die Eisen- und Platinmetalle sind typisch zweiwertig (nicht 8wertig). Kupfer gibt es ein- und zweiwertig, Gold ist dreiwertig. Blei und Zinn sind zwei- und vierwertig. Die Lanthanoiden (Seltenerdmetalle) sind dreiwertig. Tabelle 7. Die chemischen Elemente: * radioaktiv, Z Ordnungszahl, Ar relative Atommasse, […] Massenzahl des stabilsten Isotops. z Wichtigste Oxidationsstufe. Kursiv: englische Bezeichnungen. Element Z A z Actinium* Ac 89 [227] +III Aluminium Al 13 26,98154 +III Americium* Am 95 [243] +III Antimon, antimony Sb 51 121,760 +III Argon Ar 18 39,948 0 Arsen, arsenic As 33 74,92160 +III, V Astat*, astatine At 85 [210] –I Barium Ba 56 137,327 +II Berkelium* Bk 97 [247] +III

Element Beryllium Bismut, bismuth Blei, lead Bohrium* Bor, boron Brom, bromine Cadmium Caesium Calcium Californium* Cer, cerium Chlor, chlorine Chrom, chromium Cobalt Curium* Darmstadtium* Dubnium* Dysprosium Einsteinium* Eisen, iron Erbium Europium Fermium* Fluor, fluorine Francium* Gadolinium Gallium Germanium Gold Hafnium Hassium* Helium Holmium Indium Iod, iodine Iridium Kalium, potassium Kohlenstoff, carbon Krypton Kupfer, copper Lanthan, lanthanum Lawrencium* Lithium Lutetium Magnesium Mangan, manganese Meitnerium* Mendelevium* Molybdän, molybdenum Natrium, sodium Neodym, neodymium Neon Neptunium* Nickel Niob, niobium Nobelium* Osmium Palladium Phosphor, phosphorus Platin, platinum Plutonium* Polonium* Praseodym, -ium

Be Bi Pb Bh B Br Cd Cs Ca Cf Ce Cl Cr Co Cm Ds Db Dy Es Fe Er Eu Fm F Fr Gd Ga Ge Au Hf Ha He Ho In I Ir K C Kr Cu La Lr Li Lu Mg Mn Mt Md Mo Na Nd Ne Np Ni Nb No Os Pd P Pt Pu Po Pr

Z 4 83 82 107 5 35 48 55 20 98 58 17 24 27 96 110 105 66 99 26 68 63 100 9 87 64 31 32 79 72 108 2 67 49 53 77 19 6 36 29 57 103 3 71 12 25 109 101 42 11 60 10 93 28 41 102 76 46 15 78 94 84 59

A 9,01218 208,9804 207,2 [264] 10,811 79,904 112,411 132,90545 40,078 [251] 140,116 35,4527 51,9961 58.93320 [247] [281] [262] 162,500 [252] 55,845 167,26 151,964 [253] 18,99840 [223] 157,25 69,723 72,61 196,96655 178,49 [265] 4,00260 164,93032 114,818 126,90447 192,217 39,0983 12,0107 83,798 63,546 138.9055 [262] 6,941 174,967 24,3050 54,93805 [266] [260] 95,94 22,98977 144,24 20,1797 237,0482 58,6934 92,90638 [259] 190,23 104,42 30,973761 195,078 [244] [209] 140,90765

z +II +III +II, IV +III –I +II +I +II +III +III –I +III, VI +II +III +III +III +II, III +III +III +III –I +I +III +III +IV +III +IV 0 +III +III –I +III +I IV 0 +II +III +III +I +III +II +II,IV,VII +III +VI +I +III 0 +IV +II +V +II +IV +II +V, –III +II, IV +IV +II, IV +III, IV

B 32

B Naturwissenschaftliche Grundlagen

Element Promethium* Protactinium Quecksilber, mercury Radium Radon* Rhenium Rhodium Röntgenium* Rubidium Ruthenium Rutherfordium* Samarium Sauerstoff, oxygen Scandium Schwefel, sulfur Seaborgium* Selen, selenium Silber, silver Silicium, silicon Stickstoff, nitrogen Strontium Tantal, tantalum Technetium* Tellur, tellurium

Pm Pa Hg Ra Rn Re Rh Rg Rb Ru Rf Sm O Sc S Sg Se Ag Si N Sr Ta Tc Te

Z 61 91 80 88 86 75 45 111 37 44 104 62 8 21 16 106 34 47 14 7 38 73 43 52

A [145] 231,05388 200,59 226,0254 222,0176 186,207 102,90550 [272] 85,4678 101,07 [261] 150,36 15,9994 44,95591 32,066 [266] 78,96 107,8682 28,0855 14,00674 87,62 180,9479 98,90625 127,60

z +III +IV, V +II +II 0 +VII +I, III +I +III +III –II +III –II, +VI +IV +I IV +V, III +II +V +VII +IV

Element Terbium Thallium Thorium Thulium Titan, titanium Uran*, uranium Vanadium Wasserstoff, hydrogen Wolfram, tungsten Xenon Ytterbium Yttrium Zink, zinc Zinn, tin Zirconium

Tb Tl Th Tm Ti U V H W Xe Yb Y Zn Sn Zr

Z 65 81 90 69 22 92 23 1 74 54 70 39 30 50 40

A 158,92534 204,3833 232,0381 168,93421 47,867 238,0289 50,9415 1,00794 183,84 131,293 173,04 88,90585 65,409 118,710 91,224

z +III +I +IV +III +IV +VI +V I +VI 0 +III +III +II +II, IV +IV

4 Chemische Bindung Die chemische Bindung erklärt den Zusammenhalt der Atome in Molekülen und Kristallgittern, ihre räumliche Gestalt (Struktur) und unterschiedlichen Stoffeigenschaften.

Tabelle 8: Grundtypen der chemischen Bindung Ionenbindung (heteropolare Bindung, elektrovalente Bindung)

Atombindung (Elektronenpaarbindung, kovalente Bindung, homöpolare Bindung)

Metallbindung

Metall (elektropositiv) und Nichtmetall (elektronegativ)

Nichtmetallatome (elektroneutral)

Metallatome (elektropositiv)

Beispiel: unpolare Atombindung H· + ·H H–H Beispiel: polare Atombindung

Beispiel: M  Mz+ + z e–

Beispiel: 



Na    Cl|  Na  |Cl|

H    Cl|  H Cl| Atomkern

überlappende Orbitale

Elektronengas

Metallionen H2-Molekül

Bildung von Ionen. Durch Elektronenabgabe erreicht das Metall, durch Elektronenaufnahme das Nichtmetall die stabile Edelgasschale (Oktettregel). Elektrostatische COULOMB-Kräfte zwischen Anionen und Kationen

Gemeinsame Elektronenpaare (= bindende Molekülorbitale), die bei der polaren Atombindung zum elektronegativeren Atom hin verschoben sind. Gerichtete quantenmechanische Austauschkräfte (Valenzkräfte)

Elektronengas (freie Valenzelektronen) und positiv geladene Atomrümpfe (ionisierte Metallatome). Zusammenhalt durch ungerichtete COULOMB-Kräfte

Ionenkristalle (Salze)

Moleküle

Atomgitter

Metallgitter

 salzartig, spröde, Ionenleiter (Elektrolyte); z. B. LiF, CaO, NaOH, Oxid- und Silicatkeramik

 flüchtig (CO2, Cl2, CH4, Benzoll) oder  makromolekular (Stärke, Polymere)

 diamantartig oder  glasartig-spröde: SiC, BN, Si, Ge, Quarz, Hartstoffe

 metallisch, duktil, Elektronenleiter, z. B. Natrium; Eisen, Wolfram, Halbmetalle, Legierungen

B2 Chemie

B33

Die meisten chemischen Elemente kommen in der Natur in Verbindungen vor. Nur wenige – wie Gold, Silber, Schwefel, Kohlenstoff – treten elementar (gediegen) auf. Triebkraft der chemischen Bindung ist die Gitterenergie, die bei Bildung von Kristallen frei wird. In amorphen Stoffen, Flüssigkeiten, Gläsern und Kunststoffen liegt ein ungeordneter Teilchenverband vor. Isolierte Atome gibt es nur bei den Edelgasen und hocherhitzten Dämpfen. Oktettregel. An der chemischen Bindung nehmen nur die Elektronen der äußersten Schalen (Valenzelektronen) teil, nicht aber die Atomkerne. Jedes Atom strebt die stabile Edelgasschale an, indem es Elektronen aufnimmt (elektronegatives Element) oder abgibt (elektropositives Element).

ummetall und Chlorgas einen Kochsalzkristall formen, muss festes Natrium in die Gasphase überführt (sublimiert) und ionisiert werden; das Cl2-Molekül muss gespalten (dissoziiert) und die Chloratome in Chloridionen überführt werden. Insgesamt wird die molare Bildungsenthalpie frei. Tabelle 9. Ionen in anorganischen Verbindungen. Kationen (Metalle)

Anionen (Nichtmetalle) Hydrid Fluorid Chlorid Bromid Iodid Hydroxid Nitrat Chlorat

H– F– Cl– Br– I– OH– NO3– ClO4–

–I

+II Erdalkaliionen: Mg2+, Ca2+, Sr2+, Ba2+ Weitere: Fe2+, Co2+, Ni2+; Mn2+; Cu2+, Zn2+, Pb2+

Oxid Sulfid Selenid Sulfat

O2– S2– Se2– SO42–

–II

+III Erd- und Seltenerdmetalle B3+, Al3+, Ga3+, In3+ Sc3+, Y3+,La3+, Ce3+, Nd3+ Weitere: Cr3+, Au3+

Nitrid Phosphid Arsenid Phosphat

N3– P3– As3–PO43–

–III

+IV Sn4+, Pb4+, Ti4+

Carbid Silicid Germanid

C4– Si4– Ge4–

–IV

+I

Alkaliionen: Li+, Na+, K+ Ammonium: NH4+ Silber: Ag+

4.1 Ionenbindung (Salze) Ein Metallatom gibt ein oder mehrere Elektronen an ein Nichtmetallatom ab. Die entstehenden Metallkationen (positiv geladen) und Nichtmetallanionen (negativ geladen) ziehen sich gegenseitig an und bilden ein Ionengitter. Valenzstrichformeln nach Lewis verdeutlichen die Bildung von Salzen. Die Zahl der Valenzelektronen – die wir der Gruppennummer des PSE entnehmen – schreiben wir als Punkte um die chemischen Symbole herum. Zwei Punkte, ein freies Elektronenpaar, wird durch einen Strich symbolisiert (vgl. Tabelle 8). Eine Ionenbindung tritt ein, wenn die Elektronegativitätsdifferenz der Bindungspartner EN  1,7 beträgt. In Gläsern und Keramiken liegen Ionenbindungen mit kovalenten Anteilen vor. Die starken elektrostatischen COULOMB-Kräfte verhindern eine Verschiebung der Kristallgitterebenen. Salze sind daher hochschmelzend, spröde und Ionenleiter (Elektrolyte) in wässriger Lösung oder im geschmolzenen Zustand. Die Zahl der Gegenionen, die einem zentralen Ion direkt benachbart sind, wird als Koordinationszahl (KZ) bezeichnet. Weicht das Verhältnis der Radien von 1 : 1 ab, treten kompliziertere Gitter auf. Kochsalz: [NaCl]6:6 (oktaedrisch) Quarz [SiO2]4:2 (tetraedrisch) Mit der Ionenwertigkeit (Tabelle 9) kann man chemische Verbindungen benennen. In Oxiden erreichen Metallionen ihre höchsten Wertigkeiten. Bei Elementen mit mehreren Wertigkeiten gibt man diese als Oxidationsstufe in römischen Ziffern hinter dem Elementnamen an. Elementverbindungen lauten auf –id, Salze der Sauerstoffsäuren auf –at, Salze der „igen“-Säuren auf -it. 

Beispiel: Lithiumnitrid (aus 3 Li+ und N3–) Titantetrachlorid, Titan(IV)-chlorid Chromtrioxid, Chrom(VI)-oxid Natriumsulfid Eisen(II)-sulfat

2 Na + Cl2

2 NaCl

H f0 = –403 kJ/mol

Der Index f bedeutet „Bildung“ (engl. formation), die hochgestellte Null Standardbedingungen (25 °C = 298,15 K und 1013,25 mbar). Bei der Hydratation, der Umhüllung von Ionen durch Wassermoleküle beim Lösen von Salzen, wird die Hydratationsenthalpie frei. Getrieben durch die Wärmebewegung, fliehen an den Außenzonen des Salzkristalls Ionen aus dem Gitterverband; das Salz dissoziiert (zerfällt). Im freien Wasser werden Anionen und Kationen dann vollständig „aquotisiert“ (aq), d. h. von Wasserdipolen umhüllt.  NaCl  Na (aq)  Cl-(aq)

Li3N TiCl4 CrO3 Na2S FeSO4

Beim Zusammentritt der Ionen zum Ionengitter wird die Gitterenergie (Gitterenthalpie) frei. Bevor Natri-

Bild 9. Lösen von Kochsalz in Wasser.

B 34

B Naturwissenschaftliche Grundlagen

Übersteigt die Hydratationsenthalpie die Gitterenergie, erwärmt sich die Lösung. Andernfalls kühlt die Lösung ab und ein Energieeintrag durch Rühren wirkt förderlich. Tabelle 10. Wärme beim Lösen von Salzen. Lösungsenthalpie >0 =0 1,7 Ionenbindung (NaCl, K2O) Bei der polaren Atombindung ist das Bindungspaar zum elektronegativeren Partner verschoben. Polare Moleküle zeigen ein permanentes Dipolmoment. Moleküle sind flüchtig, niedrig schmelzend und leiten den elektrischen Strom nicht (Isolatoren). In Polymeren und Gläsern liegen Atombindungen mit ionischen Anteilen vor, z. B. Na+ im Quarzglas. Gemischte Atom- und Ionenbindungen gibt es in Komplexverbindungen wie K4[Fe(CN)6]. Strukturformeln nach Lewis verknüpfen die Atome im Molekül durch Bindungsstriche (bindende Elektronenpaare). Freie Elektronenpaare nehmen nicht an der Atombindung teil. Nach der Oktettregel zählen wir einfach von jedem Atom vier Bindungsstriche (einschließlich der freien Elektronenpaare) ab. Die Bindigkeit bezeichnet die Zahl der von einem Atom hergestellten Atombindungen. Tabelle 11. Bindigkeit nach der Oktettregel

Einfachbindung

Doppelbindung

H· + ·H



| Cl · + · Cl |

H2 | Cl – Cl |

3 H  N |



NH3

⋅O⋅+⋅O⋅



⋅O = O

Tatsächlich liegt ein Biradikal Dreifachbindung

O ÷ O vor.

N   N  N N

Wasserstoff und die Halogene (F2, Cl2, Br2, I2) kommen in der Natur molekular vor, weil die -Bindung mit einem Energievorteil verbunden ist. ■ Beispiel:

MO-Schema der p-p--Einfachbindung im Chlormolekül

MO(Cl2)

AO(Cl)

AO(Cl)

* antibindend

3p5

3p5

* 

bindend 

3s2

*

3s2

 C 40

N

O

321 2 freie Elektronenpaare

 Cl

1-bindig 3

Bild 10. Jedes Cl-Atom mit der Elektronenkonfiguration 1s22s22p5 erreicht die Argonschale. Die unteren Elektronenschalen bis zum Edelgas Neon sind nicht eingezeichnet. Bindungsordnung in Cl2: BO = (6 – 4)/2 = 1

B2 Chemie

B35 Tabelle 13. Hybridisierung und Molekülstruktur

Sauerstoff (O2) ist ein Biradikal, weil in den *Orbitalen zwei ungepaarte Elektronen sitzen; die Bindungsordnung ist 2, d. h. es liegt eine Doppelbindung aus einer - und einer -Bindung vor. Stickstoff (N2) hat eine Dreifachbindung aus einer - und zwei -Bindungen; die Bindungsordnung beträgt 3. c) Hybridisierungsmodell Hybridorbitale erklären die räumliche Struktur von Molekülen. Die Liganden (gebundene Atomgruppen) ordnen sich in größtmöglichem Abstand um ein Zentralatom. Die großen freien Elektronenpaare am Zentralatom stoßen sich maximal ab. Die Bindungspaare nehmen die restlichen Positionen ein. Die Vierbindigkeit des Kohlenstoffatoms widerspricht der 2s22p2-Konfiguration des Grundzustandes. Vier gleichwertige Bindungen (Hybridorbitale) entstehen, wenn ein 2s-Elektron in den 2pz-Zustand angehoben wird. Bei C=C-Doppel- und CC-Dreifachbindungen formen die nichtbindenden pz- und py-Elektronen -Wolken ober- und unterhalb der Bindungsebene. Hybridorbitale mit d-Elektronen bilden die Elemente ab der 3. Periode. Jeder Ligand am Zentralatom liefert ein Bindungselektron, das wir in die Orbitale des Zentralatoms und mit einzeichnen. Die Zahl der Hybridorbitale nennt Hybridisierung.

3s [Ne] 

3p 

SF6

[Ne] 

  

sp sp2

linear (180°): CH CH, CO2, HCN, N3– trigonal-planar (120°): „ebenes Dreieck“: SO3, NO3–, CO32–BCl3, COCl2, NO2Cl, TeO3 Gewinkelt: SnCl2

4

sp3

tetraedrisch (109°28')

4

sp2d

CH4, BF4–, NH4+, SO42– NH3, PCl3 (ein freies Elektronenpaar) H2O, SCl2 (zwei freie Elektronenpaare) quadratisch (90°): PtCl42–, Ni(CN4)2–

5

sp3d

trigonal-bipyramidal

6

sp3d2 oktaedrisch (90°):

7

sp3d3

8

sp3d4 quadratisch-antiprismatisch: TaF83–, ZrF83–, Mo(CN)84–, W(CN)84–

4

sd3

PF5, PCl5, SbCl5, Fe(CO)5, ClF3

SF6, PF6–, SiF62–, Te(OH)6, MnCl63–

Beispiel: SF6 hat sp3d2-Hybridorbitale und ist oktaedrisch gebaut.

S

2 3

3d 

pentagonal-bipyramidal IF7, ZrF73–, V(CN)74–, Mo(CN)75–

  

sp3d2

tetraedrisch: CrO42–, MnO42–

Tabelle 12. Hybridisierung und Mehrfachbindungen beim Kohlenstoffatom sp3-Hybridisierung Grundzustand

 



sp3-Orbitale









C–C-Einfachbindung in Alkanen

sp2-Hybridisierung

-Bindung -Wolke

sp-Hybridisierung

-Bindung -Wolken

s p2 sp2-Orbitale    C=C-Doppelbindung in Alkenen

pz s p py  sp-Orbitale    CC-Dreifachbindung in Alkinen

 



 



tetragonal, tetraedrisch (109°28') Beispiele: CH4, CCl4, NH3, H2O



trigonal, planar (120°) Beispiele: CO2, Ketone

diagonal, linear (180°) Beispiele: N2, HCN, Nitrile

pz 

B 36 d) Atomgitter Diamant, Silicium, Germanium, Bornitrid BN und Siliciumcarbid SiC kristallisieren in Atomgittern mit höchster Härte und Schmelztemperatur. Das Diamantgitter besteht aus sp3-hybridisierten Kohlenstoffatomen, die tetraedrisch mit vier Nachbaratomen durch bindende Elektronenpaare eng verbunden sind. Die Dichte beträgt 3,5 g/cm3! Diamant ist der beste bekannte Wärmeleiter, ohne jedoch den elektrischen Strom zu leiten.

B Naturwissenschaftliche Grundlagen Härte und Schmelzpunkte nehmen in den Hauptgruppen von oben nach unten ab – z. B. von „Hartdiamant“ bis „Weichblei“ –, in den Perioden zu. Die stabilsten Metallgitter – mit der höchsten Gitterenergie und Härte – bilden Wolfram, Molybdän und Chrom (6-wertig), gefolgt von Tantal, Niob und Vanadium (5-wertig). Die Alkalimetalle sind weich, ebenso Quecksilber (flüssig), Cadmium und Zink. hexagonal-dichteste Packung (hdP)

kubisch-dichteste Packung (kdP, kfz)

kubisch-raumzentrierte Packung (krz)

weich weich hart Li

Be

Na

Mg

K

Ca

Sc

Ti

V

Cr

Mn

Fe

Rb

Sr

Y

Zr

Nb

Mo

Tc

Ru

Cs

Ba

La

Hf

Ta

W

Re

Os

plastisch verformbar, schmiedbar (spanabhebende Bearbeitung)

gut zerspanbar, gießbar

Co

Ir

B

C

Al

Si Ge

Ni

Cu

Zn

Ga

Pd

Ag

Cd

In

Sn

Pt

Au

Hg

Tl

Pb

sehr h a r t eher s p r ö d e hoher Smp. (spanlose Formgebung)

Bild 11. Struktur von Diamant und Graphit

Bild 12. Kristallstruktur der Elemente

Im Graphit sind die Kohlenstoffatome sp2-hybridisiert und bauen benzolähnliche Sechsringe auf, die eben aneinander geknüpft sind. Die nichtbindenden pz-Elektronen „verschmieren“ zu Elektronenwolken zwischen den Schichtebenen. Zwischen den Grafitschichten wirken schwache van-der-Waals-Anziehungskräfte. In den Schichten leitet Grafit den elektrischen Strom und Wärme nahezu so gut wie ein Metall, zwischen den Schichten sperrt Grafit die Strom- und Wärmeleitung. Deshalb eignet sich Grafit sowohl als Elektrodenmaterial wie auch als wärmeisolierende Ofenauskleidung. Unter Schubeinfluss gleiten die Schichten leicht aufeinander ab, so dass Grafit als Schmiermittel und Belag für Trommelbremsen verwendet wird.

Eisen kommt in mehreren Modifikationen vor (sog. Polymorphie oder Allotropie): in der Kälte im Wolframgitter, bei Rotglut im weichen Goldgitter. Halbleiter sind Stoffe, deren elektrische Leitfähigkeit zwischen denen der metallischen Leiter und der nichtmetallischen Isolatoren liegt. Diamant, Silicium, Germanium und Zinn zeigen eine geringe Eigenleitung durch frei bewegliche, thermisch angeregte Elektronen. Verbindungshalbleiter – wie GaAs, InP, ZnTe, CsSe – zeigen eine Störstellenleitung, die durch gezielte „Verunreinigung“ (Dotierung) mit Fremdatomen herbeigeführt wird. n-Halbleiter sind Elektronenleiter; sie enthalten im Siliciumgitter (4 Valenzelektronen) Elektronendonatoren wie N, P, A, Sb (5 Valenzelektronen). p-Halbleiter sind „Löcherleiter“; sie enthalten im Siliciumgitter Elektronenakzeptoren wie B, Al, Ga, In (3 Valenzelektronen).

4.3 Metallbindung (Metalle und Legierungen) Das Elektronengasmodell erklärt die elektrische und thermische Leitfähigkeit der Metalle, ihre Duktilität (Verformbarkeit) und ihren Glanz. Die Metallatome geben ihre Valenzelektronen ab und bilden positiv geladene Atomrümpfe, die durch das freie Elektronengas zusammengehalten werden. Legierungen sind aus Metallen oder aus Metallen und Nichtmetallen aufgebaut. Sie können stöchiometrisch zusammengesetzt sein oder „Phasen“ bilden. Kristallstruktur der Elemente. Metalle bilden hochsymmetrische, dichte Packungen gleich großer Atome. Ein Metallgitter verhält sich typischerweise zäh, d. h. es dehnt sich vor dem Gewaltbruch; ein Ionengitter ist spröde. Bei der plastischen Verformung gleiten die Kristallebenen aneinander ab.

4.4 Koordinationsverbindungen („Komplexe“) Koordinationsverbindungen bestehen aus einem Zentralatom und Liganden, die mit ihren freien Elektronenpaaren Atombindungen zum Zentralatom knüpfen. Die Benennung von Komplexverbindungen (Nomenklatur) gelingt nach folgendem Schema. 1. Liganden mit griechischen Zahlworten (mono, di, tri, tetra, penta, hexa) alphabetisch aufzählen. Hinter anionischen Liganden steht –o. 2. Komplexanionen tragen die Endung –at am lateinischen Namen des Zentralatoms. Bei Komplexkationen steht nur der deutsche Elementname.

B2 Chemie

B37

3. Die Oxidationsstufe („Wertigkeit“) des Zentralatoms steht als römische Zahl in runden Klammern hintan. Komplexanionen und -kationen bilden mit einfachen oder komplexen Gegenionen Salze. Die Summe der Oxidationszahlen aller Atome in der Verbindung ist Null. ■ Beispiel: Salze mit Komplexanionen K4[Fe(CN)6] Kaliumhexacyanoferrat(II) Na3[AlF6] Natriumhexafluoroaluminat(III) Na2[PtCl6] Natriumhexachloroplatinat(IV) Neutrale Koordinationsverbindungen Ni(CO)4 Tetracarbonylnickel(0) Salze mit Komplexkationen Tetraamminkupfer(II)-ion [Cu(NH3)4]2+ [Cr(H2O)6]Cl3 Hexaaquachrom(III)-trichlorid

ronenpaar in die freien s-, p- oder d-Orbitale des Zentralatoms schiebt. Dadurch erreicht das Zentralatom die stabile Edelgasschale (18-ElektronenRegel). Man beachte: Bei der gewöhnlichen Atombindung liefert jedes Atom nur ein Elektron zum gemeinsamen Bindungselektronenpaar! Ein High Spin-Komplex („Anlagerungskomplex“) ist paramagnetisch, weil ungepaarte Elektronen am Zentralatom vorliegen. Ein Low Spin-Komplex („Durchdringungskomplex“) ist diamagnetisch („unmagnetisch“), weil in den Orbitalen des Zentralatoms nur gepaarte Elektronen auftreten.  Beispiel: Das Hexaaquachrom(III)-Ion [Cr(H2O)6]3+ ist d2sp3-hybridisiert und oktaedrisch gebaut. 3d

Chelate sind ringförmige Komplexe mit mehrzähnigen Liganden, also solchen, die zwei und mehr Bindungsstellen am Zentralatom besetzen, z. B. Oxalat, Carbonat und Ethylendiamin. Das Hybridisierungsmodell (Valence Bond Theory) erklärt Struktur, Stabilität, Farbe und Magnetismus der Koordinationsverbindungen. Es liegen Atombindungen vor, in denen jeder Ligand ein Bindungselekt-







 

Cr3+

4s

4p



 



6 H2O

Cr(III) hat die Elektronenkonfiguration [Ar] 4d3, also drei Elektronen weniger als das ungeladene Chromatom. Jeder Aqualigand schiebt ein Elektronenpaar in die d2sp3Hybridorbitale; Chrom erreicht die Edelgasschale und ist paramagnetisch.

Tabelle 14. Benennung wichtiger Reste Gruppe H F Cl ClO ClO2 ClO3 ClO4 O O2 H2O OH S S2O3 SO4 NH2 NH3 NH4 NO NO2 NO3 P PH3 PO4 CO COOH CH3O CN SCN CO3 HCO3 CH3CO2 CH3CO C2O4

ungeladener Rest in Molekülen Wasserstoff Fluor Chlor Chlordioxid Sauerstoff Disauerstoff Wasser Hydroxyl Schwefel

Kation Xz+ in Salzen Proton Fluor Chlor Chlorosyl Chloryl Perchloryl Disauerstoff O2+

Anion Xz– in Salzen Hydrid Fluorid Chlorid Hypochlorit Chlorit Chlorat Perchlorat Oxid Peroxid O22–

Aminyl

Hydroxid Sulfid Thiosulfat Sulfat Amid

Ammoniak Stickstoffoxid Stickstoffdioxid

Ammonium Nitrosyl Nitryl

Phosphor Phosphin

Nitrit Nitrat Phosphid Phosphat

Kohlenstoffmonoxid

Carbonyl Cyan Thiocyan Acetoxyl Acetyl

Methoxid, Methanolat Cyanid Thiocyanat Carbonat Hydrogencarbonat Acetat Oxalat

Ligand Ma[Xb] in Komplexen Hydrido Fluoro Chloro Hypochlorito Chlorito Chlorato Perchlorato Oxo Peroxo Aqua Hydroxo Thio, Sulfido Thiosulfato Sulfato Amido Ammin Nitrosyl Nitro, Nitrito-N Nitrato Phosphido Phosphin Phosphato Carbonyl Carboxyl Methoxo, Methanolato Cyano Thiocyanato-S Carbonato Hydrogencarbonato Acetato Acetyl Oxalato

Substituent X in organischen Stoffen Fluor Chlor Chlorosyl Chloryl Perchloryl Oxo, Oxy, Oxido Dioxy Oxonio H2O+ Hydroxy Thio Sulfonyldioxy Amino Ammonio H3N+– Nitroso Nitro

–NO2

Phosphintriyl Phosphonio H3P+– Carbonyl Carboxy Methoxy Cyan –CN Thiocyanato –SCN CarbonyldioxyAcetoxy Acetyl

B 38

B Naturwissenschaftliche Grundlagen

4.5 Zwischenmolekulare Kräfte van-der-Waals-Kräfte erklären die schwachen Kohäsionskräfte zwischen unpolaren Molekülen, z. B. von Kohlenwasserstoffketten und den Schichten im Grafit. Auf Grund von Ladungsschwankungen entstehen vorübergehend induzierte Dipole, die sich anziehen. Dipolmoleküle haben eine polare Atombindung. Die elektrisch entgegengesetzt geladenen Atome erzeugen ein permanentes Dipolmoment. Wasserstoffbrückenbindung erklären die außergewöhnlichen Schmelz- und Siedepunkte polarer Stoffe, z. B. Wasser, Methanol und Essigsäure im Gegensatz zu Schwefelwasserstoff, Methan bzw. Ethan. Sie sind verantwortlich für die Raumstruktur von lebenswichtigen Proteinen, Kohlenhydraten und den Nucleinsäuren im genetischen Code.

5 Chemische Reaktionen 5.1 Stöchiometrie Stöchiometrie ist die Lehre von der Zusammensetzung chemischer Verbindungen und den Massenverhältnissen bei chemischen Reaktionen. In chemischen Gleichungen beschreiben Koeffizienten die Anzahl der gleichartigen Reaktionsteilnehmer. 1 Molekül N2 reagiert mit 3 Molekülen H2

zu 2 Molekülen NH3

N2



+

3 H2

 Beispiel Wasser enthält Wasserstoff und Sauerstoff immer im Verhältnis m(H) : m(O) = 2,02 : 16,00 = 1 : 7,94 (Proust) Wasser H2O enthält Wasserstoff und Sauerstoff im Atomzahlverhältnis H : O = 2 : 1. 14 g Stickstoff binden 8, 16, 24, 32 oder 40 g Sauerstoff in N2O, NO, NO2, N2O3, NO2 bzw. N2O5 (Dalton).

Gesetz von der Erhaltung der Masse. Bei chemischen Reaktionen entstehen aus Ausgangsstoffen (Edukte) neue Stoffe (Reaktionsprodukte). Die Gesamtmasse bleibt konstant, d. h. links und rechts des Reaktionspfeils steht dieselbe Masse m (in kg) – nicht aber unbedingt das gleiche Volumen! Chemisches Volumengesetz (Gay-Lussac): Bei chemischen Reaktionen stehen Gasvolumina in ganzzahligen Verhältnissen zueinander. 1 mol eines idealen Gases nimmt bei 0 °C und 101325 Pa das molare Normvolumen Vmn = 22,414 /mol ein.  Beispiel: Massenerhaltung bei der Verbrennung von Erdgas Die Reaktionspartner stehen im Verhältnis der molaren Massen M, die Summe der Atommassen, die im PSE tabelliert sind, z. B. M(CH4) = 12 + 4 · 1 = 16 g/mol. CH4 + 2 O2  CO2 + 2 H2O n 1 mol 2 mol 1 mol 2 mol V 22,4  2·22,4  22,4  2·22,4  2·32 44 2·18 g/mol M 16 m 16 g 2·32 g 44 g 2·18 g 80 g

2 NH3

Summenformeln geben die Zusammensetzung von Stoffen als Atomzahlenverhältnis der Elemente an. Die tief gestellten Atommultiplikatoren (Indices) bezeichnen die Anzahl gleichartiger Atome oder Atomgruppen. Statt NHHH schreibt man NH3. Gesetz der konstanten Proportionen (Proust). Die Zusammensetzung chemischer Verbindungen ist konstant. Die Elemente verbinden sich in festen Massenverhältnissen. Gesetz der multiplen Proportionen (Dalton). In chemischen Verbindungen stehen die molaren Massen der Elemente im Verhältnis kleiner ganzer Zahlen. Gesetz der Äquivalentmassen. Zwei Elemente verbinden sich im Verhältnis ihrer Äquivalentmassen oder ganzzahliger Vielfacher davon. Die stöchiometrische Wertigkeit besagt, mit wievielen einwertigen Atomen (z. B. Wasserstoff) sich ein Atom eines Elementes verbindet. Stoffe gleicher Wertigkeit reagieren miteinander in gleichen Stoffmengen, d. h. im Verhältnis ihrer molaren Massen M (in g/mol).

80 g

Die Stoffmenge n = 1 mol eines beliebigen Stoffes oder 22,4 Liter eines idealen Gases enthalten NA = 6,022·1023 Teilchen; das sind ebenso viele Atome wie in 12 g des Kohlenstoffisotops 12C. n=

N m = NA M

Die molare Masse („Molmasse“) ist als stoffmengenbezogene Masse M = m/n (in g/mol) definiert, das molare Volumen als stoffmengenbezogenes Volumen Vm = V/n (in m3/mol). Das ideale Gasgesetz erlaubt die Umrechnung von Gasvolumina bei unterschiedlichen Drücken und Temperaturen. pV p V pV= 0 0 T = n RT = 0 mn T T0 T0 Die Normbedingungen sind T0 = 0°C = 273,15 K und p0 = 101325 Pa = 1,01325 bar. R = 8,3144 J mol–1K–1 ist die molare Gaskonstante. Stöchiometrische Berechnungen basieren auf dem Produkt aus Stoffmenge mal molarer Masse – wobei man vereinfacht davon ausgeht, dass die chemische Reaktion vollständig verläuft. unbekannte Komponente bekannte Komponente

mA nA M A = ⋅ mB nB M B

B2 Chemie

Beispiel: Wieviel Aluminiumpulver und Magnetit Fe3O4 braucht man, um 250 kg Eisen herzustellen?  9 Fe + 4 Al2O3 3 Fe3O4 + 8 Al 8 mol Al = ˆ 9 mol Fe 8 · 26,98 g Al = ˆ 9 · 55,85 g Fe 8 · 26,98 kg Al = ˆ 9 · 55,85 kg Fe 8 · 26,98 kg 250 kg⋅ =107,4 kg Al sind notwendig. 9 · 55,85 kg

1. nM=

2. nM=

3 · 231,55 kg Fe3O4 = ˆ 9 · 55,85 kg Fe 3 · 231,55 kg 250 kg⋅ = 345,5 kg Fe3O 4 9 · 55,85 kg

B39

Beispiel: Verbrennungsenthalpie von Acetylen 2 C2H2(g) + 5 O2(g) 4 CO2(g) + 2 H2O(fl) HR = [4 HB(CO2) + 2 HB(H2O)] – [2 HB(C2H2) + 5 HB(O2)] = [4·(–393) + 2·(–285)] – [2·(+227) + 5 · 0] kJ/mol = –2596 kJ (Reaktionsenthalpie für 2 mol Acetylen) H R = –1298 kJ/mol HV(C2H2) = 2 Brennwert: Ho = +1298 kJ/mol

5.3 Chemisches Gleichgewicht

5.2 Thermochemie Bei einer exothermen Reaktion (H < 0) wird Wärme frei; die Reaktionsprodukte sind energieärmer als die Ausgangsstoffe. Bei einer endothermen Reaktion (H > 0) wird Wärme zugeführt; die Reaktionsprodukte sind energiereicher als die Edukte. Chemische Energie kann in Wärme, Lichtenergie oder elektrische Energie gewandelt werden. Die Gibbs’sche Freie Enthalpie erfasst die Gesamtheit der Energieäußerungen und berücksichtigt die Entropieänderung (Unordnung) des Systems.

Chemische Reaktionen laufen selten freiwillig ab, selbst wenn sie exotherm sind. Unter Aktivierungsenergie versteht man die Energie zur Überwindung einer Reaktionshemmung.

GR = HR – T · SR T thermodynamische Temperatur (K), H Enthalpie, S Entropie

Die Änderung der Reaktionswärme bei konstantem Druck nennt man Reaktionsenthalpie HR. Sie wird als Differenz der in Tabellenwerken gesammelten Bildungsenthalpien berechnet. ∆ H R = ∑ ∆ H B(Produkte) − ∑ ∆ H B(Edukte)

Die Bildungsenthalpie HB ist die Reaktionswärme, die bei der Bildung einer Verbindung oder eines Ions aus den Elementen freigesetzt wird und zur Zersetzung des Stoffes wieder aufzuwenden ist (1. Thermochemisches Gesetz nach LAVOISIER). HB ist für Elemente definitionsgemäß Null. Hess-Satz (2. thermochemisches Gesetz, Gesetz der konstanten Wärmesummen): Man darf die Reaktionsenthalpien von Teilreaktionen aufsummieren; der Reaktionsweg spielt keine Rolle. Verbrennungsenthalpie HV oder Brennwert Ho heißt die Reaktionsenthalpie bei vollständiger Umsetzung eines Stoffes mit Sauerstoff (bei konstantem Atmosphärendruck, alle Stoffe bei 25 °C). Der Heizwert Hu umfasst die nutzbare Verbrennungswärme eines Brennstoffes bei der Verbrennung zu gasförmigen Endprodukten und Wasserdampf. Die Verdampfungswärme des Wassers wird korrigiert. Hu = HV – 44,016 kJ/mol (2442 kJ/kg)

Bild 13. Exotherme Reaktion Chemische Reaktionen sind meist Gleichgewichtsreaktionen. Die Ausgangsstoffe werden unvollständig umgesetzt und die Produkte sind mit den Ausgangsstoffen verunreinigt! Wird pro Zeiteinheit genauso viel Produkt gebildet, wie durch Rückreaktion wieder zerfällt, ist das Gleichgewicht erreicht. Die Reaktionsgeschwindigkeit beschreibt die pro Zeiteinheit umgesetzte Stoffmenge. Für eine Reaktion 1. Ordnung (d. h. A Produkte): d cA = k ⋅cA dt Arrhenius-Gleichung: Die Geschwindigkeitskonstante k hängt von der Aktivierungsenergie EA ab. r =−

k = A⋅e−EA / RT

Nach der Halbwertszeit  = ln 2/k ist die Hälfte der Ausgangskonzentration cA,0 umgesetzt. van’t-Hoff-Regel: Eine Temperaturerhöhung um 10 K verdoppelt bis verdreifacht die Reaktionsgeschwindigkeit. Massenwirkungsgesetz (MWG). Das Verhältnis der Gleichgewichtskonzentrationen c – nicht der Ausgangskonzentrationen! – aller Produkte und Edukte ist konstant. Die Gleichgewichtskonstante Kc ist das Verhältnis der Geschwindigkeitskonstanten von Hinund Rückreaktion (k1 und k–1).

B 40

B Naturwissenschaftliche Grundlagen Gleichzeitig werden Kohlenwasserstoffe oxidiert und Stickstoffoxide reduziert.

cC+dD Produkte

Reaktionsgleichung:

aA+bB Edukte

Im Gleichgewicht:

r1 = r–1  k1 cAa cBb = k−1 cCc cDd

Gleichgewichtsc c ⋅c d k K c = 1 = Ca Db konstante k−1 cA ⋅cB (MWG)

Produkte Edukte

Für Gase werden statt Konzentrationen auf den Normdruck bezogene Partialdrücke pi/p0 eingesetzt. Für K > 1 liegt das Gleichgewicht liegt rechts (produktseitig), für K < 1 liegt das Gleichgewicht links (eduktseitig). Prinzip des kleinsten Zwangs (Le Chatelier) Das chemische Gleichgewicht weicht einem äußeren Zwang aus, so dass eine Wärme- oder Stoffzufuhr verbraucht wird oder der Gasdruck abnimmt. a) Temperaturerhöhung begünstigt die endotherme Reaktion, Temperatursenkung die exotherme. b) Eine Druckerhöhung (Kompression) verschiebt das Gleichgewicht auf die Seite mit dem kleineren Volumen, z. B. N2 + 3 H2 2 NH3 nach rechts. Druckerniedrigung (Expansion) begünstigt die Seite mit dem größeren Volumen. Kein Einfluss besteht bei einer Gasreaktion ohne Molzahländerung. c) Konzentrationserhöhung oder Entfernen des Produkts begünstigen die stoffverbrauchende Reaktion.

(1) CO + (2) NO

1 O 2 2

CO2

+ CO

(3) CnHm + (n +

m 4

1 N 2 2

+ CO2

) O2 n CO2 +

m 2

H2O

Entscheidend ist die richtige Menge CO, die sich nur bei stöchiometrisch zugemischtem Sauerstoffangebot einstellt. Das Kraftstoff-Luft-Verhältnis   1 wird durch die „Lambda-Sonde“ (ein Sauerstoffsensor aus Zirconiumdioxid-Keramik) gemessen und geregelt. >1

zugeführte Luftmenge

λ = stöchiometrische Luftmenge

=1 7 basisch (alkalisch) c molare Konzentration (mol/)

Der Dissoziationsgrad (Protolysegrad in %) beschreibt das Ausmaß des Zerfalls von Säuren und Basen in Lösungsmitteln in Ionen (sog. Dissoziation). Er hängt von der Dissoziationskonstante K und der Konzentration c ab. 

Zahl dissoziierter Teilchen N  Gesamtzahl der Teilchen N ges

K c

Starke Säuren und Basen sind praktisch 100%ig dissoziiert, z. B. HCl, H2SO4, HNO3, NaOH.

B2 Chemie

B43  Beispiel:

Die Dissoziationskonstante K und der pK-Wert beschreiben die Stärke von Säuren (Index a = acid) bzw. Basen (Index b). Je kleiner der pK-Wert ist. umso stärker ist eine Säure bzw. Base. Säure- und Basenkonstante multiplizieren sich zum Ionenprodukt des Wassers KW.

Je stärker eine Säure ist, umso schwächer ist ihre korrespondierende Base (und umgekehrt).

NH4 + H2O korrespondierende Säure pKa = 9,24

NH3 + OH– Base pKb = 14 – 9,24 = 4,75

Tabelle 17. pH-Rechnung in verdünnten Lösungen (a = Säure, b = Base, s = Salz) Säure

Base

Wasser

Dissoziationsgleichgewicht

HA + H2O

Dissoziationskonstante

Ka 

Titrationskurve

pH  pK a  log

pK-Wert

pK a   log K a

pK b   log K b

pK W  pK a  pK b = 14

Starke Säure bzw. Base

pH = –log ca

pOH = –log cb

pH + pOH = 14

H3O+ + A–

c (H 3 O  )c( A  ) c(HA ) c( A  ) c (HA )

pK a  log ca Schwache Säure pH  bzw. Base 2

B + H 2O

Kb =

pH  14 

Die chemische Reaktion von Säuren und Basen zu Salzen heißt Neutralisation. Die Zerlegung von Salzen beim Lösungsvorgang durch Wasser heißt Hydrolyse. Neutralisation Salz + Wasser Säure + Base Hydrolyse Bei der Säure-Base-Titration wird die Konzentration von Säuren oder Basen durch stöchiometrisches Zudosieren des Titrationsmittels mit einer Bürette quantitativ bestimmt. 14 13 12 11 10 Umschlagbereich 9 Phenolphthalein 8 pH 7 Äquivalenzpunkt 6 schwache Säure 5 4 3 2 1 starke Säure 0 0 50 100 150 200 % Zugesetzte Base Halbtitrationspunkt

c(BH+ ) ⋅ c(OH− ) c(B)

pOH = pK b+ log

6.9 Neutralisation und Hydrolyse

Bild 15. Titrationskurve

BH+ + OH–

c(BH+ ) c(B)

2 H2O

H3O+ + OH–

K W  K a  K b  10 14

pH + pOH = 14

pK b  log cb 2

Am Halbtitrationspunkt ist die Hälfte der vorgelegten Säure bzw. Base neutralisiert, also c(HA) = c(A–) und es gilt pH = pKa. Am Äquivalenzpunkt ist die vorgelegte Säure oder Base 100%ig in das Salz des Titrationsmittels umgewandelt. Der Äquivalenzpunkt liegt nicht bei pH 7, wenn durch Hydrolyse eine schwache Säure bzw. Base zurückgebildet wird. Tabelle 18. pH bei der Säure-Base-Titration

Säure stark stark schwach

Base stark schwach stark

am Äquivalenzpunkt neutral, z. B. NaCl sauer, z. B. NH4Cl basisch, z. B. Na-acetat

Indikatoren zeigen durch Farbumschlag den Endpunkt einer Titration an. Mit einer Glaselektrode kann man den pH aber auch direkt messen. pH-Puffer dämpfen pH-Änderungen bei Säure- oder Laugenzusatz in wässriger Lösung. Sie sind Mischungen aus einer schwachen Säuren oder Base und einem Salz davon, z. B. Essigsäure/Natriumacetat oder Ammoniak/Ammoniumchlorid. Die pH-Rechnung erfolgt mit der Formel für die Titrationskurve (Tabelle 17). Titrationsformel. Gleiche Volumina äquivalenter Säuren und Basen neutralisieren einander. 2 mol der „einwertigen“ Natronlauge sind 1 mol der „zweiwertigen“ Schwefelsäure sind äquivalent.

B 44

B Naturwissenschaftliche Grundlagen

c molare Konzentration (mol/), 1 = Säure, 2 = Base V Volumen () z Äquivalentzahl = Zahl der H-Atome (Säure) bzw. OH-Gruppen (Lauge)

6.10 Konzentrationsmaße Eine 1-molare Lösung wird durch Auflösen von 1 mol eines Stoffes in exakt 1  Lösung (bei 20 °C) hergestellt. Man füllt im Messkolben die Einwaage m bis zum Eichstrich mit Wasser auf. c=

n m β ρ⋅ w ρ⋅ x ρ⋅b = = = = N i = 1+ M ⋅b V M ⋅V M M ∑ xi M i i=1

Molare Konzentration c (in mol/ ); Stoffmenge des gelös(Molarität) ten Stoffes in einem Liter Lösung Molalität b (in mol/kg); Masse gelöster Stoff pro Kilogramm Lösungsmittel Massenkonzentration  (in g/ ); Masse des gelösten Stoffes in einem Liter Lösung Massenanteil w (in %): Masse des gelösten Stoffes in 100 g Lösung. x (ohne Einheit); Stoffmenge eines Molenbruch Stoffes bezogen auf die Stoffmenge aller Stoffe im Gemisch. Molare Masse M (in g/mol): aufsummierte Atommassen der Elemente in der Formel Dichte

(g/cm3 = 1000 g/ ) Die Verdünnungsformel gibt die Konzentration c1 nach Zugabe des Wasservolumens V1 zu einer Lösung der Konzentration c0 (Ausgangsvolumen V0) an. c1 = c0 ⋅

a Ab+ + b B

AaBb(s)

V1⋅ z1⋅c1 = V2 ⋅ z2 ⋅c2

V0 V0 +V1

Für das Aufkonzentrieren von Lösungen durch Verdampfen von Wasser setzt man im Nenner –V1 ein. Starke Säuren und Basen kann man durch Verdünnen mit Wasser nur begrenzt „entschärfen“. Um den pH um eine Stufe in den Neutralbereich zu verschieben, muss mit der zehnfachen Menge Wasser verdünnt werden.

7 Fällungen und Wasserhärte 7.1 Löslichkeitsprodukt Das Löslichkeitsprodukt beschreibt die Schwerlöslichkeit eines Salzes. Über dem unlöslichen Bodensatz einer gesättigten Lösung findet man immer eine kleine Konzentration an hydratisierten Salzionen. Niederschlag und Lösung stehen im ionischen Gleichgewicht. Selbst im Rost löst sich jedes siebenmilliardste Eisenion.

K L  c( A b  ) a  c(B a  )b

a–

und pKL = –log KL

Beim Herstellen einer Lösung löst sich der Stoff auf, bis das Löslichkeitsprodukt erreicht wird. Bei Fällungsreaktionen fällt solange ein Niederschlag aus der Lösung aus, bis das Löslichkeitsprodukt unterschritten wird. c( A b  ) a  c(B a  ) b  K L c( A b  ) a  c(B a  ) b  K L

gesättigte Lösung Niederschlag fällt aus

Leicht löslich sind Alkali- und Erdalkaliverbindungen, Nitrate, Chlorate und Acetate. Schwer löslich sind die meisten Oxide, Carbonate, Phosphate und Sulfide. Die Löslichkeit ist die molare Konzentration cL (in mol/) bzw. Massenkonzentration L (in g/) des gelösten Stoffes mit der molaren Masse M: cL  a b

KL a abb

bzw.

 L  cL  M

Schwerlösliche Salze lösen sich in Lösungen, die Fremdionen enthalten, besser als in Wasser. Gleichionische Zusätze senken die Löslichkeit. Hydroxidfällung. Viele Metallionen bilden mit Laugen Hydroxide.  Beispiel: Welchen pH braucht man mindestens zur quantitativen Fällung von Magnesiumionen mit Natronlauge, bis eine Restkonzentration von 10 μmol/ erreicht ist? Mg2+ + 2 OH– Mg(OH)2

K L = c(Mg 2+ )⋅c(OH−) 2 = 10–10,9 (Tabellenwert) KL 10−10,9 = = 0,00112 mol/ c (Mg2+ ) 10−5 –  pH = 14 – log c(OH ) = 11  c(OH−)=

Sulfidfällung. Viele Metallionen bilden mit Schwefelwasserstoff schwerlösliche Sulfide. H2S ist in wässriger Lösung eine schwache zweibasige Säure (pKa 19,8). Die gesättigte Lösung enthält etwa c(H2S) = 0,1 mol/. Die Sulfidkonzentration hängt vom pH ab. Ka 

K a c(H 2S) c(S 2 ) c(H 3 O  ) 2  c( H 3 O  )  c(H 2 S) c(S 2 )

 Beispiel: Welche Sulfidkonzentration erfordert die Fällung von Bleisulfid bis zu einer Bleirestkonzentration von 10–5 mol/? Pb2+ + S2– PbS

KL = c(Pb2+) c(S2–) = 10-28  c(S2–) = 10–28/10–5 = 10–23 mol/ Bei welchem pH liegt diese Sulfidkonzentration in 0,1-molarer Lösung von Schwefelwasserstoff vor? pH = (19,8 – log 0,1 + log 10–23) / 2 = 1,1 Für eine quantitative Fällung von PbS muss der pH unter 1,1 liegen.

B2 Chemie

B45

7.2 Wasserhärte Regenwasser nimmt aus der Luft CO2 auf und löst dann Kalkgestein an. In Form des löslichen Calciumhydrogencarbonats gelangt Kalk ins Trinkwasser. CaCO3 + CO2 + H2O H2CO3

Ca(HCO3)2

Beim Abkochen des Wassers scheidet sich Calciumcarbonat als Kesselstein ab. Der Wärmeübergang wird empfindlich herabgesetzt. Die Carbonathärte („temporäre Härte“) umfasst die im Wasser gelösten Erdalkaliionen (im Millimol pro Liter). Erdalkaliionen hemmen die Schaumbildung von Seifen. Die Nichtcarbonathärte („permanente Härte“) umfasst die gelösten Salze, die sich durch Abkochen nicht beseitigen lassen. Tabelle 19. Wasserhärte nach DIN 38409

Härtegrad 1 3,8 sehr hart 1°dH = 0,1785 mmol/ Erdalkaliionen Die Gesamthärte wird durch Titration der Erdalkaliionen in der Wasserprobe mit dem Komplexbildner EDTA (Ethylendiamintetraessigsäure Dinatriumsalz, „Titriplex“) bestimmt. Ca2+ + Na2EDTA2– [Ca2+(Na2EDTA)]

7.3 Wasserreinigung Für die Dampferzeugung in Kesselanlagen wird vollentsalztes Wasser verwendet. Ionenaustauscher sind organische Harze, die Ionen gegen H+ bzw. OH– austauschen. Verbrauchte Austauschersäulen werden mit verdünnter Schwefelsäure bzw. Natronlauge regeneriert.

a) Kationenaustauscher bestehen aus einem Polymergerüst und sauren Gruppen (z. B. von Sulfonsäuren –SO3H oder Carbonsäuren –COOH). 2 R-SO3H + Ca2+  (R-SO3)2Ca + 2 H+ b) Anionenaustauscher tragen basische Gruppen am Polymergerüst, z. B. –N(CH3)3+. Sie sind dem Kationentauscher nachgeschaltet und neutralisieren den pH wieder. R-N(CH3)3OH + Cl–  R-N(CH3)3Cl + OH– Membranverfahren nutzen halbdurchlässige Membranen zur Stofftrennung. a) Bei der Umkehrosmose wird Wasser bei Drücken bis zu 80 bar durch eine Polymermembran gepresst. Die Lösungsbestandteile bleiben zurück.

b) Bei der Dialyse diffundieren kleine Teilchen aus einer Kolloidlösung durch die semipermeable Membran ins umgebende Lösungsmittel, das laufend erneuert wird. Große Teilchen werden zurückgehalten. Wasserenthärtung. Calciumionen kann man mit Kalkmilch, Soda oder Trinatriumphosphat fällen. Ca(HCO3)2 + Ca(OH)2  2 CaCO3 + 2 H2O CaSO4 + Na2CO3  CaCO3 + Na2SO4 3 CaSO4 + 2 Na3PO4  Ca3(PO4)2 + 3 Na2SO4

7.4 Kennwerte der Wasserqualität Die Verschmutzung von Wasser mit oxidierbaren Stoffen wird in der Praxis durch Summenparameter charakterisiert. Der Chemische Sauerstoffbedarf (CSB) gibt die Sauerstoffmenge zur vollständigen Oxidation der organischen Wasserinhaltsstoffe mit Kaliumdichromat in einem Liter einer Wasserprobe an.

Organische Stoffe  Cr2 O 27

2 Cr3+, CO2, H2O

Der Biochemische Sauerstoffbedarf (BSB5) gibt die notwendige Menge Gelöstsauerstoff (in mg/) an, den Mikroben zum Abbau der organischer Stoffe in Abwasserproben innerhalb von 5 Tagen bei 20 °C im Dunkeln benötigen. Bakterien

Organische Stoffe  O 2  CO2 + H2O Die Summe organischer Kohlenstoffverbindungen (TOC) wird durch Messung der entstandenen CO2Menge beim Verbrennen der Probe bestimmt und auf C zurückgerechnet. Leichtflüchtige organische Verbindungen (VOC) werden mit Lösungsmitteln extrahiert und mit der GC/MS-Methode (Kopplung von Gaschromatographie und Massenspektrometer) analysiert. Abdampfrückstand nennt man die Feststoffmasse nach dem Trocknen (105 °C, 24 h). Glührückstand heißt der auf Rotglut (650 °C) erhitzte Abdampfrückstand. Organische Stoffe veraschen, Carbonate und Nitrate zersetzen sich.

7.5 Trinkwasseraufbereitung a) Entkeimung: Einblasen von Chlorgas oder Ozon O3 (Ozonierung). b) Flockung: Eisen- und Aluminiumsulfat bilden in Wasser kolloide Hydroxide, die organische Stoffe und Ölspuren binden. c) Enteisenung und Entmanganung: Verdüsen von Wasser unter Luftzufuhr und durch Zugabe von Kalkmilch beseitigt braune Färbungen durch FeO(OH) und MnO(OH). d) Entsäuerung: Filtration über Marmorkalk oder ein MgO/CaCO3. e) Desodorierung: Filtration über Aktivkohle.

B 46

B Naturwissenschaftliche Grundlagen

8.2 Elektrochemische Zellen

8 Elektrochemie 8.1 Oxidation und Reduktion Lavoisier erkannte die Oxidation als Vereinigung mit Sauerstoff und die Reduktion als Entzug von Sauerstoff. In der elektrochemischen Spannungsreihe sind die Metalle nach ihrer Oxidierbarkeit geordnet.

K Ca Na Mg Al Mn Zn Cr Fe Ni Sn Pb H Cu Ag Pt Au unedel edel Heute verstehen wir Redoxreaktionen als Elektronenverschiebungen zwischen einer oxidierten (Ox) und reduzierten Form (Red) eines Elementes. Oxidation bedeutet Elektronenabgabe. Reduktion bedeutet Elektronenaufnahme.

Ox + z e– „edel“  Beispiele: Fe2+ Cl2 + 2 e–

Zwei Elektroden (Elektronenleiter: Metalle, Grafit, Metalloxide, Halbleiter), die in einen Elektrolyten (Ionenleiter: verdünnte Säuren und Laugen, Salzschmelzen, ionenleitende Membranen) tauchen, bilden eine elektrochemische Zelle; z. B. eine Batterie oder ein Korrosionselement. Legt man eine elektrische Spannung zwischen den Elektroden an, wandern die positiv geladenen Ionen (Kationen) im Elektrolyten zur Kathode (Minuspol), die negativ geladenen Ionen (Anionen) zur Anode. Ab einer gewissen Spannung setzt die Zersetzung des Elektrolyten (Elektrolyse) ein. An der Anode läuft die Oxidation (= elektronenliefernder Vorgang) ab. Anionen werden entladen. An der Kathode läuft Reduktion (= elektronenverbrauchender Vorgang) ab. Kationen werden entladen.

Reduktion Oxidation

Red „unedel“

Fe3+ + e– (Oxidation: +II +III) 2 Cl– (Reduktion: 0 –I)

Das Oxidationsmittel (Ox) nimmt Elektronen auf, wird reduziert. Das Reduktionsmittel (Red) gibt Elektronen ab, wird oxidiert. Ein starkes Oxidationsmittel hat ein schwaches korrespondierendes Reduktionsmittel und umgekehrt. Die Oxidationszahl eines Atoms gibt seine Elektronenüberschuss (negativ) bzw. Elektronenmangel (positiv) in Verbindungen an – und entspricht meist der Gruppennummer des Periodensystems. a) bei Salzen: die Ionenwertigkeiten b) bei Molekülen tut man so, als lägen Ionen vor, also im Wasser 2 H+ und O2–. c) bei Elementen (Metalle, H2, O2, Cl2): null d) Fluor stets –I; Sauerstoff in Oxiden –II, in Peroxiden –I; Wasserstoff stets +I, in Hydriden –I.

8.3 Normalpotential Die Elektrode lädt sich gegenüber der Lösung positiv oder negativ auf, je nachdem ob sie edel oder unedel ist. Oberflächennahe Atome des Elektrodenmaterials geben Elektronen ins Leiterinnere ab und bilden Kationen. Das Elektrodeninnere (E) und das Elektrolytinnere (L) erreichen dadurch unterschiedliche elektrische Potentiale, deren Differenz man Elektrodenpotential ϕ = ϕE – ϕL nennt. Die negativ geladene Elektrode zieht Gegenionen aus dem Elektrolyten an; die elektrolytische Doppelschicht bildet sich aus.

E



L

Oxidationszahlen werden in römischen Ziffern hinter oder über die Elementsymbole geschrieben. Die Summe Oxidationszahlen ergibt Null (in Salzen und Molekülen) bzw. die Ladung von Ionen. Redoxgleichungen beschreiben die Stöchiometrie von Redoxreaktionen. 1. Ausgleich der Differenz der Oxidationszahlen mit Elektronen 2. Ausgleich der Differenz der Ladungen mit a) H+ (oder H3O+) im sauren Milieu, b) OH– im basischen Milieu, c) O2– in Schmelze 3. Ausgleich der H+ bzw. OH– mit Wasser (H2O)

Bild 16. Elektrolytische Doppelschicht Das Normalpotential E0 ist ein Maß für die Oxidierbarkeit (Reduktionskraft) eines Redoxsystems. Reduzierte Stoffe Oxidierte Stoffe + Elektronen Unedle Metalle haben ein negatives Normalpotential, edle Metalle ein positives.

B2 Chemie

B47

Man misst E0 als reversible Zellspannung zwischen einer Halbzelle (Elektrode in einem Elektrolyten) und einer Bezugselektrode. E0 = ϕ(Halbzelle) – ϕNHE

H2 –0,409 V 2e– Fe Pt Fe2+

 Beispiel: An einem Eisennagel, der in eine Kupfersulfatlösung taucht, scheidet sich metallisches Kupfer ab. Ein Kupferstab in Eisensulfatlösung bleibt unverändert; in Silbernitratlösung aber wird er versilbert und Cu(II)-Ionen gehen in Lösung.

a(HCI) = 1 NHE H2 Fe2+ + 2 e–

Halbzelle

2 H+ + 2 e– (0 V) Fe

8.4 Galvanische Elemente und Korrosion

Bild 17. Messung des Normalpotentials von Eisen

starke Oxidationsmittel

starke Reduktionsmittel 

Tabelle 20. Spannungsreihe und Normalpotentiale –2,92 –2,866 –2,71 –2,37 –1.662 –1,180 –0,828 –0,7628 –0,74 –0,409 –0,28 –0,23 –0,1364 –0,1263 0 +0,154 +0,158 +0,3402 +0,401 +0,62 +0,771 +0,7991 +0,959 +1,2 +1,229 +1,33 +1,40 +1,51 +1,63 +1,679 +1,776 +2,075 +3,053

K+ Ca2+ Na+ Mg2+ Al3+ Mn2+ 2 H2O (pH 14) Zn2+ Cr3+ Fe2+ Co2+ Ni2+ Sn2+ Pb2+ 2 H+ Sn4+ SO42– + 4 H+ Cu2+ O2 + 2 H2O I2(aq) Fe3+ Ag+ NO3– + 4 H+ Pt2+ O2 + 4 H+ Cr2O72– +14H+ Cl2(aq) MnO4– + 8 H+ 2 HOCl + 2 H+ MnO4– + 4 H+ H2O2 + 2 H+ O3 + 2 H+ F2+2H+

+ e– + 2e– + e– + 2e– + 3e– + 2e– + 2e– + 2e– + 3e– + 2e– + 2e– + 2e– + 2e– + 2e– + 2e– + 2e– + 2e– + 2e– + 4e– + 2e– + e– + e– + 3e– + 2e– + 4e– + 6e– + 2e– + 5e– + 2 e– + 3e– + 2e– + 2e– + 2e–

Die Normalwasserstoffelektrode (NHE) besteht aus einem mit Wasserstoffgas umspülten, platinierten Platinblech in Salzsäure (1 mol/, 25 °C, 101325 Pa Luftdruck). Dem Elektrodenvorgang H2 2 H+ + 2 e– wird das Potential Null für alle Temperaturen zugeordnet. Die NHE wird über eine poröse Scheidewand (Diaphragma) mit dem Halbelement ionisch leitend verbunden. Die Anordnung der Metalle nach steigendem Normalpotential, also ihrer Fähigkeit, Kationen zu bilden und edlere Metalle zu reduzieren, heißt elektrochemische Spannungsreihe. Jedes Metall verdrängt die in der Spannungsreihe edleren Metalle durch Reduktion aus ihren Salzlösungen.

K Ca Na Mg Al Mn H2 + 2 OH– Zn Cr Fe Co Ni Sn Pb H2 Sn2+ SO2 Cu 4 OH– (pH 14) 2 I– Fe2+ Ag NO + 2 H2O Pt 2 H2O 2 Cr3+ +7 H2O 2 Cl– Mn2+ + 4 H2O Cl2(g) +2 H2O MnO2+ 2 H2O 2 H2O O2 + H2O 2 HF

Zwei beliebige Metallbleche (Halbzellen), die in eine Salzlösung tauchen, bilden eine galvanische Zelle. Das unedle Metall löst sich im Elektrolyten auf und bildet die Anode (Oxidation, Elektronenabgabe, Minuspol). Das edle Metall nimmt Elektronen auf und bildet die Kathode (Reduktion, Pluspol). Zwischen den Elektroden liegt die reversible Zellspannung an, früher „elektromotorische Kraft“ (EMK) genannt. Es ist die größtmögliche Spannung, die eine galvanische Zelle im unbelasteten Zustand liefert. E0 = E0(Kathode) – E0(Anode) E0 > 0



Zellreaktion läuft spontan ab.

Ein Korrosionselement (Lokalelement) ist eine kurzgeschlossene galvanische Zelle.  Beispiele: 1. Beim Rosten von Eisen (Sauerstoffkorrosion) bildet Luftsauerstoff eine Gaselektrode. Ein Elektrolyttropfen teilt die Stahloberfläche in eine Eisenelektrode unter dem Tropfen und eine Luftelektrode am Tropfenrand. E0 = –0,41 V Anode Fe Fe2+ + 2e– Kathode O2 + 4e– + 2 H2O 4 OH– E0 = +0,40 V 2 Fe + O2 + 2 H2O 2 Fe2+ + 4 OH– Das Eisen-Luft-Element liefert E0 = 0,40 – (-0,41) = 0,81 V Spannung. Fe2+ wird zu Fe3+ oxidiert und bildet mit OH– rostbraunes Fe2O3·xH2O. 2. Stahlblech kann man durch eine edlere Zinnschicht schützen, die das unedlere Eisen abdeckt. 3. Beim kathodischen Korrosionsschutz werden Bauteile mit „Opferanoden“ aus Magnesium oder Zink leitend verbunden, die sich auflösen und Elektronen an den Eisenwerkstoff abgeben. Man kann auch den Minuspol einer Batterie aufschalten.

Das Pourbaix-Diagramm veranschaulicht, welche Stoffe bei der Korrosion je nach Elektrodenpotential und pH-Wert vorliegen. Viele Metalle passivieren

B 48

B Naturwissenschaftliche Grundlagen

durch Ausbildung oxidischer Deckschichten, die vor weiterer Korrosion schützen. Wirklich „rostfreie“ Stähle gibt es nicht.

tentiale oder die reversible Zellspannung galvanischer Zellen. Oxidierte Stoffe + Elektronen Reduzierte Stoffe E = E0 −

RT c(Red) ln zF c(Ox)

Produkte Edukte

Für Standardbedingungen (25 °C) gilt der Faktor 0,059 V = 59 mV („Nernst-Spannung“): E  E0 

0,059159 c(Red) log z c(Ox)

Die maximale Nutzarbeit der Zellreaktion G = –z F E. ist bei einer spontanen Reaktion negativ, somit E positiv.  Beispiel: Warum führt man Oxidationen mit Permanganat in schwefelsaurer Lösung durch?

MnO 4 + 5 e– +8 H+

E  1,51 V 

Bild 18: Pourbaix-Diagramm von Nickel (25 °C). a) In Säuren verwendbar sind: Grafit, Platin, Gold, Iridium, Osmium, Ruthenium, Wolfram, Tantal, Niob und Titan. b) In Alkalien verwendbar sind: Grafit, Platin, Palladium, Rhodium, Titan, Hafnium, Nickel, Bleidioxid. Nernst-Gleichung Die Nernst-Gleichung beschreibt die Abhängigkeit des Normalpotentials E0 von Temperatur und Konzentration der Reaktionspartner. Sie gilt für Redoxgleichgewichte, Elektroden, Halbzellen und galvanische Elemente. E bezeichnet Redoxpotentiale, Elektrodenpo-

Mn 2  + 4 H2O

c(Mn 2 ) 0,059 log 5 c (MnO-4 )c(H  )8

Wenn man Säure zusetzt, also c(H+) erhöht, sinkt die Gleichgewichtskonstante 1/c(H+)8. Der Logarithmus einer winzigen Zahl ist negativ groß. Das bedeutet, die Zellspannung steigt. Man arbeitet also vorteilhaft in saurer Lösung.

8.5 Batterien und Akkumulatoren Primärelemente („Batterien“) wandeln chemische Energie unumkehrbar in elektrische Energie und Wärme um; sie sind nicht wiederaufladbar. Sekundärelemente oder Akkumulatoren („Sammler“) speichern elektrische Energie in Form von chemischer Energie; sie sind wiederaufladbar. Beim Entladen laufen die Elektrodenvorgänge rückwärts.

Tabelle 21. Batterien und Akkumulatoren Anode (Minuspol) und Kathode (Pluspol)

Elektrolyt

Leclanché-Element: Zink-Braunstein-Batterie

(–) Zinkbecher Zn  Zn2+ + 2e– 2+ – Zn + 2 NH4Cl + 2 OH  Zn(NH3)2Cl2 + 2 H2O (+) Braunstein/Ruß um einen Grafitstab 2 MnO2 + H2O + 2 e–  2 MnO(OH) + 2 OH–

Feuchtmasse aus 25% Ammoniumchlorid, Zinkchlorid und Methylcellulose als Quellmittel

Alkali-Mangan-Batterie Alkalisches Zink-BraunsteinElement

(–) Zinkflitter, (–) Folienkathode mit MnO2. Zn + 2 OH–  ZnO + H2O + 2 e– MnO2 + 2 H2O + 2 e–  Mn(OH)2 + 2 OH–

verdickte Kalilauge

B2 Chemie

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Bleiakkumulator

Anode (Minuspol) und Kathode (Pluspol)

Elektrolyt

(–) Pb-PbO-Paste in Hartbleigitter (+) Mit Bleidioxid beschichtete Bleinetze Beim Formieren (Laden) entsteht anodisch poröses PbO2, kathodisch ein Bleischwamm. Oberhalb 2,4 V „gast“ der Akku durch Elektrolyse der Schwefelsäure.

37%ige Schwefelsäure (1,28 g/cm3), mit SiO2-Gel verdickt; Kunststoffseparatoren als Abstandshalter

0

 II

+ SO 24

Pb

Pb SO4 + 2 e–  II

IV

Pb O2 + SO 24 + 4 H+ + 2 e–

Pb + PbO2 + 2 H2SO4

Entladen

Pb SO4 + 2 H2O

       Laden

2 PbSO4 + 2 H2O

Nickel-Metallhydrid-Akku

(–) Wasserstoff-Speicherelektrode (LaNi5, NiTi2 u. a.) (+) Nickelschaum Entladen MH + OH– H2O + M + e– NiO(OH) + H2O + e– Ni(OH)2 + OH–

30% KOH in Kunststoffvlies

Lithium-Akkumulator

(–) Lithiummetall oder Grafit (beim Lithiumionen-Akku) (+)Metalloxid (Perowskit), in das sich Lithium einlagert.

aprotisches Lösungsmittel (Propylencarbonat) mit Leitsalz (LiPF6, LiBF4)

 III

Lix Mn O2

 IV

Lix–1 MnO2 + Li+ + e–

8.6 Brennstoffzellen Brennstoffzellen wandeln wie Batterien die chemische Energie des Brennstoffes direkt in elektrischen Strom um – ohne Umweg über Wärme oder mechanische Energie! Die elektrochemische Oxidation („stille Verbrennung“) von Wasserstoff, Methanol oder Erdgas mit Sauerstoff zu Wasser und CO2 erreicht theoretisch 100% Wirkungsgrad. Das Elektrolytsystem prägt das Namenskürzel des Brennstoffelementes. Die Polymerelektrolyt-Brennstoffzelle (PEFC) ist die wichtigste Wasserstoff-Sauerstoff-Zelle, z. B. für umweltfreundliche Elektroantriebe. Wasserstoff und Sauerstoff werden über Strömungskanäle in poröse Gasdiffusionselektroden gepresst und an der Grenzfläche zum Elektrolyten direkt in Wasser und elektrischen Strom gewandelt. Die Elektrodenreaktionen der Elektrolyse laufen dabei rückwärts. An der Anode wird der Brennstoff oxidiert, an der Kathode Sauerstoff reduziert; Wasser entsteht. Der Elektrolyt liefert verbrauchte Ladungsträger H+ nach. Anode (–): Wasserstoffoxidation Kathode (+): Sauerstoffreduktion

2 H2 + O2

2 H2

4 H+ + 4 e–

0

O 2 + 4 e– + 4 H+ Brennstoffzelle Elektrolyse

II

2 H2 O

2 H2O

Reversible Zellspannung: E0 = E0(Reduktion) – E0(Oxidation) = 1,23 V. Nutzenergie je H2-Molekül: G0 = –2 · 96485 C/mol · 1,23 V = –237 kJ/mol.

Die Sauerstoffreduktion ist kinetisch gehemmt, so dass in der Praxis nur Leerlaufspannungen um 0,9 V erzielt werden.

0,9 V

H+

H+ OHOH H+

H+ Polymerelektrolyt (PEM)

Kathode Sauerstoffreduktion

Anode Wasserstoffoxidation

Bild 19. Prinzip der PEM-Brennstoffzelle (PEFC) Direktbrennstoffzellen bei Raumtemperatur erbringen nur geringe Leistungsdichten, sind aber als Batterieersatz interessant, z. B. die DMFC: CO2 + 2 H2O CH3OH + 3/2O2

B 50

B Naturwissenschaftliche Grundlagen

Hochtemperaturbrennstoffzellen (MCFC, SOFC) verstromen schwefelarmes Erdgas direkt, indem es zuvor durch interne Reformierung an einem Katalysator im Anodenraum in Wasserstoff gespalten wird.

CH4 + 2 H2O

CO2 + 2 H2

Tabelle 22. Typen von Brennstoffzellen

Kürzel Name

Elektrolyt

PEFC PolymerelektrolytBrennstoffzelle

Protonenaustauschermembran Platiniertes Grafitpapier, mit der (PEM), 80°C Elektrolytfolie zu einer MembranElektroden-Einheit (MEA) verpresst wie PEFC wie PEFC

DMFC Direkt-MethanolBrennstoffzelle AFC Alkalische Brennstoffzelle PAFC phosphorsaure Brennstoffzelle MCFC CarbonatschmelzenBrennstoffzellen SOFC FestoxidBrennstoffzelle

Elektroden

a) Methanol/Wasser b) Sauerstoff oder Luft Kalilauge, 30%ig Poröses Nickel (RANEY-Nickel) a) reiner Wasserstoff b) reiner Sauerstoff Phosphorsäure-Gel in Platin, feinverteilt auf Russpartikeln auf a) Wasserstoff SiC/PTFE-Matrix, 190°C porösen Kohlenstofffasermatten b) Luft Alkalicarbonatschmelze in Anode: poröse Nickelplatten mit a) Wasserstoff oder hitzefester Matrix (LiAlO2); 2–10 % Chrom Erdgas; Kathode: lithiiertes Nickeloxid 620 – 650 °C b) Luft/CO2-Gemisch Zirconiumdioxid-Keramik (YSZ) Anode: 30 % Nickel auf YSZ a) Wasserstoff oder 800 – 1000 °C Kathode: La(Ca,Sr)MnO3 Erdgas Zellverbindung: La(Mg,Sr)CrO3 b) Luft

8.7 Elektrolyse Die Zersetzung eines festen, flüssigen oder schmelzflüssigen Ionenleiters (Elektrolyt) durch den elektrischen Strom nennt man Elektrolyse. Bei der Elektrolyse wässriger Säuren, Basen und Salzlösungen entstehen stets Wasserstoff (an der Kathode) und Sauerstoff (an der Anode) im Volumenverhältnis 2 : 1. Aus chloridhaltigen Lösungen wird anodisch auch Chlor abgeschieden. Plus- und Minuspol der Elektrolysezelle sind gegenüber Batterien vertauscht. Elektrolyse in saurer Lösung:

Kathode (–) 4 H+ + 4 e–  II

Anode (+)

a) Brenngas b) Oxidans a) Wasserstoff b) Sauerstoff oder Luft

2 H2

E0 = 0 V

0

2 H2 O

O 2 + 4 e– + 4 H+

E0 = 1,23 V

2 H2O

2 H2 + O2

E0 =–1,23 V

Die Zersetzungsspannung von 1,23 V ist die Mindestspannung der Elektrolyse, um die Überspannungen an den Elektroden und den Elektrolytwiderstand zu überwinden. Faraday’sche-Gesetze 1. Die aus einem Elektrolyten bei der Gleichstromelektrolyse abgeschiedene Stoffmasse m ist der durchgeflossenen Ladungsmenge Q proportional. m=k·Q=kIt I Strom (A), t Zeit (s), m Masse (kg)

2. Die Abscheidung von 1 mol eines einwertigen Stoffes erfordert die Ladungsmenge: F = 96485 C/mol (Faraday-Konstante) Die Ladung 1 C genügt zur Abscheidung der Stoffmasse: k

M zF

(elektrochemisches Äquivalent)

M molare Masse (g/mol), z Ionenwertigkeit.

Knallgas: Sauerstoff Wasserstoff:

0,1743 m/C = 0,6273 /Ah 0,05802 m/C = 0,2089 /Ah 0,1162 m/C = 0,4185 /Ah

8.8. Metallgewinnung Die Schmelzflusselektrolyse eignet sich zur Gewinnung unedler Metalle. An einer Kathode (Minuspol) kann man z. B. Magnesium und Natrium aus wasserfreien Salzschmelzen abscheiden. Aluminium wird an Kohleelektroden durch Reduktion von Aluminiumoxid (in einem Eutektikum mit Na3AlF6) bei 950 °C gewonnen. (–) Kathode (+) Anode

2 Al3+ + 6 e– 2 Al 3/2O2 + 6 e– 3 O2–

1677 kJ + 2 Al2O3 3

/2O2 + 3 C

2 Al + 3/2O2 3 CO + 332 kJ

Die Raffinationselektrolyse dient zur Feinreinigung von Metallen (Cu, Ag, Ni, Zn, Al). Als Anode (Pluspol) wird das Metallstück aufgelöst und kathodisch wieder abgeschieden.

B2 Chemie

B51

8.9 Galvanotechnik Beim Eloxal-Verfahren (Elektrolytische Oxidation des Aluminiums) wird das Bauteil als Anode (Pluspol) in Schwefelsäure oxidiert, wobei Al2O3-Schichten aufwachsen. H2O + ‹O› + 2 e– 2 OH– 2 Al + 3 ‹O› Al2O3 (–) Kathode 2 H+ + 2 e– H2 2 Al + 3 H2O Al2O3 + 6 H+ + 6 e–

(+) Anode

Phosphatieren nennt man den Korrosionsschutz von Eisen in phosphorsaurer ZinkdihydrogenphosphatLösung, wobei Schutzschichten aus Zinkphosphat aufwachsen.

3 Zn2++ 2 H2PO4– + 4 H2O Zn3(PO4)2·4H2O + 4 H+ Bei der Elektrotauchlackierung (elektrophoretische Lackierung) wandern wasserlösliche Lackvorstufen zum kathodisch geschalteten Werkstück und scheiden sich dort als Lack ab.

9 Organische Chemie 9.1 Kohlenwasserstoffe Kohlenstoff bildet ketten- und ringförmige Moleküle mit Wasserstoff, Sauerstoff, Stickstoff, Schwefel, Phosphor, Halogenen und einigen Metallen. Isomere besitzen bei gleicher Summenformel unterschiedliche Atomanordnungen (Strukturen). Sie unterscheiden sich wenig in ihrer chemischen Reaktivität; mit jeder zusätzlichen CH2-Gruppe steigen jedoch die Schmelz- und Siedepunkte an. a) Alkane und Cycloalkane sind „gesättigte Kohlenwasserstoffe“ allein aus sp3-hybridisierten C-Atomen, die C–C- und C–H-Einfachbindungen knüpfen. Alkane sind reaktionsträge; sie verbrennen zu CO2 und Wasser. Bei Einstrahlung von ultraviolettem Licht tauschen sie H-Atome gegen Fluor, Chlor oder Brom aus (radikalische Substitution).  Beispiel Die längste unverzweigte Kohlenstoffkette bestimmt den Stammnamen des Alkans: 1 = Meth, 2 = Eth, 3 = Prop, 4 = But, 5 = Pent, 6 = Hex, 7 = Hept,8 = Oct, 9 = Non, 10 = Dec.

CH3 CH H3C

3

CH3 2 CH

4

1 CH3 2,3-Dimethyl-butan

Stammname (Hauptkette) Radikalname der Seitenkette Die gleiche Seitenkette kommt doppelt vor. Abzweigungen am 2. und 3. C-Atom

b) Alkene und Cycloalkene sind „ungesättigte Kohlenwasserstoffe“: mit C=C-Doppelbindungen aus sp2hybridisierten C-Atomen. Ethen und Propen, werden weiter zu Polyethylen bzw. Polypropylen verarbeitet. Sie lagern bereitwillig Teilchen mit Elektronenmangel an (elektrophile Addition), z. B. Brom zu Dibromalkanen, Wasser in Gegenwart von Schwefelsäure zu Alkoholen. c) Alkine haben CC-Dreifachbindungen aus sphybridisierten C-Atomen. Ethin (Acetylen) dient als Heizgas zum Schweißen. d) Aromatische Kohlenwasserstoffe leiten sich vom Benzol C6H6 ab. Es besteht aus sechs sp2-hybridisierten C-Atomen, wobei weder reine C–C- noch reine C=C-Bindungen vorliegen. Der Begriff Mesomerie beschreibt die Eigenart eines solchen „konjugierten Systems“ mit -Elektronenwolken ober- und unterhalb der Ringebene. In Gegenwart von Katalysatoren kann man H-Atome des Benzolrings gegen Halogenatome, -SO3H (mit Schwefelsäure), -NO2 (mit Salpetersäure) austauschen (elektrophile Substitution). Polyzyklische aromatische Kohlenwasserstoffe (PAK) sind Moleküle aus mehreren aneinander hängenden Benzolringen, z. B. Naphthalin, Anthracen und das krebserzeugende Benzopyren.

9.2 Stoffklassen Funktionelle Gruppen bestimmen als „aktive Stellen“ im Molekül die chemischen Eigenschaften; das Kohlenwasserstoffgerüst verhält sich reaktionsträge. Die höchstwertige funktionelle Gruppe bestimmt die Stoffklasse, z. B. –OH in den Alkoholen.

B 52

B Naturwissenschaftliche Grundlagen

Tabelle 23. Systematik der organischen Chemie aliphatisch, alizyklisch kettenförmig gesättigt

carbozyklisch (ringförmig mit Kohlenstoffatomen)

ungesättigt

gesättigt

ungesättigt

aromatisch Aromaten (Arene)

Alkane

Alkene

Alkine

Cycloalkane

Cycloalkene

CnH2n+2

CnH2n

CnH2n–2

CnH2n

CnH2n–2

H

H

H

C

C

H

H

H

H

H C

C

H

H–CC–H H

Ethan

Ethen

Hexan C6H14

Butadien

Ethin (Acetylen)

H2C H2C

H2 C

C H2

heterozyklisch (mit Heteroatomen)

Heterozyklen

CH2

N H

CH2

Cyclohexan

Cyclopenten

Benzol C6H6

Pyrrol

Strichformeln stellen die einzelnen C- und H-Atome nicht explizit dar.

Tabelle 24. Stoffklassen Stoffklasse Carbonsäuren Sulfonsäuren

Gruppe –COOH

Carboxy-

Chemische Eigenschaften und Verwendung Oxidationsprodukte der Aldehyde.

Sulfo-

Ionentauscherharze, Waschmittel

Ester der Carbonsäuren

–SO2OH –CO–OR

Amide der Carbonsäuren Nitrile

–CN

Cyan-

Alkohole (Alkanole)

–OH

Hydroxy-

Ethylacetat CH3CO–C2H5 (Lösungsmittel); Phthalate als Weichmacher in Kunststoffen; Fette sind Ester aus Glycerin und höheren Carbonsäuren: Alkohol + Säure  Ester + Wasser

–CO–NH2

Peptidbindung in Proteinen; Polyamide (z. B. Nylon) Vorstufen für Carbonsäuren. Acetonitril CH3CN (Lösungsmittel); weit weniger giftig als Blausäure. Lösemittel, Süßstoffe; Aromatische Alkohole heißen Phenole.

Alkohol + Alkohol’  Ether + Wasser Epoxide (Oxirane) RCH(O)CH2 sind ringförmige Ether. Oxidationsprodukte der primären Alkohole ROH. –CHO FormylAldehyde (Alkanale) Formaldehyd (Methanal) HCHO dampft aus Melaminharzen aus. Propenal (Acrolein) H2C=CH–CHO bei der Fettspaltung. Ketone (Alkanone) >C=O Carbonyl- Oxidationsprodukte der sekundären Alkohole R–CH(OH)–R. An der CO-Gruppe greifen Teilchen mit freien Elektronenpaaren an (NH3, H2O etc.; nucleophile Addition). Organische Basen; Vorstufen für Isocyanate und Polyurethane. Amine –NH2 AminoAnilin (Aminobenzol) C6H5NH2 in Azofarbstoffen. Halogenkohlenwasserstoffe –F, Cl, Br, I Halogen- Löse-, Flammschutz-, Kühlmittel, Pestizide, Treibgase. Natronlauge ersetzt das Halogen durch –OH (nucleophile Substitution). Bei hohen Temperaturen Abspaltung (Eliminierung) von Halogenwasserstoff HX. Nitroverbindungen –NO2 NitroExplosivstoffe Ether

–OR

B Naturwissenschaftliche Grundlagen Gert Böge, Peter Kurzweil

B1 Physik

G. Böge

Im Abschnitt Physik werden drei Themen eingehend behandelt: 1. das Internationale Einheitensystem, 2. die physikalischen Basisgrößen, die Größenarten und die Größengleichungen, 3. Begriffe aus der Mechanik. Die Physik wird klassisch gegliedert in Mechanik, Thermodynamik (Wärmelehre), Akustik, Optik, Elektrizitätslehre, Elektrodynamik. Neuere Zweige sind Atom- und Kernphysik, Wellenmechanik, Festkörpertheorie, Geophysik, Astrophysik. Viele Gebiete gehen ineinander über. Aufgabe der Physik ist es, die in ihren Bereich fallenden Naturvorgänge durch Beobachtung und Versuch (Messen) auf möglichst einfache, eindeutige Weise zu beschreiben, vorhandene Gesetzmäßigkeiten zu erfassen und auf diesen aufbauend, neue Gesetze zu finden. Die naturwissenschaftlichen Gesetze werden möglichst mathematisch formuliert.

1 Physikalische Größen und Größenarten Definition der physikalischen Größe Eine physikalische Größe macht quantitative und qualitative Aussagen über eine messbare Äußerung eines physikalischen Zustands oder Vorgangs. Sie ist formal das Produkt aus einer Maßzahl und einer Einheit. Quantitativ heißt „auf die Menge bezogen“, qualitativ „auf die Art der Größe bezogen“. Unter messbarer Äußerung des physikalischen Zustandes oder Vorgangs ist beispielsweise zu verstehen: die Form eines Körpers (seine Ausdehnung), die Masse eines Körpers, die Trägheit (das Beharrungsvermögen), der Auftrieb, der Wärmeinhalt, die Geschwindigkeit oder die Beschleunigung eines bewegten Körpers, die Festigkeit, die elektrische Leitfähigkeit usw. Soll z.B. die Ortsveränderung eines bewegten Körpers näher gekennzeichnet werden, so erfordert das a) die Angabe, dass es sich um eine Ortsveränderung (zurückgelegter Weg) handelt als Kennzeichen der Art des physikalischen Geschehens. Das ist die qualitative Aussage der physikalischen Größe. b) die Angabe, wie groß dieser zurückgelegte Weg ist (Wert, Betrag) als Kennzeichen des Umfangs

des physikalischen Vorgangs. Das ist die quantitative Aussage der physikalischen Größe. Man sagt dann kurz: Der Körper legt einen Weg s von 5 Meter zurück und bezeichnet den „Weg s“ als physikalische Größe, „s“ ist darin das Formelzeichen der Größe. Die physikalische Größe gibt also den Betrag (Wert) – z.B. 5 m – und die Eigenschaft oder Art – z.B. Länge, Weg – eines Zustands oder Vorgangs an. Der „Größenwert“ der physikalischen Größe wird als Produkt aus Zahlenwert und Einheit aufgefasst: Größe = Zahlenwert ˜ Einheit Weg s = 5 m Solche physikalischen Größen, die in Einheiten gleicher Art gemessen werden, gehören zur gleichen Größenart, z.B. gehören die Größen Weg s, Kantenlänge l, Gitterabstand a, Verlängerung 'l zur Größenart Länge. Der Name Länge – ohne spezielle Angaben, um welche Länge es sich handelt (Länge des Weges, Länge der Körperkante usw.) – kennzeichnet die Größenart. Die Bezeichnung „Größenart“ soll nur den qualitativen Wesensinhalt eines bestimmen physikalischen Begriffs erfassen, während in der Bezeichnung „Größe“ noch eine quantitative Ausdehnung enthalten ist. Zu jeder Größenart gehören beliebig viele Größen gleicher Art aber unterschiedlicher quantitativer Größenausdehnung (Wert, Betrag). Zur Größenart Länge gehören z.B. die Größen „Verlängerung eines Zugstabs“, „Länge der Diagonale im Rechteck“, „Gitterkonstante des Eisenkristalls“, „Fallhöhe eines frei fallenden Körpers“. Größen gleicher Größenart werden in Einheiten gleicher Art gemessen, z.B. die Größen der Größenart „Länge“ in Längeneinheiten (Meter, Zentimeter, Millimeter usw.), solche der Größenart „Zeit“ in Zeiteinheiten (Sekunde, Minute usw.). Die Einheiten sind demnach selbst Größen ihrer Größenart und zu jeder Größenart gehört wenigstens eine Einheit mit ihren Vielfachen und Teilen (siehe Tabelle 4), z.B. gehört zur Größenart „Länge“ die Längeneinheit „Meter“ mit dem Vielfachen „Kilometer“ und den Teilen „Zentimeter“ oder „Millimeter“. Zulässige Rechenoperationen für Größen: Addieren und Subtrahieren von Größen gleicher Art;

B2

B Naturwissenschaftliche Grundlagen

Multiplizieren und Dividieren zwischen allen Größen; Potenzieren und Radizieren der Größen.

2 Basisgrößen und abgeleitete Größen Die meisten physikalischen Größen sind mit Hilfe weniger Basisgrößen definierbar. Sie heißen deshalb abgeleitete Größen. Die Basisgrößen wurden willkürlich festgelegt mit der einzigen Einschränkung, dass keine der gewählten Basisgrößen durch die übrigen Größen definierbar sein darf. Auch die Wahl der entsprechenden Basiseinheiten ist daher willkürlich. Die Einheiten der abgeleiteten Größen dagegen sind durch deren Definition festgelegt. Sie werden als Potenzprodukt der Basiseinheiten angegeben (siehe S. B4). Zur Definition aller in der Mechanik vorkommenden Größen genügt die Wahl von drei Basisgrößen und ihrer Basiseinheiten: Basisgröße Länge l mit der Basiseinheit Meter m Basisgröße Masse m mit der Basiseinheit Kilogramm kg Basisgröße Zeit t mit der Basiseinheit Sekunde s

In der Thermodynamik kommt als vierte Basisgröße die Thermodynamische Temperatur T hinzu mit der Basiseinheit Kelvin. Außerdem hat man noch festgelegt: für die Elektrotechnik die Basisgröße Elektrische Stromstärke I mit der Basiseinheit Ampere , für die Lichttechnik die Lichtstärke Iv mit der Basiseinheit Candela, für die Chemie als Basisgröße die Stoffmenge n mit der Basiseinheit Mol. Demnach gibt es 7 Basisgrößen mit 7 Basiseinheiten. Die wichtigsten Basisgrößen und abgeleiteten Größen sind in der Tabelle 1 zusammengestellt (s. S. B20 f). Die abgeleiteten Größen entstehen entweder a) durch willkürlich aufgestellte Definitionsgleichungen oder b) durch Naturgesetze. Die mathematische Verknüpfung aller abgeleiteten Größen wurde durch Beobachtung, Versuch, Messung gefunden und stellt damit die Rechen- und Messvorschrift für die jeweilige Größenart dar. Beispiele für abgeleitete Größen durch willkürliche Definition: s Geschwindigkeit v = t Leistung P = Fv Beschleunigung a = Drehmoment M = Fl

dim g

dim h

l

dim t

t2

2

l t 2

3 Größengleichungen Sie beschreiben formelmäßig physikalische Gesetzmäßigkeiten und enthalten außer den Formelzeichen für die Größen nur solche Zahlenfaktoren (z.B. S), die durch Differenzieren oder Integrieren entstanden sind. Daher sind Größengleichungen von der Wahl der Einheiten unabhängig. Physikalische Größengleichungen sind entweder willkürlich aufgestellte Definitionsgleichungen oder in zweckmäßige mathematische Form gebrachte Naturgesetze. Besondere Vorteile bringt die Größengleichung beim Rechnen, weil es völlig gleichgültig ist, in welchen Einheiten die Größen erscheinen, wenn nur die bekannten Größen nach der Regel Größe = Zahlenwert ˜ Einheit eingesetzt werden.

Naturgesetz: Kraft F = m a Fallhöhe h =

v t

Die durch willkürliche Definition abgeleiteten Größen wie Geschwindigkeit v, Drehmoment M, Leistung P usw. sind Rechengrößen, deren Zweckmäßigkeit allgemein anerkannt wurde. Naturgesetze erfährt man durch Versuche. Man findet z.B. die Proportion: Spannung V ~ Dehnung . Um daraus eine Rechenvorschrift (Formel, Gleichung) zu erhalten, wird ein Proportionalitätsfaktor geschaffen, hier der Elastizitätsmodul E. Damit wird V =  E. Der Proportionalitätsfaktor (meist eine Konstante) wird dann auch eine physikalische Größe, deren Dimension (siehe 4) sich nach der Form der aufgestellten Gleichung richtet. Andere Beispiele: Werden verschiedenartige Körper beschleunigt, so lässt sich durch Messungen Proportionalität zwischen beschleunigender Kraft F und hervorgerufener Beschleunigung a feststellen: F ~ a. Der Proportionalitätsfaktor ist dann die Masse m des Körpers (Konstante) F = m a. Oder: Messungen zeigen Proportionalität zwischen Fallhöhe h und Zeit t: h ~ t2. Proportionalitätsfaktor ist die Fallbeschleunigung g. Damit wird: h =  g t2. Die Dimension von g wird durch die Rechenvorschrift festgelegt:

1 2

g t2

Spannung V =  E Gaskonstante R =

pv T

■ Beispiele: 1. Ein Körper bewegt sich gleichförmig. Gemessen wird der zurückgelegte Wegabschnitt 's = 300 m und die dazu benötigte Zeit 't = 6 s. Die Größengleichung v = 's/'t verbindet die physikalischen Größenarten Geschwindigkeit v, Weg s und Zeit t miteinander. Die gesuchte Geschwindigkeit v ergibt sich, indem die bekannten Größen nach obiger Regel eingesetzt werden: s 300 m m 50 Geschwindigkeit v t 6s s

B1 Physik

B3

Das Ergebnis (50 m/s) hat dann ebenfalls die Form „Zahlenwert“ (50) mal Einheit (m/s). Wird 's = 0,3 km und 1 't (= h) in die Größengleichung eingesetzt, ergibt sich: 600 s 0,3 km km Geschwindigkeit v = = = 0,3⋅600 = 1 t h h 600

=

180 m 3,6 s

50

m s

1 g t 2. Sie 2 beschreibt die Beziehung zwischen Fallhöhe h, Fallbeschleunigung g und Fallzeit t. Es soll die Fallhöhe berechnet werden für die Fallzeit von 10 s. Die Fallbeschleunigung g sei mit 10 m/s2 eingesetzt:

2. Für den freien Fall gilt die Größengleichung h =

1 2 1 m m s2 2 g t = ⋅10 2 ⋅(10 s ) = 500 2 = 500 m 2 2 s s Wird die Fallzeit t nicht in Sekunden, sondern in Minuten ein-

(als Größengleichung geschrieben) entwickelt, wobei man etwaige Zahlenfaktoren (z.B. S) weglässt und auf der rechten Gleichungsseite für jede Größe deren Basisgröße einsetzt. Diese schreibt man als Potenzprodukt. ■ Beispiel: Die Dimension der physikalischen Größe Geschwindigkeit v ergibt sich aus der Definitionsgleichung v = s/t. Da in der Mechanik mit den Basisgrößen Masse m, Länge l und Zeit t gearbeitet wird, ergibt sich die Dimension von v aus:

Definitionsgleichung für v: s v o t

Dimensionsgleichung für v: dim s Länge l l t 1 dim v dim t Zeit t

Fallhöhe h =

__ 1

gesetzt, also t = 6 min, so ergibt sich die Fallhöhe h= h

2 2 1 1 2 1 m 1 m 1 g t = ⋅10 2 ⋅ min  = ⋅10 2 ⋅  min 2 2 2 2  s 6 s 6

0,139

m min 2

Definitionsgleichung für v:

s2 Auch dieses Ergebnis ist richtig, jedoch etwas ungewöhnlich mit der Einheit m min2/s2 (Meter mal Quadratminute durch Quadratsekunde). Wird jedoch für min2 = 60 s ˜ 60 s = 3 600 s2 eingesetzt, ergibt sich wie oben:

h

0,139 ˜ 3600

m s2 s2

Die Dimension der physikalischen Größe Geschwindigkeit ist demnach „Länge mal Zeit hoch minus eins“. Die Dimension der Geschwindigkeit v kann aber auch aus jeder anderen Größengleichung gewonnen werden, in der v enthalten ist, z.B.:

500 m

4 Dimension einer Größe Die Dimension einer Größe kennzeichnet ihre Beziehung zu den Basisgrößen. Sie wird aus der Definitionsgleichung gewonnen und danach als Potenzprodukt der Basisgröße geschrieben. Im allgemeinen Sprachgebrauch wird unter Dimension die Abmessung oder Ausdehnung eines Gegenstands verstanden. So spricht man in der Festigkeitslehre vom „Dimensionieren“ eines Bauteils, d.h. vom Festlegen seiner Abmessungen. In der Geometrie kennzeichnet die Dimension die Richtungsangabe eines Gebildes (Länge, Breite, Höhe). Danach ist eine Länge eindimensional (l1), sie hat eine Dimension; eine Fläche ist zweidimensional (l2), sie hat zwei Dimensionen; ein Raum ist dreidimensional (l3), er hat drei Dimensionen. Ein Punkt ist demnach nulldimensional, er hat keine Ausdehnung, er ist dimensionslos. Gegenüber den drei Dimensionen der euklidischen Geometrie behandelt die nichteuklidische Geometrie auch Ausdrücke mit vier, fünf usw., allgemein n Dimensionen. In der Physik und Technik wird der Begriff Dimension allgemein gedeutet. Die Dimension einer Größe wird aus ihrer Definitionsgleichung

v

Dimensionsgleichung für v:

o

2gh

dim v

dim g ˜ dim h

dim v

l t 2 ˜ l

l t 1

(wie oben) Bereits bekannte Dimensionen werden entsprechend eingesetzt, wie hier die Dimension der Fallbeschleunigung g: dim g = Länge l ˜ Zeit t–2 = l t–2. Diese ergibt sich ebenfalls aus der Definitionsgleichung für g: Geschwindigkeitsänderung v Fallbeschleunigung g = zugehöriger Zeitabschnitt  t

l 1 dim g = ⋅ = l t−1⋅t−1 = l t−2 t t Einheiten sind physikalische Größen und haben daher wie alle anderen Größen ebenfalls eine Dimension. Meter, Millimeter, Zentimeter bezeichnen „Längen“, sie haben also die Dimension l einer Länge. Dagegen ist es falsch, die Einheiten selbst als Dimensionen zu bezeichnen. Ein Meter ist etwas anderes als ein Kilometer, beide haben jedoch die Dimension l (Länge). Die „Dimension“ der Geschwindigkeit ist also nicht „Meter durch Sekunde“ (das ist eine Einheit), sondern l t –1. Dimensionslose Größen gibt es in der Physik nicht. Kürzen sich die Exponenten der Basis in einer Dimensionsbetrachtung zu null, hat die Größe die Dimension eins, wie im folgenden Beispiel gezeigt wird: ■ Beispiel: In der Festigkeitslehre gibt es die Größe Dehnung . Sie ist definiert als

Dehnung ∈ =

Längenänderung l Ursprungslänge l0

Damit ergibt sich die Dimensionsgleichung für : Definitionsgleichung für : dim  l l ∆l ∈= = = l1 l−1 = l 0 = 1 o dim ∈ = l0 l dim l0 Die Dehnung besitzt also die Dimension „eins“. Größen der Dimension eins werden als Verhältnisgrößen bezeichnet. Auch die Einheiten solcher Verhältnisgrößen ergeben gekürzt den Wert eins.

B4

B Naturwissenschaftliche Grundlagen

5 Einheiten Einheiten dienen der Messung physikalischer Größen. Sie sind Vergleichsgrößen von ganz bestimmtem Betrag und von der gleichen Art wie die zu messende Größe. Der Betrag der Einheit ist so festgelegt, dass er jederzeit wieder reproduziert werden kann. Der physikalische Zustand eines Körpers oder ein physikalischer Vorgang lassen sich nur durch Messungen kennzeichnen oder beschreiben. So kann der physikalische Zustand des Schmieröls im Kreislauf eines Verbrennungsmotors nur angegeben werden, wenn u.a. Temperatur und Druck des Öls bekannt sind. Der physikalische Vorgang im Motor lässt sich nur dann näher beschreiben, wenn u.a. die Drehzahl der Kurbelwelle gemessen wird. Jede Messung einer Größe – hier der physikalischen Größen Druck, Temperatur und Drehzahl – setzt aber voraus, dass Vergleichsgrößen vorhanden sind. Diese Vergleichsgrößen heißen Einheiten. Sie müssen von gleicher Art sein wie die zu messende Größe. Sie sind außerdem genau festgelegt (definiert) und sollen international gültig sein. Eine Sekunde, ein Grad oder auch ein Kilometer pro Stunde stellen also eine ganz bestimmte Zeit, Temperatur, Geschwindigkeit dar, mit deren Hilfe immer wieder eine beliebige Zeit, Temperatur, Geschwindigkeit quantitativ erfasst werden kann. Dazu wird die Beziehung benutzt: Größenwert der zu messenden Größe = Zahlenwert (Maßzahl) mal Einheit. Grundsätzlich wäre es gleichgültig, von welchem Betrag die Einheiten festgelegt werden, ob beispielsweise ein Meter länger oder kürzer wäre als das heute international festgelegte Meter, wenn nur die Möglichkeit gegeben ist, diesen Betrag jederzeit nachzuprüfen und ihn leicht an jedem Ort wieder darzustellen. Zur Verständigung über die Grenzen des persönlichen Bereichs hinaus ist es aber nötig, alle in der Physik und Technik benutzten Einheiten möglichst auf internationaler Ebene gesetzlich festzulegen, und zwar so, dass ihre genaue Reproduktion an beliebigen Orten möglich ist. In Deutschland beschäftigt sich der „Ausschuss für Einheiten und Formelzeichen (AEF) im Deutschen Normenausschuss“ mit der Festlegung der Einheiten und ihrer Kennzeichnung. Die gesetzliche Grundlage gibt das 1970 in Kraft getretene „Gesetz über Einheiten im Messwesen“. Als Kurzzeichen für die Einheiten sind bestimmte Buchstaben eingeführt (DIN 1 301), meistens die Anfangsbuchstaben der Einheitennamen, z.B. für die Das Meter (m) die Sekunde (s) das Kilogramm (kg) das Kelvin (K) das Ampère (A) das Candela (cd) das Mol (mol)

Längeneinheit Meter „m“, für die Zeiteinheit Sekunde „s“ usw. Werden die Namen der Einheiten von Eigennamen hergeleitet, sollen die Kurzzeichen groß geschrieben werden, z.B. für die Krafteinheit Newton ,,N“ und für die Leistungseinheit Watt „W“. Wichtig ist die Erkenntnis, dass es viele Längeneinheiten, viele Zeiteinheiten, viele Masseeinheiten usw. gibt, z.B. Meter, Zentimeter, Millimeter als Längeneinheiten oder Sekunde, Minute, Stunde als Zeiteinheiten usw. Es ist deshalb nicht korrekt, von der Längeneinheit, der Zeiteinheit, der Masseeinheit zu sprechen, vielmehr ist zu sagen: eine Zeiteinheit ist die Sekunde, eine andere z.B. die Minute usw. Richtig ist dagegen die Bezeichnung gesetzlich festgelegte Einheit für z.B. Meter, Sekunde, Kilogramm. Welche der Einheiten verwendet wird, ist eine Frage der Gewohnheit oder Zweckmäßigkeit. Die Entfernung zweier Städte wird man nicht in Millimeter, sondern in Kilometer angeben. Die Geschwindigkeit eines Autos gibt man nicht in Zentimeter je Minute, sondern gewohnheitsmäßig in Kilometer je Stunde an. Alle Einheiten gleicher Art lassen sich exakt ineinander umrechnen, also mm in km oder cm/min in km/h usw. Beim Schreiben und Aussprechen der Einheiten werden häufig grobe Fehler gemacht, besonders bei Einheiten, die aus Quotienten von Basiseinheiten bestehen, wie z.B. bei der Geschwindigkeitseinheit „Kilometer pro Stunde“ oder „Meter pro Sekunde“. Formal __ __ m richtige Schreibweise: km h oder s , also mit waagerechtem Bruchstrich. Dieser wird in der Aussprache häufig unterschlagen und von „Stundenkilometer“ oder „Metersekunde“ gesprochen, was jedoch ein Produkt kennzeichnet (Kilometer mal Stunde oder Meter mal Sekunde). Produkte von Grundeinheiten werden immer richtig ausgesprochen, wie z.B. „Nm“ als „Newtonmeter“. Die Einführung eines besonderen Namens für eine Geschwindigkeitseinheit würde die falschen Ausdrücke verschwinden lassen.

6 Basiseinheiten, abgeleitete Einheiten, kohärente Einheiten, Hilfs- oder Sondereinheiten Basiseinheiten sind die Einheiten der Basisgrößen. Wie diese lassen sie sich nicht mehr durch andere Einheiten definieren, sondern werden selbst zur Festlegung von Einheiten benutzt. Entsprechend den 7 Basisgrößen sind folgende Basiseinheiten gesetzlich und international festgesetzt (siehe Tabelle 1):

als Basiseinheit der Basisgröße als Basiseinheit der Basisgröße als Basiseinheit der Basisgröße als Basiseinheit der Basisgröße als Basiseinheit der Basisgröße als Basiseinheit der Basisgröße als Basiseinheit der Basisgröße

Länge Zeit Masse Temperatur Stromstärke Lichtstärke Stoffmenge

l t m T I Iv n

B1 Physik

B5

Diese Einheiten heißen auch SI-Einheiten, weil sie Einheiten des so genannten Internationalen Einheitensystems sind. Abgeleitete Einheiten sind aus Basiseinheiten zusammengesetzte Einheiten. Sie sind wie die zugehörigen Größen entweder willkürlich oder durch ein Naturgesetz definiert. ■ Beispiele: Über die willkürliche Definition der Geschwindigkeit als Quotient aus Wegabschnitt 's und zugehörigem Zeitabschnitt 't ergeben sich die Einheiten der Geschwindigkeit, z.B.

Kohärente Einheiten sind solche Einheiten, die ohne weiteres miteinander multipliziert oder dividiert werden können, ohne dass besondere Umrechnungszahlen nötig sind. Kohärente Einheiten haben die Umrechnungszahl Eins. ■ Beispiel: Es soll der zurückgelegte Weg s berechnet werden, wenn der Körper 6 min lang mit einer Geschwindigkeit von 36 km/h geradlinig gleichförmig bewegt wird:

mit kohärenten Einheiten m s = vt =10 ⋅360 s s s

Einheit der Geschwindigkeit (v )

Einheit des Weges ( s ) Einheit der Zeit (t )

s = 3600

Meter Sekunde

m s

Die Klammer um das Formelzeichen der Größe soll darauf hinweisen, dass hier nur die Einheit dieser Größe betrachtet wird, also ohne Zahlenwert. Über das dynamische Grundgesetz „Kraft F = Masse m mal Beschleunigung a“ ergeben sich die Einheiten der Kraft, z.B. (F ) = Einheit der Masse (m) mal Einheit Beschleunigung (a) (F ) = Kilogramm mal Meter durch (pro) Quadratsekunde kg m = Newton (N) (F ) = s2 Einige solcher hergeleiteten Einheiten haben einen besonderen Namen erhalten, z.B. die oben entwickelte Krafteinheit kg m = Newton (N). Es ist also s2 1 Newton = 1 N = 1

kg m 2

s Damit wird die Kennzeichnung weiterer Einheiten vereinfacht. So ist z.B. die Einheit für die physikalische Größe Arbeit, das Newtonmeter (Nm), leichter als die aus Kraft- und Längeneinheit zusammengesetzte Einheit erkennbar, als das entsprechende Potenzprodukt der Basiseinheiten: m2 ˜ m 1 kg 2 s2 s Die hier beteiligten Basiseinheiten sind „Kilogramm (kg)“, „Meter (m)“ und „Sekunde (s)“, wie ein Vergleich mit der obigen Aufstellung erkennen lässt. 1 Newtonmeter 1 Nm 1

kg m

s

mit nicht kohärenten Einheiten km km min 36 ˜ 6 min 216 h h

vt

216

km min 60 min

3,6 km

3600 m

Hilfs- oder Sondereinheiten sind solche Einheiten, die lediglich der Umschreibung für die Einheit eins dienen. Das ist sinnvoll vor allem bei den Verhältnisgrößen, wie zum Beispiel beim Bogenmaß eines Winkels. Dieses ist definiert als das Verhältnis (der Quotient) der Bogenlänge eines Winkels zum zugehörigen Radius. Damit ergibt sich die Einheit des Winkels (D ) = =

Einheit des Bogens (b) = Einheit des Radius (r )

Meter m = = eins = Radiant = rad Meter m

Es ist also die Einheit m cm mm =1 1 Radiant =1 rad = 1 = 1 usw. ≡1 m cm mm (identisch gleich 1) Das Gleiche gilt z.B. auch für die Einheit Umdrehung U. Es ist 1 Umdrehung = 1 U { 1 sodass auch geschrieben werden kann: Drehzahl n = 1000

U 1 = 1000 = 1000 min−1 min min

7 Das Meter ist die Basiseinheit der Basisgröße Länge Definition des Meters 1 Meter ist das 1 650 763,73-fache der Wellenlänge der von Atomen des Nuklids 86Kr beim Übergang vom Zustand 2p10 ausgesandten, sich im Vakuum ausbreitenden Strahlung. 1 Meter = 1 650 763,73 Lichtwellen des Krypton 86, wobei eine Lichtwelle 0,605 892 Mikrometer entspricht. Dekadische Teile und Vielfache des Meters (siehe auch Tabelle 4) 1 Dezimeter (dm) = 10–1 m 1 Dekameter (dam) 1 Zentimeter (cm) = 10–2 m 1 Hektometer (hm) 1 Kilometer (km) 1 Millimeter (mm) = 10–3 m 1 Mikrometer (Pm) = 10–6 m 1 Megameter (Mm) 1 Gigameter (Gm) 1 Nanometer (nm) = 10–9 m 1 Pikometer (pm) = 10–12 m 1 Terameter (Tm)

= 101 = 102 = 103 = 106 = 109 = 1012

m m m m m m

B6

B Naturwissenschaftliche Grundlagen

Die hier bei der Basiseinheit Meter verwendeten Vorsätze „Dezi“, „Zenti“ usw. dürfen bei allen Basiseinheiten und bei den abgeleiteten Einheiten mit selbstständigem Namen benutzt werden, z.B. beim Newton (N) das da N (Deka-Newton). Das Meter – Kurzzeichen m – ist die gesetzliche deutsche und internationale Einheit zum Messen der Basisgröße Länge. Das Meter ist deshalb, ebenso wie Kilogramm und Sekunde, eine so genannte Basiseinheit, im Gegensatz zu den abgeleiteten Einheiten, wie z.B. m/s oder Nm (Meter pro Sekunde oder Newtonmeter). Die Flächeneinheit ist das Quadrat, dessen Seite 1 Meter (oder Teile oder Vielfache davon) lang ist. Man schreibt: 1 Quadratmeter = 1 m2; ebenso 1 cm2; 1 mm2 usw. Umrechnung: 1 m2 = 102 dm2 = 104 cm2 = 106 mm2. Die Raumeinheit (Volumeneinheit) ist der Würfel, dessen Kante 1 Meter (oder Teile oder Vielfache davon) lang ist. Man schreibt: 1 Kubikmeter = 1 m3; ebenso 1 cm3; 1 mm3 usw. Umrechnung: 1 m3 = 103 dm3 = 106 cm3 = 109 mm3.

8 Das Kilogramm ist die Basiseinheit der Basisgröße Masse Definition und Verkörperung des Kilogramms 1 Kilogramm ist die Masse des internationalen Kilogrammprototyps und entspricht etwa der Masse eines Kubikdezimeters Wasser (1 dm3 = 103 cm3) bei einer Temperatur von 4 ºC. Dekadische Teile und Vielfache des Kilogramms 1 Gramm (g) 1 Milligramm (mg) 1 Mikrogramm (Pg) 1 Megagramm (Mg)

= 10–3 = 10–6 = 10–9 = 103 = 1 000

kg kg = 10–3 g kg = 10–6 g kg = 106 g = kg = 1 Tonne (t)

weitere Vorsätze sind nach Tabelle 4 möglich. Das Kilogramm – Kurzzeichen kg – ist die gesetzliche deutsche und internationale Einheit zum Messen der Basisgröße Masse. Das Kilogramm ist deshalb, ebenso wie Meter und Sekunde, eine so genannte Basiseinheit, im Gegensatz zu den abgeleiteten Einheiten, z.B. das Kilogramm-Meter pro SekundeQuadrat (kgm/s2). Die durch einen Vorsatz nach Tabelle 4 bezeichneten Vielfachen und Teile werden nicht von der Einheit Kilogramm, sondern von ihrem 1 000sten Teil, dem Gramm, gebildet, also z.B.: 1 ng = 1 Nanogramm = 10–9 g = 0,000 000 001 g. Die bei Wägungen auf Hebelwaagen zur Bestimmung der Masse dienenden Vergleichskörper heißen Wägestücke nicht Gewichte.

9 Die Sekunde ist die Basiseinheit der Basisgröße Zeit Definition der Sekunde 1 Sekunde ist das 9 192 631 770-fache der Periodendauer der dem Übergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustands von Atomen des Nuklids 133Cs entsprechenden Strahlung. Gebräuchliche Vielfache der Sekunde 1 Minute (min) = 60 Sekunden 1 Stunde (h) = 60 Minuten = = 3 600 Sekunden 1 Tag (d)

= 24 Stunden = = 1 440 Minuten = = 86 400 Sekunden

Dekadische Teile der Sekunde werden mit den Vorsatzzeichen nach Tabelle 4 gebildet, z.B. die Mikrosekunde (Ps) für das 10–6 fache (Millionstel) der Sekunde. Die Sekunde – Kurzzeichen s – ist die gesetzliche deutsche und internationale Maßeinheit zum Messen der Basisgröße Zeit. Sie ist deshalb, ebenso wie Meter und Kilogramm, eine so genannte Basiseinheit, im Gegensatz zu den abgeleiteten Einheiten.

10 Krafteinheit Newton Definition des Newton 1 Newton – Kurzzeichen N – bewirkt an einem Körper der Masse 1 kg die Beschleunigung 1 m/s2. Als so genannte Basiseinheiten sind die Einheiten der Basisgrößen festgelegt. Für das Gebiet der Mechanik, in der die Größe Kraft eine vorherrschende Rolle spielt, wurden ausgewählt: als Basiseinheit der Länge das Meter, als Basiseinheit der Zeit die Sekunde und als Basiseinheit der Masse das Kilogramm. Im dynamischen Grundgesetz sind diese drei Basisgrößen mit der Größe Kraft verbunden: Kraft F = Masse m mal Beschleunigung a. Damit wird die Einheit der Kraft nach dem dynamischen Grundgesetz notwendigerweise eine abgeleitete Einheit. Denn es kann in der Gleichung F = ma entweder die Masse m oder die Kraft F als Basisgröße festgelegt werden. Eine der beiden physikalischen Größen muss also eine abgeleitete Größe sein. Nach jetzt gültiger Festlegung ist die Kraft F die abgeleitete Größe.

B1 Physik

B7

Als kohärente Einheit der Kraft F wird nun diejenige Kraft festgelegt, die an der Masseeinheit 1 kg die Beschleunigung 1 m/s2 bewirkt. Diese Kraft nennt man nach dem Begründer der Dynamik Newton – abgekürzt N. Kohärente Einheiten sind Einheiten eines Systems, bei dem ausschließlich die Umrechnungszahl „eins“ vorkommt (siehe 6). Zur Zahlenrechnung ist das Newton noch durch die Basiseinheiten Meter, Kilogramm, Sekunde auszudrücken. Den Zusammenhang liefert die Definitionsgleichung für die Kraft, das dynamische Grundgesetz. Mit Masse m = 1 kg und Beschleunigung a = 1 m/s2 ergibt sich: Definitionsgleichung für Kraft F:

F=ma

Einheitengleichung für Kraft F:

o

(F ) = (m) ˜ (a) m kg m 1 N =1 kg⋅1 2 =1 2 =1 Newton s s

Das in Klammern gesetzte Formelzeichen einer Größe soll kennzeichnen, dass nur die Einheit der Größe betrachtet wird. Es ist also ein Newton gleich ein Kilogramm mal Meter durch Sekunde-Quadrat. Eine Federwaage könnte in der Krafteinheit Newton geeicht werden, in dem einer Masse m = 1 kg jeweils die Beschleunigung 1 m/s2, 2m/s2 usw. erteilt wird. Damit würden dann jeweils ein, zwei usw. Krafteinheiten aufgebracht. In bestimmten Bereichen ist die Längenänderung einer Schraubenfeder direkt proportional der einwirkenden Kraft, sodass sich eine entsprechende Teilung anbringen lässt.

11 Arbeits- und Energieeinheit Joule Definition des Joule 1 Joule ist gleich der Arbeit, die verrichtet wird, wenn der Angriffspunkt der Kraft 1 N in Richtung der Kraft um 1 m verschoben wird. Energie ist das Vermögen eines Körpers, Arbeit zu verrichten. Seit Robert Mayer ist die Gleichwertigkeit von Wärme und Arbeit bekannt (mechanisches Wärmeäquivalent). Energie, Arbeit und Wärmemenge sind also physikalische Größen gleicher Art und es war daher sinnvoll, die Gleichartigkeit dieser drei Größen durch ein und dieselbe Einheit zu unterstreichen. Das Einheitengesetz schreibt die SI-Einheit Joule vor (Kurzzeichen: J, Aussprache dschul). Nach der obigen Definition ist 1 Joule gleich 1 Newtonmeter, nämlich gleich dem Produkt aus der Krafteinheit 1 N und der Längeneinheit 1 m. Zugleich wurde festgelegt, dass 1 Joule gleich einer Wattsekunde ist, sodass gilt:

1 Joule = 1 Newtonmeter = 1 Wattsekunde 1 J = 1 Nm = 1 Ws = 1

kg m 2 s2

= 1 m 2 kg s−2

Ebenso wie mit dem Newton N können auch mit dem Joule J Teile und Vielfache gebildet werden (siehe auch Vorsatzzeichen nach Tabelle 4), zum Beispiel kJ (Kilojoule), Nmm (Newtonmillimeter), kWh (Kilowattstunde). Am Schluss von Berechnungen sollte immer die Einheit Joule J stehen, wenn es sich um die Größen Arbeit, Energie oder Wärmemenge handelt. ■ Beispiele: 1. In der Mechanik ergibt die Berechnung der mechanischen Arbeit einer Kraft Wmech = 150 Nm. Als Endergebnis schreibt man Wmech = 150 J. 2. In der Elektrotechnik ergibt die Berechnung der elektrischen Arbeit Wel = 150 Ws. Als Endergebnis schreibt man Wel = 150 J. 3. In der Thermodynamik ergibt sich für die Wärme (Wärmemenge) automatisch Q z.B. Q = 150J.

Sämtliche Berechnungen in der Technik und Physik lassen sich mit der Krafteinheit Newton bequem ausführen, weil alle Umrechnungen mit Einheiten des Internationalen Einheitensystems mit der Zahl eins erfolgen können. So ist z.B.: 1 Newtonmeter (Nm) = 1 Joule (J) = 1 Wattsekunde (Ws). Das ist das Kennzeichen der kohärenten Einheiten (siehe 6).

12 Skalare und Vektoren Definition der Skalare und Vektoren Skalare Größen – kurz „Skalare“ – sind solche physikalischen Größen, die allein durch die Angabe ihres Betrags vollständig bestimmt sind, wie z.B. Masse m, Temperatur T, Arbeit W, Leistung P, Dichte r. Vektorielle Größen – kurz „Vektoren“ – sind solche physikalischen Größen, die neben der Angabe ihres Betrags noch der Festlegung einer Richtung bedürfen, wie z.B. Kraft F, Weg s, Geschwindigkeit v, Beschleunigung a, Drehmoment M, Gewichtskraft FG, elektrische Feldstärke E. Die physikalischen Größen müssen in solche mit und ohne Richtungssinn unterteilt werden. Die Angabe, die Masse eines Körpers beträgt m = 15 kg reicht zur eindeutigen Kennzeichnung der Stoffmenge und Trägheit dieses Körpers aus. Das Gleiche gilt für den Hinweis, ein Motor hat eine Leistung von 1 kW. Solche nicht gerichteten Größen heißen Skalare (von lat. scala = Leiter). Sie können auf „Leitern“, „Skalen“ abgelesen werden und sind damit vollständig bestimmt.

B8

B Naturwissenschaftliche Grundlagen zeichen an oder benutzt Fettdruck (DIN 1 303). Für die mathematische Behandlung von Vektoren gibt es die Vektorrechnung, mit deren Hilfe physikalische, technische und geometrische Probleme übersichtlich geordnet auf einfache Weise gelöst werden können. Die Grundregeln der Behandlung von Vektoren wurden aus physikalischen Tatsachen gewonnen, z.B. die Zusammensetzung und Zerlegung von Kräften, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen aus dem so genannten Parallelogrammsatz.

Im Gegensatz dazu ist die Angabe, ein Körper bewegt sich mit einer Geschwindigkeit v = 10 m/s, allein nicht ausreichend. Es ist noch nicht bekannt, in welche Richtung sich der Körper bewegt, sodass auch nicht klar ist, ob die vorliegende Richtung technisch brauchbar ist. Solche gerichteten Größen heißen Vektoren (von lat. vehere, vectus = bewegen, bewegt). Soll die Vektoreneigenschaft, d.h. der Richtungssinn der physikalischen Größe, hervorgehoben werden, schreibt man ihr Formelzeichen in Frakturbuchstaben oder bringt einen Pfeil über dem Formel-

13 Geschwindigkeit Definition der Geschwindigkeit Die Geschwindigkeit v eines Körpers ist der Quotient aus dem Wegabschnitt 's und dem zugehörigen Zeitabschnitt 't. Die Geschwindigkeit ist ein Vektor. Definitionsgleichung Geschwindigkeit v

v

Wegabschnitt s Zeitabschnitt t s t

v

's

't

m s

m

s

Dimensionsgleichung Die Dimension der Geschwindigkeit v ist die Basisgrößenart Länge l, dividiert durch die Basisgrößenart Zeit t: dim s l = = l t−1 dim v = dim t t Formelzeichen: Gebräuchliche Einheiten v Abkürzung von velocitas (lat. Schnelligkeit) für v: m/s, km/h, m/min, cm/s s Abkürzung von spatium (lat. Entfernung, Weg) für s: m, km, cm t Abkürzung von tempus (lat. Zeit) für t: s, h, min

Ist die Bewegung des Körpers gleichförmig, seine Geschwindigkeit v also gleich bleibend (konstant), kann der Zeitabschnitt 't beliebig groß gewählt werden (Minuten, Stunden, Tage). Wird vom Wegabschnitt 's oder vom Zeitabschnitt 't gesprochen, kennzeichnet der griechische Buchstabe Delta (') die Differenz zweier Wege oder Zeiten: 's = s2 – s1 oder 't = t2 – t1. Dabei können 's und 't beliebig klein werden. In der Technik und der Physik ist mit dieser Schreibweise die Vorstellung sehr kleiner Beträge der Wege, Zeiten usw. verbunden. Ist die Bewegung eines Körpers ungleichförmig, ändert sich seine Geschwindigkeit auch während eines kleinen Zeitabschnitts 't unter Umständen erheblich. Ein anfahrendes Auto z.B. ändert seine Geschwindigkeit fortwährend. Nach der obigen Definitionsgleichung ist v dann die Durchschnittsgeschwindigkeit des Körpers (auch mittlere Geschwindigkeit genannt). Ein (gedachter)

zweiter Körper würde mit dieser Durchschnittsgeschwindigkeit in der gleichen Zeit denselben Weg zurückgelegt haben wie der ungleichförmig bewegte Körper. Zur genaueren Begriffsbestimmung der Momentangeschwindigkeit muss dann der Zeitabschnitt sehr klein gewählt werden. Als Kennzeichen für etwas sehr Kleines wird der Buchstabe d benutzt. Im Zeitabschnitt d t legt der Körper das sehr kleine Wegstück d s zurück, sodass sich seine Geschwindigkeit während d t kaum ändert. Die Geschwindigkeit kann damit in jedem Augenblick genau bestimmt werden, wenn nur der Zeitabschnitt d t klein genug wird. Die unbeschränkt gültige Definitionsgleichung für die Geschwindigkeit v lautet demnach: v = d s/d t In der Mathematik werden d s und d t als „Differenziale“ bezeichnet und Ausdrücke der Form d s/d t (sprich: de es nach de te) als Differenzialquotient oder Ableitung. Bei 's/'t spricht man vom Differenzenquotienten (siehe Mathematik).

B1 Physik

B9

14 Beschleunigung Definition der Beschleunigung Die Beschleunigung a eines Körpers ist der Quotient aus der Geschwindigkeitsänderung 'v und dem zugehörigen Zeitabschnitt 't. Die Beschleunigung ist ein Vektor. Definitionsgleichung Beschleunigung a

a

Geschwindigkeitsänderung v Zeitabschnitt t

v t

a

'v 't

m s2

m s

s

Dimensionsgleichung Die Dimension der Beschleunigung a ergibt sich aus den Dimensionen von Geschwindigkeit und Zeit:

dim a =

dim v l t−1 = = l t−2 dim t t

Auf dem Tisch liegt eine Streichholzschachtel. Sie wird mit dem Finger angestoßen: Der Körper wird beschleunigt. Jeder Wechsel vom Zustand der Ruhe in den Bewegungszustand ist ein Beschleunigungsvorgang und setzt als Ursache einen äußeren Zwang – eine äußere Kraftwirkung – auf den Körper voraus. Nach dem Anstoß wird die Streichholzschachtel durch die Reibung abgebremst, sodass sie wieder in den Ruhezustand zurückkehrt: Der Körper wird verzögert. Die Verzögerung ist vorstellbar als Umkehrung der Beschleunigung. Man spricht deshalb von „negativer Beschleunigung“ oder von einer „Beschleunigung mit umgekehrtem Vorzeichen (– a). Alles, was für die Beschleunigung gültig ist, gilt sinngemäß (d.h. mit umgekehrtem Vorzeichen oder mit entgegengesetztem Richtungssinn) auch für die Verzögerung eines Körpers. Alle Bewegungsvorgänge, bei denen ein Körper auf geradliniger Bahn beschleunigt oder verzögert wird, heißen ungleichförmig. Ist dabei die Beschleunigung konstant, spricht man von gleichmäßig beschleunigter (oder verzögerter) Bewegung, sonst von ungleichmäßiger. Kennzeichen der ungleichförmigen Bewegung ist die Änderung des im Betrachtungsaugenblick vorliegenden Bewegungszustands; bei geradliniger Bahn also die Änderung der Geschwindigkeit, genauer des Betrags der Geschwindigkeit: Der Betrag wird in jedem Augenblick größer oder kleiner. Bewegt sich ein Körperpunkt auf beliebiger Bahn in der Ebene, entsteht die Beschleunigung entweder durch eine Änderung des Betrags der Geschwindig-

keit (z.B. von v1 = 10 m/s auf v2 = 18 m/s), durch eine Änderung der Richtung der Geschwindigkeit oder auch durch beides. Die Geschwindigkeit v ist ein Vektor und durch Betrag und Richtung bestimmt. (Anfahren oder Bremsen des Autos und Kurvenfahrt.) Die allgemeinste Bewegung eines Körpers soll in die technisch wichtigen zwei Sonderfälle aufgeschlüsselt werden: Bewegung auf gerader Bahn und Kreisbewegung mit konstanter Umfangsgeschwindigkeit: 1. Bei Bewegungen auf geradliniger Bahn, z.B. beim Arbeits- oder Rückhub von Stoßmaschinen, ist die Richtung des Geschwindigkeitsvektors unverändert, sie liegt immer parallel zur Bahn. Die Beschleunigung (Verzögerung) kommt dann allein durch die Änderung des Betrags (der Größe) der Geschwindigkeit zustande. Der Beschleunigungsvektor ist zum Geschwindigkeitsvektor parallel oder antiparallel gerichtet. Bei geradliniger Bahn ist die Beschleunigung a ein Maß für die zeitliche Änderung des Geschwindigkeitsbetrags. Während einer kurzen Zeitspanne d t erhält die Geschwindigkeit v einen kleinen Zuwachs d v. Damit kann die Beschleunigung unbeschränkt gültig definiert werden als Differenzialquotient d v/d t. a=

dv (gilt immer) dt

Ändert sich bei einem Beschleunigungsvorgang die Geschwindigkeit v gleichmäßig, d.h. es ist die Beschleunigung a = konstant, dann ist es gleichgültig, wie groß der Zeitabschnitt 't gewählt wird: a=

∆v (gilt nur bei a = konstant). ∆t

Ein solcher Fall liegt vor beim freien Fall der Körper im luftleeren Raum. Hierbei werden alle Körper mit der Fallbeschleunigung g = 9,81 m/s2 | 10 m/s2 von der Erde angezogen, und die erreichte Endgeschwindigkeit ve eines frei fallenden Körpers wird: ve = g 't. 2. Bei gleichförmiger Bewegung eines Körperpunkts auf der Kreisbahn bleibt der Betrag der Geschwindigkeit derselbe, im Gegensatz zur ungleichförmigen Bewegung auf geradliniger Bahn. Die Beschleunigung kommt allein durch die Änderung der Richtung der Geschwindigkeit zustande. Da der Körperpunkt K in jedem Moment mit der Umfangsgeschwindigkeit v in tangentialer Richtung

B 10 die Kreisbahn verlassen will, muss er durch einen äußeren Zwang in jedem Augenblick zum Mittelpunkt der Kreisbahn hin beschleunigt werden (Hammerwerfer). Die Geschwindigkeit v ändert demnach bei der gleichförmigen Bewegung auf der Kreisbahn ständig ihre Richtung, genau so wie die Tangente T an der Kreisbahn (Bild 1). Damit diese fortwährende Richtungsänderung möglich ist, muss die Beschleunigung immer rechtwinklig zur momentanen Bewegungsrichtung des Körpers erfolgen. Man spricht dann von einer Normalbeschleunigung an oder – weil sie zum Zentrum des Kreises hin gerichtet ist – von der Zentripetalbeschleunigung az: Die Beschleunigung az ist ein Maß für die zeitliche Änderung der Geschwindigkeitsrichtung. Der Betrag der Beschleunigung ergibt sich aus der Zentripetalbeschleunigung

B Naturwissenschaftliche Grundlagen v2 r mit Z als Winkelgeschwindigkeit und r als Radius der Kreisbahn. Bei beliebig ablaufender Bewegung des Körperpunkts K tritt sowohl eine Normalbeschleunigung an als auch eine Tangentialbeschleunigung at auf. Geschwindigkeit v und resultierende Beschleunigung a schließen dann den Winkel D ein (Bild 1 unten). Die gebräuchlichste Einheit der Beschleunigung ist „Meter pro Sekunde-Quadrat“ oder „Meter pro Quadratsekunde“. Das ist erkennbar aus der Definitionsgleichung für die Beschleunigung a = 'v/'t, wenn die Geschwindigkeit in m/s und die Zeit in s eingesetzt werden. Die sich ergebende Einheit m/s2 kann also auch gelesen werden als „m/s pro s“: m m m (a) = s = = s s⋅s s 2 az

r Z2

Bild 1. Beschleunigung bei gleichförmigem Umlauf auf einer Kreisbahn und bei beliebiger krummliniger Bewegung

15 Masse Definition der Masse

Die Masse m eines Körpers ist ein Maß für seine Stoffmenge und damit zugleich für die Trägheit des Körpers, d.h. für seinen Widerstand gegen eine Änderung seines Zustands der Ruhe oder der gleichförmig geradlinigen Bewegung. Die Masse ist ein Skalar und wird durch Vergleich mit Körpern bekannter Masse (Wägestücke) bestimmt. Die Länge eines Körpers ist ein Maß für seine Ausdehnung, die Temperatur ist ein Maß für die innere Energie, die Zerreißkraft ist ein Maß für die Festig-

keit usw. In gleicher Weise ist die Masse m eines Körpers ein Maß für die Trägheit oder das Beharrungsvermögen seiner Stoffmenge gegen die Einwirkung von Kräften. Während physikalische Größenarten wie Temperatur, Festigkeit, elektrische Leitfähigkeit, Gewichtskraft usw. für ein und denselben Körper verschiedene Beträge annehmen können, bleibt die Masse m eines Körpers eine ihm eigene, unveränderliche Eigenschaft. Die Erfahrung lehrt, dass ein Körper mit größerer Masse auch eine größere Antriebskraft erfordert, um ihm die gleiche Beschleunigung zu vermitteln wie einem Körper mit kleinerer Masse. Körper mit größerer Masse besitzen deshalb auch größere Trägheit oder größeres Beharrungsvermögen.

B1 Physik

B 11

16 Dichte Definition der Dichte Die Dichte r eines Körpers ist der Quotient aus seiner Masse m und seinem Volumen V. Definitionsgleichung Dichte r =

r=

Masse m Volumen V m V

r

m

V

kg m3

kg

m3

Außer der Masseeinheit kg und der Volumeneinheit m3 können auch alle anderen zulässigen Masse- und Volumeneinheiten eingesetzt werden, sodass sich z.B. als Einheit der Dichte g/cm3 ergibt. Wie die Masse m ist auch die Dichte r unabhängig von Zeit und Ort der Messung

17 Gewichtskraft Definition der Gewichtskraft

Die Gewichtskraft FG eines Körpers ist diejenige Kraft, mit der ein Körper von der Erde angezogen wird. Oder: Die Gewichtskraft FG eines Körpers ist eine physikalische Größe von der Art einer Kraft. FG muss also in Krafteinheiten angegeben werden. FG ist diejenige Kraft, die sich als Produkt aus der Körpermasse m und der an seinem Ort herrschenden Fallbeschleunigung g ergibt: FG = m g. Definitionsgleichung für die Gewichtskraft

Gewichtskraft FG des Körpers = Masse m des Körpers ˜ Fallbeschleunigung g FG m g kg m 1 2 =1 N FG = m g kg m m kg s s2 s2 Die Gewichtskraft FG ist eine der wichtigsten Größenarten in der Technik. Eine klare Vorstellung vom Wesen der Gewichtskraft eines Körpers vermitteln das dynamische Grundgesetz F = m a und die Erkenntnis, dass alle Massen sich gegenseitig anziehen (siehe Gravitation). Also zieht auch die Masse der Erde jede andere Masse an. Diese Anziehungskraft (Schwerkraft) heißt Gewichtskraft FG des Körpers. Ein frei beweglicher Körper im „Schwerefeld“ der Erde wird demnach durch FG beschleunigt mit der Fallbeschleunigung g. Da diese nicht an jedem Ort der Erde gleich groß ist, kann auch die Gewichtskraft

ein und desselben Körpers nicht überall die gleiche sein. Die Abweichungen sind zwar für die meisten Fälle der Praxis bedeutungslos, für die wissenschaftliche Erkenntnis jedoch zu beachten. Der Betrag von g hat z.B. auf einer geographischen Breite von 45º auf Meeresniveau einen Wert von 9,80 629 m/s2 und nimmt mit zunehmender Höhe und, wegen der Abplattung der Erde von den Polen, zum Äquator hin ab. Der Betrag der Gewichtskraft FG eines Körpers ändert sich deshalb in gleicher Weise. Normgewichtskraft FGn ist diejenige Gewichtskraft, die der Körper unter dem Einfluss einer ganz bestimmten Fallbeschleunigung – der sogenannten Normfallbeschleunigung gn – besitzt: Normgewichtskraft des Körpers

Masse m des Körpers FGn = m gn FGn =

Normfallbe-

· schleunigung gn

Als Normfallbeschleunigung gn wurde festgelegt: gn = 9,80 665 m/s2. Da die Fallbeschleunigung g auf anderen Planeten größer (Planet Jupiter) oder kleiner (Mond) sein kann als auf der Erde, ist die Gewichtskraft FG eines Körpers dort auch größer oder kleiner. Sie beträgt auf dem Mond infolge der dort viel geringeren Fallbe_ schleunigung (ca. 1,7 m/s2) ca. 16 der „Erdgewichtskraft“. Hier wird der Unterschied zwischen den beiden physikalischen Größen „Masse“ und „Gewichtskraft“ eines Körpers besonders deutlich: Während die Masse m des Körpers unabhängig vom Ort überall die gleiche bleibt, ändert sich seine Gewichtskraft FG je nach dem Ort und der dort herrschenden Fallbeschleunigung. Die Anziehungskraft der Erde (und anderer Planeten) wirkt immer, gleichgültig ob der Körper ruht oder sich irgendwie bewegt. Also kann man die Gewichtskraft FG als diejenige Kraft bezeichnen, mit der der Körper auf seine Unterlage gepresst wird oder die er auf seine Unterlage ausübt. Flüssigkeiten und Gase (z.B. Wasser und Luft) verringern die Gewichtskraft. Diese Kraftwirkung des umgebenden Mittels heißt Auftrieb. Er ist jedoch in Luft so gering (im Gegensatz zum Auftrieb in Wasser), dass er in allen praktischen Fällen vernachlässigt werden kann. Es ist nur nötig zu erkennen, dass er vernachlässigt wird. Da die Gewichtskraft FG zur Größenart Kraft gehört, muss sie auch in definierten Krafteinheiten gemessen werden. Aus dem dynamischen Grundgesetz wurde das Newton (N) = kg m/s2 als Krafteinheit hergeleitet. Beträgt z.B. die Masse m eines Körpers 12 Kilogramm (m = 12 kg), wird seine Normgewichtskraft FGn (mit gn = 9,80 665 m/s2 gerechnet): FGn = mg n = 12 kg⋅9,80665

m s2

≈ 120

kg m s2

= 120 N

B 12

Physik

Der Körper mit der Masse m = 12 kg wird also an einem Ort mit der Fallbeschleunigung gn = 9,80 665 m/s2 mit einer Kraft von rund 120 N auf seine Unterlage gepresst, seine Normgewichtskraft FGn beträgt ca. 120 N.

18 Gravitation oder Massenanziehung Gravitationsgesetz Alle Massen ziehen sich gegenseitig an. Die Anziehungskraft zwischen zwei Massen ist beiden Massen proportional und dem Quadrat ihres Abstands umgekehrt proportional.

Die instinktive Erfahrung lehrt, dass die Erde alle Körper mit einer Kraft anzieht. Sie wird Schwerkraft oder Gewichtskraft des Körpers genannt. Am frei beweglichen Körper ruft die Schwerkraft die Fallbeschleunigung g hervor. Die Schwerkraft auf der Erde ist jedoch nur ein spezieller Fall der allgemeinen Gravitation zwischen materiellen Körpern. Die Gravitation ist eine allgemeine Eigenschaft aller Massen, auch der Himmelskörper. Durch sie wird der Mond an das Gravitationsfeld der Erde gefesselt; ebenso die Erde und die anderen Planeten an das der Sonne. Die Eigengeschwindigkeit der Himmelskörper verhindert dabei ein Zusammentreffen, weil die auftretende Zentrifugalkraft genau so groß ist wie die Gravitationskraft. Im Laboratorium kann die Gravitationskraft zwischen zwei Massen nur mit Hilfe sehr empfindlicher Apparate nachgewiesen werden, z.B. mit der Drehwaage nach Cavendish, weil die Anziehungskraft zwischen solchen Massen sehr gering ist. Der Betrag der Gravitationskraft F zwischen zwei Massen wird mit dem Newton’schen Gravitationsgesetz bestimmt.

F

f

m1m2 r

2

F N

m1, m2 r

f Nm 2

m3

kg 2

kg s 2

kg

m

f Gravitationskonstante; m1, m2 Massen der beiden Körper; r Abstand der beiden Massenschwerpunkte. Das Gravitationsgesetz ist allgemein gültig. Es gilt für die Anziehungskraft zwischen zwei Massen an der Erdoberfläche (oder an der Oberfläche eines anderen Planeten) wie für diejenige zwischen der Erde und einer Masse an ihrer Oberfläche. Es gilt ebenso für zwei Himmelskörper untereinander innerhalb oder außerhalb unseres Sonnensystems. Die Gravitationskonstante f wurde gemessen:

6,67390 ˜10 11

f

Nm 2

kg 2 und ist damit die Kraft zwischen zwei Massen von 1 kg im Schwerpunktsabstand von 1 m oder die Beschleunigung, die eine Masse von 1 kg einer anderen Masse im Abstand von 1 m erteilt. Nach dem dynamischen Grundgesetz kann die Gewichtskraft FG = mg gesetzt werden. FG ist nichts anderes als die Anziehungskraft, welche die Erde (Masse M) auf eine andere Masse m an ihrer Oberfläche ausübt. Damit gilt: mM FG = mg = F = f 2 R Darin ist g Fallbeschleunigung, M Erdmasse, R mittlerer Erdradius, f Gravitationskonstante. Der Radius r der Masse m ist gegenüber R vernachlässigbar klein und erscheint in der Gleichung nicht. Die Fallbeschleunigung g ergibt sich dann aus:

g fM

g

R2

f

M

2

m

Nm

s2

kg 2

m

R

3

kg m

kg s 2

Mit der Gravitationskonstante f lässt sich die Masse M der Erde und ebenso deren Dichte r berechnen. Mit g | 10 m/s2; R = 6 378 km = 6,378 ˜ 106m ergibt sich: Erdmasse M

gR 2 f 10

m s

2

6,378 ˜10 m 6 2

˜

6,67 ˜10

2

11

˜ kg s 2

m3

| 6 ˜10 24 kg

Erddichte 3g r= = 4π f R 3⋅10 =

4⋅π ⋅6,67⋅10−11 | 5,6 ˜103

m

s2 m3

kg s

≈

⋅6,378⋅106 m 2

kg

m3 Das Gravitationsgesetz setzt gleichmäßige Dichte innerhalb der sich anziehenden Massen voraus. Das ist bei der Erde nicht der Fall, weshalb der Betrag von g ortsabhängig ist. Befinden sich „leichtere“ Stoffe dicht unter der Erdkruste, wird g kleiner als gewöhnlich. Durch genaue g-Messungen lassen sich so Lagerstätten von Erdöl oder Salz finden. Damit ein Körper das Gravitationsfeld der Erde verlässt, muss seine kinetische Energie m v2/2 gleich der potentiellen Energie (Lageenergie) m g R sein.

B1 Physik Daraus ergibt sich die „Fluchtgeschwindigkeit“ v des Körpers: m km ⋅6,378⋅106 m ≈ 11 s s2 Mit dem Gravitationsgesetz lässt sich z.B. derjenige Punkt zwischen Mond und Erde berechnen, an dem Mond- und Erdanziehungskraft gleich groß sind (Bild 2). Für die Masse mErde kann das 81-fache der Masse mMond gesetzt werden. Rechnet man mit dem Abstand A = r1 + r2 = 3,84 ˜ 108 m zwischen Erde und Mond, dann wird: v = 2 gR = 2⋅9,81

f

m mMond m 81 mMond = r 12 ( A− r1) 2

2 1 2 A r1  A 0 80 80 1 9 r1 = A; r2 = A 10 10 r 12 

Bild 2.

d.h. der Punkt gleicher Massenanziehungskraft zwischen Mond und Erde liegt im Abstand 9/10 A von der Erde entfernt.

19 Trägheit und Trägheitsgesetz (Erstes Newton’sches Axiom) Definition der Trägheit Die Eigenschaft der Körper, ohne äußere Einflüsse im Zustand der Ruhe oder der geradlinig gleichförmigen Bewegung zu bleiben, heißt Trägheit oder Beharrungsvermögen. Trägheitsgesetz Wirken auf einen Körper keine äußeren Einflüsse, so beharrt er im Zustand der Ruhe oder in gleichförmig geradliniger Bewegung. Oder: Jeder Körper beharrt im Zustand der Ruhe oder der geradlinig gleichförmigen Bewegung, wenn er nicht durch eine resultierende Kraft gezwungen wird, diesen Zustand zu ändern.

Man kann zwischen „Zuständen“ und „Wirkungen“ unterscheiden. Unter Zustand wird dann diejenige Bewegungsform verstanden, die der Körper von sich aus besitzt, die er dauernd beibehalten will und erst

B 13 dann aufgibt, wenn ein äußerer Zwang diesen Zustand stört. Seit Galilei haben die Physiker entschieden, dass die Ruheform und die in gerader Richtung erfolgende gleichförmige Bewegung solche Zustände sind. Wirkungen dagegen sind Vorgänge, die der Körper nicht von sich aus ausführt, sondern zu denen er durch einen äußeren Zwang, durch äußere Einflüsse kommt. Wirkungen sind demnach im Gegensatz zu den Zuständen alle anderen Bewegungsformen, also solche mit veränderlicher Geschwindigkeit (beschleunigte oder verzögerte Bewegung) und auch solche gleichförmigen Bewegungen, bei denen sich die Richtung ändert. Dass ein Körper von sich aus, also ohne die Einwirkung eines äußeren Zwangs, nur die Ruheform oder die gleichförmig geradlinige Bewegung besitzt, lässt sich experimentell nicht nachweisen, weil auf der Erde jeder Körper zumindest dem Zwang der Erdanziehung unterliegt. Auch die geradlinig gleichförmige Bewegung aller Körper auf der Erde erfordert einen Zwang, einen Antrieb von außen, der die Bewegung hemmenden Einflüsse, insbesondere die Reibung, überwindet. Eine in Bewegung gesetzte Scheibe auf glatter horizontaler Unterlage kommt dem Idealbild am nächsten. Ein völlig zwangfreier Körper ist nur denkbar in genügender Entfernung von unserem Planeten, genauer dort, wo die Massenanziehung der Erde und Sonne sich gerade aufheben.

20 Dynamisches Grundgesetz (Zweites Newton’sches Axiom) Eine resultierende Kraft Fr gibt einem Körper der Masse m die Beschleunigung a. Die Vektoren Fr und a haben immer die gleiche Richtung, sodass mit ihren Beträgen gerechnet werden kann. resultierende Kraft Fr = = Masse m des Körpers · Beschleunigung a Fr = m a

Fr N=

m

kg m s2

kg

a m s2

Das dynamische Grundgesetz Fr = m a wurde von Newton aufgestellt und regiert sämtliche Bewegungen frei beweglicher Körper unter dem Einfluss resultierender Kräfte. Es ist damit das wichtigste Gesetz der Dynamik, also jenes Teilgebiets der Mechanik, das sich mit der durch Kräfte hervorgerufenen Bewegung des Körpers befasst. Anhand des dynamischen Grundgesetzes lässt sich das Wesen solcher differenziell-kausal-deterministischen Gesetze erkennen: Ein beliebiger Körper bewegt sich nach dem dynamischen Grundgesetz a = Fr / m so, dass in jedem

B 14 Augenblick seine Beschleunigung a gleich der auf ihn wirkenden resultierenden Kraft Fr , dividiert durch die Körpermasse m, ist. Beim beliebig bewegten Körper bestimmt das Gesetz den Bewegungsablauf nur von einem Augenblick zum nächsten, d.h. innerhalb einer Zeitdifferenz. Das Gesetz ist demnach differenziell. Da jede Bewegungsänderung eine Ursache, die resultierende Kraft Fr , erfordert, ist das Gesetz kausal. Sind die Anfangsbedingungen der Bewegung bekannt, also die resultierende Kraft Fr , und zu einem bestimmten Zeitpunkt die Lage und die Geschwindigkeit des Körpers, lässt sich durch Summierung aller augenblicklichen Wirkungen die Bahn des Körpers vorausberechnen. Das Gesetz ist also auch deterministisch. Das dynamische Grundgesetz gilt für den ausdehnungslosen Massenpunkt. Als solcher kann ein Körper dann aufgefasst werden, wenn die Wirklinie der Beschleunigungskraft durch den Schwerpunkt geht. Bei der Untersuchung praktischer Verhältnisse ist zu beachten, dass andere Kräfte (z.B. Magnetkräfte, Windkräfte) oder Widerstände (Reibung) den Bewegungszustand beeinflussen. Immer ist – zumal bei Vertikalbewegung – die Gewichtskraft FG der Körper in die Betrachtung einzubeziehen. Das Gleiche gilt für die Reibung und zwar gleichgültig, ob es sich um feste, flüssige oder gasförmige Körper handelt. Die ursprüngliche Fassung des dynamischen Grundgesetzes bezieht sich auf eine einzelne äußere Kraft, die am Körper der Masse m die Beschleunigung a erzielt. Einen solchen Fall gibt es nur beim freien Fall eines Körpers im luftleeren Raum. Deshalb ist es zweckmäßig, das Gesetz mit dem Begriff der resultierenden Kraft Fr zu koppeln. Die Angabe, es wirkt auf den Körper eine Kraft, bedeutet, dass am Körper eine resultierende Kraft wirksam ist und der Körper beschleunigt wird. Die häufig gebrauchten Aussagen, „die resultierende Kraft ist gleich null“, „es wirkt keine resultierende Kraft“, „die Resultierende ist gleich null“, „die Kräfte stehen im Gleichgewicht“, „es wirken keine äußeren Kräfte“ oder „es wirken keine äußeren Einflüsse“ sind bezüglich der Wirkung auf den Körper gleichwertig. Ein solcher Körper würde entweder in Ruhe bleiben oder in gleichförmig geradliniger Bewegung verharren. Das ist auch aus dem dynamischen Grundgesetz zu erkennen; denn wenn Fr = 0 ist, kann nur die Beschleunigung selbst gleich null werden oder sein, d.h. der Körper ruht oder bewegt sich gleichförmig.

B Naturwissenschaftliche Grundlagen

21 Wechselwirkungsgesetz (Drittes Newton’sches Axiom) Überträgt ein Körper auf einen anderen eine Kraft F1, wirkt dieser mit gleich großer und gegensinniger Kraft F2 auf derselben Wirklinie zurück. (actio = reactio). Oder: Jede Kraft tritt immer zusammen mit einer gleich großen gegensinnigen Gegenkraft auf, die auf den Gegenkörper einwirkt. Beide Kräfte haben eine gemeinsame Wirklinie. Die Formulierung „auf den Körper wirkt eine Kraft“ besagt, dass ein oder mehrere andere Körper eine Wirkung auf den betrachteten Körper ausüben. Auf das Pedal des Fahrrads übt ein anderer Körper – der Fuß des Fahrers – eine Kraft aus. Ein Stein wird deshalb beschleunigt, weil die Hand ihn fortschleudert, also eine Kraft auf ihn ausübt. Der andere Körper – hier also der Stein – wirkt mit gleicher Kraft auf die Hand zurück. Immer dann, wenn eine Kraft ausgeübt wird, stehen demnach zwei Körper miteinander in Wechselwirkung. Dabei brauchen sich die beteiligten Körper nicht zu berühren. Man spricht von Nahkräften, wenn diese unmittelbar von Körper zu Körper übertragen werden und von Fernkräften, wenn die beteiligten Körper einen an der Kraftübertragung nicht beteiligten Zwischenraum besitzen, also nicht miteinander in Verbindung stehen. Solche Fernkräfte sind z.B. magnetische Kräfte und Massenanziehungskräfte, also auch die Gewichtskraft. In diesem Fall ist der andere Körper die Erde. Die Körper wirken immer wechselseitig aufeinander, d.h. mit der gleichen Kraft, mit der ein Körper auf einen anderen einwirkt, wirkt dieser auf den ersten Körper zurück. So übt das auf dem Tisch liegende Buch eine Kraft auf die Tischplatte aus, nämlich die Gewichtskraft FG. Mit gleicher Kraft wirkt auch die Tischplatte auf das Buch zurück. Die beiden Kräfte sind gleich groß, gegensinnig und wirken auf einer gemeinsamen Wirklinie. Das Gleiche gilt auch für den frei fallenden Körper. Die Erde zieht jeden Körper mit einer bestimmten Kraft an (Gewichtskraft FG). Mit der gleichen Kraft zieht auch der Körper die Erde an. Die nach dem Wechselwirkungsgesetz auftretenden Gegenkräfte lassen sich an ihren Wirkungen leicht erkennen: Ein Mann, der vom ruhenden Boot aus ein anderes wegstößt, wird selbst in entgegengesetzter Richtung beschleunigt (Rückstoß). Beide Boote kommen in Bewegung und ihre Beschleunigungen sind ihren Massen umgekehrt proportional. Das Beispiel zeigt, dass jede Kraft eine Gegenkraft zur Folge hat. Wichtig ist die Erkenntnis, dass diese Gegenkraft immer am anderen Körper ansetzt. Ohne Kraft gibt es keine Gegenkraft und eine Gegenkraft

B1 Physik kann nur auftreten, wenn eine Kraft wirkt; dann allerdings entsteht sie immer. Dabei ist es gleichgültig, ob der Körper ruht oder sich gleichförmig geradlinig bewegt, ob er beschleunigt oder verzögert wird. Alle mechanischen Kräfte sind zunächst so genannte innere Kräfte eines Systems mehrerer Bauteile. Wie die inneren Kräfte zwischen den einzelnen Teilchen ein und desselben Körpers treten auch sie immer paarweise auf. Die zwischen Buch und Tischplatte wirkende Kraft ist im System „Buch-Tischplatte“ eine innere Kraft. Erst wenn an der Berührungsstelle ein „Schnitt“ gelegt wird. d.h. wenn jeder der beiden beteiligten Körper für sich „frei gemacht“ wird, erscheinen sie als äußere Wechselwirkungskräfte. So sind die innerhalb des Kurbeltriebs einer Lokomotive wirkende Kolbenkraft, Schubstangenkraft, Reibkräfte usw. für die ganze Lokomotive gesehen „innere“ Kräfte. Das Gleiche gilt für die zwischen Rad und Schiene übertragenen Kräfte, die beim Freimachen als äußere Kräfte (Stützkräfte) erscheinen. Auch alle Gewichtskräfte im System „Körper-Erde“ werden erst durch den Kunstgriff des Freimachens zu äußeren Kräften. Dabei ist an jedem Körper immer nur eine der beiden Wechselwirkungskräfte anzutragen. Würden im Beispiel des fortgeschleuderten Steins, der beschleunigt wird, die von der Hand auf den Stein ausgeübte Kraft und zugleich die vom Stein auf die Hand übertragene Gegenkraft am selben Körper angetragen, so wäre dieser im Gleichgewicht, also in Ruhe oder gleichförmig geradliniger Bewegung. Beachte: Eine äußere Kraft tritt nur einmal am Körper auf oder anders ausgedrückt: Die Angriffspunkte von Kraft und Gegenkraft liegen immer an verschiedenen Körpern. Diese Erkenntnis wird beim Freimachen technischer Bauteile benutzt (siehe: Statik).

22 Kraft Definition der Kraft Kraft ist die Ursache jeder Bewegungsänderung oder Formänderung oder die Ursache beider Änderungen zugleich. Die Kraft ist ein Vektor.

Ruhelage oder gleichförmig geradlinige Bewegung eines Körpers können als natürliche Zustände bezeichnet werden. Eine Änderung kann (im Bereich rein physikalischer Betrachtungen) nur durch eine äußere Einwirkung auf diesen Zustand eintreten. Ursache einer solchen Einwirkung wird immer das Auftreten einer äußeren Kraft sein, die als mechanische, magnetische, elektrische oder auch atomare Kraft die beobachtete Zustandsänderung bewirkt. Eine auf den Körper wirkende Kraft kann außer der Änderung des Bewegungszustands auch eine Formänderung des Körpers hervorrufen. In diesem Fall ist als „Gegenkraft“ der von außen wirksamen Kraft die

B 15 Summe der elastischen Molekularkräfte (also des Gefügezusammenhangs) anzusehen. Häufig gebrauchte Benennungen der Kraft Äußere Kraft ist die auf das zu betrachtende Bauteil von außen, d.h. von einem anderen Bauteil her, ausgeübte Kraft. Äußere Kraft ist z.B. die von der Schiene auf das Rad einer Lokomotive ausgeübte Stützkraft. Im System Rad-Schiene ist diese Stützkraft zunächst noch eine innere Kraft. Sie wird erst durch das Freimachen des Rades zur äußeren Kraft. Die Gewichtskraft FG eines Körpers ist immer eine äußere Kraft. Innere Kräfte (genauer: innere Wechselwirkungskräfte) treten zwischen den einzelnen Teilen desselben Körpers auf. Sie werden durch einen Schnitt zu äußeren Kräften gemacht und dadurch veranschaulicht. An jeder Schnittfläche tritt dann eine der beiden Wechselwirkungskräfte als äußere Kraft auf. Während eine äußere Kraft am betrachteten Bauteil nur einmal auftritt, treten die inneren Kräfte am Körper selbst immer paarweise auf. Sie heben sich nach dem Wechselwirkungsgesetz auf, d.h. am gemeinsamen Angriffspunkt ist ihre Summe gleich null. Die durch äußere Kräfte hervorgerufenen inneren Kräfte spielen in der Festigkeitslehre eine Rolle. Im weiteren Sinn spricht man nicht nur am selben Körper von inneren Kräften, sondern auch bei Berührung zweier Bauteile. Alle Stützkräfte sind demnach zunächst noch innere Kräfte im geschlossenen System der beiden Bauteile. Erst eine Schnittebene durch die Berührungsstelle macht diese inneren Wechselwirkungskräfte zu äußeren Kräften. Zwischen den Backen eines Schraubstocks und dem eingespannten Werkstück wirken innere Kräfte, die beim Freimachen beider Bauteile zu jeweils einer äußeren Kraft werden. Volumenkräfte Fv sind solche, die man sich im Schwerpunkt eines jeden einzelnen noch so kleinen Volumenelements (Körperteilchens) angreifend denken muss. Dazu gehören die Massenanziehungskräfte (Schwerkräfte, Gravitationskräfte, Gewichtskräfte), aber auch die Magnetkräfte (Bild 3).

Bild 3.

B 16 Beiden gemeinsam ist das Vorhandensein eines „Feldes“, sodass es zweckmäßig ist, die Volumenkräfte nach ihrer Herkunft als Feldkräfte zu bezeichnen. Ein Feld (Gravitationsfeld, Magnetfeld) pflanzt sich in den Raum hinein fort. Die Kräfte wirken also auch ohne gegenseitige Berührung der Körper. Feldkräfte werden daher auch als Fernkräfte bezeichnet. Oberflächenkräfte Fo (auch als Flächenkräfte bezeichnet) greifen an der Oberfläche eines Körpers an. Das setzt voraus, dass sich die beteiligten Körper berühren, wie etwa Tisch und darauf liegendes Buch oder die Haut des Schwimmers und das ihn umgebende Wasser (Bild 4).

Bild 4.

In der Mechanik wird vereinfacht gesagt, die Kraft wirkt nur in einer Linie (der Wirklinie) und greift daher auch nur an einem Punkt des Körpers an. In Wirklichkeit verteilt sich jede äußere Kraft entweder über eine Fläche (Oberflächenkraft) oder über alle Teilchen des Körpers (Volumenkraft = Feldkraft). Im Zusammenhang mit den Begriffen Volumenkraft und Oberflächenkraft lässt sich der Begriff der so genannten Schwerelosigkeit eines Körpers erläutern: Ein Körper von der Masse m befindet sich immer dann im Zustand scheinbarer Schwerelosigkeit, wenn keine Oberflächenkräfte an ihm angreifen. Massenkräfte wirken immer, weil sich ein Körper immer in einem Gravitationsfeld befindet, also kann auch nur von einer scheinbaren Schwerelosigkeit gesprochen werden. In einem solchen Zustand befindet sich beispielsweise jeder in den luftleeren Raum abgeschossene Körper, gleichgültig welcher Beschleunigung oder Verzögerung er im freien Flug unterliegt, also auch die Astronauten beim antriebslosen Rückflug zur Erde bis zum Wiedereintritt in die Atmosphäre. Lasten werden in der Technik häufig solche äußeren Kräfte genannt, die den Körper nicht als Ganzes bewegen, sondern nur verformen oder um eine Ruhelage schwingen lassen.

23 Trägheitskraft Nach dem Wechselwirkungsgesetz erzeugt jede Kraft am anderen Körper eine Gegenkraft. Der Finger kann

B Naturwissenschaftliche Grundlagen nur deshalb mit F = 2 N auf die Tischplatte drücken, weil diese ebenfalls mit F = 2 N auf den Finger wirkt. Dabei wird allerdings die Gegenkraft, die der Tisch auf den Finger ausübt, von anderen Körpern durch äußere Kräfte (in Bezug auf den Tisch) übertragen, also vom Fußboden auf den Tisch. Der Tisch überträgt demnach die Kräfte nur von einer Stelle (Fußboden) auf die andere (Finger). Das gilt für alle ruhenden oder gleichförmig geradlinig bewegten Körper. Sie erzeugen die Gegenkraft gewissermaßen nicht „von selbst“; sie sind nur indirekt daran beteiligt. Es ist auch gleichgültig, welche Stoffmenge der Körper besitzt und aus welcher Stoffart er hergestellt wurde. Beim Tisch ist es also gleichgültig, ob er aus Stahl oder Holz besteht. Das ist anders beim frei beweglichen Körper, bei dem ja kein anderer Körper abstützend wirken kann. Auch hier entwickelt sich eine Gegenkraft. Sie ist wahrnehmbar beim Anstoßen einer Stahlkugel, die an einem langen Faden aufgehängt ist, sodass angenommen werden kann, sie sei für kurze horizontale Wege ohne Widerstand beweglich. Während der ruhende oder der gleichförmig bewegte Körper die Gegenkraft nur überträgt, ohne an deren Auftreten direkt beteiligt zu sein, entwickelt der beschleunigt bewegte Körper – hier die Stahlkugel – die Gegenkraft von selbst, offenbar aus sich heraus. Sie kommt zustande durch die bekannte Eigenschaft „Trägheit“ des Körpers, also durch seine Masse. Der Körper entwickelt die Gegenkraft aus dem Bestreben heraus, seinen natürlichen Zustand beizubehalten, also zu ruhen oder sich gleichförmig geradlinig zu bewegen. Die Trägheit ist demnach erst der Grund für das Zustandekommen der beschleunigenden Kraft. Wäre der Körper nicht von sich aus träge, wäre zum Beschleunigen keine Kraft nötig. Diese sich aus dem Körper selbst entwickelnde Gegenkraft heißt Trägheitskraft T (oder Trägheitswiderstand oder d'Alembert-Kraft). Nach dem Wechselwirkungsgesetz muss T genau so groß sein wie die beschleunigende Kraft selbst, jedoch von entgegengesetztem Richtungssinn. Sinnlich wahrnehmbar ist die Trägheitskraft in folgendem Beispiel: In einem Fahrstuhl hängt ein Körper an einer Federwaage. Sie zeigt bei Ruhestellung und bei gleichförmiger Auf- oder Abwärtsfahrt die „wahre“ Gewichtskraft des Körpers an. Beim Anfahren zur Aufwärtsfahrt und Bremsen aus der Abwärtsfahrt zeigt die Waage eine größere Gewichtskraft an, weil in diesem Fall Gewichtskraft (Schwerkraft) und Trägheitskraft die gleiche Richtung haben und sich algebraisch addieren. Beim Anfahren zur Abwärtsfahrt und Bremsen aus der Aufwärtsfahrt verringert sich die Anzeige der Waage, weil Schwerkraft und Trägheitskraft entgegengesetzt gerichtet sind. Von der beschleunigenden Kraft F ist seit Newton bekannt, dass sie der Beschleunigung a und der Körpermasse m proportional ist, nämlich F = m a (dynamisches Grundgesetz). Demnach ist die Trägheits-

B1 Physik

B 17

kraft T ebenfalls gleich Masse mal Beschleunigung und es ist üblich, den entgegengesetzten Richtungssinn durch ein Minuszeichen zu kennzeichnen: T T = –m a

kg m s2

m kg

a m s2

Wichtig ist folgende Erkenntnis: Die Trägheitskraft ist weder eine innere noch eine äußere Kraft. Während die äußeren Kräfte von anderen Körpern auf den betrachteten übertragen und die inneren letztlich durch äußere Kräfte hervorgerufen werden, entwickelt der Körper selbst die Trägheitskraft T, natürlich auch nur dann, wenn ein anderer Körper eine Kraft einwirken lässt. Wegen dieses grundsätzlichen Unterschieds zwischen den Trägheitskräften, den inneren und äußeren Kräften werden die Trägheitskräfte meist als „gedachte Kräfte“ oder „Hilfskräfte“ bezeichnet. Ihre Bedeutung liegt in der von d’Alembert entwickelten Methode, Aufgaben der Dynamik auf solche der Statik zurückzuführen. Das wird erst möglich durch die Einführung der Trägheitskräfte, die den am frei gemachten Körper angreifenden äußeren Kräften hinzugefügt werden (siehe dynamisches Gleichgewicht und Prinzip von d’Alembert).

24 Statisches Gleichgewicht Satz vom statischen Gleichgewicht Aus der Tatsache, dass sich ein ruhender oder geradlinig gleichförmig bewegter Körper im Gleichgewicht befindet, folgert man, dass die Summe seiner geometrisch addierten äußeren Kräfte und Momente den Wert null ergibt. Dieser Satz wird zur Bestimmung der noch unbekannten Kräfte benutzt.

Greifen an einen „starren“ Körper äußere Kräfte nur in einer Ebene an, spricht man vom „ebenen Kräftesystem“ im Gegensatz zum „räumlichen Kräftesystem“, bei dem die Wirklinien der Kräfte in verschiedenen Ebenen angreifen. Sowohl beim ebenen als auch beim räumlichen Kräftesystem gibt es den Fall, dass die Kräfte einen gemeinsamen Angriffspunkt haben (zentrales Kräftesystem) oder dass mehrere Angriffspunkte zu finden sind (allgemeines Kräftesystem). Als Ergebnis der Kräftereduktion beliebiger Kräftesysteme ergeben sich folgende Möglichkeiten: 1. Das Ergebnis der Kräftereduktion ist eine Einzelkraft Fr und ein Kräftepaar: 6 F z 0 (Summe aller Kräfte ungleich null), 6 M z 0 (Summe aller Momente ungleich null).

Bild 5.

Ein solches Kräftesystem ist statisch gleichwertig (äquivalent) einer Einzelkraft im Wirkabstand l vom Bezugspunkt D. Die Summe der geometrisch addierten Kräfte F1, F2, F3 ... ist ungleich null, d.h. es bleibt eine resultierende Einzelkraft Fr übrig, die den Körper auf der Wirklinie von Fr verschiebt oder verschieben könnte. Außerdem ergibt die Kräftereduktion, dass ein resultierendes Moment Mr (Kraft Fr ˜ Wirkabstand l ) übrig bleibt, d.h. die Summe der geometrisch addierten Momente M1, M2, M3 ... ist ungleich null. Dieses statische Moment würde den Körper um eine beliebige Drehachse drehen. Unter dem Einfluss des vorliegenden Kräftesystems kann sich der frei bewegliche Körper sowohl verschieben als auch drehen (Translation und Rotation). Aus der Überlegung, dass offenbar das vorliegende Kräftesystem gleichwertig ist einer im Abstand l wirkenden Resultierenden Fr (Bild 5) wird der so genannte Momentensatz hergeleitet: Moment der Resultierenden Fr Summe der Momente aller Kräfte in Bezug auf = in Bezug auf den beliebigen Drehpunkt gleichen Drehpunkt 6 M = l Fr Daraus lässt sich der Wirkabstand l der Resultierenden Fr berechnen: l

6M 6F

M 1  M 2  M 3 ... M n F1  F2  F3 ... Fn

2. Das Ergebnis der Kräftereduktion ist eine Einzelkraft Fr: 6 F z 0 (Summe aller Kräfte ungleich null), 6 M = 0 (Summe aller Momente gleich null).

Bild 6.

Ein solches Kräftesystem ist statisch gleichwertig einer durch den Drehpunkt laufenden Einzelkraft. Die Summe der geometrisch addierten Kräfte F1, F2, F3 ... ist also auch hier ungleich null und es bleibt wieder eine resultierende Einzelkraft Fr übrig, die den

B 18 Körper auf ihrer Wirklinie verschiebt oder verschieben könnte. Die Summe der geometrisch addierten Momente ist hier jedoch gleich null, weil kein Kräftepaar übrig bleibt; der Körper kann sich jetzt nicht drehen. Ein solches Kräftesystem kann nur existieren, wenn die Wirklinie der resultierenden Einzelkraft Fr genau durch den gewählten Drehpunkt hindurchläuft, denn nur in diesem Fall ist der Wirkabstand von Fr gleich null und damit auch die Summe der Momente. 3. Das Ergebnis der Kräftereduktion ist ein Kräftepaar: 6 F = 0 (Summe aller Kräfte gleich null), 6 M z 0 (Summe aller Momente ungleich null).

Bild 7.

Ein solches Kräftesystem ist statisch äquivalent einem Kräftepaar, d.h. es bleibt bei der Kräftereduktion ein Kräftesystem übrig, das aus zwei gleich großen, gegensinnigen Kräften besteht, deren Wirklinien außerdem parallel liegen, sodass es sich nicht weiter vereinfachen lässt. Man bezeichnet deshalb eine resultierende Einzelkraft Fr und ein Kräftepaar als statisch äquivalent (gleichwertig); beide lassen sich nicht weiter reduzieren. Der Körper bleibt dann am Ort stehen und dreht sich um jede beliebige Achse mit der Drehkraftwirkung des Kräftepaares, d.h. mit seinem Moment M = F l. 4. Ergibt die Kräftereduktion, dass die Summe der geometrisch addierten Kräfte und Momente gleich null ist, sagt man, die Kräfte stehen im Gleichgewicht. 6 F = 0 (Summe aller Kräfte gleich null), 6 M = 0 (Summe aller Momente gleich null).

Bild 8.

Ein solcher Körper muss nach dem Trägheitsgesetz entweder ruhen oder sich mit konstanter Geschwindigkeit auf geradliniger Bahn fortbewegen. Deshalb sagt man auch, der Körper befindet sich im Gleichgewicht, weil er sich weder beschleunigt verschiebt

B Naturwissenschaftliche Grundlagen (Summe aller Kräfte ungleich null) noch beschleunigt dreht (Summe aller Momente ungleich null). Manchmal sagt man auch kurz, es herrscht Gleichgewicht. Es bleibt dann der Anschauung des Betrachters überlassen, ob er das begrifflich auf den Körper oder das Kräftesystem bezieht. Das ist tatsächlich gleichgültig, wenn nur erkannt wird: Wenn ein Körper ruhen oder sich geradlinig gleichförmig bewegen soll, muss die Summe seiner geometrisch addierten Kräfte und Momente gleich null sein. Man nennt deshalb 6 F = 0, 6 M = 0 die Gleichgewichtsbedingungen am starren Körper. Da sich ein frei beweglicher Körper im Raum in Richtung der drei Achsen (x, y, z) eines rechtwinkligen Achsenkreuzes sowohl verschieben als auch um diese Achsen drehen kann, spricht man von den sechs Freiheitsgraden des Körpers im Raum. Analytisch aufgespaltet gelten dann die sechs rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen: 6 Fx = 0 6 Fy = 0 6 Fz = 0

½ keine beschleunigte oder ¾ verzögerte Verschiebung ¿ möglich

6 M(x) = 0 ½ keine beschleunigte oder 6 M(y) = 0 ¾ verzögerte Drehung 6 M(z) = 0 ¿ möglich Ein Körper in der Ebene kann sich in zwei rechtwinklig aufeinander stehenden Richtungen in der Ebene (x, y) verschieben und sich um eine zur Ebene stehende Achse drehen. Ein solcher Körper besitzt demnach drei Freiheitsgrade. Analytisch aufgespaltet gelten dann die drei rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen: 6 Fx = 0 6 Fy = 0

½ keine beschleunigte oder ¾ verzögerte Verschiebung ¿ möglich

½ keine beschleunigte oder 6 M(z) = 0 ¾ verzögerte Drehung ¿ möglich Mit Hilfe der rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen können noch unbekannte Kräfte berechnet werden. Für jede unbekannte Größe muss dann eine Gleichung existieren, sonst ist das Kräftesystem „statisch unbestimmt“ und nach den Gesetzen der Statik allein nicht zu lösen. Es müssen dann noch Gesetze der Elastizitätslehre bekannt sein, z.B. das Hooke’sche Gesetz. Da beim zentralen Kräftesystem in der Ebene eine Momentwirkung nicht auftreten kann, weil die Wirklinien aller Kräfte durch den gemeinsamen Angriffspunkt gehen, also keine Kraft einen Wirkabstand besitzt, genügen die beiden Kraft-Gleichgewichtsbedingungen 6 Fx = 0, 6 Fy = 0. Analog gilt für das

B1 Physik

B 19

zentrale räumliche Kräftesystem  Fx = 0,  Fy = 0,  Fz = 0. Bei der zeichnerischen Behandlung solcher Kräftesysteme muss sich das Krafteck aller Kräfte schließen, weil nur dann die Resultierende Fr = 0 ist.

25 Dynamisches Gleichgewicht Satz vom dynamischen Gleichgewicht Für jeden ungleichförmig bewegten Körper ist die Summe der geometrisch addierten äußeren Kräfte einschließlich der Trägheitskräfte gleich null. Dieser Satz wird zur Bestimmung unbekannter Kräfte benutzt. Nach dem Trägheitsgesetz ist am ruhenden oder geradlinig gleichförmig bewegten Körper die Summe aller geometrisch addierten Kräfte und Momente gleich null. Auch ohne besondere Angabe ist bekannt, dass es sich nur um äußere Kräfte und Momente handeln kann, also solche, die von irgendeinem anderen Körper auf den betrachteten übertragen werden. Bleibt bei der Kräftereduktion, der Vereinfachung des vorliegenden Kräftesystems, eine Kraft als „Resultierende“ übrig, wird der Körper entweder beschleunigt oder verzögert. Den Zusammenhang zwischen der sich einstellenden Beschleunigung a und der resultierenden Kraft Fr liefert über die Masse m des Körpers das dynamische Grundgesetz Fr = m a. Nach dem Wechselwirkungsgesetz ist diese resultierende Kraft Fr gleich groß gegensinnig der Trägheitskraft T, die der beschleunigte oder verzögerte Körper aus sich heraus entwickelt und die auf den beschleunigenden Körper zurückwirkt. Mit Hilfe dieser Trägheitskraft T ist es nun möglich, die statischen Gleichgewichtsbetrachtungen auch auf solche Körper zu beziehen, die beschleunigte oder verzögerte Bewegungen ausführen, also auf Körper, für die die Kräftesumme nicht gleich null ist. Auf den gleichen Körper bezogen heben sich die angreifende Beschleunigungskraft Fr und die dadurch hervorgerufene Trägheitskraft T auf: Sie stehen also im Gleichgewicht wie zwei äußere Kräfte, die gleich groß und gegensinnig sind. Damit gilt: Fr – T = 0

und mit T = m a

Fr – m a = 0 Beachte: Die Trägheitskraft T ist immer der Beschleunigung a entgegengerichtet. Mathematisch formuliert, ergibt sich der Satz vom dynamischen Gleichgewicht:  v   ( F +T ) =  F − m = 0 t  

Ein bekanntes Beispiel für die Benutzung des Begriffs der Trägheitskraft ist die Zentrifugalkraft Fz. Bewegt sich ein Körper der Masse m auf einem Kreis mit dem Radius r, ist dazu eine zum Mittelpunkt des Kreises gerichtete Kraft nötig (Hammerwerfer). Diese Kraft heißt Zentripetalkraft Fc. Sie hält den Körper auf der Kreisbahn. Wäre sie nicht da, würde der Körper in tangentialer Richtung davonfliegen. Sie wird berechnet aus: Fc

v2 Fc = m r

N

kg m s2

m

v

r

kg

m s

m

m Körpermasse, v Umfangsgeschwindigkeit, r Kreisbahnradius Von der Schwerkraft abgesehen ist die Zentripetalkraft die einzige am Körper angreifende äußere Kraft. Ihr muss nach dem Wechselwirkungsgesetz eine gleich große Kraft entgegenwirken. Das kann hier nur eine Trägheitskraft sein. Man nennt sie Zentrifugalkraft Fz und schreibt: Fz  m

v2 r

Fz ist demnach vom gleichen Betrag wie Fc, nur mit entgegengesetztem Richtungssinn. Es ist zu beachten, dass Trägheitskräfte nur dann eingesetzt werden dürfen, wenn eine Dynamikaufgabe nach den statischen Gleichgewichtsbedingungen (also „statisch“) behandelt werden soll. Wird eine solche Aufgabe nicht statisch gelöst, also etwa mit Hilfe des dynamischen Grundgesetzes oder eines daraus entwickelten Satzes, dann sind die Trägheitskräfte – eben weil sie keine „äußeren“ Kräfte sind – als nicht vorhanden anzusehen. Literatur [1] Böge, A.: Physik, Grundlagen – Versuche – Aufgaben – Lösungen. Braunschweig: Vieweg, 2005 [2] Föppl, L.: Elementare Mechanik vom höheren Standpunkt. München: Oldenbourg [3] Franke, H.: Lexikon der Physik. Stuttgart: Francksche Verlagshandlung [4] Gerlach, W.: Physik. Frankfurt am Main: Fischer Bücherei KG [5] Heitler, W.: Der Mensch und die naturwissenschaftliche Erkenntnis. Braunschweig: Vieweg [6] Sacklowski, A.: Physikalische Größen und Einheiten. Stuttgart: Deva Fachverlag [7] Wallot, J.: Größengleichung, Einheiten und Dimensionen. Leipzig: Barth

B 20

B Naturwissenschaftliche Grundlagen

Tabelle 1. Physikalische Größen, Definitionsgleichungen, Einheiten und Dimensionen 25 Tabellen Mechanik Formelzeichen

Definitionsgleichung

SI-Einheit1)

Länge

l, s, r

Basisgröße

m (Meter)

Fläche

A

A = l2

m2

Volumen

V

V = l3

m3

Größe

ebener Winkel

1)

, ,  ...

α=

rad  1

Kreisbogen Kreisradius

(Radiant)

sr  1

Kugelfläche Radiusquadrat

(Steradiant)

Basisgröße

s (Sekunde)

Bemerkung, Beispiel andere zulässige Einheiten 1 Seemeile (sm) = 1 852 m Hektar (ha), 1 ha = 104 m2 Ar (a), 1 a = 102 m2 Liter (l) 1 l = 10–3 m3 = 1 dm3

α =1,7

m =1,7 rad m m2 = 0, 4 sr m2

Raumwinkel



Zeit

t

Frequenz

f

Drehfrequenz (Drehzahl)

n

Geschwindigkeit

v

v=

ds s = dt t

m s

1

Beschleunigung

a

a=

dv v = dt t

m s2

cm km , ... h 2 s2

Fallbeschleunigung

g

Winkelgeschwindigkeit



ω=

Umfangsgeschwindigkeit

vu

vu = d n =  r

Winkelbeschleunigung



Ω=

f=

1 T

1 −1 = s = Hz s (Hertz)

n=2 f

1 −1 =s s

m s2

α=

ϕ vu = t r

dω ω a = = dt t r

Einheit des „Système International d’Unités“ (Internationales Einheitensystem)

1 rad = s s m s

1 rad = 2 s2 s

Ω = 0, 4

1 min = 60 s; 1 h = 60 min 1 d = 24 h = 86 400 s bei Umlauf frequenz wird U/s statt 1/s benutzt T Periodendauer U 1 1 = = min−1 = min min 60 s km 1 m = h 3,6 s

Normfallbeschleunigung gn = 9,80 665 m/s2

Drehwinkel in rad d Durchmesser n Drehzahl

 Winkelgeschwindigkeit

B1 Physik

B 21 Formelzeichen

Definitionsgleichung

SI-Einheit

Masse

m

Basisgröße

kg

Dichte

r

r=

Kraft

F

F=ma

Größe

m V

kg m3 N=

kgm s2

Bemerkung, Beispiel andere zulässige Einheiten 1 g = 10–3 kg 1 t = 103 kg g t ; cm3 m3

1 dyn = 10–5 N

(Newton) Gewichtskraft

FG

FG = m g

Druck

p

F p= A

dynamische Viskosität

kinematische Viskosität

v

Arbeit

W

Energie

W

N=

kgm s2

N kgm = m 2 m 2s 2

Ns kgms = m 2 m 2s 2

v=

η r

m 2 Ns/m 2 = s kg/m3

W=Fs

J=

kgm 2 s2

m 2 v 2

J=

kgm 2 s2

W=

W=mgh W t

Leistung

P

P=

Drehmoment

M

M=Fl

Trägheitsmoment

J

Elastizitätsmodul

E

Schubmodul

G

J=

∫ d m r2

E =σ G=

l0 l

E 2 (1+ µ )

W=

Nm =

Normgewichtskraft FGn = m gn 1 bar =105

N =105 Pa m2

N = Pa (Pascal) m2 Ns = Pa s m2 1 P = 0,1 Pa s (P Poise) 1St =10−4

m2 (St Stokes) s

1 J = 1 Nm = 1 Ws J Joule Nm Newtonmeter Ws Wattsekunde kWh Kilowattstunde 1 kWh = 3,6  106 J = 3,6 MJ

Nm s

1

kgm 2 s2

Biegemoment Mb Torsionsmoment T

kgm2

Nm J =1 =1 W s s

Massenmoment 2. Grades (früher: Massenträgheitsmoment) N

N kg = m2 s2 m

mm2

N kg = m2 s2 m

N ( µ Poisson-Zahl) mm 2

B 22

B Naturwissenschaftliche Grundlagen

Thermodynamik Bemerkung, Beispiel andere zulässige Einheiten

Formelzeichen

Definitionsgleichung

SI-Einheit

T, 

Basisgröße

K (Kelvin)

1 K = 1 ºC (Grad Celsius) t,  Celsius-Temperatur

spezifische innere Energie

u

u = q + wv

J kgm 2 = 2 kg s kg

1

kgm 2 =1 Nm = 1 J s2

Wärme (Wärmemenge)

Q

Q = m c  Q = U – Wv

1

kgm 2 =1 Nm = 1 J s2

spezifische Wärme

q

q = u – wv

spezifische Wärmekapazität

c

Enthalpie

H

Wärmeleitfähigkeit



W kgm = m K s3K

J mhK

1 K = 1 °C

Wärmeübergangskoeffizient



W kg = m 2 K s3K

J m2 h K

1 K = 1 °C

Wärmedurchgangskoeffizient

k

W kg = m 2 K s3K

J m2 h K

1 K = 1 °C

Größe Temperatur (thermodynamische Temperatur)

spezifische Gaskonstante

Ri =

universelle Gaskonstante

R

Strahlungskonstante

C

c=

Q q = m ϑ  T

H = U + pV h = u + pv

R M

Ri = R = 8315

p Tr

J kmol K

J=

kgm 2 s2

J kgm 2 = 2 kg s kg J kgm 2 = kg K s 2 kg K J=

kgm 2 s2

J m2 = kg K s 2 K J kmol K W kg = m 2 K 4 s3 K 4

h=

M

H m

spezifische Enthalpie

molare Masse

1 kmol = 1 Kilomol W m2K 4 Strahlungskonstante des schwarzen Körpers

Cs = 5,67 Cs

B1 Physik

B 23

Elektrotechnik Bemerkung, Beispiel andere zulässige Einheiten

Formelzeichen

Definitionsgleichung

SI-Einheit

elektrische Stromstärke

I

Basisgröße

A (Ampere)

elektrische Spannung

U

U =  E s

V (Volt)

W kgm 2 =1 3 A s A W (Watt)

elektrischer Widerstand

R

(Ohm)

1

V kgm 2 =1  =1 3 2 A s A

elektrischer Leitwert

G

1 Ω

1

A A 2 s3 =1S =1 V kgm 2

elektrische Ladung (Elektrizitätsmengen)

Q

elektrische Kapazität

C

elektrische Flussdichte

D

elektrische Feldstärke

E

E=

Permittivität (früher Dielektrizitätskonstante)



 = 0  r 0 elektrische

elektrische Energie

We

We =

magnetische Feldstärke

H

H=

Größe

C = As (Coulomb)

C=

Q U

D = 0 r E

Feldkonstante

S (Siemens) 1 As = 1 C 1 Ah = 3 600 As

1 F =1

C As A 2s 4 =1 =1 V V kgm 2

C m2

1

C As =1 2 m2 m

V m

1

V kgm =1 3 m s A

F A 2s 4 = m kgm3

1

s s 2 C2 = V kgm3

F Q

r Permittivitätszahl QU 2

Ws

I 2πr

A m

magnetische Flussdichte, Induktion

B

B=H

magnetischer Fluss



 =  B A

Induktivität

L

L =−

NΦ I

N (Windungszahl)

Permeabilität

As V (Farad)

F=

1 V =1



 = 0 r 0 magnetische

Feldkonstante r Permeabilitätszahl

kg T= 2 s A T (Tesla)

Wb =

kgm 2 s2A

1 Nm =1 J =1 Ws =1

1

Wb Vs kg =1 2 =1 2 m2 m s A

Vs m2 Wb (Weber)

1 T =1

1 Wb =1 Vs =1

kgm 2 s2A2 H (Henry)

1 H =1

H kgm = m s2A2

1

H=

kgm 2 s2

kgm 2 s2A

Vs Wb kgm 2 =1 =1 2 2 A A s A

Vs kgm =1 2 2 Am s A

B 24

B Naturwissenschaftliche Grundlagen

Optik Formelzeichen

Größe

Name der Einheit

Bemerkung

SI-Einheit

Lichtstärke

Iv

Candela

cd

Beleuchtungsstärke

Ev

Lux

lx

Lichtstrom

v

Lumen

lm

Lichtmenge

Qv

Lumen  Sekunde

lm  s

Lichtausbeute

Lumen Watt

lm W

Leuchtdichte

Lv

Candela Quadratmeter

cd m2

Basisgröße

1 lm = 1 cd sr (sr Steradiant)

Tabelle 1 (Fortsetzung)

Farbtemperatur

HK/cd

cd/HK

Umrechnungsfaktoren von Candela in Hefnerkerzen (HK) und umgekehrt

2 043 K (Platinpunkt) 2 360 K (Wolfram-Vakuum-Lampe) 2 750 K (gasgefüllte Wolframlampe)

0,903 0,877 0,861

1,107 1,140 1,162

Tabelle 2. Allgemeine und atomare Konstanten Bezeichnung

Beziehung

Avogadro-Konstante

NA = 6,0 221 367  1023 mol–1

Boltzmann-Konstante

k

= 1,380 658  10–23 J/K

elektrische Elementarladung

e

= 1,60 217 733  10–19 C

elektrische Feldkonstante

0 = 8,854 187 817  10–12 F/m

Faraday-Konstante

F

= 96 485,309 C/mol

Lichtgeschwindigkeit im leeren Raum

c0

= 2,99 792 458  108 m/s

magnetische Feldkonstante

0

= 1,256 637 061 4  10–6 H/m

molares Normvolumen idealer Gase

Vmn = 2,24 208  104 cm3/mol

Planck-Konstante

h

= 6,6 260 755  10–34 J · s

Ruhemasse des Elektrons

me

= 9,1 093 897  10–31 kg

Ruhemasse des Protons

mp

= 1,672 622  10–27 kg

Stefan-Boltzmann-Konstante



= 5,67 051  10–8 W/(m2  K4)

(universelle) Gaskonstante

R

= 8,314 510 J/(mol  K)

Gravitationskonstante

G

= 6,67 259  10–11 m3 kg–1 s–2

B1 Physik

B 25

Tabelle 3. Umrechnungstafel für metrische Längeneinheiten Einheit 1 pm 1 Å 1) 1 nm 1 m 1 mm 1 cm 1 dm 1m 1 km 1)

= = = = = = = = =

Picometer pm

Angström1) Å

Nanometer nm

Mikrometer m

Millimeter mm

Zentimeter cm

Dezimeter dm

Meter

1 102 103 106 109 1010 1011 1012 1015

10–2

10–3

10–6

10–9

10–10

10–11

1 10 104 107 108 109 1010 1013

10–1 1 103 106 107 108 109 1012

10–4 10–3 1 103 104 105 106 109

10–7 10–6 10–3 1 10 102 103 106

10–8 10–7 10–4 10–1 1 10 102 105

10–9 10–8 10–5 10–2 10–1 1 10 104

10–12 10–10 10–9 10–6 10–3 10–2 10–1 1 103

m

Kilometer km 10–15 10–13 10–12 10–9 10–6 10–5 10–4 10–3 1

Das Ångström ist nicht als Teil des Meters definiert, gehört also nicht zum metrischen System. Es ist benannt nach dem schwedischen Physiker A. J. Angström (1814 – 1874).

Beachte: Der negative Exponent gibt die Anzahl der Nullen (vor der 1) einschließlich der Null vor dem Komma an, z.B. 10–4 = 0,0001; 10–1 = 0,1; 10–6 = 0,000 001. Der positive Exponent gibt die Anzahl der Nullen (nach der 1) an, z.B. 104 = 10 000; 101 = 10; 106 = 1 000 000.

Tabelle 4. Vorsatzzeichen zur Bildung von dezimalen Vielfachen und Teilen von Grundeinheiten oder hergeleiteten Einheiten mit selbstständigem Namen Vorsatz Tera Giga Mega Kilo Hekto Deka Dezi Zenti Milli Mikro Nano Pico

Kurzzeichen T G M k h da d c m  n p

Bedeutung 1 000 000 000 000 1 000 000 000 1 000 000 1 000 100 10 0,1 0,01 0,001 0,000 001 0,000 000001 0,000 000 000 001

(= 1012) (= 109) (= 106) (= 103) (= 102) (= 101) (= 10–1) (=10–2) (= 10–3) (= 10–6) (= 10–9) (= 10–12)

Einheiten Einheiten Einheiten Einheiten Einheiten Einheiten Einheiten Einheiten Einheiten Einheiten Einheiten Einheiten

2 Dynamik

C 43

2 Dynamik

A. Böge

Formelzeichen und Einheiten A a

m2, cm2, mm2 m

s2 Di m, mm d m, mm E J = Nm F N 1 1 f= T s FG N m g s2 h m i l

Flächeninhalt, Fläche Beschleunigung (at Tangentialbeschleunigung, an Normalbeschleunigung) Trägheitsdurchmesser = 2 i Durchmesser, allgemein Energie Kraft (FT Tangentialkraft, FN Normalkraft) Frequenz, Periodenfrequenz Gewichtskraft (FGn Normgewichtskraft) Fallbeschleunigung (gn Normalfallbeschleunigung) Fallhöhe, Höhe allgemein Übersetzungsverhältnis (Übersetzung) D Trägheitsradius = i 2 Trägheitsmoment , Zentrifugalmoment Stoßzahl Länge allgemein Drehmoment, Kraftmoment Masse

i

m, mm

J k l M m

kgm2 1 m, mm Nm, Nmm kg U 1 = min−1 = min min Drehzahl, Umlauffrequenz, -zahl

n P R r s T T

,    

t v W z

  



W, kW N N , m mm m, mm m, mm s N º 1 rad = 2 = s−2 s2 s rad, Bogenmaß 1 s, min, h m s J = Nm = Ws 1 1 kg kg , dm3 m3 m, mm 1 = rad = s−1 s s

Leistung Federrate Radius Weglänge Periodendauer Trägheitskraft T = m a Winkel allgemein Winkelbeschleunigung Drehwinkel Reibzahl Zeit Geschwindigkeit Arbeit Anzahl der Umdrehungen Wirkungsgrad Dichte Krümmungsradius Winkelgeschwindigkeit

Beachte: Der griechische Buchstabe Delta () wird stets zur Kennzeichnung einer Differenz zweier gleichartiger Größen verwendet. Beispiele: s = s2 – s1 = Wegabschnitt t = t2 – t1 = Zeitabschnitt  = 2 – 1 = Drehwinkelbereich v = v2 – v1 = Geschwindigkeitsänderung oder Geschwindigkeitsbereich.

C 44

C Mechanik

2.1 Bewegungslehre (Kinematik) 2.1.1 Bewegungsablauf

Zur Kennzeichnung des Bewegungsablaufs unterteilt man zeitlich (Bewegungszustand) in Ruhe, gleichförmige und ungleichförmige Bewegung; geometrisch (Bewegungsbahn) in geradlinige und krummlinige Bewegung (z.B. auf der Kreisbahn). Die ungleichförmige Bewegung heißt auch beschleunigte oder verzögerte Bewegung. Sie ist entweder gleichmäßig oder ungleichmäßig beschleunigt bzw. verzögert. Bewegungen der Punkte und Körper in der Technik sind Kombinationen von Bewegungszuständen und Bewegungsbahnen, z.B. – geradlinig gleichförmige Bewegung (Vorschubbewegung an Werkzeugmaschinen), – kreislinig gleichförmige Bewegung (an Drehbank und Bohrmaschine), – geradlinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung (freier Fall), – kreislinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung (An- und Auslauf der Spannfutter an Werkzeugmaschinen), – geradlinig ungleichmäßig beschleunigte Bewegung (Stößel an Stoßmaschine).

2.1.2 Geradlinige Bewegung des Punktes

v=

∆s  tan ∆t

s = s2 – s1

s

t

m

s

Aufgaben der Bewegungslehre lassen sich leichter lösen, wenn das v, t-Diagramm aufgezeichnet und ausgewertet wird (Skizze genügt). Der zurückgelegte Weg wird immer durch die schraffierte Fläche unter der Geschwindigkeits-Zeit-Linie dargestellt (Bild 1). Dadurch ist der Bewegungsablauf bildlich vorgeführt und durch geometrische Betrachtung der Rechnung leichter zugänglich, besonders bei ungleichförmiger Bewegung. „

2.1.2.1 Gleichförmige Bewegung. Bei gleichförmiger Bewegung werden in gleichen Zeitabschnitten t (z.B. eine Sekunde) gleiche Wegabschnitte s zurückgelegt. Die Geschwindigkeit v ist zu jedem Zeitpunkt gleich groß:

v m s

Bild 1. s, t-, v, t- und a, t-Diagramm der gleichförmigen Bewegung

Beispiel: Ein Kraftwagen fährt gleichförmig mit einer Geschwindigkeit von 80 km/h. Welchen Weg legt er in 10 min zurück?

Lösung: s = v t = 80

= 80 10

km 10 min = h

km min = 13,33 km 60 min

(1)

t = t2 – t1

(1) ist zugleich Gleichung für die Durchschnittsgeschwindigkeit.

2.1.2.2 Ungleichförmige Bewegung. Bei ungleichförmiger Bewegung werden in gleichen Zeitabschnitten t (z.B. in einer Sekunde) ungleiche Wegabschnitte s zurückgelegt. Die Geschwindigkeit v ist also zu jedem Zeitpunkt verschieden groß, im Gegensatz zur gleichförmigen Bewegung. Technisch besonders wichtig ist die

2.1.2.2.1 Gleichmäßig beschleunigte oder verzögerte Bewegung. Hierbei ist die Beschleunigunga konstant. Das Beschleunigungs-Zeit-Diagramm zeigt also eine zur x-Achse parallele Gerade (Bild 2). Die Weg-ZeitKurve ist eine Parabel. Die Geschwindigkeit im Punkt A entspricht tan  = Tangentenneigung. Zur rechnerischen Behandlung sollte immer das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm gezeichnet werden, weil in jedem Fall die Fläche unter der Geschwindigkeits-Zeit-Linie dem zurückgelegten Weg s entspricht.

2 Dynamik

C 45 Weg s  Dreiecksfläche s= Zeit

t =

ve ∆ t a ∆ t 2 ve2 = = 2 2 2a

(4)

ve 2s = a a

(5)

Beschleunigung a=

∆ v ve2 2s = = ∆ t 2s ∆ t 2

(6)

Bild 4. v, t-Diagramm der gleichmäßig beschleunigten Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit va

Endgeschwindigkeit Bild 2. s, t-, v, t- und a, t-Diagramm der gleichmäßig beschleunigten Bewegung (mit Anfangsgeschwindigkeit va )

Mit der Grundgleichung für gleichmäßig beschleunigte Bewegungen: ∆v Beschleunigunga(Verzögerung) = ∆t ∆v a= ฬ tan ; v = v2 – v1; t = t2 – t1 (2) ∆t und der geometrischen Auswertung des v, t-Diagramms ergeben sich alle übrigen Berechnungsgleichungen.

ve = va + a ∆ t = va2 + 2 a s

(7)

Weg s  Trapezfläche oder Rechteck + Dreieck s = va ∆ t + Zeit t =

a∆ t 2 va + ve = ∆t 2 2

(8)

ve + va a

t = −

 v 2 2s va ±  a + a a a

(9)

Beschleunigung a=

ve − va ve2 − va2 = ∆t 2s

(10)

Bild 3. v, t-Diagramm der gleichmäßig beschleunigten Bewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit (va = 0)

Endgeschwindigkeit ve =at 2 a s

(3)

Bild 5. v, t-Diagramm der gleichmäßig verzögerten Bewegung ohne Endgeschwindigkeit (ve = 0)

C 46

C Mechanik

Anfangsgeschwindigkeit va = a ∆ t = 2 a s

(11)

Weg s  Dreiecksfläche s=

Zeit

t =

va ∆ t a ∆ t 2 va2 = = 2 2 2a

(12)

va 2s = a a

(13)

∆ v va2 2s Verzögerung a = = = ∆ t 2s ∆ t 2

Bild 7. v, t-Diagramm Lösung:

(14)

a1 =

s1 =

m m ∆ v v 12,5 s = = = 1, 25 2 10 s ∆ t t1 s m vt1 12,5 s ⋅10s = = 62,5 m 2 2

m2 12,52 2 v2 s = 5, 2 m a3 = = 2s3 2⋅15 m s2 t2 =

t3 =

s2 500 m − 62,5 m −15 m = = 33,8 s m v 12,5 s

m v 12,5 s = = 2,4 s m a3 5,2 2 s

t1 = 10 s

Bild 6. v, t-Diagramm der gleichmäßig verzögerten Bewegung mit Endgeschwindigkeit ve

Endgeschwindigkeit ve = va − a∆ t = va2 − 2 as

(15)

Weg s  Trapezfläche oder Rechteck + Dreieck s = va ∆ t − Zeit t =

 v 2 2s va ±  a − a a a

Verzögerung a =

va − ve va2 − ve2 = ∆t 2s

2.1.2.2.2 Freier Fall (ohne Luftwiderstand) bedeutet gleichmäßig beschleunigte Bewegung bei der alle Körper gleiche Fallbeschleunigung g = 9,81 m/s2 besitzen. Für die meisten technischen Rechnungen kann g = 10 m/s2 gesetzt werden. Fallgeschwindigkeit

v =gt=

(16)

va − ve a

t = +

„

a ∆ t 2 va + ve = ∆t 2 2

tges = 46,2 s

(17)

2g h

(19)

Fallhöhe h =

g t 2 v 2 vt = = 2 2g 2

(20)

Fallzeit t =

2h v 2h = = v g g

(21)

(18)

Beispiel:

Ein Fahrzeug wird in 10 s gleichmäßig beschleunigt bis auf die Geschwindigkeit von 45 km/h, mit der es sich gleichförmig fortbewegt. Am Fahrtende wird es auf 15 m zum Stillstand gebracht. Die gesamte Fahrstrecke beträgt 500 m. Gesucht: Beschleunigung, Anfahrweg, Bremszeit, Verzögerung, gesamte Fahrzeit.

Bild 8. v, t-Diagramm des freien Falls ohne Anfangsgeschwindigkeit (va = 0)

2 Dynamik

C 47

2.1.2.2.3 Senkrechter Wurf (ohne Luftwiderstand) ist eine gleichmäßig verzögerte Bewegung mit der Verzögerung g = 9,81 m/s2 (negative Fallbeschleunigung). Steiggeschwindigkeit im Umkehrpunkt ist ve = 0 zu setzen ve = va – g t = va – Steighöhe

2g h

(22)

g t2 2

(23)

va2 g t 2 va t = = 2g 2 2

(24)

h = va t −

maximale Steighöhe h =

va − va2 − 2 g h v −v t = a e= g g

Steigzeit

Bild 10. Horizontaler Wurf (ohne Luftwiderstand)

(25)

Wurfweite (Größtwert bei= 45º)

maximale Steigzeit v 2h 2h t = a= = g va g

2.1.2.2.5 Wurf schräg nach oben (ohne Luftwiderstand) ist die Überlagerung von geradlinig gleichförmiger Bewegung mit freiem Fall.

(26)

w =

va2 sin 2α g

(30)

Wurfdauer t

=

2 v sin α w = a g va cos α

(31)

Wurfhöhe h =

va2 sin 2 α 2g

(32)

Wurfarbeit W = m g h = FG h Bild 9. v, t-Diagramm des senkrechten Wurfs mit verbleibender Endgeschwindigkeit ve

Geschwindigkeit in x-Richtung vx = va cos

2.1.2.2.4 Horizontaler Wurf (ohne Luftwiderstand) ist die Überlagerung der waagerechten gleichförmigen Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit vx = va mit der rechtwirkligen Fallbewegung vy = g t.

vy = va sin – g t

(27)

Geschwindigkeit nach Fallhöhe h v = va2 + 2 g h

(28)

Fallhöhe nach Wurfweite w h =

g w2 2va2



Geschwindigkeit in y-Richtung

Geschwindigkeit in einem Bahnpunkt v = vx2 + vy2 = va2 + ( g t )2

(33)

(29) Bild 11. Schräger Wurf (ohne Luftwiderstand)

(35)

C 48 „

C Mechanik

Beispiel: Ein Stein wird senkrecht nach oben geworfen und schlägt nach 4 s wieder auf. Wie groß waren Steighöhe h und Anfangsgeschwindigkeit va?

Lösung: Wie das v, t-Diagramm zeigt, wird die Steighöhe h während 4 s zweimal zurückgelegt, also

 t 2 m g  10 2 ⋅(2 s)2 2 h = = s = 20 m 2 2 gt = va = 2

10

m ⋅4 s m s2 = 20 2 s

oder mit h = 20 m gerechnet va = 2 g h = 2⋅10

m m ⋅20 m = 20 s s2

Wurfdauer m 2 va sinα 2⋅15 s ⋅sin 30° = =1,5 s m g 10 2 s Wurfhöhe t

=

 m 2 15  ⋅sin 2 30° va2 sin 2 α  s  h = = = 2,82 m m 2g 2⋅10 2 s Wurfarbeit bei m = 0,5 kg W = m g h = 0,5 kg 10 = 14,1

m 2,82 m = s2

kgm 2 = 14,1 Nm = 14,1 J s2

Geschwindigkeit in x-Richtung m m vx = va cos = 15 cos 30º = 13 s s Geschwindigkeit in y-Richtung m m sin 30º – 10 2 ⋅1,5 s s s

vy = va sin – g t = 15 vy = – 7,5

m s

2.1.3 Bewegung des Punktes auf der Kreisbahn

Bild 12. v, t-Diagramm zum Beispiel senkrechter Wurf und freier Fall

„

Beispiel: Ein Stein wird in waagerechter Richtung mit einer Geschwindigkeit von 15 m/s abgeworfen. Welche Geschwindigkeit besitzt er nach 2,5 s?

2.1.3.1 Bei der gleichförmigen Bewegung auf der Kreisbahn werden in gleichen Zeitabschnitten t (z.B. in einer Sekunde) gleiche Drehwinkel  vom Radius r überstrichen. Die Umfangsgeschwindigkeit vu ist zu jedem Zeitpunkt gleich groß und immer tangential gerichtet (Bild 13). Der von P nach P1 zurückgelegte Weg s kann aus dem Drehwinkel  und dem Radius r berechnet werden:

Lösung:

v = va2 + ( g t )2 =  m 2  m 2 m = 15  +10 2 ⋅2,5 s  = 29, 2  s  s  s

„

Beispiel: Ein Stein wird unter einem Winkel von 30º zur Horizontalen mit einer Geschwindigkeit von 15 m/s abgeworfen. Es sind die fehlenden Größen zu berechnen.

Bild 13. Bewegung des Punktes P auf der Kreisbahn  s =  r

(36)

∆s r

(37)

Lösung:

Wurfweite  m 2 15  ⋅sin 60D va2 sin2α  s  w = = =19,5 m m g 10 2 s

 =

Definitionsgemäß ist Geschwindigkeit allgemein Wegabschnitt durch zugehörigen Zeitabschnitt, also auch die

2 Dynamik

C 49

Umfangsgeschwindigkeit vu =

Bei der gleichmäßig beschleunigten oder verzögerten Bewegung bleibt die Winkelbeschleunigung  konstant. Definitionsgemäß ist Beschleunigung allgemein Geschwindigkeitsänderung durch zugehörigen Zeitabschnitt, also auch die

∆ s ∆ϕ r = ∆t ∆t

∆ϕ heißt Winkelgeschwindigkeit . ∆t Damit ergeben sich folgende Gleichungen:

Der Bruch

Tangentialbeschleunigung aT =

Umfangsgeschwindigkeit ∆ϕ r =ω r =π d n ∆t

vu =

∆v ∆t

(38)

Winkelgeschwindigkeit

=

∆ ϕ vu = r ∆t

(39)

vu



t

m s

1 s

s

r



n 1 s

m rad

Drehwinkel  =   t

(40)

 =  2 –  1

 t = t2 – t1

(41)

In der Technik sind die folgenden Zahlenwertgleichungen gebräuchlich: vu =

vu =

πdn 1000

v m min v m s

πdn 60 000

=

πn 30

 ≈ 0,1 n =

n 10

d

n

mm

1 = min−1 m

d mm

n 1 = min−1 m



n

1 s

1 = min−1 min

(42)

Bild 14. Gleichmäßig beschleunigte Bewegung des Punktes P auf der Kreisbahn

Für die Geschwindigkeitsänderung v kann gesetzt werden: v =  r . Damit wird die Tangentialbeschleunigung aT =

∆v ∆ω r ∆ ω r = = ∆t ∆t ∆t

Der Bruch  / t heißt Winkelbeschleunigung . Damit ergeben sich folgende Gleichungen: (43)

Umfangsgeschwindigkeit vu = aT  t = r  t

(46)

Winkelbeschleunigung (44)

(45)

Während bei gleichförmigem Umlauf einer Scheibe jeder Punkt mit anderem Radius r auch andere Umfangsgeschwindigkeit vu besitzt (v1 =  d1n; v2 =  d2n), ist für alle Punkte die Winkelgeschwindigkeit  gleich groß. Mit Hilfe eines Zahlenwerts für  ist demnach der Bewegungszustand sämtlicher Punkte festgelegt. 2.1.3.2 Bei der gleichmäßig beschleunigten oder verzögerten Bewegung auf der Kreisbahn werden in gleichen Zeitabschnitten  t ungleich große Drehwinkel  vom Radius überstrichen, d.h. die Winkelgeschwindigkeit  ändert ihren Betrag fortlaufend.

 =

∆ ω aT = ∆t r

(47)

Drehwinkel  =

α ∆ t2 2

v

aT

t

r

m s

m s2

s

m

 1 s





1 s2

rad

(48)

Winkelgeschwindigkeitsänderung  = t

(49)

 =  2 –  1  t = t2 – t1  =  2 –  1

(50)

C 50

C Mechanik

In der Technik gebräuchliche Zahlenwertgleichung für die Winkelbeschleunigung:

π n −n = ⋅ 2 1 30 t2 − t1

 1 s2

gezeichnet. Es entspricht dem v, t-Diagramm der geradlinigen Bewegung (Bild 2). Die dort aufgeführten Hinweise und Regeln lassen sich auch auf das  , t-Diagramm übertragen. Vor allem: Die Fläche unter der  , t-Linie entspricht dem überstrichenen Drehwinkel  .

n2 , n1 t2 , t1 1 min

s

(51)

Zweckmäßig wird bei der rechnerischen Behandlung solcher Bewegungsvorgänge das  , t-Diagramm

Allgemeine Größe mit Definitionsgleichung

„

Einheit

Die folgende Gegenüberstellung zeigt die einander entsprechenden Größen (siehe auch Tabelle 1 und 2):

Kreisgröße mit Definitionsgleichung

Einheit

Zeitabschnitt  t

s

Zeitabschnitt  t

s

Wegabschnitt  s

m

Drehwinkel 

rad = 1

m s

Winkelgeschwindigkeit ( = konstant)

m s

Winkelgeschwindigkeitsänderung  =   t

m

Winkelbeschleunigung (Grundgleichung)

∆s ∆t

Geschwindigkeit (v = konstant)

v=

Geschwindigkeitsänderung

v = a  t

Beschleunigung (Grundgleichung)

a=

∆v ∆t

s2

Beispiel:

Eine Schleifscheibe von 400 mm Durchmesser läuft in 15 s gleichmäßig beschleunigt auf eine Drehzahl von 250 min–1 an. Es sollen alle wichtigen Größen der Drehbewegung bestimmt werden.



=

Umfangsgeschwindigkeit eines Punktes der Peripherie 1 m v = r  = 0,2 m 26,2 = 5,24 s s

∆ω ∆t

1 ∆ ω 26,2 s 1 = =1,75 2 ∆t 15 s s

Tangentialbeschleunigung eines Punktes

Lösung:

π n π ⋅250 1 = = 26,2  = 30 30 s

=

∆ϕ ∆t

Winkelbeschleunigung

aT =  r = 1,75 Winkelgeschwindigkeit nach Anlaufzeit t

=

1 m 0,2 m = 0,25 2 s2 s

Drehwinkel  =

Umlaufzahl

α ∆ t2 2

1, 75

=

z=

1 ⋅(15 s)2 s2 =197 rad 2

∆ ϕ 197 = = 31, 4 2π 2π

rad 1 = s s rad 1 = s s rad s2

=

1 s2

2 Dynamik

C 51

Tabelle 1. Gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung Die Gleichungen dieser Tabelle gelten in Verbindung mit den Bezeichnungen der nebenstehenden , t-Diagramme

Einheiten  rad

t 0 , t rad s s

 rad s2

r

vu

aT

m

m s

m s

Beschleunigte Kreisbewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit ( 0 = 0)

Winkelbeschleunigung  (Definition)

 =

Winkelbeschleunigung  (bei  0 = 0)

 =

Winkelbeschleunigung  (bei  0  0)

 =

Tangentialbeschleunigung aT

aT =  r =

Endwinkelgeschwindigkeit  t (bei  0 = 0)

 t =   t = 2α ∆ t

Endwinkelgeschwindigkeit  t (bei  0  0)

Drehwinkel  (bei  0 = 0)

Drehwinkel  (bei  0  0)

Beschleunigte Kreisbewegung mit Anfangsgeschwindigkeit ( 0  0)

Winkelgeschwindigkeitszunahme ∆ ω rad in 2 s Zeitabschnitt ∆ t

ωt ∆t

=

ω t2 2∆ ϕ = 2∆ ϕ (∆ t ) 2

ω t− ω 0 ∆t

=

ω t2− ω 02 2∆ ϕ

∆ω ∆ vu r= ∆t ∆t

 t =  0 +  =  0 +  t  t = ω 02+ 2α ∆ ϕ  =

 =

ω t∆t 2

=

α (∆ t ) 2

ω 0 +ω t 2

2

=

ω t2 2α

∆ t = ω 0∆ t +

α (∆ t )2 2

ω 2− ω 02  = t 2α

Zeitabschnitt  t (bei  0 = 0)

t

=

ωt 2∆ ϕ = α α

Zeitabschnitt  t (bei  0  0)

t

=

 ω 0 2 2∆ ϕ ω t −ω 0 ω0 + =− ±  α α α  α 

C 52

C Mechanik

Tabelle 2. Gleichmäßig verzögerte Kreisbewegung Die Gleichungen dieser Tabelle gelten in Verbindung mit den Bezeichnungen der nebenstehenden ,t-Diagramme

Einheiten 

t 0, t

rad

s

rad s

 rad s2

r

vu

aT

m

m s

s2

m

Verzögerte Kreisbewegung ohne Endgeschwindigkeit ( t = 0)

Winkelverzögerung  (Definition)

 =

Winkelverzögerung  (bei  t = 0)

 =

Winkelverzögerung (bei   0)

 =

Tangentialverzögerung aT

aT =  r =

Anfangswinkelgeschwindigkeit  0 (bei  t = 0)

0

Verzögerte Kreisbewegung mit Endgeschwindigkeit ( t  0)

Winkelgeschwindigkeitszunahme ∆ ω rad in 2 Zeitabschnitt ∆ t s

ω0 ∆t

=

ω 02 2∆ ϕ = 2∆ ϕ (∆ t )2

ω 0 −ω t ∆t

=

ω 02− ω t2 2∆ ϕ

∆v ∆ω r= u ∆t ∆t

= t =

2α ∆ ϕ

 t =  0 –  =  0 –   t Endwinkelgeschwindigkeit  t

Drehwinkel  (bei  t = 0)

Drehwinkel  (bei  t  0)

 t = ω02 − 2α ∆ ϕ

 =

 =

 =

ω 0∆ t 2

=

ω 0 +ω t 2

α (∆ t ) 2 2

=

ω 02 2α

∆ t = ω 0∆ t −

α (∆ t )2 2

ω 02− ω t2 2α

Zeitabschnitt  t (bei  t = 0)

 t=

ω0 2∆ ϕ = α α

Zeitabschnitt  t (bei  t  0)

 t=

ω 0 − ω t ω 0  ω 0 2 2∆ ϕ − = ±  α α α  α 

2 Dynamik

C 53

2.1.3.3 Harmonische Bewegung (Kreuzschleife) liegt vor, wenn das Weg-Zeit-Diagramm durch eine Sinus- oder Kosinusfunktion dargestellt wird, wie Bild 16 zeigt.

Die größte Auslenkung tritt auf beim Kurbeldrehwinkel  = 90º, weil dann sin = 1 und damit s = r ist. Sie heißt Amplitude (Schwingungsweite). Mit Periode T in Sekunden wird die Zeit für einen Hin- und Rückgang bezeichnet: T = 2 /. Die Zahl der Schwingungen in einer Sekunde heißt Frequenz (oder Schwingungszahl) Kreisfrequenz  = 2/T f=

1  T 2

f

T



1 s

s

1 s

(55)

Ein Punkt auf dem Schieber erhält die Geschwindigkeit v v = r  cos  t

m s

r



m

1 s

t s

a m

(56)

s2

maximale Geschwindigkeit (in Mittelstellung) vmax = vu = r  Beschleunigung a = 2 s amax = r  2 sin t Bild 16. Weg-Zeit-, Geschwindigkeits-Zeit- und Beschleunigungs-Zeit-Diagramm der harmonischen Bewegung

2.1.3.3.1 Rechnerische Bestimmung der Wege, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen (Bild 16). Ist vu die Umfangsgeschwindigkeit des Kurbelpunkts P und  =  n/30 die konstante Winkelgeschwindigkeit der Kurbel MP, wird vu = r ;  =

πn 30

vu r



m m s

1 s

min



1 min

(52)

In der Zeit t überstreicht die Kurbel den Kurbeldrehwinkel

 = t





rad

1 s

s m

a = r 2

„

Beispiel: An einer Schraubenfeder hängt ein Körper und schwingt in der Sekunde einmal auf und ab. Die Entfernung zwischen den äußersten Totpunktlagen des Körpers beträgt 0,5 m. Wie groß ist die maximale Beschleunigung amax?

f =

1 ω = T 2π

=

2π 2 π = T 1s

amax = r 2 r = 0,25 m

t

(53)

s

Die Auslenkung (Weg s) eines Punktes auf dem Schieber beträgt nach Bild 16: s = r sin  s = r sin  t

maximale Beschleunigung in den Totlagen

Lösung:

n 1

(57)

r



t



m

1 s

s

º

(54)

2  1 m amax = r 2 = r 2 π ⋅1  = 9,87 2  s s

2.1.3.3.2 Zeichnerische Bestimmung der Wege, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen (Bild 17). Die in jedem beliebigen Zeitpunkt auftretenden Momentangeschwindigkeiten v und Beschleunigungenakönnen zeichnerisch bestimmt werden: Im Lageplan wird die Umfangsgeschwindigkeit vu im bestimmten Maßstab auf der Kurbel MP abgetragen, z.B. MB = vu.

C 54

C Mechanik

Dann ist im Dreieck MCB die Kathete BC = MB cos  t = vu cos  t = Geschwindigkeit v eines Schieberpunkts. Mit den gefundenen Strecken lässt sich das v, s-Diagramm aufzeichnen. In gleicher Weise wird die Momentanbeschleunigung a bestimmt: Im Lageplan die maximale Beschleunigung (Zentripetalbeschleunigung) amax = r  2 im bestimmten Maßstab auf Kurbel MP auftragen, z.B. wiederum MB = r  2. Dann ist im Dreieck MCB die Kathete MC die Beschleunigung a eines Schieberpunkts. Mit den gefundenen Strecken MC wird das a, s-Diagramm entwickelt. Erkenntnis: Zu gleichen Drehwinkeln gehören Maximalgeschwindigkeit und Beschleunigung null bzw. Maximalbeschleunigung und Geschwindigkeit null.

Bild 18. Lageplan des Schubkurbelgetriebes zur Bestimmung des Kreuzkopf- bzw. Kolbenwegs s

Aus den geometrischen Bedingungen des Bildes 18 lässt sich ablesen: s = r (1 – cos) ± l (1 – cos ) + für Kolbenhingang (zur Kurbelwelle) – für Kolbenrückgang (von der Kurbelwelle) mit s1 und 1 Der Weg s1 (Auslenkung) beim Rückgang wird vom inneren Totpunkt Ti der Kurbelseite aus gemessen. Mit Schubstangenverhältnis

=

Kurbelradius r Länge der Schubstange l

(59)

und r sin  = l sin  (Bild 18), sin  =  sin , cos  = 1− sin 2 β = 1− (λ sin ϕ ) 2 wird der Weg s = r (1 – cos) ± l [1 – Der Ausdruck entwickeln:

1− (λ sin ϕ )2 ]

(60)

1− (λ sin ϕ )2 lässt sich als Reihe

1− (λ sin ϕ )2 =

=1– Bild 17. Lageplan der Kreuzschleife mit Geschwindigkeits-Weg- und Beschleunigungs-Weg-Diagramm

2.1.3.4.1 Rechnerische Bestimmung der Wege, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen. Ist vu die Umfangsgeschwindigkeit des Kurbelpunkts P,  die konstante Winkelgeschwindigkeit der Kurbel MP und h der Hub des Kolbens bzw. Kreuzkopfs, so wird

=

πn 30

π hn 60

vu m s

Die Reihe konvergiert sehr schnell und man kann daher mit ausreichender Genauigkeit den Weg s (Auslenkung) mit der Näherungsformel berechnen: s = r (1 – cos ±

2.1.3.4 Schubkurbelgetriebe (Bild 18)

vu = r  =

1 1 (λ sin ϕ )2 − (λ sin ϕ )4 – ... 2 8

r



h

m

1 s

1 m min

n (58)

1 λ sin 2 ϕ ) 2

(61)

Mathematische Entwicklungen führen zu den Gleichungen für die Geschwindigkeit 1 λ sin 2 ϕ ) 2 1 v = r (sin t ± λ sin 2 ω t ) 2

v = vu(sin ±

(62)

2 Dynamik maximale Geschwindigkeit 1 1 vmax = vu (1 + λ 2 ) = r ω(1+ λ 2 ) 2 2

C 55

(63)

1 für λ= = 0, 2 wird vmax = 1,02 vu = 1,02 r  5 bei  = 79º 16' (Hingang) bei 1 = 100º 44' (Rückgang)

mittlere Geschwindigkeit hn vm = 30

(64)

Beschleunigung a=

vu2 (cosϕ ± λ cos 2ϕ ) r

(65)

a = r ω 2 (cosω t ± λ cos 2ω t ) maximale Beschleunigung (in den Totlagen) amax = r 2 (1 ± )

(66)

Wird das Schubstangenverhältnis  = 0 gesetzt, also die Länge der Schubstange l = ∞, ergeben sich aus den obigen Gleichungen die Formeln der harmonischen Bewegung. 2.1.3.4.2 Zeichnerische Bestimmung der Wege, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen. Der Weg s (bzw. s1) und damit der Lagepunkt K (bzw. K1) in Abhängigkeit vom Drehwinkel  wird festgelegt im Lageplan (Bild 18) durch Kreisbogen um Kurbelpunkt P (bzw. P1) mit der Schubstangenlänge l.

Bild 19. Zeichnerische Bestimmung der Kreuzkopfbzw. Kolbengeschwindigkeit v beim Schubkurbelgetriebe

Bild 20. Zeichnerische Bestimmung der Kreuzkopfbzw. Kolbenbeschleunigung a beim Schubkurbelgetriebe ( = 1 gesetzt; sonst Maßstabsumrechnung erforderlich)

Zur Geschwindigkeitsbestimmung des Kolbens (Bild 19) wird Radius MP = der Umfangsgeschwindigkeit vu gesetzt. Für jede Kurbelstellung ist dann Geschwindigkeit v = Strecke MA. Das ergibt sich aus der Ähnlichkeit der Dreiecke KPB und MAP, worin Punkt B der „Momentanpol“ ist. Die Beschleunigung a des Kolbens ergibt sich aus der um 90º gedrehten Normalbeschleunigung an des 2 Kurbelpunkts P (Bild 20). Es wird MP = an = vu /r gesetzt, KP bis A verlängert, AB || KM gezogen, BC || MA geführt und CD  KC gefällt. Strecke DM stellt dann für jede Kurbelstellung den Betrag (Größe) der Beschleunigung a des Kolbens oder Kreuzkopfs dar, jedoch nur dann, wenn die Umfangsgeschwindigkeit vu konstant ist. In Bild 21 ist der Geschwindigkeits- und der Beschleunigungsverlauf über dem Hub h = 2r aufgetragen (v, s- und a, s-Diagramm). Maximale Geschwindigkeit und Beschleunigung null treten in der gestrichelt gezeichneten Schubstangenstellung auf (Tangentenstellung). Je länger die Schubstange im Verhältnis zum Kurbelradius wird, d.h.  sehr klein, um so mehr nähert sich die Geschwindigkeitslinie einer Ellipse und die Beschleunigungslinie wird eine Gerade, wie bei harmonischer Bewegung.

Bild 21. Geschwindigkeit v und Beschleunigung a in Abhängigkeit von Hub h beim Schubkurbelgetriebe

C 56

C Mechanik

2.2 Mechanische Arbeit W und Leistung P, Wirkungsgrad , Übersetzung i

2.2.1.1 Geradlinige Bewegung des Körpers. Im Einzelnen wird bei der Berechnung der Arbeit W einer Kraft F unterschieden:

2.2.1 Mechanische Arbeit W

Die mechanische Arbeit W einer den Körper bewegenden Kraft ist das Produkt aus den Wegabschnitten  s und der jeweiligen Kraftkomponente F in Wegrichtung: W = W = Fs = = F1s1 + F2s2 + ... Fn sn

(67)

Ist Kraft F konstant, wird mit s =  s die Arbeit W = Fs (Bild 22). Die Arbeit ist eine skalare Größe. Häufig lassen sich die Verhältnisse durch Aufzeichnung des Kraft-Weg-Diagramms besser übersehen (Bilder 23, 24, 26, 28). Die von der Kraft F oder dem Drehmoment M verrichtete Arbeit W entspricht immer der Fläche unter der Kraftlinie oder Momentenlinie. Meistens lässt sich die Berechnungsgleichung für die Arbeit W aus der Flächenform des Kraft-WegDiagramms entwickeln (z.B. Trapez in Bild 26); sonst kann die Fläche auch ausgezählt oder durch graphische Integration oder mittels Planimeter bestimmt werden (Maßstab berücksichtigen). Wirken mehrere Kräfte auf den Körper ein, ist die Gesamtarbeit gleich der Summe der Einzelarbeiten oder gleich der Arbeit der resultierenden Kraft. Die Einheit der Arbeit ergibt sich, wenn die Kraft F in N und der Weg s in m eingesetzt wird (gesetzliche und internationale Einheiten):

2.2.1.1.1 Arbeit W der konstanten Kraft F (Bilder 23 und 25). Kraft- und Wegrichtung fallen zusammen oder F ist Komponente in Wegrichtung, z.B. Vorschubkraft und Vorschubweg am Drehbanksupport. Das Kraft-Weg-Diagramm (Bild 23) zeigt eine Rechteckfläche. W = Fs

W

F

s

J = Nm

N

m

(70)

Bild 23. Arbeit W einer konstanten Kraft F längs des Weges s

2.2.1.1.2 Arbeit W der veränderlichen Kraft F (Bild 24). Kraft und Wegrichtung fallen zusammen oder F ist Komponente in Wegrichtung: W =  W = F s  Fläche unter Kraftlinie (71)

(W )1) = (F) mal (s) (W ) = N mal m = Newtonmeter Nm

1 Nm =

1 kgm s2

1

kgm 2

(68)

s2

Beachte: Die gesetzliche und SI-Einheit für die Arbeit W und für die Energie E ist das Joule J. Es gilt: 1 J = 1 Nm = 1 Ws = 1

kgm 2 s2

Bild 22. Arbeit W einer konstanten Kraft F

1)

(69)

Bild 24. Arbeit W einer veränderlichen Kraft F längs des Weges s

Bild 25. Arbeit W einer schrägen Kraft F

Die Formelzeichen in Klammern sollen nur die Einheit der physikalischen Größe kennzeichnen, also (W ) = Einheit der Arbeit; (F ) = Einheit der Kraft usw.

2 Dynamik

C 57

2.2.1.1.3 Arbeit W der konstanten Kraft F (Bilder 23 und 25). Kraft- und Wegrichtung schließen den Winkel  ein: W = Fs cos

(72)

Die Kraftkomponente F sin bzw. allgemein alle Kräfte rechtwinklig zur Bewegungsrichtung verrichten keine Arbeit ( = 90º; cos = 0). 2.2.1.1.4 Arbeit W der Gewichtskraft FG = mg. Körper der Gewichtskraft FG (also konstante Kraft F ) bzw. Masse m wird um die rechtwinklige Höhe h gehoben; es gilt demnach Bild 23 und für die Hubarbeit wird: W = FG h W = mgh

W

m

J = Nm

kg

g m s2

h m

(73)

2.2.1.1.5 Beschleunigungsarbeit W der konstanten resultierenden Kraft F. Kraft und Wegrichtung fallen zusammen oder F ist Komponente in Wegrichtung (Bild 23). Der Körper wird von der Geschwindigkeit v1 auf v2 gleichmäßig beschleunigt (oder verzögert). Die Entwicklung mit Hilfe des dynamischen Grundgesetzes Fr = ma ergibt sich folgendermaßen: W = Fr s = m a s ∆ v v2 − v1 a = = ∆t ∆t v2 + v1 ∆t s= 2 v −v v +v W = m 2 1⋅ 2 1 ∆t ∆t 2 m 2 2 W = (v2 − v1 ) 2 W

m

J = Nm kg

WR

 FG s

m

J = Nm 1 N m kg

g m s2

 Gleitreibzahl nach Tabelle 2. 2.2.1.1.7 Verschiebung eines Körpers der Masse m auf schiefer Ebene mit Neigungswinkel  durch Kraft F parallel zur Bahn ergibt die Reibungsarbeit WR =  FG s cos

(77)

WR =  m g s cos

2.2.1.1.8 Elastischer Körper wird durch Kraft F elastisch verformt; z.B. eine Schraubenfeder nach Bild 26 um s verlängert oder verkürzt: Formänderungsarbeit Wf =

F1 + F2 ⋅∆ s 2

Wf =

R 2 2 (s − s1 ) 2 2

Wf J = Nm

F1, F2 N

(78)

s1, s2

R

m

N m

Darin ist R die Federrate in N / m, d.h. die Belastung je m Verlängerung: R = F /s.

v2 , v1 m s

(74)

Wird der Körper von v1 = 0 an beschleunigt oder auf v1 = 0 verzögert, wird die Beschleunigungsarbeit W=

m 2 v 2

(75)

2.2.1.1.6 Verschiebung eines Körpers der Masse m auf horizontaler Unterlage durch horizontale Kraft F ergibt die Reibungsarbeit WR =  FG s WR =  m g s

(76)

Bild 26. Formänderungsarbeit Wf beim Spannen einer Schraubenfeder 2.2.1.2 Drehung des Körpers (Bild 27). Der Angriffspunkt P der Tangentialkraft FT beschreibt einen Kreisbogen vom Radius r, z.B. bei einer Kurbel. Das Bogenstück  s ergibt sich aus Drehwinkel   =  s / r ;  s =   r und damit die Teilarbeit  W = FT  s = FT r  .

C 58

C Mechanik

Da FT r = M das Drehmoment der Kraft FT in Bezug auf die Drehachse ist, wird mit Drehwinkel  =   t (39) die Arbeit des Moments (Dreharbeit) W = W = FT r  = M  W = M  t

(79)

Sind FT oder M konstant, so wird W = M. Im Einzelnen wird bei der Berechnung der Arbeit W eines Drehmoments M (Dreharbeit einer Kraft FT) unterschieden: 2.2.1.2.1 Arbeit W des konstanten Drehmoments M (konstante Tangentialkraft FT). Das Momenten-Drehwinkel-Diagramm (Bild 28) zeigt eine Rechteckfläche wie in Bild 23 und es gilt: Dreharbeit W = Drehmoment M · Drehwinkel 

W = 2 FT r z

(80)

M  FT r z Nm rad N m 1

(81)

2.2.1.2.3 Beschleunigungsarbeit W des konstanten resultierenden Moments M (konstante Tangentialkraft FT); der Körper wird von Winkelgeschwindigkeit  1 auf  2 gleichmäßig beschleunigt oder verzögert; Entwicklung mit Hilfe des dynamischen Grundgesetzes für Drehung M = J (J Trägheitsmoment,  Winkelbeschleunigung): ∆ ω ω 2 −ω1 W=M=J = = ∆t ∆t ω 2 +ω1 ϕ= ∆t 2 ω 2 −ω1 ω 2 +ω1 ⋅ ∆t W=J ∆t 2 2

W = M

W J = Nm

W = W = M     Fläche unter der Momentenlinie

2

Beachte: ( 2 –  1) ( 2 +  1) = ω 2 − ω 1

Nach Bild 15 eingesetzt ergibt sich die Beschleunigungsarbeit W=

J 2 (ω − ω12 ) 2 2

z Anzahl der Umdrehungen

(82)

W J = Nm =

kgm

2

s2

J

 1,  2

kgm2

1 s

Wird der Körper von  1 = 0 an beschleunigt oder auf  1 = 0 verzögert, wird die Beschleunigungsarbeit J (83) W = ω2 2 2.2.2 Leistung P Bild 27. Dreharbeit einer Tangentialkraft FT

Die konstante oder mittlere Leistung P ist der Quotient aus Arbeit W und Zeit t: P=

P

W t

W=

Nm s

W

t

Nm

s

(84)

Der Betrag der Leistung ist damit auch gleich dem in der Zeiteinheit (meist 1 s) verrichteten Arbeitsbetrag. Die Leistung ist eine skalare Größe. Aus (84) ergibt sich für die Arbeit W bei konstanter Leistung P: Bild 28. Arbeit eines konstanten Drehmoments M (Dreharbeit) über einem Drehwinkel 

2.2.1.2.2 Arbeit W des veränderlichen Drehmoments M (veränderliche Tangentialkraft FT). Es gilt Bild 24 mit Drehmoment M statt Kraft F und Drehwinkel  statt Weg s: Dreharbeit:

W=Pt

(85)

Beachte: Die gesetzliche und SI-Einheit für die Leistung P ist das Watt (W), 1 Watt ist gleich der Leistung, bei der während der Zeit 1 s die Energie 1 J umgesetzt wird: 1W=

1 Joule J = 1Sekunde s

(86)

2 Dynamik

C 59

Da nach (69) 1 J = 1 Nm = 1 Ws ist, gilt: 1W = 1

J Nm kgm =1 =1 3 s s s

=

2

(87)

Die letzte Form ergibt sich mit 1 N = 1 kgm/s2. 2.2.2.1 Geradlinige Bewegung. Sind verschiebende Kraft F und konstante Geschwindigkeit v gleichgerichtet, so gilt mit (84) für die Leistung P:

P=

W Fs s = = F = Fv t t t

P P=Fv

Nm W= s

F

v

N

m s

(88)

2.2.2.2 Drehung des Körpers. Greift die Tangentialkraft FT an einer Kurbel vom Radius r an, die sich mit gleich bleibender Geschwindigkeit v bzw. Winkelgeschwindigkeit  dreht, so ist P = FTv = FT r . Mit FT r = Drehmoment M wird die Leistung P

P=M

W = Nm s

M Nm

 FT

v

1 s

m s

N

r m

(89)

Wird für die Winkelgeschwindigkeit  =  n /30 eingesetzt, ergeben sich zwei in der Technik wichtige Zahlenwertgleichungen zur Berechnung von Leistung P oder Drehmoment M : P=

Mn 9550

P kW

P M = 9550 n

M Nm

n min–1

(90) (91)

Der Wirkungsgrad  einer Maschine oder eines Vorgangs (Spannen einer Feder, Gewinnung eines Stoffes, Umwandlung von Wasser in Dampf usw.) ist das Verhältnis der von der Maschine oder während des Vorgangs verrichteten Nutzarbeit Wn zu der der Maschine oder während des Vorgangs zugeführten Arbeit Wz: Wn a Die Störquelle bewegt sich während der Zeit t um den Weg s = ct und die Schallwelle um s = at



C 118

C Mechanik

Beispiel 1. Ein Überschallflugzeug fliegt mit der Machzahl von M = 1,8 in 10 km Höhe bei der Lufttemperatur von t = –48° C horizontal über einen Beobachter auf der Erde. Wie groß sind die Geschwindigkeit des Flugzeugs und der Mach’sche Winkel? Wie weit ist das Flugzeug horizontal vom Beobachter entfernt, wenn dieser den Überschallknall hört und welche Zeit ist bis dahin vergangen? Die Gaskonstante von Luft beträgt R = 287,6 J/kgK und  = 1,4.

Schallgeschwindigkeit nach Gl. 14:

a = κ RT = 1, 4⋅287,6

J m ⋅225,16 K = 301,10 kg K s

c2 dp +∫ =H 2 ρ

Geschwindigkeit des Flugzeugs nach Gl. 17:

c = M a =1,8⋅301,10

m m km = 541,97 = 1951,1 s s h

1 = 0,555 → α = 33,72° M

κ p  ρ =  p0  ρ0 

Horizontale Entfernung des Flugzeugs vom Beobachter: h 10 km = = 14,984 km s= tan α 0,6674

5.3 Energiegleichung der kompressiblen eindimensionalen Strömung; Bernoulligleichung der kompressiblen Strömung Die Euler’sche Bewegungsgleichung wurde im vorangehenden Abschnitt aus dem Kräftegleichgewicht an einem Fluidteilchen für die stationäre Strömung abgeleitet. Da keine Voraussetzungen über die Stoffdichte  getroffen wurden, gilt die Bewegungsgleichung auch für die kompressible Strömung; sie lautet: dp

ρ

+ g dh = 0

(18)

Da die Thermodynamik verschiedene Zustandsänderungen von der isochoren über die isobare, die isotherme, die isentrope bis zur polytropen Zustandsänderung kennt, muss die nachfolgende Berechnung für eine diskrete thermodynamische Zustandsänderung erfolgen. Dafür wird die isentrope Zustandsänderung gewählt, bei der keine Wärme mit der Umgebung ausgetauscht wird. Da die Höhenkoordinate bei den gasdynamischen Betrachtungen infolge der geringen Gasdichte nur sehr geringen Einfluss nimmt, wenn man meteorologische Vorgänge mit großen Höhendifferenzen ausschließt, lautet die Bewegungsgleichung 18 c dc +

dp

ρ

=0

(21)

Wird diese Beziehung in Gl. 20 eingeführt, erhält man nach Integration die Energiegleichung (Bernoulligleichung) der Gasdynamik

Zeit: s 14984 m t= = = 27,64 s c 541,97 m s

c dc +

(20)

Die Integrationskonstante H ist auch hier die Bernoulli’sche Konstante der Gasdynamik. Bezieht man die Isentropengleichung auf den Ruhezustand 0, so ergibt sich das Druckverhältnis:

Mach’scher Winkel nach Gl. 16: sin α =

Die Druckänderung in Gasen infolge Höhenänderung dp = g dh ist gegenüber den anderen beiden Größen vernachlässigbar klein. Das lehrt auch die Erfahrung, wenn man bedenkt, dass das Fliegen von Vögeln und Flugzeugen auf dem aerodynamischen Prinzip basiert und Ballonfahren auf dem thermischen Prinzip, d.h. auf der Dichtedifferenz zweier Systeme beruht. Nach der Integration von Gl. 19 erhält man die Bernoulligleichung der Gasdynamik

(19)

κ−1

c2 κ p0  p  κ   =H + 2 κ −1 ρ0  p0 

(22)

Wird die Energiegleichung für die Ausströmung des Gases aus einem Behälter mit c0 0 im Ruhezustand des Gases p0, 0, T0 entsprechend Bild 5 in die Atmosphäre mit p2, T2 und 2 aufgeschrieben, so erhält man Gl. 23 κ−1

κ p0  p2  κ c22   = + κ −1 ρ0 κ −1 ρ0  p0  2 p0

κ

(23)

0 c0 0

p 2 100 kPa

p0 300 kPa

T2 c2

T0 293,16 K

2

Bild 5. Ausströmen aus einem Druckbehälter Die Ausströmgeschwindigkeit aus dem Behälter beträgt somit 1

 κ−1  2   2 κ p0   p2  κ  c2 =  1−    κ −1 ρ0   p0       

(24)

5 Gasdynamik; Eindimensionale kompressible stationäre Strömung Wie Gl. 24 zeigt, wird die höchste Ausströmgeschwindigkeit bei p2 = 0 erreicht, d.h. beim Ausströmen aus dem Druckbehälter in ein vollständiges Vakuum. Die Maximalgeschwindigkeit beträgt dann 1 p0 2

1 2

 2κ  2κ cmax = RT0   =   κ −1 ρ0   κ −1 1

(25)

Gl. 25 sagt aus, dass die gesamte im Kessel enthaltene spezifische Energie cpT0 = (2 p0/( – 1)0) gegenüber der Umgebung in Geschwindigkeit umgesetzt wird. Die spezifische Energie im Kessel entspricht der spezifischen Ruheenthalpie h0 = cpT0 im Kessel. Das bedeutet aber, dass die Energiegleichung für kompressible Gasströmungen (Gl. 23) mit der spezifischen Enthalpie dh = Tds + dp/ = du + p d (1/) – (1/)dp auch noch in der folgenden Form geschrieben werden kann. u1 +

p1

ρ1

+

c12 p2 c22 = u2 + + 2 ρ2 2

(26)

oder mit der spezifischen Enthalpie h = u + pv = u + p/ h1 +

h c J m kg K s

c12 c2 2 = h2 + 2 2

p2

T1

T2

1

2

c1

c2

a12 c12 a22 c22 + = + κ −1 2 κ −1 2

 a12  κ −1 2  a22  κ −1 1+ M1 = 1+ M 2 2  (29)  κ −1   2 2

für Ausströmvorgänge aus Behältern entsprechend Bild 5 mit c0 = 0. Mit der Ruheschallgeschwindigkeit a0 = κ RT0 erhält man eine neue Form der Energiegleichung.  a02 κ p0 a22  κ −1 = = cpT0 = M 2 2  (30) 1+  2 κ −1 κ −1 ρ0 κ −1

Mit Hilfe dieser Gleichung können die Austrittsschallgeschwindigkeit a2 und die Austrittsmachzahl M2 an der Austrittsöffnung eines Behälters berechnet werden. Will man den Einfluss einer Strömung, besonders bei hohen Machzahlen, auf die Temperatur von umströmten Körpern erkennen, so kann Gl. 27 mit der spezifischen Enthalpie h = cpT auch in der folgenden Form geschrieben werden: T1 

c12 c2

T2  2 2 cp 2 cp

x

2

Bild 6. Systemgrenzen einer Düsenströmung Der Ausdruck p/ entspricht nach Gl. 14 dem Quadrat der Schallgeschwindigkeit a2. Werden diese Beziehungen für die spezifische Enthalpie und die Schallgeschwindigkeit (Gl. 14) in

T

c

K

m J s kg K

cp

(31)

Der Term c2/(2cp) stellt den Temperaturanstieg eines Gasteilchens mit der Geschwindigkeit c dar, wenn es im Staupunkt eines Körpers isentrop auf c = 0 verzögert wird. Gl. 31 zeigt aber auch, dass sich Gasströmungen bei Beschleunigung abkühlen. Dadurch besteht Vereisungsgefahr in feuchten Gasen. Die Gln. 26 bis 31 sind unterschiedliche Schreibformen der Bernoulligleichung der Gasdynamik. Die Machzahl M* = 1,0 wird die kritische Machzahl M* genannt. Sie stellt sich ein bei der kritischen Geschwindigkeit von c* = a*, die der kritischen Schallgeschwindigkeit a* gleich ist. Die allgemeine Schreibweise von Gl. 28 lautet: a2 c2 + =H κ −1 2

1

(28)

 κ −1

(27)

wobei h die spezifische Enthalpie des Stromfadens ist, mit h = cpT = (cp/R)(p/) = (2 /( – 1))(p/). Die Summe der spezifischen Enthalpie h und der spezifischen Bewegungsenergie wird gelegentlich auch als spezifische Totalenthalpie ht = h + c2/2 bezeichnet, die während eines Strömungsvorgangs auf der Stromlinie konstant bleibt. Gl. 27 zeigt auch, dass die Energiegleichung der Gasströmung für adiabate und reibungsbehaftete Strömungen gültig ist. p1

die Gl. 27 eingesetzt, ergibt sich für die Energiegleichung folgende Form für die Düsenströmung, Bild 6

Mit der Machzahl M = c/a erhält man die folgende Form der Energiegleichung

1

2  2 2 a02  = =  cpT0    κ −1 

C 119

(32)

Wird Gl. 32 für den Ruhezustand, z.B. in einem Behälter mit c0 = 0 und für einen Strömungszustand in einer Austrittsöffnung mit der Geschwindigkeit c aufgeschrieben, so lautet sie a02 a2 c2 = + κ −1 κ −1 2

(33)

C 120

C Mechanik

Strömt das Gas in einen Behälter mit dem absoluten Vakuum von p = 0 und T = 0, ist dafür auch die Ausström-Schallgeschwindigkeit a = κ RT = 0 und es stellt sich die erreichbare Maximalgeschwindigkeit cmax ein (Gl. 25). Die maximal erreichbare Ausströmgeschwindigkeit von Luft mit t = 20 °C,  = 1,40 und a0 = 343,26 m/s in ein absolutes Vakuum beträgt damit cmax = 768,24 m/s = 2765,66 km/h. Für den kritischen Zustand c* = a* und a = a* lautet die Energiegleichung a02 1 κ +1 *2 = a κ −1 2 κ −1

(34)

Das Verhältnis einer Strömungsgröße a, p,  oder T in einem beliebigen Punkt auf der Stromlinie zu der entsprechenden Ruhegröße der Stromlinie a0, p0, 0, T0 ist nur vom Stoff () und von der Machzahl in dem betrachteten Punkt abhängig, wie nachfolgend gezeigt wird.

5.4 Ruhegrößen und kritischer Zustand Aus Gl. 30 ergibt sich für den Ruhezustand und für den Strömungszustand am Behälter entsprechend Bild 5  2  a02 a2  1+ κ −1 c   = 2 a  κ −1 κ −1  

(35)

Daraus folgt mit a2 =  RT und a02/a2 = T0/T aus Gl. 14 für das Verhältnis der Schallgeschwindigkeiten  a0 2 T0 κ −1 2 M   = = 1+ T a 2

(36)

M = 0,1 bis 1,0 bzw. der Geschwindigkeit c in der Tabelle 3 angegeben. Tabelle 3. Größe des Dichte- und Druckfehlers bei inkompressiblen Rechnungen für Luft bei p = 100 kPa, T = 293,16 K, R = 287,6 J/kgK in Abhängigkeit von der Machzahl M. Machzahl M

0,1

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Geschwindigkeit c 34,32 68,64 137,42 205,92 274,56 343,26 m/s spez. Dichteände0,005 0,020 0,076 0,160 0,260 0,366 rung 1- / 0= / 0 spez. Druckände0,007 0,028 0,104 0,216 0,344 0,472 rung 1-p/p0= p/p0

Ventilatoren mit geringen Totaldruckverhältnissen bis zu ptD/ptS = 1,18 und geringen Geschwindigkeiten bis c = 40 m/s können demzufolge inkompressibel ausgelegt werden ohne nennenswerte Fehler zu begehen. Bei Hochdruckventilatoren mit Totaldruckverhältnissen ptD/ptS  1,20 muss jedoch die Kompressibilität bei der Auslegung der Ventilatoren berücksichtigt werden. Ebenso wie die Ruhegrößen eines Fluids charakterisieren auch die kritischen Größen (Gl. 34) die Bernoulli’sche Konstante auf einer Stromlinie. Deshalb muss auch das Verhältnis dieser beiden Bernoulli’schen Konstanten wieder eine konstante Größe sein, die für alle Stromlinien den gleichen Wert hat, d.h. sie ist von der Strömung unabhängig und nur von der Stoffgröße  des Fluids abhängig (Gln. 39 bis 42). Aus Gl. 34 für den Ruhezustand und für den kritischen Zustand können die folgenden Verhältniswerte im kritischen und im Ruhezustand mit a2 = RT ermittelt werden.

κ

Mit der Isentropengleichung p0 / p = (T0 / T ) κ−1 erhält man die Verhältniswerte der Ruhegrößen für den Druck p0 und die Dichte 0 bezogen auf die örtlichen Größen p und  κ  T0 κ−1

p0 =  p T 

1

κ  2 κ−1

 κ −1 M  =1+   2

(37)

1

ρ0  T0 κ−1  κ −1 2 κ−1 M  =  =1+   ρ T  2

 a* 2 2  = κ +1  a0 

(39)

Temperaturverhältnis: 2 T *  a*  2 =  = T0  a0  κ +1

(40)

Druckverhältnis: (38)

Gl. 38 sagt aus, dass die Dichteänderung  = 0 –  eines strömenden Gases um so größer ist, je größer die Geschwindigkeit c bzw. die Machzahl der Strömung ist. Nun stellt sich die Frage, welchen Fehler begeht man bei üblichen Geschwindigkeiten von Gasströmungen mit Werten von c = 15 m/s bis 70 m/s, wenn die Dichteänderung nicht berücksichtigt wird. Die Fehler der bezogenen Dichte- und Druckänderungen sind in Abhängigkeit der Machzahl von

κ

p*  2 κ−1 =  p0  κ +1 

(41)

Dichteverhältnis: 1

ρ*  2 κ−1 =  ρ0  κ +1 

(42)

In der Tabelle 4 sind die kritischen Verhältniswerte für einige gebräuchliche Gase und Dämpfe zusam-

5 Gasdynamik; Eindimensionale kompressible stationäre Strömung mengestellt. Hervorzuheben sind darin die Werte für Luft und zweiatomige Gase mit  = 1,4 mit p*/p0 = 0,528; */0 = 0,634 und T*/T0 = 0,833. Tabelle 4. Kritische Zustandsgrößen einiger Gase und Dämpfe Gasart Helium andere Edelgase Luft Heißdampf Sattdampf

1,66 1,60 1,40 1,30 1,135

/( -1)

p*/p0

2,515 2,666 3,50 4,333 8,407

0,488 0,497 0,528 0,546 0,577

0

T*/T0

0,649 0,646 0,634 0,628 0,616

0,752 0,769 0,833 0,870 0,937

*

/

Der Isentropenexponent  von Gasen nimmt mit steigendem Druck zu und er sinkt mit steigender Temperatur ab. Im Bild 7 ist der Isentropenexponent von Luft in Abhängigkeit der Temperatur und des Druckes nach Baehr, H. D. und Schwier, K. [1] angegeben. Daraus wird sichtbar, dass für Luft bei p = 100 kPa im Temperaturbereich von T = 175 K bis 450 K mit  = 1,40 gerechnet werden kann.

2,8

gleichung mit den Koordinatenabschnitten a0 und a0

2

darstellt (Gl. 43).

κ −1

 2   a  c  =1   +  a0  2   a0  κ −1   2

Der Ausdruck a0

 a 2  c 2   +  =1  a0   cmax  Unterschallströmung M1 M g un m trö he lls isc ha sc on er rs g pe un Üb su röm St

Druck Temperatur in K in MPa 100 150 200 250 300 350 400 450 0,1 1,433 1,411 1,406 1,403 1,402 1,400 1,400 1,319 0,5 1,596 1,452 1,423 1,141 1,408 1,404 1,399 1,395 1 1,508 1,447 1,423 1,417 1,410 1,404 1,397 2 1,654 1,499 1,456 1,435 1,423 1,413 1,405 5 3,044 1,692 1,549 1,492 1,462 1,442 1,427 10 3,168 2,072 1,701 1,579 1,522 1,486 1,462

3,2  3,0

C 121

10

M

Pa

kPa

1,4 100 kPa 1,2 1,0 100

150

200

250

300

350

T

400

K

450

Bild 7. Isentropenexponent  von Luft in Abhängigkeit der Temperatur und des Druckes nach [1]

5.5 Das Geschwindigkeitsdiagramm der Energiegleichung Wird die Energiegleichung (Gl. 33) für den Ruhezustand und für einen beliebigen Strömungszustand umgeformt und auf die Schallgeschwindigkeit a0 bezogen, erkennt man, dass sie eine Ellipsen-

Ein Viertel dieser Ellipse ist mit allen Bereichen der kompressiblen Strömung im Bild 8 dargestellt. In der Ellipsendarstellung der Energiegleichung sind der Unterschall- und der Überschallbereich der kompressiblen Strömung mit folgenden Strömungsbereichen dargestellt: – Unterschallströmung  inkompressible Näherung mit M < 0,25  subsonische Strömung mit M < 1  kritische Strömung mit M* = 1 – Überschallströmung  supersonische Strömung mit M > 1  hypersonische Strömung mit M > 5 Beispiel 2. Aus dem Druckbehälter für Luft mit p0 = 180 kPa, R = 287,6 J/kgK, T0 = 293,16 K, cp = 1004 J/kgK und  = 1,40 entsprechend Bild 5 ist die Ausströmgeschwindigkeit c der Luft in die freie Atmosphäre mit p = 100 kPa zu berechnen.

C 122

C Mechanik lustbeiwert  berücksichtigt, beträgt der ausfließende Massenstrom

Luftdichte im Behälter: p 180 kPa kg ρ0 = 0 = = 2,135 3 RT0 287, 6 J ⋅293,16 K m kg K

m = αΨ A2 2 p0 ρ0

(48)

Druckverhältnis aus Tabelle 4:

p p* = 0,556 > = 0,528 , unterkritische Ausströmung p0 p0 Ausströmgeschwindigkeit, Gl. 24: 1

 0,4 2    2,8 180 kPa  100 1,4   m 1 c2 =  − = 302,053    180   s 0, 4 2,135 kg          m3 Austrittstemperatur , Gl. 31: T2 = T0 −

c2 2 = 247,724 K 2 cp

Austrittsmachzahl, Gl. 17: M2 =

c2 c2 = = a2 κ RT2

302,053 1, 4⋅ 287, 6

m s

J ⋅247,724 K kg K

= 0,956

Beispiel 3. Für eine Luftströmung mit der Geschwindigkeit von c1 = 160 m/s bei T1 = 305 K und bei der spezifischen Wärmekapazität von cp = 1004 J/kgK der Luft ist die Temperaturerhöhung im Staupunkt T = T2 – T1 eines umströmten Körpers bei c2 = 0 m/s zu errechnen. Aus der Bernolligleichung (Gl. 31) folgt: m² 1602 2 c12 s ∆ T = T2 −T1 = = = 12,75 K J 2c p 2⋅1004 kg K

Berechnung der Durchflussfunktion Die Durchflussfunktion in Gl. 46 ist nur abhängig vom Isentropenexponent , d.h. von der Gasart und vom Druckverhältnis p/p0;  = f (, p/p0). Die Durchflussfunktion steigt mit sinkendem Druckverhältnis p/p0 an und sie erreicht beim kritischen Druckverhältnis ihren Maximalwert. Danach sinkt sie wieder ab, weil die Flächen-Geschwindigkeitsbeziehung in Gl. 46 unberücksichtigt blieb. In Wirklichkeit bleibt jedoch der erreichte Maximalwert der Durchflussfunktion  und auch der erreichte maximale ausströmende Volumen- und Massenstrom im gesamten Druckbereich p/p0 unterhalb der kritischen Druckverhältnisse (p/p0)krit konstant. 0,6  0,5

max

Helium =1,66 Luft =1,40 überhitzter Wasserdampf =1,30 Naßdampf =1,135

0,4

0,3

0,2

5.6 Die Durchflussfunktion Mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung m =  cA und der Ausströmgeschwindigkeit in Gl. 24 kann auch der ausfließende theoretische Massenstrom aus einem Druckbehälter berechnet werden. Er beträgt: 1

 2 κ+1  2   2κ  p κ  p  κ  m = A2  p0 ρ0  −    κ −1  p0   p0       

(46)

Ist die Ausflussfunktion bekannt, kann der ausfließende theoretische Massenstrom m bestimmt werden. m A2 p0 0 kg kg m2 Pa 3 s m

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 p p0

Bild 9. Durchflussfunktion  für Gase und Dämpfe

1

m =Ψ A2 2 p0 ρ0

0

(45)

Darin ist die Durch- oder Ausflussfunktion  enthalten, sie lautet:  2 κ+1  2   κ  p κ  p  κ   Ψ=   −    κ −1 p0   p0       

0,1

(47)

Werden schließlich noch die Strahlkontraktion mit  = f (Re, (d/D)) = 0,60 bis 1,20 oder der Druckver-

Die Durchflussgeschwindigkeit c, die Durchflussfunktion  und der durchfließende Massenstrom können unterhalb des kritischen Druckverhältnisses p/p0 < (p/p0)krit weiter erhöht werden, wenn entsprechende technische Vorkehrungen in Form einer Überschalldüse (de Laval-Düse) getroffen werden. Im Bild 9 sind die Verläufe der Durchflussfunktion für zwei Gase und für zwei Dämpfe in Abhängigkeit des Druckverhältnisses p/p0 dargestellt. Das kritische Druckverhältnis in Gl. 41 bestimmt den Maximalwert der Durchflussfunktion. Damit wird der Maximalwert von max 1

 2 κ−1 Ψ max =   κ +1 

κ κ +1

(49)

5 Gasdynamik; Eindimensionale kompressible stationäre Strömung

C 123

Der maximale Massenstrom m max beträgt damit

κ +1  

p2 c2

d2

d2

p1



κ 

d1

m max = α A2

1   2 κ−1 2 p0 ρ0    κ +1   

c1

(50)



Bei dem überkritischen Druckverhältnis p/p0  p*/p0 expandiert der Strahl nach dem Austritt aus der Öffnung und erweitert sich (Bild 10).

Bild 12. Strahlkontraktion in verschiedenen Ausund Durchflussöffnungen



Die Gleichung für den Massenstrom lautet:

max

m = α εΨ 2 ρ0 p0

p p0

0

a)

p p0

p 1,0 p0

b)

Bild 10. a) Ausflussfunktion für überkritisches Ausströmen ohne Überschalldüse b) Behälter mit Strahlexpansion

5.7 Isentrope Strömung in Düsen und Blenden Mit Hilfe der Durchflussfunktion kann auch der Durchfluss durch Blenden und Düsen (Bild 11) berechnet werden. Wirkdruckentnahme

(51)

Beispiel 4. Aus einem Dampfbehälter mit dem konstanten absoluten Innendruck von p0 = 860 kPa und der Temperatur von t0 = 380 °C strömt überhitzter Dampf durch eine Öffnung mit dem Durchmesser von d = 38 mm isentrop in eine Anlage mit dem Druck von p2 = 480 kPa abs. Zu bestimmen sind für die Dampfströmung mit der spezifischen Wärmekapazität von cp = 2398 J/kgK, R = 595,0 J/kgK und  = 1,30 die Dampftemperatur und die Dichte der Austrittsströmung, die Dampfgeschwindigkeit am Austritt, die örtliche und kritische Machzahl; die Abkühlung des Dampfes bei der Ausströmexpansion. Aus der Isentropengleichung folgt für die unterkritische Strömung nach Tabelle 4:  p*  p   = 0,547 = 0,558 > p0  p0 

Austrittstemperatur aus Isentropengleichung, Gl. 37: κ−1

p κ T2 = T0 2  = 653,16 K ⋅0,5580,231 = 570,8 K  p0  Dampfdichte am Austritt: p 480 kPa kg ρ2 = 2 = = 1, 413 3 RT2 595, 0 J ⋅570,8 K m kg K Austrittsgeschwindigkeit des Dampfes aus der Öffnung, Gl. 31: 1

1

1

p 2

d2

d1

c

d2

d1

2  2 J (653,16 K − 570,8 K ) = c2 =  2cp (T0 −T2 )  = 2⋅2398 kg K  

m s örtliche Machzahl, Gl. 17: = 628, 49

M2 =

1 p 2

Bild 11. Normblende und Normdüse

Somit kann die Durchflussgleichung und die Durchflussfunktion für die Volumenstrommessung bzw. für die Massenstrommessung in Düsen und Blenden benutzt werden. Um den Massenstrom genau ermitteln zu können, müssen auch der Düsenbeiwert  und die Strahlkontraktion berücksichtigt werden. Im Bild 12 ist die Strahlkontraktion für einige Aus- und Durchflussöffnungen dargestellt.

c2 = c2 / κ RT2 = a2

628, 49 1,30⋅595,0

m s

J ⋅570,8 K kg K

= 0,946

kritische Schallgeschwindigkeit, Gl. 34: a* = 2 c p

κ −1 J 1,30 −1 m 653,16 K = 639, 21 T = 2⋅2398 κ +1 0 kg K 1,30 +1 s

kritische Machzahl, Gl. 17:

m c2 628, 49 s = = 0,983 a* 639, 21 m s Abkühlung des Dampfes bei der isentropen Expansionsströmung M*=

∆ T = T0 −T2 = 653,16 K − 570,8 K = 82,36 K

C 124

C Mechanik

5.8 Beschleunigte kompressible Strömung 5.8.1 Reibungsbehaftete kompressible Rohrströmung

Bei der reibungsbehafteten Rohrströmung wird die Reibungsarbeit an der Rohrwand dem Gas als Dissipationsenergie zugeführt. Die Energiezufuhr führt zur Beschleunigung der Strömung auch bei konstantem Rohrquerschnitt. 

p

r

c

c(r)

x

Die Euler’sche Bewegungsgleichung für die reibungsbehaftete Strömung eines Newton’schen Fluids lautet unter Vernachlässigung des Gravitationsanteils gemäß Bild 13: dp

ρ

+

dτ

ρ

(52)

=0

Mit der thermischen Zustandsgleichung der Gase p/ = RT in der differenziellen Schreibweise d(p/) = R dT erhält man nach der Differenziation



dc

0 c

(54)

Setzt man die Kontinuitätsgleichung für A = konst. (Gl. 54) in Gl. 53 ein und ersetzt den Druck p durch p = RT, ergibt sich die Gleichung für die Druckänderung infolge einer Temperatur- und Geschwindigkeitsänderung dp



 dT dc 

RT 

 c   T

(55)

Wird Gl. 55 in Gl. 52 eingeführt, erhält man mit der spezifischen Reibungsenergie  / =  (c2/2)(x/dh) die Gleichung für die kompressible reibungsbehaftete Rohrströmung 2

c dc + R dT − RT

 RT 1 2 c 

c 2 dx   c dc   2 d 0  h

(57)

Der Rohrreibungsbeiwert  ist auch bei kompressibler Unterschallströmung (M  1,0) unabhängig von der Machzahl und nur eine Funktion der Reynoldszahl Re und der relativen Oberflächenrauhigkeit  = f (Re, d / k). Er kann dem Nikuradse- oder ColebrookDiagramm entnommen werden und er ist vom Strömungsweg x unabhängig. Damit kann Gl. 57 in den Grenzen 1 und 2 in Bild 14 berechnet werden. dq

p1 T1 1 c1

A1

d

p2< p 1 T2>T 1  2<  1 c2> c 1

A2 T=konst. 

(53)

und mit der Kontinuitätsgleichung m  c A in der differentiellen Form für die Rohrleitung mit konstantem Rohrquerschnitt, A = konst. folgt



In langen erdverlegten Gasrohrleitungen wie z.B. in Pipelines und Gasversorgungsleitungen nehmen die Rohrleitungen und das Gas annähernd die konstante Temperatur des Erdreichs an und es findet ein Wärmeaustausch dq statt (Bild 14). Mit dT = 0 vereinfacht sich die Euler’sche Bewegungsgleichung für die kompressible reibungsbehaftete Rohrströmung (Gl. 56) zu



dp d  dT

 p T

d

5.8.2 Reibungsbehaftete isotherme Rohrströmung

T(r)

Bild 13. Geschwindigkeits- und Temperaturverlauf bei reibungsbehafteter Rohrströmung

c dc +

Wenn der Temperaturverlauf T(x) entlang der Rohrachse bekannt ist, liefert diese Gleichung die Geschwindigkeit entlang der Rohrachse c(x). Sie kann in einfacher Weise zunächst für die isotherme Rohrströmung mit dT = 0 gelöst werden.

dc c dx + λ = 0 c 2 dh

(56)

1

L

2

Bild 14. Isotherme reibungsbehaftete Rohrströmung bei A = konst.

Die Lösung der Gl. 57 lautet: 2 ln

 1 c2 1  L

2 RT  2 2   

0 c1 dh c1 !  c2

(58)

Mit dem Quadrat der Schallgeschwindigkeit a12/ = RT1 und der Machzahl am Rohranfang M12 = c12/a12 = c12/ RT1 ergibt sich die Gleichung 59 mit der Machzahl M1: 2 ln

2 L c1 1   c1   1      c2  M12   c2   d !

(59)

Der erste Term der Gl. 59 2 ln(c1/c2) stellt die Beschleunigung des Gases durch den kompressiblen Einfluss dar. Er kann zunächst bei der iterativen Lösung der Gleichung näherungsweise null gesetzt werden. Mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung

5 Gasdynamik; Eindimensionale kompressible stationäre Strömung m 1c1 A1  2c2 A2 für A = konst. und mit der thermischen Zustandsgleichung der Gase p = RT können die Verhältniswerte 2/1 und p2/p1 und die Zustandsgrößen am Ende der Rohrleitung bestimmt werden. Es folgt für A = konst.

 2 c1

1 c2

und

p2  2 c1



p1 1 c2

(60)

Wird die vollständige Gl. 59 iterativ gelöst, können die Resultate in Abhängigkeit der Rohrgeometrie  L / d und der Machzahl in einem Diagramm dargestellt werden. Im Bild 15 ist das Geschwindigkeitsverhältnis für die kompressible isotherme Rohrströmung dargestellt. Das Verhältnis der Geschwindigkeit am Anfang und am Ende der Rohrleitung c1/c2, ist im Bereich von 0,2 bis 1, über  L / d mit Werten von 10–1 bis 103, für verschiedene Machzahlen von M1 = 0,02 bis 0,50 dargestellt. Ebenfalls dargestellt ist der Verlauf der Grenzmachzahl, die sich aus der Grenzwertbetrachtung von Gl. 59 für  c1   M1       M1  c2 Gr  M 2 Gr

(61)

C 125

L 1 2 $# $" c1 & p p1 p2 p1 %1 1  d p1 $' $(

Gl. 63 zeigt, dass der Druckverlust p bei kompressibler Rohrströmung und sonst gleichen Rohrparametern und Anfangsbedingungen stets größer ist als der Druckverlust bei inkompressibler reibungsbehafteter Strömung mit p =  (L/d)c12/2. Bei kompressibler Strömung mit Machzahlen von M1  0,2 ist der Druckverlust stets kompressibel mit Gl. 59 oder Gl. 63 zu berechnen. Dabei ist zu beachten, dass sich für das Geschwindigkeitsverhältnis c1/c2 und für die Rohrlänge Grenzwerte ergeben, die nicht überschritten werden sollen, da sie zu Verdichtungsstößen führen können. Ein anderer Grenzwert für die kompressible Berechnung von Druckverlusten in Gasrohrleitungen ist das Verhältnis des Druckverlustes p zum absoluten Eintrittsdruck p1 von p/p1 ) 0,08. Durch Reihenentwicklung von Gl. 63 erhält man den Druckverlust für die inkompressible Rohrströmung p p1 p2 

ergibt zu M 2Gr

1

M1=0,02

0,4

M2Gr

0,2 -1 10

p

L

d



c



kg m Pa m m 3 1 m s

(64)

Beispiel 5. Für eine Erdgasleitung mit dem Innendurchmesser d = 80 mm und der Länge L = 4,5 km, die nicht isoliert in 1 m Tiefe im Erdreich verlegt wurde, ist der Druckverlust für die Gasgeschwindigkeit von c = 22 m/s in einer neuen Stahlrohrleitung mit der Oberflächenrauigkeit von k = 0,08 mm zu berechnen. Der absolute Druck beträgt p = 580 kPa, die Gasdichte  = 0,795 kg/m3 und die kinematische Viskosität * = 15,8 + 10–6 m2/s.

Reynoldszahl:

0,5

0,4

L 2 c1 d 2

(62)



1 c1 c2 0,8

0,6

(63)

0,08 0,04 0,15 0,3 0,1 0,06 0,2 0,25

1  1

10

102

L d

m 0,08 m s = 111392, 4 ν m2 15,8⋅ 10− 6 s relative Oberflächenrauigkeit: d 80 mm

1000 k 0,08 mm Re =

103

Bild 15. Geschwindigkeitsverlauf bei kompressibler isothermer Rohrströmung für Luft und zweiatomige Gase mit  = 1,4

Bild 15 zeigt die Beschleunigung der Strömung infolge von Wärmezufuhr durch Reibung. Bei sehr langen Rohrleitungen bzw. sehr großen Werten  L / d > 10 bis 103 führt diese Strömung zum Verdichtungsstoß mit dem Druckanstieg und der Geschwindigkeitsabsenkung. Danach kann der isotherme reibungsbehaftete Strömungsvorgang von Neuem beginnen. Wird das Beschleunigungsglied in Gl. 58 vernachlässigt, ergibt die Lösung der vereinfachten Gl. 58 den Druckverlust p für die reibungsbehaftete kompressible Strömung:

cd

22

=

Rohrreibungsbeiwert aus Colebrook-Diagramm: d λ = f Re, = 0,0218 k Druckverlust nach Gl. 63: "$ L 1 2 $# p p1 p2 p1 %1 1  c &

d p1 ($ $' kg 2 m3 222 m 0,08 m ⋅ 580⋅ 103 Pa s2

0,0218⋅ 4500 m⋅ 0,795 = 580 kPa 1− 1−

p 329,5 kPa

Die inkompressible Rechnung nach Gl. 64 ergibt einen Druckverlust p = 235,92 kPa. Daraus ergibt sich eine Differenz für den Druckverlust der kompressiblen und der inkompressiblen Rechnung von

C 126

C Mechanik

(p) = 93,58 kPa. Bezogen auf den Druckverlust der kompressiblen Rechnung von p = 329,5 kPa entspricht dieser Wert einer Abweichung von 28,4%. Das Verhältnis des Druckverlustes p zum Eintrittsdruck nimmt den folgenden Wert an.

p 329,5 kPa

0,568 p1 580 kPa

5.8.3 Reibungsbehaftete adiabate Rohrströmung für dq = 0 Bei isolierten Gasleitungen, aber auch bei kurzen nichtisolierten Gasversorgungsleitungen, kann der Wärmeaustausch durch die Rohrwand näherungsweise vernachlässigt werden. Mit der Beziehung für die Totaltemperatur einer Strömung Tt = T + c2/(2cp) und der spezifischen Wärmekapazität cp =  R / ( –1) erhält man für die Gastemperatur c2 ( 1) c 2

Tt 2 cp 2 R

(65)

Aus Gl. 65 folgt nach Differenziation: dT

 1 c dc R

(66)

Wird diese Temperaturänderung in die Gleichung der kompressiblen reibungsbehafteten Rohrströmung (Gl. 56) eingesetzt, erhält man

  1 dc dc dx

2 RTt1 3  

0  c d c h

(67)

Der Rohrreibungsbeiwert  ist auch bei der adiabaten Strömung näherungsweise von der Lauflänge unabhängig und nur von der Reynoldszahl und der relativen Oberflächenrauigkeit abhängig  = f (Re, k / d). Die Lösung der Gleichung zwischen den Stellen 1 und 2 des Bildes 16 ergibt die Gl. 68 2

  1  c2  RTt1   c1   L

0 ln   2 1     dh   c1  c1   c2  ! p1 T1 1 c1

A1

d

T = konst.

L

c12



1

 M12

Bild 16. Adiabate reibungsbehaftete Rohrströmung bei A = konst.

 1 2

(70)

2  1 L  1    c1     1  c1  

0 (71) ln      1    2  2 !   c2   c2  dh   M1  !

Diese transzendente Gleichung kann bei bekannter Rohrgeometrie dh = d, L, , bekannten Anfangsbedingungen p1, T1 und c1 und bekanntem Isentropenexponenten  iterativ gelöst werden. Die Lösungen der Gl. 71 für die adiabate Rohrströmung können wieder in Abhängigkeit der Rohrgeometrie  L / d und der Eintrittsmachzahl M1 dargestellt werden. Bild 17 zeigt die Geschwindigkeitsverhältnisse für die kompressible adiabate Rohrströmung. Das Geschwindigkeitsverhältnis c1/c2 ist für den Bereich von c1/c2 = 0,2 bis 1, über  L / d mit Werten von 10–1 bis 103 dargestellt. Bei variierten Machzahlen von M1 = 0,02 bis 0,5 stellen sich die abfallenden Verläufe c1/c2 ein (Bild 17). Ebenfalls aufgetragen ist der Verlauf der Grenzmachzahl mit M2Gr = 1. 1 c1 c2 0,8

0,6

M1=0,02

M2Gr=1

0,2 10-1

2



Wird dieser Ausdruck in Gl. 68 eingesetzt, erhält man die Beziehung für das Geschwindigkeitsverhältnis c1/c2 in Abhängigkeit der Gasart , der Machzahl M1, des Rohrreibungsbeiwertes , der Rohrlänge L und des hydraulischen Rohrdurchmessers dh:

0,5 0,4

(68) p 2< p 1 T 2>T 1  2<  1 c2> c 1

A2

RTt1

0,4

, s

1

( 1) c 2 ( 1) c 2 ( 1) 2 Tt M (69)

1

1

1 T 2  RT 2 a2 2

schreiben

Somit beträgt der absolute Druck am Ende der betrachteten Erdgasleitung p2 = p1 – p = 580 kPa – 329,5 kPa = 250,5 kPa.

T Tt

Für den Ausdruck RTt1/c12 in Gl. 68 kann man nach Umformung von Gl. 65 mit

1

0,15 0,08 0,04 0,3 0,2 0,1 0,06 0,25 103 10 102 L d

Bild 17. Geschwindigkeitsverhältnis bei kompressibler adiabater Rohrströmung für Gase mit  = 1,4 Bei Vernachlässigung des Beschleunigungsgliedes ln(c2/c1)( + 1) /, was für geringe Geschwindigkeiten zulässig ist, lautet die Lösung von Gl. 71 für das Geschwindigkeitsverhältnis c1/c2:

5 Gasdynamik; Eindimensionale kompressible stationäre Strömung 1

L " #2 2  M12 $ c1 $$ dh $

%1 & c2 $ 2  ( 1) M12 $ '$ ($

(72)

C 127

hältnis T2/T1, das Druckverhältnis p2/p1 am Ende der Rohrleitung zum Anfangsdruck sowie der Druckverlust zu berechnen. Die Heißdampfparameter betragen p1 = 1,0 MPa, t1 = 280 °C, T1 = 553,16 K, Dichte 1 = 4,0 kg/m3, die kinematische Viskosität * = 51,6 · 10–6 m2/s und der Isentropenexponent  = 1,30, Gaskonstante R = 595 J/kgK. Reynoldszahl der Dampfströmung:

Das Temperaturverhältnis T2/T1, das Dichte- und das Druckverhältnis betragen für die Rohrströmung: 2 T2  1 2   c2   M1 1  

1 2 T1   c1   !

(73)

(74)

(75)

Die Zustandsänderung der reibungsbehafteten adiabaten Gasströmung in der Rohrleitung kann im h-sDiagramm dargestellt werden. Sie verläuft auf der so genannten Fanno-Kurve (Bild 18) bis zum kritischen Druck p*, bei dem die Geschwindigkeit den möglichen Grenzwert cGrenz erreicht. Das Geschwindigkeitsverhältnis im Grenzpunkt von Bild 18 beträgt  -  1. M12   c1 

    2  c2 Grenz  2  - 1. M1 !

1

λ = f Re,

d = 0, 040 k

a  RT

p2 2 T2 c1 T2



p1 1 T1 c2 T1

J kg

Relative Oberflächenrauigkeit:

Schallgeschwindigkeit des Heißdampfes, Gl. 14:

Druckverhältnis:

1

ν

m ⋅ 0,10 m s = 50387,6 m2 51,6⋅ 10− 6 s 26

=

Rohrreibungsbeiwert aus Colebrook-Diagramm:

 2 c1

1 c2

ht=konst

cd

d 100 mm

1000 k 0,1 mm

Dichteverhältnis:

h

Re =

1 2

(76)

p1

c12 2

2

p2

c 22 2 *

J m + 553,16 K 654,12 kg K s

Machzahl, Gl. 17: M1

m 26 c s 0,040

a 654,12 m s

Geschwindigkeitsverhältnis mit Gl. 72 und Endgeschwindigkeit c2 bei Vernachlässigung des Beschleunigungsanteils: 1

L " #2 2  M 12 $ c1 $$ dh $

%1 &

c2 $ 2  ( 1) M 12 $ $' $( 1

550 m " #2 +1,30 + 0,042 $ 2 + 0,040 + 0,10 m $$ $

%1 & 0,737 2  (1,30 1) + 0, 042 $ $ '$ ($ c2

2

1,30 + 595

c2 1 m + c1

+ 26 35,28 m/s c1 0, 737 s

Temperaturverhältnis und Endtemperatur T2 , Gl. 73: p* c 2 Grenz 2

2  1 2   c2   T2

1 M1 1  

2 T1   c1   !

1 T2

  1 2  1,30 1 + 0,04 2 + 1    0,999 2   0, 737  !

T2 + T1 0,999 + 553,16 K 553,05 K T1

Dichteverhältnis und Dichte 2 , Gl. 74: s1

s2

s2Gr.

J s kg K

Bild 18. Zustandsänderung der adiabaten Rohrströmung im h-s-Diagramm (Fanno-Kurve) Beispiel 6. Für eine isolierte Heißdampfleitung mit dem Innendurchmesser d = 100 mm Ø und der Länge L von 550 m ist das Geschwindigkeitsverhältnis c1/c2, für dq = 0 für die Heißdampfgeschwindigkeit von c1 = 26 m/s und t1 = 280 °C in der Stahlrohrleitung mit der Oberflächenrauigkeit von k = 0,1 mm, das Temperaturver-

 2 c1

0, 737 1 c2  kg kg  2 2 + 1 0,737 + 4, 0 3 2,948 3 1 m m Druckverhältnis, Enddruck p2 und Druckverlust, Gl. 75:

p2  2 T2

0,737 + 0,999 0, 737 p1 1 T1 p2

p2 + p1 0, 737 +1000 kPa 737 kPa p1

Druckverlust p p1 p2 1000 kPa 737 kPa 263 kPa

C 128

C Mechanik

5.8.4 Flächen-Geschwindigkeits-Beziehung

Bei der kompressiblen, reibungsfreien, beschleunigten Strömung in Düsen ändern sich die Zustandsgrößen p, T, , c und auch der Strömungsquerschnitt A in Abhängigkeit von der Größe der Geschwindigkeit c bzw. der Machzahl entlang der Wegkoordinate x. c 0 0 p0 T0 0 c1

p2 T2 2 c2

den Druck dp/p und aus der Isentropengleichung ebenfalls d p / p =  d  /, erhält man Gleichungen für die Dichte-Geschwindigkeitsbeziehung und die Flächen-Geschwindigkeitsbeziehung. Aus Gl. 78 folgt (79)

Mit dem Quadrat der Schallgeschwindigkeit a2 = p/ und der Machzahl M = c/a erhält man die DichteGeschwindigkeitsbeziehung 

2

d

Bild 19. Eindimensionale Düsenströmung in einer de Laval-Düse

c1

c1

A2

c 2 dc dc

M 2 c a2 c

(80)

Wird diese Dichteänderung in die Kontinuitätsgleichung (Gl. 4) eingeführt, erhält man die FlächenGeschwindigkeitsbeziehung

-

A2

c2

u

Turbinenlaufrad

Bild 20. Leitapparat mit de Laval-Düsen einer Dampfturbine

Solche Strömungen treten in Überschalldüsen nach de Laval auf (Bilder 19 und 20) oder in Schaufelgittern von Dampf- und Gasturbinen, wenn große spezifische Energieströme in Geschwindigkeit umgesetzt werden sollen. Dafür wird eine eindimensionale isentrope Strömung entlang eines Stromfadens gemäß (Bild 19) betrachtet. Die Kontinuitätsgleichung für die kompressible Strömung m  c A ist in der differenziellen Schreibweise in Gl. 4 angegeben. Gl. 4 zeigt, dass eine Geschwindigkeitsänderung auch die Dichteänderung der Strömung und des Strömungsquerschnitts bedingt. Die Dichteänderung verursacht wiederum eine Druck- und Temperaturänderung, wie die thermische Zustandsgleichung (Gl. 77) zeigt dp d  d T

0  p T





.

dA dc

M 2 1 A c

A*

A*

c2

(78)

dp  1  d d

c dc 

 p  p  

x 1

 p  dp d      c dc 0  1   p  

Die Größe der Machzahl beeinflusst sowohl die Dichteänderung als auch die Querschnittsänderung dA der Düse, wie Tabelle 5 für vier verschiedene Zustände entsprechend Gln. 80 und 81 zeigt. Der Querschnittsverlauf einer Düse ist im Bild 21 in Abhängigkeit der Düsenlänge für die kompressible und für die inkompressible Strömung dargestellt. Die Flächen-Geschwindigkeitsbeziehung (Gl. 81) kann nun gelöst werden und man erhält für eine konstante Machzahl M das Querschnittsverhältnis A2/A1 einer Überschalldüse ln

 c A2 c

M 2 1 ln 2 ln  2  A1 c1  c1 

-

.

.

M 2 1

(82)

Tabelle 5. Wirkung der Größe der Machzahl auf die Dichte- und Querschnittsänderung von Strömungen M=0

M

1,0

M = M* = 1,0

(77)

Eliminiert man aus der differenziellen Form der Energiegleichung der Gasdynamik (Gl. 78)

(81)

M

1,0

Ruhezustand

dρ

ρ

Unterschallgeschwindigkeit

dρ

Kritischer Zustand

dρ

Überschallgeschwindigkeit

dρ

ρ

ρ

ρ

=0

dA dc =− = 0 A c




dc c

dA dc > A c

5 Gasdynamik; Eindimensionale kompressible stationäre Strömung Daraus folgt für das Querschnittsverhältnis von Düsen

A 2  c2 

  A1  c1 

.

2

M 1

Für die de Laval-Düse mit kreisförmigem Querschnitt A = 0 d 2/4 beträgt das Druckverhältnis 2 M 2

(83)

p2  d1  M 2 1

  p1  d 2 

oder

A

- M 1. c 2

konst.

(84)

Für den Unterschallbereich M  1,0 lautet die Gl. 84 A 2 c1-1 M1 .

A1 c -1 M 22 . 2 2

(85)

Die Beschleunigung der Strömung im Unterschallgebiet erfordert die Verengung und im Überschallbereich die Erweiterung des Düsenquerschnitts (Bilder 21 und 22).

C 129

p0 T0 0 c0

(88)

p2 T2 c2 2

A* a* M*=1

p c p0

p c

c*

p

c0

pu x c 0 0 p0 T0 0

c1

Bild 22. Druck- und Geschwindigkeitsverlauf in einer de Laval-Düse bei unterkritischer, kritischer und überkritischer Expansion

A

x A kompressibel d/0

inkompressibel d=0

0

x

Bild 21. Querschnittsverlauf in einer Düse bei kompressibler und inkompressibler Strömung

Die Dichte- und Druckänderung im Überschallbereich einer de Laval-Düse betragen: d

M2

dA

 ( M 2 1) A

(86)

Diese Dichteänderung in die Isentropengleichung

 M 2 dA dp d



p  M 2 1 A

-

2

2

 1

 c   a     T   1   1 1   c a T 0  max   0  0   1



(89)

 p 

1    p0 

Bild 23 zeigt, dass die örtliche Schallgeschwindigkeit a bzw. das Verhältnis a/a0 mit zunehmender Geschwindigkeit c von dem Wert a/a0 = 1,0 im Ruhezustand absinkt und bei der Maximalgeschwindigkeit c = cmax, die erst im absoluten Vakuum bei p = 0,

.

eingeführt, ergibt das Druckverhältnis: M 2

p2  A1  M 2 1

  p1  A2 

Erwartungsgemäß sinkt der Druck in der Überschalldüse, während die Geschwindigkeit ansteigt (Bild 22). Hier sind der Druck- und Geschwindigkeitsverlauf in einer de Laval-Düse mit der Beschleunigung der Strömung über die kritische Geschwindigkeit c* hinaus dargestellt. Wird die kritische Geschwindigkeit c* im engsten Querschnitt A* nicht erreicht, wirkt der Erweiterungsteil der Düse als Diffusor und der Druck p steigt bei reibungsfreier Strömung wieder auf den Anfangswert p0 an (Bild 22). Die erreichbare Maximalgeschwindigkeit beim Ausströmen in das totale Vakuum ist in Gl. 25 angegeben. Unter Benutzung der Bernoulligleichung (Gl. 44) und der Gleichungen für die Verhältniswerte im Ruhezustand (Gln. 36 bis 38) lässt sich die Änderung der Zustandsgrößen in Abhängigkeit des Geschwindigkeitsverhältnisses c /cmax darstellen (Bild 23).

(87)

 = 0 und T = 0 erreicht wird, den Wert a  RT 0 mit a/a0 = 0 annimmt.

C 130

C Mechanik  1

1

 1

 p    

     p0   0 

A* A

a/a0

1

1

 1 2

(94)

M2

Führt man Gl. 94 in Gl. 24 ein und betrachtet die Kontinuitätsgleichung (Gl. 2) für einen beliebigen Punkt auf der Stromlinie und für den kritischen Zustand  cA = *c*A*, können das Flächenverhältnis im kritischen Querschnitt A*/A und auch das Dichteverhältnis im kritischen Querschnitt einer Überschalldüse angegeben werden. Das Querschnittsverhältnis beträgt

T/T0 0,5 /0 p/p0

1

1

0,5 c/cmax

0

Bild 23. Bezogene Zustandsgrößen bei isentroper Strömung von Luft mit  = 1,4 in Abhängigkeit des Geschwindigkeitsverhältnisses c/cmax

  1 *2   1 M  1 A* 

* M * M *   1  1  A   1    1 !

(95)

und daraus das Dichteverhältnis  /* 1

Daraus wird auch sichtbar, dass es unterschiedliche Schallgeschwindigkeiten in Strömungen gibt, die streng auseinander zu halten sind: Es sind dies die Ruheschallgeschwindigkeit, a0 

p0

0

 RT0

(90)

die örtliche Schallgeschwindigkeit in einem Punkt der Stromlinie,  1

p  p  a   RT  0    0  p0  p

(91)

und die kritische Schallgeschwindigkeit a*.

a*

2

 1

a0

 1 2 p0 cmax

 1   1 0

(92)

Mit diesen unterschiedlichen Schallgeschwindigkeiten lassen sich auch zwei unterschiedliche Machzahlen definieren, wobei die Ruhemachzahl bei c = 0 stets M0 = 0 ist. Die örtliche Machzahl beträgt c c M

und die kritische Machzahl beträgt: a  RT 1

 1  # 2 "  $  1   p    $ c * M * % 1    & a $  1   p0   $ !( ' *

(93)

Damit erhält man unter Berücksichtigung der Isentropengleichung p/p0 = ( /0) = (T/T0)/(–1) die Beziehung für das exponierte Druckverhältnis:

  1 *2   1 1 M   1 A*    1

*

 *  1 

 M A  1     1 !

(96)

Für die kritische Machzahl M * = 1 ergibt sich aus Gl. 95 das Querschnittsverhältnis A*/A = 1,0, d.h. im kritischen Punkt erfährt der Querschnitt einer Überschalldüse keine Änderung in Abhängigkeit der Ortskoordinate. Der Düsenquerschnitt befindet sich in diesem Punkt im Wendepunkt zwischen dem konvergierenden und dem danach folgenden divergierenden Teil der Überschalldüse (Bild 22). Im Überschallbereich der de Laval-Düse mit M > 1,0 ist A*/A < 1, d.h. der Querschnitt erweitert sich. Der Zusammenhang der kritischen Machzahl M * und der örtlichen Machzahl M ergibt sich aus den Schallgeschwindigkeiten der Gl. 39 mit der Definition der Machzahlen M * = c*/a* und M = c/a (Gl. 17) zu *

M

c a*



c 1 2

 2     1 ! a0

 -  1. M 2 

  2  2  - 1. M !

1 2

(97)

Die Verhältniswerte der Zustandsgrößen p/p0, T/T0,  /0 können auch in Abhängigkeit der kritischen Machzahl M * dargestellt werden, deren Maximalwert bei M * = 2,45 erreicht wird (Bild 24).

5 Gasdynamik; Eindimensionale kompressible stationäre Strömung 1,0

In Tabelle 6 sind die Gleichungen für die örtlichen und die kritischen Machzahlen sowie für die gasdynamischen Verhältniswerte a/a0, T/T0, p/p0 und  /0 mit den zugehörigen Bestimmungsgleichungen für die isentrope Strömung idealer Gase mit konstanter spezifischer isobarer Wärmekapazität cp = konst. nach [2] zusammengestellt. Tabelle 6 ist hilfreich bei der Durchführung gasdynamischer Berechnungen. Der fett umrandete Bereich der Tabelle 6 mit den ersten vier Zeilen und Spalten gilt auch für adiabate Zustandsänderungen der Strömung ohne Energieaustausch mit der Umgebung (dq = 0), bei der die Ruhetemperatur T0 konstant ist. Diese Gleichungen können also auch für adiabate reibungsbehaftete Strömungsvorgänge benutzt werden.

A A

0,8

M + 10 1

T T0

0,6

 0 0,4

p p0 0,2

0

0

0,8

0,4

1,2

1,6

2,0

C 131

2,4 M*

Bild 24. Zustandsgrößen bei isentroper Strömung von Luft ( = 1,4) in Abhängigkeit der kritischen Machzahl Tabelle 6. Verhältniswerte der Strömungsparameter idealer Gase mit konstanter spezifischer isobarer Wärmekapazität cp = konst. nach Oswatitsch [2]

M2

M*2

M2

M*2 1 *2 M 1

1

1

1

2

M

1

1

2

M

1

2

1

2

1 1

1 2

1

M2

1

1 1

2

M

2

1

1

2

2

T0 1 T

a a0

1 *2 M 1

1

1

1

T T0

1

Beispiel 7. Die de Laval-Düse einer Dampfturbine wird mit überhitztem Dampf beaufschlagt mit p1 = 2,5 MPa, der Eintrittstemperatur T1 = 673 K, der Eintrittsdichte 1 = 8,333 kg/m3, der Gaskonstante R = 595 J/kgK, dem Isentropenexponenten  = 1,30 und der kinematischen Viskosität * = 51,6 + 10-6 m2/s. Der Dampf soll in der de Laval-Düse auf p2 = 300 kPa und T2 = 411 K entspannt werden. Dabei erreicht die Dampfdichte den Wert 2 = 1,666 kg/m3. Die de Laval-Düse besitzt einen engsten Querschnitt von A* = 0,0025 m2 und ein Querschnittsverhältnis von A2/A* = 24. Zu prüfen und zu berechnen sind: a) arbeitet die de Laval-Düse im überkritischen Bereich, b) die Zustandsgrößen am Düsenaustritt c2, a2 und M2 bei isentroper Expansion,

T T0

1

1

1 1 1

0

1 2 0

1 0

p p0

0 1

1 1

0

1

2

p p0

T T0

2

a a0

1

2

1

T T0

1

1

p p0

1 1 1

p p0

2

a a0

1

1

T T0 2

p0 p

2

1

1 1 1

a a0

1 *2 M 1

1 *2 M 1

1

a a0

0

1

2

1 1 1

1 *2 M 1

p p0

T T0

a0 a

1

1 1

1

2

M*2

1

T T0

0

2

1

a a0

p p0

M*2

M2 1 M2 1 1

1

a a0

M2

1

p p0

0

c) der Volumen- und Massenstrom in der Düse, d) das erforderliche Querschnittsverhältnis A1/A2 der de LavalDüse und den neuen Austrittsquerschnitt A2´ für einen Entspannungsdruck von p2 = 220 kPa bei sonst gleichen Parametern.

Lösung: a) Expansionsdruckverhältnis, Tabelle 4:

p2 0,3 MPa p*

0,12 

0,547 p1 2,5 MPa p

überkritischer Bereich

C 132

C Mechanik

b) Düsenaustrittsgeschwindigkeit, Gl. 24:

Druck gibt es am Austritt eine Strahlexpansion, wobei der Druck sprungartig auf den Austrittsdruck sinkt (Bild 25).

1

" $ 2  p1 c2 % $  1 1 '

 1  # 2    p2    $ 1  p   &

  1  ! $ (

Strahlkontur für p2‘p 2 s 2-s 1

0

x

Bild 26. Machzahl- und Entropieverlauf in einer de Laval-Düse bei zu hohem Gegendruck mit Ablösung und Verdichtungsstoß

Folgt der Druck in einer Überschalldüse im überkritischen Bereich nicht dem Druckverlauf p(x) gemäß Gl. 88, kann sich die Strömung in der Düse nicht isentrop an den Austrittszustand p2 annähern, sondern sie verändert sich sprunghaft auf den Druck p2´, die Dichte 2´ und die Temperatur T2´. Sinkt der Druck p2´ am Düsenaustritt unter den Auslegungsdruck p2´ < p2, expandiert die Strömung am Düsenaustritt. Steigt der Druck am Düsenaustritt über den Ausle-

5 Gasdynamik; Eindimensionale kompressible stationäre Strömung gungsdruck p2´ > p2, führt das zu einem Verdichtungsstoß und die Strömung löst von der Düsenwand ab (Bild 25). Dieser Stoßvorgang verursacht Strömungsverluste, die sich als Entropieerhöhung gemäß Gl. 98 darstellen. T p s2 s1 cp ln 2 R ln 2 T1 p1

(98)

Im Bild 26 sind der dimensionslose Druckverlauf p/p0, der Verlauf der Machzahl M und der Entropieverlauf s2 – s1 in einer de Laval-Düse bei erhöhtem Druck hinter der Düse p2´ > p2 dargestellt.

5.9 Verdichtungsstoß Der Verdichtungsstoß ist eine charakteristische Erscheinung bei Überschallströmungen. Dazu wird eine kompressible, isentrope, eindimensionale Strömung in einem Rohr mit konstantem Querschnitt A im Kontrollraum zwischen 1 und 2 entsprechend Bild 27 betrachtet. Verdichtungsstoß

p1

s

cˆ 2

pˆ2

T1

Tˆ2

1

ˆ 2 1

s 0,1 2m

2

T0 = konst, T variabel c p 

Impulsgleichung

1c12  p1  2cˆ2 2  pˆ 2

(99)

Energiegleichung (Bernoulligleichung)



p1

 1 1



c12  pˆ 2 cˆ2 2

 2 2  1 ˆ 2

(100)

Kontinuitätsgleichung für konstanten Strömungsquerschnitt A = A1 = A2 m A

 kg m3

c m s

m A kg m2 s

(101)

Ist der Strömungszustand vor dem Stoß mit p1, c1, T1 und 1 bekannt, können mit Hilfe der drei Bilanzgleichungen die Stoßbeziehungen für pˆ 2 / p1 , cˆ2 / c1 und ˆ 2 / 1 als Lösungen angegeben werden. Aus der Impulsgleichung (Gl. 99), der Energiegleichung (Gl. 100) und der Kontinuitätsgleichung (Gl. 101) erhält man mit der thermischen Zustandsgleichung p/ = RT und mit der Machzahl M = c/a = c /  RT das Druckverhältnis für den Stoßvorgang

A2 c1

Die Bilanzgleichungen für den rechtwinkligen Verdichtungsstoß lauten:

1c1 ˆ 2cˆ2

5.9.1 Rechtwinkliger Verdichtungsstoß

A1

C 133

p 

c

Bild 27. Zustandsänderung einer Überschallströmung bei rechtwinkligem Verdichtungsstoß

Der Abstand der Ein- und Austrittsflächen des Kontrollraumes soll sehr klein sein und nur im Bereich der Weglänge einiger Moleküle liegen. Die freie Weglänge der Moleküle beträgt für Luft von p0 = 100 kPa und t0 = 20 °C etwa s = 0,1 2m. Die Dicke der Stoßfront, in der die Temperatur unstetig von T1 auf T2 ansteigt, ist vom Druckverhältnis beim Verdichtungsstoß abhängig und sie beträgt s = 0,07 bis 0,50 2m. Bei reibungsfreier, inkompressibler Strömung folgt die Lösung aus der Kontinuitätsgleichung für A = konst. c2 = c1 und p2 = p1, die auch für kompressible Strömungen bei geringer Geschwindigkeit gilt. Für kompressible Fluide gibt es eine weitere Lösung mit c2 / c1 und p2 / p1, wie die nachfolgenden Betrachtungen zeigen werden [3][4].

pˆ 2 2

1 M12 1  1 p1

-

.

(102)

Für M1  1,0 ist auch pˆ 2 / p1  1,0, d.h. der Druck steigt an (Verdichtungsstoß). Aus der Energiegleichung (Bernoulligleichung, Gl. 100) und der Kontinuitätsgleichung (Gl. 101) erhält man die zweite und dritte Stoßbeziehung: 2 M12 1 cˆ2 1

1   1 M12 c1 ˆ 2

(103)

Beim Verdichtungsstoß mit M1  1,0 wird die Geschwindigkeit verringert cˆ2  c1 bzw. Mˆ 2  1 . Bei einer Luftströmung von t = 20 °C,  = 1,4 und M1 = 1,6 sinkt das Geschwindigkeitsverhältnis auf cˆ2 / c1 = 0,492, d.h. die Geschwindigkeit sinkt nach dem Verdichtungsstoß etwa auf den halben Wert und die Dichte verdoppelt sich. Aus der thermischen Zustandsgleichung für ideale Gase p/ = RT und den Stoßbeziehungen Gln. 102 und 103 erhält man für das Temperaturverhältnis beim rechtwinkligen Verdichtungsstoß: 2 Tˆ2 aˆ22 pˆ 2 1 



1 M12 1 T1 a12 p1 ˆ 2    1

-

 2 M12 1  + 1 2     1 M1 !

.! + (104)

C 134

C Mechanik

Die vierte Stoßbeziehung sagt aus, dass die Temperatur beim Verdichtungsstoß im Verhältnis des Druckes pˆ 2 / p1 und der Geschwindigkeit cˆ2 / c1 ansteigt. Das Temperaturverhältnis Tˆ2 / T1  1 für M1  1 und das Verhältnis der Schallgeschwindigkeiten steigen ebenfalls an aˆ2 / a1  1. Das Verhältnis der Machzahlen nach und vor dem Stoß beträgt damit Mˆ 2 cˆ2 a1 cˆ a

 1, da 2  1 und 1  1 M1 c1 aˆ2 c1 aˆ2

(105)

Beim Verdichtungsstoß wird also die Überschallmachzahl M1 vor dem Stoß in den Unterschallbereich transformiert. Schließlich erhält man die Gleichung für die Machzahl Mˆ 2 nach dem rechtwinkligen Verdichtungsstoß, die in den Unterschallbereich Mˆ 2 < 1 sinkt, aus Gln. 103 und 104. 1

 2 2  - 1.  Mˆ 2  M12 

M1  2 M12 - 1.    !

(106)

Das Verhältnis des Totaldruckes nach dem Stoß pˆ t2 zum Druck pˆ 2 beträgt: 

pˆ t2   1 ˆ 2   1 M2 

1 2 pˆ 2  !

(107)

Mit Hilfe der Gleichung für die spezifische Entropieänderung kann die Entropieänderung beim rechtwinkligen Verdichtungsstoß berechnet werden.   Tˆ pˆ  ln 2 ln 2  ) 0 sˆ2 s1 R  p1 !  1 T1

(108)

Wird das Druck- und Temperaturverhältnis durch die Machzahlen der Gln. 102 und 104 ausgedrückt, kann die Entropieänderung beim rechtwinkligen Verdichtungsstoß auch angegeben werden als: " 1 # $ $ 2 

1  $ 1  $ ( M12 1)  $ $  1 ! sˆ2 s1 R ln % (109)  & $  2   1 $ $  (  1) M1  $ 2 $ $ '  2  ( 1) M1 ! ( Da nach dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik die Entropieänderung für reale Strömungsvorgänge sˆ2 s1 nur ansteigen kann, folgt aus der Beziehung Gl. 108 für das Temperaturverhältnis Tˆ2 /T1  1 und für das Druckverhältnis ebenfalls pˆ 2 / p1  1 der Anstieg der Entropie beim Verdichtungsstoß. Somit können Verdichtungsstöße nur in Überschallströmungen auftreten. Unstetige Druckänderungen in kompressiblen Strömungen können entsprechend dem

zweiten Hauptsatz der Thermodynamik nur in Form der Druckerhöhung auftreten. Verdünnungsstöße mit Drucksenkung sind nicht möglich. In der Tabelle 7 sind die Verhältniswerte der Zustandsgrößen von rechtwinkligen Verdichtungsstößen zusammengestellt. Zu beachten ist, dass beim rechtwinkligen Verdichtungsstoß der Druck ansteigt und die Geschwindigkeit des Gases herabgesetzt wird. Die Temperatur und damit auch die Schallgeschwindigkeit aˆ2  RTˆ2 steigen nach dem Verdichtungsstoß an.

Zu beachten ist auch, dass der Ruhedruck pˆ 02 nach dem Verdichtungsstoß absinkt, aber die Ruhetemperatur konstant bleibt Tˆ02 = T01. Tabelle 7. Zustandsgrößen nach einem rechtwinkligen Verdichtungsstoß Druckverhältnis

pˆ 2 / p1  1 3 pˆ 2  p1

Geschwindigkeitsverhältnis

cˆ2 / c1  1 3 cˆ2  c1

Dichteverhältnis

ˆ2 /

1

1 3

ˆ2 

1

Temperaturverhältnis Tˆ2 / T1  1 3 Tˆ2  T1 Schallgeschwindigkeitsverhältnis

aˆ 2 / a1  1 3 aˆ 2  a1

Machzahl

ˆ 1 M1  1, M 2

kritische Machzahl

ˆ * 1/ M * M 2 1

Entropieänderung

sˆ2 s1  0 3 sˆ2  s1

Ruhedruckverhältnis

pˆ 02 / p01 ˆ 02 /

Ruhedichteverhältnis

ˆ 02 /

Ruhetemperaturverhältnis Ruheschallgeschwindigkeit

Tˆ02 / T01 aˆ02 / a01 1 3 Tˆ02 T01

01

01

 1 3 pˆ 02  p01

 1 3 ˆ 02 

01

aˆ02 a01

Im Bild 28 sind die Verhältniswerte der Stoßbeziehungen in Abhängigkeit der Anströmmachzahl vor dem Stoß im Bereich von M1 = 1 bis 5 dargestellt. Das Druckverhältnis pˆ 2 / p1 , das Totaldruckverhältnis pˆ t2 / p1 , das Temperaturverhältnis Tˆ2 / T1 und das Dichteverhältnis ˆ 2 / 1 steigen beim rechtwinkligen Verdichtungsstoß mit zunehmender Anströmmachzahl M1 zunehmend stärker an (Bild 28). Das Geschwindigkeitsverhältnis cˆ2 / c1 und auch das Totaldruckverhältnis pˆ t2 / pt1 nehmen ab. Die Energiegleichung (Gl. 100) und auch die Bernoulli’sche Konstante gelten über den Verdichtungsstoß hinweg. Aus dieser Bedingung können auch die Ruhegrößen pˆ 0 , ˆ 0 , Tˆ0 und aˆ0 nach dem Verdichtungsstoß abgeleitet werden. Bei konstanter Größe der Bernoulli’schen Konstante bleiben folgende Größen konstant: Ruheenthalpie h0 = cp T0, Ruhetemperatur T0, Ruheschallgeschwindigkeit a0  RT0 .

5 Gasdynamik; Eindimensionale kompressible stationäre Strömung Das Verhältnis der Ruhedrücke ist gleich dem Verhältnis der Ruhedichten pˆ 02 / p01 = ˆ 02 / 01  1. Für das Ruhedruckverhältnis beim rechtwinkligen Stoß gilt: p01 01  2

1 M12 1 pˆ 02 ˆ 02    1

-

-

.

2  2 M1 1 + 1   1 M 2 1 

.!

1

  1

+



(110)

1

0,5

cˆ2 cˆ cˆ c1 2 M 1 a1 2 M1  RT1

c1 c1 c1 J m + 298,16 K 272, 75 kg K s

Beispiel 9. Ein Überschallwindkanal wird in der Messstrecke mit der Machzahl M1 = 1,8 betrieben. Der statische Druck im Luftstrahl beträgt p1 = 103 kPa und die Temperatur t1 = 20 °C, T1 = 293,16 K,  = 1,4. In der Versuchsstrecke stellt sich ein rechtwinkliger Verdichtungsstoß ein. Wie groß sind der statische Druck hinter dem Verdichtungsstoß pˆ 2 , die Machzahl Mˆ 2 , das Totaldruckverhältnis pˆ t2 / pˆ 2 , der Totaldruck pˆ t2 und die Totaltemperatur Tt2 ?

2 2 +1,4 pˆ 2

1 M12 1 1  1,82 1 3,61  1 p1 2,4

-

.

-

.

pˆ 2 3,61 +103 kPa 371,83 kPa

Machzahl Mˆ 2 hinter dem Verdichtungsstoß, Gl. 106:

0 2

3

4

M1

5

pˆ t 2 p1

4

cˆ2

Druckverhältnis aus Gl. 102

s R

cˆ 2 c1

1

2 M 12 1 2 + (1,62 1) cˆ2

1

1

0, 492   1 M12 c1 (1,4  1) 1,62

0, 492 +1, 6 + 1, 4 + 287, 6

  1   !

pˆ t 2 p t1

C 135

5



 1 ˆ 2   1  0,4 pˆ t2   0,6162 

1

1  M2  2 2 pˆ 2  ! !

1

3,5

1,29

 pˆ  pˆ t2 pˆ 2  t2  1, 29 + 371,83 kPa 479,66 kPa  pˆ 2  Temperaturverhältnis, Gl. 37

Tˆ2 T1

3

2 + ( κ −1) M12 2 + (0, 4⋅1,82 ) = = 0, 616 2 2 κ M1 − ( κ −1) (2,8⋅1,82 ) − 0, 4

Totaldruckverhältnis bei isentroper Strömung hinter dem Stoß aus Gl. 107:

ˆ 2

pˆ 2 p1

Mˆ 2 =

 1 2   0,4 2  Tˆt2 

1 1,8  1,65 M1  1  2 2 T1  ! !  Tˆ  Tˆt2 T1  t2  293,16 K +1,65 483, 7 K  T1 

2

1

1

2

3

4

M1

5

Bild 28. Zustandsänderungen beim rechtwinkligen Verdichtungsstoß in Abhängigkeit der Anströmmachzahl

Die Gasströmung durch einen Verdichtungsstoß ist nicht isentrop. Allerdings ist die Zunahme der spezifischen Entropie bei geringer Anströmmachzahl gering, jedoch stets größer als beim schiefen Verdichtungsstoß. Beispiel 8. Wie groß sind das Druck- und Geschwindigkeitsverhältnis pˆ 2 /p1; cˆ2 /c1 einer Überschallströmung von Luft mit M1 = 1,6, T1 = 298,16 K, p1 = 180 kPa,  = 1,4 und R = 287,6 J/kgK nach dem rechtwinkligen Verdichtungsstoß ? Anzugeben sind auch der Druck und die Geschwindigkeit nach dem Verdichtungsstoß. Das Druckverhältnis für den rechtwinkligen Verdichtungsstoß beträgt nach Gl. 102 2 2 +1,4 pˆ 2

1 M12 1 1  1,62 1 2,82  1 p1 2,4

-

.

-

pˆ 2 2,82 +180 kPa 507,6 kPa

Geschwindigkeitsverhältnis, Gl. 103

.

Mittels de Laval-Düsen kann der Druck der Strömung stark herabgesetzt werden. Im Vakuum bei absoluten Drücken von p  0,1 Pa stellt sich die Molekularströmung bei Gasdichten von   1,21 + 10–6 kg/m3 ein, die den Gesetzen der kinetischen Gastheorie stark verdünnter Gase gehorcht und die bei Knudsenzahlen von Kn = l /d > 0,5 liegt. Die freie Weglänge der Gasmolekühle ist dabei größer als der Radius der Rohrleitung. Am Rand der viskosen Strömung zur Molekularströmung beträgt die Reynoldszahl nur noch Re 0,12. 5.9.2 Schiefer Verdichtungsstoß

Schiefe Verdichtungsstöße entstehen bei der Umlenkung von Überschallströmungen an konkaven oder konvexen Kanalumlenkungen (Bild 29), in de LavalDüsen, an Schaufelprofilen und an Flugkörpern (Bild 30). Während eine Stromlinie durch einen senkrechten Verdichtungsstoß ohne Richtungsänderung hindurchtritt, erfährt sie bei dem schiefen Verdichtungsstoß eine Richtungsänderung zur Stoßfront hin.

C 136

C Mechanik pˆ 2

Stoßfront des schiefen Verdichtungsstoßes p1 T1

Tˆ2 c

ˆ 2

2

1 M 1

4

Bild 29. Verdichtungsstoß an konkaver Wandecke Stoßfront

pˆ 2

Kontrollfläche p1 T1 1

cˆ 2  c 1

c1

c 2t

c1 c 1n



Tˆ2 ˆ 2

cˆ 2n

c 1t 

4=Umlenkwinkel Keil

c 1n c1

c 1t

cˆ 2n

c1

2

Bild 30. Kontrollfläche für einen schiefen Verdichtungsstoß mit den Normal- und Tangentialkomponenten der Geschwindigkeit

Mit den Bilanzgleichungen (Gln. 99 bis 101) für den rechtwinkligen Verdichtungsstoß können auch die Zustandsänderungen für den schiefen Verdichtungsstoß bestimmt werden, wenn man beachtet, dass nur die Normalkomponente c1n der Anströmgeschwindigkeit zur Stoßfront einen rechtwinkligen Stoß mit der Verzögerung auf cˆ2n erfährt und die parallel zur Stoßfront verlaufende Geschwindigkeitskomponente unverändert bleibt c2t = c1t (Bild 30). Dabei wird die eindimensionale Strömung auf eine zweidimensionale Überschallströmung erweitert. Sind die Anströmparameter c1, c1n, p1, 1, der Stoßwinkel  und der Isentropenexponent  bekannt, weiterhin auch c2 und c2n, p2 und 2, können die Stoßbeziehungen und die Bernoulligleichung für ein ideales Gas bei adiabater Zustandsänderung abgeleitet werden. Es gilt: Impulsgleichung für den schiefen Verdichtungsstoß in Normalrichtung: 2

2

1 c1n  p1 2 cˆ2n  p2

cˆ2 2 cˆ2n 2  c2t 2

(113)

Da die tangentiale Geschwindigkeitskomponente beim schiefen Verdichtungsstoß keine Verdichtung erfährt, können die folgenden Winkelbeziehungen aufgeschrieben werden. Die Stoßbeziehungen lauten mit tan  = c1n/c1t, tan( 4 ) cˆ2n / c2t und c1t = c2t. tan - 4 . cˆ2n

tan  c1n

(114)

cˆ2n cˆ2 sin( 4 )



c1n c1 sin    sin  2  1 1 

+ 1 sin( 4 )    1  - M1 sin  .2    !

(115)

Die Geschwindigkeit hinter dem schiefen Verdichtungsstoß beträgt:   cˆ2 cˆ2n 2  c2t 2 c1 cos 2    1 sin    2 

2

(116)

Wenn nur noch die Normalkomponenten der Geschwindigkeit c1n und cˆ2n den Verdichtungsstoß beeinflussen, wird auch die kritische Schallgeschwindigkeit an* beim schiefen Verdichtungsstoß verändert. Die Temperatur des Gases vor dem Stoß T1 wird nicht verändert, jedoch die Geschwindigkeit von c1n auf cˆ2n . Mit den beiden Beziehungen für die örtliche Schallgeschwindigkeit a (Gln. 14 und 33) a 

p





p0

0

 1 2

c 2 a02

 1 2

c 2 (117)

und für die kritische Schallgeschwindigkeit a* mit Gl. 39 a*

(112)

Mit den Geschwindigkeitsbeziehungen nach Bild 30 c12 = c1n2 + c1t2

c1n 2  p1 cˆ2n 2  p2 

 2 2  1 1  1 2

(111)

in Tangentialrichtung: c1t = c2t Kontinuitätsgleichung für den schiefen Verdichtungsstoß:

1 c1n  2 cˆ2n

erhält man die Energiegleichung

Das Geschwindigkeitsverhältnis cˆ2 / c1 beträgt:

c 2t cˆ 2  c 1

1

c22 = c2n2 + c2t2 und c1t = c2t

2  p0 2 2 

a2

RT   1 0  1 0  1 0

(118)

erhält man für die kritische Schallgeschwindigkeit an* nach dem schiefen Verdichtungsstoß an*

2

 1

a2 

 1 2 cn  1

(119)

5 Gasdynamik; Eindimensionale kompressible stationäre Strömung Damit können auch die kritischen Machzahlen vor und nach dem schiefen Verdichtungsstoß angegeben werden. Sie betragen vor dem schiefen Verdichtungsstoß Mn* = c1n/an* und nach dem schiefen Verdichtungsstoß Mˆ n* = cˆ2n /an*. Da beim schiefen Verdichtungsstoß nur die Normalkomponente der Geschwindigkeit c1n und M1n  1 auf Unterschall verzögert wird, cˆ2n  c1n , Mˆ 2n  1, kann hinter dem schiefen Verdichtungsstoß durchaus Überschallgeschwindigkeit M  1 herrschen, jedoch ist Mn  1.

p1

M

T1 1 c1

p1

a)

4

p2

 p1

b)

4

M

p1



p1

Stoßfront

T1 1 c1 4)60°

M 1>1

Keil

ˆ 1 M 2 pˆ 2

ˆ 1 M 2

Tˆ2

ˆ 1 M 2

ˆ 2 cˆ 2



4

pˆ 2  p1

C 137

Bild 32. Abgehobener Verdichtungsstoß mit gekrümmter Stoßfront am stumpfen Körper

pˆ 2

c)

 tan( 4 ) cˆ2n 2  1 1 

1 tan  c1n   1  - M1 sin  .2  !

(120)

Ist der Keilwinkel 4 eines mit Überschall angeströmten Körpers groß (4 ) 60° bis 65°), wie bei stumpfen Körpern, bildet sich an der Körperspitze kein anliegender schiefer Verdichtungsstoß aus. Die Stoßlinie hebt sich von der Körperspitze nach vorn ab und hat eine gekrümmte Form, wie im Bild 32 dargestellt. Bei den stumpfen Körpern entsteht unmittelbar vor der Körperspitze ein rechtwinkliger Verdichtungsstoß mit  = 90° und einem lokal begrenzten Unterschallgebiet Mˆ 2  1 , das danach wieder in ein Überschallgebiet übergeht (Bild 32).

c 1n

Der Stoßwinkel des schiefen Verdichtungsstoßes ist stets größer als der Mach’sche Winkel  M beim Übergang einer Strömung in den Überschallbereich. Trifft eine Strömung mit Schallgeschwindigkeit auf einen sehr schlanken Keil mit geringem Keilwinkel 4, verläuft die von der Keilspitze ausgehende Strömung als Mach’sche Linie unter dem Mach’schen Winkel  M (Bild 31a). Der Druck ist auf beiden Seiten der Mach’schen Linie gleich p2 = p1. Wird der angeströmte Keilwinkel vergrößert, entsteht bei der Anströmung mit Überschallgeschwindigkeit ein schiefer Verdichtungsstoß mit pˆ 2 > p1 und cˆ < c1, wobei sich mit dem Winkel  eine steilere Stoßlinie einstellt als dem Mach’schen Winkel entspricht  >  M (Bild 31 b). Wird ein stumpfer Keil mit einem großen Keilwinkel 4 von der Überschallströmung angeströmt, löst sich die Stoßlinie vom Keil ab (Bild 31c). Der Zusammenhang zwischen dem Keilwinkel 4 und dem Stoßwinkel  im Bild 30 lautet:

t

c 2n

c

Bild 31. Mach’sche Linien unter  M und Stoßfronten mit  von schiefen Verdichtungsstößen an unterschiedlichen Körperformen

P2 T

S 4max

4 P1

90° 0

c2

P3

at

5 Strophoide Überschall

Unterschall

Bild 33. Stoßpolare für den schiefen Verdichtungsstoß nach Busemann [5]

Die beim schiefen Verdichtungsstoß umgesetzte Strömungsenergie der Druckwelle wird durch den Reibungseinfluss mit zunehmender Entfernung von der Stoßfront vermindert, sodass die starke Druckstörung des Stoßes bei großer Entfernung in die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Schallwelle a übergeht. Der Stoßwinkel  geht dabei in den Mach’schen Winkel  M über. Die Gleichungen für den schiefen Verdichtungsstoß lassen sich nach dem Vorschlag von Busemann [5] in Form der Stoßpolaren auch graphisch darstellen (Bild 33). In dem Polarendiagramm liegen die Endpunkte der Geschwindigkeiten vor und hinter dem Verdichtungsstoß auf der Strophoide und zeigen den Unterund Überschall an. Die Druckerhöhung beim Verdichtungsstoß kann auch in Stoßdiffusoren genutzt werden. Solche Vorschläge gehen auf Oswatitsch [2] zurück (Bild 34). Um den spezifischen Entropieanstieg s und die Verluste bei der Stoßverdichtung gering zu halten, werden dafür mehrere schiefe Verdichtungsstöße genutzt, mit denen die Geschwindigkeit bis in die Nähe der kritischen Schallgeschwindigkeit a* abge-

C 138

C Mechanik

senkt wird und danach ein gerader Verdichtungsstoß mit geringer Machzahl den Stoßvorgang abschließt.

p1

zahl in Abhängigkeit der Winkelkoordinate  oder günstiger in Abhängigkeit des Eckenwinkels 4 angegeben werden M*(4 ). A* p*

p1

T1 1

1 M pˆR1 1

c1

2

T2 2

c1

4

M1>1

p2

6

T1 1

3 4

Bild 34. Stoßdiffusor mit drei schiefen Verdichtungsstößen nach Oswatitsch [2]

x

c2

T* c* M*

M2

Strahlexpansion mit schiefem Verdichtungsstoß p2‘1



Verdichtungswellen Strahleinschnürung mit schiefem Verdichtungsstoß p2‘>p2 M2



Bild 36. Betriebszustände einer de Laval-Düse mit der Prandtl-Meyer-Strömung bei Strahlexpansion und Strahleinschnürung für abweichende Austrittsdrücke p2´ kleiner oder größer als p2 Diese Prandtl-Meyer-Strömung führt auch bei Überschalldüsen nach de Laval bei Betrieb mit zu geringem Druck p2´ < p2 oder zu hohem Austrittsdruck p2´ > p2 zur Strahlexpansion oder Strahleinschnürung mit der Strahlablenkung an den Düsenkanten und somit zum Phänomen der Prandtl-Meyer-Strömung (Bild 36). Literatur

s1

4

M2>M1>1 s> 2 s

1

Bild 35. Umströmung einer konvexen Ecke mit Überschallgeschwindigkeit (Prandtl-Meyer-Strömung) Jede Mach’sche Linie schneidet die Stromlinien unter dem gleichen Winkel, d.h. auf jeder Mach’schen Linie, die vom Eckpunkt ausgeht, sind die Machzahl M und auch der Gaszustand gleich. Der Gaszustand und damit auch die Gasgeschwindigkeit im Umlenkbereich sind nur von der Winkelkoordinate  abhängig c(). Da sich die Strömung im Überschallbereich befindet und M > 1 ist, kann auch die kritische Mach-

[1] Baehr, H. D.; Schwier, K.: Die thermodynamischen Eigenschaften der Luft. Berlin: Springer-Verlag, 1961 [2] Oswatitsch, K.: Grundlagen der Gasdynamik. Wien: Springer-Verlag, 1976 [3] Krause, E.: Strömungslehre, Gasdynamik und Aerodynamisches Laboratorium. Wiesbaden: Teubner-Verlag, 2003 [4] Sauer, R.: Einführung in die theoretische Gasdynamik. Berlin: Springer-Verlag, 1960 [5] Busemann, A.: Gasdynamik in Handbuch der Experimentalphysik. Bd. III, Verlagsgesellschaft Leipzig, 1930 [6] Zierep, J.: Theoretische Gasdynamik. Karlsruhe: Braun Verlag, 1976 [7] Albring, W.: Angewandte Strömungslehre. Berlin: Akademie-Verlag, 1990 [8] Ganzer, U.: Gasdynamik. Berlin: Springer-Verlag, 1988 [9] Tietjens, O.: Strömungslehre. Berlin: Springer-Verlag, 1970 [10] Truckenbrodt, E.: Strömungsmechanik. Berlin: SpringerVerlag, 1968

C 88

C Mechanik

4 Hydrodynamik; Eindimensionale stationäre inkompressible Strömung Dominik Surek

Formelzeichen und Einheiten1) zur Hydro- und Gasdynamik 1 1 s

Strouhalzahl Stockeszahl Zeit

u

J kg

spezifische innere Energie

V

m³

Volumen

V

m3 h

Volumenstrom

m²

Strömungsquerschnitt

a

m s

Schallgeschwindigkeit

Bi

1

Binghamzahl

c

m s

Strömungsgeschwindigkeit

cp

J kg⋅K

isobare spezifische Wärmekapazität

cv

J kg⋅K

isochore spezifische Wärmekapazität

cw

1

    U

Widerstandsbeiwert

Eu

1

Eulerzahl

F FG Fr

N N 1

Kraft Gewichtskraft Froudezahl

g

m s2

Fallbeschleunigung

H

m

Bernoulli’sche Konstante

h

J kg⋅K

Ha He

1)

Sr St t

A

m 1 1

spezifische Enthalpie; Höhe Hagenzahl Helmholtzzahl

’ “  

°

Winkel

1

Durchflusszahl bei Blenden

°

Winkel

°

Diffusoröffnungswinkel

1

Druckverlustbeiwert

m

Grenzschichtdicke

m

laminare Unterschicht

m

Verdrängungsdicke

m

Impulsverlustdicke

Pa  s

λ

Isentropenexponent

1

Rohrreibungsbeiwert

m2



s kg m3



dynamische Viskosität

1

kinematische Viskosität;  =  / Dichte

I

kg⋅m s



1

Kavitationszahl

L m

m kg

Länge, Rohrlänge Masse



N m2

Schubspannung

m

kg s

Massenstrom

w

N m2

Wandschubspannung

M p p0

1 Pa

Machzahl Druck

Pa

Ruhedruck

pt

Pa

Totaldruck

Pr

1

R

J kg⋅K

Re Ro r So

1 1 m 1

s. Seite B3

Impuls

Prandtlzahl Gaskonstante Reynoldszahl Rossbyzahl Radius Sommerfeldzahl

Indizes 0 1

*

2

Ruhezustand Grenzwerte kritischer Zustand Zustandsgrößen nach Verdichtungsstoß

4 Hydrodynamik; Eindimensionale stationäre inkompressible Strömung

4.1 Einführung Strömungsvorgänge in Maschinen, Apparaten, Anlagen und in der Natur verlaufen in der Regel dreidimensional und viele davon auch instationär, d.h. zeitabhängig wie z.B. An- und Abfahrvorgänge von Maschinen. Es gibt genügend Strömungsvorgänge, bei denen zwei Geschwindigkeitskomponenten gegenüber der Hauptströmungsrichtung cx in erster Näherung vernachlässigt werden können, ohne nennenswerte Fehler zu begehen wie z.B. in Trinkwasserversorgungsrohrleitungen, in Pipelines oder in anderen Rohrleitungen für Fluide mit konstanter Dichte ( = konst.). Diese Strömungen nennt man stationär, eindimensional und inkompressibel. Ist die stationäre, eindimensionale Strömung kompressibel, wie z.B. in Gasrohrleitungen, Gasturbinen oder in Kompressoren, dann wird sie durch die Gesetze der Gasdynamik beschrieben. Alle Strömungsvorgänge verlaufen reibungsbehaftet, besonders in der Nähe angrenzender Wände mit der Wandhaftung. Sie werden als viskose Strömungen bezeichnet. Überwiegen die Trägheitskräfte und die äußeren Kräfte (Druckkräfte, Gewichtskraft und Zentrifugalkraft) gegenüber der Reibungskraft, wie z.B. bei Tragflügelumströmungen, kann die Strömung näherungsweise reibungsfrei behandelt werden. Diese stationären, eindimensionalen, inkompressiblen Strömungen sind Gegenstand der folgenden Abschnitte, in denen die drei Erhaltungssätze der Strömungsmechanik – Kontinuitätsgleichung, Bernoulligleichung und Impulsgleichung – behandelt werden. Analog dazu können die Erhaltungssätze für die instationäre dreidimensionale, kompressible und reibungsbehaftete Strömung formuliert werden, die zu den Navier-Stokes’schen-Gleichungen führen. Der mathematische Aufwand dafür ist infolge der beiden zusätzlichen Ortskoordinaten y und z sowie der freien Parameter Zeit t, Dichte  und Schubspannung  unvergleichlich höher [1] [2] [3].

4.2 Stromlinie, Bahnlinie, Stromfaden und Stromröhre Eine Stromlinie ist eine gerade oder gekrümmte Linie aus Fluidteilchen, die in jedem Punkt von ihren Geschwindigkeitsvektoren tangiert wird (Bild 1). Bei stationären Strömungen ist die Stromlinie eine ortsfeste Raumkurve, z.B. die Mittellinie bei der stationären Rohrströmung (Bild 2a). Sie ist dabei auch mit der Bahnlinie der einzelnen Teilchen identisch. Mehrere Stromlinien, die von einer geschlossenen Kurve umschlungen werden, nennt man eine Stromröhre. In ihr befinden sich die Stromlinien und auch der Stromfaden. Bei instationären, d.h. zeitabhängigen Strömungen, ändern die Stromlinien ihre räumliche Lage mit der Zeit und sie sind nicht mehr mit den Bahnlinien identisch (Bild 2b).

C 89

A1

Stromlinien ds

dA1

A2

c

Stromröhre Stromfaden

dA2

Bild 1. Stromröhre mit Stromfaden und Stromlinien Stromlinie

Stromlinie = Bahnlinie

Schaufel

Bahnlinie

x0

A



x

a)

b)

Bild 2. Stromlinie und Bahnlinie bei a) stationärer Rohrströmung b) Laufradströmung im Absolutsystem Teile der Stromröhre mit den Querschnitten dA, in denen der Druck p und die Geschwindigkeit c als konstant angenommen werden können, stellen einen Stromfaden dar. Gerade Rohrströmungen mit p = konst. und c = konst. über dem Querschnitt A stellen ebenfalls einen Stromfaden dar. Die Bahnlinien sind die Kurven, die von den Fluidteilchen xo im Laufe der Zeit beschrieben werden. Die Streichlinien sind jene Kurven aus allen Fluidteilchen, die im Laufe der Zeit durch den selben Punkt xo strömen. Sie können an umströmten Wänden sichtbar gemacht werden.

4.3 Kontinuitätsgleichung für die eindimensionale Strömung (Stromfadenströmung) Die Kontinuitätsgleichung stellt den Massenerhaltungssatz für offene durchströmte Systeme dar. Sie besagt, dass der ausströmende Massenstrom m 2 aus einem abgegrenzten System, entsprechend Bild 3, gleich dem einströmenden Massenstrom m 1 sein muss. Es gilt: m 1 = ρV1 = ρ c1 A1 = m 2 = ρ V2 = ρ c2 A2 Systemgrenzen

m 1

A1

A2 d1

m 2

d2

c1

c2

1

2

Bild 3. Diffusor mit Systemgrenzen

(1)

C 90

C Mechanik

Für konstante Dichte  und für die konstanten mittleren Geschwindigkeiten c1 und c2 über den Querschnitten A1 und A2 sowie mit den kreisförmigen Diffusorquerschnitten A1 =  r12 und A2 =  r22 lautet die Gleichung für den Volumenstrom m 1

ρ

= V1 = V2 = c1 A1 = c2 A2

(2)

Gleichung 2 sagt aus, dass bei einem Fluid konstanter Dichte  die Geschwindigkeiten umgekehrt proportional zu den Strömungsquerschnitten sind c1/c2 = A2/A1. Die Geschwindigkeit im Diffusor wird also im Maß des Querschnittsverhältnisses A1/A2 verzögert auf c2 = c1 ˜ A1/A2. Diese Verzögerung der Geschwindigkeit von 'c = c1 – c2 = c1 (1 – A1/A2) führt in verlustfreien Diffusoren zur Drucksteigerung. Der Einsatz von Diffusoren erfolgt z.B. in Wasserturbinen, Kompressoren und Rohrleitungen.

Das Kräftegleichgewicht in Strömungsrichtung s lautet: a dm+ Adp+ g dm

Spezifische Druckenergie p/U Spezifische dynamische Energie c2/2 Spezifische Energie des Höhenpotenzials g h.

c dc+

dp

ρ

(4)

+ g dh = 0

Gl. 4 wird zu Ehren von Leonhard Euler als Euler’sche Bewegungsgleichung bezeichnet. Durch Integration von Gl. 4, die erstmals von Daniel Bernoulli vorgenommen wurde, erhält man die Bernoulligleichung. Die Konstante wird als Bernoulli’sche Konstante H bezeichnet. c2 p + +g h= H 2 ρ

(5)

Die Gl. 5 besagt, dass die Summe der spezifischen Energieanteile auf einer Stromlinie eines durchströmten Bereichs immer konstant ist. Systemgrenze p2 c2

Sie kann aus dem Kräftegleichgewicht der an einem Fluidteilchen in Strömungsrichtung angreifenden Kräfte, das sich auf der Stromlinie bewegt, über die Euler’sche Bewegungsgleichung gewonnen werden. Bei Bewegung eines Fluidteilchens auf einer Stromlinie entsprechend Bild 4 greifen folgende Kräfte in der Bewegungsrichtung an: dc Trägheitskraft a m = m dt Druckkraft A p Potenzialkraft aus dem Höhenpotenzial dh g m sin α ≈ g m . ds

A2 h

0

c1 p1

1

2

h2

A1

Bild 5. Diffusorförmiges Rohr mit Systemgrenzen Die Bernoulligleichung lautet für das diffusorförmig erweiterte Rohr im Bild 5 bei reibungsfreier Strömung c12 p1 c22 p2 + + g h1 = + + g h2 2 ρ 2 ρ

c p U g h H m kg m s Pa m³ s² m m

(6)

p(s)

z

dp p

p p ds

s (p+dp) dA

s Stromlinie

dh pdA gdm h

(3)

Mit der Masse des Fluidteilchens dm = U dV = U A ds ergibt sich die Gl. 4, wenn man beachtet, dass die ds Geschwindigkeit c = ist. dt

4.4 Bernoulligleichung Die Bernoulligleichung formuliert den Energieerhaltungssatz für strömende Fluide in durchströmten Maschinen, Anlagen und Rohrleitungen mit folgenden spezifischen Energieanteilen:

dh =0 ds

D dm= U dV gdm sin D x

Bild 4. Kräfte an einem Fluidelement dm in Strömungsrichtung

Sind fünf Parameter dieser Gleichung bekannt, kann der sechste Parameter bestimmt werden. Nimmt man die Kontinuitätsgleichung hinzu, lassen sich mit diesen beiden Gleichungen zwei unbekannte Größen eines Strömungsfeldes bestimmen. Damit können viele technische Aufgaben gelöst werden. Gl. 6 wurde für die spezifischen Energien aufgeschrieben. Sie kann bei Bedarf durch Multiplikation mit der Dichte U als Druckgleichung (Gl. 7) oder bei Division mit der Fallbeschleunigung g auch als Höhengleichung aufgeschrieben werden (Gl. 8). Im Bild 6 sind die variablen Höhenanteile der Bernoulligleichung für eine gekrümmte Düse graphisch dargestellt.

4 Hydrodynamik; Eindimensionale stationäre inkompressible Strömung

ρ

c12 + p1 + g ρ h1 =

2

c1

ρ 2

c22 + p2 + g ρ h2

4.5 Impulssatz

Stromröhre c(s)

Der Impuls oder die Bewegungsgröße auf ein System beträgt I = c m = c V. Er kann beim Eintritt und beim Austritt aus einem begrenzten System entsprechend Bild 8 auftreten und übt eine Kraft auf das System aus, die mit den äußeren Kräften im Gleichgewicht steht. Die Impulskraft stellt die erste Ableitung des Impulses nach der Zeit für die stationäre Strömung dar.

1

2

Druckhöhe

c12 2g

Ausflussvolumenstrom: m π m³ V = c1 A1 = 8, 046 ⋅ ⋅0, 042 m 2 = 0, 01 s 4 s

(7)

h1

p1 H g

p g

h2 c2

p2 g

Geschwindig- 2 c keitshöhe

2g

F=

c22 2g

Geodätische h Höhe

h1

+

2

p1 c2 p2 + h1 = + + h2 gρ 2g g ρ

(8)

Wird die Bernoulligleichung (Gl. 8) für einen offenen Behälter mit konstantem Flüssigkeitsspiegel und Ausfluss (Bild 7) aufgeschrieben, erhält man die Ausflussgleichung von Torricelli.

Beispiel 1: Zu bestimmen ist die Ausflussgeschwindigkeit c1 aus einem offenen Behälter der Höhe h = 2,5 m und der Ausflussrohrlänge von h1 = 0,8 m bei konstantem Wasserspiegel mit c2  0 für A2/A11,0. Rohrdurchmesser d = 40 mm, Dichte  = 1000 kg/m³.

h=2,5 m

p b=100 kPa A2 2 c 2=0 Wasser =10³ kg/m³

h 1=0,8 m c1

A1 d=40 mm 1

p2

A1

T1 1 c1

h c1

Bild 7. Ausfließen aus einem offenen Behälter (h2 = h + h1) Lösung: Aus der Bernoulligleichung Gl. 8 folgt:

c12 m m = h2 → c1 = 2 g h2 = 2⋅9,81 2 ⋅3,3 m = 8,046 2g s s Diese Gleichung stellt die Ausflussgleichung von Torricelli dar. Die Ausflussgeschwindigkeit ist gleich der Fallgeschwindigkeit einer Kugel nach der Fallhöhe h2.

T2 2

A2

c2 F2

F1

1

2

x

Bild 8. Systemgrenzen einer Düsenströmung mit Impulskraft

Die Impulskräfte am Ein- und Austritt der Systemgrenzen mit dem Volumenstrom V = Ac betragen: F = ρ V (c2 − c1 ) = ρ Ac (c2 − c1 )

pb

pb

(9) Kontrollraum

Bild 6. Graphische Darstellung der Höhenanteile der Bernoulligleichung

2g

I t

p1

h2

c12

C 91

.

F  V c A kg m3 m N m³ s s m2

(10)

Diese Impulskräfte weisen in die positive x-Richtung und stehen mit den äußeren Kräften, insbesondere mit den Druckkräften im Gleichgewicht. Damit kann für das System der Spritzdüse gemäß Bild 8 geschrieben werden m 1c1 + p1 A1 = m 2c2 + p2 A2

(11)

Wird für den Massenstrom m = ρ Ac geschrieben und diese Beziehung in Gl. 11 eingeführt, erhält man die Impulsgleichung in der Form:

ρ A1 c1 c1 + p1 A1 = ρ A2 c2 c2 + p2 A2

(12)

Die beiden Geschwindigkeiten in Gl. 12 sind Vektoren und sie sind nur dann gleich groß, wenn beide normal auf der Grenzfläche am Ein- und Austritt von Bild 8 stehen. Das ist am Austritt 2 von Bild 9 und an der geneigten Platte von Bild 10 nicht der Fall. Am

C 92

C Mechanik

Austritt 2 von Bild 9 beträgt die resultierende Kraft im angegebenen kartesischen Koordinatensystem Fy = ρ A2 c2 c2 cos α + p2 A2

dA

c

Fy  A c p kg m N m³ m2 s Pa

G dA

dA

(13)

cn

c dAn

cn dAn

und an der Platte von Bild 10 beträgt die Impulskraft d2 2 π d2 cos α FI = ρ π c cos α = ρ c 2 4 4

(14)

cG

Kontrollraum

Bild 11. Flächennormalenvektor für den Kontrollraum des Impulses ist der normal auf der Fläche stehende Vektor

1 c1, p1

Beispiel 2: Zu bestimmen ist die resultierende Impulskraft auf den Rohrbogen von d = 80 mm entsprechend Bild 9, wenn er von V = 62 m³/h Wasser mit  = 1000 kg/m³ reibungsfrei durchströmt wird,  = 45°.

A1

F1 y 0

Lösung:



A2

m3 V 4⋅0,0172 s m c1 = = = 3, 422 A1 s π ⋅0, 082 m 2

2

x  F2

c2, p2

Eintrittsimpulskraft, Gl. 10: m2 π ⋅0,08 m 2 ⋅3, 432 2 kg s = 58,861 N ⋅ 4 m3 Austrittsimpulskraft: c1 = c2 , Gl. 10

Bild 9. Darstellung des Impulses auf einen schräg geschnittenen Rohrkrümmer

Fx1 = m c1 = ρ A1 c12 = 103

Fy2 = m c2 = ρ A2 sin α c2 2 = ρ A1 c2 2

c

Kontrollraum

m2 π ⋅0,082 m 2 3, 432 2 kg s = 58,861 N Fy2 = 10 4 m3 Größe und Richtung der resultierenden Kraft: Fy2 α = arctan = 45° F = Fx12 + Fy22 = 83,64 N Fx1

d D

 m

 Ac

3

c

F

I

 

F

In

F

It

c

Bild 10. Impulskraft eines Flüssigkeitsstrahls auf eine geneigte ebene Wand Die resultierende Kraft aus Impuls- und Druckkraft am Austritt von Bild 9 wirkt also in der positiven y-Richtung. Die Richtung der Impulskraft kann mathematisch mit Hilfe eines Einheitsflächenvektors ermittelt werden, der stets normal auf der Grenzfläche steht und nach außen gerichtet ist (Bild 11). Sie kann aber auch durch die Anschauung gewonnen werden. Ein Eintrittsimpuls versucht das betrachtete System stets in Strömungsrichtung zu bewegen. Der Austrittsimpuls aus einem System übt die Impulskraft entgegen der Strömungsrichtung auf das System aus.

4.6 Eindimensionale inkompressible reibungsbehaftete Strömung Die reibungsbehaftete Strömung wird auch Viskoseoder Zähigkeitsströmung genannt, weil dabei neben der Trägheitskraft a m, der Druckkraft p A und der Potenzialkraft m g sin a auch die Zähigkeitskraft F =

A einwirkt, die sich aus der Schubspannung und der reibenden Fläche der Strömung A zusammensetzt. Die reibende Fläche ist die von der Strömung benetzte Fläche. Sie beträgt bei der Rohrströmung dA = Udx = d(dx) (Bild 12).

c

d

W

c dn n

W 1

L

dx

dc

2

x

Bild 12. Reibungsbehaftete Rohrströmung Die Schubspannung W der reibenden Schicht ist der dynamischen Viskosität  und dem Geschwindigkeitsgradienten dc/dn proportional, der normal zur

4 Hydrodynamik; Eindimensionale stationäre inkompressible Strömung Hauptströmungsrichtung steht. Sie beträgt für Newton’sche Fluide z.B. für Luft, technische Gase, Wasser, Alkohol, bei denen keine Schubspannung im Ruhezustand auftritt (Bild 13) dc dc τ = η = ρν dn dn

(15) Bingham Fluid

W

Nichtnewton’sches Fluid Newton’sches Fluid Dilatantes Fluid

 

für Newton’sches Fluid

C 93

man nach der Integration die Bernoulligleichung für die reibungsbehaftete Strömung  τ0 c2 p dc  L + + g h + + ν  = H 2 ρ dn r h ρ

Darin stellt Wo/U die spezifische Reibungsenergie dar. Sie wird auch als das Quadrat der Schubspannungsgeschwindigkeit bezeichnet. A/U ist der hydraulische Radius rh = A/U mit dem Strömungsquerschnitt A und dem benetzten Umfang U. Für die gekrümmte Rohrleitung gemäß Bild 14 lautet die Bernoulligleichung für die viskose Strömung in den Grenzen 1 und 2 für ein Newton’sches Fluid mit Wo = 0 c12 p1 η dc L1 + + g h1 + = ρ ρ dn r h 2

W0 dc dn

=

Bild 13. Schubspannung und dynamische Viskosität Newton’scher Fluide und Schubspannung Nichtnewton’scher Fluide Die dynamische Viskosität in Pa s ergibt sich aus der Stoffdichte  und der kinematischen Viskosität zu  =  . Für Nichtnewton’sche Fluide beträgt die Schubspannung

τ = τ0 +η

c2

(16)

Tabelle 1. Dynamische und kinematische Viskosität von Wasser und von Luft in Abhängigkeit der Temperatur bei p = 101,3 kPa 10

20

30

40

50

60

80

100

˜10-4 Pa s 17,92 13,07 10,02 8,05 6,53 5,45 4,66 3,55 2,82 Q˜10-6 m²/s 1,79 1,305 1,004 0,81 0,658 0,56 0,477 0,365 0,295

Luft

°C

-20

0

20

40

60

2

1

dc dc = τ 0 + ρν dn dn

Die dynamische Viskosität  Newton’scher Fluide ist in der Regel temperaturabhängig, jedoch unabhängig vom Geschwindigkeitsgradienten (Tabelle 1). Die Schubspannung der vielen Nichtnewton’schen Fluide, insbesondere der Bingham’schen Fluide beschreibt die Rheologie1) [4].

0

A2

h

0

H2O °C

(18)

η dc L2 c22 p2 + + gh2 + ρ ρ dn r h 2

Systemgrenze

80

100

200

500

K˜10-4 Pa s 16,24 17,16 18,12 18,93 20,03 20,9 21,95 26,11 38,0 Q˜10-6 m²/s 11,6 13,3 15,1 16,9 18,9 20,9 23,1 35,0 96,7

Wird die Reibungskraft Nichtnewton’scher Fluide für ein Flächenelement dFW = (Wo + K dc/dn) dA in die Gl. 3 für das Kräftegleichgewicht eingesetzt, erhält

1)

(17)

Rheologie, griechisch, Lehre von den Fließeigenschaften der Stoffe

c1

A1 L

Bild 14. Diffusorförmiger Rohrbogen Da nach Bild 14 h1 = 0 und L1 = 0 sind, lautet die Gleichung: c12 p1 c22 p2 η dc L2 + = + + gh2 + ρ ρ ρ dn rh 2 2

(19)

Der Druckverlust 'pv tritt erst im Verlauf der Strömung auf. Er wird in spezifische Dissipationsenergie gewandelt und erhöht die innere Energie des Fluids du = cvdT. Die geringe Temperaturerhöhung dT durch die Dissipationsenergie kann bei genauer Temperaturmessung trotz der großen spezifischen Wärmekapazität der Fluide experimentell nachgewiesen werden. Dieses Verfahren der Temperaturmessung wird zur Wirkungsgradbestimmung von großen Wasserturbinen genutzt. Mit Rücksicht darauf, dass der hydraulische Durchmesser für den kreisförmigen Rohrquerschnitt gleich dem geometrischen Rohrinnendurchmesser sein soll,

C 94

C Mechanik

wird der hydraulische Durchmesser folgendermaßen definiert: dh = 4

A U

dh A U m m2 m

(20)

Im Bild 15 sind die hydraulischen Durchmesser einiger geometrischer Strömungsquerschnitte angegeben.

der Haftbedingung c = 0 an der Rohrwand mit Hilfe der Eulergleichung berechnet werden. Die Euler’sche Bewegungsgleichung für die reibungsbehaftete Strömung mit der spezifischen Rei c2  dx  dτ = λ   lautet: bungsenergie ρ  2  d  c dc +

a d

dh=a s

s

c dc +

a 2b b a

dh=

dh=2s

dh=

3

Bei der reibungsbehafteten Rohrströmung wird die spezifische Reibungsenergie W / aus der spezifischen Druckenergie p / gedeckt. Dadurch sinkt entsprechend Bild 16 der statische Druck in der Rohrleitung, was durch zwei Druckmessrohre in der Rohrleitung experimentell angezeigt werden kann. p p

1

2

c1

c2

p1

p

2

2 x

c 2 dx =0 2 d

(21)

(22)

(23)

T2

L2

Bild 16. Druckabfall bei reibungsbehafteter Rohrströmung Dieser Reibungsdruckverlust führt bei Erdölpipelines dazu, dass der in der Pumpstation aufgebaute Druck von p = 80 bar nach dem Strömungsweg in der Rohrleitung von L = 80 bis 100 km durch Reibung aufgebraucht ist und eine nächste Pumpstation installiert werden muss. Gleiches gilt für Gaspipelines, die ebenfalls mit statischen Drücken von ca. p = 80 bar betrieben werden und für Trinkwasserversorgungsleitungen, die Betriebsdrücke von p = 350 kPa bis 450 kPa Überdruck besitzen. Die reibungsbehaftete Rohrströmung entsprechend Bild 12 kann bei Beachtung

(24)

Mit der Querschnittsfläche A = r2 und der Schubspannung W =  dc/dn =  dc/dr ergibt sich nach Umformung die Gl. 25 dp r dr − 2 η dc = 0 dx

(25)

Daraus erhält man die Geschwindigkeitsverteilung im Rohrquerschnitt: c=

V

1

+ g dh + λ

=0

Adp − 2 π r τ dx = 0

4.6.1 Reibungsbehaftete Rohrströmung

T1

ρ

Das Kräftegleichgewicht auf das Fluidteilchen der Länge dx in Strömungsrichtung von Bild 12 lautet:

s

Bild 15. Hydraulischer Durchmesser dh verschiedener geometrischer Strömungsquerschnitte

p

ρ

dτ

c12 p1 c22 p2 c 2 L2 + + gh1 = + + gh2 + λ ρ ρ 2 2 2 d

s

dh=da-di dh=2s

dp

+ g dh +

Daraus erhält man die Bernoulligleichung für die reibungsbehaftete Strömung.

1+ s

di da

ρ

b

a

dh=d

dp

 r 2  1 dp 2 ra 1−   4 η dx    ra   

(26)

Das ist die Gleichung eines Rotationsparaboloids. Die Geschwindigkeitsverteilung im Rohr verläuft also paraboloidförmig und sie erreicht bei r = 0 ihren Maximalwert cmax von cmax =

ra 2 dp 4 η dx

(27)

Bezieht man die Lösung in Gl. 26 auf cmax, so erhält man die paraboloide Geschwindigkeitsverteilung im Rohrquerschnitt zu c cmax

 r 2 = 1−   ra 

(28)

Gl. 28 zeigt, dass die Geschwindigkeit an der Rohrwand bei r = ra c = 0 ist (Bild 17).

4 Hydrodynamik; Eindimensionale stationäre inkompressible Strömung

r

ra c max

4.6.2 Rohrreibungsbeiwert, Druckverlustbeiwert und Strömungsformen in Rohrleitungen

x

Der Rohrreibungsbeiwert stellt den auf den Staudruck der Strömung c2/2 und auf das Längenverhältnis l / d bezogenen Druckverlust p dar

cm

λ= Bild 17. Geschwindigkeitsprofil der laminaren Rohrströmung Die mittlere Geschwindigkeit cm beträgt cm =

cmax 2

(29)

Damit kann der Druckverlust dp der Rohrströmung berechnet werden zu dp =

4η cmax dx ra 2

(30)

Mit Hilfe dieser Gleichung kann auch der Durchflussvolumenstrom V durch die Rohrleitung berechnet werden. Der Volumenstrom beträgt π ra 4 dp V = 8η dx

(31)

Mit Gl. 29 für die mittlere Geschwindigkeit ergibt sich der Volumenstrom V zu V = π ra 2 cm = Acm

.

V ra cm A m3 m 2 m m s s

C 95

(32)

∆p l ρ 2 c d 2

O 'p l d U c 1 Pa m m

kg m m3 s

(36)

Der Rohrreibungsbeiwert ist von einer großen Zahl von Parametern abhängig, = f (Geschwindigkeit c, Rohrdurchmesser d, Oberflächenrauigkeit k, kinematische Viskosität des Fluides ). Die Einschränkung der Zahl der Einflussgrößen gelingt mit der Reynoldszahl Re und mit der auf den Rohrdurchmesser bezogenen relativen Oberflächenrauigkeit k/d

λ= f ( Re, k / d )

(37)

In Abhängigkeit der Reynoldszahl Re, d.h. in Abhängigkeit der in der Strömung wirkenden Trägheits- und Zähigkeitskräfte tritt in Rohrleitungen eine laminare (geschichtete) Strömung oder eine turbulente (ungeordnete) Strömung auf. Bei kleinen Reynoldszahlen von Re = 100 bis ca. 2320 überwiegt der Einfluss der Zähigkeitskräfte ˜ A gegenüber der Trägheitskraft m ˜ a und die Fluidteilchen strömen auf geschichteten Bahnen ohne merkliche Querbewegung rechtwinklig zur Hauptströmungsrichtung. Führt man in eine laminare Rohrströmung eine Farbstoffsonde entsprechend Bild 18 ein, bleibt die Farbstoffstromlinie nach Austritt aus der Sonde in der Schichtform erhalten. a) Laminare Strömung Sonde

Die mittlere Geschwindigkeit cm ist gleich der halben Maximalgeschwindigkeit cmax/2 für die laminare Strömung. Aus Gl. 24 kann schließlich auch die Schubspannung W an der Rohrwand für konstanten Druck bestimmt werden zu A dp r dp τ= = 2 π r dx 2 dx

(33)

b) Turbulente Strömung Sonde

An der Rohrwand bei r = ra beträgt die Wandschubspannung

τW =

ra dp cm = 4η 2 dx ra

(34)

Der Druckverlust in der Rohrleitung beträgt somit ∆p =

2τ 2η dc ∆L = ∆L ra ra dr

(35)

Bild 18. Experimentelle Demonstration der laminaren und turbulenten Strömung mittels Farbstoffsonden

Führt man diese Farbstoffsonde in eine turbulente Rohrströmung mit Reynoldszahlen von Re > 2320 bis 5 ˜ 107 ein, bei der infolge großer Geschwindigkeiten und geringer kinematischer Viskosität die Trägheitskraft gegenüber der Zähigkeitskraft überwiegt, dann

C 96

C Mechanik

treten in der turbulenten Strömung starke Querbewegungen zur Hauptströmungsrichtung auf, die den Farbstofffaden nach Verlassen der Sonde in die Querbewegung führen. Praktisch tritt dabei nach kurzer Zeit eine intensive Durchmischung des Farbstoffes im gesamten Strömungsquerschnitt ein. Der Übergang der laminaren in die turbulente Rohrströmung erfolgt bei der kritischen Reynoldszahl von Rekrit = 2320. Es ist aber kein plötzlich einsetzender Vorgang, sondern der Übergang stellt ein Stabilitätsproblem dar, das von mehreren Einflussgrößen und Störungen abhängig ist. So entstehen zunächst einzelne Turbulenzflecken an der Rohrwand, die von der Strömungsgeschwindigkeit weggeschwemmt werden (Bild 19). Erst wenn die an den Störstellen entstehenden Turbulenzflecken so dicht und stabil sind, dass sie nicht mehr von der Grundströmung mitgenommen werden können, ist der turbulente Strömungsübergang vollzogen. Damit erklären sich auch die Übergangsgebiete in den Nikuradse- und ColebrookDiagrammen. Laminare Strömung

Turbulete Strömung

Tabelle 2. Korrekturbeiwerte für den Rohrreibungsbeiwert bei laminarer Strömung in Rohrleitungen mit nicht kreisförmigem Querschnitt di da

da di

h

h b

2

5

10

20

50

100

1,50 1,49 1,45 1,40 1,35 1,28 1,25

C

b

1

h b

0,05 0,1

C

1,41 1,34 1,20 1,10 0,97 0,90 0,88

h b

0,05 0,1

C

1,22 1,20 1,16 1,11 1,05 1,01 1,0

0,2

0,3

0,2

0,3

0,5

0,5

0,8

0,8

1,0

1,0

Für den Bereich der turbulenten Strömung gibt es Berechnungsgleichungen für die verschiedenen Bereiche. Die Grenzlinie für die hydraulisch glatte Wand wird durch das Blasiusgesetz für den Reynoldszahlenbereich von Re = 2320 bis 105 beschrieben (Bild 20).

λ=

0,3164 Re1/ 4

(39)

Die Gleichung von Nikuradse ist für Reynoldszahlen von Re = 105 bis 108 gültig. Sie lautet Turbulenz

Bild 19. Übergang der laminaren in die turbulente Strömungsform Dieses Stabilitätsproblem des Strömungsüberganges erklärt auch, weshalb der Übergang der laminaren in die turbulente Strömungsform an umströmten ebenen Platten und sehr schlanken Profilen erst bei Reynoldszahlen von Re = 4 ˜ 105 bis 106 erfolgt.

Bei laminarer Strömung nimmt die Rohrrauigkeit keinen Einfluss auf den Rohrreibungsbeiwert. Er beträgt für kreisrunde Rohre (38)

Weicht der Strömungsquerschnitt stark von der Kreisform ab, wie z.B. beim Kreisringquerschnitt mit da und di oder bei elliptischen Querschnitten mit der Breite b und der Höhe h oder beim Rechteckquerschnitt, dann ist die Wandschubspannung am Umfang nicht mehr konstant und der Rohrreibungswert ändert sich gemäß Tabelle 2 mit O = C 64/Re.

0, 221 Re0,237

(40)

Zwei Kurven von Nikuradse sind im Colebrook-Diagramm (Bild 21) zum Vergleich angegeben. Die implizite Gleichung von L. Prandtl und von Th. v. Kármán sind für den gesamten turbulenten Bereich gültig von Re t 2320. =

4.6.3 Ermittlung des Rohrreibungsbeiwertes 

64 λ= Re

λ= 0, 0032+

1

(41)

2

  λ   2 lg  Re 2,51       

Für den Übergangsbereich von der glatten zur rauen Rohrwand kann die implizite Gl. 42 von Colebrook benutzt werden O = f (Re, k/d).

λ=

1 2

  2,51 k  + 0, 27   2,0 lg d  Re λ  

(42)

Für die ausgebildete Rauigkeitsströmung im Rohr, bei der die Rauigkeitserhebungen der Wand die Grenzschichtdicke durchstoßen gilt Gl. 43 O = f (d/k), die nur von der relativen Rauigkeit abhängig ist.

λ=

1 2

  k  −2, 0 lg 0, 27   d  

(43)

4 Hydrodynamik; Eindimensionale stationäre inkompressible Strömung

Als hydraulisch glatt gilt eine gezogene, geschliffene oder polierte Oberfläche, wenn die geringen Rauigkeitserhebungen die laminare Unterschicht der Grenzschicht nicht durchstoßen und somit die Grenzschichtströmung nicht beeinflussen. Nikuradse [5] hat 1931 erstmals die Rohrreibungsbeiwerte von Rohren mit Sandrauigkeit ausgemessen und in dem nach ihm benannten Nikuradse-Diagramm = f (Re, d/k) dargestellt. Nachfolgend hat Colebrook ein gleiches Diagramm mit experimentell bestimmten Rohrreibungsbeiwerten veröffentlicht. Bild 20 zeigt den prinzipiellen Aufbau des Nikuradse-Diagramms und aus Bild 21 können die Rohrreibungsbeiwerte = f (Re, d/k) entnommen werden. Im Übergangsgebiet der laminaren in die turbulente Strömung zwischen Re = Rekrit bis zur Grenzlinie im Bild 21 ist der Rohrreibungsbeiwert stets eine Funktion der Reynoldszahl und der relativen Wandrauigkeit = f (Re, d/k) (Bilder 20 und 21). Erst wenn die Rauigkeitserhebungen der umströmten Oberfläche so groß werden, dass sie die laminare Unterschicht durchstoßen und die Grenzschichtströmung beeinflussen, setzt die ausgebildete Rauigkeitsströmung ein (Bild 20) und der Rohrreibungsbeiwert ist nur noch eine Funktion der relativen Oberflächenrauigkeit = f (d/k), aber unabhängig von der Reynoldszahl.

Die ausgebildete Rauigkeitsströmung beginnt rechts von der Grenzkurve im Colebrook-Diagramm (Bild 21), die durch folgende Beziehung angegeben werden kann:  k  d ReG =198 1,138 − 2, 0 lg   d  k

(44)

Diese Grenzlinie für den Beginn der ausgebildeten Rauigkeitsströmung ist im Colebrook-Diagramm als strichpunktierte Linie (Bild 21) enthalten. Mit Rücksicht auf die Größe der Zahlenwerte der relativen Rauigkeit wird oft der Kehrwert d/k angegeben.

ausgebildete

0,10

Rauhigkeitsströmung Re=f(d/k)

= 64 Re

0,01 0,006

hydraulisch glatt d 0,3164 , = k Re 0,25

laminar Übergang laminar- turbulent turbulent

10 2

3

10 Rekr 10 4

10 5

10 6

10 7

C 97

Re

Bild 20. Nikuradse-Diagramm für Rohrreibungsbeiwerte

0,100 0,090 0,080 d/k=20

0,070

instabil

0,060 0,050 0,040

0,030

40 Übergangsgebiet

Grenzkurve 100 120

64 Re

200 Messungen von Nikuradse

500

0,020 0,018

1000

hyd r

0,016 0,014 0,012

aul isc

2000

hg

laminar turbulent

0,010 0,009 0,008

latt e

5000

Ro hre (k= 0)

10000 20000 50 000 100 000

0,007 0,006

 6 8 10 3

Re k

4

6 8 10 4

2

4

6 8 10 5

2

4

6 8 10 6

2

4

6 8 10 7

2

4

6 8

Re

Bild 21. Colebrook-Diagramm zur Bestimmung der Rohrreibungsbeiwerte Flüssigkeiten c = 0,5 ... 3,2 m/s Die mittleren Geschwindigkeiten in Rohrleitungen Flüssigkeits-Feststoffgemische c = 0,4 ... 2,0 m/s sind stoffabhängig und sie sollen betragen: Luft und technische Gase c = 15 ... 40 m/s

C 98

C Mechanik

k

k

Im Bild 22 sind drei Beispiele technischer Rauhigkeiten mit den Rauigkeitstiefen dargestellt. Die technischen Oberflächenrauigkeiten von Rohren sind im Neuzustand mit k = 0,0012 mm sehr gering, sie können nach längerem Gebrauch durch Abrasion und Verkrustungen aber Werte bis k = 4,0 mm erreichen (Tabelle 3).

polierte Oberfläche gedrehte Oberfläche gefräste Oberfläche k=1m

k=10m

k=20m

Bild 22. Beispiele technischer Oberflächenrauigkeiten

kinematischen Viskosität von Wasser = 10–6 m2/s beträgt mit der Reynoldszahl Re = dc/ = 1,5 105;

= f (Re, d/k = 500) = 0,0246.

4.6.4 Druckverlustbeiwerte

In Rohrbögen, Rohrverzweigungen, Ventilen, Schiebern und anderen Armaturen treten neben den Wandreibungsverlusten auch Umlenkverluste und Sekundärströmungsverluste auf, die nicht vom Rohrreibungsbeiwert erfasst werden. Deshalb werden für diese Bauelemente die experimentell bestimmten Druckverlustbeiwerte  angegeben. Der Druckverlustbeiwert stellt den Druckverlust pv bezogen auf den Staudruck der charakteristischen Geschwindigkeit  c2/2 dar.

Tabelle 3. Rauigkeitswerte von Rohren

ζ=

Zustand der Rohrwand

Rahigkeit k in mm

gezogene Rohre aus Metall (Cu, Messing, Bronze, Leichtmetall), Glas oder Plexiglas

neu, technisch glatt

0,0012 bis 0,0015

Gummidruckschlauch

neu, unversprödet

0,0016

Walzhaut gebeizt, neu verzinkt

0,02 bis 0,06 0,03 bis 0,04 0,07 bis 0,16

0,4

nahtlose Stahlrohre längsgeschweißte Stahlrohre

Walzhaut bituminiert, neu galvanisiert

0,04 bis 0,1 0,01 bis 0,05 0,008

0,3

benützte Stahlrohre

verrostet oder leicht verkrustet stark verkrustet

0,15 bis 0,2 bis 3,0

gusseiserne Rohre

neu mit Gusshaut neu bituminiert leicht angerostet verkrustet

0,2 bis 0,6 0,1 bis 0,13 0,5 bis 1,5 bis 4,0

Asbestzementrohre

neu

0,03 bis 0,1

Drainagerohre aus gebranntem Ton

neu

0,07

Betonrohre

neu mit Glattstrich neuer Stahlbeton Schleuderbeton, neu

0,3 bis 0,8 0,1 bis 0,15 0,2 bis 0,8

Rohrwerkstoff

Die von Nikuradse angegebenen Rohrreibungsbeiwerte wurden für Sandrauhigkeiten ermittelt. Der Rohrreibungsbeiwert für eine wasserdurchströmte Rohrleitung mit dem Innendurchmesser di = 50 mm, der Oberflächenrauigkeit von k = 0,1 mm, der mittleren Strömungsgeschwindigkeit von c = 3 m/s und der

∆ pV

ρ 2

(45)

c2

0,5

]

c

d

D

R

D 90° rauh

0,2

90° glatt

0,1

0

45° 30° 15° 0

1

2

3

4

5

6

7

8R9

10

d

Bild 23. Druckverlustbeiwert von Rohrkrümmern mit kreisförmigem Querschnitt

Für Rohrleitungen beträgt der Druckverlustbeiwert ] = O L/d. Im Bild 23 und in den Tabellen 4 und 5 sind die Druckverlustbeiwerte von Rohrbögen und von Rohrverzweigungen bei Fluidstromtrennung und Fluidzusammenführung und von weiteren Rohrleitungselementen dargestellt. Weitere Werte findet man z.B. bei Wagner [6].

4 Hydrodynamik; Eindimensionale stationäre inkompressible Strömung Tabelle 4. Druckverlustbeiwerte ] von Formstücken und Rohrbögen

C 99

C 100 Tabelle 5. Druckverlustbeiwerte ] von Rohrverzweigungen und Drosselgeräten

C Mechanik

4 Hydrodynamik; Eindimensionale stationäre inkompressible Strömung 2

R d h 1=6,5 m

C 101

diese geschichtete Strömung deshalb auch eine „schleichende Strömung“. Unter Vernachlässigung der spezifischen Gravitationskraft g dh lautet die Bewegungsgleichung für die stationäre Strömung zwischen zwei ebenen Platten mit dem Zähigkeitseinfluss K G 2c/G y2

η

h p 1=100 kPa

δ 2c δ p − =0 δ y2 δ x

(46)

1

Bild 24. Saugrohrleitung einer Pumpenanlage Beispiel 3. Für die Saugleitung der NW 120 einer Pumpenanlage mit der geodätischen Saughöhe h1 = 6,5 m und einem Rohrbogen R/d = 2,5, mit dem Druckverlustbeiwert ] = 0,26 und der Rohrrauigkeit k = 0,1 mm für ein neues gezogenes Stahlrohr ist für den Wasservolumenstrom von V = 120 m3/h, U = 1000 kg/m3 und Q = 10–6 m2/s der Pumpe für die reibungsbehaftete Strömung entsprechend Bild 24 der absolute statische Druck vor der Pumpe zu berechnen.

y h p1 c1(y)

c=0 c(y)

p2 c2(y)=c 1(y)

2h

x -h c=0

1

L

2

x

Bild 25. Laminare Spaltströmung

Geschwindigkeit: m3 m V 4 V 4⋅0,0333 s c= = 2 = = 2,944 A πd s π ⋅0,122 m 2 Reynoldszahl: m ⋅0,12 m s = 353280 2 ν −6 m 10 s Rohrreibungsbeiwert aus Colebrook-Diagramm:  d λ = f  Re, = 0, 022 aus Colebrook-Diagramm, Bild 21  k

Re =

cd

2,944

=

Die Gl. 46 beschreibt das Gleichgewicht zwischen der Zähigkeits- und Druckkraft der Strömung, wobei die Druckkraft an der Stelle x im Spalt konstant ist und nur von der x-Koordinate abhängt p(x) (Bild 25). Aus der Gleichung 46 erhält man den Verlauf des Geschwindigkeitsprofils im Spalt zu: c( y ) =−

2 h2 dp  y   1−   2η dx   h  

(47)

Druckverlust im Saugrohr: kg 1000 3 l ρ m2 m = 5157,8 Pa ∆ pV = λ c 2 = 0, 022⋅54,1⋅2,9442 2 ⋅ d  2 2 s Druckverlust im Rohrbogen: kg 1000 3 ρ m2 m = 1126, 73Pa ∆ pVR = ζ c 2 = 0, 26⋅2,9442 2 ⋅ 2 2 s Gesamtdruckverlust: ∑ ∆ pV = ∆ pV + ∆ pVR = 5157,8Pa +1126,73Pa = 6284,53Pa Mit Bernoulligleichung Gl. 5

p2 = p1 − g h1 −

c2 − ∑ ∆ pV = 25,62 kPa 2

p2 > pt = 2,46 kPa Dampfbildungsdruck für Wasser bei t = 20 °C

4.6.5 Strömung im ebenen Spalt mit geringer Reynoldszahl; Couette-Strömung

In Fluiden mit hoher kinematischer Viskosität mit Werten von Q t 50 ˜ 10–6 m2/s oder in strömenden Wasserfilmschichten geringer Dicke von s = 0,1 bis 1,0 mm und geringer Geschwindigkeit mit der kinematischen Viskosität des Fluids von Q = 10–6 m2/s dominiert die Zähigkeitskraft gegenüber der Trägheitskraft (a m) und sie strömen infolgedessen bei geringen Reynoldszahlen von Re = 1 bis 6. Deshalb kann der Term cG c/G s in der Euler’schen Bewegungsgleichung vernachlässigt werden. Man nennt

Die Maximalgeschwindigkeit in der Mitte des Spaltes bei y = 0 beträgt cmax =−

h 2 dp 2η dx

(48)

In der folgenden Lösung ist die Hagenzahl enthalten. Für einen ebenen Spalt der Breite b kann durch Integration der Geschwindigkeit c(y) über die Spalthöhe der Volumenstrom bestimmt werden. V = 2 b h cm

(49)

Das Verhältnis der mittleren cm zur maximalen Geschwindigkeit cmax im Spalt beträgt cm/cmax = 2/3. Der Volumenstrom weicht somit von dem Geschwindigkeitsverhältnis in Rohrleitungen mit Kreisquerschnitt cm/cmax = 1/2 ab. Der Druckabfall im ebenen Spalt beträgt damit dp ∆ p12 3 η cm ≈ =− 2 dx L h

(50)

Die Bewegungsgleichung (Gl. 46) ist auch für ebene Spalte mit einer ruhenden und einer bewegten Wand entsprechend Bild 26 gültig, nur ändern sich dafür die Randbedingungen c (– h) = 0 und c (h) = c0.

C 102

C Mechanik

Für diese Randbedingungen lautet die Lösung von Gl. 46 2 h 2 dp  y   c0 dp 1−  + c( y ) =− ( h + y ) mit = konst. h h dx 2η dx    2   

p

dp !0 dx

kPa

dp dx

0

(51) p max

c0

c0 y

0

2h p 1

p2

p1

x

p2 ruhender Gleitschuh

p1

x

ruhende Wand p2=p1 Ha=0

p1

x

u

u

L

Bild 27. Geschwindigkeitsprofil und Druckverteilung im geneigten Axiallagerspalt c=0

Im Bild 27 ist der angestellte Gleitschuh eines axialen Kippsegmentlagers mit der Geschwindigkeits- und Druckverteilung im keilförmigen Spalt dargestellt. Bild 28 zeigt die dimensionslose Belastungskennzahl:

dp p2>p1; > 0 dx Ha=-20 Rückströmung

Bild 26. Geschwindigkeitsprofile einer Spaltströmung zwischen ruhender und bewegter Wand mit Druckabfall und Druckanstieg

Für konstanten Druck im Spalt p(x) = konst, dp/dx = 0 stellt sich eine Scherströmung mit linearer Geschwindigkeitsverteilung c ( y) ein (Bild 26). c0 dp ( h + y ) für = 0 2h dx

(53)

Die dimensionslose Reibmomentkennzahl eines Axialgleitlagers beträgt in Abhängigkeit des Öffnungsverhältnisses vom Gleitschuh:

µ ( p b)

(52)

Gl. 51 zeigt, dass sich das Geschwindigkeitsprofil im ebenen Spalt mit einer ruhenden und einer bewegten Wand aus der Überlagerung der durch einen Druckgradienten dp/dx hervorgerufenen Geschwindigkeit und der Geschwindigkeit der Schleppströmung der bewegten Wand zusammensetzt. Im Bild 26 sind vier Geschwindigkeitsprofile mit verschieden großen negativen und positiven Druckgradienten dp/dx dargestellt. Das Bild 26 zeigt auch, dass bei großen Druckgradienten in der Nähe der ruhenden Wand Rückströmungen auftreten können, während die Zähigkeitsströmung an der bewegten Wand das Fluid in positiver Richtung gegen den Druckanstieg bewegt. In keilförmigen Spalten mit einer bewegten Wand stellt sich ein anderer Druck- und Geschwindigkeitsverlauf ein. Wird die bewegte Wand in einem Winkel entgegen der Strömungsrichtung angestellt, erhält man daraus Strömungsverhältnisse wie in hydrodynamischen Gleitlagern und es gilt die Lagertheorie von Sommerfeld [7] [8], die sowohl für radiale als auch axiale Gleitlager angewandt wird.

p h0 um K b m Pa m s Pa s m

p h02 um η b

(um η) 10 2

1 1

P p b um

2

K

m - Pa m s Pa s

2

p h02 9 K um b 8

(54)

Reibkennzahl

L/b 0,4 0,5

1

ª pb º 2 P« » 7 «¬ K um »¼ 6

1,0

Tragzahl

5 4 3 2

F

L/b 1,0 0,5 0,4

t

c( y ) =

h0

rotierende Lagerscheibe

p2

c=0 dp p2=p1; >0 dx Ha=-10

c

h

c0

c0

p2

D

h1

h0

ruhende Wand dp p2 5˜ 10 : f Kegel (ohne Boden)

0,63 0,68 0,74 0,82 0,98 1,20 0,35

Re > 5˜ 105 : t/d = 2 0,2 0,1 3 5 0,06 10 0,083 20 0,094 Kegel (schlank)

D ohne Boden mit Boden Kreiszylinder

0,34 0,40

ohne Boden mit Boden Prisma

1,33 1,17

D = 30° 60° Prisma a

a

D

d

a

l l/d = 1 2 4 7 Kreisplatte

0,91 0,85 0,87 0,99

d

1,1

0,34 0,51 2 Kreisplatten in Reihe

a

d

l

l l/a = 2,5

0,81

D = 90° : l/a = 5 f D = 45° 5 f Rechteckplatte

1,22

h

Kreisringplatte

d

d D

D

b/h = 1 2 4 10 18 f Winkel-Profil

0 ,5

Doppel-T-Profil

Prisma, dreieckig

0,58

1,56 2,03 0,92 1,54

l l 1 d 1,5 2 3 Rechteckplatte mit Boden

0,93 0,78 1,04 1,52

h 1,10 1,15 1,19 1,29 1,40 1,90

b/h t 1

1,2

Winkel-Profil h

a D a b/h = f D = 90° D = 60° a=h

h

2,04 1,55 1,2 (1,1) 2,0 (1,3)

1,8 b  h

h h

b  h

2,0 1,83

1,45 h 1,72

b  h

C 106

C Mechanik

4.8 Strömungswiderstand umströmter Körper Umströmte Körper wie z.B. Straßenfahrzeuge, Schienenfahrzeuge, Flugkörper, Fallschirmspringer, Schornsteine und Maste von Windrädern oder Leitungen erfahren einen Strömungswiderstand und sie werden durch die Widerstandskraft beansprucht bzw. in der Fortbewegungsgeschwindigkeit beeinträchtigt. c

schlanke Körper

Sie führen zum Druckwiderstand. Die Druckwiderstandskraft ist bei voluminösen Körpern bis zu 9 mal größer als die Reibungswiderstandskraft und deshalb vorrangig zu beachten. Sie beträgt: (61)

FwP = p A y

c

dFp

dFpx dA

voluminöse Körper

dF py

dFpx dA

dFpx

d l

Bild 30. Druckwiderstand am umströmten Körper

Bild 29. Klassen umströmter Körper Der Strömungswiderstand ist unter anderem auch wesentlich von der Geometrie des umströmten Körpers abhängig. Die geometrischen Formen umströmter Körper lassen sich in zwei Gruppen einteilen:  Schlanke Körper mit d /l  0,25 wie z.B. längs angeströmte ebene Platten, Tragflügelprofile, Fische und stromliniengeführte Körper mit geringem Strömungswiderstand entsprechend Bild 29.  Voluminöse Körper mit d /l  0,25 bis 1,0 wie z.B. Kugel, Zylinder, Schornstein, Quader oder Lastkraftfahrzeuge mit großem Strömungswiderstand. Es gibt vier verschiedene Widerstandsarten, von denen zwei bei den unterschiedlichen Körperformen dominieren: Reibungswiderstand Der Reibungswiderstand cwR entsteht durch die Reibungskraft in der körpernahen Strömungsschicht, der Grenzschicht. Er tritt bei allen umströmten Körpern auf. Durch glatte Oberflächen mit geringer Rauigkeit oder durch Laminarprofilstrukturen auf der Oberfläche kann er gering gehalten werden. Der Reibungswiderstand von schlanken Körpern erreicht Werte bis zum zehnfachen des geringen Druckwiderstandes. Der Reibungswiderstand beträgt:

FwR = τ W A

dFpx

dFp

L

x

dA dFp

dFpy

d

dFp dA

(60)

Druckwiderstand Durch die unterschiedlichen Druckverteilungen auf der Vorder- und Rückseite von umströmten Körpern entsprechend Bild 30 tritt eine Druckwiderstandskraft FwP und ein Druckwiderstandsbeiwert cwp auf. Er erreicht die dominanten Werte bei voluminösen Körpern, bei denen die Grenzschichtströmung auf der Rückseite ablöst, wie z.B. an der Kugel oder am Zylinder. Dadurch entstehen erhebliche Druckunterschiede auf der Vorder- und Rückseite des Körpers.

Induzierter Widerstand Am Ende von Tragflügeln, von Flügeln der Windkraftanlagen und im Heckbereich von Kraftfahrzeugen, ebenso an den Kanten von Außenspiegeln der Kraftfahrzeuge werden durch die Umströmung Wirbel induziert, die einen Widerstand hervorrufen (Bild 31). dFWi dFR

dFA

z 

c

x

b G  l

x

Bild 31. Umströmung der Tragflügelenden und Hufeisenwirbel mit dem gebundenen Wirbel ΓG und dem freien Wirbel ΓF Wellenwiderstand Wird ein Schwimmkörper oder ein Schiff von einer Flüssigkeit umströmt, so entstehen an der freien Oberfläche Oberflächenwellen, deren Bewegungsenergie vom Schwimmkörper aufgebracht werden muss. Dadurch entsteht für den Schwimmkörper ein zusätzlicher Widerstand (Wellenwiderstand). Gleiches tritt bei der Umströmung von Flugkörpern in Luft mit hohen Geschwindigkeiten bzw. Machzahlen von M = 0,55 bis 0,90 auf. Die entstehenden Druckwellen am Körpervorderteil führen zu den Mach’schen Wellen, die ebenfalls den Widerstand erhöhen. Der Widerstandsbeiwert umströmter Körper stellt die Widerstandskraft bezogen auf den Staudruck c2  / 2 und die Fläche A dar.

cw =

FW A

ρ 2

c2

(62)

4 Hydrodynamik; Eindimensionale stationäre inkompressible Strömung Beim Druckwiderstand beträgt der Widerstandsbeiwert: 2∆p (63) cwp = ρ c2 In der Tabelle 7 sind die Widerstandsbeiwerte einiger umströmter Körper dargestellt. Weitere Widerstandsbeiwerte können [6] [12] entnommen werden. 4.8.1 Kármánsche Wirbelstraße

Löst die Strömung an den Kanten umströmter Körper ab, wie z.B. an Brückenpfeilern in Flüssen, an Einbauten in strömungstechnischen Anlagen, an Schornsteinen oder an engen Fjordeinläufen bei Flut, bilden sich paarweise Wirbel, die sich zu einem Strömungsvorgang formieren. Sie wurden von Kármán entdeckt und werden deshalb nach ihm benannt (Bild 32). Die periodische Wirbelablösung beginnt bei höheren Geschwindigkeiten und Reynoldszahlen von Re  40. Sie bleibt bis zur kritischen Reynoldszahl von Rekrit. = 2  105 stabil. c

Im Reynoldszahlbereich von Re = 100 bis 2  105 stellt sich entsprechend Bild 33 eine Strouhalzahl von Sr  0,2 ein. Entsprechend den Ablösepunkten stellt sich ein Geometrieverhältnis von d/b  1,25 und ein Abstandsverhältnis der Wirbel von l/b  3,558 für den unterkritischen Reynoldszahlbereich von Re = 100 bis 2  105 ein. Die periodische Wirbelablösung an einem Profilstab wird auch für die Volumenstrommesstechnik genutzt.

4.9 Düsen- und Diffusorströmung In Düsen erfolgt eine Beschleunigung der Strömung zur Erzeugung hoher Geschwindigkeit. Dabei wird eine beliebig hohe Druckenergie p/ in dynamische Energie c2/2 gemäß Bild 34 umgesetzt. Beispiele ausgeführter Düsen sind, z.B. die Düsen in Peltonwasserturbinen, Spritzdüsen für Feuerwehrschläuche oder Düsen von Springbrunnen und Wasserfontänen sowie Düsen für Triebwerke von Flugzeugen und Raketen. Wasser T1 1

d

b l

Ablösepunkt



c1

kritischer Bereich

unterkritisch

überkritisch

0,3

pb Tb

a)

b)

Bild 32. Kármánsche Wirbelstraße hinter einem elliptischen Pfeiler

Aus der Anströmgeschwindigkeit c, der Ablösefrequenz f und der Pfeilerdicke d kann die Strouhalzahl Sr als Verhältnis der lokalen zur konvektiven Beschleunigung bzw. als Verhältnis der beiden Trägheitskräfte ermittelt werden. Sie beträgt Sr = fd/c (Tabelle 6).

d2 c 2

d1

p1

0,5 Sr 0,4

C 107

Bild 34. Düsen zur Beschleunigung der Eintrittsströmung a) Spritzdüse, b) Turbineneintrittsdüse

In Dampf- und Gasturbinen werden ebenfalls zur Beschleunigung der Eintrittströmung in das Laufradschaufelgitter besonders geformte Düsen eingesetzt (Bild 34). Charakteristisch für Düsen ist, dass eine beliebig große Druckenergie p/ in dynamische Energie umgewandelt werden kann. Bei der Düsenströmung treten Reibungsverluste auf, die mit dem Druckverlustbeiwert  beschrieben werden können.

0,2 p1 c1

0,1 0 10

10 2

10 3

10 4

10 5

10 6 10 7 Re

Bild 33. Strouhalzahl in Abhängigkeit der Anströmreynoldszahl

A1

p2 c2

A2

p1 c1 T1 A1

a)

1

2

b)

Bild 35. Diffusorströmung; a) Einfachdiffusor; b) Multidiffusor

p2 c2 T2 A2

C 108

C Mechanik

In Diffusoren (Bild 35) wird die Strömung verzögert und der Verzögerungsanteil der Strömung c12/2 [1– (c2/c1)2] in Druck umgesetzt (Austrittsdiffusoren in Strömungsmaschinen, in Wasserturbinen oder in lufttechnischen Anlagen). Da die Grenzschicht einer Strömung zwar eine beliebige Beschleunigung und damit verbunden eine beliebige Druckumsetzung in Geschwindigkeit verträgt, aber nur eine begrenzte Geschwindigkeitsverzögerung, darf der Erweiterungswinkel von Diffusoren einen kritischen Wert von = (1/U)  dA/ds nicht überschreiten, wenn die Grenzschichtablösung von der Diffusorwand vermieden werden soll (Diffusorkriterium). Der Erweiterungswinkel des Diffusors soll in der Regel = 6° bis 7° nicht überschreiten, wenn die Grenzschichtablösung von der Diffusorwand vermieden werden soll. Der Druckverlustbeiwert  oder der Diffusorwirkungsgrad für kegelförmige Diffusoren kann in Abhängigkeit des Erweiterungswinkels Bild 36 entnommen werden [13][14].

d2

5,0 4,0 3,0 d2 d1 2,0

0,85 0,80

1,7

0,75 0,70

1,5 =15° 1,4 0,60

0,65

0,55

10

2 π r1 b1 r1 c2 A1 = = = c1 A2 2 π r2 b2 r2 b

c2

c2

c1

r 1 r2

Bild 37. Laufrad mit schaufellosem Radialdiffusor einer mehrstufigen Radialpumpe

Dreidimensionale, reibungsbehaftete Strömungen werden durch die Navier-Stokes’schen Gleichungen beschrieben, die für eine Reihe von Anwendungen analytisch [15] oder mit Hilfe von Computern näherungsweise gelöst werden können. Prandtl gelang es 1904 erstmals, durch Analyse der Navier-StokesGleichungen das Modell der wandnahen, reibungsbehafteten Schichten (Grenzschicht) und der reibungsfreien Außenströmung (Potentialströmung) zu schaffen. Dafür ist die nach ihm benannte Prandtl’sche Grenzschichtgleichung verfügbar. Die Potenzialströmung beginnt definitionsgemäß dort, wo die Geschwindigkeit in der Nähe einer Wand den Wert von 99 % der ungestörten Anströmung c erreicht hat. Umschlagpunkt laminar-turbulent

0,40 = n 7° 5° 1,1 0,5

3° 1

2

3

4 5

10

L d1

20

c(x,y)

Bild 36. Abhängigkeit des Diffusorwirkungsgrades vom Erweiterungswinkel und der relativen Diffusor-

Grenzschichtdicke

l

u

länge [13]

Soll eine starke Verzögerung auf kurzer Länge erreicht werden, können Multidiffusoren gemäß Bild 35b eingebaut werden. Dabei wird aber der Reibungsdruckverlust vergrößert. In radialen Turbokompressoren und in mehrstufigen Radialkreiselpumpen werden zur Verzögerung der Austrittsströmung aus dem Laufrad parallelwandige oder konische Radialdiffusoren eingesetzt (Bild 37). Bei parallelwandigen Radialdiffusoren mit radialer Durchströmung ist das Geschwindigkeitsverhältnis

Außenströmung pa(x)

c=c (x)

c=c (x)

c y

=1°20`

2°

c1  c ts 1

cr1

0,50

1,2

(64)

4.10 Grenzschicht

d1

L

1,3

c2/c1 entsprechend der Kontinuitätsgleichung dem Reziprokwert des Radienverhältnisses proportional

c=0 x t px Tx

x

xu laminare Unterschicht

Bild 38. Grenzschicht an einer längs angeströmten ebenen Platte

Die Grenzschicht soll für eine längs angeströmte dünne ebene Platte gemäß Bild 38 erläutert werden. Sie besteht aus  der laminaren Grenzschicht l, ohne Querbewegung zur Hauptströmungsrichtung,

4 Hydrodynamik; Eindimensionale stationäre inkompressible Strömung  

der turbulenten Grenzschicht nach dem Umschlag bei Rekrit. = 4  105 und starker Querbewegung zur Hauptströmungsrichtung, der laminaren Unterschicht geringer Dicke ab 5ν 5ν im Bereich der turbulenten δU = = c τw / ρ Grenzschicht.

Die Grenzschicht wird durch folgende Größen beschrieben:  Grenzschichtdicke als Funktion der Lauflänge (x)  Verdrängungsdicke ’(x) als Funktion der Lauflänge. Das ist die Dicke, um die die ungestörte Geschwindigkeit nach außen gedrängt wird. Sie kann als eine Verdickung des umströmten Körpers oder als eine Verengung des durchströmten Kanals verstanden werden.  Impulsverlustdicke (x) als Funktion der Lauflänge. Die Impulsverlustdicke gibt die Verminderung der Impulsgröße (c – c) m gegenüber der Impulsgröße der ungestörten Außenströmung cm an.  Die Anlauflänge x oder laminare Grenzschicht bis zum Umschlagpunkt in die turbulente Grenzschicht beträgt xu = Reu ν / c∞ = (5⋅105....106 ) ν / c∞

 

Reu =

c∞ xu

ν

C 109

≈ 7,5⋅105 → xu =

2 −6 m 5 Reu ⋅ν 7,5⋅10 ⋅10 s = = m c∞ 3,8 s

= 0,1974 m Dicke der laminaren Grenzschicht am Umschlagpunkt:

δ lam ≈ 5 ν

xu m² 0,1974 m = 5 10−6 = 1,139 10−3 m m c∞ s 3,8 s

4.11 Strömungstechnische Messtechnik 4.11.1 Druck- und Geschwindigkeitsmessung

Die Aufgabe der strömungstechnischen Messtechnik ist die Bestimmung von Druck, Geschwindigkeit, Volumen- und Massenstrom. Dafür gibt es strömungstechnische und elektronische Sonden verschiedener Bauart. Der statische Druck kann durch Wandanbohrung, Pitotrohre oder Prandtlrohre (Bild 40) gemessen und an U-Rohrmanometern (Bilder 40 und 41) oder an Schrägrohrmanometern angezeigt werden (Bild 42).

(65)

Die Haftbedingung der Strömung an der Wand ergibt die Geschwindigkeit c = 0. Das Geschwindigkeitsprofil in der Grenzschicht (Bild 39)

c

cx( )

c

Ablösepunkt p T

x x

p

Druckabfall Druckaufbau dp dp dp 0 0 0 dx dx dx

p

pt

hdyn

Ablösegebiet

w=0

pst

htot

hSt

Grenzschicht

Bild 40. Prandtlrohr mit U-Rohrmanometern p2 1 liegt die Resultierende aller äußeren Kräfte innerhalb der Kippkante K, für S < 1 außerhalb (Bild 62). Untersuchungen von Standsicherheit bei Leitern, Krananlagen, Fahrzeugbewegungen usw. müssen für mehrere Kippkanten durchgeführt werden.

„

Beispiel: Ein Schlepper von 1 400kg Masse fährt nach Bild 63 gleichförmig eine steile Böschung hinauf. Wie groß darf der Böschungswinkel D höchstens sein, wenn die Standsicherheit S = 2 sein soll?

Lösung: Um die Kippkante K wirken: Stützmoment MS = FG cos D ˜ 760 mm Kippmoment MK = FG sin D ˜ 710 mm MS Standsicherheit S = MK

S=

FG cos α ⋅760 mm =2 FG sin α ⋅710 mm

Bild 63. Standsicherheit eines Schleppers

Fachwerkträger sind aus Profilstäben zusammengesetzte Tragkonstruktionen (Biegeträger), z.B. für Brücken, Krane, Dachbinder, Gerüste. Sie haben einen geringeren Materialaufwand als Vollwandträger und erscheinen durch ihre Netzkonstruktion optisch leichter. Nachteilig ist die arbeitsintensivere Fertigung. Fachwerkträger sind meist in zwei oder mehr parallelen Ebenen aufgebaut. Jede Trägerebene wird dann als ebenes Fachwerk angesehen. Die äußere Form eines Fachwerkträgers kann frei gestaltet werden. Geometrisches Element des Fachwerks ist der Dreiecksverband. Das Dreieck ist die einfachste „starre“ Figur. Durch Ansetzen solcher Dreiecksverbände werden die verschiedenen Fachwerksformen (z.B. parallelgurtig, trapezförmig) als Streben- oder Pfosten-Streben-Fachwerk entwickelt (Bild 65). Der Obergurt kann parallel zum Untergurt laufen, aber auch z. B. dem Biegemomentenverlauf des Trägers angepasst werden (Bilder 64, 65, 66). Unter den skizzierten Fachwerkformen stehen in Klammern die Angaben für die Anzahl der Knoten k (z. B. k = 11) und die Anzahl der Stäbe s des Fachwerks (z.B. s = 19). Diese Größen werden im folgenden Kapitel zum Ansatz der Gleichgewichtsbedingungen für die statische Bestimmtheit des Trägers gebraucht. Die Profilstäbe werden untereinander im so genannten Knoten mit Knotenblechen verbunden, wobei sich die Profil-Schwerachsen möglichst im Knotenpunkt schneiden sollen (Bild 67). Damit wird das Einleiten von größeren Biegemomenten in die Verbindung vermieden und die Knotenpunkte können als Gelenkpunkte für Zweigelenkstäbe angesehen werden. Der Knoten kann genietet, geschraubt, geschweißt oder z.B. bei Leichtmetallprofilen geklebt sein.

1 Statik starrer Körper in der Ebene

C 25 scheidet daher zwischen äußerer und innerer statischer Bestimmtheit.

Bild 64. Streben-Fachwerkträger, parallelgurtig (k = 11 Knoten, s = 19 Stäbe)

Bild 68. Frei gemachter einfachster Fachwerkträger (Stabdreieck, Dreiecksverband) k = 3 Knoten, s = 3 Stäbe Bild 65. Pfosten-Streben-Fachwerkträger, Biegemomentenverlauf trapezförmig angepasst (k = 18 Knoten, s = 33 Stäbe)

Bild 66. Polygon-Fachwerkträger, Biegemomentenverlauf angepasst, (k = 7 Knoten, s = 11 Stäbe)

Ist k die Anzahl der Knoten für das ganze System, so ist wegen Fx = 0, Fy = 0 die Anzahl der zur Verfügung stehenden Gleichgewichtsbedingungen 2k. 2k = Anzahl der Gleichgewichtsbedingungen (hier 2 3 Knoten = 6 Gleichgewichtsbedingungen) Ist s die Anzahl der unbekannten Stabkräfte, dann ist mit den drei Lagerkräften FAx, FAy, FB die Anzahl der unbekannten Kräfte s + 3. s+ 3 = Anzahl unbekannter Kräfte (hier s + 3 = 3 + 3 = 6 unbekannte Kräfte) Bei einem statisch bestimmten System muss die Anzahl der Lösungsgleichungen gleich der Anzahl der Unbekannten sein, hier also 2k = s + 3. Es ist üblich, diese Gleichung nach der Anzahl s der erforderlichen Profilstäbe aufzulösen und als Bedingung für die innere statische Bestimmtheit die Gleichung s = 2k – 3 zu verwenden. 2k = s + 3 (63) s = 2k – 3: Bedingung für die innere statische Bestimmtheit (mit s = 2 k – 3 = 2 3 – 3 = 6 – 3 = 3 Stäbe hier erfüllt)

Bild 67. Geschraubter Knoten 1.7.2 Die Gleichgewichtsbedingungen am statisch bestimmten Fachwerkträger Der einfachste Fachwerkträger besteht aus den drei Stäben 1, 2, 3, die in Dreiecksform in den Knoten I, II und III miteinander verbunden sind (Bild 68). Äußere Kräfte F dürfen nur über die Knoten in das Tragwerk eingeleitet werden (Kraft F in Knoten II). Im Festlager A und Loslager B ist der Träger mit den drei Auflagerkräften FAx, FAy und FB wie üblich statisch bestimmt abgestützt (statisches Gleichgewicht. Beim Vollwandträger sind damit die Gleichgewichtsbetrachtungen abgeschlossen. Beim Fachwerkträger dagegen muss zusätzlich die Verschiebbarkeit der Stäbe gegeneinander untersucht werden. Man unter-

Bild 69. Bewegliches Fachwerk, statisch unbestimmt (Gelenkviereck): s < 2 4 – 3 = 5 Der Fachwerkträger nach Bild 69 mit vier Knoten (k = 4) und vier Stäben (s = 4) ist in der eingezeichneten Drehrichtung beweglich (Gelenkviereck), für Kraftübertragungen daher ungeeignet. Enthält ein Fachwerk ein solches Stabsystem, nennt man es statisch unbestimmt. Die Bedingung für statische Bestimmtheit ist hier mit k = 4 Knoten und s = 4 Stä-

C 26 ben nicht erfüllt (s = 4 < 2k – 3 = 5). Aus dem statisch unbestimmten wird ein statisch bestimmtes Fachwerk erst bei Hinzunahme eines fünften Stabes: s = 5 = 2 4 – 3. Die skizzierten vier Fachwerke mit 6 Knoten (Bild 70) sollen mit Hilfe der Bedingung für statische Bestimmtheit untersucht werden. Fachwerk a) ist mit einem Fest- und einem Loslager sowie mit s = 9 Stäben äußerlich und innerlich statisch bestimmt (2k – 3 = 2 6 – 3 = 9). Fachwerk b) ist wie a) äußerlich statisch bestimmt, jedoch innerlich statisch unbestimmt, weil bei 2k – 3 = 2 6 – 3 = 9 die Stabzahl s = 8 < 9 ist. Fachwerk c) ist wie a) und b) äußerlich statisch bestimmt, innerlich mit s = 10 Stäben jedoch statisch unbestimmt. Fachwerk d) ist zwar wie a) innerlich statisch bestimmt, mit einem Fest- und zwei Loslagern jedoch äußerlich statisch unbestimmt.

C Mechanik Hinweis: Der Träger ist äußerlich und innerlich statisch bestimmt. s = 2 7 – 3 = 11 Stäbe. Es ist immer zweckmäßig, zuerst aus der Trägerbelastung und den Abmessungen die Auflagerkräfte zu bestimmen. Nach der Ermittlung aller Stabkräfte hat man dann immer eine Kontrolle auch für die Auflagerkräfte (siehe Knoten VII im folgenden Knotenschnittverfahren). Mit den rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen Fx = 0, Fy = 0 und M = 0 ergibt sich: FA

= 4,75 kN und FB = 4,25 kN.

Fx = 0; keine waagerechten Kräfte vorhanden. Fy = 0 = + FA – F1 – F2 – F3 + FB M(I) = – F1 2 m – F2 4 m – F3 6 m + FB 8 m FB =

F1⋅2 m + F2 ⋅4 m + F3 ⋅6 m = 4, 25 kN 8m

FA = F1 + F2 + F3 – FB = 4,75 kN

1.7.3.1 Das Knotenschnittverfahren (rechnerisches oder zeichnerisches Verfahren zur Ermittlung aller Stabkräfte)

Bild 70. Beispiel für die Bestimmtheit 1.7.3 Ermittlung der Stabkräfte im Fachwerkträger Die Verfahren zur Ermittlung der Stabkräfte werden am Beispiel des gezeichneten Fachwerkträgers erläutert (Knotenschnittverfahren, Ritter’sches Schnittverfahren und Cremonaplan). Der Träger besteht aus den Obergurtstäben 1, 4, 8, 11, den Untergurtstäben 2, 6, 10, den Pfosten oder Vertikalen 3, 9 und den Schrägen oder Diagonalen 5 und 7. Belastet wird der Träger mit den Vertikalkräften F1 = 4kN, F2 = 2kN und F3 = 3kN.

Bild 71. Aufgabenskizze

Mit einem Rundschnitt werden alle Knoten (k = 7) frei gemacht und in ein rechtwinkliges Achsenkreuz gelegt. Die noch unbekannten Stabkräfte FS1 ... FS11 trägt man in den Knotenpunkten I ... VII als Zugkräfte positiv (+) ein. Für jeden Knotenpunkt stehen die beiden Gleichgewichtsbedingungen Fx = 0 und Fy = 0 zur Berechnung von zwei unbekannten Stabkräften zur Verfügung. Wurden vorher die Auflagerkräfte FA und FB berechnet, liegen meistens dort die Ausgangsknoten für den Berechnungsgang, wie hier im Beispiel die Knoten I und VII mit den zwei unbekannten Stabkräften FS1 und FS2 am Knoten I und FS10 und FS11 am Knoten VII (Bild 71). Von den anschließenden Knoten sucht man sich denjenigen mit maximal zwei unbekannten Stabkräften heraus und erhält nacheinander alle Stabkräfte des Fachwerkträgers. Häufig ist dieses schrittweise Vorgehen einfacher als das Aufstellen und Lösen eines Gleichungssystems. Das Knotenschnittverfahren kann auch zeichnerisch durchgeführt werden. Die entsprechenden Skizzen der Kräftepläne zur zeichnerischen Ermittlung der unbekannten Stabkräfte sind daher mit aufgenommen worden. Sie stehen neben den Skizzen der frei gemachten Knoten und führen zum Verständnis des Cremonaplans in 1.7.3.3. Zur Lagebestimmung der schrägen Stabkräfte als Zugkräfte wird der Winkel  als spitzer Winkel zur x-Achse verwendet.

1 Statik starrer Körper in der Ebene

C 27

Es gelten dann die Beziehungen FSx = FS cos  für die x-Komponte und FSy = FS sinfür die y-Komponente der Stabkraft FS. Der Winkel  beträgt 45°. Die vorher berechneten Stützkräfte betragen FA = 4,75 kN, FB = 4,25 kN. Im Knoten I greifen außer der bereits ermittelten Stützkraft FA = 4,75 kN nur noch die beiden Stabkräfte FS1 und FS2 an, die nun berechnet werden können: Für Knoten I gilt: I) Fx = 0 = FS1 + FS2 cos  II) Fy = 0 = FA – FS2 sin  I) und II) FS2 = – FS1 /cos  = FA /sin   und mit cos /sin  = 1 / tan  FS1 = – FA / tan  = – 4,75 kN / 1 = – 4,75 kN (Druck) FS2 = FA / sin  = + 6,72 kN (Zug)

Für Knoten II gilt: I) Fx = 0 = – FS1 + FS4 o FS4 = FS1 = – 4,75 kN (Druck) II) 6Fy = 0 = – F1 – FS3 o FS3 = – F1 = – 4 kN (Druck)

Hinweis zum Kräfteplan: Die Stabkraft FS1 (Druckkraft) drückt von rechts nach links wirkend auf den Knoten I. Im Kräfteplan II muss FS1 als Druckkraft auf den Knoten II nach rechts wirken. Für Knoten III gilt: I) 6Fx = 0 = FS6 + FS5 cos D– FS2cos D II) 6Fy = 0 = FS3 + FS2 sin D + FS5 sinD II) FS5 = (– FS3 – FS2 sin D) /sin D = = – 1,06 kN (Druck) I) FS6 = FS2 cos D – FS5 cos D = + 5,5 kN (Zug)

Für Knoten IV gilt: I) 6Fx = 0 = FS8 + FS7 cos D – FS4 – FS5 cos D II) 6Fy = 0 = – F2 – FS7 sin D – FS5 sin D II) FS7 = (– F2 – FS5 sin D)/sin D = = – 1,77 kN (Druck) I) FS8 = FS4 + FS5 cos D – FS7 cos D = = – 4,25 kN (Druck)

Für Knoten V gilt: I) 6Fx = 0 = FS10 cos D – FS6 – FS7 cos D II) 6Fy = 0 = FS9 + FS10 sin D + FS7 sin D I) FS10 = 0 = (FS6 + FS7 cos D) / cos D = = + 6,01 kN (Zug) II) FS9 = 0 = – FS7 sin D – FS10 sin D = = – 3 kN(Druck)

Für Knoten VI gilt: I) 6Fx = 0 = FS11 – FS8 o FS11 = FS8 = – 4,25 kN (Druck) II) 6Fy = 0 = – F3 – FS9 o FS9 = – F3 = – 3 kN (Druck)

C 28

C Mechanik

Für Knoten VII gilt: I) Fx = 0 = – FS11 – FS10 cos  o FS10 = – FS11 / cos D = + 6,01 kN (Zug) II) 6Fy = 0 = FB – FS10 sin D o FB = FS10 sin D = + 4,25 kN (Kontrollrechnung)

Bild 74. Kräftesystem am abgeschnittenen Trägerteil (a) Bild 72. Knotenschnitte, Knoten I ... VII frei gemacht und Krafteckskizzen 1.7.3.2 Das Ritter’sche Schnittverfahren (rechnerisches Verfahren zur Ermittlung einzelner Stabkräfte) An statisch bestimmten Fachwerkträgern können einzelne Stabkräfte rechnerisch ermittelt werden, z.B. FS4 , FS5 und FS6. Dazu wird der Träger mit dem Ritter’schen Schnitt x – x in die beiden Teile (a) und (b) zerlegt und an einem der beiden Teile (a) das Gleichgewicht wieder hergestellt (Bild 73). Die Stützkräfte müssen bei diesem Verfahren vorher ermittelt worden sein: FA = 4,75 kN, FB = 4,25 kN.

Die drei Momenten-Bezugspunkte dürfen nicht auf einer Geraden liegen. Knotenpunkt III bietet sich als erster Bezugspunkt an, weil er Schnittpunkt zweier unbekannter Kräfte ist (FS5 und FS6) und sich damit eine Gleichung mit nur einer Unbekannten ergibt. Die Momenten-Gleichgewichtsbedingung 6M(III) = 0 liefert direkt die Stabkraft FS4 = – 4,75 kN (Druckstab). 6M(III) = 0 = – FS4 l – FA l −FAl = – FA = – 4,75 kN l Das Minuszeichen zeigt an, dass die Kraft FS4 dem angenommenen Richtungssinn entgegen wirkt: Stab 4 ist also ein Druckstab. Als zweiter Bezugspunkt wird der Knotenpunkt IV gewählt. Er ist Schnittpunkt der Stabkräfte FS4 und FS5 und liefert wieder eine Gleichung mit einer Unbekannten, der Stabkraft FS6 = + 5,5 kN (Zugstab).

FS4 =

6M(IV) = 0 = F1l – FA · 2 l + FS6 l FS6 =

FA ⋅2l − F1 l = 2 FA − F1 = 5,5 kN l

Dritter Bezugspunkt kann I oder II sein. Mit 6M(I) = 0 wird FS5 = – 1,06 kN (Druckkraft). Bild 73. Lageskizze des Fachwerkträgers mit Ritter’schem Schnitt x – x

6M(I) = 0 = FS6 l + FS5 l1 – F1l F1 l − FS6 l ( F1 − FS6 ) l = =−1,06 kN l1 l1 In manchen Fällen wird die Rechnung einfacher, wenn der Lösungsansatz mit den üblichen drei Gleichgewichtsbedingungen 6Fx = 0, 6Fy = 0, 6M( ) = 0 aufgestellt wird.

FS5 = Nach den Regeln des Freimachens werden in den drei Stabquerschnitten die unbekannten Stabkräfte FS4, FS5 und FS6 als Zugkräfte angebracht. Das am Trägerteil (a) angreifende Kräftesystem aus den drei Stabkräften FS4 , FS5 , FS6 , der Belastungskraft F1 und der Stützkraft FA muss im Gleichgewicht sein. Nach Ritter werden zur Berechnung der unbekannten Stabkräfte die drei Momenten-Gleichgewichtsbedingungen angesetzt. Der Ritter’sche Schnitt darf daher auch nur drei Fachwerkstäbe treffen.

Ergebnis: Stab 4 ist ein Druckstab mit 4,75 kN Stab 5 ist ein Druckstab mit 1,06 kN Stab 6 ist ein Zugstab mit 5,5 kN

1 Statik starrer Körper in der Ebene

Arbeitsplan zum Ritter’schen Schnittverfahren 1. Schritt Stützkräfte ermitteln (Fx = 0, Fy = 0, M() = 0). 2. Schritt Fachwerk durch einen Schnitt trennen. Der Schnitt darf höchstens drei Fachwerkstäbe treffen, sie dürfen keine gemeinsamen Knoten haben. 3. Schritt Lageskizze des abgeschnittenen Trägerteils zeichen , dabei Stabkräfte als Zugkräfte annehmen. 4. Schritt Die drei Momenten-Gleichgewichtsbedingungen M() = 0 aufstellen und auswerten: positives Ergebnis beim Zugstab, negatives beim Druckstab.

1.7.3.3 Der Cremonaplan (zeichnerisches Verfahren zur Ermittlung aller Stabkräfte) Beim Knotenschnittverfahren in 1.7.3.1 wurde neben der rechnerischen auch die zeichnerische Ermittlung der beiden unbekannten Stabkräfte dargestellt. Für jeden Knoten konnte das geschlossene Krafteck aus der gegebenen Kraft und den Wirklinien der zwei unbekannten Stabkräfte konstruiert werden, z.B. am Knoten I mit der gegebenen Stützkraft FA und den Wirklinien der Stabkräfte FS1 und FS2. Jede Stabkraft musste bei diesem Verfahren zweimal gezeichnet werden. Im Cremonaplan erscheint jede Stabkraft nur einmal. Dazu ist es erforderlich, jedes Krafteck im gleichen Umfahrungssinn aufzuzeichnen, z.B. im Uhrzeigerdrehsinn. Für den Knoten I des bekannten Fachwerkträgers ergibt sich dann der Kraftfolgesinn

C 29 Begonnen wird der Cremonaplan mit dem Knoten, an dem nur zwei unbekannte Stabkräfte angreifen, hier z. B. mit Knoten I (auch VII wäre möglich). Im festgelegten Uhrzeigerdrehsinn ist an die gegebene Stützkraft FA die Stabkraft FS1 (hier waagerecht) anzuschließen. Das geschlossene Krafteck mit FS2 kommt nur zustande, wenn von der Pfeilspitze FA die Stabkraft FS1 nach links gezogen wird. Kräftetabelle Kräfte in kN (aus Cremonaplan) Stab 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Zug

Druck 4,75

6,70 4,00 4,75 1,05 5,50 1,75 4,25 3,00 6,00 4,25

Kräftemaßstab m M K =1,2 (1 cm  1,2 m) cm

FA o FS1 o FS2. Nach der Aufzeichnung des maßstäblichen Lageplans wird der Kräfteplan der äußeren Kräfte im festgelegten Kraftfolgesinn konstruiert, hier im Uhrzeigerdrehsinn mit der Folge FA o F1 o F2 o F3 o FB. Längenmaßstab: ML = 1

Bild 75. Lageplan

m (1 cm  1 m) cm

Bild 76. Cremonaplan

C 30 Wird das gewonnene Krafteck von FA ausgehend umfahren, erhält man den Richtungssinn der Stabkräfte in Bezug auf den Knoten I. Der gefundene Richtungssinn wird als Pfeil im Lageplan dicht neben dem Knotenpunkt I eingetragen und man erkennt: Stab 1 ist ein Druckstab (FS1 drückt auf Knotenpunkt I), Stab 2 ist ein Zugstab (FS2 zieht am Knotenpunkt I). Mit dem Eintragen der Gegenpfeile an den Knotenpunkten II und III im Lageplan und der Vorzeichen (+) für Zugstäbe und (–) für Druckstäbe im Kräfteplan ist die Bearbeitung am Knoten I abgeschlossen. Man geht nun zum Knoten II über, an dem jetzt auch nur noch zwei Stabkräfte (FS3 und FS4) unbekannt sind, FS1 wurde schon ermittelt. Mit FS1 beginnend (von links nach rechts wirkend) wird das geschlossene Krafteck im Kraftfolgesinn mit FS1, F1, FS4 und FS3 zurück zum Anfangspunkt von FS1 konstruiert. Die Reihenfolge der Knotenpunkte ist beliebig, allerdings dürfen höchstens zwei Kräfte unbekannt sein. Zum Schluss greift man die Längen für die Stabkräfte ab, berechnet diese mit dem Kräftemaßstab MK und trägt die Beträge in eine nach Zug- und Druckkräften unterteilte Tabelle ein. Ist der Fachwerkträger symmetrisch aufgebaut und belastet, genügt es, eine Hälfte des Cremonaplans zu konstruieren

C Mechanik

5. Schritt Nach jeder Krafteckzeichnung den Richtungssinn der Stabkräfte durch Pfeile in den Lageplan übertragen und Gegenpfeile eintragen. 6. Schritt Im Kräfteplan die Stabkräfte durch Plus- oder Minuszeichen als Zug- oder Druckkräfte kennzeichnen. 7. Schritt Längen der Stabkräfte abgreifen und deren Beträge unterteilt nach Zug- und Druckkräften in eine Tabelle eintragen. Liegt ein Fachwerkstab in der Wirklinie einer äußeren Kraft wie im Knoten II, so ist die Stabkraft gleich der in Stabrichtung angreifenden Belastung, hier also FS3 = F1 = 4 kN. Trägt der Knoten in einem solchen Fall keine Belastung (F1 = 0), so nennt man den Stab einen Nullstab. Diese Nullstäbe nehmen erst bei elastischer Verformung Kräfte auf. Meist sollen sie die Knickgefahr langer Druckstäbe verringern.

1.8 Reibung 1.8.1 Gleitreibung

Arbeitsplan zur Aufzeichnung des Cremonaplans 1. Schritt Stützkräfte ermitteln (Fx = 0, Fy = 0, M() = 0). 2. Schritt Lageplan zeichnen und den Kraftfolgesinn (Umfahrungssinn) festlegen, z.B. Uhrzeigerdrehsinn. 3. Schritt Krafteck der äußeren Kräfte konstruieren, z.B. mit FA, F1, F2 , F3 , FB. 4. Schritt Mit dem gewählten Kraftfolgesinn die Kraftecke der Stabkräfte aneinander reihen, für jeden Knoten eins in beliebiger Reihenfolge.

Ein fester Körper, z.B. der Werkzeugträger einer Drehmaschine, kann auf ebener Unterlage mit konstanter Geschwindigkeit nur dann verschoben werden, wenn eine Kraft F die tangential zur Gleitfläche wirkende Reibkraft FR überwindet (Bild 77). Die Richtung der Reibkraft FR am frei gemachten Körper ist immer der (zu erwartenden) Bewegungsrichtung des Körpers entgegengesetzt. Die Reibkraft FR ist abhängig von der rechtwinklig zur Unterlage wirkenden Normalkraft FN und der Gleitreibzahl  (kurz Reibzahl): Gleitreibkraft FR = Normalkraft FN · Gleitreibzahl  FR = FN 

FR

FN



N

N

1

(64)

Bild 77. Gleitreibung auf ebener Fläche

1 Statik starrer Körper in der Ebene

C 31

Tabelle 2. Gleitreibzahl  und Haftreibzahl 0 (Klammerwerte sind die Gradzahlen für den Reibwinkel  bzw. 0) Haftreibzahl 0 trocken gefettet

Werkstoff Stahl auf Stahl Stahl auf Gusseisen oder CuSn-Leg Gusseisen auf Gusseisen Holz auf Holz Holz auf Metall Lederriemen auf Gusseisen Gummiriemen auf Gusseisen Textilriemen auf Gusseisen Bremsbelag auf Stahl Lederdichtung auf Metall

0,15 0,19

(8,5) (10,8)

0,5 0,7

(26,6) (35)

(31)

0,6

Die Gleitreibzahl  ist ein Erfahrungswert und abhängig von der Werkstoffpaarung, der Schmierung, der Flächenpressung und der Gleitgeschwindigkeit; letzteres hauptsächlich bei flüssiger Reibung. Ein gesetzmäßiger Zusammenhang dieser Größen lässt sich bei trockener und halbflüssiger Reibung nicht aufstellen. Man rechnet deshalb mit einer konstanten Gleitreibzahl nach Tabelle 2. Die Gleichgewichtsbedingungen für den frei gemachten Körper nach Bild 77 lauten: F = FR = FN = FG Fx = 0 = + F – FR Fy = 0 = + FN – FG FN = FG F h M(S) = 0 = l= R = – FRh + FN l FN F und FR bilden ein Kräftepaar, dem bei Gleichgewicht ein gleich großes Kräftepaar aus FG und FN entgegenwirkt. Die Wirklinie von FN muss deshalb um l gegenüber der Wirklinie von FG verschoben sein. Beachte: Normalkraft FN = Gewichtskraft FG gilt nur bei horizontaler Unterlage und dazu paralleler Kraft F. Bei allen zeichnerischen Lösungen ist es zweckmäßig, mit der Resultierenden aus Reibkraft FR und Normalkraft FN , der Ersatzkraft Fe , zu arbeiten (Bild 77): Fe =

FR2 + FN2

(65)

Der Winkel zwischen Ersatzkraft Fe und Normalkraft FN heißt Reibwinkel  (Zahlenwerte aus Tabelle 2). Aus dem Kräfteplan in Bild 77. lässt sich in Verbindung mit (64) ablesen: tan  =

FR = Reibzahl  FN

0,1 0,1 0,16 0,16 0,11 0,3

0,2

(5,7) (5,7) (9,1) (9,1) (6,3) (16,7)

(11,3)

(66)

(16,7) (26,6)

0,01 0,01 0,1 0,08 0,1

(0,6) (0,6) (5,7) (4,6) (5,7)

(21,8) (21,8) (26,6) (11,3)

0,4 0,12

(21,8) (6,8)

0,15 0,18

(8,5) (10,2)

0,3 0,5 0,4 0,4 0,5 0,2

1.8.2 Haftreibung Befindet sich der Körper in Bild 77 in Ruhe, ist eine größere Kraft aufzuwenden (FR0 > F ), um den Körper in Bewegung zu setzen: Die Haftreibkraft FR0 ist größer als die Gleitreibkraft FR(FR0 > FR). Man rechnet dann mit der etwas größeren Haftreibzahl 0 nach Tabelle 2. Während die Gleitreibkraft FR einen festen Wert besitzt, kann die Haftreibkraft FR0 von null ansteigend jeden beliebigen Wert annehmen, bis die verschiebende Kraft F den Grenzwert FR0 max erreicht hat: FR0 max ≤ FN 0

0 = tan 0 Haftreibzahl

FR0max FN N

N

0 1

(67)

1.8.3 Bestimmung der Reibzahlen und Selbsthemmung Befindet sich ein Prüfkörper der Gewichtskraft FG auf einer schiefen Ebene mit veränderlichem Neigungswinkelnach Bild 78 (Versuchsanordnung), ergeben die Gleichgewichtsbedingungen für den frei gemachten ruhenden Prüfkörper: Fx = 0 = + FR0 – FG sin  FR0 = FG sin  Fy = 0 = + FN – FG cos  FN = FG cos  FR0 FG sin α = = tan α , wie auch das FN FG cos α Krafteck zeigt.

Daraus folgt

 = arctan 

Gleitreibzahl  trocken gefettet

C 32

C Mechanik

Bild 78. Bestimmung der Reibzahl Es kann nun derjenige Winkelfestgestellt werden, bei dem der Prüfkörper gerade gleichförmig abwärts gleitet, dann ist nach (66) tan  = tan  = Gleitreibzahl  gefunden. Ebenso wird 0 ermittelt. Der Körper bleibt auf einer schiefen Ebene so lange in Ruhe, d.h. es liegt Selbsthemmung vor, so lange der Neigungswinkel  einen Grenzwinkel 0 nicht überschreitet. Selbsthemmungsbedingung: tan  tan  tan D d P0 U0 = arctan P0

(68)

1.8.4 Reibungskegel Ist die Haftreibzahl P0 (oder bei Gleiten des Körpers die Gleitreibzahl P) bekannt, ist nach (66) bzw. (67) auch der Reibwinkel U0 (U) gegeben und es kann der Reibungskegel nach Bild 79 gezeichnet werden. Dazu wird eine um den Reibwinkel U0 geneigte Gerade um die Pfeilspitze von FG gedreht. Der Körper bleibt so lange in Ruhe, wie die Resultierende Fres der äußeren Kräfte innerhalb des Reibungskegels liegt. Jede Mantellinie des Reibungskegels ist eine Wirklinie der aus Reibkraft FR0 und Normalkraft FN (hier FG = FN) zusammengesetzten Ersatzkraft Fe . Die Wirklinie dieser Ersatzkraft wird bei der zeichnerischen Lösung von Aufgaben mit Reibung immer gebraucht. Beispiele siehe Bild 82.

1.8.5 Anleitung zur zeichnerischen und rechnerischen Lösung von Aufgaben mit Reibung Bei der zeichnerischen Lösung wird die Überlegung benutzt, dass mit der Reibzahl P nach (66) auch der Reibwinkel U bekannt ist. Damit lässt sich die Wirklinie der Ersatzkraft Fe zeichnen. Zweckmäßig fertigt man eine Lösungsskizze an, in der zuerst die Reibkraft FR und die Normalkraft FN zur Ersatzkraft Fe vereinigt werden (FR A FN). Der Winkel zwischen FN und Fe ist der Reibwinkel U. Bei der rechnerischen Lösung wird in allen Gleichungen nach (64) FR = FN P gesetzt. Dann ergeben sich meist Gleichungen mit einer Unbekannten.

Bild 79. Reibungskegel FG F Fres FN Fe „

Gewichtskraft des Körpers Verschiebekraft Resultierende aus F und FG Normalkraft, FR0 Haftreibkraft Ersatzkraft (Resultierende) aus FN und FR0

Beispiel:

Zwei glatte Holzbalken liegen in horizontaler Stellung aufeinander, der untere festgeklemmt. Die Gewichtskraft FG des oberen Körpers beträgt 500 N. Um ihn aus der Ruhelage anzuschieben, ist eine parallel zur Auflagefläche wirkende Kraft von F0 = 250 N erforderlich. Beim gleichförmigen Weiterschieben sinkt die Kraft auf F = 150 N. Gesucht: Haft- und Gleitreibzahl für Holz auf Holz. Lösung:

F0 = FR0max = FN P0 = FG P0

P0 =

F0 250 N = = 0,5 FG 500 N

F = FR = FN P = FG P

P=

„

F 150 N = = 0,3 FG 500 N

Beispiel:

Der Kreuzkopf einer Dampfmaschine drückt im Betrieb mit einer mittleren Normalkraft von 3 500 N auf seine Gleitbahn. Die Drehzahl der Maschine beträgt 150 min–1, der Kolbenhub H = 500 mm. Reibzahl 0,06. Gesucht: a) die mittlere Geschwindigkeit des Kreuzkopfes, b) die Reibkraft am Kreuzkopf, c) der Leistungsverlust infolge Reibung.

Lösung:

a) v =

s 2⋅150⋅0,5 m m = 2nH = = 2,5 t 60 s s

b) FR = FN P = 3 500 N ˜ 0,06 = 210 N c) Reibleistung PR = FRv = 210 N ˜ 2,5

m Nm = 525 = 525 W s s

1 Statik starrer Körper in der Ebene „

C 33

Beispiel: Die Kurbelwelle einer Brikettpresse hat 24 000 N Gewichtskraft. Ihre Lagerzapfen haben 410 mm Durchmesser. Die Welle trägt ein Schwungrad von 102 000 N Gewichskraft; am Kurbelzapfen nimmt sie 7 000 N der Schubstangengewichtskraft auf. Die Zapfenreibzahl beträgt beim Anfahren 0,08.

Gleichgesetzt:

a) Wie groß ist die gesamte Reibkraft am Lagerzapfenumfang beim Anfahren? b) Welches Drehmoment ist zur Überwindung der Reibung erforderlich?

FN =

Lösung: a) FR  = FG  = (24 000 + 102 000 + 7 000) N 0,08 = 10 640 N b) M = FRr = 10 640 N 0,205 m = 2 181 Nm „

Beispiel: Auf den Kolben eines senkrecht stehenden Dieselmotors wirkt ein Druck von 10 bar = 10 105 N/m2, wobei die Pleuelstange um  = 12º zur Senkrechten geneigt ist. Kolbendurchmesser 400 mm; Reibzahl zwischen Kolben und Zylinderwand 0,1. Gesucht: a) die Kolbenkraft Fk; b) die Normalkraft FN zwischen Kolben und Zylinderwand; c) die Reibkraft FR an der Zylinderwand; d) die Druckkraft Fs in der Pleuelstange.

Lösung:

N π ⋅ ⋅(0,4 m)2 = 125 700 N m2 4 b) Aus Bild 10 lassen sich die beiden Gleichgewichtsbedingungen ablesen: a) Fk = pAk = 10 105

I. Fx = 0 = + Fk – FR – Fscos

Fs =

Fk − FN µ  cosα

II. Fy = 0 = + FN – Fs sin

Fs =

FN  sin α

Fk – FN  = FN

1 cos α = FN tan α sin α

 1  1+ µ tan α   + µ  = FN  Fk = FN   tan α   tan α  125 700 N⋅0,2126 Fk tan α = = 26 170 N 1+ 0,1⋅0,2126 1+ µ tan α

c) FR = FN  = 26 170 N 0,1 = 2 617 N d) Fs =

FN 26 170 N = = 125 900 N sin α 0,2079

1.8.6 Reibung auf der schiefen Ebene

(Bild 80)

Auf der unter Winkel geneigten schiefen Ebene befindet sich ein Körper mit der Gewichtskraft FG. Gegeben: Neigungswinkel  > , Gewichtskraft FG, Reibzahl  (Reibwinkel ); gesucht: die parallel zur Ebene wirkende bzw. waagerechte Kraft F. In allen Fällen der Ruhe oder gleichförmigen Bewegung des Körpers müssen die Kräfte F, FG und Fe (= Ersatzkraft von Reibkraft FR und Normalkraft FN) ein geschlossenes Krafteckt bilden. Die Berechnungsgleichungen (69) bis (72) können aus den Krafteckskizzen direkt abgelesen werden. Kraft F wirkt in Richtung der Ebene (Bild 80a und 80b).

Kraft F zum gleichförmigen Aufwärtsgang (+) und Abwärtsgang (–) F = FG

sin(α ± ρ) = FG (sin r P cosD) cos ρ (69)

Kraft F zum Halten des Körpers F = FG

sin(α − ρ0 ) = FG (sinD – P0 cosD) cos ρ0 (70)

Bild 80. Reibung auf der schiefen Ebene FG Gewichtskraft des Körpers oder Resultierende aller Belastungen F Verschiebe- oder Haltekraft FR Reibkraft FN Normalkraft Fe Ersatzkraft

C 34

C Mechanik

Kraft F wirkt waagerecht (Bild 80c und 80d) Kraft F zum gleichförmigen Aufwärtsgang (+) und Abwärtsgang (–) sin α ± µ cos α (71) F = FG tan ( ± ) = FG cos α B µ sin α

Wird II. in III. eingesetzt, so ergibt sich F=2

F=

Kraft F zum Halten des Körpers sin α − µ0 cos α F = FG tan ( – 0) = FG cos α + µ0 sin α

(72)

Ist der Neigungswinkelgleich oder kleiner als der Reibwinkel  (  ) oder kleiner als 0, liegt Selbsthemmung vor. In den Gleichungen für die Abwärtsbewegung und das Halten des Körpers wird die Kraft F negativ (bei   ), d.h. zur Abwärtsbewegung muss eine abwärts gerichtete Kraft eingesetzt werden und zum Halten ist überhaupt keine Kraft erforderlich (  0), oder F wird gleich null ( = 0), d.h. der ruhende Körper bleibt allein gerade noch in Ruhe und der abwärts gleitende Körper gleitet allein weiter ( = ). Die Krafteckskizzen in Bild 80a und c sind für den Fall der gleichförmigen Aufwärtsbewegung gezeichnet; bei der Abwärtsbewegung würde sich die Richtung der Reibkraft FR umkehren und es könnten die entsprechenden Gleichungen mit negativem Vorzeichen (69 und 71) ebenfalls direkt abgelesen werden. Die beiden Formeln in (69) und (70) ergeben sich bei Verwendung von tan  =  in Verbindung mit den entsprechenden Summenformeln der Trigonometrie wie sin ( +  ) = sincos + cos sin (siehe Mathematik). Die rein rechnerische Behandlung mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen Fx = 0; Fy = 0 liefert die gleichen Beziehungen, jedoch ist der mathematische Aufwand größer.

F1 µ , also die Verschiebekraft 2sin α

µ F1 = 'F1 sin α

(73)

Darin ist die Keilnut-Reibzahl

' =

µ

(74)

sin α

1.8.7.2 Zylinderführung (Bild 82). Die Führungsbuchse klemmt sich fest, solange die Wirklinie der resultierenden Verschiebekraft F durch die Überdeckungsfläche der beiden Reibungskegel geht. Dann stehen die Stützkräfte (= Ersatzkräfte aus Reibkraft FR und Normalkraft FN) mit der Kraft F im Gleichgewicht; ihre Wirklinien schneiden sich in einem Punkt, der innerhalb der Überdeckungsfläche liegt. Die drei Gleichgewichtsbedingungen ergeben: I. Fx = 0 = + FR1 + FR2 – F II. Fy = 0 = + FN1 – FN2 also FN1 = FN2 und damit auch FR1 = FR2 III. M(II) = 0 = – FR1d + FN1l – F(la – d /2) Mit FR = FN  und F = 2 FR aus Gleichung I wird Gleichung III weiterentwickelt:  d III. FN  d – FN l + 2FN  la –  = 0  2

 d – l + 2 la – 2

d =0 2

1.8.7 Reibung in Getrieben 1.8.7.1 Keilnutreibung (Bild 81).

Bild 81. Keilnutreibung; Schlitten frei gemacht F1 Resultierende aller Belastungen Die Anwendung der drei Kraft-Gleichgewichtsbedingungen für den frei gemachten Schlitten liefert: I. Fx = 0 = FN cos– FN cos II. Fy = 0 = 2 FN sin – F1

FN =

III. Fz = 0 = F – 2FR = F – 2FN 

F1 2sin α

Bild 82. Kräfte an einer Zylinderführung

1 Statik starrer Körper in der Ebene

C 35

Daraus ergibt sich die Führungslänge l = 2 la

l la mm mm

 1

(75)

sin δ sin(α + ρ2 + ρ3 ) F = = = Fe2 sin ε sin(90°− ρ3 )

=

Bei l < 2  laklemmt sich die Buchse fest, bei l > 2 la gleitet sie. Festklemmen oder Gleiten ist unabhängig von der verschiedenden Kraft F. 1.8.7.3 Keilgetriebe (Bild 83). Durch Verschieben des Keiles 2 in Richtung der Kraft F wird der mit F1 belastete Stößel 1 angehoben. Zeichnerisch und rechnerisch soll die Verschiebekraft F bestimmt werden. Gegeben: F1, Reibzahlen 1, 2 , 3 und Winkel . Zeichnerische Lösung: Zuerst sind die Lagepläne der frei gemachten Teile 1 und 2 zu zeichnen. Da F1 gegeben ist, wird mit Stößel 1 begonnen. Auf ihn wirken die drei Kräfte F1, Fe1, Fe2 , letztere sind die Ersatzkräfte aus Reibkraft und Normalkraft. Aus  = tan  sind die Reibwinkel 1 und 2 bekannt, sodass die Wirklinien der Ersatzkräfte Fe1, Fe2 festliegen. Wird im Kräfteplan die gegebene Kraft F1 hingelegt, kann durch Parallelverschiebung der Wirklinien der Ersatzkräfte das geschlossene Krafteck 1 gezeichnet werden. Fe2' = – Fe2 ist die Reaktionskraft von Fe2. Im gesamten Getriebe sind beides innere Kräfte, also gleich groß, gegensinnig und auf gemeinsamer Wirklinie liegend. Mit 2 und 3 sind am Keil 2 die Wirklinien der dort angreifenden Ersatzkräfte Fe2' , Fe3 bekannt, sodass durch Parallelverschiebung der Wirklinien von Fe3 und F das Krafteck 2 an 1 angeschlossen werden kann. Die Zerlegung der Ersatzkräfte Fe in Reibkraft FR und Normalkraft FN vervollständigt den Kräfteplan. Die gesuchte Verschiebekraft F kann daraus abgegriffen werden.

sin(α + ρ2 + ρ3 ) . Daraus wird cos ρ3

 sin(α + ρ2 + ρ3 )  cos ρ1 F  = F1 (cos ρ3 ) cos (α + ρ1 + ρ2 ) Daraus ergibt sich die Verschiebekraft F = F1

sin(α + ρ2 + ρ3 ) cos ρ1 cos(α + ρ1 + ρ2 ) cos ρ3

Mit gleichen Reibzahlen wird 1 = 2 = 3 und die Verschiebekraft F = F1

sin(α + 2 ρ) cos ρ = F1tan ( + 2) cos(α + 2 ρ) cos ρ

cos (α + ρ1 + ρ2 ) und cos ρ1

(77)

Ohne Reibung wäre die ideelle Verschiebekraft Fi = F1 tan. Damit ergibt sich der Wirkungsgrad des Keilgetriebes beim Heben der Last



=

Fi F1 tan α = = F F1 tan (α + 2 ρ)

=

tan α tan (α + 2 ρ)

Rechnerische Lösung: Neben der analytischen Lösung mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen Fx = 0; Fy = 0 wird häufig von der Möglichkeit Gebrauch gemacht, das Krafteck zu skizzieren (Krafteckskizze) und trigonometrisch auszuwerten, z.B. wie hier mit dem Sinussatz. Aus Bild 83 liest man ab: F1 sin β sin[90°− (α + ρ1 + ρ2 )] = = = Fe2 sin γ sin(90°+ ρ1 ) =

(76)

Bild 83. Keilgetriebe Kräfte beim Anheben des Stößels

(78)

C 36

C Mechanik

Die Haltekraft F', die ein Herausdrücken des Keils verhindert, ist F' = F1 tan ( – 2)

(79)

Im Grenzfall  = 0 ist der Wirkungsgrad

η=

tan α ≈ 0,5 tan 2α

(84)

Ist der Neigungswinkel  < 20, so wird F' negativ, d.h. das Keilgetriebe ist selbsthemmend; um es zu lösen, muss eine Kraft F' den Keil herausziehen. 1.8.7.4 Schraube

1.8.7.4.1 Bewegungsschraube mit Rechteckgewinde (Bild 84.). Das Anziehen (Heben der Last) oder Lösen (Senken der Last) einer Bewegungsschraube entspricht dem Hinaufschieben oder Herabziehen einer Last auf einer schiefen Ebene durch eine waagerechte Umfangskraft, wie es in den Bildern 80c und 80d dargestellt ist. Es bezeichnet F Schraubenlängskraft = Vorspannkraft in der Schraube; Fu Umfangskraft, angreifend am Flankenradius r2; FR Reibkraft im Gewinde; FN Normalkraft;Steigungswinkel der mittleren Gewindelinie; P Steigung der Schraubenlinie;  Reibwinkel; tan =  = Reibzahl im Gewinde. In den Gewindenormen heißt der Flankendurchmesser d2. tan

P P =  2π r2 π d 2

Bild 84. Kräfte am Flachgewindegang und Schraubenlängskraft am Gang eines Spitzgewindes

(80)

Unter Verwendung der hier gültigen Formelzeichen wird nach (71) die Umfangskraft beim Anziehen (+) und beim Lösen (–) der Schraube Fu = F tan( ± )

(81)

Die Umfangskraft Fu wirkt am Flankenradius r2 als Hebelarm; somit ergibt sich das erforderliche Drehmoment beim Anziehen (+) und beim Lösen (–) der Schraube M = Fu r2 = F tan ( ± ) r2

(82)

Ohne Reibung ( = 0) wäre die ideelle Umfangskraft Fi = F tan . Damit ergibt sich der Wirkungsgrad der Bewegungsschraube

=

Fi F tan α = Fu F tan (α + ρ)

η=

tan α tan (α + ρ)

beim Anziehen oder Heben der Mutter durch die Schraube

η=

tan (α − ρ) tan α

(83)

beim Absinken der Mutter (absinkende Mutter dreht Schraube)

Selbsthemmung tritt auf bei   0, das Drehmoment M wird dann negativ oder null; negatives M muss dann zum Lösen (Senken) aufgebracht werden.

Bild 85. Befestigungsschraube FV Vorspannkraft, Fh Handkraft, FRA Auflagereibkraft

1.8.7.4.2 Bewegungsschraube mit Spitz- und Trapezgewinde. Nach Bild 84 ist die rechtwinklig zur Fläche des Gewindegangs stehende Komponente der Schraubenlängskraft F die Normalkraft FN = F / cos (  / 2). Die Reibung im Gewinde ist damit größer als beim Flachgewinde: FN µ = µ

F cos

Man setzt nun

µ cos

β 2

β

(85)

2

= µ ' = tan ρ '

(86)

1 Statik starrer Körper in der Ebene

C 37

und kann damit die oben für das Rechteckgewinde aufgestellten Beziehungen (81) bis (83) auch für Schrauben mit Spitz- oder Trapezgewinde benutzen, wenn man  durch ' bzw.  durch ' ersetzt. Für Trapezgewinde nach DIN 103 ist  = 30º ' = 1,04 

1.8.8 Lagerreibung 1.8.8.1 Tragzapfenreibung, Querlager (Bild 86) Die mittlere Flächenpressung im Lager beträgt

pm =

Für Metrisches ISO-Gewinde nach DIN 13 ist  = 60º ' = 1,15  1.8.7.4.3 Befestigungsschraube mit Spitzgewinde. Durch das Anziehen der Mutter(oder der Schraube) nach Bild 85 mit dem Anziehdrehmoment (87)

MA = Fh l

wird in der Schraubenverbindung die Schraubenlängs- (Vorspann-)kraft FV erzeugt. Sie presst die verbindenden Teile aufeinander. Dem Anziehdrehmoment MA wirken das Gewindereibmoment MRG und das Auflagereibmoment MRA entgegen. Bild 85 zeigt die Auflagereibkraft FRA mit einem angenommenen Wirkabstand rA = 1,4 r für Sechskantmuttern, r = d/2 mit d = Gewindeaußendurchmesser. Die Auflagereibkraft FRA wird mit A als Reibzahl der Mutterauflage: FRA = FV A und damit das Auflagereibmoment MRA = FV A rA

(88)

Wird Gleichung (81) für das Gewindereibmoment MRG eingesetzt, ergibt sich das Anziehdrehmoment zum Anziehen (+) und zum Lösen (–) einer Schraubenverbindung MA = FV [r2 tan ( ± ' ) + A rA]

(89)

Für Gewinde mit metrischem Profil (Stahl auf Stahl) setzt man für Überschlagsrechnungen: ' = tan' = 0,25; ' =14º und A = 0,15; ebenso für rA = 1,4 r „

Beispiel: Die Zylinderkopfschrauben M10 eines Verbrennungsmotors sollen mit einem Drehmoment von 60 Nm angezogen werden. Die Reibzahl an der Kopfauflage sei 0,15, im Gewinde beträgt sie ' = 0,25. Mit welcher Kraft presst jede Schraube den Zylinderkopf auf den Zylinderblock?

pm

F dl

N mm 2

F

d, l

N

mm

(90)

Bei trockener (Anlauf) und halbflüssiger Reibung verlagert sich der Angriffspunkt von F' = F um l entgegen der Drehrichtung. Die Reibkraft ist dann FR = P FN = FN tanU = F sinU. Setzt man sin U = P = Zapfenreibzahl, wird das dem Wellendrehmoment entgegengerichtete Reibmoment MR = F P r

MR

F

P

r

Nm

N

1

m

(91)

Dreht sich der Lagerzapfen mit der Umfangsgeschwindigkeit v = Z r = 2S n r (mit Z Winkelgeschwindigkeit, r Zapfenradius, n minutlicher Dehzahl), beträgt die Reibleistung PR = MR Z = PR Nm s

W

F µr π n 30

MR

Z

F

r

Nm

1 s

n

N

m min–1

(92)

Zapfenreibzahl P ist empirisch zu bestimmen. Bei flüssiger Reibung (siehe I Maschinenelemente) trennt ein Schmiermittelfilm Zapfen- und Schalenwerkstoff; es bildet sich ein Ölkeil aus, der den Zapfen aus der Mittellage in Drehrichtung verlagert (im Gegensatz zur trockenen Reibung). Tatsächlich sind die Verhältnisse bei der Lagerreibung sehr kompliziert, weil sich keine Gesetzmäßigkeiten zur Druckverteilung und Zapfenreibzahl aufstellen lassen.

Lösung: Für M10 ist nach I Maschinenelemente, Tabelle 7, r2 | 4,5 mm und D = 3,03º

P' = tan U' = 0,25;

U' =14º

tan (D + U' ) = 0,306; ra = 1,4 r = 7 mm MA FV = r2 tan(α + ρ ') + µA rA FV =

60⋅103 Nmm 4,5 mm⋅0,306 + 0,15⋅7 mm

FV = 24 722 | 24,7 kN

Bild 86. Kräfte bei trockener Tragzapfenreibung

F Wellenlast, FN Normalkraft, FR Lagerreibkraft, M Wellendrehmoment, MR Reibmoment

C 38

C Mechanik

1.8.8.2 Spurzapfenreibung, Längslager (Bild 87). Die Wirklinie der Belastung F fällt mit der Drehachse der Welle zusammen. Den Wirkabstand der Reibkraft FR nimmt man mit rm = (r1 + r2) / 2 an. Wie bei der Tragzapfenreibung rechnet man mit Reibkraft FR = F, worin  die Spurzapfenreibzahl ist, die ebenfalls empirisch bestimmt werden muss. Damit wird das Reibmoment

MR = F rm

MR

F



rm

Nm

N

1

m

(93)

und die Reibleistung PR = MR = PR Nm =W s

I.

Fx

= 0 = + F – FR

F = FR

II.

Fy

= 0 = +FN – F1

FN = F1

III. M(D) = 0 = –Fr + F1 f daraus die Rollkraft F = F1

f r

F

F1

N

N

f

r

cm cm

(95)

Nach Bild 88 wurde für die Höhe h der Radius r eingesetzt, was bei metallischen Wälzkörpern auf metallischer Unterlage wegen der geringen Eindringtiefe zulässig ist.

F µ rm π n 30

MR

 F rm

Nm

1 s

n

N m min–1

(94)

Meistens wird der Zapfen nach Bild 87 zentrisch ausgespart, um den in Richtung der Drehachse wachsenden Druckanstieg zu vermeiden. Die Bohrung kann der Schmiermittelzufuhr dienen. Für den Vollspurzapfen wird rm = (0 + r2) / 2 = r2 / 2 in die Gleichungen eingesetzt.

Bild 88. Rollreibung; Rollkörper auf ebener Fahrbahn F1 Belastung, F treibende Kraft, FN Normalkraft, FR Rollwiderstand

Der Wert „ f “ in cm wird als Hebelarm der Rollreibung bezeichnet; er ist ein reiner Erfahrungswert. Für Stahlräder auf Stahlschienen setzt man f | 0,05 cm, für gehärtete Stahlkugeln auf Laufringen f | 0,0005 bis 0,001 cm. Damit kein Gleiten auftritt, muss der Rollwiderstand FR kleiner sein als die Haftreibung zwischen Rollkörper und Fahrbahn. Rollbedingung: FR < P0 FN oder

f < P0 r

(96)

1.8.10 Fahrwiderstand Bild 87. Spurzapfenreibung

1.8.9 Rollreibung (Rollwiderstand)

Die Haftreibung zwischen Rollkörper (Rad, Walze, Kugel) und ebener Fahrbahn verursacht das Rollen. Der Rollkörper drückt sich etwas in die Fahrbahn ein, sodass zur Überwindung des Rollwiderstands FR bei konstanter Geschwindigkeit des Körpers eine treibende Kraft F erforderlich wird. Nach Bild 88 steht die Resultierende Fres aus Last F1 und Rollkraft F im Gleichgewicht mit der Ersatzkraft Fe aus Rollwiderstand FR (Rollreibung) und Normalkraft FN. Die Gleichgewichtsbedingungen lassen sich ablesen:

Wird ein Fahrzeug mit konstanter Geschwindigkeit auf horizontaler Fahrbahn fortbewegt, ist, abgesehen vom Luftwiderstand, außer dem Rollwiderstand noch der durch Lagerreibung entstehende Widerstand zu überwinden. Man fasst beide zusammen zum Fahrwiderstand Ff = Fn P f

Ff

P f FN

N

1

N

(97)

Darin sind FN die gesamte Normalkraft (Anpresskraft) des Fahrzeugs; bei horizontaler Bahn ist FN die Gesamtgewichtskraft FG des Fahrzeugs; P f ist die Fahrwiderstandszahl; hierfür kann nach Tabelle 3 gesetzt werden:

1 Statik starrer Körper in der Ebene

C 39

Tabelle 3. Fahrwiderstandszahlen  f Eisenbahn Straßenbahn mit Wälzlagern Straßenbahn mit Gleitlagern Kraftfahrzeuge auf Asphalt Drahtseilbahnen

F1 = F2 e 0,0025 0,005 0,018 0,025 0,01

(99)

 Reibzahl zwischen Zugmittel und Scheibe;  = 2 º / 360º =  º /57,3º Umschlingungswinkel

im Bogenmaß.

Damit kein Gleiten auftritt, muss der Fahrwiderstand Ff kleiner sein als die Haftreibung zwischen Rad und Fahrbahn. Rollbedingung bei horizontaler Bahn: Ff < 0 FN

(98)

f < 0

Bild 89. Seilreibung

Am umspannten Teil der Scheibe beträgt die Seilreibung

Bei geneigter Fahrbahn wird die Zugkraft am Fahrzeug meist stärker durch die Abtriebskomponente der Gewichtskraft beeinflusst als durch den Fahrwiderstand. 1.8.11 Seilreibung

(Bild 89) liegt vor, wenn um eine gegen Drehung gesicherte Scheibe ein vollkommen biegsames Zugmittel liegt. Durch die Reibkraft FR zwischen Zugmittel und Scheibe wird die Spannkraft F1 größer als die Gegenkraft F2. Bei Gleichgewicht ist

FR = F1 – F2 = F2(e – 1) = F1 FR , F1, F2 e N 1

e µα −1 e µα

(100)

Die Seilreibkraft FR ist die größte Umfangskraft, die eine Seil-, Band- oder Riemenscheibe zu übertragen vermag. Die e-Werte können mit der ln-Taste oder mit der ex-Taste ermittelt werden. Die Werte in Tabelle 4 dienen der Kontrolle und geben einen Überblick zum Funktionsverlauf für y = e.

Tabelle 4. Werte für e in Abhängigkeit vom Umschlingungswinkelund von der Reibzahl  º

36 0,2  72 0,4  108 0,6  144 0,8  180 1,0  216 1,2  252 1,4  288 1,6  324 1,8  360 2,0  540 3  720 4  900 5  1 080 6  1 260 7  1 440 8  1 620 9  1 800 10  „

Reibzahlen  0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 1,065 1,099 1,134 1,170 1,207 1,246 1,134 1,207 1,286 1,369 1,458 1,552 1,207 1,327 1,458 1,602 1,760 1,934 1,286 1,458 1,653 1,874 2,125 2,410 1,369 1,602 1,874 2,193 2,566 3,003 1,458 1,760 2,125 2,566 3,099 3,741 1,552 1,934 2,410 3,003 3,741 4,662 1,653 2,125 2,733 3,514 4,518 5,808 1,760 2,336 3,099 4,111 5,455 7,237 1,874 2,566 3,514 4,810 6,586 9,017 2,566 4,111 6,586 10,55 16,90 27,08 3,514 6,586 12,35 23,14 43,38 81,31 4,810 10,55 23,14 50,75 111,3 244,2 6,586 16,90 43,38 111,3 285,7 733,1 9,017 27,08 81,31 244,2 733,1 2 202 12,35 43,38 152,4 535,5 1 881 6 611 16,90 69,49 285,7 1 174 4 829 19 850 23,14 111,3 535,5 2 576 12 390 59 610

 0,05

1,032 1,065 1,099 1,134 1,170 1,207 1,246 1,286 1,327 1,369 1,602 1,874 2,193 2,566 3,003 3,514 4,111 4,810

Beispiel:

„

Um einen horizontal feststehenden Zylinder ist ein Hanfseil viermal geschlungen. Welche Last FG darf das eine Ende des Seiles höchstens tragen, wenn am anderen Ende eine Handkraft von 150 N die Last bei 0 = 0,3 halten soll?

0,4 1,286 1,653 2,125 2,733 3,514 4,518 5,808 7,468 9,602 12,35 43,38 152,1 535,5 1 881 6 611 23 230 81 610 286 800

0,45 1,327 1,760 2,336 3,099 4,111 5,455 7,237 9,602 12,74 16,90 69,49 285,7 1 174 4 829 19 850 81 610 335 500 1 379 000

0,5 1,369 1,874 2,566 3,514 4,810 6,586 9,017 12,35 16,90 23,14 111,3 535,5 2 576 12 390 59 610 286 800 1 379 000 6 636 000

Beispiel: Das Lastseil eines 4-fach umschlungenen Spillkopfes soll eine Zugkraft von 5 000 N aufbringen. Mit welcher Handkraft muss das Seil gezogen werden und welche Umfangskraft am Spillkopf hat der Antriebsmotor aufzubringen? 0 = 0,15.

Lösung:

Lösung:

Handkraft

F2 = 150 N

F1 = FG

0

F1 = F2 e

0,3 8

= 150 N e

F1 = FG = 282 300 N

= 150 N 1 882

F2 =

F1 5 000 N 5000N = = = 115 N 43,38 e µ0α e0,15⋅8 π

Umfangskraft Fu = F1 – F2 = = 5 000 N – 115 N = 4 885 N

C 40

C Mechanik

1.8.12 Rollen und Flaschenzüge 1.8.12.1 Feste Rolle (Leit- oder Umlenkrolle). Durch die Reibung zwischen Rolle und Rollenbolzen und infolge des Biegewiderstands des Seils ist zum Heben der Last F1 in Bild 90 eine Zugkraft F > F1 erforderlich. Diese Erfahrung wird im Wirkungsgrad der festen Rolle  f erfasst, der das Verhältnis vom Nutzen zum Aufwand ausdrückt. Für einen beliebigen Weg s der Last F1 und der Zugkraft F ist damit der Wirkungsgrad der festen Rolle

f =

F1s F1 = Fs F

der liegen. In Bild 92 wirkt F nach oben, das freie Seilende läuft von einer losen Rolle ab. Soll F nach unten gerichtet sein, muss das Seil noch über die Umlenkrolle (linkes Bild) geführt werden. Es läuft dann von einer festen Rolle ab.

(101)

 f für Ketten und Seile | 0,96 bei Gleitlagerung und | 0,97 bis 0,98 bei Wälzlagerung.

n=3

Bild 90. Feste Rolle

Bild 92. Flaschenzug mit n = 3 und n = 4 Rollen

Bild 91. Lose Rolle

1.8.12.2 Lose Rolle (Bild 91). Die am Rollbolzen hängende Last F1 verteilt sich auf zwei Seilenden; es ist der Kraftweg sf = 2 · Lastweg sg (Übersetzung i = 2). Nach (101) ist F = F0 /K f , außerdem F1 = F + F0 und damit der Wirkungsgrad K L der losen Rolle:

KL = =

F1sg Fsf

=

( F + F0 ) sg

F + Fηf 2F

F 2 sg =

1+ η f

n=4

=

Bezeichnet n die Rollenzahl des Flaschenzugs (ohne Umlenkrolle), so ist die Zahl der tragenden Seilstränge immer n + 1. Der Kraftweg sf = Länge des ablaufenden Seils ist demnach: sf = (n + 1) sg

(104)

Ohne Verluste ist die Zugkraft F0 = F1/(n + 1). Mit Kr = Wirkungsgrad des Rollenzugs ergibt sich die Zugkraft

(102)

F=

2

F1

(105)

ηr (n +1)

Seil läuft von loser Rolle ab und die Zugkraft F1 F= η f +1

(103)

Läuft das Seil von einer festen Rolle (Umlenkrolle) ab, ist noch der Wirkungsgrad der festen Rolle Kf zu berücksichtigen:

Mit K f = 0,95 wird K L = (1 + 0,95) / 2 = 0,975; d.h. der Wirkungsgrad der losen Rolle ist günstiger als derjenige der festen Rolle. In der Praxis rechnet man jedoch für beide mit K f = K L = K = 0,95. 1.8.12.3 Flaschenzüge (Rollenzüge) sind Übersetzungsmittel zwischen Zugkraft F und Last F1 (Bild 92). Die festen und losen Rollen sind in den Flaschen gelagert und können untereinander oder nebeneinan-

F=

F1

(106)

ηr ηf (n +1)

Seil läuft von fester Rolle (Umlenkrolle) ab Tabelle 5. Wirkungsgrad Kr des Rollenzugs in Abhängigkeit von der Rollenzahl (ohne Umlenkrolle) n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Kr 0,975 0,951 0,927 0,904 0,881 0,859 0,838 0,817 0,796 0,776

1 Statik starrer Körper in der Ebene

C 41

1.8.13 Bremsen

In den Skizzen erscheinen die Bauteile nicht frei gemacht im Sinn von Kapitel 1.1.6. (F Bremskraft, M Bremsmoment, P Wellenleistung). Backenbremse mit überhöhtem Drehpunkt D (Bild 93) (l ± µ l2 ) F = FN 1 (107) l (+) bei Rechtslauf, (–) bei Linkslauf Selbsthemmung bei Linkslauf, wenn l1 <  l2 ist.

Einfache Bandbremse (Bild 96) l M = FRr = Fr (e – 1) l1

(110)

Bild 96. Einfache Bandbremse

Bild 93. Backenbremse mit überhöhtem Drehpunkt D; Kräfte auf den Hebel

Backenbremse mit unterzogenem Drehpunkt D (Bild 94) (l B µ l2 ) F = FN 1 l (–) bei Rechtslauf, (+) bei Linkslauf

Die Normalkraft FN in (107) bis (109) ist entweder aus den Gleichgewichtsbedingungen am frei gemachten Hebel zu ermitteln oder aus gegebenem Bremsmoment M = FRr = FN  r.

Summenbremse (Bild 97) (108)

M = FRr = Fr

l e µα −1 l1 e µα +1

(111)

Selbsthemmung tritt auf bei Rechtslauf, wenn l1 <  l2 ist.

Bild 97. Summenbremse Bild 94. Backenbremse mit unterzogenem Drehpunkt D; Kräfte auf den Hebel

Backenbremse mit tangentialem Drehpunkt D (Bild 95) l F = FN 1 l Selbsthemmung tritt nicht auf.

Bild 95. Backenbremse mit tangentialem Drehpunkt D; Kräfte auf den Hebel

Differenzbremse (Bild 98) (109)

M = FRr = Flr

e µα −1

l2 − l1 e µα

Bild 98. Differenzbremse

(112)

C 42

C Mechanik

Bremszaum (Bild 99) P=

„

FG l n

P

FG

l

n

9550

kW

N

m

min–1

(113)

Beispiel: Eine Backenbremse nach Bild 93 besitzt folgende Maße: l = 870 mm; l1 = 120 mm; l2 = 80 mm; r = 190 mm. Bei Rechtslauf der Bremsscheibe mit n = 400 U/min soll eine Leistung von P = 10 kW abgebremst werden.

Gesucht: a) das erforderliche Bremsmoment, b) die Reibkraft am Scheibenumfang, c) die Normalkraft an der Bremsbacke bei  = 0,5, d) die erforderliche Gewichtskraft FG und die Stützkraft FD im Hebellager D.

Lösung:

P 10 Nm = = 9550⋅ 400 n = 238,75 Nm

a) Bremsmoment M = 9550

b) Reibkraft FR =

c) Normalkraft FN =

Bild 99. Bremszaum

Bandbremszaum (Bild 100). Die Bandkräfte F und FG werden mit Federwaage und Zuggewicht gemessen. Daraus die Wellenleistung (114) P=

(FG − F ) r n 9550

M 238,75 Nm = = 1257 N 0,19 m r

P FG , F r kW

N

n

m min–1

(114)

FR

µ

=

1257 N = 2514 N 0,5

d) Gewichtskraft FG = F = FN

= 2514 N⋅

(l1 + µ l2 ) = l (120 + 0,5⋅80) mm = 462 N 870 mm

Aus den Gleichgewichtsbedingungen für den frei gemachten Bremshebel wird die Stützkraft FD berechnet: I. Fx = 0 = + FR – FDx FDx = FR = 1 257 N II. Fy = 0 = + FN – F – FDy FDy = FN – F = 2 514 N – 462 N = 2 052 N III. M = 0; hier nicht mehr nötig FD = (1257 N) 2  (2052 N) 2 = 2 406 N

Bild 100. Bandbremszaum

1 Allgemeines

D1

D Festigkeitslehre Alfred Böge, Gert Böge

Formelzeichen und Einheiten

A a b R d d0 d1 d E e1 e2 F F' FK f FG G H h I Ia, Ix, Iy Ip Ixy II, III Is i l lr M Mb MT S n P

mm2, cm2, m2 mm mm N N , mm m mm mm mm mm N mm 2 mm mm N N N mm N N mm 2 mm mm mm4, cm4 mm4 mm4 mm4 mm4 mm4 mm mm km Nmm, Nm Nmm, Nm Nmm, Nm mm2, cm2, m2 1 = min−1 min W, kW

Flächeninhalt, Fläche, Oberfläche, AM Momentenfläche Abstand Stabbreite Federrate Stabdurchmesser ursprünglicher Stabdurchmesser Durchmesser des geschlagenen Nietes = Nietlochdurchmesser Durchmesserabnahme oder -zunahme Elastizitätsmodul Entfernung der neutralen Faser von der Druckfaser Entfernung der neutralen Faser von der Zugfaser Kraft, Belastung, Last, Tragkraft Belastung der Längeneinheit, Streckenlast Knickkraft (nach Euler) Durchbiegung Gewichtskraft Schubmodul Gesamthöhe eines Querschnitts Höhe allgemein, Stabhöhe axiales Flächenmoment 2. Grades auf die Achse a oder x oder y bezogenes Flächenmoment 2. Grades polares Flächenmoment 2. Grades Zentrifugal- oder Fliehmoment Hauptflächenmomente 2. Grades Flächenmoment 2. Grades, bezogen auf die Schwerachse des Querschnitts Trägheitsradius Längenzunahme oder -abnahme Reißlänge Drehmoment, Moment einer Kraft Biegemoment Torsionsmoment Querschnitt, Querschnittsfläche Drehzahl Leistung

D2

p

D Festigkeitslehre N

Flächenpressung

0 

mm 2 mm 1 mm mm3, m3 Nm = J = Ws mm3 mm3 mm3 mm3 1 1 = °C K 1 %



1

q

1

T T

 0

K ºC, K 1 1

d d0 Temperatur in Kelvin Temperaturdifferenz in Grad Celsius (1 ºC = 1 K) Schlankheitsgrad Grenzschlankheitsgrad (untere Grenze)



1

Poisson-Zahl µ =

v r αk βk ηk

1 mm 1 1 1

Sicherheit, allgemein bei Festigkeitsuntersuchungen Biegeradius, Krümmungsradius der elastischen Linie Kerbformzahl Kerbwirkungszahl Kerbempfindlichkeitszahl

r v s V W W Wx , Wy Wp Wt

l

V

½ ° ° Rm (VB ) ° ° Vb ° ° Vd ° ° ° VE ° ° N ¾ 2 VK ° mm ° Vl ° ° VP ° ° Re (VS) ° ° ° Rp 0,2 ° ¿ Vz

Radius Sicherheit gegen Knicken Stabdicke, Blechdicke Volumen Arbeit, Formänderungsarbeit axiales Widerstandsmoment auf die x- oder y-Achse bezogenes Widerstandsmoment polares Widerstandsmoment für Kreis- und Kreisringquerschnitt Widerstandsmoment bei Torsion nicht kreisförmiger Querschnitte Längen-Ausdehnungskoeffizient Anstrengungsverhältnis Bruchdehnung, Bruchstauchung l Dehnung, Stauchung, ∈ = l0 Querdehnung, ∈ q =

∈q ∈

Normalspannung allgemein (Druck, Zug, Biegung, Knickung) Zugfestigkeit Biegespannung Druckspannung

Vzul

W

Spannung an der Elastizitätsgrenze

Wa

Knickspannung

Ws

Lochleibungsdruck Spannung an der Proportionalitätsgrenze

Wt Wzul

½ ° ° ° ° ° ° ° N ¾ 2 ° mm ° ° ° ° ° ° ¿

zulässige Normalspannung (Vb zul , Vd zul , VK zul , Vz zul) Schubspannung allgemein Tangentialspannung (Schub, Abscheren, Torsion) Abscherspannung W a Schubspannung τ s = c

F A

F A

Torsionsspannung zulässige Schub(Tangential)-spannung

Streckgrenze 0,2-Dehngrenze

M

º, rad

Biege- oder Verdrehwinkel

Zugspannung

ω

1

Knickzahl

1 Allgemeines

1 Allgemeines

D3 G. Böge

1.1 Aufgaben der Festigkeitslehre Die Festigkeitslehre ist ein Teil der Mechanik. Sie behandelt die Beanspruchungen, das sind die Spannungen und Formänderungen, die äußere Kräfte (Belastungen) in festen elastischen Körpern (Bauteilen) auslösen. Die mathematisch auswertbaren Erkenntnisse werden benutzt zur Ermittlung der Abmessungen der „gefährdeten“ Querschnitte von Bauteilen (Wellen, Achsen, Bolzen, Hebel, Schrauben usw.) für eine nicht zu überschreitende sogenannte zulässige Beanspruchung des Werkstoffes: Querschnittsnachweis; und zur Kontrolle der im gegebenen gefährdeten Querschnitt vorhandenen Beanspruchungen und Vergleich mit der zulässigen Beanspruchung: Spannungsnachweis. Dabei werden ausreichende Sicherheit gegen Bruch und zu große Formänderung, aber auch Wirtschaftlichkeit der Konstruktion erwartet. In der Konstruktion ist es vorteilhaft, die Abmessungen der Bauteile zunächst anzunehmen. Mit den Gesetzen der Festigkeitslehre werden dann die vorhandenen Spannungen und Formänderungen bestimmt und mit den zulässigen verglichen. Die Erkenntnisse der Festigkeitslehre bauen auf den Gesetzen der Statik auf und lassen sich nur im Zusammenhang mit den Erkenntnissen der Werkstofftechnik, Werkstoffkunde und (-prüfung) anwenden.

1.2 Schnittverfahren In der Statik werden die von Bauteil zu Bauteil übertragenen inneren Kräfte (innere Kräfte im Sinn einer mehrteiligen Konstruktion) durch „Freimachen“ des betrachteten Bauteiles zu äußeren Kräften gemacht und dann mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen die noch unbekannten Kräfte und Kraftmomente bestimmt. In ähnlicher Weise werden in der Festigkeitslehre durch eine gedachte Schnittebene die von Querschnitt zu Querschnitt übertragenen inneren Kräfte zu äußeren gemacht. Der Ansatz der statischen Gleichgewichtsbedingungen für einen der beiden abgetrennten Teile liefert danach Art und Größe des inneren Kräftesystems. Erst damit kommt man zu einer Vorstellung über den Beanspruchungszustand (Spannungszustand) des betrachteten Bauteils und kann etwas über die Verteilung der inneren Kräfte aussagen. Bei „statisch unbestimmten Problemen“ reichen die statischen Gleichgewichtsbedingungen nicht aus und es müssen noch Verformungsgleichungen der Elastizitätslehre herangezogen werden (siehe Beispiel Bild 3), damit die Summe aller verfügbaren Gleichungen mindestens gleich der Anzahl der unbekannten Kräfte und Kraftmomente ist.

1.2.1 Arbeitsplan zum Schnittverfahren Der betrachtete Bauteil wird frei gemacht (siehe C Statik) und alle äußeren Kräfte und Kraftmomente bestimmt; im „gefährdeten“ Querschnitt (oder an beliebiger Stelle) wird ein „Schnitt“ gelegt; am Schnittufer eines der beiden abgetrennten Teile werden solche inneren Kräfte und Kraftmomente angebracht, sodass inneres und äußeres Kräftesystem im Gleichgewicht stehen; das innere Kräftesystem wird mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen bestimmt. 1.2.2 Anwendungsbeispiel: Zahn eines geradverzahnten Stirnrades Nach Bild 1a (Lageplan) wird der Zahn durch die äußere Kraft F unter dem Winkel  zur Senkrechten belastet. F wird in die Komponenten F cos  und F sin  zerlegt, weil das innere Kräftesystem dann gleich in Komponentenform vorliegt. Durch Schnitt A – B wird ein Teil des Zahnes vom Radkörper abgetrennt und durch schrittweises Hinzufügen geeigneter Kräfte und Momente das durch den Schnitt gestörte Gleichgewicht des abgeschnittenen Teiles wieder hergestellt. Aus der Bedingung Fx = 0 ergibt sich, dass der Querschnitt A – B eine Querkraft Fq = F sin  zu übertragen hat; ebenso aus Fy = 0, dass eine Normalkraft FN = F cos  aufgenommen werden muss. Sind diese beiden inneren Kräfte eingetragen, so erkennt man, dass dem Kräftepaar mit den Teilkräften F sin  im Querschnitt ein inneres Moment Mb (= Biegemoment) = F sin   l entgegen wirken muss. Damit ist das innere Kräftesystem vollständig bestimmt. Der benachbarte Querschnitt des Zahnradkörpers muss das gleiche innere Kräftesystem übertragen, jedoch mit entgegengesetztem Richtungssinn, weil auch diese beiden Kräftesysteme im Gleichgewicht stehen müssen.

Bild 1. Schnittverfahren am Zahn eines Zahnrades a) Lageplan, b) inneres Kräftesystem, c) Spannungssystem (Spannungsbild)

D4

D Festigkeitslehre

Jetzt kann das Spannungssystem (Spannungsbild 1c) entworfen werden: Querkraft Fq = F sin E erzeugt Schubspannungen  (in der Fläche liegend); Normalkraft FN = F cos E erzeugt Normalspannungen V (rechtwinklig auf der Fläche stehend), als Druckspannung auftretend; Biegemoment Mb = F sin E ˜ l erzeugt Normalspannungen V, als Zugspannung Vz und Druckspannung Vd auftretend; sie heißen Biegespannung Vb und sind hier durch die Indices unterschieden: Vbz , Vbd . Wie die Spannungen über dem Querschnitt verteilt sind (Spannungsbild), ist in den entsprechenden Kapiteln erläutert (Zug, Druck, Biegung). Die Herleitung der Gleichung für die resultierende (größte)

Druckspannung Vd res ergibt sich aus dem Spannungsbild. 1.2.3 Anwendungsbeispiel: Schwingende Kurbelschleife Bild 2a zeigt das Schema eines Schubkurbelgetriebes. Die mit Winkelgeschwindigkeit Z umlaufende Kurbel bewegt mit dem im Gleitstein 1 sitzenden Kurbelzapfen die Schwinge um den Drehpunkt des Lagers A. In der gezeichneten Stellung verschiebt die Schwinge über den Gleitstein 2 den horizontal geführten Stößel nach rechts. Das im Schnitt x – x auftretende innere Kräfte- und Spannungssystem soll bestimmt werden. Reibung und Massenkräfte sind zu vernachlässigen.

A A

Bild 2. Schnittverfahren an der Schwinge eines Schubkurbelgetriebes a) Lageplan (Schema) des Getriebes mit Schnittstelle x – x, b) Lageplan der freigemachten Schwinge mit Wirklinien der Kräfte FA , FB , FC (Dreikräfteverfahren), c) Kräfteplan der Schwingenkräfte FA , FB , FC, d) inneres Kräftesystem im Schnitt x – x, e) Spannungssystem im Schnitt x – x

1 Allgemeines Nach dem Arbeitsplan wird zunächst die Schwinge frei gemacht (Bild 2b). Der Stößel überträgt über Gleitstein 2 in waagerechter Richtung die aus dem Zerspanungswiderstand bekannte Kraft FB von rechts nach links. Gleitstein 1 überträgt auf die Schwinge die rechtwinklig zur Schwingenachse wirkende (noch unbekannte) Kraft FC. Im Lagerpunkt A (zweiwertig) greift an der Schwinge die (noch unbekannte) Stützkraft FA an. Zur rechnerischen (analytischen) Kräftebestimmung werden FB und FA in ihre x- und yKomponenten zerlegt. Bild 2b und 2c zeigen die zeichnerische Lösung (3-Kräfte-Verfahren). Rechnerisch ergibt sich

D5 Ein Maß für den Betrag der Beanspruchung ist die Spannung (Bild 3). Man spricht auch von mechanischer Spannung, im Gegensatz z.B. zur elektrischen Spannung. innere Kraft F in N Spannung = Querschnittsfläche A in mm 2

I. Fx = 0 = – FBx – FAx + FC FAx = FC – FBx II. Fy = 0 = + FBy – FAy FAy = FBy III. M(A) = 0 = – FCl3 – FBxl4 F l FC = Bx 4 l3 Die Gleichung für FC wird zur Berechnung von FAx in I. eingesetzt; FAy ist aus II. bestimmt und damit 2 2 + FAy berechenbar (wird hier nicht auch FA = FAx

gebraucht). Mit den ermittelten Kräften FC , FAx , FAy und der bekannten Kraft FB kann nun das innere Kräftesystem im Schnitt x – x bestimmt werden (Bild 2d). Die am Schwingen-Teilstück I angreifenden Kräfte stehen im Gleichgewicht, wenn der Querschnitt x – x überträgt (siehe auch Kräfteplan): die Normalkraft FN = FBy = FAy; sie erzeugt Normalspannungen  (als Zugspannung z); die Querkraft Fq = FC – FBx = FAx; sie erzeugt Schubspannungen ; das Biegemoment Mb = – FC l1 + FBx l2 = – FAx l3, es erzeugt Normalspannungen  (als Biegespannungen b). Das innere Kräfte- und Spannungssystem im benachbarten Querschnitt des Schwingen-Teilstücks II muss von gleicher Größe sein, jedoch von entgegengesetztem Richtungssinn. Bild 2e zeigt das Spannungssystem.

Bild 3. Normalspannung  und Schubspannung  (Tangentialspannung) 1.3.2 Spannungsarten Steht die innere Kraft rechtwinklig zum Querschnitt, spricht man von einer Normalkraft FN. Liegt sie dagegen im Schnitt selbst, wirkt sie also quer zur Längsachse eines stabförmigen Körpers, wird sie als Querkraft Fq bezeichnet. Damit ergeben sich auch zwei rechtwinklig aufeinander stehende Spannungsrichtungen, die Normalspannung

σ=

Fq A

Mit Hilfe des Schnittverfahrens kann für beliebige Querschnitte Betrag und Richtung des inneren Kräftesystems bestimmt werden. Damit kann der Betrag der Beanspruchung des Werkstoffs berechnet werden.

mm 2

FN

A

N

mm2

(1)

hervorgerufen durch die rechtwinklig zum Schnitt stehende innere Normalkraft FN (Zug- oder Druckkraft) und die Schubspannung (Tangentialspannung)

1.3 Spannung 1.3.1 Spannungsbegriff

 N

τ=

Fq A

 N mm 2

Fq

A

N

mm2

(2)

hervorgerufen durch die im Querschnitt liegende innere Querkraft Fq (Schubkraft).

D6

D Festigkeitslehre

Die Beanspruchungsart (Zug, Druck, Abscheren, Biegung, Torsion) wird durch einen an das Spannungssymbol angehängten Kleinbuchstaben (Index) gekennzeichnet: z Zugspannung, d Druckspannung, b Biegespannung, a Abscherspannung, t Torsionsspannung. Im Gegensatz dazu erhalten Spannungsgrenzen (Grenzspannungen), das ist der Spannungsbetrag, der am Ende eines kennzeichnenden Zustands auftritt, Großbuchstaben: E Elastizitätsgrenze, P Proportionalitätsgrenze, F Fließgrenze, Rm(B) Bruchgrenze, ebenso D Dauerfestigkeit, W Wechselfestigkeit, Sch Schwellfestigkeit. Nennspannung n ist derjenige rechnerische Spannungsbetrag, der bei vorliegenden Baumaßen aus den bekannten äußeren Kräften für einen betrachteten Querschnitt ermittelt wird.

1.4 Formänderung Jeder feste Körper ändert unter der Einwirkung von Kräften seine Form. Nimmt der Körper nach Entlastung seine ursprüngliche Form wieder an, spricht man von elastischer Formänderung, behält er sie bei, von plastischer Formänderung. In technischen Bauteilen sind plastische und elastische Bereiche zu finden. Hier werden nur die elastischen Formänderungen rechnerisch behandelt. Der auf Zug beanspruchte zylindrische Stab in Bild 4 besitzt die Ursprungslänge l0 und erfährt eine Verlängerung (bei Druck Verkürzung):

Bild 4. Formänderung am Zugstab l = l – l0

(3)

Die Längenänderung, die 1 mm des unbelasteten Stabes durch die Spannung  erfährt, heißt Dehnung (bei Druck Stauchung):

∈=

l l − l0 = l0 l0



l0, l, l

1

mm

(4)

Die nach dem Zerreißversuch gebliebene Verlängerung lB, bezogen auf die Ursprungslänge l0 (Messlänge) heißt Bruchdehnung

A=

lB 100 l0

A

l0 , lB

%

mm

(5)

Die Verlängerung nach dem Bruch lB ist abhängig von l0. Deshalb wird diese durch eine Beizahl gekennzeichnet: A10 bei l0 = 100 mm; A5 bei l0 = 50 mm. Neben der Längenänderung tritt bei Zug auch eine Querschnittsveränderung auf, eine Querdehnung: ∈q =

 d d0 − d = d0 d0

(6)

1.5 Hooke’sches Gesetz (Elastizitätsgesetz) Die Beziehung zwischen Dehnung  und zugehöriger Spannung  klärt der Zugversuch: Bis zur Proportionalitätsgrenze P (s. E Werkstoffprüfung) wächst bei vielen Werkstoffen (z.B. Stahl) die Dehnung  mit der Spannung  im gleichen Verhältnis (proportional). Bei doppelter Spannung zeigt sich die doppelte Dehnung. Es gilt dann das Hooke’sche Gesetz

σ=

l E =∈ E l0

(7)

Damit ergibt sich die Verlängerung (Verkürzung) l =∈ l0 =

σ l0 E

l, l0



mm

1

=

Fl0 EA

E,  N mm 2

(8) F

A

N

mm2

Beachte: Gleichungen (7) und (8) gelten nur bei Spannungen  < P. Es ist also immer zu prüfen, ob das Hooke’sche Gesetz überhaupt gilt und ob es noch gilt. Der Elastizitätsmodul E (kurz: E-Modul) ist bei vielen Stoffen eine konstante Größe (Zahlenwerte in Tab. 1). Da die Dehnung eine „Verhältnisgröße“ ist (Dimension eins), hat der E-Modul die Dimension einer Spannung, also „Kraft durch Fläche“. Man kann den E-Modul dreifach deuten: a) mathematisch als Proportionalitätsfaktor in der Gleichung  = E, b) geometrisch als ein Maß für die Steigung der Spannungslinie im Spannungs-Dehnungs-Diagramm: E =^ tan =  /, c) physikalisch als diejenige Spannung, die eine Verlängerung auf die doppelte Ursprungslänge hervorruft (Dehnung  = 1). Das ist praktisch unmöglich, weil dieser Spannungswert über der Proportionalitätsgrenze liegt und damit (8) nicht mehr gilt.

1 Allgemeines

D7

Tabelle 1. Elastizitätsmodul E und Schubmodul G einiger Werkstoffe Werkstoff

Stahl

Stahlguss

Guss- Cu Sn Zn- Al Cu Mg eisen Legierung

E in N /mm2 2,1  105 2,1  105 0,8  105 0,9  105 0,72  105 G in N/mm2 0,8  105 0,8  105 0,4  105 0,28  105

Bild 8. Knickbeanspruchung 1.6.3 Biegebeanspruchung (Biegung)

1.6 Die Grundbeanspruchungsarten 1.6.1 Zugbeanspruchung (Zug) Die äußeren Kräfte ziehen in Richtung der Stabachse (Bild 5). Sie versuchen die benachbarten „Schnittufer“ der Teilstücke I und II voneinander zu entfernen: der Stab wird verlängert (gedehnt). Die innere Kraft FN steht rechtwinklig zur Schnittfläche, es entstehen Normalspannungen z (Zugspannungen).

Die äußeren Kräfte ergeben ein Kräftepaar (Kraftmoment Mb = Biegemoment) und eine Querkraft (Bild 7). Das Kräftepaar wirkt in einer durch die Stabachse laufenden Ebene und versucht die Schnittufer gegeneinander schräg zu stellen: der Stab wird gebogen. Das innere Moment Mb, steht rechtwinklig zur Schnittfläche, es entstehen Normalspannungen b (Biegespannungen = Zug- und Druckspannungen).

1.6.4 Knickbeanspruchung (Knickung) 1.6.2 Druckbeanspruchung (Druck) Die äußeren Kräfte drücken in Richtung der Stabachse (Bild 6). Sie versuchen, die beiden Schnittufer einander näher zubringen: der Stab wird verkürzt. Die innere Kraft FN steht wie bei Zug rechtwinklig zur Schnittfläche, es entstehen wieder Normalspannungen d (Druckspannungen). Bei schlanken Stäben besteht die Gefahr des Ausknickens: Knickbeanspruchung (Bild 8).

A

A

Die äußeren Kräfte drücken wie bei Druck in Richtung der Stabachse. ,,Schlanke“ Druckstäbe knicken dann bei einer bestimmten Belastung plötzlich aus (Bild 8). Knickung ist kein Spannungsproblem sondern das Stabilitätsversagen bei Druckbeanspruchung.

1.6.5 Abscherbeanspruchung (Abscheren) Die äußeren Kräfte wirken rechtwinklig zur Stabachse (Bild 9). Sie versuchen die beiden Schnittufer parallel zueinander zu verschieben. Die innere Kraft Fq liegt in der Schnittfläche, es entstehen Schubspannungen a (Abscherspannungen).

Bild 5. Zugbeanspruchung

A A

A

A Bild 9. Abscherbeanspruchung

Bild 6. Druckbeanspruchung

Bild 7. Biegebeanspruchung

Bild 10. Torsion (Verdrehbeanspruchung)

D8

D Festigkeitslehre

1.6.6 Torsion (Verdrehbeanspruchung)

1.8 Festigkeit

Die äußeren Kräfte ergeben ein Kräftepaar nach Bild 10. Es wirkt in einer rechtwinklig zur Stabachse stehenden Ebene und versucht die Schnittufer gegeneinander zu verdrehen: der Stab wird verdreht (tordiert). Das innere Moment MT (Torsionsmoment) liegt in der Schnittfläche, es entstehen Schubspannungen  t (Torsionsspannungen).

1.8.1 Begriff der Festigkeit

1.7 Zusammengesetzte Beanspruchung Das gemeinsame Auftreten zweier oder mehrerer Grundbeanspruchungsarten heißt zusammengesetzte Beanspruchung. Sie kann schon durch eine Einzelkraft F allein hervorgerufen werden (Bild 11). Welche Beanspruchungsarten auftreten, klärt das Schnittverfahren. Beispielsweise hat der beliebige Querschnitt x – x der Handkurbel in Bild 11 zu übertragen: Biegemoment Mb1 = F cos  l1 ergibt Biegebeanspruchung Biegemoment Mb2 = F sin  l2 ergibt Biegebeanspruchung Torsionsmoment MT = F sin  l1 ergibt Torsionsbeanspruchung Querkraft Fq = F sin ergibt Abscherbeanspruchung Normalkraft FN = F cos ergibt Druck- und Knickbeanspruchung Die aus diesen fünf Grundbeanspruchungsarten resultierende zusammengesetzte Beanspruchung heißt „Biege-Drill-Knickung“. Die beiden Biegemomente Mb1 und Mb2 werden geometrisch zu einem resultierenden Biegemoment Mb zusammengefasst.

Bild 11. Zusammengesetzte Beanspruchung als Folge einer schräg angreifenden Einzelkraft F

Allgemein wird in der Festigkeitslehre unter Festigkeit die Widerstandsfähigkeit eines Werkstoffs bzw. eines Bauteiles gegen Bruch bei mechanischer Beanspruchung verstanden. Es ist demnach zwischen der Festigkeit eines Werkstoffes und der Festigkeit eines Bauteils zu unterscheiden, letzteres wird jedoch gesondert in der Gestaltfestigkeitslehre behandelt. Die Definition einer Festigkeit ist an die Versuchsausführung gebunden, z.B. ob die Werkstoffprobe ruhender, stoßender oder schwingender Belastung unterworfen wird, in welcher Weise die äußeren Kräfte wirken und welche Formänderungen hervorgerufen werden. In den meisten Fällen werden die am Probestab ermittelten rechnerischen Festigkeitswerte auf die Ursprungsmaße des Prüfkörpers bezogen, so dass es sich nur um angenäherte Werte handeln kann. Viele Versuchsanordnungen und -auswertungen zur Ermittlung solcher Festigkeitswerte sind genormt (siehe Werkstoffprüfung). Während die Festigkeit eines Werkstoffs durch die Angabe einer Grenzspannung zahlenmäßig erfasst werden kann, lässt sich die Festigkeit eines Bauteils oder einer ganzen Tragkonstruktion vielfach nur durch die Angabe einer Traglast kennzeichnen. Das gilt für solche Fälle, in denen zwar die äußeren Kräfte bestimmt sind, jedoch wegen der verwickelten Form der Konstruktion nichts über die Beanspruchungsart ausgesagt werden kann.

1.8.2 Festigkeit bei statischer (ruhender, zügiger) Belastung, Dauerstandfestigkeit Beim Zugversuch nach DIN EN 10 002 wird der Probestab einer allmählich ansteigenden (zügigen) Zugbeanspruchung ausgesetzt bis er bricht. Die so ermittelte rechnerische Grenzspannung heißt Bruchfestigkeit, bei Zugbeanspruchung Zugfestigkeit Rm. In dieser Weise können auch die anderen wichtigen Grenzspannungen bestimmt werden: E Elastizitätsgrenze, Re oder Rp 0,2 0,2-Dehngrenze. Näheres siehe E Werkstofftechnik. Wird der Probestab bei höherer Temperatur einer dauernden, ruhenden, unveränderten Belastung ausgesetzt, so wächst im allgemeinen die Dehnung  bis zum Bruch. Da die Dehnung sehr langsam fortschreitet, heißt dieser Vorgang Kriechen. Blei und Zink kriechen schon unter 0 ºC. Bei Kunststoffen spricht man vom „kalten Fluss“, auch bei höheren Temperaturen. Die Dauerstandfestigkeit Dst ist diejenige (rechnerische) Grenzspannung bei ruhender Belastung, bei der die Dehnung im Lauf der Zeit zum Stillstand kommt, also nicht mehr zum Bruch führt. Dst ist temperaturabhängig, also auch immer mit einer Temperaturan-

1 Allgemeines

D9

gabe verbunden. Für Stahl ist Dst bei ca. 650 ºC nahe null.

1.8.3 Festigkeit bei dynamischer (schwellender, wechselnder) Belastung, Dauerfestigkeit

d) Reine Schwellbeanspruchung liegt vor bei Unterspannung u = 0 und Mittelspannung m = Spannungsausschlag a. e) Beanspruchung im Schwellbereich liegt vor, wenn Ober- und Unterspannung o , u unterschiedlichen Betrag aber gleiches Vorzeichen haben. Mittelspannung m > Spannungsausschlag a.

1.8.3.1 Spannungen

σm =

σo + σu

1.8.3.2 Dauerfestigkeit

D ist derjenige größte Spannungsausschlag, den ein

glatter, polierter Probestab bei dynamischer Belastung (Bild 13) „dauernd“ ohne Bruch oder unzulässige Verformung aushält (Dauerschwingversuch nach DIN 50 100, siehe auch Abschnitt E Werkstofftechnik). σ

Die Konstruktionen des Maschinenbaus unterliegen meist einer dynamischen Belastung. Den allgemeinen Fall einer dynamischen Belastung zeigt Bild 12. Die Beanspruchung wechselt dauernd periodisch zwischen einer oberen Grenzspannung o und einer unteren Grenzspannung u. Nach Bild 12 ergibt sich unter Beachtung der Vorzeichen für Zug- und Druckspannung die Mittelspannung (9)

2

a)

Statische (ruhende) Belastung

t Dynamisch wechselnde Belastung, symmetrisch

b) Bild 12. m Mittelspannung u Unterspannung

Dynamisch wechselnde Belastung, allgemein

o Oberspannung, a Ausschlagspannung

Ebenso wird nach Bild 12 die Ausschlagspannung σa = σo − σm

σo ± σ u 2

c)

(10) Dynamisch schwellende Belastung, symmetrisch

(+) für Bild 13d (–) für Bild 12 und 13b Die Grundfälle bei dynamischer Belastung zeigt Bild 13: a) Ruhende oder statische Belastung Die Belastung steigt zügig an bis zu einem konstant gehaltenen Höchstwert m = o = u und a = 0. Der entsprechende Festigkeitswert ist die Dauerstandfestigkeit Dst. b) Reine Wechselbeanspruchung liegt vor bei Mittelspannung m = 0. Ober- und Unterspannung o , u sind von gleichem Betrag aber entgegengesetztem Vorzeichen (z.B. Zug- und Druckspannung) . c) Beanspruchung im Wechselbereich liegt vor, wenn Ober- und Unterspannung o , u verschiedenen Betrag und entgegengesetztes Vorzeichen haben.

d) Dynamisch schwellende Belastung, allgemein

e) Bild 13. Spannungsverlauf bei verschiedenen Belastungsfällen

D 10 Die Schwellfestigkeit Sch ist diejenige Spannung, die ein schwellend belasteter, glatter, polierter Probestab dauernd erträgt, ohne zu brechen.

D Festigkeitslehre die Fließgrenze (Streckgrenze) des Werkstoffs nicht erreicht wird.

Die Wechselfestigkeit W ist diejenige Spannung, die ein wechselnd belasteter, glatter, polierter Probestab dauernd erträgt, ohne zu brechen. Da jede Beanspruchungsart (Zug, Druck, Biegung, Torsion) wechselnd oder schwellend oder allgemein schwingend auftreten kann, ist jedesmal eine genaue Kennzeichnung der betreffenden Dauerfestigkeitswerte erforderlich, z.B. Zug-Druck-Wechselfestigkeit z,dW; Biege-Schwellfestigkeit b Sch. Beachte: Alle Festigkeitswerte erhalten als Index große Buchstaben, Spannungen allgemein dagegen kleine Buchstaben: a beliebiger Spannungsausschlag, A Ausschlagfestigkeit (z.B. bei Schrauben). 1.8.3.3 Gestaltfestigkeit. Die Festigkeitswerte aus dem Dauerschwingversuch werden durchweg an glatten, polierten Stäben mit 7 bis 15 mm Durchmesser ermittelt. Die Dauerfestigkeit eines Werkstoffs ist deshalb nicht ohne weiteres die Dauerfestigkeit eines Bauteils, auf dessen Haltbarkeit meistens die Gestalt einen wesentlichen Einfluss hat. Die Zusammenhänge zwischen der Gestalt und der Dauerfestigkeit eines Bauteiles werden in der Gestaltfestigkeitslehre untersucht. Nach DIN 50 100 ist Gestaltfestigkeit die durch die Nennspannung gekennzeichnete Dauerfestigkeit eines Bauteils beliebiger Gestalt (z.B. einer Kurbelwelle). Siehe auch I 10.8.1.1 Ermittlung der Gestaltfestigkeit.

1.8.4 Kerbwirkung Die meisten Bauteile weichen von der Form des Probestabs mehr oder weniger ab, hauptsächlich durch Kerben jeder Form, wie Wellenabsätze, Keilnuten, Bohrungen, Naben und Anrisse infolge der Bearbeitung, kurz durch jede auch noch so kleine Querschnittsänderung. In diesen Fällen ist die wichtigste Voraussetzung der hier später entwickelten Berechnungsgleichungen nicht mehr vorhanden, nämlich die gleichmäßige Verteilung der Spannung über dem Querschnitt. Für den auf Zug-Druck beanspruchten Stab nach Bild 14 z.B. wird eine gleichmäßig über dem Querschnitt verteilte Spannung angenommen, deren Betrag sich aus der Gleichung  = F /A ergibt (F Zug- oder Druckkraft, A tragender Querschnitt). Messungen zeigen jedoch, dass die Kerbe Spannungsspitzen hervorruft, die ein Mehrfaches der rechnerischen Spannung betragen können. Die Spannungsspitzen können bei Beanspruchungen im Gebiet der Dauerfestigkeit des Werkstoffs durch örtliche Fließvorgänge nicht abgebaut werden, weil

A A

Bild 14. Kerbspannungen 1, 2, max (Spannungsverlauf im gekerbten Zug-Druckstab)

Wird die rechnerische Spannung  = F /A als Nennspannung n bezeichnet, und berücksichtigt man die durch Kerben hervorgerufene Spannungserhöhung durch die Kerbformzahl k , so ergibt sich die erhöhte Spannung

1 = k n

(11)

Richtwerte für k siehe Bilder 15 ... 19. Die Nennspannung n hat dann zugenommen um 1 – n = k n – n = n (αk – 1) Unter sonst gleichen Bedingungen tritt jedoch diese Spannungserhöhung nicht bei allen Werkstoffen in voller Größe auf. Hochlegierte und gehärtete Stähle sind kerbempfindlicher als Gusseisen und Leichtmetalllegierungen. Diese Unterschiede werden berücksichtigt durch die Kerbempfindlichkeitszahl k. Bei hochlegiertem Federstahl ist k = 1; sonst ergibt sich eine Spannungserhöhung von n (αk – 1) k, mit

k < 1. In diesem Fall wird die Spannungsspitze 1 wieder etwas abgebaut auf

2 = n +n ( k – 1) k = = n [1 + ( k – 1) k] = n  k

(12)

Der letzte Faktor heißt Kerbwirkungszahl

 k = 1 + ( k – 1) k Richtwerte für  k siehe Tabelle 4.

(13)

Damit kann für die Kerbempfindlichkeitszahl geschrieben werden:

1 Allgemeines

k

 k 1 k 1

D 11

(14)

Richtwerte für k siehe Tabelle 5. Da die Riefen und Risse der Oberfläche ebenfalls den Spannungsbetrag beeinflussen, kann noch die Oberflächenzahl Ok > 1 in die Betrachtung einbezogen werden. Dann ergibt sich abschließend die tatsächliche Spannungsspitze

max = n βk Ok = n [1 + ( k – l) k] Ok

(15)

Richtwerte für Ok siehe Tabelle 6.

Bild 17. Formzahlen k biegebeanspruchter Flachstäbe, quergebohrt, in Abhängigkeit vom Bohrungsverhältnis d /B (B /h = 0 entspricht der Zugbeanspruchung)

T

T

Bild 15. Formzahlen k zugbeanspruchter Flachstäbe mit Hohlkehlen in Abhängigkeit von der Kerbschärfe t /r Bild 18. Formzahlen k für abgesetzte Wellen bei Torsion

Bild 16. Formzahlen k zugbeanspruchter Rundstäbe mit Umlaufkerbe in Abhängigkeit von der Kerbschärfe t /r Bild 19. Formzahlen k für abgesetzte Wellen bei Biegung

D 12

D Festigkeitslehre

Tabelle 2. Festigkeitswerte in N/mm2 für verschiedene Stahlsorten1) Werkstoff

Elastizitätsmodul E

Rm

Re Rp 0,2

zd Sch5)

zd W

b Sch6)

bW

t Sch7)

tW

Schubmodul G

S235JR S275JR E295 S355JO E335 E360 50CrMo4 2) 20MnCr5 3) 34CrAlNi7 4)

210 000 210 000 210 000 210 000 210 000 210 000 210 000 210 000 210 000

360 430 490 510 590 690 1 100 1 100 850

235 275 295 355 335 360 900 730 650

180 220 250 270 305 360 570 570 440

140 170 195 205 235 275 440 440 340

270 320 370 380 435 520 825 825 640

180 215 245 255 290 345 550 550 425

115 140 160 165 200 225 360 360 280

105 125 145 150 180 205 330 330 255

80 000 80 000 80 000 80 000 80 000 80 000 80 000 80 000 80 000

1) Richtwerte für d < 16 mm, 2) Vergütungsstahl, 3) Einsatzstahl, 4) Nitrierstahl, B 5) berechnet mit 1,3   , 6) berechnet mit 1,5   , 7) berechnet mit 1,1   zdW

bW

tW

Tabelle 3. Festigkeitswerte in N/mm2 für verschiedene Gusseisen-Sorten1) Werkstoff GJL-150 GJL-200 GGJL-250 GJMW-400-5 GJMB-350-4

Elastizitätsmodul E 100 000 120 000 120 000 170 000 170 000

Rm

b B

d B

zd W

bW

tW

180 220 260 350 350

340 400 460 – –

800 950 1 100 Rp0,2 = 190

50 60 70 100 80

80 100 120 140 120

70 80 90 120 100

d Sch Schubmodul G 200 240 280 250 200

40 000 50 000 50 000 70 000 70 000

1) Für 15 bis 30 mm Wanddicke; für 8 mm bis 15 mm 10 % höher, für > 30 mm 10 % niedriger;

Dauerfestigkeitswerte im bearbeiteten Zustand; für Gusshaut 20 % Abzug.

Tabelle 4. Richtwerte für die Kerbwirkungszahl  k1) Kerbform Hinterdrehung in Welle (Rundkerbe) Hinterdrehung in Welle (Rundkerbe) Eindrehung für Axial-Sicherungsring in Welle abgesetzte Welle (Lagerzapfen) abgesetzte Welle (Lagerzapfen) Passfeder- Nut in Welle Passfeder- Nut in Welle Passfeder- Nut in Welle Passfeder- Nut in Welle Querbohrung in Achse (Schmierloch) Flachstab mit Bohrung Flachstab mit Bohrung Welle an Übergangsstelle zu festsitzender Nabe 1) genauere und umfangreichere Werte in DIN 743-2,

Beanspruchung

Rm2)

k

Biegung Torsion Biegung Torsion Biegung Torsion Biegung Biegung Torsion Torsion Biegung und Torsion Zug Biegung Biegung Torsion

600 600

2,2 1,8 3,5 2,5 2,2 1,4 2,5 3,0 1,5 1,8 1,6 1,7 1,4 2,7 1,8

2) Zugfestigkeit R in N/mm2 m

1 000 600 600 600 1 000 600 1 000 600 360 360 1 000

1 Allgemeines

D 13

Tabelle 5. Kerbempfindlichkeitszahlen k Werkstoff S 235 JR E 295 E 335 E360 28 Cr 4

k

Werkstoff

k

0,30 ... 0,5 18 CrMo 4 0,85 0,35 ... 0,6 18 Cr Ni Mo 7 - 6 0,93 0,40 ... 0,6 Federstahl 0,90 ... 1,00 0,55 ... 0,65 EN-GJL-250 0,20 0,55 Leichtmetalle 0,3 ... 0,7

Tabelle 6. Oberflächenzahlen Ok Oberfläche

Ok

geschliffene Oberfläche geschlichtete Oberfläche Walz-, Glüh- oder Gusshaut

1,1 1,2 1,3

1.9 Zulässige Spannung und Sicherheit

ausgeprägte Streckgrenze erkennen lassen, tritt an die Stelle der Streckgrenze Re die 0,2-Dehngrenze Rp 0,2. Die Tabellen 2 und 3 enthalten verschiedene Festigkeitswerte für verschiedene Stahl und Gusseisensorten. Für weitere nimmt man die Streckgrenze aus den Tabellen 7, 8, 9 (Linie I). Die zulässige Spannung zul muss gegenüber den Festigkeitswerten Re oder Rp 0,2 genügend klein sein, anders gesagt, es muss eine genügend große Sicherheit v vorhanden sein:

 zul

Re oder Rp 0,2

v Sicherheit v  1,5 für Stahl

(16)

Nicht bei allen Werkstoffen lässt sich eine Streckgrenze oder 0,2-Dehngrenze ermitteln, weil sie zu spröde sind. Das gilt zum Beispiel für normale Gusseisen (nicht Kugelgraphitguss), für Holz und Keramik. Dann kann die zulässige Spannung nur über die Bruchfestigkeit Rm bestimmt werden, natürlich mit einer entsprechend höheren Sicherheit:

1.9.1 Allgemeines Die zulässige Spannung ist diejenige Spannung, bis zu der ein Bauteil beansprucht werden darf. Man unterscheidet nach den verschiedenen Beanspruchungsarten z zul (zulässige Zugspannung), d zul (zulässige Druckspannung), b zul (zulässige Biegespannung), a zul (zulässige Abscherspannung), t zul (zulässige Torsionsspannung), l zul (zulässiger Lochleibungsdruck) usw. Im Stahlbau, Hochbau, Kranbau, Brückenbau sind die zulässigen Spannungen zul, zul, l zul in den DIN-Blättern zusammengestellt und für Festigkeitsrechnungen behördlich vorgeschrieben. Der Konstrukteur hat hier keine Mühe, die zulässigen Spannungen zu ermitteln. Für den Entwurf eines Bauteils im Maschinenbau z.B. einer Getriebewelle, müssen die äußeren Kräfte und Drehmomente aus den zu übertragenden Leistungen und Drehzahlen bekannt sein. Daraus wird für die gefährdeten Querschnitte das innere Kräftesystem bestimmt. Erst dann können mit einer zulässigen Spannung die Hauptabmessungen für die Welle berechnet und die Konstruktion als überschlägiger Entwurf erstellt werden (Dimensionieren des Bauteils). Die zulässige Spannung wird getrennt für statische (ruhende) oder dynamische (schwellende und wechselnde) Belastung festgelegt. 1.9.2. Zulässige Spannung bei statischer Belastung Statische, also ruhende Belastung ist im Maschinenbau selten. Soll für statisch belastete Bauteile die zulässige Spannung ermittelt werden, dann geht man von der Streckgrenze Re des verwendeten Werkstoffes aus. Bei Werkstoffen, die beim Zugversuch keine

 zul

Rm v

Sicherheit v  2 für Gusseisen (Rm nach Tabelle 3)

(17)

Kerbwirkungen brauchen bei statischer Belastung der Bauteile nicht berücksichtigt zu werden, weil die Bruchgefahr durch Kerbwirkung nicht erhöht wird. Sie soll sogar vermindert werden, vermutlich durch die Stützwirkung weniger beanspruchter Stoffteilchen (siehe auch 1.8.4). Liegen für Scher- und Verdrehfestigkeit keine Werte vor, kann man etwa wählen: a zul ( t zul)  0,8(0,65)  z zul bei Stahl, Stahlguss; Cu Sn -Legierungen  0,8(0,7)  z zul bei Al und AlLegierungen;  1,2  z zul bei Gusseisen und Temperguss.

1.9.3 Zulässige Spannung bei dynamischer (schwellender und wechselnder) Belastung Im Gegensatz zur Ermittlung der zulässigen Spannung bei statischer Belastung, bei der man von der Streckgrenze Re bzw. Rp 0,2 ausgeht, wird bei dynamischer Belastung die Dauerfestigkeit D des verwendeten Werkstoffs zugrunde gelegt.

σ zul =

σD

v Sicherheit gegen Dauerbruch v = 3...4

(18)

Bei Schubbeanspruchung ist in den Gleichungen für die Spannung  die Schubspannung  einzusetzen, z.B. für D die Schub-Dauerfestigkeit D. Die Dauerfestigkeitswerte D , D können den Tabellen 2 und 3 oder den Dauerfestigkeitsdiagrammen in den Tabellen 7, 8 und 9 entnommen werden.

D 14

D Festigkeitslehre

Tabelle 7. Zug-Druck-Dauerfestigkeitsdiagramme für verschiedene Werkstoffe

a) Baustähle nach EN 10 025 b) Stahlguss nach DIN 1 681

c) Vergütungsstähle nach EN 10 083 d) Einsatzstähle nach EN 10 084

Tabelle 8. Biege-Dauerfestigkeitsdiagramme für verschiedene Werkstoffe

1 Allgemeines

a) Baustähle nach EN 10 025 b) Stahlguss nach DIN 1 681

D 15

c) Vergütungsstähle nach EN 10 083 d) Einsatzstähle nach EN 10 084

Tabelle 9. Torsions (Verdreh)-Dauerfestigkeitsdiagramme für verschiedene Werkstoffe

a) Baustähle nach EN 10 025 b) Stahlguss nach DIN 1 681

c) Vergütungsstähle nach EN 10 083 d) Einsatzstähle nach EN 10 084

D 16

D Festigkeitslehre

2 Die einzelnen Beanspruchungsarten

A. Böge

2.1 Zug und Druck

gen, wie Kerben, Bohrungen, Hohlkehlen usw. erfordern bei Zug und Druck eine Nachrechnung auf Kerbwirkung, weil im Kerbgrund u.U. außergewöhnlich hohe Spannungsspitzen auftreten. Die Hauptgleichung liefert dann nur die (mittlere) sogenannte Nennspannung σn. Bei veränderlichem Querschnitt gehört zur kleineren Querschnittsfläche die größere Spannung und umgekehrt.

2.1.1 Spannung Wird ein Stab von beliebigem, gleichbleibendem Querschnitt durch die äußere Kraft F in der Schwerachse auf Zug oder Druck beansprucht, so wird bei gleichmäßiger Spannungsverteilung, also in genügender Entfernung vom Angriffspunkt der Kraft, die Zug- oder Druckspannung

σ z,d =

„

Lösung:

Aerf =

Zug- oder Druckkraft F Querschnittsfläche A

σ z,d =

F A

 N mm 2

F

N mm2

(1)

Je nach vorliegender Aufgabe kann die Hauptgleichung umgestellt werden zur Berechnung des erforderlichen Querschnitts (Querschnittsnachweis): F

σ zul

F

σ z zul

=

20 000 N = 400 mm 2 N 50 2 mm

A = 200 mm2, daraus Durchmesser d = 16 mm.

A „

(Zug- und Druck-Hauptgleichung)

Aerf =

Beispiel: Eine Hubwerkskette trägt 20 000 N je Kettenstrang. Gesucht: Nennglieddurchmesser der Rundgliederkette für z zul = 50 N/mm2.

Beispiel: Welche größte Zugkraft Fmax kann ein durch 4 Nietlöcher von d1 = 17 mm Durchmesser im Steg geschwächtes Profil IPE 200 (Tabelle 10) übertragen, wenn eine zulässige Spannung von 140 N/mm2 eingehalten werden muss?

Lösung: Querschnitt A = 2 850 mm2 ; mit Stegdicke s = 5,6 mm wird der gefährdete Querschnitt:

(2)

Agef = A – 4d1s = 2 850 mm2 – 4  17  5,6 mm2 =

= 2 469,2 mm2

Berechnung der vorhandenen Spannung (Spannungsnachweis):

σ vorh =

F A

Fmax = Agef z zul =

(3)

Berechnung der maximal zulässigen Belastung (Belastungsnachweis): Fmax = zul A

damit

= 2469, 2 mm 2 ⋅140

„

(4)

Treten Zug- und Druckspannungen in einer Rechnung gleichzeitig auf, werden sie durch den Index z und d oder durch das Vorzeichen + und – unterschieden. Bohrungen und Nietlöcher sind bei Zugbeanspruchung von der tragenden Fläche abzuziehen. Bei Druck dagegen übertragen Bolzen und Niete die Druckkraft weiter, wenn sie nicht aus weicherem Werkstoff bestehen. Der Bohrungsquerschnitt braucht dann nicht vom tragenden abgezogen zu werden. Schlanke Druckstäbe müssen auf Knickung berechnet werden. Scharfe Querschnittsveränderun-

N = 345, 7 kN mm 2

Beispiel: Das Stahlseil eines Förderkorbes darf mit 180 N/mm2 auf Zug beansprucht werden. Es hat A = 320 mm2 Nutzquerschnitt und wird 900 Meter tief ausgefahren. Welche Nutzlast F darf das Seil tragen?

Lösung:

σz =

F + FG ; Fmax = z zul A – FG A

FG = mg = V r g ; r = 7850

kg m3

FG = A l r g = 320 · 10–6m2  900m  7,85  103 = 22 178 N

kg m  9,81 2 = m3 s

2 Die einzelnen Beanspruchungsarten

D 17 (lr) = 106 m = 103 km

2.1.2 Elastische Formänderung 2.1.2.1 Verlängerung l. Jeder auf Zug beanspruchte Stab verlängert sich um einen berechenbaren Betrag l. Ist nach Bild 1 die Ursprungslänge l0, die Länge bei Belastung l, so ergibt sich nach dem Hooke’schen Gesetz (8) in D 1.5 die Verlängerung l = l − l0 =∈ l0 =

l



mm

1

, E N mm 2

σ l0 E

=

F l0 EA

F

A

N

mm2

lr km

(5)

F FG Alr r g = = = lr r g A A A R lr = m rg

N 2 (Rm ) N⋅m3 ⋅s 2 = mm = = (lr ) = (r) (g ) kg m mm 2 ⋅kg⋅m ⋅ 3 2 m s kg m 3 2 ⋅m ⋅s 2 = s-6 2 10 m ⋅kg⋅m

g

kg

m

mm 2

m3

s2

Rm

r

N

kg

mm 2

m3

Beachte: Die Reißlänge lr hängt ab von der Zugfestigkeit Rm des Werkstoffs, seiner Dichte r und der Fallbeschleunigung g; sie hängt nicht ab von Größe und Form des Stabquerschnitts. Man kann also lr nicht dadurch erhöhen, dass man den Stabquerschnitt vergrößert, weil sich damit auch die Gewichtskraft erhöhen würde.

2.1.2.3 Formänderungsarbeit W. Am vollkommen elastischen Stab verrichten die Zug- und Druckkräfte F längs des Weges l (Verlängerung) die Formänderungsarbeit Fl σ 2V = 2 2E (siehe Bild 1) W=

σz =

Eine Zahlenwertgleichung für schnelleres Rechnen ergibt sich, wenn die Gleichung auf die Längeneinheit km zugeschnitten wird. Dazu ist die Umrechnung der Flächeneinheit mm2 in m2 erforderlich:

r

N

m wird die Gleichung noch einfacher: s2 R (6) lr = 100 m r

km

2.1.2.2 Reißlänge lr ist diejenige Länge, bei der ein frei hängender Stab von gleichbleibendem Querschnitt unter dem Einfluss seiner Gewichtskraft FG = m g = V r g = A lr r g abreißt. Daher wird in der Zug-Hauptgleichung (1) die Zugkraft F durch die Gewichtskraft FG ersetzt und diese Gleichung nach lr aufgelöst:

Rm

Mit g  10

lr

Bild 1. Kraft-Verlängerungsdiagramm eines Zugstabes (Federungsdiagramm), siehe auch Kapitel 2.1.2.3

Rm rg

lr = 103

W

F

J = Nm N

l m

(7)

, E N m2

V m3

Darin wurde nach Gleichung (5) eingesetzt fü σl l =  l0 = 0 für F =  A und für A l0 = Volumen V. E Beachte: Für  und E gilt 1

N mm 2

=1

N 10−6 m 2

=106

N m2

Der Formänderungsarbeit W entspricht die Dreieckfläche im Kraft-Verlängerungsschaubild (Bild 1). Die Zugkraft F wächst linear mit der Verlängerung l; die Kraftlinie ist daher eine Gerade.

D 18

D Festigkeitslehre

Das Verhältnis aus Federkraft F und Verlängerung l (= Federweg f ) heißt Federrate R

F l

R N m

F ˆ tan f

F

l, f

N

m

der Nutzlast F nach einem Exponentialgesetz „angeformt“ werden (Bild 2).

(8)

Der elastische Zugstab ist im weiteren Sinn demnach eine Feder; denn er hat die Fähigkeit, potentielle mechanische Energie aufzunehmen, die ihm über die Formänderungsarbeit der Federkraft vermittelt wurde. „

Beispiel: Eine Stahlstange von 16 mm Durchmesser und 80 m Länge hängt frei herab und wird am unteren Ende mit F = 22 kN belastet.

a) Wie groß ist die Spannung am unteren und am oberen Ende? b) Wie groß ist die Verlängerung bei geradlinig angenommener Spannungszunahme? Lösung:

a) σ min =

σ max =

F 22 000 N N = = 109,5 A 201 mm 2 mm 2

σ max =

rgx

201⋅10−6 m 2

b) σ mittel =

σ min + σ max

σ mittell0 E

2

=

109,5+115, 6 N N = 112, 6 2 mm 2 mm 2

N ⋅80⋅103 mm mm 2 = 42,9 mm N 2,1⋅105 mm 2

112,6 =

Ax = A0 e σ zul =

kg m ⋅9,81 2 m3 s

N N σ max = 115, 6⋅106 2 = 115, 6 m mm 2

„

Für die erforderliche Querschnittsfläche Ax im beliebigen Abstand x vom unteren Stabende gilt mit Dichte r und zulässiger Spannung zul:

F + FG F + Alr g = A A 22 000 N + 201⋅10−6 m 2 ⋅80 m⋅7,85⋅103

l =

Bild 2. Querschnittsgestaltung beim frei herabhängendem Stab gleicher Zugbeanspruchung in allen Querschnitten, Belastung: Gewichtskraft FG und Nutzlast F

Beispiel: Die Reißlänge lr ist zu bestimmen für gewöhnlichen Baustahl S 235 JR, mit Rm = 370 N/mm2, für Federstahl mit 1 800 N/mm2 Zugfestigkeit und für Duralumin mit Rm = 250 N/mm2 (Dichte r = 2 800 kg/m3).

„

F

σ zul

rgx

e σ zul

(9)

Beispiel: Drei symmetrisch angeordnete Gelenkstäbe S1, S2, S3 aus 20 mm Rundstahl tragen nach Bild 3 eine Last F = 40 kN. Winkel = 30º. Wie groß ist die Zugspannung in den drei Stäben? Lösung: Um die Spannung berechnen zu können, müssen die Zugkräfte F1, F2, F3 in den Gelenkstäben bekannt sein. Das ist mit den beiden Gleichgewichtsbedingungen Fx = 0 und Fy = 0 des zentralen Kräftesystems allein nicht möglich (zwei Gleichungen, aber drei Unbekannte). In solchen statisch unbestimmten Fällen werden die Formänderungsgleichungen der Elastizitätslehre hinzugezogen; hier das Hooke’sche Gesetz für Zug:  =  E = lE / l0 = F / A.

Lösung: Nach (6) wird für Rm 370 = 100⋅ = 4,713 km r 7850

S 235 JR:

lr =

Federstahl:

lr = 100⋅

1800 = 22,93 km 7850

(also größer als bei S 235 JR) Duralumin:

lr = 100⋅

250 = 8,929 km 2800

Hochwertiger Stahl ist demnach trotz der höheren Dichte auch einer festen Leichtmetalllegierung erheblich überlegen. Zweckmäßig werden frei herabhängende Stangen und Drähte absatzweise verjüngt, z.B. lange Gestänge in Pumpenschächten. Stäbe gleicher Zug- oder Druckbeanspruchung müssen bei Berücksichtigung ihrer Gewichtskraft FG und

Bild 3. Berechnung der Zugspannung im statisch unbestimmten System Die Lageskizze des freigemachten Knotenpunktes K zeigt:  Fx = 0 = + F2 sin – F2 sin . Wegen Symmetrie ist F2 = F3.

2 Die einzelnen Beanspruchungsarten

D 19

 Fy = 0 = + F1 +2F2 cos – F; also F = F1 + 2F2 cos Stab 1 verlängert sich um l, seine Dehnung beträgt also 1 = l / l0. Stab 2 verlängert sich um l cos ; seine Ursprungslänge ist l0 / cos , die Dehnung demnach: 2 = l cos cos / l0 Während der (hier) geringfügigen Formänderung kann Winkel = konstant angesehen werden. Es ergibt sich:

Die Spannung bei ruhender Belastung durch die Gewichtskraft FG ist 0 = FG / A. Außerdem gilt das Hooke’sche Gesetz dyn = E dyn = E l / l. Damit wird 2 EFG h l (h + l ) = 2 E σ 0 + 2 σ 0 E = Al l l h = 2 E σ 0 + 2 σ 0 σ dyn l

2 σ dyn =

h l

2 σ dyn − 2 σ 0 σ dyn − 2 E σ 0 = 0

F = F1 + 2 F2 cos = 1 EA + 2 2 EA cos = =

l l cos3α EA+ 2 EA l0 l0

F=

(quadratische Gleichung).

Daraus ergeben sich dyn (größte Spannung) und dyn (größte Dehnung):

l EA (1+ 2 cos3 α ) und daraus l0

l F = = l0 EA (1+ 2 cos3α )

2

∈ dyn = ∈ 0 + ∈ 0 + 2 ∈ 0 E

40 000 N

=

N

5

2,1⋅10

mm

⋅314 mm 2 (1+ 2 cos3 30° ) 2

=

dyn , 0 , E N

= 2, 64⋅10−4

σ1 =

mm 2

F1 l = E= A l0 N mm 2

= 55, 4

N

= 2, 64⋅10

5

⋅2,1⋅10

σ 2V 2E

dyn , 0

mm

1

(10)

N mm 2

⋅0,75 = 41,6

N

Die bei dynamischer Belastung auftretenden Schwingungen haben die Anfangsamplitude

mm 2

und mit V = Al und σ = σ dyn

2 2 E FG (h + l ) = σ dyn Al

(11)

ldyn = 2 l0

2.1.2.4 Formänderung bei dynamischer Belastung. Bei plötzlich wirkender Zug- oder Druckkraft wird die Formänderung (Verlängerung oder Verkürzung l ) größer als beim langsamen Aufbringen der Last. Wird z.B. ein am Seil hängender Körper von der Gewichtskraft FG = m g um die Höhe h angehoben und dann frei fallen gelassen, so muss vom Seil die Arbeit W = FG h + FG l = FG (h + l ) als Formänderungsarbeit W =  2 V / 2 E, aufgenommen werden. Beide Ausdrücke werden gleichgesetzt: FG (h + l ) =

h, l

dyn = 2 0 dyn = 2 0

mm 2

F2 l E cos2 α = = A l0 −4

h l

Bei plötzlich aufgebrachter Last ohne vorherigen Fall (h = 0) wird

= 2, 64⋅10−4 ⋅2,1⋅105

σ 2 = σ3 =

h l

σ dyn = σ 0 + σ 02 + 2 σ 0 E

a = dyn – 0 um die Gleichgewichtslage 0 und la = ldyn – l0 um die Gleichgewichtslage l0

„

Beispiel: Ein Stahlseil von A = 150 mm2 tragender Querschnittsfläche und l = 3 m Länge trägt einen Körper der Gewichtskraft FG = 10 kN. Gesucht: Spannung und Verlängerung a) bei langsam aufgebrachter Last, b) bei plötzlich aufgebrachter Last und c) beim Fall aus 20 mm Höhe; alles ohne Berücksichtigung der Gewichtskraft des Seils.

Lösung: a) bei statischer Belastung:

σ0 =

FG 10 000 N N = = 66, 7 A 150 mm 2 mm 2

D 20

D Festigkeitslehre

l0 =

Ist durch entsprechende Einspannung eine Ausdehnung des Stabes nicht möglich, müssen im Stab Normalspannungen  auftreten. Ihr Betrag wird genauso groß, als wenn der Stab um l verlängert worden wäre. Im Bereich des Hooke’schen Gesetzes gilt dann mit Gleichung (12) für die Wärmespannung

FG l 10 000 N⋅3⋅103 mm = = 0,95 mm N EA 2 2,1⋅105 2 ⋅150 mm mm

b) bei plötzlich aufgebrachter Last: N N σ dyn = 2 σ 0 = 2⋅66, 7 =133, 4 mm 2 mm 2 ldyn = 2 l0 =1,9 mm

σ T =∈ E =

N Amplituden: σ a = σ dyn − σ 0 = 66,7 mm 2 la = ldyn − l0 = 0,95 mm

 T, E

c) beim Fall aus 20 mm Höhe:

mm 2

σ dyn = 66,7

N

2  N N  N N 20 mm + 66,7 ⋅ 2,1⋅105 ⋅  + 2⋅66,7  mm 2 mm 2  mm 2 mm 2 3000 mm

σ dyn = (66,7 + 437,3)

∆ ldyn = l

σ dyn E

N N N >> σ 0 = 66,7 = 504 mm 2 mm 2 mm 2

= 3⋅103 mm⋅

N mm 2 = 7, 2 mm N 2,1⋅105 mm 2 504

la = ldyn − l0 = (7, 2 − 0,95) mm = 6,25 mm Beachte die außergewöhnliche Beanspruchung bei dynamischer Belastung!

2.1.2.5 Wärmespannungen. Die Erfahrung zeigt, dass sich alle festen Körper bei Erwärmung mehr oder weniger ausdehnen und bei Abkühlung wieder zusammenziehen. Ein Stab mit der Ursprungslänge l0 zeigt bei Erwärmung um die Temperaturdifferenz T = T2 – T1 die Verlängerung l = l0 αl T

mm

αl 1 K

(12)

Darin ist l der Längenausdehnungskoeffizient des betreffenden Stoffes mit der Einheit: (α l ) =

Meter 1 1 = = Meter⋅K K ° C

Näheres über α l im Abschnitt Thermodynamik, hier nur zwei Angaben: Für Stahl ist α l = 12 · 10–6 1/K für Quarz ist α l = 1 · 10–6 1/K. Bei der Temperaturerhöhung stellt sich die Länge lt ein: lt = l0 + l = l0 + l0 α l T = = l0 (1 + α l T)

αl

K

1 K

Beispiel: Ein an den Enden fest eingespannter Stab aus Stahl ist bei 20 ºC spannungsfrei und wird gleichmäßig auf 120 ºC erhitzt. Wie groß ist die auftretende Druckspannung?

Mit αl St =12⋅10−6 E = 2,1⋅105

1 ; T = 100 DC = 100 K und K

N wird nach (14) mm 2

σ d = σ T = αl TE = = 12⋅10−6

1 N N ⋅100 K ⋅ 2,1⋅105 = 252 K mm 2 mm 2

In Wirklichkeit wird der Stab ausweichen und diese Spannung nicht ganz aufnehmen. Das Beispiel zeigt jedoch deutlich die große Gefahr bei Temperaturänderung fest eingespannter Stäbe.

2.2 Biegung

T K

T

(14)

Lösung:

N N Amplituden: σ a = σ dyn − σ 0 = (504 − 66, 7) = 437 mm 2 mm 2

l, l0

„

l0 α l T l E= E = α l T E l0 l0

(13)

2.2.1 Biegespannung 2.2.1.1 Biegungsarten, inneres Kräftesystem Biegung tritt auf, wenn mindestens eine der Achsen (= Biegeachse) eines festen Körpers gekrümmt wird. Wird die Biegeachse elastisch gebogen, so heißt sie Biegelinie oder elastische Linie. Biegung ist nicht unbedingt an das Vorhandensein erkennbarer äußerer Kräfte gebunden: Eigenspannungen nach der Bearbeitung durch Temperaturunterschiede, Schrumpfung u.a. Nach Bild 4 werden folgende Biegungsarten unterschieden: Einfache (gerade) Biegung: Alle Kräfte F (Belastungen) einschließlich der Stützkräfte stehen rechtwinklig zur Stabachse. Sie liegen in einer Ebene (= Lastebene), die zugleich Ebene einer Hauptachse ist. Symmetrische Querschnitte werden dann nicht verdreht. Diese Biegungsart tritt im Maschinenbau am häufigsten auf.

2 Die einzelnen Beanspruchungsarten Schiefe Biegung: Die Lastebene schneidet zwar die Stabachse, fällt aber nicht mit der Ebene einer Hauptträgheitsachse zusammen.

D 21 bei der einfachen (geraden) Biegung mit der Ebene einer Hauptachse zusammenfällt. Es wirken keine Querkräfte Fq, keine Längskräfte FN und bei symmetrischen Querschnitten auch kein Drillmoment. Knickbiegung: Zug- oder Druckkraft F wirkt außermittig parallel zur Stabachse. Bei Druckkraft Knickbiegung, bei Zugkraft Zugbiegung. In der Praxis können sich die einzelnen Biegungsarten überlagern oder in mehreren Ebenen gleichzeitig auftreten. Hier werden nur einfache und reine Biegung behandelt. Das innere Kräftesystem wird mit Hilfe der Schnittmethode bestimmt (Bild 5). Nach Bestimmung der Stützkräfte FA und FB wird in der gewünschten Schnittstelle (Querschnitt x – x) dasjenige innere Kräftesystem angebracht, das einen der beiden durch den Schnitt abgetrennten Teile I oder II ins Gleichgewicht setzt.

Bild 5. Inneres Kräftesystem bei gerader Biegung

Bild 4. Biegungsarten Drillbiegung: Die Lastebene schneidet die Stabachse nicht; auch symmetrische Querschnitte werden durch ein Drillmoment verdreht. Reine Biegung: Das belastende Kräftesystem besteht aus zwei Kräftepaaren, deren gemeinsame Ebene wie

Nach Bild 5 hat der betrachtete Querschnitt x – x zu übertragen: a) Die innere Querkraft Fq; sie ist die algebraische Summe aller rechtwinklig zur Stabachse gerichteten äußeren Kräfte (einschließlich der Stützkräfte!) rechts oder links von der betrachteten Schnittstelle. Die innere Querkraft Fq ruft im Querschnitt Schubspannungen  hervor. b) Das innere Biegemoment Mb; es ist die algebraische Summe der Momente aller äußeren Kräfte (einschließlich der Stützkräfte!) in Bezug auf den Schnittflächenschwerpunkt S rechts oder links von der betrachteten Schnittstelle. Das Biegemoment Mb ruft im Querschnitt Normalspannungen  hervor, wie die Auflösung des Biegemoments in die beiden Teilkräfte FN des entsprechenden Kräftepaares zeigt (Bild 5). Die entstehenden Normalspannungen sind demnach Zug- und Druckspannungen. Ist keine besondere Unterscheidung erforderlich, wird ihr Größtwert mit Biegespannung b bezeichnet.

D 22

D Festigkeitslehre

Beachte: Bei einfacher Biegung muss der Querschnitt eine Querkraft Fq und ein Biegemoment Mb übertragen. Betrag und Verlauf des Biegemomentes an jeder beliebigen Balkenstelle folgt aus Seileck- oder Querkraftfläche. 2.2.1.2 Biege-Hauptgleichung. Beanspruchen die äußeren Kräfte einen Träger auf Biegung, so ist für die in einem bestimmten Querschnitt auftretende Biegespannung b nicht der Betrag der Kräfte, sondern ihr Biegemoment Mb maßgebend. Ebenso wird die Biegespannung nicht durch den Flächeninhalt, sondern vom axialem Widerstandsmoment W des Querschnitts bestimmt: Biegemoment M b Biegespannung σ b = axiales Widerstandsmoment W

b

b

Mb W

N

mm 2 (Biege-Hauptgleichung)

Mb

W

Nmm

mm3

(15)

Diese Gleichung darf nur verwendet werden, wenn die Nulllinie (= neutrale Achse des Querschnittes) zugleich Symmetrieachse ist, also e1 = e2 = e (siehe Herleitung der Biege-Hauptgleichung in 2.2.1.3). Je nach vorliegender Aufgabe kann die BiegeHauptgleichung umgestellt werden zur Berechnung des erforderlichen Querschnitts (Querschnittsnachweis): Werf =

M b max

σ b zul

(16)

Querschnitt in einer Geraden, die neutrale Achse des Querschnittes oder Nulllinie genannt wird (N – N in Bild 6). Sie geht durch den Schwerpunkt S der Querschnitte. Es wird angenommen, dass die vorher ebenen Querschnitte auch nach der Biegung eben bleiben (durch Versuche bestätigt). Weiterhin soll das Hooke’sche Gesetz gelten. Aus der ersten Bedingung folgt, dass die Dehnungen  proportional mit den Abständen y von der Nulllinie wachsen, aus der zweiten, dass auch die Spannungen proportional diesen Abständen sind:

σ y y = daraus σ = σ d e1 σ d e1

(siehe Bild 6)

Im Gegensatz zur Zug- und Druckbeanspruchung sind demnach die Spannungen linear verteilt. Die neutrale Faserschicht ist unverformt, also auch spannungslos. Die Spannungen wachsen mit dem Abstand y von der neutralen Faser bis zum Höchstwert d (Druckspannung) und z (Zugspannung). Für jeden Querschnitt des Trägers müssen die statischen Gleichgewichtsbedingungen erfüllt sein. Jedes Flächenteilchen A überträgt die Normalkraft F =  A. Nach der ersten Gleichgewichtsbedingung ist Fx = 0. Da der Querschnitt keine Längskraft zu übertragen hat, wird 6 'F =  A = 0. Mit σ = σ d ∑ σd

y wird e1

σ y  A = d ∑ y A = 0 e1 e1

also auch ∑ y  A = 0

Berechnung der vorhandenen Spannung (Spannungsnachweis):

σ b vorh =

M b max W

(17)

Berechnung der maximal zulässigen Belastung (Belastungsnachweis): (18)

Bild 6. Verformungs- und Spannungsbild bei Biegung

2.2.1.3 Herleitung der Biege-Hauptgleichung. Die äußeren Kräfte biegen den Träger nach unten durch (Bild 6). Die vorher parallelen Schnitte ab, cd stellen sich schräg gegeneinander: a' b' c' d'. Dabei werden die oberen Werkstoff-Fasern verkürzt (Stauchung – ), die unteren dagegen verlängert (Dehnung + ). Dazwischen muss eine Faserschicht liegen, die sich weder verkürzt noch verlängert, die ihre Länge also beibehält. Das ist die „neutrale Faserschicht“, bei der ±  = 0 ist. Diese schneidet jeden

Der Ausdruck y A ist das Moment der Fläche A (Flächenmoment 1. Grades) in Bezug auf die neutrale Faser (Nulllinie). Da es gleich null ist, muss die Nulllinie zugleich Schwerlinie sein, d.h. die neutrale Faser muss durch den Schwerpunkt gehen. Nach der zweiten Gleichgewichtsbedingung ist Fy = 0. Da der Querschnitt bei Biegung auch eine Querkraft zu übertragen hat, führt diese Bedingung zu Schubspannungen . Ist der Querschnitt im Verhältnis zur Stablänge klein, können sie vernachlässigt werden.

Mb max = W b zul

2 Die einzelnen Beanspruchungsarten

D 23

Nach der dritten Gleichgewichtsbedingung ist M = 0. Da der Querschnitt bei Biegung ein Biegemoment Mb zu übertragen hat (siehe inneres Kräftesystem), ergibt sich mit F =  A und deren Innenmoment Mi = Fy : Mb = Mi =  Fy =  A y = = σ d

σ y  A y = d  y 2 A e1 e1

Aus der letzten Entwicklungsform wird der Ausdruck y2A als rein geometrische Rechengröße herausgezogen und als das auf die Nulllinie bezogene axiale Flächenmoment 2. Grades I der Fläche A bezeichnet. Die größten Spannungen d und z treten in den Randfasern auf. Deren Abstände von der Nulllinie sind e1 und e2. Mit I = y2 A werden diese Randfaserspannungen: größte Druckspannung größte Zugspannung

M σ d = e1 b I Mb σ z = e2 I

(19) (20)

Wird weiter das Widerstandsmoment W = I / e eingeführt, also hier W1 = I / e1 und W2 = I / e2, so wird d = Mb / W1 und z = Mb / W2. Ist die Nulllinie N – N zugleich Symmetrieachse des Querschnitts und damit e1 = e2 = e, so sind beide Randfaserspannungen gleich groß. Dann wird grundsätzlich unter b = d = z die Randfaserspannung max verstanden und es ergibt sich die obige BiegeHauptgleichung b = Mb /W. Im unsymmetrischen Querschnitt (Bild 7) sind die Randfaserabstände e1, e2 verschieden groß. Es werden dann zwei verschiedene Widerstandsmomente W1 = I / e1 und W2 = I / e2 berechnet und damit auch zwei verschiedene Randfaserspannungen: größte Zugspannung

σ b2 = σ z max =

M b e2 M b = I W2

M e M größte σ = σ d max = b 1 = b Druckspannung b1 I W1

(21)

2.2.1.4 Voraussetzungen für die Gültigkeit der Biegehauptgleichung a) Gerade Stabachse, also nicht gekrümmt, wie z.B. beim Kranhaken b) die Lastebene liegt in einer Hauptachse des Querschnitts; bei symmetrischem Querschnitt ist das zugleich eine Symmetrieachse c) die Querschnitte sind klein im Verhältnis zur Stablänge d) Normalschnitte bleiben nach der Belastung weiterhin rechtwinklig zur Stabachse und außerdem eben e) für den Werkstoff gilt das Hooke’sche Gesetz f) der Elastizitätsmodul ist für Zug- und Druckbeanspruchung gleich groß, z.B. für Stahl g) die Spannungen bleiben unter der Proportionalitätsgrenze. Scharfe Querschnittsänderungen, wie Kerben, Bohrungen, Hohlkehlen usw. erfordern eine Nachrechnung auf Kerbwirkung, weil im Kerbgrund außergewöhnlich hohe Spannungsspitzen auftreten können. Die Hauptgleichung liefert dann nur die (mittlere) sogenannte Nennspannung n. 2.2.1.5 Querschnittsgestaltung. Die Werkstoffschichten biegebeanspruchter Bauteile werden zur Mitte hin immer weniger beansprucht. Es ist also wirtschaftlicher, sie von dort mehr nach außen zu verlagern, d.h. die größere Stoffmenge außen anzubringen. Diese Überlegung führt zum Doppel-T-Profil und zum Kreisringquerschnitt. Bei ungleicher zulässiger Spannung für Zug und Druck, wie z.B. bei Gusseisen mit z zul: d zul = 1 : 3, muss ein unsymmetrischer Querschnitt gewählt werden. Für das Verhältnis der Randfaserabstände e1, e2 gilt dann e1 σ z zul 1 = = e2 σ d zul 3

(22)

Mit h Profilhöhe, e1 Randfaserabstand der gezogenen und e2 Randfaserabstand der gedrückten Faser wird dann e1 = 0,25 h und e2 = 0,75 h. 2.2.2 Flächenmomente 2. Grades I und Widerstandsmomente W ebener Flächen, Trägheitsradius i

Bild 7. Spannungsverteilung im unsymmetrischen Querschnitt bei Belastung nach Bild 5.

2.2.2.1 Axiales Flächenmoment 2. Grades. Das axiale oder äquatoriale Flächenmoment 2. Grades I einer ebenen Fläche A, bezogen auf eine in der Ebene liegende Achse a – a, ist die Summe der Flächenteilchen A, jedes multipliziert mit dem Quadrat seines rechtwinkligen Abstandes r von dieser Achse (Bild 8):

D 24

D Festigkeitslehre

axiales Flächenmoment bezogen auf die Achse a – a (Ia ist immer > 0)

Ia =  r2 A (23)

I r A mm4 mm mm2 Demgemäß ist für die durch den Punkt 0 der Fläche gehenden, rechtwinklig aufeinander stehenden Achsen x und y: Ix = y 2 A (Ix ist immer > 0)

Iy = x 2 A (Iy ist immer > 0)

(24)

Die axialen und polaren Flächenmomente Ix , Iy , Ip sind wegen der Abstandsquadrate immer positiv. Das Zentrifugalmoment Ixy kann positiv, negativ und null werden. Wird I = A i2 festgelegt, so nennt man i den Trägheitsradius i=

I A

i

I

A

mm

mm4

mm2

(27)

Entsprechend der Definition des Flächenmomentes I ist auch der Trägheitsradius i festgelegt: axial ix = I x / A

2.2.2.2 Polares Flächenmoment 2. Grades. Das polare Flächenmoment 2. Grades Ip einer ebenen Fläche A, bezogen auf einen in der Ebene liegenden Punkt 0, ist die Summe der Flächenteilchen A, jedes multipliziert mit dem Quadrat seines Abstandes r von 0 (Bild 8): polares Flächenmoment bezogen auf den Punkt (Pol) 0 (Ip ist immer > 0)

Ip = r 2A

(25)

axial iy = I y / A polar ip = I p / A

2.2.2.4 Widerstandsmoment. Das Widerstandsmoment W einer ebenen Fläche A ist gleich dem Flächenmoment I, dividiert durch den äußeren Randfaserabstand von der Bezugsachse : Widerstandsmoment W =

Flächenmoment I Randfaserabstand e

2.2.2.3 Zentrifugalmoment. Das Zentrifugalmoment Ixy (Fliehmoment) einer ebenen Fläche A, bezogen auf ein in der Ebene liegendes Achsenpaar (x, y), ist die Summe der Flächenteilchen A, jedes multipliziert mit dem Produkt seiner rechtwinkligen Abstände x und y von beiden Achsen (Bild 8): Zentrifugalmoment bezogen auf die Achsen x und y (I xy kann ≤ 0 sein)

I xy = Σ x y ∆ A

(26)

Bild 9. Randfaserabstand e und r Es sind zu unterscheiden (Bild 9): axiales Widerstandsmoment

Wx =

axiales Widerstandsmoment

Wy =

polares Widerstandsmoment

Wp =

Ix ex

Iy ey Ip r

(28) (29) (30)

W I e, r mm3 mm4 mm

Bild 8. Definition und Berechnung der Flächenmomente 2. Grades

Außerdem kann das Widerstandsmoment aus den Gleichungen nach Tabelle 1 berechnet werden. Ist die Fläche unsymmetrisch (Bild 7), also Oberkante und Unterkante ungleich weit von der Bezugachse entfernt (e1 bzw. e2) so gibt es zwei axiale Widerstandsmomente:

2 Die einzelnen Beanspruchungsarten

Wx1 =

Ix e1

Wx2 =

D 25

Ix e2

(31)

Beachte bei Rechnungen: a) Flächenteilchen dürfen parallel zur Achse verschoben werden, weil sich dabei der Abstand x und y von der Bezugsachse nicht ändert. Das Flächenmoment 2. Grades in Bezug auf diese Achse bleibt also unverändert. b) Die Flächenmomente 2. Grades verschiedener Teilflächen dürfen dann einfach addiert oder subtrahiert werden, wenn sie alle auf die gleiche Achse bezogen sind. c) Die Widerstandsmomente sind immer aus dem Gesamtflächenmoment 2. Grades zu bestimmen. 2.2.2.5 Beziehungen zwischen den Flächenmomenten. Ist Ip das polare Flächenmoment der Fläche A in Bezug auf den Polpunkt 0, ebenso Ix und Iy die axialen Flächenmomente in Bezug auf zwei durch 0 gehende Achsen x und y, die rechtwinklig aufeinander stehen, so ist das polare Flächenmoment Ip gleich der Summe der beiden axialen Flächenmomente Ix und Iy :

Ip = Ix + Iy

(32)

Herleitung: Nach (25) wird mit den Bezeichnungen in Bild 8, insbesondere mit r 2 = x 2 + y 2: Ip =  r 2 A =  (x 2 + y 2) A = = x 2 A + y 2 A = Iy + Ix

2.2.2.6 Steiner’scher Verschiebesatz. Das Flächenmoment für eine beliebige Achse (z.B. a – a in Bild 8) ist gleich dem Flächenmoment 2. Grades für die parallele Schwerachse (s – s), vermehrt um das Produkt aus der Fläche A und dem Quadrat des Achsenabstands (l 2):

Ia = Is + A l 2

(33)

Besteht also eine Fläche A aus mehreren Einzelflächen A1, A2, A3 ..., deren Schwerpunkte die Abstände l1, l2, l3 ... von einer parallelen Achse a – a haben, so gilt: 2

2

2

I a = I1 + A1l1 + I 2 + A2l2 + I 3 + A3l3 ...

(34)

wenn I1, I2, I3 ... die Flächenmomente der Einzelflächen in Bezug auf ihre zu a – a parallelen Schwerachsen s – s sind (Bild 8). Beachte: Der Steiner’sche Verschiebesatz gilt nur für parallele Achsen in Verbindung mit Schwerachsen !

Er wird beim Berechnen des Flächenmomentes 2. Grades zusammengesetzter Querschnitte benutzt. Fallen Teilschwerachsen und parallele Bezugsachse für das Flächenmoment zusammen, sind die Abstände l1, l2, l3 ... gleich null. Die Glieder A1 l 21... fallen dann weg und es wird:

I = I1 + I2 + I3 + ... (35) (Gilt nur, wenn Teil- und Gesamtschwerachse zusammenfallen!) Der Verschiebesatz gilt auch für polare Flächenmomente 2. Grades und – sinngemäß – für Zentrifugalmomente. Bei letzteren sind die Vorzeichen der Abstände la und lb zu beachten (siehe Beispiel). Beachte: Bei parallelen Achsen ist das auf die Schwerachse bezogene Flächenmoment 2. Grades am kleinsten. Herleitung des Verschiebesatzes (Bild 8): Da nach (23) Ia =  r 2 A ist und außerdem r = l + , wird

Ia =  (l + )2 A =  (l 2 + 2 l + 2) A = =  l 2A +  2 l A +  2A geordnet:

Ia =  2 A + l 2A + 2 l  A = Is + Al 2 +0 denn  2 A = Is ist das auf die Schwerlinie bezogene axiale Flächenmoment 2. Grades;  A = A; und  A = 0 als Moment der Fläche A (Flächenmoment 1. Grades) bezogen auf eine Schwerlinie (siehe Schwerpunktslehre). Beachte für alle Rechnungen: Symmetrielinien sind Schwerlinien und zugleich Hauptachsen; das Moment einer Fläche in Bezug auf eine Schwerachse ist null; der Schwerpunkt ist flächenfest, d.h. gegen Drehung invariant; der resultierende Schwerpunkt zweier Teilflächen liegt auf der Verbindungslinie der Teilschwerpunkte. 2.2.2.7 Herleitung einiger Gleichungen für Flächenmomente 2. Grades. Axiales Flächenmoment für Rechteckquerschnitt. Die beiden Sätze (33) und (34) geben die Möglichkeit, Berechnungsgleichungen für Flächenmomente durch einfache Summenrechnung zu entwickeln, z.B. für den Rechteckquerschnitt nach Bild 10. Kunstgriff : Der Querschnitt wird nicht nur in gleichdicke Flächenstreifen A zerlegt, sondern zugleich durch eine Diagonale in zwei Dreiecke zerlegt, von denen nur das linke betrachtet wird. Nach dem Strahlensatz gilt:  A1  A h = ;  A =  A1 y h y

D 26

D Festigkeitslehre

Bild 11. Herleitung der Gleichung für Is (Dreieckquerschnitt) Bild 10. Herleitung der Gleichung für Is (Rechteckquerschnitt) Zuerst wird das Flächenmoment Ia (bezogen auf die Achse a – a) berechnet: I a = y 2 A = y 2 A1

h = h y  A1 y

Der Summenausdruck y A1 ist nach der Schwerpunktslehre (als Summe der Momente der Teilflächen A in Bezug auf die Achse a – a) gleich dem Moment der Gesamtfläche in Bezug auf die gleiche Achse: yA1 = Ay0. Mit Dreiecksfläche A = b h / 2 und 2 h wird Schwerpunktsabstand y0 = 3 2 bh bh3 I a = h y  A 1= h h = 3 2 3

Nach dem Steiner’schen Verschiebesatz (33) lässt sich nun das axiale Flächenmoment Is in Bezug auf die Schwerachse s – s berechnen (mit l = h/2 und A = bh): bh3 h 2 bh3 − bh = 3 4 12 (siehe Tabelle 1) I s = I a − Al 2 =

(36)

Das Widerstandsmoment W ist nach (28) mit e = h /2: I bh3 2 bh 2 W= = = 6 e 12 h (siehe Tabelle 1)

(37)

Axiales Flächenmoment für Dreieckquerschnitt. Das Flächenmoment Ia für die gestrichelte Rechteckfläche ist nach Bild 11: Ia = bh3/12. Die Dreieckfläche ist gleich der halben Rechteckfläche, also ist auch für die gleiche Achse das Flächenmoment der Dreieckfläche Ia = bh3/24. Nach dem Verschiebesatz gilt dann für die Schwerachse s – s (mit l = h/6): bh3 bh h 2 bh3 − ⋅ = 24 2 36 36 (siehe Tabelle 1) I s = I a − Al 2 =

(38)

Bild 12. Herleitung der Gleichung für polares und axiales Flächenmoment 2. Grades (Kreisquerschnitt)

Polares und axiales Flächenmoment für Kreis- und Kreisringquerschnitt. Der Kreisquerschnitt wird nach Bild 12 in viele kleine Kreisausschnitte zerlegt, die als Dreiecke angesehen werden können. Das TeilFlächenmoment eines Dreiecks der Höhe h = r in Bezug auf die Spitze (P) ist: Ip = br3/4. Die Summe aller Flächenmomente 2. Grades ist dann das polare Flächenmoment Ip des Gesamtquerschnittes in Bezug auf die gleiche Achse, hier also bezogen auf den „Pol“ P: br 3 1 3 = r  b und mit b = 2 r π 4 4 1 3 π 4 d I p = r 2 r π = r und mit r = 4 2 2 π 4 I p = d (siehe Tabelle 18) (39) 32 I p = I p = 

Nach (32) ist das polare Flächenmoment 2. Grades gleich der Summe der beiden axialen Flächenmomente. Damit wird das axiale Flächenmoment Ix = Iy =

Ip 2

=

π 4 d (siehe Tabelle 1.) 64

(40)

Für die Kreisringfläche ergeben sich die Flächenmomente aus der Differenz der Flächenmomente für beide Kreisflächen mit gleicher Bezugsachse: π 4 π 4 π D − d = (D 4 − d 4 ) 32 32 32 π 4 4 Ix = Iy = (D − d ) 64 Ip =

(41) (42)

2 Die einzelnen Beanspruchungsarten

D 27

Die Gleichungen für die axialen Flächenmomente 2. Grades in Bezug auf die eigene Schwerachse für verschiedene Querschnittsformen sind in Tabelle 1. zusammengestellt. 2.2.2.8 Hauptachsen. Zwei Achsen, für die das Zentrifugalmoment null ist, heißen zugeordnete oder konjugierte Achsen. Stehen diese beiden Achsen auch noch rechtwinklig aufeinander (Bild 13), heißen sie Hauptachsen I, II und die auf sie bezogenen Flächenmomente 2. Grades Hauptflächenmomente 2. Grades (meist mit II, III bezeichnet). Das Hauptachsenpaar I, II besitzt immer das größte und das kleinste axiale Flächenmoment, eben die Hauptflächenmomente. Jede Symmetrieachse einer Fläche ist auch eine Hauptachse.

2.2.2.9 Flächenmomente 2. Grades zusammengesetzter Flächen. Lässt sich der Querschnitt derart in Teilflächen zerlegen, dass alle Teilschwerachsen mit der Gesamtschwerachse zusammenfallen, dann kann das Flächenmoment des Gesamtquerschnitts aus der Summe oder Differenz der Teil-Flächenmomente berechnet werden (35). Die Gleichungen für die auf die eigene Schwerachse bezogenen Flächenmomente der Teilflächen sind Tabelle 1. zu entnehmen. Beispiele zeigt Bild 14.

Bild 13. Berechnung der Flächenmomente 2. Grades bei Neigung der Achsen Sind für ein beliebiges rechtwinkliges Achsenkreuz x, y die Flächen- und Zentrifugalmomente Ix, Iy, Ixy bekannt, so ergibt sich der Winkel 0, um den das Achsenkreuz gedreht werden muss, damit es die Lage der Hauptachsen annimmt, aus tan 2 α0 =

2 I xy Iy − Ix

(43)

Die Hauptflächenmomente 2. Grades sind I I = I max = I II = I min =

Ix + Iy 2 Ix + Iy 2

1 2 (I y − I x )2 + 4 I xy 2

(44)

Bild 14. Profile mit gleichen Teil- und Gesamtschwerachsen

1 2 (I y − I x )2 + 4 I xy 2

(45)

Lässt sich ein unsymmetrischer Querschnitt nicht in dieser Weise behandeln, geht man zweckmäßig nach folgendem Arbeitsplan vor: a) Der Querschnitt wird in Teilflächen bekannter Schwerpunktslage zerlegt b) die Schwerpunkte der Teilflächen werden bestimmt (siehe Schwerpunkt, C 1.4.2) c) die Flächenmomente der Teilflächen, bezogen auf ihre eigene Schwerachse, werden nach Tabelle 1. berechnet d) ist die Gesamtschwerachse Bezugsachse, so wird auch die Lage des Gesamtschwerpunktes bestimmt e) das Flächenmoment des Querschnitts wird nach dem Steiner’schen Verschiebesatz (34) berechnet.

+ −

(Zeichnerische Methoden zur Berechnung der Flächenmomente bei Neigung der Achsen: Trägheitskreis nach Mohr-Land und Trägheitsellipse.)

Beachte: Unter den Flächenmomenten 2. Grades sind, wenn die Angabe der Bezugspunkte bzw. -achsen fehlt, immer die auf den Schwerpunkt der Fläche bezogenen Hauptflächenmomente zu verstehen. Die Festlegung der Hauptachsen und der auf sie bezogenen Flächenund Widerstandsmomente ist für schief belastete Träger wichtig, um die Belastung mit der Senkrechten zur Achse des größten Widerstandsmomentes zusammenfallen zu lassen.

D 28 „

D Festigkeitslehre

Beispiel: Gesucht: Für den Querschnitt in Bild 15: a) die Schwerpunktsabstände e1, e2 b) die axialen Flächenmomente Ix, Iy c) die Widerstandsmomente Wx1, Wx2, Wy

l 12 ≈ 27 mm 2 l2 = y2 – e1 = (50 – 34,8) mm = 15,2 mm

l2 ≈ 231 mm2 Ix = 213,3  104 mm4 + 0,4  104 mm2  27 mm2 – –18,13  104 mm4 + 0,136  104 mm2  231 mm2 Ix = (224,1  104 – 49,55  104) mm4 = 174,6  104 mm4 Iy = Iy1 – Iy2

Bild 15.

Iy1 =

bh3 80 mm⋅503mm3 = = 83,3⋅104 mm 4 12 12

Iy2 =

bh3 40 mm⋅343mm3 = = 13,1⋅104 mm 4 12 12

Iy = (83,3 – 13,1)  104 mm4 = 70,2  104 mm4 c) Wx1 =

I x 1746⋅103mm 4 = = 50, 2⋅103 mm3 e1 34,8 mm

Wx2 =

I x 1746⋅103mm 4 = = 38,6⋅103 mm3 e2 45,2 mm

Wy = „ Lösung:

Iy e

=

702⋅103mm 4 = 28,1⋅103 mm3 25 mm

Beispiel: Gesucht werden für den Querschnitt eines Blechträgers (Bild 16) unter Berücksichtigung der Nietlöcher das axiale Flächenmoment Ix und das Widerstandsmoment Wx .

a) Ae1 = A1 y1 – A2 y2 A1 = (80  50) mm2 = 4 000 mm2 A2 = (40  34) mm2 = 1 360 mm2 A = A1 – A2 = (4 000 – 1 360) mm2 = 2 640 mm2 y1 = 40 mm

e1 =

e1 =

y2 = 50 mm

A1 y1 − A 2 y2 A

4000 mm 2 ⋅ 40 mm −1360 mm 2 ⋅50 mm 2640 mm 2

e2 = 80 mm − 34,8 mm = 45,2 mm

Bild 16. Querschnitt eines Blechträgers Lösung:

b) Ix = I x1 + A1 l12 − (I x2 + A 2 l22 )

1 ⋅1,5⋅573 12 I Winkel = 4⋅394

= 23 149 cm4

IStegblech =

= 2

bh3 50 mm⋅803mm3 Ix1 = = = 213,3 ⋅104 mm 4 12 12

bh3 34 mm⋅403mm3 Ix2 = = = 18,13⋅104 mm 4 12 12 l1 = y1 – e1 = (40 – 34,8) mm = 5,2 mm

+ 4  29,7  25,06 1 I Gurtplatte = ⋅35⋅(603 − 573 ) 12 I mit Nietlöcher Abzug für Nietlöcher 1 = 2⋅ ⋅ 2,5⋅(603 − 54, 43 ) 12

1 576 cm4

= 74 607 cm4 = 89 854 cm4 = 189 186 cm4

= 22 921 cm4 Ix = 166 265 cm4

2 Die einzelnen Beanspruchungsarten Beachte den hohen Anteil der Gurtplatten am gesamten Flächenmoment 2. Grades. Auch der (ungünstige) Einfluss der Nietlöcher ist beträchtlich ( 14 %); er kann in ungünstigen Fällen noch erheblich wachsen.

D 29 1  1 I y = ⋅16⋅1, 23 +16⋅1, 2⋅1,192 + ⋅1, 2⋅6,83 +1, 2⋅6,8⋅2,812 cm4 ≈ 12  12 ≈ 125, 4 cm 4

Das Widerstandsmoment Wx beträgt: Wx =

„

I x 166 265 cm 4 = = 5 542 cm3 e 30 cm

Beispiel: Gesucht werden für das ungleichschenklige Winkelprofil 80  160  12 mit scharfen Ecken (Bild 17) die Flächen- und Widerstandsmomente sowie das Zentrifugalmoment für die Schwerachsen x, y; die Lage der Hauptachsen; die entsprechenden Hauptflächenmomente; die Trägheitsradien.

c) Widerstandsmomente: Wx1 =

Ix 724 cm 4 = =125 cm3 16 − y0 5,8 cm

Wx2 =

I x 724 cm 4 = = 71 cm3 y0 10, 2 cm Iy

Wy1 =

8 − x0

Wy2 =

Iy x0

=

=

125, 4 cm 4 = 20,19 cm3 6, 21 cm

125, 4 cm 4 = 70 cm3 1,79 cm

d) Fliehmoment: 4 I xy = [1, 2⋅16⋅( − 2, 2)⋅( −1,19) + 6,8⋅1, 2⋅N 5, 2⋅2,81] N cm =   

  

la lb la lb

= 169,5 cm 4

e) Hauptachsen: 2 α0 = arctan

2 I xy Iy − Ix

= arctan

2⋅169,5 cm 4 (125,4 − 724) cm 4

α0 =14, 76D (im II. bzw. IV. Quadranten) f ) Hauptflächenmomente: I I, II =

Bild 17.

724 +125, 4 4 1 cm ± (125, 4 − 724)2 ⋅cm8 + 4⋅169,52 cm8 2 2

II = Imax = 768,7 cm4

III = Imin = 80,74 cm4

g) Trägheitsradien: Lösung:

a) Schwerpunktslage: x0 =

y0 =

(1,2⋅16⋅0,6 + 6,8⋅1, 2⋅ 4,6) cm3 = 1,79 cm (1,2⋅16 + 6,8⋅1, 2) cm 2 (1,2 ⋅16 ⋅8 + 6,8 ⋅1, 2 ⋅15, 4) cm3 = 10, 2 cm ( 16 + 6,8) ⋅1, 2 cm2

ix =

Ix 724 cm 4 = = 5,14 cm A 27,36 cm 2

iI =

II 768 cm 4 = = 5,3 cm = imax A 27,36 cm 2

iy =

b) Flächenmomente: 1  1 I x = ⋅1, 2⋅163 +1, 2⋅16⋅ 2, 22 + ⋅6,8⋅1, 23 + 6,8⋅1, 2⋅5, 22 cm 4  12  12

≈ 724 cm 4

iII =

Iy A

=

125, 4 cm 4 = 2,14 cm 27,36 cm 2

I II 80, 74 cm 4 = =1,72 cm = imin A 27,36 cm 2

D 30

D Festigkeitslehre

Tabelle 1. Axiale Flächenmomente 2. Grades I, Widerstandsmomente W, Flächeninhalte A und Trägheitsradius i verschieden gestalteter Querschnitte für Biegung und Knickung (die Gleichungen gelten für die eingezeichneten Achsen)

Ix =

bh3 12

Iy =

hb3 12

Wx =

bh 2 6

Wy =

hb 2 6

ix = 0,289 h Ix = I y = ID =

Wx = Wy =

iy = 0,289 b h4 12

h3 6

WD = 2

h3 12

ah3 36

2 e= h 3

W=

ah 2 24

i = 0,236 h

6 b 2 + 6 b b 1+ b 12 3 h 36(2 b + b 1)

6 b 2 + 6 b b1 + b12 2 h 12(3 b + 2 b1 )

W=

A=

2 b+b1 h 2

e=

1 3 b+ 2 b1 h 3 2 b+b1

i=

I A

I=

π d4 d4 ≈ 64 20

A=

π 2 d 4

W=

π d3 d3 ≈ 32 10

i=

d 4

I=

π (D 4 − d 4 ) 64

A=

W=

π D4 − d 4 32 D

A = h2

i = 0,289 h

I=

I=

A = bh

A=

ah 2

π 2 (D − d 2 ) 4

i = 0, 25 D 2 + d 2

Ix =

π a 3b 4

Iy =

π b3a 4

ix =

a 2

Wx =

π a 2b 4

Wy =

π b2 a 4

iy =

b 2

A=ab

2 Die einzelnen Beanspruchungsarten

D 31

Tabelle 1. Fortsetzung

Ix =

b

Wx =

π 3 π (a b − a13b1 ) ≈ a 2 d (a + 3 b) 4 4

A = π (ah − a1b 1)

Ix π ≈ ad (a + 3b) 4 a

ix =

Ix = 0,0068 d 4

Iy = 0,0245 d 4

Wx1 = 0,0238 d 3

Wx2 = 0,0323 d 3

Wy = 0,049 d 3 e1 =

Iy = π

R4 − r 4 8

Ix e1

5 3 4 s = 0,5413 s 4 16 5 W = s3 = 0,625 s 3 8 I=

I=

5 3 4 s = 0,5413 s 4 16

W = 0,5413 s3 Ix =

b (H 3 − h3 ) 12

Wx =

b (H 3 − h3 ) 6H

ix =

H 3 − h3 12 (H − h)

I=

b(h3 − h31 ) + b 1(h31 − h32) 12

W=

ix = 0,132 d

4r = 0, 4244 r 3π

I x = 0,1098 (R 4 − r 4 ) − 0, 283 R 2 r 2

Wx1 =

Ix A

b(h3 − h31 ) + b 1(h31 − h32) 6h

R−r R+r Wy =

π (R 4 − r 4 ) 8R

Wx2 =

Ix e2

A=

e1 =

2(D3 − d 3 ) 3 π (D 2 − d 2 )

3 3 s2 2

i = 0,456 s A=

3 3 s2 2

I = 0,456 s Iy = Wy =

b3 (H − h) 12

A = b ( H − h)

b2 (H − h) 6

iy = 0, 289 b A = bh – b1h2 – h1 (b –b1)

i=

I A

I=

BH 3 + bh3 12

W=

BH 3 + bh3 6H

A = BH + bh

i=

I A

D 32

D Festigkeitslehre

Tabelle 1. Fortsetzung I=

BH 3 − bh3 12

W=

BH 3 − bh3 6H

A = BH − bh

i=

I A

1 I = (Be13 − bh3 + ae23 ) 3

A = Bd + a (H − d )

1 aH 2 + bd 2 e1 = ⋅ 2 aH + bd

i=

I A

e2 = H − e1

1 I = (Be13 − bh3 + B1e23 − b1h13 ) 3 2

A = Bd + b1d1 + a (h + h1 )

2

1 aH + bd + b1d1 (2 H − d1 ) e1 = ⋅ 2 aH + bd + b1d1

e2

2.2.3 Rechnerische Bestimmung der Stützkräfte, Querkräfte und Biegemomente 2.2.3.1 Stützkräfte. Die Stützkräfte FA, FB sind die in den Stützlagern (Bild 18) wirkenden Reaktionskräfte gegen die äußeren Kräfte. Nehmen die Lager des Biegeträgers nur lotrechte Lasten auf, so bezeichnet man sie als Auflager oder Stützlager. Mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen Fy = 0; M = 0 werden die Stützkräfte FA, FB berechnet. Dabei werden die über der Länge l aufliegenden Streckenlasten (Gewichtskraft, gleichmäßig verteilte Lasten, Dreieckslasten u.a.) als im Schwerpunkt der Streckenlast angreifende Einzellast behandelt. Ist F' die Belastung der Längeneinheit (z.B. in N/m, N/mm), so ergibt sich als Resultierende der Streckenlast (Bild 19).

F=F'l

i=

H e1

F

F'

l

N

N m

m

(46)

Mit den Bezeichnungen des Bildes 18 ist die Resultierende der Streckenlast: F1 = F' c = 2 000 N/m  3 m = 6 000 N. Die Momentengleichgewichtsbedingung um den Lagerpunkt A ergibt damit: und daraus  M(A) = 0 = – Fa – F1a1 + FBl

I A

Fa + F1a1 = l 6000 N⋅1,5 m + 6000 N ⋅3,5 m = = 5000 N 6m

FB =

aus  Fy = 0 = + FA + FB – F – F1 ergibt sich

FA = F + F1 – FB = = 6 000 N + 6 000 N – 5 000 N = 7 000 N Zur Kontrolle der Rechnung sollte  M(B) = 0 angesetzt und daraus FA berechnet werden.

2.2.3.2 Querkräfte. Die Querkräfte Fq (siehe auch 2.2.1.1) sind alle rechtwinklig zu einer Stabachse wirkenden Kräfte; also auch die Stützkräfte FA, FB. Betrag und Richtung der Querkraft eines beliebigen Querschnitts (z.B. Querschnitt x – x im Abstand lx vom linken Stützlager A in den Bildern 18 und 19) werden am einfachsten durch Aufzeichnung der Querkraftfläche oder Querkraftlinie (= Begrenzung der Querkraftfläche) bestimmt. Dazu „wandert“ man rückwärts gehend auf der Nulllinie 0 – 0 (Bilder 18 und 19) vom linken zum rechten Stützlager und trägt fortlaufend maßstäblich die jeweils „sichtbaren“ Querkräfte aneinander an.

2 Die einzelnen Beanspruchungsarten

D 33

Für die Schnittstelle x – x wird in Bild 18: Fqx = FA und in Bild 19:

Fqx = + FA – F 'lx Die Querkraftlinie verläuft bei Einzellasten parallel zur Nulllinie (Bild 18) und ist bei Streckenlasten eine zur Nulllinie geneigte Gerade (Bild 19). Beweis nach Bild 19: Für die Stelle x ist Fqx =+FA − F ' lx =

x=

FA − F c F1

(47)

Mit Hilfe der Querkraftfläche in Bild 18 ergeben sich folgende Biegemomente:

MbI = FA a = 7 000 N  1,5 m = 10 500 Nm MbII = MbI + (FA – F)(c1 – a) = = 10 500 Nm + 1 000 N  0,5 m = 11 000 Nm

F F 'l − F ' lx = − F ' lx 2 2

Das ist die Gleichung einer geneigten Geraden; die Neigung ist proportional der Streckenlast F ' (je größer F ', desto stärker die Neigung und umgekehrt). Für lx = 0 wird Fq =

F 'l = FA 2

(in Stützpunkt A); für lx = l / 2 wird Fq = 0 (in Trägermitte). In Bild 19 wurde der Beweis zeichnerisch geführt (Kräfteplan), indem die Teilkräfte F ', jeweils im Schwerpunkt angreifend, als Teil-Querkräfte aneinander gereiht wurden.

2.2.3.3 Biegemomente Mb (siehe auch 2.2.1.1). Das Biegemoment für einen beliebigen Querschnitt ist die algebraische Summe der statischen Momente aller links oder rechts vom Querschnitt angreifenden äußeren Kräfte (einschließlich der Stützkräfte). Praktisch rechnet man mit der Seite, an der die wenigsten Kräfte angreifen. Betrag und Richtung des Biegemoments eines beliebigen Querschnitts (z.B. Querschnitt x – x im Abstand lx vom linken Stützlager A in den Bildern 18 und 19) werden am einfachsten durch Aufzeichnung der Querkraftfläche bestimmt. Vom linken Stützlager A nach rechts fortschreitend entspricht die dabei „überstrichene“ Querkraftfläche Aq dem Biegemoment des betreffenden Querschnitts. Nach Bild 18 wird damit das Biegemoment Mbx der Schnittstelle x:

Mbx  Aq = FA lx Vielfach wird nur das maximale Biegemoment Mb max gebraucht. Es liegt immer dort, wo die Querkraftlinie durch die Nulllinie läuft (Nulldurchgang). In einigen Fällen ist dann noch das Durchgangsmaß x (oder y) wie in Bild 18 zu bestimmen. Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke HNE und EGD folgt mit den bezeichneten Querkraft- und Längenmaßen das Durchgangsmaß

Bild 18. Stützkräfte FA, FB, Querkräfte und Biegemomente bei Einzel- und Streckenlast N m

F

= 6 000 N; F ' = 2 000

F1 a a1 c1

= F  c = 6 000 N = 1,5 m; b = 4,5 m; c = 3 m = 3,5 m; b1 = 2,5 m; l = 6 m = 2 m; c2 = 1 m

Stützkräfte: FA = 7 000 N; FB = 5 000 N Biegemomente: MbI = FA  a = 7 000 N  1,5 m = 10 500 Nm MbII = FA  c1 – F  (c1 – a) = 7 000 N  2 m – 6 000 N  (2 m – 1,5 m) MbII = 11 000 Nm MbIII = FB  c2 = 5 000 N  1 m = 5 000 Nm

D 34

D Festigkeitslehre

Bild 19. Stützkräfte FA, FB, Querkräfte und Biegemomente bei Streckenlast Streckenlast F ' = 2 000 N/m, l = 6 m Man kann auch rein rechnerisch vorgehen (Summe aller Momente links von Schnittstelle II):

MbII = FAc1 – F(c1 – a) = = 7 000 N  2 m – 6 000 N  0,5 m = = 11 000 Nm MbIII = FBc2 = 5 000 N  1 m = 5 000 Nm Mb max = FB (y + c2 ) − F ' y

y 2

darin ist y = c – x und nach (47) x=

(7000 − 6000) N FA − F c= = 0,5 m 6000 N F1

also y = 3 m – 0,5 m = 2,5 m. M b max = 5000 N (2,5 + 1) m −

– 2000

N ⋅2,5 m⋅1,25 m = 11250 Nm m

oder mit der Querkraftfläche rechts vom Nulldurchgang: y M b max = FBc2 + FB  Rechteck2  y fläche + Dreieckfläche = FB c2 +   2

M b max = 5 000 N (1+1,25) m = 11 250 Nm

Die Momentenfläche oder Momentenlinie entsteht, wenn die Biegemomente der einzelnen Querschnitte maßstäblich als Ordinaten von einer Nulllinie aus aufgetragen werden. Die Momentenlinie ist bei Einzelkräften eine geneigte Gerade, bei Streckenlasten eine Parabel, wie auch Bild 19 zeigt. Danach wird das Biegemoment Mbx an der Schnittstelle x: ˆ Trapezfläche = M bx =

für FA = FB =

FA + Fq x 2

F F 'l = und 2 2

für Fqx = FA − F ' lx eingesetzt: F 'l F 'l + − F ' lx F 'l F ' lx2 2 Mbx = 2 lx − = lx − 2 2 2 =

F' (llx − lx2 ) 2

d.h. bei Streckenlast ist die Momentenlinie eine Parabel. Das maximale Biegemoment liegt in Balkenmitte, also bei lx = l/2

2 Die einzelnen Beanspruchungsarten

M b max =

F 'l 2 F l = 8 8

Beachte: Die Momentenlinie gibt bei Biegeträgern mit gleich bleibendem Querschnitt zugleich den Verlauf der Randfaserspannung über die Balkenlänge an. An der Mb max-Stelle ist also auch die Randfaserspannung am größten. Zusammenfassung: Das Biegemoment Mb entspricht der Querkraftfläche Aq links oder rechts von der betrachteten Querschnittsstelle unter Beachtung der Vorzeichen der Flächen. Das größte Biegemoment Mb max liegt dort, wo die Querkraftlinie „durch null“ geht (Nulldurchgang) oder wo die Seileckfläche ihre größte Ordinate ymax besitzt. Geht die Querkraftlinie mehrfach durch null, müssen zum Vergleich die Biegemomente für alle Nulldurchgänge berechnet werden. Kontrolle der Querkraftfläche: Die Summe aller positiven Flächenteile (oberhalb 0 – 0) muss gleich der Summe aller negativen (unterhalb 0 – 0) sein, also

D 35  Aq = 0, weil entsprechend beim statisch bestimmt gelagerten Träger die  M = 0 sein muss. Vereinbarung: Biegemomente sind positiv, wenn in den oberen Fasern des Biegeträgers Druck- und in den unteren Fasern Zugspannungen ausgelöst werden. 2.2.4 Zeichnerische Bestimmung der Stützkräfte, Querkräfte und Biegemomente 2.2.4.1 Stützkräfte. Die Stützkräfte FA, FB werden durch Krafteck- und Seileckzeichnung gefunden (Bilder 19 und 20); siehe auch „Statik“. Im Kräfteplan werden die Lasten F = 6 000 N und F1 = F 'c = 6 000 N maßstäblich und richtungsgemäß aneinander gezeichnet. Mit Hilfe der Polstrahlen 0, 1, 2..., zum beliebigen Pol M werden die Seilstrahlen 0', 1', 2'... durch Parallelverschiebung gezeichnet. Die Schlusslinie S' des Seilecks wird in den Kräfteplan übertragen (S ) und schneidet dort im Teilpunkt T die Stützkräfte FB, FA ab. Das Krafteck der Kräfte F, F1, FB, FA muss sich schließen.

Bild 20. Stützkräfte FA, FB, Querkräfte und Biegemomente bei Einzelund Streckenlast

D 36

D Festigkeitslehre

2.2.4.2 Querkräfte. Die Querkräfte Fq werden aus dem Kräfteplan herübergelotet und auf ihren aus dem Lageplan heruntergeloteten Wirklinien aufgetragen. Damit ergibt sich die Querkraftlinie. Sie ist bei Streckenlast eine geneigte Gerade, wie in Bild 19 nachgewiesen worden ist. Der Nulldurchgang legt die Mb max-Stelle fest. Die Querkraftfläche links oder rechts vom Nulldurchgang entspricht dem größten Biegemoment: Aq1

„

Beispiel: Ein Holzbalken hat einem Rechteckquerschnitt von 200 mm Höhe und 100 mm Breite. Welches größte Biegemoment kann er hochkant- und welches flachliegend aufnehmen, wenn 8 N/mm2 Biegespannung nicht überschritten werden soll?

Lösung: Mb max = W b zul

bh 2 6 Mb max, hoch = Whoch b zul W=

Aq2 ˆ M b max

M b max, hoch =

Die Durchgangsmaße x und y können unter Berücksichtigung des Längenmaßstabes abgegriffen werden (Bild 20).

100 mm⋅(200 mm)2 N ⋅8 = 6 mm 2

= 5333⋅103 Nmm Mb max, flach = Wflach b zul M b max, flach =

2.2.4.3 Biegemomente. Die Biegemomente Mb werden zeichnerisch mit Hilfe der Seileckfläche bestimmt. Die Seilstrahlen liefern mit der Schlusslinie S' die Momentenlinie. Sie ist im Bereich der Streckenlast eine Parabel Aus der Ähnlichkeit der schraffierten Dreiecke (Bild 20) im Seileck und Kräfteplan ergibt sich: yI

FA = und daraus FA a = Hy I = M bI a H

(48)

200 mm⋅(100 mm)2 N ⋅8 = 6 mm 2

= 2667⋅103 Nmm Mb max, hoch = 2  Mb max, flach „

Beispiel: Der Freiträger nach Bild 21 trägt die Einzellasten

F1 = 15 kN,

F2 = 9 kN,

l1 = 2 m,

l2 = 1,5 m, l3 = 0,8 m

σ b zul = 120

F3 = 20 kN

N mm 2

Nun ist aber FA a = Mb I das Biegemoment an der Balkenstelle I, so dass allgemein gilt: Das Biegemoment Mb an einer beliebigen Balkenstelle ist gleich dem Produkt aus der Ordinate y des Seilecks und dem Polabstand H des Kräfteplans unter Berücksichtigung von Längenmaßstab mL in m/cm oder cm/cm und Kräftemaßstab mK in N/cm.

Mb Mb = H y mK mL

Nm

H, y

mK

mL

cm

N cm

m cm

Bild 21. Freiträger (49)

Das größte Biegemoment Mb max in Bild 20 wird mit Polabstand H = 2,5 cm, ymax = 1,125 cm, Kräftemaßstab mK = 4 000 N/cm und Längenmaßstab mL = 1 m/cm M b max = H ymax mK mL =

Nach Bild 19 ergibt sich ebenso

Mb max = (15  2 + 9  1,5 + 20  0,8) kNm = 59,5 kNm

= 59,5  106 Nmm 59,5⋅106 Nmm = 496⋅103 mm3 N 120 2 mm c) IPE 300 mit 557  103 mm3

b) Werf =

M b max = H ymax mK mL =

= 9000 Nm

Lösung:

a) Mb max = F1 l1 + F2 l2 + F3 l3

N m = 2,5 cm⋅1,125 cm⋅ 4000 ⋅1 = cm cm =11 250 Nm

= 3 cm⋅0,56 cm⋅ 4000

Zu ermitteln sind: a) Mb max b) das erforderliche Widerstandsmoment Werf c) das erforderliche IPE-Profil nach Tabelle 10 d) die größte Biegespannung

N 4 m ⋅ = cm 3 cm

M b max

σ b zul

d) σ b vorh =

=

M b max W

=

59 500 ⋅103 Nmm N = 107 557 ⋅103 mm3 mm 2

2 Die einzelnen Beanspruchungsarten „

Beispiel: Das Konsolblech einer Stahlbaukonstruktion ist nach Bild 22 als Schweißverbindung ausgelegt. F = 26 kN Höchstlast. Für a = 8 mm Schweißnahtdicke sind zu berechnen:

a) die Biegespannung schw b im gefährdeten Querschnitt b) die Schubspannung schw s Lösung: Bei allen Schweißverbindungen wird die Nahtdicke a in die Ebene des gefährdeten Querschnittes hinein geklappt.

Mb = Fl Fq = F B

H3

·

b · h3

(2a + s) · (2a + h)3 – s · h3 Wx = 6(2a + h) H

(nach Tabelle 1)

Mb = F l = 26 000 N  320 mm

Mb = 8 320  103 Nmm Wx =

D 37 2.2.4.4 Wandernde Last (Bild 23). Bei Brücken, Kranen und sonstigen Tragwerken muss diejenige Stellung einer gegebenen Kräftegruppe (F1, F2, F3) herausgefunden werden, bei der der Balken am stärksten beansprucht wird. Statt nun für verschiedene Laststellungen auf dem festgehaltenen Balken jeweils ein neues Seileck zu zeichnen, wird einfach zu einer beliebigen Laststellung in üblicher Weise Kraft- und Seileck gezeichnet und der Balken relativ zum festgehaltenen Seileck verschoben. Dadurch entstehen immer neue Schlusslinien S1, S2, S3 ... als einhüllende Tangenten einer Parabel. Mb max tritt hier unter der Kraft F1 auf, wie das Seileck zeigt. Die zugehörige Balkenstellung mit der Schlusslinie S wird durch die Tangente an die Parabel in T gefunden. Damit ist auch der gefährdete Querschnitt bei ungünstigster Laststellung bestimmt (Maß l1). Nach Bild 23 ist Mb max = FA l1.

28 mm⋅(266 mm)3 −12 mm⋅(250 mm)3 =105689 mm3 6⋅266 mm

schw b =

Mb 8320⋅103 Nmm N = = 78,7 Wx 105,689⋅103 mm3 mm 2

b) τ schw s =

τ schw s =

Fq A

=

Fq

(2 a + s ) (2 a + h) − s h

26 000 N N = 5,8 28 mm⋅ 266 mm −12 mm⋅ 250 mm mm 2

Bild 23. Wandernde Last mit Lageplan, Krafteck, Seileck, ungünstigste Laststellung

2.2.5 Träger gleicher Biegebeanspruchung Bild 22. Konsolblech

Hat ein Biegeträger durchgehend gleichen Querschnitt (besser: gleiches axiales Flächenmoment), so tritt nur im gefährdeten Querschnitt (Mb max -Stelle) die größte Randspannung auf. Alle anderen Querschnittsstellen haben ein kleineres Biegemoment und deshalb eine kleinere Randspannung; sie könnten also schwächer gestaltet werden. Das wird erreicht durch Anformung, d.h. der Querschnittsverlauf folgt dem Gesetz  = Mb / W = konstant = zul. Damit wird das erforderliche Widerstandsmoment W an beliebiger Balkenstelle x: Wx = Mx / zul. „

Beispiel: Konsolträger (Freiträger) nach Bild 24 mit gleichbleibender Breite b werden der Höhe h nach angeformt. by 2 Mit Biegemoment Mx = F x und Wx = folgt aus der Bedin6 gung gleich bleibender Biegespannung  an jeder Balkenstelle:

D 38

D Festigkeitslehre

M b max Wmax

=

Wmax =

s + s rx + e = rx s

Mx ; M b max = Fl Wx bh 2 6

1+

Fl 6 Fx 6 = 2 bh 2 by y=h

x l

s e s e =1+ oder auch = rx rx s s

∆s = Dehnung  ist, wird mit dem Hooke’schen s ∆s e σ = = ∈ = x und daraus der Gesetz (8): s rx E

Da

Krümmungsradius rx =

eE

σx

.

Der Kehrwert heißt Krümmung k =

Bild 24. Träger gleicher Biegebeanspruchung (Konsolträger), siehe auch Tabelle 2 Die Begrenzungskurve ist eine quadratische Parabel. Praktisch wählt man als Begrenzung für eine angenäherte Form die gestrichelte Tangente. Die größere Bedeutung haben die ersten fünf Freiträger in Tabelle 2.

2.2.6 Formänderung beim Biegen (Durchbiegung, Krümmung)

1 σ = x . rx eE

Wird für die Biegespannung x = Mx/W nach (15) eingesetzt und nach (31) für We = Flächenmoment I, so ergibt sich:

rx =

EI Mx

kx =

1 M = x rx EI

rx mm

E

I

Mx

(50)

N mm4 Nmm (51) mm 2

Beachte: Die Einspannstelle hat die stärkste Krümmung kmax und den kleinsten Krümmungsradius rmin.

Beim Biegeträger kürzen sich die Faserschichten auf der einen und verlängern sich auf der gegenüberliegenden Seite. Nur die neutrale Faserschicht behält ihre ursprüngliche Länge bei; jedoch wird die vorher gerade Stabachse elastisch gekrümmt. Die entstandene Kurve der Stabachse heißt elastische Linie oder Biegelinie. Die geometrischen Verhältnisse in Verbindung mit dem Hooke’schen Gesetz ergeben die „Gleichung der elastischen Linie“, die Durchbiegungsgleichung. 2.2.6.1 Krümmungsradius, Krümmung (Bild 25). Durch die elastische Krümmung der Stabachse des Freiträgers mit gleich bleibendem Querschnitt werden zwei (unendlich) dicht benachbarte Querschnitte 1 – 1' und 2 – 2' gegeneinander geneigt (Winkel ). Ihre Fluchtlinien schneiden sich im Krümmungsmittelpunkt 0 und ergeben den Krümmungsradius r an dieser Balkenstelle (x). 0 ist der Mittelpunkt eines Kreisbogenstücks der (ganz kurzen) Länge s. s ist ein (sehr kleiner) Teil der Biegelinie. Gegenüber der unveränderten neutralen Faser ist die Zugfaser gestreckt, also auch das Teilstück s um den Betrag s. Nach dem Strahlensatz gilt:

Bild 25. Geometrische Verhältnisse am einseitig eingespannten Biegeträger (Freiträger) mit Einzellast; Krümmung stark übertrieben gezeichnet

2 Die einzelnen Beanspruchungsarten

D 39

Tabelle 2. Träger gleicher Biegebeanspruchung Längs- und Querschnitt des Trägers

Begrenzung des Längsschnittes

Gleichungen zur Berechnung der Querschnitts-Abmessungen

Die Last F greift am Ende des Trägers an : obere Begrenzung: Gerade untere Begrenzung: Quadratische Parabel

6F 6 Fl ; y=h x ; h= b σ zul b σ zul

y=

3

Durchbiegung in A: f =

6F

y=

h 2 σ zul

Gerade

x ; b=

8 F l    b Eh

6 Fl h 2 σ zul

; y=

bx l 3

Durchbiegung in A: f =

y =3 Kubische Parabel

x l

6 Fl    b Eh

32 F 32 Fl x ; d =3 ; y=d π σ zul π σ zul

3

x l

π d4 3 Fl 3 Durchbiegung in A: f = ⋅ ; I= 5 EI 64

Die Last F ist gleichmäßig über den Träger verteilt:

Gerade

Quadratische Parabel

Last F wirkt in C: obere Begrenzung: zwei Quadratische Parabeln

3F 3 Fl hx ; h= ; y= l b l σ zul b σ zul

y=x

2 3 F  x 3 Fl b x2 ; y= 2   ; b= 2 l σ zul  h  h σ zul l

y=

3

Durchbiegung in A: f =

3 Fl    b Eh

y=

x 6 F (l − a ) x =h b l σ zul a

y1 =

x1 6 Fa x =h b l σ zul 1 l −a 6 F (l − a) a b l σ zul

h= Die Last F ist gleichmäßig über den Träger verteilt:

x2 2

obere Begrenzung: Ellipse

l     2

+

y2 h2

=1; h =

3 Fl 4 b σ zul

Durchbiegung in C: f=

3 1 F l3 3 F  l  ⋅ = ⋅   64 EI 16 b E  h 

D 40 „

D Festigkeitslehre

Beispiel: Eine Achse aus Stahl wird nach Tabelle 2., dritte Zeile, mit F = 10 kN belastet. Die zulässige Biegespannung beträgt 30 N/mm2, die Länge l = 350 mm. Zu bestimmen sind a) Durchmesser d, b) Durchbiegung f, c) Durchmesser y1, y2 ... für die Lastentfernung x1 = 1/8 l, x2 = 1/4 l, x3 = 1/2 l, x4 = 3/4 l, x5 = l, jeweils in Abhängigkeit vom Durchmesser d.

f=

1 AM x0 EI

(53)

Durchbiegung und Neigung der Biegelinie werden für allgemeine Fälle zweckmäßiger nach 2.2.6.4 bestimmt (Mohr’scher Satz).

Lösung:

a) d = 3

der Teilflächen gleich dem Moment der Gesamtfläche; also  Mxsx =  AM x = AM x0 mit x0 = Schwerpunktsabstand der Gesamtfläche vom Lastende. Damit wird die Durchbiegung:

32 F l 32⋅104 N⋅350 mm =3 = 106 mm N π σ b zul π ⋅30 2 mm

3 F l 3 3F l 3 64 b) f = ⋅ = = 5 EI 5 E π d4 =

3⋅64⋅104 N⋅3503mm3 ≈ 0, 2 mm N 5π ⋅2,1⋅105 ⋅1064 mm 4 2 mm

c) Lastentfernung x=

1 l 8

1 l 4

1 l 2

3 l 4

1 1 3 Wurzel- 3 1 = 0,5 3 = 0,63 3 = 0,8 3 = 0,91 faktor = 8 2 4 4 Durchmesser y=

0,5 d = 54 mm

0,63 d = 67 mm

0,8 d = 85 mm

0,91 d = 96,5 mm

l

1

d= 106 mm

2.2.6.2 Allgemeine Durchbiegungsgleichung (Bild 26). Durch die Neigung der einzelnen Querschnitte entsteht am Balkenende die Durchbiegung f. Werden in den Punkten 1 und 2 an die Biegelinie die Tangenten angelegt, schließen sie ebenso wie der Krümmungsradius rx den Winkel  ein. Die Tangenten schneiden auf der Senkrechten am Balkenende von der gesamten Durchbiegung f das (stark übertriebene) Stück f ab. Es ist also f =  f. Aus der Ähnlichkeit der schraffierten Dreiecke folgt:

Bild 26. Zur Herleitung der Durchbiegungsgleichung

s f sx = oder f = rx rx x EI s xM x eingesetzt ergibt f = Mx EI und damit die Durchbiegung

Nach (50) rx =

1 f=  M x sx EI

(52)

Der Ausdruck Mxs entspricht nach Bild 26 dem Teilstück  AM der gesamten Momentenfläche AM, und Mx sx ist dann das Moment dieser Teilfläche in Bezug auf das Lastende des Balkens: Mx sx = AM x. Nach der Schwerpunktslehre ist aber die Summe der Momente

Bild 27. Durchbiegung beim Freiträger mit Streckenlast (gleichmäßig verteilter Last) Eine ähnliche Summenbetrachtung führt zum Neigungswinkel der Biegelinie (Endtangente): Da je zwei (unendlich) dicht benachbarte Tangenten den Winkel  einschließen, setzen sich alle diese Winkel zum Winkel der Endtangente zusammen: = . Da arc  (= Bogenmaß des Winkels ) = s/r ist, wird s sM 1 1 = arc α =  =  Ms =  AM r EI EI EI

2 Die einzelnen Beanspruchungsarten

D 41

Für kleine Winkel ist arc = tan und damit die Neigung der Biegelinie in den Endpunkten: tan α =

1 f AM = EI x0

(54)

Mit Hilfe der vorstehenden Gleichungen und Erkenntnisse lassen sich die in Tabelle 3. (Seite D63) zusammengestellten Gleichungen entwickeln, wie die folgenden Beispiele zeigen.

Daraus wird der Mohr’sche Satz abgeleitet:

2.2.6.3 Beispiele zur Durchbiegungsgleichung 1. Für den vorstehend behandelten Freiträger mit Einzellast (Bild 26) ist die Momentenfläche AM eine Dreiecksfläche = Mmax

l Fll Fl 2 = = 2 2 2

und der

2 l. Damit 3 ergibt sich nach der allgemeinen Durchbiegungsgleichung die Durchbiegung

Schwerpunktsabstand dieser Fläche x0 =

f=

1 F l2 2 F l3 ⋅ ⋅ l= EI 2 3 3EI

(55)

ebenso die Neigung der Biegelinie aus: tan α =

1 F l 2 F l2 ⋅ = EI 2 2 EI

(56)

oder auch aus:

tan α =

2.2.6.4 Geometrisch-analytische Bestimmung der Durchbiegung. Biegemomentengleichung und allgemeine Durchbiegungsgleichung zeigen eine Gesetzähnlichkeit, die zur Bestimmung der Durchbiegung von Trägern benutzt wird: Biegemomentengleichung: Mx = Kraft F  Wirkabstand x Durchbiegungsgleichung: EI fx = Momentenfläche AM  Schwerpunktsabstand x0 (vgl. 53).

Die EI-fachen Durchbiegungen eines Trägers sind gleich den Biegemomenten des mit der Momentenfläche AM belasteten Hilfsträgers und die EI-fachen Neigungen der Biegelinie in den Stützlagern sind gleich den Hilfs-Stützkräften Aa, Ab, des gleicherweise belasteten Hilfsträgers. Man denkt sich also einen Hilfsträger (Bild 28), belastet ihn mit der Momentenfläche (als „Hilfskräfte“) und bestimmt deren „Biegemoment“ an der betrachteten Stelle. Dieser Wert wird durch EI dividiert. Das ergibt die Durchbiegung fx an dieser Stelle. Die maximale Durchbiegung fmax entspricht also dem maximalen „Biegemoment“ des Hilfsträgers. Sie kann ebenso wie das maximale Biegemoment Mmax des richtigen Trägers mit Hilfe der Querkraftfläche gefunden werden (Nulldurchgang!). Die Neigung der Biegelinie entspricht den Hilfs-Stützkräften Aa und Ab. „

3

2

f Fl 3 Fl = ⋅ = (vgl. mit Tabelle 3) x0 3EI 2 l 2 EI

Beispiel: Für den Stützträger (Bild 28) mit Einzelkraft in der Mitte ist die Gleichung der elastischen Linie zu entwickeln.

2. Für den Freiträger mit gleichmäßig verteilter Streckenlast nach Bild 27 ist die Momentenfläche eine Parabel. Im Abschnitt Mathematik wird gezeigt, dass die Parabelfläche gleich einem Drittel der umschriebenen Rechteckfläche ist und dass der Schwerpunkts3 abstand x0 = l beträgt. 4 Fl Mit Mmax = (halb so groß wie bei Einzellast am 2 Balkenende) und 1 Fl 3 l und x0 = l wird nach (53) die 3 2 4 Durchbiegung AM =

f=

1 1 F l2 3 F l3 ⋅ ⋅ ⋅ l= EI 3 2 4 8EI

(57)

Weiter wird die Neigung berechnet aus tan α =

1 1 Fl F l2 ⋅ ⋅ ⋅l = (vgl. mit Tabelle 3.) EI 3 2 6 EI

(58)

Bild 28. Zur geometrisch-analytischen Bestimmung der Durchbiegung

D 42

D Festigkeitslehre

Lösung: a) Stützkräfte FA, FB: Aus der symmetrischen Belastung ergibt sich F FA = FB = 2

„

Beispiel: Für den Stützträger (Bild 29) mit gleichbleibendem Querschnitt und Ix = 29 210 cm4 ist die größte Durchbiegung fmax und die Neigung der Biegelinie in den Stützlagern zu bestimmen.

b) Biegemoment M: An der Querschnittsstelle x ist Mx = FA x =

Fx 2

c) Biegemomentenfläche AM : Für Querschnittsstelle x ist x Fx x Fx 2 Ax = M x = = 2 2 2 4

d) Hilfs -Stützkräfte Aa , Ab , des mit der Momentenfläche belasteten Hilfsträgers sind wegen Symmetrie: M max l Fl F l2 = Aa = Ab , und mit M max = wird Aa = Ab = 2⋅ 2 4 16

e) Hilfsbiegemoment an der Querschnittsstelle x ist gleich dem EI-fachen der Durchbiegung fx: x F l2 Fx 2 x EI f x = Aa x − Ax = x− ⋅ = 3 16 4 3

=

F l 2 4 x3  F l 3 x 4 x3  x− =   − 3  16  3 l2    16  l 3 l 

Fl  x 4 x3   − 3  fx = 16 EI  l 3l  3

Lösung: a) Stützkräfte FA, FB:  y = 0 = FA – F1 – F2 + FB  M(A) = 0 = – FB  10 m + F2  6 m + F1  3 m

FB =

20⋅103 N⋅6 m +10⋅103 N⋅3 m = 15 000 N 10 m

FA = 30  103 N – 15  103 N = 15 000 N

(Kontrolle mit  M(B) durchführen)

b) Biegemomente M: M1 = FA  3 m = 15 000 N  3 m = 45 000 Nm M2 = FB  4 m = 15 000 N  4 m = 60 000 Nm c) Biegemomentenfläche AM: M ⋅3 m 45 000 Nm ⋅3 m A1 = 1 = = 67 500 Nm 2 2 2 A2 = A1 = 67 500 Nm2 A3 =

M 2 ⋅3 m 60 000 Nm⋅3 m = = 90 000 Nm 2 2 2

A4 =

M 2 ⋅4 m 60 000 Nm⋅4 m = = 120 000 Nm 2 2 2

die Gleichung der elastischen Linie für diesen Träger. Fl 3 l wird fx = fmax = 48 EI 2

Für x =

Die Neigung der Biegelinie in den Stützlagern ergibt sich aus den Hilfsstützkräften: tan α =

2

1 1 Fl A = ⋅ EI a EI 16

Meistens muss nur die größte Durchbiegung fmax bestimmt werden. Dann ergibt sich nach Bild 28 (Hilfsträger und Querkraftfläche): l l EI f max = A a − A1 2 6

und mit den Werten für Aa und A1: Fl 2 l Fl l l Fl 3 EI f max = − ⋅ ⋅ = 16 2 4 4 6 48

Fl 3 f max = 48 EI

Noch einfacher wird das maximale Hilfs-Biegemoment aus der  Fl 2  Querkraftfläche abgelesen)   mit A a = A1 = 16  :   l Fl 2 l EI f max = A a = ⋅ 3 16 3 f max =

Fl 3 (vgl. auch mit Tabelle 3) 48 EI

d) Hilfsstützkräfte Aa , Ab:  y = 0 = Aa – A1 – A2 – A3 – A4 + Ab  M(A) = 0 = + Ab  10 m – A4  7,33 m – A3  5 m – – A2  4 m – A1  2m

Ab = 173 460 Nm2;

Aa = A – Ab = 171 540 Nm2

(Probe mit  M(B) durchführen)

e) Das Hilfsbiegemoment an der Stelle des gefährdeten Querschnitts (Nulldurchgang) wird aus der Querkraftfläche des Hilfsträgers berechnet: maximales Hilfsbiegemoment  Aq  Durchbiegung fmax EI EI fmax = Aa  5 m – A1  3 m – A2  1 m EI fmax = 171 540 Nm2  5 m – 67 500 Nm2  3 m –

– 67 500 Nm2  1 m EI fmax = 587 700 Nm3 f max

587 700 Nm 3 N 2,1 10  29 210 10 4 mm 4 mm 2 5

9,58 mm

2 Die einzelnen Beanspruchungsarten

D 43

Die Neigung der Biegelinie entspricht den Hilfsstützkräften; also 1 A = tan α = EI a =

2,1⋅105

1 ⋅171 540⋅106 Nmm 2 N 4 4 ⋅ ⋅ 29 210 10 mm mm 2

tan α = 2,8  10–3 = 1 : 357 tan β =

1 ⋅ A = 2,84⋅10−3 =1: 352 EI b

„

Beispiele: 1 Freiträger von gleichbleibendem Querschnitt mit Einzellasten (Bild 29). Zunächst wird mittels Seil- und Krafteck der wirklichen Kräfte F1, F2 — oder auch durch Rechnung (wie hier) – die Momentenfläche des tatsächlichen Trägers entworfen. Die Momentenfläche wird wie vorher in die Teilflächen 1 bis 4 zerlegt und die Flächeninhalte als Hilfskräfte A1 bis A4 aufgefasst (im jeweiligen Flächenschwerpunkt angreifend), die auf den Hilfsträger wirken. Auch bei der zeichnerischen Methode müssen also die Inhalte der Flächen berechnet werden. Die Schwerpunktslage wird zweckmäßig zeichnerisch festgelegt. Für den Hilfsträger wird dann Kraft- und Seileck gezeichnet (Bild 29) und die Biegelinie eingetragen. Wahre Punkte liegen lotrecht unter den Trennlinien der Momentenflächen. Im Seileck sind die Ordinatenwerte y ein Maß für die Durchbiegung f. Die Hilfs-Stützkräfte Aa , Ab des Hilfsträgers sind ein Maß für die Neigungswinkel und . Die parallel verschobene Schlusslinie S' tangiert an der ymax-Stelle (= fmax-Stelle) der gezeichneten Biegelinie. Wichtig ist die Maßstabsrechnung. In Bild 29 wurden gewählt:

Längenmaßstab mL = 200

cm (= 200 cm je cm) cm

und Kräftemaßstab mK = 6⋅108

Ncm 2 cm

Die Einheit Ncm2 kommt aus der Flächenberechnung: Biegemoment (Ncm) mal Länge (cm) zustande. Mit den aus der Zeichnung abgegriffenen Werten ymax = 1,65 cm und H = 3 cm ergibt sich nach (59): f max =

f max =

1 y H mL mK EI max 2,1⋅105

1 ⋅ N 4 4 2 ⋅ 29 210⋅10 mm mm

⋅1, 65 cm⋅3 cm⋅200

f max = 0,00968

Bild 29. Stützträger mit gleichbleibendem Querschnitt (Kraft- und Seileck werden in 2.2.6.5 besprochen) 2.2.6.5 Zeichnerische Bestimmung der Durchbiegung und der Biegelinie (Bild 29). Es werden die Überlegungen aus 2.2.6.2 bis 2.2.6.4 benutzt und die Rechnung mit der Zeichnung kombiniert. Die Seileckfläche kann als Momentenfläche sowohl für die echten Balkenlasten als auch für die Hilfslasten (Biegemomentenflächen) des Hilfsträgers benutzt werden. Die Umhüllende des letzten Seilecks ergibt die Biegelinie, d.h. die Biegelinie ist die Seilkurve der gedachten Belastung des Hilfsträgers. Die EI-fache Durchbiegung an beliebiger Balkenstelle ist dann das Produkt aus Ordinatenwert y und Polabstand H unter Beachtung des Längenmaßstabes mL und des Kräftemaßstabes mK: f

1 y HmL mK EI

(59)

cm Ncm 2 ⋅6⋅108 cm cm

cm3 103mm3 = 0, 0098 = 9,8 mm mm 2 mm 2

Die Neigung der Biegelinie in den Stützlagern wird wie in den vorhergehenden Beispielen bestimmt aus: 1 1 A ; tan β = A EI a EI b (Maßstab berücksichtigen) tan α =

2. Stützträger mit veränderlichem Querschnitt und Einzellast (Bild 30). Stützkräfte FA, FB und Momentenfläche wurden hier rechnerisch bestimmt:

FA = 23 400 N FB = F – FA = 36 600 N Mmax = FA  97,5 cm = 2 280 000 Ncm Für die einzelnen Querschnittsstellen (1 bis 7) wurden die Flächenmomente I, die Biegemomente M und der Quotient M / I zusammengestellt.

D 44

D Festigkeitslehre

Zusammenstellung der Größen zu Bild 30 Querschnittsstelle 1 2 3 4 5 6 7

Durchmesser d in cm 10 10 14 14 20 20 20 14 14 10 10

Flächenmoment I in cm4 500 500 1 920 1 920 8 000 8 000 8 000 1 920 1 920 500 500

Biegemoment M in Ncm – 175 500 1 580 000 2 280 000 1 190 000 274 000 –

Quotient M/I

Biegespannung

in N/cm3 – 352,0 92,0 822,0 197,5 285,0 149,0 620,0 142,5 548,0 –

in N/cm2 – 1760 640 5760 1 980 2850 1490 4 330 998 2 740 –

b

Fläche A mit Flächeninhalt (Hilfskräfte) N/cm2 AI = 1 320 AII = 27 420 AIII = 7 240 AIV = 6 510 AV = 9 530 AVI = 2 060

Bild 30. Zeichnerische Bestimmung der Durchbiegung einer abgesetzten Welle

2 Die einzelnen Beanspruchungsarten

D 45

Für die Stellen 2, 3, 5 und 6 ergeben sich wegen des Querschnittsprunges zwei Flächenmomente. Neu gegenüber Beispiel 1 ist die Aufzeichnung der sogenannten reduzierten Momentenfläche (M/IFläche). Das ist wegen der springenden I-Werte nötig. Es ergibt sich der gebrochene Linienzug. Die Schwerpunkte der sechs Teilflächen wurden zeichnerisch bestimmt, die Flächeninhalte berechnet und als Hilfskräfte auf den Hilfsträger aufgesetzt. Für diesen werden nun Krafteck und Seileck entwickelt und die Biegelinie eingezeichnet. Wahre Punkte dieser Kurve liegen wieder lotrecht unter den Trennlinien der M/I-Flächen. Die zur Schlusslinie S parallele Tangente S' an die Hüllkurve bestimmt beim vorliegenden Stützträger (ohne Kragarm) die fmax-Stelle. Mit Berücksichtigung der Maßstäbe kann dann die größte Durchbiegung berechnet werden:

tan α =

tan β =

cm , d.h. 1 cm der Zeichnung entsprecm chen 20 cm Wellenlänge. N 2 Kräftemaßstab (der Hilfskräfte) mK = 104 cm cm

Aa = E Ab E

N cm 2 = 0, 0013 = 1 N 769 2,1⋅105 mm 2 27 500

= 1: 793

Längenmaßstab mL = 20

Tabelle 3. Stützkräfte, Biegemomente und Durchbiegungen bei Biegeträgern von gleich bleibendem Querschnitt

In der Tabelle 3 bedeuten: F Einzellast oder auch Resultierende der Streckenlast, F' die auf die Längeneinheit bezogene Streckenlast, FA, FB Stützkräfte in den Lagerpunkten A und B, Mmax maximales Biegemoment, in den Wendepunkten der Biegelinie ist M = 0, I axiales Flächenmoment 2. Grades des Querschnitts, E Elastizitätsmodul des Werkstoffs, f Durchbiegung. Die strichpunktierte Linie gibt den Momentenverlauf über der Balkenlänge an. Positive Momentenlinien laufen nach oben, negative nach unten.

Damit wird 1 f max = ymax H mL mK , und mit den Werten aus der ZeichE nung: 1 cm N f max = ⋅2,3 cm⋅2,5 cm ⋅20 ⋅104 N cm cm3 2,1⋅105 2 mm f max = 5, 476

mm 2 = 0,5476 mm ≈ 0,55 mm cm

Die Neigung der Biegelinie in den Lagerstellen A und B:

FB = F

FA = FB =

Mmax = Fl

M max =

f= y=

Fl 3 3 EI

f=

Fl 3  3 x x3  Fl 2 3 f  = 1− + 3  tan α =   3 EI  2l 2l  2 EI 2l

y=

Fl 2 x  4 x 2  l 1−  für x ≤ 2 16 EI  3 l2  

f=

y=

 F ' l 4  x4 x  − 4 + 3   4 24 EI  l l 

Fl 2

Fl 3 F ' l4 = 8 EI 8 EI

tan α =

Fl 4

Fl 3 48 EI

tan α =

Fl 2 3f = 16 EI l

b a FA = F ; FB = F l l ab M max = F l

FB = F = F ' l M max =

F 2

f=

Fl 2 4 f = 6 EI 3l

F a 2b 2 EI 3 l

f max = f 1 1  tan αA = f  +  a 2 b ya =

F a b 2 xa  l xa2  1+ −   6 EIl   b ab 

(für xa  a)

l+a l+a 3a 3b

1 1  tan αB = f  +  b 2 a  yb =

F a 2bxb  l xb2  1+   6 EIl   a ab 

(für xb  b)

D 46

D Festigkeitslehre

Tabelle 3. Fortsetzung F 'l 2

FB = F = M max = f=

Fl 3

FB = F

a l

Mmax = Fa = MA

Fl 3 15 EI

tan α =

y=

 a FA = F1+   l

f=

Fl 2 5f = 12 EI 4l

 F ' l 4  x5 x  − 5 + 4  5 120 EI  l l 

Fl 3a EI 9 3 l

für x = 0,577 l fC =

Fl 3 a 2  a  1+  3 EI l 2  l 

tan αA =

Fa l Fa l ; tan αB = ; 3 EI 6 EI

tan αC =

Fa (2 l + 3 a ) 6 EI

FA = FB = F Mmax = Fa f=

Fl 3a 2  4 a  1−  3l  2 EI l 2 

tan αA =

f max =

Fl 3a  4 a 2  1−   8 EI l 3 l2  

tan αC = tan αD =

Fa (a + c) 2 EI Fa c 2 EI

FA = FB = F FA = FB = Mmax = Fa

tan α 1 =

Fa (l + c) 2 EI

Fa 2  a l  f1 =  +  EI  3 2 

M max =

Fal 2 f2 = 8 EI

f=

tan αA =

y=

F ' l 3 16 f = 24 EI 5l

F ' l 3 x x  x x 2  1− 1+ − 2   24 EI  l   l l 

F 'l 2

Fl 3 F 'l 4 = 60 EI 120 EI

l  FA = FB = F ' + a  2 

F 'l 2 8

f ≈ 0,013

tan αA =

Fl F ' l 2 = 6 12

Fal 2 EI

FA = FB = M max =

F 'l 4

Fl 3 EI tan αA =

MA =

F ' a2 2

MC =

2 F ' l 2 1  a    −   2  4 l   

2 3 4 F ' l 3 1  a   F ' l 4  a  a  1 a    −   ; f A =  −  −    4 EI  4 EI  6  l     6 l  l  2 l   

fC =

2 F 'l 4  5  a    −   16 EI   24  2   

2 Die einzelnen Beanspruchungsarten

D 47

Tabelle 3. Fortsetzung FA =

F in Stabmitte 5 11 FA = F ; FB = F 16 16 5 M = Fl 32 3 M B = Fl 16

F 'l F 'l ; FB = 6 3

M max = 0,064 F ' l 2 bei x = 0,5774 l f=

F 'l 4 153, 4 EI

f=

7 Fl 3 768 EI

bei y = 0,5193 l F ' l a  a 2  a2   η= 1− 2  7 −3 2     360 EI  l  l  3

f max =

FA = F

Fl 3 bei x = 0,447 l 48 5 EI

b2 a 1+  2 l  2l 

FA = FB =

FB = F – FA f=

MC =

Fa 2b3  a 1+  4 EI l 2  3 l 

tan αA =

f=

Fab 2 4 EI l

F 2

Fl = MA = MB 8

Fl 3 192 EI

 1 a 3 3 a  M = Fa1+   −    2 b  2 l  

MB =

3 Fl  a  a    −     2  l  l 

 b 2 M A = Fa   l 

 3 a FA = F1+   2l FB = F

 a 2 M B = Fb   l 

3a 2l

MA = Fa MB =

f=

3 2 Fl 3 1 a  1 a     +   EI   3 l  4 l   

Fa 2

f=  a 2  a  M C = 2 Fb   1−  l   l  b 2  b FA = F   3 − 2  l   l  a 2  a FB = F   3 − 2  l   l

Fa3b3 3 EI l 3

D 48

D Festigkeitslehre

Tabelle 3. Fortsetzung 3 FA = F ' l 8

FA = FB =

5 FB = F ' l 8

MC =

M max f max

F'l2 8

F 'l 2

F 'l 2 24

MA = MB =

F 'l 4 185 EI

f

F 'l 2 = M max 12

F 'l 4 384 EI

für x = 0,4215 l

Tabelle 4. Biegeträger mit Axialkraft Fa

Der im Festlager A und im Loslager B gehaltene Biegeträger wird durch die im Abstand r achsparallel liegende Kraft Fa (Axialkraft) belastet. Gesucht ist der Verlauf des Biegemomentes über der Trägerlänge l. Die Stützkräfte FAy, Fx und FB werden in der üblichen Weise mit den statischen Gleichgewichtsbedingungen bestimmt. Zur Bestimmung des Biegemomentenverlaufs legt man von links nach rechts fortschreitend die Schnitte a, b, c, d, d ', e und f. Von den Schnitten aus nach links gesehen ergeben sich nach 2.2.1.1.b) die im jeweiligen Schnitt auftretenden Biegemomente Mb,a , Mb,b usw. Von besonderer Bedeutung sind die beiden Schnitte d und d ', die ganz kurz vor und hinter dem Trägeranschluss liegen. Die Rechnung zeigt, dass das Biegemoment zwischen d und d ' den Betrag ändert und das Vorzeichen wechselt. Da man vorher nicht erkennen kann, welches der beiden Biegemomente Mb max oder M b' max den größeren Betrag hat, müssen beide Biegemomente berechnet und die Beträge miteinander verglichen werden (siehe Tabelle 7). Das ist immer dann erforderlich, wenn die Axialkraft zwischen den Lagerstellen A und B angreift (vergleiche mit Tabelle 5).  F x = 0 = – Fx + Fa  F x = Fa  Fy = 0 = – FAy + FB  FAy = FB  M(A) = 0 = – Fa r + FB l

FB

= FAy = Fa

r l

Mb, a = 0 l r l 1 l 5 5 5 2l r 2l 2 Mb, c = +FAy =+ Fa ⋅ =+ Fa r 5 l 5 5 3l r 3l 3 Mb, d = +FAy =+ Fa ⋅ =+ Fa r l 5 5 5 3 l 3 2 Mb, d ' = +FAy − Fa r =+ Fa r − Fa r =− Fa r 5 5 5 4 l 4 1 Mb, e = +FAy − Fa r =+ Fa r − Fa r =− Fa r 5 5 5 rl Mb, f = +FAyl − Fa r =+ Fa − Fa r = 0 l

Mb, b = + FAy =+ Fa ⋅ =+ Fa r

3 Fr 5 a 2 | M 'bmax | = | Mb, d ' | = Fa r 5

Mb max = Mb, d =

2 Die einzelnen Beanspruchungsarten

D 49

Tabelle 5. Biegeträger mit räumlichem Kraftangriff außerhalb der Lager (Biegemomentenverlauf)

Biegeträger dieser Art sind beispielsweise Getriebewellen, die ein schrägverzahntes Stirnrad tragen. Man geht schrittweise vor und bestimmt die Teil-Stützkräfte FAy1, FBy1, FAy2, FBy2, FAz , FBz und Teil-Biegemomente Mb max,a , Mb max, b , Mb max, c für den Einzel-Kraftangriff in der zugehörigen Ebene. In der x, y-Ebene wirkt einmal die Radialkraft Fr , zum anderen die Axialkraft Fa , in der y, z-Ebene wirkt die Umfangskraft Ft. Damit ergibt sich jeweils ein leicht überschaubarer Biegemomentenverlauf mit dem maximalen Biegemoment für den EinzelKraftangriff. Die Reaktionskraft der Axialkraft Fa in der Trägerachse ist die im Festlager wirkende Lagerkraftkomponente Fx = Fa. Beide ergeben ein Kräftepaar, dem das Kräftepaar aus FAy2, und FBy2. die beide ebenfalls gleich groß und entgegengerichtet sind, das Gleichgewicht hält.

Ft Fr Fa r

Umfangskraft am Teilkreis Radialkraft Axialkraft Radius, z.B. eines Zahnrads

 Fy = 0 = – FAy1 + FBy1 – Fr  M(A) = 0 = FBy1 l – Fr l1 l FAy1 = FBy1 − Fr FBy1 = Fr 1 l l  l FAy1 = Fr 1 − Fr = Fr  1 −1 l l  l2 l l l weil 1 − = 2 ist l l l l Mb max, a = Fr l2

FAy1 = Fr

 F x = 0 = – F x + Fa  F x = Fa  Fy = 0 = – FAy2 + Fby2  FAy2 = FBy2  M(A) = 0 = FBy2 l −Fa r r l Mb max, b = Fa r

FBy2 = Fa

 Fz = 0 = – FAz + FBz – Ft  M(A) = 0 = FAz l – Ft l2 l2 FBz = FAz + Ft l l  l FBz = Ft 2 +1= Ft 1 l  l Mb max, c = Ft l2

FAz = Ft

D 50

D Festigkeitslehre

Tabelle 6. Resultierende Stützkräfte (Lagerkräfte) und Biegemomente für den Biegeträger in Tabelle 5.

Gesucht werden die Gleichungen für das resultierende maximale Biegemoment Mb max und für die resultierenden Stützkräfte (Lagerkräfte) in den Lagern A und B (FAr und FBr). Sowohl die Stützkräfte als auch das Biegemoment wirken in einer Ebene rechtwinklig zur Trägerachse, hier also in der y, z-Ebene, die nun Zeichenblattebene ist. Skizziert man unmaßstäblich aber richtungsgemäß Biegemomenteneck und Krafteck, dann ergeben sich rechtwinklige Dreiecke, die mit dem Lehrsatz des Pythagoras ausgewertet werden können. In Verbindung mit den Entwicklungen in Tabelle 5 lassen sich auch die Gleichungen für den Fall entwickeln, dass die Axialkraft Fa entgegengesetzten Richtungssinn hat.

( Fa ←) M b max

=

(M b max, a + M b max, b )2 + (M b max, c )2

=

(Fr l2 + Fa r )2 + (Ft l2 )2

Bei entgegengesetztem Richtungssinn der Axialkraft Fa wird:

(← Fa )

(M b max, a − M b max, b )2 + (Ft l2 )2

M b max =

(→ Fa ) FAr

=

(Fr l2 − Fa r )2 + (Ft l2 )2

=

(FAy1 + FAy2 )2 + (FAz )2

2 2  l r  l  =  Fr 2 + Fa  + Ft 2  l l  l  

=

1 (Fr l2 + Fa r )2 + (Ft l2 )2 l

Bei entgegengesetztem Richtungssinn der Axialkraft Fa wird: 1 (Fa ← ) = FAr l

( → Fa ) = FBr

(Fr l2 − Fa r )2 + (Ft l2 )2

(FBy1 + FBy2 )2 + (FBz )2

2 2  l r  l  =  Fr 1 + Fa  + Ft 1   l l  l

=

1 (Fr l1 + Fa r )2 + (Ft l1 ) 2 l

Bei entgegengesetztem Richtungssinn der Axialkraft Fa wird: 1 (Fa ← ) = FBr l

(Fr l1 − Fa r )2 + (Ft l1 )2

2 Die einzelnen Beanspruchungsarten

D 51

Tabelle 7. Biegeträger mit räumlichem Kraftangriff zwischen den Lagern (Biegemomentenverlauf)

Wie in Tabelle 5 ist auch hier mit den Bezeichnungen der Größen das Beispiel einer Getriebewelle mit einem schrägverzahnten Stirnrad gewählt. Das Zahnrad liegt hier jedoch zwischen den Lagerstellen A und B. Auch hier werden schrittweise die Teil-Stützkräfte FAy1, FBy1, FAy2, FBy2, FAz, FBz und die Teil-Biegemomente Mb max, a, Mb max, b und Mb max, c bestimmt. Durch den Einzel-Kraftangriff der Axialkraft Fa in der x, y-Ebene ergibt sich der in Tabelle 4 entwickelte Biegemomentenverlauf mit Vorzeichenwechsel und Betragsänderung. Also sind auch hier die beiden maximalen TeilBiegemomente Mb max, b und M b' max, b zu ermitteln. Auf die Lagerkraftkomponente Fx = Fa wird in Tabelle 5 eingegangen.

Ft Fr Fa r

Umfangskraft am Teilkreis Radialkraft Axialkraft Teilkreisradius

 Fy = 0 = FAy1 – Fr + FBy1  M(A) = 0 = – Fr l1 + FBy1 l

FBy1 = Fr

l1 l

 l  FAy1 = Fr − FBy1 = Fr 1− 1   l

l2 l

l l1 l − l1 l2 − = = l l l l l1l2 Mb max, a = FBy1 l2 = Fr l  Fx = 0 = Fx – Fa  Fx = Fa

FAy1 = Fr

weil

 Fy = 0 = – FAy2 + FBy2  FAy2 = FBy2  M(A) = 0 = – Fa r + FBy2 l

FBy2 = Fa

r = FAy2 l

r l2 l r l1 M b' max, b = FAy2 l1 = Fa l  Fz = 0 = FAz – Ft + FBz

Mb max, b = FBy2 l2 = Fa

 M(A) = 0 = – Ft l1 + FBz l l FBz = Ft 1 l  l  FAz = Ft − FBz = Ft 1− 1   l l1 l2 = , siehe oben l l l1l2 Mb max, c = FBz l2 = Ft l

FAz = Ft

l2 l

weil 1−

D 52

D Festigkeitslehre

Tabelle 8. Resultierende Stützkräfte (Lagerkräfte) und Biegemomente für den Biegeträger in Tabelle 7

Gesucht werden wie in Tabelle 6 die Gleichungen für das resultierende Biegemoment Mb max und für die resultierenden Stützkräfte (Lagerkräfte) in den Lagern A und B. Sowohl Stützkraft als auch Biegemoment wirken in einer Ebene, die rechtwinklig zur Achse des Biegeträgers steht. Dies ist nach den Bezeichnungen des räumlichen Achsenkreuzes in Tabelle 7 die y, z-Ebene, die nun zur Zeichenblattebene gemacht wird. Mit den Teil-Biegemomenten und aus den Teil-Stützkräften werden die Momentenecke und Kraftecke skizziert (unmaßstäblich, aber richtungsgemäß). Es ergeben sich rechtwinklige Dreiecke, die mit dem „Pythagoras“ ausgewertet werden. Die Gleichungen für die entgegengesetzt gerichtete Axialkraft Fa ergeben sich mit dem Vorzeichenwechsel des Biegemoments in der Darstellung in Tabelle 8 für die Axialkraft Fa in der x, y-Ebene.

2 2  ll rl   l l  ( → Fa ) =  Fr 1 2 + Fa 2  + Ft 1 2  M b max  l l   l 

l2 (Fr l1 + Fa r )2 + (Ft l1 )2 l Bei entgegengesetztem Richtungssinn der Axialkraft Fa wird: (Fa ← ) = (M b max, a + M b' max, b )2 + (M b max, c )2 M b max

=

2 2  ll rl   l l  =  Fr 1 2 + Fa 1  + Ft 1 2   l l   l 

= ( → Fa ) = FAr

l1 l

(Fr l2 + Fa r )2 + (Ft l2 )2 (FAy1 − FAy2 )2 + (FAz )2

2 2  l r  l  =  Fr 2 − Fa  + Ft 2   l l  l 

1 (Fr l2 + Fa r )2 + (Ft l2 )2 l Bei entgegengesetztem Richtungssinn der Axialkraft Fa wird:

=

1 (Fa ← ) (Fr l2 + Fa r )2 + (Ft l2 )2 = FAr l ( → Fa ) = FBr

(FBy1 + FBy2 )2 + (FBz )2

2 2  l r  l  =  Fr 1 + Fa  + Ft 1   l l  l

=

1 (Fr l1 + Fa r )2 + (Ft l1 )2 l

Bei entgegengesetztem Richtungssinn der Axialkraft Fa wird: 1 (Fa ← ) (Fr l1 − Fa r )2 + (Ft l1 )2 = FBr l

2 Die einzelnen Beanspruchungsarten

D 53

Tabelle 9. Warmgewalzter gleichschenkliger rundkantiger Winkelstahl (Auswahl)

A

Beispiel für die Bezeichnung eines Winkelstahls und für das Ablesen von Flächenmomenten I und Widerstandsmomenten W: L 40  EN 10 056-1 Schenkelbreite a = 40 mm Schenkeldicke s = 6 mm Flächenmoment Ix = 6,33  104 mm4 Widerstandsmoment Wx1 = 5,28  103 mm3 Wx2 = 2,26  103 mm3 Oberfläche je Meter Länge A0' = 0,16 m2/m Profilumfang U = 0,16 m Trägheitsradius

Kurzzeichen

20  25  30  35  40  45  50  50  55  60  60  65  70  70  70  75  80  80  80  90  90  100  100  110  120  130  130  140  140  150  150  150  160  160  180  180  200  200  200  200  1)

4 5 5 S 6 6 6 8 8 6 10 8 7 9 11 8 8 10 12 9 11 10 14 12 13 12 16 13 15 12 16 20 15 19 18 22 16 20 24 28

a/s

mm 20/ 4 25/ 5 30/ 5 35/ 5 40/ 6 45/ 6 50/ 6 50/ 8 55/ 8 60/ 6 60/ 10 65/ 8 70/ 7 70/ 9 70/ 11 75/ 8 80/ 8 80/ 10 80/ 12 90/ 9 90/ 11 100/ 10 100/ 14 110/ 12 120/ 13 130/ 12 130/ 16 140/ 13 140/ 15 150/ 12 150/ 16 150/ 20 160/ 15 160/ 19 180/ 18 180/ 22 200/ 16 200/ 20 200/ 24 200/ 28

Querschnitt A mm2 145 226 278 328 448 509 569 741 823 691 1110 985 940 1190 1430 1150 1230 1510 1790 1550 1870 1920 2620 2510 2970 3000 3930 3500 4000 3480 4570 5630 4610 5750 6190 7470 6180 7640 9060 10500

ix =

I x / A = 11,9 mm

e1/e2

Ix = I y

Wx1 = Wy1

Wx2 = Wy2

Oberfläche je Meter Länge A0'

mm 6,4 / 13,6 8 / 17 9,2 / 20,8 10,4/ 24,6 12 / 28 13,2/ 31,8 14,5/ 35,5 15,2/ 34,8 16,4/ 38,6 16,9/ 43,1 18,5/ 41,5 18,9/ 46,1 19,7/ 50,3 20,5/ 49,5 21,3/ 48,7 21,3/ 53,7 22,6/ 57,4 23,4/ 56,6 24,1/ 55,9 25,4/ 64,6 26,2/ 63,8 28,2/ 71,8 29,8/ 70,2 31,5/ 78,5 34,4/ 85,6 36,4/ 93,6 38,0/ 92 39,2/100,8 40,0/100,0 41,2/108,8 42,9/107,1 44,4/105,6 44,9/115,1 46,5/113,5 51,0/129,0 52,6/127,4 55,2/144,8 56,8/143,2 58,4/141,6 59,9/140,1

 104 mm4 0,48 1,18 2,16 3,56 6,33 9,16 12,8 16,3 22,1 22,8 34,9 37,5 42,4 52,6 61,8 58,9 72,3 87,5 102 116 138 177 235 280 394 472 605 638 723 737 949 1150 1100 1350 1870 2210 2340 2850 3330 3780

 103 mm3 0,75 1,48 2,35 3,42 5,28 6,94 8,83 10,7 13,5 13,5 18,9 19,8 21,5 25,7 29,0 27,7 32,0 37,4 42,3 45,7 52,7 62,8 78,9 88,9 115 130 159 163 181 179 221 259 245 290 367 420 424 502 570 631

 103 mm3 0,35 0,69 1,04 1,45 2,26 2,88 3,61 4,68 5,73 5,29 8,41 8,13 8,43 10,6 12,7 11,0 12,6 15,5 18,2 18,0 21,6 24,7 33,5 35,7 46,0 50,4 65,8 63,3 72,3 67,7 88,7 109 95,6 119 145 174 162 199 235 270

m2/m1) 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,17 0,19 0,19 0,21 0,23 0,23 0,25 0,27 0,27 0,27 0,29 0,31 0,31 0,31 0,35 0,36 0,39 0,39 0,43 0,47 0,51 0,51 0,55 0,55 0,59 0,59 0,59 0,63 0,63 0,71 0,71 0,79 0,79 0,79 0,79

Die Zahlenwerte geben zugleich den Profilumfang U in m an.

Gewichtskraft je Meter Länge FG' N/m 11,2 17,4 21,4 25,3 34,5 39,2 43,8 57,1 63,4 53,2 85,2 75,9 72,4 91,6 110,1 88,6 94,7 116,7 138,3 119,4 144,0 147,9 201,8 193,3 228,7 231,0 302,6 269,5 308,0 268,0 351,9 433,6 355,0 442,8 476,7 575,3 475,9 588,3 697,7 808,6

D 54

D Festigkeitslehre

Tabelle 10. Warmgewalzte I-Träger, IPE-Reihe (Auswahl) Beispiel für die Bezeichnung eines mittelbreiten I-Trägers mit parallelen Flanschflächen und für das Ablesen von Flächenmomenten I und Widerstandsmomenten W. IRE 80 EN 10 025-S235JRG1 Höhe Breite Flächenmoment Widerstandsmoment Oberfläche je Meter Länge Profilumfang

A

ix =

Trägheitsradius

Kurzzeichen

IPE 80 100 120 140 160 180 200 220 240 270 300 330 360 400 450 500 550 600 1)

h = 80 mm b = 46 mm Ix = 80,1  104 mm4 Wx = 20,0  103 mm3 A0' = 0,328 m2 /m U = 0,328 m

I x / A = 32,4 mm

Oberfläche je Gewichtskraft Meter Länge je Meter Länge A0' FG' m2/m1) N/m 0,328 59 0,400 79 0,475 102 0,551 126 0,623 155 0,698 184 0,768 220 0,848 257 0,922 301 1,041 353 1,155 414 1,254 482 1,348 560 1,467 651 1,605 761 1,738 893 1,877 1032 2,014 1200

Querschnitt b mm 46 55 64 73 82 91 100 110 120 135 150 160 170 180 190 200 210 220

t mm 5,2 5,7 6,3 6,9 7,4 8,0 8,5 9,2 9,8 10,2 10,7 11,5 12,7 13,5 14,6 16,0 17,2 19,0

h s mm mm 80 3,8 100 4,1 120 4,4 140 4,7 160 5,0 180 5,3 200 5,6 220 5,9 240 6,2 270 6,6 300 7,1 330 7,5 360 8,0 400 8,6 450 9,4 500 10,2 550 11,1 600 12,0

r mm 5 7 7 7 9 9 12 12 15 15 15 18 18 21 21 21 24 24

A mm2 764 1030 1320 1640 2010 2390 2850 3340 3910 4590 5380 6260 7270 8450 9880 11600 13400 15600

Ix

Wx

 104 mm4 80,1 171 318 541 869 1320 1940 2770 3890 5790 8360 11770 16270 23130 33740 48200 67120 92080

 103 mm3 20,0 34,2 53,0 77,3 109 146 194 252 324 429 557 713 904 1160 1500 1930 2440 3070

Iy

Wy

 104 mm4  103 mm3 8,49 3,69 15,9 5,79 27,7 8,65 44,9 12,3 68,3 16,7 101 22,2 142 28,5 205 37,3 284 47,3 420 62,2 604 80,5 788 98,5 1040 123 1320 146 1680 176 2140 214 2670 254 3390 308

Die Zahlenwerte geben zugleich den Profilumfang U in m an.

Mechanische Eigenschaften von Schrauben Kennzeichen Mindest-Zugfestigkeit Rm in

4.6 N/mm2

Mindest-Streckgrenze Re oder Rp 0,2-Dehngrenze in N/mm2 Bruchdehnung A5 in %

4.8 400

240 25

5.6

5.8

6.6

500

6.8

6.9

600

8.8

20

10

16

8

12.9

800 1000 1 200

320 300 400 360 480 540 640 14

10.9

12

12

900

1 080

9

8

2 Die einzelnen Beanspruchungsarten

D 55

Tabelle 11. Warmgewalzter rundkantiger U-Stahl (Auswahl) Beispiel für die Bezeichnung eines U-Stahls und für das Ablesen von Flächenmomenten I und Widerstandsmomenten W: U 100 DIN 1 026 – S235JR Höhe Breite Flächenmoment Widerstandsmoment Flächenmoment Widerstandsmoment

h = 100 mm b = 50 mm Ix = 206  104 mm4 Wx = 41,2  103 mm3 Iy = 29,3  104 mm4 Wy1 = 18,9  103 mm3 Wy2 = 8,49  103 mm3 Oberfläche je Meter Länge A0' = 0,372 m2 /m Profilumfang U = 0,372 m Trägheitsradius ix = I x / A = 39,1 mm

A

Kurzzeichen U 30  15 30 40  20 40 50  25 50 60 65 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 350 380 400

h mm 30 30 40 40 50 50 60 65 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 350 380 400

b s mm mm 15 4 33 5 20 5 35 5 25 5 38 5 30 6 42 5,5 45 6 50 6 55 7 60 7 65 7,5 70 8 75 8,5 80 9 85 9,5 90 10 95 10 100 10 100 14 100 14 102 13,5 110 14

Oberfläche je Meter Länge

Querschnitt A

e1/e2

mm2 221 544 366 621 492 712 646 903 1100 1350 1700 2040 2400 2800 3220 3740 4230 4830 5330 5880 7580 7730 8040 9150

mm 5,2/ 9,8 13,1/19,9 6,7/13,3 13,3/21,7 8,1/16,9 13,7/24,3 9,1/20,9 14,2/27,8 14,5/30,5 15,5/34,5 16,0/39,0 17,5/42,5 18,4/46,6 19,2/50,8 20,1/54,9 21,4/58,6 22,3/62,7 23,6/66,4 25,3/69,7 27,0/73,0 26,0/74,0 24,0/76,0 23,8/78,2 26,5/83,5

Ix

Wx

Iy

Wy1

A0'

Wy2

104 mm4 103 mm3 104 mm4 103 mm3 103 mm3 2,53 1,69 0,38 0,73 0,39 6,39 4,26 5,33 4,07 2,68 7,58 3,79 1,14 1,70 0,86 14,1 7,05 6,68 5,02 3,08 16,8 6,73 2,49 3,07 1,47 26,4 10,6 9,12 6,66 3,75 31,6 10,5 4,51 4,98 2,16 57,5 17,7 14,1 9,93 5,07 106 26,5 19,4 13,4 6,36 206 41,2 29,3 18,9 8,49 364 60,7 43,2 27,0 11,1 605 86,4 62,7 35,8 14,8 925 116 85,3 46,4 18,3 1350 150 114 59,4 22,4 1910 191 148 73,6 27,0 2690 245 197 92,1 33,6 3600 300 248 111 39,6 4820 371 317 134 47,7 6280 448 399 158 57,3 8030 535 495 183 67,8 10870 679 597 230 80,7 12840 734 570 238 75,0 15760 829 615 258 78,6 20350 1020 846 355 101

m2/m1) 0,103 0,174 0,142 0,200 0,181 0,232 0,215 0,273 0,312 0,372 0,434 0,489 0,546 0,611 0,661 0,718 0,775 0,834 0,890 0,950 0,982 1,05 1,11 1,18

Gewichtskraft je Meter Länge FG' N/m 17,0 41,9 28,2 47,8 37,9 54,8 49,7 69,5 84,7 104,0 130,9 157,1 184,8 215,6 248,0 288,0 325,7 372 410,5 452,8 583,7 595,3 619,1 704,6

1) Die Zahlenwerte geben zugleich den Profilumfang U in m an.

Niete und zugehörige Schrauben für Stahl- und Kesselbau d1 in mm

11

13

(15)

17

(19)

21

23

25

28

31

(34)

37

π A1 in mm2 = d12 4

95

133

177

227

284

346

415

491

616

755

908

1 075

d in mm (Rohnietdurchmesser)

10

12

(14)

16

(18)

20

22

24

27

30

(33)

36

–

M 16

–

Sechskantschraube

M 10 M 12

M 20 M 22 M 24 M 27 M 30 M 33 M 36

d1 Durchmesser des geschlagenen Nietes = Nietlochdurchmesser; Größen in ( ) möglichst vermeiden

D 56

D Festigkeitslehre

2.3 Knickung

Fall 1:

Wird ein gerader schlanker Stab von gleichbleibendem Querschnitt durch eine Druckkraft F in Richtung der Stabachse belastet (gedrückt), so ist bei homogenem Werkstoff nur eine Kürzung des Stabes zu erwarten. Die Erfahrung zeigt aber, dass der Stab seitlich „ausknickt“ (Bild 31), sobald die Druckkraft F einen bestimmten Wert erreicht hat. Der Stab kann „ausbiegen“, obwohl die vorhandene Druckspannung d vorh noch unter der zulässigen Spannung d zul liegt (d vorh < d zul). 2.3.1 Herleitung der Euler’schen Knickungsgleichung

Knickkraft FK heißt diejenige Druckkraft, bei der das Ausknicken beginnt. Sie darf deshalb im Betrieb niemals erreicht werden. Die elastische Linie ist eine Sinuskurve mit dem Krümmungsradius r =

l2 (in Stabmitte). An dieser π2 f

Stelle ist das Biegemoment der Knickkraft FK: Mb = FK f. EI EI l2 und damit 2 = π f FK f Mb daraus die Knickkraft

Nach (50) ist r =

FK =

FK

EI π 2 2

s (Eulergleichung) s freie Knicklänge

N

E

I

N mm

2

und

s

mm4 mm

(60)

FK =

E ⋅I ⋅π 2 4⋅l 2

Fall 2: Grundfall FK =

E ⋅I ⋅π 2 l2

Fall 3: FK =

Fall 4:

E ⋅ I ⋅ π 2 ⋅2 E ⋅ I ⋅ π 2 ⋅4 FK = l2 l2

Bild 32. Die vier Euler’schen Belastungsfälle für Knickung

Obwohl die elastische Linie der Biegung zur Herleitung der Knickkraftgleichung benutzt wurde, ist die Knickung von der Biegung wesensverschieden. Biegung ist eine Spannungsaufgabe, Knickung dagegen ein Stabilitätsproblem; der Stab versagt plötzlich, ganz im Gegensatz etwa zur Druck- oder Biegebeanspruchung. So kann z.B. schon ein kleiner Fingerdruck quer zur Achse ausreichen, um den bereits seitlich ausgewichenen Stab (ohne Vergrößerung der Druckkraft) zusammenbrechen zu lassen. Deshalb muss die Belastung bei Betrieb immer kleiner sein als die Knickkraft FK. Euler entwickelte seine Gleichung je nach Beweglichkeit und Führung der Stabenden für vier verschiedene Fälle (Bild 32). In der Praxis sollte man wegen der größeren Sicherheit immer nach dem sogenannten Grundfall 2 arbeiten. Ausnahme: einseitige Einspannung mit freiem Ende, Fall l nach Bild 32. Hier wird s = 2l statt s = l in die Eulergleichung des Grundfalls eingesetzt. Wie die Herleitung erkennen lässt, gilt die Eulergleichung nur im Gültigkeitsbereich des Hooke’schen Gesetzes  =  E (8), d.h. solange die Knickspannung K < dP (Druck-Proportionalitätsgrenze) ist. Man spricht dann von elastischer Knickung; bei K > dP von unelastischer Knickung. Letztere erfordert andere Berechnungsgleichungen (s. 2.3.4). 2.3.2 Wichtige Größen der Knickung

r

Der Knickkraft FK entspricht diejenige Spannung K, bei der das Ausknicken gerade beginnt, die also ebenfalls niemals erreicht werden darf; somit ist die Knickspannung

σK =

Knickkraft FK Querschnittsfläche A

K N mm 2

FK A N mm2

(61)

Solange die äußere Belastung F (= Druckkraft F ) kleiner als die Knickkraft FK ist, besteht keine Knickgefahr und es ist die Sicherheit gegen Knicken Bild 31. Zur Herleitung der Euler’schen Knickungsgleichung

v=

Knickkraft FK Druckkraft F

(62)

2 Die einzelnen Beanspruchungsarten

D 57

Der Druckkraft F entspricht die Druckspannung d = F /A, sodass die Sicherheit v auch ausgedrückt werden kann durch: v=

FK σ K A σ K = = F σd A σd

(63)

Die Sicherheit v berücksichtigt u.a. Stöße, Massenkräfte, Art der Verwendung, Einspannung und Folgen eines Bruches des Knickstabes. Das Ausknicken wird bestimmt durch das kleinste axiale Flächenmoment I des Querschnitts. Es wird I = i 2 A gesetzt. Daraus folgt der Trägheitsradius I A

i=

i

I

A

mm

mm4

mm2

(64)

Für den Kreisquerschnitt beträgt nach Tabelle 1 das axiale Flächenmoment I =  d 4/64 und Fläche A =  d 2/4, sodass sich als Trägheitsradius für den Kreisquerschnitt ergibt: πd 4 4 d ⋅ = 64 π d 2 4

i=

σK =

E π2

λ2

K

E



N mm 2

N mm 2

1

(68)

Danach ist die Knickspannung K nur abhängig vom E-Modul (und dessen Gültigkeitsbereich) und vom Schlankheitsgrad . Wird K über aufgetragen, ergibt sich eine Hyperbel dritten Grades, wie Bild 33 für Stahl mit E = 2,1  105 N/mm2 zeigt. Danach ergeben kleine Schlankheitsgrade hohe Knickspannungen. Die Eulergleichung kann natürlich nur bis zu demjenigen Grenzschlankheitsgrad 0 gelten, für den K ≤ dP ist, solange also die Knickspannung K kleiner als die Proportionalitätsgrenze für Druck ist. Unterer Grenzwert:

λmin = λ0 = π

E

σ dP

(65)

Als zweckmäßige Rechengröße wird außerdem für den Schlankheitsgrad festgesetzt:

λ=

freie Knicklänge s s = Trägheitsradius i i

(66)

2.3.3 Elastische Knickung (Eulerfall)

Liegt die Knickspannung noch im Gültigkeitsbereich des Hooke’schen Gesetzes (elastische Formänderung), so gilt die Eulergleichung (60). Damit können bei gegebener Knickkraft FK, gegebener Belastung F gegebener Einspannlänge l und bekanntem Elastizitätsmodul E die Querschnittsabmessungen bestimmt werden, und zwar über das erforderliche MindestFlächenmoment (axial)

I erf

v F s2 = E π2

Ierf

v F

mm4 1 N

E

s

N mm 2

mm

(67)

EI π 2 I i2 1 2 = σ A = i = und sowie K A s2 s2 λ2

ergibt sich die Knickspannung

Für S235 JR mit dP = 190 N/mm2 wird damit N mm 2 ≈ 105 N 190 mm 2

2,1⋅105

λ0 = π

Aus (63) wurde für die Knickkraft FK = Sicherheit v Belastung F (FK = v F ) eingesetzt. Die Eulergleichung ist an das Hooke’sche Gesetz gebunden. Damit werden die Grenzen ihrer Gültigkeit festgelegt. Aus FK =

Bild 33. Euler-Hyperbel mit Grenzschlankheitsgrad 0

Je höher die Proportionalitätsgrenze dP liegt, um so kleiner ist der Grenzschlankheitsgrad λ 0, d.h. um so größer wird der Eulerbereich. Für die wichtigsten Werkstoffe gibt Tabelle 12 die Grenzschlankheitsgrade zur Eulergleichung an. Beachte: Die Eulergleichung gilt nur, solange der errechnete Schlankheitsgrad λ gleich oder größer ist als der in Tabelle 5 angegebene Grenzschlankheitsgrad λ 0. Es muss also sein: s/i = λ vorhanden ≥ λ 0.

D 58

D Festigkeitslehre

Tabelle 12. Grenzschlankheitsgrad 0 für Euler’sche Knickung und Tetmajer-Gleichungen Werkstoff

GrenzElastizitätsmodul schlankE heitsgrad N 0 in mm 2

Tetmajer-Gleichung für Knickspannung K N in mm 2

K = 29,3 – 0,194 

Nadelholz

10 000

100

Gusseisen

100 000

80

S235 JR

210 000

105

K = 310 – 1,14 

E295 E335

210 000

89

K = 335 – 0,62 

Nickelstahl (< 5 % Ni)

210 000

86

K = 470 – 2,3 

K = 776 – 12  + 0,053  2

kleiner Sicherheit müssen die Querschnittsabmessungen vergrößert und die Rechnung von der Bestimmung an wiederholt werden. Abschließend muss die vorhandene Druckspannung d mit der zulässigen d zul verglichen werden. b) Gegeben: Querschnitt und Belastung F; gesucht: vorhandene Sicherheit. Berechne nach Tabelle 1 das Flächenmoment I und den Trägheitsradius i des Querschnitts; bestimme mit = s/i den vorhandenen Schlankheitsgrad und vergleiche den gefundenen Wert mit 0 aus Tabelle 12. Jetzt teilt sich die Rechnung: Bei ≥ 0 wird die Sicherheit v aus der Eulergleichung berechnet, bei < 0 aus einer der Tetmajergleichungen.

Beachte: bestimmt den Rechnungsweg (Euler oder Tetmajer), deshalb muss zuerst berechnet werden.

2.3.4 Unelastische Knickung (Tetmajerfall)

Ergibt die Nachrechnung des Schlankheitsgrades einen Zahlenwert, der unter dem in Tabelle 12 angegebenen Grenzwert liegt, dann liegt unelastische Knickung vor. In diesem Fall gelten nicht die Eulergleichungen, sondern die Gleichungen von Tetmajer, ebenfalls aus Tabelle 12. Mit diesen Gleichungen können die Querschnittsabmessungen nicht unmittelbar bestimmt werden, sie dienen nur zur Nachrechnung gegebener oder angenommener Querschnittsmaße. Deshalb wird meist Ierf nach Euler bestimmt, der Querschnitt danach festgelegt, nachgeprüft und bei kleiner als 0 nach Tetmajer die Knickspannung K berechnet. Ist die geforderte Sicherheit v nicht erreicht, muss der Querschnitt vergrößert und nochmals nachgerechnet werden.

2.3.5 Arbeitsplan zur Knickungsrechnung

a) Gegeben: Sicherheit v und Belastung F; gesucht: Querschnittsabmessungen. – Die Knickkraft FK aus Sicherheit v und Belastung F berechnen. – Das erforderliche Flächenmoment Ierf aus der Eulergleichung berechnen. – Die Querschnittsabmessungen (z.B. Durchmesser) nach den Gleichungen aus Tabelle 1 festlegen; den Trägheitsradius i nach Tabelle 1 oder, wenn dort nicht angegeben, nach der Gleichung i = I / A berechnen. – Den Schlankheitsgrad λ berechnen und mit λ 0 aus Tabelle 12 vergleichen, bei λ ≥ λ 0 ist die Rechnung in Ordnung; bei λ kleiner λ 0 muss mit den Tetmajergleichungen aus Tabelle 12 die Knickspannung K berechnet werden. Dabei λ , nicht etwa λ 0 einsetzen. – Die vorhandene Druckspannung d = F/A berechnen und die Sicherheit v bestimmen; sie muss gleich oder größer der geforderten sein. Bei zu

„

Beispiel: Eine Ventilstößelstange aus E295 hat 8 mm Durchmesser und ist 250 mm lang. Welche maximale Stößelkraft ist zulässig, wenn eine 10fache Sicherheit gegen Knicken gefordert wird? Es liegt der Grundfall vor, also s = l.

Lösung:

l i

λ= =

4 l 4⋅250 mm = =125 d 8 mm

also elastischer (Euler-)Bereich. Flächenmoment I = Knickkraft FK =

πd 4 π = ⋅(8 mm)4 = 201 mm 4 64 64

EI π 2 = 6668 N l2

Maximale Stößelkraft F =

„

FK = 667 N v

Beispiel: Die Pleuelstange eines Verbrennungsmotors (Bild 34) aus E 295 hat die Maße: l = 370 mm, H = 40 mm, h = 30 mm, b = 20 mm, s = 15 mm. Sie wird durch F = 16 kN auf Knickung beansprucht. Gesucht: vorhandene Knicksicherheit v.

A

Bild 34. Lösung: Die Pleuelstange würde um die (rechtwinklige) y-Achse knicken, denn ganz sicher ist Iy = Imin < Ix.

10 mm⋅(20 mm)3 + 30 mm⋅(15 mm)3 = 15104 mm 4 12 4 (Ix = 95 417 mm , also wesentlich größer als Imin)

I min =

i=

I min A

2 Die einzelnen Beanspruchungsarten A = Hb – (b – s)h = [40  20 – (20 – 15)  30] mm2 2

A = 650 mm

„

Beispiel: Die durchgehende Kolbenstange eines Verdichters für p = 6,5 bar Überdruck ist zu berechnen (Bild 35). Werkstoff: E295. Geforderte Knicksicherheit v = 4.

I min 15 104 mm 4 = = 4,82 A 650 mm 2

i=

l i

λ= =

370 mm = 76,8 < λ0 = 89 (Tetmajerfall): 4,82 mm

σ K = 335 − 0,62⋅ λ = 287,4

σ d vorh =

N mm 2

F 16 000 N N = = 24,6 A 650 mm 2 mm 2

σK σ d vorh

vvorh =

„

D 59

N mm 2 =11,7 = N 24,6 mm 2 287,4

Beispiel: Ein Knickstab von kreisförmigem Querschnitt ist beiderseits auf l = 500 mm Länge gelenkig gelagert und wird durch eine Druckkraft F = 40 kN beansprucht. Geforderte Knicksicherheit v = 8. Werkstoff E295. Wie groß muss der Durchmesser ausgeführt werden?

Bild 35. Lösung: Aus den physikalischen Bedingungen (s.S.C83) ergibt sich die Gleichung für die Kolbenstangenkraft π F = ( D 2 − d 2 ) p und mit D = 500 mm, d ⇒ ?, 4 p = 6 bar = 6,5 · 105 N/m2 = 0,65 N/mm2 ist

π (5002 − d 2 )⋅0, 65⋅ N 4 F = (1,276 · 105 –0,511 · d 2) N F=

Mit der angenommenen elastischen Knickung wird nach Euler: F=

EI π 2 (s.S. D56) und mit I = π ⋅d 4 / 64 (s. S.D30) sowie l2

E = 2,1 · 105 N/mm2 (s. S. D5) und l = 1500 mm2 Lösung: Knickkraft FK = Fv = 40 kN  8 = 320 kN. Aus

EI π 2 FK = l2 wird das erforderliche Flächenmoment I min =

FK l 2 320000 N⋅5002 mm 2 = = 3,86⋅104 mm 4 N 2 E 2 2,1⋅105 2 ⋅ mm

d4 , daraus d erf = 4 20 I min = 29,7 mm. I= 20

Mit i =

d l 500 mm = 7, 4 mm wird λ = = = 67, 6 (< 0 = 89). 4 i 7,4 mm

F=

2,1⋅105 ⋅ π ⋅d 4 ⋅ π 2 ⋅ N = 0, 0452⋅d 4 ⋅ N 64⋅15002

Beide Terme für die Kolbenstangenkraft F gleichgesetzt, ausgerechnet und umgeformt ergibt die biquadratische Gleichung d 4 +11,3⋅ d 2 − 2,822⋅106 = 0

Nach S. A38 wird d 2 = z gesetzt: z 2 + 11,3⋅ z − 2,822 ⋅106 = 0 z1,2 =−5,65 ± 1679 Der negative Wert von z2 ist hier ohne Belang und für z1 ergibt sich z1 =−5, 65 mm 2 + 31,923+ 2,822⋅106 mm 2 = =−5, 651 mm 2 + 679,89 mm 2 = 1674, 24 mm 2

Demnach liegt Tetmajerbereich vor und nicht, wie zunächst angenommen wurde, Eulerbereich, d.h. die Rechnung muss mit angenommenem Durchmesser (mit Tetmajer-Gleichungen) wiederholt werden, bis die geforderte Sicherheit erreicht worden ist:

und daraus mit d = z1 = 1674, 24mm = 40,9mm

d = 40 mm angenommen (zweckmäßig gegenüber derf erhöhen), neuer Schlankheitsgrad

Trägheitsradius i der Kolbenstange (s.S. D56): d 45 mm i= = =11, 25 mm 4 4

λ=

4 l 4⋅500 mm = = 50 d 40 mm

σ K = 335 − 0,62 λ = 304 σd =

N mm 2

F 40 000 N N = = 31,8 A 1257 mm 2 mm 2

N 304 σ mm 2 = 9,56 ( > v = 8) vvorh = K = gef σ d 31,8 N mm 2 d.h. der Durchmesser d = 40 mm kann ausgeführt werden.

Für die Ausführung wird d = 45 mm gewählt (Normzahl) und nach Euler geprüft, ob die geforderte Knicksicherheit  = 4 erreicht ist.

Schlankheitsgrad  (s. S. D52): l 1500 mm =133,3 > 0 = 89 (s. S. D57 für E295) λ= = i 11,25 mm Knickspannung (s. S. D57) und Druckspannung betragen:

σK =

σd =

E⋅π 2

λ2

=

2,1⋅105 ⋅ π 2 N N ⋅ = 116,6 133,32 mm 2 mm 2

π 2 ( D − d 2 )⋅ p N F =4 ⋅ π 2 A mm 2 ⋅d 4

D 60

σd =

D Festigkeitslehre Fall 2:

Fall 1:

π (5002 − 452 )⋅0,65 N F N =4 ⋅ = 79, 6 π A mm 2 mm 2 ⋅452 4

=2

Fall 3:

=1

Fall 4:

= 0,7

= 0,5

Damit ist die vorhandene Knicksicherheit σ 116,6 νvorh = K = = 1, 46 erf = 4.

2.3.6 Knickungsberechnungen im Stahlbau 2.3.6.1 Tragsicherheit einteiliger Knickstäbe

Zur knicksicheren Ausbildung von Druckstäben gilt 2.3.6.1 für Stahlbauten die Norm DIN 18 800 mit Teil 1, Bemessung und Konstruktion, Teil 2, Stabilitätsfälle, Knicken von Stäben und Stabwerken, Teil 3, Stabilitätsfälle, Plattenbauten. Nach DIN 18 800, Teil 2, muss unter anderem die so genannte Tragsicherheit nachgewiesen werden. Tragsicherheit besteht dann, wenn in der Ausweichrichtung des Stabes bei planmäßig mittigem Druck die Bedingung in Gleichung (69) erfüllt ist: F 1

Fpl

F

Fpl

(69)

F Belastung (Normalkraft) in Richtung der Stabachse, Fpl Normalkraft im vollplastischen Zustand (Tabelle 15.), Abminderungsfaktor (Abschnitt 2.3.6.2 Arbeitsplan, Teil e). Eine Bemessung der Stabquerschnitte ist über den Tragsicherheitsnachweis nicht möglich, weil die Tragsicherheits-Hauptgleichung (69) keine direkte Bezugsgröße für einen Stabquerschnitt enthält. Man nimmt daher versuchsweise einen Stabquerschnitt an und ermittelt damit der Reihe nach die im folgenden Arbeitsplan unter 2.3.6.2 aufgeführten Größen. Ist am Ende die Bedingung F / ( Fpl) ≤ 1 nicht erfüllt, muss die Rechnung mit geänderten Annahmen wiederholt werden. 2.3.6.2 Arbeitsplan zum Tragsicherheitsnachweis

Gegeben: Querschnittsabmessungen (Profil), Werkstoff, Belastung F des Druckstabes Gesucht: Tragsicherheitsnachweis a) Ermittlung der Knicklänge sK

sK mm

1

Für das Ausknicken in der Fachwerkebene ist die Systemlänge l der geschätzte Abstand der beiden Anschlussverbindungen an den Stabenden (Bild 37). Für das Ausknicken rechtwinklig zur Fachwerkebene ist l der Abstand der Netzlinien (Bild 38).



N N 1 (Tragsicherheits-Hauptgleichung)

sK = l

Bild 36. Knicklängenbeiwerte einfacher Stäbe mit konstantem Querschnitt

Bild 37. Ausknicken in der Fachwerkebene

Bild 38. Ausknicken rechtwinklig zur Fachwerkebene b) Berechnung des Schlankheitsgrades s λ K= K i

K

sK

i

1

mm

mm

i

I

A

mm

mm4

mm2

K

(71)

mit dem Trägheitsradius

l mm

(70)

Knicklängenbeiwert nach Bild 36, l Systemlänge des Stabes (siehe auch Bilder 37 und 38).

i=

I A

(72)

sK Knicklänge, i Trägheitsradius, I Flächenmoment 2. Grades, A Querschnittsfläche (i, I und A nach den Tabellen 1, 2, 9 bis 11).

2 Die einzelnen Beanspruchungsarten

D 61 grenze Re oder die obere Streckgrenze ReH eingesetzt werden:

c) Berechnung des bezogenen Schlankheitsgrades K

K a

K

K

λK

λa

1

1

1

K Schlankheitsgrad, a Bezugsschlankheitsgrad Der Bezugsschlankheitsgrad a errechnet sich nach E Re

λ a= π

Fpl = Re A

(73)

a

E

Re

1

N/mm2

N/mm2

(74)

E Elastizitätsmodul = 210 000 N/mm2, Re Streckgrenze nach Tabelle 5 im Abschnitt E Werkstofftechnik, auch in DIN 18 800, Teil 1, Tabelle 1 (siehe Tabelle 13). Danach ergibt sich a für die im Stahlbau gängigen Werkstoffe: S235JR mit einer Erzeugnisdicke t ≤ 40 mm zu a = 92,9; S355J2G3 mit einer Erzeugnisdicke t ≤ 40 mm zu a = 75,9.

„

Der Abminderungsfaktor für die Knickspannungslinien a, b, c und d wird mit den folgenden Formeln berechnet: Bereich

Bereich

Bereich

K  0,2

K  0,2

K  3,0

1



=1

k k k = 0,5 ⋅[1+ α

2



2  K

A

N

N/mm2

mm2

(75)

Beispiel: Ein planmäßig mittig gedrückter Stab nach Fall 2 (Bild 36) mit der Systemlänge sK = 1,50 m wird durch die Druckkraft F = 50 kN belastet. Querschnittsform: I-Träger IPE 80 nach DIN 1 025 (Tabelle 10) Werkstoff: S235JR

Lösung: Knicklänge sK = l mit = 1 wird sK = 1,50 m = 1 500 mm

d) Ermittlung einer Knickspannungslinie

e) Bestimmung des Abminderungsfaktors

Re

g) Nachweis der Tragsicherheit Zum Abschluss der Rechnung ist mit der Tragsicherheits-Hauptgleichung (69) F/( Fpl) ≤ 1 die zulässige Querschnittswahl nachzuweisen oder es ist mit einem anderen Profil oder mit einem anderen Stabquerschnitt die Prüfung zu wiederholen.

Trägheitsradius i =

Die Knickspannungslinie muss der Tabelle 14 in Abhängigkeit vom gewählten Stabquerschnitt entnommen werden.

Fpl

Iy

=

A

Schlankheitsgrad λ K =

8, 49⋅104 mm 4 = 10,542 mm 764 mm 2

sK 1500 mm = = 142,288 i 10,542 mm

bezogener Schlankheitsgrad λ K =

λK mit λ a = 92,9 für S235JR λa

bei t ≤ 40 mm 142, 288 λK = = 1,532 92,9 h 80 mm = = 1,74 > 1,2 und t = 5,2 mm < 40 mm sowie Ausb 46 mm weichen rechtwinklig zur y-Achse ergibt nach Tabelle 14 die Knickspannungslinie b. Abminderungsfaktor für λ K = 1,532 > 0,2:

1

2

K ( K   )

k = 0,5⋅[1+ α ( λ K − 0, 2) + λ K ] mit α = 0,34 für Knickspannungslinie b

2 (λK − 0, 2) + λ K ]

k = 0,5  [ l + 0,34 (1,532 – 0,2) + 1,5322] k = 1,9

Der Parameter  ist abhängig von den Knickspannungslinien: Knickspannungslinie

a

b

c

d

α

0,21

0,34

0,49

0,76

Abminderungsfaktor 1 1 κ= = = 0,331 2 2 2 k + k 2 − λ K 1,9 + 1,9 −1,532 Normalkraft im plastischen Zustand nach Tabelle 15

Fpl = 164 kN

f ) Ermittlung der Normalkraft Fpl Fpl ist diejenige Druckkraft, bei der im Werkstoff des Stabes vom Querschnitt A der vollplastische Zustand erreicht wird. Als Widerstandsgröße kann die Streck-

Tragsicherheit

F

κ ⋅ Fpl

=

50 kN = 0,921 0,331⋅164 kN

Die Bedingung der Tragsicherheits-Hauptgleichung (69) ist erfüllt.

D 62

D Festigkeitslehre

Tabelle 13. Festigkeitswerte für Walzstahl (Bau- und Feinkornbaustahl) Werkstoff

Bezeichnung 1)

Erzeugnisdicke t mm

Streckgrenze Re N/mm2

S235JR

t ≤ 40

240

40 < t ≤ 80

215

t ≤ 40

360

40 < t ≤ 80

325

t ≤ 40

360

40 < t ≤ 80

325

S235JRG1

Baustahl

S235JRG2

Zugfestigkeit Rm N/mm2

360

S235JO Baustahl

E295

Feinkornbaustahl

E355

510

700

1) Bezeichnungen für Baustähle siehe Abschnitt E Werkstofftechnik, Tabelle 5.

Tabelle 14. Zuordnung der Profilquerschnitte zu den Knickspannungslinien Querschnittsformen Gewalzte Doppel-T-Profile (siehe Tabelle 10)

Ausweichen rechtwinklig zur Achse Knickspannungslinie t ≤ 40 mm

x y

a b

h / b > 1,2 und 40 < t ≤ 80 mm t ≤ 80 mm h / b ≤ 1,2 und

x y

b c

x und y

d

x und y

c

h / b > 1,2 und

t > 80 mm U-, L-, TQuerschnitte (siehe Tabellen 9 und 11)

2.3.6.3 Tragsicherheit mehrteiliger Knickstäbe

Auch mehrteilige aus Walzprofilen zusammengesetzte Stäbe können wie einteilige berechnet werden, wenn deren Querschnitte rechtwinklig zur Ausweichrichtung eine Stoffachse haben wie in Bild 39. Die Einzelprofile sind durch Nieten oder Schweißen so verbunden, dass der Stab als ein Bauglied angesehen werden kann.

Bild 40. Mehrteilige Querschnitte mit stofffreier Biegeachse y–y

In Ausweichrichtung rechtwinklig zur stofffreien Achse y – y gelten andere Rechenvorschriften nach DIN 18 800, Teil 2, Abschnitt 4.

Futter durchlaufend Bild 39. Mehrteilige Stäbe mit zwei Stoffachsen x – x und y – y

Mehrteilige Querschnitte nach Bild 40. mit einer Stoffachse x – x und einer stofffreien Achse y – y können rechtwinklig zur Stoffachse x – x wie einteilige Stäbe berechnet werden.

Bild 41. Günstigster Querschnitt für Knickstäbe

2 Die einzelnen Beanspruchungsarten

D 63

Tabelle 15. Normalkraft Fpl = Re A in kN A

Fpl1)

Fpl2)

mm2

kN

kN

Profil

1)

A

Fpl1)

Fpl2)

mm2

kN

kN

Profil

L 40

6

448

96

108

IPE 80

764

164

183

L 50 L 60 L 70 L 80 L 80 L 90 L 100 L 120 L 140 L 150 L 160 L 180 L 200

6 6 7 8 10 9 10 13 15 16 19 18 20

569 691 940 1230 1510 1550 1920 2970 4000 4570 5750 6190 7640

122 149 202 264 325 333 413 639 860 983 1236 1331 1643

137 166 226 295 362 372 461 713 960 1097 1380 1486 1834

IPE 100 IPE 120 IPE 140 IPE 160 IPE 180 IPE 200 IPE 220 IPE 240 IPE 270 IPE 300 IPE 360 IPE 400 IPE 500

1000 1320 1640 2010 2390 2850 3340 3910 4590 5380 7270 8450 11600

215 284 353 432 514 613 718 841 987 1157 1563 1817 2492

240 317 394 482 574 684 802 938 1102 1291 1745 2028 2784

mit Re = 215 N/mm2 gerechnet,

2)

A

Fpl1)

Fpl2)

mm2

kN

kN

Profil U 50 U 80 U 100 U 140 U 160 U 180 U 200 U 220 U 240 U 260 U 280 U 300 U 350 U 400

712

153

171

1100 1350 2040 2400 2800 3220 3740 4230 4830 5330 5880 7730 9150

237 290 439 516 602 692 804 909 1038 1146 1264 1662 1967

264 324 490 576 672 773 898 1015 1159 1279 1411 1855 2196

mit Re = 240 N/mm2 gerechnet

Tabelle 16. Zulässige Spannungen im Stahlhochbau

a) Zulässige Spannungen in N/mm2 für Stahlbauteile1) S235JR

Spannungsart

Druck und Biegedruck, wenn Stabilitätsnachweis nach DIN 18 800 erforderlich ist Zug und Biegezug, Biegedruck, wenn Stabilitätsnachweis nach DIN 18 800 erforderlich ist Schub 1)

H

HZ

H

140

160

210

160

180

92

104

Werkstoff S355JO Lastausfall HZ

E360 H

HZ

240

410

460

240

270

410

460

139

156

240

270

Lastfall H: alle Hauptlasten, Lastfall HZ: alle Haupt- und Zusatzlasten

b) Zulässige Spannungen in N/mm2 für Verbindungsmittel1) Niete (DIN und DIN 302) Spannungsart

Passschraube (DIN 7 968) 4.6

5.6 für Bauteile aus S355JO

Rohe Schrauben (DIN 7 990) 4.6

für Bauteile aus S235JR

für Bauteile aus S355JO

für Bauteile aus S235JR

H

HZ

H

HZ

H

HZ

H

HZ

H

HZ

140 280 48

160 320 54

210 420 72

240 480 81

140 280 112

160 320 112

210 420 150

240 480 150

112 240 112

126 270 112

Lastfall Abscheren Lochleibungsdruck Zug 1)

a zul l zul z zul

Lastfall H: alle Hauptlasten, Lastfall HZ: alle Haupt- und Zusatzlasten

D 64

D Festigkeitslehre

Tabelle 17. Zulässige Spannungen im Kranbau für Stahlbauteile und ihre Verbindungsmittel

a) Zulässige Spannungen in N/mm2 für Bauteile Werkstoff

Spannungsart

S235JR

Außer dem Allgemeinen Spannungsnachweis auf Sicherheit gegen Erreichen der Fließgrenze ist für Krane mit mehr als 20 000 Spannungsspielen noch ein Betriebsfestigkeitsnachweis auf Sicherheit gegen Bruch bei zeitlich veränderlichen, häufig wiederholten Spannungen für die Lastfälle H zu führen. Zulässige Spannungen beim Betriebsfestigkeitsnachweis siehe Normblatt.

S355JO

H

HZ

H

HZ

Zug- und Vergleichsspannung

160

180

240

270

Druckspannung, Nachweis auf Knicken

140

160

210

240

Schubspannung

92

104

138

156

b) Zulässige Spannungen in N/mm2 für Verbindungsmittel Niete (DIN 124 und DIN 302) Spannungsart

Lochleibungsdruck Zug

USt 44 für Bauteile aus S355JO

USt 36

USt 44

H

HZ

H

HZ

96

126

144

84

96

126

144

zweischnittig 112

128

168

192

112

128

168

192

einschnittig

210

240

315

360

210

240

315

360

zweischnittig 280

320

420

480

280

320

420

480

45

45

100

110

140

154

45

100

110

140

154

einschnittig

30

30

zweischnittig

30

30

45

2.4.1 Spannung

W

a N mm 2

F

A

N

mm2

(76)

(Abscher-Hauptgleichung) Je nach vorliegender Aufgabe kann die AbscherHauptgleichung umgestellt werden zur Berechnung des erforderlichen Querschnitts (Querschnittsnachweis): F Aerf = (77)

τ a zul

USt 44 für Bauteile aus S355JO

H

HZ

H

HZ

70

80

70

80

160

180

160

180

100

110

140

154

F

A

F s

Praktisches Beispiel für die Beanspruchungsart Abscheren ist das Scherschneiden (Bild 42). Die äußeren Schnittkräfte F wirken rechtwinklig (quer) zur Bauteilachse und bilden ein Kräftepaar mit dem kleinen Wirkabstand u (Schneidspalt). Das entsprechend kleine Kraftmoment M = F u wird bei dieser Untersuchung vernachlässigt. In der Schnittfläche des Werkstücks W wird das Kräftegleichgewicht durch die innere Schnittkraft Fq (Querkraft) = F wieder hergestellt. Fq wirkt tangential zur Schnittebene, die auftretende Spannung  (Tangentialspannung). Zur Kennzeichnung der Beanspruchungsart nennt man sie Abscherspannung a: F A

USt 36 für Bauteile aus S235JR

u

2.4 Abscheren

τa =

Schrauben (DIN 7 880) 4.6 5.6

für Bauteile für Bauteile aus S235JR aus S355JO Lastfall H HZ H HZ

84

einschnittig

Abscheren

USt 36 für Bauteile aus S235JR

Passschrauben (DIN 7 968) 4.6 5.6

l F

F

Fq = F

F A = Querschnittsfläche

Bild 42. Scherschneiden (Parallelschnitt) W Werkstück, F Schnittkraft, A = l s Querschnittsfläche, u Schneidspalt

Berechnung der vorhandenen Spannung (Spannungsnachweis): τ a vorh =

F A

(78)

Berechnung der maximal zulässigen Belastung (Belastungsnachweis):

Fmax = A a zul Bei den auf Abscheren zu berechnenden Bauteilen wie Niete und Bolzen tritt außer der Querkraft noch ein Biegemoment auf.

2 Die einzelnen Beanspruchungsarten Allein deshalb ist eine einfache Schubspannungsverteilung im Querschnitt nicht zu erwarten. In warm eingezogenen Nieten tritt gar keine Schubspannung auf, sie werden durch das Schrumpfen auf Zug beansprucht und trotzdem auf Abscheren berechnet. Genauere rechnerische Untersuchungen am Rechteckquerschnitt zeigen eine parabolische Schubspannungsverteilung mit  = 0 in der Randfaser und  = max in der mittleren Faserschicht (Bild 43).

D 65 „

Beispiel: Die einreihige Doppellaschennietung ist zu berechnen (Bild 44): N F = 120 kN, σ z zul = 140 mm 2 N N , σl zul = 280 mm 2 mm 2 (zulässiger Lochleibungsdruck). Gewählt: d1 = 17 mm, s = 8 mm, s1 = 6 mm.

τ a zul = 110

Lösung:

u

Die erwartete (geschätzte) Schwächung des Stabprofils durch die Nietlöcher wird durch das Verschwächungsverhältnis

F

W

v=

τ-Kurve

(Parabel)

Fq = F

Nutzquerschnitt An ungeschwächter Querschnitt A

berücksichtigt. Hier wird v = 0,75 angenommen.

F

a) Aerf =

τmittel = τa = τmax

Fq A

Für die folgenden Querschnittsformen gilt:

 max = (3/2) · a  max = (4/3) · a  max  2 · a

Die Abscherfestigkeit von Stahl und Gusseisen kann aus der Zugfestigkeit Rm bestimmt werden: für Flussstahl ist für Gusseisen ist

aB = 0,85 Rm aB = 1,10 Rm

Niete und Bolzen werden nach obigen Gleichungen berechnet, obwohl in der Schnittfläche immer noch ein Biegemoment übertragen werden muss, wie die Untersuchung des Kräftegleichgewichts am abgeschnittenen Bauteil beweist (Bild 42). Die dadurch entstehende Unsicherheit wird durch ein geringeres a zul berücksichtigt. Niete werden außer auf Abscheren noch auf Lochleibungsdruck  l berechnet (siehe 2.6 Flächenpressung).

140

b = 145 mm ausgeführt (Normmaß)

F

c) na erf =

=

τ a zul m A 1

120 000 N = N 110 ⋅ 2⋅ 227 mm 2 mm 2

= 2, 4 ; also na = 3 Niete

F

d) nl erf =

σl zul d1s

= 280

120 000 N = N 2 ⋅17 mm⋅8 mm mm

= 3,14 ; also nl 4 Niete In den folgenden Rechnungen muss demnach n = 4 eingesetzt werden. e) z vorh =

F 120 000 N = = s(b − nd1 ) 8 mm (145 − 4⋅17) mm

= 195

f ) a vorh =

= 66

g) l vorh =

N N > σ z zul = 140 mm 2 mm 2

F = mnA 1 N mm 2

120 000 N = N mm 2

2⋅4⋅227

  a zul 110

N mm 2

120 000 N F

n d1s 4 17 mm  8 mm

= 221

Bild 44. Nietverbindung

120 000 N = 1143 mm 2 N 2 ⋅0,75 mm

=

Aerf 1143 mm 2 = =142,9 mm s 8 mm

b) berf =

Bild 43. Schubspannungsverteilung im schubbeanspruchten Rechteckquerschnitt

Rechteckquerschnitt Kreisquerschnitt Rohrquerschnitt

σ z zulv

N mm 2

  l zul 240

N mm 2

Beachte: zu d) 4 Niete 17 würden eine größere Breite b erfordern (Nietabstände nach DIN 1 050). Einfacher wäre es, die Niete je Seite zweireihig anzuordnen. zu e) Die vorhandene Zugspannung ist größer als die zulässige. Bei der unter d) vorgeschlagenen Ausführung (zweireihige Nietung) ist der Lochabzug geringer und damit die vorhandene Zugspannung kleiner als die zulässige.

D 66

D Festigkeitslehre

2.5 Torsion (Verdrehung) 2.5.1 Kreiszylinder mit gleichbleibendem Querschnitt 2.5.1.1 Spannung. Der gerade zylindrische Stab in Bild 45 ist einseitig eingespannt und wird durch das Drehmoment M belastet, dessen Ebene rechtwinklig zur Stabachse steht. Ein Schnitt rechtwinklig zur Stabachse zerlegt den Stab in die Teile I und II. Die statischen Gleichgewichtsbedingungen für einen Stababschnitt ergeben das innere Kräftesystem:

I.  Fx = 0; keine x-Kräfte vorhanden II.  Fy = 0; keine y-Kräfte vorhanden III.  M(0) = 0 = M – MT

Je nach vorliegender Aufgabe kann die TorsionsHauptgleichung umgestellt werden zur Berechnung des erforderlichen Querschnitts (Querschnittsnachweis): MT (80) Wp erf =

τ t zul

Berechnung der vorhandenen Spannung (Spannungsnachweis): M t vorh = T Wp

(81)

Berechnung der maximal zulässigen Belastung (Belastungsnachweis):

MT max = Wp t zul

(82)

Gleichungen zur Berechnung des polaren Widerstandsmomentes Wp siehe Tabelle 18. Wichtige Zahlenwertgleichungen zur Berechnung des Torsionsmomentes MT = M in Nm und Nmm aus gegebener Leistung P in kW und gegebener Drehzahl n in U/min = 1/min = min–1: M = 9550

M = 9,55⋅106

Bild 45. Torsionsbeanspruchte Welle

M MT

ist das durch die äußeren Kräfte hervorgerufene Außenmoment ist das durch die inneren Kräfte hervorgerufene Torsionsmoment

Die Momentengleichgewichtsbedingung III. zeigt, dass der Querschnitt ein in der Fläche liegendes Torsionsmoment MT = M zu übertragen hat. Es ist längs des Stabes an jeder Querschnittsstelle gleich groß (im Gegensatz zur Biegung). Die Mantelgerade AB ist daher zur Wendel AC geworden. Die auftretende Torsionsspannung t ist nur vom Betrag des zu übertragenden Torsionsmomentes MT und vom polaren Widerstandsmoment Wp des Querschnittes abhängig:

M Nm

P n P n

P n kW min–1 M

P

n

Nmm kW min–1

(83)

(84)

2.5.1.2 Herleitung der Torsions-Hauptgleichung. Das äußere Drehmoment M verdreht (tordiert) zwei dicht benachbarte Querschnitte gegeneinander. Es entstehen daher Schubspannungen . Wie das Verformungsbild 46 zeigt, werden die Werkstoffteilchen um so weiter drehend gegeneinander verschoben, je weiter entfernt sie von der Stabachse liegen: B ' wandert nach C ' und B nach C. Die stärkste Verformung liegt am Querschnittsumfang; die Stabachse dagegen ist unverformt.

Torsionsspannung t = =

Torsionsmoment M T polares Widerstandsmoment Wp

t

MT Wp

t N mm

2

MT

Wp

Nmm

mm3

(Torsions-Hauptgleichung)

Bild 46. Verformungs- und Spannungsbild bei Torsion

(79) Da im elastischen Bereich nach Hooke die Verformung der Spannung proportional ist, muss ebenso

2 Die einzelnen Beanspruchungsarten

D 67

wie die Verformung auch die Spannung mit den Abständen r von der Stabachse wachsen. Die Spannungen sind demnach wie bei der Biegung linear verteilt. Die Stabachse ist unverformt, also auch spannungslos. Jedes Flächenteilchen  A überträgt die Querkraft  F =   A (in der Fläche liegend). In Bezug auf die Stabachse überträgt jedes Flächenteilchen mit dem Abstand r das kleine Innenmoment  MT =  Fr =   Ar.

Wird die nach b aufgelöste Beziehung (85) in die letzte Gleichung für den Verdrehwinkel eingesetzt, ergeben sich die Torsions-Formänderungsgleichungen: τ l 180° ϕ= t ⋅ (86) Gr π

ϕ=

M Tl 180° ⋅ Wp r G π

(87)

ϕ=

M T l 180° ⋅ Ip G π

(88)

Das Spannungsbild zeigt die Proportion:

τ r r = ; also auch τ = τ max r τ max r Damit wird M T = τ Ar = τ max



 t, G

l, r

MT

Wp

Ip

º

N mm 2

mm

Nmm

mm3

mm4

r τ Ar = max Ar 2 r r

Nach den Gleichgewichtsbedingungen muss das gesamte Torsionsmoment MT gleich der Summe aller kleinen Innenmomente sein, also MT =  MT = ∑

τ max r

Ar 2 =

τ max r

  Ar2

Der Summenausdruck  Ar2 wird als rein geometrische Rechengröße herausgezogen und als polares Flächenmoment Ip bezeichnet (siehe Flächen- und Widerstandsmomente). Wird außerdem die Randfaserspannung max als Torsionsspannung t bezeichnet, so ergibt sich die Hauptgleichung in der Form Ip und mit = polares Widerstandsr r moment Wp: MT = t Wp MT =τt

Ip

2.5.1.3 Formänderung. Die Stirnflächen des torsionsbeanspruchten Stabes (Bild 47) werden um den Verdrehwinkel  gegeneinander verdreht.

Bei der elastischen Verformung gilt für alle Beanspruchungsarten das Hooke’sche Gesetz:  =  l E/l. Es wird sinngemäß eingesetzt: Für die Normalspannung  die Schubspannung , für die Formänderung  l der Bogen b und für den Elastizitätsmodul E der Schubmodul G, so ergibt sich das Hooke’sche Gesetz für Torsion: b l

(85)

τt = G

Zur rechnerischen Vereinfachung wird das Bogenstück BC = b durch den Verdrehwinkel  in Grad ausgedrückt. Zwischen beiden besteht die Beziehung b ϕ = 2 π r 360°

ϕ=

b 360° b 180° = ⋅ r π 2π r

Bild 47. Formänderung bei Torsion

Der Schubmodul G entspricht dem E-Modul bei Normalspannungen. Für Stahl ist G = 80 000 N/mm2. Die obigen Gleichungen zeigen, dass der Verdrehwinkel unabhängig von der Werkstoffgüte ist, weil z.B. für alle Stahlsorten G gleich groß ist. Es wäre also falsch, besseren Stahl zu benutzen, um den Verdrehwinkel kleiner zu halten. 2.5.1.4 Formänderungsarbeit. Beim Verdrehen eines zylindrischen Stabs steigt das Torsionsmoment MT von null bis zu einem Höchstwert proportional zum Verdrehwinkel an. Die im Stab gespeicherte Formänderungsarbeit W entspricht im MT,  -Diagramm der Fläche unter der MT -Linie (Bild 48): W = MT

ϕ 2

 W, MT Nmm rad = 1

(89)

Torsionsstabfedern werden verwendet als Autofedern, Stabilisatoren im Fahrzeugbau, Drehmomentenschlüssel und im Messgerätebau.

D 68

D Festigkeitslehre

Die Neigung der Belastungslinie (= Federkennlinie) ist ein Maß für die „Härte“ der Feder. Sie ist um so härter, je steiler die Kennlinie verläuft, d.h. je größer die Federrate R (Federsteifigkeit) ist:

Damit wird nach einigen Umformungen die Formänderungsarbeit:

W = MT

ϕ 2

=

W

τ t2 V 4G

Nmm

 t, G

V

N mm3 mm 2

(91)

2.5.2 Stäbe mit beliebigem Querschnitt Bei der Verdrehung zylindrischer Stäbe mit Kreisquerschnitt bleiben diese eben. Bei allen anderen Querschnitten tritt dagegen eine Verwölbung ein. Die mathematische Behandlung führt zu Differentialgleichungen. In der Praxis wird in Anlehnung an die Torsion zylindrischer Stäbe mit Kreisquerschnitt mit folgenden Gleichungen für Torsionsspannung  t und Verdrehwinkel  gerechnet: Bild 48. Arbeitsdiagramm für Torsionsstabfeder

R=

MT

ϕ

ˆ tan α =

R MT  Nmm (90) Nmm rad = 1 rad

Für zylindrische Stäbe mit Kreisquerschnitt gilt: M T = τ t Wp Wp =

ϕ=

d πd3 πd2 d = ⋅ =A 16 4 4 4

τ tl G

d 2

und

π d2 l = Volumen V 4

τt =

 t, G N mm 2

MT Wt

ϕ=

M T l 180D ⋅ G It π

(92)

MT

Wt

It

l, r



Nmm

mm3

mm4

mm

º

Darin ist It eine Größe, die dem polaren Flächenmoment des Kreisquerschnittes entspricht und als Drillungswiderstand bezeichnet wird. Wt entspricht dem polaren Widerstandsmoment des Kreisquerschnittes. Gleichungen für Wt und It siehe Tabelle 18.

Tabelle 18. Widerstandsmoment Wp (Wt) und Flächenmoment Ip (Drillungswiderstand It) Form des Querschnitts

Widerstandsmoment Wp (Wt)

Wt = Wp =

π 3 d3 d ≈ 16 5

Flächenmoment Ip Drillungswiderstand It

I t = Ip =

≈ 0, 2 d 3

Wt = Wp =

Wt =

π d a4 − di4 ⋅ 16 da

π 3 nb 16

h = n >1 b

π 4 d4 d ≈ 32 10

≈ 0,1 d 4

It = Ip =

It =

π ⋅(d 4 − di4 ) 32 a

π n3b 4 ⋅ 16 n 2 +1

Bemerkungen

max am Umfang

max am Umfang

max an den Endpunkten der kleinen Achse

2 Die einzelnen Beanspruchungsarten

Form des Querschnitts

D 69

Widerstandsmoment Wp (Wt ) ha h i = =n>i ba b i

Flächenmoment Ip Drillungswiderstand It

Bemerkungen

hi bi = = α 1 b

It = c2b4

max in der Mitte der Seiten

max in der Mitte der

Wt = c1b3

langen Seiten

n 1 1,5 2 3 4 6 c1 0,208 0,346 0,493 0,801 1,150 1,789 c2 0,1404 0,2936 0,4572 0,7899 1,1232 1,789 Wt = 0,05 b3 =

h3 13

It =

h4 26

max in der Mitte der Seiten

h3 2 I Wt = = t h 13

b4 It = 46,2

Wt = 0,436 r A

It = 0,553 r 2A

Wt = 1,511

r3

It = 1,847 r 4

max in der Mitte der Seiten

A Querschnittsfläche It = 0,520 r 2A

Wt = 0,447 r A Wt = 1,481

8 10 2,456 3,123 2,456 3,123

r3

It = 1,726 r 4

max in der Mitte der Seiten

A Querschnittsfläche

1 l s3 + l t2 ss3 Wt = ⋅ t1 f 3 sf It sf : lt 1 = 2 l1 – sf lt 2 = l2 – 1,6 sf I : lt 1 = 2l1 – 1,26 sf lt 2 = l2 – 1,67 sf + 1,76 sf

Wt =

„

Beispiel: Eine Getriebewelle überträgt eine Leistung von 12 kW bei 460 min–1. Die zulässige Torsionsspannung beträgt wegen zusätzlicher Biegebeanspruchung nur 30 N/mm2. Zu berechnen sind: a) das Drehmoment M an der Welle, b) das erforderliche Widerstandsmoment Wp , c) den erforderlichen Durchmesser derf einer Vollwelle, d) den erforderlichen Innendurchmesser d einer Hohlwelle, wenn der Außendurchmesser D = 45 mm ausgeführt wird, e) die Torsionsspannung an der Wellen-Innenwand.

1 I t = ⋅(l t1 sf3 + l t2 ss3 ) 3

Lösung: a) M = 9550⋅

M = 9550⋅ b) Wp erf =

Wp erf =

P n 12 Nm = 249,1 Nm 460

MT

τ t zul 249,1⋅103 Nmm = 8303 mm3 N 30 2 mm

max in den langen Seiten der Flansche

D 70

D Festigkeitslehre

c) Wp =

π 3 d 16

derf = 3

16 Wp erf

π

=3

16 ⋅8303 mm3 = 34,8 mm π

l

d = 35 mm ausgeführt Beachte: Soll nur der Wellendurchmesser d bestimmt werden, dann wird man b) und c) zusammenfassen und derf = 3

π d 4G ϕ = 180° ⋅M T 32⋅ π = 180 mm

l=

16 M t berechnen. π τ t zul

„

N ⋅10° mm 2 32⋅180°⋅50⋅103 Nmm

π 2 ⋅94 mm 4 ⋅8⋅104

Beispiel: Ein Kurbelarm mit Rechteckquerschnitt (20  40) mm2 ist 250 mm lang und wird durch ein Torsionsmoment von 80 Nm beansprucht. Gesucht: a) die Torsionsspannung in der Mitte der langen Seiten, b) der Verdrehwinkel.

Lösung: π D4 − d 4 ⋅ d) Wp = 16 D

Beachte: Wp erf nach b) bleibt gleich groß, weil MT und t zul gleich bleiben. 16 Wp D π

= D4 − d 4

d erf = 4 D 4 −

h a) Nach Tabelle 18 ist mit n = = 2 der Wert c1 = 0,493 und b damit Wt = c1 b3 = 3944 mm3

t max =

N N = 16,1 mm 2 mm 2 in der Mitte der kurzen Seiten.

t = c3 t max = 0,7952  20,3

16 Wp erf D = 38,5 mm (ausgeführt) π

b) It = c2 b4 = 0,4572  204 mm4 =

e) Strahlensatz:

= 7,3  104 mm4 und damit nach (88)

τ ta D = τ ti d

τ ti = τ ta ⋅

M T 80 000 Nmm N = = 20,3 Wt 3944 mm3 mm 2

d N 38,5 mm N = 30 ⋅ = 25, 7 D mm 2 45 mm mm 2

ϕ=

M T l 180° ⋅ = I tG π

80000 Nmm⋅250 mm 180° ⋅ = 0,196° N π mm 2

7,3⋅104 mm 4 ⋅0,8⋅105

2.6 Flächenpressung Die Beanspruchung der Berührungsflächen zweier gegeneinander gedrückter Bauteile heißt Flächenpressung oder Pressung (bei Nieten: Lochleibungsdruck). 2.6.1 Flächenpressung ebener Flächen

Beachte: Mit ta = t zul darf man nur deshalb rechnen, weil der mit t zul = 30 N/mm2 berechnete Innendurchmesser exakt so beibehal-

„

Wird ein Bauteil nach Bild 49. durch eine schräge Kraft F auf seine Unterlage gepresst, so ist die Flächenpressung

ten wird. Hätte man d = 38 mm (Normmaß) ausgeführt, hätte die Randfaserspannung ta = t vorh = MT / Wp mit dem neuen Wp berechnet und erst damit ti bestimmt werden können.

p=

Beispiel: Ein Torsionsstab-Drehmomentenschlüssel soll bei einem Drehmoment von 50 Nm einen Verdrehwinkel von 10º anzeigen. Zu berechnen sind a) der Durchmesser d des Torsionsstabes bei t zul = 350 N/mm2, b) die erforderliche Stablänge l für den geforderten Verdrehwinkel.

p

Normalkraft FN Berührungsfläche A

FN A

p N 2

FN

A

N

mm2

mm (Flächenpressungs-Hauptgleichung)

Lösung: a) Aus τ t =

π MT ergibt sich mit Wp = d 3 Wp 16

16 M T 16⋅50⋅103 Nmm = ≈ 9 mm N π τ t zul 3 π ⋅350 2 mm d = 9 mm ausgeführt

derf = 3

b) Mit Gleichung (88) und I p =

π 4 d wird dann 32

Bild 49. Flächenpressung ebener Flächen

(93)

2 Die einzelnen Beanspruchungsarten

D 71

Die Flächenpressung p steht immer rechtwinklig auf der Berührungsfläche. Zur Berechnung muss deshalb auch die rechtwinklig auf der Fläche stehende Normalkraft FN benutzt werden. Dazu ist exaktes Freimachen des betrachteten Bauteiles erforderlich. Für die Keilführung in Bild 50 z.B. zeigt das Krafteck die Normalkraft FN = F / cos α und damit die Flächenpressung p: p

FN F F

A A cos  Aprojiziert

Bild 50. Flächenpressung geneigter Flächen

Im Nenner steht die Projektion der Berührungsfläche in Richtung der Wirklinie der Belastung F: A cos α ist die Projektion der Berührungsfläche auf die zur Wirklinie von F rechtwinklige Ebene. Man kommt dann bei geneigten Flächen ohne Umrechnung auf die Normalkraft aus: Flächenpressung p=

F Aproj

(94)

Damit lassen sich bequeme Berechnungsgleichungen für praktisch häufig vorkommende Fälle entwickeln, wie sie im folgenden Bild 51 zusammengestellt sind.

Bild 51. Typische technische Beispiele für die Verwendung der Gleichung p = F/Aproj 2.6.1.1 Flächenpressung im Gewinde. Ein wichtiges Beispiel der Entwicklung einer Gleichung nach (94) ist die Berechnung der Flächenpressung in Bewegungsschrauben (meist mit Trapezgewinde nach DIN 103), wobei häufig die erforderliche Mutterhöhe m aus der zulässigen Pressung zu bestimmen ist. Mit i = m/P tragenden Gängen und den Bezeichnungen aus Bild 52 wird die projizierte Fläche aller Gewindegänge: Aproj = π d 2 H1

m P

und daraus die Flächenpressung im Gewinde p=

F FP = Aproj π d 2 H1m

m, P, d2, H1 mm

F N

(95)

p N mm 2

D 72

D Festigkeitslehre

Bild 52. Bezeichnungen am Trapezgewinde

Beachte: Die Rechnung ergibt eine mittlere Flächenpressung, weil im Gegensatz zu den tatsächlichen Verhältnissen eine gleichmäßige Kraftaufnahme der einzelnen Gewindegänge vorausgesetzt wurde. Bei metrischem Gewinde ist für t2 das Maß t1 einzusetzen. 2.6.2 Flächenpressung gewölbter Flächen

Schwieriger als bei ebenen Flächen sind die Pressungsverhältnisse an der Oberfläche der Lagerzapfen, Bolzen und Niete. Die Normalkräfte auf die Berührungsflächen sind hier statisch unbestimmt. Man denkt sich deshalb nach Bild 53 einen Mittelwert p gleichmäßig über der Flächenprojektion verteilt und rechnet bei Lagerzapfen und Bolzen mit der Flächenpressung

p=

F F = A proj d l

p N mm

2

F

d, l

N

mm

(96)

Bild 54. Nietkraft F1 und kleinste Blechdickensumme s

Die Flächenpressung am Nietschaft heißt Lochleibungsdruck  l. Er wird berechnet aus: F1 Kraft, die ein Niet zu übertragen hat; d1 Lochdurchmesser = Durchmesser des geschlagenen Nietes; s = kleinste Summe aller Blechdicken in einer Kraftrichtung (Bild 54):

σl =

F1 ≤  l zul d1s

l N mm

2

F1

d1, s

N

mm

(97)

In Bild 54 ist in Kraftrichtung rechts: s = 2s1 = 2  7 mm = 14 mm; in Kraftrichtung links: s = 3 s2 = 3  3,5 mm = 10,5 mm. Es muss also mit s = 10,5 mm gerechnet werden, weil das die kleinste Blechdickensumme in einer Kraftrichtung ist und damit nach (97) den größten Lochleibungsdruck ergibt. „

Beispiel: Für eine zugbeanspruchte Gewindespindel mit Tr 28  5 sind zu berechnen: a) die zulässige Höchstlast für z zul = 120 N/mm2, b) die erforderliche Mutterhöhe m für pzul = 30N/mm2.

Lösung: a) Fmax = z zul A3 Fmax = 120

b) merf = merf =

N ⋅398 mm 2 = 47 760 N mm 2

Fmax P π d 2 H1 pzul

47 760 N⋅5 mm

π ⋅25,5 mm⋅ 2,5 mm⋅30

N mm 2

= 39,75 mm

m = 40 mm ausgeführt

„

Beispiel: Ein Gleitlager (Bild 55) wird durch die Radialkraft Fr = 16 kN und die Axialkraft Fa = 7,5 kN belastet. Das Bauverhältnis soll l/d = 1,2 sein. pzul = 6 N/mm2. Gesucht: d, D, l.

Lösung:

Bild 53. Flächenprojektion eines Lagerzapfens

p=

F F F F = = = Aproj d l d ⋅1, 2 d 1, 2 d 2

3 Zusammengesetzte Beanspruchungen

derf =

D 73 – außerdem wirkt ein Biegemoment Mb = Fa; hervorgerufen durch das Kräftepaar; es erzeugt eine Biegespannung

F 16000 N = ≈ 47, 2 mm N 1, 2 pzul 1, 2⋅6 mm 2

d = 48 mm ausgeführt, daher l = 1,2 d = 1,2  48 mm = 57,6 mm l = 58 mm ausgeführt Derf =

M b M be Fae = = = W I I 72 500 N⋅67 mm⋅60 mm N = = 91 318 ⋅104 mm 4 mm 2

σb =

4F +d 2 π pzul

4⋅7500 N + 2304 mm 2 = 62,4 mm N π ⋅6 2 mm D = 63 mm ausgeführt

Derf =

Nach Bild 1 erhält man aus dem Zugspannungsbild b) und dem Biegespannungsbild c) das Schaubild der resultierenden Spannung d). Die bei reiner Biegung durch den Schwerpunkt S der Fläche gehende Nulllinie ist bei der zusammengesetzten Spannung um c nach links verschoben. Das Flächenmoment I ist stets auf die Schwerpunktachse zu beziehen. Vor allem bei Walzprofilen sollte man immer die Biegespannung mit Hilfe des Flächenmomentes I berechnen, weil in den Profilstahltabellen nicht immer das direkt brauchbare Widerstandsmoment W enthalten ist.

Bild 55. Gleitlager

3 Zusammengesetzte Beanspruchungen

A. Böge

Auch in einfachen praktischen Fällen treten häufig mehrere Beanspruchungsarten gleichzeitig auf. Man unterscheidet gleichzeitiges Auftreten mehrerer Normalspannungen, gleichzeitiges Auftreten mehrerer Schubspannungen und gleichzeitiges Auftreten von Normal- und Schubspannungen.

3.1 Gleichzeitiges Auftreten mehrerer Normalspannungen 3.1.1 Zug und Biegung (auch exzentrischer Zug) Nach Bild 1 ist an einem IPE-Träger (Tabelle 10) ein Blech von 14 mm Dicke angeschlossen, so dass sich durch die Zugkraft F ein einseitiger Kraftangriff und damit „exzentrischer Zug“ ergibt. Nach dem Schnittverfahren wird das innere Kräftesystem für den Querschnitt A – B bestimmt. Der Ansatz der statischen Gleichgewichtsbedingungen legt die vom Querschnitt zu übertragenden Kräfte und Momente fest:

Bild 1. Zug und Biegung

– eine rechtwinklig zum Schnitt stehende Normalkraft FN = F = 72,5 kN = 72 500 N. Sie ruft eine gleichmäßig über dem Querschnitt verteilte Zugspannung hervor:

Nach dem Spannungsbild d) ergibt die Addition der Einzelspannungen die resultierende Gesamtspannung:

z =

F 72 500 N N = = 54,9 S 1320 mm 2 mm 2

res Zug = σ z + σ bz =

F Fae + ≤ z zul S I

(1)

3 Zusammengesetzte Beanspruchungen

derf =

D 73 – außerdem wirkt ein Biegemoment Mb = Fa; hervorgerufen durch das Kräftepaar; es erzeugt eine Biegespannung

F 16000 N = ≈ 47, 2 mm N 1, 2 pzul 1, 2⋅6 mm 2

d = 48 mm ausgeführt, daher l = 1,2 d = 1,2  48 mm = 57,6 mm l = 58 mm ausgeführt Derf =

M b M be Fae = = = W I I 72 500 N⋅67 mm⋅60 mm N = = 91 318 ⋅104 mm 4 mm 2

σb =

4F +d 2 π pzul

4⋅7500 N + 2304 mm 2 = 62,4 mm N π ⋅6 2 mm D = 63 mm ausgeführt

Derf =

Nach Bild 1 erhält man aus dem Zugspannungsbild b) und dem Biegespannungsbild c) das Schaubild der resultierenden Spannung d). Die bei reiner Biegung durch den Schwerpunkt S der Fläche gehende Nulllinie ist bei der zusammengesetzten Spannung um c nach links verschoben. Das Flächenmoment I ist stets auf die Schwerpunktachse zu beziehen. Vor allem bei Walzprofilen sollte man immer die Biegespannung mit Hilfe des Flächenmomentes I berechnen, weil in den Profilstahltabellen nicht immer das direkt brauchbare Widerstandsmoment W enthalten ist.

Bild 55. Gleitlager

3 Zusammengesetzte Beanspruchungen

A. Böge

Auch in einfachen praktischen Fällen treten häufig mehrere Beanspruchungsarten gleichzeitig auf. Man unterscheidet gleichzeitiges Auftreten mehrerer Normalspannungen, gleichzeitiges Auftreten mehrerer Schubspannungen und gleichzeitiges Auftreten von Normal- und Schubspannungen.

3.1 Gleichzeitiges Auftreten mehrerer Normalspannungen 3.1.1 Zug und Biegung (auch exzentrischer Zug) Nach Bild 1 ist an einem IPE-Träger (Tabelle 10) ein Blech von 14 mm Dicke angeschlossen, so dass sich durch die Zugkraft F ein einseitiger Kraftangriff und damit „exzentrischer Zug“ ergibt. Nach dem Schnittverfahren wird das innere Kräftesystem für den Querschnitt A – B bestimmt. Der Ansatz der statischen Gleichgewichtsbedingungen legt die vom Querschnitt zu übertragenden Kräfte und Momente fest:

Bild 1. Zug und Biegung

– eine rechtwinklig zum Schnitt stehende Normalkraft FN = F = 72,5 kN = 72 500 N. Sie ruft eine gleichmäßig über dem Querschnitt verteilte Zugspannung hervor:

Nach dem Spannungsbild d) ergibt die Addition der Einzelspannungen die resultierende Gesamtspannung:

z =

F 72 500 N N = = 54,9 S 1320 mm 2 mm 2

res Zug = σ z + σ bz =

F Fae + ≤ z zul S I

(1)

D 74

D Festigkeitslehre

res Druck = σ z − σ bd =

F Fae − ≤ d zul A I

(2)

Fmax 1 ≤

Mit den berechneten Spannungen wird demnach: N N =146 mm 2 mm 2

und

Fmax 2 ≤

res Druck = (54,9 – 91)

N mm 2 =1717 N  1 74, 2 ⋅9, 2  1   + 2 410 21 000  mm 60

Fmax 1 ≤

res Zug = (54,9 + 91)

σ z zul 1 le1 + A I

N N =−36,1 2 mm mm 2

σ d zul le2 1 − I A

N mm 2 = 1592 N  74,2⋅15,8 1 1    − 2 410 mm   21 000 85

Eine Beziehung zur Berechnung von c wird aus dem Spannungsbild 1d abgelesen:

Fmax 2 ≤

also ist Fmax = Fmax2 ≤ 1 592 N

σ c σz FIe I = = ; also c = e z = σ b A Fae Aa e σb I / A oder I / A = i 2

und mit Trägheitsradius i = c=

i2 a

c

i

a

mm mm mm

(3)

Solange c = i 2/a < e ist, treten im Querschnitt Zugund Druckspannungen auf, bei c > e nur Zugspannungen. Im Beispiel ist mit ix2 = Ix /A = 318  104 mm4/1 320 mm2 = 2 409 mm2 und damit c = 2 409 mm2/ 60 mm = 40,2 mm. Wie die Rechnung schon bewies, treten wegen c < e, d.h. 40,2 mm < 60 mm Zug- und Druckspannungen auf.

Für die Bemessung eines exzentrischen Zugstabes gelten die Gleichungen (1), und (2).

„

Beispiel: Für die Schraubzwinge nach Bild 2 sind zu berechnen: a) die höchste zulässige Klemmkraft Fmax, wenn im eingezeichneten Querschnitt eine Zugspannung von 60 N/mm2 und eine Druckspannung von 85 N/mm2 nicht überschritten werden sollen; b) das zum Festklemmen mit Fmax erforderliche Drehmoment M (ohne Reibung zwischen Klemmteller und Spindel; c) die erforderliche Handkraft Fh zum Festklemmen, wenn diese am Knebel im Abstand r = 60 mm von der Spindelachse angreift; e) die Knicksicherheit der Spindel, wenn die freie Knicklänge gleich 100 mm gesetzt wird. Spindelwerkstoff: E 295.

Bild 2. Schraubenzwinge b) MRG = Fmax r2 tan ( + r') = M (siehe C1, 8.7.4) d 9,026 mm r2 = 2 = = 4,513 mm 2 2 P = 1,5 mm; d3 = 8,16 mm H1 = 0,812 mm; AS = 58 mm2

P 1,5 mm = = 0, 0529 2 ʌ r2 2 ʌ⋅ 4,513 mm

tan α =

αº =

180° tan α = 3, 03° π

180° tan r' = 8,59° π tan ( + r') = tan 11,6º = 0,2053

tan r' = µ ' = 0,15; r '° =

MRG = M = 1 592 N  4,513 mm  0,2053 = 1 475 Nmm

c) M = Fh r Lösung: Wie üblich bestimmt man die Schwerpunktsabstände e1 = 9,2 mm und e2 = 15,8 mm und mit der Gleichung für das T-Profil das axiale Flächenmoment I = 13 (Be13 − bh3 + ae23 ) = 2,1⋅104 mm 4 ; A = 410 mm2;

l = 65 mm + e1 = 74,2 mm

a) Man muss Fmax mit den beiden Annahmen bestimmen (hier mit z zul  d zul):

Fh =

d) merf = merf =

M 1475 Nmm = = 24,6 N 60 mm r Fmax P π d 2 H1 pzul

1592 N⋅1,5 mm π ⋅9,026 mm⋅0,812 mm⋅3

m = 35 mm ausgeführt

N mm 2

= 34,6 mm

3 Zusammengesetzte Beanspruchungen e) =

s 4 s 400 mm = = = 49 < λ 0 = 89 i d3 8,16 mm

D 75 zu Zugspannungen im Querschnitt kommt, heißt Kernweite r. Die Kernweite r ergibt sich aus

also liegt unelastische Knickung vor (Tetmajerfall):

K = 335 – 0,62 K = 335 – 0,62  49 = 304,6 d vorh =

Svorh =

N mm 2

Fmax 1592 N N = = 27, 4 AS 58 mm 2 mm 2

σK σ d vorh

N 304,6 mm 2 = 11 = N 27,4 mm 2

3.1.2 Druck und Biegung (auch exzentrischer Druck)

Nach Bild 3 greift die Druckkraft F außerhalb des Schwerpunkts S an. Das Schnittverfahren und die Entwicklung der Spannungsbilder ergeben die gleichen Gleichungen wie bei Zug und Biegung. Ist die Stablänge groß im Verhältnis zum Querschnitt, d.h. ist der Stab schlank, dann muss auf Knickung nachgerechnet werden.

F re F − = 0 zu I A (4) I i2 W r= = = (W Widerstandsmoment), Ae e A

wenn F auf einer Hauptachse angreift. Die von der Kernweite r begrenzte Fläche heißt Querschnittskern. Solange die Druckkraft F innerhalb dieser Fläche angreift, treten im Querschnitt nur Druckspannungen d auf. In Bild 3c treten schon geringe Zugspannungen auf, d.h. die Kraft F ist schon über den Kernquerschnitt hinausgetreten (a > r). Nach (4) wurden die Kernweiten für Kreis, Kreisring und Rechteck berechnet und in Bild 4 dargestellt. Berechnung der Kernweite r zu den Querschnittsflächen in Bild 4:

Kreis:

r=

W d π d 34 = = A 32 π d 2 8

(5)

Kreisring:

r=

2 W D  d   = 1+   A 8  D  

(6)

r 1=

W1 b h 2 h = = A 6bh 6

Rechteck:

W h b2 b r 2= 2 = = 6 hb 6 A

Mit d als Diagonale wird die kleinste Kernweite bh bh r min= = 2 2 6 d 6 b +h

(7)

(8)

Bild 3. Druck und Biegung

Querschnitte von Druckstäben aus z.B. Mauerwerk, stahlfreier Beton, Erdreich dürfen nur auf Druck beansprucht werden, weil ihre Zugfestigkeit zu klein ist. Das resultierende Spannungsbild darf also nur Druckspannungen zeigen, d.h. es muss nach Bild 3 im Grenzfall auf der der Kraft F abgewandten Seite res Zug = 0 werden. Sind F, I, A und e konstant, so ist nur die Größe von a dafür bestimmend, ob min positiv (Zugspannung), negativ (Druckspannung) oder null wird. Derjenige Grenzwert von a, bis zu dem der Angriffspunkt von F auswandern darf, ohne dass es

Bild 4. Kernweite und Querschnittskern (schraffierte Fläche) für Kreis, Kreisring und Rechteck

3.2 Gleichzeitiges Auftreten mehrerer Schubspannungen 3.2.1 Torsion und Abscheren

Nach Bild 5 greift am Umfang eines kurzen geraden Stabes mit Kreisquerschnitt eine Kraft F an.

D 76

D Festigkeitslehre

Nach dem Schnittverfahren hat jeder Schnitt zu übertragen (ohne Biegung): eine in der Fläche liegende Querkraft Fq = F; sie ruft Abscherspannungen a = F /A hervor; genauer (für Kreisquerschnitt) Schubspannungen

τs =

4F 16 F = , ohne Herleitung. 3 A 3 πd 2

Außerdem ein Torsionsmoment MT = Fr ; es ruft Torsionsspannungen

Diese Hypothese stimmt gut mit Versuchen überein und setzt sich allgemein durch. Die drei Gleichungen gelten nur, wenn  und  durch den gleichen Belastungsfall entstehen, also beide durch schwellende oder beide durch wechselnde Belastung hervorgerufen werden. Sind die Belastungsfälle für  und  verschieden, so ist mit dem Anstrengungsverhältnis

α0 =

σ zul ϕ τ zul

(11)

zu rechnen. Die Werte für  sind für die einzelnen Hypothesen verschieden. Es gilt dann für die Vergleichsspannung: nach Mohr:

M 16 M T 8F τt = T = = hervor. Wp π d3 π d2

σ v = σ 2 + 4(α0τ )2 α0 =

σ zul

(12)

2 τ zul

nach der größten Gestaltänderungsenergie:

σ v = σ 2 + 3 (α0τ )2 Bild 5. Torsion und Abscheren

α0 =

In den Umfangspunkten B tritt die größte resultierende Beanspruchung auf:

τ max = τ s + τ t =

16 F 8F F + ≈ 4, 244 2 3 π d2 π d2 d

3.3.1 Vergleichsspannung (reduzierte Spannung)

Die auftretenden Normal- und Schubspannungen dürfen nicht einfach algebraisch oder geometrisch addiert werden wie in 1 und 2. Es wird deshalb eine sogenannte Vergleichsspannung v eingeführt, die mit Hilfe von Gleichungen berechnet werden kann, die wiederum aus den verschiedenen Bruchhypothesen entwickelt wurden. Die Schubspannungshypothese von Mohr liefert die Vergleichsspannung (9)

Diese Hypothese passt sich den verschiedenen Werkstoffen gut an und wurde durch Versuche von Guest, v. Kármán, Böcker und M. ten Bosch bestätigt. Die Hypothese der größten Gestaltänderungsenergie liefert die Vergleichsspannung

σ v = σ 2 +3 τ 2

(13)

Für die Bemessung der Querschnitte muss v ≤ zul sein. 3.3.2 Die einzelnen Beanspruchungsfälle

3.3 Gleichzeitiges Auftreten von Normal- und Schubspannungen

σv = σ 2 +4 τ 2

σ zul 1, 73 τ zul

(10)

3.3.2.1 Zug (Druck) und Torsion. Das innere Kräftesystem besteht aus einer rechtwinklig zum Querschnitt stehenden Normalkraft FN und aus einem im Querschnitt liegenden Torsionsmoment MT. FN erzeugt eine Normalspannung  = ± FN /A; MT erzeugt eine Torsionsspannung t = MT /Wp bzw. t = MT /Wt. Beide Spannungen werden zur Vergleichsspannung v zusammengesetzt. 3.3.2.2 Zug (Druck) und Schub (Abscheren). Das innere Kräftesystem besteht aus einer rechtwinklig zum Querschnitt stehenden Normalkraft FN und aus einer im Querschnitt liegenden Querkraft Fq. FN erzeugt eine Normalspannung  = ± FN /A; Fq erzeugt eine Schubspannung  = Fq /A (Abseherspannung). Beide Spannungen werden zur Vergleichsspannung v zusammengesetzt. 3.3.2.3 Biegung und Torsion. Das innere Kräftesystem besteht aus einem Biegemoment Mb, und aus einem Torsionsmoment MT. Die größte Bedeutung hat dieser Beanspruchungsfall für den Kreisquerschnitt (Wellen). Setzt man in die obigen Gleichungen der Vergleichsspannung für b = Mb/W und für t = MT/Wp ein und beachtet man, dass für den Kreisquerschritt Wp = 2W ist, so ergeben sich die folgenden Gleichungen:

3 Zusammengesetzte Beanspruchungen  M b 2  M T 2   + α0  W   W 

Mohr =

D 77

herf = 3

(14)

gewählt 2

2

 Mb   MT    + 0, 75 α0  W   W 

Gestalt =

b) b vorh =

(15)

c) t vorh =

Das Widerstandsmoment W lässt sich vor die Wurzel und dann als Faktor auf die linke Gleichungsseite bringen. Der dort entstehende Ausdruck vW heißt Vergleichsmoment Mv (entsprechend Mb = b W = Biegemoment). Nach der Hypothese der größten Gestaltänderungsenergie ergibt sich mit Gleichung (15) die Beziehung für das Vergleichsmoment: M v = M b2 + 0,75 (α0 M T )2

σv =

d)

24 M b

σ b zul

=3

24⋅800 N⋅170 mm = 32 mm N 100 2 mm

32  8

Mb 32⋅800 N⋅ 280 mm N = = 84,5 π 3 mm 2 π (30 mm)3 d 32 MT 16⋅800 N⋅200 mm N = = 30, 2 π 3 π (30 mm)3 mm 2 d 16

σ 2b+ 3 (α0 τ t )2 = 92,1

N mm 2

(16)

Aus bekanntem Biegemoment Mb und Torsionsmoment MT lässt sich damit das Vergleichsmoment Mv berechnen. Für das Anstrengungsverhältnis 0 kann man bei Wellen aus Stahl setzen:

Bild 6. Biegung und Torsion

0 = 1 wenn b und t im gleichen Belastungsfall wirken,

„

0 = 0,7 wenn b wechselnd und t schwellend wirkt (Hauptfall bei Wellen). Mit dem Vergleichsmoment Mv wird der Wellendurchmesser d berechnet:

Beispiel: Eine Welle trägt nach Bild 7 fliegend das Haspelrad eines Flaschenzugs. Die Handkraft soll F = 500 N betragen. Gesucht: a) das die Welle belastende Drehmoment infolge der Handkraftwirkung, b) das maximale Biegemoment, c) das Vergleichsmoment, d) den Wellendurchmesser für zul = 80 N/mm2.

Lösung: a)

d =3

Mv 0,1 σ b zul

d

Mv

mm Nmm

b zul N mm 2

(17)

Auch für den Kreisringquerschnitt gelten die obigen Gleichungen, wenn für W=

„

M = Fr = 500 N  0,12 m = 60 Nm

b) Mv = 500 N⋅0,045 m = 22,5 Nm

π da4 − di4 eingesetzt wird. ⋅ 32 da

c) Mv =

Mv = d) derf = 3

d

M b2 + 0,75 (α0 M T )2 (22,5 Nm)2 + 0,75 (0,7⋅60 Nm) 2 = 43 Nm

Mv 43⋅103 Nmm = =17,5 mm N 0,1 σ b zul 3 0,1⋅80 mm 2

= 18 mm ausgeführt

Beispiel: Die Welle 1 mit Kreisquerschnitt (Bild 6) wird durch die Kraft F = 800 N über einen Hebel 2 mit Rechteckquerschnitt auf Biegung und Torsion beansprucht. Maße: l1 = 280 mm, l2 = 200 mm, l3 = 170 mm, d = 30 mm. Gesucht: a) die Querschnittsmaße b und h für ein Verhältnis h/b = 4 und zul = 100 N/mm2, b) die größte Biegespannung in der Schnittebene A – B der Welle 1, c) die Torsionsspannung, d) die Vergleichsspannung.

Lösung: a) b =

Mb M M 24 M b = b2 = b2 = W h3 bh hb 6 4⋅6

Bild 7. Biegung und Torsion

D 78 „

D Festigkeitslehre

Beispiel: Ein Getriebe mit Geradzahn-Stirnrädern (Herstelleingriffswinkel n = 20º) soll eine Gesamtübersetzung iges =

n1 960 min−1 = = 20 n4 48 min−1

Die Umfangskräfte Fu2, Fu3 sind Komponenten der in Eingriffsrichtung auf die Zähne wirkenden Zahnkräfte F2 und F3. Beachte: F3 ist die von Rad 4 auf Rad 3 ausgeübte Kraft. Die Kraftrichtungen nach Gefühl überprüft: Zahnrad 2 muss von Rad 1 nach unten, Rad 3 dagegen von Rad 4 nach oben gedrückt werden.

durch zwei Zahnradpaare ermöglichen. Die Entwurfsberechnung ergab die Teilkreisdurchmesser:

 d1 = 48 mm   i1 = 5  d 2 = 240 mm  d1 = 72 mm  i2 = 4  d 2 = 288 mm Es wird die Aufgabe gestellt, den Durchmesser für die Getriebewelle II festzulegen, für die Werkstoff E335 verwendet werden soll. Da der Wirkungsgrad  für Zahnradgetriebe sehr gut ist (hier etwa  0,98), kann er bei Festigkeitsrechnungen unberücksichtigt bleiben.

Bild 10. Normalkräfte F2, F3 und deren Tangentialkomponenten Fu2, Fu3 der Räder 2 und 3 F2 = F3 =

Bild 8. Getriebeskizze Lösung: Die zu übertragenden Drehmomente können aus gegebener Antriebsleistung P = 8 kW und Antriebsdrehzahl n = 960 min–1 berechnet werden. M

= 9550

Fu 2 = 3529 N cos α n Fu3 cos αn

= 11 762 N

Diese Zahnkräfte F2 und F3 beanspruchen die Welle II auf Torsion und Biegung: Wenn in den Radmittelpunkten je zwei Kräfte F2 bzw. F3 angebracht werden, dann ergibt sich je ein Kräftepaar (Drehmoment MII) und eine Einzelkraft (Biegekraft F2 bzw. F3). Die Kräftepaare ergeben Momente, die gleich groß sind und sich entgegenwirken: + MII – MII = 0; Welle II wird davon auf Torsion beansprucht. Die Komponenten Fx und Fy der Biegekräfte F2 und F3 sind aus dem Krafteck abzulesen: F2 y = F2 sin 40º = 2 268 N F2 x = F2 cos 40º = 2 703 N F3 y = F3 sin 20º = 4 023 N F3 x = F3 cos 20º = 11 053 N

P n

P 8 Nm = 79,583 Nm = 9550⋅ 960 n = MI i1 = 79,583 Nm  5 = 397,915 Nm = MII i2 = 397,915 Nm  4 = 1591,66 Nm

MI = 9550 MII MIII

Aus den errechneten Drehmomenten ergeben sich die Umfangskräfte am Teilkreisumfang: 2 M II 2⋅397,915⋅103 Nmm = = 3316 N Fu2 = d2 240 mm Fu3 =

Bild 11. Rad 2 mit Welle II frei gemacht

2 M II 2⋅397,915⋅103 Nmm = = 11 053 N 72 mm d3

Bild 9. Drehmoment und Umfangskraft am Zahnrad

Bild 12. Rad 3 mit Welle II frei gemacht

3 Zusammengesetzte Beanspruchungen

D 79 waagerechte Ebene

M(A) = 0 = ... FBx =

F2x ⋅80 mm + F3x ⋅200 mm 280 mm

FBx = 8 667 N

Fx = 0 = + FAx – F2x – F3x + FBx FAx = 5 089 N senkrechte Ebene

M(A) = 0 = ... FBy =

Bild 13. Perspektivische Belastungsskizze der Welle II mit Horizontal- und Vertikalkräften

Die perspektivische Belastungsskizze gibt Aufschluss über die Weiterentwicklung der Rechnung. Mit Hilfe der statischen Gleichgewichtsbedingungen für die waagerechte und für die senkrechte Ebene lassen sich die Stützkraft-Komponenten FAx , FAy , FBx , FBy ermitteln: waagerechte Ebene

M(A) = 0 = FBx  280 mm – F3x  200 mm – F2x  80 mm senkrechte Ebene

M(A) = 0 = – FBy  280 mm + F3y  200 mm – F2y  80 mm Aus den Momentengleichgewichtsbedingungen erhält man nun die Bestimmungsgleichungen für die Stützkraftkomponenten FBx und FBy , ebenso mit Fx = 0 und Fy = 0 die Komponenten FAx und FAy:

F3y ⋅200 mm − F2y ⋅80 mm 280 mm

FBy = 2 226 N

Fy = 0 = + FAy – F2y + F3y – FBy FAy = 471 N Die Komponenten werden geometrisch addiert: FA =

2 2 FAx + FAy = 50892 N 2 + 4712 N 2 = 5 111 N

FB =

2 2 FBx + FBy = 86672 N 2 + 22262 N 2 = 8 948 N

Zur Ermittlung der größten Biegebeanspruchung werden für die beiden Ebenen die Momentenflächen gezeichnet (Bild 14) und zu einer resultierenden Biegemomentenfläche geometrisch addiert. Die größte Biegebeanspruchung ist bei Rad 3 vorhanden. 2 2 Mb max = M res 3 = M 3x + M 3y

Mb max = (69,3⋅104 Nmm)2 + (17,8 ⋅ 104 Nmm)2 Mb max = 5119 ⋅108 (Nmm) 2 = 71,55 ⋅104 Nmm

Bild 14. Zeichnerische Darstellung der Biegemomentenflächen und geometrische Addition der Biegemomente

D 80

D Festigkeitslehre

Die Welle II wird beim Rad 3 belastet durch – das Biegemoment Mb max = 71,55  104 Nmm und – das Drehmoment MII = 39,8  104 Nmm

4.2 Bedeutung der Formelzeichen

Weil das Drehmoment MII in der Welle II von Rad 2 bis Rad 3 konstant ist, ergibt sich der gefährdete Querschnitt im Punkt der größten Biegebeanspruchung, also bei Rad 3. Das resultierende Moment Mv aus Biege- und Torsionsbeanspruchung (= Vergleichsmoment) beträgt:

F

a

 r

M v = M b2 + 0,75 (α0 M T )2 Bei gleichbleibender Drehrichtung liegt wechselnde Biege- und schwellende Torsionsbeanspruchung vor, also 0 = 0,7:

Mv =

(71,55 ⋅10 4 Nmm)2 + 0, 75 (0,7 ⋅ 39,8⋅104 Nmm)2

Mv =

5119 ⋅108 N 2 mm 2 + 582 ⋅108 N 2 mm 2 = 75,5 ⋅104 Nmm

Mit dem Vergleichsmoment Mv und der zulässigen Biegespannung kann der Wellendurchmesser bestimmt werden: M W = 0,1 d 3 für Kreisquerschnitt σ v = v ≤ b zul eingesetzt und nach d aufgelöst: W

d erf = 3

Mv N ; σ b zul = 80 gewählt 0,1 σ b zul mm 2

E l p p0 = pmax r

4

75,6⋅10 Nmm 3 = 94,5 ⋅103 mm3 N 0,1⋅ 80 mm 2 = 45,55 mm; d = 46 mm gewählt (Normmaß)

d erf = 3 derf

3.3.2.4 Biegung und Schub (Abscheren). Bei der Herleitung der Biegehauptgleichung wurden die Querkräfte, bei der Abscherhauptgleichung die Biegemomente unbeachtet gelassen. Tatsächlich treten in beiden Beanspruchungsfällen Schub (Abscheren) und Biegung gleichzeitig auf. Bei kurzen Stäben ist der Einfluss der Biege- und bei langen Stäben der Einfluss der Schubspannung gering. Bei rechteckigen Querschnitten ist für h/l < 1/16 der Fehler durch Vernachlässigungen der Querkräfte kleiner als 1,2 % und für h/l > 6 der Fehler durch Vernachlässigen der Biegemomente kleiner als 1 %.

4 Beanspruchung bei Berührung zweier Körper (Hertz’sche Gleichungen)

Radius der kreisförmigen oder halbe Breite der rechteckigen Druckfläche in mm Druckkraft in N = 0,3 Poisson-Zahl für Stahl, Verhältnisgröße mit Einheit 1,  = q / Krümmungsradius der Kugel oder des Zylinders in mm; bei Krümmung beider Körper ist die Summe beider Krümmungen einzusetzen, also 1/r = 1/r1 + 1/r2. Für die ebene Platte ist 1/r2 = 0, für die Hohlkugel ist 1/r2 negativ einzusetzen. Elastizitätsmodul in N/mm2; bei unterschiedlichen E-Modul ist E = 2E1E2/ (E1 + E2) einzusetzen Länge des Zylinders in mm Druck auf der Berührungsfläche im Abstand r in N/mm2 Druck in der Mitte der Berührungsfläche in N/mm2 veränderlicher Radius oder Ordinate in Breitenrichtung der Berührungsfläche in mm Gesamtabplattung in mm, d.h. die gesamte Näherung der beiden Körper

4.3 Berechnungsgleichungen 4.3.1 Kugel und Ebene oder zwei Kugeln

a=3

1,5 (1− µ 2 )Fr Fr =1,11 3 E E

p = p0

a 2 − r2 a

(2)

p0 =

1 3 1,5 FE 2 = 0,388 π r 2 (1− µ 2 )2

=

a 2 3 2, 25 (1− µ 2 )2 F 2 F2 = = 1, 23 3 2 2 r E r E r

4.1 Voraussetzungen Hertz entwickelte seine Gleichungen für die Berührung zweier Körper mit gekrümmter Oberfläche unter folgenden Voraussetzungen: a) homogene, isotrope, vollkommen elastische Körper b) Gültigkeit des Hooke’schen Gesetzes c) die Abplattungen sind klein gegenüber den Körperabmessungen d) in der Druckfläche treten nur Normalspannungen (Druck) auf, keine Schubspannungen.

(1)

Bild 1. Hertz’sche Pressung

3

FE 2 1,5 F = r2 π a2

(3)

(4)

D 80

D Festigkeitslehre

Die Welle II wird beim Rad 3 belastet durch – das Biegemoment Mb max = 71,55  104 Nmm und – das Drehmoment MII = 39,8  104 Nmm

4.2 Bedeutung der Formelzeichen

Weil das Drehmoment MII in der Welle II von Rad 2 bis Rad 3 konstant ist, ergibt sich der gefährdete Querschnitt im Punkt der größten Biegebeanspruchung, also bei Rad 3. Das resultierende Moment Mv aus Biege- und Torsionsbeanspruchung (= Vergleichsmoment) beträgt:

F

a

 r

M v = M b2 + 0,75 (α0 M T )2 Bei gleichbleibender Drehrichtung liegt wechselnde Biege- und schwellende Torsionsbeanspruchung vor, also 0 = 0,7:

Mv =

(71,55 ⋅10 4 Nmm)2 + 0, 75 (0,7 ⋅ 39,8⋅104 Nmm)2

Mv =

5119 ⋅108 N 2 mm 2 + 582 ⋅108 N 2 mm 2 = 75,5 ⋅104 Nmm

Mit dem Vergleichsmoment Mv und der zulässigen Biegespannung kann der Wellendurchmesser bestimmt werden: M W = 0,1 d 3 für Kreisquerschnitt σ v = v ≤ b zul eingesetzt und nach d aufgelöst: W

d erf = 3

Mv N ; σ b zul = 80 gewählt 0,1 σ b zul mm 2

E l p p0 = pmax r

4

75,6⋅10 Nmm 3 = 94,5 ⋅103 mm3 N 0,1⋅ 80 mm 2 = 45,55 mm; d = 46 mm gewählt (Normmaß)

d erf = 3 derf

3.3.2.4 Biegung und Schub (Abscheren). Bei der Herleitung der Biegehauptgleichung wurden die Querkräfte, bei der Abscherhauptgleichung die Biegemomente unbeachtet gelassen. Tatsächlich treten in beiden Beanspruchungsfällen Schub (Abscheren) und Biegung gleichzeitig auf. Bei kurzen Stäben ist der Einfluss der Biege- und bei langen Stäben der Einfluss der Schubspannung gering. Bei rechteckigen Querschnitten ist für h/l < 1/16 der Fehler durch Vernachlässigungen der Querkräfte kleiner als 1,2 % und für h/l > 6 der Fehler durch Vernachlässigen der Biegemomente kleiner als 1 %.

4 Beanspruchung bei Berührung zweier Körper (Hertz’sche Gleichungen)

Radius der kreisförmigen oder halbe Breite der rechteckigen Druckfläche in mm Druckkraft in N = 0,3 Poisson-Zahl für Stahl, Verhältnisgröße mit Einheit 1,  = q / Krümmungsradius der Kugel oder des Zylinders in mm; bei Krümmung beider Körper ist die Summe beider Krümmungen einzusetzen, also 1/r = 1/r1 + 1/r2. Für die ebene Platte ist 1/r2 = 0, für die Hohlkugel ist 1/r2 negativ einzusetzen. Elastizitätsmodul in N/mm2; bei unterschiedlichen E-Modul ist E = 2E1E2/ (E1 + E2) einzusetzen Länge des Zylinders in mm Druck auf der Berührungsfläche im Abstand r in N/mm2 Druck in der Mitte der Berührungsfläche in N/mm2 veränderlicher Radius oder Ordinate in Breitenrichtung der Berührungsfläche in mm Gesamtabplattung in mm, d.h. die gesamte Näherung der beiden Körper

4.3 Berechnungsgleichungen 4.3.1 Kugel und Ebene oder zwei Kugeln

a=3

1,5 (1− µ 2 )Fr Fr =1,11 3 E E

p = p0

a 2 − r2 a

(2)

p0 =

1 3 1,5 FE 2 = 0,388 π r 2 (1− µ 2 )2

=

a 2 3 2, 25 (1− µ 2 )2 F 2 F2 = = 1, 23 3 2 2 r E r E r

4.1 Voraussetzungen Hertz entwickelte seine Gleichungen für die Berührung zweier Körper mit gekrümmter Oberfläche unter folgenden Voraussetzungen: a) homogene, isotrope, vollkommen elastische Körper b) Gültigkeit des Hooke’schen Gesetzes c) die Abplattungen sind klein gegenüber den Körperabmessungen d) in der Druckfläche treten nur Normalspannungen (Druck) auf, keine Schubspannungen.

(1)

Bild 1. Hertz’sche Pressung

3

FE 2 1,5 F = r2 π a2

(3)

(4)

4 Beanspruchung bei Berührung zweier Körper

D 81

4.3.2 Zylinder und Ebene oder zwei Zylinder

griffswinkel W gleich groß, dann gilt das auch für die Krümungsradien r1 und r2. Es soll festgestellt werden, mit welchem Getriebe eine größere Normalkraft FN übertragen werden kann, wenn in beiden Fällen die zulässige Flächenpressung pzul und die Zahnbreite b gleich groß sind.

a =

8 (1− µ 2 ) Fr = 1,52 πEl

p = p0 p0 =

Fr El

a 2 − r2 a

(5)

(6)

FE FE 2F = 0, 418 = rl π al 2 π rl (1− µ 2 )

(7)

(die Abplattung kann nach den Hertz’schen Gleichungen nicht berechnet werden).

Lösung: Die beiden Zahnflanken stellen zwei Zylinder dar, für die Gleichung (7) gilt, also p0 = 0,418 FE / rl . Darin sind einzusetzen: p0 = pzul , F = FN , l = Zahnbreite b, r = rA für das Außengetriebe und r = rI für das Innengetriebe. Nach den Erläuterungen unter 4.2 ergibt sich mit algebraischer Umstellung für rA und rI:

rA =

r1 r2 r1 + r2

sowie

rI =

r1 r2 r2 − r1

Damit wird „

Beispiel: Durch die Federkraft F = 10 kN = 10 000 N wird nach Bild 2 eine Walze auf eine schiefe Ebene (Keil) gepresst. Werkstoff für beide Teile ist Stahl. Walzenlänge l = 30 mm, Radius r = 10 mm, Neigungswinkel  = 20º. Wie groß ist die maximale Hertz’sche Pressung zwischen Keil und Walze? Welche Stahlsorte kann verwendet werden?

2 pzul rA b FNA 0,4182 E rA r −r = 2 = = 2 1 FNI rI r2 + r1 pzul rI b

0,4182 E r2 −1 FNA r i −1 = 1 = r FNI 2 +1 i +1 r1

Zahnrad 1

Bild 2. Bild 3.

Lösung:

F1 =

F 10 000 N = = 10 600 N cos α 0,94

F2 = F1 sin = 10 600 N  0,342 = 3 625 N FE p0 = pmax = 0, 418 1 rl

pmax = 0, 418

N mm 2 = 1140 N 10 mm ⋅30 mm mm 2

10 600 N⋅2,1⋅105

Als Werkstoff könnte z.B. C 10, einsatzgehärtet, gewählt werden. Versuche haben dafür einen zulässigen Wert von pzul = 1 470 N/mm2 ergeben.

„

Beispiel: Bild 3 zeigt die Zahnflanken im Augenblick des Eingriffs im Wälzpunkt C beim Außen- und beim Innengetriebe. Sind in beiden Fällen die Zähnezahlen z, der Modul m und der Betriebsein-

Danach ist das Kräfteverhältnis FNA / FNI unter sonst gleichen Bedingungen nur von der Übersetzung i = z2 / z1 abhängig. Für i = z2 / z1 = 80/20 = 4 ergäbe sich zum Beispiel: FNA 4 −1 3 1 = = = FNI 4 +1 5 1,67 Das heißt, dass mit dem Innengetriebe eine um 67 % größere Normalkraft übertragen werden darf als mit dem entsprechenden Außengetriebe. Anders gesagt: Bei gleicher Normalkraft in beiden Getrieben ist die Hertz’sche Pressung zwischen den Zahnflanken beim Innengetriebe kleiner als beim Außengetriebe. Bei einer zulässigen Pressung von 530 N/mm2 und der Zahnbreite b = 50 mm ergeben sich mit (7) die folgenden Beträge für die Normalkräfte (E = 2,1  105 N/mm2 für Stahl): FN max A = 6 285 N

FN max I = 10 473 N

E1

E Werkstofftechnik

E Werkstofftechnik Wolfgang Weißbach

Definition und Ermittlung der Werkstoffkenngrößen sind im Abschnitt 8 Werkstoffprüfung zu finden. Größen und Einheiten Größe

Einheit

Zugfestigkeit Rm Streckgrenze Re

-obere ReH

0,2%-Dehngrenze Rp0,2 Bruchdehnung A

MPa = N/mm2 %

Brucheinschnürung Z Elastizitätsmodul E

Größe

Einheit

Druckfestigkeit V dB Biegefestigkeit V bB

MPa

Torsionsfestigkeit WtB Kerbschlagarbeit KV

J kN/mm3/2

Bruchzähigkeit KIc Gleitmodul G

MPa

Dauerfestigkeiten V D Biegewechselfestigkeit V bW Längenausdehnungskoeffiziient l

1/K.

Zeitstandfestigkeiten Rm/t/T z.B. Rm/1000/500

MPa

n%-Zeitdehngrenzen Rpn / t / T z.B. Rp0,2/1000/550°

Wärmeleitwert 

W/mK

Übergangstemperatur TÜ

Schmelztemperatur Tm

°C, K

Rekristallisationstemperatur TR

°C °C, K

Verwendete Abkürzungen Abk. AMK AFAt BMC

Bedeutung

Austausch-Mischkristall Coating: Anti-Friktions-Beschichtung Aufkohlungstiefe Bulk Moulding Compound, faserverstärkte, duroplastische Pressmasse CBN Kubisches Bornitrid, (auch PKB) CFK Kohlenstofffaserverstärkter Kunststoff CHD Einsatzhärtungstiefe CIP Kaltisostatisches Pressen CMC Ceramic-Matrix-Compound CVD Chemical Vapour Deposition, chemische Beschichtung a. d. Dampfphase DESU- Druck-Elektro-Schlacke-Umschmelz-Verfahren Et Einhärtetiefe Eht Einsatzhärtetiefe, veraltet (  CHD) EKD Eisen-Kohlenstoff-Diagramm EMK Einlagerungs-Mischkristall ESU Elekto-Schlacke-Umschmelzen GFK Glasfaserverstärkter Kunststoff GMT Glasmattenverstärktes, flächiges ThermoplastHalbzeug HIP Heißisostatisches Pressen hdP Hexagonal dichteste Packung

Abk.

Bedeutung

IP kfz. krz. LCLE MD MK MMC Nht ODS PM PVD

Intermetallische Phase Kubisch-flächenzentriert Kubisch-raumzentriert Liquid-Crystal Polymer, Flüssigkristall-Kunststoff Legierungselement Multidirektional, in vielen Richtungen liegende Fasern Mischkristall Metall-Matrix-Compound, Metallverbund Nitrierhärtetiefe Oxid-Dispersion-Strengthened, oxidteilchenverstärkt Pulvermetallurgie Physical Vapour Deposition, physikalische Beschichtung a.d. Gasphase Raster-Elektronen-Mikroskop Randhärtetiefe Raumtemperatur Sheet Moulding Compound, flächiges, faserverstärktes Duroplast-Halbzeug Spannungsrisskorrosion tetragonal Thermomechanisches Umformen Unidirektional, in einer Richtung verlegte Fasern Wärmeeinflusszone beim Schweißen

REM Rht RT SMC SpRK tetr. TM UD WEZ

E2

1 Grundlagen

E Werkstofftechnik Tabelle 2. Eigenschaftsprofil Eigenschaftsprofil =  aller Eigenschaften Zugfestigkeit, Streck- bzw. 0,2%- DehngrenFestigkeitsEigenschaften ze, Bruchdehnung, Brucheinschnürung, Druck-, Schub- und Torsionsfestigkeit, Dauerfestigkeiten, E-Modul Korrosions- Beständigkeit des Werkstoffes bei normalem Eigenschaften Klima, in Industrieklima, in Meeresnähe, in Lösungen von Salzen, Säuren, Basen. Wird gemessen als : Korrosionsrate = Materialverlust / Zeit Tribologische- Geringe Reibungszahl für LagerwerkstofEigenschaften fe oder höhere für Kupplungswerkstoffe, geringe Verschleißrate für Werkzeuge und Bauteile im Kontakt mit verschleißenden Medien Thermische Zeitdehngrenzen bei Temperaturen über Eigenschaften 400 °C, Wärmeausdehnung , Wärmeleitung , Thermoschockbeständigkeit, Schmelztemperaturen, Schwindmaße Bereich

1.1 Allgemeines 1.1.1 Anforderungs und Eigenschaftsprofil Alle Produkte der Technik – von Dienstleistungen abgesehen – bestehen aus Werkstoffen: Das Produkt muss mit seinem gewählten Werkstoff(en) die Anforderungen des Erwerbers oder Benutzers erfüllen:  zuverlässige Funktion über die Lebensdauer (Leistung, Traglasten, Geschwindigkeiten),  niedrige Betriebskosten (Schmierung, Korrosionschutz, Wartung) oder  Regenerationsmöglichkeit bei großen Teilen. Daraus ergeben sich die Anforderungen an das Bauteil, das Anforderungsprofil mit seinen Bereichen ( Tabelle 1): Tabelle 1. Anforderungsprofil Anforderungsprofil =  aller Anforderungen Äußere Kräfte bewirken Normal und SchubFestigkeitsBeanspruchung spannungen im Innern. Sie dürfen keine unzulässige elastische, keine plastische Verformung unter Betriebsbedingungen bewirken, ebenso keine Gewaltbrüche und bei dynamischer Belastung keine Dauerbrüche Bereich

Chemische und elektrochemische ReaktioKorrosionsBeanspruchung nen von Werkstoff und Umgebungsmedium führen zu Materialverlust, der tragende Querschnitte schwächt (Wandungen durchbricht) und Oberflächen aufraut (keine Dauerfestigkeit unter Korrosionsbeanspruchung). Das Korrosionsprodukt führt zu Funktionsstörungen oder Dauerbrüchen Tribologische Kräfte wirken auf die dünne OberflächenBeanspruchung schicht unter Relativbewegungen der Reibpartner und führen zu Verschleiß und Änderung des Reibverhaltens, dadurch zu Funktionsstörungen und Leistungsabfall Thermische Höhere Temperaturen können metastabile Beanspruchung Gefüge verändern. Die Gitteraufweitung infolge erhöhter Wärmebewegung setzt die Dehngrenzen herab. Der Werkstoff darf bei langzeitig höheren Temperaturen nicht unzulässig kriechen, keine Risse bei Temperaturwechselbeanspruchung und bei tiefen Temperaturen keine Sprödbrüche zeigen.

Diesen Anforderungen muss der Werkstoff mit seinen Eigenschaften im Bauteil standhalten, sein Eigenschaftsprofil d. h. die Summe aller Eigenschaften muss mit dem Anforderungsprofil im Gleichgewicht stehen. Meist ist eine Sicherheit gegen Bruch oder Verformung notwendig, sodass die Eigenschaften über den Anforderungen liegen müssen.

Die Fertigung stellt zusätzliche Anforderungen an die technologischen Eigenschaften des Werkstoffs: FertigungsAnforderung

Der Werkstoff soll die notwendigen Fertigungsvorgänge mit geringem Material- und Energieaufwand und ohne Schäden (Nullfehlerproduktion) durchlaufen können und eine kostengünstige Qualitätssicherung ermöglichen.

Dadurch hat der Fertigungsweg einen starken Einfluss auf die Wahl des günstigsten Werkstoffes für ein Bauteil. Seine Profile müssen um die technologischen Eigenschaften erweitert werden (Tabelle 3): Die Zahl der anwendbaren Fertigungsverfahren wird dadurch eingeschränkt, ebenso sind Größe, Gestalt und Stückzahl des Bauteils auf den günstigsten Fertigungsweg von Einfluss. Tabelle 3. Technologische Anforderungen und Eigenschaften Fertigungsver- Erforderliche technologische Eigenschaften, Eignung für / zum... fahren die verschiedenen Gießverfahren, PressbarUrformen keit und Sinterverhalten Schmiedbarkeit, Kaltumformbarkeit, TiefUmformen ziehfähigkeit , Verfestigungs- und Anisotropieverhalten Spanbarkeit (Schnittkräfte, Oberfläche), Trennen Verhalten beim autogenen Schneiden, beim Erodieren, beim Läppen usw. Verhalten beim Schweißen, Löten, Kleben Fügen Beschichten .. zum Schmelztauchen, zum thermischen Spritzen, zum galvanisch Beschichten, Beschichten aus der Gasphase PVD, CVD Härtbarkeit, Anlassverhalten, thermomechaStoffeigenschaftändern nische Verfahren, thermochemische Verfahren (Nitrieren, Aufkohlen)

1 Grundlagen

E3

1.1.2 Einteilung der Werkstoffe Häufig ist eine Einteilung nach der Verwendungsart: Strukturwerkstoffe geben dem Bauteil die geometrische Form und Steifigkeit gegenüber angreifenden Kräften, z.B.: Stähle, Al- und Ti-Legierungen. Funktionswerkstoffe übernehmen, meist örtlich begrenzt, spezielle Aufgaben aufgrund ihrer besonderen chemisch-physikalischen Eigenschaften, z.B.: Metalle zum Oberflächenschutz, Lagerwerkstoffe. Tabelle 4. Grobeinteilung nach der Bindungsart

Änderungen der Struktur sind nur begrenzt möglich. Durch die chemische Analyse sind Atomart und chemische Bindung festgelegt und kaum beeinflussbar. Dagegen sind Änderungen von Kristallgitter und Gefüge möglich und ein wichtiger Gegenstand der Werkstoffkunde und -forschung. ■

Beispiel:

Zustand unlegiert, geglüht gehärtet

Werkstoffe Metalle, Legierungen

Keramik, Glas, Hartstoffe Nichtmetallatome mit Ionenbindung u. Mischformen

Kunststoffe, Holz, Kautschuk C-Atome mit Elektronenpaarbindung

legiert, 18% Cr/8% Ni

Kristallgitter

Eigenschaften

kubischraumzentriert tetragonal, verzerrt kubischflächenzentriert

weich, zäh, magnetisch hart spröde, magnetisch zäh, unmagnetisch.

Die unterschiedliche Bindungsart der drei Werkstoffgruppen bewirkt die starken Unterschiede in ihren Eigenschaftsprofilen. Eine Gegenüberstellung enthält die Tabelle 5.

Die Gefüge werden bereits bei der Erzeugung des Werkstoffes beeinflusst. So gibt es Gussgefüge, und Sintergefüge. Der Reinheitsgrad kennzeichnet den Anteil an unerwünschten Beimengungen.. In weiteren Fertigungsstufen entstehen z.T. unerwünschte Strukturen (z.B. Schmiedefaser) bis hin zum gezielten Eigenschaftsändern durch z.B. Glühen, Härten oder Vergüten. Die Übersicht zeigt einige Beispiele .

1.1.3 Werkstoffstruktur

Übersicht: Gefügeänderung  Eigenschaftänderung

Metallatome mit Metallbindung

Verbundwerkstoffe

Für das Verständnis der Zusammenhänge zwischen Struktur und Eigenschaften sind Grundkenntnisse aus verschiedenen Wissenschaftszweigen erforderlich. Mikrostruktur

Fein- und Grobstruktur

Chemische Grundlagen

Kristallographie, Physik Werkstoffkunde

Atome, Moleküle

Chemische Bindung

Kristallgitter

Gefüge aus Kristallen mit Störungen,

Änderung Mischungsverhältnis der Phasen Form und Größe der Kristalle Art und Form der Zusatzstoffe

Beispiele Stahl: Härte steigt mit dem C-Gehalt (= Carbidanteil) Gusseisen: Graphit in Lamellen- oder Kugelform  Festigkeit steigt. Quarzmehl in Phenolharz steigert Härte und Warmfestigkeit, Fasern die Zähigkeit und mindern Wärmedehnung, ergeben evtl. Anisotropie

Tabelle 5. Eigenschaftsvergleich Metall - Polymer - Keramik Metalle (Tab. 2.1)

Eigenschaften E-Modul

kN/mm2

Temperaturabhängigkeit Zugfestigkeit Druckfestigkeit Zähigkeit Wärmeleitung W/mK Wärmeausdehnung bis 100 °C 10–6/K Dauergebrauchstemperatur °C Korrosionsbeständigkeit Verschleißwiderstand abrasiv adhäsiv Dichte kg/dm3 elektrischer Leiter 1)

stark temperaturabhängig;

2)

Polymere 1)

125 (Cu)...210 (Fe)

niedrig 1 (PP)...4 (EP) ... 23 (EP-GF) hoch niedrig hoch niedrig hoch mittel gering bis hoch mittel bis hoch 50 (St) ... 174 (Al) 0,2 (PP) ... 0,5 (PE-HD).4) mittel 12 ... 23,5 hoch 80 ... 160 X50Ni36: 1,2 verstärkt 15 ... 60 mittel bis hoch niedrig 80 ... 130 NiCr20Ti: Stahl 2) 200 (ZrO2) ... 400 (SiC) sehr niedrig hoch sehr hoch niedrig < Gusseisen 1,4 (Al2TiO5)...120 (SiC) niedrig 2,6...8 hoch > (950) 1300 allgemein sehr gut hoch hoch zwischen Al und Ti meist Isolator 3)

E4

E Werkstofftechnik

2 Metallkundliche Grundlagen 2.1 Struktur der Metalle und Legierungen Tabelle 1. Daten technisch wichtiger Metalle Name Aluminium Beryllium Blei Cadmium Chrom Cobalt  – 417 °C – Eisen  – 912 °C  – Gold Iridium Kupfer Magnesium Mangan Molybdän Nickel Niob Osmium Platin Rhodium Silber Tantal Titan  – 882 °C – Vanadium Wolfram Zink Zinn  – 13 °C – Zirkon  – 852 °C –

Symbol Al Be Pb Cd Cr Co Fe Au Ir Cu Mg Mn Mo Ni Nb Os Pt Rh Ag Ta Ti

Gitterkonstante 1) a pm kfz 404 hdP 229 / 1,57 kfz 490 hdP 290 / 1,83 krz 288 hdP 250 / 1,62 kfz krz 287 kfz 365 kfz 408 kfz 384 kfz 361 hdP 320 / 1,62 kub 893 krz 315 kfz 352 krz 329 hdP 273 / 1,58 kfz 392 kfz 379 kfz 409 krz 330 hdP 295 / 1,59 krz 332 krz 302 krz 317 hdP 266 / 1,86 diam 13°C tetr tetr 323 / 1,59 krz 361

OZ KG 13 4 82 48 24 27 26 79 77 29 12 25 42 28 41 76 78 45 47 73 22

V W Zn

23 74 30

Sn

50

Zr

40

Radien pm Atom / Ion 143 51 114 35 175 84 151 97 150 63 153 72

Dichte

3) kg/dm3 2,7 1,86 11,34 8,64 7,2 8,9

Schmelz punkt Tm °C 660 1280 327 321 1860 1490

124 74 127 64 144 137

7,85

1535

12

19,3 22,65 8,93 1,75 7,44 10,28 8,9 8,55 22,59 21,45 12,4 10,5 16,65 4,5

1063 2450 1083 650 1245 2620 1450 2468 3030 1770 1970 960 2996 1670

48 21 64/58 22,4 n.b. 20 16,3 n.b. 11 10 23 67 8 7

6,09 19,3 7,13 7,28

1890 3422 420 232 1850

128 160 112 136 124 142 138 139

96 66 80 70 69 74 65 80

145 126 143 68 148 68 131 74 137 70 133 74 141 71 162 79

6,53

Leitfähigkeit für Strom 2) Wärme3) m/mm2  W/mK 37,66 237,0 23,8 200,0 5,2 35,0 14 95,0 6,6 94,0 18 101,0

Wärmeausdehnung  4) 23,9 11 29,2 30 8,4 18,1

Elast. Modul GPa 72 293 16 63 190 213

75,0

11,9

215

298,0 398,0 100,0 7,8 135,0 85,0 54,0 87,0 72,0 150,0 428,0 57,0 22,0

14,2 6,5 16,5 25,8 22,8 5,2 13,0 7,4 – 9,1 8 19,7 6,5 9,0

79 530 125 44 201 330 215 160 570 173 280 81 188 105

5 20 18

30,7 173,0 112,0

4,4 21,1

150 400 9

8,7 2,5

66,0 22,7

26,7 6,3

55 90

3 2,8

24 50 29 63 335 ...2000 150 2 8

10,9

Halbmetalle (Metallbindung mit kovalentem Anteil) Antimon Arsen Bor Germanium Graphit Diamant Silicium Selen Wismut 1) 2) 3) 4)

Sb As B Ge C Si Se Bi

51 33 5 32

hex hex trig kfz hex 6 diam 14 diam 34 hex 83 hex

431 2,61 376 2,80 1012 566

145 125 46 123

87 69 23 53

6,69 5,72 2,46 5,32

630 subl. 2300 936

2,2 10–2

3,51

77

16

3,51

3550

4,6 10–3

1412 219 271

10–6

543 436 1,14 455 2,61

118 42 116 69 155 97

2,33 4,82 9,8

Bei hexagonalen Metallen ist das Verhältnis der senkrechten Konstante c zu /a angegeben; bei 0° C = 273 K; bei 20° C ; 0...100° C Werte mit 10– 6 multiplizieren!

4,4

0,93

56

7,8

13,4

34

2 Metallkundliche Grundlagen

E5

2.1.1 Metallgitter Die technisch wichtigen Metalle (Tabelle 1) haben Kristallgitter mit hoher Regelmäßigkeit und dichter Packung (kubisch, hexagonal). Nur Zinn ist tetragonal. Neben der dichten Packung der Atome in Schichten ist die Metallbindung die Voraussetzung für die beiden wichtigen Metalleigenschaften:  Elektrische Leitfähigkeit durch freie Elektronen im Kristallgitter,  Plastische Verformbarkeit durch Platzwechsel der Metallionen im Gitter, wobei die freien Elektronen die metallische Bindung aufrecht erhalten. Tabellen 2 + 3 zeigen die Elementarzellen (kleinster, regelmäßiger Volumenteil, der sich in Richtung der Kristallachen periodisch wiederholt). Kristalle (nur in Lunkern freiwachsend) sind ungeordnet zusammengewachsen, auch Kristallite oder Körner genannt. Sie bilden mit ihren Korngrenzen, evtl. Texturen und Verunreinigungen, das Gefüge des Metalles. Es kann im Schliffbild mikroskopisch vergrößert sichtbar gemacht werden. (Lichtmikroskop 0,5 m, Rasterelektronenmikroskop bis 0,5 nm auflösbare Teilchengröße). Durch räumliches Aneinanderreihen der E-Zellen ergibt sich ein fehlerloses Kristallgitter, der Idealkristall. Die Kristalle wirklicher metallischer Werkstoffe besitzen Störungen im Gitteraufbau infolge der Wärmebewegung der Teilchen und schneller Kristallisation (Tabelle 4). Amorphe Metalle (Gläser) werden durch extreme Abkühlgeschwindigkeiten (106 K/s) aus der Schmelze in Form von Fasern oder Bändern von 20 ... 50 m Dicke erzeugt, auch durch Aufschmelzen dünnster Randschichten mit Laserernergie. Zustand ist instabil und geht bei Temperaturen über 300 ... 600° C in den kristallinen über. Keine Warmumformung oder Schweißen möglich. Stabile Legierungen enthalten 20 ... 25 % Nichtmetallatome Das Fehlen gleitfähiger Atomschichten ergibt hohen Verformungswiderstand, d.h. hohe Härte und Zugfestigkeit, ebenso Ver-

schleiß- und Korrosionswiderstand. Fe-P-B ist weichmagnetisch mit geringen Wirbelstromverlusten. Anwendung z.B. für Magnetköpfe von Bandgeräten, Verstärkungsfasern. Tabelle 2. Strukturmerkmale Gefüge Grobstruktur Optisch sichtbar gemacht an z Bruchflächen z Schliffbildern

Kristallgitter oder amorph = Glaszustand Feinstruktur, Struktur der einzelnen Phasen Nur modellhaft darstellbar mithilfe von Elementarzelle

Bindungsart

Geometrische Beschreibt Kräfte und Energien zwischen Anordnung der den Teilchen kleinsten Teilchen  Ionenbindung  Größe und Form  kfz. Kubischder Phasen flächenzentriert, (Oxide) Kation   Anion  Korngrenzen  krz. Kubisch Ausrichtung der raumzentriert, Kristalle (Textu-  hdP Hexagonal  Atombindung (Diamant) Elektronenren) dichtest. paarbindung  Tetragonales  Metallbindung  Anzahl und Form Kristallgitter (Metalle) der nichtmetalliDiese 4 Gitter Kation   Elekschen Einschlüs- liegen bei den se (Reinheit) meisten Metallen tronen  schwache zwi Ausrichtung der vor schenmolekulare Einschlüsse oder Kräfte, z.B. Dipole Zusatzstoffe (Kunststoffe) (Fasern) Ohne innere Ordnung sind die Gläser, sie sind nicht kristallin, sondern amorph Sichtbar werden damit 

Die Vielfalt der Eigenschaftsprofile metallischer Werkstoffe ergibt sich aus der Kombination von Atom-, Gitterstruktur, EN-Zahl und Wertigkeit bei den verschiedenen Metallen und Legierungen. Für Strukturwerkstoffe ist die Duktilität mit ihrem Einfluss auf Verarbeitung, Sprödbruchverhalten und Dauerfestigkeit von Bedeutung. Sie hängt von den Gleitmöglichkeiten ab (Tabelle 3).

Tabelle 3. Elementarzellen der Metallgitter und Gleitmöglichkeiten Gleitrichtungen in dichtest gepackten Ebenen

3 Gleitrichtungen Hauptgleitebenen Gleitrichtungen Gleitmöglichkeiten Duktilität

Elementarzellen kub.-flächenzentriert

kfz. 4 Tetraederflächen Flächendiagonale 3  4 = 12 mit niedrigen Kräften sehr hoch verformbar

kub.-raumzentriert

krz.(mit Nebengleitebene) 4 Flächen der Raumdiagonalen 2  Richtung Raumdiagonale 3  4 = 12 + weitere mit größeren Kräften hoch verformbar

hex. dichteste Packung

hdP (mit Nebengleitebene) 1 Basisebene 3 Richtungen 13=3 mit niedrigen Kräften nur gering verformbar

E6

E Werkstofftechnik

Versetzungen bewegen sich dort, wo sie den geringsten Gleitwiderstand überwinden müssen. Das sind die sog. Hauptgleitebenen. Sie liegen zwischen den dichtest gepackten Kugelschichten, die nur beim kfz. und hdP-Gitter vorhanden sind (Tabelle 3). Das krz.Gitter hat viele Gleitebenen, die aber weniger dicht gepackt sind und deshalb größere Schubspannungen erfordern. Eine Verschiebung in den Richtungen 2 (Bild 3 oben links) führt zu Teilversetzungen und Stapelfehlern. Stapelfehler sind flächige Bereiche mit

veränderter Stapelfolge vom kfz.- (ABC, ABC...) zum hdP-Gitter (AB, AB...). 2.1.2 Gitterfehler Die Einteilung erfolgt nach ihrer Dimension (Tabelle 4). Sie erhöhen die Kristallenergie gegenüber dem Idealkristall, führen zu Aufweitung und Verdichtung der idealen Gitterlinien und erschweren z.T. die plastische Verformung durch Erhöhung des Gleitwiderstandes (kritische Schubspannung), sind aber auch Voraussetzung für Diffusion und Duktilität.

Tabelle 4. Gitterfehler: Entstehung und Wechselwirkungen Dimension, Bezeichnung 0 Punktfehler: Leerstellen Fremdatome 1 Linienfehler: Versetzungen 2 Flächenfehler: Korngrenzen Stapelfehler

Entstehung Unbesetzte Gitterplätze beim Kristallisieren, Entropiestreben, die Anzahl steigt mit der Temperatur Verunreinigungen, Atome der LE Fehlerhaftes Kristallwachstum führt zu Teilungsfehlern und ergibt schlauchartige Hohlräume im Kristall (106 cm/cm3). Plastische Verformung erhöht die Versetzungsdichte (ca. 1012 cm/cm3) Bereiche mit unvollkommener Ordnung. Bei der Kristallisation oder der Rekristallisation bei T 0,4 Tm fehlerhaftes Kristallwachstum,

3 Volumenfehler: Ausscheidungen in übersättigten Mischkriskohärente, tallen (metastabil). inkohärente Teilchen Pulvermetallurgisch oder durch innere Oxidation eingebracht

2.2 Eigenschaften und Verhalten der Metallgitter 2.2.1 Anisotropie, Textur Anisotropie bedeutet Richtungsabhängigkeit fast aller Eigenschaften. Typische Eigenschaft aller kristallinen Stoffe (Analogie: Holz, längs bzw. quer zur Faserrichtung beansprucht, reagiert unterschiedlich). Gegensatz: Isotropie. Vielkristalline Werkstoffe zeigen keine Anisotropie, wenn Kristallite mit ihren Achsen ungeordnet liegen (sie sind quasiisotrop). Starke Anisotropie tritt bei UD-faserverstärkten (unidirektional) Werkstoffen auf, ebenso bei warmumgeformten Stählen mit niedrigem Reinheitsgrad durch gestreckte, nichtmetallische Einschlüsse (Zeilengefüge). Textur ist eine evtl. teilweise Ausrichtung der Kristalle. Sie entsteht bei einigen Fertigungsverfahren (z. B. Guss-, und Walztexturen). Als Folgen treten z.B. unterschiedliche Festigkeit und Dehnung bei Blechen längs und quer zur Walzrichtung auf. Diese Anisotropie ist für Tiefziehbleche unerwünscht. Textur bei Trafo- und Dynamoblechen für magnetische Eigenschaften wichtig.

Reaktion mit anderen Fehlern bei Kaltumformung oder Erwärmung (thermischer Aktivierung) Leerstellen ziehen Fremdatome an, sie sind wichtig für die Diffusion und ermöglichen das Klettern einer Stufenversetzung in eine parallele Gleitebene werden von Versetzungen u. Leerstellen angezogen ungleichartige Versetzungen in einer Gleitebene können sich auslöschen, gleichartige sich blockieren. Aufspaltung in zwei Teilversetzungen (kleinere Gleitschritte) Behindern das Wandern von Versetzungen, es kommt dort zum Stau, d.h. zu höherer örtlicher Versetzungsdichte unterbrechen Gleitebenen, sind selbst nicht gleitfähig Versetzungen müssen die Teilchen abscheren oder umgehen und bilden dabei neue Versetzungen.

2.2.2 Gießen (Schmelzen und Kristallisieren) Schmelzen: Zufuhr von Wärme erhöht die Energie der Teilchen, damit ihre Eigenbewegung: Stoff dehnt sich aus. Zum Schmelzen muss die Schmelzwärme zugeführt werden, bei reinen Metallen bei konstanter Temperatur (Schmelzpunkt). Weitere Temperatursteigerung erst nach vollständigem Schmelzen. Technische Schmelzen enthalten dann noch kleinste, feste Partikel (Oxide, Carbide, Nitride), die bei der Kristallisation als Fremdkeime dienen. Kristallisation. Beginn an den Fremdkeimen und Eigenkeimen, die sich mit steigender Unterkühlung, bilden (= Temperaturdifferenz zum theoretischen Schmelz- und Erstarrungspunkt). Beim Einbau der Atome in das Kristallgitter wird ihre Eigenbewegung sprunghaft kleiner. Die Energiedifferenz erscheint als Kristallisationswärme. Zum Wachsen der Kristalle muss sie abgeführt werden. Das geschieht an kalten Formwänden, die ebenfalls als Keime wirken. Feinkörnige Gussgefüge entstehen bei schneller Abkühlung, welche die Eigenkeimbildung fördert (Druckguss), oder Impfen der Schmelze mit Fremdkeimen. Beispiel: Na in AlSi-Guss und seltene Erdmetalle (Ce, Y, Zr) in Mg-Gusslegierungen.

2 Metallkundliche Grundlagen

E7

2.2.3 Plastische Verformung

auch Versetzungsverfestigung genannt. Wenn keine Atomreihe mehr wandern kann, ist die totale Versprödung erreicht. Anwendung: Dünnwandige Halbzeuge (Blech, Band, Draht) von NE-Metallen sind in verschiedenen Festigkeitsstufen lieferbar, die durch bestimmte Verformungsgrade beim letzten Walz- oder Ziehvorgang eingestellt werden ( 4.2 Anhängesymbole, Tabelle 4).

Die meisten Metalle sind bei RT plastisch verformbar ohne dass der Zusammenhalt verloren geht. Modellvorstellung am Idealkristall: Jedes Korn verformt sich zunächst unter inneren Schubspannungen, indem Kugelschichten mit dichtester Packung parallel zueinander abgleiten.

Bild 1. Plastische Verformung am Ideal- und Realkristall Eine Trennung der Schichten würde größere Normalspannungen erfordern. Dieses Abgleiten (Translation) findet in den Ebenen mit geringstem Gleitwiderstand statt (Gleitmöglichkeiten Tabelle 3). Modellvorstellung am Realkristall: Versetzungslinien wandern bis sie an ein Hindernis stoßen, z.B. an eine Korngrenze. Es müssen jeweils nur wenige Atome zum gleichen Zeitpunkt verschoben werden, d.h. die kritische Schubspannung, bei der eine plastische Verformung beginnt, liegt niedriger als bei der Idealvorstellung. 2.2.4 Kaltverfestigung K. ist die Steigerung der Festigkeit und Härte bei Verformung unterhalb der Rekristallisationstemperatur TR unter starker Abnahme der Dehnbarkeit bis zum Bruch. Es sinkt auch die elektrische Leitfähigkeit (Beweglichkeit der Valenzelektronen im Gitter). Ursache: Versetzungslinien wandern und erzeugen weitere, bis sie an den Korngrenzen auflaufen und gestaut werden. Die Versetzungsdichte steigt (von ca. 108 auf 1012/cm2). Kaltverfestigung wird deshalb

Bild 2. Zugfestigkeit, Härte und Bruchdehnung bei steigendem Verformungsgrad Verformungsgrad  =

Querschnittsänderung Ausgangsquerschnitt

Oberflächliche Kaltverfestigung von dynamisch beanspruchten Bauteilen erzeugt Druckeigenspannungen. Dauerfestigkeit steigt durch z.B. Kugelstrahlen von Federn, Walzen von Kerben und Übergangsradien an Wellenabsätzen. 2.2.5 Erhöhung der Kristallfestigkeit Die Steigerung der niedrigen Festigkeit reiner Metalle ist auf verschiedenen Wegen möglich. Die vorstehend erwähnte Kaltverfestigung ist auch bei reinen Metallen anwendbar. Bei Legierungen ergeben sich weitere Möglichkeiten, Legierungsatome sozusagen als Gitterfehler zur Festigkeitssteigerung auszunutzen. Dabei ist die Änderung der Duktilität wichtig (Tabelle 5).

Tabelle 5. Verfestigungsmechanismen Fehler

Strukturänderung, Hindernisse gegen die Versetzungsbewegungen

MischkristallVerfestigung Legieren innerhalb der Löslichkeit

Punkt-Fehler

Welligkeit der Gleitschichten durch kleinere oder größere LE-Atome, Wirkung steigt mit der den -Unterschieden und der Konzentration der LE.

Korngrenzenverfestigung Feinkorn herstellen

Flächenfehler

Korngrenzen blockieren die Bewegung der Versetzungen. Vielzahl der Körner erhöht die Zahl der Gleitmöglichkeiten.

fremde Partikel

Behinderung durch feindisperse, kohärente Ausscheidungen in Mischkristallen, die abgeschert werden, oder durch inkohärente Teilchen, welche umgangen werden müssen.

Mechanismus

Teilchenverfestigung  Aushärten  Dispersionshärtung

Festigkeit und Duktilität, schematischer Verlauf

E8

E Werkstofftechnik

2.3 Verhalten bei höheren Temperaturen 2.3.1 Thermische Aktivierung Wärmezufuhr zu einem Stoffsystem führt zu höherer thermischer (kinetischer) Energie der Teilchen. Ihre gesteigerte Bewegung um die Gitterplätze führt zu mehr Zusammenstößen/Zeit und damit zu mehr Platzwechseln/Zeit. Das führt zu einem schnelleren Ablauf der Prozesse ( folgende Abschnitte). Durch Zusammenstöße können einzelne Atome die Aktivierungsenergie Q erhalten, die nötig ist, die Bindung zur Umgebung zu lösen und ihren Platz wechseln. Metallatome gelangen dabei in die nächste Lücke, Nichtmetallatome auf den nächsten Zwischengitterplatz. Dabei streben die Teilchen nach dem Gleichgewicht, einem Zustand, in dem sich das Stoffsystem nicht mehr verändert. Streben Energieminimum Entropiemaximum

Ziel Energieabgabe ergibt einen ein Zustand höherer Stabilität Abbau von Ordnung = Zustand höherer thermodynamischer Wahrscheinlichkeit

Die Anzahl der Platzwechsel/Zeit ist die Geschwindigkeit v von Vorgängen, die thermisch aktiviert bei höheren Temperaturen schneller ablaufen. Aussagen darüber können nur mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit gemacht werden. Die Zahl der Zusammenstöße steigt exponentiell mit der Temperatur (T im Nenner des Exponenten). Geschwindigkeit von Platzwechseln v = v0 exp ( Q / RT) = v0 · e  Q/RT; v: Platzwechsel/Zeit; v0 Stoffkonstante; Q: Aktivierungsenergie, Gaskonstante R = 8,314 J/mol; T Temperatur. ■ Beispiel: Aufkohlen von Einsatzstählen für die gleiche Aufkohlungstiefe in: 32 h/900 °C oder 10 h/1000 °C oder 4 h/1100 °C.

des neuen Gefüges von Umformgrad und Glühtemperatur (Bild 3-10). Bei sehr kleiner Verformung findet nur eine Kristallerholung statt, ebenso, wenn TR beim Erwärmen nicht erreicht wird. Dabei Abbau innerer Spannungen und Zunahme der Dehnung bei unveränderter Kornform und -größe. Kleine Verformungsgrade führen beim Glühen zu Grobkorn. 2.3.3 Kornwachstum Die Bereiche der Korngrenzen sind weniger geordnet, energiereicher und gekrümmt. Sie besitzen Oberflächenenergie (Spannung durch Krümmung), die bei größeren Kristalliten kleiner ist. Bei höheren Temperaturen werden die kleineren Körner von den größeren aufgezehrt. Das Wachstum wird behindert, wenn bei solchen Temperaturen ungelöste Phasen (z. B. IP von Al, Mo, Nb, Ti und V evtl. mit C und N) die Korngrenzen blockieren. Solche Stähle sind nicht überhitzungsempfindlich. ■ Beispiele: Einsatz- und Nitrierstähle, warm- und hitzebeständige Werkstoffe und Feinkornbaustähle.

2.3.4 Warmumformung Merkmale sind die theoretisch unbegrenzte plastische Verformung bei Temperaturen zwischen unterhalb der Solidus-Linie und Rekristalliationstemperatur. Es erfolgt ständige Rekristalliation und somit keine Verfestigung. Die Gleitvorgänge benötigen geringere Energie, zusätzlich tritt Korngrenzengleiten auf. Die Rekristallisation benötigt Zeit, dadurch ist die zur plastischen Verformung erforderliche Fließspannung kf neben der Temperatur auch von der Geschwindigkeit abhängig. Erläuterung zu Bild 3: Graph Umformgeschwindigkeit  / t a 20/s b 10/s c 1/s

Die Aktivierungsenergie Q ist höher für größere Metallatome und für dichtgepackte Gitter, niedriger für kleine Nichtmetallatome und in weniger dicht gepackten Gittern. Z. B. können H-Atome bei RT im Ferritgitter diffundieren, Metallatome benötigen hohe Temperaturen. 2.3.2 Kristallerholung und Rekristallisation Wird kaltverfestigter Werkstoff erwärmt, so bildet sich beim Erreichen der sog. Rekristallisationsschwelle von Keimen ausgehend ein neues Gefüge, das Rekristallisationsgefüge. Als Keime wirken die stark verformten, energiereichsten Körner, deren Teilchen, durch Wärmebewegung begünstigt, neue unverspannte Gitter bilden. Die Rekristallisationstemperatur TR wird durch LE und Verformung herabgesetzt und liegt bei ca. 40 % der Schmelztemperatur Tm (in K). Rekristallisationsschaubilder zeigen die Abhängigkeit der Korngröße

Bild 3. Fließkurven von Stahl C45E

Beispiel Schmiedehämmer Mech. Pressen Hydraul. Pressen

2 Metallkundliche Grundlagen

E9

Superplastitzität ist die Fähigkeit einiger Werkstoffe, unter geringen Spannungen sehr große Umformungen bis zu 1 000 % ohne Einschnürung (damit ohne Riss) auszuhalten. Bedingungen sind eine Korngröße unter 10 m, Temperatur über 0,5 Tm (Schmelztemperatur in K), und niedrige Umformgeschwindigkeiten (5% /min), damit Rekristallisation, Kongrenzengleiten und Diffusion ablaufen können. Es besteht die Gefahr von Hohlraumbildung durch Leerstellenansammlung. Anwendung: Blasformen für flächige Teile und Isothermschmieden für kompaktere Teile von Triebwerken und -verkleidungen aus Ti- und Mg-Legierungen. Entwicklungen für IP wie TiAl und TiAl3. 2.3.5 Diffusion in Metallen Diffusion in Metallen ist die Wanderung von Atomen im Kristallgitter unter Wirkung eines Konzentrationsgefälles c/ x (Antrieb = Entropiestreben). Zum Platzwechsel muss die Aktivierungsenergie Q aufgebracht werden. Es entsteht ein Teilchenstrom J. (1. Fick’sches Gesetz). Teilchenstrom: J = D · c/x; mit D = D0 eQ/RT (Atome/cm2s = cm2 /s · Atome/cm3 cm) In der Diffusionskonstanten D sind die Widerstände enthalten, die den Teilchenstrom bremsen: Atomgröße und Dichte des Gitters, sowie die Art der Diffusionswege über Leerstellen, Zwischengitterplätze, Versetzungen oder Kornoberflächen. Auf Diffusionsvorgängen beruhen zahlreiche Verfahren: Lösungsglühen

Ausscheidungen, Auslagern

Verteilung von LE, Lösen von sekunAusgleich von Sei- dären Kristallen gerungen

Abbau von Übersättigung in Mischkristallen

Glühen

Thermochemische Verfahren Sintern, Diffusions-Schweißen Einbringen von B, C, Cr, N, u.a. Elementen

Platzwechsel im Korngrenzenbereich

Für thermochemische Verfahren ist das 2. Fick’sche Gesetz wichtig. Es verknüpft den mittleren Randabstand xm, bei dem die anfängliche Konzentrationsdifferenz (C-Atmosphäre – C-Werkstoff) auf die Hälfte abgesunken ist. 2. Fick’sches Gesetz: Wurzelgesetz xm2 = D t;  xm = Dt Daraus ergeben sich einige Abhängigkeiten: Beziehung Eindringtiefe x und Zeit t Zeit t und Temperatur T

Abhängigkeit die n-fache Eindringtiefe x2 erfordert die n2-fache Zeit t2 t1 : t2 = D1 : D2 ( D enthält T ) Produkt Dt = konstant !

Der Zeitaufwand der Diffusionsverfahren wird bereits durch kleine Temperatursteigerungen wesentlich verringert (Beispiel unter 2.3.1).

2.4 Zweistofflegierungen (binäre Legierungen) 2.4.1 Allgemeines Legierungen sind Stoffgemenge aus mehreren Komponenten (A, B C ...), meist Metallen, oft sind auch Nichtmetalle beteiligt. Sie reagieren evtl. miteinander und bilden Kristalle, die Phasen (, , ...). Eine Begrenzung auf zwei Komponenten – Zweistoffsysteme – ist zur Kennzeichnung der verschiedenen Legierungssysteme erforderlich. Die Komponenten lassen sich schmelzflüssig meist beliebig mischen. Nur wenige Paarungen sind unlöslich, sie bilden zwei Schmelzen übereinander (Fe-Pb, Cu-W), andere lösen sich nur teilweise, es bilden sich zwei legierte Schmelzen übereinander (Pb-Cu). Je nach Temperatur bestehen sie aus unterschiedlichen Phasen (Schmelze und Kristallarten), deren Konzentrationen und Massenverhältnisse sich aus den ZustandsDiagrammen ablesen lassen ( 2.4.8). 2.4.2 Legierungsstrukturen (Zweistofflegierungen) Die Gefügebildung der Legierung hängt vom Verhalten der beiden Komponenten A und B im festen Zustand ab. Es können die folgenden Gitterstrukturen – allein oder im Gemisch – auftreten. Austausch-(Substitutions-) Mischkristalle (AMK.) zwischen Metallen. Die Atome B sind regellos an Stelle der A-Atome im Gitter verteilt (feste Lösungen). Die Löslichkeit von B im A-Gitter hängt von Struktur und Eigenschaften der Atome ab (Kristallgitter und Wertigkeiten gleich, Atomradiendifferenz < 15 % , ähnliche Elektronegativität EN), und liegt zwischen > 0 und 100 %. Einlagerungs-(interstitielle) Mischkristalle (EMK) enthalten die Atome B auf Zwischengitterplätzen (Lücken zwischen den A-Atomen). Sie entstehen, wenn der Atomradius von B < 0,41  Atomradius A. Das gilt für die Nichtmetalle B, C, N und O. Die Gitterverzerrung ist groß, die Löslichkeit gering. Die Härte wird stark auf Kosten der Duktilität erhöht (CAtome im Fe, H-Atome im Hartchrom). Intermetallische Phasen (IP). Komponenten mit starken elektrochemischen Unterschieden bilden in bestimmten Mischungsverhältnissen gemeinsam ein Gitter, das von denen beider Komponenten abweicht. Darin sind der Metallbindung auch Anteile von Ionenoder Atombindung überlagert. Die Diffusion ist erschwert, damit das Kriechen bei hohen Temperaturen. Diese Stoffe sind härter, spröder und haben z.T. komplizierte Gitter ohne Gleitmöglichkeiten, aber mit höheren E-Moduln. Einige haben höhere Schmelztemperaturen als die Komponenten und sind damit für Hochtemperaturanwendung interessant (z.B. TiAl, Ti3Al, AlNi [ 2.4.9] mit niedrigerer Dichte als die NiCoSuperlegierungen).

E 10

E Werkstofftechnik

Tabelle 6. Legierungsstrukturen (Legierungselement, LE-Atome; im Wirtsgitter, WG) LE-Atome im Wirtsgitter sind nicht geordnet

Legierungselement ist Metall

Nichtmetall

Austausch-(Substitutions)-MK. Systeme Einlagerungs-(interstitielle) MK. Systeme Atome der LE besetzen normale Gitterplätze des Kleine LE-Atome besetzen ZwischengitWG, regellos verteilt (feste Lösungen), Duktilität terplätze im WG, regellos verteilt. Starke wenig beeinflusst. Verzerrung, geringe Duktilität Fe-C, Cu-Pt, Fe-N Cu-Ni, Cu-Au, Fe-Cr Fe- Ni, Fe-V -CuZn

sind Überstrukturen, geordnet Treten bei bestimmten festen Atomverhältnissen (Gitter im Gitter) einiger Systeme auf. Besondere phys. Eigenschaften, thermisch nicht stabil

AuCu; AuCu3

Oktaeder im Würfel, (Cu3Zn) bilden neues, anderes Gitter

Intermetallische Phase, (IP) bei geringer Ähnlichkeit der Atome, (nichtstöchiometrisches Verhältnis)  z.T. bestimmte Atomverhältnisse (stöchiometrische Verhältnisse.) 

Tabelle 7. Härte und Schmelztemperaturen von Hartstoffen (Mittelwerte) Formel HV-1 Tm in °C

Bornitrid Borcarbid Ti-Carbid Ti-Nitrid BN 6000 —

B4 C3 3700 2450

TiC 3500 3140

Carbide, Nitride von Cr, Mo, Ti, Ta, V

Titancarbid TiC, Titannitrid TiN

Metalle können mit höheren Anteilen der Nichtmetalle C, N und B chemische Verbindungen bilden. Ihre Gitter sind Einlagerungsstrukturen, jedoch mit geordneter Verteilung der Nichtmetallatome im Metallgitter. Carbide, Nitride und Boride zählen auch zu den IP. Meist sind es Hartstoffe mit hohen Schmelzpunkten, deshalb im Gefüge von Werkzeug- und warmfesten Stählen (Sondercarbide) enthalten, oder sie werden als Verschleißschutzschichten auf zähen Baustählen erzeugt (Nitrieren, Borieren) oder durch Beschichten (Plasmaspritzen, CVD- und PVD-Verfahren) aufgebracht. Sinterhartmetalle bestehen aus Mischkristallen von WC mit TC und TaC. Supraleiter aus der intermetallischen Phase Ti2Ba2Ca2Cu3O10 haben eine Sprungtemperatur von > 120 K (elektrischer Widerstand wird Null, d.h. eine verlustfreie Energieübertragung ist möglich).

Stoff

Einlagerungsstrukturen Gitter im Gitter,  geordnete Einlagerungs- MK. Metall- mit NichtmetallAtomen  Hartstoffe

TiN 2000 2950

Cu-Al, CuSn, Cu-Zn Ni3Al, Ti3Al

-CuZn

Stoff Formel HV-1 Schmelz T

W-Carbid

V-Carbid

Korund

Si-Carbid

WC 2400 2870

VC 2800 2830

Al2O3 2800 2050

SiC 3500 2200

2.4.3 Zustandsdiagramme Zustandsdiagramme entstehen aus den Abkühlkurven vieler Legierungen eines Systems oder werden berechnet. Der Schmelz- bzw. Erstarrungsbereich wird durch Liquidus- (oben) und Solidus-Linie (unten) begrenzt. Darunter liegen die Phasenfelder. Sie lassen die Phasen erkennen, aus denen eine Legierung je nach Temperatur und Konzentration besteht. Zwischen den Phasen besteht thermodynamisch ein Gleichgewicht, sofern die Abkühlung sehr langsam erfolgt. Bei schnellerer Abkühlung entstehen andere Konzentrationen und Verteilungen der Phasen (sog. Ungleichgewichtszustände), die metastabil sind, d.h. bei Erwärmung dem Gleichgewichtszustand zustreben. Hierfür gelten andere Diagramme (z.B. ZTU-Diagramme).

2 Metallkundliche Grundlagen

E 11

2.4.4 Systeme mit vollkommener Mischbarkeit im festen Zustand, Mischkristallsystem Ihre Komponenten müssen die Hume-Rothery-Regeln erfüllen: Gleiche Kristallgitter, Differenz der Atom- < 15 %. Geringe Differenzen in EN-Zahl und Wertigkeit.

Bedingungen

Gefüge, Hauptanwendung

Große Ähnlichkeit der Komponenten in

Homogene Gefüge aus gleichen Mischkristallen

Atom-, Gitter, EN-Zahl, Wertigkeit

Verformbarkeit hoch, stark kaltverfestigend

Zustands-Diagramm, Merkmale Mischkristall-System, linsenförmiges Feld zwischen Liquidus- und Solidus-Linie.

Möglichkeit von Kristallseigerungen beim Erstarren

Knetlegierungen über den ganzen Mischungsbereich

2.4.5 Systeme mit begrenzter Mischbarkeit im festen Zustand, eutektisches System Die Komponenten haben keine oder nur geringe Mischbarkeit im festen Zustand, sie kristallisieren jede für sich unter gegenseitiger Behinderung der Kristallisation. Deren Beginn verschiebt sich dadurch zu tieferen Temperaturen, bei der eutektischen Legierung zum tiefsten Schmelzpunkt.

Bedingungen Geringere Ähnlichkeit der Komponenten in Atom-, Gitter, EN-Zahl, Wertigkeit

Legierungen im mittleren Bereich mit breitem Erstarrungsintervall bilden in der Schmelze Primärkristalle, die an kalten Formwänden kristallisieren. Die Formfüllung wird behindert. Kristallseigerung: Primärkristalle haben im Kern andere Konzentration als im Rand.

Gefüge, Hauptanwendung

Ag-Au, Ag-Pt, Co-Mn Cu-Au; Cu-Pt; Cu-Pd Cu-Pt -Fe-Cr -Fe-Ni; -Fe-V Ni-Co Ni-Pt Mo-W

Eutektische Legierungen lassen sich dünnwandig vergießen, da keine Primärkristalle an den Formwänden ankristallisieren und den Schmelzfluss behindern (Gegensatz zu den Legierungen mit breitem Erstarrungsintervall). Deswegen liegen viele Guss- und Druckgusslegierungen im eutektischen Bereich bzw. in der Nähe.

Zustands-Diagramm, Merkmale

Eutektisches System, außen Mischkristallfelder mit gerinHeterogene Gefüge aus zwei Kristallarten. Restschmelze zer- ger Löslichkeit, dazwischen Mischungslücke mit v-förmiger fällt an der Solidus-Linie bei kon- Liquidus-Linie. stanter Temperatur in ein Kristallgemisch. Eutektische Reaktion: Schmelze   + Niedriger Schmelzpunkt, seigerungsfreie Erstarrung. Im Randbereich Knetlegierungen. Gusslegierungen für den eutektischen Bereich.

weitere Systeme

Eutektikum (ca. 60 % Sn): feinkörniges Gefüge aus den beiden Phasen

weitere eutekt. Leg. Al-Druckguss Al-Si mit 12 % Si Silberlot Cu-Ag mit 45 % Ag Gusseisen Fe-C mit 4,3% C ZnDruckguss Zn-Al mit 4 % Zn Hartblei Pb-Sb mit 13 % Sb

E 12

E Werkstofftechnik

2.4.6 Systeme mit sekundären Ausscheidungen Wesentliches Merkmal ist ein Mischkristallfeld dessen begrenzende Löslichkeitslinie mit sinkender Temperatur gegen Null zurückgeht. Bei langsamer Abkühlung reduziert sich die im Mischkristall gelöste Komponente durch Diffusion an die Korngrenzen und bildet dort sekundäre Ausscheidungen. Bedingungen

Gefüge, Hauptanwendung

Bei schneller Abkühlung entstehen metastabile, übersättigte Mischkristalle, welche Voraussetzung für das Aushärten sind. Die technisch wichtigen, aushärtbaren Legierungen sind Drei- und Mehrstofflegierungen, die ausscheidenden Phasen sind komplex aufgebaut. Das vorliegende Beispiel ist vereinfacht.

Zustands-Diagramm, Merkmale

Komponenten haben Mischkristallgefüge mit Ausschei- Mischkristallfeld von Solidus- und Löslichkeitslinie begrenzt, große Unterschiede in dungen intermetallischer Phasen (IP). Atom-, Gitter, Ausscheidungen müssen feinEN-Zahl, dispers im Mischkristall vorliegen, Wertigkeit durch Aushärten erzielt. Sie steigern Festigkeit, Härte, Warmfestigkeit, evtl. magnetische Werte. Aushärtbare Legierungen

Aushärtbare Al-Mg-Legierungen enthalten 0,5..1,2 % Si zur Bildung von Mg2Si als ausscheidende Intermetallische Phase

2.4.7 Systeme mit Mischkristallen und mehreren Intermetallischen Phasen (Beispiel Cu-Zn) Das Legierungssystem besitzt zahlreiche Sorten, die ein breites Eigenschaftsspektrum überdecken. Das wird durch das Verhältnis der beiden Kristallarten  und , daneben durch weitere LE erreicht ( 4.3.4f.). Knetlegierungen liegen im Bereich der -MischBedingungen

Gefüge, Hauptanwendung

Sehr große Unterschiede in

Die harte, spröde -Phase steigert Härte und Festigkeit unter Abnahme der Duktilität. ( Diagramm)

Atom-, Gitter, EN-Zahl, Wertigkeit

Intermetallische Phasen im System CuZn:

Zn: rZn = 133 pm, hdP, EN = 1,6 2-wertig

Zn-% IP- 1) Formel

Bei größeren Zn-Gehalten entstehen Intermetallische Phasen

E-Zelle

1)

Umformbarkeit

43.8 – 48,2

ca. 58

CuZn

Cu5Zn8

krz. (Tabelle) kalt gering, warm gut

kub. 52 Atome nicht umformbar

Al-CuMg Al-CuTi Al-MgSi Al-ZnMg Fe-C Cu-Al Cu-Be Cu-Cr Cu-NiSi Mg-Al Ti-AlV

kristalle (kfz.). Geringe Anteile der spröden -Phase verbessern die Spanbarkeit. Sorten für Warmumformung und die Gusslegierungen besitzen davon höhere Gefügeanteile. Legierungen mit der sehr spröden Phase im Gefüge haben keine technische Verwendung gefunden.

Zustands-Diagramm, Merkmale

ähnliche Systeme

System Cu-Zn, vereinfacht An der Linie BCD findet die peritektische Reaktion statt ( 2.4.9).

Legierungen für spanende Bearbeitung, verschleißfeste Legierungen

Cu: rcu = 128 pm, kfz, EN = 1,9 1-wertig

weitere Systeme

Formeln geben keine stöchiometrische Zusammensetzung an, sondern den Mittelwert der Konzentrationen.

Al-Mg Al-Mn Al-SiCu Cu-Al; Cu-Sn;

2 Metallkundliche Grundlagen Allgemein werden heterogene Cu-Legierungen mit IP im Gefüge als Werkstoffe für tribologische Beanspruchungen verwendet. Dabei gibt es zwei Möglichkeiten:  Weichere Pb-Kristalle (Schmiertaschen) in einem härteren Cu-Mischkristallgefüge mit IP-Anteilen. Weichere Lagerwerkstoffe für ungehärtete Reibpartner (CuPb- und CuPbSn-Legierungen).  Härtere intermetallische Phasen in Cu-Mischkristallgefüge. Härtere Lagerwerkstoffe für gehärtete Reibpartner (CuSn- und CuAl-Legierungen). Werkzeugstähle haben eine gehärtete Stahlmatrix mit noch härteren Misch- und Sondercarbiden der Legierungselemente Cr, V, W, Mo. 2.4.8 Auswertung von Zustands-Diagrammen Die Vorgänge beim Abkühlen einer Legierung lassen sich im Zustands-Diagramm auf einer senkrechten Linie verfolgen. Sie liegt entsprechend der Konzentration der Legierung L1. Vom geschmolzenen Zustand. aus wandert ein die Legierung darstellender Punkt auf der Senkrechten abwärts, der sinkenden Temperatur entsprechend.

E 13 Unterhalb der Liquidus-Linie überwiegt noch der Anteil der Schmelze (Bildteil a). Dicht über der Solidus-Linie (Bildteil b) sind bei dieser Legierung gleiche Anteile von Schmelze und Mischkristallen vorhanden (gleiche Hebelarme). An der Linie BC tritt die peritektische () Reaktion ein: Dicht unterhalb der Linie CD (Bildteil c) liegt dann ein Gefüge mit 1/3 -Mischkristallen vor (mit 67,5 % Cu ) und 2/3 Kristallen (mit 63 % Cu). Die Hebelarme verhalten sich wie 2:1. Mit weiterer Abkühlung ändern sich die Konzentrationen beider Phasen: -Mischkristalle längs der Linie BE,

-Kristalle längs der Linie CF. Gleichzeitig wächst der Anteil der -Mischkristalle, jener der Kristalle sinkt (Bildteil d). Beim Erreichen der Linie BE (Bildteil e) ist der Anteil der -Kristalle auf Null gesunken (abgewandter Hebelarm ist Null), dadurch liegt bei RT ein homogenes Gefüge aus -Mischkristallen vor. Peritektische Reaktion: Intermetallische Phasen können teilweise schmelzen und dabei eine andere Kristallart bilden. Der umgekehrte Vorgang ist die peritektische Reaktion (Bild): + Schmelze In dieser Form würde die Reaktion einer Legierung mit 63 % Cu am Punkt C ablaufen. Die ausgewählte Legierung L1 enthält weniger Cu, deshalb gilt hier die Reaktionsgleichung (Konzentration in Klammern) (B) + Schm. (D) 

(B) +

(C).

Bei der Reaktion sinkt der Anteil der Mischkristalle, die von der Schmelze z. T. nur an der Oberfläche „gelöst“ werden (kleinerer. Hebelarm, Bildteile b) und c)). Ihr Cu-Gehalt ergibt zusammen mit der niedrigeren Cu-Konzentration der Schmelze von 61,5% die höhere der B-Kristalle von 63 %.

Die Temperaturwaagerechte ergibt einen Hebel mit Endpunkten an den Feldgrenzen. Es gilt das Hebelgesetz für Gleichgewicht. Phasenanteile sind dem abgewandten Hebelarm proportional. Abgewandter Hebel = 100  Ph  = Gesamthebel Konzentration einer Phase kann am Lot auf die waagerechte Achse abgelesen werden. Beim Überschreiten der Grenzlinie zwischen zwei Phasenfeldern ändert sich die Zahl oder Art der Phasen um eins. Abweichungen von dieser Regel sind an Punkten möglich. ■ Beispiel (Bild): Abkühlungsverlauf einer Cu-Zn-Legierung mit 64,5 % Cu (CuZn36). Die Legierung kühlt aus der Schmelze ab. Beim Erreichen der Solidus-Linie tritt eine zweite Phase auf, die - Phase (kfz. Cu-Mischkristalle), die nach und nach die Konzentration des Punktes B annimmt (67 % Cu). Die Schmelze strebt der Konzentration des Punktes D zu.

2.4.9 Systeme mit intermetalischen Phasen (IP) und Maximum In einigen Legierungsystemen treten IP auf, deren Schmelzpunkte über denen der reinen Komponenten liegen. Sie sind für Hochtemperaturanwendungen interessant. Bei ihnen ist der Metallbindung eine starke kovalente (z.T. auch heteropolare, ionare) Bindung überlagert. Sie haben hohe E-Moduln, sind hart und spröde, sodass für die Fertigung besondere und aufwändige Fertigungsverfahren erforderlich sind. Mit ihren Eigenschaften bilden sie einen Übergang von hochwarmfesten Legierungen zur Keramik, mit höherer Zähigkeit als Letztere. Das leichtere Al senkt die Dichte, damit steigt die spez. Festigkeit (Reißlänge) der Legierungen. Entwickelt werden Werkstoffe auf der Basis TiAl (Legierung) mit einer Dichte von 3,8 g/cm3, deren geordnete Struktur einen hohen Kriechwiderstand besitzt, der bei ungeordneter Verteilung der Atome jedoch geringer ist. Geringe Zusätze von Cr, Mo Si Zusätze erhöhen Festigkeit und Dehnung.

E 14

E Werkstofftechnik punkt, Valenz-Elektronen, Stellung in der elektrochem. Spannungsreihe Stöchiometrische IP haben schmale Felder ( AlNi3) bis senkrechte Linien (Al3Ni). Nichtstöchiommetrische IP haben breitere Felder und einen Bereich der Zusammensetzung (AlNi). Schmelzpunkt liegt bei AlNi mit 1638° C höher als bei den Komponenten. 2.4.10 Vergleich von homogenen und heterogenen Legierungen

Zustand-Diagramm Al-Ni Bedingungen: Komponenten haben große Unterschiede in Atom-, EN-Zahl, Wertigkeit, Schmelz-

In dieser Zusammenfassung werden die beiden Grundgefüge gegenübergestellt und daraus auf Eigenschaften und Verwendung geschlossen. Die Zuordnungen sind grob, in Sonderfällen können auch Abweichungen auftreten.

Tabelle 8. Eigenschaftsvergleich Kriterium

Homogene Legierungen

Heterogene Legierungen

Legierungen Grundtyp I oder im Randbereich bei den meisten anderen Typen Cu-Legierungen mit geringem Gehalt an LE, austenitische Stähle homogen, eine Phase Mischkristalle ungünstig bei breitem Erstarrungsbereich, Schwindung, Seigerung

In den Mischungslücken bei teilweiser Mischbarkeit der Komponenten Eutektische Gusslegierungen, Einsatz- Vergütungsund Werkzeugstähle, aushärtbare Al-Legierungen heterogen, zwei Phasen bilden ein Kristallgemisch günstig, da niedriger Schmelzpunkt, kleines Schwindmaß

Kneten

günstig, alle Kristallite nehmen daran teil, homogen verformbar

Spanen

Fließspan, rauere Oberfläche

Rissgefahr, wenn beide Phasen sehr unterschiedliche Verformungswiderstände haben günstig, weichere oder sprödere Phase kann spanbrechend wirken, glatte Oberfläche Gusslegierungen

Zustandsdiagramm (prinzipiell) Beispiele Gefüge Fertigung durch Gießen

Verwendung (vorwiegende) Fertigungsgänge

Knetlegierungen Gussblock  Umformen  Halbzeug  Umformen/Verbinden  Fertigteil

Rohgussteil  Spanen  Fertigteil

Verlauf der Eigenschaften über der Konzentration

Bei bestimmten Konzentrationen sind extreme Eigenschaften liegen zwischen denen der reinen Eigenschaften möglich Komponenten (Ausnahme Schmelztemperaturen)

2.5 Kristall- und Gefügeveränderungen 2.5.1 Polymorphie Einige kristalline Stoffe sind polymorph (vielgestaltig), sie können je nach Temperatur in verschiedenen Gitterstrukturen auftreten (Tabelle 1). Mit steigender Temperatur werden die auftretenden Phasen als -, , - bezeichnet.

Zur Änderung des Zustandes muss Energie aufgebracht werden (Haltepunkt in der Abkühlkurve). Die Dichte ändert sich dabei ebenfalls. Durch Höchstdrücke lassen sich dichtere Modifikationen herstellen (Grafit  Diamant; hex. Bornitrid  kubisches Bornitrid, CBN). Wenn bei der Abkühlung andere Kristallgitter mit geringerer Dichte entstehen, kann es zum mechanischen Zerfall durch innere Spannungen kommen (Zinnpest, Feuerfeststoff Zirkonoxid).

3 Eisen und Stahl

E 15

2.5.2 Umwandlungen bei Legierungen im festen Zustand Neben der Polymorphie einiger Metalle und den Ausscheidungen aus Mischkristallen gibt es weitere Umwandlungen im festen Zustand. Sie sind nicht auf die Stähle beschränkt, für die sie eine besondere Bedeutung haben und dort eingehend behandelt werden. Name

Vorgänge

Beispiele, Anwendungen

Eutektoide Umwandlung (ähnlich eutektischer Erstarrung) Homogene Mischkristalle reagieren am eutektoiden Punkt und zerfallen dann durch Gitterumwandlung zu einem Kristallgemisch.

Austenitzerfall zu Perlit (3.2.2.2) oder Bainit (3.3.4.2)

Martensitische Umwandlungen Sehr schnelle diffusionslose Gitterumwandlung, gelöste Atome verbleiben in Zwangslösung  Gitterverzerrung  Eigenschaftsänderungen.

Härten von Stahl (3.3.4.1), tritt auch auf beim Abkühlen von: Co wandelt von kfz in hdP, Ti wandelt von krz zu hdP, Memoryeffekt bei NiTi-Legierungen

2.5.3 Gefügefehler Seigerung ist die Entmischung einer Schmelze beim Kristallisieren, sie tritt als Schwerkraftseigerung z.B. bei Bleilegierungen auf; wenn leichte Kristalle in einer bleireicheren Schmelze nach oben steigen. Kristallseigerung  2.4.4. Blockseigerung tritt bei Legierungen auf, die einen großen Abstand zwischen Liqidus- und Solidus-Linie besitzen. Der zuletzt erstarrte Teil, meist der Kern des Blockes oder Werkstückes ist angereichert mit den tiefschmelzenden Bestandteilen. Diese Seigerungszone bleibt auch im Kern von Walzprofilen erhalten Mikrolunker sind mikroskopisch kleine Hohlräume zwischen den Verästelungen der Kristalle, hervorgerufen durch die Erstarrungsschrumpfung der letzten Schmelzanteile. Sie werden durch Warmumformung verschweißt, dadurch Verdichtung der Walz- und

Schmiedegefüge mit besseren mechanischen Eigenschaften gegenüber Gusswerkstoffen. Lunker sind größere Hohlräume. Sie treten in den Bereichen auf, die zuletzt erstarren, ohne dass flüssiges Metall nachfließen kann. Gasblasen entstehen durch Ausscheiden von in der Schmelze gelösten Gasen (H2, O2, N2), die von den Kristallen nicht eingebaut werden können (geringere Löslichkeit) Abhilfe durch Vakuumbehandlung. Gasgehalte werden auf die Hälfte reduziert, es erhöhen sich Festigkeit und Dehnung. ■ Beispiele: Einfluss von Größe und Verteilung einer Phase auf die Eigenschaften (Tabelle)

Zusatz / Gefügeteil Stahl Stickstoff > 0,1 % Schwefel, Phosphor > 0,2 % Kupfer Spuren von Bi Stahl Zementitform lamellar / körnig Guss- Graphitform eisen lamellar  kugelig

Werkstoff

Auswirkung Stahl ist alterungsanfällig (Versprödung) Phasen sind bei Schmiedetemperatur flüssig, Brüche Risse bei der Warmumformung Spanbarkeit und Kaltformbarkeit bei körniger Form günstiger Zähigkeit steigt von GJL  GJS, Dämpfungsvermögen fällt

3 Eisen und Stahl 3.1 Stahlerzeugung 3.1.1 Rohstahl Stahl ist schmiedbares Eisen, das deswegen unlegiert einen C-Gehalt von 1,7 % nicht übersteigen darf und geringste Gehalte an P, S, O, und N besitzen muss. Für die Erzeugung haben sich zwei Erzeugungslinien durchgesetzt:

Bild 1. Verfahrenslinien zur Rohstahlerzeugung

3 Eisen und Stahl

E 15

2.5.2 Umwandlungen bei Legierungen im festen Zustand Neben der Polymorphie einiger Metalle und den Ausscheidungen aus Mischkristallen gibt es weitere Umwandlungen im festen Zustand. Sie sind nicht auf die Stähle beschränkt, für die sie eine besondere Bedeutung haben und dort eingehend behandelt werden. Name

Vorgänge

Beispiele, Anwendungen

Eutektoide Umwandlung (ähnlich eutektischer Erstarrung) Homogene Mischkristalle reagieren am eutektoiden Punkt und zerfallen dann durch Gitterumwandlung zu einem Kristallgemisch.

Austenitzerfall zu Perlit (3.2.2.2) oder Bainit (3.3.4.2)

Martensitische Umwandlungen Sehr schnelle diffusionslose Gitterumwandlung, gelöste Atome verbleiben in Zwangslösung  Gitterverzerrung  Eigenschaftsänderungen.

Härten von Stahl (3.3.4.1), tritt auch auf beim Abkühlen von: Co wandelt von kfz in hdP, Ti wandelt von krz zu hdP, Memoryeffekt bei NiTi-Legierungen

2.5.3 Gefügefehler Seigerung ist die Entmischung einer Schmelze beim Kristallisieren, sie tritt als Schwerkraftseigerung z.B. bei Bleilegierungen auf; wenn leichte Kristalle in einer bleireicheren Schmelze nach oben steigen. Kristallseigerung  2.4.4. Blockseigerung tritt bei Legierungen auf, die einen großen Abstand zwischen Liqidus- und Solidus-Linie besitzen. Der zuletzt erstarrte Teil, meist der Kern des Blockes oder Werkstückes ist angereichert mit den tiefschmelzenden Bestandteilen. Diese Seigerungszone bleibt auch im Kern von Walzprofilen erhalten Mikrolunker sind mikroskopisch kleine Hohlräume zwischen den Verästelungen der Kristalle, hervorgerufen durch die Erstarrungsschrumpfung der letzten Schmelzanteile. Sie werden durch Warmumformung verschweißt, dadurch Verdichtung der Walz- und

Schmiedegefüge mit besseren mechanischen Eigenschaften gegenüber Gusswerkstoffen. Lunker sind größere Hohlräume. Sie treten in den Bereichen auf, die zuletzt erstarren, ohne dass flüssiges Metall nachfließen kann. Gasblasen entstehen durch Ausscheiden von in der Schmelze gelösten Gasen (H2, O2, N2), die von den Kristallen nicht eingebaut werden können (geringere Löslichkeit) Abhilfe durch Vakuumbehandlung. Gasgehalte werden auf die Hälfte reduziert, es erhöhen sich Festigkeit und Dehnung. ■ Beispiele: Einfluss von Größe und Verteilung einer Phase auf die Eigenschaften (Tabelle)

Zusatz / Gefügeteil Stahl Stickstoff > 0,1 % Schwefel, Phosphor > 0,2 % Kupfer Spuren von Bi Stahl Zementitform lamellar / körnig Guss- Graphitform eisen lamellar  kugelig

Werkstoff

Auswirkung Stahl ist alterungsanfällig (Versprödung) Phasen sind bei Schmiedetemperatur flüssig, Brüche Risse bei der Warmumformung Spanbarkeit und Kaltformbarkeit bei körniger Form günstiger Zähigkeit steigt von GJL  GJS, Dämpfungsvermögen fällt

3 Eisen und Stahl 3.1 Stahlerzeugung 3.1.1 Rohstahl Stahl ist schmiedbares Eisen, das deswegen unlegiert einen C-Gehalt von 1,7 % nicht übersteigen darf und geringste Gehalte an P, S, O, und N besitzen muss. Für die Erzeugung haben sich zwei Erzeugungslinien durchgesetzt:

Bild 1. Verfahrenslinien zur Rohstahlerzeugung

E 16 Ausgangsmaterial Eisenerze aufbereitet Sinter, Peletts

E Werkstofftechnik Reduktionsverfahren Hochofenprozess Leistung: 10 000 t/d

Zwischenprodukt Roheisen mit z.B. 3...4 % C 1,5 % P 0,05 % S

sortierter Schrott EisenEisenerze Direktschwamm aufbereitet, reduktion ca. 1 % C Pellets Leistung: 1000 t/d

Stahlverfahren Anteil % Oxygen- 90% Blasverfahren

chen Verfahren der Sekundärmetallurgie auf die geforderten Analysenwerte gebracht.

Schrott zur Kühlung

Rohstahlmerkmale Sauerstoff-, Schwefel- Stickstoff- und Phosphorgehalte zu hoch

Elektro10% stahlverfahren

Das Endprodukt ist ein Rohstahl. Er enthält Nichtmetalle, die bei der Erzeugung durch Erze, Koks und Zuschlagstoffe in Roheisen und Stahl gelangen, unterschiedliche Wirkung auf die Eigenschaften haben und im Gehalt begrenzt werden müssen. Stahlnormen enthalten Grenzwerte dieser Stoffe. Tabelle 1. Wirkung schädlicher Elemente auf Gefüge und Eigenschaften des Stahles Element

Wirkungen Als FeS enthalten, das mit Fe und FeO ein EuSchwefel tektikum mit tiefem Schmelzpunkt ( 935 °C) S bildet. Durch Seigerung entstehen Anhäufungen, die bei Schmiedetemperatur flüssig sind  Rotund Heißbrüche., S-Gehalte deshalb < 0,05 % in Baustählen; < 0,035 in Edelstählen Im Ferrit löslich, starke Mischkristallverfestigung Phosphor (bei Feinblechen angewandt), kaltspröde, GehalP te < 0,08 % in Baustählen; = 0,035 in Edelstählen. Ergibt mit Fe und C das Dreifacheutektikum Steadit mit Tm = 950 °C (Formfüllungsvermögen, Kunstguss) Durch schnelle Abkühlung im Ferrit zwangsgeStickstoff löst. Nach Kaltumformung erfolgt langsame feindisperse Ausscheidung mit Abnahme der N Zähigkeit = Alterung des Stahles, Sprödbrüche. Desoxidation mit Al bindet N zu AlN , im Ferrit unlöslich, keine Ausscheidungen Als FeO in der Schmelze gelöst, im Gefüge als Sauerstoff kleinste Schlackeneinschlüsse verteilt. Führt mit FeS zum Rotbruch. Desoxidation senkt O-Gehalte O auf 0,001...0,01 %. Niedrigste O-Gehalte für Werkzeug- und legierte Stähle erforderlich Gelangt durch Rost (Fe-Hydroxide) bei der Wasserstoff Erschmelzung in die Schmelze. WasserstoffverH sprödung durch H-Atome in den EMK. H ist auch bei RT diffusionsfähig (kleinster Atom-), als H2-Molekül nicht. Rekombiniert bei Erstarrung und Abkühlung in Störstellen zu H2-Gas mit hohem Druck  Ursache der Flockenrisse (innere Spaltbrüche bei größeren Schmiedeteilen). H-Atome diffundieren auch bei Oberflächenbehandlung mit Säuren ein (Beizsprödigkeit), die durch Glühen bei 200 °C verschwindet

3.1.2 Sekundärmetallurgie Der erzeugte Rohstahl wird schlackenfrei abgestochen und in besonderen Anlagen und nach zahlrei-

Tabelle 2. Verfahren der Sekundärmetallurgie (Pfannenbehandlung) Metallurgie

Verfahrenstechnik

Desoxidation, Einblasen von reaktionsfähiEntschwefe- gen Metallen (Ca, Mg, Al, Ti lung, Entund Legierungen) mit Tauchphosphorung, lanze, auch kombiniert mit Entstickung Bodenspülen Nichtmetallische Spülverfahren Einblasen durch poröse Bomit Ar, O, N densteine fördert das AufsteiTeilchen in gen von Oxiden, Sulfiden Schwebe u.s.w. und homogenisiert Temperatur und Zuammensetzung der Schmelze Gasgehalte zu Entgasung im Vakuum-Heber-Verfahren (DH), Vakuum-Umlaufverfahhoch (H2, N2), Vakuum C-Gehalte zu (Degassing), ren (RH), Pfannenstand EntFrischen mit gasung (VD), Vakuum-Frischoch O2 hen in Pfannen (VOD), ArgonFrisch-Verf. (AOD) Legieren und Zugabe bei fast allen Verfahren LE-Gehalte Homogenisie- möglich, meist kombiniert mit ungenau Einblasen von Spülgasen zur ren Badbewegung Chemisch Al-Verbrennung mit O2 unter Temperatur heizen Schutzgas (VOH) zu niedrig Elektrisch Pfannenofen (LF) mit Schutzheizen gas, Pfannenofen (LF) mit Vakuum (VAD) Schlüssel: A: Argon; O: Oxidation; D: Degassing, Decarburization; LF: Ladle furnace; C: Konverter statt Pfanne; H: Heizen

Es werden Reduktionsmittel zugesetzt, um durch Redoxreaktionen Schadstoffe zu reduzieren. Durch die Abwesenheit der Schlacke werden Nebenreaktionen und Verlust von teuren Zusatz- und Legierungselementen vermieden. Es können Gasgehalte gesenkt und die Temperatur für das nachfolgende Stranggießen genau eingestellt werden.

Bild 2. Verfahren der Sekundärmetallurgie

1 Abstichentgasung 2 Umlaufentgasung 3 Feststoffeinblasen 4 VAD, Vakuum-Entkohlung mit Lichtbogenheizung 5 VOD-Verfahren für C-arme Cr-Ni-Stähle (18/8), 6 ESU-Elektro-Schlacke-Umschmelzen 7 Vakuum-Lichtbogen-Umschmelzen

Vakuumbehandlung: Alle Schmelzen lösen Gase, die im Kristallgitter nicht löslich sind. Sie reagieren z.T. zu nichtmetallischen Partikeln (Oxide, Nitride) oder werden molekular (H2). Dann bilden sie winzige, linsenförmige Hohlräume (Flockenrisse), welche

3 Eisen und Stahl die Zähigkeit stark senken. Unterdruck über der Schmelze vermindert Gasgehalte und vermeidet Flockenrisse. Nebenwirkungen sind: Abschirmung von Sauer- und Stickstoff, keine Neuoxidation, Abdampfen von Spurenmetallen wie Pb, Sn, Weiterlaufen der Kohlenstoffdesoxidation nach FeO + C  Fe + CO. Nach dem Gesetz des kleinsten Zwanges kommt die Reaktion (Reaktionsprodukte haben größeres Volumen) bei konstantem Druck zum Stillstand. Reste von FeO und C verbleiben im Stahl. Durch Vakuumbehandlung weitere Absenkung von FeO (Oxidschlacke, Reinheitsgrad) und C (0,003 %) möglich. Umschmelzverfahren benutzen die erkalteten Stahlblöcke als Abschmelzelektrode. Das jeweilige kleine Schmelzbad kann nicht mit der (gekühlten) Tiegelwand reagieren. Umschmelzblöcke bauen sich von unten nach oben auf, haben geringe Gasgehalte, höchsten Reinheitsgrad, keine Seigerungen und Gleichmäßigkeit von Längs- und Quereigenschaften. ESU-Verfahren: Elektro-Schlacke-Umschmelzverfahren mit Schutz durch eine synthetische Schlacke. Blockgrößen bis zu 160 t (Block mit 2,3 m ) . Auch für das Umschmelzen unter Stickstoffdruck für austenitische Stähle angewandt (Streckgrenzenerhöhung). Vakuum-Lichtbogen-Schmelzen mit Unterdrücken bis 0,1 Pa und Kühlung einer Cu-Kokille durch wärmeleitende Na-K-Legierung. Anlagen bis zu 60 t. Auch zum Umschmelzen von Ti oder Zr und deren Legierungen angewandt (Ti-Schwamm aus dem Kroll-Verfahren oder Keislaufschrott). Anwendung für Bauteile mit höchsten Sicherheitsanforderungen oder Oberflächengüte: Warmfeste Schmiedeteile der Kraftwerkstechnik, Vergütungsstähle im Flugzeugbau, Wälzlager, Kaltwalzen.

E 17

3.2 Das Eisen-Kohlenstoff-Diagramm 3.2.1 Abkühlkurve des Reineisens Eisen ist polymorph, Bild 3 zeigt die Abkühlkurve mit den Kristallarten. Die Vorgänge über 1 300 °C sind für Fertigung und Wärmebehandlung weniger wichtig. Kristallart Kristallname Gittertyp Gitterkonstante Magnetismus Wärmeausdehnung

-Eisen

 -Eisen

Ferrit kub.-raumzentr. 0,286 nm magnetisch kleiner

Austenit kub.flächenzentr. 0,356 nm unmagnetisch größer

Bild 3. Abkühlkurve des Reineisens und Kristallarten Die Volumenänderung bei kristallinen Umwandlungen wird bei der Dilatometermessung zur thermischen Analyse benutzt, um bei hochschmelzenden Legierungen Halte- und Knickpunkte zu bestimmen. Dabei wird ein Stab über seine Länge gleichmäßig erwärmt und die Längenänderung über der Temperatur aufgezeichnet (Dilatation = Dehnung, Bild 4).

3.1.3 Vergießen des Stahles Strangguss: Wirtschaftliches Verfahren, spart Energie und Walzarbeit durch endmaßnahes Gießen. Stahl gelangt durch ein Tauchrohr (Abschirmung der Luft) in ein Verteilergefäß (evtl. unter Schutzgas) und ein zweites Tauchrohr in die schwingende, wassergekühlte Kokille ohne Boden, sodass der Strang, äußerlich erstarrt, nach unten durch Stütz- und Treibrollen in Kreisbogenform abgezogen werden kann. Es folgt das Trennen in der Waagerechten. Gießgeschwindigkeiten bis zu 6 m/min. Anteil ca. 90 % der Stahlproduktion, vergossen zu Brammen, Vier- und Achtkantknüppel, Hohlsträngen auf Ein- und Mehrstranganlagen. Standguss: Aufwändiges Verfahren, für große Schmiedeteile in Kokillen von oben als Oberguss, oder von unten über ein Trichterrohr und Gießläufe in mehrere Kokillen gleichzeitig (Gespannguss). Anteil < 10 % der Stahlerzeugung.

Bild 4. Dilatometerkurve von Reineisen Umwandlungsfreie Stoffe haben eine stetige Kurve. Bei Gitteränderungen oder Ausscheidungen wird der stetige Verlauf unterbrochen (Stufe und/oder Knick). Durch Einbau von LE finden die Umwandlungen bei anderen Temperaturen statt. Wichtigstes LE ist C, billig und in kleinen Gehalten von starkem Einfluss. Bedeutung des Eisens als Werkstoff:  Knetwerkstoffe (Stahlsorten),  Gusswerkstoffe (Gusseisensorten),  Werkzeuge (Härtbarkeit),  Magnetwerkstoff für elektrische Maschinen.

E 18

E Werkstofftechnik

3.2.2 Das Eisen-Kohlenstoff-Diagramm, Gefüge und Umwandlungen Eine C-haltige Schmelze kann in zwei Formen erstarren, es gibt deshalb 2 Legierungssyteme: System

Einflussgrößen

Werkstoffe

Gefüge

Fe-C, stabil, Si-Gehalte Gusseisen mit Ferrit Lamellen- oder nicht veränder+ + bar langsamere Kugelgraphit, Graphit schwarzer Abkühlung Temperguss Mn-Gehalte Stahlsorten, Ferrit + Zementit Fe-Fe3C, (Fe3C) Hartguss, + metastabil, dch. Glühen schnellere Temperroh- Fe3C zerfällt zu 3 guss Fe + C veränderbar Abkühlung Höherfestes Ferrit, Graphit, Mischformen Gusseisen Zementit

Bild 5 zeigt das Zustandsdiagramm des metastabilen Systems Fe-Fe3C.

Die Linien des stabilen Systems unterscheiden sich geringfügig. Die folgenden Beschreibungen beziehen sich auf das wichtigere System Fe-Fe3C. 3.2.2.1 Phasen und Gefügebestandteile: Im Laufe der Abkühlung und bei RT treten folgende Kristallund Gefügearten auf. Name Ferrit Zementit

Austenit Perlit

Ledeburit

Struktur

Beschreibung

-Mischkristalle, krz. Eisencarbid Fe3C

Homogenes Gefüge, stark verformbar, löst max. 0,02 %C. Primärzementit kristallisiert in der Schmelze. Sekundärzemenit entsteht durch Ausscheidung aus dem Austenit an den Korngrenzen homogenes Gefüge, sehr stark verformbar, löst max. 2,06 %C Ferrit- und Zementit in Lamellenform, entsteht durch Austenitzerfall bei 723 °C, enthält dann 0,8 % C, Eutektoid des Systems Eutektikum aus -Mischkristallen + Zementit. Unterhalb 723 °C durch Zerfall der Mischkristalle aus Ferrit + Zementit.

 -Mischkristalle, kfz. Kristallgemisch

Kristallgemisch

3.2.2.2 Umwandlungsvorgänge (Hierzu EKD Bild 6)

Bild 5. Eisen-Kohlenstoff-Diagramm, vollständiges, metastabiles System Linie, Haltepkt.

Vorgang

Beim Abkühlen durchläuft der darstellende Punkt einer Legierung die Linien. Dabei finden folgende Umwandlungen statt ( tabellarische Übersicht):

Betroffene Werkstoffsorten, Vorgänge

GS Ar3 911°...723 °C

Ferritausscheidung -Fe wird zu -Fe

Unterperlitische (-eutektoide) Stähle < 0,8 %C. Umwandlungspunkt wird durch steigende C-Gehalte erniedrigt. C-diffundiert in restlichen Austenit, der sich bei Erreichen der Linie PS auf 0,8 %C angereichert hat und dann zerfällt

ES Arm 1147°...723 °C

Zementitausscheidung,

Überperlitische (-eutektoide) Stähle 0,8...2% C. Im Austenit sinkt die C-Löslichkeit mit der Temperatur von max. 2,08 % auf 0,8 %C an der Linie SK. Diffusion von C an die Korngrenzen: Sekundärzementit

Punkt S 723 °C

Eutektoider Punkt Austenitzerfall (Perlitbildung)

Alle Legierungen. Noch vorhandener Austenit mit 0,8 %C wird zu Ferrit, C-Atome diffundieren aus und bilden Lamellen von Fe3C im Ferrit. Lamellendicke wird bei schnellerer Abkühlung durch Diffusionsbehinderung immer feinstreifiger. Das Gefüge ist das Eutektoid der Legierung, mit der metallographischen Bezeichnung Perlit

Unter 723 °C

Unterperlitsche (-eutektoide) Stähle haben ein ferritisch-perlitisches Gefüge Überperlitische (-eutektoide) Stähle haben ein perlitisches Gefüge mit Korngrenzenzementit

Punkt C 1147 °C

Eutektischer Punkt bei 4,3 % C

Unterhalb der Linie SK

2,06...43,3 %C: Untereutektisches Eisen aus Perlit in ledeburitischer Matrix, 4,3 ...6,67 %C: Übereutektisches Eisen aus Primär-Zementit in ledeburitischer Matrix

Gleichzeitige Kristallisation von -MK und Fe3C zum Eutektikum, mit der metallographischen Bezeichnung Ledeburit

3 Eisen und Stahl

E 19

3.2.2.3 Wirkung der LE auf Umwandlungspunkte, Gefüge und Eigenschaften der Stähle Die drei Elemente C, Mn, und Si sind von der Erschmelzung her in jedem Stahl vorhanden. Legierte Stähle können Mn und Si in größeren Prozentsätzen enthalten. Element

Austenitbildner sind Legierungselemente, die im Austenit gelöst das -Gebiet erweitern. Bei höheren Gehalten entstehen Stähle, die bei RT austenitisch sind (Tabelle 3). Tabelle 3. Elemente, die das Austenitgebiet erweitern Legierungelemente sind: Ni, Mn, Co, N

Wirkungen

Erweitert Austenitbereich. Mit dem C-Gehalt Kohlenstoff steigt der Perlitanteil, damit Härte und ZugfesC tigkeit. Es sinken Bruchdehnung und Zähigkeit, Schmelztemperatur, Eignung zum Schweißen und Schmieden. Härtbarkeit ab etwa 0,3 % Engt Austenitbereich ein. Desoxidationsmittel, Silicium als Intermetallische Phase FeSi enthalten, bei Si höheren Gehalten wird Schmiede- und Schweißeignung gesenkt, Letztere durch Oxidation zu SiO2, hochschmelzend. In hitzebeständigen Stählen enthalten, Federstähle bis 2 %, weichmagnetische Stähle 0,4...4 %, säurefester Guss bis zu 18 %. Stabilsiert Graphit, Bestandteil von Gusseisensorten Erweitert Austenitbereich, Desoxidationsmittel Mangan bindet S zu MnS nach FeS + Mn  MnS + Mn Fe, MnS führt nicht zum Bruch beim Schmieden wie FeS, wichtig für die Automatenstähle mit S-Gehalten. Stabilisiert Zementit durch Bildung von Mischcarbiden (Fe, Mn)3C.

Erweiterung des Austenitgebietes Wirkung der LE, Eigenschaften austenitischer Stähle A3-Punkt wird von 911°C zu tieferen Temperaturen verschoben. Bei 400..200 °C erfolgt dabei Umwandlung zu Martensit. Bei höheren Gehalten sind sie bei RT noch austenitisch. Rein austenische Stähle werden durch Abschrecken aus dem -Gebiet erzeugt. Niedrige Streckgrenze 1) bei höherer Festigkeit mit hoher Bruchdehnung, kaltzäh bis – 200 °C, unmagnetisch, nicht härt- und normalisierbar. Grobkorn kann nur durch Umformung + Rekristallisation rückgängig gemacht werden. Starke Kaltverfestigung durch teilweise Martensitbildung. Homogene, ausscheidungsfreie Gefüge sind korrosionsbeständig.

Viele Elemente verschieben die Punkte E und S im EKD nach links, sodass übereutektoide Stähle mit CGehalten < 0,8 % möglich sind (Verfestigungseffekt).

1)

Bild 6. Eisen-Kohlenstoff-Diagramm, vereinfachtes metastabiles System

Anhebung der Streckgrenze durch Mischkristallverfestigung mit N. Herstellung durch Elektro-Schlacke-Umschmelzen unter N2Druck (DESU-Verfahren).

Austenitische Werkstoffe (meist mit weiteren LE): C-arme korrosionsbeständige CrNi-Stähle, hochwarmfeste und hitzebeständige Stähle), Mn-Hartstahl, austenitische Stahlguss- und Gusseisensorten, Ferritbildner sind Elemente, die das Austenitgebiet abschnüren. Es entstehen Stähle, die ferritisch erstarren und umwandlungsfrei auf RT abkühlen (Tabelle 4).. Ferritische Stahlsorten: C-arme korrosionsbeständige Stähle, warmfeste, hitzebeständige Stähle und Stahlguss. Ferritisch-austenitische Stähle sind Cr-Stähle mit niedrigeren Anteilen an Austenitbildnern (Ni, Mn), sodass Gefüge mit etwa gleichen Anteilen Ferrit/Austenit entstehen, Die Streckgrenze liegt höher als bei austenitischen Stählen bei gleicher Korrosionsbeständigkeit.

E 20

E Werkstofftechnik

Tabelle 4. Elemente, die das Austenitgebiet abschnüren

Härte und Verschleißwiderstand sowie die Warmfestigkeit. Hierzu gehören Cr, Mo, Ti, Nb, V, W.

Legierungelemente sind: Cr, Si, Al

Tabelle 5. Härte und Schmelztemperaturen von Hartstoffen (Mittelwerte) Stoff Härte HV-1 Tm in ºC Stoff Härte HV-1 Tm in ºC

Bornitrid BN

Borcarbid B4C3 Ti-Carbid TiC

6000 —

3700 2450

3500 3140

Ti-Nitrid TiN

W-Carbid WC

V-Carbid VC

2000 2950

2400 2870

2800 2830

3.2.2.4 Einfluss mehrerer Elemente

Abschnürung des Austenitgebietes Wirkung der LE, Eigenschaften ferritischer Stähle A3-Punkt wird von 911°C zu höheren Temperaturen verschoben und das -Gebiet abgeschnürt. Bei Cr > 13 % sind die Stähle umwandlungsfrei. Das bei der Kristallisation entstehende -Eisen (krz) bleibt bis RT erhalten Weniger stark kaltumformbar, Steilabfall der Zähigkeit bei der Übergangstemperatur TÜ, magnetisch, nicht härt- und normalisierbar. Homogene ferritische Gefüge sind korrosionsbeständig. Bei geringen LE-Gehalten entstehen härtbare, ferritischperlitische Stähle (martensitische, nicht rostende).

Mehrere LE im Stahl können ihre Wirkungen verstärken oder aufheben oder neue Wirkungen hervorrufen. Cr ist in fast allen Stahlsorten enthalten, weil es je nach Partner unterschiedliche Auswirkungen auf das Gefüge hat. Bild 7 zeigt die Wirkung steigender Cr- und C-Gehalte auf das Gefüge. Mit >13 % Cr wird Stahl korrosionsbeständig. Höhere Cr-Gehalte sind nötig, um Deckschichten aus Cr2O3 zu bilden, ohne dass dem MK Chrom entzogen wird. In CrNi-Stählen verstärkt Cr die Erweiterung des Austenitgebiete durch Ni, sodass sich bereits mit 18 Cr und 8 % Ni nach Abschrecken austenitische Stähle ergeben.

Austenitlösliche Elemente senken die kritische Abkühlgeschwindigkeit, dadurch ist tiefere Einhärtung und Durchhärtung möglich. Wichtig für Einsatz-, Vergütungs- und Werkzeugstähle. Dazu gehören Al, Co, Cr, Mn, Ni, Si. Carbidbildner sind Elemente mit starker Affinität zum C. Sie bilden allein oder in Mischung mit anderen harte, beständige Carbide (Tabelle 5). Sie erhöhen

Bild 7. Die Gefüge Cr-legierter Stähle in Abhängigkeit vom C-Gehalt

[

Tabelle 6. Chromlegierte Stahlsorten (zu Bild 7) Feld 1

2 3 4 5

LE und Gefüge C niedrig, Cr hoch, carbidfreies homogenes, ferritisches Gefüge. C niedrig, Cr sehr hoch, umwandlungfrei, festhaftende Oxidschicht, durch Al und Si verstärkt Cr hoch, C-Gehalt bis 1 % , unter- bis überperlitisches Gefüge C und Cr hoch, ledeburitisch, 15 % Cr-Carbide (höher schmelzend) 0,2< C > 0,5, Cr niedrig, unter- bis überperlitisches Gfüge C hoch, Cr niedrig, überperlitisches Gefüge mit Cr-Carbiden

Eigenschaften Beispiele  Korrosionsbeständiger Stahl mit mittlerer Kaltformbarkeit, kaltspröde. Hitzebeständiger, (zunderfester) Stahl, bis zu 1200 °C beständig Korrosionsbeständig (geschliffen), härtbar für Messer, Wälzlager Schmiedbar, verzugsarm härtbar, Schnittwerkzeuge

Sorte X8Cr17 1.4016 X10CrAl24 1.4762 X46Cr13 1,4034 X210Cr12 1.2080 Einsatz- und Vergütungstähle, Cr bewirkt Durchvergütung 41Cr4 1.7035 Noch zäh, verschleißfest, für Wälzlager, Kaltarbeitsstahl 100Cr6 mittlerer Leistung 1.3505

3 Eisen und Stahl

E 21

3.3 Die Wärmebehandlung der Stähle, Stoffeigenschaftändern (Begriffe DIN EN 10052) 3.3.1 Allgemeines Die Fertigungshauptgruppe Stoffeigenschaft ändern umfasst alle Verfahren, welche das Gefüge – und damit die Eigenschaften – gezielt verändern. Sie gilt für alle metallischen Werkstoffe. Schwerpunkt ist die Wärmebehandlung der Stähle. Tabelle 7. Übersicht, 6 Stoffeigenschaft ändern (Dezimalklassifikation nach DIN 8580/03) Gruppen

Untergruppen

6.1 Verfestigen durch Umformen

6.1.1 Verfestigungsstrahlen 6.1.2 Walzen 6.1.3 Ziehen 6.1.4 Schmieden

6.2 Wärmebehandeln

6.2.1 Glühen 6.2.2 Härten 6.2.3 Isotherm. Umwandeln 6.2.4 Anlassen, Auslagern 6.2.5 Vergüten 6.2.6 Tiefkühlen 6.2.7 Themomech. Behandeln 6.2.8 Aushärten

6.3 Thermomechanisches Behandeln

6.3.1 Austenitformhärten 6.3.2 Heißisostatisches Nachverdichten

Die Behandlung besteht in einem Erwärmen, Halten und Abkühlen nach bestimmten Temperatur-ZeitFolgen im festen Zustand, eine Formänderung ist mit Ausnahmen nicht beabsichtigt. Ziel ist die Anpassung der Eigenschaften des Stahles an das Anforderungsprofil oder an bestimmte Fertigungsvorgänge. Temperatur und Geschwindigkeit der Erwärmung und Abkühlung richten sich nach der gewünschten Eigenschaftsänderung, der Stahlanalyse und Wanddicke des Teiles. Die Temperaturen sind mit der Stahlecke des EKD verknüpft (Bild 8).

3.3.2 Austenitisierung Viele Verfahren gehen vom austenitischen Zustand des Stahles aus, um ihn in andere Gefüge umzuwandeln. Zum Austenitisieren müssen Ferrit umgewandelt und die Carbide gelöst und verteilt werden, damit ein homogenes, feinkörniges Gefüge vorliegt. ZTA-Schaubilder (Bild 9) für isotherme Erwärmung (hier bei 800 °C waagerecht nach rechts) lassen erkennen, dass der Haltepunkt Ac1 zu einem Bereich erweitert ist, weil die Carbide C gelöst werden müssen. Nach 103 s wird Haltepunkt Ac3 erreicht, das Gefüge ist austenitisch inhomogen und muss noch weiter bis zum homogenen Zustand Ahom gehalten werden. Dabei stellt sich eine Korngröße von ca. 5 m ein. Bei höheren Temperaturen wird dieser Zustand schneller erreicht, wegen der Gefahr der Kornvergröberung müssen die Zeiten sehr genau eingehalten werden.

Ac3 Aham

Ac1 A+F+C

Bild 9. ZTA-Schaubild für isotherme Erwärmung C45E (nach Hougardy) Überperlitische (-eutektoide) Stähle werden nur über Ac1 erwärmt, um Grobkornbildung zu vermeiden. Günstig ist ein homogener Austenit mit feinverteilten Carbiden. Für schnelle Erwärmung z.B. durch Induktion sind die ZTA-Schaubilder für kontinuierliche Erwärmung zweckmäßig. 3.3.3 Glühverfahren (Bild 8)

Bild 8. Stahlecke des EKD 1 Diffusionsglühen, 2 Normalglühen, 3 Weichglühen, 4 Spannungsarmglühen

Normalglühen soll dem Stahl ein gleichmäßig feinkörniges Gefüge mit lamellarem Perlit geben, das vom vorausgegangenen Fertigungsgang unabhängig ist. In diesem Zustand sind mechanische Festigkeitsund Verformungskennwerte reproduzierbar. Nach dem Austenitisieren wird schnell unter Ar1 (ca. 650° C) abgekühlt, dann evtl. langsamer, um Spannungen zu vermeiden. Es verschwinden Zeilengefüge, Grobkorn bei Schmiedeteilen und Erstarrungsgefüge von Stahlguss und Schweißnähten (Widmannstättensches Gefüge). BF-Glühen (auf bestimmte Festigkeit): Austenitisieren, Abschrecken und Anlassen auf 500 ... 550° C. BG-Glühen (auf bestimmtes Gefüge): Austenitisieren und geregelte Abkühlen für Einsatzstähle zur Erzeugung eines ferritischen Gefüges mit Perlitinseln.

E 22 Weichglühen soll die Eignung für spanlose und spangebende Verfahren durch Absenken der Härte verbessern. Der lamellare Zementit zerfällt in eine körnige Form (Oberflächenspannung), wenn im Bereich um Ac1 gehalten wird, bei überperlitischen Stählen mehrfaches Heben und Senken der Temperatur um Ac1 (Pendelglühen). Werkzeugstähle erhalten ein für die Härtung günstiges Ausgangsgefüge, das auch durch isothermes Umwandeln in der Perlitstufe erzeugt werden kann. GKZ-Glühen (auf kugelige Zementitausbildung) Gefüge mit niedriger Festigkeit bei höherer Bruchdehnung für Kaltformstähle. Spannungsarmglühen im Bereich von 550 ... 650° C über 2 ... 4 h mit langsamer Abkühlung senkt innere Spannungen durch plastische Verformung auf den Wert der entsprechenden Warmfließgrenze. Bei unverformten Teilen findet keine Gefügeänderung statt, bei kaltverformten eine Rekristallisation. Vergütete Teile dürfen nur ca. 50 K unter der Vergütungstemperatur geglüht werden. Anwendung bei Schweißkonstruktionen, Guss- und Schmiedeteilen vor der spanenden Bearbeitung, Teile mit engen Toleranzen nach der Grobbearbeitung. Diffusionsglühen zur Homogenisierung des Gefüges bei hohen Temperaturen unterhalb der Solidus-Linie (1 100°C/20 h für Stahl). Minderung von Seigerungen, Verteilung grober Carbide und Sulfide (Automatenstähle). Führt zu Grobkorn, das meist bei nachfolgender Warmumformung verschwindet, andernfalls ist Normalglühen erforderlich. Rekristallisationsglühen soll kaltverformte und kaltverfestigte Teile wieder neu verformungsfähig machen (Zwischenglühen). Glühen oberhalb der Rekristallisationstemperatur TR, dabei Aufheben der Kaltverfestigung durch Rekristallisation des Gefüges. Rekristallisationsschaubilder (Bild 10) zeigen den Zusammenhang zwischen Verformungsgrad, Temperatur und Korngröße des neuen Gefüges. Bei kleinen Verformungsgraden ist Grobkorn ist möglich.

Bild 10. Rekristallisationsschaubild Anwendung zwischen den Stufen der Kaltumformung beim, Fließpressen, Kaltwalzen, Tiefziehen.

E Werkstofftechnik Lösungsglühen im Bereich der Mischkristalle, um sekundäre Ausscheidungen wieder aufzulösen und ein homogenes Ausgangsgefüge herzustellen. Durch Abschrecken wird dieses Gefüge bei RT erhalten (z.B. bei austenitischen und ferritischen Stählen). Im Austenitisieren der legierten Werkzeugstähle, HSStähle und warmfesten Stähle zum Härten ist ein L.Gl. enthalten. Bei aushärtbaren Legierungen ist L.-Gl. der erste Arbeitsgang zur Herstellung übersättigter MK, als Voraussetzung für das Aushärten. 3.3.4 Härten und Vergüten Beide Verfahren und ihre Varianten nutzen die Umwandlungen des Austenits beim Abkühlen mit steigender Abkühlgeschwindigkeit aus. Sie unterscheiden sich in der gewünschten Eigenschaftskombination und der Anwendung. Verfahren Härten1) Vergüten2)

Anlassen Eigenschaftsbei ºC kombination Austeni- 180... Hohe Härte, angetisieren 300 passte Zähigkeit + Abschre- 450... Hohe Zähigkeit 650 und Streckgrenze cken

Anwendg. C-% Werkzeuge 0,5...1,5 Bauteile 0,3...0,8

Ausnahmen: 1) nicht Warmarbeitsstähle; 2) Isothermes Vergüten  3.4.2

3.3.4.1 Innere Vorgänge beim Abschrecken unlegierter Stähle Stahl wird aus der jeweiligen Austenitisierungstemperatur (Härtetemperatur) abgeschreckt. Durch die Hysterese werden die Umwandlungspunkte Ar3 und Ar1 nach tieferen Temperaturen verschoben. Die Diffusion der C-Atome wird mit steigender Abkühlgeschwindigkeit zunehmend behindert, es entstehen vom EKD abweichende Gefüge. Haltepunkt Ar3 sinkt stärker als Ar1. Dadurch wird die voreutektoide Ferritauscheidung behindert  der Ferritanteil sinkt. Bei Ar1 zerfällt der Austenit zu Ferritund Zementitlamellen, die wegen der behinderten Diffusion zunehmend feinstreifiger werden. Bei noch schnellerer Abkühlung wird die Ferritausscheidung völlig unterdrückt, Austenit zerfällt zu sehr feinstreifigen Perlit, auch bei Stählen unter 0,8 % C. (Herstellung dieses Vergütungsgefüges mit hoher Zugfestigkeit und Kaltformbarkeit bei z.B. für Federstahldraht durch Abschrecken in Warmbädern von 550° C). Das vollständige Härtungsgefüge des Stahles, der Martensit, entsteht erst bei Überschreiten der kritischen Abkühlgeschwindigkeit vcrit, erst dann wird die Perlitbildung völlig verhindert. Die Umwandlung beginnt bei einem neuen Umwandlungspunkt, dem Martensit-Startpunkt Ms und endet mit fallender Temperatur bei Mf, dem Endpunkt der Martensitbildung (Bild 11).

3 Eisen und Stahl

E 23

Martensit-Bildung

Bild 11. Start und Ende der Martensitbildung Martensitbildung ist die diffusionslose Umwandlung des Austenits in ein tetragonal verzerrtes krz. Gitter in dem die C-Atome zwangsgelöst sind. Die Volumenvergrößerung erzeugt Spannungen, die zu Zwillingsbildungen führen. Martensit. Gefügename des Härtungsgefüges, im Schliffbild je nach C-Gehalt als massiver, platten-, oder lattenförmiger Martensit zu erkennen Der CGehalt bestimmt die Härte bis zum Maximum bei 0,8 % C mit 64 HRC. Abgeschreckte Stähle über 0,6 % C sind bei RT noch nicht völlig in Martensit umgewandelt (Bild 11), sie enthalten Restaustenit. Die Gesamthärte des Gefüges ist kleiner. Deshalb liegen die Härtetemperaturen für Stähle mit über 0,8 % C nur dicht über A1, damit der Austenit nicht noch mehr C-Atome lösen kann und nach Bild 11 unvollständig umwandelt. Restaustenit kann durch Tieftemperaturbehandlung noch umgewandelt werden, oder er zerfällt beim Anlassen.

Bild 12. ZTU-Schaubild für kontinuierliche Abkühlung, Stahl C45E Bainit ist ein Gefüge aus übersättigtem Ferrit und Carbidausscheidungen, deren Form und Größe von der Entstehungstemperatur abhängen. Im unteren Bereich sind sie feinnadelig (azikulär) und feinverteilt ausgebildet und besitzen hohe Streckgrenze und Zähigkeit. Anwendung auch beim bainitischen Kugelgraphitguss. ZTU-Schaubilder für isotherme Umwandlung (Bild 13): Die Kurven geben Beginn und Ende der Austenitumwandlung an, wenn der Stahl aus der Härtetemperatur in ein Warmbad getaucht wird und bei konstanter Temperatur (isotherm) umwandelt. Die Abkühlkurve ist eine Waagerechte bei der gewählten Temperatur.

3.3.4.2 ZTU-Schaubilder (Zeit-Temperatur-Umwandlungs-) Die inneren Vorgänge lassen sich mit den ZTUSchaubildern (Bilder 12 + 13) beschreiben. Es können die Umwandlungszeiten bei verschiedenen Temperaturen abgelesen werden. Sie gelten für jeweils einen Stahl bestimmter Zusammensetzung und existieren für alle handelsüblichen Vergütungs- und Werkzeugstähle. ZTU-Schaubilder für kontinuierliche Abkühlung (Bild 12) Kontinuierlich abgekühlt wird in immer schroffer wirkenden Mitteln: Luft, Salzschmelzen, Öle, Wasser. Die Abkühlkurven verlaufen gekrümmt von links oben nach rechts unten. Die Kurven schneiden die stark gezeichneten Umwandlungslinien, zwischen denen die Umwandlungen verlaufen. Am Ende der Kurven ist die erreichbare Härte HV angegeben. Bei langsamer Abkühlung (Bild 12 rechte Abkühlkurve) werden die Linien der Ferrit- und Perlitbildung geschnitten und nach ca. 100 s RT erreicht. Härte des Gefüges 274 HV. Bei noch schnellerer Abkühlung verfehlt die Abkühlkurve den Bereich der Perlitbildung, sie durchläuft die Bainitstufe und schneidet die Martensitlinie. Es bildet sich ein Gefüge aus Bainit und Martensit mit 540 HV.

Bild 13. ZTU-Schaubilder für isotherme Umwandlung, a) Stahl mit 0,45 % C; b) 0,45 % C + 3,5 % Cr

E 24

E Werkstofftechnik

LE in Lösung behindern die Perlitbildung, die dadurch später einsetzt und länger dauert (Bild 13b). Die Umwandlungslinien sind gegenüber dem unlegierten Stahl (Bild a) nach rechts zu längeren Zeiten verschoben. Die Abkühlung kann langsamer erfolgen, weil bei legierten Stählen die kritische Abkühlgeschwindigkeit kleiner ist (öl- und lufthärtende Stähle). Zur vollständigen Martensitbildung muss der Bereich schneller Perlitbildung, die Perlitstufe (600 ... 500°C Bildteil a), übersprungen werden. Unterhalb kann langsamer abgekühlt werden. Das Abschreckmittel ist danach abzustimmen. 3.3.4.3 Härteverzug und verzugsarmes Abschrecken. Die ungleiche Temperaturverteilung zwischen Rand und Kern aufgrund der geringen Wärmeleitfähigkeit, besonders der legierten Stähle, verursacht Spannungen durch behindertes Schrumpfen oder Dehnen. Sie werden überlagert von denen, die der sich bildende Martensit mit größerem Volumen erzeugt. Dabei kommt es zu Maß - und Formänderungen, die zu Ausschuss oder Nacharbeit durch Schleifen führen. Es können Schalenrisse unter der Oberfläche auftreten. Wirtschaftliche Fertigung verlangt ein verzugsarmes Härten (Tabelle 8). Dabei wird die Umwandlungsträgheit (Bild 13b) des unterkühlten Austenits dicht über dem Martensitpunkt benutzt, um durch kurzzeitiges Halten die Temperaturunterschiede im Teil zu mildern, dann wird weiter unter Ms abgekühlt, wobei die Martensitbildung erst dann erfolgt. Dadurch treten Wärmespannungen und Umwandlungsspannungen nicht gleichzeitig auf. Tabelle 8. Verzugsarmes Härten Gebrochenes Abschrecken

Gestuftes Abschrecken, Warmbadhärten

Abschrecken unter Formzwang

Abschrecken zuerst in Wasser (Perlitbildung wird verhindnert), dann in Öl zur langsamen Martensitbildung, handwerkliches Verfahren ; Erfahrungswerte Stufenweises Erwärmen und Abschrecken in Salzschmelzen (evtl. heiße Öle) mit festen Temperaturen. Im Abschreckbad (dicht oberhalb Ms) wird bis zum Temperaturausgleich gehalten, danach beliebig bis auf RT, dabei erfolgt Martensitbildung Abschrecken in Matrizen unter Presskraft. Abschrecköl kann über Durchbrüche das Teil überfluten. Anwendung für sperrige Teile wie Kreissägeblätter, Tellerräder.

Anwendungen: Isothermes Vergüten (Bainitisieren): Abschrecken auf Temperaturen dicht über der Martensitstufe in Warmbädern und Halten bis zur vollständigen Umwandlung in Bainit. Patentieren für Federdrähte: Der austenitisierte Stahl läuft durch ein Bad von 550° C und wandelt isotherm innerhalb 8 s (Bild 13a) in ein feinperlitisches Gefüge

um, das zum Drahtziehen sowohl Zugfestigkeit wie hohe Verformbarkeit besitzt. 3.3.4.4 Durchhärtung und Durchvergütung. Die Härtbarkeit eines Stahles wird durch zwei Größen beurteilt ( Stirnabschreckversuch 8.6): Aufhärtbarkeit (Aufhärtung)

Einhärtbarkeit (Einhärtung)

ist die größte am Rand erreichbare Härte, sie wird allein vom C-Gehalt bestimmt, beginnt mit ca. 0,3 % und erreicht bei 0,8 %C die Härte 65 HRC . ist die Eindringtiefe der martensitischen Umwandlung, gemessen als Einhärtungstiefe Et: Abstand in mm vom Rand senkrecht bis zu einer Stelle mit vereinbarter Grenzhärte GH (z.B. 50 % der Randhärte).

Durchhärtung ist die gleichmäßige, martensitische Umwandlung bis in den Kern des Teiles. Sie wird für hochbeanspruchte Werkzeuge benötigt. Steigende Querschnitte erfordern Stähle mit steigenden Gehalten an LE wie Cr, Mn, Ni und Mo. Durchvergütung ist die bainitische Umwandlung bis in den Kern. Für größere Querschnitte werden ebenfalls Gehalte an Cr, Mn, Ni, und Mo benötigt (Vergütungsstähle 3.4.3.8). 3.3.4.5 Anlassen ist ein Erwärmen nach vorausgegangenem Härten auf Temperaturen unter A1 und Abkühlung je nach Stahlsorte. Es soll unmittelbar dem Härten folgen. Gehärtete Teile sind glashart und spröde, Restaustenit kann noch umwandeln, es kommt zu Maßänderungen. Im Allgemeinen nimmt durch Anlassen die Härte ab, die Zähigkeit wird dem Verwendungszweck angepasst (Bild 14). Ausnahmen davon sind Stähle für höhere Temperaturen und HSStähle, die bei hohen Anlasstemperaturen Ausscheidungen mit einer Härtesteigerung erfahren.

KV Anlasstemperatur Bild 14. Anlass-Schaubild, Stahl C45E

3 Eisen und Stahl Bei Anlasstemperaturen unter 150° C geht die tetragonale Verzerrung des Martensitgitters in ein verzerrtes kubisches -Gitter zurück, angelassener Martensit. Zugleich scheiden sich kleinste Nadeln von Carbiden (Fe2C) aus. Bei über 200° C zerfällt der Restaustenit. Im Bereich von 100 ... 300° C werden Messzeuge, Einsatzstähle und Kaltarbeitsstähle so angelassen, dass hohe Härte mit angepasster Zähigkeit kombiniert wird. Die Härte (Rm) nimmt zunächst wenig ab, Bruchdehnung A und Zähigkeit KV steigen wenig (Bild 14). Über 300° C fallen Härte und Zugfestigkeit zunehmend ab, während Bruchdehnung und Zähigkeit ansteigen. Zwischen 400 ... 650° C liegt der Bereich für die Anlassvergütung der Vergütungs- und Warmarbeitstähle. Anlassversprödung (durch Erhöhung der Übergangstemperatur TÜ) tritt bei Cr-, Mn- und CrNi-Vergütungsstählen auf, wenn sie bei Anlasstemperaturen um 475° C ( 125 K) behandelt werden oder aus höheren langsam abkühlen. Abhilfe durch schnelles Abkühlen aus der Anlasstemperatur oder Einsatz Molegierter Stahlsorten, z.B. für größere Querschnitte. Warmarbeitsstähle müssen ca. 80 ... 100° C über ihrer Gebrauchstemperatur angelassen werden, damit durch die Werkstückwärme kein weiteres Anlassen mit Gefügeveränderung erfolgt. Mit zunehmender Anlasstemperatur und -zeit können die C-Atome schneller diffundieren und zunehmend größere Zementitkristalle bilden. Damit nähern sich Aussehen des Gefüges und Eigenschaften wieder dem weichgeglühten Zustand. Vergütung erzeugt ein bainitisches Gefüge mit Bestwerten von Streckgrenze und Zähigkeit (Bild 14). Das Streckgrenzenverhältnis wird vergrößert. Die Werkstofffestigkeit kann stärker ausgenutzt werden. Mit der Zähigkeit steigen auch die Dauerfestigkeiten. Für Serienteile ist das isotherme Vergüten zweckmäßig. Anwendung des Vergütens für Triebwerks- und Getriebeteile im Fahrzeugbau, wenn kleine Abmessungen verlangt werden, z. B. Kurbelwellen, Pleuelstangen, Zahnräder, Keilwellen, Kupplungs- und Gelenkwellenteile, Achsschenkel.

E 25 Werkstoffe im Kern

Aufgaben übernehmen die Festigkeitsbeanspruchung mit ausreichender Zähigkeit gegen Sprödbruch, evtl. auch bei höheren Temperaturen

in der unterstützen den Kernwerkstoff durch Randschicht1) Steigerung der Dauerfestigkeit und schützen vor Verschleiß (Härte) und Korrosion (nichtmetallische Phasen in der Randschicht) 1)

Durch die Verfahrensgruppe Beschichten aufgebrachte Schichten siehe unter Schichtwerkstoffe (7.5).

Anwendung der Verfahren für Bauteile wie Zahnräder, Kolbenbolzen, Führungsbahnen, Nocken und Kurbelwellen, Kupplungsklauen, Keilwellen und Naben für Schaltgetriebe, Kurvenscheiben, Leit- und Laufrollen sowie Kettenglieder für Kettenfahrzeuge, Seilrollen, Formen für Kunststoffspritzguss. 3.3.5.1 Thermische Verfahren (Randschichthärten) Durch schnelle Erwärmung mit Wärmquellen hoher spezifischer Leistung kommt es wegen der geringen Wärmeleitfähigkeit zum Wärmestau. Eine dünne Randschicht wird austenitisiert (aufgeschmolzen), ehe der Kern diesen Zustand erreicht. Durch sofortiges Abschrecken werden martensitische (ledeburitische) Randschichten variabler Dicke erzeugt. Energie- und Zeit sparende Verfahren für größere Teile, die nicht vollständig erwärmt werden müssen. Je höher die spezifische Leistung, umso kleiner die mögliche Schichtdicke: Wärmequelle

Spez. Leistung 

Schmelzen ( Salze, Metalle) Flammen Induktions- / Wirbelströme Laser- / Elektronenstrahlen

kW/cm2 0,1 1 10 100

3.3.5 Härten von Oberflächenschichten

Werkstoffe: Härtbare Stähle mit > 0,35 %C, Stahlguss und perlitisches Gusseisen mit feinlamellarem oder kugeligem Graphit. Gehärtet wird im vergüteten Zustand. Die angelassene Zwischenschicht kann Wärmespannungen aufnehmen. Die Schichthärte steigt mit dem C-Gehalt, die Randhärtetiefe Rht sinkt mit steigender spezifischer Leistung.

Bauteilbelastungen greifen durch Kräfte auf die Oberfläche an und wirken sich in der Randschicht am stärksten aus: Dort liegen die maximalen Zug- oder Druckspannungen. Der Materialverlust durch Verschleiß und Korrosion erhöht die Spannungen und verursacht ein Aufrauen der Oberfläche mit einem Absinken der Dauerfestigkeit. Die Lebensdauer von Bauteilen wird erhöht, wenn der Werkstoff der Oberfläche der Beanspruchung angepasst wird.

Flammhärten mit der Form der Teile angepassten Brennern auf Härtemaschinen durchgeführt, welche die Relativbewegungen zwischen Werkstück und Brenner führen. Mantelhärten für kleinere Oberflächen, die vom Brenner überdeckt oder mit Pendelbewegungen überstrichen werden. Zylinder rotieren vor dem Brenner, bis ein Mantel austenitisiert ist, der sofort abgeschreckt wird.

E 26 Linienhärten für große Flächen, z.B. lange Wellen, Führungsbahnen, breiten Zahnrädern. Brenner und Abschreckbrause werden dicht hintereinander über die Fläche geführt. Die Dicke der austenitisierten Randschicht wird über den Vorschub geregelt. Meist wird auf > 180° C angelassen. Induktionshärten mit einer der Form des Teiles angepassten, wassergekühlten Induktionsschleife als Primärspule. Werkstück ist Eisenkern, Randschicht die kurzgeschlossene Sekundärwicklung. Die Induktionsströme werden mit steigender Frequenz in die Randschicht verdrängt (Skineffekt). Die Einhärtetiefe ist neben der Stahlanalyse noch abhängig von Frequenz und Leistung. Abgeschreckt wird mit Wasser, bei sehr dünnen Schichten und Dicken (Sägeblätter) durch Selbstabschreckung über die Wärmeableitung in den kalten Kern. (0,01 ... 6 mm). Laserstrahlhärten. Die hohe spezifische Energie ergibt kürzeste Wärmzeiten zur Austenitisierung, sodass der noch kalte Kernwerkstoff durch Wärmeleitung ein Selbstabschrecken bewirkt und kein Härteverzug auftritt. Der kleine Brennfleck wird durch Pendelbewegungen des Strahlers und Vorschub oder Drehung des Werkstückes auf Spurbreiten bis zu 40 mm erweitert. Die Randhärtetiefe ist < 2 mm, der Vorschub 200 ... 700 mm/min bei Leistungen bis zu 6 kW. Bei CO2-Lasern ist eine Antireflexschicht (Coating) erforderlich, um die Strahlung zu absorbieren, bei Nd: YAG-Lasern nicht. Anwendung für Führungsbahnen, Verschleißkanten an Werkzeugen für die Blechbearbeitung. Bei größeren Flächen werden Muster gelegt, z.B. in Zylinderlaufbuchsen von Großdieselmotoren. Weitere Oberflächenbehandlungen mit Laser sind Laserumschmelzen, -dispergieren, -legieren, -beschichten. Laserdispergieren schmilzt Hartstoffpartikel in die Randschicht ein. Härte bis zu 64 HRC. Elektronenstrahlhärten, mit ähnlicher Energiedichte wie Laserstrahl, muss in Vakuumkammern durchgeführt werden, Werkstückgröße dadurch begrenzt. Umschmelzhärten für Gusseisen. Mit Lichtbogen, Laser- oder Elektronenstrahlen wird eine Randschicht aufgeschmolzen. Sie erstarrt schnell durch die Wärmeableitung zum kalten Kern zu einem feinkörnigem, ledeburitischem Gefüge mit einer Härte von 55 ... 60 HRC etwa 1 mm dick. Durch Austenitisierung der angrenzenden darunter liegenden Zone entsteht auch eine dünne Martensitschicht. Zum Vermindern der Umwandlungsspannungen wird bei ca. 400° C umschmelzgehärtet (Elowig-Verfahren). Anwendung z.B. für Nockenwellen und Nachfolger von Verbrennungsmotoren. 3.3.5.2 Thermochemische Verfahren Einsatzhärten Ältestes Verfahren für C-arme, damit zähe Stähle. Durch Aufkohlen der Randschicht auf ca. 0,7 % C wird sie härtbar. Beim Abschrecken entsteht dort Martensit, während der Kern eine Steigerung der

E Werkstofftechnik Streckgrenze erfährt. Die Bauteile sind im Kern zäh, an der Oberfläche sehr hart und verschleißfest. Die Druckeigenspannungen erhöhen die Dauerfestigkeit. Bei Zahnrädern wird höchste Zahnfußfestigkeit erreicht. Nach Anlassen auf unter 200° C ist Nacharbeit durch Schleifen erforderlich.

Bild 15. Aufkohlungs- und Einsatzhärtetiefe Aufkohlen als Pulver-, Salzbad- oder Gasaufkohlung, C-Spender sind Koksgranulat, Cyanate (KCNO), jeweils mit Zusätzen und Propan in einem neutralen Trägergas. Gasaufkohlung ist am besten steuerbar in Temperatur, (830 ... 950° C), C-Angebot, Kohlungstiefe At und Gradient des C-Gehaltes zum Kern hin. Höhere Temperaturen verkürzen die Kohlungszeit, mit der Gefahr von Kornwachstum. Kohlungstiefe At (Bild 15), senkrechter Abstand von der Oberfläche zu einer Stelle mit 0,3 % C. Einsatzhärtetiefe CHD (Eht) ist der Abstand senkrecht vom Rand bis zu einer Stelle mit der Grenzhärte GH (550 HV1 nach DIN EN ISO 2639), Wirtschaftlich sind Tiefen bis zu 1,5 mm. Das Härten der Einsatzstähle ist ein Kompromiss, da Rand und Kern verschiedene Härtetemperaturen besitzen. Direkthärten ist Abschrecken aus der Salzbad- oder Gasaufkohlung, evtl. mit kurzem Absenken der Temperatur auf die Randhärtetemperatur von ca. 830 °C. Anwendbar für Stähle, die beim Aufkohlen nicht zu Kornwachstum neigen (z.B. 20NiCrMo6-3). Einfachhärten nach Abkühlen auf niedrige Temperaturen führt durch --Umwandlung zu feinerem Korn. Beim folgenden Härten aus der Kernhärtetemperatur (850 ... 900° C)) wird der Kern optimal, der Rand überhitzt gehärtet. Das Härten aus der Randhärtemperatur (770 ... 830° C) führt zu optimalen Randeigenschaften, der Kern war nicht vollständig austenititsiert und hat geringere Zähigkeit (und Dauerfestigkeit) als optimal möglich. Einfachhärten nach einer isothermischen Umwandlung bei 580 ... 650° C erzeugt ein feinkörniges Perlitgefüge, günstig für das nachfolgende Austenitisieren des Randes. Carbonitrieren Variante des Einsatzhärtens in Salzbädern oder Gasen bei Temperaturen von 850 ... 900° C, d.h. im Bereich unterhalb der Linie GS im EKD. Gleichzeitge Aufnahme von C und N. N senkt die Austenitisierungs-

3 Eisen und Stahl temperatur und kritische Abkühlgeschwindigkeit, Abschrecken in milderen Mitteln und kleinerer Verzug (Kern wandelt nicht um). Anlassen wie vor. Die martensitische Randschicht enthält Carbonitride, die hohen Widerstand gegen Adhäsionsverschleiß ergeben, korrosionshemmend sind und nicht durch Nacharbeit entfernt werden dürfen. Anwendung für Fertigteile aus Einsatz- und Vergütungsstählen mit CHD von 0,05 ... 0,2 mm. Die Steifigkeit dünnwandiger Teile wird erhöht. Nitrierhärten Zahlreiche umwandlungsfreie Verfahren mit Aufnahme von N (und evtl. C) aus dem Spendermittel und Bildung von Nitriden (Carbonitriden) des Fe und der LE Cr, Al, Mo während der Behandlung (350 ... 600° C). Kein Abschrecken erforderlich, für spannungsfreie, vergütete Fertigteile geeignet. Nitrierhärtetiefe Nht von 0,2 ... 0,6 mm mit einer Härte von 750 ... 950 HV1, je nach Verfahren und Stahlsorte. Mit Abdeckpasten können weichbleibende Bereiche isoliert werden. Nitrierhärtetiefe Nht: Abstand senkrecht zur Oberfläche gemessen bis zur Grenzhärte GH. GH liegt 50 HV0,5 über der Kernhärte KH (Bild 16). Nitrierschichten sind zweiphasig aufgebaut. Eine außen liegende Verbindungsschicht ( 15 m) aus Fe-Nitriden und /oder Sondernitriden der LE mit einem äußeren, weicheren Porensaum. Die darunter liegende dickere Diffusionsschicht steht durch gelöste Nitride und N-Atome unter Druckspannungen und erhöht die Dauerfestigkeit.

E 27 Tabelle 9. Nitrierschichten Eigenschaften Hohe Härte 700 ... 1 500 HV0,5 (unlegiert < legiert) Anlassbeständigkeit Geringe Adhäsionsneigung (Fressen) Hoher Korrosionswiderstand, durch Nachoxidation (-sulfidierung) erhöht

Ursache, Auswirkungen naturharte, intermetallische Phasen, -Nitrid Fe2-3 N, hex. härter, korrosionsbeständiger, aber spröder als die ´-Phase Fe4N, kfz. Bei langsamer Abkühlung entstehen keine metastabilen Gefüge Nicht metallisch, typische Nitrideigenschaft, kleine Reibzahl . Geringe Reaktionsneigung der Nhaltigen Phasen, es sind chemische Verbindungen mit gesättigter Elektronenschale

Salzbadnitrocarburieren in Salzschmelzen (Cyanatgemische) bei 580° C. Bei der niedrigeren Temperatur gegenüber dem Aufkohlen wird weniger C und mehr N aufgenommen. Nht bis 0,4 mm mit Härten 550 ... 800 HV1. Die Variante Tenifer-Verfahren arbeitet mit Belüftung des Salzbades und kürzeren Behandlungszeiten. Nach Abschrecken entsteht eine Diffusionsschicht mit übersättigtem Ferrit unter Druckeigenspannungen. Dadurch wird zusätzlich die Dauerfestigkeit stark erhöht. Tenifer QPQ arbeitet mit oxidierenden Salzschmelzen von 350° C zum Abschrecken (Quench), dann polieren der Rauigkeiten und nochmaliges Tauchen im Oxidationsbad bei 350° C. Es ensteht eine schwarzgraue, korrosionsbeständige Oxidschicht Anwendung für alle un- und niedriglegierten Stähle und Bauteile mit schwellender oder wechselnder Biegebeanspruchung bei nicht zu hohen Flächenpressungen, Hydraulikzylinder, HS-Bohrer, bewegte Teile in Druckgießformen Tabelle 10. Weitere thermochemische Verfahren

Bild 16. Härteverlauf beim Gasnitrieren und Nitrierhärtetiefe (DIN 50190-3) Gasnitrieren bei 500° C in NH3 mit Glühzeiten 20 ... 100 h (Bild 16) mit geringstem Verzug für z.B. Schnecken für Kunststoffpressen, Großzahnräder, Spindeln. Differenzialgehäuse. Teile bis zu 10 m Länge in Schachtöfen hängend nitriert. Spröde Verbindungschicht. Gasnitrocarburieren bei 570° C in NH3 + CO2 mit kürzeren Glühzeiten (2 ... 5 h) Es diffundieren zusätzlich C-Atome ein. Carbonitride sind weniger hart und spröde.

Verfahren/ Temp. Schichtstruktur, Element ºC -dicke Aluminieren 800... Al2O3-Schicht Al 1100 Eisenboridschicht Borieren 850... (FeB) u. Fe2B mit 950 Grundwerkstoff B verzahnt 20...300 m, 1600...2000 HV0,2 0,2 mm mit 30 % Chromieren 850... Cr-Gehalt, korroCr 1050 sionsbeständig Silicieren Si

900... 1100

Sherardisieren Zn

400/ 3..5 h

Vanadieren 850... V 1000

Eigenschaften, Anwendungen Hochtemperaturkorrosionsschutz Abrasivverschleißfest, Formen für Glas-, Keramikverrarbeitung, Extruder für Polymere mit Glasfasern

größere Schrauben, Bolzen aus unlegiertem Stahl Hochtemperatur100...250 m, korrosionsschutz für spröde C-arme Stähle, FeZn-Schicht ca. in Trommeln für 150 g/m2 , Korro- Kleinteile, thermisch beständig bis 600 °C sionsschutz 25 m/ 3 h 20 m mit 2400 Werkzeugstähle, HV0,1 als Abra- geringe Reibung sionsschutz Kolbenringe

E 28

E Werkstofftechnik

Plasmanitrieren (Ionitrieren) bei 350 ... 570° C) im Vakuum und elektrischen Feldern mit kürzeren Glühzeiten und steuerbarer Athmosphäre. Damit können Aufbau, Dicke und Gleichmäßigkeit der Schichten eingestellt werden. Durch niedrigere Temperaturen besonders für Werkzeugstähle geeignet. 3.3.5.3 Thermomechanische Verfahren Austenitformhärten. Bei legierten Stählen ist oberhalb der Martensitstufe der unterkühlte Austenit länger beständig. Eine sofortige Warmumformung unter TR erzeugt Gitterstörungen, die durch Keimwirkung bei der nachfolgenden Umwandlung ein sehr feinkörniges Martensitgefüge ergeben, das höhere Festigkeit bei gleicher Bruchdehnung besitzt wie normal vergütete. Anwendung auf Teile mit einfacher Geometrie. Thermomechanische Behandlung. Kombination von Umformen (meist Walzen) und dem Mechanismus der --Umwandlung. Die Endumformung erfolgt möglichst ohne Rekristallisation des Austenits im Bereich von Ar3 Es wird ein sehr feinkörniges Gefüge erzeugt, das durch Wärmebehandlung allein nicht erzeugt werden kann und nicht wiederholbar ist (kein Richten mit Flammen, Schweißen mit geringem Wärmeeintrag). Voraussetzung sind Anteile von Mo, Nb, Ti, B. Sie wirken jeweils mehrfach durch die Mechanismen der Festigkeitssteigerung, dadurch sind nur geringe Anteile erforderlich (mikrolegierte Stähle). Anwendung bei schweißgeeigneten Feinkornbaustählen, die Streckgrenzen bis 700 MPa erreichen, und C-armen Stählen für Feinbleche. 3.3.5.4 Mechanische Verfahren Druckeigenspannungen erhöhen die Dauerfestigkeit. Sie können auch mechanisch durch Kaltumformen erzeugt werden. Gleichzeitig wird meist die Rautiefe verkleinert, dadurch Anriss und Rissausbreitung behindert. Die Teile ermüden erst bei höheren Betriebsspannungen. Verfestigungswalzen. Rotationssymmetrische Bauteile werden meist vergütet, badnitiriert oder einsatzgehärtet behandelt. Rollen-, Rundungsradius und Walzkraft müssen so kombiniert werden, dass Verformungsgrad und Tiefenwirkung keine Schädigung hervorrufen. Anwendung: Festwalzen von Übergangsradien, Rillen, Nuten an z.B. Kurbelwellen steigert die Dauerfestigkeit (GJS-700 um 80 ... 120 %). Die Kerbwirkung kann kompensiert werden (Bild 17). Verfestigungsstrahlen (Kugelstrahlen). Wenn Festwalzen nicht möglich ist, wird durch örtliche Bestrahlung mit kleinen Stahlkugeln der gleiche Effekt erzielt. Eine geringe Randentkohlung oder Oxidation bei Schmiedteilen senkt ebenfalls die Dauerfestigkeit und kann kompensiert werden. Anwendung: Schmiedeteile mit Zunderschichten (Fahrwerksteile, Pleuelstangen), Schrauben- und Blattfedern.

Bild 17. Steigerung der Dauerfestigkeit durch Verfestigungswalzen 3.3.6 Aushärten 3.3.6.1 Verfahren. Wärmebehandlung zur Härte- und Festigkeitsteigerung, das für viele Legierungssysteme möglich ist. Voraussetzung ist ein Mischkristallgebiet mit sinkender Löslichkeit bei fallender Temperatur (Zustandsdiagramm in 2.4.6). Das Verfahren besteht aus zwei Arbeitsgängen: Arbeitsgang Lösungsbehandeln

Auslagern kalt / warm

Verfahren, innere Vorgänge, Auswirkungen Erwärmen und Halten auf Temperaturen, die im Werkstoff ein homogenes MK-Gefüge erzeugen (Homogenisieren), Abschrecken (Abkühlen), um sekundäre Ausscheidungen zu verhindern und ein übersättigtes, damit metastabiles, Mischkristallgefüge herzustellen. Knetwerkstoffe sind noch verformbar Nach einer Anlaufzeit bilden sich durch Diffusion Ausscheidungen in den Mischkristallen. Am Ende der Auslagerung sind sie gleichmäßig über den Querschnitt verteilt, Kaltauslagern bei RT, Warmauslagern bei höheren Temperaturen

Der Festigkeitsanstieg beruht auf feindispersen Ausscheidungen, die eine kritische Teilchengröße und Abstände nicht überschreiten dürfen, damit sie von den Versetzungen geschnitten und nicht von ihnen umgangen werden (Teilchenverfestigung). Bei zu hohen Auslagerungstemperaturen kommt es zur Vergröberung mit Festigkeitsabfall (Überhärtung). Alterung besteht in einem Abfall der Zähigkeit durch unerwünschte Ausscheidungen in Legierungen bei RT. Bei Stahl wird sie durch N-Aufnahme während der Erschmelzung, bewirkt. Nach schneller Abkühlung tritt Übersättigung ein. Langzeitige Vorgänge, durch Kaltumformung und Anlassen beschleunigt (Reckalterung). Stähle mit hohem Reinheitsgrad zeigen diese Erscheinung nicht. 3.3.6.2 Aushärtbare Legierungen Der Aushärtungseffekt wurde erstmalig bei AlLegierungen (2.2.4 und 4.2.4) entdeckt und auf zahlreiche Werkstoffe übertragen (Tabelle 11).

3 Eisen und Stahl

E 29 Martensitaushärtende Stähle vom Typ X3NiCoMo 18-7-5 sind sehr C-arme, hoch Ni-legierte Stähle, schweißgeeignet und zäh. Nach Lösungsbehandeln (820° C/Luft) wird warmausgelagert (480° C/3h).

Tabelle 11. Anwendung der Aushärtung Beispiel

Anwendung

Eigenschaftsverbesserung

Al-Legierungen Al CuMg

Bleche, Profile Al Cu4MgTi Drehgestellteile Al NiCo Magnete

Erhöhte Streckgrenze bei kleinem Zähigkeitsabfall, Streckgrenze bei hoher Zähigkeit (Dauerfestigkeit), Verbesserung der Magneteigenschaften

Cu-Legierungen CuCr

Elektroden zum Punktschweißen, Federn

CuBe1,7

Härte und Anlassbeständigkeit bei hoher elektrischer Leitfähigkeit. Härte, Elastizitätsgrenze, elektrische Leitfähigkeit

Stähle für Feinbleche C-arme Bake-harde- Anhebung der Streckgrenze um Stähle, ning-Karos- ca. 40 MPa beim Einbrennmikrolegiert serieblech lackieren (= Warmauslagern) HS-Stähle HS6-5-2-5

Schneidwerkstoff

warmauslagernd, Anlassbeständigkeit, Warmhärte, Warmverschleißwiderstand

Sonderbaustähle DIN EN Großrohre, Streckgrenze, Steilabfall der 10025-3/4/5 Fahrzeugbau Kerbzähigkeit Tü

Zustand

HRC

Lösungsbehandelt Warmausgelagert

30 50

Rm

Rp0,2

A

Z

1000 18800

800 1750

12 10

70 50

Hohe Werkstoffkosten: Komplizierte Druckgießformen für höchste Stückzahlen, Sicherheitsbauteile für Luftfahrzeuge

3.4 Stahlsorten 3.4.1 Einteilung und Kennzeichnung der Stähle Einteilung der Stähle. Die Grobeinteilung erfolgt nach den Anforderungen an die Gebrauchseigenschaften und dem Gehalt an Legierungselementen LE (Tabellen 12 und 13). Tabelle 12. Grenzgehalte an LE LE .....% Al Co Nb Si W

0,30 0,30 0,06 0,60 0,30

LE......% Bi Cu Ni Te Zr

LE.......%

0,10 0,40 0,30 0,10 0,05

Bor 0,0008 Mn 1,65 Pb 0,40 Ti 0,05

LE.......% Cr Mo Se V

0,30 0,08 0,10 0,10

Tabelle 13. Einteilung der Stähle DIN EN 10020 Qualitätsstähle

Edelstähle

enthalten weniger an Legierungselementen (LE ) als die Grenzgehalte (Tabelle 12)

Stähle unlegiert

P und S-Gehalte  0,035 %, Sorten, die nicht den Anforderungen der Edelstähle entsprechen

Nichtrostende Stähle

P und S-Gehalte 0.025 , Gleichmäßiges Ansprechen auf Wärmebehandlungen mit festgelegten Werten für Einhärtungstiefe oder Oberflächenhärte. Stähle mit Werten der Kerbschlagarbeit KV 27 J ( bei – 50° C, ISO-Probe). Schweißbgeeignete Feinkornstähle für Stahl-, Druckbehälter- und Rohrleitungsbau, Flacherzeugnisse kalt- oder warmgewalzt für die Kaltumformung, mit B, Nb, V oder Zr legierte, ferritisch-perlitische Stähle mit 0,25 %C, mikrolegiert für thermomechanische Behandlung, Spannbetonstähle, Walzdraht für hochfeste Federn

Nach chemischer Analyse definiert: Ni 2,5 % und Ni ! 2,5 % und nach Haupteigenschaften gegliedert in: korrosionsbeständige, hitzebeständige und warmfeste Stähle Alle Stähle, die nicht zu den Nichtrostenden gehören, mindestens 1 LE erreicht die Werte nach Tabelle 12

——

Andere legierte I.A. nicht zum Vergüten oder OberflächenGrenzwerte Qualitäts- / Edelstahl Stähles härten vorgesehen. Stähle mit Werten der Cr, Cu 0,5 Mn 1,8 Kerbschlagarbeit KV 27 J ( bei – 50° C, Mo 0,1 Nb 0,08 ISO-Probe). Dualphasenstähle, ElektroNi O,5 Ti, V, Zr 0,12 bleche

Hochfeste Baustähle, Werkzeugstähle Wälzlagerstähle, Schnellarbeitstähle, Stähle mit besonderen physilalischen Eigenschaften

Die Kennzeichnung der Stähle nach DIN EN 100 27 Teil 1: Bezeichnungssystem für Stähle, Teil 2: Nummernsystem für Stähle. Die Bezeichnung eines Stahles mit Kurznamen wird durch Symbole auf 4 Positionen gebildet: Pos. 1

Pos. 2

Pos. 3

Pos. 4

Werkstoffsorte

Haupteigenschaft

Besondere Werkstoffeigenschaften, Herstellungsart

Erzeugnisart

Hauptsymbole

Zusatzsymbole

E 30

E Werkstofftechnik

Tabelle 14. Bezeichnungssystem für Stähle Hauptsymbole Pos. 1 VerwendungsBereich ( G für Stahlguss wenn erforderlich) G S Stahlbau z. B. Stähle nach DIN EN 10025-2 -3 -4 -5 -6

G P Druckbehälter z. B. Stähle nach DIN EN 10028 T1 ... T6, Stahlguss DIN EN 10213 G E Maschinenbau z.B. Stähle nach DIN EN 10025-2

Zusatzsymbole für den Werkstoff Stahl

2 Mechanische 3a Zusätzliche mechanische Eigenschaften Eigenschaften, Herstellungsart

für die kleinste Erzeugnisdicke

wie oben

wie oben

R Stähle für Schienen oder in Form von Schienen

nnn = Mindesthärte HBW

H Flacherzeugnisse, aus höherfesten Stählen zum Kaltumformen, z. B. Bleche + Bänder nach DIN EN 10130 / 10149

Re,min

D Flacherzeugnisse, (aus weichen Stählen) zum Kaltumformen, z. B. Bleche + Bänder DIN EN 10130, 10139 u. 10142 G C Unlegierte Stähle, C = Kohlenstoff Mn-Gehalt 1 %, z. B. Stähle DIN EN 10083-1

1

Rm,min

3b Eignung für bestimmte Ein- 4 satzbereiche /Verfahren

C: Mit bes. Kaltformbarkeit D: Für Schmelztauchüberzüge Av (J) 27 40 60 E: Für Emaillierung Symbol J K L F: Zum Schmieden Schlagtemperatur in ° C H: Hohlprofile RT 0 -20 -30 -40 -50 M: Thermomech. gewalzt R 0 2 3 4 5 N: Normalisierend gewalzt P: Für Spundbohlen A: Ausscheidungshärtend Q: Vergütet M: Thermomechanisch, S: Für Schiffbau N: Normalisierend gewalzt. T: Für Rohre Q: vergütet W: Wetterfest G: andere Merkmale H: Hochtemperatur (evtl. + 1 oder 2 Ziffern) L: Tieftemperatur (L1, L2) B: Gasflaschen T: Rohre R: Raumtemperatur S: Einfache Druckbehälter X: Hoch- u. Tieftemperatur G: Andere Merkmale, C: bes. Kaltformbarkeit evtl. mit 1 oder 2 Folgeziffern Cr: Cr-legiert HT: Wärmebehandelt Mn: Mn- Gehalt hoch LHT: Niedrig legiert, wärmebehandelt an: Chem. Symbole für andere Q: Vergütet Elemente + 10-facher Gehalt B: Bake hardening P: Phosphorlegiert C. Komplexphase T: Trip-Stahl D: SchmelzI: Isotroper Stahl X: Dualphasenstahl tauchüberzüge M: Thermomechanisch Y: Interstitiell free gewalzt (IF-Stahl)

Cnn: kaltgewalzt Dnn: warmgewalzt, für unmittelbare Kaltumformung Xnn: nicht vorgeschrieben nn: Kennzahl nach Norm nnn = 100 x mittlerer C-Gehalt des vorgeschriebenen Bereiches

Symbole

Erzeugnis

Kerbschlagarbeit Av

Re,min

oder mit Zeichen T

 für das

Hauptsymbole 2 C-Gehalt

D: Für Schmelztauchüberzüge ED: Für Direktemaillierung EK: Für konvent.. E-Maillierung entfällt H: Für Hohlprofile T: Für Rohre; G: Andere Merkmale C. Zum Kaltumformen R: vorgeschriebener Bereich D: Zum Drahtziehen, des S-Gehaltes E: Vorgeschriebener S: Für Federn, max. S-Gehalt, U: Für Werkzeuge, G: Andere Merkmale W: Für Schweißdraht

3

LE und Gehalt

ZusatzSymbole

Tabellen A B C

Tabellen A B C Tabelle B

----

Tabelle B

Tabellen B C

Tabelle B

4

G Unlegierte Stähle mit ! 1 % Mn, nn: Kennzahl unlegierte Automatenstähle und legie- = 100-facher rte Stähle mit keinem LE > 5 %. Z.B. C-Gehalt Einsatzstähle nach DIN EN 10084, Vergütungsstähle DIN EN 10083-2 G / PM / X Hochlegierte Stähle Mindestens ein LE ! 5 % HS Schnellarbeitsstähle

Tabellen LE-Symbole nach fallenden Gehalten geordA net, danach Kennzahlen mit Bindestrich geB trennt in gleicher Folge Kennzahlen sind Vielfache der LE-%. Die Faktoren sind : 1000 für Bor; 100 für Nichtmetalle Cer, N, P, S; 10 für Al, Be, Cu, Mo, Nb, Pb, Ta, Ti, V, Zr; 4 für Cr, Co, Mn, Ni, Si, W Tabellen nn: Kennzahl LE-Symbole nach fallenden Gehalten geordnet, danach die %-Gehalte d. Haupt-LE- mit A = 100-facher entfällt Bindestrich in gleicher Folge B C-Gehalt LE-% von W-Mo-V-Co

entfällt

entfällt

Tabelle B

3 Eisen und Stahl

31

Tabellen 14. A, B, C Zusatzsymbole für Stahlerzeugnisse (Pos. 4)

+T +TH +U +WW

A: für besondere Anforderungen +CH Mit Kernhärtbarkeit +H Mit Härtbarkeit +Z15/25/35 Mindestbrucheinschnürung. Z (senkrecht zur Oberfläche) in %

C: für die Art des Überzuges +A +AS +AZ +CE +CU +IC +OC +S +SE +T +TE +Z +ZA +ZE +ZF +ZN

B: für den Behandlungszustand +A +AC +AR +AT +C +Cnnn CPnnn +CR +DC +HC I +LC +M +N +NT +P +Q +QA +QO +QT +QW RA

Weichgeglüht Auf kugelige Carbide geglüht Wie gewalzt (ohne besondere Bedingungen) Lösungsgeglüht Kaltverfestigt Kaltverfestigt auf mindestens Rm = nnn MPa Kaltverfestigt auf mindestens R p0,2 = nnn MPa Kaltgewalzt Lieferzustand dem Hersteller überlassen Warm-kalt-geformt Isothermisch behandelt Leicht kalt nachgezogen/gewalzt Thermomechanisch umgeformt Normalgeglüht bzw. normalisierend umgeformt Nomalgeglüht und angelassen Ausscheidungsgehärtet Abgeschreckt Luftgehärtet Ölgehärtet Vergütet Wassergehärtet Rekristallisationsgeglüht

Angelassen Behandelt auf Härtespanne Unbehandelt Warmverfestigt Feueraluminiert Mit einer Al-Si-Legierung überzogen Mit einer AlZn-Legierung ( 50 % Al) überzogen Elektrolytisch spezialverchromt (ECCS) Cu-Überzug Anorganische Beschichtung Organische Beschichtung Feuerverzinnt Elektrolytisch verzinnt Schmelztauchveredelt mit PbSN Elektrolytisch mit PbSn überzogen (Terne) Feuerverzinkt Mit einrer ZnAl-Legierung (> 50 % Zn) überzogen Elektrolytisch verzinkt Diffusionsgeglühte Zn-Überzüge (galvannealed) ZnNi-Überzug (elektrolytisch)

3.4.2 Stahlguss Stahlguss hat Zusammensetzungen wie Stähle der gleichen Anwendungsgruppe und ist graphitfrei. Er wird meist in Elektro-Lichbogenöfen erschmolzen und beruhigt vergossen. Schwindmaß mit 2 % hoch, deshalb starke Lunkerneigung, der durch Setzen von Steigern begegnet werden muss. Stahlguss ist unlegiert, niedrig und hoch legiert und schweißgeeignet. Für besondere Anforderungen gibt es weitere Sorten.

Tabelle 15. Stahlgusss Stahlguss für allgemeine Verwendung DIN EN 10293/05 (5 unlegierte, 19 niedrig und 6 hoch legierte, Sorten, die Teil der zurückgezogenen Normen DIN 1681, DIN 17182 und 17205 waren und z.T auch in DIN EN 10213 enthalten sind). Sie sind - evtl. mit Wärmenachbehandlung - schweißgeeignet. Mechanische Eigenschaften gelten jeweils für die Erzeugnissdicke in Spalte 4. Stahlsorte Stoff-Nr. Dicke Kurzname Zustand mm GE200 +N 1.0420 300 GE240 +N 1.0446 300 GE300 +N 1.0558 100 G17Mn5 +QT 1.1131 50 G20Mn5 +N 1.1120 30 G30CrMoV6-4 +QT 1.7725 100 G9Ni14 +QT 1.5638 35 GX3CrNi13-4 +Qt 1.6982 300 GX23CrMoV12-1 +QT 1.4931 150

R m,min MPa 380...530 450...600 520..670 450...600 480...620 850...1000 500...650 700...900 740...880

R p0,2 MPa 200 230 300 240 300 700 360 500 540

A % 25 22 18 24 20 14 20 15 15

KV in J bei RT bei / ° C 27 -27 -31 -70 27 / -40 60 27 / -40 45 27 / -40 --27 / -90 -27 / -120 27 --

Anwendungsbeispiele Kompressorengehäuse Konvertertragring Großzahnräder Tunnelabdeckung (U-Bahn) Fachwerkknoten (2,3 t) Achsschenkel (400 kg) Kaltzäh, Kälteanlagen Kaltzäh, Windkraftwerksnabe Warmfest, Turbinengehäuse

Weitere Stahlgusssorten Norm DIN EN 10213 – 1/96 –2 –3 –4

Eigenschaft, Verwendung Stahlguss für Druckbehälter. Allgemeines für Verwendung bei Raum- u. höheren Temperaturen für Verwendung bei tiefen Temperaturen Austenitische und austenitisch-ferritische Sorten

Norm DIN EN 10283/98 DIN EN 10295/03 EDIN EN 10340/04 SEW 520

Eigenschaft, Verwendung Korrosionsbeständiger Stahlguss Hitzebeständiger Stahlguss Stahlguss für das Bauwesen Stahlguss für Flamm- u. Indukt.-Härten

E 32

E Werkstofftechnik und Zusatzwerkstoff beim Schweißen und ein Vorwärmen eingespart werden.

3.4.3 Stahlsorten nach Gruppen geordnet 3.4.3.1 Warmgewalzte Erzeugnisse aus unlegierten Baustählen DIN EN 10025 sind nach der Streckgrenze gestufte Stähle, die als Flacherzeugnisse (Blech, Band, Breitflachstahl) oder Langerzeugnisse (Formstahl, Stabstahl, Walzdraht, Spundwandprofile) produziert und ohne Wärmebehandlung weiterverarbeitet werden. Sie sind für normale klimatische Beanspruchung geeignet. Vom Hersteller werden bestimmte Eigenschafts-Mindestwerte gewährleistet (Tabelle 16).

3.4.3.2 Schweißgeeignete Feinkornbaustähle haben durch niedrige C- und kleinste LE-Gehalte von V + Nb (mikrolegiert) auch niedrige CEV-Werte, hohe Zähigkeit bei tiefen Temperaturen, dazu Eignung zum Kaltumformen. Ihre Festigkeit erhalten sie durch Kombination von Feinkorn (Korngrenzenverfestigung) und Teilchenhärtung (feindisperse intermetallische Phasen) Die Gefüge entstehen beim Walzen durch Einhaltung bestimmter Zeit-Temperaturfolgen (thermomechanische Behandlung, Zeichen M)). Diese Sorten (M) haben kleinere C-Gehalte und CEVWerte als die normalisierend gewalzten (N). Hochfeste Sorten sind vergütet oder ausscheidungsgehärtet. Zahlreiche Normen für Verwendung im Stahlbau (S), Druckbehälterbau (P) oder für Fernleitungen (L). Zu jeder Festigkeitsstufe (Streckgrenze) gehören Varianten mit erhöhter Kaltzähigkeit (Zusatzsymbol L, L1 oder L2, Tabelle 18), mit noch kleineren (P + S)Gehalten als die jeweilige Grundsorte.

Die nachgestellten Symbole (siehe auch Tabelle 14 unter „Stahlbau“ Pos. 3a) kennzeichnen Kerbschlagarbeit und Schlagtemperatur. Für die Sorten gleicher Festigkeitsstufe sind in den Zeilen nach unten die Prüfbedingungen schärfer, damit ist die Neigung zu Sprödbrüchen geringer. Stähle mit angehängtem JR sind Grundstähle ebenso wie die drei letzten Maschinenbaustähle, die anderen sind Qualitätsstähle. Für höhere Anforderungen des Leichtbaues wurden schweißgeeignete Stähle mit höherer Streckgrenze entwickelt. Damit können im Stahl-, Fahrzeug- und Behälterbau die Blechdicken reduziert, Zeit, Energie

Tabelle 16. Baustähle DIN EN 10025-2/00 Stahlsorte Kurzzeichen

Werk-stoff Nr.

ReH bzw. Rp0,2 Nenndicken (mm) 16 100 200

Rm Mpa 100

A in % Nenndicken (mm) 1 ... 6 andere LE > 60 Cu

Werkstoffart Sintereisen, -stahl Sinterstahl Sinterstahl Sinterstahl Sinterstahl Sinterlegierg. Cu-Basis Sinterbuntmetalle Sinter-Leichtmetalle

z.B. Al

■ Beispiel: SINT-A 5 n bedeutet (Tabelle 2): A Gleitlagerwerkstoff, 5 CuLegierung, n ist Zählziffer.

Normung: Sintermetalle DIN 30910/90 (04), Teile 1 ... 6 für die Anwendungsgebiete (keine Hartmetalle, Reib- Kontakt-, Dauermagnetwerkstoffe und hochwarmfeste Legierungen) Sinterprüfnormen DIN 30911/90, Teile 1 ... 7 für verschiedene Eigenschaftsprüfungen; Sinter-Richtlinien DIN 30912/90, Teile 1 ... 6 für Gestaltung, Bearbeitung, Fügen usw. Nicht genormt sind pulvermetallurgisch hergestellte Kalt-, Warm- und Schnellarbeitsstähle z.B. 1.3344 (HS6-5-3) als S 790 PM oder 1.2380 (X220 CrVMo13-4) als K 190 PM (Böhler und andere Hersteller), ebenso ausscheidungshärtende, rostfreie Stähle und weichmagnetische Sorten. Das PM-Verfahren wird auch zur Herstellung von Ingenieurkeramik und Verbundwerkstoffen mit Metall- oder Keramikmatrix eingesetzt.

6.2 Keramische Werkstoffe 6.2.1 Struktur und Eigenschaftsprofil Keramische Werkstoffe (Ingenieurkeramik) bestehen überwiegend aus den Elementen der ersten beiden Perioden des PSE, daneben die Elemente Ti und Zr aus der Nebengruppe IV. Strukturmerkmale Elemente der ersten beiden Perioden des PSE: I. Periode B, C, N. O, II. Mg, Al, Si Ionengitter oder Kristallgitter mit Atombindung

Auswirkungen

Eigenschaftsprofil

Kleine Atomradien führen zu kleinen Abständen im Kristallgitter, dadurch zu großen Bindungskräften

Geringe Dichte, hohe Schmelztemperaturen und Härte, hohe Steifigkeit (E-Modul) und Druckfestigkeit, Zugfestigkeit gering

Chemische Verbindungen mit abgeschlossener Elektronenhülle: Plastische Verformung unmöglich

Sehr spröde Werkstoffe, Zähigkeit 0,01 S/cm (z.B. bei SiC) Reib- und Diffusionsschweißen, Reaktionslöten (auch Keramik mit Metall), oder Löten nach Metallisierung, Kleben Thermisches Spritzen, CVD- und PVDVerfahren

[

6.2.3 Werkstoffe Sorten/Kurzname Oxidkeramik Al-Oxid Al2O3 Al2O3 Zirkonoxid ZrO2 PSZ (teilstabilisiert) FPZ (vollstabilisiert) Al-Titanat Al2TiO5 Ati Nichtoxidkeramik Kohlenstoff C Bornitrid BN Bornitrid BN CBN Si-Carbid SiC RSiC SSiC SIC SiSiC HPSiC HIPSiC Borcarbid B4C BC Si-Nitrid Si3N4 RBSN SSN SN HPSN HIPSN GPSN

Eigenschaften

Anwendungsbeispiele

Sorten mit steigendem Al-Gehalt, Wendeschneidplatten für spanende Verfahren, Härte bis 1000° C. elektrischer Isolator, hoch tempe- Mischkerkamik enthält ZrO oder TiC mit höherer Biegefestigkeit. Verschleißteile in Ventilen, Fadenführungen in Textilmaschinen, Ziehdüraturbeständig sen, Dichtelemente an rotierenden Wellen Polymorph, durch Zusätze von Geringe Adhäsionsneigung zu Stahl, zäh, die Wärmedehnung ähnlich Yttriumoxid teilweise oder voll Stahl ermöglicht Werkstoffverbunde. Ziehwerkzeuge, Wärmedämmumwandlungsfrei, hohe Festigkeit schichten, -Sonden für Katalysatoren durch Umwandlungsverstärkung Für Umgießteile im Motorenbau: Einsätze für Kolbenböden, AuskleiE-Modul und Wärmedehnung klein, sehr hohe Thermoschock- dung von Auspuffkrümmern, geringe Benetzung durch Al- und Buntmetallschmelzen beständigkeit Dichte Graphit, wenig fest, geringe Wär- In O-freier Umgebung bis 2000° C beständig, porös medehnung, wärmeleitend C-faserverstärkt für Kolben in Kfz.-Motoren „weißer“ Graphit Einsätze für Stranggießformen, Festschmierstoff für hohe Hex. Gleiteigenschaften Temperaturen Kub. Porös Porös Dichte  steigt dicht porös porös Dichte  steigt

Härtester Stoff nach dem Diamant Wendeschneidplatten diamantartige Struktur rekristallisiert drucklos gesintert Si-infiltriert heißgepresst heißisostatisch gepresst sehr hart , höchster Widerstand gegen Abrasion höchste Biegefestigkeit Reaktionsgebunden Drucklos gesintert Heißgepresst Heißisostatisch gepresst gasdruckgesintert

RSiC, schwindungsfrei, für größere Teile SSiC: Gleitringdichtungen f. Laugenpumpen SiSiC ist guter Wärme- und Stromleiter, deshalb für Wärmetauscher in aggresiven Medien Düsen für Strahltechnik, Panzerplatten für ballistische Zwecke, Schleifscheibenabrichter, Läppkorn für Hartmetall RBSN ist schwindungsfrei, für größere Bauteile. Höchste Biegefestigkeit bis 1000° C durch kleinere Wärmeleitfähigkeit widerstandsfähiger gegen Thermoschock als SiC. Für z.B. Auslassventile für Kfz.-Motoren, Abgasturbinenläufer, Vollkeramiklager bis zu 500° C. Hybridlager mit HPSNKugeln in Stahlringen, Schneidkeramik

6 Werkstoffe besonderer Herstellungsart oder Verarbeitung

75

Tabelle 4. Eigenschaftswerte von Keramik im Vergleich zu Stahl (Mittelwerte) Sorte Kurzzeichen Stahl Al2O3 PSZ AlTi AlN RBSN SSN HPSN HIPSN GPSN RSiC SSiC SiSiC HPSiC HIPSiC BC BN, kub. BN, hex. 1) 2) 3)

Dichte g/cm3

E-Modul GPa

7,85 3,2 ... 3,9 5 ... 6 3 ... 3,7 3,0 1,9 ... 2,5 3 ... 3,3 3,2 ... 3,4 3,2 ... 3,3 3,2 2,6 ... 2,8 3,1 3,1 3,2 3,2 2,5 3,5 2,3

210 200 ... 380 200 ... 210 10 ... 50 320 80 ... 180 250 ... 330 290 ... 320 290 ... 325 300 ... 310 230 ... 280 370 ... 450 270 ... 350 440 ... 450 440 ... 450 390 ... 440 680

BiegefestigKeit MPa

Wärmeleitung  W/mK 1)

WärmeDehnung 10-6 /K 2)

RissZähigkeit KIc 3)

500 ... 700 200 ... 520 500 ... 1000 15 ... 100 200 200 ... 330 700 ... 1000 600 ... 800 300 ... 600 900 ... 1200 80 ... 120 300 ... 600 180 ... 450 500 ... 800 640 400 500 ... 800

62 10 ... 30 1,5 ... 3 1,5 ... 3 > 100 4 ... 15 15 ... 45 14 ... 40 25 ... 40 20 ... 24 20 40 ... 120 110 ... 160 80 ... 145 80 ... 145 28

12 6 ... 8 10 ... 12,5 2 4,5 ... 5 2,1 ... 3 2,5 ... 3,5 3,1 ... 3,3 2,5 ... 3,2 2,7 ... 2,9 4,8 4,0 ... 4,8 4,3 ... 4,8 3,9 ... 4,8 3,5 6 3,5

< 100 3,5 ... 5,5 5,8 ... 10 5 3 1,8 ... 4 5 ... 8,5 6 ... 8,5 6 ... 8,5 8 ... 9 3 3 ... 4,8 3 ... 5 5,3 5,3 3,4

Härte HV1 2300 1250 1100 1000 1800 1600

2800 2600 2500 3500 3700 4000 —

Max. Temperatur °C 200 1400 ... 1700 900 ... 1600 900 ... 1600 n.b. 1100 1250 1400 1400 1200 1600 1400 ... 1750 1380 1700 1700 700 ... 1000 1200 1000

bei 20° C; zwischen 30 ... 1000° C; Spannungsintensitätsfaktor in MPa / m ;

6.3 Verbundwerkstoffe 6.3.1 Begriffe Verbundwerkstoffe (engl. composite = zusammengesetzt) bestehen aus zwei oder mehr Phasen, die sich in Struktur und/oder Gestalt stark unterscheiden: Unterschied Bindung, Struktur Gestalt

Phasen und Gestalt Metalle (-gitter); Polymere (amorph, teilkristallin), Keramik (Ionen- oder Atomgitter) Fasern, Teilchen, Schichten, Durchdringungen

Die verstärkten Kunststoffe sind unter 5.3.4 behandelt Die Gestalt der Verstärkungsstoffe gibt den Namen: z.B.: glasfaserverstärkte Kunststoffe, teilchenverstärkte Legierungen. Weil die Matrix wesentliche Eigenschaften des Verbundes bestimmt, werden als Oberbegriffe auch die Namen der jeweiligen Matrix verwendet: Metall-Matrix-Verbund MMC (metalmatrix-composite), CMC (ceramic-matrix-composite). Der Grundwerkstoff – auch Matrix oder bei Schichtverbunden Substrat- sorgt für den Zusammenhalt der Form, während die eingelagerten Phasen durch besonders hohe Eigenschaftswerte (z.B. Härte, Wärmeleitung, Zugfestigkeit, Gleitfähigkeit) das Eigenschaftsprofil prägen. So können unzureichende Eigenschaften des Grundwerkstoffes verbessert werden.

Die Kombinationsmöglichkeiten von Matrix, Verstärkungsstoff und dessen Form sind sehr groß. Neben neuen Kombinationen geht die Weiterentwicklung zu einfacheren (preisgünstigeren) Herstellverfahren und der Qualitätssicherung. Tabelle 5. Beispiele zur Eigenschaftsverbesserung Grundwerkstoff Leichtmetalle sind wenig warmfest, sind weich, haben niedrigen E-Modul Keramik ist spröde

Maßnahme feindisperse Al-OxidTeilchen im Gefüge verhindern das Korngrenzengleiten. Harte SiCTeilchen in Randschicht einbetten. ARAMID- oder C-Fasern, evtl. als Faserformkörper vergossen Einbetten von SiC-Fasern bremst die Rissfortpflanzung

Kurz-, Langfasern oder Polymere sind wenig flächige Faserprodukte fest und steif In Polymermatrix eingebettet

Verbesserung, Steigerung Höhere Warmfestigkeit als ausgehärtete Al-Legierungen. Höherer Verschleißwiderstand. Wärmedehnung sinkt, E-Modul kann größer als bei Stahl werden. Biegefestigkeit, Temperaturwechselfestigkeit und Schadenstoleranz Zugfestigkeit und E-Modul, Abnahme der Wärmedehnung

Verbundwerkstoffe entstehen meist erst bei der Formgebung aus den Komponenten. Ihre Eigenschaften sind deshalb stark von den Einflussgrößen des jeweiligen Fertigungsverfahrens abhängig, die Streuung macht eine Qualitätssicherung aufwändiger.

E 76

E Werkstofftechnik

Tabelle 6. Eigenschaftswerte von Fasern (für  von 3...15 m) Werkstoff Glas Aramid( Tab.6) Kohlenstoff Al-Oxid Si-Carbid Ramie Sisal Jute

LM HM HM HST

Naturfasern

g/cm3 2,6 1,44 1,45 1,96 1,75 3,9 3,0 n.b. n.b. 1,45

Rm E in 103 MPa 3,5 80 3,4 170 3,7 90 1,8 800 5,0 240 2,0 470 3,0 400 0,5 0,3 0,8 0,2 0,4 43

A Max. Verwendung % Temp.°C 4 250 Meist benutzte Faser für verstärkte Polymere 2 Leichte Verbunde für Luft- und Raumfahrt, Reifencord, >200 4 auch mit C-und G-Faser versponnen 0,4 2000 Hochbeanspruchte Verbunde für Metall-, Keramik- und 2 Polymerverbunde im Leichtbau 0,8 900 Verstärkung von Al-Legierungen 1,5 1100 Erhöhung der Zähigkeit von Keramik 2 1) Mit Polymermatrix (Prepregs) für flächige Bauteile im 250 Innenbereich von Fahrzeugen, gute Umwelt5 1) verträglichkeit 2 1)

LM weniger steif, HM: hochsteif, HST: hochfest; 1) Reißdehnung;

6.3.2 Faserverbundwerkstoffe Sehr dünne Fasern haben bedeutend höhere Festigkeiten als der gleiche Werkstoff in massiver Form. Für den Verbund ist wichtig, dass die Faser einen höheren E-Modul besitzt als die Matrix, sodass sie die Zugspannungen aufnehmen kann. Die Faserverbunde haben hohe Festigkeiten und E-Moduln (auch spezifische – wie die Reißlänge – , besonders bei einer Matrix mit niedriger Dichte, wie Polymere und Keramik). Bei polymeren Stoffen verringert sich die Wärmedehnung. Durch die Fasern sind die Eigenschaften des Verbundes anisotrop, deshalb ist die Faserausrichtung wichtig. Faserlage unidirektional, parallel bei Strängen (Rovings), Bändern (Tapes) bidirektional, unter 90° bei Geweben multidirektional bei Matten aus Schnittfasern (Wirrfasern) oder Gewebelagen mehrfach übereinander

Faserverstärkte Keramik (Tabelle 8) Durch Faserverbund soll soll die geringe Zähigkeit der Keramik verbessert werden. Das ist bei gesinterter Keramik nur mit Kurzfasern möglich. Längere Fasern können bei Keramik eingebettet werden, die aus Lösungen ausgefällt wird (Sol-Gel-Verfahren). Ein weiterer Weg ist die Pyrolyse von hoch Chaltigen Polymeren: C-Faser-Kohlenstoff wird aus phenol-harzgetränkten Fasergelegen durch Härtung und mehrfaches „Pyrolyse-Nachtränken-Pyrolye“ hergestellt. Bei Si-Polymeren entsteht eine Si-Matrix.

UD

Faserverstärkte Polymere Größter Anwendungsbereich für Faserverbunde. Hier ist das Einbetten in die flüssigzähe Matrix leichter möglich als in Metalle oder Keramik ( 5.3.4.). Wegen der niedrigen Schmelztemperaturen können auch Naturfasern eingebettet werden.

BD

6.3.3 Teilchenverbunde (Tabelle 8)

Symbol

MD

Oberflächenbehandlung der Fasern (Interface, Schlichte) soll die Benetzung sichern, Reaktionen zwischen Faser und Matrix verhindern und Schutz bei der Verarbeitung bieten, damit eine kraftschlüssige Verbindung zwischen beiden gewährleistet ist. Faserverstärkte Metalle (Tabelle 8) Kurzfasern können bis 40 % pulvermetallurgisch in die Metallmatrix eingebracht werden. Hochschmelzende Fasern werden in Leichtmetalle mit niedrigem Schmelzpunkt durch Vakuumgießen eingebettet. Dazu wird ein vorgefertigtes Fasergelege (Preform) in der Form fixiert (Auftrieb) und langsam von einer Seite her durchtränkt. Flächige Teile entstehen durch Plasmabespritzen von Fasern auf Unterlagen (Trennmittel hex. Bornitrid) mit folgender Warmumformung. Lotwalzplattiern von C-Fasern (Ni-bedampft) mit AlSi12 beschichteten Al-Folien bei 600° C.

Wichtig für die Leichtmetalle Al und Mg für den Einsatz bei höheren Temperaturen. Durch Teilchen mit rundlicher, unbestimmter Form entstehen isotrope Werkstoffe. Bei Teilchengrößen zwischen 0,01 und 0,1 m und Abständen von 0,1 ... 0,5 m werden E-Modul und Festigkeit der Matrix auch bei höheren Temperaturen durch Dispersionsverfestigung erhöht. Die Wärmeausdehnung sinkt je nach Teilchengehalt. Schmelzmetallurgisch können bis zu 20 %, pulvermetallurgisch bis zu 40 % Al-Oxid- oder SiC-Teilchen eingebracht werden, durch Sprühkompaktieren bis zu 15 %. Zu den Teilchenverbunden gehören auch die altbekannten gefüllten Duroplaste, ebenso können Sinterhartmetalle mit hohem Anteil an harten Carbiden und Schleifkörper dazu gerechnet werden. 6.3.4 Durchdringungsverbunde (Tabelle 7) Eine höherschmelzende, poröse Matrix wird mit einer flüssigen Phase getränkt, sodass sich beide gegenseitig durchdringen. Dabei dient die Erste als Gerüst zur Kraftaufnahme, die Zweite führt zu dichten Werkstoffen bzw. übernimmt andere Funktionen.

6 Werkstoffe besonderer Herstellungsart oder Verarbeitung 6.3.5 Schichtverbunde

Verbundstruktur

Flächige Halbzeuge aus parallel liegenden Schichten unterschiedlicher Stoffe, die miteinander durch Fügen verbunden sind: Kunstharzverleimtes Papier, Gewebe oder Holzfurniere ergeben Halbzeuge als Platte oder Profil. Bei Sandwichstrukturen liegt eine leichte Schicht zwischen zwei Deckschichten, welche die Biegezug- und -druckspannungen übernehmen. Beschichtungen von Bauteilen und Halbzeugen ( 7.3): Die Schicht kann selbst einen Verbund darstellen (Compositschichten). Dispersionsschichten haben eingelagerte Partikel, Stapelschichten sind Schichtverbunde (Multilayer bei Werkzeugbeschichtungen). Tabelle 7. Durchdringungsverbunde Phase 1 Stützgerüst Cu-Sn-Sinterbuchse Wolfram, W Härte, warmfest, geringer Abbrand Wolfram, W Silciumcarbid SiC mit C porös gesintert

Phase 2 Funktion Öl, Fett, Schmierstoff Kupfer, Cu, Stromund Wärmetransport, Silber zur Wärmeabfuhr Blei, Pb Silicium (flüssig) reagiert mit C zu SiC, bis 20 % metallisches Si

77

Anwendung Selbstschmierende Lager Kontaktwerkstoffe Düsen f. Strahltriebwerke Strahlenschutz Si-infiltriertes SIC: SiSiC Dichte Keramik für Wärmetauscher, Gleitringdichtungen, Tragrollen und Balken in Brennöfen

Tabelle 8. Übersicht Verbundwerkstoffe Verbundstruktur Metallmatrix-Verbunde MMC Faserverbunde Cu- Drähte mit 20 % unlöslichem Nb, Metallfaser durch Walzen und Ziehen entstehen NbFasern im Cu. Hohe Festigkeit + Leitfähigkeit. Nb mit Sn-Überzug ergibt die supraleitende Phase CuNb3Sn. Keramikfaser Al-Oxidfaservertärkte Al-Kolben Polymerfaser ARALL: Langfasern aus ARAMID zwischen AlBleche geklebt, Leichtbauwerkstoff Teilchenver- Dispersionsgehärtete Al-Legierungen mit bunde Al2O3 oder SiC-Partikeln, auch als ODS(oxid-dispersion-strenghened) Legierungen Keramik/ bezeichnet. Gleitlagerwerkstoffe mit MoS2 Hartstoffe oder Graphit. SiC-Partikel in galvanisch abgeschiedenen Ni-Schichten (NIKASIL) Polymerteil- Verbundlager mit PTFE-Teilchen in der Laufchen schicht aus gesintertem CuSn10 SchichtverSandwichstruktur mit Metallschaumkern (Al, bunde Mg) oder Leichbaubleche aus korrosionsbeMetall ständigem Stahl, NiCrMo-Legierungen 1 mm mit Streckmetall als Zwischenschicht, umformbar, für Rauchgasleitungen Keramik Ti-Aluminidfolien mit SiC-Faser verwalzt (packPolymer rolling), warmfester, steifer Werkstoff. Al-Bleche und -Profile mit aufgeklebten Lagen aus CFK zur Erhöhung des E-Moduls,

Keramikmatrix-Verbunde CMC

Faserverbunde Metallfaser

Feuerfestes Ofenmaterial mit hitzebeständigen Stahlfasern (Thermohäcksel) ist thermoschockbeständiger Keramikfaser SiC-faserverstärktes SiC, C-FaserKohlenstoff, CFC (Sigrabond) Teilchenverbunde Kermisch gebundene Schleifkörper mit Keramik/ Hartstoffen Hartstoffe Verbundstruktur

Polymermatrixverbunde PMC

Faserverbunde GFK Glasfaser-, CFK-Faserkunststoff Teilchenverbunde Duroplaste mit Füllstoffen, Polymerbeton mit geringerer Dichte und Wärmeleitung Schichtverbunde Hartpapier- und Hartgewebe, Kunstharzpressholz

6.4 Werkstoffe für Lötungen Löten ist eine stoffschlüssige Verbindung von Metallen untereinander und auch mit artfremden Stoffen (z.B. Keramik). Die Partner werden nicht aufgeschmolzen, ein Erweichen und Verformen dünner Strukturen muss vermieden werden. Der Schmelzbereich des Lotes ist danach auszuwählen. Einteilung nach der Schmelztemperatur. Weichlote (< 450° C) Hartlote (> 450° C), Hochtemperaturlote (> 900° C). Der Lötspalt wird beim Fugenlöten durch Kapillarwirkung auch gegen die Schwerkraft gefüllt. Voraussetzung ist eine Spaltbreite < 0,2 mm und oxidfreie Oberflächen, die während des Lötens durch Flussmittel vor Neuoxidation geschützt werden müssen. Spaltlöten für größere Spaltbreiten erfordert höheren Lötmitteleinsatz (nicht für Ag-haltige Lote). 6.4.1 Weichlote Von den 50 Sorten der alten Norm (DIN 1707 Z) sind 25 in die neue DIN EN 29453/94 überführt worden. Die restlichen 25 Sorten sind in DIN 1707-100/01 angeführt, wie z.B. die Cd-haltigen und solche für Leichtmetalle. Tabelle 9 gibt eine Übersicht. Tabelle 9. Übersicht, Legierungssysteme für Weichlote Systeme nach DIN EN 29453, Anzahl der Sorten Legierungs-System Sn-Pb Sn-Pb-Sb Sn-Pb-Bi Sn-Pb-Cd Sn-Pb-(Cu) Sn-Pb-Ag

Stck. 10 7 3 1 4 7

SchmelzBereich °C 183 ... 325 183 ... 270 180 ... 205 145 183 ... 215 178 ... 190

E 78

E Werkstofftechnik

Systeme nach DIN 1707-100 Legierungs-System Sn-Pb Sn-Pb (Sb) Sn Pb (Cu) Sn-Pb (P) Sn-Cd Sn-Pb-Ag Pb-Sn-Ag Cd-Zn-Ag Cd-Ag CdZn Sn-Zn Zn-Al

Stck. 4 3 1 4 1 2 1 3 1 1 3 1

SchmelzBereich °C 183 ... 242 186 ... 295 183 ... 190 182 ... 215 180 ... 195 178 ... 210 304 ... 365 270 ... 380 340 ... 398 265 ... 280 195 ... 385 380 ... 390

Tabelle 10. Flussmittel zum Weichlöten, Bezeichnungen nach DIN EN 29454-1/94 Typ 1 Harz 2 organisch

Basis 1 Kolofonium 2 ohne 1 wasserlöslich, 2 nicht 1 Salze 2 Säuren

Aktivator 1 ohne Aktivator, 2 Halogene 3 ohne Halogene

1 mit NH4Cl, 2 ohne 1 mit H3PO4, 2 ohne 3 anorganisch 1 Amine und/oder Am3 alkalische Stoffe moniak Angehängt wird ein Buchstabe: A für flüssig, B für fest C für Paste Beispiel: Flussmittel DIN EN 29454-1: 2 ... 2.2. A

Tabelle 11. Korrosive Wirkung der Flussmittelreste und Vergleich der Kurznamen DIN 8511-2 (F-SW...) mit denen nach DIN EN 29454-1

F-SW... DIN EN F-SW... DIN EN F-SW.. DIN EN

Stark korrosiv 12 13 3.1.1 3.2.1

11 3.2.2 22 3.1.2 31 1.1.1

23 2.1.3

21 3.1.1

Bedingt korrosiv 24 25 26 27 28 2.1.1 2.1.2 1.1.2 1.1.3 1.2.2 Nicht korrosiv 32 33 1.1.3 1.2.3

34 2.2.3

6.4.2 Hartlote DIN EN 1044/99 (Ersatz für DIN 8513 T1 ... 5) Die Kurzzeichen nach DIN EN 1044 nennen das Basiselement, evtl. ein weiteres, danach die Zählziffer. Kurzzeichen nach DIN EN ISO 3677 bestehen aus einem B , dem Basiselement, dem Hauptelement mit Prozentangabe, dann die weiteren LE nach fallenden Anteilen geordnet (ohne %-Angabe. LE unter 1 % werden nicht genannt. Nach einem Bindestrich folgen Solidus- und Liqidustemperaturen in °C. Lieferformen: blanke und umhüllte Stäbe, Drähte, Folien und Bänder, Granulate, verdüste Pulver, Lotringe und Formteile, Lötpasten mit Flussmittel..

6.5 Druckgusswerkstoffe Die Eigenschaften der Druckgussteile sind in Zähigkeit und Schweißeignung durch Abwandlungen der Gießverfahren verbessert worden: Vakuum-Druckguss, Niederdruckgießen mit langsamerer Einströmung und Thixoforming (Gießen bei Temperaturen zwischen Liquidus- und Soliduslinie). Für den Fahrzeugleichtbau gwinnen schweißgeeignete Al- und Mg-Sorten an Bedeutung.

Tabelle 12. Übersicht Hartlote Kurz-Zeichen Kurzeichen ArbeitsKurzzeichen nach DIN EN 1044 nach temp. Anwendungen DIN EN ISO 3677 Anzahl Sorten DIN 8513 °C Aluminium-Hartlote, Gruppe AL mit 4,5 ... 10,5 % Si und z.T. Cu, Mg oder Bi Al 104 7 L-AlSi12 B-Al88Si-575/585 595 Al- und Al-Legierungen < 2 % Mg Silber-Hartlote Gruppe AG, enthält alle Ag-haltigen Sorten, auch wenn Ag nicht das Basis-LE ist, 10 Cd-haltige Cd-frei, für Trinkwasserleitungen, bis AG 102 L-Ag55Sn B-Ag55ZnCuSn–620/655 650 150° C Betriebstemperatur Für Lötstellen mit max. 200° C BetriebsAG 206 L-Ag20 B-Cu44ZnAg(Si)–690/810 810 32 temperatur Stahl, Cu-, Ni-Legierungen mit Flussmittel, AG 304 L-Ag40Cd B-Ag40ZnCdCu-595/630 610 bis 200° C Betr.-Temp. AG 402 —— B-Ag60CuSn-600/730 720 CrNi-Stähle, Titan Kupfer-Phosphor-Hartlote, Gruppe CP, davon 5 Sn-haltige. Für Cu ohne Flussmittel verwendbar, nicht geeignet für ferritische Werkstoffe, Cu- und Ni-Lgierungen CP 102 L-Ag15P B-Cu80AgP-645/800 700 Cu/Cu ohne, Cu-Legierungen mit 10 CP 203 L-CuP B-Cu94P-710/890 760 Flussmittel, bis 200° C Betr.-Temp. Kupfer-Hartlote Gruppe CU, 8 hoch Cu-haltige und 6 CuZn mit Sn oder Ni Cu 104 14 L-SFCu B-Cu100(P)-1085 1100 Stähle Nickel-, Cobalt-, Palladium und Gold-Hartlote, Gruppen Ni, Co, Pd, Au Ni 101 12 L-Ni1 B-Ni73CrFeSiB – 980/1060 1020 Ni, Co und ihre Legierungen, Co 101 1 —— B-Co51CrNiSiW(B)-1020/1150 1140 Stähle Pd 201 10 neu B-Pd60Ni-1235 n.b. Vakuumlöten reaktiver Metalle Au 101 6 neu B-Au80Cu(Fe)-905/910 n.b. Elektronik, Schmuck

6 Werkstoffe besonderer Herstellungsart oder Verarbeitung

79

Tabelle 13. Flussmittel zum Hartlöten (DIN EN 1045/97) Flussmittel FH10 FH11 FH12 FH20 FH21 FH30 FH40 FL10 FL20

Fügewerkstoffe Universell, Schwermetalle CuAl-Legierungen ( 600 550 ... 800

ja > 750 > 800 > 1000 > 700 600 600

750 ... 1100 > 1000 600 ... 1000 > 400 ... 700 > 400 ... 700

nein nein ja ja nein

Mechanisch zu entfernen Ohne Borverbindungen Waschen, beizen Nicht hygroskopisch

Tabelle 14. Druckgusswerkstoffe Kurzzeichen

g/cm3

Rp0,2 MPa

Rm MPa

A in %

Härte HB10

Tm in ° C

1)

2)

n 3) x103

smin3) mmax mm kg

500

0,6 bis 2

Zink-Legierungen DIN EN 1774 (Auswahl aus 8 Sorten) ZnAl4 ZL0400 (Z400) ZnAl4Cu ZL0410 (Z410)

6,7

Anwendungen

Cu-frei dekorativ galvanisierbar

160... 1,5... 70... 170 250... 3 90 380... 180... 300 2... 80... 386 240 3 100

1

1

20

Plattenteller,Vergasergehäuse, PkW-Scheinwerferrahmen, Türschlösser, -griffe

Aluminium-Legierungen DIN EN 1706 AC- (Auswahl aus 9 Sorten) Al Si12(Fe) (230) Al Si9Cu3(Fe) (226) Al Si12CuNi (239) Al Mg9 (349)

2,55 2,75 2,65 2,6

140... 180 160... 240 190... 230 140... 220

230... 280 240... 320 260... 320 200... 300

1...

60... 575 2 2... 3 100 3 0,5... 80... 510... 2 2 3 110 620 1... 90... 570... 2 2... 3 120 585 3 1... 70... 520... 3... 1 5 100 620 4

80

Magnesium-Legierungen DIN EN 1753 (Auswahl aus 8 Sorten) MCMgAl9Zn1 AZ 91 1,8

MCMgAl4Si AS 41

Sehr leicht, Oberflächenschutz erforderlich

120... 190... 4... 55.. 470... 1... 150 250 14 70 620 2 120... 200... 3... 55... 580... 150 250 12 60 620

Kupfer-Legierungen DIN EN 1982 CuZn39Pb1Al-C CuZn16Si4-C

8,5 8,6

(250)

GD-Sn80Sb

(350) (530)

(370)

Spanbarkeit,

100

1 bis 3

15

2

(4)

(110)

(5)

(150)

880... 900 850

2.5

30

250

3

3 10

2

3

2 bis 4

5

Armaturen für Warm- und Kaltwasser

Höchste Maßbeständigkeit, kaltformbar, korrosionsbeständig

7,1 2)

1

Rahmen f. Schreibmaschinen und Tonbandgeräte, Mobiltelefone. Gehäuse f. tragbare Werkzeuge u. Motoren, Gehäuse f. Kfz. Getriebe. Radfelgen

Höhere Festigkeit und Zähigkeit, hoher Formverschleiß durch hohe Gießtempertur

Zinn Legierungen DIN 1742

Gießeignung,

25

140... 200... 1... 65... 470... 1... 170 260 6 85 600 2

MCMgAl6Mn AM 60

1)

1 bis 3

Hydraulische Getriebeteike,druckdichte Gehäuse. Trittstufen f. Rolltreppen, E-Motorengehäuse. Kolben, Zylinderköpfe. Nähmaschinen. Gehäuse f. HaushaltsBüro- und optische Geräte

115 3)

Standmenge,

4)

1

2

Teile von Messgeräten

Wanddicke Wertungen: 1 sehr gut, 2 gut, 3 ausreichend

E 80

E Werkstofftechnik

7 Oberflächenbeanspruchung durch Korrosion, Verschleiß und Schutzmaßnahmen Die Beanspruchung der Oberfläche durch Korrosion und Verschleiß führen zu Materialverlust, der Störungen der Bauteilfunktion verursacht und zu hohen Kosten und Folgekosten durch Ausfall führen kann. Abhilfe wird durch Werkstoffwahl oder Oberflächenschutzschichten erreicht.

7.1 Korrosion 7.1.1 Begriffe Korrosion ist die Reaktion eines metallischen Werkstoffes mit seiner Umgebung, die zu einer messbaren Veränderng – der Korrosionserscheinung – führt und die Funktion des Bauteiles beeinträchtigt. Reaktionsarten elektrochemisch chemisch

metallphysikalisch

Häufigste Reaktion, Rosten des Stahles, Patina auf Kupferdächern Zunderung des Stahles in heißen Gasen und Schmelzen, Anlassfarben, Anlaufen von Silber Zerfall durch Gitter- oder Gefügeumwandlungen mit Volumenänderung, Zinnpest, wasserstoffversprödung

Elektrochemische Reaktion von Metallen in Gegenwart einer ionenleitenden Phase, meist Wasser mit gelösten Ionen. Es entstehen Korrosionselemente (Bild 1) nach dem Prinzip des galvanischen Elementes.

Bild 1. Korrosionselement Galvanische Elemente nutzen den unterschiedlichen Lösungsdruck zur Erzeugung eines elektrischen Stromes durch Oxidation des unedleren Metalles. Kathode: Elektrolyt: Anode:

edleres Metall (Gefügeteil) in der Spannungsreihe rechts stehend, nimmt Elektronen aus dem Elektrolyten auf (kathodische Reduktion), meist wässrige Lösung von Salzen, Basen oder Säuren, enthält Ionen unedleres Metall (Gefügeteil), in der Spannungsreihe links stehend, gibt Elektronen ab (anodische Oxidation.

Korrosionelemente bestehen aus Werkstoffbereichen, auch Mikrobereichen im Gefüge, die von ionenleitenden Phasen bedeckt und immer kurzgeschlossen sind. Beispiele Kontaktelemente Al- Blech mit Cu-Niet Stahlblech verzinkt CuZn-Armatur in Stahlrohr Lokalelemente heterogene Gefüge, z.B. Stahl Gefüge mit Ausscheidungen von AlMgCu Konzentrationselemente Belüftungselemente aus gleichen Elektroden, Elektrolyt hat unterschiedliche Konzentration: Wassertropfen auf Stahl

Anode, korrodiert

Kathode, geschützt

Al- Blech Zn-Schicht Stahlrohr

Cu- Niet Stahlblech Armatur

Ferrit Al- Mischkristall

Zementit AlCu- Ausscheidung

Zentrum (Narbe) Unbelüfteter Bereich, O-arm

Außenring mit Rost, belüftet, O-reich

Korrosionserscheinungen sind: Gleichmäßiger Flächenabtrag (ungefährlich), Narben, Lochfraß, örtlich in die Tiefe gehend mit steilen Wänden, gefährlich für Druckleitungen und -behälter. Interkristalline Angriffsform (Kornzerfall) ist Abtragung längs der Korngrenzen, die ins Innere vordringt. Gefährdet sind CrNi-Stähle durch Ausscheidungen nach dem Schweißen. Selektive Angriffsform greift unedlere Gefügebestandteile an: Entzinkung von 2-phasigen CuZn-Legierungen, Zn-reicheres -Zn ist anodisch und geht in Lösung, der Cu-Anteil bleibt als dünne Schicht zurück. Spaltkorrosion tritt in engen Spalten (punktgeschweißte Bleche) auf, wenn Feuchtigkeit eindringen kann. Diese Belüftungskorrosion tritt auch bei Pfählen und Spundwänden unterhalb der Wasser-LuftGrenze auf. Kontaktkorrosion durch Kontaktelemente: Paarung von Metallen mit unterschiedlichem Potenzial ohne isolierende Zwischenlagen. Hartlötnähte mit Stahl bei Gegenwart von Lötmittelresten. Weitere Arten sind Säurekondensat- und Kondensatwasserkorrosion (Auspuffanlagen), Stillstandskorrosion und mikrobiologische K. als spezielle Fälle. Korrosionsprodukte sind bei Stahl Rost aus FeOxiden und Fe-Hydroxiden, schichtartig aufgebaut und durchlässig. Fremdrost sind Rostablagerungen auf fremden Oberflächen. Bei langzeitiger Einwirkung von Gasen bei höheren Temperaturen entstehen Zunderschichten, die sich durch unterschiedliche Wämedehnung vom Grundwerkstoff lösen können (hitzebeständige Stähle 3.2.12). Deckschichten sind fest haftende, gleichmäßig deckende Reaktionsprodukte, welche die Reaktion bremsen oder verhindern. Bei ungleichmäßiger Ausbildung können Korrosionselemente entstehen.

7 Oberflächenbeanspruchung durch Korrosion, Verschleiß und Schutzmaßnahmen Passivschichten sind sehr dünne, undurchlässige, oxidische Schichten im nm-Bereich, von Metallen selbst durch Reaktion gebildet (Al, Cr, CuLegierungen, Ti ). Durch sie wird der Werkstoff passiv, d.h. nimmt nicht mehr an der Reaktion teil. 7.1.2 Korrosionsschutz K.-Schutz kann durch drei Maßnahmen erreicht werden:  Änderung der Reaktionspartner bzw. der Reaktionsbedingungen (Werkstoffwahl),  Elektrochemische Veränderung der Spannungsverhältnisse (kathodischer Schutz),  Trennung der Reaktionspartner durch Schichten oder Überzüge auf dem metallischen Werkstoff. 7.1.2.1 Werkstoffe Unlegierte Stähle sind unter klimatischen Bedingungen im Außenbereich nicht beständig. Dickwandige Bauteile werden mit Rostaufschlag ausgeführt, dünnwandige mit Schutzüberzügen. Zahlreiche Normen für Flacherzeugnisse mit Überzügen (7.1.2.4). Tabelle 1. Hinweise auf korrosionsbeständige Werkstoffe Werkstoffgruppe

Beständigkeitshinweise

DECHEMA-Werkstofftabellen geben Beständigkeit von Metallen, Polymeren und anorganischen Werkstoffen gegen die in der chemischen Industrie verwendeten aggresiven Medien für verschiedene Temperaturen an. Cu und Cu- Mit steigendem KorrosionswiderLegierungen stand: CuZn, CuSnZn CuSn, CuAl, CuNiZn, CuNi Al und AlUnbeständig gegen Alkalien, CuLegierungen leg. Sorten allg. unbeständiger Ti und TiBeständig gegen Cl-Ionen, SpRK Legierungen,. und Salzschmelzen Kunststoffe Sortenspezifische Unbeständigkeit gegen Chemikalien Keramische Hohe Beständigkeit gegen fast alle Stoffe Stoffe Korrosionsbeständige Stähle und Stahlguss

Hinweise

7.1.2.3 Änderung der Reaktionsbedingungen (Temperatur, pH-Wert oder Strömungsgeschwindigkeit), z.B. Steigerung der Strömungsgeschwindigkeit bei Lochkorrosion. Kathodischer K.-Schutz durch Opferanoden aus unedlen Metallen (Zn, Mg, Al ) in der Umgebung des Schutzobjektes (Schiffsschrauben und -ruderanlagen, Sie werden elektrisch leitend angebracht. Fremdstromanoden für erdverlegte Kabel, Rohrleitungen und Behälter. Als Anode (Pluspol) dienen im Erdreich vergrabene Platten aus GX70Si15 in Koks und Fe-Schrott eingebettet und mit einer äußeren Gleichstromquelle gespeist. 7.1.2.4 Trennung durch Schutzschichten Schutzschichten aus verschiedenen Stoffen werden nach zahlreichen Verfahren auf die Schutzobjekte aufgebracht ( 7.5.3). Für Bleche und Bänder existieren zahlreiche Normen. DIN EN

Werkstoffe und Überzüge

10152/03

Elektrolytisch verzinkte, kaltgewalzte Flacherzeugnisse aus Stahl zum Kaltumformen

10202/01

Kaltgewalztes Verpackungsblech, elektrolytisch verzinnt und spezialverchromter Stahl

10209/96

Kaltgewalzte Flacherzeugnisse aus weichen Stählen zum Emaillieren

10326/04

Kontinuierlich schmelztauchveredeltes Band und Blech aus Baustählen zum Kaltumformen Kontinuierlich schmelztauchveredeltes Band und Blech aus weichen Stählen zum Kaltumformen

10327/04 3.4.4.14

4.3.0 4.2.0 5.4.0 Tab. 5-9 6.2

7.1.2.2 Veränderung des korrodierenden Mediums ist begrenzt möglich. Entzug schädlicher Beimengungen wie z.B. CO2-Anteile oder gelöstes O durch Erwärmen oder Vakuum bei Kesselspeisewasser. Zusätze, speziell auf das Medium abgestimmt, verlangsamen die Reaktion (Inhibitoren), z.B. in Schmierölen enthalten.

81

Auflagen

+Z, +ZF, ZA, +AZ, + AS  Tabelle 14 C

10292/05

Kontinuierlich schmelztauchveredeltes Band und Blech aus Stählen mit höherer Streckgrenze

Für Bauteile aus Stahl kommen neben der Schmelztauchbehandlung (z.B. Feuerverzinken,-aluminieren) auch thermochemische Verfahren zur Anwendung ( 3.3.5.2 Tabelle 10).

7.2 Tribologie 7.2.1 Begriffe Tribologie (griech. Reibung) ist die Wissenschaft und Technik von aufeinander einwirkenden Oberflächen in Relativbewegung. Sie umfasst das Gebiet von Reibung und Verschleiß, einschließlich Schmierung und schließt Grenzflächenwechselwirkungen sowohl zwischen Festkörpern als auch zwischen Festkörpern und Flüssigkeiten oder Gasen ein.

E 82

E Werkstofftechnik

Tabelle 2. Wechselwirkungen zwischen Reibung, Verschleiß und Schmierung Reibung Durch Reibung entsteht der hydrodynamische Schmierfilm +

Reibung ist Ursache für Verluste an  Energie (Reibungswärme)  Material (Abrieb,Verschleiß)

, Schmierstoffe vermindern die Reibung

+ , Verschleiß verstärkt die Reibung Schmierung

Schmierstoffe mindern EnergieVerluste und Verschleiß, können Oberflächen chemisch verändern

Verschleiß  (Wechselwirkungen)

Reibung und Verschleiß sind deshalb keine Werkstoffeigenschaften, sondern Eigenschaften des jeweiligen tribologischen Systems.

Wärme (Alterung) und Abrieb verändern die Schmierstoffe

Aufgabe der Tribologie ist die Optimierung tribologischer Systeme, im Einzelnen:  Steigerung des Wirkungsgrades und der Leistung

Das Tribologische System (Bild 2)

 Erhöhung von Zuverlässigkeit und Lebensdauer

1 Grundkörper ist der für den Verschleiß wichtigere (Lagerschale, Führungsbahn, Baggerschaufel). 2 Gegenkörper. Bei geschlossenen Systemen ein definierter Körper (Wellenzapfen, Führungsprismen), bei offenen Systemen ein ständig wechselnder (Fördergut, Schmiederohling, Gestein). 3 Zwischenstoff (Schmierstoffe, Abrieb). Diese drei Systemelemente sind von einem umhüllenden Stoff umgeben: 4 Systemumhüllende, i. A. Luft mit Anteilen von O2, CO2, SO2 oder H2O und Staub. Die Stoffe können mit den Oberflächen und dem Zwischenstoff reagieren. 5 Beanspruchungskollektiv mit den Größen Normalkraft FN , nach Betrag, Richtung und zeitlichem Verlauf sehr verschieden. Relativgeschwindigkeit v. Die Bewegung kann gleitend, wälzend, stoßend oder strömend sein (Flüssigkeiten, Gase) Temperatur T, wirkt auf die Viskosität des Schmierstoffes ein, beschleunigt Reaktionen. Beanspruchungszeit t B erhöht Materialverlust und Masse der Reaktionsprodukte.

 Senken der Wartungs- und Instanthaltungskosten.

F v

Bild 2. Tribosystem

7.2.1 Reibungsarten und Reibungszustände Tabelle 3. Reibungsarten Haftreibung

Widerstand, welcher eine Relativbewegung zweier sich berührender Körper verhindert

Gleitreibung

Widerstand, welcher eine Relativbewegung zweier sich berührender Körper hemmt

Rollreibung

Widerstand, der das Rollen eines Zylinders auf der Unterlage hemmt, idealisiert mit Linienberührung und der Relativgeschwindigkeit Null (kein Schlupf)

Wälzreibung Innere Reibung (Viskosität)

Rollreibung mit Gleitanteil (Schlupf) Widerstand in einem Körper, der eine Relativbewegung innerer Volumen- oder Stoffteilchen behindert

Ursachen der Reibung sind Adhäsionskräfte durch ungleiche elektrische Ladungen (Dipolkräfte) und Mikrokontakte zwischen den Rauheitsspitzen  hohe Flächenpressung  Verformung  Verschweißung und Abscheren. Es entsteht in der Kontaktfläche eine Reibkraft F = FN f, die längs des Reibweges wirkt und sich überwiegend in Wärme umsetzt. Ein Teil wird zur plastischen Verformung und Abscheren der Mikrokontakte benötigt. Die Reibzahl f (auch ) wird durch Versuche ermittelt und hängt von Reibungsart und -zustand ab, es können auch Flächenpressung und Gleitgeschwindigkeit Einfluss haben.

7 Oberflächenbeanspruchung durch Korrosion, Verschleiß und Schutzmaßnahmen Tabelle 4. Reibungszustände Zustand Kennzeichen Festkör- Gleiten ohne Zwischenperrei- stoff. Bei Metallen erfolgt bung Adhäsion mit Stoffübertragung und Abscheren. Trocken- Adhäsionsneigung umso reibung kleiner, je unterschiedli(im Vaku- cher die Kristallgitter der Partner sind. um) Grenz- Als Zwischenstoff treten schicht- Grenzschichten auf, die Reibung durch tribochemische Reaktionen der Reibpartner mit dem Umgebungsmedium (Luft) und dem Zwischenstoff (Ölzusätze) entstehen. Grenz- Durch Adsorption bilden reibung sich auf oxidischen Oberflächen molekulare Schmiertofffilme aus. Schmierfilm zeitweise Mischreibung unterbrochen, es wechseln Festkörper- und Flüssigkeitsreibung ab Lückenloser Schmierfilm, FlüssigReibung zwischen den keitsreibung Reibpartnern wird verlagert in die Reibung zwischen den Schmierstoffmolekülen. Gasrei- Lückenloser Gasfilm bung trennt die Reibpartner

Verschleiß Beispiel Sehr hoch Bremsbelag „Fressen“ Scheibe Radspurkranz Schiene

Lösen von Grenzschichten Schrumpfverbindunvermingen dern Reibung und Verschleiß

83

Kinematische Viskosität: Zeitmessung, Ausfluss aus genormten Gefäßen (Kapillarviskometer). Dynamische Viskosität: Zeitmessung, Fallzeit einer Kugel in genormten Gefäßen (Fallviskosimeter). Einflusse auf die Viskosität Molekülstruktur

Temperatur

Viskosität steigt

Umgebungsmedium, Zeit Viskosität sinkt

mit mit durch Oxidation (VerLänge und steigender harzung), thermischen ZerVerzweigungen Temperatur. fall und mechanisches Abscheren der Ketten

Stärkster Einflussfaktor ist die Temperatur. Eine Temperatursteigerung um 10 K senkt die Viskosität bis auf die Hälfte, max. bis zu einem Drittel. Viskostätsverbesserer (verzweigte Polymere) mindern die Abhängigkeit, wichtig für Verbrennungsmotorenöle. 7.2.3 Schmierstoffe 7.2.3.1 Öle

Anfahren von Maschinen mit kaltem Schmiermittel Reibung und Verschleiß minimal

Lager im Dauerbetrieb

Der lückenlose Schmierfilm entsteht durch Druckaufbau von außen oder im Innern des Öles, für seine Aufrechterhaltung sind Dicke des Schmierspaltes, Viskosität und Temperatur des Schmiermittels wichtig. Äußere Pumpe erzeugt vor Hydrostatisch dem Anfahren den Schmier(aerostatisch) film, der die Reibpartner trennt Druckaufbau durch Adhäsion der Ölmoleküle, die in den sich verengenden Spalt gezogen werden. VorausHydrosetzungen sind : Ausreichendynamisch de Relativgeschwindigkeit (aerodynaund Viskosität des Schmiermisch) stoffes Verdrängungswirkung von Flächen, die sich aufeinander zu bewegen

Wellenzapfen liegt in Ruhe exzentrisch in der Lagerbohrung, Schmierfilmdicke muss größer sein als Summe der Rautiefen

Wälzvorgang, Aquaplaning

Viskosität, (auch Zähigkeit) ist die wichtigste Kenngröße für Schmieröle und kennzeichnet die Kraft, mit der sich die Kettenmoleküle einer Verschiebung in Schichten (laminare Strömung) widersetzen. Dabei erfolgt auch ein Abscheren zu kleineren Ketten (Alterung). Hohe Viskosität = zähflüssig, niedrige V. = dünnflüssig.

Mineralöle werden durch fraktionierte Destillation aus dem Rohöl abgetrennt und sind Mischungen aus linearen oder verzweigten Alkanen (Parraffinbasisöl) oder ringförmigen Cyclo-Alkanen (Naphtenbasisöl). Durch Raffination entstehen unlegierte Öle für einfache Beanspruchungen (Tabelle 5). Mit Zusätzen (Tabelle 6) sind sie für besondere Anforderungen geeignet ( z.B. Motorenöle). Tabelle 5. Kennbuchstaben und Symbole für Schmieröle, Sonderöle, schwerentflammbare Hydraulikflüssigkeiten und Synthese- oder Teilsyntheseflüssigkeiten nach DIN 51502 Stoffart (Anwendung)

Kennbuchstabe(n)

Normen

Stoffgruppe 1 Mineralöle, Normalschmieröle Umlaufschmieröle Gleitbahnöle Druckluftöle Luftfilteröle Formen-Trennöle Hydrauliköle (HL, HLP) Hydrauliköle (HVLP) Motoren-Schmieröle) Schmieröle für Kfz.-Getriebe) Isolieröle elektrisch Kältemaschinenöle Härte- und Vergüteöle Wärmeträgeröle Korrosionsschutzöle Kühlschmierstoffe Schmier- und Regleröle Luftverdichteröle (VB, VC) Walzöle

AN C CG D F FS H HV HD HYP J K L Q R S TD V W

DIN 51501/79 DIN 51517/04

DIN 515241/2/89 DIN 51524-3/90

DIN 51503-1/97 DIN 51522/98 DIN 51385/91 DIN 51515-1/01 DIN 51506/85

E 84

E Werkstofftechnik Kennbuchstabe(n)

Stoffart (Anwendung)

Normen Symbol

Stoffgruppe 2: Schwer entflammbare Hydraulikflüssigkeiten für Bergbau, Walzwerke, Flugzeuge Öl-in-Wasser-Emulsionen HFA DIN 24320 Wasser-in-Öl-Emulsionen HFB HFC Wäßrige Polymerlösungen HFD Wasserfreie Flüssigkeiten Stoffgruppe 3: Synthese- oder Teilsyntheseflüssigkeiten, biologisch abbaubar, für Anlagen der Nahrungsmittelindustrie, Baumaschinen E FK HC PH PG SI X

Ester, organisch Perfluor-Flüssigkeiten Synthet. Kohlenwasserstoffe Ester der Phophorsäure Polyglykolöle Silikonöle sonstige

Tabelle 6. Kennzahlen für die Viskosität (fett) nach DIN 51519. (Viskositäten sind ca.-Werte) ISOViskositätsklasse ISO VG ISO VG ISO VG ISO VG ISO VG ISO VG

2 3 5 7 10

ISO VG ISO VG ISO VG ISO VG ISO VG ISO VG

22 32 46 68 100

ISO VG ISO VG ISO VG ISO VG ISO VG ISO VG

220 320 460 680 1000

15

150

1500

Kinem. Visk. mm2/s 40 50° C 1,3 2,2 2,7 3,2 3,7 4,6 5,2 6,8 7 10 11 15

Dyn. V. mPa s 40° C 2,0 2,9 4,1 6,2 9,1 13,5

22 32 46 68 100 150

15 20 30 40 60 90

18 29 42 61 90 135

220 320 460 680 1000 1500

130 180 250 360 510 740

200 290 415 620 900 1350

Tabelle 7. Zusatz-Kennbuchstaben für Schmierstoffe (ausgenommen sind Motorschmieröle, Schmieröle für Kfz.-Getriebe und schwer entflammbare Hydraulikflüssigkeiten). ZusatzKennbuchstaben

Schmierstoffart

Schmieröle mit detergierenden Zusätzen, z.B. Hydrauliköl HLPD

D

Schmieröle, die in Mischung mit Wasser verwendet werden, z.B. Kühlschmierstoff SE

E

Schmierstoffe mit Wirkstoffen zum Erhöhen des Korrosionsschutzes und/oder der Alterungsbeständigkeit, z.B. Schmieröl DIN 51517 - CL-100

L

Schmierstoffe mit Festschmierstoff-Zusatz (z.B. Graphit, Mo-Disulfid) z.B. Schmieröl CLPF

F

Wassermischbare Kühlschmierstoffe mit Mineralölanteilen, z.B. Kühlschmierstoff SEM

M

Wassermischbare Kühlschmierstoffe auf synthetischer Basis, z.B. Kühlschmierstoff SES

S

Schmierstoffe mit Wirkstoffen zum Herabsetzen von Reibung und Verchleiß im Mischreibungsgebiet und/oder zur Erhöhung der Belastbarkeit, z.B. Schmieröl DIN 51517 - CLP-100

P

Schmierstoffe, die mit Lösungsmitteln verdünnt sind, z.B.Schmieröl DIN 51513 - BB-V1)

V

1) Kennzeichnung nach der Verordnung über gefährliche Stoffe (Gef-

StoffV). ■ Beispiel: Kennzeichnung eines Öles

CL 68

Kasten: Mineralöl C Schmieröl C, Stoffgruppe 1; L Korrosionsbeständigkeit,( Tabelle 7); 68 Viskositätskennzahl (Tabelle 6)

Normen: DIN TB 192 Schmierstoffe, Eigenschaften und Anforderungen, TB 303 und TB 248 Prüfungen

Tabelle 8. Zusätze zu Schmierölen Eigenschaftsmangel

Zusätze (Additives)

Stoffe und Wirkungsweise

Viskosität sinkt stark mit steigender Temperatur

VI-Verbesserer (VI = Viskositätsindex). Die V,T-Kurve wird flacher

Polymere Kettenmoleküle (Mr = 2 (104 ... 106 aus PMMA, PEPP, SB). Die Knäuelmoleküle strecken sich beim Erwärmen und erhöhen die innere Reibung

Bei Misch- und Grenzreibung kommt es zu Adhäsionsverschleiß, es erhöht sich die Reibzahl

Verschleißminderer AW - (anti-wear) und EP-Zusätze (extrem pressure)

Polare Zusätze bilden eine Adsorptionsschicht (elektrostatische Anziehung zum Metall), organische Cl-, P- und S-Verbindungen bilden durch tribochemische Reaktionen Oberflächenschichten mit kleinerer Reibzahl zu den Partnern

Feststoffteilchen lagern sich auf den Metalloberflächen ab

Detergentien

Zusätze fördern die Benetzung durch Öl und lösen Ablagerungen ab

Feststoffteilchen (Abrieb) lagern im kalten Öl ab

Dispersantien

Öl-Abbaustoffe greifen Metalle an

Korrosions-Inhibitoren

Zusätze halten die Teilchen ( Ruß) in Schwebe, keine Kaltschlammbildung Zusätze ermöglichen die Bildung von dünnen Schutzschichten

7 Oberflächenbeanspruchung durch Korrosion, Verschleiß und Schutzmaßnahmen 7.2.3.2 Festschmierstoffe sind durch ihre Kristallstruktur in der Lage, in dünnsten Schichten abzuscheren. Dabei bleiben kleinste Partikel in den Rauheitsmulden zurück, wo sie die Oberflächen glätten und Mikrokontakte verhindern. Voraussetzung ist genügend kleine Partikelgröße (0,1 ... 1 m). Festschmierstoffe werden eingesetzt bei hohen Temperaturen oder bei Forderung nach Ölfreiheit. Ihre Struktur ist ähnlich: Molekülgitter mit starken Kräften (kleine Abstände) innerhalb der netzartigen

85

Moleküle und schwache Kräfte (größere Abstände) zwischen ihnen. Anwendung für Gleitlager mit niedrigen Gleitgeschwindigkeiten, oszillierenden Bewegungen im Mischreibungsgebiet, bei Forderung nach Ölfreiheit und bei hohen Temperaturen, wie Schraubenverbindungen an Auspuffanlagen, Rohrleitungsflanschen, Bestandteil von Verbundwerkstoffen für Gleitfunktionen. Anwendungsformen sind Pasten, Sprays, und Einlagerungen in Sinterwerkstoffe.

Tabelle 9. Festschmierstoffe, Eigenschaften und Anwendung Stoff

Beschreibung

Anwendung

Talkum

Magnesiumsilikat, weißes Mineral, fettiger Griff

Pulver, Gleit- und Trennmittel für Reifendecke/ Schlauch, in Kabeln, Schneiderkreide

Graphit

Reiner Kohlenstoff, schwarzes Mineral, höhere Wärmeleitfähigkeit und Temperaturbeständigkeit in Luft (550 °C) als MoS2, preisgünstiger

Pulver für Sicherheitschlösser, Pasten mit rückstandfrei verdampfenden Flüssigkeiten. Zusatz zu Fett und Öl, Bestandteil von Sinterwerkstoffen für Gleitzwecke (Stromabnehmerteile, Kolbenringe f. Gaskompressoren)

Bornitrid (hex. BN)

Wegen des Graphitgitters als weißer Graphit bezeichnet, in Luft stabil bis 1000 °C, in Inertgas bis 1800 °C

Beschichtung (coatings) mit Spray oder Pasten (Schlichte) von gießtechnischen Geräten und Anlagen, die mit Al-, Mg-, Zn-, PbSchmelzen oder Schlacken Kontakt haben. Geringe Benetzung und Reibung zwischen Schmelze/Wand. Trennmittel beim Löten, Sintern, und Warmumformen

Molybdändisulfid

Synthetische Verbindung MoS2, bleigraue Kristalle, höhere Druckfestigkeit (Dichte) und Beständigkeit im Vakuum (Pumpen) als Graphit, bis ca 400 °C beständig, Korngröße 0,1 ... 10 m

Pulver und Pasten für Grundbehandlung von Gleitstellen, die nicht mehr nachgeschmiert werden können: Stopfbuchsenpackungen, Kreuzgelenke. Gleitlacke für Nabe-Welle-Verbindung zur Verhütung von Reiboxidation (Passungsrost), Bestandteil von Sinterwerkstoffen für Gleitzwecke (in Verbindung mit PTFE (Teflon) und hex. BN

7.2.3.3 Fette

2 Konsistenzklasse

Fette sind durch Verseifung verdickte Öle (Naphtenbasis = Ringverbindungen) Seifen sind Salze der Metalle Na, Ca, Li (auch Kombinationen) mit langkettigen Fettsäuren. Der Viskosität entspricht die Konsistenzkennzahl, ermittelt mit der Konuspenetration (DIN ISO 2137). Zähes Fett lässt einen genormten Kegel weniger eindringen als dünnflüssigeres. Tabelle 10 (4 Teile). Kennzeichnung von Schmierfetten DIN 51502 1 Schmierfett für Kenn-Buchst. Wälz- und Gleitlager, K Gleitflächen DIN 51825 geschlossene Getriebe DIN 51826 G Offene Verzahnungen (Haftschmierstoffe) OG Für Gleitlager und Dichtungen M Schmierfette auf Synthesebasis Tab. 5/Stoffgr. 3 ■ Beispiel: Kennzeichnung eines Fettes mit Mineralölbasis

K 3E-20

Dreieck: Mineralölbasis ; K für Wälzlager (Tabelle 10.1) 3: Konsistenzklasse 3 (Tabelle 10.2); E: obere Gebrauchstemp. bis 80° C (Tabelle 10.3), -20: untere Gebrauchstemperatur (Tabelle 10.4).

Walkpenetration in 0,1 mm 445...475 400...430 355...385 310...340 265...295 220...250 175...205 130...160 85...115

Kennzahl 000 00 0 1 2 3 4 5 6

3 Zusatzkennbuchstaben Tmax Verhalten in °C gegen 1) Wasser 60 0 oder 1 C 2 oder 3 D 80 0 oder 1 E 2 oder 3 F 100 0 oder 1 G 2 oder 3 H 120 0 oder 1 K 2 oder 3 M

4 Gebrauchstemperatur Tmin in °C

Kennzahl

– 10 – 20 – 30 – 40 – 50 – 60

– 10 – 20 – 30 – 40 – 50 – 60

Tmax in °C

Verhalten gegen Wasser

140 N 160 Nach P 180 VereinR 200 barung S 220 T >220 U 0 keine, 1 geringe, 2 mäßige, 3 starke Veränderung

E 86

E Werkstofftechnik

Tabelle 11. Verschleißmechanismen VerschleißMechanimus Adhäsion Abrasion (Furchung) Oberflächenzerrüttung Tribochemische Reaktion

Kennzeichen

Erscheinungsbild

Gegenmaßnahmen

Verschweißungen im Mikrobereich, wo örtlich Fresserscheinungen, Reibpartner mit unterschiedlihohe Temperaturen (Blitztemperaturen) auftreten Bremsspuren, Aufcher chemischer Struktur können bauschneide, wählen Zerspanung im Mikrobereich, Riefen durch harte Riefen auf Bremsscheiben Hartstoffpartikel im GrundkörTeilchen im Zwischenstoff oder durch die Adhäsi- oder an Lagern bei verunrei- per, Einbettungsfähigkeit on entstandene, abgescherte, verfestigte Partikel nigtem Öl des Gegenkörpers Rissbildung in der Oberfläche durch wechselnde Grübchenbildung bei Wälz- Dickere Randschicht gehärtet Spannungen und Verformungen hervorgerufen lagern, an Zahnflanken, (bei Stahl) Reaktionsprodukte beeinflussen den Verlauf des Verschlei- Reiboxidation, (Passungsrost), Dünne Zwischenßes. Sie entstehen durch Reaktion der Reibpartner mit dem Wirkung der Öl-Additiva auf die schichten aus Festschmierstoffen Umgebungsmedium unter Wirkung der Tribobeanspruchung Oberflächen (Hypoidöle)

7.3 Verschleiß Verschleiß ist der Materialverlust durch die tribologische Beanspruchung: Im Mikrobereich wird die Oberfläche impulsartig elastisch und plastisch verformt, schockartig erwärmt und abgeschreckt, evtl. durch Martensitbildung verfestigt (Reibmartensit) und durch abgelöste Partikel zerfurcht und chemisch aktiviert. Verschleiß erfolgt nach vier Mechanismen, die vielfach in Kombination auftreten (Tabelle 11).

7.4 Lager- und Gleitwerkstoffe 7.4.1 Allgemeines Bei der Kraft- und Bewegungsübertragung berühren sich Maschinenteile und gleiten aufeinander. Grundkörper sind meist Bauteile aus Stahl oder Gusseisen im weichen, gehärteten oder beschichteten Zustand. Die Gegenkörper (Lagerwerkstoff) sollen geringen Verschleiß und Schmiermittelverbrauch verursachen, die Paarung eine niedrige Reibzahl ausweisen. Beim System Welle / Lager muss die entstehende Reibungswärme abgeführt werden, damit die Lagertemperatur nicht unzulässig ansteigt und durch Wärmedehnung kein Klemmen auftritt. Daneben gibt es andere Tribosysteme wie Zahnradpaarungen, Schnecke / Rad, Schraube / Mutter mit anderen Beanspruchungskollektiven. Für diese Beanspruchungen stehen zahlreiche Lagerwerkstoffe aus

unterschiedlichen Legierungen, Polymeren und Keramik zur Verfügung (Tabelle 14). Struktur von Gleitlagern Massivgleitlager (Cu-Knet- und Gusslegierungen) als Sand-, Kokillen-, Strang- oder Schleuderguss, je nach Größe und Stückzahl. Die gesamte Lagerschale besteht aus dem Lagerwerkstoff. Verbundgleitlager (alle Lagerwerkstoffe) in dünneren Schichten auf korrosionsgeschützten, verzinnten, oder verkupferten Stahlstützschalen (1...3 mm) zur Kraftübernahme und Ausgleich der Wärmedehnung. Tragschicht aus Lagermetallen und evtl. Zwischenschichten als Diffusionssperre und teilweise eine äußere Gleitschicht (Dreischichtlager). Gleitschichten (overlay)) aus PbSn(Cu), galvanisch in dünner Schicht aufgebracht (< 20 m), für Grenzreibung und als Korrosionsschutz. Gleitlagerfolie. AlStreckmetall mit PFTE und Festschmierstoff, eingewalzt und gesintert. Extrem dünnwandige Bauweise (Glacier DM.) für z.B. spielfreie Scharniere. 7.4.2 Lagerwerkstoffe Kennzeichen der Lagermetalle sind im Basismetall unlösliche Komponenten. Sie erstarren – abhängig vom Schmelzpunkt – als erste ( Cu) oder letzte Phase (Pb). Auf diese Weise erhält man harte oder weiche Phasen im evtl. durch weitere LE verfestigten Grundgefüge. Es besteht die Gefahr von Seigerungen, deshalb Schleuderguss oder schnelle Abkühlung.

Tabelle 12. Gefüge der Lagerwerkstoffe Gefüge Harte Kristalle in weicher Matrix Weiche Gefügebestandteile in härterer Matrix Homogene Gefüge (Mischkristalle) Heterogene Gefüge aus Metallund Nichtmetallphasen

Werkstoffe Pb-Sn-Legierungen mit Antimon, PbSb-Kristalle sind härter (Hartblei) als das Grundgefüge, ebenso SnSb als intermetallische Phase CuZn, CuSn, CuAl mit Zusätzen: Härtere intermetallische Phasen in weicheren Cu-Mischkristallen (kfz.); CuSnPb mit härteren CuSn-Phasen mit weicherem Pb, (ist Cu-unlöslich und erstarrt als letzte Phase) in feiner Verteilung. CuSn bei geringen Sn-Anteilen, P zur weiteren Mischkristallverfestigung. Minderung der Verschweißneigung, P hat Affinität zum Schmierstoff Trockengleitlager: Stahlstützschale mit aufgesinterter CuSn-Schicht (Bronze) und aufgewalzter PTFE-, oder POM -Schicht mit Festschmierstoffanteil (Graphit).Selbstschmierende Lager: Sintereisen oder -bronze. Porenräume mit Öl, Fett oder Graphit gefüllt.:

7 Oberflächenbeanspruchung durch Korrosion, Verschleiß und Schutzmaßnahmen

87

Tabelle 13. Anforderungen an Lagerwerkstoffe und Eigenschaftsprofil Anforderungen an Lagerwerkstoffe Belastbarkeit (Flächenpressung) und Fähigkeit, Fremdkörper einzubetten und Schmiertaschen zu bilden Geringe Wärmeentwicklung, aber gute Ableitung von Reibungswärme, kein Klemmen durch Wärmeausdehnung Niedriger Verschleiß = hohe Lebensdauer Bei Mangelschmierung oder Ausfall soll ein kurzzeitiges Gleiten aufrecht erhalten werden (Notlaufeigenschaften) Bei nicht exakt fluchtenden Achsen kein Bruch durch Kantenpressung, bei Stoßbelastung oder durch Ermüdung,

Werkstoffeigenschaften heterogene Gefüge mit härteren Tragkristallen und weicheren Gefügeteilen niedrige Reibzahl und hohe Wärmeleitfähigkeit ( Wärmedehnung der Partner beachten) Geringe Neigung zum Kaltschweißen (geringe Adhäsionsneigung, Abrasionswiderstand) Anteil oberflächlich schmelzender Bestandteile oder Festschmierstoffe im Gefüge angepasste Zähigkeit, hohe Dauerfestigkeit

Tabelle 14. Lagermetalle und -werkstoffe, Übersicht über die Legierungssysteme Legierungssystem DIN ISO 4381/01 Pb-Sn Mit kleinen Anteilen von Cu, As, Cd

Beispiele

Beschreibung

Blei-und Blei-Zinn-Verbundlager, Gusslegierungen PbSb15SnAs Dreifachsystem aus zwei eutektischen Systemen (PbSn und PbSb) kombiniert mit einem PbSb15Sn10 peritektischen (SbSn) mit kompliziertem Erstarrungsverlauf. Primäre Ausscheidung der harPbSb10Sn6 ten Sb-reichen intermetallischen -Phase, als würfelförmige Tragkristalle in der GrundPbSb14Sn9CuAs masse aus Pb+ ) liegend. As und Cd wirken weiter verfestigend. SnSb12Cu6Pb Bei Cu-haltigen Sorten scheidet sich primär eine harte, intermetallische CuSn-Phase dendriSnSb8Cu4 tisch aus. Sie hält die später kristallisiertenden würfelförmigen SbSn-Kristalle in der bleireiSnSb8Cu4Cd chen Schmelze in Schwebe. Fettdruck: Sorten auch in DIN ISO 4383 enthalten

DIN ISO 4382-2/92 Cu- Knetlegierungen für Massivgleitlager Cu-Sn, Cu-Zn Cu-Al

CuSn8P CuZn31Si1 CuZn37Mn2Al2Si CuAl9Fe4Ni4

Homogene Gefüge aus kfz.-MK bis etwa 8% Sn, darüber heterogene mit der härteren intermetallischen -Phase. (Sondermessing) , kfz.-Mischkristallgefüge, zähhart, geringe Notlaufeignung. Cu-Al sehr hart, seewasserbeständig, Konstruktionsteile mit Gleitbeanspruchung

DIN ISO 4382-1/92 Cu-Gusslegierungen für dickwandige Verbund- und Massivgleitlager Cu-Pb- Sn Massivgleitlager

Massiv- und Verbundlager

CuPb8Pb2 CuSn10Pb CuSn12Pb2 CuPb5Sn5Zn5 CuSn7Pb7Zn3 CuPb9Sn5 CuPb10n10 CuPb15Sn8 CuPb20Sn5 CuAl10Fe5Ni5

Blei ist in Cu unlöslich, es bleibt zwischen den CuSn-Mischkristallen und härteren CuSnPhasen flüsssig und erstarrt zuletzt. Zn ersetzt teilweise das teure Sn (Rotguss). Pb wirkt bei Überhitzung als Notschmierstoff. Mit steigendem Pb-Gehalt sinkt die Härte. Mit dem Sn-Gehalt steigen Härte und Streckgrenze, für gehärtete Gegenkörper und Stoßbeanspruchung geeignet Pb ergibt weiche, anpassungsfähige (Fluchtungsfehler) Legierungen für mittlere bis hohe Gleitgeschwindigkeiten, bei hohen Pb-Gehalten auch für Wasserschmierung geeignet. Al erhöht Korrosionsbeständigkeit und Gleiteigenschaften, Fe verhindert das Entstehen spröder Phasen. Harte Werkstoffe mit hoher Zähigkeit und Dauerfestigkeit

DIN ISO 4383/01 Verbundwerkstoffe für dünnwandige Gleitlager CuPb10n10 Mit Pb-Gehalt steigt der Verschleißwiderstand im Bereich der Mischreibung und KorrosionsbestänCuPb17Sn5 digkeit gegen Schwefelverbindungen, deshalb Einsatz in Kfz-Verbrennungsmotoren mit Stillständen CuPb24Sn4 und Kaltstarts für Haupt- und Pleuellager CuPb30 AlSn20Cu weich Al ist leicht und gut wärmeleitend, gleiche Wärmausdehnung wie bei Al-Gehäusen, die AlAl AlSn6Cu härter Oxidschicht verhindert Adhäsion und Korrosion. Mit der Härte steigt die Dauerfestigkeit. AlSi11Cu hart Gerollte Buchsen oder dünnwandig auf Stahlblech gewalzt und mit galvanischer GleitAlZn5Si1,5Cu hart schicht versehen 1Pb1Mg Gleitschichten PbSn10Cu2 weich Dünne, galvanisch aufgebrachte Schichten zum Einlaufen und für Grenzreibung Overlays PbSn10, PbIn7 Sintereisen, Fe mit 0,3 % C + Cu Porenräume sind mit Schmierstoff gefüllt (< 30 %), das bei Erwärmung austritt. Sinterbronze Cu mit 9...11 %Sn Mit Kunststoff-Gleitschicht imprägniert (PTFE, POM, PVDF) Cu-Pb

E 88

Tabelle 15. Lagermetalle und Gleitwerkstoffe auf Cu-Basis (DKI) Kurzname DIN EN 1982 W.-Nummer

Gießart 2)

Rm

Festigkeiten 1) Rp0,2 A % MPa

Härte HB min

Bemerkungen

Anwendungsbeispiele

CuSn12-C CC483K

-GS -GM -GZ -GC

260 270 280 280

140 150 150 140

12 5 5 8

80 80 95 90

Sorten mit 2 % Pb für Lager mit verbesserten Notlaufeigenschaften, dafür sind gehärtete Wellen zweckmäßig, in GZoder GC- Ausführung sind Lastspitzen bis max. 120 MPa zulässig

Schneckenräder und -kränze, Gelenksteine, unter Last bewegte Spindeln, Lager mit hohen Lastspitzen

CuSn12Ni2-C CC484K

-GS -GZ -GC

280 300 300

160 180 170

14 8 10

90 100 90

Wie oben mit erhöhter Zähigkeit und Verschleiß-festigkeit

Schneckenradkränze mit Stoßbeanspruchungen

CuSn7Zn4Pb7-C CC493K

-GS -GM -GZ -GC

240 230 270 270

120 120 130 130

15 12 13 16

65 60 75 70

Preisgünstig, für normale Gleitbeanspruchung, gute Notlaufeigenschaften durch 5...8 %Pb. In GZ- oder GCAusführung sind bis zu 40 MPa zulässig (Alter Name Rg7)

Lager im Werkzeugmaschinenbau, in Baumaschinen, Schiffswellenbezüge

CuSn7Pb15-C CC496K

-GS -GZ -GC

180 220 220

90 110 110

8 7 8

60 65 65

Beste Notlaufeigenschaften bei Mangel-bzw. Wasserschmierung. In GC- Ausführung sind bis zu 70 MPa Flächenpressung zulässig

CuZn25Al5Mn4Fe3-C CC762S

-GS -GM -GZ -GC

750 750 750 750

450 480 480 480

8 8 5 3

180 180 190 190

Preisgünstig, für besonders hohe statische Be-lastungen geeignet, weniger für dynamische und hohe Gleitgeschwindigkeiten. Schlechte Notlaufeigenschaft, gute Schmierung erforderlich

Gelenksteine, Spindelmuttern, die nicht unter Last verstellt werden, langsam laufende Schneckenradkränze

CuAl11Fe5Ni6-C CC344G

-GS -GM -GZ

680 680 750

320 400 400

5

170 200 185

Für höchste Stoß-und Wechselbelastung bis zu 25 MPa Flächenpressung, mäßige Notlaufeigenschaf-ten, hohe Dauerschwingfestigkeit in Meerwasser

Stoßbeanspruchte Gleitlager in Schmiedemaschinen und Kniehebelpressen, Gelenkbacken, Druckmuttern

Mittelwerte

2)

Gießart: Sandguss (-GS); Kokillenguss (-GM); Schleuderguss (-GZ); Strangguss (-GC);

3)

Alle Kupfer-Guss-Legierungen sind in DIN EN 1982 zusammengefasst.

E Werkstofftechnik

1)

Lager mit höchsten Flächendrücken, Lager von Kaltwalzwerken, mit Kantenpressung, Motorenhauptlager

7 Oberflächenbeanspruchung durch Korrosion, Verschleiß und Schutzmaßnahmen

E 89

Tabelle 14. Fortsetzung DIN ISO 6691 Thermoplastische Kunststoffe für Gleitlager Beispiele PA6; PA66; PA11, PA12 Polyoxymethylen, POM Polytetrafluorethylen PFTE Polyimide PI Polyamide

Beschreibung Vielseitige Werkstoffe für Gleitlager und -elemente, zähhart, stoß-, verschleiß- und schwingfest, Förderkettenglieder, Kupplungsteile POM, für Mischreibung geeignet, Zahnräder PFTE, weich, kleine Reibzahl, kaltzäh, kleinste Gleitgeschwindigkeiten. PI, hart, wärmebeständig bis 350° C, z. B. Lager in Durchlauföfen

7.5 Beschichtungen und Schichtwerkstoffe 7.5.1 Allgemeines Die Oberfläche eines Bauteils ist der Angriffsort für Verschleiß und Korrosion, in einer Oberflächenschicht wirken meist die maximalen, meist wechselnden Spannungen. Sie kann durch Stoffeigenschaftändern oder Beschichten so verändert werden, dass ein einfacher, preisgünstiger Grundwerkstoff in einer bestimmten Eigenschaft „aufgerüstet“ wird, um das Anforderungsprofil zu erfüllen. Übersicht. Schichtsytem Technologie

Funktion

Substrat, Substrat-Oberfläche Bauteile, Flach- oder Strukturwerkstoff, Widerstand gegen Verformung und Bruch. Langprodukte, Wichtig für die sichere Haftung Reinheit und Rauheit durch Vorbehandlungen 1) der Schicht Zwischenschicht wird aufgetragen oder ent- Ausgleich der unterschiedlichen steht durch Diffusion bei Wärmedehnungen von Substrat höheren Temperaturen und Schicht, hemmt Risse und Abschälen Oberflächenschicht durch Beschichten, Fügen übernimmt Schutz gegen Korrooder Stoffeigenschaftsion, Verschleiß, wirkt als Diffuändern hergestellt sionssperre, Wärmedämmung 1)

DIN EN ISO 12944-4 Vorbehandlung der Oberflächen, wichtig für die Schutzdauer einer Korrosionsschicht, (verschiedene Normreinheitsgrade mit steigendem Aufwand); DIN EN 13507/01 Thermisches Spritzen – Vorbehandlung von Oberflächen metallischer Werkstücke für das thermische Spritzen.

Durch Beschichten können sehr viele metallische, keramische und polymere Werkstoffe in verfahrensabhängigen Dicken aufgebracht werden. Die zahlreichen Verfahren ermöglichen es, jeden Substratwerkstoff nahezu mit jedem Schichtwerkstoff zu kombinieren. Durch Stoffeigenschaftändern wird nur eine Randschicht auf die gewünschten Eigenschaften hin verändert. Es entsteht ein System aus dem Grundwerkstoff (Substrat), einer Zwischenschicht (Interface) und der eigentlichen Schicht, die evtl. auch mehrlagig sein kann (multilayer). Für die Schichthaftung ist eine Vorbehandlung der Substratoberfläche notwendig.

7.5.2 Eigenschaftsverbesserungen durch Oberflächenbehandlung Bauteile

Verfahrensbeispiele

Dauerfestigkeit Wellenabsätze, Federn, Wasser- und Ölpumpen

Verfestigungswalzen und -strahlen, Randschichthärten, Salzbadnitrieren

Widerstand gegen Zerrüttung Zahnflanken, (Wälzlager)

Einsatzhärten, Nitrieren, Randschichthärten

Widerstand gegen Adhäsion Gleitende Bauteile Schneidwerkzeuge

Hartverchromen, Dispersionsschichten, Umschmelzhärten, Thermisch Spritzen (Mo), Nitrieren. PVD- und CVD-Schichten aus TiN, TiC, TiAlN u.a.

Widerstand gegen Abrasion Teile, in Berührung mit Fördergut, z.B. Fadenführer, Mischerschaufeln, Ketten Tribooxidation Sitz von Nabe auf Welle

Thermisches Spritzen, Auftragschweißen, Auflöten von Hartstoffpartikeln, Borieren Gleitlacke mit Mo-Disulfid

Widerstand gegen Korrosion Stahlkonstruktionen, Schmelztauchen (Zn, ZnAl, AlSi, Blechteile, AlZn), Galvanisch Beschichten (alle Metalle), Thermisch Spritzen (AlSi), Glaspressformen Thermisch Spritzen (NiCrBSi) Thermischer TurbinenPlasma-Spritzen ZrO2 mit Haftschicht. Schutz Schaufeln, Phosphatieren, hex. (+Gleitmittel) Wälzlager in Bornitrid-Schichten Ofenanlagen Verarbeitungseigenschaften lötfähige Schichten auf Schmelztauchen, Plattieren, schwer lötbaren Werkstoffen Halbzeug zur Phosphatieren, Kaltumformung hex. Bornitrid-Schichten Regeneration verschlissener Bauteile Werkzeuge, Bauteile zur Förderung und HartZerkleinerung

Thermisch Spritzen oder Auftragschweißen mit Hartlegierungen

E 90

E Werkstofftechnik

7.5.3 Verfahrensübersicht Beschichten Beschichten (Einteilung nach DIN 8580) durch / aus Werkstoffe Verfahren, Anwendungen dem ... Zustand AlSi, AlZn, Pb, Sn, ZnAl, Schmelztauchen zum Korrosionschutz für Halbzeuge und Bauteile aus Stahl, Temperguss (z.B. Feuerverzinken). flüssigen ZnFe, SiO2 + Oxide für Emaillieren z. Korrosionsschutz , hitzebeständig < 450° C Haftung/Farbe Anstreichen, Färben, Glasieren, Drucken, Farben, Lacke körnigpulvrigen Legierungen, Oxide, Carbi- Thermisch Spritzen mit verschiedenen Wärmequellen, de, Nitride Thermoplaste Elektrostatisch Beschichten, Wirbelsintern Schweißen Stahl mit Cr Mn, Ni ,Mo Auftragschweißen nach verschiedenen Schweiß-Verfahren, Cu-, Ni-, Co-Legierungen, Auftraglöten Löten Ni-Hartlote +Hartstoffpartikel CVD-Verfahren: Konturentreue Abscheidung von Hartstoffen Metalle Ni, Ta, Ti, Mo Nb, W. gas/dampfals Reaktionsprodukt der zugeführten Gase bei 1200 ... 850° C, Boride, nd Carbide, förmigen plasmaunterstützt bei nur 600 ... 300° C. Nitride, Oxide, Silicide (Vakuum) PVD-Verfahren: Ungleichmäßige Abscheidung der Reaktionsgas/dampfCrN, TiC, TiN, Ti(C,N) produkte aus Katodenverdampfung oder Abstäuben (Sputtern) förmigen Mehrfachschichten mit den zugeführten Gasen. Durch angelegte Spannung entstediamantartige C:H-Schichten (Vakuum) gesteuerte Abscheidung ermöglicht hen gerichtete Teilchenströme. Schattenwirkung erfordert Rotation der Bauteile. Prozesstemperatur bis 200 ... 500° C gradierte Schichten Metalle, Legierungen Galvanisch Beschichten zum Korrosionsschutz, (mit Hartstoffpartikeln). zur Dekoration, (Verschleißschutz) Ionisierten... NiP, Ni/SiC, Ni/P/Diamant PFTEChemisch Beschichten (fremdstromlos) zum Verschleißschutz, Teilchen in Ni-Matrix Zylinderlaufbüchsen Schicht durch Fügen aufgebracht Schichtwerkstoff Cu, CuMn, CuNi10Fe, CuNi30Fe, CuAl8Fe, Ni99, NiCr21Mo (Incoloy), Plattieren Al, AlZn1 Ag, Al 99,5, CuAl10Ni, CuZn39Sn, CuZn20Al; Ta, Ti

Grundwerkstoff (Substrat) Walzplattieren zum Korrosionsschutz für Stahlbleche und Feinkornbaustähle Hochfeste Cu-haltige, Al-Legierungen Sprengplattieren für Bleche, auch für Kessel und Kesselböden

Oberflächenveränderung durch Stoffeigenschaftändern ( 3.3). Mechanisch: Verfestigungswalzen und -strahlen, überwiegend Thermisch Randschichthärten durch Flamm-, Induktions-, Tauch- oder Umschmelzhärten, für Thermochemisch Aufkohlen z.. Einsatzhärten, Nitrieren, Stahlsorten Borieren, Chromieren, Aluminieren

7.5.4 Funktionsschichten Zahlreiche abgewandelte CVD- und PVD-Verfahren, auch Laserverfahren, ermöglichen fast beliebige Stoffkombinationen in sehr dünnen, meist mehrlagigen Schichten mit speziellen Aufgaben.

Funktion Reibungsmindernd Antihaftschichten Verchleißschutz Schleifwerkzeug Wärmedämmung, Antireflex Standzeiterhöhung, Werkzeuge Kratzschutz für Glas

Dicke 70 bis 120 μm 0,5... 20 mm 2 bis 6 mm 1 bis 15 m

1... 10 m

1 bis 100 m

1bis 10 mm

0,05 bis 2 mm

Informationen zu Schichten im Internet unter folgenden Adressen (auch über Suchbegriffe): Fraunhofer-Institute AHC-Oberflächentechnik Wissenstransfer Oberflächentechnik

Werkstoffe

www.oberflächentechnik.fhg.de www.AHC-oberflächentechnik.de www.surface-net.de

Verfahren

Amorphe C:H-Schichten, diamantartig (DLC) 0,1...5 m, niedrige Reibzahl, HF-Plasmasehr hart, für Wellenoberflächen an Gleitringdichtungen, Einspritzpumpenteile CVD C:H:Si:O-Schichten für Extrusionswerkzeuge Hartstoffe 0,5...5mm auf Zerspan- und Umformwerkzeuge Laserstrahlbeschichten Polykristalliner Diamant (PKD) 9000.1000 HV für feinste Oberflächenbarbeitung CVD Mehrlagige Schicht mit Ag-Anteil (10 nm) auf Architekturglas HF-Plasma-CVD TiC, ZiN, Ti(CN), TiAlN, CrN, Cr3C2, Al2O3, meist mehrlagig, für Werkzeuge PVD aus HSS-Stählen und Hartmetallen Al-Oxid im Nanobereich HF-Plasma-CVD

8 Prüfung metallischer Werkstoffe

E 91

8 Prüfung metallischer Werkstoffe Schwerpunkt des Abschnittes sind die Prüfverfahren, welche Eigenschaftskennwerte liefern, die für die Beurteilung von Werkstoffen wichtig sind. Dazu gehören auch einige Versuche über die Eignung für bestimmte Fertigungsverfahren. Wichtige Aufgaben der Werkstoffprüfung sind außerdem:  Fehlersuche an Vormaterial und Fertigteilen (Qualitätssicherung) durch zerstörungsfreie Prüfungen,  Überwachung der Wärmebehandlung und deren Einfluss auf das Gefüge,  Bestimmung unbekannter Werkstoffe, Trennung von vertauschtem Material.

8.1 Prüfung der Härte Messprinzip: Härte ist der Widerstand des Gefüges gegen das Eindringen eines härteren Prüfkörpers unter einer Prüfkraft. Am zurückbleibenden Eindruck wird ein Messwert abgenommen und daraus der Härtewert bestimmt (tabellarisch, Messinstrument).

Bild 1. Härteprüfung nach Brinell Beanspruchungsgrad B=

0,102 F BD 2 ⇒ F = 0,102 D2

B

F

D

1

N

mm

Die genormten Kräfte liegen z.B. für Stähle mit dem Beanspruchungsgrad 30 zwischen 294,2 N und 29420 N. Der Kugel- D soll so groß wie möglich gewählt werden. Danach muss nach der Härteprüfung mithilfe der Tabelle 1. festgestellt werden, ob für den ermittelten Eindruck- d die Mindestdicke kleiner ist als die Probendicke. Andernfalls ist die nächstkleinere Kugel zu verwenden. Tabelle 1. Brinellhärteprüfung

8.1.1 Härteprüfung nach Brinell (DIN EN ISO 6506-1/05)

Mindestdicke der Proben in Abhängigkeit vom mittleren Eindruck- (mm) Eindruck Mindestdicke s der Proben für Kugel- d D in mm: D=1 2,5 5 10 0,2 0,08 1 0,83 1,5 2,0 0,92 2 1,67 2,4 2,4 1,17 3 4,0 1,84 3,6 2,68 4 3,34 5 5,36 6 8,00

Eindringkörper: Hartmetallkugeln mit 1; 2,5; 5; und 10 mm (Zeichen HBW). Der Kugel- D hängt von der Härte und der Dicke s der Probe ab. Die entstehende Kugelkalotte wird vermessen. Damit sich vergleichbare und reproduzierbare Härtewerte ergeben, sind bestimmte Prüfbedingungen genormt: 1. Die Höhe h der entstehenden Kugelkalotte (= Eindrucktiefe h) soll höchstens 1/8 der Probendicke s betragen, Die Unterlage darf den Fließvorgang beim Eindringen nicht behindern. Mindestdicke smin ! 8 h! Mit der Eindrucktiefe

(

h = D − D2 − d 2

) 12 .

2. Die Kalotte darf nicht zu flach oder zu tief sein: Der Eindruck- d soll zwischen 0,24 D und 0,6 D liegen. 3. Die Messwerte sind nur dann vergleichbar, wenn zwischen den Beträgen von Prüfkraft F und dem Kugel-- D im Quadrat ein konstantes Verhältnis besteht. Dies ist der Beanspruchungsgrad und für 5 Werkstoffgruppen festgelegt (Tabelle 1 unten). Prüfkraft: Die am Prüfgerät einzustellende Prüfkraft F wird aus Tabellen des Normblattes entnommen, oder es wird nach Tabelle 2 rechts für den vorhandenen Werkstoff und der zu erwartenden Härte der Beanspruchungsgrad abgelesen und die Prüfkraft mit der Formel für den Beanspruchungsgrad berechnet.

Werkstoffgruppen, Beanspruchungsgrad und erfassbarer Härtebereich Brinellbereich Werkstoffe Beanspruchungsgrad HBW Stahl, Ni, Ti 30 Gusseisen 1) < 140 10 > 140 30 Cu und 35 ... 200 10 Legierungen  200 30 < 35 2,5 Leichtmetalle < 35 2,5 35 ... 80 5/ 10/ 15 > 80 10/15 Pb, Sn 1 1)

Nur mit Kugel 2,5; 5 oder 10 mm / Sinterformteile nach DIN EN 24 498-1

E 92

E Werkstofftechnik

Messwert: Am Prüfling wird der Durchmesser d der entstehenden Kalotte (Eindruck- ) ausgemessen, bei unrunden Eindrücken als Mittelwert aus zwei Durchmessern, die senkrecht aufeinander stehen. Dabei ist eine Genauigkeit von  0,5 % erforderlich, damit der Härtewert nicht mehr als  1 % unsicher ist. Härtewert: Brinellhärte HBW = = HBW –

F N

Prüfkraft F Eindruckoberfläche A

0,204 F 5 6 D 3 D  D 2  d 2 20 4 1

D,d mm

Zur schnellen Ermittlung des Härtewertes werden Tabellen benutzt. Die Härtewerte sind nur dann vergleichbar, wenn sie unter gleichen Prüfbedingungen ermittelt wurden. Von der Standardmessung abweichende Prüfbedingungen müssen deshalb im Kurzzeichen enthalten sein. Die Kraft wird darin mit dem 0,102-fachen der wirklichen Prüfkraft eingesetzt. Kurzzeichen und Bedeutung: Kurzzeichen 350 HBW

Härte 350

120 HBW 5/250/30 180

 D / Prüfkraft F Einwirkdauer 10 mm / 29420 N Standardmessung ohne Angaben 5 mm / 250/0,102 F = 2252 N

Prüfkraft: Die Kraft ist ohne Einfluss auf den Härtewert, wenn der Eindruck mehrere Kristalle erfasst. Bereich VickersHärteprüfung Kleinkrafthärteprüfung Mikrohärteprüfung

Kraftbereich in N

HV 5  HV 0,2

1,961 ! 0,0980

HV 0,2  HV 0,01

Bevorzugt angewandte Kräfte sind Bild 2 zu entnehmen. Damit die Schicht nicht in den Grundwerkstoff eingedrückt wird, muss sie mindestens das 1,5-fache der Eindruckdiagonalen an Dicke aufweisen. Die Prüfkraft kann aus Bild 2 abgelesen werden, wenn Prüfdicke und zu erwartende Härte bekannt sind. Ablesebeispiel: Blech von s = 1 mm Dicke und einer Härte von etwa 300 HV. Der Schnittpunkt der beiden Koordinaten im Diagramm verläuft oberhalb der Kurve 2 (490 N), also ist eine Prüfkraft von F = 490 N geeignet; sie würde auch für einen weicheren Werkstoff der Dicke 1 mm bis herunter zu einer Härte von 200 HV zulässig sein. Messwert: Mittelwert der beiden Eindruckdiagonalen. Die Ablesegenauigkeit soll 2 m betragen. Je härter der Prüfling, umso geringer die Rautiefe der Probenoberfläche. Härtewert: Vickerhärte HV =

30 s

HV = 0,189 F/d 2

Rm  3,5 HBW 10/3000 mit Rm in MPa Anwendungsbereiche: a) Härtemesssung an Werkstoffen mittlerer Härte bis zu 650 HBW. b) Härtemessung an Werkstoffen mit harten und weicheren Gefügebestandteilen. Dabei erfasst die 10 mm-Kugel viele Phasen und ergibt eine mittlere Härte (Lagermetalle, Gusseisen). c) Nachprüfung der Zugfestigkeit an wärmebehandelten Teilen ohne wesentliche Beschädigung. Das Verfahren ist nicht geeignet zu Härtemessung an dünnen, harten Oberflächenschichten.

HV30  HV 5

49,03 ! 1,961

10 ... 15 s Standardmessung

Für unterperlitische Stähle besteht eine durch Versuche ermittelte angenäherte Beziehung zwischen der Brinellhärte HBW und der Zugfestigkeit Rm aus dem Zugversuch:

Kurzzeichen

980 ! 49,03

Prüfkraft F Eindruckoberfläche A

Normalbereich Prüfkraft F Kurzzeichen in N HV 5 49,03 HV 10 98,07 HV 20 196,10 HV 30 294,20 HV 50 490,30 HV 100 980,70

HV 1

F N

Kleinlastbereich Prüfkraft F Kurzzeichen in N HV 0,2 1,961 HV 0,3 2,942 HV 0,5 4,903 HV 1 9,807 HV 2 19,610 HV 3 29,420

8.1.2 Härteprüfung nach Vickers (DIN EN ISO 6507-1/05) Eindringkörper: Vierseitige Diamantpyramide mit 136° Spitzenwinkel.

d mm

Bild 2. Härteprüfung nach Vickers

8 Prüfung metallischer Werkstoffe

E 93

Kurzzeichen und Bedeutung: Kurzzeichen

Härte

Prüfkraft F

640 HV 30

640

30 /0,102 = 294 N

180 HV 50/30

180

50 / 0,102 = 490 N

Einwirkdauer 10 ... 15 s normal, wird nicht angegeben 30 s

Anwendungsbereich: Die Härteprüfung nach Vickers ist sehr genau und hat den breitesten Messbereich. Besonders geeignet für dünne, harte Randschichten, wie sie durch Borieren, Hartverchromen, Nitrieren oder Beschichten hergestellt werden.

Bild 3. Härteprüfung nach Rockwell

Der Härtewert wird direkt an einem Tiefenmessgerät (Messuhr) abgelesen. Die Prüfzeit ist kurz, das Verfahren lässt sich automatisieren.

Messwert, Härtewert: Die Messuhr zeigt dann die bleibende Eindringtiefe th an. Sie ist ein Maß für die Rockwellhärte. Für Werkstoffgruppen unterschiedlicher Härte und Probendicke sind verschiedene Rockwell-Messverfahren entwickelt worden. Tabelle 2 zeigt die wichtigsten mit den zugehörigen Daten.

Eindringkörper: Diamantkegel mit 120° Spitzenwinkel, auch Stahlkugel mit d = 1,587 oder 3,175)

8.1.4 Vergleich der Härtewerte

8.1.3 Härteprüfung nach Rockwell (DIN EN ISO 6508-1/06)

Messverfahren: Der Eindringkörper ist mit einem Tiefenmessgerät gekoppelt. Er wird stoßfrei unter Wirkung der Prüfvorkraft F0 auf den Prüfling aufgesetzt. Diese Stellung ist Bezugspunkt der Tiefenmessung (Messbasis in Bild 3.). Die Dicke des Prüflings soll das 10-fache der Eindringtiefe betragen.

Umrechnungen der verschiedenen Härtewerte sind nicht möglich. Durch Versuchsreihen wurden Beziehungen ermittelt und in Umwertungstabellen DIN EN ISO 18265/04 festgelegt. Sie vergleichen die Vickershärte HV mit den Werten nach HBW, HRB, HRC, HRA und HRN und gelten für un- und niedriglegierte Stähle und Stahlguss, jedoch nicht für hochlegierte und kaltverfestigte Stähle aller Art. Angenäherte Beziehungen sind:

Unter Wirkung der Prüfkraft F1 dringt der Diamantkegel in ewa 5 s tiefer in den Prüfling ein. Nach Stillstand der Bewegung wird die Prüfkraft F1 abgeschaltet, der Werkstoff federt zurück, der Diamantkegel wird etwas angehoben. Die Prüfvorkraft F0 hält ihn in Kontakt mit dem Eindruck. Jetzt wird abgelesen.

a) Zwischen Brinell- und Vickershärte: HBW  0,95 HV, b) Für härtere Stähle bis zu Rm < 2000 MPa gilt: Rm = 3,4 HV (errechnet), c) Die Rockwellhärte HRC beträgt im Bereich 200 < HV > 400 etwa 0,1 dieser Werte.

Prüfkraft: Sie ist unterteilt in eine Prüfvorkraft F0 und eine Prüfkraft F1.

Tabelle 2. Rockwell-Verfahren (Auswahl) Prüfverfahren mit Diamantkegel Kurzzeichen Prüfvorkraft F0 in N Prüfkraft F1 Gesamtkraft F Messbereich Härteskale in mm Werkstoffe Berechnung der Rockwellhärten

mit Hartmetallkugel HRC

HRA 98

1373 1471 20 ... 70

490 588 20 ... 88

0,2 Stahl, Wolframgehärtet, Blech angelassen > 0,4 mm HRC, HRA = 100 – 500 th th in mm

HR 15N

HR 30 N

HR45 N

29,4 117,6 264,6 411,6 147 294 441 70 ... 94 42 ... 86 20 ... 77 0,1 Dünne Proben > 0,15 mm, kleine Prüfflächen, dünne Oberflächenschichten HRN = 100 – 100 th th in mm

Die verschiedenen Härtewerte sind nicht miteinander vergleichbar.

HRB

HRF 98

882 980 20 ... 100

490 588 60 ... 100

0,2 Stahl, St-FeinCuZn-Leg. Blech, CuSn-Leg. CuZn weich HRB/HRF = 130 – 500 th th in mm

E 94

E Werkstofftechnik

8.2 Zugversuch (DIN EN 10002-1/01 Verfahren für RT, Teil 5 für höhere Temperaturen) Zugversuch: Die Probe unterliegt einer stetig zunehmenden, einachsigen Zugbeanspruchung bis zum Bruch. Hookesche Gerade. (elastischer Bereich) Linearer Anstieg der Spannung über der Dehnung, Spannung und Dehnung sind proportional, es gilt das Hooke'sches Gesetz

 = E ;

bis zur Proportionalitätsgrenze  P (wird nicht ermittelt). Danach überproportionale Dehnung bis zum ersten Maximum, der oberen Streckgrenze ReH, Werkstoff fließt mit evtl. schwankender Spannung. Relatives Minimum ist die untere Streckgrenze ReL. danach Anstieg der Kurve (Kaltverfestigung) bis zum Maximum. Von da ab örtlich Querschnittsverminderung (Einschnürung) mit fallender Kraft bis zum Bruch. Tabelle 3. Zugversuch, Werkstoffkennwerte Werkstoffkennwerte Formel 1)

Bemerkungen

E-Modul E E=/

E-Modul errechnet sich aus dem Hook’schen Gesetz :  = E  aus zwei zugeordneten Werten im elastischen Bereich. Ideelle Spannung, welche die Dehnung 1, d.h. L = L0 bewirken würde

Zugfestigkeit Rm Rm = Fmax / S0

Fmax liegt beim Maximum der Kurve. Rechnerische Größe zum Werkstoffvergleich.

Im Diagramm mit der ersten Unstetigkeit (relatives Maximum) verStreckgrenze Re (ReH) knüpft. Genauer als obere Streckgrenze ReH bezeichnet. Merkmal Re = FS / S0 für Baustähle, im Kurzzeichen enthalten 0,2%Dehngrenze Rp0,2 Rp0,2 = F0,2 / S0

F0,2 ist die Kraft, welche die Probe um 0,2% von L0 verlängert, entlastet gemessen und ermittelt, wenn keine erkennbare Streckgrenze vorliegt und meist auch unter Streckgrenze tabelliert.

Bruchdehnung A A = Lu – L0 / L0 (Angaben in %)

Lu ist der Abstand der Messmarken an der Zugprobe nach dem Bruch. A ist Mittelwert aus Gleichmaßdehnung Ag (gl) und Einschnürdehnung Aq (q)

Brucheinschnürung Z Su ist die Bruchfläche, aus dem Mittelwert von zwei Durchmessern, Z = S0 – S u / S 0 senkrecht zueinander, errechnet. (Angaben in %) 1)

Berechnung F in N, S in mm2 ; E, R,  in MPa

Bild 4. Spannungs-Dehnungs-Diagramm

1 2 3

weicher Stahl mit Streckgrenze, gehärteter Stahl ohne erkennbare Steckgenze, Verlauf der wahren Spannung.

Zugproben. Der Versuch wird mit Zugproben durchgeführt, die aus einer Versuchslänge mit konstantem Querschnitt bestehen und verdickten Einspannköpfen an den Enden (Schulter-, Gewindeköpfe und Köpfe für Beißbacken). Das Verhältnis zwischen Messlänge L0 und Durchmesser d0 ist festgelegt: L0/d0 = 5. (Bild 5).

Bild 5. Zugprobe L0 Messlänge; d0 Anfangsdurchmesser; S0 ursprünglicher Querschnitt; Lu Messlänge nach dem Bruch; Su Querschnitt nach dem Bruch Normen für Probestäbe: Gusseisen DIN EN 1561/97, Temperguss DIN EN 1562/97, Druckguss DIN 50148/75

Versuchsablauf: Die Zugprobe wird biegungsfrei in die Spannvorrichtung der Prüfmaschine eingesetzt und langsam bis zum Bruch gedehnt. Die Spannungszunahme soll 10 N/mm2 je Sekunde nicht überschreiten. Es werden zugeordnete Werte von Zugkraft und Verlängerung gemessen und als Kraft-VerlängerungDiagramm aufgezeichnet. Durch Division der Kraftwerte mit dem Anfangsquerschnitt und der Verlängerung mit der Ausgangslänge entsteht daraus das Spannungs-Dehnungs-Diagramm. Wenn das Verhältnis L0/d0 = 5 gewahrt wird, ist es von den Abmessungen der Probe unabhängig.

8 Prüfung metallischer Werkstoffe

8.3 Kerbschlagbiegeversuch (DIN EN 10045-1/04) Untersuchung des Werkstoffes auf seine Verformungsfähigkeit unter fließbehindernden Bedingungen. Als Fließbehinderung wirken: Schlag Sehr kurze Verformungszeit

Gekerbte Proben Kleines Verformungsvolumen

Dreiachsiges Spannungsystem im Kerbgrund

Gemessen wird die zum Zerbrechen genormter Proben benötigte Arbeit KV. Probenformen unterscheiden sich durch ihre Länge und die Art der Kerbe: Spitzkerben für zähe, Rundkerben für weniger zähe Werkstoffe. DIN 50115 gibt besondere Probenformen an (Flachkerb- und Kleinprobe).

E 95 Kerbschlagarbeit KV KV = Wp – Wü = F(h – h1)

KV,W J

F N

h, h1 m

F ist die Stützkraft bei waagerechter Stellung des Pendels gemessen (Bild 7). Neben der Probenform und der Hammergröße sind die Messwerte wesentlich von der Temperatur abhängig. Angaben der Kerbschlagarbeit enthalten die Probenform und das Arbeitsvermögen der Prüfmaschine, das normal 300 J beträgt und nur bei Abweichungen hinter das Symbol KV, (KU) gesetzt wird. ■ Beispiel: = 40 J: Spitzkerbprobe / mit 300 J; KV KU 100 = 20 J: Rundkerbprobe / mit 100 J gemessen

Kerbschlagarbeit-Temperaturkurve (Bild 8) Während kubisch- flächenzentrierte Metalle bis zu tiefen Temperaturen keine Änderung der Zähigkeit zeigen, besitzen die kubisch- raumzentrierten einen Steilabfall im Bereich der Übergangstemperatur Tü. Die Lage des Steilabfalls wird vom Gefügezustand beeinflusst und ist durch Wärmebehandlung verschiebbar.

Bild 6. Kerbschlagproben a) Normalprobe mit Spitzkerb, b) ältere DVM-Probe

Bild 8. Kerbschlagarbeit-Temperaturkurve Anwendungen

Bild 7. Kerbschlagbiegeversuch mit Pendelschlagwerk und Ermittlung der Kraft F

Wärmebehandlung

Versuchsablauf: Durchführung auf Pendelschlagwerken DIN 51222. Die Probe wird im tiefsten Punkt der Pendelbahn (Bild 7) als Träger auf zwei Stützen mittig von der Hammerscheibe des Pendels auf Biegung beansprucht und zerschlagen. Die Lageenergie Wp in der Ausgangsstellung des Pendels (Höhe h) wird durch die verbrauchte Schlagarbeit vermindert, sodass das Pendel nur bis zur Höhe h1 weiterschwingt. In der Stellung 3 besitzt es die Überschussenergie Wü.

Stahlsorten nach DIN EN 10025

Auswertung: Die Schlagarbeit KV ist Differenz der Energien:

Trennungsbruch

Sichtprüfung Verformungsbruch

Erläuterungen Kontrolle, bei Überhitzung oder AnlassSprödigkeit ergeben sich niedrige Werte Stahlgüten werden durch Anhängesymbole JR, J0, J2 unterschieden, welche auf die Prüftemperatur des Versuches hinweisen (Tabelle 3-14), ebenso bei Feinkornbaustählen DIN EN 10025-3 und -4, Längs- und Querproben bei – 60° C) Bruchfläche zerklüftet mit Stauch- und Zugzonen an den Rändern, Zeichen für zähen Werkstoff Bruchfläche eben mit glatten Rändern, Zeichen für spröden Werkstoff

E 96

E Werkstofftechnik

8.4 Prüfung der Festigkeit bei höheren Temperaturen Die Festigkeiten metallischer Werkstoffe werden durch Mechanismen wie Mischkristallverfestigung u.a. (Tabelle 2.5) bewirkt, die aber nur bis zu Temperaturen von ca. 0,4 Tm (K) stabil sind. Für Stähle ist das ein Bereich von 200 ... 350° C. Hier ist die Berechnungsgrundlage für Konstruktionen die Warmstreckgrenze nach DIN EN 10002-5. Der Zugversuch wird dabei mit beheizten Zugproben durchgeführt. Bei langzeitig mechanischer Beanspruchung unter Temperaturen > 0,4 Tm (K) sind die Festigkeiten zeitabhängig, der Werkstoff hält nur noch eine bestimmte Zeit lang stand, die von der Beanspruchung abhängt. Ursache ist das Kriechen, eine langsame plastische Formänderung unter Last. Sie führt zu Maßänderungen und später zum Bruch. Die Kriechgeschwindigkeit steigt mit der Spannung und der Temperatur. Kriechursachen: Bei diesen Temperaturen wird eine Kaltverfestigung (Behinderung der Versetzungsbewegungen) durch ständige Rekristallisation aufgehoben, ebenso die Korngrenzenverfestigung, da Korngrenzengleiten auftritt. Dadurch sind grobkörige Gefüge günstiger. Weiter wirksam ist die Teilchenverfestigung, wenn ihre Größe und Verteilung bei den hohen Temperaturen stabil sind. Zeitstandversuche: Aufwändige Langzeitversuche (bis zu 105 h  15 Jahre) an Zugproben mit konstanten Temperaturen- und Belastungen. In Abständen werden die Dehnungen gemessen bzw. der Bruch festgestellt. Aus vielen Proben eines Werkstoffs unter verschiedenen Beanspruchungen bei konstanter Temperatur ergibt sich das Zeitstandfestigkeitsschaubild (Bild 9). Es können z.B. abgelesen werden:

Spannung die Zeit t (Index) bei der Temperatur T in °C (Index) konstant wirkte.

8.5 Prüfung der Festigkeit bei schwingender Beanspruchung Bei dynamischer Beanspruchung von Bauteilen (Festigkeitslehre 8.3) geht der Ansatz der zulässigen Spannung nicht mehr von der Streckgrenze aus, sondern von der Dauerfestigkeit der jeweiligen Beanspruchungsart. Sie wird in Dauerversuchen an Proben mit polierter Oberfläche ermittelt. 8.5.1 Ermittlung der Biegewechselfestigkeit aus dem Umlaufbiegeversuch (DIN 50113) Zum Versuch sind 6 ... 10 Proben des gleichen Werkstoffs, Form und Bearbeitung erforderlich. Im Versuch wird die Probe wie eine umlaufende Welle auf Biegung beansprucht. Sie ist einseitig eingespannt und trägt die Prüfkraft F als Kraglast (Bild 10). Im gefährdeten Querschnitt tritt das maximale Biegemoment auf. Die Biegespannung ändert sich sinusförmig mit der Drehung, sodass mit einer Umdrehung ein Schwingspiel mit Zug- und Druckspannungen durchlaufen wird.

Bild 10. Umlaufbiegeversuch; 1 Spindel mit Aufnahmekonus, 2 Probe mit aufgestecktem Lager als Angriffspunkt der Kraft F, die das Biegemoment im eingezogenen Querschnitt erzeugt.

Bild 9. Zeitstandfestigkeits-Schaubild des Stahles 24CrMoV5-5 für 550° C ■ Ablesebeispiel: Zeitstandfestigkeiten Zeitdehngrenze

Rm 105/550 = 60 MPa Rm 103/550 = 180 MPa Rp0,2; 103/550 = 90 MPa Rp1; 105/550 = 80 MPa

Zeitdehngrenze ist die Zugspannung, welche die bleibende Dehnung (Index) hervorruft, wenn die

Bild 11. Wöhlerkurve Die Schwingspiele bis zum Bruch werden gezählt, weitere Proben mit gestuften kleineren Spannungen geprüft. Aus den Messwerten ergibt sich die Wöhlerkurve (Bild 11). Sie wird bei hohen Lastspielen fla-

8 Prüfung metallischer Werkstoffe cher und nähert sich einem Grenzwert der Spannung, der sog. Dauerfestigkeit, hier als Biegewechselfestigkeit bW bezeichnet. Es ist die Spannung, die sich aus der Wöhlerkurve für etwa 107 Schwingspiele ergibt. Für Stahl verläuft ab 107 Schwingspiele die Kurve waagerecht. Bei Versuchen genügt es, diese Schwingspielzahl zu erreichen. Für andere Metalle liegt sie höher. Jede andere Oberflächenbeschaffenheit als poliert setzt die Zahl der ertragbaren Lastspiele herab, d.h. senkt die Dauerfestigkeit, ebenso wie Kerben und Wellenabsätze. Kerbwirkungszahlen lassen sich durch Versuche mit gekerbten, abgesetzten oder quergebohrten Wellen ermitteln ( Festigkeitslehre 8.3). 8.5.2 Andere Dauerversuche Dauerversuche unter ständigem Korrosionsangriff ergeben Wöhlerkurven ohne waagerechten Auslauf, eine Dauerfestigkeit ist nicht bestimmbar, es gibt nur Zeitfestigkeiten. Weitere Dauerversuche arbeiten mit schwellenden oder wechselnden Zug-, Druck-, Biege oder Torsionsspannungen und entsprechend geformten Proben. Dabei werden die Mittelspannungen ebenfalls gestuft. Aus vielen Messreihen kann das Dauerfestigkeitsschaubild für einen Werkstoff gezeichnet werden. 8.5.3 Dauerfestigkeitsschaubild (nach Smith, Spannungsbegriffe  Festigkeitslehre) Es zeigt für steigende Mittelspannungen, (X-Achse) die Ober- und Unterspannungen (y-Achse) die vom Werkstoff ertragbar sind, ohne dass es zu Dauerbrüchen kommt. Die Aufnahme eines solchen Schaubildes ist sehr aufwändig, es kann auch angenähert ermittelt werden. Erforderlich sind die Werte von Streckgrenze, Schwell- und Wechselfestigkeit.

E 97 Die Punkte werden geradlinig verbunden. Da die Oberspannung die Streckgrenze nicht überschreiten darf, wird das Diagramm durch die Waagerechte bei Re = 400 MPa begrenzt. Das gilt auch für die Mittelspannung m, sodass sich Punkt A ergibt. Die Linie der Unterspannung ergibt sich aus der Gleichheit der Spannungsausschläge a nach oben und unten.

8.6 Untersuchung von Verarbeitungseigenschaften Eigenschaft

Beschreibung

Technologischer Biegeversuch DIN EN ISO 7438/05 Proben der Dicke a sollen sich um einen Eignung zum Dorn von 0,5...3a  um 180° ohne ZugKaltumformen risse an der Außenseite falten lassen bei RT Tiefungsversuch DIN EN ISO 20482/03 Genormtes Werkzeug zieht ein NäpfEignung zum chen mit 20 mm-Kugel bis zum ersten Tiefziehen, Korn- Anriss auf der Außenseite. Tiefungswert größe, Anisotro- ist der Kugelweg. Für Feinblechgüten pie sind bestimmte dickenabhängige Tiefungswerte gewährleistet. Stirnabschreckversuch DIN EN ISO 642/00 Die auf Härtetemperatur erhitzte Probe wird mit einer Blende nur an der StirnseiHärtbarkeit, te abgeschreckt, sodass zum EinspanDurchhärtung, nende hin die Abschreckwirkung und Einhärtung, Härte sinken (Bild 13). Ergebnis vieler Versuche ist ein Band, da die Einhärtung je nach Analyse und Austenitisierung schwankt. Solche Bänder sind Teil der Normen für Einsatz-und Vergütungsstähle. Kurzangabe: J 35/43-15: In einem Abstand 15 mm von der Stirnfläche soll die Härte zwischen 35 und 43 HRC liegen.

Bild 13. Stirnabschreckprobe und -kurve (Jominy) 1 Stirnfläche, 2 Härteprüfeindrücke

8.7 Zerstörungsfreie Werkstoffprüfung

Bild 12. Dauerfestigkeitsschaubild ■ Beispiel: Streckgrenze Re = 400 MPa, Zugschwellfestigkeit zSch = 400 MPa, Zugwechselfestigkeit zW. = 240 MPa.

Ordinate und Abszisse haben gleichen Maßstab. zW auf der Ordinate nach oben und unten, m auf der Abszisse auftragen. zSch wird über der zugehörigen Mittelspannung m = zW / 2 = 200 MPa aufgetragen.

Werkstofffehler wie z.B. Lunker, Gasblasen, Sandeinschlüsse oder Risse in Gussteilen oder Doppelungen in Walz- und Schmiedeteilen, sowie Risse durch Schleifen oder Härten und Schmieden müssen ohne Probenahme direkt am Werkstück geortet werden, ohne dass das Teil Schaden erleidet. Dazu sind durchdringende Medien geeignet wie z.B. Schall, Magnetfelder oder Strahlen sehr kurzer Wellenlänge. Die verschiedenen Verfahren haben Anwendungsgrenzen, sie überschneiden sich teilweise in den Anwendungsbereichen. Tabelle 4 gibt eine Gegenüberstellung der Verfahren.

E 98

Tabelle 4. Übersicht, zerstörungsfreie Werkstoffprüfung Prüfprinzip

Erzeugung der Prüfmedien

Fehleranzeige

Anwendungen

Prüfling ist Teil eines magnetischen Kreises (Jochmagnetisierung) oder Kern einer Spule (Spulenmagnetisierung) Nachweis von Querrissen in der Randschicht. Prüfling ist Leiter in einem Stromkreis (Selbstdurchflutung) und besitzt ein schraubenförmiges Feld. Nachweis von Längs- und Querrissen. Prüfling liegt im Wechselfeld einer Spule.

Magnetpulver (Fe/Fe3O4) in Öl fließt über den Prüfling. Am Streufeld richten sich die Teilchen nach den Kraftlinien aus (Brückenbildung). Bei fehlerfreiem Werkstoff keine Markierung. Tastspule wird über die Oberfläche geführt, Streufelder induzieren Ströme, die Ton- oder Bildschirmsignale erzeugen. Anderung der Spulendaten durch Änderung des Kurvenbildes am Oszillographen erkennbar. Vergleich mit fehlerfreiem Prüfling erforderlich.

Magnetpulverprüfung für Stahlteile mit blanker Oberfläche: Wellen, Achsen, Lenkungsteile auf Härte-, Schleifoder Schmiederisse in Oberfläche bzw. Randzone. Magnetinduktive Prüfung für metallische Werkstoffe auf Risse, Einschlüsse, Porosität. Sortierung nach Legierungsarten (Verwechselungsprüfung) Wärmebehandlung (Einhärtungstiefe). Dickenmessung an Rohren, Folien und Beschichtungen am laufenden Halbzeug.

Schwingquarze (piezoelektrischer Effekt) oder Magnetschwinger (magnetostriktiver Effekt) werden elektrisch mit 0,5...25 MHz erregt. Prüfkopf wird mit Pasten, Öl oder Wasser an die Oberfläche des Prüflings angekoppelt.

Impuls-Echo-Verfahren: Prüfkopf mit Schwinger ist Sender von Impulsen (1...10 s Dauer), in den Pausen Empfänger der Signale, die von Oberfläche, Rückwand oder dem Fehler mit Zeitabstand reflektiert und auf Bildschirm als Zacken abgebildet werden. Aus der Laufzeit kann die Tiefenlage des Fehlers bestimmt werden. Prüfling braucht nur von einer Seite aus zugänglich zu sein!

Schweißnahtprüfung (mit Winkelköpfen), Prüfung von Klebverbindungen, Halbzeugen (Doppelungen), große Schmiede- und Gussteile auf Einschlüsse, Schmiedeund Flockenrisse im Innern. Periodische Kontrolle hochbelasteter Maschinenteile, z.B. Schienen. Radsätze und Wellen von Bahnfahrzeugen, Turbinenwellen, Kranhaken. Wanddickenmessung an korrodierten Blechen

Magnetische Verfahren Magnetische Kraftlinien werden an querliegenden Fehlern gestört, d.h. nach außen gelenkt und erzeugen dort ein Streufeld. Wirbelströme, im Prüfling durch eine stromdurchflossene Spule erzeugt, werden von chemischer Zusammensetzung, Gefügezustand und Fehlern beeinflusst. Es führt zu einer Änderung des Scheinwiderstandes der Spule. Ultraschall-Verfahren Schallwellen werden in Stoffen an Grenzflächen reflektiert und laufen geschwächt weiter. Als Grenzflächen wirken innere Fehler wie Seigerungen und Gefügeunterschiede. Nachweis des reflektierten Schalls (Echo) oder Messung des geschwächten Signals und Vergleich mit fehlerfreiem Werkstück gleicher Dicke. Durchstrahlungsverfahren Filme erleiden an Fehlstellen stärkere Schwärzung: Abbild des Fehlers, aber keine Anzeige der Tiefenlage. Leuchtschirmbetrachtung: Fluoresziende Stoffe wandeln Röntgenstrahlen in sichtbares Licht: Prüfling erscheint als dunkles Schattenbild auf hellem Schirm (Schwächung), Fehler ergeben hellere Flächen. Prüfling kann bewegt werden. Röntgenbild-Verstärkerröhre macht Fernübertragung möglich, keine Strahlenbelastung

Prüfung von Guss- und Schmiedeteilen aus Stahl (bis zu 150 mm), Aluminium (bis zu 250 mm). Schweißnahtprüfung (zur Dokumentation) Die Bestimmungen des Strahlenschutzes sind zu beachten.

E Werkstofftechnik

Kurzwellige Strahlen (Wellenlänge < Atomabstand) durchdringen Röntgenröhren: die Materie und führen zu verschiedenen physikalischen Erschei- bis 400 kV: Stahl bis 150 mm. nungen. Betatron: bis 30 MeV Erscheinung Anwendung Stahl bis 500 mm. Schwächung der Strahlen Grobstrukturprüfung. Fehlerortung Radioisotope Co 60 Beugung an Gitterebenen Feinstrukturprüfung, Kristallgitter ( -Strahler) Cs 137 Ir 192 Anregung der Atome zur Röntgenspektralanalyse, FluoresÄhnlich Röntgenröhren Eigenstrahlung zens (Leuchtschirm)

8 Prüfung metallischer Werkstoffe

E 99

Eindringverfahren (Penetrierverfahren) zur Ortung von Rissen, die von der Oberfläche ausgehen. Sie arbeiten mit geringem Geräteaufwand und sind für alle Werkstoffe geeignet. Prüfprinzip Prüfmittel: Anzeige:

Risse saugen infolge der Kapillarwirkung Flüssigkeiten auf Dünnflüssige Lösungen zum Streichen, Sprühen oder Tauchen Nach Entfernen des überschüssigen Prüfmittels tritt mithilfe eines Entwicklers die im Riss verbliebene Flüssigkeit dunkel, farbig oder im UV-Licht fluoreszierend hervor und kann fotografiert werden.

Literaturhinweise, Informationsquellen Autor Gesamtdarstellungen Askeland. D.R.: Bargel/Schulze (Hrsg.): Bergmann, W.: Gräfen, H. (Hrsg.): Hornbogen, E.: Ilschner, B.: Ruge, J.: Schatt, W (Hrsg.): Weber, A.(Hrsg): Weißbach,W.: Wellinger-Krägeloh: Chemie Kohaupt, B.: Scheipers, P. (Hrsg.): Stahl und Eisen Zeitschrift: Stahl und Eisen Bohlbrinker, A.-K.: Hougardy; H.: Taube, K.: Bürgel, Ralf: DIN TB 218/01 VDEh (Hrsg.): Gusseisenwerkstoffe

Titel Materialwissenschaften. Spektrum Verlag 1996 Werkstoffkunde. VDI-Verlag 2004 Werkstofftechnik. Hanser-Verlag 1987 Lexikon Werkstofftechnik. VDI-Verlag 1991 Werkstoffe. Springer-Verlag 1987 Werkstoffwissenschaften. Springer-Verlag 1982 Technologie der Werkstoffe. Verlag Vieweg 1998 Einführung in die Werkstoffwissenschaft. VEB-Verlag Leipzig 1981 Neue Werkstoffe. VDI-Verlag1989 Werkstoffkunde und Werkstoffprüfung. Verlag Vieweg 2001 Werkstoffe und Werkstoffprüfung. rororo-Technik-Lexikon, Rohwohlt 1971 Praxiswissen Chemie für Techniker und Ingenieure. Verlag Vieweg 1995 Chemie, Grundlagen, Anwendungen, Versuche. Verlag Vieweg 1993 Stahleisen-Verlag, Düsseldorf Stahlfibel. Beratungsstelle für Stahlverwendung, Verlag Stahleisen 1989 Die Umwandlung und Gefüge der Stähle. Verlag Stahleisen 1990 Stahlerzeugung kompakt. Verlag Vieweg 1998 Handbuch Hochtemperatur-Werkstofftechnik. Verlag Vieweg 1998 Werkstofftechnologie. Wärmebehandlung Stahl Eisen Liste. Verlag Stahleisen 1994

Zeitschrift: Konstruieren und Gießen (K + G) Feinguss für alle Industriebereiche Feingießen, Geschichtliche Entwicklung und heutige Herstellung Gusseisen mit Kugelgraphit Bainitisches Gusseisen mit Kugelgraphit Wärmebehandlung von Gusseisen mit Lamellen- oder Kugelgraphit Werkstoffe allgemein VDI-Berichte 1235 1151 1080 797 Aluminium-Taschenbuch DIN Taschenbücher 450/98; 451/02; 452/02 Kupfer- und Kupferlegierungen DIN TB 456/00; 457/00 Magnesium-Taschenbuch Titan

ZGV-Zentrale für Gussverwendung, Düsseldorf K+G, 1983/3+4 Duktiles Gusseisen, Temperguss K + G, K+G, 1993/2 Schweißkonstruktionen mit Tem- 1983/1 + 2 perguss K + G, 1995/2, K+G, 1988/1 Gusseisen mit Vermiculargraphit K + G, 1991/1 K+G, 1986/4 Stahlguss, Herstellung, Eigenschaf- K + G, 1988/4 ten und Verwendung K+G, 1996/2 Austenitisches Gusseisen K + G, 1993/3 Niedrigleg. Graphit. GusswerkK + G, 1987/1 stoffe

Neue Werkstoffe im Automoblbau. VDI-Verlag 1995 Effizienzsteigerung durch innovative Werkstofftechnik VDI-Verlag 1995 Leichtbaustrukturen und leichte Bauteile VDI-Verlag 1994 Ingenieur-Werkstoffe. VDI-Verlag 1990 Aluminium-Verlag 1997 450: Stangen, Rohre, Profile, Drähte; 451: Bänder, Bleche, Platten, Folien usw.; 452: Al-Guss, Schmiedestücke, Vormaterial. Beuth-Verlag Informationsschriften des Deutschen Kupfer-Instituts DKI 456: Stangen, Profile, Rohre; 457: Bleche, Bänder, Ronden. Beuth-Verlag Aluminium-Verlag 2000 Informationen über www.deutschetitan.de

E 100 Kunststoffe Domininghaus, H.: Menges, G.: Saechtling Hellerich/Harsch/Haenle Verschiedenes Zapf/Dalal/Silbereisen: DIN TB 247/01 Czichos/Habig: Singer, E.: Leonhardt/Ondracek, (Hrsg.): VDI-Bericht 965.1 und 2 Kaesche, H.: DIN TB 219/95 Pursche, G. (Hrsg.): Steffen, H.-D./Wilden, J. (Hrsg) Müller, K-P.: Werkstoffprüfung DIN TB 19/00; TB 56/00 Krautkrämer, J./H.: Macherauch, E.: Schumann, H.: VDI-Berichte 1194

E Werkstofftechnik

Eigenschaften der Kunststoffe. Hanser-Verlg 1986 Werkstoffkunde Kunststoffe. Hanser 2002 Kunststoff Taschenbuch. Hanser 2001 Werkstoffführer Kunststoffe. Hanser-Verlag 1996 Die Pulvermetallurgie. Vorlesungsreihe, Fachverband Pulvermetallurgie Pulvermetallurgie. Metallpulver, Sintermetalle, Hartmetalle. Beuth-Verlag Tribologie Handbuch. Verlag Vieweg, 1992 Brennstoffe, Kraftstoffe, Schmierstoffe. Schroedel 1980 Verbundwerkstoffe und Werkstoffverbunde. DGM-Verlag 1993 Verbundwerkstoffe und Werkstoffverbunde. VDI-Verlag 1992 Korrosion der Metalle. Springer 1999 Korrosion und Korrosionsschutz. Beuth-Verlag Oberflächenschutz vor Verschleiß. Verlag Technik Berlin 1990 Moderne Beschichtungsverfahren. DGM-Verlag 1996 Lehrbuch Oberflächentechnik. Verlag Vieweg 1996 Materialprüfnormen für metallische Werkstoffe 1 und 2. Beuth-Verlag Werkstoffprüfung mit Ultraschall. Springer-Verlag 1987 Praktikum in Werkstoffkunde. Verlag Vieweg 1992 Metallographie. VEB Verlag für Grundstoffindustrie, Leipzig 1983 Härteprüfung in Theorie und Praxis. VDI-Verlag 1995

Werkstoff-Fachverbände (Herausgeber von Informationsschriften über Werkstoffe) Name, Anschrift

Tel.

Fax

Internet http:\\...

Aluminium-Zentrale. Am Bonneshof 5, 40474 Düsseldorf

0211/4796200

0211/4796410

www.aluminiumzentrale.de

DGM Deutsche Gesellschaft für Materialkunde. Hamburger Allee 26, 60486 Frankfurt

069/7917750

069/7917733

www.dgm.de

DECHEMA, Dt. Ges. für chem. Apparatewesen. PF 15 01 04, 60061 Frankfurt/Main

069/75640

069/7564201

www.dechema.de

Deutsches Kupfer-Institut, Am Bonneshof 5, 40474 Düsseldorf

0211/4796300

0211/4796310

www.kupferinstitut.de

FPM Fachverband Pulvermetallurgie Goldene Pforte 1, 58093 Hagen

02331/958817

02331/51046

www.fpm-wsm-net.de

Fraunhofer-Gesellschaft. Zahlreiche Institute

www.fraunhofer.de

Informationsstelle Edelstahl Rostfrei. Sohnstraße 65, 40237 Düsseldorf

0211/6707835

0211/6707344

www.edelstahl-rostfrei.de

Informationszentrum Technische Keramik, PF 16 24, 95090 Selb

09287/91234

09287/70492

www.keramverband.de

Stahl-Informationszentrum PF 10 48 42 40039 Düsseldorf

0211/6707846

0211/6707344

www.stahlinfo.de www.stahlforschung.de

VDEh, Verein Deutscher Eisenhüttenleute Sohnstraße 65, 40237 Düsseldorf

0211/67070

0211/6707310

www.vdeh.de

VDI-Gesellschaft Werkstofftechnik. PF 10 11 39, 40002 Düsseldorf

0211/6214536

0211/6214160

www.technikwissen.de

ZGV-DVG Zentrale für Gussverwendung. PF 10 19 61, 40010 Düsseldorf

0211/68710

Initiative Zink i.d. Wirtschaftsvereingung Metalle Am Bonneshof 5, 50474 Düsseldorf

0211/4796176

www.dgv.de 0211/4796415

www.initiative-zink.de

F Thermodynamik Heinz Wittig

Formelzeichen und Einheiten

A

m2

Fläche

T

K

Temperatur (thermodynamische Temperatur)

t

s

Zeit

C

W m2 K 4

Strahlungszahl

c

J kg K

spezifische Wärmekapazität

U J

Energie

u

J kg

V

m3

E

J

H J

Enthalpie

h

J kg

spezifische Enthalpie

k

W m2 K

Wärmedurchgangskoeffizient

l M

m

Länge

kg kmol

m kg

7

W J w

molare Masse Masse

m3 kg

l

J kg 1 K 1 K W m2 K

innere Energie spezifische innere Energie Volumen spezifisches Volumen Arbeit spezifische Arbeit Längenausdehnungskoeffizient

Polytropenexponent

v

Druck



Wärme

8 1

Emissionsgrad

q

J kg

spezifische Wärme

9

Wirkungsgrad

J kg K

: ºC

Celsius-Temperatur

Ri

spezielle Gaskonstante des Stoffes i

;

Isentropenexponent

Raumanteil



n

1

p

Pa =

N m2

Q J

r

1

S

J K

Entropie

s

J kg K

spezifische Entropie

μ



1

1 W mK

1 kg m3

Volumenausdehnungskoeffizient Wärmeübergangskoeffizient

Wärmeleitfähigkeit Massenanteil Dichte

F2

1 Grundbegriffe 1.1 Temperatur Die Temperatur ist ein Maß für den Vorrat an (thermischer) innerer Energie eines thermodynamischen Systems. Sie ist eine physikalische Basisgröße. Mit der Temperatur verbinden sich subjektive Wahrnehmungen zur Beschreibung der Warmheit eines stofflichen Körpers (z.B. kalt, warm). Das natürliche Wärmeempfinden des Menschen kann über die Höhe der vorliegenden Temperatur keine hinreichend zuverlässige Aussage machen. Temperaturen werden deshalb mit geeigneten Messgeräten gemessen. Als Basiseinheit ist im Internationalen Einheitensystem das Kelvin (Kurzzeichen: K) festgelegt, Temperaturen können auch in Grad Celsius (Kurzzeichen: ºC) angegeben werden.

F Thermodynamik Auch die Kelvin-Skala unterteilt den Bereich zwischen Eispunkt und Siedepunkt des Wassers in 100 Temperatureinheiten (1 Temperatureinheit = 1 Kelvin = 1 K). Damit erhalten die Temperatureinheiten der Kelvin-Skala und der Celsius-Skala die gleiche Größe (1 K = 1 ºC). Die Kelvin-Temperaturen sind als Zahlenwerte stets positiv. Sie werden als thermodynamische Temperaturen bezeichnet und erhalten das Formelzeichen T. Für ein ideales Gas ergibt sich der absolute Nullpunkt bei – 273,15 ºC (siehe Bild 1) Für die Umrechnung von Temperaturwerten gelten die Zahlenwertgleichungen T = : + 273,15 : = T – 273,15 T K

(1) (2)

: ºC

■ Beispiel: Bei der Abkühlung von Quecksilber stellt sich bei einer Temperatur von 7,22 K die Supraleitfähigkeit ein. Diese Temperatur soll in Grad Celsius umgerechnet werden. Lösung: : = T – 273,15 = 7,22 – 273,15 = – 265,93 ºC

Bild 1. Temperaturskalen a) Kelvin-Skala, b) Celsius-Skala

Die Temperatureinheiten ergeben sich aus den Temperaturskalen. Diese Temperaturskalen lehnen sich in der Festlegung ihrer Fixpunkte an bestimmte physikalische Vorgänge an, die unter gleichen physikalischen Bedingungen stets bei derselben Temperatur ablaufen. Die Kelvin-Skala (Bild 1a) nach William Thomson (Lord Kelvin, England, 1824 – 1907) besitzt als Skalennullpunkt den absoluten Nullpunkt. Sie wird auch als Skala der absoluten Temperaturen oder als thermodynamische Temperaturskala bezeichnet. Die Celsius-Skala (Bild 1b) nach Anders Celsius (Schweden, 1701 – 1744) und Carl von Linné (Schweden, 1707 – 1778) verwendet als Fixpunkte den Eispunkt und den Siedepunkt des Wassers. Nullpunkt dieser Temperaturskala ist der Eispunkt des Wassers. Der durch diese Fixpunkte begrenzte Warmheitsbereich ist in 100 Temperatureinheiten unterteilt (1 Temperatureinheit = 1 Grad Celsius = 1 ºC). Celsius-Temperaturen treten je nach Warmheit als positive oder negative Zahlenwerte auf und werden wegen des willkürlich gewählten Skalennullpunktes als relative Temperaturen bezeichnet. Sie erhalten das Formelzeichen :.

■ Beispiel: Im Verlaufe der Ladungskompression im Innern des Zylinders eines Otto-Motors wird das eingeholte Gemisch auf eine Temperatur von 520 ºC erwärmt. Diese Kompressionstemperatur soll in Kelvin umgerechnet werden. Lösung: T = : + 273,15 = 520 + 273,15 = 793,15 K

1.2 Druck Der auf die Flächeneinheit entfallende Teil einer belastenden Kraft F wird allgemein als Druck p bezeichnet (p = F / A, A belastete Fläche). Werden Kräfte zwischen festen Körpern ausgetauscht, so tritt ein solcher Druck an der gemeinsamen Berührungsfläche auf. Er wird hier als Flächenpressung bezeichnet. Flüssigkeiten üben Kräfte auf die umgebenden Gefäßwände aus und rufen so Seitendrücke und Bodendrücke hervor. Der Druck ist eine besonders wichtige Einflussgröße bei der Betrachtung von Gaszuständen. Gase haben wegen der freien Beweglichkeit ihrer Moleküle bzw. Atome die Eigenschaft, jeden dargebotenen Raum gleichmäßig auszufüllen. Der gasförmige Stoff kann daher überhaupt nur durch die umgebenden Wände eines Behälters auf engerem Raum zusammengehalten werden. Dabei stoßen die schwingenden Gasteilchen von innen her gegen den Behälter und üben dadurch kurzzeitig Kräfte auf die festen Wände aus.

1 Grundbegriffe

F3

Diese Kräfte summieren sich bei der großen Anzahl der auftreffenden Teilchen zu einer stetigen Krafteinwirkung und damit zum Druck des Gases gegen die Behälterwände. Die Größe des Drucks wird dabei von der Anzahl der Gasteilchen bestimmt, die pro Zeiteinheit auf die Flächeneinheit der Wand auftreffen. Gas- und Flüssigkeitsdrücke misst man mit Manometern, den Druck der atmosphärischen Luft (Atmosphärendruck) mit dem Barometer. Als Druckeinheit ist im Internationalen Einheitensystem die SI-Einheit Pascal (Kurzzeichen: Pa) festgelegt, 1 Pa ist der auf eine Fläche von 1 m2 gleichmäßig wirkende Druck, wenn senkrecht zur Fläche die Kraft 1 N ausgeübt wird. 1 Pa = 1

N kg = 1 2 = 1 kg s–2 m–1 s m m2

Als weitere Druckeinheit ist nach dem Einheitengesetz das Bar (Kurzzeichen: bar) zugelassen. 1 bar = 105 Pa = 105

N m2

Bei der Bestimmung der Druckgrößen wird zwischen absoluten und relativen Drücken unterschieden. Der absolute Druck pabs (Absolutdruck) ist auf p = 0 (Vakuum von 100 %) bezogen. Relative Drücke beziehen sich als atmosphärische Druckdifferenz auf den jeweils herrschenden (veränderlichen) Atmosphärendruck pamb der umgebenden Luft. Sie werden als Überdruck pe bezeichnet (siehe Bild 2). pe = pabs – pamb pabs > pamb  pe > 0 (positiv) pabs < pamb  pe < 0 (negativ) pabs = pamb  pe = 0

(3)

100 % liegt dann vor, wenn der absolute Druck gleich null ist. p (4) Vak % = – e ⋅100 pamb  Vak %  pabs = pamb ·1−  100  

(5)

■ Beispiel: Das Manometer eines Dampfkessels zeigt einen Überdruck von pe = 15,3 bar an. Der Druck der umgebenden Luft wurde mit Hilfe eines Barometers mit pamb = 990 hPa = 990 mbar = 0,99 bar gemessen. Welcher absolute Druck herrscht im Innern des Dampfkessels? Lösung: pabs = pe + pamb = 15,3 bar + 0,99 bar pabs = 16,29 bar ■ Beispiel: Ein Luftverdichter saugt Luft von pe1 = – 0,147 bar (Zustand 1) an und verdichtet sie auf pe2 = 10 bar (Zustand 2). Der Barometerstand beträgt pamb = 905 hPa = 905 mbar = 0,905 bar. Wie groß sind die absoluten Drücke vor und nach der Verdichtung? Lösung: pabs 1 = pe1 + pamb = – 0,147 bar + 0,905 bar pabs 1 = 0,758 bar pabs 2 = pe2 + pamb = 10 bar + 0,905 bar pabs 2 = 10,905 bar ■ Beispiel: Ein plattenförmiges Werkstück soll auf einer Flachschleifmaschine bearbeitet werden und wird auf einer Vakuum-Spannplatte gespannt. Die Vakuumpumpe des Spanngerätes erzeugt unter dem aufliegenden Werkstück ein 90 %iges Vakuum. Der Atmosphärendruck beträgt 1 010 hPa = 1 010 mbar = 1,01 bar. Welcher absolute Druck herrscht unter dem gespannten Werkstück? Lösung:

90 2 5 Vak % 2 5 pabs = pamb · 331  0 = 1,01 bar · 31  0 100 01 4 100 1 4 pabs = 0,101 bar

1.3 Volumen Jeder feste, flüssige oder gasförmige Stoff wird durch seine Stoffmenge repräsentiert. Diese Stoffmenge nimmt stets einen bestimmten Raum ein. Diesen Raum bezeichnet man als das Volumen des Stoffes. Das Volumen V wird durch die Volumeneinheit Kubikmeter (Kurzzeichen: m3) ausgedrückt. 1 m3 = 103 dm3 = 106 cm3 = 109 mm3 Bei Flüssigkeiten ist als Volumeneinheit auch das Liter (Kurzzeichen: l) zugelassen. Bild 2. Absolute und relative Drücke Ist der absolute Druck eines Gases kleiner als der Atmosphärendruck pamb der umgebenden Luft, so spricht man in bestimmten Anwendungsbereichen (Vakuumtechnik) auch von einem Vakuum unterschiedlicher Prozentigkeit (Vak %). Ein Vakuum von

1 l = 1 dm3 Das Volumen fester und flüssiger Stoffe hängt praktisch nur von Art und Menge des Stoffes ab. Die Stofftemperatur ist nur von geringem Einfluss und kann meist vernachlässigt werden. Der umgebende Druck wirkt sich auf das Stoffvolumen praktisch nicht aus.

F4

F Thermodynamik

Bei den zusammendrückbaren Gasen besteht eine starke Abhängigkeit des Volumens auch von Druck und Temperatur. Bezieht man die Rauminhalte auf gleiche Werte von Druck und Temperatur, so sind diese Gasvolumen ebenfalls nur von Gasart und Gasmenge abhängig. Übliche Werte von Druck und Temperatur sind die Größen des physikalischen Normzustandes (0 ºC = 273,15 K und 1,013 25 bar). Das Volumen eines Gases im Normzustand bezeichnet man als Normvolumen Vn. Das Volumen fester und flüssiger Stoffe und das Normvolumen eines Gases sind ein Maß für die jeweilige Stoffmenge. Das massenbezogene Volumen ist das spezifische Volumen 7. V υ= m

7

V

m

m3 kg

m3

kg

(6)

Vn m

3

m kg

Vn

m

m3

kg

(7)

Der Kehrwert (Reziprokwert) des spezifischen Volumens ist die Dichte des Stoffes. 1

m

CO2 CO – CH4 O2 N2 H2O H2



m

V

kg m3

kg

m3

Vm =

m ρn = = υn Vn

kg

kg m3

1,977 1,250 1,293 0,717 1,429 1,251 0,804 0,090

V

n

m3

kmol

(10)

Durch die Einführung spezifischer und molarer Größen werden thermodynamische Betrachtungen von Masse und Stoffmenge und damit von der Systemgröße unabhängig. Spezifisches Volumen 7 und molares Volumen Vm sind über die molare Masse M miteinander verknüpft. Vm = 7 M (11) Bezieht man die molaren Volumen von Gasen auf gleiche Werte von Druck und Temperatur, so ergeben sich Zahlenwerte von annähernd gleicher Größe. Entsprechen die gemeinsamen Bezugsgrößen den Werten des physikalischen Normzustandes, so gilt für das molare Normvolumen Vmn aller idealen Gase m3 kmol

■ Beispiel: Gegeben ist eine Sauerstoffmenge von 25 kg im Normzustand. Die auf diesen Zustand bezogene Dichte des Gases beträgt n = 1,429 kg/m3. a) Wie groß ist das spezifische Volumen 7n des Gases? b) Welches Volumen Vn nimmt dieses Gas ein?

Lösung:

1

ρn

7n = 0,7

m3

0,506 0,800 0,774 1,396 0,700 0,799 1,243 11,111

ρn

V n

m kmol

a) 7n =

1

Vn

m3 kg

(8)

Bei festen und flüssigen Stoffen ist die Stoffdichte praktisch nur von der Stoffart abhängig. Bei Gasen hängt die Dichte erst dann nur von der Gasart ab, wenn sie auf den Normzustand bezogen wird. Diese Größe bezeichnet man als die Normdichte

n.

m

υn

Das stoffmengenbezogene Volumen ist das molare Volumen Vm

Vmn = 7nM  22.414

ρ= = υ V

kg m3

Kohlendioxid Kohlenoxid Luft Methan Sauerstoff Stickstoff Wasserdampf Wasserstoff

3

7n

n

chemisches Kurzzeichen

Gasart

Vm

Bei festen und flüssigen Stoffen ist das spezifische Volumen praktisch nur von der Stoffart abhängig. Bei Gasen hängt das spezifische Volumen erst dann nur von der Gasart ab, wenn es auf den Normzustand bezogen wird. Diese Größe bezeichnet man als das spezifische Normvolumen 7n.

υn =

Tabelle 1. Spezifisches Volumen und Dichte von Gasen im Normzustand

(9)

=

1 1,429

kg m3

m3 kg

b) Vn = m 7n = 25 kg · 0,7 Vn = 17,5 m3

m3 kg

1 Grundbegriffe

F5

■ Beispiel:

Gegeben sind 0,5 m3 Acetylen (C2H2) im Normzustand. a) Wie groß sind das spezifische Normvolumen und die Normdichte? b) Welche Gasmenge (ausgedrückt in kg) ist in einem Raum von 0,5 m3 enthalten?

Lösung:

a) Vmn = 7n M, M = 26 m3 22, 4 kmol kg 26 kmol

kg kmol

7n =

Vmn = M

n =

1 1 kg = =1,16 3 n 0,862 mkg3 m

b) m =

Vn 0,5 m3 = = 0,58 kg n 0,862 mkg3

= 0,862

Bild 3. Angenommener Verlauf der spezifischen Wärmekapazität in Abhängigkeit von der Temperatur

3

m kg

Erstreckt sich eine Berechnung über einen größeren Temperaturbereich :1 ... :2 so muss mit einer mittleren spezifischen Wärmekapazität cm gerechnet werden. Wird die spezifische Wärmekapazität in Abhängigkeit von der Temperatur : zeichnerisch dargestellt, so ergibt sich der Mittelwert cm als Höhe eines Rechteckes, dessen Flächeninhalt dem der Fläche A unter der Kurve c = f (:) entspricht (Bild 4). Die Fläche ist ein Maß für die spezifische Wärme q.

1.4 Spezifische Wärmekapazität Die spezifische Wärmekapazität c ist die massenbezogene Wärme (oder auch Dissipationsarbeit), die einem thermodynamischen System über die Systemgrenze hinweg zuzuführen ist, um ohne Änderung des bestehenden Aggregatzustandes die Temperatur um 1 K (= 1 ºC) zu erhöhen. Soll die Temperatur T1 eines Systems (hier eines Stoffes) mit der Masse m auf T2 erhöht werden (T2 > T1), dann ergibt sich die zuzuführende Wärme Q aus Q = m c (T2 – T1) oder Q = m c (:2 – :1) Q

m

c

T

:

J

kg

J J < kg K kg º C

K

ºC

(12)

Das Produkt m c ist die Wärmekapazität des Systems mit der Masse m. Wird einem System Wärme entzogen (Abkühlung), dann gilt die Gleichung (12) sinngemäß. Da aber T2 < T1 ist, wird der Zahlenwert für die abzuführende Wärme dann negativ (Q < 0). Die Gleichung (12) kann in der angegebenen Form nur dann benutzt werden, wenn die spezifische Wärmekapazität über den in Rechnung zu setzenden Temperaturbereich T1 ... T2 bzw. :1 ... :2 konstant ist. Im Allgemeinen wird die spezifische Wärmekapazität mit zunehmender Temperatur aber größer. Die Kurve c = f (:) lässt erkennen, dass die spezifische Wärmekapazität bei jedem Temperaturwert : eine andere Größe besitzt und unter diesen Umständen nur in einem sehr kleinen Temperaturintervall : als praktisch konstant angesehen werden kann (siehe Bild 3).

Bild 4. Bestimmung der mittleren spezifischen Wärmekapazität Für Überschlagsrechnungen kann bei nicht zu großen Temperaturunterschieden mit hinreichender Genauigkeit der arithmetische Mittelwert aus den wahren spezifischen Wärmekapazitäten bei den Grenztemperaturen :1 und :2 eingesetzt werden. In Tabellen wird häufig die mittlere spezifische Wärmekapazität cm 0 – : zwischen 0 ºC und einer beliebigen Temperatur : angegeben. Aus diesen Tabellenwerten kann die mittlere spezifische Wärmekapazität cm 1 – 2 für jeden beliebigen Temperaturbereich :1 ... :2 ermittelt werden. Herleitung (siehe Bild 5): q1 – 2 = cm 1 – 2 (:2 – :1) q0 – 1 = cm 0 – 1 (:1 – 0) q0 – 2 = cm 0 – 2 (:2 – 0) q1 – 2 = q0 – 2 – q0 – 1 cm 1 – 2 (:2 – :1) = = cm 0 – 2 (:2 – 0) – cm 0 – 1 (:1 – 0) cm 1 – 2 (:2 – :1) = cm 0 – 2 :2 – cm 0 – 1 :1.

F6

F Thermodynamik umgebenden Drucks abgezweigt werden. Diese Arbeit wird über die Systemgrenze hinweg an die Umgebung abgegeben. Bei festen und flüssigen Stoffen kann diese Raumschaffungsarbeit wegen der hier nur geringen Wärmedehnung vernachlässigt werden. Für Gase werden dagegen unterschiedliche c-Werte (cp bzw. cv) verwendet.

Bild 5. Bestimmung der mittleren spezifischen Wärmekapazität cm 1 – 2 aus den Mittelwerten cm 0 – 1 und cm 0 – 2 Aus der Herleitung ergibt sich die mittlere spezifische Wärmekapazität für den Temperaturbereich :1 ... :2 cm 1 – 2 =

cm 0−2 ϑ2 − cm 0−1 ϑ1 ϑ2 − ϑ1

c

:

J J < kg K kg º C

ºC

(13)

Die Temperaturabhängigkeit der spezifischen Wärmekapazität ist bei festen und flüssigen Stoffen verhältnismäßig gering. In den einschlägigen Tabellen werden daher für diese Stoffe Mittelwerte (cm) angegeben, die für relativ große Temperaturbereiche gelten (siehe Tabelle 2). Tabelle 2. Mittlere spezifische Wärmekapazität cm fester und flüssiger Stoffe zwischen 0 ºC und 100 ºC in Aluminium Beton Blei Eichenholz Eis Eisen (Stahl) Fichtenholz Glas Graphit Gusseisen Kieselgur

913 1 005 130 2 386 2 052 461 2 721 795 879 544 879

J J = kg K kg º C

Kork 2 010 Steinzeug Kupfer 389 Ziegelsteine Marmor 879 Alkohol Messing 385 Azeton Nickel 444 Benzol Platin 134 Glyzerin Quarzglas 724 Maschinenöl Quecksilber 138 Petroleum Sandstein 921 Schwefelsäure Schamotte 795 Wasser Silber 234

775 921 2 428 2 303 1 842 2 428 1 675 2 093 1 382 4 187

Die einem geschlossenen System (z.B. einem Stoff) bei isobarer Erwärmung (p konstant) zugeführte Wärme dient nicht nur zur Erhöhung der (thermischen) inneren Energie. Durch die mit der Erwärmung verbundene Volumenvergrößerung (Wärmeausdehnung) muss ein Teil der zugeführten Wärme zur Verrichtung der Volumenänderungsarbeit (als Raumschaffungsarbeit) gegen den Widerstand des

cv spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen cp spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck (cp > cv)

Für ideale Gase gilt:

cp – cv

= Ri (spezielle Gaskonstante)

cp / cv

= ; (Isentropenexponent)

Das Verhältnis ; der spezifischen Wärmekapazitäten erscheint bei der Behandlung der isentropen Zustandsänderung idealer Gase als Isentropenexponent. Das Verhältnis ist besonders bei mehratomigen Gasen temperaturabhängig. Eine geringe Druckabhängigkeit besteht bei realen Gasen.

Tabelle 3. Verhältnis der spezifischen Wärmekapazitäten

cp cv

bei 0 ºC

Kohlenoxid Kohlendioxid Luft Methan Sauerstoff Stickstoff Wasserdampf Wasserstoff

CO CO2 – CH4 O2 N2 H2O H2

1,402 1,30 1,40 1,32 1,40 1,40 1,33 1,405

Zur Bestimmung genauerer Zahlenwerte der spezifischen Wärmekapazitäten für Gase werden Tabellen für wahre spezifische Wärmekapazitäten (Tabelle 4) oder für die mittleren spezifischen Wärmekapazitäten (Tabelle 5) benutzt.

1 Grundbegriffe

F7

Tabelle 4. Wahre spezifische Wärmekapazität bei : ºC in : in ºC 0 cp cv 100 cp cv 200 cp cv 300 cp cv 400 cp cv 500 cp cv 600 cp cv 700 cp cv 800 cp cv 900 cp cv 1 000 cp cv

CO 1 038 741 1 047 749 1 059 762 1 080 783 1 105 808 1 130 833 1 160 862 1 181 883 1 202 904 1 218 921 1 231 934

CO2 708 519 921 733 996 808 1 068 879 1 122 934 1 164 976 1 202 1 013 1 231 1 043 1 256 1 068 1 277 1 089 1 294 1 105

Luft 1 005 716 1 009 720 1 026 737 1 047 758 1 068 779 1 093 804 1 114 825 1 135 846 1 156 867 1 168 879 1 185 896

J nach Justi und Lüder kg K

CH4 2 156 1 637 2 453 1 934 2 797 2 278 3 174 2 654 3 500 2 981 3 814 3 295 4 086 3 567 4 333 3 814 4 543 4 024 4 760 4 241 4 945 4 425

O2 913 653 934 674 963 703 996 737 1 026 766 1 051 791 1 076 816 1 089 829 1 101 842 1 114 854 1 122 862

Tabelle 5. Mittlere spezifische Wärmekapazität zwischen 0 ºC und : ºC in : in ºC 0 cp cv 100 cp cv 200 cp cv 300 cp cv 400 cp cv 500 cp cv 600 cp cv 700 cp cv 800 cp cv 900 cp cv 1 000 cp cv 1 100 cp

CO 1 038 741 1 043 745 1 047 749 1 055 758 1 063 766 1 076 779 1 089 791 1 097 800 1 110 812 1 122 825 1 130 833 1 139

CO2 708 519 871 682 917 729 959 770 988 800 1 022 833 1 051 862 1 072 883 1 093 904 1 114 925 1 130 942 1 147

Luft 1 005 716 1 009 720 1 013 724 1 022 733 1 030 741 1 043 754 1 051 762 1 059 770 1 072 783 1 084 795 1 093 804 1 101

CH4 2 156 1 637 2 261 1 742 2 453 1 934 2 638 2 119 2 809 2 290 2 956 2 437 3 148 2 629 3 303 2 784 3 437 2 918 3 571 3 052 3 659 3 140 3 883

O2 913 653 921 662 934 674 950 691 967 708 980 720 992 733 1 005 745 1 017 758 1 026 766 1 034 775 1 042

N2

H2O

H2

1 038 741 1 047 749 1 055 758 1 068 770 1 093 795 1 118 821 1 139 842 1 164 867 1 181 883 1 202 904 1 214 917

1 855 1 394 1 880 1 419 1 934 1 474 1 989 1 528 2 056 1 595 2 119 1 658 2 186 1 725 2 257 1 796 2 328 1 867 2 395 1 934 2 458 1 997

14 235 10 111 14 444 10 320 14 528 10 404 14 570 10 446 14 612 10 488 14 696 10 572 14 779 10 655 14 947 10 823 15 114 10 990 15 324 11 200 15 533 11 409

J nach Justi und Lüder kg K N2

H2O

H2

1 038 741 1 043 745 1 047 749 1 051 754 1 059 762 1 068 770 1 076 779 1 084 787 1 097 800 1 105 808 1 118 821 1 130

1 855 1 394 1 867 1 407 1 888 1 428 1 909 1 449 1 938 1 478 1 972 1 511 2 001 1 541 2 031 1 570 2 068 1 608 2 102 1 641 2 135 1 675 2 168

14 235 10 111 14 319 10 195 14 403 10 279 14 444 10 320 14 474 10 350 14 499 10 375 14 528 10 404 14 570 10 446 14 654 10 530 14 696 10 572 14 738 10 614 14 818 Fortsetzung Seite F8

F8

F Thermodynamik

Fortsetzung von Seite F7

: in ºC cv 1 200 cp cv 1 300 cp cv 1 400 cp cv 1 500 cp cv 1 600 cp cv 1 700 cp cv 1 800 cp cv 1 900 cp cv 2 000 cp cv

CO 841 1 151 854 1 160 862 1 168 871 1 172 875 1 180 883 1 185 887 1 193 896 1 197 900 1 206 908

CO2

Luft

CH4

959 1 160 971 1 172 984 1 185 996 1 197 1 009 1 206 1 017 1 214 1 026 1 222 1 034 1 231 1 042 1 235 1 047

812 1 109 820 1 118 829 1 126 837 1 134 846 1 139 850 1 147 858 1 151 862 1 155 867 1 160 871

3 366 3 998 3 479

Werden Systeme (z.B. Stoffe) mit unterschiedlichen Temperaturen über eine gemeinsame diatherme (wärmedurchlässige) Systemgrenze in Berührung gebracht, so findet eine Wärmeübertragung in Richtung des Temperaturgefälles statt. Nach erfolgtem Energieaustausch stellt sich in den beteiligten Systemen die gemeinsame Mischungstemperatur :Mi ein (Temperaturausgleich). Werden zwei Stoffe mit den Massen m1 und m2, den spezifischen Wärmekapazitäten c1 und c2 und den Temperaturen :1 und :2 gemischt, so ergibt sich die Mischungstemperatur (Zweistoffmischung)

:Mi =

m1 c1 ϑ1 + m2 c2 ϑ2 m1 c1 + m2 c2

:

m

ºC

kg

c J J = kg K kg º C

O2 783 1 051 791 1 059 800 1 067 808 1 072 812 1 076 816 1 080 820 1 088 829 1 097 837 1 101 841

Diese Formel wird als Mischungsregel bezeichnet und kann durch sinngemäße Erweiterung auch für Mehrstoffmischungen verwendet werden. Die Anwendung der Mischungsregel setzt voraus, dass während des Mischungsvorganges keine Änderung des bestehenden Aggregatzustandes eintritt und dem Gesamtsystem Wärme weder zugeführt noch entzogen wird. Aus der Mischungsregel folgt die Mischungstemperatur (Zweistoffmischung gleichartiger Stoffe) m ϑ + m2 ϑ2 :Mi = 1 1 m1 + m2 (15) : m ºC kg

H2O

H2

833 1 139 841 1 147 850 1 155 858 1 164 867 1 168 871 1 176 879 1 180 883 1 185 887 1 193 896

1 708 2 198 1 737 2 227 1 766 2 260 1 800 2 286 1 825 2 315 1 854 2 344 1 884 2 369 1 909 2 394 1 934 2 420 1 959

10 695 14 902 10 779 14 986 10 863 15 070 10 946 15 153 11 030 15 237 11 114 15 321 11 198 15 446 11 323 15 530 11 407 15 614 11 491

Mischungstemperatur (Zweistoffmischung gleichartiger Stoffe mit gleich großen Massen) ϑ +ϑ (16) :Mi = 1 2 2 ■ Beispiel: Im Rauchgasvorwärmer einer Kesselanlage werden in jeder Stunde 8 400 kg Wasser von :1 = 45 ºC auf :2 = 110 ºC vorgewärmt. Wie groß ist die Wärme, die in jeder Stunde vom Rauchgas auf das Speisewasser übergeht? Lösung:

Q = m c (:2 – :1); c = 4 187 Q = 8 400

(14)

N2

J J = 4 187 kg K kg º C

kg J · 4 187 · (110 – 45) ºC h kg º C

J = 2 286 · 106 h ■ Beispiel: 6 kg Wasser von 50 ºC und 10 kg Wasser von 30 ºC sollen gemischt werden. Wie hoch ist die sich einstellende Mischungstemperatur :Mi? Lösung:

:Mi = =

m1 ϑ1 + m2 ϑ2 m1 + m2

6 kg⋅50 º C +10 kg⋅30 º C = 37,5 ºC 6 kg +10 kg

■ Beispiel: Ein gegen Wärmeverluste geschütztes Kalorimeter ist mit 800 g Wasser von 15 ºC gefüllt. Das Gefäß des Kalorimeters besteht aus 250 g Silber mit einer mittleren spezifischen Wärmekapazität von 234 J / kg K. In dieses Gefäß werden 200 g Aluminium von 100 ºC eingebracht. Nach dem Wärmeausgleich wird eine Mischungstemperatur von 19,25 ºC gemessen. Wie groß ist die spezifische Wärmekapazität des Aluminiums?

1 Grundbegriffe

F9

Lösung: Wird die Gleichung (14) auf eine Dreistoffmischung erweitert und zur Unterscheidung mit Indizes für Silbergefäß, Wasserbad und Aluminium versehen, so ergibt sich bei Auflösung nach ca (für Aluminium)

ca =

Besitzt ein Körper bei der Temperatur :0 = 0 ºC die Länge l0, so zeigt sich bei Erwärmung auf die Temperatur : eine Längenzunahme l (Bild 6).

(ms cs + mw cw )⋅(ϑMi − ϑ) , hierin ist :w = :s = : gesetzt ma (ϑa − ϑMi )

cw = 4 187

J J = 4 187 kg K kg º C

cs = 234

J kg º C

 J J   0, 25 kg⋅ 234 ⋅(19, 25 −15) º C + 0,8 kg⋅4 187 kg º C kg º C   ca = 0, 2 kg⋅(100 −19, 25) º C ca = 897

J J = 897 kg º C kg K

■ Beispiel: Eine Luftmenge soll bei gleich bleibendem Druck von :1 = 100 ºC auf :2 = 800 ºC vorgewärmt werden. Zur Berechnung des Wärmebedarfs soll die mittlere spezifische Wärmekapazität für den genannten Temperaturbereich mit Hilfe einer Tabelle für mittlere spezifische Wärmekapazitäten (Tabelle 5) ermittelt werden.

Lösung:

cm 1 – 2 =

cm 0−2 ϑ2 − cm 0−1 ϑ1

Die in m gemessene Längenänderung eines Stabes von 1 m Länge (bei 0 ºC) nach Erwärmung um 1 K = 1 ºC bezeichnet man als Längenausdehnungskoeffizient l. Damit ergibt sich die Längenzunahme nach Erwärmung l = l0 l : Länge nach Erwärmung l = l0 (1 + l :) Relative Längenänderung l = l : l0 l l : m

ϑ2 − ϑ1

cm 0 – 1 (nach Tabelle 5) = 1 009

J kg K

cm 0 – 2 (nach Tabelle 5) = 1 072

J kg K

cm 1 – 2 =

Bild 6. Längenzunahme eines festen Körpers nach Erwärmung

1072 kgJ K ⋅800 º C −1009 kgJ K ⋅100 º C (800 −100) º C

J = 1 081 kg K

1.5 Wärmeausdehnung 1.5.1 Allgemeines Führt man einem Stoff Energie in Form von Wärme zu, so dehnt er sich nach allen Seiten aus. Diese Volumenvergrößerung ist eine Folge der Vergrößerung des mittleren Abstandes der Stoffteilchen untereinander. Bei Abkühlung zeigt sich eine entsprechende Volumenabnahme. Die Größe der Wärmeausdehnung hängt von der Art des Stoffes ab. Feste Körper dehnen sich nur wenig, Flüssigkeiten dagegen stärker aus. Die größte Ausdehnung zeigt sich bei den Gasen. 1.5.2 Wärmeausdehnung fester Körper Da die Volumenvergrößerung fester Stoffe bei Erwärmung nur sehr gering ist, wird nur die bei lang gestreckten festen Körpern stärker in Erscheinung tretende Wärmedehnung in der Längsrichtung bestimmt. Die Längenzunahme wird als Längsausdehnung bezeichnet.

1 1 < K ºC

(17) (18) (19)

ºC

Die Volumenzunahme eines festen Körpers bei Erwärmung ergibt sich aus der Längenzunahme, die in Richtung der Länge, Breite und Höhe erfolgt. Besitzt ein Körper bei der Temperatur :0 = 0 ºC das Volumen V0, so zeigt sich bei Erwärmung auf die Temperatur : eine Volumenzunahme  V (Bild 7). Die in m3 gemessene Volumenänderung eines Körpers von 1 m3 Rauminhalt (bei 0 ºC) nach Erwärmung um 1 K = 1 ºC bezeichnet man als Volumenausdehnungskoeffizient v. Damit ergibt sich: Volumenzunahme nach Erwärmung Volumen nach Erwärmung Relative Volumenänderung V

v

V = V0 v : V = V0 (1 + v :) V = v : V0

(20) (21) (22)

:

1 1 ºC < K ºC Eine Beziehung zwischen dem Längenausdehnungskoeffizienten l und dem Volumenausdehnungskoeffizienten v kann aus der Betrachtung eines würfelförmigen Körpers nach Bild 7 hergeleitet werden.

m3

V0 = l30 V = l3, l = l0 + l V = [l0 + l]3 V = [l0 + l0 l : ]3 V = [l0 (1 + l : )]3 V = l30 (1 + l : )3 V = V0 (1 + 3 l : + 3 2l :2 + 3l :3)

F 10

F Thermodynamik l2  110,039 m b) l2 bei einer Temperatur von – 35 ºC l2  l1 [1 + l (2 – 1)]   1 (− 35 − 20) º C  l2  110 m 1+ 23,5⋅10−6   ºC

l2  109,858 m

Tabelle 6. Längenausdehnungskoeffizient l fester Stoffe zwischen 0 ºC und 100 ºC in Bild 7. Volumenzunahme eines festen Körpers (Würfel) nach Erwärmung Da l sehr klein ist, können die Potenzen von l vernachlässigt werden. V  V0 (1 + 3  l :) Setzt man 3 l  v so folgt daraus V = V0 (1 + v :), wie Gleichung 21 Bei festen Körpern ( l und v gering) wird mit folgenden Näherungsgleichungen gerechnet: Längenzunahme nach Erwärmung l  l1 l (:2 – :1)

(23)

Länge nach Erwärmung l2  l1 [1 + l (:2 – :1)] l

l

:

m

1 1 = K ºC

ºC

(24)

Volumenzunahme nach Erwärmung V  V1 v (:2 – :1)

1 1 = (Volumenausdehnungskoeffizient v  3 l) K ºC Aluminium Bakelit Blei Chromstahl Glas Gold Gusseisen Jenaer Glas Kohlenstoffstahl Kupfer Magnesium Messing Nickel Platin PVC Quarzglas Wolfram Zinn Zinnbronze Zink

23,5 · 10–6 21,9 · 10–6 29,2 · 10–6 11,0 · 10–6 9,0 · 10–6 14,2 · 10–6 9,0 · 10–6 4,4 · 10–6 12,0 · 10–6 16,5 · 10–6 26,0 · 10–6 18,4 · 10–6 14,1 · 10–6 8,9 · 10–6 78,1 · 10–6 0,6 · 10–6 4,5 · 10–6 23,0 · 10–6 17,8 · 10–6 30,1 · 10–6

(25)

Volumen nach Erwärmung V2  V1 [1 + v (:2 – :1)] v : V 1 1 m3 ºC = K ºC

1.5.3 Wärmeausdehnung vom Flüssigkeiten (26)

Die Längenausdehnungskoeffizienten der einzelnen festen Stoffe sind von der Temperatur abhängig. Im unteren Temperaturbereich zwischen 0 ºC und 100 ºC kann ihre Größe praktisch als konstant angesehen werden. ■ Beispiel: Die Länge der Aluminiumdrähte zwischen zwei Masten einer Hochspannungsleitung beträgt 110 m bei einer Temperatur von 20 ºC. Wie lang sind die Leitungsdrähte bei den Temperaturen + 35 ºC und – 35 ºC (l = 23,5 · 10–6 K1 = 23,5 · 10–6 º1C ) ? Lösung: a) l2 bei einer Temperatur von + 35 ºC l2  l1 [1 + l (2 – 1)]

  1 (+ 35 − 20) º C  l2  110 m 1+ 23,5⋅10−6   ºC

Flüssigkeiten dehnen sich im Allgemeinen bei Erwärmung stärker aus als feste Körper. Der Volumenausdehnungskoeffizient ist nicht in allen Temperaturbereichen konstant. Er wird um so größer, je mehr sich die Temperatur dem Siedepunkt der Flüssigkeit nähert. In den unteren Temperaturbereichen kann die Größe von v praktisch als konstant angesehen werden. Eine besonders gleichmäßige Ausdehnung zeigt das Quecksilber. Eine Ausnahme bildet das Wasser (Anomalie des Wassers). Es besitzt bei + 4 ºC sein kleinstes Volumen (größte Dichte) und dehnt sich sowohl bei Erwärmung wie auch bei Abkühlung aus. Die Wärmedehnung verläuft hier sehr ungleichmäßig. Die Berechnung der Volumenänderung usw. erfolgt nach den Gleichungen (20), (21), (22) oder auch nach den Näherungsgleichungen (25) und (26). Reicht die Genauigkeit der Näherungsrechnung nicht aus, so kann die Wärmedehnung für eine beliebige Temperaturdifferenz 1 ... 2 im unteren Temperaturbereich

1 Grundbegriffe

F 11

(v = konst.) aus dem Verhältnis V2/V1 mit V2 = V0 (1 + v 2) und V1 = V0 (1 + v 1) hergeleitet werden. Es ergibt sich die Volumenzunahme nach Erwärmung V = V1

α v (ϑ2 − ϑ1 ) 1+ α v ϑ1

(27)

und das Volumen nach Erwärmung V2 = V1

(28)

v



m3

1 1 = K ºC

ºC

V1 = V0 (1 + v 1)

V2 = V0 (1 + v 2)

 ϑ  V1 = V01+ 1   273 

 ϑ  V2 = V01+ 2   273 

V1 =

273+ ϑ1 273

V0 T1 273

V2 = V0 V2 =

273+ ϑ2 273

V0 T2 273

V1 V0 T1 273 T1 = = V2 273 V0 T2 T2

Gesetz von Gay-Lussac (bei p = konst.)

Tabelle 7. Volumenausdehnungskoeffizient v von 1 1 Flüssigkeiten bei 18 ºC in  K ºC Äthylalkohol Äthyläther Benzol Glyzerin Olivenöl Quecksilber Schwefelsäure Wasser

V1, V2 = Gasvolumen bei 1 und 2

V1 = V 0

1+ α v ϑ2 1+ α v ϑ1

V

Herleitung: V0 = Gasvolumen bei 0 ºC

10–4

11,0 · 16,3 · 10–4 12,4 · 10–4 5,0 · 10–4 7,2 · 10–4 1,8 · 10–4 5,6 · 10–4 1,8 · 10–4

■ Beispiel: 5 000 l Benzol werden bei einer Temperatur von + 8 ºC abgefüllt. Wie groß ist der Rauminhalt bei 25 ºC (v = 12,4 · 10–4 1/K = 12,4 · 10–4 1/ ºC) ?

V1 T1 = V2 T2

V m3

(29) T K

Bei gleich bleibendem Druck verhalten sich die Gasvolumen wie ihre thermodynamischen Temperaturen. Volumenzunahme nach Erwärmung V =

V0 (T2 −T1 ) 273

V m3 V =

T K

(30)

V1 (T2 −T1 ) T1

Volumen nach Erwärmung Lösung: V2  V1 [1 + v (2 – 1)]

  1 (25 − 8) º C  = 5,105 m3 V2  5 m3 1+12, 4⋅10−4   ºC

1.5.4 Wärmeausdehnung von Gasen Die Wärmeausdehnung ist bei Gasen bedeutend größer als bei Flüssigkeiten und festen Stoffen. Die Volumenausdehnungskoeffizienten sind bei konstantem Druck für alle realen Gase mit annähernd idealem Verhalten praktisch gleich. Ideale Gase dehnen sich bei Erwärmung um 1 ºC (bei gleich bleibendem, aber beliebig hohem Druck) um 1/273,15 des Volumens aus, das sie bei 0 ºC einnehmen (V0). Die Berechnung der Volumenänderung erfolgt nach den Gleichungen (20), (21) und (22). Aus Gleichung (21) ergibt sich (v hier auf 1/273 gerundet) das Gesetz von Gay-Lussac.

V2 = V 1

T2 T1

V m3

(31)

T K

Während bei gleich bleibendem Gasdruck die Gasvolumen den thermodynamischen Temperaturen direkt proportional sind, besteht bei gleich gehaltener Temperatur umgekehrte Proportionalität zwischen dem Volumen und dem Gasdruck. Gesetz von Boyle und Mariotte (bei  = konst.) V1 p = 2 V2 p1

V m3

(32)

p Pa =

N m2

F 12

F Thermodynamik

1.6 Aggregatzustände

Tabelle 8. Schmelzpunkt fester Stoffe bei einem Druck von 1,013 bar in Grad Celsius (ºC)

1.6.1 Allgemeines Die unterschiedlichen äußeren Erscheinungsformen der Stoffe (fest, flüssig oder gasförmig) bezeichnet man als Aggregatzustände (Phasen). Der jeweils vorliegende Aggregatzustand wird von der Größe der stoffabhängigen internen Bindungskräfte (Kohäsionskräfte) bestimmt. Auch Temperatur und Druck sind von Einfluss. Wird einem Stoff Wärme zugeführt oder entzogen, so wird die Intensität der Wärmebewegung der Stoffteilchen (Moleküle bzw. Atome) verändert. Bei ständiger Zufuhr von Wärme wird ein fester Stoffverband schließlich so weit aufgelockert, dass die Stoffteilchen in den Bewegungsbereich benachbarter Teilchen überwechseln, ohne sich jedoch aus dem Gesamtverband ganz herauslösen zu können. Der Stoffzusammenhang ist gelockert und die Stoffteilchen sind in ihrer gegenseitigen Lage ungeordnet. Der feste Stoff ist geschmolzen, d. h. er befindet sich im flüssigen Aggregatzustand. Bei weiterer Wärmezufuhr wird die Bewegungsenergie der Stoffteilchen so groß, dass die stoffinternen Bindungskräfte überwunden werden und die nunmehr frei beweglichen Teilchen sich aus dem Stoffverband herauslösen. Der Stoff befindet sich im gasförmigen Aggregatzustand. Die Änderung des Aggregatzustandes ist ein umkehrbarer Vorgang. Die Unterscheidung zwischen festen, flüssigen und gasförmigen Aggregatzuständen ist nicht immer streng durchführbar. Bei Stoffgemischen und amorphen (nicht kristallisierenden) Stoffen treten Übergangsformen zwischen festen und flüssigen Zuständen auf. 1.6.2 Schmelzen und Erstarren Ein Stoff schmilzt, wenn er unter ständiger Wärmezufuhr vom festen in den flüssigen Aggregatzustand übergeht. Läuft der Vorgang in umgekehrter Richtung ab, so spricht man vom Erstarren einer Flüssigkeit. Chemisch reine Stoffe und Stoffgemische mit eutektischem Mischungsverhältnis schmelzen bei einer bestimmten, von der Stoffart abhängenden Temperatur, dem Schmelzpunkt des Stoffes. Diese Schmelztemperatur ändert sich während des Schmelzvorganges nicht (Bild 8). Bei nichteutektischen Stoffgemischen erfolgt das Schmelzen innerhalb eines Temperaturbereiches.

Aluminium Blei Chrom Diamant Eisen (rein) Elektron Gold Graphit Iridium

658 327 1 765 3 500 1 528 625 1 063 3 600 2 455

Kupfer Magnesium Mangan Messing Platin Silber Wolfram Zink Zinn

1 084 655 1 260 900 1 770 960 3 350 419 232

Tabelle 9. Erstarrungspunkt flüssiger Stoffe bei einem Druck von 1,013 bar in Grad Celsius (ºC) Benzin Benzol Glyzerin

– 150 5,5 19

Meerwasser Quecksilber Wasser

– 2,5 – 38,5 0

Die dem Stoff während des Schmelzens zuzuführende Wärme wird als Schmelzwärme (Schmelzenthalpie) bezeichnet. Die Schmelzwärme qs gibt die Wärme in J an, die nötig ist, um 1 kg Stoff bei der jeweiligen Schmelztemperatur zu schmelzen. Die Schmelzwärme wird beim Erstarren der Schmelze wieder frei (Erstarrungswärme). Tabelle 10. Schmelzwärme qs bei einem Druck von 1,013 bar in J/kg Aluminium Blei Eis Gusseisen Kupfer Magnesium

3,94 · 105 0,23 · 105 3,35 · 105 0,96 · 105 1,72 · 105 1,97 · 105

Nickel Platin Stahl Zink Zinn

2,34 · 105 1,00 · 105 2,51 · 105 1.05 · 105 0,59 · 105

Der Schmelzvorgang ist im Allgemeinen mit einer Volumenzunahme verbunden. Die Dichte  der Schmelze ist geringer als die des festen Stoffes. Eine Ausnahme bildet das Wasser, das im erstarrten (gefrorenen) Zustand einen größeren Raum einnimmt („Anomalie des Wassers“). Der Schmelzpunkt steigt mit zunehmendem Druck, wenn der Schmelzvorgang unter Volumenzunahme abläuft. Der Schmelzpunkt des Eises sinkt bei größer werdendem Außendruck. ■ Beispiel: Welche Wärme Q ist erforderlich, um 15 kg Blei von  = 20 ºC bei einem umgebenden Luftdruck von 1,013 bar zu schmelzen? Lösung: Das zu schmelzende Metall muss zunächst von der Raumtemperatur  = 20 ºC auf die Schmelztemperatur s = 327 ºC erwärmt werden. Die dabei zuzuführende Wärme Q1 beträgt mit

Bild 8. Verlauf der Schmelzkurve eines festen Stoffes

Q1 = m c (s – ) und c = 130 J/kg K = 130 J/kg ºC J (327 – 20) ºC = 599 000 J Q1 = 15 kg · 130 kg ºC

1 Grundbegriffe

F 13

Nach Zufuhr dieser Wärme liegt festes Blei von 327 ºC vor. Um das Metall bei gleich bleibender Temperatur vollständig in den flüssigen Zustand zu überführen, müssen jedem kg Blei 0,23 · 105 J (Schmelzwärme) zugeführt werden. Damit ergibt sich mit J Q = Q1 + m qs und qs = 0,23 · 105 kg

Das Verdampfen einer Flüssigkeit ist mit einer starken Volumenzunahme verbunden. Die Bildung von Dampfblasen erfordert daher eine Überwindung des umgebenden Flüssigkeitsdruckes. Der Siedepunkt ist also druckabhängig und steigt (sinkt) mit zunehmendem (abnehmendem) Umgebungsdruck.

die Gesamtwärme

Q = 599 000 J + 15 kg · 0,23 · 105

J = 944 000 J kg

1.6.3 Sieden und Verflüssigen Eine Flüssigkeit siedet, wenn sie bei ständiger Wärmezufuhr unter Bildung von Dampfblasen in den gasförmigen Aggregatzustand übergeht. Läuft der Vorgang in umgekehrter Richtung ab, so spricht man von einer Kondensation. Den unmittelbaren Übergang vom festen in den gasförmigen Aggregatzustand bezeichnet man als Sublimation. Das Sieden einer Flüssigkeit erfolgt bei einer bestimmten, von der Stoffart abhängenden Temperatur, dem Siedepunkt des Stoffes. Diese Siedetemperatur ändert sich während des Siedevorganges nicht. Die dem Stoff während des Siedens zuzuführende Wärme wird als Verdampfungswärme (Verdampfungsenthalpie) bezeichnet. Tabelle 11. Siede- und Kondensationspunkte bei einem Druck von 1,013 bar in Grad Celsius (ºC) Alkohol

78

Helium

Benzin

95

Kohlenoxid – 190

Silber

2 000

Benzol

80

Kupfer

Stickstoff

– 196

Blei

2 310

Sauerstoff

– 183

Magnesium 1 100

Wasser

Eisen (rein) 2 500

Mangan

1 900

Wasserstoff – 253

Glyzerin

Methan

– 164

Zink

915

357

Zinn

2 200

Gold

1 525

– 269

290 2 650

Quecksilber

100

Die Verdampfungswärme qv (bei Wasser auch r) gibt die Wärme in J an, die nötig ist, um 1 kg Stoff bei der jeweiligen Siedetemperatur in den gasförmigen Zustand zu überführen. Die Verdampfungswärme wird beim Kondensieren wieder frei (Kondensationswärme). Tabelle 12. Verdampfungs- und Kondensationswärme qv bei einem Druck von 1,013 bar in J/kg Alkohol Äther Benzol Quecksilber schweflige Säure Sauerstoff Stickstoff Wasser Wasserstoff

8,79 · 105 3,77 · 105 4,40 · 105 2,85 · 105 3,98 · 105 2,14 · 105 2,01 · 105 22,57 · 105 5,02 · 105

Ein langsamer Übergang vom flüssigen in den gasförmigen Zustand erfolgt auch bereits unterhalb der Siedetemperatur durch Verdunstung. Das Verdunsten vollzieht sich nur an der Oberfläche der Flüssigkeit. Die dabei weggeführte Energie wird der Flüssigkeit entzogen (Verdunstungskälte). Kann eine Flüssigkeit über den Siedepunkt hinaus erwärmt werden ohne zu verdampfen, so liegt ein Siedeverzug vor. Das Sieden erfolgt dann nach einer gewissen Verzögerung schlagartig unter starker Dampfbildung (Gefahr für Kesselanlagen). ■ Beispiel: 9 m3 Wasser von 15 ºC sollen bei einem Druck von 1,013 bar in Dampf von 100 ºC verwandelt werden. Als Brennstoff soll Braunkohle mit einem spezifischen Heizwert Hu = 188 · 105 J/kg verwendet werden. Wieviel kg Brennstoff sind nötig, wenn die auftretenden Wärmeverluste unberücksichtigt bleiben?

Lösung: Das Wasser muss zunächst von der Raumtemperatur  = 15 ºC auf die Siedetemperatur s = 100 ºC erwärmt werden. Die dabei zuzuführende Wärme Q1 beträgt: Q1 = m c (s – ); m = 9 000 kg;

c = 4 187

J J = 4 187 kg K kg ºC

Q1 = 9 000 kg · 4 187

J (100 – 15) ºC = 32 000 · 105 J kg ºC

Nach Zufuhr dieser Wärme liegt Wasser von 100 ºC vor. Um dieses Wasser bei gleich bleibender Temperatur vollständig in den gasförmigen Zustand zu überführen, müssen jedem kg Wasser qv = 22,6 · 105 J/kg (Verdampfungswärme) zugeführt werden. Damit ergibt sich folgende Gesamtwärme:

Q = Q1 + m qv; qv = 22,6 · 105

J kg

Q = 32 000 · 105 J + 9 000 kg · 22,6 · 105

J = 235 000 · 105 J kg

Die erforderliche Brennstoffmenge mb beträgt:

mb =

Q J ; Hu = 188 · 105 kg Hu

mb =

235000⋅105 J = 1 250 kg Braunkohle J 188⋅105 kg

F 14

2 Wärme und Arbeit 2.1 Thermodynamisches System Stoffe oder stoffdurchflossene Räume als Objekte thermodynamischer Untersuchungen werden als thermodynamische Systeme bezeichnet. Ein solches System wird durch eine fest stehende oder bewegliche Systemgrenze von seiner Umgebung (Umfeld außerhalb des Systems oder benachbartes System) getrennt. Wechselwirkungen zwischen System und Umgebung sind über die Systemgrenze hinweg als Stoffaustausch und Energieaustausch (Wärme, Arbeit) grundsätzlich möglich (Bild 1). Flüssige und gasförmige Stoffe (Fluide) bilden die wichtigsten thermodynamischen Systeme.

F Thermodynamik Mikroskopische kinetische und potenzielle Energie U aus der Wärmebewegung der Elementarteilchen des Systems (Molekularbewegung) und makroskopische kinetische Energie Ek und potenzielle Energie Ep aus makroskopischen Bewegungen des Systems im Schwerefeld der Erde. Ohne chemische und nukleare Energieanteile gilt: E = U + Ek + Ep Für ruhende Systeme ist Ek = Ep = 0 (Null) Im Bereich (ruhender) geschlossener Systeme ist E = U. Dieser Energiebestand ist die (thermische) innere Energie U des Systems. Der Betrag der inneren Energie U hat keine praktische Bedeutung. Wärmetechnisch wichtig ist die Berechnung der Änderung der inneren Energie  U (Zu- oder Abnahme) im Verlauf von Zustandsänderungen im System. Für den willkürlich gewählten Bezugspunkt U = 0 bei 0 ºC gilt für ein ideales Gas als Systemfüllung: U = m cv - U1 = m cv -1 U2 = m cv -2 ' U = U2 – U1 = m cv -2 – m cv -1 ' U = m cv (-2 – -1)

Bild 1. Thermodynamisches System (geschlossen) Geschlossene Systeme besitzen eine stoffundurchlässige (stoffdichte) Systemgrenze (z.B. eingeschlossenes Gas). Offene Systeme (nach L. Prandtl auch: Kontrollraum) haben dagegen eine stoffdurchlässige Systemgrenze (z.B. durchströmter Raum). Bei beiden Systemarten ist über die Systemgrenze hinweg ein Energieaustausch als verrichtete Arbeit und als übertragene Wärme möglich. Sind Energie- und Stoffaustausch mit der Umgebung nicht durchführbar, so liegt ein isoliertes oder abgeschlossenes System vor. Adiabate Systeme besitzen eine wärmeundurchlässige (wärmedichte) Systemgrenze. Bei dieser thermisch isolierten Systemart ist ein Wärmeaustausch mit der Umgebung ausgeschlossen. Nicht adiabate Systeme können praktisch als adiabat angesehen werden, wenn bei sehr schnell ablaufenden Vorgängen (z.B. in schnell laufenden Wärmekraftmaschinen) trotz eines wirksamen Temperaturgefälles und einer wärmedurchlässigen Systemgrenze eine nennenswerte Wärmeübertragung wegen der extrem kurzen Übertragungszeit nicht stattfinden kann. Systembezogene thermodynamische Untersuchungen beziehen sich vorwiegend auf ruhende Systeme. Kinetische und potenzielle Energie sind als Teil der Gesamtenergie des Systems dann gleich null.

2.2 Innere Energie Jedes thermodynamische System besitzt die Energie E, die sich aus folgenden Energieanteilen zusammensetzt:

' U = U2 – U1 = m cv (T2 – T1) U m c T J J kg K kg K

(1)

oder massenbezogen die Änderung der spezifischen inneren Energie 'u: ' u = u2 – u1 = cv (T2 – T1) u c T J J K kg kg K

(2)

Die innere Energie eines geschlossenen Systems kann nur durch Energieübertragung in Form von Wärme oder Arbeit (auch Dissipationsarbeit) über die Systemgrenze hinweg geändert werden. Im Bereich (ruhender) offener Systeme erfolgt zusätzlich eine Energieübertragung durch Stofffluss über die Systemgrenze hinweg. An die Stelle der inneren Energie tritt dann die Enthalpie.

2.3 Wärme Eine Möglichkeit des Energieaustauschs zwischen System und Umgebung (auch zwischen benachbarten Systemen) ist die Übertragung von Wärme über eine wärmedurchlässige (diatherme) Systemgrenze hinweg. Die Wärmeübertragung erfordert einen Temperaturunterschied zwischen System und Umgebung. Sie erfolgt dann von selbst ohne Einwirkung eines äußeren Zwanges stets in Richtung des vorhandenen Temperaturgefälles.

2 Wärme und Arbeit

F 15

Die Wärme Q in J (Joule) ist die reversibel übergehende Wärmeenergie beim Überschreiten der Systemgrenze. Nach erfolgtem Übergang ist die z.B. zugeführte Energie ein Teil der inneren Energie des Systems. Zugeführte Wärme erhält ein positives (+), abgeführte Wärme ein negatives (–) Vorzeichen (Vorzeichenkonvention nach DIN 1345). Die massenbezogene Wärme ist die spezifische Wärme q in J/kg. Sie ist unabhängig von der Masse des Systems: q= q J kg

2

Wv = −∫ p⋅dV 1

W

p

V

J

N m2

m3

(4)

oder massenbezogen die spezifische Volumenänderungsarbeit wv in J/kg 2

wv = −∫ p⋅dυ

Q m

1

w Q

m

J

kg

(3)

Wird auf ein geschlossenes System durch Verrichtung von Arbeit am System (zugeführte Arbeit) Dissipationsenergie übertragen, so verhält sich dieser Energiezuwachs grundsätzlich wie zugeführte Wärme. Er erhöht die innere Energie des Systems. Die Dissipation ist jedoch nicht umkehrbar (irreversibel). Dissipationsenergie kann dem System nur zugeführt werden und erhält somit stets ein positives Vorzeichen. Nach der kinetischen Wärmetheorie (Rudolf Clausius, 1822 – 1888) ist Wärme aus physikalischer Sicht die Bewegungsenergie (kinetische Energie) der schwingenden Elementarteilchen (Moleküle bzw. Atome) eines Stoffes. Diese Wärmebewegung ist physiologisch wahrnehmbar. Sie bewirkt nach erfolgter Reizaufnahme durch wärmeempfindliche Rezeptoren der Haut (Thermorezeptoren) eine subjektive Wärmeempfindung (Wärmesinn).

J kg

p N m2

X

(5)

3

m kg

Das negative Vorzeichen (–) berücksichtigt die Vorzeichenkonvention: Kompression, d.h. dX negativ = wv positiv Expansion, d.h. dX positiv = wv negativ Die Volumenänderungsarbeit erscheint im p,XDiagramm (Zustandsdiagramm) als senkrecht schraffierte Fläche zwischen Abszisse (X-Achse) und p,XLinie (Bild 2).

2.4 Arbeit

Bild 2. Volumenänderungsarbeit wv bei Expansion von 1 nach 2

Eine Möglichkeit des Energieaustauschs zwischen System und Umgebung ist die Verrichtung von Arbeit über die (bewegliche) Systemgrenze hinweg. Zugeführte Arbeit wird am System, abgegebene Arbeit dagegen vom System verrichtet. Zugeführte Arbeit erhält ein positives (+), abgeführte Arbeit ein negatives (–) Vorzeichen (Vorzeichenkonvention nach DIN 1345). Im Bereich (ruhender) geschlossener Systeme (z.B. eingeschlossenes Gas) wird die Volumenänderungsarbeit Wv verrichtet. Sie wird dem System über eine verschiebbare Systemgrenze (z.B. Arbeitskolben) als Kompressionsarbeit zugeführt oder vom System als Expansionsarbeit abgegeben. Damit ist allgemein auch eine Änderung von Druck p und Temperatur T verbunden. Unter Vernachlässigung dissipativer Wirkungen ergibt sich die Volumenänderungsarbeit bei reversiblem (umkehrbarem) Prozessverlauf von 1 nach 2 (Bild 2):

Wird einem adiabaten geschlossenen System Volumenänderungsarbeit zugeführt (bzw. entzogen), so nimmt die innere Energie u entsprechend zu (bzw. ab). Ohne Dissipation gilt: wv = u2 – u1 Im Bereich (ruhender) offener Systeme (z.B. stoffdurchströmter Raum) wird die technische Arbeit Wt verrichtet. Ein solches System liegt z.B. dann vor, wenn eine Wärmekraftmaschine bei stetiger Arbeitsabgabe von einem stofflichen Arbeitsmittel (z.B. Gas) durchflossen wird. Die technische Arbeit berücksichtigt bei Arbeitsabgabe (hier angenommen) neben der vom System verrichteten Volumenänderungsarbeit Wv (= U2 – U1) zusätzlich die Verschiebearbeit bei p = konstant, die als Einschubarbeit p1 V1 beim Einschieben des Stoffes vom System aufgenommen und als Ausschubarbeit – p2 V2 beim Ausschieben des Stoffes vom Sys-

F 16

F Thermodynamik

tem abgegeben wird. Unter Vernachlässigung dissipativer Wirkungen und ohne Änderung der kinetischen und potenziellen Energie des strömenden Fluids ergibt sich die technische Arbeit bei reversiblem (umkehrbarem) Prozessverlauf von 1 nach 2 (Bild 3):

m3

J

p N m2

(6)

oder massenbezogen die spezifische technische Arbeit wt in J/kg 2

wt = ∫ υ⋅dp 1

w J kg

X 3

m kg

u

p

X

J kg

J kg

N m2

m3 kg

(8)

H = U + pV

1

V

h

oder für die Masse m die Enthalpie H in J

2

Wt = ∫V ⋅dp W

h = u + pX

p

(7)

N m2

Die spezifische technische Arbeit erscheint im p,XDiagramm (Zustandsdiagramm) als waagerecht schraffierte Fläche zwischen Ordinate (p-Achse) und p,X-Linie (Bild 3). Für die vom System verrichtete reversible technische Arbeit (spezifisch) gilt auch (Bild 3): p1 X1 – wv – p2 X2 = – wt p1 X1 – (u2 – u1) – p2 X2 = – wt p1 X1 – u2 + u1 – p2 X2 = – wt u1 + p1 X1 – u2 – p2 X2 = – wt (u1 + p1 X1) – (u2 + p2 X2) = – wt wt = (u2 + p2 X2) – (u1 + p1 X1)

H

U

J

J

p N m2

V

(9)

m3

Der Betrag der Enthalpie H hat keine praktische Bedeutung. Wärmetechnisch wichtig ist die Berechnung der Änderung der Enthalpie ' H (Zu- oder Abnahme) im Verlauf einer Zustandsänderung im System. Für den willkürlich gewählten Bezugspunkt H = 0 bei 0 ºC gilt für ein ideales Gas: ' H = H2 – H1 ' H = U2 + p2 V2 – U1 – p1 V1 ' H = m cv -2 + m Ri T2 – m cv -1 – m Ri T1 ' H = m cv (-2 – -1) + m Ri (T2 – T1) ' H = m cv (T2 – T1) + m Ri (T2 – T1) ' H = m (cv + Ri) (T2 – T1) (10) ' H = m cp (T2 – T1) H

m

c T J J kg K kg K Gibt ein adiabates offenes System (Q = 0, isentrope Zustandsänderung) technische Arbeit ab, so nimmt die Enthalpie H des Systems entsprechend ab. Ohne Dissipation gilt: Wt = H2 – H1 = m cp (T2 – T1) W H

m

J

kg

J

c J kg K

T

(11)

K

Wird die von einem offenen System abgegebene technische Arbeit durch die Zeit dividiert, in der diese Arbeit die Systemgrenze überschreitet, so ergibt sich die abgegebene Leistung.

2.5 Dissipationsenergie

Bild 3. Technische Arbeit wt bei Expansion von 1 nach 2

Die Klammerausdrücke werden zusammengefasst zur spezifischen Enthalpie h in J/kg.

Wird der kompressiblen Füllung eines geschlossenen Systems (z.B. eingeschlossenes Gas) über eine verschiebbare Systemgrenze (z.B. durch Arbeitskolben) Arbeit zugeführt, so dient diese Energie sowohl der reversiblen Volumenänderung (Kompression) des eingeschlossenen Gases als auch der Überwindung von Widerständen (vorwiegend Reibung) beim Zusammendrücken der fluiden Systemfüllung. Dieser Energieanteil überschreitet die Systemgrenze neben der reversiblen Volumenänderungsarbeit Wv als irre-

2 Wärme und Arbeit

F 17

versible Dissipationsarbeit Wd und wird erst im System dissipiert (zerstreut). Die Dissipationsenergie (Streuenergie) ist wirkungsgleich mit reversibel zugeführter Wärme Q und Volumenänderungsarbeit Wv. Auch sie erhöht die innere Energie U des geschlossenen Systems.

 U = U2 – U1 = Q + Wv + Wd Dissipationsarbeit kann dem System nur zugeführt werden, sie erhält daher stets ein positives Vorzeichen. Bei offenen Systemen steht für die innere Energie die Enthalpie H und für die (reversible) Volumenänderungsarbeit die (reversible) technische Arbeit Wt. Ohne Änderung der kinetischen und potenziellen Energie des durchströmenden Fluids gilt sinngemäß

2.7 Kreisprozesse Wird einem thermodynamischen System Energie (Wärme, Arbeit) zugeführt oder entzogen, so ändert sich der physikalische Zustand des Systems. Solche Zustandsänderungen sind Merkmale thermodynamischer Prozesse. Sie werden in Zustandsdiagrammen (z.B. p,X-Diagramm) graphisch dargestellt. Die Aufeinanderfolge mehrerer Zustandsänderungen derart, dass das System am Ende des gesamten Ablaufs seinen physikalischen Ausgangszustand wieder erreicht, ergibt einen Kreisprozess. Durch geeignete Prozessgestaltung kann dabei Wärme in Arbeit (Wärmekraftmaschinen) oder Arbeit in Wärme (Kältemaschinen, Wärmepumpen) umgewandelt werden.

 H = H2 – H1 = Q + Wt + Wd Dissipationsvorgänge sind kennzeichnende Merkmale irreversibler (nicht umkehrbarer) Prozesse. Bei wärmetechnischen Betrachtungen ist die Vernachlässigung dissipativer Einflüsse vielfach üblich. Sie ermöglicht eine vereinfachte theoretische Behandlung idealisierter (reversibler) Abläufe (ohne Dissipation, Wd = 0).

 U = U2 – U1 = Q + Wv  H = H2 – H1 = Q + Wt

geschlossenes System offenes System

2.6 Erster Hauptsatz Jedes thermodynamische System besitzt Energie. Dieser Energiebestand kann nur durch einen Energieübergang in Form vom Wärme oder Arbeit (auch Dissipationsarbeit) über die Systemgrenze hinweg verändert werden. Dabei wird Energie weder erzeugt noch vernichtet (Energieerhaltungssatz). Der Erste Hauptsatz stellt als Erfahrungssatz (Axiom) Wärme, Arbeit und innere Energie jeweils als Energieformen und damit als gleichartige physikalische Größen mit der Energieeinheit J (Joule, 1 J = 1 Nm = 1 Ws) dar. Dabei sind unterschiedliche Formulierungen üblich. ■ Beispiele: Wärme ist eine Energieform. Bei geschlossenem System ergibt zu- oder abgeführte Wärme und Arbeit eine äquivalente Änderung (Zu- oder Abnahme) der inneren Energie des Systems. In einer Bilanzgleichung (Energiebilanz) werden Wärme Q, Arbeit Wv (bzw. Wt) und innere Energie U (bzw. Enthalpie H) miteinander verknüpft. Für einen reversiblen Energieübergang (ohne Dissipation) gilt:

geschlossene Systeme

Q + Wv = U2 – U1 =  U

offene Systeme (vereinfacht)

Q + Wt = H2 – H1 =  H

Die Umwandlung von Energie in andere Energieformen ist nicht immer uneingeschränkt möglich. So sind Wärme und innere Energie (bzw. Enthalpie) nicht vollständig in mechanische oder elektrische Energie umwandelbar (siehe 2. Hauptsatz).

Bild 4. Kreisprozess (reversibel) mit zwei Zustandsänderungen (geschlossenes System) ■ Beispiel: Ein reversibler Kreisprozess im geschlossenen System (Wärmekraftmaschine) besteht aus zwei Zustandsänderungen (Bild 4). Unter Zufuhr der Wärme + Q1 – 2 expandiert die Systemfüllung und gibt dabei die Volumenänderungsarbeit – Wv1 – 2 ab. In einer anschließenden Kompression wird dem System die Volumenänderungsarbeit + Wv2 – 1 zugeführt und dabei die Wärme –Q2 – 1 entzogen.

Nach dem 1. Hauptsatz gilt: + Q1 – 2 – Wv1 – 2 = U2 – U1 – Q2 – 1 + Wv2 – 1 = U1 – U2 + Q1 – 2 – Q2 – 1 = (U2 – U1) + (U1 – U2) + + Wv1 – 2 – Wv2 – 1 + Q1 – 2 – Q2 – 1 = + Wv1 – 2 – Wv2 – 1 ¦Q = ¦Wv = W (Nutzarbeit) Ein reversibler Kreisprozess im offenen System ergibt sinngemäß:

¦Q = ¦Wt = W (Nutzarbeit) Die im reversiblen Kreisprozess gewonnene Arbeit (Nutzarbeit W) ist gleich der algebraischen Summe der zu- und abgeführten Volumenänderungsarbeiten (¦ Wv) bzw. der technischen Arbeiten (¦ Wt). Der Betrag der Nutzarbeit ist auch gleich der algebraischen Summe der zu- und abgeführten Wärmen (¦ Q). Verlaufen die im p,X -Diagramm graphisch dargestellten Zustandsänderungen entsprechend ihrer Verlaufsrichtung im Uhrzeigersinn (Bild 4), so liegt ein rechtsläufiger Kreisprozess vor (Wärmekraftmaschinen). Bei entgegengesetztem Verlauf ergibt sich ein linksläufiger Kreisprozess (Kältemaschinen, Wärmepumpen).

F 18

F Thermodynamik

2.8 Thermischer Wirkungsgrad Im Fortgang eines rechtsläufigen reversiblen Kreisprozesses in einer Wärmekraftmaschine soll ein möglichst großer Teil der dem Prozess zugeführten Wärme in Nutzarbeit umgewandelt werden. Zur Beurteilung der Energieumwandlung werden Nutzen und Aufwand zueinander ins Verhältnis gesetzt und so der thermische Wirkungsgrad K th gebildet. Werden zugeführte Wärme mit Qzu und abgeführte Wärme mit Qab bezeichnet, so gilt:

ηth =

| W | Qzu − | Qab | = Qzu Qzu

ηth =1−

| Qab | Qzu

K

Q

1

J

(12)

Würde die gesamte zugeführte Wärme in Nutzarbeit umgewandelt und damit die abgeführte Wärme gleich null, so wäre Kth = 1. Dieser Wert wird technisch nie erreicht.

Wärme kann nie von selbst von einem System niederer Temperatur auf ein System höherer Temperatur übergehen. Damit ist der unermessliche Vorrat an innerer Energie der Umgebung technisch nicht nutzbar.

2.10 Entropie Jedes System besitzt als Zustandsgröße die Entropie S. Wird über die Systemgrenze hinweg Wärme übertragen oder dem System Dissipationsenergie zugeführt, so findet immer auch (richtungsgleich, d. h. mit gleichem Vorzeichen) ein Entropietransport statt. Die reversible Übertragung von Arbeit erfolgt dagegen entropiefrei. Die mit Wärme übertragene Entropie (ohne Dissipation und in Differenzialschreibung) ist nach Rudolf Clausius definiert als dS =

2.9 Zweiter Hauptsatz Kreisprozesse (und ihre Zustandsänderungen) werden für eine vereinfachte theoretische Behandlung (Berechnung) als reversible (umkehrbare) Abläufe angesehen. Nach dieser Annahme erreicht das betrachtete System nach erfolgter Umkehrung ohne jede energetische Einwirkung und somit Änderung der Umgebung seinen ursprünglichen physikalischen Ausgangszustand. Natürliche Prozesse (und Zustandsänderungen) sind nicht umkehrbar (irreversibel). Systeminterne Dissipations- und Ausgleichsvorgänge machen die beschriebene Prozessumkehrung unmöglich. Der 2. Hauptsatz stellt als Erfahrungssatz (Axiom) dieses Prinzip der Nichtumkehrbarkeit (Irreversibilität) von Prozessen in unterschiedlichen Formulierungen dar. ■ Beispiel: Alle natürlichen Prozesse sind irreversibel. Durch Einführung der Entropie (Rudolf Clausius, 1822 – 1888) wird das Ausmaß der Nichtumkehrbarkeit berechenbar und in Zustandsdiagrammen graphisch darstellbar. Andere Formulierungen des 2. Hauptsatzes beziehen sich auf die auch bei reversiblen Abläufen eingeschränkte Umwandelbarkeit von innerer Energie (bzw. Enthalpie) und Wärme in andere Energieformen. ■ Beispiele: In einer Wärmekraftmaschine wird die zugeführte Wärme nur teilweise in Nutzarbeit umgewandelt. Der Rest durchläuft und verlässt die Maschine ungenutzt (Kth < 1). Bei einer Wärmeübertragung wird stets ein System mit niedrigerer Temperatur benötigt, auf das die Wärme in Richtung des Temperaturgefälles selbsttätig übergehen kann. So formulierte Clausius 1850:

dQ T

S

Q

T

J K

J

K

(13)

Dabei ist T die thermodynamische Temperatur in dem Grenzbereich des Systems, in dem die transportierte Wärme die Systemgrenze überschreitet. Bei größeren Temperaturunterschieden ist die mittlere Temperatur Tm zu setzen. Massenbezogen gilt für die spezifische Entropie s: ds =

dq T

s

q

T

J kg K

J kg

K

(14)

Der Betrag der Entropie hat keine praktische Bedeutung. Wärmetechnisch wichtig ist die Änderung der Entropie ' s (Zu- oder Abnahme) im Verlauf einer Übertragung von Wärme oder Dissipationsenergie. So ist die algebraische Summe der Entropieänderungen aller am Energieübergang beteiligten Systeme ein Maß für die Irreversibilität (Nichtumkehrbarkeit) des Prozesses. x

Bei reversiblem Ablauf ist die algebraische Summe der Entropieänderungen aller am Prozess beteiligten Systeme gleich null, d. h. die Summe der Entropien aller beteiligten Systeme ändert sich nicht.

x

Bei irreversiblem Ablauf ist die algebraische Summe der Entropieänderungen aller am Prozess beteiligten Systeme größer als null, d. h. die Summe der Entropien aller beteiligten Systeme wird größer.

2 Wärme und Arbeit

F 19

Im T,s-Diagramm (Zustandsdiagramm) können Wärme und andere Energiegrößen als Flächen graphisch dargestellt werden. Für eine reversible Zustandsänderung gilt: ds =

dq T

dq = T ds

Ÿ

2

q = ∫T d s 1

Das bestimmte Integral entspricht der senkrecht schraffierten Fläche im T,s-Diagramm (Bild 5).

2.11 Exergie und Anergie Nach dem 2. Hauptsatz kann nicht jede Energieform beliebig in jede andere Energieform umgewandelt werden. So ist z.B. die einer Wärmekraftmaschine zugeführte Wärme selbst bei reversiblem Prozessablauf nur begrenzt in Nutzarbeit umwandelbar. Die Grenze wird dabei durch den physikalischen Zustand der Umgebung gezogen. So ist die innere Energie eines Systems im Umgebungszustand, d. h. bei Umgebungstemperatur Tu und Umgebungsdruck pu, im Sinne einer Gewinnung von Nutzarbeit wertlos. Nach dem Merkmal der Umwandelbarkeit werden unterschieden: –

– –

Bild 5. T,s-Diagramm für eine reversible Zustandsänderung

Für Flüssigkeiten (z.B. Wasser) und Dämpfe (z.B. Wasserdampf) ergeben sich die zugehörigen Entropiebeträge aus Zahlentafeln (z.B. Dampftafel für Wasser) oder aus Zustandsdiagrammen (z.B. Temperatur-Entropie-Diagramm für Wasser). Für ideale Gase sind Entropieänderungen (' s) berechenbar. So gilt für reversible Vorgänge im geschlossenen System: d q d u + p dυ d u p d υ = = + ; T T T T c d T Ri dυ ds = v + T υ

ds =

2

dT ' s = s2 – s1 = cv ∫ + Ri T 1

2

∫ 1

Unbegrenzt umwandelbare Energie (mechanische Energie, elektrische Energie). Sie wird als Exergie E bezeichnet. Nicht umwandelbare Energie (innere Energie der Umgebung). Sie wird als Anergie B bezeichnet. Begrenzt umwandelbare Energie (innere Energie bzw. Enthalpie, Wärme). Sie setzt sich aus Exergie und Anergie zusammen. Der nutzbare Anteil ist die Exergie, der nicht nutzbare Anteil die Anergie (Energie = Exergie + Anergie).

Exergie EQ und Anergie BQ der Wärme sind im T,SDiagramm (Zustandsdiagramm) graphisch darstellbar. Sie erscheinen als Flächen oberhalb bzw. unterhalb der Linie der Umgebungstemperatur Tu (waagerechte Linie in Bild 6).

p Ri = T υ

dυ

Bild 6. Exergie und Anergie der Wärme für eine beliebige Zustandsänderung

υ

EQ1 – 2 + BQ1 – 2 = Q1 – 2

s2 – s1 = cv ln

T2 υ + Ri ln 2 T1 υ1

(15)

oder s2 – s1 = cv ln

p2 υ + cp ln 2 p1 υ1

(16)

Bei größeren Temperaturunterschieden muss wegen der Temperaturabhängigkeit der spezifischen Wärmekapazitäten mit den Mittelwerten cvm und cpm gearbeitet werden.

Für den 2. Hauptsatz ergeben sich daraus weitere Formulierungen: x x

x

Bei reversiblen Vorgängen bleibt die Exergie konstant. Bei irreversiblen (natürlichen) Vorgängen nimmt die Exergie ab. Exergie wird z.T. in Anergie verwandelt. Es ist nicht möglich, Anergie in Exergie zu verwandeln.

F 20

F Thermodynamik Tabelle 1. Spezielle Gaskonstante J (1 J = 1 Nm) Ri in kg K

3 Zustandsänderungen idealer Gase 3.1 Thermische Zustandsgleichung Die Thermodynamik entwickelt ihre Gesetzmäßigkeiten mit Hilfe messbarer Größen, die für den jeweiligen Zustand eines Systems kennzeichnend sind. Die Thermodynamik verzichtet dabei auf jede atomistische Deutung des Wesens der Wärme, wie sie in der kinetischen Wärmetheorie zum Ausdruck kommt. Die gegenseitigen Abhängigkeiten der Zustandsgrößen spezifisches Volumen (X), absoluter Druck (p) und Temperatur (T) werden durch die thermische Zustandsgleichung idealer Gase festgelegt, die aus der Verknüpfung der Gesetze von Boyle und Mariotte und Gay-Lussac hergeleitet werden kann. Herleitung: Betrachtung einer allgemeinen Zustandsänderung, bei der sich Volumen, Druck und Temperatur gleichzeitig ändern. Ausgangszustand Endzustand

p1, X1, T1 p2, X2, T2

Zerlegung der Gesamt-Zustandsänderung in zwei Teilvorgänge a und b über einen Zwischenzustand mit dem spezifischen Volumen Xx. a) Druckänderung von p1 auf p2 bei gleich gehaltener Temperatur T1 (nach Boyle und Mariotte) υ1 p υ p = 2 ; υx = 1 1 p1 p2 υx b) Temperaturänderung von T1 auf T2 bei gleich bleibendem Druck p2 (nach Gay-Lussac) υx T1 υ T υ p T = ; υ2 = x 2 = 1 1 2 T1 p2 T1 υ2 T2 Hieraus ergibt sich für die allgemeine Zustandsänderung p2 υ2 p υ = 1 1 = konst. = Ri (spezielle oder T2 T1 individuelle Gaskonstante). Dieser Ausdruck ist die thermische Zustandsgleichung idealer Gase

p X = Ri T p

X 3

N m m 2 kg

Ri

T

J kg K

K

1 J = 1 Nm

(1)

Die spezielle Gaskonstante Ri ist eine Stoffkonstante, die durch Messung der zueinander gehörenden Werte von p, X und T bestimmt werden kann. Sie stellt die Volumenänderungsarbeit dar, die verrichtet wird, wenn ein Gas mit der Masse m = 1 kg bei gleich bleibendem Druck um 1 K erwärmt wird.

Kohlenoxid Kohlendioxid Luft Methan Sauerstoff Stickstoff Wasserdampf Wasserstoff

CO CO2 – CH4 O2 N2 H2O H2

297 189 287 519 260 297 462 4 126

Die thermische Zustandsgleichung gilt für jeden beliebigen, durch p, X und T ausgedrückten Gaszustand, also auch für den Normzustand (pn Xn/Tn = Ri). Ein Gas, das dieser thermischen Zustandsgleichung folgt, nennt man ein ideales Gas. Dieses Gas ist ein gedachter Stoff, dessen Moleküle kein Eigenvolumen besitzen und in dem Molekularkräfte nicht vorhanden sind. Reale Gase weichen in ihrem Verhalten umso mehr von der Zustandsgleichung ab, je höher ihre Atomzahl ist und je näher die Temperatur am Verflüssigungspunkt des Gases liegt. Reale Gase werden eher von der van der Waalsschen Zustandsgleichung erfasst, in der Eigenvolumen und Kohäsionskräfte der Moleküle durch entsprechende Einflussgrößen berücksichtigt sind. Wird in Gleichung (1) X = V/m gesetzt, so ergibt sich die thermische Zustandsgleichung der Gase p V = m Ri T p

V

m

N m3 kg m2

Ri

T

J kg K

K

(2)

An Stelle des spezifischen Volumens X kann auch die Dichte U = 1/X in die thermische Zustandsgleichung der Form (1) eingesetzt werden. ■ Beispiel: Welche spezielle Gaskonstante Ri ergibt sich für Luft? Lösung: Für den Normzustand ergibt sich aus der thermischen Zustandsgleichung:

Ri = Ri =

pn υn m3 nach Tabelle 1, Kapitel 1 ; υn = 0,774 Tn kg 1,013⋅105

3 N ⋅0, 774 mkg m2

273 K

Nm J = 287, 2 = 287,2 kg K kg K ■ Beispiel: Wie groß ist das Volumen einer Luftmenge von 100 m3 (im Normzustand) bei - = 80 ºC und p = 4,9 bar?

3 Zustandsänderungen idealer Gase

F 21

Lösung:

pn Vn p V = = m Ri ; Tn T V=

p = 4,9 bar = 4,9⋅105

N m2

5 N 3 pn Vn T 1, 013⋅10 m2 ⋅100 m ⋅353 K = Tn p 273 K ⋅4,9⋅105 N2 m

V = 26,7 m3

Bild 2. Darstellung einer Zustandsänderung im T,sDiagramm

3.2 Zustandsänderungen Der Zustand eines Systems wird durch Zustandsgrößen bestimmt. Prozesse mit Energieaustausch zwischen System und Umgebung verändern Größen und Zustände. Damit werden Zustandsänderungen bewirkt. Zustände und Zustandsänderungen werden rechnerisch behandelt oder in Zustandsdiagrammen graphisch dargestellt. Die rechnerische Bearbeitung bezieht sich meist auf reversible (d. h. dissipationsfreie) Zustandsänderungen idealer Gase wie Isochore, Isobare, Isotherme, Isentrope und Polytrope. Eine Anwendung der Gesetzmäßigkeiten auf reale Gase mit annähernd idealem Verhalten ist technisch fast immer ausreichend genau. Zustandsdiagramme bestehen überwiegend aus einem ebenen System rechtwinklig angeordneter Koordinatenachsen (Abszisse, Ordinate). Zustände erscheinen als Punkte, Zustandsänderungen als gerade oder gekrümmte Linien (Kurven). Bei maßstäblicher Achsenteilung können Zahlenwerte gesuchter Größen mit praktisch hinreichender Genauigkeit abgelesen werden. Diese Möglichkeit bietet auch der Gebrauch einschlägiger Zahlentafeln (z.B. Dampftafel für Wasser). Die Anwendung von Diagrammen und Tafeln ist dann üblich, wenn eine rechnerische Behandlung wegen komplizierter Zusammenhänge (z.B. bei Dämpfen) zu aufwändig ist. Wichtige Zustandsdiagramme für Gase sind das p,X-Diagramm und das T,s-Diagramm.

Aus dem p,X-Diagramm lässt sich auch der Temperaturverlauf in Abhängigkeit vom spezifischen Volumen ermitteln.

Bild 3. Aufzeichnen des Temperaturverlaufs als Kurve T = f (X) aus dem p,X-Diagramm einer gegebenen Zustandsänderung

Anleitung (Bild 3): Gegeben: Zustandsänderung mit Anfangszustand 1 (p1, X1, T1) und zugehöriger Kurvenverlauf. Gesucht: Temperatur T2 im beliebigen Zwischenzustand 2 (Maßstäbe für p und T so gewählt, dass p1 = T1 ist).

a) Senkrechte durch Punkt 1 zeichnen, b) Senkrechte und Waagerechte durch Punkt 2 zeichnen (es ergibt sich Schnittpunkt A), c) Verbindungslinie OA zeichnen und mit Senkrechte durch Punkt 2 zum Schnitt bringen (es ergibt sich Schnittpunkt B), d) Punkt B ist der Temperaturpunkt für den Zwischenzustand 2.

3.3 Isochore Zustandsänderung Bild 1. Darstellung einer Zustandsänderung im p,XDiagramm

Das Gasvolumen bleibt während der Zustandsänderung konstant. Aus der thermischen Zustandsgleichung p X /T = Ri folgt

F 22

F Thermodynamik Änderung der spezifischen Entropie ' s:

p1 T1 = p2 T2

p N m2

(3)

T

' s = cv ln s, c J kg K

K

T2 T1

(7)

T

K

Volumenänderungsarbeit wv wird nicht verrichtet: wv = 0 Die technische Arbeit ist als Differenz der Gleichdruckarbeiten p1 X1 und p2 X2 gegeben. Die spezifische technische Arbeit wt tritt im p,X-Diagramm (Bild 4) als Fläche in Erscheinung: wt = X (p2 – p1)

Bild 4. Isochore Zustandsänderung im p,X-Diagramm (hier Drucksenkung)

w

X

J kg

3

p

(8)

N m2

m kg

■ Beispiel: In einem Luftbehälter ist Luft unter einem Druck von pabs 1 = 2,45 bar bei einer Temperatur von -1 = 15 ºC eingeschlossen. a) Wie groß ist die Temperatur -2, wenn eine spezifische Wärme q = 251 000 J/kg zugeführt wird? b) Wie groß ist der sich einstellende Druck p2? c) Wie groß ist die Änderung der spezifischen inneren Energie ' u? d) Wie groß ist die Enthalpieänderung ' h? e) Wie groß ist die Entropieänderung ' s?

Bild 5. Isochore Zustandsänderung im T,s-Diagramm (hier Drucksenkung)

Da Volumenänderungsarbeit nicht verrichtet wird, dient die als Wärme zugeführte (oder abgeführte) Energie der Änderung der inneren Energie des Gases. Zugeführte (oder abgeführte) spezifische Wärme: q = cv (T2 – T1) q (u)

c

J kg

J kg K

T

(4)

K

' u = cv (T2 – T1)

T1 = -1 + 273,15 = 15 + 273,15 = 288,15 K

(5)

K

736

+ 288,15 K = 629,18 K

-2 = T2 – 273,15 = 629,18 – 273,15 -2 = 356 ºC p1 T1 = p2 T2

p2 =

p1 = 2,45 · 105

N m2

T1 = 288,15 K T2 = 629,18 K

p1 T2 T1 2, 45⋅105

N ⋅629,18 m2

K

288,15 K

= 5,35⋅105

N m2

p2 = 5,35 · 105 Pa = 5,35 bar c) ' u = q = 251 000

' h = cp (T2 – T1) T

J kg J kg K

251000

T2 =

p2 =

Änderung der spezifischen Enthalpie ' h: c J kg K

q J (angenommen) + T1; cv = 736 kg K cv

T2 =

b)

Änderung der spezifischen inneren Energie:

h J kg

Lösung: a) q = cv (T2 – T1)

J kg

Bei konstantem Volumen dient die gesamte zugeführte Wärme zur Erhöhung der inneren Energie.

(6)

d) ' h = cp (T2 – T1)

cp= 1 025

J (angenommen) kg K

3 Zustandsänderungen idealer Gase

F 23 Änderung der spezifischen inneren Energie:

J (629,18 – 288,15) K kg K

 h = 1 025

 h = 350 000

' u = cv (T2 – T1)

J kg

Änderung der spezifischen Enthalpie ' h:

T e)  s = cv ln 2 T1  s = 736

' h = cp (T2 – T1) h J kg

J 629,18 K J ln = 575 kg K 288,15 K kg K

3.4 Isobare Zustandsänderung Der Gasdruck bleibt während der Zustandsänderung konstant. Aus der thermischen Zustandsgleichung p X /T = Ri folgt

υ1 T1 = υ2 T2

X

(9)

T

m3 K kg Die als Wärme zugeführte (oder abgeführte) Energie dient zur Änderung der inneren Energie und zur Verrichtung einer Volumenänderungsarbeit (hier Gleichdruckarbeit). Es ist die zugeführte (oder abgeführte) spezifische Wärme

q = cp (T2 – T1) q (u) c J J kg kg K

(11)

T

(10)

K

Bild 6. Isobare Zustandsänderung im p,X-Diagramm (hier Expansion)

c J kg K

T

(12)

K

Änderung der spezifischen Entropie ' s:

' s = cp ln s, c J kg K

T2 T1

(13)

T

K

Spezifische Volumenänderungsarbeit wv wird als Gleichdruckarbeit verrichtet. Sie tritt im p,X-Diagramm (Bild 6) als Fläche in Erscheinung: wv = p (X1 – X2) w

p

X

J kg

N m2

m3 kg

Ein Wert für die spezifische technische Arbeit wt tritt nicht auf: wt = 0 ■ Beispiel: In einem Zylinder mit verschiebbarem Kolben ist Luft unter einem Druck von pabs = 24,5 bar bei einer Temperatur von -1 = 500 ºC eingeschlossen. Diese Luft dehnt sich unter Wärmezufuhr bei gleich bleibendem Druck pabs auf den 2,5-fachen Wert des Anfangsvolumens X1 aus. a) Wie groß ist das spezifische Anfangsvolumen X1? b) Wie groß ist die Temperatur T2 nach erfolgter Ausdehnung? c) Wie groß ist die zuzuführende spezifische Wärme q? d) Wie groß ist die spezifische Volumenänderungsarbeit wv? e) Wie groß ist die Änderung der spezifischen inneren Energie ' u? f) Wie groß ist die Entropieänderung ' s?

Lösung:

a) p X1 = Ri T1; X1 =

Ri = 287

Ri T1 ; p

J Nm = 287 kg K kg K

T1 = -1 + 273,15 = 500 + 273,15 = 773,15 K N p = 24,5 · 105 2 m

X1 =

Bild 7. Isobare Zustandsänderung im T,s-Diagramm (hier Expansion)

(14)

Nm 287 kg K ⋅773,15 K

24,5⋅105 mN2

X1 = 0,090 6

m3 kg

m3 = 906 · 10–4 kg

F 24 b)

F Thermodynamik υ1 T1 = ; X2 = 2,5 X1; υ2 T2

T1 1 υ = 1 = T2 2,5 υ1 2,5

T2 = T1 2,5 = 773,15 K 2,5 = 1 933 K c) q = cp (T2 – T1); cp = 1 186

J kg K

nach Gleichung (13), Kapitel 1 J (1 933 – 773,15) K q = 1 186 kg K J q = 1 376 000 kg d) wv = p (X1 – X2); wv = – p 1,5 X1

X2 = 2,5 X1; wv = p (X1 – 2,5 X1)

m3 N wv = – 24,5 · 105 2 · 1,5 · 906 · 10–4 kg m

wv = – 333 000

Nm J = – 333 000 kg kg

e) ' u = cv (T2 – T1)

cv = 899

J nach cv = cp – Ri kg K

' u = 899

J (1 933 – 773,15) K kg K

' u = 1 043 000

f) ' s = cp ln

J kg

T2 J 1 933 K J ln = 1186 = 1 087 kg K 773,15 K kg K T1

3.5 Isotherme Zustandsänderung Die Temperatur bleibt während der Zustandsänderung konstant.

Aus der thermischen Zustandsgleichung p

υ T

= Ri

folgt p1 υ2 = p2 υ1

(15)

p

X

N

m3 kg

m2

Die Kurve der Zustandsänderung erscheint im p,XDiagramm als gleichseitige Hyperbel (pX = Ri T = konst.). Die als Wärme zugeführte (oder abgeführte) Energie entspricht der verrichteten Volumenänderungsarbeit. Eine Änderung der inneren Energie findet nicht statt. Es ist die zugeführte (oder abgeführte) spezifische Wärme: q = Ri T ln

υ2 υ1

(16)

q = Ri T ln

p1 p2

(17)

q

Ri

J kg

J kg K

T

K

X 3

m kg

p N m2

Änderung der spezifischen inneren Energie: 'u = 0 Änderung der spezifischen Enthalpie ' h: 'h = 0 Änderung der spezifischen Entropie ' s: ' s = Ri ln

υ2 υ1

(18)

' s = Ri ln

p1 p2

(19)

s Bild 8. Isotherme Zustandsänderung im p,X-Diagramm (hier Expansion)

Bild 9. Isotherme Zustandsänderung im T,s-Diagramm (hier Expansion)

Ri

J J kg K kg K

X

p

m3 kg

N m2

Die spezifische Volumenänderungsarbeit wv und die spezifische technische Arbeit wt sind gleich und entsprechen der Größe von q: wv = Ri T ln

υ1 υ2

(20)

wv = Ri T ln

p2 p1

(21)

wt = Ri T ln

υ1 υ2

(22)

wt = Ri T ln

p2 p1

(23)

3 Zustandsänderungen idealer Gase Ri

w J kg

T

J kg K

X 3

m kg

K

F 25 p

N m2

■ Beispiel: In einem Zylinder mit verschiebbarem Kolben ist Luft unter einem Druck von pabs 1 = 24,5 bar bei einer Temperatur von - = 500 ºC eingeschlossen (siehe auch Beispiel unter 3.4). Diese Luft dehnt sich unter Wärmezufuhr bei gleich bleibender Temperatur - auf den 2,5fachen Wert des Anfangsvolumens X1 aus.

Bild 10. Isentrope Zustandsänderung im p,X-Diagramm (hier Expansion)

a) b) c) d) e) f)

Wie groß ist das spezifische Anfangsvolumen X1? Wie groß ist der Druck pabs 2 nach erfolgter Ausdehnung? Wie groß ist die zuzuführende spezifische Wärme q? Wie groß ist die spezifische Volumenänderungsarbeit wv? Wie groß ist die spezifische technische Arbeit wt? Wie groß ist die Änderung der spezifischen inneren Energie ' u? g) Wie groß ist die Entropieänderung ' s?

Lösung:

a) X1 = 0,090 6

m3 m3 = 906 · 10–4 kg kg

siehe Beispiel unter 3.4 υ p b) 1 = 2 ; υ2 = 2,5 υ1; p2 υ1

p2 =

p1 = 2,5

p1 2,5 υ1 = = 2,5 p2 υ1

N m 2 = 9,8⋅105 N 2,5 m2

24,5⋅105

p2 = 9,8 · 105 Pa = 9,8 bar

J 773,15 K ln kg K

Aus der thermischen Zustandsgleichung p X /T = Ri und den Gleichungen für ' u und ' h (1. Hauptsatz) folgt κ

p c) q = Ri T ln 1 p2 q = 287

Bild 11. Isentrope Zustandsänderung im T,s-Diagramm (hier Expansion)

N m2 N 9,8⋅105 2 m

24,5⋅105

J q = 203 320 kg d) Die zugeführte spezifische Wärme q wird vollständig in spezifische Volumenänderungsarbeit wv umgewandelt. wv = – 203 320 J/kg. e) Die spezifische technische Arbeit wt ist gleich der spezifischen Volumenänderungsarbeit wv. Daraus folgt wt = – 203 320 J/kg. f) Da T = konst., ist ' u = 0. J 203 320 J q kg = 263 g) ' s = = 773,15 K kg K T

3.6 Isentrope Zustandsänderung Während der reversiblen Zustandsänderung wird Wärme weder zu- noch abgeführt (adiabates System). Die Entropie bleibt konstant (Isentrope).

κ p1  υ2   T1 κ−1 =  =  p2  υ1   T2 

p

X

T

N

N m2

m3 kg

K

1

(24)

In dieser Formel ist N das Verhältnis der spezifischen Wärmekapazitäten cp/cv (Isentropenexponent). Die Kurve der Zustandsänderung erscheint im p,XDiagramm als eine ungleichseitige Hyperbel (Hyperbel höherer Ordnung). Die Steilheit des Kurvenverlaufs nimmt mit größer werdenden N-Werten zu. Eine Zufuhr oder Abfuhr von Wärme findet nicht statt. Es ist also die zugeführte (oder abgeführte) spezifische Wärme: q=0 Die Änderung der spezifischen inneren Energie ' u entspricht dem Betrage nach der Volumenänderungsarbeit. ' u = cv (T2 – T1) u J kg

c J kg K

T

K

(25)

F 26

F Thermodynamik

Änderung der spezifischen Enthalpie  h:  h = cp (T2 – T1) h =

T  κ p1 υ1 2 −1 T κ −1  1 

h

c

J kg

'h =

(26)

J kg K

1

(27)

p

3

m kg

K

κ−1    p2  κ    p1 υ1  −1 κ −1 p    1   

κ

N

p

X

T

J kg

J kg K

1

N m2

m3 kg

K

1 J = 1 Nm = 1 Ws  p1 υ1  T2  −1 wv = κ −1  T1 

(33)

κ−1  p1 υ1  υ1    −1  κ −1   υ2  

J kg

(36)

( p2 υ2 − p1 υ1 )

J kg K

1

1 J = 1 Nm = 1 Ws

p N m2

κ

X 3

m kg

(40)

■ Beispiel: Ein Kompressor saugt Luft von -1 = 20 ºC und einem Druck von pabs 1 = 1,025 bar an und verdichtet sie isentropisch auf einen Druck von pabs 2 = 5,89 bar. a) Wie groß ist die Temperatur T2 nach erfolgter Verdichtung? b) Wie groß ist die spezifische Volumenänderungsarbeit wv? c) Wie groß ist die Änderung der spezifischen inneren Energie ' u? d) Wie groß ist die spezifische technische Arbeit wt? e) Wie groß ist die Änderung der spezifischen Enthalpie ' h? f) Wie groß ist die Entropieänderung ' s? Lösung: κ

a)

p1  T1 κ−1 =  p2  T2 

T1

T

K

N m2

p2 = 5,89 · 105

N m2

T1 = -1 + 273,15 = 20 + 273,15 = 293,15 K

κ−1

293,15 K 1,4−1

= 483 K

1, 025⋅105 N2  1,4 m    5,89⋅105 N2   m 

b) wv =

X1 =

p1 = 1,025 · 105

 p1  κ    p2 

κ−1   p1 υ1  p2  κ    −1  κ −1  p1    

Nm m3 Ri T1 287 kg K 293,15 K = = 0,821 p1 kg 10, 25⋅104 N2 m

10, 25⋅104 mN2

wv = 136 000

(35)

N

(39)

κ

(34)

wt = cp (T2 – T1)

c

 υ κ−1  1 p1 υ1  −1  υ2   κ −1  

wv =

Die spezifische technische Arbeit wt entspricht der Änderung der spezifischen Enthalpie:

w

wt =

T2 =

(32)

κ−1   p1 υ1  p2  κ  wv =   −1 κ −1  p1    

κ −1

(38)

T2 =

c

wt =

κ−1    p  κ  p1 υ1 2  −1 p κ −1   1    

(31)

w

κ

wt =

(28)

1 ( p2 υ2 − p1 υ1 ) wv = κ −1

wv =

(37)

wt = N wv

κ

 υ κ−1  1 p1 υ1   −1 (29)  υ2   κ −1   Da q = 0 ist, ändert sich die Entropie nicht. Es ist also die Änderung der spezifischen Entropie: 's = 0 Die spezifische Volumenänderungsarbeit wv entspricht der Änderung der spezifischen inneren Energie: wv = cv (T2 – T1) (30)

'h =

T  κ p1 υ1 2 −1 κ −1  T1 

T

X

N m2

wt =

1,4−1    58,9⋅104 mN2  1,4    1 − 4 N    10, 25⋅10 m2     

3 0,821 mkg  

1, 4 −1

Nm J = 136 000 kg kg

c) Da bei einer isentropen Zustandsänderung Wärme weder zunoch abgeführt wird, geht die Volumenänderungsarbeit als innere Energie auf das Gas über. Die Zunahme an spezifischer innerer Energie entspricht also dem Betrage nach der spezifischen Volumenänderungsarbeit. J ' u = 136 000 kg  J  J d) wt = N wv = 1,4 136 000 = 191000 . kg  kg  e) Da bei einer isentropen Zustandsänderung Wärme weder zunoch abgeführt wird, entspricht die Änderung der spezifischen Enthalpie der spezifischen technischen Arbeit.

3 Zustandsänderungen idealer Gase  h = 191 000

F 27

J kg

f) Da bei einer isentropen Zustandsänderung Wärme weder zunoch abgeführt wird, ist die Entropieänderung gleich null.

3.7 Polytrope Zustandsänderung Die Zustandsänderung verläuft unter beliebiger Wärmezufuhr bzw. beliebigem Wärmeentzug. Als Polytrope im engeren Sinne werden die Zustandsänderungen bezeichnet, bei denen Wärmezufuhr oder Wärmeentzug nach der Gesetzmäßigkeit p X n = konst. ablaufen. Dabei kann der Exponent n jeden beliebigen Wert annehmen (– f < n < + f).

Die Kurve der Zustandsänderung erscheint im p,XDiagramm als Hyperbel höherer Ordnung. Die Steilheit des Kurvenverlaufes nimmt mit größer werdenden n-Werten zu. Die als Wärme zugeführte (oder abgeführte) Energie zusammen mit der Änderung der inneren Energie des Gases entspricht der Volumenänderungsarbeit. Es ist die zugeführte (oder abgeführte) spezifische Wärme: n− κ (T2 −T1 ) n −1 q c n (N) T J J 1 K kg kg K

q = cv

(42)

Änderung der spezifischen inneren Energie: ' u = cv (T2 – T1) u J kg

c J kg K

T

(43)

K

Änderung der spezifischen Enthalpie ' h: Bild 12. Polytrope Zustandsänderung im p,X-Diagramm (hier Expansion) 1 – 2 Polytrope mit Wärmezufuhr (n < N) 1 – 2' Polytrope mit Wärmeentzug (n > N)

Bild 13. Polytrope Zustandsänderung im T,s-Diagramm (hier Expansion) 1 – 2 Polytrope mit Wärmezufuhr (n < N) 1 – 2' Polytrope mit Wärmeentzug (n > N)

Für die polytrope Zustandsänderung gilt

p N m2

X 3

m kg

T

n

K

1

h

c

J kg

J kg K

n (N) p

1

(41)

T

X 3

N m m 2 kg

(44)

K

'h =

T  κ p1 υ1 2 −1 κ −1  T1 

(45)

'h =

n−1    p2  n    −1 p1 υ1 p κ −1    1   

(46)

'h =

 n−1  υ p1 υ1 1  −1   κ −1 υ   2 

(47)

κ

κ

Änderung der spezifischen Entropie ' s: ' s = cv

n − κ T2 ln n −1 T1

s, c n (N) T J 1 K kg K

n  T1 n−1

n p1  υ2  =  =  p2  υ1   T2 

' h = cp (T2 – T1)

(48)

Die spezifische Volumenänderungsarbeit wv bei einer polytropen Zustandsänderung ergibt sich aus entsprechenden Gleichungen für die Isentrope, wenn für N der Wert n gesetzt wird:

F 28

F Thermodynamik

wv = cv

κ −1

(T2 −T1 ) n −1 1 ( p2 υ2 − p1 υ1 ) wv = n −1

w

c

J kg

J kg K

1

n

1

p N m2

X 3

m kg

(49)

n=

(50)

n

T

1

K

υ

(60)

sM v

X m3 kg

s

cm

Mv m3 m3 kg = cm kg cm

1 J = 1 Nm = 1 Ws  p1 υ1  T2  −1 n −1  T1 

(51)

n−1    p1 υ1  p2  n wv =   −1 n −1  p1    

(52)

wv =

wv =

n−1   p1 υ1  υ1    −1  n −1   υ2  

(53)

Bild 14. Ermittlung des Exponenten n im Punkte P einer Polytrope (s = Subtangente)

Die spezifische technische Arbeit wt bei einer polytropen Zustandsänderung ergibt sich aus entsprechenden Gleichungen für die Isentrope, wenn für N der Wert n gesetzt wird: n ( κ −1) (T2 −T1 ) n −1 n ( p2 υ2 − p1 υ1 ) wt = n −1

wt = cv

w

c

J kg

J kg K

wt =

N 1

n

1

p N m2

(54) (55)

X 3

m kg

T  n p1 υ1 2 −1 n −1  T1 

T

K

Bild 15. Darstellung der Polytrope im p,X-Diagramm mit logarithmisch geteilten Achsen für die Ermittlung der Änderung des Exponenten n

(56)

n−1    p2  n  n wt = p1 υ1  −1 n −1 p    1   

(57)

 n−1  υ n p1 υ1 1  −1   υ n −1   2 

(58)

wt =

wt = n wv

(59)

Ist eine polytrope Zustandsänderung als Bestandteil eines Maschinendiagramms (p,X-Diagramm) ermittelt worden, so ergibt sich der Exponent n für jeden beliebigen Kurvenpunkt P (bei spezifischem Volumen X) als Verhältnis X /s (Bild 14). Dabei muss die in cm gemessene Subtangente s im Maßstab des spezifischen Volumens Mv umgerechnet werden. Damit ergibt sich der Exponent im Punkte P einer polytropen Zustandsänderung (Bild 14) nach:

Bild 16. Ermittlung des mittleren Exponenten n als Verhältnis der technischen Arbeit wt (Fläche 12 BA) zur Volumenänderungsarbeit wv (Fläche 12 DC)

Wird das p,X-Diagramm in ein Schaubild mit logarithmisch geteilten Achsen übertragen, so kann man erkennen, ob n im Verlaufe der Zustandsänderung konstant bleibt oder veränderlich ist (Bild 15; tan D =^ n).

3 Zustandsänderungen idealer Gase

F 29

Bei veränderlichen Exponenten n kann ein Mittelwert (mittlerer Exponent) aus der Beziehung wt = n wv gefunden werden (Bild 16); n = Fläche 12 BA/Fläche 12 DC. Sämtliche Zustandsänderungen können durch die Polytropengleichung p X n = konst. dargestellt werden. Dabei ergeben sich folgende Exponenten: n=0 n=1 n=N n=f

; p = konstant ; p X = konstant ; p X N = konstant X = konstant ;

; Isobare Zustandsänderung ; Isotherme Zustandsänderung ; Isentrope Zustandsänderung ; Isochore Zustandsänderung

Bild 19. Carnot-Prozess im p,X-Diagramm

Bild 17. Zustandsänderungen im p,X-Diagramm als Sonderfälle der Polytrope p X n = konst.

Bild 18. Zustandsänderungen im T,s-Diagramm als Sonderfälle der Polytrope p X n = konst.

3.8 Carnot-Prozess Der Carnot-Prozess (Kreisprozess nach Sadi Carnot, 1796 – 1832) besitzt den günstigsten thermischen Wirkungsgrad. Der Prozess setzt sich aus zwei isothermen und zwei isentropen Zustandsänderungen zusammen (Bilder 19 und 20).

Bild 20. Carnot-Prozess im T,s-Diagramm

a) Isotherme Kompression von 1 nach 2: Volumenänderungsarbeit wv1 – 2 wird als Kompressionsarbeit zugeführt. Die äquivalente Wärme q1 – 2 wird abgegeben. Die Temperatur Tu bleibt dabei konstant. b) Isentrope Kompression von 2 nach 3: Volumenänderungsarbeit wv2 – 3 wird als Kompressionsarbeit zugeführt. Wärme wird weder abgegeben noch zugeführt. Die Temperatur nimmt von Tu auf To zu (To > Tu). c) Isotherme Expansion von 3 nach 4: Volumenänderungsarbeit wv3 – 4 wird als Expansionsarbeit abgegeben. Die äquivalente Wärme q3 – 4 wird zugeführt. Die Temperatur To bleibt dabei konstant. d) Isentrope Expansion von 4 nach 1: Volumenänderungsarbeit wv4 – 1 wird als Expansionsarbeit abgegeben. Wärme wird weder abgegeben noch zugeführt. Die Temperatur nimmt von To auf Tu ab (Tu < To). Das Verhältnis des hierbei erzielten Arbeitsgewinns ^ q = q3 – 4 – q1 – 2) zur zugeführten Wärme q3 – 4 w (= ist der maximal erzielbare thermische Wirkungsgrad Kth max. Er ist nur von den Grenztemperaturen To und Tu abhängig und ergibt sich aus

F 30

Kth max =

F Thermodynamik | w | To −Tu T = = 1− u q3−4 To To

(61)

Der thermische Wirkungsgrad des Carnot-Prozesses wird auch als Carnotfaktor Kc bezeichnet. Der Carnot-Prozess lässt sich technisch nicht verwirklichen. Als Idealprozess ist er ein Vergleichsablauf zur Bewertung anderer technischer Prozesse.

3.9 Drosselung Die Drosselung ist eine Zustandsänderung, bei der der Druck eines Gases bei gleichzeitiger Volumenvergrößerung abnimmt. Es erfolgt weder ein Wärmeaustausch noch eine Verrichtung von Arbeit. Da p1 X1 = p2 X2 = konst., ist auch die Änderung der Enthalpie gleich null (Isenthalpe). Bei idealen Gasen bleibt die Temperatur während der Drosselung konstant. Der Drosselvorgang ist nicht umkehrbar (irreversibel). Ein Druckabfall durch Drosselung tritt auf, wenn in einem Rohr eine plötzliche Querschnittsverkleinerung vorgesehen wird (Drosselklappe, Drosselventil usw.) und ein strömendes Gas diese Drosselstelle überwinden muss (Bild 21).

Bild 21. Drosselstelle in einer Rohrleitung

Bei realen Gasen tritt während der Drosselung eine geringe Temperaturabnahme auf. Diese Erscheinung spielt bei der Verflüssigung von Gasen eine wichtige Rolle (Thomson-Joule-Effekt).

3.10 Gasmischungen Die thermische Zustandsgleichung ist sinngemäß auch für Gasgemische (Index Mi) gültig. Nach dem Gesetz von Dalton verhält sich jedes Einzelgas mit der Masse m innerhalb der Gasmischung so, als würde es das Volumen VMi des Gemisches bei der Mischungstemperatur -Mi (TMi) allein einnehmen. Damit stellt sich für jedes Teilgas ein entsprechender Teildruck p (Partialdruck) ein. Sind n Gase an der Gasmischung beteiligt, so gilt für jedes der Einzelgase: p1 VMi = m1 Ri 1 TMi p2 VMi = m2 Ri 2 TMi usw. bis pn VMi = mn Ri n TMi

Der Gesamtdruck pMi des Gasgemisches ist gleich der Summe der Partialdrücke p1 p2 ... pn der Einzelgase:

pMi = p1 + p2 + ... pn p N m2

1

N = 1 Pa m2

(62)

Die Gesamtmasse mMi des Gasgemisches ist gleich der Summe der Massen m1 m2 ... mn der Einzelgase: mMi = m1 + m2 + ... mn m

(63)

kg Das Verhältnis der Masse des Einzelgases (z.B. m1) zur Gesamtmasse mMi der Mischung ist der Massenanteil P (z.B. für Gas 1):

P1 =

m1 mMi

P

m

(64)

1 kg Die Summe aller Massenanteile P ist gleich 1. Werden die Teilgase aus der Mischung herausgelöst und bei der Temperatur -Mi (= Mischungstemperatur) auf den Mischungsdruck pMi gebracht, so werden die Volumen V1 V2 ... Vn der Einzelgase kleiner als VMi. Die Summe dieser Einzelvolumen ergibt das Gesamtvolumen des Gasgemisches: VMi = V1 + V2 + ... Vn V

(65)

m3 Das Verhältnis des Volumens des Einzelgases (z.B. V1) zum Gesamtvolumen VMi der Mischung ist der Raumanteil r (z.B. für Gas 1): r1 =

V1 VMi

r

V

(66)

1 m3 Die Summe aller Raumanteile r ist gleich 1. Die spezielle Gaskonstante der Gasmischung ergibt sich durch Addition der Zustandsgleichungen der Einzelgase: Herleitung:

p1 VMi = m1 Ri 1 TMi + p2 VMi = m2 Ri 2 TMi + pn VMi = mn Ri n TMi

(p1 + p2 + ... pn) VMi = (m1 Ri 1 + m2 Ri 2 + ... mn Rin) TMi (p1 + p2 + ... pn) VMi = mMi (m1 Ri 1 + m2 Ri 2 + ... mn Ri n ) TMi mMi

3 Zustandsänderungen idealer Gase

F 31

pMi VMi =  m  m m mMi 1 Ri 1 + 2 Ri 2 + ... n Ri n TMi mMi mMi  mMi 

pMi VMi = mMi (μ1 Ri 1 + μ2 Ri 2 + ... μn Ri n) TMi pMi VMi = mMi Ri Mi TMi

Ri

1

J kg K

(67)

Ri 1 Ri Mi μ

Ri

r

N m2

1

J kg K

1

Lösung:

b) Ri Mi

(68) 1 J = 1 Nm = 1 Ws

Weiterhin gelten für die Gasgemische folgende Gleichungen. Für die spezifische Wärmekapazität des Gasgemisches: cp Mi = μ1 cp1 + μ2 cp2 + ... μn cpn (69) cv Mi = μ1 cv1 + μ2 cv2 + ... μn cvn (70)

Ri 1

= 260

J (für Sauerstoff) kg K

Ri 2

= 297

J (für Stickstoff) kg K

Ri Mi

= 0,232 · 260 = 288

c) cp Mi

= 1038

1

cp Mi

= 0,232 · 913

r

kg m3

1

= 1 009

J kg K

= μ1

p1

= 0,232

Ri Mi

pMi; pMi = 1,013 · 105

260 kgJ K 288 kgJ K

= 0,212 · 105

Die relative Molekülmasse des Gasgemisches wird: Mr Mi = r1 Mr 1 + r2 Mr 2 + ... rn Mr n

p2 p2

(72)

Mr 1 ... Mr n sind die relativen Molekülmassen der Einzelgase. Temperatur eines Gasgemisches siehe unter Kapitel 1.4.

J J + 0,768 · 1 038 kg K kg K

J kg K

Ri 1

p1

(71)

U1 ... pn sind die Dichten der Einzelgase.

r

J kg K

cp 2

U

1

= μ1 cp 1 + μ2 cp 2

μ

d)

J J + 0,768 · 297 kg K kg K

J kg K

= 913

UMi = r1 U1 + r2 U2 + ... rn Un

1

76,8 = 0,768 100 = μ1 Ri 1 + μ2 Ri 2

cp 1

cp1 ... cpn und cv1 ... cvn sind die spezifischen Wärmekapazitäten der Einzelgase. Die Dichte des Gasgemisches wird:

M

23, 2 = 0, 232 100

a) μ1 (Sauerstoff) = μ2 (Stickstoff) =

pMi = r1 pMi

p

c J kg K

e) Wie groß sind die Raumanteile r1 und r2 der Teilgase und damit die Volumenprozente? f) Wie groß ist die relative Molekülmasse Mr Mi der Mischung? g) Wie groß ist die Dichte UMi der Mischung?

Die Partialdrücke p1 p2 ... pn ergeben sich aus dem Gesamtdruck pMi der Mischung, wenn die Massenanteile μ oder die Raumanteile r der Einzelgase gegeben sind. Partialdruck (z.B. für Gas 1): p1 = μ1

b) Wie groß ist die spezielle Gaskonstante Ri Mi der Mischung? c) Wie groß ist die wahre spezifische Wärmekapazität cp Mi der Mischung? d) Wie groß sind die Partialdrücke p1 und p2 der Teilgase?

Ri Mi = μ1 Ri 1 + μ2 Ri 2 + ... μn Ri n μ

■ Beispiel: Atmosphärische Luft enthält etwa 23,2 Gewichtsprozente Sauerstoff und 76,8 Gewichtsprozente Stickstoff, Dabei sind geringe Mengen Argon, Wasserdampf und Kohlendioxid (zusammen etwa 1 %) vernachlässigt. Die Luft steht unter einem Druck von 1,013 25 bar und besitzt eine Temperatur von 0 ºC. a) Wie groß sind die Massenanteile μ1 und μ2?

1,013⋅105

N m2

N = 0,212 · 105 Pa m2

= 0,212 bar Ri 2 = μ2 p Ri Mi Mi = 0,768

297 kgJ K 288 kgJ K

= 0,8 · 105

1,013⋅105

N m2

N = 0,8 · 105 Pa m2

= 0,8 bar 0, 212⋅105 mN2 p = 0, 21 e) r1 = 1 = pMi 1,013⋅105 N2 m (21 Volumenprozente Sauerstoff)

N m2

F 32

F Thermodynamik

r2 =

0,8⋅105 mN2 p2 = = 0,79 pMi 1,013⋅105 N2 m

(79 Volumenprozente Stickstoff) f) Mr Mi Mr 1 Mr 2 Mr Mi Mr Mi g) UMi

= r1 Mr 1 + r2 Mr 2 = 32, für Sauerstoff (O2) = 28, für Stickstoff (N2) = 0,21 · 32 + 0,79 · 28 = 28,8 =

= =

1,288 kg/m3

=

U2

=

UMi UMi

A (-1 – -2) t s

Ql

O

A

s

-

t

J

W mK

m2

m

ºC

s

(1)

r1 U1 + r2 U2

1,429 kg/m3, für Sauerstoff bei 0 ºC und 1,01325 bar 1,251 kg/m3, für Stickstoff bei 0 ºC und 1,01325 bar 0,21 · 1,429 kg/m3 + 0,79 · 1,251 kg/m3

U1

Ql = λ

4 Wärmeübertragung

Bild 1. Wärmeleitung durch eine ebene Wand

4.1 Allgemeines Nach dem Zweiten Hauptsatz kann Energie in Form von Wärme nur dann von einem kälteren auf einen wärmeren Stoffbereich übergehen, wenn dieser Vorgang durch mechanische Arbeit erzwungen wird. Eine selbsttätige Wärmeübertragung kann nur von einer Zone höherer Temperatur ausgehen und in Richtung auf weniger warme Bereiche ablaufen. Voraussetzung für jede selbsttätige Wärmeübertragung ist also das Vorhandensein eines Temperaturgefälles. Der Energieaustausch zwischen Stoffen verschiedener Temperatur ist beendet, wenn sich ein energetischer Gleichgewichtszustand eingestellt hat und nach dem Wärmeaustausch überall die gleiche Temperatur herrscht (Temperaturausgleich). Energie in Form von Wärme wird durch Wärmeleitung, Wärmeübergang (Wärmekonvektion) und Wärmestrahlung übertragen.

4.2 Wärmeleitung Unter Wärmeleitung versteht man den Energietransport innerhalb eines Stoffes. Dieser Wärmestrom kommt in der Weise zustande, dass stärker erwärmte Stoffbereiche so lange Energie an benachbarte und nicht so warme Stoffteilchen abgeben, bis sich nach erfolgtem Energieausgleich überall die gleiche Temperatur einstellt. Das Wärmeleitvermögen der einzelnen Stoffe ist unterschiedlich. Es wird ausgedrückt durch die Wärmeleitfähigkeit O. Die Wärmeleitfähigkeit wird experimentell für die verschiedenen Stoffe ermittelt und ist von der Temperatur abhängig. Bei Gasen zeigt sich außerdem eine Druckabhängigkeit. Für eine ebene Wand (Bild 1) mit der Fläche A und der Dicke s (Leitweglänge) ergibt sich bei einer Temperaturdifferenz -1 – -2 in der Zeit t folgende, durch Wärmeleitung übertragene Wärme

Bild 2. Wärmeleitung durch ein dickwandiges Rohr

Bei dickwandigen Rohren mit den Durchmessern d und D (Bild 2) und einer Länge L ergibt sich bei einer Temperaturdifferenz -1 – -2 in der Zeit t folgende, durch Wärmeleitung übertragene Wärme Ql =

λ2 π L ln

D d

(-1 – -2) t

Ql

O

L, D, d

-

t

J

W mK

m

ºC

s

(2)

Dünnwandige Rohre können wie ebene Flächen behandelt werden. Als Fläche ist hier die innere Mantelfläche d S L in Rechnung zu setzen. Stoffe mit geringem elektrischen Widerstand, d. h. gutem elektrischen Leitvermögen, sind auch gute Wärmeleiter. Sie erwärmen sich schnell und kühlen ebenso schnell wieder ab. Gute Wärmeleiter sind alle Metalle. Das Wärmeleitvermögen von Glas und porösen Stoffen ist nur gering. Luft und Wasser sind, wie alle Gase und Flüssigkeiten, schlechte Wärmeleiter, wenn eine Zirkulationsbewegung innerhalb des Stoffes verhindert wird. Der beste Wärmeisolator ist das Vakuum.

F 32

F Thermodynamik

r2 =

0,8⋅105 mN2 p2 = = 0,79 pMi 1,013⋅105 N2 m

(79 Volumenprozente Stickstoff) f) Mr Mi Mr 1 Mr 2 Mr Mi Mr Mi g) UMi

= r1 Mr 1 + r2 Mr 2 = 32, für Sauerstoff (O2) = 28, für Stickstoff (N2) = 0,21 · 32 + 0,79 · 28 = 28,8 =

= =

1,288 kg/m3

=

U2

=

UMi UMi

A (-1 – -2) t s

Ql

O

A

s

-

t

J

W mK

m2

m

ºC

s

(1)

r1 U1 + r2 U2

1,429 kg/m3, für Sauerstoff bei 0 ºC und 1,01325 bar 1,251 kg/m3, für Stickstoff bei 0 ºC und 1,01325 bar 0,21 · 1,429 kg/m3 + 0,79 · 1,251 kg/m3

U1

Ql = λ

4 Wärmeübertragung

Bild 1. Wärmeleitung durch eine ebene Wand

4.1 Allgemeines Nach dem Zweiten Hauptsatz kann Energie in Form von Wärme nur dann von einem kälteren auf einen wärmeren Stoffbereich übergehen, wenn dieser Vorgang durch mechanische Arbeit erzwungen wird. Eine selbsttätige Wärmeübertragung kann nur von einer Zone höherer Temperatur ausgehen und in Richtung auf weniger warme Bereiche ablaufen. Voraussetzung für jede selbsttätige Wärmeübertragung ist also das Vorhandensein eines Temperaturgefälles. Der Energieaustausch zwischen Stoffen verschiedener Temperatur ist beendet, wenn sich ein energetischer Gleichgewichtszustand eingestellt hat und nach dem Wärmeaustausch überall die gleiche Temperatur herrscht (Temperaturausgleich). Energie in Form von Wärme wird durch Wärmeleitung, Wärmeübergang (Wärmekonvektion) und Wärmestrahlung übertragen.

4.2 Wärmeleitung Unter Wärmeleitung versteht man den Energietransport innerhalb eines Stoffes. Dieser Wärmestrom kommt in der Weise zustande, dass stärker erwärmte Stoffbereiche so lange Energie an benachbarte und nicht so warme Stoffteilchen abgeben, bis sich nach erfolgtem Energieausgleich überall die gleiche Temperatur einstellt. Das Wärmeleitvermögen der einzelnen Stoffe ist unterschiedlich. Es wird ausgedrückt durch die Wärmeleitfähigkeit O. Die Wärmeleitfähigkeit wird experimentell für die verschiedenen Stoffe ermittelt und ist von der Temperatur abhängig. Bei Gasen zeigt sich außerdem eine Druckabhängigkeit. Für eine ebene Wand (Bild 1) mit der Fläche A und der Dicke s (Leitweglänge) ergibt sich bei einer Temperaturdifferenz -1 – -2 in der Zeit t folgende, durch Wärmeleitung übertragene Wärme

Bild 2. Wärmeleitung durch ein dickwandiges Rohr

Bei dickwandigen Rohren mit den Durchmessern d und D (Bild 2) und einer Länge L ergibt sich bei einer Temperaturdifferenz -1 – -2 in der Zeit t folgende, durch Wärmeleitung übertragene Wärme Ql =

λ2 π L ln

D d

(-1 – -2) t

Ql

O

L, D, d

-

t

J

W mK

m

ºC

s

(2)

Dünnwandige Rohre können wie ebene Flächen behandelt werden. Als Fläche ist hier die innere Mantelfläche d S L in Rechnung zu setzen. Stoffe mit geringem elektrischen Widerstand, d. h. gutem elektrischen Leitvermögen, sind auch gute Wärmeleiter. Sie erwärmen sich schnell und kühlen ebenso schnell wieder ab. Gute Wärmeleiter sind alle Metalle. Das Wärmeleitvermögen von Glas und porösen Stoffen ist nur gering. Luft und Wasser sind, wie alle Gase und Flüssigkeiten, schlechte Wärmeleiter, wenn eine Zirkulationsbewegung innerhalb des Stoffes verhindert wird. Der beste Wärmeisolator ist das Vakuum.

4 Wärmeübertragung

F 33

Tabelle 1. Wärmeleitfähigkeit  für feste, flüssige und gasförmige Stoffe bei 20 ºC W mK Aluminium Beton Erde (trocken) Glas Glaswolle Gusseisen Holz (quer zur Faser) Holz (längs zur Faser) Kesselstein Kupfer Luft Mauerwerk Messing Öle Papier Porzellan Quecksilber Silber Stahl (0,1 %C) Stahl (0,6 % C) Wasser Zink Zinn

210,0 1,28 0,4 1,16 0,038 45,0 0,09 0,35 1,2 394,0 0,026 0,6 95,0 0,13 0,14 0,95 9,5 428,0 54,0 45,0 0,59 113,0 65,0

■ Beispiel: Welche Wärme wird im 1 Minute durch eine Aluminiumplatte hindurchgeleitet, wenn die Plattenfläche A = 3 m2 und die Materialdicke s = 12 mm beträgt? Der Temperaturunterschied zwischen den beiden Plattenflächen ist 350 ºC = 350 K.

Lösung:

 = 210 Ql = λ

W mK

A (-1 – -2) t s

= 210

3 m2 W · · 350 K · 60 s mK 0,012 m

= 1,1 · 109 J

■ Beispiel: Wie groß ist die Wärme, die stündlich durch jedes Quadratmeter einer 38 cm dicken, unverputzten Außenwand aus Ziegelsteinen hindurchgeleitet wird, wenn die Temperatur auf der Innenfläche der Wand 22 ºC und auf der Außenfläche – 20 ºC beträgt (Wärmeleitfähigkeit O = 0,872 W/mK)?

Lösung:

A (-1 – -2) t s -1 – -2 = 22 ºC – (– 20 ºC) = 42 ºC = 42 K Ql = λ

Ql = 0,872

1 m2 W · 42 K · 3 600 s · mK 0,38 m

= 0,347 · 106 J.

...

0,5

...

0,16

...

0,88

...

0,17

...

1,2

4.3 Wärmeübergang (Wärmekonvektion) Unter Wärmeübergang versteht man den Energietransport zwischen verschiedenen Stoffen mit unterschiedlicher Temperatur. Die Energieübertragung findet in der Berührungszone der beiden Stoffe statt und setzt ein Temperaturgefälle voraus. Nach erfolgtem Wärmeaustausch besitzen beide Stoffe in der Berührungszone die gleiche Temperatur - (Bilder 3 und 4). Bei Flüssigkeiten oder Gasen (Fluide) wird die Energieübertragung durch Strömungsvorgänge unterstützt. Werden z.B. Flüssigkeits- oder Gasteilchen an der heißen Außenfläche eines festen Körpers erwärmt, so dehnen sie sich aus und erfahren einen Auftrieb (Bild 4). Auf der Gas- oder Flüssigkeitsseite setzt im Bereich der heißen Wand eine Auftriebsströmung ein, bei der die übertragene Energie mitgeführt wird (Mitführung = Konvektion). Durch diesen Strömungsvorgang werden immer wieder neue Flüssigkeits- oder Gasteilchen mit der mittleren Temperatur -m an die heiße (- ) Außenfläche des festen Körpers herangeführt und damit das Temperaturgefälle ' - an der Übergangsfläche dauernd wirksam. Wird die Zirkulation und Konvektion durch geeignete Maßnahmen verhindert, so wirken Flüssigkeiten und Gase wegen ihres geringen Wärmeleitvermögens als Wärmeisolatoren. Der Wärmeübergang kann verstärkt werden, wenn man die Strömungsbewegung durch ein Druckgefälle erzwingt.

F 34

F Thermodynamik Eine Bestimmung des Wärmeübergangskoeffizienten D kann durch Rechnung mit Hilfe empirischer Formeln erfolgen. Die Berechnung ist selbst für einfache Fallvorgaben aufwändig und im Ergebnis unsicher. Der D-Wert wird daher zuverlässiger durch fallbezogene Versuche ermittelt. Erfahrungswerte wie nach Tabelle 2 eignen sich nur für sehr überschlägige Betrachtungen.

Bild 3. Wärmeübergang zwischen zwei festen Stoffen

Beträgt die Temperatur an der Außenwand eines festen Körpers - Grad und ist -m die mittlere Temperatur des Gases oder der Flüssigkeit, so ergibt sich bei einer Berührungsfläche A in der Zeit t folgende übergehende Wärme Qü = D A (- – -m) t Qü J

D W m2K

A

-

t

m2

ºC

s

(3)

In dieser Gleichung ist D der Wärmeübergangskoeffizient. Der Wärmeübergangskoeffizient fasst eine Reihe von Einflüssen zusammen, die von der Wärmeleitung und von der Wärmekonvektion her den Wärmeübergang beeinflussen. Hierbei wirken sich neben der Temperaturdifferenz insbesondere die Strömungsgeschwindigkeit und die Art der Strömung (laminar oder turbulent) aus. Auch die Lage der Übergangsfläche zur Strömungsrichtung der Flüssigkeit oder des Gases ist von Einfluss.

Bild 4. Wärmeübergang von einem festen Stoff auf eine Flüssigkeit oder ein Gas

4.4 Wärmedurchgang Sind Flüssigkeiten oder Gase von unterschiedlicher Temperatur durch eine feste Wand voneinander getrennt, so findet eine Energieübertragung statt, die sich aus Wärmeleitung und Wärmeübergang zusammensetzt. Diese kombinierte Form der Wärmeübertragung wird als Wärmedurchgang bezeichnet. Betragen die mittleren Temperaturen der Flüssigkeiten oder Gase zu beiden Seiten der Trennwand -1 und -2, so ergibt sich bei einer ebenen Wandfläche A in der Zeit t folgende durchgehende Wärme

Tabelle 2. Wärmeübergangskoeffizienten D zwischen einer Metallwand und Luft bzw. Wasser W Ruhende Luft Bewegte Luft mit Strömungsgeschwindigkeit 10 m/s 20 m/s 40 m/s 50 m/s Ruhendes Wasser Bewegtes Wasser mit Strömungsgeschwindigkeit bis zu 1 m/s

m2K 5 ... 10 45 95 150 190 600

... 70 ... 120 ... 190 ... 220

1 700 ... 3 700

4 Wärmeübertragung

F 35

Qd = k A (-1 – -2) t Qd J

k W m2K

A

-

t

m2

ºC

s

k= (4)

In dieser Gleichung ist k der Wärmedurchgangskoeffizient (kurz: k-Wert). Der Wärmedurchgangskoeffizient k wird aus den Wärmeübergangskoeffizienten D und der Wärmeleitfähigkeit O des festen Stoffes berechnet. Für eine einschichtige, ebene Wand (Bild 5) gilt: Herleitung: Übergehende Wärme von Stoff 1 auf Wand Q1 – W = D1 A (-1 – -w1) t durchgeleitete Wärme durch Wand A QW = λ (-W 1 – -W 2) t s übergehende Wärme von Wand auf Stoff 2 QW – 2 = D2 A (-W 2 – -2) t Die Wärmemengen sind untereinander gleich Q1 – W = QW = QW – 2 = Qd.

Bild 5. Wärmedurchgang durch eine einschichtige, ebene Wand Q -1 – -W 1 = d α1 At

-W 2 – -2 =

Q s -W 1 – -W 2 = d λ At

Qd

α2 At ¦'- = -1 – -W1 + -W1 – -W2 + -W2 – -2 =-1 – -2

¦'- = -1 – -2

Q 1 s 1  = d + +  A t  α1 λ α2 

-1 – -2 =

Qd Q = d 1 At k At 1 s 1 + +

α1

λ

α2

Aus dieser Herleitung folgt der Wärmedurchgangskoeffizient für eine einschichtige, ebene Wand

1

α1 k, D

1 s

1

λ

α2

+ +

W m2K

(5)

O

s

W mK

m

Setzt sich die ebene Wand aus mehreren Schichten mit unterschiedlichem Wärmeleitvermögen zusammen, so kann die Berechnungsgleichung für k entsprechend erweitert werden. Wird die Trennwand aus zwei Schichten gebildet (Bild 6), so folgt der Wärmedurchgangskoeffizient für eine zweischichtige, ebene Wand k=

1 1

α1 k, D W m2K

+

s1

+

s2

+

1

λ1 λ2 α2 s O W mK

(6)

m

Diese Gleichung kann durch Hinzufügen weiterer Glieder s/O (im Nenner) auf eine beliebige Schichtanzahl erweitert werden.

Bild 6. Wärmedurchgang durch eine zweischichtige, ebene Wand

Betragen die mittleren Temperaturen der Flüssigkeiten oder Gase auf der Innen- oder Außenseite eines Rohres -i und -a, so ergibt sich bei einer Rohrlänge L in der Zeit t folgende durchgehende Wärme Qd = k L (-i – -a) t Qd J

k W mK

L

-

t

m

ºC

s

(7)

In dieser Gleichung ist k der auf 1 m Rohrlänge bezogene Wärmedurchgangskoeffizient. Der Wärmedurchgangskoeffizient k wird aus den Wärmeübergangskoeffizienten D und der Wärmeleitfähigkeit O des festen Rohrwerkstoffes berechnet. Für ein einschichtiges Rohr (Bild 7) gilt:

F 36

F Thermodynamik

Herleitung: Übergehende Wärme von Stoff 1 (innen) auf Rohrwand

durchgeleitete Wärme durch Rohrwand

λ2 π L ln

D d

1

αi d

+ 21λ ln

k W mK

Q1 – R = i A (-i – -Ri) t Q1 – R = Di d S L (-i – -Ri) t

QR =

π

k=

D+ 1 αa D d

D

D, d

O

W m2K

m

W mK

(8)

Setzt sich das Rohr aus mehreren Schichten mit unterschiedlichem Wärmeleitvermögen zusammen, so kann die Berechnungsformel für k entsprechend erweitert werden. Wird das Rohr aus zwei Schichten gebildet (Bild 8), so folgt für den Wärmedurchgangskoeffizienten für ein zweischichtiges Rohr

(-Ri – -Ra) t

übergehende Wärme von Rohrwand auf Stoff 2 (außen) QR – 2 = Da A (-Ra – -a) t QR – 2 = Da D S L (-Ra – -a) t

k=

π 1 αi d i

k W mK

+ 21λ 1

ln

d di

+ 21λ ln 2

D

d

O

W m2K

m

W mK

da d

+ α 1D a

a

(9)

Bild 7. Wärmedurchgang durch ein einschichtiges Rohr Bild 8. Wärmedurchgang durch ein zweischichtiges Rohr

Die Wärmemengen sind untereinander gleich Q1 – R = QR = QR – 2 = Qd.

-i – -Ri = -Ri – -Ra =

■ Beispiel: Ein Büroraum besitzt ein Fenster von 3 m2 Glasfläche. Die Lufttemperatur im Innern des Raumes beträgt -1 = 22 ºC. Temperatur der Außenluft -2 = – 10 ºC. Welche Wärme tritt in jeder Stunde durch dieses Fenster hindurch, wenn der Wärmedurchgangskoeffizient k = 5,81 W/m2 K beträgt?

Qd αi d π L t Qd ln

D d

λ2 π L t

-Ra – -a =

Qd

αa D π L t ¦ ' - = -i – -Ri + -Ri – -Ra + -Ra – -a = -i – -a ¦ ' - = -i – -a =

Qd  1 1 D 1    ln + + π L t  αi d 2 λ d α a D 

-i – -a =

Qd Lt

=

π 1

αi d

+ 21λ ln

Qd Lt k

D+ 1 d αa D

Aus dieser Herleitung folgt für den Wärmedurchgangskoeffizienten für ein einschichtiges Rohr

Lösung: Qd = k A (-1 – -2) t -1 – -2 = 22 ºC – (– 10 ºC) = 32 ºC = 32 K

W · 3 m2 · 32 K · 3 600 s m2K Qd = 2 008 000 J = 2 008 kJ Qd = 5,81

■ Beispiel: Wie groß ist der Wärmedurchgangskoeffizient für eine 38 cm dicke Ziegelstein-Außenwand (O2 = 0,872 W/mK), die innen und außen mit einer Putzschicht von je 1,5 cm Dicke versehen ist (Innenputz O1 = 0,697 W/mK; Außenputz O3 = 0,872 W/mK)? Wärmeübergang innen D1 = 8,14 W/m2K Wärmeübergang außen D2 = 23,2 W/m2K

4 Wärmeübertragung

4.5 Wärmestrahlung

Lösung:

k=

1

α1

+

k=

s1

λ1

+

1 8,14

W m2K

=1,56

W m2K

1 s2

λ2

+

+

s3

λ3

+

1

α2

1 0, 015 m 0,38 m 0, 015 m 1 + + + W W W W 0,697 0,872 0,872 23, 2 2 mK mK mK m K

■ Beispiel: Durch ein 20 m langes Stahlrohr von d = 100 mm Innendurchmesser und 5 mm Wanddicke strömt Dampf mit einer mittleren Temperatur von -i = 180 ºC. Die mittlere Temperatur der umgebenden Luft beträgt -a = 20 ºC.

a) Welche Wärme tritt in 1 Stunde von innen durch die Rohrwand hindurch nach außen? Di = 1,163 · 104 W/m2K O1 = 48,9 W/mK Da = 12,8 W/m2K b) Welche hindurchtretende Wärme ergibt sich, wenn das Rohr außen durch eine 50 mm dicke Dämmschicht (O2 = 0,1 W/mK) isoliert ist? Da = 10,48 W/m2K.

Lösung:

a) Qd = k L (-i – -a) t k=

π 1

αi d k=

+

D 1 1 ln + 2 λ1 d αa D

3,14 1 1 0,11 m 1 + ⋅ln + W W 0,1 m 12,8 W ⋅0,11 m 1,163⋅104 2 ⋅0,1 m 2⋅48,9 mK m K m 2K

= 4, 41

W mK

Qd = 4,41

W · 20 m · 160 K · 3 600 s mK

Qd = 50,8 · 106 J

b) Qd = k L (-i – -a) t k=

k=

F 37

π

Zwischen Körpern verschiedener Temperatur wird Wärme nicht nur durch Wärmeleitung oder Wärmekonvektion, sondern stets auch gleichzeitig durch Wärmestrahlung übertragen. Überall dort, wo Vorgänge der Wärmeübertragung ablaufen, wird die Bewegungsenergie der Stoffteilchen zum Teil auch in Strahlungsenergie umgewandelt und abgestrahlt. Der Anteil der Strahlungswärme an der gesamten Energieübertragung ist bei niedrigen Temperaturen gering. Die Wärmestrahlen gehören zu den elektromagnetischen Wellen und liegen nur bei hohen Temperaturen im sichtbaren Frequenzbereich. Ausbreitung, Reflexion und Brechung erfolgen nach den für Lichtstrahlen geltenden Gesetzmäßigkeiten. Die auf einen bestrahlten Körper auftreffende Strahlungsenergie kann absorbiert, reflektiert oder hindurchgelassen werden. Der absorbierte Teil der Strahlungsenergie wird wieder in Bewegungsenergie der Teilchen umgewandelt und erwärmt den angestrahlten Körper, der damit in verstärktem Maße zu einer Quelle eigener Ausstrahlung (Emission) wird. Ein Körper, der die gesamte auftreffende Strahlungsenergie absorbiert, wird absolut schwarzer Körper genannt. Absorption und Emission sind hier am größten. Die von einem absolut schwarzen Körper mit der Fläche A in der Zeit t ausgestrahlte Wärme Qs ist von der Körpertemperatur T abhängig und ergibt sich aus dem Gesetz von Stefan und Boltzmann: Qs = V A T 4 t Q J

V W m2K 4

A

T

t



m2

K

s

1

In dieser Formel ist V die Stefan-BoltzmannKonstante. Sie beträgt 5,67 · 10–8 W m–2 K–4. Den absolut schwarzen Körper gibt es in Wirklichkeit nicht. Die Wärme Qs wird nur durch Hohlraumstrahlung annähernd erreicht. Das Ausstrahlungsvermögen wirklicher Körper ist geringer und wird durch den Emissionsgrad  ausgedrückt. Damit ergibt sich die abgestrahlte Wärme eines wirklichen Körpers Q =  Qs

d d 1 1 1 1 + ln + ln a + αi d 2 λ1 di 2 λ 2 d αa d a

3,14 W = 0,852 1 1 0,11 1 0, 21 1 mK + ⋅ln + ⋅ln + W W 0,1 2⋅0,1 W 0,11 10, 48 W ⋅0, 21 m 1,163⋅104 2 ⋅0,1 m 2⋅48,9 mK mK m K m2K

Qd = 0,852

W · 20 m · 160 K · 3 600 s = 9,82 · 106 J mK

(10)

(11)

F 38

F Thermodynamik

Der Emissionsgrad (< 1) ist von der Stoffart und der Temperatur des strahlenden Körpers, sowie von seiner Oberflächenbeschaffenheit abhängig. Er wird bei Metallen mit zunehmender Temperatur größer und ist bei nicht metallischen Stoffen im Allgemeinen etwas kleiner. Das Strahlungsvermögen und das Absorptionsvermögen wirklicher Körper stehen zu den Werten des absolut schwarzen Körpers im gleichen Verhältnis (kirchhoffsches Gesetz). Der Emissionsgrad kennzeichnet deshalb nicht nur das Ausstrahlungsvermögen, sondern auch die Absorptionsfähigkeit eines angestrahlten Körpers. Liegt ein Emissionsgrad  = 0,28 vor, so werden 28 % der auftreffenden Strahlung absorbiert und 72 % reflektiert.

Herleitung: Gesamtstrahlung von Körper 1 nach Körper 2 Q1 – 2 = Q1 + Qr1 = Q1 + (1 – 1) Q2 – 1 Q1 – 2 = Q1 + (1 – 1) [Q2 + (1 – 2) Q1 – 2] Auflösung nach Q1 – 2 ergibt Q1 – 2 =

Q1 + (1−∈ 1 ) Q2 ∈ 1 +∈ 2 −∈ 1∈ 2

Gesamtstrahlung von Körper 2 nach Körper 1 Q2 – 1 =

Q2 + (1−∈ 2 ) Q1 ∈ 1 +∈ 2 −∈ 1∈ 2

durch Wärmestrahlung ausgetauschte Wärme Tabelle 3. Emissionsgrad   Absolut schwarzer Körper Aluminium (unbehandelt) Aluminium (poliert) Glas Gusseisen (ohne Gusshaut) Kupfer (poliert) Messing (poliert) Öle Porzellan (glasiert) Stahl (poliert) Stahlblech (verzinkt) Stahlblech (verzinnt) Dachpappe

1 0,07 ... 0,09 0,04 0,93 0,42 0,045 0,05 0,82 0,92 0,28 0,23 0,06 ... 0,08 0,91

Wirkliche Körper mit dunklen und matten Oberflächen absorbieren den größten Teil der auftreffenden Strahlungsenergie und sind selbst auch entsprechend strahlungsintensiv. Der Emissionsgrad  ist hier also relativ groß. Körper mit hellen und glatten Oberflächen zeigen nur ein geringes Absorptions- und Emissionsvermögen. Findet zwischen zwei sich gegenüberstehenden Körpern 1 und 2 mit den Temperaturen T1 und T2 (< T1) ein Energieaustausch durch Wärmestrahlung statt, so ergibt sich für zwei parallel gegenüberliegende ebene Flächen gleicher Größe A in der Zeit t in Richtung des Temperaturgefälles folgende durch Wärmestrahlung ausgetauschte Wärme Q1, 2

Q1, 2 = Q1 – 2 – Q2 – 1 =

∈ 2 Q1−∈ 1 Q2 ∈ 1 +∈ 2 −∈ 1∈ 2

mit Q1 = 1 Qs1 und Q2 = 2 Qs2 erhält man Q1, 2 =

∈ 2 ∈ 1 Qs1−∈ 1∈ 2 Qs2 ∈ 1 +∈ 2 −∈ 1∈ 2

= Q1, 2 =

∈ 1∈ 2 (Qs1 − Qs2 ) ∈ 1 +∈ 2 −∈ 1∈ 2 σ 1

∈1

+

1

∈2

−1

A (T14 −T24 ) t

In dieser Gleichung ist der erste Faktor die Strahlungsaustauschzahl C1, 2 C1, 2 =

σ 1

∈1

+

(12)

1

∈2

−1

damit ergibt sich für die ausgetauschte Wärme Q1, 2 = C1, 2 A (T14 −T24 ) t Q J

C W m2K 4

A

T

t



m2

K

s

1

(13)

Bild 9. Schematische Darstellung der Wärmestrahlung zwischen zwei parallelen ebenen Flächen bei 1 = 2 = 0,28 und T1 > T2

4 Wärmeübertragung ■ Beispiel: Zwei verzinkte Stahlbleche mit gleichen Flächen von je 2,5 m2 stehen sich parallel gegenüber. Die Bleche sind unterschiedlich warm. Die Temperatur des heißeren Bleches (1) beträgt 80 ºC, die des weniger warmen Bleches (2) 10 ºC. Welche Wärme wird in 30 min zwischen den beiden Blechen durch Wärmestrahlung ausgetauscht? Lösung: Q1, 2 = C1, 2 A (T14 −T24 ) t

T1 = 353 K, T2 = 283 K C1,2 =

σ 1

+

1

∈1 ∈ 2

=

5,67⋅10−8 mW 2 4 K

−1

1 1 0,23 + 0,23 −1

C1,2 = 0,74 · 10–8

W m 2K 4

Q1, 2 = 0,74 · 10–8

W · 2,5 m2 · [3534 – 2834] K4 · 1 800 s m 2K 4

Q1, 2 = 303 468 J

F 39 Literatur Baehr, H.D.: Thermodynamik. Berlin: Springer Verlag, 2005 Cerbe, G./Wilhelms, G.: Technische Thermodynamik. München: Hanser Verlag, 2005 Dietzel, F./Wagner, W.: Technische Wärmelehre. Würzburg: Vogel Buchverlag, 2001 Geller, W.: Thermodynamik für Maschinenbauer. Berlin: Springer Verlag, 2005 Herr, H.: Wärmelehre. Haan: Verlag Europa-Lehrmittel Langeheinecke, K./Jany, P./Thieleke, G.: Thermodynamik für Ingenieure. Wiesbaden: Vieweg, 2006 Windisch, H.: Thermodynamik. München: Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2005 DIN-Normen DIN 1304 Formelzeichen, Allgemeine Formelzeichen DIN 1341 Wärmeübertragung, Begriffe, Kenngrößen DIN 1345 Thermodynamik, Grundbegriffe

G Elektrotechnik Gert Böge

Formelzeichen und Einheiten c f i n p q (oder S) u A B C C D Ef EV F H I IV J L LV N P Q Q, Qe R Rm

J kgK

1 = Hz s A

min–1 1 mm2 V mm2, cm2, dm2, m2 Vs T= 2 m As F = ,  F,pF V g Ah C As = 2 2 m m V m lx kgm N= 2 s A m A cd A mm 2 Vs H= A cd m2 1 W = VA, kW var = VA, kvar C = As, Ah V = A A Vs

spezifische Wärmekapazität Frequenz Momentanwert des Wechselstromes Drehzahl Polpaarzahl Querschnittsfläche, Querschnitt (Leitungsquerschnitt) Momentanwert der Wechselspannung Flächeninhalt, Oberfläche Flussdichte des magnetischen Feldes, Induktion Kapazität eines Kondensators spezifische elektrolytische Stoffmenge elektrische Flussdichte Feldstärke des elektrischen Feldes Beleuchtungsstärke Kraft magnetische Feldstärke elektrischer Strom Lichtstärke elektrische Stromdichte Induktivität Leuchtdichte Windungszahl, Anzahl elektrische Leistung, Wirkleistung elektrische Blindleistung elektrische Ladung elektrischer Widerstand magnetischer Widerstand

G2

G Elektrotechnik

R-

=

S A U Ug Uq We Wm

VA mm2 V V V Ws, Wh, kWh Nm V = A V = A 1 1 = D K C

X Z

D γ=

1 r

 0 r K KLa P P0 Pr r=

rm

M M Z Z 4 / ) )V
+ 150 ºC nimmt der Widerstand stärker zu, als die obige Gleichung angibt. Bei einigen Stoffen sind die Werte sehr stark abhängig von Reinheitsgrad, Wärmebehandlung und mechanischer Vorbehandlung. Die dafür gemachten Angaben sind grobe Richtwerte.

1.1.5 Ohm’sches Gesetz Für den Zusammenhang zwischen den elektrischen Größen Stromstärke I, Spannung U und dem materialabhängigen elektrischen Widerstand R gilt für den Stromkreis nach Bild 6 das Grundgesetz der Elektrotechnik bei Gleichspannung, das Ohm’sche Gesetz: U V (Ohm’sches Gesetz)

I A

U=RI

R :

(3a)

Bei Wechselspannung gilt mit Z = Scheinwiderstand: U=ZI

U V

I A

Z :

(3b)

■ Beispiel: Eine Spule enthält 320 m Kupfer-Lackdraht von 0,3 mm (blank). a) Welchen Widerstand hat sie bei 20 ºC b) Wie groß ist ihr Widerstand bei 95 ºC Lösung:

mm 2 rl 0,0178 m ⋅320 m a) R = = = 80,6  A 0,0707 mm 2 b) R = R20 (1 + L  ) =

1 § · = 80,6   ¨1  0,0039 D ˜ 75 D C ¸ 104  C © ¹

Bild 6. Schaltbild eines elektrischen Stromkreises Ist im Ohm’schen Gesetz der Quotient R = U/I konstant, wird der Widerstand R als ohm’scher Widerstand bezeichnet.

Tabelle 1. Leiterwerkstoffe. Zusammensetzung, spezifischer Widerstand r, elektrische Leitfähigkeit N und Längenausdehnungskoeffizient DL der verschiedenen Leiterwerkstoffe. Die angegebenen Werte gelten bei einer Temperatur von 20 ºC. κ=

r Leiterwerkstoff

Silber Kupfer Aluminium Wolfram Zink Messing Nickel Platin Zinn Eisen (WM 13) Blei Quecksilber Neusilber (WM 30) Gold-Chrom Manganin (WM 43) Konstantan (WM 50) Chromnickelstahl (WM 100) Chromnickel (WM 110) Chromnickel (WM 120) Stahlchromaluminium (WM 140) Kohle Silit (Siliciumcarbid)

2

Zusammensetzung

mm m

Ag Cu Al W Zn Cu, Zn Ni Pt Sn Fe Pb Hg Cu, Ni, Zn Au, Cr Cu, Mn, Ni Cu, Ni, Mn Cr, Ni, Fe Ni, Cr, Mn Ni, Cr, Mn Fe, Cr, Al C SiC

0,016 0,0178 0,0286 0,055 0,063 | 0,08 | 0,1 | 0,1 0,11 | 0,13 0,21 0,95 0,30 0,33 0,43 0,50 1,0 1,1 1,2 1,4 50 ... 100 1000

1 r

m mm 2 62,5 56 35 18 16 | 12,5 | 10 | 10 9,1 | 7,7 4,8 1,05 3,3 3,0 2,3 2,0 1,0 0,91 0,83 0,71 0,02 ... 0,01 0,001

DL 1 °C

0,0038 0,0039 0,0038 0,0041 0,0037 0,0015 | 0,005 | 0,0025 0,0042 | 0,005 0,0042 0,00092 0,00025 0,000001 ± 0,00001 – 0,00003 0,00025 0,0001 0,0001 0,0002 | – 0,0005 | – 0,0005

G6

G Elektrotechnik

■ Beispiel: Ein elektrischer Heizofen hat einen Widerstand von 36 :. Welcher Strom fließt, wenn er an eine Spannung von 220 V geschaltet wird?

Bild 7. Reihenschaltung von Spannungsquellen

Lösung:

I

U R

220 V 36 :

6,1 A

Als Spannungsfall bezeichnet man die von einem Strom an einem Widerstand hervorgerufene Spannung. Der Spannungsfall ergibt sich aus der Auflösung des Ohm’schen Gesetzes nach U = I R. ■ Beispiel: Ein Strom von 0,3 A fließt durch einen Widerstand von 200 :. Welcher Spannungsfall entsteht dadurch am Widerstand? Lösung: U = I R = 0,3 A ˜ 200 : = 60 V. Das ist genau die gleiche Spannung die nötig ist, um durch einen Widerstand R = 200 : einen Strom I = 0,3 A zu treiben. Der elektrische Widerstand lässt sich auch ausdrücken als Quotient aus Spannung und Strom. Fließt trotz großer Spannung wenig Strom, ist der Widerstand groß. Das gleiche ergibt sich aus der Auflösung des Ohm’schen Gesetzes R = U/I. ■ Beispiel: Durch einen Widerstand fließt bei einer angelegten Spannung von 6 V ein Strom von 0,5 A. Wie groß ist der Widerstand? Lösung:

R

U I

6V 0,5 A

12 :

1.1.6 Reihenschaltung Bei der Reihenschaltung von Spannungsquellen (Bild 7) verbindet man den Minuspol der einen mit dem Pluspol der nachfolgenden Spannungsquelle. Dabei drücken beide in der gleichen Richtung, so dass sich bei Reihenschaltung die Gesamtspannung Uges als Summe der Einzelspannungen ergibt: Uges = U1 + U2 + ... gilt für beliebig viele

Reihenschaltung von Widerständen liegt vor, wenn nach Anlegen einer Spannung derselbe Strom I der Reihe nach durch beide hindurchfließt. Bei Reihenschaltung addieren sich die Widerstände. Gesamtwiderstand (Ersatzwiderstand Rges) bei Reihenschaltung:

Rges = R1 + R2 + ... gilt für beliebig viele

■ Beispiel: Beim 6-V-Akkumulator sind 3 Einzelreihen zu je 2 V in Reihe geschaltet, d. h. der Minuspol der einen ist jeweils mit dem Pluspol der nachfolgenden Zelle verbunden. Die Gesamtspannung beträgt 3 ˜ 2 V = 6 V. Die Gegeneinanderschaltung von Spannungsquellen ergibt sich aus der Reihenschaltung, wenn gleichnamige Pole zweier aufeinander folgender Quellen miteinander verbunden werden. Da die Quellen in diesem Fall gegeneinander drücken, erhält man die Gesamtspannung bei Gegeneinanderschaltung als Differenz der Einzelspannungen:

(5)

(6)

■ Beispiel: R1 = 3 : und R2 = 6 : in Reihe ergibt Rges = 3 : + 6 : = 9 :

1.1.7 Parallelschaltung Bei der Parallelschaltung von Spannungsquellen sind die gleichnamigen Pole der verschiedenen Quellen miteinander verbunden. Sie wird angewendet, wenn mehr Strom erforderlich ist, als die Einzelquelle hergeben darf. Die gesamte Strombelastbarkeit ist gleich der Summe der Belastbarkeiten der Einzelquellen. Parallelschaltung ist nur bei gleichen Spannungsquellen zweckmäßig, da bei ungleichen Quellenspannungen ein nutzloser Ausgleichsstrom fließt. Bei gleichen Spannungsquellen ist die Spannung der Parallelschaltung gleich der Spannung der Einzelquelle. ■ Beispiel: Eine normale Taschenlampenbatterie von 4,5 V Spannung darf mit höchstens 0,3 A belastet werden. Wenn z.B. ein Widerstand von 10 : angeschlossen werden soll, reicht ihre Strombelastbarkeit nicht aus, denn es ist

I

Die Reihenschaltung von Spannungsquellen wird angewendet, wenn mehr Spannung erforderlich ist, als die Einzelquelle hat.

Uges = U1 – U2

Bild 8. Reihenschaltung von Widerständen

U R

4,5 V 10 :

0,45 A ! 0,3 A

Schaltet man zwei gleiche Batterien parallel, beträgt ihre gemeinsame Spannung ebenfalls 4,5 V. Der erforderliche Strom I = 0,45 A verteilt sich dann je zur Hälfte auf beide Batterien: I 2

0,45 A 2

0,225 A  0,3 A

Bild 9. Parallelschaltung von Spannungsquellen

1 Grundlagen

G7 b) I = I1 + I2 = 2 A + 1 A = 3 A

I1 R2 2 A 6 Ω = = ; ; 2= 2 3Ω I2 R1 1 A

c)

Bild 10. Parallelschaltung von Widerständen

I I =

U Rges

Rges = 2  aus 1.1.7, zweites Beispiel

6V 3A 2

Parallelschaltung von Widerständen liegt vor, wenn sie an derselben Spannung U liegen und der Strom unter Verzweigung in Teilströme alle gleichzeitig durchfließt. Dabei ergibt sich deren elektrischer Gesamtleitwert Gges als Summe der Einzelleitwerte (Leitwert G = 1/Widerstand = 1/R in 1/: = S (Siemens).

Bild 11. Stromverzweigung

Gesamtleitwert bei Parallelschaltung: 1 Rges

1.1.9 Spannungsbilanz im Stromkreis, 2. Kirchhoff’sche Gesetz

1 1   ... Gges R1 R2

= G1  G2  ... gilt für beliebig viele

(7)

Gesamtwiderstand (Ersatzwiderstand) bei Parallelschaltung: Rges =

R1R2 gilt nur für zwei Widerstände! R1 + R2

(8)

■ Beispiel: R1 = 3 : und R2 = 6 : parallel ergibt

Rges

3 :˜6 : 9:

2:

1.1.8 Stromverzweigung, 1. Kirchhoff’sche Gesetz Bei einer Parallelschaltung (Bild 11) verzweigt sich der Gesamtstrom I in den Knotenpunkten in die Teilströme I1 und I2. Dabei gelten die folgenden allgemeinen Strömungsgesetze: Summe der zufließenden Ströme = Summe der abfließenden Ströme. Die Ströme verhalten sich umgekehrt wie die Widerstände. Ströme bei Parallelschaltung (1. Kirchhoff’sche Gesetz): hier I = I1 + I2; allgemein 6Izu = 6Iab und I1 I2

R2 R1

(9)

Bei einer Reihenschaltung (Bild 12) erzeugt der Strom an den Widerständen die Spannungsfälle U = IR. Dabei gelten die folgenden allgemeinen Strömungsgesetze: Summe der Quellenspannungen = Summe der Spannungsfälle. Die Spannungsfälle verhalten sich wie die Widerstände. Spannungen bei Reihenschaltung (2. Kirchhoff’sche Gesetz): hier Uq1 + Uq2 = IR1 +IR2 allgemein  Uq =  I R U1 R1 und (10)  U 2 R2 Man unterscheidet demnach die Spannungen nach ihrer Herkunft in Quellenspannungen Uq und Spannungsfälle U. Uq ist auch dann vorhanden, wenn kein Strom fließt, während U = I R erst durch den Strom an einem Widerstand entsteht. Sowohl Uq als auch U sind Elektronendruckunterschiede zwischen zwei Punkten und werden beide in Volt gemessen. ■ Beispiel: An zwei in Reihe geschaltete Spannungsquellen Uq1 = 10 V und Uq2 = 8 V werden nach Bild 12 die beiden Widerstände R1 = 3  und R2 = 6  geschaltet. a) Wie groß ist der Strom I b) Wie groß sind die Spannungsfälle U1 und U2, die der Strom an R1 und R2 erzeugt. c) Für die Ergebnisse von a) und b) sind geeignete Proben zu machen. Lösung:

■ Beispiel: An eine Spannung U = 6 V werden nach Bild 11 die Widerstände R1 = 3 : und R2 = 6 : geschaltet. a) Wie groß sind die Teilströme I1 und I2 b) Wie groß ist der Gesamtstrom I c) Für die Ergebnisse von a) und b) sind geeignete Proben zu machen Lösung:

a) I1 =

U R1

6V 3

2 A ; I2

U R2

6V 6

1A

a) I =

U q ges Rges



U q1  U q2 R1  R2



10 V  8 V 18 V  2A 36 9

b) U1 = I R1 = 2 A  3  = 6 V U2 = I R2 = 2 A  6  = 12 V c) Uq1 + Uq2 = U1 + U2 10 V + 8 V = 6 V + 12 V; 18 V = 18 V U1 R 6V 3 1 1  1 ;   ; U2 R2 12 V 6  2 2

G8

G Elektrotechnik Aus Spannung und Widerstand ermittelt man die Leistung P, indem man in P = U I für den Strom I = U/R einsetzt. Leistung P aus Spannung und Widerstand:

Bild 12. Spannungsbilanz im Stromkreis

1.2 Leistung, Arbeit, Energieumrechnungen

P

R 

(13)

■ Beispiel: Ein elektrischer Heizofen hat den Widerstand 16,13 . Welche Leistung nimmt er bei der Spannung 220 V auf? Lösung:

P=

1.2.1 Elektrische Leistung Ein elektrischer „Verbraucher“ setzt elektrische Energie in eine andere Form um, z.B. in mechanische Energie oder in Wärme. Die zugeführte elektrische Leistung P ist das Produkt aus der wirksamen Spannung U in Volt und dem fließenden elektrischen Strom I in Ampere: Elektrische Leistung P P = UI

P U W V

U2 R

U 2 2202 V 2 = = 3000 W = 3 kW R 16,13 

1.2.2 Elektrische Arbeit Bei gegebener Leistung P lässt sich die Arbeit W ermitteln nach dem Satz: Arbeit W = Leistung P  Zeitdauer t der Leistung (14)

W = Pt = UIt P

U

I

Watt = W

V

A

(11)

Die Einheit der elektrischen Leistung ist das Watt: J Nm kgm 2 1 W = 1 V  1A = 1 VA = 1 = 1 =1 3 s s s

W

P

U

I

t

Wh

W

V

A

h

■ Beispiel: Eine 100-W-Lampe brennt 24 Stunden. Welche elektrische Arbeit wird von ihr dabei umgesetzt? Lösung: W = P t = 100 W  24 h = 2 400 Wh = 2,4 kWh (Kilowattstunden) Die Stromkosten K (ohne Grundgebühr) werden vom E-Werk für die gelieferte elektrische Arbeit W erhoben:

K = kW

Bild 13. Elektrische Leistung ■ Beispiel: Ein elektrischer Heizofen nimmt bei 220 V Spannung einen Strom von 13,64 A auf. Wie groß ist seine Leistungsaufnahme?

Aus Strom und Widerstand R ergibt sich die Leistung P, indem man P = U I für die Spannung U = I R einsetzt. Leistung P aus Strom und Widerstand:

P=

P I W A

R 

(12)

■ Beispiel: Ein elektrischer Heizofen hat einen Widerstand von 16,13  und nimmt einen Strom von 13,64 A auf. Wie groß ist seine Leistung? Lösung: P = I 2 R = 13,642 A2  16,13  = 3 000 W = 3 kW

k

W

€

€ kWh

kWh

(15)

■ Beispiel: Welche Stromkosten sind beim vorigen Beispiel zu zahlen, wenn der Stromtarif k = 0,15 €/kWh beträgt und die Grundgebühr unberücksichtigt bleibt? Lösung:

€ ⋅2, 4 kWh = 0,36 € kWh Die wirklichen Kosten liegen wegen Grundgebühr und der Steuern höher. K = kW = 0,15

Lösung: P = U I = 220 V  13,64 A = 3 000 W = 3 kW

I2R

K

1.2.3 Energieformen und Umwandlungen Energie ist das Vermögen eines Körpers, Arbeit zu verrichten (siehe B Physik, Abschnitt 11. C Mechanik Abschnitt 2.2 und F Thermodynamik, Abschnitte 1.5 und 1.6). Wärme Q, Arbeit W und Energie E sind gleichwertige physikalische Größen. Je nach Herkunft unterscheidet man mechanische Energie Emech (potentielle Energie

1 Grundlagen

G9

Epot und kinetische Energie Ekin), elektrische Energie Eel und Wärme Q. Jede Energieform kann in eine andere umgewandelt werden. Wegen der Gleichartigkeit haben alle Arbeits- und Energieformen im Internationalen Einheitensystem (SI-System) die gleiche Einheit, das Joule (J), und es gilt die Eins-zu-EinsBeziehung: 1 J = 1 Ws = 1 Nm = für Arbeit W und Energie E

1 kgm2/s2

1 J/s = 1 W = für Leistung P

1 kgm2/s3

1 Nm/s =

■ Beispiel: 2 Liter Wasser sollen in 7,5 min von 10 ºC auf 60 ºC erwärmt werden. a) Welche elektrische Arbeit muss der Tauchsieder dabei umsetzen bei 93 % Wirkungsgrad? b) Welchen Anschlusswert muss er haben?

Lösung:

a) Wnutz = cm  = 4 188

Wnutz = 418 800 J müssen dem Wasser zugeführt werden W =

Eel = Q = m c T = m c  

Beachte: Da 1 K = 1 ºC ist, sind die Temperaturdifferenzen gleich: T in Kelvin K =   in ºC. Bei elektrischen Maschinen und Geräten unterscheidet man zwischen der Leistungsaufnahme (Anschlusswert) und der Leistungsabgabe. Bei Elektromotoren wird die Leistungsabgabe in kW als Nennleistung auf dem Typenschild angegeben, d.h. dem Motor darf für die entsprechende kW-Zahl mechanische Leistung an seiner Welle abgenommen werden. Bei Haushaltsgeräten wird nur die Leistungsaufnahme (Anschlusswert) angegeben. Bei Elektrowerkzeugen gibt man sowohl die Leistungsabgabe als auch die Leistungsaufnahme an. ■ Beispiel: Welche mechanische Leistung in Nm/s darf man einem Motor von 2,2 kW Nennleistung an seiner Welle entnehmen und wieviel Watt nimmt er dabei aus dem Netz auf, wenn der Motorwirkungsgrad = 0,8 beträgt.

Lösung: Nm s darf man dem Motor an seiner Welle entnehmen. Pnenn 2,2 kW P 2,75 kW 0,8 2200 W

418 800 J



0,93

450 323 J

450 323 Ws

3,6  10 6

0,125 kWh 1 kW 7,5 h 60 Anschlusswert des Tauchsieders

b) P

(17)

Für die Berechnungen muss meist der Wirkungsgrad berücksichtigt werden (siehe C Mechanik, Abschnitt 2.3).

Pnenn

W =

(16)

Für die Umwandlung von elektrischer Energie Eel in Wärme Q gilt u.a. die Gleichung

Wnutz

450 323 Ws 0,125 kWh Ws kWh sind einschließlich Verluste zur Erwärmung des Wassers notwendig

Für die Umwandlung von elektrischer Energie Eel in mechanische Energie gelten u.a. die Gleichungen Eel = Epot = m g h Eel = Ekin = m v2/ 2

J ⋅2 kg⋅50 DC kgDC

W t

1.3 Grundschaltungen der Praxis 1.3.1 Schaltung von Verbrauchern Normalerweise sind Elektrogeräte für eine bestimmte Spannung gebaut und werden alle parallel an das Netz geschaltet: Parallelspeisung. Entnommener Gesamtstrom Iges =  Einzelströme. Nur selten werden Verbraucher in Reihe geschaltet. Ihre Stromaufnahme muss in diesem Fall gleich sein (Beispiel: Christbaumbeleuchtung). Erforderliche Gesamtspannung Uges =  Einzelspannungsfälle. ges

Bild 14. Parallelspeisung von Verbrauchern

2200

nimmt der Motor bei Nennlast aus dem Netz auf. Die Motorzuleitung ist nach dieser Aufnahmeleistung bei Nennlast zu bemessen.

1.3.2 Vorwiderstand Ein Vorwiderstand Rv wird angewendet, wenn man einen Verbraucher betreiben will, der für eine niedrigere Spannung gebaut ist als die vorhandene. Er hält den Spannungsüberschuss vom Verbraucher fern. Nachteil: Rv erzeugt nutzlos Wärme (Verluste).

G 10

G Elektrotechnik

■ Beispiel: (Bild 15) Eine Lampe für 60 V und 40 W soll über einen Vorwiderstand an der Netzspannung 220 V betrieben werden. Welchen Ohmwert muss der Vorschaltwiderstand haben?

a) Welchen Ohmwert muss der Nebenwiderstand haben? b) Mit wieviel Watt wird er belastet?

Lösung:

Rv =

Uv I

I=

40 W Pnenn = = 0, 667 A U nenn 60 V

U v = U q −U = 220 V − 60 V = 160 V

160 V Rv   240  müssen vorgeschaltet werden 0,667 A

Bild 16. Schaltung eines Nebenwiderstandes Lösung:

a) Rn 

Bild 15. Schaltung eines Vorwiderstandes 1.3.3 Belastbarkeit eines Widerstandes Die thermische Belastung eines Widerstandes wird durch die elektrische Verlustleistung Pv hervorgerufen, die in ihm in Wärme umgesetzt wird. Die Belastung eines Widerstandes wird daher in Watt angegeben. Sie ergibt sich als Produkt aus Spannungsfall Uv am betreffenden Widerstand und der Stromstärke I. Die Baugröße des Widerstandes muss so gewählt werden, dass er bei der Belastung Pv auch im Dauerbetrieb nicht zu heiß wird. Die Belastbarkeit wird aus Sicherheitsgründen etwas höher gewählt als die Belastung. ■ Beispiel: Welcher Belastung ist der Vorwiderstand nach Bild 15 ausgesetzt? Lösung: Rv wird von der Verlustleistung Pv = UvI = 160 V  0,667 A = 107 W erwärmt. Er muss also so groß gebaut sein, dass er mindestens 107 W in Wärme umsetzen kann, ohne dass er im Dauerbetrieb zu heiß wird. Gewählt: 120 W Belastbarkeit.

Rn 

U 2 nenn In

U2 nenn = 110V In = I1 – I2

110 V 0,181 A

I1 

= 608 

I2 

P1 nenn U1 nenn

P2 nenn U 2 nenn



60 W  0,545 A 110 V



40 W  0,364 A 110 V

In = 0,545 A – 0,364 A = 0,181 A b) Pn = U2 nenn In = 110 V  0,181 A = 19,9 W 20 W

1.3.5 Spannungsteiler Ein Spannungsteiler wird angewendet, wenn man von einer vorhanden Spannung Uges einen Teil U abgreifen will. Der Querstrom Iq erzeugt am Teilwiderstand R2 den gewünschten Spannungsfall U. Der als Spannungsteiler verwendete Widerstand hat drei Anschlüsse (Bild 17). Nachteil: Der Querstrom erzeugt an Rges nutzlos Wärme (Verluste). Bei Belastung des Teilers mit einem Verbraucherwiderstand R sinkt die Spannung auf den Wert U '. Damit die Spannung bei Belastung nicht zu stark zurückgeht, macht man Rges  2 R.

1.3.4 Nebenwiderstand Ein Nebenwiderstand wird angewendet, wenn man Verbraucher mit ungleicher Stromaufnahme in Reihe schalten will. Er wird dem Verbraucher mit der kleineren Stromaufnahme parallel geschaltet und leitet die überschüssige Stromstärke um diesen herum. Nachteil: Rn erzeugt ebenso wie Rv nutzlos Wärme (Verluste).

Bild 17. Schaltung eines Spannungsteilers

■ Beispiel: (Bild 16) Zwei Lampen, 110 V 60 W und 110 V 40 W, sollen in Reihe an der Netzspannung 220 V betrieben werden.

Bei Belastung einer Spannungsquelle geht deren Klemmenspannung U um den inneren Spannungsfall Ui = IRi zurück. Grund: Die strömenden Elektronen

1.3.6 Innenwiderstand einer Spannungsquelle

1 Grundlagen

G 11

reiben sich auch im Inneren der Quelle an deren Innenwiderstand Ri, wobei dort der innere Spannungsverlust auftritt (Bild 18a). Im Ersatzschaltbild (Bild 18b) denkt man sich die Quellenspannung Uq (Urspannung) mit dem Innenwiderstand Ri in Reihe geschaltet. Eine nach dem Ersatzschaltbild aufgebaute Ersatzschaltung würde die gleichen Eigenschaften zeigen wie die wirkliche Schaltung (a). Klemmenspannung bei Belastung einer Spannungsquelle: U = U q – U i = U q – I Ri

(18)

d) Pi = UiI = 1 V  2A = 2 W innere Verlustleistungen erwärmen den Generator e) P = UI = 24 V  2 A = 48 W gibt der Generator an den Verbraucher ab Uq 25 V   50 A Kurzschlussstrom f) I k

Ri 0,5 

1.3.7 Leitungswiderstand Bei Belastung einer Leitung ist die Spannung U an ihrem Ende um den Spannungsfall U kleiner als die Speisespannung Uges am Anfang. Grund: Beim Durchfließen des Leitungswiderstandes Rl tritt dort durch Reibung der Elektronen am Leitermaterial der elektrische Spannungsverlust U auf. An jeder Leitungsader tritt dabei der halbe Spannungsfall U/2 auf (Bild 19a).

Bild 18. Innenwiderstand einer Spannungsquelle a) Schaltung b) Ersatzschaltbild Bei Leerlauf der Spannungsquelle ist I Ri = 0 und daher U = Uq. Bei Belastung mit dem Verbraucher R ist U < Uq um den inneren Spannungsfall Ui. Bei Kurzschluss (R 0) ist U 0 und daher Ik Uq/Ri.

Bild 19. Leitungswiderstand, a) Schaltung, b) Ersatzschaltbild

■ Beispiel: Ein Generator nach Bild 18 hat 25 V Quellenspannung und 0,5  Innenwiderstand.

Im Ersatzschaltbild (19b) denkt man sich beide Aderwiderstände Ra zum gesamten Leitungswiderstand Rl zusammengefasst. Spannung am Leitungsende bei Belastung:

a) Wie groß ist seine Klemmenspannung im Leerlauf? b) Wieviel Spannung geht im Innern des Generators bei Anschalten eines Verbrauchers von 12  Widerstand verloren? c) Welche Klemmenspannung gibt er an den Verbraucher ab? d) Welche Leistung geht dabei im Innern des Generators verloren? e) Welche Leistung gibt er dabei an den Verbraucher ab? f) Wie groß wird der Kurzschlussstrom beim Kurzschließen der Generatorklemmen mit einem Draht von vernachlässigbar kleinem Widerstand? Lösung:

a) U = Uq – IRi ; I = 0; weil kein Strom entnommen wird (Leerlauf !) U = Uq = 25 V Leerlaufspannung b) Ui = IRi I =

Uq Uq 25 V = = =2 A Rges R + Ri 12 Ω + 0,5 Ω

Ui = 2 A  0,5  = 1 V Spannungsrückgang bei dieser Belastung c) U = Uq – Ui = 25 V – 1 V = 24 V Klemmenspannung bei dieser Belastung

U = Uges – U = Uges – IRl

(19)

■ Beispiel: Eine zweiadrige Leitung nach Bild 19a hat 0,5  Widerstand je Ader. Sie wird mit 230V gespeist und ist am Ende mit einem Widerstand von 22  belastet. a) Wie groß ist bei dieser Belastung der Spannungsfall auf der Leitung? b) Welche Spannung erhält der Verbraucher? c) Welche Leistung geht auf der Leitung verloren? Lösung:

Rl = 2 Ra = 2⋅0,5 Ω = 1 Ω

a) U = IRl

I=

U ges U ges 230 V = = = 10 A Rges R + Rl 22 Ω +1 Ω

U = 10 A  1  = 10 V gehen bei dieser Belastung auf der Leitung verloren, je Ader also 5 V. b) U = Uges – U = 230 V – 10 V = 220 V erhält der Verbraucher c) Pv = UI = 10 V  10 A = 100 W Verlustleistung erwärmen die Leitung

G 12

G Elektrotechnik

1.4 Elektrochemie 1.4.1 Ionen Löst man Salze, Säuren oder Basen in Wasser, dann gehen Sie aus dem molekularen Zustand in den ionisierten über. Das Wasser spaltet die elektrisch neutralen Moleküle (z.B. HCl) auf in elektrisch positiv geladene Teilchen (H+), denen ihre zugehörigen Elektronen fehlen, und negative (Cl–), die diese Elektronen als Überschuss-Ladungen mit sich führen. Dabei entstehen stets ebenso viele positive wie negative Ionenladungen. Mehrwertige Atome bilden mehrwertige Ionen (z.B. Cu++, SO4– –, Al+++).

Bild 21. Elektrolytische Zerlegung von Salzsäure

In den Drähten des Stromkreises fließt der Strom I als normaler Elektronenstrom, im elektrolytischen Bad dagegen in Form von zwei sich gegensinnig bewegenden Ionenströmen, wobei der elektrolytische Leiter durch den elektrischen Stromfluss chemisch verändert wird. Die Lösung wird immer ärmer an HCl. Bild 20. Ionen

Ionenladungsregel Metalle und Wasserstoff bilden positive, Nichtmetalle, Säurereste und die OH-Gruppe negative Ionen.

Bild 22. Verkupfern eines Metallgegenstandes

Wasser selbst ist kaum ionisiert, sondern es existiert in Form von H2O-Molekülen.

1.4.2 Elektrolyse

1.4.3 Galvanische Überzüge

Als Elektrolyse bezeichnet man die Trennung chemischer Verbindungen auf elektrischem Weg. Die wässrige Elektrolyse nimmt folgenden Verlauf: Das Wasser spaltet Säuren, Basen oder Salze physikalisch in elektrisch geladene Teilchen auf (Ionen). Man bezeichnet diesen Vorgang als Dissoziation. Der elektrische Strom zerlegt die Verbindung chemisch in ihre Bestandteile, indem er die Ionen in Atome umwandelt. Die positiven Ionen (H+) wandern zur Kathode (–), weil + und –Ladungen einander anziehen. Dort entnimmt jedes H+ Ion dem Elektronenüberschuss der negativen Elektrode ein Elektron und wird dadurch wieder zurückverwandelt in ein neutrales H-Atom. Die Cl– Ionen wandern nach +, geben dort ihren Elektronenüberschuss an die Anode ab und werden damit zu neutralen Cl Atomen. An der Anode steigen Chlorgas-, an der Kathode Wasserstoffbläschen auf. Die Gleichspannungsquelle drückt die vom Cl– abgelieferten Elektronen zur Kathode, wo sie von den H+ Ionen aufgenommen werden.

Galvanische Überzüge werden durch elektrolytische Zerlegung von Metallsalzlösungen hergestellt. Beispiel: Ein Kupferüberzug auf einem Metallgegenstand lässt sich herstellen, indem man den Gegenstand als Kathode in eine Kupfersulfatlösung hängt und als Anode eine Kupferplatte verwendet. Die Cu++ Ionen wandern zum negativ geladenen Gegenstand und bilden dort den Überzug, während die SäurerestIonen SO4– – aus der Cu-Anode neue Cu++ Ionen herauslösen, so dass die Konzentration der Lösung erhalten bleibt. Die Stromdichte muss genügend klein gehalten werden, weil sonst der Cu-Überzug porös und schwammig wird. Elektrolytkupfer wird in gleicher Weise durch elektrolytische Raffination (Reinigung) des HüttenRohkupfers hergestellt. Für Überzüge aus anderen Metallen verwendet man in ähnlicher Weise entsprechende Salze und Anoden. So lassen sich Überzüge herstellen aus Gold, Silber, Nickel, Chrom, Zink, Kadmium, Zinn, Blei und sogar Messing und Bronze.

1 Grundlagen

G 13

1.4.4 Schmelzflusselektrolyse

t

Die Schmelzflusselektrolyse wird angewendet zur Herstellung von Kalium, Natrium und Aluminium. Bei diesen Stoffen ist wässerige Elektrolyse nicht möglich, weil entweder das hergestellte Metall sofort mit H2O chemisch reagieren würde (K, Na), oder das Ausgangsmaterial nicht in Wasser löslich ist (Al). Man schmilzt das Ausgangsmaterial (KOH, NaOH, Kryolith + Tonerde) bei hoher Temperatur, wobei die Wärme die Moleküle in Ionen aufspaltet. Der über Elektroden in die Schmelze eingeführte Strom trennt die betreffende Verbindung chemisch. 1.4.5 Elektrolytische Mengenrechnung, Faraday’sches Gesetz Die elektrolytisch abgeschiedene Stoffmasse m ist um so größer, je höher die zur Umwandlung von Ionen in Atome verbrauchte Ladung (Elektrizitätsmenge) Q = It in Ah und je größer die Stoffkonstante C ist, die angibt, welche Stoffmasse in g von einer Ah abgeschieden wird (Tabelle 2.). m

C

I

t

m = CQ = C I t

g g A Ah (Faraday’sches Gesetz)

(20)

h

In der Praxis ergibt sich bei einigen Stoffen weniger Menge, als nach dem Faraday’schen Gesetz errechnet wird. Grund: Unerwünschte Zersetzungen. Dies lässt sich berücksichtigen durch Multiplikation der rechten Gleichungsseite mit der Stromausbeute . Tabelle 2. Durch 1 Ah elektrolytisch abgeschiedene Stoffmasse C Silber Gold Kupfer Nickel Chrom Zinn Stoff Ag 1 Au 3 Cu 2 Ni 2 Cr 3 Sn 2 Zeichen, Wertigkeit C in g/Ah

4,025 2,445 1,185

1,095

Stoff Cadmium Aluminium Blei Zeichen, Cd 2 Al 3 Pb 2 Wertigkeit C in g/Ah

2,096

0,335

3,863

0,647

Zink Zn 2

2,214 1,22

Wasserstoff Sauerstoff H1 O2 0,0375

26,25 g  1,25 A Ah hängen.

5,22 h muss der Gegenstand im Bad

4,025

1.4.6 Batterie-Elemente Die Quellenspannung eines Batterie-Elementes kommt dadurch zustande, dass die verschiedenen Stoffe ein mehr oder weniger starkes Bestreben haben, in Lösung zu gehen. Als Beispiel das am häufigsten verwendete Trocken-, Leclanché- oder Braunsteinelement: Bei diesem befindet sich ein Kohlestab in einem Beutel, der mit einem Gemisch aus Braunstem und Kohlepulver gefüllt ist. Beide stecken in einem Becher aus Zink, der einen eingedickten Elektrolyten enthält. Das Zink hat ein starkes Lösungsbestreben und schickt soviele Zn++ Ionen in die Flüssigkeit, bis es sich gegenüber dieser auf etwa – 0,77 V aufgeladen hat. Diese Aufladung entsteht durch die von den Zn++ Ionen zurückgelassenen Elektronen. Die Zn++ Ionen verdrängen die (NH4)+ Ionen aus der Lösung. Von diesen zieht die Kohle soviele an sich, bis sie sich auf etwa +0,73 V gegenüber der Flüssigkeit aufgeladen hat. Die beiden in Reihe geschalteten Berührungsspannungen des Zinks (–0,77 V) und der Kohle (+ 0,73 V) ergeben die Quellenspannung Uq der Batterie von etwa 1,5 V. Bei Belastung des Elements schickt der Strom laufend Zn++ Ionen in Lösung, wodurch sich der Zinkbecher allmählich auflöst. Dabei wird der Elektrolyt in ZnCl2 verwandelt, so dass auch er sich erschöpft. Der Braunstein verhindert, dass sich auf der Kohle eine Wasserstoffhaut bildet, die die Klemmenspannung stark herabsetzen würde (Polarisation; Braunstein = Depolarisator). Eine nennenswerte Wiederaufladung ist nicht möglich. Die Spannungsreihe gibt die Berührungsspannungen an, auf die sich ein Metall gegenüber einer Flüssigkeit auflädt. Je unedler das Metall ist, desto stärker ist sein Lösungsbestreben und seine negative Berührungsspannung.

0,299

■ Beispiel: Ein Metallgegenstand von 250 cm2 Gesamtoberfläche soll mit einer 0,1 mm dicken Silberschicht überzogen werden. Die zulässige Stromdichte beträgt bei Silber 0,5 A/dm2, die Stromausbeute

100 %. a) Wie groß darf die Stromstärke höchstens gewählt werden? b) Wie lange muss der Teller im Bad hängen?

Vergussmasse

Lösung:

A ⋅2,5 dm 2 = 1,25 A sind zulässig, ohne dass dm 2 die Silberschicht porös wird. b) m = C I t

a) I = SA = 0,5

t

m CI

m = V r d = 250 cm 2 ⋅0, 01 cm⋅10,5 C = 4, 025

g aus Tabelle 2. Ah

g cm3

= 26, 25 g

Bild 23. Trockenelement einer Taschenlampenbatterie

G 14

G Elektrotechnik

Tabelle 3. Reihe der Berührungsspannungen in V (Spannungsreihe) Kalium Natrium Magnesium Aluminium Zink Eisen Cadmium Nickel Zinn Blei Wasserstoff Kupfer Silber Quecksilber Gold

– 2,9 2,7 1,55 1,28 0,77 0,44 0,40 0,25 0,14 0,13 ± 0,00 + 0,34 + 0,81 + 0,86 + 1,38

– – – – – – – – –

ergeben sich daher gefährlich hohe Ströme (siehe 1.3.6). Infolge Selbstentladung verliert die Batterie durch chemische Umwandlung der Plattenmasse in Bleisulfat im Lauf einiger Monate ihre Ladung. Um Sulfatieren der Platten zu vermeiden (sie nimmt dann keine Ladung mehr an), ist alle 4 bis 8 Wochen nachzuladen, auch wenn die Batterie nicht benutzt wird. Nur destilliertes Wasser nachfüllen (mit sauberen Glasgefäßen), weil sonst durch fremde Ionen starke Selbstentladung eintritt: die Batterie hält dann die Ladung nur kurze Zeit. Der Wirkungsgrad (Wh-Wirkungsgrad) liegt bei 75 %, der Gütegrad (Ah-Wirkungsgrad) bei 90 %. Das Speichervermögen des Bleisammlers beträgt bei ortsfesten Batterien 10 Wh/kg, bei Fahrzeugbatterien 20 ... 30 Wh/kg.

1.4.7 Blei-Akkumulator Beim Blei-Akkumulator befinden sich Blei- als Minusplatten und Bleisuperoxyd- als Plusplatten in einem Isoliergefäß, das mit verdünnter Schwefelsäure gefüllt ist. Die Quellenspannung Uq von etwa 2 V je Zelle ist wieder durch die Verschiedenartigkeit der Stoffe gegeben (siehe 1.4.6). Bei Entladung bildet sich auf beiden Plattenarten Bleisulfat, wobei Schwefelsäure verbraucht wird: der Elektrolyt wird leichter. Der Ladezustand der Batterie lässt sich aus der Säuredichte bestimmen. Bei 1,83 V Zellenspannung (unter Last gemessen) ist mit der Entladung aufzuhören. Zur Ladung wird der Sammler an ein Ladegerät angeschlossen, dessen Spannung höher sein muss als die der Batterie, so dass wegen der Gegeneinanderschaltung (+ an +,– an –, siehe 1.1.6) ein Strom in umgekehrter Richtung wie bei Entladung hindurchgetrieben wird: Ladestrom. Das Bleisulfat wird wieder in Blei bzw. Bleisuperoxyd zurückverwandelt, die Säure wird schwerer. Die Akkumulatoren lassen sich also wieder aufladen. Bei 2,7 V Zellenspannung ist mit der Ladung aufzuhören. Die Kapazität eines Sammlers ist das Produkt aus Nennstrom und Entladedauer I t in Ah. Als Nenndauer der Entladung werden meist 3, 10 oder 20 Stunden angegeben. Die entnehmbare Kapazität hängt von der Entladedauer (und damit auch vom Entladestrom) ab nach: Tabelle 4. Entnehmbare Kapazität eines Bleisammlers Entladet in h 20 10 7,5 dauer Zulässige I t in % 110 100 95 Entnahme der 10stdg. Kapazität

5

3

1

0,5

85

75

50

40

Der Innenwiderstand des Bleisammlers ist sehr niedrig (etwa 0,15  Ah je Zelle). Bei Kurzschlüssen

1.4.8 Nickel-Akkumulator Die alkalischen Sammler (Nickel-Eisen, NickelCadmium) enthalten als + Platten Nickel und als – Platten Eisen bzw. Cadmium. Diese befinden sich in einem Stahlblechgefäß mit Kalilauge, deren Dichte (1,2 g/cm3) nicht vom Ladezustand abhängt. Vorteile gegenüber dem Bleisammler: Unempfindlich, lange Lebensdauer, geringe Selbstentladung, stehen im leeren Zustand schadet nicht, keine Säuredämpfe, gasdichte Bauart bei kleinen Zellen möglich. Nachteile gegenüber dem Bleisammler: Niedrigere Zellenspannung ( 1,2 V), stärkerer Spannungsrückgang bei Entladung (1,4 ... 1 V), Wh-Wirkungsgrad 50 %, Ah-Gütegrad 70 %, Innenwiderstand größer, teurer in der Anschaffung. Das Speichervermögen ist nur wenig größer als das von Bleisammlern, so dass ein alkalischer Sammler kaum leichter ist als ein Bleisammler gleichen WhInhalts.

1.5 Magnetismus 1.5.1 Magnetfeld Das Magnetfeld ist ein besonderer Zustand des Raumes, der sich in Kraftwirkungen äußert, so dass Eisenfeilspäne sich zu Linien zusammenketten und Magnetnadeln (Kompasse) sich in einer bestimmten Zeigerichtung innerhalb dieser Linien einstellen. Der Raum in und um einen Magneten ist lückenlos mit Linien- und Zeigerichtung durchsetzt: Magnetfeld = Vektorfeld. Hängt man einen Magneten so auf, dass er sich in einer horizontalen Ebene drehen kann, dann zeigt das eine Ende ungefähr zum geographischen Nordpol der Erde, das andere zum Südpol. Das nach Nord zeigende Ende nennt man Nordpol, das andere Südpol.

1 Grundlagen Magnetische Zeigerichtungsregel Laut Festsetzung zeigt das Magnetfeld außerhalb eines Magneten von dessen Nordpol zu dessen Südpol. Die magnetischen Feldlinien sind in sich geschlossen. Sie zeigen demnach im Inneren des Magneten vom Süd- zum Nordpol. Obwohl der Raum lückenlos mit Linien- und Zeigerichtung durchsetzt ist, bedient man sich zur Veranschaulichung des Magnetfeldes einzelner Feldlinien. Überlagern sich mehrere Magnetfelder, so addieren sich ihre Feldlinien wegen des Vektorcharakters der Linien geometrisch zu einem resultierenden Feld.

G 15 Man unterscheidet magnetisch weichen Stahl, hier kurz „Eisen“ genannt, und magnetisch harten Stahl, hier kurz „Stahl“ genannt. Eisen bleibt nur solange magnetisiert, wie ein äußeres Richtfeld die Molekularmagnete ausgerichtet hält. Nach Fortfall dieses äußeren Feldes verliert Eisen seinen Magnetismus sofort wieder. Stahl dagegen behält einen großen Teil des Magnetismus auch nach Fortfall des Richtfeldes. Grund: Die Gefügereibung, die beim Ausrichten der Molekularmagnete überwunden werden muss, ist in Stahl groß, in Eisen klein. Die Molekularmagnete fallen bei Stahl also nicht von selbst wieder in eine wirre Lage zurück.

Bild 24. Magnetfeld eines Stabmagneten Magnetische Kraftwirkungsregel Ungleichnamige Pole ziehen sich an, gleichnamige stoßen sich ab.

Bild 25. Gegenseitige Kraftwirkung zweier Magnete

Bild 26. Molekularmagnete in Eisen und Stahl a) im nicht magnetisierten b) im magnetisierten Zustand Für Elektromagnete und elektrische Maschinen verwendet man ein magnetisch möglichst weiches Eisen, für Dauermagnete dagegen einen magnetisch möglichst harten Stahl. Die Stärke des Magnetismus hängt vom Grad der Ausrichtung der Molekularmagnete ab. Bei vollständiger Ausrichtung spricht man von magnetischer Sättigung, das Material lässt sich nicht stärker magnetisieren.

1.5.2 Magnetismus in Eisen und Stahl Das Zustandekommen der besonderen magnetischen Eigenschaften der sogenannten ferromagnetischen Werkstoffe Eisen, Stahl, Nickel und Kobalt kann man sich auf grobe Weise durch das Vorhandensein von „Molekularmagneten“ erklären. Nach dieser Theorie bildet jeder aus einigen Millionen Atomen bestehende Mikrokristall einen winzigen Magneten, der unter Reibung im Gefüge drehbar gelagert ist. Im nicht magnetisierten Zustand (Bild 26a) liegen diese Molekularmagnete wirr durcheinander, so dass der von Natur aus im Material steckende Magnetismus nicht nach außen in Erscheinung tritt. Im magnetisierten Zustand (Bild 26b) zeigen die Molekularmagnete überwiegend in die gleiche Richtung, so dass magnetische Feldlinien aus dem Material austreten.

1.5.3 Magnetfeld eines Leiters, Rechtsschraubenregel Ein stromdurchflossener Leiter umgibt sich in Ebenen rechtwinklig zur Stromrichtung mit kreisförmigen magnetischen Feldlinien (Bild 27). Rechtsschraubenregel Strom- und Magnetfeldrichtung bilden eine Rechtsschraube. Die Stärke des Magnetfeldes ist proportional der Stromstärke I und umgekehrt proportional dem Abstand r vom Leiter.

G 16 Die Ursache jedes Magnetfeldes ist eine Bewegung elektrischer Ladungen. Im stromdurchflossenen Leiter z.B. bewegen sich Elektronen und verursachen durch ihre Bewegung den Magnetismus um den Draht herum. Beim Dauermagneten wird jeder Molekularmagnet in einer bestimmten Ebene von Elektronen umkreist, die seinen Magnetismus erzeugen. Auch das magnetische Feld der Erde wird durch positive elektrische Ladungen, die die Erdkugel umkreisen, herbeigeführt. Ursache des Magnetfeldes Bewegte elektrische Ladungen (z.B. Elektronen) umgeben sich in Ebenen rechtwinklig zur Bewegungsrichtung mit einem Magnetfeld.

Bild 27. Magnetfeld eines stromdurchflossenen geraden Leiters

G Elektrotechnik AW-Zahl mit wenigen Windungen dicken Drahtes bei großer Stromstärke, bei hoher Spannung mit vielen Windungen dünnen Drahtes bei kleinem Strom.

1.5.5 Spule mit Eisenkern Durch Einführung eines Eisenkerns in eine stromdurchflossene Spule wird der erzeugte Magnetismus erheblich verstärkt. Der durch die Spule fließende Strom erzeugt ein Raumfeld, das auch den Eisenkern durchsetzt und dessen Molekularmagnete ausrichtet (Ausrichtung = Polarisation). Dadurch kommt der von Natur aus im Eisen steckende Magnetismus als kräftiges Polarisationsfeld zusätzlich zur Wirkung. Polarisationsfeld und Raumfeld ergeben zusammen das starke Gesamtfeld. Das Magnetfeld ist umso stärker, je vollständiger der Eisenschluss des Feldlinienweges ist. Man macht aus diesem Grund bei Elektromagneten und Maschinen den Luftspalt so klein wie möglich.

Bild 29. Spule mit Eisenkern 1.5.6 Magnetischer Kreis

Bild 28. Magnetfeld einer stromdurchflossenen Spule 1.5.4 Magnetfeld einer Spule Wickelt man einen Leiter als Spule N-mal um den zu magnetisierenden Raum, dann wird dieser bei Stromfluss von der N-fachen Elektronenmenge pro Zeit umkreist, und man erhält im Inneren der Spule einen Magnetismus von N-facher Stärke (Bild 28). Die Stärke des Magnetfeldes einer Spule ist proportional ihrer Amperewindungszahl N I (Durchflutung). Bei Niederspannung erzeugt man die erforderliche

Man spricht vom „Magnetkreis“, weil die Feldlinien des Magnetfeldes in sich geschlossen sind. Die rechnerische Behandlung des Magnetfeldes ähnelt formal stark der des elektrischen Stromkreises. Obgleich es beim Magnetfeld keine Strömung magnetischer Teilchen gibt, die mit der Elektronenströmung beim Stromkreis vergleichbar wäre, gelten doch die allgemeinen Strömungsgesetze, wie z.B. das Ohm’sche Gesetz und die Kirchhoff’schen Gesetze. Formal sieht es so aus, als ob die „magnetische Gesamtspannung“ = NI (Durchflutung = Amperewindungszahl) den „magnetischer Fluss“ durch den Kreis mit dem „magnetischen Widerstand“ Rm triebe (siehe 1.5.7). 1.5.7 Größen des Magnetfeldes Entsprechend dem Vergleich mit dem elektrischen Stromkreis (siehe 1.5.6) unterscheidet man magnetische Fluss-, Spannungs- und Widerstandsgrößen. a) Magnetische Flussgrößen Magnetischer Fluss . Nach Bild 30 ist

1 Grundlagen

G 17



magnetische Gesamtspannung  magnetischen Widerstand Rm



 Rm

NI Rm

Magnetische Flussdichte B. Bild 31 stellt einen Ausschnitt aus dem Ring von Bild 30 dar. Demnach ist:

= NI

Rm

Vs

A

A Vs

(21)

(Ohm’sches Gesetz des Magnetkreises) Dem magnetischen Fluss entspricht im elektrischen Stromkreis der Strom I. Der magnetische Fluss hat die Einheit 1 Voltsekunde (Vs) = 1 Weber = 1 Wb Die Einheit Voltsekunde ergibt sich aus dem Induktionsgesetz (siehe 1.6.1).

magnetischer Fluss  Magnetquerschnitt A B A

Vs (22) 1 T Vs = 1 Wb m2 2 m

magnetische Flussdichte B  A

B

Die magnetische Flussdichte B wird als magnetische Induktion bezeichnet. Sie ist vergleichbar mit der Stromdichte J des elektrischen Stromkreises (siehe 1.1.3). B hat die Einheit: 1

Vs m2

= 1 Tesla =1 T

b) Magnetische Spannungsgrößen Magnetische Gesamtspannung (Durchflutung). Nach Bild 32 ist: magnetische Gesamtspannung = Amperewindungszahl

= NI

N 1

A

I A

(23)

Magnetische Feldstärke H. Nach Bild 32 ist: magnetische Feldstärke H =

Bild 30. Magnetischer Kreis und elektrischer Stromkreis

H=

NI l

magnetische Spannung (NI ) Feldlinienlänge l

H

N

I

l

A m

1

A

m

(24)

Die magnetische Feldstärke H ist vergleichbar mit der elektrischen Feldstärke Ef im elektrischen Stromkreis (siehe 1.8.2). H stellt die magnetische Spannung dar, die auf ein Feldlinienstück von 1 m Länge entfällt. H hat die Einheit:

Magnetfluss F

magn. Flussdichte B

Bild 31. Magnetischer Fluss und magnetische Flussdichte B

A 1 Amperewindung pro Meter  m

c) Magnetische Widerstandsgrößen Magnetischer Widerstand Rm. Entsprechend dem elektrischen Widerstand R = 1/(A) ist der magnetische Widerstand Rm

Bild 32. Magnetische Spannung und Feldstärke H

l

Rm

l

A

A Vs

Vs m m2 Am



A (25)

Der magnetische Widerstand Rm entspricht dem Widerstand R des elektrischen Stromkreises. Rm hat die Einheit A/Vs. Die Permeabilität  ist die magnetische Leitfähigkeit eines „Leiters“ magnetischer Feldlinien. Ihr entspricht im elektrischen Stromkreis die elektrische Leitfähigkeit  (siehe 1.1.4).

G 18

G Elektrotechnik

Bild 33. Magnetischer Widerstand Rm und Permeabilität 

wand an Amperewindungen (elektrische Leistung, Spulenerwärmung) erforderlich, um B noch ein wenig höher zu treiben. Aus diesem Grund wählt man bei Weicheisen B selten höher als 1,5 T. Die Magnetisierungskurven werden meist so benutzt, dass man ihnen für die gewählte Flussdichte B die erforderliche Feldstärke H = notwendige Amperewindungszahl je m Feldlinienlänge entnimmt.

Permeabilität

, 0 r  = 0 r

Vs Am

(26)

1

Die magnetische Feldkonstante 0 (Induktionskonstante) ist das Verhältnis der im leeren Raum erzeugten Flussdichte B0 zur erregenden Feldstärke H:

0

B0 H

0

B0

H

Vs Am

Vs

A m

m2

(27)

Ihre Größe ist 0 = 1,256  10–6 Vs/Am, d.h. die Feldstärke H = 1 A/m erzeugt im Vakuum die Flussdichte B0 = 1,256  10–6 Vs/m2 = 1,256  10–6 T. Die Permeabilitätszahl r ist das Verhältnis der im Stoff erzeugten Flussdichte B zur Flussdichte B0 im leeren Raum:

r

B B0

r

B, B0

1

gleiche Einheit

Dynamoblech I (≈ Weicheisen ≈ Stahlguss)

(28)

Für Vakuum und Luft ist r 1, d.h. die im Stoff „Luft“ erzeugte Flussdichte B ist ebenso groß wie B0 im leeren Raum. Bei den ferromagnetischen Werkstoffen ist r  1, d.h. die in diesen Stoffen erzeugte Flussdichte B ist wegen der Ausrichtung der Molekularmagnete viel größer als B0, das erzeugt würde, wenn der gleiche Raum nicht mit polarisierbarem Stoff ausgefüllt wäre (siehe 1.5.5).

Bild 34. Magnetisierungskurve von Dynamoblech I ■ Beispiel: Der in den Bildern 32 und 33 dargestellte Ring besteht aus Weicheisen. Er hat dm = 318 mm mittleren Durchmesser, einen Querschnitt von 50 mm  50 mm und trägt eine Spule von N = 800 Windungen. a) Welche magnetische Feldstärke ist erforderlich, um den Ring auf 1,2 T zu magnetisieren? b) Welche Amperewindungszahl (magnetische Gesamtspannung) muss dafür aufgewendet werden? c) Welcher Strom muss fließen? d) Wie groß ist der im Ring erzeugte Magnetfluss? e) Wie groß ist die Permeabilitätszahl des Eisens bei dieser Flussdichte? Lösung: a) Aus der Magnetisierungskurve von Weicheisen (Bild 34) ergibt sich für B = 1,2 T: H = 500 A/m erforderliche Feldstärke.

A NI ; N I = H l = 500  0,318 m   = l m = 500 A erforderliche AW-Zahl

b) H =

c) I

1.5.8 Magnetisierungskurven Die Permeabilität der ferromagnetischen Werkstoffe ist nicht konstant, so dass man deren magnetische Eigenschaften durch Magnetisierungskurven angibt. Diese stellen die Abhängigkeit der im Stoff erzeugten Flussdichte B von der erregenden Feldstärke H dar. Sie sind je nach Material verschieden. Die Magnetisierungskurve für magnetisch weiches Eisen (Bild 34) zeigt, dass man im Berich von 0 bis etwa 1,2 T mit wenigen Amperewindungen/m bereits große B-Werte erzielen kann. Oberhalb dieses sogenannten „Knicks“ der Magnetisierungskurve ist ein erheblicher Auf-

d) B = e) r =

500 A 800

NI N

Φ A

0,625 A erforderliche Stromstärke

; Φ = BA = 1,2

B B0

B r = 0H

Vs ⋅ 25⋅10−4 m 2 = 3⋅10−3 Vs m2

B0 = 0H aus Gl. (27) 1,2 1,256 10 -6

Vs m2 Vs A  500 Am m

1910

d.h. bei Ausfüllung des Spuleninneren mit dem Eisenring ergibt sich bei 1,2 T eine 1910mal so große Flussdichte wie bei leerer Spule.

1 Grundlagen

G 19

1.5.9 Magnetische Zugkraft Die Zug- bzw. Haltekraft F eines Magnetpols ist um so höher, je stärker die magnetische Flussdichte B im Luftspalt und je größer der Polquerschnitt A ist: Magnetische Zugkraft F 0 1 F B 2 A Ws Vs 2 0 N m Am

B Vs m2

A T m2

(29)

Induktionsregel Ändert sich in einer Spule der Magnetfluss , dann wird in ihr während der Dauer der Flussänderung eine elektrische Spannung induziert. Die Größe der induzierten Spannung Ug ist proportional der Spulenwindungszahl N und der Änderungsgeschwindigkeit  /t des Magnetflusses:

t Ug ∆ V Vs s ∆t (Induktionsgesetz bei Flussänderung)

U g =−N

Flussdichte B

(30)

Bild 35. Zugkraft eines Magnetpols ■ Beispiel: Welche Tragkraft entwickelt der skizzierte Lasthebemagnet von 1 m Außendurchmesser, wenn seine Pole je 1 000 cm2 Querschnitt haben und im Luftspalt zwischen Magnet und Block eine Flussdichte von 1,2 T herrscht?

Magnetkörper (Gussstahl)

Bild 37. Induzierung einer Spannung durch Relativbewegung zwischen Magnet und Spule  = end – anfang Magnetflussänderung; t zur Magnetflussänderung  gehörende Zeitspanne. ■ Beispiel: Ein Magnet wird in 0,5 s aus einer Spule mit 200 Windungen herausgezogen. Er induziert dabei eine mittlere Spannung von 80 mV. Wie groß ist der Fluss des Magneten? Lösung:

Bild 36. Runder Lasthebemagnet Lösung:

F= F=

1 2 µ0

B2 A

2

2

2

A = 2 Apol = 2  1 000 cm = 2 000 cm = 0,2 m

1

⋅1, 22

V 2s 2 Ws ⋅0,2 m 2 = 114650 = 114650 N m4 m

Vs Am Das entspricht einer Tragfähigkeit von 11,5 t bei 1 m Außendurchmesser. 2 ⋅1, 256⋅10−6

end −anfang ∆ =−N ∆t ∆t = 0 weil, Magnet draußen = weil, Magnet drinnen

Ug = −N

1.6 Induktion und Kraftwirkung im Magnetfeld 1.6.1 Induktion durch Bewegung, Induktionsgesetz Bewegt man einen Magneten in eine Spule hinein oder heraus, dann beobachtet man am Spannungsmesser während der Dauer der Relativbewegung zwischen Magnet und Spule eine Spannung Ug. Diese ist um so höher, je stärker der Magnet und je rascher die Bewegung ist. Bei „heraus“ ist die Polarität von Ug umgekehrt wie bei „hinein“ (Bild 37).

end

anfang t = t

Ug = −N

=

− t

Ug t N

=

80⋅10−3 V⋅0,5 s = 0, 2⋅10−3 Vs 200

d.h. der Magnet ist so stark, dass er beim Herausziehen in 1 s in jeder einzelnen Windung der Spule eine Spannung von 0,2 mV während dieser Sekunde induziert (Einheit „Volt Sekunde“ des Magnetflusses!). Angewendet wird die Induktion durch Bewegung beim Generator. Bei diesem wird eine Spule im Magnetfeld oder ein Magnet in einer Spule so gedreht, dass sich der Magnetfluss in der Spule ändert (siehe 1.8.1).

1.6.2 Gegenseitige Induktion Zwei Spulen sind elektrisch voneinander isoliert, jedoch magnetisch miteinander gekoppelt, d. h. das Magnetfeld, das die stromdurchflossene Spule (1) erzeugt, durchsetzt auch die andere (2). Der gemeinsame Eisenkern ergibt eine besonders feste magneti-

G 20 sche Kopplung. Lässt man den Strom I in Spule 1 durch Stellen am Widerstand R zu- oder abnehmen, ändert sich der Fluss in gleicher Weise. Da auch Spule 2 durchsetzt, induziert die Flussänderung in ihr die Spannung Ug, deren Polarität verschieden ist je nach Zu- oder Abnahme von (Wechselspannung!). Angewendet wird die gegenseitige Induktion z.B. beim Transformator, der zum Umspannen von Wechselspannungen benutzt wird (siehe 4).

Bild 38. Gegenseitige Induktion 1.6.3 Selbstinduktion, Induktivität Beim Einschalten der Spannung an einer Spule erzeugt der Strom I in ihr einen Magnetfluss, der vom Wert null auf ansteigt. Die dadurch bedingte Flussänderung induziert in der Spule eine Spannung Ug, die der angelegten Spannung U entgegengerichtet ist (Gegeneinanderschaltung, siehe 1.1.6). I und steigen verhältnismäßig langsam an, weil im ersten Augenblick Ug = U und daher I = (U – Ug) / Rspule = 0 ist. I und steigen so langsam an, dass Ug = – N /t im ersten Augenblick nach dem Einschalten nicht größer als U wird. Je mehr sich I und ihren Endwerten nähern, desto kleiner wird ihre Änderungsgeschwindigkeit und die davon abhängige Selbstinduktionsspannung Ug. Wenn I und ihren Endwert praktisch erreicht haben, ändern sie sich nicht mehr, es wird Ug = 0 und I = U/Rspule. Beim Ausschalten gehen I und sehr rasch auf null,  / t ist dabei sehr groß und induziert kurzzeitig eine sehr hohe Abschaltspannung Ug. Diese kann so hohe Werte annehmen, dass die Spulenisolation durchschlägt, besonders, wenn die Spule auf einem dicken geblechten Eisenkern sitzt und viele Windungen hat. Als Induktivität L bezeichnet man die Fähigkeit einer Spule, auf Stromänderungen mit Selbstinduktionsspannung Ug zu reagieren. Je höher Ug bei gegebener Stromänderungsgeschwindigkeit  I / t ist, desto größer ist L. Bei Stromänderungen gilt:

G Elektrotechnik Ug

∆I U g =−L ∆t

L

I

t

Vs H A s A (Induktionsgesetz bei Stromänderung)

V

(31)

I = Iend – Ianfang Stromänderung; t zur Stromänderung I gehörende Zeit.

Bild 39. Ein- und Ausschaltung einer Selbstinduktionsspule Die Größe der Induktivität L lässt sich aus der Windungszahl N der Spule und dem magnetischen Widerstand Rm (siehe 1.5.7) bzw. dem magnetischen Leitwert  = 1/ Rm ihres Feldlinienweges ermitteln: N2 Rm

L

N Rm 

L

N 2

Vs A

H

1

A Vs Vs A

(32)

Die Einheit der Induktivität L ist das Henry (H): Vs 1H 1 A ■ Beispiel: Ein aus Blechen bestehender ringförmiger Eisenkern (vgl. Bilder 32. und 33.) hat 100 mm mittleren Durchmesser und 8 cm2 Eisenquerschnitt (Material: Dyn. Bl. I). Er trägt eine Spule von 2 200 Windungen und 14  Widerstand, die an einer Spannung von 1 V liegt. a) Wie groß ist die Induktivität L der Spule, wenn die Flussdichte im Eisenkern 1,2 T beträgt? b) Wie groß wird die Selbstinduktionsspannung beim Abschalten, wenn der Strom in 1/100 s auf null absinkt? Lösung:

a) L 

N2 Rm

L

0r 

Rm 

l

A



l

0r A

aus (25) und (26)

N 2 0 r  A l B0 H



B B aus (27) und (28)  B0 H

1 Grundlagen

G 21

A für B = 1,2 T m aus der Magnetisierungskurve Bild 34. Vs 1,2 10 6 2 Vs m 0r 2400 10  6 A Am 500 m Vs  8  10 4 m 2 2 200 2  2 400  10 6 Am L 0,314 m Induktivität der Spule

darin H = 500

b) U g =−L

∆I ∆t

U g =−29, 6

I = Iend – Ianfang

Gegenfluss!

29,6 H beträgt die

I anfang =

U R

=

1V 14 Ω

Ianfang = 0,0715 A I = 0 – 0,0715 A = – 0,715 A Vs −0,0715 A ⋅ = 212 V Abschaltspannung A 0,01 s

Angewendet wird die hohe Abschaltspannung einer Selbstinduktionsspule z.B. bei der Kraftfahrzeugzündung (Zündspule). Beim Öffnen des Unterbrecherkontakts entsteht eine Zündspannung von etwa 15 000 V. Bei Wechselstrom wirkt die Selbstinduktionsspule als „Drosselspule“. Der langsame Stromanstieg bewirkt, dass der Strom I wegen des raschen Wechselns der Polarität nicht auf seinen Endwert ansteigen kann. I bleibt daher stets unter dem Wert U / Rspule, d.h. die Spule hat bei Wechselspannung scheinbar einen höheren Widerstand als bei Gleichspannung. Sie wirkt auf den Wechselstrom „drosselnd“ (siehe 1.8.5). 1.6.4 Induktionsstrom, Lenz’sche Regel Bewegt man einen Magneten in einer kurzgeschlossenen (oder mit einem Verbraucher belasteten) Spule, dann treibt die induzierte Spannung einen Strom I (Induktionsstrom). Dieser erzeugt ebenfalls ein Magnetfeld, den Spulenfluss sp. Beim Hineinbewegen (Bild 40a) steigt der Magnetfluss in der Spule durch das Eindringen von m an. Der vom Induktionsstrom erzeugte Spulenfluss sp ist ein Gegenfluss, der entgegengesetzt zum eindringenden Fluss m zeigt. Der Gegenfluss versucht die Induktionsursache, das Ansteigen des Magnetflusses zu behindern. Beim Herausbewegen (Bild 40b) geht der Magnetfluss in der Spule durch das Herausnehmen von m zurück. Die Polarität der induzierten Spannung und damit die Richtung des Induktionsstromes I und des Spulenflusses sp kehren sich um. sp wird dadurch zum Mitfluss, der ebenso zeigt wie der herausbewegte Fluss m. Der Mitfluss versucht die Induktionsursache, den Rückgang des Magnetflusses, zu behindern.

Mitfluss!

Bild 40. Induktionsstrom bei Induktion durch Bewegung a) beim Ansteigen b) beim Rückgang des Magnetflusses Behinderungsregel (Lenz’sche Regel) Induzierte Größen versuchen ihre Ursache, d. h. den Flussanstieg bzw. -rückgang, zu behindern. Die Behinderungsregel gilt wegen des Energieprinzips: bei Unterstützung statt Behinderung würde Energie aus dem Nichts entstehen. Bei gegenseitiger Induktion nach Bild 38 würde bei kurzgeschlossener Spule 2 von der induzierten Spannung Ug ebenfalls ein Induktionsstrom I getrieben, der den Flussanstieg bzw. -rückgang durch Bildung eines Gegen- bzw. Mitflusses behindern würde. Als Wirbelstrom bezeichnet man einen Induktionsstrom, der durch Magnetflussänderung in einer geschlossenen Metallmasse entsteht. Wenn z.B. eine von Wechselstrom durchflossene Wicklung (Spule 1) einen massiven Eisenkern magnetisiert, dann induziert die dauernde Änderung des Magnetflusses ~ in dem als kurzgeschlossene Spule 2 wirkenden Eisenkern einen starken Wirbelstrom Ii , der das Eisen erwärmt und somit Verluste hervorruft. Durch Zusammensetzen des Kerns aus einzelnen durch Papier oder Lack elektrisch voneinander isolierten Blechen (Bild 41) wird die Wirbelstrombahn unterbrochen und die Wirbelstromverlustleistung auf etwa 1/N 2 herabgesetzt (N Blechanzahl). Genormte Blechstärken sind 1,0; 0,75; 0,5 und 0,35 mm. Eine weitere Herabsetzung der Wirbelströme in Eisen wird durch Legierung mit Silicium (Si) erreicht (Dyn. Bl. II ... IV).

Bild 41. Wirbelstrom in einem massiven Eisenkern

G 22 Durch Si wird außerdem das dauernde Umklappen der Molekularmagnete erleichtert, das bei Wechselstrom ebenfalls Verluste und Erwärmung hervorruft (Gefügereibung, siehe 1.5.2). Angewendet wird der Wirbelstrom z.B. bei der induktiven Erwärmung (Induktionsofen). Das zu erwärmende Metall wird in ein Magnetfeld von höherer Frequenz (z.B. 1 000 kHz) gebracht, das in ihm starke Wirbelströme induziert und das Metall erhitzt. Bei kurzer Aufheizdauer und sofortiger Abschreckung ist Oberflächenhärtung möglich, weil der Wirbelstrom praktisch nur in der Oberflächenzone fließt und diese zuerst erwärmt (Stromverdrängungseffekt).

G Elektrotechnik Ug Ug = B l v

V

B Vs m2

l

v

m

m s

(33)

(Induktionsgesetz beim ,,Feldlinienschneiden“) l wirksame Länge des Leiters im Magnetfeld; v Relativgeschwindigkeit zwischen Feld und Leiter. ■ Beispiel: Ein Leiter befindet sich auf einer Länge von 60 cm in einem Magnetfeld von der Flussdichte 1,2 T. Er wird mit einer Geschwindigkeit von 5 m/s rechtwinklig zur Feldrichtung bewegt. Welche Spannung entsteht dabei im Leiter? Lösung:

1.6.5 Spannungserzeugung im geraden Leiter Regel: Kraftwirkung zwischen Magnetfeld und bewegter elektrischer Ladung Auf jede elektrische Ladung (z.B. Elektron), die quer zum Magnetfeld bewegt wird, übt das Feld eine Kraft aus, die rechtwinklig auf der Bewegungs- und der Magnetfeldrichtung steht. Bewegt man einen geraden Leiter durch ein Magnetfeld von der Flussdichte B mit der Geschwindigkeit v, tritt zwischen seinen Enden eine elektrische Spannung Ug auf. Grund: Die im Leiter vorhandenen Leitungselektronen nehmen an der Bewegung des Leiters teil, wobei auf sie vom Magnetfeld eine Kraft F rechtwinklig zur Bewegungs- und Magnetfeldrichtung, also in Längsrichtung des Leiters, ausgeübt wird. Da die Elektronen im Leiter frei verschiebbar sind, wird die Elektronendichte an dem einen Leiterende größer, am anderen kleiner: Spannung Ug .

Bild 42. Spannungserzeugung im geraden Leiter Regel: „Feldlinienschneiden“ „Schneidet“ ein Leiter magnetische „Feldlinien“, dann wird in ihm eine Spannung induziert. „Feldlinienschneiden“ bedeutet: Bewegung durchs Magnetfeld rechtwinklig zu dessen Linienrichtung.

U g = B l v = 1, 2

Vs m Spannung zwischen ⋅0,6 m⋅5 = 3,6 V den Leiterenden. s m2

Angewendet wird das Induktionsgesetz in dieser Form z.B. beim Gleichstromgenerator, bei dem die Ankerdrähte von der Länge l mit der Geschwindigkeit v im Magnetfeld B gedreht werden, wobei die Spannung Ug induziert wird (siehe 2.5.1).

1.6.6 Kraft auf geraden Leiter im Magnetfeld, Feldlinienballung Bewegt man die Elektronen in einem ruhenden Leiter durch ein Magnetfeld, indem man einen Strom I hindurchschickt, dann übt das Feld auf jedes bewegte Elektron eine Kraft rechtwinklig zur Bewegungs- und Feldrichtung aus. Da die Elektronen den Leiter nicht quer zu dessen Längsachse verlassen können, drücken sie alle zusammen auf die Leiterwand mit der Gesamtkraft F. Kraft F auf stromdurchflossenem geraden Leiter im Magnetfeld: F F = BlI

N

B Vs m2

l

I

m

A

(34)

Bild 43. Kraft auf stromdurchflossenem geraden Leiter im Magnetfeld l wirksame Länge des Leiters im Magnetfeld; F Kraft zwischen Leiter und Feld. ■ Beispiel: Ein Leiter befindet sich auf einer Länge von 60 cm in einem Magnetfeld von der Flussdichte 1,2 T. Er wird vom Strom 25 A durchflossen. Wie groß ist die Kraftwirkung zwischen Feld und Leiter?

1 Grundlagen

G 23

Lösung:

F = B l I = 1,2

Vs

 0,6 m  25 A = 18 N

m2 Angewendet wird diese Kraftwirkungsgleichung z.B. beim Gleichstrommotor, bei dem die Kraft F auf die vom Strom I durchflossenen Ankerdrähte von der Länge l im Magnetfeld B ausgeübt wird. Aus Kraft F und Hebelarm (Wirkabstand) r ergibt sich das Drehmoment M = Fr des Motors (siehe 2.6.1).

Die Richtung der Kraft ergibt sich aus der Strom- und Magnetfeldrichtung nach der Ballungsregel Der stromdurchflossene Leiter sucht der Feldlinienballung auszuweichen.

stört, indem sie Elektronen von der einen in die andere Platte drückt. Der Ladestrom hört auf, wenn die Kondensatorspannung U gleich der Quellenspannung Uq geworden ist. c) Im geladenen Zustand speichert der Kondensator elektrische Energie, weil sich der Elektronendruckunterschied U = Uq zwischen beiden Platten wegen der Isolation nicht ausgleichen kann. d) Die Entladung erfolgt z.B. über einen Kurzschluss. Die Überschusselektronen der Minusplatte strömen wieder zurück, bis beide Platten wieder gleiche Elektronendichte haben.

a)

Bild 44. Kraftrichtung aus Feldlinienballung a) Feld des Magneten allein b) Feld des Leiters allein c) Gesamtfeld mit Ballung Das Feld des Magneten (a) und das Feld des stromdurchflossenen Leiters (b) setzen sich zusammen zum resultierenden Gesamtfeld (c), das rechts vorn Leiter Feldlinienballung zeigt. Der Leiter sucht nach links auszuweichen. Das gleiche Ergebnis liefert die Rechtehandregel Hält man die rechte Hand so, dass die Magnetfeldlinien in ihre Innenfläche eintreten und der abgespreizte Daumen in Stromrichtung zeigt, dann geben die gestreckten Finger die Richtung der Kraft an.

1.7 Elektrisches Feld 1.7.1 Kondensator, Kapazität Ein Kondensator besteht im einfachsten Fall aus zwei voneinander isolierten Metallplatten, die einander gegenüberstehen (Bild 45). a) Im ungeladenen Zustand haben beide Platten gleiche Elektronendichte. b) Die Aufladung erfolgt durch eine Batterie, die das elektrische Gleichgewicht zwischen beiden Platten

b)

c) d) Bild 45. Kondensator bei Gleichspannung a) ungeladen b) Aufladung c) geladen d) Entladung Als Kapazität C eines Kondensators bezeichnet man den Quotienten aus der elektrischen Ladung Q und der elektrischen Spannung U:

C

Q U

It U

C As V

Q

U

I

F As

V

A

(35)

Q = I t ist die elektrische Ladung (= Elektrizitätsmenge), die von der einen in die andere Platte geschoben wird. Die Einheit der Kapazität C ist: 1

As V

= 1 Farad = 1 F.

■ Beispiel: Bei einem Kondensator fließt ein Ladestromstoß von 24 As, wenn eine Spannung von 6 V angelegt wird.

a) Welche Kapazität hat der Kondensator? b) Welche elektrische Energie speichert er dabei?

G 24

G Elektrotechnik

Die Einheit der elektrischen Ladung ist das Coulomb C; 1 C = 1 As.

Lösung:

Q 24⋅10−6As = 4⋅10−6 F = 4 µF Kapazität a) C = = U 6V b) W = Umittel I t

U weil die Spannung bei der Entladung vom Anfangs2 wert U auf null absinkt

Umittel =

W=

6 V  24  10–6 As = 72  10–6 Ws = 72 Ws gespeicherte 2

Die elektrische Flussdichte D lässt sich als „Anzahl der elektrischen Feldlinien je m2 Feldraumquerschnitt“ auffassen. Elektrische Flussdichte D =

Energie bei 6 V Spannung

Bei Parallelschaltung von Kondensatoren ist die Gesamtkapazität Cges gleich der Summe der Einzelkapazitäten: Cges = C1 + C2 + ... beliebig viele

D

 A

elektrischer Fluss  Fläche A

D As m2


3 mm.

I 86

I Maschinenelemente

9.5.5 Tellerfedern

9.5.5.1 Beschreibung, Bauarten, Reihen, Gruppen

Normen DIN 2092 DIN 2093

Tellerfedern sind kegelschalenförmig geprägte, ungeschlitzte (meist verwendet) oder geschlitzte Ringscheiben aus Federstahl. Sie werden in Achsrichtung federnd durch die Federkraft F (Stülpkraft) belastet und dadurch biegebeansprucht. Sie werden dort eingesetzt, wo kleine bis sehr große Kräfte, elastisch bei geringem Raumbedarf, auf kleinen Federwegen Formänderungsarbeit aufzunehmen haben, z.B. zur Stoßdämpfung bei Puffern, in Presswerkzeugen und Vorrichtungen, zum Spielausgleich bei Kugellagern. Wegen des kleinen Federwegs des Einzeltellers werden sie meist zu Säulen geschichtet. Zur Berechnung, Gestaltung und Verwendung der Tellerfedern sind neben den Angaben der Hersteller die Vorschriften der DIN 2092 und DIN 2093 zu berücksichtigen. Man unterscheidet drei Reihen (A, B, C) und drei Gruppen (1, 2, 3):

Tellerfedern, Berechnung Tellerfedern, Maße, Qualitätsforderungen

Formelzeichen und Einheiten Außen-, Innendurchmesser des Federtellers mm Durchmesser des StülpmittelpunktD0 kreises E N/mm2 Elastizitätsmodul (für Federstahl E = 206 000 N/mm2) F N Federkraft des Einzeltellers mm Länge von Federsäule oder FederpaL0 ket, unbelastet mm berechnete Länge von Federsäule LC oder Federpaket, platt gedrückt N Anzahl der Lastspiele bis zum Bruch R N/mm Federrate W Nmm Federungsarbeit lichte Tellerhöhe des unbelasteten h0 = l0 - t, h'0 mm Einzeltellers (Rechengröße = Federweg bis zur Plananlage) bei Tellerfedern ohne Auflagefläche, mit Auflagefläche s (s1, s2, s3... ) mm Federweg des Einzeltellers (bei F1, F2, F3 ...) Da, Di

mm

s0,75

mm

Federweg des Einzeltellers beim Federweg s = 0,75 h0

t, t'

mm

  ( I,  II,  III,  OM) h

Tellerdicke, reduzierte Dicke bei Tellern mit Auflagefläche (Gruppe 3) Poisson-Zahl (  = 0,3 für Stahl)

N/mm2 rechnerische Normalspannung für die Querschnitte nach Bild 11

N/mm2 Hubspannung bei Dauerschwingbeanspruchung der Feder  0,  u N/mm2 rechnerische Oberspannung, Unterspannung bei Schwingbeanspruchung  O,  U N/mm2 Ober-, Unterspannung der Dauerschwingfestigkeit  H =  O –  U N/mm2 Dauerhubfestigkeit

a)

b)

Bild 11. Maße der Einzeltellerfeder a) ohne Auflagefläche, b) mit Auflagefläche und Lage der Berechnungspunkte (I, II, II, IV, OM), I und II sind Punkte der Krafteinleitungskreise, S ist der sog. Stülpmittelpunkt, ein Punkt des Stülpmittelpunktkreises mit dem Durchmesser D0 = (De – Di) / (ln De / Di).

Reihe A für kaltgeformte, harte (steife) Federn, Reihe B für kaltgeformte, mittelharte und Reihe C für warmgeformte, weiche Federn. Für jede Reihe gibt es drei Fertigungsgruppen: Gruppe 1 Gruppe 2 Gruppe 3

mit Tellerdicke t < 1,25 mm, kaltgeformt, mit t = 1,25 mm bis 6 mm, kaltgeformt, De und Di spanabhebend bearbeitet (Drehen), mit t > 6 mm bis 14 mm, kalt- oder warmgeformt, allseits spanabhebend bearbeitet.

Tellerfedern der Gruppe 3 über 6 mm Dicke werden spanabhebend mit kleinen Auflageflächen an den Stellen I und III (Bild 11) gefertigt. Die dadurch beim Stülpvorgang entstehende Verkürzung des Hebelarms der Krafteinleitung wird durch Verringern der Tellerdicke auf t'  0,94 t ausgeglichen, sodass die Federkennlinie annähernd den Verlauf der Fertigungsgruppe 2 hat. Die Federkraft soll bei dem Federweg s = 0,75 h0 die gleiche wie bei der nicht reduzierten Feder sein. Die Teller werden gestanzt, kalt- oder warmgeformt, gedreht oder feingeschnitten, die Kanten sind gerundet. Die Werkstoffe für Tellerfedern müssen hohe Zugfestigkeit und Elastizitätsgrenze bei ausreichendem plastischen Formänderungsvermögen aufweisen (Kaltverformung). Als Standardwerkstoffe gelten die Stähle C60, C75, Ck67, Ck75, Ck85, 50CrV4 für besondere Ansprüche, z.B. erhöhte Korrosionsbelastung X12CrNi17 7, hohe Betriebstemperaturen X22CrMoV12 1. Bei Nichteisenmetallen wie Kupferlegierungen ist für die Festigkeitsberechnungen zu beachten, dass der Elastizitätsmodul E erheblich kleiner ist als der von Stahl (50 – 60 %).

9 Federn

I 87

R R

R a)

Vorschriften zu Werkstoffen, Ausführungen, Wärmeund Oberflächenbehandlung sowie zulässigen Spannungen bei ruhender oder schwingender Beanspruchung enthält DIN 2093.

R

R

9.5.5.2 Kennlinien für Einzelfedern und Federkombinationen

b) Bild 12. Querschnitt (schematisch) einer Tellerfeder a) ohne Auflagefläche, b) mit Auflagefläche

Tellerfedern aus üblichem Federstahl werden zur Erhöhung der Zähigkeit bei gleichzeitig optimaler Dauerschwingfestigkeit vergütet. Nach dieser Wärmebehandlung werden die Federteller mindestens einmal platt gedrückt (plastisch verformt). Bei diesem Vorsetzen verringert sich die Bauhöhe und an der Oberseite entstehen Zugeigenspannungen, die bei Belastung der Feder den Lastspannungen entgegenwirken und damit Spannungsspitzen abbauen. Für Tellerfedern mit schwingender Belastung hat sich die Oberflächenverfestigung durch Kugelstrahlen bewährt Dabei werden an ihrer Oberfläche Druckspannungen aufgebaut, die den Zugeigenspannungen beim Vorsetzen entgegenwirken und sie teilweise wieder abbauen, sodass sich kugelgestrahlte Federn etwas stärker setzen. Daher wird bei statischen Federbelastungen eine durch Kugelstrahlen hervorgerufene Oberflächenverfestigung nicht empfohlen. Korrosionsschutz wird vom Hersteller in verschiedenen Arten angeboten, z.B. durch Phosphatieren, Brünieren oder metallische Überzüge. Angewandt werden galvanische Verfahren, mechanische Metallbeschichtung, Metallspritzen, galvanische Vernickelung, Dacromet, eine anorganische, metallisch silbergraue Beschichtung aus Zink- und Aluminiumlamellen in einer Chromatverbindung. Die Bezeichnung einer Tellerfeder enthält neben der Angabe des DIN-Blattes den Buchstaben für die Reihe (A, B, C), den Außendurchmesser De und falls gewünscht, einen Buchstaben für das Herstellverfahren (G für gedreht oder F für feingeschnitten). Beispiel: Tellerfeder DIN 2093-A45G. Für das Verspannen von Kugellagern der üblichen Baureihen EL, R, 62 und 63 werden Tellerfedern mit der Bezeichnung „K“ (SCHNORR) für spielfreien Lauf und Geräuschminderung eingesetzt. Gleiches gilt für die Tellerfedern als Schraubensicherung.

Federkennlinien zeigen den Verlauf der Federkraft F in Abhängigkeit vom Federweg s. Die Grundlagen zum Verständnis von Federkennlinien stehen in Kap. 9.2. Kenngrößen an Federn (Federkennlinie, Federrate, Steifigkeit, Nachgiebigkeit und Federungsarbeit). Diese Größen lassen sich bei der Einzeltellerfeder durch Wahl der Tellerhöhe h0 und Tellerdicke t erheblich verändern, wie Bild 13 zeigt.

2,2 2,0 1,8 1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4

Bild 13. Federkennlinien von Einzeltellern mit verschiedenen Verhältnissen h0 / t = lichte Tellerhöhe h0 / Tellerdicke t, gestrichelte Ordinate gilt für Werte nach DIN 2093 (siehe auch Tabelle 2).

Das Diagramm zeigt in den meisten Fällen von h0 / t Kennlinien, die nicht gerade, sondern weniger oder mehr degressiv gekrümmt sind. Die Federrate R, siehe Gleichung (57), wird mit zunehmender Federkraft (zunehmender Einfederung) kleiner. Nur bei sehr kleinen Verhältnissen h0 / t < 0,6 ergeben sich fast gerade ansteigende Kennlinien, in bestimmten Bereichen des Federwegs s auch annähernd waagerechte und abfallende Kennlinien. Daher können Einzeltellerfedern entwickelt werden, bei denen die Federkraft über einen längeren Federweg konstant bleibt. Bei Federwegen s > 0,75 h0 = s0,75 verschieben sich die Krafteinleitungspunkte an den Tellern so, dass sich kleinere Hebelarme für die elastische Verformung beim Stülpvorgang einstellen.

I 88

I Maschinenelemente ven, waagerechten oder progressiven Kennlinienverlauf, z.B. ergeben sich stark oder schwach und längs des Federwegs unterschiedlich ansteigende Federkennlinien durch Schichtung unterschiedlich dicker Teller oder durch Pakete aus gleich dicken Tellern verschiedener Anzahl.

3 2 1

Federkraft F

Entsprechend steigt die Federkraft stärker als berechnet an. Deshalb werden in DIN 2093 die kennzeichnenden Größen wie Federkraft F0,75, Federweg s0,75 und die entsprechenden Spannungen nur für den Federweg s  0,75 h0 angegeben (siehe Tabelle 2). Häufig reichen Einzeltellerfedern für die vorgesehenen Beanspruchungen nicht aus. Dann schichtet man die Einzelteller zu Federpaketen mit mehreren (n = 2 bis 3) gleichsinnig geschichteten Einzeltellern oder als Federsäule, einer Kombination aus i < 30 wechselsinnig aneinander gereihten Einzeltellern oder i < 20 Federpaketen (z.B. n = 2, i = 4). Federsäulen werden durch oberflächengehärtete, geschliffene Führungsbolzen oder -hülsen gehalten. Belastet ändern sich Außen-und Innendurchmesser der Teller. Beim Einbau sind die Vergrößerung De des Außenund die Verkleinerung Di des Innendurchmessers zu berücksichtigen. Bei dynamischer Belastung sollen die Teller mit einem Federweg sV = (0,15 – 0,2) h0 vorgespannt werden, um beim Einfedern Zug-/DruckWechselspannungen und damit Anrisse im Bereich des Querschnitts I zu vermeiden. In Bild 14 sind mögliche Kombinationen von Einzeltellerfedern dargestellt, dazu (schematisiert) das jeweilige Federkraft-Federweg-Diagramm (F, s-Diagramm).

1

n=1

Federkraft F

b)

Federweg s

b)

n=2

2

3

Federweg s

Bild 15. Progressiver Kennlinienverlauf durch Schichtung f (SCHNORR)

Federweg s

Bild 14. Kombinationen geschichteter Tellerfedern a) Federpaket, b) Federsäule

Sind die Teller gleichsinnig geschichtet, spricht man auch hier von Parallelschaltung, bei gegensinnig geschichteten von Hintereinanderschaltung der Einzelteller. Es gelten dann die bereits in Kap. 9.2.4 hergeleiteten Gesetze für parallel und hintereinander geschaltete Federn. Die zwei Tellerfedern in Bild 14a sind parallel geschaltet, bei gleichem Federweg addieren sich die Federkräfte. Bei hintereinander geschalteten Einzelfedern dagegen addieren sich bei gleicher Federkraft die Federwege. Über die resultierende Federrate c0 und Federnachgiebigkeit 0 siehe Kap. 9.2.4. Wegen der Reibung zwischen den Tellern bei gleichsinnig geschalteten Einzelfedern wird ein Teil der Federungsarbeit in Wärme umgesetzt (3 % – 6 %). Das Federpaket hat damit auch größere Dämpfung. Bei Berechnungen kann dann die Reibung nicht mehr vernachlässigt werden (siehe DIN 2092, Abschnitt 7.4). Durch Kombinieren von Schichtung, Tellerdicke t oder/und Telleranzahl n erhält man einen degressi-

Als Beispiel zeigt Bild 15a schematisch den Kennlinienverlauf bei Hintereinanderschaltung einer Einfach-, Zweifach- und Dreifachschichtung. Dabei werden bei Belastung die Teller nacheinander platt gedrückt. Die resultierende Federkennlinie (Ersatzkennlinie) ergibt sich aus der Addition der Einzelkennlinien (siehe auch 9.2.4). Zum gleichen Ergebnis führt die Anordnung als Säule nach Bild 15b mit Tellern unterschiedlicher Dicke. Eine Überbeanspruchung der dünneren Federn kann konstruktiv durch Distanzhülsen oder Ringe zur Hubbegrenzung vermieden werden. 9.5.5.3 Berechnungen a) Federkraft F, Federweg s und Länge L bei Federpaketen und Federsäulen Die Berechnung für den federnd belasteten Einzelteller ist in DIN 2092 vorgeschrieben. DIN 2093 enthält dazu unter anderem drei Tabellen mit Abmessungen, Federkräften, Federwegen und den entsprechenden Spannungen für die Reihen A, B, C und die Gruppen 1, 2, 3. Die wichtigste Größen daraus sind hier in Tabelle 2 zusammengefasst. Für die Kombinationen von Einzeltellern zu Federpaketen und Federsäulen gelten bei angenommen reibungsfreiem Verhalten die folgenden Gleichungen: Federpaket mit n Anzahl der gleichsinnig geschichteten Einzelteller:

9 Federn

I 89

Gesamtfederkraft Fges = n F Gesamtfederweg sges = s Pakethöhe (unbelastet) L0 = l0 + (n – 1) t Pakethöhe (belastet) L = L0 – sges

(34) (35) (36) (37)

Federsäule mit Anzahl i der wechselsinnig aneinander gereihten Pakete und je n Einzelteller: Gesamtfederkraft Lges = n F (38) Gesamtfederweg sges = i s (39) Säulenlänge L0 = i [l0 + (n – 1) t] (40) (unbelastet) = i (h0 + n t) (41) Säulenlänge L = L0 – sges (42) (belastet) = i (h0 + n t – s) (43) F, s, l0, t, ho siehe Tabelle 2.

b) Berechnungsgleichungen für die Einzeltellerfeder Die hier verwendeten Berechnungsgleichungen aus DIN 2092 werden für Größen gebraucht, die nicht in Tabelle 2 oder in DIN 2093 enthalten sind (Zwischengrößen), zur Bestimmung der Dauerschwinghaltbarkeit oder bei der Berechnung nicht genormter Tellerfedern. Die diesbezüglichen Veröffentlichungen werden in DIN 2092 genannt, angeführt von den 1936 erschienenen Arbeiten der beiden Amerikaner J.O. Almen und A. Lászió.

De Durchmesserverhältnis Di

 δ −1 2   1  δ  K1 = ⋅ 2 π δ +1 − δ −1 ln δ

δ −1 6 ln δ −1 K2 = ⋅ π ln δ 3 δ −1 K3 = ⋅ π ln δ

K4 = −

 C 2 C1 +  1  + C2 2  2

(44)

F=

t4 4E ⋅ ⋅ K 42 1− µ 2 K1De2

(50)

Federkraft FC bei platt gedrückter Tellerfeder (s = h0): 4E t 3h0 ⋅ ⋅ K 42 (51) 2 1− µ K1De2 Für Federstahl kann mit dem Faktor 4E = 905 495 N/mm2 gerechnet werden (Elastizi1− µ 2

FC = F h0 =

tätsmodul E = 206 000 N/mm2 und Poisson-Zahl  = 0,3). Rechnerische Spannungen (negative Beträge sind Druckspannungen):

  h s  ·  K 4 ⋅ K 2 0 − + K3 ≤ σ zul 2t     t  

(52)

(53)

4E t2 s ⋅ ⋅K4 ⋅ ⋅ 2 2 t 1− µ K1De

  h s  ·  K 4 ⋅ K 2 0 − − K3 ≤ σ zul 2t     t  

III = −

(54)

4E t2 1 s ⋅ ⋅K4 ⋅ ⋅ ⋅ 2 δ t 1− µ K1De2

  h s  ·  K 4 ⋅( K 2 − 2 K3 )⋅ 0 − − K3 ≤ σ zul (55) 2t     t  

IV = − (48)

4E t2 s 3 ⋅ ⋅ K 4 ⋅ ⋅ ≤ σ zul 2 t π 1− µ K1De2

4E t2 s ⋅ ⋅K4 ⋅ ⋅ t 1− µ 2 K1De2

(46)

(47)

s 2 h0 s  h0 s    K 4  −  − +1 t  t t  t t  2   

Beachte: Für Tellerfedern der Gruppe 3 mit Auflagefläche und reduzierter Dicke t' ist in allen Gleichungen t durch t' und h0 durch h'0 = l0 – t' zu ersetzen.

II = − (45)

(49)

Federkraft F bei beliebigem Federweg s des Einzeltellers (s1, s2, s3 ...):

σ I =−

K4 = 1 bei Federteller ohne Auflagefläche  t ' 2   t C1 =  1 l0 t ' 3  5 l0 t ' 3   ⋅ − +  ⋅ − +  4 t t 4  8 t t 8

2  C1  5  l0  ⋅ −1 +1   32  t   t ' 3     t 

0M = −

Kennwerte K:

=

C2 =

4E 1 s t2 ⋅ ⋅K4 ⋅ ⋅ ⋅ 2 δ t 1− µ K1De2

  h s  ·  K 4 ⋅( K 2 − 2 K3 )⋅ 0 − + K3 ≤ σ zul (56) 2t     t  

I 90

I Maschinenelemente

Federrate R:

1400

4E t3 ⋅ ⋅ K 42 ⋅ R= 2 1− µ K1De2

1200

2    h 2   h s 3 s   ·  K 42 ⋅ 0  − 3⋅ 0 ⋅ +   +1  t t 2 t    t      

(57)

Federungsarbeit W: W=

1000 800 600

2

 s h t5 s 2E ⋅ ⋅ K 42   K 42 ⋅ 0 −  +1 2 2 2t   t   t   1− µ K1De  (58) 2

c) Festigkeitsnachweis bei statischer Belastung Für diese und die so genannte quasistatische Belastung bei N < 104 Lastspielen wählt man die Tellerfeder aus Tabelle 2 so aus, dass die vorhandene größte Federkraft F kleiner ist als die in der Tabelle angegebene zulässige Federkraft F0,75 bei dem Federweg s0,75 = 0,75 h0. Die im Querschnitt I auftretende Druckspannung  I soll 2 400 N/mm2 bei dem Federweg s = 0,75 h0 = s0,75 nicht überschreiten.

400 200

00 200 400 600 800 1000 1200 1400 Bild 17. Dauer- und Zeitfestigkeitsdiagramm der Tellerfedergruppe 2 mit 1,25 mm ≤ t ≤ 6 mm

1400 1200

1400

1000

1200

800

1000

600

800

400

600 400 200

200 Gruppe 1 t 1,25 mm

00 200 400 600 800 1000 1200 1400 Bild 16. Dauer- und Zeitfestigkeitsdiagramm der Tellerfedergruppe 1 mit t < 1,25 mm d) Nachweis bei schwingender Belastung (Dauerfestigkeit) Grundlage für den Nachweis der Dauer- oder Zeitfestigkeit (siehe Berechnungsbeispiel) sind die in den Bildern 16 bis 18 dargestellten Dauerfestigkeitsdiagramme (Goodman-Diagramme). Zur Auswertung werden die vorhandenen rechnerischen oberen und unteren Zugspannungen IIo IIu IIIo IIIu in den Querschnitten II und III mit den Gleichungen (54) und (55) ermittelt. Diese Werte müssen kleiner sein als die Spannungshubgrenzen in den Dauerfestigkeitsdiagrammen der Bilder 16 bis 18 (siehe Beispiel).

Gruppe 1 1,25 t 6 mm

Gruppe 1 6 t 16 mm

00 200 400 600 800 1000 1200 1400 Bild 18. Dauer- und Zeitfestigkeitsdiagramm der Tellerfedergruppe 3 mit 6 mm < t < 14 mm 9.5.5.4 Berechnungsbeispiel (Nachrechnung) einer Tellerfeder

Für eine dynamische Belastung mit oberer Federkraft F0 = 7 000 N und unterer Federkraft Fu = 4 000 N wurde gewählt: Tellerfeder DIN 2093 – A 50 mit den Werten aus Tabelle 2: Außendurchmesser De = 50 mm Tellerdicke t = 3 mm Federkraft F0,75 = 12 000 N Federweg s0,75 = 0,83 mm Innendurchmesser Di = 25,4 mm lichte Tellerhöhe h0 = 1,1 mm rechn. Druckspg. 0M = – 1 250 /mm2 größte rechn. Zugspg. II = 1 430 N/mm2 Länge l0 = 4,1 mm

9 Federn

I 91

Gesucht: a) maximaler Federweg s0 b) obere und untere rechnerische Spannung in den gefährdeten Querschnitten nach Bild 11 c) Schwing-Festigkeitsnachweis für N = 105 Lastspiele. Lösung: a) Mit dem Durchmesserverhältnis D 50 mm δ= e = = 1,9685 Di 25,4 mm

werden zuerst die Kennwerte K1, K2, K3, K4 mit den Gleichungen (44) bis (47) berechnet: K1 = 0,688; K2 = 1,213; K3 = 1,366; K4 = 1 (Teller ohne Auflagefläche). Für die bis zur Plananlage durchgedrückte Tellerfeder ist der Federweg sC gleich der lichten Höhe h0 am unbelasteten Einzelteller: sC = h0 = 1,1 mm. Damit kann die Federkraft FC für die platt gedrückte Tellerfeder nach (51) berechnet werden: FC = 15 640 N.

F

s0 = sC ⋅

Fo 7 000 N = 1,1 mm ⋅ = 0,492 mm FC 15 640 N

su = sC ⋅

Fu 4 000 N = 1,1 mm ⋅ = 0,281 mm FC 15 640 N

Zu annähernd gleichen Federwegbeträgen muss die Rechnung führen, wenn anstelle der berechneten Federkraft FC und dem Federweg sC die Federkraft F0,75 bei s0,75 nach Tabelle 2 eingesetzt wird: F 7 000 N = 0,484 mm s0 = s0,75 ⋅ o = 0,83 mm ⋅ 12 000 N F0,75

su = s0,75 ⋅

Die Rechnung ergibt den maximalen Federweg; s0 = 0,492 mm < s0,75 = 0,75 ho = 0,75 1,1 mm = 0,825 mm. b) Mit den berechneten Federwegen s0 , su lassen sich die Spannungen in den gefährdeten Querschnitten ermitteln. Die Prüfung im Querschnitt I ist nicht erforderlich, weil s0 = 0,492 mm < s0,75 = 0,75 ho= 0,75 1,1 mm = 0,825 mm ist. Die Rechnung für die Querschnitte II und III ergibt mit den Gleichungen (54) und (55) die Zugspannungen:

Fu

Fo

IIo IIu IIIo IIIu

s

su so Linearer Kennlinienverlauf

Mit den beiden Größen FC und sC lässt sich bei Annahme eines linearen Kennlinienverlaufs das Federdiagramm zeichnen. Das Diagramm zeigt die Proportion FC/F0 = sC/s0. Damit und mit der gegebenen oberen und unteren Federkraft F0 = 7 000 N und Fu = 4 000 N lassen sich die zugehörigen Federwege berechnen:

Fu 4 000 N = 0,83 mm ⋅ = 0,25 mm 12 000 N F0,75

= 794 N/mm2 = 435 N/mm2 = 710 N/mm2 = 418 N/mm2

c) Die im Schwingspiel auftretende Hubspannung hII im Querschnitt II beträgt hII = Iio – IIu = (794 – 435) N/mm2 = 359 N/mm2. Aus dem Dauerfestigkeitsdiagramm für Tellerfedern der Gruppe 2 kann mit der vorhandenen Unterspannung IIu = 435 N/mm2 die zulässige Oberspannung o zul = 1 160 N/mm2 abgelesen werden. Die Hubfestigkeit ist dann H = o zul – IIu = (1 160 – 435) N/mm2 = 725 N/mm2. Die vorhandene Hubspannung ist mit hII = 359 N/mm2 wesentlich kleiner als die Hubfestigkeit H = 725 N/mm2 der Tellerfeder; der Dauerfestigkeitsnachweis ist erbracht.

Tabelle 2. Original-SCHNORR 1) Tellerfedern (nach DIN 2093), erweitert De Außendurchmesser Di Innendurchmesser t Tellerdicke des Einzelltellers l0 Bauhöhe des unbelasteten Federtellers h0 = l0 – t Federweg bis zur Plananlage der Tellerfeder ohne Auflagefläche = lichte Höhe am unbelasteten Einzelteller F0,75 Federkraft am Einzelteller bei Federweg s0,75 = 0,75 ho

Reihe C B A C B A

De mm 8 8 8 10 10 10

Di mm 4,2 4,2 4,2 5,2 5,2 5,2

t (t’)1) mm 0,2 0,3 0,4 0,25 0,4 0,5

l0 mm 0,45 0,55 0,6 0,55 0,7 0,75

h0 mm 0,25 0,25 0,2 0,3 0,3 0,25

s0,75

Federweg am Einzelteller bei s = 0,75 ho

OM2), II3), III Rechnerische Spannung an der Stelle OM, II, 1) 2) 3) *)

ho/t 1,25 0,83 0,50 1,20 0,75 0,50

III (Bild 11) t' ist die verringerte Tellerdicke der Gruppe 3 (Grenzabmaße nach DIN 2093, Abschnitt 6.2). rechnerische Druckspannung am oberen Mantelpunkt OM (Bild 11). größte rechnerische Zugspannung an der Tellerunterseite, Werte gelten für die Stelle II, sonst für Stelle III (Bild 11). bei s = 0,75·h0 F0,75 s0,75 N mm 39 0,19 119 0,19 210 0,15 58 0,23 213 0,23 329 0,19

OM N/mm2 – 762 – 1140 – 1200 – 734 – 1170 – 1210

II*), III*) N/mm2 1040 1330 1220 980 1300 1240

bei s  1,0·h0 OM N/mm2 – 1000 – 1510 – 1610 – 957 – 1530 – 1600

I 92

Reihe C B A C B A C B A C B A C B A C B A C B A C B A C B A C B A C B A C B A C B A C B A C B A C B A C B A C

I Maschinenelemente

De mm 12,5 12,5 12,5 14 14 14 16 16 16 18 18 18 20 20 20 22,5 22,5 22,5 25 25 25 28 28 28 31,5 31,5 31,5 35,5 35,5 35,5 40 40 40 45 45 45 50 50 50 56 56 56 63 63 63 71 71 71 80 80 80 90

Di mm 6,2 6,2 6,2 7,2 7,2 7,2 8,2 8,2 8,2 9,2 9,2 9,2 10,2 10,2 10,2 11,2 11,2 11,2 12,2 12,2 12,2 14,2 14,2 14,2 16,3 16,3 16,3 18,3 18,3 18,3 20,4 20,4 20,4 22,4 22,4 22,4 25,4 25,4 25,4 28,5 28,5 28,5 31 31 31 36 36 36 41 41 41 46

t (t’)1) mm 0,35 0,5 0,7 0,35 0,5 0,8 0,4 0,6 0,9 0,45 0,7 1 0,5 0,8 1,1 0,6 0,8 1,25 0,7 0,9 1,5 0,8 1 1,5 0,8 1,25 1,75 0,9 1,25 2 1 1,5 2,25 1,25 1,75 2,5 1,25 2 3 1,5 2 3 1,8 2,5 3,5 2 2,5 4 2,25 3 5 2,5

l0 mm 0,8 0,85 1 0,8 0,9 1,1 0,9 1,05 1,25 1,05 1,2 1,4 1,15 1,35 1,55 1,4 1,45 1,75 1,6 1,6 2,05 1,8 1,8 2,15 1,85 2,15 2,45 2,05 2,25 2,8 2,3 2,65 3,15 2,85 3,05 3,5 2,85 3,4 4,1 3,45 3,6 4,3 4,15 4,25 4,9 4,6 4,5 5,6 5,2 5,3 6,7 5,7

h0 mm 0,45 0,35 0,3 0,45 0,4 0,3 0,5 0,45 0,35 0,6 0,5 0,4 0,65 0,55 0,45 0,8 0,65 0,5 0,9 0,7 0,55 1 0,8 0,65 1,05 0,9 0,7 1,15 1 0,8 1,3 1,15 0,9 1,6 1,3 1 1,6 1,4 1,1 1,95 1,6 1,3 2,35 1,75 1,4 2,6 2 1,6 2,95 2,3 1,7 3,2

ho/t 1,29 0,70 0,43 1,29 0,80 0,38 1,25 0,75 0,39 1,33 0,71 0,40 1,30 0,69 0,41 1,33 0,81 0,40 1,29 0,78 0,37 1,25 0,80 0,43 1,31 0,72 0,40 1,28 0,80 0,40 1,30 0,77 0,40 1,28 0,74 0,40 1,28 0,70 0,37 1,30 0,80 0,43 1,31 0,70 0,40 1,30 0,80 0,40 1,31 0,77 0,34 1,28

bei s = 0,75·h0 F0,75 s0,75 N mm 152 0,34 291 0,26 673 0,23 123 0,34 279 0,3 813 0,23 155 0,38 412 0,34 1000 0,26 214 0,45 572 0,38 1250 0,3 254 0,49 745 0,41 1530 0,34 425 0,6 710 0,49 1950 0,38 601 0,68 868 0,53 2910 0,41 801 0,75 1110 0,6 2850 0,49 687 0,79 1920 0,68 3900 0,53 831 0,86 1700 0,75 5190 0,6 1020 0,98 2620 0,86 6540 0,68 1890 1,2 3660 0,98 7720 0,75 1550 1,2 4760 1,05 12000 0,83 2620 1,46 4440 1,2 11400 0,98 4240 1,76 7180 1,31 15000 1,05 5140 1,95 6730 1,5 20500 1,2 6610 2,21 10500 1,73 33700 1,28 7680 2,4

OM N/mm2 – 944 – 1000 – 1280 – 769 – 970 – 1190 – 751 – 1010 – 1160 – 789 – 1040 – 1170 – 772 – 1030 – 1180 – 883 – 962 – 1170 – 936 – 938 – 1210 – 961 – 961 – 1180 – 810 – 1090 – 1190 – 779 – 944 – 1210 – 772 – 1020 – 1210 – 920 – 1050 – 1150 – 754 – 1060 – 1250 – 879 – 963 – 1180 – 985 – 1020 – 1140 – 971 – 934 – 1200 – 982 – 1030 – 1260 – 935

II*), III*) N/mm2 1280 1110 1420 1060 1100 1340 1020 1120 1290 1110 1130 1300 1070 1110 1300 1230 1080 1320 1270 1030 1410 1300 1090 1280 1130 1190 1310 1080 1070 1330 1070 1130 1340 1250 1150 1300 1040 1140 1430 1220 1090 1280 1350 1090 1300 1340 1060 1330 1370 1140 1460 1290

bei s  1,0·h0 OM N/mm2 – 1250 – 1390 – 1670 – 1020 – 1290 – 1550 – 988 – 1330 – 1560 – 1050 – 1360 – 1560 – 1020 – 1390 – 1560 – 1180 – 1280 – 1530 – 1240 – 1240 – 1620 – 1280 – 1280 – 1560 – 1080 – 1440 – 1570 – 1040 – 1260 – 1610 – 1020 – 1360 – 1600 – 1230 – 1400 – 1530 – 1010 – 1410 – 1660 – 1170 – 1280 – 1570 – 1320 – 1360 – 1520 – 1300 – 1250 – 1590 – 1310 – 1360 – 1680 – 1250

9 Federn

Reihe B A C B A C B A C B A C B A C B A C B A C B A C B A C B A 1)

I 93

De mm 90 90 100 100 100 112 112 112 125 125 125 140 140 140 160 160 160 180 180 180 200 200 200 225 225 225 250 250 250

Di mm 46 46 51 51 51 57 57 57 64 64 64 72 72 72 82 82 82 92 92 92 102 102 102 112 112 112 127 127 127

t (t’)1) mm 3,5 5 2,7 3,5 6 3 4 6 3,5 5 8 3,8 5 8 4,3 6 10 4,8 6 10 5,5 8 12 6,5 8 12 7 10 14

l0 mm 6 7 6,2 6,3 8,2 6,9 7,2 8,5 8 8,5 10,6 8,7 9 11,2 9,9 10,5 13,5 11 11,1 14 12,5 13,6 16,2 13,6 14,5 17 14,8 17 19,6

h0 mm 2,5 2 3,5 2,8 2,2 3,9 3,2 2,5 4,5 3,5 2,6 4,9 4 3,2 5,6 4,5 3,5 6,2 5,1 4 7 5,6 4,2 7,1 6,5 5 7,8 7 5,6

ho/t 0,71 0,40 1,30 0,80 0,37 1,30 0,80 0,42 1,29 0,70 0,41 1,29 0,80 0,49 1,30 0,75 0,44 1,29 0,85 0,49 1,27 0,81 0,44 1,19 0,93 0,51 1,21 0,81 0,50

bei s = 0,75·h0 F0,75 s0,75 N mm 14200 1,88 31400 1,5 8610 2,63 13100 2,1 48000 1,65 10500 2,93 17800 2,4 43800 1,88 15400 3,38 30000 2,63 85900 1,95 17200 3,68 27900 3 85300 2,4 21800 4,2 41100 3,38 139000 2,63 26400 4,65 37500 3,83 125000 3 36100 5,25 76400 4,2 183000 3,15 44600 5,33 70800 4,88 171000 3,75 50500 5,85 119000 5,25 249000 4,2

OM N/mm2 – 1030 – 1170 – 895 – 926 – 1250 – 882 – 963 – 1130 – 956 – 1060 – 1280 – 904 – 970 – 1260 – 892 – 1000 – 1320 – 869 – 895 – 1180 – 910 – 1060 – 1210 – 840 – 951 – 1120 – 814 – 1050 – 1200

II*), III*) N/mm2 1120 1300 1240 1050 1420 1220 1090 1240 1320 1150 1330 1250 1110 1280 1240 1110 1340 1200 1040 1200 1250 1250 1230 1140 1180 1140 1120 1240 1220

bei s  1,0·h0 OM N/mm2 – 1360 – 1560 – 1190 – 1240 – 1660 – 1170 – 1280 – 1510 – 1270 – 1420 – 1710 – 1200 – 1290 – 1680 – 1190 – 1330 – 1750 – 1160 – 1190 – 1580 – 1210 – 1410 – 1610 – 1120 – 1270 – 1490 – 1090 – 1410 – 1600

Adolf Schnorr GmbH + Co. KG, 71050 Sindelfingen

9.6 Drehbeanspruchte Metallfedern 9.6.1 Drehstabfedern

Drehstabfedern sind gerade, auf Torsion (Verdrehung) beanspruchte Stäbe mit meist rundem, seltener quadratischem Querschnitt oder auch Bündel von Federbändern. Verwendung bei Kraftfahrzeugen zur Achsfederung (Bild 19), für Drehmoment-Schraubenschlüssel und zur Drehkraftmessung.

Durchmesser d nach Bild 19 gilt für die Torsionsspannung MT MT = ≤ τ t zul Wp 0,2 d 3

t =

MT

t

(59)

d

N Nmm mm 2

mm

im Abstand l ergibt sich ein Verdrehwinkel

=

Bild 19. Drehstabfedern mit allgemeinem Maßen

Berechnung: Genormt nach DIN 2091. Für die durch ein Torsionsmoment MT beanspruchte Stabfeder mit

180° M T l ⋅ Ip G

(60)



MT

l, d

G

º

Nmm

mm

N mm 2

Zulässige Torsionsspannung  t zul und Schubmodul G siehe Tabelle 1. Mit MT = F r ergibt sich ein

I 94

I Maschinenelemente

Federweg gleich der von F beschriebenen Bogenlänge f = r  . Darin ist  = MT l / (I p G). Für die Federsteifigkeit c gilt bei Drehstabfedern c = MT /. 9.6.2 Schraubenfedern 9.6.2.1 Allgemeines. Schraubenfedern als Zug- und Druckfedern sind die am meisten verwendeten Federn. Sie sind als schraubenförmig gewundene Drehstabfedern aufzufassen, meist aus Rund-, seltener aus Quadrat- oder Rechteckstäben hergestellt. Verwendete Federstähle siehe Tabelle 1. Drahtdurchmesser für kaltgeformte Federn: d = 0,5 0,56 0,63 0,7 0,8 0,9 1,0 1,25 1,4 1,6 1,8 2,0 2,25 2,5 2,8 3,2 3,6 4,0 4,5 5,0 5,6 6,3 7,0 8,0 9,0 10 11 12,5 14 16 mm; für warmgeformte Federn: d = 16 18 20 22,5 25 28 32 36 40 45 50 mm Anwendung sehr vielseitig, z.B. als Ventilfedern, Spannfedern, Achsfedern bei Fahrzeugen, Polsterfedern usw. 9.6.2.2 Ausführung der Schraubenfedern mit Kreisquerschnitt

Zugfedern, Richtlinien für die Ausführung nach DIN 2097. Zugfedern werden allgemein rechtsgewickelt

und bis d = 17 mm kaltgeformt mit aneinander liegenden Windungen (Vorspannung). Federn mit d > 17 mm werden warmgeformt, wobei die Windungen einen vom Wickelverhältnis w = Dm /d abhängigen Abstand haben. Ösenformen nach DIN 2097; die gebräuchlichste „ganze deutsche Öse“ zeigt Bild 20.

Bild 20. Ausführung einer Schrauben-Zugfeder

Druckfedern. Ausführungsrichtlinien für kaltgeformte Federn (d 17 mm) nach DIN 2095, für warmgeformte nach DIN 2096. Druckfedern werden normal rechtsgewickelt. Die Drahtenden werden bei d > 0,5 mm plan geschliffen (Bild 21).

Tabelle 3. Ermittlung der Summe der Mindestabstände nach DIN 2095 bei kaltgeformten Druckfedem Drahtdurchmesser d in mm 0,07 ... 0,5 über 0,5 ... 1,0 über 1,0 ... 1,6 über 1,6 ... 2,5 über 2,5 ... 4,0 über 4,0 ... 6,3 über 6,3 ... 10 über 10 ... 17

Berechnungsformel für Sa in mm

x-Werte in 1/mm bei Wickelverhältnis w > 6...8 > 8 ... 12 0,75 1,00 0,40 0,60 0,15 0,25 0,10 0,20 0,04 0,06 0,03 0,045 0,02 0,030 0,01 0,018

4... 6 0,50 0,20 0,05 0,035 0,02 0,015 0,01 0,005

Sa = 0,5 d + x d 2 if 0,4 d + x d 2 if 0,3 d + x- d 2 if 0,2 d + x- d 2 if 1 + x d 2 if 1 + x d 2 if 1 + x d 2 if 1 + x d 2 if

> 12 1,50 1,00 0,40 0,30 0,10 0,06 0,04 0,022

Die Windungssteigung ist so zu wählen, dass auch bei Höchstlast noch ein Mindestabstand zwischen den Windungen vorhanden ist, der vom Drahtdurchmesser d und Wickelverhältnis w abhängig ist. Die Summe der Mindestabstände Sa errechnet sich bei kaltgeformten Federn nach Tabelle 3, bei warmgeformten Druckfedern beträgt die Summe der Mindestabstände nach DIN 2096 Sa  0,17 d if . Für die Festlegung der Bauabmessungen ist die Länge der Feder bei aneinander liegenden Windungen, die Blocklänge LBl und die Lange der unbelasteten Feder L 0 wichtig. Bei kaltgeformten Federn mit plan geschliffenen Enden beträgt: LBl  (if + 1,5) d + 0,5 d  ig d Bild 21. Ausführung einer Schrauben-Druckfeder

LBl , d

if , ig

mm

1

(61)

9 Federn

I 95

Bei warmgeformten Federn, deren Enden ausgeschmiedet und geschliffen werden, ist: LBl ≈ (if + 1) d + 0,2 d ≈ (ig – 0,3) d

ig

LBl , d

if , ig

mm

1

(63)

Unter fn ist der Federweg zu verstehen, der zur maximalen Federkraft Fn gehört. 9.6.2.3 Berechnung der Schrauben-Zugfedern Die Berechnung ist nach DIN 2089 genormt. Ohne Berücksichtigung der Spannungserhöhung durch die Drahtkrümmung ergibt sich die ideelle Torsionsspannung

Dm

 i zul

N mm 2

mm

N

if

G N mm 2

1

if Anzahl der federnden Windungen, G Schubmodul des Federwerkstoffs nach Tabelle 1. Bei Federn mit innerer Vorspannung ist für F die Differenz F – F0 zu setzen. Die zum Öffnen der aneinander liegenden Windungen bei vorgespannten Federn erforderliche innere Vorspannkraft ergibt sich aus

L0 = LBl + fn + Sa

i

F

(62)

Gesamtzahl der Windungen: für Gleichung (61) ig = if + 2 für Gleichung (62) ig = if + 1,5

8 F Dm i = ≤ τ i zul d3

f, Dm , d

F N

d, Dm mm

(64)

mittlerer Windungsdurchmesser zulässige ideelle Torsionsspannung nach Diagramm Bild 22

F0 = F −

G d4 f 3 8Dm if

F0 , F

(66)

G N mm 2

N

d, f, Dm

if

mm

1

Hiermit ist nachzuweisen, dass die innere Torsionsspannung

 i0 

F0 Dm ≤ τ i0 zul 0, 4 d 3

(67)

 i0

F0

Dm , d

N mm 2

N

mm

Werte für  i0 zul nach Tabelle 4. Tabelle 4. Richtwerte für die innere Torsionsspannung  i0 zul für Federstahldraht nach DIN EN 10270 Wickelverhältnis D D w = dm = w = dm =

Herstellungsverfahren

kaltgeformt

= 4 ... 10 0,25  i zul 0,14  i zul

auf Wickelbank auf Automat

= über 10...15 0,14  i zul 0,07  i zul

Die Federsteifigkeit c ergibt sich aus c=

Bild 22. Zulässige Torsionsspannung für kaltgeformte Zugfedern aus Federstahldraht und ölvergütetem Federstahl (Kurve a) nach DIN EN 10270

Überschlägige Ermittlung des Drahtdurchmessers d nach Leiter, Bild 29. Bei Federn, die ohne innere Vorspannung gewickelt sind, ergibt sich der Federweg f=

3 8Dm if F 4

Gd

(65)

F F − F0 G d4 = = 3 f f if 8 Dm

c N mm

F, F0

f, d, Dm

N

mm

(68) G N mm 2

if 1

Die Gesamtzahl der Windungen bei Federn mit aneinander liegenden Windungen wird ig =

LK −1 d

ig

LK, d

1

mm

(69)

LK Länge des unbelasteten Federkörpers. Bei Federn ohne bzw. mit innerer Vorspannung ist die Federungsarbeit

I 96

I Maschinenelemente

Wf =

F f ( F + F0 ) f bzw. Wf = 2 2

Wf Nmm

F, F0 N

(70)

f mm

Die vorstehende Berechnung gilt für vorwiegend ruhend belastete, kaltgeformte Federn. Bei warmgeformten Federn soll  izul ≈ 600 N/mm2 nicht überschreiten. Schwingend belastete Zugfedern sind zu vermeiden, da deren Dauerfestigkeit weit gehend von der Ösenform und deren Übergang zum Federkörper abhängt und nur schwer zu erfassen ist. 9.6.2.4 Berechnung der Schrauben-Druckfedern Die Berechnung ist wie die der Zugfedern nach DIN 2089 genormt. Es gelten die gleichen Berechnungsgleichungen, da Zug- und Druckfedern im Federungsund Festigkeitsverhalten weit gehend übereinstimmen. Die im Folgenden benutzten Formelzeichen stimmen mit denen für die Berechnung der Zugfedern überein.

Bild 23. Zulässige Torsionsspannung für kaltgeformte Druckfedern aus Federstahldraht und ölvergütetem Federstahl (Kurve a) und ölvergütetem Ventilfederdraht (Kurve b) nach DIN EN 10270

Für überwiegend ruhend belastete Druckfedern gilt für die ideelle Torsionsspannung F Dm ≤ τ izul 0,4 d 3

i 

(71)

Werte für  i zul nach Diagramm Bild 23. Überschlägige Ermittlung des Drahtdurchmessers d nach Leiter Bild 29. Bei überwiegend schwingend belasteten Federn wird unter Berücksichtigung der durch die Drahtkrümmung entstehenden Spannungserhöhung die Torsionsspannung  k  k

F Dm ≤ τ kzul 0,4 d 3

Bild 24. Beiwert k in Abhängigkeit vom Wickelverhältnis w

(72)

und die ∆ F Dm ≤ τ kH (73) 0,4 d 3 Beiwert k berücksichtigt die Spannungserhöhung durch die Drahtkrümmung; Werte, abhängig vom Wickelverhältnis w = Dm /d nach Diagramm Bild 24. Werte für  k zul und  kH nach Dauerfestigkeitsdiagrammen Bild 25 bis 27.

Hubspannung  kh  k

Der Federweg f, die Federsteifigkeit c und die Federungsarbeit W ergeben sich aus: f= c=

3 8 Dm if F G d4

F ∆F G d4 = = 3 f ∆f if 8 Dm

W=

F f 2

(74) (75) (76)

Bild 25. Dauerfestigkeitsdiagramm für kaltgeformte Druckfedern aus Federstahldraht C. Nicht gestrahlt (ausgezogene Linien), gestrahlt (gestrichelte Linien)

9 Federn

I 97 F1 = 350 N, F2 = 700 N bei einem Hub h ฬ f = 12 mm zu berechnen. Der innere Windungsdurchmesser Di darf 20 mm nicht unterschreiten. Lösung: Berechnung auf Dauerfestigkeit, Belastung: allgemein dynamisch, schwellend. Bei der Betrachtung des Dauerfestigkeitsdiagramms Bild 27 stellt man fest, dass die ertragbare Hubspannung kH nahezu konstant und von der Vorspannung k1 ฬ kv fast unabhängig ist. kH  500 N/mm2, gewählt: kH zul = 325 N/mm2, die Wahl des Wickelverhältnisses w ist für die Größe der Spannungserhöhung an der Innenseite durch dem Faktor k entscheidend; w = Dm / d = 6 ฬ k = 1,27 nach Bild 24.

Mit diesen Voraussetzungen lässt sich der Drahtdurchmesser d nach den Gleichungen (72) und (73) wie folgt berechnen: Aus k  k

F Dm ∆ F Dm ∆F 6 d wird kh  k k ≤ kH zul 0, 4 d 3 0, 4 d 3 0, 4 d 3

(700 N − 350N)⋅6 = 4,53 mm, gewählt: d = 4,5 mm N 0,4⋅325 mm 2 Dm = 6 d = 6 4,5 mm = 27 mm, Di = Dm – d = 27 mm – 4,5 mm

d  1, 27

Bild 26. Dauerfestigkeitsdiagramm für kaltgeformte Druckfedern aus ölvergütetem Federstahldraht nach DIN EN 10270. Nicht gestrahlt (ausgezogene Linien), gestrahlt (gestrichelte Linien)

Dm = 22,5 mm Überprüfung auf Dauerhaltbarkeit:

k1  1,27

350 N⋅27 mm N = 329,3 0,4⋅ 4,53mm3 mm 2

k2 = k1

F2 N 700 N N = 329,3 = 658, 6 F1 mm 2 350 N mm 2

N N N − 329,3 = 329,3 mm 2 mm 2 mm 2 nach Bild 27 liegen alle Werte im zulässigen Bereich.

kh = k2 – k1 = 658,6

Festlegung der Federsteifigkeit c, der federnden Windungen if und der Gesamtwindungszahl ig. Nach Gleichung (75) ist:

Bild 27. Dauerfestigkeitsdiagramm für kaltgeformte Druckfedern aus ölvergütetem Ventilfederdraht nach DIN EN 10270. Nicht gestrahlt (ausgezogene Linien), gestrahlt (gestrichelte Linien)

Bei längeren Federn ist die Knicksicherheit zu prüfen. Ein seitliches Ausknicken tritt nicht ein, wenn die Kurven im Diagramm Bild 28 nicht überschritten werden. Maßgebend sind der Schlankheitsgrad L0 / Dm und die Federung (fmax /L0) 100 in %. Längere Federn sind in einer Hülse oder auf einem Dorn zu führen. ■ Beispiel: Es ist eine zylindrische Schrauben-Druckfeder (Ventilfeder) mit unbegrenzter Lebensdauer aus ölvergütetem, gestrahltem Ventilfederdraht nach DIN EN 10270 für die Federkräfte

c=

∆F G d4 = ∆f 8 Dm3 if

c=

F2 − F1 700 N − 350 N N = = 29,17 ∆f 12 mm mm

c if =

G d 4 83 000⋅4,54 mm 4 N = = 216, 2 mm 8 Dm3 8⋅273mm3

N mm = 7, 4 N 29,17 mm gewählt: if = 7,5 und damit ig = if + 2 = 7,5 + 2 = 9,5 Windungen nach Gleichung (61).

if =

216, 2

cvorh =

N mm = 28,83 N 7,5 mm

216, 2

die endgültigen Federwege betragen:

f1 =

350 Nmm F1 = = 12,1 mm cvorh 28,83 N

f2 =

F2 700 Nmm = = 24,3 mm cvorh 28,83 N

 f  12,2 mm

I 98

I Maschinenelemente

Die Blocklänge der Feder wird nach Gleichung (61): LB1  ig d = 9,5 4,5 mm = 42,8 mm. Unter Berücksichtigung eines Mindestabstands zwischen den einzelnen Windungen wird die Länge der unbelasteten Feder: L0 = LBl + f2 + Sa; Sa nach Tabelle 3:

Sa  1 + x d 2 if = 1 + 0,015 4,52 7,5 = 3,3 mm L0  42,8 mm + 24,3 mm + 3,3 mm L0  70,0 mm Abschließend ist die Knicksicherheit zu prüfen: Schlankheitsgrad Federung

L0 70 mm = = 2,6 Dm 27 mm

f2 24,3 mm 100 % = ⋅100 % = 35 % 70 mm L0

Mit diesen Werten wird keine der Kurven in Bild 28 erreicht, d.h., die Feder ist knicksicher.

Bild 28. Ausknickung von Schrauben-Druckfedern Kurve a: für Federn mit geführten Einspannenden Kurve b: für Federn mit veränderlichen Auflagebedingungen

Gegeben: Fn ,  i Gewählt: Dm Linie (1) von Dm zu Fn ergibt Schnittpunkt auf Zapfenlinie. Linie (2) durch diesen Schnittpunkt zu  i ergibt d. Beispiel: Fn = 600 N,  i = 700 N/mm2, Dm = 25 mm Linie (1) von 25 mm zu 600 N, Linie (2) durch Schnittpunkt der Linie (1) mit Zapfenlinie zu 700 N/mm2 ergibt d  3,8 mm

Bild 29. Leitertafel zur Entwurfsberechnung zylindrischer Schrauben-Druckfedern

3 Praktische Festigkeitsberechnungen im Maschinenbau

3 Praktische Festigkeitsberechnungen im Maschinenbau A. Böge

Ziel aller Festigkeitsberechnungen ist die Ermittlung der vorhandenen Spannung und der Nachweis, dass ein konstruiertes Bauteil mit Sicherheit „hält“. Seine geforderte oder erwartete Tragfähigkeit muss unter allen denkbaren Umständen gewährleistet sein, es darf z.B. auch bei Dauerbelastung in der vorgeschriebenen Lebensdauer nicht brechen oder seine Form bleibend so verändern, dass es seine Funktion nicht mehr ausreichend erfüllt. Mit der Wahl des Werkstoffs liegen die Festigkeitsgrößen vor, z.B. die Zug-, Druck-, Biege- und Torsions-Wechselfestigkeit (σzW, σdW, σbW, τtW) oder die entsprechenden 0,2%-Dehngrenzen (Rp 0,2). Zur Ermittlung der Gestaltfestigkeit werden Faktoren K in die Berechnung der Sicherheit SD gegen Dauerbruch (Dauerhaltbarkeit) oder gegen bleibende Verformung (Fließgrenze) eingeführt, z.B. der Rauheitsfaktor KF oder die Kerbwirkungszahl Kf. Die dazu erforderlichen Rechnungsgänge, Methoden und Tabellen werden ausführlich behandelt in der FKM1)-Richtlinie: Rechnerischer Festigkeitsnachweis für Maschinenbauteile2), 5. erweiterte Ausgabe 2003, VDMA Verlag Frankfurt a.M. (270 Seiten).

4 Klebverbindungen

A. Böge

Normen (Auswahl) DIN 16920

Klebstoffe, Klebstoffverarbeitung, Begriffe DIN 53281 T1 Behandlung der Klebflächen T2 Herstellung der Proben T3 Kenndaten des Klebvorganges DIN 53282 Winkelschälversuch DIN 53283 Zugscherversuch DIN 53284 Zeitstandsversuch DIN 53287 Beständigkeit gegen Flüssigkeiten DIN 53289 Rollenschälversuch DIN 54452 Druckschälversuch DIN 54455 Torsionsschälversuch (Vornorm DIN V 54461 Biegeschälversuch)

4.1 Allgemeines Unter Kleben versteht man das Verbinden von Teilen aus gleichen oder verschiedenartigen Werkstoffen mit nichtmetallischen Klebstoffen. Normalerweise entsteht eine Klebverbindung bei Raumtemperatur ohne Druckeinwirkung. Die Verarbeitung einiger Klebstoffe setzt jedoch auch höhere Drücke und Temperaturen bis ca. 150 ºC voraus. 1)

Forschungskuratorium Maschinenbau gilt nicht bei Vorliegen spezieller Richtlinien oder Normen wie z.B. DIN 742: Tragfähigkeitsberechnung von Wellen und Achsen

2)

I 31 Die Festigkeit einer Klebverbindung wird durch die Haftung eines Klebstoffs an der Werkstückoberfläche (Adhäsion) und seine Bindekräfte zwischen den Klebstoffmolekülen (Kohäsion) bestimmt. Durch Entwicklung von Klebern hoher Bindefestigkeit wird das Kleben als Verbindungsart auch metallischer Bauteile im zunehmenden Maß verwendet, insbesondere im Leichtmetallbau, im Flugzeugbau für Tragflächen, Rumpfblechversteifungen, Tür- und Fensterrahmen, in der Elektrotechnik für magnetische Spannplatten, Transformatoren- und Statorbleche, Geräte und Apparate, im Kraftfahrzeugbau für Reibbeläge bei Kupplungen und Bremsen, ferner in der Kunststoffindustrie, bei Spiel-, Leder- und Verpackungswaren und im Bauwesen für Wand- und Fußbodenplatten. Vorteile gegenüber anderen Verbindungselementen: Verbinden verschiedenartigster Werkstoffe; keine Werkstoffbeeinflussung; keine Schwächung der Bauteile durch Niet- oder Schraubenlöcher. Nachteile: Geringere spezifische Festigkeit gegenüber Schweißen oder Nieten; geringe Schälfestigkeit; Stumpfstöße kaum möglich; teilweise längere Aushärtungszeiten.

4.2 Klebstoffe Klebstoffe werden hauptsächlich auf Kunstharzbasis in der Form von Phenol- und Epoxydharzen oder auf Kautschukbasis als Lösungsmittelklebstoffe hergestellt. Nach DIN 16920 und der VDI-Richtlinie 2229 teilt man sie nach der Art des Abbindens ein: Physikalisch abbindende Klebstoffe sind Klebstoffe mit Lösungsmitteln, die vor dem Fügen oder Erstarren der Klebstoffschmelze zum größten Teil ablüften (verdunsten). Diese Klebstoffe sind zur Verbindung von Metallen mit porösen Werkstoffen wie z.B. Kork, Holz, Leder oder auch durchlässigen Kunststoffen geeignet. Zu den physikalisch abbindenden Klebstoffen gehören Kontakt-Schmelzklebstoffe sowie Plastisole. Kontaktklebstoffe (Basis Kautschuk) werden beidseitig auf die zu klebenden Flächen aufgetragen, abgelüftet und unter kurzem starken Druck gefügt. Schmelzklebstoffe werden auf ca. 150 ºC erhitzt und in geschmolzenem Zustand vor dem Erstarren des Klebstoffs gefügt. Plastisole (Basis Polyvinilchlorid) sind lösungsmittelfrei und werden in teigigem Zustand aufgetragen. Sie binden bei Temperaturen zwischen 140 ºC und 200 ºC ab. Chemisch abbindende Klebstoffe (Reaktionsklebstoffe) sind Klebstoffe auf Kunstharzbasis, die nur durch geeignete Reaktionsstoffe (Katalysatoren) hohe Haftfestigkeit und innere Festigkeit erreichen. Sie werden auch als Zwei-Komponenten-Klebstoffe (Bindemittel-Härter) bezeichnet. Abbindereaktionen werden durch den Härter, erhöhte Temperaturen, Luftfeuchtigkeit oder Entzug von Sauerstoff (anaerob) herbeigeführt. Da bei chemisch abbindenden Klebstoffen oft große Abbindezeiten (bis zu mehreren

I 32

I Maschinenelemente

Tagen) einzuhalten sind, wird als dritte Komponente vielfach ein Beschleuniger zur Verkürzung der Abbindezeit zugegeben. Es gibt kalt- und warmabbindende Klebstoffe. Kalthärtende Klebstoffe (Kalthärter) härten bei Raumtemperatur oder erhöhten Temperaturen aus. Warmhärtende Klebstoffe (Warmhärter) härten nur bei erhöhten Temperaturen aus. Tabelle 1 zeigt eine Zusammenstellung einiger kalt- und warmabbindender Klebstoffe.

4.3 Herstellung der Klebverbindung 4.3.1 Vorbehandlung Nur wenn die zu verklebenden Flächen sauber und fettfrei sind, kann eine Klebverbindung die erforderliche Festigkeit und Beständigkeit erreichen. Säubern von Schmutz, Farbresten, Oxidschichten usw. geschieht meist mechanisch durch Bürsten, Schmirgeln oder Strahlen. Entfetten von Öl-, Fett- öder Wachsresten erfolgt durch organische Lösungsmittel wie Perchloräthylen, Methylchlorid oder Aceton. Beizen (Ätzen) vor allem von Metallklebeflächen in verdünnter Schwefelsäure und – bei Leichtmetallen – nachfolgende anodische Oxidation. Tabelle 1. Auswahl von Kalt- und Warmklebern Zugscher- temperafestigkeit turKB in beständig bis N/mm2

Kalthärter

Basis

Agomet M

Acrylharz

Araldit AV 138

20 ºC ... 30 h Epoxid120 ºC ... 1 h 22 ... 32 harz 150 ºC ... 0,5 h

Sicomet 85

Cyanacrylat

23 ºC 5s ... 5 min

18 ... 26

Bostik 788

Polyesterharz

20 ºC 48 h ... 170 h

15 ... 18

Warmhärter

Basis

Aushärtung

20 ºC ... 24 h 50 ºC ... 1 h

Aushärtung

22 ... 32

Anwendung

Stahl, Leichtme80 ºC talle, Hartkunststoffe Metalle, Glas, 60 ºC Keramik, Duroplaste Metalle, 110 ºC nichtporöse Stoffe 80 ºC

Zugscher- temperafestigkeit turKB in beständig bis 2 N/mm

Metalle

Anwendung

Araldit AT1

Epoxid- 110 ºC ... 30 h 17 ... 32 harz 200 ºC ... 0,5 h

Metalle, Keramik, Glas, 150 ºC gehärte Kunststoffe

Redux 64

Phenolharz/Po- 145 ºC ... 0,5 h 30 ... 40 lyvinil- 180 ºC ... 0,1 h formal

Metalle, 300 ºC Bremsbeläge

Nylon175 ºC ... 1 h Epoxid230 ºC ... 30 s harz

Metalle, Keramik, Glas, 120 ºC glasfaserverstärkter Kunststoff

Scotch Klebefilm AF 42

13 ... 30

Der Umfang der erforderlichen Oberflächenbehandlung richtet sich nach der Beanspruchung der Klebverbindung: Niedrige Beanspruchung für Zugscherfestigkeit bis 5 N/mm2. Kein Kontakt mit Wasser; Einsatz in geschlossenen Räumen. Anwendungsgebiete: Modellbau, Möbelbau, Elektrotechnik/Elektronik. Mittlere Beanspruchung für Zugscherfestigkeit bis 10 N/mm2. Kontakt mit Öl und Treibstoffen zulässig. Anwendungsgebiete: Maschinen- und Fahrzeugbau. Hohe Beanspruchung für Zugscherfestigkeit über 10 N/mm2. Kontakt mit Lösungsmitteln, Ölen und Treibstoffen zulässig. Anwendungsgebiete: Schiffbau, Behälterbau, Flugzeugbau. Vorschläge für Oberflächenbehandlungen verschiedener zu klebender Werkstoffe nach Tabelle 2. 4.3.2 Klebvorgang Beim Auftragen des Klebstoffes müssen Herstellerangaben genau eingehalten werden. Wichtig ist ein gleichmäßig dicker Auftrag mit Pinsel oder Zahnspachtel auf die Klebflächen. Tabelle 2. Vorbehandlung von Klebflächen Behandlungsfolgen für Werkstoff

niedrige mittlere hohe Beanspruchung Beanspruchung Beanspruchung

Stahl

Reinigen, Entfetten, Spülen, Trocknen

Reinigen, Schleifen, Entfetten, Spülen, Trocknen

Reinigen, Strahlen, Entfetten, Spülen, Trocknen

Stahl, verzinkt

Reinigen, Entfetten, Spülen, Trocknen

Reinigen, Entfetten, Spülen, Trocknen

Reinigen, Entfetten, Spülen, Trocknen

Titan

Reinigen, Entfetten, Spülen, Trocknen

Reinigen, Schleifen, Entfetten, Spülen, Trocknen

Reinigen, Strahlen, Entfetten, Spülen, Trocknen

Gusshaut entfernen

Schleifen, Bürsten

Strahlen

Reinigen, Entfetten, Spülen, Trocknen

Reinigen, Beizen, Schleifen, Spülen, Trocknen

Reinigen, Strahlen, Beizen, Spülen, Trocknen

Reinigen, Magnesium Entfetten, Spülen, Trocknen

Reinigen, Entfetten, Schleifen, Spülen, Trocknen

Reinigen, Strahlen, Entfetten, Beizen, Spülen, Trocknen

Reinigen, Entfetten, Spülen, Trocknen

Reinigen, Schleifen, Entfetten, Spülen, Trocknen

Reinigen, Strahlen, Entfetten, Spülen, Trocknen

Gusseisen

Aluminiumlegierung

Kupferlegierung

Bei Lösungsmittelklebstoffen ist der richtige Zeitpunkt des Fügens unter Druck nach dem Verdunsten

4 Klebverbindungen

I 33

des Lösungsmittels und Abbinden des Klebstoffs entscheidend für die Festigkeit der Verbindung. Bei Reaktionsklebstoffen wird nur eine der Klebflächen durch Streichen, Spachteln, Aufstreuen oder Auflegen von Klebefolien beschichtet. Danach können die Teile sofort gefügt werden.

4.4 Berechnung Eine Klebverbindung sollte nur auf Schub und/oder Druck beansprucht werden (Bild 1). Biege- und Zugbeanspruchungen sollten vermieden werden. Lässt sich eine Schälbeanspruchung nicht vermeiden, kann durch zusätzliches Nieten, Punktschweißen oder Falzen eine Abschwächung der Schälbeanspruchung erreicht werden. Die wichtigste Kenngröße zur Berechnung von Klebverbindungen ist die Bindefestigkeit  KB (Zugscherfestigkeit). Sie wird an Prüfkörpern (Bild 2) mit einschnittiger Überlappung in Abhängigkeit von Klebstoff, Klebschichtdicke und Oberflächen- oder Temperatureinflüssen ermittelt.

τ KB =

F AKl lü b

F F = AKl lü b

KB

F

N mm 2

N mm2 mm

AKl lü , b (1)

Zugkraft Klebfugenfläche Überlappungslänge Klebfugenbreite

Bild 2. Prüfkörper zur Ermittlung der Bindefestigkeit

Bild 3. Torsionsbeanspruchung der Klebschicht Zugscherfestigkeiten einiger Klebstoffe nach Tabelle 1. Mit der Sicherheit S ergibt sich als zulässige Spannung

τ K zul =

τ KB S

S | 4 ... 5 S|3 S|2

K zul

KB

S

N mm 2

N mm 2

1

(2)

bei wechselnder Beanspruchung bei schwellender Beanspruchung bei ruhender Beanspruchung

Die maximale Scherkraft ergibt sich nach Bild 2 aus Fmax  AKl WK zul = b lü WK zul Fmax AKl

WKzul b, lü

mm2

N mm mm 2

N

(3)

Das maximale Torsionsmoment nach Bild 3 aus MT max  0,5 S d 2 b WK zul

(4)

MT max WK zul b, d Nmm

Bild 1. Beanspruchungsarten von Klebverbindungen

N mm mm 2

■ Beispiel: Zwei mit Araldit AV 138 verklebte Stahlrohre (Bild 4) übertragen wechselnd ein Torsionsmoment MTmax = 32 Nm. Im Betrieb tritt höchstens eine Umgebungstemperatur von 25 ºC auf. Es soll nachgerechnet werden, ob die vorgesehene Überlappungslänge b = 25 mm ausreicht.

I 34

I Maschinenelemente

Gegeben: Überlappungslänge b Torsionsmoment MT Rohrdurchmesser d WKB Bindefestigkeit (gewählt nach Tabelle 1) Sicherheit S bei wechselnder Beanspruchung

= 25 mm = 32 Nm = 30 mm = 18 N/mm2

= 4 (gewählt)

Lösung: Zulässige Spannung nach Gleichung (2)

WK zul = b

τ KB S

=

18 N/mm 2 = 4,5 N/mm2 4

M T max 0,5 π d 2τ K zul

=

32 000 Nmm = 5,03 mm 0,5⋅ π ⋅302 mm 2 ⋅ 4,5 N/mm 2

Die Überlappungslänge b = 25 mm kann also noch reduziert werden, wenn nicht andere Gründe dagegen sprechen.

Bild 7. Über Lotarten, Lötverfahren, Festigkeitseigenschaften und die Gestaltung von Lötverbindungen wird im Abschnitt M Spanlose Fertigung – Verbindende Fertigungsverfahren – berichtet. Weitere Angaben über Lote sind im Abschnitt E Werkstofftechnik zu finden. Bild 4. Verdrehbeanspruchte, geklebte Rohrverbindung

4.5 Gestaltungshinweise

5 Schweißverbindungen U. Borutzki

Eine klebgerechte Konstruktion sollte sich nach folgenden Gestaltungsregeln richten: Stumpfstöße können wegen der zu kleinen Klebfläche nicht angewendet werden. Eine geschäftete Verbindung ist möglich, aber teuer in der Herstellung. Genügend große Klebflächen erhält man durch Überlappungsverbindungen. Dabei sind gefalzte oder doppelte Überlappungen der einfachen oder abgesetzten Doppellaschenverbindung vorzuziehen. Bei Rohrverbindungen sollten die Rohre ineinander gesteckt oder mit Muffen versehen werden (größere Klebfläche).

5.1 Grundsätze

Bild 5.

5.1.1 Darstellung und Begriffe

Bild 6.

Werden beim Fügen von Einzelteilen zu Baugruppen die Verbindungen durch Schweißen gefertigt, so ist der Konstrukteur weit reichenden Festlegungen unterworfen, wenn die Erzeugnisse dem durch staatliche Normen geregelten Bereich zuzuordnen sind (geregelter Bereich). Hierzu zählen Stahl-, Schienenfahrzeug-, Eisenbahnbrücken-, Schiff-, Behälter- und Rohrleitungsbau sowie Erzeugnisse im Bereich der Wehrtechnik. Weit gehend eigenverantwortlich und nur den „anerkannten Regeln der Technik“ verpflichtet ist dagegen der Maschinenbauer in seinen Entscheidungen bei der Wahl von Werkstoff, Schweißverfahren und der Berechnung der Schweißverbindungen (nicht geregelter Bereich).

Unabhängig vom Anwendungsbereich wird in DIN EN 12345 die mittelbare Anordnung der zu schweißenden Teile als Stoßart bezeichnet (Tabelle 1). Die Stoßart übt bei schwingender Beanspruchung einen wesentlichen Einfluss auf die Gestaltfestigkeit eines Schweißbauteils wegen der verschiedenartigen Kraftumlenkungen aus. Stumpfnähte sind wegen ihres weit gehend ungestörten Kraftflusses gegenüber Kehlnähten aus dieser Sicht vorteilhafter, Kehlnähte dagegen wegen ihrer

12 Kupplungen

I 127

11.10 Keilwellenverbindung

Flächenpressung p

Nennmaße für Welle und Nabe (Auswahl aus ISO 14: Keilwellenverbindung mit geraden Flanken, Übersicht) Innendurchmesser d1 in mm

Außendurchmesser d2 in mm

Anzahl der Keilbreite Keile b z in mm

18 21 23 26

22 25 28 32

6 6 6 6

5 5 6 6

28 32 36 42

34 38 42 48

6 8 8 8

7 6 7 8

46 52 62

54 – 72

8 – 8

9 – 12

82 92 102 112

– 102 112 125

– 10 10 10

– 14 16 18

p=

2M ≤ pzul 0,75 z h1 l d m

(34)

d 2 − d1 2 d1 + d 2 dm = 2

h1 = 0,8

p N mm 2

M

h1, l, dm

z

Nmm

mm

1

Faktor 0,75 (nach Versuchen tragen nur etwa 75 % der Mitnehmerflächen) Zulässige Flächenpressung pzul pzul = pzul =

Re (Nabe) S Rm (Nabe) S

für Stahl-Nabe für Gusseisen-Nabe

Re (Rp 0,2) und Rm aus dem Dauerfestigkeitsdiagramm für stoßfrei wechselnde Betriebslast wird bei Befestigungsnaben: S = 2,5 (1,7) für unbelastet verschobene Verschiebenaben: S = 8 (5) für unbelastet verschobene Verschiebenaben S = (15) für Stahl-Nabe und (3) für Gusseisen-Nabe Klammerwerte bei gehärteten oder vergüteten Sitzflächen der Welle

Nabendicke s in mm (M in Nm einsetzen) s = (2,6 ... 3,2) 3 M für Gusseisen-Nabe s = (2,2 ... 3) 3 M für Stahl- und Stahlguss-Nabe M = 9550

P n

M P n Nm kW min–1 Nabenlänge l in mm (M in Nm einsetzen) l = (4,5 ... 6,5) 3 M für Gusseisen-Nabe l = (2,8 ... 4,5) 3 M für Stahl- und Stahlguss-Nabe

12 Kupplungen

A. Böge

Normen und Richtlinien DIN 115 Schalenkupplungen DIN 116 Scheibenkupplungen DIN 740 Nachgiebige Wellenkupplungen VDI-Richtlinie 2240: Wellenkupplungen, systematische Einteilung nach ihren Eigenschaften, VDIVerlag, Düsseldorf

12.1 Allgemeines Hauptaufgabe der Kupplungen ist das Weiterleiten von Rotationsleistung P = MZ . Als Zusatzaufgabe kann das Schalten des Drehmoments M hinzukommen oder die Verbesserung bestimmter dynamischer Eigenschaften. Entsprechend unterteilt man die Kupplungen in: Feste Kupplungen (drehstarre Kupplungen) dienen der starren, fluchtenden Verbindung von Wellen und anderen Getriebeelementen.

I 128

I Maschinenelemente

Bewegliche Kupplungen (drehelastische Kupplungen) verbinden die Elemente elastisch oder unelastisch, können Fluchtfehler ausgleichen und stoß- und schwingungsdämpfend wirken. Schaltkupplungen ermöglichen durch Unterbrechung und Wiederherstellung der Verbindung das Schalten des Drehmoments. Sicherheitskupplungen unterbrechen die Verbindung bei Überlastung. Anlaufkupplungen werden bei schwer anlaufenden Maschinen eingesetzt. Freilauf- und Überholkupplungen verbinden die Elemente nur bei Gleichlauf und lösen die Verbindung, wenn das antreibende Element langsamer als das getriebene umläuft. Steuerbare Kupplungen ermöglichen Drehmomentund Drehzahländerungen während des Betriebs.

M Nmm

FS N

n, P 1

DS mm

FS = Anpresskraft gleich Zugkraft einer Schraube, n Schraubenzahl; P Reibungszahl, sicherheitshalber Gleitreibungszahl einsetzen (siehe Abschnitt C Mechanik).

12.2 Feste Kupplungen 12.2.1 Scheibenkupplung

Anwendung und Ausführung: Bei starrer Verbindung von Wellen zu langen, durchgehenden Wellensträngen, zum Beispiel Transmissionswellen, Fahrwerkwellen von Kranen. Geeignet für einseitige und wechselseitige Drehmomente. Beide Scheiben werden möglichst durch Passschrauben reibschlüssig verschraubt. Nach DIN 116 sind Bohrungsdurchmesser, Länge und Ausführungsform genormt: Form A mit Zentrieransatz (1), bei der zum Lösen der Verbindung die Wellen axial verschoben werden müssen (Bild 1a). Form B ermöglicht nach dem Herausnehmen der zweiteiligen Zwischenscheibe (2) ein Lösen ohne Axialverschiebung der Welle (Bild 1b). Die Befestigung auf der Welle erfolgt bei einseitigen Drehmomenten durch Passfedern, bei wechselseitigen durch Keile. Vorteile gegenüber Schalenkupplungen: Bei gleicher Nenngröße (Bohrungsdurchmesser) sind größere und auch wechselnde Drehmomente übertragbar. Nachteile: Ein- und Ausbau schwieriger, geteilte Lager erforderlich. Werkstoffe: im Allgemeinen Gusseisen, in Sonderfällen auch Stahlguss. Berechnung: Das Drehmoment soll durch Reibungsschluss der Scheibenflächen übertragen werden. Reibungsmoment MR t Drehmoment M. Mit Reibungskraft FR, angreifend am Lochkreis DS (gleich mittlerer Reibungsflächendurchmesser), wird nach Bild 2: FN µ D S = 2 2 Anpresskraft FN = FS n gesetzt, ergibt das übertragbare Drehmoment

M=

M=

FR D S

FS n µ D S 2

(1)

Bild 1. Scheibenkupplungen nach DIN 116 a) Form A mit Zentrieransatz, b) Form B mit zweiteiliger Zwischenscheibe. Abmessungen siehe Tabelle 1.

Bild 2. Berechnung der Scheibenkupplungen 12.2.2 Schalenkupplung

Anwendung und Ausführung: Verwendung wie Scheibenkupplungen, jedoch vorwiegend bei einseitigen Drehmomenten. Schalen werden auf Wellenenden geklemmt, sodass das Drehmoment durch Reibungsschluss übertragen wird. Meist zusätzliche Sicherung durch Passfeder, nicht durch Keil, da Keilkräfte der Klemmkraft entgegenwirken. Einfacher Ein- und Ausbau ohne gleichzeitigen Ausbau von Wellenteilen. Genormt sind nach DIN 115 Bohrungsdurchmesser, Länge und Form. Gegen Unfälle Ausführung häufig mit Schutzmantel (Bild 3).

12 Kupplungen

I 129 Berechnung: Die Verbindung entspricht der Klemmverbindung einer geteilten Scheibennabe. In Abwandlung der Gleichung (1) ergibt sich das übertragbare Drehmoment M = FS n P D

Bild 3. Schalenkupplung nach DIN 115 Abmessungen siehe Tabelle 1

M FS Nmm N

n, P D 1 mm

(2)

FS, n, P wie zu (1), D Bohrungsdurchmesser. Übertragbare Drehmomente meist nach Angabe der Hersteller, siehe Tabelle 1.

Tabelle 1. Hauptabmessungen und übertragbare Drehmomente von festen Kupplungen (nach Flender, Bocholt) a) Scheibenkupplungen nach Bild 1 Gewichtskraft

M in 4 10 Nmm

Da mm

D1 mm

4,75 9 15 24,3

125 125 140 140

58 58 72 72

36,5 53 75 100

160 160 180 180

95 95 110 110

70 80 90 100

175 272 412 600

200 224 250 280

130 145 164 180

110 125 140 160

850 1280 1950 3070

300 335 375 425

200 225 250 290

180 200

4620 6300

450 500

325 360

D mm 25 30 35 40 45 50 55 60

b) Schalenkupplungen Bild 3

b mm

L mm

L1 mm

l mm

Form A N

Form B N

16

101 101 121 121

110 110 130 130

50 50 60 60

43 42 59 56

55 53 73 70

16

141 141 171 171

150 150 180 180

70 70 85 85

97 93 140 135

115 110 160 155

18

201 221 241 261

210 230 250 270

100 110 120 130

210 280 410 530

240 320 450 580

70 75

18

281 311 341 401

290 320 350 410

140 155 170 200

680 910 1300 1900

730 980 1350 2000

80

20

451 501

460 510

225 250

2500 3350

2650 3500

a mm

31

34 37 41 54 60

12.3 Bewegliche, unelastische Kupplungen Sie finden dort Verwendung, wo mit axialen, radialen oder winkligen Wellenverlagerungen gerechnet werden muss.

D mm

M in 10 Nmm

Da mm

L mm

Gewichts kraft N

20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 80 90 100 110 125 140 160 180 200

2,5 4 5,8 8 10,2 12,5 15 50 85 125 170 250 380 540 750 1100 1500 2300 3200 4000

85 100 100 110 110 120 130 150 150 170 170 190 215 250 250 275 325 365 420 500

110 130 130 160 160 190 190 220 220 250 250 280 310 350 390 430 490 560 630 700

19 45 42 65 62 85 90 130 125 185 170 270 410 630 700 960 1600 2550 3200 5500

4

Die bekanntesten dieser drehstarren Kupplungen sind die Bogenzahnkupplungen. Bild 4 zeigt die BowexKupplung (Hersteller: F. Tacke KG., (Rheine/Westf.). Kupplungshülse (1) hat zwei Innenverzahnungen, in die ballige Zähne der Naben (2) eingreifen; dadurch allseitige Beweglichkeit. Die Hülse besteht aus Kunststoff (Polyamid), Naben werden wahlweise aus Kunststoff oder Stahl gefertigt.

12.4 Elastische Kupplungen 12.4.1 Anwendung

Bild 4. Bo-Wex-Bogenzahnkupplung

Elastische Kupplungen dienen zur stoß- und schwingungsdämpfenden Verbindung bei Antrieben, z. B. von Motor- und Getriebewelle, Getriebe- und Maschinenwelle oder auch direkt von Welle und Riemenscheibe oder Zahnrad. Die meisten Bauarten können gleichzeitig kleinere radiale, axiale und winklige Wellenverlagerungen ausgleichen.

I 130 12.4.2 Elastische Stahlbandkupplung (Malmedie-Bibby-Kupplung) Die Bibby-Kupplung ist eine nicht dämpfende Ganzmetallkupplung (Bild 5). Kupplungsnaben (1 und 2) sind durch ein schlangenförmig gewundenes Stahlband (4) verbunden. Bei Normallast liegt das Band außen an den sich nach innen erweiterten Nuten an. Mit wachsendem Drehmoment verdrehen sich die Kupplungshälften gegeneinander, die Bandanlage verschiebt sich nach innen, wodurch die Stützweite der Feder verringert und die Federung härter wird (Bild 5b). Die Kupplung zeigt damit eine progressive Federkennlinie (siehe 9.2). Anwendung für Antriebe mit starken Drehmomentschwankungen, z.B. Walzwerkantriebe.

I Maschinenelemente

Bild 6. RUPEX-Kupplung (Werkbild Flender AG, Bocholt) 12.4.4 Hochelastische Kupplungen

Bei diesen ist Gummi der vorherrschende Werkstoff der Verbindungsglieder zwischen den Kupplungshälften. Sie finden Anwendung dort, wo starke stoßartige Belastungen gedämpft werden müssen, z.B. bei Antrieben von Hobel- und Stoßmaschinen, Kranhubwerken Bei der Radaflex-Kupplung Bild 7 werden beide Kupplungshälften (1) durch einen zweiteiligen Gummireifen (2) mit den Metallträgern (4) mit Schrauben (3) verbunden. Die Kupplung ist dadurch leicht einzubauen und die Verbindung der Wellen ist ohne Axialverschiebung durch Abschrauben des Reifens leicht zu lösen. Diese Kupplung ist für Drehmomente von 1,6  104 … 100  104 Nmm ausgelegt.

Bild 5. Malmedie-Bibby-Kupplung (Werkbild Malmedie Antriebstechnik GmbH, Solingen)

12.4.3 Elastische Bolzenkupplung

Allgemein gebräuchlichste elastische Kupplung für Antriebe aller Art. Die RUPEX-Kupplung hat als Dämpfungsglieder auf Stahlbolzen sitzende Kunststoffbuchsen (Perbunan ölfest). Sie sind zur Erhöhung der Elastizität und Winkelbeweglichkeit ballig ausgebildet (Bild 6).

Bild 7. Radaflex-Kupplung (Rexnord Antriebstechnik, Dortmund)

12 Kupplungen

I 131

Tabelle 2. Hauptabmessungen und übertragbare Drehmomente von elastischen Kupplungen (RUPEX-Kupplung nach Bild 6, Flender, Bocholt) Bohrungen Bauart REWN von bis Größe mm

max. Drehzahl

NennDrehmoment

mm

n min–1

Mmax 10–3 Nmm

J kgm2

FG N

Maße

D1

D2

Da

D3

D4

L

mm

mm mm

mm

mm

mm

mm mm mm

N

N1

p

S

Ge Trägheits- wichtsmoment kraft

0,6 1 1,6 2,5

14 14 20 20

25 30 35 40

30 38 42 48

96 104 112 125

44 52 62 65

50 60 68 75

35 40 45 50

24 24 24 28

18 18 18 20

25 25 25 30

2…6 2…6 2…6 2…6

7200 6600 6100 5500

43 72 115 180

0,0018 0,0028 0,004 0,0068

18,0 23,0 30,0 42,0

4 6,3 10 14

25 25 30 35

45 50 60 70

55 60 70 80

140 160 180 200

76 85 102 120

88 95 112 128

55 60 70 80

28 38 38 38

20 22 22 22

30 35 35 40

2…6 2…6 2…6 2…6

4900 4300 3800 3400

290 450 720 1000

0,0115 0,023 0,0405 0,0728

58,0 85,0 125,0 170,0

20 28 40 56

40 45 50 55

80 90 100 110

90 100 110 120

225 250 285 320

134 154 166 190

144 90 164 100 176 110 195 125

42 42 54 54

28 28 35 35

40 40 50 50

4 … 10 4 … 10 4 … 10 4 … 10

3000 2700 2400 2100

1440 2000 2900 4000

0,1235 0,2025 0,375 0,65

240,0 330,0 460,0 650,0

80 110 160 220

65 75 85 95

120 130 140 160

130 140 160 180

360 400 450 500

205 218 240 270

210 230 260 290

68 80 80 102

44 52 52 62

60 75 75 90

6 … 14 6 … 14 6 … 14 6 … 14

1900 1700 1500 1350

5800 7900 11500 15800

1,2 2,025 3,375 6,125

900,0 1250,0 1700,0 2450,0

140 160 180 200

12.5 Schaltkupplungen 12.5.1 Mechanisch betätigte Schaltkupplungen

Eine im Stillstand schaltbare Formschlusskupplung ist die Zahnkupplung (Bild 8). Beide Kupplungsnaben (1 und 2) haben Außenverzahnungen, die über eine Innenverzahnung der Hülse (3) verbunden werden. Das Einkuppeln erfolgt durch Verschieben der Hülse (im Bild nach links) mit dem Schaltring (4). Zähne werden durch Schmierkopf (5) mit Fett geschmiert. Anwendung z.B. zum Kuppeln von Zahnrädern in Werkzeugmaschinen und Kfz-Getrieben.

Bild 8. Schaltbare Zahnkupplung

Während des Betriebs ein- und ausschaltbar sind die Reibungskupplungen. Bei der ALMAR-Kupplung

(Bild 9) wird das Drehmoment über mehrere im Mitnehmerring (3) sitzende Reibklötze (23) übertragen, die zwischen zwei mit Kupplungsteil (1) durch Gleitfeder (19) verbundene Druckringe (4 und 5) gepresst werden. Auskuppeln durch Verschieben des Schaltrings (6) mit Schaltmuffe (7) nach links. Dadurch wird der Winkelhebel (10) frei und beide Druckringe werden durch Druckfedern (18) auseinandergedrückt, sodass der Reibungsschluss und damit die Verbindung der beiden Kupplungsnaben (1 und 2) gelöst sind. Verwendung für häufig ein- und ausschaltbare Antriebe, z.B. von Förderelementen. Eine häufig verwendete Bauform schaltbarer Reibungskupplungen ist die dem Prinzip der Scheibenkupplung entsprechende Lamellenkupplung. Eine der bekanntesten dieser Art ist die Sinus-Lamellenkupplung (Bild 10). Die auf treibender Welle sitzende Nabe (1) trägt Außenverzahnung, in die die Zähne der gewellten „Sinus“-Innenlamellen (3) eingreifen. Die plan geschliffenen Außenlamellen (4) greifen mit Außenzähnen in die Innenverzahnung des Mantels der Nabe (2) ein. Einkuppeln erfolgt durch Verschieben der Schaltmuffe (5) nach links, wodurch Winkelhebel (6) die axial verschiebbaren FederstahlLamellen aufeinander pressen. Weiches Anlaufen durch allmähliche Abflachung der Lamellen bis zur Plananlage. Beim Ausschalten (Verschieben der Schaltmuffe nach rechts) federn Lamellen durch ihre Wellenform von selbst auseinander. Die Anpresskraft und damit das übertragbare Drehmoment ist durch die Ringmutter (7) einstellbar, sodass die Kupplung auch als Sicherheitskupplung verwendbar ist.

I 132

I Maschinenelemente 12.5.2 Elektrisch betätigte Schaltkupplungen

Vorteile gegenüber mechanisch betätigten sind: kleinere Bauabmessungen bei gleichem Drehmoment, Fernschaltung möglich, Schaltgestänge und Verschleißstellen entfallen, einfache Steuerung durch Endschalter oder Schaltwalzen. Nachteile: dauernder Stromverbrauch, während des Betriebs Leistungsverlust durch Reibungs- und Stromwärme. Anwendung vorwiegend bei Werkzeugmaschinen.

Bild 9. ALMAR-Kupplung (Werkbild Flender AG, Bocholt)

■ Beispiel: Elektromagnetische Einscheibenkupplung (Bild 11). Über Schleifringe (9) wird der Spule (3) Gleichspannung zugeführt. Durch das magnetischen Kraftfeld wird die auf der abtriebsseitigen Nabe (4) axial verschiebbare Ankerscheibe (1) mit dem Reibbelag (6) angezogen; wird der Strom unterbrochen, drücken Federn (11) die Ankerscheibe zurück.

1 Kupplungsteil, 2 Mitnehmerteil, 3 Mitnehmerring, 4 Zwischenring, 5 Druckring, 6 Schaltring, 7 Schaltmuffe, 8 Zentrierzapfen, 9 Nachstellring, 10 Winkelhebel, 11 Gewindestift, 12 Zentrierung a, 13 Zentrierung b, 14 Anschlag, 15 Rolle mit Bolzen, 16 Bolzen, 17 Druckstück, 18 Druckfeder, 19 Gleitfeder, 20 Feststellschraube, 21 Innensechskantschraube, 22 Kugellager (Zentrierung), 23 Reibklotz

Bild 11. Elektromagnetische Einscheibenkupplung (Werkbild Stromag AG, Unna) 1 4 6 9

Ankerscheibe, 2 Spulenkörper, 3 Spule, abtriebsseitige Nabe, 5 antriebsseitige Nabe, Reibbelag, 7 Nutmutter, 8 Reibring (verstellbar) Schleifringkörper, 10 Einstellkeil, 11 Abdrückfeder

12.5.3 Hydraulisch und pneumatisch betätigte Schaltkupplungen Bild 10. Sinus-Lamellenkupplung (Werkbild Ortlinghaus-Werke GmbH, Wermelskirchen)

Lamellenkupplungen zeichnen sich durch kleine Baudurchmesser aus und sind besonders zum Einbau in Bauteile wie Trommeln und Riemenscheiben geeignet.

Vorteile gegenüber mechanisch oder elektrisch betätigten sind: Übertragbares Drehmoment durch Ändern des Öl- oder Luftdruckes leicht zu variieren; Nachstellen bei Verschleiß entfällt, Ausgleich durch größere Kolbenwege. Nachteile: Besondere Pumpenund Steuerungsanlagen erforderlich; Gefahr von

13 Lager

I 133

Druckverlusten durch Undichtigkeiten. Anwendung hauptsächlich bei Werkzeugmaschinen. ■ Beispiel: Drucköl-(oder druckluft-) gesteuerte Lamellenkupplung (Bild 12). Das durch die Welle zugeführte Treibmittel tritt durch die Bohrung (3) in den Druckraum (4) und schiebt den Kolben (5) mit Bolzen (6) gegen die Lamellen (7), wodurch die Kupplungsteile (1 und 2) reibschlüssig verbunden werden. Hört die Druckwirkung auf, wird der Kolben durch die Feder (8) wieder abgedrückt und die Verbindung gelöst.

Bild 1. Grundformen der Lager a) Radiallager, b) Axiallager

13.2 Wälzlager 13.2.1 Eigenschaften, Verwendung

Bild 12. Drucköl- (oder druckluft) gesteuerte Lamellenkupplung (Werkbild Stromag, Unna)

13 Lager

A. Böge

Normen (Auswahl) und Richtlinien DIN-Taschenbuch 24: DIN 611 DIN 1850 DIN 31652 DIN 51519 VDI-Richtlinie 2202: VDI-Richtlinie 2204:

Wälzlager-Normen, Beuth-Vertrieb GmbH, Berlin Übersicht Wälzlager Buchsen für Gleitlager Hydrodynamische Radial-Gleitlager im stationären Betrieb ISO-Viskositätsklassifikation für flüssige Industrieschmierstoffe Schmierstoffe und Schmiereinrichtungen für Gleit- und Wälzlager Blatt 1: Auslegung von Gleitlagerungen; Grandlagen; Blatt 2: Berechnung; Blatt 3: Kennzahlen und Beispiele für Radiallager; Blatt 4: Kennzahlen und Beispiele für Axiallager.

Wälzlager zeichnen sich durch kleines AnlaufReibungsmoment, geringen Schmierstoffverbrauch und Anspruchslosigkeit in Pflege und Wartung aus. Nachteilig ist die Empfindlichkeit gegen Stöße und Erschütterungen sowie gegen Verschmutzung; die Höhe der Lebensdauer und der Drehzahl ist begrenzt. Verwendung für möglichst wartungsfreie und betriebssichere Lagerungen bei normalen Anforderungen, z.B. bei Werkzeugmaschinen, Getrieben, Motoren, Fahrzeugen, Hebezeugen. 13.2.2 Bauformen Rillenkugellager, DIN 625 (Bild 2a): Radial und axial in beiden Richtungen belastbar, bei liegenden Wellen und hohen Drehzahlen für Axialkräfte sogar besser geeignet als Axialrillenkugellager. Es erreicht von allen Lagern die höchsten Drehzahlen und ist von allen belastungsmäßig vergleichbaren das preiswerteste.

13.1 Allgemeines Man unterscheidet nach Art der Bewegungsverhältnisse Gleitlager, bei denen eine Gleitbewegung zwischen Lager und gelagertem Teil stattfindet und Wälzlager, bei denen die Bewegung durch Wälzkörper übertragen wird. Nach der Richtung der Lagerkraft unterteilt man in Radiallager (Querlager) und Axiallager (Längslager), Bild 1.

Bild 2. Kugellager a) Rillenkugellager, b) einreihiges und c) zweireihiges Schrägkugellager, d) Schulterkugellager, e) Pendelkugellager Einreihiges Schrägkugellager, DIN 628 (Bild 2b); für größere Axialkräfte in einer Richtung geeignet; Einbau nur paarweise und spiegelbildlich zueinander.

13 Lager

I 133

Druckverlusten durch Undichtigkeiten. Anwendung hauptsächlich bei Werkzeugmaschinen. ■ Beispiel: Drucköl-(oder druckluft-) gesteuerte Lamellenkupplung (Bild 12). Das durch die Welle zugeführte Treibmittel tritt durch die Bohrung (3) in den Druckraum (4) und schiebt den Kolben (5) mit Bolzen (6) gegen die Lamellen (7), wodurch die Kupplungsteile (1 und 2) reibschlüssig verbunden werden. Hört die Druckwirkung auf, wird der Kolben durch die Feder (8) wieder abgedrückt und die Verbindung gelöst.

Bild 1. Grundformen der Lager a) Radiallager, b) Axiallager

13.2 Wälzlager 13.2.1 Eigenschaften, Verwendung

Bild 12. Drucköl- (oder druckluft) gesteuerte Lamellenkupplung (Werkbild Stromag, Unna)

13 Lager

A. Böge

Normen (Auswahl) und Richtlinien DIN-Taschenbuch 24: DIN 611 DIN 1850 DIN 31652 DIN 51519 VDI-Richtlinie 2202: VDI-Richtlinie 2204:

Wälzlager-Normen, Beuth-Vertrieb GmbH, Berlin Übersicht Wälzlager Buchsen für Gleitlager Hydrodynamische Radial-Gleitlager im stationären Betrieb ISO-Viskositätsklassifikation für flüssige Industrieschmierstoffe Schmierstoffe und Schmiereinrichtungen für Gleit- und Wälzlager Blatt 1: Auslegung von Gleitlagerungen; Grandlagen; Blatt 2: Berechnung; Blatt 3: Kennzahlen und Beispiele für Radiallager; Blatt 4: Kennzahlen und Beispiele für Axiallager.

Wälzlager zeichnen sich durch kleines AnlaufReibungsmoment, geringen Schmierstoffverbrauch und Anspruchslosigkeit in Pflege und Wartung aus. Nachteilig ist die Empfindlichkeit gegen Stöße und Erschütterungen sowie gegen Verschmutzung; die Höhe der Lebensdauer und der Drehzahl ist begrenzt. Verwendung für möglichst wartungsfreie und betriebssichere Lagerungen bei normalen Anforderungen, z.B. bei Werkzeugmaschinen, Getrieben, Motoren, Fahrzeugen, Hebezeugen. 13.2.2 Bauformen Rillenkugellager, DIN 625 (Bild 2a): Radial und axial in beiden Richtungen belastbar, bei liegenden Wellen und hohen Drehzahlen für Axialkräfte sogar besser geeignet als Axialrillenkugellager. Es erreicht von allen Lagern die höchsten Drehzahlen und ist von allen belastungsmäßig vergleichbaren das preiswerteste.

13.1 Allgemeines Man unterscheidet nach Art der Bewegungsverhältnisse Gleitlager, bei denen eine Gleitbewegung zwischen Lager und gelagertem Teil stattfindet und Wälzlager, bei denen die Bewegung durch Wälzkörper übertragen wird. Nach der Richtung der Lagerkraft unterteilt man in Radiallager (Querlager) und Axiallager (Längslager), Bild 1.

Bild 2. Kugellager a) Rillenkugellager, b) einreihiges und c) zweireihiges Schrägkugellager, d) Schulterkugellager, e) Pendelkugellager Einreihiges Schrägkugellager, DIN 628 (Bild 2b); für größere Axialkräfte in einer Richtung geeignet; Einbau nur paarweise und spiegelbildlich zueinander.

I 134

I Maschinenelemente

Zweireihiges Schrägkugellager, DIN 628 (Bild 2c): Entspricht einem Paar spiegelbildlich zusammengesetzter einreihiger Schrägkugellager; radial und axial in beiden Richtungen hoch belastbar. Schulterkugellager, DIN 615 (Bild 2d): Zerlegbares Lager mit abnehmbarem Außenring mit ähnlichen Eigenschaften wie das einreihige Schrägkugellager. Pendelkugellager, DIN 630 (Bild 2e): Durch kugelige Außenringlaufbahn unempfindlich gegen winklige Wellenverlagerungen; radial und axial belastbar; dort verwendet, wo mit unvermeidlichen Einbauungenauigkeiten gerechnet werden muss. Zylinderrollenlager, DIN 5412 (Bild 3): Wegen linienförmiger Berührung zwischen Rollen und Laufbahnen radial hoch belastbar, axial jedoch nicht oder nur sehr gering belastbar. Nach Anordnung der Borde unterscheidet man Bauarten N und NU mit bordfreiem Außen- bzw. Innenring und NJ und NUP als Führungslager zur axialen Wellenführung.

lich zueinander; Lagerspiel kann ein- und nachgestellt werden. Verwendung für Radlagerungen bei Fahrzeugen, Seilrollenlagerungen, Spindellagerungen.

Bild 5. Kegelrollenlager

Tonnen- und Pendelrollenlager, DIN 635 (Bild 6): Ermöglichen durch kugelige Außenringlaufbahnen und tonnenförmige Wälzkörper den Ausgleich von winkligen Wellenverlagerungen. Anwendung wie Pendelkugellager bei höchsten Radialkräften, Pendelrollenlager auch bei hohen Axialkräften.

Bild 6. Tonnenlager a) Tonnenlager, b) Pendelrollenlager

Bild 3. Zylinderrollenlager a) Bauart N (Innenbordlager) b) Bauart NU (Außenbordlager) c) Bauart NJ (Stützlager) d) Bauart NUP (Führungslager) e) Bauart NJ mit Stützring (Führungslager)

Axial-Rillenkugellager, DIN 711 (Bild 7) nehmen nur Axialkräfte bei möglichst senkrechten Wellen auf, zweiseitig wirkende übertragene Kräfte in beiden Richtungen.

Nadellager, DIN 617 (Bild 4) Zeichnet sich durch kleinen Baudurchmesser aus; nur radial belastbar; unempfindlich gegen stoßartige Belastung. Verwendung vorwiegend bei kleineren Drehzahlen und Pendelbewegungen (Pleuellager, Kipphebellager).

Bild 4. Nadellager

Kegelrollenlager, DIN 720 (Bild 5): Radial und axial hoch belastbar; Einbau nur paarweise und spiegelbild-

Bild 7. Axial-Rillenkugellager a) einseitig wirkend b) zweiseitig wirkend

13 Lager

I 135

Axial-Pendelrollenlager, DIN 728 (Bild 8) sind Fluchtfehler ausgleichende Axiallager; tonnenförmige Wälzkörper übertragen die Kraft unter | 45º zur Lagerachse auf beide Scheiben.

Für radial mit einer Radialkraft Fr und axial mit einer Axialkraft Fa belastete Radiallager beträgt die dynamisch äquivalente Lagerbelastung P = X Fr + Y Fa

Jeder Lagerbohrung sind mehrere Außendurchmesser (Durchmesserreihen 0, 2, 3 und 4) und Breiten (Breitenreihen 0, 1, 2 und 3) zugeordnet, um einen möglichst großen Belastbarkeitsbereich bei Lagern gleicher Bohrung zu erreichen. Das Lagerkurzzeichen setzt sich aus Ziffern oder Buchstaben und Ziffern zur Kennzeichnung der Bauform, Breitenreihe und Durchmesserreihe zusammen. Die letzte Zifferngruppe stellt die Bohrungskennziffer dar. Bei Bohrungen t 20 mm ergibt sich deren Größe durch Multiplikation der Kennziffer mit 5. ■ Bezeichnungsbeispiel: 2 2 3 16 (lies: zweihundertdreiundzwanzig - sechszehn) 16 u 5 = 80 mm Bohrung Durchmesserreihe 3 Breitenreihe 2

(2)

(3)

Fr Radialkraft; Fa Axialkraft; X Radialfaktor, berücksichtigt Verhältnis Radial- zur Axialkraft; Y Axialfaktor zum Umrechnen der Axialkraft in eine gleichwertige (äquivalente) Radialkraft; Werte für X und Y siehe Tabelle 2. 13.2.4.2 Lebensdauer, dynamische Tragzahl

Die Lebensdauer eines Lagers ist die Anzahl der Umdrehungen oder Stunden, bevor sich erste Anzeichen einer Oberflächenbeschädigung (Risse, Poren) bei Wälzkörpern und Rollbahnen zeigen. Da die Werte in weiten Grenzen schwanken, ist für die Berechnung die nominelle Lebensdauer maßgebend, die mindestens 90 % einer größeren Zahl gleicher Lager erreichen oder überschreiten. Die dynamische Tragzahl C ist die Belastung, die eine nominelle Lebensdauer L = 106 Umdrehungen bzw. L h = 500 h bei n = 33 13 min–1 erwarten lässt. Die Lebensdauer eines Lagers ergibt sich aus

Pendelrollenlager

Die wichtigsten Lagerabmessungen enthalten die Tabellen 9 bis 19.1) 13.2.4 Berechnung umlaufender Wälzlager 13.2.4.1 Dynamisch äquivalente Lagerbelastung

Unter dynamisch äquivalenter (gleichwertiger) Lagerbelastung versteht man die rein, radiale, bei Axiallagern axiale Belastung, die das Lager unter den tatsächlich vorliegenden Betriebsverhältnissen auch erreicht. Wird das Radiallager allein durch eine Radialkraft Fr belastet, dann wird die dynamisch äquivalente Lagerbelastung Fr N

1

P = Fa + 1,2 Fr für Fr d 0,55 Fa

13.2.3 Baumaße, Kurzzeichen

P N

N

Diese Gleichung gilt nur bei annähernd konstanter Lagerbelastung (Drehmoment M und Drehzahl n konstant). Bei wechselnden Belastungsgrößen M und n sind die Herstellerangaben zu beachten. Für nur axial belastete Axial-Rillenkugellager und Axial-Pendelrollenlager wird P = Fa. Für radial und axial belastete Axial-Pendelrollenlager ist

Bild 8. Axial-Pendelrollenlager

P = Fr

P, Fr , Fa X, Y

fL =

C fn f t P

fL , fn , ft C, P 1

(4)

N

fL dynamische Kennzahl Lebensdauerfaktor (siehe Tabelle 7 und 8) fn Drehzahlfaktor (siehe Tabelle 7) ft Temperaturfaktor (siehe Tabelle 1) Tabelle 1. Temperaturfaktor ft Betriebstemperatur

(1)

ºC < 150 200 250 300

Temperaturfaktor ft 1,0 0,73 0,42 0,22

1) Sämtliche Angaben in den Tabellen zur Wälzlagerbestimmung wurden mit Genehmigung der FAG Kugelfischer Georg Schäfer & Co., Schwein-

furt, dem Katalog FAG Standardprogramm Supplement 41 ST 500 D entnommen.

I 136

I Maschinenelemente

Tabelle 2. Radial- und Axialfaktoren für Rillenkugellager Fa / C0

e

0,025 0,04 0,07 0,13 0,25 0,5

0,22 0,24 0,27 0,31 0,37 0,44

Fa / Fr > e X Y 0,56 2 0,56 1,8 0,56 1,6 0,56 1,4 0,56 1,2 0,56 1

Fa / Fr d e X 1 1 1 1 1 1

Y 0 0 0 0 0 0

Die statische Tragzahl C0 wird der Tabelle 9 für Rillenkugellager entnommen. 13.2.4.3 Höchstdrehzahlen. Vorstehende Berechnungsgleichungen gelten für „normal“ ausgeführte Lager, solange bestimmte Höchstdrehzahlen nicht überschritten werden. Höhere Drehzahlen führen zu Schwingungen und gefährden durch zu hohe Fliehkräfte das einwandfreie Abwälzen der Wälzkörper. 13.2.5 Berechnung stillstehender oder langsam umlaufender Lager

Die Berechnung gilt für Wälzlager im Stillstand, bei Pendelbewegungen oder bei kleinen Drehzahlen etwa n d 20 min–1. 13.2.5.1 Statisch äquivalente Lagerbelastung. Die statisch äquivalente Lagerbelastung ist die radiale, bei Axiallagern axiale Belastung, die an Rollbahnen und Wälzkörpern die gleiche Verformung hervorruft, wie sie bei den vorliegenden Verhältnissen auch auftritt. Für ein- und zweireihige Rillenkugellager gilt für die statisch äquivalente Lagerbelastung P0 :

P0 = Fr

für

Fa ื 0,8 Fr

(5)

P0 = 0,6  Fr + 0,5  Fa

für

Fa > 0,8 Fr

(6)

und hieraus die erforderliche statische Tragzahl C0 = P0 fs

(8)

fs Betriebsfaktor; man setzt fs t 2 bei Stößen und Erschütterungen, fs = 1 bei normalem Betrieb, fs = 0,5 bis 1 bei erschütterungsfreiem Betrieb. Werte für C0 siehe Wälzlagertabellen 9 und folgende. 13.2.6 Gestaltung der Lagerstellen 13.2.6.1 Passungen. Für die Wahl der Passung zwischen Innenring und Welle bzw. Außenring und Gehäuse sind Größe und Bauform der Lager, Belastung, axiale Verschiebemöglichkeit bei Loslagern (siehe 13.2.6.2) und besonders die Umlaufverhältnisse entscheidend. Hierunter versteht man die relative Bewegung eines Lagerrings zur Lastrichtung. Man unterscheidet

Umfangslast, bei der der Ring relativ zur Lastrichtung umläuft, und Punktlast, bei der der Ring relativ zur Lastrichtung stillsteht. Einbauregel: Der Ring mit Umfangslast muss fest sitzen, der Ring mit Punktlast kann lose (oder auch fest) sitzen. Geeignete Passungen für häufig vorkommende Betriebsfälle siehe Tabelle 4 und 5. 13.2.6.2 Ein- und Ausbau. Bei mehrfacher Wellenlagerung darf insbesondere wegen verspannungsfreien Einbaues und Wärmedehnungen nur ein Lager, das Festlager (2), die Welle in Längsrichtung führen, die anderen Lager, die Loslager (1), müssen sich axial frei einstellen können (siehe Bild 13). Möglichkeiten des Einbaus von Innen- und Außenring bei Festlagern zeigen die Bilder 9 und 10. Einbaumaße für Rillenkugellager nach Tabelle 3.

Für die anderen Wälzlagerarten sind die Gleichungen in den Tabellen 10, 12, 14, 16, 18, und 19 zu verwenden. 13.2.5.2 Statische Tragzahl. Die statische Tragzahl ist die rein radiale, bei Axiallagern axiale Lagerbelastung, die bei stillstehenden Lagern eine bleibende Verformung von 0,01 % des Wälzkörperdurchmessers an der Berührungsstelle zwischen Wälzkörper und Rollbahn hervorruft. Unter Berücksichtigung der Betriebsverhältnisse ergibt sich die statische Höchstbelastung C P0 = 0 fs

P0 , C 0

fs

N

1

(7)

c)

d)

e)

Bild 9. Befestigung der Lager auf Wellen a) durch Spannhülse b) durch Abziehhülse c) durch Spannscheibe d) durch Sicherungsring e) durch Presssitz

13 Lager

I 137 13.2.7 Schmierung der Wälzlager

Bild 10. Befestigung von Außenringen in Gehäusebohrungen a) durch Zentrieransatz des Lagerdeckels b) durch Ringnut und Sprengring

Für den Ausbau der Lager sind, besonders bei ungeteilten Lagerstellen, geeignete konstruktive Maßnahmen zu treffen, z.B. Vorsehen von Gewindelöchern für Abdrückschrauben. Bei schweren Lagern mit Kegelsitz (Spannhülse) hat sich der hydraulische Ausbau bewährt. Tabelle 3. Einbaumaße in mm für Kugellager (Kantenabstände nach DIN 620, Rundungen und Schulterhöhen nach DIN 5418) Kantenabstand rsmin

0,15 0,2 0,3 0,6 1 1,1 1,5 2 2,1 3 4 5

Hohlkehlenradius rgmax

0,15 0,2 0,3 0,6 1, 1 1,5 2 2,1 2,5 3 4

Schulterhöhe hmin Lagerreihe 618 62 160 63 161 42 60 43 0,4 0,7 0,7 0,9 1 1,2 1,6 2,1 2,3 2,8 3 3,5 3,5 4,5 4,4 5,5 5,1 6 6,2 7 7,3 8,5 9 10

Allgemein wird Fettschmierung bevorzugt. Sie erfordert nur geringe Wartung und schützt gleichzeitig gegen Verschmutzung. Verwendet werden Wälzlagerfette. Die Lager selbst werden eingestrichen und der Gehäuseraum etwa zur Hälfte gefüllt, um Walkarbeit und Erwärmung zu vermeiden. Eigenschaften und Verwendung der Wälzlagerfette nach Empfehlung der Hersteller. Ölschmierung kommt nur bei sehr hohen Drehzahlen und dort in Frage, wo Öl zur Schmierung anderer Elemente, z.B. der Zahnräder in Getriebegehäusen ohnehin vorhanden ist. Ölgeschmierte Lager erfordern einen höheren Aufwand an Dichtungen als fettgeschmierte. Verwendet werden Mineralöle nach DIN 51519. 13.2.8 Lagerdichtungen

Dichtungen sollen in erster Linie die Lager gegen Eindringen von Schmutz schützen, zum anderen das Austreten des Schmiermittels verhindern. 13.2.8.1 Nicht schleifende Dichtungen. Bei diesen wird die Dichtwirkung enger Spalten ausgenutzt. Sie arbeiten verschleißfrei und haben dadurch eine fast unbegrenzte Lebensdauer. Spaltdichtungen werden vorwiegend bei fettgeschmierten Lagern verwendet und vielfach bei starkem Schmutz- und Staubanfall den spaltlosen, schleifenden Dichtungen vorgeschaltet. Bei geringer Verschmutzungsgefahr genügen einfache Spalt- oder Rillendichtungen (Bilder 11a und 11b). Am wirksamsten sind die Labyrinthdichtungen, deren Gänge meist noch mit Fett gefüllt werden. Bei ungeteilten Gehäusen muss das Labyrinth axial (Bild 11c) gestaltet werden, bei geteilten wird die radiale Labyrinthdichtung (Bild 11d) bevorzugt, die das Fett besser hält.

Bild 11. Nicht schleifende Dichtungen (nach Kugelfischer) a) einfache Spaltdichtung, b) Rillendichtung, c) axiale Labyrinthdichtung, d) radiale Labyrinthdichtung 13.2.8.2 Schleifende Dichtungen. Diese schließen das Lager spaltlos ab. Sie haben dadurch eine bessere Dichtwirkung als Spaltdichtungen und sind bei Fettund Ölschmierung gleich gut geeignet. Schleifende Dichtungen erfordern sorgfältig bearbeitete Gleitflächen; sie haben wegen des Verschleißes jedoch eine begrenzte Lebensdauer.

I 138

I Maschinenelemente

In vielen Fällen genügt der Filzring, DIN 5419 (Bild 12a), der vielfach auch als Feindichtung hinter Labyrinthen verwendet wird. Am häufigsten wird der Radialdichtring eingesetzt. Die Ausführung mit Gehäuse wird bevorzugt, wenn der Ring von außen zum Beispiel in einen Lagerdeckel eingeführt wird (Bild 12b).

Bei Ausführung b) reichen Radiallager zur Aufnahme der Axialkraft nicht mehr aus. Es wird dann ein Zylinderrollenlager (4) mit einem zweiseitig wirkenden Axialrillenkugellager (3) kombiniert und mit dem Passring (5) spielfrei eingestellt. In Bild 13b zeigt die obere Hälfte den axialen Kraftfluss von links nach rechts, die untere den Kraftfluss von rechts nach links. Geschmiert wird mit Fett. Der Filzring verhindert das Eindringen von Abriebteilchen in das Gehäuseinnere. Vorderradlagerung eines Kraftwagens (Bild 14): Aufzunehmen sind hohe Radial- und normale Axialkräfte. Ausführung mit spiegelbildlich zueinander eingebauten Kegelrollenlagern, die durch Kronenmutter (K) ein- und nachgestellt werden. Es liegt hier „Punktlast für den Innenring“ vor, daher sitzen Innenringe lose und verschiebbar auf der Achse. Vorratsschmierung mit Fett; Abdichtung durch RadialDichtring.

Bild 12. Schleifende Dichtungen a) Filzring, b) bis d) Radialdichtringe verschiedener Form (L Lager-Innenraum)

Normal-Stehlager (Bild 15): Es treten Radial- und normalerweise geringere Axialkräfte auf. Das Gehäuse ist geteilt und fast nur mit Pendelkugellager mit Spannhülse ausgeführt. Das Bild zeigt die Ausbildung als Festlager; beim Loslager werden Futterringe (F) weggelassen, der Außenring ist dann frei verschiebbar. Vorratsschmierung mit Fett.

13.2.9 Einbau-Beispiele

Lagerung einer Schneckenwelle (Bild 13): Es treten Radialkräfte und eine hohe Axialkraft auf. Bei Ausführung a) nimmt das zweireihige Schrägkugellager (2) als Festlager sowohl die Radialkraft als auch die Axialkraft auf, das Rillenkugellager als Loslager nur die Radialkraft.

Bild 14. Vorderradlagerung eines Kraftwagens (nach Kugelfischer)

Bild 13. Lagerung einer Schneckenwelle (nach Kugelfischer)

Bild 15. Normal-Stehlager

13 Lager 13.2.10 Berechnungsbeispiele für Wälzlager ■ Beispiel 1: Für das Festlager einer Kegelradwelle wird entsprechend dem vorher ermittelten Wellendurchmesser d = 45 mm das Rillenkugellager 6209 vorläufig festgelegt. An der Lagerstelle wirken die Stützkräfte: Radialkraft Fr = 2 200 N und Axialkraft Fa = 1 400 N. Die Wellendrehzahl beträgt n = 260 min–1. Die Betriebstemperatur liegt unter 150 ºC. Es ist zu prüfen, ob das Lager für eine geforderte Lebensdauer von Lh t 20 000 h ausreicht.

Lösung:

Für das gewählte Lager 6209 liest man aus Tabelle 9 ab: dynamische Tragzahl C = 32,5 kN = 32 500 N statische Tragzahl C0 = 17,6 kN = 17 600 N Zur Bestimmung der Faktoren X und Y muss nach Tabelle 2 vorgegangen werden:

Fa 1 400 N = = 0,0795 C0 17 600 N Der nächstliegende Wert in Tabelle 2 für e beträgt e = 0,27. Nun wird der Quotient Fa / Fr berechnet und mit dem Wert e = 0,27 verglichen:

Fa 1 400 N = = 0, 636 > e = 0, 27 Fr 2 200 N Für den Radialfaktor X und für den Axialfaktor Y ergeben sich nach Tabelle 2 die Werte: Radialfaktor X = 0,56 Axialfaktor Y = 1,6 Damit kann die dynamisch äquivalente Lagerbelastung P errechnet werden:

I 139 Diese Lebensdauer ist allerdings nur dann zu erwarten, wenn nicht andere Einflussgrößen dagegen sprechen, zum Beispiel Wellendurchbiegung und Fremdstoffe im Lagerbereich. Da die Betriebstemperatur unter 150 ºC liegen soll, ist eine Verkleinerung der nominellen Lebensdauer nicht erforderlich (siehe Tabelle 1). ■ Beispiel 2: Die Festlagerstelle einer Schneckenradwelle wird durch die Radialkraft Fr = 1 340 N und durch die Axialkraft Fa = 4 300 N belastet. Die Wellendrehzahl beträgt n = 750 min–1, die Betriebstemperatur liegt unter 150 ºC. Es ist anzunehmen, dass die relativ hohe Axialkraft von einem Rillenkugellager mit zweckmäßigem Wellendurchmesser nicht aufgenommen werden kann. Deshalb wird zunächst ein zweireihiges Schrägkugellager vorgesehen, und zwar für eine Lebensdauer von Lh t 15 000 h. Lösung: In der Tabelle 10 sind für die dynamisch äquivalente Lagerbelastung jeweils zwei Gleichungen für die Druckwinkel von 25º und von 35º angegeben. Entscheidet man sich für die Standardausführung B mit Polyamidkäfig und dem Druckwinkel D = 25º, dann gelten die beiden ersten Gleichungen. In beiden Fällen ist zunächst das Verhältnis Fa / Fr zu bestimmen:

Fa 4 300 N = = 3, 2 > 0,68 Fr 1 340 N

Zu verwenden ist also die Gleichung P = 0,67 Fr + 1,41 Fa P = 0,67  1 340 N + 1,41  4 300 N P = 6 961 N = 6,96 kN

Nun kann mit der Gleichung nach Tabelle 10 weitergerechnet werden. Sie wird zur Berechnung der erforderlichen dynamischen Tragzahl Cerf umgestellt: f C Cerf = P L fL = f fn P n

P = X Fr + Y Fa = 0,56  2 200 N + 1,6  1 400 N

Die dynamische Kennzahl fL beträgt nach Tabelle 7 für die geforderte Lebensdauer Lh > 15 000 h:

P = 3 472 N = 3,472 kN

fL = 3,11.

Es sind nun alle Größen zur Berechnung der dynamischen Kennzahl fL bekannt. Nach Gleichung (4) gilt:

Ebenfalls aus Tabelle 7 wird der Drehzahlfaktor fn = 0,354 abgelesen. Damit kann die erforderliche dynamische Tragzahl berechnet werden: f 3,11 Cerf = P L = 6,96 kN  = 61,1 kN 0,354 fn

fL =

C f P n

fL =

32,5 kN ⋅0,504 = 4,72 3,472 kN

C = 32,5 kN P = 3,472 kN fn = 0,504 nach Tabelle 7 für n = 260 min–1 Nach Tabelle 7 beträgt für fL = 4,72 die nominelle Lebensdauer Lh | 53 000h.

Geht man nun in der Tabelle 11 die Spalte für die dynamische Tragzahl C von oben nach unten durch, erkennt man als erstes Lager, mit dem die Bedingung Cerf d C erfüllt werden kann, das zweireihige Schrägkugellager 3 308 B mit C = 62 kN und mit dem Wellendurchmesser d = 40 mm. Im Hinblick auf die nominelle Lebensdauer gelten auch hier die Anmerkungen am Schluss von Beispiel 1.

I 140

I Maschinenelemente

Tabelle 4. Wellentoleranzen Radiallager mit zylindrischer Bohrung Belastungsart Punktlast für den Innenring

Umfangslast für den Innenring oder unbestimmte Last

Lagerart

Wellendurchmesser

Kugellager, Rollenlager und Nadellager

alle Größen

Loslager mit verschiebbarem Innenring

Toleranzfeld g6 (g5) h6 (h5)

Schrägkugellager und Kegelrollenlager h6 (j6) mit angestelltem Innenring

Kugellager

bis 40 mm

normale Belastung

j6 (j5)

bis 100 mm

kleine Belastung

j6 (J5)

normale und hohe Belastung

k6 (k5)

kleine Belastung

k6 (k5)

normale und hohe Belastung

m6 (m5)

normale Belastung

m6 (m5)

hohe Belastung, Stöße

n6 (n5)

kleine Belastung

j6 (j5)

normale und hohe Belastung

k6 (k5)

kleine Belastung

k6 (k5)

normale Belastung

m6 (m5)

hohe Belastung

n6 (n5)

normale Belastung

m6 (n6)

hohe Belastung, Stöße

p6

normale Belastung

n6 (p6)

hohe Belastung

p6

bis 200 mm über 200 mm Rollenlager und Nadellager

Verschiebbarkeit Belastung

bis 60 mm bis 200 mm

bis 500 mm über 500 mm

Axiallager Belastungsart Axiallast

Kombinierte Belastung

Lagerart

Wellendurchmesser

Betriebsbedingungen

Toleranzfeld

Axial-Rillenkugellager

alle Größen

j6

Axial-Rillenkugellager zweiseitig wirkend

alle Größen

k6

Axial-Zylinderrollenlager oder AxialNadelkranz mit Wellenscheibe

alle Größen

h6 (j6)

Axial-Zylinderrollenkranz oder AxialNadelkranz mit Lauf- oder Axialscheibe

alle Größen

h 10

Axial-Zylinderrollenkranz oder AxialNadelkranz

alle Größen

h8

Axial-Pendelrollenlager

alle Größen

Punktlast für die Wellenscheibe

bis 200 mm

Umfangslast für die Wellenscheibe

über 200 mm

j6 j6 (k6) k6 (m6)

13 Lager

I 141

Tabelle 5. Gehäusetoleranzen Radiallager Belastungsart Punktlast für den Außenring

Verschiebbarkeit Belastung

Betriebsbedingungen

Toleranzfeld

Loslager mit leicht verschiebbarem Außenring

Die Qualität der Toleranz richtet sich nach der notwendigen Laufgenauigkeit

H7 (H6)

Außenring meist verschiebbar, Schrägkugellager und Kegelrollenlager mit angestelltem Außenring

hohe Laufgenauigkeit notwendig

H6 (J6)

normale Laufgenauigkeit

H7 (J7)

Wärmezufuhr von der Welle Umfangslast für den kleine Belastung Außenring oder normale Belastung, Stöße unbestimmte Last hohe Belastung, Stöße

Bei hohen Anforderungen an die Laufgenauigkeit K6, M6, N6 und P6

G7 K7 (K6) M7(M6) N7 (N6)

hohe Belastung, starke Stöße, dünnwandige Gehäuse

P7 (P6)

Axiallager Belastungsart Axiallast

Lagerart Axial-Rillenkugellager

Betriebsbedingungen

Toleranzfeld

normale Laufgenauigkeit hohe Laufgenauigkeit

E8 H6

Axial-Zylinderrollenlager oder AxialNadelkranz mit Gehäusescheibe

H7 (K7)

Axial-Zylinderrollenkranz oder AxialNadelkranz mit Lauf- oder Axialscheibe

H11

Axial-Zylinderrollenkranz oder AxialNadelkranz

H10

Axial-Pendelrollenlager

normale Belastung hohe Belastung

E8 G7

kombinierte Belastung, Punktlast für die Gehäusescheibe

Axial-Pendelrollenlager

H7

kombinierte Belastung, Umfangslast für die Gehäusescheibe

Axial-Pendelrollenlager

K7

I 142

I Maschinenelemente

Tabelle 6. Richtwerte für die dynamische Kennzahl fL (Lebensdauerfaktor)

Einbaustelle

anzustrebender fL-Wert

Kraftfahrzeuge Motorräder Leichte Personenwagen Schwere Personenwagen Leichte Lastwagen Schwere Lastwagen Omnibusse Verbrennungsmotor

0,9 ... 1,6 1,4 ... 1,8 1 ... 1,6 1,8 ... 2,4 2 ... 3 1,8 ... 2,8 1,2 ... 2

Schienenfahrzeuge Achslager von: Förderwagen Straßenbahnwagen Reisezugwagen Güterwagen Abraumwagen Triebwagen Lokomotiven / Außenlager Lokomotiven / Innenlager Getriebe von Schienenfahrzeugen

2,5 ... 3,5 3,5 ... 4 3 ... 3,5 3 ... 3,5 3 ... 3,5 3,5 ... 4 3,5 ... 4 4,5 ... 5 3 ... 4,5

Schiffbau Schiffsdrucklager Schiffswellentraglager Große Schiffsgetriebe Kleine Schiffsgetriebe Bootsantriebe

3 ... 4 4 ... 6 2,5 ... 3,5 2 ... 3 1,5 ... 2,5

Landmaschinen Ackerschlepper selbst fahrende Arbeitsmaschinen Saisonmaschinen

1,5 ... 2 1,5 ... 2 1 ... 1,5

Baumaschinen Planierraupen, Lader Bagger / Fahrwerk Bagger / Drehwerk Vibrations-Straßenwalzen, Unwuchterreger Rüttlerflaschen

2 ... 2,5 1 ... 1,5 1,5 ... 2 1,5 ... 2,5 1 ... 1,5

Elektromotoren E-Motoren für Haushaltsgeräte Serienmotoren Großmotoren Elektrische Fahrmotoren

1,5 ... 2 3,5 ... 4,5 4 ... 5 3 ... 3,5

Walzwerke, Hütteneinrichtungen Walzgerüste Walzwerksgetriebe Rollgänge Schleudergießmaschinen

1 ... 3 3 ... 4 2,5 ... 3,5 3,5 ... 4,5

Einbaustelle

anzustrebender fL-Wert

Werkzeugmaschinen Drehspindeln, Frässpindeln Bohrspindeln Schleifspindeln Werkstückspindeln von Schleifmaschinen Werkzeugmaschinengetriebe Pressen / Schwungrad Pressen / Exzenterwelle Elektrowerkzeuge und Druckluftwerkzeuge

3 ... 4,5 3 ... 4 2,5 ... 3,5 3,5 ... 5 3 ... 4 3,4 ... 4 3 ... 3,5 2 ... 3

Holzbearbeitungsmaschinen Frässpindeln und Messerwellen Sägegatter/Hauptlager Sägegatter/Pleuellager

3 ... 4 3,5 ... 4 2,5 ... 3

Getriebe im Allg. Maschinenbau Universalgetriebe Getriebemotoren Großgetriebe, stationär

2 ... 3 2 ... 3 3 ... 4,5

Fördertechnik Bandantriebe / Tagebau Förderbandrollen / Tagebau Förderbandrollen / allgemein Bandtrommeln Schaufelradbagger/Fahrantrieb Schaufelradbagger/Schaufelrad Schaufelradbagger/Schaufelradantrieb Förderseilscheiben

4,5 ... 5,5 4,5 ... 5 2,5 ... 3,5 4 ... 4,5 2,5 ... 3,5 4,5 ... 6 4,5 ... 5,5 4 ... 4,5

Pumpen, Gebläse, Kompressoren Ventilatoren, Gebläse Kreiselpumpen Hydraulik-Axialkolbenmaschinen und Hydraulik-Radialkolbenmaschinen Zahnradpumpen Verdichter, Kompressoren Brecher, Mühlen, Siebe u.a. Backenbrecher Kreiselbrecher, Walzenbrecher Schlägermühlen Hammermühlen Prallmühlen Rohrmühlen Schwingmühlen Mahlbahnmühlen Schwingsiebe

3,5 ... 4,5 4 ... 5 1 ... 2,5 1 ... 2,5 2 ... 3,5

3 ... 3,5 3 ... 3,5 3,5 ... 4,5 3,5 ... 4,5 3,5 ... 4,5 4 ... 5 2 ... 3 4 ... 5 2,5 ... 3

13 Lager

I 143

Tabelle 7. Lebensdauer L h , Lebensdauerfaktor fL und Drehzahlfaktor fn für Kugellager fL-Werte für Kugellager Lh h

fL

Lh h

fL

Lh h

fL

Lh h

fL

Lh h

fL

100 110 120 130 140 150 160 170 180 190

0,585 0,604 0,621 0,638 0,654 0,669 0,684 0,698 0,711 0,724

420 440 460 480 500 550 600 650 700 750

0,944 0,958 0,973 0,986 1 1,03 1,06 1,09 1,12 1,14

1 700 1 800 1 900 2 000 2 200 2 400 2 600 2 800 3 000 3 200

1,5 1,53 1,56 1,59 1,64 1,69 1,73 1,78 1,82 1,86

6 500 7 000 7 500 8 000 8 500 9 000 9 500 10 000 11 000 12 000

2,35 2,41 2,47 2,52 2,57 2,62 2,67 2,71 2,8 2,88

28 000 30 000 32 000 34 000 36 000 38 000 40 000 42 000 44 000 46 000

3,83 3,91 4 4,08 4,16 4,24 4,31 4,38 4,45 4,51

200 220 240 260 280

0,737 0,761 0,783 0,804 0,824

800 850 900 950 1 000

1,17 1,19 1,22 1,24 1,26

3 400 3 600 3 800 4 000 4 200

1,89 1,93 1,97 2 2,03

13 000 14 000 15 000 16 000 17 000

2,96 3,04 3,11 3,17 3,24

48 000 50 000 55 000 60 000 65 000

4,58 4,64 4,79 4,93 5,07

300 320 340 360 380

0,843 0,862 0,879 0,896 0,913

1 100 1 200 1 300 1 400 1 500

1,3 1,34 1,38 1,41 1,44

4 400 4 600 4 800 5 000 5 500

2,06 2,1 2,13 2,15 2,22

18 000 19 000 20 000 22 000 24 000

3,3 3,36 3,42 3,53 3,63

70 000 75 000 80 000 85 000 90 000

5,19 5,31 5,43 5,54 5,65

400

0,928

1 600

1,47

6 000

2,29

26 000

3,73

100 000

5,85

fn-Werte für Kugellager n min–1

fn

n min–1

fn

n min–1

fn

n min–1

fn

n min–1

fn

10 11 12 13 14

1,49 1,45 1,41 1,37 1,34

55 60 65 70 75

0,846 0,822 0,8 0,781 0,763

340 360 380 400 420

0,461 0,452 0,444 0,437 0,43

1 800 1 900 2 000 2 200 2 400

0,265 0,26 0,255 0,247 0,24

9 500 10 000 11 000 12 000 13 000

0,152 0,149 0,145 0,141 0,137

15 16 17 18 19

1,3 1,28 1,25 1,23 1,21

80 85 90 95 100

0,747 0,732 0,718 0,705 0,693

440 460 480 500 550

0,423 0,417 0,411 0,405 0,393

2 600 2 800 3 000 3 200 3 400

0,234 0,228 0,223 0,218 0,214

14 000 15 000 16 000 17 000 18 000

0,134 0,131 0,128 0,125 0,123

20 22 24 26 28

1,19 1,15 1,12 1,09 1,06

110 120 130 140 150

0,672 0,652 0,635 0,62 0,606

600 650 700 750 800

0,382 0,372 0,362 0,354 0,347

3 600 3 800 4 000 4 200 4 400

0,21 0,206 0,203 0,199 0,196

19 000 20 000 22 000 24 000 26 000

0,121 0,119 0,115 0,112 0,109

30 32 34 36 38

1,04 1,01 0,993 0,975 0,957

160 170 180 190 200

0,593 0,581 0,57 0,56 0,55

850 900 950 1000 1100

0,34 0,333 0,327 0,322 0,312

4 600 4 800 5 000 5 500 6 000

0,194 0,191 0,188 0,182 0,177

28 000 30 000 32 000 34 000 36 000

0,106 0,104 0,101 0,0993 0,0975

40 42 44 46 48

0,941 0,926 0,912 0,898 0,886

220 240 260 280 300

0,533 0,518 0,504 0,492 0,481

1200 1300 1400 1500 1608

0,303 0,295 0,288 0,281 0,275

6 500 7 000 7 500 8 000 8 500

0,172 0,168 0,164 0,161 0,158

38 000 40 000 42 000 44 000 46 000

0,0957 0,0941 0,0926 0,0912 0,0898

50

0,874

320

0,471

1700

0,27

9 000

0,155

50 000

0,0874

I 144

I Maschinenelemente

Tabelle 8. Lebensdauer L h , Lebensdauerfaktor fL und Drehzahlfaktor fn für Rollenlager und Nadellager fL-Werte für Rollenlager und Nadellager Lh h

fL

Lh h

fL

Lh h

fL

Lh h

fL

Lh h

fL

100 110 120 130 140 150 160 170 180 190

0,617 0,635 0,652 0,668 0,683 0,697 0,71 0,724 0,736 0,748

420 440 460 480 500 550 600 650 700 750

0,949 0,962 0,975 0,988 1 1,03 1,06 1,08 1,11 1,13

1 700 1 300 1 300 1 900 1 200 2 400 1 500 2 800 3 000 3 200

1,44 1,47 1,49 1,52 1,56 1,6 1,64 1,68 1,71 1,75

6 500 7 000 7 500 8 000 8 500 9 000 9 500 10 000 11 000 12 000

2,16 2,21 2,25 2,3 2,34 2,38 2,42 2,46 2,53 2,59

28 000 30 000 32 000 34 000 36 000 38 000 40 000 42 000 44 000 46 000

3,35 3,42 3,48 3,55 3,61 3,67 3,72 3,78 3,83 3,88

200 220 240 260 280

0,76 0,782 0,802 0,822 0,84

800 850 900 950 1000

1,15 1,17 1,19 1,21 1,23

3 400 3 600 3 800 4 000 4 200

1,78 1,81 1,84 1,87 1,89

13 000 14 000 15 000 16 000 17 000

2,66 2,72 2,77 2,83 2,88

48 000 50 000 55 000 60 000 65 000

3,93 3,98 4,1 4,2 4,31

300 320 340 360 380

0,858 0,875 0,891 0,906 0,921

1100 1200 1300 1400 1500

1,27 1,3 1,33 1,36 1,39

4 400 4 600 4 800 5 000 5 500

1,92 1,95 1,97 2 2,05

18 000 19 000 20 000 22 000 24 000

2,93 2,98 3,02 3,11 3,19

70 000 80 000 90 000 100 000 150 000

4,4 4,58 4,75 4,9 5,54

400

0,935

1600

1,42

6 000

2,11

26 000

3,27

200 000

6,03

fn-Werte für Kugellager n min–1

fn

n min–1

fn

n min–1

fn

n min–1

fn

n min–1

fn

10 11 12 13 14

1,44 1,39 1,36 1,33 1,3

55 60 65 70 75

0,861 0,838 0,818 0,8 0,784

340 360 380 400 420

0,498 0,49 0,482 0,475 0,468

1 800 1 900 2 000 2 200 2 400

0,302 0,297 0,293 0,285 0,277

9 500 10 000 11 000 12 000 13 000

0,183 0,181 0,176 0,171 0,167

15 16 17 18 19

1,27 1,25 1,22 1,2 1,18

80 85 90 95 100

0,769 0,755 0,742 0,73 0,719

440 460 480 500 550

0,461 0,455 0,449 0,444 0,431

2 600 2 800 3 000 3 200 3 400

0,271 0,265 0,259 0,254 0,25

14 000 15 000 16 000 17 000 18 000

0,163 0,16 0,157 0,154 0,151

20 22 24 26 28

1,17 1,13 1,1 1,08 1,05

110 120 130 140 150

0,699 0,681 0,665 0,65 0,637

600 650 700 750 800

0,42 0,41 0,401 0,393 0,385

3 600 3 800 4 000 4 200 4 400

0,245 0,242 0,238 0,234 0,231

19 000 20 000 22 000 24 000 26 000

0,149 0,147 0,143 0,139 0,136

30 32 34 36 38

1,03 1,01 0,994 0,977 0,961

160 170 180 190 200

0,625 0,613 0,603 0,593 0,584

850 900 950 1 000 1 100

0,378 0,372 0,366 0,36 0,35

4 600 4 800 5 000 5 500 6 000

0,228 0,225 0,222 0,216 0,211

28 000 30 000 32 000 34 000 36 000

0,133 0,13 0,127 0,125 0,123

40 42 44 46 48

0,947 0,933 0,92 0,908 0,896

220 240 260 280 300

0,568 0,553 0,54 0,528 0,517

1 200 1 300 1 400 1 500 1 600

0,341 0,333 0,326 0,319 0,313

6 500 7 000 7 500 8 000 8 500

0,206 0,201 0,197 0,193 0,19

38 000 40 000 42 000 44 000 46 000

0,121 0,119 0,117 0,116 0,114

50

0,885

320

0,507

1 700

0,307

9 000

0,186

50 000

0,111

13 Lager

I 145

Tabelle 9. Rillenkugellager, einreihig, Maße und Tragzahlen

rs Kantenabstand *) C dynamische Tragzahl C0 statische Tragzahl

d Wellendurchmesser D Lageraußendurchmesser B Lagerbreite

Maße in mm d

D

3 4 4 4

Tragzahlen in kN dyn. stat. C C0

Maße in mm Kurzzeichen

B

rs min

10

4

0,15

0,71

0,23

623

9 13 16

2,5 5 5

0,15 0,2 0,3

0,64 1,29 1,9

0,2 0,41 0,59

618/4 624 634

5 5

16 19

5 6

0,3 0,3

1,9 2,45

0,59 0,9

625 635

6 6

13 19

3,5 6

0,15 0,3

1,06 2,45

0,38 0,9

618/6 626

7 7 7

14 19 22

3,5 6 7

0,15 0,3 0,3

0,88 2,45 3,25

0,36 0,9 1,18

618/7 607 627

8 8

16 22

4 7

0,2 0,3

1,6 3,25

0,62 1,18

618/8 608

9 9

24 26

7 8

0,3 0,6

3,65 4,55

1,43 1,7

609 629

10 10 10 10 10

19 26 28 30 35

5 8 8 9 11

0,3 0,3 0,3 0,6 0,6

1,83 4,55 5 6 8,15

0,8 1,7 1,86 2,24 3

61 800 6 000 16 100 6 200 6 300

12 12 12 12 12

21 28 30 32 37

5 8 8 10 12

0,3 0,3 0,3 0,6 1

1,93 5,1 5,6 6,95 9,65

0,9 2,04 2,24 2,65 3,65

61 801 6 001 16 101 6 201 6 301

15 15 15 15 15

24 32 32 35 42

5 8 9 11 13

0,3 0,3 0,3 0,6 1

2,08 5,6 5,6 7,8 11,4

1,1 2,36 2,45 3,25 4,65

61 802 16 002 6 002 6 202 6 302

17 17 17 17 17 17

26 35 35 40 47 62

5 8 10 12 14 17

0,3 0,3 0,3 0,6 1 1,1

2,24 6,1 6 9,5 13,4 23,6

1,27 2,75 2,8 4,15 5,6 9,65

61 803 16 003 6 003 6 203 6 303 6 403

20 20 20 20 20 20

32 42 42 47 52 72

7 8 12 14 15 19

0,3 0,3 0,6 1 1,1 1,1

3,45 6,95 9,3 12,7 17,3 30,5

1,96 3,55 4,4 5,7 7,35 12,9

61 804 16 004 6 004 6 204 6 304 6 404

*)

siehe Tabelle 3

Tragzahlen in kN dyn. stat. C C0

Kurzzeichen

d

D

B

rsmin

25 25 25 25 25 25

37 47 47 52 62 80

7 8 12 15 17 21

0,3 0,3 0,6 1 1,1 1,5

3,8 7,2 10 14,3 22,4 36

2,45 4,05 5,1 6,95 10 16,6

61 805 16 005 6 005 6 205 6 305 6 405

30 30 30 30 30 30

42 55 55 62 72 90

7 9 13 16 19 23

0,3 0,3 1 1 1,1 1,5

4,15 11,2 12,7 19,3 29 42,5

2,9 6,4 6,95 9,8 14 20

61 806 16 006 6 006 6 206 6 306 6 406

35 35 35 35 35 35

47 62 62 72 80 100

7 9 14 17 21 25

0,3 0,3 1 1,1 1,5 1,5

4,3 12,2 16,3 25,5 33,5 55

3,25 7,65 9 13,2 16,6 26,5

61 807 16 007 6 007 6 207 6 307 6 407

40 40 40 40 40 40

52 68 68 80 90 110

7 9 15 18 23 27

0,3 0,3 1 1,1 1,5 2

4,65 13,2 17 29 42,5 63

3,8 9 10,2 15,6 21,6 31,5

61 808 16 008 6 008 6 208 6 308 6 408

45 45 45 45 45 45

58 75 75 85 100 120

7 10 16 19 25 29

0,3 0,6 1 1,1 1,5 2

6,4 15,6 20 32,5 53 76,5

5,1 10,6 12,5 17,6 27,5 39

61 809 16 009 6 009 6 209 6 309 6 409

50 50 50 50 50 50

65 80 80 90 110 130

7 10 16 20 27 31

0,3 0,6 1 1,1 2 2,1

6,8 16 20,8 36,5 62 86,5

5,7 11,6 13,7 20,8 32,5 45

61 810 16 010 6 010 6 210 6 310 6 410

55 55 55 55 55 55

72 90 90 100 120 140

9 11 18 21 29 33

0,3 0,6 1,1 1,5 2 2,1

9 19,3 28,5 43 76,5 100

7,65 14,3 18,6 25,5 40,5 53

61 811 16 011 6 011 6 211 6 311 6 411

Fortsetzung o

I 146

I Maschinenelemente

d

D

B

rs min

Tragzahlen in kN dyn. stat. C C0

60 60 60 60 60 60

78 95 95 110 130 150

10 11 18 22 31 35

0,3 0,6 1,1 1,5 2,1 2,1

9,3 20 29 52 81,5 110

8,15 15,3 20 31 45 60

61 812 16 012 6 012 6 212 6 312 6 412

65 65 65 65 65 65

85 100 100 120 140 160

10 11 19 23 33 37

0,6 0,6 1,1 1,5 2,1 2,1

11,6 21,2 30,5 60 93 118

10 17,3 22 36 52 68

61 813 16 013 6 013 6 213 6 313 6 413

70 70 70 70 70 70

90 110 110 125 150 180

10 13 20 24 35 42

0,6 0,6 1,1 1,5 2,1 3

12,5 28 39 62 104 143

11,2 22 27,5 38 58,5 88

61 814 16 014 6 014 6 214 6 314 6 414

75 75 75 75 75 75

95 115 115 130 160 190

10 13 20 25 37 45

0,6 0,6 1,1 1,5 2,1 3

12,9 28,5 40 65,5 114 153

12 23,2 30 42,5 67 98

61 815 16 015 6 015 6 215 6 315 6 415

80 80 80 80 80 80

100 125 125 140 170 200

10 14 22 26 39 48

0,6 0,6 1,1 2 2,1 3

12,9 32 47,5 72 122 163

12,5 27,5 34,5 45,5 75 108

61 816 16 016 6 016 6 216 6 316 6 416

85 85 85 85 85 85

110 130 130 150 180 210

13 14 22 28 41 52

1 0,6 1,1 2 3 4

18,3 34 50 83 125 173

16,3 29 37,5 55 76,5 118

61 817 16 017 6 017 6 217 6 317 6 417

90 90 90 90 90 90

115 140 140 160 190 225

13 16 24 30 43 54

1 1 1,5 2 3 4

21,6 41,5 58,5 96,5 134 196

19,3 34,5 43 62 81 140

61 818 16 018 6 018 6 218 6 318 6 418

95 95 95 95 95

120 145 145 170 200

13 16 24 32 45

1 1 1,5 2,1 3

22 40 60 108 143

20,4 35,5 46,5 71 98

61 819 16 019 6 019 6 219 6 319

100 100 100 100 100

125 150 150 180 215

13 16 24 34 47

1 1 1,5 2,1 3

23,6 44 60 122 163

22,8 39 47,5 80 116

61 820 16 020 6 020 6 220 6 320

Maße in mm

Maße in mm Kurzzeichen

B rs min

Tragzahlen in kN dyn. stat. C C0

Kurzzeichen

d

D

105 105 105 105

160 160 190 225

18 26 36 49

1 2 2,1 3

54 71 132 173

46,5 56 90 127

16 021 6 021 6 221 6 321

110 110 110 110 110

140 170 170 200 240

16 19 28 38 50

1 1 2 2,1 3

24,5 57 80 143 190

24,5 49 62 102 143

61 822 16 022 6 022 6 222 6 322

120 120 120 120 120

150 180 180 215 260

16 19 28 40 55

1 1 2 2,1 3

25 61 83 146 212

26 56 68 108 163

61 824 16 024 6 024 6 224 6 324

130 130 130 130 130

165 200 200 230 280

18 22 33 40 58

1,1 1,1 2 3 4

32,5 78 104 166 228

34 71 86,5 127 186

61 826 16 026 6 026 6 226 6 326

140 140 140 140 140

175 210 210 250 300

18 22 33 42 62

1,1 1,1 2 3 4

34 80 108 176 255

36,5 76,5 93 143 212

61 828 16 028 6 028 6 228 6 328

150 150 150 150 150

190 225 225 270 320

20 24 35 45 65

1,1 1,1 2,1 3 4

42,5 91,5 122 176 285

44 86,5 108 146 260

61 830 16 030 6 030 6 230 6 330

160 160 160 160 160

200 240 240 290 340

20 25 38 48 68

1,1 1,5 2,1 3 4

44 102 140 200 300

48 100 122 176 280

61 832 16 032 6 032 6 232 6 332

170 170 170 170 170

215 260 260 310 360

22 28 42 52 72

1,1 1,5 2,1 4 4

54 122 170 212 325

58,5 118 150 196 315

61 834 16 034 6 034 6 234 6 334

180 180 180 180 180

225 280 280 320 380

22 31 46 52 75

1,1 2 2,1 4 4

56 140 186 224 355

63 129 170 212 355

61 836 16 036 6 036 6 236 6 336

190 190 190 190 190

240 290 290 340 400

24 31 46 55 78

1,5 2 2,1 4 5

67 150 196 255 375

73,5 146 186 245 380

61 838 16 038 6 038 6 238 6 338

200 200 200 200

250 310 310 360

24 34 51 58

1,5 2 2,1 4

68 170 212 270

76,5 166 208 270

61 840 16 040 6 040 6 240

13 Lager

I 147

Tabelle 10. Schrägkugellager, zweireihig, äquivalente Belastung dynamisch äquivalente Lagerbelastung P

für Druckwinkel α = 25° ( Standardausführung B): F für a ≤ 0,68 P = Fr + 0,92 Fa Fr für

Fa > 0,68 Fr

P = Fr + 0,66 Fa

für

Fa ≤ 0,95 Fr

P = 0,6 Fr + 1,07 Fa

für

Fa > 0,95 Fr

für Druckwinkel D = 25°: P0 = Fr + 0,76 Fa

für Druckwinkel D = 35°: P0 = Fr + 0,58 Fa

P = 0,67 Fr + 1,41 Fa für Druckwinkel D = 35°:

statisch äquivalente Lagerbelastung P0

Fr Radialkraft Fa Axialkraft

Tabelle 11. Schrägkugellager, zweireihig, Maße und Tragzahlen

d Wellendurchmesser D Lageraußendurchmesser B Lagerbreite

Tragzahlen in kN

Maße in mm

*)

rs Kantenabstand *) C dynamische Tragzahl C0 statische Tragzahl

Kurzzeichen

rs min

dyn. C

14

0,6

7,8

3,9

3 200B

32

15,9

0,6

10,6

5,1

3 201B

35 42

15,9 19

0,6 1

11,8 16,3

6,1 8,65

3 202B 3 302B

17 17

40 47

17,5 22,2

0,6 1

14,6 20,8

7,8 10,6

3 203B 3 303B

20 20

47 52

20,6 22,2

1 1,1

19,6 23,2

10,8 12,9

3 204B 3 304B

25 25

52 62

20,6 25,4

1 1,1

21,2 30

12,7 17,3

3 205B 3 305B

30 30

62 72

23,8 30,2

1 1,1

30 41,5

18,3 24,5

3 206B 3 306B

35 35

72 80

27 34,9

1,1 1,5

39 51

25 30

3 207B 3 307B

40 40

80 90

30,2 36,5

1,1 1,5

48 62

31,5 39

3 208B 3 308B

45 85 45 100

30,2 39,7

1,1 1,5

48 71

32 67

3 209B 3 309

50

90

30,2

1,1

51

36,5

3 210B

55 100 55 120

33,3 49,2

1,5 2

54 98

58,5 95

3 211 3 311

d

D

B

10

30

12 15 15

siehe Tabelle 3

stat. C0

Maße in mm

d

D

B

rs min

Tragzahlen in kN dyn. stat. C C0

Kurzzeichen

60 60

110 36,5 1,5 130 54 2,1

69,5 114

72 112

3212 3312

65 65

120 38,1 1,5 140 58,7 2,1

73,5 129

83 129

3213 3313

70 70

125 39,7 1,5 150 63,5 2,1

81,5 143

91,5 146

3214 3314

75 75

130 41,3 1,5 160 68,3 2,1

85 163

98 166

3215 3315

80 80

140 44,4 2 170 68,3 2,1

95 176

110 186

3216 3316

85 85

150 49,2 2 180 73 3

112 190

132 200

3217 3317

90 90

160 52,4 2 190 73 3

125 216

146 240

3218 3318

95 95

170 55,6 2,1 200 77,8 3

140 220

163 245

3219 3319

100 100

180 60,3 2,1 215 82,6 3

160 240

196 280

3220 3320

105

190 65,1 2,1

176

208

3221

110 110

200 69,8 2,1 240 92,1 3

190 280

228 345

3222 3322

I 148

I Maschinenelemente

Tabelle 12. Pendelkugellager, äquivalente Belastung dynamisch äquivalente Lagerbelastung P

statisch äquivalente Lagerbelastung P0

P = Fr + Y Fa

für

Fa ≤e Fr

P = 0,65  Fr + Y Fa

für

Fa >e Fr

Fr Fa

Radialkraft Axialkraft

Y, Y0

Axialfaktoren nach Tabelle 13 siehe Tabelle 13

e

P0 = Fr + Y0 Fa

Tabelle 13. Pendelkugellager, Maße, Tragzahlen und Faktoren Wellendurchmesser

d

Lageraußendurchmesser Lagerbreite ) Kantenabstand *

D B rs

C C0 Y, Y0

dynamische Tragzahl statische Tragzahl Axialfaktoren

Tragzahlen C, C0 in kN und Faktoren Maße in mm

*)

Fa ≤e Fr

Fa >e Fr

Kurzzeichen

statische

C

e

Y

Y

C0

Y0

5 6 7 8 9

19 19 22 22 26

6 6 7 7 8

0,3 0,3 0,3 0,3 0,6

2,5 2,5 2,65 2,65 3,8

0,35 0,35 0,33 0,33 0,32

1,8 1,8 1,9 1,9 2

2,8 2,8 3 3 3

0,62 0,62 0,73 0,73 1,06

1,9 1,9 2 2 2,1

135 126 127 128 129

10 10 10

30 30 35

9 14 11

0,6 0,6 0,6

5,5 7,2 7,2

0,32 0,66 0,34

2 1 1,9

3 1,5 2,9

1,53 2,04 2,08

2,1 1 1,9

1 200 2 200 1 300

12 12 12

32 32 37

10 14 12

0,6 0,6 1

5,6 7,5 9,5

0,37 0,58 0,35

1,7 1,1 1,8

2,6 1,7 2,8

1,66 2,24 2,8

1,8 1,1 1,9

1 201 2 201 1 301

15 15 15

35 35 42

11 14 13

0,6 0,6 1

7,5 7,65 9,5

0,34 0,51 0,35

1,9 1,2 1,8

2,9 1,9 2,8

2,28 2,4 3

1,9 1,3 1,9

1 202 2 202 1 302

15 17 17 17 17

42 40 40 47 47

17 12 16 14 19

1 0,6 0,6 1 1

12 8 9,8 12,5 14,3

0,51 0,33 0,51 0,32 0,53

1,2 1,9 1,2 2 1,2

1,9 3 1,9 3 1,8

3,75 2,65 3,15 4,15 4,55

1,3 2 1,3 2,1 1,2

2 302 1 203 2 203 1 303 2 303

20 20 20 20

47 47 52 52

14 18 15 21

1 1 1,1 1,1

10 12,5 12,5 18

0,28 0,5 0,29 0,51

2,2 1,3 2,2 1,2

3,5 2 3,4 1,9

3,45 4,3 4,4 6,1

2,4 1,3 2,3 1,3

1 204 2 204 1 304 2 304

25 25 25 25

52 52 62 62

15 18 17 24

1 1 1,1 1,1

12,2 12,5 18 24,5

0,27 0,44 0,28 0,48

2,3 1,4 2,2 1,3

3,6 2,2 3,5 2

4,4 4,65 6,7 8,5

2,4 1,5 2,4 1,4

1 205 2 205 1 305 2 305

30 30 30 30

62 62 72 72

16 20 19 27

1 1 1,1 1,1

15,6 15,3 21,2 31,5

0,25 0,4 0,26 0,45

2,5 1,6 2,4 1,4

3,9 2,4 3,7 2,2

6,2 6,1 8,5 11,4

2,6 1,6 2,5 1,7

1 206 2 206 1 306 2 306

35 35 35 35

72 72 80 80

17 23 21 31

1,1 1,1 1,5 1,5

16 21,6 25 39

0,22 0,37 0,26 0,47

2,9 1,7 2,4 1,3

4,4 2,6 3,7 2,1

6,95 8,8 10,6 14,6

3 1,8 2,5 1,4

1 207 2 207 1 307 2 307

d

D

B

rs min

dynamische

siehe Tabelle 3

Fortsetzung

13 Lager

I 149 Tragzahlen C, C0 in kN und Faktoren

Maße in mm

Fa ≤e Fr

Fa >e Fr

e

Y

Y

C0

Y0

dynamische

statische

Kurzzeichen

d

D

B

rs min

C

40 40 40 40

80 80 90 90

18 23 23 33

1,1 1,1 1,5 1,5

19,3 22,4 29 45

0,22 0,34 0,25 0,43

2,9 1,9 2,5 1,5

4,4 2,9 3,9 2,3

8,8 10 12,9 17,6

3 1,9 2,6 1,5

1 208 2 208 1 308 2 308

45 85 45 85 45 100 45 100

19 23 25 36

1,1 1,1 1,5 1,5

22 23,2 38 54

0,21 0,31 0,25 0,43

3 2 2,5 1,5

4,6 3,1 3,9 2,3

10 11 17 22

3,1 2,1 2,6 1,5

1 209 2 209 1 309 2 309

50 90 50 90 50 110 50 110

20 23 27 40

1,1 1,1 2 2

22,8 23,2 41,5 64

0,2 0,29 0,24 0,43

3,1 2,2 2,6 1,5

4,9 3,4 4,1 2,3

11 11,6 19,3 26,5

3,3 2,3 2,7 1,5

1 210 2 210 1 310 2 310

55 55 55 55

100 100 120 120

21 25 29 43

1,5 1,5 2 2

27 26,5 51 75

0,19 0,28 0,24 0,42

3,3 2,2 2,6 1,5

5,1 3,5 4,1 2,3

13,7 13,4 24 31,5

3,5 2,4 2,7 1,6

1 211 2 211 1 311 2 311

60 60 60 60

110 110 130 130

22 28 31 46

1,5 1,5 2,1 2,1

30 34 57 86,5

0,18 0,29 0,23 0,41

3,5 2,2 2,7 1,5

5,4 3,4 4,2 2,4

16 17,3 28 37,5

3,7 2,3 2,9 1,6

1 212 2 212 1 312 2 312

65 65 65 65

120 120 140 140

23 31 33 48

1,5 1,5 2,1 2,1

31 44 62 95

0,18 0,29 0,23 0,39

3,5 2,2 2,7 1,6

5,4 3,4 4,2 2,5

17,3 22,4 31 43

3,7 2,3 2,9 1,7

1 213 2 213 1 313 2 313

70 70 70 70

125 125 150 150

24 31 35 51

1,5 1,5 2,1 2,1

34,5 44 75 110

0,19 0,27 0,23 0,38

3,3 2,3 2,7 1,7

5,1 3,6 4,2 2,6

19 23,2 37,5 50

3,5 2,4 2,9 1,7

1 214 2 214 1 314 2 314

75 75 75 75

130 130 160 160

25 31 37 55

1,5 1,5 2,1 2,1

39 44 80 122

0,17 0,26 0,23 0,38

3,7 2,4 2,7 1,7

5,7 3,7 4,2 2,6

21,6 24,5 40,5 56

3,9 2,5 2,9 1,7

1 215 2 215 1 315 2 315

80 80 80 80

140 140 170 170

26 33 39 58

2 2 2,1 2,1

40 51 88 137

0,16 0,25 0,22 0,37

3,9 2,5 2,9 1,7

6,1 3,9 4,4 2,6

23,6 28,5 45 64

4,1 2,6 3 1,8

1 216 2 216 1 316 2 316

85 85 85 85

150 150 180 180

28 36 41 60

2 2 3 3

49 58,5 98 140

0,17 0,26 0,22 0,37

3,7 2,4 2,9 1,7

5,7 3,8 4,4 2,6

28,5 32 51 68

3,9 2,5 3 1,8

1 217 2 217 1 317 2 317

90 90 90 90

160 160 190 190

30 40 43 65

2 2 3 3

57 71 108 153

0,17 0,27 0,22 0,39

3,7 2,3 2,9 1,6

5,7 3,6 4,4 2,5

32 39 58,5 76,5

3,9 2,4 3 1,7

1 218 2 218 1 318 2 318

100 100 100 100

180 180 215 215

34 46 47 73

2,1 2,1 3 3

69,5 98 143 193

0,18 0,27 0,23 0,38

3,5 2,3 2,7 1,7

5,4 3,6 4,2 2,6

41,5 55 76,5 104

3,7 2,4 2,9 1,7

1 220 2 220 1 320 2 320

110 120 130 140 150

200 215 230 250 270

38 42 46 50 54

2,1 2,1 3 3 3

88 120 125 163 183

0,17 0,2 0,19 0,21 0,22

3,7 3,2 3,3 3 2,9

5,7 4,9 5,1 4,6 4,4

53 72 76,5 100 118

3,9 3,3 3,5 3,1 3

1 222 1 224 1 226 1 228 1 230

I 150

I Maschinenelemente

Tabelle 14. Zylinderrollenlager, äquivalente Belastung dynamisch äquivalente Lagerbelastung P

P = Fr

statisch äquivalente Lagerbelastung P0

P0 = Fr

Fr Radialkraft

Tabelle 15. Zylinderrollenlager, einreihig, Maße in Tragzahlen Wellendurchmesser Lageraußendurchmesser Lagerbreite

d D B

Maße in mm

C dynamische Tragzahl C0 statische Tragzahl

Tragzahlen in kN dyn. stat. C0 C

Kurzzeichen

d

D

B

15

35

11

9

6,95

NU202

17 17

40 47

12 14

17,6 25,5

14,6 21,2

NU203E NU303E

20 20

47 52

14 15

27,5 31,5

24,5 27

NU204E NU304E

25 25 25

52 62 80

15 17 21

29 41,5 52

27,5 37,5 46,5

NU205E NU305E NU405

30 30 30

62 72 90

16 19 23

39 51 71

37,5 48 64

NU206E NU306E NU406

35 35 35

72 80 100

17 21 25

50 64 75

50 63 69,5

NU207E NU307E NU407

40 40 40

80 90 110

18 23 27

53 81,5 93

53 78 86,5

NU208E NU308E NU408

45 45 45

85 100 120

19 25 29

64 98 106

68 100 100

NU209E NU309E NU409

50 50 50

90 110 130

20 27 31

64 110 129

68 114 124

NU210E NU310E NU410

55 55 55

100 120 140

21 29 33

83 134 140

95 140 137

NU211E NU311E NU411

60 60 60

110 130 150

22 31 35

95 150 166

104 156 170

NU12E NU312E NUJ412

65 65 65

120 140 160

23 33 37

108 180 183

120 190 186

NU213E NU313E NU413

Maße in mm

Tragzahlen in kN dyn. stat. C0 C

Kurzzeichen

d

D

B

70 70 70

125 150 180

24 35 42

120 204 224

137 220 232

NU214E NU314E NU414

75 75 75

130 160 190

25 37 45

132 240 260

156 265 270

NU215E NU315E NU415

80 80 80

140 170 200

26 39 48

140 255 300

170 275 310

NU216E NU316E NU416

85 85 85

150 180 210

28 41 52

163 290 335

193 325 355

NU217E NU317E NU417

90 90 90

160 190 225

30 43 54

183 315 365

216 345 390

NU218E NU318E NU418

95 95 95

170 200 240

32 45 55

220 335 390

265 380 430

NU219E NU319E NU419

100 100 100

180 215 250

34 47 58

250 380 440

305 425 490

NU220E NU320E NU420

110 110 110

200 240 280

38 50 65

290 440 540

365 510 610

NU222E NU322E NU422

120 120 120

215 260 310

40 55 72

335 520 670

415 600 780

NU224E NU324E NU424

130 130 130

230 280 340

40 58 78

360 610 815

450 720 930

NU226E NU326E NU426

13 Lager

I 151

Tabelle 16. Kegelrollenlager, einreihig, äquivalente Belastung dynamisch äquivalente Lagerbelastung P

statisch äquivalente Lagerbelastung P0

Fr Fa Y, Y0

P = Fr

für

Fa ≤e Fr

P = 0,4 Fr + YFa

für

Fa >e Fr

P0 = Fr

für

Fa 1 ≤ Fr 2 y0

P0 = 0,5 Fr + Y0Fa

für

Fa 1 > 2 y0 Fr

Radialkraft Axialkraft Axialfaktoren nach Tabelle 17

Tafel 17. Kegelrollenlager, einreihig, Maße, Tragzahlen und Faktoren Wellendurchmesser Lageraußendurchmesser Breite des Innenrings Breite des Außenrings Lagerbreite

d D Bi Ba B

C C0 Y, Y0

dynamische Tragzahl statische Tragzahl Axialfaktoren

Maße in mm d

D

Bi

Ba

15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 120 130 140 150

35 47 47 55 62 68 75 80 90 95 100 110 115 125 130 140 145 150 160 170 180 200 210 225

11 14 15 17 18 19 20 20 23 23 23 25 25 29 29 32 32 32 35 38 38 45 45 48

10 12 11,5 13 14 14,5 15,5 15,5 17,5 17,5 17,5 19 19 22 22 24 24 24 26 29 29 34 34 36

B 11,75 15,25 15 17 18 19 20 20 23 23 23 25 25 29 29 32 32 32 35 38 38 45 45 48

C 12 26,5 25 36 36 50 57 58,5 75 76,5 78 98 100 129 134 156 163 166 193 228 236 315 325 365

Tragzahlen in kN und Faktoren dynamische statische C0 Y0 e Y 0,46 0,35 0,43 0,43 0,42 0,38 0,39 0,42 0,41 0,43 0,46 0,43 0,46 0,42 0,44 0,42 0,44 0,46 0,44 0,43 0,46 0,43 0,46 0,46

1,3 1,7 1,4 1,4 1,4 1,6 1,5 1,4 1,5 1,4 1,3 1,4 1,3 1,4 1,4 1,4 1,4 1,3 1,4 1,4 1,3 1,4 1,3 1,3

12 29 34,5 46,5 50 69,5 85 93 118 122 127 160 166 212 228 260 280 290 335 390 425 570 610 695

0,7 0,9 0,8 0,8 0,8 0,9 0,8 0,8 0,8 0,8 0,7 0,8 0,7 0,8 0,7 0,8 0,7 0,7 0,7 0,8 0,7 0,8 0,7 0,7

Kurzzeichen 30202 30204A 32005X 32006X 32007XA 32008XA 32009XA 32010X 32011X 32012X 32013X 32014X 32015X 32016X 32017X 32018XA 32019XA 32020X 32021X 32022X 32024X 32026X 32028X 32030X

I 152

I Maschinenelemente

Tabelle 18. Axial-Rillenkugellager, einseitig wirkend Wellendurchmesser Lageraußendurchmesser Lagerhöhe

d D H

Anmerkung:

C dynamische Tragzahl C0 statische Tragzahl

Die dynamisch und die statisch äquivalente Belastung ist gleich der Axialkraft: P = Fa und P0 = Fa

Tragzahlen in kN

Maße in mm d

D

H

dyn. C

stat. C0

Kurzzeichen

10 10

24 26

9 11

10 12,7

11,8 14,3

51100 51200

12 12

26 28

9 11

10,4 13,2

12,9 16

51101 51201

15 15

28 32

9 12

10,6 16,6

14 20,8

51102 51202

17 17

30 35

9 12

11,4 17,3

16,6 23,2

51103 51203

20 20

35 40

10 14

15 22,4

22,4 32

51104 51204

25 25 25 25

42 47 52 60

11 15 18 24

18 28 34,5 45,5

30 42,5 46,5 57

51105 51205 51305 51405

30 30 30 30

47 52 60 70

11 16 21 28

19 25,5 38 69,5

33,5 40 55 95

51106 51206X 51306 51406

35 35 35 35

52 62 68 80

12 18 24 32

20 35,5 50 76,5

39 57 75 106

51107X 51207 51307 51407

40 40 40 40

60 68 78 90

13 19 26 36

27 46,5 61 96,5

53 83 95 143

51108 51208 51308 51408

45 45 45 45

65 73 85 100

14 20 28 39

28 39 75 122

58,5 67 118 186

51109 51209 51309 51409

50 50 50 50

70 78 95 110

14 22 31 43

29 50 88 137

64 90 146 216

51110 51210 51310 51410

55 55 55 55

78 90 105 120

16 25 35 48

30,5 61 102 166

63 114 176 265

51111 51211 51311 51411

60 60 60 60

85 95 110 130

17 26 35 51

41,5 62 102 200

95 118 176 325

51112 51212 51312 51412

Tragzahlen in kN

Maße in mm

stat. C0

Kurzzeichen

d

D

H

dyn. C

65 65 65 65

90 100 115 140

18 27 36 56

38 64 106 224

85 125 186 390

51113 51213 51313 51413

70 70 70 70

95 105 125 150

18 27 40 60

40 65,5 137 240

93 134 250 440

51114 51214 51314 51414

75 75 75 75

100 110 135 160

19 27 44 65

44 67 163 265

104 143 300 510

51115 51215 51315 51415

80 80 80 80

105 115 140 170

19 28 44 68

45 75 160 275

108 160 300 550

51116 51216 51316 51416

85 85 85 85

110 125 150 177

19 31 49 72

45,5 98 190 320

114 212 360 655

51117 51217 51317 51417

90 90 90 90

120 135 155 187

22 35 50 77

45,5 120 196 325

118 255 390 695

51118 51218 51318 51418

100 100 100 100

135 150 170 205

25 38 55 85

61 122 232 400

160 270 475 915

51120 51220 51320 51420

110 110 110 110

145 160 187 225

25 38 63 95

65,5 129 275 465

186 305 610 1120

51122 51222 51322 51422

120 120 120 120

155 170 205 245

25 39 70 102

65,5 140 325 520

193 335 765 1320

51124 51224 51324 51424

130 130 130 130

170 187 220 265

30 45 75 110

90 183 360 570

255 455 880 1400

51126 51226 51326 51426

140 140 140 140

178 197 235 275

31 46 80 112

98 190 400 585

285 475 1020 1560

51128 51228 51328 51428

13 Lager

I 153

Tabelle 19. Axial-Rillenkugellager, zweiseitig wirkend

d Wellendurchmesser D Lageraußendurchmesser H Lagerhöhe Anmerkung:

C dynamische Tragzahl C0 statische Tragzahl

Die dynamisch und die statisch äquivalente Belastung ist gleich der Axialkraft: P = Fa und P0 = Fa

Maße in mm

Tragzahlen in kN dyn. stat. C0 C

Maße in mm

Kurzzeichen

d

D

H

10

32

22

16,6

20,8

52202

15 15

40 60

26 45

22,4 45,5

32 57

52204 52405

20 20 20

47 52 70

28 34 52

28 34,5 69,5

42,5 46,5 95

52205 52305 52406

25 25 25

52 60 80

29 38 59

25,5 38 76,5

40 55 106

52206X 52306 52407

30 30 30 30 30

62 68 68 78 90

34 44 36 49 65

35,5 50 46,5 61 96,5

57 75 83 95 143

52201 52307 52208 52308 52408

35 35 35

73 85 100

37 52 72

39 75 122

67 118 186

52209 52309 52409

40 40 40

78 95 110

39 58 78

50 88 137

90 146 216

52210 52310 52410

45 45 45

90 105 120

45 64 87

61 102 166

114 176 265

52211 52311 52411

50 50 50

95 110 130

46 64 93

62 102 200

118 176 325

52212 52312 52412

Tragzahlen in kN dyn. stat. C0 C

Kurzzeichen

d

D

H

55 55 55 55 55

100 115 105 125 150

47 65 47 72 107

64 106 65,5 137 240

125 186 134 250 440

52213 52313 52214 52314 52414

60 60 60

110 135 160

47 79 115

67 163 265

143 300 510

52215 52315 52415

65 65 65

115 140 170

48 79 120

75 160 275

160 300 550

52216 52316 52416

70 70 70

125 150 180

55 87 135

98 190 325

212 360 695

52217 52217 52418

75 75

135 155

62 88

120 196

255 390

52218 52318

80

210

150

400

915

52420

85 85

150 170

67 97

122 232

270 475

52220 52320

95 95

160 190

67 110

129 275

305 610

52222 52322

100 100

170 210

68 123

140 325

335 765

52224 52324

110 110

190 225

80 130

183 360

455 880

52226 52326

I 154

13.3 Gleitlager 13.3.1 Eigenschaften, Verwendung

Gleitlager sind wegen großer, dämpfender Trag- und Schmierfläche unempfindlich gegen Stöße und Erschütterungen; geräuscharmer Lauf; unempfindlich gegen Verschmutzung; unbegrenzt hohe Drehzahlen; im Gebiet der Flüssigkeitsreibung praktisch verschleißfreier Lauf und unbegrenzte Lebensdauer. Nachteilig sind hohes Anlaufmoment wegen anfangs trockener Reibung, hoher Schmierstoffverbrauch und laufende Überwachung. Verwendung: Bei hohen Drehzahlen und Belastungen für „Dauerläufer“, z.B. Wasser- und Dampfturbinen, Generatoren, Kreiselpumpen; für einfache Lagerungen bei geringen Ansprüchen, z.B. Haushalts- und Büromaschinen, Klein-Hebezeuge, Winden, Landmaschinen. 13.3.2 Schmierungs- und Reibungsverhältnisse

Die Gleitflächen sollen durch eine zusammenhängende Schmierschicht voneinander getrennt sein. Voraussetzungen hierfür sind nach der hydrodynamischen Schmiertheorie: 1. ein sich in Bewegungsrichtung verengender Spalt, 2. relative Bewegung der Gleitflächen zueinander, 3. Haftfähigkeit des Schmiermittels zu den Gleitflächen. Im Radial-Gleitlager entsteht ein keilförmiger Spalt durch die exzentrische Lage e des Zapfens in der Bohrung (Bild 16). Beim Anlauf ist noch kein Schmierfilm zwischen den Gleitflächen wirksam, es liegt Trockenreibung vor (Festkörperreibung). Bei steigender Drehzahl geht diese in Mischreibung über; die Gleitflächen werden teilweise durch eine Flüssigkeitsschicht getrennt. Bei weiter steigender Drehzahl wächst der Flüssigkeitsdruck im Spalt und hebt den Lagerzapfen an, bis bei der Übergangsdrehzahl nü die Gleitflächen vollkommen getrennt werden: Flüssigkeitsreibung (Schwimmreibung). Die Lagerreibung ist am geringsten, nimmt aber dann wegen innerer Flüssigkeitsreibung wieder langsam zu.

I Maschinenelemente Den Druckverlauf bei Flüssigkeitsreibung zeigt Bild 16. Höchster Öldruck herrscht kurz vor dem engsten Spalt h0 , dessen Weite mindestens gleich der Summe der Oberflächenrautiefen sein muss. Der gleichmäßig um die belastete Lagerhälfte verteilt gedachte Druck ist der mittlere Lagerdruck, die mittlere Flächenpressung. Sie wird als spezifische Lagerbelastung p bezeichnet. Eine in der belasteten Lagerhälfte angebrachte Nut stört den Druckverlauf erheblich. An der Nutstelle fällt der Druck praktisch auf null ab, da das Öl in der Nut ausweichen kann und wegen des geringen Widerstands (Abstand a im Bild 16c) seitlich ausströmt. Der Lagerdruck sinkt auf p', die Tragfähigkeit wird geringer, die Schwimmreibung kann in Mischreibung übergehen. 13.3.3 Gleitlagerwerkstoffe

Als Wellenwerkstoff kommt praktisch nur Stahl in Frage: Baustähle, Vergütungsstähle und Einsatzstähle je nach Anforderung und Beanspruchung. Der Wellenwerkstoff soll immer härter sein als der Lagerwerkstoff, damit die Welle nicht angegriffen wird und sich in den Lagerwerkstoff einbettet. Die Lagerwerkstoffe sind wegen der vielseitigen Anforderungen sehr verschiedenartig hinsichtlich ihrer stofflichen Zusammensetzung, Eigenschaften und Verwendung. Tabelle 20 gibt einen Überblick über die wichtigsten Eigenschaften gebräuchlicher Lagerwerkstoffe. Mit diesen Angaben kann eine Werkstoffauswahl getroffen werden (siehe auch Abschnitt E Werkstofftechnik). Gusseisen EN-GJL-150 und EN-GJL-200 ist nur für geringe, EN-GJL-250 und EN-GJL-300 für höhere Belastungen und Gleitgeschwindigkeiten geeignet. Verwendung für gering belastete Transmissionslager, Haushaltsmaschinen, einfache Lagerungen. Sintermetalle haben gute Notlaufeigenschaften. Feinporiges Gefüge nimmt bis 25 % seines Volumens Öl auf und führt es infolge Erwärmung und Saugwirkung den Gleitflächen zu. Bei Stillstand nehmen die Poren das Öl wieder auf. Verwendung bei Haushaltsmaschinen, Büromaschinen, Pumpen, Plattenspieler, Tonbandgeräten.

Bild 16. Öldruckverlauf im Radial-Gleitlager a) ungestört b) durch Nut gestörter Druckverlauf c) im Längsschnitt

13 Lager

I 155

Tabelle 20. Eigenschaften gebräuchlicher Gleitlagerwerkstoffe

Gleitlagerwerkstoffe und ihre Eignung Forderung nach

Gusseisen

Cu SnSinterCu SnLeg./Cu metall Pb-Leg. Zn-Leg.

gut

ausreichend

Pb Sn

Kunststoffe

Holz

Gummi

Kohle Graphit

Gleiteigenschaften Notlaufeigenschaften Verschleißfestigkeit stat. Tragfähigkeit dyn. Belastbarkeit hoher Gleitgeschwindigkeit Unempfindlichkeit gegen Kantenpressung Bettungsfähigkeit Wärmeleitfähigkeit kleiner Wärmedehnung Beständigkeit gegen hohe Temperaturen Öl-(Fett-) Schmierung Wasserschmierung Trockenlauf

sehr gut

mäßig

mangelhaft

Tabelle 21. Gleitlagerwerkstoffe (Normen, Belastungswerte, Verwendung); 1 MPa = 1 N/mm2 Ältere + Kennwerte, dB, Härte, Schmierung Allgemeine Hinweise, Handelspzul in Mpa Wellen Beispiele bezeichg. oder p, v-Werte Gusseisen DIN EN 1561 GJL-150...200 Öl, Fett GG-10 Druckfestigkeit dB Lager mit geringen Ansprüchen an GJL-250 GG-15 500...700 feinbearbeitet Gleiteigenschaften; Hebezeuge, LandGG-25 800...900 maschinen gehärtet Blei-Zinn-Gusslegierungen für Verbundgleitlager DIN ISO 4381; 7 Sorten (im Entwurf von 1999 nur 5) p0,2 Mpa  bW Dichte O 2) Wellen 20° 100°C MPa kg/dm3 W/mK Härte r24 25 Gut einbettungsfähige Sorten für reine Gleitbean25 39 9,7 PbSb15SnAs r25 30 24 spruchung, geringe bis mittlere Belastung und 43 9,9 PbSb15Sn10 27 160 39 r25 25 -geschwindigkeit PbSb10Sn6 10,3 HB Hoher Verschleißwiderstand bei rauen Zapfen. 7,4 SnSb12Cu6Pb 61 36 r28 22,7 7,3 Für Schlag- und Biegewechselbeanspruchung SnSb8Cu4 47 27 23,9 r31 Kupfer-Gusslegierungen für Massiv- und dickwandige Verbundgleitlager DIN ISO 4382-1; 10 Sorten V p0,2 Mpa A D1 1) O 2) Wellen GS GZ/GC % 10–6/K W/mK Härte Massivlager CuPb8Pb2 130 130 3/5 47 250 CuPb5Sn5Zn5 90 100 13 71 HB 18 CuSn10Pb 130 150 3/6 50 55 CuSn12Pb2 130 170 7/7 54 HRC Massiv- und dickwandige Verbundlager CuPb9Sn5 60 130 7/9 71 250 CuPb10Sn10 80 110 7/6 18 47 HB CuPb15Sn8 80 100 5/8 47 CuAl10Fe5Ni5 55HRC Werkstoff Kurzzeichen

I 156

I Maschinenelemente Werkstoff Kurzzeichen

Kennwerte, dB, Härte, pzul in Mpa oder p, v-Werte

Ältere + Handelsbezeichg.

Schmierung Wellen

Allgemeine Hinweise, Beispiele

Kupfer-Knet-Legierungen für Massivgleitlager DIN ISO 4382-1; 4 Sorten

CuSn8P CuZn37Mn2Al2Si CuAl9Fe4Ni4

w / h3) 200 480 300 ---400 ----

w/h 55/10 15 15

17 19 16

59 65 27

Gerollte Buchsen, Gleitscheiben 55 HRC für hohe statische Belastung , Druckmuttern

Verbundwerkstoffe für dünnwandige Gleitlager DIN ISO 4383; 4 PbSb-und SnSb-Sorten wie DIN ISO 4381 5 CuPb-Sorten, Al-Sorten und 2 polymerimprägnierte CuSn-Sorten

Härte CuPb-Sorten CuPb10Sn10 CuPb24Sn4 CuPb30 Al-Sorten AlSn20Cu AlSi11Cu AlZn5Si1,5Cu1 Pb1Mg

gegossen 70...130 HB 60...90 HB ---------gewalzt 30...40 HB 45...60 HB 45...70 HB

Gleitschichten PBSn10, PbSn10Cu2, PbIn7

Min.-Härte der Welle Für ständige Beanspruchung im Mischreibungsgebiet, Kolbenbolzenbuchsen, Gleitscheiben, gerollte Buchsen, Haupt und Pleuellager. Auch für ungehärtete Wellen geeignet.

gesintert 60...90 053 HRC 45...70 048 HRC 30...45 270 HB

Korrosionsbeständig, mit hoher Dauerfestigkeit, gute Wärmeleitung, meist mit Gleitschicht versehen. Haupt- und Pleuellager in Verbrennungsmotoren

250 HB 050 HRC 045 HRC

Galvanisch aufgebrachte Gleitschichten zum Einlaufen (ca. =,02 mm) PbIn7 angewandt bei CuPb- und hochfesten Al-Legierungen

Sintermetalle Porenraum mit Schmierstoff gefüllt, selbstschmierend

Sintereisen, < 0,3 %C, 1-5% Cu Sinterbronze, Cu + 9...11 % Sn

SKF

pzul | 10Mpa, v < 0,5 m/s pzul | 50 Mpa, stat. | 10 Mpa, v > 0,01

ölgetränkt feinbearbeitet Ra < 1 µm, 300 HB

Lager mit kleinen Gleitgeschwindigkeiten (< 3 m/s), Haushalt- und Büromaschinen, Ventilatoren, Pumpen, Tonbandgeräte

Trockengleitlager: DIN ISO 4383: Stahlrücken mit CuSn10-, oder CuPb10Sn10-Schicht (0,2...0,4 mm), Poren mit PFTE oder POM und Festschmierstoffen gefüllt als Einlaufschicht 5...30 µm oder dicker mit Schmiertaschen

Glycodur Permaglide DU-Trockenlager

statisch pzul = 250 Mpa, dynamisch 80..120 vmax < 2 m/s

trocken niedrige Reibzahl, nicht zu schmie(Initialschmie- rende Lager von Textil-, Druckereirung) und Haushaltmaschinen, Lichtmaschinen, Spurstangenlager

Thermoplastische Polymere für Gleitlager DIN ISO 6691 6 Sorten

Polyamid PA

PA6; PA66; Pa11; PA12 Polyoxymethylen POM Polytetrafluorethylen PFTE Polyimid PI 1)

Längenausdehnungskoeffizient

Ultramid, Sustamid, Durethan Delrin, Hostaform Teflon Kinel, Kerimid 2)

Wärmeleitzahl

Öl, Fett, Festschmierstoffe, Wasser gehärtet, geschliffen 3)

weich/hart

Zähhart, stoß- und verschleißfest, für schwingbeanspruchte Lager, Kupplungen. Für Mischreibung geeignet, Zahnräder. Weich, niedrige Reibzahl, kaltzäh. Hart, wärmebeständig bis 350 °C.

13 Lager

I 157

Guss-Zinnbronzen, Guss-Bleibronzen, Blei-ZinnLagermetalle sind hochwertigste Lagerwerkstoffe mit besten Gleiteigenschaften. Geeignet für höchste Anforderungen bei Hebezeugen, Motoren, Turbinen, Pumpen, Werkzeugmaschinen. Kunststoffe haben gute Notlaufeigenschaften, Ausführung meist als Kunststoff-Verbundlager mit Stützschale aus Stahl, Gusseisen oder CuSn-Legierung, Zwischenschicht aus CuSn- Legierung und Überzug aus Kunststoff als Laufschicht, z.B. Polytetrafluoräthylen (Teflon) mit eingelagertem pulverförmigen Füllstoff (z.B. Zinnbronze). Sie laufen als „Trockenlager“ u.U. längere Zeit ohne Schmierung. Verwendung bei Haushalts- und Büromaschinen, Textilmaschinen und sonstigen schwer zugänglichen, nicht zu schmierenden Lagerungen. Gummi hat sich bei wassergeschmierten Lagern z.B. in Pumpen bewährt. Kohle, Graphit sind für selbstschmierende Lager bei hohen Temperaturen und aggressiven Flüssigkeiten (Säuren, Laugen) geeignet. Normen: DIN ISO 4378 -1 Gleitlager - Lagerwerkstoffe u. Eigenschaften -2 Reibung und Verschleiß -3 Schmierung -4 Berechnungskennwerte und Kurzzeichen DIN ISO 4381

Blei- und Blei-Zinn-Verbundlager

DIN ISO 4382-1

Cu-Gusslegierungen für dickwandige Verbund- und Massivgleitlager

DIN ISO 4382-2

Cu-Knetlegierungen für Massivgleitlager

DIN ISO 8483

Verbundwerkstoffe für dünnwandige Gleitlager

DIN 1495-3

Gleitlager aus Sinterwerkstoff -1 und -2 sind Maßnormen

DIN ISO 6691

Thermoplastische Polymere für Gleitlager

13.3.4.1 Gegebene oder angenommene Größen

Wellendrehzahl

Die folgende Zusammenstellung ist zugleich der Arbeitsplan für die Ermittlung der Daten des Radialgleitlagers. Damit wird auch die Aufstellung eines Rechnerprogramms erleichtert (siehe Berechnungsbeispiel 13.3.9).

U 1 = = s–1 s s

dynamische Viskosität (Zähigkeit) des verwendeten Öls Lagerkraft Lagerbreite Lagerdurchmesser Lagerwerkstoff Umgebungstemperatur

F in N b in m d in m siehe 13.3.4.3 - U in ºC

Wärmeabfuhrzahl

D in

K in Pa s =

Ns m2

J W = m 2s K m 2 K

(siehe Abschnitt F Thermodynamik 4.3)

Wärmeabfuhrzahl für ca. W Nm D = 20 2 = 20 1,25 m/s Geschwin2 m K s m K digkeit der umgebenden (1 K = 1 ºC) Luft

13.3.4.2 Viskosität des Öls. Wenn bei der Berechnung hydrodynamisch tragende Gleitlager (Radialund Axiallager) von der „Viskosität” oder „Zähigkeit” des Öls gesprochen wird, dann ist immer die dynamische Viskosität K des Öls gemeint. Sie ist stark von der Temperatur abhängig und nimmt mit abnehmender Temperatur zu. Bestimmungen über das Viskosität-Temperaturverhalten (V-T-Verhalten) enthält DIN 51 563. Die SI-Einheit der dynamischen Viskosität ist Pa s (Pascal-Sekunde). Mit 1 Pa = 1 N/m2 gilt also 1 Pa s = 1 Ns/m2. Beziehungen zu anderen Einheiten (Poise P und Zentipoise cP) und zwischen der dynamischen Viskosität K und der kinematischen Viskosität v = K /r sind:

für die dynamische Zähigkeit K das Poise (P): Ns = 10 P (Poise) m2 Ns 1 P = 0,1 2 m

1

= 1 000 cP (Zentipoise) = 100 cP (Zentipoise)

für die kinematische Zähigkeit v das Stokes (St): 1

13.3.4 Zusammenstellung der Berechnungsformel n für hydrodynamisch tragende Radialgleitlager

n in

m2 = 104 St (Stokes) s m2 s

1 St

= 10–4

1P

= 0,1 Pa · s

1 Pa · s = 10 P

= 100 cSt (Zentistokes) N⋅s kg = 0,1 m⋅s m2 N⋅s 1 cP = 10–3 2 m

= 0,1

I 158

I Maschinenelemente

Umrechnungen ºE in cSt ºE 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

cSt 1 6,25 11,8 16,7 21,2 25,4 29,6

ºE 4,5 5 5,5 6 6,5 8 10

Umrechnung aus Englergraden in v = (7,32 E – 6,31/ ºE) 10–6 in

cSt 33,4 37,4 41,4 45,2 49,0 60,5 76,0

Bild 17. Berechnung der Radiallager

a) Flächenpressung, Bauverhältnis, b) Kantenpressung

m2 : s

m2 s

13.3.4.5 Umfangsgeschwindigkeit v des Lagerzapfens

13.3.4.3. Spezifische Lagerbelastung p. Die spezifische Lagerbelastung p ist die mittlere Flächenpressung, hervorgerufen in der Lagerfläche durch die Lagerkraft F (siehe 13.3.2 und Abschnitt D Festigkeitslehre 2.6.2). F d pzul p= bd

F

b, d

p, pzul

N

m

N m2

(9)

Richtwerte für die zulässige spezifische Lagerbelastung pzul: LängenausLagerwerkstoff

pzul in N/m2 dehnungskoef- Temperatur- E-Modul ( ) in N/mm2 fizient DL in grenze in ºC in N/m2

1/K = 1/ ºC 24 · 10–6

110

3,1 · 1010

Pb SnLagermetall

12,5 · 106 (12,5)

Cu Sn7 Zn4 Pb7-C

20 · 106 (20)

17 · 10–6

250

9 · 1010

Cu Sn12-C

25 · 106 (25)

17 · 10–6

250

10,5 · 1010

b = 0,5 ... 1 d

v m s

d m

n 1 −1 =s s

(11)

13.3.4.6 Wärmeabgebende Oberfläche AG des Lagergehäuses. Durch die Reibung im Lager erhöht sich die Lagertemperatur - L in Abhängigkeit von der auftretenden Reibleistung PR nach Gleichung (25). Die wärmeabgebende Oberfläche AG des Lagergehäuses kann bei der Nachrechnung eines Radialgleitlagers aus der Konstruktionszeichnung entnommen werden, zum Beispiel durch Ausplanimetrieren. Bei Entwurfsrechnungen wird sie aus den Richtwerten für die Oberflächen AL und AW ermittelt:

AG = AL + AW

AG , AL , AW b, d m m2

(12)

AL Wärmeabgebende Oberfläche des Lagers AW Wärmeabgebende Oberfläche der Welle Richtwerte

13.3.4.4 Relative Lagerbreite . Der Wellendurchmesser d ist aus der vorausgegangenen Festigkeitsberechnung bekannt. Die Lagerbreite b wird aus der relativen Lagerbreite E (Bauverhältnis) festgelegt; man wählt E = b/d | 0,5 ... 1. Verhältnisse b/d < 0,5 sind ungünstig, da die Seitenströmung zu groß wird und der hydrodynamische Druck sinkt; b/d > 1 ist wegen der Gefahr zu großer Kantenpressung zu vermeiden (Bild 17):

E=

v=Sdn

(10)

AL

AW

d d 0,1 m

(25 ... 20) d b

(15 ... 10) d 2

d > 0,1 m

(20 ... 15) d b

(10 ... 5) d 2

13.3.4.7 Mittleres relatives Betriebslagerspiel B. Bei der effektiven Schmierstofftemperatur -eff stellt sich das Lagerspiel PsB ein. Als Kenngröße für weitere Rechnungen hat man das mittlere relative Lagerspiel \B definiert. Es ist das auf den Lagerdurchmesser d bezogene Lagerspiel:

13 Lager

I 159 PsB, d

B

P B = sB d

1

v m s

m

(13)

Als erste Annahme rechnet man mit der Zahlenwertgleichung nach Vogelpohl:

B = 0,8 4 v · 10–3

Ablesebeispiel: Für die Ölsorte ISO-VG 100 DIN 51 519 beträgt die Richtungskonstante m = 3,996 und die Viskosität K bei 50 ºC:

K = 51,9 · 10–3

Ns m2

(14)

Danach ist B abhängig von der Umfangsgeschwindigkeit v nach Gleichung (11). Die bestimmten relativen Betriebslagerspielen entsprechenden Passungen für verschiedene Lagerdurchmesser sind dem Diagramm zu entnehmen:

13.3.4.10 Hilfsfaktor WM . Mit der nach 13.3.4.9 ermittelten Viskosität K wird der Hilfsfaktor WM ermittelt (Zahlenwertgleichung). Er wird in der Zahlenwertgleichung (19) gebraucht. Index M siehe 13.3.4.12. η  WM = lg lg ⋅106 + 0,8 r 

(16)

K siehe Richtwerte für 50 °C in 13.3.4.9

r = 900 kg/m3 (Dichte des Öls bei 50 °C)

13.3.4.8 Lagerspiel PsB bei Betriebstemperatur

(15)

PsB = B d

13.3.4.9 Richtungskonstante m. Im ViskositätTemperatur-Diagramm haben die verschiedenen Schmieröle unterschiedlich geneigte Gerade mit unterschiedlichen Richtungskonstanten m. Sie werden als Kenngröße für die Berechnung des Hilfsfaktors Wx nach Gleichung (19) gebraucht. Richtwerte für ISO-Schmieröle nach DIN 51 519, gültig für den Viskositätsindex VI = 50 und Dichte r = 900 kg/m3 bei 50 ºC:

m

K · 10–3

Ns m2

m

K · 10–3

Ns m2

m

K · 10–3

Ns m2

m

K · 10–3

Ns m2

VG2 3,723 1,67

VG3 3,941 2,35

VG5 VG7 4,065 4,136 3,26 4,63

VG10 4,084 6,59

VG15 4,076

VG22 4,026

VG32 VG46 4,064 4,072

VG68 4,048

9,46

13,5

18,7

25,8

Z=2Sn CSo =

(17)

p ψ 2B

(18)

ω

Z, n

CSo

p

\B

1 −1 =s s

Ns m2

N m2

1

Für die nun folgenden Rechnungen muss eine Betriebstemperatur -eff angenommen werden, zum Beispiel -eff = 60 °C. Kommt am Schluss der Rechnung keine annähernde Übereinstimmung zustande, muss die Rechnung von hier ab wiederholt werden, bis sich diese gewünschte Übereinstimmung ergibt (Iteration).

36,7

VG100 3,996 51,9

VG150 3,920 75,2

VG220 3,872 106

VG460 3,776

VG680 3,735

VG1000 VG1500 3,710 3,684

208

297

420

13.3.4.11 Sommerfeldkonstante CSo. Mit der nach Gleichung (9) berechneten spezifischen Lagerbelastung p, dem mittleren relativen Lagerspiel \B nach Gleichung (14) und der noch zu berechnenden Winkelgeschwindigkeit Z wird die Sommerfeldkonstante CSo ermittelt:

VG320 3,806 150

606

Erster Iterationsschritt: 13.3.4.12 Hilfsfaktor WX . Die Gleichung für den Hilfsfaktor WX ist eine von Ubbelohde und Walther empirisch ermittelte Zahlenwertgleichung zur Beschreibung des V-T-Verhaltens (Viskosität-Temperatur-Verhalten) des Schmieröls. Der Index M kennzeichnet die gemessene Größe, der Index X die gesuchte Größe.

I 160

I Maschinenelemente

WX = m (lg TM – lg TX) + WM

(19)

m Richtungskonstante nach 13.3.4.9 TM = 50 °C + 273,15 K = 323,15 K TX = -eff + 273,15 K (bei Iterationsbeginn -eff | 60 °C annehmen) WM siehe 13.3.4.10 13.3.4.13 Effektive Viskosität

eff

So d 1 So > 1

Lager liegt im Schnelllaufbereich Lager liegt im Schwerlastbereich

13.3.4.15 Reibzahl μ. Mit der Sommerfeldzahl So als Kenngröße und mit dem nach Gleichung (13) ermittelten relativen Betriebslagerspiel \ B wird die Reibzahl μ berechnet: k ψB So k ψB μ= So

So d 1

des Öls

So > 1

Keff = r [10(10Wx) – 0,8] · 10–6

(20)

r = 900 kg/m3

Keff

r

(Dichte des Öls bei 50 ºC)

Ns m2

kg m3

k k

13.3.4.14 Sommerfeldzahl So. Die Gleichung für die Sommerfeldzahl erfasst insbesondere die Zusammenhänge von Belastung und Reibungsverhalten (siehe auch. 13.3.4.15). Mit der Sommerfeldzahl kann man die Lager dem Schnelllaufbereich (So d 1) und dem Schwerlastbereich (So > 1) zuordnen.

So = So =

CSo

(21)

η eff p ψ 2B

η eff ω

=

2 2 F ψB F ψB = b d ηeff ω 2 π n b d η eff

So

CSo

Keff

p

1

Ns m2

Ns m2

N m2

\B Z , n 1

1 s

(22)

F

b, d

N

m

(23)

μ=

(24)

Gestaltfaktor = 3 als Mittelwert (nach Vogelpohl) für voll umschlossene Lager

Zur Kontrolle kann der berechnete Wert mit den Werten in der unten stehenden Tabelle verglichen werden. 13.3.4.16 Wärmestrom PR (Reibleistung). Im Betriebszustand tritt im Lager Reibung auf (siehe 13.3.2). Die Reibkraft FR ist das Produkt aus der Lagerkraft F und der Reibzahl μ (FR = F μ), die entsprechende Reibleistung ist das Produkt aus der Reibkraft FR und der Umfangsgeschwindigkeit v. Diese Reibleistung wird als Wärmestrom PR bezeichnet:

(25)

PR = F μ v 1 W = 1 Nm/s = 1 J/s PR

F

μ

W

N

1

v m s

Erfahrungswerte für Gleitlager-Reibzahlen μ Lagerart und Schmierung Radiallager Fett Öl Öl Öl Öl trocken Axiallager Spurlager Fett Öl Segmentlager Öl

Welle

Stahl

Stahl

Werkstoff von Lager Cu Sn-Leg. Cu Sn-Leg. Cu Sn Pb-Leg. Pressstoff Sintermetall Kunstharzverbund

Anlaufreibung

mittlere Werte für μ Mischreibung Flüssigkeitsreibung

0,12 0,05 ... 0,1 0,14 0,02 ... 0,1 0,24 – 0,14 0,01 ... 0,03 0,17 – bei Gleitgeschwindigkeit < 0,1 m/s: 0,2 ... 6 m/s:

– 0,003 ... 0,005 0,002 ... 0,003 0,003 ... 0,006 0,002 ... 0,014 0,05 ... 0,1 0,1 ... 0,16

Cu Sn-Leg. Cu Sn-Leg.

0,15 0,25

– 0,03

– –

Cu Sn-Leg

0,25

–

0,002

13 Lager

I 161

13.3.4.17 Lagertemperatur - L. Die Lagertemperatur - L entspricht der mittleren Temperatur, die sich im Lager einstellt, wenn der thermische Gleichgewichtszustand erreicht ist, also das Gleichgewicht zwischen entstehender und abgeführter Wärme. Sie ist für den gesamten bisherigen Rechnungsgang die wichtigste Kenngröße, denn sie darf den für Lagerwerkstoff und Schmierstoff zulässigen Wert nicht überschreiten. Geht man davon aus, dass die gesamte entstehende Wärme durch Wärmeübergang (Wärmekonvektion) vom Lagergehäuse an die umgebende Luft übertragen wird, dann gelten die Gesetze des Wärmeübergangs nach Abschnitt F Thermodynamik. An die Stelle des dort eingeführten Wärmeübergangskoeffizienten tritt hier die Wärmeabfuhrzahl D (siehe 13.3.4.1). Es gilt dann mit Gleichung (3):

PR = D AG (- L – - U)

(26)

AG ist die Wärme abgebende Oberfläche des Lagergehäuses nach 13.3.4.6, - L die Lagertemperatur und - U die Temperatur der umgebenden Luft. Gleichung (26) wird nach - L aufgelöst:

-L = -U +

PR

- L, - U PR ºC

(27)

α AG

W

AG

D

m2

W m 2 ºC

Die Umgebungstemperatur wird mit - U = 20 ºC angenommen, die Wärmeabfuhrzahl mit D = 20 W/(m2 ºC). Diese Annahme gilt für eine Luftgeschwindigkeit wLuft = 1,2 m/s (Windstärke null). Für andere Luftgeschwindigkeiten kann nach Tabelle 2 im Abschnitt F Thermodynamik vorgegangen werden. 13.3.4.18 Temperaturvergleich. Den Rechnungen ab 13.3.4.12 liegt die Annahme zugrunde, dass der Schmierstoff eine effektive Temperatur von -eff = 60 ºC annimmt (siehe Gleichung (19)). Folglich muss nun die nach Gleichung (27) berechnete Lagertemperatur - L mit -eff verglichen werden, weil es nur bei annähernder Übereinstimmung beider Werte sinnvoll ist, die Rechnung weiterzuführen. Sonst ist die Rechnung ab 13.3.4.12 mit dem zweiten Iterationsschritt zu wiederholen (siehe Berechnungsbeispiel 13.3.9). Die Rechnung kann erst dann nach 13.3.4.20 fortgesetzt werden, wenn der Betrag der Temperaturdifferenz ' - = | - L – -eff | d 2 ºC

(28)

ist. Ist die Temperaturdifferenz ' - größer als 2 ºC, muss vor Iterationsbeginn nach Gleichung (28) die neue effektive Schmierstofftemperatur -eff, neu ermittelt werden (siehe Berechnungsbeispiel 13.3.9).

13.3.4.19 Neue effektive Schmierstofftemperatur eff Man berechnet die neue effektive Schmierstofftemperatur -eff, neu als arithmetisches Mittel aus der zu Beginn des ersten Iterationsschritts angenommenen effektiven Schmierstofftemperatur -eff = -eff, alt und der mit Gleichung (27) ermittelten Lagertemperatur - L:

-eff, neu =

ϑeff,alt + ϑ L

(29)

2

Mit -eff, neu ist die Iteration ab 13.3.4.12 aufzunehmen, bis die Bedingung ' - = | - L – -eff, neu | d 2 ºC erfüllt ist. 13.3.4.20 Kleinste Spalthöhe h0 (Schmierspalthöhe). Die kleinste Spalthöhe (kleinste Schmierschichtdicke) wird nach empirischem Gleichungen in Abhängigkeit von der Sommerfeldzahl nach 13.3.4.14 ermittelt:

für So d 1: P  So 1+ β  h0 = sB 1− ⋅  > h0 min 2  2 2β  für So > 1: P 2β > h0 min h0 = sB ⋅ 4 So 1+ β h0 , PsB m

(30)

(31)

E , So 1

Die rechnerisch ermittelte kleinste Spalthöhe h0 soll größer sein als ein bestimmter Grenzrichtwert h0 min und mindestens gleich der Summe der Oberflächenrautiefen RtW und RtL für Welle und Lager (h0 t RtW + RtL ). Siehe dazu Beispiel 2 in 13.3.9. Grenzrichtwerte h0 zul in µm = 10–6 m in Abhängigkeit vom Wellendurchmesser d und von der Umfangsgeschwindigkeit v des Lagerzapfens: d in mm 20 ... 60 > 60 ... 160 > 160 ... 400

d1 3 4 6

> 1 ... 3 4 5 7

v in m/s > 3 ... 10 5 7 10

> 10 ... 30 7 10 13

13.3.4.21 Erforderlicher Schmierstoffdurchsatz Vs . Nach 13.3.2 wird durch die Relativbewegung zwischen Welle und Lager der Schmierstoff unter Druckaufbau durch den Schmierspalt gepresst. Der Durchsatzquerschnitt ist das Produkt aus Lagerbreite b und kleinster Schmierspalthöhe h0 (Rechteckquerschnitt b h0). Überschlägig ist dann:

I 162

I Maschinenelemente

Vs =  h0 b v

(32)

13.3.4.23 Übergangsdrehzahl nü (nach Vogelpohl)

nü = 10–7

 Durchsatzfaktor  | 0,75 einsetzen

(35)

F

η eff V

Vs

h0 , b

v

M

Keff nach 13.2.4.13

m3 s

m

m s

1

V = S d 2 b/4 (Lagerzapfenvolumen) F

Keff

V

min–1 N

Ns m2

m3

nü 13.3.4.22 Erforderlicher Kühlöldurchsatz Vk . Bei schnelllaufenden, hoch belasteten Lagern können sich Lagertemperaturen - L t 80 ºC ergeben. Dann ist zusätzliche Kühlung erforderlich, zum Beispiel durch Umlaufschmierung. Vernachlässigt man in diesen Fällen die Wärmeabgabe durch das Lagergehäuse, wird der thermische Gleichgewichtszustand durch die Gleichung beschrieben:

entstehende Wärme = abzuführende Wärme (Wärmestrom PR) PR = Vk rÖl cÖl (- 2 – - 1)

(33)

Vk Kühldurchsatz; rÖl Dichte des Öls; cÖl spezifische Wärmekapazität des Öls (siehe auch Abschnitt F Thermodynamik 1.6); - 1, - 2 Ein- und Austrittstemperatur des Öls. Das Produkt Vk rÖl ist der Massendurchsatz m Öl . Der Punkt über dem Formelzeichen für die physikalische Größe bedeutet, dass es sich um die zeitbezogene Größe handelt, also Vk in m3/s und m Öl in kg/s. Gleichung (33) kann nun nach dem Kühlöldurchsatz Vk aufgelöst werden: Vk =

(34)

PR cÖl rÖl (ϑ 2− ϑ 1)

Bei nü geht Flüssigkeitsreibung in Mischreibung über. Die Betriebsdrehzahl n soll mindestens zweibis dreimal größer sein als die Übergangsdrehzahl: n = (2 ... 3) nü. 13.3.4.24 Hertz’sche Pressung p0 . Wird das Lager auch im Stillstand mit der Lagerkraft F belastet, dann ist die Hertz’sche Pressung p0 (Walze gegen Walze) zu bestimmen und mit pzul für den Lagerwerkstoff nach 13.3.4.3 zu vergleichen. Näherungsweise gilt:

p0 = 0,591

E p ψB

p

nach 13.3.4.3

E=

2 EL EW EL + EW

(36)

\ B nach 13.3.4.7

EL , EW Elastizitätsmodul von Lagerwerkstoff (nach 13.3.4.3) und Wellenwerkstoff (bei Stahl EW = 21 · 1010 N/m2) Der maximale Flüssigkeitsdruck kann das Zwei- bis vierfache der mittleren Flächenpressung pm betragen (örtlich bis zum Zehnfachen).

- 2 – - 1 = 15 °C Beachte: 1 K = 1 ºC Vk

PR

Nm J m3 W= = s s s

cÖl J kg K

rÖl - 1, - 2 kg m3

ºC

Die Temperaturdifferenz ' - = - 2 – - 1 soll 15 ºC nicht überschreiten, um Viskositätsänderungen des Schmierstoffs in Grenzen zu halten. Die spezifische Wärmekapazität des Öls kann den Tabellen im Abschnitt F Thermodynamik entnommen werden, zum Beispiel ist für Maschinenöl cÖl = 1 675 J/(kg K), die Dichte des Öls kann mit rÖl = 900 kg/m3 angesetzt werden.

13.3.5 Berechnung der Axial-Gleitlager 13.3.5.1 Voll-Spurlager, Ring-Spurlager. Beim VollSpurlager mit ebener Spurplatte ist die Pressung beim Lauf hyperbolisch über der Spurfläche (Vollkreis) verteilt. Durch die in der Mitte theoretisch unendlich große Pressung tritt hier starker Verschleiß auf, der beim Ring-Spurlager durch eine zentrische Aussparung vermieden wird (Bild 18). Diese Lager haben praktisch nur geringe Bedeutung. Anwendung bei kleinen Dreh- oder Pendelbewegungen oder bei mittleren Drehzahlen und geringen Belastungen, Schwimmreibung ist wegen fehlender Anstellflächen nicht erreichbar.

13 Lager

I 163

Tabelle 22. Spiel- und Toleranzberechnungen Spieländerung ' PS durch Wärmedehnung im Betrieb (nach Gersdorfer)



' PS = d α W ∆ ϑ W −



' PS

mm

D 1 mm ºC

AL E L α L + AG E G α G ∆ ϑG    A L E L + AG E G 

'-

d

ºC

A

E

mm2

N mm 2

d Wellendurchmesser; D W, D L, D G Längenausdehnungs-Koeffizienten von Wellen , Lager- und Gehäusewerkstoff; '- W = '- L = - B – - O mit mittlerer Betriebstemperatur des Lagers - B und Umgebungstemperatur -O; '-G = -G – -O mit angenommener Gehäusetemperatur -G; AL , AG Querschnittsfläche von Lagerbuchse(-schale) und Gehäusewandung; EL, E G die entsprechenden Elastizitätsmoduln. Einbauspiel PSE

PSE = PSB + ' PS

mittleres Einbauspiel PSE mittel

PSE mittel =

mittleres relatives Einbauspiel \E mittel

\E mittel =

PSB Lagerspiel bei Betriebstemperatur im Lager

PSE gr + PSE

kl

2

PSE gr größtes Einbauspiel PSE kl kleinstes Einbauspiel PSE gr und PSE kl nach dem Festlegen der Passung aus 13.1.8 PSE mittel muss etwa gleich PSE werden

PSE mittel

\

d

1

Pb Sn-Leg. (0,4 ... 1) Cu Pb-Leg. 1) (2 ... 3) Al-Leg. 1) (1,5 ... 1,7) Sintermetall (1,5 ... 1,7) Kunststoff (3 ... 4) (1 ... 2) Gusseisen

· 10–3 · 10–3 · 10–3 · 10–3 · 10–3 · 10–3

größtes und kleinstes Betriebsspiel PSB

PSB gr = PSE gr – 'PS PSB kl = PSE kl – 'PS

alle Maße in mm oder in μm

Richtwerte RtW und RtL (größere Werte für größere Durchmesser)

feingedreht 2 ... 10 μm feinstgeschliffen feinstgedreht 1 ... 3 μm feinstgerieben geschliffen 4 ... 10 μm geläppt feingerieben 1 ... 3 μm poliert RtW, RtL Rautiefe von Welle und Lagerbuchse oder -schale

Richtwerte für das mittlere relative Einbauspiel für einige Lagerwerkstoffe

relatives Betriebsspiel \B

messbares Einbauspiel PSE mess (weil PSE auf Mitten der Rautiefen bezogen ist)

PSE mm

d mm

größere Werte für größere Durchmesser 1)

Schleuderguss

1 [PSE mess gr – ' PS + (RtW + RtL)] d 1 [PSE mess kl – ' PS + (RtW + RtL)] \B kl = d

0,15 ... 0,6 μm 0,4 ... 1 μm 0,3 ... 0,6 μm 0,08 ... 0,25 μm

\B gr =

alle Maße in mm

PSE mess gr = PSE gr – (RtW + Rt L ) PSE mess kl = PSE kl – (RtW + Rt L )

alle Maße in mm

Anmerkung: Das Fertigungsspiel wird durch Presssitz der Lagerbuchse verringert. Richtwert: Verkleinerung des Bohrungsdurchmessers ca. 70 % des Passungsübermaßes.

I 164

I Maschinenelemente

Berechnung der Flächenpressung: pm =

Fa ≤ pm zul π 2 (D −d 2 ) 4

pm

Fa

D, d

N mm 2

N

mm

(37)

Fa Axialkraft; D Außen-, d Innendurchmesser der Ringspurplatte; man wählt Bauverhältnis: d /D | 0,5 ... 0,6. pm zul nach Tabelle 23.

Bild 19. Berechnung des Segment-Spurlagers

Nach Schiebel ergibt sich die Tragkraft bei Flüssigkeitsreibung (38)

Fa | 16 · 10–4 dm b2 n K Fa N

dm, b n mm min–1

K P

dm mittlerer Spurflächendurchmesser ; b Spurflächenbreite, es soll sein b | 0,3 dm ; n Drehzahl; K Ölviskosität. 13.3.6 Schmierung der Gleitlager 13.3.6.1 Schmierungsarten

Bild 18. Berechnung des Ring-Spurlagers Tabelle 23. Richtwerte für die zulässige mittlere Flächenpressung pm zul bei kleinen Gleitgeschwindigkeiten Werkstoff für Welle Lager Stahl gehärtet Stahl gehärtet Cu Sn-Leg. Gusseisen E295, E335, Stahlguss Cu Sn-Leg. Stahl ungehärtet Gusseisen Sintermetall Cu Sn-Leg. Kunststoff

pm zul-Werte N/mm2 15 10 8 8 5 3 3 2,5

Beim ruhenden Zapfen ist die Flächenpressung gleichmäßig verteilt; Reibkraft FR1 greift im Schwerpunkt der Ringfläche an, beim drehenden Zapfen verschiebt sich der Angriffspunkt der Reibkraft FR2 zur Mitte der Ringfläche (l2 =(D + d)/4). 13.3.5.2 Segment-Spurlager. Durch Aufteilung der Ringfläche in Segmente mit „angestellten” Flächen wird Schwimmreibung ermöglicht. Druckverlauf über den Segmentflächen zeigt Bild 19.

Ölschmierung: Vorherrschend bei kleinen bis höchsten Drehzahlen und Belastungen. Geschmiert wird vorwiegend mit Mineralölen. Zusätze von Molybdänsulfid oder auch Graphit verbessern die Schmiereigenschaften durch Erhöhung der Haftfähigkeit und Glättung der Gleitflächen. Fettschmierung: Vorwiegend bei kleinen Drehzahlen und Pendelbewegungen, stoßartigen Belastungen oder wenn Schwimmreibung nicht erreichbar ist, zum Beispiel bei einfachen Lagerungen von Pressen, Hebezeugen, Landmaschinen, bei Gelenken und Führungen. Verwendet werden Gleitlagerfette. Wasserschmierung hat sich bei Holz-, Kunststoffund Gummilagern (Walzenlagern, Pumpenlagern) bewährt. Trockenschmierung mit Trockenschmiermitteln wie Molybdänsulfid oder Graphit wird bei hohen Temperaturen, zur Notlauf- und einmaliger Schmierung verwendet, zum Beispiel bei langsam laufenden, schwer oder nicht zugänglichen Lagern, Gelenken, Führungen. 13.3.6.2 Schmierverfahren, Schmiervorrichtungen

Durchlaufschmierung: Das Schmiermittel durchläuft die Gleitstelle nur einmal und wird meist nicht wieder verwendet. Anwendung nur bei gering beanspruchten, einfachen Lagern (Haushalts-, Büromaschinen) oder wo andere Schmierung nicht möglich ist (schwingende Lagerstellen, Gelenke).

13 Lager

I 165 13.3.8 Gestaltung der Gleitlager 13.3.8.1 Lagerbuchsen, Lagerschalen. Lagerwerkstoff ist meist als Buchsen oder Schalen im Gehäuse untergebracht. Buchsen (Bild 21a) werden in ungeteilte Lagergehäuse eingepresst; Abmessungen: d1 | 1,1 d + 5 mm; Passungen: Außendurchmesser r 6, Gehäusebohrung H7, genormte Lagerschalen siehe DIN 1850.

Bild 20. Öl-Schmiervorrichtungen

a) Einschraub-Deckelöler b) Einschraub-Kugelöler c) Einschlag-Klappdeckelöler d) Dochtöler e) Tropföler Vorrichtungen: Offene Öllöcher oder Öler verschiedener Ausführungen, DIN 3410 für Handschmierung. Selbsttätige Schmierung durch Tropföler mit sichtbarer, regulierbarer Ölabgabe (Bild 20), ferner durch Dochtöler mit tropfenweiser Ölabgabe. Fettschmierung von Hand durch Staufferbüchse oder Schmierköpfe oder selbsttätig durch Fettbüchse, bei der eine federbelastete Scheibe das Fett nachdrückt. Umlaufschmierung: Gebräuchlichste Schmierverfahren für Gleitlager aller Art. Ständiger Umlauf des gleichen Öls durch Förderorgan. Vorwiegend wird Ringschmierung bei Steh- und Flanschlagern mit waagerechten Wellen verwendet: feste mit Welle umlaufende Schmierringe bei höheren Drehzahlen und größeren Lagern (Bild 22) oder lose Schmierringe bei kleineren Drehzahlen. Bei Tauchschmierung tauchen zu schmierende Teile in Öl ein, z. B. bei Kurbellagern in Kurbelgehäusen oder Zahnradgetrieben. Umlaufschmierung durch Pumpe ist am sichersten und leistungsfähigsten; Anwendung bei hoch belasteten Lagern von Turbinen, Generatoren, Werkzeugmaschinen, auch als Zentralschmierung für ganze Maschinen. Das Schmiermittel ist immer der unbelasteten Lagerhälfte zuzuführen.

a)

b)

Bild 21. Lagerbuchsen, Lagerschalen a) Buchse für Fettschmierung b) Dreistoff-Lagerschale

Lagerschalen werden in Bohrungen geteilter Gehäuse eingelegt. Ausführung meist als Verbundlager, d. h. Zweistoff- oder Dreistofflager, zum Beispiel Dreistofflager (Bild 21b) mit Stützschale aus Stahl, Notlaufschicht aus PbSn-Leg. und Laufschicht aus BleiZinn-Lagermetall. 13.3.8.2 Ausführungsbeispiele für Radiallager. Für einfache Lagerungen genügen Augenlager, DIN 504, oder Flanschlager, DIN 502, mit oder ohne Buchse, meist für Fettschmierung vorgesehen. Ein starres Stehlager mit Ringschmierung durch festen Schmierring zeigt Bild 22. Öl wird durch den mit der Welle umlaufenden Schmierung (1) durch Ölabstreifer (2) in Seitenräume (3) gefördert und tritt durch Löcher (4) zwischen die Gleitflächen. Seitlich austretendes Öl wird durch Ölfangrillen (5) abgefangen und in den Vorratsraum zurückgeführt.

Bild 22. Starres Stehlager mit festem Schmierring

13.3.7 Lagerdichtungen

Dichtungen bei Gleitlagern vorwiegend gegen Austreten von Öl; häufig genügen Ölfangrillen an den Lagerenden (Bild 22), sonst werden die unter 13.2.8 beschriebenen Dichtungen verwendet.

Zum Ausgleich von Fluchtfehlern und zur Vermeidung von Kantenpressungen (Transmissionen) werden Pendellager verwendet, bei denen die Lagerschalen pendelnd im Lagergehäuse angebracht sind.

I 166

I Maschinenelemente

Die Forderung nach geringstem, ein- und nachstellbarem Lagerspiel ist durch Mehrgleitflächenlager (MFLager) zu erfüllen. Das MGF-Lager nach Malcus (Bild 23) hat vier durch einen elastischen Ring verbundene Gleitklötze (1) mit Anstellflächen. Ein- und Nachstellen durch Schrauben (2). Umlaufschmierung durch Pumpe; Öleintritt bei (3), Ölaustritt bei (4). Schmierkeile halten eine Welle auch bei richtungsveränderlichen Lagerkräften in zentrischer Lage. Bild 25. Einbau von Axial-Druckringen a) bei senkrechter b) bei waagerechter Welle

13.3.9 Berechnungsbeispiele für ein Radialgleitlager ■ Beispiel 1: Mit den gegebenen Größen ist die Entwurfsberechnung nach 13.3.4 durchzuführen.

Bild 23. Mehrgleitflächenlager nach Malcus 13.3.8.3 Ausführungsbeispiele für Axiallager. Ring-Spurlager, im Prinzip nach Bild 18, haben wegen fehlender Anstellflächen praktisch keine große Bedeutung. Anwendung nur bei kleinen Drehzahlen oder Schwenkbewegungen, zum Beispiel bei Säulen kleiner Wanddrehkrane. Für höhere Drehzahlen und Belastungen kommen Segmentlager infrage. Einen einbaufertigen Axial-Druckring aus (Caro-)Bronze zeigt Bild 24. Hydrodynamisch wirksame, feinkopierte Keilflächen (2) ermöglichen Schwimmreibung; Öl tritt in Nuten (1) ein, Rastflächen (3) stützen die Welle bei Stillstand ab. Einbaubeispiel bei senkrechter Welle zeigt Bild 25a, Ölzufuhr bei (1) über Ringnut (2) durch Hohlschrauben (3). Einbau eines doppelseitigen Axial-Druckrings bei waagerechter Welle nach Bild 25b; Druckring (1) sitzt zwischen den mit der Welle fest verbundenen Stahl-Laufringen (2), die durch Distanzring (3) auf Abstand gehalten werden.

Gegeben: Lagerkraft Lagerdurchmesser Lagerbreite Wellendrehzahl Umgebungstemperatur

F d b n

Wärmeabfuhrzahl

D = 20

= = = = -U =

190 000 N 0,38 m 0,3m 3 s–1 = 180 min–1 20 ºC W Nm = 20 2 m2K sm K

Werkstoffpaarung: Stahl/Lg Pb Sn nach 13.3.4.3. Ölsorte: ISO VG 100 DIN 51 519, mit VI = 50 nach 13.3.4.9.

Lösung:

1. Spezifische Lagerbelastung p p=

F d pzul bd

p=

190000 N N N = 1,67 · 106 2 < pzul = 12,5 · 106 2 0,3 m⋅0,38 m m m

F, b, d und pzul sind gegebene Größen

2. Relative Lagerbreite E

E=

b 0,3 m = = 0,789 | 0,8 d 0,38 m

3. Umfangsgeschwindigkeit v

1 m v = S d n = S · 0,38 m · 3 = 3,58 s s 4. Wärme abgebende Lageroberfläche AG AG = AL + AW

AG = 3,724 m2

AL = 20 d b gewählt AW = 10 d 2 gewählt

5. Relatives Lagerspiel \B

\B = 0,8 · 4 v ⋅10−3 = 0,8⋅ 4 3,58 ⋅10−3 = 0,0011

Bild 24. Axial-Druckrichtung für eine Drehrichtung

\B = 1,1 · 10–3

13 Lager

I 167

6. Lagerspiel PsB PsB = B d = 1,1 · 10–3 · 0,38 m =

-L = 20 ºC +

7. Richtungskonstante m m = 3,996 8. Hilfsfaktor WM ηM  WM = lg lg  ⋅106 + 0,8  r 

= 900

-eff neu = Ns m2

Wx = m (lg TM – lg Tx) + WM Wx = 3,996 · [lg 323,15 – lg (48,2 + 273,15)] + 0,2472 Wx = 0,257

1,67⋅106

N ⋅(1,1⋅10−3 )2 Ns m2 = 0,107 2 1 m 18,85 s

Effektive Viskosität Keff

( W ) Keff = r [10 10 x − 0,8] · 10–6

Erster Iterationsschritt:

( 0,257 ) Keff = 900 · [10 10 − 0,8] · 10–6 =

10. Hilfsfaktor Wx mit -eff = 60 ºC

= 57 · 10–3

Wx = m (lg TM – lg Tx) + WM Wx = 3,996 (lg 323,15 – lg 333,15) + 0,2472

So =

m = 3,996 TM = 50 ºC + 273,15 K = 323,15K

CSo

ηeff

Tx = -eff + 273,15 K = 60 ºC + 273,15 K

Reibzahl P

P=

WM = 0,2472

– 0,8] · 10–6

kg r = 900 3 m

Wx = 0,1943

Ns m2

Ns m 2 = 3,3 > 1 So = = ηeff 32,3⋅10−3 Ns m2 13. Reibzahl μ μ=

0,107

−3

k ψB 3⋅1,1⋅10 = So 3,3

Nm ⋅3,724 m 2 sm 2 K

= 42 ºC

Diese Temperaturdifferenz liegt noch über 2 ºC, also muss noch einmal gerechnet werden. Der dritte Iterationsschritt ergibt die folgenden Größen:

m = s

Nm = 1 224 W s

15. Lagertemperatur -L PR

Nm s

Der Betrag der Temperaturdifferenzen |  | = | L – eff | wird jetzt |  | = | 42 ºC – 48,2 ºC | = 6,2 ºC.

14. Wärmestrom (Reibleistung) PR

α AG

1632 20

= 1,8⋅10−3

PR = F μ v = 190 000 N · 1,8 · 10–3 · 3,58

-L = -U +

Nm = 1 632 W s

= 20 ºC +

k = 3 angenommen

= 1 224

m = s

Lagertemperatur L P L = U + R = α AG

12. Sommerfeldzahl So CSo

PR = F μ v = 190 000 N · 2,4 · 10–3 · 3,58

= 1 632

( 0,1943 ) Keff = 900 · [10 10 − 0,8] · 10–6

Keff = 32,3 · 10–3

k ψB 3⋅1,1⋅10−3 = = 2, 4⋅10−3 (vorher 1,8  10–3) 1,88 So

Wärmestrom (Reibleistung) PR

11. Effektive Viskosität Keff )

Ns m 2 =1,88 >1 (vorher 3,3) Ns 57⋅10−3 2 m 0,107

=

Tx = 333,15 K

Wx

Ns Ns (vorher 32,3 · 10–3 2 ) m2 m

Sommerfeldzahl So

Wx = 0,1943

Keff = r [10(10

60 º C + 36, 4 º C = 2

Hilfsfaktor Wx mit -eff = 48,2 ºC

=

ω

=

Zweiter Iterationsschritt:

kg m3

p ψB2

ϑeff alt + ϑL

2 = 48,2 ºC

9. Sommerfeldkonstante CSo CSo =

20

16. Neue effektive Lagertemperatur -eff

WM = 0,2472

r

Nm s

Nm ⋅3, 724 m 2 sm 2 K Der Betrag der Temperaturdifferenz | -L – -eff | wird also | '- | = | 36,4 ºC – 60 ºC | = 23,6 ºC  2 °C, das heißt, es muss mit einer neuen effektiven Lagertemperatur -eff gerechnet werden.

= 0,418 · 10–3 m = 0,418 mm

KM = 51,9 · 10–3

1 224

; ϑU = 20 ° C (gegeben) ; α = 20

Nm (gegeben) sm 2 K

Hilfsfaktor Wx = 0,2737 mit eff = 45,1 ºC Effektive Viskosität eff = 67,2 · 10–3 Ns/m2 Sommerfeldzahl So = 1,59 > 1 Reibzahl μ = 2,6 · 10–3 Reibleistung PR = 1 780 W Lagertemperatur L = 43,9 ºC | 44 ºC Temperaturdifferenz | '- | = 1,2 ºC Anmerkung: Das Lager läuft im Schwerlastbereich (So > 1). Die Rechnung kann nun weitergeführt werden:

I 168

I Maschinenelemente

Kleinste Schmierspalthöhe h0 P 0, 418⋅10−3 m 2⋅0,789 2β h0 (So > 1) = sB ⋅ = ⋅ 4⋅1,59 1+ 0, 789 4 So 1+ β h0 = 58 · 10–6 m = 58 μm > h0 zul | 10 μm

Die Bedingung h0 vorh > h0 zul ist erfüllt. Erforderlicher Schmierstoffdurchsatz Vs Vs = M h0 b v

m Vs = 0,75 · 58 · 10–6 m · 0,3 m · 3,58 s m Vs = 46,7 · 10–6 s

3

ηeff

Gegeben: Betriebs-Lagerspiel PsB = 0,418 mm = 418 μm aus Beispiel 1, ebenso Durchmesser d = 380 mm und Betriebstemperatur -B = 44 ºC. Lösung: Spieländerung durch Wärmedehnung

–6 DG = 09 · 10

1 K

für Gusseisen

DL = 24 ·

½ ¾ ¿

nach Abschnitt F Thermodynamik, Tabelle 3.

'-W = -B – -0 = 44 ºC – 20 ºC = 24 ºC '-L = '-W = 24 ºC '-G = -G – -0 = 15 ºC angenommen 4 N EL = 3,1 · 10 mm 2

N mm 2

für Gusseisen

Annahmen: Außendurchmesser der Lagerbuchse = 390 mm Außendurchmesser des Lagergehäuses = 450 mm Damit ergeben sich die Querschnittsflächen π AL = (3902 – 3802) mm2 | 0,6 · 104 mm2 4 π (4502 – 3902) mm2 | 3,96 · 104 mm2 4 Mit diesen Größen kann die Spieländerung 'Ps berechnet werden: AG =

'Ps = 0,052 mm = 52 μm

Die Spieländerung 'Ps ist stark abhängig von den vorhandenen und angenommenen Temperaturdifferenzen. So wird zum Beispiel bei '-G = 10 ºC bei '-G = 05 ºC

– (– 210 μm) = 210 μm

PsE gr + PsE kl

Die Passung H11/d9 in Tabelle 5 führt im Gegensatz zu H9/d9 zu einem mittleren Einbauspiel, das dicht beim Einbauspiel PsE = 470 μm liegt: PsE gr = 710 μm PsE kl = 210 μm (710 + 210) µm PsE mittel = = 460 µm | PsE = 470 μm 2

Mit diesem mittleren Einbauspiel soll die Rechnung nach Tabelle 22 weitergeführt werden. Mittleres relatives Einbauspiel \E mittel:

10–6 K1

4 EG = 12 · 10

ei = – 350 μm

(490 + 210) µm = = 2 2 = 350 μm < PsE = 470 μm

■ Beispiel 2: Spiel- und Toleranzberechnungen nach Tabelle 22.

für Stahl

es = – 210 μm

EI = 0

PsE mittel =

= 8,3 min–1  180 min–1

1 K

ES = + 140 μm

PsE kl = EI – es

PsE kl = 0

190000⋅10−7 = min–1 = V 67, 2⋅10−3 ⋅0,034

d = 380 mm –6 DW = 12 · 10

PsE gr = ES – ei

Das mittlere Einbauspiel wird damit für die Passung H9/d9:

Übergangsdrehzahl nü nü = 10–7 ·

Mittleres Einbauspiel PsE mittel: Es lassen sich mehrere Spieltoleranzfelder zusammenstellen. Bei der Auswahl muss versucht werden, mit dem mittleren Einbauspiel PsE mittel möglichst nahe an das berechnete Einbauspiel heranzukommen. So ergibt sich beispielsweise für das Spieltoleranzfeld H9/d9 mit den Abmaßen nach Tabelle 4 und der Rechnung nach 1.4.1

PsE gr = 140 μm – (– 350 μm) = 490 μm

l 103 l Vs = 46,7 · 10–6 1 = 168 h 3600 h

F

Einbauspiel PsE: PsE= PsB + 'Ps = 418 μm + 52 μm = 470 μm

Ÿ 'Ps = 68 μm Ÿ 'Ps = 85 μm

Hier soll mit 'Ps = 52 μm weitergerechnet werden.

\E mittel =

PsE mittel d

=

0, 460 mm =1, 2⋅10−3 380 mm

Dieser Wert liegt an der oberen Grenze der in Tabelle 22 angegebenen Richtwerte für das Lagermetall Lg Pb Sn. Betriebsspiele PsE: PsE gr = 710 μm – 52 μm = 658 μm PsE kl = 210 μm – 52 μm = 158 μm

Messbares Einbauspiel PsE mess: Mit den angenommenen Rautiefen RtW = RtL = 8 μm für feingedrehte Oberflächen nach Tabelle 22 wird PsE mess gr = (710 – 16) μm = 694 μm PsE mess kl = (210 – 16) μm = 194 μm

Relatives Betriebsspiel \B:

\B gr =

1 [P – 'Ps + (RtW + RtL)] d sE mess gr

\B gr =

1 [0,710 mm – 0,052 mm + 0,016 mm] = 1,8 · 10–3 380 mm

\B kl =

1 [P – 'Ps + (RtW + RtL)] d sE mess kl

\B kl =

1 [0,194 mm – 0,052 mm + 0,016 mm] = 0,4 · 10–3 380 mm

Mit den angenommenen Rautiefen ist auch die Bedingung nach 13.3.4.19 erfüllt: h0 t RtW + RtL

58 μm > 16 μm

11 Nabenverbindungen

I 109

7. Schritt – Berechnung der Bauteil-Wechselfestigkeit bWK und

tWK nach den Gleichungen (27) und (28):

bWK =

0,5⋅ Rm ⋅ K1 = Kσ 0,3⋅ Rm ⋅ K1 = Kτ

tWK =

N ⋅1 mm 2 = 86,6 N 2,83 mm 2

S = 1,21 > Smin = 1,15 Ermittlung der Sicherheit gegen Überschreiten der BauteilFließgrenze Smin = 3 (Vereinbarung)

0,5⋅ 490

1. Schritt – Berechnung der Bauteil-Fließgrenze für Biege- und Torsionsbeanspruchung bFK und tFK nach den Gleichungen (40) und (41):

N ⋅1 mm 2 = 85,5 N 1,72 mm 2

0,3⋅490

bFK = K1 K2F F Re = 1 1,2 1,1 295 8. Schritt – Berechnung des Faktors der Mittelspannungsempfindlichkeit b,tK den Gleichungen (30) und (31): N 86, 6 σ bWK mm 2 bK = = = 0,1 N N 2⋅ K1 ⋅ Rm − σ bWK 2⋅1⋅490 − 86, 6 mm 2 mm 2

tK =

85,5

τ tWK 2⋅ K1 ⋅ Rm − τ tWK

= 2⋅1⋅490

N mm 2

N N − 85,5 mm 2 mm 2

= 0,1

9. Schritt – Berechnung der Vergleichsmittelspannungen mv und

=

mv =

=

( K1 ⋅ K 2F ⋅ γ F ⋅ Re ) − σ z,d,b,WK 1− ψz,d,bWK

=

 N  N 1⋅1, 2⋅1,1⋅295,5 − 86, 6 N  mm 2  mm 2 = 336 1− 0,1 mm 2 ( K1 ⋅ K 2F ⋅ γ F ⋅ Re ) − τ tWK 3 = 1− ψtWK  N  N 1⋅1, 2⋅1,1⋅295,5 − 85,5 N  mm 2  mm 2 =132 1− 0,1 mm 2

vorh =

M b 319⋅104 Nmm N = = 43,8 W 0,1⋅903 mm3 mm 2

tvorth =

M t 78,8⋅104 Nmm N = = 5, 4 Wp mm 2 0, 2⋅903 mm3

11. Schritt – Berechnung der vorhandenen Sicherheit S nach Gleichung (12):

=

1  σ b 2  τ t 2   +   σ bADK   τ tADK 

=

1 2 2  N   N   43,8 2   5, 4 2 mm mm   +  N   72,3    53      mm 2  

N mm 2

(K1 ⋅ K 2F ⋅ γ F ⋅ Re ) N = = 1 1,2 1 295 mm 2 3 N mm 2

2. Schritt – Berechnung der vorhandenen Sicherheit S nach Gleichung (37): S=

1 2 2  N   N   43,8   5, 4  mm 2  + mm 2    389, 4 N     204, 4 N     mm 2   mm 2 

= 8,65

S = 8,65 > Smin = 3

11 Nabenverbindungen

10. Schritt – Berechnung der tatsächlich wirkenden Biege- und Torsionsspannungen vorh und tvorth:

S=

tFK =

= 204,4

mv nach den Gleichungen (32) und (33): mv =

= 389,4

N = mm 2

= 1, 21

W. Böge

11.1 Übersicht Die Hauptaufgabe einer Welle ist das Weiterleiten von Drehmomenten. Das geschieht über aufgesetzte Maschinenelemente wie Zahnräder, Riemenscheiben, Kupplungsscheiben, Hebel aller Art und andere Bauteile. Das Verbindungssystem zwischen der Welle und dem angeschlossenen Maschinenelement zur Weiterleitung des Drehmoments heißt Nabenverbindung. Die Nabe ist der Teil des Zahnrads, der Scheibe oder des Hebels, der die Drehmomentenübernahme von der Welle zu gewährleisten hat. Technische Bauteile können Kräfte und Drehmomente durch den Reibungseffekt zwischen festen Körpern, durch das Ineinandergreifen der beteiligten Bauteile oder durch einen verbindenden Stoff erhalten (Klebstoffe aller Art). Lässt man die Klebverbindungen außer Acht, kann man die Vielzahl der inzwischen gängigen Elemente zum Verbinden von Welle und Nabe in zwei Gruppen einteilen. Die eine Gruppe umfasst alle Nabenverbindungen, die durch Haftreibung zwischen Welle und Nabe das zu übertragende Drehmoment weiterleiten. Das sind die kraftschlüssigen oder reibschlüssigen Verbindungen. Zur zweiten Gruppe gehören diejenigen Nabenverbindungen, bei denen Welle und angeschlossenes Bauteil ineinander greifen. Das sind die formschlüssigen Verbindungen.

I 110

I Maschinenelemente

Die bekanntesten kraftschlüssigen Nabenverbindungen sind: zylindrische oder keglige Pressverbindungen (Presssitzverbindungen), Klemmsitzverbindungen, Keilsitzverbindungen und Spannverbindungen.

Zu den formschlüssigen Nabenverbindungen gehören: Stiftverbindungen, Passfederverbindungen und Profilwellenverbindungen. Eine Übersicht mit Anwendungsbeispielen geben die Tabellen 1 und 2.

Tabelle 1. Kraftschlüssige (reibschlüssige) Nabenverbindungen (Beispiele) Hauptvorteil: Spielfreie Übertragung wechselnder Drehmomente Vorwiegend für nicht zu lösende Verbindung und zur Aufnahme großer, wechselnder und stoßartiger Drehmomente und Axialkräfte: Verbindungsbeispiele: Riemenscheiben, Zahnräder, Kupplungen, Schwungräder im Großmaschinenbau, aber auch in der Feinwerktechnik. Ausführung als Längs- und Querpressverband (Schrumpfverbindung). Besonders wirtschaftliche Verbindungsart.

zylindrischer Pressverband

kegliger Pressverband (Wellenkegel)

Leicht lösbare und in Drehrichtung nachstellbare Verbindung auf dem Wellenende zur Aufnahme großer, wechselnder und stoßartiger Drehmomente. Verbindungsbeispiele: Wie beim zylindrischen Pressverband, außerPressverband dem bei Werkzeugen und in den Spindeln von Werkzeugmaschinen (Presssitzverbindung) und bei Wälzlagern mit Spannhülse und Abziehhülse. Wegen der Herstellwerkzeuge und der Lehren möglichst genormte Kegel verwenden (siehe keglige Wellenenden mit Kegel 1 : 10. Die Naben werden durch Schrauben oder Muttern aufgepresst, die Werkzeuge durch die Axialkraft beim Fertigen (zum Beispiel Bohrer). Kegelbuchsen sind meist geschlitzt.

kegliger Pressverband (Kegelbuchse) Leicht lösbare und in Längs- und Drehrichtung nachstellbare Verbindung zur Aufnahme wechselnder kleinerer Drehmomente. Bei größerer Drehmomentenaufnahme werden zusätzlich Passfedern oder Tangentkeile angebracht. Klemmsitzverbindung Verbindungsbeispiele: Riemen- und Gurtscheiben, Hebel auf glatten Wellen. Die Nabe ist geschlitzt oder geteilt. geteilte Nabe

Keilsitzverbindung

Lösbare Verbindung zur Aufnahme wechselnder Drehmomente. Kleinere Drehmomentenaufnahme beim Flach- und Hohlkeil, große und stoßartige Drehmomentenaufnahme beim Tangentkeil. Die Keilneigung beträgt meistens 1 : 100. Verbindungsbeispiele: Schwere Scheiben, Räder und Kupplungen im Bagger- und Landmaschinenbau, insgesamt bei schwererem und rauem Betrieb. Die Verbindung mit dem Hohlkeil ist nachstellbar.

Ringfederspannverbindung

Leicht lösbare und in Längs- und Drehrichtung nachstellbare Verbindung zur Aufnahme großer, wechselnder und stoßartiger Drehmomente. Das übertragbare Drehmoment ist abhängig von der Anzahl der Spannelemente. Hierzu sind die Angaben der Herstellerfirmen zu beachten, zum Beispiel Fa. Ringfeder GmbH, Krefeld-Uerdingen.

Einlegekeil

Ringfederspannelement

11 Nabenverbindungen

I 111

Tabelle 2. Formschlüssige Nabenverbindungen (Beispiele)

Hauptvorteil: Lagesicherung Lösbare Verbindung zur Aufnahme meist richtungskonstanter kleinerer Drehmomente. Verbindungsbeispiele: Bunde an Wellen, Stellringe, Radnaben, Hebel, Buchsen. Verwendet werden Kegelstifte nach DIN 1 mit Kegel 1 : 50, Zylinderstifte nach DIN 7, für hochbeanspruchte Teile auch gehärtete Zylinderstifte nach DIN 6325.

Querstiftverbindung Stiftverbindung

Hinzu kommen Kerbstifte und Spannhülsen.

Längsstiftverbindung Leicht lösbare und verschiebbare Verbindung zur Aufnahme richtungskonstanter Drehmomente. Passfederverbindung Einlegepassfeder

Verbindungsbeispiele: Riemenscheiben, Kupplungen, Zahnräder. Gagen axiales Verschieben ist eine zusätzliche Sicherung vorzusehen (Wellenbund, Axialsicherungsring). Gleitpassfedern werden zum Beispiel bei Verschieberädern in Getrieben verwendet. Profil Wellenverbindungen sind Formschlussverbindungen für hohe und höchste Belastungen. Das Polygonprofil ist nicht genormt. Hierzu sind die Angaben der Hersteller zu verwenden, zum Beispiel: Fortuna-Werke, StuttgartBad Cannstadt oder Fa. Manurhin, Mühlhausen (Elsaß).

Polygonprofil

Das Kerbzahnprofil ist nach DIN 5481 genormt. Die Verbindung ist leicht lösbar und feinverstellbar. Verwendung zum Beispiel bei Achsschenkeln und Drehstabfedern an Kraftfahrzeugen. Ein Sonderfall ist die Stirnverzahnung (Hirthverzahnung) als Plan-Kerbverzahnung. Hersteller: A. Hirth AG, Stuttgart-Zuffenhausen.

Kerbzahnprofil

Vielnutprofil

Profilwellenverbindung Das Vielnutprofil ist als „Keilwellenprofil“ genormt. Die Bezeichnung „Keilwellenprofil“ ist irreführend, weil die Wirkungsweise der Passfederverbindung (Formschluss) entspricht, nicht aber der Keilverbindung. Die Verbindung ist leicht lösbar und verschiebbar. Verwendung zum Beispiel bei Verschieberädergetrieben, bei Kraftfahrzeugkupplungen und Antriebswellen von Fahrzeugen.

I 112

I Maschinenelemente

11.2 Zylindrische Pressverbände Normen (Auswahl)

DIN 7190 DIN 4766

Pressverbände, Berechnungsgrundlagen und Gestaltungsregeln Ermittlung der Rauheitsmessgrößen Ra , Rz , Rmax

11.2.1 Begriffe bei Pressverbänden Der Pressverband ist eine kraftschlüssige (reibschlüssige) Nabenverbindung ohne zusätzliche Bauteile wie Passfedern und Keile. Außenteil (Nabe) und Innenteil (Welle) erhalten eine Presspassung; sie haben also vor dem Fügen immer ein Übermaß U. Nach dem Fügen stehen sie unter einer Normalspannung  mit dem Fugendruck p in der Fuge. Bei der Presspassung ist immer ein Übermaß U vorhanden. Das Höchstmaß der Bohrung ist also kleiner als das Mindestmaß der Welle. Zur Presspassung zählt auch der Fall U = 0. Herstellen von Pressverbänden (Fügeart)

– durch Einpressen (Längseinpressen des Innenteils): Längspressverband – durch Erwärmen des Außenteils (Schrumpfen des Außenteils) – durch Unterkühlen des Innenteils (Dehnen des Innenteils) – durch hydraulisches Fügen und Lösen (Dehnen des Außenteils)

Durchmesserverhältnis Q

QA =

DF tIa = 184 . mm 2 mm 2

b) Die Spannung tIi ist größer als die Streckgrenze Re = 300 N/mm2 für die Werkstoffe von Welle und Nabe. Die Werkstoffteilchen in den entsprechenden Ringzonen der Fügeteile verformen sich also nicht mehr nach dem Hooke’schen Gesetz elastisch sondern plastisch. c) Die hier errechneten Spannungen treten bei Größtübermaß auf. In diesem Fall sind Überschreitungen der Streckgrenze zulässig, solange der Werkstoff in diesen Ringzonen nicht geschädigt wird. Das ist hier nicht der Fall, dann es ist

tIi < Rm 500

6.3. Tangentialspannungen t und Radialspannungen r

1+ QA2 pg 1− QA2

N N > tAa = 68 mm 2 mm 2

tangentiale Druckspannung

tIi = 368

6.2. Größter Fugendruck pg pg =

tAi = 252

2

N 1+ 0,394 N ⋅ = 252 mm 2 1− 0,3942 mm 2 2

N 2⋅0,394 N ⋅ = 68 mm 2 1− 0,3942 mm 2

Kontrollrechnung: σtAi − σtAa = pg (siehe Spannungsbild) N N (252 − 68) = 184 mm 2 mm 2

N mm 2

8. Größte Einpresskraft Fe Fe = pg = S DF lF Qe Fe = 184

N ˜ S ˜ 63 mm ˜ 50 mm ˜ 0,06 mm 2

Fe = 109 252 N | 109 kN pg = 184 N/mm2 DF = 63 mm lF = 50 mm

Qe = 0,06 (nach 11.2.2.1 für Stahl / Stahl, geschmiert)

I 118

I Maschinenelemente

11.3 Keglige Pressverbände (Kegelsitzverbindungen)

α

Normen (Auswahl)

 = 2 arc tan

DIN 254 DIN 1448,1449 DIN 7178 ISO 3040

d2 = d1 – 2 l tan

Kegel Keglige Wellenenden Kegeltoleranz- und Kegelpasssystem Eintragung von Maßen und Toleranzen für Kegel

11.3.1 Begriffe am Kegel Kegelmaße: Kegel im technischen Sinn sind keglige Werkstücke mit Kreisquerschnitt: (spitze Kegel und Kegelstümpfe). Bezeichnung eines Kegels mit dem Kegelwinkel  = 30º Ÿ Kegel 30º Bezeichnung eines Kegels mit dem Kegelverhältnis C = 1 : 10 Ÿ Kegel 1 : 10

2

= arc tan

C 2 C 2

α 2

Vorzugswerte für Kegel Kegelverhältnis C=1:x

Kegelwinkel 

Einstellwinkel

α 2

1 : 0,2886751 1 : 0,5 1 : 1,8660254 1:3 1:5 1 : 10 1 : 20 1 : 50 1 : 100

120° 90° 30° 18° 55'29" 18,925° 11° 25'16" 11,421° 5° 43'29" 5,725° 2° 51'51" 2,864° 1° 8'45" 1,146° 34'22" 0,573°

60° 45° 15° 9° 27'44" 5° 42'38" 2° 51'45" 1° 25'56" 34'23" 17'11"

Werkzeugkegel und Aufnahmekegel an Werkzeugmaschinenspindeln, die so genannten Morsekegel (DIN 228), haben ein Kegelverhältnis von ungefähr 1 : 20. d1, d2 d + d2 dm = 1 2

Kegeldurchmesser mittlerer Kegeldurchmesser Kegellänge Kegelwinkel Einstellwinkel zum Fertigen und Prüfen des Kegels

l

 /2

Kegelverhältnis C d1 − d 2 l

C=

C=1:x=

1 x

d2 = d1 – C l

11.3.2 Zusammenstellung der Berechnungsformeln für keglige Pressverbände

Der erforderliche Fugendruck p wird durch das Anziehen der Mutter hervorgerufen. Für die Untersuchung des Kräftegleichgewichts in der Pressverbindung ist es erlaubt, sich einen einzigen Angriffspunkt A an der Welle oder an der Nabe herauszugreifen, weil auch die Reibkraft FR = FN von Größe und Form der Berührungsfläche unabhängig ist (siehe Abschnitt C Mechanik 1.8). Es sind zwei Zustände zu untersuchen: Beim Aufpressen der Nabe auf das keglige Wellenende, bei dem sich am frei gemachten Wellenteilchen W das Kräftesystem an der schiefen Ebene einstellt (siehe Abschnitt C Mechanik 1.8.6) und der Betriebszustand, bei dem die Reibkraft FRu = FR in tangentialer Richtung wirkt.

Das Kegelverhältnis C wird in der Form C = 1 : x angegeben, zum Beispiel C = 1 : 5

Kegelwinkel

und Einstellwinkel / 2

Aus dem schraffierten rechtwinkligen Dreieck lässt sich ablesen: tan

α 2

=

d1 − d 2 α ⇒ C = 2 tan 2l 2

Kegliges Wellenende

11 Nabenverbindungen

I 119 Mit dem Fugendruck p und der Fugenfläche AF wird die Normalkraft FN = p AF . Die Fugenfläche AF kann nach der Guldin’schen Regel ausgedrückt werden durch AF = 2 S

Kräftesystem und Krafteck beim Einpressen (re Reibwinkel)

dm lF π d m lF ⋅ = 2 cos ( α2 ) cos ( α2 )

Bringt man außerdem FN = 2 M /Pe dm ein, dann ergibt sich: 2M

νe d m

=

p π d m lF cos ( α2 )

und daraus die Gleichung für den Fugendruck p=

Reibkraft FRu im Betriebszustand Das am Wellenteilchen W angreifende zentrale Kräftesystem beim Einpressen besteht aus der Normalkraft FN, der Reibkraft FR, der Radialkraft Fr und der Einpresskraft Fe. Aus den rechtwinkligen Dreiecken im Krafteck können die Beziehungen abgelesen werden:

Erforderliche Einpresskraft Fe Fe =

FN F ⇒ Fres = N Fres cos re

Fe

Im Betriebsfall wird an Stelle des Rutschbeiwertes e der Haftbeiwert wirksam. Sicherheitshalber wird aber auch hier mit dem Rutschbeiwert Qe gerechnet, also mit FR = FN Qe . M = FR

dm d 2M = FN νe m ⇒ FN = 2 2 νe d m

α  sin + re  2M 2  ⋅ Fe = cos re νe d m

Für übliche Reibwinkel re wird cos re | 1, sodass vereinfacht werden kann: α  2M ⋅sin + re  Fe = 2  νe d m

α  2M ⋅sin + re  d m νe 2 

(14)

P n

(15)

M = 9,55  106

Daraus: α  sin + re  2  Fe = FN ⋅ cos re

2 π νe d m lF

Beachte: Für den Fall cos ( / 2) = 0 liegt der zylindrische Pressverband vor. Dann ergibt sich mit cos 0º = 1 und dm = DF die Gleichung (1). Die Herleitung führt zu folgenden Gleichungen für die Berechnung von kegligen Pressverbänden:

α  F α  sin + re = e ⇒ Fe = Fres sin + re  2  Fres 2  cos re =

2M cos ( α2 )

M

N

Nmm

dm, lF mm

Qe 1

P kW

n

p

min–1

N mm 2

vorhandener Fugendruck p p=

2 M cos ( α2 )

νe d m2 lF

≤ pzul

(16)

Einpresskraft Fe für einen bestimmten Fugendruck p: α  Fe = S p dm lF ˜ sin + re  2  M P n

α 2 re

Qe

dm lF pzul

Drehmoment Wellenleistung Drehzahl Einstellwinkel Reibwinkel aus tan re = Pe re = arctan Pe Rutschbeiwert aus 11.2.2.1 mittlerer Kegeldurchmesser Fugenlänge nach 11.2.2.1

(17)

I 120

I Maschinenelemente

11.3.3 Berechnungsbeispiel eines kegligen Pressverbands

3. Einstellwinkel

α 2

C 1 = arc tan = arc tan = 2,862405226º = 2º51'45" 2 2 10⋅2

α

Die skizzierte Kegelverbindung eines Zahnrads mit dem Wellenende einer Getriebewelle ist zu berechnen. Es ist schwellende Belastung anzunehmen.

4. Einpresskraft Fe α  2M ⋅sin + re  2  d m νe

Fe =

Für den Rutschbeiwert Qe wird nach 2.2.1 festgelegt: Qe = 0,1 Damit wird der Reibwinkel re ermittelt: re = arctan Qe = arctan 0,1 = 5,7º 2 ⋅2000⋅103 Nmm ⋅sin(22,9º+5,7º ) 60,5 mm⋅0,1

Fe =

Fe =98 866 N = 98,9 kN (Ausgangsgröße zur Berechnung des Anziehdrehmoments MA für die Mutter) 5. Fugendruck p

Gegeben: Wellendrehmoment Wellendurchmesser Fugenlänge Wellenwerkstoff Zahnradwerkstoff Kegelverhältnis

p=

M = 2 000 Nm d1 = 63 mm lF = 50 mm C45E C25E C = 1 : 10

p=

π νe d m2 lF

2⋅2000⋅103 Nmm⋅cos 2,9º N = 69 π ⋅0,1⋅60,52 mm 2 ⋅50 mm mm 2

6. Pressungsvergleich Der Werkstoff mit der niedrigeren Streckgrenze Re oder 0,2-Dehngrenze Rp 0,2 ist hier der Zahnradwerkstoff C25E mit Re = 320 N/mm2 (siehe Tabelle 27 in Abschnitt E, Kap. 3.4.3.8). Die zulässige Flächenpressung wird nach 11.2.2.1 für schwellende Belastung angenommen: N Re,C25E 320 mm 2 N = = 213 pzul, C25E = ; folglich ist 1,5 1,5 mm 2

Lösung:

1. Wellendurchmesser d2 d2 = d1 – C lF = 63 mm –

2 M cos ( α2 )

1 ⋅ 50 mm 10

d2 = 58 mm

p = 69,5

2. Mittlerer Kegeldurchmesser dm dm =

N N < pzul = 213 mm 2 mm 2

d1 + d 2 63 mm + 58 mm = 60,5 mm = 2 2

Tabelle 3. Maße für keglige Wellenenden mit Außengewinde

Bezeichnung eines langen kegligen Wellenendes mit Passfeder und Durchmesser d1 = 40 mm: Wellenende 40 u 82 DIN 1448 Maße in mm Durchmesser d1 Kegellänge l1

6 lang

7

kurz

Gewindelänge l2 Gewinde Passfeder 1) Nuttiefe t1

9

10

12

11

12

14

15

18 –

–

–

–

6

8

8

M4

16

19

20

22

M6

M8 u 1 2u2

24

25

28

28

36

42

16

22

24

12

buh

M10 u 1,25 3u3

14

18

M12 u 1,25

M16 u 1,5

4u4

5u5

lang

–

1,6

1,7

2,3

2,5

3,2

3,4

3,9

4,1

kurz

–

–

–

–

2,2

2,9

3,1

3,6

3,6

42

45

48

50

55

Durchmesser d1 Kegellänge l1

8

10

30 lang kurz

32 35 38 40

60

65

70

75

80

58

82

105

130

36

54

70

90

11 Nabenverbindungen Durchmesser d1

I 121 30

Gewinde

Nuttiefe t1

45

48

50

55

60

65

28

M 20 u 1,5

Passfeder

42

22

Gewindelänge l2

1)

32 35 38 40

M 24 u 2

buh

5u5

6u6

lang

4,5

5

kurz

3,9

4,4

70

75

80

35

M 30 u 2

M 42 u 3

M 48 u 3

M 56 u 4

14 u 9

16 u 10

18 u 11

20 u 12

7,1

7,6

8,6

9,6

10,8

6,4

6,9

7,8

8,8

9,8

10 u 8

M 36 u 3

40

12 u 8

Passfeder nach Tabelle 6.

Tabelle 4. Richtwerte für Nabenabmessungen Verbindungsart

Nabendurchmesser DaA Naben aus Stahl oder Gusseisen Stahlguss ... 2,5 d ... 2 d ... 1,8 d1 ... 1,8 d ... 1,8 d ... 1,8 d

1,2 1,6 0,8 1,8 2

Stahl oder Stahlguss

2,2 2 1,8 1,8 1,8 1,8

Die Werte für Keilwelle und Kerbverzahnung sind Mindestwerte (d1 „Kerndurchmesser“). Bei größeren Scheiben oder Rädern mit seitlichen Kippkräften ist die Nabenlänge noch zu vergrößern. Allgemein gelten die größeren Werte bei Werkstoffen geringerer Festigkeit, die kleineren Werte bei Werkstoffen höherer Festigkeit.

druck p. Der errechnete Betrag ist mit der zulässigen Flächenpressung für den Werkstoff mit der geringeren Festigkeit zu vergleichen. Die beiden folgenden Gleichungen gelten unter der Annahme, dass die Spannungsverteilung bei der Klemmsitzverbindung die gleiche ist wie beim zylindrischen Pressverband. Insbesondere wird von einer gleichmäßigen Verteilung der Fugenpressung in der Fugenfläche ausgegangen. Die Berechnungsgleichungen ergeben sich dann aus der Herleitung in 11.2.2.1 in Verbindung mit der Gleichung für die Nabensprengkraft in 11.2.2.7. Vor allem bei der geschlitzten Nabe ist eine gleichmäßige Verteilung der Fugenpressung kaum zu erzielen. Der zulässige Flächendruck pzul sollte daher kleiner angesetzt werden als beim zylindrischen Pressverband. Sicherheitshalber ist in der Gleichung für die Sprengkraft FS der Rutschbeiwert Q e (siehe 11.2.2.1) zu verwenden, der kleiner ist als der Haftbeiwert Q , der in den Gleichungen für den zylindrischen Pressverband verwendet wird.

DF

2 1,8 1,6 1,6 1,6 1,6

Gusseisen

zylindrische und keglige Pressverbände und Spannverbindungen Klemmsitz- und Keilsitzverbindungen Keilwelle, Kerbverzahnung Passfederverbindungen längs bewegliche Naben lose sitzende (sich drehende) Naben

11.4 Klemmsitzverbindungen

... 2,6 d ... 2,2 d ... 2 d1 ... 2 d ... 2 d ... 2 d

Nabenlänge l

... 1,5 d 0,8 ... 1 d ... 2 d 1,2 ... 1,5 d ... 1 d1 0,6 ... 0,8 d1 ... 2 d 1,6 ... 1,8 d ... 2,2 d 1,8 ... 2 d 2 ... 2,2 d d Wellendurchmesser

Sprengkraft FS (gesamte Verspannkraft):

Klemmsitzverbindungen werden mit geteilter oder geschlitzter Nabe hergestellt. Mit Schrauben, Schrumpfringen oder Kegelringen werden die beiden Nabenhälften so auf die Welle gepresst, dass ohne Rutschen ein gegebenes Drehmoment M übertragen werden kann. Die dazu erforderliche Verspannkraft wird hier Sprengkraft FS genannt. Die in der Fugenfläche entstehende Flächenpressung ist der Fugen-

FS =

2M π νe DF

M = 9,55 ˜ 106

(18) P n

FS

p, pzul

M

N

N mm 2

Nmm

(19) DF , lF Qe mm

1

P

n

kW

min–1

I 122

I Maschinenelemente

Vorhandener Fugendruck p

p=

FS ≤ pzul DF lF

(20)

p=

2M ≤ pzul 2 π DF2 lF

(21)

11.6 Ringfederspannverbindungen

Zulässige Flächenpressung pzul

für Stahl-Nabe: pzul =

R p, 0,2 Re oder 3 3

(22)

für Gusseisen-Nabe: pzul =

Rm 5

(23)

11.5 Keilsitzverbindungen Keilsitzverbindungen werden in der Praxis nicht berechnet, weil die Eintreibkraft, von der die Zuverlässigkeit des Reibschlusses abhängt, rechnerisch kaum erfasst werden kann. Für bestimmte Wellen- und Nabenabmessungen sind die Abmessungen der Keile den Normen zu entnehmen, die in der folgenden Darstellung angegeben sind. Die Passfeder ist hier zur Vervollständigung noch einmal aufgenommen worden:

Ringfederspannverbindungen werden in der Praxis nicht berechnet. Die Hersteller liefern Tabellen für die Abmessungen und die übertragbaren Drehmomente, die aus Versuchsergebnissen zusammengestellt worden sind. Man verwendet Ringfeder-Spannelemente und -Spannsätze. Die Kraftumsetzung von Axial- in Radialspannkräfte an den keglig aufeinandergeschobenen Ringen erfolgt wie bei Keilen. Die Neigungswinkel der kegligen Flächen sind so groß, dass keine Selbsthemmung auftritt. Wird die Verbindung gelöst, lässt sich die Spannverbindung leicht ausbauen. 11.6.1 Einbau und Einbaubeispiel für Ringfederspannverbindungen

Ringfeder-Spannelemente bestehen aus den Spannelementen 1, das sind keglige Stahlringe, dem Druckring 2, den Spannschrauben 3 und den Distanzhülsen 4. Welle und Nabe brauchen eine zusätzliche Zentrierung Z. Zum Aufeinanderschieben der kegligen Spannelemente (Ringpaare) ist ein ausreichender Spannweg s vorzusehen. Er wird in den Tabellen der Herstellerfirmen angegeben. Wegen der exponential abfallenden Wirkung können nur bis zu n = 4 Spannelemente hintereinandergeschaltet werden. Spannsätze bestehen aus dem Außenring 1, dem Innenring 2, den beiden Druckringen 3 und den gleichmäßig am Umfang verteilten Spannschrauben 4, mit denen die Druckringe 3 axial verspannt werden. Dadurch wird der Innenring elastisch zusammengepresst (Wellensitz), der Außenring gedehnt (Nabensitz). Auch für Spannsätze ist eine zusätzliche Zentrierung von Welle und Nabe erforderlich.

11 Nabenverbindungen

I 123

Tabelle 5. Ringfederspannverbindungen, Maße, Kräfte und Drehmomente (nach Ringfeder GmbH, KrefeldUerdingen)

Spannelement

Maße

M(100) ist das von einem Spannelement übertragbare Drehmoment bei p = 100

N mm 2

mm Flächen-

pressung. Entsprechendes gilt für F(100) und Fax(100). Ermittlung der Anzahl hintereinander geschalteter Elemente in 11.6.2.

dD mm 10  13 12  15 14  18

l1 mm 4,5 4,5 6,3

l2 mm 3,7 3,7 5,3

F0 kN 6,95 6,95 11,20

Kräfte F(100) kN 6,30 7,50 12,60

Fax(100) kN 1,40 1,67 2,80

16  20 18  22 20  25

6,3 6,3 6,3

5,3 5,3 5,3

10,10 9,10 12,05

14,40 16,20 18,00

3,19 3,60 4,00

25,5 32,4 40

3 3 3

3 3 3

4 4 4

5 5 5

22  26 25  30 28  32

6,3 6,3 6,3

5,3 5,3 5,3

9,05 9,90 7,40

19,80 22,50 25,20

4,40 5,00 5,60

48 62 78

3 3 3

3 3 3

4 4 4

5 5 5

30  35 35  40 40  45

6,3 7 8

5,3 6 6,6

8,50 10,10 13,80

27,00 35,60 45,00

6,00 7,90 9,95

90 138 199

3 3 3

3 3 4

4 4 5

5 5 6

10 10 12

8,6 8,6 10,4

28,20 23,50 21,80

66,00 73,00 80,00

14,60 16,20 17,80

328 405 490

3 3 3

4 4 4

5 5 5

6 6 6

60  68 63  71 65  73

12 12 14

10,4 10,4 12,2

27,40 26,30 25,40

106,00 111,00 115,00

23,50 24,80 25,60

705 780 830

3 3 3

4 4 4

5 5 5

7 7 7

70  79 75  84 80  91

14 17 17

12,2 15 15

31,00 34,60 48,00

145,00 155,00 203,00

32,00 34,40 45,00

1120 1290 1810

3 3 4

5 5 5

6 6 6

7 7 8

85  96 90  101 95  106 100  114

17 17 17 21

15 15 15 18,7

45,60 43,40 41,20 60,70

216,00 229,00 242,00 317,00

48,00 51,00 54,00 70,00

2040 2290 2550 3520

4 4 4 4

5 5 5 6

6 6 6 7

8 8 8 9

dD mm

verdoppeln sich die Beträge des übertragbaren Drehmoments M und der übertragbaren Axialkraft Fax

Spannweg s in mm bei n 1 2 3 4 2 2 3 3 2 2 3 3 3 3 4 5

45  57 50  57 55  62

Spannsätze

Bei zwei Spannsätzen

Drehmoment M(100) Nm 7,0 10,0 19,6

Maße l1

l2

l

mm mm mm

Kraft Fax kN

30  55 35  60 40  65

20 20 20

17 27,5 17 27,5 17 27,5

33,4 40 46

45  75 50  80 55  85

24 24 24

20 33,5 20 33,5 20 33,5

60  90 65  95 70  110

24 24 28

75  115 80  120 85  125

Dreh Flächenpressung Schrauben DIN 912 moment p pNabe MA Gewinde Welle An M d1 Nm N/mm2 N/mm2 zahl Nm 500 700 920

175 180 180

95 105 110

10 12 14

M 6  18 M 6  18 M 6  18

14 14 14

72 71 83

1 610 1 770 2 270

210 190 200

125 115 130

12 12 14

M 8  22 M 8  22 M 8  22

35 35 35

20 33,5 20 33,5 24 39,5

83 93 132

2 470 3 040 4 600

180 190 210

120 130 130

14 16 14

M 8  22 M 8  22 M 10  25

35 35 70

28 28 28

24 39,5 24 39,5 24 39,5

131 131 148

4 900 5 200 6 300

195 180 195

125 120 130

14 14 16

M 10  25 M 10  25 M 10  25

70 70 70

90  130 95  135 100  145

28 28 30

24 39,5 24 39,5 26 44

147 167 192

6 600 7 900 9 600

180 195 195

125 135 135

16 18 14

M 10  25 M 10  25 M 12  30

70 70 125

110  155 120  165 130  180

30 30 38

26 26 34

191 218 272

10 500 13 100 17 600

180 185 165

125 135 115

14 16 20

M 12  30 M 12  30 M 12  35

125 125 125

44 44 52

I 124

I Maschinenelemente

11.6.2 Ermittlung der Anzahl n der Spannelemente und der axialen Spannkraft Fa Anzahl n für gegebenes Drehmoment M in Nm

n = fp fn

M M (100)

(24)

M(100) übertragbares Drehmoment M in Nm nach Tabelle 5 für ein Spannelement und einer Flächenpressung von p = 100 N/mm2 fp Pressungsfaktor nach Gleichung (25) fn Anzahlfaktor, abhängig von der Anzahl der hintereinandergeschalteten Elemente: für n = 2 ist fn = 1,55 für n = 3 ist fn = l,85 und für n = 4 ist fn = 2,02.

pw p(100)

pw pw pw Re Rm

p(100) = 100

N mm 2

(25)

Grenzwert der Flächenpressung für den Wellen- oder Nabenwerkstoff = 0,9 Re (oder Rp 0,2) für (Stahl und Stahlguss) = 0,6 Rm für Gusseisen Streckgrenze, Rp 0,2 0,2-Dehngrenze Zugfestigkeit (alle Werte aus dem Dauerfestigkeitsdiagramm)

F Fax(100)

(26)

für n = 2 ist fn = 1,55 für n = 3 ist fn = 1,85 und für n = 4 ist fn = 2,02. Erforderliche axiale Gesamtspannkraft Fa in kN

F0

F(100) fp

l Nabenlänge

s' = (2,4 ... 3,2) 3 M für Stahl- und Stahlguss-Nabe M = 9550 M Nm

P kW

P n

n min–1

Übertragbares Drehmoment M

M≤

dS d lS pzul(Nabe) 4

pzul nach 11.8, lS Stiftlänge

Fax(100) Axialkraft in kN nach (Tabelle 5 für ein Spannelement und einer Flächenpressung von p = 100 N/mm2) fp Pressungsfaktor nach Gleichung (25) fn Anzahlfaktor, abhängig von der Anzahl der hintereinander geschalteten Elemente:

Fa = F0 + F(100) fp

dS = 0,13 ... 0,16 d l = 1,0 ... 1,5 d

s' = (3,2 ... 3,9) 3 M für Gusseisen-Nabe

Anzahl n für gegebene Axialkraft Fax in kN

n = fp fn

Bauverhältnisse (Anhaltswerte)

Nabendicke s' in mm (M in Nm einsetzen)

Pressungsfaktor fp

fp =

11.7 Längsstiftverbindung

(27)

axiale Spannkraft in kN nach Tabelle 5 zur Überbrückung des Passungsspiels bei h6/H7 und einer gemittelten Rautiefe Rz  6  m axiale Spannkraft in kN nach Tabelle 5 bei einer Flächenpressung p = 100 N/mm2 Pressungsfaktor nach Gleichung (25)

M

dS, d, lS

pzul

Nmm

mm

N mm 2

11.8 Querstiftverbindung Bauverhältnisse (Anhaltswerte) dS = 0,2 ... 0,3 d da = 2,5 für Gusseisen-Nabe d = 2,0 für Stahl- und Stahlguss-Nabe

(28)

11 Nabenverbindungen

I 125

Übertragbares Drehmoment M

M

d

dS2

4

π

M Nmm

(29)

τ a zul

M d dS s (d + s) pzul (Nabe)

d, dS , s a zul, pzul

(30)

N mm 2

mm

P

n

kW min–1

Übertragbare Längskraft Fl

P M = 9,55  106 n

Fl ≤

π dS2 τ a zul 2

(31)

Tabelle 6. Maße für zylindrische Wellenenden mit Passfedern und übertragbare Drehmomente

Bezeichnung der Passfeder Form A für d = 40 mm, Breite b = 12 mm Höhe h = 8 mm, Passfederlänge lP = 70 mm: Passfeder A12 u 8 u 70 DIN 6885 Bezeichnung eines zylindrischen Wellenendes von d = 40 mm und l = 110 mm: Wellenende 40 u 110 DIN 748 Maße in mm l Tole Wellenranz durchmesser Breite mal feld d kurz lang Höhe buh 6 – 16 – 10 15 23 4u4 16 28 40 5u5 20 36 50 6u6 25 42 60 k6 8u7 30 58 80 H7 35 58 80 10 u 8 40 82 110 12 u 8 45 82 110 14 u 9 50 82 110 55 82 110 16 u 10 60 105 140 18 u 11 70 105 140 20 u 12 80 130 170 22 u 14 90 130 170 25 u 14 100 165 210 k6 28 u 16 120 165 210 32 u 18 140 200 250 H7 36 u 20 160 240 300 40 u 22 180 240 300 45 u 25 200 280 350 50 u 28 220 280 350 56 u 32 250 330 410 1)

2)

3)

Passfedermaße 1) Wellennuttiefe t1

Nabennuttiefe t2

– 2,5 3 3,5

– 1,8 2,3 2,8

4

3,3

5 5

3,3 3,8

5,5

3,8

6 7 7,5 9 9 10 11 12 13 15 17

4,3 4,4 4,9 5,4 5,4 6,4 7,4 8,4 9,4 10,4 11,4

20

12,4

Richtwerte für das übertragbare Drehmoment M in Nm reine Torsion 2) 1,7 7,9 32 63 120 210 340 500 720 980 1,3 ˜ 103 1,7 ˜ 103 2,7 ˜ 103 4˜ 103 5,7 ˜ 103 7,85 ˜ 103 13,6 ˜ 103 21,5 ˜ 103 32,2 ˜ 103 45,8 ˜ 103 62,8 ˜ 103 83,6 ˜ 103 123 ˜ 103

Torsion und Biegung 3) 0,7 3,3 14 26 52 89 140 210 300 410 550 710 1,1 ˜ 103 1,7 ˜ 103 2,4 ˜ 103 3,3 ˜ 103 5,7 ˜ 103 9,1 ˜ 103 13,5 ˜ 103 19,2 ˜ 103 26,4 ˜ 103 35,1 ˜ 103 51,6 ˜ 103

Passfederlänge lp in mm: 8/10/12/14/16/18/20/22/25/28/32/36/40/45/50/56/63/70/80/90/100/110/125/140/160/180/200/220/250/280/315/355/401 Mt Mt = =  t zul = 40 N/mm2 berechnet mit M = 7,85 ˜ 10–3 ˜ d 3 aus  t = Wp ( π /16)d 3 berechnet mit M = 3,3  10–3  d 3 aus  b =

M M =  b zul = 70 N/mm2 sowie mit M = MV = = W ( π / 32)d 3

S0 = 0,7 und Mb = 2 Mt (Biegemoment = 2 u Torsionsmoment)

M b2 + 0,75⋅(α0 M t )2 für

I 126

I Maschinenelemente

Zulässige Beanspruchungen

Zulässige Flächenpressung pzul

N pzul(Nabe) = (120 ... 180) mm 2 für Stahl und Gusseisen N = (90 ... 120) mm 2 für Gusseisen N a zul = (90 ... 130) mm 2 für S235JR ... E295, 10S20K der Kegel- und Zylinderstifte N = (140 ... 170) mm 2 für E335 und E360 der Kerbstifte

Mit Sicherheit vS gegenüber der Streckgrenze Re oder Rp 0,2 (0,2-Dehngrenze) und vB gegenüber der Bruchfestigkeit Rm des Wellen- oder Nabenwerkstoffs setzt man je nach Betriebsweise (Stoßanfall):

bei Schwellbelastung 70 %, bei Wechselbelastung 50 % der zulässigen Beanspruchung ansetzen.

11.9 Passfederverbindungen (Nachrechnung)

pzul =

Re für Stahl und Stahlguss mit vS = 1,3 ... 2,5 vS

pzul =

Rm für Gusseisen mit vB = 3 ... 4 vB

Herleitung der Gleichungen für die Flächenpressung pW, pN d t  − M + FuW − 1 = 0 2 2

FuW =

Die beiden letzten Spalten der Tabelle 6 enthalten Richtwerte für das übertragbare Drehmoment. Im Normalfall ist das zu übertragende Drehmoment M bekannt oder kann über die gegebene Leistung P und die Wellendrehzahl n errechnet werden. Mit dem Drehmoment M werden der Wellendurchmesser d und die zugehörige Passfeder (b u h) festgelegt. Abgesehen von der Gleitfeder muss die Passfederlänge lp etwas kleiner sein als die Nabenlänge l. Werden für die Nabenlänge l die in Tabelle 4 angegebenen Richtwerte verwendet, erübrigt es sich, die Flächenpressung p zu überprüfen (p d pzul). Nur bei kürzeren Naben ist die folgende Nachrechnung erforderlich.

pW =

FuW FuW = AW lt t1

pW =

2M 2M ≈ (d − t1 ) lt t1 d lt t1

 d h − t1  M − FuN + = 0 2 2  FuN =

Vorhandene Flächenpressung pW an der Welle

pW =

2M ≤ pzul d lt t1

M = 9,55 ˜ 106 P N mm 2

(32)

P n

M

d, lt , t1

P

n

Nmm

mm

kW

min–1

pN =

2M ≤ pzul d lt (h − t1 )

(33)

Wellendurchmesser Wellennuttiefe tragende Länge an der Passfeder bei den Passfederformen A und B für die Wellennut lt = lp – b bei Passfederform A für die Nabennut d t1 lt lt = lp

M d h − t1 + 2 2

pN =

FuN FuN = A N lt (h − t1 )

pN =

2M ≈ (d + h − t1 ) lt (h − t1 )



Vorhandene Flächenpressung pN an der Nabe

M d t1 − 2 2

2M d lt (h − t1 )

12 Kupplungen

I 127

11.10 Keilwellenverbindung

Flächenpressung p

Nennmaße für Welle und Nabe (Auswahl aus ISO 14: Keilwellenverbindung mit geraden Flanken, Übersicht) Innendurchmesser d1 in mm

Außendurchmesser d2 in mm

Anzahl der Keilbreite Keile b z in mm

18 21 23 26

22 25 28 32

6 6 6 6

5 5 6 6

28 32 36 42

34 38 42 48

6 8 8 8

7 6 7 8

46 52 62

54 – 72

8 – 8

9 – 12

82 92 102 112

– 102 112 125

– 10 10 10

– 14 16 18

p=

2M ≤ pzul 0,75 z h1 l d m

(34)

d 2 − d1 2 d1 + d 2 dm = 2

h1 = 0,8

p N mm 2

M

h1, l, dm

z

Nmm

mm

1

Faktor 0,75 (nach Versuchen tragen nur etwa 75 % der Mitnehmerflächen) Zulässige Flächenpressung pzul pzul = pzul =

Re (Nabe) S Rm (Nabe) S

für Stahl-Nabe für Gusseisen-Nabe

Re (Rp 0,2) und Rm aus dem Dauerfestigkeitsdiagramm für stoßfrei wechselnde Betriebslast wird bei Befestigungsnaben: S = 2,5 (1,7) für unbelastet verschobene Verschiebenaben: S = 8 (5) für unbelastet verschobene Verschiebenaben S = (15) für Stahl-Nabe und (3) für Gusseisen-Nabe Klammerwerte bei gehärteten oder vergüteten Sitzflächen der Welle

Nabendicke s in mm (M in Nm einsetzen) s = (2,6 ... 3,2) 3 M für Gusseisen-Nabe s = (2,2 ... 3) 3 M für Stahl- und Stahlguss-Nabe M = 9550

P n

M P n Nm kW min–1 Nabenlänge l in mm (M in Nm einsetzen) l = (4,5 ... 6,5) 3 M für Gusseisen-Nabe l = (2,8 ... 4,5) 3 M für Stahl- und Stahlguss-Nabe

12 Kupplungen

A. Böge

Normen und Richtlinien DIN 115 Schalenkupplungen DIN 116 Scheibenkupplungen DIN 740 Nachgiebige Wellenkupplungen VDI-Richtlinie 2240: Wellenkupplungen, systematische Einteilung nach ihren Eigenschaften, VDIVerlag, Düsseldorf

12.1 Allgemeines Hauptaufgabe der Kupplungen ist das Weiterleiten von Rotationsleistung P = M . Als Zusatzaufgabe kann das Schalten des Drehmoments M hinzukommen oder die Verbesserung bestimmter dynamischer Eigenschaften. Entsprechend unterteilt man die Kupplungen in: Feste Kupplungen (drehstarre Kupplungen) dienen der starren, fluchtenden Verbindung von Wellen und anderen Getriebeelementen.

6 Nietverbindungen

I 47

6 Nietverbindungen

als der Reibungswiderstand. Werden die Querkräfte größer als der Reibungswiderstand, liegt der Nietschaft an der Lochwand an (Setzen der Verbindung) und es treten Zug- und Schubspannungen auf. Die nach dem Schrumpfen im Niet auftretende Zugspannung ist rechnerisch nicht zu erfassen, daher werden Nietverbindungen mit stark verminderter zulässiger Spannung auf Abscheren berechnet (siehe auch Abschnitt D Festigkeitslehre). Vorteile, besonders gegenüber dem Schweißen: Keine Werkstoffbeeinflussung; kein Verzug der Bauteile; Verbindungen von Teilen aus verschiedenartigen Werkstoffen; leichte Herstellung auf Baustellen; sichere Kontrollmöglichkeiten. Nachteile: Schwächung der Bauteile durch Nietlöcher, dadurch größere Querschnitte; keine Stumpfstöße sondern nur Überlappungs- oder Laschenverbindungen; im Allgemeinen höherer Arbeitsaufwand.

A. Böge

6.1 Allgemeines Nietverbindungen sind unlösbare Verbindungen von Bauteilen aus beliebigen Werkstoffen. Je nach Verwendungsart unterscheidet man: feste Verbindungen (Stahlbau), feste und dichte Verbindungen (Kesselbau) und dichte Verbindungen (Behälterbau). Außer im Leichtmetallbau werden heute Nietverbindungen häufig durch Schweißverbindungen ersetzt. Die Niete schrumpfen in Längs- und Querrichtung, es entstehen Zug- und Schubspannungen im Niet. Die Längskraft presst die Bauteile zusammen. Der bei Betriebsbelastung in den Berührungsflächen der Bauteile entstehende Reibungswiderstand verhindert das Verschieben der Bauteile gegeneinander. Durch die Querschrumpfung steht der Niet berührungsfrei im Nietloch, solange die äußeren Querkräfte kleiner sind Tabelle 1. Die gebräuchlichen Nietformen Bild

Bezeichnung Halbrundniet

DIN 123 124 660

Senkniet

302 661

Abmessungen in mm d = 10 … 36 D  1,8 d d = 10 … 36 D  1,6 d d = 1…9 D  1,75 d d D d D

=  = 

10 … 36 1,5 d 1…9 1,75 d

Verwendungsbeispiele Kessel- und Großbehälterbau Stahlbau Leichtmetallbau Stahlbau, Kesselbau, Behälterbau Leichtmetallbau

Linsenniet

662

d1 = 1,7 … 8 D = 2 d1

für Leisten, Beschläge, Schilder, als Zierniet, im Leichtmetallbau

Flachrundniet

674

d1 = 1 … 8 D  2,25 d1

für Beschläge, Feinbleche, Leder, Pappen

6.2 Nietformen Man unterscheidet die Niete nach ihrer Kopfform: Halbrundniete, Senkniete, Linsenniete usw. (siehe Tabelle 1). Sonderformen wie Sprengniete oder Blindniete werden dort verwendet, wo die Nietstelle schwer oder nur von einer Seite zugänglich ist.

6.3 Nietwerkstoffe

Lochausfüllung und hoher Reibungsschluss zwischen den Bauteilen nach Erkalten und Schrumpfen der Niete. Stahlniete unter 8 … 10 mm Durchmesser und solche aus Nichteisenmetallen werden kalt geschlagen; dabei nur geringer Reibungsschluss erreichbar. Die Rohniet-Schaftlänge l ist abhängig von den Dicken s der vernieteten Bauteile, vom Nietdurchmesser d und der Form des Schließkopfes (Bild 1):

Im Stahlbau, Metall- und Fahrzeugbau werden Niete aus Q St 36-3 für Bauteile aus S 235 JR verwendet. Außer Stahl kommen als Nietwerkstoffe noch Kupfer, Aluminium und deren Legierungen in Frage, z.B. CuZn 37 für Niete in Flugzeugbau.

6.4 Herstellen der Nietverbindungen Niete im Stahl- und Kesselbau werden bei Hellrotbis Weißglut geschlagen; dadurch fast vollkommene

Bild 1. Rohnietlängen

I 48 l =  s + lü

I Maschinenelemente (1)

Überstand lü  1,4 … 1,6 d für Halbrundkopf lü  0,6 … 1 d für Senkkopf. Die höheren Werte für lü bei größeren Klemmlängen  s. Als endgültige Schaftlänge ist die nächstliegende Normlänge zu wählen (Tabelle 2).

hochbau die Richtlinien nach DIN 18 800, für den Kranbau nach DIN 15 018 und für den Straßen-, Wege- und Brückenbau nach DIN 1072 maßgebend. Für die Lastannahme sind die Lastfälle H und HZ vorgesehen: Lastfall H erfasst die Summe aller Hauptlasten, das sind ständige Laste (Eigengewichtskraft), Verkehrslast, Schneelast, Lagerstoffe, Massenkräfte von Maschinen. Lastfall HZ erfasst Hauptund Zusatzlasten wie Windkräfte, Wärmewirkungen und Bremskräfte. Maßgebend ist der Lastfall, der die größten Stabquerschnitte ergibt. Er ist durch Proberechnungen zu ermitteln, wenn er nicht schon erfahrungsgemäß erkannt wird: FH F Lastfall H, wenn > HZ

σ H zul

Bild 2. Überlappungsnietungen a) einreihig, b) zweireihig-parallel, c) zweireihig zick-zack

F

σ HZ zul F

HZ > H σ HZ zul σ H zul Zeiger H und HZ kennzeichnen die dem betreffenden Lastfall zugeordneten Größen. Belastungsänderungen, Stöße und dergl. werden durch Erhöhung der äußeren Lasten um Stoßzahlen (zwischen 1,1 … 2) und Schwingungsbeiwerte (zwischen 1,02 … 1,64) berücksichtigt. Die zulässigen Spannungen bleiben unverändert.

Lastfall HZ, wenn

6.6.2 Berechnung der Niete

Bild 3. Laschennietungen a) einseitig, einreihig, b) einseitig, zweireihig, c) Doppellaschen, zweireihig

6.5 Verbindungsarten, Schnittigkeit Man unterscheidet Überlappungsnietungen (Bild 2), angewendet vorwiegend im Stahlbau, und Laschennietungen (Bild 3) hauptsächlich für Kessel- und Behälterbau. Für die Berechnung ist die Anzahl der Kraft übertragenden Nietreihen wichtig, worunter man die rechtwinklig zur Kraftrichtung stehenden versteht. Sie sind sicher mit Hilfe des „Kraftflusses“ zu erkennen: Bild 3b ist danach eine zweireihige (nicht vierreihige) Verbindung, d.h., die Kraft wird von zwei (nicht von vier) Reihen übertragen. Ferner ist die Schnittigkeit zu beachten. Das ist die Anzahl der von einem Niet beanspruchten Querschnitte. Die Nietverbindung Bild 2 ist damit einschnittig, die in Bild 3c ist zweischnittig. Besteht jede Nietreihe aus fünf Nieten, tragen in der Verbindung (Bild 3c) zwei Reihen mit je fünf zweischnittigen Nieten also 20 Nietquerschnitte.

6.6 Nietverbindungen im Stahlbau 6.6.1 Allgemeine Richtlinien Für Berechnung und Konstruktion sind im Stahl-

6.6.2.1 Nietdurchmesser. Bei Form- und Stabstählen, wie -, U-, I-Stählen usw. ist der Nietdurchmesser d nach DIN 124 zu wählen. Bei Blechen und Breitflachstählen rechnet man erfahrungsgemäß: d  50s − 2 in mm, oder bei mittleren Dicken s  5 … 10 mm: d  s + 8 … 10 mm (siehe auch Tabelle 2). 6.6.2.2 Nietzahl. Die Niete werden auf Abscheren und Lochleibungsdruck berechnet, da der Reibungsschluss zwischen den Bauteilen nicht sicher ist. Unter der Annahme einer gleichmäßigen Kraftverteilung auf alle Niete muss für die Nachprüfung einer Nietverbindung (Bild 4) die vorhandene Scherspannung sein: F a = ≤ τ a zul (2) A1 n m

a

F

A1

n, m

N mm2

N

mm2

1

und der vorhandene Lochleibungsdruck

l =

F ≤ σ l zul d1 s n

(3)

l

F

d1, s

n

N mm2

N

mm

1

6 Nietverbindungen

I 49

Tabelle 2. Niete für Stahl- und Kesselbau nach DIN 124 Rohnietdurchmesser in mm

10

12

(14)

16

(18)

20

22

24

27

30

(33)

36

Durchmesser des geschlagenen Nietes, Nietlochdurchmesser d1 in mm

11

13

15

17

19

21

23

25

28

31

34

37

95

133

177

227

284

346

415

491

616

755

908

1080

d

Nietquerschnitt A1 =

d12 π 4

in mm2

Blechdicken s

in mm

zugehörige Sechskantschrauben nach DIN 7990

4…6

M10 M12

>6…8

> 8 … 12

–

–

M16

M20

> 12 … 18

M22

> 18

M24

M27

M30

M33

M36

Größen in ( ) möglichst vermeiden Stufung der Nietlänge l: 10 12 14 usw. bis 40, dann 42 45 48 50 usw. bis 80, dann 85 90 95 usw. bis 150 mm

F von der Nietverbindung aufzunehmende Kraft; A1 = d12 π / 4 Nietquerschnitt (siehe auch Tabelle 2); n Nietzahl; m Schnittigkeit; d1 Durchmesser des geschlagenen Nietes gleich Lochdurchmesser (Tabelle 2); s Dicke des spezifisch am stärksten beanspruchten Bauteils, bei einschnittigen Verbindungen Dicke des schwächsten Bauteils. a zul, l zul , zulässige Scherspannung und zulässiger Lochleibungsdruck nach DIN 18800 und DIN 15018 (siehe auch Abschnitt D Festigkeitslehre, Knickungsberechnung im Stahlbau).

Anschlussebene

und die erforderliche Nietzahl auf Grund des zulässigen Lochleibungsdrucks nl =

F d1 s σ l zul

F

d1, s

l zul

N

mm

N mm 2

(5)

Es ist die aus beiden Gleichungen sich ergebende größere, immer aufzurundende Nietzahl zu wählen. Je Stabanschluss sind sicherheitshalber mindestens zwei Niete vorzusehen. In Kraftrichtung hintereinander sollen nicht mehr als fünf Niete gesetzt werden, weil sonst die Kraftverteilung zu ungleichmäßig wird. 6.6.3 Berechnung genieteter Bauteile 6.6.3.1 Mittig angeschlossene Zugstäbe Die Schwerachse des Stabes geht durch die Anschlussebene hindurch oder fällt nur wenig aus dieser heraus wie bei Flachstahlanschlüssen oder Doppelstäben (Bild 4). Seitliches Ausbiegen der Stäbe ist vernachlässigbar klein oder wird durch Futterstücke oder Laschen verhindert. Beanspruchung praktisch nur auf Zug. Für den geschwächten Querschnitt A – B muss die vorhandene Zugspannung sein

Bild 4. Mittig angeschlossene Zugstäbe

Aus den Gleichungen (2) und (3) ergibt sich nach Umformen die erforderliche Nietzahl auf Grund der zulässigen Scherspannung na =

F A 1 τ a zul m

F

A1

a zul

m

N

mm2

N mm 2

1

(4)

z =

F ≤ σ z zul An

z N mm 2

F

An

N mm2

(6)

F Zugkraft, An = A – (d1 s z) nutzbarer Stabquerschnitt, A ungeschwächter Stabquerschnitt, d1 Lochdurchmesser, s Stabdicke, z Anzahl der den Querschnitt schwächenden Löcher; z zul zulässige Zugspannung, siehe Abschnitt D Festigkeitslehre.

I 50

I Maschinenelemente

Darstellung der Nietverbindungen in Zeichnungen durch Sinnbilder nach DIN ISO 5845. Bei Profilstählen ist die Anordnung der Niete nach DIN 997 bis DIN 999 zu wählen oder auch der Tabelle 3 zu entnehmen. Bei Stabfachwerken sollen sich die Netzlinien (Systemlinien) mit den Schwerachsen der Stäbe decken (Bild 7). Nur bei kleineren Fachwerken können die Netzlinien mit den Lochrisslinien zusammenfallen, wodurch sich günstigere Knotenpunktgestaltungen ergeben. Tabelle 3. Richtwerte für Niet- (und Schrauben-) Abstände im Stahlbau (Bild 6), Maße in mm Randabstand Nietabstand a bei recht- Kraftnieten Heftnieten (max. Abstand) in winkbei der lig bei Blechen mit Dicke max. Stäzur übAbKraftrichtung lich stand ben > > > e1 e2 4 … 6 6 … 8 8 … 12 12 … 18

Nietdurchmesser d

6.6.3.2 Außermittig angeschlossene Zugstäbe. Bei diesen fällt die Stab-Schwerachse erheblich aus der Anschlussebene heraus wie bei einseitig angeschlossenen Profilstählen (Bild 5). Durch Moment Mb = F e biegt der Stab seitlich aus. Neben Zugspannung entsteht zusätzliche Biegespannung. Die maximale Zugspannung tritt in der Biegezugfaser auf, in der sich Zugspannung und Biegezugspannung addieren.

6.6.4 Gestaltung der Nietverbindungen

Lochdurchmesser d1

Für die Vorwahl des Stabes wird der erforderliche Querschnitt ermittelt aus A = F/(v zul); v | 0,8 Verschwächungsverhältnis zur Berücksichtigung der zunächst nicht erfassbaren Schwächung des Querschnitts durch Nietlöcher.

10

11

25

20

35

80 130

120

–

–

–

12

13

30

20

45

100 150

120

–

–

–

16

17

35

25

55

135 200

120

150

200

–

20

21

45

35

65

165 250

–

150

200

250

22

23

50

35

70

180 270

–

–

250

270

24

25

50

40

75

200 300

–

–

–

300

27

28

60

45

85

220 330

–

–

–

330

30

31

60

45

95

245 370

–

–

–

–

36

37

75

55

115

300 440

–

–

–

–

Bild 5. Außermittig angeschlossener Zugstab

Es ist nachzuweisen, dass die maximale, resultierende Spannung

max = σ z + σ b =

F F e2 + ≤ σ zul An I



F

An

e

I

N mm 2

N

mm2

mm

mm4

(7)

e Schwerachsenabstand von der Zugfaser I Flächenmoment 2. Grades für die Biegeachse x – x. Vorwahl des Stabes wie bei mittig angeschlossenen Stäben, jedoch mit Verschwächungsverhältnis v | 0,5 … 0,6 (siehe Abschnitt D Festigkeitslehre). 6.6.3.3 Druckstäbe. Berechnung nach DIN 18 800 (siehe auch Abschnitt D Festigkeitslehre).

Bild 6. Anordnung der Niete ■ Beispiel: Der Stab S1 eines Hochbau-Fachwerks hat eine Zugkraft F1 = 104 000 N (Lastfall H) aufzunehmen (Bild 7). Bauteile aus S 355 JO. Zu berechnen: a) erforderlicher ungleichschenkliger Winkelstahl für Stab S1; b) Vernietung des Stabes mit dem 8 mm dicken Knotenblech.

6 Nietverbindungen Lösung: a) Der Stab wird auf Zug und wegen einseitigen Anschlusses zusätzlich auf Biegung beansprucht; es handelt sich also um einen außermittig angeschlossenen Zugstab. Vorwahl des Stabes mit A | F1/(z zul v); z zul = 240 N/mm2 für S 355 JO, Lastfall H; Verschwächungsverhältnis v = 0,5 geschätzt (D Festigkeitslehre), damit A | 104 000 N/(240 N/mm2  0,5) A | 870 mm2. Hierfür wird zunächst gewählt: 100  50  6 mit A = 873 mm2 (fehlende Größen siehe Abschnitt D Festigkeitslehre). Der Winkel wird nun nach Gleichung (7) auf Zug und Biegung überprüft.

max = σ z + σ b =

F1 F1 e2 + ≤ σ zul An I

Nutzbarer Stabquerschnitt An = A – d1 s ; für die Schenkelbreite 100 mm – der breite Schenkel wird zweckmäßig angeschlossen, um die Biegung klein zu halten – wird gewählt: Nietdurchmesser d = 22 mm, Lochdurchmesser d1 = 23 mm; mit s = 6 mm wird An = 873 mm2 – 23 mm  6 mm = 735 mm2. Randabstand e ฬ ey = 10,4 mm. Flächenmoment I ฬ Iy = 15,3 · 104 mm4. Damit wird

max =

104 000 N 104 000 N⋅(10,4 mm)2 + = 735 mm 2 15,3⋅104 mm 4

= 141,5

N N N N < σ zul = 240 + 73,5 = 215 mm 2 mm 2 mm 2 mm 2

Damit wird endgültig gewählt: 100  50  6.

I 51

Bild 9. Kräfte am Lagerblech b) Nietdurchmesser bereits unter a) gewählt: d = 22 mm, d1 = 23 mm. Erforderliche Nietzahl auf Grund der zulässigen Scherspannung nach Gleichung (4): F1 na = A1 τ a zul m Querschnitt des geschlagenen Nietes nach Tabelle 2: A1 = 415 mm2; a zul = 210 N/mm2 und m = l , da Verbindung einschnittig; damit ist 104 000 N = 1,19 na = N 415 mm 2 ⋅ 210 ⋅1 mm 2 Erforderliche Nietzahl auf Grund des zulässigen Lochleibungsdrucks nach Gleichung (5): F1 nl = d1 s σ l zul

Durchmesser des geschlagenen Nietes d1 = 23 mm; Dicke des schwächsten Bauteils gleich Stabdicke s = 6 mm  l zul = 420 N/mm2; damit ist 104 000 N

= 1,8 N mm 2 Gewählt: 2 Niete mit d = 22 mm.

nl =

23 mm⋅6 mm⋅420

■ Beispiel: Zur Vernietung der Lagerbleche einer Umlenk-Seilrolle an der Säule eines Wanddrehkrans sind je vier Niete d = 16 mm vorgesehen (Bild 8). Höchste Seilzugkraft Fx = Fy= 22 000 N. Bauteile aus S 235 JR.

Bild 7. Knotenpunkt eines Traggerüstes

Lösung: Die Nietverbindung ist exzentrisch belastet, d.h. die äußere Kraft geht nicht durch den Schwerpunkt der Nietverbindung, die damit auf Biegung (Drehung) und Schub beansprucht wird. Anstelle von Fx und Fy wird mit deren Resultierenden Fres , angreifend im Mittelpunkt A der Rollenachse, gerechnet. Die Nietkräfte müssen Fres das Gleichgewicht halten (Bild 9).

Für ein Lagerblech wird

Fres = Fx1 2 = 11 000 N · 2 | 15 560 N. Der Schwerpunkt des Nietsystems liegt im Punkt D in Bild 9. Dazu hat die Wirklinie der Resultierenden Fres den Wirkabstand l1. Aus dem gleichschenkligen Dreieck DAB erkennt man l 340 mm = = 240 mm . 2 2 Ebenso ergibt sich aus den gleichschenkligen Dreiecken am Punkt D

l1 =

Bild 8. Lagerbleche für eine Seilrolle

l2 = 40 mm ⋅ 2 = 56,6 mm. Die Nietkraft F1 kann nun aus der Momentengleichgewichtsbedingung berechnet werden:

I 52

I Maschinenelemente

M(D) = 0 = 4 F1 l2 – Fres l1 4F1l2 = Fres l1 F1 =

Fres l1 15560 N⋅240 mm = =16 495 N. 4 l2 4⋅56,6 mm

Aus der Bedingung F = 0 folgt, dass an jedem Niet noch die Kraft Fres/4 = 15 560 N/4 = 3890 N entgegen Fres angreifen muss. Die größte resultierende Nietkraft ergibt sich, wie aus Bild 9 ersichtlich, für den rechten oberen Niet

F F = F1 + res = 16 495 N + 3 890 N = 20 385 N. 4 Mit A1 = 227 mm2 nach Tabelle 2 wird die vorhandene Abscherspannung für den rechten oberen Niet

a =

F 20 385 N N . = = 89,8 A1 227 mm 2 mm 2

Für den angenommenen Lastfall H beträgt die zulässige Abscherspannung a zul = 112 N/mm2 (siehe Abschnitt D Festigkeitslehre). Es ist also

a = 89,8

N N < τ a zul = 112 . mm 2 mm 2

Mit d1 = 17 mm und s = 7,5 mm Stegdicke für den Profilstahl U160 wird der vorhandene Lochleibungsdruck

l =

F1 20 385 N N = = 160 . d1s 17 mm⋅7,5 mm mm 2

7.2 Gewinde Die Gewinde werden durch ihr Profil (Dreieck, Trapez), die Steigung, Gangzahl (ein- oder mehrgängig) und den Windungssinn (rechts- oder linkssteigend) bestimmt. Die gebräuchlichsten Profilformen zeigt Bild 1. 7.2.1 Gewindearten Metrisches ISO-Gewinde, DIN 13 Blatt 1; Gewindedurchmesser von 1 mm bis 68 mm; Anwendungen für Befestigungsschrauben und Muttern aller Art; Abmessungen siehe Tabelle 7. Metrisches ISO-Feingewinde, DIN 13. Blätter 2 bis 12; Gewindedurchmesser von 1 mm bis 300 mm; Anwendung als Befestigungsgewinde, als Dichtungsgewinde, für Mess- und Einstellschrauben. Metrisches ISO-Trapezgewinde, DIN 103; Gewindedurchmesser von 8 mm bis 300 mm; Anwendung als Bewegungsgewinde bei Spindeln an Drehmaschinen, Schraubstöcken, Ventilen, Pressen usw.; Abmessungen siehe Tabelle 8. Rundgewinde, DIN 405; Anwendung als Bewegungsgewinde bei rauem Betrieb, z.B. Kupplungsspindeln. Metrisches Sägengewinde, DIN 513: Anwendung als Bewegungsgewinde bei hohen einseitigen Belastungen, z.B. bei Hubspindeln.

Da der zulässige Lochleibungsdruck l = 280 N/mm2 beträgt, ist auch hier

l = 160

N N < σ l zul = 280 . mm 2 mm 2

7 Schraubenverbindungen A. Böge, W. Böge

Normen (Auswahl) und Bezugsliteratur DIN DIN DIN DIN DIN

13 74 78 103 475

[1]

VDI-Richtlinie 2230; Systematische Berechnung hoch beanspruchter Schraubenverbindungen. VDI, 2003. Die Richtlinie (171 Seiten) enthält eine ausführliche Liste wichtiger Bezugsliteratur.

a)

b)

c)

d)

Metrisches ISO-Gewinde Senkungen Gewindeenden, Schraubenüberstände Metrisches ISO-Trapezgewinde Schlüsselweiten

7.1 Allgemeines Schrauben werden nach ihrem Verwendungszweck eingeteilt in Befestigungsschrauben für lösbare Verbindungen von Bauteilen, Bewegungsschrauben zur Umwandlung von Drehbewegungen in Längsbewegungen, Dichtungsschrauben für Ein- und Auslauföffnungen z.B. bei Ölwannen, Einstellschrauben, Spannschrauben.

e)

Bild 1. Grundformen der gebräuchlichsten Gewinde a) metrisches Regelgewinde, b) metrisches Feingewinde, c) Trapezgewinde, d) Sägengewinde, e) Rundgewinde 7.2.2 Gewindeabmessungen Aus der Abwicklung eines Gewindegangs (Bild 2) ergibt sich der Steigungswinkel  , bezogen auf den Flankendurchmesser d2 aus dem rechtwinkligen Dreieck:

I 22

I Maschinenelemente

2 Normzahlen, Toleranzen, Passungen

A. Böge

Normen (Auswahl) DIN 323 DIN 4760 DIN 4766 DIN 5425 DIN 7150 DIN 7154 DIN 7155 DIN 7157 DIN 58700

Normzahlen, Hauptwerte, Genauwerte, Rundwerte Begriffe für die Gestalt von Oberflächen Herstellverfahren und Rauheit von Oberflächen, Richtlinien für Konstruktion und Fertigung Toleranzen für den Einbau von Wälzlagern ISO-Toleranzen und ISO-Passungen ISO-Passungen für Einheitsbohrung ISO-Passungen für Einheitswelle Passungsauswahl, Toleranzfelder, Abmaße, Passtoleranzen Toleranzfeldauswahl für die Feinwerktechnik

2.1 Normzahlen Vor allem wegen der Kosten ist es sinnvoll, sich beim Festlegen von Maßen aller Art auf Vorzugszahlen zu beschränken (Baugrößen, Drehzahlen, Drehmomente, Leistungen, Drücke usw.). Man verwendet dazu eine geometrisch gestufte Zahlenfolge (siehe Abschnitt Mathematik). Bild 1 zeigt, dass bei der geometrischen Stufung die Werte im unteren Bereich fein, im oberen grob gestuft sind. Das ist nicht nur technisch sinnvoll. Bei den Normzahlen (DIN 323) sind die Dezimalbereiche nach vier Grundreihen geometrisch gestuft. Der Stufensprung q ist das konstante Verhältnis einer Normzahl zur vorhergehenden. Der Buchstabe R weist auf Renard hin, der die Normzahlen entwickelt hat.

Die Abkürzungen bei den DIN-Nummern haben folgende Bedeutung: E Bbl EN

Entwurf, Beiblatt, Europäische Norm, deren deutsche Fassung den Status einer Deutschen Norm erhalten hat. Deutsche Norm, in die eine Internationale Norm der ISO unverändert übernommen wurde. Europäische Norm, in die eine Internationale Norm (ISO-Norm) unverändert übernommen wurde und deren deutsche Fassung den Status einer Deutschen Norm hat.

ISO EN ISO

Tabelle 2. Normzahlen Reihe R5 Reihe R 10 Reihe R 20 Reihe R40

1,00 1,60 2,50 4,00 6,30 10,00 1,00 1,25 1,60 2,00 1,00 4,00 1,00 2,00 4,00 8,00

1,12 4,50 1,06 2,12 4,25 8,50

1,25 5,00 1,12 2,24 4,50 9,00

2,50

1,40 1,60 5,60 6,30 1,18 1,25 2,36 2,50 4,75 5,00 9,50 10,00

3,15 4,00 5,00 1,80 7,10 1,32 2,65 5,30

2,00 8,00 1,40 2,80 5,60

6,30 8,00 10,00

2,24 2,50 2,80 9,00 10,00 1,50 1,60 1,70 3,00 3,15 3,35 6,00 6,30 6,70

3,15 3,55 1,80 1,90 3,55 3,75 7,10 7,50

Die Zahlen sind gerundete Werte. Die Wurzelexponenten 5, 10, 20, 40 geben die Anzahl der Glieder im Dezimalbereich an, z.B. hat die Reihe R5 (Wurzelexponent 5) fünf Glieder: 1 1,6 2,5 4,0 6,3. Für Dezimalbereiche unter 1 und über 10 wird das Komma jeweils um eine oder mehrere Stellen nach links oder rechts verschoben, z.B. für die Reihe R5: 0,01 0,016 0,025 0,04 0,063 0,1 oder 10 16 25 40 63 100.

2.2 ISO-Passungen 2.2.1 Grundbegriffe Bezeichnungen: Bild 1. Schematische Darstellung von arithmetischer und geometrischer Stufung

N Nennmaß, Go Höchstmaß, Gu Mindestmaß, I Istmaß, ES, es oberes Grenzabmaß, EI, ei unteres Grenzabmaß, T Maßtoleranz, Ps Spiel, Pü Übermaß.

Tabelle 1. Stufensprung der vier Grundreihen

E, e, ES, es, EI, ei sind die französischen Bezeichnungen mit der Bedeutung: E (Abstand, écart), ES (oberer Abstand, écart supérieur), EI (unterer Abstand, écart inférieur). Große Buchstaben für Bohrungen (Innenmaße), kleine für Wellen (Außenmaße).

Reihe R5 R 10 R 20 R 40

RechenStufensprung Genauwert Mantisse wert q5 = 5 10

1,58

1,5849 ...

200

q10 =

10 10

1,26

1,2589 ...

100

q20 =

20 10

1,12

1,1220 ...

050

q40 =

40 10

1,06

1,0593 ...

025

2 Normzahlen, Toleranzen, Passungen

I 23

ei es

lich und meistens auch nicht erforderlich. Die Toleranzgröße (Qualität) ist abhängig von der Abmessung des Werkstücks und dem Verwendungszweck und ist ein Vielfaches der Toleranzeinheit i: i = 0, 45 3 D + 0,001 D

(1)

D = D1⋅ D2 i D m m mm

E9/f7 Bild 2. Darstellung der wichtigsten Passungsgrundbegriffe an Welle und Bohrung Berechnungen oberes Grenzabmaß = Höchstmaß – Nennmaß ES = GoB – N unteres Grenzabmaß= Mindestmaß – Nennmaß EI = GuB – N Höchstpassung = Höchstmaß Bohrung – Mindestmaß Welle Po = GoB – GuW Po = ES – ei Mindestpassung = Mindestmaß Bohrung – Höchstmaß Welle Pu = GuB – GoW Pu = EI – es

Spiel Ps (positive Passung) liegt vor, wenn die Differenz der Maße von Innen- und Außenpassfläche positiv ist. Übermaß Pü (negative Passung) liegt vor, wenn die Differenz der Maße von Innen-und Außenpassfläche negativ ist.

D geometrisches Mittel des Nennmaßbereichs nach Tabelle 3. Nach DIN 7151 sind 20 ISO-Qualitäten vorgesehen: IT 01 (kleinste Toleranz = größte Genauigkeit) bis IT 18 (größte Toleranz = kleinste Genauigkeit), IT = ISO-Toleranz. Jeder Qualität entspricht eine bestimmte Anzahl Toleranzeinheiten, deren Zunahme ab IT 5 nach der geometrischen Reihe R5 mit dem Stufungsfaktor q5 1,6 erfolgt (Tabelle 3.). ■ Beispiel: Nennmaßbereich 50 mm bis 80 mm D=

D1 ⋅ D2 = (50⋅80)mm = 63,245 … mm

i = 0, 45⋅ 3 D + 0,001⋅ D =

= (0, 45⋅ 3 63, 245 !+ 0,001⋅63, 245!) µm i = 1,856 … µm Grundtoleranz T für IT 10: T = 64  i = 64  1,856 ... µm = = 118,793 ... µm

2.2.2 Toleranzsystem 2.2.2.1 Toleranzeinheit. Ein genaues Einhalten des Nennmaßes ist aus Herstellungsgründen nicht mög-

T 120 µm (siehe Tabelle 3)

Tabelle 3. Grundtoleranzen der Nennmaßbereiche in µm 1 über über Quali- ISO 3 6 Tole- bis tät bis bis ranz 3 6 10 01 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

IT 01 IT 0 IT 1 IT 2 IT 3 IT 4 IT 5 IT 6 IT 7 IT 8 IT 9 IT 10 IT 11 IT 12 IT 13 IT 14 IT 15 IT 16 IT 17 IT 18

0,3 0,5 0,8 1,2 2 3 4 6 10 14 25 40 60 90 140 250 400 600 – –

über 10 bis 18

über 19 bis 30

0,4 0,4 0,5 0,6 0,6 0,6 0,8 1 1 1 1,2 1,5 1,5 1,5 2 2,5 0,5 2,5 3 4 4 4 5 6 5 6 8 9 8 9 11 13 12 15 18 21 18 22 27 33 30 36 43 52 48 58 70 84 75 90 110 130 120 150 180 210 180 220 270 330 300 360 430 520 480 580 700 840 750 900 1 100 1 300 – 1 500 1 800 2 100 – – 2 700 3 300

Nennmaßbereich in mm über über über über 30 50 80 120 bis bis bis bis 50 80 120 180

über 180 bis 250

über 250 bis 315

über 315 bis 400

über 400 Toleranzen in i bis 500

0,6 1 1,5 2,5 4 7 11 16 25 39 62 100 160 250 390 620 1 000 1 600 2 500 3 900

2 3 4,5 7 10 14 20 29 46 72 115 185 290 460 720 1 150 1 850 2 900 4 600 7 200

2,5 4 6 8 12 16 23 32 52 81 130 210 320 520 810 1 300 2 100 3 200 5 200 8 100

3 5 7 9 13 18 25 36 57 89 140 230 360 570 890 1 400 2 300 3 600 5 700 8 900

4 6 8 10 15 20 27 40 63 97 155 250 400 630 970 1 550 2 500 4 000 6 300 9 700

0,8 1,2 2 3 5 8 13 19 30 46 74 120 190 300 460 740 1 200 1 900 3 000 4 600

1 1,5 2,5 4 6 10 15 22 35 54 87 140 220 350 540 870 1 400 2 200 3 500 5 400

1,2 2 3,5 5 8 12 18 25 40 63 100 160 250 400 630 1 000 1 600 2 500 4 000 6 300

– – – –

7 10 16 25 40 64 100 160 250 400 640 1 000 1 600 2 500

2.2.2.2 Lage der Passtoleranzfelder. Die Passtoleranzfeldlage wird durch Buchstaben gekennzeichnet: Große Buchstaben für Innenmaße, kleine Buchstaben für Außenmaße.

I Maschinenelemente

EI = 0 TB = ES

I 24

Für Bohrungen: ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXY Z ZA ZB ZC

Nach Bild 3 haben die A(a)-Felder bzw. Z(z)-Felder den größten Abstand zur Nulllinie, wobei für Bohrungen das A-Feld oberhalb, das Z-Feld unterhalb der Nulllinie liegt. Die Toleranzfelder für Wellen liegen entsprechend umgekehrt. Die Abstände der Passtoleranzfelder von der Nulllinie sind nach DIN 7150 festgelegt. Eine Auswahl nach DIN 7157 zeigt Tabelle 4.

Bild 4. Passtoleranzfeldlagen im Passsystem Einheitsbohrung

ei = 0 TW = es

Für Wellen: a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z za zb zc

Bild 5. Passtoleranzfeldlagen im Passsystem Einheitswelle Bild 3. Lage der Passtoleranzfelder (schematisch) a) bei Bohrungen (Innenmaße) b) bei Wellen (Außenmaße)

2.2.3.2 Einheitswelle. Im Passsystem Einheitswelle (EW) ist das obere Abmaß aller Wellen gleich null (es = 0). Die verschiedenen Passungen ergeben sich durch die Wahl verschiedener Toleranzfeldlagen der Bohrungen und der unteren Abmaße der Wellen (ei ). Passungsbeispiele: G7/h6, F8/h6, D10/h9. Beachte: EW ist erkennbar am Buchstaben h; die obere Begrenzung des Toleranzfeldes der Welle deckt sich mit der Nulllinie.

Presssitz

2.2.3.1 Einheitsbohrung. Im Passsystem Einheitsbohrung (EB) ist das untere Abmaß aller Bohrungen gleich null (EI = 0). Die verschiedenen Passungen ergeben sich durch die Wahl verschiedener Toleranzfeldlagen der Wellen und der oberen Abmaße der Bohrungen (ES ) Passungsbeispiele: H7/s6, H8/f7, H8/e8. Beachte: EB ist erkennbar am Buchstaben H; die untere Begrenzung des Passtoleranzfeldes der Bohrung deckt sich mit der Nulllinie.

Presssitz

2.2.3 Passsysteme Einheitsbohrung und Einheitswelle

Bild 6. Toleranzfeldauswahl für Einheitsbohrung, dargestellt für das Nennmaß 50 mm

2.3 Maßtoleranzen Grundsätzlich lässt sich jedes Maß mit einem Passungskurzzeichen versehen. Dies ist jedoch unzweckmäßig bei Maßen, die keine große Genauigkeit erfordern, in keiner Beziehung zu anderen Teilen stehen oder sich mit Rachenlehren oder Grenzlehrdornen nicht messen lassen. In diesen Fällen werden Maßtoleranzen vorgesehen. Hierbei werden zum Nennmaß die Grenzabmaße in mm hinzugefügt. Beispiele zeigt Bild 7. Maße ohne Toleranzangabe unterliegen den Vorschriften nach DIN 7168 über Freimaßtoleranzen (nicht für Neukonstruktionen).

2 Normzahlen, Toleranzen, Passungen

I 25

2.5 Verwendungsbeispiele für Passungen

H7/n6

Festsitz: Teile unter Druck mit Presse fügbar; Radkränze auf Radkörpern, Lagerbuchsen in Gehäusen und Radnaben, Laufräder auf Achsen, Anker auf Motorwellen, Kupplungen und Wellenenden; gegen Verdrehen sichern.

H7/k6

Haftsitz: Teile leicht mit Handhammer fügbar; Zahnräder, Riemenscheiben, Kupplungen, Handräder, Bremsscheiben auf Wellen; gegen Verdrehen zusätzlich sichern.

H7/j6

Schiebesitz: Teile mit Holzhammer oder von Hand fügbar; für leicht ein- und auszubauende Zahnräder, Riemenscheiben, Handräder, Buchsen; gegen Verdrehen zusätzlich sichern.

37,5

60 40e8

50H7/r6

Kennzeichnung, Verwendungsbeispiele, sonstige Hinweise Übermaß- und Übergangstoleranzfelder Presssitz: Teile unter großem Druck mit Presse oder durch Erwärmen/Kühlen fügbar; Bronzekränze auf Zahnradkörpern, Lagerbuchsen in Gehäusen, Radnaben, Hebelnaben, Kupplungen auf Wellenenden; zusätzliche Sicherung gegen Verdrehen nicht erforderlich.

16h9

38H7/n6

30H7

30f7

Bild 7. Eintragen von Grenzabmaßen

Passungsbezeichnung H8/x8 H7/s6 H7/r6

16H8

48d11

48H11

Bild 8. Beispiele zum Eintragen von Toleranzklassen

2.4 Eintragen von Toleranzen in Zeichnungen Die Maßeintragung in Zeichnungen ist in DIN 406 festgelegt: 1. Grenzabmaße und Toleranzklassen sind hinter der Maßzahl des Nennmaßes einzutragen. (Bilder 7 und 8). 2. Bei Grenzabmaßen stehen das obere Grenzabmaß und das untere Grenzabmaß über der Maßlinie hinter dem Nennmaß. 3. Toleranzklassen für Bohrungen (Innenmaße) werden mit Großbuchstaben und Zahl angegeben, z.B. H7; für Wellen (Außenmaße) mit Kleinbuchstaben und Zahl z.B. f 7. Sie stehen hinter dem Nennmaß über der Maßlinie.

Spieltoleranzfelder H7/h6 H8/h9

Gleitsitz: Teile von Hand noch verschiebbar; für gleitende Teile und Führungen, Zentrierflansche, Wechselräder, Stellringe, Distanzhülsen.

H7/g6 G7/h6

Enger Laufsitz: Teile ohne merkliches Spiel verschiebbar; Wechselräder, verschiebbare Räder und Kupplungen.

H7/f7

Laufsitz: Teile mit merklichem Spiel beweglich; Gleitlager allgemein, Hauptlager an Werkzeugmaschinen, Gleitbuchsen auf Wellen.

H7/e8 H8/e8 E9/h9

Leichter Laufsitz: Teile mit reichlichem Spiel; mehrfach gelagerte Welle (Gleitlager), Gleitlager allgemein, Hauptlager für Kurbelwellen, Kolben in Zylindern, Pumpenlager, Hebellagerungen.

H 8 / d 9 Weiter Laufsitz: Teile mit sehr reichlichem Spiel; F 8 / h 9 Transmissionslager, Lager für Landmaschinen, D 10 / h 9 Stopfbuchsenteile, Leerlauf Scheiben. D 10 / h 11

I 26

I Maschinenelemente

Tabelle 4. Ausgewählte Passtoleranzfelder und Grenzabmaße (in µm) für das System Einheitsbohrung (H)

Passtoleranzfelder, dargestellt für den Nennmaßbereich über 24 mm bis 30 mm

Nennmaßbereich mm über 1 bis 3 über 3 bis 6 über 6 bis 10 über 10 bis 14 über 14 bis 18 über 18 bis 24 über 24 bis 30 über 30 bis 40 über 40 bis 50 über 50 bis 65 über 65 bis 80 über 80 bis 100 über 100 bis 120 über 120 bis 140 über 140 bis 160 über 160 bis 180 über 180 bis 200 über 200 bis 225 über 225 bis 250 über 250 bis 280 über 280 bis 315 über 315 bis 355 über 355 bis 400 1)

H7

H8

H9

H 11

za 6

+ 10 0 + 12 0 + 15 0

+ 14 0 + 18 0 + 22 0

+ 25 0 + 30 0 + 36 0

+ 60 0 + 75 0 + 90 0

+ 18 0

+ 27 0

+ 43 0

+ 110 0

+ 38 + 32 + 50 + 42 + 61 + 52 + 75 + 64 + 88 + 77

+ 21 0

+ 33 0

+ 52 0

+ 130 0

–

+ 25 0

+ 39 0

+ 62 0

+ 160 0

–

+ 30 0

+ 46 0

+ 74 0

+ 190 0

–

+ 35 0

+ 54 0

+ 87 0

+ 220 0

–

+ 40 0

+ 63 0

+ 100 0

+ 250 0

–

za 8 – – + 74 + 52 + 91 + 64 + 104 + 77 + 131 + 98 + 151 + 118 + 187 + 148 + 219 + 180 + 272 + 226 + 320 + 274 + 389 + 335

z6

z8

x6

x8

+ 32 + 26 + 43 + 35 + 51 + 42 + 61 + 50 + 71 + 60 + 86 + 73 + 101 + 88 + 128 + 112

+ 40 + 26 + 53 + 35 + 64 + 42 + 77 + 50 + 87 + 60 + 106 + 73 + 121 + 88 + 151 + 112 + 175 + 136 + 218 + 172 + 256 + 210 + 312 + 258 + 364 + 310 + 428 + 365 + 478 + 415

+ 26 + 20 + 36 + 28 + 43 + 34 + 51 + 40 + 56 + 45 + 67 + 54 + 77 + 64 + 96 + 80 + 113 + 97 + 141 + 122 + 165 + 146 + 200 + 178 + 232 + 210 + 273 + 248 + 305 + 280 + 335 + 310 + 379 + 350 + 414 + 385 + 454 + 425 + 507 + 475 + 557 + 525 + 626 + 590 + 696 + 660

+ 34 + 20 + 46 + 28 + 56 + 34 + 67 + 40 + 72 + 45 + 87 + 54 + 97 + 64 + 119 + 80 + 136 + 97 + 168 + 122 + 192 + 146 + 232 + 178 + 264 + 210 + 311 + 248 + 343 + 280 + 373 + 310 + 422 + 350 + 457 + 385 + 497 + 425 + 556 + 475 + 606 + 525 + 679 + 590

– –

–

–

–

–

–

+ 46 0

+ 72 0

+ 115 0

+ 290 0

–

–

–

–

+ 52 0

+ 81 0

+ 130 0

+ 320 0

–

–

–

–

+ 57 0

+ 89 0

+ 140 0

+ 360 0

–

–

–

–

u 6 bei Nennmaß bis 24 mm, t 6 darüber

–

u 61) t6 + + + + + +

24 18 31 23 37 28

+ 44 + 33 + 54 + 41 + 54 + 41 + 64 + 48 + 70 + 54 + 85 + 66 + 94 + 75 + 113 + 91 + 126 + 104 + 147 + 122 + 159 + 134 + 171 + 146 + 195 + 166 –

–

–

u8 – – – – – + 81 + 48 + 99 + 60 + 109 + 70 + 133 + 87 + 148 + 102 + 178 + 124 + 198 + 144 + 233 + 170 + 253 + 190 + 273 + 210 + 308 + 236 + 330 + 258 + 356 + 284 + 396 + 315 + 431 + 350 + 479 + 390 + 524 + 435

s6 + + + + + +

20 14 27 19 32 23

r6 + + + + + +

16 10 23 15 28 19

+ 39 + 28

+ 34 + 23

+ 48 + 35

+ 41 + 28

+ 59 + 43

+ 50 + 34

+ 72 + 53 + 78 + 59 + 93 + 71 + 101 + 79 + 117 + 92 + 125 + 100 + 133 + 108 + 151 + 122 + 159 + 130 + 169 + 140 + 190 + 158 + 202 + 170 + 226 + 190 + 244 + 208

+ 60 + 41 + 62 + 43 + 73 + 51 + 76 + 54 + 88 + 63 + 90 + 65 + 93 + 68 + 106 + 77 + 109 + 80 + 113 + 84 + 126 + 94 + 130 + 98 + 144 + 108 + 150 + 114

2 Normzahlen, Toleranzen, Passungen

I 27

Tabelle 4. (Fortsetzung)

p6

n6

k6

j6

h6

h8

h9

h 11

+ 12 + 6 + 20 + 12 + 24 + 15

+ 10 + 4 + 16 + 8 + 19 + 10

+ 6 0 + 9 + 1 + 10 + 1

+ – + – + –

+ 29 + 18

+ 23 + 12

+ 35 + 22

f7

4 2 6 2 7 2

0 – 6 0 – 8 0 – 9

0 – 14 0 – 18 0 – 22

0 – 25 0 – 30 0 – 36

0 – 60 0 – 75 0 – 90

– – – – – –

+ 12 + 1

+ 8 – 3

0 – 11

0 – 27

0 – 43

0 – 110

– 16 – 34

– 32 – 59

– 50 – 93

+ 28 + 15

+ 15 + 2

+ 9 – 4

0 – 13

0 – 33

0 – 52

0 – 130

– 20 – 41

– 40 – 73

– 65 – 117

+ 42 + 26

+ 33 + 17

+ 18 + 2

+ 11 – 5

0 – 16

0 – 39

0 – 62

0 – 160

– 25 – 50

– 50 – 89

– 80 – 142

+ 51 + 32

+ 39 + 20

+ 21 + 2

+ 12 – 7

0 – 19

0 – 46

0 – 74

0 – 190

– 30 – 60

– 60 – 106

– 100 – 174

+ 59 + 37

+ 45 + 23

+ 25 + 3

+ 13 – 9

0 – 22

0 – 54

0 – 87

0 – 220

– 36 – 71

– 72 – 126

– 120 – 207

+ 68 + 43

+ 52 + 27

+ 28 + 3

+ 14 – 11

0 – 25

0 – 63

0 – 100

0 – 250

– 43 – 83

– 85 – 148

– 145 – 245

+ 79 + 50

+ 60 + 31

+ 33 + 4

+ 16 – 13

0 – 29

0 – 72

0 – 115

0 –290

– 50 – 96

– 100 – 172

– 170 – 285

+ 88 + 56

+ 66 + 34

+ 36 + 4

+ 16 – 16

0 – 32

0 – 81

0 – 130

0 – 320

– 56 – 108

– 110 – 191

– 190 – 320

+ 98 + 62

+ 73 + 37

+ 40 + 4

+ 18 – 18

0 – 36

0 – 89

0 – 140

0 – 360

– 62 – 119

– 125 – 214

– 210 – 350

6 16 10 22 13 28

e8 – – – – – –

14 28 20 38 25 47

d9 – – – – – –

20 45 30 60 40 76

a 11 – – – – – –

270 330 270 345 280 370

b 11 – – – – – –

c 11

140 200 140 215 150 240

– 60 – 120 – 70 – 145 – 80 – 170

– 290 – 400

– 150 – 260

– 95 – 205

– 300 – 430

– 160 – 290

– 110 – 240

– 310 – 470 – 320 – 480 – 340 – 530 – 360 – 550 – 380 – 600 – 410 – 630 – 460 – 710 – 520 – 770 – 580 – 830 – 660 – 950 – 740 – 1030 – 820 – 1110 – 920 – 1240 – 1050 – 1370 – 1200 – 1560 – 1350 – 1710

– 170 – 330 – 180 – 340 – 190 – 380 – 200 – 390 – 220 – 440 – 240 – 460 – 260 – 510 – 280 – 530 – 310 – 560 – 340 – 630 – 380 – 670 – 420 – 710 – 480 – 800 – 540 – 860 – 600 – 900 – 680 – 1040

– 120 – 280 – 130 – 290 – 140 – 330 – 150 – 340 – 170 – 390 – 180 – 400 – 200 – 450 – 210 – 460 – 230 – 480 – 240 – 530 – 260 – 550 – 280 – 570 – 300 – 620 – 330 – 650 – 360 – 720 – 400 – 760

Nennmaßbereich mm über 1 bis 3 über 3 bis 6 über 6 bis 10 über 10 bis 14 über 14 bis 18 über 18 bis 24 über 24 bis 30 über 30 bis 40 über 40 bis 50 über 50 bis 65 über 65 bis 80 über 80 bis 100 über 100 bis 120 über 120 bis 140 über 140 bis 160 über 160 bis 180 über 180 bis 200 über 200 bis 225 über 225 bis 250 über 250 bis 280 über 280 bis 315 über 315 bis 355 über 355 bis 400

I 28

I Maschinenelemente

Tabelle 5. Passungsauswahl, empfohlene Passtoleranzen, Spiel-, Übergangs- und Übermaßtoleranzfelder in µm nach DIN ISO 286

Passung Nennmaßbereich mm über

1 bis

3

über

3 bis

6

über

6 bis 10

über 10 bis 14 über 14 bis 18 über 18 bis 24 über 24 bis 30 über 30 bis 40 über 40 bis 50 über 50 bis 65 über 65 bis 80 über 80 bis 100 über 100 bis 120 über 120 bis 140 über 140 bis 160 über 160 bis 180 über 180 bis 200 über 200 bis 225 über 225 bis 250 über 250 bis 280 über 280 bis 315 über 315 bis 355 über 355 bis 400 1)

H8/x8 u8

H7 s6

H7 r6

H7 n6

– 4 – 20 – 7 – 27 – 8 – 32

– 0 – 16 – 3 – 23 – 4 – 28

+ 6 – 10 + 4 – 16 + 5 – 19

– 10 – 39

– 5 – 34

– 14 – 48

H7 k6

H7 j6

H7 h6

H8 h9

H 11 h9

H 11 h 11

G7 H7 h6g6

+ 14 – 10

+ – + – + –

12 4 13 7 17 7

+ 16 0 + 20 0 + 24 0

+ 39 0 + 48 0 + 58 0

+ 85 0 + 105 0 + 126 0

+ 120 0 + 150 0 + 180 0

+ 18 + 2 + 24 + 4 + 29 + 5

+ 6 – 23

+ 17 – 12

+ 21 – 8

+ 29 0

+ 70 0

+ 153 0

+ 220 0

+ 35 + 6

– 7 – 41

+ 6 – 28

+ 19 – 15

+ 25 – 9

+ 34 0

+ 85 0

+ 182 0

+ 260 0

+ 41 + 7

– 18 – 59

– 9 – 50

+ 8 – 33

+ 23 – 18

+ 30 – 11

+ 41 0

+ 101 0

+ 222 0

+ 320 0

+ 50 + 9

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

+ 10 – 39

+ 28 – 21

+ 37 – 12

+ 49 0

+ 120 0

+ 264 0

+ 380 0

+ 59 + 10

+ 12 – 45

+ 32 – 25

+ 44 – 13

+ 57 0

+ 141 0

+ 307 0

+ 440 0

+ 69 + 12

+ 13 – 52

+ 37 – 28

+ 51 – 14

+ 65 0

+ 163 0

+ 350 0

+ 500 0

+ 79 + 14

+ 15 – 60

+ 42 – 33

+ 59 – 16

+ 75 0

+ 187 0

+ 405 0

+ 580 0

+ 90 + 15

+ 18 – 66

+ 48 – 36

+ 68 – 16

+ 84 0

+ 211 0

+ 450 0

+ 640 0

+ 101 + 17

+ 20 – 73

+ 53 – 40

+ 75 – 18

+ 93 0

+ 229 0

+ 500 0

+ 720 0

+ 111 + 18

1)

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

6 34 10 46 12 56 13 67 18 72 21 87 15 81 21 99 31 109 41 133 56 148 70 178 90 198 107 233 127 253 147 273 164 308 186 330 212 356 234 396 269 431 301 479 346 524

23 72 29 78 36 93 44 101 52 117 60 125 68 133 76 151 84 159 94 169 106 190 118 202 133 226 151 244

11 60 13 62 16 73 19 76 23 88 25 90 28 93 31 106 34 109 38 113 42 126 46 130 51 144 57 150

bis Nennmaß 24 mm: x 8; über 24 mm Nennmaß: u 8

– –

2 Normzahlen, Toleranzen, Passungen

I 29

Tabelle 5. (Fortsetzung)

H7

F8

H8

F8

H8

E9

H8

D 10

H 11

D 10

C 11

C 11 H 11 A 11 H 11

f7

h6

f7

h9

e8

h9

d9

h9

d9

h 11

h9

h 11 c 11 h 11 a 11

+ 26 + 6

+ 28 + 6

+ 30 + 6

+ 47 + 6

+ 42 + 14

+ 64 + 14

+ 59 + 20

+ 85 + 20

+ 105 + 20

+ 120 + 20

+ 145 + 60

+ 180 + 60

+ 390 + 270

+ 34 + 10

+ 36 + 10

+ 40 + 10

+ 58 + 10

+ 56 + 20

+ 80 + 20

+ 78 + 30

+ 108 + 30

+ 135 + 30

+ 153 + 30

+ 175 + 70

+ 220 + 70

+ 420 + 270

+ 43 + 13

+ 44 + 13

+ 50 + 13

+ 71 + 13

+ 69 + 25

+ 97 + 25

+ 98 + 40

+ 134 + 40

+ 166 + 40

+ 188 + 40

+ 206 + 80

+ 260 + 80

+ 460 + 280

+ 52 + 16

+ 54 + 16

+ 61 + 16

+ 86 + 16

+ 86 + 32

+ 118 + 32

+ 120 + 50

+ 163 + 50

+ 203 + 50

+ 230 + 50

+ 248 + 95

+ 315 + 95

+ 510 + 290

+ 62 + 20

+ 66 + 20

+ 74 + 20

+ 105 + 20

+ 106 + 40

+ 144 + 40

+ 150 + 65

+ 201 + 65

+ 247 + 65

+ 279 + 65

+ 292 + 110

+ 370 + 110

+ 560 + 300

+ 75 + 25

+ 80 + 25

+ 89 + 25

+ 126 + 25

+ 128 + 50

+ 174 + 50

+ 181 + 80

+ 242 + 80

+ 302 + 80

+ 340 + 80

+ 342 + 120 + 352 + 130

+ + + +

440 120 450 130

+ + + +

630 310 640 320

+ 90 + 30

+ 95 + 30

+ 106 + 30

+ 150 + 30

+ 152 + 60

+ 208 + 60

+ 220 + 100

+ 294 + 100

+ 364 + 100

+ 410 + 100

+ 404 + 140 + 414 + 150

+ + + +

520 140 530 150

+ + + +

720 340 740 360

+ 106 + 36

+ 112 + 36

+ 125 + 36

+ 177 + 36

+ 180 + 72

+ 246 + 72

+ 261 + 120

+ 347 + 120

+ 427 + 120

+ 480 + 120

+ 477 + 170 + 487 + 180

+ + + +

610 170 620 180

+ + + +

820 380 850 410

+ 550 + 200

+ 700 + 200

+ 960 + 460

+ 560 + 210

+ 710 + 210

+ 1020 + 520

+ 580 + 230

+ 730 + 230

+ 1080 + 580

+ 645 + 240

+ 820 + 240

+ 1240 + 660

+ 665 + 260

+ 840 + 260

+ 1320 + 740

+ 685 + 280

+ 860 + 280

+ 1400 + 820

+ 123 + 43

+ 142 + 50

+ 131 + 43

+ 151 + 50

+ 146 + 43

+ 168 + 50

+ 206 + 43

+ 237 + 50

+ 211 + 85

+ 244 + 100

+ 285 + 85

+ 330 + 100

+ 308 + 145

+ 357 + 170

+ 405 + 145

+ 470 + 170

+ 495 + 145

+ 575 + 170

+ 555 + 145

+ 645 + 170

+ 160 + 56

+ 169 + 56

+ 189 + 56

+ 267 + 56

+ 272 + 110

+ 370 + 110

+ 401 + 190

+ 530 + 190

+ 640 + 190

+ 720 + 190

+ 750 + 300 + 780 + 330

+ + + +

940 300 970 330

+ 1560 + 920 + 1690 + 1050

+ 176 + 62

+ 187 + 62

+ 208 + 62

+ 291 + 62

+ 303 + 125

+ 405 + 125

+ 439 + 210

+ 580 + 210

+ 710 + 210

+ 800 + 210

+ 860 + 360 + 900 + 400

+ 1080 + 360 + 1120 + 400

+ 1920 + 1200 + 2070 + 1350

I 30

I Maschinenelemente

Tabelle 6. Allgemeintoleranzen für Form und Lage nach DIN ISO 2768-2 Toleranzen in mm für Geradheit/Ebenheit

Toleranzklassen

H K L

Rechtwinkligkeit

Symmetrie

bis 10

über 10 bis 30

über 30 bis 100

über 100 bis 300

über 300 bis 1000

bis 100

über 100 bis 300

über 300 bis 1000

über 1000 bis 3000

0,02 0,05 0,1

0,05 0,1 0,2

0,1 0,2 0,4

0,2 0,4 0,8

0,3 0,6 1,2

0,2 0,4 0.6

0,3 0,6 1

0,4 0,8 1,5

0,5 1 2

über 100 bis 300

bis 100

über 300 bis 1000

über 300 bis 1000

0,8 1,5

1 2

0,5 0,6 0,6

1

Tabelle 7. Kennzeichnung der Oberflächenbeschaffenheit nach DIN EN ISO 1302 Symbol

Definition

Symbol

Grundsymbol; Angabe der Oberflächenbeschaffenheit.

e

spanend bearbeitete Oberfläche

a1 a2

vernickelt

Definition Bearbeitungszugabe höchstzulässiger Rauheitswert Ra in µm

a

spanende Bearbeitung nicht zugelassen oder Zustand des vorangegangenen Arbeitsganges belassen Größtwert Rauheit a1 Kleinstwert Rauheit a2

Rillenrichtung rechtwinklig zur Projektionsebene

e

a

b c d

Verfahren der Herstellung oder Oberflächenbehandlung

a Rauheitswert Ra oder Rauheitsklassen N b Oberflächenbehandlung oder Fertigungsverfahren c Bezugsstrecke d Rillenrichtung e Bearbeitungszugabe

Rauheitsklasse N

N1

N2

N3

N4

N5

N6

N7

N8

N9

N 10

N 11

N 12

Rauheitswert Ra in µm

0,025

0,05

0,1

0,2

0,4

0,8

1,6

3,2

6,3

12,5

25

50

Tabelle 8. Mittenrauwerte Ra in µm

Mittenrauwert Ra in µm

3 Praktische Festigkeitsberechnungen im Maschinenbau

3 Praktische Festigkeitsberechnungen im Maschinenbau A. Böge

Ziel aller Festigkeitsberechnungen ist die Ermittlung der vorhandenen Spannung und der Nachweis, dass ein konstruiertes Bauteil mit Sicherheit „hält“. Seine geforderte oder erwartete Tragfähigkeit muss unter allen denkbaren Umständen gewährleistet sein, es darf z.B. auch bei Dauerbelastung in der vorgeschriebenen Lebensdauer nicht brechen oder seine Form bleibend so verändern, dass es seine Funktion nicht mehr ausreichend erfüllt. Mit der Wahl des Werkstoffs liegen die Festigkeitsgrößen vor, z.B. die Zug-, Druck-, Biege- und Torsions-Wechselfestigkeit (σzW, σdW, σbW, τtW) oder die entsprechenden 0,2%-Dehngrenzen (Rp 0,2). Zur Ermittlung der Gestaltfestigkeit werden Faktoren K in die Berechnung der Sicherheit SD gegen Dauerbruch (Dauerhaltbarkeit) oder gegen bleibende Verformung (Fließgrenze) eingeführt, z.B. der Rauheitsfaktor KF oder die Kerbwirkungszahl Kf. Die dazu erforderlichen Rechnungsgänge, Methoden und Tabellen werden ausführlich behandelt in der FKM1)-Richtlinie: Rechnerischer Festigkeitsnachweis für Maschinenbauteile2), 5. erweiterte Ausgabe 2003, VDMA Verlag Frankfurt a.M. (270 Seiten).

4 Klebverbindungen

A. Böge

Normen (Auswahl) DIN 16920

Klebstoffe, Klebstoffverarbeitung, Begriffe DIN 53281 T1 Behandlung der Klebflächen T2 Herstellung der Proben T3 Kenndaten des Klebvorganges DIN 53282 Winkelschälversuch DIN 53283 Zugscherversuch DIN 53284 Zeitstandsversuch DIN 53287 Beständigkeit gegen Flüssigkeiten DIN 53289 Rollenschälversuch DIN 54452 Druckschälversuch DIN 54455 Torsionsschälversuch (Vornorm DIN V 54461 Biegeschälversuch)

4.1 Allgemeines Unter Kleben versteht man das Verbinden von Teilen aus gleichen oder verschiedenartigen Werkstoffen mit nichtmetallischen Klebstoffen. Normalerweise entsteht eine Klebverbindung bei Raumtemperatur ohne Druckeinwirkung. Die Verarbeitung einiger Klebstoffe setzt jedoch auch höhere Drücke und Temperaturen bis ca. 150 ºC voraus. 1)

Forschungskuratorium Maschinenbau gilt nicht bei Vorliegen spezieller Richtlinien oder Normen wie z.B. DIN 742: Tragfähigkeitsberechnung von Wellen und Achsen

2)

I 31 Die Festigkeit einer Klebverbindung wird durch die Haftung eines Klebstoffs an der Werkstückoberfläche (Adhäsion) und seine Bindekräfte zwischen den Klebstoffmolekülen (Kohäsion) bestimmt. Durch Entwicklung von Klebern hoher Bindefestigkeit wird das Kleben als Verbindungsart auch metallischer Bauteile im zunehmenden Maß verwendet, insbesondere im Leichtmetallbau, im Flugzeugbau für Tragflächen, Rumpfblechversteifungen, Tür- und Fensterrahmen, in der Elektrotechnik für magnetische Spannplatten, Transformatoren- und Statorbleche, Geräte und Apparate, im Kraftfahrzeugbau für Reibbeläge bei Kupplungen und Bremsen, ferner in der Kunststoffindustrie, bei Spiel-, Leder- und Verpackungswaren und im Bauwesen für Wand- und Fußbodenplatten. Vorteile gegenüber anderen Verbindungselementen: Verbinden verschiedenartigster Werkstoffe; keine Werkstoffbeeinflussung; keine Schwächung der Bauteile durch Niet- oder Schraubenlöcher. Nachteile: Geringere spezifische Festigkeit gegenüber Schweißen oder Nieten; geringe Schälfestigkeit; Stumpfstöße kaum möglich; teilweise längere Aushärtungszeiten.

4.2 Klebstoffe Klebstoffe werden hauptsächlich auf Kunstharzbasis in der Form von Phenol- und Epoxydharzen oder auf Kautschukbasis als Lösungsmittelklebstoffe hergestellt. Nach DIN 16920 und der VDI-Richtlinie 2229 teilt man sie nach der Art des Abbindens ein: Physikalisch abbindende Klebstoffe sind Klebstoffe mit Lösungsmitteln, die vor dem Fügen oder Erstarren der Klebstoffschmelze zum größten Teil ablüften (verdunsten). Diese Klebstoffe sind zur Verbindung von Metallen mit porösen Werkstoffen wie z.B. Kork, Holz, Leder oder auch durchlässigen Kunststoffen geeignet. Zu den physikalisch abbindenden Klebstoffen gehören Kontakt-Schmelzklebstoffe sowie Plastisole. Kontaktklebstoffe (Basis Kautschuk) werden beidseitig auf die zu klebenden Flächen aufgetragen, abgelüftet und unter kurzem starken Druck gefügt. Schmelzklebstoffe werden auf ca. 150 ºC erhitzt und in geschmolzenem Zustand vor dem Erstarren des Klebstoffs gefügt. Plastisole (Basis Polyvinilchlorid) sind lösungsmittelfrei und werden in teigigem Zustand aufgetragen. Sie binden bei Temperaturen zwischen 140 ºC und 200 ºC ab. Chemisch abbindende Klebstoffe (Reaktionsklebstoffe) sind Klebstoffe auf Kunstharzbasis, die nur durch geeignete Reaktionsstoffe (Katalysatoren) hohe Haftfestigkeit und innere Festigkeit erreichen. Sie werden auch als Zwei-Komponenten-Klebstoffe (Bindemittel-Härter) bezeichnet. Abbindereaktionen werden durch den Härter, erhöhte Temperaturen, Luftfeuchtigkeit oder Entzug von Sauerstoff (anaerob) herbeigeführt. Da bei chemisch abbindenden Klebstoffen oft große Abbindezeiten (bis zu mehreren

I 52

I Maschinenelemente

M(D) = 0 = 4 F1 l2 – Fres l1 4F1l2 = Fres l1 F1 =

Fres l1 15560 N⋅240 mm = =16 495 N. 4 l2 4⋅56,6 mm

Aus der Bedingung F = 0 folgt, dass an jedem Niet noch die Kraft Fres/4 = 15 560 N/4 = 3890 N entgegen Fres angreifen muss. Die größte resultierende Nietkraft ergibt sich, wie aus Bild 9 ersichtlich, für den rechten oberen Niet

F F = F1 + res = 16 495 N + 3 890 N = 20 385 N. 4 Mit A1 = 227 mm2 nach Tabelle 2 wird die vorhandene Abscherspannung für den rechten oberen Niet

a =

F 20 385 N N . = = 89,8 A1 227 mm 2 mm 2

Für den angenommenen Lastfall H beträgt die zulässige Abscherspannung a zul = 112 N/mm2 (siehe Abschnitt D Festigkeitslehre). Es ist also

a = 89,8

N N < τ a zul = 112 . mm 2 mm 2

Mit d1 = 17 mm und s = 7,5 mm Stegdicke für den Profilstahl U160 wird der vorhandene Lochleibungsdruck

l =

F1 20 385 N N = = 160 . d1s 17 mm⋅7,5 mm mm 2

7.2 Gewinde Die Gewinde werden durch ihr Profil (Dreieck, Trapez), die Steigung, Gangzahl (ein- oder mehrgängig) und den Windungssinn (rechts- oder linkssteigend) bestimmt. Die gebräuchlichsten Profilformen zeigt Bild 1. 7.2.1 Gewindearten Metrisches ISO-Gewinde, DIN 13 Blatt 1; Gewindedurchmesser von 1 mm bis 68 mm; Anwendungen für Befestigungsschrauben und Muttern aller Art; Abmessungen siehe Tabelle 7. Metrisches ISO-Feingewinde, DIN 13. Blätter 2 bis 12; Gewindedurchmesser von 1 mm bis 300 mm; Anwendung als Befestigungsgewinde, als Dichtungsgewinde, für Mess- und Einstellschrauben. Metrisches ISO-Trapezgewinde, DIN 103; Gewindedurchmesser von 8 mm bis 300 mm; Anwendung als Bewegungsgewinde bei Spindeln an Drehmaschinen, Schraubstöcken, Ventilen, Pressen usw.; Abmessungen siehe Tabelle 8. Rundgewinde, DIN 405; Anwendung als Bewegungsgewinde bei rauem Betrieb, z.B. Kupplungsspindeln. Metrisches Sägengewinde, DIN 513: Anwendung als Bewegungsgewinde bei hohen einseitigen Belastungen, z.B. bei Hubspindeln.

Da der zulässige Lochleibungsdruck l = 280 N/mm2 beträgt, ist auch hier

l = 160

N N < σ l zul = 280 . mm 2 mm 2

7 Schraubenverbindungen A. Böge, W. Böge

Normen (Auswahl) und Bezugsliteratur DIN DIN DIN DIN DIN

13 74 78 103 475

[1]

VDI-Richtlinie 2230; Systematische Berechnung hoch beanspruchter Schraubenverbindungen. VDI, 2003. Die Richtlinie (171 Seiten) enthält eine ausführliche Liste wichtiger Bezugsliteratur.

a)

b)

c)

d)

Metrisches ISO-Gewinde Senkungen Gewindeenden, Schraubenüberstände Metrisches ISO-Trapezgewinde Schlüsselweiten

7.1 Allgemeines Schrauben werden nach ihrem Verwendungszweck eingeteilt in Befestigungsschrauben für lösbare Verbindungen von Bauteilen, Bewegungsschrauben zur Umwandlung von Drehbewegungen in Längsbewegungen, Dichtungsschrauben für Ein- und Auslauföffnungen z.B. bei Ölwannen, Einstellschrauben, Spannschrauben.

e)

Bild 1. Grundformen der gebräuchlichsten Gewinde a) metrisches Regelgewinde, b) metrisches Feingewinde, c) Trapezgewinde, d) Sägengewinde, e) Rundgewinde 7.2.2 Gewindeabmessungen Aus der Abwicklung eines Gewindegangs (Bild 2) ergibt sich der Steigungswinkel  , bezogen auf den Flankendurchmesser d2 aus dem rechtwinkligen Dreieck:

7 Schraubenverbindungen

 = arctan

P d2 π

I 53

(1)

P Gewindesteigung, für die bei mehrgängigem Gewinde P = z P zu setzen ist. Dann ist P die Gewindeteilung (Abstand zweier Gänge im Längsschnitt), z Gangzahl (siehe Tabelle 8).

Bild 2. Entstehung der Schraubenlinie

6912 Zylinderschrauben, Platz sparend durch versenkten Kopf mit Innensechskant; gefälliges Aussehen; Ausführung vielfach aus hochfesten Stählen. Halbrund-, Senk-, Zylinder- und Linsenschrauben mit Schlitz oder Kreuzschlitz werden vielseitig im Maschinen-, Fahrzeug-, Apparate- und Gerätebau verwendet. Stiftschrauben, DIN 835 und DIN 938 bis 940 dienen vorwiegend zu Verschraubungen von Gehäuseteilen bei Getrieben, Turbinen, Motoren, usw. Einschraubende b1 (Bild 3) richtet sich nach dem Werkstoff, in den eingeschraubt ist: b1 | d bei Stahl , Stahlguss und Bronze, b1 | 1,25 d bei Gusseisen, b1 | 2 d bei Al-Legierungen, b1 | 2,5 d bei Weichmetallen. Gewindestifte mit Zapfen, Ringschneide, Spitze oder Kegelkuppe werden zum Befestigen von Naben, Buchsen, Radkränzen und dergleichen verwendet.

7.3 Schrauben und Muttern 7.3.1 Schraubenarten

Sie unterscheiden sich hauptsächlich durch die Form ihres Kopfes. Ausführliche Übersicht siehe DINTaschenbuch 10 des Deutschen Normenausschuss. Gebräuchliche Schraubenarten siehe Bild 3; Hauptabmessungen von Sechskantschrauben: (siehe Tabelle 12).

Bild 4. Muttern a) Sechskantmutter, b) Vierkantmutter, c) Hutmutter (hohe Form), d) Nutmutter, e) Kronenmutter, f) Schlitzmutter, g) Zweilochmutter 7.3.2 Mutterarten

Bild 3. Schraubenarten a) Sechskantschraube, b) Innensechskantschraube, c) Halbrundschraube, d) Senkschraube, e) Zylinderschraube, f) Linsensenkholzschraube mit Kreuzschlitz, g) Gewindestift mit Kegelkuppe, h) Stiftschraube (Einbauspiel)

Sechskantschrauben DIN 931, 7990, sind die am häufigsten verwendeten; Ausführung mit metrischem Regelgewinde, teilweise auch mit metrischem Feingewinde. Innensechskantschrauben, DIN 912, DIN

Einige gebräuchliche Arten zeigt Bild 4. Am häufigsten verwendet werden Sechskantmuttern mit normaler Höhe (m | 0,8 d), DIN 934, flache Sechskantmuttern (m | 0,5 d ), DIN 439 und 936, bei kleineren Schrauben und metrischem Feingewinde. Vierkantmuttern, DIN 557 und 562, werden vorwiegend mit Flachrundschrauben (Schlossschrauben) zum Verschrauben von Holzteilen verwendet. Hutmuttern, DIN 917 und 1587, schützen das Schraubengewinde vor Beschädigungen und verhüten Verletzungen. Nut- und Kreuzlochmuttern, DIN 1804 und 1816, mit Feingewinde dienen vielfach zum Befestigen von Wälzlagern auf Wellen. Schlitz- und Zweilochmuttern werden als Senkmuttern verwendet. Kronenmuttern, DIN 935, Sicherungsmuttern und selbstsichernde Muttern dienen der Sicherung von Schraubenverbindungen, siehe auch 7.4.2.

I 54

I Maschinenelemente

7.3.3 Ausführung und Werkstoffe

Für Maßgenauigkeit, Oberflächenbeschaffenheit, Werkstoffeigenschaften und Prüfung sind die Bedingungen nach DIN 267 maßgebend. Toleranzklassen: fein (f ) für große Genauigkeit bei geringem Spiel, mittel(m) für normale Verwendung, grob (g) für rauen Betrieb. Die Toleranzklasse m braucht bei Bestellungen nicht angegeben zu werden. Als Werkstoff kommen insbesondere Stahl, Messing und Al-Legierungen in Frage. Bezeichnungen und Festigkeitseigenschaften der Schraubenstähle siehe Tabelle 1. Werkstoff-Kennzeichen z.B. 5.8 bedeutet: 5 Kennzahl der Mindestzugfestigkeit (500 N/mm2); 8 Kennzahl für das Verhältnis (Re / Rm)  10. Hochfeste Schrauben (und Muttern) ab 6.6 sind auf dem Schraubenkopf entsprechend gekennzeichnet, einschließlich Firmenzeichen. Tabelle 1. Festigkeitseigenschaften der Schraubenstähle nach DIN EN 20898 Kennzeichen (Festigkeitsklasse) Mindest-Zugfestigkeit Rm in N/mm2

4.6 4.8 5.6 5.8 6.6 6.8 6.9 8.8 10.9 12.9 400

500

600

800 1 0001 200

Mindest-Streckgrenze Re oder Rp 0,2-Dehngrenze 240 320 300 400 360 480 540 640 900 1 080 in N/mm2 Bruchdehnung A5 in %

25 14 20 10 16

8 12 12

9

8

Bild 5. Schraubensicherungen a) Federring, b) Fächerscheibe, c) Zahnscheibe, d) Federscheibe, e) Schnorr-Sicherung, f) selbstsichernde Sechskantmutter, g) Sicherungsmutter, h) Spring-Stopp Sechskantmutter, i) TENSILOCK Sicherungsschraube, k) Kronenmutter mit Splint, l ) Sicherungsbleche, m) Drahtsicherung

7.4 Schraubensicherungen 7.4.1 Kraft-(reib-) schlüssige Sicherungen

Gebräuchliche Sicherungen siehe Bild 5a bis 5f. Federring DIN 128; Fächerscheibe, DIN 6798; Zahnscheibe, DIN 6797 und Federscheibe, DIN 137 erzeugen durch ihre Federwirkung hohe Reibung im Gewinde und an der Auflagefläche und durch Eindrücken in die Oberflächen noch zusätzlichen Formschluss. Zu beachten ist, dass damit wohl die Mutter, nicht unbedingt die Schraube und damit die Verbindung, ausreichend gesichert ist. Reine Reibschlusssicherungen sind die Gegenmutter, heute meist durch die wirksamere und Platz sparende Sicherungsmutter, DIN 7967, ersetzt; ferner die selbstsichernde Mutter, DIN 986, mit einem sich in das Schraubengewinde einpressenden Fiber- oder Kunststoffring und die geschlitzte Mutter, bei der sich die an der Schlitzstelle versetzten Gewindegänge beim Aufschrauben federnd in das Schraubengewinde pressen. 7.4.2 Formschlüssige Sicherungen

Als häufigste Sicherung gegen Lösen und Verlieren dient die Kronenmutter, DIN 935 und 979, mit Splint (Bild 5k), bei der Schraube und Mutter gleichzeitig gesichert sind. Sicherungsbleche verschiedener Ausführung (Bild 5) sind als Muttersicherung nicht unbe-

7 Schraubenverbindungen dingt ausreichend für die ganze Verbindung. Dicht zusammensitzende Schrauben können gegenseitig durch Drahtbügel gesichert werden. Hochfeste Schraubenverbindungen (ab Festigkeitsklasse 8.8) erhalten keine Sicherungen.

7.5 Scheiben Sie sollen nur dann verwendet werden, wenn die Oberfläche der verschraubten Teile weich oder uneben ist oder zum Beispiel poliert ist und nicht beschädigt werden soll.

7.6 Berechnung von Befestigungsschrauben 7.6.1 Kräfte und Verformungen in zentrisch vorgespannten Schraubenverbindungen bei axial wirkender Betriebskraft FA (Verspannungsdiagramm) Eine Schraubenverbindung besteht aus der Schraube, der Mutter und den aufeinander zu pressenden Teilen (Platten), zum Beispiel zwei Flanschen. Diese Verbindung kann im Betrieb eine axial wirkende Betriebskraft FA oder eine Querkraft FQ oder beide gemeinsam aufzunehmen haben. Beispiele: Die Schraubenverbindungen am Zylinderkopf haben eine in Achsrichtung wirkende Betriebskraft FA aufzunehmen, hervorgerufen durch den Gasdruck im Zylinder. Die Schraubenverbindung am Tellerrad des Ausgleichgetriebes dagegen muss ein Drehmoment übertragen, dessen Kräftepaar quer zur Schraubenachse wirkt. Das Kräftespiel mit den Formänderungen bei axial wirkender Betriebskraft FA macht man sich mit dem Verspannungsdiagramm klar (Bild 6). Es entsteht, wenn über den elastischen Formänderungen (Verlängerung und Verkürzung) der Schraube und der verspannten Teile die axial wirkenden Kräfte aufgetragen werden. Das Anziehen der Schraubenverbindung bewirkt eine Zugkraft F in der Schraube und eine gleich große Druckkraft in den Flanschen. Die Schraube verlängert sich wie eine Zugfeder entsprechend dem Hooke’schen Gesetz (siehe D Festigkeitslehre). Zugleich verkürzen sich die Platten wie eine Druckfeder. Beim Erreichen der Vorspannkraft FV nach dem Anziehen hat sich die Schraube um fS verlängert, die Platten haben sich um fP verkürzt. Das zeigen die Verspannungsdiagramme 6a) und b).

I 55 Die „Druckfläche“ der Platten ist größer als die „Zugfläche“ in der Schraube, daher ist stets fP < fS und βP > βS . Man kann auch sagen: Die „Zugfeder“ Schraube ist weicher als die „Druckfeder“ Platten. Es fördert das Verständnis für die Formänderungsvorgänge, wenn man sich die Schraube als Schraubenzugfeder, die Platten als Schraubendruckfeder vorstellt, die beide parallel geschaltet ineinander greifen (Federmodell der Verbindung, siehe auch 9.2.4). Das übliche Verspannungsdiagramm einer Schraubenverbindung (Bild 6c) entsteht durch Zusammenfügen der beiden Diagramme a) und b) für Schraube und Platten. Die Winkel βS und βP sind die Neigungswinkel der beiden Kennlinien (Federkennlinien, siehe Kapitel 9.2). Nach dem Anziehen der Schraubenverbindung wirkt die Vorspannkraft FV als Zugkraft in der Schraube und als Druckkraft in den verspannten Platten (Flanschen). Im Betrieb hat die Verbindung die axiale Betriebskraft FA aufzunehmen, hervorgerufen beispielsweise durch den ansteigenden Druck der Verbrennungsgase im Zylinder eines Verbrennungsmotors. Sie bewirkt Folgendes (Bild 7): Die Schraube wird zusätzlich zugbelastet und um den Längenbetrag f verlängert. Dabei steigt die Zugkraft in der Schraube von der Vorspannkraft FV (Punkt A) längs der Schraubenkennlinie auf die Schraubenkraft FS an (Punkt B). Wenn die Schraube um f verlängert wird, können sich die Platten um den gleichen Längenbetrag wieder ausdehnen (Vorstellung: Federmodell). Dabei sinkt die Druckkraft in den Platten vom Betrag der Vorspannkraft FV (Punkt A) längs der Plattenkennlinie auf die theoretisch übrig bleibende Klemmkraft FK1 (Punkt C in Bild 7). Sinkt nun die axiale Betriebskraft auf null ab, dann stellt sich der ursprüngliche Kraft-Verformungszustand wieder ein (Punkt A). Die Oberflächenrauigkeiten der zusammengepressten Flächen einer Schraubenverbindung (Gewindegänge, Kopf- und Mutterauflage, Trennfugen der Platten) verformen sich schon beim Anziehen plastisch (bleibend). Dieses „Setzen“ vermindert die elastische Längenänderung fS + fP um den Setzbetrag fZ , auch wenn es sich nur um wenige µm handelt. Damit vermindert sich auch die tatsächlich wirksame Vorspannkraft FV um die Setzkraft FZ (Bild 7). Im Betrieb steht dann auch nicht mehr die theoretische Klemmkraft FK1 zur Verfügung, sondern die Klemmkraft FK = FK1 – FZ , zum Beispiel als Dichtkraft.

Bild 6. Verspannungsdiagramme a) der Schraube b) der Platten (der verspannten Teile) c) der Schraubenverbindung

I 56

I Maschinenelemente FA min ab und so fort (dynamisch schwellende Belastung). Die Schraubenbelastung schwingt also mit der Ausschlagkraft Fa um eine gedachte Mittelkraft Fm. FSA max und FSA min sind die Axialkraftanteile in der Schraube. 7.6.2 Herleitung der Kräfte- und Formänderungsgleichungen

Bild 7. Verspannungsdiagramm einer vorgespannten Schraubenverbindung nach dem Aufbringen der axialen Betriebskraft FA FV FA FK FK1 FZ FS FSA FPA fS fP fSA, fPA fZ f

E S, E P

Vorspannkraft der Schraube axiale Betriebskraft Klemmkraft (Dichtkraft) theoretische Klemmkraft Vorspannkraftverlust durch Setzen während der Betriebszeit Schraubenkraft Axialkraftanteil (Betriebskraftanteil) der Schraube Axialkraftanteil der verspannten Teile Verlängerung der Schraube nach der Montage Verkürzung der verspannten Teile nach der Montage entsprechende Formänderungen nach Aufbringen der Betriebskraft FA Setzbetrag (bleibende Verformung durch „Setzen“) Längenänderung nach dem Aufbringen von FA Neigungswinkel der Kennlinie

Zur Herleitung der Gleichungen für die Berechnung einer Schraubenverbindung bei axial wirkender Betriebskraft wird das Verspannungsdiagramm in Bild 9 ausgewertet. Die Betriebskraft FA ist durch die Betriebsbedingungen bekannt (z B. über den Öldruck in einem Hydraulikzylinder). Außerdem muss eine Mindestklemmkraft FK erf bekannt sein oder angenommen werden, zum Beispiel als erforderliche Dichtkraft. Betriebskraft FA und erforderliche Klemmkraft FK erf sind daher die Ausgangsgrößen für die Berechnung vorgespannter Schraubenverbindungen.

Bild 9. Verspannungsdiagramm der vorgespannten und durch eine axial wirkende Betriebskraft FA belasteten Schraubenverbindung Zunächst wird als Hilfsgröße die Nachgiebigkeit  definiert: Sie ist das Verhältnis der Längenänderung (Verlängerung, Verkürzung) zur jeweiligen Zug- oder Druckkraft. Es gilt also für die Schraube  S = fS /FV und  P = fP /FV. Dieser Quotient ist in den rechtwinkligen Dreiecken, O, E, A und A, D, B sowie E, F, A und A, C, D der Kotangens (= 1 / Tangens) der Neigungswinkel E S und E P. Damit lassen sich Gleichungen für die Nachgiebigkeiten  S und  P aufstellen:

S =

∆f fS = FV FSA

(2)

Nachgiebigkeit der Schraube nach Aufbringen der Vorspannkraft FV Bild 8. Ausschnitt aus dem Verspannungsdiagramm Im allgemeinen Betriebsfall wird die axiale Betriebskraft nach Bild 8 bis zu einem Maximalwert FA max aufgebaut und fällt dann auf den kleineren Wert

fP ∆f ∆f = = FV FPA FA − FSA Nachgiebigkeit der Platten nach Aufbringen der Vorspannkraft FV

P =

(3)

7 Schraubenverbindungen

I 57

Beide Gleichungen können nach f aufgelöst und gleichgesetzt werden. Daraus lässt sich eine Gleichung für den Axialkraftanteil FSA in der Schraube entwickeln:

(4)

Der Quotient  P /( P +  S) aus den Nachgiebigkeiten spielt als Kenngröße bei Schraubenberechnungen eine Rolle. Nach Gleichung (4) ist er das Verhältnis des Axialkraftanteils FSA zur Axialkraft (Betriebskraft) FA. Er heißt daher Kraftverhältnis :

=

δP δ P +δ S

=

FSA FA

Das Verspannungsdiagramm zeigt FPA = FA – FSA. Nach Gleichung (5) ist FSA = FA . Das ergibt eine Gleichung für den Axialkraftanteil FPA in den verspannten Platten (Flanschen):

FPA = FA (1 – ) Axialkraftanteil in den Platten (6) Die Neigungswinkel E S und E P der Kennlinien treten auch in den beiden kleinen rechtwinkligen Dreiecken mit der Setzkraft FZ auf. Analog zu den Gleichungen (2) und (3) wird damit: fSZ f und  P = PZ fSZ =  S FZ und FZ FZ

fPZ =  P FZ

fZ = fSZ + fPZ fZ =  S FZ +  P FZ = FZ ( P +  S) Die Summe der Nachgiebigkeiten ( P +  S) kann nach Gleichung (5) durch  P / ausgedrückt und damit eine Gleichung für die Setzkraft FZ entwickelt werden. Die Setzkraft FZ ist der Vorspannungskraftverlust durch Setzen während der Betriebszeit:

FZ = fZ



δP

FS = FV + FSA FS = FV + FA

Setzkraft

(7)

(10) (11)

Vorspannkraft FV



FS =

FZ + FK + (1 – ) FA + FA (12)

Schraubenkraft

Setzkraft

Klemmkraft

 



Axialkraft- Axialkraftanteil der anteil der verspannten Schraube Teile  

axiale Betriebskraft FA

In dynamisch schwellend belasteten Schraubenverbindungen muss die Dauerfestigkeit der Schraube bestätigt werden. Ausgangsgröße für diese Berechnungen ist die Ausschlagkraft Fa , die um die Mittelkraft Fm schwingt. Im Hinblick auf die axiale Betriebskraft FA können zwei unterschiedliche Betriebsbedingungen auftreten: Fällt die Betriebskraft FA immer wieder auf den Wert null zurück, dann gilt nach Bild 9 in Verbindung mit Gleichung (4):

Fa =

Die Summe der beiden Teilsetzbeträge ist gleich dem Setzbetrag FZ, also wird

(9)

Zur Bestimmung der größten Zugbeanspruchung in der Schraube wird die größte Zugkraft, die Schraubenkraft FS, gebraucht. Unter Zuhilfenahme des Verspannungsdiagramms Bild 9 und der Gleichungen (4) und (9) ergibt sich:

(5)

Kraftverhältnis der Schraubenverbindung (siehe auch 7.6.3.3)

S =

(8)

FV = FZ + FK + FA (1 – ) Vorspannkraft

δP δP und mit = δ P +δ S δ P +δ S

FSA = FA Axialkraft in der Schraube

FK = FV – FZ – FA (1 – ) Klemmkraft

Kann die Klemmkraft als bekannt vorausgesetzt werden, zum Beispiel durch die Annahme einer notwendigen Dichtkraft, dann lässt sich die Vorspannkraft FV ermitteln:

f =  S FSA =  P (FA – FSA)  S FSA =  P FA –  P FSA FSA( S +  P) =  P FA FSA = FA

Nach Bild 9 ist die Klemmkraft FK = FV – FZ – FPA. In Verbindung mit Gleichung (6) wird dann:

FSA 2

(13)

 FA 2 Fm = FV + Fa

Fa =

Ausschlagkraft Mittelkraft

(14) (15)

Schwankt die axiale Betriebskraft dagegen zwischen einem Größtwert FA max und einem Kleinstwert FA min  0, dann lässt sich aus Bild 8 ablesen:

Fa =

FSA max − FSA min 2

(16)

Nach Gleichung (4) ist FSA = FA. Folglich gilt auch FSA max = FA max und FSA min = FA min. Dies in Gleichung (16) eingesetzt und das Kraftverhältnis ausgeklammert führt zu

I 58

I Maschinenelemente

Fa Fm

 ( FA max − FA min ) 2 = FV + FA min + Fa

=

Ausschlagkraft (17) Mittelkraft

7.6.3 Berechnung der Nachgiebigkeit Kraftverhältnisses

(18) und des

Für die elastische Formänderung von Zug- und Druckstäben gilt das Hooke’sche Gesetz, also auch für die Schraube und die Platten (Flansche) einer vorgespannten Schraubenverbindung (siehe D Festigkeitslehre). Schreibt man das Hooke’sche Gesetz in der Form l / F = l0 / (A E) und setzt anstelle der allgemeinen die speziellen Bezeichnungen für die Schraubenverbindung ein, erhält man zwei Gleichungen für die Nachgiebigkeit  S und  P:

 =E F ∆l E = l0 A ∆l l = 0 = AE F

S

(19)

Nachgiebigkeit (allgemein) der Platten f l  P = PV = P FV AP EP

F

(20)

Zug- oder Druckkraft ฬ FV

A Zug- oder Druckfläche ฬ AS und AP l elastische Verlängerung oder Verkürzung ฬ fS und fP E Elastizitätsmodul l0

federnde Länge ฬ lS und lP

Die Gleichungen für die Nachgiebigkeit  S und  P enthalten noch Größen, die eine genauere Betrachtung erfordern. Das soll für Schraube und Platten gesondert geschehen. 7.6.3.1 Nachgiebigkeit

S

Das entsprechende Federmodell besteht demnach aus drei hintereinander geschalteten Zugfedern, deren Einzel-Nachgiebigkeiten sich addieren:  S =  S1 +  S2 + 2   S3. Entsprechend Gleichung (19) ist  S1 = l1 / (AES) ,  S2 = l2 / (ASES) und  S3 = 2l3(ASES) = 2  0,4 d / (ASES). Damit kann eine zusammenfassende Gleichung für die Nachgiebigkeit  S für die Sechskantschraube entwickelt werden

 S =  S1 +  S2 + 2   S3

Nachgiebigkeit (allgemein) der Schraube f l = SV = S FV A S ES

Bild 10. Dehnquerschnitte und Dehnlängen an der Sechskantschraube

der Schraube

An einer Sechskantschraube (Bild 10) gibt es die Dehnlänge l1 mit dem Schaftquerschnitt A und die Dehnlänge l2 mit dem Spannungsquerschnitt AS nach Tabelle 7. Als zusätzliche Dehnlänge im Mutter- und Kopfbereich legt man aus Erfahrung l3 = 0,4d fest und als zugehörigen Querschnitt vereinfachend den Spannungsquerschnitt AS.

S =

l1 l 0, 4 d + 2 + 2⋅ A ES AS ES AS ES

S =

l2 + 0,8 d l1 A+ AS

ES Nachgiebigkeit einer Sechskantschraube

S

l1, l2, d

A, AS

ES

mm N

mm

mm2

N mm 2

(21)

Die Nachgiebigkeit einer Dehnschraube wird auf die gleiche Art ermittelt. 7.6.3.2 Nachgiebigkeit der verspannten Platten (Flanschen) Die federnde Länge lP der druckbelasteten Plattenzonen ist die Klemmlänge lK der Schraubenverbindung (lP = lK). Die Nachgiebigkeit  S der Schraube konnte mit (21) leicht ermittelt werden, weil die federnden Teile der Schraube eindeutig begrenzte Kreiszylinder sind. Innerhalb der verspannten Platten dagegen nimmt die Druckbeanspruchung im Klemmbereich radial nach außen hin ab. Näherungsweise arbeitet man mit der Vorstellung eines Doppel-Hohlkegels, in dessen Einzelquerschnitten die Druckbeanspruchung gleichmäßig verteilt ist. Für den Ersatzquerschnitt Aers (Ersatzdurchmesser Ders) wird in der Literatur für die Verbindungskonstruktion nach Bild 11 mit der Bedingung dw + lK < DA die folgende Gleichung (22a) angegeben:

7 Schraubenverbindungen  2    π 2 π lK d w  2 Aers = ( d w − d h )+ d w lK 3 +1 −1 2 4 8 l d + ( )  K  w    (22a)

Ersatzquerschnitt (Ersatz-Hohlzylinder) Aers der Platten für dw + lK < DA

DA dw

dh lK

Außendurchmesser der verspannten Teile Außendurchmesser der Kopfauflage, bei Sechskantschrauben (Bild 11) Durchmesser des Telleransatzes, sonst Schlüsselweite, bei Zylinderschrauben Kopfdurchmesser Durchmesser der Durchgangsbohrung nach Tabelle 5 Klemmlänge

I 59 nung der Nachgiebigkeit  P der Platten (Flansche) geschrieben werden: lK Aers EP Nachgiebigkeit der Platten (Flansche)

P =

Mit den beiden Nachgiebigkeiten  S und  P, der Vorspannkraft FV und der axialen Betriebskraft FA lässt sich das Verspannungsdiagramm maßstäblich aufzeichnen. 7.6.3.3 Berechnung des Kraftverhältnisses Mit den Gleichungen für Nachgiebigkeit und Ersatzquerschnitt (21), (22), (23) lässt sich eine Gleichung zur Berechnung des Kraftverhältnisses für Sechskantschrauben nach Bild 10 entwickeln:

=

δP F = SA FA δ P +δ S

lK Aers EP = l1 l2 + 0,8 d + lK A AS + Aers EP ES

=

Bild 11. Ersatz-Hohlzylinder in den verspannten Platten Für zwei Verbindungskonstruktionen mit anderen als in Bild 11 eingetragenen Abmessungen werden die folgenden Gleichungen angegeben:  2  π 2 π  lK d w 2  −1 Aers= ( d w − d h )+ d w ( DA − d w ) 3 +1 2  4 8 D A      (22b) Ersatzquerschnitt (Ersatz-Hohlzylinder) Aers der Platten für dw  DA  dw + lK π 2 (23) ( D − dh2 ) 4 A Ersatzquerschnitt (Ersatz-Hohlzylinder) Aers der Platten für DA  dw

Aers =

Nach Gleichung (20) kann nun mit den Bezeichnungen lP = lK und AP = Aers die Gleichung zur Berech-

(24)

lK EP ES Aers l1, l2 d A AS

(25)

(26)

lK  A E l1 l2 + 0,8 d   lK + ers P  +  ES  AS A 

Klemmlänge nach Bild 10 Elastizitätsmodul der Platten (siehe D Festigkeitslehre) Elastizitätsmodul der Schraube, für Stahl ist ES = 21  104 N/mm2 Ersatzquerschnitt nach (22a, 22b oder 23) Teillängen der Schraube nach Tabelle 5 Gewindenenndurchmesser nach Tabelle 7 Schaftquerschnitt der Schraube nach Tabelle 7 Spannungsquerschnitt der Schraube nach Tabelle 7

7.6.4 Krafteinleitungsfaktoren n (Tabelle 2) und Kraftverhältnis n 7.6.4.1 Erläuterungen zum Krafteinleitungsfaktor n Bei der Besprechung der Kräfte und Formänderungen in einer vorgespannten Schraubenverbindung (Kap. 7.6.1) war angenommen worden, dass die axiale Betriebskraft FA unter dem Schraubenkopf und in der Mutterauflagefläche angreift. Das Verspannungsdiagramm in Bild 7 zeigt die dadurch hervorgerufene

I 60 Längenänderung f, um die sich die Schraube zusätzlich dehnt. Um den gleichen Betrag können sich die zusammengedrückten Platten wieder entspannen, und zwar auf der gesamten Klemmlänge lK. Untersuchungen an ausgeführten Schraubenverbindungen zeigen dagegen, dass die Betriebskraft FA häufiger zwischen zwei Punkten innerhalb der Klemmlänge lK angreift, wodurch sich die Kraft- und Formänderungsverhältnisse ändern. Tabelle 2 zeigt schematisiert vier angenommene Fälle für die Einleitung der Betriebskraft FA (I, II, III und IV). Im Unterschied zum Einleitungsfall I, bei dem sich die Platten über der ganzen Klemmlänge lK entspannen, federn sie in den anderen Fällen nur in den längs gestrichenen Bereichen der Klemmlänge zurück (Bilder in der Tabelle 2). Diese Teillänge wird mit lK1 = n lK bezeichnet, wobei n der Krafteinleitungsfaktor ist. Er ist immer kleiner als eins (n < 1, z.B. n =  im Einleitungsfall III). Im Bereich der quer gestrichenen Plattenzonen dagegen bewirkt die dort eingeleitete Betriebskraft FA kein Entspannen, sondern ein weiteres Zusammenpressen. Daraus folgt: Der Schraube sind beim allgemeinen Krafteinleitungsfall (II, III oder IV) federnde Plattenzonen vorgeschaltet. Ein entsprechendes Schraubenfedermodell besteht aus zwei hintereinander geschalteten Schraubenfedern, die die gleiche Kraft zu übertragen haben, die Betriebskraft FA, allerdings einmal als Druckkraft (in den quer gestrichenen Plattenzonen) und einmal als Zugkraft (in der Schraube). Der „Zugfeder“ Schraube ist eine „Druckfeder“ entsprechend den quer gestrichenen Plattenzonen vorgeschaltet. In Kapitel 9 wird nachgewiesen, dass zwei hintereinander geschaltete Federn „weicher“ sind als jede der beiden Einzelfedern. Die Kennlinie eines solchen Federsystems verläuft flacher, weil bei gleicher Belastung der Federweg größer ist. Im Verspannungsdiagramm in der Tabelle 2 ist das an der gestrichelten Kennlinie zu sehen. Die Nachgiebigkeit  zweier hintereinander geschalteter Federn ist also in den Fällen II, III, IV größer als im Einleitungsfall I. Man nennt die Nachgiebigkeit unter diesen Betriebsbedingungen die Betriebsnachgiebigkeit  SB. Gegenüber dem Krafteinleitungsfall I mit der Nachgiebigkeit  S ist also immer  SB >  S. Für die längs gestrichenen Plattenzonen (Tabelle 2), die sich beim allgemeinen Krafteinleitungsfall teilweise entspannen, ist die federnde Länge kürzer als im Einleitungsfall I mit den Angriffspunkten unter

I Maschinenelemente dem Schraubenkopf und der Mutterauflage (n lK < lK). Nach Gleichung (20) ergibt diese Änderung auch eine Verringerung der Nachgiebigkeit der Platten. Es ist also stets die Betriebsnachgiebigkeit  PB <  P. Im Verspannungsdiagramm verläuft die Kennlinie der Platten steiler. Es gilt die gestrichelte Linie im Verspannungsdiagramm in Tabelle 2. Die Veränderung  SB >  S der Schraube führt zu fSB < fSV. Entsprechend folgt aus  PB <  P der Platten fPB < fPV. Abschließend ist darauf hinzuweisen, dass die Betriebskräfte in Schraubenverbindungen ebenso wie in anderen technischen Bauteilen nie punktförmig angreifen. Vielmehr werden sie durch ein räumliches Spannungs- und Formänderungssystem in den Teilen weitergeleitet. Mit dem Krafteinleitungsfaktor n < l wird die Klemmlänge lK entsprechend den Bildern in Tabelle 2 aufgeteilt in die Teillänge lK1 = n lK für die Plattenzonen, die durch die axiale Betriebskraft etwas entlastet werden und in die restliche Teillänge lK2 für die Plattenzonen, die noch stärker zusammengedrückt werden, als sie es nach dem Anziehen schon waren. Die Summe beider Teillängen ergibt die Schraubenklemmlänge lK = lK1 + lK2. Daraus folgt mit

lK1 = n lK lK2 = lK – n lK lK2 = lK (1 – n) = (1 – n) lK

(27) (28)

Wie die Gleichungen (19) und (20) zeigen, ist die Nachgiebigkeit  von Zug- oder Druckfedern bei sonst gleich bleibenden Größen der federnden Länge proportional (größere Federlänge ergibt größere Nachgiebigkeit und umgekehrt). Für die Betriebsnachgiebigkeit  PB der entlasteten Plattenzonen mit der federnden Länge lK1 = n lK gilt daher die Proportion

δP l = K ⇒ δ PB = n δ P δ PB n lK

(29)

Für die Betriebsnachgiebigkeit  PB rest der restlichen Plattenzonen mit der federnden Länge lK2 = (1 – n) lK wird

δP lK = ⇒ δ PB rest = (1− n) δ P δ PB rest (1− n) lK

(30)

7 Schraubenverbindungen

I 61

Tabelle 2. Krafteinleitungsfaktoren n

Anmerkung: Das Produkt n · lK gibt an, in welchem Klemmlängenanteil die verspannten Teile von der Axialkraft entlastet sind. Im Fall III beispielsweise ist die Hälfte der Flanschendicke entlastet, d.h. der Abstand der axialen Betriebskräfte beträgt n = lK/2.

7.6.4.2 Berechnung des Krafteinleitungsfaktors n nach VDI-Richtlinie 2230 (vereinfacht)

Wie üblich wird aus der Verbindungskonstruktion, z.B. einer Flanschverbindung mit mehreren Schrauben, eine Schraube aus der Verbindung herausgelöst (siehe Abschnitt C Mechanik, Freimachen). Diese so genannte Einschraubenverbindung (ESV) liegt den Untersuchungen der VDI-Richtlinie zu Grunde.

I 62

I Maschinenelemente

Bild 11a. Krafteinleitungsfälle SV einer Durchsteckschraube nach VDI 2230

Bild 11b. Parameter zur Ermittlung von n h Höhe, ak Abstand zwischen dem Rand der Verspannfläche, lA Länge zwischen Grundkörper und Kraftteinleitungspunkt im Anschlusskörper

Tabelle 2a. Krafteinleitungsfaktoren n A/h aK/h

0,10

0,00 0,30

 0,50

0,10

0,10 0,30

 0,50

0,10

0,20 0,30

 0,50

0,10

 0,30 0,30

SV1 SV3 SV5

0,55 0,37 0,25

0,30 0,26 0,22

0,13 0,12 0,10

0,41 0,30 0,21

0,22 0,20 0,15

0,10 0,09 0,07

0,28 0,23 0,17

0,16 0,15 0,12

0,07 0,07 0,06

0,14 0,14 0,13

0,12 0,12 0,10

Dort werden sechs Krafteinleitungsfälle als Verbingungstypen eingeführt, von denen drei Bild 11a zeigt (SV1, SV3 und SV5), vergl. auch Tabelle 2. Im waagerecht gestrichenen Teil der Schraube soll die Trennfuge der Verbindung liegen, der Trennfugenbereich. Er wird ermittelt mit dem eingezeichneten 30°Kegel nach Bild 11b. Die Parameter nach Bild 11a werden der Konstruktion entnommen, bei zentrischer Belastung ist die Länge lA = 0 zu setzen. Mit der festgelegten Verbindungstype SV und den Parameten nach Bild 11b kann der einzuführende Krafteinleitungsfaktor n ermittelt werden (Tabelle 2a). Bei sehr kleinen Krafteinleitungsfaktoren neigt die Verbindung zum Klaffen. Damit sind die Berechnungsvoraussetzungen nicht mehr gegeben. Im häufigeren Fall der exzentrisch verspannten Mehrschraubenverbindung kann nach der VDI-Richtlinie 2230 mit dem Krafteinleitungsfaktor n = 0,4 gerechnet werden. Die Betriebsnachgiebigkeit  SB der Schraube ist die Summe aus der Nachgiebigkeit  S der Schraube nach Gleichung (21) und der Betriebsnachgiebigkeit  PB rest , weil sich die Nachgiebigkeiten hintereinander geschalteter Federn addieren (siehe Federn, Kapitel 9.2.4):

 SB =  S +  PB rest  SB =  S + (1 – n) P

(31)

Das Betriebskraftverhältnis n für den allgemeinen Krafteinleitungsfall wird aus den Betriebsnachgiebigkeiten  SB und  PB ermittelt, wie das bereits für den Einleitungsfall I in Gleichung (5) geschehen ist:

n =

δ PB F = SA δ PB + δ SB FA

 0,50 0,04 0,04 0,03

(32)

Mit Hilfe der Gleichungen (29) und (30) erhält man außerdem eine Beziehung zwischen dem Betriebskraftverhältnis n und dem Kraftverhältnis nach Gleichung (5):

n = =

n δP n δ P + δ S + (1− n) δ P

=

n δP n δ P +δ S +δ P −n δ P

n = n

δP F = n = SA FA δ P +δ S

(33)

Aus der vorstehenden Gleichung lässt sich in Verbindung mit dem gestrichen gezeichneten Verspannungsdiagramm in Tabelle 2 ablesen: Wird der Krafteinleitungsfaktor n kleiner, verringert sich entsprechend das Kraftverhältnis FSA/FA, das Verhältnis der zusätzlich von der Schraube aufzunehmenden Kraft (Axialkraftanteil) zur axialen Betriebskraft FA. Im Fall n = 0 hat die Schraube überhaupt keine Zusatzkraft FSA aufzunehmen, wenn die Betriebskraft wirkt. Die höchste Zugkraft in der Schraube, die Schraubenkraft FS , ist dann gleich der Vorspannkraft FV = FS. Krafteinleitungsfaktor n = 0 bedeutet, dass die Krafteinleitungsebenen mit der Teilungsebene der Flansche (Platten) zusammenfallen. In diesem Sinn sind die Konstruktionsbeispiele in Tabelle 2 zu verstehen. In der Bezugsliteratur wird empfohlen, mit dem Krafteinleitungsfaktor n = 1/2 zu rechnen.

7 Schraubenverbindungen

I 63

7.6.5 Zusammenstellung der Berechnungsformeln für vorgespannte Schraubenverbindungen bei axial wirkender Betriebskraft FA

Die Schraubenverbindung hat äußere Kräfte aufzunehmen, die zu einer statisch oder dynamisch auftretenden Betriebskraft FA in der Schraube führen. Die Betriebskraft wirkt als Schraubenlängskraft (axial). Die Verbindung wird mit einer Montagevorspannkraft FVM angezogen, die in der Schraubenachse wirkt. Die Funktion der Verbindung soll durch eine erforderliche Klemmkraft FK erf sichergestellt werden. Eine rechtwinklig zur Schraubenachse wirkende Querkraft FQ (Betriebskraft) tritt nicht auf. Gegebene Größen:

axiale Betriebskraft FA erforderliche Klemmkraft FK erf Festigkeitsklasse der Schraube

Die zu wählenden oder anzunehmenden Größen werden in den folgenden Abschnitten besprochen. 7.6.5.1 Spannungsquerschnitt AS und Festlegen des Gewindes

Beim Anziehen wird die Schraube durch die Vorspannkraft FV auf Zug, durch das Gewindereibmoment MRG auf Torsion beansprucht. Beide Größen können erst später berechnet werden. Aus diesem Grund wird zunächst reine Zugbeanspruchung angenommen, hervorgerufen durch die Zugkraft (Schraubenkraft) FS = FK erf + FA (siehe Verspannungsdiagramm Tabelle 2). Die zulässige Zugspannung z zul setzt man gleich dem v-fachen (mit v < 1) der 0,2-Dehngrenze des Schraubenwerkstoffs (z zul = v Rp 0,2). Die ZugHauptgleichung F ( FK erf + FA ) = v R p 0,2 z = = A AS

führt dann mit dem Anziehfaktor A zu der Gleichung für den erforderlichen Spannungsquerschnitt AS der Schraube: AS erf =

FK erf , FA

mm2

N

FK erf FA

(34)

v Rp 0,2

AS erf

AS erf

A

αA (FK erf + FA )

A, v Rp 0,2 1

N mm 2

erforderlicher Spannungsquerschnitt nach Tabelle 7 Anziehfaktor erforderliche Klemmkraft (zum Beispiel Dichtkraft) axiale Betriebskraft

v

Rp 0,2

Ausnutzungsgrad für die Streckgrenze Re oder für die 0,2-Dehngrenze Rp 0,2. Zweckmäßig wird v = 0,6 bis 0,8 gesetzt (Erfahrungswert) 0,2-Dehngrenze nach Tabelle 1

Mit dem Anziehfaktor A wird die Streuung der Vorspannkraft bei den verschiedenen Anziehverfahren berücksichtigt. In der Bezugsliteratur werden Richtwerte angegeben: A = 1

bei genauesten Anziehverfahren (geringste Streuung des Anziehdrehmoments MA) wie beim Winkelanziehverfahren (Drehwinkel ist Maß für Schraubenverlängerung) A = 1,25 … 1,8 beim Anziehen mit Drehmomentschlüssel 1) oder Drehschrauber A = 1,6 … 2 beim Anziehen mit Schlagschrauber mit Einstellkontrolle 1) A = 3 … 4 beim Anziehen mit Schlagschrauber ohne Einstellkontrolle 1)

kleinere Werte für kleinere, größere Werte für größere Reibzahlen

Aus der Gewindetabelle 7 wählt man das metrische ISO-Gewinde mit einem Spannungsquerschnitt, der annähernd so groß ist wie der berechnete erforderliche Spannungsquerschnitt (AS Tabelle | AS erf). Nach der Festlegung des Gewindes sollten alle Größen aus den Tabelle 5 und 7 zusammengestellt werden, die für die weiteren Berechnungen erforderlich sind. Dazu kann man nach der folgenden Aufstellung vorgehen: 7.6.5.2 Zusammenstellung geometrischer Größen der Schraube Aus Tabelle 5

Aus Tabelle 7

Bezeichnung der Schraube Außendurchmesser der d Mutter- oder Kopfauflage a Schraubenlänge l Gewindelänge b Durchgangsbohrung DB Kopfauflagefläche Ap

Gewindedurchmesser

d

Flankendurchmesser

d2

Steigungswinkel Spannungsquerschnitt Schaftquerschnitt polares Widerstandsmoment



7.6.5.3 Nachgiebigkeit

der Schraube

S

AS A WpS

Zur Berechnung der Nachgiebigkeit  S einer Sechskantschraube wird die in 7.6.3.1 hergeleitete Gleichung (21) verwendet: l1

S =

A

+

l 2 + 0,8 d AS ES

(35)

I 64

I Maschinenelemente

S

ES

A, AS l1, l2

mm N mm2 mm N mm 2

ES A AS l1, l2

=

Elastizitätsmodul des Schraubenwerkstoffs nach Abschnitt D Festigkeitslehre Kapitel 1, Tabelle 2 (EStahl = 21  104 N/mm2) Schaftquerschnitt der Schraube nach Tabelle 7 Spannungsquerschnitt nach Tabelle 7 federnde Teillängen an der Schraube nach Tabelle 5

Mit den Angaben in Tabelle 5 gilt für Durchsteckschrauben: l1 = l – b und l2 = lK – l1

Bild 12. Schraubenlängen und Schraubenquerschnitte

7.6.5.4 Querschnitt Aers des Ersatz-Hohlzylinders der Platten (Flansche)

Für den Ersatzquerschnitt Aers , der zur Berechnung der Nachgiebigkeit  P der Platten gebraucht wird, stehen die in 7.6.3.2 angegebenen Gleichungen zur Verfügung.

7.6.5.5 Nachgiebigkeit

P

der Platten (Flansche)

Es gilt die in 7.6.3.2 hergeleitete Gleichung für die Nachgiebigkeit  P der aufeinander gepressten Flansche: lK P = (36) Aers EP

P

EP

Aers lK

mm N mm2 mm N mm 2

EP lK Aers

7.6.5.6 Kraftverhältnis

Elastizitätsmodul der verspannten Teile (siehe Abschnitt D Festigkeitslehre, Kapitel 1, Tabelle 2 und 3 Klemmlänge Querschnitt des Ersatz- Hohlzylinders

und

n

=n

δP δ P +δ S

n = n n Krafteinleitungsfaktor nach Tabelle 2 und 2a, empfohlener Richtwert: n = 0,4

Zur Kontrolle des Kraftverhältnisses kann für Sechskantschrauben auch die in 7.6.3.3 hergeleitete Gleichung (26) verwendet werden. Mit dieser Gleichung wurden die folgenden Überschlagswerte für Stahlflansche mit EP = 21  104 N/mm2 und Flansche aus EN-GJL-300 (Klammerwerte) mit EP = 12  104 N/mm2 in Abhängigkeit von lK/d berechnet: lK/d =

1

2

3

4

5

=

0,21 (0,31)

0,23 (0,32)

0,22 (0,30)

0,20 (0,28)

0,19 (0,26)

lK/d =

6

7

8

9

10

=

0,18 (0,24)

0,16 (0,22)

0,15 (0,20)

0,14 (0,19)

0,13 (0,17)

lK/d =

11

12

13

14

15

=

0,12 (0,16)

0,11 (0,15)

0,10 (0,14)

0,097 (0,13)

0,091 (0,12)

lK/d =

16

17

18

20

-

=

0,086 (0,11)

0,081 (0,105)

0,076 (0,099)

0,068 (0,088)

-

Berechnet nach Gleichung (26) mit den Vereinfachungen: da = 1,6 d; DB = 1,1 d; dS = 0,85 d (für AS); l1 = 0,7 lK; l2 = 0,3 lK 7.6.5.7 Setzkraft FZ

Es gilt die in Kapitel 7.6.2 hergeleitete Gleichung (7). Mit dem Setzbetrag fZ (bleibende Verformung durch Setzen), dem Kraftverhältnis und der Nachgiebigkeit  P der Platten wird die Setzkraft FZ (Vorspannkraftverlust durch Setzen): FZ =



δP

(38)

fZ

Richtwerte für den Setzbetrag fZ in mm in Abhängigkeit vom Klemmlängenverhältnis lK/d sind zum Beispiel in der Bezugsliteratur [2] für drei bis sieben Trennfugen zu finden: lK/d = 1 fZ = 0,003

2,5 0,005

5 0,006

10 0,008

7 Schraubenverbindungen

I 65

7.6.5.8 Montagevorspannkraft FVM

Wie das Verspannungsdiagramm 9 zeigt, ist die Vorspannkraft FV die Summe aus der Setzkraft FZ , der Klemmkraft FK und dem Axialkraftanteil FPA = FA (1 – ) nach Gleichung (6). Es ist also FV = FZ + FK + FA (1 – ). Die Montagevorspannkraft FVM ist gegenüber der (theoretischen) Vorspannkraft FV um den Anziehfaktor  > l größer (FVM = A FV), um bei den unterschiedlichen Anziehverfahren sicherzugehen, dass die gewünschte Vorspannkraft tatsächlich erreicht wird. Entsprechend den Erläuterungen in Kapitel 7.6.4 in Verbindung mit Tabelle 2 muss anstelle des Kraftverhältnisses mit dem Krafteinleitungsfaktor n gerechnet werden, also mit n = n : FVM =  [FZ + FK erf + FA (1 – n )]

(39)

 Anziehfaktor nach 7.6.5.1 einsetzen n

Krafteinleitungsfaktor nach Tabelle 2; empfohlen wird n = 0,5.

7.6.5.9 Schraubenkraft FS

Die Schraubenkraft FS ist die größte Zugkraft in der Schraube (siehe Verspannungsdiagramm 9 und andere). Sie ist um den Axialkraftanteil FSA = FA größer als die Montagekraft FV (siehe Gleichungen (4) und (12)). Gleichung (39) für die Montagevorspannkraft FVM muss daher ebenfalls den Summanden n FA = FSA erhalten: FSA



FS = FVM + n FA

(40)

FS = A [FZ + FK erf + FA (1 – n )] + n FA

(41)

7.6.5.10 Kräftevergleich FS

F0,2

Zur ersten Festigkeitskontrolle wird die größte Schraubenzugkraft, die Schraubenkraft FS, der Streckgrenzkraft F0,2 gegenübergestellt. Das ist diejenige Zugkraft in der Schraube, bei der die Zugspannung z im Spannungsquerschnitt AS gerade die Streckgrenze Re oder die 0,2-Dehngrenze Rp 0,2 nach Tabelle 1 erreicht. Mit F0,2 = AS Rp 0,2 muss dann gewährleistet sein: FS  AS Rp 0,2 (42) AS Rp 0,2

Spannungsquerschnitt nach Tabelle 7 0,2-Dehngrenze nach Tabelle 1

Ist diese Bedingung nicht erfüllt, muss die Rechnung mit dem nächstgrößeren Schraubendurchmesser d wiederholt werden. 7.6.5.11 Anziehdrehmoment MA

Um die Montagevorspannkraft FVM nach Gleichung (39) aufzubringen, ist es erforderlich, zum Beispiel

mit dem Drehmomentenschlüssel ein entsprechendes Anziehdrehmoment MA einzuleiten. Die Gleichung für MA wird im Abschnitt C Mechanik 1.8.7.4 eingehend hergeleitet. d  MA = FVM  2 tan(α + r ') + µA ⋅0, 7 d   2 

MA Nmm

FVM N

d2 , d mm

(43)

A 1

Montagevorspannkraft Flankendurchmesser am Gewinde nach Tabelle 7 d Gewindedurchmesser nach Tabelle 7  Steigungswinkel am Gewinde nach Tabelle 7 r' Reibwinkel am Gewinde A Gleitreibzahl der Kopf- oder Mutterauflagefläche nach Abschnitt C Mechanik, Kap. 1 Statik, Tabelle 2 A | 0,1 für Stahl/Stahl, trocken ( | 0,05 geölt) A | 0,15 für Stahl/Gusseisen, trocken ( | 0,05 geölt) FVM d2

Richtwerte für Reibzahlen  ' und Reibwinkel r' für metrisches ISO-Regelgewinde Reibungsverhältnisse Behandlungsart ohne Nachbehandlung phosphatiert galvanisch verzinkt galvanisch verkadmet

geschmiert MoS2-Paste

trocken

'

r'

'

0,16 0,18 0,14 0,1

9º 10º 8º 6º

0,14 0,14 0,13 0,09

7.6.5.12 Montagevorspannung

r'

'

8º 8º 7,5º 0,1 5º

r'

6º

VM

Beim Anziehen der Schraubenverbindung tritt im Spannungsquerschnitt AS die Montagevorspannung  VM auf. Sie ist der Quotient aus der Montagevorspannkraft FVM und dem Spannungsquerschnitt AS:

 VM =

FVM AS

(44)

 VM

FVM

AS

N mm 2

N

mm2

7.6.5.13 Torsionsspannung

t

Das Anziehdrehmoment MA nach Gleichung (43) setzt sich zusammen aus dem Gewindereibmoment MRG = FVM d2 tan ( + r')/2 und dem Mutterauflagereibmoment MRA = FVM A  0,7d (siehe Abschnitt C Mechanik, Kapitel 1.8.7.4). Das Gewindereibmoment MRG ruft in der Schraube die Torsionsspannung  t hervor:

I 66

I Maschinenelemente 7.6.5.16 Ausschlagspannung

t =

M RG Wps

t =

FVM d 2 tan(α + r ') 2 Wps

(45)

t

FVM

d2

Wps

N mm 2

N

mm

mm3

a =

Gewindereibmoment Flankendurchmesser π 3 Wps = ds polares Widerstandsmoment der 16 Schraube dS Durchmesser des Spannungsquerschnitts AS nach Tabelle 7  Steigungswinkel des Gewindes aus tan = P /  d2 P Gewindesteigung r' Reibwinkel nach 7.6.5.11 7.6.5.14 Vergleichsspannung red (reduzierte Spannung)

Das beim Anziehen in der Schraube auftretende räumliche Spannungssystem wird ersetzt durch die Vergleichsspannung red entsprechend der Hypothese der größten Gestaltänderungsenergie (siehe Abschnitt D Festigkeitslehre 3.3.1):

(46)

0,2-Dehngrenze nach Tabelle 1

Rp 0,2

Ist die Bedingung red  0,9 · Rp 0,2 nicht erfüllt, muss die Schraubenberechnung mit einem größeren Schraubendurchmesser d oder mit einer höheren Festigkeitsklasse wiederholt werden. 7.6.5.15 Ausschlagkraft Fa

Zur Ermittlung der bei dynamisch wirkender Betriebskraft FA in der Schraube auftretenden Ausschlagspannung a wird die Ausschlagkraft Fa gebraucht. Hierzu können die in Kapitel 7.6.2 entwickelten Gleichungen verwendet werden: Fa = = Fa =

FSA max − FSA min 2 FA max − FA min

(47)

FSA bei FSA min = 0 2

(48)

Beachte: Nach Gleichung (40) ist FSA = n FA.

(49)

Festigkeitsklasse 4.6 und 5.6 8.8 bis 12.9 10.9 und 12.9 schlussgerollt

Gewinde < M 8 M 8 ... M 12 M 14 ... M 20 > M 20 50 60

40 50

35 40

35 35

100

90

70

60

Eingehende Betrachtungen und Untersuchungen zur Dauerhaltbarkeit von Schraubenverbindungen in [3]. 7.6.5.17 Flächenpressung p

In der Kopf- und Mutterauflagefläche tritt Flächenpressung auf. Daher ist der Nachweis erforderlich, dass die Flächenpressung p in der gepressten Auflagefläche Ap (Tabelle 5) gleich oder kleiner ist als die Grenzflächenpressung pG. Maßgebend ist die größte Zugkraft in der Schraube, die Schraubenkraft FS: p=

FS  pG Ap

(50)

p, pG

FS

Ap

N mm 2

N

mm2

Richtwerte für die Grenzflächenpressung pG Grenzflächenpressung pG in N/mm2 bei Werkstoff der Teile EN-GJL250 Stahl, S235 Stahl, einsatz- EN-GJL- AlSiCuAnziehart JO E 335 C 45 E vergütet gehärtet 300 Leg. motorisch 200 350 600 – – 500 120 ca. ca. von Hand 300 500 900 1 000 1 500 750 180 (drehmomentgesteuert)

7.6.6 Berechnungsbeispiel einer dynamisch belasteten Flanschverschraubung mit Schaftschraube

=

n

2

Fa  0,9  A AS

Ausschlagfestigkeit ± A in N/mm2

MRG d2

2 red = σ VM + 3 τ t2 ≤ 0,9⋅ Rp 0,2

a

Die Ausschlagspannung a ist der Quotient aus der Ausschlagkraft Fa und dem Spannungsquerschnitt AS. Sie soll gleich oder kleiner sein als 90 % der Ausschlagfestigkeit A des Schraubenwerkstoffs:

Die beiden Flansche einer dynamisch axial belasteten, vorgespannten Schraubenverbindung sollen mit Durchsteckschrauben verbunden werden (Schaftschrauben mit metrischem ISO-Regelgewinde). Die Berechnung soll dem vorhergehenden Kapitel 7.6.5 folgen.

7 Schraubenverbindungen

I 67

Gegeben:

axiale Betriebskraft

FA max = 6 kN FA min = 0

Mindestklemmkraft

FK erf

Belastungsart:

= 6 kN dynamisch schwellend

Krafteinleitungsfaktor

n

Festigkeitsklasse

= 0,4 (angenommen) 8.8

Flanschwerkstoff EN-GJL-300 EP

Querschnitt Aers des Ersatz-Hohlzylinders der Flansche nach (22b)

= 239 mm2

Aers

Nachgiebigkeit  P der Flansche

P =

lK = Aers EP

= 12  104 N/mm2

mit Schraubenwerkstoff Stahl

ES

= 21  104 N/mm2

mit Klemmlänge

lK

= 40 mm

Anziehen der Schraube mit Drehmomentenschlüssel (Anziehfaktor A = 1,4 angenommen), Gewinde ohne Nachbehandlung, trocken.

40 mm 239 mm 2 ⋅12⋅104

N mm 2

= 1,39  10–6

mm N

Kraftverhältnis

mm N = 0, 218 δ P + δS (1,39 + 5)⋅10−6 mm N n = n = 0,4  0,218 = 0,0872

=

1,39⋅10−6

δP

=

Lösung: Erforderlicher Spannungsquerschnitt AS erf und Gewindedurchmesser d α A ( FK erf + FA ) AS erf = v Rp 0,2

1, 4 (6 000 N + 6000 N) N 0, 7⋅660 mm 2 = 36,4 mm2

AS erf = AS erf

Setzkraft FZ 

FZ = fZ

δP

= 0, 006 mm

0,218 1,39⋅10−6

mm N

= 941 N

Für lK/d = 40 mm / 8 mm = 5 ist nach 7.6.5.7 der Setzbetrag fZ = 0,006 mm. Montagevorspannkraft FVM

A = 1,4 (angenommen)

FVM = A[FZ + FK erf + FA (1 – n )]

FA = 6 000 N FK erf = 6 000 N v = 0,7 (gewählt) Rp 0,2 = 660 N/mm2 nach Tabelle 1

FVM = 1,4 [941N + 6 000N + 6 000N(1 – 0,4  0,218)]

Nach Tabelle 7 wird das Gewinde M8 gewählt mit AS = 36,6 mm2 | AS erf = 36,4 mm2.

FS = FVM + n FA

Zusammenstellung geometrischer Größen der Schraube (Tabellen 5 und 7)

FS =18 640 N

Gewindedurchmesser Flankendurchmesser Steigungswinkel Spannungsquerschnitt Schaftquerschnitt polares Widerstandsmoment Bezeichnung der Schraube: Durchmesser der Kopfauflage Schraubenlänge (gewählt) Gewindelänge Durchgangsbohrung Kopfauflagefläche Außendurchmesser der verspannten Teile

FVM = 18 117 N Schraubenkraft FS

= 8 mm = 7,188 mm  = 3,17 º AS = 36,6 mm2 A = 50,3 mm2 WpS = 62,46 mm3 M8  50 DIN 13 – 8.8 dw = 13 mm l = 50 mm b = 22 mm dh = 9 mm Ap = 69,1 mm2 DA = 25 mm d d2

Nachgiebigkeit  S der Schraube 28 mm 12 mm + 0,8⋅8 mm l1 l2 + 0,8 d + + A AS 50,3 mm 2 36,6 mm 2 S = = ES 21⋅104 N/mm 2

 S = 5  10–6

mm N

l1 = l – b = (50 – 22) mm = 28 mm l2 = lK – l1 = (40 – 28)mm = 12 mm 2

A = 50,3 mm

2

AS = 36,6 mm

ES = 21  104 N/mm2

FS = 18 117 N + 0,5  0,218  6 000 N

Kräftevergleich FS  F0,2 F0,2 = AS Rp 0,2 N = 24 156 N | 24,2 kN mm 2 FS = 18,6 kN < 24,2 kN (Bedingung erfüllt)

F0,2 = 36,6 mm2  660

Anziehdrehmoment MA d  MA = FVM  2 tan(α + r ') + µA ⋅0, 7 d   2   7,188 mm  tan (3,17 º + 9º) + 0,1 ⋅0, 7⋅8 mm  MA = 18 117 N    2

MA = 24 210 Nmm | 25 Nm d2 = 7,188 mm

 = 3,17 º r’ = 9º

A = 0,1 d

= 8 mm

Montagevorspannung VM

VM =

FVM 18 117 N N = = 495 AS 36,6 mm 2 mm 2

I 68

I Maschinenelemente 7.6.7.1 Erforderliche Klemmkraft FK erf je Schraube

Torsionsspannung  t

t =

FVM d 2 tan(α + r ') 18117 N⋅7,188 mm tan(3,17º + 9º) = = 2 WpS 2⋅62,46 mm3

= 225

N mm 2

Vergleichsspannung red  

2 + 3τ t2 =  495 red = σ VM

= 630

2 2  N  N   + 3 225  =  mm 2  mm 2 

N mm 2

red = 630

N N N > 0,9 Rp 0,2 = 0,9⋅660 = 594 mm 2 mm 2 mm 2

(Bedingung nicht erfüllt)

Ausschlagkraft Fa Fa =

FSA n  FA = 2 2

Fa =

0, 4⋅0, 218⋅6000 N = 261,6 N 2

FSA = n  FA nach Gleichung (40)

Die Reibkraft FR zwischen den verspannten Platten (Flansche) muss gleich oder größer sein als die gesamte Querkraft FQ ges, die von der Verbindung zu übertragen ist (FR  FQ ges). Ist n die Anzahl der Schrauben, dann hat jede Schraube FQ ges / n aufzunehmen. Die dazu erforderliche Reibkraft ist das Produkt aus der Normalkraft (hier Vorspannkraft FV) und der Reibzahl  (siehe C Mechanik Kapitel 1.8). Wie das Verspannungsdiagramm 7 zeigt, setzt sich bei FA = 0 die Vorspannkraft FV aus der Klemmkraft FK und der Setzkraft FZ zusammen. Diese lässt sich aber erst ermitteln, wenn der Gewindedurchmesser und die Nachgiebigkeit  P der Platten bekannt sind, wie Gleichung (38) zeigt. Daher wird zunächst nur die erforderliche Klemmkraft FK erf berechnet und auch zur Ermittlung des erforderlichen Spannungsquerschnitts AS erf verwendet (7.6.7.3). Als Reibzahl wird zur Sicherheit mit der Gleitreibzahl A zwischen den Bauteilen gerechnet. Mit FK erf A  FQ ges / n ergibt sich die erforderliche Klemmkraft FK erf : FK erf 

n µA FK erf , FQ ges N

Ausschlagspannung a

a =

Fa 261,6 N N = = 7,15 AS 36,6 mm 2 mm 2

a = 7,15

N N N < 0,9 σ A = 0,9⋅50 = 45 mm 2 mm 2 mm 2

(Bedingung erfüllt)

Flächenpressung p p=

FS 18 117 N N = = 262 Ap 69,1 mm 2 mm 2

p = 262

N N < pG = 750 (Bedingung erfüllt) mm 2 mm 2

7.6.7 Berechnung vorgespannter Schraubenverbindungen bei Aufnahme einer Querkraft

Die Schraubenverbindung überträgt die gesamte statisch oder dynamisch wirkende Querkraft FQ ges allein durch Reibungsschluss: Reibkraft FR = FQ ges. Die erforderliche Vorspannkraft FV (Schraubenlängskraft) setzt sich zusammen aus der erforderlichen Klemmkraft FK erf und der Setzkraft FZ . Eine axiale Betriebskraft FA tritt nicht auf (FA = 0).

FQ ges

(51) n, A 1

A Gleitreibzahl n

Anzahl der Schrauben

Hat die Schraubenverbindung ein Drehmoment M zu übertragen wie im Berechnungsbeispiel 7.6.8, gelten die gleichen physikalischen Überlegungen wie bei der Herleitung der Gleichung (51). Darüber hinaus hilft die Annahme, dass das Drehmoment M durch die am Lochkreis tangential wirkende Querkraft FQ ges weitergeleitet wird. Der Wirkabstand ist der Lochkreisradius rL = dL/2 und damit M = FQ ges dL/2. Löst man diese Gleichung nach FQ ges auf und setzt den gefundenen Ausdruck in Gleichung (51) ein, erhält man auch für den Fall der Drehmomentenübertragung eine Gleichung für die erforderliche Klemmkraft FK erf : FK erf 

2M n µA d L

FK erf N

M Nmm

(52) dL mm

n, A 1

7.6.7.2 Spannungsquerschnitt AS und Festlegen des Gewindes

Grundsätzlich gelten die im Kapitel 7.6.5.1 angestellten Überlegungen und damit auch die Gleichung (34), wenn berücksichtigt wird, dass bei der vorliegenden Schraubenverbindung keine axiale Betriebskraft auf-

7 Schraubenverbindungen

I 69

tritt (FA = 0). Damit ergibt sich für den erforderlichen Spannungsquerschnitt AS erf: AS erf =

αA FK erf

(53)

v Rp 0,2

Erläuterungen und Tabellenhinweise in Kapitel 7.6.5.1 7.6.7.3 Fortgang der Berechnung

Die gewählte Schraube (Gewindenenndurchmesser d und Festigkeitsklasse) wird nun nach Kapitel 7.6.5 überprüft. Wegen der fehlenden axialen Betriebskraft gelten die Gleichungen mit FA = 0. Beispielsweise wird die Montagevorspannkraft nach Gleichung (39): FVM = A (FZ + FK erf); siehe auch nachfolgendes Berechnungsbeispiel. 7.6.8 Berechnungsbeispiel einer querbeanspruchten Schraubenverbindung

Das Tellerrad an einem Ausgleichsgetriebe soll mit Schaftschrauben mit metrischem ISO-Regelgewinde befestigt werden. Gegeben: zu übertragendes Drehmoment Lochkreisdurchmesser Anzahl der Schrauben Klemmlänge Festigkeitsklasse Werkstoff der verspannten Teile

Lösung:

Erforderliche Klemmkraft FK erf je Schraube FK erf =

2M n µA d L

FK erf =

2⋅2300⋅103 Nmm = 29 490 N 12⋅0,1⋅130 mm

M = 2 300 · 103 Nmm n = 12 dL = 130 mm A = 0,1 für Stahl/Stahl (angenommen)

Erforderlicher Spannungsquerschnitt AS erf und Schraubendurchmesser d AS erf 

αA FK erf v Rp 0,2

1,6⋅29 490 N AS erf  = 71,5 mm 2 N 0,6⋅1100 mm 2

A = 1,6 nach 7.6.5.1 Rp 0,2 = 1 100 N/mm2 (Tabelle 1) v = 0,6 nach 7.6.5.1 (angenommen) Nach Tabelle 7 wird das Gewinde M12 gewählt mit AS = 84,3 mm2 > AS erf = 71,5 mm2.

M = 2 300 Nm dL = 130 mm n = 12 (angenommen) lK = 20 mm 12.9 Stahlguss

Anziehen der Schrauben von Hand mit Drehmomentenschlüssel. Gesucht sind alle wichtigen Größen der vorgespannten Schraubenverbindung unter der Bedingung, dass eine axial wirkende Betriebskraft nicht auftritt (FA = 0).

Nachgiebigkeit S der Schraube

S =

l1 l2 + 0,8 d + A AS ES

l1 = 115 mm (angenommen) l2 = 115 mm A = 113 mm2

S =

15 mm 5 mm + 0,8⋅12 mm + 113 mm 2 84,3 mm 2 4 N 21⋅10 mm 2

S = 1,46  10–6

mm N

Querschnitt Aers des Ersatz-Hohlzylinders nach (22b) Aers = 259 mm2 mit den Größen

Bild 13. Tellerradverbindung am Kraftfahrzeug

Ep d l1 l2 A AS DA dW dh lK

= ES = 21  104 N/mm2 = 12 mm = 15 mm = 5 mm = 113 mm2 = 84,3 mm2 = 25 mm = 19 mm = 13 mm = 20 mm

I 70

I Maschinenelemente

Nachgiebigkeit p der verspannten Teile

Spannungen und Flächenpressung

20 mm lK p = = Aers Ep 259 mm 2 ⋅21⋅104 N mm 2

Die folgenden Größen werden wie im Beispiel 7.6.6 berechnet. Man erhält:

p = 0,368⋅10−6

mm N

Montagevorspannung

δP δ P + δS

0,368⋅10−6 =

N mm 2

τ t = 262

N mm 2

Torsionsspannung

Kraftverhältnis 

=

σ VM = 601

mm N

(0,368+1, 46)⋅10−6

N < 0,9 Rp 0,2 mm 2 N σ red = 990 mm 2

σ red = 753

Vergleichsspannung mm N

 = 0,201

N < pG mm 2 N p = 500 mm 2

p = 362

Flächenpressung

Setzkraft FZ FZ = f Z



δP

fZ in Abhängigkeit von lK/d nach 7.6.5.7

Die Rechnung zeigt, dass unter den gegebenen Bedingungen die gewählte Schraube M12 beibehalten werden kann.

lK 20 mm = = 1,7 ⇒ f Z ≈ 0,004 mm d 12 mm FZ = 0,004 mm ⋅

0, 201 0,368⋅10−6

mm N

FZ = 2185 N

Montagevorspannkraft FVM

7.7 Berechnung der Bewegungsschrauben 7.7.1 Überschlägige Berechnung

Für kurze Bewegungsschrauben (Spindeln) mit überwiegender Zug- oder Druckbeanspruchung ergibt sich der erforderliche Kernquerschnitt

FVM = A [FK erf + FZ + (1 – n ) FA] FVM = 1,6  (29 490 N + 2 185 N) = 50 680 N Beachte: FA = 0!

A3 =

F

σ z(d)zul

A3

F

z(d)zul

mm2

N

N mm 2

Schraubenkraft FS FS = FVM + n  FA mit FA = 0 wird daraus FS = FVM = 50 680 N

Zug-(Druck-)kraft in der Spindel

z(d)zul zulässige Zug-(Druck-)spannung

Kraftnachweis zur ersten Kontrolle Mit FS = FVM sowie Rp 0,2 = 1 100 N/mm2 erhält man:

F0,2

F Man setzt

bei vorwiegend ruhender Belastung z(d)zul ≈

= AS Rp 0,2 = = 84,3 mm2  1 100

N = mm 2

= 92 730 N

FS = FVM = 50 680 N < F0,2 = 92 730 N Die Rechnung zeigt, dass die größte Schraubenzugkraft FS = FVM kleiner ist als die Streckgrenzkraft F0,2 für die Festigkeitsklasse 12.9 der Schraube. Das gewählte Gewinde M 12 kann also beibehalten werden.

bei Schwellbelastung z(d)zul ≈ bei Wechselbelastung z(d)zul ≈

d  MA = FVM  2 tan(α + r ') + µA ⋅0, 7 d   2 

 10,863 mm  MA = 50 680 N  ⋅ tan(2,94º+9º ) + 0,1⋅0,7⋅12 mm  =   2

MA 100 Nm

Re 1,5

σ z(d)Sch 2

σ z(d)W 2

Bei langen druckbeanspruchten Spindeln, bei denen die Gefahr des Ausknickens besteht, ergibt sich aus der Euler-Knickformel der erforderliche Kerndurchmesser

Erforderliches Anziehdrehmoment MA

= 100 780 Nmm

(54)

d3 erf = 4

64 v F lK2 E π3

(55)

d3 , lK

F

E

v

mm

N

N mm 2

1

7 Schraubenverbindungen

I 71

F Druckkraft v 8 ... 10 Sicherheit lK freie Knicklänge, je nach Knickfall, siehe D Festigkeitslehre Kapitel 2.3 E Elastizitätsmodul des Spindelwerkstoffs (für Stahl: E 21  104 N/mm2)

K = 310 – 1,14  (für S235JO) K = 335 – 0,62  (für E295) K

red = σ 2z(d)+ 3 τ 2t ≤ σ zul

(56)

z(d) = F/A3 vorhandene Zug-(Druck-)spannung.

t = MT / Wp vorhandene Torsionsspannung mit MT = MRG nach 7.6.5.13 und Wp 0,2 d33 zulässige (Normal-)Spannung; bei überwiegend ruhender Belastung wird zul Re / 1,5 zul zSch / 2; bei Schwellbelastung zul z(d)W / 2; bei Wechselbelastung

zul

7.7.3 Nachprüfung auf Knicksicherheit

Lange, knickgefährdete Spindeln sind zusätzlich auf Knicksicherheit zu prüfen (siehe auch Kapitel Knickung im Abschnitt D Festigkeitslehre). Für den elastischen Knickbereich, d.h. für den Schlankheitsgrad  > 105 für S235JO und  > 89 für E295 ist die Knickspannung nach Euler

K =

E π2 2

λ

N mm 2

1

wird, für



lK, d3

1

mm

(58)

σK 3 ... 6 σV

Die Länge der Spindelführung ergibt sich auf Grund einer zulässigen Flächenpressung der Gewindeflanken aus

l1 =

pzul

mit zunehmendem Schlankheitsgrad 

l1, P, d2, H1 F

FP d 2 π H1

mm

N

pzul N (61) mm 2

Längskraft in der Spindel Gewindeteilung (Steigung bei eingängigem Gewinde) pzul zulässige Flächenpressung nach Tabelle 3: d2 Flankendurchmesser H1 Tragtiefe des Gewindes bei ISO-Regelgewinde und ISO-Trapezgewinde (Tabelle 7 und 8) F P

Tabelle 3. Richtwerte für die zulässige Flächenpressung bei Bewegungsschrauben Schraube (Spindel)

Mutter (Spindelführung)

pzul in N/mm2

Stahl Stahl Stahl Stahl, gehärtet

Stahl Gusseisen CuZn und CuSn - Legierung CuZn und CuSn - Legierung

8 5 10 15

Tabelle 4. Reibungszahlen und Reibungswinkel für Trapezgewinde Gewinde

Die vorhandene Knicksicherheit v soll sein v=

7.7.4 Spindelführung

Werkstoff

(57)

I = π d34 /64 und A3 = d32 π / 4 gesetzt, der Schlankheitsgrad für Spindeln 4 lK d3

Vorhandene Knicksicherheit nach Gleichung (59) soll hier v 4 ... 2 mit abnehmendem  sein.

K , E 

 = lK / i, mit Trägheitsradius i = I/A3

=



N 1 mm 2

7.7.2 Spannungsnachweis

Die mit den Gleichungen (54) und (55) berechneten Schrauben (Spindeln) sind auf Zug oder Druck und Torsion nachzuprüfen. Es ist nachzuweisen, dass die Vergleichsspannung

(60)

(59)

Für den unelastischen Knickbereich ergibt sich für S235JO bei  < 105 und für E295 bei  < 89 die Knickspannung nach Tetmajer

Spindel aus Stahl, Mutter aus Gusseisen Spindel aus Stahl, Mutter aus CuZn- und CuSn -Legierungen Aus vorstehenden Werkstoffen

trocken r'

'

0,22

12º

0,18

10º

–

–

geschmiert ' r'

0,1

6º

I 72

I Maschinenelemente

7.7.5 Berechnungsbeispiel einer Bewegungsschraube

t =

Die Spindel der Handspindelpresse (Bild 14) ist zu berechnen und die Länge der Führungsmutter festzulegen. Maximale Druckkraft F = 120 000 N, Spindellänge l = 1 250 mm. Werkstoff: E295 für die Spindel, CuZn-Legierung für die Führungsmutter.

Das Gewindereibmoment nach Gleichung (45) errechnet sich mit d2 = 60 mm,  = 3  3,04º = 9,12º (bei drei Gängen) und r' = 6º nach Tabelle 4 zu: MRG = F r2 tan ( + r' ) = 120 000 N · 30 mm · tan 15,12º = = 972 703 Nmm und das polare Widerstandsmoment zu

M RG ist die auftretende Torsionsspannung. Wp

Wp 0,2 d33 = 0,2  543 mm3 = 31 493 mm3; damit ist

t =

972 703 Nmm N ≈ 31 31 493 mm 2 mm 2 2  N 2 2 N   + 3⋅31    mm 2   mm 2 

red = 52, 42 red 75

N mm 2

Bei überwiegend ruhender Belastung wird

zul

Re = 1,5

N mm 2 = 200 N > σ red 1,5 mm 2

300

Die Nachprüfung auf Knicksicherheit beginnt mit der Berechnung des Schlankheitsgrades der Spindel nach Gleichung (58). Danach ist

Bild 14. Handspindelpresse Lösung: Die Spindel soll ein nicht-selbsthemmendes, mehrgängiges metrisches ISO-Trapezgewinde erhalten. Die Vorwahl des GewindeKerndurchmessers der auf Druck und damit auch auf Knickung beanspruchten Spindel erfolgt nach Gleichung (55):

d3 erf =

4

64 v F lK2 E π3

Mit Sicherheit v = 9, Knicklänge lK 0,75 l = 0,75 · 1 250 mm = = 937,5 mm, E = 21  104 N/mm2 wird 64⋅9⋅120000 N⋅937,52 mm 2 N 21⋅104 ⋅π 3 mm 2 d3erf = 55 mm

d3erf =

4

Nach Tabelle 8 hat der nächstliegende Kerndurchmesser d3 = 54 mm, bei einem Gewindedurchmesser d = 65 mm, die Bezeichnung: Tr 65 30 P10 bei dreigängigem Gewinde, Kernquerschnitt A3 = 2 290 mm2. Der Spannungsnachweis wird mit Gleichung (56) geführt:

red = σ d2+ 3 τ 2t ≤ σ zul d =

F 120 000 N N = ≈ 52, 4 A3 2 290 mm 2 mm 2

ist die vorhandene Druckspannung,

=

4 lK 4⋅937,5 mm = ≈ 69 d3 54 mm

Für E295 beträgt der Grenzschlankheitsgrad 0 = 89. Da  < 0, handelt es sich um unelastische Knickung; die Knickspannung ist nach Tetmajer (Gleichung (60)) zu ermitteln. Damit wird

K = 335 – 0,62  K = (335 – 0,62  69)

N N = 292 mm 2 mm 2

und nach Gleichung (59) die vorhandene Knicksicherheit N

v=

σ K 292 mm 2 = = 3,89 N σ red 75 mm 2

Nach Gleichung (59) soll die Knicksicherheit im unelastischen Bereich v 4 ... 2 betragen. Diese Forderung ist erfüllt und damit können die vorgewählten Spindeldaten als endgültig angesehen werden. Die Berechnung der Länge l1 der Führungsmutter erfolgt nach Gleichung (61)

l1 =

FP pzul d 2 π H1

Für eine CuZn-Legierung beträgt die zulässige Flächenpressung bei Bewegungsschrauben nach Tabelle 3: pzul 10 N/mm2, Flankendurchmesser d2 = 60 mm, Tragtiefe H1 = 5 mm. Damit wird

l1 =

10

120 000 N⋅10 mm = 127 mm N ⋅60 mm⋅ ⋅5 mm mm 2

gewählt: l1 = 130 mm.

7 Schraubenverbindungen

I 73

Tabelle 5. Geometrische Größen an Sechskantschrauben Bezeichnung einer Sechskantschraube M10, Länge l = 90 mm, Festigkeitsklasse 8.8: Sechskantschraube M10 90 DIN 931–8.8

Maße in mm, Kopfauflagefläche Ap in mm2 Gewinde da ฬ s M5

8

M6

k

l-Bereich 1)

dh

b 2)

3)

fein

Ap mittel

4)

5)

3,5

22 ... 80

16

22

5,3

5,5

26,5

30

10

4

28 ... 90

18

24

6,4

6,6

44,3

41

M8

13

5,5

35 ... 110

22

28

8,4

9,0

69,1

64

M 10 M 12

17 19

7 8

45 ... 160 45 ... 180

26 30

32 36

10,5 13,0

11,0 13,5

132,0 140,0

100 93

M 14

22

9

45 ... 200

34

40

15,0

15,5

191,0

134

M 16

24

10

50 ... 200

38

44

17,0

17,5

212,0

185

M 18

27

12

55 ... 210

42

48

19,0

20,0

258,0

244

M 20

30

13

60 ... 220

46

52

21,0

22,0

327,0

311

M 22 M 24

32 36

14 15

60 ... 220 70 ... 220

50 54

56 60

23,0 25,0

24,0 26,0

352,0 487,0

383 465

M 27

41

17

80 ... 240

60

66

28,0

30,0

613,0

525

M 30

46

19

80 ... 260

66

72

31,0

33,0

806,0

707

Anmerkung: Die Kopfauflagefläche Ap für

4)

1) 2) 3) 4) 5)

gestuft: 18, 20, 25, 28, 30, 35, 40, für l  125 mm für l > 125 mm ... 200 mm für Sechskantschrauben für Innen-Sechskantschrauben

wurde als Kreisringfläche berechnet mit Ap = / 4 ( da2 − d h2 mittel ),

für 5) aus den Maßen nach DIN. Aussenkungen der Durchgangsbohrungen (dh) verringern die Auflagefläche Ap unter Umständen erheblich. Tabelle 6. Maße an Senkschrauben mit Schlitz und an Senkungen für Durchgangsbohrungen

Bezeichnung einer Senkschraube M10 Länge l = 20 mm, Festigkeitsklasse 5.8: Senkschraube M10 20 DIN 962 – 5.8 Bezeichnung der zugehörigen Senkung der Form A mit Bohrungsausführung mittel (m): Senkung A m 10 DIN 74

Maße in mm Gewinde durchmesser d = M ... kmax d3 t2 max s

1

1,2

1,4

0,6 1,9 0,3 0,25

0,72 2,3 0,35 0,3

d1 d2 t1

1,2 2,4 0,6

1,4 2,8 0,7

1,6

2

2,5

0,84 2,6 0,4 0,3

0,96 3 0,45 0,4

1,2 3,8 0,6 0,5

1,5 4,7 0,7 0,6

1,6 3,3 0,8

1,8 3,7 0,9

2,4 4,6 1,1

2,9 5,7 1,4

3

4

5

6

8

10

1,65 5,6 0,85 0,8

2,2 7,5 1,1 1

2,5 9,2 1,3 1,2

3 11 1,6 1,6

4 14,5 2,1 2

5 18 2,6 2,5

6 22 3 3

8 29 4 4

10 36 5 5

3,4 6,5 1,6

4,5 8,6 2,1

5,5 10,4 2,5

6,6 12,4 2,9

9 16,4 3,7

11 20,4 4,7

14 24,4 5,2

18 32,4 7,2

22 40,4 9,2

12

16

20

I 74

I Maschinenelemente

Tabelle 7. Metrisches ISO-Gewinde nach DIN 13

Bezeichnung des metrischen Regelgewindes z.B. M 12 Gewinde-Nenndurchmesser d = D = 12 mm

Maße in mm GewindeNenndurchmesser d=D

Steigung P

Reihe 1

3,5 4 4,5 5 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 27 30 33 36 39 42 45 48 52 56 60 64 68

1)

 

in Grad

Reihe 2

3

Steigungswinkel

0,5 0,6 0,7 0,75 0,8 1 1,25 1,5 1,75 2 2 2,5 2,5 2,5 3 3 3,5 3,5 4 4 4,5 4,5 5 5 5,5 5,5 6 6

3,40 3,51 3,60 3,40 3,25 3,40 3,17 3,03 2,94 2,87 2,48 2,78 2,48 2,24 2,48 2,18 2,30 2,08 2,18 2,00 2,10 1,95 2,04 1,87 1,91 1,78 1,82 1,71

Flankendurchmesser

Kerndurchmesser

Gewindetiefe 1)

d2 = D2

d3

D1

h3

H1

2,675 3,110 3,545 4,013 4,480 5,350 7,188 9,026 10,863 12,701 14,701 16,376 18,376 20,376 22,051 25,051 27,727 30,727 33,402 36,402 39,077 42,077 44,752 48,752 52,428 56,428 60,103 64,103

2,387 2,764 3,141 3,580 4,019 4,773 6,466 8,160 9,853 11,546 13,546 14,933 16,933 18,933 20,319 23,319 25,706 28,706 31,093 34,093 36,479 39,479 41,866 45,866 49,252 53,252 56,639 60,639

2,459 2,850 3,242 3,688 4,134 4,917 6,647 8,376 10,106 11,835 13,835 15,294 17,294 19,294 20,752 23,752 26,211 29,211 31,670 34,670 37,129 40,129 42,587 46,587 50,046 54,046 57,505 61,505

0,307 0,368 0,429 0,460 0,491 0,613 0,767 0,920 1,074 1,227 1,227 1,534 1,534 1,534 1,840 1,840 2,147 2,147 2,454 2,454 2,760 2,760 3,067 3,067 3,374 3,374 3,681 3,681

0,271 0,325 0,379 0,406 0,433 0,541 0,677 0,812 0,947 1,083 1,083 1,353 1,353 1,353 1,624 1,624 1,894 1,894 2,165 2,165 2,436 2,436 2,706 2,706 2,977 2,977 3,248 3,248

H1 ist die Tragtiefe (siehe D Festigkeitslehre: Flächenpressung im Gewinde)

Spannungsquerschnitt AS

mm2 5,03 6,78 8,73 11,3 14,2 20,1 36,6 58,0 84,3 115 157 192 245 303 353 459 561 694 817 976 1 120 1 300 1 470 1 760 2 030 2 360 2 680 3 060

polares Widerstandsmoment Wps

mm3 3,18 4,98 7,28 10,72 15,09 25,42 62,46 124,6 218,3 347,9 554,9 750,5 1 082 1 488 1 871 2 774 3 748 5 157 6 588 8 601 10 574 13 222 15 899 20 829 25 801 32 342 39 138 47 750

7 Schraubenverbindungen

I 75

Tabelle 8. Metrisches ISO-Trapezgewinde Bezeichnung für a) eingängiges Gewinde z.B. Tr 75 10 Gewindedurchmesser d = 75 mm, Steigung P = 10 mm = Teilung

b) zweigängiges Gewinde z.B. Tr 75 20 P 10 Gewindedurchmesser d = 75 mm, Steigung Ph = 20 mm, Teilung P = 10 mm

Gangzahl z =

Steigung Ph 20 mm = =2 Teilung P 10 mm

Maße in mm Gewindedurchmesser

Steigung

Steigungswinkel

Tragtiefe

Flankendurchmesser

Kerndurchmesser

d

P

 in Grad

H1 H1 = 0,5 P

D2 = d2 D2 = d – H1

d3

3,77 4,05 5,20 5,20 4,05 4,23 3,57 3,77 3,31 3,49 3,15 3,31 3,04 2,95 3,04 2,80 2,60 2,43 2,77 2,60 2,46 2,33 2,10 2,26

0,75 1 1,5 2 2 2,5 2,5 3 3 3,5 3,5 4 4 4,5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 7



8 10 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 60 65 70 75 80 85 90 95 100 110 120

1,5 2 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 10 10 10 10 12 12 12 12 12 14

7,25 9 10,5 14 18 21,5 25,5 29 33 36,5 40,5 44 48 55,5 60 65 70 75 79 84 89 94 104 113

6,2 7,5 9 11,5 15,5 18,5 22,5 25 29 32 36 39 43 50 54 59 64 69 72 77 82 87 97 104

Kernquerschnitt A3 =

π 2 4 d3 2

polares Widerstandsmoment Wp =

π 3 16 d 3 3

mm

mm

30,2 44,2 63,6 104 189 269 398 491 661 804 1 018 1 195 1 452 1 963 2 290 2 734 3 217 3 739 4 071 4 656 5 281 5 945 7 390 8 495

46,8 82,8 143 299 731 1 243 2 237 3 068 4 789 6 434 9 161 11 647 15 611 24 544 30 918 40 326 51 472 64 503 73 287 89 640 108 261 129 297 179 203 220 867

I 34

I Maschinenelemente

Gegeben: Überlappungslänge b Torsionsmoment MT Rohrdurchmesser d WKB Bindefestigkeit (gewählt nach Tabelle 1) Sicherheit S bei wechselnder Beanspruchung

= 25 mm = 32 Nm = 30 mm = 18 N/mm2

= 4 (gewählt)

Lösung: Zulässige Spannung nach Gleichung (2)

WK zul = b

τ KB S

=

18 N/mm 2 = 4,5 N/mm2 4

M T max 0,5 π d 2τ K zul

=

32 000 Nmm = 5,03 mm 0,5⋅ π ⋅302 mm 2 ⋅ 4,5 N/mm 2

Die Überlappungslänge b = 25 mm kann also noch reduziert werden, wenn nicht andere Gründe dagegen sprechen.

Bild 7. Über Lotarten, Lötverfahren, Festigkeitseigenschaften und die Gestaltung von Lötverbindungen wird im Abschnitt M Spanlose Fertigung – Verbindende Fertigungsverfahren – berichtet. Weitere Angaben über Lote sind im Abschnitt E Werkstofftechnik zu finden. Bild 4. Verdrehbeanspruchte, geklebte Rohrverbindung

4.5 Gestaltungshinweise

5 Schweißverbindungen U. Borutzki

Eine klebgerechte Konstruktion sollte sich nach folgenden Gestaltungsregeln richten: Stumpfstöße können wegen der zu kleinen Klebfläche nicht angewendet werden. Eine geschäftete Verbindung ist möglich, aber teuer in der Herstellung. Genügend große Klebflächen erhält man durch Überlappungsverbindungen. Dabei sind gefalzte oder doppelte Überlappungen der einfachen oder abgesetzten Doppellaschenverbindung vorzuziehen. Bei Rohrverbindungen sollten die Rohre ineinander gesteckt oder mit Muffen versehen werden (größere Klebfläche).

5.1 Grundsätze

Bild 5.

5.1.1 Darstellung und Begriffe

Bild 6.

Werden beim Fügen von Einzelteilen zu Baugruppen die Verbindungen durch Schweißen gefertigt, so ist der Konstrukteur weit reichenden Festlegungen unterworfen, wenn die Erzeugnisse dem durch staatliche Normen geregelten Bereich zuzuordnen sind (geregelter Bereich). Hierzu zählen Stahl-, Schienenfahrzeug-, Eisenbahnbrücken-, Schiff-, Behälter- und Rohrleitungsbau sowie Erzeugnisse im Bereich der Wehrtechnik. Weit gehend eigenverantwortlich und nur den „anerkannten Regeln der Technik“ verpflichtet ist dagegen der Maschinenbauer in seinen Entscheidungen bei der Wahl von Werkstoff, Schweißverfahren und der Berechnung der Schweißverbindungen (nicht geregelter Bereich).

Unabhängig vom Anwendungsbereich wird in DIN EN 12345 die mittelbare Anordnung der zu schweißenden Teile als Stoßart bezeichnet (Tabelle 1). Die Stoßart übt bei schwingender Beanspruchung einen wesentlichen Einfluss auf die Gestaltfestigkeit eines Schweißbauteils wegen der verschiedenartigen Kraftumlenkungen aus. Stumpfnähte sind wegen ihres weit gehend ungestörten Kraftflusses gegenüber Kehlnähten aus dieser Sicht vorteilhafter, Kehlnähte dagegen wegen ihrer

5 Schweißverbindungen einfacheren Vorbereitung und Ausführung kostengünstiger. Weitere konstruktive Empfehlungen siehe Abschnitt 5.1.4. Die unmittelbare Gestaltung an der Schweißstelle vor dem Schweißen (Fugenform) nimmt der Konstrukteur in Abhängigkeit von Stoßart, Blechdicke, Werkstoff und Schweißverfahren nach DIN EN 22553 vor. Handelt es sich um in der Norm erfasste Schweißnähte, so kann ihre Bezeichnung in symbolischer Form nach Tabelle 2 erfolgen. Bei nicht genormten Schweißnähten sind die Schweißnahtvor-

I 35 bereitung und die fertige Schweißnaht vollständig zu zeichnen, zu bemaßen und hinsichtlich der geforderten Qualitäten zu tolerieren. Erfordern es die Qualität oder die Herstellungsbedingungen, so legt der Konstrukteur die Ausführungsrichtung des Schweißens durch Eintragen der Schweißposition in die Schweißnahtbezeichnung fest. Die Schweißposition muss dann in der Fertigung gegebenenfalls durch Vorrichtungen oder Werkstückmanipulatoren eingehalten werden (Bild 1).

Tabelle 1. Schweißnahtbegriffe und Anwendungsbereiche nach DIN EN 12345 und DIN EN 22553 (Abkürzungen siehe Tabelle 2)

I 36 Tabelle 2. Darstellung von Schweißnähten nach DIN EN 22553 und DIN EN ISO 4063

I Maschinenelemente

5 Schweißverbindungen

Bild 1. Schweißpositionen PA waagerecht, PB horizontal, PC quer, PD halb über Kopf, PE über Kopf, PF senkrecht steigend, PG senkrecht fallend 5.1.2 Werkstoffwahl Geschweißt werden vorzugsweise plastifizierungsfähige Stähle, die eine Wärmeschrumpfung von ca. 2% durch örtliches Fließen gestatten. Als allgemein schweißgeeignet gelten unlegierte Stähle mit einem Kohlenstoffgehalt unter 0,22%. Ebenfalls geschweißt und hinsichtlich der Tragfähigkeit berechnet werden niedrig legierte Stähle und Feinkornbaustähle, wenn deren Schweißeignung nachgewiesen ist. Dieser Nachweis lässt sich mit Hilfe der t8/5-Zeit (Abkühlzeit von 800°C auf 500°C), von ZTU-Schaubildern oder durch das Berechnen des Kohlenstoffäquivalents CEV (1) nach DIN 10025 % Mn % Cr + % Mo + % V CEV = % C + + + 6 5 (1) % Ni + % Cu + 15 erbringen. Das Ziel besteht darin, möglichst ohne Vorwärmen risssicher zu schweißen. Dies kann in der Regel erreicht werden, wenn der Werkstoff ein Kohlenstoffäquivalent CEV < 0,35 aufweist. Berechnet und geschweißt werden auch Verbindungen an Aluminium und seinen Legierungen. Bei nicht aushärtendem kaltverfestigtem Aluminium gestattet der Härte- und Festigkeitsabfall im Bereich der Wärmeeinflusszone nur das Rechnen mit den Festigkeitswerten des weichen Zustands. Auch bei aushärtbaren Aluminiumlegierungen fallen nach dem Schweißen zunächst die mechanischen Gütewerte ab. Gezielte Wärmebehandlung nach dem Schweißen gestattet jedoch das Einstellen verlässlicher Festigkeitswerte und das Berechnen von AluminiumSchweißverbindungen [01]. 5.1.3 Wahl von Schweißverfahren und Bewertungsgruppe Die Eigenschaften der Schweißung werden durch mehr oder weniger starke Abweichungen der fertigen Schweißnaht von der Idealgeometrie beeinflusst. In

I 37 DIN EN 25817 „Lichtbogenschweißen an Stahl; Richtlinie für Bewertungsgruppen von Unregelmäßigkeiten (Imperfektionen)“ sind Grenzwerte für die Stahlschweißung festgelegt (Bild 2). Neben dieser Norm gelten weitere für andere Schweißverfahren und Werkstoffe. Geringfügige Unregelmäßigkeiten der Nahtgeometrie haben auf die statische Beanspruchbarkeit einen vernachlässigbar kleinen Einfluss, während das dynamische Tragverhalten signifikant von Schweißnaht- und Bauteilgeometrie bestimmt wird. Mit dem Festlegen der Bewertungsgruppe fällt der Konstrukteur ein zusammenfassendes Qualitätsurteil über alle inneren und äußeren Schweißnahtimperfektionen. Die Bewertungsgruppe wird in die Konstruktionszeichnung eingetragen (Tabelle 2). Von DS nach BS sinken die Toleranzen, gleichzeitig steigen die Fertigungskosten. Während für den geregelten Bereich oft Zusammenhänge zwischen der Qualität und der Tragfähigkeit vorgeschrieben sind, bestehen für den nicht geregelten Bereich keine Festlegungen zur Wahl der Bewertungsgruppe. Das DVS-Merkblatt 0705 [02] enthält Empfehlungen zur Wahl der Bewertungsgruppe nach: 1. dem Sicherheitsbedürfnis (Schutz von Personen, Anlagen oder der Umwelt) Druckbehälter  Bewertungsgruppe B Wehrtechnik  Bewertungsgruppe D 2. der Beanspruchung niedrig 50% Ausnutzung der zulässigen Spannung  Bewertungsgruppe D mittel 75% Ausnutzung der zulässigen Spannung  Bewertungsgruppe C hoch 100% Ausnutzung der zulässigen Spannung  Bewertungsgruppe B 3. Zusatzkriterien z.B. Öldichtheit prüfen. 5.1.4 Gestaltung von Schweißverbindungen Unterliegen Schweißbaugruppen verschiedenen Beanspruchungen, so erweisen sich ebenso verschiedene Gestaltungen als beanspruchungsgerecht, Bild 3. Die Lösung unter a) wird wegen der Schweißnahtanhäufung vielfach als ungünstig angesehen. Schweißnahtanhäufung bewirkt Konzentration von Schrumpfspannungen, hier entsteht eine dreiachsige Zugspannung. Die am Schweißnahtende auftretende Kerbwirkung ist dagegen bei Variante a) geringer und nimmt in Richtung c) zu. Bei schwingender Beanspruchung und fehlender Sprödbruchgefahr wird der Konstrukteur daher der Lösung a) gegenüber b) und c) wegen deutlich besserer Schwingfestigkeitswerte den Vorzug geben. Weitere konstruktive Empfehlungen zeigt Tabelle 3.

I 38

I Maschinenelemente

Bild 2. Bewertungsgruppen für das Lichtbogenschweißen von Stahl nach DIN 25817

Bild 3. Anschlussformen und Beanspruchbarkeit

5.2 Berechnung von Schweißverbindungen 5.2.1 Spannungen in Schweißnähten



Kräfte und Momente rufen in Schweißnähten Spannungen hervor, die sich mit Hilfe vereinfachter Annahmen nach den Regeln der Technischen Mechanik berechnen lassen. Das zeitlich veränderliche Wirken der Kräfte kann durch Betriebsfaktoren, Teilsicherheits- oder Schwingungsbeiwerte oder andere, in den Regelwerken vorgeschriebene Lastannahmen berücksichtigt werden. Charakteristische Schweißnahtspannungen (Bild 4) sind

W

 Normalspannungen quer zur Nahtrichtung: Charakteristische Schweißnahtspannung, die zur

W

Auslegung von Stumpf- und Kehlnähten herangezogen wird. Normalspannungen in Nahtrichtung: Von untergeordneter Bedeutung. Wird in der Regel nicht berechnet. Die Tragfähigkeit wird bei ruhender Beanspruchung in diesem Fall durch den angrenzenden Grundwerkstoff bestimmt. Schubspannungen in Nahtrichtung: Charakteristische Schweißnahtspannung in Hals- und Flankenkehlnähten. Tritt auch als Querkraftschub in biegebeanspruchten Trägern auf (5). Schubspannungen quer zur Nahtrichtung: Möglichst vermeiden. Bei Stirnkehlnähten in Stabanschlüssen jedoch übliche Schweißnaht (Tabelle 6, Nr. 2-4).

5 Schweißverbindungen Tabelle 3. Gestaltungsempfehlungen für Schweißkonstruktionen

I 39

I 40

I Maschinenelemente

Stumpfnaht - durchgeschweißt

Stumpfnaht - nicht durchgeschweißt

Kehlnaht

s

s

t

s

a

t

a*

Wurzelpunkt für s

l

t

t l

s s

s

a - rechnerische Kehlnahtdicke: zum Berechnen wird a in die Beanspruchungsebene gedanklich umgeklappt (a*). Bei Stumpfnähten wird die rechnerische Nahtdicke mitunter auch mit s bezeichnet. Für durchgeschweißte Stumpfhähte gilt a = t = s.

Bild 4. Schweißnahtspannungen an Stumpf- und Kehlnähten Bei Schweißnähten, die durch eine Längs- oder Querkraft beansprucht werden, gilt für die in der Schweißnaht vorhandene Spannung

σ⊥, τ⊥, τ &

σ⊥ F F = τ⊥ = AW ∑ (al ) τ||

N mm 2

F

Aw

a, l

N mm2 mm

(2) mit Schweißnahtdicke a und Schweißnahtlänge l nach Bild 4. Erfolgt die Beanspruchung durch ein Biegemoment, so wirkt in der Schweißnaht die Normalspannung (3). Mit y wird der Abstand des Nachweisortes von der Schwerachse der Schweißnahtfläche bezeichnet. Bei Kehlnähten wird die Schwerachse im „theoretischen Wurzelpunkt“ liegend angenommen, der in der Regel dem Schnittpunkt der geschweißten Bauteilkanten zugeordnet ist (Bild 4).

σ⊥ =

Mb y IW



Mb

Iw

y

N mm 2

Nmm

mm4

mm

(3)

Werden Zapfen, Wellen, Zahnräder mit Kehlnähten angeschlossen und durch ein Torsionsmoment MT beansprucht (Bild V. 5), so gilt:

τ|| = =

MT = Wwp

τ&

MT

D

d

N mm 2

Nmm

mm

mm

(4)

M T ⋅5D D4 − d 4

Bild 6. Querkraftschub in Schweißnähten am Biegeträger Bei querkraftbelasteten Biegeträgern (Bild 6) tritt in den Längsnähten und auch im Stegblech selbst eine Schubspannung (Querkraftschub) auf. Neben der Querkraft Fq gehen in die Berechnung von τ & das Flächenmoment 1. Grades H der angeschlossenen Querschnittsflächen (H erhält man durch Multiplikation der Querschnittsfläche mit dem Abstand y ihres Schwerpunkts zur Schwerlinie nach Bild 6), das Flächenmoment 2. Grades I des Gesamtquerschnitts sowie die Summe der anschließenden Schweißnahtdicken a ein. Werden die in Bild 6 unterbrochen dargestellten Kehlnähte durchgeschweißt, dann entfällt der Ausdruck (e + l ) / l in Gleichung (5). Fq H (e + l ) τ|| = ⋅ I ∑a l

τ&

Fq

N mm 2

I

H

a, e, l

N mm4 mm3 mm (5)

5.2.2 Nachweis von Schweißnähten im Maschinenbau Die nach 5.2.1 ermittelten Nennspannungen werden mit zulässigen Spannungen in der Form 

Bild 5. Zapfen mit Kehlnahtanschluss und Torsion

, τ & ,  w zul , w zul

(6)

als Einzelspannungsnachweis verglichen. Beanspruchen mehrere dieser Nennspannungen die Schweißnaht gleichzeitig, so werden sie, ebener Spannungszustand vorausgesetzt, unter Berücksichtigung ihrer Wirkrichtung zusammengefasst, z.B. Addition von 

5 Schweißverbindungen

I 41

aus Normalkraft und Biegung oder τ & aus Abscherung und Torsion. Wirken in den Schweißnähten jedoch gleichzeitig Normal- und Schubspannungen, so wird eine Vergleichsspannung wv gebildet, wobei im Maschinenbau häufig mit der Gestaltänderungsenergiehypothese gerechnet wird. Es ist getrennt voneinander für ruhende und schwingende Beanspruchungen zu ermitteln:

σ wv = σ⊥2 + 3(α0τ|| )2 ≤ σ w zul

Tabelle 4. Zulässige Spannungen für Stumpf- und Kehlnähte an Stahl der Bewertungsgruppen B, C und D bei vorwiegend ruhender (statischer) Beanspruchung nach DVS M-0705, Beiblatt1

(7)

Das Anstrengungsverhältnis 0 (siehe Abschnitt D, Festigkeitslehre) kann bestimmt werden aus 0 = D / (1,7W D) mit D und W D nach 5.2.2.2. 5.2.2.1 Ruhende (statische) Beanspruchung Für ruhende Beanspruchungen wird 0 = 0, siehe Abschnitt D. Das DVS-Merkblatt 0705 [02] empfiehlt zur Wahl zulässiger Spannungen im nicht geregelten Bereich: – w zul für Stumpfnähte gleich der zulässigen Spannung des Grundwerkstoffs (bei Stahl) – w zul für Kehlnähte (Quer- und Längskehlnähte) gleich 65% der zulässigen Spannungen des Grundwerkstoffs bei hinreichend vorhandener Schweißeignung (Kapitel 5.1.2). Für die Konstruktionsstähle S235 und S355 können konkrete Werte der Tabelle 4 entnommen werden.

5.2.2.2 Schwingende (dynamische) Beanspruchung Bei der im Maschinenbau oft auftretenden schwingenden Beanspruchung kann die stark geometrieabhängige zulässige Schweißnahtspannung w zul in Abhängigkeit von der Dauerfestigkeit D und WD des geschweißten Bauteilwerkstoffs ermittelt werden. Alle, die Tragfähigkeit der Naht beeinflussenden Größen wie Nahtform, Beanspruchungsart, Kerbwirkung und dergleichen lassen sich durch den Minderungsbeiwert b1 (Tabelle 5), alle die Güte der Schweißnaht betreffenden Faktoren durch den Gütebeiwert b2 (Bild 2) überschlägig bestimmen. Mit dieser Vorgehensweise können auf der Grundlage von Erfahrungswerten zulässige Schweißnahtspannungen berechnet werden nach:

Tabelle 5. Minderungsbeiwerte b1 zum Ermitteln zulässiger Spannungen für schwingend beanspruchte Schweißnähte im nicht geregelten Bereich

I 42

I Maschinenelemente

σ D b1 b 2 σ w zul = ν

w zul , D b1, b2 N mm 2

–

Q –

(8)

D und WD sind die Dauerfestigkeitswerte des Grund-

werkstoffs; entsprechend der Beanspruchungs- und Belastungsart setzt man zSch, bW, WtSch aus Dauerfestigkeitsdiagrammen ein (Abschnitt D Festigkeitslehre). Je nach Häufigkeit der Höchstlast wählt man für die Sicherheit Q : bei 100% bei 50% bei 25%

 2,5  2  1,5

Bei gleichzeitigem Auftreten mehrerer Beanspruchungen wird der zur überwiegenden Beanspruchung gehörende D (D)- und b1-Wert gewählt. Bei eingeebneten und allseitig bearbeiteten Schweißnaht- und Bauteiloberflächen kann b1 um bis zu 10% erhöht werden, ebenso bei Stumpfnähten der Bewertungsgruppe BS. Die geschilderte Vorgehensweise liefert mit hinreichender Genauigkeit rasche Ergebnisse. Allgemeingültige Aussagen zur Beanspruchbarkeit schwingend beanspruchter Schweißnähte lassen sich so jedoch nicht ermitteln, weil deren Tragfähigkeit neben der Schweißnaht stark von der Bauteilgeometrie sowie von Richtung und Fluss der angreifenden Beanspruchungen abhängt. Ein weiter reichender Nachweis kann unter Anwendung der DIN 15018 [03] oder der FKM-Richtline [04] erfolgen. Für Schweißnähte an Maschinenbauteilen wird empfohlen, die Grenzabmessungen nach Abschnitt 5.2.3.2 einzuhalten. 5.2.3 Nachweis von Schweißnähten im Stahlbau 5.2.3.1 Allgemeine Richtlinien Im Stahlbau werden die Einzelheiten zum Bemessen und Konstruieren, beim Herstellen und im Besonderen beim Schweißen durch die DIN 18800 (11.90) geregelt. Anders als im Maschinenbau ist die Verwendung von Stählen auf wenige Werkstoffarten begrenzt. Dies geschieht vor allem, weil höherfeste Stähle, wenn ein Dauerfestigkeits- oder Stabilitätsnachweis erforderlich wird, nur geringfügige oder keine Vorteile in ihrer Tragfähigkeit aufweisen. Dagegen erfordern sie z.B. bei der Baustellenmontage einen deutlich höheren schweißtechnischen Aufwand. Uneingeschränkt anwendbar sind in Schweißkonstruktionen die Baustähle S235 und S355 nach DIN EN 10025, in der DIN 18800 (11.90) noch als St37-2 und St52-3 nach DIN 17100 bezeichnet, und auch die schweißgeeigneten Feinkornbaustähle StE355, WStE355, TStE355 und EStE355 nach DIN EN 17102.

Sollen andere Stahlsorten in Schweißkonstruktionen des Stahlbaus Verwendung finden, so müssen dafür speziell geregelte Zulassungen vorliegen. 5.2.3.2 Grenzabmessungen von Schweißnähten Neben den einschränkenden Regelungen bei den Werkstoffen sind auch dem Gestaltungsermessen folgende Grenzen für rechnerisch nachgewiesene Schweißnähte gesetzt: Zur Nahtdicke – Bei durchgeschweißten Nähten, das sind nach Tabelle 5 Stumpfnaht (Zeile 1-4) sowie HV und DHV-Naht (Zeile 9), ist die rechnerische Nahtdicke a gleich der kleinsten angeschlossenen Blechdicke tmin. – Die rechnerische Nahtdicke nicht durchgeschweißter Nähte entspricht dem Maß s: (siehe Bild 4) – Grenzmaße von Kehlnähten werden unabhängig von ihrer spannungsmäßigen Auslastung nach (9) und (10) eingeschränkt. Dabei sind tmin/max = t bei gleichdicken Blechen. Über 30 mm Blechdicke darf von dieser Bedingung abgewichen werden, wenn a 5 mm eingehalten wird. 2 mm  a  0,7 tmin

a mm

tmin mm

(9)

a ≥ tmax − 0,5

a mm

tmin mm

(10)

Zur Nahtlänge – Die rechnerische Nahtlänge ist gleich der geometrischen Nahtlänge. In diesem Bereich muss die Kehlnaht mit der geforderten Geometrie ausgeführt sein. – Für geschweißte Stabanschlüsse mit oder ohne Knotenbleche empfiehlt DIN 18800 Lösungen nach Tabelle 6. Für diese Fälle darf Außermittigkeit rechnerisch vernachlässigt werden. – Bei Kehlnähten muss die Nahtlänge mit 30 mm  l 6a eingehalten werden. – Die Nahtlänge unmittelbarer Laschen- und Stabanschlüsse ist mit max. l  150 a zu bemessen. Sonstige Regeln – Kaltverformte Bleche ohne nachträgliches Normalglühen dürfen im kaltverformten und angrenzenden Bereich nur unter Berücksichtigung der in Tabelle 7 angegebenen Grenzwerte geschweißt werden. – Stumpf angeschlossene I-Träger müssen rechnerisch nicht nachgewiesen werden, wenn die konstruktiven Bedingungen nach Tabelle 7 erfüllt sind.

5 Schweißverbindungen – Stumpf gestoßene Bleche unterschiedlicher Dicke werden nach Tabelle 7 gestaltet. In den rechnerischen Nachweis geht als Schweißnahtdicke tmin ein. – Auf Druck beanspruchte Stumpfnähte werden nicht berechnet, wenn sie voll durchgeschweißt

I 43 sind. Dies gilt auch für Zugbeanspruchung bei nachgewiesener Schweißnahtqualität (zerstörungsfreie Prüfung). – Der Festigkeitsnachweis für ormalspannungen  (vergl. Bild 4) kann entfallen.

Tabelle 6. Rechnerische Schweißnahtlängen nach DIN 18800

I 44

I Maschinenelemente

Tabelle 7. Sonstige Grenzabmessungen Beim Schweißen an kalt verformten Bauteilen sind folgende Maße einzuhalten: max t mm

5t

5t

r

50 24 12 8 ≤ 4 *)

*) Für Bauteile aus S235J2G3 (St37-3) maxt t = 6 mm

min (r / t)

min r mm

10 3 2 1,5 1

≥ 500 ≥ 72 ≥ 24 ≥ 12 ≥ 4

tF

aF Trägeranschluss oder -querstoß ohne weiteren Tragsicherheitsnachweis:

aF tS

S235:

aS

aF ≥ 0,5 tF, aS ≥ 0,5 tS

S355J2G3: aF = 0,7 tF, aS = 0,7 tS StE355:

aF

aF = 0,7 tF, aS = 0,7 tS

tF

aF

≤5 mm

≤

1:1

≤

1:1

≤5 mm

≤ 10 mm

Schweißen von Blechen mit Dickenunterschied > 10 mm:

5.2.3.3 Zulässige Spannungen im Stahlbau Die nach 5.2.1. ermittelten Nennspannungen werden auch im Stahlbau einer zulässigen Spannung gegenübergestellt. Diese, in DIN 18800 Grenzschweißnahtspannung w,R,d genannt, wird aus der um die Faktoren w und M geminderten Streckgrenze einheitlich für Normal- und Schubspannungen ermittelt:

σ w,R,d =

α w ⋅ f y,k γM

w,R,d

fy,k

N mm 2

N mm 2

w M

–

–

(11)

Für die in DIN 18800 mit fy,k bezeichneten Werte der Streckgrenze werden bei Blechdicken t  40 mm 240 N/mm2 für den Stahl S235 sowie 360 N/mm2 jeweils für den S355 und den StE355 eingesetzt. Im Bereich 40 mm t  80 mm betragen die Werte 215 N/mm2 bzw. 325 N/mm2. Der Teilsicherheitsbeiwert M wird mit 1,1 angesetzt. In Abhängigkeit von Werkstoff, Nahtform, Beanspruchungsart und besonders der Art des Gütenach-

weises nimmt der Schweißnahtfaktor w einen Wert von 0,55 bis 1,0 an (Bild 7). Mit der Grenzschweißnahtspannung w,R,d ist nach DIN 18800 der Schweißnahtnachweis für Stumpfund Kehlnähte zu führen in der Form

σ w,v ≤ 1 mit σ w,R,d

2 2 σ w,v = σ ⊥ +τ ⊥ + τ ||2

5.3 Berechnungsbeispiele ■ Beispiel 1: Schwingende Beanspruchung im Maschinenbau Ein gebrochener Wellenzapfen aus E355 ist durch einen neuen, geschweißten Zapfen zu ersetzen, Bild 8. Angeschlossen wird der Zapfen mit einer nicht durchgeschweißten HV-Naht. Die Schweißnaht wird nach Bild 2 mit BK (b2 = 0,8) und Tabelle 5, Ziffer 8 wegen des verbleibenden Spaltes mit b1 = 0,8 eingestuft. Nach dem Schweißen wird die Naht wärmebehandelt und blecheben bearbeitet (Lagersitz) und erhält daher den 10%igen Aufschlag. Zu überlegen ist der Austausch des E355 durch den schweißgeeigneten S355J2G3. Beansprucht wird die Schweißnaht durch eine Lagerkraft F = 22kN und das zu übertragende Drehmoment MT = 1,1·106 Nmm (schwellend). Häufigkeit der Höchstbelastung 50%.

5 Schweißverbindungen

I 45

Ermitteln der Schnittgrößen im nachzuweisenden Querschnitt (an oder in der Schweißnaht; Werkstoff Stahl mit fyk, γm)

Ermitteln der Spannungen σ , σ , τ und τ in der Schweißnaht j

Die Spannung σ darf vernachlässigt werden

Stumpfstoß von Profilen mit t > 16 mm S235JR oder S235JRG1 bei Zugbeanspruchung

σ 2 + τ2 + τ 2

σw,v =

n n

Kehlnaht

Stumpfnaht j j

n Naht durchgeschweißt

j

n Naht mit Zugbeanspruchung

Naht mit Druckbeanspruchung

j Nahtbeanspruchung auf Zug, Druck und/oder Schub

Nahtgüte nachgewiesen n

Naht mit Schubbeanspruchung

j

S355J2G3 S355N P355NH S355NLH P355NL2

S235JR S235JRG1 S235JRG2

n

j

αw = 0,55

αw = 0,80

αw = 1,0

αw = 0,95

Bild 7. Ermitteln des Faktors w für die Schweißnahtberechnung im Stahlbau Damit wird

M T = 1,1 106 Nmm kN

∅ 80

6

111/ISO 5817-BK/ISO 6947-PA/ ISO 2560-E 51 5B 120 20 (H)

∅ 60

σ wb =

660⋅103 Nmm N ≈ 52 mm 2 12,75⋅103mm3

Vorhandene Torsionsspannung W wt = MT / Wwp das polare Widerstandsmoment der Schweißnaht beträgt Wwp =

D4 − d 4 604 mm 4 − 484 mm 4 = ≈ 25500 mm3 5D 5⋅60 mm

Damit wird 30 a

F = 22 kN

Schweißnahtfläche =

6

Bild 8. Geschweißter Wellenzapfen

τ wt =

1,1⋅106 Nmm N ≈ 43 . 25,5⋅103 mm3 mm 2

In der Gleichung für  wv steht das Anstrengungsverhältnis 0. Nach 5.2.2 ist 0 =  D / (1,7 ·  D).  D entspricht hier der Biegewechselfestigkeit  bW = 260 N/mm2 nach Tabelle 8, Abschnitt D. D entspricht der Torsionsschwellfestigkeit  tSch = 210 N/mm2. Damit wird

α0 =

σD 1,71⋅τ D

=

σ bw 1,7⋅τ tSch

=

260 N/mm 2 = 0,73 1,7⋅210 N/mm 2

und Schweißnahtnachweis: Die Schweißnaht wird durch die Lagerkraft wechselnd auf Biegung und Schub, durch das Drehmoment M = Torsionsmoment MT schwellend auf Torsion beansprucht. Schub kann erfahrungsgemäß vernachlässigt werden. Es liegt also eine dynamische Beanspruchung vor. Nachweis nach Gleichung (6):

σ wv = (52 N/mm 2 )2 + 3(0,73⋅43 N/mm 2 )2 ≈ 75

σ wv = σ⊥2 + 3(α0τ|| )2 ≤ σ w zul

σ w zul =

Vorhandene Biegespannung  = wb = Mb / Ww Mb = Fl = 22 kN · 30 mm = 660 · 103 Nmm. Die kreisringförmige Schweißnaht (Bild 7) hat ein axiales Widerstandsmoment von

Die Schweißnaht ist dauerbruchsicher.

Ww =

D 4 − d 4 604 mm 4 − 484 mm 4 = ≈ 12750 mm3 . 10 D 10⋅60 mm

N mm 2

.

Die zulässige Schweißnahtspannung ist nach Gleichung (8) w zul = D b1b2 /. Mit Sicherheit  = 2; b1 = 0,8 + 10% = 0,88; b2 = 0,8 wird 260 N/mm 2 ⋅0,88⋅0,8 N N . = 91,5 > σ wv = 75 2 mm 2 mm 2

■ Beispiel 2: Ruhende Beanspruchung im Stahlbau Ein Seilspanner, Werkstoff S235J2G3, ist mit Kehlnähten an eine Stahlstütze mit Horizontalnähten aF am Flansch und Doppelkehl-

I 46

I Maschinenelemente

nähten aS an den Stegen angeschlossen. Alle Nähte werden rundum geschweißt (verriegelt). Die kurzen der Blechdicke entsprechenden Nähte werden in der Berechnung nicht berücksichtigt. Die Länge der Stegnaht ist mit hS = 70 mm konstruktiv ausgelegt. Alle weiteren Angaben zeigt Bild 9. 120 100

A

15 hS = 70

85

100

4

F = 80 kN

A

Iw = 31,9 · 105 mm4

80 kN⋅80 mm N F ⋅l y = ⋅66,4 mm ≈ 133 I W 0 31,9⋅105 mm 4 mm 2

Schubspannung  im Punkt c : Zur Berechnung der Schubspannung  = F/Aw wird nur die Fläche der in Kraftwirkungsrichtung liegenden Stegnähte A3…6 herangezogen. F 80 kN N τ|| = = ≈ 57 Aw 1400 mm 2 mm 2

A1 = 7 mm x 120 mm

y1 = 100

y2 = 85

y0 = 66,4

A2 = A1

y3...6 = 35

aS ⋅ hS3 3

 (100 mm − 66, 4 mm)2 + (85 mm − 66, 4 mm)2  + I w = 840 mm 2

σ⊥ =

Schweißnahtbild in A-A

A6

I w = A1 ⋅l12 + A2 ⋅l22 + A3 ⋅l32 + A4 ⋅l42 + A5 ⋅l52 + A6 ⋅l62 +

Maximale Normalspannung  im Punkt c :

80

10

A3...6 = 4 mm x 70 mm A4 A5

840 mm 2 ⋅100 mm + 840 mm 2 ⋅85 mm + 4⋅35 mm⋅350 mm 2 ≈ 3080 mm 2 ≈ 66, 4 mm

y0 =

+ 4⋅350 mm 2 ⋅(35 mm − 66, 4 mm)2 +... 0,33⋅5⋅703 mm4

4

1

A3

A1 y1 + A2 y2 +...+ A6 y6 ∑ A1−6

Damit kann das Flächenmoment Iw 2. Grades im Querschnitt A-A ermittelt werden:

7

y

y0 =

Vergleichsspannung im Punkt c :

σ w,v = σ⊥2 + τ ||2 = (133 N/mm 2 ) 2 + (57 N/mm 2 )2 ≈ 145 Schweißnahtnachweis:

x

Bild 9. Geschweißte Konsole mit Seilspanner Schweißnahtnachweis: Der Schweißnahtanschluss A-A wird unter Vernachlässigung der Eigenlast durch das Biegemoment Mb = Fl = 80 kN · 80 mm = 6,4 · 106 Nmm und abscherend durch die Querkraft 80 kN beansprucht. Die Grenzschweißnahtspannung w,R,d beträgt f y,k 240 N/mm 2 N σ w,R,d = α w = 0,95 ≈ 207 . 1,1 γM mm 2

Die Maximalspannung tritt im Punkt c auf (Bild 9). Die Normalspannung  wird vom gesamten Schweißnahtanschluss getragen, nach (3) gilt: M σ⊥ = b y0 IW Zur Berechnung von y0 und Iw werden zunächst die Kehlnahtdicken am Flansch und am Steg vordimensioniert. Dafür können die Grenzabmessungen nach (9) und (10) benutzt werden: aF  0,7 tF = 0,7 · 15 mm = 10,5 mm aS  0,7 tS = 0,7 · 10 mm = 7,0 mm

N mm 2

gewählt: aF = 7 mm gewählt: aS = 5 mm

Wegen des nichtsymmetrischen Anschlusses wird zunächst der Schwerpunktabstand der Gesamtschweißnahtfläche A-A von der x-Achse mit den Einzelschweißnahtflächen A1 = A2 = 7 mm · 120 mm = 840 mm² und A3…6 = 5 · 70 mm = 350 mm² bestimmt, siehe Abschnitt D, Festigkeitslehre. y1 und y2 reichen von der x-Achse zum theoretischen Wurzelpunkt, y3…6 zum Flächenschwerpunkt der Schweißnähte.

σ w,v 145 N/mm 2 = ≤1 σ w,R,d 207 N/mm 2

.

Die Tragfähigkeit des Schweißnahtanschlusses im Querschnitt A-A ist nachgewiesen. Das Verringern der Kehlnahtdicken und erneutes Nachrechnen ist ratsam, um Schweißelektrodenverbrauch und Fertigungszeit zu senken.

Literatur [1] Behnisch, H.: Kompendium der Schweißtechnik, Band 4: Berechnung und Gestaltung von Schweißkonstruktionen. Düsseldorf: DVS-Verlag, 1997 [2] DVS-Merkblatt 0705: Empfehlungen zur Auswahl von Bewertungsgruppen nach DIN EN 25817 und ISO 5817 – Stumpfnähte und Kehrnähte an Stahl. Düsseldorf: DVS, März 1994 [3] DIN 15018: Krane, Grundsätze für Stahltragwerke, 1984 [4] Forschungskuratorium Maschinenbau FKM (Hrsg): Rechnerischer Festigkeitsnachweis für Maschinenbauteile. Frankfurt: FKM- Richtlinie 154, 5. Aufl. 2003

14 Zahnräder

14 Zahnräder

I 169 A. Böge

Normen ( Auswahl) DIN 3990 Tragfähigkeitsberechnung von Stirnrädern DIN 3991 Tragfähigkeitsberechnung von Kegelrädern

14.1 Allgemeines Zahnräder dienen der unmittelbaren formschlüssigen Übertragung von Drehmomenten und Drehbewegungen zwischen parallelen, sich kreuzenden oder sich schneidenden Wellen. Je hach Verlauf der Zahnflanken unterschneidet man Geradzähne, Schrägzähne, Pfeilzähne, Kreisbogenzähne, Spiralzähne und Evolventenzähne. Zahnradgetriebe-Grundformen: 1. Stirnradgetriebe (Bild 1a bis 1c) bei parallelen Wellen (imax  8 je Stufe), 2. Kegelradgetriebe (Bild 1d) bei sich schneidenden, auch sich kreuzenden Wellen (imax  6), 3. Schneckengetriebe (Bild 1e) bei sich kreuzenden Wellen (imin  5 bis imax  60, Ausnahme: i t 100), 4. Schraubradgetriebe (Bild 1f ) ebenfalls bei sich kreuzenden Wellen (imax | 5).

Ellipsenräder, die Getriebe mit veränderlichem i ergeben). Nach Bild 2 ist B der augenblickliche Berührungspunkt zweier zunächst beliebig geformter Zahnflanken. B läuft als Punkt des Rades 1 mit der Umfangsgeschwindigkeit v1 um Mittelpunkt M1 als Punkt des Rades 2 mit der Umfangsgeschwindigkeit v2 um M2 (v1, v2, A r1', r2' ). Die beiden Zahnflanken haben in B gemeinsam die Tangente t und die Normale n. Die Umfangsgeschwindigkeiten v1 und v2 werden in die Tangentialkomponenten w1, w2 und in die Normalkomponenten c1, c2 zerlegt. Sollen die Zahnflanken sich immer berühren, d. h. sich weder voneinander entfernen noch ineinander eindringen, dann muss c1 = c2 sein.

Bild 2. Verzahnungsgesetz

Bild 1. Grundformen der Zahnradgetriebe a) bis c) Stirnradgetriebe, d) Kegelradgetriebe, e) Schneckengetriebe, f) Schraubradgetriebe

Aus c1 = Z 1 rb1 bzw. c2 = Z 2 rb2 folgt mit Hilfe der ähnlichen Dreiecke CM1N1 und CM2N2 (Bild 2): rb2 r2 = rb1 r1 und mit c1 = c2 auch: ω 1 r2 = = i = konstant ω 2 r1

14.2 Verzahnungsgesetz

Das Verzahnungsgesetz lautet:

Die Übersetzung eines Zahnradpaares ist

Zwei Zahnflanken sind nur dann brauchbar, wenn die Normale auf den jeweiligen Berührungspunkt B die Verbindungslinie der beiden Mittelpunkte M1M2 im umgekehrten Verhältnis der Winkelgeschwindigkeiten teilt. Kurz: Die jeweilige Eingriffsnormale muss immer durch den Punkt C gehen.

i = n1/n2 = Z 1/Z 2 = r2/r1 = z2/z1; n Drehzahl, Z Winkelgeschwindigkeit, r Teilkreisradius, z Zähnezahl; Index 1 bezogen auf antreibendes, Index 2 auf angetriebenes Rad. Gleichmäßiger Lauf beider Räder setzt i = konstant voraus (Ausnahme:

I 170

I Maschinenelemente

In Punkt C ist mit c1 = c2 auch  1 r1 =  2 r2, d. h. die Kreise mit den Radien r1, r2 rollen ohne zu gleiten aufeinander ab: Wälzkreise. Der gedachte Berührungspunkt beider Kreise ist der Wälzpunkt C. Bei Zahnradgetrieben mit veränderlicher Übersetzung (Ellipsenräder) wandert der Wälzpunkt C auf der Verbindungslinie der beiden Mittelpunkte auf und ab. Folgerungen: Die unterschiedliche Größe von w1 und w2 besagt, dass neben Wälzbewegung gleichzeitige Gleitbewegung der Flanken aufeinander erfolgt. Dadurch ist die Voraussetzung für hydrodynamische Flüssigkeitsreibung gegeben: keilförmiger Spalt und Relativbewegung (w = w2 – w1) zueinander (siehe auch 13.3.2). Fällt B auf C, dann ist die Relativgeschwindigkeit w gleich null, d. h. in dieser Zone tritt kurzzeitig reine Wälzbewegung auf, der Schmierfilm wird hier unterbrochen und damit die Zerstörung der Flanken eingeleitet.

14.3 Begriffe, allgemeine Verzahnungsmaße Folgende Angaben beziehen sich auf evolventenverzahnte Geradstirnräder als Nullräder (Bild 3). Nach DIN 867, 868 und 3960 sind festgelegt: Teilkreisteilung pt: Bogenlänge auf Teilkreis zwischen zwei aufeinander folgende Rechts- oder Linksflanken der Zähne. Teilkreis: Bezugskreis für Teilung pt gleich Herstellungswälzkreis, auf dem das Werkzeug bei der Zahnradherstellung; im Abwälzverfahren abwälzt. Aus Teilkreisumfang d S = pt z folgt d = pt z/S; pt / S = m (Modul) gesetzt, ergibt den Teilkreisdurchmesser

d=mz

d, m mm

z 1

Tabelle 1. Modulreihe für Stirn- und Kegelräder, Auszug aus DIN 780 (in mm) Reihe 1: 0,1 0,12 0,9 1 10

12

0,16 0,20 0,25 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 1,25 1,5 2 16

20

25

2,5 3 32

40

4

5

6

8

50

Reihe 2: 0,11 0,14 0,18 0,22 0,28 0,35 0,45 0,55 0,65 0,75 0,85 0,95 1,125 1,375 1,75 2,25 2,75 3,5 4,5 5,5 7 11

14

18

22

28

36

45

55

9

70

Die Moduln gelten im Normalschnitt; Reihe 1 ist gegenüber Reihe 2 zu bevorzugen.

Zahnabmessungen: Kopfhöhe ha = m; Fußhöhe hf = 1,16 ... 1,3 m, normal hf = 1,25 m; Zahnhöhe h = 2,25 m; damit ergeben sich Kopfkreisdurchmesser da und Fußkreisdurchmesser df da = d ± 2 ha = d ± 2 m

(2)

df = d B 2 hf = d B 2,5 m

(3)

obere Vorzeichen gelten bei Außen-, untere bei Innenverzahnung. Kopfspiel c : Abstand zwischen Kopfkreis des einen und Fußkreis des anderen Rades.

c = hf – ha = 0,25 m Flankenspiel: Wegen Einbauungenauigkeiten, Wärmedehnung und Schmierung erforderliches Spiel zwischen den Zahnflanken zweier Räder. Normalflankenspiel jn: Abstand der Zahnflanken zweier Räder auf der Eingriffslinie (Bild 4).

(1)

Modulwerte für Stirn- und Kegelräder nach DIN 780 siehe Tabelle 1.

Bild 4. Flankenspiel der Zähne

Drehflankenspiel jt: Auf den Teilkreis bezogenes Flankenspiel (Bogenstück), um das sich Rad 1 bei feststehendem Rad 2 verdrehen lässt. Der Achsabstand ad eines Nullradpaares oder eines V-Null-Getriebes mit d = mz ergibt sich aus Bild 3. Allgemeine Verzahnungsmaße

ad =

d1 + d 2 m ( z1 + z2 ) = 2 2

(4)

14 Zahnräder

14.4 Verzahnungsarten 14.4.1 Zykloidenverzahnung Die Zykloidenverzahnung, deren Zahnflanken sich aus Epizykloide (Kopfflanke) und Hypozykloide (Fußflanke) zusammensetzen, wird nur in Sonderfällen z. B. für Uhrenzahnräder, Zahnstangenwinden oder als Triebstockverzahnung verwendet. Die Herstellung ist teurer und schwieriger als die der Evolventenverzahnung; die Verzahnung ist empfindlich gegen ungenauen Achsenabstand. Eingriffs- und Verschleißverhältnisse sind jedoch günstiger als bei Evolventenzähnen. Im Maschinenbau wird praktisch nur die Evolventenverzahnung verwendet. 14.4.2 Evolventenverzahnung 14.4.2.1 Eigenschaften und Verwendung Die Zahnflankenform wird durch eine Evolvente gebildet. Das ist die Kurve, die ein Punkt einer Geraden beschreibt, die auf einem Kreis (dem Grundkreis) abwälzt. Im Maschinenbau wird fast ausschließlich die Evolventenverzahnung verwendet. Sie lässt sich mit einfachen (geradflankigen) Werkzeugen im Abwälzverfahren herstellen, auch für die häufig erforderliche Profilverschiebung. Nachteilig gegenüber Zykloidenverzahnung sind größerer Verschleiß und geringere Belastbarkeit. Konstruktion des Zahnstangengetriebes (Bild 6): Zahnstange mit Bezugsprofil Kopfhöhe ha = m und Fußhöhe hf = 1,25 m. Eingriffslinie n durch Wälzpunkt C unter D n = 20º zur Profilmittellinie zeichnen. Um Mittelpunkt M des Ritzels mit d = m z Grundkreis mit Radius rb = r cos D n an Eingriffslinie legen. Vom Normalpunkt N die Punkte 1, 2, 3 usw. in beliebigen Abständen auf n nach beiden Seiten abtragen. Die gleichen Abstände, auf den Grundkreis übertragen, ergeben 1', 2', 3' usw. Durch schrittweises Abwälzen der Eingriffslinie auf den Grundkreis erhält

I 171 man die durch C gehende Evolvente. Verlauf der Fußflanke vom Grundkreis bis Fußkreis wird durch relative Kopfbahn des erzeugenden Werkzeugs bestimmt (siehe Bild 9); bei z > 20 ist diese angenähert eine radial verlaufende Gerade. Fußrundung wird ebenfalls durch Werkzeug bestimmt. Zugehörige Gegenflanke wird zweckmäßig durch spiegelbildliches Übertragen von der Zahnmittellinie gezeichnet. Vorher wird die Zahndicke s = pt/2 auf den Teilkreis abgetragen. 14.4.2.2 Bezugsprofil, Konstruktion der Zahnflanken. Form und Abmessungen sind durch Bezugsprofil nach DIN 867 festgelegt (Bild 5). Es entspricht dem Profil der Zahnstange und der Herstellungswerkzeuge (Kamm-Meißel, Schneckenfräser). Halber Flankenwinkel gleich Eingriffswinkel D n = 20º.

Bild 5. Bezugsprofil der Evolventenverzahnung 14.4.2.3 Eingriffsstrecke, Eingriffslänge, Profilüberdeckung. Bei Rechtsdrehung des Ritzels in Bild 6 beginnt der Eingriff, die Berührung zweier Zähne, in A (Schnittpunkt der Eingriffslinie mit Kopflinie der Zahnstange) und endet in E (Schnittpunkt von n mit Kopfkreis des Ritzels). Der Eingriff verläuft längs der Eingriffsstrecke AE (Punktlinie).

Bild 6. Evolventen-Zahnstangengetriebe

I 172

I Maschinenelemente

Die Zahnstange verschiebt sich dabei um die Eingriffslänge e = A ' E ' = AE /cos D n. Damit mindestens ein Zahnpaar ständig im Eingriff steht, muss e > pt oder die Profilüberdeckung D = e/pt > 1 sein;

D =

AE AE = >1 pt cos αn π m cos αn

(5)

Eine Gefährdung der Eingriffsverhältnisse (D < 1) ergibt sich für Außenverzahnung bei Zähnezahlen z < 14. Dann ist Profilverschiebung erforderlich (siehe 14.4.2.8). D < 1,25 sollte vermieden werden. Die Profilüberdeckung D wird zweckmäßig zeichnerisch bestimmt durch maßstäbliches Aufzeichnen der Kopf- und Grundkreise und Abgreifen der Strecke AE (Bild 7). Rechnerisch lässt sich D bei unterschnittfreien Geradzahnrädern ermitteln aus:

D =

Die Gleichung gilt für Null- und V-Null-Getriebe. Für V-Getriebe ist statt ad der Achsabstand a und für sin D n ist sin D w, einzusetzen (siehe Tabelle 4). 14.4.2.4 Abwälzverhältnisse . Bei Eingriffsbeginn fallen Fußpunkt F und Kopfpunkt K1 in A zusammen (Bild 6). Währen der ersten Eingriffsphase wälzen die p und K C , während der zweiter Flankenteile FC 1 p und CF aufeinander ab. Aus deren unPhase CK 1 terschiedlichen Längen geht hervor, dass neben Abwälzbewegung noch Gleitbewegung stattfindet (siehe auch unter 14.2). Die außerhalb der durch Doppellinien gekennzeichneten „Arbeitsflanken” liegenden Flankenteile sind also am Eingriff nicht beteiligt. Die Lage der Zähne am Beginn und Ende des Eingriffes ist durch Strichlinien dargestellt.

2 2 2 2 − rb1 ± ra2 − rb2 B ad sin αn ra1

(6) π m cos αn obere Vorzeichen gelten bei Außen-, untere bei Innenverzahnung. ra Kopfkreisradius; rb Grundkreisradius; rb = r cos D n; ad Achsabstand; S m = pt Teilung; D n Eingriffswinkel.

Bild 7. Evolventen-Außenverzahnung

14.4.2.5 Außenverzahnung. Die Konstruktion der Zahnflanken erfolgt im Prinzip wie beim Zahnstangengetriebe, unter 14.4.4.2 beschrieben. Durch Abwälzen der Eingriffslinie auf den Grundkreisen 1 und 2 entstehen die Flanken der Zähne des Rades 1 und 2 (Bild 7). Eingriff erfolgt längs der Eingriffsstrecke AE , der der Eingriffslänge e auf der Profilq mittellinie M entspricht. Flankenteil F 1C wälzt mit q q q K 2C , Flankenteil CK1 mit CF2 ab. 14.4.2.6 Innenverzahnung. Die Zähne des Ritzels entstehen, wie unter 14.4.2.2 beschrieben. Die Zähne des Hohlrades werden mit einem Schneidrad gleichen Bezugsprofils hergestellt. Deren Flankenform gleicht der eines außenverzahnten Rades gleicher Zähnezahl (Bild 8). Der Eingriff beginnt in A (Schnittpunkt der Eingriffslinie n mit Kopflinie des gemeinsamen Bezugsprofils) und endet in E (Schnittpunkt von n mit Kopfkreis des Ritzels). Bei Eingriffsbeginn fallen Fußpunkt F1 des Ritzels und Kopfpunkt K2 des Hohlrades in A zusammen, beim Eingriffsende fallen K1 und F2 in E zusammen. Flankenteile außerhalb dieser Punkte sind also am Eingriff nicht beteiligt. Das Kopfstück des Hohlzahnes von K2 bis zum Kopfkreis könnte wegfallen oder muss mit r = l (Länge des Kopfstücks) gerundet werden, um Eingriffsstörungen zu vermeiden.

14 Zahnräder

I 173

Bild 8. Innenverzahnung, Konstruktion und Eingriffsverhältnisse

14.4.2.7 Zahnunterschnitt, Grenzzähnezahl. Beim Unterschreiten einer Grenzzähnezahl zg tritt sogenannte Unterschneidung der Zähne ein, d. h. die relative Kopfbahn des abwälzenden Zahnstangenwerkzeugs schneidet die Evolvente außerhalb des Grundkreises in F (Bild 9). Die Fußflanke von F bis zum Fußkreis ist daher am Eingriff nicht beteiligt. Dem Punkt F entspricht Punkt A auf der Eingriffslinie. Der Eingriff beginnt in A und endet in E. Die Eingriffslänge e ist gegenüber „normaler” Verzahnung verkürzt. Gleichzeitig wird die Zahnwurzel geschwächt und damit die Bruchgefahr erhöht.

Bild 9. Entstehung von Zahnunterschnitt

Zahnunterschnitt beginnt, wenn Normalpunkt N innerhalb der Kopflinie des Bezugsprofils liegt; der Grenzfall liegt vor, wenn N auf die Kopflinie in A1 fällt, d. h. ha = m = h ist. Aus der Ähnlichkeit des schraffierten Dreiecks mit Dreieck CMN folgt

h = NC sin D n = r sin2 D n. Mit r = m z /2 und h = m wird die theoretische Grenzzähnezahl zg =

2 sin 2 αn

(7)

Für den genormten Eingriffswinkel D n = 20º wird zg = 17. Der Unterschnitt wird durch Verminderung der Profilüberdeckung jedoch erst unterhalb der praktischen Grenzzähnezahl zg' = 14 schädlich. 14.4.2.8 Profilverschiebung bei Geradverzahnung. Profilverschiebung ν wird angewendet: 1. zur Vermeidung von Zahnunterschnitt, wobei ν positiv sein muss, 2. zum Erreichen eines bestimmten Achsabstands, wobei ν auch negativ sein kann. Bei positiver Profilverschiebung wird das Werkzeug gegenüber seiner Normallage abgerückt, bei negativer Verschiebung dagegen eingerückt. Man unterscheidet danach: 1. Nullräder, bei denen keine Profilverschiebung vorgenommen worden ist, 2. V-Räder mit Profilverschiebung; dabei haben V-Plus-Räder positive, VMinus-Räder negative Profilverschiebung.

Je nach Paarung der Räder unterscheidet man: 1. Nullgetriebe bei Paarung zweier Nullräder, 2. V-NullGetriebe bei Paarung von V-Plus- mit V-Minus-Rad gleicher positiver und negativer Verschiebung, 3. VGetriebe bei Paarung von V-Rad mit Nullrad oder von V-Rädern untereinander. Zur Vermeidung von Unterschnitt ist nach Bild 9 eine positive Profilverschiebung um die Strecke ν = ha – h erforderlich, sodass die Kopflinie des Bezugsprofils durch den Normalpunkt N geht. Die Profilverschiebung ν wird aus rechnerischen Gründen in den Profilverschiebungsfaktor x und den Modul m aufgespalten: ν = xm

(8)

I 174

I Maschinenelemente

Mit h = r sin2 D n = (z m /2) sin2 D n und ha = m wird x m = ha – h = m – (z m /2) sin2 Dn und daraus mit 2 /sin2 D n = zg der Profilverschiebungsfaktor x = (zg – z)/zg. Für das DIN-Rad ist zg = 17, sodass sich der Mindestprofilverschiebungsfaktor xmin ergibt zu

xmin =

17 − z 17

(9)

Für die praktische Rechnung genügt es, mit der praktischen Grenzzähnezahl zg' = 14 zu rechnen. Damit wird der praktische Profilverschiebungsfaktor

xmin =

14 − z 17

(10)

14.4.2.9 Zahnspitzengrenze. Bei positiver Profilverschiebung werden beide Flanken eines Zahnes weiter nach außen gezogen, d. h. die Zahnkopfdicke wird immer kleiner, bis sich bei einer bestimmten Profilverschiebung ν bzw. bei einem bestimmten Profilverschiebungsfaktor x die beiden Evolventenflanken in einer Spitze vereinigen. Die Zahnspitzengrenze der DIN-Geradverzahnung liegt bei zmin = 7 Zähnen. In Bild 10 ist die Grenze des Unterschnitts und die Spitzengrenze in Abhängigkeit von Zähnezahl z und Profilverschiebungsfaktor x aufgetragen.

x | 0,9 der Zahn gerade spitz. Damit wird νmax = xmax m = 0,9 · 3 mm = 2,7 mm. 14.4.2.10 Die geometrischen Größen bei V-Getrieben und V-Nullgetrieben

V-Plus-Räder : Teilkreisdurchmesser bleibt unverändert d = m z ; ebenso Grundkreisdurchmesser db = d cos D n. Kopfund Fußkreisdurchmesser da , df vergrößern sich entsprechend der Profilverschiebung auf: da = d + 2 m + 2 ν df = d – 2,5 m + 2 ν

(11) (12)

Die Zahndicke des Nullrades auf dem Teilkreis ist gleich der Zahnlücke: s = pt /2. Beim V-Plus-Rad wird der Zahn im Fuß dicker, die Zahndicke s auf dem Teilkreis wächst um 2 ν tan D n = 2 x m tan D n:

s=

pt + 2 x m tan D n 2

(13)

Wegen der Verstärkung des Zahnfußes werden auch Räder mit mehr als 17 Zähnen positiv profilverschoben. V-Minus-Räder : der Teilkreisdurchmesser bleibt unverändert d = m z ; ebenso der Grundkreisdurchmesser db = d cos D n. Kopf- und Fußkreisdurchmesser da , df verkleinern sich entsprechend der Profilverschiebung auf:

da = d + 2 m – 2 ν df = d – 2,5 m – 2 ν

(14) (15)

Der Zahn wird beim V-Minus-Rad im Fuß schwächer. Die Zahndicke s auf dem Teilkreis beträgt:

s=

Bild 10. Grenzzähnezahlen und Spitzengrenze der DIN-Geradverzahnung

Ablesebeispiele: 1. Für z = 10 liegt nach Bild 10 der Faktor x etwa zwischen 0,23 und 0,68. Unterhalb x = 0,23 tritt schädlicher Unterschnitt auf, oberhalb x = 0,68 wird der Zahn spitz, bzw. die Zahnspitze liegt schon innerhalb des Kopfkreises. 2. Welche maximale positive Profilverschiebung ν ist möglich für ein geradverzahntes Stirnrad mit z = 15 und m = 3 mm? Aus Bild 10 wird bei

pt – 2 x m tan D n 2

(16)

V-Nullgetriebe: die Herstellungsteilkreise berühren sich wie beim Nullgetriebe im Wälzpunkt C. Auch der Eingriffswinkel bleibt der gleiche. Damit bleibt auch beim V-Nullgetriebe der Achsabstand ad des Nullgetriebes erhalten. Zusammenstellung der Berechnungsgleichungen für V-Nullgetriebe siehe Tabelle 3. V-Getriebe: die Herstellungsteilkreise berühren sich nicht. Teilkreis und Betriebswälzkreise sind verschieden. Der Achsabstand a ist daher gegenüber ad verschieden. Eine rein rechnerische Vergrößerung des normalen Achsabstands ad um den Betrag ν1 + ν2, also a = ad + ν1 + ν2 würde eine Vergrößerung des Flankenspiels ergeben. Daher müssen die Räder bis zum theoretisch flankenspielfreien Eingriff wieder zusammengerückt werden. Diese Zusammenrückung ist in den Berechnungsgleichungen nach Tabelle 4 schon enthalten. Für den Achsabstand a des V-Getriebes bei flankenspielfreiem Zahneingriff gilt (siehe auch Bild 11):

14 Zahnräder

a = rw1 + rw2 =

I 175

und mit der Rechengröße ad =

a = ad

Kopfkürzung: Bei genauer Einhaltung des Kopfspiels c (z. B. c = 0,25 m) müssen die Zähne beider Räder um den Betrag der Wiedereinrückung

m cos αn (z1 + z2 ) cos α w 2 m (z1 + z2): 2

cos α o cos α b

y = ν1 + ν 2 – (a – ad ) (17)

gekürzt werden. Hierauf kann verzichtet werden, wenn z1 + z2 t 20 ist, da die Kürzung dann vernachlässigbar klein bleibt. 14.4.2.11 Die Evolventenfunktion und ihre Anwendung bei V-Getrieben

a) Definition der Evolventenfunktion. Die Evolventenfunktion ermöglicht die genaue Berechnung der geometrischen Größen am Zahnrad, die für Konstruktion, Herstellung und Messung wichtig sind wie Zahndicke, Lückenweite, Achsabstand, Spitzenradius, Pressungswinkel, Sehnenmaße usw. Nach Bild 12 ist der Pressungswinkel D der spitze Winkel zwischen einer Tangente t an das Zahnprofil und dem Mittelpunktsstrahl durch den Berührungspunkt B. Mit der Evolventenfunktion des Winkels D bezeichnet man den Polarwinkel M = invD = E – D (sprich Involut D). Winkel M, E, D im Bogenmaß. Mit E = p AT / rb und p AT = BT = rb tan D wird E = rb tan D /rb = tan D und mit inv D = E – D auch: inv D = tan D – arc D

Bild 11. Eingriffswinkel und Achsabstand a) bei Nullgetrieben, b) bei V-Getrieben

(18)

Der Zahlenwert von inv D ist also gleich der Radialprojektion der Evolventenkurve auf den Einheitskreis (r = 1). Diese Funktion lässt sich tabellarisieren (siehe Tabelle 2); zum Beispiel ist inv 20º = 0,014 904. Die für praktische Rechnungen erforderliche Genauigkeit gibt allerdings nur der elektronische Rechner. Die Tafelwerte sollen nur der Kontrolle dienen.

Bild 12. Darstellung und Anwendung der Evolventenfunktion

I 176

I Maschinenelemente

b) Anwendung der Evolventenfunktion. Bestimmung der Zahndicke s' auf beliebigem Radius r ' wie folgt: in Bild 12 ist Bogen a = rb (inv D – inv D n ) , Bogen b = a rw / rb , Bogen c = s – 2 b und s' = cr '/rw, sodass mit s = (pt / 2) + 2 x m tan Dn nach (13) oder s = (S m / 2) + 2 x m tan D n die Zahndicke s' auf beliebigem Radius r ' wird: r' r' s' = c = ( s − 2 b) rw rw und nach einigen Umformungen: (19)  1 π   s' = 2 r '  + 2 x tan αn − (inv α − inv αn )    z 2 

Der Pressungswinkel D kann mit rw = r bestimmt werden aus cos D =

rb r'

=

r cos αn r'

(20)

Gleichung (19) für s' kann benutzt werden zur Berechnung der Zahndicke sa auf dem Kopfkreis mit dem Radius ra , indem für s' = sa , für r ' = ra eingesetzt und cos D a = r cos D n /ra berechnet wird. Auf den Betriebswälzkreisen muss die Summe der Zahndicken sw1 und sw2 gleich der Teilung ptw sein: ptw = sw1 + sw2. Damit ergeben sich die Gleichungen zur Bestimmung des Achsabstands a und der Summe der Profilverschiebungsfaktoren (23) und (24). Mit Gleichung (19) wird  1π   ptw = 2 rw1  + 2 x1 tan αn − (inv α − inv αn ) +   z1 2   1π   + 2 rw2  + 2 x2 tan αn − (inv α − inv αn )    z2  2 

Mit 2 S rw1 = z1 ptw und 2 S rw2 = z2 ptw wird

2

x1 + x2 tan D n = inv D – inv D n z1 + z2

(21)

Diese Gleichung liefert bei gegebenen Profilverschiebungsfaktoren x1, x2 den Betriebs-Eingriffswinkel D w aus inv D w = 2

x1 + x2 tan D n + inv D n z1 + z2

(22)

D w wird aus der Evolventen-Funktionstabelle 2 abge-

lesen. Der Betriebs-Wälzkreisradius rw ergibt sich wieder aus der bekannten Beziehung rw1 = rb1/cos D w oder rw2 = rb2/cos D w und damit der Achsabstand m cos αn = a = rw1 + rw2 = ( z1 + z2 ) 2 cos α w cos αn (23) cos α w Ist der Achsabstand a = rw1 + rw2 gegeben, kann nach Gleichung (23) cos D w bestimmt und D w aus der Funktionstabelle abgelesen werden. Über die Evolventen-Funktionstabelle ist damit auch inv D w bekannt und mit (22) kann die Summe der Profilverschiebungsfaktoren bestimmt werden:

= a0

x1 + x2 =

inv α w − inv αn (z1 + z2) 2 tan αn

(24)

Für die Aufteilung der Summe x1 + x2 auf die beiden Räder gilt Bild 13 nach DIN 3992 – Empfehlungen für die Wahl der Profilverschiebung.

Ablesebeispiel: Gegeben z1 = 24, z2 = 108, damit i = 4,5, Summe x1 + x2 = + 0,5. Man trägt über mittlerer Zähnezahl z = (z1 + z2) / 2 = (24 + 108) / 2 = 66 den mittleren Verschiebungswert x = (x1 + x2) / 2 = + 0,25 von der Nulllinie auf. Die den benachbarten L-Linien angepasste Gerade ergibt für z1 und z2 die Werte x1 = + 0,36 und x2 = + 0,14.

Bild 13. Aufteilung der Summe der Profilverschiebungsfaktoren: Paarungslinien L bei i > 1 (Übersetzung ins Langsame), S bei i < 1 (Übersetzung ins Schnelle)

14 Zahnräder

I 177

Minuten

Tabelle 2. Evolventenfunktion inv D = tan D – arc D

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59

inv D für D º

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 0,00749 0,00903 0,01076 0,01272 0,01490 0,01735 0,02005 0,02305 0,02635 0,02997 0,03395 0,03829 0,04302 751 905 1 079 1 275 1 494 1 739 2 010 2 310 2 641 3 004 3 402 3 836 4 310 754 908 1 082 1 278 1 498 1 743 2 015 2 315 2 646 3 010 3 408 3 844 4 318 757 911 1 085 1 282 1 502 1 747 2 019 2 321 2 652 3 017 3 416 3 851 4 326 759 913 1 088 1 285 1 506 1 752 2 024 2 326 2 658 3 023 3 423 3 859 4 335 661 916 1 092 1 289 1 510 1 756 2 029 2 331 2 664 3 029 3 429 3 867 4 343 764 919 1 095 1 292 1 514 1 760 2 034 2 336 2 670 3 036 3 436 3 874 4 351 766 922 1 098 1 296 1 518 1 765 2 039 2 342 2 676 3 042 3 443 3 882 4 359 769 924 1 101 1 299 1 522 1 769 2 044 2 347 2 681 3 048 3 450 3 889 4 368 771 927 1 104 1 303 1 525 1 773 2 048 2 352 2 687 3 055 3 457 3 897 4 376 774 930 1 107 1 306 1 529 1 778 2 053 2 358 2 693 3 061 3 464 3 905 4 384 776 933 1 110 1 310 1 533 1 782 2 058 2 363 2 699 3 068 3 471 3 912 4 393 779 936 1 113 1 313 1 537 1 786 2 063 2 368 2 705 3 074 3 478 3 920 4 401 781 938 1 117 1 317 1 541 1 791 2 068 2 374 2 711 3 081 3 486 3 928 4 410 783 941 1 120 1 320 1 545 1 795 2 073 2 379 2 717 3 087 3 493 3 935 4 418 786 944 1 123 1 324 1 549 1 799 2 078 2 385 2 723 3 094 3 499 3 943 4 426 788 947 1 126 1 327 1 553 1 804 2 082 2 390 2 728 3 100 3 507 3 951 4 435 791 949 1 129 1 331 1 557 1 808 2 087 2 395 2 734 3 107 3 514 3 959 4 443 793 952 1 132 1 335 1 561 1 813 2 092 2 401 2 740 3 113 3 521 3 966 4 452 796 955 1 136 1 338 1 565 1 817 2 097 2 406 2 746 3 119 3 528 3 974 4 460 798 958 1 139 1 342 1 569 1 822 2 102 2 411 2 752 3 126 3 535 3 982 4 468 801 961 1 142 1 345 1 573 1 826 2 107 2 417 2 758 3 133 3 542 3 990 4 477 803 964 1 145 1 349 1 577 1 831 2 112 2 422 2 764 3 139 3 549 3 997 4 486 806 967 1 148 1 353 1 581 1 835 2 117 2 428 2 770 3 146 3 557 4 005 4 494 808 969 1 152 1 356 1 585 1 840 2 122 2 433 2 776 3 152 3 564 4 013 4 502 811 972 1 155 1 360 1 589 1 844 2 127 2 439 2 782 3 159 3 571 4 021 4 511 813 975 1 158 1 363 1 593 1 849 2 132 2 444 2 788 3 165 3 578 4 029 4 519 816 978 1 161 1 367 1 597 1 853 2 137 2 450 2 794 3 172 3 585 4 037 4 528 818 981 1 164 1 371 1 601 1 858 2 142 2 455 2 800 3 178 3 592 4 044 4 537 821 984 1 168 1 374 1 605 1 862 2 147 2 461 2 806 3 185 3 599 4 052 4 545 823 987 1 171 1 378 1 609 1 867 2 151 2 466 2 812 3 192 3 607 4 060 4 554 826 989 1 174 1 382 1 613 1 871 2 156 2 472 2 818 3 198 3 614 4 068 4 562 829 992 1 178 1 385 1 617 1 876 2 161 2 477 2 824 3 205 3 621 4 076 4 571 831 995 1 181 1 389 1 621 1 880 2 167 2 483 2 830 3 212 3 629 4 084 4 579 834 908 1 184 1 393 1 625 1 885 2 171 2 488 2 836 3 218 3 636 4 092 4 588 836 0,01001 1 187 1 396 1 629 1 889 2 177 2 494 2 842 3 225 3 643 4 099 4 597 839 1 004 1 191 1 399 1 634 1 894 2 181 2 499 2 848 3 231 3 650 4 108 4 605 841 1 007 1 194 1 404 1 638 1 898 2 187 2 505 2 855 3 238 3 658 4 116 4 614 844 1 010 1 197 1 407 1 642 1 903 2 192 2 510 2 861 3 245 3 665 4 124 4 623 847 1 013 1 201 1 411 1 646 1 907 2 197 2 516 2 867 3 252 3 672 4 132 4 631 849 1 016 1 204 1 415 1 650 1 912 2 202 2 521 2 873 3 258 3 680 4 139 3 640 852 1 019 1 207 1 419 1 654 1 917 2 207 2 527 2 879 3 265 3 687 4 148 4 649 854 1 022 1 211 1 422 1 658 1 921 2 212 2 532 2 885 3 272 3 695 4 156 4 657 857 1 025 1 214 1 426 1 663 1 926 2 217 2 538 2 891 3 279 3 702 4 164 4 666 860 1 028 1 217 1 430 1 667 1 930 2 222 2 544 2 898 3 285 3 709 4 172 4 675 862 1 031 1 221 1 433 1 671 1 935 2 227 2 549 2 904 3 292 3 717 4 180 4 684 865 1 034 1 224 1 437 1 675 1 940 2 232 2 555 2 910 3 299 3 724 4 188 4 692 868 1 037 1 227 1 441 1 679 1 944 2 238 2 561 2 916 3 306 3 731 4 196 4 701 870 1 040 1 231 1 445 1 684 1 949 2 243 2 566 2 922 3 312 3 739 4 204 4 710 873 1 043 1 234 1 449 1 688 1 954 2 248 2 572 2 929 3 319 3 746 4 212 4 719 876 1 046 1 237 1 452 1 692 1 958 2 253 2 578 2 935 3 326 3 754 4 220 4 728 878 1 049 1 241 1 456 1 696 1 963 2 258 2 583 2 941 3 333 3 761 4 228 4 736 881 1 052 1 244 1 459 1 700 1 968 2 263 2 589 2 947 3 340 3 769 4 236 4 745 884 1 055 1 248 1 464 1 705 1 972 2 268 2 595 2 954 3 347 3 776 4 244 4 754 886 1 058 1 251 1 467 1 709 1 977 2 274 2 601 2 960 3 353 3 783 4 253 4 763 889 1 061 1 254 1 471 1 713 1 982 2 279 2 606 2 966 3 360 3 791 4 261 4 772 892 1 064 1 258 1 475 1 717 1 986 2 284 2 612 2 972 3 367 3 798 4 269 4 780 894 1 067 1 261 1 479 1 722 1 991 2 289 2 618 2 979 3 374 3 806 4 277 4 789 897 1 070 1 265 1 483 1 726 1 996 2 294 2 624 2 985 3 381 3 814 4 285 4 798 899 1 073 1 268 1 487 1 730 2 001 2 300 2 629 2 991 3 388 3 821 4 294 4 807

I 178

I Maschinenelemente

Tabelle 3. Rechenschema zur Bestimmung der geometrischen Größen beim Geradzahn-V-Nullgetriebe bei gegebenen Zähnezahlen z1, z2 und gegebenem Modul m (Außengetriebe) geometrische Größe

Formelzeichen

Berechnungsgleichung

Übersetzung Teilkreisradius Teilkreisteilung Grundkreisradius

i r pt rb

i = n1 / n2 = z2 / z1 = r2 / r1 = Mt2 / Mt1 r = d/2 = m z/2 pt = m S rb = r cos D n

Grundkreisteilung

pb

pb = pt cos D n

Mindest-Profilverschiebungsfaktor bei z1 < 17 Profilverschiebung Kopfkreisradius

x ν ra

Fußkreisradius

rf

Achsabstand (Rechengröße)

ad

x = (17 – z1) / 17 ν1 = x1 m; ν2 = – ν1, wegen x2 = – x1 ra1 = r1 + m + ν1 ra2 = r2 + m – ν1 rf1 = r1 – m (1,25 – x1) für Zahnkrafthöhe des rf2 = r2 – m (1,25 + x2) Werkzeugs h fP = 1,25 m ad = r1 + r2 = m (z1 + z2) / 2

Profilüberdeckung

D

D =

2 2 2 2 − rb1 ± ra2 − rb2 B ad sin α n ra1

m π cos αn

ad ist „normaler” Achsabstand nach (4); x1, x2 Profilverschiebungsfaktoren nach (10); m Modul; z1, z2 Zähnezahlen; zu D: obere Vorzeichen für Außenverzahnung, untere für Innenverzahnung Tabelle 4. Rechenschema zur Bestimmung der geometrischen Größen beim Geradzahn-V-Getriebe (Außengetriebe) geometrische Größe

Formelzeichen

Übersetzung Teilkreisradius Teilkreisteilung Grundkreisradius Grundkreisteilung

i r pt rb pb

Wälzkreisradius

rw

Betriebseingriffswinkel

Dw

Mindest-Profilverschiebungsfaktor bei z1 < 17 Profilverschiebung Summe der Profilverschiebungsfaktoren

x ν x1 + x2

Achsabstand

a

Rechengröße

ad

Kopfkreisradius

ra

Fußkreisradius

rf

Profilüberdeckung

D

Berechnungsgleichung i = n1 / n2 = z2 / z1 = r2 / r1 = rw2 / rw1 = M2 / M1 r = d/2 = m z/2 pt = m S rb = r cos D n pb = pt cos D n rb rw = cos α w

x + x2 a tan D n + inv Dn; cos D w = cos D n d inv D w = 2 1 a z1 + z2 x = (17 – z1) / 17 ν1 = x1 m ; ν2 = x2 m inv α w − inv αn (z1 + z2) x1 + x2 = 2 tan αn

m ( z1 + z2 ) cos αn cos αn ; a = ad 2 cos α w cos α w ad = r1 + r2 = m (z1 + z2) / 2 ra1 = a + m (1 – x2) – r2 ra2 = a + m (1 – x1) – r1 rf1 = r1 – m (1,25 – x1) für Zahnkopfhöhe des rf2 = r2 – m (1,25 – x2) Werkzeugs hfP = 1,25 m a = rw1 + rw2 =

D =

2 2 2 2 − rb1 ± ra2 − rb2 B a sin α w ra1

m π cos αn

14 Zahnräder

I 179

14.5 Geradstirnräder

Fr = Ft tan D n | 0,364 Ft

14.5.1 Verwendung, Eigenschaften

Verwendung bei kleineren bis mittleren Umfangsgeschwindigkeiten (vu0 < 20 m/s) für Universalgetriebe, Hebezeuge, Winden, Verschieberädergetriebe in Werkzeugmaschinen. Geradstirnräder erzeugen im Gegensatz zu Schrägstirnrädern keine Axialkraft und damit keine zusätzlichen Lagerbelastungen, sind jedoch bei hohen Drehzahlen hinsichtlich Laufruhe und Geräuschbildung ungünstiger. 14.5.2 Allgemeine Abmessungen, geometrische Größen, Profilverschiebung

Allgemeine Abmessung und Verzahnungsmaße siehe unter 14.3; Eingriffsstrecke, Eingriffslänge, Profilüberdeckung siehe unter 14.4.2.3; Zahnunterschnitt, Grenzzähnezahl siehe unter 14.4.2.7; Profilverschiebung, Spitzengrenze siehe unter 14.4.2.8 und 14.4.2.9; geometrische Größen bei V- und V-Nullgetrieben siehe unter 14.4.2.10. 14.5.3 Kraftverhältnisse

Zahnkraft Fbt wirkt rechtwinklig zur Zahnflanke längs der Eingriffslinie. Komponenten sind die Umfangskraft Ft und die Radialkraft Fr (Bild 14). Aus Drehmoment M und Teilkreisdurchmesser d ergibt sich die Umfangskraft (Tangentialkraft). 2M Ft = d Ft M N Nmm

d mm

(27)

Bild 14. Kräfte am Geradzahn-Stirnrad

Bei Eingriffswinkel D n = 20º werden hiermit die Radialkraft Fr und die Zahnkraft Fb t:

Fb t =

Ft | 1,065 Ft cos αn

(28) (29)

14.5.4 Berechnung der Zähne

Die genaue Berechnung der Tragfähigkeit der Zähne kann nur eine Nachprüfung sein, da alle Verzahnungsdaten bekannt sein müssen. 14.5.4.1 Vorwahl der Hauptabmessungen. Vor der Nachprüfung werden die Hauptabmessungen der Zahnräder (Modul, Zähnezahl, Teilkreisdurchmesser, Breite) zunächst überschlägig mit Erfahrungsdaten festgelegt. Man unterscheidet folgende Fälle: a) Durchmesser dr der Welle für das Ritzel ist aus vorhergegangener Festigkeitsberechnung gegeben oder überschlägig bestimmt nach Gl. 5 in Kapitel 10 Der hierfür erforderliche, möglichst kleine RitzelTeilkreisdurchmesser ergibt sich aus:

d1 t

1,8 d r z1 z1 − 2,5

d1, dr mm

(30)

z1 1

Bei Ausbildung als Ritzelwelle (Welle und Ritzel aus einem Stück) wird

d1 |

1,1 d r z1 z1 − 2,5

(31)

Als Ritzelzähnezahl wählt man bei hohen Umfangsgeschwindigkeiten (v > 5 m/s): z1 | 20 ... 25; bei mittleren Umfangsgeschwindigkeiten (v = 1 ... 5 m/s): z1 | 18 ... 22; bei kleinen Umfangsgeschwindigkeiten (ν < 1 m/s): z1 | 15 ... 20. Zur Ermittlung von v = d1 S n / 60 000 wählt man zunächst d1 | 2 dr bzw. | 1,25 dr . Der Modul ergibt sich dann aus m = d1/z1; gewählt wird der nächstliegende nach DIN 780, Tabelle 1. Zur Festlegung der Zahnbreite nimmt man aus b1 | \d d1 und b1 | \m m etwa den mittleren Wert. Breitenverhältnis \d = b1/d1 nach Bild 15. Breitenverhältnis \m = b1/m | 10 bei gegossenen Zähnen; \m | 15 bei geschnittenen Zähnen, Lagerung auf Trägern, Sockeln, Ritzel fliegend; \m | 25 bei genau geschnittenen Zähnen, guter Lagerung in Getriebekästen; \m t 30 bei bester Verzahnung und genauester starrer Lagerung. Zur Vermeidung von „Radversetzungen” und zum Ausgleich von Einbauungenauigkeiten wählt man die Breite des Großrades b2 | b1 – 5 mm.

I 180

I Maschinenelemente

d Breitenverhältnis nach Bild 15; H lim Hertz’sche Pressung des Ritzels nach Tabelle 5 (zur Vorwahl des Ritzelwerkstoffs Tabelle 6) n1 Drehzahl des teibenden Rades. Ritzelzähnezahl, Modul und Zahnbreite wählt man wie oben unter a). Bei der Wahl der Ritzelzähnezahl ist zu beachten, dass die Bedingungen nach (30) bzw. (31) erfüllt sind. Der Durchmesser der Ritzelwelle kann dabei überschlägig ermittelt werden aus dr  0,65 3 M1 in mm (M1 in Nmm). c) Achsenabstand a ist aus baulichen Gründen gegeben (häufig bei Feinmaschinen). Der Teilkreisdurchmesser des treibenden Rades (meist des Ritzels) wird dann

Bild 15. Breitenverhältnis d

Kurve a: Schaltgetriebe und Getriebe mit kleinen Drehzahlen; Verzahnung und Wellenlagerung in mittlerer Ausführung; bei „fliegendem” Ritzel Kurve b: Getriebe mit mittleren Drehzahlen; Universalgetriebe; Verzahnung und Wellenlagerung in guter, handelsüblicher Ausführung Kurve c: Schnelllaufende Getriebe mit hoher Lebensdauer; Verzahnung und Wellenlagerung mit hoher Genauigkeit Kurve d: Schnelllaufende Getriebe mit höchster Lebensdauer; Verzahnung und Wellenlagerung mit höchster Präzision bei starr gelagerten Wellen b) Wellendurchmesser sind noch unbekannt; nicht gebunden an bestimmten Achsenabstand; Übertragung größerer Leistungen. Man bestimmt den Teilkreisdurchmesser des treibenden Rades (meist des Ritzels) aus

d1 

950

σ H lim

⋅3

M1 σ H lim i +1 ⋅ ψd i

2a i +1

d1, a mm

i 1

(34)

Bei Leistungsgetrieben sollen gleichzeitig die Bedingungen nach (32) bzw. (33) erfüllt sein. Gegebenenfalls ist der H lim-Wert und damit der Werkstoff des Ritzels entsprechend zu wählen. Für die Festlegung von Ritzelzähnezahl, Modul und Zahnbreite gelten die Angaben wie oben zu a) und b). Vielfach lässt sich jedoch der verlangte Achsenabstand nur durch entsprechende Profilverschiebung erreichen (siehe unter 14.4.2.11).

14.5.4.2 Vorwahl der Zahnradwerkstoffe. Der Werkstoff des Ritzels soll mindestens eine um 50 N/mm2 höhere Bruchfestigkeit haben als der des Rades. Gegebenenfalls ist der Werkstoff zu ändern, falls die Nachprüfung der Zähne dieses erfordert.

(32)

oder aus

d1 

d1 =

20500 3 P1 σ H lim i +1 ⋅ ⋅ σ H lim ψd n1 i

(33)

d1

M1

P1

H lim

n1

d , 1

mm

Nm

kW

N mm 2

min–1

1

M1 Drehmoment des teibenden Rades; P1 zu übertragende Leistung; i Übersetzung des Radpaares;

14.5.4.3 Wahl der Verzahnungsqualität. Für die Toleranzen und damit für die Genauigkeit der Verzahnung sind nach DIN 3960 zwölf Qualitäten vorgesehen. Für deren Wahl sind insbesondere das Verwendungsgebiet und die Umfangsgeschwindigkeit maßgebend, Richtlinien für die Auswahl der Qualität siehe Bild 16.

Normen: DIN 3961 DIN 3962 DIN 3963 DIN 3964

Erläuterungen zu den Toleranzen für Stirnradverzahnungen zulässige Einzelfehler der Verzahnungen zulässige Sammelfehler Toleranzen für die Einbaumaße

14 Zahnräder

I 181

Tabelle 5. Werkstoffe und Festigkeitswerte für Zahnräder (Empfehlungen nach DIN 3990)

Dauerfestigkeitswerte für Nr.

Werkstoff

Art der Behandlung

Rm N/mm2

Zahnfußspannung bei Schwelllast

Hertz’sche Pressung

N/mm2

N/mm2

F lim

H lim

1

Gusseisen mit

EN-GJL-200

200

50

270

2

Lamellengraphit

EN-GJL-250

250

60

310

3

EN-GJL-350

350

80

360

4

Gusseisen mit

EN-GJS-400-15

800

200

360

5

Kugelgraphit

EN-GJS-500-7

900

210

420

6

EN-GJS-600-3

1 000

220

490

7

EN-GJS-700-2

1 100

230

525

GE 240

410

130

280

GE 260

470

150

340

GE 300

520

170

420

450

170

290

8

Stahlguss

9 10 11

allgemeiner

12

Baustahl,

E 295

550

190

340

13

unlegiert,

E 355

650

200

400

14

ungehärtet

E 360

800

220

460

15

Vergütungsstahl

C22 E

vergütet

600

170

440

16

C45 E

umlaufgehärtet

1 000

270

1 100

17

C45 E

badnitriert

1 100

350

1 100

18

C60 E

vergütet

900

220

620

19

34Cr4

vergütet

900

260

650

20

37Cr4

vergütet

950

270

650

21

37Cr4

umlaufgehärtet

1 150

310

1 280

22

42CrMo4

vergütet

1 100

290

670

23

42CrMo4

umlaufgehärtet

1 300

350

1 360

24

42CrMo4

badnitriert

1 450

430

1 220

34CrNiMo6

vergütet

1 300

320

770

C15 E

einsatzgehärtet

900

230

1 600

25 26

Einsatzstahl

27

16MnCr5

1 400

460

1 630

28

20MnCr5

1 500

480

1 630

29

20MoCr4

1 300

400

1 630

30

15CrNi6

1 600

500

1 630

31

18CrNi8

1 700

500

1 630

32

17CrNiMo6

1 700

500

1 630

I 182

I Maschinenelemente

Tabelle 6. Beispiele für den Betriebsfaktor cs Der Betriebsfaktor berücksichtigt die Betriebsart des Systems „Kraftmaschine – Getriebe – Arbeitsmaschine”, insbesondere Drehmomentenschwankungen von der Antriebsseite her und Stöße aus der Arbeitsmaschine. Er wird im Einvernehmen mit dem Abnehmer des Getriebes festgelegt. Kraftmaschine (Antrieb) Turbine Elektromotor Verbrennungsmotor Elektromotor

Arbeitsmaschine (Abtrieb)

Betriebsfaktor cs

Kreiselpumpe Werkzeugmaschine Schiffsschraube Walzwerksanlage

1,1 1,25 1,4 1,5

14.5.4.4 Nachprüfung der Zähne. Nach Vorwahl und Festlegung der Verzahnungsdaten wird die Zahnfußbeanspruchung und die Flankenbeanspruchung (Hertz’sche Pressung) nachgeprüft. Für umfangreichere Berechnungen zum Tragfähigkeitsnachweis bei Zahnrädern sind die Normen heranzuziehen, insbesondere die Empfehlungen aus DIN 3990 (für Stirnräder), 3991 (für Kegelräder), 3996 (ZylinderSchneckengetriebe) Nachprüfung der Zahnfußbeanspruchung. Der Zahnfuß ist am stärksten gefährdet, wenn die Zahnkraft Fbt am Kopfpunkt des Zahnes angreift (Bild 17). Gefährdeter Querschnitt A – B wird durch Komponente Fd auf Druck, durch Moment Mb = Fb l auf Biegung und zusätzlich durch Fb auf Schub (vernachlässigbar) beansprucht. Werden Fd und Fb durch Umfangskraft Ft ausgedrückt und die konstanten bzw. wenig veränderlichen Verzahnungsdaten (D n , E , l, sf) in YF zusammengefasst, dann ergibt sich die Zahnfußspannung

VF =

Ft YF Y d VFP bm

VF , VFP

Ft

b, m

YF Y

N mm 2

N

mm

1

(35)

Bild 17. Kräfte am Zahn

Bild 16. Richtlinien für die Wahl der Verzahnungsqualität. a) nach Verwendungsgebiet, b) nach Umfangsgeschwindigkeit, c) nach Herstellungsverfahren

Umfangskraft am Teilkreis Ft = 2 M1 cS /d1, worin M1 (Nenn-)Drehmoment des Ritzels in Nmm, cS Betriebsfaktor nach Bild 6, Ritzel-Teilkreisdurchmesser in mm, b Zahnbreite; m Modul; YF Zahnformfaktor, abhängig von den Verzahnungsdaten, nach Bild 18; Y Überdeckungsfaktor zur Berücksichtigung der Profilüberdeckung ist. Man setzt Y = 1 bei „normaler” Verzahnung (Qualität 8 ... 12), rohen Zähnen und geringer Belastung, da hierbei nicht damit zu rechnen ist, dass mehrere Zahnpaare gleichzeitig die

14 Zahnräder

I 183

Umfangskraft übertragen; Y  0,8 bei genauer Verzahnung (Qualität 5 ... 7) und höherer Belastung. FP ist die zulässige Zahnfußspannung; man setzt FP = Rm / v (bei langsam laufenden Rädern und handbetätigten Hebezeugen, Sicherheit v  2,5), FP = F lim / ν (bei schnelllaufenden Rädern, K | 2). Entsprechende Festigkeitswerte siehe Tabelle 5. Die Nachprüfung soll immer für beide Räder durchgeführt werden.

Belastung kann Z | 0,8 gesetzt werden; Zonenfaktor ZH ist abhängig von den Verzahnungsdaten und erfasst die Krümmung der Zahnflanken:

ZH =

1 cos α t

ZH = 2

2 cos β b tan α wt

cos β b sin (2 α t )

für Zahnräder

(37)

für Null-Kegelräder

(38)

Eingriffswinkel im Stirnschnitt D t am Teilkreis nach tan D t = tan D n/cos E (bei Geradverzahnung ist E = 0 und damit D t = D n = 20º); Betriebseingriffswinkel im Stirnschnitt D wt bei vorgeschriebenem Achsabstand a nach D wt = arccos ad D t /a mit Achsabstand ad ohne Profilverschiebung nach (42); Schrägungswinkel E b am Grundkreis nach arctan E b = (tan E b cos D t) mit Schrägungswinkel E am Teilkreis siehe 14.6.2 Zulässige Hertz’sche Pressung aus VHP = VH lim / v, wobei v | 1,5 einzusetzen ist. VH lim aus Tabelle 5. Tabelle 7. Richtwerte für den Elastizitätsfaktor ZE

in N/mm 2 Werkstoff des Ritzels

Bild 18. Ermittlung des Zahnformfaktors YF

Nachprüfung der Flankenbeanspruchung. Die an den Zahnflanken auftretende Flächenpressung ist für die Lebensdauer eines Getriebes von entscheidender Bedeutung. Um eine fortschreitende „Grübchenbildung” an den Flächen zu vermeiden und die Lebensdauer der Zähne nicht zu gefährden, darf die im Wälzpunkt auftretende Hertz’sche Pressung einen zulässigen Wert nicht überschreiten:

VH =

Ft u +1 Z E Z Z H d VHP b d1 u

(36)

p

Ft

b, d1 u, ZH, Z

ZE

N mm 2

N

mm

N mm 2

1

Umfangskraft am Teilkreis Ft = 2 M1 cS /d1 wie zu (35); b Zahnbreite (von beiden Rädern die kleinere); d1 Teilkreisdurchmesser des Ritzels, u = z2 / z1 t 1 Zähnezahlverhältnis gleich Verhältnis der Zähnezahl des Großrades zur Zähnezahl des Ritzels, bei i > 1 ist u = i ; ZE Elastizitätsfaktor zur Berücksichtigung des E-Moduls der Werkstoffe der Räder nach Tabelle 7; Z Überdeckungsfaktor zur Berücksichtigung der Länge der Berührungslinien: Bei „normaler” Verzahnung (Qualität 8 ... 12), rohen Zähnen und geringer Belastung ist mit gleichzeitiger Übertragung der Kraft durch mehrere Zahnpaare nicht zu rechnen, man setzt dann Z = 1; bei genauer Verzahnung und höherer

Werkstoff des Rades

Stahl

Stahl Stahlguss GE 300 Kugelgraphitguss EN-GJS-500-7 Grauguss EN-GJL-250 Guss-ZinnBronze G-SnBz 14 Kugel- EN- Kugelgraphit- GJS- graphitEN-GJS-400-15 guss 500-7 guss Stahl Duoplast-Schichtstoff (Hartgewebe)

Elastizitätsfaktor ZE in N/mm 2

189,8 188,9 181,4 163,5 155 173,9 57,2

14.6 Schrägstirnräder 14.6.1 Verwendung, Eigenschaften

Die Zähne sind auf dem Radzylinder schraubenförmig gewunden und bilden am Teilkreis mit der Radachse den Schrägungswinkel E. Bei Paarung zweier Räder zum Stirnradgetriebe müssen die Zähne des einen Rades rechts- die des anderen linkssteigend sein. Zwei Räder mit Zähnen gleichen Steigungssinnes ergeben ein Schraubradgetriebe. Verwendung bei höheren Drehzahlen und Belastungen, ruhiger, geräuscharmer Lauf; größerer Überdeckungsgrad gegenüber Geradstirnrädern; jedoch Axialschub, der durch Doppelschräg- oder Pfeilzähne aufgehoben werden kann.

I 184

I Maschinenelemente

14.6.2 Allgemeine Abmessungen

Schrägungswinkel üblich   10º ... 20º. Im Normalschnitt rechtwinklig zur Flankenrichtung zeigt sich die normale Evolventenverzahnung mit dem Normaleingriffswinkel D n und der Normalteilung pn = mn S (mn Normalmodul gleich Normmodul). An der Stirnfläche des Rades wird die Stirnteilung pt = pn /cos E gemessen, entsprechend Stirnmodul mt = mn /cos E (Bild 19); Stirneingriffswinkel D t aus Dt = (arctan D n /cos E ). Teilkreisdurchmesser d, Kopfkreisdurchmesser da , Grundkreisdurchmesser db und Achsabstand ad ergeben: mn z cos β da = d + 2 mn db = d cos D t

d = mt z =

ad =

d1 + d 2 mn ( z1 + z2 ) = 2 2 cos β

Der Sprung Sp ist die auf die Zahnbreite bezogene, am Teilkreis gemessene Schrägstellung der Zähne (Bild 19).

14.6.4 Ersatz-Geradstirnrad, Grenzzähnezahl

Man führt zweckmäßig das Schrägstirnrad mit der Zähnezahl z auf ein Geradstirnrad, das Ersatz-Geradstirnrad zurück. Hierfür gelten dann sinngemäß die Angaben unter 14.4.2.7.

(39) (40) (41) (42)

Bild 20. Ersatz-Geradstirnrad

Für das aus dem Normalschnitt entstehende Ersatzrad (Bild 20) ergibt sich die Ersatzzähnezahl

zn =

z cos3 β

(44)

Wird zn = zg = 17 gesetzt, dann ergibt sich die Grenzzähnezahl bei Schrägstirnrädern

zgS = 17 cos3 E Bild 19. Abmessungen der Schrägzahn-Stirnräder 14.6.3 Eingriffsstrecke, Eingriffslänge, Profilüberdeckung

Für die Eingriffsstrecke gD und die Eingriffslänge e gelten sinngemäß die Angaben und Gleichungen unter 14.4.2.3 und in Tabelle 3, wobei D n = D t zu setzen ist. Die Gesamtüberdeckung ges ergibt sich aus der Profilüberdeckung D nach (6), worin D n = D t zu setzen ist, und der Sprungüberdeckung E = Sp / pt mit Sprung Sp = b tan E :

ges = D + E

(43)

(45)

14.6.5 Profilverschiebung, Zahnspitzengrenze

Bei Zähnezahlen z < zgS ist zur Vermeidung von Unterschnitt Profilverschiebung erforderlich. Zur Ermittlung der Profilverschiebung ν und der Profilverschiebungsfaktoren xth und x gelten die unter 14.4.2.8 hergeleiteten Gleichungen (8), (9) und (10), wobei m = mn (Normalmodul) und z = zn zu setzen sind. Ebenso wie die Grenzzähnezahl liegt auch die Spitzengrenze mit größer werdendem Schrägungswinkel E niedriger. Grenzzähnezahlen und Spitzengrenze sind in Abhängigkeit vom Schrägungswinkel in Bild 21 dargestellt.

14 Zahnräder

I 185 Man ermittelt den Ritzel-Teilkreisdurchmesser d1 nach (30) bzw. (31). Als Ritzelzähnezahl wählt man ein bis zwei Zähne weniger als bei Geradzähnen (siehe unter 14.5.4.1a). Der Stirnmodul ergibt sich aus mt = d1/z1. Die Zahnbreiten b1 und b2 wählt man wie für Geradstirnräder, jedoch soll m= b1/mt  30 bei größeren Schrägungswinkeln ( > 25º) nicht überschreiten. Den Schrägungswinkel  bestimmt man so, dass die Sprungüberdeckung   1 ... 1,2 beträgt (günstig für Laufruhe, keine zu großen Axialkräfte). Aus

Bild 21. Grenz- und Mindestzähnezahlen bei Schrägverzahnung

 =

Sp b1 tan β = π mt pt

kann der Schrägungswinkel ermittelt werden aus 14.6.6 Kraftverhältnisse

Die Schrägung der Zähne ergibt zusätzliche Axialkraft. Nach Bild 22 ergeben sich mit der Umfangskraft Ft = 2 M /d die Axialkraft Fa und die Radialkraft Fr :

Fa = Ft tan  Fr =

Ft tan αn cos β

(46) (47)

 = arctan

π mt b1

∈ β ≈ 3,5

mt b1

(48)

Mit ß ergibt sich dann der Normalmodul mn = mt cos . Für diesen wird der nächstliegende Norm-Modul nach Tabelle 1 gewählt und hiermit die endgültigen Radabmessungen nach 14.6.2 festgelegt. b) Wellendurchmesser noch unbekannt; nicht gebunden an bestimmten Achsenabstand; Übertragung größerer Leistungen. Man ermittelt den Ritzel-Teilkreisdurchmesser wie bei Geradstirnrädern nach (32) bzw. (33). Zur Ermittlung der sonstigen Baugrößen ist wie unter a) zu verfahren. Gleichzeitig sind die Hinweise unter 14.5.4.1b zu beachten. c) Achsenabstand ist aus baulichen Gründen gegeben. Bestimmung des Teilkreisdurchmessers des treibenden Rades nach (34). Für die Festlegung der sonstigen Baugrößen gelten sinngemäß die Angaben zu 14.5.4.1 c). 14.6.7.2 Werkstoffe, Verzahnungsqualität. Für die Wahl der Werkstoffe und der Verzahnungsqualität sind die gleichen Gesichtspunkte wie für Geradstirnräder maßgebend, siehe unter 14.5.4.2 und 14.5.4.3.

Bild 22. Kraftverhältnisse am Schrägzahn-Stirnradgetriebe 14.6.7 Berechnung der Zähne

Die Berechnung wird im Prinzip wie für Geradstirnräder unter 14.5.4 durchgeführt. 14.6.7.1 Vorwahl der Hauptabmessungen

a) Durchmesser d der Welle des Ritzels ist bekannt oder überschlägig bestimmt nach Gl. 5 in Kap. 10.

14.6.7.3 Nachprüfung der Zähne. Die Tragfähigkeit der Zähne der Schrägstirnräder wird genauso geprüft wie die der Geradstirnräder: Nachprüfung der Zahnfuß-Tragfähigkeit nach (35) und der Flanken-Tragfähigkeit nach (36). An Stelle von m ist jeweils der Normalmodul mn , an Stelle von z die Ersatzzähnezahl z n zu setzen. ■ Beispiel: Für den Spindelantrieb einer Fräsmaschine ist das Schrägstirnradpaar als Eingangsstufe zu berechnen. Antriebsleistung P = 4 kW, Antriebsdrehzahl n = 700 min–1. Das Ritzel sitzt auf der Motorwelle mit dr = 38 mm Durchmesser. Übersetzung i = 4,8.

I 186

I Maschinenelemente

Lösung:

Zunächst werden Hauptabmessungen vorgewählt. Durchmesser dr der Welle des Ritzels ist gegeben. Nach 14.6.7.1 unter a) wird der Ritzel-Teilkreisdurchmesser nach (30): d1 t

1,8 d r z1 z1 − 2,5

Nach 1.4.5.4.1 unter a) wird Ritzelzähnezahl z1 = 20 gewählt bei d π n1 2 d r π n 700 m ≈ ≈ 2⋅0,038⋅ π ⋅ ≈ 2,8 v= 1 60 60 60 s hiermit und mit dr = 38 mm wird

1,8⋅38 mm⋅20 d1 t ≥ 78 mm ≈ 80 mm 20 − 2,5 Der Stirnmodul ergibt sich aus (39): mt = d1/z1 = 80 mm/20 = 4 mm. Ritzelbreite gleich Zahnbreite b1 | \d d1; Breitenverhältnis nach Bild 15: \d | 0,9 für Kurve b und u = i = 4,8; damit b1 | 0,9 · 80 mm | 70 mm. Mit Breitenverhältnis \m | 15 (geschnittene Zähne, Ritzel fliegend) wird b1 = \m mt | 15 · 4 mm | 60 mm; gewählt wird b1 = 65 mm als mittlerer Wert. Ein günstiger Schrägungswinkel E ergibt sich aus (48):

E | arctan 3,5

mt 4 mm ≈ 3,5 = 12,155º 65 mm b1

gewählt E = 12º Hiermit wird der Normalmodul mn = mt cos E = 4 mm cos 12º = 3,91 mm, gewählt nach DIN 780, Tabelle 1: mn = 4 mm. Damit werden nun die endgültigen Abmessungen der Räder festgelegt: Tatsächlicher Stirnmodul mt = mn/cos E = 4 mm /cos 12º = 4,09 mm Teilkreisdurchmesser nach (39) für Ritzel: d1 = mt / z1 = 4,09 mm · 20 = 81,8 mm für Rad mit z2 = i z1 = 4,8 · 20 = 96; d2 = mt / z2 =4,09 · 96 = 392,64 mm Achsenabstand ad nach (42): ad = (d1 + d2) / 2 = (81,8 mm + 392,64 mm) / 2 = 237,22 mm; Breite des Ritzels b1 = 65 mm, Breite des Rades b2 = 60 mm. Vorwahl der Werkstoffe. Nach Tabelle 6 werden vorläufig für das Ritzel Stahl E360, für das Rad Stahlguss GE260, gewählt. Wahl der Verzahnungsqualität. Nach Bild 16a kommen für Werkzeugmaschinen Qualitäten bis 10 infrage; für Umfangsgeschwindigkeit ν=

d1 π n 1 760 m m = 0, 0818⋅ π ⋅ ≈3 60 60 s s

die Qualitäten 8 bis 10. Gewählt wird Qualität 8.

Nachprüfen der Zähne. Für die Zahnfußbeanspruchung gilt für das Ritzel nach (35):

VF1 =

Ft1 b1 mn

YF Y d V FP

Umfangskraft Ft 1 = 2 M1 cS/d1 Drehmoment des Ritzels M1 = 9 550 P/n = 9 550 · 4/700 = 54,6 · 103 Nmm; Betriebsfaktor nach Bild 6: cS | 1,5 (Elektromotor – Volllast, stoßfrei – Zahnrad (Bruch) – 8 h) damit Ft 1 = 2 · 54,6 · 103 Nmm · 1,5/81,8 mm | 2 000 N Zahnbreite b1 = 65 mm. Normalmodul mn = 4 mm. Zahnformfaktor nach Bild 18 für zn 1 = z1/cos3 E = 20/cos3 12º = 21,3 (nach Gleichung 44) und x = 0: YF | 2,9. Überdeckungsfaktor Y = 1 für Verzahnungsqualität 8. Damit wird

VF1 =

2 000 N N N ⋅ 2,9⋅1 = 22,3 65 mm⋅ 4 mm mm 2 mm 2

mit dem VF lim-Wert der Tabelle 5 wird nach (35) für Stahl E360 N σ Flim 220 mm 2 N N VF P1 = = = 110 ν 2 mm 2 mm 2 Die Zahnfußbeanspruchung für das Ritzel ist weit ausreichend; es genügte zunächst ein schwächerer Stahl. Für das Rad wird die Zahnfußbeanspruchung

VF2 =

Ft 2 b2 mn

YF Y

Ft 1 = Ft 2 = 2 000 N; b2 = 60 mm; mn = 4 mm für zn2 = z2 / cos3 E = 96/cos3 12º = 102 wird (nach Bild 18) YF | 2,2; Y = 1, damit

VF2 =

N 2000 N N ⋅2, 2⋅1 = 18,3 60 mm⋅4 mm mm 2 mm 2

mit dem VF lim-Wert der Tabelle 5 wird nach (35) für Stahlguss GE260

VFP2 =

σ F lim v

150 =

N mm 2 = 75 N 2 mm 2

Für die Flankentragfähigkeit gilt nacht (36):

VH =

Ft u +1 ⋅ Z E Z∈ Z H b d1 u

Ft ฬ Ft1 = 2 000 N (w.o.); b ฬ b2 = 60 mm (kleinste Breite!) d1 = 81,8 mm: u ฬ i = 4,8; Zonenfaktor ZH mit ad = 237,22 mm,  = 12º und t = 20,41º nach (37): ZH = 2,45; Elastizitätsfaktor für Stahl gegen Stahlguss nach Tabelle 7: ZE | 188,9; Überdeckungsfaktor Z = 1 gewählt.

H =

2000 N 4,8+1 ⋅ · 2,45 · 188,9 · 60 mm⋅81,8 mm 4,8

N N = 324 mm 2 mm

mit dem H lim-Wert der Tabelle 5 wird nach (36) für Stahl E360 N σ H lim 460 mm 2 N H P1 = = = 307 ν 1,5 mm 2 und für Stahlguss GE 260 N 340 mm 2 = 227 N H P2 = 1,5 mm 2 Sowohl beim Ritzel als auch beim Rad ist die Flankentragfähigkeit H > HP , es muss in beiden Fällen ein Werkstoff mit einem größeren H lim-Wert gewählt werden.

14.7 Kegelräder 14.7.1 Allgemeines

Ausführung mit Geradzähnen (nur bei kleineren Drehzahlen und Belastungen), Schräg- und Bogenzähnen. Die Kegelradachsen schneiden sich normalerweise in einem Punkt (keine Achsversetzung), meist unter dem Achsenwinkel  = 90º.

14 Zahnräder

I 187

14.7.2 Geradverzahnte Kegelräder 14.7.2.1 Geometrische Beziehungen Übersetzung i = n1/n2 = z2/z1 = d2/d1 = r2/r1. Mit den Teilkegelwinkeln  1 und  2 folgt aus Bild 23: sin  1 = r1/Ra und sin  2 = r2/Ra , hiermit: sin  2 /sin  1 = (r2Ra) / (r1Ra) = r2 /r1 = i ; damit wird die Übersetzung

i=

n1 z2 d 2 sin δ 2 = = = n2 z1 d1 sin δ 1

Bei  =  1 +  2 = 90° wird i = cot  1 = tan  2

(49)

(50)

Teilkegellänge gleich Spitzenentfernung Ra = d / (2 sin  ) 3 b (Bild 23). Kopfwinkel a aus a = arctan ha / Ra = arctan mt / Ra; Kopfkegelwinkel wird damit a =  + a. Fußwinkel f aus f = arctan hf / Ra = arctan 1,2 mt / Ra; Fußkegelwinkel wird damit  f =  – f. Kopfkreisdurchmesser gleich größter Durchmesser des Radkörpers wird da = d + 2 ha cos  ; mittlerer Teilkreisdurchmesser dm = d – (b sin  ). 14.7.2.2 Ersatzzähnezahl, Eingriffsverhältnisse Zur Untersuchung der Eingriffsverhältnisse und Ermittlung der Grenzzähnezahl wird das Kegelrad auf ein Ersatz-Stirnrad zurückgeführt mit dem Teilkreisradius gleich Mantellinienlänge des Ergänzungskegels rr = r /cos  ; die zugehörige Ersatz-Zähnezahl ist entsprechend

zn =

z cos δ

(51)

Mit zn = zg = 17 wird die Grenzzähnzahl bei geradverzahnten Kegelrändern

zgK = 17 cos 

Bild 23. Geometrische Beziehungen am Kegelradgetriebe

Äußerer Teilkreisdurchmesser d = mt z ; mt (Außen-) Modul gleich Normmodul nach Tabelle 1. Teilkreisteilung pt = mt , Kopfhöhe ha = mt , Fußhöhe hf = 1,2 mt gemessen an der Außenfläche (Bild 24).

(52)

14.7.2.3 Profilverschiebung, Zahnspitzengrenze Wird bei einer Ritzelzähnezahl z1 < z´gK positive Profilverschiebung erforderlich, soll das Großrad möglichst die gleiche negative Verschiebung erhalten, also ein V-Null-Getriebe verwendet werden. Teilkegelwinkel und damit die Übersetzung bleiben dann unverändert. Bei i  1 soll darum sein

z1 > z´gK Profilverschiebung und Profilverschiebungsfaktor ergeben sich aus (8), (9) und (10), wobei z = zn zu setzen ist. Die Zahnspitzengrenze liegt bei

zmin K = 7 cos . 14.7.2.4 Kraftverhältnisse. Die an dem Rädern angreifenden Kräfte werden auf die Mitte der Zähne bezogen (Bild 25). Für das Ritzel ergeben sich die Umfangskraft Ftm , die Axialkraft Fa1 und die Radialkraft Fr1 bei Achsenwinkel  = 90º.

Ftm1 =

M1 rm1

Fa1 = Ftm1 tan  n sin  1 Fr1 = Ftm1 tan  n sin  1 = Fa1

(53) (54) (55)

M1 Drehmoment des Ritzels; Eingriffswinkel  n = 20º;  1 Teilkreiswinkel des Ritzels; i Übersetzung. Die am Gegenrad wirkenden Kräfte sind, wie aus Bild 25 ersichtlich: Bild 24. Abmessungen am Geradzahnkegelrad

Ftm2 = Ftm1; Fa2 = Fr1 und Fr2 = Fa1

I 188

I Maschinenelemente

Bild 25. Kraftverhältnisse am Geradzahn-Kegelradpaar  = 90º

14.7.2.5 Berechnung der Zähne

Die Kegelräder werden zweckmäßig auf ErsatzGeradstirnräder mit der Ersatz-Zähnezahl z n zurückgeführt und sinngemäß wie diese berechnet. Nachfolgende Berechnung gilt für den Achsenwinkel  = 90º. a) Der Durchmesser dr der Welle für das Ritzel ist bekannt oder überschlägig bestimmt nach (5). Für das aufzusetzende Ritzel bzw. bei Ausführung als Ritzelwelle wählt man den mittleren Teilkreisdurchmesser

hältnis nach Tabelle 8; H lim Flankenfestigkeit nach Tabelle 5; n1 Drehzahl des treibenden Rades. Mit dm1 ergibt sich der äußere Teilkreisdurchmesser d1 = dm1 + (b sin  1)

(58)

Breite der Zähne b = d dm1 0,4 Ra.

(56)

Der Außenmodul wird damit mt = d1/z1 mit z1 nach Tabelle 8. Für m t wird der nächstliegende NormModul nach Tabelle 1 gewählt und hiermit die Radabmessungen endgültig nach 14.7.2.1 festgelegt. Für die Wahl des Werkstoffs und der Verzahnungsqualität gelten die Angaben unter 14.5.4.2 und 14.5.4.3.

b) Bei unbekanntem Wellendurchmesser und größeren Drehmomenten bzw. Leistungen bestimmt man den mittleren Teilkreisdurchmesser des treibenden Rades (meist des Ritzels) aus

Nachprüfung der Zahnfußbeanspruchung. Für die Nachprüfung werden die Ersatz-Geradstirnräder zugrunde gelegt. Kräfte und Verzahnungsdaten beziehen sich auf den mittleren Teilkreisdurchmesser dm. Eingehende Tragfähigkeitsberechungen nach DIN 3991-1 ... 4.

dm1  2,5 dr bzw.  1,25 dr

dm1

Für die Zahnfußbeanspruchung gilt:

2 950 3 M1 σ H lim cos δ 1 i 2 +1 ⋅ 2   σ H lim ψd i

2



20500 3 P1 σ H lim cos δ 1 i +1 ⋅ 2 σ H lim ψd n 1 i

dm1, dr mm

F =

2

M1

P1

Nmm kW

H lim d , i N mm 2

1

(57)

n1

1

min–1

º

M1 Drehmoment, P1 Leistung des treibenden Rades;  1 Teilkegelwinkel, i Übersetzung; d Breitenver-

Ftm YF Yv FP b mnm

F, FP N mm 2

Ftm b, mnm N

mm

Y

(59)

1

Umfangskraft am mittleren Teilkreis: Ftm = 2 M1 cS /dm1; cS Betriebsfaktor nach Bild 6; b Zahnbreite; mnm mittlerer Modul; YF Zahnformfaktor, abhängig von z n , nach Bild 18; Yv Über-

14 Zahnräder

I 189

deckungsfaktor der Ergänzungsverzahnung, üblich ist Yv = 1, zulässige Biegespannung  FP wie zu Gleichung (35); mnm = dm / z. Die Nachprüfung ist für beide Räder durchzuführen. Nachprüfung der Flankenbeanspruchung. Für die im Wälzpunkt auftretende Hertz’sche Pressung gilt

H =

Ftm u 2 +1 ⋅ ZHv ZE Zv  HP b d m1 u

H , HP Ftm b, dm1 u, ZHv , Zv N mm 2

N

mm

ZE

(60)

N mm 2

1

Ftm und b wie zu (59); dm1 mittlerer Teilkreisdurchmesser des Ritzels; Zähnezahlverhältnis u = z2 / z1; ZHv Zonenfaktor nach (38); ZE Elastizitätsfaktor nach Tabelle 7; Zv Überdeckungsfaktor für Kegelräder wie zu (36); HP zulässige Pressung wie zu Gleichung (36). Tabelle 8. Erfahrungswerte zur Kegelradberechnung Übersetzung i

1

2

3

4

5

6

Ritzelzähne30 ... 20 25 ... 18 22 ... 16 18 ... 14 14 ... 12 12 ... 10 zahl z1 Breitenverhältnis d = b/dm1

0,25

0,4

0,55

0,7

0,85

0,85

Für geradverzahnte Räder mehr die oberen Werte für z1, für schräg- und bogenverzahnte die unteren wählen.

14.7.3 Schräg- und bogenverzahnte Kegelräder 14.7.3.1 Flankenformen, Eigenschaften. Verlauf der Flankenlinien an der aus der Abwicklung des Kegelmantels entstandenen Planverzahnung zeigt Bild 26. Schrägungswinkel m gleich Winkel zwischen Radiale und Zahnflankentangente in Zahnmitte. Äußere Stirnteilung pta = mta ; mittlere Stirnteilung ptm = mtm ; mittlere Normalteilung im Normalschnitt durch Zahnmitte pnm = mnm ; wobei mittlerer Normalmodul meist gleich Normmodul m ist.  Sprungwinkel. Schräg- und bogenverzahnte Kegelräder laufen ruhiger, haben einen größeren Überdeckungsgrad und eine etwas höhere Zahnfestigkeit als geradverzahnte. 14.7.3.2 Ersatz-Zähnezahl, Eingriffsverhältnisse. Die Kegelräder werden auf Ersatz-Schrägstirnräder mit der Ersatz-Zähnezahl zn = z / (cos  cos3 m) zurückgeführt. Die Gesamtüberdeckung setzt sich aus der Profilüberdeckung  der Ersatz-Schrägstirnräder und der Sprungüberdeckung zusammen:

 = Ra  º / (180º · tsm ) ges =  + .

Bild 26. Flankenformen schräg- und bogenverzahnter Kegelräder a) Schrägzähne b) Spiralzähne c) Evolventenzähne d) Kreisbogenzähne 14.7.3.3 Grenzzähnezahl, Profilverschiebung. Für schrägverzahnte Kegelräder ergibt sich die Grenzzähnezahl

zg KS = 17 cos  cos3 

(61)

Bei Bogenzähnen liegen je nach Herstellungsverfahren unterschiedliche Verhältnisse vor. Profilverschiebung zur Vermeidung von Zahnunterschnitt kommt praktisch kaum in Frage, da zg KS fast nie unterschritten wird. 14.7.3.4 Berechnung der Zähne. Sinngemäß wie unter 14.7.2.5. Dabei ist zns anstelle von zn und mnm anstelle von mm zu setzen.

14.8 Schneckengetriebe 14.8.1 Eigenschaften, Ausführungsformen

Das Getriebe besteht aus meist treibender Schnecke und getriebenem Schneckenrad. Übersetzung fast nur ins Langsame: imin  5, imax ... 100. Kreuzungswinkel der Achsen meist 90º. Schnecke und Schneckenrad können zylindrische oder globoide Form haben; Getriebe-Ausführungsformen zeigt Bild 27. Je nach Herstellungsverfahren unterscheidet man A- und N-Schnecken als gebräuchlichste Formen:

I 190

I Maschinenelemente

A-Schnecke zeigt im Achsschnitt, N-Sehnecke im Normalschnitt ein geradflankiges Trapezprofil.

flankentangente am Mittenkreis und Senkrechter zur Achse aus tan m = H / (dm1 ), Steigung H = z1 ta (Bild 28). Im Achsschnitt wird Achsteilung pa = ma , im Normalschnitt Normalteilung pn = mn = pa cos m. Der Mittenkreisdurchmesser der Schnecke ergibt sich aus dm1 =

Bild 27. Schneckengetriebe a) Zylinderschneckentrieb b) Globoidschnecken-Zylinderradtrieb c) Globoidschneckentrieb 14.8.2 Geometrische Beziehungen 14.8.2.1 Übersetzung

Übersetzung i = n1 /n2 = z2 /z1 = M2 /(M1 g ); Index 1 für Schnecke, Index 2 für Schneckenrad, g Gesamtwirkungsgrad des Getriebes (siehe 8.4). Günstige Bauverhältnisse ergeben sich bei i und z1: i z1 i z1

5 ... 10 4 > 15 ... 30 2

> 10 ... 15 3 > 30 1

14.8.2.2 Abmessungen der Schnecke. Aus der Abwicklung eines Schneckenganges ergibt sich der Steigungswinkel m gleich Winkel zwischen Zahn-

z1 ma z m = 1 n tan γ m sin γ m

(62)

ma Achsmodul, meist gleich Norm-Modul; mn Normal-Modul; Steigungswinkel m  15º ... 25º üblich. Eingriffswinkel im Achsschnitt aus tan  a = tan  n / cos m mit Normaleingriffswinkel  n = 20º. Bei Ausführung als Schneckenwelle (Bild 28) soll bei einem Wellendurchmesser ds1 etwa sein: dm1  1,4 ds1 + 2,5 ma , bei aufgesetzter Schnecke dm1 1,8 d1 + 2,5 ma , Überschlägig rechnet man ds1  0,65 3 M1 in mm; M1 Drehmoment der Schnecke in Nmm. Mit Zahnkopfhöhe ha1 = ma und Zahnfußhöhe hf1 = 1,2 ma ergeben sich Kopf- und Fußkreisdurchmesser da1 und df1 (Bild 28). Damit möglichst alle Schneckengänge in der ganzen Länge zum Tragen kommen, soll die Schneckenlänge ausgeführt werden:

L  2 ms 2 z 2 − 4

L , ms mm

z2 1

(63)

14.8.2.3 Abmessungen des Schneckenrades. Das Schneckenrad entspricht einem globoiden Schrägstirnrad. Schrägungswinkel  = m , Stirnteilung pt = pa entsprechend Stirnmodul ms = ma bei Kreuzungswinkel 90º. Teilkreisdurchmesser

d2 = ms z2 =

mn z2 cos β

(64)

Bild 28. Geometrische Beziehungen am Schneckengetriebe

14 Zahnräder

I 191

Zahnkopfhöhe, Zahnfußhöhe und damit Kopfkreisund Fußkreisdurchmesser wie bei Schrägstirnrädern. Außendurchmesser d 'a2 d2 + 3 ms konstruktiv festlegen. Radbreite, normalerweise gleich Zahnbreite, b = 0,8 dm1 konstruktiv festlegen. Achsabstand a = (dm1 + d2 ) / 2. 14.8.3 Eingriffsverhältnisse

Wird Übersetzung i  5 bei z2  20 ... 30 nicht unterschritten, besteht keine Unterschnittgefahr und Gefährdung der Eingriffsverhältnisse. Profilverschiebung daher nur ausnahmsweise, z. B. zum Erreichen eines bestimmten Achsenabstands. 14.8.4 Wirkungsgrad

Bei treibender Schnecke ist der Wirkungsgrad der Verzahnung

Der Gesamtwirkungsgrad des Schneckengetriebes wird  g =  Z  L mit Lagerungswirkungsgrad  L  0,95 bei Wälzlagerung,  L  0,9 bei Gleitlagerung der Wellen. Für den Entwurf wählt man bei

z1 = 1 :  g  0,7 z1 = 3 :  g  0,85

Selbsthemmung bei m < r '. 14.8.5 Kraftverhältnisse

Die Kraftwirkungen bei treibender Schnecke zeigt Bild 29. Mit der Umfangskraft am Teilkreis der Schnecke Ft1 = 2 M1 cS / dm1, worin cS Betriebsfaktor nach Bild 6 ist, ergeben sich aus dem Kräfteplan, Bild 29 die Axialkraft der Schnecke:

Fa1 =

tan γ m Z = tan ( γ m + r ')

(65)

(Keil-) Reibungswinkel r ' aus tan r ' = μ' = μ/cos  n; bei Stahl-Schnecke und Gusseisen-Rad bei Fettschmierung: r '  6º ( μ'  0,1), sonst gilt bei Ölschmierung:

vg

0,5

1

2

4

r' 

3

2,3

2

1,4

vg Gleitgeschwindigkeit der Zahnflanken (vg = dm1 n1).

m s 1,1

6

z1 = 2 :  g  0,8 z1 = 4 :  g  0,9

Ft1 tan ( γ m + r ')

(66)

Aus Normalschnitt folgt Fr1 = F 'N1 tan n. Wird F 'N1 nach dem Kräfteplan durch Ft1 ausgedrückt, ergibt sich die Radialkraft Fr1 =

Ft1 cos r ' tan αn sin(γ m + r')

(67)

Die Umfangskraft am Schneckenrad ist gleich, aber entgegengerichtet der Axialkraft an der Schnecke: Ft2 = Fa1. Ebenso ist Fr2 = Fr1. Aus Bild 29 ergibt sich die Axialkraft am Schneckenrad

Fa2 = Ft1.

Bild 29. Kraftverhältnisse am Schneckengetriebe

I 192

I Maschinenelemente

14.8.6 Berechnung der Zähne

Wegen der anders gearteten Bewegungsverhältnisse der Zahnflanken aufeinander kann die Berechnungsweise für Stirn- und Kegelräder nicht ohne weiteres für Schneckengetriebe angewandt werden. Man ermittelt auf Grund der Wälzfestigkeit der Zahnflanken den Teilkreisdurchmesser des Schneckenrades aus

d2  1,1⋅ 3 d2

M 2 z2 P z ≈ 240 ⋅ 3 2 2 ks ks n2

M2

P2

mm Nmm

ks

n2

N min–1 mm 2

kW

Bild 30. Zahnformfaktor yz

z2

(69)

1

Drehmoment des Schneckenrades M2 = M1 i g ; vom Schneckenrad zu übertragende Leistung P2 = P1 g ; z2 Zähnezahl des Sehneckenrades; n2 Drehzahl des Schneckenrades; ks Wälzfestigkeit nach Tabelle 9. Mit d2 wird Stirnmodul gleich Achsmodul ms = ma = d2/z2 ermittelt und nächstliegender NormModul gewählt. Nach DIN 780 sind für Schneckengetriebe vorgesehen:

ma = ms = 1 1,25 1,6 2 2,5 3,15 4 5 6,3 8 10 12,5 16 20 mm Mittelkreisdurchmesser dm1 der Schnecke in Abhängigkeit vom Wellendurchmesser d1 nach 14.8.2.2 festlegen und damit den Steigungswinkel m aus (62). Sonstige Schnecken- und Schneckenradabmessungen nach 14.8.2.2 und 14.8.2.3 bestimmen. Vorwahl der Werkstoffe nach 14.8.7. Nach Vorwahl der Getriebeabmessungen wird die Flanken-Tragfähigkeit, d. h. die Wälzpressung, geprüft:

k=

2 M 2 (cS ) 19,5⋅106 P2 (cS ) =

kzul d 22 b 2 yz d 22 b 2 yz n2

b2 yz k N mm 1 mm 2

M2 , P2 , d2 , n2

cS

wie zu (67)

1

(70)

yv, yL, ν

N mm 2

1

Tabelle 9. Richtwerte für die Wälzfestigkeit ks von Schneckengetrieben Werkstoff der Schnecke Stahl, gehärtet und geschliffen, z.B. E355, E360, C15, 16MnCr5

Gusseisen EN-GJL-200

ks yv yL v

kzul , ks

Bild 32. Lebensdauerfaktor zur Berechnung der Schneckengetriebe

Stahl, vergütet (nicht geschliffen), z.B. E355, E360 42CrMo4

Die zulässige Wälzpressung ergibt sich aus:

kzul =

Bild 31. Geschwindigkeitsfaktor yv

(71)

b2 Zahnbreite des Schneckenrades; yz Zahnformfaktor nach Bild 30; ks Wälzfestigkeit nach Tabelle 9; yv Geschwindigkeitsfaktor nach Bild 31; yL Lebensdauerfaktor nach Bild 32; v Sicherheit, bei gleichmäßigem Lauf: v  1,25, (bei Wechsel- und stoßhaftem Betrieb: v  1,5).

der Zähne des Schneckenrades CuSn-Legierungen, z. B. CuSn12Ni2-C Al-Legierungen, z. B. CuZn25Al5Mn4Fe3-C Perlitguss CuSn-Legierungen (w.o.) Al-Legierungen (w.o.) Zn-Legierungen (w.o.) Gusseisen, z. B. EN-GJL-150 CuSn-Legierungen (w.o.) Al-Legierungen (w.o.) Gusseisen, z. B. EN-GJL-150

Wälzfestigkeit ks in N/mm2 8

4 12 5 2,5 2 4 4 2 3,5

Nachprüfung auf Bruchfestigkeit der Zähne ist normalerweise nicht erforderlich.

14.8.7 Werkstoffe für Schnecke und Schneckenrad

Bei mäßiger Geschwindigkeit und Belastung für Schnecke: E335 und E360, für Schneckenrad: ENGJL-200 und CuSn-Leg. Bei hohen Drehzahlen und Belastungen für Schnecke: Einsatzstähle und Vergütungsstähle wie C16E und 16Cr3 für Schneckenrad: CuSn-Leg. wie CuSn12Ni2-C, für korrosionsbestän-

14 Zahnräder

I 193

dige Getriebe bei geringen Belastungen auch Al-Leg. wie CuZn25, Al5MnFe3-C und Kunststoffe bei gehärteter Schnecke. ■ Beispiel: Für Abtriebsleistung P2 = 11 kW und Übersetzung n1/n2 = 960/75 ist ein Schneckengetriebe für eine Lebensdauer von  8000 Stunden zu berechnen. Lösung: Zunächst Festlegung der Zähnezahlen. Mit i = n1/n2 = 960/75 = 12,8 wird nach 14.8.2.1 für Schnecke z1 = 3 (3 gängig) gewählt. Zähnezahl des Schneckenrades z2 = i z1 = 12,8 · 3 = 38,4; festgelegt z2 = 38. Teilkreisdurchmesser des Schneckenrades nach (69):

d2  240

3

P2 z2 ks n2

Leistung des Schneckenrades P2 = 11 kW; Zähnezahl z2 = 38; Drehzahl n2 = 75; Wälzfestigkeit ks = 5 N/mm2; für vorgewählten Schneckenwerkstoff E355 (Vergütungsstahl) und Radwerkstoff CuSn12Ni2-C bei vorliegender mäßiger Belastung. d2  240

3

11⋅38 mm ≈ 250 mm 5⋅75

Hiermit wird Stirnmodul ms = d2/z2 = 250 mm/38  6,6 mm; gewählt nach 14.8.6: ms = ma = 6,3 mm. Mittelkreisdurchmesser der Schnecke nach 14.8.2.2 bei Ausführung als Schneckenwelle: dm 1  1,4 ds 1 + 2,5 ma; Wellendurchmesser überschlägig ds 1  0,65 3 M1 nach 14.8.2.1 wird

11 = 1400 · 103 75 Nmm; für z1 = 3 wird nach 14.8.4 geschätzt g  0,85; damit M1 = M2 / (i g); M2 = 9 550 · 103 P/n = 9 550 · 103

M1 = 1 400 · 103 Nmm/12,8 · 0,85  129 · 103 Nmm und

d1  0,65 3 129⋅103  35 mm; hiermit dm1  1,4 · 5 mm + 2,5 · 6,3 mm  64,8 mm gewählt dm1 = 65 mm. Steigungswinkel gleich Schrägungswinkel aus (62): z1 ma 6,3 mm = arctan 3⋅ = 16º13' = β 0 65 mm d m1

m = arctan

Schneckenlänge nach (63): L  2 ms 2 z2 − 4  2 · 6,3 mm · 2⋅38 − 4 =

= 107 mm  110 mm Teilkreisdurchmesser des Schneckenrades nach (64): d2 = ms z2 = 6,3 mm · 38 = 239,4 mm

Bild 33. Ausführung der Großräder

Radbreite gleich Zahnbreite b  0,8 dm1  0,8 · 65 mm = 52 mm, ausgeführt b = 50 mm. Mit den vorgewählten Daten wird die Flanken-Tragfähigkeit nach (70) geprüft: 2M k = 2 2 kzul d 2 b2 yz M2 = 1,4 · 106 Nmm, d2 = 239,4 mm, b2 ฬ b = 50 mm (s.o.); Zahnformfaktor yz  0,4 für m  16º nach Bild 30; damit wird k=

2⋅1, 4⋅106 N N ≈ 2,5 239, 42 ⋅50⋅0, 4 mm 2 mm 2

Zulässige Wälzpressung nach (71); kzul = ks yv yL / ν.

Wälzfestigkeit ks = 5 N/mm2 (s.o.) Geschwindigkeitsfaktor yv  0,42 nach Bild 31 für vg = dm 1 n1/(60 cos m) = 0,065 · 960/(60 · 0,9602) = 3,4 m/s Lebensdauerfaktor yL  1,15 nach Bild 32 für Lh = 800 h Sicherheit ν = 1,25 gewählt bei angenommenem gleichmäßigem Lauf; damit wird N 1,15 N N kzul= 5 ⋅0, 42⋅ ≈2 < k = 2,5 1, 25 mm2 mm2 mm2 Mit vorbestimmten Getriebedaten genügt die angenommene Werkstoffpaarung nicht. Für die Schnecke neu gewählt: Einsatzstahl C15E, gehärtet und geschliffen; mit Schneckenrad aus Cu-Sn12Ni2-C wird dann ks = 8 N/mm2 und damit N N kzul  3,1 > k = 2,5 mm2 mm2 Achsenabstand a = (dm1 + d2) / 2 = (65 mm + 239,4) / 2 = 152,2 mm

14.9 Gestaltung der Zahnräder aus Metall Ritzel werden durchweg als Vollräder ausgeführt. Ritzelzähne möglichst etwas breiter als Radzähne, um „Versetzungen” zu vermeiden (siehe auch unter 14.5.4.1). Bruchempfindliche Zahnenden seitlich abschrägen. Großräder werden meist als Gusskonstruktionen, bei Einzelstücken auch als Schweißkonstruktionen ausgeführt, und zwar mit Teilkreisdurchmesser bis d  8 d (d Wellendurchmesser) als Scheibenräder, größere mit Armen. Ausführungsbeispiele zeigt Bild 33. Anzahl der Arme zA  1/8 d 4; Armquerschnitt: b1  1,8 m, b2  1,5 m (Modul), h1  5 b1, h2  4 b1; Kranzdicke e  4 m.

a) Scheibenrad b) bis e) Räder mit Armen

I 194

I Maschinenelemente

14.10 Schmierung der Zahnradgetriebe Die Schmierung soll die unvermeidbare Zahnflankenreibung und damit Geräuschbildung, Erwärmung und Verschleiß verringern und den Getriebewirkungsgrad erhöhen. Vielfach genügen reine Mineralöle. Bei höheren Belastungen (Stoß, unterbrochener Betrieb, Bogenverzahnung) sind EP- Zusätze üblich (EP-Öle, EP: Extreme Pressure). Eine Auswahl von Schmierstoffen für Zahnradgetriebe gibt DIN 51509 Bl. 1 und 2 (Schmieröle und plastische Schmierstoffe).

14.11 Zahnräder aus Kunststoff 14.11.1 Vor- und Nachteile, Verwendung

Vorteile gegenüber den Zahnrädern aus Metall: geräusch- und schwingungsdämpfender Lauf, große Abriebfestigkeit und Zähigkeit, kleine Reibungswerte und geringe Wichte, gute Notlaufeigenschaften, Korrosionsbeständigkeit, elastischer Ausgleich von Eingriffsteilungsfehlern, leichte Bearbeitbarkeit. Nachteile: geringere Belastbarkeit, höhere Werkstoffkosten, teilweise starke Quellung durch Feuchtigkeit. Einsatzgebiete der Kunststoff-Zahnräder: Büromaschinen, Textil- und Druckereimaschinen, Haushaltsmaschinen, Spielzeuge. 14.11.2 Kunststoffsorten

Pressschichtstoffe zeichnen sich durch hohe Festigkeit gegenüber den anderen Kunststoffen aus; emp-

findlich gegen Feuchtigkeit. Gegenrad aus Metall, da Gefahr von „Fressen” besteht. Hartgewebe ist unempfindlich gegen Feuchtigkeit, Festigkeit ca. 50 % geringer als Pressschichtholz. Gegenrad aus Metall. Polyamide besitzen hohe Elastizität und niedrige Dichte, hohe Geräuschdämpfung, da Polyamid-Räder gepaart werden können. 14.11.3 Berechnung der Kunststoff-Zahnräder

Teilkreisdurchmesser des auf die Welle zu setzenden Ritzels d1  2,5 ... 3 d (d Wellendurchmesser); Ritzelzähnezahl z1 um 4 bis 6 höher gegenüber der zu Gleichung (30); Zahnbreite b über d für Kennlinien a und b nach Bild 15. Überschlägig kann für die so vorgewählten Hauptabmessungen nach Bild 34 die übertragbare Leistung P in kW je mm Zahnbreite b für eine Ritzelzähnezahl z1 = 20 ermittelt werden. Die übertragbare Leistung eines Rades wird dann P P = y b b

y=2– P kW

(72)

30 z +10

y 1

(73)

b mm

y Zähnezahlfaktor zur Berücksichtigung anderer Ritzelzähnezahlen als 20, die dem P/b-Wert nach Bild 34 zugrunde gelegt wurden. Eine genaue Berechnung sollte immer nach Angaben des Kunststoff-Herstellers erfolgen.

Pressschichtholz

Bild 34. Ermittlung der Leistung P in kW je cm Zahnbreite für Zahnräder aus Kunststoffen

14 Zahnräder

I 195 Kanten und Übergänge gut runden. Befestigung kleiner Räder mit Welle durch Kleben oder Aufspritzen (Bild 36). In die Nabe eingesetzte Metallbuchse erhöht die Nabenfestigkeit. 14.11.5 Schmierung der Kunststoff-Zahnräder

Pressschichtstoffe: Fett- oder Trockenschmiermittel (z. B. Molybdänsulfid). Hartgewebe: Öl-, Fett- oder Trockenschmiermittel. Polyamide: Öl-, Fett- oder Trockenschmiermittel Bild 35. Ausführung und Abmessungen von Polyamid-Zahnrädern a) Vollrad b) Scheibenrad

14.11.4 Gestaltung der Polyamid-Zahnräder

Vollräder für d < 3 dw (dw Wellendurchmesser) Scheibenräder für d 3 dw Zahnkranzdicke s1  2 ... 2,5 m; e  4,2 ... 4,7 m Nabendurchmesser D  1,6 ... 1,8 dw Wanddicke s3  0,3 ... 0,4 dw Nabenlänge L  1,8 ... 2 dw

Bild 36. Auf Wellen aufgespritzte PolyamidZahnräder

a) mit angefrästen Flächen b) mit Rändel c) mit angestauchten Lappen

1 Überblick über das Gesamtgebiet der Fördertechnik

K1

K Fördertechnik Johannes Sebulke

Formelzeichen und Einheiten

m

Förderstrom kg kg t , , (Massendurchsatz) s h h = Masse pro Zeiteinheit

Elastizitätsmodul

m'

kg t , m m

L h

Kraft Gewichtskraft Trägheitsmoment (Massenmoment 2. Grades) Lebensdauer

M Nm

Drehmoment

n p r s t tk

A m2 , cm2 , mm2 Fläche N

E

m F N GN

2

J kgm2

P W, kW

Leistung

S N T s V m3, cm3, mm3 W J = Nm = Ws m a 2 s d m, cm, mm

Seilzugkraft Periodendauer Volumen Arbeit, Energie

f g

1 s m

s2 i 1 l m, cm, mm

m kg, t

Masse pro Längeneinheit

Drehzahl min–1 1 Polpaarzahl m, cm, mm Radius m, cm, mm Weg s, h Zeit m, mm

Kettenteilung

m km v , h s w 1 x m

 º

Geschwindigkeit Widerstandsbeiwert Weggröße Steigungswinkel Förderrichtung

Beschleunigung

 1

Dehnung

Durchmesser

 1

Wirkungsgrad

Frequenz

 1

Reibzahl

Fallbeschleunigung



Übersetzung Länge Masse, Fördermenge

kg

m3  1  1

< >

,

t m3

Dichte Stufensprung, Beiwert Beiwert Zahlen in eckigen Klammern sind Hinweise auf weiterführende Literatur, die am Ende dieses Abschnitts aufgeführt ist.

K2

1 Überblick über das Gesamtgebiet der Fördertechnik 1.1 Begriffsbestimmung und Abgrenzung Die Fördertechnik befasst sich mit allen Fragen innerbetrieblicher Materialtransporte sowie mit der Organisation des gesamten betrieblichen Materialflusses. Die Hebetechnik ist ein Teilgebiet der Fördertechnik. Die Materialflusstechnik in der Produktion und die eng damit verbundene Warenlager- und -Verteiltechnik (auch Kommissionier- oder Distributionstechnik genannt) sind wichtige Teilgebiete. Die Umschlagtechnik in Häfen und Güterbahnhöfen sowie die Beförderung von Bergbauprodukten auf Förderbändern manchmal über mehrere 100 Kilometer sind weitere Beispiele. Nicht mehr zur Fördertechnik gehören die außerbetriebliche Güterbeförderung, wie z.B. durch Eisenbahn und Lkw, sowie die gesamte Personenbeförderung (Tabelle 1). Die Abgrenzungen sind jedoch fließend, und es gibt Überschneidungen, wie z.B. die Aufzugstechnik oder ein sogenanntes „integriertes Transportsystem“, d.h. die Verwendung von genormten Behältern („Containern“) und entsprechende organisatorische Maßnahmen, um diese auf Schiff, Bahn, Lkw und innerbetrieblich gleich rationell verwenden zu können. Die Lagertechnik, bei der es auf das organische Ein-

K Fördertechnik und Auslagern von Fertig- und Halbfertigprodukten ankommt, und die Logistik, die den gesamten Warenfluss vom Lieferanten bis zur Einbaustelle in der Produktion optimiert, sind verwandte Fachgebiete, bei denen sehr viel Fördertechnik zur Anwendung kommt.

1.2 Häufig gestellte Fragen („FAQ's Frequently Asked Questions“) Was unterscheidet die Fördertechnik vom allgemeinen Maschinenbau? Die Fördertechnik integriert viele Gebiete des Maschinenbaus bezüglich des organisierten Transports von Gütern über kurze Strecken. So vielfältig wie die transportierten Güter – von Kohle bis zu Flughafengepäck –, so vielfältig ist auch die Fördertechnik. Eng verbunden mit der Fördertechnik ist die Logistik, die Lehre von der zeitlich und örtlich genauen Bereitstellung von Gütern. Die Fördertechnik deckt dabei mehr den maschinenbaulichen Teil ab, die Logistik mehr den Bereich der Optimierung der Warenströme. Um trotz der Vielfalt nicht jede Förderanlage neu konstruieren zu müssen, wird in der Fördertechnik das Baukastenprinzip eingesetzt, wenn immer möglich: kombinieren statt konstruieren.

Tabelle 1. Gliederung der Fördertechnik und angrenzende Bereiche

Autom. Materialflusssysteme in der Fertigung

1 Überblick über das Gesamtgebiet der Fördertechnik

K3

In der Fördertechnik ist der Bereitstellungs- oder Aussetzbetrieb häufig. So heben z.B. Krane Lasten, wenn dies gebraucht wird. Dies kann selten sein (z.B. bei Montagekranen in Kraftwerken), oder es kann häufig sein (z.B. bei Kranen im Stahlhandel oder bei Verladeanlagen). Wegen dieser großen Unterschiede in der Belastung pro Zeiteinheit ist das Denken in Beanspruchungsgruppen und Lastkollektiven typisch für die Fördertechnik. Der Transport bewegter, oft schwerer Güter birgt eine hohe Unfallgefahr in sich. Deshalb gibt es in der Fördertechnik neben Unfallverhütungsvorschriften und Vorschriften der Berufsgenossenschaften (UVV, VBG) auch detaillierte genormte Berechnungs- und Gestaltungsvorschriften, die bindend einzuhalten sind. Die wichtigsten sind in den Deutschen Industrie Normen (DIN) enthalten .

– flächenbedienende Fördermittel (2 Freiheitsgrade), z.B. Elektrokarren (waagerechte Fläche), Regalförderzeuge (senkrechte Fläche); – raumbedienende Fördermittel (3 Freiheitsgrade), z.B. Laufkrane mit Katze, Turmdreh- und -Wippkrane, Gabelstapler. c) Nach Lastweg und Förderrichtung unterscheidet man: – waagerechte und schwach geneigte Förderer; – stark geneigte Förderer; – senkrechte (seigere) Förderer oder Hubförderer.

Welche Vorkenntnisse braucht man für das Gebiet der Fördertechnik? Antriebstechnik – Maschinenelemente, – Stahlbau – Steuerungstechnik – Materialflusstechnik – Systemtechnik . Was ist der besondere Nutzen der Fördertechnik für Technikstudenten? Die Wirkungen von Kräften, Momenten und Energien sind in der Fördertechnik noch sehr anschaulich und unmittelbar: ein fehlerhaft berechneter Baukran knickt eben ein, ein falsch gesteuertes Förderband einer Verladeanlage versenkt eben den Lastkahn, den es beladen soll! Wegen dieser Anschaulichkeit ist die Fördertechnik ein ideales Lerngebiet für Technikstudenten: man erhält auf anschauliche Weise ein Gefühl für die mechanischen Auswirkungen von technischen Maßnahmen. Welche Hilfen bietet das Internet bezüglich der Fördertechnik? Das Internet ist für Literatur- Patent- und Normenrecherchen (z.B. http://www2.beuth.de) geeignet. Daneben sind die Homepages von Spezialfirmen hilfreich, die spezielle marktfähige Produkte beschreiben.

1.3 Einteilung der Fördermittel a) Nach der zeitlichen Arbeitsweise der Fördermittel unterscheidet man: aussetzend arbeitende Förderer (Unstetigförderer), wie z.B. Krane, Bagger; stetig arbeitende Förderer (Stetig- oder Dauerförderer), z.B. Förderbänder. b) Nach den bedienten Freiheitsgraden unterscheidet man: – linienbedienende Fördermittel (1 Freiheitsgrad), z.B. Schachtförderanlage, Förderbänder, Kreisförderer, Hängebahn;

Nach Umfang und Schwierigkeitsgrad unterscheidet man nach Tabelle 1: Komponenten (Bauteile oder Baugruppen für Fördermittel, die in Serie hergestellt werden können, aber für sich allein meist noch keine Förderaufgaben erfüllen können); Anlagen (große, umfangreiche Fördermittel, wie z.B. Verladeanlagen, die nicht mehr in Serie gefertigt werden können); Fördertechnische Systeme (umfangreiche Fördermittel, bei denen neben dem reinen Fördervorgang eine organisatorische Funktion – z.B. Sortieren, Verteilen, Kommissionieren, Lagern von Stückgut eine maßgebliche Bedeutung hat). Bei Fördersystemen ist praktisch immer vorab eine Untersuchung des Materialflusses und der jeweiligen Zusatzfunktionen erforderlich, um das geeignetste Fördermittel oder die günstigste Kombination von Fördermitteln zu finden.

1.4 Transportarbeit, Transportleistung Physikalische Transportarbeit Mit Transportarbeit W wird diejenige Arbeit bezeichnet, die aufzuwenden ist, um eine bestimmte Last von einem Punkt im Raum zu einem anderen zu bewegen: W W = Fs = Fvt

F

s

v

t

P

Nm = J N m

m s

s

Nm

W s

Für die Leistung gilt entsprechend: W P

Fv t Die Kraft F setzt sich zusammen aus a) der Kraft FR zur Überwindung der Roll- und Gleitreibung FR = m g  cos  b) der Kraft FH für die Überwindung von Steigungen

FR = m g sin 

FR, FH, FB

m

N

kg

g, a m s2

 1

K4  > 0 Steigung;  = 0 Ebene;  < 0 Gefälle;  = 90º, d.h. sin  = 1 Senkrechtförderung c) der Beschleunigungskraft

K Fördertechnik anfertigung lange Lieferzeiten in Kauf nehmen. In der Fördertechnik haben sich daher Baukastenprinzip, Standardisierung und die Konstruktion von Erzeugnisreihen weitgehend durchgesetzt.

FB = m a Die Transportleistung P wird dann P = (FR +FH + FB) v In der Regel sind die drei Kraftanteile während des Fördervorganges nicht konstant. So tritt z.B. die Beschleunigungskraft nur beim Anfahren und Bremsen auf. Dann kann man für überschlägige Rechnungen die Förderstrecke in Abschnitte aufteilen, für die man die Teilkräfte kennt, und die Transportarbeit bzw. -leistung stückweise ermitteln. Oft überwiegt auch eine Teilkraft so stark, dass man die anderen vernachlässigen kann. Technische Transportleistung Bei stetigen und unstetigen Fördermitteln wird unter Transportleistung meist diejenige Menge an Fördergut verstanden, die das Fördermittel unter den vorgesehenen Betriebsbedingungen umschlagen bzw. befördern kann, z.B. t/h bei Gurtförderern oder Verladeanlagen. Anstelle der Fördergutmenge können auch andere charakteristische Größen treten, z.B. Paletten / h (Rollenförderer), Arbeitsspiele / h (Krane, Regalförderzeuge). Arbeitsphysiologische Transportarbeit Arbeitsphysiologische Transportarbeit ist die bei Handtransporten vom Körper aufzuwendende Energie. Bei der Schaufelarbeit haben z.B. die Einsticharbeit, die Beschaffenheit des Schaufelgutes und die Wurfhöhe den größten Einfluss. Handtransporte sind in Industrieländern weitgehend auf Lasten unter 10 kg und kurze Wege beschränkt. Beispiele dieser Handtransporte sind das Einspannen von Werkstücken in Werkzeugmaschinen, das Heben von Kisten auf Werktische und das Verladen und Verpacken von Kartons, soweit dieser Bereich durch Kleinhebezeuge, Manipulatoren oder Industrieroboter noch nicht mechanisiert oder automatisiert ist.

Baukastenprinzip heißt, dass ein Erzeugnis so lange nach Bild 1 in Baugruppen, Untergruppen und Einzelteile „aufgelöst“ wird, bis die Erzeugnisteile genügend oft verwendet und daher in Serie gefertigt werden können. Natürlich müssen die einzelnen Baugruppen miteinander kombinierbar sein. Der Konstrukteur kann dann die vom Kunden gewünschte Lösung weitgehend aus vorhandenen „Bausteinen“ zusammensetzen. Standardisierung von Erzeugnissen oder Bauteilen bedeutet, dass man nicht mehr das Erzeugnis oder das Bauteil für jeden speziellen Einsatzfall neu auslegt, sondern das Erzeugnis nur in einigen häufig vorkommenden, oft genormten Größen fertigt. Der Kunde kann sich dann z.B. ein kostengünstiges, in Serie gefertigtes Laufrad nach Liste aussuchen, und braucht sich kein teures in Einzelfertigung „maßschneidern“ zu lassen. Eine Reihenbildung von Erzeugnissen oder Bauteilen liegt vor, wenn die Standardisierung in gesetzmäßigen Abstufungen erfolgt (Bild 2). Der Faktor, mit dem man die maßgebliche Größe (z.B. Hauptmaße, Drehmomente, Leistungen) einer Stufe multiplizieren muss, um die nächste Stufe zu erhalten, heißt Stufensprung M. Als Zahlenwerte für den Stufensprung nimmt man Normzahlen nach DIN 323.

2 Die Baukastensystematik in der Fördertechnik 2.1 Begriffsbestimmungen In der Fördertechnik wird kaum ein größerer Einsatzfall so dem anderen gleichen, dass man zwei Anlagen nach denselben Zeichnungen fertigen kann. Konstruktionszeiten, Rüst- und Umstellungszeiten der Fertigung sind hoch; der Kunde muss bei Einzel-

Bild 1. Auflösung eines Kranes in Baugruppen, Untergruppen und Einzelteile (Dematik) [

K4  > 0 Steigung;  = 0 Ebene;  < 0 Gefälle;  = 90º, d.h. sin  = 1 Senkrechtförderung c) der Beschleunigungskraft

K Fördertechnik anfertigung lange Lieferzeiten in Kauf nehmen. In der Fördertechnik haben sich daher Baukastenprinzip, Standardisierung und die Konstruktion von Erzeugnisreihen weitgehend durchgesetzt.

FB = m a Die Transportleistung P wird dann P = (FR +FH + FB) v In der Regel sind die drei Kraftanteile während des Fördervorganges nicht konstant. So tritt z.B. die Beschleunigungskraft nur beim Anfahren und Bremsen auf. Dann kann man für überschlägige Rechnungen die Förderstrecke in Abschnitte aufteilen, für die man die Teilkräfte kennt, und die Transportarbeit bzw. -leistung stückweise ermitteln. Oft überwiegt auch eine Teilkraft so stark, dass man die anderen vernachlässigen kann. Technische Transportleistung Bei stetigen und unstetigen Fördermitteln wird unter Transportleistung meist diejenige Menge an Fördergut verstanden, die das Fördermittel unter den vorgesehenen Betriebsbedingungen umschlagen bzw. befördern kann, z.B. t/h bei Gurtförderern oder Verladeanlagen. Anstelle der Fördergutmenge können auch andere charakteristische Größen treten, z.B. Paletten / h (Rollenförderer), Arbeitsspiele / h (Krane, Regalförderzeuge). Arbeitsphysiologische Transportarbeit Arbeitsphysiologische Transportarbeit ist die bei Handtransporten vom Körper aufzuwendende Energie. Bei der Schaufelarbeit haben z.B. die Einsticharbeit, die Beschaffenheit des Schaufelgutes und die Wurfhöhe den größten Einfluss. Handtransporte sind in Industrieländern weitgehend auf Lasten unter 10 kg und kurze Wege beschränkt. Beispiele dieser Handtransporte sind das Einspannen von Werkstücken in Werkzeugmaschinen, das Heben von Kisten auf Werktische und das Verladen und Verpacken von Kartons, soweit dieser Bereich durch Kleinhebezeuge, Manipulatoren oder Industrieroboter noch nicht mechanisiert oder automatisiert ist.

Baukastenprinzip heißt, dass ein Erzeugnis so lange nach Bild 1 in Baugruppen, Untergruppen und Einzelteile „aufgelöst“ wird, bis die Erzeugnisteile genügend oft verwendet und daher in Serie gefertigt werden können. Natürlich müssen die einzelnen Baugruppen miteinander kombinierbar sein. Der Konstrukteur kann dann die vom Kunden gewünschte Lösung weitgehend aus vorhandenen „Bausteinen“ zusammensetzen. Standardisierung von Erzeugnissen oder Bauteilen bedeutet, dass man nicht mehr das Erzeugnis oder das Bauteil für jeden speziellen Einsatzfall neu auslegt, sondern das Erzeugnis nur in einigen häufig vorkommenden, oft genormten Größen fertigt. Der Kunde kann sich dann z.B. ein kostengünstiges, in Serie gefertigtes Laufrad nach Liste aussuchen, und braucht sich kein teures in Einzelfertigung „maßschneidern“ zu lassen. Eine Reihenbildung von Erzeugnissen oder Bauteilen liegt vor, wenn die Standardisierung in gesetzmäßigen Abstufungen erfolgt (Bild 2). Der Faktor, mit dem man die maßgebliche Größe (z.B. Hauptmaße, Drehmomente, Leistungen) einer Stufe multiplizieren muss, um die nächste Stufe zu erhalten, heißt Stufensprung M. Als Zahlenwerte für den Stufensprung nimmt man Normzahlen nach DIN 323.

2 Die Baukastensystematik in der Fördertechnik 2.1 Begriffsbestimmungen In der Fördertechnik wird kaum ein größerer Einsatzfall so dem anderen gleichen, dass man zwei Anlagen nach denselben Zeichnungen fertigen kann. Konstruktionszeiten, Rüst- und Umstellungszeiten der Fertigung sind hoch; der Kunde muss bei Einzel-

Bild 1. Auflösung eines Kranes in Baugruppen, Untergruppen und Einzelteile (Dematik) [

3 Bauelemente der Fördertechnik

K5 genhersteller konzentriert sich in diesem Fall auf kundenspezifische Auslegung, Konstruktion und Lieferung der neuen Gesamtanlage.

Bild 2. Kopfträgerreihe für Laufkatzen und Laufkrane; Stufensprunge Mk und Mp; (Dematik)

2.2 Nutzen des Baukastenprinzips für die Betreiber und Hersteller fördertechnischer Anlagen Der Betreiber bekommt eine auf seinen Bedarf zugeschnittene Anlage, deren Bauteile aber in der Serie erprobt und bewährt sind. Die Ersatzteilhaltung ist wegen hoher Mehrfachverwendbarkeit der Bauteile geringer, die Austauschbarkeit ist größer, Kundendienst und Reparatur werden einfacher. Anwendungsbeispiel für einen fördertechnischen Baukasten: Das Bild 3 zeigt Baugruppen eines Elektrozugbaukastens, die sich zu den verschiedensten kundenspezifischen Elektrozügen zusammensetzen lassen. Die Baugruppen selbst sind wieder in einfache Wiederholteile aufgelöst.

2.3 Komponenten der Fördertechnik Dem Baukastenprinzip eng verwandt ist das Arbeiten mit Komponenten. Komponenten sind in der Fördertechnik maschinenbauliche und elektrotechnische Bauteile und Baugruppen, die der Hersteller fördertechnischer Anlagen komplett beziehen und für seine speziellen Zwecke einsetzen kann. So können z.B. Hersteller von Kranen oder sonstigen schienenbeweglichen Fördermitteln den Fahrantrieb nach Bild 3, bestehend aus speziell für Fahrantriebe ausgelegtem Motor und Getriebe, komplett beziehen und einfach auf die Laufradwelle aufflanschen. Für eine Greifer-Umschlagsanlage können der Greifer, Umlenkrollen, das komplette Hubwerk und die Fahrantriebe als Komponenten bezogen werden. Der Anla-

Bild 3. Beispiel eines kompletten Fahrantriebes, der in einer gestuften Baureihe zum Einbau in beliebige fördertechnische Anlagen zur Verfügung steht. (Dematik)

3 Bauelemente der Fördertechnik Es sind dies im wesentlichen Elemente der Seiltriebe, der Kettentriebe und Lastaufnahmeeinrichtungen. Seile und Ketten können nur Zugkräfte aufnehmen. In den meisten Fällen wählt man als Zugorgane Seile wegen ihrer hohen Zugfestigkeit, Preisgünstigkeit und Sicherheit gegen plötzlichen Bruch. Ketten kommen als Huborgan wegen ihres hohen Eigengewichts nur für begrenzte Hubhöhen (bis ca. 10 m) in Frage. Man verwendet sie, wo Seile zu empfindlich sind (z.B. beim Eintauchen von Lasten in Bäder, bei starker Verschmutzung wie in Kettenkratzförderern), oder wo es auf geringe Umlenkradien ankommt (kompakte Kleinhebezeuge). Das Hauptanwendungsgebiet der Ketten in der Fördertechnik ist die Zugübertragung beim Antrieb von Fördermaschinen (z.B. Kreisförderer, Plattenförderer).

3 Bauelemente der Fördertechnik

K5 genhersteller konzentriert sich in diesem Fall auf kundenspezifische Auslegung, Konstruktion und Lieferung der neuen Gesamtanlage.

Bild 2. Kopfträgerreihe für Laufkatzen und Laufkrane; Stufensprunge Mk und Mp; (Dematik)

2.2 Nutzen des Baukastenprinzips für die Betreiber und Hersteller fördertechnischer Anlagen Der Betreiber bekommt eine auf seinen Bedarf zugeschnittene Anlage, deren Bauteile aber in der Serie erprobt und bewährt sind. Die Ersatzteilhaltung ist wegen hoher Mehrfachverwendbarkeit der Bauteile geringer, die Austauschbarkeit ist größer, Kundendienst und Reparatur werden einfacher. Anwendungsbeispiel für einen fördertechnischen Baukasten: Das Bild 3 zeigt Baugruppen eines Elektrozugbaukastens, die sich zu den verschiedensten kundenspezifischen Elektrozügen zusammensetzen lassen. Die Baugruppen selbst sind wieder in einfache Wiederholteile aufgelöst.

2.3 Komponenten der Fördertechnik Dem Baukastenprinzip eng verwandt ist das Arbeiten mit Komponenten. Komponenten sind in der Fördertechnik maschinenbauliche und elektrotechnische Bauteile und Baugruppen, die der Hersteller fördertechnischer Anlagen komplett beziehen und für seine speziellen Zwecke einsetzen kann. So können z.B. Hersteller von Kranen oder sonstigen schienenbeweglichen Fördermitteln den Fahrantrieb nach Bild 3, bestehend aus speziell für Fahrantriebe ausgelegtem Motor und Getriebe, komplett beziehen und einfach auf die Laufradwelle aufflanschen. Für eine Greifer-Umschlagsanlage können der Greifer, Umlenkrollen, das komplette Hubwerk und die Fahrantriebe als Komponenten bezogen werden. Der Anla-

Bild 3. Beispiel eines kompletten Fahrantriebes, der in einer gestuften Baureihe zum Einbau in beliebige fördertechnische Anlagen zur Verfügung steht. (Dematik)

3 Bauelemente der Fördertechnik Es sind dies im wesentlichen Elemente der Seiltriebe, der Kettentriebe und Lastaufnahmeeinrichtungen. Seile und Ketten können nur Zugkräfte aufnehmen. In den meisten Fällen wählt man als Zugorgane Seile wegen ihrer hohen Zugfestigkeit, Preisgünstigkeit und Sicherheit gegen plötzlichen Bruch. Ketten kommen als Huborgan wegen ihres hohen Eigengewichts nur für begrenzte Hubhöhen (bis ca. 10 m) in Frage. Man verwendet sie, wo Seile zu empfindlich sind (z.B. beim Eintauchen von Lasten in Bäder, bei starker Verschmutzung wie in Kettenkratzförderern), oder wo es auf geringe Umlenkradien ankommt (kompakte Kleinhebezeuge). Das Hauptanwendungsgebiet der Ketten in der Fördertechnik ist die Zugübertragung beim Antrieb von Fördermaschinen (z.B. Kreisförderer, Plattenförderer).

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K Fördertechnik

3.1 Bauelemente der Seiltriebe 3.1.1 Seile Die Sicherheit gegen Lastabsturz, ein störungsfreier Betrieb und eine befriedigende Aufliegezeit (= „Lebensdauer“) der Seile setzen sachgemäße Behandlung, sorgfältige Pflege und regelmäßige Überwachung voraus. Nach Möglichkeit werden alle schädlichen Einwirkungen, wie z.B. Wasser, Dämpfe, Säuren, von den Seilen ferngehalten. Konstruktion der Drahtseile In den DIN 3 051 – 3 071 sind alle Normen über Drahtseile zusammengefasst. Die Normen gelten für Hebezeuge und Fördermittel, für die Schifffahrt und für den Bergbau (außer Förderseile). Die Bruchkräfte und die zulässigen Zugkräfte werden mittels verschiedener empirisch festgestellter Faktoren vom Seildurchmesser abgeleitet. Die Normen „Drahtseile aus Stahldrähten“ sind in folgender Weise gegliedert. DIN 3 051 Teil 1 gibt eine Übersicht über die genormten Seile und ihre Aufteilung auf die einzelnen Normblätter. DIN 3 051 Teil 2 erläutert die Seilarten und die in der Seiltechnik vorkommenden Begriffe. In DIN 3 051 Teil 3 sind die Berechnungsgrundlagen sowie die anzuwendenden Faktoren zusammengestellt. Es sind die Faktoren des metallischen Querschnitts (Füllfaktor), für den Verseilverlust (Verseilfaktor) und für das Seilgewicht (Gewichtsfaktor) angegeben, getrennt nach Seilkonstruktionen sowie danach, ob die Seile eine Faserseele oder eine Stahleinlage haben. DIN 3 051 Teil 4 enthält die Technischen Lieferbedingungen für Drahtseile. Die Normen DIN 3 052 bis DIN 3 071 sind die Maßnormen der Seile; sie enthalten die Seil-Nenndurch-

messer, die Seilgewichte, die rechnerischen Bruchkräfte und die Mindestbruchkräfte. Die rechnerische Bruchkraft ist auf Draht-Nennfestigkeiten von 1 570 N/mm2 und 1 770 N/mm2 bezogen. Es können auch nichtgenormte Sonderseile angefertigt und geliefert werden. Eine Übersicht über vorwiegend gebräuchliche Seilkonstruktionen, Normen, wesentliche Merkmale und Durchmesser gibt Tabelle 1. Die wichtigste Gruppe sind Rundlitzenseile, bei denen die aus Stahldrähten gefertigten Litzen links- oder rechtsgängig um eine in Fett getränkte Fasereinlage geschlagen werden. Haben die Drähte in den Litzen dieselbe Schlagrichtung wie die Litzen im Seil, nennt man das Seil Gleichschlagseil (Bild 1), bei entgegengesetzter Schlagrichtung Kreuzschlagseil (Bild 2). Das Seil wird handelsüblich blank in Kreuzschlag (K) und rechtsgängig (Z) geliefert. Wird das Seil verzinkt, im Gleichschlag (G), linksgängig (S) oder spannungsarm benötigt, so muss das in der Bestellung angegeben werden. Gleichschlagseile sind biegsamer und liegen in den Rillen der Rollen und Trommeln besser auf. Die Flächenpressung ist deshalb geringer, die Aufliegezeit größer. Da aber das Gleichschlagseil sich in belastetem Zustand leichter aufdreht, wird es nur für geführte Lasten (z.B. Aufzug) verwendet. Im Kranbau werden Kreuzschlagseile – in der Regel rechtsgängig – verwendet. Es stehen mehrere Seilmacharten zur Verfügung, insbesondere Filler (= Fülldraht)-, Seale-, Warrington- und Standardmachart (Bild 3). Die Skizzen in Bild 3 Nr. 1 – 20 sind in Tabelle 1, Zeile 1 – 20 beschrieben und erläutert.

Tabelle 1. Übersicht über gebräuchliche Seilkonstruktionen, Normen, wesentliche Konstruktionsmerkmale und Seildurchmesserbereiche nach DIN 3 051 Seilarten

Spiralseile (Rundlitzen)

Einlagige Rundlitzenseile

DIN

Anzahl der der aller Litzen Drähte Drähte in 1 Litze – – – 7

7 19 37 42

SeilNenn durch- messer von bis

Bezeichnung der Verseilungsart der Litzen

Art der Einlage

– – – –

– – – 1 Faser- oder 1 Stahleinlage 1 Faser- oder 1 Faser- oder 1 Faser- oder 1 Faser- oder 1 Faser- oder 1 Faser- oder

3 052 3 053 3 054 3 055

– – – 6

3 056 3 057 3 058 3 059 3 060

8 6 6 6 6

7 19 + 6F 19 19 19

56 114 114 114 114

– Filier Seale Warrington Standard

3 061 3 062 3 063

8 8 8

19 + 6F 19 19

152 152 152

Filier Seale Warrington

3 064

6

36

216

Warrington-Seale

3 065

6

35

210

Warrington gedeckt

Bild 3

Nr.

0,6 1 3 2

16 25 36 40

1 2 3 4

4 8 6 6 3

24 44 36 36 56

5 6 7 8 9

1 Faser- oder 1 Stahleinlage

10 10 10

56 44 44

10 11 12

1 Faser- oder 1 Stahleinlage

12

56

13

1 Faser- oder 1 Stahleinlage

8

56

14

1 Stahleinlage 1 Stahleinlage 1 Stahleinlage 1 Stahleinlage 1 Stahleinlage 1 Stahleinlage

1 Faser- oder 1 Stahleinlage

3 Bauelemente der Fördertechnik 3 066 3 067

K7

6 8

37 36

222 288

Standard Warrington-Seale

1 Faser- oder 1 Stahleinlage 1 Faser- oder 1 Stahleinlage

Standard

7 Fasereinlagen

3 068

6

24

144

Mehrlagige Rundlitzenseile

3 069 3 071

18 36

7 7

126 252

drehungsarm

Flachlitzenseil

3 070

10

10

100

drehungsfrei

Bild 1. Gleichschlagseil, rechtsgängig

Bild 2. Kreuzschlagseil, rechtsgängig

6 16

64 68

15 16

6

56

17

1 Faser- oder 1 Stahleinlage

4 12

28 40

18 19

1 Faser- oder 1 Stahleinlage

12

32

20

1 Faser- oder 1 Stahleinlage

Die Konstruktion eines Drahtseiles wird im allgemeinen durch eine Kurzbezeichnung entsprechend den Haupttiteln der Normen DIN 3 052 bis DIN 3 071 beschrieben, die folgende Angaben enthält: a) Seilart (z.B. Rundlitzenseil). b) Produkt aus Anzahl der Litzen im Seil und Anzahl der Drähte in einer Litze (z.B. 6 u 19). c) Bezeichnung der Verseilungsart der Litzen, soweit erforderlich (z.B. Seale). d) Hinweis auf besondere Eigenschaften, soweit zutreffend (z.B. drehungsarm). e) Hinweis auf Art und Anzahl der Einlagen, soweit erforderlich (z.B. + 7 Fasereinlagen).

Bild 3. Übersicht zu gängigen Seilkonstruktionen nach DIN 3 051/Blatt 1 Fillermachart Nr. 6 – 10, Sealermachart Nr. 7 und 11, Warringtonmachart Nr. 8, 12, 14, Standardmachart Nr. 9, 15, 17 Weitere Erläuterungen siehe Tabelle 1, Zeile 1 – 20.

K8

K Fördertechnik

3.1.2 Seilrollen und Seiltrommeln Seilrollen (Tabellen 2 und 3) dienen zum Leiten und Umlenken der Seile. Die Rillenprofile sind nach DIN 15 061 Teil 1 genormt. Geschmiedete oder gegossene Seilrollen werden in Baureihen (siehe Kap. 2) serienmäßig hergestellt. Sie haben fast ausschließlich Wälzlagerung. Geschweißte Seilrollen in Ronden-(A) oder Speichenausführung (B) werden, mit Gleit- oder Wälzlagerung, hauptsächlich für Sonderkonstruktionen verwendet. Tabelle 2. Seilrollen in Graugussausführung mit Rillenkugellager (Beispiele) Ausführung d

d1

d2

l

l1

112 160 225 280

131 186 263 328

20 32 43 48

20 34,5 43 48

A

30 45 50 60

B

70 355 415 65 65

Seil-

r 3,5 3,5 4,8 6,8

– 4,8 6,8 8,4

8,4

6,5 – 6,5 9 9 13 13 16 16

Seiltrommeln dienen dem Antrieb und dem Speichern des Seils. In die Trommel sind in der Regel Rillen nach DIN 15 061 Teil 2 zur besseren Führung und Schonung des Seils eingefräst (Bild 3 in Kap. 7). Die Trommel wird also nur in einer Lage bewickelt. Ausnahmen bilden nur Handwinden, Schrapper oder sonstige Maschinen, bei denen eine geringe Aufliegezeit des Seils in Kauf genommen wird. Berechnung von Trommeln nach 3.2.3. 3.1.3 Seilendverbindungen Für die Verbindung zweier Drahtseilenden oder das Anschließen eines Drahtseiles an ein festes Konstruktionsteil wurden im Hebezeugbau unterschiedliche Seilverbindungen entwickelt. Die älteste Art ist das Spleißen, die einfachste Art ist das Zusammenklemmen mit Drahtseilklemmen.

Tabelle 3. Seilrollen in Schweißausführung mit Rillenkugellager (Beispiele) Ausführung

A

B

1)

d

d1

d2

l1

r1)

Seil-

70 70 80 90 100 140 110 150 120 170 130 180 200 220 240 260

355 400 450 500 560 560 630 630 710 710 800 800 900 1000 1120 1250

410 460 520 575 640 640 715 715 800 800 905 905 1020 1135 1255 1385

100 100 105 110 120 120 130 125 135 140 135 145 155 165 165 190

9 10 11 12,5 14 14 16 16 18 18 20 20 22,5 25 25 25

14 ... 17 16 ... 19 18 ... 21 20 ... 24 22 ... 27 22 ... 27 26 ... 30 26 ... 30 30 ... 34 30 ... 34 32 ... 38 32 ... 38 37 ... 43 40 ... 48 40 ... 48 40 ... 48

Kranz, kalibriert, daher Radius maßhaltig und geglättet

Bild 4. Gespleißtes Seilende (Dematik)

3 Bauelemente der Fördertechnik

K9

Bild 6. Rollengängige Seilverbindung mit Vergussbirnen und Schäkel (Dematik)

Bild 5. Seilschloss mit Keil (Keilschloss) 1 Seilschlossmantel 2 Klemmkeil 3 Seil 3a Last tragendes Seilende 3b loses Seilende 4 Sicherheitsklemme (Dematik) Diese Klemme verhindert den Verlust des Klemmkeils und damit das Lösen der Klemmverbindung, wenn das Seilende 3a auf Grund von Betriebsstörungen einmal ohne Vorspannung sein sollte. Beide Arten werden jedoch nur für untergeordnete Einsätze verwendet. Meist kommt es auf hohe Festigkeit an, auf schnelle und leichte Lösbarkeit der Verbindung, auf gleichmäßige Krafteinleitung und auf Rollengängigkeit der Verbindung. In diesen Fällen sind Keilschloss- und Vergussbirnenverbindungen vorteilhaft. Keilschloss (Bild 5). Mit dem Keilschloss werden Seile mit tragenden Konstruktionsteilen verbunden. Unter Belastung zieht sich das um den Keil geführte Seil in die Tasche hinein und ergibt eine feste Verbindung. Durch einfaches Herausschlagen des Keils kann diese Verbindung wieder gelöst werden. Vergussbirnen. In Vergussbirnen werden die Seilenden nach von den Herstellern genau angegebenen Verfahren aufgefächert und mit Spezialmaterial vergossen. Die Vergussbirnen zweier Seilenden werden mit Seilschäkeln nach Bild 7 verbunden und so ausgelegt, dass die Verbindungsstelle auch über Seilrollen laufen kann (Bild 6).

Bild 7. Schäkel für Seilverbindung mit Vergussbirnen 1 Bügel, 2 Schäkelschloss mit Federmutter a, b, c, d, e, f, g, h, k Baumaße nach Herstellertabelle für verschiedene Seilrollendurchmesser r (Dematik) 3.1.4 Berechnung von Seiltrieben 3.1.4.1 Flaschenzugübersetzung. Ein Flaschenzug besteht aus einer Kombination „fester“ und „loser“ Rollen, wobei die festen Rollen zur „festen Flasche“ und die losen Rollen zur „losen Flasche“ zusammengefasst werden. Wesentlich ist, dass die Last an mehr Strängen hängt, als angezogen werden (Bild 8). Die Flaschenzugübersetzung errechnet sich abhängig von der Lastaufhängung zu iFl = =

nL

nA Anzahl der Stränge, an denen die Last hängt Anzahl der angezogenen Stränge

K 10

K Fördertechnik

Ein Beispiel zeigt Bild 8. Die erforderliche Geschwindigkeit der Zugseile beträgt: vA = vH i vA Geschwindigkeit der angezogenen Seile, vH Geschwindigkeit des Hakens.

Der Wirkungsgrad einer Seilrolle ist außer von der Art ihrer Lagerung (Gleitlagerung oder Wälzlagerung) auch vom Verhältnis Seilrollendurchmesser: Seildurchmesser (D : d), von der Seilkonstruktion und der Seilschmierung abhängig. Sofern keine genaueren Werte durch Versuche nachgewiesen sind, soll gerechnet werden bei Gleitlagerung mit R = 0,96 bei Wälzlagerung mit R = 0,98 Mit diesen Werten sind die Wirkungsgrade nach Tabelle 4 errechnet. Für Ausgleichrollen braucht kein Wirkungsgrad berücksichtigt zu werden. Tabelle 4. Gesamtwirkungsgrad von Flaschenzügen

F

n Gleitlagerung

2 0,98

3 4 5 6 7 0,96 0,94 0,92 0,91 0,89

Wälzlagerung

0,99

0,98 0,97 0,96 0,95 0,94

Gleitlagerung

8 9 10 11 12 13 14 0,87 0,85 0,84 0,82 0,81 0,79 0,78

Wälzlagerung

0,93 0,92 0,91 0,91 0,90 0,89 0,88

n

Bild 8. Doppelflaschenzug, bestehend aus zwei jeweils 6-strängigen Flaschenzügen n = 6 mit je drei losen Rollen, je zwei festen Rollen, je einer Trommel sowie einer festen Ausgleichsrolle zwischen den beiden Flaschenzügen. Zwischen Trommel und Flaschenzug befindet sich hier keine feste Seilrolle (i = 0) iFl =

Last an 12 Strängen 2 angezogene Stränge

2 oder je Einzelflaschenzug: iFl =

6 1

Die Seilzugkraft F der angezogenen Seile beträgt, wenn G die Gewichtskraft an der Unterflasche aus deren Eigengewicht sowie der Nutzlast ist, G 1

F= iFl  S

S ist der nach DIN 15 020 Blatt 1 zu errechnende Wirkungsgrad des Seiltriebes. Nach dieser Norm gilt: 1 1  ( R ) n n 1  R i Anzahl der festen Seilrollen zwischen Seiltrommel und Flaschenzug bzw. Last (z.B. bei Hubwerken von Auslegerkranen) n Anzahl der Seilstränge in einem Flaschenzug. Ein Flaschenzug ist die Gesamtheit aller Seilstränge und Seilrollen für ein auf eine Seiltrommel auflaufendes Seil (siehe Bild 8). F Gesamtwirkungsgrad des Flaschenzuges

S ( R ) i

1 1  ( R ) n

n 1 R

Soll die Nutzlast mit einer Hubgeschwindigkeit v angehoben werden, so ist die an den angezogenen Seilen aufzubringende Leistung

P

1

S

G v

P

G

v

S

Nm W

s

N

m s

1

G = Gewichtskraft = m · g

6

(Dematik)

F

F

R Wirkungsgrad einer Seilrolle S Wirkungsgrad des Seiltriebes

Um die erforderliche Motorleistung zu ermitteln, ist diese Leistung noch durch die Wirkungsgerade von Trommel und Getriebe zu dividieren und mit einem Sicherheitsfaktor für dynamische Beanspruchungen zu multiplizieren. 3.1.4.2 Berechnung der Seiltriebe nach DIN 15 020. Der folgende Rechengang gilt für Krane und Serienhebezeuge aller Art, bei denen die Seile über Seilrollen geführt und auf Seiltrommeln aufgewickelt werden. Für besondere Betriebsverhältnisse (z.B. Baggerbetrieb, Aufzüge, Schiffskrane, Bergwerke, Abspannseile) gelten besondere Rechenvorschriften. Die Einzeldrähte der Seile werden bei der Herstellung und im Betrieb auf Zug, Biegung und Verdrillung (Torsion) beansprucht. Die Berechnungsverfahren haben sich aus Versuchen und aus der Praxis entwickelt. Tragkraft und Aufliegezeit (= Lebensdauer) von Drahtseilen hängen im Wesentlichen ab 1. von der Zugfestigkeit der Einzeldrähte, 2. von der Betriebsweise des Seiltriebes, 3. von dem Durchmesser der Seiltrommeln, Seilrollen und Ausgleichsrollen, 4. von der Bemessung der Seilrillen.

3 Bauelemente der Fördertechnik

K 11

Die Lebensdauer der Seile hängt ferner ab von der Anzahl der Biegewechsel. Ein Biegewechsel liegt vor, wenn das Seil einmal von der Geraden in eine gekrümmte Bahn gelenkt wird und umgekehrt, z.B. Auflauf des Seiles auf eine Seilrolle = 1 Biegewechsel, Ablauf des Seils von einer Seilrolle = 1 Biegewechsel. Zu 1: Die Zugfestigkeit der Einzeldrähte von in der Fördertechnik verwendeten Seilen ist in Tabelle 5 angegeben. Die Zugfestigkeit der Förderseile beträgt wegen Biegungen und Quetschungen nur etwa 90 % der genannten Werte. Zu 2: Der erforderliche Seildurchmesser errechnet sich zu d d  c FS

mm

c mm N

FS N

d Seildurchmesser, c Beiwert für die Betriebsweise, FS Seilzugkraft Die Triebwerksgruppe wird nach Tabelle 6 abhängig von der mittleren Laufzeit pro Tag (Zeile 2) und der durchschnittlichen Belastung (= Lastkollektiv) ermittelt. Man erkennt, dass ein Triebwerk, dass z.B. nur ca. 2 ... 4 Std. am Tag in Betrieb ist und nahezu ständig die höchstzulässige Last transportiert, in die gleiche Triebwerksgruppe 3 m eingestuft wird, wie ein Triebwerk, was viel länger in Betrieb ist (z.B. 8 ... 16 Std.), aber dafür nur selten Höchstlast transportiert. Mit dem aus Tabelle 6 ermittelten Triebwerksgruppenwert kann man aus Tabelle 5 den Beiwert c für

verschiedene Seile entnehmen und damit den Seildurchmesser nach obiger Gleichung berechnen. Zu 3: Eine ausreichende Aufliegezeit des Seils wird erreicht, wenn Seiltrommeln, Seilrollen und Ausgleichsrollen zumindest den Durchmesser haben: Dmin = h1 h2 dmin

Dmin, dmin mm

h1, h2 1

Dmin Rollen- und Trommeldurchmesser Beiwert nach Tabelle 7, abhängig von der h1 Machart des Seils und von der Triebwerksgruppe h2 Beiwert, abhängig von der Anordnung der Seiltriebe; h2 = 1 für Seiltrommeln, h2 = 1 ... 1,25 für Flaschenzüge je nach Anzahl und Gegen- oder Gleichsinnigkeit der Umlenkrollen. Für Seilrollen in Greifern und Serienhebezeugen kann stets h2 = 1 gesetzt werden Seildurchmesser dmin Zu 4: Der Seilrillenradius r soll dem Seildurchmesser d möglichst gut angepasst sein; empfohlen wird die Berechnung durch die Gleichung r mm

r = 0,525

d mm

Bei den Triebwerksgruppen 1 Em, 1 Dm und 1 Cm ist durch Auflegen entsprechender Seile dafür zu sorgen, dass zusätzlich das Verhältnis der rechnerischen Seilbruchkraft zur rechnerischen Seilzugkraft nicht kleiner ist als 3,0.

Tabelle 5. Beiwerte c zur Berechnung des zulässigen Seildurchmesser nach DIN 15 020 c in mm /

N für

gefährliche Transporte2) und

übliche Transporte und Triebwerkgruppe

1 Em 1 Dm 1 Cm 1 Bm 1 Am 2m 3m 4m 5m 1)

nicht drehungsfreie Drahtseile

1570 – – – 0,0850 0,0900

1770 1960 0,0670 0,0630 0,0710 0,0670 0,0750 0,0710 0,0800 0,0750 0,0850 0,0950 0,106 0,118 0,132

drehungsfreie bzw. drehungsarme Drahtseile 1)

nicht drehungsfreie Drahtseile

Nennfestigkeit der Einzeldrähte in N/mm2 21603) 24503) 1570 1770 1960 1570 0,0600 0,0560 – 0,0710 0,0670 0,0630 0,0600 – 0,0750 0,0710 0,0670 – 0,0800 0,0750 – 0,0900 0,0850 0,0800 – 0,0950 0,0900 – 0,106 – 0,118 – 0,132 – 0,150

1770 1960 – – – – 0,0950 0,106 0,118 0,132 0,150

drehungsfreie bzw. drehungsarme Drahtseile 1) 1570

1770 – – – – 0,106 0,118 – – –

1960

Bei Serienhebezeugen dürfen für drehungsfreie bzw. drehungsarme Drahtseile die gleichen Beiwerte c benutzt werden wie für nicht drehungsfreie Drahtseile, wenn durch die Wahl der Seilkonstruktion eine ausreichende Aufliegezeit erreicht wird. Z.B. Befördern feuerflüssiger Massen, Befördern von Reaktor-Brennelementen. Bei Serienhebezeugen kann auf diese Einstufung verzichtet werden, wenn unter Beibehaltung von Drahtseil-, Seiltrommel- und Seilrollen 2 Durchmesser die Seilzugkraft auf 3 des Wertes für übliche Transporte herabgesetzt wird. 3) Besonders Drahtseile von 2 160 und 2 450 N/mm2 Nennfestigkeit müssen von solcher Konstruktion sein, dass sie für den vorliegenden speziellen Anwendungsfall geeignet sind. 2)

K 12

K Fördertechnik

Tabelle 6. Triebwerkgruppen nach Laufzeitklassen und Lastkollektiven nach DIN 15 020 mittlere Laufzeit je Tag in h, bezogen auf 1 Jahr Nr. Benennung

V012

V025

V05

V1

V2

V3

V4

V5

über 0,125 über 0,25 über 0,5 über 1 über 2 über 4 über 8 bis 0,125 über 16 bis 0,25 bis 0,5 bis 1 bis 2 bis 4 bis 8 bis 16

Erklärung

Triebwerkgruppe

leicht

geringe Häufigkeit der größten Last

1 Em

1 Em

1 Dm

1 Cm

1 Bm

1 Am

2m

3m

4m

2

mittel

etwa gleiche Häufigkeit von kleinen, mittleren und größten Lasten

1 Em

1 Dm

1 Cm

1 Bm

1 Am

2m

3m

4m

5m

3

schwer

nahezu ständig größte Lasten

1 Dm

1 Cm

1 Bm

1 Am

2m

3m

4m

5m

5m

1 Lastkollektiv

1)

V006

Kurzzeichen

Laufklassezeit“

Bei einer Dauer eines Arbeitsspieles von 12 Minuten oder mehr darf der Seiltrieb um 1 Triebwerkgruppe niedriger gegenüber der Triebwerkgruppe eingestuft werden, die aus Laufzeitklasse und Lastkollektiv ermittelt wird.

Tabelle 7. Beiwerte h1 zur Berechnung von Mindestrollen- und -trommeldurchmessern für Seiltriebe nach DIN 15 020 Triebwerkgruppe

Seiltrommel und drehungsfreie bzw. nicht drehungsfreie drehungsarme 1) Drahtseile Drahtseile

h1 für Ausgleichsrolle und Seilrolle drehungsfreie bzw. drehungsfreie bzw. nicht nicht drehungsfreie drehungsarme 1) drehungsfreie drehungsarme 1) Drahtseile Drahtseile Drahtseile Drahtseile

1 Em

10

11,2

11,2

12,5

10

12,5

1 Dm

11,2

12,5

12,5

14

10

12,5

1 Cm 1 Bm 1 Am 2m 3m

12,5 14 16 18 20

14 16 18 20 22,4

14 16 18 20 22,4

16 18 20 22,4 25

12,5 12,5 14 14 16

14 14 16 16 18

4m

22,4

25

25

28

16

18

5m

25

28

28

31,5

18

20

1)

Seilrollen in Greifern dürfen unabhängig von der Einstufung des übrigen Seiltriebes nach Triebwerkgruppe 1 Bm bemessen werden. Bei Serienhebezeugen dürfen für drehungsfreie bzw. drehungsarme Drahtseile die gleichen Beiwerte h1 benutzt werden wie für nicht dehnungsfreie Drahtseile, wenn durch die Wahl der Seilkonstruktion eine ausreichende Aufliegezeit erreicht wird.

3.2 Bauelemente für Kettentriebe Ketten haben den Vorteil der Handlichkeit, Beweglichkeit und Anpassungsfähigkeit nach allen Richtungen. Als Nachteil stehen gegenüber: großes Gewicht, geringe Elastizität, Empfindlichkeit gegen Stoß und Schlag. Man unterscheidet Rundgliederketten und Gelenkketten.

Ketten aus Stählen mit Zusätzen von Mangan, Chrom, Nickel, Molybdän, Vanadin. – Ketten mit besonderen Werkstoffeigenschaften aus Sonderstählen (z.B. säure-, hitze-, korrosionsbeständig, antimagnetisch).

3.2.1 Rundgliederketten (Bild 9) Tabelle 8 gibt eine Übersicht der wichtigsten Normblätter. Werkstoff: Ketten der Normalgüte aus S235 (einsatzgehärtet in verschleißfester Ausführung). Hochfeste

Bild 9. Kenngrößen des Kettengliedes b Breite, d Drahtdurchmesser, tK Teilung

3 Bauelemente der Fördertechnik

K 13

Berechnung des Kettengliedes: Jedes Kettenglied wird über seinen ganzen Umfang durch einen mehrachsigen Spannungszustand beansprucht, da es nicht nur aus geraden, sondern auch aus gebogenen Abschnitten besteht. Ähnlich wie bei den Drahtseilen wurden daher die zulässigen Beanspruchungen in Forschung und Praxis ermittelt und als Erfahrungswerte in den DIN festgelegt.

Tabelle 8. Übersicht über die wichtigsten Normblätter für Rundstahlketten DIN

Verwendungsart

685

Rundstahlketten, Anforderungen, Prüfungen

766

Rundstahlketten für allgemeine Zwecke und Hebezeuge

5684

hochfeste Rundstahlketten für Hebezeuge

762

Rundstahlketten für Stetigförderer – langgliedrig

764

Rundstahlketten für Stetigförderer – halblanggliedrig

22252

hochfeste Rundstahlketten für den Bergbau

5685

Rundstahlketten halb- und langgliedrig nicht geprüft

691 695, 5688

Spannketten Anschlagketten, Hakenketten, Ringketten

Kettencharakteristik (Bild 10). Für die Beurteilung einer Kette werden folgende Kriterien herangezogen: Recklast. Das Kraft-Verlängerungsschaubild lässt durch den Knick in der Kraftkurve die Kraft FR ablesen, mit der Ketten nach dem Vergüten belastet werden, damit sie maßhaltig bleiben. Bis zu dieser Belastung ist die Kette auch bei wiederholten Belastungen praktisch nur elastisch verformbar. Bruchdehnung. Die Bruchdehnung ist die relative Verlängerung  l / l der Kette, bei der sie bricht. Verfestigungsfähigkeit. Sie drückt sich im Bereich der plastischen Verformung durch den Anstieg der Kraft von FR auf FB aus. In Bild 10 ist eine Kette von 17 mm Rundstahldurchmesser und 840 mm Länge mit einer Recklast von FR = 206 kN wiedergegeben, bis zu der sie sich nur elastisch verformt. Näherungsweise gilt in diesem Bereich das Hookesche Gesetz, d.h. mit Einführung eines ideellen Moduls der Kette EK kann gesetzt werden:

  EK

l EK l0

Bild 10. Kraft-Verlängerungsschaubild einer 17-mmRundstahlkette Die Grenze der elastischen Verformung ist von der Recklast abhängig, an den folgenden Entlastungskurven kann man erkennen, dass der Bereich der elastischen Verformung durch Erhöhung der Recklast z.B. auf F1 = 220 kN bzw. auf F2 = 332 kN erhöht wird. Die Bruchlast beträgt FB = 338 kN und als Bruchdehnung wird bei der Einspannlänge von l0 = 840 mm,  = l / l0 = 70/840 = 0,083 = 8,3 % ermittelt. In den DIN wurden die Anforderungen, denen Rundstahlketten in bezug auf Werkstoffe, Bruchdehnung, Bruchkraft, Oberflächenhärte und Maßhaltigkeit genügen müssen, festgelegt. Die Aufliegezeit (= Lebensdauer) wird durch die höchstzulässige Längung durch Verschleiß begrenzt. Diese beträgt z.B. für Hebezeugketten maximal 5 % über eine Teilung tK nach DIN 685 und maximal 2 % über eine Länge von 11 tK bei motorischem Antrieb, bei Handantrieb 3 %.

3.2.2 Gelenkketten (Bilder 11 und 12) Die Gelenk- oder Laschenketten werden nach ihrem Erfinder auch Gallsche Ketten genannt. Gall-Ketten nach DIN 8 150. Sie werden aus geraden oder gekröpften Laschen gefertigt, die durch Bolzen gelenkig miteinander verbunden sind (Bild 11). Die Bolzen sind an beiden Enden abgesetzt und werden entweder vernietet oder versplintet. Sie laufen auf verzahnten Kettenrädern.

 Dehnung l Verlängerung l0 Ausgangslänge der Kette

Bild 11. Gallkette nach DIN 8150, 90 mm Teilung

e1

e2

g1

kN

kN

mm mm mm mm

mm

mm

150

750

90

199

183

70

40

36

Plattenbreite Plattenstärke Anzahl der Platten pro Glied

d2

Breite über Nietbolzen

Zapfen-

b

d1

Breite über Verbindungsbolzen

tk

Bolzen-

lichte Weite

Teilung

K Fördertechnik

garantierte Tragkraft MindestBruchkraft

K 14

s

D

   tk  90D  sin  z

2

      d   90D   cos   z

     

2

D, tk, d mm

z 1

mm mm 70

7

6

Plattenbreite

Plattenstärke

b

d1

d2

e1

e2

g1

s

kN

mm

mm

mm

mm

mm

mm

mm

mm

400

90

80

50

36

160

144

85

12

bolzen

Bolzen-

bindungsbolzen

Buchsen-

Breite über Niet-

lichte Weite

t

Mindest-Bruchkraft

Teilung

Breite über Ver-

Bild 12. Buchsenkette nach DIN 8164, 90 mm Teilung Bild 13. Ausführung von Kettenrollen a) als Umlenkrolle, b) als Umlenkrolle und als Antriebsrolle Bei z  6 und d  16 mm kann das zweite Glied unter der Wurzel vernachlässigt werden. Kettentrommeln für Gliederketten haben nur eine untergeordnete Bedeutung. Die Oberfläche erhält eingedrehte Rillen für einlagiges Aufwickeln. Zwei Sicherheitswindungen müssen zusätzlich Platz haben. Werkstoff ist Grauguss, seltener Stahlguss oder S235JR61 für geschweißte Ausführungen.

Förderketten im schweren Einsatz bedürfen einer sorgfältigen Wartung und Verschleißkontrolle. Eine mindestens 5fache Sicherheit wird bei der angegebenen Tragkraft garantiert. Kettengeschwindigkeiten von 0,3 m/s bis 4,0 m/s, je nach Kettentyp. Als Kraftübertragungsketten für höhere Geschwindigkeiten (v > 4 m/s) sind Stahlgelenkketten in der Form von Buchsenketten nach DIN 8164 und Rollenketten nach DIN 8081 – 8088 verfügbar. 3.2.3 Kettenrollen und Kettentrommeln Kettenrollen für unkalibrierte Gliederketten werden unverzahnt ausgeführt, wenn sie zur Umlenkung dienen. Der Rollendurchmesser – von Mitte bis Mitte Kette gemessen – beträgt D = 20 – 25 d (d Kettendrahtdurchmesser). Die kalibrierten Ketten erfordern verzahnte Antriebsrollen, deren Durchmesser klein gewählt werden können, jedoch soll die Zähnezahl mindestens 5 betragen. Bezeichnet tk die Teilung, z die Zähnezahl, d die Kettendrahtdurchmesser, dann wird der Teilkreisdurchmesser D:

3.3 Lastaufnahmeeinrichtungen und Ladehilfsmittel Hier werden alle Konstruktionsteile, Hilfsgeräte oder Hilfsmittel zusammengefasst, die der geeigneten Verbindung des Transportgutes mit dem Fördermittel und der guten Transportierbarkeit dienen. Der Begriff „Lastaufnahmeeinrichtungen“ ist in DIN 15 003 festgelegt. Die Lastaufnahmeeinrichtungen gliedern sich danach in Tragmittel, Lastaufnahmemittel und Anschlagmittel. Tragmittel sind zum Hebezeug gehörende Hubeinrichtungen zum Aufnehmen der Last einschließlich der Seil- und Kettentriebe, wie z.B. Lasthaken, Unterflasche, Seile. Lastaufnahmemittel sind nicht zum Hebezeug gehörende, zum Aufnehmen der Last dienende Einrichtungen, die ohne besondere Um- oder Einbaumaßnahmen mit dem Tragmittel verbunden werden können, wie z.B. Magnete, Greifer, Zangen oder Kübel.

3 Bauelemente der Fördertechnik Anschlagmittel sind nicht zum Hebezeug gehörende, die Verbindung zwischen Tragmittel und Nutzlast herstellende Einrichtungen, wie z.B. Anschlagseile, -ketten oder -gurte. Ladehilfsmittel sind Einrichtungen, mit deren Hilfe besonders Stückgut zu transportfreundlichen, meist genormten Ladeeinheiten zusammengefasst werden kann, wie z.B. Paletten, Container.

K 15 Um bei etwaiger Schlaffseilbildung ein Herausspringen der Anschlagseile aus dem Haken zu vermeiden, kann dieser karabinerartig mit einer Sperrklinke versehen werden. Bei Lasten über 15 t überwiegen Doppelhaken. In Verbindung mit einem Flaschenzug nimmt man Hakengeschirre oder Hakenflanschen (Bild 14).

Von der zweckmäßigen Konstruktion der Lastaufnahmeeinrichtungen und Ladehilfsmittel für die jeweiligen Einsatzfälle hängt die schonende Behandlung des Transportgutes, die Sicherheit und die Wirtschaftlichkeit der Fördereinrichtung weitgehend ab. Bei der Konstruktion sind Art, Form, Größe, Gewicht, Oberflächenbeschaffenheit des Gutes bzw. der Verpackung von besonderer Bedeutung, außerdem die Lagerung (stehend – liegend – geordnet – ungeordnet – verpackt – in Behältern) und die Umschlagmenge. Die Last wird durch Kraftschluss oder Formschluss aufgenommen, gelegentlich auch durch Haftschluss. Beim Kraftschluss werden Klemm- oder Spreizkräfte erzeugende Geräte benutzt. Beim Anheben der Last schließen sich die Backen des Gerätes fest um das Gut. Sobald der Gegenstand abgesetzt wird, öffnen sich die Backen. Beim Formschluss wird das Gut allein durch Auflegen oder Anschlagen aufgenommen, wobei die Aufnahmemittel der jeweiligen Form weitgehend angepasst sein müssen1). Bei den Haftgeräten handelt es sich um Lasthebemagnete und Vakuumheber. Bei Hebemagneten werden die Haftkräfte elektromagnetisch erzeugt, beim Vakuumheber pneumatisch. 3.3.1 Lasthaken Eine einfache und schnelle Lastaufnahme geschieht durch Einhängen der Lasthaken in Ösen der Anschlagmittel oder der zu transportierenden Güter. Anschlagketten in der Ausführung als Ring-, HakenKranz- oder Spreizketten sind dabei gebräuchliche Hilfsmittel, ebenso werden Anschlagseile aus Stahldraht als Öse-, Haken- oder Schlingseile verwendet. Abmessungen für Einfach- und Doppelhaken, Ösenhaken und Haken für Lastketten, sowie Angaben über Beanspruchung, Werkstoffe und Prüfungen siehe DIN 15 401 – 15 407. Berechnungsgrundlage: Der Haken wird im Zapfenquerschnitt auf Zug, in den stark gekrümmten Teilen auf Biegung und Zug berechnet. Der Hakenquerschnitt wird als Trapez mit abgerundeten Ecken ausgeführt. Der Haken ist drehbar gelagert. Als Gewinde wählt man Rundgewinde, Sägen- oder Trapezgewinde. Die Hakenmutter ist zu sichern.

Bild 14. Vierrollige Unterflasche für Einfach- oder Doppelhaken für 40 ... 160 t. Seildurchmesser s 22 ... 48 mm, Rollendurchmesser d3 575 ... 1 385 mm. Buchstaben sind kennzeichnende Abmessungen nach Herstellertabelle für die verschiedenen Größen der Baureihe. (Dematik)

1) Unter Anschlagen versteht man die Tätigkeit, mit normalen oder speziellen Anschlagmitteln die zu transportierende Last sicher an die Hebema-

schine anzuhängen.

K 16

K Fördertechnik

Tabelle 9. Ausführungen von Lasthaken a) Maße für den einfachen Haken nach DIN 15 401 (Maße in mm) Traglast (Masse) in t = 103 kg

Schaftdurchmesser

Maulweite

d2

Querschnitte

d

d1

a

h

b1

b2

5

45

48

53

90

90

78

30

7,5

h'

b 1'

b 2'

f1

f2

f

75

60

30

85

55

200

58

60

65

100

110

95

40

95

75

45

105

70

245

10

64

67

72

120

130

110

45

110

90

55

115

75

260

15

70

73

78

140

160

135

50

140

110

60

130

80

315

20

83

86

95

160

170

145

55

150

120

65

150

95

370

25

96

98

105

180

190

160

65

165

135

75

160

110

410

30

103

106

116

200

205

170

70

180

145

80

170

115

430

40

118

120

130

220

230

200

70

205

170

90

210

130

500

50

128

130

140

240

255

220

80

225

190

160

220

145

525

b) Maße für den Doppelhaken nach DIN 15 402 (Maße in mm) Traglast Schaft- Maul(Masse) durch- weite in messer t = 103 kg d3 a

h

b1

b2

h'

b 1'

b 2'

5

53

80

89

60

25

70

55

25

7,5 10 15 20 25 30 40 50 60 75 100

65 72 78 105 115 125 140 155 170 195 225

95 110 130 150 160 180 200 220 240 270 300

103 116 143 158 180 194 218 244 268 306 345

70 30 90 35 100 40 110 45 130 50 140 55 150 60 170 65 185 75 215 85 240 100

80 90 115 120 140 150 170 190 210 240 270

Masse d, d1, d2, f, f1, f2 wie beim einfachen Haken

Bild 15. Ausführungen von Schäkeln a) einfacher Lastbügel b) mehrteiliger Lastbügel

65 30 80 35 95 40 105 45 115 50 125 55 135 60 150 65 165 75 185 85 210 100

Schäkel (Bild 15). Für größere Lasten (m  50 t) werden auch geschlossene Lastbügel (Schäkel) benutzt, die entweder aus einem Stück geschmiedet oder aus Zugbändern mit Querstück zusammengesetzt sind. Alle Schäkel erschweren das Anschlagen der Last durch Seile oder Ketten, dafür haben sie den Vorteil, dass sie bei gleicher Tragkraft leichter sind als Haken.

3.3.2 Anschlagmittel, Brooken, Zangen (Bild 16) Anschlagmittel sind Anschlagseile (DIN 3 088) und -ketten. Zangen, Kübel, Gehänge sind einfache Lastaufnahmemittel. Diese gibt es in den verschiedensten Formen. Für Behälter und Kübel eignen sich selbstzentrierende Gehänge. Gehänge mit beweglichen Greifarmen werden oft mit einem Antrieb zur Ausführung der Greifbewegung gebaut. Bei den Klemmen und Zangen wirken die Klemmkräfte zwischen zwei gegeneinander beweglichen Armen, an denen Klemmbacken angebracht sind. Für ein sicheres Arbeiten ist ein genügend großer Reibwert zwischen Klemmbacken und Last erforderlich, dieser Wert  kann durch entsprechende Reibbeläge verbessert werden. Durch das Gewicht der Zange schließen sich die Backen, und durch das Gewicht der Last werden sie über eine Hebelübersetzung fest an das Fördergut gepresst. Es ist möglich, durch Einrasten die geöffnete Maulstellung festzusetzen. Für die verschiedenen Industriezweige gibt es Spezialausführungen, so dass für jeden Transportfall die optimale Konstruktion ausgewählt werden kann.

3 Bauelemente der Fördertechnik

K 17 Während des Füllens bleibt der Schließwiderstand, den das aufzunehmende Gut den Schalen entgegengesetzt, nicht konstant: bei Beginn des Schließvorganges ist er am kleinsten, mit zunehmender Füllung wird er größer. Die Greifer werden nach ihrem Verwendungszweck in Baureihen aufgeteilt (Tabelle 10). Das Füllgewicht der genormten Greifer aller Baureihen ist ungefähr gleich dem Greifereigengewicht. Die örtlichen Verhältnisse machen es notwendig, dass der Greifer entweder in Richtung des Auslegers oder quer dazu öffnet. Mit Rücksicht auf eine ausreichende Standfestigkeit wird eine tiefe Schwerpunktslage angestrebt, daher schwere Greiferschalen und große Greiferbreite. Der Zweischalengreifer ist der ideale Mehrzweckgreifer für alle Schüttgüter. Im Entladen von Schiffen hat sich der Trimmgreifer bewährt. Für den Umschlag von gestapeltem Rundholz, Getreide, Schrott usw. sind Sondergreifer entwickelt worden. Mehrschalengreifer werden z.B. für Stahlspäne und Müll eingesetzt.

Bild 16. Gehänge zur Lastaufnahme a) Anschlagketten; b) Anschlagseile; c) Anschlagkette, Anschlagband, Netzbrooke; d) Zangen

3.3.3 Greifer Greifer dienen dem Umschlag von Schüttgütern. Sie lassen sich auf Grund ihrer Wirkungsweise in zwei Hauptgruppen einordnen. a) Einseilgreifer hängen nur an einem Seil an einer Eintrommelwinde. Das Öffnen und Schließen erfolgt mit einem im Greifer eingebauten Motor (Motorgreifer). b) Mehrseilgreifer haben getrennte Schließ- und Halteseile, die eine Winde mit zwei Seiltrommeln erfordern. Ein bestimmtes Mindestgewicht des Greifers darf nicht unterschritten werden, damit der Greifer das Fördergut beim Aufsetzen noch trennen kann. Die erforderliche Schließkraft – die von der Schalenschneide ausgeübte Horizontalkraft – wird vom Trennwiderstand und der Verlagerungsarbeit des Gutes im Greifer bestimmt.

Bild 17. Motorgreifer mit Spindelantrieb 1 Greiferkopf 2 Aufhängung 3 Verschiebeläufer-Motor (siehe Kap. 6, Bild 4) 4 Schale 5 Rohr mit Trapez-Innengewinde 6 Getriebekasten 7 Spindelwelle Motorgreifer benötigen kein zweites Schließseil, sondern lediglich eine Stromzuführung. Motorgreifer können daher mit Kranen oder Elektrozügen betrieben werden. Der Motorgreifer (Bild 17) wird am Greiferkopf in den Lasthaken gehängt. Gehoben und gesenkt wird der Greifer durch das vom Eintrommelwindwerk ablaufende Hubseil, geöffnet und geschlossen durch den eingebauten Motor. Die Schließkraft des Motorgreifers ist nicht wie bei den Mehrseilgreifern von der Seilkraft und damit vom Greifergewicht abhängig, sondern allein von der Motorkraft. Die Kraft vom Motor zu den Greiferschalen kann über eine Flaschenzugwinde, über eine Spindel oder hydraulisch übertragen werden.

K 18

K Fördertechnik

Tabelle 10. Beispiel von Baureihen von Zweischalen-Stangengreifern (Dematik) Fassungsvermögen (V1 + V2) in m3 (Auswahl nach Normreihe) Eigengewicht in t

0,63 Baureihe

1

1,6 2,5

4

5

6,5

–

1,4 1,7 2,1 2,8 4,25

–

–

1,5 2,05 3,4 4,35 5,2 8,0

8

10 12,5

4,85 6,5 8,0

I Baureihe

–

–

–

II Baureihe

1,8 2,6 4,0 6,3 9,5

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

III Baureihe

–

–

5,5 8,1

–

IV

Schüttgewichte von Massengütern für Baureihe I Material t/m3 Braunkohle – 0,8 0,8 Kohle Briketts Holzkohle 0,2 Fein- und Nuss- 0,85 ... 1, Koks, bis 0 0,45 kohle Faustgröße Schlammkohle, Koksasche 0,7 ... 0,9 1,0 lose und trocken Kesselasche 1,0 Lignit und Schlacken0,75 0,9 sand Braunkohle 0,7 Staubkohle u.a. bis zu einem Schüttgewicht von ca. 1,2 t/m3 Material

t/m3

Schüttgewichte von Massengütern für Baureihe IV Material t/m3 Erze schwer 2,5 ... 3,5 Schwefelkies, grob 3,5 Basaltsplit 3,2 Kalkstein, grob 2,0

Material Magnesit Schwerspat Zinkblende

t/m3 2,2 2,5 ... 3,0 1,8 ... 2,0

u.a. bis zu einem Schüttgewicht von ca. 4,0 t/m3

3.3.4 Lasthebemagnete Zum Heben und Bewegen von Stahl- und Eisenteilen bieten sich die Lasthebemagnete als selbsttätige Lastaufnahmemittel an. Zeitraubendes Anschlagen entfällt. In Walz- und Hüttenwerken und in der Maschinen- und Stahlindustrie werden Lasthebemagnete für Umschlagarbeiten auch größerer und sperriger Stücke verwendet. Auch zur Förderung von Spänen sind Magnete gut geeignet. Bauarten: Rundmagnet mit 700 ... 1 000 mm  mit einer Traglast von 4 ... 30 t. Zum Transport von Blechen werden 2 ... 50 Kleinmagnete in 1-, 2- oder 3teiliger Anordnung an entsprechende Traversen gehängt. Heiße Stahlstücke werden noch bis 500 ºC aufgenommen, bei 700 ºC ist Stahl nicht mehr magnetisierbar, ebenfalls nicht kalter Stahl mit 7 % MnGehalt. Die Leistungsfähigkeit von Lasthebemagneten hängt nicht nur von der gemessenen Abreißkraft, sondern auch stark vom Luftspalt zwischen Magnet und Last, und damit von der Art und der Zusammensetzung des Fördergutes ab (z.B. Bleche, Rohre, Schrott, Kleineisen, Gusstrauben).

Schüttgewichte von Massengütern für Baureihe II Material Sand und Kies Kalkstein, kleinstückig bis 30 mm Zement Zement-Klinker Kalk, gebr. stückig Kalk, gelöscht Formsand

t/m3 1,6 ... 1,8 1,6 ... 2,0 1,7 1,8 1,2 1,2 1,6

t/m3 1,25

Material Gips Steinsalz, lose geschüttet Rohphosphat Amoniak Kali Soda Kunstdünger

1,2 1,5 0,9 1,2 1,0 1,0

u.a. bis zu einem Schüttgewicht von ca. 2,0 t/m3 Schüttgewichte von Massengütern für Baureihe III Material Minette

t/m3 1,8

Material Martinschlacke ohne Eisen Erze fein bis 2,0 ... 2,5 Kalkstein über mittelgrob 50 mm Steinschotter 1,8 Gipsstein Basaltschotter 2,0 Quarz

t/m3 2,1 2,0 1,9 1,8 ... 2,4

u.a. bis zu einem Schüttgewicht von ca. 2,6 t/m3

Bild 18. Lasthebemagnet (schematisch) 1 Innenpol 5 Gehäuse 2 Außenpol lFe Eisenlänge des 3 Abdeckplatte Magnetfeldes 4 Spule lL Luftspaltlänge Einzelmagnete und Magnettraversen können an jeden Elektrozug oder Kran mit ausreichender Tragfähigkeit angehängt werden (Bild 19). 3.3.5 Vakuumheber Vakuumheber (= Saugheber) sind Haftgeräte, bei denen die Haftkräfte pneumatisch erzeugt werden. Im Heber wird durch eine Pumpe ein Vakuum zwischen Saugteller und Last erzeugt. Der atmosphärische Druck bewirkt dann, dass der Heber gegen das Gut gepresst wird.

3 Bauelemente der Fördertechnik Vakuumheber sind besonders zur Aufnahme von Glas, Holzplatten und Kunststoffen geeignet, aber auch für Metalle, die durch Magnete nicht aufnehmbar sind. Eine exakte Aussage, ob ein bestimmtes Gut, z.B. Schaumgummi, durch Vakuumheber aufgenommen werden kann, ist nur nach Probeversuchen möglich.

K 19 Wellen, Rohteile u.a.). Die Behälter werden von Gabelstaplern oder Kranen aufgenommen und von einer Bearbeitungsstelle zur anderen transportiert. Paletten (Bild 20) sind Plattformen genormter Größen (DIN 15 141 – 42 bis 15 146 – 47 und 15 155), die stapelbare Güter aufnehmen können. Paletten haben stets Füße mit einer Höhe von ca. 100 mm, so dass sie von den Gabeln von Flurförderzeugen, Krangehängen oder Regalförderzeugen leicht unterfahren und angehoben werden können. Die häufigsten Grundflächenmaße von Paletten sind 800 u 1 000 mm, 800 u 1 200 mm und 1 000 u 1 200 mm.

Bild 20. Flachpalette; dargestellt ist eine „Vierwegpalette“, die ihren Namen daher hat, dass sie von allen vier Seiten durch die Gabeln eines Förderzeuges aufgenommen werden kann, im Gegensatz zur „Zweiwegpalette“ Bild 19. Anordnungsschema für einen Lasthebemagneten am Kranausleger 3.3.6 Frachtbehälter, Paletten, Container Seit langem werden Schüttgüter und flüssige Stoffe in genormten Behältern, wie z.B. Fässern, transportiert. Man ist aber auch bestrebt, Stückgüter der verschiedensten Arten in oder auf genormten Ladehilfsmitteln zu transportieren. Die Ladeeinheit soll sich für den innerbetrieblichen Transport, für die Lagerung und für den außerbetrieblichen Transport auf Lkw, Bahn oder Schiff eignen. Kleinere Ladeeinheiten sollen miteinander zu größeren kombinierbar sein (Modulsystem). Förder-, Transport- und Umschlagseinrichtungen braucht man dann nicht mehr für die sehr vielen verschiedenen Fördergüter zu konzipieren, sondern nur noch für die genau festgelegten Behältergrößen. Man erzielt dadurch einen großen Rationalisierungseffekt und eine Vereinfachung und Beschleunigung aller Lager- und Transportvorgänge. Man kann die Behälter unterteilen in Stapelbare Behälter für Stückgut, Paletten, Container, Schüttgutbehälter. Stapelbehälter sind so konstruiert, dass sie formschlüssig aufeinander gestellt werden können. Größere Stapelbehälter dienen in der Fertigung dem Transport und der Lagerung von Kleinteilen (Zahnräder,

Die Größe 1 000 u 1 200 mm passt am besten in die meisten bisher gebauten Transport- und Lagersysteme sowie in die Verkehrsträger Bahn-, Lkw und Schiff. Flachpaletten lassen sich in beladenem Zustand nur dann aufeinander schichten, wenn das Fördergut dem Druck der darüber gestapelten Paletten standhält, ansonsten werden sie zweckmäßig in Regalen untergebracht. Sonderpaletten sind solche mit Zusatzeinrichtungen, wie z.B. Seitenwänden für nicht stapelfähige Kleinteile, Stahlrungen für Stangenmaterial oder Spezialhalterungen z.B. für die Aufnahme von Pkw-Austauschmotoren. Sonderpaletten werden meist stapelbar ausgeführt. Paletten sind meist aus Holz, oft aber auch aus Stahl, Aluminium, Presspappe oder Kunststoff. Container sind Großfrachtbehälter, die in allen Einzelheiten und Abmessungen den ISO- Empfehlungen entsprechen, und in der Reihe 1 der DIN 15 190, in Bezug auf ihre Abmessungen und die konstruktive Ausführung festgelegt wurden. Der größte Container hat die Außenmaße b l h = 2 435  12 190  2 435 mm und 30,48 t zulässige Bruttomasse. Der nächstkleinere Container hat 25,4 t zulässige Bruttomasse und den gleichen Querschnitt 2 435  2 435 mm; er ist aber nur halb solang, so dass zwei kleinere Container den gleichen Platzbedarf haben wie ein großer. Container sind robust gebaut und genügend widerstandsfähig, um wiederholte Verwendung durch mehrere Verkehrs- und Fördermittel ohne Umladen des

K 20

K Fördertechnik

Inhalts zu gestatten. Sie haben Einrichtungen zum leichten Umschlagen von einem Beförderungsmittel in das andere. Für bestimmte Fördergüter gibt es Spezialcontainer, so z.B. Isoliercontainer mit wärmedämmenden Schichten an den Wänden, jedoch ohne Kühlaggregat. Kühlcontainer mit ein- oder angebauten Kühlaggregaten mit eigenem Antrieb. Open-Top-Container, oben offener Container zum Beladen mit schwerem Stückgut von oben. Er kann mit Planen abgedeckt werden. Pa-Behälter sind Container, die auch ohne Krane durch Rollböcke umgesetzt und verladen werden können. Sie eignen sich besonders für den kombinierten Verkehr Bahn-Lkw. Tank-Container zum Transport von Flüssigkeiten oder Gasen.

Bild 1. Kettenhebezeug für Traglasten bis 10 t; Hubund Fahrantrieb durch Haspelketten (GEDI)

4 Antriebe

Handantriebselemente sind Kurbeln, Ratschen, Handräder und für über Flur befindliche Fördergeräte Haspelketten. Die aufzubringende Handkraft an der Kurbel oder Haspelkette soll 350 N nicht überschreiten. Bild 1 zeigt ein Kettenhebezeug mit Handantrieb (siehe auch Kap. 7, Bild 2).

Alle Antriebsarten, wie – – – – – –

Handantrieb Elektromotoren Pneumatische Antriebe Hydraulische Antriebe Verbrennungsmotoren Dampfmaschinen

werden in der Fördertechnik verwendet. Ihre Auswahl richtet sich nach den jeweiligen Betriebsbedingungen und den lokalen Möglichkeiten (z.B. Stromanschluss). Zwischen Antriebsmotor und der angetriebenen Welle ist in der Regel ein mechanisches Getriebe oder ein hydraulischer Drehmomentwandler zwischengeschaltet, um die Drehzahl zu mindern und das Antriebsmoment zu erhöhen (Hand-, Elektro-, Verbrennungsmotor-, pneumatische Antriebe). Bei Verbrennungsmotoren muss zusätzlich eine betriebsmäßig lösbare Kupplung zwischengeschaltet werden, da diese Motoren nicht aus dem Stand heraus unter Last anlaufen können. Dampfmaschinen arbeiten in der Regel direkt auf die anzutreibende Welle. Bei hydrostatischen Antrieben sind die drehzahl- und drehmomentwandelnden Systemteile (Regelpumpe, Hydraulikleitungen, Ventile) vor dem eigentlichen Hydraulikmotor angeordnet.

4.1 Handantrieb Handantrieb wird bei seltenem Betrieb und bei kleinen Betätigungskräften bzw. -momenten verwendet. Typische Anwendungen sind Lauf- und Hubwerksantriebe von Kleinhebezeugen und Antriebe von Winden und Hebeböcken.

4.2 Elektrische Antriebe Elektromotoren sind einfach, robust und betriebssicher. Energiezufuhr und Steuerung ist meist durch Kabel leicht möglich. Elektromotoren kann man wirtschaftlich als Einzelantriebe einsetzen, d.h. Laufräder, Drehwerk und Hubwerke erhalten separate Motoren. E-Motoren sind besonders unempfindlich gegenüber dem in der Fördertechnik häufigen Aussetzbetrieb, können gut regelbar hergestellt werden und können unterschiedliche, für die jeweiligen Einsatzfälle besonders geeignete Drehzahl-Drehmoment-Charakteristiken erhalten. Der E-Motor ist stets sofort betriebsbereit. Er ist leicht umsteuerbar und hat einen guten Wirkungsgrad in allen Lastbereichen. Der E-Motor lässt sich einfach mit anderen Funktionselementen, wie Bremsen oder Getrieben, kombinieren. In der Fördertechnik verwendet man DrehstromMotoren mit und ohne Schleifringläufer, Gleichstrom-Reihenschlussmotoren und Gleichstrom-Nebenschlussmotoren. Nach Möglichkeit wird der Drehstrom- Asynchronmotor mit Kurzschlussläufer eingesetzt, da dieser am einfachsten gebaut ist und das für ihn erforderliche Drehstromnetz fast überall zur Verfügung steht. Ein geeigneter Antrieb für schwere Hubwerke ist der Gleichstrom-Reihenschlussmotor, da dieser seine Drehzahl der Momentenbelastung selbsttätig anpasst. Der Antrieb ist aber nur wirtschaftlich, wenn sich wegen einer größeren Anzahl von Gleichstromverbrauchern der Aufbau eines eigenen Gleichstromnetzes lohnt (Hütten- und Walzwerke, Großhäfen).

K 20

K Fördertechnik

Inhalts zu gestatten. Sie haben Einrichtungen zum leichten Umschlagen von einem Beförderungsmittel in das andere. Für bestimmte Fördergüter gibt es Spezialcontainer, so z.B. Isoliercontainer mit wärmedämmenden Schichten an den Wänden, jedoch ohne Kühlaggregat. Kühlcontainer mit ein- oder angebauten Kühlaggregaten mit eigenem Antrieb. Open-Top-Container, oben offener Container zum Beladen mit schwerem Stückgut von oben. Er kann mit Planen abgedeckt werden. Pa-Behälter sind Container, die auch ohne Krane durch Rollböcke umgesetzt und verladen werden können. Sie eignen sich besonders für den kombinierten Verkehr Bahn-Lkw. Tank-Container zum Transport von Flüssigkeiten oder Gasen.

Bild 1. Kettenhebezeug für Traglasten bis 10 t; Hubund Fahrantrieb durch Haspelketten (GEDI)

4 Antriebe

Handantriebselemente sind Kurbeln, Ratschen, Handräder und für über Flur befindliche Fördergeräte Haspelketten. Die aufzubringende Handkraft an der Kurbel oder Haspelkette soll 350 N nicht überschreiten. Bild 1 zeigt ein Kettenhebezeug mit Handantrieb (siehe auch Kap. 7, Bild 2).

Alle Antriebsarten, wie – – – – – –

Handantrieb Elektromotoren Pneumatische Antriebe Hydraulische Antriebe Verbrennungsmotoren Dampfmaschinen

werden in der Fördertechnik verwendet. Ihre Auswahl richtet sich nach den jeweiligen Betriebsbedingungen und den lokalen Möglichkeiten (z.B. Stromanschluss). Zwischen Antriebsmotor und der angetriebenen Welle ist in der Regel ein mechanisches Getriebe oder ein hydraulischer Drehmomentwandler zwischengeschaltet, um die Drehzahl zu mindern und das Antriebsmoment zu erhöhen (Hand-, Elektro-, Verbrennungsmotor-, pneumatische Antriebe). Bei Verbrennungsmotoren muss zusätzlich eine betriebsmäßig lösbare Kupplung zwischengeschaltet werden, da diese Motoren nicht aus dem Stand heraus unter Last anlaufen können. Dampfmaschinen arbeiten in der Regel direkt auf die anzutreibende Welle. Bei hydrostatischen Antrieben sind die drehzahl- und drehmomentwandelnden Systemteile (Regelpumpe, Hydraulikleitungen, Ventile) vor dem eigentlichen Hydraulikmotor angeordnet.

4.1 Handantrieb Handantrieb wird bei seltenem Betrieb und bei kleinen Betätigungskräften bzw. -momenten verwendet. Typische Anwendungen sind Lauf- und Hubwerksantriebe von Kleinhebezeugen und Antriebe von Winden und Hebeböcken.

4.2 Elektrische Antriebe Elektromotoren sind einfach, robust und betriebssicher. Energiezufuhr und Steuerung ist meist durch Kabel leicht möglich. Elektromotoren kann man wirtschaftlich als Einzelantriebe einsetzen, d.h. Laufräder, Drehwerk und Hubwerke erhalten separate Motoren. E-Motoren sind besonders unempfindlich gegenüber dem in der Fördertechnik häufigen Aussetzbetrieb, können gut regelbar hergestellt werden und können unterschiedliche, für die jeweiligen Einsatzfälle besonders geeignete Drehzahl-Drehmoment-Charakteristiken erhalten. Der E-Motor ist stets sofort betriebsbereit. Er ist leicht umsteuerbar und hat einen guten Wirkungsgrad in allen Lastbereichen. Der E-Motor lässt sich einfach mit anderen Funktionselementen, wie Bremsen oder Getrieben, kombinieren. In der Fördertechnik verwendet man DrehstromMotoren mit und ohne Schleifringläufer, Gleichstrom-Reihenschlussmotoren und Gleichstrom-Nebenschlussmotoren. Nach Möglichkeit wird der Drehstrom- Asynchronmotor mit Kurzschlussläufer eingesetzt, da dieser am einfachsten gebaut ist und das für ihn erforderliche Drehstromnetz fast überall zur Verfügung steht. Ein geeigneter Antrieb für schwere Hubwerke ist der Gleichstrom-Reihenschlussmotor, da dieser seine Drehzahl der Momentenbelastung selbsttätig anpasst. Der Antrieb ist aber nur wirtschaftlich, wenn sich wegen einer größeren Anzahl von Gleichstromverbrauchern der Aufbau eines eigenen Gleichstromnetzes lohnt (Hütten- und Walzwerke, Großhäfen).

4 Antriebe

K 21

4.2.1 Drehstrom-Asynchronmotoren Drehstrommotoren haben eine feste Nenndrehzahl, die von der Netzfrequenz und der Polpaarzahl des Motors abhängt nn f 60 f –1 Hz p min nn Nenndrehzahl, f Frequenz, p Polpaarzahl nn

p 1

Drehstrommotoren können polumschaltbar gemacht werden, wodurch man verschiedene Abtriebsdrehzahlen erhält. Die wirkliche Drehzahl liegt um den Schlupf unter der Nenndrehzahl. Dieser beträgt, abhängig vom Motormoment, bis etwa 7 %. Beim Einschalten haben die Motoren eine sehr hohe Stromaufnahme. Das Anzugsmoment beträgt dann etwa das 1,5 ... 3,5-fache des Nennmoments. Bei übersynchronen Drehzahlen infolge durchziehender Last wirkt der Motor als Bremse. Drehstromasynchronmotoren werden überall eingesetzt, wo es nicht auf eine feine Drehzahlregelung ankommt, und wo die Drehzahl unabhängig vom abverlangten Moment konstant sein soll. Beispiele sind der Aufzugbau, Antrieb von Stetigförderern, Elektrozügen, Kranfahrantrieben. Oft ist es wirtschaftlicher, ein unter Umständen störendes ruckartiges Anlaufverhalten durch mechanische Maschinenelemente (Rutschkupplungen, Beschleunigungsmassen) auszugleichen, als teurere Regelantriebe zu verwenden. Bei Drehstromasynchronmotoren mit Schleifringläufern kann die Drehzahl-Momentenkennlinie durch abgestufte Widerstände verändert werden. Der Motor kann weich anlaufen und ist ähnlich robust wie der Kurzschlussläufer, er ist daher als Fördermittelantrieb sehr umfassend verwendbar. 4.2.2 Gleichstrommotoren Beim Gleichstrom-Reihenschlussmotor ist die Drehzahl stark vom abverlangten Moment abhängig: – hohes Moment ergibt niedrige Drehzahl, – kleines Moment ergibt hohe Drehzahl. (Bei völlig fehlender Momentenbelastung wird die Drehzahl theoretisch , d.h. der Motor „geht durch“.) Der Gleichstrom-Reihenschlussmotor wird dort eingesetzt, wo dieses Regelverhalten erwünscht ist. Bei Hafenkranen z.B. werden durch einen GleichstromReihenschlussmotor leichtere Lasten schneller gehoben, die Spielzeit verkürzt sich. Wo es auf momentunabhängige Geschwindigkeiten ankommt, oder wo eine bestimmte Drehzahl nicht überschritten werden soll, kann der GleichstromReihenschlussmotor nur mit zusätzlichen Regel- bzw. Sicherheitsmaßnahmen betrieben werden. Beim Gleichstrom-Nebenschlussmotor bleibt die Drehzahländerung auch bei größeren Schwankungen des abverlangten Momentes klein. Der Motor kann

nicht unzulässig hohe Drehzahlen annehmen (,,durchgehen“). Der Motor wird ebenfalls mit Widerständen geregelt. Die Drehmoment-Drehzahlcharakteristik ist dem oberen Ast der Kennlinie des Drehstrom-Asynchronmotors ähnlich. Anwendung findet der Gleichstrom-Nebenschlussmotor in Fällen, bei denen es auf eine möglichst momentunabhängige gleichmäßige Drehzahl ankommt, wie z.B. bei Einzelfahrantrieben von Kranen in Werken mit Gleichstromnetz.

4.2.3 Getriebemotoren Elektromotoren, besonders die häufigen DrehstromAsynchronmotoren, geben bei wirtschaftlicher Auslegung nur ganz bestimmte, eng begrenzte Drehzahlen und Drehmomente an den Motorwellen ab. Der Motor wird daher oft mit einem Zahnradgetriebe und gegebenenfalls auch mit einer Bremse zu einer kompletten Einheit kombiniert. Als Bremse empfiehlt sich eine Kegelreibungsbremse oder eine elektrisch gelüftete Scheiben- oder Doppelbackenbremse. Die Hersteller bauen Getriebe- und Getriebebremsmotoren nach der Baukastensystematik. Dem Konstrukteur fördertechnischer Maschinen steht auf diese Weise eine variantenreiche Vielzahl an Antriebseinheiten zur Verfügung, aus der er entsprechend dem speziellen Einsatzfall die geeignetste nach – Motor- und Getriebetyp – Leistung, Einschaltdauer und Betriebsverhältnissen – Drehmoment und Drehzahl – Konstruktions- und Befestigungselementen (Füße, Flansch u.a.) auswählt.

4.3 Pneumatische Antriebe Druckluftantriebe werden in zwei Formen in der Fördertechnik eingesetzt. a) Druckluft dient als Fördermedium (siehe Kap 9.6), d.h. sie wird in feinkörniges Fördergut (z.B. Getreide) eingeblasen, um dieses fließfähig zu machen. Das Luft-Fördergutgemisch wird dann durch Rohre geleitet, wodurch ein schneller und sauberer Umschlag erzielt wird. b) Druckluft dient nur zur Energieübertragung und treibt über Turbinen Fördermaschinen für vielfältige Zwecke an. Der Antrieb erfolgt weich; die Antriebsmaschinen sind sehr kompakt. Pneumatische Antriebe werden bevorzugt in explosionsgefährdeten Räumen eingesetzt, wo man Elektromotoren wegen der Gefahr der Funkenbildung bei Beschädigung der Stromleitungen vermeiden möchte, wie z.B. im Bergbau oder beim Umgang mit gefährlichen Chemikalien.

K 22

4.4 Hydrostatische Antriebe Hydrostatische Antriebe bestehen aus einer Hydraulikpumpe (die von einer nicht hydraulischen Kraftmaschine angetrieben werden muss), den Übertragungsleitungen und dem eigentlichen Hydraulikmotor. Hydrostatische Antriebe sind feinfühlig regelbar. Die Motore sind sehr kompakt. Die Leitungen lassen sich leicht verlegen, die Pumpe kann, wo gerade Platz ist, angeordnet werden. Rücklaufventile in den Leitungen ersparen separate Standbremsen. Nachteilig sind Dichtungsprobleme und der gegenüber einfachen Elektromotoren erhöhte Aufwand bei der Fertigung, bei den Anschaffungskosten und bei der Wartung. Hydrostatische Antriebe treten oft an die Stelle mechanischer Kraftübertragungssysteme mit Getrieben und Kardanwellen, wie z.B. bei hydrostatischen Fahrantrieben von Baggern und Autokranen. Hydraulikzylinder werden eingesetzt wo die Förderhöhen noch mit diesen bewältigt werden können (Hubtische, Hubstapler, kleine Autokrane), oder wo die feinfühlige Regelbarkeit den Ausschlag gibt.

4.5 Verbrennungsmotoren und Dampfmaschinen Dampfmaschinen werden wegen der Nachteile, Unsauberkeit, lange Anlaufzeit, großer Raumbedarf, kaum verwendet. Ausnahmen sind, wo Kohle billig zur Verfügung steht, wo Arbeitskräfte billig sind, oder wo Mangel an sonstigen Energiequellen dazu zwingt. Verbrennungsmotoren werden hauptsächlich in mobilen Fördergeräten eingebaut, die unabhängig von ortsgebundenen Energiequellen arbeiten sollen (Autokrane, mobile Förderbänder). Wegen ihrer schlechten Regelbarkeit (Gefahr des Abwürgens) werden Verbrennungsmotoren bei größeren Fördergeräten oft nur zum Antrieb von Hydraulikpumpen oder Generatoren eingesetzt, die dann besser regelbare hydraulische oder elektrische Einzelantriebe mit Energie versorgen.

5 Steuerungen in der Fördertechnik Direkte Steuerungen durch elektrische Drucktaster oder Hydraulikhebel werden in einfachen Fällen angewandt, so z.B. bei Kranen in der Endmontage im Maschinenbau oder bei Ladekranen an LKW. In vielen Fällen sind die Förderelemente oder maschinen in Fördersysteme eingebunden, so dass die einzelnen Förderbewegungen aufgrund vielfältiger Bedingungen und Sensorsignale erfolgen müssen. Deshalb ist die elektronische Steuerung bei einer Förderanlage die Regel. Der Einsatz der Elektronik

K Fördertechnik kann dabei zwei verschiedene Schwerpunkte haben, und zwar: a) die genaue Vorgabe der Förderbewegung für jedes zu fördernde Teil. Beispiele sind Warensortieranlagen oder automatische Regallager (Bild 8 in Kap. 10), bei denen die Förderbewegungen je Teil von einem Leitrechner nach bestimmten Kriterien vorbestimmt werden. Hier werden Ablaufsteuerungen eingesetzt. b) die gute Dosierbarkeit der Förderbewegung durch den Bediener. Dies ist besonders in der Mobilhydraulik wichtig. Der Bediener eines Autokrans will die Förderbewegung z.B. eines zu montierenden Windkraftpropellers selbst millimetergenau bestimmen. Er will dies feinfühlig und sicher tun, ohne sich um den Kran, den Motor oder Einzelheiten der Hydraulik kümmern zu müssen. Hier kommen spezielle Mikroprozessorsteuerungen zum Einsatz.

5.1 Ablaufsteuerungen Bild 1 zeigt als Beispiel das Prinzip einer ausgeführten Steuerung einer Anlage, die aus einem Stahlstablager, einer automatischen Förderanlage und einem Sägeautomat besteht. Bei dieser Anlage kann man „just in time“ Sägezuschnitte aus Stabstahl „bestellen“. Bei diesem Beispiel ist die gesamte Steuerung auf einem Industrie-PC realisiert. Den Kern bilden drei Softwareteile: a) die Vorverarbeitungssoftware speichert die Maße der pro Auftrag gewünschten Abschnitte und sortiert diese nach einer vorgegebenen Strategie (z.B. so, dass möglichst wenig Stangenreste verbleiben). b) die Maschinensoftware umfasst die maschinentypischen Abläufe und Parameter, wie z.B. die Sägetechnologie, Vorschubgeschwindigkeiten je nach Stahlfestigkeit und Querschnittsform, typische Förderabläufe der Rollenförderer und des Regalförderzeuges. c) die SPS-Software (SPS siehe Abschnitt Q Steuerungstechnik) steuert den Ablauf, wenn der Befehl erteilt wird, einen ganz bestimmten Stahlstab aus einem ganz bestimmten Fach zu holen, die Teile Nr. 1 – x abzusägen, in eine vorgewählte Box zu legen und den Stab wieder in das Fach zurückzulegen. Neben dem Echtzeitkern des Rechners gibt es die Ebene der Außenkommunikation (Aus- und Eingabedisplay, Speichermedien, Schnittstellen) und die Ebene der Innenkommunikation des Rechners (zu Säge, Förderer, Lager, Sensoren, Stellglieder, hier realisiert durch einen Lichtleiter-Feldbus).

K 22

4.4 Hydrostatische Antriebe Hydrostatische Antriebe bestehen aus einer Hydraulikpumpe (die von einer nicht hydraulischen Kraftmaschine angetrieben werden muss), den Übertragungsleitungen und dem eigentlichen Hydraulikmotor. Hydrostatische Antriebe sind feinfühlig regelbar. Die Motore sind sehr kompakt. Die Leitungen lassen sich leicht verlegen, die Pumpe kann, wo gerade Platz ist, angeordnet werden. Rücklaufventile in den Leitungen ersparen separate Standbremsen. Nachteilig sind Dichtungsprobleme und der gegenüber einfachen Elektromotoren erhöhte Aufwand bei der Fertigung, bei den Anschaffungskosten und bei der Wartung. Hydrostatische Antriebe treten oft an die Stelle mechanischer Kraftübertragungssysteme mit Getrieben und Kardanwellen, wie z.B. bei hydrostatischen Fahrantrieben von Baggern und Autokranen. Hydraulikzylinder werden eingesetzt wo die Förderhöhen noch mit diesen bewältigt werden können (Hubtische, Hubstapler, kleine Autokrane), oder wo die feinfühlige Regelbarkeit den Ausschlag gibt.

4.5 Verbrennungsmotoren und Dampfmaschinen Dampfmaschinen werden wegen der Nachteile, Unsauberkeit, lange Anlaufzeit, großer Raumbedarf, kaum verwendet. Ausnahmen sind, wo Kohle billig zur Verfügung steht, wo Arbeitskräfte billig sind, oder wo Mangel an sonstigen Energiequellen dazu zwingt. Verbrennungsmotoren werden hauptsächlich in mobilen Fördergeräten eingebaut, die unabhängig von ortsgebundenen Energiequellen arbeiten sollen (Autokrane, mobile Förderbänder). Wegen ihrer schlechten Regelbarkeit (Gefahr des Abwürgens) werden Verbrennungsmotoren bei größeren Fördergeräten oft nur zum Antrieb von Hydraulikpumpen oder Generatoren eingesetzt, die dann besser regelbare hydraulische oder elektrische Einzelantriebe mit Energie versorgen.

5 Steuerungen in der Fördertechnik Direkte Steuerungen durch elektrische Drucktaster oder Hydraulikhebel werden in einfachen Fällen angewandt, so z.B. bei Kranen in der Endmontage im Maschinenbau oder bei Ladekranen an LKW. In vielen Fällen sind die Förderelemente oder maschinen in Fördersysteme eingebunden, so dass die einzelnen Förderbewegungen aufgrund vielfältiger Bedingungen und Sensorsignale erfolgen müssen. Deshalb ist die elektronische Steuerung bei einer Förderanlage die Regel. Der Einsatz der Elektronik

K Fördertechnik kann dabei zwei verschiedene Schwerpunkte haben, und zwar: a) die genaue Vorgabe der Förderbewegung für jedes zu fördernde Teil. Beispiele sind Warensortieranlagen oder automatische Regallager (Bild 8 in Kap. 10), bei denen die Förderbewegungen je Teil von einem Leitrechner nach bestimmten Kriterien vorbestimmt werden. Hier werden Ablaufsteuerungen eingesetzt. b) die gute Dosierbarkeit der Förderbewegung durch den Bediener. Dies ist besonders in der Mobilhydraulik wichtig. Der Bediener eines Autokrans will die Förderbewegung z.B. eines zu montierenden Windkraftpropellers selbst millimetergenau bestimmen. Er will dies feinfühlig und sicher tun, ohne sich um den Kran, den Motor oder Einzelheiten der Hydraulik kümmern zu müssen. Hier kommen spezielle Mikroprozessorsteuerungen zum Einsatz.

5.1 Ablaufsteuerungen Bild 1 zeigt als Beispiel das Prinzip einer ausgeführten Steuerung einer Anlage, die aus einem Stahlstablager, einer automatischen Förderanlage und einem Sägeautomat besteht. Bei dieser Anlage kann man „just in time“ Sägezuschnitte aus Stabstahl „bestellen“. Bei diesem Beispiel ist die gesamte Steuerung auf einem Industrie-PC realisiert. Den Kern bilden drei Softwareteile: a) die Vorverarbeitungssoftware speichert die Maße der pro Auftrag gewünschten Abschnitte und sortiert diese nach einer vorgegebenen Strategie (z.B. so, dass möglichst wenig Stangenreste verbleiben). b) die Maschinensoftware umfasst die maschinentypischen Abläufe und Parameter, wie z.B. die Sägetechnologie, Vorschubgeschwindigkeiten je nach Stahlfestigkeit und Querschnittsform, typische Förderabläufe der Rollenförderer und des Regalförderzeuges. c) die SPS-Software (SPS siehe Abschnitt Q Steuerungstechnik) steuert den Ablauf, wenn der Befehl erteilt wird, einen ganz bestimmten Stahlstab aus einem ganz bestimmten Fach zu holen, die Teile Nr. 1 – x abzusägen, in eine vorgewählte Box zu legen und den Stab wieder in das Fach zurückzulegen. Neben dem Echtzeitkern des Rechners gibt es die Ebene der Außenkommunikation (Aus- und Eingabedisplay, Speichermedien, Schnittstellen) und die Ebene der Innenkommunikation des Rechners (zu Säge, Förderer, Lager, Sensoren, Stellglieder, hier realisiert durch einen Lichtleiter-Feldbus).

5 Steuerungen in der Fördertechnik

K 23

Bild 1. Prinzipbild der Steuerung einer automatischen Anlage zur Herstellung von Stahlstababschnitten, die aus Einzelstablager, Regalförderzeug, Rollenförderer und Sägeautomat und Abschnittsortieranlage besteht. Die Datenvorverarbeitung, die Bedieneroberfläche und der SPS-Teil werden über einen schnellen Industrie-PC abgewickelt. Die Datenübertragung erfolgt hier über einen störungssicheren Lichtleiter-Feldbus.

5.2 Mikroprozessorsteuerungen Die Bilder 2 und 3 zeigen als Beispiel eine Mikroprozessorsteuerung, wie sie im Mobilbereich für Autokrane, Gabelstapler, Radlader und Forstspezialfahrzeuge mit Rückekran typisch ist. Diese Fahrzeuge haben einen einzigen Dieselmotor sowohl für den Fahrantrieb als auch für den Antrieb der Arbeitsgeräte gemeinsam. Wegen der guten Möglichkeiten der Regelung und der Leistungsverzweigung sind diese Fahrzeuge mit hydrostatischen Pumpen und Motoren ausgestattet. Der Mikroprozessor erhält über Fahrund Bremspedal, Potentiometer oder Joysticks proportionale Signale über die gewünschte Motordrehzahl, Fahrtrichtung, und den momentanen Leistungsbedarf der einzelnen Arbeitsbewegungen, wie z.B. Kranarm, Greifer, Drehwerk, die der Bediener im Moment gerade betätigt. Zusätzlich erhält er vom Dieselmotor dessen Ist-Drehzahl. Die Leistungskennlinie des Dieselmotors ist in den Rechner bereits eingegeben, meist durch „Teach In“, d.h. Aufnahme der Kennlinie durch den Rechner direkt an der Maschine bei der Inbetriebnahme.

Ausgabegrößen des Mikroprozessors sind proportionale Signale an die Stellglieder der Hydraulikpumpen und Hydraulikmotoren, und an Hydraulikventile für die einzelnen Arbeitszylinder des Krans. Die Anfahrrampen und andere Einstellwerte werden im Prozessor pro Fahrzeugtyp (oder auch pro Fahrer) hinterlegt. Wesentlich ist die Funktion der Grenzlastregelung. Sinkt die Drehzahl des Dieselmotors durch zu hohe Lastabnahme über ein vorher festgesetztes Maß, so werden die Fahr- und/oder Arbeitsgeschwindigkeiten zurückgeregelt, bevor der Motor überlastet wird und stehenbleibt („abwürgt“). So werden gefährliche Situationen sicher vermieden. Oft sind zwei spezialisierte Mikroprozessorsteuerungen vorgesehen, die über einen CAN-Bus kommunizieren und sich die Arbeit wie folgt teilen: Steuerung I: Steuerung II:

Antriebsmanagement, Regelung der Arbeitsbewegungen über Joysticks und Elektro-Proportionalventile.

K 24

K Fördertechnik Cockpit

19

15

6

7

}

1

}

Fahrantrieb

16

18

17

8

Arbeitshydraulik Microprozessorsteuerung

9

10

3

2

5 12

11

4 13

Bild 2. Typische Mikroprozessorsteuerung für mobile Fördergeräte wie Flurförderzeuge, Autokrane und Forstspezialfahrzeuge. 1

Mobiles Förderzeug mit vollhydrostatischem Antrieb, hier: Radlader. Antrieb:

2 3 4 5 6 7

8

Dieselmotor zum Antrieb von drei hydrostatischen Regelpumpen Hydrostatische Loadsensing-Regelpumpe für den Fahrantrieb (geschlossener Kreislauf) Hydrostatische Loadsensing-Regelpumpe für die Arbeitshydraulik (offener Kreislauf) Hydrostatische Konstantpumpe für Lenkung, Servobremse, Steuerhydraulik Hydrostatischer Regelmotor für den Fahrantrieb Fahrgetriebe mit Gangschaltung für Arbeitsbetrieb (langsam) und Überführungsfahrten (schnell) und Gelenkwellenabtrieb zu Vorderund Hinterachse Ventilsteuerblock für die Arbeitshydraulik (Krane, Schaufeln, Sondergeräte). Betätigung durch (hier nicht dargestellte) elektronische Proportionalsteuerung Steuerung:

9

Mikroprozessorsteuerung für Fahr- und Arbeitshydraulik, mit Grenzlastregelung des Dieselmotors

14

10 Stromversorgung über Fahrzeugbatterie 12 oder 24 V Ein/Ausgangsgrößen der Steuerung: 11 Digitaler Drehzahlsensor am Anlasserzahnkranz 12 Stellglied Motor („elektronisches Gaspedal“) 13 Lagesensor sowie Verstellmagnet Pumpe Fahrantrieb 14 Lagesensor sowie Verstellmagnet Pumpe Arbeitsgeräte-Antrieb 15 Lagesensor sowie Verstellmagnet Motor Fahrantrieb Fahrerhaus /Cockpit: 16 Fahrtrichtungs-Vorwahl Vorwärts – Neutral – Rückwärts 17 Fahrpedal (Gaspedal) mit Geberpoti und Leerlaufschalter 18 Inchpedal (Bremspedal) mit Geberpoti und Leerlaufschalter 19 Kontrollleuchten: Bremsen – Rückwärtsfahrt – Störung 20 Mode-Steuerung; Vorwahl der maximalen Geschwindigkeit, min für Feinarbeiten, Max für lange Transportwege Linde AG

5 Steuerungen in der Fördertechnik

K 25

Bild 3. Blockschaltbild für die Projektierung und Programmierung der Mikroprozessorsteuerung nach Bild 2. Mitte:

E-Box mit Mikroprozessor

Links:

Eingangsgrößen: Spannungsversorgung – Drehzahlen – Sensorsignale – Pedale – Schalter

Rechts: Ausgangsgrößen: Fahrpumpenverstellung – Fahrmotorverstellung – Dieseldrehzahlverstellung – Schaltventile – Hilfsausgänge (z.B. Kontrollleuchten); Schnittstelle ISO, z.B. für CAN-Bus; Versorgung Peripheriekomponenten, wie Schreiber, Drucker, Service-PC. Linde AG

K 26

K Fördertechnik der Bremsscheibe ab. Beim Abschalten des Bremslüfters schließt die Bremse wieder selbsttätig. Meistens werden Trommelbremsen mit elektrohydraulisch arbeitenden Bremslüftgeräten („Eldrogeräten“) eingesetzt (Bild 1).

6 Bremsen und Rücklaufsperren Bremsen sind in der Fördertechnik Geräte zur Reduzierung der Fördergeschwindigkeit. In Hebezeugen haben Bremsen z.B. die Aufgabe, die Senkgeschwindigkeit der Last auf den gewünschten Wert zu vermindern (Stillstand oder begrenzte Senkgeschwindigkeit), wenn der Antrieb abgeschaltet wird. Rücklaufsperren haben die Aufgabe, ein Rückdrehen der Sperrwelle gegen Antriebsrichtung von vornherein auszuschließen.

6.1 Reibungsbremsen Nach dem Verwendungszweck unterscheidet man Regelbremsen, Haltebremsen und Stoppbremsen, nach der Bauart Trommelbremsen, Bandbremsen, Scheibenbremsen und Lamellenbremsen. Bremsen bilden einen wichtigen Bestandteil aller Fördermaschinen und sind besonders sorgfältig zu entwerfen und auf Sicherheit zu berechnen, um Unfälle im Betrieb zu vermeiden.

Oberkante Anschlusskonstruktion 1 Bremstrommel 2 Zugstab 3 Bremsfeder 4 Bremslüftgerät Buchstaben: Konstruktionsmaße nach unten stehender Tabelle bzw. Herstellertabelle

6.1.1 Trommelbremsen (Bild 1) Hinweis: Trommel- und Scheibenbremsen siehe DIN 15 430 – 31; 15 434 – 37 Trommelbremsen werden in der Fördertechnik mit außenliegenden Bremsbacken gebaut. Die Bremsbacken sind mit einem meist aufgeklebten Bremsbelag (  0,3...0,4) für eine zulässige Temperatur von mindestens 150 ºC ausgerüstet. Die Konstruktion der Norm-Bremsen erlaubt die Kombination mit allen auf dem Markt befindlichen Bremslüftgeräten. Die Bremskraft wird durch eine Feder – innen- oder außenliegend – hervorgerufen. Beim Lüften heben sich die Bremsbacken um einen Lüftweg von

Bild 1. Trommelbremse nach DIN 1 543 mit außenliegenden Bremsbacken und selbsttätigen Bremsbelagverschleiß-Nachstellung für Fördereinrichtungen. (Siegerland-Bremsen)

Alle Maße in mm Bremstrommeldurchmesser

Hebellängen

Umrissmasse

d1

h2

h3

h4

e4

200

125

230

49

218

250

150

274

42

218

315

185

48

245

400

230

55 ... 70

280

500

283

340

61

318

630

354

425

69

348

710

398

478

73

375

240 ... 308 276 ... 415

Amax 585 ... 608 689 ... 703 780 ... 817 907 ... 967 1 109 ... 1 132 1 295 ... 1 302 1 420 ... 1 427

Momente in Nm Bremsmomente bei einem Reibwert von   0,3 MB

Amax

B

M

475

160

120

0 ... 155

520 ... 580 565 ... 615 645 ... 800

160 ... 190 160 ... 190 190 ... 216

135

0 ... 325

185 ... 817

0 ... 250 ... 100 ... 700

230

100... 1 420

780

225

285

300 ... 2 850

960

265

345

700... 5 000

1072

300

390

800 ... 5 720

6 Bremsen und Rücklaufsperren Das Gerät besteht im Prinzip aus der Bremsfeder, die die Bremse im Ruhezustand geschlossen hält, sowie einem gegen die Federkraft arbeitenden Hubkolben mit zugehöriger Fliehkraftpumpe mit elektrischem Antriebsmotor. Nach Einschalten des Motors drückt die Pumpe das über dem Hubkolben befindliche Öl unter den Kolben. Sobald die hydraulische Druckkraft am Kolben größer geworden ist als die Kraft der Bremsfeder, hebt sich der Kolben und lüftet über das Bremsgestänge die Bremse. Wird der Motor abgeschaltet, gleitet der Kolben in seine Ausgangsstellung zurück. Das Öl fließt wieder zurück und dämpft dabei den Rückgang des Kolbens so, dass die Bremse zwar sofort, aber sanft und stoßfrei schließt. Berechnung von Doppelbackenbremsen (Bild 2) Stets muss das abzubremsende Moment MB an der Welle kleiner sein als das größtmögliche Bremsmoment: d MB < 2 FB  FB d  2 l2 FB = FH l1 l FH = Fz 4 l3 Fz >

M B 1 l1 l3

d  l2 l4

K 27 – die Flächenpressung p an den Bremsbelägen, – die Gleitgeschwindigkeit v1 an den Bremsbelägen, – der im speziellen Einsatzfall erreichbare Reibwert . Alle drei Größen werden zum Parameter (p v1 )zul zusammengefasst. Als Richtwert gilt nach DIN 15 434: Bremsscheibendurchmesser Zulässiger Wert (p v1 )zul d1 in mm N m W

mm 2

s

1

200

0,75

250 315 400 500 630 710

0,8 0,9 1,0 1,1 1,25 1,35

mm 2

■ Beispiel: Für eine Förderanlage wird eine Trommelbremse nach DIN 15 434 mit außenliegenden Bremsbacken mit elektrohydraulischer Bremsbelüftung (Eldrogerät) für ein Bremsmoment von 4 000 Nm benötigt. Reib wert  = 0,3. Technische Daten nach Bild 1. Frage: 1. Welcher Bremsscheibendurchmesser wird benötigt? 2. Welche Bremskraft muss die im Bremslüftgerät eingebaute Bremsfeder mindestens haben? Lösung: Nach der Leistungstabelle Bild 1 muss zur Übertragung eines Bremsmomentes von 4 000 Nm ein Bremsscheibendurchmesser von 630 mm gewählt werden. Dann gilt mit den Bildern 1 und 2 für die Bremsfederkraft F2: l1 l2 l3 l4 F2 

Bild 2. Berechnungsskizze für Trommelbremsen MB abzubremsendes Moment; FB, FN, Fz Kräfte; l1, l2, l3, l4 Hebellängen; d Bremsscheibendurchmesser Fz N

MB Nm

 1

d, l1, l2, l3, l4 m

Fz erforderliche Kraft der Bremsfeder; MB abzubremsendes Moment an der Bremswelle,  Reibzahl (  0,3...0,4 bei der Paarung Bremsbelag-Stahl); l1, 2, 3, 4 Hebellängen nach Bild 2. Das abzubremsende Moment MB muss aus den statischen und dynamischen Kräften und Momenten der Förderanlage oder -maschine berechnet werden. Nach DIN 15 434 Teil 1 sind ferner nachzuprüfen

= h2 = h2 = h4 = e4

= 354 mm + h3 = 354 + 425 = 779 mm = 69 mm = 348 mm

4000 1 0,354 0,069



1906 N  2000 N 0,630 0,3 0,779 0,348

Die Bremsfeder muss also für eine Zugkraft von mindestens 2 000 N ausgelegt sein. Die Lösekraft des Eldrogerätes muss ca. 20 % über der max. Bremsfederkraft liegen.

Das für eine Fördermaschine erforderliche Bremsmoment ist sorgfältig entsprechend dem jeweiligen Einsatzfall aus Lastmoment und Verzögerungsmomenten nach DIN 15 434 Teil 1 zu berechnen. Es gilt MBerf = ML + MR + MT MBerf, erforderliches Bremsmoment in Nm; ML Moment der ruhenden Last und der Widerstände, z.B. aus Reibung (–) und Wind (+), bezogen auf die Bremswelle, in Nm; MR, MT, Verzögerungsmomente aus umlaufenden Massen (Rotation) und aus geradlinig bewegten Massen (Translation) in Nm.

K 28

K Fördertechnik

Bei Hubwerksbremsen gilt für das Lastmoment S dT  ML

2i mit S dT i



Summe der an der Seiltrommel angreifenden Seilkräfte nach DIN 15 020 (Kap 8 Bild 3), in N Trommeldurchmesser in m Gesamtübersetzung zwischen Bremse und Trommel; sind Trommel und Bremse auf derselben Achse fest verbunden, gilt i = 1 mechanischer Wirkungsgrad des Getriebes zwischen Trommel und Bremse. Der Wirkungsgrad steht im Zähler und vermindert das rechnerische Lastmoment, da die durch den Wirkungsgrad berücksichtigten Widerstände beim Bremsen helfen.

Für das Verzögerungsmoment MR für die rotierenden Massen und MT für die geradlinig bewegten Massen gilt:  MR J tB MT

S v d T 

g tB 2 i

mit  J Summe der Trägheitsmomente aller rotierenden Massen, die mit abzubremsen sind, reduziert auf die Bremsenwelle in kgm2 (siehe Teil Mechanik, Reduktion von Trägheitsmomenten).  Winkelgeschwindigkeitsdifferenz in 1/s bzw. v Hubgeschwindigkeitsdifferenz in m/s vor und nach dem Bremsvorgang. Bei Bremsungen bis zum Stillstand ist für  die Winkelgeschwindigkeit der Bremstrommelwelle bei Beginn des Bremsvorganges und für v die Senkgeschwindigkeit der Last einzusetzen. tB Bremszeit in s. Man erkennt, dass das Verzögerungsmoment MR um so größer ist, je kürzer die zulässige Bremszeit ist. 6.1.2 Bandbremsen Bandbremsen sind weich steuerbar und einfach im Aufbau. Ihr Nachteil ist eine Biegebelastung der Welle. Bandbremsen werden hauptsächlich als Haltebremsen eingesetzt. Als Betriebsbremse wird meist die Scheibenbremse eingesetzt, die eine bessere Abführung der Reibungswärme ermöglicht. Der Bandzug vergrößert sich, wie in Bild 3a dargestellt, über den Umschlingungswinkel von F1 auf F2. Für die Zugkräfte F1 und F2 gelten die Beziehungen F1 =

2 MB 1

 d (e  1)

F2 =

2 MB e 

 d (e  1)

F1, F2

MB

d

e, 



N

Nm

m

1

rad

MB abzubremsendes Moment e Basis der natürlichen Logarithmen (e = 2,718)  Reibzahl  Umschlingungswinkel im Bogenmaß Werte für e siehe Abschnitt Mechanik (Statik). Aus dem Momentengleichgewicht um den Drehpunkt P ergibt sich für die Zugkraft Fz am Handhebel

Fz

2 MB 1 1 (l3 B x e  )

 d l4 (e  1)

mit x = 0 für Bild 3a, (–) Minuszeichen für Bild 3b und (+) Pluszeichen für Bild 3c. Fz Handzugkraft, d Bremsscheibendurchmesser, l4, l3, x Hebellängen nach Bild 3. Man kann den Abstand x nach Bild 3b so groß wählen, dass die Bremse selbsttätig sperrt, ohne dass noch eine Zugkraft Z aufgebracht werden muss. Wenn die Bremse in beiden Drehrichtungen gleich gut arbeiten soll, so wird eine Anordnung nach Bild 3c mit x = l3 gewählt, bei der F1 und F2 an gleichen Hebelarmen angreifen.

6.1.3 Kegelbremsen, Scheibenbremsen (Bild 4) Hinweis: Scheibenbremsen siehe DIN 15 433 – 34; 15 436; 25 607 – 3. Bei diesen Bremsen werden stets drehende, mit der Bremswelle drehfest verbundene Bremsscheiben axial gegen stehende, mit dem Gehäuse verbundene Gegenflächen gedrückt. Bei Kegelreibungsbremsen wird die Welle samt Bremsteller axial verschoben und in einen Innenkegel gepresst. Die Kegelreibungsbremse erreicht bei sonst gleichen Abmessungen ein größeres Bremsmoment als eine Flachscheibenbremse, da der Kegelwinkel die axiale Bremskraft verstärkt. Bei Scheibenbremsen wird eine mit der Bremswelle fest verbundene Scheibe durch eine oder mehrere Bremszangen gehalten. Die Bremszangen werden zweckmäßig symmetrisch angeordnet, um die Welle nicht mit Biegemomenten zu belasten. Scheibenbremsen sind vergleichsweise unempfindlich, einfach in ihrem Aufbau und haben eine große, die Reibungswärme ableitende Fläche. Sie eignen sich daher auch zum Betrieb im Freien und zu Dauerbremsungen.

6 Bremsen und Rücklaufsperren

K 29 MB abzubremsendes Gesamtmoment d mittlere Reibflächendurchmesser  Reibzahl an den Bremsflächen n Anzahl der Reibflächen; bei Scheibenbremsen n = 2 je Bremszange, bei Kegelreibungsbremsen stets n = 1  Kegelwinkel;  = 90º, sin  = 1 bei Scheibenbremsen;   20º, sin   0,34 bei Kegelreibungsbremsen

6.2 Rücklaufsperren Rücklaufsperren sind mechanische, selbsttätig eingreifende Maschinenteile, die ein Zurückdrehen der Sperrwelle unter dem Einfluss eines Lastmomentes verhindern, wenn der Antrieb abgeschaltet oder unterbrochen wird. Nach ihrer Wirkungsweise unterscheidet man Zahn(Klinken-)-Gesperre und stufenlos arbeitende Freiläufe.

Bild 3. Skizzen verschiedener Bandbremsen a) einfache Bandbremse b) Differentialbandbremse c) drehrichtungsunabhängige Bandbremse MB abzubremsendes Moment;  Umschlingungswinkel; F1, F2 Bremsbandzugkräfte; F3 Handhebelzugkraft; d, l3, l4, x geometrische Abmessungen Die axiale Anpresskraft F, die durch die Bremsfedern z zwischen Bremsbelägen und Reibflächen erzeugt wird, muss sein:

F

2 MB 1 1

sin   n d

F N

MB Nm

d m

Welle

, n



1

º

Bild 5. Klemmkörper-Freilauf als Rücklaufsperre für Fördereinrichtungen 1 Außenring (drehfest mit dem Gehäuse des Getriebes oder der Fördereinrichtung verbunden) 2 Klemmkörper; die Klemmkörper sind in Leerlaufposition gezeichnet, bei der sie unter Einwirkung der Fliehkraft vom stillstehenden Außenring abheben. Bei Stillstand gelangen sie unter der Einwirkung der nicht gezeichneten Anfederung wieder in Eingriff, so dass ein Zurückdrehen der Welle in Richtung a ausgeschlossen ist. 3 Innenring, mit der zu sperrenden Welle verbunden a) gesperrte Drehrichtung b) freie Drehrichtung (RINGSPANN)

Bild 4. Berechnungsskizze für Scheiben- und Kegelreibungsbremsen

K 30 Die Zahngesperre haben besonders geformte Zahnräder, in deren Lücken die Sperrklinke einrastet. Zahngesperre arbeiten formschlüssig, aber naturgemäß nicht stufenlos. Weiterhin verursachen sie während der gesamten Leerlaufzeit ein störendes Klickergeräusch. Sie werden daher nur für Handantriebe sowie für langsame untergeordnete Einsatzfälle verwendet. Bei den reibschlüssigen Rücklaufsperren unterscheidet man Klemmkörperfreiläufe (Bild 5) und Rollenfreiläufe (Bild 6).

Bild 6. Rollenfreilauf als Rücklaufsperre für Fördereinrichtungen 1 Außenring 2 Klemmrollen 3 Innenring mit Klemmrampen (Innenstern) 4 Klemmrampen a) gesperrte Drehrichtung b) freie Drehrichtung (RINGSPANN) Die Klemmkörperfreiläufe werden aus den konzentrisch angeordneten Innen- und Außenringen und den dazwischen befindlichen, leicht angefederten Klemmkörpern gebildet. Letztere gleiten bei „Freilaufbetrieb“ auf dem Innenring. Im „Mitnahmebetrieb“ verklemmen sie sich zwischen Innen- und Außenring, so dass Drehmoment übertragen werden kann. Damit der Freilauf auch klemmt und nicht durchrutscht, muss der Tangens des Abstützwinkels der Klemmkörper ( „Klemmwinkel “) stets kleiner sein als der Reibwert . tan  <  Da Rücklaufsperren an Fördereinrichtungen den größten Teil ihrer Betriebszeit in Freilaufrichtung laufen, spielen die Maßnahmen zur Vermeidung von Verschleiß und damit zur Erhöhung der Lebensdauer eine große Rolle. Bei Rücklaufsperren ist meist Fliehkraftabhebung möglich. Man unterscheidet: – Fliehkraftabhebung bei umlaufendem Außenring. Der Schwerpunkt der Klemmkörper ist so gelegt, dass sie unter der Einwirkung der Fliehkraft vom stillstehenden Innenring abheben. Dadurch wird Gleitverschleiß unterbunden. – Fliehkraftabhebung bei umlaufendem Innenring (Bild 5). Die Klemmkörper laufen mit dem Innenring um und stützen sich an einem speziell ausge-

K Fördertechnik bildeten Käfig so ab, dass sie vom stillstehenden Außenring abheben. Diese Konstruktion ermöglicht eine elegantere Bauweise, da der drehende Innenring direkt mit der Welle und der stehende Außenring direkt mit dem Gehäuse verbunden werden kann. Wo Fliehkraft, z.B. wegen geringer Drehgeschwindigkeit im Leerlauf, nicht angewandt werden kann, wird der Außenring nicht rund, sondern leicht polygonal geschliffen. Die Klemmkörper stehen dadurch bei ihrem langsamen Wandern am Umfang manchmal „steiler“, manchmal „flacher“. Die Berührungslinie wandert dadurch auf dem Klemmkörper, das Verschleißvolumen wird größer, die Lebensdauer erheblich länger. Bei Rollenfreiläufen verklemmt sich eine Rolle zwischen dem runden Außenring und dem mit „Klemmrampen“ versehenen Innenring („Innenstern“) (Bild 6). Klemmrollenfreiläufe werden eingesetzt, wenn Fliehkraftabhebung nicht möglich ist, oder wenn umfangreiche Branchenerfahrungen mit dieser Bauart vorliegen.

Bild 7. Rücklaufsperre in Aufsteckbauweise mit Drehmomentabstützung. Obere Bildhälfte: Ausführung mit Rollenfreilauf nach Bild 6. Untere Bildhälfte: Ausführung mit Klemmkörpern nach Bild 5. Die Buchstaben sind für den Einbau wichtige Baugrößenmaße nach Herstellertabelle. Die hier gezeigte Ausführung verfügt über eine eigene Lagerung, eigene Dichtungen und damit über eine eigene Ölversorgung mit Ölstandschauglas. Sie ist daher besonders für Sonderkonstruktionen geeignet. Für den Anbau an Seriengetriebe gibt es eine anflanschbare Bauform, bei der die Lagerung und der Ölkreislauf des Getriebes mitbenutzt werden. Dadurch kann dann die Funktion: „Rücklauf sperren“ kostengünstiger realisiert werden. (RINGSPANN)

7 Hebezeuge

7 Hebezeuge 7.1 Handhebezeuge Unter dem Sammelbegriff „Handhebezeuge“ werden solche Kleinhebezeuge zusammengefasst, die meist Handantrieb haben, aber auch mit Motorantrieb ausgeführt sein können. Handhebezeuge erfüllen vielfältige Aufgaben in Montage, Reparatur und in Fällen, wo große Lasten nur selten zu heben sind (Kap. 4.1). Die gebräuchlichsten Kleinhebezeuge einfacher Art sind Winden: Zahnstangenwinden – genormte Bauweise für 1,5 t, 3 t, 5 t, 10 t, 15 t und 25 t Tragfähigkeit (Bild 1). Schraubenwinden – die Last wird durch eine Schraubenspindel gehoben. Die Betätigung erfolgt mit einem Handhebel, oft unter Zwischenschaltung einer Ratsche. Bei Teleskopwinden sind mehrere Schraubenspindeln ineinandergebaut. Die Tragfähigkeit beträgt bis ca. 6 000 kg. Hebeböcke – für schwere Lasten von 20 ... 300 t. Die Last wird hydraulisch oder durch Spindeln angehoben bei Hubhöhen bis zu ca. 3 m. Handhebezeuge sind ferner Kettenhebezeuge mit Flaschenzügen nach Bild 2. In allen Fällen, in denen Kettenhebezeuge häufiger gebraucht werden, werden Elektroantriebe verwendet.

Bild 1. Zahnstangenwinde für 1,5 ... 10 t Traglast, Hub ca. 300 ... 350 mm, Kurbeldruck 250 N, bei 10 t Traglast 500 N, g, k, l, t, r Abmessungen je nach Baugröße der Baureihen (Gebr. Dickertmann)

K 31 Elektrozüge werden durchweg nach dem Baukastenprinzip in vielen Varianten hergestellt (Bild 4), und werden angepasst an die geforderte Traglast, Hubgeschwindigkeit und die Betriebsbedingungen geliefert (vgl. 7.2.2). Der Elektrozug wird für Traglasten von 160 ... 80 000 kg hergestellt. Er kann auch mit einem Feingang ausgerüstet werden. Größere Elektrozüge werden über Schütze gesteuert. Sie sind das Herzstück vieler Anlagen, wie z.B. Standard-Laufkrane, Hängekrane und Hängebahnen. 7.2.1 Prinzip eines Elektroseilzuges (Bild 3) Der Antrieb ist als Aggregat aus Elektromotor und Bremse nach dem Verschiebeläufer-Prinzip gebaut. Im abgeschalteten Zustand (untere Hälfte) drückt die Bremsfeder (14) den konischen Verschiebeläufer (13) mit der Kegelbremsscheibe (15) gegen die Bremshaube (17), im eingeschalteten Zustand (obere Bildhälfte) bewirkt die Axialkraft des Läufers eine Lüftung der Bremse. Die Rippen des Gehäuses werden von der Bremsscheibe, die hier gleichzeitig als Lüfter ausgebildet ist, angeblasen, um die entstehende Wärme nach außen abzuführen. Die kegelige Bremsscheibe ist durch Verzahnung mit der Motorwelle verbunden. Das Drehmoment des Elektromotors wird durch eine axialelastische Kupplung (18) auf das Getriebe übertragen. Ein geschlossenes Getriebegehäuse (1) nimmt alle Zahnräder auf, die im Ölbad laufen. Die Getriebestufen sind teilweise schrägverzahnt. Die tragende Verbindung zwischen Motor und Getriebe wird durch Trageflansche und ein Mantelgehäuse aus Stahlblech (10) hergestellt. Der Elektrozug kann auch mit einem Feinhubwerk nach Bild 3 ausgerüstet werden. In diesem Fall wirkt die Bremse des Haupthubmotors als Kupplung zum Feingang. Eine aus dem Getriebe herausgeführte Hohlwelle (4) treibt die Seiltrommel (5) an. Durch verschiedene Seilabläufe kann der Elektrozug praktischen Betriebsfällen angepasst werden. Als Hubmotor für Elektrozüge im unteren Traglastbereich wird vorwiegend der Drehstrom-AsynchronKurzschlussläufer verwendet. Über etwa 10 kW Nennleistung werden die Elektrozüge oft mit Schleifringläufermotoren ausgestattet, um das Stromnetz nicht durch zu hohe Anlaufströme zu belasten.

7.2 Elektroseilzüge

7.2.2 Einteilung der Elektroseilzüge nach DIN 15 020

Elektroseilzüge sind Hebemaschinen nach Bild 3, bei denen die Baugruppen Seiltrommel, Getriebe, Antriebsmotor und Bremse in einer kompakten Einheit kombiniert sind.

Die Berechnungsregeln nach DIN 15 020 bezwecken eine Dimensionierung aller Bauteile nach der späteren betrieblichen Beanspruchung, die durch Traglast und Laufzeit charakterisiert wird.

K 32

Bild 2. Kettenzug mit Handantrieb 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Lasttragende Baugruppe, bestehend aus: oberer Aufhängehaken kugelgelagertes Kettenrad für Rundstahlkette lasttragende Rundstahlkette Lasthaken mit Axialkugellager, damit sich die Last frei drehen kann, ohne die Rundstahlkette zu verdrillen. Baugruppe mit Haspelantrieb und Lastdruckbremse, mit: Abtriebskettenrad für Haspelkette Haspelkette für Heben und Senken von Hand Klinkenrad mit Sperrklinke Reibbeläge Lastdruckgewinde. Im Ruhezustand erzeugt das Lastmoment durch das Gewinde einen lastabhängigen Druck auf die Reibbeläge 10 und das gesperrte Klinkenrad 9. Dadurch wird die Last gehalten. Beim Heben dreht sich das Klinkenrad 9 mit, die Sperrklinke ratscht durch. Beim Senken wird das Haspelrad gegen das Reibmoment am gesperrten Klinkenrad in Senkrichtung gedreht.

K Fördertechnik

Das Lastdruckgewinde wird dadurch etwas gelöst. Ist der Druck an den Reibbelägen dadurch so gering geworden, dass das Gesamtreibmoment kleiner ist als das Lastmoment, so dreht das Lastmoment „nach“, – wobei die Last sinkt, bis das Reibmoment wieder gleich oder größer wie das Lastmoment ist. 12 Planetengetriebe zur Erzielung hoher Übersetzungen bei geringem Raumbedarf mit: 13 Antriebwelle mit Antriebsritzel 14 Abtriebshohlwelle mit Kettenrad 3 15 Planetenradträger, drehfest mit der Abtriebshohlwelle verbunden. 16 Sonnenrad, mit dem Gehäuse drehfest verbunden. 17, 18 Planetenräder Bei Verdrehung des Planetenrades 17 durch das Antriebsritzel 13 muss sich das Planetenrad 18 am stillstehenden Sonnenrad 16 abwälzen. Dabei wird der Planetenradträger 15 mit dem Lastkettenrad 3 verdreht. Die Räder 17 und 18 laufen also um („Planetenräder“). (Yale)

7 Hebezeuge

K 33 Bild 3. Prinzipskizze eines Elektroseilzuges (Dematik) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Getriebegehäuse Antriebswelle Getrieberäder Hohlwelle Seiltrommel Trommelstege Drahtseil Seilführung Tragflansche mit Füßen Mantel Mantelseiltaschen mit Seilkeil Ständer mit Wicklung Verschiebeläufer Bremsfeder Brems- und Lüfterscheibe Lagerschilde Bremshaube Dreh- und axialelastische Kupplung

Bild 4. Verschiedene, jeweils miteinander kombinierbare Baugruppen eines Serienelektrozugs, die eine gute Anpassung des Hebezeuges an die jeweiligen Einsatzfälle ermöglichen. (Dematik)

K 34

K Fördertechnik

Diese wichtigen Einflüsse auf die Nutzungsdauer, mittlere Traglast und Laufzeit, müssen daher sowohl bei der Herstellung als auch bei der Auswahl durch den Betreiber berücksichtigt werden. Nur so erhält man für den jeweiligen Einsatzfall den wirtschaftlichsten Elektrozug mit ausreichender Sicherheit und Lebensdauer. Harter Dauereinsatz – schwerer Elektrozug; seltener, leichter Einsatz – leichter Elektrozug. Derartige „Betriebsfestigkeitsüberlegungen“ sind für die gesamte Fördertechnik von Bedeutung. Zwischen den wichtigsten Einflüssen auf die Lebensdauer besteht näherungsweise folgender rechnerischer Zusammenhang L~

1 q 3t

L

q

Jahre

kg

t h Jahr

L Lebensdauer, q mittlere Belastung, t Laufzeit pro Jahr Ein Elektrozug, der jedes Jahr nur die halbe Zeit t im Einsatz ist als ein anderer, wird also auch entsprechend weniger verschleißen und kann also bei gleicher Lebensdauer (L = 10) entsprechend leichter konstruiert und damit billiger sein. Andererseits braucht man die mittlere Belastung q nur um 20 % (d.h. auf das 0,8-fache) zu senken, um einen sonst gleichen Zug doppelt solang benützen zu können (0,83 = 0,5). Definition der Elektroseilzuggruppen nach Laufzeitklassen und Belastungskollektiven Laufzeitklassen V0,25 ... V5. Tabelle 1 zeigt in den einzelnen Spalten, welche Zeit ein Elektroseilzug im Mittel je Tag, Jahr oder 10-Jahres-Zeitraum laufen muss, um der entsprechenden Laufzeitklasse zugeordnet zu werden. Meist wird die mittlere Laufzeit je Tag geschätzt und danach die Laufzeitklasse bestimmt. Belastungskollektive, 1 leicht – 2 mittel – 3 schwer (Tabelle 2). Leicht: Elektroseilzüge, die selten die höchstzulässige Last, und meistens kleinere Lasten heben, z.B. im Kraftwerks- oder Montagebetrieb (Belastungskennzahl k  0,53). Mittel: Elektroseilzüge, die etwa gleichmäßig die höchste Traglast sowie größere und kleinere Traglasten heben, beispielsweise im Stückgutbetrieb (0,53 < k  0,67). Schwer: Elektroseilzüge, die hauptsächlich Lasten in der Nähe der höchstzulässigen Last (Traglast) heben, beispielsweise Greiferbetrieb (0,67 < k).

Tabelle 1. Bestimmung der Laufzeitklasse für Serienhebezeuge Laufzeitklasse

V0,25 V0,5 V1

V2

V3

V4

V5

2 bis 4

4 bis 8

8 bis 16

über 16

0,32 0,63 1,25 2,5

5,0

10

20

mittl. Laufzeit je bis Tag (Stunden) 0,5 Rechenwert

0,5 bis 1

1 bis 2

mittl. Laufzeit je Jahr (Stunden)

80

Laufzeit in 10 Jahren (Std.)

800 1 600 3 200 6 300 12 500 25 000 50 000

160

320 630 1 250 2 500 5 000

Tabelle 2. Gruppenstufung Ib ...V der Triebwerke von Elektroseilzügen nach DIN 15 020 abhängig von Laufzeitklasse und Belastungskollektiv Belastungskollektiv kubischer Mittelwert k 1

Laufzeitklasse V0,25 V0,5 V1  0,5  1  2 Ib

k  0,53

2

0,53 < k  0,67

3

0,67 < k  0,85

V2

V3

V4

V5

mittlere Laufzeit je Tag in Stunden

Ib

 16 > 16

4

8

Ia

II

III

IV

Ib

Ia

II

III

IV

V

Ia

II

III

IV

V

V

Kann man die Belastungsart nicht schätzen, so muss man aus Messwerten das „Lastkollektiv“ des entsprechenden Einsatzfalles ermitteln und daraus die Belastungskennzahl k (kubischer Mittelwert der Belastung) errechnen. Ein Lastkollektivdiagramm gibt an, wie häufig, verteilt auf die gesamte Laufzeit, die Belastung des Hebezeugs mit Höchstlast, mittlerer bzw. kleiner Last ist. Elektroseilzuggruppen. Mit den nunmehr ermittelten Laufzeitklassen bzw. Belastungsarten kann man nach Tabelle 2 die Elektroseilzeug-Gruppe bestimmen. Die Hersteller geben für jeden Elektroseilzugtyp die zulässigen Traglasten in den einzelnen Gruppen an. Die Betreiber sind in der Lage, je nach Laufzeit und Betriebsbedingungen den jeweils wirtschaftlichsten aus dem Programm auszuwählen (Tabelle 3). 7.2.3 Windwerke Windwerke sind Hebemaschinen nach Bild 5 bei denen die Hauptbaugruppen Antriebsmotor – Bremse – Getriebe – Seiltrommel nicht in einer Maschine kombiniert, sondern „offen“ hintereinander geschaltet sind. Windwerke werden nicht serienmäßig hergestellt, sondern stets für Sonderfälle gebaut, die in bezug auf Traglast, Hubgeschwindigkeit, Hakenweg oder Lebensdauer von den Elektroseilzügen nicht abgedeckt werden (Bild 6).

7 Hebezeuge

K 35

Bild 5. Laufkatze mit offenem Windwerk 1 Haupthub, z.B. 30 t 2 Hilfshub, z.B. 10 t 3 Unterflaschen 4 Oberflaschen

5 6 7 8 9

Seiltrommeln Trommellager Hubgetriebe Doppelbackenbremsen Hubmotore

10 11 12 13

Katzlaufräder Fahrmotore Fahrschiene Kranträger

Tabelle 3. Beispiel eines Elektroseilzugprogramms aus 8 Baureihen (Dematik) Die Baugröße ist bestimmt durch Belastungskollektiv, mittlere Laufzeit, Traglast und Einscherungsart. Belastungskollektiv: 1 leicht Hubwerke, die selten die höchste Traglast und meistens kleinere Teillasten heben.

2 mittel Hubwerke, die etwa gleichmäßig die höchste Traglast sowie größere und kleinere Teillasten heben

3 schwer Hubwerke, die hauptsächlich Lasten in der Nähe der höchsten Traglast heben.

4 sehr schwer Hubwerke, die nur Lasten der höchsten Traglast mit sehr großer Totlast heben.

1) Der Fachbegriff „Einscherungsart“ sagt aus, an wie viel Seilen die Last hängt, und wie viel Seile durch ein Hubwerk direkt angezogen werden.

So sagt beispielsweise die Einscherungsart 4/1 aus, dass die Last an 4 Seilen hängt, wovon eines motorisch angezogen wird. Die Traglast ist also 4 mal so groß wie bei Einscherungsart 1/1, die Hubgeschwindigkeit aber nur 1/4 derjenigen bei Einscherungsart 1/1.

K 36

K Fördertechnik

Bild 6. Traglastbereiche für Elektroseilzüge und Windwerke in dem einzelnen Gruppen nach FEM bzw. DIN 15020 (Dematik) Bild 6 zeigt die Traglastbereiche abhängig von der FEM- Gruppe, die a) von Elektroseilzügen b) von Elektroseilzugdoppelhubwerken c) von Windwerken überstrichen werden. Im Überschneidungsbereich sind bei normalen Einsatzfällen meist Elektroseilzüge wirtschaftlicher. Es können aber auch hier besondere Einsatzbedingungen, wie Mehrseilgreiferbetrieb, den Einsatz eines Windwerkes erzwingen. Die Baugruppen eines Windwerks sind: Hubmotor. Als Hubmotor des Windwerkes wird bevorzugt ein Drehstrom-Schleifringläufermotor verwendet. Bei Antriebsleistungen über 20 kW ist deren Einsatz aus Gründen der Netzbelastung (niedrigere Anlaufströme) unvermeidlich. Der Vorteil des WindElektroseilzüge, Windwerke sind Hebezeuge stationärer Einsatz Seilwicklung einlagig auf einer Trommel (Bild 3) Dadurch bei gleichem Antriebsmoment auch gleiche Seilkraft über die gesamte

werkes liegt aber auch darin, dass alle anderen Bauarten von Elektromotoren eingesetzt werden können, z.B. Gleichstrommotoren. Hubgetriebe. In der Regel sind alle Getriebestufen im gemeinsamen Gehäuse im Ölbad zusammengefasst. Das Hubgetriebe ist über eine Kupplung mit Bremse und Motor verbunden. Es lässt einen weiten Spielraum bei der Auswahl der gewünschten Hubgeschwindigkeiten durch verschiedene Übersetzungsverhältnisse der Getriebestufen und manchmal auch durch fernbetätigte Umschaltstufen zu. Hubwerksbremse. Die Hubwerksbremse ist meist eine Doppelbackenbremse mit elektromechanischem oder elektrohydraulischem Bremslüftgerät (siehe Kap. 6). Bei einigen speziellen Bedarfsfällen wird aus Sicherheitsgründen die Forderung nach Einbau einer zweiten Bremse erhoben, z.B. beim Heben feuerflüssiger Massen. Diese Bremsen müssen unabhängig voneinander wirken und die Last aus der Aufwärtsbewegung stoßfrei abfangen können. Seiltrieb. Dieser besteht aus Trommel und Trommellagerung, Rollen (Unter- und Oberflaschen) und Drahtseil mit verschiedenen Einscherungen. Die Seiltrommel kann dem speziellen Einsatzfall hinsichtlich besonders großer Hakenwege, mehrrilliger Ausführung für das Anhängen von Traversen oder auch Mehrseilgreifern und ähnlichen Lastaufnahmemitteln angepasst werden. 7.2.4 Seilwinden für den Forsteinsatz Seilwinden sind neben dem spezialisierten Kran („Rückekran“) das Hauptarbeitsgerät an modernem Forstspezialmaschinen („Rückeschleppern“). Auch für diese Winden gilt grundsätzlich die DIN 15 020. Die wichtigste gemeinsame Unfallverhütungsvorschrift (VBG 8) sieht aber wegen der grundverschiedenen Einsatzbedingungen auch sehr abweichende Sicherheitsvorschriften vor. Deshalb sind im Folgenden die Hauptunterschiede aufgeführt:

Seilwinden für den Forsteinsatz

sind primär Bodenzugwinden, also keine Hebezeuge mobiler Einsatz in schwierigem, oft steilem Gelände Seilwicklung mehrlagig auf einer Trommel ohne Rillen. Dadurch bei gleichem Antriebsmoment höchste Seilkraft nur in der ersten Seillage, dann sinkende Seilkraft, je mehr Seillagen aufgewickelt werden, da der wirksame Trommelradius steigt. (Ausnahme: Konstantzugwinde, bei der das Antriebsmoment proportional zum Füllgrad der Trommel hochgeregelt wird). Antrieb immer unlösbar gekuppelt mit der SeilAntrieb muss vollständig lösbar von der Seiltrommel sein. Seil ist nur leicht an der trommel, Seil immer fest verbunden mit Seiltrom- Seiltrommel angeklemmt. Bei Gefahr soll eher der Baumstamm samt Seil abraumel. Die Last darf auf keinen Fall abrauschen. schen, als dass der Schlepper oder gar der Bediener mitgerissen wird. Trommel mit Rillen (Bild 3) Trommel ohne Rillen, Aufhaspelung. Höherer Seilverschleiß, aber geringerer Dadurch geringer Seilverschleiß Platzbedarf pro Meter Seillänge. Seilstärke- und Seilqualität liegen definitiv fest, Seilstärke und -qualität kann vom Betreiber bei Bedarf geändert werden. Ändenach Auswahl der Gruppe nach FEM/DIN 15 020. rung und neue Windeneinstellung muss nach UVV-Regeln vorgenommen und im Erstabnahme und dann nur noch Verschleißprüfun- Windenprüfbuch dokumentiert werden. gen durch den Service [

8 Krane und Hängebahnen

K 37

8 Krane und Hängebahnen Fest aufgehängte Hebezeuge können die Last nur auf einer senkrechten Linie zwischen oberster und unterster Hakenstellung befördern. Hebezeuge, die an einer verfahrbaren Katze befestigt sind, können die senkrechte Fläche unter der Fahrschiene bedienen. Krane der verschiedensten Bauarten können einen dreidimensionalen Raum bedienen. Durch den Wandschwenkkran nach Bild 1 z.B. kann eine Last gehoben, sowie zu jedem Punkt innerhalb les gezeichneten Halbkreisraumes transportiert werden, der nach oben von der obersten Hakenstellung begrenzt wird.

Bild 1. Arbeitsraum eines Wandschwenkkranes, der durch den Schwenkradius und die oberste Hakenstellung begrenzt wird.

8.1 Berechnung nach DIN 15018 Prüffähige Berechnungen von Kranen müssen nach DIN 15 018 ausgeführt werden. Im Folgenden sollen deren Grundzüge aufgezeigt werden. Die DIN 15 018 gibt Hilfen zur Bestimmung aller Belastungen eines Krans und schreibt genau vor, wie dann bei der Berechnung vorzugehen ist: Die konkrete Festlegung der Belastungen, die bei dem gerade betrachteten Kran wirklich vorliegen werden, ist und bleibt in der Verantwortung des Technikers. Hier ist eine genaue Kenntnis der späteren Betriebsbedingungen sowie – Technische Mechanik gefragt! Die DIN schreibt die Punkte 8.1.1 – 8.1.9 vor: 8.1.1 Mindestinhalt der Berechnungen Hier sind alle für die Berechnung erforderlichen technischen Angaben zu machen, so z.B. Art und Arbeitsweise des Krans, vorgesehene Schwere und Häufigkeit der Beanspruchung und daraus abgeleitet Festlegung der





Lastannahmen, der Hubklasse und der Beanspruchungsgruppe Zeichnung des Krans mit allen Hauptmassen Zeichnung tragender Querschnitte an der Stelle der höchsten Beanspruchung, mit Werkstoffangaben Berechnung der vorgeschriebenen Lastfälle Im einzelnen gilt:

8.1.2 Lastannahmen Unterschieden werden Hauptlasten (diese wirken im normalen Betrieb immer): – Hublasten (Nutzlast und alle an den Seilen hängende Lasten von Unterflaschen, Greifern, Traversen u.ä.) – Lasten aus Eigengewicht und ggf. Lasten von Schüttgütern auf Stetigförderern und Aufprallkräfte von Schüttgut – Beschleunigungs- und Verzögerungskräfte – Fliehkräfte bei Drehkranen oder Dreheinrichtungen Zusatzlasten (diese wirken mit großer Wahrscheinlichkeit nie alle gleichzeitig) – Wind- und Schneelasten, Kräfte aus Schräglauf von Kranen und Katzen – Lasten auf Laufstegen, Treppen, Wartungspodesten u.ä. Sonderlasten (diese kommen nicht bei jedem Kran vor) – Kippkräfte bei Kranen mit Lastführung – Pufferkräfte – Prüflasten

8.1.3 Hubklassen und Beanspruchungsgruppen Die Hubklasse berücksichtigt die zusätzlichen Massenkräfte beim Anheben der Last. Je ruckartiger das Anheben der Last erfolgt, desto größer die zu wählende Hubklasse. Die Beanspruchungsgruppe berücksichtigt die Benutzungshäufigkeit des Krans. („Spannungsspielbereich“) und, ob am häufigsten leichte, mittlere oder schwere Lasten zu heben sein werden („Spannungskollektiv“). Tabelle 1 dient zur Festlegung der Beanspruchungsgruppe B1 ... B6 abhängig vom jeweils vorhandenen Spannungsspielbereich N1 (gelegentliche Nutzung) bis N4 (angestrengter Dauerbetrieb) sowie dem Spannungskollektiv S0 (sehr leicht) bis S3 (schwer). Tabelle 2 gibt Anhaltswerte für die Wahl der Hubklasse und der Beanspruchungsgruppe häufiger Krantypen.

K 38

K Fördertechnik

Hinweis: Die Lastannahmen, Hubklassen und Beanspruchungsgruppen sind vom Techniker oder Ingenieur vor Beginn der eigentlichen Berechnung sorgfältig zu ermitteln und festzuschreiben

8.1.6 Spannungsnachweis Spannungsnachweise sind für jeden Lastfall für alle gefährdeten Querschnitte für Stahlträger, Schweißnähte Schraubverbindungen zu ermitteln (siehe z.B. DIN 15 018 – zulässige Spannungen –, DIN 4 132 Stahltragwerke, DIN 6 914 – 6 918 Hochfeste HVSchraubverbindungen).

8.1.4 Lastfälle Würde man alle Haupt-, Zusatz- und Sonderlasten nach 8.1.2 gleichzeitig in eine einzige Rechnung einbeziehen, so würden die Krane viel zu schwer werden. In DIN 15018 wurden daher die Lastkombinationen, die gleichzeitig auftreten können, in Tabelle 3 zu Lastfällen zusammengefasst. Jede Spalte ist ein Lastfall. Beispiel: die Hauptlast „4.1.4.3 Fallenlassen oder plötzliches Aufsetzen der Last“, (berücksichtigt in Lastfall H, Spalte 2), wird nicht gleichzeitig mit der Hauptlast „4.1.6 Fliehkräfte“, (berücksichtigt in Lastfall H, Spalte 1) auftreten.

8.1.7 Stabilitätsnachweis Dieser ist für Knicken bei Stäben, für Beulen bei Kastenträgern (siehe DIN 18 800), für Kippen bei kippgefährdeten Kranen (z.B. Baukrane) und für Vertikalschwingungen (dies besonders bei Kranen mit großer Spannweite) zu führen.

8.1.5 Berechnungsgrundsätze Für jeden der 8 Lastfälle (4 Regellastfälle + 4 Sonderlastfälle) ist ein gesonderter rechnerischer Nachweis zu führen. Die Eigenlasten sind dabei mit dem Eigenlastbeiwert („Stoßfaktor“) nach Tabelle 4 zu multiplizieren. Die Hublasten sind dabei mit dem Hublastbeiwert („Faktor lotrechte Massenkräfte“) nach Tabelle 5 zu multiplizieren.

8.1.8 Betriebsfestigkeitsnachweis (Dauerfestigkeitsnachweis) Der Betriebsfestigkeitsnachweis braucht nur für den Lastfall H und nur für diejenigen Bauteile durchgeführt werden, für die mehr als 2 × 10 4 Lastspiele zu erwarten sind (z.B. Kranträger bei Verladekranen).

Die Berechnungen müssen den anerkannten Regeln der Statik, Dynamik und Festigkeitslehre entsprechen. Die einzelnen Lasten müssen in der für das gerade berechnete Bauteil ungünstigsten Stellung angesetzt werden.

Tabelle 1. Beanspruchungsgruppen („Beanspruchungskollektive“) nach DIN 15 018, abhängig von der Schwere (Spannungskollektiv S) und Häufigkeit (Spannungsspielbereich N) der Beanspruchung

Spannungsspielbereich Anzahl der vorgesehenen Spannungsspiele max A

N2

N1 über 2 104 bis

2 105

Gelegentliche nicht regelmäßige Benutzung mit langen Ruhezeiten

über 2 105 bis

6 105

Regelmäßige Benutzung bei unterbrochenem Betrieb

N3 über 6 105 bis

N4 über 2 106

2 106

Regelmäßige Benutzung im Dauerbetrieb

Regelmäßige Benutzung in angestrengtem Dauerbetrieb

Beanspruchungsgruppe

Spannungskollektiv S 0 sehr leicht

B1

B2

B3

B4

S 1 leicht

B2

B3

B4

B5

S 2 mittel

B3

B4

B6

B6

S 3 schwer

B4

B5

B6

B6

8 Krane und Hängebahnen

K 39

Tabelle 2. Beispiele für die Einstufung von Kranarten in Hubklassen und Beanspruchungsgruppen nach DIN 15 018 Lfd. Nr.

Kranarten

Hubklassen

Beanspruchungsgruppen

1

Handkrane

H1

B 1, B 2

2

Montagekrane

H 1, H 2

B 1,B 2

3

Maschinenhauskrane

H1

B 2, B 3

4

Lagerkrane

unterbrochener Betrieb

H2

B4

5

Lagerkrane, Traversenkrane, Schrottplatzkrane

Dauerbetrieb

H 3, H 4

B 5, B 6

6

Werkstattkrane

H 2, H 3

B 3, B 4

H 3, H 4

B 5, B 6

Greifer- oder Magnetbetrieb

7

Brückenkrane, Fallwerkkrane

8

Gießkrane

H 1, H 2

B 5, B 6

9

Tiefofenkrane

H 3, H 4

B6

10

Stripperkrane, Chargierkrane

H4

B6

11

Schmiedekrane

H4

B 5, B 6

12

Verladebrücken, Halbportalkrane, Vollportalkrane mit Laufkatze oder Drehkran

Greifer- oder Magnetbetrieb

H 3, H 4

B 5, B 6

13

Verladebrücken, Halbportalkrane, Vollportalkrane mit Laufkatze oder Drehkran

Hakenbetrieb

H2

B 4, B 5

14

Fahrbare Bandbrücken mit fest eingebaut m oder verschiebbaren Band (Bänder)

H1

B 3, B 4

15

Dockkrane, Hellingkrane. Ausrüstungskrane

Hakenbetrieb

H2

B 3, B 4

16

Hafenkrane, Drehkrane, Schwimmkrane, Wippdrehkrane

Hakenbetrieb

H2

B 4, B 5

17

Hafenkrane, Drehkrane, Schwimmkrane, Wippdrehkrane

Greifer- oder Magnetbetrieb

H 3, H 4

B 5, B 6

18

Schwerlast-Schwimmkrane, Bockkrane

H1

B 2, B 3

19

Bordkrane

Hakenbetrieb

H2

B 3, B 4

20

Bordkrane

Greifer- oder Magnetbetrieb

H 3, H 4

B 4, B 5

21

Turmdrehkrane für den Baubetrieb

H1

B3

22

Montagekrane, Derrickkrane

Hakenbetrieb

H 1, H 2

B 2, B 3

23

Schienendrehkrane

Hakenbetrieb

H2

B 3, B 4

24

Schienendrehkrane

Greifer- oder Magnetbetrieb

H 3, H 4

B 4, B 5

25

Eisenbahnkrane in Zügen zugelassen

H2

B4

26

Autokrane. Mobilkrane

Hakenbetrieb

H2

B 3, B 4

27

Autokrane, Mobilkrane

Greifer- oder Magnetbetrieb

H 3, H 4

B 4, B 5

28

Auto-Schwerlastkrane, Mobil-Schwerlastkrane

H1

B 1, B 2

K 40

K Fördertechnik

Tabelle 3. Von DIN 15 018 vorgesehene Lastfälle. Jede senkrechte Spalte umfasst einen Lastfall. Die Lastfälle H setzen sich nur aus Hauptlasten zusammen, die Lastfälle HZ umfassen Haupt- und Zusatzlasten, die Sonderlastfälle umfassen Haupt- und Sonderlasten Regellastfälle

Lasten Zeichen 4.1.1.

Eigenlast

4.1. Hauptlasten

4.1.2.

4.1.3.

Lasten von Schüttgütern in Bunkern und auf Stetigförderern. Hublast

Gm

M Gm

M Gm

P

–

–

– 0,25  P

4.1.6.

Ka

Massenkräfte Katzfahren aus Antrieben Drehen

Dr

Fliehkräfte

G

G

–

–

MG

G

–

–

Gm M Gm – Gm P 

P

P

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

Po

Katzfahren

Wippen

MG

–

P

Hublasten ohne Wirkung der Nutzlast

G

MG

M

Fallenlassen oder plötzliches – 0,25  P 4.1.4.3. Absetzen von Nutzlasten

4.1.5.

4.2. Zusatzlasten

MG



4.1.4.2. Hublastbeiwert

4.1.3.

4.3. Sonderlasten

Lastfälle H

G

4.1.4.1. Eigenlastbeiwert

Sonderlastfälle

Lastfälle HZ

Kr

Ka –

–

–

– Kr

–

–

Ka –

–

–

–

–

–

Kr Kr

–

–

–

–

Dr Dr Dr Dr Dr Dr Dr

–

–

–

–

–

–

Ka

–

Kr

–

Dr

Wp

–

– Wp

–

–

– Wp

–

–

–

–

Z

–

–

Z

–

–

–

–

–

–

Wi

–

–

–

–

–

–

–

–

S

–

–

–

–

–

–

in Betrieb

Wi

Wi

Wi

–

außer Betrieb

Wa

–

–

Wa

Wp Z

– –

4.2.1.

Windlast

4.2.2.

Kräfte aus Schräglauf

S

–

–

4.3.1.

Kippkraft bei Laufkatzen mit Hublastführung

Ki

–

–

–

–

Ki

–

–

–

4.3.2.

Pufferkräfte

Pu

–

–

–

–

–

Pu

–

–

4.3.3.

Prüflasten

klein

Pk

–

–

–

–

–

–

groß

Pg

–

–

–

–

–

–

Tabelle 4. Eigenlastbeiwerte nach DIN 15 018, für Krane mit ungefederten Laufrädern, abhängig von der Fahrgeschwindigkeit und der Fahrbahnbeschaffenheit.

1 2

Pk

–

Fahrgeschwindigkeit vF in m/min mit Schienenstößen oder Unebenheiten (Straße)

Eigenlastbeiwert ohne Schienenstöße oder mit geschweißten, bearbei- M teten Schienenstößen

bis 60

bis 90

1,1

über 60 ... 200

über 90 ... 300

1,2

über 200

 1,2

Pg

Tabelle 5. Hublastbeiwerte  abhängig von der Hubgeschwindigkeit und der Hubklasse nach DIN 15 018. Zur Hubklassenermittlung vgl. Tabelle 2.

Für gefederte Laufräder darf stets M = 1,1 gesetzt werden. Fahrbahnen

–

Hubklasse

Hublastbeiwert  bei Hubgeschwindigkeit in vH m/min bis 90

über 90

H1

1,1 +0.0022 vH

1,3

H2

1,2 + 0.0044 vH

1,6

H3

1,3 + 0,0066 vH

1,9

114

1,4 + 0.0088 vH

2,2

8 Krane und Hängebahnen

8.2 Kranbauformen Krantragewerke werden heute fast ausschließlich nicht mehr als Fachwerke, sondern in Vollwandbauweise ausgeführt („Kastenträger“). Für das Schweißen von Kranen sind DIN 15 018, DIN 8 563 und DIN 4 100 maßgebend. Bild 2 zeigt die gebräuchlichsten in Industriebetrieben und Werkstätten verwendeten Kranbauformen. Sie haben geringe Bauhöhen und kurze seitliche Anfahrmaße der Katzen. Die Krane werden als Ein- und Zweiträgerkrane gebaut.

8.3 Laufkrane Bild 3 zeigt einen modernen Kran in Kastenbauweise. Maschinelle Schweißverfahren ermöglichen die Serienfertigung von Standard-Kastenträgerkranen, die sich durch folgende Vorteile auszeichnen: geringes

K 41 Leistungsgewicht, dadurch geringe Belastung des Gebäudes, geringer Aufwand für Wartung und formschönes Aussehen. Zweiträger-Laufkrane werden für Traglasten bis zu 63 t und Spannweiten bis zu 30 m mit Zweischienenkatzen ausgeführt. Die Hubgeschwindigkeit wird durch das eingebaute Hubwerk bestimmt. Die Kranfahrgeschwindigkeit beträgt in der Regel 10 ... 80 m/min. Meist wird je ein Laufrad auf jeder Kranseite durch je einen Getriebe-Bremsmotor separat angetrieben (Bild 3). Wenn die Anforderungen an das Hubwerk über die Leistungen des Elektrozuges hinausgehen, werden die Krane mit Windwerken ausgerüstet (Kap. 7, Bilder 5 und 6). Die Hubmotoren können bei Bedarf mit einem Feingang oder regelbar ausgeführt werden. Krane haben Flur- oder Führerhausbedienung. Sie können auch mit einer Fernsteuerung oder mit einer automatischen Steuerung ausgerüstet werden.

1 L

H

h

Wandschwenkkran 2 L

Säulenschwenkkran Bild 2. Kranbauformen (schematisch)

Bild 3. Einträger-Laufkran mit Vollwand-Kastenträger und Hängekatze.

K 42

K Fördertechnik

Bild 4. Säulendrehkran für ein Lastmoment von ca. 200 kNm, maximale Ausladung A = 8 m, maximale Traglast 6.3 t (Dematik)

8.4 Konsolkrane, Säulendrehkrane, Wandschwenkkrane Zur Entlastung der Laufkrane werden oft Konsolkrane eingesetzt, die unterhalb der Laufkrane arbeiten, dadurch bleibt die Halle von Stützen frei. Konsolkrane werden in Vollwandträgerbauweise ausgeführt. Zur Bedienung von Werkzeugmaschinen und ähnlichen Einsatzzwecken eignen sich auch Wandschwenkkrane (Bild 1) und Säulendrehkrane (Bild 4).

8.5 Hängekrane, Hängebahnen Charakteristisch ist die Aufhängung der Hängekrane und Hängebahnen an der Hallenkonstruktion nach Bild 5. Durch die Kombination von Hängebahnen mit Hängekranen lassen sich ausgedehnte Förderanlagen zusammenbauen. Einen besonderen Vorteil bietet die Überfahrmöglichkeit von Katzen auf Krane und Anschlussbahnen (Bild 7). Die Hängebahnen lassen sich an Deckenkonstruktionen der verschiedensten Art anbringen. Bewährte Aufhängungen sind Klemmbefestigungen für I-Profile; (Bild 5a). Bügelschrauben (Bild 5b) und Bodenplatten (Bild 5c) für Betondecken und Schaubbügel für Stahl- und Betonkonstruktionen (Bild 6).

Bild 5. Hängebahnaufhängungen a) Klemmbefestigung für I-Profile, b) Bügelschrauben c) Bodenplatte für Betondecken (Dematik) Die Hängebahn wird in Abständen von 1 ... 10 m mit Hängestangen an der Decke befestigt Die Hängestange ermöglicht eine allseitige Pendelbewegung, sie wird nur auf Zug beansprucht. Man kann die Hängebahn aber auch ohne Hängestange direkt an die Obergurtkonstruktion oder Betondecke schrauben (Deckenkrane); dies kommt vor allem für leichtere Einsatzfälle in Frage.

8 Krane und Hängebahnen

K 43 Mit Hängebahnen und Hängekranen kann :in vollautomatisierter Förderablauf unter Anwendung von Programmsteuerungen erreicht werden (z.B. Bekohlungsanlagen).

Bild 6. Doppelkardanische Aufhängung für Hängebahnträger. Durch die doppelkardanischen Bahnaufhängungen mit je einem oberen und unteren Kugelgelenk werden die eigentlichen Verbindungselemente, die Hängestangen, nur auf Zug beansprucht. (Dematik) Die Hängebahnträger werden in geometrisch abgestuften Größen gebaut. Sie sind Schweißkonstruktionen oder Spezial-Walzprofile. Bis zu einer Geschwindigkeit von 63 m/min ist das Steuern von Laufkatzen vom Flur erlaubt, während bei höheren Geschwindigkeiten die Unfallverhütungsvorschriften eine Führerhausbedienung vorschreiben. Gegenüber anderen flurfreien Fördermitteln können Hängekatzen von einem Hauptförderstrang über Schiebeweichen in andere Bahnen verfahren, so dass ein System entsteht, mit dem beliebig viele Ziele außerhalb der Kranfahrbahn erreichbar sind (Bilder 7 und 8).

Bild 8. Elektroseilzuglaufkatze für Hängerkrane: und Hängebahnen. (Dematik) 1 Obergurt 2 Fahrbahnaufhangung 3 Fahrbahn („Wulstschiene“) 4 Fahrbahn (Walzprofil) 5 Hängekatze 6 Reibradfahrantrieb 7 Druckknopftaster

8.6 Portalkrane

Bild 7. Skizze eines Hängekran-Hängebahn-Systems

Portalkrane werden hauptsächlich in Außenbereichen eingesetzt. Bild 2 zeigt einen Portalkran und einen Halbportalkran. Halbportalkrane kommen für die Maschinen- und Arbeitsplätze der seitlichen Hallenbereiche in Frage. Ihre Anordnung unterhalb der Hallenkrane schließt eine gegenseitige Behinderung aus. Sie werden meistens in Vollwandträger-Konstruktion ausgeführt.

K 44

K Fördertechnik

8.7 Fahrzeugkrane Man unterscheidet hier die Mobilkrane, welche zum Verladen und Stapeln, bei Montagen und Kurztransporten für die Lasten bis ca. 10 t bei ca. 5 m Hubhöhe (verfahrbar) oder 30 t und ca. 33 m Hubhöhe bei Lastmomenten 84 tm (abgestützt) eingesetzt werden, hauptsächlich in Fabrikhallen und Lagerplätzen an den Stellen, an denen kein ortsfester Kran zur Verfügung steht, sowie Autokrane, die nur abgestützt arbeiten, die in Baureihen bis zu Traglasten von 1 000 t und bis zu Hubhöhen von 180 m und Lastmomenten von 20 000 tm gebaut werden. (Der Einsatzbereich dieser Großkrane sind Häfen, Containerterminals und Großbaustellen (z.B. Windkraftanlagen). Autokrane haben ein gelände- und straßengängiges mehrachsiges Fahrwerk, welches in Arbeitsstellung des Kranes durch vier hydraulische Ausleger abgestützt wird. Sie haben entweder Gittermastausleger die sich zu verschiedenen Höhen aufbauen lassen (Bild 9) oder hydraulisch ausfahrbare Ausleger. Die Tragkraft beträgt: F

F kN

ML a

ML kNm

a m

oder

F t

ML tm

a m

F Tragkraft, ML typbedingtes maximales Lastmoment des Fahrzeugkranes, a Ausladung des Auslegers. Meist sind zwei unabhängig voneinander arbeitende Hubwerke, ein Haupt- und ein Hilfshubwerk, vorhanden. Die Bedienung erfolgt über elektronisch angesteuerte Proportionalventile, wodurch alle Bewegungsabläufe gleichzeitig feinfühlig gesteuert werden können (vergl. Kap 5).

8.8 Verladeanlagen und Hafenkrane Für den Umschlag von Rohstoffen, wie Erz, Kalk, Kies, Kohle, Koks u.a. mehr oder zum Verladen von Fertigprodukten und Containern sind große Verladebrücken konstruiert worden. Sie können Straßen, Flüsse, Eisenbahngleise und Lagerplätze überspannen und sind je nach Einsatzfall mit Greifern, Becherwerken oder pneumatischen Förderern ausgerüstet. Konstruktionsmerkmale Die tragenden Stahlbauteile werden als geschweißte Vollwandkonstruktionen ausgeführt. Die Brückenlast ruht im allgemeinen auf Laufrädern, die sich auf Räder der Pendelstütze und Räder der festen Stütze verteilen. Jede Stütze hat ihren eigenen Fahrantrieb, der meist die Hälfte aller Räder antreibt (Bilder 10 bis 12).

Bild 9. Arbeitsbereich eines Autokranes mit einem Hubmoment von 744 tm (= 85 % des Kippmomentes) und dementsprechend abhängig von der Ausladung und der Auslegerlänge einem Traglastbereich von 200 ... 3,3 t (Liebherr) Die größeren Verladebrücken sind mit einer Sicherung gegen Schrägfahren ausgerüstet. Die Schrägstellung der Brücke tritt durch das Zurückbleiben einer Stütze dann auf, wenn der Kran oder die Laufkatze über einer Stütze steht und diese stärker belastet als die andere, oder wenn beim Abschalten unterschiedliche Massenkräfte auf beiden Leiten abzubremsen sind. Jede Brückenstütze hat Sturmsicherungen, die automatisch einfahren und sich an der Fahrschiene festklemmen, wenn der Sturm die Brücke abzutreiben droht. Bild 10 a – d zeigt ausgeführte Verladeanlagen. Da Kastenträger nicht nur auf Biegung, sondern auch auf Verdrehung (Torsion) beansprucht werden können, wurden Einträger-Winkelkatzen (Bild 12) entwickelt. Die Brücke besteht nur noch aus einem einzigen Träger in Kastenbauweise, der mit der festen Stütze dreh- und biegesteif und mit der losen Pendelstütze durch ein Kugelgelenk verbunden ist, so dass sich ein statisch bestimmtes System ergibt. Bei Verladebrücken für Schiffe ist der über Wasser befindliche Teil der Verladebrücke meist klappbar, um Masten und Schornsteine der Schiffe ohne Ummanövrieren überfahren zu können (Bild 10 d). Die Winkelkatze hat zwei oben angetriebene Laufräder mit Führungsrollen und zwei untere Laufräder. Sie verfährt seitlich neben dem Träger. Die Oberseite des Trägers bleibt so für den Anbau des senkrechten Pfeilers (Pylon), für elektrische Leitungen und für Begehungen zu Wartungszwecken frei. Der Greifer

8 Krane und Hängebahnen

K 45

a)

b)

c)

d)

Bild 10. Verladeanlagen a) Erzverladebrücke in Fachwerkbauart mit innenlaufender Katze, Tragfähigkeit 16 t b) Erzverladebrücke in Einträgerbauweise mit obenlaufender Katze (ohne Kragarm), Tragfähigkeit 20 t c) Erzverladebrücke mit festem Kragarm in Einträgerbauweise mit Zweischienen-Winkelkatze, Tragfähigkeit 12 t d) 32-t-Verladebrücke in Einträgerbauweise mit hochklappbarem Ausleger und Zweischienen-Winkelkatze, Tragfähigkeit 32 t (MAN)

K 46 kann mit einer Drehvorrichtung für Längs- und Quergreifen ausgestattet werden. Die Verladeanlagen sind mit Fahrwerks-, Katz und Hubantrieben mit geregelten Gleichstromantrieben (Ward-Leonhard-Satz) ausgerüstet. Das Führerhaus ist eine Vollsichtkanzel, die unter der Unterkante des Trägers angeordnet werden kann, um dem Bedienungsmann eine bessere Übersicht über den Arbeitsbereich des Greifers zu geben. Verladebrücken werden bis etwa 80 t Tragfähigkeit gebaut.

Bild 11. Teilansicht des Fahrantriebes einer Verladeanlage (MAN)

K Fördertechnik Die in Bild 12 gezeigte Verladeanlage hat eine Umschlagkapazität von 1 200 t/h. Hafenkrane Unter Hafenkranen versteht man für Be- und Entladung von Schiffen mit Stückgütern allgemeiner Art vorgesehene Krane, die mit einem Hubseil mit Haken arbeiten. Der Hafenkran besteht aus den Hauptbaugruppen Portal mit Fahrwerk, Drehwerk, Ausleger und Hubwerk. Das Portal kann auf Schienen verschiedener Höhe fahren, um Lkw oder Eisenbahn die Durchfahrt zu gestatten. Die Laufräder sind einzeln angetrieben und können durch Schienenzangen gegen Windkräfte gesichert werden. Für das Drehwerk werden Kugeldrehkränze großen Durchmessers verwendet. Die Ausleger sind meist mit einer Vorrichtung ausgestattet, die bei Veränderung der Ausladung einen waagerechten Lastweg gewährleistet (Wippausleger, Schwinghebelseilausgleich). Als Antriebsmotoren für Fahr-, Dreh- und Windwerk dienen Gleichstromreihenschluss- oder auch Drehstrommotoren.

8.9 Stapelkrane und Regalförderzeuge Stapelkrane und Regalförderzeuge sind Fördergeräte, die an spezielle Aufgaben in der Lager- und Materialflusstechnik angepasst sind. Sie dienen dem Zweck, spezielle Fördergüter, wie z.B. Drahtbunde, oder Ladeeinheiten, wie z.B. Paletten oder Langgutkassetten, in die Lagerplätze von Regallagern ein- und auszulagern.

Bild 12. Feste Stütze mit Pylon und Winkellaufkatze der Verladebrücke nach Bild 10 d (MAN)

Stapelkrane (Bild 13) sind in Bezug auf die Kranträger und das Kranlaufwerk entweder wie ein Zweiträger-Laufkran oder wie ein Zweiträger-Hängekran ausgebildet. Die Katze (Stapelkatze) ist jedoch mit einer starren oder teleskopierbaren Säule zur Führung des Hubwagens ausgerüstet. Am Hubwagen ist ein auf den entsprechenden Einsatzfall zugeschnittenes Lastaufnahmemittel angebracht. Bild 13 zeigt als Beispiel einen Stapelkran mit Hubgabel zum Transport von Drahtbunden. Die Katze verfährt auf den (im Bild geschnittenen) Trägern eines ZweiträgerLaufkranes. Der an der Hubsäule der Katze geführte Hubwagen ist hier mit einer Krankanzel ausgerüstet. Regalförderzeuge oder Regalbediengeräte sind in der Lagertechnik verwendete Geräte, die es gestatten, hohe Regallager („Hochregallager“) zu bauen und die Regale zu beschicken („zu bedienen“). Bild 14 zeigt schematisch die erhebliche Vergrößerung der nutzbaren Regalflächen bei Einsatz von Regalbediengeräten.

8 Krane und Hängebahnen

Bild 13. Stapelkran, aufgebaut aus Zweiträger-Laufkran und Stapelkatze mit Führungsrohr, Bedienungskanzel und Lastaufnahmegabel, als Lager- und Transportmittel in einer Drahtbeizerei 1 Drahtbundlager 2 Kranfahrbahn 3 Zweiträger-Laufkran (die Träger sind im Bild geschnitten) 4 Stapelkatze mit 5 Katzfahrwerk 6 Katzhubwerk 7 Führungssäule 8 Hubwagen 9 Krankanzel 10 Hubgabel mit Drahtbund Herkömmliche Kommissionierlager

K 47 Regalförderzeuge verfahren auf einer Bodenschiene zwischen den Regalen. Sie werden im oberen Regalbereich an einer Schiene geführt. Sie bestehen je nach Einsatzzweck aus einer oder zwei Säulen (Bild 15) und einem Hubwagen. Der Hubwagen trägt bei den Regalförderzeugen eine seitlich ausschiebbare Teleskopgabel. Mit dieser werden die Ladeeinheiten in die Regale eingelagert bzw. diesen entnommen. In der Regel ist der Hubwagen, auch bei automatischen Geräten, mit einem Fahrerstand ausgerüstet, um das Regalbediengerät auch manuell steuern zu können (z.B. bei Servicebetrieb). Bild 15 zeigt einige Beispiele von ausgeführten Regalbediengeräten und die zugehörigen Leistungsdaten. Kommissioniergeräte sind Regalbediengeräte, die der Zusammenstellung von bestimmten Lageraufträgen („Kommissionen“) für Kunden oder Fertigungsstellen dienen. Der Bedienungsmann fährt gemäß Bild 16 mit dem Hubwagen zu den Regalfächern, denen er dann die angeforderte Warenmenge entnimmt. Wenn alle gewünschten Regale abgefahren sind, erscheint der Bedienungsmann mit dem Regalbediengerät und der komplett zusammengestellten Kommission wieder am Regalausgang. Einsäulen-Regalbediengeräte dienen meist nicht der direkten Kommissionierung, sondern der Beschickung von Hochregallagern. Diese bestehen aus meist mehreren Regalgängen mit Regalfächern für bestimmte Ladehilfsmittel, meist Paletten. Regalbediengeräte übernehmen die Ladeeinheiten am Regaleingang und befördern sie zu dem vorbestimmten Regalplatz. Anschließend können sie einem beliebigen anderen Regalplatz eine auszulagernde Palette entnehmen und wieder zum Regalausgang befördern. Kommissionierlager mit Regalbediengerät

Bild 14. Nutzbare Regalhöhen bei Verwendung eines Flurregals, eines Leiterregals, bei mehrgeschossiger Bauweise sowie im Vergleich dazu bei Benutzung eines Regalbediengerätes

K 48

K Fördertechnik

Bild 15. Beispiele aus einer Baureihe von Regalförderzeugen (= Regalbediengeräten) a) Kommissioniergerät mit manueller Steuerung von der Führerkabine aus Traglast: 500 kg Gerätehölle: bis 12 m Hubgeschwindigkeit: bis 16 m/min Fahrgeschwindigkeit: 10 ... 80 m/min b) Einsäulengerät und c) Zweisäulengerät zum Aus- und Einlagern von Ladeeinheiten für automatischen und manuellen Betrieb Traglast: bis 4 000 kg Gerätehöhe: bis 40 m Hubgeschwindigkeit: bis 40 m/min Fahrgeschwindigkeit: bis 160 m/min (Dematik)

Zweisäulen-Regalförderzeuge kommen hauptsächlich zum Einsatz, wenn großvolumige, lange Fördergüter, wie z.B. Stangenmaterial in Langgutkassetten, ausund eingelagert werden müssen. Regalförderzeuge können bei Bedarf über Umsetzbrücken vor dem Regal von einem Regalgang in den anderer, umgesetzt werden. Regalförderzeuge werden meist automatisch online gesteuert, d.h. sie erhalten ihre Fahrbefehle direkt von

einem zentralen Prozessrechner. Bild 16 zeigt ein Hochregallager für Paletten mit vier Regalgängen, in denen Einsäulen- Regalförderzeuge vollautomatisch verfahren. Das Bild zeigt ferner die Rollenfördersysteme, welche das Palettenlager mit Produktionsbereichen, Zwischenlagern, Kommissionierlagern, Eingangszonen und Versandplätzen je nach Bedarf verbinden.

8 Krane und Hängebahnen

Bild 16. Vollautomatisches Hochregallager mit Regalbediengeräten und Fördereinrichtungen (Dematik)

K 49

K 50

9 Stetigförderer 9.1 Definition, Einteilung, Hauptanwendungen Als Stetigförderer bezeichnet man Fördermaschinen für Schütt- oder Stückgüter, die ununterbrochen (= stetig) Fördergüter auf vorher festgelegten Wegen befördern können. Stetigförderer haben also keine Arbeitsspiele, wie z.B. Krane oder Bagger, die nach dem Absetzen der Last leer zurückfahren müssen, um die nächste Last aufzunehmen. Förderbänder und Rolltreppen sind Beispiele für typische Stetigförderer, Greifer- und Aufzugsanlagen sind typische Unstetigförderer. Becherwerke zählen zu den Stetigförderern, da sie durch den engen Becherabstand und die kontinuierlich laufenden Antriebe einen fast gleichmäßigen Förderstrom erzeugen. Stetigförderer sind aber auch alle Förderer, die Rohrleitungen benutzen, um flüssige, gasförmige oder feste Stoffe zu fördern, wie Pipelines oder pneumatische Förderer. Stetigförderer finden überall dort wirtschaftlich Verwendung, wo große Mengen etwa gleichartiger Förderguter auf gleichbleibenden Wegen gefördert werden müssen. Die Fördermenge je Zeiteinheit (Förderstrom) ist bei Stetigförderern unabhängig von der Förderlänge, wenn der Anlaufvorgang einmal abgeschlossen ist. Stetigförderer übernehmen neben der Förderaufgabe oft auch Zusatzfunktionen, wie z.B. Trocknen, Mischen (Bandförderer, Schneckenförderer pneumatische Förderer), Zwischenlagern durch Aufstau des Fördergutes und Verteilen auf verschiedene Förderziele (Stückgutförder- und Verteilanlagen). Stetigförderer werden in großer Vielfalt für die verschiedensten Einsatzgebiete gebaut. Im Tage- und Untertagebergbau übernehmen die Stetigförderer weitgehend den Abtransport des Abbaugutes zu den Lager- oder Verteilplätzen. Bei großen Schüttgutumschlagsanlagen machen Stetigförderer den Greiferanlagen Konkurrenz. Bei der Fließbandfertigung werden Stetigförderer für den Materialfluss eingesetzt. In großen Lageranlagen für Schütt- oder Stückgut sind Stetigförderer wesentliche Systembestandteile. Stückgutstetigförderer werden auch für Förder- und Verteilungsaufgaben, wie z.B. Paket-Sortieranlagen der Post, Kommissionierzentren für den Großhandel oder Aktenförderung in Verwaltungsgebäuden eingesetzt. Einteilung der Stetigförderer Im Folgenden werden die Stetigförderer nach ihren kennzeichnenden Konstruktionselementen eingeteilt (Gurtförderer – Gliederbandförderer – Rutschförderer – Becherwerke – Schaufelradanlagen – pneumatische Förderer – Rollenförderer).

K Fördertechnik Außerdem sind folgende Einteilungen manchmal zweckmäßig: – nach dem Fördergut (Schüttgutförderer – Stückgutförderer), – nach der Beförderungsart, z.B. tragend (Gurtförderer, Plattenförderer), schiebend (Rutschförderer, Kratzförderer), in Fremdmedien (pneumatische und fluidische Förderer).

9.2 Gurtförderer Gurtförderer transportieren meist Schüttgüter, wie z.B. Kohle oder Erz. Gurtbandanlagen werden für Förderlängen von wenigen Metern bis zu Längen von über 100 km gebaut; letztere werden aus Einzelanlagen von bis zu 12 km Länge zusammengesetzt. Förderleistungen bis zu etwa 50 000 t/h sind möglich. Gurtbandanlagen werden immer eingesetzt, solange nicht besonders raue Betriebsbedingungen oder heiße oder scharfkantige Förderguter den Einsatz von aufwändigeren Gliederbandförderern (Kap. 9.3) erfordern. Die Bänder laufen endlos über die Antriebstrommeln und Umlenkrollen mit einer Spannvorrichtung. Die Lagerung erfolgt auf einem Rahmen aus Stahlprofilen. Das Oberband wird von in gleichmäßigen Abständen verteilten mehrteiligen Bandrollen getragen, wahrend der Rücklauf des abgedeckten Unterbandes über breite Tragrollen erfolgt. Die Anwendung dieser Bänder ist auf gradlinige Förderwege bis 18º aufwärts und etwa 8º abwärts beschränkt. Der Förderer besteht aus dem eigentlichen Gurt, den Antriebsstationen sowie dem Bandgestell mit Tragrollen und Umkehre. Zur Schonung der Bänder ist eine sorgfaltige Ausrichtung aller Rollen erforderlich. Kraftübertragung auf den Gurt. Die von der Antriebstrommel auf den Gurt übertragbare Kraft ist abhängig a) vom Trommeldurchmesser, b) von der Größe des umspannten Bogens auf der Antriebstrommel, c) von der Reibzahl zwischen Gurt und Antriebstrommel, d) von der Spannung des auflaufenden Gurtbandes. Wenn der Trommeldurchmesser durch die Konstruktion vorgegeben ist, so kann der Umschlingungswinkel  an der Antriebstrommel vergrößert und der Reibungswert n durch Reibbeläge erhöht werden, um die notwendige Spannkraft zu erzeugen. Ferner kann eine geeignete Spannanlage – besonders beim Anfahren – den Schlappgurt aus dem Antrieb ziehen und für die richtige Vorspannung sorgen. Lässt sich trotz dieser Überlegungen die nötige Umfangskraft mit einer Antriebstrommel (Bild 1) nicht mehr übertragen, so werden zwei oder drei Antriebstrommeln verwendet (Bilder 2 und 3).

9 Stetigförderer

K 51

Bild 1. Gummigurtförderer, waagerecht gelagert 1 Antrieb 3 Gurtgeradlauf-Einrichtung 5 Traggerüst 2 Gurtspannanlage 4 Gurtreinigung 6 Bandumkehre

7 Aufgabestelle

Bild 2. Doppeltrommelantrieb a) Schema der Seitenansicht b) Schema mit Einzelantrieb der Trommeln über Getriebe und Elektromotor, hier unter Zwischenschaltung einer Turbokupplung Bei Zwei- oder Mehrtrommelantrieb genügen Gurte geringerer Zugfestigkeit, Antriebstrommeln mit kleinerem Durchmesser und kleinere Getriebeeinheiten. Besonders haben sich Zweitrommelantriebe mit gleichen Einzelantriebsleistungen durch ihre Robustheit und ihre einfache elektrische Installation bewährt. Unterschiede der Umfangsgeschwindigkeiten der beiden Trommeln je nach dem verschieden großen Dehnschlupf des Bandes beim Umlauf um die Trommeln werden durch die Turbokupplung oder durch den Schlupf des Elektromotors abgebaut. Elektromotor und Getriebe können auch raumsparend in den Trommeln untergebracht werden. Diese Trommeln nennt man dann Elektrotrommeln. Vor dem Auflauf des Gurtes auf die erste Antriebstrommel sind meist Reinigungseinrichtungen erforderlich. Fördergurte (Bild 4) müssen zugfest, verschleißarm und unfallsicher sein. Synthetische Fasern oder Stahleinlagen werden mit einem festen Stoffgewebe verbunden, so dass ein Zerreißen der einzelnen Lagen oder ein Zersetzen des Materials praktisch ausgeschlossen ist. Die Tragdecke der Fördergurte wird auf die spezifischen Erfordernisse des jeweiligen Einsatzfalls abgestimmt.

Bild 3. Arten bewährter Gurtführung a) Eintrommel-Antrieb mit direktem Abwurf b) Eintrommel-Antrieb mit Schwenkarm und Abwurfausleger c) Eintrommel-Antrieb mit Abwurfausleger d) Zweitrommel-Kopfantrieb mit Schwenkarm und Abwurfausleger e) Zweitrommel-Kopfantrieb mit direktem Abwurf f) Eintrommel-Kopfantrieb mit Eintrommel-Umkehrantrieb g) Zweitrommel-Kopfantrieb mit Eintrommel-Umkehrantrieb

K 52

Bild 4. Gurtausführungen a) Gurt mit Gewebezugträger; b) Gurt mit Stahlseilzugträger Die Gummi-Industrie liefert Fördergurte a) mit Gewebezugträger (nach DIN 22 102) vorwiegend mit vollsynthetischen Polyester/PolyamidGewebeeinlagen – in Normalausführung. – in temperaturbeständiger Ausführung (–200 ºC), – in ölbeständiger Ausführung, – in lebensmittelverträglicher Ausführung, für den Steinkohlenbergbau in – schwerentflammbarer (nach; DIN 22 103) und – selbstverlöschender (nach DIN 22 109) Ausführung; – mit aufvulkanisierten Profilen für die Steilförderung, – als Elevatorgurte. b) mit Stahlseilzugträger (nach DIN 22 131) für Anlagen mit großen Achsabständen und hohen Förderleistungen. Berechnungsgrundlagen Die Berechnungsgrundlagen für Bandförderer sind in DIN 22 101 festgelegt. Die wichtigsten Gesichtspunkte sind die Ermittlung der Förderleistung, der Antriebsleistung und der Bauteildimensionierung (Festigkeitsrechnung). Der theoretische Füllquerschnitt Ath errechnet sich aus den schraffierten Vieleckflächen nach den Bildern 5 und 6. Für Muldungswinkel 20º  !  40º und Gurtbreiten 650 mm  B  3 000 mm kann der theoretische Füllquerschnitt Ath direkt aus DIN 22 101 entnommen werden.

K Fördertechnik

Bild 6. Theoretischer Füllquerschnitt eines gemuldeten Gurtes Ath = A1 th + A2 th. Für die nutzbare Gurtbreite b in Abhängigkeit der Gurtbreite B gilt: b = 0,9 B – 50 mm für B  2 000 mm b = B – 250 mm für B > 2 000 mm Dann ergibt sich theoretischer Volumenstrom QV th Nennvolumenstrom QV N Nennmassenstrom Qm N Nennstreckenlast infolge aufliegender Förderlast qL N (= Gewichtskraft je Längeneinheil!)

= Ath v = M MSt QV th = M MSt  QV th =  St  g Ath

QV th in m3/s, QmN in kg/s qL N in N/m Fördergeschwindigkeit in m/s v  Schüttdichte der Förderlast in kg/m3 g Fallbeschleunigung in m/s2  Füllungsgrad St Abminderungsfaktor bei Steigung Der Füllungsgrad  ist eine von den Eigenschaften der Förderlast (z.B. Stückigkeit, max. Kantenlänge) und den Betriebsverhältnissen der Gurtförderanlage (Gleichmäßigkeit der Materialaufgabe, Geradlauf des Bandes, Reservekapazität i bestimmte Größe. (Meist ist 0,7    1,1). Der Abminderungsfaktur St berücksichtigt die verminderte Fördermenge bei steigender oder fallender Förderung. Die von den Trommeln auf den Fördergut zu übertragende Umfangskraft F wird wie folgt errechnet F = (FH + FN) + FSt + FS (FH + FN) Bewegungswiderstandskraft zur Überwindung der Reibung der Anlage in N Steigungswiderstandskraft bei geneigter FSt Förderung in N. Sonderwiderstandskraft in N FS Die Bewegungswiderstandskräfte (FH + FN) errechnen sich zu (FH + FN) = L C f [qR + (2 qG + qL) cos ]

Bild 5. Theoretischer Füllquerschnitt eines flachen Gurtes

L qR

Förderlänge in m Streckenlast infolge der drehenden Tragrollenteile von Ober- und Untertrum gemeinsam in N/m

9 Stetigförderer qG qL

cos  f

C

K 53

Streckenlast infolge Fördergurt in N/m Streckenlast infolge Förderlast bei gleichmäßiger Verteilung auf der Förderstrecke in N/m (normalerweise ist qL = qLN, siehe oben) Neigungsfaktor. Bei einer Anlagenneigung  < 15º kann cos   1 gesetzt werden. fiktiver Reibungswert f  0,020 (normal), f  0,017 bei günstigen und f  0,027 bei schweren Betriebsbedingungen Beiwert zur globalen Berücksichtigung von Nebenwiderstanden (falls diese nicht in Einzelrechnung erfasst werden) nach Bild 7.

Bei Steigungen oder Gefalle kommt die Hangabtriebskraft ± FSt dazu: FSt = qL H H Hubhöhe in m,

+H bei Steigungen, –H bei Gefalle. Ferner können noch Sonderwiderstande FS an den seitlichen Tragrollen auftreten. Diese sind ggf.

Für die Rechnung werden folgende Daten zugrunde gelegt: Förderlänge L = 250 m Förderhöhe H = 20 m

Nennmassenstrom QvN = 116,67

kg

m3 Mechanischer Wirkungsgrad des Antriebs  = 0,82 Gemuldeter Gurt B = 0,8 m, 20º Muldenwinkel m Bandgeschwindigkeit vF = 1,2 s

Gurtmasse 14,5

kg

daraus qg = 14,5

m

kg m

9,81

m s2

=

N m Masse einer Rolle im Obertrum 24,6 kg Rollenabstand im Obertrum 0,8 m Masse einer Rolle im Untertrum 11,8 kg Rollenabstand im Untertrum 2,5 m Sonderwiderstände sollen nicht auftreten.

= 142,25

Lösung: Beiwert C nach Bild 7: C = 1,38 Streckenlast aus Tragrollen: 24,6 kg m N

9,81 2 301,67 Obertram: q RO

0,8 m m s

Untertrum:

Nach DIN 22 101 zu berechnen.

Schüttdichte der Förderlast  kg = 1 800 m3 Fiktiver Reibwert der Rollen f = 0.027

qRU

N 11,8 kg m

9,81 2 46,30 m 2,5 m s

N m Streckenlast infolge Fördergut:

Summe: qR 347,97

kg s 9,81 m 953,77 N m m s2 1,2 s Die Bewegungswiderstandskräfte betragen: qL 

QvN

v

116,67

(FH + FN) = 250 1,38 0,027 [347,97 + + (2 142,25 + 953,77) 1 = 14'776' N Die Hubkraft beträgt FSt 953,77

Die erforderliche Umfangskraft an der Antriebstrommel ist F = 14'776 N + 19'075 N = 33'851 N Die erforderliche Antriebsleistung beträgt 1 m 1 Perf F v 33' 851 N 1,2 = 49'538,6 W  50 kW  s 0,82 Perf = 50 kW

Bild 7. Beiwert C nach DIN 22 101 Die erforderliche Antriebsleistung beträgt dann P=Fv

P Nm W

s

N

20 m = 19'075,4 N m

F N

v m s

■ Beispiel: Berechnung der Antriebsleistung eines steigend verlegten Gurtförderers mit einem Eintrommelantrieb am Kopf der Bandanlage.

9.3 Gliederbandförderer Während die bisher beschriebenen Gurtbänder sowohl für die Kraftübertragung als auch für die Aufnahme des Fördergutes das gleiche Bauteil, den Gurt, benutzen, besitzen Gliederbandförderer hierfür zwei verschiedene, miteinander verbundene Bauteile. Stahlgelenkketten oder Rundstahlketten übernehmen die Kraftübertragung, während an den Ketten befestigte Transportglieder das Fördergut tragen.

K 54

K Fördertechnik

Transportglieder sind Stahlplatten (Großplattenbänder, Kurzplattenbänder, Wandertische), Stahlplatten mit seitlich hochgezogenen Wänden (Trogbandförderer) und Querstegen zur Steilförderung. Die konstruktive Ausführung von Gliederbandförderern ist je nach dem speziellen Einsatzfall außerordentlich mannigfaltig. Anwendungsgebiete für Gliederbandförderer sind besonders: 1. Transport von schwierigem Fördergut z.B. scharfkantige Stücke (Schrott. Stahlblechabschnitte), verschleißendes Fördergut (Schlacken, Koks), heißes Feingut (Sinterrückgut, Schwefelkiesabbrände). glühendes Material (Sinteragglomerat, geschäumte Schlacke), schwere Einzelteile (Gussstücke. Knüppel, Masseln) mit Großplattenbändern. 2. Massenguttransport mit großen Förderleistungen in Aufwärtsförderung bei mehr als 18º Neigung, wofür übliche Gurtförderanlagen nicht ausreichen. 3. Steilförderung bis zu 60º Neigung mit Kastenbandförderern. Auch sehr feinkörniges und staubartiges Fördergut kann kontinuierlich in gut dichtenden Zellen aufwärts gefördert werden. 4. Bunkeraustragevorrichtungen bei üblichen Bunkerverschlüssen oder zum Abziehen des Materials aus langen Schlitzbunkern, wobei die Förderanlage für die starken Belastungen des sich auf der Austragevorrichtung abstützenden Fördergutes ausgelegt werden muss. 5. Rundförderung an Materialbearbeitungsplätzen, gegebenenfalls mit zwischengeschaltetem, automatischem Abwurf. 6. Erfüllung von Sonderaufgaben durch Spezialbänder, beispielsweise gleichzeitige, gegenläufige Förderung im Über- und Untertrum zur Einsparung einer zweiten, zusätzlichen Förderanlage. Einschaltung einer oder mehrerer Zwischenentladungen in der Förderstrecke. Vorübergehende Bunkerung von Material als Pufferung bei kontinuierlicher Zuförderung und stockender Abförderung im Untertagebetrieb. Materialkühlung während des Transportes. 7. Förderung unter sehr rauen Betriebsbedingungen (im Bergbau)), wo Robustheit und Unempfindlichkeit die wichtigsten Betriebseigenschaften des Fördermittels sein müssen. Feuerungsanlagen. Berechnung des Förderstromes von Gliederbandförderern (DIN 22 200)

m m A v S

kg s

A m2

v m s

S

kg

m3

A Füllquerschnitt des Tragbandes. Dieser kann bei Steigungswinkeln bis  = 15º als Produkt aus der

lichten Breite B und der lichten Höbe h des Tragbandes berechnet werden, also A = B h. V Fördergeschwindigkeit (0,6 ... 0,8 m/s bei Laschenketten; 1,2 ... 1,5 m/s bei Rundgliederketten). S Schüttdichte des Fördergutes ( 0,85 ... 0,9) t/m3 bei Steinkohle). Ist mit einer ungleichförmigen Beladung zu rechnen, so ist dies durch einen Ausnutzungsfaktor  = 0,5 ... 1,0 zu berücksichtigen. Steigungen von º werden durch Term 0,02 (65º–º) berücksichtigt. Damit wird

m B h  v S

für  = 0º ... 15º Steigung

m 0,02(65D   D ) B h  v  S für  = 15º... 40º Steigung

Bei Gliederbandförderern für Stückgut muss der Förderstrom aus den Abmessungen und dem Gesamtgewicht der je Zeiteinheit transportierten Stücke oder Ladeeinheiten aufsummiert werden. Antriebsstationen Für die Anordnung der Motoren gilt das gleiche wie bei den Gurtförderern, d.h. die Antriebe werden so vorgesehen, dass die Bänder gezogen werden. Bei waagerechten und ansteigenden Bandanlagen kommen die Antriebe an das Abwurfende. Bei Abwärtsbetrieben in Bandanlagen wird der Antrieb so lange am Abwurfende aufgestellt, als die Bewegungswiderstände größer sind als die Hangabtriebskraft. Überwiegt letztere, so muss der Förderer abgebremst werden, und der Antrieb wird am Aufgabeende angeordnet. Im Gegensatz zu den Gurtförderern ist bei Gliederbandförderern das Eigengewicht und damit die belastungsunabhängige Leerlaufleistung von erheblicher Bedeutung. Als Antriebsmotoren benutzt man Drehstrom-Kurzschlussläufermotoren mit einer elektronischen, hydraulischen oder mechanischen Sanftanlaufschaltung. Der weiche Anlauf schont Band und Getriebe und setzt die Stromspitzen herab. Bei längeren Gliederbandförderern baut man oft Zwischenantriebe ein. Dies ermöglicht, die Zugkettenstränge schwächer zu dimensionieren. Die Antriebsleistung wird nach DIN 22 200 analog den Gleichungen für Gurtbandförderer aufgestellt und erfasst Leerlauf-, Transport- und Hubleistung. 9.3.1 Trogbandförderer Das Hauptanwendungsgebiet des Trogbandförderers ist die Streckenförderung unter Tage. Er ist unempfindlicher und in der horizontalen und vertikalen Richtung wendiger und anpassungsfähiger als der Gummigurtförderer. Im Gegensatz zu Kratzerförderern, bei denen das Fördergut auf einer stillstehenden Rinne gleitet, wird das Fördergut beim Trogbandförderer auf einer aus einzelnen Stahltrögen gebildeten gelenkigen, endlosen Bandmatte transportiert. Die Fördergeschwindigkeit beträgt 0,6 ... 2,0 m/s .

9 Stetigförderer

Bild 8. Trogbandförderer mit mitlaufenden Rollen 9.3.2 Plattenbandförderer und Wandertische Der Plattenbandförderer unterscheidet sich in seinem konstruktiven Aufbau vom Trogbandförderer dadurch, dass er als Tragelemente Stahlplatten verwendet. Diese werden der Form und der äußeren Beschaffenheit des Fördergutes angepasst. Dadurch ist es möglich, mit diesem Förderer Kisten, Fässer, Ballen, Säcke, Werkstücke oder auch Gepäck zu transportieren. Vollkommen glatte Platten werden hei waagerechtem Verlauf der Förderstrecke verwandt. Bei ansteigender Förderung über eine begrenzte Neigung werden Mitnehmer (Bleche, Stege quer zur Förderrichtung) auf den Tragplatten befestigt. Der Plattenbandförderer wird nicht nur zum Transport der verschiedenen oben genannten Güter eingesetzt, sondern er kann auch als Fließband in der Produktion verwendet werden. Im letzten Falle können Vorrichtungen, die zur Bearbeitung von Werkstücken notwendig sind, auf den Stahlplatten befestigt werden. Bei entsprechender Konstruktion laufen diese Vorrichtungen unter dem Fördergerüst wieder an den Ausgang des Förderweges zurück und stehen zur neuen Werkstückaufnahme zur Verfügung.

K 55 Kanal verlegen, so dass Plattenoberkante und Fußboden auf gleicher Höhe sind. Dieser längs laufende Transporteur kann dann überschritten und bei besonders stabiler Konstruktion auch überfahren werden. Für Schüttgüter aller Art können Plattenbandförderer als Abzugsbänder für die Entleerung von Bunkern eingesetzt werden. Das Abzugsband beschränkt sich in seiner Länge nur auf die Funktion des Abziehens und übergibt anschließend das Fördergut nachgeschalteten Fördereinrichtungen leichterer Bauart. Durch den Einbau eines einstellbaren Absperrschiebers im Bunkerauslauf und bei Verwendung eines stufenlos regelbaren Getriebes am Förderer lässt sich die Fördermenge den betrieblichen Bedingungen entsprechend regulieren. Soll der Plattenbandförderer z.B. einen Ofen zum Trocknen des Fördergutes durchlaufen, so werden für die auftretenden maximalen Temperaturen entsprechende Spezialkonstruktionen für Ketten- und Tragelemente verwandt. Wandertische werden hauptsächlich in der Fließfertigung zum Fortbewegen der Arbeitsstücke von einem Arbeitsplatz zum anderen in Bearbeitungs-, und Montagewerkstätten, in Gießereien (als Form-, Gieß-, Kühl- und Ausklopfstrecke) und für viele andere Fertigungszwecke z.B. in der Automobilindustrie, Elektro-Industrie usw. verwendet. Es gibt horizontal und vertikal umlaufende Wandertische. Die Wahl der Bauart eines Wandertisches richtet sich nach den örtlichen Verhältnissen. Senkrecht umlaufende Wandertische zeichnen sich durch eine gedrungene Ausführung aus. Dabei können je nach Anwendungsfall nur ein Trum (umlaufender Teil des Förderers zwischen den Umkehren) oder auch beide Trums in entgegengesetzter Förderrichtung ausgenutzt werden. Waagerecht umlaufende Wandertische ermöglichen die Ausnutzung der gesamten Tischlänge, und die Linienführung kann an die Fertigungsbedingungen genau angepasst werden. Entsprechend ausgelegte Aufgabe- und Abgabestationen erlauben es, andere Förderer an Wandertische anzuschließen. Durch die mögliche Bewegung des Fördergutes im geschlossenen Kreislauf lassen sich diese Wandertische bei relativ kleiner Gesamtlänge auch für langwierige Fertigungsvorgänge (z.B. beim Abkühlen oder Trocknen der Arbeitsstücke auf dem Tisch) sowie als bewegliche Lager verwenden.

9.3 Becherwerke Bild 9. Prinzipskizze von Wandertischen a) vertikal umlaufend b) horizontal umlaufend Die Aufnahme des Fördergutes kann an jeder beliebigen Stelle der Transportstrecke erfolgen. Unter Berücksichtigung entsprechender Sicherheitsvorschriften lässt sich der Plattenbandförderer auch in einem

Becherwerke haben als Zugelemente meist angetriebene Ketten und benutzen als Tragelemente pendelnd oder drehfest mit den Zugketten verbundene Becher. Pendelbecherwerke (Bild 10) finden Anwendung, wenn die Förderstrecke teils waagerecht, teils senkrecht verläuft. Ein typischer Einsatzfall ist der Kohleund Schlackentransport zwischen Heizkessel und Halden bei Heizkraftwerken.

K 56

K Fördertechnik

a)

b) Bild 10. Prinzipskizze eines Pendelbecherwerkes (SchaukelDoppelkettenförderer) mit Rundstahlketten als Zugelement a) Prinzipanordnung b) Flanschmitnehmer (RUD-Kettenfabrik)

Becherwerke mit von der Zugkette fest geführten Bechern dienen ausschließlich der Senkrecht- oder Steilförderung. Es werden staubende Güter (Kohlenstaub, Mehl), feinkörnige (Korn, Granulate) und grob körnige (Erz, Stückkohle) gefördert. Die Becher sind nach DIN 15 231-36 genormt. Zur Schiffsentladung können Becherwerke an Auslegern in die Schiffe abgesenkt werden. Sie bilden eine Alternative zum (unstetigen) Greiferbetrieb. Je größer und je gleichartiger die zu entladenden Mengen sind, desto wirtschaftlicher wird man in der Regel ein Becherwerk einsetzen.

9.4 Schaufelradlader Schaufelradlader sind stetig arbeitende Massengutumschlaggeräte, die an Lagerplätzen und im Braunkohlenbergbau eingesetzt werden; sie arbeiten stets im Verbund mit anderen Stetigförderern, meist mit Gurtförderern.

Bild 11. Beispiel eines Standard-Schaufelradladers Auslegerlänge: 22 m Schaufelrad: Zellenrad Schaufel-Inhalt: 250 l Durchmesser des Schaufelrades: 5,0 m Rückladeleistung für Erz und Kohle: 800 t/h Beladeleistung für Erz und Kohle: 2 000 t/h Bandbreite: 1 200 mm Installierte Leistung: 250 kW (MAN)

Bild 12. Beispiel einer Massengutumschlagsanlage für Erz, Kohle, Bauxit, Phosphat o.ä. mit Schaufelradladern 1 Förderband 2 Trafostation 3 Schiffsbelader 4 Schubschiff 5 Schiffsentlader 6 Seeschiff 7 Kaiförderband 8 Kaimauer 9 Förderbandübergabe 10 Lagerplatz 11 Waggonbeladestation 12 Kombinierter Schaufelradlader (MAN) Schaufelradlader können auf Gleisen oder auf Raupenfahrwerken verfahren werden. Als Lastaufnahmegerät dient ein kontinuierlich umlaufendes Rad mit ca. 5 ... 15 m Durchmesser, welches an seinem Umfang Schürfkübel („Schaufeln“) trägt. Das Schaufelrad ist an einem Ausleger angebracht, der gehoben, gesenkt und nach links und rechts geschwenkt werden kann. Das Schaufelrad übergibt das aufgenommene Schüttgut an Gurtförderer, die es über den Ausleger an ein fest installiertes, von der Auslegerstellung unabhängiges Gurtbandsystem zum Weitertransport übergeben. Schaufelradgeräte leisten bis zu 10 000 t/h; Sie zeichnen sich trotz dieser hohen Leistung durch niedrigen Wartungsaufwand und geringen Personalbedarf aus.

9 Stetigförderer Bild 12 zeigt eine Massengutumschlagsanlage für Schüttgüter, bei der Schaufelradlader. Förderbandsysteme sowie Be- und Entladeanlagen Verwendung finden. Die Seeschiff-Entlader geben das Schüttgut auf die Bandanlage, die zu den Halden oder den Binnenschiff-Beladern führt, so dass beide Förderwege bedient werden können. Die kombinierten Schaufelradgeräte, auf Schienen verfahrbar, sind so ausgelegt, dass sie zum Einlagern und Rückverladen jeden Punkt der Halde erreichen. Man kann durch eine zusätzliche Schiebebühne oder Quergleise die Anzahl der Lagerplatzgeräte auf ein Minimum beschränken.

9.5 Rutschförderer Bei Rutschförderern wird das Fördergut nicht getragen, sondern es gleitet auf einer Förderbahn. Das Fördergut wird von der Schwerkraft oder von Mitnahmeelementen einer Zugkette vorwärtsbewegt. Verschleiß und erforderliche Antriebskraft sind wegen der Gleitreibung hoch. Trotzdem sind Rutschen die einfachsten Fördermittel und daher in vielen Fällen wirtschaftlich. Rutschen werden eingesetzt – wenn starkes Gefälle überwunden werden muss, man das Fördergut jedoch wegen der Aufprallwucht nicht einfach fallen lassen kann (z.B. Wendelrutschen für Stück- und Schüttgut), – wenn bei einer durch eine Bremskette kontrollierten Abwärtsförderung die Reibung erwünscht ist, um die Bremsleistung herabzusetzen (Bremsförderer), – bei rauem Betrieb und kurzen Förderlängen, wie z.B. die Abbaustreckenförderung im Kohlebergbau. Schwerkraftrutschen sind auf abfallende Förderstrecken beschränkt. Nachteilig ist dass die Rutschgeschwindigkeit nicht genau kontrolliert werden kann. Sie ist außer vom Gefällewinkel auch noch abhängig von dem Reibwert  zwischen Fördergut und Rutsche; dieser schwankt mit dem Material, dem Feuchtigkeitsgrad und der Rutschgeschwindigkeit. Er kann nur durch Versuche bestimmt wenden. Schwerkraftrutschen finden meist nur als Zubringer von oder zu anderen Stetigförderern Verwendung. ■ Beispiel: Eine Stückgutrutsche für würfelförmige Pakete mit der Masse m = 30 kg habe einen Gefällewinkel von  = 25º und überwinde eine Höhe von h = 3 m. Die mittlere Reibzahl zwischen Paketen und Rutsche wurde bei normalen Betriebsbedingungen zu  = 0,25 gemessen.

1. Welche maximale Geschwindigkeit erreicht das Paket ? 2. Wieweit rutscht es über das Ende der Gefällestrecke hinaus? 3. Mit welcher Energie prallen die Pakete höchstens aufeinander, falls sich ein Stau bildet und immer neue Pakete; nachrutschen?

K 57 Lösung: 1. Die das Paket beschleunigende Kraft F ist gleich der Hangabtriebskraft minus Reibkraft F = g m (sin  –  · cos ) = m g cos  (tan  – ). Es tritt also nur dann ein Rutschen ein, wenn die Rutschbedingung  < tan  erfüllt ist. Die maximale Geschwindigkeit vmax tritt dann am Ende der Rutsche auf. Aus den Fallgesetzen kann dafür die Beziehung abgeleitet werden:

  v max 2 g h 1   tan 

vmax 2 9,81

m s2

  

0,25  m 

3 m 1   5,2 0,465  s 

2. Das Paket rutscht soweit, bis die Bewegungsenergie (

m 2 v ) 2

durch die Reibkraft (m g ) aufgezehrt ist. m 2 v max m g  x 2 x

2 v max

2g



(5,2 2 9,81

m 2 ) s m 2 0, 25 s

5,5 m

3. Die Aufprallenergie beträgt W

m 2

v 2 . Sie ist dann am größ-

ten, wenn das herabrutschende Paket im Augenblick seiner größtmöglichen Geschwindigkeit auf das vorhergehende aufprallt. Dies ist der Fall, wenn der Rückstau gerade das Ende der Rutsche erreicht hat. Die Aufprallenergie beträgt dann 2

Wmax

m 30 kg 

 5,2  406 Nm 406 J s  2 

Das Anwendungsgebiet für Kratzförderer in Doppelund Einkettenausführung ist hauptsächlich die Grundstoffindustrie. Eine feststehende Stahlblechrinne (Trog) dient als Unterlage für das Fördergut, das sich auf dieser gleitend bewegt, geschoben oder durch Querrippen gebremst wird. Die Querrippen, oder Stege sind in regelmäßigen Abständen an einer oder zwischen zwei Stahlketten befestigt, die endlos zwischen der Antriebstrommel und der Umkehrtrommel der Anlage laufen. Meist ist das Obertrum im Eingriff mit dem Fördergut, während das Untertrum leer zurückläuft. Es kann aber auch umgekehrt sein (Bild 13).

Bild 13. Beispiel eines Kettenkratzerförderers (Trogkettenförderers) für Förderleistungen von 28 ... 56 m3/h, für den Transport von staubförmigen und körnigen Gütern in der verfahrenstechnischen Industrie. Eine Besonderheit sind die Gummiförderketten mit Stahleinlagen und Mitnehmern aus Kunststoff, die eine gelenklose Bauweise, Korrosionsfreiheit, Geräuscharmut und staubdichte Förderung ermöglichen. (Wiese-Förderanlagen)

K 58

K Fördertechnik

Die Geschwindigkeit von Kratzförderern beträgt ca. 0.4 ... 0,8 m/s. Bremsförderer finden Verwendung, wenn eine Abwärtsförderung von Schüttgütern dosiert und kontrolliert geschehen muss. Es werden – hauptsächlich Stauscheiben – bzw. Einkettenförderer verwendet. Das Fördertrum der endlosen Stahlgliederkette gleitet in einer muldenförmigen Rinne. Der Rückführung des Leertrums dient ein geschlossenes Rückführungsrohr. Dieses ist seitlich mit der Rinne fest verbunden. Die Antriebstrommel mit ihrer vertikalen Achse liegt am oberen Ende des Förderers, die Umkehrtrommel mit Spannvorrichtung wird unten vorgesehen. Auf der Kette sind in regelmäßigen Abständen Stauscheiben außermittig quer zur Förderrichtung befestigt. An diesen Tellern staut sich das abrutschende Fördergut. Die Förderkette mit den Stauscheiben muss nun vom Antrieb gebremst werden, wenn der Hangabtrieb des Fördergutes größer ist als der Reibungswiderstand von Fördergut und Kette. Bei großen Bremsmomenten empfiehlt sich der Einbau eines selbsthemmenden Schnecken-Vorgeleges als erste Übersetzungsstufe in den Antrieb, damit die Förderkette den Antriebsmotor nicht treiben kann. Wenn die Hangabtriebskraft des Fördergutes kleiner ist als die Reibkraft, das heißt, wenn die Bedingung g mF sin   (mK K + m B) cos  g m, mK kg

g

m s2





1

º

m Fördergutmasse, mK Kettenmasse. B, K zugeordnete Reibwerte –

erfüllt ist, muss die Stauscheibenkette vom Motor angetrieben werden. Dies ist etwa bei einem Neigungswinkel von   20 ... 25º je nach Größe der Reibwerte K und B der Fall. Die Fördergeschwindigkeit beträgt etwa 0,5 ... 0,7 m/s. Die Förderleistung liegt bei ca. 50 ... 100 t/h.

Eine Schwingrinne besteht aus einem trog- oder röhrenförmigen Behälter, der das zu fördernde Schüttgut aufnimmt, aus der pendelnden Abstützung unter dem Winkel ß (Bild 14), aus dem Schwingantrieb und den Schwingfedern. Manchmal übernehmen die Federn auch die Abstützung, so dass die Pendelstützen entfallen. Als Schwingantriebe findet man UnwuchtMotoren, elektromagnetische Schwinger und gelegentlich auch Kurbelantriebe. Der Schwingantrieb versetzt die Rinne in der in Bild 7b eingezeichneten Richtung in Schwingungen, wodurch das in der Rinne befindliche Fördergut (meist Schüttgut) in Förderrichtung in Bewegung versetzt wird.

Bild 14. Wirkungsweise einer Schwingrinne, a) Bewegungsprinzip, b) Rinnenweg " Anstellwinkel der Rinne, r Schwingungsamplitude, f Frequenz, s Rinnenweg Wirkungsweise Aus der Schwingfrequenz f; dem Schwingweg s und dem Winkel ß lässt sich die vertikale Komponente av der Schwingbeschleunigung ermitteln. Während des Vorschwingens erteilt die Rinne dem Fördergut den vertikalen Impuls m av t (t = Vorschwingzeit). Sie „wirft“ das Fördergut nach oben. Gleichzeitig wird das Fördergut mit der Kraft F1 v = m (g + av) an den Rinnenboden gepresst. Daher kann dem Fördergut gleichzeitig aufgrund der Reibkraft FR =  F1 v =  m (g + av) der waagerechte Impuls in Förderrichtung  m (g + av) t erteilt werden. Das Fördergut wird also insgesamt schräg in Förderrichtung hochgeworfen. Beim Zurückschwingen wirkt auf das Fördergut nur die Fallbeschleunigung g, wenn die Rinne -schneller zurückgezogen wird, als das Fördergut in freiem Fall folgen kann (a > g); dies ist bei allen modernen Schwingrinnen der Fall (im Gegensatz zu den älteren Schüttelrutschen). Das Fördergut fliegt also wie ein geworfener Stein ein kleines Stück frei nach einer Wurfparabel. Die Frequenz der Schwingrinne wird so gewählt, dass das Fördergut dann wieder auf den Rinnenboden auftrifft, wenn die Rinne in unterster Stelle ist und der nächste Wurfvorgang beginnt. Heute werden fast nur noch Schwingrinnen mit (g > av) gebaut, bei denen das Fördergut in Mikro-Würfen vorwärts bewegt wird, da diese das Fördergut schonender behandeln und der Verschleiß geringer ist als bei Schüttelrutschen (g < av).

9 Stetigförderer Schwingrinnen werden für kurze Förderstrecken gebaut, meist bis 20 m, max. bis 100 m Förderlänge. Ihr Haupteinsatzgebiet liegt dort, wo die Schwingbewegung gleichzeitig für Zusatzaufgaben ausgenutzt werden kann, wie Sieben, Mischen oder Lockern des Fördergutes. Pneumatische Rinnen (Bild 15) sollen hier den Rutschen zugezählt werden, da sie nur abwärts fördern können und die Luft hier nur eine – wenn auch wichtige – Hilfsfunktion ausübt. Bei pneumatischen Rinnen befindet sich unter dem siebartig ausgebildeten Rinnenboden ein Kanal, in den Luft geblasen wird Die Luft durchdringt das feinkörnige Fördergut von unten und setzt die innere und äußere Reibung so stark herab, dass das Fördergut wie eine Flüssigkeit fließt.

Bild 15. Pneumatische Förderrinne

9.6 Pneumatische Förderanlagen Pneumatische Förderer nennt man Anlagen, bei denen das Fördergut in Rohrleitungen vom Luft- oder Gasstrom frei fliegend mitgerissen oder vorwärtsgeschoben wird. Befördert wird meist staubförmiges, feinkörniges oder mittelkörniges Gut bis etwa 10 mm Korndurchmesser, seltener gröbere Korngrößen. Pneumatische Förderer werden in der Zementindustrie, in der Bauindustrie, in der chemischen Industrie, in der Stahlindustrie, in der Glasindustrie und in der Lebensmittelindustrie verwendet. Ein besonderer Vorteil der pneumatischen Förderanlagen besteht darin, dass es einfach möglich ist, Verzweigungen vorzunehmen, d.h. das Fördergut mit Hilfe von Weichen zu verschiedenen Bunkern oder Verarbeitungsstellen zu leiten. Bei aggressiven Fördergütern kann die Förderleitung aus Edelstahl, Kunststoff, Glas oder anderen Stoffen hergestellt werden. Die pneumatische Förderung ist ferner wegen ihrer geschlossenen Rohrleitungen sauber und staubfrei, was besonders bei feinkörnigem Fördergut sehr wichtig ist. Dazu kommt, dass pneumatische Förderanlagen elegant an die verschiedenen Räume angepasst werden können. Rohrleitungen kann man problemlos waagerecht, senkrecht, gekrümmt, gerade, über oder unter Flur verlegen und hat damit größere Gestaltungsfreiheit als bei anderen Fördersystemen. In der verfahrenstechnischen Industrie werden Schüttstoffe in Straßen- oder Bahntankfahrzeugen oder Containern angeliefert, die durch pneumatische Förderer leicht und sauber be- und entladen werden können. Bei pneumatischen Förderern ist es auch in

K 59 einfacher Weise möglich, noch zusätzlich einen Teilprozess des Verfahrens in die Förderanlage zu legen, wie z.B. Kühlen, Aufheizen, Trocknen, Mahlen oder Sieben des Fördergutes.

9.6.1 Grundlagen der pneumatischen Förderung Für die in den Rohren strömende Luft gelten die Gesetze der Strömungs- und Thermodynamik kompressibler Medien. Werden Schüttgüter in den Luftstrom eingebracht, so ändern sich diese Gesetze abhängig von den Schüttguteigenschaften, der Aufgabeart, Förderart und Fördermenge auf vielschichtige Weise. Das Fließverhalten von Schüttgütern hängt nämlich von sehr viel mehr Einflussgrößen ab. als es bei Flüssigkeiten der Fall ist. Von Einfluss sind: a) Korngröße, Kornform, Korngrößenverteilung; je kleiner die Korngröße, desto größer ist das Verhältnis der angeblasenen Fläche zum Gewicht (da das Gewicht mit der dritten, die angeblasene Fläche aber nur mit der zweiten Potenz steigt), desto besser ist die Förderbarkeit; je kugelähnlicher und glatter die Kornform, desto geringer gegenseitiges Verhaken; je länglicher (= fischiger), desto schlechter, da die Anblasfläche des Kornes bei Längslage im Rohr so klein werden kann, dass es liegen bleibt; je gleichmäßiger die Korngrößen des gesamten Fördergutes, desto genauer lassen sich die gewünschten Strömungsverhältnisse herstellen. b) Das Schüttgewicht; es bestimmt die je Volumeneinheit zu überwindenden Massen- und Gewichtskräfte. c) Die Härte der Körner; sie erlaubt eine Abschätzung, ob sich die Körner des Schüttgutes durch Zerkleinern und Verformen während des Fördervorganges ändern werden. d) Sondereigenschaften, z.B. elektrostatische Aufladung bei Kunststoffen, hygroskopisches (= feuchtigkeitsanziehendes) Verhalten, chemische Instabilität wie Oxydationsneigung u.a.m. In einem Druckverlust-Geschwindigkeitsdiagramm werden die Zustände dargestellt, die das SchüttgutLuftgemisch haben kann (Bild 16). Das Diagramm ändert sich sofort, wenn man eine der oben beschriebenen Einflussgrößen ändert. Trotzdem kann man grundsätzlich erkennen: die Leerlaufkennlinie entspricht dem Bernoullischen Gesetz, dem die Freiflugförderung (Bild 17) desto besser gehorcht, je größer die Fördergeschwindigkeit ist. Mit hohem Druckabfall, aber niedriger Geschwindigkeit, arbeiten die Schubförderungen. Dazwischen sind verschiedene Zustände möglich.

K 60

K Fördertechnik Packung, durch die das Fördermittel strömt, durch die Leitung geschoben. 9.6.3 Ausgeführte Anlagen

Bild 16. Zustandsdiagramm nach Zenz

eines

Schüttgut-Gasgemisches

v

Fördergeschwindigkeit

p l

Druckverlust je Längeneinheit der Rohrleitung

logarithmisch aufgetragen

(Rotzinger Pneumatik)

Freiflugförderung

Schubförderung

Bild 17. Verschiedene Strömungszustände in pneumatischen Förderleitungen (Rotzinger Pneumatik) 9.6.2 Einteilung der pneumatischen Förderer Aufbau und Betrieb pneumatischer Förderanlagen lassen sich nach verschiedenen Gesichtspunkten gliedern: a) nach dem Fördergut, z.B. Zementförderer, Blasversatzförderer, Rohrpost, b) nach der Art der Materialaufgabe in Saugförderung und Druckförderung. Bild 18 zeigt schematisch verschiedene Fördersysteme nach Gliederung b, c) nach dem Betriebsdruck in Förderer mit Niederdruck bis 0,2 bar Mitteldruck 0,2 ... 0,5 bar Hochdruck über 0,5 bar d) nach dem Förderprinzip in Freiflugförderer und Schubförderer (Bild 17). Bei der Freiflugförderung bewegen sich die Gutteilchen einzeln oder in Form von Gutwolken bei hoher Geschwindigkeit des Fördermittels durch die Rohrleitung. Bei Schubförderung wird das Gut in dichter

Ausgeführte Anlagen arbeiten in der Regel nach den in Bild 18 gezeigten Prinzipien. Bei der Saugförderung (Bild 18 a) erzeugt ein Saugventilator in der Nähe des Förderzieles die Luftströmung in der Förderleitung. Die Materialauf- und -abgabe erfolgt über Zellschleusen. Bei Druckförderanlagen, Bild 18 b, entfallen die Zellschleusen bei den Empfangerbunkern. Wenn Schutzgasbetrieb erforderlich ist, wird nach Bild 18 c ein geschlossener Kreislauf ausgeführt. Beim Schutzgaseintrittstutzen werden nur noch Leckverluste ausgeglichen. Wenn ankommende Silofahrzeuge entladen werden müssen, empfiehlt sich eine kombinierte Saug-Druckanlage nach Bild 18 d, um das Silofahrzeug durch einen Schlauch auf einfache Weise an das Fördersystem anschließen zu können. Abweichend von den bisher beschriebenen Verfahren arbeiten Druckgefäßförderer mit einem ,,pneumatischen Sender“, der die Aufgaben der Zellradschleuse, das Fördergut in die Förderleitung zu schleusen, und die Druckversorgung der Förderleitung zeitlich nacheinander übernimmt. Druckgefäßförderer arbeiten also nicht mehr im strengen Sinne stetig, sondern befördern das Fördergut chargenweise. Funktionsweise: Der „pneumatische Sender“ besteht aus einem Druckgefäß, welches durch Steuerungen verschließbare Öffnungen zur Förderleitung (unten), zur Einfüllleitung (oben) und zur Druckluftversorgung (meist oben; bei backenden Fördergütern unten am Ausfließkegel zur Auflockerung des Fördergutes) hat. Während des Einfüllvorganges sind Förder- und Druckluftöffnung geschlossen. Wenn das Gefäß voll ist, wird automatisch die Einfüllöffnung geschlossen, die Förderöffnung geöffnet und Druckluft in den Sender eingeblasen. Dadurch wird der Behälterinhalt durch die Förderleitungen gedrückt. Um, insbesondere bei langen Förderleitungen, Verstopfungen zu vermeiden, kann an mehreren Stellen der Förderleitung über Luftdosierstellen zusätzliche Luft in das Fördergut eingeblasen werden. Diese löst etwaige Pfropfenbildungen wieder auf und erhöht dadurch die Fördergeschwindigkeit bei gleichzeitiger Senkung des Energieverbrauchs. Blasversatzanlagen bestehen aus einem Drucklufterzeuger, den Blasleitungen und einer Blasversatzmaschine zur Aufgabe des Versatzgutes. Blasversatzanlagen werden im Untertagebergbau eingesetzt, um abgebaute Strecken und Stollen wieder mit Steinen und Geröll (= den Bergen) anzufüllen (= zu versetzen). Die Steine werden durch die Blasversatzmaschine in den Blastrog geschleust und von der mit hoher Geschwindigkeit durch den Blastrog und die Blasleitung strömenden Luft beschleunigt.

9 Stetigförderer

a)

b)

c)

d) Bild 18. Schemata verschiedener pneumatischer Fördersysteme a) einfache Saugförderanlage b) einfache Druckförderanlage c) Druckförderanlage mit geschlossenem Kreislauf für Schutzgasbetrieb d) Kombinierte Saug-Druck-Förderanlage (Rotzinger Pneumatik)

K 61

K 62

K Fördertechnik

10 Stetigförderer für Stückgut Stetigförderer, mit denen Stückgüter befördert werden können, sind Rutschen und Gliederbandförderer (Kap. 9.3 und 9.5) sowie Rollenförderer und Kreisförderer. Hier sollen nur die letzteren gesondert angesprochen werden.

10.1 Rollenförderer Rollenförderer sind Förderanlagen, bei denen in gleichmäßigen Abständen Rollen angebracht sind, über die das (rollenlose) Stückgut gefördert wird. Man unterscheidet einfache Rollgänge, über die das Stückgut geschoben werden muss Gefällerollbahnen und angetriebene Rollenbahnen. Für leichtere Stückgüter werden Röllchenbahnen und Kugelrolltische eingesetzt. Auf Rollenförderern und den kleineren Röllchenbahnen werden Fördergüter meist in Ladehilfsmitteln, wie Paletten, Behältern oder Kisten befördert. Die Beladung von Paletten soll stabil sein und durch Umreifungen, Schrumpffolien o.a. gesichert werden. Bauart. Rollenförderer werden fast ausschließlich nach dem Baukastensystem gefertigt und in kompletten Baugruppen geliefert. Das ermöglicht eine einfache Anpassung der Förderanlage an den speziellen Einsatzfall. Bild 1 zeigt als Beispiel ein Rollenbahnstück für DIN-Paletten, das als komplette Baugruppe in Serie hergestellt wird. Es kann leicht abgewandelt mit und ohne Antrieb, als Gefällestrecke, als Gefällestrecke mit Bremse und als Stauförderer Verwendung finden.

Mit anderen Baugruppen, wie z.B. Drehtischen und Verschiebehubwagen lassen sich umfangreiche Fördersysteme aufbauen. Bild 2 zeigt Baugruppen eines Palettenförderbaukastens, die zu einem Demonstrationsmodell zusammengestellt wurden. Anwendung. Palettenförderer finden hauptsächlich in der Lager- und Warenverteiltechnik Verwendung. Leichte Rollenförderer und Röllchenförderer kommen z.B. beim innerbetrieblichen Materialfluss in der Fertigung und in Versandhäusern zum Einsatz. Schwere Rollenbahnen werden z.B. in der Schwerindustrie zur Beförderung von Brammen und Walzwerkserzeugnissen eingesetzt.

10.2 Kreisförderer Kreisförderer sind meist in Fertigungsbetrieben und Sortieranlagen anzutreffen. Sie bestehen aus einer über Flur angebrachten endlosen, in einer Schiene mit Fahrwerken geführten Zugkette, und den Lastgehängen, die entweder an denselben Fahrwerken angebracht sind (Einschienenkreisförderer), oder aber an gesonderten, in einer zweiten Schiene laufenden Fahrwerken („Power and free“-Kreisförderer, Schleppkettenkreisförderer). Kreisförderer sind endlos verlegt. Jedes Gehänge kommt also nach einer bestimmten Zeit wieder an den Ausgangsort zurück, es wird ,,im Kreis herum gefördert“. Es kann grundsätzlich an jeder Stelle der Förderstrecke eine Be- oder Entladestelle vorgesehen werden.

7

6

1

9 2

8

5

H

4

3

4

Bild 1. Rollenbahnstück als Beispiel einer kompletten Baugruppe für Rollenfördersysteme Bauteile 1 Ständer 2 Dübel 3 Wange

4 5 6

Tragrolle mit Kettenrad Antrieb Rollenkette

7 8 9

Endschalter Kabelführungskanal, Klemmbefestigung Klemmkasten

10 Stetigförderer für Stückgut

K 63

Bild 2. Baugruppen eines Rollenfördererbaukastens, welche zu einem Demonstrationsmodell zusammengestellt wurden. D Drehtisch S Schwenktisch E Etagenförderer T Tragkettenförderer R angetriebene Rollenbahn V Verschiebewagen oder Rollenstandförderer VH Verschiebehubwagen RH Rollenhubtisch (Dematik)

Bild 3. Fahrwerk für Einschienenkreisförderer mit Steckkette Tragrolle (T); Rollenbügel (B); das Anschlussstück (A) steckt in einem Innenglied der Kette und wird mit den Rollenbügeln verschraubt. Ein Auge an der Unterseite des Anschlussstückes ermöglicht die Befestigung des Lastaufnahmemittels (Lastenträger). (Dematik)

K 64 Beim Einschienenkreisförderer (Bilder 3 und 4) sind Lastfahrwerk und Zugkette fest verbunden. Einschienenkreisförderer eignen sich für gleichmäßig anfallende Förderaufgaben mit stets gleichen Wegen wie z.B. das Durchfahren von Tauchbädern und Lackierstraßen oder das Beschicken von Montagestraßen. Die Fördergeschwindigkeit beträgt ca. 0,25 m/s.

K Fördertechnik Zielsteuerungen wieder wahlweise in den Förderkreislauf einbeziehen. Die Lastaufnahmemittel werden dem jeweiligen Fördergut und dem Einsatzzweck angepasst und können jede beliebige Form annehmen z.B. Haken, mehrstöckige, plattformähnliche Traggestelle, Regale, Aufhängerahmen u.ä.

Bei Schleppkreisförderern (“Power and free“ Förderern) (Bild 5) läuft nur die Zugkette allein mit eigenen Fahrwerken und eigener Schiene dauernd um. Die Lastgehänge laufen mit gesonderten Fahrwerken in darunter angeordneten Schienen und können daher beliebig angekoppelt oder gelöst und auf Nebenbahnen geschoben werden. Der Schleppkreisförderer ist also eine Kombination von Kreisförderketten (Power) und Rollgehängen (Free) und gestattet besonders freizügige, kombinierte Förderwege. Er fördert Stückgüter jeder Art und ist durch die in eigener Bahn (Freebahn) laufenden Lastgehänge besonders für hohe Nutzlasten bis ca. 1 t (je nach Zahl der tragenden Achsen) geeignet. Mitnehmernocken an der Kette, die in Mitnehmerklinken der Freewagen eingreifen, stellen eine formschlüssige, trennbare Verbindung zwischen Schleppkreisförderer (Powerbahn) und Lastengehänge (Freewagen) her. Führungsbahn: Die Führungsbahn des Schleppkreisförderers (Powerbahn) besteht je nach Ausführungsart aus einem I-Profil (T), aus zwei Winkelschienen oder einem Schlitzrohr. Als Führungsbahn (Bild 5) (F) für den Förderwagen (W) des Lastengehänges dienen meist in geringem Abstand zueinander laufende, mit ihren Schenkeln nach innen gekehrte U-Profile. Beide U-Profile werden durch Bügel miteinander verbunden. Rollengehänge (Bild 5): Das Mitnehmergehänge besteht aus zwei Steckkreisförderer-Rollengehängen. zwischen denen ein Spezialglied mit Mitnehmernocken (N) sitzt, das in die Mitnehmerklinken (M ) des Freewagens (W) eingreift. An der Unterseite des Förderwagens erlaubt ein Auge (A) den gelenkigen Anschluss des Lastaufnahmemittels. Der Förderer kann horizontale und vertikale Bögen durchlaufen. Der kleinste Radius hierfür ist ca. 3,0 m. Die Freebahn hat alle Möglichkeiten einer antriebslosen Hängebahn, wie z.B. Abzweigen in beliebiger Richtung auch Kurven und Drehscheiben oder Absenken von Teilstrecken der Freebahn einschließlich Gehängen. Wiegen des Fördergutes, ohne es vom Gehänge abzunehmen, auch lassen sich Lastengehänge in Freebahnen speichern und durch geeignete

Bild 4. Fahrwerk eines Einschienenkreisförderers mit einer Rohrschiene und einer Rundstahlkette als Zugelement (Dematik)

Ohne Überlastung des einzelnen Antriebe, bzw. der Förderkette lassen sich beliebig lange Förderwege dadurch erzielen, dass in den Kreisförderer mehrere Antriebe eingebaut werden, oder dass die Gehänge über eine Freebahn von einem Schleppkreisförderer auf einen oder mehrere andere Schleppkreisförderer mit eigenen Antrieben übergeben werden (Bild 6). Eine interessante Sonderkonstruktion ist der Schalenkreisförderer nach den Bildern 7 und 8, der in Kommissionier- und: Sortieranlagen eingesetzt wird. Er ist im Prinzip ein Einschienenkreisförderer, der aber statt eines Gehänges oben offene, kippbare Schalen trägt. Wesentlicher Bestandteil des Schalenkreisförderers ist eine automatische Zielsteuerung, mittels der man jeder Schale, in welche man in der Greifzone (Bild 7) eine Ware legt, gleich den Befehl mitgeben kann, diese Ware an einer ganz bestimmten Packrutsche des Versandes (Bild 7) abzukippen.

10 Stetigförderer für Stückgut

K 65

Bild 5. Schleppkreisförderer mit separaten Fahrwerken und Schienen für Schleppkette und Fahrwerk R Rollen des Schleppkettenfahrwerkes; T Schleppkettenschiene; N Mitnehmernocken; M Mitnehmerklinke; L Laufrollen; W Förderwagen (Freewagen); G Fahrwerk der Schleppkette; K Schleppkette; B Bolzen; A Auge zum Anbringen des Lastaufnahmemittels (Dematik)

Bild 6. Schematische Darstellung des Materialflusses durch Schleppkreisförderer (Power an Free) P angetriebene Strecke F Warteschleife ohne Antrieb (Dematik) Bild 7. Schalenkreisförderer in einer Kommissionieranlage (Dematik)

K 66

K Fördertechnik

Bild 8. Schale eines Schalenkreisförderers mit Zieladressenträger, Leseeinrichtung und pneumatischem Kippzylinder (Dematik)

Schleppkettenförderer verfügen wie Schleppkreisförderer über eine stetig umlaufende Zugkette. Die Zugkette kann je nach Verwendungszweck unterflur, seitlich oder Überflur angebracht werden. Die geschleppten Lasten können flurverfahrbare Wagen, Baumstämme oder Brammen auf Rollgängen oder Gleisfahrzeuge sein. Schleppketten können in flexibler Weise gerade, in Bogenstücken, auf Gefälle- und Steigungsstrecken verlegt werden. Bei Stichbahnen muss die Kette seitlich oder unterhalb des Obertrums zurückgeführt werden. Das System kann mit Weichen, Staustrecken und einer automatischen Zielsteuerung versehen werden, so dass jeder Wagen an jeder Stelle des Systems angekuppelt werden kann und dann selbsttätig das vorgewählte Ziel anläuft.

10.3 Zielsteuerungen für Stückgutfördersysteme Zielsteuerungen werden in vielfältiger Weise in den verschiedensten Fördersystemen eingesetzt. Sie sollen am Beispiel von Stückgutfördersystem hier erläutert werden. Bei Stückgutfördersystemen gibt es immer mehrere Ausschleusstellen und meist mehrere Einschleusstellen. Es sind dies z.B. mehrere Verladerampen, mehrere Regalgänge, mehrere Fertigungsmaschinen, die beschickt werden müssen, oder mehrere Packtische. Die Anzahl der möglichen Aus- und Ein-

schleusstellen ist unbegrenzt. Eine Paketsortieranlage kann 100 Ausschleusstellen bei einer Sortierleistung von ca. 3 000 Paketen/Stunde haben. Die Förderwege haben dann eine Vielzahl von Weichen, Verzweigungen, Übergängen, an denen ein Fördergut gesteuert in eine andere Bahn gelenkt werden kann. Bei Plattenbändern und Schalenkreisförderern geschieht die Ablenkung meist durch Kippen der Platten oder Schalen (Bild 8). Bei Rollenfördern kommen Querförderer, Drehtische, Hubwagen und Verschiebewagen (Bild 2) in Frage. Durch die Zielsteuerungen werden diese Ausschleuselemente im richtigen Augenblick in Bewegung versetzt. Grundfunktion Eine Zielsteuerung besteht stets aus dem Codeträger (Code = verschlüsselte Zielangabe, Zieladresse), dem Codeleser und dem Impulsgeber, der den abgelesenen Code in einen Steuerimpuls für eine Weiche o.a. verwandelt. Man unterscheidet grundsätzlich folgende Systeme: Direkte Zielsteuerungen Die Zieladresse befindet sich direkt am Stückgut oder Lastaufnahmemittel. Bei diesem System ist es gleichgültig, an welcher Stelle des Förderweges die Zieladresse aufgebracht wird. Die Schale wird immer bei der vorgesehenen Ausschleusstelle gekippt werden.

11 Flurförderzeuge

K 67

Bild 9. Funktionsschema einer Adressenerkennung mit einem optischen Lesegerät (AEG) Derartige Zielsteuerungen gibt es in großer Mannigfaltigkeit. Der Zieladressenträger kann aus mehreren Riegeln, aus einer Reflektorleiste oder aus einem Magnetband bestehen. Es kann aber auch gegebenenfalls eine natürliche Eigenschaft des Fördergutes, wie z.B. die Pakethöhe oder -farbe, zur Steuerung herangezogen werden, wenn der Sortierzweck es gestattet. Der Zieladressenleser kann je nach Art der Zieladresse optisch, mechanisch, magnetisch oder pneumatisch arbeiten. Sie gestatten eine automatische „Codierung“ durch Aufkleben oder Aufdrucken der codierten Zieladresse. Ein optisches Lesesystem zeigt Bild 9. Indirekte Zielsteuersysteme Bei indirekten Zielsteuersystemen erhält das Stuckgut keine direkte Zieladresse mit auf den Weg. Es gibt zwei Möglichkeiten: 1. Beim Einschleusen erhalten bereits die Ausschleusstellen den Befehl, in einer bestimmten Zeit t eine Ausschleusung vorzunehmen. Die Zeit t wird aus der Fördergeschwindigkeit so bemessen, dass sich dann das vorgesehene Stückgut genau an der Ausschleusstelle befindet. Wegen des möglichen Schlupfes zwischen Fördergut und Fördermittel findet diese Version nur für begrenzte Förderlängen Verwendung. 2. Die Steuerung erfolgt über Prozessrechner. In diesem Fall wird das gesamte Fördersystem im Rechner nachgebildet und ähnlich wie in einem Stellwerk der Eisenbahn in Abschnitte eingeteilt. Am Anfang und Ende jedes Streckenabschnittes sind Messstellen, die den Durchlauf jeder Ladeeinheit dem Rechner melden. Beim Einschleusen der Ladeeinheit in das Fördersystem wird dem Rechner die Zieladresse mitgeteilt. Der Rechner verfolgt den Förderweg der Ladeeinheit anhand der Messimpulse und stellt die „Weichen“ nach der Zieladresse. Der Prozessrechner bietet auch die Möglichkeit, gleichzeitig auch noch Optimierungsaufgaben zu übernehmen, wie z.B. gleichmäßige Auslastung aller Verladerampen.

11 Flurförderzeuge Als Flurförderzeuge bezeichnet man Fahrzeuge wie Karren oder Schlepper und Gabelstapler, die keine eigene Transportebene besitzen, wie z.B. Krane oder Kreisförderer sondern die auf dem normalen Fußboden (= Flur) verfahren werden. Flurförderer verlangen daher meist nur vergleichsweise geringe Anlageinvestitionen. Flurförderzeuge kann man einteilen in angetriebene und nichtangetriebene, in gleisgebundene und gleislos verfahrbare, in Flurförderzeuge für reine Transportaufgaben (Wagen) und solche mit eigenen Lastaufnahmeeinrichtungen und Zusatzfunktionen (Gabelstapler), in handbediente (z.B. Elektrowagen) und automatisch gesteuerte (z.B. durch im Boden verlegte Induktionsleitungen). Die Flurförderzeuge ohne Eigenantrieb können durch Hand- oder Schleppkettenantrieb oder durch Schlepper fortbewegt werden. Für kurze Entfernungen (bis 50 m Förderweg), kleine Lasten (bis 1 t) und zeitlich ungeregelt anfallende Transporte verwendet man von Hand gezogene oder geschobene Fahrzeuge. Nach DIN 4 902 unterscheidet man Karren, Wagen und Roller.

11.1 Flurförderer ohne Lastaufnahmeeinrichtung Karren sind von Hand bewegte Förderzeuge, mit einem Rad (Schubkarren) oder mit zwei Rädern z.B. „Sackkarren“ für Säcke, Kisten, Sauerstofflaschen). Handwagen sind Flurförderzeuge mit drei oder vier Rädern, die für kleine Lasten (bis 1 t) und für Gelegenheitsbetrieb (z.B. in der Werkstattinstandhaltung) oder für Schleppzüge (Gepäcktransport auf Bahnhofbahnsteigen) Verwendung finden. Die Lenkung erfolgt meist durch Deichsel und Drehschemel. Die Ladefläche ist meist eben, als seitliche Begrenzungen können je nach Einsatzfall Klappen, Gitter oder feststehende Wände angebracht sein. Elektrowagen sind vierrädrige Plattformwagen mit oder ohne Zusatzaufbau mit Fahrerstand oder Fahrer-

11 Flurförderzeuge

K 67

Bild 9. Funktionsschema einer Adressenerkennung mit einem optischen Lesegerät (AEG) Derartige Zielsteuerungen gibt es in großer Mannigfaltigkeit. Der Zieladressenträger kann aus mehreren Riegeln, aus einer Reflektorleiste oder aus einem Magnetband bestehen. Es kann aber auch gegebenenfalls eine natürliche Eigenschaft des Fördergutes, wie z.B. die Pakethöhe oder -farbe, zur Steuerung herangezogen werden, wenn der Sortierzweck es gestattet. Der Zieladressenleser kann je nach Art der Zieladresse optisch, mechanisch, magnetisch oder pneumatisch arbeiten. Sie gestatten eine automatische „Codierung“ durch Aufkleben oder Aufdrucken der codierten Zieladresse. Ein optisches Lesesystem zeigt Bild 9. Indirekte Zielsteuersysteme Bei indirekten Zielsteuersystemen erhält das Stuckgut keine direkte Zieladresse mit auf den Weg. Es gibt zwei Möglichkeiten: 1. Beim Einschleusen erhalten bereits die Ausschleusstellen den Befehl, in einer bestimmten Zeit t eine Ausschleusung vorzunehmen. Die Zeit t wird aus der Fördergeschwindigkeit so bemessen, dass sich dann das vorgesehene Stückgut genau an der Ausschleusstelle befindet. Wegen des möglichen Schlupfes zwischen Fördergut und Fördermittel findet diese Version nur für begrenzte Förderlängen Verwendung. 2. Die Steuerung erfolgt über Prozessrechner. In diesem Fall wird das gesamte Fördersystem im Rechner nachgebildet und ähnlich wie in einem Stellwerk der Eisenbahn in Abschnitte eingeteilt. Am Anfang und Ende jedes Streckenabschnittes sind Messstellen, die den Durchlauf jeder Ladeeinheit dem Rechner melden. Beim Einschleusen der Ladeeinheit in das Fördersystem wird dem Rechner die Zieladresse mitgeteilt. Der Rechner verfolgt den Förderweg der Ladeeinheit anhand der Messimpulse und stellt die „Weichen“ nach der Zieladresse. Der Prozessrechner bietet auch die Möglichkeit, gleichzeitig auch noch Optimierungsaufgaben zu übernehmen, wie z.B. gleichmäßige Auslastung aller Verladerampen.

11 Flurförderzeuge Als Flurförderzeuge bezeichnet man Fahrzeuge wie Karren oder Schlepper und Gabelstapler, die keine eigene Transportebene besitzen, wie z.B. Krane oder Kreisförderer sondern die auf dem normalen Fußboden (= Flur) verfahren werden. Flurförderer verlangen daher meist nur vergleichsweise geringe Anlageinvestitionen. Flurförderzeuge kann man einteilen in angetriebene und nichtangetriebene, in gleisgebundene und gleislos verfahrbare, in Flurförderzeuge für reine Transportaufgaben (Wagen) und solche mit eigenen Lastaufnahmeeinrichtungen und Zusatzfunktionen (Gabelstapler), in handbediente (z.B. Elektrowagen) und automatisch gesteuerte (z.B. durch im Boden verlegte Induktionsleitungen). Die Flurförderzeuge ohne Eigenantrieb können durch Hand- oder Schleppkettenantrieb oder durch Schlepper fortbewegt werden. Für kurze Entfernungen (bis 50 m Förderweg), kleine Lasten (bis 1 t) und zeitlich ungeregelt anfallende Transporte verwendet man von Hand gezogene oder geschobene Fahrzeuge. Nach DIN 4 902 unterscheidet man Karren, Wagen und Roller.

11.1 Flurförderer ohne Lastaufnahmeeinrichtung Karren sind von Hand bewegte Förderzeuge, mit einem Rad (Schubkarren) oder mit zwei Rädern z.B. „Sackkarren“ für Säcke, Kisten, Sauerstofflaschen). Handwagen sind Flurförderzeuge mit drei oder vier Rädern, die für kleine Lasten (bis 1 t) und für Gelegenheitsbetrieb (z.B. in der Werkstattinstandhaltung) oder für Schleppzüge (Gepäcktransport auf Bahnhofbahnsteigen) Verwendung finden. Die Lenkung erfolgt meist durch Deichsel und Drehschemel. Die Ladefläche ist meist eben, als seitliche Begrenzungen können je nach Einsatzfall Klappen, Gitter oder feststehende Wände angebracht sein. Elektrowagen sind vierrädrige Plattformwagen mit oder ohne Zusatzaufbau mit Fahrerstand oder Fahrer-

K 68 sitz für Lasten bis 5 t. Elektrowagen werden meist für innerbetriebliche, unregelmäßig anfallende Transportaufgaben herangezogen. Seltener werden „fahrplanmäßige“ Materialflussaufgaben übernommen. Wegen der Abgasfreiheit können Elektrowagen auch in geschlossenen Räumen eingesetzt werden. Die Transportentfernung sollte durchschnittlich mindestens etwa 100 m betragen: darunter arbeiten Gabelstapler wirtschaftlicher. Dieselwagen sind grundsätzlich genauso aufgebaut, wie die eben beschriebenen Elektrowagen. Der Dieselwagen (mit Schaltgetriebe oder mit stufenlosem hydrostatischen Getriebe) findet hauptsächlich im Transportverkehr auf freiem Werksgelände Verwendung. Elektroschlepper sind kleine, wendige, vier- oder dreirädrige Fahrzeuge ohne nennenswerte eigene Ladefläche. Sie werden dort eingesetzt, wo es wegen großen Transportaufkommens zweckmäßig ist, Schleppzüge zu bilden. Beispiel: Gepäckförderung auf Bahnhöfen mit handgelenkten Schleppern, oder Stückguttransport in Flurfördersystemen in Lagerzentren durch automatisch gesteuerte Schlepper.

11.2 Flurförderer mit eigener Lastaufnahmeeinrichtung Flurförderer mit eigener Lastaufnahmeeinrichtung sind Gabelhubwagen, Gabelstapler und Portalhubwagen Die eigene Lastaufnahmeeinrichtung kann eine heb- und senkbare Ladefläche sein, die ein Unterfahren der Last erlaubt, aber auch eine Gabel, ein Dorn, eine Zange, ein Manipulator oder ein drehbarer Schüttkübel. Flurförderzeuge mit eigener Lastaufnahmeeinrichtung finden Verwendung, wenn die Be- und Entladezeiten gegenüber den reinen Transportzeiten erheblich ms Gewicht fallen. Dies ist in der Regel bei Transportwegen unter 100 m der Fall (Bild 1). Ferner, wenn neben der Transportaufgabe auch andere Funktionen erfüllt wenden sollen, wie z.B. Stapeln von Behältern, Paletten und sonstigen Ladeeinheiten. Be- und Entladen von anderen Fördermitteln oder Fahrzeugen.

K Fördertechnik Die große Mannigfaltigkeit derartiger Flurförderer sowie ihre Fertigung nach dem Baukastenprinzip und in Baureihen ermöglichen eine gute Anpassung des Flurförderzeuges an den jeweiligen Einsatzfall. Gabelhubwagen mit Handbedienung bestehen aus einem Kopfteil, welches den Hubmechanismus, die Deichsel und ein lenkbares Rad enthält, sowie einer flachen, rollenunterstützten Gabel. Mit dieser Gabel können Paletten und geeignet konstruierte Behälter bis 2 t unterfahren werden. Anschließend wird die Gabel durch Heben und Senken der Deichsel über eine mechanische oder hydraulische Kraftübertragung gehoben, so dass die Last auf dem Gabelhubwagen verfahren und an anderer Stelle wieder abgesenkt werden kann. Für Hub- und Fahrbewegung kann auch ein batteriegespeister, elektromotorischer Antrieb vorgesehen werden (Elektro-Geh-Gabelhubwagen). Gabelstapler (Bild 2) sind Flurförderer mit drei oder vier Rädern, bei denen die Last außerhalb der durch die Räder begrenzten Stützfläche des Fahrzeugs aufgenommen wird. Die Last verursacht also ein Kippmoment um die Tragachse. Die Tragachse ist wegen der hohen Belastung daher meist angetrieben und nicht lenkbar. Über den Lenkrädern sind Gegengewichte angebracht, die der Last das Gleichgewicht halten. Die Gabel bzw. die sonstige Lastaufnahmeeinrichtung ist an einem senkrechten Hubgerüst angebracht, welches um durchschnittlich 5º nach vorn (zum leichteren Last-Unterfahren) und 12º nach hinten (zur Verbesserung der Schwerpunktlage der Last beim Fahren) geneigt werden kann. Das Hubgerüst ist oft teleskopartig nach oben ausfahrbar, so dass Hubhöhen von 5 m und mehr erreicht werden. Gabelstapler werden durch Dieselmotoren oder durch batteriegespeiste Elektromotoren angetrieben. Die Kraftübertragung zum Fahrwerk erfolgt durch Getriebe oder hydrostatisch, das Hubwerk arbeitet mit Zugketten oder mit Hydraulikzylindern. Portalhubwagen sind doppelportalartige, vierrädrige Fahrzeuge, die Container oder andere schwere, große Ladeeinheiten aufnehmen und verfahren können. Sie werden auf Container-Umschlagsplätzen (= Containerterminals) und Lagerplätzen eingesetzt.

Bild 1. Gegenüberstellung der Kosten für einen Gabelstapler- bzw. Schleppzugbetrieb (BKS)

11 Flurförderzeuge

K 69

Bild 2. Charakteristische Größen eines Gabelstaplers Q Traglast c max. Schwerpunktabstand der Last L Gabellänge s Gabeldicke hG max. Hubhöhe , " Neigungswinkel des Mastes hM max. Höhe des ausfahrbaren Mastes b, l Lademittelmaße A Gangbreite W kleinster Wendekreis y L1 Wagenmaße

11.3 Automatisch gesteuerte Flurförderer Im allgemeinen ist für jedes Flurförderzeug oder für jeden Schleppzug ein Fahrer erforderlich. Flurförderzeuge sind deshalb wesentlich schwerer automatisierbar als gleisgebundene Förderanlagen. Trotzdem gibt es automatische Anlagen. Ein Beispiel ist ein automatisch gesteuertes Flurfördersystem, bei dem unterhalb der vorgesehenen Fahrwege Induktionsleitungen verlegt sind. Ein Schlepper (Traktor) wird mit dem Antriebsmotor ausgestattet sowie mit der erforderlichen elektronischen Steuerung, um sich an den Induktionsleitungen entlang zum vorprogrammierten Ziel zu tasten. An den Schlepper werden mehrere Anhänger angekuppelt.

11.4 Flurförderzeuge im Untertagebergbau Im Bergbau gibt es neben Stetigförderern, wie Gurtoder Trogbandförderern, auch Gleislosfahrzeuge und schienengebundene Lokomotiven mit Förderwagen. Im Folgenden soll nur auf letztere kurz eingegangen werden. Förderwagen Nach der Normung unterscheidet man Kleinförderwagen, Mittelförderwagen und Großförderwagen, siehe Tafel 1. Im Einsatz sind fast nur noch Großförderwagen.

Tabelle 1. Förderwagen im Bergbau

Wagengröße

Kleinförderwagen Mittelförderwagen Großförderwagen

Rauminhalt in l bei Roh-Steinkohle

 RH 1

t m3

bis 1 000 1 000 ... 3 000 über 3 000

Kleinförderwagen haben einen vollständig geschweißten Kasten mit Randversteifung, starre Puffer mit Hakenkupplungen und wälzgelagerte Radsätze. Der Mittelförderwagen hat folgende Merkmale: Wagenkasten wie bei Kleinförderwagen, gefederte Puffer mit Laschenkupplungen, Kegelrollenlagerradsätze. Großförderwagen werden in Schachtanlagen überwiegend verwendet. Die Merkmale dieser Wagen sind: geschweißter Kasten mit Randversteifung und seitlich angeordneten Bremsleisten, Puffer gefedert, Kegellagerradsätze mit Blattfederung. Als Radsätze werden im Gegensatz zur Bundesbahn Losradsätze verwendet, bei denen sich die Räder unabhängig voneinander bewegen. Das erlaubt das Durchfahren enger Kurven. Bei allen Wagengrößen beträgt der normale Raddurchmesser 350 mm. Die Normspurbreite beträgt 600 mm oder 700 mm. Lokomotiven Verwendung finden elektrische Fahrdraht- oder Batterie-, sowie Diesel-, Druckluft- und Verbundlokomotiven.

K 70

K Fördertechnik

Elektrische Lokomotiven haben meist Gleichstromreihenschlussmotoren (oft ein Motor je Achse), die über eine große Anzugskraft verfügen. Der Fahrdrahtlokomotive wird der Strom über eine Oberleitung zu- und von ihr über die Schienen zurückgeführt. Wegen der nicht vollständig vermeidbaren Funkenbildung am Fahrdraht sind Fahrdrahtlokomotiven für schlagwettergefährdete Gruben nicht geeignet. Batterielokomotiven sind schlagwettergeschützt. Der Fahrbereich der Lokomotiven hängt von der Batteriekapazität ab, die für mindestens eine Schicht ausreichen soll. Verbundlokomotiven besitzen neben der Anlage für Fahrdrahtbetrieb noch eine Batterie. In den Bereichen der Grube, in denen Fahrdrahtbetrieb nicht zulässig ist, wird im Batteriebetrieb gefahren. Auf diese Weise lässt sich die Leistungsfähigkeit der Fahrdrahtlokomotive mit der Schlagwettersicherheit der Batterielokomotive verbinden.

Diesellokomotiven werden durch kompressorlose Diesel-Vorkammermotoren angetrieben. Der verwendete Kraftstoff muss den Bedingungen des Oberbergamts entsprechen. Die Kraftübertragung erfolgt durch Strömungs- und Zahnradgetriebe oder durch stufenlos regelbare hydrostatische Getriebe. Die Auspuffgase müssen aus Sicherheitsgründen durch eine Wasservorlage geleitet werden, wo die Auspuffgase auf 70 ºC abgekühlt werden. Druckluftlokomotiven führen als Energie hochgespannte Druckluft von 160 ... 225 bar in 1 ... 3 Hochdruckflaschen mit sich. Der hohe Druck wird vor der Arbeitsverrichtung durch ein Druckminderventil auf 12 ... 25 bar in der Arbeitsflasche reduziert, wobei durch die Drosselung allerdings ein Teil der Spannungsenergie verloren geht. Die Entspannung erfolgt in zwei- bis dreistufigen Arbeitsturbinen. Da der Fahrbereich der Druckluftlokomotive beschränkt ist, müssen Hochdruckleitungen ins Feld geführt werden. An den Füllstellen wird zweckmäßig in Luftspeicherflaschen ein größerer Druckluftvorrat untergebracht, damit das Füllen beschleunigt wird.

Literatur:

(9) Salzer, G.: Stetigförderer, Band I und II. KrausskopfVerlag, Mainz. (10) Siegel, W.: Pneumatische Förderung. Vogel-Verlag, Würzburg. (11) VDI-Reihe: Materialfluss und Fördertechnik. VDI-Verlag, Düsseldorf. (12) Jünemann, R.: Systemplanung für Stückgutläger. SpringerVerlag, Berlin. (13) Franke, G.: Flurförderzeuge. Hanser- Verlag, München. (14) ABC des Gabelstaplers. VDI-Verlag, Düsseldorf.15) DINTaschenbuch 44. Krane und Hebezeuge 1. (DIN 536 bis DIN 15 030). Normen. (Fördertechnik 1) (16) DIN-Taschenbuch 185 Krane und Hebezeuge 2. (ab DIN 15 049). Normen. (Fördertechnik 2) (17) DIN-Taschenbuch 64. Aufzüge, Stetigförderer, Flurförderzeuge, Lagertechnik. Normen. (Fördertechnik 3) (18) DIN-Taschenbuch 59. Drahtseile

(1) Scheffler, Martin: Grundlagen der Fördertechnik, – Elemente und Triebwerke. Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig / Wiesbaden, 1 994. ISBN 3 – 528 – 06558 – 3. (2) Scheffler, Martin; Feyrer, Klaus; Matthias, Karl: Fördermaschinen, – Hebezeuge, Aufzüge, Flurförderzeuge. Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig / Wiesbaden, 1 998. ISBN 3 – 528 – 06626 – 1. (3) Pfeifer, Heinz; Kabisch, Gerald; Lautner, Hans: Fördertechnik – Konstruktion und Berechnung. Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig / Wiesbaden. 7. Auflage 1998. ISBN 3 – 528 – 64061 – 8. (4) Stahl im Hochbau. Handbuch für Entwurf, Berechnung und Ausführung von Stahlbauten. Verlag Stahleisen mbH., Düsseldorf. (5) Zillich, E.: Fördertechnik, Band 1 – 3. Werner-Verlag, Düsseldorf (6) Aumund, H.: Hebe- und Förderanlagen. Springer-Verlag, Berlin. (7) Hanfstengel, G.: Die Förderung von Massengütern. Springerverlag, Berlin. (8) Meyercordt, W.: Stetigfördererfibel. Verlag Hagemeier, Heidelberg.

Herausgeber der DIN-Taschenbücher: DIN Deutsches Institut für Normung e.V. Vertrieb über Beuth Verlag GmbH Berlin Wien Zürich (19) „Technical documents“ zu verschiedenen Gebieten der Fördertechnik. FEM Fédération Européenne de la Manutention/ Europäische Vereinigung der Förder- und Lagertechnik im VDMA. http://www.fem-eur.com

L Kraft- und Arbeitsmaschinen

1

L Kraft- und Arbeitsmaschinen Wolfgang Böge, Manfred Ristau

Formelzeichen und Einheiten A a B beff c c d f g Ho,Hu H, h h k L Lr l M M m . m . mB n Omin P PH p peff pi Q. Q qr qf r r S

m2, mm2 l kg/h g/kWh

Fläche, Querschnitt Hubverhältnis Kraftstoffverbrauch spezifischer Kraftstoffverbrauch kJ/kgK spezifische Wärmekapazität m/s Wassergeschwindigkeit mm Zylinderdurchmesser l/min Zündfunkenfrequenz Fallbeschleunigung m/s2 kJ/kg Verbrennungswärme, unterer Heizwert m Fallhöhe kJ/kg spezifische Enthalpie Wärmedurchgangskoeffizient kJ/m2 h K Luftbedarf m3/kg kg/m2 h Rostbelastung mm Kanalhöhe, radiale Schaufelhöhe kg/kmol Molekülmasse Nm Motordrehmoment kg Masse, Ladungsmasse kg/s Massenstrom, Ladungsdurchsatz kg/h Brennstoffdurchsatz l Polytropenexponent, Luftüberschusszahl m3/kg Sauerstoffmindestbedarf kW, W Leistung kW/dm3 Hubraumleistung Pa, bar Druck bar effektiver Kolbendruck bar indizierter Druck kJ, J Wärmemenge kJ/s, W, kW Wärmestrom kJ/m2 h Rostwärmebelastung kJ/m3 h Feuerraumwärmebelastung kJ/kg spezifische Verdampfungswärme m, mm Kurbelradius kJ/K Entropie

s s Tc t t

kJ/kgK m, mm K ºC s

u

m/s

V V Vc Vh Vb VH

# #m

cm3 m3/s cm3 cm3 cm3 cm3 m3/kg m/s

w z

m/s l

z

l/min

  " $  eff g m

º kJ/m2 h K º º l l l l

i %  ! ! &c

l l l l kJ/m2 h K l kJ/kg l l l

'

 M M

spezifische Entropie Wanddicke, Kolbenhub Verdichtungsendtemperatur Temperatur Ventilöffnungszeit, Unterbrecherkontakt-Schließzeit Umfangsgeschwindigkeit (Kreisbahn) Volumen Volumenstrom, Durchsatz Verdichtungsraum Zylinderhubraum Verbrennungsraum Motorhubraum spezifisches Volumen mittlere Kolbengeschwindigkeit relative Geschwindigkeit Anzahl, Stückzahl, Zylinderzahl Schmieröl- oder Kühlwasserumlaufzahl Winkel Wärmeübergangskoeffizient Winkel Zündabstandswinkel Wirkungsgrad, Liefergrad Nutzwirkungsgrad Gütegrad mechanischer Motorwirkungsgrad indizierter Wirkungsgrad Adiabatenexponent Verdichtungsverhältnis Luftverhältnis Wärmeleitfähigkeit Ladedruckverhältnis Wärmemengenverbrauch Thomasche Kavitationszahl Düsenreibwert Kanal- oder Schaufelreibwert

L2

L Kraft- und Arbeitsmaschinen

1 Feuerungstechnik

W. Böge

1.1 Brennstoffe Brennstoffe werden fest, flüssig und gasförmig genutzt. Festbrennstoffe werden gefunden als Holz, Torf, Braun- und Steinkohle, Flüssigbrennstoff als Erdöl und Gasbrennstoff als Erdgas. Aus diesen natürlichen Brennstoffen lassen sich durch Veredelung hochwertigere Brennstoffe erzeugen. 1.1.1 Feste Brennstoffe Feste Brennstoffe enthalten neben den brennbaren Elementen Kohlenstoff (C), Wasserstoff (H) und Schwefel (S) die unbrennbaren Ballaststoffe Wasser und Asche. Durch Elementaranalysen, deren Untersuchungsmethoden nach DIN 51 701 bis 51 729 genormt sind, können die brennbaren und unbrennbaren Massenanteile fester Brennstoffe ermittelt werden. Kohle wird im Feuerraum erwärmt. Feuchtigkeit und flüchtige Bestandteile entweichen, wobei sich Form und Zustand des Kohlekörpers verändern. Es entsteht so Schrumpfung, Aufblähung, Zusammenbacken und Kokung. Steinkohlen werden nach dem Gehalt an flüchtigen Bestandteilen im Brennbaren in zehn Klassen unterteilt. Klasse fl. B. %

0 0 ... 3

1 3 ... 10

2 10 ... 14

Benennung

Meta Anthrazit

Anthrazit

Magerkohle

(früher) Klasse fl. B. %

Anthrazit 5 28 ... 33

6 33 ... 41

Benennung (früher)

Mager-

3 4 14 ... 20 20 ... 28 gering- mittelbitumi- bituminöse nöse Kohle Kohle EssFett-

7 33 ... 44

8 9 35 ... 50 42 ... 50

hochbituminöse Kohle Gas-

Gasflammkohle

Bei der Braunkohle unterscheidet man zwischen Rohkohle und Brikett. Briketts sind wasserärmer und aschereicher als Rohbraunkohle.

1.1.2 Flüssige Brennstoffe Das Rohöl (Erdöl, Teer u.a.) wird gereinigt und durch Destillation in Benzine (bis 180 ºC), Leuchtöle (150 bis 300 ºC), Gasöle (300 bis 350 ºC) und Heiz- und Schweröle (über 300 ºC) getrennt. Sie sind Gemische aus Kohlenwasserstoffmolekülen, also Verbindungen der Elemente Kohlenstoff (C) und Wasserstoff (H). Reihen sich die Kohlenstoffatome eines Kohlenwasserstoffmoleküls kettenförmig aneinander, spricht man von Paraffinen (Methan CH4, Äthan C2H6, usw.). Sind dagegen die Kohlenstoffatome eines Moleküls ringförmig angeordnet, wie z.B. beim Benzol C6H6, spricht man von Aromaten (vgl. E Werkstofftechnik, Grundlagen der Kohlenstoffchemie). Große Paraffin- und Aromatenmoleküle werden durch das Cracken in kleinere Moleküle „zerbrochen“. Beim Cracken verarbeitet man vorwiegend mittelschwere und schwere Destillate, z.B. Heizöle, durch Behandlung bei erhöhter Temperatur und erhöhtem Druck zu Benzinen. Flüssige Brennstoffe werden unter Zerstäubung in den Feuerraum eingebracht. Hierfür ist die Dichte und die Zähigkeit des Brennstoffes maßgebend. Durch die Feuerraumwärme wird der zerstäubte Brennstoff verdampft, mit Luft vermischt, gezündet und verbrannt. Kennzeichnend für die Brenneigenschaften flüssiger Brennstoffe sind die Siedeverläufe und die Flammpunkte.

Tabelle 2 zeigt in einer Übersicht die Mittelwerte von Elementanteilen und die Eigenschaften der wichtigsten flüssigen Brennstoffe.

Mittelwerte von Asche- und Feuchtigkeitsgehalt einiger Kohlensorten zeigt Tabelle 1. 1.1.3 Gasförmige Brennstoffe Tabelle 1. Feste Brennstoffe Sorte Anthrazit Magerkohle Esskohle Fettkohle Gas- und Gasflammkohle Koks Braunkohle Brikett

Brennstoff hat Asche % Wasser % 3 ... 06 1 ... 3 8 ... 10 1 ... 3 8 ... 10 1 ... 3 8 ... 10 1 ... 3 8 ... 10 1 ... 3 7 ... 11 3 ... 8 3 ... 08 45 ... 60 5 ... 11 15

Als natürliches Gas wird Erdgas oft bei Erdölbohrungen mit erbohrt. Durch Entgasung wird aus Kohle Schwelgas, Stadtgas und Koksofengas gewonnen. Durch Vergasung von Koks, Halbkoks, Anthrazit, wird je nach Vergasungsmittel Luftgas, Generatorgas und Wassergas hergestellt. Beim Hochofenbetrieb entsteht Gichtgas. Gase sind Mischungen aus Wasserstoff (H), Kohlenoxid (CO), schweren Kohlenwasserstoffen (CnHm), Kohlendioxid (CO2), Sauerstoff (O2) und Stickstoff (N2). Davon ist CO2, O2 und N2 Ballast. Tabelle 3 zeigt die Zusammensetzungen der technisch wichtigsten Gase.

1 Feuerungstechnik

L3

Tabelle 2. Flüssige Brennstoffe

086 014 – – –

Gasöl (Diesel) 87 13 – 2 ... 10 –

Heizöl L (leicht) 86 ...87 13... 14 – 10 ... 17 –

Heizöl M (mittel) 85 ... 87 12 ... 13 1 ... 2 – 20 ... 75

Heizöl S (schwer) 84 ... 88 11 ... 12 1 ... 3 – 80 ... 700

% % % cS t 1) cS t 1)

200 095 020

350 95 55 ...60

300 90 55 ... 70

300 70 ... 85 65 ... 80

300 40 ... 70 65 ... 100

ºC Vol.- % ºC

CO2 – 2 4 5 5 9

(O + N) 2 ... 6 10 4 5 55 58

Benzin Elemente

Zähigkeit

C H O+N bei 20 ºC bei 50 ºC

Siedeverlauf Erwärmung bis: bringt Destillatmenge: Flammpunkt

Die Heizöle M und S erfordern Vorwärmung 1) cSt = Zentistokes (kinematische Viskosität) nach DIN 51 603

Tabelle 3. Gasbrennstoffe Raumprozente Gasart Erdgas Koksofengas Mischgas Wassergas Generatorgas Gichtgas

CO – 5,5 22 40 29 31

H2 – 57 51 50 11 2

CH4 93 ... 96 24 17 – – –

1.2 Verbrennungswärme (Heizwert) und Verbrennungsluft 1.2.1 Verbrennungswärme und unterer Heizwert Die Verbrennungswärme Ho (oberer Heizwert) ist die Wärme (Wärmemenge), die bei einer vollständigen Verbrennung von 1 kg Brennstoff unter Abkühlung der entstehenden Brenngase auf Ausgangstemperatur abgegeben wird. Die Bestimmung der Verbrennungswärmen verschiedener Brennstoffe erfolgt im Kalorimeter. Da jedoch bei der Verbrennung Wasserdampf entsteht, der mit den Abgasen entweicht, muss zur Ermittlung der tatsächlich verwertbaren Wärme die Verbrennungswärme Ho um die Verdampfungswärme r des Wasserdampfes gekürzt werden. Die Verdampfungswärme von 1 kg Wasserdampf bei 20 ºC Bezugstemperatur beträgt r = 2 450 kJ/kg. Hat der Brennstoff h % Wasserstoff, so entstehen daraus bei der Verbrennung 9 h % Wasserdampf und w % Feuchtigkeit (Wasser). Damit ergibt sich der untere Heizwert Hu für feste und flüssige Brennstoffe aus

C2H6 1 ... 4 – – – – –

C2H4 – 1,5 2 – – –

Hu = Ho – r (w + 9 h)

Hu, Ho, r h, w kJ % kg

(1)

Verbrennungswärme Ho und Heizwert Hu gasförmiger Brennstoffe errechnen sich als Summe der Heizwertanteile Hu' der im Gasgemisch enthaltenen Gassorten. Alle Verbrennungswärme- bzw. Heizwertangaben vom Gasen beziehen sich auf das Normvolumen 1 m3 (0 ºC; 1,013 25 bar nach DIN 1343). Damit ergibt sich der untere Heizwert Hu aus Hu = Hu' · CO + Hu' · H2 + ( (Hu' · CnHm) Hu

CO, H2, CnHm

kJ

m3

m3

(2)

m3

Verbrennungswärmen Ho und untere Heizwerte Hu einiger fester, flüssiger und gasförmiger Brennstoffe sind in Tabelle 4 zusammengefasst.

L4

L Kraft- und Arbeitsmaschinen

Tabelle 4. Verbrennungswärme Ho und unterer Heizwert Hu in kJ/kg bzw. kJ/m3 Feste Brennstoffe Anthrazit Magerkohle Esskohle Fettkohle Gasflammkohle Koks Braunkohle Brikett

Ho

Hu 103

33,4 · 32,2 · 103 32,2 · 103 32,1 · 103

103

32,5 · 31,4 · 103 31,2 · 103 31,0 · 103

31,1 · 103 29,9 · 103

Flüssige Brennstoffe Benzin Gasöl (Diesel) Heizöl (leicht) Heizöl (mittel) Heizöl (schwer)

Ho

Hu 103

46,1 · 44,8 · 103 44,8 · 103 44,0 · 103 43,1 · 103

103

43,5 · 41,9 · 103 41,9 · 103 41,0 · 103 39,8 · 103

28,4 · 103 28,1 · 103 10,7 · 103 9,8 · 103 21,4 · 103 20,1 · 103

Gasförmige Brennstoffe Erdgas Koksofengas Mischgas Wassergas Generatorgas Gichtgas

Die Verbrennung ist die vollständige Oxydation der Elemente Kohlenstoff (C), Wasserstoff (H) und Schwefel (S). Die Oxydationsvorgänge werden durch die Verbrennungsgleichungen (3) deutlich gemacht. Die Rechnungen werden über die Mengeneinheit kmol durchgeführt. Die eingesetzten Zahlenwerte stehen für das Molvolumen in m3 bei Gasen bzw. die Atom- oder Molekülgewichte in kg bei festen Stoffen. Für C, S, H2 und O2 gelten abgerundet (vgl. E Werkstofftechnik): Mc = 12 kg; Ms = 32 kg; Mh = 2 kg; Mo = 32 kg; Molvolumen für Sauerstoff VMo = 22,4 m3 S

+ O2

= CO2 ) 12 kg C + 22,4 m3 O2 = 22,4 m3 CO2

+ O2

= SO2 ) 32 kg S

H2 + O

3

3

+ 22,4 m O2 = 22,4 m SO2

(3)

= H2O ) 2 kg H2 + 22,4 m3 O2 = 22,4 m3 H2O

Omin = 1,87 C % + 5,6 H % + 0,7 S % – 0,7 O % 3

m kg

40,2 · 18,8 · 103 17,4 · 103 11,6 · 103 5,2 · 103 4,3 · 103

36,4 · 103 16,7 · 103 15,5 · 103 10,5 · 103 4,9 · 103 4,2 · 103

VMo

Mc, Ms, Mh, Mo

C, H, S, O

m3

kg

%

m3 kg

Lmin = 4,67 · Omin

(4)

Wird als Verbrennungsluft trockene Luft normaler Zusammensetzung mit 21 Vol.-% Sauerstoff vorausgesetzt, ergibt sich für 1 kg Brennstoff der Luftmindestbedarf

(5)

In der Praxis reicht der Luftmindestbedarf zur vollständigen Verbrennung des Brennstoffes nicht aus, da es je nach Verbrennungsart mehr oder weniger schwierig ist, Brennstoff und Verbrennungsluft optimal miteinander zu vermischen. Der Luftmindestbedarf Lmin muss also noch mit der Luftüberschusszahl n multipliziert werden. Dann ergibt sich der tatsächliche Luftbedarf L, Lmin

1 kg C verlangt demnach 22, 4 3 m = 1,87 m3 Sauerstoff 12 1 kg S verlangt demnach 22, 4 3 m = 0,7 m3 Sauerstoff 32 1 kg H verlangt demnach 22, 4 3 m = 5,6 m3 Sauerstoff 4 Damit benötigt 1 kg Brennstoff zur Verbrennung seiner Anteile C %, H %, S % und O % den Sauerstoffmindestbedarf

Omin

Hu 103

Lmin, Omin

1.2.2 Verbrennungsluft

C

Ho

L = Lmin · n

3

m kg

n 1

(6)

Richtwerte für die Luftüberschusszahl n sind bei Handfeuerung n = 1,5 bis 1,8 bei mechanischer Rostfeuerung n = 1,4 bis 1,6 bei Kohlenstaub- und Ölfeuerungen n = 1,2 bis 1,4 bei Gasfeuerung n = 1,1 bis 1,2

1.3 Verbrennungskontrolle Die beste Brennstoffnutzung erfolgt dann, wenn mit dem kleinsten Luftüberschuss alles Brennbare des Brennstoffs vollständig verbrannt wird. Dies erkennt man an den Abgasen. Sie sollen kein brennbares H2oder CO-Gas enthalten. Durch genügend Luftüberschuss wird dies erreicht. Noch größerer Luftüberschuss vergrößert die abziehende Abgasmenge und dadurch auch die darin enthaltene Wärmeenergie. Außerdem sinkt die Verbrennungstemperatur. Man misst die Gasanteile im abziehenden Schornsteingas. Es sollen die CO % und die H2 % Nullwert sein. Bei diesem Nullwerteintritt hat dann der CO2-Gasanteil seinen Größtwert und der Sauerstoffanteil seinen Kleinstwert (kleinster Luftüberschuss) Bei derartiger vollkommener Verbrennung mit Luftüberschuss lässt sich die Zusammensetzung der abziehenden Rauch-

1 Feuerungstechnik

L5

gase aus den Verbrennungsgleichungen und dem Luftbedarf errechnen. Kohle- und Schwefelgehalt des Brennstoffs erzeugen CO2- und SO2-Gas. Ihr Molvo" = 21,89 m3 lumen ist VM' = 22,26 m3 für CO2 und VM für SO2-Gas. Die Feuchtigkeit des Brennstoffs und sein Wasserstoffgehalt erzeugen Wasserdampf, der VMd = 22,4 m3 und Md = 18,016 kg hat. Gebundener Stickstoffgehalt im Brennstoff wird durch die Verbrennung gasförmig frei und hat VMn = 22,4 m3 mit Mn = 28,016 kg. Jedes kg Brennstoff erzeugt bei Vollverbrennung den Rauchgasanteil VM' C% Ac

VR'

CO2

VM'' S% As

SO2

VMn N% Mn

VMd H% Mh

VMd F% Md

N2

 

 

trockenes Rauchgas

Wasserdampf

VR' 3

m kg

VM', VM", VMn, VMd Mc, Ms, Mn, Mh, Md 3

m

(7)

C, S, N, H, F

kg

%

VR , VR' , L, O min m3 kg

Die tragende Rostfläche Ar wird von auswechselbaren Roststäben gebildet. Sie liegen mit Spaltabstand nebeneinander und bilden eine Stabgruppe, mehrere Stabgruppen ergeben den Rost. Durch die Spaltabstände entsteht die Spaltfläche As für die Unterluftzufuhr. Die Roststäbe können Plan- oder Formstäbe sein (siehe Bild 1). Die Spaltlänge beim Formstab ist größer als seine Stablänge, so dass bei kleiner Spaltweite doch ausreichende Spaltfläche entsteht, wodurch feinkörnige Brennstoffe ohne großen Durchfallverlust getragen werden können. Das Spaltverhältnis As/Ar kennzeichnet die Zufuhr der Unterluft. . Auf der Rostfläche Ar werden stündlich mB kg Brennstoff vom Heizwert Hu kJ/kg verbrannt. Die Rostbe. lastung Lr = mB/Ar in kg/m2 h und die Rostwärmebe. lastung qr = mB Hu/Ar in kJ/m2 h kennzeichnen die Leistung einer Rostanlage. 1.4.2 Planrost im Flammrohr

Insgesamt entweicht bei Vollverbrennung je kg Brennstoff das Rauchgasvolumen VR = VR' + L – Omin

1.4.1 Rostanlagen

(8)

Es enthält den überschüssigen Sauerstoff O2 = (n – 1) Omin und den Stickstoffanteil der Luft N2 = 0,79 L in m3/kg. (Genauere Anteile sind: 78,05 % Stickstoff, 0,92 % Argon und 0,03 % Kohlendioxid). Alle Gastanteile können in % vom Rauchgasvolumen VR umgerechnet werden. Da bei Überwachungsmessung der Rauchgase die Gasprobe abkühlt, zeigt die Messung nur die Prozentwerte des trockenen Rauchgases, also ohne den Wasserdampfanteil von VR' . Bei Messung mit dem Orsatapparat wird wegen der gleichzeitigen Absorption des SO2-Gases mit dem CO2-Gas ihr gemeinsamer Prozentanteil vom trockenen Rauchgas gemessen. Sinkt die Temperatur der Heizgase unter den Taupunkt, so schlägt sich der Wasserdampf an den Heizflächen nieder und kann konzentrierte Säurelösungen bei Schwefelgehalt im Brennstoff bilden, die starke Korrosionswirkung zur Folge haben. Deshalb ist die Mindesttemperatur der Heizgase während des Heizganges zu beachten und zu überwachen.

Nach Bild 2 liegen die Stabgruppen im vorderen Teil eines gewellten Flammrohres zwischen der Schürplatte und der Brücke, die den Rost und den Aschenraum nach hinten begrenzt und abschließt. Der Brennstoff wird entweder von Hand oder durch Wurfschaufelmechanik mit Motorantrieb zugeführt. Die Rostbelastung ist 80 bis 100 kg/m2 h und das Spaltverhältnis je nach Brennstoffart 0,2 bis 0,5 m2/m2. Die Rostbreite ist vom Flammrohrdurchmesser abhängig. Es werden nicht mehr als drei Roststabgruppen hintereinander im Flammrohr verbaut.

1.4 Feuerungsarten Die Brennstoffe verbrennen im Feuerraum. Man unterscheidet liegende Verbrennung auf Rostanlagen für stückige Festbrennstoffe oder schwebende Verbrennung bei Kohlenstaub, Öl und Gas.

Bild 1. Roststäbe

L6

L Kraft- und Arbeitsmaschinen 1.4.3 Unterschubrost

Bild 2. Planrost im Flammrohr

Bild 3. Unterschubrost

LuftabschlussSchieber

Bild 4. Gegenschubrost

Er besteht aus Mittel- und Seitenrostflächen. Sie werden von schmalen Rostplatten gebildet, die mit senkrechtem Spaltabstand unter gegenseitiger Stufenüberdeckung liegen. Die waagerechten Luftspalte können weit gebaut werden, große Spaltflächen sind möglich. Nach Bild 3 wird der Brennstoff durch eine Konusschnecke mit Motorantrieb unter die Mittelrostglut geschoben, wo seine Entgasung sofort beginnt. Diese Gase durchströmen mit der zugeführten Brennluft die darüber liegende Glutschicht und werden dadurch sicher gezündet. Durch den nachfolgenden Brennstoffschub quillt der fast entgaste Brennstoff auf die schwach geneigten Seitenrostflächen, wo er schließlich als Koksrest ausbrennt.

1 Feuerungstechnik Die Rostbelastung ist bei Flammrohranlagen ähnlich wie beim Planrost. Bei Anlagen mit größerem Feuerraum kann sie aber je nach Brennstoffart bis zu 250 kg/ m2 h gesteigert werden, weil die waagerechte Luftspaltart großes Spaltverhältnis bis 0,7 m2/m2 und damit große Unterluftzufuhr für dicke Brennstoffschichten zulässt.

1.4.4 Gegenschubrost Ein Gegenschubrost nach Bild 4 besteht aus zwei parallelen Rostplattenreihen. Eine Rostplattenreihe bewegt sich zum Rostende hin, die andere bewegt sich in Gegenrichtung. Der Antrieb erfolgt über bewegliche Rostrahmen, die sich auf Wälzlagern abstützen. Durch die Gegenschubbewegung wird eine sehr gute Schürwirkung erreicht. Der Raum unter dem Rost ist in mehrere, voneinander getrennte Zonen unterteilt, um – je nach Abbrand – mehr oder weniger Verbrennungsluft zugeben zu können. Als Brennstoffe werden Braunkohle, Holzabfälle, Torf oder Müll eingesetzt.

1.4.5 Zonenwanderrost Die Flanken seiner Roststäbe sind gerillt, damit eine große Kühlfläche entsteht. Die Stabgruppen bilden aneinandergekettet ein endloses Band (siehe Bild 5).

Bild 5. Zonenwanderrost

L7 Das Oberband trägt auf Schienen laufend den Brennstoff in den Feuerraum. Ein Motorantrieb wirkt auf die Vorderwelle, deren Kettenräder das Rostband bewegen. Am hinteren Umlenkende des Bandes befindet sich oft keine Welle mit Radkörper, sondern nur eine Umlenkbahn der Laufschienen. Die Stabgruppen klaffen hier auseinander, Schlacken- und Aschenreste fallen ab (u.U. Abklopfer). Das Staupendel am Feuerbahnende staut den Brennstoff und zwingt zum Ausbrand. Der Schuppenwanderrost hat kippbare Rostplatten, die schuppenartig mit Luftspalt einander überdecken. Am Umlenkende kippen sie auseinander und werfen die Rückstände ab. Lange Rostbahnen verlangen Unterluftzufuhr, aufgeteilt in Zonen für unterschiedliche Unterluftmenge, die dem Brennablauf bei der Schichtwanderung angepasst wird. Die einzelnen Zonen werden durch seitlich austragende Transportschnecken von Asche entleert. Auf Wanderrosten können mindere als auch hochwertige Brennstoffe verbrannt werden. Die Rostwärmebelastung beträgt je nach Brennstoffgüte qr = (2,9 bis 5,9) · 109 kJ/m2 h = (0,81 bis 1,64) · 109 W/m2. Für mittel- und hochflüchtige Kohlensorten mit hohem Feinkornanteil werden Wanderrostfeuerungen mit Wurfbeschickung gebaut. Die Wurfbeschickung sorgt bei sonst gleicher Bauweise des Rostes für eine wesentlich größere Laststeigerungsgeschwindigkeit als bei der herkömmlichen Bauweise.

L8 1.4.6 Kohlenstaubfeuerung Der Brennstoffstaub verbrennt schwebend im Feuerraum Vf ohne Rost. Die Feuerraum-Wärmebelastung . qf = mB Hu/Vf in kJ/m3 drückt die Anlageleistung aus. Richtwerte sind qf = (0,63 bis 1,2) 109 kJ/m2 h = (0,18 bis 0,33) 109 W/m2. Der Feuerraum ist mit senkrechten Wasserrohrwänden ausgekleidet, die von der frei brennenden Flamme bestrahlt und nicht berührt werden (vgl. Strahlungskessel). Braunkohle wird nach Bild 6 durch schnellläufige Einblasmühlen (Schlagrad mit Ventilator) gemahlen, durch rückgesaugtes Rauchgas getrocknet (Mahltrocknung), gesichtet, eingeblasen und mit vorgewärmter Zweitluft verbrannt. Zündluftzugabe zur Mühle sichert die Staubzündung beim Eintritt in den Feuerraum. Steinkohle wird ähnlich verarbeitet. Langsame Trommelund Kugelmühlen verlangen stärkere Windleistung für Trägerluft zum Staubtransport. Bei wasserreichem Brennstoff wird in einem Zwischenbunker der Brüden abgesogen, damit das Staub-Luftgemisch zündfähig wird. Die Asche sinkt aus der Flamme teigig (oder als Tropfen) nach unten, wird von den unteren Wasserrohrwänden abgeschreckt und sammelt sich im Aschentrichter des Feuerraums.

L Kraft- und Arbeitsmaschinen rung wird in eine Schmelzkammer tangential eingeblasen, wodurch ein langer Spiralweg der Flamme mit guter Wandberührung entsteht und 80 % flüssige Schlacke bereits hier, der Rest im Fangrost abgeschieden wird. Das Bild 7 zeigt diese Bauart.

Schlackenabfluss Bild. 7. Zyklonfeuerung 1.4.8 Druckölfeuerung Das über Vorwärmer erwärmte Heizöl wird unter Druck der verschiebbaren Drucköllanze zugeführt (Bild 8). Hier wird das Öl vernebelt, mit der Verbrennungsluft verwirbelt und gezündet. Es entsteht ein Feuerwirbel in Form eines Kegelmantels. Die Rauchgase konzentrieren sich im Innern des Wirbels und werden aus dem Feuerraum abgesaugt. 1.4.9 Wirbelschichtfeuerung

Bild 6. Kohlenstaubfeuerung 1.4.7 Schmelzfeuerung Bei hoher Feuerraumtemperatur wird die Schlacke flüssig in einer Schmelzkammer gesammelt. Sie besteht aus bestifteten Wasserrohren mit Schamottenmantel und ist gegen den Hauptfeuerraum durch einen Fangrost aus Stiftrohren abgegrenzt. Die Kammertemperatur liegt über dem Aschenschmelzpunkt, so dass sie hier größtenteils flüssig abgeschieden wird. Am Fangrost bleibt der letzte Rest hängen und tropft in den Schlackensumpf. Bei der Zyklonfeue-

Beim Wirbelschichtverfahren (Bild 9) strömt Verbrennungsluft über eine Verteilerplatte in die Brennkammer und verwirbelt das Bettmaterial aus Kohlenstoff, Asche und Kalkstein. Die Kohlenstoffkonzentration liegt unter 1 %. Im Wirbelbett reagiert der Kohlenstoff der eingebrachten Kohle mit dem Sauerstoff der Verbrennungsluft. Die Temperatur im Wirbelbett wird zwischen 800 ºC und 900 ºC gehalten. In das Wirbelbett tauchen Wärmetauscher ein, die einen großen Teil der frei werdenden Wärme aufnehmen. Konvektive Heizflächen werden nachgeschaltet, um die Rauchgastemperatur zu senken. Als Brennstoffe kommen Kohlenarten geringer Qualität mit hohem Asche- und Schwefelgehalt, Ölschiefer, Petrolkoks und Abfälle in Frage. Durch die niedrige Verbrennungstemperatur entsteht kein Stickoxid (NOx) und die meisten Schadstoffe bleiben in der Achse enthalten. Wird die Luft mit Kohlenstaub durchsetzt, erhält man Kombinationsbrenner für Staub-Öl-Feuerungen. Werden die Rohr- und Düsenquerschnitte für Gasbrennstoff und seinen Betriebsdruck umgestaltet (vergrößert), so arbeitet diese Brennart als Gasbrenner für Gasfeuerungen.

2 Dampferzeugung

L9

Bild 8. Druckölbrenner (VKW)

Bild 9. Wirbelschichtfeuerung

2 Dampferzeugung

W. Böge

Im Dampferzeuger (Dampfkessel) wird Wasser durch die heißen Feuergase auf Siedetemperatur erwärmt und verdampft. Es entsteht Sattdampf, der sich im Dampfraum über dem siedenden Wasser sammelt. Die Siedetemperatur ist vom Druckzustand abhängig. Der eingeschlossene Dampf hat Überdruck und damit Druckenergie.

2.1 Dampfarten Die Vorgänge bei der Dampferzeugung gliedern sich in Wassererwärmung auf Siedetemperatur im Wasservorwärmer, Verdampfung im Kessel und danach Erwärmung über Siedetemperatur im Überhitzer. Die VDI-Wasserdampftafeln geben eine Übersicht der Zusammenhänge von Siededruck, Siedetemperatur,

Wärmeaufwand, Dichte und Wichte von Wasser und Dampf bei der Dampferzeugung. Die Tabelle 1 ist ein Auszug daraus mit abgerundeten Werten. Neben Siededruck und -temperatur ist das spezifische Volumen und der Wärmeinhalt oder die Enthalpie des Sattdampfes angegeben. Dieser Wärmeinhalt enthält die Wasserwärme h' und die Verdampfwärme r. Sattdampf hat die Enthalpie h" = h' + r in kJ/kg. Meist durchströmt der erzeugte Sattdampf die beheizten Rohre eines Überhitzers, wo er bei gleichbleibendem Druck über Siedetemperatur erwärmt und als überhitzter Dampf oder Heißdampf entnommen wird. Sein Wärmeinhalt ist um hü auf den Wert hh = h" + hü angestiegen. Diese Werte sind in den VDI-Tafeln enthalten und auch in Tabelle 1 aufgeführt. Bei Wärmeverlust wird Sattdampf durch Teilkondensation seiner Moleküle feucht und heißt dann Nassdampf. Dies geschieht meist bei gleichbleibendem Druck ohne Temperaturveränderung. Ist pro kg Sattdampf der Wärmeverlust hv, so hat der entstandene Nassdampf die Enthalpie hn = h" – hv in kJ/kg. Die Wärmemenge hv wurde der Verdampfwärme r entzogen. Also ist der Feuchtigkeitsanteil im Dampf f = hv/r oder in Prozent ausgedrückt: f % = (hv/r) 100.

2.2 Kesselwirkungsgrad, Verdampfziffer Verarbeitet eine Kesselfeuerung den Brennstoff. durchsatz mB in kg/s und hat der Brennstoff den unteren Heizwert Hu in kJ/kg, so entsteht die Feuerwärme . mB · Hu in kJ/s (kW). Sie erzeugt aus Wasser vorn Wärmeinhalt hw die . Dampfmenge mD in kg/s bei dem Betriebsdruck p in bar meist als Heißdampf vom Wärmeinhalt hh. Damit . wird der Anlage die Nutzwärme mD (hh – hw) in kJ/s (kW) entnommen. Aus dem Verhältnis Nutzen/Aufwand erhält man den Kesselwirkungsgrad

2 Dampferzeugung

L9

Bild 8. Druckölbrenner (VKW)

Bild 9. Wirbelschichtfeuerung

2 Dampferzeugung

W. Böge

Im Dampferzeuger (Dampfkessel) wird Wasser durch die heißen Feuergase auf Siedetemperatur erwärmt und verdampft. Es entsteht Sattdampf, der sich im Dampfraum über dem siedenden Wasser sammelt. Die Siedetemperatur ist vom Druckzustand abhängig. Der eingeschlossene Dampf hat Überdruck und damit Druckenergie.

2.1 Dampfarten Die Vorgänge bei der Dampferzeugung gliedern sich in Wassererwärmung auf Siedetemperatur im Wasservorwärmer, Verdampfung im Kessel und danach Erwärmung über Siedetemperatur im Überhitzer. Die VDI-Wasserdampftafeln geben eine Übersicht der Zusammenhänge von Siededruck, Siedetemperatur,

Wärmeaufwand, Dichte und Wichte von Wasser und Dampf bei der Dampferzeugung. Die Tabelle 1 ist ein Auszug daraus mit abgerundeten Werten. Neben Siededruck und -temperatur ist das spezifische Volumen und der Wärmeinhalt oder die Enthalpie des Sattdampfes angegeben. Dieser Wärmeinhalt enthält die Wasserwärme h' und die Verdampfwärme r. Sattdampf hat die Enthalpie h" = h' + r in kJ/kg. Meist durchströmt der erzeugte Sattdampf die beheizten Rohre eines Überhitzers, wo er bei gleichbleibendem Druck über Siedetemperatur erwärmt und als überhitzter Dampf oder Heißdampf entnommen wird. Sein Wärmeinhalt ist um hü auf den Wert hh = h" + hü angestiegen. Diese Werte sind in den VDI-Tafeln enthalten und auch in Tabelle 1 aufgeführt. Bei Wärmeverlust wird Sattdampf durch Teilkondensation seiner Moleküle feucht und heißt dann Nassdampf. Dies geschieht meist bei gleichbleibendem Druck ohne Temperaturveränderung. Ist pro kg Sattdampf der Wärmeverlust hv, so hat der entstandene Nassdampf die Enthalpie hn = h" – hv in kJ/kg. Die Wärmemenge hv wurde der Verdampfwärme r entzogen. Also ist der Feuchtigkeitsanteil im Dampf f = hv/r oder in Prozent ausgedrückt: f % = (hv/r) 100.

2.2 Kesselwirkungsgrad, Verdampfziffer Verarbeitet eine Kesselfeuerung den Brennstoff. durchsatz mB in kg/s und hat der Brennstoff den unteren Heizwert Hu in kJ/kg, so entsteht die Feuerwärme . mB · Hu in kJ/s (kW). Sie erzeugt aus Wasser vorn Wärmeinhalt hw die . Dampfmenge mD in kg/s bei dem Betriebsdruck p in bar meist als Heißdampf vom Wärmeinhalt hh. Damit . wird der Anlage die Nutzwärme mD (hh – hw) in kJ/s (kW) entnommen. Aus dem Verhältnis Nutzen/Aufwand erhält man den Kesselwirkungsgrad

L 10

L Kraft- und Arbeitsmaschinen

K

m D (hh  hw ) m B H u

. . mB, mD

hh, hw

K

kg s

kJ kg

1

(1)

Darunter versteht man Sattdampferzeugung bei 1 bar Betriebsdruck aus Eiswasser von 0 ºC mit dem Wärmeinhalt h" = 2 675 kJ/kg. Wird diese Dampfart erzeugt, so ergibt das die Nettoverdampfziffer . . dN = mDN / mB. Jedes kg Brennstoff erzeugt die Nutzwärme d (hh – hw) = dN · 2 675; also gilt auch als Wirkungsgrad

Die pro kg Brennstoff erzeugte Dampfmenge ist die . . Bruttoverdampfziffer d = mD / mB der Anlage. Sie kennzeichnet die Betriebsart unter bestimmten Betriebsbedingungen. Zum Vergleich der Anlagen untereinander wird auf Normaldampfbetrieb bezogen.

K

d (hh  hw ) d N 2 675

Hu Hu

Tabelle 1. Dampftafel (Auszug)

p bar

t ºC

Sattdampf h' r h" kJ/Kg kJ/kg kJ/kg

v" m3/kg

Heißdampf (hh in k J/kg) 250 ºC 290 ºC 330 ºC 370 ºC 400 ºC 400 ºC 440 ºC 460 ºC 480 ºC 500 ºC

1

99,1 1415 2 257 2 675 1,725

2973

3 052 3 132 3 211 3 274 3 316 3 358 4 000 3 442 3 483

2

120

1502 2 202 2 705 0,902

2968

3 048 3 128 3 211 3 274 3 312 3 354 4 000 3 442 3 483

3

133

1557 2 165 2 721 0,617

2964

3 048 3 128 3 207 3 270 3 312 3 354 3 396 3 437 3 483

4

143

1599 2 135 2 734 0,471

2964

3 044 3 123 3 207 3 270 3 312 3 354 3 396 3 437 3 479

5

151

1636 2 110 2 747 0,382

2960

3 040 3 123 3 207 3 266 3 308 3 349 3 396 3 437 3 479

6

158

1666 2 089 2 755 0,321

2956

3 040 3 119 3 203 3 266 3 308 3 349 3 391 3 437 3 479

7

164

1691 2 068 2 759 0,278

2952

3 035 3 119 3 203 3 266 3 308 3 349 3 391 3 433 3 479

8

170

1716 2 051 2 768 0,245

2948

3 031 3 115 3 199 3 262 3 303 3 349 3 391 3 433 3 475

9

175

1737 2 035 2 772 0,219

2948

3 031 3 115 3 199 3 262 3 303 3 345 3 387 3 433 3 475

10

179

1759 2 018 2 776 0,198

2943

3 027 3 111 3 195 3 257 3 303 3 345 3 387 3 429 3 475

11

183

1779 2 001 2 780 0,181

2939

3 023 3 111 3 195 3 257 3 299 3 345 3 387 3 429 3 475

14

194

1825 1 964 2 788 0,144

2927

3 014 3 102 3 190 3 253 3 295 3 341 3 383 3 425 3 471

21

214

1917 1 884 2 801 0,096 8

2901

2 998 3 086 3 178 3 241 3 287 3 329 3 375 3 416 3 463

26

225

1963 1 838 2 801 0,078 5

2885

2 981 3 077 3 165 3 232 3 278 3 324 3 366 3 412 3 458

30

233

1005 1 800 2 805 0,068 0

2860

2 968 3 065 3 161 3 228 3 274 3 316 3 362 3 408 3 454

35

241

1 043 1 758 2 801 0,058 2

2834

2 952 3 056 3 149 3 220 3 266 3 312 3 358 3 404 3 446

40

249

1 080 1 721 2 801 0,050 8

–

2 931 3 040 3 156 3 211 3 257 3 303 3 349 3 395 3 442

50

263

1 147 1 645 2 793 0,040 2

–

2 897 3 015 3 119 3 195 3 241 3 291 3 337 3 383 3 433

60

274

1 206 1 578 2 784 0,033 1

–

2 847 2 985 3 098 3 174 3 228 3 278 3 324 3 370 3 421

70

284

1 260 1 511 2 772 0,027 9

–

2 800 2 956 3 077 3 157 3 211 3 262 3 312 3 362 3 408

80

294

1 311 1 449 2 759 0,024 0

–

–

2 918 3 052 3 140 3 195 3 245 3 295 3 349 3 396

90

302

1 357 1 390 2 747 0,021 0

–

–

2 885 3 027 3 119 3 178 3 232 3 283 3 337 3 387

100

310

1 398 1 327 2 726 0,018 5

–

–

2839 3 002 3 098 3 161 3 216 3 270 3 324 3 375

150

341

1 599 1 017 2 617 0,010 7

–

–

–

2 839 2 981 3 061 3 132 3 195 3 257 3 316

200

364

1 809

–

–

–

2 554 2 835 2 939 3 031 3 111 3 182 3 253

632 2 441 0,0062

2 Dampferzeugung

L 11

2.3 Heizteile Dampferzeugung aus Wasser gliedert sich in Wassererwärmung, Verdampfung und Überhitzung. Deshalb ist eine Kesselanlage in mehrere Heizteile aufgeteilt. Der Wasservorwärmer erwärmt das Wasser auf fast Siedetemperatur. Er besteht aus Blöcken in Reihe geschalteter Wasserrohre mit oder ohne Rippen, durch die das Wasser gegen Betriebsdruck gepumpt wird und die von außen durch die Feuergase turbulent berührt und beheizt werden. Bild 1 zeigt ein Baubeispiel.

Bild 3. Luftvorwärmer

2.4 Wärmeaustausch

Bild 1. Wasservorwärmer Im Verdampfer, der Hauptheizfläche, wird das Wasser unter Betriebsdruck bei Siedetemperatur verdampft und der Dampf im Dampfraum gesammelt. Im Überhitzer wird der entstandene Sattdampf auf Heißdampftemperatur erwärmt. Er besteht aus Gruppen paralleler Rohrschlangen, wie Bild 2 als Baubeispiel zeigt. Sie werden vom Dampf durchströmt und durch die Feuergase beheizt. Verdampfer und Überhitzer werden je nach Feuerungsanlage mit Berührungs- oder Strahlungsheizung betrieben.

Energie (Wärme) kann durch Wärmeleitung, Wärmeübergang oder Wärmestrahlung übertragen werden. Wärmeleitung kennzeichnet den Energietransport (Wärmestrom) innerhalb eines Stoffes mit unterschiedlichen Temperaturen (vgl. F Thermodynamik). Wärmeleitfähigkeit ! in W / (m · K) für einige feste, flüssige und gasförmige Stoffe siehe F Thermodynamik. Wärmeübergang kennzeichnet den Energietransport zwischen verschiedenen Stoffen mit unterschiedlichen Temperaturen (vgl. F Thermodynamik). Wärmeübergangskoeffizienten  in J/hm2 K und in W / (m2 · K) für Dampferzeuger bei normalen Betriebsbedingungen sind in Tabelle 2 zusammengefasst. Tabelle 2. Wärmeübergangskoeffizienten 

Wasservorwärmer: zwischen Feuergas und Rohrwand zwischen Rohrwand und Wasser

Bild 2. Dampfüberhitzer Der Luftvorwärmer nutzt den letzten Teil der Feuerwärme aus und erwärmt die Brennluft. Er besteht meist aus Gruppen paralleler Blechkanäle von schmalem Rechteckquerschnitt, die mit Berührungsheizung unter Kreuzströmung von Luft und Feuergas betrieben werden. Bild 3 zeigt als Beispiel den Plattenlufterhitzer.

J

W

h m2K

m 2K

6,3 ... 12,6 · 104

17,5 ... 35

2,1 ... 3,3 · 107

5 830 ... 9 170

Verdampfer: zwischen Feuergas und 8,4 ... 20,9 · 104 23 ... 58 Wand zwischen Wand und Wasser 2,1 ... 4,2 · 107 5 830 ... 11 700 Überhitzer: zwischen Rohrwand und Feuergas 12,6 ... 20,9 · 104 35 ... 58 oder Dampf Lufterhitzer: zwischen Blechwand und Luft oder Feuergas

4,2 ... 8,4 · 104

12 ... 23

Weitere Mittelwerte für den Wärmeübergangskoeffizienten  siehe F Thermodynamik. Wärmedurchgang kennzeichnet den Energietransport von durch Wände getrennten Flüssigkeiten oder Gasen unterschiedlicher Temperatur. Bei Heizwand-

L 12

L Kraft- und Arbeitsmaschinen

oberflächen als Trennwände wird die Energie zwischen dem Heiz- und dem Wärmgut durch Wärmeleitung und Wärmeübergang transportiert (vgl. F Thermodynamik). Wärmedurchgangskoeffizient k wird aus dem Wärmeübergangskoeffizienten  und der Wärmeleitfähigkeit ! bestimmt. Mit der Dicke s für eine einschichtige, ebene Trennwand wird k:

k

1

k, 

!

s

s 1 1 !  2

J h m2K

J hmK

m

1

(2)

Sind die Heizwände auf der Heizseite durch Asche, Flugkoks und Ruß oder auf der Wasser- bzw. Dampfseite durch Kesselstein verschmutzt, treten mehrere Leitvorgänge auf. Der Wärmedurchgang wird schlechter als bei reiner (einschichtiger) Heizwand, weil nun die Energie durch mehrere Wandschichten transportiert werden muss und Ruß, Kohle und Kesselstein schlechte Wärmeleiter sind. Für mehrschichtige Trennwände wird k = 1/(1/1 + 1/2 + ( s/!).

Die Teilwärmeleistungen errechnen sich aus . Q VW = mD (h' – hw) . Q V = mD r . Q Ü = mD (hh – h") Q VW , Q V , Q Ü

h', h", hw, hh, r

. mD

kJ = kW s

kJ kg

kg s

(4)

2.5 Kesselbauarten Von den heute noch häufig anzutreffenden Großwasserraum-Kesseln wie den Flammrohr-, Heizrohr- und Rauchrohrkesseln wird nur noch der Dreizugkessel als Kombination aus Flamm- und Rauchrohrkessel gebaut. Daneben kommen Naturumlauf- und Zwangsumlaufkessel zur Anwendung. Die wichtigsten Bauformen sind:

Tabelle 3. Wärmedurchgangskoeffizient k J

W

h m2K

2.5.1 Dreizugkessel

m2K

4,1 ... 12,6 · 104

11,4 ... 35

Verdampferheizfläche 8,4 ... 20,9 · 104 Überhitzer 8,4 ... 25,1 · 104

23,3 ... 58

Wasservorwärmer

23,3 ... 69,7

Die Größe der Heizflächen eines Dampferzeugers lässt sich aus der Wärmeleistung Q (Wärmemenge/Zeit), dem Wärmedurchgangskoeffizienten k und der Temperaturdifferenz  t errechnen. Die Heizfläche A ergibt sich aus der Gleichung:

A=

Q k t

A

Q

m2

kW

t

k J 2

hm K

;

W m 2K

K (3)

Die gesamte Wärmeleistung teilt sich auf in die Wasservorwärmleistung Q VW , die Verdampferwärmeleistung Q V und die Überhitzerwärmeleistung Q Ü .

Der Dreizugkessel (Bild 4) setzt sich zusammen aus dem Grundrahmen mit Kesselstühlen, Öl- oder Gasbrenner mit Verbrennungsluftgebläse, Flammrohren und Rauchrohren, hinterer und vorderer Wendekammer und dem Überhitzer. Das Flammrohr als Brennkammer hat gewellte oder glatte Rohre und eignet sich gut zum Einbau von Drucköl- oder Gasbrennern. Es ist im unteren Teil des Wasserraumes untergebracht. Dadurch werden Wärmeaustausch und Wasserumlauf gefördert. Kesselleistungen über 9 MW erfordern den Einbau von zwei Flammrohren. In der hinteren Wendekammer werden die Rauchgase umgelenkt und auf die Rauchrohre des zweiten Kesselzuges verteilt. Das Gleiche geschieht in der vorderen Wendekammer, die die Rauchgase vom zweiten in den dritten Kesselzug umleitet. Im Überhitzer wird die vom Betriebsdruck abhängige Sattdampftemperatur bis auf maximal 450 ºC erhöht. Die Lage des Verdichters richtet sich nach der erforderlichen Dampftemperatur. Möglich ist der Einbau des Überhitzers in der vorderen Wendekammer, in einem vergrößerten Rauchrohr des zweiten Kesselzuges (Bypass-Überhitzer) oder direkt hinter dem Flammrohr. Dreizugkessel werden eingesetzt zur Erzeugung von Warm- oder Heißwasser und in Heizkraftwerken zur Erzeugung von Heißdampf.

2 Dampferzeugung

L 13

Vordere Wendekammer Kesselkörper Rauchgasaustritt Rauchrohre

Flammrohr

Hintere Wendekammer Isolierung Kesselstühle Grundrahmen

Bild 4. Dreizugkessel (Omnical)

2.5.2 Naturumlauf-Dampferzeuger

Bei dem natürlichen Umlauf des Wassers bilden sich in den beheizten Siederohren Dampfblasen. Die Dichte des Wasser-Dampfgemisches sinkt gegenüber der Wasserdichte in den Fallrohren. Deshalb entsteht am unteren Ende der Fallrohre ein Überdruck, der das Wasser-Dampfgemisch in den Siederohren nach oben drückt. 2.5.2.1 Steilrohrkessel. Die Wasserrohre münden in eine Obertrommel, in der sich der aufsteigende Dampf sammelt und in eine unbeheizte, durch das Wasser der Fallrohre gefüllte Untertrommel (Bild 5). Überhitzer-, Wasser- und Luftvorwärmer liegen in den Temperaturzonen der Brenngase. Die Trommeln sind unbeheizt, aber gegen Wärmeverlust isoliert. 2.5.2.2 Strahlungskessel. Der Feuerraum ergibt durch großflächige Rostanlagen eine starke Strahlungswirkung. Deshalb wird er mit Wasserrohrwänden ausgekleidet, die, wie die nachgeschalteten Verdampferheizflächen des Strahlraumes, ihre Wärme hauptsächlich durch Strahlung aufnehmen. Der Überhitzer wird als Strahlungs- und Berührungsheizteil ausgeführt. Dazwischen ist eine Wassereinspritzung zur Temperaturregelung des Heißdampfes vorgesehen. Strahlungskessel werden als Einzug-, Eineinhalbzugund Zweizugdampferzeuger gebaut.

Bild 5. Steilrohrkessel

Bei Zweizugdampferzeugern (Bild 6) befindet sich der Rauchgasaustritt unten. Sie benötigen mehr Platz als Einzugdampferzeuger, bauen jedoch niedriger. Naturumlauf-Dampferzeuger erreichen Dampfleistungen bis zu 380 kg/s bei Dampfdrücken bis zu 195 bar. Als Brennstoffe werden Steinkohle, Braunkohle, Gicht- und Erdgas und Schweröl eingesetzt.

L 14

L Kraft- und Arbeitsmaschinen

Bild 6. Naturumlaufkessel mit Schwerölfeuerung (VKW) 1 Ölbrenner 2 Strahlteil 3 Kesseltrommel 4 Schottenüberhitzer 5 Endüberhitzer 6 Vorüberhitzer 7 Speisewasservorwärmer 8 Wassereintritt 9 Heißdampfaustritt 10 Einspritzkühler 11 Frischluftgebläse 12 Regenerativluftüberhitzer

2.5.3 Zwangsdurchlauf-Dampferzeuger

Bei einem Dampfdruck über 100 bar wird der Unterschied zwischen Dampf- und Wasserdichte so gering, dass der natürliche Wasserkreislauf träge wird. Dann werden Umlaufpumpen zwischen die Fall- und Steigrohre gesetzt, die das Wasser durch die Steigrohre pumpen. Nun können auch engere Wasserrohre (32 mm Innendurchmesser) verwendet werden. Steigrohre können in starken Windungen auf- und abwärtsgeführt werden. Man spricht dann von einer Mäanderbandwicklung. Die bekannteste Bauart ist der Bensonkessel (Bild 7). Er hat keine Dampfscheidetrommel, sondern man

schaltet nach dem strahlungsbeheizten Verdampfer einen Nachverdampfer in den Kreislauf, der vor der Dampfüberhitzung liegt. Die Speisepumpen drücken das Kondensat durch den Wasservorwärmer zum Verdampfer bis zum Nachverdampfer. Die Pumpen arbeiten gegen den Betriebsdruck und müssen auch die beträchtlichen Strömungswiderstände überwinden. Da bei Dampflastabnahme die Strömung in allen Heizteilen abnimmt, muss die Heizwärme durch Brennstoffregelung angepasst werden. Bensonkessel erreichen Dampfleistungen bis 550 kg/s und Dampfdrücke von 220 bar. Die Brennstoffe entsprechen denen der Feuerungen von Naturumlaufkesseln.

2 Dampferzeugung

Bild 7. Bensonkessel mit Schwerölfeuerung (VKW) 1 Druckölbrenner 2 Verdampfer 3 Vorüberhitzer 4 Endüberhitzer 5 Vorüberhitzer 6 Speisewasservorwärmer 7 Luftvorwärmer 8 Frischluftgebläse 9 Einspritzkühler 10 Kamin 11 Feuerraumboden

L 15

L 16

L Kraft- und Arbeitsmaschinen

Bild 8. Müllverbrennungsanlage Hameln (VKW)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Fahrzeugschleuse Sperrmüllschere Müllbunker Müllkran Müllaufgabetrichter Walzenrost Dampferzeuger Entschlacker Aschebunker Saugzug Elektro-Entstauber

2.5.4 Dampferzeugung durch Müllverbrennung Der Abfall wird auf Rostfeuerungen (Walzen- oder Treppenroste) verbrannt. Die starke Verschmutzung der Roste wird durch große Ausbrandräume vermindert. Der Dampferzeuger im Bild 8 ist ein SteilrohrStrahlrohrkessel mit natürlichem Wasserumlauf. Die Dampfleistung der Anlage beträgt 8 kg/s bei einem Dampfdruck von 49 bar und einer Dampftemperatur von 450 ºC. Der erzeugte Dampf von Müllverbrennungsanlagen wird meistens in das Dampfnetz von Kraftwerken eingespeist.

3 Dampfturbinen

W. Böge

3.1 Erzeugung der kinetischen Energie 3.1.1 Dampfgeschwindigkeit Der im Dampferzeuger unter Druck stehende Dampf besitzt potentielle Energie. Dieser Dampf strömt unter Druckminderung durch düsenförmige Leiteinrichtungen, wobei die potentielle Energie des Dampfes in kinetische Energie umgesetzt wird. Die Druckminderung von p1 auf p2 entspricht einer Enthalpieänderung von  h = h1 – h2 in kJ/kg. Aus

L 16

L Kraft- und Arbeitsmaschinen

Bild 8. Müllverbrennungsanlage Hameln (VKW)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Fahrzeugschleuse Sperrmüllschere Müllbunker Müllkran Müllaufgabetrichter Walzenrost Dampferzeuger Entschlacker Aschebunker Saugzug Elektro-Entstauber

2.5.4 Dampferzeugung durch Müllverbrennung Der Abfall wird auf Rostfeuerungen (Walzen- oder Treppenroste) verbrannt. Die starke Verschmutzung der Roste wird durch große Ausbrandräume vermindert. Der Dampferzeuger im Bild 8 ist ein SteilrohrStrahlrohrkessel mit natürlichem Wasserumlauf. Die Dampfleistung der Anlage beträgt 8 kg/s bei einem Dampfdruck von 49 bar und einer Dampftemperatur von 450 ºC. Der erzeugte Dampf von Müllverbrennungsanlagen wird meistens in das Dampfnetz von Kraftwerken eingespeist.

3 Dampfturbinen

W. Böge

3.1 Erzeugung der kinetischen Energie 3.1.1 Dampfgeschwindigkeit Der im Dampferzeuger unter Druck stehende Dampf besitzt potentielle Energie. Dieser Dampf strömt unter Druckminderung durch düsenförmige Leiteinrichtungen, wobei die potentielle Energie des Dampfes in kinetische Energie umgesetzt wird. Die Druckminderung von p1 auf p2 entspricht einer Enthalpieänderung von  h = h1 – h2 in kJ/kg. Aus

3 Dampfturbinen

L 17

der Beziehung Epot = Ekin erhält man mit m = 1 kg

die Gleichung  h = c2s /2 und daraus die theoretische Dampfgeschwindigkeit am Düsenaustritt

cs = 2  h in m/s. Die Reibung des Dampfes an den Düsenwandungen verringert die Dampfgeschwindigkeit. Düsenreibzahl M = 0,93 bis 0,98. Zusammengefasst wirkt am Düsenaustritt die Dampfgeschwindigkeit

c c = M 2 h

h

Nm m 2 m J

2 s kg kg s

M 1

(1)

3.1.2 Kritisches Druckgefälle

Solange die Dampfströmung in der Düse nicht die Schallgeschwindigkeit für Dampf erreicht, darf der Düsenkanal stetige Querschnittsverkleinerung bis zum Dampfaustritt aufweisen, wie im Bild 2 für Einfachdüsen dargestellt ist. Bei großem Energiegefälle wird aber die Schallgrenze überschritten. Dann muss eine erweiterte Düse (Lavaldüse) angewandt werden, deren Erweiterungswinkel höchstens 10º sein soll (siehe Bild 2, Lavaldüse). Bis zum engsten Querschnitt Amin wird das kritische Druckverhältnis pk/p1 verarbeitet und danach im Erweiterungsteil das restliche Druckgefälle von pk auf p2. Das kritische Druckverhältnis ist für Heißdampf 0,546 und für Sattdampf 0,577. Man erkennt, dass Lavaldüsen nötig sind, wenn das verarbeitete Druckverhältnis p1/p2 bei Heißdampf größer als 1,83 ist.

Bild 2. Düsenarten

3.1.3 Düsenquerschnitt

Bild 1. Energiegefälle  h

Die Enthalpiewerte h1 und h2 entnimmt man der Dampftafel (L10, Tabelle 1), nämlich h1 für p1, T1 % 1

und h2 für p2, T2 = T1 (p1/p2) % . Einfacher wird das Energiegefälle  h aus der Entropietafel (Tabelle 1) als Differenz zwischen den beiden Drucklinien p1 und p2 abgelesen, beginnend mit der Temperatur t1 und dem Druck p1 wie auch Bild 1 zeigt. Die Dampfreibung innerhalb der Düse bedeutet Erwärmung und damit Entropiezunahme des Dampfes, wodurch sich die Enthalpiedifferenz  h um hr = (1 – M 2)  h verkleinert und das Nutzgefälle  hc = (M 2  h) ist (Bild 1).

Düsenkanäle haben meist Rechteckquerschnitt und werden nebeneinander als Düsensegment in die Gehäusewand der Turbine vor dem Laufrad eingebaut. Das Bild 3 lässt erkennen, wie die mittlere Bogenstrecke B des Segmentes durch z Kanäle in die Teilungsstrecke t = B/z aufgeteilt ist. Der Dampfeintritt in die Kanäle erfolgt unter 90º zur Gehäusewand (... axial). Die Kanalverengung entsteht durch Abwinkelung der Kanalwände auf den Austrittswinkel 1 (15º bis 22º). Unter diesem Winkel strömt der Dampf gegen die Schaufeln des Laufrades. Er gilt daher auch als Zuströmwinkel 1. Mit der Kanalwanddicke s entsteht am Düsenende die Austrittweite ba = t sin 1 – s. Bei einer Kanalhöhe l ergeben z Düsenkanäle den Austrittsquerschnitt

A = l ba z

A

l, ba

z

mm2

mm

1

(2)

L 18 Tabelle 1. Entropietafel für Wasserdampf

L Kraft- und Arbeitsmaschinen

3 Dampfturbinen

L 19

Anpressbogen

Bild 3. Einfachdüsensegment

Bild 4. Lavaldüsensegment (dreiteilig)

3.1.4 Düsenbauart

Düsensegmente werden gegossen oder bei großem Druckgefälle aus Düsenbogen, Deckbogen und Anpressbogen zusammengebaut. Im Düsenbogen sind die Kanäle aus dem Vollen herausgefräst, so dass die Kanalwände stehen bleiben, die der Deckbogen abdeckt. Düsen- und Deckbogen werden in die Gehäusewand vom Anpressbogen durch Pressschrauben dampfdicht eingebaut. Das Bild 4 zeigt diese Bauart als Lavaldüsen mit Kleinstweite bmin und dem Erweiterungswinkel. Da Düsensegmente nur einen Teil des Laufradumfangs mit Dampf beströmen, spricht man von Teilbeaufschlagung. Ihr Nachteil ist, dass die nicht beströmten Schaufeln den Umgebungsdampf verwirbeln und Verlustarbeit entsteht (Ventilationsverluste). Wenn irgend möglich, sollen Laufräder vollbeaufschlagte Dampfströmung erhalten. Erreichbar ist dies, indem sich mehrere Einzelbögen zum Vollumfang ergänzen, beispielsweise durch acht Einzelbögen zu je 45º Bogenwinkel. Bei unterkritischem Druckgefälle sind Einfachdüsen auf dem Vollumfang angeordnet, die dann auch Leitkanäle in den Zwischenböden mehrstufiger Turbinen genannt werden (vgl. Zoellyturbinen). Als Kanalwände dienen hier eingegossene Ni-StBleche zwischen Innen- und Außenring des Zwischenbodens oder eingesetzte Profilschaufeln mit Fuß. Um bei der Endmontage die Turbinenwelle mit den Laufrädern einlegen zu können, werden alle vollbeaufschlagten Düsenwände und Zwischenböden zweiteilig ausgeführt und in die beiden Gehäusehälften der Turbine eingebaut. 3.1.5 Dampfdurchsatz

Der Austrittsquerschnitt bestimmt mit der Dampfgeschwindigkeit .das sekundlich durchströmende Dampfvolumen V = A c1 in m3/s. Hat der Dampf beim Ausströmdruck p2 das spezifische Volumen #, so ist . die sekundlich verarbeitete Dampfmasse mD = Vs/# in kg/s. Man erhält pro Stunde den Dampfdurchsatz

m Dh

3 600 A c1

υ

. mDh

A

c1

#

kg h

m2

m s

m3 kg

(3)

3.2 Nutzung der kinetischen Energie Der aus den Düsen austretende Dampf strömt auf die Schaufeln des Laufrades. Die Schaufeln bilden gekrümmte Kanäle mit konstanter Kanalweite, in denen die durchströmende Dampfmasse abgelenkt wird. Um konstante Kanalweite zu erhalten, werden Profilschaufeln verwendet, wie es in Bild 5 dargestellt ist. Der erzeugte Ablenkdruck wirkt als Triebkraft F am Radumfang und treibt die Radschaufeln mit der Umlaufgeschwindigkeit u an, wodurch sich die Triebleistung P = Fu ergibt. Der Druckzustand des Dampfes ist vor und hinter dem Laufrad gleich groß. Das Laufrad arbeitet als Gleichdruckrad, die Turbine gilt als Gleichdruckturbine. Der im Bild 5 aufgezeigte Geschwindigkeitsverlauf der Dampfströmung im Radkanal lässt die Energienutzung erkennen. 3.2.1 Dampfeintritt

Vor dem Radkanal hat der Dampf die Geschwindigkeit c1 und den Zuströmwinkel 1 zur Umlaufrichtung der Radkanäle, deren Eintrittskanten (Schaufelkanten) die Umlaufgeschwindigkeit u haben. Aus beiden Geschwindigkeiten ergibt sich die relative Geschwindigkeit w1 unter dem Richtungswinkel "1, die der Dampf gegenüber der umlaufenden Eintrittskante des Radkanals hat. Die Kanalwand (Schaufelwand) muss baumäßig diesen Richtungswinkel "1 am Kanalanfang haben, damit der Dampf ohne Strömungsstörung an die Wand mit w1 angleitet und stoßfreier Dampfeintritt in den Radkanal erfolgt.

L 20

L Kraft- und Arbeitsmaschinen Tabelle 2. Schaufelbeiwerte

3.2.3 Triebkraft und Leistung am Radumfang

Die Geschwindigkeiten am Ein- und Austritt des Radkanals zeigen zwei Geschwindigkeitsdreiecke, die zusammengefasst den Geschwindigkeitsplan der Energienutzung ergeben, der im Bild 6 dargestellt ist, wobei oft beide Dreiecke nebeneinander gezeichnet werden. Betrachtet man in diesem Plan die Komponenten der Dampfströmung in Radlaufrichtung, so ist vor Radkanal c1u = c1 cos 1 und nachher c2u = c2 cos 2 als Komponente zu erkennen. Die in Radlaufrichtung wirkende Triebgeschwindigkeit des Dampfes nimmt während der Ablenkung im Radkanal um  cu = c1u – c2u ab. Damit entsteht der Triebimpuls Ft = m  cu in Ns und mit der sekundlich durchströmenden . Dampfmasse mD ist am Radumfang die Triebkraft . . F = mD  cu = mD (c1u – c2u) . mD c1u, c2u F N

kg s

m s

Bild 5. Energienutzung im Radkanal

3.2.2 Dampfaustritt

Im umlaufenden Radkanal wird der Dampf durch die Wandkrümmung abgelenkt. Während dieser Ablenkung sinkt die relative Dampfgeschwindigkeit durch Reibung der Dampfmoleküle auf w2 =  w1, Schaufelbeiwert  = 0,95 bis 0,8 (je nach Größe des Ablenkungsgrades). Mit dieser Geschwindigkeit w2 verlässt der Dampf die umlaufende Kanalwand unter Wandneigungswinkel "2. Da die Kanalwand die Geschwindigkeit u hat, entstehlt aus w2 und u hinter dem Radkanal die absolute Dampfgeschwindigkeit c2 unter dem Abströmwinkel 2 zur Umlaufrichtung geneigt, wie es die Austrittseite am Laufrad im Bild 5 zeigt. Tabelle 2 zeigt Reibzahlwerte  abhängig vom Ablenkgrad.

Bild 6. Geschwindigkeitsplan

(4)

3 Dampfturbinen Bei der Umlaufgeschwindigkeit u des Radkanals (Schaufel) ist dann als sekundliche Triebarbeit des Dampfes am Radumfang die Umfangsleistung . Pu = Fu = mD u (c1u – c2u) . mD u, c1u, c2u P (5) kg m W s s 3.2.4 Turbinengleichung, Bestnutzung

Jedes kg. Dampfmasse gibt im Radkanal den Energiebetrag E = u (c1u – c2u) in J/kg an das Laufrad der Turbine ab. Diese Gesetzmäßigkeit wird als allge. meine Turbinengleichung E = u (c1 cos 1 ± c2 cos 2) bezeichnet. Hierbei ist zu beachten, dass die Komponenten c1u und c2u gleiche oder gegensinnige Richtung haben, denn ihr Änderungsbetrag bestimmt die Größe des Triebimpulses und damit Radtriebkraft und Radleistung. Die beste Energienutzung am Laufrad entsteht dann, wenn der Zuströmwinkel 1 möglichst klein gehalten wird und der Abströmwinkel 2 = 90º beträgt, damit der Abströmdampf keine Rotationsenergie enthält. Setzt man vereinfacht w2 = w1 und baut gleiche Wandwinkel "1 = "2, so erreicht man 90º Abströmwinkel, wenn u = w2 cos "2 = cos "1 w1 ist. Dann wird auch c1u = 2 u, wie es im Bild 7 der Geschwindigkeitsplan für Bestnutzung zeigt. Man erkennt, dass dafür die Umlaufgeschwindigkeit u = c1u/ 2 = (c1/ 2) cos 1 die Bestlaufbedingung ist.

L 21 3.2.5 Schaufelprofile

Durch die Dampfreibung im Radkanal wird w2 < w1. Soll der Abströmwinkel 90º erreicht werden, so baut man vielfach unsymmetrisches Schaufelprofil mit "2 < "1, um gute Laufbedingung c1u = u [1 + cos "1/( cos "2)] zu erhalten, wie es Bild 8 erkennen lässt. Hierbei wirkt die Bahnkraft Fb unter Winkelneigung ("1 – "2)/2 zur Radlaufrichtung und hat neben der Triebkomponente F eine kleine Axialkomponente Fa = F tan [("1 – "2)/2]. Diesen Nachteil vermeidet man bei symmetrischem Schaufelprofil mit "1 = "2 nach Bild 9. Der dort aufgestellte Geschwindigkeitsplan zeigt, dass dann für den Bestnutzungslauf die Umlaufgeschwindigkeit u = c1u

ψ sein muss. ψ +1

Bild 9. Symmetrische Schaufel ("2 = "1)

Bild 7. Bestlaufregel

Bild 8. Unsymmetrische Schaufel ("2 kleiner "1)

Eine weitere Maßnahme für Bestnutzung ist bei vollbeaufschlagten Rädern die Anwendung eines kleinen Druckgefälles im Laufradkanal, dessen Energiebetrag gerade die Reibverluste aufhebt, wodurch w2 = w1 erhalten wird und mit Symmetrieschaufel ("1 = "2) nach Bild 7 die Umlaufgeschwindigkeit u = (c1/ 2) cos 1 sein muss. Derartige Radkanäle haben Düsenform mit Verengungskanal, das Rad hat Überdruckschaufeln, wie es Bild 10 zeigt. Der Schaufelkranz des Rades erhält dann Labyrinthdichtung gegen Gehäusewand durch Laufkämme am Deckband, damit der am Rad wirkende Überdruck sich dort nicht ausgleicht (Spaltverluste werden klein gehalten). Der Überdruck auf die Radfläche AR erzeugt eine Axialkraft Fa = (p2 – p2' ) AR, die zu berücksichtigen ist. Die Radkanalhöhe (Schaufellänge l) muss am Dampfaustritt größer als am Eintritt sein, da bei p2' das spezifische Volumen #2' größer als #2 beim Druckzustand p2

L 22

L Kraft- und Arbeitsmaschinen

ist und die sekundlich durchströmende Dampfmasse . mD = Vse/#2 = Vsa/#2' beträgt. Mit der Radkanalzahl z und w1 = w2 muss dann

b1 l1 #2



nach das Höhenverhältnis

l2 l1

b1 # '2 b2 # 2



b2 l 2 # '2

sein und dem. Am Dampfaus-

tritt sorgt das geradflankige Kanalende für gute Dampfabströmung.

tigte Leitschaufelkranz ein, dessen Kanäle den Austrittsdampf des ersten Radkranzes wieder in Laufrichtung zum zweiten Radkranz umleiten. Als Nachteil entsteht in drei Kanälen mehr Reibverlust als bei einstufiger Energienutzung, wodurch Curtisräder einen schlechten Wirkungsgrad aufweisen. Es treten drei verschiedene Kanalreibzahlen ', m und " auf, deren Gesamtprodukt g = ' m " ist. Für Symmetrieschaufeln erhält man durch ähnliche Überlegungen wie am Einkranzrad nach Bild 9 hier beim 2 C-Rad die Bestlaufbedingung c1u/ u = f (', ", g). Vorläufig geschätzte Reibzahlen bestimmen nach dieser Bestlaufbedingung die Umlaufgeschwindigkeit . des 2 C-Rades für dessen Betriebswerte mD,  h, M, 1. Die Schaufelprofile der Kränze werden unter Beachtung der wirklichen Kanalreibzahlen durch den Geschwindigkeitsplan ermittelt und der Strömungsverlauf im 2 C-Rad erkannt. Das Beispiel vom Bild 11 (Kleinturbine; n = 6 000 1/min) zeigt die Anwendung der erkannten Zusammenhänge.

3.3.1 Übungsbeispiel (2 C-Rad) Betriebswerte: Dampfmenge je Sekunde am Düsenausgang kg . mD = 1 s Spezifisches Volumen m3 kg Enthalpiedifferenz kJ  h = 419 kg Lavaldüsen mit Düsenreibzahl M = 0,95 Zuströmwinkel 1 = 17º Drehzahl n = 6 000 min–1

# = 0,9

Bild 10. Überdruckschaufel (b1 größer b2)

3.3 Geschwindigkeitsstufung (Curtisrad) Die Umlaufgeschwindigkeit bestimmt die Fliehkraftwirkung auf die Schaufeln und deren Festigkeitsbeanspruchung. Für bestes Schaufelmaterial gilt als erträglicher Höchstwert u = 300 m/s. Dafür kann die Dampfgeschwindigkeit c1 = 2 u = 600 m/s durch ein Energiegefälle  h = (6002/2) = 180 kJ/kg in der Düse erzeugt werden. In Lavaldüsen werden aber meist mehr als 419 kJ/kg als Energiegefälle verarbeitet, dessen Energiebetrag dann nur mehrstufig am Rad ausgenutzt werden kann. Man verwendet ein mehrkränziges Laufrad, das Curtisrad (Curtisturbine). Praktisch werden hauptsächlich zweikränzige Räder (2C-Räder) angewandt, selten dreikränzige. Zwischen den beiden Radkränzen greift der am Gehäuse befes-

Düsensegment: Ausströmvolumen je Sekunde . . m3 V = mD # = 0,9 s Düsenaustrittsgeschwindigkeit m c1 = M 2  h 869 s Gesamte Düsenaustrittsfläche V = 1 035 mm2 Ad = c1

Düsenzahl z = 15 Kanalwanddicke s = 2 mm

* + ,

A Kanalquerschnitt d = 69 mm2; z

Kanalhöhe ld = 7,2 mm Kanalweite ba = 9,6 mm

(gewählt)

3 Dampfturbinen

L 23

ba  s = 39,8 mm sin 1 Bogenlänge B = z t = 597 mm (vgl. Bilder 3 und 4)

Düsenteilung t =

Laufkranz I: Zuströmgeschwindigkeit

m = Düsenaustrittsgeschwindigkeit c1 s Umlaufkomponente c1' u = 869

m c1' u = c1' cos 1' = 831 s Axialkomponente m c1' a = c1' sin 1' = 254 s Kanalreibzahl der Laufkränze (geschätzt) ' = 0,8, " = 0,9 Kanalreibzahl im Leitkranz m = 0,85

Umlaufgeschwindigkeit c1' u u= mit g = ' m " und f ( ' ,  ",  g ) f (', ", g) = 5,35 m s u Umfang U = = 1,55 m n U Laufdurchmesser D = = 0,494 m

u = 155

&

B 0,597

0,385 ˆ 38,5 % Beaufschlagung

1,55 U

Profilwinkel (Symmetrieschaufel)

"1' = "2' aus tan "1' = tan "1' =

c1' a c1' u  u

254 = 0,376; "1' = 20,6º 831 − 155

Profilwinkel "1' = "2' = 20,6º ergibt mit Umlenkung um 139,2º nach Tabelle 2 die Kanalreibzahl ' = 0,8 (wie geschätzt) Relative Geschwindigkeiten c1' a m

721 w1' = s sin " 1' m w2' = w1' ' = 577 s Umlaufkomponente

c2' u = w2' cos "2' – u = 385

Abströmwinkel 2' aus

m s

tan 2' =

w2' sin β 2' = 0,53; 2' = 28º c 2' u

Abströmgeschwindigkeit c 2' u m c2' =

436 s cos  2' . Triebkraft F' = mD (c1' u – c2' u) = 446 N Ablenkbreite a = 10 min, Kranzbreite k = 1,1 · a = 11 mm (gewählt) Schaufel- bzw. Kanalzahl U 4 U sin " cos "

204,3 , gewählt t a U z' = 205 mit t' = = 7,56 mm Teilung z'

z=

Kanaleintritt: Kanaleintrittsquerschnitt V = 21,16 mm2 B ' w1    t'  Kanalhöhe l1' = 8 mm, Kanalweite b' = 2,65 mm, Endwanddicke s = 0,3 mm Kanalaustritt:  w' Kanalhöhe l2' = l1'  1  w2'

  #'     = 11 mm # 

Leitkranz: Profilwinkel "m = 2' = 28° ergibt mit Umlenkung um 124º nach Tabelle 2 Kanalreibzahl m = 0,85 (wie geschätzt) m Zuströmgeschwindigkeit ce = c2' = 436 s m Abströmgeschwindigkeit ca = m ce = 370 s Schaufelzahl zm = f (U, "m, a) = 257,3, gewählt zm = 250 mit tm = 6,2 mm Teilung Kanaleintritt: Kanalhöhe l1 m = 11,8 mm Kanalweite bm = 2,65 mm Endwanddicke sm = 0,5 mm Kanalaustritt:  l1 m   # "     = 14,3 mm Kanalhöhe l2 m =    m   #'  . m3 am Eintritt nimmt durch Erwärmung V' = 0,99 s . m3 zu auf V" = 1,015 s

L 24

L Kraft- und Arbeitsmaschinen

Bild 11. Zweikränziges Curtisrad zum Übungsbeispiel Laufkranz II:

Relative Geschwindigkeiten w"1 =

m Zuströmgeschwindigkeit c"1 = ca = 370 s Zuströmwinkel "1 = 2' = 28º

Umlaufkomponente c"1 u = c"1 cos "1 = 327 Axialkomponente c"1 a = c"1 sin "1 = 174 Profilwinkel ""1 = ""2 aus tan ""1 =

c1"a c1"u  u

m s

m s = 1,01

""1 = 45º ergibt mit Ablenkung von 90º nach Tabelle 2 die Kanalreibzahl " = 0,915 (statt wie geschätzt " = 0,9!)

c1"a sin " 1"

= 246

m s

m und w"2 = " w"1 = 225 s m Umlaufkomponente c"2 a = w"2 cos ""2 – u = 4,07 s (gegen Triebrichtung)

Abweichwinkel   von 90º aus tan   =

c"2 u w"2 sin " "2

  = 1,5º Abströmwinkel "2 = 90º –   = 88,5º

= 0,026,

3 Dampfturbinen

L 25

Abströmgeschwindigkeit c"2 =

c"2 u sin  

= 157

3.4 Druckstufung (Zoellyturbine)

m s

. Triebkraft F" = mD (c"1 u – c"2 u) = 331 N Schaufelzahl z" = f (U, "", a) = 310 mit t" = 5 mm Teilung V'' Kanaleintrittsquerschnitt = 34,6 mm2 '' B w1 t '' Kanaleintritt: Kanalhöhe l"1 = 15 mm, Kanalweite b" = 2,3 mm, Endwanddicke s = 0,9 mm Kanalaustritt: Kanalhöhe l"2 = 16,4 mm

. m3 Austrittsvolumen Va = 1,02 s m3 kg Nm = 120,44 kW Leistung Pu = (F' + F") u = 120 435 s

Hohe Dampfgeschwindigkeit und großer Ablenkgrad im Radkanal erzeugt große Reibverluste und einen schlechten Wirkungsgrad (siehe 2 C-Rad). Wird ein großes Energiegefälle in mehrere Teilgefälle unterteilt verarbeitet, so erhält man kleinere Dampfgeschwindigkeiten, kleinere Reibverluste und einen besseren Wirkungsgrad. Derartige Energieverarbeitung heißt Druckstufung. Sie findet Anwendung in der Zoellyturbine, die als Reihenschaltung mehrerer Gleichdruckturbinen angesehen werden kann. In jeder Stufe wird möglichst das gleiche Teilgefälle  h verarbeitet, das in den düsenförmigen Leitkanälen des Zwischenbodens Energie erzeugt, die im nachfolgenden Gleichdruckrad triebmäßig ausgenutzt wird. Die Leitkanäle jeder Folgestufe verarbeiten als Düse ihr Druckgefälle und die ungenutzte Abströmenergie der vorhergehenden Stufe. Bei gleichem Energierestbetrag in jeder Folgestufe ist die erzeugte Energie in diesen Folgestufen gleich groß. Einen Abströmverlust erhält nur die letzte Stufe. Das Übungsbeispiel nach Bild 12 zeigt die Zusammenhänge.

Spezifisches Volumen #a = 1,02

3.4.1 Übungsbeispiel (5 Gleichdruckstufen) Betriebswerte: kg . Dampfmenge je Sekunde mD = 20 s

3.3.2 Wirkungsgrad

Die Dampfleistung wird ohne Berücksichtigung von . Wärmeverlusten nach der Gleichung P0 = mD  h = . 2 (mD /2) c0 ermittelt. Hinter der Düse ergibt sich die . tatsächliche Dampfleistung aus P1 = (mD /2) c21. Daraus lässt sich der Düsenwirkungsgrad d = P1/P0 = (c1/c0)2 = M2 bestimmen. Ebenso lässt sich der Kanaloder Schaufelwirkungsgrad festlegen:

s =

Pu P1

2 Pu m D c12

s 1

Pu

. mD

c1

W

kg s

m s

(6)

Das Produkt beider Einzelwirkungsgrade ergibt den Gesamtwirkungsgrad am Radumfang, den Umfangs. wirkungsgrad u =Pu/P0 =Pu/mD  h. Teilbeaufschlagte Räder haben Leistungsverluste Pv durch Ventilation, die durch Schutzringe (Bild 13) gering gehalten werden können. Vollbeaufschlagte Räder mit Überdruckwirkung in den Kanälen (Bild 10) haben Spaltverluste Ps, weil Dampf durch die Laufspalte an den Kranzkanälen vorbeiströmt. Die Leistungsverluste Pv, s betragen 3 bis 5 % von P0 und verschlechtern den Umfangswirkungsgrad auf den Innenwirkungsgrad i = (0,95 bis 0,97) u.

Summe der Teilenergiegefälle  hg = 419

kJ kg

kJ (5 Stufen) kg Turbinendrehzahl n = 3 000 min–1 Düsenreibzahl M = 0,96 bei einem Zuströmwinkel 1 = 17º

Teilenergiegefälle  h = 83,8

Anfangsstufe: Düsenaustrittsgeschwindigkeit m c1 = M 2  h 394 s

Umlaufkomponente c1 u = c1 cos 1 = 376 Axialkomponente c1 a = c1 sin 1 = 115 Profilwinkel "1 mit u < tan "1 =

c1 a c1 u  u

c1 u

2

m s

m s

und mit

, "1 = 30º (gewählt)

Umlaufgeschwindigkeit u = c1 u –

c1a

tan β1

176

m s

L 26

L Kraft- und Arbeitsmaschinen

Bild 12. Fünfstufige Gleichdruckturbine

Laufdurchmesser D =

u

= 1,12 m &n Kanalreibzahl  = 0,83 (geschätzt) cos "1 u Profilwinkel "2 aus cos "2 = = 0,918  (c1 u  u )

"2 = 23º (Bestlaufregel nach Bild 8) Ablenkung 127º nach Tabelle 2 für  = 0,83 Relative Geschwindigkeiten c1 a m

230 w1 = sin "1 s w2 =  w1 = 191

m s

m Abströmgeschwindigkeit c2 = u tan "2 = 75 s Abströmwinkel 2 = 90º

kJ c22 = 2,81 (aus c2 = 2 hr ) 2 kg . Triebkraft FI = mD c1 u = 7 520 N Umfangsleistung Pu I = FI u = 1 323 520 W

Restenergie hr =

m Axialkomponente c1' a = 117 s Umlaufgeschwindigkeit c1 a m ("1' = 30º) = 179 u' = c 1 u – s tan " 1' u' = 1,14 m Laufdurchmesser D' = πn Profilwinkel "2' = 23º nach f ("1' , , u, c1 u)

Relative Geschwindigkeiten c1' a m w1' = = 234 sin " 1' s w2' =  w1' = 194

Abströmgeschwindigkeit c2' = u tan "2' = 76 bei 2 = 90º . Triebkraft FII = c1' u mD = 7 640 N Umfangsleistung Pu II = FII u = 1 367 560 W

m s

c '2 kJ Restenergie hr' = 2 = 2,888 2

Folgestufen:

Austrittsgeschwindigkeit an der Zwischenbodendüse m c1' = M 2 ( h  hr ) 400 s m (1 = 17º) Umlaufkomponente c1' u = 382 s

m s

kg

Austrittsgeschwindigkeit aus der folgenden Zwischendüse

m s In den folgenden Stufen ergeben sich die gleichen Geschwindigkeiten! c"1 = ϕ

2 (∆ h + hr' ) = 400

3 Dampfturbinen

L 27

3.4.2 Wirkungsgrad

Der Wirkungsgrad der Zoellyturbine wird mit den im Übungsbeispiel ermittelten Werten bestimmt. Die Anfangsstufe hat den Umfangswirkungsgrad u Pu I c1u u u = = = 0, 79  ∆h mD ∆ h In jeder Folgestufe beträgt der Umfangswirkungsgrad u' c1' u u' u' =  0,816 h Für alle Stufen erhält man den gesamten Umfangswirkungsgrad ug ∆ h (0,79 + 4⋅0,816) ug = = 0,8108 ∆ hg Für Spalte und Radscheiben werden Leistungsverluste von 3 % bis 4 % geschätzt, so dass mit einem Innenwirkungsgrad ig = 0,78 gerechnet werden kann. Zum Vergleich beträgt für das 2 C-Rad (Übungsbeispiel 3.3.1) der Innenwirkungsgrad i = 0,54. Damit ist erwiesen, dass durch Druckstufung eine bessere Energienutzung als bei Geschwindigkeitsstufung möglich ist. Allerdings ist der Bauaufwand der Druckstufung gegenüber C-Rädern wesentlich größer.

3.5 Überdruckstufung Durch genügend große Stufenzahl wird der Druckunterschied an den Zwischenböden klein (ca. 20 bis 30 N/mm2). Dann können die Düsenkanäle ähnlich wie die Leitkanäle beim mehrkränzigen Curtisrad gebaut werden. Als düsenförmige Leitkränze greifen sie zwischen die Laufschaufelkränze, die alle auf einem gemeinsamen Trommelkörper sitzen. Die Zwischenböden mit ihren Labyrinthdichtungen werden ebenso wie die vielen Radscheiben eingespart, wie es das Bild 13 zeigt. Der kräftige Trommelkörper gestattet kleine radiale Laufspalte der Leitund Laufschaufeln, deren Enden ohne Abdeckband zugeschärft werden, damit beim möglichen Anstreifen an Gehäuse- oder Trommelumfang nur geringer Abschliff entsteht. Zweckmäßig wird in den Laufschaufelkränzen ebenfalls Druckgefälle verarbeitet, wodurch eine mehrstufige Überdruckturbine entsteht, die bei mehrteiligen Turbinenanlagen als Parsonsteil bezeichnet wird. Das Energiegefälle wird meist im Leit- und Laufkranz gleich groß, als Reaktionsgrad (vgl. Wasserturbinen) also r = 0,5 festgelegt. Als Bestlaufregel gilt für Überdruckturbinen u = (0,8 bis 1) c1 u. Die Durchrechnung der Stufenprofile und Geschwindigkeitspläne ist ähnlich wie im Druckstufungsbeispiel 3.4.1, jedoch wird oft auf Abströmwinkel 2 = 90º verzichtet und 2 = 1 sowie 1 = 2 angestrebt. Der an jeder Laufkranzringfläche Ar wirkende Überdruck  p erzeugt eine Kraft in Richtung des Druckgefälles.

Bild 13. Trommelturbine (Überdruckstufung) 3.5.1 Ausgleichkolben Der an jeder Laufkranzringfläche Ar wirkende Überdruck p erzeugt eine Kraft in Richtung des Druckgefälles. Die Summe dieser Kräfte und der Dampfkraftunterschied Fa auf die Ringflächen des Trommelkörpers wirken an der Welle als Axialkraft Fa = Ft +   p Ar. Diese Kraft wird durch einen Ausgleichkolben aufgehoben, dessen Labyrinthdichtung meist das ganze Überdruckgefälle (p – pa) absperrt. Seine wirksame Überdruckfläche Fk wird so bemessen, dass die Kolbenkraft Fk = (p – pa) Ak die Axialkraft Fa aufhebt, wie es im Bild 13 angedeutet ist. Vor dem Parsonsteil arbeitet ein teilbeaufschlagtes 2 C-Rad, dessen Ventilationsverluste durch einen Schutzring gemildert werden.

3.6 Labyrinthdichtung Der Laufspalt zwischen Welle und Gehäuse (Zwischenboden) verlangt Abdichtung durch Labyrinthkammern. In die Welle werden Blechstreifen eingestemmt (Stemmdraht), deren zugeschärfte Kammschneiden in Ausdrehungen der Gehäusewand (oder Stopfbuchsenwand) hineinragen oder umgekehrt. Es entstehen viele Spaltkammern mit Dichtstellen. Aus dem Vollen hergestellte Dichtstellen sind sehr wirksam, aber teuer. Zwischenböden erhalten meist eingesetzte Kammschneiden gegenüber der glatten Laufradnabe. Kondensatorseitige Labyrinthdichtung wird mit Sperrdampf beschickt, der Außenluft nicht eintreten lässt (Vakuumhaltung des Kondensators). Das Bild 14 zeigt die wichtigsten Dichtungsbauformen.

Bild 14. Labyrinthdichtungen

L 28

L Kraft- und Arbeitsmaschinen

3.7 Regelung Konstante Drehzahlhaltung bei Laständerung verlangt die Regelung der Energiezufuhr. Man unterscheidet Mengen- und Drosselregelung. Drosselung ist Dampfdruckabfall ohne Enthalpieänderung (vgl. Thermodynamik). Der Druckabfall entsteht in einem Drosselventil. Bild 15 zeigt den Vorgang als waagerechte Verlaufslinie in der i, s-Tafel. Das Energiegefälle der Turbine wird verkleinert, weil  h' <  h wird. Sie ist unwirtschaftlich, denn der Energienutzungsgrad wird schlechter (th =  h'/h1 <  h/h1). Bei der Mengenregelung (Füllungsregelung) sind die Eintrittsdüsen in mehrere Kammern angeordnet, die ihre Dampfzufuhr je über ein Kammerventil (Düsenventil) erhalten (Bild 16). Bei Volllast sind alle Ventile offen (voller Dampfdurchsatz), bei Teillast nur so viel, dass die zur Teilleistung erforderliche Dampfmasse zuströmen kann. Mit vier Kammerventilen kann in Stufen zu je ~ Volllast heruntergeregelt werden. Kleinere Lastschwankungen zwischen den Laststufen werden von einem der Kammerventile als Drosselventil geregelt. Die Steuerung der Kammerventile geschieht hydraulisch.

Bei plötzlicher Entlastung (Elektrizitätswerke) verhütet ein Sicherheitsregler unzulässige Drehzahlzunahme. Ein Fliehkraftbolzen (oder Ring) entriegelt die Sperrung des Hauptventils der Dampfzufuhr, das dann durch Federkraft zuschlägt (Bild 17).

Bild 17. Sicherheitsregelung mit Schnellschlussventil

3.8 Radialturbinen

Bild 15. Drosselungsvorgang im i,s-Diagramm

Die Dampfströmung ist radial senkrecht zur Welle gerichtet. Die mehrstufige Arbeitsart kann Gleichdruckstufung sein, ist aber meist als Überdruckstufung ausgeführt, weil dann die Zwischenböden fortfallen. Die Einfach-Radialturbine (Siemens) hat feststehende Leitkränze, die zwischen die Laufradkränze greifen. Die Durchströmung ist wechselnd innen- und außenläufig. Durch ein vorgeschaltetes Gleichdruckrad (oder 2 C-Rad) kann ein kleiner Betriebsdruck im Turbinengehäuse erreicht werden. Die Doppelt-Radialturbine (Ljungström) arbeitet mit gegenläufigen Radscheiben, deren Kränze gegenseitig ineinandergreifen. Beide Kranzgruppen sind gleichartig. Die Laufschaufeln einer Radscheibe sind gleichzeitig die Leitschaufeln für die andere Radscheibe. Durch den Gegenlauf der Scheiben verarbeiten zwei aufeinander folgende Kränze soviel Energiegefälle, wie sonst in vier Laufradkränzen üblicher Überdruckstufung verarbeitet werden. Man erkennt den wesentlichen Bauvorteil (Bild 18).

3.9 Turbinenanlagen

Bild 16. Düsenkammern mit Regel Ventilen

Großturbinen der Kraftwerke (Elektrizitätserzeugung) bestehen meist aus Hoch-, Mittel- und Niederdrückteil mit Kondensatoranlage und verarbeiten ein großes Energiegefälle. Erreicht der Dampf 8 % bis 10 % Dampfnässe, so muss vor weiterer Nutzung Zwischenüberhitzung einsetzen. Sie erfolgt in einem mit

4 Wasserturbinen

L 29

4 Wasserturbinen

W. Böge

4.1 Stauanlagen Gestaut wird durch Wehr oder Staumauer, wodurch nutzbarer Höhenunterschied der Energielage des Wassers entsteht. Diese Höhendifferenz wirkt als Wasserdruckgefälle in der Turbinenanlage. 4.1.1 Niederdruckanlage Flussanlagen haben meist kleine Höhendifferenz und sind daher Niederdruckanlagen. Das Wasser fließt vom Einstaugebiet oberhalb des Wehrs durch den Obergraben zur Turbine und danach in den Untergraben ab. Bei natürlichen Gräben wird je nach Bodenbeschaffenheit 0,2 bis 1,0 m/s Zulaufgeschwindigkeit im Obergraben gewählt. Gemauerte oder betonierte Kanäle gestatten größere Werte, jedoch ist dann der größere Fallhöhenverlust zu beachten. Rechen und Kiesfang sorgen für Wasserreinheit. Überläufe (Übereich) vermeiden Überschwemmung bei Hochwasseranfall. Turbine und Obergraben können für Reparatur oder Kontrolle durch Haupt- und Leerlaufschütze wasserfrei gemacht werden. Das Bild 1 zeigt ein Anlagebeispiel. Bei Flussanlagen im Flachgelände liegt die Turbinenkammer direkt am Wehr ohne Obergraben. Wenn nötig, erhalten die Stauanlagen eine Schleusenkammer für den Schiffsverkehr mit Ober- und Unterkanal, wie im Anlagebeispiel vom Bild 2 zu erkennen ist. Bild 18. Radialturbinen Frischdampf beheizten Zwischenüberhitzer neben der Turbine oder im Zwischenüberhitzer des Kessels, wozu Hin- und Rücklaufrohre des Dampfes zwischen Turbine und Kessel erforderlich sind (Nachteil). Kondensatoranlagen entziehen durch Wasserrohrkühlung dem Abdampf die Verdampfwärme bei Unterdruck (Vakuum). Das entstehende Kondenswasser wird dem Dampferzeuger wieder zugeführt (Kreislaufbetrieb). Die Kühlwassermassen werden bei Frischwasserkühlung einem Flusslauf (oder Brunnen) entnommen. Ihre Kühlwirkung erreicht bis 0,03 bar Abdampfdruck im Kondensator. Bei Frischwassermangel muss das Kühlwasser in Kühltürmen rückgekühlt werden, wobei nur bis ca. 0,1 bar Abdampfdruck im Kondensator erreicht werden kann. Für Industriezwecke sind Gegendruck-, Entnahmeund Abdampfturbinen gebräuchlich. Gegendruckturbinen verarbeiten nur das obere Energiegefälle, der Rest dient anderen industriellen Heiz- und Wärmezwecken. Bei Entnahmeturbinen wird vor dem Mittel- oder Niederdruckteil Dampfströmung für andere Zwecke abgezweigt. Abdampfturbinen werden mit Abdampf niederen Druckes anderer Energie- oder Industriedampfanlagen gespeist.

Flusslau

f

Turbinenka Einlasssch Rechen

Bild 1. Niederdruckanlage mit Obergraben lus Anslechis g

Bild 2. Niederdruckanlage am Wehr

L 16

L Kraft- und Arbeitsmaschinen

Bild 8. Müllverbrennungsanlage Hameln (VKW)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Fahrzeugschleuse Sperrmüllschere Müllbunker Müllkran Müllaufgabetrichter Walzenrost Dampferzeuger Entschlacker Aschebunker Saugzug Elektro-Entstauber

2.5.4 Dampferzeugung durch Müllverbrennung Der Abfall wird auf Rostfeuerungen (Walzen- oder Treppenroste) verbrannt. Die starke Verschmutzung der Roste wird durch große Ausbrandräume vermindert. Der Dampferzeuger im Bild 8 ist ein SteilrohrStrahlrohrkessel mit natürlichem Wasserumlauf. Die Dampfleistung der Anlage beträgt 8 kg/s bei einem Dampfdruck von 49 bar und einer Dampftemperatur von 450 ºC. Der erzeugte Dampf von Müllverbrennungsanlagen wird meistens in das Dampfnetz von Kraftwerken eingespeist.

3 Dampfturbinen

W. Böge

3.1 Erzeugung der kinetischen Energie 3.1.1 Dampfgeschwindigkeit Der im Dampferzeuger unter Druck stehende Dampf besitzt potentielle Energie. Dieser Dampf strömt unter Druckminderung durch düsenförmige Leiteinrichtungen, wobei die potentielle Energie des Dampfes in kinetische Energie umgesetzt wird. Die Druckminderung von p1 auf p2 entspricht einer Enthalpieänderung von  h = h1 – h2 in kJ/kg. Aus

3 Dampfturbinen

L 17

der Beziehung Epot = Ekin erhält man mit m = 1 kg

die Gleichung  h = c2s /2 und daraus die theoretische Dampfgeschwindigkeit am Düsenaustritt

cs = 2  h in m/s. Die Reibung des Dampfes an den Düsenwandungen verringert die Dampfgeschwindigkeit. Düsenreibzahl M = 0,93 bis 0,98. Zusammengefasst wirkt am Düsenaustritt die Dampfgeschwindigkeit

c c = M 2 h

h

Nm m 2 m J

2 s kg kg s

M 1

(1)

3.1.2 Kritisches Druckgefälle

Solange die Dampfströmung in der Düse nicht die Schallgeschwindigkeit für Dampf erreicht, darf der Düsenkanal stetige Querschnittsverkleinerung bis zum Dampfaustritt aufweisen, wie im Bild 2 für Einfachdüsen dargestellt ist. Bei großem Energiegefälle wird aber die Schallgrenze überschritten. Dann muss eine erweiterte Düse (Lavaldüse) angewandt werden, deren Erweiterungswinkel höchstens 10º sein soll (siehe Bild 2, Lavaldüse). Bis zum engsten Querschnitt Amin wird das kritische Druckverhältnis pk/p1 verarbeitet und danach im Erweiterungsteil das restliche Druckgefälle von pk auf p2. Das kritische Druckverhältnis ist für Heißdampf 0,546 und für Sattdampf 0,577. Man erkennt, dass Lavaldüsen nötig sind, wenn das verarbeitete Druckverhältnis p1/p2 bei Heißdampf größer als 1,83 ist.

Bild 2. Düsenarten

3.1.3 Düsenquerschnitt

Bild 1. Energiegefälle  h

Die Enthalpiewerte h1 und h2 entnimmt man der Dampftafel (L10, Tabelle 1), nämlich h1 für p1, T1 % 1

und h2 für p2, T2 = T1 (p1/p2) % . Einfacher wird das Energiegefälle  h aus der Entropietafel (Tabelle 1) als Differenz zwischen den beiden Drucklinien p1 und p2 abgelesen, beginnend mit der Temperatur t1 und dem Druck p1 wie auch Bild 1 zeigt. Die Dampfreibung innerhalb der Düse bedeutet Erwärmung und damit Entropiezunahme des Dampfes, wodurch sich die Enthalpiedifferenz  h um hr = (1 – M 2)  h verkleinert und das Nutzgefälle  hc = (M 2  h) ist (Bild 1).

Düsenkanäle haben meist Rechteckquerschnitt und werden nebeneinander als Düsensegment in die Gehäusewand der Turbine vor dem Laufrad eingebaut. Das Bild 3 lässt erkennen, wie die mittlere Bogenstrecke B des Segmentes durch z Kanäle in die Teilungsstrecke t = B/z aufgeteilt ist. Der Dampfeintritt in die Kanäle erfolgt unter 90º zur Gehäusewand (... axial). Die Kanalverengung entsteht durch Abwinkelung der Kanalwände auf den Austrittswinkel 1 (15º bis 22º). Unter diesem Winkel strömt der Dampf gegen die Schaufeln des Laufrades. Er gilt daher auch als Zuströmwinkel 1. Mit der Kanalwanddicke s entsteht am Düsenende die Austrittweite ba = t sin 1 – s. Bei einer Kanalhöhe l ergeben z Düsenkanäle den Austrittsquerschnitt

A = l ba z

A

l, ba

z

mm2

mm

1

(2)

L 18 Tabelle 1. Entropietafel für Wasserdampf

L Kraft- und Arbeitsmaschinen

3 Dampfturbinen

L 19

Anpressbogen

Bild 3. Einfachdüsensegment

Bild 4. Lavaldüsensegment (dreiteilig)

3.1.4 Düsenbauart

Düsensegmente werden gegossen oder bei großem Druckgefälle aus Düsenbogen, Deckbogen und Anpressbogen zusammengebaut. Im Düsenbogen sind die Kanäle aus dem Vollen herausgefräst, so dass die Kanalwände stehen bleiben, die der Deckbogen abdeckt. Düsen- und Deckbogen werden in die Gehäusewand vom Anpressbogen durch Pressschrauben dampfdicht eingebaut. Das Bild 4 zeigt diese Bauart als Lavaldüsen mit Kleinstweite bmin und dem Erweiterungswinkel. Da Düsensegmente nur einen Teil des Laufradumfangs mit Dampf beströmen, spricht man von Teilbeaufschlagung. Ihr Nachteil ist, dass die nicht beströmten Schaufeln den Umgebungsdampf verwirbeln und Verlustarbeit entsteht (Ventilationsverluste). Wenn irgend möglich, sollen Laufräder vollbeaufschlagte Dampfströmung erhalten. Erreichbar ist dies, indem sich mehrere Einzelbögen zum Vollumfang ergänzen, beispielsweise durch acht Einzelbögen zu je 45º Bogenwinkel. Bei unterkritischem Druckgefälle sind Einfachdüsen auf dem Vollumfang angeordnet, die dann auch Leitkanäle in den Zwischenböden mehrstufiger Turbinen genannt werden (vgl. Zoellyturbinen). Als Kanalwände dienen hier eingegossene Ni-StBleche zwischen Innen- und Außenring des Zwischenbodens oder eingesetzte Profilschaufeln mit Fuß. Um bei der Endmontage die Turbinenwelle mit den Laufrädern einlegen zu können, werden alle vollbeaufschlagten Düsenwände und Zwischenböden zweiteilig ausgeführt und in die beiden Gehäusehälften der Turbine eingebaut. 3.1.5 Dampfdurchsatz

Der Austrittsquerschnitt bestimmt mit der Dampfgeschwindigkeit .das sekundlich durchströmende Dampfvolumen V = A c1 in m3/s. Hat der Dampf beim Ausströmdruck p2 das spezifische Volumen #, so ist . die sekundlich verarbeitete Dampfmasse mD = Vs/# in kg/s. Man erhält pro Stunde den Dampfdurchsatz

m Dh

3 600 A c1

υ

. mDh

A

c1

#

kg h

m2

m s

m3 kg

(3)

3.2 Nutzung der kinetischen Energie Der aus den Düsen austretende Dampf strömt auf die Schaufeln des Laufrades. Die Schaufeln bilden gekrümmte Kanäle mit konstanter Kanalweite, in denen die durchströmende Dampfmasse abgelenkt wird. Um konstante Kanalweite zu erhalten, werden Profilschaufeln verwendet, wie es in Bild 5 dargestellt ist. Der erzeugte Ablenkdruck wirkt als Triebkraft F am Radumfang und treibt die Radschaufeln mit der Umlaufgeschwindigkeit u an, wodurch sich die Triebleistung P = Fu ergibt. Der Druckzustand des Dampfes ist vor und hinter dem Laufrad gleich groß. Das Laufrad arbeitet als Gleichdruckrad, die Turbine gilt als Gleichdruckturbine. Der im Bild 5 aufgezeigte Geschwindigkeitsverlauf der Dampfströmung im Radkanal lässt die Energienutzung erkennen. 3.2.1 Dampfeintritt

Vor dem Radkanal hat der Dampf die Geschwindigkeit c1 und den Zuströmwinkel 1 zur Umlaufrichtung der Radkanäle, deren Eintrittskanten (Schaufelkanten) die Umlaufgeschwindigkeit u haben. Aus beiden Geschwindigkeiten ergibt sich die relative Geschwindigkeit w1 unter dem Richtungswinkel "1, die der Dampf gegenüber der umlaufenden Eintrittskante des Radkanals hat. Die Kanalwand (Schaufelwand) muss baumäßig diesen Richtungswinkel "1 am Kanalanfang haben, damit der Dampf ohne Strömungsstörung an die Wand mit w1 angleitet und stoßfreier Dampfeintritt in den Radkanal erfolgt.

L 20

L Kraft- und Arbeitsmaschinen Tabelle 2. Schaufelbeiwerte

3.2.3 Triebkraft und Leistung am Radumfang

Die Geschwindigkeiten am Ein- und Austritt des Radkanals zeigen zwei Geschwindigkeitsdreiecke, die zusammengefasst den Geschwindigkeitsplan der Energienutzung ergeben, der im Bild 6 dargestellt ist, wobei oft beide Dreiecke nebeneinander gezeichnet werden. Betrachtet man in diesem Plan die Komponenten der Dampfströmung in Radlaufrichtung, so ist vor Radkanal c1u = c1 cos 1 und nachher c2u = c2 cos 2 als Komponente zu erkennen. Die in Radlaufrichtung wirkende Triebgeschwindigkeit des Dampfes nimmt während der Ablenkung im Radkanal um  cu = c1u – c2u ab. Damit entsteht der Triebimpuls Ft = m  cu in Ns und mit der sekundlich durchströmenden . Dampfmasse mD ist am Radumfang die Triebkraft . . F = mD  cu = mD (c1u – c2u) . mD c1u, c2u F N

kg s

m s

Bild 5. Energienutzung im Radkanal

3.2.2 Dampfaustritt

Im umlaufenden Radkanal wird der Dampf durch die Wandkrümmung abgelenkt. Während dieser Ablenkung sinkt die relative Dampfgeschwindigkeit durch Reibung der Dampfmoleküle auf w2 =  w1, Schaufelbeiwert  = 0,95 bis 0,8 (je nach Größe des Ablenkungsgrades). Mit dieser Geschwindigkeit w2 verlässt der Dampf die umlaufende Kanalwand unter Wandneigungswinkel "2. Da die Kanalwand die Geschwindigkeit u hat, entstehlt aus w2 und u hinter dem Radkanal die absolute Dampfgeschwindigkeit c2 unter dem Abströmwinkel 2 zur Umlaufrichtung geneigt, wie es die Austrittseite am Laufrad im Bild 5 zeigt. Tabelle 2 zeigt Reibzahlwerte  abhängig vom Ablenkgrad.

Bild 6. Geschwindigkeitsplan

(4)

3 Dampfturbinen Bei der Umlaufgeschwindigkeit u des Radkanals (Schaufel) ist dann als sekundliche Triebarbeit des Dampfes am Radumfang die Umfangsleistung . Pu = Fu = mD u (c1u – c2u) . mD u, c1u, c2u P (5) kg m W s s 3.2.4 Turbinengleichung, Bestnutzung

Jedes kg. Dampfmasse gibt im Radkanal den Energiebetrag E = u (c1u – c2u) in J/kg an das Laufrad der Turbine ab. Diese Gesetzmäßigkeit wird als allge. meine Turbinengleichung E = u (c1 cos 1 ± c2 cos 2) bezeichnet. Hierbei ist zu beachten, dass die Komponenten c1u und c2u gleiche oder gegensinnige Richtung haben, denn ihr Änderungsbetrag bestimmt die Größe des Triebimpulses und damit Radtriebkraft und Radleistung. Die beste Energienutzung am Laufrad entsteht dann, wenn der Zuströmwinkel 1 möglichst klein gehalten wird und der Abströmwinkel 2 = 90º beträgt, damit der Abströmdampf keine Rotationsenergie enthält. Setzt man vereinfacht w2 = w1 und baut gleiche Wandwinkel "1 = "2, so erreicht man 90º Abströmwinkel, wenn u = w2 cos "2 = cos "1 w1 ist. Dann wird auch c1u = 2 u, wie es im Bild 7 der Geschwindigkeitsplan für Bestnutzung zeigt. Man erkennt, dass dafür die Umlaufgeschwindigkeit u = c1u/ 2 = (c1/ 2) cos 1 die Bestlaufbedingung ist.

L 21 3.2.5 Schaufelprofile

Durch die Dampfreibung im Radkanal wird w2 < w1. Soll der Abströmwinkel 90º erreicht werden, so baut man vielfach unsymmetrisches Schaufelprofil mit "2 < "1, um gute Laufbedingung c1u = u [1 + cos "1/( cos "2)] zu erhalten, wie es Bild 8 erkennen lässt. Hierbei wirkt die Bahnkraft Fb unter Winkelneigung ("1 – "2)/2 zur Radlaufrichtung und hat neben der Triebkomponente F eine kleine Axialkomponente Fa = F tan [("1 – "2)/2]. Diesen Nachteil vermeidet man bei symmetrischem Schaufelprofil mit "1 = "2 nach Bild 9. Der dort aufgestellte Geschwindigkeitsplan zeigt, dass dann für den Bestnutzungslauf die Umlaufgeschwindigkeit u = c1u

ψ sein muss. ψ +1

Bild 9. Symmetrische Schaufel ("2 = "1)

Bild 7. Bestlaufregel

Bild 8. Unsymmetrische Schaufel ("2 kleiner "1)

Eine weitere Maßnahme für Bestnutzung ist bei vollbeaufschlagten Rädern die Anwendung eines kleinen Druckgefälles im Laufradkanal, dessen Energiebetrag gerade die Reibverluste aufhebt, wodurch w2 = w1 erhalten wird und mit Symmetrieschaufel ("1 = "2) nach Bild 7 die Umlaufgeschwindigkeit u = (c1/ 2) cos 1 sein muss. Derartige Radkanäle haben Düsenform mit Verengungskanal, das Rad hat Überdruckschaufeln, wie es Bild 10 zeigt. Der Schaufelkranz des Rades erhält dann Labyrinthdichtung gegen Gehäusewand durch Laufkämme am Deckband, damit der am Rad wirkende Überdruck sich dort nicht ausgleicht (Spaltverluste werden klein gehalten). Der Überdruck auf die Radfläche AR erzeugt eine Axialkraft Fa = (p2 – p2' ) AR, die zu berücksichtigen ist. Die Radkanalhöhe (Schaufellänge l) muss am Dampfaustritt größer als am Eintritt sein, da bei p2' das spezifische Volumen #2' größer als #2 beim Druckzustand p2

L 22

L Kraft- und Arbeitsmaschinen

ist und die sekundlich durchströmende Dampfmasse . mD = Vse/#2 = Vsa/#2' beträgt. Mit der Radkanalzahl z und w1 = w2 muss dann

b1 l1 #2



nach das Höhenverhältnis

l2 l1

b1 # '2 b2 # 2



b2 l 2 # '2

sein und dem. Am Dampfaus-

tritt sorgt das geradflankige Kanalende für gute Dampfabströmung.

tigte Leitschaufelkranz ein, dessen Kanäle den Austrittsdampf des ersten Radkranzes wieder in Laufrichtung zum zweiten Radkranz umleiten. Als Nachteil entsteht in drei Kanälen mehr Reibverlust als bei einstufiger Energienutzung, wodurch Curtisräder einen schlechten Wirkungsgrad aufweisen. Es treten drei verschiedene Kanalreibzahlen ', m und " auf, deren Gesamtprodukt g = ' m " ist. Für Symmetrieschaufeln erhält man durch ähnliche Überlegungen wie am Einkranzrad nach Bild 9 hier beim 2 C-Rad die Bestlaufbedingung c1u/ u = f (', ", g). Vorläufig geschätzte Reibzahlen bestimmen nach dieser Bestlaufbedingung die Umlaufgeschwindigkeit . des 2 C-Rades für dessen Betriebswerte mD,  h, M, 1. Die Schaufelprofile der Kränze werden unter Beachtung der wirklichen Kanalreibzahlen durch den Geschwindigkeitsplan ermittelt und der Strömungsverlauf im 2 C-Rad erkannt. Das Beispiel vom Bild 11 (Kleinturbine; n = 6 000 1/min) zeigt die Anwendung der erkannten Zusammenhänge.

3.3.1 Übungsbeispiel (2 C-Rad) Betriebswerte: Dampfmenge je Sekunde am Düsenausgang kg . mD = 1 s Spezifisches Volumen m3 kg Enthalpiedifferenz kJ  h = 419 kg Lavaldüsen mit Düsenreibzahl M = 0,95 Zuströmwinkel 1 = 17º Drehzahl n = 6 000 min–1

# = 0,9

Bild 10. Überdruckschaufel (b1 größer b2)

3.3 Geschwindigkeitsstufung (Curtisrad) Die Umlaufgeschwindigkeit bestimmt die Fliehkraftwirkung auf die Schaufeln und deren Festigkeitsbeanspruchung. Für bestes Schaufelmaterial gilt als erträglicher Höchstwert u = 300 m/s. Dafür kann die Dampfgeschwindigkeit c1 = 2 u = 600 m/s durch ein Energiegefälle  h = (6002/2) = 180 kJ/kg in der Düse erzeugt werden. In Lavaldüsen werden aber meist mehr als 419 kJ/kg als Energiegefälle verarbeitet, dessen Energiebetrag dann nur mehrstufig am Rad ausgenutzt werden kann. Man verwendet ein mehrkränziges Laufrad, das Curtisrad (Curtisturbine). Praktisch werden hauptsächlich zweikränzige Räder (2C-Räder) angewandt, selten dreikränzige. Zwischen den beiden Radkränzen greift der am Gehäuse befes-

Düsensegment: Ausströmvolumen je Sekunde . . m3 V = mD # = 0,9 s Düsenaustrittsgeschwindigkeit m c1 = M 2  h 869 s Gesamte Düsenaustrittsfläche V = 1 035 mm2 Ad = c1

Düsenzahl z = 15 Kanalwanddicke s = 2 mm

* + ,

A Kanalquerschnitt d = 69 mm2; z

Kanalhöhe ld = 7,2 mm Kanalweite ba = 9,6 mm

(gewählt)

3 Dampfturbinen

L 23

ba  s = 39,8 mm sin 1 Bogenlänge B = z t = 597 mm (vgl. Bilder 3 und 4)

Düsenteilung t =

Laufkranz I: Zuströmgeschwindigkeit

m = Düsenaustrittsgeschwindigkeit c1 s Umlaufkomponente c1' u = 869

m c1' u = c1' cos 1' = 831 s Axialkomponente m c1' a = c1' sin 1' = 254 s Kanalreibzahl der Laufkränze (geschätzt) ' = 0,8, " = 0,9 Kanalreibzahl im Leitkranz m = 0,85

Umlaufgeschwindigkeit c1' u u= mit g = ' m " und f ( ' ,  ",  g ) f (', ", g) = 5,35 m s u Umfang U = = 1,55 m n U Laufdurchmesser D = = 0,494 m

u = 155

&

B 0,597

0,385 ˆ 38,5 % Beaufschlagung

1,55 U

Profilwinkel (Symmetrieschaufel)

"1' = "2' aus tan "1' = tan "1' =

c1' a c1' u  u

254 = 0,376; "1' = 20,6º 831 − 155

Profilwinkel "1' = "2' = 20,6º ergibt mit Umlenkung um 139,2º nach Tabelle 2 die Kanalreibzahl ' = 0,8 (wie geschätzt) Relative Geschwindigkeiten c1' a m

721 w1' = s sin " 1' m w2' = w1' ' = 577 s Umlaufkomponente

c2' u = w2' cos "2' – u = 385

Abströmwinkel 2' aus

m s

tan 2' =

w2' sin β 2' = 0,53; 2' = 28º c 2' u

Abströmgeschwindigkeit c 2' u m c2' =

436 s cos  2' . Triebkraft F' = mD (c1' u – c2' u) = 446 N Ablenkbreite a = 10 min, Kranzbreite k = 1,1 · a = 11 mm (gewählt) Schaufel- bzw. Kanalzahl U 4 U sin " cos "

204,3 , gewählt t a U z' = 205 mit t' = = 7,56 mm Teilung z'

z=

Kanaleintritt: Kanaleintrittsquerschnitt V = 21,16 mm2 B ' w1    t'  Kanalhöhe l1' = 8 mm, Kanalweite b' = 2,65 mm, Endwanddicke s = 0,3 mm Kanalaustritt:  w' Kanalhöhe l2' = l1'  1  w2'

  #'     = 11 mm # 

Leitkranz: Profilwinkel "m = 2' = 28° ergibt mit Umlenkung um 124º nach Tabelle 2 Kanalreibzahl m = 0,85 (wie geschätzt) m Zuströmgeschwindigkeit ce = c2' = 436 s m Abströmgeschwindigkeit ca = m ce = 370 s Schaufelzahl zm = f (U, "m, a) = 257,3, gewählt zm = 250 mit tm = 6,2 mm Teilung Kanaleintritt: Kanalhöhe l1 m = 11,8 mm Kanalweite bm = 2,65 mm Endwanddicke sm = 0,5 mm Kanalaustritt:  l1 m   # "     = 14,3 mm Kanalhöhe l2 m =    m   #'  . m3 am Eintritt nimmt durch Erwärmung V' = 0,99 s . m3 zu auf V" = 1,015 s

L 24

L Kraft- und Arbeitsmaschinen

Bild 11. Zweikränziges Curtisrad zum Übungsbeispiel Laufkranz II:

Relative Geschwindigkeiten w"1 =

m Zuströmgeschwindigkeit c"1 = ca = 370 s Zuströmwinkel "1 = 2' = 28º

Umlaufkomponente c"1 u = c"1 cos "1 = 327 Axialkomponente c"1 a = c"1 sin "1 = 174 Profilwinkel ""1 = ""2 aus tan ""1 =

c1"a c1"u  u

m s

m s = 1,01

""1 = 45º ergibt mit Ablenkung von 90º nach Tabelle 2 die Kanalreibzahl " = 0,915 (statt wie geschätzt " = 0,9!)

c1"a sin " 1"

= 246

m s

m und w"2 = " w"1 = 225 s m Umlaufkomponente c"2 a = w"2 cos ""2 – u = 4,07 s (gegen Triebrichtung)

Abweichwinkel   von 90º aus tan   =

c"2 u w"2 sin " "2

  = 1,5º Abströmwinkel "2 = 90º –   = 88,5º

= 0,026,

3 Dampfturbinen

L 25

Abströmgeschwindigkeit c"2 =

c"2 u sin  

= 157

3.4 Druckstufung (Zoellyturbine)

m s

. Triebkraft F" = mD (c"1 u – c"2 u) = 331 N Schaufelzahl z" = f (U, "", a) = 310 mit t" = 5 mm Teilung V'' Kanaleintrittsquerschnitt = 34,6 mm2 '' B w1 t '' Kanaleintritt: Kanalhöhe l"1 = 15 mm, Kanalweite b" = 2,3 mm, Endwanddicke s = 0,9 mm Kanalaustritt: Kanalhöhe l"2 = 16,4 mm

. m3 Austrittsvolumen Va = 1,02 s m3 kg Nm = 120,44 kW Leistung Pu = (F' + F") u = 120 435 s

Hohe Dampfgeschwindigkeit und großer Ablenkgrad im Radkanal erzeugt große Reibverluste und einen schlechten Wirkungsgrad (siehe 2 C-Rad). Wird ein großes Energiegefälle in mehrere Teilgefälle unterteilt verarbeitet, so erhält man kleinere Dampfgeschwindigkeiten, kleinere Reibverluste und einen besseren Wirkungsgrad. Derartige Energieverarbeitung heißt Druckstufung. Sie findet Anwendung in der Zoellyturbine, die als Reihenschaltung mehrerer Gleichdruckturbinen angesehen werden kann. In jeder Stufe wird möglichst das gleiche Teilgefälle  h verarbeitet, das in den düsenförmigen Leitkanälen des Zwischenbodens Energie erzeugt, die im nachfolgenden Gleichdruckrad triebmäßig ausgenutzt wird. Die Leitkanäle jeder Folgestufe verarbeiten als Düse ihr Druckgefälle und die ungenutzte Abströmenergie der vorhergehenden Stufe. Bei gleichem Energierestbetrag in jeder Folgestufe ist die erzeugte Energie in diesen Folgestufen gleich groß. Einen Abströmverlust erhält nur die letzte Stufe. Das Übungsbeispiel nach Bild 12 zeigt die Zusammenhänge.

Spezifisches Volumen #a = 1,02

3.4.1 Übungsbeispiel (5 Gleichdruckstufen) Betriebswerte: kg . Dampfmenge je Sekunde mD = 20 s

3.3.2 Wirkungsgrad

Die Dampfleistung wird ohne Berücksichtigung von . Wärmeverlusten nach der Gleichung P0 = mD  h = . 2 (mD /2) c0 ermittelt. Hinter der Düse ergibt sich die . tatsächliche Dampfleistung aus P1 = (mD /2) c21. Daraus lässt sich der Düsenwirkungsgrad d = P1/P0 = (c1/c0)2 = M2 bestimmen. Ebenso lässt sich der Kanaloder Schaufelwirkungsgrad festlegen:

s =

Pu P1

2 Pu m D c12

s 1

Pu

. mD

c1

W

kg s

m s

(6)

Das Produkt beider Einzelwirkungsgrade ergibt den Gesamtwirkungsgrad am Radumfang, den Umfangs. wirkungsgrad u =Pu/P0 =Pu/mD  h. Teilbeaufschlagte Räder haben Leistungsverluste Pv durch Ventilation, die durch Schutzringe (Bild 13) gering gehalten werden können. Vollbeaufschlagte Räder mit Überdruckwirkung in den Kanälen (Bild 10) haben Spaltverluste Ps, weil Dampf durch die Laufspalte an den Kranzkanälen vorbeiströmt. Die Leistungsverluste Pv, s betragen 3 bis 5 % von P0 und verschlechtern den Umfangswirkungsgrad auf den Innenwirkungsgrad i = (0,95 bis 0,97) u.

Summe der Teilenergiegefälle  hg = 419

kJ kg

kJ (5 Stufen) kg Turbinendrehzahl n = 3 000 min–1 Düsenreibzahl M = 0,96 bei einem Zuströmwinkel 1 = 17º

Teilenergiegefälle  h = 83,8

Anfangsstufe: Düsenaustrittsgeschwindigkeit m c1 = M 2  h 394 s

Umlaufkomponente c1 u = c1 cos 1 = 376 Axialkomponente c1 a = c1 sin 1 = 115 Profilwinkel "1 mit u < tan "1 =

c1 a c1 u  u

c1 u

2

m s

m s

und mit

, "1 = 30º (gewählt)

Umlaufgeschwindigkeit u = c1 u –

c1a

tan β1

176

m s

L 26

L Kraft- und Arbeitsmaschinen

Bild 12. Fünfstufige Gleichdruckturbine

Laufdurchmesser D =

u

= 1,12 m &n Kanalreibzahl  = 0,83 (geschätzt) cos "1 u Profilwinkel "2 aus cos "2 = = 0,918  (c1 u  u )

"2 = 23º (Bestlaufregel nach Bild 8) Ablenkung 127º nach Tabelle 2 für  = 0,83 Relative Geschwindigkeiten c1 a m

230 w1 = sin "1 s w2 =  w1 = 191

m s

m Abströmgeschwindigkeit c2 = u tan "2 = 75 s Abströmwinkel 2 = 90º

kJ c22 = 2,81 (aus c2 = 2 hr ) 2 kg . Triebkraft FI = mD c1 u = 7 520 N Umfangsleistung Pu I = FI u = 1 323 520 W

Restenergie hr =

m Axialkomponente c1' a = 117 s Umlaufgeschwindigkeit c1 a m ("1' = 30º) = 179 u' = c 1 u – s tan " 1' u' = 1,14 m Laufdurchmesser D' = πn Profilwinkel "2' = 23º nach f ("1' , , u, c1 u)

Relative Geschwindigkeiten c1' a m w1' = = 234 sin " 1' s w2' =  w1' = 194

Abströmgeschwindigkeit c2' = u tan "2' = 76 bei 2 = 90º . Triebkraft FII = c1' u mD = 7 640 N Umfangsleistung Pu II = FII u = 1 367 560 W

m s

c '2 kJ Restenergie hr' = 2 = 2,888 2

Folgestufen:

Austrittsgeschwindigkeit an der Zwischenbodendüse m c1' = M 2 ( h  hr ) 400 s m (1 = 17º) Umlaufkomponente c1' u = 382 s

m s

kg

Austrittsgeschwindigkeit aus der folgenden Zwischendüse

m s In den folgenden Stufen ergeben sich die gleichen Geschwindigkeiten! c"1 = ϕ

2 (∆ h + hr' ) = 400

3 Dampfturbinen

L 27

3.4.2 Wirkungsgrad

Der Wirkungsgrad der Zoellyturbine wird mit den im Übungsbeispiel ermittelten Werten bestimmt. Die Anfangsstufe hat den Umfangswirkungsgrad u Pu I c1u u u = = = 0, 79  ∆h mD ∆ h In jeder Folgestufe beträgt der Umfangswirkungsgrad u' c1' u u' u' =  0,816 h Für alle Stufen erhält man den gesamten Umfangswirkungsgrad ug ∆ h (0,79 + 4⋅0,816) ug = = 0,8108 ∆ hg Für Spalte und Radscheiben werden Leistungsverluste von 3 % bis 4 % geschätzt, so dass mit einem Innenwirkungsgrad ig = 0,78 gerechnet werden kann. Zum Vergleich beträgt für das 2 C-Rad (Übungsbeispiel 3.3.1) der Innenwirkungsgrad i = 0,54. Damit ist erwiesen, dass durch Druckstufung eine bessere Energienutzung als bei Geschwindigkeitsstufung möglich ist. Allerdings ist der Bauaufwand der Druckstufung gegenüber C-Rädern wesentlich größer.

3.5 Überdruckstufung Durch genügend große Stufenzahl wird der Druckunterschied an den Zwischenböden klein (ca. 20 bis 30 N/mm2). Dann können die Düsenkanäle ähnlich wie die Leitkanäle beim mehrkränzigen Curtisrad gebaut werden. Als düsenförmige Leitkränze greifen sie zwischen die Laufschaufelkränze, die alle auf einem gemeinsamen Trommelkörper sitzen. Die Zwischenböden mit ihren Labyrinthdichtungen werden ebenso wie die vielen Radscheiben eingespart, wie es das Bild 13 zeigt. Der kräftige Trommelkörper gestattet kleine radiale Laufspalte der Leitund Laufschaufeln, deren Enden ohne Abdeckband zugeschärft werden, damit beim möglichen Anstreifen an Gehäuse- oder Trommelumfang nur geringer Abschliff entsteht. Zweckmäßig wird in den Laufschaufelkränzen ebenfalls Druckgefälle verarbeitet, wodurch eine mehrstufige Überdruckturbine entsteht, die bei mehrteiligen Turbinenanlagen als Parsonsteil bezeichnet wird. Das Energiegefälle wird meist im Leit- und Laufkranz gleich groß, als Reaktionsgrad (vgl. Wasserturbinen) also r = 0,5 festgelegt. Als Bestlaufregel gilt für Überdruckturbinen u = (0,8 bis 1) c1 u. Die Durchrechnung der Stufenprofile und Geschwindigkeitspläne ist ähnlich wie im Druckstufungsbeispiel 3.4.1, jedoch wird oft auf Abströmwinkel 2 = 90º verzichtet und 2 = 1 sowie 1 = 2 angestrebt. Der an jeder Laufkranzringfläche Ar wirkende Überdruck  p erzeugt eine Kraft in Richtung des Druckgefälles.

Bild 13. Trommelturbine (Überdruckstufung) 3.5.1 Ausgleichkolben Der an jeder Laufkranzringfläche Ar wirkende Überdruck p erzeugt eine Kraft in Richtung des Druckgefälles. Die Summe dieser Kräfte und der Dampfkraftunterschied Fa auf die Ringflächen des Trommelkörpers wirken an der Welle als Axialkraft Fa = Ft +   p Ar. Diese Kraft wird durch einen Ausgleichkolben aufgehoben, dessen Labyrinthdichtung meist das ganze Überdruckgefälle (p – pa) absperrt. Seine wirksame Überdruckfläche Fk wird so bemessen, dass die Kolbenkraft Fk = (p – pa) Ak die Axialkraft Fa aufhebt, wie es im Bild 13 angedeutet ist. Vor dem Parsonsteil arbeitet ein teilbeaufschlagtes 2 C-Rad, dessen Ventilationsverluste durch einen Schutzring gemildert werden.

3.6 Labyrinthdichtung Der Laufspalt zwischen Welle und Gehäuse (Zwischenboden) verlangt Abdichtung durch Labyrinthkammern. In die Welle werden Blechstreifen eingestemmt (Stemmdraht), deren zugeschärfte Kammschneiden in Ausdrehungen der Gehäusewand (oder Stopfbuchsenwand) hineinragen oder umgekehrt. Es entstehen viele Spaltkammern mit Dichtstellen. Aus dem Vollen hergestellte Dichtstellen sind sehr wirksam, aber teuer. Zwischenböden erhalten meist eingesetzte Kammschneiden gegenüber der glatten Laufradnabe. Kondensatorseitige Labyrinthdichtung wird mit Sperrdampf beschickt, der Außenluft nicht eintreten lässt (Vakuumhaltung des Kondensators). Das Bild 14 zeigt die wichtigsten Dichtungsbauformen.

Bild 14. Labyrinthdichtungen

L 28

L Kraft- und Arbeitsmaschinen

3.7 Regelung Konstante Drehzahlhaltung bei Laständerung verlangt die Regelung der Energiezufuhr. Man unterscheidet Mengen- und Drosselregelung. Drosselung ist Dampfdruckabfall ohne Enthalpieänderung (vgl. Thermodynamik). Der Druckabfall entsteht in einem Drosselventil. Bild 15 zeigt den Vorgang als waagerechte Verlaufslinie in der i, s-Tafel. Das Energiegefälle der Turbine wird verkleinert, weil  h' <  h wird. Sie ist unwirtschaftlich, denn der Energienutzungsgrad wird schlechter (th =  h'/h1 <  h/h1). Bei der Mengenregelung (Füllungsregelung) sind die Eintrittsdüsen in mehrere Kammern angeordnet, die ihre Dampfzufuhr je über ein Kammerventil (Düsenventil) erhalten (Bild 16). Bei Volllast sind alle Ventile offen (voller Dampfdurchsatz), bei Teillast nur so viel, dass die zur Teilleistung erforderliche Dampfmasse zuströmen kann. Mit vier Kammerventilen kann in Stufen zu je ~ Volllast heruntergeregelt werden. Kleinere Lastschwankungen zwischen den Laststufen werden von einem der Kammerventile als Drosselventil geregelt. Die Steuerung der Kammerventile geschieht hydraulisch.

Bei plötzlicher Entlastung (Elektrizitätswerke) verhütet ein Sicherheitsregler unzulässige Drehzahlzunahme. Ein Fliehkraftbolzen (oder Ring) entriegelt die Sperrung des Hauptventils der Dampfzufuhr, das dann durch Federkraft zuschlägt (Bild 17).

Bild 17. Sicherheitsregelung mit Schnellschlussventil

3.8 Radialturbinen

Bild 15. Drosselungsvorgang im i,s-Diagramm

Die Dampfströmung ist radial senkrecht zur Welle gerichtet. Die mehrstufige Arbeitsart kann Gleichdruckstufung sein, ist aber meist als Überdruckstufung ausgeführt, weil dann die Zwischenböden fortfallen. Die Einfach-Radialturbine (Siemens) hat feststehende Leitkränze, die zwischen die Laufradkränze greifen. Die Durchströmung ist wechselnd innen- und außenläufig. Durch ein vorgeschaltetes Gleichdruckrad (oder 2 C-Rad) kann ein kleiner Betriebsdruck im Turbinengehäuse erreicht werden. Die Doppelt-Radialturbine (Ljungström) arbeitet mit gegenläufigen Radscheiben, deren Kränze gegenseitig ineinandergreifen. Beide Kranzgruppen sind gleichartig. Die Laufschaufeln einer Radscheibe sind gleichzeitig die Leitschaufeln für die andere Radscheibe. Durch den Gegenlauf der Scheiben verarbeiten zwei aufeinander folgende Kränze soviel Energiegefälle, wie sonst in vier Laufradkränzen üblicher Überdruckstufung verarbeitet werden. Man erkennt den wesentlichen Bauvorteil (Bild 18).

3.9 Turbinenanlagen

Bild 16. Düsenkammern mit Regel Ventilen

Großturbinen der Kraftwerke (Elektrizitätserzeugung) bestehen meist aus Hoch-, Mittel- und Niederdrückteil mit Kondensatoranlage und verarbeiten ein großes Energiegefälle. Erreicht der Dampf 8 % bis 10 % Dampfnässe, so muss vor weiterer Nutzung Zwischenüberhitzung einsetzen. Sie erfolgt in einem mit

4 Wasserturbinen

L 29

4 Wasserturbinen

W. Böge

4.1 Stauanlagen Gestaut wird durch Wehr oder Staumauer, wodurch nutzbarer Höhenunterschied der Energielage des Wassers entsteht. Diese Höhendifferenz wirkt als Wasserdruckgefälle in der Turbinenanlage. 4.1.1 Niederdruckanlage Flussanlagen haben meist kleine Höhendifferenz und sind daher Niederdruckanlagen. Das Wasser fließt vom Einstaugebiet oberhalb des Wehrs durch den Obergraben zur Turbine und danach in den Untergraben ab. Bei natürlichen Gräben wird je nach Bodenbeschaffenheit 0,2 bis 1,0 m/s Zulaufgeschwindigkeit im Obergraben gewählt. Gemauerte oder betonierte Kanäle gestatten größere Werte, jedoch ist dann der größere Fallhöhenverlust zu beachten. Rechen und Kiesfang sorgen für Wasserreinheit. Überläufe (Übereich) vermeiden Überschwemmung bei Hochwasseranfall. Turbine und Obergraben können für Reparatur oder Kontrolle durch Haupt- und Leerlaufschütze wasserfrei gemacht werden. Das Bild 1 zeigt ein Anlagebeispiel. Bei Flussanlagen im Flachgelände liegt die Turbinenkammer direkt am Wehr ohne Obergraben. Wenn nötig, erhalten die Stauanlagen eine Schleusenkammer für den Schiffsverkehr mit Ober- und Unterkanal, wie im Anlagebeispiel vom Bild 2 zu erkennen ist. Bild 18. Radialturbinen Frischdampf beheizten Zwischenüberhitzer neben der Turbine oder im Zwischenüberhitzer des Kessels, wozu Hin- und Rücklaufrohre des Dampfes zwischen Turbine und Kessel erforderlich sind (Nachteil). Kondensatoranlagen entziehen durch Wasserrohrkühlung dem Abdampf die Verdampfwärme bei Unterdruck (Vakuum). Das entstehende Kondenswasser wird dem Dampferzeuger wieder zugeführt (Kreislaufbetrieb). Die Kühlwassermassen werden bei Frischwasserkühlung einem Flusslauf (oder Brunnen) entnommen. Ihre Kühlwirkung erreicht bis 0,03 bar Abdampfdruck im Kondensator. Bei Frischwassermangel muss das Kühlwasser in Kühltürmen rückgekühlt werden, wobei nur bis ca. 0,1 bar Abdampfdruck im Kondensator erreicht werden kann. Für Industriezwecke sind Gegendruck-, Entnahmeund Abdampfturbinen gebräuchlich. Gegendruckturbinen verarbeiten nur das obere Energiegefälle, der Rest dient anderen industriellen Heiz- und Wärmezwecken. Bei Entnahmeturbinen wird vor dem Mittel- oder Niederdruckteil Dampfströmung für andere Zwecke abgezweigt. Abdampfturbinen werden mit Abdampf niederen Druckes anderer Energie- oder Industriedampfanlagen gespeist.

Flusslau

f

Turbinenka Einlasssch Rechen

Bild 1. Niederdruckanlage mit Obergraben lus Anslechis g

Bild 2. Niederdruckanlage am Wehr

L 30

L Kraft- und Arbeitsmaschinen

4.1.2 Hochdruckanlage

Anlagen mit Staumauer als Talsperre erschaffen einen Stausee. Solche Stauseeanlagen haben große Höhendifferenz und gelten als Hochdruckanlagen. Vom Stausee führt ein Kanal oder Stollen das Wasser zum Wasserschloss. Von diesem fließt das Wasser durch Rohrleitungen zur Turbine und danach in den Untergraben ab. Das Bild 3 zeigt eine derartige Anlage. Absperrorgane der Rohrleitungen sind Absperrschieber. Der Rohrquerschnitt wird für 1 bis 3 m/s Wassergeschwindigkeit ausgelegt, wobei für lange Rohrstrecken der auftretende Strömungswiderstand (Verlusthöhe) zu beachten ist. Die Rohrwandstärke wird für den auftretenden Wasserdruck bemessen. Gute Lagerung, Bettung und Verankerung der Rohre sind erforderlich, besonders an Steilhängen mit großem Baugefälle. Die Linienführung der Rohrstrecke soll möglichst gerade sein. Längenänderungen an langen Rohrsträngen durch Temperaturschwankungen werden von Rohrstopfbuchsen aufgefangen.

Wasserschloss

H = z1 − z2 +

c12 − c22 2g

Bild 4. Turbine mit offenem Ober- und Unterwasserspiegel

Für die Spiralturbine nach Bild 5 errechnet sich die Fallhöhe H (p1  p2) aus H = z1 

c2 p1 c2  1 z2 2 Ug 2g 2g

H = z1 z 2 

p1 c12 c22  Ug 2g

Bild 3. Hochdruckanlage

4.2 Durchfluss, Höhenwerte Wasserturbinen sind als Strömungsmaschinen dadurch gekennzeichnet, dass bei Betrieb die Schaufelkanäle des Triebrades stetig vom Treibwasser durchströmt werden. Das sekundlich durch die Turbine strömende Wasser. volumen heißt Durchfluss oder Wasserstrom V und wird in m3/s gemessen. Die Fallhöhe H ergibt sich aus der Bernoullischen Druckhöhengleichung. p c2 p1 c2  1  z1  2  2  z 2 Ug 2g Ug 2g

p N m2

 Pa

c m s

z

m

g m

kg

s2

m3

U

(1)

Nach Bild 4 errechnet sich die Fallhöhe H (p1 = p2) aus H = z1 

c2 c12

z2 2 2g 2g

Bild 5. Spiralturbine mit Rohrzufluss

4.3 Freistrahlturbinen Sie arbeiten an Hochdruckanlagen mit großer Fallhöhe. In den Rohranlagen wirkt am unteren Rohrende die ganze Energiehöhe als Druckenergie auf den Rohrabschluss Die dort angebaute Düse wandelt Druckenergie in Strömungsenergie um. Die Energie des so erzeugten freien Wasserstrahls wird durch Ablenkung an der umlaufenden Radschaufel ausgenutzt. Die Turbine arbeitet als Gleichdruckturbine, weil das Wasser vor und hinter der Schaufel gleichen Druck hat. Die Beaufschlagung ist partiell, weil nur einige Schaufeln vom Strahl gleichzeitig getroffen werden. Mehrdüsige Bauart ist möglich, wodurch größere Drehzahl und Beaufschlagung erhalten wird.

4 Wasserturbinen

L 31

4.3.1 Turbinenleistung

Im Bild 6 ist die Betriebslage der Turbine zwischen Ober- und Unterwasserspiegel dargestellt.. Aus der Fallhöhe H und dem Durchfluss V .erhält man die theoretische Wasserleistung Pth = V H U g in Watt. Der Turbinenwirkungsgrad berücksichtigt auftretende Verluste.

unzulässigen Drehzahlanstieg. Die Anordnung der Nadel in der Düse zeigt das Bild 7 im Längsschnitt ebenso wie die Profilierung von Nadel und Düsenwand. Wird die Nadel vorgeschoben, so verkleinert sich der Austrittsquerschnitt des Wassers am Düsenmund und damit auch der Strahlquerschnitt. Der Durchfluss wird kleiner und dadurch die Leistung durch Mengenregelung der Last angepasst. Bei Vollöffnung für Vollleistung ragt die Nadelspitze aus den Düsenmund, so dass ringförmiger Austrittsquerschnitt vorliegt und der Strahldurchmesser d1 bei Volllast immer kleiner als der Munddurchmesser d0 ist. Düsenwand- und Nadelkopfprofil sind so geformt, dass bei allen Nadelstellungen des Regelhubes in der Düse der Querschnitt in Fließrichtung abnimmt, das Wasser also stets beschleunigt wird. Die Nadelspitze hat meist Kegelform. Ihr größter Kegeldurchmesser dk muss größer als der Munddurchmesser d0 sein, dann sind obige Arbeitsbedingungen der Nadel erfüllt. Der Spitzenwinkel des Wandprofils beträgt ca. 60 bis 80º. Die Betätigung der Nadel erfolgt durch hydraulische Kräfte, die durch einen Fliehkraftregler eingeleitet und gesteuert werden.

Bild 6. Freistrahlturbine

Damit ist die Turbinenleistung an der Welle . P=VH g

P

W

. V

U

3

kg

m s

m

3

H

m

(2)

4.3.2 Düse, Düsennadel

Verarbeitet die Düse die Druckhöhe hD = p / g, so entsteht nach dem Energiesatz mit der Geschwindigkeitszahl = ca. 0,98 die Strahlgeschwindigkeit c1 c1 =

2 g hD

m s

g m s2

hD



m

1

(3)

Nach dem Strömungsgesetz wird mit dem Durchfluss . V der Strahlquerschnitt . A1 c1 V  V 3 A1 = (4) m m c1 m2 s s Aus A1 = d 12 / 4 erhält man den Strahldurchmesser d1. Die Düse enthält die Düsennadel. Sie regelt bei Lastschwankungen die Turbinenleistung und verhütet

Bild 7. Düsen- und Nadelprofil einer Freistrahlturbine 4.3.3 Radschaufel

Der freie Wasserstrahl trifft die umlaufende Radschaufel. Sie hat Doppelschalenform mit Trennschneide und wird auch Doppellöffel, Doppelbecher genannt. Der Strahldurchmesser d1 bestimmt die Schaufelgröße. Richtwerte sind: Breite b = Länge l | (3 bis 4) d1; Tiefe t | (0,9 bis 1,0) d1; Ausschnittbreite a | 1,2 d1. Die Schneide teilt den Strahl beim Wassereintritt. Das Bild 8 zeigt den dadurch auftretenden Geschwindigkeitswinkel 1 beim Wassereintritt, der je nach Schneidensschärfe 6 bis 8º beträgt. Die Schaufelkrümmung erzeugt Wasserumlenkung. Wegen der nachfolgenden Schaufel am Rad wird nur auf 180º – 2 umgelenkt. Der Winkel 2 wird je nach Bedarf 8 bis 15º, jedoch so klein wie möglich gestaltet.

L 32

L Kraft- und Arbeitsmaschinen turbinen wird im Geschwindigkeitsplan die Komponentendifferenz  cu = cu 1 – cu 2 in Triebrichtung erkannt und mit der sekundlichen Durchflussmasse erhält man die Radtriebkraft . F = V U  cu

F

N

. V

U

 cu

3

kg

m s

m s

m3

(5)

Mit der Umlaufgeschwindigkeit u ist in allgemeiner Form die Radleistung Pu Pu = F u

W

F

u

N

m s

(6)

Die Radscheibengröße wird durch den Strahlkreisdurchmesser D1 festgelegt. Als Kleinstwert hierfür kann D1 min | 10 d1 gebaut werden. Im Geschwindigkeitsplan gilt als Umlaufgeschwindigkeit der Schaufel u = D1 n /60 bei der Raddrehzahl n. 4.3.5 Strahlablenker Bild 8. Radschaufel der Freistrahlturbine 4.3.4 Energienutzung

Der Geschwindigkeitsplan im Bild 9 zeigt die Verhältnisse der Energienutzung. Der Wassereintritt hat den Zuströmwinkel 1 = 0º und den kleinen Ablenkwinkel 1 durch die Schneidenschärfe. Die Schaufelschneide und das Strahlwasser haben gleiche Bewegungsrichtung. Das Wasser verlässt die Schalenwand mit kleinem Winkel 2 gegen u-Richtung. Die Komponenten wu 1 und wu 2 unterscheiden sich wenig von w1 und w2. Vereinfacht betrachtet wird dann w1 = c1 – u und mit w1 = w2 (ohne Reibzahl ) auch c2 = u – w1 = c1 – 2 w1.

Im Bild 10 ist die Wirkungsweise der Strahlablenker dargestellt. Bei plötzlicher Entlastung auf Leerlauf darf die Düsennadel nicht schlagartig den Durchfluss sperren, da hierdurch Wasserdruckstöße im Zuflussrohr und Düse entstehen und sie gefährden. Der sofort einschwenkende Ablenker leitet den Strahl (oder Teilstrahl) aus seiner Richtung derart ab, dass die Schaufeln nicht mehr getroffen werden. Nachfolgend regelt die Nadel langsam auf Neulast ein, wobei der Strahl allmählich vom Ablenker wieder frei gegeben wird. Nadel und Ablenker sind mechanisch oder hydraulisch gekoppelt und aufeinander abgestimmt.

Bild 10. Strahlablenker der Freistrahlturbine 4.3.6 Betriebsverhalten

Bild 9. Geschwindigkeitsplan der Freistrahlturbine

Die beste Energienutzung entsteht dann, wenn (vereinfacht) w = u = c1/2 wird mit c2 = 0 (genauer mit c2 als Kleinstwert bei Winkel 2 = 90º). Wie bei Dampf-

Jede Ent- oder Überlastung der Turbine bei Vollstrahlbetrieb erzeugt eine Drehzahländerung und damit schlechtere Energienutzung des Strahlwassers am Rad. Bei Kleinturbinen für mechanische Arbeitsleistung wird dieser Nachteil manchmal geduldet und nur für längere Minderlastfahrt die Wassermenge durch Handverstellung der Nadel der Last angepaßt. Bei Großanlagen, vor allem bei Elektrizitätserzeugung, muss eine gleichbleibende Drehzahl bei Laständerung gehalten werden.

4 Wasserturbinen

L 33

4.3.6.1 Regelbetrieb. Die Mengenregelung des Strahlwassers hält die Turbine für jede Last zwischen Leerlauf und Volllast auf konstanter Drehzahl. Die Strahl- und Umlaufgeschwindigkeit bleibt dabei erhalten, so dass im Geschwindigkeitsplan bei bester Energienutzung auch die Komponentendifferenz . cu gleich bleibt Die Triebkraft am Radumfang F = V U.  cu nimmt nur proportional mit dem Durchfluss V ab. Die Regelung zeigt Triebmomentanpassung bei gleichbleibender Winkelgeschwindigkeit.

Entlastung

Bild 12. Geschwindigkeitsplan für ungeregelte Überund Entlastung einer Freistrahlturbine

(Volllast) Durchfluss Bild 11. Wirkungsgradverlauf der Freistrahlturbine

Da hierbei kein zusätzlicher Energieverlust des Wassers auftritt, haben Freistrahlturbinen über weiten Lastbereich einen guten, fast gleichbleibenden Wirkungsgradverlauf, wie das Beispiel in Bild 11 erkennen lässt. 4.3.6.2 Überlastung. Bei Überlastung durch größeres Lastmoment M' als das Volllastmoment M sinkt die Drehzahl und die Leistung. In der Schaufel entsteht nicht mehr die beste Energienutzung. Das austretende Wasser hat noch Bewegungsenergie, c2' hat keinen Kleinstwert, wie der vereinfachte Geschwindigkeitsplan im Bild 12 erkennen lässt Das Verhältnis Überlast- zu Volllastmoment M'/M entspricht dem Treibkraftverhältnis F'/F und dem Verhältnis der Komponentendifferenz  cu' / cu im Geschwindigkeitsplan. Mit dieser vereinfachten Betrachtung (w2 = w1 und 1 = 2 = 0) erhält man für das Drehzahl- und Leistungsverhältnis in Abhängigkeit vom Momentverhältnis nach Bild 13 die Gesetzmäßigkeiten:

n' M' = 2− M n

(7a)

 M ' P' = M ' M 2  P  M 

(7b)

Man erkennt, dass bei zweifachem Volllastmoment Drehzahl und Leistung null wird. Praktisch tritt dieser Stillstand bereits bei M'/M = 1,9 ein.

Bild 13. Schaubild für ungeregelte Über- und Entlastung einer Freistrahlturbine

4.3.6.3 Durchgangsdrehzahl. Wird die Turbine ohne Regelung entlastet, so entsteht ein Drehzahlanstieg mit Leistungs- und Triebmomentabnahme. Die Strahlenergie wird nur teilweise am Rad ausgenutzt, das vom Rad ablaufende Wasser hat noch Bewegungsenergie. Die Betriebsverhältnisse und deren Gesetzmäßigkeiten sind hierbei ähnlich wie bei Überlastung, wie in den Bildern 12 und 13 dargestellt wird. Die bei ungeregelter Entlastung auftretende Höchstdrehzahl heißt Durchgangsdrehzahl nd. Sie liegt praktisch bei 1,9 facher Volllastdrehzahl, rechnerisch nach den vereinfachten Gesetzmäßigkeiten bei zweifachem Wert. Aus Sicherheitsgründen muss die Turbine (und der Generator) diese Drehzahl ertragen können, auch wenn eine Regelanlage vorhanden ist.

L 34

L Kraft- und Arbeitsmaschinen m ( ' = 0,98) s m (2 = 10º) = w2 cos 2 = 48,8 s

w2 = ' w1 = 49,5 wu 2

Umlaufkomponente cu 2 = u – wu 2 = 1,2

Bild 14. Druckverlauf bei Abschaltung einer Freistrahlturbine 4.3.6.4 Abschaltdruck. Jede Durchflussänderung der Wasserströmung erzeugt Druckänderung im Wasser. Beim Abschaltvorgang entsteht Druckanstieg. Der Übergang vom Strömungsdruckzustand pe bis zum Ruhedruckzustand pe0 verläuft als Druckschwingung (Bild 14). Der größte hierbei auftretende Abschaltdruck pe max ist für Rohr- und Düsenfestigkeit maßgebend. 4.3.7 Übungsbeispiel (Freistrahlturbine)

m s

Umlaufkomponentendifferenz m  c = c1 – cu 2 = 98,8 s Leistung am Radumfang . . Pu = m  c u = V U c u Pu = 18 000 · 98,8 · 50 W = 88 920 000 W Pu Wirkungsgrad  = = 0,933 V g h D

4.4 Francisturbinen Sie arbeiten an Hoch- und Niederdruckanlagen bis zu kleinen Fallhöhen herunter (H = 1 bis 400 m) bei . großem Durchfluss V. An Hochdruckanlagen mündet der Rohrzufluss im Spiralgehäuse der Turbine, bei Niederdruck hat man einen offenen Zufluss (Bilder 4 und 15).

Betriebswerte:

. m3 über 6 Düsen Wasserdurchfluss V = 18 s Druckgefälle in den Düsen 54 bar Drehzahl des Laufrades n = 360 min–1 Düsenwerte:

. V m3 Wasserstrom je Düse V1 =  3 6 s Düsenreibzahl = 0,97 Strahlgeschwindigkeit c1 = ϕ 2 g hD = 0,97 19,6⋅540

m m =100 s s

V = 30 000 mm2, c1 Strahldurchmesser d1 = 196 mm

Strahlquerschnitt A1 =

Laufradwerte: c1 m  50 2 s Strahlkreisdurchmesser D1 = 2,653 m Löffelbreite b = 3,5 d1 = 686 mm Außenranddurchmesser Da = D1 + l = 3 339 mm (l = b)

Umlaufgeschwindigkeit u =

Radleistung: Relative Geschwindigkeiten

w1 = (c1 – u) sin 82º = 50,5

m (1 = 8°) s

Bild 15. Francisturbine, Langsamläufer 4.4.1 Leitrad

Vor dem Laufrad durchströmt das Wasser drehbare Leitschaufeln, die für die Zuströmrichtung unter Winkel  . 1 sorgen und zur Regelung der Durchflussmenge V dienen. Ihre Kanäle zeigen schwache Düsenform, um den Fallhöhenanteil h1 in Strömungsenergie umzuwandeln (c0 = 2 g h1 ) . Die Zuströmung ist vollbeaufschlagt.

4 Wasserturbinen 4.4.2 Laufrad

Im Laufrad wird der größere Fallhöhenanteil hü verarbeitet. Die Laufradschaufeln bilden düsenförmige Strömungskanäle mit Ablenkkrümmung, so dass gleichzeitig Energie erzeugt und genutzt wird. Am Laufrad wirkt Überdruck, der den Fliehkraftdruck . überwindet und Energiezunahme um V U/2 (w22 – w21) erzeugt. Das Verhältnis hü/H heißt Reaktionsgrad. Die Turbine arbeitet als Überdruckturbine.

L 35 Pu =

m · [(c21 + u21 – w21) – (c22 + u22 – w22)] 2 Eintritt Austritt

4.4.3 Saugrohr

Durch das Saugrohr kann die Turbine über den Unterwasserspiegel hochgesetzt werden, ohne dass die wirksame Fallhöhe verloren geht. Es dient auch zum Rückgewinn hoher Austrittsenergie des Laufradwassers. Das Wasser wird von c3 auf c4 verlangsamt, indem der Rohrquerschnitt von A3 auf A4 erweitert wird. Für gute Strömung und gute Rückgewinnwirkung muss der Erweiterungswinkel kleiner als 12º sein. Große Querschnittsänderung A4/A3 = c3/c4 verlangt dann große Baulängen des Rohres, wodurch bei kleiner Saughöhe abgekrümmte Rohre mit langem waagerechten Auslaufteil notwendig sind (Bild 16). Als Saughöhe Hs gilt die Entfernung vom Unterwasserspiegel bis zur Leitradunterkante oder bis zur Mitte vom Spiralgehäuse.

Bild 17. Geschwindigkeitsplan der Francisturbine (Langsamläufer)

Das Austrittsdreieck zeigt c22 + u22 – w22 = 0; am Eintrittsdreieck ist nach dem Cosinussatz c21 + u21 – w21 = 2 u1 c1 cos 1; dann ist mit c1 cos 1 = cu 1 eingesetzt die Radleistung . Pu = m u1 cu 1

. m kg s

u, cu 1

Pu

m s

Nm =W s

(8)

. . Wird Pu und  Pth gleichgesetzt, so ist m u1 cu 1 = m g H  und gekürzt entsteht die allgemein gebräuchliche Turbinengleichung Bild 16. Abgekrümmtes Saugrohr 4.4.4 Energienutzung, Turbinengleichung

Im Bild 17 ist ein Laufradkanal mit den Verhältnissen der Wasserströmung dargestellt. Der Wassereintritt am Rad erfolgt mit c1 unter den Zuströmwinkel 1. Stoßfreier Wassereintritt verlangt Winkel 1 bei Umlaufgeschwindigkeit u1. Am Wasseraustritt wird wieder eine optimale Energienutzung erreicht, wenn das Wasser mit einem Kleinstwert c2 unter dem Winkel 2 = 90º austritt. Winkel 2 ist ca. 20º bis 30º bei normaler Bauart. Die im Radkanal zwischen Ein- und Austritt auftretenden Energiedifferenzen der sekundlichen Wassermasse ergeben summiert die Radleistung Pu. Es gilt: m Pu = · [(c21 – c22) + (u21 – u22) + (w22 – w21)] (7) 2 oder umgestellt

H g H  = u1 cu 1

m

g m s2

u1, cu 1  m 1 s

(9)

Sie zeigt, dass bei vorliegender Fallhöhe H um so größere Umlaufgeschwindigkeit am Rad auftritt, je kleiner der Wert cu 1 = c1 cos 1 wird. Dies erreicht man durch eine kleine Druckhöhe h1 im Leitrad und einen großen Überdruck hü im Laufrad. Man erkennt: Überdruck erzeugt Schnellläufigkeit der Turbinen. Ist am Wasseraustritt der Abströmwinkel nicht 90º, so entsteht die Geschwindigkeitskomponente cu 2 und es gilt als Turbinengleichung g h  =. u1 cu 1 – u2 cu 2. Für die Durchströmung im Rad gilt V = A1 cm 1 = A2 cm 2, wobei A1 und A2 der Eintritts- bzw. Austrittsquerschnitt des Rades ist und cm 1 bzw. cm 2 die radialen Geschwindigkeitskomponenten (d.h. in Meridianrichtung) von c1 und c2 sind. Bei Anströmwinkel 2 = 90º wird cm 2 = c2 und cu 2 = 0.

L 36

L Kraft- und Arbeitsmaschinen

4.4.5 Radformen

Je näher die Schaufelflächen zur Radmitte gebaut werden, um so größere Raddrehzahl kann erreicht werden. Man unterscheidet drei Typen. Liegen die Flächen nur im radialen Strömungsgang, so spricht man vom Langsamläufer. Hier ist D1 größer als D2, wie es Bild 15 bereits aufzeigt und wie auch im Bild 18 dargestellt ist. Beim Normalläufer liegen die Schaufelflächen im Umlenkteil der Strömung mit radialer Zuströmungsebene zur Eintrittskante der Schaufel (cm 1) und mit axialer Abströmung cm 2 von der Austrittskante. Die Raddurchmesser D1, D2 und D3 sind annähernd gleich groß. Die Schaufelflächen sind doppelt gekrümmt, also schwerer herstellbar als beim Langsamläufer. Wird nur der untere Umlenkteil der Strömung durch Schaufelflächen besetzt, so entsteht der Schnelläufer. Die Eintritts- und Austrittskante der Schaufelflächen haben fast gleichen mittleren Durchmesser Dm. Sämtliche drei Bautypen sind im Bild 18 zum Vergleich dargestellt. Wird bei den Rädern der Austrittsquerschnitt A2 klein gestaltet, so erhält man kleine Raddurchmesser und. damit eine hohe Drehzahl der Turbine. Aus A2 = V . /cm 2 oder bei 2 = 90º auch A2 = V/c2 folgt, dass man kleine Durchmesser durch große c2-Werte erreichen kann. Deshalb wird die Austrittsenergie des Wassers relativ groß gewählt, die dann im Saugrohr durch Verlangsamen wiedergewonnen wird. Richtwerte sind: c22 /2 g = H/10 für Normalläufer, c22 /2 g = H/5 für Schnellläufer und c22 /2 g = H/20 für Langsamläufer.

Stoßkomponente ws, die entweder Bremswirkung hat oder Turbulenz im Radkanal erzeugt. Auch der Wasseraustritt erfolgt unter anderem Winkel 2' , wodurch c2' eine Rotationskomponente cu' 2 erhält. Diese Rotationsenergie des Austrittswassers lässt sich im Saugrohr nicht zurückgewinnen und ist Energieverlust. Das Bild 19 zeigt obige Folgeerscheinungen der Regelung. Die Nachteile sind: Stoßeintritt und Turbulenz oder Bremswirkung, größere Austrittsverluste durch Rotationsenergieminderung, Wirkungsgradverschlechterung der Turbine.

Bild 19. Geschwindigkeitsplan der Francisturbine bei Regelung für konstante Drehzahl 4.4.7 Betriebsverhalten

Lastschwankungen im praktischen Betrieb verlangen Regelung der Turbine für konstante Betriebsdrehzahl. Die geschilderten Regelungsnachteile ergeben einen schlechteren Wirkungsgradverlauf bei Francisturbinen als bei Freistrahlturbinen. Das Bild 20 zeigt das Betriebsverhalten bei Durchflussregelung zwischen Leerlauf bis 1,5 fachen Volllastdurchfluss bei n = konstant. Man erkennt einen brauchbaren Wirkungs. . gradverlauf im Regelbereich von 0,6 bis 1,4 V (V Volllastdurchfluss mit Bestnutzung).

Schnellläufer Bild 18. Radformen der Francisturbinen 4.4.6 Regelung

Die Verdrehung der Leitschaufeln verkleinert den Austrittsquerschnitt des Leitrades und damit auch den . Durchfluss V = c0 A0. Hierdurch entsteht Mengenregelung für die Lastanpassung. Dabei wird die Richtung von c1 zum Laufrad geändert und am Wassereintritt entsteht bei gleicher Raddrehzahl (u1 = konstant) eine kleinere Relativgeschwindigkeit w1' mit der

Durchfluss Bild 20. Wirkungsgradverlauf der Francisturbine

Für diesen Leistungsbereich werden Francisturbinen vorausgeplant und gebaut. Außerhalb dieses vorgesehenen Leistungsbereichs muss der schlechtere Wirkungsgrad geduldet werden.

4 Wasserturbinen

L 37

4.4.8 Übungsbeispiel (Francisturbine) Betriebswerte:

. m3 Wasserdurchfluss V = 2 s Druckgefälle 14 bar, Turbinendruckhöhe h = 140 m Drehzahl des Turbinenrades n = 750 min–1

Leistung am Radumfang: . Pu = m u1 cu 1 = 2 380 500 W

Wirkungsgrad am Radumfang Pu = = 0,867 V g h

Laufradumrisse:

Saugrohr:

Wandwinkel am Wasseraustritt 2 = 26º (gewählt) Wasseraustrittsgeschwindigkeit · m§ c2 c2 = 0,08 g h  10,5 ¨ aus 2  0,04 h   s ¨© 2g ¹ Umlaufgeschwindigkeit c2 m u2 =  21,5 tan  2 s Laufraddurchmesser u D2 = 2 = 0,548 m,

n gewählt D2 = 550 mm mit

Saugrohrdurchmesser D3 = 500 mm (gewählt) mit A3 = 0,196 m2 Saugrohrquerschnitt A4 = 1 m2 (gewählt) Saugrohrgeschwindigkeiten V m  10,2 c3 = A3 s

m m und c2 = 10,54 s s V Wasseraustrittsquerschnitt A2 = = 0,189 m2 c2

4.5 Kaplanturbinen

u2 = 21,6

1,15 A2 = 0,126 m, D2 mit 15 % Schaufelwandeinfluss aus 1,15 A2 = D2 b2 ermittelt

Austrittshöhe der Radkanäle b2 =

Relative Geschwindigkeit

c4 = c3

grad)

A3 m 2 A4 s

(ohne Saugrohrwirkungs-

Um den nachteiligen Stoßeintritt und die Rotationskomponente cu 2 der Francisturbine bei Regelung zu vermeiden, werden die Schaufeln des Laufrades verstellbar gebaut. Hohe Drehzahl des Laufrades erreicht man mit großer Austrittsenergie des Wassers aus dem Laufrad (L 50, 4.4.5). Es wird c22/ 2 g = 0,3 bis 0,4 H gewählt, wodurch für Verlangsamung des Wassers große Baulängen des Saugrohres auftreten können. 4.5.1 Leitrad

c2 m w2 =  24,1 sin  2 s

Geschwindigkeitszahl für die Leit- und Laufradkanäle = 0,93 (gewählt) Umlaufgeschwindigkeit u1 mit 1 = 90º und u1 = cu 1 nach der Turbinengleichung u1 cu 1 = 2 g h m u1 = 34,5 s Laufraddurchmesser D2 = 0,878 m

Das Leitrad hat gleiche Bauart und Regelwirkung wie bei Francisturbinen. Die Leitschaufeln führen das Wasser tangential in den schaufelfreien Umlenkraum, wo es zusätzliche Fallströmung erhält.

Zuströmwinkel 1 = 16,8º nach cm 1 = c2 und cm1 tan 1 = u1 Wassereintrittsgeschwindigkeit cm 1 m c1 = = 36,3 sin 1 s Relative Geschwindigkeit w1 = cm 1 = 10,5 Eintrittshöhe der Radkanäle b1 = b2

m s

D2 = 79 mm D1

Bild 21. Kaplanturbine

Das Bild 21 lässt den Umlenkraum vor dem Laufrad erkennen.

L 38

L Kraft- und Arbeitsmaschinen

4.5.2 Laufrad

4.5.4 Übungsbeispiel (Kaplanturbine)

Die flügelförmigen Schaufeln sind drehbar in der Radnabe gelagert. Ihr Verstelltrieb wird durch die hohle Radwelle zugeführt. Die Gehäusedurchmesser sind meist fast gleich dem Saugrohrdurchmesser D3 ~ D2 ~ D1. Der Nabendurchmesser ist Dn = 0,3 bis 0,5 Dk, worin Dk = Kugeldurchmesser des mittleren Gehäuseteils ist.

Betriebswerte: Wasserdurchfluss . m3 V = 67 s Nutzgefälle h = 3,5 m

4.5.3 Doppelregelung

Laufradumrisse: Wasseraustrittsgeschwindigkeit m c2 = 0, 4 h) c2 = 0,8 g h = 5, 24 (aus s 2g Wasseraustrittsquerschnitt V A2 = = 12,79 m2 c2 Bauverhältnisse D1 = D2 = D3 = Dk, Dn = 0,444 D3 (gewählt)

Bei der Mengenregelung für Lastanpassung mit konstanter Drehzahl werden Leit- und Radschaufeln . gleichzeitig verstellt. Der geringere Durchfluss V' ' verlangt am Rad bei . konstantem u kleinere Werte cm und c2' , weil V' = A1 cm' = A2 c2' kleiner ist als . V = A1 cm 1 = A2 c2. Hierbei soll der Abströmwinkel 2 = 90º erhalten bleiben, wie es im Bild 22 dargestellt ist, damit im Saugrohr das Wasser keine Rotationsenergie aufweist, weil diese dort nicht zurückgewonnen werden kann. Die genaue Abstimmung beider Schaufelverstellungen auf diese guten Austrittsbedingungen ist anzustreben.

Gehäusedurchmesser D3 =

4 A2

π 0,803

= 4,5 m (aus A2 =

π 4

( D32 − Dn2 ))

Nabendurchmesser Dn = 0,444 D3 = 2 m Flügellänge D Dn = 1,25 m lf = 3 2 Querschnittserweiterung auf A3 = 15,9 m2 über Baulänge ln = 2,2 m Saugrohrgeschwindigkeiten

V m m = 4,21 , c4 = 2 (gewählt) s s A3 Saugrohraustrittsquerschnitt V m = 33,5 A4 = s c4 c3 =

Bild 22. Radschaufelverstellung bei Regelung der Kaplanturbine

Durch diese Doppelregelung wird über weitem Lastbereich ein guter Wirkungsgradverlauf erzielt ähnlich wie bei Freistrahlturbinen. Das angeführte Beispiel . im Bild 23 zeigt zwischen 0,3 bis 1,6 V brauchbaren Regelbereich mit guten Wirkungsgraden.

Durchfluss Bild 23. Wirkungsgradverlauf der Kaplanturbine

Geschwindigkeiten in Flügelmitte: Mittlerer Laufdurchmesser D  Dn D= 3  3,25 m 2 Flügelwinkel 2 = 24º (gewählt) Umlaufgeschwindigkeit m c2 c2 u= = 11, 78 (aus tan β 2 = ) tan β 2 s u Raddrehzahl u = 69 min–1 u=

D Geschwindigkeitszahl = 0,95 (gewählt) Umlaufkomponente 30,9 m cu 1 =  2,62 u s

4 Wasserturbinen

L 39

aus der Turbinengleichung u cu 1 = 2 g h = 30,9

m

Strömungsquerschnitte geändert werden. Für . den . ' Wassereintritt wird A0 = V'/ cm' auf A0 q = Vq/cm 2/D 2 = n2/n' 2 folgt n = verändert. Aus A / A = D q q 0 0 q q . . n/ H sowie V' = V/ H . Eingesetzt ergibt sich daraus das Ähnlichkeitsgesetz

2

s2

Zuströmwinkel 1 = 63,5º nach cm 1 = c2 und tan 1 =

cm 1 cu 1

nq =

Wassereintrittsgeschwindigkeit cm 1 m c1 =  5,85 sin 1 s

1 = 30º (nach tan 1 =

u cu 1

V

H

H

H

. V

min–1 m

m3 s

nq, n μ

(10)

Richtwerte sind:

Flügelwinkel cm 1

n

= 0,572)

Relative Geschwindigkeiten cm 1 c2 m m  12,9 w1 =  10,5 , w2 =  s sin sin 1 s 2

Freistrahlturbine, 1 Düse 4 Düsen

nq = nq =

Francisturbine, Langsamläufer nq = Francisturbine, Normalläufer

nq =

0 ... 9;H = 2 000 m 9 ... 18; 15 ... 45;c2 / 2 g = H/20 2 45 ... 75;c2 / 2 g = H/10 2 75 ... 120;c2 / 2 g = H/4

Francisturbine, Schnellläufer

nq =

Kaplanturbine

nq = 130 ... 300;c22 / 2 g = H/2

2

Leistung am Radumfang: . Pu = m u cu 1 = 2 067 861 W

Wirkungsgrad am Radumfang

=

Pu = 0,899 V g h

4.6 Spezifische Drehzahl Die Turbinenarten unterscheiden sich hauptsächlich durch die Radschaufelformen, die als Doppelschalen, einfach oder doppelt gekrümmte Blattflächen und als Flügel auftreten. Zur Kennzeichnung der Turbinenart benutzt man diejenige Drehzahl der. Turbine, die an 1 m Fallhöhe mit einem Durchfluss V = 1 m3/s arbeitet. Diese Drehzahl heißt spezifische Drehzahl nq. Räder für andere Fallhöhen und anderen Durchfluss sind formähnlich, haben aber andere Abmessungen und andere Drehzahlen. Ihr Zusammenhang mit der spezifischen Drehzahl zeigt das Ähnlichkeitsgesetz, dem folgende Überlegungen zu Grunde liegen. Mit Abnahme der Fallhöhe H auf 1 m nimmt bei gleichbleibender Leitradöffnung der Turbine der Fallhöhenanteil h1 proportional mit H auf h1' = h1/ H ab. Der Geschwindigkeitsplan im Bild 24 lässt erkennen, dass dadurch alle Geschwindigkeitswerte im Verhältnis 1 : H abnehmen und die Turbinendrehzahl auf n' = n/ H absinkt. . . Der Durchfluss sinkt ebenfalls auf V' = V / H , weil ' = cm / H abnimmt. Die Leistung ändert cm auf cm sich ebenfalls und ergibt sich aus P' = P / H . Soll ' nun . an 1 m Fallhöhe . bei gleichem cm der Durchfluss V' auf den Wert Vq = 1 m3/s abnehmen, müssen die

Bild 24. Geschwindigkeitsplan einer Francisturbine bei Fallhöhenänderung mit Bestnutzung

4.7 Kavitation An kleinen Fallhöhen erhöht die Saugwirkung die Strömungsgeschwindigkeit, so dass ein kleiner Bauquerschnitt mit hoher Turbinendrehzahl erreicht wird. Für 2 m Fallhöhe ist ohne Saugwirkung  = 2 g 2 = 6,3 m/s, kann aber theoretisch auf ' = 2 g (2 + B) = 2 g (2 + 10) = 15,5 m/s gesteigert werden, wenn der Luftdruck 1 bar beträgt. Ausnutzungsgrenze der Saugwirkung ist der Dampfdruck pD des Wassers, der von der Wassertemperatur abhängig ist. Übersichtstabelle: Temperatur  in ºC

0

10

20

30

40

50

Dampfdruck pD in Pa 611 1 228 2 337 4 241 7 374 12 340

L 40

L Kraft- und Arbeitsmaschinen

Sinkt durch Saugwirkung der Wasserdruck unter Dampfdruck, so entstehen Dampfblasen, die nachfolgend an Stellen mit höheren Druck in der Strömung schlagartig kondensieren und zusammenbrechen (Schlaggeräusch!). Diese Erscheinung heißt Hohlraumbildung oder Kavitation. Sie erzeugt Energieverlust und Wandzerstörung. Die Stelle kleinsten Druckes in der Strömung liegt meist am Laufradaustritt. Hier muss der Druck noch so groß sein, dass sich die Strömung nicht von der Schaufel- oder Führungswand ablöst, weil sonst Kavitation entstehen würde. Dieser sogenannte Haftdruck h0 wird für die Turbinenarten durch Versuch ermittelt. Auf 1 m Fallhöhe umgerechnet erhält man die Thomasche Kavitationszahl  = h0/H.

schwindigkeit der Winkraftanlage liegt bei ca. 60 m/s Windgeschwindigkeit.

Übersichtstabelle (Richtwerte):

Bild 1. Windgeschwindigkeit in Nabenhöhe

Spezifische Drehzahl nq in min–1

15

30

60

90 120 150 180 210 240 270

0,03 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2

Kavitationszahl 

Mit dem Luftdruck pL, dem Saugdruck pS und dem Dampfdruck pD wird am Laufradaustritt der kleinstmögliche Druck  pmin = pL – U g Hs – U g hD. Daraus ergibt sich die anwendbare Fallhöhe aus H = pL/U g – Hs – hD. Bei einem mittleren Luftdruck pL = 1 bar und hD sehr klein wird angenähert V H= 10 – Hs. Daraus folgt, dass schnellläufige Turbinen mit großer Kavitationszahl nur für kleinere Fallhöhen geeignet sind. ■ Beispiel: Kaplanturbine mit nq = 150 min–1, V = 0,4 und Hs = 0 kann mit 1

– = 25 m Fallhöhe arbeiten. Durch die Saughöhe Hs maximal H = V verringert sich die maximale Fallhöhe weiter.

5 Windkraftanlagen

W. Böge

5.2 Aufbau einer Windkraftanlage 5.2.1 Rotor Bild 2 zeigt den Aufbau der Gondel, die den gesamten Triebwerkskopf aufnimmt. Die Rotoren werden meist als Dreiblatt-Luvläufer ausgelegt. Bei Luvläufern befindet sich der Rotor – in Richtung dies anblasenden Windes gesehen – vor dem Turm der Anlage. Bei drehendem Wind erfolgt die Nachführung des Rotors automatisch. Die Rotordurchmesser sind abhängig von der geplanten Nennleistung und den durchschnittlichen Windgeschwindigkeiten. Anhaltswerte für Rotordurchmesser (Bild 3). Die Leistungsregelung erfolgt über die Verstellung der Rotorblätter. Werkstoffe für Rotoren sind glasfaser- oder kohlefaserverstärkte Kunststoffe.

5.1 Nutzung der kinetischen Energie Windkraftanlagen können bei Windgeschwindigkeiten ab 5 m/s Strom erzeugen. Die Nennleistung wird bei Windgeschwindigkeiten in Nabenhöhe von 12 bis 16 m/s erreicht, was ungefähr der Windstärke 7 entspricht. Probleme ergeben sich durch stark wechselnde Windgeschwindigkeiten. Dadurch ist das Energieangebot so unterschiedlich, dass die durch den Wind produzierte Energie meist nur in das vorhandene Stromnetz eingespeist werden kann. Ein gleichmäßigeres Energieangebot kann durch Zusammenfassung von Windkraftanlagen zu Windparks erreicht werden. Durch den Einfluss von Sturmwinden oder Böen können Windkraftanlagen schwer beschädigt werden. Deshalb erfolgt bei ca. 16 m/s ein Strömungsabriss an den Rotorblättern (Bild 1). Bei ca. 25 m/s wird der Rotor abgeschaltet. Die maximale Sicherheitsge-

Bild 2. Gondel einer Windkraftanlage (MAN)

L 40

L Kraft- und Arbeitsmaschinen

Sinkt durch Saugwirkung der Wasserdruck unter Dampfdruck, so entstehen Dampfblasen, die nachfolgend an Stellen mit höheren Druck in der Strömung schlagartig kondensieren und zusammenbrechen (Schlaggeräusch!). Diese Erscheinung heißt Hohlraumbildung oder Kavitation. Sie erzeugt Energieverlust und Wandzerstörung. Die Stelle kleinsten Druckes in der Strömung liegt meist am Laufradaustritt. Hier muss der Druck noch so groß sein, dass sich die Strömung nicht von der Schaufel- oder Führungswand ablöst, weil sonst Kavitation entstehen würde. Dieser sogenannte Haftdruck h0 wird für die Turbinenarten durch Versuch ermittelt. Auf 1 m Fallhöhe umgerechnet erhält man die Thomasche Kavitationszahl  = h0/H.

schwindigkeit der Winkraftanlage liegt bei ca. 60 m/s Windgeschwindigkeit.

Übersichtstabelle (Richtwerte):

Bild 1. Windgeschwindigkeit in Nabenhöhe

Spezifische Drehzahl nq in min–1

15

30

60

90 120 150 180 210 240 270

0,03 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2

Kavitationszahl 

Mit dem Luftdruck pL, dem Saugdruck pS und dem Dampfdruck pD wird am Laufradaustritt der kleinstmögliche Druck  pmin = pL – U g Hs – U g hD. Daraus ergibt sich die anwendbare Fallhöhe aus H = pL/U g – Hs – hD. Bei einem mittleren Luftdruck pL = 1 bar und hD sehr klein wird angenähert V H= 10 – Hs. Daraus folgt, dass schnellläufige Turbinen mit großer Kavitationszahl nur für kleinere Fallhöhen geeignet sind. ■ Beispiel: Kaplanturbine mit nq = 150 min–1, V = 0,4 und Hs = 0 kann mit 1

– = 25 m Fallhöhe arbeiten. Durch die Saughöhe Hs maximal H = V verringert sich die maximale Fallhöhe weiter.

5 Windkraftanlagen

W. Böge

5.2 Aufbau einer Windkraftanlage 5.2.1 Rotor Bild 2 zeigt den Aufbau der Gondel, die den gesamten Triebwerkskopf aufnimmt. Die Rotoren werden meist als Dreiblatt-Luvläufer ausgelegt. Bei Luvläufern befindet sich der Rotor – in Richtung dies anblasenden Windes gesehen – vor dem Turm der Anlage. Bei drehendem Wind erfolgt die Nachführung des Rotors automatisch. Die Rotordurchmesser sind abhängig von der geplanten Nennleistung und den durchschnittlichen Windgeschwindigkeiten. Anhaltswerte für Rotordurchmesser (Bild 3). Die Leistungsregelung erfolgt über die Verstellung der Rotorblätter. Werkstoffe für Rotoren sind glasfaser- oder kohlefaserverstärkte Kunststoffe.

5.1 Nutzung der kinetischen Energie Windkraftanlagen können bei Windgeschwindigkeiten ab 5 m/s Strom erzeugen. Die Nennleistung wird bei Windgeschwindigkeiten in Nabenhöhe von 12 bis 16 m/s erreicht, was ungefähr der Windstärke 7 entspricht. Probleme ergeben sich durch stark wechselnde Windgeschwindigkeiten. Dadurch ist das Energieangebot so unterschiedlich, dass die durch den Wind produzierte Energie meist nur in das vorhandene Stromnetz eingespeist werden kann. Ein gleichmäßigeres Energieangebot kann durch Zusammenfassung von Windkraftanlagen zu Windparks erreicht werden. Durch den Einfluss von Sturmwinden oder Böen können Windkraftanlagen schwer beschädigt werden. Deshalb erfolgt bei ca. 16 m/s ein Strömungsabriss an den Rotorblättern (Bild 1). Bei ca. 25 m/s wird der Rotor abgeschaltet. Die maximale Sicherheitsge-

Bild 2. Gondel einer Windkraftanlage (MAN)

5 Windkraftanlagen

L 41 5.2.2 Bremse

Die Rotorbremse begrenzt eine mögliche Rotor-Überdrehzahl z.B. durch Sturm oder durch Lastabwurf bei Netzstörungen. Sie wirkt über zwei voneinander unabhängig arbeitende hydraulische Bremssysteme.

5.3 Getriebe und Generator

Bild 3. Rotordurchmesser in Abhängigkeit von der Nennleistung

Bei den Getrieben werden zwei- oder dreistufige Planetengetriebe mit elastischen Kupplungen zur Generatorseite hin eingesetzt. Bei den Generatoren handelt es sich hauptsächlich um asynchrone Wellengeneratoren, die bei Nennleistungen über 200 kW auch hintereinander geschaltet werden, um – je nach Windstärke – einen breiteren Leistungsbereich abdecken zu können.

Bild 4. Windkraftanlage mit einer Nennleistung von 400 kW (Dorstener)

L 42

6 Pumpen

L Kraft- und Arbeitsmaschinen W. Böge

Pumpen fördern Flüssigkeiten auf ein höher gelegenes Niveau. Pumpen sind Arbeitsmaschinen, weil ihnen mechanische Energie zugeführt wird. Diese mechanische Energie wird umgewandelt in Druckund kinetische Energie.

6.1 Fördermenge, Förderhöhe Als Fördermenge (Förderstrom, Durchsatz) wird .nur das nutzbare Flüssigkeitsvolumen je Zeiteinheit V in m3/s bezeichnet. Entlastungs-, Leck- und entnommene Kühlflüssigkeiten für die Pumpenanlage zählen nicht zum Förderstrom. Die Förderhöhe h in m (Bild 1) wird als Nutzförderhöhe bezeichnet. Zunächst muss in der Saugleitung durch die Pumpe ein Unterdruck erzeugt werden, damit die Flüssigkeit aus der Lage z1 über die Saugleitung bis zur Pumpe gelangen kann. Dann wird ein Überdruck erzeugt, damit die Flüssigkeit über die Druckleitung auf die Lage z2 transportiert werden kann.

sich für Wasser eine nutzbare Saughöhe von maximal 7 m erreichen. Bei Wassertemperaturen über 70 ºC muss auf das Ansaugen ganz verzichtet werden; man lässt in diesem Fall das Wasser der Pumpe zulaufen. Neben der nutzbaren Saughöhe hs und der Druckhöhe hd müssen noch sämtliche Widerstände in der Saugund Druckleitung, in Armaturen, Krümmern, Messgeräten und Filtern überwunden werden. Widerstände treten auch durch Geschwindigkeitsänderungen infolge Querschnittsunterschieden in den Leitungen auf. Daraus ergibt sich die erforderliche Förderhöhe herf (herf > h): herf = h +

p2 p1 c22 c12   hv Ug 2g

herf, h, hv p1, p2 U N kg m 2 m m3

g m

c1, c2

(2)

m s

s2

nutzbare Förderhöhe

h c22 c12 2g p 2 p1 Ug hv

Geschwindigkeitshöhe Druckhöhe Widerstandshöhe

6.2 Pumpenleistung und Wirkungsgrad Die Nutzleistung einer Pumpe ergibt sich aus der . Fördermenge V und der Förderhöhe herf: . Pn = V herf U g . Pn V W, kW Bild 1. Pumpenanlage Die Nutzförderhöhe setzt sich zusammen aus der Saughöhe hs und der Druckhöhe hd: h = hs + hd

(1)

Ausschlaggebend für die Saugwirkung ist bei allen Pumpen der atmosphärische Druck bei offenem Saugbehälter oder der Druck p1 bei geschlossenem Saugbehälter. Bei einem atmosphärischem Druck von ca. 1 bar könnte theoretisch die Saughöhe für Wasser als Förderflüssigkeit 10 m betragen. Die praktisch erreichbare Saughöhe ist allerdings wesentlich geringer, da der tatsächliche Barometerstand, die Wassertemperatur und die am Ende der Saugleitung vorhandene Geschwindigkeitsenergie des Wassers berücksichtigt werden muss Durch diese Umstände lässt

m s

3

herf m

U

g

kg

m

m3

s2

(3)

Die Wellenleistung Pa an der Kupplung muss größer sein, da Leck-, Wirbel-, Radreibungs-, Gleitflächenund Spaltverluste auftreten können (Pa > Pn). Durch das Verhältnis von Pa zu Pn wird der Wirkungsgrad p bestimmt:

p =

Pn Pa

(4)

p ist außerdem das Produkt aus mechanischem Wirkungsgrad m und hydraulischem Wirkungsgrad h: p = m h (5) Der Gesamtwirkungsgrad ges ergibt sich als Produkt der Wirkungsgrade des Antriebsmotors mot, der Steigleitung l und der Pumpe p:

ges = mot l p

(6)

6 Pumpen Der hydraulische Wirkungsgrad h schwankt je nach Druckhöhe in der Saug- und Druckleitung zwischen h = 0,82 bei niedrigen und h = 0,97 bei hohen Drücken. Der Wirkungsgrad des Antriebsmotors beträgt mot | 0,84 bis 0,95, je nach Antriebsart. Der Wirkungsgrad der Saug- und Druckleitung l berücksichtigt die Widerstandshöhe hv: h l = (7) herf

L 43 trieben, könnte der entstehende hohe Druck die Pumpe sprengen. Auch der Druck im Saugwindkessel könnte beim Füllen mit Wasser unzulässig hoch ansteigen.

6.3 Kolbenpumpen Die Saug- und Druckwirkung der Kolbenpumpen beruht auf dem Verdrängungsprinzip. Bild 2 zeigt schematisch den Aufbau einer einfachwirkenden Druckpumpe mit Tauchkolben in liegender Bauweise. Der Tauchkolben drückt beim Druckhub das Wasser durch das selbsttätig öffnende Druckventil (5) hindurch in die Druckleitung. Es wird nur bei jedem zweiten Hub (Druckhub) Wasser gefördert. Beim Saughub wird das Wasser infolge des atmosphärischen Druckes durch das sich selbsttätig öffnende Saugventil (7) dem Pumpenkolben nachgedrückt. Die durch die hin- und hergehende Bewegung des Tauchkolbens auftretende pulsierende Förderung kann durch Anordnung von mehreren phasenversetzt arbeitenden Tauchkolben weitgehend ausgeglichen werden. Bei Dreifachwirkung (mit 120º Phasenversetzung an der Kurbel) wird ein praktisch konstanter Förderstrom erzielt. Zum Ausgleich der Bewegungen der Druckwasser- und der Saugwassersäule dienen jedoch vor allem die Druckwindkessel (3) und Saugwindkessel (10). Der zum Teil mit Luft gefüllte Druckwindkessel nimmt beim Druckhub Wasser auf. Dabei wird die Luft zusammengedrückt; Wasserstand und Druck im Kessel steigen an. Bei Abnahme der Wassergeschwindigkeit und während des Hubwechsels gibt der Druckwindkessel wieder Wasser ab; Wasserstand und Druck sinken. Das Luftkissen des Druckwindkessels wird vom Druckwasser laufend aufgezehrt und muss von Zeit zu Zeit ergänzt werden. Dies kann mit Hilfe des Schnüffelventils (13) geschehen. Bei Förderdrücken über 15 bar wird der Betrieb mit dem Schnüffelventil aber unwirtschaftlich. Der Druckwindkessel muss dann über einen entsprechenden Anschluss (2) immer wieder mit Druckluft aufgefüllt werden. Der unter dem Saugventil liegende Saugwindkessel (10) dient ebenfalls als Ausgleicher. Mit Hilfe eines Ejektors (8) kann die Luft aus Saugwindkessel und Saugleitung abgesaugt werden, so dass die Pumpe auch trocken ansaugen kann. Zur Drucküberwachung sind am Saugwindkessel ein Vakuummeter und am Druckwindkessel ein Manometer angebracht. Die Sicherheitsventile (4) schützen die Pumpe vor zu hohem Druckanstieg. Würde z.B. ein in der Druckleitung befindliches Absperrorgan versehentlich abgesperrt und die Pumpe weiter ange-

Bild 2. Schematischer Aufbau einer einfachwirkenden Druckpumpe mit Tauchkolben in liegender Bauweise

1. Manometer 2. Druckluftzufuhr 3. Druckwindkessel 4. Sicherheitsventil 5. Druckventil 6. Tauchkolben 7. Saugventil

8 Ejektor 9 Filterventil 10 Saugwindkessel 11 Wasserstandsmesser 12 Vakuummeter 13 Schnüffelventil

. Die theoretische Fördermenge Vth in m3/s kann ermittelt werden aus der Kolbenfläche A, dem Kolbenhub s und der Drehzahl n der Kurbelwelle: . n Vth A s . Asn (8) Vth = m3 m2 m min–1 60 s

L 44 Aus Gleichung (8) geht hervor, dass die Veränderung des Förderstromes am einfachsten über die Regelung der Drehzahl möglich ist. 6.3.1 Schwungradlose Pumpen

In wärmewirtschaftlichen und in explosionsgefährdeten Betrieben werden häufig schwungradlose Pumpen, Simplex- und Duplexpumpen verwendet. Sie zeichnen sich durch Anspruchslosigkeit, geringen Raumbedarf, niedrige Anschaffungskosten und einfache Regelbarkeit aus. Bei diesen Pumpen, die durch Dampf oder Druckluft angetrieben werden, ist der Kolbenhub nicht zwangsläufig festgelegt; er wird durch besondere Steuerungen begrenzt. Bei den einachsigen Simplexpumpen wird der antreibende Bild 3. Stehende Duplex-Dampfpumpe Typ RDV, Ruhrpumpen GmbH, Witten-Annen 1 Kolbenring 2 Dampfkolben 3 Dampfzylinder 4 Stopfbüchsdeckel mit Grundbüchse 5 Stopfbüchspackung für Dampfkolbenstange 6 Stopfbüchsbrille 7 Dampfkolbenstange 8 Kupplungsflansch 9 Kreuzkopf 10 Steuerbolzen 11 Pumpenkolbenstange 12 Stopfbüchsdeckel mit Grundbüchse 13 Stopfbüchspackung für Pumpenkolbenstange 14 Laufbüchse 15 Pumpenkolben 16 Canvasring 17 Pumpenzylinder 18 Pumpenzylinderdeckel 19 Saugventil 20 Andrückflansch 21 Steuerstrebe 22 Steuerbockdeckel 23 Druckventil 24 Ventilkastendeckel 25 Ventilkasten 26 Steuerbock 27 Schmierpumpe 28 Lenkstange mit Büchse 29 Gabelkopf 30 Gewindebüchse mit Vierkantmutter 31 Schieberstange 32 Stopfbüchsbrille 33 Stopfbüchse mit Schieberstange 34 Stopfbüchspackung für Schieberstange 35 Grundbüchse 36 Schieberkastendeckel 37 Stangenkopf 38 Gleitstück mit Feder 30 Flachschieber 40 Dampfzylinderdeckel 41 Kompressionsventil

L Kraft- und Arbeitsmaschinen Dampf- (Druckluft-) Zylinder von seiner eigenen Kolbenstange gesteuert. Duplexpumpen (Bild 3) sind Zwillingspumpen, bei denen Antriebs- und Pumpenkolben durch eine Kolbenstange verbunden sind und bei denen die Kolbenbewegung der einen Maschinenseite jeweils die Kolbenbewegung der anderen steuert. Simplex- und Duplexpumpen eignen sich auch zur Förderung von kalten und heißen Ölen sowie leicht verdampfenden Flüssigkeiten, besonders in gestängeloser Bauform, bei der die Steuerschieber durch Dampfdruckimpulse betätigt werden. Bild 3 zeigt eine stehende Duplex-Dampfpumpe (Ruhrpumpen GmbH, Witten), die direkt und vierfach wirkend arbeitet. Die Pumpe ist mit einer außen liegenden Gelenksteuerung ausgerüstet.

6 Pumpen Als Steuerungselement dienen Dampfschieber, die als Flachschieber ausgebildet sind. Die übereinander liegenden Saug- und Druckventile der Pumpe (19 und 23) sind federbelastete Tellerringventile. 6.3.2 Membranpumpen

Die Membran- oder Diaphragmapumpen, die ähnlich wie die Kolbenpumpen arbeiten, besitzen an Stelle des Kolbens eine Membrane (Diaphragma) aus Gummi oder Kunststoff, die am äußeren Umfang dicht mit dem Pumpengehäuse verbunden ist. Die Membrane wird durch eine Kolbenstange auf und nieder bewegt und so die Verdrängungswirkung hervorgerufen. Die Membranpumpen werden sowohl als Saugpumpen wie auch als Druckpumpen gebaut. Die Maschinenteile kommen mit der Förderflüssigkeit nicht in Berührung, so dass ein Verschleiß und ein Verstopfen der Pumpe vermieden werden. Die Membranpumpen eignen sich daher besonders für die Förderung sand- und schlammhaltigen Wassers. Durch die gute Abdichtung der Pumpe können Saughöhen bis zu 7 m erreicht werden. 6.3.3 Schraubenspindelpumpen

Bei diesen werden durch zwei oder mehr ineinandergreifende Schraubenspindeln, die gegeneinander und gegen das Gehäuse abdichten, Kammern gebildet, die das Fördergut aufnehmen und in axialer Richtung bewegen. Die Schraubenspindelpumpen können mit hohen Drehzahlen gefahren werden und eignen sich daher für den direkten Antrieb durch schnelllaufende Antriebsmaschinen.

L 45 Anwendung: Kühlmittel- und Schmierölpumpen sowie als Druckölpumpen für ölhydraulische Antriebe (Bild 4). Bei der Mohno-Pumpe (Pumpen- und Maschinenbau Abel GmbH & Co. KG) dreht sich der als eingängige Schnecke ausgebildete Läufer aus Spezialstahl in einem aus Gummi gefertigten, feststehenden Stator, der die Form einer zweigängigen Schnecke besitzt. Die Pumpe eignet sich besonders für die Förderung von aggressivem und schlammhaltigem Wasser. Die Schraubenspindelpumpen sind selbstansaugend. 6.3.4 Zahnradpumpen

Zahnradpumpen sind ebenso wie die Kolbenpumpen Verdrängerpumpen. Sie werden entweder als einfache Zahnradpumpen mit einem ineinander greifenden Zahnradpaar oder als Mehrfach-Zahnradpumpen mit außen- und innenverzahnten Rädern sowie als Zahnringpumpen gebaut. Im Saugraum der Pumpe werden die Zahnlücken mit der Förderflüssigkeit gefüllt; sie fördern entlang der Gehäusewand die Flüssigkeit auf die Druckseite, wo durch das Ineinandergreifen der Zähne die eigentliche Drucksteigerung erfolgt. Die Zahnradpumpen eignen sich für die Förderung von Drucköl, Schneid- und Bohröl und als Hydraulikpumpe. Bild 5 zeigt eine Präzisions-Hochdruck-Zahnradpumpe der Firma Plessey Maschinen Elemente, Neuß/ Rhein, die in verschiedenen Größen hergestellt wird: Förderströme 1,2 bis 19 l/min bei 1 000 l/min, maximale Antriebsdrehzahl bis 3 500 l/min, maximaler Betriebsdruck je nach Größe 105 bis 175 bar. Die Pumpe besitzt ein Leichtmetallgehäuse und selbstnachstellende Wellenlager, die durch eine Niederdruckschmierung mit Drucköl versorgt werden.

Bild 5. Hochdruckzahnradpumpe, Plessey (Deutschland) GmbH, Neuß/Rhein

1 2 3 4 5 6 7 8

Bild 4. Schraubenspindelpumpe

Wellendichtring Sicherungsring Sicherungsblech Wellenmutter Federring Deckelmutter Deckel Wellendichtring (äußerer) 9 Wellendichtring (innerer) 10 Zentrierhülse

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Gehäuse Einlassöffnung unteres Lager getriebenes Zahnrad oberes Lager Wellendichtring (innerer) Wellendichtring (äußerer) Flansch Schraube Antriebszahnrad X-Type

L 46

L Kraft- und Arbeitsmaschinen

6.3.5 Axialkolbenpumpen

Je nach der Art der Erzeugung der Kolbenbewegung unterscheidet man Taumelscheibenpumpen, Schwenktrommelpumpen (Schrägtrommelpumpen), Schrägscheibenpumpen.

(siehe Bild 8) angegeben. Dann ergibt sich der Förderstrom bei einem beliebigen Schwenkwinkel α: . . sin  V = Vmax sin 25º

(9)

Wird die Trommel nach beiden Seiten aus der Mittellage geschwenkt, so wird auch die Richtung des Ölstromes dabei umgekehrt. Die Schwenktrommelpumpe erzeugt Drücke bis zu 350 bar und wird in der ÖlHydraulik angewendet.

Bild 6. Taumelscheibenpumpe, Bosch, Hildesheim

10 1 Radial-Dichtring 11 2 Befestigungsflansch 3 Bohrungen für Schmie-12 13 rung und Kühlung 14 4 Kolben 5 Ring-Abdichtung des 15 16 Gehäuses 6 Ringkanal (Saugraum) 17 18 7 Ringnut 19 8 Steuerkante 20 9 Kolben-Hubraum

Druckraum Antriebswelle Gehäuse Lagerraum Taumelscheibe Druckscheibe Pumpenkörper Kolbenfeder Druckventil Anschlussplatte Abdichtung des Saugstutzens

Bei der Taumelscheibenpumpe (Bild 6) sind die Kolben im feststehenden Pumpengehäuse gelagert und erhalten durch eine Taumelscheibe den Arbeitshub. Die Druckflüssigkeit wird beim Rückwärtshub der Kolben angesaugt. Beim Vorwärtshub schließt der Kolben mit seiner Oberkante seinen Füllraum und drückt die Flüssigkeit über das Druckventil in die Druckleitung. Die Taumelscheibenpumpe ist dem Aufbau nach die einfachste unter den Axialkolbenpumpen. Sie hat einen guten Wirkungsgrad und erreicht Drücke bis zu 250 bar. Die Fördermenge ist bei konstanter Drehzahl unveränderlich. Die Pumpe kann in beliebiger Richtung angetrieben werden, ohne dass sich die Richtung des Förderstromes ändert. Die Taumelscheiben-Axialkolbenpumpen können in entsprechender Bauweise auch als Motor verwendet werden. Die Schwenktrommelmaschinen (Bild 7) sind ebenfalls sowohl als Pumpe als auch als Motor verwendbar. Hier werden die Kolben samt der Schwenktrommel von der Triebscheibe über die Kolbenstangen mitgenommen und erzeugen auf diese Weise die Pumpbewegung. Gewöhnlich wird der Förderstrom bei dem größten Ausschwenkwinkel – im allgemeinen αmax = 25º –

Bild 7. Schwenktrommelpumpe Fried. Krupp Hüttenwerke AG

1 2 3 4 5 6 [

Triebflansch Stützlager Lagerflansch Triebflanschlager Axial-Zylinderrollenlager Schwenklager

7 8 9 10 11 12

Kolbenstange Kolben Zylindergehäuse Zylinderblock Steuerfläche Gehäuse

Bild 8. Schwenktrommelpumpe – Veränderung des Förderstromes

Auch mit der Schrägscheibenpumpe (Bild 9) können Drücke bis 300 bar bei sehr guten Wirkungsgraden erreicht werden. Ihre Wirkungsweise beruht darauf, dass die Kolben axial in einer Zylindertrommel angeordnet sind, die mit der Welle rotiert.

6 Pumpen

L 47 6.3.7 Drehflügelpumpen (Flügelzellenpumpen)

Bild 9. Schrägscheibenpumpe 1 Antriebswelle 2 Steuerspiegel 3 Leckölanschluss 4 Zylinderkörper 5 Rollenlager 6 Kolben 7 schräge Hubplatte

Die aus der Trommel herausragenden Kolbenstangenenden werden auf einer zur Welle schräg gestellten, nicht rotierenden Ebene geführt. Dadurch führt jeder Kolben bei einer vollen Umdrehung der Zylindertrommel einen Hin- und Rückhub aus, dessen Länge von der Schrägstellung der Ebene (bis 17º) und seinem Abstand von der Welle abhängt. Werden die Kolben in die Zylinderbohrung hineingedrückt, fördern sie die Flüssigkeit durch die nierenförmige Öffnung des Steuerspiegels in die Druckleitung. Werden die Kolben auf der anderen Seite unter dem in der Rückflussleitung herrschenden Druck (Speisedruck) herausgedrückt, so lassen sie durch die zweite nierenförmige Öffnung (Saugseite) des Steuerspiegels Flüssigkeit aus der Rückflussleitung in die Zylinderbohrungen einströmen. Durch Schwenken der Ebene in die zur Welle senkrechte Stellung können die Kolbenhübe auf null gebracht werden und durch Schwenken in die entgegengesetzte Schräglage Saugund Druckseite vertauscht werden. Während bei Pumpen die Schwenkung der Ebene nach beiden Seiten erfolgen kann, wird bei Schrägscheibeneinheiten, die als Motor arbeiten sollen, die Schrägebene meist starr angeordnet.

Bild 10 zeigt den Aufbau einer Drehflügelpumpe. Danach ist das wesentliche Konstruktionsmerkmal dieser Pumpen der zylindrische, mit radial liegenden Schlitzen versehene Rotor, der in einer mit zwei sich gegenüber liegenden Erhebungskurven versehenen feststehenden Hubscheibe umläuft. In den Rotorschlitzen befinden sich Flügel, die sich auf der Hubkurve, von der Fliehkraft nach außen gedrückt, abstützen. In den den Arbeitsraum in axialer Richtung abschließenden Seitenscheiben sind Steuerschlitze angeordnet, durch die das Öl angesaugt und ausgepresst wird. Die beiden Druck- und Saugräume liegen einander diametral gegenüber, so dass sich die Radialdruckkräfte gegenseitig aufheben. Die Flügelzellenpumpen werden für Förderströme bis 60 l/min und kurzzeitig zulässige Spitzendrücke von 150 bar gebaut. Die Vorteile dieser Pumpenbauart liegen in ihren kleinen Abmessungen bei vergleichsweise hohen Förderleistungen, äußerst pulsationsarmen Förderströmen und einer weitgehenden Unempfindlichkeit gegen Schmutz und Fremdkörper.

Bild 10. Drehflügelpumpe, Aufbau-Schema 6.3.8 Schwimmerpumpen

Schwimmerpumpen arbeiten als periodisch wirkende Druckluftpumpen nach dem Verdrängerprinzip. Bei der in Bild 11 gezeigten Saug- und Druckpumpe mit Magnetsteuerung wird das Wasser mit Hilfe eines Injektors in den Pumpenkessel gesaugt.

6.3.6 Radialkolbenpumpen

Bei Radialkolbenpumpen sind die Zylinderbohrungen radial angeordnet. Durch eine Exzentrizität der Innentrommel gegenüber der Außentrommel wird eine Hubbewegung der Kolben in den radialen Zylinderbohrungen bewirkt. Eine Änderung der Exzentrizität hat bei konstanter Antriebsdrehzahl eine stufenlose Mengenregelung zur Folge. Bei manchen Ausführungen wird der Förderstrom von einem zentralen Steuerkörper, um den sich der Läufer dreht und der gleichzeitig die Saug- und Druckkanäle aufnimmt, geregelt.

Bild 11. Saug- und Druckpumpe, Gründer & Hötten GmbH

L 48 Das einströmende Wasser hebt den Schwimmer und damit den Steuerhebel an. In der höchsten Schwimmerlage wird der Steuerhebel schlagartig vom Magnetsystem angezogen, wodurch die Entlüftungsleitung abgesperrt, die Druckluft in den Pumpenkessel geleitet und Wasser in die Steigleitung gedrückt wird. Mit fallendem Wasserspiegel wird in der tiefsten Schwimmerlage der Steuerhebel durch das Schwimmergewicht vom Magnetsystem abgerissen,. Dadurch wird die Entlüftung mit Hilfe des Injektors eingeleitet und wieder Wasser in den Kessel gesaugt. 6.3.9 Strahlpumpen

Bei Strahlpumpen erzeugt nach Bild 12 aus der Treibdüse (T) austretender Treibmittelstrahl vor der Mündung der Druck- oder Fangdüse (D) einen Unterdruck. Durch diesen Unterdruck wird dem Saugrohr (S) das Fördergut angesaugt und in der Mischkammer (M) mit dem Treibmittelstrahl vereinigt. Dabei gibt der Treibmittelstrahl einen Teil seiner Energie an das Fördergut ab. Das Gemisch aus Treibmittel und Fördergut verlässt durch den Diffusor (Di) die Strahlpumpe. Nach der Art des verwendeten Treibmittels unterscheidet man Wasserstrahlpumpen, Luftstrahlpumpen und Dampfstrahlpumpen. Bei den Dampfstrahlpumpen werden Ejektoren (Ausspritzer) und Injektoren (Einspritzer) unterschieden. Sie werden als Injektoren in mehrstufiger Bauart zur Förderung des Speisewassers in Dampfkessel benutzt. Die stoßweise arbeitenden Wasserstrahlpumpen (Stoßheber oder hydraulische Widder) fördern durch Ausnutzung der Strömungsenergie einen Teil der Flüssigkeit auf größere Höhen. Die Strahlpumpen arbeiten mit verhältnismäßig geringen Wirkungsgraden (bis ca. 35 %), sie bieten aber als Vorteile: geringe Anschaffungskosten, Wartungslosigkeit und Unempfindlichkeit gegen verschmutzte und sandhaltige Saug-Flüssigkeiten.

L Kraft- und Arbeitsmaschinen luftgemisch, das spezifisch leichter ist als das Wasser, steigt in dem Förderrohr hoch. Die zu erreichende Förderhöhe wird durch die Eintauchtiefe und durch die Menge der zugeführten Druckluft bestimmt. Mit Rücksicht auf die Reibungsverluste soll die Strömungsgeschwindigkeit in der Förderleitung 2 m/s nicht überschreiten. Der Wirkungsgrad der Mammutpumpen, der je nach Eintauchtiefe und Förderhöhe zwischen 5 % und 20 % liegt, lässt die Verwendung der Mammutpumpe für ständige Wasserförderung nicht zu. Die Pumpen sind für die Förderung von verschmutztem und sandhaltigem Wasser gut geeignet; sie werden deshalb auch zur Sümpfung im Bergbau, bei Gründungsarbeiten und zur Kiesgewinnung aus Wasserläufen verwendet.

Bild 13. Schema einer Mammutpumpe

6.4 Kreiselpumpen

Bild 12. Schema einer Wasserstrahlpumpe 6.3.10 Mammutpumpen (Mischluftwasserheber)

Durch diese können sehr große Wassermengen gefördert werden. Die Mammutpumpe besteht nach Bild 13 aus einem weiten Förderrohr, das in das Wasser eintaucht und einem parallel laufenden engeren Luftrohr, das etwas über dem unteren offenen Ende des Förderrohres in dieses einmündet. Die eindringende Druckluft mischt sich mit dem Wasser. Das Wasser-

Bei Kreiselpumpen treten mit umgekehrtem Vorzeichen die gleichen Bewegungsverhältnisse wie bei Francisturbinen auf (vgl. Abschnitt 4, Wasserturbinen). Bei Francisturbinen wird die kinetische Energie des Wassers in mechanische Energie umgewandelt; bei Kreiselpumpen wird die zugeführte mechanische Energie in Druckenergie und kinetische Energie umgewandelt. Auch bei Kreiselpumpen unterscheidet man je nach Konstruktionsmerkmalen der Räder in Langsamläufer, Normalläufer und Schnellläufer. Bild 14 zeigt den Aufbau einer Niederdruckkreiselpumpe mit Spiralgehäuse und einseitigem Einlauf. Bei dieser Pumpe tritt das Wasser axial in das Laufrad der Pumpe ein, durchströmt infolge der Fliehkraftwirkung nahezu radial von innen nach außen die Schaufelkanäle des Rades und wird am äußeren Umfang abgeschleudert.

6 Pumpen

L 49

hth =

u 22 u12  w12 w22  c22 c12 2g

Mit Hilfe des Cosinussatzes ergibt sich aus den Geschwindigkeitsdreiecken am Radeintritt und Radaustritt (Bilder 17 und 15): w21 = c12 + u21 – 2 c1 u1 cos 1 w22 = c12 + u22 – 2 c2 u2 cos 2

Daraus folgt die Hauptgleichung der Kreiselpumpe

c u cos α 2 − c1 u1 cos α1 hth = 2 2 g

Bild 14. Niederdruckkreiselpumpe mit Spiralgehäuse, einflutig 1 Saugdeckel 2 Laufrad 3 Spiralgehäuse 4 Lagerstuhl 5 Welle

Das vom Laufrad mit hoher Geschwindigkeit abgeschleuderte Wasser wird im Leitrad oder im Spiralgehäuse (Diffusor) verzögert. Hierdurch wird Geschwindigkeitsenergie in Druckenergie verwandelt. Für die Aufrechterhaltung der Strömung in Pumpe und Leitung behält das Wasser aber noch einen Rest an kinetischer Energie. 6.4.1 Strömung im Laufrad

Die im wesentlichen radial verlaufenden Schaufelkanäle des Laufrades werden gegenseitig durch die Laufschaufeln abgegrenzt. Bei den Schaufeln sind die Eintritts- und Austrittskanten zu unterscheiden: Am Eintritt sind die Schaufeln so gekrümmt, dass sie beim Lauf des Rades im vorgesehenen Drehsinn in das zuströmende Wasser einschneiden. An der Austrittsstelle können die Schaufelenden grundsätzlich radial verlaufen (I), vorwärts gekrümmt (II) oder rückwärts gekrümmt (III) sein (Bild 15). Mit den im Bild 15 dargestellten Geschwindigkeitsverhältnissen und nach Abschnitt 4.4.4 errechnet sich die theoretische Förderhöhe hth aus der Gleichung

Bild 15. Laufradform und Geschwindigkeitsparallelogramm

(10)

Die Gestaltung der Schaufelaustrittseite hängt von der Wahl des Winkels 2 ab (Bild 15): I. 2 = 90º Schaufelenden verlaufen radial, II. 2 > 90º Schaufelenden sind vorwärts gekrümmt, III. 2 < 90º Schaufelenden sind rückwärts gekrümmt. Aus dem Geschwindigkeitsdreieck für den LaufradAustritt geht hervor, dass bei gleich bleibenden Werten für u2 und w2 die absolute Austrittsgeschwindigkeit c2 bei 2 > 90º am größten, für 2 < 90º am kleinsten wird. Man erreicht also mit Laufrädern, die vorwärts gekrümmte Schaufelenden besitzen, eine größere Förderhöhe als bei Rädern mit rückwärts gekrümmten Schaufelenden. Da aber bei Schaufelwinkeln 2 > 90º die Stromführung in den Laufkanälen verschlechtert und die Wirbelungs- und Reibungsverluste durch die Zunahme der absoluten Austrittsgeschwindigkeit erhöht werden, sinkt bei diesen Rädern der Wirkungsgrad. In der Praxis werden daher die Pumpen mit rückwärts gekrümmten Schaufelenden bevorzugt. (Übliche Werte: (2 = 20 ... 40º) 6.4.2 Drosselkurve und Betriebsverhalten

Kreiselpumpen zeigen bei konstanter Drehzahl einen veränderlichen, mit zunehmender Förderhöhe abnehmenden Förderstrom.. Dieses Verhalten wird durch die Drosselkurve (V, h-Linie) dargestellt. Diese Kennlinie, die graphisch die Abhängigkeit der För. derhöhe h von der Fördermenge V bei konstanter Drehzahl n zeigt, wäre unter der Voraussetzung einer reibungsfreien Strömung und für stoßfreien Eintritt des Förderstromes in die Verschaufelung eine waagerechte Gerade. Für 2 < 90º, d.h. bei rückwärts gekrümmten Schaufelenden,. fällt diese Gerade mit zunehmenden Werten für V ab (Bild 16). Zur Berücksichtigung der Kanalreibung sind die entsprechenden Verlusthöhen abzuziehen. Sie steigen annähernd mit dem Quadrat der Geschwindigkeit, also mit dem Quadrat der Fördermenge (Bild 17).

L 50

L Kraft- und Arbeitsmaschinen zahl n1 die Ableitung der Kennlinien für andere Drehzahlen n2, n3 usw.

Bild 16.. Förderhöhen in Abhängigkeit vom Förderstrom V bei rückwärts gekrümmten Schaufeln, stoßfreiem Laufrad-Eintritt und reibungsfreier Strömung

Bild 18. Kennfeld einer Kreiselpumpe für verschiedene Drehzahlen

Bild 17. Entstehung der Drosselkurve

Stoßfreier Eintritt in das Laufrad bzw. Verringerung der Stoßverluste auf ein Minimum liegt nur bei tangentialer Einströmung vor. Dieser stoßfreie Eintritt ist . nur für eine bestimmte Fördermenge V gewährleistet. Jede Abweichung von dieser Fördermenge lässt auch die Stoßverluste mit dem Quadrat der Änderung des Förderstromes anwachsen. Die entsprechenden Verlusthöhen sind ebenfalls in Abzug zu bringen. Die sich so ergebende Drosselkurve der Kreiselpumpe ist eine Parabel. Die gleiche Kreiselpumpe liefert bei verschiedenen Drehzahlen verschiedene Drosselkurven. Zeichnet man die Drehzahllinien im das Diagramm ein und verbindet außerdem die Punkte gleichen Wirkungsgrades durch entsprechende Kurven, so erhält man das Kennfeld der Kreiselpumpe (Bild 18). Zeichnet man zur Kennlinie einer Kreiselpumpe in gleicher Darstellungsweise die Kennlinie der zugehörigen Rohrleitung, so erhält man mit dem Schnittpunkt der beiden Kennlinien den Betriebspunkt der Pumpe. Eine engere Rohrleitung oder eine Verengung der Rohrleitung durch ein in die Leitung eingebautes regelbares Drosselventil ergibt bei kleineren Fördermengen größere Widerstände und damit steiler verlaufende Rohrleitungskennlinien. Zwischen den Drosselkurven einer Kreiselpumpe, die verschiedenen Drehzahlen entsprechen, besteht eine Ähnlichkeit, . die durch die Beziehungen zwischen den Größen V, h und n gekennzeichnet ist: V1 n1 h1 n12 P1 n13  ;  ;  V2 n2 h2 n22 P2 n23

Der vom Scheitelpunkt S nach links abfallende Teil der Kennlinie (Bild 19) ist labil und ist dadurch gekennzeichnet, dass hier bereits geringe Druckschwankungen unter Umständen große Änderungen und Schwingungen des Förderstroms bis zum Aussetzen der Förderung nach sich ziehen können. . Der Betriebspunkt B der Pumpe (Schnittpunkt der V, h-Linie mit der Rohrleitungskennlinie) sollte im stabilen Bereich, also rechts vom Scheitelpunkt S liegen. Die zu überwindende Förderhöhe. besteht aus dem statischen, von der Fördermenge V unabhängigen Anteil h und der mit dem Quadrat der Fördermenge ansteigenden Widerstandshöhe hv (Verlusthöhe). Arbeitet die Pumpe gegen einen veränderlichen statischen Druck, fördert sie also z.B. in einen Druckkessel, so wandert die Rohrleitungskennlinie bei zu geringer Entnahme aus diesem Kessel immer. höher und tangiert schließlich in einem Punkt die V, h-Linie (Punkt P). Hier setzt die Förderung der Pumpe aus und das Rückschlagventil hinter der Pumpe schließt sich. Sie arbeitet im toten Wasser leer weiter. Der gleiche Betriebszustand kann aber auch bei einem Absinken der Betriebsdrehzahl eintreten: Die Pumpe fällt dann ab und fördert nicht mehr, weil der Leitungsdruck den Pumpendruck übersteigt.

(11)

Diese Beziehungen gelten stets gleichzeitig und erlauben bei Vorliegen einer Kennlinie für eine Dreh-

Bild 19. Labiler und stabiler Betriebsbereich

6 Pumpen Der Einfluss der Betriebsbedingungen auf Fördermenge und Förderhöhe soll nachstehend an einigen wichtigen Betriebsfällen gezeigt werden: 6.4.2.1 Regelung der Fördermenge durch Drosselung (Bild 20). Jeder Stellung des Drosselschiebers der Rohrleitung entspricht eine neue Kennlinie der Rohrleitung. Damit ergibt sich bei gleich bleibender Drehzahl auch jeweils ein neuer Betriebspunkt. Eine zunehmende Drosselwirkung kann auch durch Inkrustierung der Rohre entstehen, was eine Abnahme der Fördermenge zur Folge hat.

L 51 . der einzelnen Pumpen zunächst die „gemeinsame“ V, h-Linie zu bilden: Man addiert dazu die Fördermengen der einzelnen Pumpen bei jeweils konstanter . Förderhöhe. Der Schnittpunkt der „gemeinsamen“ V, h-Linie mit der Rohrleitungskennlinie ergibt den Betriebspunkt (B).

. Bild 22. Flache und steile V, h-Linie

Bild 20. Drosselregelung 6.4.2.2 Drehzahlregelung (Bild 21). Den Schnitt. punkten der V, h-Linien für die verschiedenen Drehzahlen mit der Rohrleitungskennlinie entsprechen den einzelnen Betriebspunkten (B1, B2, B3): Der Betriebspunkt wandert bei Drehzahländerung auf der Rohrleitungskennlinie.

Bild 23. Parallelschaltung mehrerer Kreiselpumpen [

Bild 21. Drehzahlregelung

6.4.2.5 Parallelschaltung von Kolbenpumpe und Kreiselpumpe . (Bild 24). Die Kennlinie der Kolbenpumpe in V, h-Diagramm .ist eine Parallele zur hAchse. Die „gemeinsame“ V, h-Linie wird hier wieder durch Addition der zur gleichen Förderhöhe gehörenden Fördermengen der beiden Pumpen gefunden.

6.4.2.3 Änderung der Förderhöhe bei flacher und . . bei steiler V, h-Linie (Bild 22). Flach verlaufende V, h-Linien bedingen, dass bei Schwankungen der Förderhöhe die Fördermenge stark schwankt. Bei steilen . V, h-Linien können dagegen schwankende Förderhöhen nur geringe Veränderungen der Fördermenge . nach sich ziehen. Die V, h-Linie einer Pumpe ist um so flacher, je geringer ihre spezifische Drehzahl ist (siehe Abschnitt 4.4.3). 6.4.2.4 Parallelschaltung mehrerer Kreiselpumin die pen (Bild 23). Wenn mehrere Kreiselpumpen . gleiche Rohrleitung fördern, ist aus den V, h-Linien

Bild 24. Parallelschaltung von Kolben- und Kreiselpumpe

L 52

L Kraft- und Arbeitsmaschinen

6.4.2.6 Parallelschaltung von mehreren Rohrleitungen (Bild 25). Wenn eine oder mehrere Pumpen in zwei oder mehr parallel geschaltete Rohrleitungen fördern, ist aus den einzelnen Rohrleitungskennlinien zunächst die „gemeinsame“ Rohrleitungskennlinie zu bilden: Man addiert die Fördermengen der einzelnen Rohrleitungen bei jeweils gleicher Widerstandshöhe. Den Schnittpunkt .der „gemeinsamen“ Rohrleitungskennlinie mit der V, h-Linie ergibt den Betriebspunkt (B).

. Die spezifische Drehzahl beeinflusst die V, h-Linie: Sie wird um so steiler, je größer die spezifische Drehzahl ist. Auch der erreichbare Wirkungsgrad ist stark von der spezifischen Drehzahl abhängig: Der Wirkungsgrad steigt mit zunehmender spezifischer Drehzahl. Im Interesse eines wirtschaftlichen Betriebes sind daher Pumpen mit extrem niedrigen spezifischen Drehzahlen zu vermeiden; dies führt zur Wahl mehrstufiger Pumpen. 6.4.4 Aufbau der Kreiselpumpen 6.4.4.1 Niederdruckpumpen. Bild 26 zeigt den Aufbau einer einstufigen Niederdruck-Kreiselpumpe in einflutiger Bauart mit Lagerbock. Das fliegend auf der Welle angeordnete und sorgfältig ausgewuchtete Laufrad (2) ist durch Ausgleichsbohrungen hydraulisch entlastet, wodurch der Axialhub ausgeglichen wird. Die Pumpe hat keine Innenlager, die Welle ist so ausgeführt, dass der Läufer selbst bei den hierbei üblichen Drehzahlen bis 3 500 min–1 vibrationsfrei bleibt. Die Abdichtung im Gehäuse erfolgt durch auswechselbare Spaltringe (6).

Bild 25. Parallelschaltung von mehreren Rohrleitungen 6.4.3 Spezifische Drehzahl

Zur Kennzeichnung der Pumpentypen benutzt man diejenige Drehzahl einer der aufgeführten Pumpe geometrisch ähnlichen ideellen Pumpe, die in einer . Stufe auf 1 m Förderhöhe V = 1 m3/s liefert. Diese Drehzahl heißt spezifische Drehzahl nq der Pumpe. Die spezifische Drehzahl folgt aus den Daten des ausgeführten Pumpenlaufrades: nq = n

V h

nq, n

min–1

3 4

4

V 2 h3

h

m

. V

(12)

3

m s

Zwischen den verschiedenen Laufradtypen und den spezifischen Drehzahlen besteht folgende Zuordnung: Hochdruckräder Mitteldruckräder Niederdruckräder Schraubenräder Propellerräder

nq = 25 ... 90 min–1 nq = 40 ... 145 min–1 nq = 70 ... 225 min–1 nq = 150 ... 565 min–1 nq = 300 ... 1 100 min–1

Wasserhaltungs- und Kesselspeisepumpen werden vorwiegend als radiale Pumpen ausgeführt, Propellerräder zeigen dagegen ein stark labiles Betriebsverhalten und sind daher als Kesselspeisepumpen ungeeignet.

Bild 26. Einstufige, einflutige Kreiselpumpe mit Lagerbock (Normpumpe 50 nach DIN 24 255)

1 Gehäuse 2. Laufrad 3. Packung

4 Welle 5 Wellenschutzhülse 6 Spaltringe

Die Sperringbuchse kann mit Druckwasser, Fremdwasser oder Sperrfett beaufschlagt werden, um den Laufradraum vom Eindringen der Luft abzuriegeln, während gleichzeitig die Wellenschutzhülse an der Packungsstelle geschmiert wird. Niederdruckpumpen dieser Bauart sind für einen Druckbereich bis etwa

6 Pumpen

L 53

100 m und je nach Größe für Fördermengen von 100 bis 20 000 l/min zu verwenden; die erforderlichen Antriebsleistungen liegen zwischen 0,07 kW und 160 kW. Der weitgesteckte Bereich der Daten ermöglicht eine vielseitige Verwendbarkeit der Niederdruckpumpen, allerdings sind dabei Grenzen gesetzt hinsichtlich der zulässigen Temperatur, der Drücke, der Wellenabdichtung und der Art des Fördergutes. Einstufige Kreiselpumpen, die bei großer Fördermenge einen möglichst hohen Wirkungsgrad besitzen und weitgehend axialschubfrei arbeiten sollen, werden in zweiflutiger Bauart ausgeführt. 6.4.4.2 Hochdruck-Kreiselpumpen. Bei Hochdruck-Kreiselpumpen wird der zu erzeugende Druck durch die Hintereinanderschaltung mehrerer Laufräder erreicht. Nach jedem Laufrad ist ein Nachleitapparat mit Rückführschaufeln angeordnet, durch die das Wasser radial nach innen, bis zum folgenden Laufradeintritt, geleitet wird. Durch diese mehrstufige Bauweise können Hochdruckpumpen mit verhältnismäßig kleinen Durchmessern und nicht allzu hohen Drehzahlen gebaut werden. Der Axialschub wird entweder durch eine Entlastungsscheibe ausgeglichen oder durch eine hydraulische Entlastung mittels Bohrungen in den Laufrädern. Um bei Höchstdrücken und bei großen Saughöhen eine sichere Abdichtung zu erzielen, werden die Stopfbüchsen auf der Druckseite entlastet und auf der Saugseite mit einem Druckwasserverschluss versehen. Auch die Zwischengehäuse sind beim Durchgang der Welle durch auswechselbare Drosselbüchsen abgedichtet. Die mehrstufigen Pumpen werden auch in zweiflutiger Bauart ausgeführt. 6.4.4.3 Sonderbauarten. Unterwasserpumpen sind vertikale Kreiselpumpen, die mit dem Unterwassermotor, einem wasserfesten Drehstrom-Kurzschlussmotor, gekuppelt sind. Das gesamte Aggregat hängt an der Steigrohrleitung und arbeitet unterhalb des Wasserspiegels. Der Motor erhält seine Energie durch ein Unterwasser-Spezialkabel, das am Steigrohr befestigt wird. Bei dem mit einem „Nassläufer“ arbeitenden Motor wird auf jede Schutzeinrichtung gegen das Eindringen von Wasser in den Motor verzichtet. Der Motor wird vor dem Einsetzen des PumpenAggregates in den Brunnen mit sauberem Wasser gefüllt. Die Spezialgleitlager werden durch dieses Wasser geschmiert, und die Wicklung mit nicht alternder, wasserabweisender Isolation wird von dem gleichen Wasser gekühlt. Verunreinigungen werden durch wartungslose, dauerhafte Vorrichtungen vom Motorinnern ferngehalten. Da die Pumpe unter dem Wasserspiegel arbeitet, läuft ihr das zu fördernde Wasser zu, so dass Saugschwierigkeiten vermieden werden. Die Pumpe arbeitet praktisch wartungsfrei, da sie wassergeschmierte Lager besitzt und keine Stopfbuchse benötigt.

Bild 27. Einflutige Laufräder mit verschiedenen Schaufelformen a) Mehrschaufeliges Laufrad zur Förderung reiner und leicht verschmutzter Flüssigkeiten; b) Spiralschlauchrad mit freiem Durchgang für Spinn- und Faserstoffe, für Flüssigkeiten mit größeren Festteilen, z.B. Zuckerrüben; c) beiderseits offenes, halbaxiales Schraubenrad für große Mengen reiner und leicht verschmutzter Flüssigkeiten; d) Einkanalrad mit großem Durchgang für stark verunreinigte Flüssigkeiten; e) Zweikanalrad für verunreinigte und viskose Flüssigkeiten; f) Dreikanalrad für verunreinigte und viskose Flüssigkeiten, flache Kennlinie; g) beiderseits offenes Kanalrad mit reduzierter Schaufelzahl für gashaltige und breiartige Stoffe.

Die Unterwasserpumpen finden vor allem dort Verwendung, wo unter Berücksichtigung der Wasserspiegelabsenkung die zulässige Saughöhe normaler Kreisel- oder Kolbenpumpen nicht mehr ausreicht. Sie dienen daher vornehmlich zur Wasserförderung aus tiefen Brunnen und können dank ihrer schlanken Bauweise auch in enge Bohrbrunnen eingesetzt werden. Heute ist auch die einstufige, einflutige Kreiselpumpe ein vielseitiges Förderelement, das in vielen Fällen vor völlig verschiedenartige Aufgaben gestellt wird. Durch besondere Gestaltung des Laufrades wird die Pumpe den Verhältnissen angepasst. Bild 27 zeigt einflutige Laufräder mit verschiedenen Schaufelformen.

6.5 Vergleich zwischen Kolben- und Kreiselpumpen Kolben- und Kreiselpumpen weisen grundlegende Unterschiede in ihren Betriebseigenschaften auf, wodurch sich verschiedene Verwendungsgebiete für die eine oder andere Pumpenart ergeben:

L 54

L Kraft- und Arbeitsmaschinen

Bei Kolbenpumpen . ist der Förderstrom pulsierend und begrenzt auf V | 0,055 m3/s; sie erreichen auch bei großen Förderhöhen .einen hohen Wirkungsgrad, der von dem Verhältnis V/h praktisch unabhängig ist; ihre Drehzahlen sind niedrig (bis 300 l/min) was bei der Auswahl des Antriebes berücksichtigt werden muss, ebenso die Tatsache, dass ihr Anfahrmoment fast ebenso groß wie das Betriebsdrehmoment ist; sie können selbst ansaugen; die Förderhöhe passt sich selbständig dem herrschenden Gegendruck an und ist unabhängig von einer Veränderung der Fördermenge. Bei Kreiselpumpen erzielt man einen gleichbleibenden Förderstrom, der praktisch in der Größe nicht begrenzt ist; die Förderhöhe dagegen ist von der Drehzahl abhängig und nur mit größeren Stufenzahlen sind große Drücke erreichbar; dabei ist der Wirkungsgrad der Pumpe stark von Förderhöhe und . Fördermenge abhängig: Bei kleinem Verhältnis . V/h sind nur geringe Wirkungsgrade erreichbar; V und h beeinflussen sich wechselseitig (Kennlinie); bei normaler Bauweise kann die Luft aus der Saugleitung nicht abgesaugt werden. Sie muss vor der Inbetriebnahme entlüftet oder aufgefüllt werden; das Anfahrmoment ist gering und die Bauweise ermöglicht auch bei großen Leistungen die Verwendung von leichten, platzsparenden und relativ billigen Einheiten.

7 Verdichter

W. Böge

Verdichter fördern im Gegensatz zu den „Flüssigkeitspumpen“ Gase, d.h. kompressible Medien; dabei ist eine Drucksteigerung der Gase mit einer Temperaturerhöhung oder einer Wärmeabgabe sowie mit einer Volumenverringerung verbunden. Da Gase im Vergleich mit Flüssigkeiten eine weitaus geringere Dichte besitzen, können die Gasgeschwindigkeiten bei den Verdichtern viel höher liegen (bis ca. 100 m/s) als die Wassergeschwindigkeiten in Pumpen (bis ca. 2 m/s). Theoretische Grundlagen über Zustandsänderungen von Gasen (isotherme, adiabatische, polytropische Verdichtung usw.) werden vorausgesetzt (vgl. Thermodynamik).

druck pz adiabatisch verdichtet. Dabei steigt ihre Temperatur von T1 auf T2. Im Zwischenkühler wird die Luft bei nahezu konstant bleibendem Zwischendruck pz abgekühlt – im Idealfall bis auf die Anfangstemperatur T1. In der zweiten Stufe erfolgt die wiederum adiabatische Verdichtung vom Zwischendruck pz auf den Enddruck p2. Durch mehrstufige Verdichtung mit Zwischenkühlung kann mit zunehmender Unterteilung des Verdichtungsvorganges dieser dem isothermischen Prozess genähert werden. Außer der Verringerung der adiabatischen Mehrarbeit bietet die zwei- oder mehrstufige Verdichtung mit Zwischenkühlung den Vorteil einer Verringerung der Endtemperatur der Luft. Endtemperatur möglichst nicht über 200 ºC! Für den mehrstufigen Verdichter wird der Arbeitsbedarf am geringsten, wenn das Druckverhältnis in allem n-Stufen gleich groß gewählt wird: p2 p =n p1 p1

(1)

p1 Anfangsdruck, p2 Zwischendruck (zwischen Stufe 1 und 2), p Enddruck, n Stufenzahl. Bei Hochleistungsverdichtern bleibt man im allgemeinen mit dem Verdichtungsverhältnis in einer Stufe unter –31 ; d.h. p2/p1 = 3. Bei der Erzeugung von Druckluft ist die Feuchtigkeit der angesaugten atmosphärischen Luft zu berücksichtigen: Während der Verdichtung verringert sich die relative Feuchtigkeit der Luft infolge der starken Temperaturerhöhung. Bei der Abkühlung kann die relative Feuchtigkeit jedoch stark ansteigen und der Taupunkt überschritten werden. Zwischen- und Nachkühler sind daher mit Entwässerungseinrichtungen zu versehen.

7.1 Mehrstufige Verdichtung und Kühlung Um die isothermische Verdichtung zu erreichen, muss die Verdichtungsarbeit als Wärme abgeführt, d.h. die Maschine gekühlt werden. Die unvollkommene Kühlung der Kompressoren (kleine Wärmeübertragungsflächen, Schnellläufigkeit) bewirkt, dass sich die Verdichtung der Adiabate nähert. Eine Verringerung der hierdurch entstehenden adiabatischen Mehrarbeit kann durch stufenweise Verdichtung mit Zwischenkühlung erreicht werden. Im Beispiel der zweistufigen Luftkompression wird die Luft in der ersten Stufe von p1 auf den Zwischen-

Bild 1. Zweistufige Kompression mit Zwischenkühlung Die Kühlung der Luft – insbesondere im Nachkühler – verfolgt deshalb auch den Zweck, die erzeugte Druckluft zu entwässern bzw. zu trocknen.

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L Kraft- und Arbeitsmaschinen

Bei Kolbenpumpen . ist der Förderstrom pulsierend und begrenzt auf V | 0,055 m3/s; sie erreichen auch bei großen Förderhöhen .einen hohen Wirkungsgrad, der von dem Verhältnis V/h praktisch unabhängig ist; ihre Drehzahlen sind niedrig (bis 300 l/min) was bei der Auswahl des Antriebes berücksichtigt werden muss, ebenso die Tatsache, dass ihr Anfahrmoment fast ebenso groß wie das Betriebsdrehmoment ist; sie können selbst ansaugen; die Förderhöhe passt sich selbständig dem herrschenden Gegendruck an und ist unabhängig von einer Veränderung der Fördermenge. Bei Kreiselpumpen erzielt man einen gleichbleibenden Förderstrom, der praktisch in der Größe nicht begrenzt ist; die Förderhöhe dagegen ist von der Drehzahl abhängig und nur mit größeren Stufenzahlen sind große Drücke erreichbar; dabei ist der Wirkungsgrad der Pumpe stark von Förderhöhe und . Fördermenge abhängig: Bei kleinem Verhältnis . V/h sind nur geringe Wirkungsgrade erreichbar; V und h beeinflussen sich wechselseitig (Kennlinie); bei normaler Bauweise kann die Luft aus der Saugleitung nicht abgesaugt werden. Sie muss vor der Inbetriebnahme entlüftet oder aufgefüllt werden; das Anfahrmoment ist gering und die Bauweise ermöglicht auch bei großen Leistungen die Verwendung von leichten, platzsparenden und relativ billigen Einheiten.

7 Verdichter

W. Böge

Verdichter fördern im Gegensatz zu den „Flüssigkeitspumpen“ Gase, d.h. kompressible Medien; dabei ist eine Drucksteigerung der Gase mit einer Temperaturerhöhung oder einer Wärmeabgabe sowie mit einer Volumenverringerung verbunden. Da Gase im Vergleich mit Flüssigkeiten eine weitaus geringere Dichte besitzen, können die Gasgeschwindigkeiten bei den Verdichtern viel höher liegen (bis ca. 100 m/s) als die Wassergeschwindigkeiten in Pumpen (bis ca. 2 m/s). Theoretische Grundlagen über Zustandsänderungen von Gasen (isotherme, adiabatische, polytropische Verdichtung usw.) werden vorausgesetzt (vgl. Thermodynamik).

druck pz adiabatisch verdichtet. Dabei steigt ihre Temperatur von T1 auf T2. Im Zwischenkühler wird die Luft bei nahezu konstant bleibendem Zwischendruck pz abgekühlt – im Idealfall bis auf die Anfangstemperatur T1. In der zweiten Stufe erfolgt die wiederum adiabatische Verdichtung vom Zwischendruck pz auf den Enddruck p2. Durch mehrstufige Verdichtung mit Zwischenkühlung kann mit zunehmender Unterteilung des Verdichtungsvorganges dieser dem isothermischen Prozess genähert werden. Außer der Verringerung der adiabatischen Mehrarbeit bietet die zwei- oder mehrstufige Verdichtung mit Zwischenkühlung den Vorteil einer Verringerung der Endtemperatur der Luft. Endtemperatur möglichst nicht über 200 ºC! Für den mehrstufigen Verdichter wird der Arbeitsbedarf am geringsten, wenn das Druckverhältnis in allem n-Stufen gleich groß gewählt wird: p2 p =n p1 p1

(1)

p1 Anfangsdruck, p2 Zwischendruck (zwischen Stufe 1 und 2), p Enddruck, n Stufenzahl. Bei Hochleistungsverdichtern bleibt man im allgemeinen mit dem Verdichtungsverhältnis in einer Stufe unter –31 ; d.h. p2/p1 = 3. Bei der Erzeugung von Druckluft ist die Feuchtigkeit der angesaugten atmosphärischen Luft zu berücksichtigen: Während der Verdichtung verringert sich die relative Feuchtigkeit der Luft infolge der starken Temperaturerhöhung. Bei der Abkühlung kann die relative Feuchtigkeit jedoch stark ansteigen und der Taupunkt überschritten werden. Zwischen- und Nachkühler sind daher mit Entwässerungseinrichtungen zu versehen.

7.1 Mehrstufige Verdichtung und Kühlung Um die isothermische Verdichtung zu erreichen, muss die Verdichtungsarbeit als Wärme abgeführt, d.h. die Maschine gekühlt werden. Die unvollkommene Kühlung der Kompressoren (kleine Wärmeübertragungsflächen, Schnellläufigkeit) bewirkt, dass sich die Verdichtung der Adiabate nähert. Eine Verringerung der hierdurch entstehenden adiabatischen Mehrarbeit kann durch stufenweise Verdichtung mit Zwischenkühlung erreicht werden. Im Beispiel der zweistufigen Luftkompression wird die Luft in der ersten Stufe von p1 auf den Zwischen-

Bild 1. Zweistufige Kompression mit Zwischenkühlung Die Kühlung der Luft – insbesondere im Nachkühler – verfolgt deshalb auch den Zweck, die erzeugte Druckluft zu entwässern bzw. zu trocknen.

7 Verdichter

L 55

7.2 Verdichterleistung und Wirkungsgrad Die theoretische Verdichterleistung ergibt sich bei isothermischer bzw. adiabatischer Verdichtung aus der Gleichung . Pis/ad = V Wt is/ad

Pis/ad

. V

kW

m3 s

Wt is/ad Nm m

(2)

3

Maschinen in L- und Boxer-Bauart verdrängt (Bild 2). 7.3.1 Diagramm (Indikatordiagramm)

Der Druckverlauf im Zylinder eines Kolbenverdichters während eines Arbeitsspieles wird durch einen Indikator in Abhängigkeit vom Hub aufgezeichnet. Dieses Indikatordiagramm oder p,-Diagramm (Bild 3) zeigt:

Der mechanische Wirkungsgrad m eines Verdichters vergleicht die innere Leistung P1 mit der zugeführten Leistung Pe und berücksichtigt Leistungsverluste durch Reibung an den Gleitflächen: P m = i (3) Pe Der isothermische Wirkungsgrad is vergleicht die theoretisch optimale Leistung Pis mit der Antriebsleistung des Verdichters Pe: P is = is (4) Pe

7.3 Kolbenverdichter Nach den Druckbereichen werden unterschieden: Kompressoren mit Enddrücken bis ca. 10 bar Überdruck, Hochdruckverdichter mit Enddrücken über 10 bar Überdruck, Vakuumpumpen; ihr Ansaugedruck liegt unter 1 bar absolutem Druck.

Bild 2. Gegenüberstellung verschiedener Triebwerksformen von Kolbenverdichtern a) luftgekühlte Kolbenverdichter in W- oder V-Bauart b) Kolbenverdichter in liegender Bauart c) Kolbenverdichter in doppelter Boxerbauart d) Kolbenverdichter in doppelter Winkelbauart

Die mehrstufige Kompression bedingt eine Mehrzylinderbauweise. Bei dieser setzt sich, insbesondere bei kleinen Maschinen, immer mehr die V- und WBauart gegenüber der Reihenmaschine durch. Die früher üblichen langsamlaufenden, liegenden Großkolbenmaschinen für große Liefermengen werden immer stärker durch schneller laufende, kleinere

Bild 3. p,-Diagramm (Indikatordiagramm)

I Die Ansauglinie; sie liegt infolge der Druckverluste in den Saugleitungen und in den Ventilen unter dem Druck des Saugraumes bzw. der freien Atmosphäre. II Die Kompressionslinie (Adiabate bzw. Polytrope, im „Idealfall“ eine Isotherme). III Die Ausschublinie; sie liegt entsprechend den zu überwindenden Leitungswiderständen über dem Druck des Leitungsnetzes bzw. des zu füllenden Druckluftbehälters. IV Die Rückexpansionslinie; sie zeigt die Rückexpansion der im „schädlichen Raum“ befindlichen Luft auf den atmosphärischen Druck. 7.3.1.1 Volumetrischer Wirkungsgrad V. Das auf den Zustand des Saugraumes bezogene Ansaug. . volumen Va ist kleiner als das Hubvolumen Vh. Dies ist bedingt durch a) die Rückexpansion der im schädlichen Raum verdichteten Restluft, b) die Unterexpansion der Luft während des Ansaugens, c) die Erwärmung der Luft während des Ansaugens durch die heißen Zylinderwände. . Das Verhältnis des Ansaugvolumens Va zum Hubvo. lumen Vh nennt man den volumetrischen Wirkungsgrad oder Füllungsgrad V:

L 56

L Kraft- und Arbeitsmaschinen V

V = a V

(5)

h

Nach den VDI-Verdichterregeln kann der volumetrische Wirkungsgrad aus dem Indikatordiagramm eines Kolbenverdichters bestimmt werden:

V =

s1 s

(6)

Der volumetrische Wirkungsgrad. kann zur Berechnung der angesaugten Luftmenge Va benutzt werden: . ηV A s n i Va = 60 A Kolbenfläche in m2 s Hub in m n Drehzahl in min–1 i Zylinderanzahl . m3 Va Luftmenge in s

und Nachkühlers gelieferte Warmluft (ca. 50 ºC) kann für Heizzwecke benutzt werden. Der Kompressor wird durch thermostatregulierte Öldruckschalter geschützt. Bei zu niedrigem Öldruck oder zu hoher Drucklufttemperatur wird der Kompressor automatisch stillgesetzt. Er liefert ca. 30 m3/min Druckluft von 7 bar Überdruck – höchster Betriebsdruck 8,8 bar –, seine Drehzahl liegt bei 485 l/min, die erforderliche Antriebsleistung beträgt 160 kW. Bild 4 zeigt die schematischen Darstellungen der wichtigsten Bauarten der Hubkolbenverdichter.

(7)

7.3.1.2 Liefergrad . Die auf den Ansaugezustand bezogene .tatsächliche Fördermenge eines Kolbenverdichters Veff ist infolge der Undichtheiten (Kolben, Ventile usw.) geringer als die angesaugte Luftmenge. Mit dem Liefergrad  gilt:

. . Veff =  Vh .  As ni Veff = 60 . A s Veff m3 s

m2 m

n

(8)

m–1

7.3.2 Aufbau der Kolbenkompressoren

Der Aufbau der Kolbenverdichter hat sich in den letzten Jahren stark gewandelt. Bei den Kleinkolbenverdichtern trat an Stelle der Reihenbauweise die Vund W-Bauart; bei den Großkolbenverdichtern haben die schnelllaufenden L- und Boxermaschinen die langsam laufenden, liegenden Maschinen abgelöst. Als Vorteile bieten die schnelllaufenden Maschinen ein günstigeres Leistungsgewicht, geringere freie Massenkräfte und damit leichtere Fundamente, eine Verringerung der erforderlichen Grundfläche und einen geringeren Anschaffungspreis. Die Luftkühlung setzt sich, auch bei größeren Aggregaten, immer mehr durch. Ihr Hauptvorteil liegt in der geringeren Störanfälligkeit (keine Frostschäden, einfachere Wartung, kein Heißlaufen bei warmer Witterung). Beim Kolbenkompressor ET 6 (Atlas Copco) erfolgt die Regelung in drei Stufen durch Entlastungskolben, die die Saugventile offen halten (Leerlauf-HalblastVolllast). Die von dem Kühlgebläse des Zwischen-

Bild 4. Schematische Darstellungen der wichtigsten Bauarten der Hubkolbenverdichter

1 einfachwirkender Hubkolbenverdichter 2 doppeltwirkender Hubkolbenverdichter mit Stufenkolben 3 doppeltwirkender Hubkolbenverdichter mit Scheibenkolben und Kreuzkopf 4 Membrane-Kolbenverdichter 7.3.3 Regelung der Kolbenverdichter

Ein konstanter Betriebsdruck im Druckluftnetz oder Druckluftbehälter, der aus betrieblichen Gründen angestrebt wird, bedingt bei konstanter Liefermenge des Kompressors eine gleichbleibende Entnahme. Da in den meisten Fällen aber die Entnahme unregelmäßig erfolgt, muss die Liefermenge des Kompressors geregelt werden. Dies kann erfolgen durch: a) Drehzahlregelung: Ist nur bei hierfür geeigneten Antriebsmaschinen (z.B. Kolbenkraftmaschinen, regelbare Gleichstrommaschinen) möglich. b) Stillsetzung: Wird meist bei elektrischen Antrieben in Verbindung mit einer Automatik verwendet, die den Kühlwasserstrom ab- und wieder anstellt und ein unbelastetes Anfahren des Verdichters durch Anheben der Saugventile ermöglicht.

7 Verdichter

L 57

c) Leerlaufregelung: Durch Offenhalten der Saugventile (angesaugte Luft wird wieder ausgeschoben). Durch Absperrung der Saugleitung (Kompressor arbeitet im Vakuum). d) Zuschaltung von „schädlichen Räumen“. e) Stufenlose Mengenregelung: Die Saugventile werden über das Hubende hinaus während einer beliebig einstellbaren Zeit offen gehalten. Dadurch wird ein Teil der angesaugten Luft wieder in die Saugleitung zurück geschoben. Die Regelung der Liefermenge kann bis auf den Leerlauf hinunter erfolgen (gänzliches Offenhalten der Saugventile). Die Betätigung der Saugventile kann dabei durch Drucköl, Druckluft oder elektromagnetisch erfolgen. 7.3.4 Drehkolbenverdichter

Man unterscheidet einwellige und zweiwellige Drehkolbenverdichter. Einwellige Drehkolbenverdichter. Bei diesen bilden die in einer exzentrisch gelagerten Walze verschiebbar angeordneten Schieber oder Lamellen einzelne Kammern, die bei der Walzendrehung ihr Volumen verändern (Bild 5). Die Verdichter besitzen ein kleines Schwungmoment und eignen sich daher besonders zur Ausrüstung mit selbsttätigen Anlass- und Stillsetzvorrichtungen.

Bild 5. Drehkolbenverdichter, einwellige Bauart Zweiwellige Drehkolbenverdichter. Das RootsGebläse (Bild 6) arbeitet nach dem Prinzip einer Zahnradpumpe. Die als Lemniskaten ausgebildeten gegenläufigen Rotoren werden zwangsläufig durch ein außerhalb des Druckraumes befindliches Zahnradpaar geführt. Die beiden Lemniskaten bewegen sich mit engem Spiel im Gehäuse und berühren sich gegenseitig gasdicht. Ebenfalls nach dem Verdrängungsprinzip arbeiten die Kapselgebläse, bei denen ein Drehkörper das Drehmoment überträgt, der andere gegenläufige Drehkörper nur steuert.

Bild 6. Drehkolbenverdichter, Roots-Gebläse a) Querschnitt durch ein Drehkolbengebläse b) Ablauf- und Auflaufspiel der Drehkolben

Die Schraubenverdichter (Bild 7) sind besonders für die ölfreie Verdichtung von Gasen aller Art geeignet. Da bei leichten Gasen die untere Grenze des .Anwendungsbereiches von Turbomaschinen über V = 2,8 m3/s liegt und Kolben- und andere Rotationsverdichter normalerweise das Fördermedium mit Schmieröl in Verbindung bringen, bilden die Schraubenverdichter eine notwendige Ergänzung der Verdichterbauarten. Fördermengen liegen zwischen 0,14 m3/s und 7,5 m3/s. Beim Schraubenverdichter besitzt der Hauptläufer vier, der Nebenläufer sechs Zähne. Der Synchronlauf wird durch ein Zahnradpaar mit entsprechendem Übersetzungsverhältnis erreicht. Das Gas tritt von unten in das Gehäuse und strömt axial in die Lückenräume ein. Mit der Drehung der Läufer öffnen sich die Zahnlückenräume fortschreitend von der Saugseite zur Druckseite hin. Dieser Vorgang gleicht dem Saughub des Kolbenverdichters. Nach Füllung der Zahnlücken wird durch weitere Drehung der Läufer der Ansaugraum abgeschlossen, die eingeschlossene Luft wandert weiter bis zur Oberseite der Stirnwand des Gehäuses. Durch den jetzt beginnenden Eingriff der Zähne werden die Zahnlückenräume verkürzt und das eingeschlossene Gas verdichtet. Diese Verdichtung hält an bis die Zahnspitzen und Zahnflanken die Steuerkanten am Druckstutzen überstreichen. Von da an wird das Gas durch weitere Verkürzung der Zahn-

L 58 lückenräume restlos durch den Druckstutzen ausgeschoben. Dieser Vorgang wiederholt sich in jeder aufeinander folgenden Zahnlücke der beiden Läufer.

L Kraft- und Arbeitsmaschinen 1. Die an der Verdichterwelle zugeführte mechanische Energie wird im Laufrad teils als Druckenergie infolge der Fliehkraftwirkung, teils als kinetische Energie auf das Gas oder die Luft übertragen. 2. In der dem Laufrad nachgeschalteten Leitvorrichtung wird die kinetische Energie in Druckenergie umgesetzt. Infolge der doppelten Energieumwandlung haben die Turbokompressoren größere Verluste und schlechtere isothermische Wirkungsgrade als die Kolbenverdichter. Die Turboverdichter sind für große Fördermengen besonders gut geeignet, weniger für die Erzielung hoher Drücke. 7.4.1 Radialverdichter

Der Aufbau der Radialverdichter entspricht dem der Kreiselpumpen. Die zur Druckerzeugung notwendigen hohen Umfangsgeschwindigkeiten erfordern hohe Drehzahlen. Dabei haben hochtourige Läufer mit entsprechend geringen Durchmessern den Vorteil, dass sie geringeren Fliehkräften ausgesetzt sind. Sie werden meist mit Schaufeln, die aus dem vollen Laufradmaterial herausgefräst sind, versehen; hierdurch lassen sich besonders steife Läufer bauen, die unter Umständen unterkritisch laufen können. Die theoretisch erreichbare Förderhöhe und Drucksteigerung ist aus der Hauptgleichung der Strömungsmaschinen zu errechnen (Gleichung 10). Bei drallfreiem Eintritt in das Laufrad ist c1 radial gerichtet, also 1 = 90º bzw. cos 1 = 0: hth = Bild 7. Schraubenverdichter, Ein- und Auslassquerschnitte

7.4 Kreiselverdichter (Turboverdichter) Bei Kreiselverdichtern wird der Welle Energie zugeführt und über die Beschaufelung an das strömende Medium übertragen. Dementsprechend ähneln die Bauformen der Kreiselverdichter denen der Kreiselpumpen. Nach dem erreichbaren Druck unterscheidet man: a) Kompressoren: Vielstufige Verdichter mit hohen Enddrücken. b) Gebläse: Sie erreichen mittlere Enddrücke und sind ein- bis dreistufig ausgeführt. c) Ventilatoren oder Lüfter: Sie dienen der Förderung sehr großer Luftmengen bei kleinen Drucksteigerungen, die meist nur die Strömungswiderstände überwinden sollen. Im Gegensatz zu der unmittelbaren Drucksteigerung der nach dem Verdrängerprinzip arbeitenden Kolbenverdichter arbeiten die Turboverdichter mit einer doppelten Energieumwandlung:

c2 u 2 cos  2 g

hth

u2, c2

m

m s

g m

(9)

s2

Radiale Schaufeln werden nur auf Zug beansprucht; es können Umfangsgeschwindigkeiten bis 400 m/s erreicht werden. Dabei wird wegen der hohen Fliehkräfte vielfach die Deckscheibe der Laufräder weggelassen, was allerdings an dem zwischen Verschaufelung und Gehäuse bestehenden Spalt zu Leckverlusten und Rückströmung vom Druckraum zum Saugraum führen kann. Rein radiale Schaufeln werden bei Fahrzeugverdichtern, z.B. Flugmotorenaufladern, wo es auf hohe Drücke und geringe Abmessungen ankommt, verwendet. Die Luft wird im Verdichter einmal „adiabatisch“ (bzw. polytropisch), entsprechend dem Verdichtungsvorgang erwärmt, zum anderen aber auch durch die Wärme, die durch die Strömungsverluste (Luft- und Radreibung) erzeugt wird. Diese Wärme erhöht unmittelbar, noch während der Zustandsänderung, die Temperatur der Luft und vergrößert ständig das zu verdichtende Volumen. Hierdurch wird die erforderliche Antriebsleistung erhöht. Will man die Verdichtung dem isothermischen Vorgang annähern, so ist eine weitaus stärkere Kühlung als bei den Kolbenkompressoren erforderlich.

7 Verdichter Als Richtwerte können für den notwendigen Kühlwasserverbrauch bei Verdichtung von 1 bar auf 6 bar gelten: Kolbenkompressor: ca. 3 000 l Kühlwasser je 1 000 m3 Luft Turboverdichter: ca. 10 000 l Kühlwasser je 1 000 m3 Luft Entsprechend der relativ geringen Drucksteigerung in einer Stufe erfordert der Turboverdichter eine höhere Stufenzahl als der Kolbenkompressor. Um z.B. von p1 = 1 bar auf pe = 6 bar zu verdichten, muss der Turbokompressor bereits mit vier Stufen arbeiten, wenn die Umfangsgeschwindigkeiten begrenzt bleiben sollen. Die mehrstufige Bauart erfordert hinter jeder Stufe eine Umlenkung des Fördermittels, was eine Verringerung des Wirkungsgrades zur Folge hat. Die Kennlinie des Radialverdichters – im Prinzip gleicht sie der Kennlinie einer Kreiselpumpe – verläuft flach; bei Rädern mit radial verlaufenden Schaufeln ist sie flacher als bei Rädern mit rückwärts gekrümmten Schaufeln. Die flache Kennlinie des Radialverdichters ergibt einen größeren stabilen Betriebsbereich, allerdings bei mäßigeren Wirkungsgraden als beim Axialverdichter, der eine steilere Kennlinie, kleineren stabilen Betriebsbereich und höheren Wirkungsgrad besitzt. Ob danach in einem Bedarfsfall die radiale oder axiale Bauart vorteilhafter ist, hängt von dem Verlauf der Betriebswiderstandslinie (vgl. Rohrleitungskennlinien der Kreiselpumpenanlagen), dem erforderlichen Regelbereich und von den Herstellungskosten der verschiedenen Verdichter ab. Dabei ist zu beachten, dass mit wachsendem Ansaugvolumen der Kapitalaufwand für den Axialverdichter im Vergleich zu dem für den Radialverdichter geringer wird. Die mechanischen Reibungsverluste der Radialverdichter sind, wie bei allen Turboverdichtern, sehr gering; sie erreichen einen hohen mechanischen Wirkungsgrad (bis 99 %). Der isothermische Wirkungsgrad, der wie bei den Kolbenverdichtern das Verhältnis der isothermischen Kompressorleistung zur tatsächlichen Antriebsleistung darstellt, ist wegen der hohen Radreibungs- und Wirbelungsverluste in der Luft schlechter als bei Kolbenverdichtern. Je nach Größe und Ausführung der Maschine kann mit is = 0,6 bis 0,73 gerechnet werden. Bei niedrigen Druckverhältnissen – bis 1 : 3 – werden Radialkompressoren auch als ungekühlte Maschinen gebaut. Als Vergleich dient dann der adiabatische Wirkungsgrad, der je nach Größe und Ausführung der Maschine ad = 0,75 bis 0,9 beträgt. 7.4.1.1 Regelung. Bei der Regelung der Turboverdichter wird in den meisten Fällen ein gleichbleibender Betriebsdruck angestrebt, da zum Betrieb von Druckluftwerkzeugen und Maschinen ein möglichst gleichbleibender Luftdruck erwünscht ist.

L 59 Drehzahlregelung. Bei veränderlicher Fördermenge kann der Druck durch entsprechende Veränderung der Drehzahl konstant gehalten werden. Dabei ist aber zu berücksichtigen, dass mit zunehmender Fördermenge die Luftgeschwindigkeit wächst und der Rohrleitungswiderstand mit dem Quadrat der Strömungsgeschwindigkeit zunimmt. Der Verdichter muss also mit zunehmender Fördermenge einen höheren Druck liefern, was auch mit einer Drehzahlerhöhung und daher mit einer Einengung des Regelbereiches verbunden ist. Die Drehzahlregelung erfordert Antriebsmaschinen mit veränderlicher Drehzahl. Sie ist dann eine sehr einfach und wirtschaftlich durchführbare Regelungsart. Drosselregelung. Von ihr wird Gebrauch gemacht, wenn mit Rücksicht auf den Antrieb eine Drehzahlregelung nicht möglich ist. Man drosselt entweder in der Saug- oder in der Druckleitung Die Drosselregelung ist unwirtschaftlicher als die Drehzahlregelung, da eine Drosselung stets mit Energieverlusten verbunden ist, die bei der Drosselung der Saugleitung allerdings geringer sind als bei der Drosselung der Druckleitung. Aussetzerregelung. Der Verdichter wird bei steigendem Druck selbsttätig abgeschaltet und bei abgesunkenem Druck wieder eingeschaltet. Dabei lassen sich kleinere oder größere Druckschwankungen nicht vermeiden; ihre Größe und Dauer hängt von der Speicherfähigkeit des Netzes und der Größe der Veränderung der Entnahme ab. Die Druckschwankungen sind um so kleiner, je flacher die Verdichterkennlinie verläuft. Die Aussetzer- oder Leerlaufregelung wird oft bei Turbokompressoren, die an der Pumpgrenze arbeiten, angewendet. Abblaseverfahren. Dabei wird die zuviel erzeugte Druckluft durch ein von Hand betätigtes oder druckgesteuertes Ventil ins Freie abgeblasen, wenn durch Absinken des Druckluftverbrauches die Gefahr eintritt, dass die Pumpgrenze unterschritten wird. Da das Verfahren durch den Verlust der überschüssig erzeugten Druckluft unwirtschaftlich ist, sollte es nur dort angewendet werden, wo die Pumpgrenze tief liegt und entsprechend den Betriebsverhältnissen mit einem nur kurzzeitigen Absinken des Luftverbrauches unter die Pumpgrenze zu rechnen ist. 7.4.1.2 Aufbau. Turbokompressoren erfordern für höhere Drücke, insbesondere bei leichten Gasen, höhere Stufenzahlen. Bei großen Stufenzahlen werden die Turboverdichter auch mehrgehäusig gebaut. Der einseitige Einlauf ergibt einen Axialschub, der ausgeglichen oder durch entsprechende Lager aufgenommen werden muss. Der Ausgleich des Axialschubes kann durch einen Ausgleichkolben, der auf der Innenseite unter dem Druck der letzten Stufe, auf der Außenseite unter dem Atmosphärendruck steht, erfolgen. Die von Stufe zu Stufe dichtere Luft bedingt, dass die Laufräder ebenfalls von Stufe zu Stufe schmaler ausgeführt sind. Auch die Raddurchmesser der letzten Stufen werden verringert, um die Rad-

L 60 reibung der in der hochverdichteten Luft laufenden Räder zu verkleinern. Turboverdichter mit durchgehender Laufradwelle ergeben bei höheren Enddrücken nur dann günstigere Wirkungsgrade, wenn sie für große Fördermengen ausgelegt sind. Bei kleineren Fördermengen ergeben die mit gleicher Drehzahl laufenden Räder der mehrstufigen Verdichter mit durchgehender Laufradwelle in den letzten Stufen ungünstige Strömungsverhältnisse. Dieser Nachteil wird durch abgestufte Drehzahl der Laufräder der einzelnen Stufen vermieden, wie dies z.B. bei dem vierstufigen Getriebe-Turboverdichter der DEMAG (Bild 8) der Fall ist. Hier werden die erforderlichen hohen Drehzahlen durch eine Rädervorlage erzielt, wobei die Ritzel der 1. und 2. Stufe eine kleinere Drehzahl der Laufräder, die Ritzel der 3. und 4. Stufe eine größere Drehzahl bewirken. Die vier Laufräder sind fliegend eingebaut, wodurch ein strömungstechnisch günstiger Einlauf erzielt werden kann. Durch die paarweise entgegenwirkenden Laufräder wird deren Axialschub aufgehoben. Die Verdichterspiralgehäuse dienen der Druckumsetzung hinter den Laufrädern. Wegen des großen Verdichtungsverhältnisses der einzelnen Stufen ist nach jeder Stufe ein Zwischenkühler angeordnet; Zwischenkühler bilden mit Kompressor und Getriebe eine Baueinheit.

L Kraft- und Arbeitsmaschinen diese Ablenkung wieder zurückgeführt. Im Laufrad wird die Relativströmung, im Leitrad die Absolutströmung verzögert und dadurch eine Drucksteigerung bewirkt. Da die Druckerzeugung nur durch Umlenkungen hervorgerufen wird, treten Verluste nur vor der ersten Stufe als „Zuströmverluste“ und hinter der letzten Stufe als „Austrittsverluste“ auf.

Bild 9. Axialverdichter, Beschaufelung (schematisch) und Geschwindigkeitsdreiecke

Die in einer Stufe erreichbare Druckerhöhung ist beim Axialverdichter nur gering. Aus der Hauptgleichung der Strömungsmaschinen folgt die in einer Stufe bei verlustloser Verdichtung theoretisch erreichbare Druckhöhe: hth =

um (c2 u – c1 u) oder g

hth = ω

Bild 8. Schema eines vierstufigen DEMAG-GetriebeTurboverdichters

Der vierstufige DEMAG- Getriebe-Turboverdichter wird serienmäßig zur Verdichtung von Luft und ähnlichen Gasen, wie z.B. Stickstoff, gebaut. Durch elf geometrisch gestufte Baugrößen wird ein Ansaugemengenbereich zwischen 2,7 m3/s und 27 m3/s überdeckt, wobei die Enddrücke zwischen 5 bar und 10 bar betragen. Der Verdichter kann direkt mit dem Elektromotor gekuppelt werden. 7.4.2 Axialverdichter

Beim Axialverdichter verläuft die Strömung hauptsächlich parallel zur Welle des Laufrades. Jede Stufe des Axialverdichters besteht aus einer Laufschaufelreihe und einer Leitschaufelreihe (Bild 9). In der Laufschaufelreihe wird die Strömung in Umfangsrichtung abgelenkt und in der Leitschaufelreihe wird

Dm (c2 u – c1 u) 2g

hth

Dm



c1 u, c2 u, um

m

m

1 s

m s

(10)

Zur Erzielung höherer Drücke müssen daher viele Stufen vorgesehen werden. Dabei wirkt sich, im Gegensatz zum Radialverdichter, die Zwischenkühlung nachteilig aus. Mit jeder Zwischenkühlung wird die axiale Strömung unterbrochen und der Wirkungsgrad durch die zusätzlichen Ein- und Austrittsverluste verschlechtert. Der Nutzen einer mehrfachen Zwischenkühlung wird durch die mehrfachen Ein- und Austrittsverluste zum großen Teil wieder aufgezehrt. Diese Verluste können nur durch eine mehrgehäusige Bauart mit strömungsgünstig gestalteten Stutzen verringert werden. Der ungekühlte Axialverdichter ist dem Radialverdichter im Wirkungsgrad überlegen. Die Abmessungen des Gehäuses des Axialverdichters sind nur wenig größer als der äußere Durchmesser des Laufrades. Dadurch sind die Abmessungen des Axialverdichters sowie sein Gewicht und sein Preis, besonders bei großem Ansaugvolumen, günstiger als bei der radia-

7 Verdichter len Bauart. Die höhere Drehzahl ermöglicht als Antrieb schnelllaufende Turbinen, die ebenfalls kleiner und billiger sind. Axialverdichter werden daher besonders für größere Ansaugvolumen (ab. ca. 5,5 m3/s) gebaut. Die Axialverdichter werden mit verschiedenen Schaufelwinkeln ausgeführt, die eine unterschiedliche Aufteilung der Druckerhöhung auf Laufschaufelkranz und fest stehenden Leitschaufelkranz bedingen. Diese Aufteilung ist durch den Reaktionsgrad gekennzeichnet, das ist das Verhältnis der Druckerhöhung im Laufrad zur Druckerhöhung der aus Lauf- und Leitrad gebildeten Stufe. Die verschiedenen Bauarten unterscheiden sich auch durch die weiteren wichtigen Kennzahlen der Verdichter: a) die Umfangsgeschwindigkeit der Laufschaufeln ui bezogen auf den Nabendurchmesser Di; V . b) die Durchflusszahl v = (V sekundliche A ui Durchflussmenge; A Durchflussquerschnitt); H c) die Druckzahl  = 2 ; ui d) den Wirkungsgrad. Durchflusszahl und Druckzahl bestimmen die Kennlinie des Verdichters.

L 61 treten. Die Folgen können Schaufelbrüche und die Zerstörung des Verdichters sein. Die Ablösung der Strömung tritt dann ein, wenn der relative Anstellwinkel der Strömung zum Flügelprofil zu groß wird. Diese Vergrößerung des Anstellwinkels  folgt aus der Verzögerung der Fördermenge und der sich daraus ergebenden Verkleinerung der Axialgeschwindigkeit (Bild 11). Die Abreißgrenze macht sich durch plötzliches Absinken der Förderhöhe und des Wirkungsgrades bemerkbar (Bild 12).

Bild 11. Anströmung des Schaufelprofils bei verschiedenen Durchsatzmengen

Eine größere Verringerung der Fördermenge sollte beim Axialverdichter daher nur durch Änderung der Drehzahl vorgenommen werden. Die Steilheit der Kennlinie des Axialverdichters hängt von der Druckzahl  ab: Je kleiner diese ist, um so steiler verläuft im Bestpunkt die Kennlinie. Eine Erhöhung der Druckzahl und damit eine flachere Kennlinie kann durch eine stärkere Wölbung der Schaufelprofile erreicht werden. Der steile Kennlinienverlauf kann allerdings nicht als grundsätzlicher Nachteil des Axialverdichters angesehen werden: In Sonderfällen kann es nämlich erwünscht sein, dass die Änderung des Gegendruckes nur kleine Änderungen der Fördermenge nach sich zieht.

Bild 10. Kennlinien des Axial- und des Radialverdichters

Die Kennlinie des Axialverdichters zeigt die Abhän. gigkeit des Förderdruckes h vom Fördervolumen V. Die Kennlinie des Axialverdichters verläuft steiler als die des Radialverdichters; demzufolge ist der stabile Arbeitsbereich gering (Bild 10). Arbeitet der Verdichter mit einem Ansaugvolumen, das unter dem Auslegungspunkt liegt, so tritt ein Ablösen der Strömung von der Profiloberfläche der Schaufel ein. Diese Erscheinung kann beim Axialverdichter bereits bei einer Verminderung des Fördervolumens auf ca. 90 % des Auslegungswertes auf-

Bild 12. Axialverdichter, Abreißgrenze

L 62

L Kraft- und Arbeitsmaschinen durch Frischgase ausgetauscht (Ladungswechsel) und der Prozess zyklisch fortgeführt. Wegen des kürzeren Energieweges vom Kraftstoff bis zur Triebwerkswelle, der hohen Prozesstemperaturen und Druckverhältnisse, arbeiten Verbrennungsmotoren mit besserem thermischen Wirkungsgrad als andere Wärmekraftmaschinen. Die Ausführungsformen und Bauarten der Verbrennungsmotoren sind vielfältig. Sie lassen sich nach verschiedenen Kriterien einteilen: –

Bild 13. BBC-Axialgebläse mit verstellbaren Leitschaufeln in allen Reihen 1 2 3 4 5

Gehäuseunterteil Ölabstreifbleche Kannenlager Diffusor Gehäuseoberteil

6 7 8 9

verstellbare Leitschaufel Laufschaufel Welle Traglager

7.4.2.1 Regelung. Wegen der steilen Kennlinie und der hohen Pumpgrenze eignet sich der Axialverdichter nur in einem sehr engen Bereich zur Mengenregelung, besonders bei konstanter Antriebsdrehzahl, z.B. bei elektrischem Antrieb. Bei niedriger Entnahme kann man sich dann durch Abblasen der überschüssigen Luftmenge helfen, deren Energie in Expansionsturbinen genützt werden kann. Eine ideale Regelung des Axialgebläses mit konstant bleibender Antriebsdrehzahl wird durch die Ausführung mit verstellbaren Leitschaufeln erzielt. 7.4.2.2 Aufbau. Bei der mehrstufigen Bauweise besteht der Axialverdichter aus dem Rotor, der die Laufschaufeln trägt und dem Stator, der zu jeder Laufschaufelreihe eine Leitschaufelreihe besitzt. Am Eintritt wird der ersten Laufschaufelreihe eine Leitschaufelreihe vorgeschaltet. Bild 13 zeigt das Schnittbild eines BBC-Axialgebläses mit verstellbaren Leitschaufeln in allen Reihen.

8 Verbrennungsmotoren M. Ristau

8.1 Grundlagen Verbrennungsmotoren sind Wärmekraftmaschinen, die als Energiequelle Flüssigkraftstoff oder Gas verwenden. Die Umsetzung der im Kraftstoff enthaltenen chemischen Wärmeenergie wird durch Verbrennung im Zylinderraum vor dem Kolben vorgenommen (innere Verbrennung) und durch Expansion sofort über ein Kurbeltriebwerk in mechanische Energie umgesetzt. Die expandierten Verbrennungsgase werden

– – – – – – – –

nach der Art des Ladungswechsels (Zweitakt-, Viertaktmotoren) nach der Gemischbildung (Ottomotoren- äußere, Dieselmotoren- innere) nach der Verbrennungseinleitung des KraftstoffLuft-Gemisches (Ottomotor-Fremdzündung, Dieselmotor- Selbstzündung) nach der Anordnung der Motorzylinder (Reihen-, V-, Boxer-, Gegenkolben-, Sternmotoren) nach der Kühlung (Flüssigkeits-, Luftkühlung) nach dem Bewegungsablauf (Hubkolben-, Kreiskolbenmotor, Gasturbine) nach der Drehrichtung nach dem Drehzahlbereich nach der Frischgaszufuhr (Saug-, Ladermotoren)

8.1.1 Thermodynamische Grundlagen Während eines Arbeitsspiels durchläuft der Gasinhalt des Zylinders immer wieder dieselben thermodynamischen Zustandsänderungen (Kreisprozess). Für Ottomotoren kann dazu als Idealprozess der Gleichraumprozess (Bild 1a) mit adiabatischer (isentroper) Verdichtung, isochorer Wärmezufuhr Qz adiabater Expansion und isochorer Wärmeabgabe Qa herangezogen werden. Für Dieselmotoren wird als Idealprozess der Gleichdruckprozess (Bild 1b) mit adiabater Verdichtung und Expansion, isobarer Wärmezufuhr Qz und isochorer Wärmeabgabe Qa, verwendet. In der Praxis arbeiten weder der Ottomotor, noch der Dieselmotor nach diesen Idealprozessen, da die Verbrennung des eingespritzten Kraftstoffes im Dieselmotor nicht bei gleich bleibendem Druck erfolgt und auch die beim Gleichraumprozess vorausgesetzte, unendlich große Verbrennungsgeschwindigkeit nicht auftritt. Der Seiligerprozess (Bild 1c), als Überlagerung von Gleichdruck- und Gleichraumprozess, berücksichtigt noch am besten die realen Arbeitsprozesse von Ottound Dieselmotor. Die thermodynamische Wärmebilanz der Vergleichsprozesse zeigt den theoretisch erreichbaren Idealwirkungsgrad v des vollkommenen Motors. Mit den im Bild 1 gezeigten Idealdiagrammen werden die Idealwirkungsgrade:

L 62

L Kraft- und Arbeitsmaschinen durch Frischgase ausgetauscht (Ladungswechsel) und der Prozess zyklisch fortgeführt. Wegen des kürzeren Energieweges vom Kraftstoff bis zur Triebwerkswelle, der hohen Prozesstemperaturen und Druckverhältnisse, arbeiten Verbrennungsmotoren mit besserem thermischen Wirkungsgrad als andere Wärmekraftmaschinen. Die Ausführungsformen und Bauarten der Verbrennungsmotoren sind vielfältig. Sie lassen sich nach verschiedenen Kriterien einteilen: –

Bild 13. BBC-Axialgebläse mit verstellbaren Leitschaufeln in allen Reihen 1 2 3 4 5

Gehäuseunterteil Ölabstreifbleche Kannenlager Diffusor Gehäuseoberteil

6 7 8 9

verstellbare Leitschaufel Laufschaufel Welle Traglager

7.4.2.1 Regelung. Wegen der steilen Kennlinie und der hohen Pumpgrenze eignet sich der Axialverdichter nur in einem sehr engen Bereich zur Mengenregelung, besonders bei konstanter Antriebsdrehzahl, z.B. bei elektrischem Antrieb. Bei niedriger Entnahme kann man sich dann durch Abblasen der überschüssigen Luftmenge helfen, deren Energie in Expansionsturbinen genützt werden kann. Eine ideale Regelung des Axialgebläses mit konstant bleibender Antriebsdrehzahl wird durch die Ausführung mit verstellbaren Leitschaufeln erzielt. 7.4.2.2 Aufbau. Bei der mehrstufigen Bauweise besteht der Axialverdichter aus dem Rotor, der die Laufschaufeln trägt und dem Stator, der zu jeder Laufschaufelreihe eine Leitschaufelreihe besitzt. Am Eintritt wird der ersten Laufschaufelreihe eine Leitschaufelreihe vorgeschaltet. Bild 13 zeigt das Schnittbild eines BBC-Axialgebläses mit verstellbaren Leitschaufeln in allen Reihen.

8 Verbrennungsmotoren M. Ristau

8.1 Grundlagen Verbrennungsmotoren sind Wärmekraftmaschinen, die als Energiequelle Flüssigkraftstoff oder Gas verwenden. Die Umsetzung der im Kraftstoff enthaltenen chemischen Wärmeenergie wird durch Verbrennung im Zylinderraum vor dem Kolben vorgenommen (innere Verbrennung) und durch Expansion sofort über ein Kurbeltriebwerk in mechanische Energie umgesetzt. Die expandierten Verbrennungsgase werden

– – – – – – – –

nach der Art des Ladungswechsels (Zweitakt-, Viertaktmotoren) nach der Gemischbildung (Ottomotoren- äußere, Dieselmotoren- innere) nach der Verbrennungseinleitung des KraftstoffLuft-Gemisches (Ottomotor-Fremdzündung, Dieselmotor- Selbstzündung) nach der Anordnung der Motorzylinder (Reihen-, V-, Boxer-, Gegenkolben-, Sternmotoren) nach der Kühlung (Flüssigkeits-, Luftkühlung) nach dem Bewegungsablauf (Hubkolben-, Kreiskolbenmotor, Gasturbine) nach der Drehrichtung nach dem Drehzahlbereich nach der Frischgaszufuhr (Saug-, Ladermotoren)

8.1.1 Thermodynamische Grundlagen Während eines Arbeitsspiels durchläuft der Gasinhalt des Zylinders immer wieder dieselben thermodynamischen Zustandsänderungen (Kreisprozess). Für Ottomotoren kann dazu als Idealprozess der Gleichraumprozess (Bild 1a) mit adiabatischer (isentroper) Verdichtung, isochorer Wärmezufuhr Qz adiabater Expansion und isochorer Wärmeabgabe Qa herangezogen werden. Für Dieselmotoren wird als Idealprozess der Gleichdruckprozess (Bild 1b) mit adiabater Verdichtung und Expansion, isobarer Wärmezufuhr Qz und isochorer Wärmeabgabe Qa, verwendet. In der Praxis arbeiten weder der Ottomotor, noch der Dieselmotor nach diesen Idealprozessen, da die Verbrennung des eingespritzten Kraftstoffes im Dieselmotor nicht bei gleich bleibendem Druck erfolgt und auch die beim Gleichraumprozess vorausgesetzte, unendlich große Verbrennungsgeschwindigkeit nicht auftritt. Der Seiligerprozess (Bild 1c), als Überlagerung von Gleichdruck- und Gleichraumprozess, berücksichtigt noch am besten die realen Arbeitsprozesse von Ottound Dieselmotor. Die thermodynamische Wärmebilanz der Vergleichsprozesse zeigt den theoretisch erreichbaren Idealwirkungsgrad v des vollkommenen Motors. Mit den im Bild 1 gezeigten Idealdiagrammen werden die Idealwirkungsgrade:

8 Verbrennungsmotoren

v  1

v  1

t a für den Gleichraumprozess t z t a

t z

(1)

für den Gleichdruckprozess,

 Adiabatenexponent v  1

L 63

t a für den Seiligerprozess t z1  t z 2

(2) (3)

Vc = Verdichtungsraum p1 = Anfangsdruck T1 = Anfangstemperatur Pc = Verdichtungsenddruck Tc = Verdichtungsendtemperatur pz = Druck nach Wärmezufuhr Qz Tz = Temperatur nach Wärmezufuhr Qz Ta = Temperatur bei Wärmeabgabe Qa tz = Temperaturerhöhung durch Wärmezufuhr Qz ta = Temperaturverringerung durch Wärmeabgabe Qa Qa = Wärmeabgabe Qz = Wärmezufuhr

Der innere (indizierte) Wirkungsgrad i des wirklichen Motors ist jedoch geringer, da Strömungs- und Ladungsverluste, unvollkommene Verbrennung und Wärmeverluste an den Wandungen auftreten. Der Gütegrad g kennzeichnet das Verhältnis des praktischen zum idealen Wirkungsgrad v

g 

i v

(4)

Richtwerte: g = 0,7 ... 0,9 [[

Durch die Berücksichtigung der mechanischen Reibungsverluste im Motor (Triebwerk, Öl-, Wasserpumpe, Generator, Gebläse usw.) ergibt sich der mechanische Motorwirkungsgrad Peff Pi Effektivleistung (Kupplungsleistung) Innenleistung

m 

Peff Pi

Richtwerte: für Ottomotoren für Dieselmotoren

(5)

m = 0,80 … 0,92 m = 0,75 … 0,85

Die Innenleistung Pi unterscheidet sich von der Effektivleistung Peff durch die Reibleistung Pr(Pi = Peff + Pr). Der effektive- oder Nutzwirkungsgrad eff des Verbrennungsmotors beträgt

eff = im oder eff = vgm

(6)

8.1.2 Grundlegende Berechnungen und Bezeichnungen am Hubkolbenmotor

Mit dem Zylinderdurchmesser d und dem Kolbenhub s errechnet sich der Hubraum Vh eines Zylinders Vh 

Bild 1. Vergleichsprozesse Vh = Zylinderhubraum

d 2 s 4

Vh

d

s

cm3

cm

cm

(7)

Mit z Zylindern beträgt der Motorhubraum VH = Vhz

(8)

L 64

L Kraft- und Arbeitsmaschinen

Der Raum über dem Kolben im oberen Totpunkt (einschließlich der Nebenbrennräume bei Dieselmotoren) ist der Verdichtungsraum Vc. Das Verhältnis von Verbrennungsraum Vb = Vh + Vc zum Verdichtungsraum Vc ist das Verdichtungsverhältnis 



Vh  Vc Vc

Vh

Vc



cm3

cm3

1

Richtwerte: für Ottomotoren für Dieselmotoren

(9)

 = 7 … 11  = 14 … 24

 ist ein wichtiger Kennwert für Leistung und thermischen Wirkungsgrad eines Motors. Verdichtungserhöhung ergibt höheren Arbeitsdruck und höhere Motorleistung. Grenzen der Verdichtungserhöhung sind durch die thermische Belastung und die Klopffestigkeit des Kraftstoffes gegeben. Der Verdichtungsenddruck pc der Luft oder des Kraftstoff-Luft-Gemisches ergibt sich mit dem Ausgangsdruck der Zylinderfüllung p0, dem Verdichtungsverhältnis  und dem Polytropenexponenten n (1,35 ... 1,38 für Luft). pc = p0n

pc

p0

bar

bar

 1

(10)

Richtwerte: für Ottomotoren pc = 10 … 15 bar für Dieselmotoren pc = 24 … 50 bar Die Verdichtungsendtemperatur Tc ergibt sich mit der Ausgangstemperatur T0 der Luft oder des Gemisches Tc = T0 n – 1

T0

Tc

K

K

 1

(11)

Richtwerte: mit tc = Tc – 273,15 K für Ottomotoren tc = 400 … 500 °C für Dieselmotoren tc = 700 … 900 °C Das Hubverhältnis a

s d

a

s

d

1

mm

mm

(12)

kennzeichnet die Motoren als Kurzhub- (a < 1), Langhub- (a > 1) oder Quadrathubmotoren (a = 1). Übliche Werte bei Otto- und Dieselmotoren liegen bei a = 0,75 … 1,25. Aus Kurbelwellendrehzahl n und dem Kolbenhub s wird die mittlere Kolbengeschwindigkeit vm nach der Zahlenwertgleichung

m 

sn 30

m m/s

s

n

m

1/min

(13)

Die maximale Kolbengeschwindigkeit vmax beträgt ca. 1,62 vm bei einem Pleuelstangenverhältnis PL = 0,25 nach Gleichung (28). Richtwerte: für Ottomotoren vm = 9 … 15 m/s für Dieselmotoren vm = 8 … 14 m/s Der Liefergrad L kennzeichnet das Verhältnis der angesaugten Ladung mz zur theoretisch möglichen Ladung mth L 

mz mth

L

mz

mth

1

kg

kg

(14)

Richtwerte: für Saugmotoren L = 0,7 … 0,9 für Ladermotoren L = 1,2 … 1,6

OT UT E A Vc p

Oberer Totpunkt Unterer Totpunkt Einlassventil Auslassventil Verdichtungsraum Innendruck

Bild 2. Bezeichnungen am Zylinder

Die angesaugte Gemischmasse und damit die Größe von L ist abhängig von der Drosselung und Erwärmung beim Ansaugen und von der Motordrehzahl. Durch Aufladung (Kap. 8.13), Mehrventiltechnik und lange Ventilöffnung kann L verbessert werden. Die praktischen Verhältnisse beim Lauf eines Verbrennungsmotors lassen sich in einem p-V-Diagramm (Indikatordiagramm) aufzeigen. Durch einen Indikator (piezo-elektrischer Druckschreiber) wird der tatsächliche Druckverlauf im Zylinder während eines Arbeitsspiels (2- oder 4-Takte) bei laufendem Motor ermittelt und aufgezeichnet.

8 Verbrennungsmotoren Bild 3 zeigt das Indikatordiagramm für einen Viertakt-Dieselmotor. Beim Arbeitshub wirkt am Kolben der Expansionsdruck p und die Kolbenkraft FK = pA. Während des Hubes s ändern sich p und damit auch die Kolbenkraft FK ständig. Man rechnet daher mit einem mittleren Kolbendruck pm.

L 65 Die Diagrammfläche wird mit dem Planimeter ausgemessen oder durch Streifenrechnung ermittelt. Den Druckmaßstab liefert die Indikatorfeder (1 mm Diagrammhöhe entspricht f bar). Die durch den Gasdruck pi an den Kolben abgegebene Leistung ist die indizierte Leistung Pi (Innenleistung). Setzt man in P = F v für F = A pi und für v die mittlere Kolbengeschwindigkeit vm = s n / 30, so wird Pi = A pi s n / 30. Bei z Zylindern und unter Berücksichtigung, dass beim Viertaktmotor jeder vierte, beim Zweitaktmotor jeder zweite Takt ein Arbeitstakt ist, beträgt die indizierte Leistung eines Motors A s z pi n 2 P i = A s z pi n Pi A s

für Viertaktmotoren

Pi 

W

m2

für Zweitaktmotoren pi n z N

m

m

2

1 s

1

pi bar

z 1

(15)

als Zahlenwertgleichung: A s z pi n x s n m 1/min

Pi 

Bild 3. p-V-Diagramm (Indikatordiagramm) eines Viertakt-Dieselmotors

Pi kW

A cm2

(16)

x = 12 000 für Viertaktmotoren und x = 6 000 für Zweitaktmotoren

Fasst man Asz zum Motorhubraum VH in dm3 zusammen, so ergibt sich Pi 

VH pi n y

Pi

VH

pi

kW

dm3

n

bar 1/min

(16a)

y = 1 200 für Viertaktmotoren und y = 600 für Zweitaktmotoren

Richtwerte für den mittleren indizierten Druck pi (Saugmotoren): für Ottomotoren pi = 9 … 14 bar für Dieselmotoren pi = 7 … 10 bar

Bild 4. Indikatordiagramm

Die Kolbenarbeit während des Hubes beträgt W = Pm A s = Pm Vh, die im Druckverlaufsdiagramm als Rechteckfläche inhaltsgleich der Diagrammfläche erscheint. Der Verdichtungshub benötigt einen Teil dieser Dehnarbeit, der Rest wirkt als Nutzarbeit am Kolben. Das Indikatordiagramm zeigt die innere Nutzarbeit am Kolben als Diagrammfläche. Der sich daraus ergebende mittlere Nutzdruck heißt indizierter Druck pi (Bild 4).

Die Nutzleistung oder Effektivleistung Peff eines Motors wird durch Bremsmessungen auf dem Motorenprüfstand (Wasserströmungsbremse oder elektrische Bremse) ermittelt. Sie ist um die Reibleistung Pr geringer als die Innenleistung Pi. Den Unterschied drückt der mechanische Wirkungsgrad m = Peff / Pi aus, siehe Gleichung (5). Die Nutzleistung eines Verbrennungsmotors (DIN 1940) ist die Kupplungsleistung, die bei einer bestimmten Drehzahl abgegeben werden kann. Die zum Motorbetrieb notwendigen Hilfseinrichtungen (Ölund Wasserpumpe, Kühlergebläse, Generator usw.) werden dabei vom Motor angetrieben. SAE-Leistungsangaben (USA) liegen höher als diese DIN-

L 66

L Kraft- und Arbeitsmaschinen

Angaben, da bei ihrer Ermittlung die Nebenaggregate nicht vom Motor selbst angetrieben werden. Die Ermittlung der Leistungen von Kraftfahrzeugmotoren erfolgt nach ISO 1585 bei den Versuchsbedingungen: Lufttemperatur T0 = 298 K, Luftdruck p0 = 1 000 mbar und rel. Luftfeuchte 30 %. Aus dem Motordrehmoment M und der Winkelgeschwindigkeit  der Kurbelwelle wird die effektive Leistung Peff = M. Gebräuchlich ist die Zahlenwertgleichung mit der Motordrehzahl n: Peff 

Mn 9550

Peff kW

M

n

Nm 1/min

(17)

Tabelle 1. Auslegungswerte und Anwendungsgebiete für Verbrennungsmotoren (Kolbenschmidt)

1) Abkürzungen: 2-T = Zweitakt, 4-T = Viertakt, O = Otto, IDI = Kammerdiesel, DI = Direkteinspritz-Diesel, ATL = Abgasturboaufladung (wenn eingeklammert: häufig, aber nicht grundsätzlich eingesetzt), LLK = Ladeluftkühlung. 2) Effektives Verdichtungsverhältnis bei Zweitaktmotoren (entspricht 10 ... 14 geometrischem Verdichtungsverhältnis je nach Steuerzeiten). 3) Hohe Werte gelten für 4-Ventil-Motoren. 4) Große Spanne für Auslegungsdaten, da Lieferwagenmotoren von PKW- oder LKW-Motoren abgeleitet sein können. 5) Bei M max bis zu 20 % (Höchstleistungsmotoren) bzw. 50 % (Konstantleistungsmotoren) pm -Überhöhung gegenüber Wert bei Peff max. 6) Große Spanne für Auslegungsdaten je nach Wartungsanspruch,

Lebensdaueranforderung usw.

Aus dieser Leistung kann durch Umstellen von (16a) mit geänderten Indizes der mittlere effektive Kolbendruck peff berechnet werden. Er wird häufig als Vergleichsgröße zur Motorenbeurteilung herangezogen. peff

yPeff VH n

peff

Peff

VH

m

bar

kW

dm3

1/min

(18)

y = 1200 für Viertaktmotoren, y = 600 für Zweitaktmotoren Richtwerte (Saugmotoren): für Ottomotoren peff = 9 … 13 bar für Dieselmotoren peff = 6 … 9 bar Ein weiterer Motorvergleichswert ist der spezifische Kraftstoffverbrauch beff, der die leistungs- und zeitbezogene Kraftstoffverbrauchsmenge angibt. Mit dem zeitbezogenen Kraftstoffverbrauch B und der effektiven Leistung Peff wird beff =

B1000 Peff

beff

B

Peff

g kWh

kg h

kW

(19)

Wird die Nutzleistung mit dem Wärmeenergieaufwand verglichen, der in dem zugeführten Kraftstoff enthalten ist, so erhält man für den Nutzwirkungsgrad

eff 

3600 Peff BH u

Peff

B

Hu

eff

kW

kg h

kJ kg

1

(20)

Für Hu wird der spezifische Kraftstoffheizwert eingesetzt. (Nach DIN 6271 beträgt der Kraftstoff-Bezugsheizwert Hu = 42000 kJ/kg.). Richtwerte: für Normalbenzin Hu = 42700 kJ/kg Richtwerte: für Superbenzin Hu = 43300 kJ/kg Richtwerte: für Diesel Hu = 42500 kJ/kg Mit dem spezifischen Kraftstoffverbrauch beff wird

8 Verbrennungsmotoren

ηeff

3600 /1000 = beff H u

L 67 beff

Hu

eff

g kWh

kJ kg

1

(21)

f) pi =

VH pi n 5,74  8,4  2660   106,88 kW 1200 1200 Peff wird Peff = Pim = Pi = 106,88 kW · 0,87 = 92,99 kW

g) Mit (5) m =

Richtwerte: für Ottomotoren eff = 0,20 … 0,28, beff = 250 … 380 g/kWh

h) Da Pi = Peff + Pr (5) ist, wird Pr = Pi – Peff = = 106,88 kW – 92,99 kW = 13,89 kW

Richtwerte: für Großdiesel eff = 0,36 … 0,43, beff = 170 … 250 g/kWh

i) Aus (17) Peff =

Richtwerte: für Fahrzeugdiesel eff = 0,27 … 0,34, beff = 190 … 290 g/kWh

=

Als Motorvergleichswert wird oft die Hubraumleistung PH (Literleistung) verwendet. PH =

Peff VH

PH kW dm 3

Peff

kW

VH

dm3

(22)

■ Beispiel: Von einem 6-Zylinder Viertakt-Dieselmotor sind folgende Daten bekannt: Bohrung 98 mm, Hub 127 mm, Vc = 56,3 cm3 (durch Auslitern ermittelt), mittlerer innerer Kolbendruck (aus Indikatordiagramm ermittelt) pi = 8,4 bar, mechanischer Wirkungsgrad (mittlerer Wert angenommen) m = 0,87, Motornenndrehzahl n = 2660 1/min, spezifischer Kraftstoffverbrauch beff = 230 g/kWh bei der Nenndrehzahl. Zu ermitteln sind:

a) Zylinderhubraum b) Motorhubraum c) Verdichtungsverhältnis d) mittlere Kolbengeschwindigkeit e) mittlere Kolbenkraft bei pi f) Motorinnenleistung Pi g) Motornutzleistung Peff h) Verlustleistung Pr i) Motordrehmoment bei Nenndrehzahl j) Hubverhältnis k) Nutzwirkungsgrad l) Innenwirkungsgrad Lösung:

d 2 s (9,8 cm) 2  12,7 cm   4 4 3 = 957,47 cm Zylinderhubraum

a) V h 

b) VH = Vhz = 957, cm3 · 6 Zyl = 5744,92 cm3 Motorhubraum c)  

Vh  Vc 957,47 cm 3  56,3 cm 3   Vc 56,3 cm 3

= 18 geschrieben 18 : 1 sn 0,127  2660 m   11,26 s 30 30 (Mittlere Kolbengeschwindigkeit bei der Nenndrehzahl)

d) m 

e) Mit F = piA wird F=

9,81 N / cm 2 (9,8 cm) 2  8,4 bar   6225,24 N bar 4

P 9550 Mn wird M = eff = 9550 n

92,99  9550 = 333,85 Nm 2660

s 127 mm   d 98 mm = 1,29 (typischer LKW-Langhubmotor)

j) a 

k) Aus (21) wird mit dem gewählten Heizwert (Diesel) kJ Hu = 42 000 kg

eff = l) i =

3600  1000  0,37 – ein sehr guter Wirkungsgrad 230  42000

 eff 0,37   0,43 m 0,87

8.1.3 Motorkennlinien und Verbrauchskennfelder

Motorkennlinien sind graphische Darstellungen der auf einem Motorprüfstand (Wasserströmungsbremse, Wirbelstrombremse u.a.) ermittelten Motorkennwerte. Durch Diagrammanalyse lassen sich Aussagen über die Motorcharakteristik ableiten. Volllastkennlinien (Bild 5) stellen Effektivleistung (Nutzleistung) Peff, Motordrehmoment M und spezifischen Kraftstoffverbrauch beff in Abhängigkeit von der Motordrehzahl n dar. Leistungsentwicklung, Drehmomentverlauf und spezifischer Kraftstoffverbrauch bei zugeordneter Motordrehzahl können mit anderen Motortypen verglichen werden.

L 68

L Kraft- und Arbeitsmaschinen zahl abgeben kann. Aus den Hyperbeln der konstanten Effektivleistung kann man z.B. ablesen, dass der Motor eine bestimmte Nutzleistung bei unterschiedlichen spezifischen Kraftstoffverbräuchen erbringen kann. Ablesebeispiel: beff 248 g/kWh

Peff 50 kW bei ca. 2300 1/min

oder Peff 50 kW bei ca. 1550 1/min beff 228 g/kWh

8.2 Bauteile der Verbrennungsmotoren

Bild 5. Volllastkennlinien über der Motordrehzahl a) Ottomotor b) Dieselmotor

Verbrennungsmotoren bestehen aus den Hauptbaugruppen Motorgehäuse, Kurbeltriebwerk und Motorsteuerung. Hinzu kommen die Baugruppen und Aggregate, die für den Betrieb erforderlich sind, wie Kraftstoffsystem, Abgasanlage, Motorelektrik, Kühlund Schmiersystem. 8.2.1 Motorgehäuse

Motorgehäuse bestehen aus dem Zylinderblock oder aus Einzelzylindern, dem Zylinderkopf, der Zylinderkopfhaube, der Zylinderkopfdichtung und der Ölwanne.

Bild 6. Kennfelder eines Dieselmotors

Verbrauchskennfelder zeigen Kennlinien derselben Abhängigkeit unter dem Einfluss eines veränderlichen Parameters. Das Kennfeld des Dieselmotors in Bild 6 zeigt Kennlinien des konstanten spezifischen Kraftstoffverbrauchs beff (Muschellinien) in Abhängigkeit von der Motordrehzahl n und dem mittleren effektiven Druck peff, sowie Linien konstanter Effektivleistung Peff (Hyperbeln) mit der Volllastkurve. Kennfelder dienen zur Darstellung der Betriebszustände unter denen ein Motor arbeiten kann. Die Kennlinie für die größte Nutzleistung (Volllastkurve) zeigt die Dauerleistung, die ein Motor bei einer Dreh-

Bild 7. Motorgehäuse (Opel)

Zylinder führen den Kolben, leiten die Verbrennungswärme ab und nehmen den Verbrennungsdruck auf. Das Kurbelgehäuseoberteil mit der Kurbelwellenlagerung wird bei wassergekühlten Motoren mit

8 Verbrennungsmotoren dem Zylinderblock meist in einem Stück gegossen (Zylinderkurbelgehäuse). Es dient als Anbauteil für die Motoraufhängung und die Nebenaggregate (Starter, Generator usw.). Die verschraubte Ölwanne bildet den unteren Abschluss. Nach oben bildet der Zylinderkopf mit dem Zylinder den Verbrennungsraum.

Bild 8. Zylinderlaufbuchsen a) nasse Laufbuchse b) trockene Laufbuchse

Einzelzylinder von luftgekühlten Motoren sind mit Kühlrippen versehen und werden mit dem Kurbelgehäuse einzeln verschraubt. Als Werkstoff werden entweder AlSi- Legierungen oder Gusseisenwerkstoffe verwendet. Zur Verbesserung der Gleit- und Verschleißeigenschaften sind spezielle Laufflächenbehandlungen (Hartverchromen) oder eingegossene Buchsen erforderlich. Man verwendet Eisen-Aluminium-Verbundguss (Alfin) oder besondere Laufflächenbehandlungen wie ALUSIL-, NIKASIL- und LOKASIL-Verfahren. Beim ALUSIL-Verfahren wird der Zylinder aus AlSiLegierung nach dem Honen an der Lauffläche durch elektrochemisches Ätzen behandelt. Die harten SiKristalle wirken als verschleißfester Laufbahnschutz. Beim NIKASIL-Verfahren wird die Kolbenlaufbahn der AlSi- Legierung galvanisch mit Ni beschichtet. Beim LOKASIL-Verfahren wird ein hochporöser Formkörper aus Si mit keramischem Bindemittel (Preform) in einem speziellen Druckgussverfahren von der Al-Schmelze durchdrungen. Zylinderkurbelgehäuse mit flüssigkeitsgekühlten Zylindern aus Gusseisen- oder AlSi-Legierungen werden meist in Closed-Deck-Ausführung (Bild 7) hergestellt. Die Abdichtfläche der Zylinder zum Zylinderkopf ist um die Zylinderbohrung herum geschlossen. Bei der Open-Deck-Ausführung ist der Kühlflüssigkeitsmantel an der Zylinderkopfdichtfläche um die Zylinderbohrungen herum offen. Sie erfordern Metall-Zylinderkopfdichtungen. Man verwendet eingearbeitete Bohrungen und nasse oder trockene Zylinderlaufbuchsen als Kolbenlauffläche. Nasse Laufbuchsen (Wanddicke 5 … 8 mm) werden direkt vom Kühlwasser umspült und sind bei Laufflä-

L 69 chenverschleiß ohne Motorausbau leicht zu wechseln (Bohrung fertig bearbeitet). Die Abdichtung zum Wasserraum erfolgt über Gummidichtringe, zum Zylinderkopf über die Zylinderkopfdichtung (Buchsenüberstand 0,05 … 0,1 mm). Trockene Laufbuchsen (Wanddicke 1,5 … 2 mm) werden in die Zylinderbohrung eingepresst und sind nicht vom Kühlwasser umspült. Die Lauffläche muss oft noch bearbeitet werden. Als Werkstoff wird Schleuderguss verwendet. Durch Honen der Laufflächen werden Motoreinlaufzeit und Verschleiß verringert. Die Kurbelgehäuseentlüftung verhindert ein Entweichen von am Kolben vorbeistreichenden unverbrannten Kohlenwasserstoffen, Leckageströmungen an den Kolbenringen (Blow-by-Gase) bei aufgeladenen Dieselmotoren und von Öldämpfen (Kurbelwangenmitriß) in die Atmosphäre. Das Öldampf-Gasgemisch wird aus dem Kurbelgehäuse angesaugt, der Ölanteil in einem Ölabscheider (Zyklon) getrennt und die Gase dem Ansaugsystem zugeführt. Die Ölwanne nimmt beim Viertaktmotor die Ölfüllung auf und bildet den unteren Abschluss des Kurbelgehäuses. Sie wird aus Stahlblech oder Al-Guss hergestellt. Bei Zweitaktmotoren bildet sie den Vorverdichtungsteil. Der Zylinderkopf enthält bei Ottomotoren die Zündkerzen, die Ein- und Auslassventile (Viertakt) mit den Ventilsteuersystemen und bei Dieselmotoren Voroder Wirbelkammer, Glühkerzen und Einspritzdüsen. Er bildet den oberen Teil des Verbrennungsraumes, enthält die Gaswechselkanäle und trägt durch die Brennraumgestaltung entscheidend zur Verbrennungsbeeinflussung und Gemischbildung bei. Brennräume werden kugel-, keil- oder wannenförmig ausgebildet (von der Ventilanordnung abhängig). Beim Heron-Brennraum befindet sich der größte Brennraumteil in einer Kolbenmulde (gute Gemischverwirbelung). Beim Querstromzylinderkopf liegen Ein- und Auslasskanal einander gegenüber, der Kopf wird quer durchströmt. Beim Gegenstromzylinderkopf liegen Ein- und Auslaß auf derselben Kopfseite untereinander (kurze Gaswechselwege). Als Werkstoffe werden bei Ottound PKW-Dieselmotoren wegen der besseren Wärmeleitfähigkeit und der geringeren Masse vorwiegend Al-Legierungen, bei LKW Grauguss, verwendet. Die Zylinderkopfdichtung verhindert BrennraumDruckverluste sowie Schmier- und Kühlmittelverluste. Zylinderkopfdichtungen aus Metall-AsbestGeweben werden nicht mehr verwendet. Bei MetallWeichstoff-Zylinderkopfdichtungen ist auf einem Metallgitter als Trägerblech beidseitig eine Weichstoffauflage aus wärmebeständigem Kunststoff aufgebracht. Metalleinfassungen verstärken die Durchgangsöffnungen für Brennraum, Wasser- und Ölkanäle und Verschraubungen. Metall - Mehrschicht - Zylinderkopfdichtungen werden oft bei aufgeladenen Dieselmotoren verwendet. Sie bestehen aus mehreren Lagen Stahlblech, haben ein geringeres Setzverhalten

L 70

L Kraft- und Arbeitsmaschinen

und bessere Dauerhaltbarkeit als Metall-Weichstoffdichtungen. Sie ermöglichen eine geringere Vorspannung der Zylinderkopfverschraubung (geringerer Verzug).

Die Pleuelstangenkraft FS greift am Pleuelzapfen der Kurbelwelle an und kann in die Tangentialkraft FT und die Radialkraft FR zerlegt werden. sin (   ) und mit FS cos  FT = FS sin ( + )

FT = FK

8.2.2 Kurbeltriebwerk

Das Kurbeltriebwerk besteht aus Kolben, Kolbenringen, Kolbenbolzen, Pleuelstange und Kurbelwelle mit Lagern und Schwungrad. Das Triebwerk formt die hin- und hergehende Kolbenbewegung in eine Drehbewegung an der Kurbelwelle um. Kräfte und Bewegungsverhältnisse am Kurbeltriebwerk Durch den Verbrennungsdruck p (veränderlich mit der Kolbenstellung) wird die sich ständig ändernde Kolbenkraft FK erzeugt. Mit dem mittleren effektiven Druck peff und der Kolbenfläche A wird die mittlere Kolbenkraft berechnet:

FK FK = peff A

N

peff N cm 2

sowie FR = FK

cos (   ) und mit FS cos 

(26)

FR = FS cos ( + )

Die Tangentialkraft FT erzeugt am Pleuelzapfen der Kurbelwelle das Motordrehmoment M = FT r

M

FT

r

Nm

N

m

A

cm2

(23)

Bild 9. Kurbelgetriebe (Opel) Bild 10. Kräfte am Kurbeltrieb

Sie wird über den Kolbenbolzen in eine Pleuelstangenkraft FS und eine senkrecht zur Zylinderwand wirkende Kolbenseitenkraft FN zerlegt. Mit dem Kurbelwinkel  und dem Pleuelstangenwinkel  wird FK cos  FN = FK tan 

FS =

(24a) (24b)

(25)

p r s l

  sK n

= Verbrennungsdruck = Kurbelradius = Kolbenhub (s = 2r) = Pleuelstangenlänge = Kurbelwinkel =  t = Pleuelstangenwinkel = Kolbenweg = Kurbelwellendrehzahl

(27)

8 Verbrennungsmotoren

L 71

(28)

cos  = 1 ( PL sin  ) 2

(29)

sowie

 = r2 (cos  t ! PL cos 2  t) u r t t   m

m s

s2

Der jeweils zurückgelegte Weg sK kann mit einer Näherungsformel berechnet werden:

7

sK = r (1 – cos ) ! l(1 – cos ) + Kolbenbewegung von OT nach UT – Kolbenbewegung von UT nach OT

1 s

m 1

§ ©

1 2

s

PL

1

12

13

8 14

3

9

16

4

10

18

1 § · sK = r ¨1 cos !  PL sin 2   2 © ¹ Die Kolbenbewegung ist ungleichmäßig beschleunigt und verzögert. Die Kolbengeschwindigkeit v ergibt aus  = 2 n = konst. (Winkelgeschwindigkeit des Kurbelzapfens), Kurbelwellendrehzahl n und Umfangsgeschwindigkeit der Kurbelwelle vu = r 

s

(32)

2

(30) 15

sowie:

 2u (cos !  PL cos 2 ) r

11

17

sin  = PL sin 

=

5

21

· ¹

19

kann aus dem jeweiligen Kurbelwinkel  der Pleuelstangenwinkel  berechnet werden:

Die Kolbenbeschleunigung a beträgt:

20

Mit dem Pleuelstangenverhältnis PL = r / l (Richtwerte: PKW-Motoren PL = 0,26 … 0,36 LKW-Motoren PL = 0,23 … 0,33)

 = u ¨ sin  !  PL sin 2 ¸ sowie mit  =  t (31) 1 § ·  = r ·  ¨ sin  t !  PL sin 2 t ¸ t Zeit in s 2 © ¹

Für Überschlagsrechnungen verwendet man die mittlere Kolbengeschwindigkeit vm = s n / 30 (13).

Bild 11. Verlauf von Kolbenweg s, Kolbengeschwindigkeit v und Kolbenbeschleunigung a über dem Kurbelwinkel  (Kolbenschmidt) s Kolbenhub v Kolbengeschwindigkeit a Kolbenbeschleunigung ºkW Grad Kurbelwinkel

23

22

6

Bild 12. Bezeichnungen und Abmesungen am Kolben (Mahle) 13 Bodendicke 1 Kolbenboden 14 Ringsteg 2 Bodenmulde, 15 Kompressionshöhe Verbrennungsmulde 16 Dehnlänge 3 Ringpartie 17 Gesamtlänge 4 Bolzennabe 18 Bolzenlochdurch5 Schaft messer 6 Schaftlapen 19 Schaftlänge 7 Ringträger 20 untere Länge 8 Verdichtungsnut 21 Nabenabstand 9 Ölringnut 10 Ölrücklaufbohrungen 22 Kolbendurchmesser 11 Bolzensicherungsnut 23 Einpass 12 Feuersteg

Der Kolben überträgt den Druck des Arbeitsgases auf das Triebwerk. Er steuert beim Zweitaktmotor den Gaswechsel und trägt bei Otto- und Dieselmotoren durch die Einbeziehung als Brennraumbestandteil wesentlich zur Gemischaufbereitung und zum Verbrennungsablauf bei. Anforderungen an den Kolben: Geringe Masse (Trägheitskräfte), bei gleichzeitig hoher Belastbarkeit, gute Abdichtung, geringer Verschleiß und Ölverbrauch, geringe Reibung. Den Kolbenaufbau, eingeteilt nach Bauzonen, zeigt Bild 12.

L 72 Auf dem Kolbenboden sind neben Kolbendurchmesser und Einbauspiel auch die Einbaurichtung eingeschlagen. Kolbenbauarten Eine Auswahl oft verwendeter Kolbenbodenformen zeigt Bild 13. Die erste Reihe zeigt Kolben für Ottomotoren, die zweite für PKW- und LKW-Dieselmotoren. Gegossene Einmetallkolben aus eutektischen AlSiLegierungen, auf die oft eine 0,02 mm Eisen- oder Chromschicht aufgebracht wird (anschließend verzinnt), werden für Ottomotoren mit Al-Zylindern verwendet. Für höchste Beanspruchungen werden im Warmfließpress-Verfahren hergestellte Kolben eingebaut. Zur Erfüllung der Forderungen nach geringem Gewicht, geringer Reibung und geringem Ölverbrauch, werden Regelkolben eingesetzt. Sie erhalten eingegossene Stahlstreifen im Bolzenaugenbereich oder eingegossene Stahlringe im Schaftbereich. Dadurch gelingt es, die durch hohe Temperaturen in Laufrichtung auftretenden Ausdehnungen zu verringern und in Richtung der Bolzenachse umzulenken. Weiterhin erzielt man durch besondere Kolbenformgebung (Kopf konisch, Schaft ballig, Durchmesserform oval) wesentlich kleinere Laufspiele als bei ungeregelten Kolben. Gegen die hohen mechanischen und thermischen Beanspruchungen im Kolbenbodenbereich wird bei hochbelasteten Dieselmotoren ein Ringträger aus austenitischem Gusseisen eingegossen und die Kolbenkühlung durch Kühlkanalkolben mit Ölspritzdüsen vorgenommen (Bild 72). Insbesondere während der Start- und Warmlaufphase kommt es oft zu Mischreibungszuständen zwischen Kolben und Zylinderwand. Notlaufeigenschaften erhalten Kolben durch dünne (1 … 10 μm) Beschichtungen (verbleien, verzinnen, phosphatieren, graphitieren).

Bild 13. Kolbenbodenformen 1 ….. 4 für Ottomotoren 5 und 6 für Vor-Wirbelkammer-Dieselmotoren 7 und 8 für Direkteinspritzer-Dieselmotoren (Kolbenschmidt)

L Kraft- und Arbeitsmaschinen Neuere Entwicklungen verwenden Kolben mit Klopfschutzschichten für Ottomotoren, und mit Verstärkungen aus Aluminiumoxid-Fasern für Kolbenboden und Ringpartie. Für Dieselmotoren werden Kolbenbodeneinsätze aus Keramik oder Aluminiumtitanat verwendet. Kolbenringe sollen die Gas- und Ölabdichtung des Verbrennungsraumes gegenüber dem Kurbelgehäuse (Kompressionsringe), das Abstreifen des Schmieröls von den Laufflächen (Ölabstreifringe), sowie den Wärmetransport vom Kolben an die gekühlte Zylinderwand vornehmen. Die Ringe liegen unter radialer Vorspannung an der Zylinderwandung an. Zum Dehnungsausgleich muss im eingebauten Zustand ein Stoßspiel von 0,2 … 0,7 mm vorhanden sein. Zweitaktmotoren mit Mischungsschmierung erhalten keine Ölabstreifringe. Verdichtungsringe werden hier mit einer Stiftsicherung gegen Verdrehen versehen.

Bild 14. Temperaturfelder (°C) eines NKW-Kolbens mit (links) und ohne Kühlkanal (rechts) bei gleicher Belastung (Kolbenschmidt)

In der ersten Kolbenringnut werden meist Rechteckoder Minutenringe (Bild 15) eingesetzt, die oft mit beschichteten Laufflächen (Molybdän, verchromt, phosphatiert, ferrooxidiert) versehen sind. Als Werkstoff verwendet man Gusseisen oder hochlegierten CrMo-Stahl. Für den zweiten Ring werden unbeschichtete Trapez- oder Nasenminutenringe verwendet. Als Ölabstreifringe kommen Dachfasen-, Ölschlitz-, Schlauchfeder- und Lamellenringe zum Einsatz. Die Ölabstreifringnut ist mit Bohrungen versehen, durch die das Öl auf die Kolbenschaftinnenseite gedrückt wird (Kolbenbolzenschmierung). Kolbenbolzen übertragen die Kräfte vom Kolben auf das Pleuel. Sie werden auf Flächenpressung, Biegung und Ovalverformung (Durchmesservergrößerung quer zur Belastungsrichtung) beansprucht. Nach der Bolzenlagerung unterscheidet man Klemmpleuel und schwimmende Lagerung, bei der sich der Bolzen frei in der Bolzenaugen- und Pleuelbohrung drehen kann. Sicherungs- oder Drahtsprengringe sichern in axialer Richtung (Bild 16a). Die Lagerung ist fresssicher und verschleißarm. Die Schmierung erfolgt über die Ölbohrung im Pleuel.

8 Verbrennungsmotoren

L 73

Rechteckring

Ölschlitzring

Rechteckring mit grobem Vorschub

Dachfasenring

Rechteckring mit Ölhalterillen

Gleichfasenring

Minutenring

PassformÖlring

einseitiger Trapezring

senträgheitskräfte des Kolbens im oberen Totpunkt auf Zug und durch die Fliehkräfte bei höheren Drehzahlen auf Biegung beansprucht. Sie besteht aus dem Pleuelkopf mit Gleitlagerbuchse für den Kolbenbolzen (bei Zweitaktmotoren meist Nadellager), Iförmigem Pleuelschaft und dem gerade- oder schräg geteilten (große Diesel) Pleuelfuß mit Pleueldeckel. Ungeteilte Pleuel werden für Einzylindermotoren mit zusammengesetzter Kurbelwelle verwendet. Sie erhalten Wälzlager.

Dachfasenring mit Schlauchfeder

(Doppel-) Trapezring

L-Ring

Ölschlitzring mit U-Flexfeder

Nasenring

dreiteiliger Stahl-Ölring

Nasen- Minutenring

a)

b)

Bild 15. Kolbenringbauarten a) Verdichtungsringe b) Ölabstreifringe

Beim Klemmpleuel (Bild 16b) sitzt der Kolbenbolzen mit Schrumpfsitz in der Pleuelstange und hat eine Spielpassung in der Bolzennabe. Axiale Sicherungselemente können entfallen. Zur Verringerung ihrer Masse werden Kolbenbolzen hohl ausgeführt (Ausnahme: bei Zweitaktmotoren zur Vermeidung von Spülverlusten, einseitig oder mittig geschlossen). Werkstoffe: Einsatz- und Nitrierstähle (z.B. 15Cr3; 41CrAlMo7), die nach dem Oberflächenhärten durch Schleifen und Kurzhubhonen (Superfinish) feinbearbeitet werden.

Bild 16. Kolbenbolzenlagerung (Spiel übertrieben dargestellt) a) Schwimmende Lagerung b) Klemmpleuel (Kolbenschmidt) Die Pleuelstange (Bild 17) wird durch den Verbrennungsdruck auf Knickung und Druck, durch die Mas-

Bild 17. Aufbau von Pleuelstange und Kolben für einen Motor mit Vierventiltechnik (Audi) 1 Dehnschraube 2 Pleuellagerdeckel 3 Pleuellagerschalen 4 Pleuelschaft 5 Sicherungsring 6 Kolbenbolzen 7 Kolben 8 Kolbenringe 9 Schraube für Ölspritzdüse 10 Ölspritzdüse A, B Markierungen für verwechslungssichere Montage

Die Schmierung der Pleuelbuchse wird entweder durch Tropföl (Senkung im Pleuelauge) oder durch Druckölschmierung über längs durchbohrte Pleuel oder Ölspritzdüsen ausgeführt (Hochleistungsmotoren). Pleuelstangen werden aus legiertem Vergütungsstahl (gesenkgeschmiedet), aus schmiedegesinterten legiertem Stahlpulver oder Temperguß und Kugelgraphitguss hergestellt. Der Pleuellagerdeckel wird mittels Passdehnschrauben, Dehnschrauben und Passhülsen oder durch Kerbverzahnung zwischen Lagerdeckel und Pleuelfuß

L 74 passgenau verschraubt. Der Pleuelfuß von sintergeschmiedeten Pleuelstangen wird durch eine spezielle Bruchtechnik hydraulisch an einer Sollbruchstelle abgesprengt (fractale splitting). Die körnige Struktur der Bruchstelle liefert einen unverwechselbaren Passsitz mit gutem Verzahnungseffekt. Dehnschrauben an Zylinderköpfen, Pleuel- und Kurbelwellenlagern werden nach dem Streckgrenzverfahren (Drehmomentschlüssel) oder/und Drehwinkelverfahren angezogen. Die Kurbelwelle ist im Kurbelgehäuse gelagert. Die Gestalt wird von der Zylinderanordnung (Reihen-, V-, Boxermotor), der Zylinderanzahl, der Lage- und Anzahl der Hauptlager, vom Kolbenhub und der Zündfolge (Einspritzfolge) des Motors bestimmt. Kurbelwellen werden auf Torsion, Biegung (Massenträgheits- und Pleuelstangenkräfte) und durch Wechselbeanspruchung der mechanischen Drehschwingungen beansprucht. Diese setzen sich aus den umlaufenden Massenkräften von Kurbelwange und Kurbelzapfen, den oszillierenden Massenkräften des Kolbens und der Pleuelstange und durch den Pleuelstangenanteil an den rotierenden und oszillierenden Massenkräften zusammen.

L Kraft- und Arbeitsmaschinen Die Größe der verbleibenden Massenkräfte und -momente ist von der Anordnung der Kurbelwellenkröpfungen und der Zündabstände abhängig. Ein vollkommener Massenausgleich ergibt sich bei 6Zylinder-Reihen-, 6-Zylinder-Boxer- und V12-Viertaktmotoren. Kurbelwellen von 4-Zylinder-Reihenmotoren sind durch die um 180° KW versetzten Kröpfungen, durch die gegenläufige Bewegung der Kolbenpaare 2 und 3 sowie 1 und 4 und durch die Ausgleichsgewichte mit statischer und dynamischer Auswuchtung für Kräfte und Momente 1. Ordnung ausgeglichen. Massenkräfte 2. Ordnung werden durch die oszillierenden Massen des Kurbeltriebwerks und durch die ungleichförmigen Gaskräfte des Viertaktverfahrens hervorgerufen. Die Massenkräfte 2. Ordnung laufen mit der doppelten Kurbelwellendrehzahl um und können nicht durch Auswuchten oder Ausgleichsgewichte an der Kurbelwelle beseitigt werden (Bild 18). Bei 6-Zylinder V-Motoren führen diese unausgeglichenen Momente in Abhängigkeit vom V-Winkel der Zylinderbänke zu einer unerwünschten Taumelbewegung des Motors, die bei Dieselmotoren größer ist, als bei Ottomotoren (größere Kolben- und Pleuelmasse). Zum Ausgleich von Massenkräften dienen vereinzelt verwendete Ausgleichssysteme mit Ausgleichswellen, die mit entgegengesetzter Drehrichtung und doppelter Kurbelwellendrehzahl umlaufen. Kurbelwellenlager liegen bei Otto- und Dieselmotoren meist hinter jeder Kurbelwellenkröpfung. Die Kurbelwangen können so angeordnet sein, dass für jeden Zapfen ein- oder zwei Gegengewichte vorhanden sind (Bild 19). Zur Ölversorgung sind Pleuellagerzapfen und Kurbellagerzapfen durch diagonale Bohrungen miteinander verbunden.

Bild 19. Kurbelwelle eines Ottomotors mit zwei Ausgleichsgewichten pro Kurbelzapfen

Bild 18. Verteilung der Massenkräte 1. und 2. Ordnung bei einem Vierzylindermotor (Honda)

Durch die Ungleichförmigkeit des Verbrennungsablaufs wird die Kurbelwelle in Drehschwingungen versetzt, die sich bei den kritischen Drehzahlen aufschaukeln und zum Bruch der Kurbelwelle führen können. Auf der dem Schwungrad gegenüberliegenden Seite sind Drehschwingungsdämpfer angeordnet, die als Viskose-, Feder- oder Gummidämpfer in Rie-

8 Verbrennungsmotoren menscheibe oder Steuerzahnrad integriert sind. Durch die Trägheit ihrer Dämpfungsmassen werden die Drehschwingungen der Kurbelwelle gedämpft, indem die Dämpfungselemente elastisch verformt werden. Statisches- und dynamisches Auswuchten der Kurbelwelle erfolgt durch Anbohren der Ausgleichsgewichte. Die Lagerzapfen werden induktiv oberflächengehärtet und geschliffen. Die Radien zwischen Lagerzapfen und Kurbelwangen, werden zur Erhöhung der Gestalt- und Dauerfestigkeit durch Rollieren oberflächenverdichtet. Kurbelwellen werden im Gesenk oder bei Großmotoren durch Freiformschmieden (günstiger Faserverlauf) hergestellt. Als Werkstoff wird Vergütungsstahl oder Nitrierstahl (z.B. 40CrNiMo4 oder 36CrAlMo7) verwendet. Gegossene Kurbelwellen werden aus Kugelgraphitguss (Schwingungsdämpfend) hergestellt. Kurbelwellen von Einzylindermotoren werden oft aus Einzelteilen gefügt (Schrumpfverbindungen oder Hirth-Verzahnung). Während eines Arbeitsspiels treten an der Kurbelwelle ungleichförmige Geschwindigkeiten durch Überwindung der Totpunktlagen und Leertakte auf, die durch das Schwungrad als Energiespeicher gemindert werden. Es dient weiter zur Aufnahme der Kupplung und des Starterzahnkranzes und enthält meist Markierungen für die Motorsteuerung (Totpunktlagen, Zündungs- oder Förderbeginn). Die Einbaulage ist durch Passstifte fixiert. Massenausgleich erfolgt durch gemeinsames statisches und dynamisches Auswuchten mit der Kurbelwelle.

L 75 Getriebe und Aufbau (Dröhngeräusche). Das Schwungrad ist hierzu in eine Primärmasse (Motorseite) und Sekundärmasse (Getriebeseite) aufgeteilt, die über ein Feder-Dämpfer-System drehbar miteinander verbunden sind. Weil die Resonanzfrequenzen dieses Systems nicht im Betriebsbereich des Motors liegen, werden vom Motor erzeugte Drehschwingungen nicht auf das Getriebe übertragen. Für Kurbelwellen- und Pleuellager werden bei Viertakt-Otto- und Dieselmotoren geteilte Axial- und Radialgleitlager verwendet. Axiallager (Pass- oder Führungslager) mit seitlichen Anlaufscheiben oder Bund übernehmen die Axialkräfte, die durch Kupplungsbetätigung auftreten. Radial- und Axiallager werden meist als Dreistoff- bzw. MehrschichtGleitlager ausgeführt. Aufbau: Stützschale aus Stahl, Tragschicht aus Bleibronze oder Al-Legierung (ca. 0,3 … 0,7 mm) mit Notlaufeigenschaften, Laufschicht aus Weißmetall (PbSn- Legierung, ca. 0,02 mm). Zur Vermeidung von Diffusion ist zwischen Trag- und Laufschicht eine Nickelschicht (ca. 0,002 mm) aufgalvanisiert. Lagerschalen erhalten Haltenasen als Verdrehsicherung. Kurbelwellenlager besitzen Ringnuten zur Ölaufnahme und Ölbohrungen zum Öltransport in das Lager.

Schwingungsisolation Motor- und Getriebeschwingung im Bereich der Leerlaufdrehzahl

vom Motor erzeugte Schwingung vom Getriebe aufgenommene Schwingung

Bild 20. Schwingungsisolation durch Zweimassenschwungrad (Volkswagen)

Zweimassenschwungräder entkoppeln Drehschwingungen von Kurbelwelle und Schwungrad zum Getriebe und vermeiden Resonanzschwingungen an

Schematischer Aufbau von Lagerschalen für Kurbelwellen- und Pleuellager Bild 21. Aufbau eines Mehrschichtlagers (Glyco)

L 76 Wegen der extrem hohen spezifischen Belastungen der Kurbelwellen- und Pleuellager in neueren Dieseldirekteinspritzer-Konstruktionen (Verbrennungshöchstdrücke >150 bar), werden herkömmliche Dreistofflager durch Sputterlager ersetzt. Statt der bisherigen Laufflächen-Beschichtungsverfahren Walzplattieren, Galvanisieren oder Aufgießen wird durch Kathodenstrahlzerstäubung (Sputtern) eine Verbesserung in der Feinkörnigkeit der Lager-Oberflächenschichten erzielt, indem feinste weiche Sn-Einlagerungen in eine feinkörnige, härtere Al-Grundstruktur eingebettet werden. In einer Vakuumkammer wird die Lagerschale als Anode, das Lagermetall als Kathode angeordnet. Beim Sputtervorgang (Bild 22) schlagen positiv geladene Argon-Gasionen mit hoher Energie auf das negativ geladene Lagermaterial auf. Die dadurch herausgetrennten Lagermetallpartikel werden hochverdichtet auf das Trägermaterial der Lagerschale übertragen.

L Kraft- und Arbeitsmaschinen über Schwinghebel (c), Kipphebel (d) oder Tassenstößel – durch geringe Massenbeschleunigungen schnelle Betätigung möglich e) dohc-Motoren (double overhead camshaft) – mit je einer Nockenwelle für Ein- und Auslassventilreihe, direkte Ventilbetätigung über Tassenstößel, für Hochleistungsmotoren mit Drei-, Vier- oder Fünf-Ventiltechnik pro Zylinder f) cih-Motoren (cam in head) – mit seitlich im Zylinderkopf gelagerter Nockenwelle

Bild 22. Schematische Darstellung des Sputterprozesses (Kolbenschmidt)

Vorteil: Beschichtungsverfahren für fast alle Werkstoffe möglich, hohe Tragfähigkeit und Verschleißfestigkeit der Laufflächenschicht. Nachteil: deutlich höhere Verfahrenskosten als bei herkömmlichen Lagern. 8.2.3 Bauteile der Motorsteuerung

Die Motorsteuerung vollzieht die Gaswechselsteuerung der Frischgase und Abgase. Sie besteht aus den Ein- und Auslassventilen mit Federn, den Betätigungselementen und der Nockenwelle mit Übertragungsteilen (Bild 23). Nach der Ventil-Schließbewegung unterscheidet man obengesteuerte (Bild 23b-f) und untengesteuerte Motoren (Bild 23a). Nach der Lage der Nockenwelle: a) sv-Motoren (side valve) – untengesteuert, mit stehenden Ventilen; ist nicht mehr gebräuchlich b) ohv-Motoren (overhead valves) – mit untenliegender Nockenwelle und Stößelstangen zu den Kipphebeln (Nutzfahrzeug-Dieselmotoren und ältere Ottomotorkonstruktionen) c) und d) ohc-Motoren (overhead camshaft) – mit obenliegender Nockenwelle und Ventilbetätigung

Bild 23. Bauarten der Motorsteuerung (Opel)

Die Nockenwelle bestimmt Öffnen und Schließen der Ventile zum richtigen Zeitpunkt, die Dauer der Öffnung und den Öffnungshub (Bild 24). Sie läuft bei Viertakt Otto- und Dieselmotoren mit der halben Kurbelwellendrehzahl um und besitzt entsprechend der Zündfolge angeordnete Ein- und Auslassnocken. Untenliegende Nockenwellen enthalten Antriebsexzenter, oder Ritzel zum Antrieb von Kraftstoffförderpumpe, Zündverteiler, Ölpumpe und Diesel-Einspritzpumpe. Der Antrieb von der Kurbelwelle erfolgt über Steuerzahnräder (ohv). Einfachoder Doppelrollenketten (Bild 25) mit Kettenspannern (hydraulisch oder federbelastet) oder Zahnriemenantrieb (geräuscharm) für obenliegende Nockenwellen. Nockenwellen sind zur Ölversorgung ihrer Lagerstellen (Gleitlager) längsdurchbohrt. Sie werden aus legiertem Stahl geschmiedet oder aus Schalenhartguss, Temperguß und Kugelgraphitguss hergestellt. Lagerstellen und Nocken sind oberflächengehärtet.

8 Verbrennungsmotoren

L 77

Ventilkegelstücke Federteller Ventilfeder Ventilschaftabdeckung Ventilführung

Ventilsitz

1 2 3 4 5 6 7

Lagerdeckelschraube Vorderer Lagerdeckel (Auslassseite) Lagerdeckel (Auslassseite) Auslass-Nockenwelle Vorderer Lagerdeckel (Einlassseite) Lagerdeckel (Einlassseite) Einlass-Nockenwelle

Bild 24. Zylinderkopf mit Nockenwellen für einen dohc-Motor (Ford)

Bild 26. Ventile a) Baueinheit Ventil b) Einmetallventil c) Hohlventil mit Natriumfüllung

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Kipphebel Ventilstößel Ventilfeder Nockenwelle Tellerventil Zylinderkopfhaube Zahnrad des Steuergetriebes Zylinderkopf Zylinderblock Kolben Kolbenbolzen Pleuelstange Kurbelwelle Ölwanne

Bild 25. Bauteile der Motorsteuerung (Opel)

Von der Nockenform werden der Ventilhub und die Steuerung der Öffnungs- und Schließvorgänge bestimmt. Harmonische, flache Nocken ergeben langsame Ventilbetätigungen bei kürzeren Öffnungszeiten (Normalmotoren), Tangentennocken ergeben lange Ventilöffnungszeiten und gute Zylinderfüllungen bei hoher Ventilbeschleunigung (Hochleistungsmotoren). Die Bauteile der Ventilsteuerung zeigt Bild 25. Das Öffnen der Ventile erfolgt, über die Nockenwelle gesteuert, durch Schwinghebel, Kipphebel oder Tassenstößel. Zunehmend eingesetzte Rollenschwinghebel oder Rollenkipphebel reduzieren deutlich die Reibleistung im Ventiltrieb. Geschlossen werden die Ventile kraftschlüssig durch eine oder zwei Ventilfedern. Jeder Zylinder ist mit je einem Ein- und Auslassventil versehen, deren Anordnung entscheidend die Brennraumform beeinflusst. Mehrventiltechnik verbessert die Zylinderfüllung und den Gaswechsel. Die am meisten verwendete Vierventiltechnik verwendet zwei Einlass- und zwei Auslassventile je Zylinder. Die Bauart erfordert meist zwei obenliegende Nockenwellen (dohc). Fünfventil-

L 78

L Kraft- und Arbeitsmaschinen

technik arbeitet mit drei Einlass- und zwei Auslassventilen. Austauschbare Ventilführungen aus CuZn-Legierungen werden in Al-Zylinderköpfen eingepresst und ermöglichen eine gute Wärmeableitung. Eine Ventilschaftabdichtung verhindert zu großen Öltransport in den Verbrennungsraum. Einlassventile (Betriebstemperatur ca. 500 °C) werden meist als Einmetallventil aus hochlegierten CrSiStählen mit gehärteten Sitzflächen und Schaftenden hergestellt. Der Tellerdurchmesser ist größer als bei Auslassventilen (bessere Zylinderfüllung). Auslassventile werden thermisch hoch belastet (Betriebstemperatur ca. 800 °C) und sind als Bimetallventile (Kopfstück warmfester CrMn- Stahl mit Schaft aus CrSi-Stahlstumpf verschweißt) oder als innengekühlte, natriumgefüllte Hohlventile ausgeführt. Die geschmolzene Natriumfüllung senkt durch Wärmetransport die Betriebstemperatur um ca. 100 °C. Auslassventil-Sitzflächen werden oft mit Hartmetall gepanzert. Der Ventilsitzwinkel beträgt 45°, selten 30°. Ventilteller sollen so groß wie möglich gestaltet werden, um die Gasdurchtrittsgeschwindigkeit niedrig zu halten und die Füllung zu verbessern. Bei ca. 70 m/s tritt merkliche Drosselung des Gasstromes ein. Nach der Kontinuitätsgleichung berechnet sich mit der Kolbenfläche A, der mittleren Kolbengeschwindigkeit vm und der Ventilöffnungsfläche AV, die mittlere Gasgeschwindigkeit im Ventilquerschnitt

XG =

AX m AV

A, AV

Xm, Xm

cm2

m s

beim Schließen überwinden und während der Ventilöffnungszeit die Trägheitskräfte der beschleunigten Ventil- und Steuerungsteilmassen abfangen. Die maximale Federkraft Fmax wird mit der Masse m von Ventil- und Steuerungsteilen sowie der Ventilbeschleunigung amax berechnet: Fmax

m

N

kg

Fmax = 1 ... 1,5 mamax

amax m

(35)

s2

Die Ventilbeschleunigung hängt von der Nockenform ab. Federschwingbruch wird durch veränderliche Federsteigung vermieden. Die Steuerzeiten werden als Öffnungs- und Schließwinkel der Ventile, bezogen auf die Totpunkte, im Steuerdiagramm dargestellt. Der Zündzeitpunkt, die Öffnungs- und Schließpunkte der Ventile, sowie beim Dieselmotor der Förderbeginn, werden in Grad Kurbelwinkel (ºKW) angegeben und als Steuermarkierung auf Schwungrad oder Riemenscheibe eingeschlagen. Nach Bild 28 errechnet sich der Öffnungswinkel aE des Einlassventils: aE = Eöº + 180º + Esº

(36)

(33)

Richtwerte für mittlere Gasgeschwindigkeiten: Einlassventil vG ca. 70 m/s Auslassventil vG ca. 110 m/s Für Entwurfsberechnungen kann zur Berechnung des Ventilöffnungsquerschnitts AV näherungsweise mit dem Ventiltellerdurchmesser d, anstatt des Gaskanaldurchmessers gerechnet werden (Bild 27). Mit dem Ventilhub l (0,1 … 0,25 d) und dem Ventilsitzwinkel a wird näherungsweise der Ventilöffnungsquerschnitt AV | d S l sin D

AV cm2

d cm

l cm

(34)

Die Ventilsitzfläche wird je nach Betriebstemperatur breiter oder schmaler ausgeführt. Schmale Flächen (Einlassventil) ergeben dichten Sitz (hohe Flächenpressung), aber geringere Wärmeableitung als breite Ventilsitze (Auslassventil). Ventilsitzringe aus Gusseisen oder Sintermetall, werden in Al-Zylinderköpfe eingeschrumpft. Ventilfedern müssen die Ventile bei Unterdruck (Ansaugen ca. 0,9 bar) dicht schließen, die Reibung des Stößels

Bild 27. Ventil und Ventilsitz

der Öffnungswinkel aA des Auslassventils: aA = Aöº + 180º + Asº

(37)

und der Ventilüberschneidungswinkel aÜ: aÜ = Eöº + Asº

(38)

Der Abstand lB der Markierungspunkte auf der Schwungscheibe von OT beträgt lB

dSD 360º

lB mm

D °KW

(39)

Die Öffnungszeit t der Ventile je Arbeitsspiel ist abhängig vom Öffnungswinkel D und von der Motordrehzahl n:

8 Verbrennungsmotoren

t=

α 60 n 360º

L 79 t

s

n  1 KW min

(40)

1 Stößel 2 Kolben 3 Rückstellfeder 4 Hochdruckraum 5 Vorratsraum 6 Rückschlagventil Aö As Eö Es OT UT

Bild 29. Tassenstößel mit hydraulischem Ventilspielausgleich (Porsche)

Auslass öffnet Auslass schließt Einlass öffnet Einlass schließt oberer Totpunkt unterer Totpunkt

Bild 28. Steuerdiagramm des Viertaktmotors

Im Betrieb dehnen sich die Ventile aus. Mit der Temperaturdifferenz -, der Ausgangslänge l0 und dem Ausdehnungskoeffizienten D des Ventilwerkstoffes beträgt die Längenausdehnung 'l = l0 D -

'l, l0

D

-

mm

1 K

K

(41)

Damit sicheres Schließen gewährleistet wird, muss die Längenänderung durch ein Ventilspiel oder durch hydraulischen Spielausgleich kompensiert werden. Ist das Ventilspiel zu klein, so schließt das Ventil nicht bei Betriebstemperatur (Leistungsverlust, Verbrennen des Ventiltellers, Flammenrückschlag in den Ansaugkanal). Ist das Ventilspiel zu groß, so wird infolge kürzerer Öffnung die Füllung verschlechtert (Leistungsverlust, geräuschvoller Lauf). Das Ventilspiel wird durch Einstellschrauben (Schwing- und Kipphebelbetätigung) oder Ausgleichsscheiben zwischen Tassenstößel und Nockenwelle, eingestellt.

Ventilstößel werden durch seitliches Versetzen von Nocken- und Stößelmitte in geringe Drehung versetzt (gleichmäßige Belastung). Stößelstangen (Stahlrohr) sind am Ende als Kugelkopf (Stößel) und als Kugelpfanne (Kipphebel), ausgebildet. Hydraulische Stößel (Bild 29) ermöglichen eine spielfreie Ventilsteuerung ohne Ventilspielnachstellen und sie gleichen die Längenausdehnung selbsttätig aus. Hydrostößel, Hydrotassenstößel und Spielausgleichselemente (Schwinghebelauflager) sind an den Motorölkreislauf angeschlossen und gleichen über ein Öldrucksystem mit Spielausgleichsfeder das Spiel aus. Kipp- und Schwinghebel werden aus Stahlblech oder Leichtmetall gepresst oder geschmiedet. Tassenstößel aus Stahl werden durch Kalt- oder Warmfließpressen hergestellt. Ventildrehvorrichtungen versetzen Ventile bei jeder Betätigung in eine kleine Drehung. Die thermische Belastung sinkt, Ablagerungen durch Verbrennungsrückstände (Öl, Kraftstoff) werden vermindert. 8.2.4 Variable Motorsteuerung

Um Drehmomenterhöhung, Leistungsverstärkung, Schadstoffminderung im Abgas und Kraftstoffverbrauchssenkung durch Optimierung der Zylinderfüllung bei verschiedenen Betriebszuständen des Motors zu realisieren, verwendet man zunehmend Systeme zur Beeinflussung der Ventilsteuerzeiten und/oder Ventilhubveränderung.

L 80 Variable Nockenwellensteuerungen beeinflussen den Öffnungs- und Schließzeitpunkt der Einlassventile und damit die Ventilüberschneidung. Die mit unterschiedlicher Frequenz schwingende Gassäule im Ansaugtakt beeinflusst den Füllungsgrad. Durch Anpassung der Ventilöffnungszeiten an die schwingende Gassäule bei unterschiedlicher Motordrehzahl und Motorlast, wird das Schwingungsverhalten zur Füllungsgradverbesserung genutzt. Die Einlassventile sollen öffnen, wenn die Gasdruckwelle die Ventile erreicht. Durch Verdrehung der Einlass-Nockenwelle zur Kurbelwelle (20 … 35 °KW) wird die Ventilüberschneidung bei niedrigen Motordrehzahlen vermindert, bzw. beseitigt. Dies verhindert, dass sich verbrannte Gase mit der Frischladung mischen oder Frischgase in den Auspuff gelangen. Bei höheren Motordrehzahlen und Volllast sollen die Einlassventile zur Erhöhung des Füllungsgrades möglichst lange geöffnet bleiben.

L Kraft- und Arbeitsmaschinen wellenantriebsrad. Das Antriebsrad ist mit innerer und äußerer Schrägverzahnung versehen. Die äußere Schrägverzahnung ist mit dem Nockenwellenrad, die innere mit der Nockenwelle verbunden. Aus Grad und Richtung der axialen Verschiebung resultiert der Drehwinkel der Nockenwelle relativ zum Nockenwellenantriebsrad. Als Steuergrößen für den Verstellwinkel werden Motordrehzahl, Motorlast und andere Motorkenngrößen herangezogen. Auslassnockenwelle

Ventil für Nockenwellenverstellung

Hydraulikzylinder Einlassnockenw

a)

Nockenwellenversteller mit integriertem Kettenspanner

Auslassnockenwelle

Einlassnockenwelle

c)

b)

1 Ventilhub 2 Auslassventilerhebung 3 Einlassventilerhebung 4 Kurbelwellenwinkel 5 Verstellbereich Bild 30. Ventilerhebungskurven (Ford)

Die Nockenwellenverstellung kann über verstellbare Kettenspanner (VarioCam) oder durch Verdrehung der Nockenwelle gegenüber dem Nockenwellenantriebsrad erfolgen (Vanos – nur Einlassnockenwellenverdrehung, Doppel-Vanos – Verdrehung von Einlass- und Auslassnockenwelle). Die Verdrehung der Einlassnockenwelle durch die Antriebskette nach Bild 31 wird durch einen hydraulisch betätigten Nockenwellensteller vorgenommen. Bei hohen Motordrehzahlen (Leistungsstellung) wird durch spätes Schließen des Einlassventils (bessere Zylinderfüllung) Leistungssteigerung erzielt. Im unteren und mittleren Drehzahlbereich wird die Einlassnockenwelle gegenüber der Auslassnockenwelle verdreht (Drehmomentsteigerung). Das Einlassventil schließt früh. Die Auslassnockenwelle wird nicht verdreht, da sie durch Ketten- oder Zahnriemenantrieb festgehalten wird. Ein anderes System verdreht die Einlassnockenwelle hydraulisch über einen Verstellkolben im Nocken-

Nockenwellensteller

Bild 31. Prinzip der Nockenwellenverstellung (Volkswagen)

a) Verstelleinheit b) Leistungserhöhung – unteres Kettenstück kurz, oberes lang – EV schließt spät c) Drehmomenterhöhung – unteres Kettenstück lang, oberes kurz – EV schließt früh Bei Systemen mit variablem Ventiltrieb wird neben der Verschiebung der Ventilöffnungszeiten auch eine Ventilhubverstellung vorgenommen. Die Nockenwelle setzt für jedes Ventilpaar einen Hauptnocken und zwei schmalere Nebennocken ein. Die Ventile werden über drei hydraulisch entriegelbare Schwinghebel betätigt. Bei niedrigen bis mittleren Motordrehzahlen liefern die Nebennocken einen kleineren Ventilhub und kurze Ventilöffnungszeiten. Bei höheren Drehzahlen und Volllast werden die Schwinghebel hydraulisch verriegelt und vom Hauptnocken mit großem Ventilhub und langer Ventilöffnungszeit betätigt. Die Nebennocken berühren die Schwinghebel nun nicht mehr. Zylinderindividuelle, elektromechanische oder elektrohydraulische Ventiltriebsteuerungen ohne Nockenwellen sind in der Erprobung.

8 Verbrennungsmotoren

8.3 Kraftstoffe Verbrennungsmotoren beziehen ihre Energie aus der chemischen Energie des Kraftstoffes. Neben Ottound Dieselkraftstoff werden heute Alkohole, Flüssiggase und Wasserstoff als alternative Kraftstoffe verwendet. Die herkömmlichen Kraftstoffe sind Kohlenwasserstoffverbindungen und werden fast ausschließlich aus Erdöl hergestellt. Anforderungen an die Kraftstoffe: Einfache und schnelle Bildung eines brennbaren Gemisches, schnelle und sichere Zündung, rückstandsfreie Verbrennung, hoher Heizwert und sichere Transportmöglichkeiten. Ottokraftstoffe bestehen aus Kohlenwasserstoffen mit 4 … 11 C-Atomen im Siedebereich zwischen 30 … 215 °C. Für den motorischen Betrieb sind Klopffestigkeit, Flüchtigkeit (Siedeverhalten), Reinheit (Wassergehalt, feste Fremdstoffe), Kraftstoffzusammensetzung und Zusätze von Bedeutung. Die Klopffestigkeit wird durch die Oktanzahl ausgedrückt und kennzeichnet die Widerstandsfähigkeit gegenüber Selbstzündung. Unter klopfender Verbrennung (Bild 32) versteht man die ungesteuerte Zündung im verdichteten, aber noch nicht brennenden Gemischrest. Der Druck steigt schlagartig steil an. Das Gemisch hat eine hohe Verbrennungsgeschwindigkeit (300 … 500 m/s gegenüber 20 m/s). Folge: Hohe thermische und mechanische Triebwerksbelastung. Unterschieden werden Beschleunigungsklopfen und Hochgeschwindigkeitsklopfen. Die Oktanzahl wird in einem Prüfmotor durch Vergleichen des Kraftstoffes mit einem Bezugsgemisch aus Iso-Octan C8 H18 (Oktanzahl = 100) und n-Heptan C7 H16 (Oktanzahl = 0) bis zur Klopfgrenze, durch fortlaufendes Verändern der Verdichtung gemessen.

L 81 wärmung 150º C), vorgenommen. Nach der Oktanzahl werden Normal- und Superkraftstoffe unterschieden. Wegen des Einsatzes von Abgaskatalysatoren werden in der Bundesrepublik nur sogenannte bleifreie Benzinsorten abgegeben (Bleigehalt < 0,013 g/Liter). Die Bleireduzierung erfordert die Zugabe von Klopfbremsen (Benzol, Tuluol, Methyl-TertiärButhylether) zum Kraftstoff. Ottokraftstoffe haben als Kohlenwasserstoff- Gemische keinen Siedepunkt, sondern einen Siedeverlauf. Die Siedekurve in Bild 33 stellt den Anteil der verdampften Kraftstoffmenge (in Vol. -%) bei bestimmten Temperaturen dar. Lage und Charakteristik der Siedekurve geben Aufschluss über das Motor-Kraftstoffverhalten. Neben Siedebeginn und -ende sind für den motorischen Betrieb die 10, 50 und 90 Vol. - % Punkte von Bedeutung. Sie geben die Anteile der verdampften Kraftstoffmengen bei bestimmten Temperaturen an (Flüchtigkeit). Die Flüchtigkeit muss so beschaffen sein, dass möglichst in allen Betriebssituationen ein zündfähiges Gemisch zur Verfügung steht (kritisch bei besonders kaltem und besonders heißem Motor). Die Siedekennziffer ist ein vereinfachtes Maß für die Vergasbarkeit des Kraftstoffs (mittlere Temperatur zwischen 5 Vol. -% und 95 Vol. -%). Sie liegt bei Ottokraftstoffen bei etwa 120 ºC. Tabelle 2. Kennwerte von Kraftstoffen (Aral) Kennwert

Normalbenzin Superbenzin DIN EN 228

Super Plus

Diesel

DIN EN 288 DIN EN 228 DIN EN 590

Klopffestigkeit (Oktanzahl) ROZ

91

95

98

–

MOZ

83

85

88

–

14

8

8

55...55

Zündwilligkeit (Cetanzahl CZ) Dichte bei 15º C in kg/dm3

0,725..0,780 0,725..0,780 0,725..0,780 0,820..0,860

Verdampfungswärme in

370...500

419

419

544...790

ca. 42 700

ca. 43 300

ca. 43 500

ca. 42 500

ca. 30

ca. 30

ca. 30

ca. 180

ca. 220

ca. 220

ca. 220

ca. 370

220

220

220

450

0,05

0,05

0,05

0,05

0,013

0,013

0,013

–

ca. 86,7

ca. 87,0

ca. 86,5

ca. 86.5

kJ/kg Heizwert Hu in kJ/kg Siedebeginn in ºC Siedeende in ºC Zündtemperatur in ºC Schwefelgehalt

Bild 32. Verbrennung im Ottomotor (Shell)

in Gew.-% Bleigehalt in

Ermittelt wird nach der ROZ (Research-Methode, n = 600 1/min, keine Gemischvorwärmung) und der MOZ (Motor-Methode, n = 900 1/min, Gemischvor-

g/dm3 Kohlenstoffgehalt in Gew.-%

L 82

L Kraft- und Arbeitsmaschinen

Dieselkraftstoffe bestehen aus Kohlenwasserstoffen mit 11 … 18 C-Atomen im Siedebereich von 170 … 370 ºC. Für den Einsatz in Verbrennungsmotoren sind insbesondere Zündwilligkeit, Kälteverhalten, Reinheit und Schwefelgehalt von Bedeutung. Die Zündwilligkeit kennzeichnet beim Dieselmotor die Kraftstoffgüte. Sie ist die Bereitwilligkeit des Kraftstoffes zur Selbstentzündung während der Einspritzung in den Brennraum. Als Maß für die Zündwilligkeit wird die Cetanzahl CZ im CFR (BASF)Prüfmotor bestimmt. Dies geschieht durch Messen des Zündverzugs (Zeit zwischen Einspritzung und Verbrennungsbeginn ca. 0,001 s) gegenüber einem Bezugskraftstoff. Dieselmotoren verlangen einen leicht siedenden, zündwilligen Kraftstoff. Bei großem Zündverzug ist bereits eine größere Menge Kraftstoff eingespritzt, die dann unter großer Triebwerksbelastung verbrennt. Damit sind Verbrauchserhöhung, Leistungseinbußen und große Geräuschemission, verbunden (Bild 34). Cetanzahl CZ und Oktanzahl OZ laufen in ihrer Wirkung einander entgegen. Sie können berechnet werden mit:

ROZ  120 – 2 CZ sowie:

(42)

CZ  60 – 0,5 ROZ

Sauberkeit und Motorenöl-Verdünnung

sc

hw

e

lü rf

ch

tig

Verbrauch

Kaltfahrverhalten

Kaltstart

VergserVereisung Heißfahrverhalten

lei

ch

tf

h lüc

tig

Destillation in Vol.-%

Bild 33. Siedeverlauf von Ottokraftstoff und dessen Einfluss auf das motorische Verhalten (Aral)

Bild 34. Verbrennung im Dieselmotor (Shell)

Der für den Betrieb in Verbrennungsmotoren verwendete Bereich liegt zwischen 45 … 55 CZ. Für den Winterbetrieb ist das Kälteverhalten von Dieselkraftstoff von Bedeutung, da Paraffinausscheidungen zu Filterverstopfungen führen können. Winterdiesel ist bis –15 ºC filtrierbar. Der Trübungspunkt oder Cold Filter Plugging Point (CFPP) ist der Grenzwert der Filtrierbarkeit. Bei tieferen Temperaturen ist für ungestörten Betrieb der Zusatz von Fließverbesserern, Benzin oder Petroleum erforderlich. Diese Mischungen setzen meist die Zündwilligkeit herab. Der Schwefelgehalt von Dieselkraftstoff ist zur Verminderung der SO2-Emission auf max. 0,05 % begrenzt. Der Flammpunkt eines Kraftstoffes ist die Temperatur, bei der sich unter festgelegten Bedingungen, Dämpfe in solchen Mengen entwickeln, dass eine Fremdzündquelle das über dem Flüssigkeitsspiegel befindliche Kraftstoffdampf-Luft-Gemisch entflammen kann. Nach dem Flammpunkt werden Kraftstoffe in Gefahrengruppen/-klassen (für Transport, Lagerung) eingeteilt. Beispiele: Ottokraftstoff Gruppe A I (Flammpunkt < 21 ºC). Dieselkraftstoff Gruppe A III (Flammpunkt 55 … 110 ºC).

8.4 Kraftstoff-Förderanlage Die Kraftstoffförderanlage hat den Vergaser oder die Einspritzanlage mit Kraftstoff zu versorgen. Sie besteht aus Kraftstoffbehälter, Kraftstoffförderpumpe, Leitungen und Kraftstofffilter. Kraftstoffbehälter werden aus korrosionsbeständig behandeltem Stahlblech oder aus Kunststoff hergestellt. Sie sind mit einem Be- und Entlüftungssystem ausgestattet. Verdampfende Kraftstoffanteile werden bei Motorstillstand in einen Aktivkohlebehälter geleitet, wo die gasförmigen Kohlenwasserstoffe festge-

8 Verbrennungsmotoren halten werden. Bei laufendem Motor werden die Dämpfe abgesaugt und dem Luftansaugrohr zugeführt. Kraftstofffilter sind meist Papierfilter, die vor der Schwimmerkammer des Vergasers, oder der Druckregeleinrichtung der Einspritzanlage angebracht sind. Als Kraftstoffförderpumpen werden mechanisch, elektrisch oder pneumatisch angetriebene Pumpen verwendet. Mechanische Membranpumpen mit Siebfilter, werden von der Motornockenwelle angetrieben. Elektrische angetriebene Kraftstoffpumpen (meist verwendet) werden als Inline- oder Intankpumpe eingesetzt. Man unterscheidet Rollenzellen-, Zahnring-, Schraubenund Seitenkanalpumpen. Pneumatische Pumpen werden durch die Druckdifferenz im Kurbelgehäuse von Zweitaktmotoren zwischen Vorverdichten und Überströmen angetrieben.

8.5 Luftfilter Die im Verbrennungsmotor benötigte Luft kann mit Staubanteilen von unterschiedlicher Konzentration belastet sein. Richtwerte: 1 mg Staub/m3 Ansaugluft im Straßenbetrieb, bis 35 mg/m3 in Baumaschinen und Mähdrescher.

L 83 Dieser Staubanteil würde den Verschleiß von Kolben und Zylinder erheblich erhöhen. Luftfilter übernehmen neben der Ansaugluftreinigung die Dämpfung der Ansauggeräusche sowie die Regulierung der Ansauglufttemperatur. Trockenluftfilter haben auswechselbare Papier-Feinfilterpatronen. Mit zunehmender Verschmutzung steigt der Durchflusswiderstand, so dass die Standzeit von den Einsatzbedingungen abhängt. Für Nutzfahrzeuge werden bei hohem Staubanteil Zyklon-Vorabscheider vorgeschaltet. Die angesaugte Luft wird durch Leitbleche in Drehung versetzt und die schweren Staubteilchen durch die Fliehkraft entweder ins Freie oder in einen Staubsammelbehälter getragen (Bild 35). Kombinationsluftfilter für Nutzfahrzeuge (Vorabscheider und Feinfilterpatrone in einem Gehäuse) erreichen auch bei hohem Staubanteil gute Standzeiten. Sie sind oft mit einer Sicherheitspatrone versehen. Sie soll Staubeintritt während des Filterwechsels oder bei beschädigtem Hauptfilter vermeiden. Beim Ölbadluftfilter (für Nutzfahrzeuge meist in Verbindung mit Zyklon-Vorabscheider) strömt die angesaugte Luft über ein Ölbad, wird umgelenkt und durch Fliehkraftwirkung vorgereinigt. Die aufwärtsströmende Luft reißt Öltröpfchen mit, die den Filtereinsatz benetzen und damit den Staub binden. Die gesättigten Tropfen fallen in das Ölbad zurück. Der Staub sinkt als Schlamm ab. Zur Wartung muss der Filtereinsatz in Kraftstoff ausgewaschen und die Ölfüllung erneuert werden. Ölbadluftfilter werden zunehmend durch die wartungsfreundlicheren Trockenluftfilter verdrängt. Nassluftfilter werden bei geringem Staubanteil (z.B. für Stationärmotoren und Schiffsdiesel) verwendet. Die Luft durchströmt einen ölbenetzten Einsatz aus Metallwolle oder Naturfasern, an dem sich die Staubteilchen ablagern.

8.6 Gemischbildung bei Ottomotoren 8.6.1 Arbeitsspiel des Otto-Viertaktmotors

Bild 35. Luftfilterbauarten (Mann) a) Trockenluftfilter mit Papiereinsatz b) Ölbadluftfilter c) Luftfilter mit Zyklon-Vorabscheider (Kombinationsluftfilter)

Das Arbeitsspiel des Viertaktmotors umfasst zwei KW-Umdrehungen oder vier Kolbenhübe (Takte). Beim Zweitaktmotor eine KW-Umdrehung und zwei Kolbenhübe. Im ersten Takt saugt der Kolben durch Bewegung von OT nach UT Gemisch an. Um eine gute Füllung zu erreichen (Liefergrad), öffnet das EV bereits 10 … 30º vor OT und schließt erst ca. 30 … 60º nach UT. Im zweiten Takt wird die Zylinderfüllung auf 10 ... 16 bar verdichtet, wodurch die Temperatur auf 400 … 500 ºC ansteigt. Etwa 40 … 0º vor OT wird das Gemisch gezündet. Der Verbrennungsdruck steigt bis ca. 60 bar an. Es wird eine Verbrennungstemperatur von ca. 2500 ºC erreicht. Durch die Expansion im dritten Takt wird Arbeit verrichtet. Bereits 40 … 60º vor UT öffnet das AV

L 84

L Kraft- und Arbeitsmaschinen

und lässt die Abgase mit hoher Strömungsgeschwindigkeit und ca. 600 … 900 °C in das Auspuffsystem ausströmen (Voröffnung vermeidet Staudruck in UT). Im vierten Takt ist zum Ausschieben der Abgase zwischen UT und OT nur noch ein geringer Spüldruck notwendig. Das Auslassventil schließt erst 5 … 30º nach OT. Dies ergibt eine Ventilüberschneidung durch gemeinsame Öffnung von EV und AV zwischen dem vierten und ersten Takt.

dosierte Kraftstoffmenge und eine genaue Mengenermittlung der Ansaugluft, den für die Praxis zweckmäßigsten Wert (O = 1) in engen Grenzen einzuhalten. Zur Realisierung der Forderungen werden vorwiegend Benzin-Einspritzsysteme verwendet. 8.6.3 Vergaser

Beim Vergaser wird das Kraftstoff-Luftgemisch durch Zerstäubung im Saugrohr des Vergasers gebildet. In den gasförmigen Zustand gelangt der Kraftstoff durch Verwirbelung im Zylinder während der Verdichtung und durch die Wandungswärme von Saugrohr und Zylinder.

Bild 36. p-V-Diagramm (Arbeitsdiagramm) eines Viertakt-Ottomotors 8.6.2 Gemischbildung beim Otto-Viertaktmotor

Das Gemischbildungssystem des Ottomotors soll für zündfähiges Kraftstoff-Luftgemisch sorgen. Ein zündfähiges Gemisch ist nur innerhalb bestimmter Mischungsverhältnisse zu erzielen. Die vollständige Verbrennung von 1 kg Kraftstoff (Normalbenzin) erfordert ca. 14,7 kg Luft (stöchiometrisches Verhältnis). Das Luftverhältnis kennzeichnet das Verhältnis des tatsächlichen zum theoretischen Luftbedarf O

zugeführte Luftmenge theoretischer Luftbedarf

O 1

L Lmin

L, Lmin kg

(43 )

O = 1 o stöchiometrisches Verhältnis O < 1 o fettes Gemisch, weniger Luftanteil O > 1 o mageres Gemisch, Luftüberschuss Zum Kaltstart wird ein sehr fettes Gemisch (Anreicherung), im Teillastbereich ein mageres Gemisch (für geringen Verbrauch) benötigt. Volllast und Leerlauf erfordern ein fettes Gemisch. Die Abhängigkeit der Schadstoffemissionen, der Leistung und des spezifischen Kraftstoffverbrauchs zeigt Bild 37a). Da kein Luftverhältnis in der Lage ist, alle Faktoren zu optimieren, muss man versuchen, über eine genau

Bild 37. Luftverhältnis O und motorisches Verhalten a) Einfluss von O auf Leistung, Verbrauch und Abgaszusammensetzung b) Einfluss von O auf die Schadstoffzusammensetzung im Abgas (Bosch)

Durch Öffnen und Schließen der Drosselklappe wird der Luftstrom und damit Leistung und Drehzahl entsprechend der Belastung (Leerlauf, Teillast, Volllast) variiert.

8 Verbrennungsmotoren

L 85

Nach der Anzahl der Mischkammerbohrungen werden Einfach-, Doppel-, Mehrfach-, Stufen- oder Registervergaser und Doppelregistervergaser unterschieden. Membran- und Schiebervergaser werden bei Zweitakt-Kleinmotoren verwendet.

1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Vergasergehäuse Vergaserdeckel Vergaserdeckeldichtung Kraftstoffanschluss Schwimmerhebel Drahtbügel Schwimmernadelventil Schwimmer LeerlaufkraftstoffLuftdüse Luftkorrekturdüse mit Mischrohr Zusatzkraftstoff-Luftdüse Mischrohr für Zusatzgemisch Starterklappe Vorzerstäuber

16 17 18 19 20 21 22 23 25 26 27 28 29

Hauptgemischaustritt Spritzrohr Pumpendruckventil Pumpenstößel Pumpenkolben Pumpenmanschette Pumpenfeder Pumpensaugventil Drosselklappe Übergangsbohrungen Leerlaufgemischaustritt Leerlaufabschaltventil GrundleerlaufGemischregulierschraube 30 ZusatzgemischRegulierschraube 31 Hauptdüse

Bild 38. Hauptschema eines Fallstromvergasers (Pierburg)

Die Hauptbaugruppen des Einfachvergasers (Fallstromvergaser) zeigt Bild 38. Schwimmereinrichtung: Die Schwimmereinrichtung besteht aus Schwimmer und Schwimmernadel, sowie Schwimmerkammer mit innerer, äußerer und umschaltbarer Belüftung. Sie reguliert den Kraftstoffzulauf von der Kraftstoffförderpumpe zur Schwimmerkammer, hält das Kraftstoffniveau in der Schwimmerkammer konstant (durch Schwimmer und Schwimmernadelventil) und belüftet die Schwimmerkammer (Druckausgleich zwischen Mischrohr und Schwimmergehäuse). Starteinrichtung: Bei kaltem Motor kondensiert Kraftstoff an der Saugleitung und Zylinderwand. Das Gemisch magert ab und zündet nicht mehr. Die Starteinrichtung stellt beim Kaltstart des Motors ein fettes Kraftstoff-Luft-Gemisch ( > 1) her, magert während

des Motorwarmlaufs das fette Kaltstartgemisch langsam ab und schaltet bei betriebswarmem Motor die Starteinrichtung aus. Man verwendet Tupfer (Kleinmotoren), Starterklappen (Choke = Starterzug mit Handbetrieb, Startautomatik) und Startvergaser. Leerlaufsystem: Beim Leerlauf ist die Drosselklappe fast geschlossen. Das Leerlaufgemisch wird aus dem Grundleerlaufgemisch und dem Zusatzgemisch gebildet, da der Unterdruck nicht ausreicht, um aus dem Hauptdüsensystem anzusaugen. Der Kraftstoff wird über den Leerlaufgemischaustritt angesaugt. Die Leerlaufdrehzahl kann mit der Zusatzgemisch-Regulierschraube eingestellt werden. Mit dem Leerlaufabschaltventil wird nach Ausschalten der Zündung ein Nachlaufen des Motors verhindert. Übergangssystem: Beim Übergang von Leerlauf auf Teillast wird die Drosselklappe über das Fahrpedal etwas geöffnet, so dass die Übergangsbohrungen frei werden (Bypassbohrungen) und zusätzlich Kraftstoff aus den Bypassbohrungen angesaugt wird, bis bei weiterer Drosselklappenöffnung das Hauptdüsensystem wirksam wird. Beschleunigungseinrichtung: Beim Beschleunigen muss dem Motor zusätzlich Kraftstoff über die Beschleunigungspumpe zugeführt werden. Die mechanisch betätigte Beschleunigungspumpe wird als Kolbenpumpe (Bild 38) oder als Membranpumpe ausgeführt. Bei hoher Teillast oder bei Volllast (Drosselklappe ganz geöffnet) sorgt ein zusätzliches Volllastanreicherungsrohr für zusätzliche Kraftstoffanreicherung. Vergaserzusatzeinrichtungen sind Höhenkorrektur (luftdruckabhängige Kraftstoffdrosselung durch eine Druckdose) und Gemischvorwärmung (gegen Vereisung). Sind der Hubraum Vh eines Zylinders, die maximale Motordrehzahl n und die Zylinderanzahl bekannt, so kann der erforderliche Vergaserdurchmesser d (Saugrohrdurchmesser) berechnet werden (Pierburg):

d = k Vh n

mit

d

V

k

cm

cm3

1

n 1 min

(44)

k = 0,0026 für 1 bis 4 Zylinder je Vergaser k = 0,031 für 6 Zylinder je Vergaser k = 0,036 für 8 Zylinder je Vergaser

Fallstrom-Registervergaser

Der Register(Stufen)-Vergaser verfügt über zwei Mischkammern, die zwei verschiedene Querschnitte aufweisen und in ein gemeinsames Ansaugrohr münden. Stufe I arbeitet als Vergaser mit den zuvor beschriebenen Teilsystemen. Die zweite Vergaserstufe (größerer Querschnitt) wird über ihre Drosselklappe belastungsabhängig durch eine Unterdruckdose zugeschaltet.

L 86

L Kraft- und Arbeitsmaschinen

Doppelregistervergaser vereinen zwei Registervergaser zu einem Vergaser mit meist gemeinsamer Schwimmerkammer (Motoren mit 6 … 8 Zylindern). Doppelvergaser verwenden zwei Mischkammern gleichen Querschnitts. Die Drosselklappen werden gemeinsam betätigt. Je eine Mischkammer versorgt die Hälfte der Zylinder (Motoren mit großem VH). Gleichdruckvergaser arbeiten mit konstantem Unterdruck in der Mischkammer. Sie haben einen veränderlichen Kraftstoffdüsen- und einen variablen Lufttrichterquerschnitt und werden durch eine Drosselklappe gesteuert (Kraftradvergaser). Membranvergaser arbeiten als schwimmerlose Vergaser lageunabhängig (Kleinmotoren, z.B. Kettensägen). Der elektronisch geregelte Vergaser ist ein elektronisches Gemischbildungssystem. Er besteht aus einem bis auf seine Grundsysteme reduzierten Vergaser (Fallstrom-Register) mit Stellelementen, einem elektronischen Steuergerät und Sensoren zur Messwerterfassung. Das Steuergerät verarbeitet Signale der

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Kraftstoffbehälter Elektrokraftstoffpumpe Kraftstoffspeicher Kraftstofffilter Systemdruckregler Einspritzventil Sammelsaugrohr Kaltstartventil Kraftstoffmengenteiler Luftmengenmesser

Drosselklappenstellung, der Kühlmitteltemperatur, der Motordrehzahl und der Lambdasonde. Die Signale werden vom Steuergerät verarbeitet und als Steuergrößen den Vergaseranbaukomponenten zur Gemischbeeinflussung zugeführt. Vergasersysteme sind weitgehend von Einspritzanlagen abgelöst worden. 8.6.4 Einspritzanlagen für Ottomotoren Durch Benzineinspritzsysteme werden die Anforderungen an geringe Schadstoffemissionen durch genaue Kraftstoffzumessung (geringe Abweichungen von = 1) erfüllt. Darüber hinaus werden bei geringerem spezifischem Kraftstoffverbrauch ein höheres Motordrehmoment bei niedriger Drehzahl und größere Hubraumleistungen erzielt. Man unterscheidet Anlagen mit Saugrohreinspritzung (Indirekte Einspritzung) und Zylindereinspritzung (Direkteinspritzung – GDI = Gasoline Direct Injection).

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elektrohydraulischer Drucksteller Lambda-Sonde Thermozeitschalter Motortemperatursensor Zündverteiler Zusatzluftschieber Drosselklappenschalter Steuergerät Zünd-Start-Schalter Batterie

Bild 39. Schema einer KE-Jetronic-Anlage mit Lambda-Regelung (Bosch)

8 Verbrennungsmotoren

L 87 erfolgt für alle Zylinder gleichzeitig und taktunabhängig) oder durch Gruppeneinspritzung (Einspritzung erfolgt gleichzeitig für Zylindergruppen, z.B. 1. und 3. sowie 2. und 4. Zylinder) erfolgen. Die K-Jetronic ist eine mechanisch-hydraulisch arbeitende Einspritzanlage für Ottomotoren. Der Kraftstoff wird in Abhängigkeit von der angesaugten Luftmenge kontinuierlich vor die Einlassventile gespritzt. Zum Betrieb eines geregelten Katalysators ist das System nicht genau genug, daher durch die KEJetronic abgelöst. Die KE-Jetronic ist die Weiterentwicklung der KJetronic (Bild 39). Das mechanisch-hydraulische Grundprinzip der K-Jetronic bleibt erhalten. Zur Verbesserung der Gemischanpassung, insbesondere während der Warmlaufphase und beim Lastwechsel werden von einem elektronischen Steuergerät zusätzliche, von Sensoren erfasste Daten verarbeitet.

Bei der indirekten Einspritzung wird der Kraftstoff vor das Einlassventil oder in das Drosselklappengehäuse gespritzt. Es werden Anlagen mit Mehrpunkteinspritzung MPI (Multi-Point-Injection; jeder Zylinder hat ein Einspritzventil) und Zentraleinspritzung SPI (Single-Point-Injection; ein zentrales Einspritzventil für alle Zylinder) eingesetzt. Nach dem Einspritzvorgang unterscheidet man kontinuierliche- und intermittierende Einspritzung. Kontinuierliche Einspritzanlagen sind K-Jetronic und KE-Jetronic. Intermittierend arbeitende Anlagen sind L-Jetronic, LHJetronic, Motronic und Mono-Jetronic. Mehrpunkteinspritzung besitzen K-, KE-, L-, LH-Jetronic und Motronic. Die Mono-Jetronic arbeitet mit Zentraleinspritzung. Die Einspritzung bei Mehrpunktanlagen kann sequentiell (Einspritzung erfolgt nach der Zündfolge unmittelbar vor dem Ansaugtakt), simultan (Einspritzung

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Kraftstoffbehälter Elektrokraftstoffpumpe Kraftstofffilter Verteilerrohr Druckregler Steuergerät Einspritzventil Kaltstartventil Leerlaufdrehzahl - Einstellschraube Drosselklappenschalter

Bild 40. L-Jetronic-Anlagenschema (Bosch)

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Drosselklappe Luftmengenmesser Relaiskombination Lambda-Sonde Motortemperaturfühler Thermozeitschalter Zündverteiler Zusatzluftschieber Leerlaufgemisch-Einstellschraube Batterie Zünd-Start-Schalter

L 88 Der wesentliche Unterschied besteht im Wegfall des Warmlaufreglers. Dessen Aufgabe und zusätzliche Steuerfunktionen übernimmt der elektrohydraulische Drucksteller. Das Steuergerät verarbeitet die Signale, die von der Zündung (Motordrehzahl), Motortemperaturfühler, Stauscheiben-Potentiometer (angesaugte Luftmenge), Drosselklappenschalter (Gaspedalstellung), Starterschalter und Lambda-Sonde kommen und gibt sie als Steuersignale an den elektrohydraulischen Drucksteller weiter. Damit können neben Start, Volllast- und Beschleunigungsanreicherung, Schubabschaltung, Drehzahlbegrenzung, Lambdaregelung und Höhenkorrektur verwirklicht werden. Die L-Jetronic ist eine elektronisch gesteuerte Benzineinspritzung mit Luftmengenmessung und intermittierender Einspritzung (Bild 40). Der Kraftstoff wird von der Pumpe aus dem Tank gesaugt und über das Filter und dem Verteilerrohr dem Druckregler zugeführt. Der sorgt für gleichmäßigen Kraftstoffdruck (2,5 … 3 bar) an den elektromagnetisch betätigten Einspritzventilen. Jeder Zylinder ist mit einem Einspritzventil versehen, die alle gleichzeitig, unabhängig von der Einlassventilstellung, je Kurbelwellenumdrehung einmal betätigt werden (intermittierend). Die Einspritzmenge wird über die Öffnungsdauer der Einspritzventile vom Steuergerät beeinflusst. Die Ansaugluft bewegt eine federbelastete Stauklappe im Luftmengenmesser. Die Winkelstellung der Stauklappe wird über ein Potentiometer als Signal für die angesaugte Luftmenge an das Steuergerät weitergeleitet. Vom Steuergerät werden weiterhin die Ansauglufttemperatur im Luftmengenmesser, die Motordrehzahl und der Einspritzzeitpunkt über die Zündanlage, die Motortemperatur über den Temperaturfühler und die Stellung der Drosselklappe über den Drosselklappenschalter (Belastungssignal), verarbeitet. Als weitere Funktionen sind Schubabschaltung im Schiebebetrieb, sowie Drehzahlbegrenzung bei maximaler Motordrehzahl möglich. Die Signale der Lambda-Sonde werden vom Steuergerät zur Gemischänderung über die Öffnungsdauer der Einspritzventile verarbeitet. Die LH-Jetronic ist die Weiterentwicklung der LJetronic. Zur Messung der angesaugten Luftmenge wird statt des Klappen-Luftmengenmessers ein Luftmassenmesser verwendet. Beim Hitzdraht-Luftmassenmesser (Bild 41) wird die Ansaugluft über einen beheizten Platindraht geleitet, der auf konstanter Temperatur gehalten wird. Die Veränderung des Heizstromes zur Temperaturkonstanthaltung wird als Lastsignal für die angesaugte Luftmasse im elektronischen Steuergerät verwendet und in Signale für die einzuspritzende Kraftstoffmenge umgeformt. Der Platindraht wird durch Nachheizen nach dem Motorabstellen von Verunreinigungen freigebrannt. Bei der Verwendung von Heißfilm-Luftmassenmessern (Bild 42) erfolgt die Bestimmung der dem Motor

L Kraft- und Arbeitsmaschinen zugeführten Frischluftmasse über eine im Ansaugstrom angeordnete, beheizte Sensorfläche (HeißfilmWiderstandsfolie auf einer Keramikplatte), die auf konstante Temperatur geregelt wird. Der zur Temperaturkonstanthaltung des Heißfilms notwendige Strom dient als Maß für die angesaugte Luftmasse. Sensoren zur Erfassung von Lufttemperatur und -druck entfallen. Heißfilm-Luftmassenmesser haben einen geringeren Strömungswiderstand als HitzdrahtLuftmassenmesser. Ausführungen mit Rückströmerkennung erfassen und berücksichtigen Pulsationsfehler (Rückströmungen von Teilluftmassen), die durch das Öffnen und Schließen der Ventile hervorgerufen werden. Sie ermöglichen eine noch höhere Erfassungsgenauigkeit.

Bild 41. Hitzdraht Luftmassenmesser (Bosch) 1 Hybridschaltung 5 Gehäuse 2 Deckel 6 Schutzgitter 3 Metalleinsatz 7 Haltering 4 Innenrohr mit Hitzdraht

Das digitale Steuergerät steuert das Gemisch über ein Last-Drehzahl-Motorkennfeld. Gemischbeeinflussender Faktor ist die Einspritzdauer der Einspritzventile. Statt des Zusatzluftschiebers besitzt die LH-Jetronic einen Leerlaufsteller, mit dem eine Leerlauffüllungsregelung zur Regelung und Stabilisierung der Leerlaufdrehzahl erreicht wird. Zur Verbesserung der Gemischaufbereitung werden oft elektromagnetische Einspritzventile mit Luftumfassung verwendet. Vom Saugrohr angesaugte Luft wird den einzelnen Einspritzventilen zugeführt, mit dem einspritzenden Kraftstoff vermischt und zusammen in das Saugrohr gespritzt. Sie verbessern Kraftstoffzerstäubung und Verbrennung und reduzieren die Schadstoffemission.

8 Verbrennungsmotoren

L 89 Die Zentraleinspritzung ist eine elektronische Einspritzanlage, die nur ein Einspritzventil zur intermittierenden Einspritzung (synchron zum Ansaugtakt) vor der Drosselklappe verwendet (SPI = Single Point Injection). Durch die hohe Luftgeschwindigkeit und die Spritzkegelausformung wird eine gute Gemischaufbereitung erzielt. Die Gemischverteilung erfolgt wie bei Vergasersystemen über das Saugrohr zu den einzelnen Zylindern.

Bild 42. Heißfilm-Luftmassenmesser (Volkswagen)

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Kraftstoffbehälter Elektrokraftstoffpumpe Kraftstofffilter Systemdruckregler (1 bar) Einspritzventil

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Die Mono-Jetronic ist eine intermittierende Einzelpunkteinspritzung mit elektronischer Steuerung. Das digitale Steuergerät mit Mikrocomputer und Kennfeldspeicher, verarbeitet Signale des Lufttemperaturfühlers, des Drosselklappenpotentiometers, des Motortemperaturfühlers, der Lambda-Sonde, sowie der Zündung und berechnet hieraus die Einspritzdauer des zentralen Einspritzventils als Maß für die jeweilige Gemischzusammensetzung. Hauptsteuergrößen für die Grundeinspritzmenge sind die Drosselklappenstellung und die Motordrehzahl. Zur Kaltstartanreicherung und zum Warmlauf erfolgt Mehreinspritzung. Leerlauf-Drehzahlsteuerung erfolgt über den Drosselklappenstellmotor (Mehrluftmengenzufuhr). Teillast, Volllast, Beschleunigung und Schiebebetrieb werden aus dem Drosselklappensignal erkannt und auf die Einspritzdauer umgerechnet.

Luft-Temperaturfühler Steuergerät Drosselklappenstellmotor Drosselklappenpotentiometer Lambda-Sonde

Bild 43. Zentraleinspritzung Mono-Jetronic (Bosch)

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Motor-Temperaturfühler Zündverteiler Batterie Zünd-Start-Schalter Relais

L 90 Die Multec-Zentraleinspritzung ist eine digitale Einzelpunkteinspritzung mit elektronischer Steuerung von Einspritzung und Zündung. Die Kraftstoffeinspritzung erfolgt vor der zentralen Drosselklappe im Atmosphärendruckbereich. Die Kraftstoffverteilung erfolgt im Sammelsaugrohr. Das digitale Steuergerät wertet Signale der wichtigsten Motorkenngrößen aus und verarbeitet sie kennfeldgesteuert zu Steuersignalen für Einspritzzeit, Einspritzdauer und Zündzeitpunktbeeinflussung. Die KE- und L-Jetronic-Systeme, einschließlich der Zentraleinspritzung optimieren im weitesten Sinne nur die Gemischzusammensetzung. Die Motronic verbindet die Einzelsysteme der Benzineinspritzung und der elektronischen Zündung zu einem digitalen Motorsteuerungssystem. Diese Steuerung basiert auf gespeicherten Kennfeldern (Zünd-, Einpritz-, Schließwinkel-, Lambdaregelungs- und Warmlaufkennfeld), deren Parameter z.B. abhängig von Drehzahl, Belastung und Batteriespannung sind. In einem Mikrocomputer werden die durch Sensoren übermittelten Daten in Steuergrößen für den günstigsten Zündzeitpunkt (Zündwinkel, Schließwinkel), die optimale Kraftstoffeinspritzmenge ( = 1-Regelung über Einspritzdauer) und Leerlaufregelung (Leer-

Bild 45. Kennfelder des Motronic-Systems (Bosch)

L Kraft- und Arbeitsmaschinen laufsteller) umgerechnet und über Leistungsendstufen verstärkt an die entsprechenden Stellglieder angelegt (Bild 45). Der Mikrocomputer kann die Einspritzmenge und den Zündzeitpunkt genau an die verschiedenen Betriebszustände anpassen. Vorteil: Geringe Schadstoffemission, geringer Kraftstoffverbrauch und hohe Hubraumleistung.

Bild 44. Steuergrößen des Motronic-Steuergerätes (Bosch)

1 Zündwinkel 2 Schließwinkel 3 Lambda-Kehrwert 4 Öffnungsverhältnis des Leerlaufstellers 5 Ventilstellung der Abgasrückführung 6 Beschleunigungsanreicherung

8 Verbrennungsmotoren

L 91

Bild 46. Anlagenschema der ME-Motronic (Bosch)

Die Motronic ermöglicht die Eigendiagnose, indem die im Fahrbetrieb gespeicherten Daten beim Service ausgegeben werden können. Bei Bedarf werden Drehzahlbegrenzung, Klopfregelung, Ladedruckregelung bei Turbomotoren, Start-Stop-Betrieb, Getriebesteuerung bei Automatikgetrieben, Zylinderabschaltung und Geschwindigkeitsregelung mit der Motronic realisiert. Das Motormanagementsystem ME-Motronic ist eine Weiterentwicklung der Motronic. Es verwendet neben der Steuerung von Einspritzung und Zündung eine elektronische Motorfüllungssteuerung durch eine elektronische Drosselvorrichtung (EGAS). Das Fahrpedal hat keine mechanische Verbindung mehr mit der Motordrosselklappe. Die Fahrpedalstellung wird durch Sensoren erfasst und dem Motorsteuergerät zugeführt. Unter Berücksichtigung weiterer Motorbetriebsdaten wird dieses Fahrerwunschsignal zur Drehmomenterhöhung oder -reduzierung in eine motorische Verstellung in der Drosselklappensteuereinheit umgewandelt. Neben den von der Motronic her bekannten Grundfunktionen ermöglicht die ME-Motronic vielfältige Zusatzfunktionen zur Zündungssteuerung, Abgasreinigung (Sekundärlufteinblasung, Abgasrückführung), Fahrgeschwindigkeits- und Fahrdynamikregelung (über CAN-Datenbus mit elektronischer Getriebesteuerung, Antriebsschlupfregelung, elektronisches Stabilitätsprogramm - ESP, Fahrgeschwindigkeitsbegrenzung u.a.). Der Lambda-Regelkreis wird durch eine zweite Sonde, die hinter dem Katalysator liegt, erweitert. Sie dient zur Überprüfung der Katalysatorfunktion.

Zur Überwachung der strenger werdenden Abgasgrenzwerte ist ein On-Board-Diagnose-System (OBD) eingebunden, das alle Abgaskomponenten des Motors überwacht, auftretende Fehler speichert und durch eine Abgas-Warnleuchte (Check-EngineLamp) anzeigt. Gespeicherte Fehlfunktionen können werkstattseitig und herstellertunabhängig über ein OBD-Auslesegerät abgefragt werden. Direkteinspritzung für Ottomotoren

Bei der Benzin Direkteinspritzung (GDI = Gasoline Direct Injection) erfolgt die Kraftstoffeinspritzung direkt in den Verbrennungsraum (innere Gemischbildung). Die damit verbundene Innenkühlung bewirkt einen höheren thermischen Wirkungsgrad und ermöglicht ein größeres Verdichtungsverhältnis H. Gegenüber Motoren mit herkömmlicher Saugrohreinspritzung kann eine Kraftstoffverbrauchssenkung von ca. 20 %, eine Leistungserhöhung von ca. 10 % und eine deutliche Reduzierung der CO2-Emissionen erzielt werden. Die Hochdruck-Verwirbelungseinspritzdüsen erhalten den Kraftstoff über eine mechanisch angetriebene Einkolben-Hochdruckpumpe. Sie können ihr Strahlbild über Drallscheiben je nach Motorbetriebsart (Leistungs- oder Sparmodus) verändern. Für effektive Verbrennung ist eine intensive Ladungsbewegung erforderlich, die last- und drehzahlabhängig angepasst werden muss. Dies unterstützt die Zerstäubung und Vermischung mit dem rotierenden AnsaugLuftstrom. Im Leistungsmodus erfolgt die Einspritzung im oberen Leistungsbereich des Motors bereits im Ansaugtakt des Motors (Innenkühlung mit Liefergradvergrößerung). Bei hoher Last und niedriger

L 92

L Kraft- und Arbeitsmaschinen

Drehzahl erfolgt zweimaliges Einspritzen (in den Ansaug- und Verdichtungstakt) um Zündungsklopfen auszuschließen, während beim Beschleunigen zur Gemischanfettung zweimal eingespritzt wird. Im Sparmodus (Teillastbereich) wird in den Verdichtungstakt eingespritzt. Durch besondere Ansaugkanalgestaltung (fast senkrecht) und Kolbenform (Nasenkolben mit Kolbenmulde) erfolgt eine walzenförmige Zylinderströmung (Tumble) in die der gerichtete Kraftstoffnebel eingespritzt wird. Zündfähiges Gemisch muss nur in direkter Umgebung der Zündkerze bereitgestellt werden. Im Brennraumrest entstehen Schichtladungen, die ein extrem mageres Gemisch mit = 2,8 … 3,2 ermöglichen (Kraftstoffverbrauchssenkung). Durch magere Verbrennung der Schichtladungen im Teillastbereich bei hohem O2-Überschuss erhöhen sich allerdings die NOx-Werte im Abgas. Diese müssen durch hohe Abgasrückführungsraten (bis 30 %), Vorschaltung eines selektiven Reduktions-Katalysator vor dem Dreiwege-Katalysator oder durch NOx-SpeicherKatalysatortechnik (Denox-Kat) reduziert werden (s. Kap. 8.8.1). Weiterentwicklungen des GDI-Systems mit Schichtladungsbetrieb erfordern die Bereitstellung von schwefelfreien Kraftstoffen durch die Mineralölindustrie.

8.7 Gemischbildung bei Dieselmotoren 8.7.1 Arbeitsweise des Dieselmotors

Fahrzeug-Dieselmotoren arbeiten nach dem Viertaktverfahren, Großdiesel (z.B. Schiffsdiesel) vorwiegend nach dem Zweitaktverfahren. Der Dieselmotor arbeitet mit innerer Gemischbildung und Selbstzündung. Er saugt im ersten Takt über den Luftfilter Luft an

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Luftmassensensor mit Temperatursensor Drosselklappe (EGAS) Saugrohrdrucksensor Hochdruckpumpe

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Drucksteuerventil Kraftstoffverteiler Zündspule Lambda Sonde (LSU)

und verdichtet sie im zweiten Takt mit H = 14 … 24 auf 28 … 50 bar, wobei sie sich auf 750 … 900ºC erwärmt. Etwa 15 … 30º vor OT wird mit einem Druck von 100 … 150 bar (Vor- und Wirbelkammermotoren) und 200 … 350 (… 2050) bar (Direkteinspritzung) in die verdichtete Luft Kraftstoff eingespritzt. Der Einspritzvorgang endet 5 … 20º nach OT. Die Zeit, in der sich der Kraftstoff dabei mit der Luft vermischt, verdampft und dann selbstentzündet, wird als Zündverzug bezeichnet. Er beträgt ca. 0,001 s. Er ist abhängig von der Cetanzahl, der Lufttemperatur und der Zerstäubungsintensität. Größerer Zündverzug ist unerwünscht und macht sich als harte, geräuschvolle Verbrennung (oft als Nageln bezeichnet – Kaltstart) bemerkbar. Der Druck steigt im Arbeitstakt auf 60 … 80 bar an, wobei die Verbrennungstemperatur 2000 … 2500 °C erreicht. Durch die Gasexpansion wird Arbeit verrichtet. 8.7.2 Einspritzverfahren

Dieselmotoren arbeiten mit Direkteinspritzung (luftverteilende und wandverteilende Einspritzung) und mit indirekter Einspritzung nach dem Vor- und Wirbelkammerverfahren. Bei der luftverteilenden Direkteinspritzung wird der Kraftstoff über eine Mehrlochdüse direkt in den durch Kolbenmulde und Zylinderkopf gebildeten Brennraum gespritzt. Die Luft wird durch den drallförmigen Einlasskanal und die Kolbenmuldenform stark verwirbelt (gute Gemischbildung, geringer spezifischer Kraftstoffverbrauch, gutes Kaltstartverhalten), Einsatz in den meisten PKW- und NKWMotoren.

9 NOx-Katalysator 10 Lambda Sonde (LSF) 11 Fördermodul einschließlich Vorförderpumpe

Bild 47. Anlagenschema Direkteinspritzung bei Ottomotoren (Bosch)

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Einspritzventil Drucksensor Abgasrückführventil elektronisches Steuergerät

8 Verbrennungsmotoren Die wandverteilende Direkteinspritzung nach dem MAN-M-Verfahren (Bild 48), hat einen kugelförmigen, im Kolbenboden eingelassenen Brennraum, in den Kraftstoff über eine Mehrlochdüse eingespritzt wird. Nur etwa 5 % des Kraftstoffs zerstäuben und zünden (Zündstrahl); 95 % treffen auf die Brennraumwand, wo sie als Kraftstofffilm schichtweise abdampfen, sich mit der Luft vermischen und vom Zündstrahl entzündet werden (weiche, zeitlich kontrollierte Verbrennung, geringer Kraftstoffverbrauch). Beide Verfahren benötigen keine Glühkerzen als Kaltstarthilfe. Vorkammerverfahren: Der Kraftstoff wird mit einer Zapfendüse in die durch Bohrungen (Schusskanäle) mit dem Brennraum verbundene Vorkammer (länglicher Nebenbrennraum im Zylinderkopf) eingespritzt. Durch die geringe Luftmenge in der Kammer (0,3 Vc) verbrennt nur ein kleiner Kraftstoffanteil mit starkem Druckanstieg. Verdampfender Kraftstoff wird mit hoher Geschwindigkeit in den Hauptbrennraum gedrückt, wo er sich mit der Luft vermischt und verbrennt. Kaltstarthilfe durch Glühkerzen erforderlich.

L 93 len und Entlüften der Einspritzanlage. Vereinzelt werden Membranförderpumpen (von der untenliegenden Motornockenwelle angetrieben), Zahnradförderpumpen oder elektrisch angetriebene Rollenzellenpumpen verwendet.

1 2 3 4 Bild 48. Direkteinspritzung a) Luftverteilende Einspritzung b) Wandverteilende Einspritzung nach dem MAN-M-Verfahren Wirbelkammerverfahren: Dieselkraftstoff wird über eine Zapfendüse in die Wirbelkammer (kugelförmiger Nebenbrennraum im Zylinderkopf, ca. 0,5 Vc) eingespritzt. Sie ist durch einen großen tangentialen Schusskanal mit dem Verbrennungsraum verbunden. Der Kraftstoff entzündet sich an der stark verwirbelten Luft in der Wirbelkammer. Durch Druckanstieg geht die Verbrennung über den Schusskanal in den Hauptbrennraum über. Kaltstarthilfe durch Glühkerzen erforderlich. Kennzeichen: Hohe Drehzahlen möglich, Starthilfe durch Glühkerzen nötig, relativ weicher Motorlauf. Die Komponenten einer Dieseleinspritzanlage zeigt Bild 50. Die Kraftstoffförderpumpe fördert den Kraftstoff aus dem Tank durch ein Vorreinigungssieb über das Filter zur Einspritzpumpe. Bei Falltankanlagen kann die Förderpumpe entfallen. Je nach Förderleistung werden einfach- oder doppeltwirkende Kolbenförderpumpen verwendet, die meist an der ReihenEinspritzpumpe befestigt sind. Über einen Exzenter werden sie von der Einspritzpumpennockenwelle angetrieben. Förderhub und Fördermenge stellen sich je nach Druck in der Förderleitung über die Kolbenfeder von selbst ein. Die Handpumpe dient zum Fül-

5 Wirbelkammereinsatz 6 Schusskanal 7 Zylinderkopf

Einspritzdüse Wärmeschutzdichtung Glühkerze Wirbelkammer

Bild 49. Zylinderkopf mit Wirbelkammer (BMW)

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Düsenhalter Abdichthülse Gewindering Vorkammereinsatz

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Dichtplatten Glühkerze Zylinderkopf Zylinderkopfdichtung

Bild 50. Vorkammerverfahren (Daimler-Benz) Kraftstofffilter sollen Schmutzpartikel und Wasser aus dem Dieselkraftstoff ausscheiden. Es werden Wechselfilter oder Filtereinsätze aus Filz, meist aber Papier verwendet (Filterbox mit Filterdeckel). Filter-

L 94 deckel können mit einer Handpumpe versehen sein. Einspritzpumpenelemente und Einspritzdüsen sind mit hoher Genauigkeit gefertigt. Hohe Filterqualität (Filtrierfähigkeit ca. 0,015 mm) und Einhaltung der Wechselintervalle tragen entscheidend zur Funktionsfähigkeit und Lebensdauer der Einspritzanlage bei. Eine Überströmdrossel am Filter sichert einen gleichbleibenden Druck im Saugraum der Einspritzpumpe und entlüftet gleichzeitig den Filter und den Saugraum der Einspritzpumpe. Filterdeckel können mit elektrischen Heizelementen zur Kraftstoffvorwärmung (gegen Paraffinausscheidung) versehen werden. Box- oder Stufenboxfilter sind meist mit Wasserspeichern zur Kondenswasserausscheidung und -sammlung ausgerüstet. Warnschalter werden zum Anzeigen eines zu hohen Wasserstandes im Filter eingebaut.

L Kraft- und Arbeitsmaschinen der Pumpennockenwelle über Rollenstößel gehoben und durch eine Feder gesenkt. Der Kolben ist mit ca. 0,003 mm Spiel ohne Dichtelement in den Zylinder eingepasst. Feinabdichtung und Schmierung erfolgt nur durch den Kraftstoff. Da der Kolbenhub unveränderlich ist, wird die Fördermenge durch Drehen des Kolbens verändert. Die über das Fahrpedal betätigte Regelstange verdreht über einen Zahnkranz und eine Regelhülse alle Kolben der Einspritzpumpe. Der Kolben ist mit einer Längsnut und einer schrägen Steuerkante versehen. Durch die Längsnut ist der Druckraum über dem Kolben mit dem Raum unterhalb der Steuerkante verbunden (Bild 53).

Bild 51. Übersicht über den Kraftstoffumlauf in einer Diesel-Einspritzanlage (Bosch) 8.7.3 Einspritzanlage mit Reiheneinspritzpumpe In der Einspritzpumpe wird der Kraftstoff belastungsund drehzahlabhängig auf den Einspritzdruck verdichtet. Über die Einspritzleitungen wird er zu den Einspritzdüsen gefördert, die ihn in den Verbrennungsraum einspritzen. Die Reiheneinspritzpumpe wird über Zahnräder, Zahnriemen oder Steuerketten mit Nockenwellendrehzahl (Viertaktmotor) von der Kurbelwelle angetrieben. Zur Schmierung der Pumpennockenwelle ist entweder eine eigene Ölversorgung oder der Anschluss an den Motorölkreislauf vorgesehen. Aufbau: Die Reiheneinspritzpumpe (Bild 52) hat für jeden Zylinder des Motors ein Pumpenelement, das aus einem Pumpenzylinder (meist Zweilochelement mit Zulauf- und Steuerbohrung) und einem Pumpenkolben besteht. Der Kolben wird durch einen Nocken

Bild 52. Reiheneinspritzpumpe für einen 4-ZylinderMotor (Bosch) Sobald die Kolbenoberseite die Zulaufbohrung verschließt, beginnt die Förderung. Sie endet, wenn die Steuerkante die Steuerbohrung freigibt. Je nach Drehung des Kolbens (Fahrpedalstellung) geschieht dies

8 Verbrennungsmotoren früher oder später (Teillast oder Volllast). Förderbeginn ist immer im gleichen Zeitpunkt, das Förderende ist variabel. Das Abstellen des Motors (Nullförderung) wird durch Kolbenverdrehung in die Stellung vollzogen, in der die Längsnut vor der Steuerbohrung steht. Ein Regelstangenanschlag begrenzt den Weg der Regelstange und damit die Volllastmenge. Zusätzliche Anpasseinrichtungen wie z.B. atmosphärendruckabhängiger- oder ladedruckabhängiger Volllastanschlag ermöglichen eine zusätzliche Angleichung der Kraftstoff-Fördermenge an spezielle Betriebsbedingungen des Motors. Um bei Förderende ein schnelles Schließen der Einspritzdüse zu erreichen und ein Nachtropfen von Kraftstoff in den Verbrennungsraum zu verhindern, muss der Druck in der Druckleitung etwas sinken. Das Druckventil schließt bei Förderende den Druckraum gegenüber der Einspritzleitung ab und sorgt für ein sicheres Schließen der Einspritzdüse ohne Nachtropfen.

Bild 53. Kraftstoffregelung durch Drehkolben (Bosch)

L 95 Drehzahlregler

Dieselmotoren sollen entweder eine bestimmte Drehzahl unabhängig von der jeweiligen Belastung einhalten oder einen Drehzahlbereich nicht über- oder unterschreiten. Die Anforderung wird durch Verändern der Einspritzmenge mittels Regelstangenverschiebung erfüllt. In Fahrzeugmotoren (PKW, NKW) dient der Regler zur Sicherung der Leerlauf- und Höchstdrehzahl. Alldrehzahlregler wirken über den gesamten Drehzahlbereich (Schlepper, LKW mit Nebenantrieben, Schiffsantriebe). Fliehkraftregler arbeiten drehzahlabhängig, pneumatische Regler sind Alldrehzahlregler und arbeiten in Abhängigkeit vom Unterdruck im Ansaugrohr. Der Fliehkraftregler wird von der Pumpennockenwelle angetrieben (Bild 54). Er besitzt zwei umlaufende Fliehgewichte, die über ein Hebelsystem mit der Regelstange verbunden sind. Jedes Fliehgewicht arbeitet gegen eine Leerlauf- und Endregelfeder (Regelfedern). Zwischen den Grenzdrehzahlen wird die Regelstange nur über das Fahrpedal verschoben. Bei Erreichen der Höchstdrehzahl wird die Regelstange über das Hebelsystem unabhängig von der Fahrpedalstellung in Richtung Stop verschoben (Fliehgewichte in äußerster Stellung).

Bild 54. Fliehkraftregler (Bosch) 1 Verstellhebel 2 Regelhebel 3 Kulissenstein 4 Lenkhebel 5 Gleitstein 6 Führungsbolzen 7 Verstellbolzen 8 Winkelhebel

einer Reiheneinspritzpumpe 9 10 11 12 13 14 15

Fliehgewichte Regelfedern Einstellmutter Regelstange Spielausgleichsfeder Federteller Gelenkgabel

L 96

L Kraft- und Arbeitsmaschinen

Automatische mechanische Spritzversteller verlegen den Einspritzbeginn drehzahlabhängig bis 16 ºKW vor, um den leistungsmindernden Zündverzug besonders bei höheren Drehzahlen auszugleichen. Dazu wird die Pumpennockenwelle durch Exzenter-Spritzversteller (fliehkraftgesteuert) verdreht. 8.7.4 Einspritzanlage mit Verteilereinspritzpumpe

Die Verteilereinspritzpumpe verteilt über ein einzelnes Pumpenelement den Kraftstoff auf die Zylinder. Verwendung in PKW, Schleppern und leichten Nutzfahrzeugen. Schmierung und Kühlung erfolgt nur durch Kraftstoff. Die Baugruppen einer AxialkolbenVerteilereinspritzpumpe zeigt Bild 55. Die Kraftstoffförderpumpe (Flügelzellenpumpe) ist im Gehäuse der Verteilerpumpe untergebracht. Sie fördert den Kraftstoff in den Pumpeninnenraum. Über ein Drucksteuerventil wird der Pumpeninnendruck drehzahlabhängig reguliert und nicht benötigter Kraftstoff zum Tank zurück befördert. Vereinzelt wird zusätzlich eine Vorförderpumpe (Membranpumpe von Motornockenwelle angetrieben) eingesetzt. An der angetriebenen Hubscheibe ist der Verteilerkolben befestigt. Die Nockenzahl der Hubscheibe entspricht der Zylinderzahl. Die Nocken wälzen sich auf dem Rollenring ab und bewirken über eine Dreh-Hubbewegung des Verteilerkolbens, die Verteilung und Förderung des Kraftstoffs zu den einzelnen Einspritzdüsen.

1 Magnetventil (Abstellventil 2 Überströmdrossel 3 Regelfeder 4 Verstellhebel 5 Reglergruppe 6 Fliegewichte 7 Förderpumpe (Flügelzellenpumpe) 8 vom Filter 9 Drucksteuerventil 10 Reglerantrieb

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Klauenkupplung Rollenring Hubscheibe Spritzversteller Regelschieber Kolbenrückholfeder Verteilerkolben Druckventil zur Einspritzdüse Überstromleitung zum Tank

Bild 55. Verteilereinspritzpumpe mit Fliehkraftregler (Volkswagen)

Der Verteilerkolben besitzt Verteilernuten (Anzahl = Zylinderzahl), der Verteilerkopf Auslassbohrungen, die zu den Druckventilen führen. Während der DrehHubbewegung überschneiden die Verteilernuten während des Druckhubs die Auslassbohrungen (Förderbeginn). Das Förderende und damit die Einspritzmenge wird durch die Stellung des beweglichen Regelschiebers bewirkt, der die Absteuerbohrung freigibt. Die Verteilerpumpe ist mit einem Fliehkraftregler (Leerlauf-Enddrehzahlregler oder Alldrehzahlregler) ausgerüstet, der von der Antriebswelle über einen Zahntrieb angetrieben wird. Die Fliehgewichte verschieben über einen federbelasteten Hebelmechanismus die Position des Regelschiebers auf dem Verteilerkolben. Motorabstellen erfolgt entweder durch ein Magnetventil (Kraftstoffzufuhr sperren) oder durch einen mechanischen Absteller (Regler betätigen). Der hydraulische Spritzversteller verdreht in Abhängigkeit vom Pumpeninnendruck mit steigender Drehzahl den Rollenring entgegen der Hubscheibendrehrichtung auf Früheinspritzung. Anpasseinrichtungen wie z.B. Kaltstartbeschleuniger oder ladedruckabhängiger Volllastanschlag ermöglichen eine zusätzliche Angleichung der KraftstoffFördermenge an spezielle Betriebsbedingungen des Motors. 8.7.5 Elektronische Dieselregelung

Um die strenger werdenden gesetzlichen Abgasbestimmungen für Fahrzeugdieselmotoren erfüllen zu können und um gleichzeitig höhere Motorleistungen bei geringerem spezifischem Kraftstoffverbrauch zu realisieren, werden Dieseleinspritzanlagen mit elektronischer Regelung (EDC: Electronic - Diesel - Control) ausgeführt. Dazu werden über Sensoren Fahrzeugbetriebsdaten wie Fahrpedalstellung, Motordrehzahl, Motor- und Ansauglufttemperatur, Ladedruck usw. erfasst, im elektronischen Steuergerät mit gespeicherten Kennfeldern verglichen und in Ausgangssignale zur elektronischen Regelung von z.B. Einspritzbeginn, Einspritzmenge, Ladedruckregelung und Abgasrückführung umgewandelt. EDC-Anlagen ermöglichen die Speicherung von Betriebsfehlern, die werkstattseitig von einem Testgerät abgerufen werden können. Gespeicherte Ersatzwerte lassen einen eingeschränkten Motorbetrieb bei Ausfall der Elektronik zu. Kraftstoffseitig arbeiten EDC-Anlagen mit Hochdruck-Einspritzpumpen (pmax 2050 bar). Hoher Einspritzdruck in Verbindung mit elektronischer Regelung ergibt eine feinere Kraftstoffzerstäubung, bessere Verbrennung des Kraftstoff-Luftgemisches und verminderte Schadstoffemissionen bei höherem Motordrehmoment und Motorleistung.

8 Verbrennungsmotoren

L 97

Bild 56. Komponenten der elektronischen Dieselregelung (BMW)

Man setzt elektronische Dieselregelung in Anlagen mit Axialkolben- Verteilereinspritzpumpen, Radialkolben-Verteilereinspritzpumpen, Reiheneinspritzpumpen, Hubschieber-Reiheneinspritzpumpen sowie in Pumpe-Düse-, Pumpe-Leitung-Düse- und in Common-Rail-Systemen ein. Die Axialkolben-Verteilereinspritzpumpe mit EDC entspricht im mechanischen Antrieb und Hydraulikteil (Flügelzellenförderpumpe, Rollenring, Verteilerkolben usw.) weitgehend der mechanischen Verteilereinspritzpumpe. Die Regelung von Einspritzmenge und Einspritzbeginn erfolgen elektronisch. Über den Fahrpedalgeber wird der Lastwunsch des Fahrers und über weitere Sensoren die Motorbetriebsbedingungen an das Steuergerät gemeldet. Durch Kennfeldabgleich werden das elektromagnetische Mengenstellwerk (ersetzt mechanischen Fliehkraftregler) und der Regelschieber-Positionsgeber zur Einspritzmengenregulierung angesteuert. Durch Regelschieberverstellung wird die Solleinspritzmenge angeglichen. Ein Magnetventil im Spritzversteller ersetzt den hydraulischen Spritzversteller. Durch Nadelbewegungsfühler (induktiver Spritzbeginngeber) wird der Istwert des Spritzbeginns der Einspritzdüsen vom Steuergerät erfasst und über das Magnetventil im Spritzversteller an den Sollwert angeglichen.

1 2 3 4 5 6

Regelschieberweggeber Magnetstellwerk für Einspritzmenge elektromagnetisches Abstellventil Förderkolben Magnetventil für Einspritzbeginnverstellung Regelschieber

Bild 57. Verteilereinspritzpumpe für elektronische Dieselregelung (Bosch)

L 98 Eine Weiterentwicklung stellt die elektronisch gesteuerte Axialkolben-Verteilereinspritzpumpe mit Hochdruckmagnetventil dar. Das schnellschaltende Hochdruckmagnetventil ersetzt als elektronisch gesteuertes Zumesssystem die Aufgaben der Kraftstoffzuteilung des elektromagnetischen Mengenstellwerks mit Regelschieber-Positionsgeber, indem es den Pumpenelementraum verschließt. Die Anlagen sind mit einem eigenen elektronischen Pumpensteuergerät ausgestattet, das über ein serielles Bussystem mit dem Motorsteuergerät verbunden ist. Ein zusätzlicher Drehwinkelsensor leitet die Signale der Rollenringstellung an das Pumpensteuergerät. Die Druckerzeugung erfolgt wie bei der herkömmlichen Verteilereinspritzpumpe über Rollenring und Hubscheibe. Radialkolben-Verteilereinspritzpumpen mit EDC erzeugen bis zu 1500 bar Einspritzdruck an den Düsen (feine Zerstäubung, weniger Schadstoffe im Abgas). Auf der Pumpenantriebswelle ist ein Drehwinkelsensor angebracht, der Signale über die Stellung der Pumpenantriebswelle zur Motorkurbelwelle und die Pumpendrehzahl an das Pumpensteuergerät leitet. Einspritzmengen- und Förderbeginnregelung werden elektronisch für jede einzelne Einspritzung über das pumpeneigene Steuergerät beeinflusst, das über einen CAN-Datenbus mit dem Motorsteuergerät zusammenarbeitet.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Flügelzellenpumpe Drehwinkel-Sensor Nockenring Pumpen-Steuergerät (PCU) Steckeranschluss PCU Radialkolben-Hochdruckpumpe Verteilerwelle Hochdruck-Magnetventil Druckventil Spritzversteller-Magnetventil Spritzversteller Impulsgeberrad

Bild 58. Aufbau der Radialkolben-Verteilerspritzpumpe (Ford)

L Kraft- und Arbeitsmaschinen Das Pumpensteuergerät gibt hierzu nach abgelegten Kennfeldern Steuerimpulse an das HochdruckMagnetventil (Einspritzmengenregelung) und das Taktventil für den Spritzversteller (Einspritzzeitpunkt). Die Bauart ermöglicht ein höheres Motordrehmoment und geringere Abgasemissionen als herkömmliche Verteilereinspritzpumpen. Bei Reiheneinspritzpumpen mit EDC werden Einspritzdrücke bis ca. 1200 bar erreicht. Ein elektromagnetisches Stellwerk ersetzt den mechanischen Fliehkraftregler. Die Regelstange der Einspritzpumpe ist mechanisch nicht mit dem Fahrpedal gekoppelt. Durch Sensoren werden die Eingangsgrößen wie Fahrpedalstellung, Motordrehzahl und weitere Korrekturgrößen an das Steuergerät geleitet. Die errechneten Ausgangssignale nehmen über das elektromagnetische Stellwerk die erforderlichen Verschiebungen der Regelstange vor. Ein Regelstangenweggeber meldet die aktuellen Regelstangenpositionen an das Steuergerät, bis die Verstellimpulse zum Sollwert angeglichen sind. Fehlerspeicherfunktion und Notlaufprogramme greifen bei Systemfehlern ein und ermöglichen einen eingeschränkten Weiterfahrbetrieb.

1 2 3 4

Pumpenkolben Hubschieber Hubschieber-Verstellwelle Regelstange

Bild 59. Hubschieber-Verstellmechanik (Bosch)

8 Verbrennungsmotoren Hubschieber-Reiheneinspritzpumpen mit EDC erzielen bei Dieselmotoren für Nutzfahrzeuge verminderte Schadstoffemissionen und geringeren spezifischen Kraftstoffverbrauch in allen Betriebszuständen. Es werden Einspritzdrücke bis ca. 1200 bar erreicht. Der Grundaufbau entspricht weitgehend der konventionellen Reiheneinspritzpumpe. Die Förderbeginnverstellung erfolgt jedoch nicht über einen Spritzversteller, sondern über einen axial beweglichen Hubschieber mit Absteuerbohrung, der auf jedem Pumpenkolben angeordnet ist. Durch eine Verstellwelle können alle Hubschieber gemeinsam in Förderrichtung über ein elektromagnetisches Stellwerk verschoben werden. Förderbeginn und Einspritzmenge werden in einem geschlossenen Regelkreis in Abhängigkeit von erfassten Betriebsdaten des Motors abgeglichen. Das System arbeitet mit Fehlerspeicherfunktion und Notlaufprogramm.

L 99 netventile der Einheiten an und bestimmt damit Einspritzbeginn und Einspritzmenge nach gespeicherten Kennfeldern für jeden Betriebspunkt des Motors. Durch Voreinspritzung einer kleinen Kraftstoffmenge mit geringerem Druck vor der Haupteinspritzung wird ein ruhigerer Verbrennungsablauf erreicht. Die Haupteinspritzung erfolgt nach kurzer Spritzpause mit hohem Einspritzdruck (pmax 2050 bar) und feiner Zerstäubung. Das Verfahren ermöglicht einen hohen thermischen Wirkungsgrad bei geringem spezifischen Kraftstoffverbrauch. Das Pumpe-Leitung-Düse-Verfahren ist wie das Pumpe-Düse-Verfahren ein Direkteinspritzsystem mit Einzelpumpenelementen für jeden Motorzylinder. Es wird bei Motoren mit untenliegender Motornockenwelle (ohv) in Nutzfahrzeugen eingesetzt. Die konventionellen Düsenhalter mit Einspritzdüsen (Lochdüsen) sind im Zylinderkopf eingebaut und mit einer kurzen Einspritzleitung mit den seitlich am Motorblock angebrachten Hochdruckeinspritzpumpen mit Magnetventil verbunden. Ein elektronisches Steuergerät errechnet in Abhängigkeit von Sensordaten die Steuerimpulse für die Magnetventile (Beeinflussung von Einspritzverlauf und -menge). Die hohen Einspritzdrücke (pmax ca. 1800 bar), Mehrventiltechnik, Aufladung und die elektronische Regelung (Voreinspritzung, Zylinderabschaltung) ermöglichen einen geringen spezifischen Kraftstoffverbrauch und Reduzierung der Schadstoffemissionen bei höherer Motorleistung.

Bild 60. Aufbau des Pumpe-Düse-Einspritzsystems (Volkswagen)

Bei Dieselmotoren mit elektronisch geregelter Pumpe-Düse-Einheit (Direkteinspritzmotoren für PKWMotoren mit obenliegender Nockenwelle) hat jeder Motorzylinder eine Einzylinder-Hochdruckeinspritzpumpe mit Magnetventilsteuerung, Einspritzdüse und Einspritzventil in einem Gehäuse vereint. Die sonst üblichen Hochdruckleitungen entfallen. Die Einheit wird in den Zylinderkopf über dem Brennraum eingebaut. Die obenliegende Motornockenwelle treibt über Kipphebel die Pumpenkolben der Pumpe-DüseEinheiten an. Durch eine mechanische Kraftstoffförderpumpe werden alle Einheiten aus einem gemeinsamen Verteilerrohr versorgt. Nicht benötigter Kraftstoff wird über einen Kühler zum Tank zurück befördert. Ein elektronisches Steuergerät steuert die Mag-

Bild 61. Aufbau des Pumpe-Leitung-Düse-Einspritzsystems (Bosch) 1 Düsenhalter 4 Magnetventil 2 Motor 5 Zulauf 3 Düse 6 Hochdruckpumpe 7 Einspritznocken auf Nockenwelle

L 100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 Hochdruckpumpe 12 Elementabschaltventil 13 Druckregelventil 14 Kraftstofffilter Kraftstoffbehälter mit Vorfil-15 16 ter und Vorförderpumpe 17 Steuergerät 18 Glühzeitsteuergerät Batterie 19 Hochdruckspeicher (Rail) 20 Raildrucksensor

L Kraft- und Arbeitsmaschinen

21 Luftmassenmesser Durchflussbegrenzer 22 Turbolader Druckbegrenzungsventil Kraftstoff-Temperatursensor 23 Abgasrückführsteller 24 Ladedrucksteller Injektor 25 Unterdruckpumpe Glühstiftkerze Kühlmittel-Temperatursensor 26 Instrumentenfeld mit Signalausgabe für KraftstoffKurbelwellen-Drehzahlsensor verbrauch, Drehzahl usw. Nockenwellen27 Fahrpedalsensor Drehzahlsensor Ansaugluft-Temperatursensor 28 Bremskontakte 29 Kupplungsschalter Ladedrucksensor

30 Fahrgeschwindigkeitssensor 31 Bedienteil für Fahrgeschwindigkeitsregler 32 Klimakompressor 33 Bedienteil für Klimakompressor 34 Diagnoseanzeige mit Anschluss für Diagnosegerät

Bild 62. Anlagenschema der Common-Rail-Direkteinspritzung (Bosch)

Das Common-Rail-Verfahren ist ein elektronisch geregeltes Hochdruck-Speichereinspritzsystem mit Direkteinspritzung. Hochdruckerzeugung und Kraftstoffeinspritzung werden voneinander getrennt ausgeführt. Eine Radialkolben-Hochdruckpumpe erzeugt kontinuierlich und motordrehzahlunabhängig den Kraftstoff-Systemdruck (pmax 1600 bar), der in einem Hochdruck-Verteilerrohr (Common-Rail) gespeichert und über kurze Einspritzleitungen den magnetventilgesteuerten Einspritzeinheiten (Injektoren) zur Verfügung gestellt wird. Das Steuergerät ermittelt aus den Sensordaten die Einspritzmenge und den Einspritzzeitpunkt und taktet die magnetventilgesteuerten Einspritzinjektoren. Kennfelder optimieren durch flexible Einspritzung mit Vor-, Haupt-, Nach- und Mehrfacheinspritzung die Motorcharakteristik für jeden Betriebspunkt. Durch das System werden Abgas- und Geräuschemission und der spezifische Kraftstoffverbrauch reduziert. Motordrehmoment und -leistung liegen deutlich über den Werten konventioneller Anlagen.

8.7.6 Einspritzdüsen

Durch die Einspritzdüse wird der Kraftstoff fein zerstäubt und gerichtet im Brennraum verteilt. Über den Düsenhalter wird die Einspritzdüse im Zylinderkopf befestigt. Er besitzt Anschlüsse für den Zulauf (Pumpe) und Rücklauf (Lecköl). Über den Druckbolzen wird die Düsennadel mit einer vorgespannten Druckfeder (Vorspannung bestimmt Öffnungsdruck) gegen die Dichtfläche des Düsenkörpers gepresst. Einspritzbeginn: Die Düsennadel hebt gegen den Federdruck von ihrem Sitz ab. Förderende: Die Federkraft übersteigt die Druckkraft an der Düsennadel und schließt das Ventil. Der Düsenöffnungsdruck wird durch Ausgleichsscheiben oder Einstellschrauben eingestellt. Lochdüsen werden für Direkteinspritzmotoren, Zapfendüsen für Vor- und Wirbelkammermotoren verwendet. Drosselzapfendüsen ermöglichen durch besondere Spritzzapfenausformung Voreinspritzung für weicheren Verbrennungsablauf. Angeschliffene Flächen am Drosselzapfen beugen bei Flächenzapfendüsen Verkokung vor.

8 Verbrennungsmotoren

L 101

Wärmeschutzhülsen sorgen bei hochbelasteten Direkteinspritzmotoren für eine Temperaturreduktion am Düsensitz (verlängert Düsenstandzeit, beugt Verkokung vor). Zweifeder-Düsenhalter ermöglichen durch die Verwendung von zwei Druckfedern mit unterschiedlicher Federkennung eine Voreinspritzung bei Direkteinspritzmotoren (weichere Verbrennung mit geringeren Verbrennungsgeräuschen). Nadelbewegungssensoren (induktive Impulsgeber) in Verbindung mit Zweifeder-Düsenhaltern geben beim Öffnen der Düsennadel ein Signal an das Steuergerät der EDC zur genauen Spritzbeginnauswertung.

a) 1 Düsennadel 2 Düsenkörper 3 Druckschulter

4 Druckkammer 5 Spritzzapfen

b) 1 Düsenkörper 2 Düsennadel 3 Düsensitz

4 Sackloch 5 Spritzloch

Bild 63. Einspritzdüsenbauarten a) Lochdüse b) Drosselzapfendüse 8.7.7 Starthilfseinrichtungen für Dieselmotoren

Bei niedrigen Temperaturen reicht die Verdichtungswärme zur Kraftstoffselbstentzündung nicht aus (Wärmeleitverluste). Motoren mit Direkteinspritzung zeigen ein besseres Kaltstartverhalten als Vor- und Wirbelkammermotoren. Bei Direkteinspritzmotoren von Nutzfahrzeugen erwärmt vereinzelt ein Heizflanschelement mit elektrisch beheizten Drähten (900 … 1100ºC) im Saugrohr zwischen Luftfilter und Zylinderkopf die beim Start angesaugte Luft. Bei Flammstartanlagen wird die Ansaugluft durch Verbrennen von Kraftstoff erwärmt. Der Kraftstoff wird vom Filter- oder dem Einspritzpumpenrücklauf über ein Magnetventil einer Flammglühkerze im Ansaugrohr zugeführt. Hier verdampft er an einem Verdampferrohr, entzündet sich an einem Glühstift

und wärmt die Ansaugluft an. Zur Verbesserung der Warmlaufeigenschaften werden Einrichtungen mit temperaturgesteuertem Nachflammen verwendet (Nutzfahrzeuge). Bei Vor- und Wirbelkammermotoren und bei Direkteinspritzmotoren für PKW werden Glühkerzen (Draht-, überwiegend Stiftglühkerzen) verwendet, die in den Nebenbrennraum ragen, die Luft darin erwärmen und beim Startvorgang den auf sie gespritzten Kraftstoff verdampfen und entzünden. Selbstregelnde Stiftglühkerzen erreichen die Entflammungstemperatur bereits nach 5 … 10 s (Heizwendel in der Spitze aus CrAlFe-Legierung, Regelwendel aus Nickel in Reihe geschaltet) ohne die maximal zulässige Temperatur zu überschreiten. Durch Nachglüheinrichtungen werden die Verbrennungsgeräusche gemindert, die Leerlaufqualität verbessert und Kohlenwasserstoff-Emission reduziert. Die Dauer der Nachglühphase wird vom Motorsteuergerät bestimmt. Sie kann mehrere Minuten betragen. Bei Überschreiten einer Schwellendrehzahl wird das Nachglühen außerdem unterbrochen. Stiftglühkerzen sind einpolig und parallel zueinander geschaltet (Drahtglühkerzen in Reihe). Der Vorglühvorgang wird durch Relaisschaltungen oder elektronisch gesteuert. Die Startbereitschaft wird nach dem Vorglühen durch eine Kontrolllampe angezeigt. Zündwilliger Kraftstoff, der in das Ansaugrohr gesprüht wird, ergibt eine sichere Starthilfe für alle Dieselmotorbauarten (Startpilot).

8.8 Maßnahmen zur Verminderung der Abgasschadstoffe bei Verbrennungsmotoren Bei der theoretischen, vollständigen motorischen Verbrennung der Kraftstoffe (CH-Verbindungen) entstehen Wasserdampf und CO2 als Verbrennungsprodukte. Bei der praktischen, unvollkommenen Verbrennung beim Ottomotor enthalten die Abgase noch schädliche Bestandteile wie Kohlenmonoxid (CO), unverbrannte Kohlenwasserstoffe (HC) und Stickoxide (NOx). CO entsteht durch unvollständige Verbrennung (Luftmangel), HC- bei schlechter Gemischbildung und verzögerter Verbrennung, NOx bei Luftüberschuss und hohen Verbrennungstemperaturen. CO2 ist zwar ein ungiftiges Gas, trägt jedoch zum sog. Treibhauseffekt (Erwärmung der Erdatmosphäre) bei. Da Dieselmotoren mit Luftüberschuss arbeiten ( = 1,2 … 10) sind CO- und HC-Emissionen geringer als bei Ottomotoren. Bei den NOx-Emissionen ergeben sich etwa gleiche Konzentrationen wie beim Ottomotor. Trotz Luftüberschuss entsteht eine nicht unerhebliche Rußpartikel- und Rauchemission, da durch innere Gemischbildung keine optimale KraftstoffLuftvermischung erreicht wird. Rußpartikel bestehen aus einem Kohlenstoffkern mit angelagerten Schwe-

L 102

L Kraft- und Arbeitsmaschinen

felverbindungen, Kohlenwasserstoffen und Wasser (gesundheitsschädlich). Schwefeldioxid (SO2) ist im Dieselabgas, in geringen Mengen auch im Ottomotorabgas enthalten. Tabelle 3. Abgasbestandteile von Otto- und Dieselmotoren (gemittelte Werte) Abgasbestandteile

Ottomotor

Dieselmotor

Stickstoff

N2

72 %

67 %

Sauerstoff

O2

0,5 %

10 %

Wasserdampf

H2 O

13 %

11 %

Kohlendioxid

CO2

14 %

12 %

Kohlenmonoxid

CO

0,85 %

0,05 %

Stickoxide

NOx

0,085 %

0,15 %

Kohlenwasserstoffe

HC

0,05 %

0,03 %

Schwefeldioxid

SO2

Rußpartikel

0,005 %

0,02 %

0,005 %

0,05 %

Tabelle 4. Abgasgrenzwerte für PKW/Kombi mit Ottomotor in Europa (Auszug) Stufe

Ein-

CO

HC

führungs-

g/km

g/km

NOx g/km

HC+NOx g/km

termin Euro I

07.1992

2,72

–

–

0,97

Euro II

01.1996

2,2

–

–

0,5

Euro III

01.2000

2,3

0,2

0,15

–

Euro IV

01.2005

1,0

0,1

0,08

–

Tabelle 5. Abgasgrenzwerte für PKW mit Dieselmotor in Europa (Auszug) Regelung

Einführungstermin

91/441/EWG Typprüfung/ 07.1992

Motor-

CO

bauart

g/km

IDI 1)

HC+NOx Partikel g/km g/km

2,72

0,97

0,14

3,16

1,13

0,18

IDI 1)

1,0

0,7

0,08

Erstzulassung 01.1991

DI 2)

1,0

0,9

0,1

98/69 EU

Typprüfung/ 01.2000

IDI 1)

0,64

0,56

0,05

Stufe 3

Erstzulassung 01.2001

DI 2)

Vorschlag

Typprüfung/ 01.2005

IDI 1)

Stufe 4

Erstzulassung

DI 2)

Stufe 1

Erstzulassung 01.1993

94/12/EU

Typprüfung/ 07.1996

Stufe 2

1)

0,5 0,5

0,3

0,025

0,25

Kammermotoren, 2) Direkteinspritzmotoren

Die Verminderung der Abgasschadstoffe bei Ottound Dieselmotoren und die dabei zugelassenen Grenzwerte für Abgasemissionen, sind durch gesetzliche Regelungen der verschiedenen Länder gekennzeichnet. Zur Ermittlung der vom Gesetzgeber festgelegten Abgasgrenzwerte von Fahrzeugmotoren werden zur Typprüfung genormte Testzyklen, meist auf Rollenprüfständen, durchgeführt. Für Europa gilt der am 1.1.2000 eingeführte, verschärfte NEFZ-Fahrzyklus

(Neuer Europäischer Fahrzyklus – 11,007 km, mittlere Geschwindigkeit 33,6 km/h, maximale Geschwindigkeit 120 km/h im City- und Außerortszyklus). Die Messung beginnt mit Motorkaltstart. Die vorher übliche 40 Sekunden- Motorwarmlaufphase entfällt. Weitere wichtige Abgasgrenzwerte werden durch den USA-FTP75-Testzyklus und Japan-Testzyklus ermittelt. In der Bundesrepublik wurden freiwillig schärfere Grenzwerte gegenüber den EU-Normen eingeführt. Tabelle 6. Abgasgrenzwerte für PKW mit Ottomotor in der Bundesrepublik Regelung

CO

HC

g/km

g/km

NOx g/km

D3-Norm

1,5

0,17

0,14

D4-Norm

1,0

0,1

0,08

Tabelle 7. Abgasgrenzwerte für PKW mit Dieselmotor in der Bundesrepublik Regelung

CO

HC+NOx

NOx

Partikel

g/km

g/km

g/km

g/km

D3-Norm

0,6

0,56

0,5

0,05

D4-Norm

0,5

0,3

0,25

0,025

Durch Abgasuntersuchungen (AU) werden in der Bundesrepublik für den Verkehr zugelassene Fahrzeuge regelmäßig überprüft. Abweichungen der Abgaszusammensetzung, die durch Motor-Fehlfunktionen aufgetreten sind, werden durch On-Board-Diagnose-Systeme (OBD) gespeichert. Durch Kontrollanzeigen werden die Betreiber der Fahrzeuge veranlasst, die Fehlfunktionen beheben zu lassen. OBD-Systeme sind seit 1.1.2000 für die Typprüfung von Neufahrzeugen vorgeschrieben.

8.8.1 Katalysatortechnik für Ottomotoren Durch den Katalysator im Abgassystem werden vereinfacht gesehen Kohlenwasserstoffe und Kohlenmonoxid durch Oxidation umgewandelt, 2 CO + O2 o 2 CO2 2 C2H6 + 7 O2 o 4 CO2 + 6 H2O während die Beseitigung der Stickoxide durch Reduktion über das CO als Reduktionsmittel erfolgt: 2 NO + 2 CO o N2 + 2 CO2. Von den technisch ausgeführten Katalysatorsystemen (Bild 64) stellt der Dreiwege-Katalysator (Dreiweg, weil alle drei Schadstoffgruppen verringert werden) in Verbindung mit einer O = 1 Regelung, das wirksamste System dar, das jedoch nur mit unverbleitem Kraftstoff betrieben werden darf. Der Wirkungsgrad der Schadstoffreduzierung (Konvertierungsgrad) beträgt > 95 %.

8 Verbrennungsmotoren

L 103 Wichtigste Voraussetzung für den hohen Konvertierungsgrad des Dreiwege-Katalysators ist die Einhaltung einer Gemischzusammensetzung, die eng um = 1 liegt. Die Einhaltung dieses engen Bereiches, wird durch den Lambda-Regelkreis (Bild 65) realisiert, bei dem durch die Messung des Restsauerstoffgehaltes im Abgas mittels Lambda-Sonde, die Kraftstoffzufuhr ständig angepasst wird.

Bild 64. Keramik-Monolith-Katalysator (Opel) a) Aufbau des Katalysators b) Wirkungsweise des Katalysators

Die in die Abgasleitung vor dem Katalysator eingebaute Sonde arbeitet nach dem Prinzip einer galvanischen Sauerstoffkonzentrationszelle mit einem Festkörperelektrolyten (Zirkonoxid) und ist beidseitig mit porösen Platinelektroden versehen. Eine Seite befindet sich im Abgasstrom, die andere Seite steht mit der Außenluft in Verbindung (Bild 65). Die Differenz des O2-Partialdrucks an den beiden Elektroden erzeugt ein Spannungssignal, das als Regelimpuls an das Steuergerät einer elektronischen Einspritzanlage weitergegeben wird. Von dort wird es als Signal zur Gemischanfettung bzw. -abmagerung verarbeitet. Unter 250 ºC Sondentemperatur werden keine Signale abgegeben. Die erforderliche Arbeitstemperatur liegt bei ca. 600 ºC.

Der Keramik-Monolith-Katalysator (von allen europäischen Herstellern verwendet), besteht aus einem Blechgehäuse und dem zylindrischen oder ovalen Körper aus hochtemperaturbeständigem MgAl-Silikat der in Strömungsrichtung von parallelen Kanälen durchzogen ist (Bild 64). Die katalytisch wirkende Beschichtung des Trägerkörpers besteht aus Platin und Rhodium, die auf einer Zwischenschicht (washcoat) aus Al2O3 eingebettet ist, um eine größere spezifisch wirksame Oberfläche (Vergrößerungsfaktor 7000) zu erhalten. Platin ist für die Oxidation der CO und HC-Konzentration, Rhodium für die NOxReduktion erforderlich. Schüttgut oder Granulat Katalysatoren, sowie Metall-Monolith Katalysatoren sind ohne Bedeutung. Selektive NOx-Reduktions-Katalysatoren oder NOxSpeicher-Katalysatoren werden bei Motoren mit Benzin-Direkteinspritzung (Magerbetriebkonzept und Schichtladung) vor den Dreiwege-Katalysator gelegt, da im Betrieb mit > 1 erhöhte NOx-Emissionen im Abgas auftreten, die im Dreiwege-Katalysator nicht abgebaut werden können. Im NOx Speicherkatalysator werden die hohen NOxAnteile während der Magerlaufphase des Motors in Form von Nitraten vorübergehend an der Katalysatoroberfläche angelagert (z.B. Bariumnitrat). Bei Erreichen der Speichergrenze muss zur Regeneration kurzzeitig auf fetten Motorbetrieb umgeschaltet werden (Sauerstoffmangel), wobei die Nitratablagerungen durch den CO- und CH-Anteil zu N2 reduziert werden. Speicher-Katalysatoren benötigen für ihren Betrieb extrem schwefelarmen Kraftstoff, der erst noch von der Mineralölindustrie bereitgestellt werden muss.

Bild 65. Lambda-Regelkreis (BMW) a) Zeitlicher Ablauf b) Lambdasondenspannung in Abhängigkeit vom Luft-Kraftstoffgemisch

L 104 Um die ungeregelte Zeit (Motorwarmlaufphase) kurz zu halten, werden neben ihrer motornahen Montage beheizte Sonden verwendet, die bereits wenige Sekunden nach dem Kaltstart des Motors eine Regelung zulassen. Bei planaren Lambdasonden besteht der Festkörperelektrolyt aus keramischen Folien, die durch ein doppelwandiges Schutzrohr vor hohen thermischen Belastungen geschützt werden. Neuere Anlagen setzen eine Sonde vor und eine hinter den Katalysator zur Gemischkontrolle ein. Die Nachkat-Sonde soll die Arbeit des Katalysators (Alterungsprozesse) und der Vorkat-Sonde überprüfen und ihre Regelung bei Bedarf anpassen (OBD = On Board DiagnoseSysteme). Breitband-Lambda-Sonden liefern statt des Sprungsignals bei = 1 ein stetiges Signal an das Steuergerät. Die Regelung bei 6-, 8- und 12-ZylinderV-Motoren kann als sogenannte Stereo- oder Quattroausführung erfolgen (je Zylinderbank eine oder zwei Lambdasonden mit getrennten Regelkreisen und Katalysatoren).

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Sondengehäuse keramisches Stützrohr Anschlusskabel Schutzrohr mit Schlitzen aktive Sondenkeramik Kontaktteil Schutzhülse Heizelement Klemmanschlüsse für Heizelemente

Bild 66. Beheizte Lambda-Sonde (Bosch) 8.8.2 Katalysatortechnik für Dieselmotoren

Da der Dieselmotor mit Sauerstoffüberschuss arbeitet, ist ein Lambda-Regelkreis nicht erforderlich. Ein Oxidations-Katalysator in der Abgasanlage übernimmt die Oxidation der HC- und CO-Abgasanteile. Der Oxidations-Katalysator gleicht dem vom Ottomotor bekannten Dreiwege-Katalysator. Der Keramikkörper ist als Trägerschicht mit Aluminiumoxid beschichtet, auf dem als Katalysator für CO und HC Platin aufgedampft ist. Die Oxidation der an den Rußpartikeln angelagerten HC-Bestandteile verringert zusätzlich die Partikelemission. NOx-Bestandteile können nur durch zusätzliche konstruktive Maßnahmen reduziert werden. Durch kontinuierliche Zugabe eines Reduktionsmittels (z.B. Harnstoff-Wasserlösung) werden beim

L Kraft- und Arbeitsmaschinen SCR-Verfahren (selektive katalytische Reduktion) die NOx-Bestandteile vor einem Oxidationskatalysator reduziert. Zur Partikelabscheidung werden Rußabbrennfilter in den Abgasstrom eingebaut. Durch den hohen Restsauerstoffgehalt im Dieselabgas regenerieren sich diese Filter bei Temperaturen von > 550 ºC durch Nachverbrennung selbsttätig. Durch Wärmezufuhr (elektrische Beheizung, Kraftstoffbrenner) kann auch Zwangsregeneration erzielt werden. 8.8.3 Abgasrückführung für Otto- und Dieselmotoren

Die NOx-Emission kann auch durch Senkung der Verbrennungstemperaturen im Zylinder reduziert werden (bis zu 60 %). Dies wird durch Rückführung von bis zu 15 % der Abgasmenge (oft über Abgaskühler) in das Ansaugsystem des Motors über ein Abgasrückführungsventil erreicht (äußere Abgasrückführung im Teillastbetrieb). Durch das Steuergerät muss das Aufschalten des Ventils den Betriebsbedingungen angepasst werden (sonst schlechter Motorlauf, hoher Verbrauch usw.). Grenzen der Rückführungsrate sind durch Ansteigen der CO-, HC- und Partikelemissionen gegeben. Unerwünschte innere Abgasrückführung erfolgt durch schlechte Zylinderspülung infolge Ventilüberschneidung (zwischen dem vierten und ersten Takt) bei niedrigen Motordrehzahlen. Abhilfe schaffen hier Systeme mit variabler Nockenwellensteuerung (Kap. 8.2.4). 8.8.4 Sekundärluftsysteme

Durch Einblasen von Frischluft vor den Katalysator in der Kaltstartphase des Motors wird das Abgas mit Luftsauerstoff angereichert. Durch thermische Nachverbrennung werden die in der Kaltlaufphase noch enthaltenen unverbrannten CO- und HC-Bestandteile reduziert und der Katalysator erreicht schneller seine Betriebstemperatur. Steuergrößen für die Aufschaltung der Sekundärluftpumpe durch das Motorsteuergerät sind Kühlmitteltemperatur und Lambdasondensignale.

8.9 Zweitaktmotoren Zweitakt-Ottomotoren werden als Einzylindermotoren für Zweiräder, Bootsmotoren, Rasenmäher und Kettensägen, als Mehrzylindermotoren in Krafträdern, selten in PKW verwendet. Großmotoren werden als Zweitakt-Dieselmotoren gebaut. Zweitakt-Ottomotoren arbeiten ohne Ventilsteuerung. Der Gaswechsel erfolgt durch Einlass-, Auslass- und Überströmkanäle in den Zylinderwandungen. Bei Zweitakt-Dieselmotoren werden zur Abgassteuerung Ventile verwendet.

8 Verbrennungsmotoren 8.9.1 Arbeitsspiel des Zweitaktmotors

Das Arbeitsspiel umfasst eine Kurbelwellenumdrehung oder zwei Kolbenhübe (2 Takte). 1. Takt (Kolben von UT nach OT, ÜberströmenVerdichten-Voransaugen): Durch den offenen Überströmkanal 3 (Bild 67) strömt das im Kurbelgehäuse vorverdichtete Kraftstoff-Luft-Ölgemisch ein und spült Restgase durch eine gerichtete Strömung über die offenen Auslassschlitze 1 heraus (Frischgasverluste). Die Spülung dauert solange an, bis bei der Bewegung des Kolbens in Richtung OT zuerst der Überströmkanal 3 und danach die Auslassschlitze 1 geschlossen werden und die Verdichtung beginnt (p = 8 … 12 bar, H = 6 … 11). Im Kurbelgehäuse entsteht unterhalb des Kolbens durch Volumenvergrößerung ein Unterdruck (p = 0,6 … 0,8 bar). Nach Öffnen der Einlassschlitze 2 durch die Kolbenunterkante strömt das Kraftstoff-Luft-Ölgemisch unter dem Kolben in das Kurbelgehäuse (Mischungsschmierung).

L 105 Richtung UT, er verrichtet Arbeit. Durch Verschließen der Einlassschlitze 2 durch die Kolbenunterseite erfolgt Vorverdichtung des im Kurbelgehäuse befindlichen Gemischs (p = 0,3 … 0,7 bar). Zum Ende der Abwärtsbewegung öffnet der Kolben die Auslassschlitze 1 und kurz danach die Überströmkanäle 3. Der Zweitaktmotor hat im Gegensatz zum Viertaktmotor einen offenen Gaswechsel, d.h. Auslass- und Überströmschlitz sind über weite Bereiche des Gaswechsels gleichzeitig offen. Es treten besonders bei geringen Drehzahlen Ladungsverluste und Vermischungen von Frisch- und Abgas auf, was den Wirkungsgrad mindert. Der Spülgrad OS beeinflusst die Leistung des Zweitaktmotors. Er errechnet sich als Verhältnis der Frischladung m z im Zylinder zur gesamten Ladungsmasse (Frischgase m z + Restgase m r ) zu m z m r OS m z O S kg kg (45) 1 m z  m r s s Bei günstigen Spülverhältnissen lassen sich Spülgrade von OS = 0,8 … 0,9 bei Ottomotoren und OS = 1 bei Dieselmotoren mit Spülgebläsen (Rootsgebläse) erzielen. 8.9.2 Spülverfahren bei Zweitaktmotoren

Die Art des Spülverfahrens beeinflusst die Frischgasverluste. Man unterscheidet Gleichstromspülung mit gleicher Strömungsrichtung von Frisch- und Abgas durch den Zylinder (Zweitakt-Dieselmotoren) und Gegenstromspülung mit unterschiedlicher Strömungsrichtung von Frisch- und Abgas innerhalb des Zylinders. Hierbei werden Querstrom- und Umkehrspülung unterschieden. 8.9.2.1 Gleichstromspülung

Bei der Gleichstromspülung (Bild 68a) durchströmen Frischgase und Abgas den Zylinder in einer Richtung. Zur Spülung strömen die Frischgase durch den Einlasskanal in den Zylinder und schieben die Abgase in den Auslasskanal oder durch gesteuerte Auslassventile (Dieselmotor) aus. Gleichstromspülung ergibt unsymmetrische Steuerdiagramme. Bild 67. Zweitaktverfahren a) 1. Takt (Überstromen-Verdichten-Voransaugen) b) 2. Takt (Arbeiten – Auslassen – Vorverdichten) 1 Auslassschitze 2 Einlassschlitze 3 Überströmkanal 2. Takt (Kolben von OT nach UT, Arbeiten-Auslassen-Vorverdichten): Kurz vor OT erfolgt die Fremdzündung des verdichteten Gemisches (Ottomotor) oder Selbstzündung durch Einspritzung beim Dieselmotor. Der Gasdruck bewegt den Kolben in

8.9.2.2 Gegenstromspülung

Bei der Umkehrspülung münden zwei Überströmkanäle rechts und links vom Auslasskanal (Bild 68b1 – Prinzip Schnürle-Umkehrspülung,) in den Zylinder. Die beiden Frischgasströme münden tangential in den Zylinderraum, stoßen am Umfang des Zylinders zusammen, kehren im Zylinderkopf um und drücken die Altgasreste aus dem Auslasskanal. Hoher Spülgrad, gute Füllung, geringer Kraftstoffverbrauch, meist angewendetes Verfahren. Bei der Mehrkanalspülung werden mehrere Überströmkanäle mit unterschiedlicher Winkelstellung eingesetzt.

L 106

L Kraft- und Arbeitsmaschinen ten- oder Walzendrehschieber-Steuerungen (gesteuertes Öffnen und Schließen des Einlasskanals). Vorgänge oberhalb des Kolbens

Voreinlasswinkel

Bild 68. Spülverfahren bei Zweitaktmotoren a) Gleichstromspülung b) Gegenstromspülung b1) Umkehrspülung b2) Querstromspülung

Bei der Querstromspülung liegen Überström- und Auslassschlitz einander gegenüber (Bild 68b2). Die Frischgase werden durch einen Nasenkolben abgelenkt und strömen quer durch den Zylinder. Hoher Restgasanteil, hoher Kraftstoffverbrauch, einfacher Aufbau. Wegen der schlechten Wirkungsgrade kaum noch eingesetzt. Gaswechselsteuerungen werden durch Steuerdiagramme dargestellt. Bild 69 zeigt das symmetrische Steuerdiagramm mit Schlitzsteuerung durch den Kolben (Steuerwinkel für Einlass-, Auslass- und Überströmen liegen symmetrisch zu OT bzw. UT). Die Vorgänge im Verbrennungsraum werden im äußeren, Vorgänge unterhalb des Kolbens im inneren Kreisring dargestellt. Symmetrische Steuerwinkelverteilung führt durch die Frischladungsverluste zu einem höheren spezifischen Kraftstoffverbrauch und Leistungsminderung. Unsymmetrische Steuerdiagramme weisen verschieden große Öffnungs- und Schließwinkel der Kanäle auf, die unsymmetrisch zu OT bzw. UT liegen können. Durch Überschneidung von Überströmwinkel und Auslass erfolgt infolge Massenträgheit Nachströmen der Frischgase. Dadurch Füllungsverbesserung, hoher Spülgrad und geringerer spezifischer Kraftstoffverbrauch. Moderne Zweitakt-Ottomotoren erzielen Nachladeeffekte mit unsymmetrischen Steuerdiagrammen durch kolbenunabhängige Membransteuerungen (Flatterventile) oder von der Kurbelwelle angetriebene Plat-

OT UT Aö As Eö Es Üs Üö

Vorgänge unterhalb des Kolbens

Vorauslasswinkel

– Oberer Totpunkt – unterer Totpunkt – Auslass öffnet – Auslass schließt – Einlass öffnet – Einlass schließt – Überströmkanal schließt – Überströmkabel öffnet

Bild 69. Symmetrisches Steuerdiagramm eines Zweitaktmotors

Bild 70. Zweitakt-Dieselmotor mit Aufladung (Opel)

Zweitakt-Dieselmotoren (Großdiesel) arbeiten bei Gleichstromspülung mit gesteuerten Auslassventilen (unsymmetrisches Steuerdiagramm) und Spülgebläsen (Bild 70). Durch den vom Drehkolbengebläse (Rootsgebläse) aufgebrachten tangentialen Spülstromeintritt richtet sich eine rotierende Luftströmung aus, in die Dieselkraftstoff (bei Schiffsmotoren meist Schweröl oder Rohöl) direkt eingespritzt wird. Die Motoren können

8 Verbrennungsmotoren

L 107

zum Rechts- und Linkslauf umgesteuert werden. Spülverluste sind ohne Bedeutung, da nur mit Luft gespült wird. Das Kurbelgehäuseunterteil ist meist als Ölwanne ausgebildet. Zur Erhöhung der Leistungsausbeute verwendet man auch Doppelkolbenmotoren mit gabelförmiger Pleuelstange und Gegenkolbenmotoren mit zwei übereinanderliegenden Kurbelwellen. Durch die stoßartigen Gaswechselvorgänge beim Zweitaktmotor werden die Gassäulen in den Überström-, Ansaug- und Abgasleitungen zu Schwingungen angeregt. Gasschwingungen können zur Frischgas- oder Abgasrückströmung führen (schlechtere Füllung). Abgas- und Ansaugleitungen müssen genau aufeinander abgestimmt sein um Leistungsverlust zu vermeiden. Zweitaktmotoren verwenden Mischungs- und Frischölschmierung (s. Kap. 8.10).

8.10 Motorschmierung Das Motoröl hat die Aufgabe: – die Reibung und den Verschleiß zwischen den bewegten Motorteilen zu verringern, – die Reibungswärme der Lager und ein Teil der Verbrennungswärme abzuführen, – die Feinabdichtung zwischen Kolben, Kolbenringen und Zylinderwandung vorzunehmen, – den Motor vor Korrosion zu schützen, – metallische Abriebteile von den Lagern abzuführen, – Ruß und Fremdstoffe in Schwebe zu halten. Die Viskosität (Zähflüssigkeit) des Schmiermittels ist für die Wirksamkeit der Schmierung von Bedeutung. Das Öl darf bei niedrigen Temperaturen nicht zu zähflüssig sein (hoher Startwiderstand), bei hohen Temperaturen jedoch noch zähflüssig genug sein, damit der Schmierfilm nicht unterbrochen wird. Nach ihrer Viskosität werden Motor- und Getriebeöle von der SAE (Society of Automotive Engineers) in Viskositätsklassen eingeteilt (0W … 60 für Motoröle, 70W … 240 für Getriebeöle): Tafel 8. SAE-Viskositätsklassen der Motoröle (Aral – Auszug nach DIN 51511) SAE-

max. scheinbare

max

Viskositäts- Viskosität in mPa s Grenzpumptemperatur

kinematische Viskosität bei 100 °C in mm2/s

klasse

bei Temperatur in °C

in °C

min.

max.

0W

3250 bei – 30

– 35

3,8

–

5W

3500 bei – 25

– 30

3,8

–

10 W

3500 bei – 20

– 25

4,1

–

15 W

3500 bei – 15

– 20

5,6

–

20 W

4500 bei – 10

– 15

5,6

–

25 W

6000 bei – 5

– 10

9,3

–

20

–

–

5,6

< 9,3

30

–

–

9,3

< 12,5

40

–

–

12,5

< 16,3

50

–

–

16,3

< 21,9

Abhängig von der SAE-Klasse liegen die Bezugstemperaturen im kalten Zustand bei –5 … –30 ºC. Bei warmen Motor bei 100 ºC, obwohl höhere Öltemperaturen auftreten können. Die max. Grenzpumptemperatur ist der Wert, bei der das Öl noch von selbst durch die Ölpumpe läuft. SAE-Klassen, deren Grenzwerte bei tiefen Temperaturen und bei 100 °C festgelegt sind, tragen zum unteren Wert den Zusatz W (W = Winter). Das Kälteverhalten von Motorölen (Erreichen der Fließgrenze) wird durch den Pourpoint (ähnlich dem früher verwendeten Stockpunkt) angegeben. Durch Zugabe von Fließverbesserern wird der Pourpoint herabgesetzt. Mehrbereichsöle decken durch die Zugabe von Viskosität-Index-Verbesserern mehrere Viskositätsbereiche ab. ■ Beispiel: Das Öl SAE 15 W – 40 erfüllt bei –18 ºC die Viskositätsanforderung des Einbereichöls SAE 15 W und bei 100 °C die Viskosität des Einbereichöls SAE 40. Sie werden als ganzjährig zu verwendende Öle eingesetzt.

Neben der SAE-Viskositätseinteilung werden Motorenöle durch das API-Klassifizierungssystem und nach ACEA-Spezifikationen (früher CCMC) nach ihrer Einsatzart gekennzeichnet. Nach dem API-Klassifizierungssystem (American Petroleum Institute) werden Motoröle nach ihrem Leistungsvermögen in Qualitätsstufen und Einsatzarten eingeteilt. Man unterscheidet S-Klassen (ServiceKlasse: Öle für Ottomotoren) und C-Klassen (Commercial-Klasse: Öle für Dieselmotoren). Die unterschiedlichen Qualitätsstufen für Motoren werden durch einen zweiten Buchstaben kenntlich gemacht. So gilt API SA als kleinste, API SH als größte Anforderungsklasse bei Motoröl für Ottomotoren und API CA bis API CG4 für Dieselmotoren. ■ Beispiele: von Klasse API-SA bis API-SH (S = Service-Klasse, überwiegend für Ottomotoren) z.B. API-SH: Service Klasse H für Ottomotoren ab Baujahr 1993, höherer Schutz gegen Temperaturablagerungen und Korrosion als in den Klassen SF oder SG. API-CA bis API-CG4: (C = Commercial Klasse überoder wiegend für Dieselmotoren) z.B. API-CD: Commercial Klasse D. Öl für aufgeladene Dieselmotoren für schwere Belastungen. Schutz gegen Verschleiß, Ablagerungen und Lagerkorrosion.

Die zugesicherten Anforderungen steigen von der Klasse SA bis SH bzw. CA bis CG4 an. Sie werden ständig angepasst. Die für USA-Verhältnisse festgelegten API-Klassifikationen berücksichtigen nur ungenügend die Einsatzanforderungen europäischer Motoren. Die 1983 aufgestellten CCMC-Spezifikationen (Committee of Common Market Automobile Constructors) stellen an ein Motoröl höhere Anforderungen, als die durch die

L 108

L Kraft- und Arbeitsmaschinen

API-Klassen vorgegebenen. Sie wurden 1996 durch die ACEA-Spezifikation (Association des Constructeurs Européen de l´Automobile) im Rahmen der EU abgelöst. Die ACEA-Spezifikationen berücksichtigen die speziellen Anforderungen moderner europäischer Motoren in Bezug auf Literleistung, längere Ölwechselintervalle, höheres Drehzahlniveau und Schlammbildung. Die Spezifikation setzt sich zusammen aus Buchstabe, Zahl und Einführungsjahr. Für Ottomotoren gilt der Buchstabe A, Für PKW-Dieselmotoren B und für LKW-Dieselmotoren E. ■ Beispiel: ACEA A2-96 / B2-96: Das Hochleistungsöl erfüllt beim Einsatz im PKW-Ottomotor die Anforderungen der Klasse A2-1996 und beim Einsatz im PKW-Dieselmotor der Klasse B2-1996.

Auf Gebinden für Motoröle werden neben SAEKlasse, API-Klassifikation und ACEA (CCMC)Spezifikation auch die Freigabevermerke (Werksnormen) einzelner Motorenhersteller angegeben. Schmiersysteme

Die Druckumlaufschmierung ist die meistverwendete bei Viertaktmotoren. Das Öl wird von der Ölpumpe über den Ölsaugkorb aus der Ölwanne angesaugt. Das Überdruckventil innerhalb des Pumpengehäuses begrenzt den maximalen Öldruck (4 … 8 bar) und leitet das überschüssige Öl in den Ansaugkanal der Pumpe zurück. Das Öl gelangt zum Ölfiltergehäuse. Wenn das System mit thermostatisch gesteuertem Ölkühler (Luftölkühler oder Kühlwasserwärmetauscher) versehen ist, so leitet der Thermostat bei zu warmen Öl zunächst zum Ölkühler um, bevor der Filter durchlaufen wird. Wenn infolge Filterverstopfung oder zu kaltem Öl der Differenzdruck zwischen Filterzulauf und -ablauf zu groß wird, öffnet das Umgehungsventil und leitet das Öl unter Filterumgehung zum Ölhauptkanal im Motorgehäuse. Hier ist ein Öldruckschalter angebracht, der abfallenden Öldruck über eine Warnleuchte anzeigt oder ein Öldruckgeber gibt über eine Öldruckanzeige den Öldruck an. Vom Hauptkanal gelangt das Öl durch Querbohrungen zu den Kurbelwellenhauptlagern und über die Kurbelwellenschrägbohrungen zu den Pleuellagern. Hier tritt das Öl meist seitlich aus und das Schleuderöl schmiert die Zylinderwandungen und die Kolbenbolzenlager. Hochleistungsmotoren erhalten längs durchbohrte Pleuel (Bild 71) oder Ölspritzdüsen (Bild 72), die für die Schmierung und die Kolbenkühlung sorgen. Vom Hauptölkanal führt ein Ölkanal zum Zylinderkopf und schmiert dort die Nockenwellenlagerstellen und die Stößel (Hydrostößel) oder Kipphebellagerstellen. Ventile und Ventilführungen werden durch Spritzöl der Nockenwellenschmierung versorgt. Vom Steigkanal werden Ölströme für die Kettenspanner, Steuerketten oder Steuerräder abgezweigt.

1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Ölsaugkorb Ölpumpe Ölüberdruckventil Thermostat im Filtergehäuse Ölfiltereinsatz Umgehungsventil Luftölkühler Kettenspanner Nockenwellenrad-Auslass Nockenwelle-Auslass Nockenwellenrad-Einlass Nockenwelle-Einlass Umlenkrad Zwischenradwelle Öldruckanzeige Öltemperaturanzeige

Bild 71. Druckumlaufschmierung für einen 4-Zylinder-Ottomotor (Daimler-Benz)

Bild 72. Ölspritzdüse zur Kolbenkühlung für einen aufgeladenen PKW-Dieselmotor (Daimler-Benz)

8 Verbrennungsmotoren

L 109

Reiheneinspritzpumpen von Dieselmotoren und Abgasturbolader sind meist in den Kreislauf einbezogen. Ein Kugelrückschlagventil im Steigkanal verhindert Ölrückfluss nach dem Motorabstellen. Bei der Trockensumpfschmierung befindet sich das Öl in einem separatem Öltank außerhalb des Motors. Durch eine Rückförderpumpe wird das von den Schmierstellen zurückfließende Öl sofort in den Tank geleitet. Eine Druckölpumpe saugt aus diesem Behälter an und arbeitet weiter wie bei der Druckumlaufschmierung. Verwendung bei Sportwagen, Motorrädern und Geländefahrzeugen, um bei schnellen Kurvenfahrten oder starker Schräglage des Motors ausreichende Schmierung zu gewährleisten. Mischungsschmierung wird bei Zweitaktmotoren durch den Zusatz von Schmieröl zum Kraftstoff im Verhältnis 1 : 25 … 1 : 100 verwendet. Im Vergaser entsteht ein Kraftstoff-Luft-Ölgemisch. Das Öl benetzt die Zylinderwandungen und die Motorteile im Kurbelgehäuse. Nachteil: Umweltbelastung durch unverbranntes Öl, hoher Ölverbrauch. Frischölschmierung (Getrenntschmierung): Kraftstoff und Öl befinden sich in getrennten Behältern. Das Öl wird im Vergaser, direkt nach der Hauptdüse, durch eine Dosierpumpe, drehzahl- und lastabhängig, dem Kraftstoff Luftgemisch zugeführt. Der Schmierölverbrauch wird bei Zweitaktmotoren dadurch beträchtlich gesenkt. Ölpumpen dienen zur Förderung des Ölstroms und zum Aufbau des Öldrucks im Motorschmiersystem. Die Fördermenge der Ölpumpen liegt je nach Motorgröße zwischen 8 … 60 l/min, bei mittlerer Motordrehzahl. Die Fördermenge m einer Motorölpumpe wird mit der Ölfüllmenge V des Motors, der Dichte  des Öls und der Zeit t für einen Schmierölumlauf: m =

60V ρ t

m Kg min



V

t

Kg

dm3

(46)

s

dm3

Die Umlaufzahl z des Schmieröls gibt an, wie oft der gesamte Motorölinhalt pro Minute umgewälzt wird z m 1 kg min min Richtwerte: z = 2,5 … 5 Z

m V



V

dm3

Kg

(47)

dm3

Der Schmierölverbrauch BS eines Verbrennungsmotors wird durch Fahrversuche oder auf dem Prüfstand ermittelt. Der spezifische Schmierölverbrauch bS ist die leistungs- und zeitbezogene, verbrauchte Schmierölmenge: bS =

Vp  Peff tp

bS

Vp



Peff

tp

g g kW cm3 kWh cm3

h

(48)

Richtwerte: Otto-Viertaktmotoren: 1,1 … 2,0 g/kWh Otto-Zweitaktmotoren: 4,2 … 6,5 g/kWh Diesel-Viertaktmotoren: 1,4 … 3,2 g/kWh Vp ist die verbrauchte Ölmenge,  die Öldichte, Peff die Motornutzleistung und tP die Prüfzeit des Versuchsmotors. ■ Beispiel:

Die Ölfüllmenge eines 66 kW -Dieselmotors beträgt 5,5 Liter ( Öl = 0,91 kg/dm3). Der Motor verbraucht bei einem 30 Minuten Volllast-Testlauf (mit Nennleistung) 72 cm3 Öl. Zu ermitteln sind: a) Die Fördermenge der Ölpumpe b) Die Zeit für einen Schmierölumlauf, wenn das Öl ca. 4,5 l/min umgewälzt werden soll c) Der spezifische Schmierölverbrauch Lösung: kg kg a) m = zV  = 4,5 l /min  5,5dm3  0,91 3  22,52 min dm

b) t 

60V  60  5,5  0,91   13,33 s m 22,52

c) bS 

Vp  Peff tp



72 cm 2  0,91g / cm3 g  1,99 66 kW  0,5 h kWh

Ölpumpenbauarten Zahnradpumpen werden über Ketten oder Stirnräder von der Kurbelwelle angetrieben. Das Öl wird durch die Rotation der Zahnräder in den Zahnlücken an der Gehäusewand entlang von der Saug- zur Druckseite befördert. Die Berührungslinie der Zahnflanken bildet die Abdichtung zwischen Saug- und Druckraum. Einfacher, preiswerter Aufbau, meist verwendete Bauart. Zahnradsichelpumpen besitzen ein innenverzahntes Zahnrad, das mit einem exzentrisch angeordneten außenverzahntem Zahnrad arbeitet. Dieses wird über die Kurbelwelle angetrieben. Der Saug- und Druckraum wird durch eine sichelförmige Gehäusescheibe getrennt. In den Zahnlücken ober- und unterhalb der Sichelscheibe wird das Öl transportiert. Geräuscharmer Lauf und hohe Förderleistung schon bei niedrigen Drehzahlen. Rotorpumpen. Im Gehäuse arbeitet ein angetriebener, exzentrischer Außenrotor mit einem Innenrotor zusammen, der einen Zahn weniger als der Außenrotor aufweist. Rotorpumpen arbeiten geräuscharm und sind für hohe Drücke geeignet. Ölfilter entfernen Metallabrieb, Verbrennungsrückstände und Verunreinigungen aus dem Ölstrom. Nach der Anordnung der Filter im Ölstrom unterscheidet man zwischen Hauptstrom-, Nebenstrom- sowie Kombinationen von Haupt- und Nebenstromfiltern (Bild 73). Hauptstromfilter filtern den gesamten von der Ölpumpe kommenden Ölstrom bei jedem Umlauf. Sichere und am häufigsten angewendete Filteranordnung mit mittelfeiner Filterwirkung. Umgehungsventil notwendig.

L 110 Nebenstromfilter filtern nur etwa 5 … 15 % der umlaufenden Ölmenge. Der Rest geht ungefiltert zu den Schmierstellen. Das gesamte Öl wird erst im Verlauf mehrerer Umläufe gefiltert, daher ist sehr feine Filterung möglich. Kombinationen von Haupt- und Nebenstromfiltern werden gerade im Nutzfahrzeugbereich verwendet und erzielen die beste Filterwirkung. Ein Teil des Ölstroms wird vor dem Hauptstromfilter abgezweigt und durch das als Feinfilter arbeitende Nebenstromfilter geleitet. Bei mehreren Umläufen wird das gesamte Öl feingefiltert. Ölfilter-Bauarten: Zur Anwendung kommen hauptsächlich Wechselfilter im Hauptstrom, bei denen Filtergehäuse und Filterpatrone fest miteinander verbunden sind. Siebfilter und Spaltfilter werden im Fahrzeugbau nur noch selten verwendet. Freistrahlzentrifugen werden als Nebenstromfilter in Nutzfahrzeugen bei schweren Belastungen verwendet. Der Öldruck versetzt den Rotor in Drehung. Die im Öl enthaltenen schwereren Schmutzteile setzen sich an der Rotorwandung ab. Mit Permanentmagnet versehene Ölablassschrauben für magnetischen Metallabrieb dienen zur Unterstützung der vorhandenen Filterelemente.

L Kraft- und Arbeitsmaschinen Ölkühler (meist im Hauptstrom) haben die Aufgabe, bei thermisch hochbelasteten Motoren (z.B. mit Abgasturbolader), für die Erhaltung der Schmierfähigkeit durch ausreichende Kühlung zu sorgen. Im Normalfall ist die Ölwanne durch ihre Anordnung im Fahrtwind zur Kühlung ausreichend. Ölkühler werden als Luftölkühler (Öffnung für Öldurchlass zum Kühler ab ca. 100 ºC thermostatisch geregelt) (Bild 71) oder als Wärmetauscher (kühlwassergekühlt) gebaut. In der Warmlaufphase wird dadurch die Betriebstemperatur des Motors schneller erreicht. Nach Öffnung des Kühlwasserthermostates findet eine Umkehrung des Wärmeaustausches (Kühlung des Schmiermittels durch das Kühlmittel) statt. Kontrolleinrichtungen: Zur Kontrolle der ausreichenden Ölmenge werden Peilstäbe oder in der Ölwanne angebrachte elektrische Ölstandsgeber verwendet (Schwimmer mit Permanentmagnet öffnet bei Minimalstand einen Reedkontakt, der eine Kontrolleuchte schaltet). Der Öldruck wird entweder über einen Öldruckmesser angezeigt oder über einen Öldruckschalter in Verbindung mit einer Kontrollleuchte überwacht. Die Öltemperatur kann über einen Temperaturfühler (NTC-Widerstand) an einem Meßinstrument angezeigt werden.

8.11 Motorkühlung Die Motorkühlung hat die Aufgabe, einen Teil der Verbrennungswärme abzuführen, um die Schmierfähigkeit des Öls zu erhalten, die Warmfestigkeit der Motorbauteile nicht zu überschreiten und um den Verbrennungsprozess kontrolliert ablaufen zu lassen. Durch die Notwendigkeit der Prozesskühlung werden ca. 28 … 34 % (f = 0,28 … 0,34) der im Kraftstoff enthaltenen Energie abgeführt. Die Wärme wird entweder indirekt über eine Wasserkühlung oder direkt an die Außenluft abgegeben. Die im Motor erzeugte Wärmemenge  berechnet sich mit dem Kraftstoffverbrauch B und dem spezifischem Heizwert des Kraftstoffes Hu:

 = B Hu



B

Hu

kJ h

kg h

kJ kg

(49)

Mit dem spezifischen Kraftstoffverbrauch beff und der Motornutzleistung Peff wird

=

Bild 73. Ölfilteranordnung (Mann) a) Hauptstromfilter b) Haupt- und Nebenstromfilter

beff H u Peff 1000



beff

Hu

Peff

kJ h

g kWh

kJ kg

kW

(50)

Von dieser erzeugten Wärmemenge wird unter Berücksichtigung des Wärmeflussfaktors f ( f = 0,28 … 0,34) die über den Kühler abzuführende Wärmemenge:

8 Verbrennungsmotoren

L 111

ab  ab =  f

kJ h

f

kJ h

(51)

1

Der Kühlflüssigkeitsdurchsatz m ·ist die auf die Leistung bezogene, zeitabhängige Kühlflüssigkeitsmenge, die notwendig ist, um die Wärmemenge über den Kühler abzuleiten. Mit der abzuführenden Wärmemenge ab, der Temperaturdifferenz T zwischen Kühltemperatur-Eintritt (T1) und -Austritt (T2) und der spezifischen Wärmekapazität c des Kühlmediums (Wasser-Frostschutz-Mischungen), wird

 m  ab Tc

m

T

c

ab

kg h

K

kJ kg  K

kJ h

z ab T z=

Φab ∆Tcm K

1 h

c



Lösung

a) ab   f = =

(52)

Richtwerte: T = 5 … 10 K Die Kühlmittel-Umlaufzahl z gibt an, wie oft die vorhandene Kühlmittelmenge mK je Zeiteinheit umzuwälzen ist, um die erforderliche Wärmemenge ab abzuführen: m = mK

■ Beispiel: Ein Ottomotor hat bei einer Nennleistung von 74 kW einen mittleren spezifischen Kraftstoffverbrauch beff = 310 g/kWh. Für den Wärmeflussfaktor wird als mittlerer Wert f = 0,31 gewählt. Für Hu ist 42 000 kJ/kg und für die spezifische Wärmekapazität des Wassers c = 4,18 kJ/kgK anzunehmen. Zu ermitteln sind: a) Die über den Kühler abzuführende Wärmemenge b) Die Kühlflüssigkeitsmenge m, die für eine Abkühlung von T = 7 K notwendig ist. c) Die Anzahl der Kühlwasserumläufe je Stunde, bei 8 Liter Kühlsysteminhalt.

mK m

kJ kJ kg (53) K kg K kg h h

Mit t = 60/z ergibt sich die Zeit für einen Kühlmittelumlauf in Minuten.

b) m 

beff H u Peff f  1000

310  42000  74  0,31 kJ  298678,8 1000 h

ab 298678,8 kJ / h kg   10 207, 75 Tc 7 k  4,18kJ / kg K h

m 10 207,75kg / h   1275,97 Kühlwasserumläufe pro mK 8 kg Stunde

c) z =

Wasserkühlung: Zylinderblock und Zylinderkopf sind gießtechnisch mit Hohlräumen versehen, durch das Kühlwasser zur Wärmeabfuhr geleitet wird. Bei der pumpenlosen Wärmeumlaufkühlung (Thermosyphon-Kühlung) wird der Strömungsvorgang durch den Dichteunterschied des wärmeren Kühlwassers gegenüber dem abgekühlten Kühlwasser hervorgerufen. Wegen des langsamen Umlaufs und der erforderlichen Kühlergröße keine Bedeutung mehr.

Bild 74. Pumpenumlaufkühlung (Porsche) 1 Wasserpumpe, 2 Kurbelgehäuse, 3 Zylinderkopf, 4 Thermostat (öffnet bei 83 ºC), 5 Kühler, 6 Wärmetauscher (Wagenheizung), 7 Ausgleichsbehälter, 8 Einfüllstutzen mit Ventil, 9 Auffüllleitung, 10 Entlüftungsleitung, 11 Rücklaufleitung, A Relais (T) für Elektrolüfter, B Elektrolüfter, C Temperaturschalter für Elektrolüfter (z.B.

Ein 92  32 °C/Aus 89  32 °C)

L 112 Bei der Pumpenumlaufkühlung (Bild 74) wird das Kühlwasser von der meist riemengetriebenen (Keiloder Zahnriemen) Kühlwasserpumpe, thermostatisch gesteuert, in zwei Kreisläufen umgepumpt. Damit der kalte Motor schnell seine Betriebstemperatur erreicht, wird das Wasser ungekühlt nur innerhalb des Motors umgepumpt (Kurzschlusskreislauf). Das Thermostatventil schließt den Kühlerzulauf solange ab, bis das Wasser die Betriebstemperatur ( 80 °C) erreicht hat. Dann öffnet sich das Ventil langsam und gibt den Kühlerkreislauf frei. Bei vollständiger Öffnung ist der Kurzschlusskreislauf geschlossen. Als Kühler verwendet man Lamellen- oder Röhrenkühler (CuZnRohre mit Kühlrippen aus Cu- oder Al-Legierungen, Wasserkästen aus Stahlblech oder Kunststoff). Bei Querstromkühlern fließt die Flüssigkeit nicht von oben nach unten (Normalfall), sondern durch waagerechte Röhren zu den seitlichen Wasserkästen. Der Kühlerverschlussdeckel ist zum Druckausgleich mit einem Überdruck- (höhere Wassertemperaturen) und Unterdruckventil (Abkühlungsausgleich) ausgestattet. Thermostatventile enthalten Dehnstoffelemente oder sie werden als Faltenbalgthermostate (nicht für Überdrucksysteme geeignet) gebaut. Der übliche Regelbereich (Öffnungsbereich) der Kühlwasserthermostate liegt bei 10 … 15 °C. Geschlossene Kühlanlagen haben einen im Nebenstrom angeordneten Überdruckausgleichsbehälter (Bild 74), um Ausdehnung ohne Wasserverluste und die Entlüftung des Kühlsystems zu ermöglichen. Durch den Überdruck wird die Siedetemperatur des Wassers heraufgesetzt. Die Kühlwirkung wird wesentlich von der den Kühler durchströmenden Luftmenge bestimmt. Starr angetriebene Lüfter sind meist auf der Wasserpumpenwelle befestigt. Energieverlust (ca. 5 %) und oft zu große Kühlwirkung bei hoher Drehzahl, bringen zuschaltbare Lüfter zum Einsatz, die neben dem Leistungsgewinn die Betriebstemperatur schneller erreichen lassen. Elektronische Kühlsysteme regeln die Kühlmitteltemperatur in Abhängigkeit vom jeweiligen Motorlastzustand. Ein elektrisch beheizter Thermostat und gesteuerte Kühlerlüfterstufen regeln kennfeldgesteuert im gesamten Last- und Leistungszustand des Motors eine optimale Betriebstemperatur. Vorteile: Verbrauchsreduzierung im Teillastbereich, Reduzierung der Schadstoffe im Abgas, Leistungserhöhung bei Volllast (angesaugte Luft wird weniger erwärmt). Lüfter mit thermostatisch geregelter Ein- und Ausschaltung werden als Elektromotor-Lüfter, als Lüfter mit elektromagnetischer Lüfterkupplung oder als Lüfter mit Hydromotorantrieb gebaut. Thermostatisch geregelte, stufenlose Lüfterleistung wird durch Lüfter mit Viskose-Kupplung erzielt. Kühlermodule besitzen zwei Lüfter. Der zweite Lüfter übernimmt bei Bedarf zusätzliche Kühlaufgaben für Nebenaggregate (Generator, Klimaanlage usw.). Stationäre Großmotoren werden mit Durchflusskühlung (ständiger Wasserzulauf oft ohne Rückkühlung),

L Kraft- und Arbeitsmaschinen Schiffsmotoren mit Seewasser direkt (Einkreiskühlung) oder indirekt über einen durch Seewasser gekühlten, geschlossenen Süßwasserkreis gekühlt. Luftkühlung Bei der Luftkühlung wird die Wärme an die den Zylinder umströmende Luft direkt abgegeben. Hierzu wird die Oberfläche von Zylinderkopf und Zylinder durch Kühlrippen vergrößert. Durch Verwendung von Werkstoffen mit großer Wärmeleitfähigkeit wird die Wärmeabführung verbessert. Der Luftstrom kann durch Fahrtwind (Zweiräder) oder durch Gebläse an den Zylinder herangeführt werden. Bei der Gebläsekühlung (Leistungsaufwand ca. 5 … 7 % der Motorleistung) führen riemengetriebene Radial- oder Axialgebläse die Kühlluft über Leitbleche zu den einzelnen Zylindern. Um schneller die Betriebstemperatur zu erreichen, kann die Luftzufuhr thermostatisch geregelt verändert werden. Dies wird über Drosselringe oder durch Regelung der Gebläseleistung über eine hydraulische Strömungskupplung (Nutzfahrzeuge) vorgenommen. Nachteile der Luftkühlung: Größere Geräuschentwicklung, höhere Motortemperaturen, schwankende Betriebsbedingungen, daher meist Ölkühler erforderlich. Vorteile: Einfacherer Aufbau, große Betriebssicherheit und Unempfindlichkeit in unterschiedlichen Klimazonen.

8.12 Abgasanlagen Die Abgasanlage (auch Schalldämpfer genannt) soll die austretende Gasströmung bei geringem Leistungsverlust (Strömungswiderstand) auf einen niedrigen Schallpegel dämpfen. In der StVZO und in EURichtlinien sind Grenzwerte für die Außengeräuschemissionen von Kraftfahrzeugen festgelegt. Im Betrieb unterliegen Schalldämpferanlagen hohen thermischen-, mechanischen- und chemischen Beanspruchungen (schnelle Temperaturwechsel, Vibrationen und Schwingungen, Innen- und Außenkorrosion). Die üblichen Schalldämpferanlagen beruhen auf der Absorption (Schallschlucken) oder der Reflexion (Schallbrechen). Beim Absorptionsdämpfer wird der Schall durch Reibung an schallabsorbierenden, wärmebeständigen Stoffen, auf Silicium- oder Metallbasis in Wärme umgewandelt. Absorptionsdämpfer sind für hohe Schallfrequenzen geeignet (> 500 Hz). Beim Reflexionsdämpfer wird der Schall ohne Wärmeerzeugung durch in Reihe oder seitlich angeordnete Schallwellenwiderstände gedämpft. Reihenwiderstände dampfen die Schallfrequenzen oberhalb ihrer Eigenfrequenz und lassen die tiefen Frequenzen durch. Abzweigfilter (seitlich) dämpfen den Schall in seinem Eigenfrequenzbereich und lassen die hohen Frequenzen durch. Die KFZ-Schalldämpferanlagen

8 Verbrennungsmotoren bestehen oft aus kombinierten Absorptions-Reflexions-Schalldämpfern, welche die Vorzüge der einzelnen Systeme in sich zu vereinen suchen. Mehrzylinder-Viertaktmotoren besitzen meist Zweitopfanlagen mit Vorschalldämpfer (für Leistungsabstimmung des Motors) und Hauptschalldämpfer (Schalldämpfung). Als Werkstoffe werden Al-beschichtete, verzinkte oder nichtrostende CrNi-Stähle verwendet. Zur Entkopplung von Schwingungen zwischen Motor und Abgasanlage und zur Geräuschreduzierung werden Entkopplungselemente (Wellrohre, flexible Schläuche usw.) eingebaut. Leistungsverluste treten bei Mehrzylindermotoren durch Strömungsverluste (ca. 4 %), bei EinzylinderZweitaktmotoren durch Strömungs- und Trägheitswiderstände (ca. 2 % bei richtigem Gegendruck, sonst Spülverluste) auf. Bei richtiger Abstimmung der Abgasanlage herrscht ein Schwingungsunterdruck in der Abgasleitung, der bis zu 5 % Leistungsgewinn durch Unterstützung der Zylinderentleerung ergibt.

L 113

8.13 Aufladung von Verbrennungsmotoren Nach Gl. (16a) Pi = VH pi n / y ist die Innenleistung eines Verbrennungsmotor proportional zum mittleren indizierten Druck, zum Hubraum und zur Motordrehzahl. Eine Leistungserhöhung durch Erhöhung der Motordrehzahl hat gleichzeitig eine Erhöhung der mittleren Kolbengeschwindigkeit vm zur Folge. Durch die damit steigende Triebwerksbelastung (Massenkräfte, Drosselverluste, Verschleiß) sind jedoch Grenzen auferlegt (vm max. ca. 16 m/s). Eine Hubraumvergrößerung führt zu größeren und damit teureren Motoren. Die Erhöhung des mittleren indizierten Druckes pi kann durch die Erhöhung des Verdichtungsverhältnisses H (Grenzen durch klopfende Verbrennung beim Ottomotor und zulässige Spitzendrücke beim Dieselmotor) oder durch die Erhöhung der Zylinderfüllung mittels Aufladung erzielt werden. Durch Füllung des Zylinders mit Ladeluft (Gemisch) vom Ladedruck p größer als Atmosphärendruck, wird die Füllluftmasse vergrößert. Die Ladeluftmasse m = V  ist größer als die Ansaugluftmasse mh = Vh  mit Atmosphärendruck. Der Liefergrad L = m / mh (bei aufgeladenen Motoren ( L = 1,2 … 1,6) kennzeichnet die Verbesserung. Im Zylinder steht mit größerer Luftmasse auch mehr Sauerstoff zur Verfügung. Durch Aufladung werden Motorleistung und Drehmoment erhöht, der spezifische Kraftstoffverbrauch und die Schadstoffemissionen verringert. Wird L zu groß, so wird bei Ottomotoren der Verdichtungsdruck zu hoch (Schäden durch klopfende Verbrennung). Abhilfe erfolgt durch kleineres Verdichtungsverhältnis  gegenüber Saugmotoren. Mit dem Ladedruckverhältnis

c 

p2 p1

p1, p2

c

bar

1

(54)

(Index 2 = Ladedruck, Index 1 = Atmosphärendruck,

c-Werte bis 3,5 möglich) steigen beim Verdichten auch die Lufttemperaturen, die wiederum den Liefergrad verschlechtern und die thermische Motorbelastung steigern. Die Verdichtung führt zu einem Anstieg der Ladelufttemperatur auf p  T2  T1  2   p1 

Bild 75. Bauarten von Abgasschalldämpfern (Eberspächer) a) Absorptions-Schalldämpfer b) Reflexions-Schalldämpfer c) kombinierter Reflexions-AbsorptionsSchalldämpfer

(n 1) / n

(55)

mit T1 der Atmosphärenlufttemperatur, T2 der Ladelufttemperatur, p1 dem Atmosphärenluftdruck, p2 dem Ladeluftdruck und n dem Polytropenexponent (1,35 … 1,37 für Luft). Man unterscheidet dynamische Aufladung, Abgasturboaufladung und mechanische Aufladesysteme.

L 114 8.13.1 Dynamische Aufladung

Bei der dynamischen Aufladung durch Schalt- oder Schwingsaugrohre (Register-Saugrohrumschaltung bei V-Motoren) wird die Bewegungsenergie der schwingenden Frischgassäule im Saugrohr zur Verbesserung der Zylinderfüllung genutzt. Neben Leistungssteigerung wird die Beeinflussung des Drehmomentverlaufs bei unterschiedlichen Motordrehzahlen angestrebt (vorwiegend bei Ottomotoren eingesetzt).

L Kraft- und Arbeitsmaschinen pneumatisch- oder elektrisch betätigten Schaltklappen werden bedarfsgerecht unterschiedliche Saugrohrlängen realisiert. Bei niedriger Motordrehzahl wird für höheres Drehmoment ein langer Saugrohrweg mit engem Querschnitt geschaltet (höhere Strömungsgeschwindigkeit). Bei höherer Motordrehzahl wird zur Leistungssteigerung kurze wirksame Saugrohrlänge mit großem Querschnitt (Füllungsverbesserung) eingesetzt. Bei Resonanzaufladung wird die abgekühlte Luft vor Motoreintritt in Resonanzrohre oder -kammern geleitet. Infolge periodischer Erregung durch die Ansaugtakte werden im Resonanzsystem periodische Druckschwingungen erzeugt. Diese führen zu einer weiteren Ladungserhöhung in einem bestimmten Drehzahlbereich (z.B. zur Drehmomentsteigerung bei LKW-Dieselmotoren). Die Kombination von Resonanz- und Schwingsaugrohr in Verbindung mit Abgasturboaufladung und Ladeluftkühlung ermöglicht großen Drehmomentund Leistungsgewinn über ein breites Drehzahlband (LKW-Dieselmotoren). 8.13.2 Abgasturboaufladung

Bild 76. Prinzip der Register-Saugrohrumschaltung (Volkswagen)

a) Stufe 1: lange Saugrohrlänge – Leerlauf und unterer Drehzahlbereich (Klappe 1 und 2 geschlossen) b) Stufe 2: mittlere Saugrohrlänge – mittlerer Drehzahlbereich (Klappe 1 offen) c) Stufe 3: Kurze Saugrohrlänge – oberer Drehzahlbereich (Klappe 1 und 2 offen) Für jeden Zylinder steht ein Ansaugrohrsystem mit unterschiedlichen Rohrquerschnitten und variablen Saugrohrlängen bereit. Durch Aufschaltung von

Abgasturbolader bestehen aus dem Verdichter und der Gasturbine, die auf einer Welle mit der gleichen Drehzahl rotieren. Die Gasturbine setzt die Strömungsenergie der Abgase in Rotationsenergie um und treibt den Verdichter an, der Gemisch oder Frischluft ansaugt und vorverdichtet zu den einzelnen Zylindern fördert. Das Turbinenrad wird aus einer hochwarmfesten Ni-Legierung, die Welle aus Vergütungsstahl und das Verdichterrad aus einer AlLegierung hergestellt. Die Laufeinheit wird in schwimmenden Gleitlagerbuchsen gelagert, die Schmierung erfolgt durch Anschluss an den Motorölkreislauf. Verdichtergehäuse werden aus Al-Legierungen, Turbinengehäuse aus GGG hergestellt. Bei der Stauaufladung werden die Abgase aller Zylinder zu einem Sammelrohr geleitet, von wo aus sie mit nahezu konstantem Druck die Turbine antreiben. Bei der Stoßaufladung werden die Abgase der einzelnen Zylinder durch getrennte Leitungen oder je nach Zündfolge zusammengefasste Leitungen (6-Zylinder und mehr), zur Turbine geführt, wodurch die Abgasenergie durch Druckwellenbildung besser ausgenutzt wird. V-Motoren können zur Realisierung großer Hubraumleistungen je Zylinderbank einen Turbolader (Biturbo) erhalten. Da mit steigender Turbinendrehzahl (n bis 150 000 l/min) auch der Ladedruck ansteigt, muss der Ladedruck zur Vermeidung von thermischer- und mechanischer Motorüberlastung geregelt werden. Man unterscheidet mechanische- und elektronische Ladedruckregelung und Abgasturbolader mit verstellbaren Leitschaufeln.

8 Verbrennungsmotoren

L 115 Bild 77. Funktionsschema der Abgasturboaufladung für einen Ottomotor (BMW)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Luftfilter Luftmengenmesser Verdichter Ladeluftkühler Drosselklappe Luftverteiler Auspuffkrümmer Abgasturbine vordere Auspuffrohre Ladeluftregelventil Steuerleitung Abgas-Bypassleitung Umluftventil Umluft-Bypassleitung

Bild 78. KKK-Abgasturbolader mit Ladedruckregelventil für einen PKW-Dieselmotor (Daimler-Benz) h Turbinengehäuse A Frischlufteintritt (vom Luftfil- D Abgaseintritt a Ladedruckregelventil E Abgasaustritt ter) i Turbinenrad c Verdichtergehäuse j Membranfeder B Verdichtete Luft (zum Motor) H Motorölzulauf d Verdichterrad C Bypasskak Membran J Ölablauf e Steuerleitung nal/Ladedruckregelventil K Steuerdruck l Ventil f Axiallager m Ladergehäuse g Lagerbuchse n Welle

L 116 Bei mechanischer Ladedruckregelung kann mit steigender Motordrehzahl der Ladedruck durch ein Ladedruckregelventil (Bypass-Ventil) konstant gehalten werden. Dabei wird ein Teil des Abgasstroms (Ladedruck öffnet Regelventil) an der Turbine vorbei geleitet (Bild 78). Als weitere Sicherheitseinrichtung befindet sich am Ansaugkrümmer ein Umluftventil (Waste-Gate), das bei Überschreiten des Ladedruckes öffnet und Ansaugluft zur Ansaugseite des Laders zurückführt. Bei der elektronischen Ladedruckregelung steuert das Motorsteuergerät in Abhängigkeit von Motorbetriebsgrößen Magnetventile für die Ladedruckbegrenzung an. Neben Ladedruckregelung kann auch Luftmassenregelung realisiert werden. Abgasturbolader mit verstellbarer Turbinengeometrie verwenden zur Ladedruckregelung anstelle des Bypass-Ventils verstellbare Leitschaufeln in der Abgasturbine. Dabei wird die Intensität des Abgasstroms auf das Turbinenrad beeinflusst. Man erreicht hohe Ladedrücke bereits bei niedrigen Drehzahlen und reduziert den Ladedruck bei hohen Motordrehzahlen. Die Leitschaufeln sind über einem Trägerring an einem drehbaren Verstellring gekoppelt (Bild 79).

Bild 79. Prinzip der Leitschaufelverstellung (Volkswagen)

a) Anlagenschema Abgasturbine b) flache Leitschaufelstellung c) steile Leitschaufelstellung Die Verdrehung des Verstellringes bewirkt gleichzeitiges und gleichmäßiges Verdrehen der Leitschaufeln. Sie erfolgt über eine Unterdruckdose. Bei niedriger

L Kraft- und Arbeitsmaschinen Motordrehzahl ist ein hoher Ladedruck erwünscht (sonst sog. Turboloch beim Motorhochdrehen). Durch eine flache Leitschaufelanstellung (enger Eintrittsquerschnitt der Abgase) erfolgt über die Abgasstrombeschleunigung eine Erhöhung der Turbinendrehzahl (Ladedrucksteigerung). Mit steigender Motordrehzahl (zunehmende Abgasmenge) werden die Leitschaufeln geöffnet und damit der Strömungsquerschnitt der Abgase vergrößert. Die gesamte Abgasmenge kann ohne Bypass-Ventil durch den Lader geleitet werden. Durch die steile Leitschaufelanstellung wird die Laderdrehzahl verringert und der Ladedruck begrenzt. Für schnelles Beschleunigen können die Leitschaufeln auch bei hoher Drehzahl zur kurzfristigen Ladedrucküberhöhung flach gestellt werden (Overboost). Das Motorsteuergerät beeinflusst die Leitschaufelverstellung im gesamten Drehzahlbereich des Motors zur Leistungserhöhung, Drehmomentsteigerung und Verringerung des Kraftstoffverbrauchs. 8.13.3 Mechanische Aufladung

Bei mechanischen Aufladesystemen wird der Lader über Riemen- oder Zahntrieb über ein festes Übersetzungsverhältnis vom Motor angetrieben (Leistungsverlust, vorwiegend bei Großdieselmotoren). Es werden Sternkolbengebläse, Drehkolbengebläse (Rootsgebläse, KKK-Ro-Lader) und Verdrängerlader (VWG-Lader) verwendet. Vorteil: Einfacher Aufbau ohne Eingriff in das Abgassystem. Bei der Druckwellenaufladung (Comprex-Lader) wird der mit hoher Geschwindigkeit pulsierende Abgasstrom in ein von der Kurbelwelle angetriebenes Zellenrad geleitet, das viele achsparallele, wabenförmige Schächte enthält, die von den seitlichen Kapselwänden abwechselnd geöffnet und verschlossen werden. Der Abgasstrom reflektiert mehrfach an der einströmenden Frischluft und verdichtet sie dabei. Vorteil: Hohes Drehmoment bei niedriger Drehzahl. Nachteil: Aufwendiger und teurer als Abgasturbolader. Bei Zweitakt-Großdieselmotoren wird oft Verbundaufladung durch Kombination von mechanischer Aufladung (Rootsgebläse) und Abgasturboaufladung eingesetzt. Mit steigendem Ladedruck erhöht sich die Ladelufttemperatur (Luftmasse nimmt ab, Liefergrad sinkt, Motorwärmebelastung steigt an, Klopfneigung nimmt zu). Durch Ladeluftkühler (Intercooler) wird die verdichtete Luft (ca. 110 ºC) hinter dem Verdichter auf ca. 30 ºC … 50 ºC zurückgekühlt. Damit wird eine zusätzliche Leistungssteigerung durch Dichterückgewinn, eine Kraftstoffverbrauchssenkung und eine Minderung der thermischen Belastung durch Innenkühlung, erzielt. Man verwendet luftgekühlte- oder wassergekühlte Wärmetauscher.

8 Verbrennungsmotoren

L 117

8.14 Zündanlagen Bei Ottomotoren muss die Verbrennung des verdichteten Kraftstoff-Luft-Gemisches durch Fremdzündung über einen Zündfunken eingeleitet werden. Der Zündfunken muss von hinreichender Temperatur und Brenndauer und zum richtigen Zeitpunkt (Zündzeitpunkt) von der Zündanlage bereitgestellt werden (um Klopfen zu verhindern, Kraftstoffverbrauch und Schadstoffemissionen gering zu halten und um eine hohe Leistung zu erzielen (Bild 81)). Man unterscheidet konventionelle Spulenzündung, Transistorzündung, elektronische Zündung, vollelektronische Zündung und Magnetzündanlagen.

Bild 81. Druckverlauf im Brennraum bei unterschiedlicher Frühzündung (Bosch)

1 Zündung (Za) im richtigen Zündzeitpunkt 2 Zündung (Zb) zu früh 3 Zündung (Zc) zu spät 8.14.1 Konventionelle Spulenzündanlage (Bild 82)

Bild 80. Compres-Lader (Opel)

1 2 3 4 5 6

walzenförmiges Zellenrad Rotorantrieb pulsierende Auspuffgase verdichtete Frischladung unverdichtete Ansaugluft Abgasleitung

Bei betätigtem Zünd-Start-Schalter und geschlossenem Unterbrecherkontakt wird durch den Batterieoder Generatorstrom in der Primärwicklung der Zündspule ein starkes Magnetfeld aufgebaut. Der Primärstromkreis wird zum Zündzeitpunkt durch Öffnen des Unterbrecherkontaktes unterbrochen. Das Magnetfeld induziert in der Sekundärwicklung der Zündspule einen Hochspannungsimpuls, der als Zündspannung über den Verteiler zur jeweiligen Zündkerze geleitet wird. Durch den erzeugten Zündfunken sinkt die Sekundärspannung rasch auf Null ab. Der Unterbrecherkontakt schließt wieder, lädt die Zündspule erneut auf und der sich drehende Verteilerläufer überträgt entsprechend der Motorzündfolge einem anderen Zylinder (Zündkerze) die Zündenergie. Um zu verhindern, dass am sich öffnenden Unterbrecherkontakt ein Lichtbogen entsteht (Abbrand), wird ein Zündkondensator parallel geschaltet, der durch den Primärstrom aufgeladen wird.

Bild 82. Funktionsschema und Schaltplan einer Spulenzündanlage (Bosch) 1 Batterie 2 Zünd-Start-Schalter 3 Zündspule 4 Zündverteiler 5 Zündkondensator 6 Unterbrecher 7 Zündkerzen, Rv Vorwiderstand zur Startspannungsanhebung (nicht generell eingebaut)

L 118

L Kraft- und Arbeitsmaschinen

Aufgaben und Aufbau der Bauteile

Die Zündspule besitzt einen Eisenkern mit aufgewickelter Sekundärwicklung (10 000 … 30 000 Windungen). Darüber ist im Windungsverhältnis von ca. 1 : 100 die Primärwicklung (100 … 300 Windungen) aufgebracht. Je ein Ende ist miteinander verbunden und als Anschluss an den Unterbrecherkontakt gelegt. Das freie Ende der Sekundärwicklung wird zum Hochspannungsanschluss an den Zündverteiler, das der Primärwicklung an den Eingangsanschluss geführt. Zur Isolierung der Wicklungen untereinander ist die Zündspule ausgegossen. Hochleistungszündspulen sind für höhere Zündspannungen ausgelegt als Standardspulen (15 … 25 kV). Vorwiderstände zur Start-Spannungsanhebung werden beim Starten überbrückt, so dass trotz vorübergehenden Absinkens der Batteriespannung eine ausreichende Zündspannung ansteht. Der Zündverteiler für Mehrzylindermotoren besteht aus dem Verteilerläufer, der Verteilerwelle (von Nockenwelle angetrieben) mit Unterbrechernocken, dem Unterbrecherkontakt, dem Fliehkraft- und Unterdruckversteller, dem Zündkondensator und der Verteilerkappe mit Anschlüssen für die Hochspannungsleitungen. Der Unterbrecherkontakt wird vom Unterbrechernocken (Nockenzahl = Zylinderzahl) betätigt. Er unterbricht und schließt den Primärstromkreis. Der Schließwinkel  gibt den Verteilerwellendrehwinkel mit geschlossenem, der Öffnungswinkel  den Verdrehwinkel mit geöffneten Kontakten an. Der Abstand zwischen zwei Zündungen ist der Zündabstandswinkel  der Verteilerwelle:

=+

(56)

lerwellenumdrehung (360º). Mit z Zylindern wird der Zündabstand der Verteilerwelle:

 

360º z

(57)

Der Schließwinkel  wird auch in Prozent von  als relativer Schließwinkel angegeben ( = 100 %):

%=

100%  z 360º

(58)

Die erforderliche Funkenanzahl f pro Minute, ist abhängig von der Zylinderzahl z und Verteilerwellendrehzahl nV: f = nv z

f, nv 1 min

z

(59)

1

Bei Viertaktmotoren: nV = 0,5 n (Motordrehzahl); bei Zweitaktmotoren: nV = n. Der verstellbare Kontaktabstand a beeinflusst Schließwinkel und Zündzeitpunkt. Vergrößerung von a ergibt kleineren Schließwinkel  und späteren Zündzeitpunkt, Verkleinerung größeren Schließwinkel  und früheren Zündzeitpunkt. Durch Verschleiß am Gleitstück verringert sich der Kontaktabstand, durch Kontaktfeuer entsteht Kontaktverschleiß (Kraterbildung). Mechanische Zündunterbrecher werden durch Transistorzündanlagen mit kontaktlosen Zündimpulsgebern abgelöst. Die Schließzeit t des Unterbrecherkontaktes ist vom Schließwinkel  und der Motordrehzahl n abhängig. Aus t = 2  60 / n360º wird nach dem Kürzen die Zahlenwertgleichung t= t=

 º n

 º n

für Viertaktmotoren für Zweitaktmotoren

t

n

s

1 min

(60)

■ Beispiel: Für einen 4-Zylinder-Viertaktmotor sind für die Motornenndrehzahl n = 5280 1/min und einem Schließwinkel  = 54º folgende Werte zu ermitteln.

Bild 83. Unterbrecherkontakt a Kontaktabstand  Schließwinkel  Öffnungswinkel  Zündabstandswinkel nv Verteilerwellendrehzahl Z Zündzeitpunkt

Bei Viertaktmotoren erfordert ein Arbeitsspiel zwei Kurbelwellenumdrehungen (720º) und eine Vertei-

a) b) c) d) e)

Der Zündabstand  der Verteilerwelle, Öffnungswinkel , Funkenfrequenz f, Schließzeit t in s, relativer Schließwinkel  in %.

Lösung:

360º 360º   90º 4 z b)  =  –  = 90º – 54º = 36º

a)  =

c) f = nvz = 0,5 n · 4 = 5280 l/min · 0,5 · 4 = 10 560 l/min

8 Verbrennungsmotoren d) t =

 º n

e)  % =



54º  0,0034s 3º 5280

100%  z  100%  4  54º   60% 360º 360º

Mechanische Zündversteller sorgen für die belastungsabhängige (Unterdruckversteller) und drehzahlabhängige (Fliehkraftversteller) Verstellung des Zündzeitpunktes in bezug auf den OT, gemessen in Grad Kurbelwinkel (ºKW); Frühzündung liegt vor OT, Spätzündung nach OT. Fliehkraftversteller verdrehen drehzahlabhängig über Fliehgewichte den Unterbrechernocken in Drehrichtung der Verteilerwelle. Der Verdrehwinkel entspricht der Zündzeitpunktvorverlegung. Unterdruckversteller verdrehen belastungsabhängig (Saugrohrunterdruck wirkt auf eine oder zwei Membrandosen) die Unterbrecherscheibe mit Unterbrecherkontakt gegen die Drehrichtung der Verteilerwelle. Unterdruck- und Fliehkraftversteller arbeiten unabhängig voneinander. Die Verteilerwelle wird meist über ein Schneckenrad oder eine Kupplung direkt von der Motornockenwelle angetrieben. In der Verteilerkappe wird die Zündspannung durch eine gefederte Schleifkohle (Mittenanschluss) über den von der Verteilerwelle angetriebenen Verteilerläufer (Läuferelektrode), auf die Festelektroden geführt. Von hier werden über Zündleitungen die Zündkerzen versorgt. Zündkerzen (Bild 84) zünden das Gemisch im Verbrennungsraum durch Funkenübersprung an den Elektroden (U > 10 000 V). Sie sind im Betrieb hohen elektrischen, thermischen und mechanischen Belastungen ausgesetzt. Die Werkstoffauswahl für die hochbelasteten Teile trägt diesen Beanspruchungen Rechnung. Der Isolator besteht aus Aluminiumoxid und die Elektroden aus Nickel-, Silberlegierungen oder Platin, oft mit Kupferkern zur besseren Wärmeableitung. Der Wärmewert einer Zündkerze ist ein Vergleichswert (Wärmewertkennzahl) für die thermische Belastbarkeit. Elektroden und Isolatorfuß müssen im Betrieb die Selbstreinigungstemperatur (400 … 850 ºC) erreichen, um Verbrennungsrückstände (Ölkohle, Ruß) auf dem Isolatorfuß wegbrennen zu können. Oberhalb 850 ºC können Glühzündungen auftreten. Hohe Wärmewertkennzahlen bedeuten großes Wärmeaufnahmevermögen und geringe Wärmeableitung. Niedrige Kennzahlen bedeuten großen Widerstand gegen Glühzündungen (großes Wärmeableitungsvermögen). Mehrbereichskerzen mit Mittelelektroden aus Platin oder Nickel mit Kupferkern passen sich unterschiedlichsten Betriebsbedingungen auch bei mageren, zündunwilligen Gemischen besser an. Motoren mit Doppelzündung verwenden pro Zylinder zwei Zündkerzen zur Zündungsoptimierung. Die elektrische und mechanische Schaltleistung der Unterbrecherkontakte (Verschleiß durch Abbrand mit

L 119 Zündzeitpunktverstellung) in der konventionellen Spulenzündung ist den hohen Anforderungen bezüglich Zündenergie und Hochspannung in modernen Motoren nicht mehr gewachsen. Als Leistungsschalter zur Primärstromunterbrechung werden statt des Unterbrechers daher Transistoren (Transistorzündung) verwendet.

Bild 84. Aufbau der Zündkerze (Bosch)

1 2 3 4 5 6 7 8

Anschlussmutter Anschlussgewinde Kriechstrombarriere Isolator (Al2O3) elektrisch leitende Glasschmelze Anschlussbolzen Stauch- und Warmschrumpfzone unverlierbarer äußerer Dichtring (bei Flachdichtsitz) 9 Isolatorfussspitze 10 Mittelelektrode 11 Masseelektrode 8.14.2 Transistorzündanlagen

Kontaktgesteuerte Transistorzündungen wurden vorübergehend zur Nachrüstung von konventionellen Spulenzündanlagen eingesetzt. Kontaktlose Transistorzündungen (TSZ) ersetzen den nockenbetätigten Unterbrecher, durch kontaktlos arbeitende (verschleißfrei), elektronische Zündauslöser. Es werden erheblich höhere Zündspannungen und Zündenergien erreicht, die über die Endstufen des Steuergerätes verschleißfrei geschaltet werden.

L 120 Schließwinkelregelung und Primärstrombegrenzung werden in Abhängigkeit von der Batteriespannung und der Motordrehzahl durchgeführt. Nach der Steuergeräteansteuerung unterscheidet man Anlagen mit induktiver (TSZ-I)-Auslösung und Anlagen mit Auslösung nach dem Hallprinzip (TSZ-H). Fliehkraftund Unterdruckverstellung bleiben erhalten. Transistorzündung mit Induktionsgeber (TSZ-I)

Der Induktionsgeber ist entweder im Verteiler (Bild 85) oder am Schwungrad des Motors untergebracht (Kap. 8.6.4. Motronic). Durch Drehung des Rotors (Impulsgeberrad) auf der Verteilerwelle, wird der Luftspalt zwischen dem Rotor und dem Stator mit Induktionswicklung periodisch verändert. Die magnetische Feldänderung induziert eine einphasige Wechselspannung in der Induktionswicklung (Bild 85), deren Scheitelspannung von der Drehzahl abhängt (U = 0,5 … 100 V). Der Spannungsimpuls wird vom Steuergerät zur kontaktlosen Zündungsauslösung verarbeitet. Entfernen sich Rotor und Stator voneinander, so wechselt die Spannung sprunghaft ihre Richtung (= Zündzeitpunkt). Die Frequenz der Spannung entspricht der Funkenzahl pro Minute (59).

L Kraft- und Arbeitsmaschinen impulse erzeugt. Taucht die Blende in den Luftspalt ein, fließt der Primärstrom, verlässt die Blende den Luftspalt, so wird der Primärstrom unterbrochen (= Zündzeitpunkt). Das erzeugte Geberspannungssignal wird im Steuergerät zur Primärstromschaltung und damit zur Zündungsauslösung verwendet. TSZ-I und TSZ-H-Anlagen werden durch Transistorzündanlagen ersetzt, bei denen das Steuergerät in Hybridtechnik aufgebaut ist (TZ-I und TZ-H – geringere Abmessungen und Gewicht). Die Zündspule ist oft mit dem Steuergerät zu einer Einheit verbaut und zur besseren Wärmeableitung direkt mit der Karosserie verbunden. Es lassen sich elektronische Schließwinkelregelung, Primärstrombegrenzung und Ruhestromabschaltung realisieren.

Bild 86. Zündverteiler mit Hallgeber (Bosch)

Bild 85. Zündverteiler mit Induktionsgeber (Bosch)

a) Funktionsprinzip 1 Dauermagnet 2 Induktionswicklung mit Kern 3 unveränderlicher Luftspalt 4 Rotor b) Verlauf der Induktionsspannung Transistorzündung mit Hallgeber (TSZ-H)

Der von der Verteilerwelle angetriebene Blendenrotor bewegt sich durch eine feststehende Magnetschranke mit Hall-IC. Durch das Ein- und Austauchen der Blende in die Magnetschranke, werden Spannungs-

a) Funktionsprinzip 1 Blende mit Breite b 2 weichmagnetische Leitstücke mit Dauermagnet 3 Hall-IC 4 Luftspalt b) Verlauf der Geberspannung UG (umgeformte Hallspannung) 8.14.3 Elektronische Zündanlagen

Elektronische Zündanlagen (EZ) werden zusammen mit elektronischen Benzineinspritzanlagen eingesetzt und ersetzen die fliehkraft- und unterdruckgesteuerte Zündzeitpunktverstellung durch gemeinsame Signalgeber für Motordrehzahl (induktiv am Schwungrad) und Kurbelwellenstellung (OT-Bezugsmarkengeber). Die Motorbelastung wird durch Luftmengen- oder Luftmassenmessung im Saugrohr ermittelt. Weitere Signale sind die Drosselklappenstellung, die Motorund Ansauglufttemperatur und die Batteriespannung. Diese Signale werden im Steuergerät nach Zündkenn-

8 Verbrennungsmotoren feldern in Impulse zur Zündzeitpunktverstellung umgewandelt. Die gewünschte Motorcharakteristik kann bei Steuergeräten mit austauschbaren Datenspeichern (EPROM) durch Umprogrammieren angepasst werden. Einsatz besonders in Motorentwicklung und Rennsport. Der rotierende Hochspannungsverteiler (nur noch ein Verteilerläufer vorhanden) wird meist direkt von der Nockenwelle angetrieben. Zur Vermeidung von Motorklopfen (s. Kap. 8.3) wird Klopfregelung realisiert. Einrichtungen zur Klopfregelung bestehen aus einem oder mehreren Klopfsensoren (piezokeramische Signalgeber) und gespeicherten Zündkennfeldern (Steuergerät) zur elektronischen Zündzeitpunktverstellung.

Bild 87. Klopfsensor und Klopfsensorsignale (Volkswagen)

Der Sensor wird am Motorblock befestigt. Er enthält eine piezokeramische Scheibe, die durch klopfende Verbrennung hervorgerufene mechanische Motorschwingungen in Spannungssignale an das Steuergerät umwandelt. Tritt Klopfen auf, wird der Zündwinkel kennfeldgesteuert in Winkelschritten zurückgenommen (nach „Spät“ verstellt) und nach kurzer Zeit wieder an die Klopfgrenze herangeführt (Kennfeldpunkt). Der Zündzeitpunkt wird ständig an der Klopfgrenze entlanggeführt. Motoren mit Klopfregelung können vorübergehend mit Kraftstoffen geringerer Oktanzahl betrieben werden (statt Super- mit Normalbenzin). Bei zylinderselektiver Klopfregelung kann der Zündzeitpunkt jedes Zylinders beeinflusst werden (vorwiegend bei vollelektronischen Zündanlagen mit Einzelfunken-Zündspule). Bei Turbomotoren kann kombinierte Klopf- und Ladedruckregelung realisiert werden. Durch Klopfregelung werden der Motorwirkungsgrad und der spezifische Kraftstoffverbrauch optimiert. Bei dem System Motronic werden Einspritzsystem und elektronische Zündung zentral gesteuert. Bei vollelektronischen Zündanlagen entfällt die mechanische Zündspannungsverteilung (Verteilerläu-

L 121 fer). Die Zündspannungsverteilung (ruhende Hochspannungsverteilung) wird elektronisch vorgenommen. Hierzu werden Doppelfunkenzündspulen (eine Zündspule für je zwei Zylinder) oder Systeme mit je einer Zündspule und Endstufe pro Zündkerze verwendet. Der übrige Aufbau entspricht den Anlagen mit elektronischer Zündung. 8.14.4 Magnetzündanlagen

Magnetzündanlagen erzeugen den Zündstrom unabhängig von Batterie oder Generator selbst. Verwendung in Zweitakt- und Viertakt-Ottomotoren für leichte Zweiräder, Rasenmäher, Bootsmotoren, Kettensägen. Eingesetzt werden Magnetzünder-Generatoranlagen mit kontaktgesteuertem und kontaktlos gesteuertem Zündimpulsgeber. Ein umlaufendes Polrad, mit Permanentmagneten an der Kurbelwelle befestigt, dient gleichzeitig als Teil der Motorschwungmasse. Die feststehende Ankerplatte enthält den Zündanker (mit Primär- und Sekundärwicklung), den Generatoranker, sowie Kondensator, Unterbrecher und Hochspannungsanschluss. Durch den Polradumlauf wird in der Primärwicklung des Zündankers eine Spannung induziert, die bei geschlossenen Unterbrecherkontakten ein wechselndes Magnetfeld erzeugt. Wenn das Magnetfeld sein Maximum aufweist, unterbricht der Unterbrecherkontakt. Durch die schnelle Feldänderung wird in der Sekundärwicklung eine hohe Spannung induziert, die den Zündfunken auslöst. Zur Lichtstromerzeugung wird ein zusätzlicher Generatoranker (Wechselstromerzeugung) eingebaut. Es sind auch Anlagen mit Zündanker, Generatoranker und außenliegender Zündspule üblich. Zum Motorabstellen dient ein Kurzschlussschalter.

8.15 Generator Verbrennungsmotoren benötigen zu ihrem Betrieb eine Stromversorgung, die beim Start von der Batterie (Starterbatterie als Blei-Schwefelsäure-Akkumulatoren) und bei laufendem Motor von dem angetriebenen Generator geliefert wird. Der Generator lädt gleichzeitig die Batterie auf. Früher verwendete Gleichstromgeneratoren sind durch leistungsfähigere Drehstromgeneratoren abgelöst worden. Merkmale: Leistungsabgabe schon bei Leerlaufdrehzahl, verschleißarm, kleines Leistungsgewicht, elektronische Gleichrichtung durch Dioden. Der Generator wird meist über Keilriemen von der Motorkurbelwelle angetrieben, oft gemeinsam mit der Wasserpumpe. Da Generatoren Wechselspannungen erzeugen, muss diese durch Gleichrichter und Regler auf eine drehzahlunabhängige, konstante Gleichspannung gebracht werden, damit die Batterie aufgeladen werden kann. Es werden Klauenpol-Synchrongeneratoren (für PKW und LKW) (Bild 87) und Einzelpolgeneratoren (für Großfahrzeuge mit hohem

L 122 Leistungsbedarf) für 12 V und 24 V Bordnetzspannungen gebaut. Aufbau und Funktion des Drehstromgenerators: In dreiphasigen, um 120º versetzten Ständerwicklungen (Stern- oder Dreieckschaltung), wird bei Drehung des Läufers ein Dreiphasen-Wechselstrom (Drehstrom) induziert. Der Läufer trägt die Antriebsriemenscheibe und das Lüfterrad und ist mit Magnetpolen, der Erregerwicklung und zwei Schleifringen für die Erregerstromzufuhr versehen. Ein Teil des erzeugten Drehstroms wird abgezweigt (Erregerstromkreis), über Erregerdioden gleichgerichtet und durch Kohlebürsten über die Schleifringe zur Erregerwicklung geführt (Regelung der induzierten Wechselspannung).

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Schleifringlagerschild Gleichrichter Leistungsdiode Erregerdiode Regler, Bürstenhalter und Kohlebürsten Ständer Läufer Lüfter Riemenscheibe Antriebslagerschild

Bild 88. Drehstromgenerator (Bosch)

Beim Anlauf muss über die Ladekontrollampe mit Batteriestrom erst vorerregt werden (Vorerregerstromkreis; nach Verlöschen der Lampe Selbsterregung). Der Hauptstromanteil wird durch die Leistungsdioden gleichgerichtet und in das Bordnetz für Batterie und Verbraucher abgegeben. Die Generatorspannung ist von der Erregerstromhöhe, der Drehzahl und der Belastung durch Verbraucher abhängig. Durch die Regelung des Erregerstromes (Ein- und Ausschalten über Z-Dioden, Steuer- und Leistungstransistor), wird die Generatorspannung drehzahlund belastungsunabhängig gleich hoch gehalten, der Ladestrom dem Ladezustand der Batterie angepasst und der Generator vor Überlastung geschützt.

L Kraft- und Arbeitsmaschinen Als Regler werden elektronische Feld- oder Transistorregler, früher Kontaktregler verwendet. Flüssigkeitsgekühlte Kompaktgeneratoren sind Weiterentwicklungen des lüftergekühlten Drehstromgenerators. Durch Lüfterwegfall und Gehäusekapselung arbeiten sie leiser. Konstantes Temperaturniveau auch bei höchster Leistungsentwicklung ergibt längere Lebensdauer. Sie arbeiten ohne Kohlebürsten und Schleifringe und geben die Verlustwärme direkt an das Kühlmittel ab.

8.16 Starter Verbrennungsmotoren können nicht aus eigener Kraft anlaufen (innere Reibung, Verdichtungswiderstände). Sie benötigen eine Startanlage, um die Mindeststartdrehzahl (Ottomotor 60 … 110 l/min, Dieselmotor 70 … 200 l/min) zu erreichen. Kleinere Motoren werden mittels Seilzug oder Hebeleinrichtungen, größere Motoren (Kraftfahrzeuge, Eisenbahn- und Kleinschiffsdiesel) durch elektrische Startermotoren und Großdieselmotoren (Schiffsanlagen) durch direkte Druckluftbeaufschlagung gestartet. Startermotoren arbeiten wegen des hohen Anlaufwiderstand-Drehmomentes als Gleichstrom-Reihenschluss-, Doppelschluss- oder als permanenterregte Motoren mit 12V bei PKW Anlagen. Nutzfahrzeuge arbeiten mit 24V, Bahn- und Schiffsdieselanlagen bis 110V Nennspannung. Bei Betätigung des Startschalters führt ein Einspursystem das Starterritzel in den Zahnkranz des Schwungrades (i = 9 : 1 … 18 : 1), um das Anlaufdrehmoment und die Startdrehzahl aufzubringen. Da nach dem Anspringen des Motors mit eingespurtem Ritzel der Läufer mit hoher Drehzahl angetrieben werden würde, schützt ein Freilaufsystem den Startermotor vor Zerstörung. Nach Öffnen des Startschalters wird das Ritzel durch Federkraft aus den Zahnkranz gespurt. Nach der Art des Einspursystems werden Starteranlagen unterschieden in: – Schraubtriebstarter für Motorräder. Das Ritzel wird über ein Steilgewinde mit voller Drehzahl eingespurt. Kein Freilauf, Ausspuren erfolgt über das Steilgewinde. – Schub-Schraubtriebstarter für PKW und kleine Nutzfahrzeuge, mit und ohne Planetenvorgelege zur Drehmomenterhöhung. Das Ritzel wird durch ein Einrückrelais (Magnetschalter) bei gleichzeitiger Schraubbewegung über ein Steilgewinde in den Zahnkranz geschoben (Schub-Schraub-Bewegung). Erst nach dem Einspuren erfolgt volle Ankerdrehung. Rollenfreilauf als Überlastungsschutz, Rückstellen von Anker und Ritzel erfolgt über Rückstellfeder und Steilgewinde. – Schubankerstarter für LKW und Busse. Das Ritzel wird über das Einrückrelais mit dem Anker langsam drehend in den Zahnkranz eingespurt, bevor der Starter durchdreht. Lamellenkupplung als Freilauf, Rückspuren erfolgt über eine Feder.

8 Verbrennungsmotoren

L 123

– Schubtriebstarter für große Leistungen (6 … 21 kW) mit mechanischer- und elektromotorischer Ritzelverdrehung, Einspuren über Einrückrelais bei langsamer Ankerdrehung zur Einspurerleichterung bevor der Starter durchdreht. Lamellenkupplung als Freilauf. Batterieumschaltrelais schalten bei Nutzfahrzeugen mit 24V Startanlage und 12V Bordspannung die 12V Fahrzeugbatterien zum Startvorgang in Reihe und bei Motorlauf parallel. Startsperrelais verhindern ein Starten bei schon laufendem oder angelaufenem Motor. Bei Kleinmotoren mit Magnetzündanlage werden Starter-Generator-Kombinationen verwendet, die direkt an die Kurbelwelle angeflanscht sind (Seilzugund Kickstarter, Schwunglicht-Starter). Ein Schwungrad-Starter-Generator für Kraftfahrzeuge vereint die Funktionen der beiden Aggregate in einer Einheit. Der Läufer (Teil der Schaltkupplung) bildet gleichzeitig die Schwungmasse, der Ständer ist in die Fahrzeugkupplung integriert. Zum Starten ist neben der Fahrzeugkupplung eine separate Kupplung für den Startermotor erforderlich. Das System befindet sich in der Erprobung.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Haltewinkel Einzugswicklung Rückstellfeder Einrückhebel Einspurfeder Mitnehmer Rollenfreilauf Ritzel Ankerwelle Anschlagring Steilgewinde Führungsring Elektrischer Anschluss

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Kontakt Kontaktabschaltfeder Kontaktbrücke Einrückrelais Kommutatorlage Bürstenhalter Kohlebürste Kommutator Pohlschuh Anker Polgehäuse Erregerwicklung

Bild 89. Schub-Schraubtrieb-Starter (Bosch)

8.17 Alternative Verbrennungsmotoren Strenger werdende Abgasbestimmungen in Europa und den USA und Forderungen nach geringerem

Kraftstoffverbrauch bei weniger Abgasemissionen gehören neben der Suche nach alternativen Kraftstoffen aus nichtfossilen Primärenergien zu den zentralen Anliegen der Motorenentwickler. 8.17.1 Alternative Kraftstoffe

Alternative Energiequellen sind nur dann für den Betrieb in Verbrennungsmotoren von Bedeutung, wenn sie bestimmte Mindestanforderungen in Bezug auf Transportfähigkeit, ausreichender Energiedichte und Verfügbarkeit erfüllen können. Langfristiges Ziel ist die ausschließliche Abhängigkeit von Erdölprodukten zu reduzieren und den Einsatz nichtfossiler Energieträger mit geringen Schadstoffemissionen und einer positiven Primärenergiebilanz bei der Herstellung voranzutreiben. Flüssiggas (Autogas) ist ein Gemisch aus den bei der Erdölverarbeitung anfallenden Gasen Butan und Propan, die bei 5 … 15 bar flüssig werden (LPG = Liquefied Petroleum Gas). Flüssiggas ist hochklopffest (ROZ > 100) und verbrennt sehr schadstoffarm. Gegenüber Benzin etwas erhöhter Verbrauch bei geringerer Leistung. Flüssiggas erfordert einen Druckbehälter als Tank und wird oft als Kombination mit Benzinbetrieb verwendet (bivalent = von Gas auf Benzin umschaltbarer Betrieb). Erdgas für den Einsatz im Verbrennungsmotor besteht je nach Herkunft in erster Linie aus Methan (CH4). Es ist in sehr großen Mengen verfügbar und verursacht bei der motorischen Verbrennung (Benzinersatz) sehr geringe Schadstoffemissionen (z.B. COund CO2-Emission um 40 … 70 % niedriger). Der Betrieb ist wie bei Autogas bivalent, der Trend geht jedoch (bei zunehmender Tankinfrastruktur) zum monovalenten Erdgasbetrieb. Da der Gemischheizwert niedriger liegt, ist die spezifische Leistung etwas geringer als bei Benzin- oder Dieselbetrieb. Die größere Klopffestigkeit (ROZ 130) ermöglicht im monovalenten Betrieb zur Kompensation ein deutlich höheres Verdichtungsverhältnis H (verbrauchssenkend). Für den Fahrzeugeinsatz ist eine spezielle Speichertechnik erforderlich. Hochdrucktanks mit ca. 200 bar (Compressed Natural Gas-CNG) Speicherdruck oder verflüssigtes Liquefied Natural Gas (LNG) von ca. – 160 ºC in aufwendigen Thermotankanlagen (Kryogentank) sind im Einsatz. Für die Betankung an normalen Zapfsäulen wird die CNGDruckgasvariante bevorzugt, da an Tankstellen auf normale Erdgasleitungen mit zusätzlichen Druckerhöhungseinrichtungen zurückgegriffen werden könnte. Für den motorischen Betrieb in Kraftfahrzeugen sind Systemeinbauten zur Gasdruckreduktion und Gemischbildung erforderlich. Wegen der insgesamt positiven Energie- und Umweltbilanz wird Erdgas als Alternativkraftstoff gefördert. Erdgas betriebene Anlagen sind im Stationärbetrieb zur Elektrizitätserzeugung (z.B. Gasturbinen/ Generator mit Kraft-Wärme-Kopplung) verbreitet, als

L 124 Fahrzeugantriebe (Busse und PKW) in zunehmenden Kleinserien auf dem Markt. Methanol und Ethanol (Bioalkohol) können aus kohlenstoffhaltigen Rohstoffen CO2-neutral hergestellt werden (großtechnisch jedoch noch kostspielig). Technisch ausgeführt wird oft auch die Herstellung auf Erdgasbasis. Großversuche wurden in Kraftfahrzeugen im Mischkraftstoffbetrieb (Benzin/Methanol oder Benzin/Ethanol – 80 % / 20 %) ohne nennenswerte Änderungen an den Motoren durchgeführt. Die Kraftstoffmischung besitzt im Vergleich zu Benzin höhere Klopffestigkeit, einen besseren thermischen Wirkungsgrad und erzeugt geringere Schadstoffemissionen. Methanol hat einen geringeren spezifischen Heizwert Hu (ca. 49 % von Benzin), daher volumetrischer Mehrverbrauch. Nachteilig wirken sich der niedrige Dampfdruck, der höhere Siedepunkt und Korrosionsprobleme gegenüber bestimmten Legierungen aus. Der Einsatz von reinem Alkohol als Kraftstoff erfordert umfangreichere Motoranpassungen (z.B. an das veränderte Zündverhalten). Wasserstoff ist als Kraftstoff technisch erprobt und gilt als Energiequelle der Zukunft, auch wenn die Herstellung nur mit schlechtem Wirkungsgrad möglich ist. H2 wird aus Wasser, Biomasse oder Erdgas unter Energieeinsatz gewonnen (katalytisches Dampfreforming). Für den Fahrzeugeinsatz besteht die Möglichkeit, H2 an Metallegierungen (TiFe oder Mg) gebunden als Metallhydrid zu speichern, oder im verflüssigten Zustand in Fahrzeug-Druckbehältern ( – 250 ºC) zu transportieren. Die motorische Verbrennung ist mit einigen Anpassungen problemlos, sie arbeitet praktisch emissionsfrei. Der geringere volumenspezifische Heizwert erfordert für den Fahrzeugbetrieb größere Tankanlagen für vergleichbare Reichweiten. Wasserstoff wird als Kraftstoff weiterhin in der Wärmetechnik, in der Elektrizitätserzeugung bei Motor/Generator-Einheiten (Kraft-WärmeKopplung) und bei Gasturbine/Generator-Einheiten in Spitzenkraftwerken wirtschaftlich eingesetzt. Als Alternative zur Wasserstoffverbrennung gilt die Erzeugung elektrischer Energie mit hohem Wirkungsgrad (55 … 65 %) in einer Brennstoffzelle. Sie wandelt chemische Energie eines Brennstoffs (Wasserstoff, Erdgas usw.) auf elektrochemischem Weg in Elektrizität um. Die erzeugte Energie kann zum Antrieb von Elektromotoren, bei Mischbetrieb mit Verbrennungsmotor zur Bord-Stromversorgung genutzt werden. Brennstoffzellen sind Einheiten aus PEM-Elektrolyten (Polymer-Elektrolyt-Membranen = protonenleitende Elektrolytfolien aus Kunststoff mit katalytischer Platinbeschichtung), auf deren Seiten je eine gasdurchlässige Bipolarplatte für H2 und Luft zugeordnet ist. In der Zelle wird durch Oxidation von H2 und O2 aus der Luft Strom mit einer Spannung von ca. 0,6V erzeugt. Durch Reihenschaltung der Zellen (Stacks) sind beliebige Spannungen möglich. Bei der Reaktion entsteht Wasserdampf. Der Wasserstoff für den Brennstoffzellenbetrieb wird in Druck-

L Kraft- und Arbeitsmaschinen behältern mitgeführt oder durch Methanol-Reformierung auf direktem Weg an Bord erzeugt. Biodiesel wird aus Rapsölmethylester (RME) hergestellt. Bei der motorischen Verbrennung entstehen in Verbindung mit einem Oxidationskatalysator weniger Rußpartikel, weniger unverbrannte Kohlenwasserstoffe und geringerer CO-Ausstoß gegenüber fossilem Dieselkraftstoff. Wegen des etwas geringeren spezifischen Heizwerts volumetrischer Mehrverbrauch von ca. 10 %. Die Abgase sind frei von Schwefelverbindungen. Als nachwachsender Rohstoff besteht ein geschlossener CO2-Kreislauf bei der motorischen Verbrennung. Wegen der geringen baulichen Veränderungen für den Einsatz in herkömmlichen Dieselmotoren und als Schmieröl bereits weit verbreitet. 8.17.2 Alternative Antriebe

Der Hybridantrieb ist eine Mischantriebsart, bei der zumeist die Kombination Elektromotor-Verbrennungsmotor zum Antrieb von Fahrzeugen verwendet wird. Man unterscheidet seriellen und parallelen Hybridantrieb. Beim seriellen Hybridantrieb treibt ein ständig arbeitender Verbrennungsmotor einen Generator an, der Strom für den Antriebs-Elektromotor und zur Batterieladung erzeugt. Der konstant arbeitende Verbrennungsmotor kann im schadstoffarmen, wirkungsgradgünstigen Betriebsbereich betrieben werden. Beim parallelen Hybridantrieb werden der Verbrennungsmotor und die Generator-Elektromotor-Kombination einzeln, bei höherem Leistungsbedarf auch zusammen eingesetzt. Elektromotor und Generator sind oft als Stator/Rotor-Einheit zwischen Verbrennungsmotor und Getriebe angeordnet. Es wird z.B. im Stadtbereich und zum Anfahren Elektrobetrieb über Batteriepakete und bei Überlandfahrt Verbrennungsmotorbetrieb eingesetzt. Der Verbrennungsmotor lädt hier gleichzeitig die Batterien auf (Elektromotor als Generator betrieben). Zur Abdeckung von Leistungsspitzen werden beide Motorarten zusammen geschaltet. Für vertretbare Fahrzeugreichweiten sind schwere Batteriepakete (z.B. NiCd- oder Nickel-Metall-Hydrid-Batterien) erforderlich, deren Speichervermögen noch nicht zufriedenstellend ist. Hybridantriebe sind bei vielen Fahrzeugherstellern in Kleinserien im Einsatz. Elektromotoren für Elektrofahrzeuge erzeugen im Straßeneinsatz keine Schadstoffe, sind leiser als Verbrennungsmotoren und lassen sich ohne Schaltgetriebe betreiben. Die strenge kalifornische Gesetzgebung fordert von den Fahrzeugherstellern die Entwicklung und den praktischen Einsatz von sogenannten ZEV-Fahrzeugen (Zero Emission Vehicle). Sie schreibt diese Antriebsart ab 2003 für Kalifornien mit einem 10 %-Anteil im Verkaufsprogramm vor. Der

8 Verbrennungsmotoren Schwerpunkt der Entwicklungen in der Fahrzeugindustrie liegt bei Batteriesystemen, die hohe Speicherkapazität bei geringer Masse und Bauvolumen, hohen Lade-/Entladewirkungsgrad bei langer Lebensdauer und großen Aktionsradius ohne Aufladen aufweisen müssen und sich ohne große Veränderungen in vorhandene Modellreihen einbauen lassen. NatriumSchwefel (Na/S)-, Natrium-Nickelchlorid (Na/NiCl2)und Lithium-Polymer-Batterien sind als bedeutend leistungsfähigere Alternativen zum Bleiakku in der Erprobung. Der Wankel-Kreiskolbenmotor arbeitet nach dem Viertaktprinzip und hat keine hin- und hergehenden Massen. Ein exzentrisch gelagerter Kreiskolben übernimmt die Funktion des Hubkolben-Kurbeltriebwerks beim Ottomotor. Die Steuerung des Gaswechsels geht im Vergleich zum Hubkolbenmotor einfacher vor sich. Während der einzelnen Arbeitstakte bewegt sich die Gasfüllung

Bild 90. Wirkungsweise des Kreiskolbenmotors

L 125 im Gehäuse und kommt ständig mit gekühlten Wandungsflächen in Berührung (geringe Klopfneigung). Der Läufer (Kreiskolben) hat die Querschnittsform eines Bogendreiecks. Er ist auf einer Exzenterwelle gelagert und rotiert mit 2/3 der Wellendrehzahl in entgegengesetzter Richtung, also mit 1/3 der Wellendrehzahl bezogen auf das feststehende Gehäuse. Hierdurch ergeben sich geringere Gleitgeschwindigkeiten. Bei der Drehbewegung bleiben die drei Dichtkanten (A, B, C) dauernd mit der Wand des bogenförmigen Gehäuses (Epitrochoide) in Berührung und erzeugen dabei Hubräume wechselnder Größe für die einzelnen Arbeitstakte. Ein vollständiges ViertaktArbeitsspiel ergibt sich bei einer Kreiskolbendrehung oder drei Exzenterwellenumdrehungen. Durch Aneinanderreihen der Kreiskolben und Gehäusemantelteile (durch Zwischenteile getrennt) auf einer verlängerten Exzenterwelle lassen sich Mehrscheibenmotoren bauen.

L 126 Arbeitsweise (Bild 90): Das Volumen 1 wächst während des Ansaugens in der Läuferstellung 2 bis 3, wobei der Ansaugkanal geöffnet ist. In Stellung 4 ist der Ansaugtakt beendet. Anschließende Verdichtung erfolgt in den Stellungen 5, 6 und 7. In Stellung 7 wird das Gemisch gezündet. Die Arbeitsabgabe an die Welle geschieht während des Ausdehnungshubes in Stellung 8, 9 und 10. Der Auslasskanal wird bei 10 geöffnet. Das Ausschieben der verbrannten Gase erfolgt während der Stellung 11 bis 12. Bei 1 beginnt das Arbeitsspiel wieder. Neuere Konzeptionen verwenden zwei nebeneinander liegende Zündkerzen. Elektronische Benzineinspritzung, Dreiwege-Katalysator und Abgasturboaufladung sind genauso üblich wie bei Hubkolbenmotoren. Vorteile: Gedrungene, leichte Bauweise, wenig Bauelemente, ruhiges schwingungsarmes Laufverhalten. Nachteile: Höherer Kraftstoffverbrauch, höherer Bauaufwand und ungünstige Brennraumform. Gasturbinen sind wegen des schlechten Wirkungsgrades und des hohen Kraftstoffverbrauchs, besonders im Teillastbereich, im Vergleich zu den Hubkolbenmotoren, kaum für den Einsatz im Fahrzeugbereich geeignet. Man unterscheidet Gasturbinen für Flugtriebwerke (Hubschrauber, Propellerflugzeuge), Industrieturbinen zur Stromerzeugung mit KraftWärmekopplung und Fahrzeugturbinen. Sie treten im Kraftwerksbetrieb in Konkurrenz zum stationären Dieselmotor. Ihr Einsatz erfolgt vorwiegend für große Triebwerksleistungen. Der Grundaufbau (Verdichter, Brennkammer, Turbine) ist bei den Ausführungen gleich. Während beim Hubkolbenmotor der Kreisprozess im Zylinder zeitlich nacheinander abläuft, laufen die Zustandsänderungen bei der Gasturbine räumlich getrennt gleichzeitig ab. Einwellen-Gasturbinen sind wegen ihres ungünstigen Drehmomentverhaltens nicht zum Fahrzeugantrieb geeignet. Bei der Zweiwellen-Fahrzeuggasturbine (Bild 91) wird Luft vom Radialverdichter angesaugt und in die Brennkammer geleitet (3 … 10 bar). Dort wird kontinuierlich eingespritzter Brennstoff (Gas, Diesel oder beides im Dualbetrieb) verbrannt. Das Heißgas (ca. 900 °C) expandiert unter Energieabgabe in den Leitschaufeln der Antriebsturbine, die in Drehung versetzt wird. Die Verdichterturbine zum Verdichterantrieb und die Antriebsturbine zum Fahrzeugantrieb sind nicht durch Wellen verbunden (n Antrieb bis 50 000 l/min). Die Abgase werden vor dem Ausstoßen einem Wärmetauscher zugeführt, in dem die angesaugte Luft vorgewärmt und damit der Wirkungsgrad erhöht wird. Die Antriebsdrehzahl wird in einem Zwischengetriebe untersetzt. Durch die über das Fahrpedal verstellbaren Leitschaufeln kann im Teillastbereich der Verbrauch gesenkt werden. Fahrzeuggasturbinen konnten über Versuchsanlagen nicht hinaus kommen.

L Kraft- und Arbeitsmaschinen Der Stirlingmotor (Heißgasmotor) ist ein Hubkolbenmotor. Er arbeitet in einem geschlossenen Kreisprozess (Sterling), da das Arbeitsgas (Wasserstoff oder Helium) ständig im Kreislauf verbleibt. Dem Arbeitsgas wird über die äußere Verbrennung eines Kraftstoff-Luft-Gemisches Wärme zugeführt, wodurch es sich ausdehnt und über einen Arbeitskolben Arbeit an das Kurbeltriebwerk abgibt. Durch den Verdrängerkolben wird das Arbeitsgas zyklisch über Kühler und Regenerator in den Erhitzer zurückbefördert. Arbeits- und Verdrängerkolben sind über einen Rhombentrieb zwangsgesteuert (Einzylindermotor). Mehrzylindermotoren arbeiten doppeltwirkend. Der Kolben eines Zylinders ist gleichzeitig Verdrängerkolben des benachbarten Zylinders.

Bild 91. Schnitt durch eine Gasturbine (Opel)

Bild 92. Prinzip des Stirlingmotors (Opel)

Dem leisen Lauf und Vielstoffeigenschaften bei hohem Wirkungsgrad stehen seine aufwendige Bauweise einer größeren Verbreitung gegenüber. Arbeitsweise

1. Der Verdrängerkolben bleibt in OT-Lage, der Arbeitskolben verdichtet durch Bewegung nach oben kaltes Gas. 2. Der Arbeitskolben bleibt stehen, der Verdrängerkolben schiebt das Gas über Kühler, Regenerator und Erhitzer in den heißen Raum.

8 Verbrennungsmotoren 3. Das Gas expandiert und schiebt den Verdichterund Arbeitskolben nach unten, wobei Arbeit aufgebracht wird. 4. Der Verdrängerkolben bewegt sich nach oben (Arbeitskolben bleibt unten) und schiebt das heiße Gas über Erhitzer, Regenerator und Kühler in den kalten Raum. Der Prozess beginnt neu. Literatur Robert Bosch GmbH (Hrsg.).: Dieselmotor-Management. Wiesbaden: Vieweg-Verlag, 2004 Robert Bosch (Hrsg.).: Ottomotor-Management. Wiesbaden: Vieweg Verlag, 2005 Robert Bosch GmbH (Hrsg.).: Autoelektrik/Autoelektronik. Wiesbaden: Vieweg-Verlag, 2002

L 127 Henneberger G.: Elektrische Motorausrüstung. Braunschweig: Vieweg Verlag, 1990 Kraemer/Jungbluth: Bau und Berechnung von Verbrennungsmotoren. Berlin: Springer-Verlag, 1993 Robert Bosch GmbH: (Hrsg.).:Kraftfahrtechnisches Taschenbuch. Wiesbaden: Vieweg-Verlag, 2004 Köhler E.: Verbrennungsmotoren. Wiesbaden: Vieweg-Verlag, 2006 Küttner, K H.: Kolbenmaschinen. Stuttgart: Teubner-Verlag, 1994 Staudt, W.: Kraftfahrzeugtechnik Braunschweig: Vieweg-Verlag, 1995 Robert Bosch GmbH (Hrsg.).: Schriftenreihe Technische Unterrichtung, div. Jahrgänge. Stuttgart Wagner, H.: Strömungs- und Kolbenmaschinen, Braunschweig: Vieweg-Verlag, 1993 Waldmann/Seidel: Kraft- und Schmierstoff. Sonderdruck der ARAL-AG Bochum aus dem Automobiltechnischen Handbuch,. Berlin: de Gruyter-Verlag, 1979

M 12

M Spanlose Fertigung

Tabelle 5. Toleranzen von Feingusswerkstücken Nennmaß in mm bis 10 bis 100 bis 500

Maßabweichung in % ±1 ± 0,6 ± 0,4

Als Gusswerkstoffe können alle Werkstoffe mit einer genügend hohen Fließfähigkeit verwendet werden. Beispiele hierfür sind unlegierte und legierte Vergütungs- und Werkzeugstähle, Kupferlegierungen und Leichtmetalllegierungen auf Magnesium-, Aluminium- oder Titanbasis. Anwendungsbeispiele für Feingussteile sind Dampfturbinenschaufeln, Turboladerrotoren, medizinische Geräte, Werkzeugbau, Luft- und Raumfahrt.

2 Trennen und Umformen W. Böge

Aus den Halbzeugen Blech und den ähnlichen Halbzeugen Blechband und Flachmaterial lassen sich vielgestaltige Maschinen- und Gerätebauteile herstellen. Die gewünschte Größe der Bauteile erhält man durch Zerteilen (Trennen). Man zerteilt durch: Scherschneiden, Keilschneiden mit den Untergruppen Messerschneiden und Beißschneiden, Reißen, Brechen (Tabelle 1). In der industriellen Fertigung wird Scherund Messerschneiden zum Abschneiden mit offener Schnittlinie, Auschneiden, Lochen mit geschlossener Schnittlinie am häufigsten angewendet. Durch Umformen werden Form, Oberfläche und Werkstoffeigenschaften eines Werkstücks gezielt verändert. Da-

bei bleiben Masse und Stoffzusammenhang bestehen (Übersicht über Umformverfahren in Tabelle 4). DIN 8588 1) legt fest: Scherschneiden (kurz Schneiden) ist Zerteilen von Werkstoff zwischen zwei Schneiden, die sich aneinander vorbeibewegen und bei dem der Werkstoff voneinander abgeschert wird. Messerschneiden ist Keilschneiden mit einer Schneide, deren Keil den Werkstoff auseinanderdrängt. 2.1.1 Abschneiden Abschneidbar sind: Pappe, Papier, Leder, Textilien, Dichtungsstoffe, alle gewalzten Halbzeuge der Metalle und Kunststoffe. Größte schneidbare Stahlblechdicke 120 mm, größte schneidbare Walzdicke 230 mm im Quadrat, schneidbare Qualitäten bis Rm = 1 200 N/mm2. Abschneiden ist vollständiges Trennen des Werkstückes vom Rohteil längs einer offenen (d.h. einer in sich nicht geschlossenen) Schnittlinie. Die Schnittlinie braucht nicht gerade zu sein. Die Schnittflächen sind uneben, schuppig und wenig maßhaltig (kleinste Maßtoleranz ± 0,2 mm), die Werkstücke durch den Schneidvorgang verbogen. 2.1.1.1 Der Schneidvorgang. Durch Druck auf den Werkstoff werden so hohe Scherspannungen im Werkstoff erzeugt, dass ein Quetschriss eintritt. Diese Scherspannungen lassen sich nicht auf die Trennlinie begrenzen, sondern pflanzen sich, schnell abnehmend, einige Millimeter tiefer in den Werkstoff fort. Scharfe Schneiden halten den Streifen erhöhter Scherspannungen schmal. Das ist wichtig, weil erhöhte Scherspannungen Werkstoffversprödungen hervorrufen.

2.1 Trennverfahren Tabelle 1. Übersicht über Trennverfahren (Auszug) Hauptgruppe 3 Trennen Gruppe 3.1 Zerteilen DIN 8588 (6.85) Untergruppe 3.1.1 Untergruppe 3.1.2 Untergruppe 3.1.3 Scherschneiden Messerschneiden Beißschneiden

1)

Untergruppe 3.1.4 Untergruppe 3.1.5 Untergruppe 3.1.6 Spalten Reißen Brechen

Entsprechend DIN 8588 sind alle Begriffe am Werkzeug mit Schneid, alle Begriffe am Werkstück mit Schnitt bezeichnet.

2 Trennen und Umformen Schneiden mit Keilmesser (Messerschneiden) zum Trennen weicher Werkstoffe wie: Pappe, Papier, Textilien, Dichtungsstoffe oder dünn ausgewalztes Metall in Form von Blei-, Aluminium-, Zinn- oder Messingfolien. Beim Messerschneiden wird der ideale Spannungszustand nahezu erreicht (d.h. die Scherspannungen treten nur in der Scherebene auf), wenn die Schneidkeilmitten rechtwinklig zur Werkstoffoberfläche angeordnet sind. Scherschneiden zum Trennen von Blechen und Profilen aller knetbaren Metalle, Platten und Stangen aus Kunststoff mit hoher Dehnung (in besonderen Fällen kann Erwärmen der Werkstoffe nötig sein). Beim Scherschneiden erzielt man im Werkstoff einen technisch günstigen Spannungsverlauf dadurch, dass nicht die Keilmitte – wie beim Messerschneiden – sondern eine Schneidfläche (meist die Druckfläche im Bild 3) rechtwinklig in den zu trennenden Werkstoff eindringt. Dabei bildet sich eine Ebene maximaler Scherspannungen heraus, die schräg zur Werkstückoberfläche liegt. Die Schräglage dieser Ebene größter Scherspannungen ist von der Kaltverformbarkeit und der Dicke des Werkstoffes, sowie von der Güte der Schneiden abhängig. Die Lage der Ebene größter Scherspannungen bestimmt die Größe des Schneidspalts u zwischen unterer und oberer Schneide. Zum Schneiden mittelharter und weicher Stähle wählt man:

Schneidspalt u 

Blechdicke s  Blechdicke in mm 25 25

Die Größe des Schneidspalts ist richtig gewählt, wenn die von beiden Schneiden ausgehenden Quetschrisse in einer Ebene liegen (stulpenfreie Schnittflächen), Bild 1.

M 13

Bild 2. Spannungsfelder im Werkstoff a) im weichen Stahl, b) im harten Stahl

 Freiwinkel 0 bis 6º  Keilwinkel 77 bis 85º  Druckwinkel 0 bis 10º ent-

spricht dem Spanwinkel der spangebenden Fertigung

Bild 3. Winkel am Schneidmesser,  +  +  = 90º Je größer der Druckwinkel  gewählt wird, um so eindeutiger bildet sich die Trennbruch- oder Scherebene heraus bei schmaler Spannungs-(Versprödungs-)zone. Keilwinkel  so groß wie möglich gewählt, ergibt kräftige Schneidwerkzeuge für große Schnittkräfte und lange Standzeiten der Schneide. Schnittkraft beim Schneiden: Das bewegliche Messer einer Schere wird durch die Schnittkraft Fs belastet. Ihre erforderliche Größe wird bestimmt durch die Größe des Schnitt-Querschnitts S und der größten Scherfestigkeit aB max des zu trennenden Werkstoffes: Fs Fs = S aB max

S

N mm2

aB max (1)

N mm

2

Schnitt-Querschnitt S ist: a) ein Rechteck, wenn die Schneidkanten parallel sind (Bild 4) (2)

S = sl Bild 1. Einfluss des Schneidspalts u der Schneiden auf die Güte der Schnittflächen Die Schnittkräfte Fs (Bild 2) rufen im gedrückten Werkstoff Spannungsfelder hervor. Diese Spannungsfelder sind klein, aber aus großen Spannungen aufgebaut in harten Werkstoffen; groß, aber aus kleinen Spannungen aufgebaut in weichen Werkstoffen.

b) ein Dreieck, wenn die Schneidkanten einen Öffnungswinkel bilden und große Längen zu schneiden sind (Bild 5), und beim Schneiden mit Rollenscheren (Messer sind kreisförmig, vereinfachte Berechnung, Bild 6). S = 0,5 s2 cot

S mm2

s mm

cot 1

(3)

M 14

M Spanlose Fertigung

Bild 7. Die Schneiden bilden den Messeröffnungswinkel , der Schnitt-Querschnitt ist ein Trapez Bild 4. Trennen mit parallelen Schneiden

Diese Werte schwanken um ± 15 % je nach Walzhärte und Oberflächenbeschaffenheit. Sie gelten nur für scharfe Schneiden. Scherfestigkeit aB max bezeichnet die Scherfestigkeit der am schwersten zu trennenden Werkstoffteile, die beim Schneiden sicher getrennt werden müssen. Tabelle 2. Richtwerte für Scherfestigkeit verschiedener Werkstoffe beim Zerteilen Werkstoff

Bild 5. Die Schneiden bilden den Messeröffnungswinkel der Schnitt-Querschnitt ist ein Dreieck c) ein Trapez, wenn die Schneidkanten einen Öffnungswinkel bilden und kurze Längen (Flachstahl) zu schneiden sind (Bild 7) S = s l – 0,5 l2 tan

S s, l tan mm2 mm 1

(4)

Der Schnitt-Querschnitt ist ein Trapez für die Schnittlänge l < s cot

(5)

aB max

N/mm2 Stahl S235JR 300 350 S355J2G3 (0,2 % C) 400 E295 (0,3 % C) 450 E355 550 E360 650 hart gewalzt mit 0,8 % C 900 nicht rostend weich 550 Ms 58, weich 280 Ms 63, weich 400

Werkstoff

aB max

N/mm2 Cu, weich 250 Pb, weich 25 Al-Cu-Legierungen 250 Al-Mg-Legierungen 200 Al 99,5, weich 80 Al 99,5, hart gewalzt 150 Pappe, weich 20 Pappe, hart, holzfrei 40 Papier in 20 Lagen 20 in 10 Lagen 25 in 5 Lagen 50 in 1 Lage 150

Es ist zu unterscheiden zwischen der garantierten Scherfestigkeit aB für Festigkeitsberechnungen und der größten Scherfestigkeit aB max für Schneiden und Trennen. Größenangaben für aB max sind selten in Normen und Lieferbedingungen aufgeführt. Tabelle 2 enthält Richtwerte der Scherfestigkeit aB max, die aus Schnittkraftversuchen ermittelt wurden. ■ Beispiel: Zwischen parallelen Messern soll Flachstahl 5 mm dick, 32 mm breit aus S235JR rechtwinklig zur Walzrichtung geschnitten werden. Zu ermitteln ist die erforderliche Schnittkraft Fs.

Bild 6. Trennen mit kreisförmigen Schneiden (Rollenscheren), Streifenbreite bst, Abfallbreite b1 einstellbar durch Verschieben der Rollenmesser. SchnittQuerschnitt S = s l/2 vereinfacht als Dreieck angenommen.

Lösung: Schnitt-Querschnitt S = s l = 5 mm · 32 mm = 160 mm2. Mit aB max = 300 N/mm2 aus Tabelle 2 ist die erforderliche Schnittkraft Fs = S aB max = 160 mm2 · 300 N/mm2 = 48 000 N. ■ Beispiel: Auf einer Tafelschere, deren Messer einen Messeröffnungswinkel von 4º bilden, soll 6 mm dickes Stahlblech der Qualität E335 geschnitten werden. Zu ermitteln ist die erforderliche Schnittkraft Fs.

2 Trennen und Umformen Lösung: Schnitt-Querschnitt S = 0,5 s2 cot = 0,5 · 6 mm2 · cot 4º = 258 mm2. Mit aB max = 550 N/mm2 aus Tabelle 2 ist die erforderliche Schnittkraft Fs = S aB max = 258 mm2 · 550 N/mm2 = 141 900 N. ■ Beispiel: Der Öffnungswinkel der Schermesser einer Handhebelschere beträgt 10º. Die Schere ist für eine maximale Schnittkraft von 62 000 N ausgelegt. Auf dieser Schere soll Flachstahl 8 mm dick der Qualität E295 verschiedener Breiten geschnitten werden. Bis zu welcher Breite ist ein sicheres Trennen möglich?

M 15 des Schnittteils, das Schnittteil nimmt die Oberflächengüte der Druckfläche des Schneidstempels an. Nachteile: Es entsteht höherer Werkstoffverschnitt, das ist der durch den Ausschnittrand bedingte Werkstoffverlust (Bild 8). Für Ausschneiden und Lochen benötigt man ein Schneidwerkzeug (früher Schnitt genannt, z. B. Plattenführungsschnitt). Schneidwerkzeuge sind nur zur Herstellung des Werkstückes verwendbar, für das sie gebaut sind; sie können aber zum gleichzeitigen Ausschneiden und Lochen eingerichtet sein.

Lösung: Für Stahl E295 ist nach Tabelle 2: aB max = 450 N/mm2. Damit wird der trennbare Schnitt-Querschnitt

S=

Fs

τ aB max

=

62000 N = 137,8 mm 2 N

450

mm 2

Bild 8. Werkstoffverlust durch Ausschnittrand

Ist der Schnitt-Querschnitt ein Dreieck entsprechend Bild 5, so ergibt sich für die gegebenen geometrischen Bedingungen: 2

2

2

S = 0,5 s cot = 0,5 · 8 mm · cot 10º = = 181,5 mm2. Eine Dreieckfläche ist zu groß, folglich liegen die Schnittbedingungen nach Bild 7 vor (Trapez). Die größtmögliche Schnittlänge l ist nach Umstellen von (4):

l1, 2 = =

s s2 2S = ± − tan λ tan 2 λ tan λ 8 mm 64 mm 2 2⋅138 mm 2 ± − tan 10º tan 10º tan 2 10º

l1 = 67,6 mm; l2 = 23,2 mm. Welche der beiden Längen schneidbar ist, ergibt sich nach (5): l < s cot < 8 mm · cot 10º < 45,4 mm.

Die Schneiden eines Schneidwerkzeuges können ausgeführt sein in: a) Parallelanschliff (Bild 9). Die Schneiden des Schneidstempels sind denen der Schneidplatte parallel. Häufigste Ausführungsart, da Herstellung und Nachschliff einfach sind; die Presse wird stoßartig belastet. Beim Ausschneiden und Lochen mit Parallelanschliff ist die Größe des Schnitt-Querschnitts S abhängig vom Umfang U des oder der Schneidstempel und von der Werkstoffdicke s. Schnitt-Querschnitt S S=sU

s, U Fs

mm2 mm N

Danach ist die größte schneidbare Breite der Flachstähle 23,2 mm.

aB max (6) N mm 2

Schnittkraft für Parallelanschliff 2.1.2 Ausschneiden und Lochen Zum Ausschneiden und Lochen eignen sich alle Werkstoffe, die durch Zerteilen (hier vorwiegend Scher- und Messerschneiden) trennbar sind. Größte Werkstoffdicken: Lochen bis 45 mm Walzstahldicke, aber nicht dicker als Schneidstempeldurchmesser; Ausschneiden bis 15 mm Walzstahldicke, wenn Schneidstempel und Schneidplatte ausreichend stabil gebaut werden können. Ausschneiden und Lochen ist Schneiden in einem beliebig geformten, aber geschlossenem Linienzug. Ausschneiden dient zur Herstellung der Außenform am Werkstück, Lochen zur Herstellung der Innenform am Werkstück. Vorteile des Ausschneidens gegenüber dem Abschneiden: Der Schnittgrat liegt nur auf einer Seite

Fs = s U aB max

(7)

b) Schräganschliff der Schneidplatte (Bild 10). Die größte erforderliche Schnittkraft sinkt auf das etwa 0,7 fache der Schnittkraft für Parallelanschliff. Schnittkraft für Schräganschliff Fss = 0,7 s U aB max

(8)

Das Schneidwerkzeug schneidet weich an, die Presse wird geschont, aber die gelochten Streifen sind verbogen, deshalb nur für Ausschneiden geeignet. c) Schräganschliff der Schneidstempeldruckfläche (Bild 11). Die erforderliche Schnittkraft erhält man durch (8). Die herausfallenden Butzen sind verbogen, deshalb nur für Lochen geeignet.

M 16

M Spanlose Fertigung sein, dessen Größe bestimmt wird von der zu trennenden Werkstoffsorte (Richtwerte siehe Tabelle 3) und seiner Dicke. Bild 9. Schneidwerkzeug mit Parallelanschliff

Bild 10. Schneidwerkzeug mit Schräganschliff der Schneidplatte

Bild 11. Schneidwerkzeug mit Schräganschliff des Schneidstempels a) Hohlanschliff eines runden Schneidstempels

Tabelle 3. Schneidspalte bei Schneidwerkzeugen (2 u u, Bild 12) Werkstoffdicke s

Stahlblech Kupfer

Stahlblech Stahlblech

Messing

mittelhart

hart

Aluminium

Aluminiumlegierungen

Bild 12. Schneiden mit Schneidwerkzeugen a) vor dem Schnitt, b) nach dem Schnitt ds Schneidstempelmaß (Durchmesser) dm Maß des Schneidplattendurchbruchs (Durchmesser) u Schneidspalt dm = ds + 2 u

weich

mm

mm

mm

mm

mm

0,25

0,01

0,015

0,02

0,02

0,02

0,5

0,025

0,03

0,035

0,05

0,08

0,75

0,04

0,045

0,05

0,07

0,1

1,0

0,05

0,06

0,07

0,1

0,15

1,25

0,06

0,075

0,09

0,12

0,18

1,5

0,075

0,09

0,1

0,15

0,2

1,75

0,09

0,1

0,12

0,17

0,3

2,0

0,1

0,12

0,14

0,2

0,35

2,5

0,13

0,15

0,18

0,25

0,4

3,0

0,15

0,18

0,21

4,0

0,2

0,24

0,28

5,0

0,25

0,3

0,36

mm

Schneidplattendurchbruch und Schneidstempel (Bild 12). Zwischen den Schneiden von Schneidplatte und Schneidstempel muss ein Schneidspalt u vorhanden

½

D Freiwinkel im Schneidplattendurchbruch ¾0,5 bis 2º Ds Freiwinkel am Schneidstempel ¿

db Butzenmaß (Durchmesser) dl Lochmaß (Durchmesser) s d ds

2.1.3 Aufbau der Schneidwerkzeuge Die Schneidwerkzeug-Ober- und Unterteile werden für die verschiedenen Schnittaufgaben unterschiedlich aufgebaut. Ihre Bauelemente sind genormt. Einspannzapfen DIN 9859; Stempelköpfe (Einspannzapfen mit Kopfplatte, Druckplatten und Stempelplatten) DIN 9866; Runde Schneidstempel, Seitenschneider und Anschläge dazu, runde Suchstifte DIN 9861 bis 9864; Schneidkästen DIN 9867 (dort als Schnittkästen bezeichnet); Säulengestelle DIN 9812 bis 9825. Die folgende Tabelle gibt einen Überblick über gebräuchliche Werkzeug-Werkstoffe:

2 Trennen und Umformen

M 17

Werkstoffe für Schneidplatten und -stempel WerkstoffGruppe

Ölhärtende Stähle

Werkstoff Bezeichnung 100 Cr6 90 Mn Cr V8 105 W Cr6 60 W Cr V7

Arbeitshärte (HRC) 54 ... 62 50 ... 58

X45 Ni Cr Mo4 X210 Cr W 12

48 ... 55 58 ... 63

X155 CrVMo121 S 6-5-2 S 18-1-2-5 S 18-1-2-15 GT 20 GT 30 GT 40

56 ... 62 60 ... 66

Chromstähle Schnellarbeitsstähle Hartmetalle

1100 ... 1400 HV

einsetzbar für Stempel, Schneidplatten, schlanke Lochstempel, Suchstifte, Schneiden von Al- und Cu-Legierungen bei kleinen Fertigungsmengen. Wie oben, aber größere Zähigkeit für das Schneiden großer Wanddicken. Für sehr große Wanddicken Zusammengesetzte Stempel und Schneidstempel, Kaltfließpresswerkzeuge hohe Verschleissfestigkeit, geringer Maßverzug beim Härten. Wie X210 Cr W 12, aber mit größerer Zähigkeit Kaltfließpressstempel, dünne Lochstempel, hohe Verschleissfestigkeit und Zähigkeit, für Feinschneiden geeignet. Hochleistungs-Stanztechnik für große Serien mit hartmetalltauglichen Pressen. Stahl bis 3 mm Blechdicke ohne Schnittschlagdämpfung schneidbar. Sehr hohe Verschleissfestigkeit, geringe Zähigkeit.

2.1.3.1 Messerschneidwerkzeuge (Bild 13) zum Ausschneiden und Lochen von Pappe, Papier, Dichtungsstoffen, Gummi, plastischen Kunststoffen, Textilien, Metallfolien. Messerschneidwerkzeuge können für Lochen, Ausschneiden und Lochen mit Ausschneiden gebaut sein. 2.1.3.2 Freischneidwerkzeuge (Bild 14) zum Ausschneiden und Lochen von Papier in dickeren Lagen, starker Pappe, Kunststoffen und Metallen. Kleinste erreichbare Maßabweichungen ± 0,2 mm vom Nennmaß der Lochweiten und Außenlängen.

Bild 13. Aufbau der Messerschneidwerkzeuge a) für Lochen b) für Ausschneiden c) für Ausschneiden und Lochen 1 2 3 4 5 6 7 9

Stempelkopf Stempelplatte Schneidstempel für Lochen Schneidstempel für Ausschneiden Auswerfer für Lochen Auswerfer für Ausschneiden und 8 Auswerferfedern Schneidplatte (Hartpappe, Vulkanfiber)

Freischneidwerkzeuge können nur in Pressen verwendet werden, deren Stößel eng geführt sind und deren Rahmen sich unter der Wirkung der Schnittkraft nur wenig aufbiegen. Entspricht die Presse diesen Anforderungen nicht, kann der Schneidstempel auf die Schneidplatte aufsetzen, wobei der Schneidstempel, die Schneidplatte oder beide ausbröckeln (Totalverlust des Werkzeuges). Freischneidwerkzeuge sind mit Auswerfern und Abstreifern (Bild 14) auszurüsten. 2.1.3.3 Plattenführungsschneidwerkzeuge (Bild 15) zum Ausschneiden und Lochen von Kunststoffen und Metallen. Kleinste erreichbare Maßabweichungen ± 0,1 mm vom Nennmaß der Lochweiten und Außenlängen. Die geschlossene Bauweise der Schneidkästen lässt keine Beobachtung der Schneidkanten zu. Schneidkästen sind jedoch unfallsicher. In Plattenführungsschneidwerkzeugen können nur genau zugeschnittene Blechstreifen oder -bänder verarbeitet werden. 2.1.3.4 Säulenführungsschneidwerkzeuge Schnittaufgaben und erreichbare Maßgenauigkeit wie bei Plattenführungsschneidwerkzeugen. Das Auswechseln der Schneidelemente und ihre Funktionsprüfung kann außerhalb der Presse vorgenommen werden. Säulengestelle verlangen keine genauen Stößelführungen. 2.1.4 Mehrzweckschneidwerkzeuge Setzt man mehrere Schneid- und Biegestempel in Platten- oder Säulenführungsschneidwerkzeuge ein, wird je Pressenhub ein Werkstück gelocht, ausgeschnitten und geformt. Man unterscheidet Folge- und Gesamtschneidwerkzeuge.

M 18

M Spanlose Fertigung 2.1.4.1 Folgeschneidwerkzeuge führen in zwangsweiser Folge zuerst das Lochen, dann das Ausschneiden und zuletzt das Verformen, meist nur Biegen, aus. Lochen und Biegen kann in mehrere Stufen aufgeteilt sein. Getrennt gefertigte Lochgruppen können sowohl gegeneinander als auch gegenüber dem Werkstoffrand um die Vorschubtoleranz versetzt sein (kleinste Maßtoleranz ± 0,1 mm). Vorschubbegrenzung ist durch Einhängestifte (Bild 16), Seitenschneideranschläge (Bild 17), oder Suchstifte (Bild 18), möglich. Die Stempelköpfe dürfen beim Schneiden nicht einseitig belastet werden, um den Einspannzapfen nicht auf Biegung zu beanspruchen.

Bild 14. Aufbau eines Freischneidwerkzeuges a) mit federbelastetem Abstreifer b) mit festem Abstreifer 1 Einspannzapfen, 2 Kopfplatte, 3 Druckplatte, 4 Stempelplatte, 5 Abstreiferfeder, 6 Schneidstempel, 7 federbelasteter Abstreifer, 8 fester Abstreifer, 9 Schneidplatte, 10a Spannring oder 10b Spannmutter, 11 Einspannplatte

2.1.4.2 Gesamtschneidwerkzeuge. Lochen und Ausschneiden wird im Gesamtschneidwerkzeug ohne Vorschub des Streifens an gleicher Stelle ausgeführt, um genaue Lage der Lochungen zueinander und im Stück zu bekommen. Die Maßtoleranzen sind kleiner als 0,05 mm.

Bild 16. Vorschubbegrenzung durch Einhängestift 1 2 3 4 5 6 7

Schneidplatte, Schneidstempel, Lochstempel, Einhängestift, Führungsplatte, Anschlagsteg für Vorschubbegrenzung, Blechstreifen

Bild 15. Aufbau eines Schneidkastens für Plattenführungsschneidwerkzeug 1 Schneidstempel (bleibt beim Schneiden in 2 geführt), 2 Führungsplatte, 3 kurze Zwischenlage, 4 lange Zwischenlage, 5 Schneidplatte, 6 Einspannplatte, 7 Auflageblech, 8 eingegossene Schneidstempelführung (nur für große Stückzahlen wirtschaftlich), 9 Innensechskantschraube, 10 Stift

Bild 17. Vorschubbegrenzung durch Seitenschneider 1 2 3 4 5 6 [

Werkstückausschnitt, Vorlochung, Seitenschneider, Führungsplatte, Blechstreifen, Seitenschnittanschlag

2 Trennen und Umformen

Bild 18. Vorschubbegrenzung durch Suchstift 1 2 3 4 5

Schneidplatte, Lochstempel, Schneidstempel, Suchstift, Einhängestift zur ungefähren Vorschubbegrenzung, 6 Führungsplatte, 7 Blechstreifen, 8 Werkstück

2.1.5 Sonderschneidverfahren 2.1.5.1 Trennschneiden mit Schneidwerkzeugen (Bild 19). Anwendbar zum gleichzeitigen Lochen und Trennen solcher Werkstücke aus Blechband oder flachen Walzprofilen, deren Seitenkanten roh bleiben können.

M 19

Bild 20. Beschneiden von Werkstücken 1 2 3 4 5

Schneidplatte, Schneidstempel, Werkstückzentrierung, Auswerfer, Werkstück (Tiefziehteil)

2.1.5.2 Beschneiden (Bild 20). Durch Beschneiden wird überschüssiger Werkstoff an Biege- oder Tiefziehteilen abgetrennt. Die Lage des Werkstückes im Werkzeug bestimmt eine Ziehkante oder eine Lochung. 2.1.5.3 Feinstanzen (Bild 21). Durch Feinstanzen erhält man Schnittflächen mit hoher Oberflächengüte (Profilrautiefe Rz = 3 μm).

Bild 21. Feinstanzen 1 2 3 4 5

Bild 19. Trennschneiden mit Schneidwerkzeug im Folgeschneidwerkzeug 1 2 3 4 5 6 7

Schneidplatte, Lochstempel, Trennstempel, Führungsplatte, Werkstoffstreifen, Werkstück, Anschlag

Schneidstempel, Druckring, Werkstoffstreifen, Werkstück, Gegendruckstempel zugleich Auswerfer

Der Streifen oder das für ein Werkstück zugeschnittene Rohteil wird durch einen Druckring mit so großer Kraft auf die Schneidplatte gedrückt, dass der Werkstoff kaltverfestigt wird. Die Kaltverfestigung wirkt sich günstig auf die Oberflächengüte der Schnittkanten aus. Die Pressen müssen mit Zusatzeinrichtungen für die Druckringbetätigung ausgerüstet sein. Die erforderliche Schnittkraft muss 2,5 bis 3 mal so groß sein wie beim herkömmlichen Ausschneiden. Feinstanzen eignet sich gut für das Durchsetzen, also Werkstoffverlagerung ohne Trennung mittels Stempel (Bild 22).

M 20

M Spanlose Fertigung

Bild 22. Durchsetzen mit Schneidstempel und Schneidplatte

2.1.5.4 Nachschneiden (Bild 23) ist ein spangebendes Fertigungsverfahren mit Schneidwerkzeug (auch Schaben genannt). Mit geringem Übermaß (etwa 10 % der Werkstoffdicke) ausgeschnittene Werkstücke oder entsprechend kleiner gelochte werden durch die Schneidkanten des Stempels oder der Schneidplatten auf genaues Maß geschnitten.

Bild 24. Einschneiden zum Biegen Zum Umformen auf Pressmaschinen eignen sich alle plastisch verformbaren Metalle und Kunststoffe. Werkstoffumformungen mittels Ober- und Unterstempel sind nach DIN 6932 mit Stanzen zu bezeichnen. Die erforderliche Zuschnittlänge (gestreckte Länge) umzuformender Werkstücke wird für einfache Ausführungen berechnet, für genaue Ausführungen (Längentoleranzen < + 0,2 mm) durch Versuche ermittelt. Beschneiden auf Maß wird wegen der hohen Kosten selten angewendet. 2.2.1 Biegen und Abkanten

Bild 23. Nachschneiden einer Bohrung mit Schneidstempel 1 Schneidplatte, 2 Schneidstempel, 3 Werkstückaufnahme (beweglich, arretierbar), 4 Einspannplatte, 5 Werkstück, 6 Span

Je nach Härte des Werkstoffes wendet man freies, halbfreies oder zwangsweises Biegen an. Gebogene Werkstücke federn zurück. Anhaltswerte für die Rückfederung gibt Tabelle 5. Löcher in Nähe der Abkantung – Entfernung etwa r + s/2 – werden elliptisch mit großer Achse rechtwinklig zur Biegelinie.

2.2 Umformverfahren Tabelle 4. Übersicht über Umformverfahren (Auszug)

Die Unterteilung der Umformverfahren in den Gruppen 2.1 bis 2.5 ergibt sich aus den in der Umformzone überwiegend wirksamen Spannungen.

2 Trennen und Umformen

M 21

a) Biegestanzen. Abkantungen bis 200 mm Länge biegt man in Biegewinkel von 0 bis 179º im Stanzwerkzeug (Bild 25). Beim Biegen unter hartem Schlag (mit Exzenter-, Kniehebel- oder hydraulischen Pressen) ist für die Auswahl der Pressmaschinengröße die Größe der gepressten Fläche, nicht die erforderliche Biegekraft nach (17) maßgebend. b) Abkanten. Die Herstellung von Abkantungen über 200 mm bis 6 m Abkantlänge wird auf Abkantbänken (Handbetätigung für Blechdicken bis 1 mm und Abkantlängen bis 1 m) und Abkantmaschinen (elektrischer Antrieb für Blechdicken bis 20 mm und Abkantlängen bis 6 m) ausgeführt. Tabelle 5. Rückfederung nach dem Kaltbiegen zum Winkel von 90º Werkstoff

Messingblech CuZn37 weich geglüht

Stahlblech Rm = 400 ... 550 N/mm2

Stahlblech bis Rm = 400 N/mm2

Werkstoffsorte

Werkstoffdicke s in mm 0,5 1 1,5 2 2,5 3 4 5 0,5 1 1,5 2 2,5 3 4 5 0,5 1 1,5 2 2,5 3 4 5

Rückfederung bei einem Innenradius r= s 1 ... 5 s über 5 s in º 5 3 2 2 1 1 0 0 6 5 4 3 2 2 2 2 4 2 2 2 1 1 0 0

in º 6 4 3 2 2 1 1 1 9 7 5 5 4 4 3 3 5 4 3 3 2 2 1 1

in º 8 7 6 4 4 3 3 3 12 9 7 7 6 6 4 4 6 5 4 4 3 3 2 2

2.2.1.1 Berechnung der Zuschnittlänge. Die Schicht im Werkstoff, die beim Biegen weder gereckt noch gestaucht wird, heißt neutrale Faser. Sie ist nicht immer die Schwerachse des Werkstückquerschnitts, weil beim Biegen in kleinen Radien plastische Werkstoffe mehr gereckt als gestaucht werden. Dieses Verhalten des Werkstoffes muss man beim Bemessen der Zuschnittlängen berücksichtigen. a) Einfache Winkel. Nach Bild 26 ist Zuschnittlänge L, Bogenlänge lb und Fertigungsradius rf L = l1 + lb + l2

(9)

 r º lb = f 180º rf = r + x

(10) (11)

l1, l2 gegebene Fertigungslängen; x Abstand der neutralen Faser vom Innenradius; x = s/2, wenn Biegewinkel   30º; x = s/3, wenn Biegewinkel  > 30º; r Innenbiegeradius  Blechdicke s;  Innenwinkel = 180º – .

Bild 26. Zuschnittlänge L für Biegeteile Wenn die Bemaßung vom Winkelscheitel bis zu den Werkstückenden (Bild 27) angegeben ist, wird die Zuschnittlänge L = l3 + l4 – 1

(12)

l3, l4 gegebene Fertigungsmaße vom Winkelscheitel bis zu den Werkstückenden; 1 Verkürzung der gegebenen Maßsumme l3 + l4.

1 =

2 (r + s) −π tan ( β / 2)

 βº  r 1   180º 

(13)

Fertigungsradius rf nach (11), x = s/2, wenn   150º; x = s/3, wenn  < 150º.

Bild 25. Biegestanze und Ausführung der Einlaufkante bei A a) Einlaufkante für Biegewinkel E   b) Einlaufkante für Biegewinkel  >   = 30º bis 45º

Wenn die Bemaßung von den Bogentangenten bis zu den Werkstückenden (Bild 28) angegeben ist, wird die Zuschnittlänge L = l5 + l6 – 2

(14)

M 22

M Spanlose Fertigung

Bild 27. Biegeteil mit Maßangabe bis Winkelscheitel Bild 29. Doppelbiegeteil

Bild 28. Biegeteil mit Maßangabe bis Bogentangente l5, l6 gegebene Fertigungsmaße von den Bogentangenten bis zu den Werkstückenden; X2 Verkürzung der gegebenen Maßsumme l5 + l6, 

X2 = 2 (r + s) – S rf 1− 

βº   180º 

(15)

■ Beispiel:

Das skizzierte Biegeteil im Bild 31 ist vom Winkelscheitel bis zu den Werkstückenden bemaßt. Zu berechnen ist die Zuschnittlänge L. Lösung:

Fertigungsradius rf nach (11), x = s/2, wenn E t 150º; x = s/3, wenn E < 150º. b) Doppelbiegeteil (U-Stanzen). Nach Bild 29 beträgt die Zuschnittlänge L = l7 + lb1 + l8 + lb2 + l9

Bild 30. Biegeteil

(16)

l7, l8, l9 gegebene Fertigungslängen; lb1 Länge des Bogens 1; lb2 Länge des Bogens 2. Bogenlänge lb nach (10), Fertigungsradius rf nach (11), aber x = s/3, wenn E > 90º; x = s/4, wenn E  90º.

Aus der Bemaßung ist zu schließen, dass die Lage des Biegeteils zum Winkelscheitel wichtig ist, folglich muss nach (12) gerechnet werden. Die neutrale Faser liegt in s/3, da  < 150º. Nach (11) wird der Fertigungsradius rf = r + x = r + s/3 = (12 + 9/3) mm = 15 mm. Nach (13) ist die Verkürzung  2 (r + s ) βº  − rf 1− 1 = =  180º  tan ( β / 2) =

■ Beispiel:

Für das skizzierte Biegeteil nach Bild 30, ist die Zuschnittlänge L zu berechnen. Lösung:

Es liegt ein einfaches Biegeteil mit einem Biegewinkel  = 180º – 45º = 135º vor. Die neutrale Faser liegt s/3 vom Innenradius entfernt, weil  > 30º ist. Nach (11) wird Fertigungsradius rf = r + x = r + s/3 = (12 + 9/3) mm = 15 mm. Die Bogenlänge lb wird nach (10):

π rf α º π ⋅15 mm⋅135º = = 35, 4 mm 180º 180º und die Zuschnittlänge nach (9):

lb =

L = l1 + lb + l2 = (40 + 35,4 + 60) mm = = 135,4 mm.

 2 (12 mm + 9 mm) 45º  − 15 mm1−   180º  tan (135º / 2)

= 65,8 mm. Zuschnittlänge L = l4 + l5 – 1 = (90,6 + 110,6 – 65,8) mm = = 135,4 mm. ■ Beispiel: Zu berechnen ist die Zuschnittlänge L für das im Bild 32 dargestellte Biegeteil. Lösung: Die Bemaßung ist von den Bogentangenten ausgehend vorgenommen, diese Maße sind unbedingt einzuhalten. Es muss nach (14) gerechnet werden. Die neutrale Faser liegt, da der Innenwinkel  < 150º ist, im Abstand s/3 vom Innenradius. Nach (11) wird der Fertigungsradius

rf = r + s/3 = (12 + 9/3) mm = 15 mm.

Nach (15) wird die Verkürzung

2 Trennen und Umformen 

X2 = 2 (r + s) – S rf 1− 

βº  = 180º 

 45º  = 2 · 21 mm – S · 15 mm 1− =  180º  = (42 – 35,4) mm = 6,6 mm.

L = l5 + l6 – X2 = (61 + 81 – 6,6) mm = = 135,4 mm

M 23 Nach (10) erhält man für Bogen 1: rf 1 α º ⋅3, 4 mm⋅90º lb 1 = = = 5,34 mm 180º 180º | 5,3 mm; für Bogen 2: rf 2 º ⋅4, 4 mm⋅90º lb 2 = = 6,92 mm = 180º 180º | 6,9 mm L = l7 + lb 1 + l8 + lb 2 + l9 = = (8 + 5,3 + 5 + 6,9 + 10) mm = 35,2 mm.

2.2.1.2 Berechnung der Biegekräfte. Mit den Bezeichnungen nach Bild 34 wird die Biegekraft Fb = Bild 31. Biegeteil

Fb N

2 lb s 2 Rm ε 3 la

lb

s mm

la

Rm N mm 2

H

(17)

1

Der Beiwert H berücksichtigt die Wirksamkeit des Schlages. Man wählt H = 2,5 beim Biegen von Werkstücken mit geringen Dickentoleranzen (± 0,1 mm) und H = 3,5 beim Biegen warmgewalzten Flachmaterials oder bei abgenutzten Werkzeugen zum Biegen maßhaltiger Stücke. Bild 32. Biegeteil

Bild 33. U-Stanzteil

Bild 34. Die Größen für die Berechnung der Biegekraft Fb Rmin = r + s, rmin = s

■ Beispiel: Welche Zuschnittlänge L ist für das U-Stanzteil des Bildes 33. erforderlich? Lösung: Da beide Biegewinkel 90º sind, liegt die neutrale Faser im Abstand s/4 vom Innenradius. Die beiden unterschiedlich großen Fertigungsradien rf 1 und rf 2 ergeben sich nach (11)

für Bogen 1: s  1,6  rf 1 = r1 + =3+ mm = 3,4 mm; 4  4  für Bogen 2: s  1, 6  rf 2 = r2 + = 4 + mm = 4,4 mm. 4  4 

Bild 35. Biegeteil ■ Beispiel: Zu berechnen ist die erforderliche Pressenkraft für das Biegen des im Bild 35 dargestellten Blechwinkels aus 1,5 mm dickem Ziehblech mit Rm = 330 N/mm2 in einer vorhandenen Biegestanze mit einer Auflageweite la = 30 mm.

M 24

M Spanlose Fertigung

Lösung: Die Dickenabweichung des Ziehbleches wird zu ± 0,1 mm angenommen. Dieser Wert ist den Lieferbedingungen zu entnehmen. Dann ist nach (17) mit H = 2,5:

Fb =

2 lb s 2 Rm ε = 3 la

2⋅25 mm⋅1,52 mm 2 ⋅330 =

Durchziehen ohne Vorlochen ist möglich (Bild 38).

3⋅30 mm

N ⋅2,5 mm 2 = 1 031 N

Nach Tabelle 5 sind 3º Aufbiegung zu erwarten.

2.2.2 Rollen (Bild 36) Blechkanten werden gerollt, wenn man einen verstärkten Rand oder ein Scharnierauge fertigen will. Vor dem Rollen soll die Rollkante angekippt sein. Die neutrale Faser liegt in der Mitte des gerollten Teiles. Die Zuschnittlänge des Rollrandes wird nach (10) ermittelt. Die Größe des Biegewinkels ermittelt man nach genauer Zeichnung oder durch Versuche.

Bild 38. Durchziehen ohne Lochung, di Innendurchmesser, dz Durchzugdurchmesser, s Werkstoffdicke 2.2.3.1 Stechen (Bild 39). Beim Stechen wird mit einseitig abgeschrägtem Schneidstempel das Blech in einem nicht geschlossenen Linienzug getrennt. Meist führt der Stempel gleichzeitig die Verformung des ausgetrennten Steges durch. Das Werkstück ist gegen Verschieben beim Schnitt zu sichern. Der Stempel muss sehr eng geführt sein, wenn ein Ausweichen, besonders bei dünnen Stempeln, vermieden werden soll.

Bild 36. Rollstanzen im Werkzeug-Unterteil 2.2.3 Durchziehen (Bild 37) Weiche Werkstoffe (Stahl bis 500 N/mm2 Zugfestigkeit) werden zum Einschneiden von Gewinde oder zur Ausbildung einer Lagerstelle mit kleinem Durchmesser vorgelocht und dann der überschüssige Werkstoff aus der Blechebene herausgezogen.

Bild 37. Durchziehen nach dem Lochen, dl Lochdurchmesser, di Innendurchmesser = Stempeldurchmesser, dz Durchzugdurchmesser = di + 2 · 0,65 s, s Werkstoffdicke

Bild 39. Stechen von Verbindungslappen und Verbinden zweier Bleche durch Lappen 2.2.4 Falzen (Bild 40) Falzen ist das Verbinden dünner Bleche durch Ineinanderhaken umgebogener Ränder. Falzbar sind alle Bleche von 0,28 bis 1,25 mm Dicke, deren Werkstoff um 180º ohne Rissbildung zu biegen ist. Dabei darf der Abkantknick bei Zink- und Elektronblechen nicht parallel zur Walzrichtung liegen, bei Stahlblechen kann er beliebig zur Walzfaser liegen. Falzverbindungen sind staub- und regenwasserdicht (Dacheindeckungen). Durch Löten des fertigen Falzes oder durch Dichtungszwischenlagen aus Gummi oder Papier wird die Falzverbindung so dicht, dass sie höchsten Ansprüchen auf Luft- und Wasserdichtheit genügt (Konservendosen). Falzverbindungen kann man von Hand, maschinell oder vollautomatisch herstellen.

2 Trennen und Umformen

M 25 2.2.6 Tiefziehen

Bild 40. Falzverbindung

Durch Tiefziehen werden Blechzuschnitte aller Metalle, Plattenzuschnitte aus plastischen oder thermoplastischen Kunststoffen, Papier oder Pappe zu Hohlkörpern mit prismatischen Wandungen geformt (Bild 43).

a) mit Lötnaht, b) mit eingelegter Dichtung

2.2.5 Streckziehen (Bild 41) Aus Blech zu formende Großteile geringer Stückzahl (etwa 200 im Monat) sind durch Streckziehen wirtschaftlich herstellbar.

Bild 43. Tiefziehteile Tiefziehen ist nur für Großserien (etwa ab 1 000 Stück) wirtschaftlich, weil immer ein Ziehsatz nach Bild 44 erforderlich ist. Tiefgezogenen Körpern gibt man durch Ausbauchen und Einziehen (Abschnitt 2.2.7) der prismatischen Wandung zweckvollere Formen.

Bild 41. Streckziehen (schematisch) Das in Klauen eingespannte Blech wird durch den Formklotz gestreckt, wenn er mit der Streckziehkraft Fz nach oben bewegt wird. Beim Strecken passt sich das Blech den erhabenen Formen des Formklotzes an. Den Vertiefungen des Formklotzes wird das Blech durch Nachstrecken von außen oder durch Einpoltern von Hand angeformt. Streckziehanlagen sind billig. Formklötze aus druckfestem Holz (Buche, Nussbaum), Einspannklauen und Aufspannrahmen können in einfach eingerichteten Werkstätten gefertigt werden, während man für die Erzeugung der Streckziehkraft handelsübliche Hydraulikzylinder und -pumpen mit Hand-, Fuß- oder elektrischem Antrieb verwendet. Es ist jedoch zu empfehlen, Streckzieharbeiten von geschulten Fachkräften ausführen zu lassen. Gute Schmierung zwischen Formklotz und Blech muss die Reibung niedrig halten, sonst reißt das Blech in den Zonen der größten Streckung. Streckziehen wird in der Großserienfertigung auf Doppelpressen durchgeführt (Fahrzeugkarosserieteile). Die Einspannklauen sind hier durch Halteränder ersetzt (Bild 42).

Bild 42. Halteränder zum Streckziehen in der Großserienfertigung

Bild 44. Aufbau eines Ziehsatzes 1 Ziehstempel aus gehärtetem Stahl, selten aus Hartmetall, 2 Faltenhalter aus Stahl, 3 Ziehring aus gehärtetem Stahl oder Hartmetall, 4 Aufnahme, 5 Ausfutterung, 6 Spannring mit Schrauben oder 7 Spannring als Spannringmutter, 8 Einspannplatte (Frosch) aus Baustahl oder Grauguss Bei jedem Tiefziehen ist das Zieh- oder Schlagverhältnis einzuhalten, dessen Größe von der Ziehfähigkeit des Werkstoffs abhängt (Größe der Ziehverhältnisse siehe Tabelle 6). Der erste Umformvorgang eines ebenen Zuschnitts zu einem Topf heißt: Anschlagzug; die weiteren Umformungen zu Töpfen mit kleinerem Durchmesser, aber größerer Wandhöhe: Weiterzug oder -schlag. Das Ziehverhältnis m für den Anschlagzug wird als Quotient „neuer Durchmesser” d zu „Ausgangsdurchmesser” D ausgedrückt:

M 26 Das Weiterschlagverhältnis m1 kann für alle Durchmesserverkleinerungen gleichgroß angenommen werden (in Wirklichkeit wird das Weiterschlagverhältnis nach jeden Schlag größer und nähert sich dem Wert 1) und durch den Quotienten „neuer Durchmesser” zum „zugehörigen Ausgangsdurchmesser” ausgedrückt werden: d d d d m1 = 1 2 3 4 ... d d1 d 2 d 3 Weiterzüge können mit und ohne Faltenhalter erfolgen (Bild 45).

M Spanlose Fertigung Oberfläche des Rohteils = Oberfläche des Fertigteils.

Bild 47. Werkstoffverdickung während des Zuges s Ausgangswerkstoffdicke, s1 Werkstoffverdickung im Ziehbogen, s1 = 1,5 bis 1,66s Für einen Topf mit zylindrischer Hohlwandung nach Bild 48 errechnet sich der Zuschnittdurchmesser D für die Ausgangsronde (kreisrunde Blechscheibe) zum Ziehen eines Topfes mit dem Fertigdurchmesser df und der Fertighöhe hf zu: D = df2

(20)

4 df hf

Bild 45. Weiterzug eines gezogenen Topfes, ohne und mit Faltenhalter Zentrierung: ohne Faltenhalter im Ziehring, mit Faltenhalter durch den Faltenhalter Um die Faltenhaltekraft Ff über den gesamten Ziehweg konstant zu halten, verwendet man Öldruckoder luftkissengesteuerte Faltenhalter (Bild 46). Bild 48. Zuschnittberechnung für verlustloses Tiefziehen Die Zahl der erforderlichen Züge beeinflusst die Zuschnittberechnung nicht. Die Größe der Ziehpresse bestimmt man nach überschlägig errechneter Zugkraft Fz und der ebenso bestimmten Faltenhaltekraft Ff: Fz Fz | s U Rm z Bild 46. Luftkissen für konstante Faltenhaltekraft 1 2 3 4 5 6 7 8

Traverse für Ziehstempel und Luftkissenzylinder, Luftkissen, Luftkissenkolben, Rückholbund, Faltenhalter, Werkstück, Aufnahme, Ziehring

Die drei Tiefziehverfahren a) Das Topfziehen oder verlustlose Tiefziehen. Die gezogene Topfwandung hat die Dicke des Ausgangswerkstoffes (Bild 47), dadurch ergibt sich für das Topfziehen:

N

s, U mm

Rm N mm 2

z 1

(21)

s U ist die in Umformung befindliche Fläche, vereinfacht aus Stempelumfang U und Blechdicke s ermittelt, Rm Zugfestigkeit, z Tiefzieh-Korrekturfaktor, siehe Tabelle 7. Ff Ff | Af p

N

Af mm

p N

(22)

mm 2

Af niederzuhaltende Fläche in mm2, für den Anschlagzug S/4 (D2 – d 2 ), D Rondendurchmesser, d Durchmesser des 1. Topfes, p Faltenhalterdruck, Werte für p siehe Tabelle 6.

2 Trennen und Umformen

M 27

Tabelle 6. Tiefziehverhältnisse und Faltenhalterdruck für Bleche bis 2 mm Dicke und Tiefziehen mit Faltenhalter Anschlagzugverhältnis m= Karosserieblech Tiefziehblech Ziehblech Stahlblech bis Rm = 500 N/mm2 nichtrostender Stahl mit 12 ... 14 % Cr Weißblech Kupferblech, weich Messingblech CuZn37 Messingblech CuZn28 Zinkblech Zink-Legierung Zn-Cu Aluminium 99,5 % Al-Cu-Legierungen Al-Mg-Legierungen

Weiterzugverhältnis

d D

m1 =

0,55 0,58 0,6 0,6 0,55 0,6 0,5 0,55 0,63 0,65 0,6 0,53 0,55 0,5

d1 d 2 ... = d d1

Anzuwendender Faltenhalterdruck

p N/mm2

0,75 0,78 0,8 – 0,8 0,88 0,85 0,8 0,75 0,85 0,85 0,8 0,9 0,8

2 2,5 2,8 3 3 3 2 2 1,8 1,5 1,5 1,2 1,5 1,2

Fehler beim Tiefziehen Fehler Doppelungen im Werkstoff Betonte Walzstruktur (Textur) führt zu Zipfelungen Blechdickenabweichungen

Ursachen Oxid- oder Sandeinschlüsse im Werkstoff Walzen des Bleches ergibt Zeilenstruktur. Mechanische Eigenschaften des Werkstoffs stark abhängig von der Walzrichtung. Abgenutzte Walzen

Bodenreißer (häufiger Fall)

Ziehverhältnis zu groß

Bodenabriss (seltener Fall) Ziehriefen in der Oberfläche des Ziehteils

Ziehwerkzeug falsch ausgelegt Übermäßiger Verschleiß des Ziehwerkzeugs

Zugkraft Fz und Faltenhaltekraft Ff ergeben die von der Presse aufzubringende Gesamtziehkraft Fges = Fz + Ff

(23)

Die Gesamtziehkraft Fges wirkt nur während des Nutzhubes der Presse, also nur dann, wenn die Wandhöhe h geformt wird. Daraus ergibt sich die annähernd aufzubringende Nutzarbeit W zu: W | Fges h p

W Fges Nm N

h m

p 1

(24)

p Umform-Korrekturfaktor ist vom Ziehverhältnis m abhängig, Werte für p siehe Tabelle 7.

Änderungsvorschlag Vor dem Umformen Ultraschallprüfung durchführen. Blechqualität verbessern. Normalglühen des Bleches bei 900 bis 950 ºC ergibt sehr feines Gefüge. Walzstruktur geht verloren. Die mechanischen Eigenschaften des Werkstoffs sind nach dem Glühprozess richtungsunabhängig. Gewünschte maximale Blechdickenabweichung vorschreiben Zugabstufung wählen: Durch größere Anzahl der Züge vermindert sich der Verformungsgrad pro Zug! Blechqualität verbessern. Werkzeuggestaltung generell überarbeiten. Hartverchromen der dem stärksten Verschleiß ausgesetzten Werkzeugoberflächen (Stempel, Matrize).

Tabelle 7. Tiefziehkorrekturfaktoren für die Tiefziehverhältnisse m und m1 Tiefziehverhältnis m oder m1 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,9 1,0

Tiefziehfaktor z 1 0,9 0,83 0,7 0,6 0,5 0,4 0,2 0,1

Umformfaktor p 0,8 0,8 0,8 0,74 0,7 0,67 0,65 0,64 0,64

M 28

M Spanlose Fertigung

Für bestimmte Ziehaufgaben kann es nötig sein, den erforderlichen Kraftaufwand genau zu kennen, z. B. bei der Klärung von Beanstandungen nach aufgetretenen Bodenreißern. In solchen Fällen setzt man Messdosen zwischen Ziehstempel und Pressenstößel, die die Stößelkraft genau anzeigen. ■ Beispiel: Zu berechnen ist der Zuschnittdurchmesser D der Ausgangsronde für verlustloses Tiefziehen eines Topfes aus 0,8 mm dickem Tiefziehstahlblech mit dem Fertigdurchmesser df = 40 mm und der Fertighöhe hf = 60 mm. Lösung: Nach (20) ist unter Vernachlässigung der geringen Wanddicke s = 0,8 mm:

D = d f2 + 4 d f hf = (402 + 4⋅40⋅60) mm 2 D = 105,8 mm

Auszuführen ist der Zuschnittdurchmesser D = 106 mm. ■ Beispiel: Aus 1 mm dickem Ziehblech mit Rm = 320 N/mm2 Festigkeit sollen Töpfe mit einem Fertigdurchmesser df = 25 mm und einer Fertighöhe hf = 50 mm tiefgezogen werden. a) Wieviel Züge (Schläge) sind erforderlich? b) Welche Stößelkraft Fges muss die Presse haben? Lösung: a) Zur Ermittlung der Anzahl der Züge muss der Ausgangsdurchmesser D der Ronde bekannt sein. Er errechnet sich nach (20) zu:

Nach (22) wird die Faltenhaltekraft Ff | Af p ermittelt. Die niederzuhaltende Fläche beträgt Af = S/4 (D2 – d2) = S/4 (7,52 – 4,52) cm2 = 28,3 cm2. Der Faltenhalterdruck ist in Tabelle 6 für Ziehblech mit p = 2,8 N/mm2 ausgewiesen. Mit diesen Werten ergibt sich die Faltenhaltekraft N Ff | Af p = 2 830 mm2 · 2,8 = 7 924 N mm 2 und Fges = Fz + Ff = 37 548,3 N + 7 924 N = 45 472,3 N Für die Herstellung der verlangten Töpfe im Tiefziehverfahren ist eine Ziehpresse mit 50 000 N Stößelkraft einzusetzen.

a) Polierziehen wird angewendet, um im Tiefziehverfahren geformte Hohlwandungen zu glätten und maßhaltige Oberflächen zu bekommen. Die polierten Außenoberflächen der Hohlwandungen erhält man, wenn ein Ziehsatz verwendet wird, dessen Ziehspalt genau der Ausgangswanddicke des Werkstoffes entspricht. b) Tiefziehen mit Wandschwächung. Aus gut ziehfähigen Metallen (Stahlblech in Tiefzieh- oder Karosseriegüte, Aluminium, weiches Messing, Kupfer) wird im verlustlosen Tiefziehen ein dickwandiger Topf mit niedriger Wandhöhe hergestellt. Die niedrige Wandhöhe zieht man durch einen Ziehsatz, dessen Ziehspalt kleiner als die Wanddicke s ist. Hierbei kann man beim ersten Zug die Wanddicke um 30 %, bei allen Weiterzügen um 25 % vermindern. 2.2.7 Ausbauchen und Einziehen Die Hohlwandungen tiefgezogener Töpfe werden durch Ausbauchen oder Einziehen von der geraden Ausbildung in beliebige Gebrauchsformen gebracht.

D = d f2 + 4 d f hf =

= (252 + 4⋅25⋅50) mm 2 = 75 mm Für den Anschlagzug kann nach Tabelle 6 für Ziehblech m = 0,6 gewählt werden. Damit wird der Topfdurchmesser d des Anschlagzuges nach (18):

d = m D = 0,6 · 75 mm = 45 mm Für die Weiterzüge wird aus Tabelle 6 mit dem für Ziehblech angegebenen Weiterzugverhältnis m1 = 0,8 gerechnet. Damit ergeben sich nach (19):

(Verschluss)

d1 = m1 d = 0,8 · 45 mm = 36 mm d2 = m1 d1 = 0,8 · 36 mm = 28,8 mm d3 = m1 d2 = 0,8 · 29 mm = 23,2 mm Der geforderte Fertigdurchmesser df ist in vier Zügen zu fertigen mit den gerundeten Ziehdurchmessern 45, 36, 30, 25 mm. b) Die aufzubringende Gesamtziehkraft Fges ist nach (23): Fges = Fz + Ff. Die Ziehkraft Fz wird nach (21) ermittelt, der fehlende Tiefzieh-Korrekturfaktor z für das angewendete Anschlagziehverhältnis m = 0,6 aus Tabelle 7 entnommen zu: z = 0,83.

Fz = U s Rm z = 45 mm · S · 1 mm · 320

N · 0,83 = 37 548,3 N mm 2

Bild 49. Ausbauchen mit Gummikissen oder Druckflüssigkeit Man baucht aus mit Gummikissen oder Druckflüssigkeit (Bild 49) oder mit Spreizwerkzeugen (Bild 50). Man zieht ein mit Stempel und Einziehringen (Bild 51).

2 Trennen und Umformen

M 29 2.2.10 Fließpressen Beim Fließpressen wird Werkstoff unter hohem Druck zum Fließen gebracht und durch eine vom Pressstempel und Werkzeug gebildete Öffnung gepresst. Kaltfließpressen liegt vor, wenn die Umformung unterhalb der Rekristallisationstemperatur stattfindet. Dabei verzerren sich die einzelnen Kristalle. Der Formänderungswiderstand des Werkstoffs vergrößert sich. Warmfließpressen liegt vor, wenn die Umformung oberhalb der Rekristallisationstemperatur stattfindet. Dabei verzerren sich die Kristalle nicht und der Formänderungswiderstand bleibt gleich. 2.2.10.1 Fließpressverfahren

Bild 50. Ausbauchen mit Spreizkernen

Beim Rückwärtsfließpressen – auch indirektes Fließpressen genannt – fließt der Werkstoff gegen die Bewegungsrichtung des Stempels (Bild 52). Er wird in Form einer Platine in das Werkzeugunterteil gelegt. Während der Stempel auf die Platine drückt, steigt der Werkstoff in entgegengesetzter Richtung empor. Die so erreichbaren Wanddicken sind im Verhältnis zum Durchmesser sehr klein.

Die formgebende Matrize ist geteilt, um das Auspacken der fertigen Werkstücke zu ermöglichen oder zu erleichtern. Ausbauchmatrizen sollen wegen des häufigen Bewegens von Hand so leicht wie möglich sein. Eingezogene Wandungen steigen am Einziehring hoch und vergrößern die Wandhöhe.

Bild 52. Rückwärtsfließpressen

Bild 51. Einziehen tiefgezogener Töpfe

Beim Vorwärtsfließpressen – auch direktes Fließpressen genannt – fließt der Werkstoff in Richtung der Stempelbewegung. Als Rohling ist ein Napf erforderlich. Der Stempel drückt auf die Stirnseite des Napfes und presst den Werkstoff durch die Matrizenöffnung (Bild 53).

2.2.8 Drücken Durch Drücken können nur kreisrunde, in Ausnahmefällen ovale Rotationskörper aus tiefziehfähigem Stahl- oder Weißblech (bis 1 mm dick), Aluminiumblech (bis 4 mm dick), Kupfer-, Messing- oder Zinkblech (bis 2 mm dick) hergestellt werden. 2.2.9 Sicken Eine Sicke soll die Steifheit eines ebenen Bleches erhöhen. Sicken werden auf Sickenmaschinen eingewalzt (gesickt). Breite und Höhe der Sicken passt man dem Verwendungszweck und der Dehnung des Werkstoffes an.

Bild 53. Vorwärtsfließpressen

M 30 Das Koldflo-Verfahren ist eine Kombination aus direktem und indirektem Fließpressen. Hier bewegen sich zwei Stempel gegeneinander. Als Rohlinge werden Näpfe eingelegt. Dieses Verfahren wird häufig beim Fließpressen von Stahl eingesetzt (Bild 54). Beim hydrostatischen Fließpressen wird grundsätzlich vorwärts gepresst. Die Druckkraft wird über eine Flüssigkeit (Hydrauliköl in besonderer Zusammensetzung) auf das Werkstück übertragen.

M Spanlose Fertigung Gegenüber der mechanischen Kraftübertragung macht die Bestimmung der erforderlichen Fließpresskraft große Schwierigkeiten. Die Druckflüssigkeit muss für jeden Fließpressvorgang neu eingefüllt werden und der Umformvorgang selbst läuft sehr langsam ab.

Bild 54. Fließpressen nach dem Koldflo-Verfahren Vorteile gegenüber einer mechanischen Kraftübertragung: Geringere Reibung zwischen Werkstück und Werkzeug. Durch kleinere Matrizenöffnungswinkel verläuft der Umformprozess gleichmäßiger. Es können Rohlinge mit einem größeren Verhältnis von Länge zum Durchmesser umgeformt werden. Nachteilig können sich die Abdichtungsschwierigkeiten an den Stempelführungen infolge der hohen Pressdrücke auswirken. Müssen spröde Werkstoffe wie z. B. Chrom, Molybdän oder Beryllium verarbeit werden, kann hydrostatisch mit Gegendruck fließgepresst werden. Da hier der Flüssigkeitsdruck allseits auf das Werkstück wirkt, ist die Gefahr des Aufreißens während des Umformvorganges geringer als beim normalen hydrostatischen Fließpressen.

Bild 55. Hydrostatisches Fließpressen

Bild 56. Hydrostatisches Fließpressen mit Gegendruck 2.2.10.2 Fließpressbare Werkstoffe Alle Werkstoffe mit einem guten Formänderungsvermögen sind zum Fließpressen geeignet. Neben den Nichteisenmetallen lassen sich auch bestimmte Stahlsorten fließpressen. In der Praxis wird für jeden Werkstoff eine Fließkurve ermittelt. Als Kriterien werden neben der Härte, der Streckgrenze und der Bruchdehnung vor allem die Fließspannung kf und der Umformgrad  herangezogen (Bild 57).

Bild 57. Fließkurven einiger Werkstoffe bei 20 ºC

2 Trennen und Umformen

M 31

In einem Werkstoff wird die Fließspannung kf erreicht, wenn eine bleibende Formänderung erzielt wird:

kf =

kf

F A

F

N mm

2

A

N mm2

(25)

Der Umformgrad  – auch logarithmische Formänderung genannt – ergibt sich aus dem logarithmischen Verhältnis der Ausgangs- zur Augenblickshöhe:

 = ln

h1 h0

(26)

Grenzen des Verfahrens: Werkstoffe, bei denen die größte Formänderung unter 25 % liegt, sollten nicht fließgepresst werden. Werkstoffe, die Fließpresswerkzeuge mit einer Flächenpressung > 2 500 N/mm2 belasten würden, sollten nicht fließgepresst werden, da die Wirtschaftlichkeit dieser Werkzeuge nicht mehr gegeben ist.

Bei warmfließpressbaren Stählen wird die Warmformänderungsfähigkeit durch den gleichen Versuchsablauf wie bei den kaltfließpressbaren Stählen festgestellt: Stauchprobe, Warmfließkurve und Analyse der chemischen Zusammensetzung. Niedriglegierte Nickel -und Manganstähle sowie Stähle mit geringem Kohlenstoffgehalt haben gegenüber hochlegierten Stählen eine gute Warmformbarkeit. 2.2.10.3 Rechnerische und praktische Fließkraftermittlung Eine rechnerische Kraftermittlung ist nur bei sehr einfachen Fließvorgängen möglich. Für kompliziert geformte Fließpressteile werden auf Versuchsmaschinen Kraft-Weg-Diagramme erstellt und ausgewertet. 2.2.10.3.1 Rechnerische Kraftermittlung Fließpresskraft für das Rückwärtsfließpressen (siehe Bild 52):

F = Ad1

kf ϕ rm

N

ηF

kf

F

N mm 2

A

rm, g, F

mm2

1

(27)

Fließpresskraft für das Vorwärtsfließpressen (siehe Bild 53): von Vollkörpern kf ϕ g

F = Ad1 Bild 58. Stauchvorgang

von Hohlkörpern F = (Ad1 – Ad2)

2.2.10.2.1 Nichteisenmetalle Das Fließpressen von NE-Metallen ist problemlos und sehr weit verbreitet. Hauptsächlich werden Werkstoffe wie Aluminium, Kupfer, Blei, Zinn, Zink und deren Legierungen verarbeitet.

(28)

ηF kf ϕ g

F

(29)

g logarithmische Formänderung g = ln

Ad1 Ad2

(30)

rm mittlerer radialer Formänderungsgrad 2.2.10.2.2 Eisenmetalle Stahl kann unterhalb der Rekristallisationstemperatur (kalt) fließgepresst werden, wenn die einzelnen Kristallite bei der auftretenden Druckbeanspruchung gleiten können, ohne dass der Zusammenhang der gleitenden Schichten verlorengeht. Spröde, also für das Fließpressen ungeeignete Werkstoffe lassen sich durch Kegelstauchproben aussondern. Die chemische Zusammensetzung des Stahles hat einen großen Einfluß auf seine Kaltverformbarkeit. Mit steigendem Kohlenstoffgehalt und zunehmenden Legierungsbestandteilen nimmt das Formänderungsvermögen ab. Die Umformgrenze liegt bei einem Kohlenstoffgehalt von 0,45 %.

rm = ln

d0 – 0,16 d1 − d

(31)

F Formänderungswirkungsgrad für Rückwärtsfließpressen F = 0,3 bis 0,7 für Vorwärtsfließpressen F = 0,4 bis 0,6 2.2.10.3.2 Praktische Kraftermittlung Zunächst muss der für die Fertigung eines bestimmten Fließpresswerkstücks zweckmäßigste Pressentyp festgelegt werden. Anschließend wird die maximal auftretende Fließpresskraft und ihr Kraftangriffspunkt auf dem Stempelweg ermittelt. Die so aufgenomme-

M 32

M Spanlose Fertigung

nen Werte werden mit der Presskraftkennlinie der vorher festgelegten Presse überlagert. Das Kraft-Weg-Diagramm (Bild 59) zeigt dass die maximale Presskraft innerhalb der Grenzkurve der Pressenkennlinie liegt. Da jedoch ungefähr 50º vor dem unteren Totpunkt des Stempels eine Kraftspitze auftritt, die über die Grenzkurve der Presse hinausgeht, kommt eine Verwendung dieses Pressentyps nicht in Betracht.

Bild 59. Pressenkennlinie und Fließpresskraft

Bild 60. Stempel- und Matrizenkonstruktion

2.2.10.4 Werkzeugkonstruktion 2.2.10.4.1 Werkzeug-Werkstoffe

2.2.10.4.3 Vorspannung von Fließpresswerkzeugen

Beim Fließpressen mit den unter 2.2.10.2 beschriebenen Werkstoffen ist eine Druckspannung Vd zul  2 500 N/mm2 zulässig. Diese zulässige Druckspannung kann noch erhöht werden, wenn durch Pressvorgänge wie Setzen, Stauchen oder Kalibrieren eine Verfestigung der Werkzeug-Werkstoffe auftritt. Auswahl geeigneter Werkzeug-Werkstoffe:

Bei der Umformung durch Fließpressen treten sehr hohe Drücke in axialer und in radialer Richtung auf. Der axiale Druck wird von der Presse aufgenommen, der radiale Druck wirkt auf die Pressbüchse. Bei schwer pressbaren Werkstoffen wird die nach außen wirkende positive Radialspannung so groß, dass eine entgegengesetzt gerichtete negativ wirkende Radialspannung geschaffen werden muss. Die Resultierende beider Spannungen darf während des Fließvorganges eine positive Radialspannung von 2 500 N/mm2 nicht überschreiten. Eine negative Radialspannung (Vorspannung) kann durch Teilung der Matrize und Aufschrumpfen äußerer Ringe auf die Pressbüchse erreicht werden (Bild 61).

Stempeldruckplatte Fließpressstempel Pressbüchse Gegenstempel Pressbüchsen-Druckplatte

X210Cr12 X210Cr46 X210Cr46 oder 50NiCr13 X210Cr46 X145Cr6

2.2.10.4.2 Stempel- und Matrizenkonstruktion Durch hohe Druckkräfte besteht für den Stempel Knickgefahr. Deshalb sollte die Napftiefe oder die abzusteckende Länge nicht größer als das 2,5 bis 3fache des Stempeldurchmessers sein. Der zylindrische Teil des Stempels wird beim Rückwärtsfließpressen möglichst kurz gehalten und geht über einen Kegel in den Schaft über (Bild 60). Beim Vorwärtsfließpressen werden Stempel und Schaft getrennt gefertigt, da der Stempel als eigentliches Verschleißteil sehr oft ausgewechselt werden muss. Um ein optimales Fließen des Werkstoffes erreichen zu können, beträgt der Pressbüchsenwinkel mindestens 45º. Für beide Verfahren wird die Pressbüchse mit ungefähr 30' konisch geschliffen, um Armierungen besser aufpressen zu können.

2.2.10.5 Schmierung Der Schmierung kommt beim Fließpressen große Bedeutung zu. Günstige Schmierverhältnisse lassen die Umformkräfte sinken, die Standzeit vergrößern und die Oberfläche des Werkstückes verbessern. Normale Öle und Fette können nicht verwendet werden, weil die große Flächenpressung den Öl- oder Fettfilm abquetscht, so dass sich die Wirkflächen berühren können. Auch Ölzusätze, meist Sulfid-, Phosphid- oder Nitridverbindungen, die bei hohen Temperaturen Salze bilden und so ein Verschweißen von Metallen verhindern, sind nicht sehr wirkungsvoll. Molybdändisulfid MoS2 ist eine chemische Verbindung von Molybdän und Schwefel. MoS2 wird wegen seiner besonders guten Schmiereigenschaften auch beim Fließpressen von Stahl verwendet.

2 Trennen und Umformen

M 33 nachbearbeitet werden. Durch das Freiformen werden nur einzelne Werkstücke hergestellt oder Gesenkschmiedeteile vorgeformt. Freiformschmiedeteile können Massen zwischen 1 kg und 250 t haben. 2.2.11.2 Gesenkschmieden Beim Gesenkschmieden wird der Werkstoff über mehrere Stufen in eine allseitig geschlossene Form geschlagen. Die Form besteht aus einem Ober- und einem Untergesenk (Bild 62).

Bild 62. Ober- und Untergesenk

Bild 61. Fließpresswerkzeuge mit Armierungen

2.2.11 Schmieden Durch Schmieden können Werkstücke getrennt, umgeformt und auch gefügt werden. Zum Trennen gehören die Verfahren Abschneiden, Lochen, Abschroten, Einschroten und Schlitzen. Durch Dornen, Durchlochen, Hohldornen oder Massivlochen werden Hohlräume erzeugt. Querschnittsveränderungen erreicht man durch Recken, Breiten, Stauchen oder Anstauchen. Mehrere Schmiedeteile einer Baugruppe können durch Schrumpfen oder Schweißen gefügt werden. Beim Warmschmieden werden die Rohteile so weit erwärmt, dass nach dem Schmieden keine bleibende Verfestigung des Werkstoffs auftritt. Bei Stahl muss bis oberhalb der Rekristallisationstemperatur (850 bis 1 200 ºC) erwärmt werden. Kaltgeschmiedet wird beim Kalibrieren, Prägen oder Stauchen. Die Umformung von meist kleineren Teilen aus Stahl oder Nichteisenmetallen findet bei Raumtemperatur statt.

2.2.11.1 Freiformschmieden Frei geformte Schmiedewerkstücke haben sehr große Fertigungstoleranzen und müssen meist spanend

Der auf Schmiedetemperatur erwärmte Werkstoff des Rohlings wird umgeformt und fließt in die Richtung der Gratbahn, wo er sehr schnell abkühlt. Dadurch wird verhindert, dass weiterer Werkstoff nachfließen kann. Also erhöht sich in der letzten Umformphase der Druck im Gesenk sehr stark und es können die letzten Feinheiten wie z. B. kleinere Radien ausgeformt werden. Die Umformung kann durch Stauchen oder Steigen des Werkstoffs erfolgen (Bild 63). 2.2.11.3 Stauchkraft und Staucharbeit Eine der wichtigsten Größen zur Ermittlung der für die Umformung erforderlichen Stauchkraft und Staucharbeit ist die Fließspannung kf (siehe Abschnitt 2.2.10.2). Sie ist beim Schmieden abhängig vom Werkstoff des Schmiedeteils, der Umformtemperatur und der Werkzeuggeschwindigkeit

 υ n kf = kf 0   h1 

kf, kf 0

X

h1

n

N

m s

m

1

mm

2

(32)

kf 0 Fließspannung bei festgelegten Umformtemperaturen nach Tabelle 8. X Werkzeuggeschwindigkeit (entspricht Umformgeschwindigkeit) h1 Endhöhe des Schmiedeteils nach der Stauchung n Formänderungsexponent

M 34

M Spanlose Fertigung

Tabelle 8. Fließspannung kf 0 und Verformungsexponent n Fließspannung kf 0 in

N mm 2

von C45 für

υ h0

= 1 s–1 bei veränderlicher Temperatur in ºC



700 ºC 750 ºC 800 ºC 0,05 250 180 179 0,1 252 209 203 0,2 256 239 234 0,3 255 251 249 0,4 259 256 249 Formänderungsexponent n bei veränderlicher Temperatur in ºC 0,05 0,078 0,102 0,08 0,1 0,085 0,103 0,082 0,2 0,086 0,099 0,086 0,3 0,083 0,097 0,083 0,4 0,083 0,103 0,105

h1 d1 b1 l1 n μ

900 ºC 106 132 160 173 174

1 000 ºC 79 95 108 111 109

1 100 ºC 56 66 74 76 76

0,089 0,103 0,108 0,11 0,134

0,1 0,125 0,128 0,162 0,173

0,175 0,168 0,167 0,18 0,188

Höhe nach dem Stauchvorgang Durchmesser nach dem Stauchvorgang Breite nach dem Stauchvorgang Länge nach dem Stauchvorgang Formänderungsexponent Gleitreibzahl

Staucharbeit für das Stauchen eines prismatischen Körpers mit Kreisquerschnitt n  υ  h μ  d1 d 0   −  Werf =V kf 0   ln 0 + h1   h1 4,5  h1 h0  

Werf Nmm Bild 63. Füllvorgänge beim Gesenkschmieden

kf 0

V N mm3 mm 2

(35)

X

h0, h1, d0, d1

μ, n

m s

m

1

Wie die Tabelle 8 zeigt, ist kf 0 abhängig von der Größe der Formänderung  (Abschnitt 2.2.10.2). Die Fließspannungen für unterschiedliche Werkstoffe weichen stark voneinander ab. Deshalb können die Werte für C45 nicht auf andere Stähle übertragen werden. Stauchkraft für einen kreisförmigen Querschnitt

 υ n 1 μ d1   Ferf = S kf 0   1+  h1   3 h1 

(33)

Stauchkraft für einen rechteckförmigen Querschnitt  υ n 1 μ l1   Ferf = b1 l1 kf 0   1+  h1   3 h1 

kf, kf 0 N mm 2

(34)

S

X

h1, b1, d1, l1

μ, n

mm2

m s

m

1

Ferf Stauchkraft S Querschnittsfläche des Werkstücks, X Werkzeuggeschwindigkeit

Bild 64. Stauchen eines Rohlings mit Rechteckquerschnitt

Bild 65. Stauchen eines Rohlings mit Kreisquerschnitt

2 Trennen und Umformen ■ Beispiel: Ein zylindrisches Werkstück aus C45 soll durch Hammerschmieden von einer Ausgangshöhe von 13,5 cm auf eine Endhöhe von 10 cm gestaucht werden. Der Durchmesser des Rohlings beträgt 10 cm. Bei Stauchbeginn beträgt die Schmiedetemperatur 900 ºC. Um die für diesen Schmiedevorgang erforderliche Pressmaschine auswählen zu können, müssen folgende Fragen gelöst werden:

1. Mit welcher Fließspannung muss bei einer Auftreffgeschwindigkeit von 5 m/s des Hammers und gleichbleibender Umformtemperatur gerechnet werden? 2. Wie groß ist die mittlere Werkzeuggeschwindigkeit bei einer Werkstückhöhe von 11,75 cm? 3. Welche erforderliche Umformarbeit ist bei einer geschätzten Reibzahl μ = 0,35 für den Stauchvorgang aufzubringen? 4. Wie groß wird die erforderliche Stauchkraft?

Lösung:

1. Fließspannung kf Fließspannung kf nach (32) bei X = 5 m/s und gleichbleibender Umformtemperatur:  υ n kf = kf 0 =    h1 

mit kf 0 = 173 N/mm2 nach Tabelle 8 bei  = ln (h0/h1) = ln 1,35 = 0,300 1 und - = 900 ºC Formänderungsexponent n = 0,11 bei  = 0,3 kf = 173

0,11 N  5 m/s  N  = 257, 4 ⋅ mm 2  0,135 m  mm 2

2. Mittlere Werkzeuggeschwindigkeit Xm bei h = 11,75 cm 13,5 cm ϕ = ln = 0,1388 11,75 cm kf 0 = 140 N/mm2 bei  = 0,138 8 und - = 900 ºC aus Tabelle 8

257,4 N/mm 2 ×140 N/mm 2 = 208,3 N/mm2 173 N/mm 2

kf =

 υ n  υ n k kf = kf 0  m  ;  m  = f  h   h  kf 0

ln

υm h

υm h

=

ln kf − ln kf 0 n

= 3,599 05

= 36,563 54 m/s; Xm = 4,3 m/s

3. Umformarbeit Werf nach (35)  h μ  d d  Werf = V kf  ln 0 +  1 − 0   h1 4,5 h1 h0  Volumen des Schmiedeteils V = S h0 = 78,54 cm2 · 13,5 cm = 1060,3 cm3. Die Grundfläche S1 des Werkstücks nach dem Stauchvorgang ergibt sich aus S1 = V/h1 = 106,03 cm2. Damit lässt sich der dann wirksame Durchmesser d1 berechnen: d1 =

4 S1 = 11,62 cm π

Mit diesen Werten kann nun die erforderliche Umformarbeit errechnet werden: Werf = 1060,3 cm3 · 25 740 N/cm2 ·  13,5 cm 0,35 11,62 cm 10 cm   + ⋅ − ·  ln 4,5  10 cm 13,5 cm   10 cm

M 35 Werf = 9,085 · 106 Ncm = 9,085 · 104 Nm = = 9,085 · 104 J

4. Stauchkraft Ferf nach (33)  µ d1  Ferf = S1 kf 0 1+  3 h1   0,35⋅11,62 cm  = Ferf = 106,03 cm2 · 25 740 N/cm2 · 1+ 10 cm   = 3,84 · 106 N

2.2.11.4 Konstruktionshinweise

Stark unterschiedliche Wandstärken sollten vermieden werden, da sonst bei Abkühlung Spannungsrisse auftreten können. Um Kerbrisse auszuschließen, müssen scharfe Übergänge vermieden werden. Schmiedewerkstücke mit Rippen oder geringen Wanddicken können nur im Gesenk geschmiedet werden. Gesenkschmiedewerkstücke müssen nach DIN 7523 mit Aushebeschrägen versehen werden. Hinterschneidungen wegen der erheblichen höheren Werkzeugkosten vermeiden. 2.2.12 Oberflächenbehandlung von Umformwerkzeugen

Beim Umformen tritt Reib- und Adhäsionsverschleiß auf. Auf Werkzeugen und Werkstücken bilden sich Riefen. Die Riefenbildung kann verringert werden, wenn das Werkzeug mit einer verschleißfesten, eisenfreien Schicht überzogen wird. Je höher der Schmelzpunkt und die Härte der Schicht, desto geringer ist der abrasive Verschleiß bzw. die Neigung zur Riefenbildung. Nitrieren (Gasnitrieren) Bildung der Nitrierschicht bei 450 bis 550 ºC. Schichtdicken liegen zwischen 50 μm und 150 μm. Härte der Nitrierschicht: 1 000 bis 1 400 HV 0,05. Vorteile: Durch engen Verbund der Nitrierschicht mit dem Grundwerkstoff können auch Werkzeuge mit engen Radien oder Kanten behandelt werden. Nitrieren ist ein billiges Beschichtungsverfahren. Nachteile: Änderungen oder Reparaturen an nitrierten Werkzeugen sind nur unter erhöhtem Aufwand möglich, z. B. muss nach Schweißarbeiten am Werkzeug nachnitriert werden. Hartverchromen Bildung der Chromschicht bei 50 ºC. Schichtdicken liegen zwischen 30 μm und 40 μm. Härte der Chromschicht: 1 100 HV. Vorteile: Beim Hartverchromen treten keinerlei Gefüge- oder Maßveränderungen auf. Das Verfahren ist fast unabhängig von der Größe und der Geometrie des Werkzeugs.

M 36

M Spanlose Fertigung

Nachteile: An kleinen Radien oder scharfen Kanten kann die Chromschicht abblättern. Nach Reparaturen oder Änderungen am Werkzeug kann – nach einer Entchromung – wieder verchromt werden. Das Verfahren ist ungefähr 60 % teurer als das Nitrieren. Titancarbidbeschichtung Bildung der TiC-Schicht bei 1 100 ºC. Schichtdicken liegen zwischen 6 μm und 12 μm. Härte der TiC-Schicht: 4 100 HV 0,05. Vorteile: Sehr gute Haftung am Grundwerkstoff des Werkzeugs. Der Verschleiß ist durch die große Härte von Titancarbid sehr gering. Nachteile: Es können nur kleine Werkzeuge oder Werkzeugeinsätze beschichtet werden (Ofengröße). Nach Reparaturen oder Werkzeugänderungen kann nicht nachbeschichtet werden; eine Neuanfertigung ist erforderlich. Das Verfahren ist ungefähr 300 % teurer als das Nitrieren.

2.3 Stahlbleche und ihre Verarbeitung 2.3.1 Abmessungen der Stahlbleche 2.3.1.1 Walzdicke der Stahlbleche. Die drei Gütegruppen der Stahlbleche sind: Grobbleche (4,76 mm dick oder dicker), Mittelbleche (3 bis 4,75 mm dick), Feinbleche (unter 3 mm dick). Bleche unter 3 mm Dicke mit Walzmustern (Riffeln, Tonnen, Warzen) und bearbeitete Bleche (gepresste Böden, Rauchrohrböden und sonstige Teile für den Kessel- und Behälterbau) gelten als Mittelbleche. 2.3.1.2 Tafelgrößen der Stahlbleche. Stahlbleche mit und ohne Oberflächenschutz (verzinnt, verzinkt) werden in Lagergrößen (Lagerformaten) und in festen Maßen geliefert. Lagergrößen der Stahlbleche 530 mm · 760 mm

für Qualitätsbleche ab 0,18 mm Dicke

500 mm · 1 000 mm  nach Anfrage lieferbare Zwi600 mm · 1 200 mm schengrößen 700 mm · 1 400 mm

800 mm · 1 600 mm für Blechdicken bis 0,75 mm 1 000 mm · 2 000 mm für Blechdicken 0,5 mm und darüber (Normalformat) 1 250 mm · 2 500 mm für Blechdicken 0,75 mm und darüber (Mittelformat) 1 500 mm · 3 000 mm für Blechdicken 1,0 mm und darüber (Großformat)

Bleche in festen Maßen werden vom Hersteller auf Bestellung zugeschnitten. 2.3.2 Blechaufteilung

Für die Herstellung von Werkstücken aus Blech werden die Blechtafeln in Streifen aufgeteilt.

Aufteilung der Blechtafeln in lange Streifen ist wirtschaftlicher als in kurze, weil weniger Scherenarbeit nötig ist und das Ausschneiden auf Pressen flüssiger abläuft. Zu beachten ist, dass in Stahlblechen die Walzfasern parallel zur langen Tafelkante verlaufen. Werkstücke aus Blech sind wirtschaftlich günstig gefertigt, wenn die größte Stückzahl bei geringstem Blechverbrauch und den niedrigsten Werkzeug- und Lohnkosten erreicht wird. Das Gewicht der Tafeln und die Länge der Streifen erschweren die Scherenarbeit. Zweckmäßig werden zwei Mann als Bedienung für die Tafelschere eingeteilt zum Schneiden von: a) Blechtafeln über 3 mm dick in Streifen über 1 m lang, b) Blechtafeln unter 0,5 mm dick in Streifen über 1,4 m lang. Für Massenteile aus Blech wird kaltgewalztes Blechband bevorzugt, wenn die höheren Kosten für das Blechband durch Automatisierung des Fertigungsverfahrens auszugleichen sind. Über Lieferbedingungen (Preis, Breiten- und Dickenabweichungen, Oberflächengüte, Werkstoffeigenschaften am Bandanfang und am Bandende) geben die Bandhersteller Auskunft. 2.3.2.1 Verwendung der Reststreifen von Blechtafeln. Anfallende Reststreifen aus der Blechaufteilung oder herausfallende Ausschnittstücke beim Ausschneiden sind vor dem Entstehen in die Fertigung einzuplanen und sofort zu verarbeiten. Wenn aus der sofortigen Verarbeitung des Abfalls kein wirtschaftlicher Nutzen erzielt werden kann, ist es ratsam, die Reststreifen, Ausfallteile und Streifenreste sofort aus dem Betrieb zu entfernen (Schrottverkauf). 2.3.2.2 Werkstücke im Blechstreifen. Mehrere Werkstückreihen im Blechstreifen sind vorteilhaft in Bezug auf die Höhe des Verschnitts, aber die Streifenbreite bst (Abschnitt 2.3.2.3) darf nicht zu groß gewählt werden, sonst wird die Weiterverarbeitung der Streifen durch schwierige Handhabung und große Werkzeuge verteuert.

Man unterscheidet: 1-Lochstreifen (Bild 66); 2-Loch- oder Wendestreifen (Bilder 67. und 68.), – Wendestreifen sind solche Streifen, die nach dem Ausschneiden der ersten Lochreihe gewendet werden müssen (umgeschlagen wie eine Buchseite), zum Ausschneiden der zweiten Werkstückreihe –; 3-Lochstreifen (Bild 69). Streifen für mehr als drei Werkstückreihen (Mehrlochstreifen) werden wegen ihrer schwierigen Verarbeitung selten verwendet.

2 Trennen und Umformen

M 37 Für Überschlagsrechnungen setzt man: br = bs = bz = b (Bild 71). Stegbreite für bst  70 mm b = 0,4 s + 0,8 mm (36) bei s 0,5 mm

Bild 66. 1-Lochstreifen für Ronden

lst lw lt br bs bz bst

Streifenlänge Länge des Werkstücks anteilige Streifenlänge für ein Werkstück = lw + bz Randstegbreite Seitenstegbreite Zwischenstegbreite Streifenbreite

Bild 67. 2-Lochstreifen für Ronden ls, lt, br, bs, bz, bst, siehe Bild 66. l2 t anteilige Streifenlänge für zwei Werkstücke

hz = hen

d  bz 2

3 = Zwischenhöhen der Werkstückrei-

Stegbreite für bst  70 mm b = 2 mm – 2 s bei s < 0,5 mm

(37)

Stegbreite für bst > 70 mm b = 1,5 (0,4 s + 0,8 mm) bei s 0,5 mm

(38)

Stegbreite für bst > 70 mm b = 1,5 (2 mm – 2 s) bei s < 0,5 mm

(39)

Bild 69. 3-Lochstreifen für Ronden. Zeichenerklärung siehe Bild 66, l3 t anteilige Streifenlänge für drei Werkstücke hz = (d + bz) 3 = Zwischenhöhe der äußeren Werkstückreihen

Voraussetzung für einen wirtschaftlich arbeitenden Stanzereibetrieb sind ausschneidegerecht konstruierte Werkstücke, wobei oft die spätere Verwendung zu beachten ist, Bild 70.

Bild 68. 2-Loch-Wendestreifen Zeichenerklärung siehe Bild 66 und 67, hw Werkstückhöhe 2.3.2.3 Streifenbreite. Aus der Lage der Werkstücke im Blechstreifen, der Breite der Stege zwischen den Werkstücken und den Rändern sowie zwischen den Werkstückreihen ergibt sich die Streifenbreite bst.

Bild 70. Fertigung von Eckenwinkel für Fensterrahmen a) ungünstig; teures Werkzeug, viel Werkstoffverschnitt a) möglichst vermeiden; scharfe Ecken begünstigen Härterisse in der Schneidplatte c) günstig d) besonders günstig für den Verbraucher, weil die Oberfräse der Tischlerei die innere Winkelkante scharfkantig ausschneidet 2.3.2.4 Anzahl der Werkstücke je Blechstreifen. An einem Blechstreifen der Länge lst lassen sich nst Werkstücke von der anteiligen Streifenlänge für 1 Werkstück lt = lw + b ausschneiden (Bild 71). Anzahl der Werkstücke je Streifen

M 38

nst =

M Spanlose Fertigung

lst − b lt

nst

lst, b, l1

Werkstücke Streifen

mm

(40)

Bild 73. Niederhalterabstand e bei Tafelscheren

Bild 71. Streifenbreite bst und Stückzahl pro Streifen nst lst, lw, br, bs, bz siehe Bild 66 hw Werkstückhöhe b1 Trennsteglänge, wichtig für Bemessung von bz

Die anteilige Streifenlänge lt für ein oder bei Wendestreifen für zwei und mehr Werkstücke lässt sich durch Rechnung oft sehr schwer bestimmen. In solchen Fällen empfiehlt es sich, sie aus einer genauen Skizze in möglichst großem Maßstab abzumessen (Bild 72).

ns =

Bt − ba − e bst

ns

Bt, ba, e

Streifen Blechtafel

mm

(41)

Bild 74. Blechtafel in lange schmale Streifen geteilt

Anschnittbreite ba nur einsetzen, wenn die Blechtafel mit Anschnitt verarbeitet wird. Niederhalterabstand e der Tafelschere darf nur berücksichtigt werden, wenn die Streifenbreite bst < e ist. Soll eine Blechtafel in eine andere Streifenart geteilt werden, verfährt man sinngemäß unter Ansatz der zugehörigen Maße. Bild 72. Anteilige Streifenlänge für zwei Werkstücke lst nach Zeichnung ermittelt 2.3.2.5 Anzahl der Blechstreifen je Blechtafel. Zum Ausschneiden von Werkstücken, die länger als breit sind, kann man eine Blechtafel mit oder ohne Anschnitt – Geradeschneiden der meist rauen Blechkante – entweder in lange schmale, in lange breite, in kurze schmale oder in kurze breite Streifen aufteilen. Sind die zu schneidenden Streifen schmaler als der Niederhalterabstand e der Tafelschere (Bild 73), bleibt von jeder Blechtafel ein nicht verwendbarer Reststreifen übrig, dessen Breite zwischen e und e + bst liegt. Bei einer Aufteilung in lange schmale Streifen nach Bild 74 erhält man die Anzahl der Streifen je Blechtafel.

2.3.3 Materialverschnitt bei Blechtafelaufteilungen

Blechtafelverschnitt ist nicht mehr verwendbarer Abfall in Form von Reststreifen, kleinen Abfallstücken und Ausfallteilen. Auf die hergestellten Werkstücke einer Blechtafel oder eines Auftrages wird zur Deckung der eigenen Werkstoffkosten der Anteil des Verschnitts prozentual aufgeschlagen. Bei gleicher Blechdicke erhält man den Materialverschnitt Bruttofläche-Nettofläche · 100 in % Nettofläche A − ANetto ⋅100 = mv = Brutto ANetto

mv =

A  = Brutto −1· 100 in %  ANetto 

(42)

M Spanlose Fertigung Wolfgang Böge/Ulrich Borutzki

1 Urformen

W. Böge

Unter Urformen versteht man das Fertigen eines festen Körpers aus formlosem Stoff. Formlose Stoffe sind Gase, Flüssigkeiten, Pulver, Granulate und Späne. Einzelne Urformverfahren: Gießen: Stoff in flüssigem oder breiigem Zustand wird in eine geometrische Form gebracht. Sintern: Formloser Stoff in festem Zustand (Pulver) wird gemischt und durch Pressen und nachfolgende Wärmebehandlung in eine geometrische Form gebracht.

1.1 Gießverfahren Beim Gießen wird ein Hohlraum – die Form – mit flüssigem oder teigig-plastischem Metall gefüllt. Der Hohlraum entspricht in allen Einzelheiten der beabsichtigten äußeren Körperform des Gussstückes. Um das zu erreichen, ist zu beachten: a) Das flüssig vergossene Metall zieht sich beim Erkalten zusammen, es schwindet. Deshalb muss die Form um die Abkühlungsschwindung größer sein als das kalte Werkstück (Tabelle 1). b) Flächen des Gussteiles, die nachfolgend spangebend zu bearbeiten sind, erhalten eine Bearbeitungszugabe (Tabelle 2). c) Wanddicken des Gussteiles sollen so gleichmäßig dick gewählt werden, dass eine gleichschnelle Abkühlung des Werkstückes an allen Stellen gewährleistet ist. Bei ungleichmäßiger Abkühlung können erhebliche Spannungen und Hohlstellen (Lunker) im zuletzt abkühlenden Teil entstehen. d) Die Form muss steigend zu füllen sein, denn bei Kaskadensprüngen zerstört das fallende Metall die Formwandungen. Die formbildende Masse kann mineralisch (Sandform) oder metallisch (Kokille) sein. Die gießfertige Form wird gefüllt: a) Beim Standguss durch die Schwerkraft des flüssigen Metalls, b) beim Schleuderguss durch die Fliehkraft des flüssigen Metalls,

c) beim Druckguss durch äußeren Druck auf das flüssige oder teigige Metall. Tabelle 1. Abkühlungsschwindung gegossener Metalle Gusswerkstoff

Abkühlungsschwindung in %

Gießtemperatur in ºC

GJL GJS ungeglüht GJS geglüht GS G-Al G-Mg G-Zn G-Cu

1 1,2 0,5 2 0,5 ... 1,3 0,4 ... 1,4 0,5 ... 1,2 1 ... 2

1 300 ... 1 500 1 300 ... 1 450 1 300 ... 1 450 1 500 ... 1 700 650 ... 830 620 ... 740 390 ... 430 920 ... 1 300

Tabelle 2. Bearbeitungszugaben für Gussstücke Werkstoff

Schleifen

GG GT GS Metallguss

0,1 ... 1 0,3 ... 1 – 0,3

1)

Zugabe in mm zum Drehen, Fräsen bis 800 mm über 800 mm 2 ... 5 2 ... 3 3 ... 8 2 ... 3

6 ... 20 – 3 ... 30 1) 4 ... 10

Zusätzlich sind die Maßabweichungen nach Tabelle 4 zu berücksichtigen

1.2 Modelle und Kokillen Modelle werden aus leicht bearbeitbaren Werkstoffen hergestellt. Sie sollen glatte Oberflächen mit Aushebeschrägen haben und müssen als Modell erkennbar sein (DIN 1511). Diesen Anforderungen genügen: Gipsmodelle für ein- bis dreimaliges Einformen mittelgroßer Teile oder für wiederholtes Einformen kleiner Massenteile. Holzmodelle, je nach Modellqualität bis zu 50 Einformungen ohne Instandsetzung. Metallmodelle für häufig wiederholtes Einformen (Serienfertigung). Styropormodelle für Einzelabguss. Der Formwerkstoff verbrennt beim Einguss ohne Rückstand. 1.2.1 Holzmodelle Verwendete Hölzer sollten gesunden Wuchs mit wenigen Ästen haben. Mittlere Holzqualität ist ausreichend, wenn der Härteunterschied zwischen Früh-

M2 jahrs- und Herbstringen klein ist. Vor dem Verleimen soll das Holz auf 6 bis 10 % Feuchtigkeitsgehalt getrocknet sein. Die Auswahl der Holzqualität und fasergerechtes Verleimen bestimmen die Modellgüteklasse. DIN 1511 unterscheidet drei Güteklassen: Güteklasse I: Sehr gute Holzmodelle für serienweise Abgüsse Güteklasse II: Gute Holzmodelle für 10 bis 30 Abgüsse Güteklasse III: Brauchbare Holzmodelle für 1 bis 5 Abgüsse Dicke Holzklötze bekommen beim Austrocknen Schwindrisse, deshalb werden dickwandige Modelle abgesperrt verleimt. Einzelbrettdicke abgesperrter Klötze 12 bis 40 mm. Im Modell ist so viel Hohlraum vorzusehen, wie die Festigkeit des Modells zulässt. Abzurundende Körperkanten lassen sich gut einformen, deshalb werden am Modell alle scharfen Übergänge gerundet. Hohlkehlen bis R = 8 mm lassen sich billig aus Kitt herstellen, Hohlkehlradien R = 8-12 mm formt man am Modell durch Leder- oder Kunststoffeinlagen. Hohlradien R t 12 mm lassen sich nur durch Holzleisten formen; sie sollten wegen der hohen Herstellungskosten für das Modell möglichst vermieden werden.

M Spanlose Fertigung 1.2.2 Kerne Zylindrische Kerne werden von langen, auf einer Kerndrehmaschine hergestellten Kernstangen abgeschnitten (billigstes Herstellverfahren). Nicht zylindrische Kerne, auch solche, die nur einen dünneren Teil haben, müssen im Kernkasten geformt werden. Für jeden nicht zylindrischen Hohlraum im Gussteil ist ein besonderer Kernkasten zu bauen. 1.2.3 Schablonen Rotationssymmetrische Körper oder lange Körper gleichen Querschnittes werden mit profilierten Brettern – Schablonen genannt – eingeformt, um teure Modelle zu sparen. Bild 2 zeigt die Formherstellung eines rotationssymmetrischen Körpers mittels Schablone, die an einer Säule (Rohr oder Stahlwelle) drehbar befestigt ist.

Bild 1. Geteiltes Kernmodell a) Werkstattzeichnung b) Modell-Vorderansicht Teilfuge liegt außerhalb der Scheibenmitte, Rippen verstärken den Flansch der unteren Modellhälfte Nach der Werkstattzeichnung wird eine ModellVorderansicht gefertigt (Bild 1), aus dem die Modellteilung und der Verleimungsaufbau ersichtlich sind. Es wird unterschieden nach Naturmodell und Kernmodell. Ein Naturmodell gleicht dem Gusskörper. Es ist nur um die Abkühlungsschwindung und die Bearbeitungszugabe größer. Hohlräume im Gusskörper werden durch Kerne geformt. Kernmodelle können ungeteilt oder geteilt (Bild 1) ausgeführt sein.

Bild 2. Schablonenformerei für Rotationskörper. a) Werkstattzeichnung, b) mit Schablone I geformte Innenkontur im Unterkasten, c) mit Schablone II geformte Außenkontur im Oberkasten

Zur Herstellung langer Körper gleicher Querschnitte wird die Schablone – hier Ziehbrett genannt – an Ziehleisten geführt (Bild 3). Werden statt der geraden Ziehleisten gebogene verwendet, können auch Rohrkrümmer oder ähnliche Formen aus der Formmasse herausgearbeitet werden.

1 Urformen

M3

Bild 3. Schablonenformerei mit Ziehleisten a) Werkstattzeichnung b) Einformen der Außenkonturen mit Ziehbrett I, Ziehleisten und Randscheiben c) Einformen der Innenkonturen mit Ziehbrett II, Ziehleisten und Randscheiben

Bild 4. Kokillenguss, Stahlkokille für eine Hartgusswalze

Vorgesehene Verrippungen müssen mit Hilfsmodellen – das sind keine vollen Modelle – von Hand eingeformt werden.

1.3 Formerei

1.2.4 Metallmodelle Metallmodelle werden nach Muttermodellen aus Holz oder Gips gegossen und allseitig auf Modellmaß mit Bearbeitungszugabe spangebend bearbeitet, damit das Tochter- oder Arbeitsmodell den Einformforderungen in allen Einzelheiten entspricht. Bei der Herstellung der Muttermodelle ist die Schwindung des Modellwerkstoffes und die Schwindung des Fertigungsgusses zu berücksichtigen. Für die Modellherstellung sind alle gießbaren Metalle geeignet. Bevorzugt werden Aluminium-Gusslegierungen, die für alle Modellgrößen geeignet sind. Sie sind leicht, stabil und gut bearbeitbar. Gusseisen wird verwendet für kleine Modelle, wenn die Modelloberflächen maschinell zu bearbeiten sind, Stahlguss für Maschinenformerei größerer Modelle. 1.2.5 Kokillen Kokillen eignen sich gut zur Hartgussherstellung, weil die Gießmasse außen schnell abkühlt. Bild 4 zeigt die Herstellung einer Hartgusswalze in einer meist wassergekühlten Stahlkokille. Auch ohne Wasserkühlung bildet sich eine dünne, harte Haut am Gussstück, die durch nachträgliches Erwärmen und anschließende langsame Abkühlung normalisiert werden muss, falls sie die weitere Bearbeitung stört. Vorteile des Kokillengusses: Maßgenaue Werkstücke mit kleinen Bearbeitungszugaben, glatte saubere Oberflächen ohne anhaftende Sandkörner, wichtig für hydraulische Bremsanlagen z. B. in Fahrzeugen.

Die in der Formerei hergestellte Sandform muss standfest gegen den Druck des flüssigen Metalles, beständig gegen die hohen Gießtemperaturen und gasdurchlässig für die Luft aus dem Formraum und sich entwickelnde Gase sein. Zur Formherstellung werden Form- und Formhilfsstoffe zum Modellsand (Formmasse) gemengt. Der Modellsand soll bildsam und feinkörnig sein. Bildsamer Modellsand passt sich gut der Modellform an, feinkörniger Modellsand liefert glatte Gussstückoberflächen (Korngröße 0,5 mm für allgemeine Zwecke; 0,2 mm und kleiner für glatte Gussstückoberflächen). Kernsand für Hohlräume muss den Anforderungen wie Modellsand entsprechen und zusätzlich nach dem Guss rieselförmig zerfallen. Formstoffe: feuerfester Sand (Quarzsand), Ton und Lehm. Formhilfsstoffe: Steinkohlenstaub, Holzkohlenstaub, Graphit und Formpuder. Zum Modellsand der Graugießerei wird 35 % Neusand, 8 bis 30 % Ton, 5 bis 15 % Steinkohlenstaub und aufbereiteter Altsand mit Wasser angemengt. Für Kleinteile wählt man Modellsand mit Tongehalt bis 15 % und gießt, wenn die Form noch feucht ist, Guss in grüne Formen oder Nassguss. Formen für große Gussstücke müssen wegen des hohen Tongehalts trocken sein: Trockenguss. Die normale Trockenzeit von 8 bis 10 Tagen wird auf 4 bis 6 Stunden abgekürzt durch Trocknen in Trockenöfen oder mittels Warmluft. Beim schnellen Trocknen wird die Form rissig und gasdurchlässig, behält aber ihre Standfestigkeit.

M4 Herdformerei zum Einformen einteiliger Modelle für Gussstücke mit untergeordnetem Verwendungszweck z. B. Roststäbe in Großkesseln, Maschinenfundamentplatten und Ausgleichsgewichte. a) Offene Herdformerei. Das Modell formt man in der Formsandaufschüttung (bis 1,5 m hoch) auf dem Fußboden der Gießerei, dem Herd ein, formt von Hand einen Einguss und Überlauf und gießt. Die Oberfläche der Gussstücke kühlt an der Luft schnell ab, wird dabei hart, blasig und uneben. b) Geschlossene Herdformerei. Die im Herd eingedrückte Form wird mit einem sandgefüllten Kasten abgedeckt. Das Gussstück kühlt gleichmäßig ab, die Gussstückoberfläche wird brauchbar, enthält aber Blasen. Vorteil der beiden Verfahren: kostengünstige Gussstücke. Kastenformerei zum Einformen geteilter Modelle mit und ohne Kerne, für saubere Abgüsse, bequemer durchführbar als Herdformerei. Formkästen sind Rahmen ohne Deckel und Boden aus Gusseisen gegossen oder aus Stahlblech gefertigt, in Sonderfällen auch Holzrahmen (Brandgefahr). Sandleisten halten die Formmasse im Kasten fest. Für jede Modellhälfte ist ein Formkasten nötig, weil die Modellteilfuge in der Trennebene der Kästen liegen muss. Das Einformen von Einguss, Steiger und Schlackenfang bedingt zusätzliche Formerarbeit (Bild 3). Gussputzerei. Von den ausgepackten Gussstücken werden in der Gussputzerei Steiger und Einguss abgeschlagen; anhaftender Formsand und vorhandener Gießgrat wird entfernt. 1.3.1 Zementformerei Der Modellsand wird aus Quarzsand und 12 % Portlandzement unter Zugabe von etwa 10 % Wasser angemengt. Diese Formmasse trägt man etwa 3 cm dick auf das Modell auf. Die Former müssen mit Gummihandschuhen arbeiten, weil Zement ätzt. Vorteile der Zementformerei: Die Gussstücke haben sehr glatte, sandfreie Oberflächen, modellgetreue Maße, die Bearbeitungszugaben können kleiner gehalten werden als beim Sandformguss (Zementmasse legt sich gut an das Modell, quillt wenig auf). Schadstellen der Form lassen sich leichter ausbessern als bei Sandformen, Füllsand braucht nicht aufgestampft werden, mischen der Formmasse dauert nur 5 Minuten.

1.3.2 Maskenformerei (Croning-Verfahren) Dieses Verfahren wird angewendet, wenn bei Serienabgüssen hohe Anforderungen an die Werkstückoberfläche bezüglich Gestalttreue und Oberflächengüte gestellt werden oder wenn kleine Bearbeitungszuga-

M Spanlose Fertigung ben und kleine Maßtoleranzen einzuhalten sind, z. B. bei Werkzeugmaschinengehäusen, Bremstrommeln für Kraftfahrzeuge, Armaturengehäusen und Kühlrippenzylinder für Motoren. Um eine Formmaske herzustellen (Bild 5), sind Metallmodelle nötig, die mit den Einlaufkanälen auf eine metallische Modellplatte verschraubt sind (bei kleinen Modellen wird die Modellplatte mit Einlaufkanälen und Modellen aus einem Stück gearbeitet). Mittels Pressstempel und Pressrahmen wird die Formmaskenmasse – das ist feingemahlener Quarzsand mit feinkörnigem Kunststoff – fest gegen die beheizte Modellplatte gedrückt. Infolge der Wärmewirkung verklebt die Kunststoffmasse den Quarzsand zu einer scharf ausgeprägten, formhaltenden Schicht von etwa 5 mm Dicke zur Formmaske. Nicht verklebte Formmaskenmasse wird vor dem Herausnehmen der Formmaske aus dem Pressrahmen abgeschüttet und wieder verwendet. Die verklebte Formmaske wird im Ofen getrocknet, damit die Kunststoffmaske feuerfest gasdurchlässig wird.

Pressstempel

Bild 5. Herstellen einer Formmaske Modell und Modellplatte müssen heizbar sein. Soll das Gussstück in einem allseitig maskengeformten Hohlraum gegossen werden, sind mindestens zwei Formmasken nötig. Hohlräume im Gussstück können durch Formmaskenkerne gestaltet werden. Es lassen sich kleine Bearbeitungszugaben (< 1 mm) und enge Maßtoleranzen einhalten (± 0,5 mm bei Teilen bis etwa 100 mm Länge).

1.4 Herstellung der Schmelze Um eine Schmelze in geforderter Zusammensetzung zu erhalten, werden die Feststoffe für die Beschickung des Schmelzofens gattiert (art- und mengenmäßig ausgewählt). Beimengungen der Feststoffe (z. B. Phosphor und Schwefel im Roheisen oder Aschenteile im Koks), die nicht in die Schmelze gelangen dürfen, werden im Ofen abgebaut (verbrannt) oder gebunden. Sie schmelzen und sammeln sich als flüssige Schlacke auf dem geschmolzenen Metall oder gehen in die Ausmauerung des Ofens über. Für die Gießereien verwendet man folgende Schmelzöfen: Kupolöfen (Bild 6) sind einfache, feuerfest ausgemauerte Schachtöfen mit Koks- oder Ölfeuerung. Zusätzliche Luftvorwärmung oder Vorherd erhöhen die Leistung.

1 Urformen

M5 der Elektroden gehalten, bis die Füllmasse restlos geschmolzen und die Gießtemperatur erreicht ist.

Bild 8. Elektro-Lichtbogen-Ofen

Bild 6. Kupolofen ohne Vorherd Elektroöfen mit Widerstandserwärmung (Bild 7). Elektroden (große Kohlestäbe, an denen eine elektrische Spannung liegt) ragen in die Füllmasse (Charge) des Ofens (Roheisen, Stahlschrott und Gangarten, das sind Silicium- und Manganverbindungen).

Hochfrequenz-Elektro-Öfen (Bild 9). Durch eine Kupferdrahtspule fließt ein Wechselstrom hoher Frequenz. Jede Spannungsänderung in der Spule erzeugt in der Ofenfüllmasse eine Spannung, die einen Stromfluss innerhalb der Füllmasse hervorruft. Es treten Wirbelströme auf, deren elektrische Energie in Wärme umgesetzt wird. Hochfrequenz- ElektroÖfen eignen sich besonders zum Schmelzen feinkörniger Füllmassen (Gusseisenspäne, Granulat). Tiegelöfen werden hauptsächlich zum Schmelzen von Qualitätsguss eingesetzt. Die Füllmasse wird in Tiegeln (erdige, feuerfeste, etwa eimergroße Gefäße) eingesetzt. Koks-, Gas- oder Ölbrenngase streichen an den verdeckelten Tiegeln vorbei und erwärmen die Füllmasse auf Gießtemperatur. Man erhält eine besonders schwefelarme Schmelze, weil die Heizgase mit dem Schmelzgut nicht in Berührung kommen. Der Wirkungsgrad dieser Öfen ist sehr gering.

Bild 9. Hochfrequenz-Elektro-Ofen Bild 7. Elektroofen mit Widerstandserwärmung Der von Elektrode zu Elektrode fließende elektrische Strom findet in der Füllmasse großen Widerstand, so dass die elektrische Energie in Wärme umgewandelt wird. Der Strom bleibt so lange eingeschaltet, bis die ganze Ofenfüllung geschmolzen ist. Elektro-Lichtbogen-Öfen (Bild 8). Unter elektrischer Spannung stehende Kupfer-Graphitstäbe (Elektroden) berühren die Füllmasse des Ofens. Durch vorsichtiges Abheben der Elektroden wird ein Lichtbogen zwischen Füllmasse und Elektrode gezogen, in dessen hoher Temperatur die Füllmasse nach und nach schmilzt. Der Lichtbogen wird durch Nachschieben

1.4.1 Gusseisen Ausgangswerkstoff: Mit Zuschlägen gattiertes Hüttenoder Koksroheisen. Zuschläge: Gussbruch, Stahlschrott, Ferrosilicium, Ferromangan und Spiegeleisen. Schmelzöfen: Kupolöfen mit Koksheizung, heute Hochfrequenz-Elektro-Öfen zum Schmelzen von Gusseisenspänen. Die Schmelze erstarrt in der gießfertigen Form normalerweise unter lamellenartiger Ausscheidung des Kohlenstoffs. Soll der Kohlenstoff Kugelgraphit im Gusseisen bilden (Sphäroguss), wird die Schmelze nach dem Abstich in der Gießpfanne geimpft (Magnesiumzusatz).

M6 Zur Erzielung von blasenfreiem und gefügedichtem Guss setzt man Ferrosilicium und Ferromangan erst in der Gießpfanne zu und schüttelt anschließend den Inhalt der Pfanne durch. Während des Schüttelvorganges verbrennen die Zusätze unter starker Wärmeentwicklung. Die Schmelze kocht brodelnd, wird durchgemischt und völlig gasfrei. 1.4.2 Stahlguss Ausgangswerkstoffe: Stahlschrott, Stahlroheisen. Schmelzöfen: Meist Elektro-Öfen mit Widerstandsoder Lichtbogenerwärmung, seltener werden Tiegelöfen eingesetzt. Beim Schmelzen brennt der Kohlenstoff um etwa 5 % ab. Unerwünschte Beimengungen in der Füllmasse mindern die Qualität des Stahlgusses erheblich. Um die Verunreinigungen und die gelösten Gase aus der Schmelze zu treiben, muss sie brodelnd kochen. Dies tritt ein, wenn Silicium und (oder) Aluminium zugesetzt werden. Die Schmelze ist dann beruhigt. Die hohen Gießtemperaturen des Stahles verlangen besonders hitzebeständige Formen. Abweichend vom Gusseisen wird die Formmasse für Stahlguss aus reinem Quarzsand mit frischem Ton oder Lehm und Graphit oder Kaolin (Porzellanerde) als Magerungsund Bindemittel hergestellt. Kein Kohlezusatz, da Gefahr der Aufkohlung. Gute mechanische Eigenschaften bei feinkörnigem Gefüge im Stahl erzielt man durch gesteuerte Abkühlung. Steiger- und Eingussquerschnitte sind 15 bis 25 mal so groß auszubilden wie beim Gusseisen, weil Stahl stark nachzieht. Durch die 5 %ige Erstarrungsschwindung des Stahles entstehen in den gegossenen Wandungen Hohlräume (Lunker), die durch nachfließenden Stahl gefüllt werden müssen. Im Steiger muss Stahl noch flüssig sein, wenn die Gusswandung schon erstarrt ist. In den Oberflächen der Stahlgussteile eingebettete Sandkörner, erhebliche Unebenheiten der Stahlgussflächen und das Einebnen der Steiger- und Eingusstrennflächen (Brennschnittflächen) verteuern die spangebende Bearbeitung der Stahlgussstücke. Soll der aufgenommene Wasserstoff schnell aus dem Gussstück entfernt werden (wenn die natürliche Alterung zeitlich nicht abgewartet werden kann), muss man bei 100 bis 400 ºC künstlich altern (glühen).

1.4.3 Metallguss Alle Nichteisen- und Leichtmetalle sind sowohl in Sand als auch in Kokillen gießbar. Gießtemperaturen: Messing 1 000 bis 1 050 ºC, Bronze (Rotguss) 1 100 bis 1 200 ºC; Aluminium-Legierungen 680 bis 780 ºC; Neusilber (Cu-Ni-Zn) 1 200 bis 1 250 ºC. Die Metalle werden in Tiegelöfen oder in Elektroöfen

M Spanlose Fertigung mit induktiver Erwärmung (z. B. HochfrequenzElektro-Öfen) geschmolzen. Die Schmelzvorgänge sind für die einzelnen Legierungen unterschiedlich. So können schwer schmelzende Legierungsbestandteile vor dem Einbringen des übrigen Metalls im Schmelzofen oder in einem Sonderofen geschmolzen werden, die Oxydationszugaben müssen der Legierung angepasst sein. Phosphorbronze ist z. B. eine mit Phosphor desoxydierte Bronze. Der Phosphor verbrennt restlos in der gießfertigen Schmelze, bringt sie zum brodelnden Kochen, wobei alle Verunreinigungen an die Oberfläche der Schmelze steigen und die eingeschlossenen Gase entweichen. Die Oxidhäute der fertigen Gussstücke beizt man mit Salpeter- oder Schwefelsäure ab (Blankbrennen); sie würden die nachfolgende spangebende Bearbeitung empfindlich stören. Die Beizgase sind gesundheitsschädlich (Lungengifte).

1.4.4 Temperguss Zum Tempern – das ist eine Wärmebehandlung zur Verbesserung der Werkstoffeigenschaften – eignen sich nur solche Gusseisenteile, deren Werkstoffgefüge weiß erstarrt ist, also ohne Graphitausscheidungen. Soll weiss erstarrtes Gefüge erzielt werden, muss die Schmelze vorwiegend aus Temperroheisen gattiert sein. Werden weiss erstarrte Gusseisen nach dem Erkalten langzeitig (4 bis 6 Tage) bei 850 bis 1 000 ºC geglüht (getempert), steigert sich die Dehnfähigkeit des Werkstoffes. Der Werkstoff kann dann Zug- und Biegespannungen aufnehmen und ist in geringen Grenzen sogar schmied- und kaltformbar. 1.4.4.1 Weißer Temperguss. Zum Glühvorgang werden die weiss erstarrten Gusseisenstücke in Sauerstoff abgebende Glühmittel (Erze) eingepackt und 4 bis 6 Tage auf Glühtemperatur gehalten. Der vom Glühmittel abgegebene Sauerstoff verbindet sich mit dem ausscheidenden kristallinen Kohlenstoff zu gasförmigem Kohlenoxid oder -dioxid. Die Gase müssen entweichen können. Nur kristallin gebundener Kohlenstoff – nicht der als Graphit ausgeschiedene – verbindet sich mit dem Sauerstoff des Glühmittels. Die Entkohlung beginnt an der Werkstückoberfläche und dringt langsam zur Mitte vor. In der Mitte dicker Wandungen (bei dünnwandigen, wenn der Glühvorgang vorzeitig abgebrochen wurde) ist unzerlegtes Ledeburit (Gussgefüge) vorhanden, das an der großschuppigen Bruchfläche zu erkennen ist. Um diesen Kern hat sich ein Mantel aus Perlit mit Temperkohle ausgebildet, sein Bruchgefüge sieht grau aus. Die weiss schillernden Außenränder zeigen deutlich den ferritischen Gefügeaufbau. Dünnwandige Werkstücke mit reinem ferritischen Querschnitt sind schweißbar.

1 Urformen

M7

1.4.4.2 Schwarzer Temperguss. Die weiß erstarrten Gusseisenstücke werden in neutralen Sand eingepackt und 4 bis 6 Tage geglüht. Während des Glühens spalten sich die harten Eisencarbide (Fe3C) in Eisen(Fe2) und Kohlenstoffmoleküle (C2). Der gesamte Kohlenstoff verbleibt im Gefüge. Die Bruchflächen des schwarzen Tempergusses sind über den ganzen Querschnitt gleich bleibend schwarz, aber feinkörnig. Aus der Struktur der Bruchflächen des schwarzen Tempergusses kann man nicht in allen Fällen eine sichere Grundlage für Beanstandungen herleiten. Schwarzer Temperguss ist nicht schweißbar, da beim Erwärmen auf Schweißtemperatur die Temperkohle ausfällt, d.h. die Temperkohle wandert, bedingt durch die sehr hohen Temperaturen, an die Korngrenzen, kristallisiert dort lammellar aus oder oxydiert unter Luft- oder Schweißsauerstoffaufnahme. Weißer und schwarzer Temperguss sind vergütbar. Erreichbare Grenzwerte: Bruchfestigkeit Rm = 800 N/mm2, Bruchdehnung A = 1 bis 10 %, von der Wanddicke abhängig. Genaue Angaben enthält DIN 1692. Konstruktionsmerkmale für Tempergussstücke. Nach dem Ergebnis einer sorgfältig durchgeführten Festigkeitsberechnung entwirft man unter Berücksichtigung der gießtechnischen Belange. Blasenfreies Füllen der Form muss gewährleistet sein, die Aushebeschrägen und die Kerne müssen so ausgebildet werden, dass keine unterschiedlichen Wanddicken auftreten können und die Mindestwanddicke – allgemein 5 mm – nicht unterschritten wird. Zu fordern sind möglichst dünnwandige Gussstücke unter Ver-

meidung einseitiger Massenanhäufung und scharfer Übergänge. Dünnwandige Stücke von gleicher Wanddicke erhalten in kurzer Glühzeit ein einwandfreies Tempergefüge, für das eine hohe zulässige Spannung in die Festigkeitsrechnung aufgenommen werden darf. Große Abrundungen und große Hohlkehlen an Stelle scharfer Übergänge mindern die Rissbildung beim Anwärmen zum Glühen. Modelle und Kerne, die diesen Anforderungen entsprechen, sind oft erheblich teurer als für einfache Abgüsse. Auch die Kosten für das Tempern sind schon bei der Konstruktion zu berücksichtigen (koksbeheizte Glühöfen verbrauchen das 1,2 bis 1,8fache Gewicht des eingesetzten Gusseisens an Koks, für gasbeheizte Glühöfen rechnet man: erforderliches Gasgewicht etwa Einsatzgewicht des Gusseisens. Die Tempergussstücke weichen beachtlich von den Sollmaßen ab, vgl. Tabelle 3.

1.5 Strangguss Mit Strangguss bezeichnet man die Herstellung von profiliertem Stangenmaterial aus flüssigem Metall durch Gießen. 1.5.1 Stahlstrangguss (Lotrechtguss) Stranggießbar sind nur beruhigte Stähle. Bei unberuhigten Stählen treten während des Stranggießens Lunker im Inneren des Werkstoffes und Blasen an den Werkstückoberflächen auf.

Tabelle 3. Maßabweichungen für Tempergussstücke Toleranz- Maßgruppe gruppe Außenmaße Innenmaße A Mittenabstände Dicken der Wände, Rippen und Stege Außenmaße Innenmaße B Mittenabstände Dicke der Wände, Rippen und Stege

C

Außenmaße Innenmaße Mittenabstände Dicke der Wände, Rippen und Stege

Nennmaß in mm 18 ... 50 50 ... 180 + 3 ... – 2 + 5 ... – 3,5 + 2 ... – 3 + 3,5 ... – 5

bis 6 – –

6 ... 18 + 2... – 1 + 1 ...– 2

± 1,5

± 2,5

± 3,5

– –

+ 1,2 ... – 1 + 1 ...– 1,2

±1

±2

– –

180 ... 500 + 7 ... – 5 + 5 ... – 7

über 500 + 9 ... – 7 + 7 ... – 9

± 4,5

–

–

+ 2 ... – 3 + 1,5 ... – 2

+ 4 ... – 2,5 + 2,5 ... – 4

+ 6 ... – 3,5 + 3,5 ... – 6

+ 8 ... – 5 + 5 ... – 8

± 2,5

± 3,5

–

–

bis 18 18 ... 30 50 ... 80 120 ... 200 über 200 + 0,9 ... – 0,7 + 1,1 ... – 1,8 + 1,5 ... – 1,2 + 2,1 ... – 1,9 + 3,8 ... – 3 + 0,7 ... – 0,9 + 0,8 ... – 1,1 + 1,2 ... – 1,5 + 1,9 ... – 2,1 + 3 ... – 3,8

+ 0,9 ... – 0,8 + 1,4 ... – 1,1 + 1,7 ... – 1,3

–

–

–

Unebenheiten, Unrunden und Verzug der Tempergussstücke sollen innerhalb dieser Abweichungen liegen. Toleranzgruppe A: Nach Holzmodellen der Güteklasse II handgeformte Gussstücke. Toleranzgruppe B: Nach Holzmodellen der Güteklasse I oder nach Metallmodellen hand- oder maschinengeformte Gussstücke. Toleranzgruppe C: Nach besten Metall- oder Kunststoffmodellen maschinell geformte Massenteile unter Verwendung von teuren Sonderformmitteln. Die Toleranzen verlangen genaue Nennmaßkennzeichnung nach DIN 1511, ob Aushebeschräge positiv, negativ oder gemittelt zum Nennmaß liegen soll.

M8 Ablauf des Verfahrens (Bild 10). Aus einer 10 bis 100 t fassenden Gießpfanne wird flüssiger Stahl in einen Zwischenbehälter gegossen und fließt von dort durch die eigene Schwere formgebenden Kokillen zu. Da gleichmäßiger Durchsatz in den Kokillen einzuhalten ist, arbeitet man auch mit 2 Zwischenbehältern oder 2 Stopfenpfannen auf Dreh- oder Schiebevorrichtungen. Die wassergekühlten Kokillen bewegen sich sehr schnell auf und ab, um Haften des Stranges an den Kokillenwänden zu verhindern. Bis zu 8 Kokillen können nebeneinander angeordnet sein. In den Kokillen erstarrt eine etwa 20 mm dicke Randschicht, während das Innere noch flüssig ist. Unter den Kokillen durchlaufen die Stahlstränge eine 2 bis 10 m hohe Kühlkammer, in der sie durch Wasserbrausen entsprechend den Abkühlungsgesetzen für Stahl bis zum völligen Erstarren abkühlen. Stützrollen führen den rotwarmen Strang unter Verhinderung jeglichen Verzuges, damit keine inneren Strangschäden auftreten können. Außerhalb der Kühlkammer sorgt ein Rollengang für gleichmäßige und richtige Stranggeschwindigkeit. Die rotwarmen Stränge werden mittels Trennvorrichtung (Pendelsäge, Brennschneidmaschine o.a.) abgelängt. Dem Gießen kann sich sofort der erste Walzvorgang anschließen.

M Spanlose Fertigung Dieses Verfahren hat das Blockgießverfahren fast völlig verdrängt. Es hat folgende Vorteile: geringerer Abstand während der Weiterverarbeitung (95 % statt etwa 85 %), geringerer Energieaufwand, steuerbare Abkühlungsgeschwindigkeit, Kokillenverschleiß ist billiger als Blockwalzenverschleiss, größerer Werkstoffdurchsatz, der den Stoßbetrieb des Stahlwerkes glatt auffängt, Personaleinsparung. 1.5.2 Gusseisenstränge (Horizontalguss) Bild 11. Zur Herstellung langer Gusseisenstangen gleichbleibender Qualität fließt aus einem Warmhalteofen flüssiges Gusseisen durch zwei kurze wassergekühlte Kokillen. Der Warmhalteofen wird alle 20 min mit flüssigem Gusseisen nachgefüllt und durch eine Heizanlage auf gleiche Temperatur gehalten. Die Kokillen formen volle Querschnitte der Stränge (meist rund oder quadratisch, in Sonderfällen auch beliebig), dabei wird der Werkstoff auf 900 ºC abgekühlt. Die Stränge werden mit einem Rollengang oder durch Zangen aus den Kokillen herausgezogen, um einen gleichmäßigen und schnellen Gießfluss einzuhalten. Gießgeschwindigkeit bei 25 mm Stangendurchmesser etwa 50 m/h, bei dem z.Z. größten gießbaren Durchmesser 205 mm etwa 6 m/h. Hohlprofile können noch nicht stranggegossen werden (Kühlungsschwierigkeiten bei den innenformgebenden Werkzeugen).

Bild 11. Schematische Darstellung einer HorizontalGießanlage

Bild 10. Schematische Darstellung einer StrahlstrangGießanlage Stranggegossene Stahlstäbe haben Rechteckquerschnitt von maximal 140 u 250 mm. Diese Vorbrammen, 500 bis 1 500 mm lang, verarbeitet man auf Feinstahlstraßen, in Großschmieden oder in Strangpresswerken.

Die Stränge werden in gewünschter Stangenlänge (meist 4 m) ohne Unterbrechung des Gießvorganges abgetrennt. Die harten Außenwandungen der runden Stangen werden vom Stangenhersteller abgeschält, quadratische oder beliebig geformte Stangen gehobelt oder gefräst. Maßabweichungen der gegossenen Stangen + 1 mm, der geschälten oder gefrästen Stangen ± 0,05 mm vom Sollmaß. Diese kleinen Abmaße gewährleisten sicheres Spannen in den Spannzeugen der Stangenautomaten. Werkstoffqualität der Gusseisenstangen: Zugfestigkeit 320 N/mm2; Biegefestigkeit 560 N/mm2; Härte 210 ± 20 HB; E-Modul 1,3 · 105 N/mm2; Durchbiegung 14 mm des 600 mm langen Stabes von 30 mm Durchmesser; im Querschnitt und in der Länge der Stange gleichbleibend.

1 Urformen

1.6 Schleuderguss Schleudergießbar sind alle in feste Formen gießbaren Metalle, wenn der zu gießende Körper einen rotationssymmetrischen Hohlraum hat, der den Einguss des flüssigen Metalls gestattet. Rotationssymmetrische Körperform ist anzustreben, aber nicht Bedingung für die Schleudergießbarkeit des Werkstückes. Nur für Massenteile wirtschaftlich. Hergestellt in Schleuderguss werden aus Gusseisen: Versorgungsrohre für Be- und Entwässerungsnetze bis 200 mm Innendurchmesser, Zylinder für Kraftfahrzeugmotoren und Kompressoren mit und ohne Kühlrippen, Kolbenringe, Seil- und Bremstrommeln. Stahl: Radkörper für Zahn- und Kegelräder. NE-Metall: Buchsen, Lagerschalen, Schneckenräder und Schneckenradkränze. Ablauf des Verfahrens: In eine rotierende Kokille mit waagerecht oder senkrecht angeordneter Rotationsachse wird flüssiger Werkstoff eingegossen. Durch die Reibung an der glatten Kokillenwand wird der Werkstoff nach und nach auf die Drehfrequenz der Kokille beschleunigt. Bei waagerecht angeordneter Rotationsachse muss die Fliehkraft des rotierenden flüssigen Metalls größer sein als die Erdanziehung (Gewichtskraft), sonst tropft in der höchsten Stellung Werkstoff aus. Waagerecht angeordnete Kokillenachsen sind für lange Gusskörper günstig, weil sich eine gleichmäßige Wanddicke von selbst einstellt. Dabei ist zu beachten, dass beim Rotieren schlanker Massen dynamische Unwuchten besonders stark hervortreten, zu deren Dämpfung sehr kräftig ausgebildete Gießmaschinen nötig sind. Schematische Darstellung einer Schleuderkokille mit waagerechter Achse zeigt Bild 12.

M9 haben keine Lunker (sie werden durch die Fliehkraft der Werkstoffteilchen zugedrückt) und keine Schlackeneinschlüsse (die leichtere Schlacke wird zum Innenradius zurückgedrängt, wo sich eine dünne Schlackenhaut bildet). Eine dünne Schlackenhaut auf den Innenwandungen schleudergegossener Rohre ist dann erwünscht, wenn hohe Korrosionsbeständigkeit gefordert wird. Im Schleudergussverfahren können Gussstücke bis zu einer Masse von 5 000 kg gefertigt werden. Bei zu erwartenden großen Unwuchten schleudert man mit der Drehfrequenz nmin, bei der Austropfen sicher vermieden wird:

nmin =

g r

nmin

g

1 s

s2

m

r m

g Fallbeschleunigung, r Innenradius Wenn möglich, schleudert man mit großer Drehfrequenz, um dichte Gussgefüge mit feinkörniger, korrosionsbeständiger und verschleißfester Außenhaut zu bekommen. ■ Beispiel: Welche kleinste Drehfrequenz nmin ist zum Schleudergießen von Rohren aus Gusseisen mit 180 mm Innendurchmesser bei waagerecht angeordneter Kokillenachse erforderlich?

Lösung:

nmin =

g 9,81 m/s 2 1 1 . = = 10, 44 ≈ 626 r 0,09 m s min

1.6.1 Schleuderverbundguss

Bild 12. Schleudergießverfahren mit waagerechter Rotationsachse In Kokillen mit senkrecht angeordneter Rotationsachse steigt das rotierende flüssige Füllgut an der glatten Kokillenwand hoch, wodurch im Freischleuderverfahren nach oben dünner werdende Wanddicken entstehen. Im Begrenzungsschleuderverfahren gewährleisten Steigbegrenzer eine Mindestwanddicke des oberen Werkstoffrandes. Schleudergegossene Werkstücke

Dient zum Ausgießen von vorgefertigten Lagerschalen (meist aus Stahl) mit Lagermetall. Das Lagermetall wird in Lagerschalen ohne Haltenuten oder Schwalbenschwänze a) bei großer Drehfrequenz der vorgewärmten zylindrischen Lagerkörper im flüssigen Zustand eingegossen oder b) als feste Metallzugabe (Granulat, also Metall in Körnerform) vor dem Schleudern in die Lagerschale gegeben (Bild 13). Die Lagerschale und mit ihr das Granulat erwärmt man während des Schleuderns mittels Brenner oder elektro-induktiv. Ist das Lagermetall geschmolzen, wird die Wärmezufuhr unterbrochen und so lange geschleudert, bis Erstarrung eintritt.

M 10

M Spanlose Fertigung

Isolierung

Beim Kaltkammerverfahren befinden sich Presskolben und Zylinder außerhalb des mit flüssigem Metall gefüllten Werkstoffbehälters. Fertigungsdaten: Arbeitsdruck Einströmquerschnitt Strömungsgeschwindigkeit Formfüllzeit

Bild 13. Schleuderverbundguss mit Granalienpackung In beiden Fällen kann das Lagerfutter sehr dünn gehalten werden (3 mm). Das Lagermetall ist durch den Schleudervorgang besonders verschleißfest geworden und so fest mit dem Grundmetall verbunden, dass es auch bei starken, betriebsverursachten Formänderungen nicht reißt oder ausbröckelt. Das Verfahren verlangt viel Erfahrung, so dass es ratsam ist, mit der Ausführung Hersteller zu beauftragen, die über entsprechende Sonderwerkstätten verfügen.

1.7 Druckguss Beim Druckguss-Verfahren wird flüssiges Metall unter hohem Druck in geteilte Metallformen gedrückt, wobei während des Erstarrungsvorganges des gegossenen Metalls der Druck aufrechterhalten bleibt. Durch dieses Verfahren können dünnwandige Werkstücke mit komplizierten Formen mit hoher Oberflächengüte und engen Toleranzen hergestellt werden. Das Spritzguss-Verfahren ist dem Druckguss-Verfahren sehr ähnlich. Hier wird jedoch Kunststoff unter Druck gegossen. Druckgussteile können nach dem Warmkammer- und dem Kaltkammerverfahren hergestellt werden. Beim Warmkammerverfahren befinden sich Presskolben und Zylinder in dem mit flüssigem Metall gefüllten Werkstoffbehälter. Fertigungsdaten: Arbeitsdruck Einströmquerschnitt Strömungsgeschwindigkeit Formfüllzeit

(100 bis 3 500) bar (0,5 bis 8) mm (10 bis 70) m/s (0,1 bis 0,3) s

Mit Hilfe dieses Verfahrens können nur solche Materialien gegossen werden, die Presskolben und Zylinder nicht angreifen, also z. B. Magnesium-, Zinnoder Zinklegierungen.

(20 bis 100) bar (0,1 bis 1) mm (12 bis 70) m/s (0,05 bis 0,2) s

Mit Hilfe dieses Verfahrens können nun solche Materialien gegossen werden, die Presskolben und Zylinder angreifen würden, also z. B. Aluminium- und Kupferlegierungen. Gussteile aus Aluminiumlegierungen können bis zu einer Masse von ca. 45 kg hergestellt werden. Bei anderen Werkstoffen liegt die wirtschaftliche Obergrenze bei ca. 25 kg. Konstruktionshinweise für Druckgussteile: Wanddicken sollten zwischen 0,5 mm und 4 mm ausgelegt werden (Tabelle 4). Übergänge werden zur Vermeidung von Kerbrissen abgerundet (R  1 bis 1,5 mm). Hinterschneidungen sollten ganz vermieden werden. Zur Stabilität von Druckgussteilen können Verrippungen eingeplant werden. Kerne, die für den Mitguss von Bohrungen eingearbeitet werden, müssen einen Mindestdurchmesser von 1 mm (Zink), 2 mm (Magnesium-Legierungen) oder 2,5 mm (AluminiumLegierungen) haben.

Vorteile der Druckgussfertigung: – – – – – –

große mengenmäßige Leistung wirtschaftliche Ausnutzung des Werkstoffes gute Maßhaltigkeit geringe Bearbeitungszugaben sehr gute Oberflächen durch große Stückzahlen geringe Herstellungskosten

Nachteile der Druckgussfertigung: – – –

kleine Lufteinschlüsse im Abguss sind unvermeidlich Lebensdauer der Druckgussformen ist durch starke Erosion begrenzt Schwingungsbeanspruchung während des Abgusses kann zu einer größeren Sprödigkeit der Druckgusswerkstücke führen

1 Urformen

M 11

Tabelle 4. Toleranz- und Wanddickenrichtwerte Legierung Festigkeit im Teil Gießtemperatur Blei Rm = 50 N/mm2  260 ºC Zinn D Sn Al 4 Rm = 250 N/mm2  400 ºC Aluminium DIN 1725 (T2) Rm = 250 N/mm2  700 ºC Magnesium DIN 1729 (T2) Rm = 140 ... 170 N/mm2  770 ºC Kupfer Rm abhängig von der Kaltverfestigung  1000 ºC (teigig)

kleinste Wanddicke in mm 0,7 ... 2

0,5 ... 2

0,8 ... 3

0,8 ... 3

1,5 ... 4

Toleranz für die Wanddicke Maßtoleranz der Längen 0,7 ... 5 mm  0,005 mm über 5 mm  0,1 % 0,5 ... 10 mm  0,005 mm über 10 mm  0,05 % 0,8 ... 15 mm  0,03 mm über 15 mm  0,2 %

kleinste Bohrungsdurchmesser d größte Tiefe t bei Grundlöchern

kleinste Gewinde außen

innen

d = 0,6 mm t=3d

M5

M12

d = 0,6 mm t=3d

M5

M12

d = 2 mm t=3d

M 12

M 20

0,8 ... 12 mm  0,02 mm über 12 mm  0,15 %

d = 2 mm t=3d

M 10

M 15

1,5 ... 15 mm  0,15 mm über 15 mm  0,4 %

d = 4 mm t=2d

M 15

vermeiden

1.8 Feinguss (Schalenformverfahren)

Fertigungsablauf:

Modellherstellung: Die verlorenen Modelle für den Feinguss bestehen aus Wachs oder Thermoplasten und werden im Spritzgussverfahren hergestellt. Sehr kleine Modelle werden zu Modelltrauben zusammengesetzt (Bild 14).

Das Modell wird in eine zähflüssige keramische Masse mit Äthylsilikat getaucht und sofort anschließend besandet. Dieser Vorgang wird solange wiederholt, bis sich eine selbsttragende Keramikform gebildet hat. Anschließend wird die Wachsoder Kunststoffmasse mit Heißdampf bei einer Temperatur von 170 ºC und einem Druck von ungefähr 6 bar ausgeschmolzen. Nach dem Brennen der Form bei 1 000 ºC (Brennzeit ca. 10 bis 12 h) muss sie eventuell durch Hinterfüllen mit Sand oder Zement verstärkt werden. Die so entstandene Form wird meistens durch statisches Gießen (Gießen unter Schwerkraft) ausgegossen. Zur Steigerung des Formfüllungsvermögens und zur Vermeidung gasförmiger Einschlüsse kann auch bei Unterdruck oder im Vakuum gegossen werden.

Bild 14. Fertigungsablauf von Feinguss-Werkstücken

Nach der Abkühlung des Metalls wird die Form zerstört und die Gusswerkstücke vom Speisungssystem durch Schleifen abgetrennt. Grenzen und Genauigkeiten des Verfahrens: Abmessungen der Gusswerkstücke bis zu 500 mm, bei Teilen aus Leichtmetall bis 800 mm. Gießmassen sind von 0,5 g bis 50 kg möglich. Die Maßabweichungen sind für gegossene Werkstücke sehr gering (Tabelle 5).

M 12

M Spanlose Fertigung

Tabelle 5. Toleranzen von Feingusswerkstücken Nennmaß in mm bis 10 bis 100 bis 500

Maßabweichung in % ±1 ± 0,6 ± 0,4

Als Gusswerkstoffe können alle Werkstoffe mit einer genügend hohen Fließfähigkeit verwendet werden. Beispiele hierfür sind unlegierte und legierte Vergütungs- und Werkzeugstähle, Kupferlegierungen und Leichtmetalllegierungen auf Magnesium-, Aluminium- oder Titanbasis. Anwendungsbeispiele für Feingussteile sind Dampfturbinenschaufeln, Turboladerrotoren, medizinische Geräte, Werkzeugbau, Luft- und Raumfahrt.

2 Trennen und Umformen W. Böge

Aus den Halbzeugen Blech und den ähnlichen Halbzeugen Blechband und Flachmaterial lassen sich vielgestaltige Maschinen- und Gerätebauteile herstellen. Die gewünschte Größe der Bauteile erhält man durch Zerteilen (Trennen). Man zerteilt durch: Scherschneiden, Keilschneiden mit den Untergruppen Messerschneiden und Beißschneiden, Reißen, Brechen (Tabelle 1). In der industriellen Fertigung wird Scherund Messerschneiden zum Abschneiden mit offener Schnittlinie, Auschneiden, Lochen mit geschlossener Schnittlinie am häufigsten angewendet. Durch Umformen werden Form, Oberfläche und Werkstoffeigenschaften eines Werkstücks gezielt verändert. Da-

bei bleiben Masse und Stoffzusammenhang bestehen (Übersicht über Umformverfahren in Tabelle 4). DIN 8588 1) legt fest: Scherschneiden (kurz Schneiden) ist Zerteilen von Werkstoff zwischen zwei Schneiden, die sich aneinander vorbeibewegen und bei dem der Werkstoff voneinander abgeschert wird. Messerschneiden ist Keilschneiden mit einer Schneide, deren Keil den Werkstoff auseinanderdrängt. 2.1.1 Abschneiden Abschneidbar sind: Pappe, Papier, Leder, Textilien, Dichtungsstoffe, alle gewalzten Halbzeuge der Metalle und Kunststoffe. Größte schneidbare Stahlblechdicke 120 mm, größte schneidbare Walzdicke 230 mm im Quadrat, schneidbare Qualitäten bis Rm = 1 200 N/mm2. Abschneiden ist vollständiges Trennen des Werkstückes vom Rohteil längs einer offenen (d.h. einer in sich nicht geschlossenen) Schnittlinie. Die Schnittlinie braucht nicht gerade zu sein. Die Schnittflächen sind uneben, schuppig und wenig maßhaltig (kleinste Maßtoleranz ± 0,2 mm), die Werkstücke durch den Schneidvorgang verbogen. 2.1.1.1 Der Schneidvorgang. Durch Druck auf den Werkstoff werden so hohe Scherspannungen im Werkstoff erzeugt, dass ein Quetschriss eintritt. Diese Scherspannungen lassen sich nicht auf die Trennlinie begrenzen, sondern pflanzen sich, schnell abnehmend, einige Millimeter tiefer in den Werkstoff fort. Scharfe Schneiden halten den Streifen erhöhter Scherspannungen schmal. Das ist wichtig, weil erhöhte Scherspannungen Werkstoffversprödungen hervorrufen.

2.1 Trennverfahren Tabelle 1. Übersicht über Trennverfahren (Auszug) Hauptgruppe 3 Trennen Gruppe 3.1 Zerteilen DIN 8588 (6.85) Untergruppe 3.1.1 Untergruppe 3.1.2 Untergruppe 3.1.3 Scherschneiden Messerschneiden Beißschneiden

1)

Untergruppe 3.1.4 Untergruppe 3.1.5 Untergruppe 3.1.6 Spalten Reißen Brechen

Entsprechend DIN 8588 sind alle Begriffe am Werkzeug mit Schneid, alle Begriffe am Werkstück mit Schnitt bezeichnet.

3 Verbindende Verfahren

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3 Verbindende Verfahren U. Borutzki

Einzelteile werden zu Baugruppen lösbar oder unlösbar gefügt. Zum lösbaren Fügen erforderliche Verbindungsmittel wie Schrauben, Bolzen oder Keile sind im Abschnitt I Maschinenelemente erläutert. In der Regel lassen sich lösbare Verbindungen ohne Schädigung der Einzelteile oder der Verbindungsmittel wiederholt trennen und fügen. Durch Schweißen, Löten, Kleben, Nieten oder Falzen entstehen unlösbare Verbindungen, deren Trennen das Zerstören der Einzelteile oder Verbindungsmittel erfordert.

3.1 Schweißen Beim Schweißen wird mit oder ohne Anwendung von Schweißzusätzen ein stofflicher Zusammenhalt geschaffen, der dem Fügeteilwerkstoff vergleichbare mechanische Gütewerte aufweist. Nach dem physikalischen Ablauf beim Schweißen unterscheidet DIN 1910 das Schmelzschweißen und das Pressschweißen.

3.1.1 Schmelzschweißen 3.1.1.1 Grundlagen a) Wärmewirkung und Schweißnahtbildung Durch Erwärmen der Fügestelle werden die Schweißteilkanten auf- und dann ineinander geschmolzen. An der Fügestelle erfolgt das Einformen des flüssigen Schweißgutes durch Oberflächenspannung, Schlacke oder Zwangsformung zur Schweißnaht, die vom festen Werkstoffufer ausgehend durch Kristallisation entsteht. Gleichzeitig mit der Nahtbildung bewirkt der Wärmeabfluss aus dem Schweißgut eine starke Wärmebeeinflussung des angrenzenden Grundwerkstoffs. Dadurch werden in dieser Wärmeeinflusszone Eigenschaftsänderungen verursacht, von denen die Gussstruktur und die Kornvergröberung zu den unerwünschten Erscheinungen zählen (Bild 1). Auch können Kohlenstoffgehalte über 0,22 % bei den unlegierten Stählen in Verbindung mit raschem Auskühlen der Fügestelle zu erhöhtem Martensitanteil und damit zu verschlechterten Zähigkeitswerten führen. Hinweise zur Schweißeignung ausgewählter Baustähle nach DIN EN 10025 enthält der Abschnitt E Werkstofftechnik, Tabelle 5. Die mit dem Kristallisieren und Abkühlen der Schweißnähte einhergehende Schrumpfung wird durch angrenzende Werkstoffbereiche behindert. Auf diese Weise stellen sich in der Schweißnaht erhebliche Zugspannungen ein (Bild 2).

Bild 1. Gefügeaufbau einer einlagigen Schweißnaht an unlegiertem Stahl mit ca. 0,2 % Kohlenstoff

Bild 2. Längsspannungen an einer Stumpfnaht Schweißgeeignete Werkstoffe bauen die Spannungen teilweise durch plastische Verformung ab. In dünnwandigen, schmelzgeschweißten Konstruktionen können die entstehenden Schrumpfspannungen erhebliche Verwerfungen bewirken. Mit der Wahl der Querschnittsform (z. B. X-Naht statt V-Naht), zweckmäßigem Nahtaufbau oder durch festes Einspannen beim Schweißen (plastischer Spannungsabbau) lassen sich die Schrumpfungen kontrollieren. Durch Richten können Verformungen korrigiert und durch Wärmebehandlung die beim Schweißen auftretenden Gefügeveränderungen eingeschränkt oder beseitigt werden. Die sich in der Stumpfnaht einstellenden Zugspannungen rufen im angrenzenden Werkstoff Druckspannungen längs und quer zur Schweißnaht hervor. Im Bild 2 sind nur die Längsspannungen dargestellt. Die auch vorhandenen Dickenspannungen sind vernachlässigbar klein. b) Schweißnahtvorbereitung Das vollständige Durchschweißen stumpf gestoßener Bleche ist mit Verfahren geringerer Leistungsdichte ( G, E ) nur möglich, wenn die zu fügenden

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M Spanlose Fertigung

Tabelle 1. Fugenformen zum Schmelzschweißen von Stahl Bezeichnung

Symbol

I-Naht

II

V-Naht

V

DV-Naht

X

Blechdicke t in mm t4 t8 t  20/100 3  t  10 3  t  40 t > 10

Werkstückkanten vollständig über die gesamte Blechdicke angeschmolzen werden. Wünschenswert ist das Schweißen einer I-Naht, weil dann oft ohne zusätzlichen Schweißzusatz und mit geringerer Wärmeeinbringung gearbeitet werden kann. Reicht die Prozessenergie für das Durchschweißen nicht aus, müssen die Werkstückkanten, auch Fugenflanken genannt, eine spezielle Form erhalten (Tabelle 1) und die Schweißnaht wird in mehreren Lagen gefertigt. Weitere Einzelheiten zur Wahl der Fugenformen enthält die DIN EN 29692. c) Energiequellen zum Schweißen Beim Gasschweißen wird heute fast ausschließlich als Brenngas Acetylen (C2H2) und als Oxidationsmittel Sauerstoff genutzt. Gelegentlich empfohlene andere Brenngase (H2, Propan, Butan, Stadtgas und Gemische) haben punktuell Zweckmäßigkeit bewiesen, sich aber in der Breite nicht durchgesetzt. Alle Gase werden an Kleinabnehmer in Druckgasflaschen geliefert. Großabnehmer beziehen Acetylen in Flaschenbündeln oder Gascontainern, den Sauerstoff in flüssiger Form (Vergasung beim Nutzer). Für das Lichtbogenschweißen werden Wandler benötigt, die aus der Netzenergie die hohen Spannungen und niedrigen Ströme zu schweißtechnisch geeigneten Kleinspannungen bei hohen Schweißströmen formen. Für das Wechselstromschweißen verwendet man fast ausschließlich Transformatoren, für das Gleichstromschweißen Transformatoren mit nachgeschaltetem Gleichrichter, als Kompakteinheit auch als Schweißgleichrichter bezeichnet. Das Steuern des Schweißstromes kann durch primär- oder sekundärseitig vom Transformator geschaltete Leistungstransistoren erfolgen (primär oder sekundär getaktete Schweißstromquellen). Die jüngste Generation am Markt, Inverterstromquellen, nutzen das in der Elektrotechnik bekannte Umrichterprinzip (Bild 3).

Schweißverfahren

Darstellung

G, E, WIG MIG, MAG La / EB G, WIG MIG, MAG E, MIG, MAG

Gase Stickstoff und Sauerstoff (Bild 4). Als Brenngas wird vorzugsweise Acetylen (C2H2) verwendet. Beide Gase werden erst im Schweißbrenner zu einem brennbaren Gemisch zusammengeführt. Die Ausströmgeschwindigkeit des zündfähigen Gemisches aus der Düse des Mischrohres (Bild 5) muss größer als die Zündgeschwindigkeit eingestellt sein, um so das Zurückschlagen der Flamme in den Schweißbrenner zu unterbinden. Das Mischen von Acetylen und Sauerstoff zu etwa gleichen Teilen ergibt eine chemisch neutrale Flamme, die sich besonders zum Schweißen von Stahl und Stahlguss sowie zum Löten und Wärmebehandeln eignet. Mit reduzierender Atmosphäre (Acetylenüberschuss) schweißt man Aluminium und Gusseisen und die oxidierende Flamme (O2-Überschuss) kann beim Werkstoff Messing vorteilhaft sein.

Bild 3. Stromquellen für das Lichtbogenschweißen

3.1.1.2 Gasschmelzschweißen (G)

1 2 3 4 5 6

Transformator Gleichrichter Schalttransistoren (bis 200 kHz) Glättungsdrossel Schweißlichtbogen Werkstück

Verfahrensprinzip Beim Gasschmelzschweißen erwärmt eine BrenngasSauerstoffflamme die zu schweißenden Werkstoffe bis auf Schmelztemperatur und schützt gleichzeitig die Schweißzone vor dem Zutritt der atmosphärischen

Anwendungsbereich Abmessungen: maximale Blechdicke s = 6 mm (bis 10 mm möglich, aber unwirtschaftlich)

3 Verbindende Verfahren

M 41 Tabelle 2. Leistungsdaten beim Gasschweißen

Rückschlagsicherung Druckminderer

Blechdicke s in mm 2 4 6 Fugenform (nach Tabelle 1) I-Naht V-Naht V-Naht vS in cm/min 8,5 5,6 4,3 Abschmelzleistung an Stahl 0,3 kg / h

chweißzusatz Schweißbrenner Brenngasflasche Sauerstoffflasche Werkstück

3.1.1.3 Lichtbogenhandschweißen (E)

Bild 4. Gasschmelzschweißen

Das Acetylen ist in gelben und der Sauerstoff in blauen Gasflaschen gespeichert. Rückschlagsicherungen in den Gasleitungen verhindern mögliche Flammenrücktritte aus dem Brenner über die Schläuche bis zu den Gasflaschen. Der Zusatzwerkstoff (Schweißzusatz) wird manuell zugeführt.

Verfahrensprinzip Zwischen einer abschmelzenden Elektrode und dem Werkstück brennt ein elektrischer Lichtbogen, dessen Wärmeentwicklung die Elektrode ab- und die zu fügenden Werkstücke anschmilzt (Bild 6).

Schweißstromquelle Lichtbogen 26V 100 A

Netzanschlu 230 V 16 A

Elektrodenhalter

Schweißkabel Polklemme

Schweißdüse

Bild 6. Lichtbogenhandschweißen

Sauerstoffventil

Griffstück

Mischrohr Überwurfmutter C2 H2 O2 Mischdüse

Druckdüse

Bild 5. Aufbau eines Injektorbrenners Das Sauerstoffventil wird zur Inbetriebnahme des Brenners zuerst geöffnet. Der aus der Druckdüse austretende Gasstrahl erzeugt einen Unterdruck und saugt das Acetylen an. Dann wird der Brenner gezündet. Das Schließen der Ventile erfolgt in umgekehrter Reihenfolge.

Werkstoffe: unlegierter und niedrig legierter Stahl, Stahlguss, Gusseisen, Nichteisenmetalle Erzeugnisse: Dünnblechschweißen, Reparatursektor, Rohrleitungsbau, Installationstechnik, Baustellenarbeiten Arbeitstechnik – Leistungskennwerte Das Gasschweißen wurde aus wirtschaftlichen Gründen von neueren Schweißverfahren im Anwendungsumfang zurückgedrängt. Wesentliche Gründe dafür sind auch die mit der erheblichen Wärmeeinbringung verbundene Grobkornbildung, der Verzug der Werkstücke und die geringe Schweißgeschwindigkeit vS (Tabelle 2).

Das aus Werkstück- und Elektrodenwerkstoff gebildete Schweißgut kristallisiert beim Erkalten zur Schweißnaht. Das Lichtbogenhandschweißen wird fast ausschließlich manuell und überwiegend mit Gleichstrom ausgeführt, Wechselstromschweißen ist beim Verwenden geeigneter Schweißelektroden möglich. Zum Zünden des Lichtbogens wird die Elektrode kurzzeitig am Anfang der Schweißnaht auf das Werkstück „getupft”. Dabei sinkt im Kurzschluss die Spannung auf nahe null ab und es fließt der Kurzschlussstrom. Alle Schweißstromquellen gestatten diesen Kurzschlussbetrieb zum Zweck des Zündens. Nach dem Abheben der Elektrode bildet sich der elektrische Lichtbogen aus. Die Höhe des einzustellenden Stromes wird hauptsächlich von der zu schweißenden Blechdicke und der konkreten Schweißaufgabe bestimmt. Kleinere Ströme stellt man bei dünnen Blechen, Wurzel-, Heft- und Zwangslagenschweißungen ein, höhere Werte gelten für dickere Bleche, Füll- und Decklagen oder für das Auftragsschweißen. Die Fülllagen können auch zur Wärmebehandlung genutzt werden. So kann z. B. die nächste Lage das Gefüge der vorhergehenden verfeinern (Bild 7). Der Werkstoffübergang erfolgt grundsätzlich von der Elektrode zum Werkstück (auch beim Überkopfschweißen). Die Tropfengröße und damit die Feinschuppigkeit der Naht steigt mit der Stromstärke an und wird darüber hinaus sehr stark von der chemischen Charakteristik der Elektrodenumhüllung und deren Dicke beeinflusst. Es werden vier Elektrodengrundtypen unterschieden (Tabelle 3):

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M Spanlose Fertigung

Tabelle 3. Eigenschaften von Stabelektrodentypen Merkmal Tropfengröße Schlackenentfernbarkeit Schweißguteigenschaft Nahtschuppung Werkstofffluss Stromart / Polung Vorzugseignung

Elektrodentyp (R) (B) Rutil umhüllt basisch umhüllt klein (d) mittel bis mittel (m) bis groß leicht gut gut sehr hoch

(A) sauer umhüllt 1) sehr klein (d) bis klein (m) sehr gut mittel glatt, feingezeichnet schnell fließend („heiß gehend”) = (+, –) / ~ leichte Handhabung bei Kehlnähten in w-Position

glatt (d)

deutlich

(C) Zellulose umhüllt mittelgroß keine Schlacke gut gering überwölbt, mittelschuppig mittel bis zähflüssig = (+, –) / ~

zähflüssig („kalt gehend”) =(–)/~ =(+) Universalelektroden rissfeste, kaltzähe Nähte mit guter Abschmelzim Kessel-, Behälter- Fallnahtschweißung charakteristik und Pipelinebau geringer als A

(m) mitteldick umhüllt, (d) dick umhüllt, 1) werden als reiner A-Typ nicht mehr angeboten

Decklagen Mittellagen (Fülllagen) a) Strichraupen

Wurzellagen

b) Lagenraupen

Bild 7. Lagentechniken beim Schmelzschweißen

1. Sauer umhüllte Elektroden (Kennzeichnung A) sind durch sehr dünnflüssiges Schweißgut und hohe Abschmelzleistungen gekennzeichnet. Wegen der nur mäßigen Gütewerte des Schweißgutes und der Warmrissempfindlichkeit werden sie kaum noch angewendet. 2. Rutil umhüllte Elektroden (Kennzeichnung R) Ausgezeichnete Schweißeigenschaften bei zufrieden stellenden mechanischen Gütewerten. Allzweckelektrode. 3. Basisch umhüllte Elektroden (Kennzeichnung B) Beste mechanische Gütewerte. Aufwändigere Verarbeitung. 4. Zellulose umhüllte Elektroden (Kennzeichnung C) Gute Spaltüberbrückbarkeit, spezielle Fallnahtelektrode. Anwendungsbereich Abmessungen: Blechdicke s = 2 bis 100 mm Werkstoffe: un-, niedrig und hoch legierter Stahl, Stahlguss, Gusseisen, bedingt Nichteisenmetalle Erzeugnisse: Verbindungs-, Auftrags- und Reparaturschweißungen in allen Bereichen der Metallverarbeitung Arbeitstechnik – Leistungskennwerte Das Lichtbogenhandschweißen wird heute vorzugsweise beim Schweißen hoch legierter Stähle ange-

wendet. Es ist nach dem Metall-Schutzgasschweißen das wichtigste Schweißverfahren in der industriellen und besonders der handwerklichen Fertigung. Größere Anwendungsfelder sind der Schiffbau (Hellingfertigung), der Rohrleitungsbau (Pipelinebau), der Stahlbau (hohe Verfahrensflexibilität) und der Energieanlagenbau. Lichtbogenhandschweißen wird auch häufig dann bevorzugt, wenn auf der Baustelle Spalte zu überbrücken sind oder wenn verschlissene Schichten aufgetragen werden sollen (Auftragsschweißen). Tabelle 4. Leistungsdaten beim Lichtbogenhandschweißen Blechdicke s in mm 2 5 10 Fugenform (nach Tabelle 1) II V-Naht V-Naht Anzahl der Lagen (nach Bild 7) 1 2 3 vS in cm/min 28 16 1) 3 1) Abschmelzleistung an Stahl bis maximal 4,0 kg / h 1) Mittelwert aus den Lagenschweißungen

3.1.1.4 Schutzgasschweißen (SG)

Bei den Schutzgasschweißverfahren übernimmt ein Gas oder ein Gasgemisch den Schutz von Vorderund ggf. auch Rückseite der Schweißstelle vor den Wirkungen der Atmosphäre (Stickstoffaufnahme, Oxidation). Verschiedene Gaszusammensetzungen sowie die Art der Schweißelektrode und die Brennerkonstruktion führten zur Entwicklung sehr leistungsfähiger Schweißverfahren (Bild 8). a) Metall-Schutzgas-Schweißen (MSG) Verfahrensprinzip Beim Metall-Schutzgas-Schweißen (Bild 9) besteht der Schweißzusatz aus einem auf Korbspulen aufgewickelten Schweißdraht, den ein Vorschubmechanismus mit konstanter Elektrodenvorschubgeschwindigkeit vE dem Lichtbogen zuführt.

3 Verbindende Verfahren

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Schutzgaschweißen (SG) Metall-Schutzgas-Schweißen (MSG) Metall-Aktivgas-Schweißen (MAG)

Metall-Inertgas-Schweißen (MIG)

Wolfram-Schutzgas-Schweißen (WSG) Wolfram-Inertgas-Schweißen (Wolfram) Plasma-Schweißen (WIG) (WP)

Bild 8. Einteilung der Schutzgasschweißverfahren (vereinfacht nach DIN 1910 T4)

Unmittelbar vor dem Lichtbogen wird über einen Schleifkontakt (1) der Schweißstrom in den Schweißdraht geleitet. Typische Drahtdurchmesser sind dE = 0,8 – 1,6 mm (2). Die konzentrisch zum Draht angeordnete Düse gewährleistet den Schutzgaskegel (3), vorzugsweise aus CO2 + Ar-Mischgas, über dem Lichtbogen und dem Schweißbad (4) sowie über den schützenswerten Werkstückbereichen (5). Im Bild nicht dargestellte Prozesseinrichtungen wie Stromquelle oder Gasversorgung sind mit dem Schweißbrenner über Schutzgaszufuhr (6), Kühlwasserzu- und -abfuhr (7), Steuer- und Messleitungen (8), Schweißstromzufuhr (9), Prozess START/STOP (10) und Polklemme (11) verbunden. Wegen der bei einer Drahtvorschubgeschwindigkeit vE um 9 m/min kurzen Verweilzeit des Drahtes im Bereich der Strom durchflossenen freien Elektrodenlänge lE („stick out”) ist dessen Erwärmung gering. Die dadurch möglichen hohen Schweißströme gestatten größere Abschmelzleistungen und ein tieferes Eindringen des Lichtbogens in das Werkstück als beim E-Schweißen. Das Schutzgas kann völlig oder in seiner wesentlichen Wirkung inert sein (MIG) oder mit dem Werkstoff reagieren (MAG). Aktive Gaskomponente ist vorzugsweise CO2. Der O2-Anteil im Schutzgas führt zur Oxidation von Legierungselementen. Dieser Verlust wird durch entsprechend hohe Legierungsgehalte im Schweißdraht kompensiert. Zum Schutzgasschweißen bewährte Gase und Gasgemische und ihre Wirkung beim Schweißen sind in DIN EN 439 aufgeführt.

Dargestellt ist das teilautomatische Schweißen, bei dem der Schweißbrenner von Hand geführt wird. Das Verfahren wird verbreitet auch mit Schweißrobotern praktiziert. Anwendungsbereich MAG Abmessungen: Blechdicke s = 0,8 bis 20 mm Werkstoffe: un- und niedrig legierte Stähle, Kessel-, Röhren und Schiffbaustähle, auch hoch legierte Stähle, keine Nichteisenmetalle Erzeugnisse: Gegenwärtig universellstes Schweißverfahren mit größtem Anwendungsumfang. Mit der Kurzlichtbogentechnik können Karosseriebleche repariert, mit der Impulstechnik Maschinenbauteile, Fahrzeugrahmen oder Stahlbauten spritzerfrei geschweißt werden. Mit dem Hochleistungsschweißen lassen sich wirtschaftlich dicke Bleche z.B. für Erdbaumaschinen, Chemieanlagen oder Meerestechnik verbinden. Anwendungsbereich MIG Abmessungen: Blechdicke s = 3 bis 20 mm Werkstoffe: niedrig und hoch legierte Stähle, Aluminium, Magnesium, Kupfer, Nickel und andere Nichteisenmetalle Erzeugnisse: Charakteristisches Verfahren für Hochleistungsschweißungen an Leichtmetallkonstruktionen im Schienenfahrzeug- und Schiffbau Arbeitstechnik – Leistungskennwerte Aus dem Schutzgasschweißen ging eine Vielzahl von Verfahrensvarianten mit ganz speziellen Anwendungsbereichen hervor. Dazu zählen: Kurzlichtbogentechnik (MAG) für das Schweißen dünner Bleche (s = 0,8 mm – 3 mm), Wurzel- und Zwangslagenschweißen. Ein stetiger Wechsel von Kurzschluss und Lichtbogenausbildung gestattet einen stabilen Lichtbogen bei Arbeitswerten bis herunter zu 19 V und 100 A.

Bild 9. MAG-Schweißen

Impulstechnik (MAG und MIG) nutzt einen geringen Grundstrom, kombiniert mit überlagerten Schweißstromimpulsen. Wichtigste Ziele der Impulstechnik sind das spritzerfreie Schweißen und ein gesteuerter Wärmeeintrag. Die Impulstechnik erfordert spezielle Schweißstromquellen.

M 44 „T.I.M.E.”-Schweißen (MAG) ist ein patentiertes Verfahren, bei dem die Elektrodenvorschubgeschwindigkeit bis 45 m/min gesteigert wird und der Lichtbogen mit Schweißstromstärken IS über 400 A und Schweißspannungen US > 40 V unter Verwendung spezieller Mischgase (Ar-He-CO2-O2) brennt. Das sehr leistungsfähige Verfahren empfiehlt sich für dicke Bleche an Maschinen-, Schiff- und Stahlbaukonstruktionen. Fülldrahtschweißen (MAG) nutzt mit Pulver gefüllte Schweißdrähte. Die Pulver übernehmen den Umhüllungen beim E-Schweißen vergleichbare Funktionen. Eine neuere, zukunftsträchtige Variante ist das Fülldrahtschweißen ohne Schutzgas (selbstschützende Drähte). Das Schweißen ohne Gasversorgung ist vor allem auf Baustellen von Bedeutung.

M Spanlose Fertigung Erzeugnisse: Verfahren für Präzisionsschweißungen in allen Bereichen der Metallverarbeitung, Luft- und Raumfahrt, Schienen- und Straßenfahrzeuge, Behälterbau, Schankanlagen, Elektroanlagen, Haushaltgeräte

Tabelle 5. Leistungsdaten beim MAG-Schweißen von Stahl Blechdicke s in mm 2 5 10 Fugenform (nach Tabelle 1) II II V-Naht Anzahl der Lagen (nach Bild 7) 1 1 2 vS in cm/min 40 100 16 1) Abschmelzleistung an Stahl bis maximal 4,0 kg / h 1) Mittelwert aus den Lagenschweißungen

b) Wolfram-Inertgas-Schweißen (WIG) Verfahrensprinzip Beim Wolfram-Inertgas-Schweißen (Bild 10) brennt ein elektrischer Lichtbogen unter inertem Gasschutz zwischen einer nicht abschmelzenden Wolframelektrode (5) und dem Werkstück (7). Der Lichtbogen schmilzt die zu schweißenden Werkstückkanten auf und den ggf. seitlich zugeführten Schweißzusatz (6) ab. Das Inertgas (2) zum Schutz von Wolframelektrode und Schweißnaht entströmt einer konzentrisch um die Elektrode angeordneten Düse und wird dem Brenner über ein Schlauchpaket ebenso zugeführt wie Kühlwasser (3) und Schweißenergie (4). Ist die Elektrode verschmutzt oder angeschmolzen, wird sie gewechselt (1). Zuverlässiges berührungsfreies Zünden des Lichtbogens erreicht man durch dem Schweißprozess überlagerte Hochspannungsimpulse und Elektroden mit geringem Thoriumoxidgehalt (radioaktiv). Die DIN EN 26848 enthält thoriumfreie Wolframelektroden mit vergleichbaren Schweißeigenschaften. Das WIG-Schweißen wird mit Gleichstrom (Stahlschweißung) oder Wechselstrom (Al, Mg) ausgeführt. Manuelles Schweißen und maschinelle Techniken sind in Gebrauch. Anwendungsbereich Abmessungen: Verbindungsschweißen an Blechen mit s = 0,5 bis 10 mm, Wurzelschweißen an dicken Blechen Werkstoffe: un-, niedrig und hoch legierte Stähle, Al, Mg, Cu, Ni, Ti und andere NE-Metalle

Bild 10. WIG-Schweißen

Dargestellt ist das manuelle Schweißen, bei dem der Schweißbrenner von Hand geführt wird. Die Zufuhr des Schweißzusatzes erfolgt von der Seite. Maschinelle Brennerführung und Zufuhr des Schweißzusatzes werden bei langen Schweißnähten und Präzisionsschweißungen praktiziert. Arbeitstechnik – Leistungskennwerte 1. Schweißen von Al, Mg und deren Legierungen Diese Werkstoffe sind wegen der ihrer Oberfläche stets anhaftenden Oxidschicht für die Lichtbogenausbildung nicht hinreichend leitfähig. Erforderlich ist daher – – –

vorherige mechanische und/oder chemische Oxidbeseitigung, spezielle Fugen- und Elektrodenform, Schweißen mit Wechselstrom.

Beim Wechselstromschweißen reißen die aus dem Schmelzbad austretenden Elektronen während der positiven Halbwelle die Oxidhäute auf, belasten dabei aber thermisch die Elektrode. Diese ist daher nicht spitz, sondern abgerundet (Bild 11). Geschweißt wird mit einfach aufgebauten Schweißtransformatoren (preiswert) oder transistorisierten Stromquellen (Abschnitt 3.1.1.3) mit rechteckförmigem Stromverlauf und ggf. einstellbarer Phasenbalance, die kleinere positive Halbwellen ermöglicht. Dadurch können die thermische Elektrodenbelastung gesenkt und der Schweißprozess stabiler geführt werden. Vereinzelt wird auch mit Gleichstrom unter Helium als Schutzgas geschweißt. Wegen dessen höherer Ionisationsspannung wird der Lichtbogen heißer und die Oxidhaut thermisch zerstört. Die schwierigere Prozessführung begrenzt das Verfahren auf das mechanisierte Schweißen.

3 Verbindende Verfahren

M 45

Bild 11. Technologische Angaben zum WIG-Schweißen

2. Schweißen von hoch legiertem Stahl Zum Schweißen hoch legierter Stähle, vorzugsweise der Chrom-Nickel-Stähle, ist das WIG-Schweißen seit seiner Entwicklung das bevorzugte Verfahren. Der inerte Argonschutz, verbunden mit zusätzlichem Schutz der Nahtrückseite (Wurzel), ermöglicht in weiten Grenzen anlauffarbenfreie Schweißnähte. Geschweißt wird mit Gleichstrom, Elektrode am Minuspol. Zumischen von Wasserstoff mit 2 % bis 5 % wird in einigen Fällen des maschinellen Schweißens praktiziert. Wasserstoff wirkt als Wärmeträger, fördert die Benetzung und damit das zuverlässige Schweißen dünner Bleche (z.B. beim Längsnahtschweißen dünnwandiger Rohre) und gestattet metallisch blanke Nähte durch seine reduzierende Wirkung.

Vorrichtungen, Schweißzelte oder Vakuumkammern sein, die nach dem Evakuieren mit dem Schutzgas gefüllt werden. Das Beschicken der Kammern erfolgt durch Schleusen und das Schweißen über Manipulatoren. Die Geräteentwicklung zum an sich sehr einfachen Verfahren hat heute ein Anspruchsniveau, zu dem folgende Merkmale zählen: –

wahlweise HF- oder Liftarc-Zündung (HF: Hochfrequente Hochspannungsimpulse zünden berührungsfrei, Liftarc: selbständiges Zurückziehen der Elektrode bei Kurzschlusszündung)

–

programmierbare Schweißparameter Startstromwahl mit Anstieg zum Nennstrom (UpSlope-Zeit) Absenkstrom bei Schweißende zur Kraterfüllung (Down-Slope-Zeit) Gasvor- und -nachströmzeit (Schutz von Werkstück und Elektrode)

–

Kontrolle weiterer Prozessfunktionen Schutzgaswahl und Durchflusskontrolle Kühlwasserüberwachung

3. Schweißen der NE-Metalle Nichteisenmetalle und ihre Legierungen, die schmelzmetallurgisch hergestellt wurden, lassen sich in der Regel auch mit dem WIG-Verfahren schweißen. Zu diesen Werkstoffen zählen Cu und seine Legierungen, Ni und Ni-Legierungen, Titan und Tantal. Dabei gilt, dass der inerte Gasschutz besonders bei den reaktionsfreudigen Werkstoffen durch zusätzliche Maßnahmen sicher gewährleistet werden muss. Das können Vor- und Nachlaufbrausen, gasdurchströmte

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M Spanlose Fertigung

Tabelle 6. Leistungsdaten beim WIG-Schweißen von Stahl Blechdicke s in mm Fugenform (nach Tabelle 1) Anzahl der Lagen ( Bild 7) vS in cm/min Abschmelzleistung an Stahl 1)

2 5 10 II II V 1 1 3 20 12 2 1) bis maximal 0,5 kg / h

Mittelwert aus den Lagenschweißungen

3.1.1.5 Plasmaschweißen (Pl)

Verfahrensprinzip Wird ein elektrischer Lichtbogen in den Randzonen gekühlt, verliert er dort seine Leitfähigkeit, der Strompfad wird eingeschnürt und der Lichtbogen nadelförmig. In der Schweißtechnik bezeichnet man dieses Phänomen als Plasmalichtbogen. Er erzeugt beim Schweißen sehr schmale Nähte. Bild 12 zeigt schematisch die konstruktiven Details des Plasmabrenners. Die Wolframelektrode sitzt hinter der Plasmadüse (3) und zwischen beiden brennt permanent ein Hilfslichtbogen kleiner Energie. Dieser erzeugt ein Hilfsplasma, das durch das Plasmagas aus der Düse gedrückt wird und die Lichtbogenstrecke vorionisiert. So kann das Arbeitsplasma durch Zuschalten des Hauptschweißstromes jederzeit berührungsfrei gezündet werden. Als Plasmagas wird Argon verwendet.

Bild 12. Plasmaschweißen

1 2 3 4 5 6 7 8

Wolframelektrode Kanal für Plasmagas Plasmadüse Kanal für Fokussier-Schutzgas Schutzgasdüse Wasserkühlung Plasmastrahl Schweißnaht im Werkstück

Das Fokussierungsgas, das gleichzeitig den Schutz der Schweißstelle übernimmt, kann bei der Stahlschweißung ein Ar + H2-Mischgas sein. Andere Brennerkonstruktionen und Gaskompositionen sind in

Gebrauch. Das Plasmaschweißen wurde aus dem WIG-Verfahren heraus entwickelt und gestattet schmalere Schweißnähte und höhere Schweißgeschwindigkeiten. Wegen der hohen Präzision und den hohen Schweißgeschwindigkeiten wird überwiegend maschinell geschweißt. In der Regel kommt das Plasmaschweißen ohne Zusatzwerkstoff aus, die Fugenflanken werden als INaht vorbereitet. Das Verwenden von Schweißzusatz, z.B. zum Ausgleich von Toleranzen, ist möglich. Anwendungsbereich Abmessungen: Verbindungsschweißen an Blechen mit s = 0,1 bis 10 mm Werkstoffe: un-, niedrig und hoch legierte Stähle, Cu, Ni, Ti und andere NE-Metalle; Al, Mg und deren Legierungen ungebräuchlich Erzeugnisse: Längs- und Rundnahtschweißungen an Rohren und Blechsektionen, Behälterbau Arbeitstechnik – Leistungskennwerte Der Plasmalichtbogen lässt sich mannigfaltig variieren. So gingen aus dem klassischen Verfahren Varianten hervor wie Mikroplasmaschweißen Beim Mikroplasmaschweißen lassen stabile Lichtbögen von 1 A Stromstärke Präzisionsschweißungen an Feinblechen und Folien bis unter 0,1 mm Dicke zu. Mit dem Verfahren werden Hüllrohre für Kernbrennstäbe oder Schlitzrohre mit 0,15 mm Wanddicke geschweißt sowie Wellrohrkompensatoren und Druckmessdosen hergestellt. Ferner können auch Erzeugnisse aus Draht wie Zahnprothesen, Drahtnetze (Papierindustrie) oder Thermoelemente mit dem Verfahren gefertigt werden. Plasmaschweißen mit Bogenablenkung Der Plasmalichtbogen übt bei steigender Energie, die für höhere Schweißgeschwindigkeiten gebraucht wird, auch einen höheren Druck auf das Schmelzbad aus und durchbricht dieses. Um das zu vermeiden und bei hohen Geschwindigkeiten dünne Bleche zu schweißen, lenkt man den Lichtbogen in Schweißrichtung magnetisch aus (Schweißen von Blechsektionen im Schienenfahrzeugbau). Plasmaschweißen mit Stichlocheffekt Ab etwa 3 mm Blechdicke kann durch Energiesteigerung der Plasmastrahl das Werkstück durchstechen, es bildet sich ein schlüssellochförmiger Durchbruch, der mit dem Plasmastrahl in Schweißrichtung wandert und hinter dem die Fugenflanken zusammenfließen. Die Wärme wird vom Plasmastrahl nicht an die Blechoberfläche, sondern an die Stichlochflanken

3 Verbindende Verfahren

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abgegeben. Dadurch kann die Schweißgeschwindigkeit gegenüber dem Wärmeleitungsschweißen (WIG, Mikroplasma) deutlich gesteigert werden. Plasmaauftragsschweißen Durch seitlich zugeführten Schweißdraht oder direkt durch den Brenner geförderte Pulver lassen sich verschlissene Schichten auftragen oder spezielle Hartstoffschichten (Ni-Basis mit Cr, Co, W oder Wolframcarbid) erzeugen. Tabelle 7. Leistungsdaten beim Plasmaschweißen Blechdicke s in mm Fugenform (nach Tabelle 1) Anzahl der Lagen (nach Bild 7) vS in cm/min Abschmelzleistung an Stahl 2)

2 5 10 II II II 1 1 2 90 50 40 1) bis maximal 0,5 kg / h

1) Mittelwert aus den Lagenschweißungen 2) bei Kaltdrahtzufuhr, Steigerung durch Heißdraht möglich

3.1.1.6 Laserschweißen (La)

Verfahrensprinzip Beim Laserschweißen wird die in einem Lasermedium (Kristall, Gasentladung, Halbleiter) erzeugte energiereiche Strahlung durch ein Linsensystem auf die Schweißstelle gebündelt. Das Laserlicht ist monochromatisch, kohärent und parallel und gestattet daher bei seiner Fokussierung Energiedichten über 106 W/cm2. Damit können alle technischen Werkstoffe geschmolzen oder verdampft werden. In jedem Fall muss die Energie des Laserstrahls zunächst einmal als elektrische Energie dem Lasergenerator zugeführt werden. Im Fall des Festkörperlasers (Bild 13) erfolgt die erste Umwandlung in Licht über die Blitzlampen und schließlich die zweite Umwandlung in das Laserlicht. Die bei diesem Vorgang entstehende erhebliche Verlustwärme muss durch ein wirksames Kühlsystem abgeführt werden und ist Ursache für den durchweg sehr schlechten Verfahrenswirkungsgrad aller Laser. Während bislang die geometrischen Abmessungen der Laserresonatoren vom klassischen Kristallstab beim Festkörperlaser (rund) oder Entladungsrohr (rund) beim Gaslaser bestimmt waren, gewinnen kompakte Konstruktionen, genannt Slab-Laser (Slab = Platine, Platte), an Bedeutung. Von den heute existierenden zahlreichen Lasertypen werden zum Schweißen CO2-Gaslaser, Neodym: YAG-Laser und Halbleiterlaser verwendet. Diese drei Lasertypen haben außerordentlich verschiedene Eigenschaften, woraus auch ganz spezifische Einsatzfelder resultieren (Tabelle 8). Wegen der hohen Präzision des Laserstrahls wird das Verfahren fast ausschließlich mechanisiert ausgeführt, andere Entwicklungen (Kehlnahtschweißen mit handgeführtem Schweißkopf an Leichtbauprofilen oder manuelles Laserpunktschweißen in der Dentaltechnik) sind bekannt.

Bild 13. Laserschweißen

1 elliptische Reflektoren 2 Blitz- oder Bogenlampen strahlen die Energie als anregendes Licht in den Resonator 3 in den Laserkristall eingestrahltes Licht 4 Laserstab (Nd:YAG-Kristall) 5 halb durchlässiger Auskoppelspiegel 6 hinterer Resonatorspiegel 7 ausgekoppelter Laserstrahl (vor der Optik noch ungebündelt) Anwendungsbereich Abmessungen: Verbindungsschweißen an Blechen mit s = 0,1 bis 10 mm nach oben gegenwärtig durch Laserleistung und die damit verbundenen Anlagenkosten begrenzt Werkstoffe: un-, niedrig und hoch legierte Stähle, Mg, Cu, Ni, Ti und andere Nichteisenmetalle. Metall-Keramik-Verbindungen. Für Al, Mg und deren Legierungen nach jüngsten Erkenntnissen besonders geeignet. Erzeugnisse: Präzisionsschweißungen im Feingerätebau, Maschinenbauteile, Behälter- und Anlagenbau, Straßen- und Schienenfahrzeugbau, neuerlich auch Stahl- und Schiffbau mit dem Schweißen von Dickblechen und Schweißnahtlängen über 10 m.

Arbeitstechnik – Leistungskennwerte Die Anwendungsgrenzen für das Laserschweißen sind wegen der schnellen Geräteweiterentwicklung unscharf. Bei Präzisionsbauteilen ist das Verfahren meist durch mechanische Grenzwerte eingeschränkt. So beträgt die zulässige Abweichung von der spaltfreien Anlage beim Stumpfschweißen etwa 10 % der Blechdicke, das sind bei einem 0,1 mm dicken Blech 10 μm. Im oberen Leistungsbereich beträgt die maximale Schweißgeschwindigkeit etwa 10 m/min (Tabelle 9).

M 48

M Spanlose Fertigung

Tabelle 8. Ausgewählte Verfahrensmerkmale von Laserschweißverfahren Arbeitsgröße Wellenlänge max. Ausgangsleistung max vS Energieübertragung schweißbare Blechdicke am Beispiel CrNi-Stahl

Einheit μm kW m / min –

Diodenlaser 0,32 ... 32 4 1 Lichtwellenleiter

Nd:YAG 1,06 6 5 Lichtwellenleiter

CO2-Gaslaser 10,6 25 10 Spiegelsystem

mm

1

4,0

10

Diodenlaser Das schon seit längerem bekannte Prinzip des Diodenlasers konnte erst Ende der 90er Jahre zu nennenswerten Ausgangleistungen geführt und damit für schweiß- und schneidtechnische Aufgaben nutzbar gemacht werden. Der große Brennfleck von 2 mm u 4 mm schränkt seine Verwendbarkeit für Präzisionsaufgaben ein, die erzielbare Energiekonzentration von 5 · 105 W/cm2 ist aber für das Schweißen vieler Aufgaben vollkommen ausreichend. Der Diodenlaser ist für das Kunststoffschweißen besonders geeignet, obwohl einige Kunststoffe (amorphe) von dem nahe dem Infrarot liegenden Strahl durchdrungen werden. Der Diodenlaser ist besonders klein und kompakt (so erzielt man 2 kW Strahlleistung aus einem 30 cm u 18 cm u 13 cm Gehäuse) und ist daher problemarm im technologischen Prozess integrierbar. Auch sein elektrischer Wirkungsgrad von 40-50 % (Nd:YAG 3 %) weist neue Wege in der Laserschweißtechnologie. Anwendung: Kleinteileschweißen, Schankanlagen, CrNi-Stahlbleche, Elektroblech, Behälter aus chromatiertem Al.

Nd:YAG-Festkörperlaser Der YAG-Laser erfordert im Gegensatz zum CO2Laser kein Arbeitsgas und sein Licht lässt sich durch Lichtwellenleiter (LWL) an die Schweißstelle führen. Das Licht des YAG-Lasers mit 1,06 μm Wellenlänge wird von metallischen Werkstoffen wesentlich besser absorbiert als das des CO2-Lasers. Daher wird er vor allem wegen des günstigen Strahlhandlings durch LWL für das Schweißen an kleineren Bauteilen bei geringstem Wärmeeintrag bevorzugt. Sein Wirkungsgrad ist wegen des lichtgepumpten Kristalls gering. Tabelle 9. Leistungsdaten beim Laserschweißen Blechdicke s in mm 2 5 10 Fugenform (nach Tabelle 1) II II II Anzahl der Lagen (nach Bild 7) 1 1 1 vS in cm/min 750 100 1 000 Abschmelzleistung an Stahl 1) bis maximal 0,5 kg / h 1)

Bei Kaltdrahtzufuhr, Steigerung durch Heißdraht möglich

Tabelle 10. Weitere Schmelzschweißverfahren (Auswahl) Verfahren Aluminothermes Schweißen (AS)

Elektroschlackeschweißen (ES)

Elektronenstrahlschweißen (EB)

Magnetisch bewegter Lichtbogen (MBS) Unterpulverschweißen (UP)

Prinzip Chemische Reaktion zwischen Al und Eisenoxid Stromdurchflossene Schlacke schmilzt Draht und Werkstoff auf Freier Elektronenstrahl trifft im Vakuum auf Werkstück

Anwendung Gieß-Schweißverfahren zum Schweißen von Schienen und Massivprofilen. In den mit speziellen Formteilen modellierten Schweißstoß fließt im Schmelztiegel erzeugter Stahl. s t 12 mm, alle Stähle und Stahlguss, steigende Nähte an Dickblechen im Stahl-, Behälter- und Schiffbau.

Wenige μm d s d 100 mm. Alle Stähle, NE-Metalle außer solche mit Verdampfungsneigung (Zink). Höchste Präzisionsschweißungen auch an sehr dicken Bauteilen. Werkstücke müssen in eine Vakuumkammer. Einziges Verfahren zum AlSchweißen bis 100 mm Dicke. Lichtbogen zwischen s t 2 mm, alle Stähle, Cu und seine Legierungen. Spezielles Werkstück und HilfsVerfahren für das Schweißen von Massenteilen aus Dünnelektrode blech, automatischer Prozess bei sehr kurzer Schweißzeit. Lichtbogenschutz unter s = 2 bis 100 mm, alle Stähle und Stahlguss, höchste Abeiner Pulverschicht schmelzleistung aller Schweißverfahren, hoch produktiv bei dicken Blechen und Schweißnähten über 100 cm Länge.

3 Verbindende Verfahren CO2-Gaslaser Der CO2-Laser gestattet wegen seiner energetisch günstigsten Konstruktion die höchsten Ausgangsleistungen. Das umgewälzte und zu kühlende Prozessgas muss anteilig erneuert werden, der Verbrauch beträgt z. B. bei einem 8 kW-Laser 60 l/h (80 % He, 26 % N2, 2 % CO2). Hinzu kommt technologisch bedingtes Gas zum Schutz der Schweißstelle. Da der CO2Laserstrahl nicht über LWL geführt werden kann, sind aufwändige Spiegelsysteme erforderlich. Zum Schweißen von Dicken über 5 mm ist der CO2-Laser gegenwärtig die einzige lasertechnische Lösung (Tabelle 9). Trotz des günstigeren elektrischen Wirkungsgrades ist der Gesamtwirkungsgrad auch einer CO2-Laserschweißanlage gering. So werden für 6 kW Laserstrahlleistung etwa 100 kW Anschlussleistung benötigt.

M 49 wird den beweglichen Elektroden über flexible Kupferbänder (4) zugeführt. Bei wachsender Bedeutung der Gleichstromschweißung wird heute noch fast ausschließlich mit Wechselstrom geschweißt, der von speziellen einphasig angeschlossenen Schweißtransformatoren bereitgestellt wird. Der Verlauf von Schweißstrom IS und Elektrodenkraft FE beim Einzelpunktschweißen ist in Bild 15 dargestellt. Zum Schweißen werden stationäre Maschinen, prozessintegrierte Schweißstationen oder mobile Schweißzangen, besonders robotergeführte, benutzt. Die Schweißelektroden bestehen aus härtegesteigerten Cu-Legierungen (CuCrZr) und werden wassergekühlt.

3.1.1.7 Weitere Schmelzschweißverfahren

Für besondere Bauteilgeometrien, z.B. sehr dick oder dünn, für spezielle Werkstoffe oder zum Schweißen mit besonders hoher Produktivität werden weitere Schmelzschweißverfahren in der industriellen und handwerklichen Praxis eingesetzt (Tabelle 10).

Arbeitswert für

hoch legierten Stahl

unlegierten Stahl

Al und Legierungen

dE in mm

4 s

5 s

10 s

Is in kA

8 s

10 s

30 s

ts in Perioden

5 s

8s

7s

FE in kN

5s

2,5 s

2s

3.1.2 Pressschweißen 3.1.2.1 Widerstandspunktschweißen (RP)

Verfahrensprinzip Das Widerstandspunktschweißen wird vorzugsweise zum Verbinden von überlappt angeordneten Blechen und auch Drähten genutzt (Bild 14). Zwei mechanisch betätigte Elektroden (2) pressen die Bleche (1) aufeinander, bis ein definierter Widerstand erreicht ist. Über diesen erzeugt ein kurzer Stromimpuls an der Schweißstelle die Widerstandswärme (Joule’sche Wärme), die durch Wärmestau vorwiegend zwischen den Blechen entsteht und dort zum Ausbilden der Schweißlinse (3) führt.

Bild 14. Widerstandspunktschweißen

Hinreichend große Elektrodenkräfte halten die Bleche bis zum Erkalten und Verfestigen der Schweißlinse unter Druck. Der Schweißstrom in Höhe mehrerer kA

Bild 15. Arbeitsgrößen beim Widerstandspunktschweißen

Anwendungsbereich Abmessungen: s = 0,4 bis 4 (8) mm Einzelblechdicke, Stumpf- oder Kreuzdrahtschweißungen mit Durchmessern von 3 bis 10 mm Werkstoffe: Stahl und Nichteisenmetalle, sehr viel Werkstoffkombinationen, unverträgliche Werkstoffe lassen sich mit zwischengelegter Folie schweißen Erzeugnisse: Fahrzeug- und Flugzeugbau, Universalverfahren in der Blechbearbeitung, Haushaltgeräte, Kreuzdrahtschweißen von Bewehrungsstahl im Bauwesen Arbeitstechnik – Leistungskennwerte Neben dem klassischen Punktschweißen mit gegenüberliegenden Elektroden sind bauteilbedingt Sonderkonstruktionen in Gebrauch, z. B. das einseitige Punktschweißen (Bild 16) oder das Kondensatorimpulsschweißen. Die hohen Schweißströme (1 bis 1 000 kA) werden heute überwiegend primärseitig durch Thyristoren geschaltet, beim Gleichstromschweißen wird das Umrichterprinzip angewendet (siehe Abschnitt G Elektrotechnik). Die Schweißspannungen im Bereich von 3 bis 10 V bleiben aus Sicherheitsgründen klein und werden als Einstellgröße nicht verändert. Die Schweißzeit, allgemein in Perioden der Netzfrequenz (Per) angegeben, wird sehr kurz eingestellt. Dadurch kann die Wärme aus

M 50

M Spanlose Fertigung

der Schweißzone nicht abwandern und die Elektrodeneindrücke bleiben klein. Neben dem zuverlässigen Einstellen der Elektrodenkräfte, blechdickenabhängig sind 0,5 bis 10 kN erforderlich, ist das Nachsetzverhalten der meist pneumatischen Kraftsysteme eine ganz wesentliche Maschineneigenschaft. Zu geringe Elektrodenkräfte oder zu langsames Nachsetzen führen zu ausspritzendem Werkstoff. Zu große Elektrodenkräfte bewirken anwachsende Eindrücke der Schweißelektroden. Saubere Werkstückoberflächen und gleichbleibende Werkstoffqualität sind Voraussetzung für eine hohe Schweißpunktqualität. Die Werkstücke müssen frei von Oxidschichten und Verunreinigungen sein, sonst besteht die Gefahr des Klebens (Anschweißen) der Elektroden an der Werkstückoberfläche. Weitere Verfahrensmerkmale zeigt Bild 16. Um das Abfließen des Schweißstromes über benachbarte Schweißpunkte (Nebenschluss) einzuschränken, sind Mindestabstände erforderlich. Punktschweißverbindungen werden überwiegend technologischen Prüfungen unterzogen, zu denen die so genannte „Ausknöpfprobe” zählt (ISO 1044). Über Abrollvorrichtungen oder mittels Meißel wird die Punktschweißung einer Schälbeanspruchung unterworfen. Knöpft dabei der Schweißpunkt aus einem Blech aus, so gilt die Verbindung als gut. Punktschweißverbindungen sollen vorzugsweise auf Schub, nicht auf Zug und niemals auf Abschälen beansprucht werden.

3.1.2.2 Widerstandsbuckelschweißen (RB)

Verfahrensprinzip Das Widerstandsbuckelschweißen (Bild 17) wurde aus dem Widerstandspunktschweißen entwickelt. Der Schweißstrom wird an Stelle der punktförmigen Elektroden durch Plattenelektroden (1) vergleichbaren Werkstoffs dem Bauteil zugeführt und über im Bauteil ausgeprägte Buckel (2) auf mehrere Schweißstellen gleich verteilt. Die gleichzeitig zu schweißenden Buckel erfordern entsprechend höhere Ströme und Elektrodenkräfte bis zu 40 kN. Die Buckel werden beim Schweißen in die Bleche zurückgedrückt, daher sind hohe Anforderungen an trägheitsarme Elektrodenkraftsysteme (4) zum raschen Nachsetzen der Elektroden zu stellen. Der Schweißablauf wird über Prozesssteuerungen (5) koordiniert und überwacht. Für den Buckelabstand und den Randabstand der Buckel zur Werkstückkante gelten dem Punktschweißen vergleichbare Regeln (DVS-Merkblatt 2902).

Bild 17. Buckelschweißen

Anwendungsbereich Abmessungen: s = 0,5 bis 5 mm Einzelblechdicke, Anschweißen massiver Teile an dünnere Bleche Werkstoffe: vorzugsweise Stahl und Aluminium, andere Werkstoffe möglich Erzeugnisse: Blechkonstruktionen, Anschweißteile im Fahrzeugbau

Bild 16. Verfahrensmerkmale beim Widerstandspunktschweißen Tabelle 11. Leistungsdaten beim Widerstandspunktschweißen Werkstoff Blechdicke s in mm Elektrodenkraft in kN Schweißzeit in Per Schweißstrom in kA

unlegierter Stahl C < 0,2 %

rost- und säurebeständiger Aluminimum Stahl

0,4

3

0,4

3,0

0,5

3

1

7,5

1,6

12

2,25

6,6

4

21

4

17

6

11

5

19

2,8

18

27

49

Bild 18. Konstruktionsformen beim Buckelschweißen

3 Verbindende Verfahren

M 51

Arbeitstechnik – Leistungskennwerte Die Schweißbuckel (DIN 8519) werden in vorgelagerten umformtechnischen Arbeitsgängen hergestellt oder sind bei Zulieferteilen, z. B. Anschweißmuttern, Bestandteil der Teilegeometrie. Neben dem wirtschaftlichen Vorteil, dass beim Buckelschweißen der Vorschub von Punkt zu Punkt entfällt und die Buckel gleichzeitig geschweißt werden, sind auch besonders günstige Konstruktionen möglich (Bild 18). Ausrüstungen zum Teilehandling, koordiniert durch übergeordnete Prozesssteuerungen, komplettieren Buckelschweißmaschinen zu hocheffektiven Fertigungseinrichtungen. Buckelschweißen wird auch an beschichteten Blechen durchgeführt, sofern die Beschichtung leitfähig ist.

Tabelle 12. Leistungsdaten beim Buckelschweißen Blechdicke s in mm Buckelhöhe in mm Elektrodenkraft in kN Schweißstrom in kA Schweißzeit in Per

1 0,75 1,0 5,5 8

3 1,25 3,0 10 25

5 1,75 5,8 14 40

3.1.2.3 Weitere Pressschweißverfahren

Das elektrische Widerstandsschweißen hat von allen Fügeverfahren die breiteste Variation erfahren und reicht vom Mikrokontaktieren (Bonden) in der Elektronik bis zum Abbrennstumpfschweißen von Ankerkettengliedern. Darüber hinaus sind auch die Grenzen zu anderen Fertigungsverfahren fließend. So bildet sich z. B. beim Aufschweißen elektrischer Silberkontakte auf kupferne Schaltmesser ein Eutektikum, das unter dem Schmelzpunkt beider Partner liegt. Definitionsgemäß ist dies ein eutektisches Löten und kein Schweißen. Den Anwendungsbereich weiterer Pressschweißverfahren mit nennenswerter praktischer Bedeutung für Bleche mit s > 1 mm zeigt Tabelle 13.

3.2 Thermisches und nichtthermisches Schneiden 3.2.1 Grundlagen

Alle Schmelzschweißverfahren können bei zweckentsprechender Parameterwahl den Werkstoff auch trennen. Aus dieser Tatsache heraus wurden durch spezielle Geräteentwicklungen die thermischen Schneidverfahren geschaffen. Nachfolgend wird auf die wesentlichsten Verfahren zum thermischen Schneiden nach DIN 2310-6 eingegangen. Werkstoffe lassen sich thermisch trennen, indem gesteigerte Wärmezufuhr die strukturellen Bindungskräfte aufhebt. Die Prozessenergie kann durch das Verbrennen des zu trennenden Werkstoffs gewonnen werden (Gasbrennschneiden) oder sie wird von außen zugeführt (Plasma- oder Laserschneiden). Neben der thermischen Energie ist bei allen thermischen Schneidverfahren die mechanische Energie eines Gasstrahls erforderlich, um die abgetrennten Werkstoffpartikel aus der Schnittfuge zu treiben. Wird die mechanische Strahlenergie drastisch erhöht, so kann ohne nennenswerte Wärmewirkung ebenfalls sehr effektiv geschnitten werden. Industriell genutzt wird dieses Prinzip beim Wasserstrahlschneiden (Abschnitt 3.2.5). 3.2.2 Autogenes Brennschneiden

Verfahrensprinzip Beim Gasbrennschneiden (autogenes Brennschneiden) wird der Werkstoff zunächst durch eine Acetylen-Sauerstoffflamme auf Entzündungstemperatur vorgeheizt. Ein zusätzlicher Sauerstoffstrahl aus der Zentrumsbohrung (Bild 19) trifft auf das Werkstück, verbrennt den Werkstoff und treibt die Verbrennungsprodukte aus der Schnittfuge. Im weiteren Prozessablauf übernimmt die aus der Verbrennung freigesetzte Wärme überwiegend das Vorheizen. Wird die Schneidgeschwindigkeit größer als der Wärmevorlauf, ist die Leistungsgrenze des Verfahrens erreicht.

Tabelle 13. Weitere Pressschweißverfahren Verfahren Pressstumpfsehweißen

Kaltpressschweißen

Reibschweißen

Ultraschallschweißen

Prinzip Stoßstelle elektrisch oder durch Gasflamme erwärmt und durch Druck gefügt Fügen nur durch Druck ohne jegliche Wärme

Anwendung Bedeutung hat nur noch das elektrische Stumpfschweißen, bei dem die Erwärmung über einen Lichtbogen erfolgt; Anwendung: 1. Anschweißen von Bolzen mit und ohne Gewinde 2. Fügen von Hohl- und Vollprofilen Verfahren zum Herstellen schwieriger Werkstoffkombinationen, z.B. von Al-Cu- Verbindungen; Schweißen von Drähten in Drahtziehanlagen und Fügen von Fahrleitungsdrähten Erwärmung durch rotie- Hochproduktives Verfahren in der Massenfertigung von rotatirende und aneinander onssymmetrischen Teilen, z. B. geschmiedeter Gabelkopf mit reibende Werkstücke Gelenkwelle, Reduzierung der Zerspanungsarbeit an Rundteilen Fügen ohne Wärme nur Anwendbar für Metalle und Kunststoffe (viele Werkstoffkombidurch Ultraschallnationen), für kleinere Teile wegen begrenzter Energie, sehr verschwingungen breitet für Kunststoffteile, keine Beeinträchtigung der Werkstückoberfläche

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M Spanlose Fertigung

Schneidsauerstoff Acetylen + Schneidsauerstoff

Schneidrichtung

Werden die Grenzen der Schneideignung nach Tabelle 14 überschritten, können Werkstoffe ggf. noch getrennt werden, indem mit Hilfe spezieller Schneidbrenner dem Sauerstoffstrahl mineralische Pulver oder Eisenpulver beigemischt werden. Diese unterstützen thermisch oder mechanisch den Trennvorgang und erweitern so den Einsatzbereich des Verfahrens.

ausgeblasene Schlacke, vorzugsweise Eisenoxid

geschmolzener hnittkantendius chnittfuge ca. 2 mm Bild 19. Autogenes Brennschneiden

Das Verfahren setzt folgende Eigenschaften des zu schneidenden Werkstoffs voraus: 1. Der Werkstoff muss brennbar sein 2. Entzündungstemperatur < Schmelztemperatur 3. Schmelztemperatur des Oxids < Schmelztemperatur des Werkstoffs 4. Möglichst große Verbrennungswärme 5. Möglichst kleine Wärmeleitfähigkeit Anwendungsbereich Abmessungen: Blechdicke s > 5 mm (nach oben unbegrenzt) Werkstoffe: un- und niedrig legierter Stahl, Stahlguss

1. Schnittteile lange mit schrumpfarmen Werkstückbereichen verbinden 2. Zusammenhängende, steife Materialreste fordern die Genauigkeit 3. Radien tangential anschneiden

4. Schnittteile sollen leicht aus Materialrest fallen 5. Wärme gleichmäßig in der Taf verteilen 6. Einstechen vermeiden

Bild 20. Brennschneidplan 3.2.3 Plasmaschneiden

Erzeugnisse: Schrott- und Qualitätsschnitte in allen Bereichen der Metallverarbeitung, Schweißkantenvorbereitung Arbeitstechnik – Leistungskennwerte Brennschneiden wird manuell, mechanisiert und auf CNC-gesteuerten Brennschneidmaschinen ausgeführt. Beim Zuschneiden großer Blechtafeln gewährleisten Brennschneidpläne (Bild 20) maximale Werkstoffausnutzung und maßgenaue Teile durch Berücksichtigung des Wärmeverzugs. Die dabei erreichbaren Schnittqualitäten werden durch Riefennachlauf (0,3 bis 25 mm), Riefentiefe (0,1 bis 2 mm), Unebenheit der Schnittflächen (0,1 bis 3 mm) und den Radius der angeschmolzenen Schnittkante (0,2 bis 4) mm beschrieben und in Gütestufen nach DIN EN 13920 klassifiziert.

Verfahrensprinzip Beim Plasmaschneiden schmilzt ein gebündelter elektrischer Lichtbogen den zu schneidenden Werkstoff auf. Der aus dem Plasmabrenner zentrisch austretende Gasstrahl bläst das Schmelzgut aus der Schnittfuge. Mit dem Plasmaschneiden lassen sich alle elektrisch leitfähigen Werkstoffe trennen. Die an der Werkstückoberfläche durch den Plasmabogen entwickelte Wärme wird durch den Gasdruck in die Schnittfuge getrieben und mit deren Tiefe zunehmend an die Fugenflanken abgegeben. Dadurch ist beim Schneiden dickerer Bleche die Winkligkeit der Schnittfuge charakteristisch, Bild 21. Als Plasmagas wird bei hoch legierten Stählen vorzugsweise Argon, beim Schneiden von allgemeinen Baustählen und Aluminium Luft verwendet. Unter Anwesenheit von Luft verschleißen Plasmadüse und Kathode stärker als unter Argon und werden daher aus Kupfer gefertigt und leicht auswechselbar gestaltet.

Tabelle 14. Grenzwerte für das autogene Brennschneiden von Stahl Werkstoff C-Stähle Mn-legierte Stähle Si-legierte Stähle Ni-legierte Stähle Cr-legierte Stähle

gut schneidgeeignet max. 0,3 % C max. 1,3 %C max. 13 % Mn max. 0,2 % C max. 2,5 % Si max. 7 % Ni max. 1,5 %Cr

Schneideignung bedingt schneidgeeignet von 0,3-2 %C )* max. 1,3 %C )* 13-18 % Mn max. 0,4 % C * max. 3,8 % Si ) max. 0,3 % C )* max. 35 % Ni über 1,5 % Cr

nicht schneidgeeignet über 3 % C über 1,3 % C über 18 % Mn max. 0,4 % C über 3,8 % Si über 0,3 % C über 35 % Ni über 8 % Cr * ) bis 10 % Ni

Bemerkung )* Vorwärmen 250-400 ºC, Normalglühen )* Vorwärmen auf 300 ºC )* Verringern der Schneidgeschwindigkeit Vorwärmen auf 260 ºC bis 315 ºC )* Wärmenachbehandlung Vorwärmen auf 300 ºC und Wärmenach)* behandluung, Cr-Stähle härten leicht

3 Verbindende Verfahren

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Tabelle 15. Leistungsdaten beim autogenen Brennschneiden Blechdicke s in mm Schneidgeschwindigkeit in m/min Acetylenverbrauch in m3/h Heizsauerstoffverbrauch in m3/h Schneidsauerstoffverbrauch in m3/h Schnittfugenbreite in mm

3 0,8 0,4 0,5 0,4 0,8

5 0,8 0,4 0,5 0,5 0,9

10 0,70 0,4 0,5 1,2 2,0

300 0,1 0,9 1,1 33 6,0

qualität des Plasmaverfahrens. Für die meisten Zuschnitte, besonders im Dünnblechbereich, kommt man jedoch ohne spanende Nachbearbeitung bei hinreichender Schnittqualität aus. Tabelle 16. Leistungsdaten beim Druckluft-Plasmaschneiden an Baustahl, 40 kW Strahlleistung Blechdicke s in mm 3 5 8 10 Schneidgeschwindigkeit in m/min 5 4 3,5 3,0 Schnittfugenbreite in mm 3,5 4,5 5,5 6,5

3.2.4 Laserschneiden Bild 21. Plasmaschneiden

1 2 3 4 5 6 7

Wolframelektrode Plasmagaskanal Gasdüse Wasserkühlung Plasmastrahl (eingeschnürter Lichtbogen) Plasmadüse (auswechselbares Verschleißteil) winklige Schnittkanten mit Kantenradius

Verfahrensprinzip Zum Schneiden werden Halbleiter-, Festkörper- und Gaslaser verwendet. Großtechnisch genutzt wird jedoch vorzugsweise der CO2-Gaslaser, weil nur dieser gegenwärtig die zum Schneiden dickerer Bleche erforderlichen Leistungen ermöglicht. Zum Weiterleiten des CO2-Laserstrahles erfordern CO2-Laserschneidanlagen einen beträchtlichen mechanischen Aufwand für die mit den Vorschubmechanismen zu führenden Spiegelsysteme, Bild 22.

Anwendungsbereich Abmessungen: Blechdicke s = 1 bis 100 mm Werkstoffe: un-, niedrig und hoch legierter Stahl, Stahlguss, Gusseisen, Nichteisenmetalle Erzeugnisse: Schrott- und Qualitätsschnitte in allen Bereichen der Metallverarbeitung, Schweißkantenvorbereitung, einziges Schneidverfahren für Al und CrNi-Stahl bei Dicken über 20 mm Arbeitstechnik – Leistungskennwerte: Lichtbogenenergie und Gasausströmgeschwindigkeit sind beim Plasmaschneiden hoch und Lärm, UVStrahlung sowie Gase, Rauche und Dämpfe wirken umweltbelastend. Daher werden industriell die zu schneidenden Bleche oft auf wassergefluteten Schneidtischen einige Zentimeter unter der Wasseroberfläche bearbeitet und so die Schadstoffe sowie Strahlung und Lärm gebunden. Das zunächst für nicht autogen schneidbare Werkstoffe genutzte Plasmaverfahren wird heute auch für dünnere unlegierte Stahlbleche wegen der gegenüber dem Gasbrennschneiden deutlich höheren Schneidgeschwindigkeit eingesetzt. Dem Gasbrennschneiden unterlegen ist die Schnitt-

Bild 22. Laserschneiden

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Der Laser schmilzt und verdampft den Werkstückwerkstoff und ein Gasstrahl bläst die Schnittfuge frei. Als Schneidgas ist Sauerstoff gebräuchlich, weil sich durch die exotherme Reaktion die Schneidgeschwindigkeit beträchtlich steigern lässt. Der Gasstrahl hat ferner die Aufgabe, die sehr empfindliche Laseroptik vor Spritzern und Metalldampf zu schützen. Sollen die Schnittkanten oxidfrei sein, müssen Edelgase oder Stickstoff als Schneidgas eingesetzt werden. Das so genannte Sublimierschneiden, bei dem der Werkstoff vom festen Zustand unmittelbar in den dampfförmigen übergeht, wird vorzugsweise beim Bearbeiten von Kleinstbauteilen oder zum Bohren bei impulsförmigem Energieeintrag genutzt. Anwendungsbereich Abmessungen: Blechdicke s = 0,1 bis 20 mm Werkstoffe: Metalle, Nichtmetalle, Gläser, Kunststoffe, textile Werkstoffe

mm und Förderströmen von 4 l/min austreten, zerstören technische Werkstoffe am Auftreffpunkt mit scharf abgegrenzten Konturen. Bewegt man den Strahl über das Werkstück hinweg, entstehen präzise Schnittfugen mit etwa 1,2 mm Breite (Bild 23). Der Primärdruck einer Ölhydraulik (1) von etwa 200 bar wird im Druckübersetzer (2) auf den Arbeitsdruck gebracht. Der Druckspeicher (3) formt den diskontinuierlichen Druck aus dem Kolbenverdichter zu einem weitgehend stoßfreien Arbeitsdruck um. Üblich sind bewegte Schneidköpfe (4), die den Strahl entlang der Werkstückkontur führen. Kunststoffe werden mit reinem Wasser geschnitten. Zum Schneiden von Metallen erfolgt das Zumischen von abrasiv wirkenden Pulvern (4.1). Das hoch verdichtete Wasser (4.2) wird von der Schneiddüse (4.3) zum Strahl geformt, der in einer Mischkammer (4.4) nach dem Injektorprinzip das Abrasivmittel ansaugt und sich mit diesem zum Abrasivstrahl vereinigt (4.5). Ein Fokussierröhrchen (4.6) bündelt schließlich den Abrasivstrahl auf das Werkstück.

Erzeugnisse: Präzisionsschnitte in allen Industriebereichen Arbeitstechnik – Leistungskennwerte Mit dem Laserstrahl lassen sich die meisten Konstruktionswerkstoffe schneiden. Einschränkungen bestehen bei einzelnen Kunststoffen, Natursteinen und Baustoffen sowie bei beschichteten und extrem wärmeempfindlichen Werkstoffen. Der universellen Nutzung stehen nur die hohen Anlagenkosten und gegenwärtig noch ab etwa 20 mm Blechdicke aufwärts die Leistungsgrenze des Laserstrahls entgegen. Das Laserschneiden wird fast ausnahmslos auf CNCAnlagen ausgeführt, die technologische Kopplung mit mechanischen Trenn- und Umformverfahren (Stanzen, Nibbeln, Biegen) in Bearbeitungszentren ist gebräuchlich und gestattet die Komplettbearbeitung von Blechteilen auf einer Anlage. Geringe Schnittfugenbreite, hohe Schnittqualität und Schneidgeschwindigkeit favorisieren das Laserschneiden fast immer bei hohen Stückzahlen und dünnen bis mitteldicken Blechen gegenüber allen anderen Schneidverfahren. Tabelle 17. Leistungsdaten beim Laserstrahlbrennschneiden an Baustahl, 1500 W Strahlleistung Blechdicke s in mm

1

3

5

10

Schneidgeschwindigkeit in m/min 10

5

3

1

Schnittfugenbreite in mm

0,1 0,25 0,4 0,6

3.2.5 Wasserstrahlschneiden

Verfahrensprinzip Wasserstrahlen, die bei Drücken bis 4 000 bar aus einer Schneiddüse mit einem Durchmesser von 0,3

Bild 23. Wasserstrahlschneiden

Anwendungsbereich Abmessungen: Blechdicke s = 1 bis 40 mm an Stahl s = 1 bis 100 mm an Aluminium Werkstoffe: Metalle, Nichtmetalle, Gläser, Kunststoffe Erzeugnisse: Präzisionsschnitte an wärmeempfindlichen Werkstücken Arbeitstechnik – Leistungskennwerte Das Wasserstrahlschneiden ermöglicht an Metallen ein grat- und anlauffarbenfreies Schneiden mit nahezu rechtwinkligen Schnittkanten bis etwa s = 10 mm. Beim Schneiden mit Abrasivstrahlen sind die Schnittflächen charakteristisch rau, jedoch eben. Neben dem „kalten Schnitt” ermöglicht das Verfahren scharfe Außenkonturen (kein Anschmelzen schmaler Kanten) und das verzugsfreie Schneiden gehärteter Werkstoffe.

3 Verbindende Verfahren

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Problematisch beim Wasserstrahlschneiden ist der entstehende Schneidschlamm, der sich im Arbeitstisch ansammelt und mit Umweltauflagen entsorgt werden muss. Neuere Anlagen verfügen über Schneidstoffaufbereitungseinrichtungen, die aus dem Schneidschlamm bis zu 80 % des Abrasivmittels zurückgewinnen und dem Prozess direkt wieder zuführen. An der Wasseraufbereitung mit dem Ziel geschlossener Prozesskreisläufe wird derzeit gearbeitet.

und technologischen Merkmalen. Die Unterscheidung nach der Löttemperatur in Weichlöten ( 450 ºC), Hartlöten (> 450 ºC) und Hochtemperaturlöten (t 1 200 ºC) orientiert sich dabei an charakteristischen Werkstofftemperaturen des Stahls.

Tabelle 18. Leistungsdaten beim abrasiven Wasserstrahlschneiden Blechdicke s in mm

1

3

5

10

Schneidgeschwindigkeit in m/min 0,5

0,3 0,2 0,15

Schnittfugenbreite in mm

1,0 1,2 1,2

1

Im Vergleich zu den thermischen Schneidverfahren hat das Wasserstrahlschneiden nur eine geringe Schneidleistung. An einem 10 mm dicken Baustahlblech lassen sich beim Trennen etwa 15 cm/min erzielen. Ist das Ziel ein nacharbeitsfreier Qualitätsschnitt, so sinkt die Schneidgeschwindigkeit auf 5 cm/min (Tabelle 18).

Bild 24. Lötspalte

3.3 Löten 3.3.1 Grundlagen

3.3.2 Weichlöten

Löten ist das Fügen von Werkstoffen durch ein Lot, dessen Schmelztemperatur unterhalb derjenigen beider Grundwerkstoffe liegt. Die zum Löten erforderliche Energie wird der Lötstelle von außen zugeführt oder durch Widerstandserwärmung an der Lötstelle erzeugt. Während der schmelzflüssigen Phase des Lotes bilden sich durch Diffusion von Lot- und Grundwerkstoffbestandteilen neue Legierungen im Lötspalt. Auf diese Weise kann die Festigkeit der Lötverbindung deutlich über der des Lotes liegen und beim Hartlöten jene des Grundwerkstoffs erreichen. Voraussetzung für einen sachgerechten Lötvorgang ist das zuverlässige Benetzen des Bauteilwerkstoffs durch das Lot. In Folge der Benetzung breitet sich das Lot aus, dringt vollständig in die Lötspalte ein und haftet an der Werkstoffoberfläche. Neben dem richtigen Bemessen der Lötspalte (Bild 24) sind für das Benetzen metallisch reine Oberflächen (frei von Fetten und anderen Ablagerungen) sowie das Auflösen von Oxidschichten und das Absenken der Oberflächenspannung durch Flussmittel unerlässlich. Bei richtiger Kombination von Lot und Grundwerkstoff lassen sich fast alle metallischen Werkstoffe, auch Aluminium, löten. Typische Kombinationen sind in Tabelle 19 aufgeführt, Einzelheiten zu Loten für das Hart-, Weich- und Fugenlöten enthält DIN EN 677. Die DIN 8505 unterscheidet bei den Lötverfahren nach geometrischen, thermischen

Umfangreich genutzt wird das Weichlöten in der Elektrotechnik und der Elektronik. Für die Massenfertigung gibt es automatisierte Verfahrensabläufe auf erzeugnisspezialisierten Anlagen. Hocheffiziente Technologien wie die SMD-Technik (surface mounted devices) zur Bestückung von Leiterplatten sind ebenso in Anwendung wie das traditionelle Kolbenlöten, vorzugsweise auf dem Reparatursektor. Weichlötverbindungen übertragen nur geringe Kräfte, sind bedingt temperaturbeständig und neigen unter Last zum Kriechen. Wegen der einfachen Handhabung und der geringen Arbeitstemperatur ist das Weichlöten in der Installationstechnik (Wasserleitungen) und bei Klempnerarbeiten (Titanzink) ebenso verbreitet wie in der Dentaltechnik, bei der Herstellung von Schmuck und beim Bau wissenschaftlicher Geräte. 3.3.3 Hart- und Hochtemperaturlöten

Beim Löten über 450 ºC muss die Löttemperatur besonders sorgfältig auf den Grundwerkstoff abgestimmt werden, da mit einer starken Gefügebeeinflussung zu rechnen ist. Mit dem Hartlöten werden Festigkeitswerte erzielt (Bild 25), die denen des Schweißens vergleichbar sind. Die mit dem Hochtemperaturlöten ausgeführten Verbindungen (Verwendung von Nickelbasisloten) sind zudem warmfest.

M 56

M Spanlose Fertigung

Tabelle 19. Lote zum Hart- und Weichlöten Kombination von Grundwerkstoff / Flussmittel / Lot zum Fügen von Metallen Lotgrundtyp Zinnlot Silberlot Phosphorlot o Lot o LSn5050 LAg40Cd20 LCuPB geeignet für: Stahl / Hartmetall + + – / Cu + + – / Ms + + – Kupfer / Kupfer + + + / Ms + + + / Nickel + + – Ms / Ms + + + / Nickel + + – Zug- und Scherfestigkeit ausgewählter Hartlötverbindungen nach DIN 8525 Hartlot nach DIN 8513

Arbeitstemperatur ºC

Zugfestigkeit in N/mm (Lötspalt 0,1 mm)

S235JR

E295

2

S235JR E335

LAg40Cd

610

410

540

640

520

190

280

L-Ag30Cd

680

380

470

480

510

200

240

LAg44

730

390

n.b.

520

530

205

280

L-Ag20Cd

750

370

n.b.

440

500

170

260

LAg12

830

370

460

480

440

170

200

L-CuZn40

900

350-370

405

410

n.b.

+ + – + – + – –

Konstruktive Empfehlungen

Abscherfestigkeit Wa B in N/mm2 (Lötspalt 0,1 mm)

E335 18/8-Stahl

Messinglot LMs60

200-240 260

Entlüftungsbohrung zum Entweichen der Flussmitteldämpfe. Diese drücken so das einschießende Lot nicht zurück.

Bei Rohr-Rohr-Verbindungen selbstzentrierend mit Normal- und Schubspannungen konstruieren. Ggf. mit Schäftung arbeiten

Vom eingelegten Lotformteil steigt das Lot auf und verdrängt das Flussmittel. Sichtkontrolle ist durch austretendes Lot möglich.

Lötgerecht gestalteter hoch beanspruchbarer Rohrflansch.

Rohre in Steckverbindungen nicht wesentlich tiefer als 1,5s wählen. Darüber hinaus kein Sicherheitszuwachs

Universalkonstruktion für Ecken, Stützen, Rippen, Gehäuse. Nachteilig ist die Schälwirkung.

Bild 25. Konstruktive Empfehlungen für Hartlötverbindungen Werden Flussmittel eingesetzt, so ist beim Hartlöten deren durchgängig korrodierende Wirkung zu beachten. Rückstände dieser Flussmittel müssen nach dem Löten durch geeignete Nachbehandlung entfernt werden. Techniken dazu sind Bürsten, Waschen in warmem Wasser oder Beizen in 5-10 %iger Schwefelsäure bei Schwermetallen bzw. in 10 %iger Salpetersäure bei Leichtmetallen. Flussmittelhersteller bieten zu diesem Zweck auch Reinigungsmittel an.

5. Aktivieren der Lötstelle durch Flussmittel 6. Zuführen, Fließen und Binden des Lotes 7. Abkühlen der Lötstelle (erschütterungsfreies Kristallisieren des Lotes) 8. Nachbehandeln und ggf. Prüfen Als Wärmequellen werden zum Löten die klassische Gasflamme sowie Widerstands- und Induktionslötgeräte, Lötöfen, Lötbäder und zunehmend der Laserstrahl genutzt.

Unabhängig von Lot, Grundwerkstoff und Lötverfahren ist folgender Ablauf beim Löten charakteristisch: 1. Vorbereiten der Werkstücke (Rauheit, Lötspalt) 2. Säubern der Werkstücke von Fremdschichten (mechanisches Säubern, Bad- oder Dampfreinigen, Ultraschallbäder) 3. Fixieren der Werkstücke (Lagefixierung und Lotdeponie) 4. Erwärmen der Werkstücke auf Arbeitstemperatur

Literatur Fahrenwaldt, H.-J., Schuler, V.: Praxiswissen Schweißtechnik. Wiesbaden: Vieweg Verlag, 2003 Behnisch, H.: Kompendium der Schweißtechnik. Düsseldorf: DVS-Verlag, 1997 Richter, H.: Fügetechnik-Schweißtechnik. Düsseldorf: DVSVerlag, 1995

N 26

N Zerspantechnik

5 Bohren 5.1 Bewegungen 1) Die umlaufende Bewegung des Werkzeugs führt zur Schnittbewegung, seine in Achsrichtung fortschreitende Bewegung ergibt die Vorschubbewegung. Beide Bewegungen stehen wie beim Drehen unter dem Vorschubrichtungswinkel  = 90º (Bild 1). Beide Bewegungen ergeben wieder die unter dem Wirkrichtungswinkel K zur Schnittrichtung geneigte Wirkbewegung. Entsprechend der Schnitt-, Vorschub- und Wirkbewegung ist auch hier zu unterscheiden zwischen Schnittgeschwindigkeit vc Vorschubgeschwindigkeit vf und Wirkgeschwindigkeit ve. Mit Bohrerdurchmesser d, Drehzahl n und Vorschub f wird vc = S d n

(1)

vf = n f

(2)

vc m min

n

vf

f

min–1

mm min

mm U

d m

Bei dem meist sehr kleinen Verhältnis vf / vc kann auch hier ve = vc gesetzt werden. Alle Bewegungen liegen wiederum in der sogenannten Arbeitsebene (Bild 1). Bohren ist auch der Sammelbegriff für Senken, Reiben, Gewindeschneiden, Bohren mit Drehmeißel u.a., sodass eine Vielzahl von Werkzeugen und Maschinen zu diesem Zerspanvorgang gehören, z.B. Ständer-, Reihen-, Radial-, Koordinaten-, Gelenkspindel-, Vielspindel-, Sonderbohrmaschinen, Horizontalbohrwerke, Lehrenbohrwerke, Tieflochbohrmaschinen, CNC-Fräsmaschinen.

schräg nach unten (in Wirkrichtung) unter dem Wirkrichtungswinkel K vorgeschoben. Mit Vorschub f und Werkzeug-Durchmesser d wird tan K = f /(d S). Der Werkzeugspanwinkel J0 des Spiralbohrers liegt durch den Neigungswinkel fest. Da dieser zur Bohrermitte hin abnimmt, wird auch J0 zur Seele hin kleiner. Der Wirkspanwinkel hängt außerdem vom Wirkrichtungswinkel K ab, wie bei jedem Zerspanvorgang. Mit kleiner werdendem Durchmesser d (zur Bohrermitte hin) wird K immer größer. Dadurch verändern sich Wirkfreiwinkel D0 und Wirkspanwinkel J0. Sollen beide Winkel an jeder Durchmesserstelle gleich groß sein, muss der Hinterschliffwinkel an der Freifläche zur Mitte hin größer werden. Üblich ist ein Hinterschliffwinkel von 6º am Außendurchmesser, zur Spitze hin auf über 20º ansteigend. Exakte Ausführung ist daher nur auf SpiralbohrerSchleifmaschinen möglich, nicht von Hand. Spitzenwinkel und Neigungswinkel sind für die verschiedenen Werkstoffe aus der Erfahrung heraus festgelegt worden, z.B. für Stahl V = 118º Spitzenwinkel. Der Querschneidenwinkel \ ist abhängig von der Art des Hinterschliffs. Günstig ist ein Winkel \ = 55º. Jede andere Lage der Querschneide vergrößert die Vorschubkraft Ff , ohne das Drehmoment wesentlich zu verändern. Die ungünstigen Zerspanverhältnisse unter der Querschneide (mehr „Reiben“ als „Schneiden“) erfordern bei Stahl und zähen Werkstoffen Ausspitzen der Bohrerspitze, sodass die Querschneide verkürzt wird. Dadurch kann die Vorschubkraft Ff (Axialkraft) bis auf ein Drittel verringert werden. Für zähe und harte Werkstoffe ist Verjüngung des Bohrers zum Schaft hin nötig, etwa 0,1 ... 0,15 mm auf 100 mm Länge, sonst besteht Gefahr des Anfressens der Fasen, der Bohrer knirscht. Der Spanungsquerschnitt A für eine Hauptschneide ergibt sich auch beim Bohren aus Schnitttiefe ap und Vorschub f.

A ap f s

5.2 Zerspangeometrie

Siehe Fußnote S. N 1.

df 4

(3)

1)

Das Bohren mit dem Spiralbohrer ist Schruppen mit der Stirnseite eines zweischneidigen Werkzeugs (z = 2); daher sind nur geringe Anforderungen an Formgenauigkeit und Maßhaltigkeit der Bohrungen und an die Oberflächengüte möglich. Höhere Oberflächengüte wird durch anschließendes Reiben erreicht. Die Bezeichnungen und Lage der Schneiden, Flächen, Werkzeugwinkel, Geschwindigkeiten und Kräfte zeigt Bild 1. Der Zerspanvorgang an den beiden Hauptschneiden ähnelt dem Drehen. Jede Hauptschneide wird bei vertikal stehendem Werkzeug 1)

d f ˜ 2 2

Die obige Gleichung ergibt sich wieder aus der für alle Zerspanvorgänge gültigen Begriffsbestimmung der Schnitttiefe als derjenigen Tiefe des Eingriffs der Hauptschneide, die rechtwinklig zur Arbeitsebene gemessen wird. Nach Bild 1 ist demnach ap = d / 2, und mit fs = fz sin  (Gl. (10)) wird bei  = 90º, fc = fz = (siehe unter Fräsen). Für beide Hauptschneiden wird dann 2 A = d f / 2.

f 2

5 Bohren

N 27

Bild 1. Flächen, Schneiden, Werkzeugwinkel, Geschwindigkeiten und Kräfte am Spiralbohrer  Vorschubrichtungswinkel, K Wirkrichtungswinkel vc Schnittgeschwindigkeit vf Vorschubgeschwindigkeit ve Wirkgeschwindigkeit

Der Spanungsquerschnitt A je Hauptschneide ergibt sich auch aus der Berechnung des minutlich gebohrten Spanungsvolumens V. Mit Vorschubgeschwindigkeit vf = n f und Bohrerdurchmesser d ist das Spanungsvolumen V=

d 2π d 2π vf = nf 4 4

(4)

Außerdem ist V auch das Produkt aus dem je Hauptschneide erzeugten Spanungsquerschnitt A und der am halben Bohrerdurchmesser herrschenden Schnittgeschwindigkeit vcm. V = 2 A vcm = 2 A

d πn 2

vcm =

π dn 2

(5)

Werden beide Gleichungen gleichgesetzt, so ergibt sich für den Spanungsquerschnitt A je Hauptschneide: π d2 d n f = 2π A n 4 2

A=

df 4

In Bild 1 wurden von der die Hauptschneide und die Bohrerachse enthaltenden Werkzeug-Bezugsebene ausgehend die Ansichten des Werkzeugs in den anderen Ebenen entwickelt. Siehe auch Bild 4, Kap 1 und Erläuterungen unter 1 Drehen.

5.3 Kräfte und Leistungen1) Für das Bohren ins Volle mit ausgespitzten Spiralbohrern geben die Bohrmaschinenhersteller die Bohrleistungen und Kräfte an. Drehmomente und Vorschubkräfte werden mit Hilfe besonderer Messeinrichtungen durch Versuche bestimmt. Der Berechnung liegen folgende vom Drehen hergeleitete Überlegungen zugrunde. Mit der spezifischen Schnittkraft kc beim Bohren wird wie beim Drehen die Schnittkraft 1)

Siehe Fußnote S. N 1.

Fc = 2 A kc = 2 Fc =

df kc 2

df kc und daraus 4 Fc d f mm N mm U

kc N mm 2

(6)

Richtwerte für die spezifische Schnittkraft kc beim Bohren siehe Tabelle 3. Die Vorschubkraft Ff lässt sich nicht in gleicher Weise wie die Schnittkraft Fc bestimmen, weil der Spanungsquerschnitt unter der Querschneide geometrisch schwer zu erfassen ist und Ff stark von der Geometrie der Querschneide abhängt. Man rechnet deshalb mit versuchsmäßig aufgestellten Gleichungen, z.B. für E 295 in Abhängigkeit vom Bohrerdurchmesser d in mm nach (Gl. (11)): Ff = 108 d 3 d . Greift die Schnittkraft Fc nach Bild 1 je zur Hälfte an der Mitte der Hauptschneiden an, so ergibt sich das für die Schnittleistung Pc maßgebende Drehmoment (Bohrmoment): M Fc d F d Fd (7) M = c⋅ = c Nmm N mm 2 2 4 Mit Gl (6) ergibt sich auch d f d d 2 kc f kc = (8) 2 4 8 Aus der allgemeinen Beziehung: Leistung P = Drehmoment M u Winkelgeschwindigkeit Z kann die zugeschnittene Größengleichung für die Schnittleistung Pc entwickelt werden: F v Mn Pc = = c cm (9) 9,55⋅106 6⋅104 M=

Pc

M

n

Fc

vcm

kW

Nmm

min–1

N

m min

N 28

N Zerspantechnik

Die Vorschubleistung Pf ergibt sich aus der Vorschubkraft Ff und der Vorschubgeschwindigkeit vf = n f zu Pf 

Ff nf

(10)

6 ˜ 107

Pf kW

Ff N

n

f

min-1

mm U

Da die Vorschubgeschwindigkeit vf = n f meist sehr klein ist, kann die Vorschubleistung Pf vernachlässigt werden. Die Antriebsleistung kann dann unter Berücksichtigung des Wirkungsgrads K allein aus der Schnittleistung berechnet werden (Pan = Pc / K). Eine Übersicht über die prozentualen Anteile von Drehmoment M und Vorschubkraft Ff gibt die folgende Zusammenstellung: Anteil in % mit steigendem Vorschub M Ff Hauptschneiden 70 ... 90 50 ... 40 Querschneiden 10 ... 5 45 ... 58 Fasen- und Spanreibung 20 ... 5 5 ... 2

Der erhebliche Anteil der Querschneide an der Vorschubkraft muss durch Ausspitzen oder Vorbohren vermindert werden.

5.4 Wahl von Schnittgeschwindigkeit und Vorschub Richtwerte für allgemeine Bohrarbeiten werden Tabelle 1 und 2 entnommen.

5.5 Berechnung der Hauptnutzungszeit th (Maschinenlaufzeit) th

L i vf

L i nf

(11)

dπ L ⋅ i vc f für stufenlosen Antrieb

Stoff Stahl und Gusseisen Alu-Leg.

V

Nr

cot Nr

118º

59º

0,6

140º

70º

la = ap cot Nr 1 3

(d  d i )

0,365

1 5

(d  d i ) (d  d i ) (d  d i )

Mg.-Leg.

100º

50º

0,839

1 2

Marmor

80º

40º

1,192

2 3

3,732

2 (d  d i )

Hartgummi

30º

15º

Zur Bestimmung des Arbeitsweges L sind folgende Zuschläge für An- und Überlaufweg bei durchgehenden Bohrungen zu machen: Arbeitsvorgang

An- und Überlaufweg

Bohren mit Spiralbohrer ins Volle

1 3

Senken oder Aufbohren

1 10

Reiben mit Maschine Gewindeschneiden mit Maschine Ausbohren mit Meißel

Bohrerdurchmesser + 2 mm Werkzeugdurchmesser + 2 mm

Länge des Führungsteils der Reibahle Länge des Gewindeteils des Bohrers 3 ... 4 mm

■ Beispiel: Mit einem Spiralbohrer (Einstellwinkel Nr = 60º halber Spitzenwinkel V = 118º) ist ein Sackloch von 30 mm Durchmesser und 45 mm Tiefe aus dem Vollen in Gusseisen EN-GJL-250 zu bohren. Der Vorschub soll f = 0,4 mm/U bei ca. 22 m/min Schnittgeschwindigkeit betragen. Zu bestimmen sind Hauptnutzungszeit und Schnittleistung. Lösung:

vc 22 = 318⋅ min−1 = 233 min−1 30 d einstellbar sind n = 250 min –1 nach Drehzahlreihe.

Drehzahl n = 318⋅

für gestufte Drehzahlreihe th =

Bild 2.

(12)

L Arbeitsweg = la + lw + lü mm (einschließlich An- und Überlauf) n Drehzahl min–1 f Vorschub mm/U vc Schnittgeschwindigkeit m/min d Bohrerdurchmesser mm i Schnittzahl vf Vorschubgeschwindigkeit mm/min

Arbeitsweg L = la + lw + lü = (10 + 45 + 2 ) mm = 57 mm L 57 Hauptnutzungszeit th = = min = 0,57 min 0,6 min n f 0, 4⋅ 250 Die spezifische Schnittkraft beträgt nach Tabelle 3 für die gegebenen Größen: kc = 1 529 N/mm2 und damit nach Gl.(6) die Schnittkraft d⋅ f 30 mm⋅0,4 mm N k = ⋅1520 = 9120 N Fc = 2 2 c mm 2 Mit Gl.(7) beträgt das Drehmoment (Bohrmoment) d 30 mm M = Fc ⋅ = 9120 N⋅ = 68 400 Nmm 4 4 und damit die Antriebsleistung Mn 68 400⋅250 Pc = kW = kW = 1,79 kW 9,55⋅106 9,55⋅106

5 Bohren

Tabelle 1. Richtwerte für allgemeine Bohrarbeiten (Werkzeuge aus Schnellarbeitsstahl)

Werkstoff

Arbeitsstufe

Gusseisen bis EN-GJL250

Bohren ins Volle Senken Abflachen

Art des Werkzeugs

Spiralbohrer Senker Abflächmesser oder Zapfensenker Reiben Reibahle Ausbohren, Schruppen Bohrstange Ausbohren, Schlichten mit eing. Stählen Feinbohren E 335 Bohren ins Volle Spiralbohrer Senken Senker Abflachen Abflächmesser oder Zapfensenker Reiben Reibahle Ausbohren, Schruppen Bohrstange Ausbohren, Schlichten mit eing. Stählen Feinbohren Cu Zn -, Bohren ins Volle Spiralbohrer Cu Sn Senken Senker Legierungen Abflächen Abflächmesser oder Zapfensenker Reiben Reibahle Ausbohren, Schruppen Bohrstange

Schnittgeschwin digkeit vc in m/min 28 ... 18 20 ... 16 12,5 ... 10 12,5 ... 10 20 25 31,5 28 ... 25 22,4

Vorschübe f in mm/U Werkzeugdurchmesser in mm 5 0,16 0,25 0,5

6,3

8

0,18 0,2 0,28 0,28 0,056 0,06

16

20

25

31,5

40

50

63

80

0,22 0,32 0,07

0,25 0,32 0,08

0,28 0,36 0,09

0,32 0,36 0,1

0,36 0,4 0,11

0,4 0,4 0,12

0,45 0,45 0,14

0,5 0,45 0,16

0,56 0,5 0,18

0,63 0,5 0,2

0,9

– –

– – –

– – –

1,0 – 0,18 0,16

1,0 – 0,2 0,18

1,12 – 0,22 0,18

1,12 – 0,25 0,2

1,25 0,28 0,28 0,2

1,25 0,32 0,32 0,32

1,4 0,32 0,36 0,22

1,4 0,36 0,4 0,25

1,6 0,36 0,45 0,25

0,11 0,36

0,12 0,36

0,14 0,4

0,16 0,4

0,18 0,45

0,2 0,45

0,22 0,5

0,25 0,5

0,28 0,56

0,32 0,56

0,36 0,63

0,4 0,63

0,45 0,7

0,05 0,4

0,056 0,06 0,45 0,5

0,07 0,56

– – –

– – –

– – –

– – –

0,08 0,63 – 0,14 0,12

0,09 0,71 – 0,16 0,14

0,1 0,8 – 0,18 0,16

0,11 0,9 – 0,2 0,18

0,12 1,0 0,28 0,22 0,2

0,14 1,1 0,32 0,25 0,22

0,16 1,25 0,32 0,28 0,22

0,18 1,4 0,36 0,32 0,25

0,2 1,6 0,36 0,36 0,26

0,12 0,36

0,14 0,36

0,16 0,4

0,18 0,4

0,2 0,45

0,22 0,45

0,25 0,5

0,28 0,5

0,32 0,56

0,36 0,56

0,4 0,63

0,45 0,63

0,5 0,63

25 ... 20 14

0,05 0,8

0,056 0,06 0,8 0,9

0,07 1,0

0,08 1,0

0,09 1,12

0,1 1,12

0,11 1,25

0,12 1,25

0,14 1,25

0,16 1,4

0,18 1,4

0,2 1,6

50

–

–

–

–

0,28

0,28

0,32

0,32

0,36

0,36

–

0,8

12,5

– – –

12,5 ... 10 8 ... 6,63 31,5 40 50 56 ... 35,5 31,5

0,8

10

–

0,9

–

–

N 29

N 30

Tabelle 1. (Fortsetzung)

Werkstoff LeichtmetallAl-Leg.

Arbeitsstufe Bohren ins Volle Senken

Art des Werkzeugs

Spiralbohrer Senker Abflächmesser Abflächen oder Zapfensenker Reiben Reibahle Ausbohren, Schruppen Bohrstange Ausbohren, Schlichten mit eing. Stählen Feinbohren

Vorschübe f in mm/U

Schnittgeschwin digkeit vc in m/min 160 ... 125 80 ... 63

5

6,3

8

10

12,5

16

20

25

0,16 0,25

0,18 0,28

0,2 0,28

0,22 0,32

0,25 0,32

0,28 0,36

0,32 0,36

0,36 0,4

50 ... 28

0,05

0,056 0,06

0,07

0,08

0,09

0,1

1,0

1,12 0,25 0,18 0,16

25 140 ... 125 80 ... 63 140 ... 125

Werkzeugdurchmesser in mm

0,8

– – –

0,8

– – –

0,9

– – –

0,9

– – –

1,0

–

–

0,14 0,12

0,16 0,14

31,5

40

50

63

80

0,4 0,4

0,45 0,45

0,5 0,45

0,56 0,5

0,63 0,5

0,11

0,12

0,14

0,16

0,18

0,2

1,12 0,25 0,2 0,18

1,25 0,28 0,22 0,2

1,25 0,28 0,25 0,2

1,4 0,32 0,28 0,22

1,4 0,32 0,32 0,22

1,6 0,36 0,36 0,22

Bei der Drehzahlermittlung sind für die kleinen Bohrerdurchmesser die hohen, für die großen Bohrerdurchmesser die niedrigen Schnittgeschwindigkeiten zugrunde zu legen. Beim Bohren tiefer Löcher sind die Vorschübe nach folgender Aufstellung herabzusetzen. Bohrerdurchmesser bis 20 mm bis 32 mm bis 50 mm bis 80 mm

Bohrtiefe bis zum

Bohrtiefe vom 5 ... 8-fachen Bohrerdurchmesser 4 ... 6,3-fachen Bohrerdurchmesser 3,15 ... 5-fachen Bohrerdurchmesser 2,5 ... 4-fachen Bohrerdurchmesser (0,8-facher Vorschubwert)

Bohrtiefe über 8-fachen Bohrerdurchmesser 6,3-fachen Bohrerdurchmesser 5-fachen Bohrerdurchmesser 4-fachen Bohrerdurchmesser (0,5-facher Vorschubwert)

N Zerspantechnik

5-fachen Bohrerdurchmesser

4-fachen Bohrerdurchmesser

3,15-fachen Bohrerdurchmesser

2,5-fachen Bohrerdurchmesser (1-facher Vorschubwert)

5 Bohren

N 31

Tabelle 2. Richtwerte für die Schnittgeschwindigkeit vc und den Vorschub f beim Bohren

Werkstoff

Zugfestigkeit Rm in N/mm2

S 235 JR, C22 S 275 JQ

bis 500

E 295, C 35

500 ... 600

E 335, C 45

600 ... 700

E 360, C 60

700 ... 850

Mn-, Cr NiCr Mo- und andere legierte Stähle

700 ... 850

GE 240

300 ... 500

GE 260

500 ... 700

EN-GJL-150 EN-GJL-250 Temperguss Cu Sn Zn-Leg. Cu Sn-Guss-Leg. Cu Zn-Guss-Leg. Al-Guss-Leg.

850 ... 1 000 1 000 ... 1 400

Schneidwerkzeug SS P 30 SS P 30 SS P 30 SS P 30 SS P 30 SS P 30 SS P 30 SS P 30 SS P 30 SS K 20 SS K 10 SS K 10 SS K 20 SS K 20 SS K 20

Schnittgeschwindigkeit vc in m/min 35 ... 30 80 ... 75 30 ... 25 75 ...70 25 ... 20 70 ... 65 20 ... 15 65 ... 60 18 ... 14 40 ... 30 14 ... 12 30 ... 25 12 ... 8 25 ... 20 30 ... 25 80 ... 60 25 ... 20 60 ... 40 35 ... 25 90 ... 70 25 ... 20 40 ... 30 25 ... 18 60 ... 40 75 ... 50 85 ... 60 60 ... 40 100 ... 75 200 ... 150 300 ... 250

Vorschub f in mm/U bei Bohrerdurchmesser bis 4

> 4 ... 10

0,18 0,1 0,16 0,08 0,12 0,06 0,11 0,05 0,1 0,025 0,09 0,02 0,06 0,016 0,16 0,03 0,12 0,025 0,16 0,05 0,12 0,04 0,1 0,03 0,12 0,06 0,1 0,06 0,16 0,06

0,28 0,12 0,25 0,1 0,2 0,08 0,18 0,06 0,16 0,03 0,14 0,025 0,1 0,02 0,22 0,05 0,18 0,04 0,25 0,08 0,2 0,06 0,16 0,05 0,18 0,08 0,14 0,08 0,25 0,08

> 10 ... 25

> 25 ... 63

0,36 0,16 0,32 0,12 0,25 0,1 0,22 0,08 0,02 0,04 0,18 0,03 0,16 0,025 0,32 0,08 0,25 0,06 0,4 0,12 0,3 0,1 0,25 0,08 0,25 0,1 0,2 0,1 0,3 0,1

0,45 0,2 0,40 0,16 0,32 0,12 0,28 0,01 0,25 0,05 0,22 0,04 0,2 0,03 0,45 0,12 0,36 0,1 0,5 0,16 0,4 0,12 0,4 0,12 0,36 0,12 0,28 0,12 0,4 0,12

SS Schnellarbeitsstahl P 30, K 10, K 20 Hartmetalle Die Richtwerte sind von der Firma Gebr. Boehringer in Göppingen aus „Betriebstechnisches Praktikum“ von ThieleStaelin abgeleitet worden.

N 32

Tabelle 3. Richtwerte für spezifische Schnittkraft beim Bohren Die Richtwerte sind von der Firma Gebr. Boehringer in Göppingen aus Versuchswerten von Prof. Kienzle und allgemeinen Hinweisen aus dem Schrifttum abgeleitet worden. spezifische Schnittkraft kc in N/mm2 bei Vorschub f in mm/U und Einstellwinkel Nr

Zugfestigkeit Werkstoff S 275 JR

Rm in N/mm2

bis 500

0,063 30º

45º

60º

0,1 90º

30º

45º

0,16 60º

90º

30º

45º

0,25

60º

90º

30º

45º

0,4

60º

90º

30º

45º

0,63 60º

90º

30º

45º

1

60º

90º

30º

45º

60º

90º

3 200 3 010 2 880 2 820 2 950 2 760 2 650 2 600 2 710 2 550 2 450 2 400 2 500 2 360 2 280 2 240 2 320 2 200 2 100 2 060 2 150 2 030 1 960 1 920 2 000 1 890 1 830 1 800

E 295

520

4 900 4 470 4 220 4 100 4 350 3 980 3 730 3 610 3 850 3 500 3 300 3 190 3 400 3 100 2 900 2 830 3 000 2 740 2 580 2 500 2 650 2 430 2 300 2 240 2 360 2 180 2 060 1 990

E 335

620

3 850 3 620 3 460 3 380 3 540 3 300 3 150 3 080 3 230 3 010 2 890 2 830 2 950 2 780 2 670 2 620 2 730 2 580 2 480 2 440 2 530 2 400 2 310 2 270 2 350 2 220 2 140 2 110

E 360

720

6 300 5 680 5 320 5 150 5 500 4 980 4 660 4 500 4 820 4 350 4 060 3 920 4 200 3 800 3 550 3 410 3 660 3 300 3 100 2 990 3 200 2 900 2 700 2 600 2 800 2 520 2 340 2 260

C 45, C 45 E

670

3 600 3 450 3 320 3 260 3 380 3 200 3 100 3 040 3 150 2 990 2 890 2 840 2 940 2 800 2 700 2 660 2 750 2 620 2 540 2 500 2 580 2 460 2 380 2 340 2 420 2 310 2 250 2 220

C 60, C 60 E

770

3 950 3 690 3 530 3 450 3 610 3 380 3 230 3 150 3 300 3 100 2 980 2 920 3 040 2 860 2 750 2 700 2 810 2 650 2 550 2 490 2 600 2 450 2 350 2 300 2 400 2 260 2 180 2 130

16 Mn Cr 5

770

5 150 4 720 4 450 4 320 4 590 4 200 3 950 3 830 4 080 3 720 3 500 3 400 3 610 3 300 3 120 3 020 3 210 2 930 2 750 2 660 2 840 2 580 2 440 2 360 2 510 2 300 2 160 2 100

16 Cr Ni 6

630

6 300 5 680 5 320 5 150 5 500 4 980 4 660 4 510 4 820 4 350 4 060 3 920 4 200 3 800 3 550 3 410 3 660 3 300 3 100 3 000 3 200 2 900 2 700 2 590 2 800 2 520 2 340 2 260

34 Cr Mo 4

600

4 650 4 300 4 100 4 000 4 200 3 900 3 700 3 610 3 800 3 530 3 370 3 290 3 450 3 220 3 080 3 000 3 150 2 940 2 820 2 750 2 880 2 670 2 530 2 460 2 600 2 400 2 300 2 240

42 Cr Mo 4

730

6 000 5 450 5 150 5 000 5 300 4 880 4 620 4 500 4 750 4 370 4 120 4 000 4 250 3 890 3 660 3 550 3 780 3 450 3 250 3 150 3 350 3 060 2 890 2 800 2 980 2 720 2 580 2 500

50 Cr V 4

600

5 460 5 000 4 700 4 560 4 850 4 440 4 210 4 100 4 330 3 980 3 730 3 610 3 860 3 500 3 300 3 190 3 400 3 100 2 910 2 820 3 000 2 730 2 580 2 500 2 650 2 430 2 290 2 220

15 Cr Mo 5

590

4 120 3 880 3 740 3 660 3 810 3 590 3 450 3 390 3 520 3 320 3 200 3 130 3 260 3 070 2 950 2 900 3 010 2 850 2 740 2 680 2 790 2 630 2 520 2 470 2 580 2 420 2 340 2 290

Mn-, Cr Ni

850 ... 1 000 4 900 4 530 4 310 4 200 4 420 4 100 3 900 3 800 4 000 3 710 3 440 3 450 3 620 3 380 3 220 3 150 3 300 3 080 2 920 2 850 3 000 2 780 2 660 2 600 2 720 2 550 2 440 2 380

Cr Mo - u.a leg.St. 1 000 ... 1 400 5 150 4 780 4 560 4 450 4 670 4 350 4 150 4 050 4 250 3 960 3 790 3 700 3 880 3 610 3 440 3 350 3 520 3 280 3 160 3 100 3 220 3 030 2 910 2 850 2 970 2 800 2 680 2 620 Nichtrost. St.

600 ... 700

Mn-Hartstahl

4 800 4 500 4 300 4 200 4 400 4 120 3 940 3 850 4 030 3 770 3 610 3 530 3 690 3 460 3 320 3 250 3 390 3 180 3 060 3 000 3 120 2 940 2 840 2 780 2 890 2 730 2 630 2 580 7 150 6 600 6 270 6 100 6 440 5 950 5 650 5 500 5 800 5 370 5 100 4 980 5 240 4 860 4 620 4 500 4 740 4 400 4 180 4 080 4 290 3 980 3 800 3 700 3 890 3 620 3 440 3 360

Hartguss

3 950 3 720 3 570 3 500 3 640 3 420 3 270 3 190 3 340 3 130 3 010 2 940 3 070 2 880 2 750 2 680 2 810 2 620 2 500 2 450 2 560 2 400 2 300 2 240 2 350 2 200 2 110 2 060

GE 240

300 ... 500

2 920 2 720 2 610 2 560 2 670 2 510 2 410 2 360 2 460 2 320 2 220 2 180 2 270 2 140 2 040 2 000 2 090 1 960 1 900 1 860 1 930 1 820 1 750 1 720 1 790 1 690 1 630 1 600

GE 260

500 ... 700

3 200 3 010 2 880 2 820 2 950 2 760 2 650 2 600 2 710 2 550 2 450 2 400 2 500 2 360 2 280 2 240 2 320 2 200 2 100 2 060 2 150 2 030 1 960 1 920 2 000 1 890 1 830 1 800 1 940 1 800 1 710 1 670 1 760 1 630 1 550 1 510 1 590 1 480 1 400 1 370 1 440 1 340 1 280 1 250 1 310 1 220 1 170 1 140 1 200 1 120 1 060 1 040 1 090 1 020

EN - GJL - 250

2 800 2 570 2 430 2 360 2 500 2 300 2 180 2 110 2 240 2 060 1 930 1 870 2 000 1 820 1 710 1 660 1 760 1 610 1 520 1 470 1 560 1 430 1 340 1 300 1 380 1 280 1 200 1 160

Temperguss

2 650 2 440 2 300 2 240 2 370 2 180 2 060 2 000 2 120 1 950 1 850 1 800 1 900 1 750 1 650 1 600 1 700 1 560 1 500 1 460 1 530 1 420 1 350 1 320 1 390 1 290 1 230 1 200

Cu Sn-Gussleg.

3 200 3 010 2 880 2 820 2 950 2 760 2 650 2 600 2 710 2 550 2 450 2 400 2 500 2 360 2 280 2 240 2 320 2 200 2 100 2 060 2 150 2 030 1 960 1 920 2 000 1 890 1 830 1 800

Cu Sn Zn -Gussleg.

1 480 1 360 1 280 1 250 1 320 1 220 1 150 1 120 1 180 1 090 1 030 1 000 1 060

950

880

820

800

850

780

730

710

750

700

670

650

Cu Sn Zn-Knetleg.

1 500 1 380 1 320 1 300 1 350 1 280 1 220 1 200 1 250 1 180 1 120 1 100 1 150 1 080 1 020 1 000 1 050

980

940

920

960

900

870

850

880

840

800

780

1 480 1 360 1 280 1 250 1 320 1 220 1 150 1 120 1 180 1 090 1 030 1 000 1 060

Al-Gussleg. Mg-Gussleg.

300 ... 420

520

490

475

470

480

455

435

430

440

420

405

400

410

980

920

900

970

950

980

920

900

950

880

820

800

850

780

730

710

750

700

670

650

390

370

360

380

350

335

330

340

320

305

300

310

300

285

280

N Zerspantechnik

EN - GJL - 150

N Zerspantechnik Alfred Böge

1 Drehen und Grundbegriffe der Zerspantechnik 1) 1 Drehen und Grundbegriffe der Zerspantechnik

1.1 Bewegungen

Bei allen Zerspanvorgängen (Drehen, Hobeln, Fräsen, Bohren ...) sind die Bewegungen Relativbewegungen zwischen Werkstück und Werkzeugschneide. Man unterteilt in Bewegungen, die unmittelbar die Spanbildung bewirken (Schnitt-, Vorschub- und resultierende Wirkbewegung) und solche, die nicht unmittelbar zur Zerspanung führen (Anstell-, Zustell- und Nachstellbewegung). Alle Bewegungen sind auf das ruhend gedachte Werkstück bezogen (Bild 1). Schnitt- und Vorschubbewegung können sich aus mehreren Komponenten zusammensetzen, z.B. die Vorschubbewegung beim Drehen eines Formstücks aus Längs- und Planvorschubbewegung.

Bei einem Einstellwinkel  = 45º ist das Verhältnis der Kräfte etwa Fc: Fp: Ff = 5 : 2 : 1. Beim Drehen führt die umlaufende Bewegung des Werkstücks zur Schnittbewegung, die geradlinige (fortschreitende) Bewegung des Werkzeugs zur Vorschubbewegung. Die resultierende Bewegung aus Schnitt- und Vorschubbewegung heißt Wirkbewegung: sie führt zur Spanabnahme, beim normalen Drehen zur stetigen Spanabnahme. Die eingestellte Schnitttiefe ap bleibt dann bei einem Arbeitsvorgang konstant und damit auch der eingestellte Spanungsquerschnitt A = ap f (Bild 2). Diese günstigen Schnittbedingungen führten zu umfangreichen Forschungsergebnissen, die zum großen Teil auch auf andere Zerspanvorgänge übertragen werden können. Drehen wird deshalb hier ausführlich behandelt. Mit Hilfe der Anstellbewegung wird der Drehmeißel vor dem Zerspanen an das Werkstück herangeführt, durch die Zustellbewegung wird vor dem Schnitt die Dicke der abzunehmenden Werkstoffschicht festgelegt. Durch die Nachstellbewegung lassen sich die während des Schnittes auftretenden Veränderungen korrigieren (z.B. Werkzeugverschleiß, zu groß oder zu klein gewordene Schnitttiefe usw.).

Bild 1. Bewegungen, Geschwindigkeiten und Kräfte beim Drehen; Größenverhältnisse willkürlich angenommen; Kräfte in Bezug auf das Werkzeug F Fa Fc Ff Fp vc vf ve f ap

r   1)

Zerspankraft Aktivkraft Schnittkraft Vorschubkraft Passivkraft Schnittgeschwindigkeit Vorschubgeschwindigkeit Wirkgeschwindigkeit Vorschub Schnitttiefe Einstellwinkel Vorschubrichtungswinkel (beim Drehen 90º) Wirkrichtungwinkel

Normen siehe Literaturhinweise am Ende des Abschnitts

f f

Bild 2. Schnittgrößen und Spanungsgrößen f Vorschub, ap Schnitttiefe, b Spanungsbreite, h Spanungsdicke, A Spanungsquerschnitt, ls Schnittbogenlänge, m Bogenspandicke, Rth theoretische Rautiefe

N2

N Zerspantechnik

Entsprechend der Schnitt-, Vorschub- und der Wirkbewegung wird auch zwischen den zugehörigen Geschwindigkeiten unterschieden: Die Schnittgeschwindigkeit vc ist die momentane Geschwindigkeit des betrachteten Schneidenpunkts in Schnittrichtung (Bild 1). Beim Drehen ist vc die Umfangsgeschwindigkeit eines Punktes am Werkstückumfang. Mit Werkstückdurchmesser d und Drehzahl n wird: vc = d S n

vc

d

n

m min

m

min–1

vf

f

mm min

mm U

n U = min−1 min

A = ap f = b h = m ls

(3)

h = f sin r

(4)

b=

ap

(2)

Die Wirkgeschwindigkeit ve ist die momentane Geschwindigkeit des betrachteten Schneidenpunkts in Wirkrichtung: sie ist die resultierende Geschwindigkeit aus Schnitt- und Vorschubgeschwindigkeit. In den meisten Fällen ist (wie beim Drehen) das Verhältnis vf / vc so klein, dass ve = vc angesehen werden kann. So ist z.B. bei vc = 50 m/min und vf = f n = 0,1 mm/U ˜ 500 min–1 = 0,050 m/min der Wirkrichtungswinkel   3' (mit tan  = vf / vc = 0,05/50 = 0,001). Das Beispiel gilt für Drehen, also für  = 90º, sonst siehe Gleichung (1).

1.2 Zerspangeometrie Wichtigste Bezugsebene für die Zerspangeometrie ist die so genannte Arbeitsebene (Bild 1). Es ist diejenige gedachte Ebene, die Schnitt- und Vorschubrichtung des betrachteten Schneidenpunkts enthält. In ihr vollziehen sich alle an der Spanbildung beteiligten Bewegungen. Alle in der Arbeitsebene liegenden Kraftkomponenten der Zerspankraft F sind an der Zerspanleistung beteiligt (siehe Zerspanleistung). 1.2.1 Schnitt- und Spanungsgrößen Schnittgrößen sind z.B. Vorschub f und Schnitttiefe ap , also solche Größen, die zur Spanabnahme unmittelbar oder mittelbar eingestellt werden müssen. Spanungsgrößen sind z.B. Spanungsbreite b, Spanungsdicke h und Spanungsquerschnitt A. Im Gegensatz dazu nennt man diejenigen Größen, die die Abmessungen der tatsächlich entstehenden Späne enthalten, Spangrößen.

(5)

sin κr

(1)

Die Vorschubgeschwindigkeit vf ist die momentane Geschwindigkeit des betrachteten Schneidenpunkts in Vorschubrichtung. Beim Drehen stehen vf und vc rechtwinklig zueinander. Der Vorschubrichtungswinkel ist dann  = 90º (Bild 1). Mit Vorschub f und Drehzahl n wird vf = f n

Spanungsquerschnitt A, Schnitttiefe ap , Vorschub f, Spanungsdicke h, Spanungsbreite b und Einstellwinkel r der Hauptschneide hängen nach Bild 2 beim Drehen in folgender Weise voneinander ab:

A

f

ap , h, b, m, ls

r

mm2

mm U

mm

º

Der Spanungsquerschnitt A ist der Querschnitt des abzunehmenden Spanes rechtwinklig zur Schnittrichtung. Die im Schnitt befindliche Schnittbogenlänge ls ist angenähert:

ls

f 

ap sin  r

Denkt man sich die Schnittbogenlänge ls einschließlich des Schneidenbogens mit Radius r gestreckt, so lässt sich ein rechteckiger Spanungsquerschnitt vorstellen, dessen Länge ls und dessen Breite die sogenannte Bogenspandicke m ist (Bild 2):

m=

A ap f mm 2 Spanungsquerschnitt in = ls ls mm Schneidenlänge

Anders aufgefasst ist die Bogenspandicke m = A / ls in mm2/mm die von 1 mm Schneidenlänge abgespante Fläche, vorstellbar als spezifische Schneidenbelastung. ■ Beispiel: Gesucht: die Spanungsdicke h1, h2 für Vorschub f = 1 mm/U und r1 = 60º, r2 =10º. Lösung: h1 = f sin r1 = 1

mm ˜ sin 60º = 0,866 mm U

h2 = f sin r2 = 1

mm ˜ sin 10º = 0,174 mm U

Beachte: Das axiale Widerstandsmoment W des Spanungsquerschnitts wächst mit der Spanungsdicke h quadratisch (W = b h2/6), d.h. bei 3-fachem h entsteht 9-facher Aufbiegungswiderstand.

■ Beispiel: Gesucht: die Bogenspandicke m für Einstellwinkel r1 = 90º, r2 = 45º, r3 = 5º bei Vorschub f = 1 mm/U und Schnitttiefe ap = 3 mm.

1 Drehen und Grundbegriffe der Zerspantechnik Lösung: ls1

ap

3 mm = 1 mm + = 4 mm = f+ sin κr1 sin 90D

ls2 = 1 mm +

3 mm = 5, 24 mm sin 45D

ls3 = 1 mm +

3 mm = 35, 4 mm sin 5D

N3 Werkzeugwinkel (im Werkzeug-Bezugssystem gemessen) sind maßgeblich für Herstellung und Instandhaltung der Schneidwerkzeuge.

Bogenspandicke m1 =

A 3 mm 2 mm 2 Spanungsquerschnitt = = 0,75 ls1 4 mm mm Schneidenlänge

m2 =

3 mm 2 mm 2 Spanungsquerschnitt A = = 0,57 ls2 5,24 mm mm Schneidenlänge

3 mm 2 mm 2 Spanungsquerschnitt A m3 = = = 0,0847 ls3 35,4 mm mm Schneidenlänge

Bild 3. Bezeichnung der Schneiden und Flächen an einem Drehmeißel

Wird 0,75 mm2/mm = 100 % gesetzt, ergibt sich für 0,57 mm2/min = 76 % und für 0,0847 mm2/min = 11,3 %, d.h. die spezifische Schneidenbelastung sinkt mit abnehmendem Einstellwinkel r.

1.2.2 Schneiden, Flächen und Winkel am Drehmeißel1) Die geometrische Grundform der Schneide an spanenden Werkzeugen ist der Keil. Er erscheint sowohl bei Haupt- als auch bei Nebenschneiden. Schneiden und Flächen sind in Bild 3 dargestellt. Hauptschneide ist jede Schneide, deren Wirkfreiwinkel bei Vergrößerung des Vorschubs und damit Vergrößerung des Wirkrichtungswinkels  (Bild 1) kleiner wird. Der Keil der Hauptschneide weist während des Schnittes etwa in Richtung der Vorschubbewegung (Ausnahme z.B. beim Gleichlauffräsen). Alle anderen Schneiden sind Nebenschneiden. Die Grenze zwischen Haupt- und Nebenschneide bei gekrümmter Schneide liegt dort, wo der Einstellwinkel r gegen null geht. Spanfläche ist die Fläche am Schneidkeil, über die der Span abläuft. Die Breite der Spanflächenfase wird mit b f J bezeichnet (Bild 3). Freiflächen sind die Flächen am Schneidkeil, die den entstehenden Schnittflächen zugekehrt sind. Die Breite der Freiflächenfase wird mit b f D bezeichnet (Bild 3). An der Schneidenecke treffen Haupt- und Nebenschneide zusammen. Sie ist bei Drehmeißeln meist mit Radius r gerundet (Bild 4). Die Winkel an der Schneide müssen in zwei verschiedenen Bezugssystemen gemessen werden. Man unterscheidet danach: Wirkwinkel (im Wirkbezugssystem gemessen), sind von der Stellung Schneidwerkzeug zu Werkstück, den Schnittgrößen und der geometrischen Form des Werkstückes abhängig. Sie sind für die Beurteilung des Zerspanvorgangs wichtig.

1)

Nach DIN 6 581.

Bild 4. Lage der Werkzeugwinkel meißel ohne Fase –––– Werkzeug-Bezugsebene –˜–˜–˜ Werkzeug-Schneidenebene - - - - Werkzeug-Orthogonalebene

an einem Dreh(a) (b) (c)

Das Wirk-Bezugssystem hat als Hauptachse die Wirkrichtung (Bild 1) und besteht aus den drei rechtwinklig aufeinander stehenden Ebenen: Die Wirk-Bezugsebene steht rechtwinklig zur Richtung der Wirkbewegung (Bild 1). Die Schnittebene ist die Tangentialebene an die momentan entstehende Schnittfläche, z.B. Hauptschnittfläche in Bild 1. Die Wirk-Messebene steht rechtwinklig auf den beiden anderen Ebenen. Das Werkzeug-Bezugssystem hat als Hauptachse die Schnittrichtung (Bild 1) und besteht aus den drei rechtwinklig auf einander stehenden Ebenen: Die Werkzeug-Bezugsebene steht rechtwinklig zur Richtung der Schnittbewegung (Bilder 1 und 4); bei Dreh- und Hobelmeißeln liegt sie parallel zur Auflagefläche der Werkzeuge, bei Fräsern und Bohrern geht sie durch die Drehachse und den betrachteten Schneidenpunkt, bei Räumwerkzeugen rechtwinklig zur Längsachse des Werkzeugs; in anderen Fällen muss sie bezüglich der zu erwartenden Schnittrichtung besonders festgelegt werden.

N4 Werkzeug-Orthogonalkeilwinkelebene E0 steht rechtwinklig auf den beiden anderen Elementen. Die Werkzeugwinkel an einem Drehmeißel ohne Fase zeigt Bild 4. Werte für Wirkwinkel können nicht als allgemein gültig angesehen werden. Richtwerte nach den Angaben der Werkzeughersteller oder aus Forschungsarbeiten. Die folgenden geometrischen Angaben beziehen sich auf die Werkzeugwinkel (Lage der Winkel) nach Bild 4, die physikalischen (technologischen) Hinweise dagegen auf die Winkel als Wirkwinkel: Orthogonalfreiwinkel D0 (Bild 4) – Freiwinkel genannt – ist der Winkel zwischen der Freifläche und der Werkzeug-Schneidenebene, bestimmt in der Werkzeug-Orthogonalebene. Er muss als Wirkwinkel immer positiv sein und beeinflusst die Reibung zwischen Schnittfläche am Werkstück und Freifläche am Werkzeug. Er ist um so größer zu machen, je sauberer die Schnittfläche sein soll, desgleichen bei weichen, plastischen Werkstoffen und je größer Drehdurchmesser d und Vorschub f sind, D0  4° ... 6º für Hartmetall und 6° ... 8º für Schnellschnittstahl (bei Stahlbearbeitung), Orthogonalkeilwinkel 0 (Bild 4) – Keilwinkel genannt – ist der Winkel zwischen Frei- und Spanfläche, gemessen in der Werkzeug-Orthogonalebene. Er beeinflusst die Schneidfähigkeit der Werkzeugschneide. Große Keilwinkel führen bei spröden Werkstoffen zu dicken Spänen. Kleinere Keilwinkel ergeben geringere Zerspankraft (Keil dringt leichter ein), schlechtere Wärmeabfuhr (Wärmestau), damit höhere Schneidentemperatur und geringere Standzeit, die Schneide hakt leichter ein. Deshalb: 0  40° ... 50º für weiche, dehnbare Werkstoffe; 0  55° ... 75º für zähfeste Werkstoffe (Baustahl); 0  75° ... 85º für spröde, hochfeste Werkstoffe. Orthogonalspanwinkel 0 (Bild 4) – Spanwinkel genannt – ist der Winkel zwischen der Spanfläche und der Werkzeug-Bezugsebene, bestimmt in der Werkzeug-Orthogonalebene. Er ist der wichtigste Winkel an der Schneide und beeinflusst den Spanablauf, die Spanbildung (Reißspan, Fließspan) und die Zerspankraft. Je größer 0, um so besser läuft der Span ab (Vibrieren wird vermieden) und um so geringer ist die Zerspankraft. Kleine 0 ergeben mehr schabende Wirkung, verringern aber die Bruchgefahr an der Schneidenecke. Negative Spanwinkel nach Bild 5 (nur an Hartmetallschneiden) sind bei hohen Schnittgeschwindigkeiten und sogenanntem unterbrochenen Schnitt (z.B. bei Gusshaut) und bei festen Werkstoffen wie Mangan-Hartstahl oder Hartguss günstig. Sie erhöhen in diesen Fällen die Standzeit erheblich, setzen jedoch starre, kräftige Maschinen mit hoher Antriebsleistung voraus. Wie die schematische Darstellung in Bild 5 zeigt, trifft der Span bei – 0 die Spanfläche in größerer Entfernung von der Schneidenspitze. Eine mögliche Auskolkung K ist weniger gefährlich.

N Zerspantechnik

Bild 5. Positiver und negativer Spanwinkel 0 (schematisch dargestellt)

Für die Werkzeug-Winkel D0, E0, J0 gilt immer: D0 + E0 + J0 = 90º. Eckenwinkel H r (Bild 4) ist der Winkel zwischen zwei zusammengehörigen Haupt- und Nebenschneiden, bestimmt in der Werkzeug-Bezugsebene. Er beeinflusst die Standzeit. Bei kleinem H r kann die Wärme nicht genügend gut nach hinten abfließen, weil der Querschnitt zu klein ist. Die Temperatur der Schneidenecke kann unzulässig hoch ansteigen. H r = 90º hat sich bei Vorschüben f < 1 mm/U bewährt. Bei größerem f kann H r entsprechend größer gewählt werden. Schneidenwinkel \r ist der Winkel zwischen der Werkzeug-Schneidenebene und der Hauptachse des Werkzeugs. Einstellwinkel r ist der Winkel zwischen der Arbeitsebene und der Schnittebene, bestimmt in einer Ebene rechtwinklig zur Schnittrichtung (Bild 1). Beim Einstechmeißel ist r = 0º, er beeinflusst die Verteilung der Zerspankraft-Komponente in der Ebene rechtwinklig zur Schnittrichtung (Bild 1), die Spanform und damit die Standzeit. Bild 6 soll schematisch, ohne Berücksichtigung der tatsächlichen Kraftgrößen, in Verbindung mit dem folgenden Beispiel die Verhältnisse erläutern.

Bild 6. Vorschubkraft Ff und Passivkraft Fp in Abhängigkeit vom Einstellwinkel r (schematisch dargestellt)

1 Drehen und Grundbegriffe der Zerspantechnik ■ Beispiel: Gegeben: Schnitttiefe ap = 3 mm, Vorschub f = 1 mm/U; damit Spanungsquerschnitt A = ap f = 3 mm2 = konstant für die drei Fälle des Bildes 6. r1 = 90º, r2 = 45º, r3 = 15º. Gesucht: Spanungsdicke h, Schnittbogenlänge ls , Bogenspandicke m, Spanungsbreite b und Widerstandsmoment W für die drei Spanungsquerschnittformen. Lösung: h1 = f sin r1 = 1 mm ˜ sin 90º = 1 mm

ls1 = f + m1 = b1 =

ap sin κ r1

= 1 mm +

3 mm = 4 mm sin 90D

A mm 2 = 0, 75 ls1 mm ap sin κ r1

= 3 mm

b h2 W1 = 1 1 = 0,5 mm3 6

h2 = f sin r2 = 1 mm ˜ sin 45º = 0,707 mm ap 3 mm ls2 = f + = 1 mm + = 5,24 mm sin κ r2 sin 45D m2 = b2 = W2 =

A mm 2 = 0,57 ls2 mm ap sin κ r2 2 b2 h2

6

= 4, 24 mm

= 0,35 mm3

h3 = f sin r3 = 1 mm ˜ sin 15º = 0,258 mm ap 3 mm ls3 = f + = 1 mm + = 12,6 mm sin κ r3 sin 15D m3 = b3 = W3 =

A mm 2 = 0, 24 ls3 mm ap sin κr3

=11, 6 mm

b3h32 = 0,13 mm3 6

N5 winkel deshalb z.B. für das Schruppdrehen von Hartgusswalzen (r  5º). Die Passivkraft Fp wird groß, dadurch größere Durchbiegung des Werkstücks möglich, eventuell Maßungenauigkeit, Rattermarken. Angenommen: 0,5 mm3 = 100 %, dann sind 0,35 mm3 = 70 % und 0,13 mm3 = 26 %. Beachte: Nicht dargestellt und berücksichtigt wurde die Veränderung der Zerspankraft und damit der Schnittkraft, die ebenso wie die Passivkraft mit kleiner werdendem r ansteigt. Die Vorschubkraft wird zwar mit kleiner werdendem r ebenfalls kleiner, sinkt aber nicht ganz auf null ab. Vorteilhaft sind Einstellwinkel r = 45° ... 75º. Neigungswinkel  s ist der Winkel zwischen der Hauptschneide und der Werkzeug-Bezugsebene (Bild 4), bestimmt in der Werkzeug-Schneidenebene.  s ist positiv, wenn die Schneidenecke der Hauptschneide in Schnittrichtung vorauseilt, anderenfalls ist er negativ. Eine geneigte Schneide beeinflusst die Spanablaufrichtung und vermindert durch Entstehung eines ziehenden Schnittes die Belastung des Schneidkeils. Bei spanender Bearbeitung mit unterbrochenem Schnitt ist ein negativer  s sinnvoll, weil der immer wiederkehrende Anschnitt dann nicht an der Schneidenecke erfolgt. Geneigte Schneiden bewirken bei positivem  s eine Verringerung und bei negativem  s eine Vergrößerung der Passivkraft Fp. 1.2.3 Werkzeugstellung und Wirkwinkel

Gegenüber der Normalstellung verändert jede andere Stellung des Werkzeugs die Schneidenwinkel. Bild 7 zeigt den Einfluss einer Schneidenüberhöhung h auf Freiwinkel D0 und Spanwinkel J0 beim Außendrehen (beim Innendrehen sind die Verhältnisse umgekehrt): Meißelstellung über Mitte: Wirk-Freiwinkel α '0 = α0 − ϕ und

r = 90º: Span ist dick und schmal, Schnittbogenlänge

ls klein, Widerstandsmoment W sehr groß und damit der Verformungswiderstand groß, d.h. auch große Reibung auf der Spanfläche, hohe Erwärmung und geringere Standzeit. Da Passivkraft Fp = 0 ist (keine durchbiegende Komponente) wählt man große Einstellwinkel für dünne oder dünnwandige Werkstücke die sich leicht durchbiegen, jedoch nur für solche Fälle. Der Werkstattbrauch immer mit großem r zu arbeiten, führt zu hohen Werkzeugkosten, weil die spezifische Schneidenbelastung bei r = 90º am größten ist. r = 15º: Span ist dünn und breit, Schnittbogenlänge ls also groß, Widerstandsmoment W klein (nur 26 % von r = 90º) und damit der Verformungswiderstand klein, d.h. geringere Reibung und Erwärmung und größere Standzeit. Durch die größere Trennlänge wird jedoch die Zerspankraft erhöht. Kleine Einstell-

γ '0 = γ 0 + ϕ

Meißelstellung unter Mitte: Wirk-Freiwinkel α '0 = α0 + ϕ und γ '0 = γ 0 − ϕ

Bild 7. Einfluss der Schneidenüberhöhung h auf Freiwinkel D0 und Spanwinkel J0

N6

N Zerspantechnik

Beachte: Der über die Hauptschneide hinaus verlängerte Radius, die Normale N (bzw. N'), bildet mit der zugehörigen Tangente T (bzw. T) immer einen Winkel von 90º, der die Winkel D0 + E0 + J0 = 90º einschließt. Beim Innendrehen gilt: Meißel über Mitte: α '0 größer, γ '0 kleiner; Meißel unter Mitte: D' kleiner, J ' größer. ■ Beispiel: Bei welcher Schneidenüberhöhung h wird der Wirk-Freiwinkel α '0 = 0º, wenn der Winkel D0 = 5º in Normalstellung beträgt und Durchmesser d = 15 mm ist? Lösung: Bei α '0 = 0º ist Winkel  = Winkel 0 und damit h

d sin D 0 2

15 mm ˜ sin 5D  0,65 mm 2

Meistens wird h = 1 bis 2 d / 100 gemacht (über Mitte) und damit D0 um 1º bis 2º verkleinert und J0 um 1º bis 2º vergrößert. Beim Ein- und Abstechen ist die Schneide genau auf Mitte zu stellen. Bei Schrägstellung des Drehmeißels nach Bild 8 ändern sich die Wirkwinkel trotz genauer Mittenstellung der Schneide in der angegebenen Weise.

bfD0 = 0,5 ... 2 f ; D f etwa 2º kleiner als D0. Für das Nachschleifen der Freifläche D10  2º größer als D0.

1.3 Kräfte und Leistungen1) Die beim Schnitt auftretenden Widerstände (Verformung, Reibung) erzeugen die Zerspankraft F, die nach Bild 1 in Richtung auf das Werkzeug wirkend betrachtet wird. Jede in einer beliebigen Richtung oder in einer beliebigen Ebene (Arbeitsebene, Wirk-Bezugsebene ...) gesuchte Komponente der Zerspankraft F ergibt sich durch Projektion von F auf diese Richtung oder auf diese Ebene. Für die Praxis sind besonders von Bedeutung die Komponenten in der Arbeitsebene und in der Ebene rechtwinklig zur Schnittrichtung (Bild 1): Schnittkraft Fc, Vorschubkraft Ff und Passivkraft Fp. Beim Drehen ist Fc meist groß gegenüber Ff und Fp. Die Schnittkraft Fc wird mit Schnittkraftmessgeräten bestimmt und daraus für Vergleiche die spezifische Schnittkraft kc angegeben. Die spezifische Schnittkraft kc ist diejenige Schnittkraft, die erforderlich ist, um einen Span mit der Spanungsdicke h abzuheben. Daraus lässt sich mit kc und Spanungsquerschnitt A bzw. Schnitttiefe ap und Vorschub f die Schnittkraft Fc berechnen: Fc = kc A = kc ap f

Bild 8. Einfluss der Schrägstellung des Drehmeißels auf Freiwinkel D0 und Spanwinkel J0

Bild 9. Winkel an einer Hartmetallschneide 1.2.4. Winkel an der Hartmetallschneide

Mit zunehmendem Spanwinkel J0 nehmen Schnittkraft und damit Antriebsleistung beträchtlich ab. Andererseits wird die Standzeit kleiner. Zur Standzeiterhöhung trotz größerer Spanwinkel wird deshalb der eigentliche Schneidkeil an der Spitze durch eine Fase verstärkt (Bild 9). Es wird J f 0 < J0 gemacht; bei zerspantechnisch schwierigen Arbeiten wird Jf 0 = 0º oder sogar negativ empfohlen, ebenso D f 0 < D0; gewöhnlich wählt man die 90º-Fase mit D f 0 = 0º und J f 0 = 0º. Die Fase wird zweckmäßig geläppt. 1)

Siehe auch DIN 6584.

Fc

N

kc N mm 2

(6) A

ap

f

mm2

mm

mm U

kc wächst mit der Festigkeit des Werkstoffs, bei Stahl also mit zunehmendem C-Gehalt. Phosphor und Schwefel dagegen verringern kc (Automatenstähle). Von größtem Einfluss ist die Form der Schneide: Großer Spanwinkel J0 setzt kc stark herab, Verringerung des Einstellwinkels r vergrößert kc wegen der wachsenden Trennlänge. Zunehmende Schnittgeschwindigkeit verringert kc etwas bis zu einem Grenzwert, umgekehrte Veränderung nur bei Magnesium- und Zinklegierungen. Schmiermittel setzen kc herab, im Gegensatz zu Kühlmitteln. Mit wachsendem Spanungsquerschnitt (Vorschub) fällt kc bei den verschiedenen Werkstoffen verschieden stark ab (Bild 10). Auch das Verhältnis f /ap beeinflusst kc: Je kleiner f / ap ist, um so größer wird kc. Beachte: Die angegebenen Veränderungen setzen voraus, dass alle anderen Einflussgrößen konstant gehalten werden.

Werkstoff

Zugfestigkeit Rm in N/mm2

S275 JR bis 500 E 295 520 E 335 620 E 360 720 C 45 E 670 C 60 E 770 16 Mn Cr 5 770 16 Cr Ni 6 630 34 Cr Mo 4 600 42 Cr Mo 4 730 50 Cr V 4 600 15 Cr Mo 5 590 Mn-, CrNi-, 850 ... 1000 CrMo- u.a.leg.St. 1000 ... 1400 Nichtrost. St. 600 ... 700 Mn-Hartstahl Hartguss GE 240 300 ... 500 GE 260 500 ... 700 EN-GJL-150 EN-GJL-250 Temperguss Gu Sn- Gussleg. Cu Sn Zn-Gussleg. Cu Zn - knetleg. Al - Gussleg 300 ... 420 Mg - Gussleg

spezifische Schnittkraft kc in N/mm2 bei Vorschub f in mm / U und Einstellwinkel r 45º 3 010 4 470 3 620 5 680 3 450 3 690 4 720 5 680 4 300 5 450 5 000 3 880 4 530 4 780 4 500 6 600 3 720 2 720 3 010 1 800 2 570 2 440 3 010 1 360 1 380 1 360 490

0,063 70º 2 860 4 180 3 430 5 260 3 300 3 500 4 410 5 260 4 070 5 100 4 650 3 715 4 270 4 520 4 270 6 210 3 550 2 590 2 860 1 700 2 410 2 280 2 860 1 270 1 310 1 270 475

90º 2 820 4 100 3 380 5 150 3 260 3 450 4 320 5 150 4 000 5 000 4 560 3 660 4 200 4 450 4 200 6 100 3 500 2 560 2 820 1 670 2 360 2 240 2 820 1 250 1 300 1 250 470

45º 2 760 3 980 3 300 4 980 3 200 3 380 4 200 4 980 3 900 4 880 4 440 3 590 4 100 4 350 4 120 5 950 3 420 2 510 2 760 1 630 2 300 2 180 2 760 1 220 1 280 1 220 455

0,1 70º 2 635 3 690 3 130 4 610 3 080 3 200 3 910 4 610 3 670 4 580 4 170 3 430 3 870 4 120 3 910 5 600 3 240 2 390 2 630 1 530 2 150 2 040 2 630 1 140 1 210 1 140 435

90º 2 600 3 610 3 080 4 500 3 040 3 150 3 830 4 510 3 610 4 500 4 100 3 390 3 800 4 050 3 850 5 500 3 190 2 360 2 600 1 510 2 110 2 000 2 600 1 120 1 200 1 120 430

45º 2 550 3 500 3 010 4 350 2 990 3 100 3 720 4 350 3 530 4 370 3 980 3 320 3 710 3 960 3 770 5 370 3 130 2 320 2 550 1 480 2 060 1 950 2 550 1 090 1 180 1 090 420

0,16 70º 2 435 3 260 2 870 4 010 2 870 2 960 3 470 4 015 3 345 4 080 3 690 3 175 3 440 3 760 3 580 5 060 2 990 2 210 2 430 1 390 1 910 1 830 2 430 1 020 1 110 1 020 405

90º 2 400 3 190 2 830 3 920 2 840 2 920 3 400 3 920 3 290 4 000 3 610 3 130 3 450 3 700 3 530 4 980 2 940 2 180 2 400 1 370 1 870 1 800 2 400 1 000 1 100 1 000 400

45º 2 360 3 100 2 780 3 800 2 800 2 860 3 300 3 800 3 220 3 890 3 500 3 070 3 380 3 610 3 460 4 860 2 880 2 140 2 360 1 340 1 820 1 750 2 360 980 1 080 980 390

0,25 70º 2 265 2 880 2 650 3 500 2 690 2 730 3 090 3 505 3 055 3 620 3 260 2 935 3 200 3 410 3 300 4 580 2 730 2 030 2 270 1 270 1 690 1 630 2 270 910 1 010 910 365

90º 2 240 2 830 2 620 3 410 2 660 2 700 3 020 3 410 3 000 3 550 3 190 2 900 3 150 3 350 3 250 4 500 2 680 2 000 2 240 1 250 1 660 1 600 2 240 900 1 000 900 360

45º 2 200 2 740 2 580 3 300 2 620 2 650 2 930 3 300 2 940 3 450 3 100 2 850 3 080 3 280 3 180 4 400 2 620 1 960 2 200 1 220 1 610 1 560 2 200 880 980 880 350

0,4 70º 2 085 2 550 2 470 2 060 2 530 2 530 2 720 3 070 2 795 3 220 2 880 2 720 2 900 3 120 3 040 4 150 2 480 1 890 2 090 1 160 1 500 1 490 2 090 810 930 810 335

90º 2 060 2 500 2 440 2 990 2 500 2 490 2 660 3 000 2 750 3 150 2 820 2 680 2 850 3 100 3 000 4 080 2 450 1 860 2 060 1 140 1 470 1 460 2 060 800 920 800 330

45º 2 030 2 430 2 400 2 900 2 460 2 450 2 580 2 900 2 670 3 060 2 730 2 630 2 780 3 030 2 940 3 980 2 400 1 820 2 030 1 120 1 430 1 420 2 030 780 900 780 320

0,63 70º 1 945 2 280 2 300 2 670 2 370 2 330 2 410 2 665 2 505 2 860 2 550 2 505 2 640 2 890 2 820 3 770 2 280 1 740 1 950 1 050 1 320 1 340 1 950 720 860 710 305

90º 1 920 2 240 2 270 2 600 2 340 2 300 2 360 2 590 2 460 2 800 2 500 2 470 2 600 2 850 2 780 3 700 2 240 1 720 1 920 1 040 1 300 1 320 1 920 710 850 710 300

45º 1 890 2 180 2 220 2 520 2 310 2 260 2 300 2 520 2 400 2 720 2 430 2 420 2 550 2 800 2 730 3 620 2 200 1 690 1 890 1 020 1 280 1 290 1 890 700 840 700 300

1 70º 1 810 2 040 2 130 2 310 2 240 2 160 2 140 2 315 2 280 2 550 2 270 2 325 2 420 2 660 2 610 3 410 2 090 1 620 1 820 960 1 190 1 220 1 820 660 790 660 285

90º 1 800 1 990 2 110 2 260 2 220 2 130 2 100 2 260 2 240 2 500 2 220 2 290 2 380 2 620 2 580 3 360 2 060 1 600 1 800 950 1 160 1 200 1 800 650 780 650 280

1 Drehen und Grundbegriffe der Zerspantechnik

Tabelle 1. Richtwerte für die spezifische Schnittkraft kc beim Drehen Die Richtwerte sind von der Firma Gebr. Boehringer in Göppingen aus Versuchswerten von Prof. Kienzle und allgemeinen Hinweisen aus dem Schrifttum abgeleitet worden.

N7

N8

N Zerspantechnik

Neben den Richtwerten aus Tabelle 1 kann die spezifische Schnittkraft kc rechnerisch ermittelt werden:

WerkzeugverschleißKorrekturfaktor Kwv

KWV = 1,3...1,5 für Drehen, Hobeln und Räumen KWV = 1,25 ... 1,4 für Bohren und Fräsen KWV = 1 bei scharfer Schneide

Darin sind: h Spanungsdicke nach (4), z Spanungsdickenexponent und K Korrekturfaktoren. kc1˜1 heißt Hauptwert der spezifischen Schnittkraft und ist die spezifische Schnittkraft bei 1 mm2 Spanungsquerschnitt (1 mm Spanungsdicke · 1 mm Spanungsbreite).

KühlschmierungsKorrekturfaktor Kks

Kks = 1 für trockene Zerspanung

Richtwerte für kc1˜1 und Spanungsdickenexponent z in Tabelle 2, Korrekturfaktoren K in Tabelle 3.

WerkstückformKorrekturfaktor Kf

kc =

kc11 ⋅ hz

(7)

K V K γ K WS K WV K ks K f

Kks = 0,85 für nicht wassermischbare Kühlschmierstoffe Kks = 0,9 für KühlschmierEmulsionen Kf = 1 für konvexe Bearbeitungsflächen z.B. Außendrehen Kf = 0,85 für ebene Bearbeitungsflächen z.B. Hobeln und Räumen

Tabelle 2. Richtwerte für spezifische Schnittkraft kc1˜1 und Spanungsdickenexponent z für Spanungsdicke h = 0,05 ... 2,5 mm Werkstoff

kc1˜1 in N/mm2

z

1 780 1 990 2 110 2 260 1 820 1 860 2 220 2 130 2 100 2 240 1 600 1 020 1 160

0,17 0,26 0,17 0,30 0,22 0,20 0,14 0,18 0,26 0.21 0,17 0,25 0,26

S235JR S275JR E335 E360 C15, C15E C35, C35E C45, C45E C60, C60E2 130 16MnCr5 34CrMo4 GE240 EN-GJL-200 EN-GJL-250

Tabelle 3. Korrekturfaktoren K Schnittgeschwindigkeits- K = 2,023 für v ≤ 100 m V c min Korrekturfaktor KV vc0,153

KV =

1,380 vc0,070

für vc ≥ 100

m min

m für vc = 20...600 m/min K V =100000 für vc = 100 min SpanwinkelK  = 1,09 - 0,015 0° Korrekturfaktor K  für langspanende Werkstoffe z.B. Stahl K  = 1,03 – 0,015 0° für kurzspanende Werkstoffe wie Gusseisen SchneidstoffKWS = 1,05 für SchnellarbeitsKorrekturfaktor KWS stahl KWS = 1,0 für Hartmetall KWS = 0,9 ... 0,95 für Schneidkeramik

Kf = 1,2 für konkave Bearbeitungsflächen z.B. Innendrehen, Bohren und Fräsen

Nach der allgemeinen Leistungsdefinition ist Leistung P = F ˜ v. Damit ergibt sich für den Zerspanvorgang mit Schnittgeschwindigkeit vc die Schnittleistung Pc =

Fcvc 60 000

(8)

Pc =

kc A vc 60 000

(9)

Pc

Fc

vc

kc

A

kW

N

m min

N mm 2

mm2

Ist die Motorleistung Pm in kW angegeben, rechnet man unter Berücksichtigung des Wirkungsgrads  der Drehmaschine ( = 0,6 ... 0,95) mit der zugeschnittenen Größengleichung: Pm = vc

kc A vc 60 000 η

(10)

= πdn Pm

kc

kW

N mm 2

(11) A

vc

d

n

mm2

m min

m

min–1

Beachte: Die sich als Produkt aus Vorschubkraft Ff und Vorschubgeschwindigkeit vf = f n ergebende Vorschubleistung Pf ist wegen der geringen Vorschubgeschwindigkeit vf vernachlässigbar klein (siehe Beispiel).

1 Drehen und Grundbegriffe der Zerspantechnik ■ Beispiel: Welche Schnitttiefe ap kann maximal eingestellt werden, wenn auf einer Drehmaschine mit Pm = 5,5 kW Antriebsleistung bei 80 % Wirkungsgrad mit einer Schnittgeschwindigkeit von 140 m/min und einem Vorschub f = 0,16 mm/U bei Einstellwinkel r = 45º eine Welle aus E 360 und d = 180 mm Durchmesser bearbeitet werden soll?

Lösung: Die an der Maschine einstellbare Drehzahl deckt sich meistens nicht mit der der gewählten Schnittgeschwindigkeit entsprechenden Drehzahl. Hier ist

n=

vc 140 m = = 248 min−1 π d min ⋅ π ⋅0,18 m

Eingestellt wird die nächstniedere Drehzahl n = 224 min–1 (Lastdrehzahlen siehe Abschnitt O Werkzeugmaschinen). Damit wird die tatsächlich vorhandene Schnittgeschwindigkeit

vc =  d n =  ˜ 0,18 m ˜ 224 min–1 = 127 m/min Die spezifische Schnittkraft beträgt nach Tabelle 1: kc = 4 350 N/mm2. Mit Spanungsquerschnitt A = ap f wird nach Gl. (10) die Schnitttiefe

ap =

5,5⋅0,8⋅60 000 P η 60 000 mm = mm ≈ 3 mm 4350⋅127⋅0,16 kc vc f

■ Beispiel: Es wird angenommen, dass im vorhergehenden Beispiel die Vorschubkraft Ff etwa 50 % der Schnittkraft Fc beträgt. Zu berechnen ist die Vorschubleistung Ff .

Lösung: Mit kc = 4 350 N/mm2, ap = 3 mm, f = 0,16 mm/U, n = 224 min–1 wird die Schnittkraft Fc = kc ap f = 4 350 N/mm2 ˜ 3 mm ˜ 0,16 mm = 2088 N.

Vorschubkraft Ff = 0,5 Fc = 1 044 N. Vorschubleistung Pf = Ff ˜ vf = 1 044 N ˜ 224 min–1 ˜ 0,16 mm/U = 37 417 Nmm/min

Pf = 0,00062 kW = 0,624 W  0,6  10–3 kW Die Vorschubleistung ist demnach vernachlässigbar klein.

1.4 Wahl der Schnittgeschwindigkeit Die Vielzahl der Einflussgrößen macht es unmöglich, allgemein gültige Angaben über die „richtige“ Schnittgeschwindigkeit vorzulegen. Richtwerttafeln über einzustellende Schnittgeschwindigkeiten sind mit größter Umsicht auszuwerten, weil sie nur für ganz bestimmte Fälle gelten. Richtwerte siehe Tabelle 4, die für die verschiedenen Werkstoffe nach Vorschub

N9 gestufte Mittelwerte ohne Kühlung (keine Bestwerte) angibt. Darüber hinaus sollten die neuesten Richtwerttafeln der Schneidstoffhersteller ausgewertet werden. vc 60 ist Schnittgeschwindigkeit bei 60 min Standzeit, entsprechend vc 240 für 240 min Standzeit. Man wählt vc 60 für einfache, leicht auswechselbare Drehmeißel; vc 240 für einfache Werkzeugsätze mit gegenseitiger Abhängigkeit (z.B. auf Revolvermaschinen); vc 480 für kompliziertere Werkzeugsätze, deren Auswechseln wegen der gegenseitigen Abhängigkeit und Genauigkeit der Schneiden längere Zeit erfordert (z.B. auf Vielschnittmaschinen, Drehautomaten). Gleiche Überlegungen gelten im Hinblick auf die Instandhaltung der Werkzeuge. Allgemein gilt: Höhere Schnittgeschwindigkeit gibt zeitgünstiges Zerspanen und niedrigere Schnittgeschwindigkeit kostengünstigeres. 1.4.1 Einflüsse auf die Schnittgeschwindigkeit vc

Standzeit T ist die Zeitspanne in Minuten, in der die Schneide Schnittarbeit verrichtet, bis zum nötigen Wiederanschliff. Sie hat größte wirtschaftliche Bedeutung. T ist bei gleichem Werkstoff um so kleiner, je höher vc gewählt wird, z.B. nur wenige Minuten bei vc  2000 m/min. Verschiedenartige Werkstoffe erfordern zu gleicher Standzeit T verschiedene Schnittgeschwindigkeiten vc. Alle Betrachtungen dieser Art setzen voraus, dass die übrigen Schnittbedingungen konstant gehalten werden (Werkstoff-, Werkzeug- und Einstellbedingungen). Ändert sich auch nur eine der Bedingungen, muss auch vc geändert werden, um zur gleichen Standzeit T zu kommen. Werkstoff: Bei bestimmter Standzeit ändert sich vc für jeden Werkstoff in Abhängigkeit vom Spanungsquerschnitt unterschiedlich. Eine Verdoppelung des Spanungsquerschnitts setzt z.B. bei Cu Zn-Legierungen vc stärker herab als bei Gusseisen. Schnittgeschwindigkeitstabellen für verschiedene Werkstoffe ohne Angabe der zugehörigen Spanungsquerschnitte sind also nutzlos. Schneidstoff: Bei bestimmter Standzeit kann vc vergrößert werden, wenn der Schneidstoff eine höhere zulässige Schneidentemperatur besitzt. Stufung: Werkzeugstahl, Schnellstahl, Hartmetall, Diamant. Siehe E Werkstofftechnik. Spanungsquerschnitt A: Die Schnittgeschwindigkeit wird sowohl von der Größe als auch von der Form (Verhältniss f / ap) des Spanungsquerschnitts beeinflusst. Je größer der Spanungsquerschnitt A, um so kleiner muss vc werden, bei gleicher Standzeit T. Je kleiner f /ap, um so größer kann bei gleicher Standzeit T die Schnittgeschwindigkeit vc sein. Mit f /ap hängt der Einstellwinkel N r zusammen. Bei gleicher Standzeit T kann vc um so größer sein, je kleiner Nr ist. Trotzdem wird häufig mit N r = 90º gearbeitet, was zu hohem Schneidstoffverbrauch führt.

N 10 Tabelle 4. Richtwerte für die Schnittgeschwindigkeit vc beim Drehen. Die Richtwerte sind von der Firma Gebr. Boehringer in Göppingen aus Versuchswerten von Prof. Kienzle und allgemeinen Hinweisen aus dem Schrifttum abgeleitet worden. ZugfestigSchnittgeschwindigkeit vc in m / min bei Vorschub f in mm / U und Einstellwinkel Nr1) 2) keit Werkstoff

E 295 C 35 E 335 C 45 E 360 C 60

Rm in N/mm2

Schneidsoff 3) L

500 ... 600 W L 600 ... 700 W L 700 ... 850 W L

Mn-, Cr Ni-, Cr Mo- und andere legierte Stähle

700 ... 850 W L 850 ... 1000 W

EN-GJL-150

L

EN-GJL-250

W L

EN-GJL-600-15 W L

Leg. Gusseisen DIN EN 12513

W

Cu Sn - Leg. DIN EN 1982

L

Cu Sn Zn - Leg. DIN EN 1982

L

Cu Sn - Leg. DIN EN 12 163 1)

2)

Mg- Gussleg. DIN EN 1 753 1)

L 300 ... 420

L L

45° 224

0,063 70° 212

90° 200

212

200

190

180

170

160

180

170

160

45° 200 475

375 500 150

355

300 450 150

280

300 450 118

280

180 400 80

170

212

200 450

190

75 28 180

170

160 560 16

150

140

15

15

160

160 315

125

125 190

95

19

90

18

85

17

45° 180 45 400

425

315

132

90° 180

450 560 180

190 400

140

0,1 70° 190

85

17

170

140

140

112

75

170 35,5 335 140 28 265 140 25 265 100 20 150

26,5 315

125 300

280

280

112 265

250

425

400

375

400

375

355

500

475

450

475

450

425

250 125 1 600 850

236 118 1 500 800

224 112 1 400 750

224 100 1 400 800

212 95 1 320 750

200 85 1 250 710

250 53 355 75 450 112 200 75 1 250 750

0,16 70° 170 31,5 375 500 160 25 315 450 132 20 250 400 132 18 250 400 95 14 140 355 71 22,4 170 400

132 500 14 25 100 236 50 335 71 425 106 190 71 1 180 710

90° 160 28 355

45° 160 35,5 335

150 22,4 300

150 28 280

125 18 236

125 25 224

125 16 236

125 20 224

90 12,5 132

90 16 118

67 20 160

67 20 150

125

118

13,2

13,2

23,6

21,2

224 47,5 315 67 400 100 180 67 1 120 670

224 47,5 335 63 400 90 180 56 1 120 670

0,25 70° 150 25 315 450 140 20 265 400 118 18 212 355 118 14 212 355 85 11,2 112 315 63 16 140 355

112 450 123 20 90 212 45 315 60 375 85 170 53 1 060 630

90° 140 22,4 300

45° 140 28 280

132 18 250

132 25 236

112 16 200

106 20 190

112 12,5 200

106 16 190

80 10 106

71 12,5 95

60 14 132

60 14 125

106

100

11,8

11,8

19

17

200 42,5 300 56 355 80 160 50 1 000 600

200 423 300 50 355 67 160 42,5 1 000 630

0,4 70° 132 20 265 400 125 18 224 355 100 14 180 315 100 11,2 180 315 67 9 90 280 56 11,2 118 315

90° 125 18 250

45° 125 25 236

118 16 212

118 20 200

95 12,5 170

95 16 160

95 10 170

95 124 160

63 8 85

63 10 75

53 10 112

53 11 106

95 400 11,2

90

85

10,6

10,6

16 80 190 40 280 47,5 335 63 150 40 950 600

15

13,2

180 37,5 265 45 315 60 140 37,5 900 560

180 37,5 265 40 335 50 140 31,5 900 600

Die eingetragenen Werte gelten für Schnitttiefe ap bis 2,24 mm. Über 2,24 bis 7,1 mm sind die Werte um 1 Stufe der Reihe R10 um angenähert 20 % und über 7,1 bis 22,4 mm um 1 Stufe der Reihe R5 angenähert 40 % zu kürzen. Gusshaut oder bei Sandeinschlüssen um 30 ... 50 % verringert werden, 3) Die Standzeit T beträgt für gelötete Drehmeißel (L) aus HM = 240 mm; aus HSS = 60 min; für Wendeschneidplatten (W) aus HM und Keramik = 15 min.

0,63 70° 118 18 224 355 112 14 190 315 90 11,2 150 280 90 9 150 280 60 7,1 71 250 50 9 100 280

90° 112 16 212

45° 112 20 200

1 70° 106 14 190

90° 100 12,5 180

106 12,5 180

106 16 170

100 11,2 160

95 10 150

85 10 140

85 12,5 132

80 9 125

75 8 118

85 8 140

85 11 132

80 8 125

75 7 118

56 6,3 67

56 8 60

53 5,6 56

50 5 53

47,5 8 95

47,5 9 90

45 7,1 85

42,5 6,3 80

80 355 10

75

71

67

63

12,5 71 170 353 250 37,5 315 47,5 132 30 850 560

11,8

10,6

10

160 33,5 236 35,5 300 45 125 28 800 530

160 31,5 250 31,5 300 37,5 125 25 800 600

150 30 236 30 280 35,5 118 23,6 750 560

2)

9,5

9

8,5

8 9,5 140 28 224 28 265 33,5 112 22,4 710 530

Die Werte vc müssen beim Abdrehen einer Kruste,

N Zerspantechnik

Al- Gussleg. DIN EN 1 706

HM HSS HM Keramik HM HSS HM Keramik HM Keramik HM Keramik HM HSS HM Keramik HM HSS HM Keramik HM HSS HM Keramik HM HSS HM Keramik HM HSS HM Keramik HM HSS HM HSS HM HSS HM HSS HM HSS

1 Drehen und Grundbegriffe der Zerspantechnik

N 11

Nr = 90º ist nur dann zulässig, wenn bei kurzer Dreh-

länge anschließend ohne Umspannen plangedreht werden soll. In Richtwerttabellen werden die Schnittgeschwindigkeiten in Abhängigkeit vom Vorschub f aufgetragen, weil die Schnitttiefe im Allgemeinen die vc-Werte weniger beeinflusst. Maschinenleistung: Sie kann um so eher ausgenutzt werden, je niedriger vc und je größer A gewählt werden, weil der geringeren vc ein größerer A entspricht, der außerdem wegen der absinkenden spezifischen Schnittkraft kc noch weiter vergrößert werden kann. Kühlung und Schmierung erhöhen bei gleicher Standzeit T die nutzbare Schnittgeschwindigkeit unter Umständen erheblich. a) Schneidenkühlung mit Kühlmittel wie Soda- und Seifenwasser sowie Bohrölemulsionen (bis 1:10 verdünnt, Menge ca. 10 l/min) erhöhen die Standzeit (5 ... 10-fach) oder vc (um 40 %) durch Einhaltung bestimmter Schneidentemperaturen; besonders beim Schruppen mit Schnellstahl zweckmäßig. Bei Hartmetallen besteht Gefahr der Rissbildung infolge ungleichmäßiger Abkühlung der Schneidflächen. b) Schmierung und Kühlung mit Schneidölen (Rüböl, Sonderöle usw. verringern den Kraftbedarf und den Verschleiß an der Schneide, erhöhen die Oberflächengüte, schützen Werkstück und Maschine gegen Rosten, besonders zu empfehlen für harte und zähe Werkstoffe, für Schlichtarbeiten, für das Drehen mit Formstählen, für das Gewindeschneiden, für die Zahnflankenbearbeitung und für Arbeiten auf Automaten und Revolverdrehmaschinen. Beachte: Unterbrochene Schnitte haben auch Kühlwirkung. Öle begünstigen die Bildung der Aufbauschneide. Für Kupfer und Kupferlegierungen dürfen wegen der hierbei auftretenden Fleckenbildung keine mit Schwefel behandelten Öle verwendet werden. Bei Magnesiumlegierungen darf wegen der Brandgefahr kein Wasser verwendet werden.

1.5 Berechnung der Hauptnutzungszeit Die Hauptnutzungszeit ist reine Schnittzeit, Rücklaufzeiten werden als Nebenzeiten berücksichtigt. Hauptnutzungszeit th beim Langdrehen (Bild 10) th =

L i nf

L = ls + la + lw + lü

(12) (13)

Bild 10. Zur Berechnung der Hauptnutzungszeit beim Langdrehen

Hauptnutzungszeit th beim Plandrehen (Bild 11) th =

L i n f

(14)

L=

Da − Di d1 − d 2 = + la + ls + lü 2 2

(15)

d, d1 d2 vc n f L la lü ls i

Außendurchmesser Innendurchmesser Schnittgeschwindigkeit Drehzahl = 318  vc /Da Vorschub Vorschubweg Anlaufweg Überlaufweg Schneidenzugabe Anzahl der Schnitte

mm mm m/min min–1 mm/U mm mm mm mm mm

Bild 11. Zur Hauptnutzungszeitberechnung beim Plandrehen ■ Beispiel: Eine Welle aus E 360 mit lw = 350 mm, d = 90 mm soll mit Einstellwinkel N r = 60º, Vorschub f = 0,63 mm/U, Schnitttiefe ap = 5 mm mit Schneidstoff HM (L) nach Tabelle 4 in einem Schnitt langgedreht werden. Der Wirkungsgrad beträgt  = 0,8. Gesucht: Schnittgeschwindigkeit vc 240, einzustellende Drehzahl n, spezifische Schnittkraft kc , Schnittkraft Fc , erforderliche Antriebsleistung Pm , Hauptnutzungszeit th. Lösung: Schnittgeschwindigkeit vc 240 ,  = 70º nach Tabelle vc 240 = 90 m/min Einzustellende Drehzahl vc 240 90 m n= = = 318 min−1 πd min ⋅0,09 m⋅ π

eingestellt ne = 315 min–1 nach Maschinenkarte. Spezifische Schnittkraft kc = 2 670 N/mm2 nach Tabelle 1 Schnittkraft Fc = kc ap f = 2 670 N/mm2  5 mm  0,63 mm Fc = 8 410,5 N

N 12

N Zerspantechnik

Erforderliche Antriebsleistung Pm =

Pm = =

kc ap f d π ne

η⋅60 000⋅1 000

Herleitung der Gleichung: Mit ta = Zeit für einen Arbeitshub in min, tr = Zeit für einen Rückhub in min, tL = Zeit für einen Doppelhub in min, L = Hublänge in mm wird:

kc ap f vc

η 60 000

=

2 670⋅5⋅0,63⋅90⋅ π ⋅315 kW 0,8⋅60 000⋅1 000

ta =

L L 2L ; tr = ; tL = ; tL = ta + tr vma vmr vm

tL =

L L 2L + = und daraus: vma vm r vm

Pm = 15,606 kW Hauptnutzungszeit  3+ 4 + 350 + 3  l +l +l +l L th = i = s a w ü i = ⋅1mm ne s nf  315⋅0,63 

vm = 2

th = 1,81 min ■ Beispiel: Ein Flansch von 850 mm Außen- und 200 mm Innendurchmesser soll mit einer Drehzahl n = 15 min–1 und mit einem Vorschub f = 0,25 mm/U plangedreht werden. Die Schnitttiefe beträgt ap = 3 mm, der Einstellwinkel N r = 45º. Zu bestimmen ist die Hauptnutzungszeit th für la = 5 mm und lü = 3 mm.

tL

 336  L i = ⋅1min = 89,6 min nf 15⋅0, 25 

Im Gegensatz zum Drehen ist die Schnittbewegung bei Maschinen mit hin- und hergehender Bewegung nicht gleichförmig (Hobel-, Stoß- und Räummaschinen). Die mittlere Rücklaufgeschwindigkeit vmr ist meist größer als die mittlere Geschwindigkeit beim Arbeitshub vma , z.B. beim Antrieb durch die schwingende Kurbelschleife (vm: vma etwa 1,4 ... 1,8). Außerdem sind die Geschwindigkeiten in Hubmitte größer als gegen Ende des Hubes. Beschleunigung und Verzögerung durch Umsteuern und An- und Auslauf sind besonders bei kleinen Hublängen zu berücksichtigen. Es wird mit der mittleren Geschwindigkeit vm gerechnet: v v vm = 2 ma mr (1) vma + vmr Mit n = Anzahl der Doppelhübe je min (DH/min) und L = Hublänge in mm ergeben sich außerdem die zugeschnittenen Größengleichungen:

1) 2)

0,243 min

2L 2⋅2 200 m m = = 18,1 tL 1 000 0, 243⋅1 000 min min

■ Beispiel: Bestimme die mittlere Geschwindigkeit vm , wenn mit der Stoppuhr die Anzahl der Doppelhübe in einer Minute aufgenommen wurde: n = 4,1 min–1, L = 2 200 mm.

2.1 Bewegungen 1)

n=

14,6 min 60

vm =

2 Hobeln und Stoßen

Lösung: 2 L n 2⋅ 2 200⋅ 4,1 m m vm = = = 18 1 000 1 000 min min

2.2 Zerspangeometrie2) Die Spanabnahme ist beim Drehen, Hobeln und Stoßen gleichartig, es gelten daher die im entsprechenden Kapitel für Drehen gemachten Angaben. Zweckmäßige Winkelwerte: Freiwinkel D 0 = 8º; Spanwinkel 0 meist 20º, Neigungswinkel 0 = 10º. Vorschübe beim Schruppen bis 3 mm/DH (bei SSStahl höher), beim Breitschlichten bis 10 mm/DH.

2.3 Kräfte und Leistungen2) Es gelten die entsprechenden Angaben unter 1 Drehen.

2.4 Wahl der Schnittgeschwindigkeit

2 Ln 1 000

vm

vm 1 000 2L

m min

vm =

■ Beispiel: Bestimme die mittlere Geschwindigkeit vm einer Langhobelmaschine, wenn für einen Doppelhub eine Zeit von 14,6 s mit der Stoppuhr gemessen wurde (Zeit für einen Arbeitshub, einen Rücklauf und zwei Umsteuerungen). Hublänge L = 2 200 mm. Lösung:

d1 − d 2 + la + ls + lü 2  850 − 200  L = + 5+ 3+ 3mm = 336 mm   2 L=

th =

vma vm r vma + vm r

L

n

(2) mm min–1

Es gelten die entsprechenden Angaben unter 1 Drehen. Mit den üblichen Bauarten der Hobelmaschinen sind höhere Werte als vc = 60 ... 80 m/min nicht erreichbar; bei Waagerecht- und Senkrechtstoßmaschinen etwa vc = 25 ... 30 m/min.

Siehe Fußnote S. N 1. Siehe allgemeine Hinweise über Bewegungen, Geschwindigkeiten, Schnitt- und Spanungsgrößen, Kräfte und Leistungen beim Drehen.

4 Fräsen

N 17

d) Zähnezahl ze je Räumlänge l:

l 100 mm = =4 ze = t 20,8 mm e) Spanungsquerschnitt

A = b h ze = 12 mm  0,12 mm  4 = = 5,76 mm2

vc = d n vf = n f = n fz z

f) Schnittkraft

vc

d

n

m min

m

min–1

(2)

vf

f

fz

z

mm min

mm U

mm Zahn

1

(3)

Fc = A kc = 5,76 mm2  2300 N/mm2 = = 13,2  103 N g) Durchzugskraft

Fmax = 1,3 Fc = 1,3  13,2  103 N = = 17,2  103 N h) Mittlere Geschwindigkeit des Räumwerkzeugs

vm = 2

va vr 3⋅4 m / min = 3, 43 m / min = 2⋅ va + vr 3+ 4

i) Hauptnutzungszeit

th =

2L 2⋅1 000 min = 0,59 min = vm 1 000 3, 43⋅1 000

4 Fräsen

Bild 1. Walzen mit Walzenfräser, dargestellt in der Arbeitsebene

4.1 Bewegungen1)

M1 M 2

ergibt Zahnvorschub fz

hm

Mittenspanungsdicke beim halben Vorschubrichtungswinkel / 2 Schnitttiefe Schnittvorschub

Es gelten die unter 1 Drehen dargelegten Grundbegriffe der Zerspantechnik in Verbindung mit den Bildern 1, 2 und 6. Beim Fräsen führt die umlaufende Bewegung des Werkzeugs (des Fräsers) zur Schnittbewegung mit der Schnittgeschwindigkeit vc und die geradlinige (fortschreitende) Bewegung des Werkstücks (des Tisches) zur Vorschubbewegung mit der Vorschubgeschwindigkeit vf. Die resultierende Bewegung ist wieder die Wirkbewegung mit der Wirkgeschwindigkeit ve (Bild 6); sie führt zur Spanabnahme und ist die momentane Geschwindigkeit des betrachteten Schneidenpunkts in Wirkrichtung. Im Gegensatz zum Drehen mit = 90º ändert sich beim Fräsen der Vorschubrichtungswinkel während des Schneidvorgangs des einzelnen Zahnes laufend (Bilder 1 und 2). Beim Gegenlauffräsen ist < 90º, beim Gleichlauffräsen dagegen ist > 90º, wie Bild 6 deutlich zeigt. Der Wirkrichtungswinkel  ist wieder der Winkel zwischen Wirk- und Schnittrichtung. Im allgemeinen Fall ( < > 90º), wie beim Fräsen ist sin ϕ (1) η = arctan vc + cos ϕ vf Beim Drehen ist = 90º und damit  = arctan vf / vc (siehe Drehen). Auch beim Fräsen ist in den meisten Fällen das Verhältnis vf / vc so klein, dass mit ve = vc gerechnet werden kann. Mit Fräserdurchmesser d, Fräserdrehzahl n und Vorschub f je Fräserumdrehung, Zahnvorschub fz und Zähnezahl z werden Schnitt- und Vorschubgeschwindigkeit errechnet: 1)

Siehe Fußnote S. N 1.

ae fc

Bild 2. Stirnen mit Walzenstirnfräser bei symmetrischer Einstellung des Werkzeugs

ap Schnitttiefe ae Schnittbreite Vorschubrichtungswinkel vc Schnittgeschwindigkeit vf Vorschubgeschwindigkeit

N 18

N Zerspantechnik

4.2 Zerspangeometrie1) Es gelten grundsätzlich die beim Drehen angegebenen Begriffsbestimmungen. Wichtigste Bezugsebene ist auch hier die Arbeitsebene, in der sich alle an der Spanbildung beteiligten Bewegungen vollziehen. Sowohl beim Walzen (mit Walzen-, Scheiben-, Schaft- und Formfräsern) als auch beim Stirnen (mit Walzstirnfräsern und Messerköpfen) wird die Zerspanarbeit durch die Umfangszähne aufgebracht, die Stirnzähne reiben und glätten nur. Walzenfräsen mit scheibenartigen Hartmetall bestückten Messerköpfen wird deshalb auch als Umfangsfräsen bezeichnet. Beim Walzen (Bild 1) entsteht ein kommaförmiger Span mit ungleichförmiger Querschnittsbelastung der Schneide. Der Schnittwiderstand wächst im Gegensatz zum Drehen von null bis auf einen Höchstwert und fällt dann plötzlich wieder auf null ab, entsprechend dem laufend veränderten Vorschubrichtungswinkel (beim Drehen ist = 90º = konstant). Die Schnittkraftschwankungen werden vermindert durch schräge Zähne, wenn zugleich mehrere Zähne im Eingriff stehen und Zähnezahl z, Fräserdurchmesser d und Neigungswinkel s im bestimmten Verhältnis zur Schnittbreite ap stehen. Der Neigungswinkel lässt sich bestimmen aus: cot λs =

ap z dπ

λs = arc cot

ap z dπ

(4)

Allgemein gilt: Für harte Werkstoffe und Schlichten kleinerer Schneidenwinkel und feinere Zahnteilung, für Maschinenbaustähle bis 700 N/mm2 Zugfestigkeit größere Schneidenwinkel und größere Zahnteilung, für Leichtmetalle große Schneidenwinkel und große Zahnteilung. Beim Gegenlauffräsen reibt der Zahn vor dem Eindringen in den Werkstoff, wodurch er leichter abstumpft. Die während des Reibweges entstehende erhebliche Wärmemenge muss durch reichliches Kühlen abgeführt werden. Beim Gleichlauffräsen dringt der Zahn sofort in das volle Material ein. Moderne Walzfräsmaschinen arbeiten im Gleichlauf, besonders Verzahnungsmaschinen. Über die Kräfte beim Gegen- und Gleichlauffräsen orientiert Bild 6. Der Vorschubrichtungswinkel beim Walzfräsen (Bild 1) lässt sich bestimmen aus: d − ae 2a = 1− e cos ϕ = 2 d d 2

oder mit Hilfe der geometrischen Beziehung 1)

Siehe Fußnote S. N 1.

(5)

sin

ϕ 2

=

ae (d − ae ) ae (d − ae ) + (d − ae )2

und nach einigen Umformungen aus sin

ϕ 2

=

ae d

(6)

Für  60º ergibt sich der Vorschubrichtungswinkel in Grad auch aus

ϕ º=

360º π

ae d

(7)

Beim Stirnen (Bild 2) ist der Spanungsquerschnitt wie beim Drehen ein Rechteck oder Parallelogramm. Auch der Schlankheitsgrad des abgenommenen Spanes ist ähnlich, sodass wesentliche Erkenntnise vom Drehen übernommen werden können. Allerdings ändert sich beim Stirnfräsen wie beim Walzfräsen der Schnittvorschub fc fortlaufend; beim Stirnfräsen jedoch geringfügiger als beim Walzfräsen. Daher ist beim Stirnen die Querschnittsbelastung der Schneide gleichmäßiger als beim Walzen. Infolge des größeren Vorschubrichtungswinkels sind beim Stirnfräsen mehr Zähne im Eingriff. Die spezifische Spanungsleistung ist größer als beim Walzfräsen; Stirnen ist daher wirtschaftlicher. Die Entscheidung zwischen Gegen- und Gleichlauffräsen ist beim Stirnfräsen nicht nötig, weil nach Bildt 2 im gleichen Schnitt sowohl gegen- als auch gleichläufiges Fräsen auftritt, jedenfalls solange die Fräserachse zwischen Eintritts- und Austrittsebene (A – B) liegt. Der Vorschubrichtungswinkel beim symmetrischen Stirnfräsen lässt sich bestimmen aus:

sin

ae a = 2 = e d 2 d 2

ϕ

ϕ 2

= arcsin

ae d

(8)

4.2.1 Schnitt- und Spanungsgrößen

Zu den beim Drehen gemachten Angaben kommen noch folgende Begriffsbestimmungen hinzu: Zahnvorschub fz ist der Vorschubweg zwischen zwei unmittelbar nacheinander entstehenden Schnittflächen, also der Vorschub je Zahn oder je Schneide (Bild 1).

4 Fräsen

N 19

Mit z Anzahl der Zähne des Fräsers und f Vorschubweg je Fräserumdrehung ist der Zahnvorschub

fz =

fz

f z

mm Zahn

f mm U

z 1

(9)

Der Schnittvorschub fc ist der Abstand zweier unmittelbar nacheinander entstehenden Schnittflächen, gemessen in der Arbeitsebene und rechtwinklig zur Schnittrichtung (Bilder 1 und 2). Annähernd wird mit Zahnvorschub fz und Vorschubrichtungswinkel  der Schnittvorschub fc = fz  sin 

(10)

Beim Drehen und Hobeln ist  = 90º und damit auch fc = fz und mit Gl. (9) mit z = 1 auch fc = fz = f. Schnitttiefe ap bzw. Schnittbreite ae ist die Tiefe bzw. Breite des Eingriffs der Hauptschneide rechtwinklig zur Arbeitsebene gemessen (Bilder 1 und 2). Arbeitsebene ist die gedachte Ebene, die Schnitt- und Vorschubbewegung des betrachteten Schneidenpunktes enthält (Bilder 1 und 6). Beim Walzenfräsen entspricht ap der Breite des Eingriffs (Schnittbreite) nach Bild 2. Beim Stirnfräsen entspricht ap der Tiefe des Eingriffs (Schnitttiefe) nach Bild 2. Schnittbreite ae ist die Größe des Eingriffs der Schneide (des Zahnes) je Umdrehung, gemessen in der Arbeitsebene und rechtwinklig zur Vorschubrichtung (Bilder 1 und 2). Spanungsquerschnitt A ist der Querschnitt des abzunehmenden Spanes rechtwinklig zur Schnittrichtung. In den meisten Fällen gilt

(11)

ae sin κ w d

ae sin κ w d

(13)

fz

vf

n

z

w

mm

mm Zahn

mm min

min–1

1

º

Darin ist beim Walzfräsen w = 90º – s , mit s = Neigungswinkel. Die Mittenspanungsdicke lässt sich mit Gl. (10) als Schnittvorschub fc berechnen, wenn für  der maximale Vorschubrichtungswinkel eingesetzt wird (Bild 1): hm = fc sin w = fz sin

ϕ 2

sin w

(14)

■ Beispiel: Walzfräsen im Gleichlauf mit Fräserdurchmesser d = 110 mm ergibt nach Tabelle 3 die Zähnezahl 8. Für eine Schnittbreite ap = 60 mm ergibt sich aus

cot λs =

ap z dπ

=

60 mm⋅8 = 1, 4 110 mm⋅ π

ein Neigungswinkel s ≈ 35º Tabelle 2 gibt für Stahl den Zahnvorschub fz = 0,1 ... 0,25 mm an; gewählt für Schnitttiefe ae = 4 mm wird Zahnvorschub fz = 0,2 mm/Zahn.

Lösung: Mittenspanungsdicke

hm = f z

ae 4 mm sin κ w = 0, 2 mm sin 55º = 0,0312 mm d 110 mm

Vorschubrichtungswinkel 360º ae 360º 4 mm = ≈ 22º π π 110 mm d

aus cos  = 1 –

2 ae = 0,927 d

 = 22º

Beachte: Der Spanungsquerschnitt A ergibt sich immer als Produkt aus der Schnitttiefe bzw. Schnittbreite ap und dem Schnittvorschub fc. Da fc in der Arbeitsebene (bzw. parallel zu ihr) gemessen wird, muss die Schnitttiefe rechtwinklig zur Arbeitsebene gemessen werden. Die Schnittbreite darf nicht mit der Schnitttiefe verwechselt werden; sie steht rechtwinklig zur Schnitttiefe und rechtwinklig zur Vorschubrichtung (siehe Bild 2). Wichtige Bezugsgröße für die mittlere spezifische Schnittkraft kc ist die so genannte Mittenspanungsdicke hm (Bild 1). Für Walz- und Stirnfräsen gilt bei ae / d ≤ 0,3 hm = f z

vf nz

hm , ae , d

ϕ=

A = ap  fc = b h b Spanungsbreite h Spanungsdicke.

hm =

(12)

Vorschubweg je Fräserumdrehung f = fz  z = 0,2 mm  8 = 1,6 mm/U Spanungsquerschnitt bei

ϕ

: 2 A = ap  fc = ap  hm = 60 mm  0,031 mm = 1,86 mm2

4.2.2 Flächen und Winkel am Fräserzahn Es gelten die unter 1.2.2 dargelegten Begriffe. Beim Stirnfräsen lassen sich die Begriffe vom Drehmeißel leicht auf die Schneide des Zahnes übertragen. Grundsätzlich wird nach Bild 3 unterschieden zwischen Fräsern mit geschliffener oder gefräster Freifläche und Fräsern mit hinterdrehter Freifläche (Formfräser). Letztere haben vielfach Spanwinkel von 0º, der beim Scharfschleifen eingehalten werden muss, weil sonst Profilverzerrung auftritt.

N 20

N Zerspantechnik

Bild 3. Fräser mit geschliffener und hinterdrehter Freifläche Steigungshöhe h beim Formfräser ist die Höhe der Hinterdrehkurve, die wegen konstantem Steigungswinkel eine logarithmische Spirale ist. Nach Bild 3 ergibt sich aus dem Dreieck ABC: tan 0 = h z/d  und daraus π d tan α0 h= z

h (16) dπ Wegen der Neigung der Zähne ist zwischen den Schneidwinkeln im Normalschnitt (Index n) und im Stirnschnitt (Index s) zu unterscheiden (Bild 5). Für Spanwinkel  und Freiwinkel  gilt: tan n = tan s cos s tan κ w =

tan αn =

tan αs cos λs

(17)

Bei Fräsern mit geraden Zähnen ist s = 0º. 4.2.3 Wahl der Werkzeugwinkel

Bild 4. Neigungswinkel s und Steigungswinkel w beim schrägverzahnten Fräser

Bild 5. Freiwinkel  und Spanwinkel  (Werkzeugwinkel) im Normal- und Stirnschnitt Beim schrägverzahnten Walzenfräser sind die Zähne um den Neigungswinkel s gegenüber der Fräserachse geneigt. Steigungswinkel w = 90º – s. Das Abwicklungsdreieck Bild 4 zeigt h cot λs = (15) dπ 1)

Siehe Fußnote S. N 1.

Freiwinkel 0 und Spanwinkel 0 hängen vom zu bearbeitendem Werkstoff und Fräserart ab. Wirtschaftlich ist bei SS-Werkzeugen die Beschränkung auf Freiwinkel 0 = 5º ... 8º und Spanwinkel 0 = 10º... 15º. Beim Gleichlauffräsen etwa doppelt so große Werte. Formfräser werden normal mit Spanwinkel 0 = 0º ausgeführt. Zerspanungstechnisch besser ist ein kleiner positiver Spanwinkel 0 = 2º ... 5º bei entsprechend korrigiertem Profil. Spanwinkel 0 0º müssen auf dem Fräser vermerkt und beim Scharfschleifen eingehalten werden, um Profilverzerrungen zu vermeiden. Formfräser können so oft an der Spanfläche nachgeschliffen werden (Bild 3), solange sie festigkeitsmäßig den Schnittwiderstand aufnehmen. Neigungswinkel s = 20º ... 40º, je nach Werkstoff. Für Messerköpfe mit Hartmetallschneiden 0 = 3º ... 8º, 0 = 6º ... 15º, Schneidenneigungswinkel s = 7º für leicht und 12º für schwer bearbeitbare Stähle. Richtwerte für Zahnvorschub fz siehe Tabelle 2, für Zähnezahl z siehe Tabelle 3. Je kleiner die Fräserzähnezahl, umso kleiner ist der Kraftaufwand, umso größer ist der Zahnvorschub fz und umso niedriger ist die spezifische Schnittkraft.

4.3 Kräfte und Leistungen1) Bild 6 zeigt die in der Arbeitsebene liegenden Geschwindigkeiten und Kräfte am einzelnen Fräserzahn beim Gegenlauf- und Gleichlauffräsen mit Walzenfräser. Die Kräfte sind in Bezug auf das Werkzeug eingetragen. Ein Vergleich mit Bild 1 aus Kap. 1 zeigt den Unterschied zwischen Drehen und Fräsen.

4 Fräsen Beim Drehen ist der Vorschubrichtungswinkel  = 90º = konstant und damit die Stützkraft Fst identisch mit der der Schnittkraft Fc. Beim Fräsen dagegen ist  < 90º beim Gegenlauffräsen,  > 90º beim Gleichlauffräsen. Bei einem Zahneingriff ändert sich  laufend während des Schneidens.

N 21 Die Resultierende von Stütz- und Vorschubkraft ist die Aktivkraft Fa. Sie ist zugleich die Projektion der Zerspankraft F auf die Arbeitsebene. Die Wirkkraft Fe ist die Projektion der Zerspankraft F auf die Wirkrichtung, d.h. auf die in der Arbeitsebene liegende Wirklinie der Wirkgeschwindigkeit ve , Fc und Fe sind zugleich Komponenten der Aktivkraft Fa (Bild 6). Die Stützkraft Fst versucht beim Gegenlauffräsen das Werkstück von seiner Unterlage abzuheben („Ansaugen“ des Fräsers), beim Gegenlauffräsen dagegen presst die Stützkraft Fst das Werkstück auf den Tisch und den Tisch auf seine Führung. Der Fräser versucht dabei auf das Werkstück zu „klettern“. Vorsicht bei dünnwandigen oder schlecht zu spannenden Werkstücken. Die Vorschubkraft Ff wirkt beim Gegenlauffräsen der Vorschubrichtung entgegen, beim Gleichlauffräsen dagegen in Vorschubrichtung. Die Wirkleistung Pe ist damit auch beim Gegenlauffräsen gleich der Summe aus Schnittleistung Pc und Vorschubleistung Pf , beim Gleichlauffräsen dagegen ist die Wirkleistung Pe die Differenz der beiden Leistungen (Bild 6). Das ergibt beim Gleichlauffräsen eine Ersparnis bis zu 15 % von der Gesamtleistung. Der gleiche Richtungssinn von Vorschubkraft und Vorschubgeschwindigkeit beim Gleichlauffräsen macht spielfreie Anordnung der Tischvorschubspindel und wegen Keilwirkung („Klettern“ des Fräsers) sicheres Festspannen von Werkstück und Spannvorrichtung erforderlich. Zur Bestimmung der Kräfte werden Vorschubkraft Ff und Stützkraft Fst mit Messgeräten bestimmt. Sie können zur resultierenden Aktivkraft Fa zusammengesetzt werden: Ff2  Fst2

Fa

(18)

Obwohl der Betrag der Komponenten gemessen werden kann, ist der Angriffspunkt der Schnittkraft noch nicht bekannt. Dazu wird das Drehmoment M gemessen. Daraus ergibt sich mit dem Fräserdurchmesser d die mittlere Schnittkraft Fc (= Umfangskraft) zu 2M d

Fc

Bild 6. Kräfte, Leistungsflächen und Geschwindigkeiten in der Arbeitsebene beim Walzenfräsen im Gegen- und Gleichlauf; Kräfte in Bezug auf den Fräser; Größenverhältnisse willkürlich angenommen; Pe Wirkleistung, Pc Schnittleistung, Pf Vorschubleistung Es erscheint die Stützkraft Fst als Projektion der (meist räumlich liegenden) Zerspankraft F (siehe Bild 1 aus Kap. 1) auf eine in der Arbeitsebene liegende Senkrechte zur Vorschubrichtung und die Schnittkraft Fc als Projektion von F auf die Schnittrichtung.

Fc N

M

M Nmm

Fc

d 2

(19)

d mm

Aus der Schnittleistung Pc und der Schnittgeschwindigkeit vc lässt sich Fc ebenfalls berechnen: 60 000

Fc

Pc vc

(20)

Fc

Pc

vc

N

kW

m min

Damit lässt sich auch die auf den Fräsermittelpunkt M wirkende Radialkraft Fr berechnen (in Bild 6 nicht eingetragen):

N 22

N Zerspantechnik

Fr  Fa2  Fc2

(21)

Bei Fräsern mit Neigung der Schneiden ergibt sich die Zerspankraft F aus den drei Komponenten in Richtung des räumlichen Achsenkreuzes F = Fst2 + Ff + Fp2

(22)

Die Passivkraft Fp (siehe Bild 1) ist nach Bild 7 aus der Schnittkraft Fc und dem Neigungwinkel s bestimmt: Fp = Fc tan 

(23)

Bild 7. Passivkraft Fp (Axialkraft) und Neigungswinkel s , beim Fräser mit schrägen Zähnen

Die mittlere Schnittleistung Pc an der Frässpindel ist abhängig von der spezifischen Schnittkraft kc , von Schnittbreite ae und Schnitttiefe ap sowie von der Vorschubgeschwindigkeit vf : Pc =

kc ap ae vf

(24)

6⋅107

Pc

kc

kW

N mm 2

ap , ae

vf

mm

mm min

Die Antriebsleistung Pm ist um den Wirkungsgrad K größer als Pc ˜ K = 0,6 ... 0,9 ; Pm = Pc /K. Die spezifische Schnittkraft kc ist abhängig vom zu fräsenden Werkstoff, von der Zerspangeometrie und von der Mittenspanungsdicke hm. Die spezifische Schnittkraft kc kann mit Gleichung (11) in Kapitel 1 Drehen bestimmt werden, ebenso ein Mittelwert der Schnittkraft Fc nach Gleichung 8 in Kap. 1. Für den Spanungsquerschnitt A ist dann Gleichung (11) aus diesem Kapitel zu verwenden. Es ist hm = fz ae / d d.h. je größer d, um so kleiner hm , damit ist aber auch kc größer, also ungünstiger. Eine vereinfachte Berechnung der Schnittleistung Pc ist möglich mit Richtwerten für das spezifische (zulässige) Spanungsvolumen Vspez in cm3/ kW min. Vspez ist dasjenige Spanungsvolumen in cm3, das mit 1 kW Leistung in einer Minute erzielt werden kann: Vspez =

ap ae vf

1000⋅ Pc

(25)

Vspez

ap , ae

vf

Pc

cm3 kW min

mm

mm min

kW

Darin ist das Spanungsvolumen V je Minute: Vspez =

ap ae vf

(26)

1000

und damit die Schnittleistung Pc =

V Vspez

(27)

Pc

V

Vspez

kW

cm3 min

cm3 kW min

Richtwerte für das spezifische Spanungsvolumen Vspez siehe Tabelle 4.

4.4 Wahl der Schnittgeschwindigkeit und Grundregeln für Fräsen Richtwerte siehe Tabelle 1 mit Bemerkungen. Durch zu hohe Schnittgeschwindigkeit vc werden die Schneiden übermäßig erwärmt und die Standzeit vermindert. Grundregeln: Schnittgeschwindigkeit vc beim Schruppen klein, beim Schlichten größer (siehe Tabelle 1); Vorschubgeschwindigkeit vf beim Schruppen stabiler Werkstücke durch Maschinenleistung und zulässige Schnittkräfte, beim Schlichten durch Oberflächengüte begrenzt, siehe Tabelle 2; Walzen möglichst vermeiden, Stirnen ist wirtschaftlicher, dem Drehen ähnlich; auf guten Rundlauf der Fräser achten; Fräser dicht am Spindelkopf oder am Fräsdornstützlager befestigen; mit Kühlflüssigkeit „schwemmen“; möglichst kleiner Fräserdurchmesser und großer Fräsdorndurchmesser; Schneidenwinkel richtig wählen; Fräser oft schärfen.

■ Beispiel: Es soll Werkstoff E 335 mit Walzenfräser von 110 mm Durchmesser, z = 8 Zähne (Tabelle 3) gefräst werden. Gewählt:

vc = 16

m (Tabelle 1) min

mm (Tabelle 2) Zahn Schnitttiefe ae = 3 mm, Schnittbreite ap = 120 mm. f z = 0, 25

4 Fräsen

N 23 Für Gewindefräsen: Langgewinde 1,3  Wert für hinterdrehte Formfräser, Kurzgewinde 1,5  Wert für hinterdrehte Formfräser. Für Gleichlauffräser Werte  1,75.

Lösung:

Fräserdrehzahl v 16 m n= c = = 46,3 min−1 π d min ⋅ π ⋅0,11 m eingestellt

n = 45 min–1

Tabelle 2. Richtwerte für Zahnvorschub fz in mm / Zahn für Schnellarbeitsstahl und Hartmetall beim Gegenlauffräsen

Vorschub je Fräserumdrehung f = fz z = 0,25 ˜ 8 mm = 2 mm

Vorschubgeschwindigkeit mm mm vf = f n= 2⋅ 45 = 90 min min eingestellt

vf = 90

Werkzeug

mm min

ae 3 = 0, 25⋅ mm d 110

hm = 0,0412 mm 0,040 mm

Spanungsvolumen ap ae vf 3⋅120⋅90 cm3 cm3 V= = = 32, 4 1 000 1 000 min min

Die Werte gelten für Frästiefen: 3 mm bei Walzenfräsern, 5 mm bei Walzenstirnfräsern, bis 8 mm bei Messerköpfen, bei Kreissägen für 3 mm Blattbreite bei 10 mm Schnitttiefe, Werte für Messerköpfe mit HM bei Stahl und Gusseisen verdoppeln, wenn die Maschinenleistung hoch genug ist.

Spezifisches Spanungsvolumen Vspez =14

cm3 (Tabelle 4) kW min

Schnittleistung V 32, 4 Pc = = kW = 2,31 kW Vspez 14

Tabelle 3. Richtwerte für Zähnezahlen an Schnellstahlfräsern

Antriebsleistung P 2,31 Pm = c = kW = 2,9 kW η 0,8

Tabelle 1. Richtwerte für Schnittgeschwindigkeiten vc in m/min mit Schnellarbeitsstahl und Hartmetall beim Gegenlauffräsen Stahl

Walzen- und Walzenstirnfräser 10 ... 25 hinterdrehte Formfräser 15 ... 24 Kreissägen 35 ... 40 Messerkopf mit SS 15 ... 30 Messerkopf 100 ... 200 mit HM

Fräserdurchmesser d in mm 10 40 50 60 75 90 110 130 150 200 300 Walzenfräser 6 6 6 6 8 8 10 10 Walzenstirnfräser 8 8 8 10 12 12 14 16 Scheibenfräser 8 8 10 12 12 14 16 18 hinterdreht 8 10 10 10 12 14 16 18 Formfräser Schaftfräser 4 6 Messerköpfe 8 10 10 12 16 Werkzeug

Mittlere Schnittkraft P 2,31 Fc = 6⋅104 c = 6⋅104 ⋅ N = 8680 N η 16

Werkzeug

Werkstoffe Al-Leg. Mg-Leg. Gusseisen ausgehärtet

Walzen- und Walzenstirnfräser 0,1 ... 0,25 0,1 ... 0,25 0,05 ... 0,08 0,1 ... 0,15 hinterdrehte Formfräser 0,03 ... 0,04 0,02 ... 0,04 0,02 0,03 Messerkopf mit SS 0,3 0,1 ... 0,3 0,1 0,1 Messerkopf 0,1 0,15 ... 0,2 0,06 0,06 mit HM

Mittenspanungsdicke hm = f z

Stahl

Werkstoffe Al-Leg. Gusseisen ausgehärtet

Mg-Leg.

10 ... 22

150 ... 350 300 ... 500

10 ... 20 20 ... 30

150 ... 250 300 ... 400 200 ... 400 300 ... 500

12 ... 25 30 ... 100

200 .. 300 400 ... 500 300 ... 400 800 ... 1 000

Niedere Werte für Schruppen; für Stirnfräser etwas höhere Werte als für Walzenfräser zulässig; Frästiefe 3 mm bzw. 5 mm bei Walzen- bzw. Stirnfräser, bei Messerkopf bis 8 mm. Höhere Werte für Schlichten.

Zähnezahlen gelten für normale Werkstoffe. Bei zähen und harten Werkstoffen obige Werte etwa  1,5; bei Leichtmetallen etwa  0,8

Tabelle 4. Richtwerte für spezifisches Spanungsvolumen Vspez Werkstoff E 295 E 335 E 360 Ni-Stahl

Vspez in

cm 3 kW min

14 ... 18 12 ... 16 10 ... 12 10 ... 12

Werkstoff EN-GJL-250 Sphäroguss Cu Zn-Leg Al-Knetleg.

Vspez in

cm 3 kW min

20 ... 30 20 ... 25 35 ... 50 45 ... 65

N 24

N Zerspantechnik

4.5 Berechnung der Hauptnutzungszeit th

i =

4.5.1 Walzfräsen und Stirnfräsen

th

=

L L i= i vf nf

(28)

vf = n f = fz z

i

=

h beim Walzen ae

i

=

h beim Stirnen ap

n

= 318

la

= ae (d − ae )

(29)

vc d

(

(30)

mm mm/min mm/min mm

ae π d1 (1, 2 ...1, 25) π d1 + ≈ vf 2 vf 1 vf 2

th

=

la

= ae (d − ae )

(35) (36)

für tangentialen Anschnitt 2

0,5 d − d 2 − ap

)

(31)

für Stirnen ae ap d h i la lü L n f fz vf vc z

Nutenlänge (Außenmaß) vf 1 Tiefenvorschubgeschwindigkeit vf 2 Längsvorschubgeschwindigkeit t Nutentiefe

4.5.3 Rundfräsen

für Walzen nach Bild 9 la

(33)

L=l–d (34) (33) und (34) für Schaftfräser, sonst wie beim Walzen l

f

t L ae

Schnitttiefe Schnittbreite Fräserdurchmesser Werkstoffzugabe Anzahl der Schnitte Fräseranschnittweg Fräserüberlaufweg Arbeitsweg = la + l + lü Fräserdrehzahl Vorschub Zahnvorschub Vorschubgeschwindigkeit Schnittgeschwindigkeit Zähnezahl des Fräsers

ae Schnitttiefe vf 1 Radialvorschubgeschwindigkeit vf 2 Rundvorschubgeschwindigkeit (= Umfangsgeschwindigkeit des Werkstücks)

mm mm mm mm mm mm mm mm min–1 mm/U mm/Zahn mm/min m/min

d1 la d

Werkstückdurchmesser Fräseranschnittweg Fräserdurchmesser

mm mm/min mm/min mm mm mm

4.5.4 Gewinde- und Schneckenfräsen 4.5.4.1 Langgewinde mit Scheibenfräser

th =

L g vf

(37)

L=

π d1l h

(38)

für kleine Steigung L=

l π 2 d12 + h2 π d1l = cos α h h

(39)

für große Steigung h d1π Gewindedurchmesser

tan = d1

4.5.2 Nutenfräsen

tn =

t L + i vf1 vf2

mm g Gangzahl des Gewindes h Steigung mm l Gewindelänge (Zeichnungsmaß) mm vf Umfangsvorschubgeschwindigkeit am Durchmesser d mm/min L Arbeitsweg (Länge der Schraubenlinie) mm

Steigungswinkel der Schraubenlinie

(genauer mit d2 = Flankendurchmesser)

Bild 8. Fräseranschnittweg la beim Walzenfräsen

(32)

(40)

4 Fräsen

N 25 4.5.6.2 Axialfräsen

4.5.4.2 Kurzgewinde mit Rillenfräser

th

L th = g vf

L = 3,7 d1

(41)

L Arbeitsweg = 7/6 mal Schraubganglänge bei Berücksichtigung des Anschnitts

mm

4.5.5. Zahnradfräsen 4.5.5.2 Wälzfräsverfahren (wie Bild 9) Lz Li = fng fn

(42)

la = h (d − h)

(43)

vc d d Fräserdurchmesser g Gangzahl des Fräsers h Zahnhöhe l Breite des Zahnrads la Fräseranschnittweg L Arbeitsweg des Wälzfräsers in Zahnrichtung m Modul des Zahnrads n Fräserdrehzahl f Vorschub je Zahnradumdrehung i = z/g = Übersetzungsverhältnis von Zahnradrohling / Frässchnecke vc Schnittgeschwindigkeit des Wälzfräsers z Zähnezahl des Zahnrads

aw z f a ng

Gangzahl des Wälzfräsers Axialvorschub je Radumdrehung Radialvorschub je Radumdrehung Radialzustellung Axialzustellung Fräseranschnittweg

(46) mm/U mm/U mm mm mm

■ Beispiel: Eine Fläche von 600 mm Länge und 180 mm Breite (Fräsbreite) soll mit Stirnmesserkopf von 200 mm Durchmesser in drei Schnitten gefräst werden. Werkstoff EN-GJL-250. SS-Werkzeug. Schnitttiefe ap = 5 mm. Gesucht: Hauptnutzungszeit th und erforderliche Schnittleistung Pc überschlägig.

4.5.5.1 Teilverfahren, wie Langfräsen

th =

g fa fr af aw la

=

(44)

n = 318

mm mm mm mm mm mm min–1 mm/U

m/min

Lösung: Schnittgeschwindigkeit m vc = 20 nach Tabelle 1 min

Zahnvorschub mm nach Tabelle 2 fz = 0, 2 Zahn Drehzahl des Messerkopfes v 20 = 31,8 min–1 n = 318 c = 318 ˜ d 200 Zähnezahl des Messerkopfes z = 12 nach Tabelle 3 Vorschub je Fräserumdrehung mm mm = 2,4 fz = fz z = 0,2 ˜ 12 U U Vorschubgeschwindigkeit mm mm vf = nf = 31,8⋅2, 4 = 76,3 min min Fräseranschnittweg

la = 0,5(d − d 2 − ae2 ) = = 0,5⋅(200 − 2002 −1802 )mm = 56,5 mm Arbeitsweg

L = la + l +lü = 56,5 mm + 600 mm + 3,5 mm = 660 mm Hauptnutzungszeit

th =

L 660 i= ⋅3 min = 26 min vf 76,3

Spezifisches Spanungsvolumen

Bild 9. Fräseranschnittweg la beim Abwälzfräsen

Vspez = 30

cm3 nach Tabelle 4 kWmin

Spanungsvolumen

4.5.6 Schneckenradfräsen (Wälzverfahren)

V=

4.5.6.1 Radialfräsen (Tauchfräsen)

5⋅180⋅76,3 cm3 cm3 = 68,7 1 000 min min

Schnittleistung

th

a z = f f r ng

(45)

Pc =

V 68,7 = kW = 2,28 kW Vspez 30

N 12

N Zerspantechnik

Erforderliche Antriebsleistung Pm =

Pm = =

kc ap f d π ne

η⋅60 000⋅1 000

Herleitung der Gleichung: Mit ta = Zeit für einen Arbeitshub in min, tr = Zeit für einen Rückhub in min, tL = Zeit für einen Doppelhub in min, L = Hublänge in mm wird:

kc ap f vc

η 60 000

=

2 670⋅5⋅0,63⋅90⋅ π ⋅315 kW 0,8⋅60 000⋅1 000

ta =

L L 2L ; tr = ; tL = ; tL = ta + tr vma vmr vm

tL =

L L 2L + = und daraus: vma vm r vm

Pm = 15,606 kW Hauptnutzungszeit  3+ 4 + 350 + 3  l +l +l +l L th = i = s a w ü i = ⋅1mm ne s nf  315⋅0,63 

vm = 2

th = 1,81 min ■ Beispiel: Ein Flansch von 850 mm Außen- und 200 mm Innendurchmesser soll mit einer Drehzahl n = 15 min–1 und mit einem Vorschub f = 0,25 mm/U plangedreht werden. Die Schnitttiefe beträgt ap = 3 mm, der Einstellwinkel N r = 45º. Zu bestimmen ist die Hauptnutzungszeit th für la = 5 mm und lü = 3 mm.

tL

 336  L i = ⋅1min = 89,6 min nf 15⋅0, 25 

Im Gegensatz zum Drehen ist die Schnittbewegung bei Maschinen mit hin- und hergehender Bewegung nicht gleichförmig (Hobel-, Stoß- und Räummaschinen). Die mittlere Rücklaufgeschwindigkeit vmr ist meist größer als die mittlere Geschwindigkeit beim Arbeitshub vma , z.B. beim Antrieb durch die schwingende Kurbelschleife (vm: vma etwa 1,4 ... 1,8). Außerdem sind die Geschwindigkeiten in Hubmitte größer als gegen Ende des Hubes. Beschleunigung und Verzögerung durch Umsteuern und An- und Auslauf sind besonders bei kleinen Hublängen zu berücksichtigen. Es wird mit der mittleren Geschwindigkeit vm gerechnet: v v vm = 2 ma mr (1) vma + vmr Mit n = Anzahl der Doppelhübe je min (DH/min) und L = Hublänge in mm ergeben sich außerdem die zugeschnittenen Größengleichungen:

1) 2)

0,243 min

2L 2⋅2 200 m m = = 18,1 tL 1 000 0, 243⋅1 000 min min

■ Beispiel: Bestimme die mittlere Geschwindigkeit vm , wenn mit der Stoppuhr die Anzahl der Doppelhübe in einer Minute aufgenommen wurde: n = 4,1 min–1, L = 2 200 mm.

2.1 Bewegungen 1)

n=

14,6 min 60

vm =

2 Hobeln und Stoßen

Lösung: 2 L n 2⋅ 2 200⋅ 4,1 m m vm = = = 18 1 000 1 000 min min

2.2 Zerspangeometrie2) Die Spanabnahme ist beim Drehen, Hobeln und Stoßen gleichartig, es gelten daher die im entsprechenden Kapitel für Drehen gemachten Angaben. Zweckmäßige Winkelwerte: Freiwinkel D 0 = 8º; Spanwinkel 0 meist 20º, Neigungswinkel 0 = 10º. Vorschübe beim Schruppen bis 3 mm/DH (bei SSStahl höher), beim Breitschlichten bis 10 mm/DH.

2.3 Kräfte und Leistungen2) Es gelten die entsprechenden Angaben unter 1 Drehen.

2.4 Wahl der Schnittgeschwindigkeit

2 Ln 1 000

vm

vm 1 000 2L

m min

vm =

■ Beispiel: Bestimme die mittlere Geschwindigkeit vm einer Langhobelmaschine, wenn für einen Doppelhub eine Zeit von 14,6 s mit der Stoppuhr gemessen wurde (Zeit für einen Arbeitshub, einen Rücklauf und zwei Umsteuerungen). Hublänge L = 2 200 mm. Lösung:

d1 − d 2 + la + ls + lü 2  850 − 200  L = + 5+ 3+ 3mm = 336 mm   2 L=

th =

vma vm r vma + vm r

L

n

(2) mm min–1

Es gelten die entsprechenden Angaben unter 1 Drehen. Mit den üblichen Bauarten der Hobelmaschinen sind höhere Werte als vc = 60 ... 80 m/min nicht erreichbar; bei Waagerecht- und Senkrechtstoßmaschinen etwa vc = 25 ... 30 m/min.

Siehe Fußnote S. N 1. Siehe allgemeine Hinweise über Bewegungen, Geschwindigkeiten, Schnitt- und Spanungsgrößen, Kräfte und Leistungen beim Drehen.

2 Hobeln und Stoßen

N 13

Tabelle 1. Richtwerte für die Schnittgeschwindigkeit vc beim Hobeln Die Richtwerte sind von der Firma Gebr. Boehringer in Göppingen aus Versuchswerten von Prof. Kienzle, und allgemeinen Hinweisen aus dem Schrifttum abgeleitet worden.

Werkstoff

Zugfestigkeit Rm in N/mm2

S 235 JR bis 500 C22 E 295 500 ... 600 C 35 E 335 600 ... 700 C 45 E 360 700 ... 850 C 60 42 Cr Mo 4 600 ... 700 50 Cr V 4 16 Cr Ni 6 34 Cr Mo 4 700 ... 850 16 Mn Cr 5 Mn-, Cr Ni-, 850 ... 1 000 Cr Mo- und andere 1 000 ... 1 400 leg. Stähle Nichtrost. Stahl

600 ... 700

Schneidstoff 2)

Schnittgeschwindigkeit vc in m / min bei Vorschub f in mm / d h und Einstellwinkel N r 1) 0,16 0,25 0,4 0,63 1 1,6 2,5 45º 60º 45º 60º 45º 60º 45º 60º 45º 60º 45º 60º 45º 60º

P 30 SS P 30 SS P 30 SS P 30 SS P 30 SS

P 30 SS P 30 SS P 30

P 30 P 30 GE 240 300 ... 500 SS P 30 GE 260 500 ... 700 SS K 20 53 50 EN-GJL-150 SS K 10 36 33 EN-GJL-250 SS K 10, K 20 40 EN-GJMB-350-10 P 10, S S P 20 50 47 EN-GJMW-450-7 SS Hartguss K 10 15 14 Cu Sn ZnK 20 335 315 Leg. SS Al- Gussleg. K 20 200 190 SS 47 45 Gu Sn- Leg. K 20 250 236 SS 53 50

12

75 22 63 18 53 14 42 12

70 18 60 14 50 12 40 10

67 18 56 16 47 12 36 10

63 14 53 12 45 10 33 8

63 14 50 12 42 10 30 8

60 11 47 10 40 8 28 6

56 12 45 10 37 8 25 6

53 10 42 8 36 6 24 5

12

10

42 10

40 8

36 8

33 7

30 7

28 5,6

25 5,6

24 4,5

10

8

28 6 17 4,5 17

25 6 16 4,5 16

24 5 15 3,6 15

20 5 14 3,6 14

19 4,5 12 3 12

18 17 4,5 4 12 11

25

20

22

18

18

14

16

7

30 8 18 5,6 5,6 18

Mn-Hartstahl

1) 2)

22

18

16 50 20 32 12 37 18 45 18 12,5 315 40 180 36 224 47,5

12 47 18 30 11 33 17 42 17 12 300 37 170 33 212 45

10 40 8

8 37 6

6

5

5

4

4,5

4

8 7,5 7 6 6 5,6 5,3 5 4,5 33 32 30 28 26 25 24 22 21 20 16 16 12 12 10 10 8 8 26 25 24 22 21 20 19 18 16 12 10 10 8 8 7 7 6 6 47 45 45 42 42 40 40 37 14 12 11 10 8 7 7 6 5,6 28 26 26 25 25 24 22 20 9 8 7 6 5,6 5 5 4,5 4 32 28 26 24 22 20 19 14 13 11 10 8 7,5 7 6 5,6 40 37 36 33 32 30 14 13 11 10 8 7,5 7 6 5,6 12 11 10 9,5 9 8,5 8 7,5 300 280 265 250 236 224 212 32 30 25 23 20 19 18 17 16 160 150 140 132 125 118 112 106 100 26 25 20 19 16 15 200 190 180 170 160 150 140 132 125 42,5 40 37,5 36 32 30 28 26,5 25

4 20 6 15 4,5 5 3 5 5

15 95 118 23

Die vc-Werte gelten für Schnitttiefen bis 2,24 mm. Über 2,24 ... 7,1 mm sind die Werte um 1 Stufe der Reihe R10 (d.h. um 20 %) und über 7,1 ... 22,4 mm um 1 Stufe der Reihe R 5 (d.h. um etwa 40 %) zu vermindern. Standzeit für Hartmetall (P 20, P 30, K 10 und K 20) 240 min und für Schnellarbeitsstahl (S S) 60 min.

N 14

N Zerspantechnik

Tabelle 2. Richtwerte für die spezifische Schnittkraft kc beim Hobeln Die Richtwerte sind von der Firma Gebr. Boehringer in Göppingen aus Versuchswerten von Prof. Kienzle und allgemeinen Hinweisen aus dem Schrifttum abgeleitet worden.

Werkstoff

Zugfestigkeit Rm in N/mm2

spezifische Schnittkraft kc in N/mm2 bei Vorschub f in mm/d h und Einstellwinkel N r 0,16 0,25 0,4 0,63 1 1,6 2,5 45º 60º 45º 60º 45º 60º 45º 60º 45º 60º 45º 60º 45º 60º

S 235 JR

bis 500

3 000 2 800 2 720 2 650 2 500 2 430 2 360 2 240 2 180 2 120 2 060 2 000 1 950 1 900

E 295, C 35

500 ... 600

E 335 C 45 E 360

600 ... 700 600 ... 700 700 ... 850 700 ... 850

4 000 3 450 3 450 5 000

C 60 42 Cr Mo 4 50 Cr V 4 16 Cr Ni 6 34 Cr Mo 4 16 Mn Cr 5 Mn-, Cr Ni-, Cr Mo- und andere leg. Stähle Nichtrost. Stahl

3 650 3 250 3 250 4 500

3 350 3 150 3 150 4 120

3 150 3 000 3 070 3 870

3 000 2 900 3 000 3 550

2 800 2 800 2 900 3 350

2 650 2 650 2 720 3 150

2 500 2 570 2 650 2 900

2 360 2 430 2 570 2 720

2 240 2 360 2 500 2 500

2 060 2 300 2 430 2 360

1 950 2 240 2 360 2 240

1 850 2 180 2 300 2 060

3550 3 450 3 350 3 150 3 070 3 000 2 800 2 720 2 570 2 500 2 430 2 300 2 240 2 180

600 ... 700 600 ... 700 600 ... 700 700 ... 850 700 ... 850

5 000 4 620 5 000 4 120 4 370

850 ... 1000

4 370 4 000 3 870 3 650 3 550 3 350 3 250 3 070 3 000 2 800 2 650 2 570 2 430 2 360

4 750 4 370 4 750 3 870 4 120

4 500 4 120 4 500 3 750 3 870

4 250 3 870 4 120 3 550 3 650

4 000 3 650 3 870 3 450 3 350

3 750 3 550 3 550 3 250 3 150

3 550 3 150 3 350 3 070 3 000

3 350 3 000 3 150 3 000 2 800

3 150 2 800 2 900 2 800 2 650

3 000 2 650 2 720 2 650 2 500

2 800 2 500 2 500 2 500 2 360

2 650 2 360 2 360 2 430 2 240

2 500 2 240 2 240 2 300 2 120

2 360 2 120 2 060 2 180 2 000

1 000 ... 1400 4 620 4 370 4 250 4 000 3 870 3 650 3 550 3 350 3 250 3 070 3 000 2 900 2 720 2 650 600 ... 700

Mn-Hartstahl GE 240 GE 260 EN-GJL-150 EN-GJL-250 EN-GJMB-350-10 EN-GJMW-450-7 Hartguß

3 750 3 350 3 350 4 750

300 ... 500 500 ... 700

4 370 4 250 4 000 3 870 3 650 3 550 3 450 3 350 3 150 3 070 3 000 2 800 2 720 2 650 6 300 2 650 3 000 1 750 2 360 2 240

6 000 2 570 2 800 1 650 2 240 2 120

5 600 2 430 2 720 1 600 2 060 2 000

5 300 2 360 2 650 1 500 1 950 1 900

5 000 2 240 2 500 1 400 1 850 1 800

4 870 2 180 2 430 1 360 1 750 1 750

4 620 2 060 2 300 1 280 1 700 1 650

4 500 2 000 2 240 1 210 1 600 1 600

4 250 1 950 2 180 1 180 1 500 1 500

4 000 1 900 2 120 1 120 1 400 1 450

3 750 1 850 2 060 1 060 1 280 1 360

3 650 1 800 1 950 1 030 1 210 1 280

3 450 1 750 1 900 970 1 150 1 250

3 350 1 700 1 850 950 1 090 1 180

3 650 3 450 3 350 3 150 3 070 2 900 2 800 2 650 2 500 2 430 2 300 2 240 2 120 2 060

Cu Sn Zn- Leg.

1 250 1 180 1 170 1 060 1 000

Al- Gussleg. Cu Sn -Leg.

3 000 2 800 2 720 2 650 25 00 2 430 2 300 2 240 2 180 2 120 2 060 1 950 1 900 1 850

2.5 Berechnung der Hauptnutzungszeit th

950

ls =

900

850

ap tan λs sin κ r

ls = 0

820

780

750

710

690

650

für λs < 0º

für λ s t 0º

ba = (3 ... 5) mm bs = ap cot N r

Werkstück

Bild 1. Kenngrößen zur Hauptnutzungszeitberechnung

th =

2 LB B i= i 1 000 vm f n f

L = lw + la + ls + lü B = bw + ba + bs + bü vm = 2

vmavmr vma + vm r

la = (10 ... 30) mm

L B ap f n vm vma vmr i

Hublänge Hobelbreite (Vorschubweg) Schnitttiefe Vorschub Anzahl der Doppelhübe je min (min–1), bei Stoßmaschinen gleich der Drehzahl der Antriebskurbel mittlere Geschwindigkeit des Tisches oder Stößels mittlere Geschwindigkeit beim Arbeitshub mittlere Rücklaufgeschwindigkeit Anzahl der Schnitte

mm mm mm mm/DH

m/min m/min m/min

3 Räumen

N 15

■ Beispiel: Auf einer Langhobelmaschine wird eine rechteckige Platte aus E 295 bearbeitet. B = 1 000 mm, Hublänge des Tisches mit Anund Überlauf L = 2 200 mm, Vorschub f = 1,6 mm/DH, Einstellwinkel Nr = 45º, mittlere Arbeitsgeschwindigkeit vma = 12 m/min, mittlere Rücklaufgeschwindigkeit vmr = 36 m/min, Schnitttiefe ap = 10 mm, Schnittzahl i = 2. Zu bestimmen sind Schnittkraft, Schnittleistung und Hauptnutzungszeit. Lösung: a) Schnittkraft Fc wie beim Drehen aus der spezifischen Schnittkraft kc und Spanungsquerschnitt A = ap f; kc = 2,24  103 N/mm2

3.2 Zerspangeometrie2) Eine Räumnadel mit festen Zähnen nach DIN 1415 zeigt Bild 1. Das Werkzeug wird am Schaft vom Zugorgan der Räummaschine aufgenommen und in der Ringnute verriegelt. Der Zubringerkopf der Maschine nimmt das Endstück auf. Die Aufnahme am Werkzeug zentriert das Werkstück, das Führungsstück führt es beim Durchgang der letzten Schneiden.

Spanungsquerschnitt A = ap f = 10 mm  1,6 mm = 16 mm2

Schnittkraft Fc = kc A = 2,24  103 N/mm2  16 mm2 = 35,84  103 N

Bild 1. Räumnadel (schematisch) nach DIN 1 415

b) Schnittleistung Pc aus der Schnittkraft Fc und der mittleren Geschwindigkeit vm: v v mittlere Geschwindigkeit vm = 2 ma mr vma + vmr vm = 2

12⋅36 m m = 18 12 + 36 min min

Schnittleistung Pc = Fc vm = 35,84  103 N 

18 m 60 s

Hauptnutzungszeit 2LB 2⋅ 2 200⋅1 000 th = i= ⋅ 2 min 1 000 vm f 1 000⋅18⋅1,5 th = 326 min

3 Räumen 3.1 Bewegungen1) Verzahnte stangenförmige (Innenräumer, Räumnadel) oder plattenförmige (Außenräumer) Werkzeuge, deren Zähne vom Anschnitt nach hinten ansteigen, werden durch die Bohrung des Werkstückes gezogen, gestoßen oder an der Außenfläche des Werkstücks vorbeibewegt. Dadurch wird am vorgearbeiteten Werkstück das gewünschte Innen- oder Außenprofil mit vorgeschriebener Maßtoleranz (meist ISOQualität 7) und Oberflächengüte hergestellt. Die Vorschubbewegung entfällt, sie liegt durch die Konstruktion des Werkzeugs fest. Das Profil wird meist in einem Hub gewonnen; nur bei sehr großer Spantiefe wird die gesamte Zerspanarbeit auf mehrere Werkzeuge aufgeteilt. Bei schraubenförmigem Profil (Steigungswinkel = 45º ... 90º) kreisen Werkzeug oder Werkstück beim Durchziehen. Bei Steigungswinkeln von 45º ... 70º ist eine zwangsläufige Drehung erforderlich, darüber hinaus kann ohne zwangsläufige Drehung geräumt werden. 1) 2)

Bild 2. Zähne der Räumnadel, t Zahnteilung, l Räumlänge, h Spanungsdicke, fz Fase, ap Schnittbreite

Die Zähne der Räumnadel sind wie Fräserzähne ausgebildet (Bild 2); ebenso wie dort müssen große, gut gerundete Spankammern die Aufnahme des Spanvolumens ohne Zwängen sichern, da freier Spanablauf selten möglich ist. Das Spanvolumen ist mindestens dreimal größer als das Ursprungsvolumen. Die Zahnteilung t ist außer von Werkstoff, Profil und Zahntiefe hauptsächlich von der Räumlänge l abhängig. Erfahrungswert: t = (1,7 ... 1,8) · l ; sonst t = 3 · l h x mit h Spanungsdicke in mm/Zahn, Räumlänge l in mm und Werkstofffaktor x = 3 ... 5 für bröckelige Späne, x = 5 ... 8 für langspanenden Werkstoff. Außerdem sollen mindestens zwei Zähne im Eingriff sein, mehrere Werkstücke können hintereinander gespannt werden, jedoch steigt die Durchzugskraft mit der Zähnezahl. Schräg zur Zugrichtung verlaufende Zähne arbeiten ruhiger. Spannuten bei breiten Zähnen teilen die Späne auf. Beim Schruppen soll Zahnteilung gleichmäßig sein, beim Schlichten um ± 20 % schwankend. Freiwinkel 0 wird beim- Schruppen 2º ... 3º, beim Schlichten 0,5º und für zylindrische Endzähne (Kalibrierzähne) ebenfalls 0,5º gewählt. Spanwinkel 0 siehe Tabelle 1. Die Fasenbreite fz beträgt für Schruppen 0 ... 0,1 mm, für Schlichten 0,1 mm, für zylindrische Endzähne 0,2... 0,3 mm.

Siehe Fußnote S. N 1. Siehe allgemeine Hinweise über Bewegungen, Geschwindigkeiten, Schnitt- und Spanungsgrößen, Kräfte und Leistungen beim Drehen.

3 Räumen

N 15

■ Beispiel: Auf einer Langhobelmaschine wird eine rechteckige Platte aus E 295 bearbeitet. B = 1 000 mm, Hublänge des Tisches mit Anund Überlauf L = 2 200 mm, Vorschub f = 1,6 mm/DH, Einstellwinkel Nr = 45º, mittlere Arbeitsgeschwindigkeit vma = 12 m/min, mittlere Rücklaufgeschwindigkeit vmr = 36 m/min, Schnitttiefe ap = 10 mm, Schnittzahl i = 2. Zu bestimmen sind Schnittkraft, Schnittleistung und Hauptnutzungszeit. Lösung: a) Schnittkraft Fc wie beim Drehen aus der spezifischen Schnittkraft kc und Spanungsquerschnitt A = ap f; kc = 2,24  103 N/mm2

3.2 Zerspangeometrie2) Eine Räumnadel mit festen Zähnen nach DIN 1415 zeigt Bild 1. Das Werkzeug wird am Schaft vom Zugorgan der Räummaschine aufgenommen und in der Ringnute verriegelt. Der Zubringerkopf der Maschine nimmt das Endstück auf. Die Aufnahme am Werkzeug zentriert das Werkstück, das Führungsstück führt es beim Durchgang der letzten Schneiden.

Spanungsquerschnitt A = ap f = 10 mm  1,6 mm = 16 mm2

Schnittkraft Fc = kc A = 2,24  103 N/mm2  16 mm2 = 35,84  103 N

Bild 1. Räumnadel (schematisch) nach DIN 1 415

b) Schnittleistung Pc aus der Schnittkraft Fc und der mittleren Geschwindigkeit vm: v v mittlere Geschwindigkeit vm = 2 ma mr vma + vmr vm = 2

12⋅36 m m = 18 12 + 36 min min

Schnittleistung Pc = Fc vm = 35,84  103 N 

18 m 60 s

Hauptnutzungszeit 2LB 2⋅ 2 200⋅1 000 th = i= ⋅ 2 min 1 000 vm f 1 000⋅18⋅1,5 th = 326 min

3 Räumen 3.1 Bewegungen1) Verzahnte stangenförmige (Innenräumer, Räumnadel) oder plattenförmige (Außenräumer) Werkzeuge, deren Zähne vom Anschnitt nach hinten ansteigen, werden durch die Bohrung des Werkstückes gezogen, gestoßen oder an der Außenfläche des Werkstücks vorbeibewegt. Dadurch wird am vorgearbeiteten Werkstück das gewünschte Innen- oder Außenprofil mit vorgeschriebener Maßtoleranz (meist ISOQualität 7) und Oberflächengüte hergestellt. Die Vorschubbewegung entfällt, sie liegt durch die Konstruktion des Werkzeugs fest. Das Profil wird meist in einem Hub gewonnen; nur bei sehr großer Spantiefe wird die gesamte Zerspanarbeit auf mehrere Werkzeuge aufgeteilt. Bei schraubenförmigem Profil (Steigungswinkel = 45º ... 90º) kreisen Werkzeug oder Werkstück beim Durchziehen. Bei Steigungswinkeln von 45º ... 70º ist eine zwangsläufige Drehung erforderlich, darüber hinaus kann ohne zwangsläufige Drehung geräumt werden. 1) 2)

Bild 2. Zähne der Räumnadel, t Zahnteilung, l Räumlänge, h Spanungsdicke, fz Fase, ap Schnittbreite

Die Zähne der Räumnadel sind wie Fräserzähne ausgebildet (Bild 2); ebenso wie dort müssen große, gut gerundete Spankammern die Aufnahme des Spanvolumens ohne Zwängen sichern, da freier Spanablauf selten möglich ist. Das Spanvolumen ist mindestens dreimal größer als das Ursprungsvolumen. Die Zahnteilung t ist außer von Werkstoff, Profil und Zahntiefe hauptsächlich von der Räumlänge l abhängig. Erfahrungswert: t = (1,7 ... 1,8) · l ; sonst t = 3 · l h x mit h Spanungsdicke in mm/Zahn, Räumlänge l in mm und Werkstofffaktor x = 3 ... 5 für bröckelige Späne, x = 5 ... 8 für langspanenden Werkstoff. Außerdem sollen mindestens zwei Zähne im Eingriff sein, mehrere Werkstücke können hintereinander gespannt werden, jedoch steigt die Durchzugskraft mit der Zähnezahl. Schräg zur Zugrichtung verlaufende Zähne arbeiten ruhiger. Spannuten bei breiten Zähnen teilen die Späne auf. Beim Schruppen soll Zahnteilung gleichmäßig sein, beim Schlichten um ± 20 % schwankend. Freiwinkel 0 wird beim- Schruppen 2º ... 3º, beim Schlichten 0,5º und für zylindrische Endzähne (Kalibrierzähne) ebenfalls 0,5º gewählt. Spanwinkel 0 siehe Tabelle 1. Die Fasenbreite fz beträgt für Schruppen 0 ... 0,1 mm, für Schlichten 0,1 mm, für zylindrische Endzähne 0,2... 0,3 mm.

Siehe Fußnote S. N 1. Siehe allgemeine Hinweise über Bewegungen, Geschwindigkeiten, Schnitt- und Spanungsgrößen, Kräfte und Leistungen beim Drehen.

N 16

N Zerspantechnik

Tabelle 1. Mittelwerte für Räumen Spanungsdicke h in mm/Zahn für Werkstoff

Räumen

Stahl S 275 JR ... E 335 0,025 ... 0,06 Stahl E 335 ... E 360 0,03 ... 0,065 Gusseisen 0,05 ... 0,12 Cu-Leg. 0,03 ... 0,1 0,025 ... 0,1 Al-Leg.

Schnittgeschwindig- Spanwinkel Schlichträumen Schruppräumen keit in m/min

spezifische Schnittkraft kc in N/mm2

0,004 ... 0,015

bis 0,1

4 ... 8

15 ... 20º

4 000

0,004 ... 0,015 0,004 ... 0,015 0,004 ... 0,015 0,004 ... 0,015

bis bis bis bis

3 ... 6 4 ... 8 5 ...10 8 ...15

12 ... 4 ... 0 ... 15 ...

5 000 2 300 2 000 1 160

0,12 0,25 0,2 0,2

15° 8º 5º 25º

3.3 Schnittkraft (Räumkraft)

3.4 Wahl der Schnittgeschwindigkeit

Die Schnittkraft Fc wird um so größer, je größer Spanungsquerschnitt A und spezifische Schnittkraft kc sind. kc- Werte in Tabelle 1. Mit Spanungsdicke h (je Zahn), Schnittbreite b der Spanschicht und Anzahl der im Schnitt stehenden Zähne ze = l / t (= Räumlänge l / Teilung t) wird der Spanungsquerschnitt

Die Schnittgeschwindigkeit vc ist wegen des schwierigen Zerspanvorgangs bei allen Werkstoffen niedrig und zwar um so niedriger, je geringer die Zerspanbarkeit des Werkstoffs, je verwickelter das zu räumende Profil und je größer die Räumlänge l ist. Richtwerte aus Tabelle 1. Standzeit und Oberflächengüte werden durch geeignete Schneidflüssigkeit stark beeinflusst: Erprobung ist zweckmäßig. Schneidöle lassen höhere Standzeit, Emulsionen bessere Oberfläche erwarten. Für schwierige Profile und Werkstoffe werden geschwefelte Schneidöle empfohlen. Räumwerkzeuge besitzen gegenüber anderen Zerspanwerkzeugen höhere Standzeit und Lebensdauer wegen der niedrigeren Schnittgeschwindigkeit und wegen des geringeren Arbeitsaufwands je Zahn.

A = b h ze = bh

l t

(1)

A b, h, l, t mm2 mm

z 1

Damit ergibt sich die Schnittkraft Fc = A kc = b h ze kc Fc = b h kc

l t

(2)

Fc

A

kc

N

mm2

N mm 2

Mit Hublänge L und mittlerer Geschwindigkeit vm wird die Hauptnutzungszeit

Die erforderliche Durchzugskraft Fmax der Maschine ist um den Faktor 1,3 (für Fasenreibung) größer. Ergibt sich durch Kraftmessung ein größerer Faktor, ist das Werkzeug zu schärfen. Fmax = 1,3 Fc

(3)

Der gefährdete Querschnitt Agef des Räumwerkzeuges wird auf Zug beansprucht. Mit z = Fmax/Agef und Fmax = 1,3 b h ze kc wird die Zugspannung

σ z =1,3

b h ze kc ≤ σ z zul Agef

(4)

z , kc

b, h, l, t

z

Agef

N mm 2

mm

1

mm2

terf

th =

th

2L vm1 000

L

min mm

(6) vm m min

Ermittlung von vm siehe Kap. 2, Hobeln und Stoßen. ■ Beispiel: Die Innennute einer Gusseisen-Buchse (Schnittbreite b = 12 mm, Tiefe 3,7 mm, Länge l = 100 mm) wird auf einer WaagerechtRäummaschine hergestellt. Hublänge L = 1 000 mm, va = 3 m/min, vr = 4 m/min. Zu bestimmen sind spezifische Schnittkraft kc , Zahnteilung t, Schnittkraft Fc , Durchzugskraft Fmax und Hauptnutzungszeit th. Lösung: a) Spezifische Schnittkraft kc = 2 300 N/mm2 nach Tabelle 1

Da die Zahnteilung t = l/z ist, wird auch b h kc l = 1,3 Agef σ z zul

3.5 Berechnung der Hauptnutzungszeit th

b) Spanungsdicke h = 0,12 mm nach Tabelle 1

(5)

c) Zahnteilung t = 3 h l x = 3

0,12 mm⋅100 mm⋅ 4 = 20,8 mm

4 Fräsen

N 17

d) Zähnezahl ze je Räumlänge l:

l 100 mm = =4 ze = t 20,8 mm e) Spanungsquerschnitt

A = b h ze = 12 mm  0,12 mm  4 = = 5,76 mm2

vc = d n vf = n f = n fz z

f) Schnittkraft

vc

d

n

m min

m

min–1

(2)

vf

f

fz

z

mm min

mm U

mm Zahn

1

(3)

Fc = A kc = 5,76 mm2  2300 N/mm2 = = 13,2  103 N g) Durchzugskraft

Fmax = 1,3 Fc = 1,3  13,2  103 N = = 17,2  103 N h) Mittlere Geschwindigkeit des Räumwerkzeugs

vm = 2

va vr 3⋅4 m / min = 3, 43 m / min = 2⋅ va + vr 3+ 4

i) Hauptnutzungszeit

th =

2L 2⋅1 000 min = 0,59 min = vm 1 000 3, 43⋅1 000

4 Fräsen

Bild 1. Walzen mit Walzenfräser, dargestellt in der Arbeitsebene

4.1 Bewegungen1)

M1 M 2

ergibt Zahnvorschub fz

hm

Mittenspanungsdicke beim halben Vorschubrichtungswinkel / 2 Schnitttiefe Schnittvorschub

Es gelten die unter 1 Drehen dargelegten Grundbegriffe der Zerspantechnik in Verbindung mit den Bildern 1, 2 und 6. Beim Fräsen führt die umlaufende Bewegung des Werkzeugs (des Fräsers) zur Schnittbewegung mit der Schnittgeschwindigkeit vc und die geradlinige (fortschreitende) Bewegung des Werkstücks (des Tisches) zur Vorschubbewegung mit der Vorschubgeschwindigkeit vf. Die resultierende Bewegung ist wieder die Wirkbewegung mit der Wirkgeschwindigkeit ve (Bild 6); sie führt zur Spanabnahme und ist die momentane Geschwindigkeit des betrachteten Schneidenpunkts in Wirkrichtung. Im Gegensatz zum Drehen mit = 90º ändert sich beim Fräsen der Vorschubrichtungswinkel während des Schneidvorgangs des einzelnen Zahnes laufend (Bilder 1 und 2). Beim Gegenlauffräsen ist < 90º, beim Gleichlauffräsen dagegen ist > 90º, wie Bild 6 deutlich zeigt. Der Wirkrichtungswinkel  ist wieder der Winkel zwischen Wirk- und Schnittrichtung. Im allgemeinen Fall ( < > 90º), wie beim Fräsen ist sin ϕ (1) η = arctan vc + cos ϕ vf Beim Drehen ist = 90º und damit  = arctan vf / vc (siehe Drehen). Auch beim Fräsen ist in den meisten Fällen das Verhältnis vf / vc so klein, dass mit ve = vc gerechnet werden kann. Mit Fräserdurchmesser d, Fräserdrehzahl n und Vorschub f je Fräserumdrehung, Zahnvorschub fz und Zähnezahl z werden Schnitt- und Vorschubgeschwindigkeit errechnet: 1)

Siehe Fußnote S. N 1.

ae fc

Bild 2. Stirnen mit Walzenstirnfräser bei symmetrischer Einstellung des Werkzeugs

ap Schnitttiefe ae Schnittbreite Vorschubrichtungswinkel vc Schnittgeschwindigkeit vf Vorschubgeschwindigkeit

6 Schleifen

6 Schleifen 6.1 Bewegungen Ähnlich wie beim Fräsen führt auch beim Schleifen ein umlaufendes Werkzeug (die Schleifscheibe) die Schnittbewegung aus. Viele am Umfang der Scheibe verteilte, geometrisch nicht bestimmbare Schneiden (die Ecken der Schleifkörner) nehmen dabei vom Werkstück kleine kommaförmige Späne ab. Schleifen ist daher mit Fräsen vergleichbar. Tiefenzustellung und Vorschubbewegung werden je nach Bauart der Maschine vom Werkstück oder Werkzeug ausgeführt. Aufbau, Form der Schleifwerkzeuge, Körnung, Bindemittel und Kennzeichnung sind den Katalogen der Herstellerfirmen zu entnehmen.

6.2 Zerspangeometrie Vereinfacht kann die Spanbildung nach Bild 1 erklärt werden. Die Schleifscheibe läuft mit der Drehzahl ns, das Werkstück mit nw um. Das momentan schneidende Umfangskorn der Scheibe besitzt die Umfangsgeschwindigkeit vc (Schnittgeschwindigkeit). Es tritt im Punkt E (Bild 1) in das Werkstück ein und verlässt es wieder bei A. In der gleichen Zeit ist Punkt A nach B gewandert. Der abgeschliffene Span hat angenähert die Form ABE.

N 33 Der momentane Spannungsquerschnitt A wächst beim Rundschleifen mit steigendem Längsvorschub fl (Seitenvorschub), mit steigender Zustellung ae , mit wachsender Umfangsgeschwindigkeit des Werkstücks vw und mit fallender Umfangsgeschwindigkeit vc der Schleifscheibe:

A = ae fl

vw vc

ae

fl

vw vc

mm

mm U

m s

A mm2

(1)

6.3 Schleifkraft und Schleifleistung Bestimmende Größe ist die Tangentialkraft Ft an der Schleifscheibe. Sie wird aus der spezifischen Schleifkraft kc in N/mm2 und dem Spanungsquerschnitt A in mm2 bestimmt:

Ft = kc A = kc ae fl

vw vc

(2)

Die spezifische Schleifkraft kc 1) in N/mm2 lässt sich aus den folgenden Versuchsgleichungen berechnen: kc = 8,55 s A–0,55 kc = 12 s

A–0,6

kc = 18 s A–0,73

für Schleifscheibe 80 K für Schleifscheibe 60 L

(3)

für Schleifscheibe 46 L

Darin ist s die Schubfestigkeit des Werkstoffs in N/mm2 und A der Spanungsquerschnitt in mm2 nach Gl. (1). Die Schnittleistung Pc ergibt sich damit aus der Zahlenwertgleichung:

Bild 1. Spanbildung beim Rundschleifen (schematisch)

Er wird um so feiner sein, je höher Schleifscheibengeschwindigkeit vc , je niedriger Werkstückgeschwindigkeit vc und je kleiner die Schnitttiefe (Zustellung) ae ist (Bild 1). Wichtig beim Schleifen ist demnach das Geschwindigkeitsverhältnis q = vc / vw. 1)

Pc =

Ft vc 1 000

(4)

Pc

Ft

vc

kW

N

m s

Nach E. Salje: Kennzahlen und Gesetzmäßigkeiten beim Schleifen, Forschungsbericht aus dem Institut für Werkzeugmaschinen und Betriebslehre der Technischen Hochschule Aachen.

N 34

N Zerspantechnik

Die Umfangsgeschwindigkeit vc der Schleifkörper ist wegen der Unfallgefahr nach oben begrenzt nach den Richtlinien des Deutschen Schleifscheibenausschusses (DSA). Richtwerte siehe Tabelle 1. Allgemein gilt: Außenrundschleifen von Stahl mit vc = 35 m/s, bei Gusseisen vc = 25 m/s. Bei Innenrundschleifen wird vc begrenzt durch höchstmögliche Drehzahl der Schleifspindel, was ungünstige Verhältnisse ergeben kann. Höchstzulässige Umfangsgeschwindigkeit kann mit Genehmigung des DSA überschritten werden, der Schleifkörper muss dann einen festgelegten Vermerk tragen. Mit wachsendem vc wirkt jede Schleifscheibe härter, umgekehrt wirken harte Scheiben mit sinkender vc weicher. Abnutzungsgrad und Schleifscheibengeschwindigkeit müssen daher aufeinander abgestimmt werden (Drehzahl ändern). Die Umfangsgeschwindigkeit vw des Werkstücks ist bei Außenrundschleifen und Schrupparbeiten möglichst hoch zu wählen; Zustellung ae kann dann klein sein. Richtwerte siehe Tabelle 2. Der Längsvorschub f l (Seitenvorschub) richtet sich nach der Schleifscheibenbreite b: für Schruppen (0,6 ... 0,75) b

Längsvorschub f l, Tischgeschwindigkeit vt und Werkstückdrehzahl nw sind voneinander abhängig: f l = vt / nw. Die Schnitttiefe (Zustellung) ae je Längshub oder je Umdrehung wird je nach Stabilität des Werkstücks, Körnung der Scheibe und geforderter Oberflächengüte und Passung ausgewählt: für Schruppen 10 ... 30 μm

Zu großes ae gibt größeren Verschleiß der Scheibe. Bei grober Körnung der Scheibe und hartem Werkstoff kann großes ae zum Ausbrechen der Körner führen. Große Werkstückdurchmesser erfordern wegen der größeren Flächenberührung kleineres ae.

Tabelle 1. Richtwerte für Schleifscheibengeschwindigkeit vc (Schnittgeschwindigkeit) in m/s Außenschleifen Innenschleifen Flächenschleifen Werkzeugschleifen

30 25 25 25

Gusseisen 25 25 20

Schleifart weich

hart

eingesetzt

legiert

Gusseisen

Cu-Leg Al-Leg

Rundschleifen Schruppen Schlichten Innenschleifen Flächenschleifen

12...15 14...18 15...18 14...18 12...15 18...21 30...40 8...12

8...12

10...13 10...14 9...12 15...18 24...30

18...21 21...24 21...24 20...25 21...24 21...27 30...40 6...40

15...40

6.5 Oberflächen-Rautiefen Durch die Fertigungsverfahren Drehen, Hobeln, Räumen, Fräsen, Bohren und Schleifen lassen sich unterschiedliche Oberflächen-Rautiefen erreichen. Rautiefe Ry in μm ist der Abstand zwischen der oberen und der unteren Berührlinie innerhalb einer festgelegten Bezugsstrecke (Bild 2).

untere Berührlinie Bild 2. Rautiefe am Profilausschnitt Tabelle 3. Richtwerte der Zuordnung von ISO-Toleranzreihe, Bearbeitungsverfahren und Rautiefe Ry

für Schlichten 5 ... 25 μm.

Stahl

Stahl

obere Berührlinie

für Schlichten (0,25 ... 0,5) b.

Schleifart

Tabelle 2. Richtwerte für Werkstückgeschwindigkeit vw in m/min

Ry

6.4 Wahl von Geschwindigkeit, Vorschub und Zustellung

Hartmetall 8 8 8 22 von Hand 12 maschinell

Leichtmetall 35 20 25

ISOToleranzreihe Bearbeitungsverfahren (II) IT 4 Feinstläppen, Schwingziehschleifen IT 5 Polieren IT 6 Läppen, Ziehschleifen, Feinstschleifen IT 7 und Rollieren, Feinziehen, IT 8 Schleifen, Diamantdrehen, Feinräumen, Reiben IT 8 und IT Feindrehen, Feinstfräsen, 9 Ziehen, Kaltwalzen IT 10 Drehen, Fräsen, Räumen IT 11 Schaben, Prägen IT 12 und Hobeln, Senken, SandstrahIT 13 len, Warmwalzen, Genauschmieden, Bohren IT 14 Pressen

etwa erreichbare Rautiefe in μm 0,06 0,06 0,12 0,5 ... 1,0 1,0 ... 2,0 4,0 7,0 ... 9,0 12,0 24,0

6 Schleifen

35

6.6 Berechnung der Hauptnutzungszeit th (Maschinenlaufzeit) 6.6.1 Längsschleifen (Außen- und Innenrundschleifen)

th = i

=

th =

l nw fl z 2 ae

(6)

lz i 2ae nw fl

(7)

vw d

(8)

nw = 318

Hauptnutzungszeit Schnitttiefe Schleifscheibenbreite Werkstückdurchmesser Anzahl der Schnitte Arbeitsweg (Werkstücklänge) Werkstückdrehzahl Längsvorschub (Seitenvorschub) Tauchvorschub Schleifzugabe im Durchmesser Schleifbreite Anzahl Doppelhübe

th ae b d i l nw fl ft z B n

(5)

i

Lösung:

Längsvorschub fl = 0,6 b = 0,6 ⋅ 40

mm mm = 24 U U

Spannungsquerschnitt v 10 m/min A = ae fl w = 0,02⋅24 mm 2 = 3, 2 ⋅10−3 mm 2 25⋅60 m/min vc Spezifische Schleifkraft kc = 8,55 s A–0,55 = 1 000 0,55 N = 8,55⋅500  = 105  3, 2  mm 2

Schleifkraft Ft = kc A = 105 ˜ 3,2 ˜ 10–3 N = 320 N Schleifleistung Pc =

Ft vc 320⋅25 = kW = 8 kW 1 000 1 000

Anzahl der Schnitte i =

min mm mm mm

0,8 mm z = = 20 2 ae 2⋅0,02 mm

Werkstückdrehzahl nw = 318

mm min–1 mm/U mm/min mm mm min–1

vw 10 = 318⋅ min−1 = 40 min−1 d 80

Hauptnutzungszeit th =

l 250 i= ⋅20 min = 5,3 min nw fl 40⋅24

Zuschlag für Ausfeuern 10 %, damit th 6 min

Literaturhinweise 6.6.2 Rundschleifen (Einstechen)

th

z = 2 ft

Normen (Auswahl)1)

(9)

DIN 6581

6.6.3 Flachschleifen, längs

th

=

B n fl

DIN 6582

(10)

Da das System Werkzeug/Maschine nicht starr ist, müssen Oberflächengüte und Genauigkeit des Werkstücks durch „Ausfeuern“ verbessert werden, das ist Schleifen ohne Zustellung. Für Ausfeuerhübe ist deshalb ein Zuschlag von 10 % ... 20 % zu th zu geben. ■ Beispiel: Längsschleifen eines Bolzens (s = 500 N/mm2) von 250 mm Länge und 80 mm Durchmesser mit Schleifscheibe 80 K von 40 mm Breite bei Schnitttiefe (Zustellung) ae = 20 µm, Schleifscheibengeschwindigkeit vc = 25 m/s und Werkstückgeschwindigkeit vw = 10 m/min, Schleifzugabe z = 0,8 mm. Gesucht: Schleifkraft (Umfangskraft), Schleifleistung, Hauptnutzungszeit.

1)

DIN 6580

DIN-Bläter sind erhältlich bei Beuth Verlag Berlin, Wien, Zürich, nähere Angaben in http://www.beuth.de

DIN 6584 DIN 6589

Begriffe der Zerspantechnik, Bewegungen und Geometrie des Zerspanvorgangs Begriffe der Zerspantechnik, Bezugssysteme und Winkel am Schneidteil des Werkzeugs Begriffe der Zerspantechnik, Ergänzende Begriffe am Werkzeug, am Schneidkeil und an der Schneide Begriffe der Zerspantechnik, Kräfte, Energie, Arbeit, Leistungen Fertigungsverfahren Spanen, Schleifen mit rotierendem Werkzeug

Paucksch, E.: Zerspantechnik. Braunschweig: Vieweg Verlag, 1996 Krist, T.: Formeln und Tabellen der Zerspantechnik. Braunschweig: Vieweg Verlag, 1996 Tschätsch, H.: Praxis der Zerspantechnik. Wiesbaden: Vieweg Verlag, 2005 Degner, W.; Lutze, H.; Smejkal, E.: Spanende Formung, Theorie, Berechnung, Richtwerte. München: Carl Hanser, 2002

O4

O Werkzeugmaschinen untere Grenzdrehzahl: vC min ⋅1000 nmin = [1/min] π ⋅d max

(9)

Drehzahlbereich: n Bn = max nmin

(10)

Dabei sind: dmax maximaler Bearbeitungsdurchmesser in mm, dmin minimaler Bearbeitungsdurchmesser in mm, vC max max. Schnittgeschwindigkeit in m/min

vC min minimale Schnittgeschwindigkeit in m/min Auslegung von Drehmoment und Leistung als Funktion der Arbeitsspindeldrehzahl bei WZM Die Auslegung mit konstantem Drehmoment (Bild 3 links) wird bei Schrupp- oder Schwerzerspanungsmaschinen angewandt, da die Auslastung an der Belastungsgrenze im gesamten Drehzahlbereich möglich ist. Vorsicht vor Überlastung! Sollbruchstelle oder Leistungsmesser erforderlich. Mit konstanter Leistung im gesamten Drehzahlbereich (Bild Mitte) werden Feinbearbeitungsmaschinen ausgelegt, da die Drehmomentspitze bei nmin relativ gering ist. Bei den meisten Werkzeugmaschinen, besonders bei Universalmaschinen, ist der rechts abgebildete Kompromiss erforderlich.

Bild 3. Drei Auslegungsmöglichkeiten des Leistungs- und Drehmomentverhaltens von Arbeitsspindelantrieben

2 Baugruppen von Werkzeugmaschinen

3. Sicherung der Leistungsübertragung entsprechend des vorgegebenen Drehzahlbereiches und der erforderlichen Drehmomente.

2.1 Arbeitsspindeln (Hauptspindeln) und ihre Lagerungen

Aufnahmen für Werkstückspanner Die Arbeits- oder Werkstückspindel ist mit einem Spindelkopf, Bild 1, ausgebildet, der aus einem Kurzkegel zur Zentrierung und einem Flansch mit Planfläche hoher Ebenheit und Laufgenauigkeit besteht. Die Tolerierung der Flächen muss so gewählt werden, dass mit der Aufspannung des Futters die Planfläche und der Zentrierkegel zum Tragen kommen. Damit werden hohe Spanngenauigkeit und Steife erreicht.

Haupt- oder Arbeitsspindeln dienen zur Realisierung der Drehbewegung als Komponente der Relativbewegung zwischen Werkstück und Werkzeug in Arbeitsrichtung, siehe auch Kapitel 1, Bild 2. Haupt- oder Arbeitsspindeln können in Abhängigkeit vom jeweiligen Fertigungsverfahren entweder Werkstückspindeln (z.B. bei Drehmaschinen, Rundschleifmaschinen, Drehfräsmaschinen u.a.) oder Werkzeugspindeln (z.B. bei Fräs- und Bohrbearbeitungszentren, Rund- und Flachschleifmaschinen u.a.) sein. 2.1.1 Anforderung an das System Arbeitsspindel – Lagerung 1. Aufnahme der Spannmittel für Werkstücke oder Werkzeuge in der Arbeitsspindel. 2. Stabiles Führen der Arbeitsspindel auf einer in ihrer Lage vorgeschriebenen Drehachse unter Einwirkung von Spanungs-, Antriebs- und Massenkräften. Dabei darf die Lage der Arbeitsspindelachse zur Drehachse nur um kleinste zulässige Werte abweichen.

Aufnahmen für Werkzeugspanner – Steilkegel 7 : 24 Steilkegelwerkzeuge werden in allen Bearbeitungszentren verwandt, wo ein automatischer Werkzeugwechsel installiert ist. Auch für manuellen Werkzeugwechsel mit Kraftspannung werden sie an Fräsmaschinen, Waagerecht-Bohr- und Fräswerken u. a. eingesetzt. Bei automatischen Werkzeugwechsel wird durch Anzugsbolzen und Zange der Schaft zentriert. Das Drehmoment wird über Mitnehmersteine übertragen, Bilder 2. und 3. – Metrischer (Kegelwinkel 1°25´ 56´´) und MorseInnenkegel (1°26´43´´...1°30´26´´) selbsthemmend

2 Baugruppen von Werkzeugmaschinen

O5

Bild 1. Werkstückspindelkopf mit Kurzkegel und Plananlage nach DIN 55026 ... 55029 mit aufgespanntem Kraftspannfutter (Forkardt, Erkrath)

Bild 2. Werkzeugspindelkopf mit Steilkegelschaft 7 : 24 für Werkzeuge nach DIN 69872 / DIN 2080

Nach DIN 228 insbesondere für Bohrmaschinen oder als Innenaufnahme an Drehmaschinen-Hauptspindeln.

Für eine effektive Schruppzerspanung ist erforderlich:

– Zylindrische Bohrung mit koaxialem Präzisionsgewinde für die Schleifdornaufnahme an Innenschleifspindeln(ungenormt).

Hohe statische und dynamische Steife des Systems Arbeitsspindel-Lagerung im gesamten Drehzahlbereich, um bei voller Auslastung der Antriebsleistung das Auftreten selbsterregter Schwingungen zu vermeiden.

– Steilkegel 1 : 5 Für Schleifspindelköpfe von Außenrundschleifmaschinen Belastung der Arbeitsspindel und ihrer Lagerung Diese ergibt sich aus den Bearbeitungskräften, den Antriebskräften, den Massenkräften, dem Gewicht der Werkstückspindel, des Spannmittels und des Werkstückes oder dem Gewicht der Werkzeugspindel, des Werkzeugträgers und des Werkzeuges. Im Bild 4a und b sind die bei der Bearbeitung auftretenden Kräfte und Momente an einer DrehmaschinenWerkstückspindel dargestellt.

Für eine ausreichend genaue Schlicht- und Fertigbearbeitung sind erforderlich: Geringste Relativbewegungen zwischen Werkstück und Werkzeug in radialer und axialer Richtung durch: Hohe statische Steife des Systems ArbeitsspindelLagerung im gesamten Drehzahlbereich, um durch geringste Verformung (gemessen in N/μm am Spindelkopf) eine hohe Maß- und Formgenauigkeit des Werkstückes zu erreichen.

Bild 3. Steilkegelschaft für Werkzeuge mit Steilkegel 7 : 24 für automatischen Werkzeugwechsel (DIN 69871). Die Trapezrille 7 ermöglicht die Betätigung durch einen Werkzeugwechsler. Ein Werkzeugdatenträger ermöglicht die Kennung des jeweiligen Werkzeuges für den Datenspeicher der CNCSteuerung der Werkzeugmaschine. (Deckel, München)

O6

O Werkzeugmaschinen

Bild 4a. Kräfte und Momente an der Werkstückspindel bei einer Drehmaschine Hohe dynamische Steife des Systems ArbeitsspindelLagerung einschließlich des Arbeitsspindelantriebes im gesamten Drehzahlbereich, um durch geringe Relativschwingungen zwischen Werkstück und Werkzeug eine gute Welligkeit und Oberflächenrauigkeit bei der Fertigbearbeitung zu sichern. Hohe Koaxialität von Arbeitsspindelachse und Werkstückeinspannachse und geringste Laufabweichungen über die Gebrauchsdauer der WZM (10.000 ... 45.000 h) durch geeignete Konstruktion und hochgenaue Fertigung der Aufnahmeflächen. Geringe Lagerreibung und hohe thermische Stabilität.

Belastungsart Radialkräfte Fys, Fyu, Fxr, Fxp FG1, FGi

Ursache

BelastungsUrsache art Schnittkraft Fs TorsionsSchnittkraft am Passivkraft Fp Momente Werkstückradius Umfangskraft Fu Mzs, Mzu Umfangskraft am Radialkraft Fr Teilkreisradius Eigengewicht MassenträgheitsFG moment Axialkräfte Vorschubkraft BiegeVorschubkraft am Fza, Fzv Fv, momente Werkstückradius Axialkraft Fa, Mya, Myv Axialkraft am Teilkreisradius

Bild 4b. Beschreibung der Kräfte und Momente der Werkstückspindel im Bild 4a.

Bild 5. Verschiedene Arten der Aufnahme des Systems Arbeitsspindel-Lagerung in der Gestellbaugruppe Zukünftige Entwicklung: Sie geht zu höheren Arbeitsspindel-Drehzahlen bei gleichzeitiger Erhöhung der Spanungsleistungen und der Arbeitsgenauigkeit durch Einsatz neuer Schneidstoffe, wie Schneidkeramik, kubisches Bornitrid (CBN), Hochgeschwindigkeitsfräsen und -schleifen.

Art der Aufnahme des Systems ArbeitsspindelLagerung in der Gestellbaugruppe (Spindelkasten, Ständer) Im Bild 5 sind verschiedene Möglichkeiten dargestellt: 1) Direkte Lagerung im Spindelkasten oder Ständer Vorteil: kostengünstige Konstruktion

2 Baugruppen von Werkzeugmaschinen

O7

Nachteil: Herstellung sehr genauer Lageraufnahmeflächen nur schwer möglich 2) Lagerung in einer Spindelhülse Vorteil: hohe Bearbeitungsgenauigkeit der Lageraufnahmeflächen durch Schleifen oder Innenfeindrehen in einer Aufspannung möglich Nachteil: höherer Arbeits- und Kostenaufwand 3) Lagerung in axial verschiebbarer Spindelhülse 4) Spindel axial in den Lagern verschiebbar (bei Anwendung hydrostatischer Lager)

Mehrflächengleitlager Arbeiten als hydrodynamische Lager mit guten Laufeigenschaften und hoher Belastbarkeit. Größter Nachteil dieser Lagerbauart ist die Auslegung nach einem Drehzahlwert. Da aber bei Werkzeugmaschinen fast immer die Forderung nach einem großem Drehzahlbereich besteht, sind sie in fast allen Anwendungsfällen ungeeignet. Dort, wo nur eine Arbeitsdrehzahl vorliegt, wie beispielsweise bei der Schleifspindellagerung von spitzenlosen Schleifmaschinen, finden sie noch Anwendung.

Gestaltung und Dimensionierung von Arbeitsspindel und Lagerung Bei der Auslegung des Systems Arbeitsspindel-Lagerung ist stets neben der Durchbiegung der Spindel auch die elastische Verformung der Lager mit in die Berechnung einzubeziehen, Bild 6. Es ist:

Hydrostatische Lager Diese Lagerbauart wird in zunehmenden Maße verwendet bei Präzisionswerkzeugmaschinen, wie Feindreh- und -bohrmaschinen und wenn langsame Drehbewegungen gefordert werden, z.B. bei Werkstücktischen von Verzahnungsmaschinen sowie bei Großwerkzeugmaschinen. Das Prinzip des hydrostatischen Lagers ist im Bild 7 dargestellt.

2 2 y a3 a 2l  a +1 1  a  1 = + +  +  F 3EI a 3EI l  l  cv  l  ch   

 

( y / F ) der Spindel

(1)

( y / F ) der Lagerung

Die Formel zeigt, dass die Auskraglänge a klein und die Steife des vorderen Lagers groß sein muss, um eine geringe Durchbiegung, bezogen auf die Spindelnase, oder eine hohe Steife zu erreichen. Beim Lagerabstand lopt tritt ein Durchbiegungsminimum oder ein Steifemaximum auf. In Abhängigkeit von den Spindel- und Lagerungsparametern gilt: lopt 2...(5) a

lopt

a mm mm

(2)

Als Werkstoffe für Arbeitsspindeln werden eingesetzt: C45E und C60E (DIN EN 10 083) sowie 16 Mn Cr 4 und 20 Mn Cr 5 (DIN EN 10 084). 2.1.2 Lagerbauarten für Arbeitsspindeln Einflächengleitlager Diese werden im Werkzeugmaschinenbau für Arbeitsspindeln heute kaum noch verwandt. Sie arbeiten im Mischreibungsbereich und genügen trotz guter Dämpfungseigenschaften nicht mehr den Anforderungen moderner Werkzeugmaschinen.

Prinzip des hydrostatischen Lagers: Einbringung von Taschen in zylindrische oder kegelförmige Innenflächen der Lagerbuchse, in der Regel 4, Bild 7. Jede der Taschen ist über eine Bohrung und einer Drosselstelle mit der Ölversorgung (Bild 8) verbunden. Das Hydrauliköl wird über ein Druckstromaggregat in die Taschen gefördert und fließt dann von dort axial über die Stege der Lagerbuchse in den Ölbehälter zurück. Der Öldruck p erhöht sich bei Belastung des Lagers in den Taschen gegenüber der Belastungsrichtung, Bild 7 oben. Dadurch entsteht nur eine geringe Verlagerung des Spindelachsmittelpunktes. Bedingung für die ordnungsgemäße Funktion des hydrostatischen Lagers ist, dass vor dem Einschalten der Spindeldrehbewegung die Ölversorgung im Betrieb ist und damit der Öldruck am Lager anliegt. Deshalb ist auch der Begriff „Gleitlager“ hier unangebracht. Der Spindelzapfen wird durch das durchströmende Öl „getragen“. Bei sehr hohen Umfangsgeschwindigkeiten treten damit erhebliche Flüssigkeitsreibleistungen auf, die sich in Wärme umsetzen.

Bild 6. Die bezogene Durchbiegung des Systems ArbeitsspindelLagerung als Funktion des Lagerabstandes

O8

O Werkzeugmaschinen

p

ohne Last

mit Last

Bild 7. Bestimmungsgrößen des hydrostatischen Lagers Die statische Steife eines hydrostatischen Lagers ermittelt sich zu: c=

dF 0, 24 3 z 2 = ⋅ p ⋅ D⋅lE de h0 κ p

κ=

la ⋅ z ⋅ lE lu ⋅ π⋅ D

c N/mm

 –

(3),

(4)

dabei ist: h0 =

D−d 2

d, D e pp z la, lE, lU,



Lagerspalt im unbelasteten Lager [mm] Durchmesser Spindelzapfen, Lagerbuchse [mm] Lagerspaltänderung [N /mm2] Pumpendruck Anzahl der Öltaschen [mm] geometrische Werte, siehe Bild 7. Geometriefaktor

[mm]

Vorteile des hydrostatischen Lagers Hohe Dämpfung in radialer Richtung, hohe Laufruhe Nachteile des hydrostatischen Lagers Zusätzlicher Aufwand für das Ölversorgungssystem einschließlich sorgfältiger Ölfilterung. Eine hohe thermische Steife ist nur durch Ölkühler mit Temperaturregelung zu erreichen Aerostatische Lager Entspricht in seiner Wirkungsweise dem hydrostatischen Lager, nur dass an Stelle des Öls Luft als Druckmedium tritt. Ein erheblicher Aufwand muss hier dem Reinigen und Trocknen (Ausfrieren) der Druckluft gewidmet werden. Anwendungen gibt es gegenwärtig bei Ultrapräzisions-Werkzeugmaschinen, so u. a. bei der Laserspiegelherstellung.

1 Ölbehälter 2 Pumpe 3 Elektromotor 4 Druckbegrenzungsventil 5 Filter (grob) 6 Druckschalter 7 Rückschlagventil 8 Druckspeicher 9 Feinstfilter mit elektr. Verstopfungsanzeige 10 Manometer 11 Arbeitsspindel 12 Konstantdrosseln 13 Absaugpumpe 14 Ölkühler

Bild 8. Ölversorgung eines hydrostatischen Lagers Magnetlager Durch die Fortschritte in der Elektronik und Sensortechnik sind Magnetlager anwendungsreif. Prinzip: Der Spindelzapfen oder Rotor wird durch magnetische Felder (in der Regel 4) berührungslos im Schwebezustand gehalten, Bild 9 oben links. Die RotorsollLage wird von Stellungssensoren überwacht. Die Sensorsignale regeln Ströme in den Elektromagneten nach der Führungsgröße „Soll-Lage des Rotors beibehalten“ (Bild 9 unten). Insofern liegt eine Analogie zum hydrostatischen Lager vor, nur dass hier an Stelle des Öldruckes magnetische Kräfte wirken. Magnetlager werden heute eingesetzt bis zu Werkstückspindeldrehzahlen von 60.000 1/min bei Antriebsleistungen von 20 KW. Allerdings liegen die aufnehmbaren Radial- und Axialkräfte unter 350 ... 400 N. Radialsteifen, an der Spindelnase von Schleifspindeln gemessen, liegen bei 100 N/μm. Magnetlager eignen sich besonders für hochtourige Motorschleifspindeln, da außerdem mittels der vorhandenen Luftspaltregelung auch durch gewollte Schrägstellung der Arbeitsspindel die SchleifdornDurchbiegung beim Innenrundschleifen eliminiert werden kann. Auch gewolltes Unrundschleifen ist mit der Regeleinrichtung möglich. Wälzlager Die Wälzlagerung ist die heute am häufigsten verwendete Lagerbauart für Arbeitsspindeln. Sie sichert eine ausreichend hohe Laufgenauigkeit sowie hohe statische und dynamische Steife bei vergleichsweise günstigen Kosten.

2 Baugruppen von Werkzeugmaschinen

O9 im oberen Bereich (ab 10.000 1/min) die RadialSchrägkugellager als Spindellager in Hochgenauigkeitsausführung. Bei Schwerwerkzeugmaschinen für die ausgesprochene Schruppbearbeitung und damit einer niedrigen oberen Grenzdrehzahl finden häufig Präzisionskegelrollenlager Anwendung. Hinsichtlich der Axiallagerung zeigt sich, dass AxialSchrägkugellager in doppelreihiger Ausführung mit 60° Kontaktwinkel höhere Drehzahlen und größere Belastungen zulassen als Axialrillenkugellager.

Bild 9. Motorspindeleinheit zum Innenrundschleifen, mit Magnetlagern ausgerüstet (GMN Nürnberg) Dabei gilt für die Anwendung als Arbeitsspindellagerung, dass die Wälzlager ausnahmslos vorgespannt, also spielfrei eingebaut werden. Die Vorspannung darf auch nicht durch äußere Belastungskräfte aufgehoben werden. Deshalb finden auch nur bestimmte Wälzlagerbauarten Anwendung für Arbeitsspindellagerungen.

2.1.3 Anwendungsbeispiele des Systems Arbeitsspindel-Wälzlagerung mit Antriebskopplung Arbeitsspindel für ein CNC-Bearbeitungszentrum, Bild 11.

Folgende Lagerbauarten werden eingesetzt: – Radial-Zylinderrollenlager zweireihig mit Innenkegel 1 : 12 im Innenring – Kegelrollenlager mit Kontaktwinkel = 10 ... 17° – Radial-Schrägkugellager mit Kontaktwinkel = 12°, 15°, oder 25° in O-, X- oder T-Anordnung – Axial-Kugellager mit Kontaktwinkel = 90° – Axial-Schrägkugellager, ein- oder zweireihig, mit Kontaktwinkel = 60° Die Lagerberechnung ist ausführlich in den Anwendungskatalogen der Wälzlagerhersteller (FAG, SKF, INA u.a.) beschrieben. Die Berechnung sollte unbedingt nach den Vorschriften des jeweiligen Herstellers ausgeführt werden. Die Einsatzgebiete der genannten Lagerbauarten sind im Diagramm Bild 10 in Abhängigkeit von der geforderten statischen Steife und der oberen Grenzdrehzahl der Arbeitsspindel dargestellt.

Bild 10. Statische Steife und obere Grenzdrehzahl bei verschiedenen Arbeitsspindel-Wälzlagerbauarten Es zeigt, dass im mittleren Grenzdrehzahlbereich (n = 3000 ... 5000 1/min) die zweireihigen Zylinderrollenlager als Radiallager bevorzugte Verwendung finden,

Bild 11. Arbeitsspindel als Werkzeugspindel zum Fräsen, Bohren u.a. für ein CNC-Bearbeitungszentrum (nach FAG) Die Antriebsleistung für die gezeigte Arbeitsspindel beträgt 20 KW, der Drehzahlbereich liegt bei n = 11 ... 2 240 1/min. Der Antrieb erfolgt über ein schrägverzahntes Radpaar auf die Spindel. Dieses Beispiel stellt die klassische Wälzlagerung für einen großen Drehzahlbereich und hohe radiale und axiale Belastungen dar, wie sie vor allem beim Fräsen auftreten. Die definierte Vorspannung der Radial-Zylinderrollenlager (DIN 5412) wird erreicht über eine Mutter und die Innenkegelfläche im Verhältnis 1 : 12 des Innenrings, durch die dieser bei axialer Verschiebung geweitet wird. Um zu vermeiden, dass durch den Monteur eine zu große Vorspannung eingestellt wird, befindet sich im Bild links vor dem LagerInnenring ein Distanzring, der auf eine der gewünschten Vorspannung entsprechende Breite geschliffen und plan geläppt wurde. Das doppelreihige AxialSchrägkugellager besitzt zwei Innenringe und dazwischen ebenfalls einen Distanzring, dessen Breite die axiale Vorspannung bestimmt. Positiv ist, dass nur eine Bohrung für das vordere Radiallager und das Axiallager herzustellen ist und der Radiallager-Außenring gleichzeitig den Zentriersitz für die vordere Abdeckkappe bildet, in welcher eine Labyrinthdichtung gegen das Eindringen von

O 10 Kühlschmiermittel und eine zweite gegen das Auslaufen von Schmieröl aus dem Spindelkasten (Öl-Umlaufschmierung) angebracht ist. Arbeitsspindel für eine CNC-Drehmaschine, Bild 12. Die Antriebsleistung beträgt 25 KW. Der Drehzahlbereich ist mit n = 31,5 ... 5000 1/min groß bei einer sehr hohen oberen Grenzdrehzahl. Es besteht an die Drehmaschine außerdem die Forderung nach Sicherung einer hohen Arbeitsgenauigkeit. Durch den Einsatz von drei Spindellagern als vorderes Hauptlager wird eine ausreichende Steife und hohe Laufruhe erreicht. Durch „Freistellen“ des dritten (linken) Spindellagers in radialer Richtung und damit nur zur Aufnahme der Axialkräfte entsteht eine geringere Wärmeentwicklung. Die Vorspannung wird über Distanzringe unterschiedlicher Breite zwischen den Lagern erreicht. Als hinteres Lager kann ein doppelreihiges Zylinderrollenlager mit leichter Vorspannung verwendet werden, da eine geringere Belastung vorliegt. Das integrierte Spannfutter verringert den Kragarm a (Bild 6) um ca. 30 % gegenüber einem normalen Spannfutter. Die Schmierung erfolgt „for life“ mit einem SpezialWälzlagerfett (FAG-Arcanol). Die Abdichtung gegen Eindringen von Kühlschmiermittel übernehmen wiederum Labyrinthe.

O Werkzeugmaschinen Planscheibenlagerung einer Senkrecht-Drehmaschine (Karussell), Bild 13. Die Antriebsleistung beträgt 55 KW, der Drehzahlbereich liegt bei n = 4 ... 300 1/min. Die radiale Führung und die axiale Gegenführung übernimmt ein Radial-Schrägkugellager. Hauptstützlager ist ein Axial-Rillenkugellager. Schleifspindel für Außenrundschleifmaschinen Bild 14. Von Außenrundschleifmaschinen wird einerseits eine hohe Zerspanungsleistung beim Schruppschleifen gefordert, anderseits die Sicherung enger Formtoleranzen und guter Oberflächengüten beim Fertigschleifen. Die damit erforderliche hohe Steife wird erreicht durch großen Spindeldurchmesser, verstärkten Spindelkern zwischen den Lagern und durch die Anordnung von vier Hochpräzisions-Spindellagern auf der Schleifscheibenseite. Die Drehzahl liegt im Durchschnitt bei 3 500 ... 4 000 1/min. Die Lagervorspannung des vorderen und hinteren Lagerpaketes übernehmen auch hier Distanzringe, wobei der innere Ring um wenige μm (je nach Größe der Vorspannkraft) gegenüber dem äußeren Ring in seiner Breite zurückgesetzt wird. Die Schmierung erfolgt „for life“ durch Fett.

Bild 12. Werkstückspindel mit Lagerung für eine CNC-Drehmaschine (nach FAG)

Bild 13. Planscheibenlagerung einer Karusselldrehmaschine (nach FAG)

2 Baugruppen von Werkzeugmaschinen

O 11

Bild 14. Werkzeugspindeleinheit für Außenrundschleifmaschinen (Weiss Spindeltechnologie GmbH, Schweinfurt)

Bild 15. Riemengetriebene Schleifspindeleinheit zum Innenrundschleifen (Weiss Spindeltechnologie GmbH, Schweinfurt)

Bild 16. Hochfrequenz-Schleifspindeleinheit 120 EG 60 6 mit nmax = 60.000 1/min, Antriebsleistung P = 6 KW Statischer Frequenzumformer CS2000/12/P mit einer Leistung von 12 kVA und 2000 Hz Maximalfrequenz, vorzugsweise für Bohrungsdurchmesser zwischen 20 ... 25 mm. (Gamfior S.p.A., Turin, Italien) Werkzeugspindeleinheit zum Bohrungsschleifen Bild 15. Riemengetriebene Schleifspindeln werden bis maximal 30.000 1/min eingesetzt. Darüber hinaus ergeben sich ungünstige Umschlingungswinkel des Flachriemens an der auf der Schleifspindel sitzenden Riemenscheibe, da diese sehr klein gewählt werden muss, um die erforderliche Übersetzung beim meist verwandten Drehstrom-Asynchronmotor mit n = 3000 1/min als Antrieb zu erreichen. Zur Sicherung, des hochtourigen Laufs muss das System Spindel-Lagerung steif und sehr genau sein. Um Veränderungen u. a. durch thermische Einflüsse zu begegnen, werden beide Lagerpakete über eine

Druckfeder, die auf das hintere Lagerpaket wirkt, axial vorgespannt. Die Lagerpakete in sich erhalten die Vorspannung wiederum über Distanzringe unterschiedlicher Breite. Die Schmierung erfolgt in der Regel „for life“ mit Fett. Motorschleifspindel Bild 16. Bereits 1960 wurden für das Innenrundschleifen Spindeleinheiten mit integriertem, auf gleicher Achse angeordneten Antriebsmotor, welcher als Hochfrequenzmotor mit maximaler Leistung und geringsten Abmessungen gestaltet war, entwickelt. Mittels Motorumformer wurde die gewünschte hohe Frequenz erzeugt. Diese Entwicklung war notwendig gewor-

O 12 den, weil beim Bohrungsschleifen wegen der Anwendung höherer Schleifscheiben-Umfangsgeschwindigkeiten dank neuer Schleifstoffe und hochfester Bindungen diese nur durch Drehzahlerhöhung bei gleicher Spindelsteife im Gegensatz zum Außenrundschleifen (Vergrößerung des Schleifscheiben-Durchmessers) möglich war. So konnten Schleifspindeleinheiten bis 180.000 1/min entwickelt werden, wie sie beispielsweise zum Schleifen von Einspritzdüsenbohrungen zur Anwendung kommen. In der Zwischenzeit haben sich mit der Entwicklung der Leistungselektronik statische Frequenzumformer durchgesetzt, die Ausgangsfrequenzen bis zu 4000 Hz zulassen und Nennleistungen bis zu 43 kVA bei Möglichkeit der Drehzahlvariabilität (in Grenzen), so zur Beibehaltung konstanter Schnittgeschwindigkeit bei zunehmenden Scheibenverschleiß durch das Abrichten. Der zwischen beiden Lagerpaketen sitzende Hochfrequenzmotor wird mittels Kühlmittel über Kühlkanäle auf konstanter Temperatur gehalten. Die Lager werden mittels Öl-Luft-Gemisch oder Ölnebel geschmiert. Ölnebel oder Luft dienen gleichzeitig zur Sperrung gegen Schleifhilfsstoffeintritt in die Spindellagerung. Jedes Lagerpaket ist wieder über Distanzringe vorgespannt. Beide Lagerpakete werden mittels Druckfedern über die axial in einem Kugelkäfig geführte hintere Lagerbuchse axial vorgespannt. Durch die Kugelführung entsteht rollende Reibung und damit kein negativer Einfluss durch die Reibungskraft. Über Anschlussstecker und Spezialkabel ist die Schleifspindel mit dem Frequenzumformer verbunden. Motorspindeleinheit für die Hartfeinbearbeitung kurzer, vorwiegend runder Teile (im Futter spannbar), Bild 17. In zunehmenden Maße finden Motorspindeln als Werkstück- und Werkzeugspindeln Anwendung im Werkzeugmaschinenbau. Die Vorteile liegen auf der Hand: – Wegfall mechanischer Getriebe

O Werkzeugmaschinen – Querkraftfreie Arbeitsspindel, damit Reduzierung von Relativschwingungen zwischen Werkstück und Werkzeug auf ein Minimum, besonders wichtig bei Präzisionsmaschinen – Stufenlose Drehzahleinstellung und Regelung – Anwendung hoher Schnittgeschwindigkeiten durch hohe Drehzahlen und leistungsstarke Motoren, z. B. beim Hochgeschwindigkeits(HSC)-Fräsen – Leichte Verfahrbarkeit der Spindeleinheit in den kartesischen Koordinaten durch deren kompakten Aufbau Die im Bild gezeigte Spindeleinheit besitzt als Antrieb einen stufenlos stellbaren Drehstrom-Synchronmotor (Siemens AG). Da dieser bei Belastung relativ kalt bleibt und ein zusätzliches Kühlsystem vorhanden ist, wird eine hohe thermische Steife erreicht. Der Motor ist bei dieser Spindel hinter den beiden Hauptlagern angeordnet. Dadurch wird ein drittes Lager am Spindelende benötigt. Zusätzliche Sperrluft sorgt für eine einwandfreie Abdichtung gegen Eindringen besonders von Schleifhilfsstoff (Hartfeindrehen erfolgt trocken).

2.2 Hauptantriebe Hauptantriebe dienen zum Antrieb der Arbeitsspindel von Werkzeugmaschinen, sichern die Übertragung der Antriebsleistung, den Wandel der Drehmomente und ermöglichen die Sicherung des meistens geforderten Drehzahlbereichs der Arbeitsspindel. Im Bild 18 sind die prinzipiellen Möglichkeiten der Hauptantriebe dargestellt. 2.2.1 Gleichförmig übersetzende Getriebe oder Antriebe Stufenlose Getriebe – Mechanisch Früher in Form der Reibgetriebe oder Kettenbzw. Riemengetriebe mit Spreizkegelscheiben (PIV-Getriebe) in Anwendung. Sie haben heute im Werkzeugmaschinenbau ihre Bedeutung, besonders als Hauptantrieb, durch die Entwicklung der elektrischen Antriebe verloren.

Messsystem (Encoder) 90.000 Impulse / U

Bild 17. Werkstückspindeleinheit für Hartbearbeitungsmaschinen zum Hartfeindrehen und Schleifen in einer Aufspannung (Weiss Spindeltechnologie GmbH, Schweinfurt)

2 Baugruppen von Werkzeugmaschinen

O 13

z.B.

Bild 18. Als Werkzeugmaschinen-Hauptantrieb einsetzbare Getriebe und Antriebe – Hydraulisch Auch hydrostatische Getriebe, bestehend aus Hydrogenerator (Verstellpumpe) und rotatorischem Hydromotor, haben wegen schlechter thermischer Eigenschaften und hoher Verlustleistung keine Bedeutung mehr als Werkzeugmaschinen-Hauptantrieb. Hydrostatische Getriebe mit translatorischem Hydromotor (Hydrozylinder- und -kolben) finden dagegen Anwendungen als Hauptantrieb in Langhobelmaschinen und vor allem als Vorschubantrieb und für Längsbewegungen von Arbeitsschlitten, z. B. bei Rund- und Flachschleifmaschinen. Diese Antriebe werden deshalb im Kapitel 2.3.4 behandelt. – Elektrisch Direkte stufenlos stell- und regelbare elektrische Hauptantriebe (als Motor-Arbeitsspindeln) oder in Kombination mit mechanischen Getriebestufen zur Drehzahlbereichserweiterung gewinnen mit der Entwicklung der Leistungselektronik und der CNC-Technik immer mehr an Bedeutung. Ihnen ist das Kapitel 2.2.3 gewidmet. Gestufte Getriebe Gestufte mechanische Antriebe in Form von Zahnradgetrieben oder Riementrieben haben auch im Zeitalter der CNC-Technik und der elektronischen Antriebe ihre Bedeutung nicht verloren. Besonders in klassischen Universalwerkzeugmaschinen, wie sie auch heute noch von Klein- und Handwerksbetrieben und im Instandhaltungssektor eingesetzt werden, sind

insbesondere Zahnradgetriebe, auch gekoppelt mit Riementrieben, in Anwendung. Ungleichförmig übersetzende Getriebe Die aus der Getriebelehre bekannten Prinzipien, wie Schubkurbel, Kurbelschwinge und Kurbelschleife kommen besonders bei Maschinen der Umformtechnik (Kurbelpressen u.a.), Verzahnmaschinen (Schneidrad-Stoßmaschinen), Hobel- und Stoßmaschinen sowie Oszillationsgetrieben (hohe mechanische Frequenz) zur Anwendung. 2.2.2 Gestufte mechanische Getriebe, gleichförmig übersetzend Getriebesymbole

O 14

O Werkzeugmaschinen Der mittels vorgelagerter Getriebestufen oder durch einen stufenlosen Antrieb erzeugte Drehzahlbereich wird beim Schalten der Kupplung nach links direkt an der Arbeitsspindel wirksam. Dabei wird bei der im Bild rechts dargestellten Bauart die auf der Vorgelegewelle sitzende Hülse mit den Zahnrädern b und c nach links verschoben und damit die Räder außer Eingriff gebracht.

Bild 19. Getriebesymbole zur vereinfachten Darstellung des Getriebeaufbaus Schieberadgetriebe Bild 20 (unter Anwendung der Getriebesymbole Bild 19). Zweierblock: Um axial klein zu bauen, SchieberadZweierblock zwischen die beiden Festräder legen, (linkes Bild ), ansonsten vergrößert sich die Blockbreite b von 4 x Radbreite bR auf 6 x bR. Dreierblock: Die axiale Breite beträgt mindestens 7 x bR. Vorteile von Schieberadgetrieben: Übertragung hoher Drehmomente bei geringem Platzbedarf, kostengünstig, guter Wirkungsgrad. Nachteile von Schieberadgetrieben: nur im Stillstand schaltbar, Automatisierung nur mit viel Aufwand möglich. Kupplungsgetriebe Bild 21a. Jede der drei dargestellten Getriebestufen befindet sich ständig im Eingriff, während jeweils nur eine der drei Kupplungen wirkt.

Bild 20. Schieberadgetriebebauarten (Zweier- und Dreierblock). Die Buchstaben a, b, c, ... bezeichnen die einzelnen Räder und ihre Zähnezahlen, z.B. a = 22 Zähne

Vorteile: unter Last schaltbar, da meist kraftschlüssige, schleifringlose Elektromagnet-Lamellenkupplungen verwendet werden. Gut automatisierbar Nachteile: hohe Erwärmung durch Restmomente der nicht geschalteten Kupplungen ungünstiger Wirkungsgrad großes Bauvolumen, da oft die zur Drehmoment-Übertragung notwendige Kupplungsabmessung die Baugröße bestimmt Vorgelege Bild 21b. Vorgelege werden in der Regel über eine parallel zur Arbeitsspindel angeordnete Vorgelegewelle aufgebaut (im Bild als unten liegende Welle dargestellt).

Bild 21a. Kupplungsgetriebe

2 Baugruppen von Werkzeugmaschinen

O 15

Bild 21b. Vorgelegebauarten

Bild 22. Getriebe mit Windungsstufe, Umsteckräder und Riemengetriebe Durch Trennen der linken Kupplung und Eingriff der Räder oder Schalten der rechten Kupplung (im Bild links) erfolgt die Drehmomentübertragung über die Zahnräder a, b, c und d. Damit wird der niedrige Drehzahlbereich wirksam. Vorteil ist eine große Gesamtübersetzung iV = b/a · d/c, mit der eine Verdopplung des Drehzahlbereiches auf relativ einfache und kostengünstige Weise erreicht wird. Kupplungsgetriebe mit Windungsstufe Bild 22 links Beim Getriebe mit Windungsstufe können mit drei Zahnradpaaren und zwei Doppelkupplungen vier Abtriebsdrehzahlen erreicht werden. Die Übersetzungen ergeben sich aus: b , a d i2 = , c f i3 = , e

i1 =

K1 nach links und K2 nach links K1 nach rechts und K2 nach links K1 nach rechts und K2 nach rechts

Windungsstufe b d f i4 = · · , K1 nach links und K2 nach rechts a c e Vorteil:

große Übersetzung bei geringem radialen Bauraum

Nachteile: großer axialer Bauraum, schlechter Wirkungsgrad, hohe Erwärmung Umsteckräder Bild 22 Mitte Anwendung meist bei Sondermaschinen. Durch Umstecken der Zahnräder a und b gegen solche mit anderen Zähnezahlen kann der Drehzahlbereich der Arbeitsspindel nach niedrigeren oder höheren Drehzahlen verlegt werden Riementrieb Bild 22 rechts Als Riementriebe werden im Werkzeugmaschinenbau neben Flach- und Keilriemen in zunehmenden Maße Zahnriementriebe und Keilrippenriementriebe, auch Poly-V-Riementriebe genannt, verwandt, Bild 23. ruhiger Lauf, bei Zahnriementrieb kein Schlupf und somit genaue Drehwinkelübertragung. Damit Verwendung besonders bei NC-Maschinen. Nachteile: Schlupf bei kraftschlüssigem Riemenprinzip (kaum Schlupf bei Poly-VRiemen). Spannen erforderlich über Achsversatz oder zusätzliche Spannrolle. Vorteile:

Übersetzung n d i= 0= 2 n1 d1 Riemenlänge bei Flachriemen: π πβ L = (d1 − d 2 )+ 2 A cos β + (d + d 2 ) 2 180° 1

O 16

O Werkzeugmaschinen L mm

d1 mm

d2 mm

A mm

(5)

Aufbau des Keilrippenriemens

Geometrische Stufung bedeutet: – Im niedrigen Drehzahlbereich liegt ein großes Drehzahlangebot vor. Dies ist günstig für die Schruppbearbeitung zur besseren Ausnutzung des Zerspanungsvorgangs. – Im hohen Drehzahlbereich reicht das kleine Drehzahlangebot für die Schlicht- und Feinbearbeitung wegen der geringen Zerspankräfte aus. – Bei einer geometrischen Reihe entstehen Multipliziergetriebe, die wieder geometrisch gestufte Drehzahlen ergeben, z. B. z = 6, dann ist 6 = 3 · 2, d. h. die erste Übersetzung besteht aus 3 Schaltstufen, die zweite aus 2. Es genügen also 3 + 2 = 5 Zahnradpaare.

(ContiTech, Hannover)

Zahnriemen zum Antrieb einer Lineareinheit (ContiTech, Hannover)

Bild 23. Keilrippenriemen (Poly-V)- und Zahnriemengetriebe Die Berechnung von Keilrippen- und Zahnriemenantrieben sollten nach den Berechnungsunterlagen der Hersteller erfolgen. Getriebeentwurf Haupt- und auch Vorschubgetriebe werden geometrisch gestuft (arithmetrische Stufung nur bei Vorschubantrieben zur Erzeugung metrischer Gewindesteigungen). Die Drehzahlstufung folgt der Reihe: n1 n2 = n1  n3 = n2  = n1 2 ... = ... nz = n 1  z – 1 dabei ist z die Zahl der Drehzahlstufen, n1 die niedrigste und nz die höchste Drehzahl damit ergibt sich der Stufensprung  zu:

  z 1

nz n1

(6)

Bei den Drehzahlreihen nach DIN 804, Tabelle 1., bilden die Grundreihen nach DIN 323 die Basis (siehe Abschnitt Maschinenelemente).

Drehzahlplan nach Germar Regeln: (1) Getriebewellen (I, II, III...) werden als waagerechte parallele Geraden gleichen Abstandes dargestellt. (2) Im Plan werden senkrecht Markierungslinien mit gleichen Abständen eingetragen. Sie symbolisieren eine logarithmische Teilung. Damit entspricht der Abstand zwischen zwei Linien dem Stufensprung . (3) Zwischen den Drehzahlen der Wellen werden entsprechend der jeweiligen Zahnradübersetzung Drehzahlleitern gezogen. Dabei bedeuten: Senkrechte Drehzahlleiter Übersetzung i = 1 i > 1, Drehzahlleiter nach links Übersetzung ins Langsame i < 1, Drehzahlleiter nach rechts Übersetzung ins Schnelle (4) Im Bereich des Schaltgetriebeteils sollte als zulässige Übersetzung gelten: 1 1 ...  izul  ... 2,8 ... (4),   ...  2  1, 25

(7)

dabei sollten die Klammerwerte nur in geeigneter geometrischer Konfiguration zur Anwendung kommen. Am Entwurf eines sechsstufigen Dreiwellengetriebes sollen Drehzahl- und Getriebeplan erläutert werden: Es sei: Motordrehzahl nmot = 1400 1/min (Lastdrehzahl nach DIN 804), nz = n6 = nmot, z = 6, n1 = 250 1/min Daraus folgt:

  z 1

nz 5 1400 

1, 4 n1 250

In der Tabelle 1 können in Spalte 3 unter  = 1,4 die 6 Drehzahlen abgelesen werden. Diese sind: n1 = 250, n2 = 355, n3 = 500, n4 = 710, n5 = 1000, n6 = 1400 1/min. Danach erfolgt die Überprüfung auf die zulässigen Werte für  nach (7).

2 Baugruppen von Werkzeugmaschinen Es ist: zulässiges i ins Langsame: x  2,8, d.h. x  log 2,8 / log 1,4, x  3, zulässiges i ins Schnelle: x 1/1,25, d.h. x log 0,8 / log 1,4 – 0,66, x 1/2 Die Aufteilung der Getriebestufen ergibt sich aus den Primfaktoren der Zahl z = 6 zu 3 und 2, das bedeutet zwei Stufenfaktoren. Die Anzahl der Getriebewellen ergibt sich aus der Zahl der Stufenfaktoren + 1 -, d. h. 2 + 1 = 3 Wellen. Damit kann der Drehzahlplan nach Germar entworfen werden (Bild 24). Tabelle 1. Lastdrehzahlen der Arbeitsspindel [U/min] nach DIN 804 (Die Drehzahlen können beliebig nach oben oder unten erweitert werden: Beispiel: Auf n = 1 000 folgen 1 120, 1 250, 1[400, ... , 1/min)

O 17 III von der höchsten Drehzahl n6 der Welle II zur Drehzahl n3 auf der Welle III geführt werden. Damit ist die Übersetzung i5 = 3 bestimmt. Diese ist nach der Ermittlung der Grenzbedingungen izul gestattet. 4) Vor- oder nachgelagerte konstante Übersetzungen können größere zulässige Übersetzungswerte enthalten. Dabei sollten konstante größere Übersetzungen nach dem Schaltgetriebe liegen. 5) Das Getriebe sollte so gebaut werden, dass ein Minimum an Bauteilen entsteht und insbesondere komplizierte Bauteile reduziert werden. Deshalb kommt im Getriebeplan Bild 24 nur eine Keilwelle (Welle II) zur Anwendung. Sie trägt beide Schieberadblöcke.

GrunR Abgeleitete Reihen dreihe 20 / 2 R 20 / 3 R 20 / 4 R 20 / 8 R 20 (...2800...) (.1400.) (.2800.) (...2800 )  = 1,12  = 1,25  = 1,4  = 1,6  = 1,6 =2 1 2 3 4 5 6 100 112 112 11,2 112 11,2 125 125 140 140 1400 140 1400 160 16 180 180 180 180 180 200 2000 224 224 22,4 224 22,4 250 250 280 280 2800 280 2800 315 31,5 355 355 355 355 355 400 4000 450 450 45 500 500 450 45 560 560 5600 560 5600 630 63 710 710 710 710 710 800 8000 900 900 90 900 90 1000 1000

Regeln für den Getriebeentwurf 1) Hohe Drehzahlen der Zwischenwellen (im Bild 24, Welle II) ergeben kleinere Drehmomente und damit geringere Bauteilabmessungen (Zahnräder und deren Moduln, Wellen, Schieberadblöcke). Deshalb zunächst mit dem Dreierblock als aufwendige Baugruppe zwischen den Wellen I und II beginnen. Dadurch weist im Beispiel die minimale Drehzahl der Welle II immerhin noch 710 1/min auf. 2) Es sollte angestrebt werden, Übersetzungen ins Schnelle nur für Getriebestufen anzuwenden, die der Schlichtbearbeitung dienen. 3) Mit den Übersetzungen i1, i2 und i3 werden die drei hohen Abtriebsdrehzahlen bereits auf Welle II erreicht. Damit ist die Übersetzung i4 = 1 zwischen den Wellen II und III vorgegeben (senkrechte Drehzahlleiter). Um eine lückenlose Drehzahlreihe nach unten zu bekommen, muss die zweite Drehzahlleiter zwischen den Wellen II und

Getriebeplan

Bild 24. Sechsstufiges Dreiwellengetriebe-Drehzahlund Getriebeplan

Anwendungsbeispiel: Drehzahl- und Getriebeplan für ein 12-stufiges Fräsmaschinen-Hauptgetriebe, Bild 25. Das 6-stufige Grundgetriebe befindet sich im Fuß des Maschinenständers. Wegen der periodisch wechselnden Schnittkräfte beim Fräsen ist die Anwendung eines Riemengetriebes, beispielweise mit Keilrippenriemen, günstig. Außerdem wird damit die relativ große Entfernung zwischen dem Grundgetriebe und der Arbeitspindel auf günstige Weise überbrückt.

O 18

O Werkzeugmaschinen

Bild 25a. Drehzahlplan für ein 12-stufiges Fräsmaschinenhauptgetriebe mit nmot = 2800 1/min, n1 = 45 1/min, n12 = 2000 1/min,  = 1,4

Bild 25b. Getriebeplan des 12stufigen Hauptgetriebes einer Fräsmaschine Die Erweiterung auf 12 Drehzahlen erfolgt über ein Vorgelege, wodurch platzsparend die sechs niedrigen Drehzahlen n1 bis n6 erzeugt werden, Bild 25a.. Von der Arbeitsspindel wird die Übersetzung iV1 = 3 zur Vorgelegewelle V geführt und von dieser mit der gleich großen Übersetzung iV2 = 3 wieder auf die Arbeitsspindel zurück. Dabei wird die Kupplung zwischen der auf der Arbeitsspindel sitzenden An-

triebshülse und dem großen Abtriebszahnrad gelöst, Bild 28b. Durch die Anwendung des Vorgeleges bleiben die Übersetzungen iV1, 2 = 3 im zulässigen Bereich. Die eingesetzte Motorkupplung ermöglicht ein gutes Anlaufverhalten und ein schnelles Erreichen der gewünschten Drehzahl. Die Bremse bringt die Arbeitsspindel schnell zum Stillstand.

2 Baugruppen von Werkzeugmaschinen 2.2.3 Ungleichförmig übersetzende mechanische Getriebe Diese dienen der Erzeugung reversierender geradliniger Bewegungen an Werkzeugmaschinen.

Schubkurbel Die klassische Anwendung findet sich im Stößelantrieb von Kurbelpressen, aber auch in Superfinishmaschinen (Feinziehschleifen) als Oszillationsantrieb für das Werkzeug (Honstein), welcher mit hoher Frequenz erfolgen muss (> 500 Doppelhübe/min). Durch den Sinus-Verlauf der Beschleunigung wird eine hohe Laufruhe erreicht.

O 19

Schwingende Kurbelschleife, Bild 26 unten Der hauptsächlich gewählte Antrieb für KurzhubHobelmaschinen (Shaping-Maschinen). Hublänge und Hublage sind leicht einstellbar. 2.2.4 Elektrische Hauptantriebe

Anforderungen an elektrische Hauptantriebe Moderne Werkzeugmaschinen, besonders CNCMaschinen, stellen aus technologischer und verfahrenstechnischer Sicht folgende Forderungen: – Hohe Dynamik, d. h. größtmögliche Beschleunigungen und Verzögerungen der Arbeitsspindel – Hohe maximale Drehzahlen, besonders bei HSCFrässpindeln – Hoher Drehzahlbereich, da auch geringste Geschwindigkeiten beispielsweise bei Fräsoperationen auf der CNC-Drehmaschine von deren Werkstückspindel gefordert werden – Stufenlose Einstellung und Regelung der Drehzahl – Wechselnde hohe Drehmomente und Antriebsleistungen – Wird die Arbeitsspindel als numerische Achse genutzt, dann ist das Einfahren in eine gewünschte Winkelposition schnell und mit höchster Präzision erforderlich (im Winkelsekunden-Bereich). Gleichstrom-Nebenschlussmotor Mit der Entwicklung der Leistungselektronik in den siebziger Jahren war zunächst in Gestalt der Thyristoren (Stromtore), später der Leistungstransistoren, die Voraussetzung gegeben, die Arbeitsspindel, aber besonders die Vorschubantriebe der NC-Maschinen mittels des Gleichstrom-Nebenschlussmotors stufenlos einstell- und regelbar anzutreiben. Für den Gleichstrom-Nebenschlussmotor gelten die Grundgleichungen: Drehzahl n = c1

UA

φ

n UA φ 1/min V Vs

(8),

M IA φ Nm A Vs

(9)

Drehmoment Bild 26. Beispiele für häufig in Werkzeugmaschinen angewandte ungleichförmig übersetzende Getriebe

Kurbelschwinge, Bild 26 oben Auch hier liegt ein analoges Verhalten vor. Am Beispiel der Stößelhubbewegung einer Zahnrad-Wälzstoßmaschine ist das Wirkungsprinzip zu erkennen. Mittels Hubscheibe, Koppel und Schwinge wird die Hubbewegung erzeugt und über Zahnsegment und Umfangszahnstange auf die Stoßspindel und das Schneidrad übertragen.

M = c2 ⋅φ ⋅ I A

Dabei ist: UA Ankerspannung IA Ankerstrom  magnetischer Fluss c1...c3 Maschinenkonstanten Die abgegebene mechanische Leistung ist:

P = c3 ⋅ M ⋅n

M P n Nm KW 1/min

(10)

O 20 Im Bild 27 ist das Prinzip des Gleichstrom-Nebenschlussmotors dargestellt. Die Motordrehzahl lässt sich durch zwei Maßnahmen verändern:

Gleichstrom-Nebenschlussmotor

Bild 27. Prinzip des Gleichstrom-Nebenschlussmotors A – B Ankerkreis, G – H Wendepolwicklung C – D Erregerkreis Ie Erregerstrom UA Ankerspannung IA Ankerstrom I Magnetfluss (durch Ie erzeugt),

Drehmoment und Leistung bei Drehzahländerung eines Gleichstrom-Nebenschlussmotors

Bild 28. M, P = f (n) M Drehmoment, P Leistung, n Drehzahl nn Nenndrehzahl a Bereich der Drehzahländerung durch Änderung der Ankerspannung, b Bereich der Dreh zahländerung durch Flussschwächung Durch Änderung der Ankerspannung (Ankerstellbereich) oder durch Flussschwächung (Feldstellbereich) im Verhältnis 1 : 3 zum Ankerstellbereich, Bild 28. Der benötigte Gleichstrom wird über Schaltungen mit Thyristoren (für hohe Antriebsleistungen) oder Leistungstransistoren aus dem Drehstromnetz gewonnen.

O Werkzeugmaschinen

Vorteile des Hauptantriebs mit Gleichstrom-Nebenschlussmotor – Gute Dynamik, aber begrenzt durch Kommutierung – Großer Drehzahlstellbereich, wobei Drehmoment und Leistung als Funktion der Spindeldrehzahl den Anforderungen, die von Universal-Werkzeugmaschinen gestellt werden, entsprechen, siehe Bild 3 im Kapitel 1.3. – Ausreichende Gleichlaufgüte, zumindest über 80 1/min. – Kostengünstig Nachteile – Verschleiß von Kommutator und Bürsten, damit sind Ausfälle schlecht oder nicht vorhersehbar. Dieser Nachteil wirkt sich besonders negativ auf die Verfügbarkeit aus und führt dazu, dass die Anwendung in Neukonstruktionen immer weiter zurückgeht. – Ungünstige Wärmeabfuhr über Rotorwelle – Unter n = 50 ... 80 1/min nicht einsetzbar. ■ Beispiel: Antrieb einer Drehmaschinen-Arbeitsspindel, Bild 29.

Aus den Anforderungen an die Drehmaschine ergibt sich eine minimale Drehzahl von 20 1/min, die für einen Direktantrieb durch einen GleichstromNebenschlussmotor nicht realisierbar ist. Aus diesem Grunde wird eine Übersetzung über drei Getriebestufen mit i = 4 vorgesehen. Des weiteren ist der Feldstellbereich mit konstanter Leistung P für die Arbeitsaufgaben der Drehmaschine zu gering, so dass eine Erweiterung des Feldstellbereichs durch eine lastschaltbare Getriebestufe i1 erforderlich ist. Diese Lastschaltung erfolgt über zwei Kupplungen, siehe Getriebeplan. Über einen Tachogeber (T) erfolgt die Drehzahlrückmeldung an den Bediener. Mit dieser Anordnung ist insgesamt ein stufenlos einstellbarer Drehzahlbereich von 1 : 112 realisierbar.

Nachteile: – Lastschaltung bei hohem Drehmoment führt zu erheblicher Erwärmung – Die auf der Welle III sitzende ElektromagnetLamellenkupplung baut wegen der zu übertragenden hohen Drehmomente sehr groß. Vorteile: – Im niedrigen Drehzahlbereich können alle Drehzahlen ab 20 1/min angesteuert werden, da das konstante Drehmoment einen gleichmäßigen Lauf ermöglicht – Eine Lastschaltung kann vermieden werden, wenn elektrisch oder hydraulisch betätigte Schieberadblöcke bzw. Stirnzahnkupplungen (anstelle der Lamellenkupplungen) verwendet werden. Deren Schaltung kann jedoch nur im Stillstand oder Auslauf erfolgen. Dabei ist ein Schalten vom Drehzahlbereich I in den Drehzahlbereich II unter Last

2 Baugruppen von Werkzeugmaschinen nicht möglich. Im Programm einer NC-Werkzeugmaschine kann das aber durchaus berücksichtigt werden, sodass einer Automatisierung einer solchen Lösung nichts im Wege steht. Stufenlos stell- und regelbarer Drehstrom-Asynchronmotor Der Drehstrom-Asynchronmotor mit seinem einfachen Aufbau und seiner hohen Verfügbarkeit ist der ideale Hauptantrieb für Werkzeugmaschinen, wenn

O 21 seine Drehzahl stufenlos geregelt werden kann. Dies ist seit Mitte der achtziger Jahre mit Motoren in spezieller Ausführung möglich. In der zweiten Hälfte der neunziger Jahre ist es nunmehr gelungen, mit elektronischen Umrichtersystemen auch Norm-Asynchronmotoren mit einem stufenlos regelbarem Drehzahlbereich auszustatten. Für die meisten Ansprüche von Arbeitsspindelantrieben sind spezielle Hauptspindelmotoren erforderlich, beispielsweise die 1PH-Reihe der Siemens AG.

Bild 29. Drehmaschinen-Hauptantrieb mit thyristorgesteuertem Gleichstromnebenschlussmotor

Bild 30. Regelung für Asynchron-Normmotoren mit dem analogen System SIMODRIVE 611 (Siemens AG)

O 22

Asynchron-Normmotor, Regelung Die Regelung erfolgt entsprechend Bild 30 mit Hilfe eines Mikroprozessors, der die Strom- und Drehzahlregelung enthält. Mittels feldorientiertem Regelalgorithmus, die Regelstrecken-Nachbildung über ein Motormodell und die Ableitung der Istwertgrößen für die Regelung ergibt dies eine hohe Regelgüte. Die Drehzahlregelung erfolgt ohne zusätzliche Gebersysteme. Selbstinbetriebnahme-Routinen sind im Umrichtersystem integriert. Asynchron-Hauptspindelmotoren, Aufbau und Regelung – Drehstrom-Hauptspindelmotoren mit Luftkühlung Die Maximaldrehzahlen liegen zwischen 9000 bis 12000 1/min bei konstanter Leistung bis 1 : 10 durch wide-range-Charakteristik. Damit können in den meisten Fällen Zusatzgetriebe entfallen. Diese Charakteristik wird durch eine Stern-/DreieckUmschaltung erreicht, welche über ein externes Motorschütz erfolgt, dass durch den Umrichter angesteuert wird, Bild 31. Alle Hauptspindelmotoren sind für die Anwendung in CNC-Werkzeugmaschinen standardmäßig C-achs-fähig durch eingebauten Motorgeber G, Bild 32. Sie weisen eine hohe Rundlaufgüte auf. Das volle Dreh-

O Werkzeugmaschinen moment ist mit hoher Überlastbarkeit auch im Stillstand dauernd verfügbar.

Bild 31. Stern-/Dreieck-Umschaltung zur Realisierung eines wide-range-Drehzahlbereichs bei konstanter Leistung (Siemens AG) Die Regelung ist digital auf der Basis eines Mikroprozessors aufgebaut. Sie erfolgt über Sinus-CosinusGeber. Es ist sowohl drehzahlgeregelter als auch drehmomentgesteuerter Betrieb möglich.

Bild 32. Regelung des Asynchron-Hauptspindelmotors im analogen Antriebssystem SIMODRIVE 611 (Siemens AG) – Drehstrom-Hauptspindelmotoren mit Wasserkühlung Der Einsatz erfolgt dort, wo keine thermische Belastung erfolgen darf, beispielsweise bei beschränktem Einbauraum und Vollkapselung. Ein kleineres Motorbauvolumen und eine hohe Schutzart (IP 65) ist möglich. Die maximale Leistung beträgt heute 50 KW, die Maximaldrehzahl 9000 1/min. Für die Regelung gilt auch Bild 32. – Drehstrom-Hauptspindel-Einbaumotoren, Bild 33. Im Bild sind Rotor (Kurzschlussläufer) und Stator dargestellt. Die Motoren werden wassergekühlt und

sind ausgelegt bis 18.000 1/min. Bild 34 zeigt eine Hochgeschwindigkeitsfrässpindel mit Einbaumotor für eine Maximaldrehzahl von 20.000 1/min. Im Bild 35 ist gezeigt, dass auch bei Drehstrom-Hauptspindelmotoren ein nachgeschaltetes Schieberadgetriebe mit zwei Stufen eine leistungsgünstige Drehzahlerweiterung ermöglicht. – Permanenterregte Drehstromsynchronmotoren Seit Ende der neunziger Jahre auch als Hauptspindelmotoren in der Anwendung, besonders dort, wo es auf hohe Anforderungen aus thermischer Sicht ankommt, d. h. bei Präzisionsmaschinen für die Hart-

2 Baugruppen von Werkzeugmaschinen feinbearbeitung, siehe Bild 17.

O 23

2.3 Vorschub- und Stellantriebe 2.3.1 Ausführungsvarianten von Vorschubantrieben

Bild 33. Rotor und Stator eines Asynchron-Einbaumotors (Siemens AG)

Bild 34. Frässpindeleinheit als Motorspindel mit Drehstrom-Asynchron-Einbaumotor, hydrostatischer Lagerung und HSK (Hohlspannkegel)-Spannung (Ingersoll Milling Machine Company, Burbach)

Bild 35. Hauptantrieb eines Großbearbeitungszentrums mit einem Drehstrom-Asynchronmotor und nachgelagerten pneumatisch geschalteten zweistufigen Getriebe (Heckert, Chemnitz)

Vorschubbewegungen haben ihren Ursprung fast immer in rotatorischen Antrieben. Außerdem sind meist niedrige Geschwindigkeiten gefordert. Arbeitstische oder –schlitten müssen vor oder nach der für die Zerspanung erforderlichen Bewegung sehr schnelle Eilbewegungen ausführen, um in kürzester Zeit Leerwege zu überbrücken. Vorschubantriebe erzeugen Vorschubbewegungen von Werkstücken oder / und Werkzeugen: – als geradlinige Vorschubbewegung (z. B. bei Drehmaschinen) – als kreisende Vorschubbewegung (z. B. bei Verzahnmaschinen) – mit kontinuierlicher Bewegung (z. B. bei Fräsmaschinen) – mit intermittierender Bewegung (z. B. bei Hobelmaschinen) – als unabhängige Vorschubbewegung (Vorschubgeschwindigkeit in mm/min, eigener Vorschubantrieb, z. B. Fräsmaschinen) – als von der Schnitt- oder Hauptbewegung des Werkstückes/Werkzeuges abhängige Vorschubbewegung (Vorschubgeschwindigkeit in mm/U, wobei U = 1 Umdrehung des Werkstückes/Werkzeuges) Folgende Ausführungsvarianten von Vorschubantrieben sind möglich, Bild 36: (1) Abhängiger Vorschubantrieb mit mechanischer Ableitung der Drehbewegung von der Arbeitsspindel, Bild oben links. Die Antriebsmittler von der Arbeitsspindel sind in der Regel Zahnradstufen, Zahnräder als Wechselräder insbesondere zur Gewindeherstellung oder Zahnriementriebe. Über das Vorschubgetriebe werden die gewünschten Vorschubwerte eingestellt. (2) Abhängiger Vorschubantrieb mit elektronischer Regelung, Bild 36 unten links. Über Drehgeber auf Arbeitsspindel und Vorschubspindel werden Lage-Soll-und Istwert verglichen und über einen Lageregler erfolgt die Konstanthaltung der Vorschubspindeldrehzahl. (3) Unabhängiger Vorschubantrieb mit mechanischem Getriebe, Bild 36 oben rechts. Die Anwendung ist bei Vorschüben möglich, die keine direkte Beziehung zur Arbeitsspindeldrehzahl aufweisen müssen. Dies gilt meist dann, wenn die Arbeitsspindel als Werkzeugspindel eingesetzt wird, z.B. beim Fräsen, Bohren, aber auch beim Schleifen für die Zustellbewegung der Schleifscheibe zum Werkstück. (4) Unabhängiger Vorschubantrieb mit Schrittmotor und hoch übersetzendem mechanischem Getriebe, Bild 36 Mitte rechts.

O 24 Der Schrittmotor ist ein reiner Stellantrieb und damit nicht regelungsfähig. Er setzt eine Steuerimpulsfolge unmittelbar in eine entsprechende Winkelposition um. Der Rotor des Schrittmotors kann bis zu 50 Polpaare enthalten und damit bis zu 200 Schritt/Umdrehung erreichen, was einem Schrittwinkel von 1,8° entspricht. Er ist in der Lage, im Stillstand ein Haltemoment auszuüben. Für den Positionierbetrieb genügt ein einfaches Steuergerät. Für die Vorgabe von Position und Drehzahl werden nur zwei binäre Signale benötigt, nämlich Puls und Richtung. Die Zahl der Pulse legt den

O Werkzeugmaschinen

Verfahrweg fest, die Pulsfrequenz bestimmt die momentane Verfahrgeschwindigkeit. Er ist nur für geringe Leistungen (< 1 KW ) und Drehzahlen unter 500 1/min geeignet. Um die letztgenannten Nachteile des Schrittmotors auszugleichen, wird er in der Regel zusammen mit einem hoch übersetzenden Getriebe (Harmonic Drive, Planetengetriebe u.a.) in Vorschubantrieben eingesetzt. (5) Numerische Vorschubachse, Bild 36 unten rechts. Die numerische Achse wird im Kapitel 3.4 in Verbindung mit den CNC-Steuerungen eingehend erläutert.

Servomotor, Messsystem

Bild 36. Ausführungsvarianten von Vorschubantrieben 2.3.2 Gestufte mechanische Vorschubgetriebe

Vorschubgetriebe erzeugen die gewünschten Vorschübe hinsichtlich Zahl (bei gestuften Getrieben) und Größe. Die benötigten geringen Vorschubgeschwindigkeiten werden durch hohe Übersetzungen und durch die nach dem Vorschubgetriebe meist eingesetzten Schraubtriebe erreicht. Manuell schaltbare Getriebe (1) Sämtliche Schieberadgetriebe-Bauarten, im Kapitel 2.2.1. beschrieben. (2) Wechselradgetriebe, Bild 37. Angewandt werden diese an konventionellen Drehmaschinen zur Gewindeherstellung und an konventi-

onellen Verzahnmaschinen zur Herstellung der Abhängigkeit der Drehbewegungen zwischen Werkstück und Werkzeug (Wälzbewegungen u.a.). Mit der ständig breiteren Anwendung von NC-Werkzeugmaschinen verlieren sie immer mehr an Bedeutung. Es muss die Möglichkeit bestehen, die verschiedenen Gewindearten, wie metrisches Gewinde, Zollgewinde (1 Zoll = 1s = 25,4 mm), Schneckengewinde (ModulG.) mit m S (m = Modul [mm]) oder englisches Schneckengewinde (Diametral Pitch Gewinde [DP]) herzustellen. Dazu dienen die Räder außerhalb des Fünfersatzes. So ist beispielsweise z = 127 Zähne { 5 · 25,4 mm = 5 · 1s oder die Zahl S = 5 · 71 / 113. Beide Zähnezahlen sind unter den Rädern des Wechselradsatzes vorhanden.

2 Baugruppen von Werkzeugmaschinen

O 25 verzahnte Schiebestange jeweils unter eines der lose laufenden Räder geschoben werden und bewirkt dann dessen Mitnahme. Wegen der geschlitzten Welle können nur geringe Drehmomente übertragen werden.

Räderverhältnis: P a ⋅c ü = W = ü1⋅üW ⋅ PL b⋅d dabei sind: a, b, c, d Zähnenzahlen der Wechselräder PW = Gewindesteigung am Werkstück [mm, "] PL = Leitspindelsteigung [mm, "] = 3, 6, 12, 16 mm oder 2, 4, (6) Gang auf 1 " ü1, üW = feste Räderverhältnisse (Wendegetriebe) in der Regel = 1 Wechselradsatz, besteht aus Rädern mit: z = 20 ... 125 Zähne im Abstand von 5 zu 5 Zähnen z = 127, 157, 71, 113 Zähne Bild 37. Wechselradgetriebe, Aufbau am Beispiel einer Leitspindeldrehmaschine Des weiteren ist noch die Aufsteckregel zur bauseitigen Realisierbarkeit des Wechselradaufsteckens zu beachten. Es gilt das Zähnezahlverhältnis: (a + b) < (c + x) (c + d) > (b + x) Der Wert x wird mit 15 Zähnen angenommen, allgemein – Zähnezahl des kleinsten Wechselrades minus 5 Zähne –. (3) Ziehkeilgetriebe, Bild 38.

(4) Mäandergetriebe, Bild 39. Mäandergetriebe dienen als Dividier- oder Multipliziergetriebe zur Erweiterung von Vorschub-Grundreihen. Mit dem axial verschiebbaren Abtriebsrad auf Keilwelle III können fünf Übersetzungsstufen realisiert werden. Durch zwei Getriebeeingänge über die Wellen I und II sind insgesamt zehn Abtriebsdrehzahlen erreichbar. Im Getriebebeispiel werden folgende Übersetzungen beim Eingang über Welle I realisiert: 30 60 · 60 30 30 30 ü2 = · 60 60 1 ... ü3 = 16 1 ü4 = ... 64 1 ü5 = 256

ü1 =

= 1, ·

30 60 · = 1/4, 60 30

Beim Eingang über Welle II ergeben sich: 60 = 2, 30 30 30 60 1 ü2’ = · · = , 60 60 30 2 1 ü3’ = ... 8 1 ü4’ = ... 32 1 ü5’ = . 128

ü1’ =

Bild 38. Ziehkeilgetriebe, Getriebeplan und konstruktiver Aufbau Dieses Getriebe wird als Vorschubgetriebe an kleineren konventionellen Werkzeugmaschinen genutzt. Der Ziehkeil kann über einen Schalthebel, Ritzel und

Bild 39. Mäandergetriebe

O 26 Automatisch schaltbare gestufte mechanische Vorschubgetriebe (1) Kupplungsgetriebe entsprechend Bild 21. Diese sind als Vorschubgetriebe wegen der niedrigen Drehzahlen relativ gut geeignet, da sie weniger Wärme erzeugen als beim Einsatz in Hauptgetrieben. (2) Kupplungsgetriebe mit Windungsstufe entsprechend Bild 22. (3) Ziehkeilgetriebe ist automatisierbar (4) Mäandergetriebe ist automatisierbar Getriebe mit konstanter hoher Übersetzung Diese werden benötigt bei der Anwendung von Antriebsmotoren, beispielsweise Schrittmotoren, die im normalen Drehzahlbereich (maximale Drehzahl 500 bis 2000 1/min) arbeiten und langsame Vorschubbewegungen erzeugen sollen. (1) Wellgetriebe (Harmonic Drive), Bild 40. Bestandteile: Wave Generator – eine elliptische Stahlscheibe mit zentrischer Nabe und aufgezogenem, elliptisch verformbarem Spezialkugellager Flexspline – eine zylindrische, verformbare Stahlbuchse mit Außenverzahnung Circular Spline – ein steifer, zylindrischer Ring mit Innenverzahnung. Die Funktionsweise ist im Bild 41 dargestellt. Schritt 1: Der elliptische Wave Generator (angetriebenes Teil) verformt über das Kugellager den Flexspline, der sich in den gegenüberliegenden Bereichen der großen Ellipsenachse mit dem innenverzahnten Circular Spline im Eingriff befindet. Schritt 2: Mit der Drehung des Wave Generators verlagert sich die große Ellipsenachse und damit der Zahneingriffsbereich. Da der Flexspline zwei Zähne weniger als Circularspline besitzt, vollzieht sich im Schritt 3: nach einer halben Umdrehung des Wave Generators ein Relativbewegung zwischen Flexspline und Circular Spline um die Größe eines Zahnes und, Schritt 4:, ... nach einer ganzen Umdrehung um die Größe zweier Zähne.

O Werkzeugmaschinen Bei fixiertem Circular Spline dreht sich der Flexspline als Abtriebselement entgegen der Drehrichtung des Antriebs. Merkmale des Wellgetriebes: – hohe Verdrehsteifigkeit, kein Spiel in der Verzahnung, dadurch große Positionier- und Wiederholgenauigkeit – kompakte Bauweise durch koaxialen An- und Abtrieb, geringes Gewicht, kleine Außendurchmesser – hohe Übersetzungsverhältnisse in einer Stufe bei sehr gutem Wirkungsgrad – lange Lebensdauer – Übersetzungen je nach Baugröße von i = 50 bis i = 260 – Bei Nenndrehzahl 2000 1/min sind Nenndrehmomente von 0,3 ... 529 Nm übertragbar.

Bild 41. Funktionsweise des Harmonic Drive-Wellgetriebes, in 4 Schritten dargestellt (Harmonic Drive, Limburg a. d. Lahn) (2) Planetengetriebe, Bild 42.

1 Antriebshohlrad 2 Planetenrad 3 Antriebsritzel Bild 40. Harmonic Drive Getriebeeinbausatz HDUC (Harmonic Drive, Limburg a.d. Lahn)

4 Umlaufträger 5 Gegenhohlrad

Bild 42. Planetengetriebe-Einbausatz WPE (alpha Getriebebau GmbH, Igersheim)

2 Baugruppen von Werkzeugmaschinen Auch Planetengetriebe können konstante große Übersetzungen spielarm auf kleinem Raum verwirklichen. Das niedrige Trägheitsmoment ermöglicht hohe Beschleunigungen und Verzögerungen. Ein weiterer Vorteil ist die koaxiale Bauweise bei kleinem Bauraum. 2.3.3 Schraubtriebe Der Gleitschraubtrieb Gleitschraubtriebe sind heute weitgehend auf konventionelle Werkzeugmaschinen und auf untergeordnete Beistellbewegungen beschränkt. Sie werden in der Regel mit Trapezgewinde (Spitzenwinkel E = 30°) als Transportgewinde ausgeführt. Dieses Gewinde ermöglicht eine einfache Herstellung durch Drehen, Fräsen und Schleifen. Vorteile: – Kostengünstig – Bei entsprechender Konstruktion Spielausgleich möglich Nachteile: – Schlechter Wirkungsgrad – Bei kleinen Geschwindigkeiten und großer Reibung kann Ruckgleiten (stick-slip-Effekt) auftreten Der übliche Durchmesserbereich liegt bei Anwendung in spanenden Werkzeugmaschinen zwischen 18 und 60 mm. Bevorzugte Spindelsteigungen sind: Ph = 3, 6, 8, 10, 12 und 16 mm.

O 27 Spindelwerkstoffe: C 35E, C 60E (DIN EN 10083-1) oder 35 Cr AlNi 7 nach DIN EN 10085 (bei nitriergehärteten Spindeln) Spindelmutter-Werkstoffe: GJL 250 nach DIN EN 1561 (bei Handbetätigung), CuAl10NiFe2-C (DIN EN 1982), Cu Sn 12-C (DIN EN 1982), CuZn35Mn2Al1Fe1-C (DIN EN 1982) Im Bild 43 sind verschiedene Ausführungen von Gleitschraubtrieben dargestellt. Im Bild wird unter 1) eine längs geteilte Mutter gezeigt, wie sie bei Leitspindeln an Drehmaschinen Anwendung findet. Durch Drehen der Nutscheibe mittels Handhebel wird die Mutter geschlossen oder geöffnet. Im Bild 2) oben rechts ist eine Spindelmutter mit Höhendifferenzausgleich dargestellt. Lageveränderungen zwischen Schlittenführung und Spindel führen nicht zu Zwängen beim Verfahren des Schlittens. Bild 3) unten links zeigt eine Spindelmutter, bei welcher das Spiel im Gewinde mittels der mittleren Schraube eingestellt werden kann. Ist das gewünschte Spiel erreicht, wird das linke Mutterteil mit der Schraube festgezogen. Bild 4) unten rechts stellt einen ständig mit gleicher Kraft wirkenden elastischen Spielausgleich dar. Die Belastung wird durch eine Feder aufgebracht und über eine Zahnstange auf ein Zahnrad übertragen. Dieses besitzt außerdem eine Stirnverzahnung, mittels der beide Muttern 1 und 2 gegenläufig verdreht werden, sodass beide Gewindeflanken ständig anliegen. Durch die Einstellung der Federvorspannung kann die Belastung der Flanken verändert werden.

Bild 43. Ausführungen des Systems Spindel – Mutter bei Gleitschraubtrieben

O 28

O Werkzeugmaschinen

Dimensionierung der Spindel: Spindeln werden auf Zug, Druck, Torsion und Knickung beansprucht. Es wird von einer Zugspannung ausgegangen, die maximal 30 % der zulässigen Spannung betragen darf. Dann ist: 4 Fa ≤ 0,3σ zul d12 π

σ=

Fa N

d1



N mm mm 2

(11)

Es sind: Fa [N] Axiallast, d1 [mm] Kerndurchmesser des Spindelgewindes, zul = 80 ... 100 N/mm2. d1 =

4 Fa

(12)

π ⋅0,3σ zul

Festlegung der Spindelmutterlänge H: Die mittlere Flächenpressung ist pm ≈

4 Fa (d − D12 ) π z 2

dabei sind: d [mm] D1 [mm] z

pm

Fa D1 d z (13) N N mm mm – 2 mm Gewinde-Nenndurchmesser Mutter-Kerndurchmesser Anzahl der Gewindegänge

Mit pm zul = 10 ... 15 N/mm2 (Stahl gegen Bronze) erhält man z aus (13). Die Mutterlänge

H = zPh

H Ph mm mm

(14)

Es sollte sein: H/d | 1,5 ... 4 Das Spindelmoment ergibt sich zu

Msp d2 Fa D U d2 (15), tan ( α + ρ′) 2 Nmm mm N º º Axiallast Flankendurchmesser des Gewindes = 0,08 ... 0,15 Reibwert für Gleitschraubtriebe Steigungswinkel des Gewindes

Msp = Fa Fa d2

P D

interne Kugelrückführung

Kugelgewindespindel

U’

Reibungswinkel für Trapezgewinde mit tan U’ | μ

Der Wälzschraubtrieb WST (Kugelgewindetrieb KGT) Die Grundlagen und Definitionen sind in DIN 69051 enthalten. Haupteinsatzgebiete im Werkzeugmaschinenbau: – Wesentliche Baugruppe der linearen NC-Vorschub- oder Zustellachse bei rotatorischem Antrieb (Servomotor) – Als Antriebsachse für Pendelbewegungen, beispielsweise der Arbeitstische an NC-Schleifmaschinen – Für die Realisierung des Werkstück- und Werkzeug-„handlings“ und in der Robotertechnik Bei vielen Arbeitsaufgaben hat der Wälzschraubtrieb eine Doppelfunktion, als Antriebsübertragungselement und überall dort als Messelement, wo zur Lageistwerterfassung eines Arbeitsschlittens ein rotatorisches Messsystem eingesetzt wird. Das Grundprinzip des Kugelgewindetriebs ist im Bild 44 dargestellt. Zwischen Gewindespindel und Mutter werden die Außen- und die Innengewindebahn als Kugelführung wie bei einem Wälzlager genutzt. Damit liegt rollende Reibung vor. Die Bedingung für einen spielfreien Lauf als Voraussetzung für hohe Präzision bei der Positionierung ist die Vorspannung des Systems mit einer solchen Höhe, dass bei maximaler äußerer Belastung kein Spiel auftreten kann.

Vorteile des Kugelgewindetriebes – Hohe Übertragungsgenauigkeit – Hohe Positioniergenauigkeit – Geringer Verschleiß – Stick-slip-freie Bewegung (kein Ruckgleiten) auch bei geringen Geschwindigkeiten – Hohe Steifigkeit, Spielfreiheit und geringste Umkehrspanne bei geeigneten Vorspannungsmaßnahmen

Kugelgewindemutter

externe Kugelrückführung mit Ablenkung und Führungsnut

Bild 44. Prinzip des Kugelgewindetriebes (Gamfior SpA. Turin, Italien)

2 Baugruppen von Werkzeugmaschinen

Nachteile des Kugelgewindetriebs – Geringe Dämpfung – Keine Selbsthemmung, die Position muss über den Antriebsregelkreis oder nach dessen Abschalten durch eine meist in den Servomotoren eingebaute Bremse bzw. Schlittenklemmung gehalten werden. Besonders wichtig bei senkrechtem Einbau!

O 29

s –

P

Bild 45. Kräfte und Vorspannmöglichkeiten beim Kugelgewindetrieb KGT (nach FAG) Die geometrischen Beziehungen ergeben sich aus Bild 45 oben zu: Schmiegung s=

r1 r2

| 0,96 ... 0,98

(16),

Der Druckwinkel  = 45°, das Verhältnis

d1 P

2 P + Ds - v

r2 mm

dabei sind r1, = Radius der Kugel, r2 = Radius des Gewindeprofils [mm].

i=

P

r1 mm

d1 = 0,8 ... 0,85, wobei P

= Kugeldurchmesser [mm], = Gewindesteigung [mm].

Auf die Kugeln wirken die Axiallast FA und die Vorspannkraft FV. Unter Berücksichtigung des Druckwinkels entsteht die Normalkraft FN. Zur Vorspannung gibt es zwei Möglichkeiten, Bild 45 Mitte. Oben ist eine Mutter dargestellt, in der von vornherein bei der Fertigung die Vorspannung durch das Shiften über zwei Gewindegänge (Steigung P) in der Mitte der Mutter um den Shiftbetrag 2P + s – v erreicht wird. Bei der zweiten Ausführung, Bild 45, unten, werden zwei Doppelmuttern planseitig durch Schleifen nachgesetzt und gegenseitig axial verspannt. Danach erfolgt die Fixierung über einen Schrumpfring mittels Hydraulik-Montage. Wenn der Kugelgewindetrieb gleichzeitig Messbasis für den Lageistwert ist, werden an die Fertigung der Gewindespindel hohe Anforderungen gestellt. Maximale Steigungsfehler von 5 μm/ 300 mm Länge sind Standard. Darüber hinaus erfolgt eine elektronische Korrektur der Steigungsfehler mittels Vermessung und elektronischer Korrektur (+ / – Zählung) über die CNC-Steuerung der Werkzeugmaschine. Im Bild 46 ist unter 1) die Axialverschiebung unter Last dargestellt. Das Diagramm zeigt die Kraft (Last) F als Funktion der Axialverschiebung G. Dabei stellt die Kurve FAI die Verschiebung in Abhängigkeit der Belastung in einer Richtung dar (Axiallast – rechte Mutter), die Kurve FA II zeigt die Funktion bei Belastung in der Gegenrichtung (Axiallast – linke Mutter). Beide Kurven kreuzen sich im Vorspannpunkt. Dieser entspricht der Vorspannkraft F V mit der Vorspannungsverschiebung G V/2. Die Axiallast FA darf nur so groß werden, dass die zugeordnete Axialverschiebung GA den Wert GV/2 in beiden Richtungen nicht überschreitet. Anderenfalls würde Spiel entstehen und die präzise Positionierung wäre nicht mehr möglich. Die Bilder 2) und 3) im Bild 46 zeigen, welchen Einfluss die axiale Lagerung der Gewindespindel im Maschinengestell auf die Axialverschiebung hat. Werden an diesen Stellen konstruktionsseitig nur geringe Steifen vorgesehen, so sind Positionsfehler des Arbeitsschlittens unter Last vorprogrammiert.

O 30

O Werkzeugmaschinen

Lh

P

ls

h

mm

m

nI 1 min

(18)

dabei sind: ls Weg (Hub) nI Anzahl der Zyklen der Mutter pro min P Steigung Die zulässige statische Axiallast bei Stillstand der Spindel ergibt sich aus: FA ≤

coa fs

FA

coa

fs

daN

daN

1–3

(19)

dabei sind: fs statischer Sicherheitsfaktor, bei normaler Bewegung 1 ... 2, bei Vibrationen 2 ... 3 coa statische Tragzahl Die zulässige Drehzahl nzul = 0,8 nkr fko

2) Einfluss der Art der Lage3) Einfluss der Art der Lagerrung der Gewindespindel im aufnahme der GewindespinGestell (Bett, Kasten u. ä.) del im Gestell (Bett, Kasten auf die Axialverschiebung u. ä.) auf die Axialverschiebung

nzul 1 min

L Umdr.

ca daN

Fa daN

fw –

und nkr g f (17)

Mit

ca FA fw

Dynamische Tragzahl Axiallast Faktor für Betriebsbedingungen = vibrationsund erschütterungsfreie Bewegungen = 1,0 ... 1,2 normale Bewegungen = 1,2 ... 1,5 Bewegungen mit Vibration und Erschütterungen = 1,2 ... 2,5

Die Lebensdauer in Arbeitsstunden ist: LP Lh = 2ls nI 60⋅103

0,32 – 2,24

(20)

g f

nkr

Die Berechnungen von Lebensdauer, zulässige statische Belastung und zulässige Drehzahl entsprechen weitgehend denen der Wälzlager.  c 3 L = a  ⋅106  FA f w 

fko

mit

Bild 46. Einflüsse auf die Axialverschiebung GA unter Last beim Wälzschraubtrieb

Die Lebensdauer ergibt sich zu

nkr 1 min

nkr

f

1 min

mm

g mm

(21)

s2

kritische Drehzahl, Erdbeschleunigung, max. Durchbiegung bei Eigengewicht der Spindel als Streckenlast mit Korrekturfaktor

fko = 0,32 einseitig eingespannte Gewindespindel 1,00 beidseitig frei aufliegende Spindel 1,55 einseitig eingespannte, ansonsten frei aufliegende Spindel 2,24 beidseitig eingespannte Spindel

Im Bild 47 sind diese Fälle an Hand von verschiedenen Lagerungsmöglichkeiten der Gewindespindel dargestellt. Einbaufall 5) reduziert den Korrekturfaktor fko auf den Wert 0,32 und setzt damit die zulässige Drehzahl erheblich herab. Außerdem zeigt das Diagramm im Bild unten, dass die Steife des Systems mit wachsendem Schlittenweg nach rechts erheblich abnimmt, während bei beidseitiger Axiallagerung der Gewindespindel die Steife ein Minimum in der Wegmitte

2 Baugruppen von Werkzeugmaschinen

O 31

aufweist. Die besten Werte werden mit der axial vorgespannten Spindel, Einbaufall 4), erzielt. Die Gesamtsteife cgesamt [N/μm] ergibt sich aus: 1

cgesamt +

+

=

1

cMasch.-Gestell

+

1

cFestlager

+

1

cSpindel

+

1 1 + + cSpindelbefestig. cMuttereinheit

1 cMuttereinh.-Verbind.

(22)

2.3.4 Hydraulische (hydrostatische) Vorschubantriebe

Hydraulische Antriebe hatten bis in die achtziger Jahre hinein einen hohen Stellenwert im Werkzeugmaschinenbau. Besonders mit der immer stärkeren Automatisierung der Produktion wurde die Hydraulik dank ihrer Eignung für automatisierte Einrichtungen umfassend eingesetzt. Mit der Entwicklung der NCTechnik, insbesondere der CNC-Steuerungen und der elektronischen Drehstromantriebstechnik, wird die Hydraulik an Vorschubantrieben immer weiter zurückgedrängt, ohne ihre Anwendungsgebiete im Werkzeugmaschinenbau zu verlieren. Diese liegen insbesondere bei der Betätigung von Spanneinrichtungen, bei Antrieben von Lade- und Entladesystemen und bei der Speicherung für Werkstücke und Werkzeuge u.ä. Dort treten jedoch als einflussreiche Konkurrenten die pneumatischen Systeme auf. Vorteile der Hydraulik: – Hohe Energiedichte, d.h. Erzeugung großer Kräfte bei geringen Abmessungen – Einfache Erzeugung geradliniger Bewegungen – Stufenlose Einstellung und Regelung der Geschwindigkeit des Hydromotors – Einfache Umkehr der Bewegungsrichtung – Einfacher Überlastungsschutz durch einstellbare Druckbegrenzungsventile – Elektrische bzw. elektronische Ansteuerung hydraulischer Ventile sichert eine gute Automatisierbarkeit. Deswegen wird die Hydrostatik im Verbund mit der CNC-Technik auch die künftige Basis der meisten Werkzeugmaschinen bilden. Nachteile der Hydraulik: – Abhängigkeit der Viskosität und Kompressibilität des Hydrauliköls von Druck und Temperatur – Erwärmung des Hydrauliköls, damit negative thermische Einflüsse auf die Arbeitsgenauigkeit der Werkzeugmaschinen – Hohe Anforderungen an die Filterung des Hydrauliköls – Notwendige Abführung des Lecköls in den Ölbehälter

Bild 47. Möglichkeiten des Einbaus von Wälzschraubtrieben und Steife-Verhalten (Gamfior SpA, Turin, Italien) Das schwächste Glied, d.h. die kleinste Einzelsteife, bestimmt die Gesamtsteife. Es ist in den meisten Fällen die KGT-Spindel mit Werten für cSpindel < 100 N/μm. Bei sorgfältiger Konstruktion und Montage sind alle anderen Steifen in (22) wesentlich größer als 100 N/μm. Durch die in der Gleichung dargestellten verschiedenen Einflüsse erreicht die Gesamtsteife cgesamt in der Regel nur Werte unter 60 N/μm.

Grundsätzlicher Aufbau einer hydraulischen Anlage Im Bild 48 ist der grundsätzliche Aufbau einer hydraulischen Anlage dargestellt. Zu dieser gehört eine Ölpumpe, die auch in Analogie zur Elektrotechnik als Generator bezeichnet werden kann. Hier wird die durch den Antriebsmotor (in der Regel ein Elektromotor, aber im mobilen Bereich auch Verbrennungsmotoren) eingebrachte mechanische Leistung Pmech 1 ~ M · Z in hydraulische umgeformt, p1 · Q1. Dabei ist p1 [bar] der Hydraulikdruck. Q1 [1/min] der Förderstrom der Pumpe, den diese aus dem Ölbehälter ansaugt.

O 32

O Werkzeugmaschinen

Bild 48. Grundsätzlicher Aufbau

Bild 49. Aufbau eines offenen Hydraulikkreislaufes Über Steuer- und Regeleinrichtungen werden notwendige Schalt- und Steuerinformationen in den Hydraulikkreislauf eingebracht. Im Motor, der entweder ein Arbeitszylinder mit Kolben oder ein Hydro-Rotationsmotor sein kann, wird die hydraulische Leistung wieder in mechanische (Pmech 2) umgeformt, die bei Linearmotoren ~ F · v, also Kraft · Geschwindigkeit oder bei Rotationsmotoren ~ M · Z ist.

Offener Hydraulikkreislauf: Im Bild 49 ist ein offener Hydraulikkreislauf beispielsweise zur Erzeugung einer linearen Vorschubbewegung eines Arbeitsschlittens dargestellt. Durch den Einsatz eines Hydrozylinders mit Scheibenkolben und einseitiger Kolbenstange (sog. Differentialkolben) als Motor M erfolgt bei Öldruckbeaufschlagung des linken Zylinderraums eine Kolbenbewegung mit der Geschwindigkeit vv nach rechts gegen die Bearbeitungskraft F. Die linksseitige Druckbeaufschlagung erfolgt über die Schaltstellung 1 des 4/3-Wegeventils VW.

Bild 50. Hydrauliksymbole nach DIN ISO 1219 (Auswahl) Der Hydraulikschaltplan im Bild 49 ist in Symboldarstellung ausgeführt. Wichtige Symbole hydrauli-

2 Baugruppen von Werkzeugmaschinen

O 33

scher Geräte und Bauelemente sind im Bild 50 dargestellt. Das 4/3-Wegeventil VW wird durch Elektromagnete in die Schaltstellungen 1 und 2 geschaltet. Die Mittelstellung 0 (Kreislauf-Kurzschluss: Die Pumpe fördert gegen das Rückschlagventil VR mit Gegendruck pG zurück in den Behälter B) wird über die beiden im Ventil eingebauten Federn erreicht. Während dieser Stellung sind die Leitungen vom Zylinder zum Ventil blockiert, d.h. der Kolben kann sich nicht bewegen. Die Kolbengeschwindigkeit vv nach rechts ergibt sich aus:

vv =

Qp A1

vv cm min

Qp

A1

1 cm2 min

(23)

vv =

A2

vv

Qp

3

2 1 A

B

T

P

5

6

1

2’r0 2rK

b 2

P

1

3

A2

cm 1 cm2 min min

4

1’

wobei Qp der Förderstrom und A1 die Kolbenfläche ist. Beim Schalten des Ventils in die Stellung 2 erfolgt ein Vertauschen der Leitungen: Der Druckstrom der Pumpe gelangt nunmehr in den rechten Zylinderraum. Bei gleichem Förderstrom Qp’ = Qp der Pumpe gilt: Qp

die Zahnlücken beider Räder, die gegen das Gehäuse abgeschlossen sind. Das Ansaugen wird durch die nach dem Eingriff frei werdenden Zahnlücken und das sich dabei bildende Vakuum erreicht. Mit dem Zahneingriff wird auf der Druckseite das Öl in den Druckraum verdrängt. Um Quetschöl und damit hohes Pumpengeräusch zu vermeiden, sind im Gehäusedeckel Entlastungsnuten eingearbeitet.

(24)

wobei die Fläche A2 die Kolbenringfläche ist. Es ist A1 > A2, damit ist die Geschwindigkeit des Kolbens bei der Rückbewegung nach links entsprechend des Flächenverhältnisses A1 : A2 größer. Mit diesem Kreislaufaufbau ergibt sich auf einfache Weise eine Vorschubgeschwindigkeit nach rechts und ein Eilrücklauf (ohne Belastung) nach links. Wird als Pumpe eine Verstellpumpe eingesetzt, wie im Kreislauf dargestellt, so kann durch Veränderung des Pumpenförderstroms die gewünschte Kolbengeschwindigkeit eingestellt werden. Zum Kreislauf gehört stets ein Druckbegrenzungsventil VD, an welchem der Grenzdruck pe mittels Veränderung der Vorspannung der Ventilfeder eingestellt werden kann. Ein Ölfilter F in der Abflussleitung vervollständigt diesen offenen Hydraulikkreislauf als Vorschubantrieb. Prinzipien wichtiger an Werkzeugmaschinen eingesetzter Hydraulikbaugruppen 1) Hydraulikpumpen

Konstantförderpumpen Am Beispiel der Zahnradpumpe wird das Prinzip der Konstantförderpumpe erläutert, Bild 51. Ein Zahnradpaar 1, 1’ ist in einem Gehäuse 3 angeordnet und wird von den beiden Gehäusedeckeln 2, 4 axial eingeschlossen. Die Ölförderung geschieht über

Zahradpumpe, außenverzahnt 1, 1’ Zahnradpaar 2, 4 Gehäusedeckeln 3 Gehäuse 5 Saugraum 6 Druckraum 7 Wellendichtring A Ansauggebiet B Verdrängunggsgebiet Abführung der Quetschflüssigkeit (Bild unten) 1 Druckraum, 2 Nut 3 Kompressionszone Bild 51. Prinzipieller Aufbau einer Zahnradpumpe als Konstantförderpumpe Der Pumpenaufbau ist einfach. Dadurch ist die Pumpe kostengünstig. Eine Verstellung des Förderstroms ist nur mittels Verstelldrossel und Druckbegrenzungsventil, welches dann zum Arbeitsventil wird und über das ständig Öl strömt, möglich. Dadurch entstehen hohe Leistungsverluste und eine hohe Ölerwärmung. Aus den genannten Gründen wird deshalb die Konstantförderpumpe im Werkzeugmaschinenbau nur noch für untergeordnete Zwecke verwendet. Verstell- oder Regelpumpen Am Beispiel der in der Werkzeugmaschinenhydraulik am meisten angewandten Verstellpumpe, der Flügelzellenpumpe, Bild 52, wird das Prinzip der Verstelloder Regelpumpe erläutert.

O 34

O Werkzeugmaschinen

Über einen von einem Motor angetriebenen Rotor 1, in welchem Stahlflügel 2 in Schlitzen leichtgängig eingepasst sind, die durch die Fliehkraft gegen den Gehäusering 3 gedrückt werden, öffnen sich durch die Drehung auf der Saugseite 4 Räume, die sich mit Öl füllen. Dies werden auf die Druckseite getragen. Dort wird das Öl durch die Zellenraumverkleinerung bei Weiterdrehung des Rotors über die Steuernut 5 in den Druckraum gebracht. Die Größe des Förderstroms hängt von der Exzentrizität e des Rotors zum Gehäusering ab. Bei e = 0 ist der Förderstrom gleich Null. Bei der Verstellung der Exzentrizität über Mitte nach rechts (minus) kehrt sich die Förderrichtung um. Damit kann die Pumpe auch in geschlossenen Kreisläufen Anwendung finden, wo beispielsweise durch ständiges Wechseln der Exzentrizität von plus nach minus eine Hin- und Herbewegung eines Arbeitstisches erreicht werden kann. e 1

4

2

3

5

Flügelzellenpumpe, einfach wirkend 1 Rotor, 2 Flügel, 3 Gehäusering, 4 Steuernut – Saugseite, 5 Steuernut-Druckseite e Exzentrizität Bild 52. Prinzipieller Aufbau einer Flügelzellenpumpe als Verstellpumpe Eine wesentliche Bedeutung hat in der Werkzeugmaschinen-Hydraulik die Verstellpumpe mit einer Regelung als Nullhubpumpe.

bunden, Bild 53 links. Die Federvorspannung FV ist einstellbar. Die Kennlinie im Bild rechts zeigt die Wirkungsweise des Nullhubreglers. Bei niedrigem Druck liefert die Regelpumpe den vollen Förderstrom Q. Dies wäre beispielsweise der Fall, wenn ein Arbeitsschlitten oder der Stößel einer hydraulischen Presse im Eilgang bewegt werden soll, wo nur geringe Gegenkräfte wirken. Beim Auftreten einer hohen Gegenkraft steigt der Druck an. Ab einem bestimmten, über die Federvorspannung einstellbaren Druck pe geht der Förderstrom zurück. In Abhängigkeit von der Federkennlinie c erreicht er bei weiterer Drucksteigerung den Wert 0. Eine geringe Förderung erfolgt danach nur, um Leckverluste auszugleichen. Der Druck wird in voller Höhe aufrecht erhalten. Da Q o 0, ist der Energiebedarf äußerst gering. Da kein Öl gefördert wird, ist auch die thermische Stabilität größer. Es entsteht nur geringe Ölerwärmung. In Verbindung mit einem Druckspeicher hat sich diese Art der Anwendung im Werkzeugmaschinenbau fast überall durchgesetzt. 2) Arbeitszylinder als hydraulische Linearmotoren Im Bild 54 sind verschiedene Aufbauprinzipien dargestellt. Unter 1) oben links wird gezeigt, dass bei beidseitiger Kolbenstange im Fall b) deren fester Einbau mit Ölzuführung durch die Kolbenstange in den Zylinderraum eine Reduzierung der Einbaulänge auf > 2 · Hublänge H erreicht wird. Das kann bei Werkzeugmaschinen wegen des oft geringen Bauraums von Bedeutung sein. Unter 2) sind die Möglichkeiten aufgezeigt, die sich bei Arbeitszylindern mit einseitiger Kolbenstange hinsichtlich möglicher Geschwindigkeiten ergeben. Durch entsprechende Schaltung über Wegeventile können die Bewegungen a) Vorlauf oder Arbeitsvorschub, b) Eilrücklauf und c) Eilvorlauf wirksam werden. Dies entspricht den meisten Forderungen an Werkzeugmaschinen-Arbeitsschlitten. Bei c) Eilvorlauf ergibt sich die Geschwindigkeit zu ve =

Bild 53. Regelpumpe mit Nullhubregler (Prinzip und Kennlinie) Die Exzentrizität e des Rotors einer Flügelzellenpumpe wird über einen Kolben gegen eine Feder durch den Pumpendruck p verstellt. Deshalb ist über eine Nebenleitung der rechte Zylinderraum der Regeleinrichtung mit der Hauptleitung der Pumpe ver-

Q A1 − A2

ve cm min

Q 1 min

A1

A2

cm

cm

(24)

Unter 3) sind Möglichkeiten der Endlagenbremsung dargestellt, bei Arbeitsschlitten besonders für die Feinbearbeitung (Schleifen, Feinbohren) wegen geforderter Stoßfreiheit von großer Bedeutung. Beispiele von Hydraulikkreisläufen in Werkzeugmaschinen, Bild 55. Im Bild links ist der Schaltplan und die Schaltbelegungstabelle für einen Schleifmaschinen-Tischantrieb dargestellt. Die Geschwindigkeit der Tischpendelbewegung wird über die Verstellpumpe eingestellt.

2 Baugruppen von Werkzeugmaschinen

O 35

Bild 54. Aufbau und Einsatzmöglichkeiten von Arbeitszylindern

Bild 55. Beispiele von Hydraulikkreisläufen bei Werkzeugmaschinen

O 36

O Werkzeugmaschinen

Über die Endschalter E1 und E2 wird in den Endlagen jeweils das Wegeventil VW1 zwischen 0 und 1 umgeschaltet – Umkehr der Bewegungsrichtung. Über VW2 werden von Hand entweder die Tischhaltstellung 0, die freie Beweglichkeit des Tisches zum Verschieben mit dem Handrad (Stellung 1) oder das Pendeln (Stellung 2) eingestellt. Im Kreislauf Bild rechts wird durch VW1 der Förderstrom einer Konstantförderpumpe entweder über die einstellbare Drossel (Arbeitsvorschub) geleitet (Stellung 2) oder diese umgangen (Eilgang Stellung 1).

2.4 Geradführungen an Werkzeugmaschinen 2.4.1 Grundlagen

Geradführungen dienen: – zum Führen von Arbeitstischen, Schlitten und Supporten – verwirklichen geradlinige Komponenten der Relativbewegung zwischen Werkstück und Werkzeug Anforderungen an Geradführungen – hohe statische, dynamische und thermische Steife – geringer Verschleiß – hohe geometrische und kinematische Genauigkeit – gute Dämpfung – Schutz vor Spänen, gute Ableitung der Späne – hohe Bewegungsgüte

Konstruktive Grundformen Im Bild 56 sind unter 1) oben links die Führungsbedingungen bezüglich der Freiheitsgrade dargestellt. Eine Führung wäre dann ideal, wenn außer in der Bewegungsrichtung x alle fünf anderen Freiheitsgrade = 0 wären. Dies ist aber real nicht möglich, da durch Führungsbahn-Ungenauigkeiten und Elastizitäten Abweichungen von der idealen Geometrie vorhanden sind, wenn gleich diese oft nur im μm-Bereich liegen. In der Regel wird pro Arbeitsschlitten von zwei Führungsbahnen ausgegangen. Bei höheren Belastungen können durchaus auch drei verwendet werden. Im Bild 56 sind unter 2) oben rechts die möglichen Querschnittsformen von Führungen gezeigt. Dabei sind Dachführung, V-Führung und doppelte Rundführung statisch überbestimmt. Die ersten beiden werden u.a. noch bei Präzisionsdrehmaschinen angewandt. Dabei werden die am Schlitten liegenden Führungsbahnen zu den Bettbahnen eingeschabt. Bei gutem Tragbild wird eine hohe Führungsgenauigkeit erreicht und auftretender Verschleiß kompensiert. Die doppelte Rund- oder Säulenführung wird meist bei Umformmaschinen und -werkzeugen verwendet. Die Flachführung kann große Kräfte aufnehmen. Bei Kombination von Dach- bzw. V-Führung mit der Flachführung entstehen eindeutige statische Verhältnisse und eine gute thermische Stabilität.

y Flachführung

x y

Dach- Flachführung

Bedingungen an eine Führung:

x

y z

z

z l

x =0

=0 =0 x

=0

y

=0

z

=0

Dachführung V- Flachführung

V- Führung

1) Freiheitsgrade Doppelte Rund- oder Säulenführung Tragführung b

Schwalbenschwanzführungen

2) Querschnittsformen von Werkzeugmaschinenführungen b

Richtungsführung

Umgriffführung

b Führungsbreite l Führungslänge

Schließ- oder Umgriffleiste

3) Breitführung

Bild 56. Gestaltungshinweise für Führungsbahnen

4) Schmalführung

2 Baugruppen von Werkzeugmaschinen Die Bilder 3) und 4) zeigen die Unterschiede im Aufbau zwischen Breit- und Schmalführung. Besonders bei kleineren Führungslängen l sollte stets die Schmalführung zu Anwendung kommen, da durch ihr günstiges Verhältnis l / b eine hohe Führungsgenauigkeit entsteht und durch die freie Ausdehnung des Schlittenquerschnitts nach links ein gutes thermisches Verhalten vorliegt. Die Breitführung kann analog zum Verhalten eines Kommodenschrankkastens (Verkanten bei zu schneller Bewegung) gesehen werden, die Schmalführung zu dem eines Schubkastens im Küchentisch (leichtgängig bei allen Bedingungen). Generell wird bei Führungen unterschieden zwischen: – Tragführung – Richtungsführung – Umgriff-Führung 2.4.2 Gleitführungen Gleitführungen werden im Werkzeugmaschinenbau noch relativ häufig angewandt, obwohl andere Führungsbahnbauarten wie Wälz- oder hydrostatische Führungen immer mehr zunehmen. Der Arbeitsbereich der Gleitführungen liegt im Mischreibungsfeld.

Vorteile der Gleitführungen: – Niedriger Aufwand – Ausreichende Steife – Hohe Dämpfung, sowohl senkrecht zur als auch in Vorschubrichtung – Hohe Führungsgenauigkeit durch die integrierende Wirkung der Führungsflächen Nachteile der Gleitführungen – Schlechtes Reibverhalten (μ > 0,2) – Beim langsamen Bewegen Neigung zu Stick-slipErscheinungen (Ruckgleiten) – Auftreten von Verschleiß

O 37 – Keine Spielfreiheit, ausgenommen Dach- und VFührungen Reibungs- und Bewegungsverhalten von Gleitführungen Dieses hängt von folgenden Faktoren ab: – Gleitgeschwindigkeit x´ – Belastung F – Oberflächengüte der aufeinander gleitenden Flächen – Anzahl, Form und Anordnung der Schmiertaschen – Art und Zusammensetzung des Schmiermittels – Werkstoffpaarung – Bauform der Führungsbahnen – Gleitweg (Verschleiß)

Reibung bei monotoner Bewegung Im Bild 57 ist die Reibungszahl μ als Funktion der Gleitgeschwindigkeit x´ zwischen zwei aufeinander gleitenden Flächen dargestellt. Im Abschnitt I, Kurve oben links (geringe Geschwindigkeit nach dem Stillstand) sind die Rauhigkeitsspitzen noch ineinander verhakt, Skizze I im Bild oben rechts. Der Schmierspalt ist sehr klein gegenüber den Rautiefen beider Flächen. Mit Vergrößerung der Gleitgeschwindigkeit schließt sich das Gebiet der Mischreibung an, Skizze II im Bild oben rechts. Dort ist der Flüssigkeitsfilm teilweise unterbrochen, da x´ noch nicht ausreicht, um ein hydrodynamisches Verhalten zu erreichen. Dies ist das Arbeitsgebiet der Gleitführungen an Werkzeugmaschinen. Erst bei großen Gleitgeschwindigkeiten tritt Flüssigkeitsreibung auf, Skizze III im Bild oben rechts. Diese entsteht bei Werkzeugmaschinen nur in Ausnahmen, z.B. bei Arbeitstischführungen von Langhobelmaschinen, da diese eine hohe Arbeitsgeschwindigkeit benötigen.

Bild 57. Reibung bei monotoner Bewegung (Stribeck-Kurve)

O 38

O Werkzeugmaschinen

Im Bereich der Mischreibung gelten folgende Beziehungen:  FHy  FHy F + µfl (26) µges = R µ tr1− FN  FN  FN dabei ist FN = FG + F x′ FHy = 6η bG lG 2 kp 2 ψ h0 Es bedeuten: FG Gewichtskraft F äußere Belastung FN Normalkraft [N] FR Reibungskraft FHy Flüssigkeitstragkraft

(27) (28) [N] [N] [N] [N]

μges x’

Reibungszahl für trockene Reibung (| 0,2 ... 0,4) Reibungszahl für Flüssigkeitsreibung (| 0,002) dynamische Schmiermittelviskosität [Ns/mm²] wirksame Reibungszahl bei Mischreibung Gleitgeschwindigkeit [mm/s]

h0 bG lG

Schmierfilmhöhe Breite des Gleiters Länge des Gleiters

μtr μfl



[mm] [mm] [mm]

Bild 58. Der Stick-slip-Effekt (das Ruckgleiten)



Konstante für seitliche Leckverluste (siehe untenstehende Tabelle) Konstante für Spaltform | 0,025

kp bG /lG 0



0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

1,0

0,04

0,06

0,11

0,15

0,2

0,44

Bei der Auslegung des Schlittenantriebes muss beachtet werden, dass nach längeren Schlittenstillstandszeiten eine größere Startreibkraft zur Überwindung der Haftreibung erforderlich ist. Stick-slip-Bewegungen Die Ausgangsbedingungen für das Entstehen des Stick-slip-Effektes sind Mischreibung und kleine Gleitgeschwindigkeiten x´. Das Kennzeichen dieses Effektes sind ein periodisch wechselndes Haften und Gleiten des Arbeitsschlittens trotz einer kontinuierlichen Antriebsbewegung. Die Auswirkungen sind meist eine Verschlechterung der Oberflächengüte, Fehler beim Positionieren des Schlittens und damit Beeinträchtigung der Arbeitsgenauigkeit und erhöhter Werkzeugverschleiß. Im Bild 58 sind die Verhältnisse beim Stick-slipEffekt dargestellt:

2 Baugruppen von Werkzeugmaschinen

O 39

Es bedeuten: m Masse des Schlittens [kg] x Weg des Schlittens unter Stick-slip-Bedingungen [mm] x´ Gleitgeschwindigkeit des Schlittens [mm/s] x0 Weg des (unendlich steifen) Antriebes Geschwindigkeit des Antriebes x´0 Grenzgeschwindigkeit x´0g kA Dämpfungsfaktor [kg/s] Ersatzfedersteife von Gewindespindel, MutcA ter, Spindelbefestigung mit Axiallager und Lageraufnahme [N/mm] Erdbeschleunigung [mm/s2] Reibungszahl der Bewegung Reibungszahl beim Gleitvorgang Reibungszahl beim Haften des Schlittens Zeit des Haftens [s] Zeit des Haftens nach dem Einschalten [s] Zeit des Gleitens [s] Vorschubkraft [N]

g μk μp1 μp2 tH tHE tG FV Ablauf:

Im Stillstand haftet der Schlitten mit der Reibungszahl μp2. Nach dem Einschalten des Antriebs A wird von diesem die Geschwindigkeit x´0 vorgegeben. Das elastische Antriebssystem, durch die Ersatzfedersteife cA dargestellt, spannt sich gegen die ruhende Masse m, bis die Kraft FV so groß geworden ist, dass die Reibkraft überwunden wird. Bei der nunmehr zu schnellen Schlittenbewegung wirkt die Reibungszahl μp1. Dieser Vorgang wird Einschaltsprung genannt. Dieser geht nach wenigen Perioden in den stabilisierten Laufsprung über (im Bild unter 3) dargestellt. Aus dem Ersatzmodell 2) ergibt sich unter Vernachlässigung der Dämpfungskraft kA x´:

m · x" + cA (x0 – x) = m · g · μk m

cA

x" mm

x0

(29)

x

g mm

μk

N mm mm – mm s2 s2 Von großer Bedeutung ist die Grenzgeschwindigkeit x’0g, bei dessen Unterschreitung der Stick-slip-Effekt auftritt:

kg

x′0g =

µk ⋅ g

(30)

cA m

– – – –

Einsatz legierter Gleitbahnöle Hohe Steife des Vorschubantriebes Hohe Dämpfung in den Gleitfugen Geringe Massen des Arbeitsschlittens einschließlich Spanneinrichtungen, Werkstücke oder Werkzeuge – Geringe Belastungen Bei der Werkstoffpaarung Stahl oder Gusseisen gegen Epoxydharz oder analoge Kunststoffe wird die Grenzgeschwindigkeit weit herabgesetzt. Konstruktive Ausführung von Gleitführungen

Werkstoffe und Werkstoffpaarungen Zur Anwendung kommen: – Grauguss bis 50 HB mit guten Notlaufeigenschaften – Wälzlagerstahl und Einsatzstähle, gehärtet auf 50  4 HRc, Einsatz in Leistenform oder Blechstreifen, geringer Verschleiß, schlechte Notlaufeigenschaften – Kunststoff, meist Epoxydharz oder Teflon, ergibt keinen Fressverschleiß, setzt die Grenzgeschwindigkeit des Auftretens von Stick-slip erheblich herab. Beim eingesetzten Kunststoff ist darauf zu achten, dass die Neigung zum „Quellen“ in Grenzen bleibt. Mögliche Werkstoffpaarungen ( Bettführung / Schlittenführung) sind: Gusseisen / Gusseisen, Gusseisen gehärtet / Gusseisen, Stahl gehärtet / Gusseisen, Gusseisen / Stahl gehärtet, Gusseisen / Kunststoff, Stahl gehärtet / Kunststoff.

Bearbeitung Die Endbearbeitung der Führungsbahnen kann je nach Werkstoff und dessen Zustand durch Umfangsschleifen, Stirnschleifen, Feinfräsen, Schaben (Schlitten-Unterseite), Feinhobeln erfolgen. Beim Einsatz von Epoxydharz für die Schlittenunterseiten-Führung ist das Abformen gegen den metallischen Gleitpartner durch Gießen bei einer Dicke von 1,5 ... 2 mm eine geeignete Technologie. Die zu beschichtende Fläche kann gehobelt oder gefräst werden, muss aber unbedingt fettfrei sein. Für metallische Führungsbahnoberflächen sollte die Rautiefe Rz zwischen 1,6 und 10 μm liegen.

Schmierung

m

cA

kg

N mm

g mm s2

μk

x’0g

–

mm s

Um x’0g zu einem niedrigen Geschwindigkeitswert zu verschieben, sind folgende Maßnahmen erforderlich: – Einsatz geeigneter Werkstoffpaarungen

Im Bild 59 sind unter 1) oben links die günstigste Form und die Abmessungshinweise dargestellt. Es gilt: – Die Schmiertaschen sollten quer zur Bewegungsrichtung liegen (keine zickzackförmigen Nuten anwenden) – Jeweils am Führungsbahnende soll eine Tasche angeordnet sein

O 40

O Werkzeugmaschinen

Bild 59. Schmiertaschengestaltung, Spieleinstellung und Führungsbahnschutz – Der Taschenabstand sollte kleiner als der minimalste Schlittenweg sein – Die Schmiermittelzufuhr sollte zu jeder Tasche direkt über eine Bohrung erfolgen. Wenn nicht möglich, soll nur eine Längsnut als Verbindungsnut (siehe Bild) vorgesehen werden.

Spieleinstellung Hier liegen die Erfahrungswerte für kleine und mittlere Werkzeugmaschinen bei einem Spiel s t 10 μm, bei großen Werkzeugmaschinen bei s d 80 μm. Zur Führungseinstellung werden eine 2) oder zwei Keilleisten 3) oder Druckleisten mit Druck- und Zugschrauben angewendet. Zur Spieleinstellung im Umgriff können auf einfache Weise Beilagen 4) oder ebenfalls Druckleisten mit Druck- und Zugschrauben 5) zum Einsatz kommen. Führungsbahnschutz Dem Schutz bzw. der Abdeckung von Führungsbahnen kommt bei Einsatz an Werkzeugmaschinen eine erhebliche Bedeutung zu. Dies ergibt sich besonders durch die in den letzten Jahren erhebliche Steigerung der Zerspanleistung, die breiter werdende Anwendung der Hochgeschwindigkeitszerspanung und den Einsatz von Kühlschmiermitteln mit hohem Druck und großem Förderstrom besonders beim Schleifen. Möglichkeiten des Schutzes sind: – Abstreifer bei offen liegenden Führungsbahnen, Bild 59, unter 6), z.B. an konventionellen Dreh-

maschinen – Faltenbälge oder Rollos – Teleskopabdeckung mit Blechen aus nichtrostendem Stahl als sicherste, wenn auch aufwendige Lösung. ■ Beispiele von Gleitführungen: Im Bild 60 sind eine Flachführung als Schmalführung 1) und eine Schwalbenschwanzführung 2) dargestellt.

2.4.3 Wälzführungen Prinzip Zwischen den Führungsflächen des bewegten (Arbeitsschlitten) und des feststehenden Teils (Bett, Gestell, Kasten) befinden sich Wälzkörper. Diese können – Kugeln – Rollen – Nadeln sein. Wälzführungen finden wegen ihrer Vorteile zunehmend Anwendung an Werkzeugmaschinen, besonders an CNC-Maschinen. Günstig dabei ist, dass Wälzführungen ähnlich wie bei Kugelgewindetrieben von spezialisierten Zulieferfirmen einbaufertig angeboten werden.

Weitere Vorteile sind: – Hohe Positioniergenauigkeit, da Reibungszahl μ d 0,05. Dadurch kein Auftreten von Stick-slip! – Meist Fettschmierung „for life“ ausreichend

2 Baugruppen von Werkzeugmaschinen

O 41

Bild 60. Beispiele ausgeführter Schlitten-Gleitführungen – Sehr geringer Verschleiß – Durch Vorspannung spielfreies Arbeiten auch unter voller Belastung und Steifigkeitserhöhung

Nachteile – Geringe Dämpfung – Hohe Empfindlichkeit gegen Verschmutzung und Späne, deshalb meist Anwendung der Abdeckung mittels Teleskopblechsystem – Mehr Aufwand für Vorspannung und Klemmung erforderlich – Hohe Qualität der Wälzkörper erforderlich (Sortierung) – Hohe Qualität der Laufflächen löst der Wälzerforderlich führungsher– Große Anforderungen an die steller Werkstoffe von Rollen und Führungsleisten wegen hoher örtlicher Pressung

½ ¾ ¿

Geometrischer Grundaufbau – Den Aufbau von – Kreuzrollenführung – Rollen- oder Nadelführung – Kugelführung zeigt Bild 61, unter 1) und 2). Unter Bild 1) oben ist die Kreuzrollenführung dargestellt, welche sich durch hohe Steife und Führungsstabilität auszeichnet. Das Prinzip wird durch Rollen bestimmt, deren Breite geringer als der Durchmesser ist. Dabei liegt die Achse der ersten Rolle unter dem Winkel 45°, die der zweiten unter 135°, der dritten wieder unter 45° usw. Bei Vorspannung beider Füh-

rungsleisten können seitliche Kräfte aus allen Richtungen aufgenommen werden. Unter 2] und 3] sind Rollen- und Nadelführung sowohl als Flach- als auch als V-Führung gezeigt Die unter 4] gezeigte Kugelführung weist eine hohe Genauigkeit auf, ist aber nicht so hoch belastbar im Gegensatz zur Flach- und zur Kreuzrollenführung.

Führungen für begrenzte Weglänge Unter 3) ist im Bild 61 das Grundprinzip einer Wälzführung für begrenzte Weglänge dargestellt. Die Abbildungen unter 1) bis 3) auf der rechten Seite zeigen Führungsleisten für begrenzte Weglänge als Kreuzrollen-, Rollen und Nadelführungen. Führungen für unbegrenzte Weglänge Das Grundprinzip einer Wälzführung mit unbegrenzter Weglänge ist unter 4) im Bild 61 dargestellt. Es basiert auf Wälzkörper-Umlaufeinheiten, bei denen die Wälzkörper in einer umlaufenden endlosen Kette geführt werden (ähnlich den Gleisketten bei Traktoren etc.). Bewegungs- und Verlagerungsverhalten Entscheidend dafür sind: – Qualität der beiden Führungsflächen, besonders hinsichtlich Form- und Lageabweichungen sowie der Oberflächengestalt – Maß- und Formgenauigkeit der Wälzkörper (Aussortieren auf gleiche Maßgruppen erforderlich) – Präzise Führung der Rollen und Nadeln im Käfig – Höchste Parallelität der Führungsflächen – Weiches Ein- und Auslaufen der Wälzkörper an den Führungsbahnenden sichern (bei begrenzter Weglänge)

O 42

O Werkzeugmaschinen 2) Führungen mit begrenzter Weglänge

1) Geometrischer Grundaufbau

1] Kreuzrollenführung

2] Rollen- Flachführung

3] Nadelführung links: Flachführung rechts: V-Führung

4] Kugelführung

3) Führung mit begrenzter Weglänge

4) Führung mit "unbegrenzter" Weglänge

Bild 61. Bauarten von Wälzführungen (Fotos oben rechts: Schneeberger AG, Roggwil, Schweiz) Verformungsverhalten und Vorspannung

2

 F 3 s = kK  k  9,81 K

F s 2 s 2

Bild 62. Verformungsverhalten einer Kugel zwischen zwei Platten nach Palmgren

Kugel zwischen zwei Platten (Bild 62)

aK

1

(31)

dK 3

Zylinderrolle zwischen zwei Platten  F 0.9 a s = kR  , kR = R0,8  9,81 lW

dk nm

s μm

F N

(32)

lw mm

Geeignete Beziehung des Verhältnisses Last : Verformung für Zylinderrollen bei Werkzeugmaschinen (hohe Steifigkeit):

2 Baugruppen von Werkzeugmaschinen

O 43

F

B

F

V

F

B

Tragführung

F

V

F

B max

Umgriff

FB

FV

lW

lW

2

4

lW

FV

s

sB

Bild 63. Vorspannung einer Wälzführung l

l 4

l

W

LV

L

LV

LV

lW

2

4

L

lW

L

LV

LV

lW

2

L Lges

1) Schlittenlänge l = Basislänge L - Verschiebeweg L Lges = L

2) Schlittenlänge l = Basislänge L

V

Lges = L + LV

Bild 64. Gestaltungsmöglichkeiten bei Wälzführungen mit begrenzter Weglänge

kR

1

 a   dW F  l s = Weff = lW −  69970  10 lWeff bi    fN 

s mm

F N

lw mm

lWeff mm

(33)

i 1

In den Formeln bedeuten: s Verformung [μm] kK werkstoffabhängige Deformationskonstante für die Kugel

lW aR dK dW aK F a i

werkstoffabhängigeDeformationskonstante für die Rolle Länge der Zylinderrolle [mm] werkstoffabhängigeKonstante = 0,6 für Stahlrolle zwischen Stahlplatten Kugeldurchmesser [mm] Zylinderrollendurchmesser [mm] werkstoffabhängige Konstante = 4,07 für Stahlkugel zwischen Stahlplatten Belastung [N] Exponent = 1,1 ... 1,2 Anzahl der Wälzkörper in der Belastungszone

O 44

O Werkzeugmaschinen Nachgiebigkeitsfaktor des Grundkörpers, bei Werkzeugmaschinen zwischen 1,6 ... 2,6 Exponent = 0,7

fN b

Vorspannung der Wälzführung (Bild 63) Es bedeuten: FV Vorspannkraft [N] FB Belastung [N] FBmax max. Belastung [N] s Verformung [μm] sB Verformung bei Belastung durch FB [μm] Es gilt: bei FB > FBmax erfolgt die völlige Entlastung des Umgriffs. Damit tritt Spiel in der Führung auf, was mit Positionierfehlern und Genauigkeitsverlusten sowie Rattererscheinungen bei der Zerspanung einher geht. Konstruktive Ausführung von Wälzführungen

Führungen mit begrenzter Weglänge Die beiden Aufbaumöglichkeiten für Führungen mit „begrenzter“ Weglänge und die geometrischen Beziehungen sind im Bild 64 dargestellt. Im Bild 65 sind verschiedene Vorspannmöglichkeiten von Kreuzrollenführungen mit „begrenzter“ Weglänge dargestellt. Je nach geforderter Steife und Genauigkeit können die Ausführungen 1), 2) oder 3) mit steigendem Kostenaufwand zur Anwendung kommen.

Kugelführungswagen Profilschiene

Bild 66. Kugelumlaufeinheit KUE (INA, Homburg)

Wälzführungen mit „unbegrenzter“ Weglänge Bild 66 zeigt den konstruktiven Aufbau einer Kugelumlaufeinheit für unbegrenzte Weglänge. Die Profilschiene wird auf der Basis (Bett, Untersatz) aufgepasst und verschraubt. Beim Hersteller (im Beispiel INA) kann der Werkzeugmaschinenproduzent die Kugelumlaufeinheit nach Größe, Genauigkeitsklasse, Vorspannungsklasse, Länge der Profil- oder Führungsschiene und Anzahl der Führungswagen pro Schiene bestellen. In jedem Falle sollten die Angaben und Berechnungsvorschriften des Wälzführungsherstellers beachtet werden. Gleiches gilt für alle Wälzführungen. Tisch

1) Im Normalfall wirkt die Stellschraube auf die Schiene

2) Für höhere Genauigkeit und Steifigkeit kann eine Zwischenplatte verwendet werden

Bild 67. Fettschmierungsmöglichkeit für eine Kugelumlaufeinheit (THK, Tokio, Japan)

3) Für sehr hohe Genauigkeit und Steife werden die kegligen Leisten 1 und 2 benutzt

Bild 68. Rollenumlaufschuh LRU (THK, Tokio, Japan) 1 2

Bild 65. Vorspannungmöglichkeiten für eine Kreuzrollenführung mit „begrenzter“ Weglänge (THK, Tokio, Japan)

Ein Beispiel für die Schmierungsmöglichkeit einer Kugelumlaufeinheit wird im Bild 67 gezeigt. Es können sowohl Fett- als auch Ölschmierung, vorteilhaft über Zentralschmierung, zur Anwendung kommen.

2 Baugruppen von Werkzeugmaschinen

O 45

Auch die Möglichkeit einer „for life“-Fettschmierung ist gegeben. Im Bild 68 ist ein Rollenumlaufschuh dargestellt. Die Ausführungsarten dieser Rollenumlaufschuhe unterscheiden sich im wesentlichen nach der Art ihrer Montage und Befestigung. Bei der gezeigten Ausführung erfolgt die Befestigung durch Verschraubung mit den vier Bohrungen im Tragkörper. Rollenführungswagen

Rollenumlaufschuhe Führungs (Profil)schiene

Bild 69. Kompakte Rollenumlaufeinheit (INA, Homburg) Analog zu den Kugelumlaufeinheiten Bild 66 werden für höhere Belastungen Rollenumlaufumlaufeinheiten, Bild 69 durch die Zulieferindustrie (meist Wälzlagerproduzenten) hergestellt. Auch hier sind die Berechnungs- und Montagevorschriften des Herstellers in vollem Umfang einzuhalten. Der Unterschied in den Tragzahlen und damit der Belastbarkeit zwischen Kugel- und Rollenumlaufeinheiten wird im Bild 70 anschaulich demonstriert.

Das Beispiel einer Rollenführung für einen Fräsmaschinentisch ist im Bild 71 dargestellt. In dieser Konstruktion sind die wesentlichen Grundsätze für eine ideale Führung vereinigt:

x Aufbau als Schmalführung, dadurch hohe Führungsgenauigkeit x Hoch belastbare Wälzführung mit Rollenumlaufschuhen, dadurch „unbegrenzte“ Weglänge x Hohe Arbeitsgenauigkeit und Steife durch Vorspannung der Rollenumlaufschuhe über Keilzustellung x Der Nachteil jeder Wälzführung – zu geringe Dämpfung – wird durch den Einbau von Dämpfungsleisten mit Squeeze-Film-Dämpfer kompensiert Den positiven Einfluss eines Squeeze-Film-Dämpfers zeigt das Diagramm der Nachgiebigkeit als Funktion der Belastungsfrequenz im Bild 72 oben. Dessen Funktionsweise geht aus dem unteren Bild hervor. Der Dämpfer besteht aus einem definierten ölgefüllten Spalt mit einer Höhe von 0,02 ... 0,03 mm mit Ölimpulsschmierung ohne metallische Berührung zur Führungsschiene.

Bild 71. Wälzgeführter Fräsmaschinentisch (nach INA Homburg) In der Schwingungsgleichung mx+ dx + cx = F (t )

(34)

ist der Dämpfungsfaktor d =η

Kugelführung (Größe 45) Rollenführung (Größe 45)

Bild 70. Statische und dynamische Tragzahl im Vergleich zwischen Kugel- und Rollenführung gleicher Größe (INA Homburg)

b3 h3

l

(35)

Daraus ist erkennbar, dass die Breite des Dämpfers wesentlich für die Größe der Dämpfung ist, Bild 72 unten. Auch Rollenumlaufeinheiten mit Führungs-(Profil)Schiene können mit einem gesonderten Dämpfungsschlitten ausgestattet werden, die nach dem vorgenannten Prinzip arbeiten, Bild 73.

O 46

O Werkzeugmaschinen

Rollenwagen Dämpfungsschlitten

Rollenwagen Profilschiene

Bild 73. Gedämpftes Rollenführungssystem mit integriertem Dämpfungsschlitten (INA Homburg) 2.4.4 Hydrostatische Führungen Prinzip Das Prinzip Bild 74 entspricht weitgehend dem des hydrostatischen Lagers: In eine von beiden Gleitflächen sind Taschen eingearbeitet. Der Ölstrom Q wird in die Tasche gepumpt und strömt durch den Spalt h, die Abströmlänge l über Steg und den Umfang der Stegmittellinie b ab. Dabei entsteht der Taschendruck pT. Die hydrostatische Taschenkraft ist: F = ∫ p⋅dA , A

Bild 72. Dämpfungsverhalten von Wälzführungen ohne und mit Squeeze-Film-Dämpfer (Prinzip rechts) (INA Homburg) pT

dabei ist p der hydrostatische Druck und A die Effektivfläche (Bild 74 rechts). Unter der Voraussetzung laminarer Strömung im Spalt ist der Durchflussstrom Q: b

A

Öldruckverlauf

F Q

l LT

h

l

Öltasche

Q≈



BT

pr ⋅b⋅h3 12η⋅l

Q l min

Bild 74. Hydrostatische Führung – Funktionsprinzip (links) und Abströmverhältnisse bei Öltaschen (rechts)

(36)

Vor- und Nachteile hydrostatischer Führungen

Vorteile – Völlige Verschleißfreiheit, vorausgesetzt eine ständige Funktion der Ölversorgung ist gewährleistet – Sehr kleine Reibungszahlen (µ < 0,001) – Kein Stick-slip-Effekt, dadurch kleinste Geschwindigkeiten mit gleichförmiger Bewegung möglich – Hohe Führungsgenauigkeit bei durchschnittlichem Bearbeitungsaufwand – Große Dämpfung quer zur Bewegungsrichtung – Aufnahme hoher Belastungen

pr

b

h

l



bar

mm

mm

mm

Pa · s

ist die dynamische Viskosität des Öls.

Als günstig haben sich erwiesen: Taschentiefen je nach Größe der Führung zwischen 0,5 ... 5 mm, 4 bis 8 Taschen pro Führungsbahn, Mindestspalt hmin = 30 ... 80 µm je nach Werkzeugmaschinen-Größe, BT/LT = 0,2 ... 0,6, l / BT = 0,2 ... 0,4.

2 Baugruppen von Werkzeugmaschinen

O 47 2) System „Gemeinsame Pumpe mit Konstantdrosseln“, Bild 75 Mitte Hier erfolgt eine Ölstromteilung. Das Druckbegrenzungsventil wirkt als Überströmventil VDÜ und ein Teil des Ölstromes läuft ständig über dieses Ventil zurück in den Behälter. Der Druck p ist konstant und entspricht dem des an der Federvorspannung des VDÜ eingestellten Wertes.

Nachteile – Hoher Aufwand für das Ölversorgungssystem (fällt bei Großwerkzeugmaschinen mit hohem Gesamtanlagewert anteilig nicht so ins Gewicht) – Bei geforderter hoher thermischer Stabilität und Arbeitsgenauigkeit sind Ölkühlungssysteme erforderlich – Geringe Dämpfung in der Bewegungsrichtung

Vorteile – Geringer Aufwand, Spalthöhe und Steife sind nicht temperaturabhängig

Ölversorgungsysteme für hydrostatische Führungen, Bild 75. 1) System „eine Ölpumpe pro Tasche“ Der vereinfachte Schaltplan für dieses System ist im Bild 75 links dargestellt. Der Pumpenförderstrom QP entspricht dem Taschendurchflussstrom Q und ist konstant. Das im Pumpenkreislauf eingebaute Druckbegrenzungsventil ist so eingestellt, dass es nur als Sicherheitsventil wirkt. Die Kennlinien für Taschendurchflussstrom Q, Spalthöhe h und Steife c sind im unteren Diagramm zu sehen.

Nachteile – Geringere, von der Belastung abhängige Steife, erhöhte Wärmeerzeugung durch Drosseln und VDÜ

3) System „Gemeinsame Pumpe mit Regeldrosseln“, Bild 75 rechts Gleicher Aufbau wie bei 2), nur dass hier durch den Einsatz von Regeldrosseln die Spalthöhe mit wachsender Belastung F konstant bleibt.

Vorteile: – Hohe Steife und vollständige Nutzung der Pumpenleistung zur Erzeugung der Tragkraft

Vorteile – Sehr große Steife der Führung unabhängig von der Belastung. Höhenlage des Schlittens bleibt konstant. Nachteile – Hoher Aufwand für Regeldrosseln, da Regelkreis, Gefahr der Instabilität – Erhöhte Wärmeerzeugung durch Drosseln und VDÜ

Nachteile – Hoher Aufwand, wobei dieser durch den Einsatz von Mehrstrompumpen reduziert werden kann – Spalthöhe und Steife sind temperaturabhängig (Änderung der Viskosität des Öls)

F

F

F

Regeldrosseln

Konstantdrosseln VDM

Pumpe VDÜ

Q

h c

h c

p = konst.

Q

Q

h

h

c

Q

VDÜ

Pumpe

p = konst.

c

h

Pumpe

c = sehr groß h

Q c

Q

F

F

Bild 75. Möglichkeiten der Ölversorgung von hydrostatischen Führungen

F

O 48

O Werkzeugmaschinen

Konstruktive Gestaltung

BT

Q3

Q2

Q2

Q1

Q1

LT

BT

LT

Abfluss

Zufluss

Kunststoffdichtung

Bild 77. Konstruktive Ausführung einer hydrostatischen Führungsbahn als Flachführung 2.4.5 Aerostatische Führungen

Aerostatische Führungen sind analog zu den hydrostatischen Führungen aufgebaut. Da die Luft frei

Q2 Q1 LT

LT Abströmnut

Bild 76. Öltaschengestaltung hydrostatischer Führungen

Konstruktionsseitig werden bei hydrostatischen Führungen für Tische und Schlitten Flach – FlachFührungen als Schmalführungen mit Umgriff bevorzugt. Mögliche Taschenformen sind im Bild 76 oben gezeigt. Die Taschen können entsprechend Bild unten links aneinander gereiht oder, wie unten rechts dargestellt, mit einer Abströmnut zwischen jeder Tasche angeordnet werden. Bei der Konstruktion einer hydrostatischen Führungsbahn, Bild 77, ist neben der Bohrung für den Ölzufluss eine weitere Bohrung für den Abfluss des Öles vorzusehen. Diese sollte einen größeren Durchmesser aufweisen, um einen zusätzlichen Staudruck zu vermeiden. Zur Abdichtung der Führungsbahn gegen Ölaustritt sind Kunststoff-Lippendichtungen in Anwendung, deren Dichtwirkung durch den hydrostatischen Druck erzielt wird. Zum Erreichen völliger Reibungsfreiheit sind auch Labyrinthdichtungen unter zusätzlicher Nutzung von Sperrluft einsetzbar.

Q3 Q4

abströmen kann, gibt es keine Aufwendungen hinsichtlich Abdichtungen. Sie finden ihre Anwendung bei Präzisionsmaschinen, z.B. zum Feinstdrehen von Nichteisenmetallen. Da es für die Luftaufbereitung heute bereits kostengünstige Lösungen gibt, vergrößert sich der Einsatz dieser Führungsbauart zunehmend.

2.5 Gestelle von Werkzeugmaschinen 2.5.1 Aufgaben von Werkzeugmaschinengestellen

Mit dem Begriff Gestell werden die Grundkörper einer Werkzeugmaschine bezeichnet. Dazu gehören: – – – – – – –

Maschinenbetten Maschinenständer Arbeitstische Schlitten Untersätze für Arbeitstische und Schlitten Arbeitsspindelkästen Getriebekästen

Gestelle bestimmen in erheblichem Umfang die Arbeitsgenauigkeit, aber auch die Produktivität der Bearbeitung. So werden Maß- und Formgenauigkeit insbesondere durch die statische Steife, Welligkeit und Rauheit durch die dynamische Steife der Gestellbauteile beeinflusst. Die Produktivitätsgrenze einer Werkzeugmaschine bei der Schruppbearbeitung wird häufig durch deren dynamische Eigenschaften festgelegt. Dabei bestimmen die Eigenschaften der Gestellbauteile, bei welchen Schnittwerten selbsterregte Schwingungen (Rattern) auftreten, die eine einwandfreie Zerspanung verhindern.

2 Baugruppen von Werkzeugmaschinen

O 49

Bild 78. Gestellbauteile und Gruppen eines Komplettbearbeitungszentrums für Futter- und Wellenteile (Auswahl) „Millturn M 60“ (WFL VoestAlpine Steinel, Linz, Österreich)

Im Bild 78 sind die Gestellbauteile für ein Dreh-, Fräs- und Bohrzentrum aus dem Baukastensystem dargestellt. Je nach Kundenforderung kann die Maschine unterschiedlich ausgerüstet werden, beispielsweise mit Reitstock für die Wellenfertigung oder mit zweitem (rechtem) Spindelkasten (Gegenspindel) für die Rückseitenbearbeitung von Futterteilen. Basis des Bearbeitungszentrums (BAZ) ist ein 60°-Schrägbett aus Meehanite-Guss, mit Kernsand im Unterteil wegen der besseren Dämpfung gefüllt.

Ständer Z-Schlitten

Y-Schlitten Werkstückträger (ortsfest)

X-Schlitten

Bett

Bild 79. Gestellaufbau eines Bearbeitungszentrums zur Fertigung kleiner prismatischer Teile in „Fahrständer“ – Bauweise (Heckler & Koch, SchrambergWaldmösingen)

Bild 79 zeigt den Aufbau eines Bearbeitungszentrums für die Mittelserienfertigung kleiner prismatischer Teile. Das BAZ ist in der sogenannten „Fahrständer“ – Bauweise konstruiert, d. h. alle Bewegungen in den kartesischen Koordinaten x, y und z werden werkzeugseitig ausgeführt. Das Werkstück ist ortsfest angeordnet, lediglich erforderliche Dreh- oder Schwenkbewegungen des Werkstücktisches werden

durchgeführt. Dies hat erhebliche Vorteile in der Fertigungsautomatisierung, bei der Handhabung und dem Transport der Werkstücke zur Folge. Durch das Übereinander-Anordnen der Gestellbaugruppen muss deren statische und dynamische Steife besonders hoch sein. Dies trifft auch auf die Schlittenführungen zu. 2.5.2 Gestellwerkstoffe

Als wesentliche Werkstoffe kommen für Gestelle zur Anwendung: – Stahl S275JR, S275J0, S275J2G3 nach DIN EN 10025 für Stahl-Schweiß-Konstruktionen – Gusseisen mit Lamellengraphit EN-GJL-150 bis – 350 nach DIN EN 1561 – Gusseisen mit Kugelgraphit EN-GJS-400-15 nach DIN EN 1563 für stoßbeanspruchte Gestelle, z. B. von Kurbelpressen – Reaktionsharzbeton (Mineralgussbeton), bestehend in den meisten Fällen aus Epoxydharz (wegen der erzielbaren hohen geometrischen Genauigkeit und ausreichender Topfzeit bei der Verarbeitung besonders größerer Gestellbauteile) und Zuschlagstoffe aus den Gesteinsarten Granit, Quarzit sowie Basalt. Der Gewichtsanteil des Harzes liegt unter 10 %. Zur Gestellherstellung sind leistungsfähige Fertigungsanlagen erforderlich, die neben den Silos für Harz, Härter und Gestein einen Zwangsmischer, Rütteltische für die Gießformen und eine geeignete Beschickungseinrichtung, meist in Form eines Portals, enthalten müssen. Entscheidende Einflussgrößen des Werkstoffes auf die Eigenschaften des Gestellbauteils im Einsatz sind: – der E-Modul – Zug- und Druckfestigkeit (Rm, BD) einschließlich der Dehngrenzen – das Dämpfungsverhalten (D)

O 50 – das thermische Verhalten (Wärmeleitfähigkeit O) – die Dichte (U) Im Bild 80 sind diese Eigenschaften für die einzelnen Gestellwerkstoffe dargestellt. Nachdem bisher vorwiegend Gusseisen (gute Gestaltungsmöglichkeiten, wie Rundungen, Einbuchtungen etc.), aber auch Stahl als Gestellwerkstoffe in der Praxis dominierten, kommt in den letzten beiden Jahrzehnten Reaktionsharzbeton wegen seiner hohen Dämpfung, der geringen Wärmeleitfähigkeit sowie der daraus resultierenden hohen thermischen Steife bei ausreichender Druckfestigkeit zunehmend zur Anwendung. Wenn dabei noch berücksichtigt wird,

O Werkzeugmaschinen dass durch die niedrige Dichte von nur einem Drittel gegenüber Stahl oder Gusseisen wesentlich größere Wandstärken ermöglicht werden, bis das Gestellbauteil die Masse z.B. eines Gussbettes erreicht, wird damit auch eine größere Druckbelastung möglich. Kritisch ist die niedrige Zugfestigkeit von nur 10 ... 18 N/ mm2 des Reaktionsharzbetons. Dies bedeutet, dass nur eine geringe Belastung durch Biegebeanspruchung möglich ist. Das erfordert besondere Maßnahmen bei der konstruktiven Gestaltung von Gestellbauteilen aus Reaktionsharzbeton, insbesondere von Maschinenbetten.

Bild 80. Physikalische Kennwerte verschiedener Gestellwerkstoffe im Vergleich

Gestelle aus Stahl-Schweißkonstruktionen können wegen des hohen E-Moduls von Stahl bei gleicher Last wesentlich leichter ausgeführt werden. Das Problem ist die niedrigere dynamische Steife wegen der sehr geringen Werkstoffdämpfung von Stahl. Durch konstruktive Maßnahmen, wie zusätzliche Reibflächen, können Verbesserungen erreicht werden. Ansonsten sind Stahl-Schweißkonstruktionen besonders günstig für auftragsgebundene Ausrüstungen als Einzelstück oder Kleinserie einsetzbar, da keine Modellkosten entstehen. In der Regel wird heute eine Werkzeugmaschine hinsichtlich seiner Gestellbauteile in Mischbauweise aufgebaut, so beispielsweise:

Bett (Serienteil) Ständer (Serienteil) Werkstückträger

Reaktionsharzbeton, Grauguss, Stahl

2.5.3 Auslegung und konstruktive Gestaltung von Werkzeugmaschínengestellen Grundsätze 1) Auslegung des Gestells auf die erforderliche statische und dynamische Steife bedeutet: Auslegung auf minimale Verformung, denn Verformung erzeugt Geometriefehler am Werkstück 2) Die Richtung der Verformung spielt hinsichtlich der Größe des Einflusses auf die Geometriefehler eine erhebliche Rolle, Bild 81. In y-Richtung auf-

2 Baugruppen von Werkzeugmaschinen tretende Verformungen fy an einer Drehmaschine gehen nur als Fehler 2. Ordnung in den Werkstückdurchmesser ein, während ein gleich großer Verformungsbetrag fx in x-Richtung (im Bild links) in voller Größe als Werkstückdurchmesserfehler eingeht. Das gleiche gilt für Relativschwingungen einschließlich ihrer Komponenten, deren Ursachen oft in erzwungenen Schwingungen aus Antrieben u. a. liegen und durch ungenügende dynamische Steife von Gestellteilen übertragen werden. Bei günstiger Antriebsauslegung, z. B. wenn die Richtung der aus dem Antrieb entstehenden statischen und dynamischen Kraftkomponente in die y-Richtung gelegt werden kann, können negative Auswirkungen auf das Bearbeitungsergebnis erheblich reduziert werden. 3) Durch geeignete Bauteilquerschnittsformen kann der Material- und Fertigungsaufwand für ein Gestellbauteil bei gleicher Belastung minimiert werden.

O 51 4) Die Gesamtverformung, welche das Arbeitsergebnis beeinflusst, setzt sich aus den Verformungen aller vom Kraftfluss berührten Bauteile zusammen. Da sich die Gesamtnachgiebigkeit fgesamt in der Regel aus den einzelnen Nachgiebigkeiten als Reihenschaltung ergibt, wird stets das Bauteil mit geringster Steife die Größe von fgesamt bestimmen [siehe auch Kapitel 2.3.3, Gleichung (22)]. Torsion Tabelle 2. zeigt das Verhalten von Profilen bei Torsion unter gleichem Materialeinsatz. Hier zeigt sich die Überlegenheit geschlossener Profile (dünnwandige Rohre großen Durchmessers). Selbst ein rechteckiges Hohlprofil bringt schlechtere Werte hinsichtlich Verdrehwinkel t und Torsionsspannung Wt. Da beispielsweise Werkzeugmaschinenbetten nicht nur auf Biegung, sondern durch die Zerspanungskräfte in der Regel auch auf Torsion beansprucht werden, kommt einer weitgehend „geschlossenen“ Konstruktion erhebliche Bedeutung zu.

Bild 81. Auswirkung unterschiedlicher Verformungsrichtungen auf das Arbeitsergebnis (Fehler des Werkstückdurchmessers) beim Längsdrehen Verhalten stabförmiger Bauteile

Tabelle 2. Geschlossene und offene Profile gleichen Flächeninhaltes unter Torsionsbelastung entsprechend Belastungsfall im Bild oben links im Vergleich zum Vollprofil eines Rundstabes mit 35 mm Durchmesser (nach Wächter)

O 52

O Werkzeugmaschinen

800 Flächenmomente 2. Grades 700

IT IT

I I I

600

T

IT

= Torsion

I

= Biegung um x

X-X

Iy - y

= Biegung um y

X-X

500

Iy - y

y-y 4

[10

4

mm ]

400

I

X-X

IT

I

Iy - y

X-X

IT I

300

I

Iy - y

X-X

X-X

200

Iy - y

100 0 y 5

x 125

x

5

x

x

5

100 150

y

y

y

y x

y

100

x

x

x 5

130

70

y y

Bild 82. Geschlossene Profile bei gleichem Flächeninhalten und gleicher Wandstärke im Vergleich der Flächenmomente 2. Grades (nach Thum und Petri)

Maschinenbett Arbeits- (Werkstück)- tisch

Außenrundschleifmaschine PF 43

X Zustellachse des Schleifschlittens Y Messzangenachse zur InprozessMesssteuerung Z Arbeitstischachse zum Pendeln und zum Positionieren für das Einstechschleifen B Schwenkachse für die Schleifeinheit W Hilfsachse für Messsteuergerätepositionierung

Bild 83. Rohrförmig gestaltetes Maschinenbett einer Außenrundschleifmaschine. Die Verkleidung ist entfernt. (Schaudt GmbH / Schleifring / Stuttgart)

2 Baugruppen von Werkzeugmaschinen

O 53

Torsion und Biegung Der Widerstand geschlossener Profile gegenüber Biegung und Torsion lässt sich an der Größe der Flächenmomente 2. Grades bei Biegebelastung um x – x und y – y sowie Torsionsbelastung unter der Bedingung gleichen Werkstoffeinsatzes und gleicher Wandstärke ablesen, Bild 82. Die besten Werte erreichen das runde Profil (Rohr) und das elliptische Hohlprofil (bei Belastung um y – y). Diese Erkenntnis wird bei der im Bild 83 dargestellten Konstruktion einer Außenrundschleifmaschine angewandt. Durch die Schleifkräfte werden neben den Biegebelastungen auch Torsionskräfte erzeugt, die zu erheblichen Bearbeitungsfehlern am Werkstück führen können. Deshalb kommt hier ein Maschinenbett aus Gusseisen zur Anwendung, dass als Rohrprofil gestaltet ist.

Zunächst zeigt sich, das beim Ständer ohne Kopfplatte 5) die Torsionssteifigkeit auf nur noch ca. 10 % absinkt, obwohl der Materialeinsatz noch 93 % beträgt. Dies bedeutet, dass die Kopfplatte erheblichen Anteil am Steifeverhalten des Ständers hat und auf diese nicht verzichtet werden sollte. Von den Längsverrippungen sind Diagonalrippen am effektivsten [3) und 4)], wenn auch bei 4) der Materialeinsatz beträchtlich ansteigt. Querrippen bringen kaum Steifigkeitserhöhungen. Nach einem entsprechenden Entwurf eines Gestellbauteils unter Berücksichtigung solcher hier beschriebener Grundsätze kann von diesem unter Nutzung geeigneter Software eine Finite Elemente Analyse durchgeführt werden. Damit wird dem realen Verhalten unter Belastung weitgehend Rechnung getragen.

Einfluss von Verrippungen Zur Versteifung werden Betten, Ständer und Kästen mit Rippen ausgestaltet. Dies gilt sowohl für Gestelle aus Gusseisen als auch aus Stahl. Dabei haben Stahlgestelle den Vorteil, dass beim Feststellen nicht ausreichender Ergebnisse an Hand von Messungen eine Korrektur durch Einschweißen zusätzlicher Rippen möglich ist, wenn es die Schweißfolgengestaltung zulässt.

Verrippungen von Betten Im Bild 85 wird der Einfluss von Verrippungen auf die Nachgiebigkeit des Bettes als Summe der Verformung durch 6 Einzellasten bei gleichzeitiger Wertung der Materialvolumina gezeigt. Die Werte des geschlossenen Bettes ohne Verrippung werden gleich 100 % gesetzt. Bereits eine einfache quer angeordnete Diagonalverrippung, die auch das Materialvolumen nur um 26 % erhöht, setzt die Nachgiebigkeit bereits auf 82 % herab, 2). Äußerst wirksam sind auch hier wieder Längsrippen in diagonaler Anordnung 3), wobei der Materialanteil deutlich mehr (40 %) zunimmt. Fall 4) zeigt, dass weitere zusätzliche Querrippen keine Reduzierung der Nachgiebigkeit gegenüber 3) bringt, aber eine Materialvolumenzunahme um 15 % und damit eine unnötige Kostenerhöhung.

Längsverrippungen in Werkzeugmaschinenständern Im Bild 84 sind einem Ständer ohne Rippen solche mit verschiedenen Längsrippen gegenübergestellt. Zum Vergleich wird neben der relativen (Prozentualer Vergleich mit Ständer ohne Rippen = 100 %) Biege- und Torsionssteifigkeit das eingesetzte Material herangezogen. Belastungsrichtung bei Biegung

rel. Biege- rel. Torsions- rel. Materialvolumen steifigkeit steifigkeit

1) Ständer ohne Verrippung

100 %

100 %

100 %

2) Ständer mit Längsrippe als Mittelsteg

120 %

101 %

122 %

3) Ständer mit einer DiagonalLängsrippe

118 %

116 %

132 %

4) Ständer mit zwei DiagonalLängsrippen

142 %

119 %

163 %

100 %

9,4 %

93 %

Kopfplatte

Ständer

Fußplatte

Zum Vergleich: 5) Ständer ohne Verrippung und ohne Kopfplatte

Bild 84. Relative Biege- und Torsionssteifigkeit sowie das relative Materialvolumen, bezogen auf den Ständer ohne Verrippung (100 %), bei Ständern mit verschiedenen Längsverrippungen (Nach Untersuchungen des WZL [Werkzeugmaschinenlabor] der Rheinisch-Westfälischen Technischen Hochschule [RWTH] Aachen)

O 54

O Werkzeugmaschinen

Bild 85. Geschlossene Maschinenbetten ohne und mit verschiedenen Verrippungen – Nachgiebigkeit und Materialvolumen (nach Untersuchungen des WZL der RWTH Aachen)

Hauptgurte

Diagonalverrippung

Spannfläche für Baugruppen ( Zustelleinheit, Schleifschlitteneinheit u. a.)

Raum für Gerätetechnik (vorn) Öffnungen für Durchführungen von Leitungen etc.

Maschinenfußgurt

Bild 86. Geschlossenes Bett eines Wälzlagerbohrungsschleifautomaten mit Diagonalverrippung und integrierten Geräteräumen (vorn und hinten) mit Öffnungen zur Durchführung (SIW 3 B, Berliner Werkzeugmaschinenfabrik BWF GmbH)

Eine Anwendung dieser Erkenntnisse ist das im Bild 86 dargestellte geschlossene Maschinenbett des Wälzlager-Bohrungsschleifautomaten SIW 3 B der BWF GmbH Berlin, einem Betrieb des Schleifring (Körber) Hamburg. Die beiden Hauptgurte und die Diagonalverrippung einschließlich Grund- und Deckplatte bilden das eigentliche geschlossene Bett. Letztere sind nach vorn und hinten erweitert und bilden Räume für den Einbau von Hydraulikventilkombinationen und Hydrospeicher, die wegen kürzester Nebenzeiten in der Nähe der Verbraucher (Hydromotoren) angeordnet sein müssen. Dadurch sind auch Durchführungen von Hydraulik- und Pneumatikleitungen von der Vorderzur Rückseite der Maschine durch das Bett erforderlich. Dabei ist auf ausreichende thermische Steife zu achten (z. B. Anwendung der Kalthydraulik).

Die Deckplatte dient als Aufspannfläche für die Funktionalbaugruppen der Schleifmaschine. Diese sind: Die Zustellschlitteneinheit mit dem darauf angeordneten Werkstückantrieb und der Werkstückspanneinrichtung sowie die Schleifeinheit mit dem Werkzeugschlitten und der auf diesem montierten Schleifspindel. Dabei ist darauf zu achten, dass als Spannfläche nur das Feld zwischen den beiden Hauptgurten genutzt wird, damit eine korrekte Krafteinleitung möglich ist. Krafteinleitung, Verschraubungen an Gestellen

Krafteinleitung

Diese erfolgt in der Regel über die Führungsbahnen zwischen Schlitten und Ständern einerseits und Tischen und Betten anderseits, d.h. eine entsprechende Integration der Führung in das Gestell ist erforderlich.

2 Baugruppen von Werkzeugmaschinen

O 55 stellt. Die Schraubbefestigung mit dem Fundament am Bett unten links ist dementsprechend ausgeführt. Bei der Anwendung von Reaktionsharzbeton, welcher im wesentlichen konstruktionsseitig druckbeansprucht werden kann, erfolgt die Verbindung mit den Anbauteilen (Führungsbahnaufsätze, Montageplatten u.a.) mittels Verschrauben, Eingießen oder Kleben. Zum Verschrauben müssen Gegenstücke aus Stahl im Beton verankert werden. Dies sind in der Regel mit einer Gewindebohrung ausgestattete Eingießkörper, meist mit Hinterschnitt, Verbundanker oder Spreizdübel.

Stahl Grauguss

Bild 87. Krafteinleitung über die Führungsbahnen in das steif und symmetrisch gestaltete Bett eines Fräszentrums (Hitachi Seiki, Japan)

Besonderheiten der Gestaltung von Gestellen aus Reaktionsharzbeton

Dies ist beispielhaft gelöst bei dem im Bild 87 dargestellten Maschinenbett. Der Kraftfluss wird von den Führungsbahnen in die steif gestalteten Längsverrippungen geleitet. Durch einen symmetrischen Aufbau wird auch meist ein günstiges thermisches Verhalten erreicht.

Bild 88 zeigt die kompakte Konstruktion eines Granitan-Bettes. Die Wandstärke liegt bei ca. 60 ... 80 mm, d. h. das Dreifache eines Gussbettes bei gleichem Gewicht. Besonders das Dämpfungsverhalten gegenüber Grauguss ist wesentlich besser, Bild rechts unten. Eine Auswahl von Eingießteilen, die sich formfest mit dem Mineralgusskörper verbinden, zeigt Bild 88 oben links. Diese nehmen insbesondere Zug-, Biege- und Torsionsbelastungen z.B. beim Befestigen von Gegenbauteilen auf. Verrippungen entfallen in der Regel. Durchbrüche, Kabeldurchführungen und zur Gewichtseinsparung auch Polystyrol-Hartschaumkerne können direkt eingegossen werden.

Verschraubungen an Gestellen Befestigungsschrauben sollten nicht über einen äußeren freiliegenden Flansch am Gestell wirksam werden, da dieser, wenn er nicht zusätzlich versteift ist, eine große Biegelänge aufweist. Die Befestigungsstelle ist in das Gestell zu integrieren. Dadurch entsteht eine große Steife und auch eine gestalterisch gute Lösung. Eine solche ist im Bild 87 rechts darge-

Maschinenbett der UniversalRundschleifmaschine S31 cnc aus Mineralguss Granitan S103

Beispiele von Eingiessteilen

Schwingweg

Konventionelles Maschinenbett

[µm] Maschinenbett aus Granitan S 100

Schwingfrequenz

[Hz]

Bild 88. Maschinenbettgestaltung und Verhalten von Mineralguss Granitan (Studer AG, Thun, Schweiz)

O 56

O Werkzeugmaschinen

Dynamische Einflüsse auf die Gestaltung

Erzwungene Schwingungen Diese werden hervorgerufen durch periodisch wirkende äußere Kräfte F (t).

Freie gedämpfte Schwingungen Diese werden erzeugt durch Stöße aus dem Bearbeitungsprozess, Zahneingriffsstöße als Ursache von Eingriffsteilungsfehlern u.a. Sie regen das schwingungsfähige System zu Schwingungen in dessen Eigenfrequenz an (bei Einmassensystemen).

Die Differentialgleichung lautet: mx+ ρ x + cx = F (t )

Diese periodischen Kräfte können unabhängig von ihrer Frequenz sein (Bild 89 links) oder bei Massenkrafterregung mit der Erregerfrequenz  (Drehfrequenz der Erregermasse) durch Fliehkraftwirkung wachsen. Diese Massenkrafterregung entsteht durch rotierende Teile mit Restunwuchten, wie Getriebe- und Motorwellen in der Werkzeugmaschine (Bild 89 rechts). Federkrafterregung liegt vor, wenn z. B. eine an sich sehr gut ausgewuchtete Riemenscheibe eine Exzentrizität aufweist, so dass der Antriebsriemen periodisch gespannt und entspannt wird, der Betrag der Kraftänderung aber im wesentlichen unabhängig von der Drehfrequenz der Riemenscheibe ist. Der Unterschied liegt darin, dass bei Federkrafterregung beim Frequenzverhältnis = 0 die Amplitude A gleich dem statischen Ausschlag A0 entspricht. Der Einfluss der Dämpfung im Resonanzbereich ist erkennbar.

Die Differentialgleichung lautet: (37)

mx+ ρ x + cx = 0

für die Eigenkreisfrequenz gilt

ω0 =

c m

(38),

dabei ist: x = Weg, x = Geschwindigkeit, x = Beschleunigung c = Steife,  = Dämpfungsfaktor, m = Masse Federkrafterregung A / A0

ρ= 0

Massenkrafterregung A / A0

F(t)

ρ= 0

ρ = klein ρ

m

c

ρ = groß

ρ = groß

1

ρ

1

1

F(t)

ω

m

ρ = klein

0

(39)

ω / ω0

0

Aus der Beziehung über die Eigenkreisfrequenz 0 ist zu erkennen, dass eine hohe Steife und geringe Massen zu hohen Werten und damit in den meisten Fällen zu einer hohen dynamischen Steife führen. Es sind aber immer die Größen der Erregerfrequenzen zu beachten, z.B. wenn die max. Drehzahl einer Schleifspindel von 60.000 1/min [1 000 Hz] der Werkzeugspindel eines Fräszentrums mit 9.000 1/min [150 Hz] gegenübergestellt wird. Bei einer Eigenfrequenz von z.B. 170 Hz des betroffenen Gestells wird sich eine Frässpindelunwucht erheblich auswirken, der Einfluss der Schleifspindel dagegen bei gleicher Kraftkomponente geringer sein, Bild 89 rechts. Die dritte Möglichkeit, die Dämpfungskrafterregung, liegt in den meisten Fällen bei äußeren Schwingungserregern vor, deren Schwingungen über das Maschinenfundament beispielsweise auf das Maschinenbett übertragen werden.

1

c

Bild 89. Amplitudenverhältnis A / A0 als Funktion des Frequenzverhältnisses  /  0 bei erzwungenen Schwingungen durch Feder- und Massenkrafterregung

ω / ω0

Genauere Ergebnisse aus dem Gestellentwurf können auch bei dynamischen Belastungen nur über die Methode der Finiten Elemente erzielt werden. Deren Bestätigung kann nur durch Messungen am Funktionsmuster erfolgen. Selbsterregte Schwingungen Diese entstehen aus dem Zerspanungsprozess und werden durch dessen ständige Energiezufuhr aufrecht erhalten. Die Schwingung erfolgt dabei in der Eigenfrequenz eines dynamisch schwachen Bauteils. Ein Vergleich ist die Schwingung des Pendels einer Uhr mit seiner Eigenfrequenz, bestimmt aus Pendelmasse und Pendellänge. Die Energiezufuhr erfolgt über die potentielle Energie des Gewichts. Durch Veränderung der Prozessparameter kann die Stabilität des Zerspanungsprozesses wieder erreicht werden. Dies geschieht aber meist zu Lasten der Pro-

2 Baugruppen von Werkzeugmaschinen duktivität, also über Verringerung oder Veränderung der Spanquerschnitte. Allerdings können auch Veränderungen der Einspannbedingungen der Werkzeuge, in bestimmten Fällen auch der Werkstücke, zur Stabilisierung der Zerspanung führen.

2.6 Werkzeug- und Werkstückspanner 2.6.1 Werkzeugspannsysteme für rotierende Werkzeuge Steilkegelschaft 7 : 24 nach DIN 69871/ DIN 69872 Die heute hauptsächliche Aufnahme zeichnet sich insbesondere für CNC-Bearbeitungszentren mit automatischem Werkzeugwechsel durch ihre Universalität, steife Bauweise und leichte Wechsel- und Speichermöglichkeit aus, siehe Bilder 2. und 3. und Beschreibungen im Abschnitt 2.1. Eine Auswahl aus einem Werkzeugaufnahmesystem nach DIN 69871 zeigt Bild 90 Neben Aufnahmen für Standardwerkzeuge einschließlich entsprechender Adapter, wie Spannhülsen mit Morsekegelaufnahme für Spiralbohrer (Zwischenmodul 1.21 im Bild 90), können auch ausgesprochene Spezialwerkzeuge, wie Rückwärtsbohrstangen oder Mehrspindelbohrköpfe im System integriert werden. Auch 3D-Messtaster

O 57 sind in das System einbezogen und sind mit ihren elektrischen Anschlüssen automatisch im CNC-Bearbeitungszentrum einwechselbar. Hohlschaftkegel (HSK)-Aufnahme nach DIN 69893 In den letzten Jahren hat sich die HSK-Aufnahme als Spanner für rotierende Werkzeuge entwickelt. Das Prinzip ist im Bild 91 dargestellt. Im ungespannten Zustand beim Werkzeugwechsel liegt der Werkzeughohlkegel nur im vorderstem Teil der Spindelnase an. Es ist ein Spiel zwischen der axialen Anlagefläche des Werkzeugspanners und der Spindelnase vorhanden, im Bild links. Durch den axialen Anzug der Werkzeugkupplung entstehen axiale und radiale Kräfte im Hohlraum des HSK-Kegels, die eine hohe Steife und Genauigkeit sichern. Ein wesentlicher Vorteil der HSK-Spannung ist die Erhöhung der Spannkraft bei Drehzahlerhöhung durch die höheren Fliehkräfte. Der Anzug gegen die Stirnfläche verhindert axiale Verschiebungen, im Bild 91 Mitte. Im Bild 91 rechts ist eine Motor-HF-Schleifspindel gezeigt, die eine HSK-Aufnahme für Innenschleifdorne besitzt. Über eine Anzugstange und den damit verbundenen Kupplungsfingern erfolgt die Spannung.

Messtaster mit Anschlussstecker für Messwertverarbeitung

Bild 90. Werkzeugaufnahmesystem nach DIN 69871, Werkzeuge und Zubehör (Auswahl) (Deckel, München)

O 58

O Werkzeugmaschinen

Bild 91. Prinzip der HSK-Werkzeugaufnahme und HSK-Aufnahme im Kopf einer Motor-HF-Schleifspindel GNS (Gamfior SpA, Turin, Italien) 2.6.2 Werkzeugspannsysteme für feste und angetriebene Werkzeuge

Solche Systeme werden bei CNC-Drehmaschinen und CNC-Komplettbearbeitungszentren für Futterteile und für die Wellenbearbeitung angewandt, und zwar überall dort, wo Werkzeugrevolver zum Einsatz kommen. Werkzeugrevolver können mit Aufnahmen ausschließlich für feste Werkzeuge und mit solchen für feste und angetriebene Werkzeuge ausgerüstet werden. Bei letzteren ist ein entsprechender Werkzeugantrieb erforderlich.

gelung über eine Kurve und Kurvenrollen. Revolver mit angetriebenen Werkzeugen sind meist so gestaltet, dass das in der Bearbeitungsposition befindliche Werkzeug über eine Kupplung, wie im Bild 93 gezeigt, oder über ein schaltbares Ritzel angetrieben wird. In einem 12-fach-Werkzeugrevolver können meist bis zu vier angetriebene Werkzeuge zum Einsatz kommen. Die anderen Positionen können mit festen Werkzeugen belegt werden.

Bild 93. Werkzeug-Scheibenrevolver mit angetriebenen und festen Werkzeugen. Die Darstellung zeigt das Antriebsprinzip und je ein angetriebenes Werkzeug in X- und Z-Richtung. (+ GF +, Schaffhausen, Schweiz)

Bild 92. 12-fach-Werkzeug-Scheibenrevolver für feste Werkzeuge (Sauter Feinmechanik GmbH, Metzingen)

Bild 92 zeigt einen 12 fach-Werkzeugscheibenrevolver für feste Werkzeuge. Die Werkzeugscheibe wird auf die Werkzeugsysteme des Anwenders zugeschnitten hergestellt. Um eine hohe Präzision in der Positionierung zu erreichen, wird dazu eine Hirth-Stirnverzahnung angewandt. Das Schwenken der Werkzeugscheibe erfolgt über einen AC-Antriebsmotor. Nach einer Vorindexierung über einen elektromagnetisch betätigten Vorindexierbolzen erfolgt die Verrie-

In großem Umfang werden Werkzeughalter nach Bild 94. eingesetzt. Durch ein schräg in der Werkzeugscheibe angeordnetes Druckstück, welches in die Schaftverzahnung des Werkzeughalters eingreift, wird über deren Anzug mittels Schraube der Werkzeughalter sowohl axial als auch radial geklemmt. Damit entsteht eine steife und präzise Verbindung mit dem Revolver. Die Werkzeuge können entweder in einer Werkzeugvoreinstelleinrichtung außerhalb der Maschine im Werkzeughalter eingestellt und die Positionswerte in das CNC-Programm übernommen werden oder dies geschieht automatisch über Werkzeugsensor (Tool eye) in der Maschine.

2 Baugruppen von Werkzeugmaschinen

O 59

Bild 94. Werkzeughalter nach DIN 69880 (Schaft nach VDI 3425 Bl. 2) für CNC-Drehmaschinen und Bearbeitungszentren Weitere Werkzeugspannsysteme haben sich besonders mit der Anwendung angetriebener Werkzeuge entwickelt und sind im Einsatz.

enthält die Öl-Zu- und Abführung. Eine SpannwegÜberwachung komplettiert die Einrichtung.

2.6.3 Werkstückspanner für rotierende Werkstücke Die Art der Aufnahme über Kurzkegel nach DIN 55026 ... 55029 ist im Abschnitt 2.1 erläutert. Spannfutter: Sie unterteilen sich in: – Handspannfutter als Keilstangen (Dreibacken)oder Planspiralfutter (Drei-, Vier-. oder Sechsbacken-), Zweibackenfutter mit Doppelgewindespindel für unregelmäßig geformte Werkstücke, Planscheiben mit vier unabhängig voneinander verstellbaren Schnellwechselbacken und Plankurvenfutter für große Abmessungen.

Bild 95. Kraftspannfutter 3 QLC (Keilhakenfutter mit Fliehkraftausgleich für nmax bis 8 000 U/min) (FORKARDT GmbH, Erkrath)

– Kraftspannfutter Moderne Kraftspannfutter sind beispielsweise Keilhakenfutter mit großer Durchgangsbohrung, Fliehkraftausgleich und integrierter Schmierstoffreserve, Bild 95 (siehe auch Bild 1 des Kapitels 2.1) Die Betätigung der Kraftspannfutter kann hydraulisch, pneumatisch oder elektrisch erfolgen. Als Beispiel ist im Bild 96 eine hydraulisch betätigte Hohlspanneinrichtung dargestellt. Das Kraftspannfutter mit Fliehkraftausgleich ist mit einem Futterflansch am Arbeitsspindelkopf befestigt. Über einen umlaufenden hydraulischen Hohlspannzylinder, welcher über einen Zylinderflansch auf der Arbeitsspindel befestigt ist, erfolgt die Spannbetätigung über ein Zugrohr auf die Keilhaken des Spannfutters. Das Ölzuführungsgehäuse zum Zylinder steht ortsfest und

Bild 96. Hydraulisch betätigte Hohlspanneinrichtung (FORKARDT GmbH, Erkrath) Spannzangen: Sie werden angewendet bei Spannen von Stangenmaterial und bei geforderter hoher Rundlaufgenauigkeit. Im Bild 97 wird eine Lamellen-Spannzange gezeigt,

O 60 die Werkstücke bis 200 mm Durchmesser und auch dünnwandige Werkstücke ohne Verformung mit einer Rundlaufgenauigkeit 0,01 mm spannt.

O Werkzeugmaschinen Maschinenschraubstöcke Sie umfassen in der Regel das Zubehör von Bohrund Fräsmaschinen sowie CNC-Bearbeitungszentren und sind, meist mit pneumatischer oder hydraulischer Kraftspannung ausgerüstet, in der Einzel- und Kleinserienfertigung in großem Umfang in der Anwendung. Dazu zählen auch zentrisch spannende Flachspannsysteme hoher Präzision. Zubehör zum Aufspannen eines oder mehrerer Werkstücke auf dem Maschinentisch Größere Werkstücke werden einzeln oder mehrfach (z. B. bei Langhobelmaschinen) direkt auf dem Maschinentisch gespannt. Als Spannelemente dienen:

Bild 97. Lamellenspannzange (FORKARDT GmbH, Erkrath)

– Spanneisen verschiedener Formen, Bild 99. – Spannpratzen, Bild 100. – Kraftbetätigte Spanneisen, meist über Pneumatikzylinder – Spannunterlagen zum Höhenausgleich zur Spannfläche, Bild 99. – Spannwinkel zur Aufspannung an einer senkrechten oder schrägen Fläche – Magnetspannplatten (für Flächenschleifmaschinen) Spannvorrichtungen aus dem Baukasten Bei kleineren Serien, wie sie beispielsweise im Maschinenbau üblich sind, bilden die BaukastenVorrichtungen den Schwerpunkt in der Fertigung prismatischer Teile, Bild 100.

Bild 98. Spanndorn mit Spannhülse (FORKARDT GmbH, Erkrath) Spanndorne Durch die Expansion der ohne Nachjustierung austauschbaren Spannhülse von 0,8 mm sind sie sowohl für automatisches Be- und Entladen geeignet und weisen Wiederhol-Spanngenauigkeiten von < 0,012 mm auf, Bild 98. 2.6.4 Werkstückspanneinrichtungen für feststehende Werkstücke

Unter feststehenden Werkstücken werden insbesondere solche mit prismatischer Grundform verstanden, welche entweder fest auf der Spannfläche des Arbeitsschlittens oder zur Vier- oder Fünfseitenbearbeitung auf einem schwenkbaren Maschinentisch, welcher auch als Wechseltisch aufgebaut sein kann, gespannt sind. Auch eine erforderliche Ergänzungsbearbeitung runder Teile zählt zu dieser Definition.

Bild 99. Spanneisen, Spannklaue und Treppenbock

3 Steuerungs- und Automatisierungstechnik an Werkzeugmaschinen

Bild 100. Baukastenvorrichtung aus dem Nutsystem (E. Halder KG, Laupheim)

O 61

Eine Steuerung umfasst eine Reihe von Baugruppen. Dazu zählen: – Speicher (Kurve, Lochband, Diskette, elektronischer Speicher (RAM, EPROM), u. a.) – Steuerketten und Regelkreise – Gesteuerte und geregelte Organe (Servomotore als Schlittenantrieb, E-Magnete, E-Magnetkupplungen, Steuerventile u. a.) – Schalter, Sensoren, Näherungsinitiatoren, Messsysteme Bei Werkzeugmaschinen haben Steuerungen folgende Aufgaben: – Einleiten und Beenden der Bewegungen von Arbeitsspindeln, Werkzeugschlitten, Arbeitstischen, Werkzeug- und Werkstückwechseleinrichtungen, Arbeitsraumtüren – Zu- und Abschalten von Hilfsstoffen – Verändern von Drehzahlen, Geschwindigkeiten, Kräften und Momenten – Arbeitsspindeln, Werkzeugschlitten, Arbeitstische mit erforderlicher hoher Genauigkeit in die gewünschte Position fahren

3.2 Konventionelle Steuerungstechnik an Werkzeugmaschinen 3.2.1 Mechanisch gesteuerte Automaten

Bild 101. Mehrfachaufspannung auf einem Turm, Flachspannprogramm staticlamp (FORKARDT GmbH, Erkrath) Spanneinrichtungen für größere Serien, Bild 101. Bis zu acht Werkstücke können auf diesem Turm gespannt werden. Unter Nutzung eines CNCBearbeitungszentrums mit Schwenktisch wird eine optimale Bearbeitung bei hoher Flexibilität durch schnellen Spannbacken- und Plattenwechsel erreicht.

3 Steuerungs- und Automatisierungstechnik an Werkzeugmaschinen 3.1 Baugruppen und Aufgaben Eine leistungsfähige und funktionssichere Steuerungstechnik ist die ist die Voraussetzung für die Automatisierung der Werkzeugmaschinen und der Produktionsprozesse (Definition nach DIN 19226 siehe Abschnitt Steuerungstechnik).

Erste mechanisch gesteuerte Automaten für die Drehund Ergänzungsbearbeitung wurden bereits gegen Ende des 19. Jahrhunderts entwickelt. Sie wurden im Laufe des 20. Jahrhunderts technisch weiter ausgebaut und haben auch heute, im Zeitalter der CNC-Technik, dort, wo ausgesprochene Großserien- und Massenfertigung vorliegt, ihre Bedeutung noch nicht verloren. Hauptelement dieser Automaten ist die Steuerkurve, als Kurvenscheibe oder Kurventrommel eingesetzt. In ihr ist sowohl der Weg als auch die Geschwindigkeit des von ihr angetriebenen Werkzeugschlittens gespeichert. Die Übertragung erfolgt mit direkten mechanischen Mitteln ohne zusätzliche Verstärkung, Bild 1. Einspindel-Revolverdrehautomaten Im Bild 2 ist der Getriebeplan eines EinspindelRevolverdrehautomaten mit Hilfssteuerwelle dargestellt. Die Hilfssteuerwelle besitzt eine konstante höhere Drehzahl, um die Schaltvorgänge der Hilfsbewegungen, die von auf der Hauptsteuerwelle sitzenden Nocken ausgelöst werden, in kurzer Zeit auszuführen. Auf der Hauptsteuerwelle, die sich pro WerkstückOperativzeit einmal um 360° dreht, sitzen die Kurve für den Revolverschlitten und die Seitenschlittenkurven. Die Schlittengeschwindigkeit wird durch den Kurvenanstieg bestimmt, der Weg durch Anfangsund Endpunkt eines Kurven-Abschnittes. Die Schaltung des Revolverkopfes erfolgt über ein Malteserkreuzgetriebe. Nach dem Schalten wird der Revolverkopf wieder automatisch verriegelt.

4 Entwicklung der Werkzeugmaschine zum Komplettbearbeitungszentrum

4 Entwicklung der Werkzeugmaschine zum Komplettbearbeitungszentrum In den letzten zwei Jahrzehnten hat sich die klassische, vorwiegend auf die Anwendung eines Fertigungsverfahrens ausgerichtete Werkzeugmaschine (Drehmaschine, Fräsmaschine, Bohrmaschine, Schleifmaschine usw.) zum Bearbeitungszentrum (BAZ) zur Komplettfertigung entwickelt, Bild 1.

O 71

Gründe für eine solche Entwicklung:

Die Komplettbearbeitung des Werkstückes in einer Aufspannung sichert höchste Qualität, insbesondere in den Lage- und Formtoleranzen

Der Lager-, Handlings- und Transportbedarf der Werkstücke in der Produktion wird erheblich reduziert

Die Zahl der Fertigungsplätze (Werkzeugmaschine einschließlich Werkstück- und Werkzeugspeicher sowie Handhabeeinrichtungen) wird reduziert.

Die Flexibilität in der Produktion erhöht sich

Die Zahl der Bedienkräfte verringert sich

Die Kosten sinken Voraussetzungen für diese Entwicklung:

Die Entwicklung der CNC-Steuerungs- und Antriebstechnik, besonders Mikrorechner, digitale Antriebe und Meßsysteme höchster Präzision

Die Entwicklung leistungsfähiger Fertigungsverfahren und Werkzeuge mit hohen Standzeiten (CBN-Werkzeuge, Schneidkeramik, HSC-Fräsen, Lasertechnik)

Hohe statische, dynamische und thermische Steife der Gestellbaugruppen, wodurch die zeitparallele Bearbeitung mit gleichen oder unterschiedlichen Fertigungsverfahren möglich wird

Bild 1. Entwicklung der Produktivität bei der Weichbearbeitung von Futterteilen

4.1 Weichbearbeitung von Teilen mit überwiegend runder Gestalt 4.1.1 Bearbeitung von Futterteilen

Der im Bild 2 dargestellte Arbeitsraum eines CNCStangenbearbeitungszentrums (max. Werkstückdurchmesser 26 mm) zeigt die Arbeitsspindel als numerische Achse C1 und die Gegenspindel C2 zur Werkstückaufnahme für die Bearbeitung der Werk-

stückrückseite. Beide Spindeln sind mit Zangenspannung ausgerüstet. Die Gegenspindel ist zur Übernahme des auf der Vorderseite bearbeiteten Werkstückes in der numerischen Achse Z3 verfahrbar. Die beiden Werkzeugrevolverköpfe mit je 12 Werkzeugaufnahmen sind in den CNC-Achsen X1, Z1 bzw. X2, Z2 verfahrbar, der Revolverkopf 1 dazu noch in einer YAchse. Mit dieser Konstellation können nahezu alle an einem Werkstück notwendigen Grund- und Ergänzungsbearbeitungen durchgeführt werden.

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O Werkzeugmaschinen

Bild 2. Arbeitsraum des Komplettbearbeitungs-Zentrums TNS 26 (Traub, Reichenbach/Fils)

Bild 3. Bearbeitungsmöglichkeiten auf einem KomplettBearbeitungszentrum (TNS 30, Traub, Reichenbach/Fils)

Einen Überblick über die Bearbeitungsmöglichkeiten eines solchen Zentrums für Futterteile gibt Bild 3. Durch die Anwendung von rotierenden Werkzeugen in Längs-(Z)- oder Quer-(X)-Richtung und lage- und geschwindigkeitsgeregelter Arbeitsspindel (C-Achse) sind auch komplizierte Werkstückformen herzustellen, ohne dass die Maschine gewechselt werden muss. Manuelle Handhabung der Werkstücke Die Komplettbearbeitung auf einem Bearbeitungszentrum bringt große Nutzeffekte für den Anwender. Mit

dem 6-Achsen-CNC-Komplettbearbeitungszentrum „Multiplex“, Bild 4 liegen durch die Anwendung solcher progressiver Lösungen wie: – Bedienerführung beim Programmieren (WOB) – Anwendung eines Werkzeugmessfühlers (Tool Eye, registriert die Werkzeugmessdaten nach Berührung im CNC-Speicher) mit erforderlicher Einrichtzeit pro Werkzeug von 30 s – Automatische Übergabe des Werkstückes zwischen den beiden Spannfuttern bei laufenden Spindeln zur Werkstück-Rückseitenbearbeitung,

4 Entwicklung der Werkzeugmaschine zum Komplettbearbeitungszentrum dadurch neben der Zeiteinsparung hohe Präzision hinsichtlich Koaxialität, Rund- und Planlauf zwischen beiden Einspannungen – Erhebliche Reduzierung der Werkstückbearbeitungszeit durch kürzere Nebenzeiten, höhere Eilganggeschwindigkeiten u. a. – Wegfallende Zwischentransportzeiten – Wegfallende Werkstückspannoperationen die Einsparungen an Fertigungszeit, Platzbedarf, Arbeitskräftebedarf, Ausrüstungskosten und Produktionskosten sehr hoch.

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Automatische Handhabung und Speicherung der Werkstücke und Werkzeuge bei der Komplettbearbeitung von Futterteilen Bei Bearbeitungszentren mit waagerechten Arbeitsspindelachsen muss die automatische Werkstückhandhabung von und zu einem Werkstückspeicher in der Regel über Robotertechnik erfolgen. Bei Futterteilen bietet sich ein Portalroboter für diese Aufgabe an (geringer zusätzlicher Platzbedarf, da dieser über der Maschine angeordnet werden kann). Die Werkstücke werden auf Paletten gespeichert und getaktet abgearbeitet.

Bild 4. 6-Achsen-CNC-Komplettbearbeitungszentrum „Multiplex“, Aufbau und Nutzeffekte am Beispiel der Zwei-Seiten-Bearbeitung (YAMAZAKI MAZAK, Corp., Japan)

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O Werkzeugmaschinen

Bild 5. Fertigungszelle zur KomplettBearbeitung von Futterteilen (Traub, Reichenbach/Fils)

Der Aufbau einer Fertigungszelle für Futterteile ist relativ aufwendig wegen der umfangreichen Peripherie, wie Bild 5 zeigt. Eine Umgehung dieses Aufwandes ist möglich, wenn die Bearbeitung der Werkstücke gleichgerichtet zu deren Speicherachse durchgeführt wird, d.h. die Arbeitsspindelachse steht senkrecht. Ein solches Senkrecht-Bearbeitungszentrum ist im Bild 6 dargestellt. Die Arbeitsspindel 1 zur Bearbeitung der Werkstückvorderseite wird zusätzlich zur Nutzung des „Pick up“-Prinzips eingesetzt, d. h. das Spannfutter der Spindel greift sich das zu bearbeitende Werkstück von einem Werkstückspeicher. Die Arbeitsspindel 1 führt die Bewegungen sowohl in Xals auch in Z-Richtung aus. Der Werkzeugrevolver zur Bearbeitung der Werkstückvorderseite ist ortsfest am Bett angebracht. Nach der Bearbeitung fährt Spindel 1 in die Achsposition der Gegenspindel 2 und übergibt das Werkstück in deren Spannfutter.

Ein zweiter Arbeitschlitten trägt einen Werkzeugrevolver und führt mit diesem die Bewegungen in Xund Z-Richtung zur Bearbeitung der Werkstückrückseite aus. Nach der Komplettbearbeitung wird das fertige Werkstück mittels Greifer aus dem Spannfutter entnommen und auf einem Fertigteilspeicher oder Transportband abgelegt. Mit diesem Konzept kann der in einer waagerecht orientierten Fertigungszelle benötigte mit mehreren CNC-Achsen ausgerüstete Portalroboter eingespart werden. 4.1.2 Wellenbearbeitung

Zur Wellenbearbeitung werden CNC-Drehzentren mit bis zu vier numerischen Achsen, X1, Z1 für Revolverkopf 1 und X2, Z2 für Revolverkopf 2, dazu wahlweise mit numerischer C-Achse sowie den Reitstock zur Wellenabstützung eingesetzt. Die Möglichkeit des Ausbaus zur Fertigungszelle mit Portalroboterbeschickung und Werkstückspeicher ist gegeben.

Bild 6. Doppelspindliges Pick-up Bearbeitungszentrum HESSAPP DVT 300 (Thyssen Hüller Hille GmbH, Werk Hessapp, Taunusstein)

4 Entwicklung der Werkzeugmaschine zum Komplettbearbeitungszentrum

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Bild 7. Komplettbearbeitungszentrum INDEX GSC65 mit zusätzlichem Werkzeugspeicher (INDEX-Werke, Esslingen)

Bild 8. Möglichkeiten zur Wellenfertigung auf dem Bearbeitungszentrum (INDEX-Werke Esslingen)

Moderne Komplettbearbeitungszentren (Bild 7) eignen sich sowohl für die Fertigung von Futterteilen unter Nutzung der Gegenspindel als auch durch deren automatischen Austausch mit einem Reitstock zur Wellenfertigung, Bild 8. Weitere Möglichkeiten zur Wellenabstützung sind im Bild rechts dargestellt. Bei hohem Werkzeugbedarf durch kleinere Serien mit wechselndem Teilesortiment kann ein zusätzlicher Werkzeugspeicher eingesetzt werden.

4.2 Hartbearbeitung von Teilen mit überwiegend runder Gestalt Die Bearbeitung gehärteter Teile erfordert eine hohe Präzision der Fertigung, da die erzeugten Flächen in der Regel als Funktionsflächen dienen, beispielsweise bei Wälzlagern. Besonders einsatzgehärtete und vergütete Flächen werden in zunehmenden Maße angewendet, so an Getrieberädern und -wellen im Maschinen- und Fahrzeugbau, in der Hydraulik- und Pneumatikgerätefertigung, der Verkehrs- sowie der Luft- und Raumfahrttechnik u.a. Kennzeichnend sind nachstehende Forderungen:  Maßtoleranzen in den Klassen IT 5 bis 7, bei Wälzlagerringen P4 und P5  Formabweichungen < 2 ... 3 μm, häufig bei der

Kreisform < 1 μm  Oberflächenrauhigkeiten Rz < 1,5 ... 2 μm, bei Wälzlagern Ra < 0,3 μm, bei Laufbahnen < 0,01 μm  Rund-, Planlauf- und Koaxialitätstoleranzen < 1 ... 2 μm Bevorzugte Fertigungsverfahren zur Hartbearbeitung sind:  Schleifen  Hartfeindrehen  Läppen und Superfinishen (Feinziehschleifen) zur Verbesserung der Oberflächengüte geschliffener oder hartfeingedrehter Flächen 4.2.1 Hartbearbeitung von Futterteilen

Konventionelle Hartbearbeitung Vor der Einführung der CNC-Technik im Schleifmaschinenbau (1983 bis 85) war die Schleifbearbeitung aufwendig und musste in mehreren Schritten auf verschiedenen Maschinen durchgeführt werden, z. B.: – Schleifen einer Bohrung und einer Planfläche auf der Innenrundschleifmaschine – Umspannen des Werkstückes auf einen Spanndorn und Schleifen der Außenzylinderflächen.

O 76 Schleifzentren zur Komplettbearbeitung Durch Nutzung der CNC-Steuerungs- und Antriebstechnik bei Schleifmaschinen konnte in den letzten beiden Jahrzehnten die Entwicklung zur Schleifbearbeitung einer Futterteil-Vorderseite komplett mit Einbeziehung von ein bis zwei von ihrer Lage her geeigneten an der Rückseite liegenden Planflächen in einer Aufspannung vollzogen werden.

Bei der Gestaltung solcher Schleifzentren sind folgende Bedingungen zu beachten: – beim Bohrungsschleifen verschiedener Durchmesser und zum Schleifen von innen liegenden Planflächen sind mehrere Motorschleifspindeln mit unterschiedlicher Spindeldrehzahl erforderlich, um mit optimalen Schleifscheiben-Umfangsgeschwindigkeiten und ausreichender Schleifdornund Spindelsteife zu arbeiten (siehe auch Bild 16 im Kapitel 2.1 und die zugehörige Beschreibung) – eine langsam laufende Schleifspindel mit einer Schrägeinstech-Außenschleifscheibe und einem Außendurchmesser 350 ... 400 mm wird zum effektiven Schleifen von zylindrischen Außenflächen und Planflächen benötigt – Die Bearbeitung der einzelnen Flächen kann nacheinander oder die Außenbearbeitung zeitparallel zur Innenbearbeitung erfolgen – Die beim Schleifen erforderliche Arbeitsgenauigkeit verlangt Weginkremente der CNC-Achsen von 0,1μm und kleiner. Dies bedeutet den Einsatz von Linearmeßsystemen höchster Genauigkeit Schleifzentren für zeitliche Nacheinanderbearbeitung Bild 9 zeigt den Aufbau eines CNC-Schleifzentrums für die Bearbeitung von Futterteilen. Die Hauptachse X führt die Zustellbewegung beim Schleifen von Bohrungen, Außenzylinder- und Ke-

O Werkzeugmaschinen gelflächen, die Pendel- oder Oszillationsbewegung beim Planflächenschleifen sowie die Positionierung auf die verschiedenen Durchmesser der zu bearbeitenden Zylinder- und Kegelflächen aus. Die Hauptachse Z führt die Zustellbewegung beim Planflächenschleifen, die Pendel- oder Oszillationsbewegung beim Schleifen von Bohrungen, Außenzylinder- und Kegelflächen sowie die Positionierung auf die verschiedenen Längspositionen der zu bearbeitenden Zylinder- und Kegelflächen aus. Die C-Achse dient der Drehzahländerung der Werkstückspindel zur Anpassung des Geschwindigkeitsverhältnisses, die B-Achse zum automatischen Schwenken des Werkstückspindelstockes für das Schleifen langer schlanker Kegelflächen (Kurzkegel werden über Interpolation von X- und Z-Achse erzeugt), die D-Achse für das Schwenken des Abrichters und als Option eine U-Achse als Hilfsachse für Handlings- und Spannfunktionen. Zur optimalen Bearbeitung der verschiedenen Werkstückdurchmesser können vier verschiedene Motorschleifspindeln über den Revolverflachtisch zum Einsatz kommen. Die Revolvertischachse ist im Beispiel als Schaltachse ausgebildet. Sie kann aber auch zur numerischen B1-Achse erweitert werden. Die Schleifoperationen erfolgen bei diesem Maschinenkonzept zeitlich nacheinander. Es befindet sich also immer nur ein Werkzeug im Eingriff. Auf der Werkstück-Rückseite liegende Planflächen können nur unter Anwendung sogenannter „Pilzschleifkörper“ bearbeitet werden, Bild 10. Damit ist es immerhin möglich, Flächen mit hohen Rund- und Planlauftoleranzen in einer Aufspannung zu bearbeiten. Das Schleifzentrum ist relativ einfach aufgebaut (Bild rechts). Beide Schleifeinheiten sind auf einem Querschlitten (X-Achse) angeordnet. Auf einen Revolvertisch kann verzichtet werden, was sich kostengünstig auswirkt.

Bild 9. Aufbau eines CNC-SchleifZentrums für Futterteile (Voumard Machines Co, La Chaux-de-Fonds, Schweiz)

4 Entwicklung der Werkzeugmaschine zum Komplettbearbeitungszentrum

O 77

Bild 10. Schleifbearbeitung eines Schaltrades (links), Schleifzentrum (Draufsicht – rechts) (Buderus GmbH, Ehringshausen)

Bild 11. Schleifzentrum SIU 3 P – CNC zur zeitparallelen Bearbeitung von Außen- und Innenflächen von Futterteilen (SCHAUDT MIKROSA BWF GmbH, Werk Berlin)

Schleifzentren für zeitliche Parallelbearbeitung Eine Produktivitätssteigerung besonders in der Großserien- und Massenfertigung ist möglich, wenn die Außenflächenbearbeitung zeitparallel zur Bohrungsund Innenplanflächenbearbeitung erfolgt. Dazu wird ein Schleifzentrum mit 4 CNC-Hauptachsen (X1, Z1 / X2, Z2) benötigt.

Ein solches Schleifzentrum ist im Bild 11 dargestellt. Neben den vier Hauptachsen für Außen- und Innenschleifeinheit sowie der Werkstückspindelachse C wird eine weitere Achse Z 3 zur Aufnahme längerer Werkstücke unter Nutzung einer Lünette angewandt. Die numerischen Schwenkachsen B und B 1 komplettieren dieses Zentrum.

Hartfeindrehen und Schleifen mit einem flexiblen Bearbeitungszentrum In den letzten Jahren hat das Hartfeindrehen mit Schneiden aus kubischem Bornitrid (CBN) an Bedeutung gewonnen. Besonders kurze Zylinderflächen und Planflächen sind produktiver durch Hartfeindrehen zu bearbeiten, während große Zylinderflächen und insbesondere lange Bohrungen genauer und produktiver durch Schleifen herzustellen sind. Diese Erkenntnisse führten zur Entwicklung des im Bild 12 gezeigten Bearbeitungszentrums zum Hartfeindrehen und Schleifen von Futterteilen in einer Aufspannung. Durch den Einsatz eines Linearmotorantriebes für die X-Achse sind die Nebenzeiten zum Wechsel zwischen Hartdreh- und Schleifstation sehr gering (ca. 1 ... 2 s).

O 78 Im Bild unten ist die Bearbeitung eines Kfz-Schaltrades dargestellt. Vordere und hintere Planfläche sowie die Synchronkegelfläche werden hartfeingedreht, die Bohrung wird geschliffen, auch die Endbearbeitung der Synchronkegelfläche erfolgt aus anwendungstechnischen Gründen durch Schleifen. 4.2.2 Hartbearbeitung von wellenförmigen Teilen Klein- und Mittelserienfertigung

O Werkzeugmaschinen Die Komplettfertigung in einer oder zwei Aufspannungen erfolgt heute im wesentlichen auf CNCAußenrundschleifmaschinen mit Nacheinanderbearbeitung im Pendelschleifen oder Geradeinstich und Aufnahme der Werkstücke zwischen Spitzen. Die Maschinen besitzen meist neben den beiden CNC-Hauptachsen X und Z eine numerische Schwenkachse für den Schleifspindelstock zum Wechsel zwischen Zylinder- und Kegelschleifen. Großserien- und Massenfertigung

Schleifen

Hier kommen im wesentlichen CNC-Komplettbearbeitungszentren zum Schrägeinstechschleifen oder, soweit es die Werkstückgestalt zulässt, spitzenlose Schleifautomaten zur Anwendung. Mittels Diamantabrichtrollen wird die Werkstückkontur in die Schleifscheibe abgerichtet. Mit derartigen Maschinen wird eine sehr hohe Produktivität erreicht, aber die Umrüstzeiten und -kosten sind sehr hoch. Ein Bearbeitungsbeispiel einer CNC-Schrägeinstech-Schleifmaschine ist im Bild 13 dargestellt.

Bild 12. Flexibles multifunktionales Bearbeitungszentrum „STRATOS M“ (SCHAUDT MIKROSA BWF GmbH, Werk Berlin)

Hartfeindrehen und Schleifen auf einem Wellenbearbeitungszentrum Auch bei der Wellenbearbeitung werden die Vorteile des Plan-Hartfeindrehens zum Bearbeiten der Schultern in der Länge auf Maß genutzt. Damit ist es möglich, anschließend alle Durchmesser mit einer Satzscheibe im Geradeinstisch zu schleifen. Auch eine kombinierte Weich-Hartbearbeitung ist möglich, Bild 14.

Bild 13. Arbeitsbeispiel einer Wellen-Komplettbearbeitung auf einer CNC-Schrägeinstech-Schleifmaschine mit einer durch eine Diamant-Abrichtrolle profilierten Schleifscheibe

Durch die Anordnung der Werkstückträger über den Werkzeugträgern erfolgt ein freier Spänefall nach unten. Die großen Entfernungen zwischen Hartdrehund Schleifstation werden durch einen Linearmotorantrieb und hohen Geschwindigkeiten der Z-Achse schnell überbrückt.

4 Entwicklung der Werkzeugmaschine zum Komplettbearbeitungszentrum

O 79

Komplizierte Oberflächenformen, wie im Werkzeugbau (u.a. Tiefziehwerkzeuge für Karosserieteile), werden heute auf Fünf-Achsen-Bearbeitungszentren , siehe auch Abschnitt 4.3.4., hergestellt.

4.3.1 Mehrseiten-Bearbeitung prismatischer Teile

Bild 15. Bearbeitungsrichtungen an einem Werkstück mit prismatischer Grundform

Im Bild 15 ist ein prismatisches Teil dargestellt, bei welchem nur die Aufspannfläche bereits bearbeitet ist (sechste Seite). Je nach der Fertigungsaufgabe kann es unterschiedliche Lösungen geben:

Bild 14. Arbeitsraum des kombinierten Dreh- und Schleifzentrums HSC 400 DS (EMAG KARSTENS GmbH Maschinenfabrik, Neuhausen)

4.3 Bearbeitung von Teilen mit prismatischer Gestalt Bei prismatischen Teilen muss davon ausgegangen werden, dass eine Basis, meist als bearbeitete Fläche, vorhanden sein muss, welche als Auflage auf dem Arbeitstisch oder in der Spannvorrichtung dient, damit das Werkstück gespannt werden kann (siehe Kapitel 2.6). Diese Auflage muss zunächst auf einem Bearbeitungszentrum oder bei Eignung auch aus rationellen Gesichtspunkten über Mehrstückspannung z. B. auf einer Bettfräsmaschine bearbeitet werden können. Damit bleibt in der Regel für die weiteren Seiten des Prismas die Möglichkeit, diese in einer Aufspannung je nach Fertigungsaufgabe auf einem Bearbeitungszentrum mit hoher Genauigkeit, besonders hinsichtlich Form- und Lageabweichungen, komplett zu fertigen.

Großserien- und Massenfertigung:  Anwendung einer Sondermaschine mit fünf Bearbeitungseinheiten, bei denen alle Bearbeitungen z.B. über Mehrspindelbohrköpfe gleichzeitig durchgeführt werden.  Anwendung einer Taktstraße mit Wendestationen, besonders dort, wo auch Fräsarbeiten notwendig sind, die weitere Bearbeitungseinheiten fordern. Vorteil: höchste Produktivität, Nachteil: geringste Flexibilität Mittel- und Kleinserienfertigung  Anwendung von CNC-Bearbeitungszentren, je nach Werkstücksortiment mittels modularem Konzept bis zur Fünf Seiten-Bearbeitung wählbar.

Ein solches modulares Maschinenkonzept zeigt Bild 16. Die Bearbeitungszentren verschiedener Größen und Palettenabmessungen können mit Dreh- oder Teiltischen ausgerüstet werden. Damit ist die Vier Seiten-Bearbeitung bereits möglich (Bild unten links).

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O Werkzeugmaschinen

Bild 16. Modulares Maschinenkonzept eines Großbearbeitungszentrums für die optimale Anpassung an die Fertigungsaufgabe (Heckert, Chemnitz)

Bild 17. Prinzip des Horizontal/Vertikal-Kopfes für die Fünf-Seiten-Bearbeitung und ein Beispiel für dessen konstruktiven Aufbau, (Heckert, Chemnitz)

Zur Komplettierung als Fertigungszelle wird werkstückseitig ein Linearspeicher mit Palettentransportwagen und Spannplatz eingesetzt (Bild unten). Werkzeugseitig können drei verschiedene Arbeitsspindelausführungen zur Anwendung kommen: – Horizontale Arbeitsspindel für hohe Leistung und hohe Drehzahlen (Bild rechts oben) – Horizontale Pinolenspindel zur Bearbeitung langer Bohrungen oder tiefliegender Flächen

– Schwenkbarer Horizontal/Vertikal-Spindelkopf für die Fünf-Seiten-Bearbeitung Komplettiert wird das Maschinenkonzept durch ein Kettenmagazin für 60 oder 80 Werkzeuge beziehungsweise ein Kassettenmagazin für maximal 238 Werkzeuge. Zur Fünf-Seiten-Bearbeitung wird ein zwischen horizontaler und vertikaler Bearbeitungsrichtung schwenkbarer Arbeitsspindelkopf benötigt, dessen

4 Entwicklung der Werkzeugmaschine zum Komplettbearbeitungszentrum Schwenkprinzip im Bild 17 dargestellt ist. Durch eine unter 45° liegende Schwenkachse wird bei einer Schwenkbewegung um 180° ein Wechsel der Arbeitsspindellage um 90° erreicht. Schwenk- und Aushubbewegung aus einer Hirth-Verzahnung werden hydraulisch betätigt, im Bild links. Die HirthVerzahnung sichert eine präzise Position bei hoher Steife. Leistung und maximale Drehzahl sind durch das Übertragungsprinzip gegenüber einer nicht schwenkbaren Arbeitsspindel geringer, erreichen aber Werte über 20 KW und über 4000 1/min. Bild 18 zeigt ein Vier Seiten-Bearbeitungszentrum aus dem im Bild 16 dargestellten modularen Konzept. Über einen CNC-Rundtisch ist jede beliebige Winkelstellung einstellbar. Die Werkstückauf- und Abspannung kann während der Bearbeitung erfolgen. Unter Nutzung eines schnellen Wechsels des CNCProgramms und einem ausreichenden Werkzeugsortiment im Magazin ist eine hohe Effektivität und Produktivität auch bei kleinen Serien gegeben.

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tem Raum. Drehmomente von 1000 Nm und Winkelgeschwindigkeiten von 360° pro Sekunde sind möglich.

Werkzeugmagazin

Bild 19. Getriebeloser direkt angetriebener ZweiachsSchwenkkopf CyMill mit Motor-Arbeitsspindel CySpeed (Cytec Zylindertechnik GmbH, Jülich)

Bild 18. Bearbeitungszentrum CWK 1600 zur VierSeiten-Bearbeitung prismatischer Teile (Heckert, Chemnitz) 4.3.2 Fünf Achsen-Bearbeitung Die Fünf Achsen-CNC-Bahnsteuerung (Bild 5 im Kapitel 3.3) mit funktioneller Abhängigkeit der drei Linearachsen X,Y,Z und der Schwenkachsen A und C über Interpolation ermöglicht die Bearbeitung komplizierter räumlicher Flächen, insbesondere im Werkzeugbau. Besonders in den letzten Jahren wurden progressive Lösungen für die Einbeziehung der Schwenkachsen A und C entwickelt. Der im Bild 19 gezeigte Zweiachs-Schwenkkopf besitzt je einen Rundmotor (Torque-Motor) mit Einzelpolwicklungen. Dieser ermöglicht höchste Leistungsdichte und durch den Wegfall mechanischer Übertragungselemente eine hohe Dynamik auf kleins-

Damit werden bei Fahrständer-Bauweise sämtliche fünf CNC-Achsen über das Werkzeug realisiert. Eine weitere Alternative für die Fünf-AchsenBearbeitung sind Hexapod-Lösungen, Bild 20. Hexapode bestehen aus Stäben, Gelenken und dem Rahmen. Dabei können die Stäbe ihre Länge verändern und dadurch die Plattform mit dem Werkzeugträger in 6 Freiheitsgraden bewegen. Hohe Dynamik und hohe Steife werden erreicht. Die max. Vorschubgeschwindigkeit in den Stäben des dargestellten Zentrums liegt bei 30 m/min, die Beschleunigung bei 10 m/s2, die Arbeitsspindeldrehzahl bei maximal 30 000 1/min. Die NC-Programmierung kann in herkömmlicher Weise erfolgen (X, Y, Z, A, B). 4.3.3 Höhere Flexibilität in der Großserienfertigung prismatischer Teile Auch in der Großserienfertigung (Motoren- und Fahrzeugbau u.a.) hat sich die dort übliche Taktstraße gewandelt, Bilder 21. und 22. Sie enthält neben den üblichen Bearbeitungseinheiten mit Mehrspindelbohrköpfen u.ä. CNC-Fahrständermodule (X,Y,Z) sowohl mit Revolverkopf als auch mit Werkzeugmagazin und horizontaler Arbeitsspindel. Damit können z.B. Motorblöcke mit gleicher Grundausführung wie die Zylinderbohrungen, aber unterschiedlichen Details auf der gleichen Taktstraße bearbeitet werden.

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O Werkzeugmaschinen

4.3.4 Bearbeitung gehärteter prismatischer Teile Diese Werkstücke kommen in großer Zahl und Universalität im Werkzeugbau vor. Weitere Teile sind z. B. Turbinenschaufeln. Die Basis dieser Fertigung bilden u.a. CNC-Bearbeitungszentren zum Flach-

schleifen, Bild 23 oder für die Hartbearbeitung von größeren Bohrungen Koordinatenschleifzentren mit Planetenschleifspindeln. Auch diese Flachschleifzentren werden in den meisten Fällen in der FahrständerBauweise aufgebaut.

Bild 20. Hexapod-6X-Fräszentrum, Aufbau im Bild links, Arbeitsraum im Bild oben (Mikromat Werkzeugmaschinen GmbH & Co. KG, Dresden)

Bild 21. 3-Achs HPC-Module (X, Y, Z) in Fahrständer-Bauweise in verschiedenen Ausführungen für Taktstraßen und Sondermaschinen (Werkzeugmaschinenfabrik Vogtland GmbH, Plauen)

Bild 22. Flexible Taktstraße „HPC Flexline“ (Draufsicht) (Werkzeugmaschinenfabrik Vogtland GmbH, Plauen)

Bild 23. Profilschleifzentrum BLOHM PROFIMAT RT mit Fahrständerbauweise und Rundtakttisch zum gleichzeitigen Be- und Entladen der Werkstücke während des Schleifens (Blohm Maschinenbau GmbH, Schleifring-Gruppe, Hamburg)

1 Grundlagen

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O Werkzeugmaschinen Werner Bahmann

1 Grundlagen

1.2 Gebrauchswertparameter einer Werkzeugmaschine

1.1 Definition

Die Gebrauchswertparameter einer Werkzeugmaschine unterliegen dem technischen Fortschritt und müssen sich mit jeder Neuentwicklung erheblich erhöhen, um den Anforderungen der Werkzeugmaschinenanwender gerecht zu werden. Die wesentlichen Gebrauchswertparameter der Werkzeugmaschine sind:

Die Werkzeugmaschine (auch als Fertigungsmittel oder Fertigungseinrichtung bezeichnet) dient der Erzeugung von Werkstücken mittels Werkzeugen entsprechend der gegebenen Fertigungsaufgabe. Die Werkzeugmaschine gibt dem Werkstoff durch urformende, umformende, trennende und/oder fügende Verfahren die geforderte geometrische Form und Oberflächengestalt sowie die gewünschten Abmessungen. Die Werkzeugmaschine hat sich heute zum komplexen Fertigungssystem mit meist hohem Automatisierungsgrad entwickelt. Sie ist vielgestaltig und komplex geworden. Dadurch ist die moderne, für die Anwendung progressiver Fertigungsverfahren geeignete Werkzeugmaschine einschließlich peripherer Einrichtungen, wie Speicher- und Handhabungstechnik für Werkstücke und Werkzeuge, Qualitätssicherungs- und Prozessüberwachungssysteme sowie Möglichkeiten zur Integration in flexible Fertigungssysteme ein Maßstab für den Stand der Produktionstechnik eines Unternehmens.

Produktivität P Hauptfaktor des Gebrauchswertes bei vergleichbarer Arbeitsgenauigkeit zu vergleichbaren Erzeugnissen des Wettbewerbs. Es gilt: W (1) P= T ⋅ A⋅ K dabei ist W Anzahl der erzeugten Werkstücke T Zeiteinheit [Stunde (h), Kalendertag, Monat, Jahr] A Bruttogrundfläche der Werkzeugmaschine [m2] K Anzahl Bedienkräfte, bei Bedienung von 4 Maschinen durch einen Bediener ist K = 1 / 4

Bild 1. Entwicklung verschiedener Gebrauchswertparameter bei drei Erzeugnisgenerationen von WälzlagerringSchleifautomaten (Berliner Werkzeugmaschinenfabrik GmbH)

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O Werkzeugmaschinen

Dabei ist die Grundproduktivität W PG = T W 1

T h

A m2

(2)

K 1

Sie wird für die erste Einschätzung des technischen Niveaus einer Werkzeugmaschine, z.B. im Vergleich zum Wettbewerb, herangezogen. Werden längere Zeiteinheiten zu Grunde gelegt, wie Monat oder Jahr, setzen vor allem Ausfälle die Produktivität P herab. Die Bruttogrundfläche A ist die Fläche, welche zusätzlich zur Maschinengrundfläche benötigt wird, um Bedienbarkeit und Wartung zu ermöglichen sowie für erforderliche periphere Einrichtungen, wie Werkstückspeicher u.a. Je weniger Arbeitskräfte zum Einrichten und Bedienen einer Fertigungseinrichtung benötigt werden, desto höher ist deren Produktivität. Die Entwicklung einer neuen WerkzeugmaschinenGeneration ist dann besonders erfolgreich, wenn gegenüber der Vorgängergeneration die Produktivität P erheblich gesteigert werden kann. Im Bild 1 ist eine solche Entwicklung dargestellt. Es handelt sich um Schleifautomaten zur Bohrungsbearbeitung von gehärteten Wälzlager-Innenringen. Das Diagramm bezieht sich auf die Innenringe der Kugellagertype 6206, also mit Bohrungsdurchmesser 30 mm. Als Voraussetzung für eine hohe Produktivitätssteigerung mit einer neuen Erzeugnisentwicklung gilt der Grundsatz: Die Entwicklung von Fertigungsverfahren, Werkzeug, Werkzeugmaschine und Hilfsstoff ist eine Einheit. Arbeitsgenauigkeit/Maschinenfähigkeit Die Werkzeugmaschine muss dem Trend zur Erhöhung der Genauigkeitsanforderungen der Metall verarbeitenden Industrie bei günstigen Kosten gerecht werden. Die wesentlichen, von der Werkzeugmaschine beeinflussbaren Genauigkeiten am Werkstück sind: Durchmesser- und Längentoleranzen beeinflussbar durch In- und Postprozessmesssteuerungen, hohe Achsverfahrgenauigkeit, besonders bei NC-Maschinen



Rundheit beeinflussbar durch Rundlaufgenauigkeit der Arbeits- oder Werkstückspindel



Geradheit beeinflussbar durch Führungsgenauigkeit der Werkstück- oder Werkzeugschlitten



Welligkeit beeinflussbar durch Reduzierung oder Vermeidung von Relativschwingungen zwischen Werkstück und Werkzeug



Oberflächenrauigkeit beeinflussbar durch Reduzierung oder Vermeidung von Relativschwingungen zwischen Werkstück und Werkzeug 

Flexibilität Diese gewinnt bei vielen Anwendern auch unter den Bedingungen hoher Produktivität wie z.B. im Fahrzeugbau durch häufige Produktveränderung zunehmend an Bedeutung. Hohe Flexibilität wird erreicht durch: kurze Rüst- und Umrüstzeiten, ermöglicht durch geeignete Konstruktion der beteiligten Baugruppen sowie teilweise automatisches Umrüsten in einer bedienerarmen dritten Schicht  Werkzeugspeicher und flexible Werkzeugwechsler  ablegbare und aus dem Speicher der Steuerung wieder abrufbare Technologien  flexible Qualitätskontrolleinrichtungen



Verfügbarkeit (Funktionsicherheit) Ziel: Eine Fertigungseinrichtung sollte ohne Ausfall in seiner „Lebenszeit“ ständig produzieren! Die Dauerverfügbarkeit VD wird aus folgender Beziehung ermittelt: VD =

TB ⋅100 TB +TA

VD TA TB % h h

dabei sind: TB TB-akk z T TB = B-akk h h − z der mittlere Ausfallabstand,

(3)

(4)

die akkumulierte Betriebsdauer in Stunden, die Anzahl von Ausfällen im Betrachtungszeitraum, (TB entspricht dem Begriff MTBF [mean time between fallures]), TA TA-akk z TA-akk TA = (5) h h − z die mittlere Ausfalldauer, TB-akk z

TA-akk

die akkumulierte Ausfalldauer in Stunden.

Der mittlere Ausfallabstand wird positiv beeinflusst durch: – verschleißteillose oder -arme Konstruktion (z. B. berührungslose Dichtungen, Zahnriemen an Stelle von Keil- oder Flachriemen, berührungslose Näherungsinitiatoren an Stelle mechanisch betätigter Endschalter, schleifringlose Motoren, elektronische Steuerungen, Stelltechnik und Leistungstransistoren an Stelle Relais – technische Diagnostik – Dauertests der Werkzeugmaschinen beim Hersteller Die mittlere Ausfalldauer wird positiv beeinflusst durch:

1 Grundlagen

O3

– schnelle Erkennung und Behebung eines Ausfalls (z. B. Diagnoseeinrichtungen mit Klartextanzeige an der Steuerung, leichte Zugänglichkeit zur ausgefallenen Baugruppe, kompletter Baugruppenaustausch mit wenig Werkzeugen)

Kräften, Drehmomenten und Geschwindigkeiten realisiert werden.

Zu beachten ist: VD = VD1⋅VD2 ⋅...⋅VDn

VD VDn h h

(6)

VD1 ... n Dauerverfügbarkeit jeweils einer Baugruppe Das heißt: Bei einer Dauerverfügbarkeit von 5 Baugruppen von je 99 % liegt die Dauerverfügbarkeit der Werkzeugmaschine nur noch bei 95 %. Um eine hohe Verfügbarkeit von 97 bis 98 % zu erreichen, müssen eine Reihe von Baugruppen möglichst eine solche von 100 % aufweisen, so beispielsweise die Steuerungselektronik und elektronische Antriebe. Spezifischer Energie-Werkzeug- und Hilfsstoffverbrauch Dieser bezieht sich immer auf die Anzahl der in dieser Bezugszeit erzeugten Werkstücke ! So ergibt sich der spezifische Energieverbrauch PSp pro 1000 erzeugter Werkstücke W zu: PSp =

P⋅1000 1 W⋅ h PSp

P KWh /1000 Werkstücke KW

(7)

dabei ist P die Leistung in KW. Arbeits- und Umweltschutz Besonders zu beachten sind Absaugeinrichtungen für Kühlschmierstoff, Schallpegelreduzierung durch geschlossene Arbeitsräume, geräuscharme Antriebstechniken, strenge Einhaltung der Arbeitsschutzvorschriften. Formgestaltung und Ergonomie Ist nicht nur ein gutes Verkaufsargument, sondern bei Werkzeugmaschinen auch vorbeugend zum Schutz gegen Ermüdung und Herausforderung zu Sauberkeit und Ordnung am Arbeitsplatz. Diesen Gebrauchswerten stehen die Kosten und Aufwände beim Werkzeugmaschinen-Hersteller gegenüber, die letztlich den Preis der Werkzeugmaschine und damit deren Preis-Leistungs-Verhältnis bestimmen.

1.3 Kenngrößen und Kennlinien von Werkzeugmaschinen Arbeitsbewegungen zur Erzeugung der Werkstückkontur (spanende Fertigung, DIN 8589). Durch die Werkzeugmaschine müssen die entsprechenden Arbeitsbewegungen mit den erforderlichen

Bild 2. Beispiele für Arbeitsbewegungen bei verschiedenen spanenden Fertigungsverfahren 1 Schnittbewegung 2 Vorschubbewegung 2a Rundvorschub 3 Zu- oder Beistellbewegung Baureihen bei Werkzeugmaschinen Entwicklungen von Werkzeugmaschinen-Baureihen sollten auf der Basis von Normzahlen nach DIN 323 (siehe Abschnitt Maschinenelemente) erfolgen. Dabei werden für die einzelnen Maschinenarten Leitparameter ausgewählt. Deren Abstufung erfolgt nach einer Normreihe, deren Stufensprung jeweils die Baugrößenabstände bestimmt. Tabelle 1. zeigt eine relativ enge Abstufung des Leitparameters „Drehdurchmesser über Maschinenbett“ durch Anwendung der Normreihe R 20 mit dem Stufensprung  = 1,12 bei einer Baureihe von Leit- und Zugspindeldrehmaschinen DLZ im Gegensatz zum Leitparameter „Presskraft in kN“ bei Einständerpressen PE mit dem Stufensprung  = 1,6 und damit einer weiten Abstufung. Tabelle 1. Beispiele von WerkzeugmaschinenBaureihen Maschinenart

Bezeichnung

Leit- und ZugspindeldrehMaschine

DLZ

Koordinatenbohrmaschine

BK

Einständerpresse

PE

Leitparameter

Reihe Stufensprung

Drehdurchmesser über Maschinenbett R 20  = 1,12 400, 450, 500, 560, 630 mm Bohrbereich mm Durchmesser R 10  = 1,25 16, 25, 40, 63 Presskraft in kN 250, 400, R 5  = 1,6 630, 1000

Geschwindigkeits- und Drehzahlbereiche Schnittgeschwindigkeit vC [m/min]: wird bestimmt durch Werkstück- und Werkzeugwerkstoff, Schruppoder Fertigbearbeitung, Werkstück- und Werkzeugsteife und weitere Einflussfaktoren. Die Grenzdrehzahlen der Werkstückspindel bestimmen sich aus: obere Grenzdrehzahl: vC max ⋅1000 [1/min] nmax = π ⋅d min

(8)

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O Werkzeugmaschinen untere Grenzdrehzahl: vC min ⋅1000 nmin = [1/min] π ⋅d max

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Drehzahlbereich: n Bn = max nmin

(10)

Dabei sind: dmax maximaler Bearbeitungsdurchmesser in mm, dmin minimaler Bearbeitungsdurchmesser in mm, vC max max. Schnittgeschwindigkeit in m/min

vC min minimale Schnittgeschwindigkeit in m/min Auslegung von Drehmoment und Leistung als Funktion der Arbeitsspindeldrehzahl bei WZM Die Auslegung mit konstantem Drehmoment (Bild 3 links) wird bei Schrupp- oder Schwerzerspanungsmaschinen angewandt, da die Auslastung an der Belastungsgrenze im gesamten Drehzahlbereich möglich ist. Vorsicht vor Überlastung! Sollbruchstelle oder Leistungsmesser erforderlich. Mit konstanter Leistung im gesamten Drehzahlbereich (Bild Mitte) werden Feinbearbeitungsmaschinen ausgelegt, da die Drehmomentspitze bei nmin relativ gering ist. Bei den meisten Werkzeugmaschinen, besonders bei Universalmaschinen, ist der rechts abgebildete Kompromiss erforderlich.

Bild 3. Drei Auslegungsmöglichkeiten des Leistungs- und Drehmomentverhaltens von Arbeitsspindelantrieben

2 Baugruppen von Werkzeugmaschinen

3. Sicherung der Leistungsübertragung entsprechend des vorgegebenen Drehzahlbereiches und der erforderlichen Drehmomente.

2.1 Arbeitsspindeln (Hauptspindeln) und ihre Lagerungen

Aufnahmen für Werkstückspanner Die Arbeits- oder Werkstückspindel ist mit einem Spindelkopf, Bild 1, ausgebildet, der aus einem Kurzkegel zur Zentrierung und einem Flansch mit Planfläche hoher Ebenheit und Laufgenauigkeit besteht. Die Tolerierung der Flächen muss so gewählt werden, dass mit der Aufspannung des Futters die Planfläche und der Zentrierkegel zum Tragen kommen. Damit werden hohe Spanngenauigkeit und Steife erreicht.

Haupt- oder Arbeitsspindeln dienen zur Realisierung der Drehbewegung als Komponente der Relativbewegung zwischen Werkstück und Werkzeug in Arbeitsrichtung, siehe auch Kapitel 1, Bild 2. Haupt- oder Arbeitsspindeln können in Abhängigkeit vom jeweiligen Fertigungsverfahren entweder Werkstückspindeln (z.B. bei Drehmaschinen, Rundschleifmaschinen, Drehfräsmaschinen u.a.) oder Werkzeugspindeln (z.B. bei Fräs- und Bohrbearbeitungszentren, Rund- und Flachschleifmaschinen u.a.) sein. 2.1.1 Anforderung an das System Arbeitsspindel – Lagerung 1. Aufnahme der Spannmittel für Werkstücke oder Werkzeuge in der Arbeitsspindel. 2. Stabiles Führen der Arbeitsspindel auf einer in ihrer Lage vorgeschriebenen Drehachse unter Einwirkung von Spanungs-, Antriebs- und Massenkräften. Dabei darf die Lage der Arbeitsspindelachse zur Drehachse nur um kleinste zulässige Werte abweichen.

Aufnahmen für Werkzeugspanner – Steilkegel 7 : 24 Steilkegelwerkzeuge werden in allen Bearbeitungszentren verwandt, wo ein automatischer Werkzeugwechsel installiert ist. Auch für manuellen Werkzeugwechsel mit Kraftspannung werden sie an Fräsmaschinen, Waagerecht-Bohr- und Fräswerken u. a. eingesetzt. Bei automatischen Werkzeugwechsel wird durch Anzugsbolzen und Zange der Schaft zentriert. Das Drehmoment wird über Mitnehmersteine übertragen, Bilder 2. und 3. – Metrischer (Kegelwinkel 1°25´ 56´´) und MorseInnenkegel (1°26´43´´...1°30´26´´) selbsthemmend

3 Steuerungs- und Automatisierungstechnik an Werkzeugmaschinen

Bild 100. Baukastenvorrichtung aus dem Nutsystem (E. Halder KG, Laupheim)

O 61

Eine Steuerung umfasst eine Reihe von Baugruppen. Dazu zählen: – Speicher (Kurve, Lochband, Diskette, elektronischer Speicher (RAM, EPROM), u. a.) – Steuerketten und Regelkreise – Gesteuerte und geregelte Organe (Servomotore als Schlittenantrieb, E-Magnete, E-Magnetkupplungen, Steuerventile u. a.) – Schalter, Sensoren, Näherungsinitiatoren, Messsysteme Bei Werkzeugmaschinen haben Steuerungen folgende Aufgaben: – Einleiten und Beenden der Bewegungen von Arbeitsspindeln, Werkzeugschlitten, Arbeitstischen, Werkzeug- und Werkstückwechseleinrichtungen, Arbeitsraumtüren – Zu- und Abschalten von Hilfsstoffen – Verändern von Drehzahlen, Geschwindigkeiten, Kräften und Momenten – Arbeitsspindeln, Werkzeugschlitten, Arbeitstische mit erforderlicher hoher Genauigkeit in die gewünschte Position fahren

3.2 Konventionelle Steuerungstechnik an Werkzeugmaschinen 3.2.1 Mechanisch gesteuerte Automaten

Bild 101. Mehrfachaufspannung auf einem Turm, Flachspannprogramm staticlamp (FORKARDT GmbH, Erkrath) Spanneinrichtungen für größere Serien, Bild 101. Bis zu acht Werkstücke können auf diesem Turm gespannt werden. Unter Nutzung eines CNCBearbeitungszentrums mit Schwenktisch wird eine optimale Bearbeitung bei hoher Flexibilität durch schnellen Spannbacken- und Plattenwechsel erreicht.

3 Steuerungs- und Automatisierungstechnik an Werkzeugmaschinen 3.1 Baugruppen und Aufgaben Eine leistungsfähige und funktionssichere Steuerungstechnik ist die ist die Voraussetzung für die Automatisierung der Werkzeugmaschinen und der Produktionsprozesse (Definition nach DIN 19226 siehe Abschnitt Steuerungstechnik).

Erste mechanisch gesteuerte Automaten für die Drehund Ergänzungsbearbeitung wurden bereits gegen Ende des 19. Jahrhunderts entwickelt. Sie wurden im Laufe des 20. Jahrhunderts technisch weiter ausgebaut und haben auch heute, im Zeitalter der CNC-Technik, dort, wo ausgesprochene Großserien- und Massenfertigung vorliegt, ihre Bedeutung noch nicht verloren. Hauptelement dieser Automaten ist die Steuerkurve, als Kurvenscheibe oder Kurventrommel eingesetzt. In ihr ist sowohl der Weg als auch die Geschwindigkeit des von ihr angetriebenen Werkzeugschlittens gespeichert. Die Übertragung erfolgt mit direkten mechanischen Mitteln ohne zusätzliche Verstärkung, Bild 1. Einspindel-Revolverdrehautomaten Im Bild 2 ist der Getriebeplan eines EinspindelRevolverdrehautomaten mit Hilfssteuerwelle dargestellt. Die Hilfssteuerwelle besitzt eine konstante höhere Drehzahl, um die Schaltvorgänge der Hilfsbewegungen, die von auf der Hauptsteuerwelle sitzenden Nocken ausgelöst werden, in kurzer Zeit auszuführen. Auf der Hauptsteuerwelle, die sich pro WerkstückOperativzeit einmal um 360° dreht, sitzen die Kurve für den Revolverschlitten und die Seitenschlittenkurven. Die Schlittengeschwindigkeit wird durch den Kurvenanstieg bestimmt, der Weg durch Anfangsund Endpunkt eines Kurven-Abschnittes. Die Schaltung des Revolverkopfes erfolgt über ein Malteserkreuzgetriebe. Nach dem Schalten wird der Revolverkopf wieder automatisch verriegelt.

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O Werkzeugmaschinen

Bild 1. Steuerkurvensatz für einen Einspindelautomaten

Bild 2. Getriebeschaltplan eines konventionellen Einspindel-Revolverdrehautomaten mit Hilfssteuerwelle (Index, Esslingen)

Über Wechselräder kann die für die Fertigung geeignete Drehzahl der Hauptsteuerwelle von der Hilfssteuerwelle abgeleitet werden. Der Maschinenaufbau ist rein mechanisch und damit kostengünstig und robust. Hauptproblem ist, dass für jedes neue Zeichnungsteil ein neuer Kurvensatz benötigt wird und die Umrüstung längere Zeit benötigt. Die Kurvenkonstruktion und -herstellung kann aber heute sehr ratio-

nell über ein CAD-CAM-Programm online auf einem CNC-Fräszentrum erfolgen, so dass nach wie vor bei Vorhandensein großer Serien eine rationelle Fertigung möglich ist. Mehrspindeldrehautomaten Da beim Mehrspindeldrehautomaten die Fertigungszeit für ein Werkstück nicht größer ist als die der

3 Steuerungs- und Automatisierungstechnik an Werkzeugmaschinen längsten Bearbeitungsoperation am Werkstück, gilt der Mehrspindler genau wie die Taktstraße bei der Fertigung prismatischer Teile (Motorenzylinderblöcke u. a.) als die derzeit produktivste Werkzeugmaschine in der spanenden Fertigung runder Teile. Durch den relativ komplizierten Aufbau (Spindeltrommel und deren Lagerung, Aufnahmen der Arbeitsspindeln in der Trommel, Präzision der Trommelschaltbewegung u. a.) kann meist nur eine mittlere Arbeitsgenauigkeit erreicht werden. Höchste Präzision ist dann doch den CNC-Maschinen vorbehalten. Aber in der Weichbearbeitung von Automobilteilen, Standard-Wälzlagerringen, Normteilen etc. wird der

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Mehrspindel-Drehautomat weiterhin mit großem Erfolg eingesetzt. Bild 3 zeigt eine moderne Konstruktion eines Achtspindelautomaten mit AC-Antriebsmotorentechnik, stufenloser Drehzahleinstellung und deren Umsetzung über Scheibenkurven für die Vorschübe der Seiten- oder Querschlitten sowie für die Längsschlitten, schneller Austausch der Scheibenkurven, Ergänzung der Mechanik durch einzelne oder mehrere CNC-Schlitten für Fertigung komplizierter Konturen oder Teilefamilien sowie automatischer Korrektursteuerung zur Erhöhung der Präzision.

Bild 3. Mehrspindeldrehautomat für Stangenbearbeitung mit 8 Spindeln PM 26.8 (PITTLER TORNOS, Leipzig) 3.2.2 Programmsteuerungen

WZM oder Baueinheiten ohne CNC-Steuerung, aber mit automatischer Ablauffolge, werden häufig dort verwendet, wo in größeren Abständen umgerüstet werden muss, beispielsweise in

oder für Schaltkommandos wie „Umschalten von Eilgang- auf Arbeitsgeschwindigkeit“ eines Werkzeugschlittens ist dieser mit Nockenbahnen ausgerüstet. Die Nocken betätigen über direkten Kontakt oder berührungslos elektrische oder elektronische Schalter, Bild 4. Die logische Verknüpfung erfolgt heute in der Regel über die speicherprogrammierte Steuerung (SPS). Von dieser werden entsprechende Kommandos an Aktoren gegeben (Magnetventile, Kupplungen, Motoren u. a.). Von einer SPS können auch einzelne CNCAchsmodule angesteuert werden, wenn diese innerhalb der Folgesteuerung aus Gründen der Präzision oder der Kompliziertheit des Bewegungsablaufs gebraucht werden.

Bild 4. Nockensteuerung über Endschalter oder Näherungsinitiatoren

Taktstraßen und Fertigungslinien. Für nicht zu hohe Anforderungen hinsichtlich Positioniergenauigkeit

Bei Anwendung hydraulischer Antriebe werden häufig Anschlagsteuerungen angewandt. Ein hydraulisch betätigter Arbeitsschlitten fährt gegen einen präzis einstellbaren Anschlag und wird durch den Öldruck gegen diesen gedrückt. Über den Druckanstieg kann zusätzlich ein Druckschalter betätigt werden, wodurch der nächste Teilschritt des automatischen Ablaufs eingeleitet werden kann.

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3.3 Numerische Steuerungen 3.3.1 Definition

Numerische Steuerungen werden als NC- oder CNCSteuerungen bezeichnet. NC ist die Abkürzung für – Numerical Control –. Dies bedeutet: Steuern mit Ziffern oder Zahlen, d. h. die direkte Eingabe eines Positionswertes eines Werkzeugschlittens als Zahlenfolge ist möglich. Alle Bewegungen und Positionen, die zur Bearbeitung eines Werkstückes erforderlich sind, einschließlich der Arbeitsspindeldrehzahlen, Vorschubgeschwindigkeiten und Hilfsfunktionen, wie Handhabung und Speicherung der Werkzeuge und Werkstücke, werden durch das NC-Programm der Steuerung vorgegeben. Bei Maschinen mit NC-Steuerungen wird das NCProgramm stets in der Arbeitsvorbereitung erstellt und mittels Datenträger (in der Regel Lochstreifen) der NC-Maschine zugeführt. Seit Ende der siebziger Jahre zunehmend und heute ausschließlich werden numerische Steuerungen als CNC-Steuerungen ausgeführt. CNC ist die Abkürzung für – Computerized Numerical Control – d. h. diese Steuerungen besitzen Mikrorechner, die einschließlich weiterer Steuerungsbaugruppen, z. B. PLC ( Programmable Logic Controler = SPS), in die Steuerungshardware der Maschine integriert sind. Wesentlicher weiterer Bestandteil ist die Bedientafel mit dem Display, heute meist als Farbbildschirm in der Anwendung, einschließlich der

O Werkzeugmaschinen Tastatur, mit dessen Hilfe auch eine werkstattorientierte Programmierung an der Maschine möglich ist. Die möglichen Steuerungsarten sind im Bild 5 dargestellt. Am einfachsten ist die Punktsteuerung, die u.a. bei CNC-Koordinatenbohrmaschinen ausreichend ist. Die Streckensteuerung wird besonders bei einfachen CNC-Drehmaschinen angewandt, bringt aber heute wegen des geringen Preisunterschiedes zu Bahnsteuerungen keinen Effekt mehr. Steuerungsarten

Da sich heute immer mehr der Trend durchsetzt, auf einem Bearbeitungszentrum alle Bearbeitungen an einem Werkstück komplett durchzuführen, hat sich die 3-Achsen-Bahnsteuerung weitgehend durchgesetzt. Dabei stehen die Bewegungen der einzelnen Achsen zueinander in funktioneller Abhängigkeit. Der Interpolator rechnet für einen kleinen Wegabschnitt die zu koordinierende Bewegungsfolge nach Richtung und Geschwindigkeit. Bei modernen Steuerungen können höhere Interpolationsverfahren, wie Spline- und Polynom-Interpolation zur Anwendung kommen. Die 5 Achsen-Bahnsteuerung wird durch die Interpolation der beiden Schwenkachsen A und C bei der Herstellung sehr komplizierter räumlicher Flächen mit Hinterschnitten, wie sie im Formenbau vorkommen, genutzt. Auch kann die Werkzeugkontur ständig den günstigsten Winkel zur Oberflächentangente einnehmen.

Bild 5. Die Steuerungsarten [(die Bahnsteuerungen 3) bis 6) werden durch Interpolator koordiniert]

3 Steuerungs- und Automatisierungstechnik an Werkzeugmaschinen 3.3.2 Aufbau und Funktion von CNCSteuerungen

Bild 6 zeigt den grundsätzlichen Aufbau einer CNCSteuerung. Generell gilt: Die CNC-Steuerung stellt Lage- und Geschwindigkeits-Sollwerte für die NC-Achsen sowie Ausgabewerte für Schaltbefehle zur Verfügung.

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nen, beispielsweise mittels Visual Basic Programmierung unter Nutzung einer Windows-Oberfläche über ein MMC-Kommunikationsmodul. Die Steuerungsaufgaben werden über eine NCU (Numerical Control Unit)-Baugruppe durchgeführt, die aus einem hochintegrierten Mehrprozessorensystem besteht, welches CNC-CPU, PLC-CPU und Mikroprozessoren für Kommunikationsaufgaben enthält. Dieses System kann in einer NCU-Box im Einschub des Umrichtersystems eingegliedert werden. Bis zu acht interpolierende Achsen und die 5 Achsen-Bearbeitung sind möglich. Die Steuerung kann mechanische Störgrößen wie Reibung, Lose und mechanische Spindelsteigungsfehler kompensieren. Die Systemsoftware kann über eine Speicherkarte mit Adapter auf einfache Weise ausgetauscht werden.

Messsystem

Bild 6. Grundsätzlicher Aufbau einer CNCSteuerung

In einem Umrichtersystem mit Regler und Leistungsmodul erfolgt die Regelung des Servomotors einer CNC-Achse nach dessen Führungsgrößen „Lagesollwert“ und „Drehzahlsollwert“, wobei über Messsysteme Lage- und Drehzahl-Istwert erfasst und dem Regelsystem zugeführt werden. Eine PLC in der Steuerung erteilt entsprechend des NC-Programms zum programmierten Zeitpunkt die gewünschten Schaltbefehle, welche über ein Leistungsteil (Leistungstransistoren, Relais, Motorschalter etc.) an die ausführenden Organe geleitet werden. Moderne CNC-Steuerungen bestehen aus einem kompakten digitalen Komplettsystem, Bild 7. Das dargestellte System CNC 840D mit digitalen Antrieben „SIMODRIVE 611 digital“ ist ein „offenes“ System für Werkzeugmaschinenhersteller-Applikatio-

Bild 7. Kompaktes digitales Komplettsystem SINUMERIK 840D (Siemens AG, Motion Control Systeme, Erlangen)

Auch Messtasterfunktion, Digitalisierung einer Oberflächengestalt, elektronisches transportables Handrad und Fernbediengerät sind bei solchen Steuerungen heute üblich. Bedienerführung Die modernen CNC-Steuerungen verfügen heute über eine Bedienerführung mittels grafischer und numerischer Bildschirmunterstützung (Benutzeroberfläche). Dies gibt es bereits seit längerer Zeit beispielsweise

O 66 für CNC-Schleifmaschinen, wo zum Einrichten des Programms das know how des Einrichters erforderlich ist. Eine DIN-Programmierung ist dort nicht oder nur mit viel Aufwand möglich. Auch bei anderen Fertigungsverfahren führt sich die Bedienerführung immer mehr ein. Ein wesentlicher Bestandteil solch einer Bedienerführungssoftware sind wiederkehrende Unterprogramme, sog. Makros. Ein solches Makro ist beispielsweise der Abrichtzyklus an Schleifmaschinen. Er wird über eine Kennung aufgerufen und mit den erforderlichen Parametern versehen. Programmierung numerischer Werkzeugmaschinen Die Programmierung von CNC-Werkzeugmaschinen wird gesondert im Abschnitt P behandelt.

O Werkzeugmaschinen – Die Umkehrspanne darf Werte um 0,1 ... 1 μm je nach Qualitätsforderungen nicht überschreiten Im Diagramm Bild 8 sind idealer und realer Verlauf eines von einer numerischen Achse ausgeführten Zustellvorgangs beim Einstechschleifen dargestellt. Je näher der reale Verlauf dem idealen folgt, desto besser ist die Qualität der numerischen Achse einschließlich all ihrer Komponenten. Der reale Geschwindigkeitsverlauf zeigt in der Gegenüberstellung ein leichtes Überschwingen bei s´r1 und ein aperiodisches Verhalten durch zu starke Dämpfung bei s´r2. Durch zu große Differenz zwischen idealem und realem Verlauf kommt es durch unterschiedliches Erreichen der Fertigmaßposition zum Positionsfehler.

3.4 Die numerische Achse 3.4.1 Grundforderungen

Die numerische Achse bildet die Gesamtheit eines Vorschub- oder/und Positionierantriebes, ausgehend von den durch die CNC-Steuerung bereitgestellten Lage- und Drehzahlsollwerten über die Umrichter, Regler und Leistungsmoduln bis zum Servomotor, dem Kugelgewindetrieb und seiner Lagerung, den Meßsystemen zur Erfassung des momentanen Lageistwertes und der Istdrehzahl sowie der Qualität der Schlittenführung hinsichtlich Steife und Reibverhalten. Alternativ dazu tritt an Stelle des Servomotors (heute als Drehstrom-Synchronmotor) der Linearmotor mit einem linearen Lagemeßsystem. Forderungen: – Hohe Dynamik des Systems, um eine präzise Positionierung des Arbeitsschlittens zu erreichen – Hohe Beschleunigung bis zum Erreichen des Eilgang-Sollwertes – Schnelle Verzögerung beim Umschaltpunkt auf Arbeitsgeschwindigkeit – Schnelle Verzögerung beim Einfahren in eine gewünschte Schlittenposition – Präziser Stopp des Schlittens beim Erreichen der gewünschten Position (< 1 μm), d. h. geringster Zeitverlust bei höchster Positioniergenauigkeit – Die Schlittengeschwindigkeit muss stufenlos stelloder regelbar sein. Sie muss über das NC-Programm vorgegeben werden können – Die Bewegungen sollen sowohl linear oder bei Rundvorschüben und C-Achsen-Positionierung auch als Kreisbewegung ausführbar sein – Die numerische Achse muss in ihrer Gesamtheit einschließlich der Regelkreise eine hohe statische und dynamische Steife aufweisen, um z.B. Kraftschwankungen aus dem Bearbeitungsprozess problemlos aufzunehmen – Es dürfen keine Schwingungserscheinungen auftreten

si [mm] s'i [mm/min] s"i [mm/s2] sr [mm] s'r [mm/min] s"r [mm/s2] spi spr sp

= idealer Zustellweg = idealer Zustellgeschwindigkeitsverlauf = idealer Beschleunigungs-/Verzögerungsverlauf = realer Zustellweg = realer Zustellgeschwindigkeitsverlauf = realer Beschleunigungs-/Verzögerungsverlauf = Soll-Position = Ist-Position = Positionsfehler

Bild 8. Idealer und realer Verlauf eines Zustellvorgangs mittels CNC-Achse beim Einstechschleifen 3.4.2 Der Regelkreis einer numerischen Achse

Analoge Regelung

Um den unter 3.4.1 genannten Forderungen zu genügen, werden an den Regelkreis einer numerischen Vorschubachse bei analoger Vorschubregelung erhebliche Anforderungen gestellt. In der Regel werden Lageregelkreise mit unterlagerter Geschwindigkeitsund Stromrückführung angewendet.

3 Steuerungs- und Automatisierungstechnik an Werkzeugmaschinen Ein solcher Regelkreis ist im Bild 9 dargestellt. Der zur Anwendung kommende Drehstromservomotor ist ein dauermagneterregter Synchronmotor mit Magnetmaterial aus seltenen Erden im Motorläufer, Schutzart IP 64, IP 67 und Wartungsfreiheit. Über ein Gebersystem werden Motordrehzahl und Rotorlage erfasst. Der Synchronmotor hat keine Kommutationsgrenze. Im Mikroprozessor des Drehzahlreglers ist der Regelalgorithmus implementiert (Regelcharakteristik mit PI-Verhalten).

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Der Lagesollwert oder die Führungsgröße kommt von der Steuerung als Impulskette, wobei die Zahl der Impulse ein Maß für den zu verfahrenden Weg und die Impulsfrequenz ein Maß für die Solldrehzahl sind. Der Lageregler besitzt meist P-Verhalten. Die Lage-Regelabweichung bildet den Sollwert für den Drehzahlregler. Die Drehzahl-Regelabweichung bildet dann den Sollwert für den Stromregler, welcher meist eine Regelcharakteristik mit PID-Verhalten besitzt.

Bild 9. Analoge Vorschubregelung mit Drehstromservomotor als Lageregelkreis mit unterlagerter Geschwindigkeits- und Stromrückführung (Siemens AG, Motion Control Systeme, Erlangen)

Bild 10. Drehstromservomotor mit feststehender Kugelgewindespindel und einem als Kugelgewindemutter ausgebildeten Hohlläufer des Motors (GE FANUC Automation, Oshinomura, Japan) Das dem Sollwert möglichst fehlerfreie Folgen des Lageistwertes wird realisiert durch:

Hohe Kreisverstärkung des Regelkreises (KvFaktor)

Hohe Dämpfung zur Vermeidung von Instabilitäten und Erscheinungen des Überschwingens

Geringe Zeitkonstanten des Antriebes

Kleine Massenträgheitsmomente der rotierenden Teile – oder – keine rotierenden Teile

Hohe mechanische Eigenfrequenz

Hohe Steifigkeit der im Kraftfluss liegenden mechanischen Elemente

Spielfreiheit der mechanischen Übertragungselemente (Kugelgewindetrieb, Führungen u.a.) bei allen vorkommenden Belastungen

Das Verhältnis der Eigenfrequenzen des mechanischen Übertragungssystems zum Regelkreis sollte sein: 0 Mechanik > 2 0 Regelkreis

Ein Beispiel dafür, wie aufbauend auf einer analogen Vorschubregelung und dem rotatorischen Prinzip dessen wesentliche Nachteile bezüglich der vorstehenden Faktoren vermieden werden können, ist der in Bild 10 gezeigte Servomotor. Durch das Prinzip „– feststehende Spindel – Motor am Schlitten angeflanscht – Motorläufer ist zugleich Gewindemutter“ werden die Flächenmomente 2. Grades der rotieren-

O 68 den Bauteile auf ein Mindestmaß reduziert und die Spindel kann durch die damit mögliche Vergrößerung ihres Durchmessers sehr steif gestaltet werden. Vorschubregelung im digitalen Komplettsystem Am Beispiel der Vorschubregelung im digitalen System „SINUMERIK 840D/ SIMODRIVE 611 digital“, Bild 11 wird deren Funktionsweise erläutert. Die Regelung des digitalen Vorschubmoduls basiert auf einem leistungsfähigen Signalprozessor, mit dem die achsspezifische Strom- und Drehzahlregelung ausgeführt wird. Über einen Kommunikations-

O Werkzeugmaschinen baustein wird der Datenverkehr zur Lageregelung abgewickelt. Die Regelung ist optimal auf spezifische DrehstromServomotoren mit sinusförmiger Stromvorgabe und damit hervorragender Laufruhe sowie deren steife Konstruktion abgestimmt. Neben der hohen Regeldynamik werden parametrierbare Filter zur Dämpfung mechanischer Resonanzen eingesetzt. Der Maschinen-Kv (Kreisverstärkungsfaktor) wird durch die digitale Regelung erheblich erhöht.

Messerfasung Lage

Zusätzliches direktes Spindel- und Lagemesssystem

Bild 11. Vorschubregelung im digitalen System „SINUMERIK 840D / SIMODRIVE 611 digital“ (Siemens AG, Motion Control Systeme, Erlangen)

Vorschubregelung im digitalem System mit Linearmotor Linearmotoren sind die technisch perfekte Lösung für Vorschubschlitten mit digitaler Antriebsregelung. Entscheidende Vorteile sind: – Reduzierung der mechanischen Baugruppen – Wegfall rotierender Bauteile und Baugruppen – Vermeidung von nachteiligen Elastizitäts-, Spielund Reibungseffekten – Wegfall von Eigenschwingungen im Antriebsstrang – Vorschubkräfte zwischen 1 000 bis 15 000 N – Beschleunigung ohne zusätzliche Last bis 27 g – Spitzengeschwindigkeiten bis 4 m/s – Berührungsfreie Bewegung (Luftspalt zwischen Gleiter und Magnetbahn ca. 1 mm) Linearmotoren sind in der Regel dauermagneterregte Drehstrom-Synchronmotoren. Die im Primärteil ent-

stehende Verlustwärme kann über eine integrierte Flüssigkeitskühlung abgeführt werden. Als Magnetmaterial kommen seltene Erden zur Anwendung. Den Aufbau eines Linearmotorantriebes zeigt Bild 12. Vorschubschlitten

Kabelschleppkette Linearmesssystem

Gleiter oder Primärteil Wälzführung Bettbaugruppe

Magnetplatte oder Sekundärteil

Bild 12. Aufbau eines Linearmotorantriebes für einen Vorschubschlitten (GE FANUC Automation, Oshinomura, Japan)

3 Steuerungs- und Automatisierungstechnik an Werkzeugmaschinen

O 69

3.4.3 Wegmesssysteme zur Lageistwerterfassung Einteilung der Wegmesssysteme:

Nach der Messwertabnahme in: – rotatorisch – oder – translatorisch –

Nach der Messwerterfassung in: – digital – oder – analog –

Nach dem Messverfahren in: – inkremental – oder – absolut –

Im Bild 13 sind die Unterschiede zwischen der inkrementalen und absoluten Maßbildung dargestellt. Die inkrementale Maßbildung entspricht der Eintragung von Kettenmaßen in einer Konstruktionszeichnung (Bild 13 oben). Bei der absoluten Maßbildung werden alle Maße von einem Ausgangspunkt P0 festgelegt (Bild 13 unten).

Bild 13. Inkrementale und absolute Maß bildung

Analoge Messwerterfassungen, z. B. auf induktiver Basis (Resolver) finden heute nur noch für untergeordnete Zwecke Anwendung.

Bild 14. Digital-inkrementales Messprinzip auf photoelektrischer Basis mit Glasmaßstab und translatorischer Messwertabnahme im Durchlichtverfahren (Bild links) Der Maßstab besitzt codierte Referenzmarken zur Ermittlung der aktuellen Position und zum Suchen des Referenzpunktes (Bild rechts). (Dr. Johannes Heidenhain GmbH, Traunreut)

Inkrementale Systeme Das häufig zur Anwendung kommende digitalinkrementale Messprinzip ist im Bild 14 als translatorischer Maßstab dargestellt. Die Abtastplatte besitzt vier Abtastfelder und reduziert eine Teilungsperiode des Maßstabes auf ein Viertel. Die weitere Unterteilung der Abtastsignale erfolgt über eine elektronische Interpolationsschaltung. Durch codierte Referenzmarken werden Nachteile des inkrementalen Messverfahrens weitgehend aufgehoben. Bild 15 zeigt ein auf gleichem Prinzip wirkendes Wegmeßsystem mit rotatorischer Messwertabnahme als inkrementaler Drehgeber. Drehgeber werden in der Regel beim Einsatz von Servomotoren mit Kugelgewindetrieb angewendet. Der Anbau dieser Drehgeber erfolgt entweder an der Kugelgewindespindel direkt oder am bzw. im Servomotor. Da Fehler im Kugelgewindetrieb nicht erfasst werden, hängt die Genauigkeit der LageIstwerterfassung von der Qualität und der thermischen Steife der Kugelgewindespindel ab. Ansonsten sind solche Systeme kostengünstig und

erfüllen häufig die an die CNC-Werkzeugmaschine gestellten Anforderungen.

Bild 15. Inkrementaler Drehgeber mit integrierter Kupplung, Teilscheibe und Referenzmarke. (Dr. Johannes Heidenhain GmbH, Traunreut)

O 70 Absolute Systeme Der Positionswert steht hier unmittelbar nach dem Einschalten zur Verfügung und kann jederzeit von der Steuerung abgerufen werden.

O Werkzeugmaschinen 3 m absolut in Messschritten von 0,1 μm gemessen werden.

Bild 17. Absolutes Messverfahren mit wenigen Teilungsspuren (Dr. Johannes Heidenhain, Traunreut) Bild 16. Absolute Messverfahren – Code-Arten a) Dual-Code, b) Gray-Code, c) V-Abtastung (An, Bn phasenversetzte Abtaststellen) (Dr. Johannes Heidenhain GmbH, Traunreut)

Konstruktiver Aufbau von translatorischen Messsystemen

Während der Aufbau rotatorischer Messsysteme relativ robust ausgeführt werden kann (Bild 15), sind bei translatorischen Systemen erhebliche Maßnahmen zur Sicherung der Genauigkeit und einer einwandfreien Funktion unter den Bedingungen der Produktion (Späne, Kühlschmiermittel, Staub, Temperatureinflüsse) erforderlich, Bild 18. Besonders den Dichtungsmaßnahmen ist große Aufmerksamkeit zu schenken.

Dual codierte Scheibe mit 12 Spuren – digitalabsolut-rotatorisch (Zeiss, Jena) Der einfachste Code ist der Dual-Code, Bild 16a). Hier ist dieser für die Zahlen 0 bis 30 mit fünf Spuren dargestellt. Mittels der V-Abtastung c) können Probleme an den Intervallkanten verhindert werden. Bis auf die feinste Spur werden in allen Spuren zwei Signale A und B abgelesen. Der GrayCode, b), benötigt weniger Aufwand an der Abtaststelle durch Überlappen der einzelnen Spuren. Das im Bild 17 dargestellte absolute Messverfahren benötigt nur wenige Teilungsspuren auf dem Maßstab, was durch die Interpolation der Signale aus jeder Spur erreicht wird. In jeder Spur werden mit vier Ablesefenstern und einer größeren Anzahl von Strichen zwei Signale erzeugt, die sicher 256fach interpoliert werden können und mit der Information der feinsten Spur synchronisiert werden. Der im Ergebnis gewonnene absolute Positionswert wird über einen Bus an die Steuerung übertragen. Mit sieben Teilungsspuren kann eine Messlänge vom >

Montagefuß

Bild 18. Gekapseltes photoelektrisches Längenmesssystem mit Messschritten von 1 oder 0,5 μm (Dr. Johannes Heidenhain, Traunreut)

7 Umformende und schneidende Werkzeugmaschinen (Auswahl)

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7 Umformende und schneidende Werkzeugmaschinen (Auswahl) Aus dem großen Gebiet der Maschinen zur Realisierung der Umform- und Schneidtechnik wird auf die in der Praxis am häufigsten in der Anwendung befindlichen eingegangen.

7.1 Maschineneinteilung Die Gliederung der Fertigungsverfahren nach DIN 8580 in Umformen DIN 8582 und Schneiden anteilig in DIN 8588 bietet schon seit längerem keine Kompatibilität zu den hinter den Verfahren stehenden Maschinen oder Fertigungszentren. Unter Berücksichtigung der heute in der Industrie, besonders im Automobil- und Maschinenbau sowie in der Elektrotechnik/Elektronik zum Einsatz kommenden Verfahrensintegrationen und Differenzierungen wurde das nachstehende Zuordnungsbild entwickelt, Bild 1. Diese Einordnung wird deshalb der DIN 69651 – Einteilung der Umformmaschinen nach Maschinenart und Funktion – nur teilweise gerecht.

Bild 1. Einordnung der Werkzeugmaschinen der Umformund Schneidtechnik, bezogen auf die Bearbeitungsgebiete „Massivumformen“ und „Blechbearbeitung“ als Hauptbestandteil der modernen Produktion im Maschinen- und Fahrzeugbau

7.2 Werkzeugmaschinen zum Massivumformen 7.2.1 Pressen und Hämmer Hauptanwendungsgebiet dieser Maschinen ist das Schmieden, sowohl als Gesenkschmieden von Stahl mit unterschiedlichsten Legierungen bis Aluminium sowie für weitere Prozesse der Warm- und Halbwarmumformung. Mechanische Schmiedepressen Bild 2 zeigt eine mechanische Schmiedepresse. Sie ist automatisierbar und kann auch im Durchlaufbetrieb eingesetzt werden. Der Ständer (1) ist aus Stahlguss in Monoblock-Bauweise hergestellt. Die Exzenterwelle (11) aus hochlegiertem Vergütungsstahl wandelt die Drehbewegung des Antriebs über die Druckstange (Pleuel (3)) in eine Hubbewegung des Pressenstößels (2) um. Kupplung und Bremse sind auf der Exzenterwelle angeordnet und sichern die Presse direkt gegen Überlast ab. Das KupplungsBremssystem (5) in Lamellenbauweise kann entweder elektropneumatisch oder elektrohydraulisch gesteuert werden. Die Kupplung arbeitet im Wechselspiel mit der Bremse. Der Gewichtsausgleich (6) der auf- und abwärts bewegten Teile erfolgt über einen pneumatischen Gewichtsausgleich. Der Werkzeugraum der Maschine kann über die Stößelverstellung (7) eingestellt werden. Die links im Bild dargestellte Maschinenvariante ist mit Vorgelege (8) und Pfeilverzahnungsübertragung (9) ausgerüstet. Deren Einsatz hängt von der benötigten Umformenergie ab.

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O Werkzeugmaschinen Bild 2. Aufbau einer Schmiedepresse „Maximapresse/Baureihe MP“ (SMS EUMUCO GmbH, Leverkusen). Es bedeuten: 1 Ständer 2 Stößel 3 Druckstange (Pleuel) 4 Stößelführung 5 Kupplungs-/Bremssystem 6 Gewichtsausgleich 7 Stößelverstellung 8 Vorgelege 9 Pfeil-Verzahnung 10 obere und untere Ausstoßer 11 Exzenterwelle 12 Schwungrad

Bild 3. Übersicht über die Erzeugnispalette „Hydraulische Pressen und Hämmer zum Massiv-Umformen“ eines Werkzeugmaschinen-Herstellers (LASCO Umformtechnik GmbH, Coburg) Hydraulische Pressen und Hämmer Hydraulische Pressen werden in entsprechenden Modifikationen sowohl für das Warm- und HalbwarmMassivumformen als auch für das Kalt-Massivumformen eingesetzt. Hydraulische Hämmer dienen ausschließlich zum Warm-Massivumformen. Bild 3 zeigt eine Übersicht über die Erzeugnis-Anpassung an die jeweiligen Fertigungsverfahren des Massiv-Umformens. Als Beispiel sei der relativ niedrige Arbeitsraum der Kalibrierpresse genannt, denn das Kalibrieren eignet sich besonders für flache Teile, im Gegensatz zur Kaltfließpresse. Moderne Roboter- und Manipulationstechnik erleichtert die Handhabung der Werkstücke sowohl beim Gesenk- als auch beim Freiformschmieden. Der im Bild 4 dargestellte hydraulische Oberdruckhammer ist mit einem Schmiederoboter ausgerüstet. Das ermöglicht eine Integration solcher Fertigungseinheiten in automatische Produktionslinien.

Bild 4. Hydraulischer Oberdruckhammer mit Schmiederoboter (im Bild vorn rechts) (LASCO Umformtechnik GmbH, Coburg)

7 Umformende und schneidende Werkzeugmaschinen (Auswahl) Dieses Computerbild beinhaltet auch den „unter Flur“ befindlichen Teil des Hammerständers und zeigt die Aufstellung der Maschine auf Federdämpfungspaketen zur Isolierung gegen die Fortleitung der Bearbeitungsimpulse in die Umgebung der Anlage. Spindelpressen Spindelpressen, heute meist direkt elektrisch angetrieben, sind hubungebundene Umformmaschinen. Sie kennen keinen kinematisch bedingten unteren Totpunkt (wie bei Kurbelpressen) und kein Blockieren unter Last. Spindelpressen können ein großes Kraft- und Energieangebot zu günstigen Kosten zur Verfügung stellen.

Bild 5. Elektrischer Antrieb einer großen Spindelpresse SPR 2500 (25 MN Nennpresskraft, 500 kJ Bruttoenergie) über 2 symmetrisch am Schwungrad angeordnete Drehstrom-Asynchronmotoren. (LASCO Umformtechnik GmbH, Coburg)

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Bild 5 zeigt einen Schnitt durch das Querhaupt einer direkt angetriebenen elektrischen Spindelpresse. Der frequenzgeregelte Umrichterantrieb beschleunigt das mit der Gewindespindel verbundene Schwungrad mittels elektrischer Energie und bremst im generatorischen Bremsbetrieb. Es ergeben sich ein geringer Stromverbrauch und kurze Hubzeiten. Durch computergesteuerte Regelung der Energie sind mehrere Schläge mit verschiedenen Energien im gleichen Gesenk möglich. Bei der gezeigten Maschine dient die Rutschkupplung zur Überlastsicherung. Einsatzgebiete:  Möglichkeit des Werkstückumformens mit vergleichsweise kurzem Hub  Geforderte hohe Wiederholgenauigkeit des Umformprozesses durch Konstanz der Energie  Umformen und Richten, Warm- oder Kaltkalibrieren, Prägen von Stahl, Aluminium und anderen NE-Metallen und hochlegierten Werkstoffen  Präzisionsschmieden, auch im geschlossenen Gesenk  Pulverschmieden zum Nachverdichten gesinterter Rohlinge Bild 6 links zeigt einen Teilschnitt durch eine Spindelpresse. Bei dieser Konstruktion ist das Pressengestell mehrgeteilt und durch Zuganker vorgespannt verbunden. Die Auffederung erreicht durch die Vorspannung nur 20 % einer einteiligen Gestellausführung. Die ausgeübte Presskraft wird über Dehnmessstreifen erfasst. Bei wiederholter Überlast wird das Aggregat abgeschaltet. Im Bild 6 rechts ist der Gesamtaufbau einschließlich Beschickungsroboter im Einsatz bei einem Automobil-Zulieferer zu sehen. Die angewandte Gewindegeometrie schließt Selbsthemmung der Spindel aus.

Bild 6. Aufbau einer Spindelpresse Bild links: Teilschnitt durch eine Spindelpresse. Das mehrteilige Pressengestell ist durch Zuganker vorgespannt. Bild rechts: Automatisierte Spindelpresse LASCO SPR 1250 mit Beschickungsroboter (LASCO Umformtechnik GmbH, Coburg)

O 106 7.2.2 Walzmaschinen zum Warm- oder Halbwarmumformen Ringwalzmaschinen Eine Vielzahl von Profilen lassen sich auf Ringwalzmaschinen präzise warm walzen. Dazu zählen Wälzlagerringe, Eisenbahnradreifen, Ringe für die Luftfahrtindustrie u. a. m. Im Bild 7c ist das Prinzip dargestellt: Über Dornwalzen wird der durch Zentrierrollen geführte Ring gegen die Hauptwalze gedrückt. Axialwalzen sorgen für die gewünschte Werkstückbreite. Die Ringwalzmaschinen sind mit moderner Steuerungstechnik ausgestattet, Bild 8. Auf dem Display ist die Bearbeitungssituation vorgegeben. Die entsprechenden technologischen Werte werden über die Bedienerführung der CNC-Steuerung der Maschine übermittelt.

O Werkzeugmaschinen Bild 9 zeigt eine automatische Systemlösung zur Ringherstellung. Die Teile werden aus dem Drehherdofen mittels Manipulator einer Ringrohlingpresse (hydraulische Schmiedepresse mit mehreren Umformstufen) zugeführt. Dort werden Rohlinge erzeugt, die als Ausgangswerkstücke für das Ringwalzen dienen. Räderwalzmaschinen Für das Walzen besonders von Eisenbahnrädern gelten analoge Bedingungen wie beim Ringwalzen, Bild 10. Durch die CNC-Steuerung aller Achsen ergeben sich auch hier minimale Programmwechselzeiten bei automatischer Einstellung der Walzsequenzen entsprechend der technischen Anforderungen. Gesenk-Walzmaschinen Diese Maschinen gibt es sowohl für axiale als auch für radiale Bearbeitung.

Bild 7. Prinzip des Ringwarmwalzens Bild a): Arbeitsraum einer Ringwalzmaschine Bild b): Radial-AxialRingwalzmaschine Bild c): Prinzip des Walzens eines Eisenbahn-Radreifens (SMS Eumuco GmbH, Leverkusen)

Bild 8. Bedienoberfläche der CNCSteuerung einer Ringwalzmaschine RAW (SMS Eumuco GmbH, Leverkusen)

7 Umformende und schneidende Werkzeugmaschinen (Auswahl)

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Bild 9. Systemlösung einer Anlage zur Ringproduktion 1 Drehherdofen, 2 Manipulator, 3 Ringrohlingpresse, 4 Transporteinrichtung, 5 Radial-Axial-Ringwalzmaschine (SMS Eumuco GmbH, Leverkusen)

Bild 10. links: Prinzip des Vollrad-Warmwalzens rechts: Vollräderwalzmaschine DRAW 1400 mit 15 NC-Achsen (SMS Eumuco GmbH, Leverkusen) Das Funktionsprinzip des Axial-Gesenkwalzens ist im Bild 11 dargestellt. Das Untergesenk, welches um seine senkrechte Achse rotiert, nimmt den umzuformenden Rohling auf. Das Oberwerkzeug rotiert um eine geneigte Achse und walzt das Material durch axiale Zustellung in die Gravur. Nach der Fertigstellung wirft ein hydraulisch bestätigter Ausstoßer das Werkstück aus. Das Verfahren eignet sich besonders für die Herstellung von Aluminium-Felgen, Kupplungsringen, Radnaben und Tellerrädern.

Diese Maschinen dienen insbesondere zum Vorwalzen von Kurbelwellen, Achsen, Doppel-Pleueln u. a. aus runden oder quadratischen Ausgangsmaterialien als Ausgangsrohlinge für das Gesenkschmieden. Der auf Umformtemperatur erwärmte Materialabschnitt wird zwischen Ober- und Unterwalze in eine definierte Stellung geführt, Bild 12b. danach beginnt der Walzvorgang. Die Walzform wird durch die Konturen (Bild 12a) der Walzsegmente bestimmt.

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Bild 11. Funktionsprinzip des Axial-Gesenkwalzens (nach SMS Eumuco GmbH, Leverkusen)

O Werkzeugmaschinen Reckwalzmaschinen Der Aufbau einer Reckwalzmaschine ist im Bild 12c zu sehen. Über einen Riementrieb wird ein Schwungrad vom Hauptmotor angetrieben. Durch das Betätigen der Kupplung drehen sich Ober- und Unterwalze. Nach erfolgter Arbeit rückt die Kupplung aus und die Bremsung erfolgt. Der Quertransport des Materials erfolgt servoelektrisch mit programmierbarer Positionierung. Mittels einer Schwinghebel-Automatik (AS) wird die Drehbewegung der Oberwalze in die Linearbewegung des Zangenrohrs mit der Zange übertragen und das Werkstück in horizontaler Richtung durch den Walzspalt transportiert.

Bild 12. Prinzip des Reckwalzens Bild a: Reckwalzen mit Walzsegmentkonturen, Bild b: Arbeitsprinzip, Bild c: Automatische Reckwalzmaschine ARWS (SMS Eumuco GmbH, Leverkusen)

7 Umformende und schneidende Werkzeugmaschinen (Auswahl) 7.2.3 Kaltwalzmaschinen Kaltwalzmaschinen werden im Wesentlichen eingesetzt zur Herstellung von  Geradverzahnungen, vorzugsweise an Getriebewellen  Schrägverzahnungen, auch bei Getriebewellen  Rändel  Gewinde  Ölnuten  Befestigungsrillen Das im Bild 13 dargestellte Arbeitsprinzip PRFS der Kaltwalzmaschine ROLLRAPID besteht aus der gegenläufigen Bewegung der zwei Walzbalken mit einem Zusammenspiel von CNC-gesteuerter Abstandsänderung dieser Werkzeuge/Zustellschlitten (Walzmodule) und der möglichen Richtungsumkehr der Walzschlitten im Walzprozess. Die Entkopplung des Walzvorschubes von der Werkzeuggeometrie bewirkt die Möglichkeit der sofortigen Maßkorrektur und Verfahrensanpassung im Walzprozess über die Menütechnik der CNC-Steuerung. Der große Hub der Walzmodule (2 x 80 mm) ermöglicht ein leichtes Verfahren von mehrprofiligen Werkstücken mit großen Absätzen, beispielsweise Getriebewellen, zu den einzelnen Walzpositionen. Verzahnungen mit gleicher Zahngeometrie und verschiedenen Zähnezahlen lassen sich dadurch mit einem Werkzeug walzen. Das im Bild 14 gezeigte steife Maschinengrundgestell der ROLLRAPID sichert eine Minimierung der Zylinderformabweichungen am gewalzten Teil.

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Ein integriertes Prozessdaten-Management mit elektronischer Spureinstellung der Walzbalken bietet die Voraussetzung für den Schnellwechsel der Werkzeuge und die Neueinrichtung in weniger als 15 Minuten.

Bild 14. Kaltwalzmaschine ROLLRAPID Extrem steifes Grundgestell in Form eines geschlossenen Maschinenrahmens. Dadurch wird die Schwachstelle einer einseitigen Aufbiegung bisheriger Kaltwalzmaschinen minimiert (Profiroll Technologies GmbH, Bad Düben) Bild 15 zeigt die Kaltwalzmaschine ROLLRAPID. Sie ist ausgelegt für maximale Verzahnungsdurchmesser von 70 mm und Werkstücklängen bis zu 1000 mm.

Bild 13. Präzisionskaltwalzen nach dem Prinzip des Profiroll Reversing Forming Systems – PRFS (Profiroll Technologies GmbH, Bad Düben) Die grafische Bedienoberfläche der CNC-Steuerung zeigt dem Bediener typische Verfahrenskenngrößen wie Kraft und Moment an und bietet ein komplexes Prozessbild zur Analyse und Optimierung.

Bild 15. CNC-Kaltwalzmaschine ROLLRAPID (Profiroll Technologies GmbH, Bad Düben)

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7.3 Werkzeugmaschinen zur Blechbearbeitung Analog der Entwicklung bei Werkzeugmaschinen der spanenden Fertigung entwickelt sich der Trend in der Blechbearbeitung – die Kombination der Fertigungsverfahren in einer Maschine oder in einem Fertigungssystem. Vorangetrieben wird dies besonders durch die Karosserieproduktion, aber auch die Gehäusefertigung in der Elektro- und Elektronikindustrie sowie im Maschinen- und Anlagenbau. Dabei wird in nahezu allen Bereichen eine hohe Flexibilität der Produktion gefordert.

7.3.1 Mechanische Pressen Kompakt-Exzenterpressen Die Exzenterpresse im Bild 16 erlaubt durch die Doppelständerkonstruktion und beidseitiger Lagerung der Exzenterwelle sehr hohe Drehzahlen bis 500 U/min und garantiert dank vorgespannter Rollenführungen eine hohe Präzision. Ein großer automatischer Verstellbereich von Hub und Stößel ermöglicht kurze Umrüstzeiten. Die große Tischöffnung erlaubt den Einsatz eines pneumatischen Ziehkissens. Schneid- und Umformautomaten Die in den Bildern 17 und 18 dargestellten Schneidund Umformautomaten (bis 20 000 kN Presskraft) sind in der Standardausführung als Stanz-, Schneid- und Umformautomat mit universeller Antriebstechnik ausgerüstet. Das bedeutet einen sinusförmigen Verlauf des Hubes, der Geschwindigkeit und der Beschleunigung des Pressenstößels. Die Bleche werden über eine Transfer-Vorschubeinheit transportiert. Bild 16. AZ Einpleuelpresse mit Exzenterantrieb (Beutler Nova AG, Gettnau, Schweiz)

Bild 17. Schneid- und Umformautomaten mit 8000 kN Presskraft in Reihenanordnung bei einem Automobilzulieferer (Müller Weingarten AG, Weingarten)

7 Umformende und schneidende Werkzeugmaschinen (Auswahl)

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Bild 18. Prinzipdarstellung des Schneid- und Umformautomaten (Zweipunkt-Presse mit Exzenter-Antrieb) aus Bild 17 (Müller Weingarten AG, Weingarten) 1 Kopfstück, 2 Seitenständer, 3 Pressentisch, 4 Schwungrad mit Antriebsmotor, 6 Zwischenrad, 7 Exzenterrad, 8 Querwelle, 9 Kupplungs-Bremskombination, 10 Pleuel, 11 Stößel, 12 Druckpunkt, 13 Stößelverstellung, 14 Transfer-Vorschubeinheit, 16 Raumlenker, 17 Transferhebel, 18 Überlastsicherung, 20 Aufspannplatte, 21 Stößel-Gewichtsausgleich, 22 Stößel-Gleitführung, 24 Transferschienen, 25 Transfer-Schließkasten, 26 Antrieb Greiferschienenverstellung, 29 Schrottband, 30 Werkzeugspanner, 31 Kühl-Bremsaggregat, 32 Ölumlaufschmierung, 34 Kompressor

Transferpressen Die in den Bildern 19 und 20 gezeigte Transferpresse transportiert die Werkstücke mit elektronischen Transfereinrichtungen über Antrieb mit Hebel und Transferschiene durch deren Heben – Transport des Teiles – Absenken in der nächsten Bearbeitungsstation. Die gezeigte Presse ist mit drei verschiedenen Stößeln versehen, wobei der erste ein Werkzeug, der zweite drei Werkzeuge und der dritte zwei Werkzeuge aufnehmen.

Bild 19. Pressraum einer Transferpresse, Presskraft 37 000 kN (Müller Weingarten AG, Weingarten) Alle Stößel sind mit viergliedrigen Hipro-Gelenkantrieben ausgerüstet. Dieser Antrieb lässt gegenüber dem Geschwindigkeitsverlauf der Standardpresse Bild 17 eine Geschwindigkeitsreduzierung auf ein Drittel bis zur Hälfte zu, was besonders für den Tiefziehvorgang von Bedeutung ist, um Rissbildungsgefahr im Blech zu vermeiden. Dadurch kann die Hubzahl erheblich gesteigert werden, was wiederum eine Produktivitätserhöhung bedeutet.

Die gezeigte Presse besitzt einen automatischen Transferschienenwechsel und einen Werkzeugwechsel über selbstfahrende Schiebetische. Die Produktionsleistung der Presse bei der Herstellung von mittleren und großen Automobilteilen (Türund Trägerelemente) eines Automobilzulieferers liegt bei max. 18 Teilen pro Minute. Transfersysteme für Pressenlinien An modernen Anlagen werden zur Aufnahme und zum Transport der Blechteile meist Sauger eingesetzt. Zum Transport der Teile zwischen den Pressen können verschiedene Einrichtungen zur Anwendung kommen. – Swingarm-Technologie: Diese Transfertechnik wurde vom Hersteller speziell für neue Kompakt-Saugerpressen entwickelt. Durch die Trennung von Presse und Transfersystem kann jedem Pressteil sein eigenes frei programmierbares Bewegungsprofil zugeordnet werden. Das verbessert die Produktivität der gesamten Anlage. Der Teiletransport folgt direkt von einer Umformstufe zur anderen. Das Prinzip ist im Bild 21 dargestellt. Über einen Servomotor wird der kurze Gelenkhebel bewegt. Je nach Motor-Drehrichtung fährt der Saugerbalken zur Teileentnahme in den Arbeitsraum ein und umgekehrt mit dem Teil wieder heraus. Der Saugerbalken wird dabei von einem Schwenkantrieb in der programmierten Position quer zur Transportrichtung gehalten. Ein weiterer Servomotor führt die Hubbewegung durch. Damit kann jedes beliebige Bewegungsprofil gefahren werden.

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Bild 20. Multifunktionale Großteil-Transferpresse in Dreistößel-Ausführung für Karosserieteile mittlerer bis großer Abmessungen 1 Stößel 1, 2 Stößel 2, 3 Stößel 3, 4 Hipro-Gelenkantrieb, 5 Transferantrieb, 6 Transferhebel, 7 Transferschiene, 8 Schließkasten Heben/Senken, 9 Ziehwerkzeug, 10 hydraulisches Vierpunkt-Ziehkissen, 11 pneumatisches Ziehkissen, 12 Platinenstapel mit Hubwagen, 13 Platinen-EntstapelStation, 14 Platinen-Sprüheinrichtung, 15 Doppelblech-Ablagewagen (Müller Weingarten AG, Weingarten)

Bild 21. Prinzip einer KompaktSaugertransferpresse mit Swingarm-Transfer (Müller Weingarten AG, Weingarten)

Bild 22. Prinzip einer KompaktPressenstraße mit Speedbar-Transfer (Müller Weingarten AG, Weingarten)

7 Umformende und schneidende Werkzeugmaschinen (Auswahl) – Speedbar-Technologie: Die Speedbar-Technologie als Linear-Transfer wurde vom Hersteller für Hochleistungs-Pressenstraßen hoher Flexibilität entwickelt. Die Speedbar-Module sind zwischen den Pressen eingebaut, Bild 22. Zwei Servomotoren bewegen über einen Zahnriementrieb die Teleskopschiene, welche an einer Tragschiene hängend geführt ist. Ein weiteres Zahnriemensystem in der Teleskopschiene bewegt über ein Shuttle den angedockten Saugerbalken. Dieser kann während seiner Horizontalbewegung zusätzliche Positionsänderungen quer zur Transportrichtung durchführen. Ein Hubantrieb führt die Hub- und Senkbewegungen aus. Damit kann auch hier jedes gewünschte Bewegungsprofil ausgeführt werden.

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– Swivelarm-Technologie: In der Swivelarmvariante im Bild 23 oben wird das Ziehteil aus dem Stößel entnommen und beim Transport gewendet. Die Swivelarm-Technologie findet Anwendung bei großen Pressenabständen. Somit können mit diesem System auch bestehende Anlagen nachgerüstet werden. In der Bewegungsaddition werden Transportgeschwindigkeiten bis zu 10 m/s erreicht. Die Technologie eignet sich auch zur Platinenzuführung in die Kopfpresse und zur Fertigteilentnahme. – Robotereinsatz: Auch der Einsatz von vorzugsweise Gelenkrobotern ist möglich, aber auch eine Kostenfrage. 7.3.2 Hydraulische Pressen Multifunktions-Pressen Hydraulische Pressen sind aufgrund ihres Aufbaus flexibel und universell einsetzbar.

Bild 23. Swivelarm-Transfer zwischen zwei Pressen mit Wendemodul für das Werkstück Bild oben: – Werkstückentnahme mittels Sauger in Lage I – Wenden des Werkstückes während des Transportes um 180° – Werkstückablage in Lage II Bild unten: Swivelarm mit Werkstück in Ausgangsposition (Müller Weingarten AG, Weingarten)

Bild 24. Hydraulische Multifunktions-Monoblockpresse der ZE-Baureihe (Teilschnitt). Presskraftbereich 1.000 bis 10.000 kN, Tischbreiten 1250 bis 3400 mm (Müller Weingarten AG, Weingarten) Die im Bild 24 gezeigte Presse eignet sich für die manuelle oder automatisierte Fertigung kleiner und mittlerer Automobilteile und Teile des Maschinenund Anlagenbaus. Der Pressenkörper ist als Monoblock mit integrierten Führungsbahnen aufgebaut. Der Stößel besitzt eine große Höhe, um auch außermittige Belastungen gut aufnehmen zu können. Eine Stößelsicherung ist über den gesamten Hubbereich möglich. Ein Mehrpum-

O 114 pen-Einzelantrieb verhindert Totalausfall. Ölbehälter und Antriebsaggregat sind schwingungs- und temperaturisoliert am Pressenkörper angehängt. Im Pressentisch ist ein Ziehkissensystem eingebaut. Im Eckbereich des Tisches sind vier Schnittschlagdämpfer angeordnet. Hydraulische Tryout-Pressen Diese Pressenbauart wurde für die Realsimulation von Umformwerkzeugen und schneller mechanischer Pressenantriebe zu deren Einarbeitung und Erprobung entwickelt. Dies ermöglicht eine Produktionsoptimierung der nachfolgenden Pressenanlagen. Um mechanische Pressenantriebe, die Umformgeschwindigkeiten von 500 bis 800 mm/s erreichen, simulieren zu können, sind Multicurvepressen mit einem schnellen Speicherantrieb ausgerüstet, Bild 25. Zu Beginn der Umformsimulation strömen aus der Speicheranlage große Volumenströme zu den vier Presszylindern und bewirken die erforderliche Beschleunigung des Stößels. Ein leistungsfähiges im Zentralsteuerblock integriertes Regelsystem regelt die Volumenströme so ein, dass exakt die Bewegungsabläufe des simulierten mechanischen Pressenantriebes erreicht werden.

O Werkzeugmaschinen Damit können alle gängigen mechanischen Pressenantriebe, wie Exzenterantrieb, Kurbelantrieb, HiproGelenkantrieb u. a. realitätsnah hinsichtlich des Weg/ Druck-Zeitverhaltens simuliert werden. Bild 26 zeigt den Einarbeitungsweg eines Umformwerkzeuges. Die Multicurvepresse simuliert die Bewegungscharakteristik des Hipro-Multifunktionsantriebes der mechanischen Presse, auf der die PKWSeitenwand künftig produziert werden soll. Hydraulische Pressenstraßen Die im Bild 27 gezeigte hydraulische Pressenstraße produziert mittlere Karosserieteile für verschiedene Automobilhersteller. Dies erfordert eine hohe Flexibilität der Produktion. Die Kopfpresse übernimmt den Tiefziehprozess. Ein Grund für die hohe Leistungsfähigkeit der Straße ist die optimierte Kommunikation zwischen Presse und Roboter. Sie reagiert auf Materialveränderungen, Werkzeugverschleiß u.a. mit einer automatischen Nachjustierung der einzelnen Parameter. Der Werkzeugtransport geschieht mittels selbstfahrender Flurförderer (im Bild 27 oben im Vordergrund).

Bild 25. Steuerungsschema einer Tryout-Multicurvepresse (Müller Weingarten AG, Weingarten)

7 Umformende und schneidende Werkzeugmaschinen (Auswahl)

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Bild 26. Tryout-Prinzip des Einarbeitens eines PKW-Seitenwandwerkzeuges (Müller Weingarten AG, Weingarten)

7.3.3 Stanz-und Laserschneidmaschinen Blechbearbeitungszentren zur Erzeugung komplexer Innen- und Außenkonturen Die Bearbeitungsvielfalt und die Produktivität der Bearbeitung ist in den vergangenen zwei Jahrzehnten enorm gestiegen. Möglich wurde dies durch:  Die Entwicklung der CNC-Technik, besonders die Schaffung von CNC-Achsen mit hoher Verfahrgeschwindigkeit bei ausreichender Präzision der Schlittenpositionierung.  Die Entwicklung leistungsfähiger CO2-Laser zum Schneiden von Stahlblech, besonders im Dünnblechbereich.  Die Möglichkeit hoher Flexibilität der Produktion durch CNC-Steuerungen mit Bedienerführung und leistungsfähiger Benutzersoftware. In den Bildern 28 und 29 ist ein modernes CNCKomplettbearbeitungszentrum zum Laserschneiden, Stanzen und Umformen dargestellt. Es können ebene Bleche bis maximal 4 mm Dicke mit maximaler Stanzkraft von 165 kN bearbeitet werden.

Bild 27. oben: Hydraulische Pressenstraße mit 1 Kopfpresse (Presskraft 14.000 kN) und 4 Folgepressen (Presskraft 6.300 kN) unten: Zum Teiletransport werden sechsachsige Gelenkroboter eingesetzt. (Müller Weingarten AG, Weingarten)

Stanzen und Umformen:  Der Stanzkopf, Ansicht a) im Bild 29, mit Unterund Oberwerkzeug ist um eine numerische CAchse drehbar mit 60 U/min, Ansicht 29b). Dadurch kann das Stanzwerkzeug gleiche Ausschnittformen in verschiedenen Winkellagen erzeugen.  Es können Umformvorgänge mit Umformhöhen bis zu 25 mm sowie das Gewindeformen und das Umformen von unten nach oben durchgeführt werden.

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Bild 28. Blechbearbeitungszentrum TRUMATIC 3000 LASERPRESS zur Komplettbearbeitung durch Laserschneiden, Stanzen und Umformen (TRUMPF Werkzeugmaschinen GmbH + Co, KG, Ditzingen)

Bild 29. Blechbearbeitungszentrum TRUMATIC 3000 LASERPRESS Ansichten a) und b): Bearbeitungssituation und Werkzeugaufbau zum Stanzen, Ansicht c): Bearbeitungssituation Laserschneiden, Ansicht d): CO2-Laser TCF 1 im geöffneten Zustand außerhalb der Maschine (TRUMPF Werkzeugmaschinen GmbH + Co, KG, Ditzingen)  Das Linearmagazin umfasst maximal 19 Stanzwerkzeuge. Mit einem Multitool-Speicher können bis zu 190 Werkzeuge gespeichert werden. Die Werkzeugwechselzeit beträgt 3,1 Sekunden.  Bis zu 600 Hübe pro Minute sind beim Stanzen möglich. Laserschneiden:  Einsatz eines neuentwickelten diffusionsgekühlten CO2-Lasers TCF 1. Mit 2 kW maximaler Leistung erreicht er die Schnittgeschwindigkeit herkömmlicher 3 kW CO2-Laser.

 Der gestreckte Laserkopf kann besonders nahe an Umformungen zur Ausübung von Schneidvorgängen heranfahren.  Schneidgeschwindigkeiten oder Laserleistung werden automatisch im Prozess aktiviert.  Eine Abstandsregelung APC steuert die Lage des Laserkopfes und regelt einen konstanten Abstand zum Blech. Der Arbeitsbereich der TRUMATIC 3000 L liegt mit Nachsetzen bei X x Y = 2500 x 1250 mm., die Verfahrgeschwindigkeit der X-Achse bei 90 m/min und der Y-Achse bei 60 m/min.

7 Umformende und schneidende Werkzeugmaschinen (Auswahl) Bei simultaner Bewegung zum Positionieren ergibt sich eine Verfahrgeschwindigkeit von 108 m/min. Die Positionsabweichung Pa liegt bei maximal ± 0,1 mm. Ein hochentwickeltes Programmiersystem ToPs mit übersichtlich strukturierter Bedienoberfläche und selbsterklärender Bedienreihenfolge bis hin zum Schachtelprozessor zur optimierten Blechtafelbelegung sichert höchste Flexibilität im Klein-und Mittelserienbereich. Eine Möglichkeit zur automatisierten Fertigung von Blechteilen zeigt Bild 30. Die Vorteile dieses Systems sind:  Bedienerfreie Fertigung  Steigerung der Produktivität  Kurze Durchlaufzeiten  Optimale Nutzung der Ressourcen Die Maschine ist mit Palettenwechsler ausgerüstet. Zeitgleich zur Produktion wird der nächste Schneidauftrag vorbereitet. Nach Beendigung des Schneidplans erfolgt der Palettenwechsel an der Maschine. Der SortMaster positioniert über drei NC-Achsen eine Saugerplatte auf das zu entnehmende Einzelteil auf dem Palettenwechsler, entnimmt das Fertigteil aus dem Restgitter und legt es auf eine programmierbare Position ab. Nach der Entnahme der Kleinteile durch den SortMaster nimmt der LiftMaster sort die Maxiteile auf

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und legt sie auf einem Doppelwagen ab. Danach wird das Restgitter auf einem Podest abgelegt. Der Liftmaster sort vereinzelt die nächste Blechtafel auf dem Doppelwagen, transportiert sie per Sauger auf den Palettenwechsler. Im Kompaktlager werden die Rohtafeln und die Fertigteile eingelagert und automatisch zum nächsten Arbeitsschritt bereitgestellt. Ein Fertigungsleitsystem überwacht den Prozess. Eine umfassende 3D-Bearbeitung erfordert die Anwendung von Fünf-Achsen-Bahnsteuerungen mit Interpolation der 3 Linear-und 2 Schwenkachsen X, Y, Z, B, und C, siehe Seite O 64, Abschnitt 3.3, Bild 5. Eine Maschine mit dieser Steuerung ist die im Bild 31 dargestellte LASERCELL 1005. Die Verfahrgeschwindigkeiten der Linearachsen liegen zwischen 30 und 50 m/min, der Schwenkachsen bei 360°/s. Sie ermöglicht das gratfreie Laserschneiden komplexer 3D-Teile aus Stahl, Aluminium oder Titan, welche erst nach dem Umformprozess mit Ausschnitten und Konturen versehen werden können. Im Bild 32 links ist ein solches Teil dargestellt. Dies ermöglicht auch dem Konstrukteur, Formen zu gestalten, die früher kaum zu realisieren waren. Laserschweißen, Bild 32 rechts, hat den Vorteil schmaler und tiefer Nähte, geringen Verzugs der gefügten Teile und Entfall von Nacharbeit. Auch eine gezielte Härtung mit dem Laserstrahl ist in der gleichen Aufspannung möglich.

Bild 30. Blechfertigungssystem mit Laser-Flachbettmaschine TRUMATIC L 3050 (TRUMPF Werkzeugmaschinen GmbH + Co, KG, Ditzingen)

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Laserbearbeitung komplexer 3D-Teile

Bild 31. Fünf Achsen-CNCMaschinensystem zum Laserschneiden, Laserschweißen und Oberflächenbehandeln TRUMPF LASERCELL 1005 (TRUMPF Werkzeugmaschinen GmbH + Co, KG, Ditzingen)

Bild 32. Werkstücke, bearbeitet auf der TRUMPF LASERCELL 1005 (TRUMPF Werkzeugmaschinen GmbH + Co, KG, Ditzingen)

7.3.4 Biege- und Abkantmaschinen Auch in der Biege-und Abkanttechnik wird eine hohe Flexibilität bei gleichzeitiger großer Produktivität und Sicherung der vorgegebenen Qualität gefordert. Einsatzgebiete sind neben dem Maschinen-, Fahrzeug- und Anlagenbau besonders die Fertigung von Gehäusen und Schrankteilen für die Elektro- und Elektronikindustrie. Hydraulische Abkantpressen Bei der im Bild 33 gezeigten Abkantpresse wird die Presskraft über je 2 Hydraulikzylinder auf beide Seiten des Druckbalkens erzeugt. Die Balkeneilganggeschwindigkeit auf und ab beträgt 220 mm/s, die Arbeitsgeschwindigkeit ist zwischen 0,1 und 10 mm/s wählbar. Die große Zahl einsetzbarer Biegewerkzeuge ermöglicht vielfältige Geometrien ohne Nacharbeit. CNC-Abkantpressen CNC-Abkantpressen TrumaBend V besitzen neben einem elektrohydraulischen Stößelantrieb mit Propor-

tionalventiltechnik ein Stößel-Wegmesssystem mit Auffederungskompensation sowie eine sphärische Aufhängung und Schrägstellung des Druckbalkens (± 10 mm). Der Hinteranschlag für das Werkstück besitzt 2 CNCAchsen (X und R) in Richtung zum Werkstück mit Verfahrgeschwindigkeiten bis 500 mm/s und senkrecht dazu bis 300 mm/s. Eine Option bis zu 6 CNCAchsen ist möglich, etwa bei schräg zur Anschlagkante verlaufenden Biegelinien. Die Anschlagfinger können hier an jede beliebige Stelle im 3D-Arbeitsbereich positioniert werden. Winkelsensoren ACB, Bild 34, übernehmen das Messen und Regeln des gewünschten Biegewinkel-Sollwertes im Prozess. Dadurch wird die Produktivität bei gleichbleibender Qualität erhöht. Eine selbstzentrierende Oberwerkzeugaufnahme und hydraulische Werkzeugklemmung bringen zusätzlichen Produktivitätsgewinn. Bild 35 zeigt ein Arbeitsbeispiel eines auf einer TrumaBend gefertigten Werkstückes mit 13 Biegungen.

7 Umformende und schneidende Werkzeugmaschinen (Auswahl)

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Bild 33. Hydraulische Abkantpresse TrumaBend V 1300 mit 1300 kN Presskraft (TRUMPF Werkzeugmaschinen GmbH + Co, KG, Ditzingen)

Bild 34. Arbeitsraum einer CNC Abkantpresse TrumaBend V (TRUMPF Werkzeugmaschinen GmbH + Co, KG, Ditzingen)

Bild 35. Verkleidung der Bewegungseinheit einer Werkzeugmaschine Material: 1,5 mm Al-Blech Anzahl der Biegungen: 13

Automatische Abkant- und Biegezellen Die automatische Abkant-und Biegezelle, Bild 36, sichert eine komplette automatische Fertigung durch die Anwendung des Handling-Roboters TRUMPF BendMaster in Kombination mit einer CNC-Abkantpresse. Der BendMaster erfasst mittels Sensorkopf den Platinenstapel, seine Lage und Höhe, greift prozesssicher über mehrere Sauger das Blech, bewegt es in den Arbeitsraum und führt die Platine bei der Bearbeitung nach. Dabei erfolgt eine Synchronisation der Biegegeschwindigkeit der CNC-Abkantpresse TrumaBend V 170 mit dem Bendmaster. Danach erfolgt eine Ablage der Fertigteile im Stapel ineinander verschachtelt oder frei zueinander verdreht. Ein Umgreifen unter Nutzung einer Parkposition außerhalb des Pressentisches ist möglich.

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Bild 36. Automatische Biegezelle (TRUMPF Werkzeugmaschinen GmbH + Co, KG, Ditzingen)

Weiterführende Literatur 1. Bücher Spur, G.: Produktionstechnik im Wandel. MünchenWien: Carl Hanser Verlag, 1979 Spur, G.: Vom Wandel der industriellen Welt durch Werkzeugmaschinen. München-Wien: Carl Hanser Verlag, 1991 Weck,M.: Werkzeugmaschinen Band 1, Werkzeugmaschinen, Maschinenarten und Anwendungs-Bereiche, Düsseldorf: VDI-Verlag GmbH, 5. Auflage Weck, M.: Werkzeugmaschinen Band 2, Fertigungssysteme, Konstruktion und Berechnung. Düsseldorf: VDI-Verlag GmbH, 2002 Weck, M.: Werkzeugmaschinen Band 3, Mechatronische Systeme, Vorschubantriebe und Prozessdiagnose. Düsseldorf: VDI-Verlag GmbH, 5. Auflage Weck, M.: Werkzeugmaschinen Band 4, Automatisierung von Maschinen und Anlagen. Düsseldorf: VDIVerlag GmbH, 2001 Kief, H. B.: NC/CNC Handbuch 2000. MünchenWien: Carl Hanser Verlag, 2000 Ernst, A.: Digitale Längen- und Winkelmesstechnik, Positionsmesssysteme für den Maschinenbau und die Elektronikindustrie, Band 165. Landsberg/Lech: verlag moderne industrie, 1998 Berthold, H.: Programmgesteuerte Werkzeugmaschinen, Berlin: VEB Verlag Technik, 1975

Schibisch, D., Friedrich U.: Superfinish-Technologie, Band 222. Landsberg/Lech: verlag moderne industrie, 2001 2. Manuskripte Bahmann, W., Künanz, K., Schindler H.: Fein- und Feinstbearbeitung. Weiterbildungszentrum Dresden der Technischen Akademie Esslingen, 2002, (Lehrgangsunterlagen 28558/45.314) 3. Normen DIN 8580 DIN 69651 DIN 8582

Fertigungsverfahren zur Metallbearbeitung Gliederung der Werkzeugmaschinen Fertigungsverfahren der Umformtechnik Fertigungsverfahren Zerteilen Spanende Fertigungsverfahren

DIN 8588 DIN 8589 DIN 55026 bis 55029 Aufnahmen für Werkstückspanner DIN 69871/72 Werkzeugspindelkopf mit Steilkegel DIN 69880 Werkzeughalter DIN 69893 Hohlschaftkegelaufnahmen DIN 69051 Kugelgewindetriebe DIN/ISO1219 Hydrauliksymbole VDI 3220 Feinbearbeitungsverfahren

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6 Werkzeugmaschinen zur Feinstbearbeitung 6.1 Definition der Feinstbearbeitung

Die Übersicht im Bild 1 zeigt, dass besonders die Fertigungsverfahren    

Honen Kurzhubhonen oder Superfinishen Läppen Glattwalzen (mit Einschränkung)

zum Erreichen dieser Zielstellung bei der Bearbeitung von Stahl geeignet sind. Die ersten drei der genannten Verfahren basieren auf Werkzeugen, die mit geometrisch unbestimmten Schneiden arbeiten. Damit ist auch die Hartfeinstbearbeitung gegeben. Diese umfasst die meisten Anwendungsfälle in der Praxis. Auch mit dem Glattwalzen ist in der Form des Hartglattwalzens eine Hartbearbeitung unter bestimmten Voraussetzungen möglich.

6.2 Spanende Feinstbearbeitungsmaschinen für Werkzeuge mit geometrisch bestimmter Schneide 6.2.1 Feindrehmaschinen Bild 1. Übersicht über die Fein-und Feinstbearbeitungsverfahren, bezogen auf erreichbare Rauhigkeitswerte RZ in μm Nach der VDI-Richtlinie 3220 sind Feinbearbeitungsverfahren alle formgebenden Fertigungsverfahren, deren Ergebnis eine Verbesserung von Maß, Form, Lage und Oberflächenqualität ist, wobei die erzielte Maßgenauigkeit mindestens der ISO-Qualität IT 7 (in den meisten Fällen IT 6) entspricht. In der Übersicht im Bild 1 ist gezeigt, dass der Begriff „Feinst- oder Präzisionsbearbeitung“ dann zur Anwendung kommt, wenn die erzielbare Rautiefe 0,1  RZ  1 μm ist. In der Regel sollten die weiteren Werte der Oberflächengestalt liegen bei: Arithmetischer Mittenrauwert 0,01 μm  Ra  0,1 μm Welligkeit (z. B. Wälzlager) 0,1 μm  Wt  1,5 μm Die Form-und Lagetoleranzen fein- und feinstbearbeiteter Flächen sollten liegen entsprechend Tabelle 1. Tabelle 1. Form-und Lagetoleranzen fein- und feinstbearbeiteter Flächen Forderung

erreichbar

Rundheit

< 3 μm

< 1 μm bei 80 mm Ø

Zylindrizität

< 2 – 4 μm / 50 mm < 2 μm

Rund-, Planlauf verschiedener Funktionsflächen zueinander

< 2 – 4 μm

< 2 μm bei Bearbeitung in einer Aufspannung

Neigung

5 – 10 μm

< 5 μm

Das Fein-und Feinstdrehen wird unter Anwendung von Diamantwerkzeugen für die Bearbeitung von Nichteisenmetallen oder anderen Werkstoffen, wie technische Keramik, herangezogen. Auch für die Hartfeinstbearbeitung von Stahl ist das Feindrehen in Kombination mit dem Feinschleifen geeignet. Auf dem im Kapitel 4.2.2, Bild 12, Seite O 78 gezeigten Bearbeitungszentrum kann das Hartdrehen beispielsweise von Bohrungen als Vorbearbeitungsprozess kombiniert werden mit einem anschließenden FertigFeinschleifen, bei dem mit einer hinsichtlich Körnung und Härte geeigneten Schleifscheibe nur noch wenige μm bis zum Erreichen des Endmaßes abgetragen werden. Damit sind Rautiefen RZ  1 μm durchaus erreichbar.

Bild 2. Umfangs- und Querwelle an einem unter der Einwirkung einer Relativschwingung zwischen Werkstück und Werkzeug gedrehten Werkstück (die Frequenz der Relativschwingung ist nicht ganzzahlig zur Drehfrequenz des Werkstückes während der Drehbearbeitung) a Umfangswelle, b Querwelle, U Umfangsrichtung, Q Querrichtung

6 Werkzeugmaschinen zur Feinstbearbeitung Ausgesprochene Ultra-Feinstdrehmaschinen nach einem Grundsatz konstruiert:

O 95 sind

– Jegliche Relativschwingungen zwischen Werkstück und Werkzeug sind zu vermeiden – Im Bild 2 sind die Auswirkungen solcher Relativschwingungen auf die Gestaltabweichung des Werkstücks beim Drehprozess dargestellt. Es entstehen Wellen sowohl in Umfangs- als auch in Querrichtung, die neben der Welligkeit auch die Rauheit der Oberfläche negativ beeinflussen. Thermische Einflüsse können sich auf Maß und Form negativ auswirken. Aus den genannten Gründen haben sich nachstehende Konstruktionsmerkmale herausgebildet:

Langhubhonen: Honen, bei welchem die Schnittbewegung aus einer Drehbewegung und einer langhubigen Hin-und Herbewegung gebildet wird (siehe Bild 3) Kurzhubhonen, Superfinishen, Feinziehschleifen: Honen, bei welchem die Schnittbewegung aus einer Dreh-und/oder Hubbewegung sowie einer überlagerten kurzhubigen Oszillationsbewegung gebildet wird Außenhonen: Honen von Außenflächen Innenhonen: Honen von Innenflächen

 Aerostatisch gelagerte Synchronmotorspindeln als

   

Werkstückträger (Grundaufbau entsprechend Bild 17, Seite O 12, Kapitel 2.1.3) Aerostatische Gerad- und Rundführungen Maschinengestelle aus Mineralguss oder Granit (entsprechend Bild 88, Seite O 55, Kapitel 2.5.3) Klimaraum als Aufstellort Trocknung der Arbeitsluft für die Aerostatik

6.2.2 Feinbohrmaschinen Mit Feinbohrmaschinen oder den in Taktsraßen (entsprechend Bild 22, Seite O 82, Kapitel 4.3.2) zur Anwendung kommenden Feinbohreinheiten werden in der Regel kleinste Rautiefenwerte Rz > 1 μm erreicht, so dass zum Erreichen höherer Qualitäten noch eine zusätzliche Feinstbearbeitung erfolgen muss.

6.3 Spanende Feinstbearbeitungsmaschinen für Werkzeuge mit geometrisch unbestimmter Schneide 6.3.1 Honmaschinen Definition des Honens (DIN 8589 Teil 14) Honen: Spanen mit geometrisch unbestimmten Schneiden, wobei die vielschneidigen Werkzeuge eine aus 2 Komponenten bestehende Schnittbewegung ausführen, von denen mindestens eine Komponente hin- und hergehend ist, so dass die bearbeitete Oberfläche sich definiert überkreuzende Spuren aufweist. Die Verhältnisse sind im Bild 3 dargestellt. Rundhonen: Honen zur Erzeugung kreiszylindrischer Oberflächen Profilhonen: Honen, bei dem das Werkzeugprofil auf dem Werkstück abgebildet wird Planhonen: Honen zur Erzeugung ebener Flächen Schraubhonen, Wälzhonen, Formhonen, beispielsweise bei Verzahnungsbearbeitung (siehe auch Bild 24, Kapitel 5.5.3)

Bild 3. Prinzip des Honens (Langhubhonen) vc Schnittgeschwindigkeit, vu Umfangsgeschwindigkeit, vh Hubgeschwindigkeit,  Honwinkel Bild rechts: gehonte Oberfläche (Auflicht) (nach Nagel, Maschinen- und Werkzeugfabrik GmbH, Nürtingen) Superfinish-(Kurzhub-Hon)-Maschinen Realisieren die Bearbeitung runder Flächen an Werkstücken mit überwiegend runder Gestalt mittels der Verfahren: – Kurzhub-Außen- oder Innen-Rundhonen – Kurzhub-Außen- oder Innen-Profilhonen In der Industrie hat sich der Begriff – Superfinishmaschinen – eingebürgert und wird nahezu ausschließlich verwendet, auch in den nachfolgenden Ausführungen. Im Bild 4 ist das Prinzip der Superfinishbearbeitung als Kurzhub-Außen-Rundhonen dargestellt. Links im Bild wird das Stein-Superfinishen gezeigt. Als Werkzeug dient ein Honstein, meist aus Edelkorund oder CBN. Die Korngröße richtet sich nach der Rautiefe der Vorbearbeitung und der zu erzielenden Rautiefe sowie nach der Bearbeitungszeit. Die Korngrößen für das Schrupp-Superfinishen liegen zwischen 6 und 10 μm, für das Fertig-Superfinishen zwischen 3 und 6,5 μm. Durch geeignete Bindung und Härte wird erreicht, dass das Korn nach Abnutzung selbst ausbricht, das heißt, der Honstein wird im Gegensatz zur Schleifscheibe nicht abgerichtet. Er schärft sich selbst.

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O Werkzeugmaschinen Im Bild 5 ist die Verbesserung der einzelnen Parameter der Gestaltabweichung der bearbeiteten Werkstückoberfläche durch das Superfinishen dargestellt. Es muss aber gesagt werden, das bei den Parametern Rundheit und Zylindrizität, aber auch bei Ebenheit und Geradheit eine hohe Vorbearbeitungsgenauigkeit beim Schleifen oder Hartfeindrehen gefordert wird, um den Erfolg der Superfinishbearbeitung zu erreichen.

Bild 4. Prinzip der Superfinish-Bearbeitung mit Stein und Band F Honstein-Anpresskraft, vu Werkstück-Umfangsgeschwindigkeit, n Kontaktwinkel, vs Vorschubgeschwindigkeit (nach Supfina Grieshaber GmbH & Co KG, Remscheid) Der Honstein wird mit einem konstanten, meist hydraulisch oder pneumatisch erzeugten Druck zwischen 9 bis 40 N/cm² gegen die rotierende Werkstückoberfläche gepresst. Dabei oszilliert er mit Frequenzen zwischen 2 und 85 Hz und Amplituden von 0,7 ...0,8 mm. Dadurch bewegt sich das einzelne Korn entlang einer Sinuslinie. Rechts im Bild 4 ist das Bandfinishen dargestellt. Superfinishbänder können zwischen 5 und 300 mm breit sein und eine Länge zwischen 1 und 300 m aufweisen. Der verschlissene Bandbereich wird entweder kontinuierlich oder getaktet erneuert. Die Bänder bestehen aus Gewebe, Papier oder Polyesterfilm, jeweils mit aufgebrachtem Schleifmittel (Korn mit Größen zwischen 0,3 bis 70 μm und Bindung). Das Finishband oszilliert in Werkstück-Achsrichtung wie beim Honstein. Das Bandfinishen wird meist in der Automobil-Industrie angewandt, besonders in der Kurbel- und Nockenwellenfertigung.

Bild 5. Verbesserung der Parameter der Gestaltabweichung durch das Superfinishen (nach Supfina Grieshaber GmbH & Co KG, Remscheid)

Einheiten zur spitzenlosen Einstech-Bearbeitung mit Honsteinen Im Bild 6 ist das Prinzip des spitzenlosen EinstechSuperfinishens am Beispiel der Bearbeitung einer Getriebewelle dargestellt.

Bild 6. Spitzenlose Aufnahme einer Getriebewelle zwischen angetriebenen Tragwalzen. Die Bearbeitung von 4 Sitzen mittels 4 Superfinisheinheiten erfolgt zeitgleich. (Supfina Grieshaber GmbH & Co KG, Remscheid)

Bild 7. Superfinish-Anbaueinheit beim Einsatz im Revolverkopf einer Drehmaschine (Supfina Grieshaber GmbH & Co KG, Remscheid)

6 Werkzeugmaschinen zur Feinstbearbeitung

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Zur Bearbeitung werden hier 4 pneumatisch angetriebene Superfinish-Anbaueinheiten angewendet. Im Bild 7 ist eine solche Anbaueinheit für die Bearbeitung von Werkstücken auf einer Drehmaschine gezeigt. Die Einheit ist mit einer Möglichkeit zur Aufnahme in einer Position des Werkzeugrevolvers der Drehmaschine versehen. Maschinen zur spitzenlosen Durchlaufbearbeitung mit Honsteinen Durch Schrägstellung der Tragwalzen erfahren die Werkstücke eine Vorschubbewegung. Dadurch entsteht die Durchlaufbearbeitung, Bild 8. Die Verfeinerung der Werkstückoberfläche ergibt sich durch den nacheinander erfolgenden Eingriff von Werkzeugen mit feiner werdendem Korn. Erreichbare Durchlaufgeschwindigkeiten liegen zwischen 500 und 6500 mm/min. Diese Bearbeitungsart eignet sich besonders für Wälzkörper, wie Rollen, Nadeln und Kegelrollen, aber auch Nadelstangen, Kolbenbolzen, Kipphebelwellen u. a. m., Bild 9.

Bild 9. Spitzenlose Durchlauf-Superfinish-Maschine Supfina 470 mit 10 Stein-Führungen, Transportwalzen mit 900 mm Nutzlänge und automatischer Zuund Abführung der Werkstücke (Supfina Grieshaber GmbH & Co KG, Remscheid)

Bild 8. Prinzip der spitzenlosen Durchlaufbearbeitung mit 8 Superfinisheinheiten. Der Transport entsteht durch die Schrägstellung der Tragwalzen (Supfina Grieshaber GmbH & Co KG, Remscheid) Zur Erzeugung von leicht balligen Wälzkörpern werden Tragwalzen mit Sonderformen angewendet. Dadurch können die Werkstücke auf definierten Bahnkurven unter den Honsteinen durchgeführt werden. Damit lassen sich Mantellinien mit bis zu 1 μm konvexer Form definiert herstellen. Maschinen zum Stein-Superfinishen von Wälzlagerringen Bild 10 zeigt das Prinzip des Superfinishens einer Laufbahn des Innenrings eines doppelreihigen Kegelrollenlagers. Die Bearbeitung erfolgt in senkrechter Lage der Werkstückachse. Der Ring wird über eine als Treiber ausgebildete Planscheibe angetrieben. Die Mitnahme wird über Druckrollen erreicht, die Achslage über Zentrierrollen. Im Bild 11 ist das Prinzip des Superfinishens einer Kugellaufbahn dargestellt. Der oszillierende Honstein ist vorprofiliert und damit der Form der Laufbahn angepasst.

Bild 10. Superfinishen eines Kegelrollenlager-Innenrings. Antrieb des Werkstückes über Treiber, Druckund Zentrierrollen (Supfina Grieshaber GmbH & Co KG, Remscheid) Honstein Werkstück (Kugellagerring) Oszillationsbewegung

Drehbewegung des Werkstückes

Bild 11. Superfinishen der Laufbahn eines Kugellager-Außenrings

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O Werkzeugmaschinen Den Aufbau einer Bandfinishstation mit umschließender Bearbeitung zeigt Bild 13. Über die Zangenhebel und die Bearbeitungsschalen erfolgt die Anpressung des Bandes. Harte Schalen werden bei der Mehrstufen-Bearbeitung für das Vorfinishen eingesetzt. Damit wird auch die Makrogeometrie positiv beeinflusst. Zur Fertigbearbeitung werden weiche Schalen verwendet.

Bild 12. Superfinishautomat 725/2 NC zur Bearbeitung von Zylinder-, Kegel-, Tonnen-Rollenlager, Innen- und Außenringen mit einer oder mehreren Laufbahnen (Supfina Grieshaber GmbH & Co KG, Remscheid) Der im Bild 12 gezeigte CNC-Superfinishautomat ist mit Digitalantrieben für Linear- und Rotationsbewegung ausgerüstet. Druckrollen und Zentriereinrichtung für das Werkstück sind NC-gesteuert. Beliebige Laufbahn-Querformprofile, wie konkav, konvex, logarithmisch u. a., werden durch einen NC-gesteuerten Überlagerungshub erzeugt. Die Bearbeitung erfolgt liegend und kann ein- oder mehrstufig mittels Steinwendeeinrichtung durchgeführt werden, siehe Bild 10. Der Steinanpressdruck kann hydraulisch extrem variiert werden. Die Umrüstzeiten auf eine andere Werkstücktype liegen unter 9 Minuten. Die automatische Be- und Entladung der Werkstücke erfolgt über Mehrfach-Greifer.

Bild 14. Arbeitsraum einer Bandsuperfinishmaschine zur gleichzeitigen Bearbeitung der Lagersitze von Kurbelwellen. Das Werkstück ist horizontal gelagert. (Supfina Grieshaber GmbH & Co KG, Remscheid) Zur Bearbeitung der Sitze an Kurbelwellen, Bild 14, werden so viele Bandfinisheinheiten wie erforderlich nebeneinander platziert. Die Oszillationsbewegung wird über das Werkstück ausgeführt.

Band-Superfinish-Maschinen

Bild 13. Bandfinishen mit Bearbeitungszangen. Das Werkstück wird von 2 Bearbeitungsschalen umfasst und damit von 2 Seiten gleichzeitig bearbeitet. Dabei oszilliert in der Regel der Werkstückträger. (Supfina Grieshaber GmbH & Co KG, Remscheid)

Bild 15. Bandsuperfinish-Anbaugerät zum Einsatz auf Dreh-, Schleif oder Fräsmaschinen. Anpressdruck und Oszillation erfolgen pneumatisch (Supfina Grieshaber GmbH & Co KG, Remscheid)

6 Werkzeugmaschinen zur Feinstbearbeitung

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Bandsuperfinishen kann auch mit Anbaugeräten durchgeführt werden, Bild 15. Dabei erfolgt eine einseitige Bearbeitung, d. h. das Band umschließt das Werkstück nicht. Der Werkzeugeingriff liegt unter 50 %, siehe Bild 4 rechts. Kreuzschliff-Superfinishmaschinen zur Bearbeitung planer, definiert konvexer (konkaver) oder sphärischer Flächen

Bild 16. Kreuzschliff-Superfinish-Bearbeitung mit Topfscheiben. Fn Normalkraft, vs Schnittgeschwindigkeit, vw Werkstückgeschwindigkeit, R Radius der sphärischen oder konvexen Fläche (nach Supfina Grieshaber GmbH & Co KG, Remscheid)

Bild 18. Ergebnisse der Planflächenbearbeitung des Werkstückes „Tassenstößel“ (Supfina Grieshaber GmbH & Co KG, Remscheid) Die Balligkeit von 7 μm, Bild 18, ist definiert erreicht durch die Konvex-Konkav-Einstellung an der Maschine und vom Kunden vorgegeben. Auch bei Kreuzschliff-Finishmaschinen kann der vertikale Aufbau ein großer Vorteil sein, analog Kapitel 4.1.1, Bild 6, Seite O 74, und Kapitel 4.2.2, Bild 12, Seite O 78. Die in Bild 19 dargestellte Maschine ist extrem platzsparend. Auf dem NC gesteuerten Rundtisch können bis zu 8 Werkstückspindeln und an einer Mittelsäule bis zu 6 Bearbeitungseinheiten angeordnet werden.

Im Bild 16 sind die Möglichkeiten des KreuzschliffSuperfinishens dargestellt. Die Topfscheiben sind vorprofiliert und schärfen sich selbst. Hauptanwendungsgebiete sind Dicht- und Anlageflächen von Komponenten für Dieseleinspritzpumpen oder Stirnflächen von Zahnrädern, aber auch künstliche Hüftgelenke.

Bild 17. Aufbauprinzip der Kreuzschliff-Superfinishmaschine supfina 802 mit waagerechter Werkstückachse für die Bearbeitung von Stirnflächen rotationssymmetrischer Werkstücke (Supfina Grieshaber GmbH & Co KG, Remscheid) Die im Bild 17 dargestellte Maschine wird u. a. für die Bearbeitung von Tassenstößeln eingesetzt. Eine Druckrolle drückt das Werkstück gegen den als Ladeschieber ausgebildeten Gleitschuh. Durch Schränkung der Rollenachsen wird das Werkstück gegen den Axialanschlag gedrückt. Die Beladezeiten liegen unter einer Sekunde.

Bild 19. Vertikal-Kreuzschliffmaschine Microstar V 286. Im Bild unten ist ein Ausschnitt des Arbeitsraumes mit einem Werkzeugträger (Bearbeitungseinheit) dargestellt. (Thielenhaus Technologies GmbH, Wuppertal)

O 100 Damit ist beispielsweise nachstehende Stationsfolge möglich: 1: Be- und Entladen 2: Vorfinish/Vorderseite 3: Fertigfinish/Vorderseite 4: Bürstentgraten 5: Wenden d. Teils 6: Vorfinish/Rückseite 7: Fertigfinish/Rückseite 8: Bürstentgraten Die Taktzeit = Bearbeitungszeit beträgt in der Regel 6 Sekunden. Genauigkeiten wie Ebenheit < 0,5 μm und RZ < 0,1 μm sind erreichbar.

O Werkzeugmaschinen eine resultierende Schnittgeschwindigkeit vc zwischen 30 bis 50 m/min. Eine Orientierung des Honwerkzeuges in der Bohrung ist gegeben. Dadurch ergeben sich erhebliche Vorteile:      

Große aktive Fläche während der Bearbeitung Werkzeug richtet sich in der Bohrung aus Werkzeug schärft sich selbst Unterbrochener Schnitt ist möglich Geringe Temperaturen in der Wirkzone Hohe Lebensdauer der Werkzeuge

Langhub-Honmaschinen (vorzugsweise zum Innen-Rundhonen) Langhub-Honmaschinen, im Folgendem kurz – Honmaschinen – genannt, werden in der Regel für die Bohrungs-Feinstbearbeitung prismatischer Werkstücke angewandt. Bei den Werkstücken handelt es sich besonders um Zylinderlaufbahnen von Kolbenmotoren, Pleuellager, Getriebegehäuse, Hydraulikblöcke u. a. m. Bild 21. Aufbau eines Mehrleisten-Honwerkzeuges mit pneumatischem Messsystem zur Inprozess-Messsteuerung (Nagel, Maschinen- und Werkzeugfabrik GmbH, Nürtingen) Mittels meist hydraulisch betätigter Druckstange werden über einen Doppelkonus die Honleisten gegen die zu bearbeitende Fläche gedrückt, Bild 21. Rückholfedern sorgen für die Leistenrücknahme nach erfolgter Bearbeitung. Bei Erreichen des Fertigmaßes beendet die Messsteuerung den Honvorgang. Honmaschinen haben häufig einen senkrechten Aufbau. Im Bild 22 ist eine Anlage zum Honen von gehärteten Zylinderlaufbuchsen gezeigt. Die Maschine hat zwei Arbeitsstationen zum Vorund Fertighonen. Auch hier wird dies wie beim Superfinishen durch unterschiedliche Steinqualitäten erreicht.

Bild 20. Kinematik des Langhubhonens, Bezeichnungen siehe Bild 3. Oben links: mehrstufiges Honwerkzeug mit 4 Honleisten. Unten: Auflichtaufnahmen gehonter Bohrungen (nach Nagel, Maschinenund Werkzeugfabrik GmbH, Nürtingen) Bild 20 zeigt das Prinzip. Über ein Werkzeug mit mehreren Honleisten, die an die zu bearbeitende Oberfläche gedrückt werden, erfolgt der Werkstoffabtrag durch dessen Langhubbewegung mit überlagerter Rotation. Die Honleisten liegen flächig an der Werksstück-Bohrung an. Durch die Bewegungen ergibt sich

6 Werkzeugmaschinen zur Feinstbearbeitung

Bild 22. Honbearbeitung von gehärteten Zylinderlaufbuchsen. Bild auf Seite 100: Honmaschine mit Werkstückspeicher und automatischer Beschickung. Bild oben: Arbeitsraum der Honmaschine mit 2 Arbeitsstationen (Nagel, Maschinen- und Werkzeugfabrik GmbH, Nürtingen)

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Bild 23. Arbeitsprinzip des Läppens. Unten links: Schnitt durch den Bearbeitungsvorgang. Bild oben: Draufsicht auf den Arbeitsraum einer Läpp-Maschine mit 3 Abrichtringen und 3 unterschiedlichen Werkstücktypen (A. W. Stähli AG, Biel, Schweiz)

6.3.2 Läppmaschinen Der Läppvorgang ist das Aneinanderreiben zweier Flächen mit dazwischen liegendem Medium aus Läppflüssigkeit (Läpp-Öl) und Läppkorn (Siliziumkarbid, Borcarbid, Diamantpulver mit verschiedener Korngröße und Härte). Das Prinzip der Einscheiben-Läppmaschine mit 3 Abrichtringen ist im Bild 23 dargestellt. Merkmale sind die drehende Arbeitsscheibe, meist bestehend aus Grauguss, und die darauf mitrotierenden 3 oder 4 Abrichtringe, welche in Rollengabeln geführt werden. Innerhalb der Abrichtringe befinden sich Werkstückhalter, meist Platten aus Kunststoff, die mit passenden Öffnungen für die jeweiligen Werkstücke versehen sind. Mit einer Druckplatte und pneumatischer Unterstützung werden die Werkstücke gegen die Arbeitsscheibe gedrückt.

Bild 24. Läppmaschine DLM 700-3 CNC mit automatischem Werkstückwechsel (A. W. Stähli AG, Biel, Schweiz) Die Abtragsraten beim Läppen liegen bei wenigen Mikrometern pro Minute, die Arbeitsgeschwindigkeit im Bereich zwischen 1 bis 50 m/min. Das Läppen mit geeignetem Korn und entsprechendem Arbeitsscheibenwerkstoff eignet sich besonders für die Ultrapräzisionsbearbeitung, wo Rautiefenwerte Ra < 1 Nanometer und Ebenheiten < 1 μm erreicht werden können. Dass moderne Steuerungs- und Automatisierungstechniken auch bei Läppmaschinen Eingang gefunden haben, zeigt Bild 24.

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6.4 Umformende Feinstbearbeitungswerkzeuge Glattwalzwerkzeuge werden in der Regel auf Standardwerkzeugmaschinen, beispielsweise Drehmaschinen, eingesetzt. Eigenständige Glattwalzmaschinen gibt es meist nur als Festwalzmaschinen in der Kurbelwellenfertigung.

O Werkzeugmaschinen drehte Oberfläche mit einem Rautiefenwert Rz von ca. 20 μm zu sehen. Mit dem Glattwalzen können Rautiefenwerte 1 μm < Rz < 10 μm erreicht werden. Das Glattwalzen mit mechanischen ein- oder mehrrolligen Werkzeugen ist für Werkstoffhärten < 45 HRC geeignet. Der weitere Vorteil des Glattwalzens liegt in einer Zunahme der Härte der Oberflächenrandschicht. Dies kann im Einsatz des Werkstückes verschleißhemmend wirken. 6.4.1 Werkzeuge zum Hart-Glattwalzen Stähle mit Härten < 65 HRC können mit dem hydrostatischem Glattwalzwerkzeug „ballpoint“ bearbeitet werden. Die Mikroumformung der Werkstückoberfläche geschieht hier durch eine Hartstoffkugel mit einer speziellen Oberflächenbehandlung, Bild 26. Die Kugel wird mit Druckflüssigkeit gegen die Werkstückoberfläche gedrückt, während sie auf dem Druckpolster schwimmt.

Bild 25. Bild oben: Prinzip des Glattwalzens Bild unten: Profilschnitt der vorgedrehten Oberfläche links im Bild, rechts die glattgewalzte Oberfläche (ECOROLL AG, Werkzeugtechnik Celle)

Im Bild 25 ist die Umformung der Randschicht einer Werkstückbohrung dargestellt. Die Vorbearbeitung erfolgt durch Drehen, Schälen oder Reiben. Eine oder mehrere Rollen werden mit einer senkrecht zur Werkstückoberfläche gerichteten Kraft beaufschlagt. Durch die hohe Druckspannung in den Spitzen des Oberflächenprofils wird das Werkstoffvolumen der Profilberge in die Tiefe des Werkstoffes verdrängt. Dadurch werden die Profiltäler von unten aufgefüllt. Im Bild 25 unten ist im linken Abschnitt die vorge-

Bild 26. Hydrostatisches Hart-Glattwalzwerkzeug „ballpoint“. Das Wirkungsprinzip ist im linken Bild dargestellt. Das rechte Bild zeigt die Anwendung der Werkzeugeinheit „ballpoint“ auf einer DrehMaschine. Die Einheit ist dabei in einer Revolverkopfposition mittels VDI-Schaft eingespannt. (ECOROLL AG, Werkzeugtechnik Celle) Ein automatisches Nachführsystem sorgt unter allen Betriebsbedingungen für einen optimalen Dichtspalt zwischen Kugel und Sitz. Die Walzkraft bleibt aufgrund der automatischen Nachführung konstant. Als Druckflüssigkeit kann Kühlschmierstoff verwendet werden. Durch Druckänderung zwischen 100 und 400 bar kann die Walzkraft den Erfordernissen der zu erzielenden Rautiefe angepasst werden.

5 Werkzeugmaschinen zur Herstellung von Verzahnungen

5 Werkzeugmaschinen zur Herstellung von Verzahnungen

O 83 gungsgenauigkeit und Belastbarkeit ist die Weichbearbeitung ohne zusätzliche Feinbearbeitung oft ausreichend.

Im Bild 1 ist eine Auswahl von Verzahnungsarten dargestellt. Es zeigt die Vielfalt der herzustellenden Formen und damit die Breite der Verfahren, Maschinen, Werkzeuge und Einrichtungen. Da Zahnradgetriebe in großem Umfang im Automobilbau, in der Energie- und Fördertechnik sowie im Schiffbau eingesetzt werden, ist auch die Anzahl der benötigten Fertigungseinrichtungen zur Verzahnungsherstellung erheblich groß. Die Zahnradpaarungen unterscheiden sich nach:  Lage der Achsen  parallel  gekreuzt  senkrecht aufeinander stehend (schneidend oder axial versetzt)  Übersetzungsverhältnisse (Zähnezahlen)  Zu übertragende Drehmomente (Modul, Zahnbreite)  Genauigkeit der Übertragung (Verzahnungsfehler, Umfangsgeschwindigkeit)  Laufruhe (Verzahnungsfehler, Umfangsgeschwindigkeit)

Bild 2. Möglichkeiten der Fertigung von Stirnrädern

Bild 1. Verzahnungsarten – Grundformen a) Stirnradpaar, geradverzahnt, b) Stirnradpaar, schräg verzahnt, c) Innenstirnradpaar, geradverzahnt, d) Zahnstange-Radpaar, e) Kegel-Radpaar, geradverzahnt, f ) Kegelradpaar, schrägverzahnt, g) StirnradSchraubenräderpaar, h) Schnecke- Schneckenrad, i) Kegel- Schraubräderpaar (nach Decker)

5.1 Grundlagen der spanenden Verzahnungsherstellung Am Beispiel der Fertigung von Stirnrädern sind die Möglichkeiten der Verfahren im Bild 2 beschrieben. Für geringere Anforderungen hinsichtlich Übertra-

Bei höheren Anforderungen ist meist eine Wärmebehandlung (Härten, Vergüten) erforderlich, so dass der daran anschließenden Hart- oder Hartfeinbearbeitung vor allem im Fahrzeug- und Maschinenbau eine erhebliche Bedeutung zukommt. Den Hauptanteil an der Weichbearbeitung nehmen die spanenden Verfahren mit geometrisch bestimmten Schneiden ein. Auch Walzen als umformendes Verfahren nimmt an Bedeutung zu. Den Hauptanteil an der Fein- und Feinstbearbeitung gehärteter oder vergüteter Verzahnungen nehmen spanende Verfahren mit geometrisch unbestimmter Schneiden ein. Bezüglich der Erzeugung der Verzahnungsgeometrie wird im Wesentlichen unterschieden zwischen:  wälzende Verfahren  Formverfahren 5.1.1 Wälzende Verfahren Bei den Wälzverfahren zur Herstellung einer Evolventenverzahnung erfolgt die Abwälzbewegung des Werkzeuges auf dem Wälzkreiszylinder des zu erzeugenden Zahnprofils (Bild 3). Translatorische und

O 84 rotatorische Wälzbewegung sind in der Maschine miteinander gekoppelt. Die meisten Wälzverfahren arbeiten kontinuierlich.

O Werkzeugmaschinen

5.2 Verzahnmaschinen mit geometrisch bestimmten Schneiden zur Bearbeitung von Zylinderrädern und Zylinderschnecken 5.2.1 Wälz- und Formfräsmaschinen Im Bild 4 ist der Arbeitsraum einer Wälzfräsmaschine dargestellt. Die Werkstücktischachse steht senkrecht. Die Fräserachse ist um den Winkel  geschwenkt. Die Beziehungen zwischen Werkstück und Werkzeug sind in Bild 5 dargestellt. Die Bearbeitung erfolgt kontinuierlich. Der Wälzfräser entspricht einer zylindrischen Evolventenschnecke mit Spannuten und hinterarbeiteten Schneidzähnen. Das Werkstück entspricht dem Schneckenrad und wird dementsprechend im vorgegebenen Verhältnis zur Fräserdrehung gedreht. Die Vorschubbewegung erfolgt beim Axialfräsen in Richtung der Zahnbreite b. Beim kontinuierlichem tangentialen Verschieben oder „Shiften“ des Fräsers entsteht das Diagonalfräsen.

Bild 3. Erzeugung der Zahnflanke als Evolvente beim Wälzverfahren Größter Vorteil: Das Werkzeug kann bei gleichem Modul für alle zu erzeugenden Werkstückzähnezahlen zur Anwendung kommen. Die Kopplung der beiden Bewegungen muss mit hoher Präzision erfolgen. Dies wird erreicht durch:  Getriebezug bei konventionellen Verzahnmaschinen  Elektronischer Wälzmodul bei CNC-gesteuerten Verzahnmaschinen 5.1.2 Formverfahren Unterschiedliche Zähnezahlen, unterschiedliche Moduln, unterschiedliche Profil-Verschiebungen beeinflussen die Form des Werkzeuges.

Bild 4. Arbeitsraum der Wälzfräsmaschine S 500 (Samputensili, Werk Chemnitz) Der Schwenkwinkel  ist die Summe aus Schrägungswinkel β0 einer zu erzeugenden Schrägverzahnung und dem Steigungswinkel 0 der Fräserschnecke.

Bild 5. Beziehungen WälzfräserWerkstück.

5 Werkzeugmaschinen zur Herstellung von Verzahnungen

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Es bedeuten: DF Außendurchmesser Fräser: zF Gangzahl 0 Steigungswinkel Werkstück: dW Außendurchmesser zW Zähnezahl b Werkstückbreite β0 Schrägungswinkel bei Schrägverzahnung mn Normalmodul Bearbeitung:  Schwenkwinkel der Fräserachse sA Axialvorschub hZ Zahntiefe Bild 6 zeigt den Getriebeaufbau einer konventionellen Wälzfräsmaschine. Die geforderten Abhängigkeiten der Drehbewegungen werden über Wechselradgetriebe erreicht.

Bild 7. Wälzmodul einer CNC-Wälzfräsmaschine (nach Gleason-Pfauter, Ludwigsburg) Bild 6. Getriebeplan einer konventionellen Wälzfräsmaschine Wesentliche Bestimmungsgrößen sind die Getriebekonstante CT und die Teilwechselräder für den Wälzgetriebezug. Das Übersetzungsverhältnis iT des Teilwechsels ist: z a ⋅c iT = C T ⋅ F = T T (1) z W bT ⋅ d T Dabei sind: aT, bT, cT, dT Zähnezahlen der Teilwechselräder zF Gangzahl des Wälzfräsers zW Zähnezahl des Werkstückes Die Getriebekonstante CD bestimmt im Wesentlichen den Differentialgetriebezug als Voraussetzung für das Wälzfräsen von Schrägzahnstirnrädern. Das Übersetzungsverhältnis iD des Differentialwechsels ist: iD = C D ⋅

Dabei sind: aD, bD, cD, dD mn 0

a ⋅c sin β 0 = D D m n ⋅ z F bD ⋅d D

(2)

Zähnezahlen der Differentialwechselräder Normalmodul [mm] Schrägungswinkel bei Schrägverzahnung [°]

Im Bild 7 ist der Aufbau einer CNC-Wälzfräsmaschine gezeigt. Die CNC-Technik ist heute die Basis der Verzahnmaschinen. Diese sind dadurch flexibler geworden und lassen sich unter Zuhilfenahme entsprechender Hilfseinrichtungen leichter auf andere Werkstücke umstellen. Die wesentlichen Bewegungen zur Erzeugung der Verzahnung werden durch 3 CNC-Achsantriebe erzeugt, die analog der im Kapitel 3.3, Bild 5, dargestellten Bahnsteuerung zueinander in funktioneller Abhängigkeit stehen. Es sind dies: B – Achse Werkzeugantrieb, Drehbewegung des Fräsers C – Achse Werkstückantrieb, Drehbewegung des Werkstücktisches Z – Achse Axialantrieb des Werkzeugschlittens Am Eingabeterminal der CNC-Steuerung werden die Werkstück-Zähnezahl z2, die Fräsergangzahl z0 und ein Vorschubfaktor udz, welcher aus Normalmodul und Schrägungswinkel des Werkstückes sowie einer Maschinenkonstante gebildet wird. eingegeben. Daraus wird der Sollwert für die C-Achse gebildet. Über die Differenzbildung mit dem Istwert von C, Regelung und Verstärkung erfolgt der Antrieb, wobei die Istwerte der Messsysteme der Achsen B und Z über die Rückführung den C-Sollwert beeinflussen. Bei

O 86 hoher Dynamik der Antriebe und entsprechender Präzision der Messsysteme und der mechanischen Komponenten kann eine hohe Genauigkeit der Verzahnung erreicht werden. Im Bild 8 ist die CNC-Achskonfiguration einer Wälzfräsmaschine dargestellt. Ein spielfreier stufenloser Fräskopfantrieb (B) über digitale CNC-Schnittstellen der 6-Achsen Bahnsteuerung Sinumerik 840 D, ein Werkstücktisch-Direktantrieb, beruhend auf dem Synchronprinzip als Torque-Motor (sh. Kapitel 4.3, Bild 19) sowie Linearschlitten mit AC-Servoantrieben sind wesentliche Merkmale einer modernen Maschinengestaltung.

O Werkzeugmaschinen Wälzfräsmaschine zur Fertigungszelle ergänzt. Auch in flexible Maschinensysteme lässt sie sich integrieren.

Bild 8. CNC-Achskonfiguration der Wälzfräsmaschine S 300 (Samputensili, Werk Chemnitz) Achsen: A Fräskopfschwenkung, C Werkstücktischdrehung, X Radialbewegung, Y Tangentialbewegung/Shifting, Z Axialbewegung, B Frässpindeldrehung Mit Shifting (Y) wird ein Vorgang bezeichnet, bei dem durch kontinuierliches oder in gewissen Zeitabständen erfolgtes Verschieben des Werkzeuges tangential zum Werkstück eine gleichmäßige Belastung aller Fräserzähne und damit gleichmäßiger Verschleiß erzielt wird. Bild 9 zeigt den konstruktiven Aufbau eines Standard-Motorfräskopfes für Wälzfräser mit Bohrung als Baueinheit. Ausgerüstet mit Werkstückspeicher, Bild 10 oben, und automatischem Werkstückwechsel beispielsweise über Doppelgreifer, Bild 10 unten, wird die CNC-

Bild 10. Einrichtungen zur automatischen Werkstückzuführung einschließlich Gleitkettenspeicher an der CNC-Wälzfräsmaschine GP 130 (GleasonPfauter, Maschinenfabrik, Ludwigsburg)

Bild 9. Standard-Motorfräskopf für Wälzfräser mit Bohrung. Im Bild links: Wälzfräser, im Bild rechts: Stufenlos stellbarer AC-Motor und Spanneinrichtung (Gleason-Pfauter Maschinenfabrik, Ludwigsburg)

5 Werkzeugmaschinen zur Herstellung von Verzahnungen Profil-oder Formfräsen: Mittels Profilfräser (Form einer Zahnlücke) können Verzahnungen auf Universalfräsmaschinen (mittels Teilkopf) oder Bearbeitungszentren, aber auch auf Wälzfräsmaschinen im Einzelteilverfahren hergestellt werden. Eine Zahnlücke wird längs gefräst, danach erfolgt die Teilung zur nächsten Lücke. Das erfordert eine hohe Teilgenauigkeit. Das Verfahren ist weniger produktiv, gewährt aber eine hohe Flexibilität bei kostengünstigem Werkzeug im Gegensatz zum teuren Wälzfräser. Außerdem kann der Zerspanprozess pro Lücke mit hoher Abtragleistung durchgeführt werden.

O 87 Radialvorschub stellt die Werkzeugspindel radial zum Werkstücktisch zu. Zur Erzeugung von Schrägverzahnungen ist an konventionellen Stoßmaschinen eine Schrägführungsbuchse erforderlich, durch welche die Schneidradspindel beim Hub eine zusätzliche Drallbewegung erfährt, die dem Schrägungswinkel der Schneidradverzahnung entspricht. Der Umrüstaufwand ist insgesamt relativ groß.

5.2.2 Wälzstoßmaschinen Wälzstoßen ist vergleichbar mit der Wirkungsweise eines Zahnradpaares bei der Übertragung der Drehbewegung. Im Bild 11 ist das Wirkprinzip dargestellt.

Bild 12. Aufbau einer konventionellen Wälzstoßmaschine (Maschinenfabrik Lorenz [Liebherr], Ettlingen)

Bild 11. Prinzip des Wälzstoßens Das Schneidrad besitzt hinterschliffene Zähne mit Evolventenform. Mittels eines Hubantriebs erfolgt die Stoßbewegung und der Rückhub. Dabei werden Doppelhubzahlen bis zu 2500 pro Minute erreicht. Beachtet werden muss, dass am Ende des Arbeitshubes ein Abheben des Werkzeuges notwendig ist, um eine Beschädigung des Schneidrades beim Rückhub zu vermeiden, Bild 11 unten. Werkzeug und Werkstück drehen sich dabei entsprechend des Übersetzungsverhältnisses. Der Radialvorschub stellt das Schneidrad radial zum Werkstück zu. Hauptvorteil des Wälzstoßens: Es ist nur ein geringer Werkzeugüberlauf erforderlich, so dass beispielsweise Getrieberadblöcke mit mehreren Verzahnungen problemlos bearbeitet werden können. Das Antriebsprinzip einer konventionellen Wälzstoßmaschine zeigt Bild 12. Über den Wälzantrieb werden Werkzeugspindel und Werkstücktisch angetrieben. Das erforderliche Drehzahlverhältnis wird über die Tischwechselräder erzeugt. Der Hubantrieb erzeugt über Kurbelgetriebe die Hubbewegung und die Drehbewegung der Abhebenockenscheibe. Der

Auch hier hat die Einführung der CNC-Technik zu grundlegenden Veränderungen hinsichtlich der Flexibilität und dem Einsatz in der Klein-und Mittelserienfertigung geführt. Den Aufbau einer vollflexiblen Wälzstoßmaschine modernster Bauart zeigt Bild 13. Alle Verzahnungs-, Werkzeug- und Technologiedaten einschließlich des zu stoßenden Schrägungswinkels bei Schrägverzahnungen werden nur noch numerisch über ein Dialogprogramm eingegeben. Das umständliche Wechseln von Schrägführungsbuchsen entfällt. Damit ist es auch möglich, mehrere Verzahnungen mit unterschiedlichen Schrägungswinkeln und Richtungen in einer Aufspannung herzustellen. Dazu dient auch die NC-positionierbare Werkzeugabhebung A2. Als CNC-Steuerung werden die Siemens 840 D (siehe 3.4.2., Bild 11) einschließlich der Simodrive Digitalantriebe eingesetzt. Die Stoßspindel ist hydrostatisch gelagert und besitzt einen spielfreien Direktantrieb. Im Bild 14 ist die Bearbeitung eines Werkstückes mit einem Tandemwerkzeug in einer Aufspannung dargestellt. Die Bearbeitung umfasst das Wälzstoßen einer Innen-Schrägverzahnung (unteres Schneidrad), einer Außen-Schrägverzahnung (mittleres Schneidrad) und einer Nut (oberes Schneidrad). Für die Werkzeugspannung ist eine Hohlschaftkegelaufnahme vorgesehen (siehe 2.6.1, Bild 91).

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Bild 13. Achskonfiguration der Baureihe CNC-Wälzstoßmaschinen mit „Elektronischer Schrägführung“ P 400 ES, P 600 ES, P 600 / 800 ES (Gleason-Pfauter, Maschinenfabrik GmbH, Ludwigsburg) nen Spindelantrieb rotierende Werkstück wird drehzahlsynchronisiert in das laufende Schabrad eingefädelt. Während des Prozesses wird das Werkstück mit einem Drehmoment beaufschlagt, wodurch eine Drehrichtungsumkehr nicht erforderlich ist, Bild 16. Die Schabemaschinen sind als CNC-Maschinen aufgebaut und meist noch mit integrierter Entgrateinheit ausgerüstet.

Bild 14. Wälzstoßen von drei verschiedenen Verzahnungen (schräge Innen- und Außenverzahnung sowie eine Nut) in einem Werkstück (Gleason-Pfauter, Maschinenfabrik GmbH, Ludwigsburg) 5.2.3 Schabmaschinen Das Prinzip zeigt Bild 15. Durch die schräge Achskreuzung ergibt sich bei der Drehbewegung des Radpaares eine zur Spanabnahme führende resultierende Gleitbewegung. Durch das leistungsfähige Power Shaving Verfahren von Gleason-Hurth wird die Zykluszeit der Bearbeitung halbiert. Das mit einem eige-

Bild 15. Prinzip des Zahnradschabens. Das Schabrad als Werkzeug besitzt in den Zahnflanken eingearbeitete Nuten als Schneidkanten. (Gleason-Hurth, GmbH, München)

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Bild 16. Vorteile des Power Shaving Verfahrens mit drehmomentgeregeltem Werkstück gegenüber dem Tauchschaben. (Gleason-Hurth GmbH, München)

5.3 Verzahnmaschinen mit geometrisch unbestimmten Schneiden zur Bearbeitung von Zylinderrädern und Zylinderschnecken 5.3.1 Wälzschleifmaschinen Das in Bild 17 gezeigte Verfahren wird heute auf der Basis von CNC-Wälzschleifmaschinen in der Klein-, Mittel-und Großserienfertigung eingesetzt. Das Prinzip beruht auf einer CNC-geregelten Wälzkopplung zwischen der Drehbewegung einer zylindrischen Schleifschnecke mit Zahnstangenprofil und der Drehbewegung des Werkstückes. Bezüglich der Flexibilität spielen die Abrichtverfahren und der Maschinenaufbau eine wesentliche Rolle. Dieser ist im Bild 18 dargestellt. Die Schleifspindel B1 trägt die zylindrische Schleifschnecke. Ein wesentliches Merkmal dieser Maschine ist der um die Achse C1 komplett um 180° in die Abrichtposition schwenkbare Werkzeugträger. Das Abrichtaggregat kann leicht den Anforderungen entsprechend eingerichtet werden.

Bild 17. Kontinuierliches Wälzschleifen mit zylindrischer Schleifschnecke (Reishauer AG, Wallisellen, Schweiz) Bild 19 zeigt die verschiedenen Abrichtmöglichkeiten, die je nach geforderter Flexibilität und Produktivität zur Anwendung kommen können. Die Kosten der Diamantrollen sind ein entscheidender Faktor bei der Auswahl.

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A1 Schleifkopf schwenken, B1 Schleifspindel, C1 Werkzeugträger drehen, C’ Werkstückspindel, P1 Schleiföldüsen-Nachstellung, W Reitstock verfahren, W1 Einzentriersonde Höheneinstellung, X X-Schlitten, Schleifschnecken-Zustellung, Y1 Shiftschlitten, Z1 Schleifschlitten

Bild 18. Aufbau und Achskonfiguration der Verzahnungswälzschleifmaschine RZ 400 (Reishauer AG, Wallisellen, Schweiz)

Bild 19. Abrichtverfahren mit Diamantrollen auf der Wälzschleifmaschine RZ 400 (Reishauer AG, Wallisellen, Schweiz)

5 Werkzeugmaschinen zur Herstellung von Verzahnungen

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5.3.2 Profilschleifmaschinen Diskontinuierliches Profilschleifen

Bild 20. Diskontinuierliches Profilschleifen eines Schrägzahnrades auf der Profilschleifmaschine Helix 400 (Höfler Maschinenbau GmbH, Ettlingen) Bild 20 zeigt das Bearbeitungsprinzip. Eine Schleifscheibe mit dem Profil einer Zahnlücke bearbeitet die Zahnflanken und den Zahngrund. Nach der Bearbeitung erfolgt die Weiterteilung zum nächsten Zahn. Unter den Bedingungen des Hochleistungsschleifens auch mit CBN-Schleifscheiben kann die Produktivität bei ausreichender Flexibilität auf CNC-Profilschleifmaschinen durchaus hoch sein, Bild 21.

Bild 21. Aufbauprinzip einer CNC-Profilschleifmaschine für die Bearbeitung großer Zahnräder (KappNILES Werkzeugmaschinen GmbH, Berlin) Kontinuierliches Profilschleifen Werkzeugbasis dieses Verfahrens ist eine globoide Schleifschnecke. Das Aufbauprinzip ist in Bild 22 dargestellt. Mit einer entsprechenden Einrichtung erfolgt ein automatisches Einzentrieren der Verzahnung des Werkstückes in das Profil der laufenden Schleifschnecke.

1 Eilgang vor, 2 Eintauchen, 3 Schruppen links, 4 Schlichten links, 5 Ausfunken links, 6 Rückstellen links, 7 Schruppen rechts, 8 Schlichten rechts, 9 Ausfunken rechts, 10 Rückstellen rechts, 11 Ausfahren, 12 Eilgang zurück

Bild 22. Arbeitsprinzip des kontinuierlichen Profilschleifens (Reishauer AG, Wallisellen, Schweiz)

Bild 23. Kontinuierliches Profilschleifen und Honen in einer Maschine RZF mit einer Werkstückspannung (Reishauer AG, Wallisellen, Schweiz) Danach werden zunächst die linken Zahnflanken mittels Drehvorschub ϕ des Werkstückes geschliffen. Danach erfolgt das Rückstellen links und anschließend das Schleifen der rechten Flanken. Das Profilieren der Schleifscheibe erfolgt ähnlich mittels eines werkstückspezifischen diamantbeschichteten Zahnrades als Profilierwerkzeug. Auf der CNC-Maschine RZF erfolgt nach dem Schleifen noch das Honen als

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Feinstbearbeitung der Verzahnung in einer Werkstückaufspannung, Bild 23. Das kontinuierliche Profilschleifen hat eine hohe Produktivität und wird für die Produktion großer Serien eingesetzt.

5.3.3 Honmaschinen Der Materialabtrag auf der Werkstückflanke erfolgt über einen innenverzahnten, abrasiven Honring, der im Honkopf eingespannt ist, Bild 24. Durch den Achskreuzungswinkel entsteht beim Kämmen mit dem Werkstück eine Schleifbewegung. Die Geometrie des Honrings wird regelmäßig mit diamantbelegten Abrichtrollen unter Verwendung eines elektronischen Getriebes erzeugt. Flankenkorrekturen können allein durch Maschinenbewegungen realisiert werden.

5.4 Verzahnmaschinen zur Kegelradherstellung 5.4.1 Wälzfräsmaschinen Teilverfahren Gerad- oder schrägverzahnte Kegelräder können auf Teilwälzfräsmaschinen hergestellt werden. Dabei verkörpern zwei ineinander greifende Scheibenfräser einen Zahn eines Planrades, das in das zu erzeugende Kegelrad eingreift. Jede Zahnlücke wird durch Wälzen fertiggefräst. Danach erfolgt die Weiterteilung zur nächsten Zahnlücke. Kontinuierliche Verfahren Spiralkegelrad-Wälzfräsmaschinen ermöglichen die kontinuierliche Bearbeitung von Kegelrädern. Am Beispiel des Zyklo-Palloid-Verfahrens (Klingelnberg) wird im Bild 25 die Arbeitsweise gezeigt. Voraussetzung ist der Einsatz eines mehrgängigen Stirnmesserkopfes als Werkzeug. Über die CNC-Steuerung wird der Zusammenhang zwischen Gangzahl (Anzahl der Messergruppen) des Fräsers, Werkstückzähnezahl, Messerkopf- und Werkstückbewegung hergestellt. Die Flankenform der Zähne entspricht einer verlängerten Epizykloide, Bild 25.

Maschinenaufbau und Achskonfiguration

Bild 25. Wälzfräsen von Spiralkegelrädern im ZykloPalloid-Verfahren (Klingelnberg GmbH, Hückeswagen)

Werkstück

Honkopf

Honring (Werkzeug)

Arbeitsraum

Bild 24. Zahnrad-Spheric-Leistungshonmaschine ZH 200 (Gleason-Hurth, München)

Eine zukunftweisende Entwicklung stellt die in Bild 26 gezeigte Maschine dar. Durch steifen Maschinenaufbau können hohe Schnittgeschwindigkeiten, beispielsweise bei der Trockenbearbeitung, zur Anwendung kommen. Die traditionelle Wälztrommel wurde durch CNCLinearachsen ersetzt, um beliebige mathematische Funktionen zu realisieren. Die C-Achse als Rotationsachse führt dabei die Grundwinkelbewegung durch. Digitale Antriebe und direkte Messsysteme sichern hohe Positioniergenauigkeiten. Die Maschine ist nur eine aus einem Spiralkegelrad-WälzfräsmaschinenBaukasten mit gleichen Komponenten.

5 Werkzeugmaschinen zur Herstellung von Verzahnungen

O 93 A-Achse: Messerkopfdrehachse, B-Achse: Werkstückdrehachse, C-Achse: Rotationsachse, X-, Y-, Z-Achse: Linearachsen

Bild 26. Aufbau der Spiralkegelrad-Verzahnmaschine Oerlikon C 42 (Klingelnberg AG, Zürich, Schweiz)

5.4.2 Wälzschleifmaschinen Am Beispiel des Spiralkegelrad-Wälzschleifens wird die Verfahrensweise gezeigt. Eine moderne Konzeption mit senkrechter Schleifspindel zum ungehinderten Abfluss der Späne zeigt Bild 27. Sämtliche Antriebseinheiten liegen oberhalb des Arbeitsraums. Das Profilieren der Schleifscheibe erfolgt CNC-bahngesteuert mittels Diamant-Abrichtrolle, welche sämtliche Profilmodifikationen erlaubt.

Bild 27. Arbeitsraum der Spiralkegelrad-Wälzschleifmaschine G 27 (Klingelnberg AG, Zürich, Schweiz)

P1

P Programmierung von Werkzeugmaschinen

P Programmierung von Werkzeugmaschinen Rainer Ahrberg, Jürgen Voss

In diesem Kapitel werden die allgemeinen Grundlagen der Programmierung von CNC-Werkzeugmaschinen beschrieben. Den grundsätzlichen Aufbau von numerischen Steuerungen behandelt Kapitel 3.3 ab Seite O 64. ■ Beispiel:

1 Geometrische Grundlagen für die Programmierung

P1 X = + 30 Y = + 30 Z = + 30

P2 X = – 30 Y = – 30 Z = – 30

1.1 Koordinatensystem

1.2 Lage der Achsrichtungen

Um die Zerspanbewegungen einer Werkzeugmaschine festlegen zu können, ist ein Koordinatensystem erforderlich. Verwendet wird das kartesische Koordinatensystem mit den drei Hauptachsen X, Y und Z. Neben der Lage der Koordinatensysteme sind auch die Achsrichtungen an Werkzeugmaschinen in DIN 66217 festgelegt. Sind außer den Verfahrmöglichkeiten auch Drehoder Schwenkbewegungen möglich (Drehtische, Schwenkeinrichtungen von Werkzeug- und Werkstückträger), werden diese zusätzlichen Drehbewegungen den entsprechenden Achsen mit der Angabe des Drehwinkels zugeordnet. Die Drehrichtungen sind im Koordinatensystem wie folgt angegeben:

Die Lage der Achsrichtungen an CNC-Werkzeugmaschinen ist durch DIN 66 217 festgelegt. Die ZAchse einer Werkzeugmaschine ist durch die Lage der Arbeitsspindel bestimmt. Der positive Bereich der Z-Achse zeigt vom aufgespannten Werkstück in Richtung der Arbeitsspindel. Entfernt sich das Werkzeug vom Werkstück, findet eine Maßvergrößerung statt. Die Z-Bewegung ist positiv, es vergrößert sich der Z-Koordinatenwert. Man spricht hier auch von einer Plusbewegung. Bewegt sich das Werkzeug auf das Werkstück zu, findet eine Z-Bewegung in den negativen Bereich statt. Es entsteht eine Maßverkleinerung. Der zu programmierende Z-Wert ist negativ. Man spricht hier auch von einer Minusbewegung. Die Achsbewegungen in der Z-Achse sind wegen der Gefahr der Kollision zwischen Spindel und Fräsmaschinentisch besonders sorgfältig zu beachten. Die X-Achse des Koordinatensystems liegt parallel zur Aufspannfläche des Werkstückes und ist in den meisten Fällen in horizontaler Richtung angeordnet. Aus der Festlegung der Z- und der X-Achse ergibt sich die Lage der Y-Achse. Für die Festlegung der Achsrichtungen bei Drehmaschinen ist zu unterscheiden, ob das Werkzeug vor der Drehmitte (Drehmaschinen mit Flachbett) oder hinter der Drehmitte (Drehmaschinen mit Schrägbett) liegt. Befindet sich das Werkzeug vor der Drehmitte, zeigt die (für das Drehen nicht benötigte) Hauptachse +Y nach unten. Befindet sich das Werkzeug hinter der Drehmitte, zeigt die Hauptachse +Y nach oben.

Drehwinkel A  Drehung um die X-Achse Drehwinkel B  Drehung um die Y-Achse Drehwinkel C  Drehung um die Z-Achse Ein positiver Drehsinn liegt vor, wenn in positiver Achsrichtung gesehen die Drehung im Uhrzeigersinn erfolgt. Negativer Drehsinn liegt vor, wenn in positiver Achsrichtung gesehen die Drehung im Gegenuhrzeigersinn erfolgt. Bild 1 zeigt das rechtwinklige Koordinatensystem mit dem Beispiel einer Punktdefinition im Raum. Bei der Programmierung von CNC-Werkzeugmaschinen geht der Programmierer immer von einem feststehend gedachten Werkstück aus und bezieht hierauf sein Koordinatensystem.

1.3 Bezugspunkte im Arbeitsbereich einer CNC-Werkzeugmaschine

Bild 1. Rechtwinkliges, rechtshändiges Koordinatensystem

Um den Beginn einer Zerspanbewegung festlegen zu können, sind im Arbeitsraum einer Werkzeugmaschine verschiedene Bezugspunkte notwendig. Der Ursprung des Koordinatensystems der Werkzeugmaschine ist der Maschinennullpunkt. Er wird vom Werkzeugmaschinenhersteller unveränderlich festgelegt. Der Maschinennullpunkt ist Bezugspunkt für alle weiteren Koordinatensysteme im Arbeitsfeld der

P2 Maschine. Er kann nicht immer auf allen Achsen angefahren werden. Um einen Ausgangspunkt für eine Bearbeitung zu erhalten, ist es notwendig, einen zweiten Punkt den Referenzpunkt, festzulegen. Der Referenzpunkt wird als Referenzmarke auf den Wegmesssystemen angegeben und liegt häufig an der äußeren Grenze des Arbeitsraumes einer Werkzeugmaschine. Der Referenzpunkt befindet sich stets in gleichem Abstand zum Maschinennullpunkt. Er dient gleichzeitig zur Eichung der auf den drei Achsen liegenden Wegmesssysteme. Diese Eichung wird auch ,,Nullung“ der Wegmesssysteme genannt. Eine nachträgliche Änderung des Abstandes zwischen Maschinennullpunkt und Referenzpunkt ist nur durch Einbau neuer Glasmaßstäbe möglich. Das Werkstück wird für die Fräsbearbeitung auf dem Maschinentisch frei aufgespannt. Der Nullpunkt des Werkstückes wird vom Programmierer frei gewählt. Er stellt den Ursprung des Werkstückkoordinatensystems dar. Der Werkstücknullpunkt wird an einen Eckpunkt des Werkstückes gelegt. Vom Werkstücknullpunkt aus werden in der Fertigungszeichnung alle Maße der Werkstückgeometrie angegeben. Bei Drehmaschinen liegt der Werkstücknullpunkt auf der Rotationsachse des Maschinensystems an der Maßbezugskante des Werkstückes. Bei der Bearbeitung eines Werkstückes werden oft mehrere Werkzeuge eingesetzt. Da ausreichend Platz zum Werkzeugwechsel vorhanden sein muss, wird ein Werkzeugwechselpunkt WWP außerhalb des Werkstückes gewählt. Der Beginn eines CNC-Programms wird mit dem Programmnullpunkt P0 festgelegt. Am Programmnullpunkt befindet sich das Werkzeug vor Beginn der Bearbeitung. Bild 2 zeigt Bezugspunkte an einer CNC-Fräsmaschine. Bei vielen CNC-Steuerungen sind für das Anfahren an eine Kontur Anfahrbedingungen zu beachten. Diese Anfahrbedingungen (Anfahren an die Kontur im Halbkreis) gewährleisten die korrekte Herstellung

P Programmierung von Werkzeugmaschinen der programmierten Kontur. Für das Anfahren an eine Kontur wird ein Hilfspunkt HP gewählt. Bei der Fertigung mit CNC-Drehmaschinen sind zusätzlich ein Spannmittelnullpunkt F und ein Werkzeugbezugspunkt Wz erforderlich. Durch den Spannmittelnullpunkt wird die Lage des Spannmittels (Spannfutter) zum Werkstücknullpunkt festgelegt. Durch den Werkzeugbezugspunkt wird die Lage der Schneidenecke des Drehmeißels bezogen auf den Werkzeugträger festgelegt. Die Bezugspunkte im Arbeitsbereich einer CNCWerkzeugmaschine sind in Tabelle 1 dargestellt.

1.4 Bezugspunktverschiebung Verschiedene Bezugspunkte im Arbeitsbereich einer Werkzeugmaschine ermöglichen dem Programmierer, unabhängig von der Lage des Werkstückrohlings auf dem Maschinentisch, das CNC-Programm zu erstellen. Der Maschinenbediener erhält das Teileprogramm und beginnt die Maschine einzurichten. Die Steuerung der Werkzeugmaschine kennt den Standort der Achsschlitten nach dem Einschalten nicht. Der Maschinenullpunkt muss erst vom Bediener im Einrichtbetrieb gesucht werden. Hierzu wird die Werkzeugmaschine solange in X-, Y- und Z-Achse verfahren, bis die Referenzmarken der Wegmesssysteme überfahren werden. Die damit gefundenen Abstände vom Referenzpunkt zum Maschinennullpunkt werden in einem Speicher abgelegt und die Bildschirmanzeige wird auf null gesetzt. Nach der ,,Nullung“ der Wegmesssysteme bestimmt der Maschinenbediener die Lage des eingespannten Werkstückrohlings durch eine Nullpunktverschiebung. Dazu wird der Abstand des Werkstücknullpunkts zum Maschinennullpunkt in allen Achsen mithilfe eines Kantentasters oder Einrichtmikroskops ermittelt und in einem Speicher abgelegt (Wegbefehle G54-G59).

Bild 2. Bezugspunkte an einer CNC-Fräsmaschine

1 Geometrische Grundlagen für die Programmierung

P3 Tabelle 1. Bezugspunkte im Arbeitsbereich einer CNCWerkzeugmaschine Die festgelegten Bezugspunkte sind für die Programmierung, die Werkstückbemaßung, die Werkstückaufspannung, den Werkzeugwechsel, das Eichen der Wegmesssysteme und den Fertigungsablauf unerlässlich.

Bild 3. Bezugspunktverschiebung Zusammenhang zwischen Maschinennullpunkt M Referenzpunkt R und Werkstücknullpunkt W Wenn mehrere gleiche Werkstücke in einer Aufspannung hergestellt werden sollen, kann der Programmierumfang durch weitere Bezugspunkt-(Nullpunkt-) verschiebungen verringert werden. Das Programm für eine Werkstückbearbeitung wird nur einmal erstellt und über die Nullpunktverschiebung auf den jeweiligen Werkstücknullpunkt verschoben.

Der Maschinennullpunkt liegt in der X/Y-Ebene immer so, dass bei einer Verschiebung stets positive Koordinaten angegeben werden können. Das Prinzip der Bezugspunktverschiebung ist in Bild 3 dargestellt. Bild 4 zeigt eine Bezugspunktverschiebung am Beispiel eines Bohrbildes.

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P Programmierung von Werkzeugmaschinen

Bild 6. Absolutbemaßung in steigender Bemaßung

Bild 4. Nullpunktverschiebung am Beispiel eines Bohrbildes Arbeitsraum eines Fräsmaschinentisches W = Werkstücknullpunkt

1.5 Zeichnerische Grundlagen für die Programmierung Für die Bemaßung von Werkstückzeichnungen unter Verwendung eines kartesischen oder polaren Koordinatensystems sind in DIN 406 unterschiedliche Maßsysteme vorgesehen.

1.5.2 Inkrementalbemaßung (Relativbemaßung) Bei der Inkrementalbemaßung, auch Kettenbemaßung genannt, wird der erste Bearbeitungspunkt vom Werkstücknullpunkt aus angegeben. Für alle weiteren Bearbeitungspunkte ist der vorangegangene definierte Punkt Nullpunkt für die folgende Maßeintragung. Das bedeutet, dass bei der Inkrementalbemaßung (Inkrementalmaßprogrammierung) das Koordinatensystem des Werkstücknullpunktes gedanklich in die folgenden Bearbeitungspunkte verschoben wird und somit für folgende Maße ein neuer Nullpunkt maßgebend ist.

1.5.1 Absolutbemaßung Bei der Absolutbemaßung wird zwischen einer Bemaßung mit einem Pfeil und der steigenden Bemaßung unterschieden. Bemaßt wird immer ausgehend von Bezugskanten. Bei der steigenden Bemaßung werden alle Maße steigend auf einer Maßlinie mit entsprechendem Begrenzungspfeil angetragen. Die Absolutbemaßung ist in Bild 5 und 6 dargestellt. Damit der Steuerung einer Werkzeugmaschine bekannt wird, in welchem System die Übertragung der geometrischen Informationen stattfindet, wird für die Absolutbemaßung (Absolutprogrammierung) der Wegbefehl G90 eingegeben.

Bild 7. Inkrementalbemaßung. Zuwachsbemaßung mit Maßkette

Bild 5. Absolutbemaßung mit einem Pfeil

Bild 8. Unterschied zwischen Absolutmaß- und Inkrementalmaßprogrammierung

1 Geometrische Grundlagen für die Programmierung

P5

Absolutmaßprogrammierung: Die x- und y-Koordinaten sind immer auf den Werkstücknullpunkt W bezogen

Der Polarwinkel wird von der positiven X-Achse ausgehend angegeben und verläuft im Gegenuhrzeigersinn durch die Quadranten des Koordinatensystems. Bild 9 zeigt die Bemaßung durch Polarkoordinaten.

Pabs. G 90

X 50

Y 20

Inkrementalmaßprogrammierung: Die x- und y-Koordinaten beziehen sich immer auf den zuletzt angefahrenen Punkt P Pinkr. G 91

X 30

1.5.4 Bemaßung mit Hilfe von Tabellen

Y 40

Der Steuerung ist diese Bemaßungsart mit dem Wegbefehl G91 mitzuteilen. Der Wegbefehl ist so lange wirksam, bis er durch G90 abgelöst wird. Bild 7 zeigt das Prinzip der Inkrementalbemaßung. Bild 8 zeigt den Unterschied zwischen einer Absolutund Inkrementalbemaßung.

Bei umfangreichen Werkstückgeometrien wird die erforderliche Bemaßung aus der Fertigungszeichnung herausgezogen.

1.5.3 Bemaßung durch Polarkoordinaten Polarkoordinatenbemaßung wird hauptsächlich bei der Beschreibung symmetrischer Elemente oder bei der Programmierung umfangreicher Bohrbilder verwendet.

Bild 10. Bemaßung mit Hilfe von Tabellen

Bemaßungstabelle

Bild 9. Bemaßung durch Polarkoordinaten

Leitstrahl R in mm

Polarwinkel  in Grad

R1 ... R2 ... R3 ... R4 ... R5 ... R6 ...

1 ... 2 ... 3 ... 4 ... 5 ... 6 ...

Bei Polarkoordinatenbemaßung werden die Bearbeitungspunkte durch einen Leitstrahl R und einen Polarwinkel angegeben.

KoordinatenKoordinatentabelle Nullpunkt Nr. A B R   1 1 0 0 1 1.1 15 15 10 H7 1 1.2 36 55 8 H7 1 1.3 65 55 8 H7 2 2 70 25 20 2 2.1 20 0 4 2 2.2 20 45 4 2 2.3 20 90 4 2 2.4 20 135 4 2 2.5 20 180 4 2 2.6 20 225 4 2 2.7 20 270 4 2 2.8 20 315 4 1: Kartesische 2: Polarkoordinaten Koordinaten

Die Maßeintragung erfolgt in einer Bemaßungstabelle, in der alle erforderlichen Koordinaten angegeben sind. Bei der Bemaßung in Tabellen werden auch unterschiedliche Bemaßungssysteme und verschieden positionierte Koordinatensysteme verwendet. In Bild 10 ist die Möglichkeit der Bemaßung mit kartesischen und polaren Koordinaten dargestellt.

P6

P Programmierung von Werkzeugmaschinen

2 Informationsfluss bei der Fertigung 2.1 Informationsverarbeitung und Informationsträger Bei der Fertigung mit CNC-Werkzeugmaschinen muss der Programmierer alle Informationen zur Herstellung des Werkstückes in einem Programmblatt festhalten. Programmierung bedeutet das Erstellen und die Eingabe eines Teileprogramms in eine Steuerung nach bestimmten Regeln. Für die Programmierung sind die Informationsquellen und damit auch die Informationsträger von Bedeutung. In einem CNC-Programm werden nicht nur geometrische und technologische Daten, sondern auch Zusatzdaten wie Werkzeugkenngrößen, Korrekturwerte, Maschineneinrichtdaten und Werkzeugbefehle festgehalten. Hierzu ist die Programmieranleitung des jeweiligen Steuerungsherstellers zu beachten, da die Programmiernorm DIN 66025 einen Spielraum für

steuerungsabhängige Programmiertechniken zulässt. Bei der manuellen Programmierung werden alle Informationen in Buchstaben, Zahlen und Sonderzeichen ausgedrückt und in derart verschlüsselter Form in die Steuerung der Werkzeugmaschine eingegeben. Eine Möglichkeit, der Steuerung ein Fertigungsprogramm zu übermitteln, ist die Handeingabe über eine Dateneingabeeinheit. Diese Möglichkeit wird als Werkstattprogrammierung bezeichnet. In der Steuerung findet eine Informationsverarbeitung statt, die die Schaltinformationen an Schaltelemente und Weginformationen an die Stellglieder weiterleitet. Ein Soll-Istwert-Vergleicher überwacht, ob die eingelesenen Wegbedingungen von der Werkzeugmaschine exakt ausgeführt werden und eine entsprechende Lageregelung durchgeführt wird. Bild 1 stellt den Informationsfluss bei der Fertigung mit CNCWerkzeugmaschinen dar. Als Informationsträger zur Datenübertragung können Lochstreifen, Magnetbänder oder Disketten verwendet werden. In der Werkstatt wird vorzugsweise ein Einmallochstreifen aus Papier eingesetzt.

Nummerische Steuerung

Bild 1. Informationsfluss bei der Fertigung mit CNC-Werkzeugmaschinen

3 Steuerungsarten und Interpolationsmöglichkeiten

2.2 Informationsquellen Als Informationsquellen werden die technische Zeichnung, der Bearbeitungsplan, die technologischen Daten (Bedienungsanleitung der Werkzeugmaschine), der Werkzeugplan und die Spannmittelkartei bezeichnet. Die technische Zeichnung beschreibt die Geometrie des Werkstückes. Ihr können außerdem Werkstoffangaben und die geforderte Oberflächenqualität sowie alle Toleranzangaben entnommen werden. Der Bearbeitungsplan beschreibt die nach technologischen und betriebswirtschaftlichen Gesichtspunkten sinnvolle Bearbeitungsreihenfolge unter Beachtung der Herstellungsfaktoren Werkzeugmaschine, Werkzeug und Werkstoff. Die einzusetzenden Werkzeuge werden in einem Werkzeugplan genau beschrieben, um Standzeitbedingungen und somit die Fertigungsqualität festzulegen. Er enthält außerdem Informationen über die Reihenfolge der einzusetzenden Werkzeuge, über die voreingestellten Maße zum Werkzeugträger sowie erforderliche Zerspandaten. Aus der Geometrie des Werkstückes und den geplanten Werkzeugverfahrwegen können sich Kollisionsmöglichkeiten zwischen Werkstück(en), Werkzeug und Spannmittel ergeben. Verhindert wird dies durch einen Spannplan, mit dessen Hilfe der Programmierer optimale Verfahrwege festlegen kann. Die technologischen Daten wie Geschwindigkeiten, Vorschübe, Drehzahlen und andere Spannungsgrößen können Tabellen entnommen werden.

3 Steuerungsarten und Interpolationsmöglichkeiten In der zerspanenden Fertigung lassen sich die meisten Bearbeitungsprobleme aus den drei Geometrieelementen Punkt, Gerade und Kreis darstellen. Tabelle 1. Einteilung der Steuerungsarten

P7 allein nacheinander erfolgen oder in allen Achsen gleichzeitig. Wird bei der Bearbeitung ein Positionieren im Eilgang notwendig und besitzt die Werkzeugmaschine eine Bahnsteuerung, so wird das Werkzeug bei einigen Steuerungen unter einem Winkel von 45° bis zum Auftreffen auf eine Achse verfahren, um dann achsparallel den definierten Punkt zu erreichen. Eine Bearbeitung findet erst am definierten Punkt statt. Das Punktsteuerungsverhalten wird hauptsächlich beim Bohren und seinen Folgeverfahren, beim Punktschweißen und Stanzen angewandt. Bild 1 zeigt das Punktsteuerungsverhalten am Beispiel eines Bohrbildes.

1. Anfahren an P1 im Eilgang 2. Bohren von P1 und Auftauchen aus der Kontur 3. Anfahren an P2 im Eilgang 4. Bearbeiten P2 und Auftauchen aus der Kontur 5. Anfahren an P3 im Eilgang 6. Bearbeiten an P3 und Auftauchen aus der Kontur 7. Anfahren des WWP im Eilgang

(P1 – P2) (P2 – P3) (P3 – WWP)

Bild 1. Punktsteuerungsverhalten beim Bohren

3.2 Streckensteuerung Bei der Streckensteuerung befindet sich das eingesetzte Werkzeug beim Verfahren ständig im Eingriff. Es lassen sich nur achsparallele Konturen erzeugen. Bei der Bearbeitung in einer Achsrichtung befinden sich die anderen Achsen in Ruhestellung.

Die notwendigen Steuerungsvorgänge werden über das Teileprogramm durch die Werkzeugmaschinensteuerung den Antriebselementen übermittelt. Dazu bedient man sich bestimmter Steuerungsgrundelemente, die in Tabelle 1 dargestellt sind.

3.1 Punktsteuerungsverhalten Beim Punktsteuerungsverhalten wird das Werkzeug im Eilgang vom Startpunkt an den entsprechenden Zielpunkt gefahren, ohne dabei im Eingriff zu sein. Die Weginformation für das Verfahren im Eilgang außerhalb der Werkstückgeometrie wird im Teileprogramm mit G00 angegeben. Das Bewegen an den Zielpunkt kann je nach Steuerung in jeder Achse

(WWP – P1)

Bild 2. Streckensteuerung beim Drehen

4 Manuelles Programmieren

4 Manuelles Programmieren

P 15 ■ Beispiel: N24 G00 X130 Z90 M02 LF oder N24 G00 X130 Z90 M30 LF

4.1 Kurzbeschreibung Bei der manuellen Programmierung werden von einem Teileprogrammierer auf einem Programmierblatt von Hand (manuell) alle für die Maschinensteuerung erforderlichen Anweisungen (Steuerungsbefehle) niedergeschrieben. Die Anweisungen werden in Einzelschritte untergliedert um den fertigungsgerechten Ablauf der Werkstückherstellung sicherzustellen. Die Anweisungen bestehen aus geometrischen und technologischen Daten (Werkstückmaße. Schnittgeschwindigkeit, Vorschub usw.). Das so erarbeitete CNC-Steuerungsprogramm wird auch Teileprogramm genannt.

4.3 Gliederung eines CNC-Programms Das CNC-Steuerungsprogramm besteht aus einer Folge von Sätzen (Programmsätze, Programmzeilen oder Blöcke), die in fertigungstechnisch richtiger Reihenfolge die erforderlichen Bearbeitungsangaben für die Steuerung enthalten. Die Sätze bestehen wiederum aus Wörtern. Ein Wort setzt sich aus Adresse und Adresswert zusammen. Bild 1 zeigt den Zusammenhang von Programm-, Satz- und Wortaufbau.

4.2 Aufbau eines CNC-Programms Der Programmaufbau numerisch gesteuerter Werkzeugmaschinen ist genormt in DIN 66025, Teil Die Hauptbestandteile eines CNC-Steuerungsprogramms sind; – der Programmanfang mit einer Programmnummer oder einem Programmnamen – eine Folge von Sätzen mit den Fertigungsanweisungen und – das Programmende 4.2.1 Programmanfang Der Programmanfang ist durch das Prozentzeichen (%) zu kennzeichen. Hinter das Programmanfangzeichen kann eine Programmnummer oder ein Programmname geschrieben werden. Programmnummer oder Programmname werden aus alphanumerischen Zeichen (A, B, C,...0, 1, 2,...) zusammengesetzt. ■ Beispiel: %49O3O6 oder %PROGFRAES003

4.2.2 Programmende Das Programmende wird der Steuerung anhand von Hilfsfunktionen mitgeteilt. Die beiden Hilfsfunktionen für „Programmende“ sind die Anweisungen M02 oder M30. Die Programmende-Anweisung muss im letzten Satz als letzte Anweisung stehen. 4.2.2.1 Unterschied M02-M30 Programmende-Anweisung M02 bedeutet, dass die Maschine und die Zusatzfunktionen (Spindeldrehung, Kühlschmierung usw.) abgeschaltet werden. Die Maschine wird abschließend in ihren Ausgangzustand, der vor Bearbeitungsbeginn bestand, zurückgesetzt, Programmende-Anweisung M30 hat dieselbe Wirkung wie M02. Zusätzlich wird das gesamte Programm an den Programmanfang zurückgesetzt.

Bild 1. Zusammenhang Programm – Satz – Wort 4.3.1 Satz (Programmsatz) Programmsätze beginnen mit dem Adressbuchstaben N und einer zugeordneten Zahl, der Satznummer. ■ Beispiel: N12 G03 X40 Z-I0 10 K-10 LF

4.3.2 Ausblendsatz Je nach Bearbeitungsaufgabe kann es sinnvoll sein, speziell gekennzeichnete Sätze im Programm vorzusehen. Es handelt sich hierbei um Ausblendsätze. Die Steuerung erkennt einen Ausblendsatz durch einen dem Adressbuchstaben N vorangestellten Schrägstrich (/). ■ Beispiel: /N60 G00 X350 Z450 M00 LF

Ein Programm darf mehrere Ausblendsätze enthalten. Das Ausblenden (gleichbedeutend mit Überlesen) eines Satzes geschieht nur dann, wenn vor dem Programmstart die Bedienfeldtaste ,,Satz überlesen“ an der Steuerungskonsole aktiviert wird. Ausblendsätze werden dann programmiert, wenn bestimmte Fertigungsschritte einmalig oder nicht bei jedem Werkstück vorgesehen sind. 4.3.3 Programmkommentare Zur Dokumentation eines CNC-Steuerungsprogramms kann es sinnvoll sein, einzelne Programm-

P 16 schritte mit Klartext-Erläuterungen zu versehen. Diese Erläuterungen müssen in Klammern gesetzt am Ende des zu kommentierenden Satzes noch vor dem Satzendezeichen eingefügt werden. ■ Beispiel: N60 M00 (Programmstop zum Nachmessen) LF

4.4 Satzaufbau Ein Satz (Programmzeile oder Block) besteht aus einer Folge von Anweisungen, den Wörtern, die wiederum die Teilinformationen für die CNC-Steuerung enthalten. Diese Teilinformationen enthalten: – programmtechnische : Satzanfang oder -ende Informationen – Fahranweisungen : lineare oder kreisförmige Verfahrwege – geometrische Informa- : Koordinaten, Winkel tionen – Hilfsparameter : Kreismittelpunktkoordinaten, ... – Korrekturen : Nullpunkte, Werkzeugabmessungen – Schaltinformationen : Vorschub, Drehzahl – Zusatzfunktionen : Kühlschmierstoff EIN/AUS, Spindeldrehsinn Korrekturen, Schaltinformationen sowie Zusatzfunktionen werden auch technologische Informationen genannt. Die Anzahl der Teilinformationen ist von Satz zu Satz unterschiedlich, die Satzlänge somit variabel. Wie beim Programm besteht ein einzelner Satz ebenfalls aus Satzanfang- und Satzendezeichen. 4.4.1 Satzanfang Der Satzanfang wird durch den Buchstaben N und die Satznummer definiert. ■ Beispiel: N10 ... LF

4.4.2 Satzende Das Satzende wird durch das Satzendezeichen LF (= line feed) definiert. ■ Beispiel: N10 G54 X120 LF

P Programmierung von Werkzeugmaschinen ■ Beispiel:

Die Adresse legt fest, welche Funktion der Steuerung aufgerufen wird, der Adresswert gibt den von der Steuerung zu verarbeitenden Zahlenwert vor. Bei den Adresswerten ist nochmals zu unterscheiden in direkt oder verschlüsselt zu programmierende Zahlen. 4.4.3.1 Schlüsselzahlen Schlüsselzahlen können nochmals unterschieden werden in frei verschlüsselte Zahlen sowie mathematisch definierte Schlüsselzahlen. Den frei verschlüsselten Zahlen sind willkürlich bestimmte Funktionen zugeordnet worden. ■ Beispiel: M03 bedeutet Spindeldrehung im Uhrzeigersinn

Die mathematisch definierten Schlüsselzahlen werden nur im Zusammenhang mit gestuften Drehzahlen und Vorschüben benutzt. Dabei wird jeweils einer Schlüsselzahl (erste Schlüsselzahl: 00, letzte Schlüsselzahl: 99) ein bestimmter Zahlenwert der Normzahlreihe R20 zugeordnet (siehe Kapitel Maschinenelemente, Normzahlen). ■ Beispiel: S70 bedeutet, dass der zugeordnete Zahlenwert zur Schlüsselzahl 70 n = 315 1/min ist. Schlüsselzahlen werden bei modernen CNCSteuerungen kaum noch verwendet.

4.4.3.2 Direkt programmierte Zahlen Koordinaten, Winkel, Drehzahlen und Vorschübe sind direkt zu programmierende Zahlenwerte. Je nach Steuerungsfabrikat werden dezimale Zahlenwerte entweder mit Dezimalpunkt oder als Festkommazahl eingegeben. Bei den Koordinaten- und Winkelwerten ist die Verfahr- oder Drehrichtung eventuell durch ein positives oder negatives Vorzeichen anzugeben. Dies kann auch für die Spindeldrehzahl zutreffen, wobei ein positives Vorzeichen Rechtsdrehung, ein negatives Vorzeichen Linksdrehung festlegt. Dezimalpunkteingabe Bei der Dezimalpunkteingabe können in der Regel nachlaufende und führende Nullen weggelassen werden.

4.4.3 Wortaufbau Die kleinste Informationseinheit in einem CNCProgramm ist das Wort. Ein Wort besteht immer aus einer Adresse (Adressbuchstabe) und dem Adresswert (Zahlenwert).

■ Beispiele: X300 Y.751 Z24.9

4 Manuelles Programmieren Festkomma-Eingabe Bei der Festkomma-Eingabe hängt die Zahl der einzugebenden Stellen von der Eingabefeinheit der Steuerung sowie von der maximal zulässigen Stellenzahl ab. ■ Beispiel: Eingabefeinheit 1/1000 mm (= 1 Pm = 1 Mikrometer), maximale Dezimalstellenzahl sechs 0.001 mm = 1 Pm 100 mm = 100000 845.132 mm = 845132

Vorzeichen bei Koordinaten und Winkeln Bei positiven Koordinaten oder Winkeln kann ein positives Vorzeichen zwischen Adresse und Adresswert geschrieben werden (Angabe optional). Bei negativen Koordinaten oder Winkeln muss ein negatives Vorzeichen zwischen Adresse und Adresswert geschrieben werden. Ein positives Vorzeichen bei Winkeln bedeutet eine Winkeldrehung gegen den Uhrzeigersinn, ein negatives Vorzeichen eine Winkeldrehung im Uhrzeigersinn. ■ Beispiele: Koordinaten X42.75 oder X+42.75 Z-103.8 Winkel A45 oderA+45 B-60

4.4.4 Satzformat Unter dem Begriff Satzformat ist die in DIN 66025 festgelegte Vereinbarung zu verstehen die Adressen (Adressbuchstaben) immer in einer feststehenden Reihenfolge im Satz anzuordnen. Die Reihenfolge ist dabei wie folgt festgelegt: N G X, Y, Z U,V,W R A, B, C I, J, K F S T, D M

– Satznummer (N = number) – Wegbedingung (G = go)  –

– – – – – –

Koordinaten Winkel Interpolationsparameter Vorschub (F = feed rate) Spindeldrehzahl (S = spindle speed) Werkzeugnummer und -korrekturen (T = tool, D = diameter) Zusatzfunktion (M = miscellaneous functions)

Nicht aufgeführten Buchstaben werden steuerungsspezifisch von den Herstellern unterschiedliche Funktionen zugeordnet. Hierauf wird in den Programmierbeispielen eingegangen.

P 17 Tabelle 1. Bedeutung der Adressen nach DIN 66025 Drehbewegung um die X-Achse Drehbewegung um die Y-Achse Drehbewegung um die Z-Achse Werkzeugkorrekturspeicher (*) zweiter Vorschub (*) Vorschub Wegbedingung (*) Interpolationsparameter oder Gewindesteigung parallel zur X-Achse J Interpolationsparameter oder Gewindesteigung parallel zur Y-Achse Interpolationsparameter oder Gewindesteigung K parallel zur Z-Achse L (*) M Zusatzfunktion N Satznummer (*) O dritte Bewegung parallel zur X-Achse (*) P Q dritte Bewegung parallel zur Y-Achse (*) dritte Bewegung parallel zur Z-Achse oder R Bewegung im Eilgang in Richtung der ZAchse (*) Spindeldrehzahl S T Werkzeugspeicher zweite Bewegung parallel zur X-Achse (*) U zweite Bewegung parallel zur Y-Achse (*) V W zweite Bewegung parallel zur Z-Achse (*) X Bewegung in Richtung der X-Achse Y Bewegung in Richtung der Y-Achse Z Bewegung in Richtung der Z-Achse Mit Sternchen (*) versehene Adressen sind frei belegbar oder können mit einer anderen als der vorgesehenen Funktion belegt werden. A B C D E F G H I

Bei einigen Steuerungsfabrikaten besteht die Möglichkeit, Adressen mehrfach in einem Satz zu verwenden. Dies trifft vornehmlich auf Wegbedingungen, Zusatzfunktionen oder Werkzeugspeicher zu. Aus Gründen der Übersichtlichkeit bei der Programmierung sollte darauf verzichtet werden. Die meisten Wegbedingungen (Adresse G) und Zusatzfunktionen (Adresse M) bleiben – einmal programmiert – so lange wirksam, wie sie nicht geändert werden. Diese Eigenschaft wird modal (selbsthaltend) genannt. Einige wenige Wegbedingungen und Zusatzfunktionen sind jedoch nur in dem Satz wirksam, in welchem sie programmiert sind. Diese Eigenschaft wird ,,satzweise wirksam“ genannt. 4.4.4.1 Satznummer N Die Satznummer wird mit der Adresse N programmiert. Der Zweck ist die übersichtliche Gestaltung eines CNC-Programms (Bild 1). ■ Beispiel:

P 18

P Programmierung von Werkzeugmaschinen

Bei der Satznummerierung ist Folgendes zu beachten: CNC-Steuerungen besitzen für das Editieren (Verändern) eines im Programmspeicher stehenden CNCProgramms einen Einfügemodus. Das Programm kann in diesem Fall beginnend mit der Satznummer N1 fortlaufend in 1er-Schritten nummeriert werden. Wenn nachträglich ein Satz mit der Nummer N4 in das Programm eingefügt werden soll, wird der im Programmspeicher stehende Satz N4 automatisch zum Satz N5, und die nachfolgenden Sätze werden ebenfalls um eins hochnummeriert. Ist die zuvor beschriebene Funktion der automatischen Zeilennummerierung nicht gegeben, so sollte die Zeilennummerierung in 10er-Sprüngen vorgenommen werden. Zwischen jeweils zwei im Speicher vorhandene Sätze können dann je nach Erfordernis bis zu neun weitere Sätze zusätzlich eingefügt werden. Bei einigen Steuerungen ist die Satznummer ohne Einfluss auf die Abarbeitungsfolge der Programmsätze. Das Einfügen oder Löschen von Programmsätzen erfolgt bei diesen Steuerungen über den Editor. 4.4.4.2 Wegbedingung G Die Wegbedingung wird mit der Adresse G programmiert. Bei den Adresswerten handelt es sich um zweistellige, freiverschlüsselte Zahlen, denen Funktionen zugeordnet sind (Tabelle 2). Die Wörter für die Wegbedingungen legen zusammen mit den Wegbefehlen, also den Koordinaten- oder Winkelwerten, im wesentlichen die geometrischen Informationen im Steuerungsprogramm fest. Die Wegbedingungen G umfassen verschiedene Funktionsarten. Im einzelnen werden damit folgende Funktionsgruppen festgelegt: – Interpolationsarten

:

– Ebenenauswahlen – Werkzeugkorrekturen – Nullpunkt-Verschiebungen – Arbeitszyklen – Vermassungsangaben – Vorschubvereinbarungen – SpindeldrehzahlVereinbarungen – Maßeinheiten

: : : : : : :

GOO-G03, G06, G33-G35 G17-G19 G40-G44 G53-G59 G80-G89 G90, G91 G93-G95 G96, G97

:

G70, G71

Zusätzlich gibt es Wegbedingungen, deren Belegung vorläufig oder auf Dauer freigestellt ist. Für diese Wegbedingungen können die Steuerungshersteller frei Funktionen festlegen. Tabelle 2 zeigt alle in DIN 66025, Teil 2 genormten Verschlüsselungen der Wegbedingungen G. Tabelle 2. Wegbedingungen G und zugeordnete Funktionen

Wegbedingung Funktion G00 Steuerung von Punkt zu Punkt im Eilgang G01 Linear-Interpolation G02 Kreis-Interpolation im Uhrzeigersinn G03 Kreis-Interpolation im Gegenuhrzeigersinn G04 * programmierbare Verweilzeit G05 v G06 Parabel-Interpolation G07 v G08 * Geschwindigkeitszunahme G09 * Geschwindigkeitsabnahme G10–G16 v G17 Hauptebene X/Y G18 Hauptebene X/Z G19 Hauptebene Y/Z G20–G24 v G25–G29 s G30–G32 v G33 Gewindeschneiden mit konstanter Steigung G34 Gewindeschneiden mit konstant zunehmender Steigung G35 Gewindeschneiden mit konstant abnehmender Steigung G36–G39 s G40 Aufheben der Werkzeugkorrektur G41 Werkzeugbahnkorrektur in Vorschubrichtung links von der Kontur G42 Werkzeugbahnkorrektur in Vorschubrichtung rechts von der Kontur G43 Werkzeugkorrektur in Richtung der positiven Koordinatenachsen G44 Werkzeugkorrektur in Richtung der negativen Koordinatenachsen G45–G52 v G53 Aufheben aller programmierten Nullpunktverschiebungen G54–G59 6 Speicherplätze für programmierte Nullpunktverschiebungen G60–G62 v G63 * Gewindebohren G64–G69 v G70 Maßangaben in Zoll (inch) G71 Maßangaben in Millimeter G72–G73 v G74 * Anfahren des Referenzpunktes G75–G79 v G80 Aufheben aller Arbeitszyklen G81–G89 9 Arbeitszyklen G90 Maßangaben absolut G91 Maßangaben inkremental G92 * Speicher setzen oder ändern G93 zeitreziprokeVorschubverschlüsselung G94 Vorschubgeschwindigkeit in mm/min oder inch/min G95 Vorschub in mm/Umdrehung oder inch/Umdrehung G96 konstante Schnittgeschwindigkeit G97 Angabe der Spindeldrehzahl in l/min G98–G99 v

4 Manuelles Programmieren 4.4.4.3 Koordinaten X, Y, Z/U, V, W/P, Q, R Zur Beschreibung der Relativbewegungen zwischen Werkzeug und Werkstück dienen die Adressen X, Y, Z/U, V, W/P, Q, R. X, Y und Z sind die Hauptachsen eines räumlichen rechtwinkligen Koordinatensystems. Die Angabe einer Koordinatenachse zusammen mit einem Koordinatenwert bedeutet, dass eine Bewegung parallel zur Achse um den angegebenen Weg erfolgt. Zusätzlich muss der Steuerung mitgeteilt werden, welche Maßangabe gelten oder welche Fahranweisung ausgeführt werden soll. Als Maßangabe sind absolute Maße (G90) oder inkrementale Maße (G91) programmierbar. Ms Fahranweisungen können z.B. lineares Verfahren im Eilgang (GOO), lineares Verfahren mit definiertem Vorschub (GO1) oder kreisförmige Bewegungen (G02, G03) programmiert werden. ■ Beispiel: G90 -+ Einschaltzustand der Steuerung N60 G00 X100 LF lineares Verfahren im Eilgang auf die Position X100 bezogen auf den Werkstücknullpunkt

Die Achsen U, V, W sowie P, Q, R sind zusätzliche Achsen, die je nach Werkzeugmaschinenbauart als parallele Achsen zu den Hauptachsen programmiert werden können. ■ Beispiel: Senkrecht-Konsolfräsmaschine

4.4.4.4 Winkel A, B, C Zur Beschreibung der Drehbewegungen von Werkzeug- oder Werkstückträgern werden die Adressen A, B und C benutzt. Die Drehbewegung wird durch Winkelmaße, der Drehsinn durch positive oder negative Vorzeichen festgelegt. Angegeben werden die Winkelmaße als Dezimalzahlen mit der Einheit Grad oder als dezimale Bruchteile einer Umdrehung. ■ Beispiele: A75 oder A + 75 B-102 C317.4

P 19 rameter sind I, J und K. Sie werden auch Hilfskoordinaten genannt. Die Koordinate I bezieht sich auf die X-Achse, J auf die Y-Achse und K auf die Z-Achse. Die Koordinatenwerte für I, J und K können absolut oder inkremental programmiert werden. In der Praxis ist jedoch von fast allen Steuerungsherstellern die inkrementale Maßangabe festgelegt. a) I, J, K inkremental programmiert Zur eindeutigen geometrischen Beschreibung eines Kreises oder Kreisbogens sind der Startpunkt PS, der Zielpunkt PZ sowie der Mittelpunkt M erforderlich. Bei einem Vollkreis fallen Anfangs- und Endpunkt zusammen. I legt den inkrementalen Koordinatenwert vom Kreisanfangspunkt zum Kreismittelpunkt in X-Richtung fest. J legt den inkrementalen Koordinatenwert vom Kreisanfangspunkt zum Kreismittelpunkt in Y-Richtung fest. K legt den inkrementalen Koordinatenwert vom Kreisanfangspunkt zum Kreismittelpunkt in Z-Richtung fest. Das Vorzeichen für I, J und K ergibt sich aus der Lage des Kreisanfangspunktes zum Kreismittelpunkt. Wird vom Kreisanfangspunkt jeweils in positiver Achsrichtung zum Kreismittelpunkt gegangen, so erhält der entsprechende Interpolationsparameter ein positives Vorzeichen, wird in negativer Achsrichtung gegangen, so erhält der Interpolationsparameter ein negatives Vorzeichen. Für einen Kreis oder Kreisbogen in einer Hauptebene sind jeweils nur zwei Interpolationsparameter zur Angabe des Kreismittelpunktes erforderlich.

 Drehung um X-Achse im Uhrzeigersinn  Drehung um Y-Achse im Gegenuhrzeigersinn  Drehung um Z-Achse im Uhrzeigersinn

4.4.4.5 Kreisinterpolationsparameter I, J, K Bei der Programmierung von Vollkreisen oder Kreisbögen ist neben der Angabe der Wegbedingung (G02 oder G03) die Angabe der Mittelpunktkoordinaten notwendig. Die Adressen der Kreisinterpolationspa-

Bild 2. Kreisinterpolationsparameter – inkremental

P 20

PS : Startpunkt PZ : Zielpunkt PM : Kreis(-bogen)mittelpunkt

P Programmierung von Werkzeugmaschinen



oder direkt programmiert werden. Bei der direkten Programmierung gibt es zwei Möglichkeiten: a) Programmierung einer konstanten Schnittgeschwindigkeit in m/min oder ft/min, festgelegt durch die Wegbedingung G96. b) Direkte Programmierung der Spindeldrehzahl in 1/min, festgelegt durch die Wegbedingung G97. Kreisbogen

Bild 3. Kreisinterpolationsparameter – absolut Bild 2 zeigt das Prinzip zur vorzeichengerechten Ermittlung der Interpolationsparameter I, J und K. Zu beachten ist, dass die Kreisinterpolationsparameter nur im jeweils programmierten Satz wirksam sind. b) I, J, K absolut programmiert Seltener angewandt wird die absolute Programmierung der Kreisinterpolationsparameter I, J und K. Alle Kreismittelpunkte werden in diesem Fall vom Werkstücknullpunkt aus bemaßt. Bild 3 zeigt das Prinzip der absoluten Programmierung der Kreisinterpolationsparameter. Zu beachten ist in diesem Zusammenhang, dass eine programmierte Maßangabe (G90, Absolutbemaßung oder G91, Inkrementalbemaßung) keinen Einfluss auf die Maßangabe der Interpolationsparameter hat. Die für die Kreisinterpolationsparameter 1, J und K steuerungsintern festgelegte Maßangabe bleibt stets gültig. Außer der beschriebenen Kreisdefinition kann ein Kreis oder Kreisbogen auch durch seinen Radius sowie Anfangs- und Endwinkel des Kreisbogens beschrieben werden. 4.4.4.6 Vorschub F Der Vorschub wird mit der Adresse F programmiert. Der Zahlenwert für den Vorschub kann entweder mathematisch verschlüsselt angegeben oder direkt programmiert werden. Bei der direkten Programmierung des Vorschubes gibt es drei Möglichkeiten: a) Zeitreziproke Vorschubverschlüsselung, festgelegt durch die Wegbedingung G93. b) Direkte Angabe des Vorschubes in mm/min oder inch/min, festgelegt durch die Wegbedingung G94. c) Direkte Angabe des Vorschubes in mm/U oder inch/U, festgelegt durch die Wegbedingung G95. ■ Beispiele: mathematische Verschlüsselung F46 Vorschub 20 mm/min direkt programmierter Vorschub F0.8  Vorschub 0.8 mm/U

4.4.4.7 Spindeldrehzahl S Die Spindeldrehzahl wird mit der Adresse S programmiert. Der Zahlenwert für die Spindeldrehzahl kann entweder mathematisch verschlüsselt angegeben

■ Beispiele: konstante Schnittgeschwindigkeit S12.5  Schnittgeschwindigkeit 12.5 m/min direkte Programmierung der Spindeldrehzahl S1000  Spindeldrehzahl 1000 1/min

4.4.4.8 Werkzeugaufruf und Werkzeugkorrekturen T, D Die Adresse für das Werkzeug ist der Buchstabe T, für die Werkzeugkorrektur der Buchstabe D. Als Adressen für Korrekturen werden von den Steuerungsherstellern häufig auch andere oder zusätzliche Adressen verwendet, z.B. H, P, Q oder R. Adresswert ist die Nummer eines Werkzeugs oder Werkzeugspeichers oder eines Korrekturspeicherplatzes. Die Anzahl der speicherbaren Werkzeuge und Werkzeugkorrekturen ist abhängig von den reservierten Speicherplätzen. Üblich sind 16 oder 32 Speicherplätze für Werkzeuge und Werkzeugkorrekturen. Grundsätzlich können mit den Adressen T und D zwei Möglichkeiten unterschieden werden: a) Verwendung nur von T oder b) Verwendung von T und D. a) Werkzeugaufruf T Die Werkzeugnummer legt das Werkzeug fest. ■ Beispiel: T03  ruft z.B. einen Schaftfräser mit Durchmesser 10 mm und Länge 60 mm auf

Automatischer Werkzeugwechsel Besitzt die Werkzeugmaschine einen Werkzeugspeicher (Werkzeugmagazin) mit einer Werkzeugwechseleinrichtung, so wird bei Aufruf eines Werkzeugs das Werkzeug automatisch dem Magazin entnommen und der Werkzeugaufnahme zugeführt. Manueller Werkzeugwechsel Besitzt die Werkzeugmaschine kein Werkzeugmagazin, so muss bei Aufruf eines Werkzeugs das der Werkzeugnummer zugeordnete Werkzeug von Hand der Werkzeugaufnahme zugeführt werden. Im Werkzeugspeicher sind außerdem Korrekturangaben zur Werkzeuglänge und zum Werkzeugdurchmesser (Bohren/Fräsen) oder zum Schneidenradius (Drehen) abgespeichert. Bei einigen Steuerungen wird an die Werkzeugnummer zusätzlich eine zweistellige Nummer für den Korrekturspeicher angehängt. Werkzeugnummer und Korrekturspeicher müssen nicht identisch sein.

4 Manuelles Programmieren ■ Beispiel:

b) Werkzeugaufruf T und Werkzeugkorrektur D Der Werkzeugspeicher (T) legt das Werkzeug fest, der Werkzeugkorrekturspeicher (D) enthält die Korrekturdaten (Länge, Durchmesser, Schneidenradius). ■ Beispiel:

P 21 m: *: a: e: v: s:

modal (selbsthaltend) satzweise wirksam sofort wirksam am Satzende wirksam vorläufig ständig

  

frei verfügbar

4.5 Kreisprogrammierung beim Drehen und Fräsen

4.4.4.9 Zusatzfunktionen M Die Zusatzfunktionen werden mit der Adresse M programmiert. Bei den Adresswerten handelt es sich um zweistellige frei verschlüsselte Zahlen, denen frei Funktionen zugeordnet sind. Die Zusatzfunktionen enthalten vorwiegend technologische Informationen, sofern diese nicht unter den Adressen F, S oder T programmierbar sind. Tabelle 3 zeigt alle in DIN 66025, Teil 2 genormten Verschlüsselungen der Zusatzfunktionen M. Tabelle 3. Zusatzfunktionen M und zugeordnete Funktionen M00 M01 M02 M03 M04

*, e *, e *, e m, a m, a

M05 M06 M07 M08 M09 M10 M11 M12–M18 M19

m, e * m, a m, a m, e m m v m, e

M20–M29 M30

s *, e

M31 M32–M39 M40–M45 M46–M47 M48 M49 M50–M57 M58 M59 M60 M61–M89 M90–M99

* v v v m, e m, a v m, a m, a *, e v s

Programmierter Halt Wahlweiser Halt Programmende Spindeldrehung im Uhrzeigersinn Spindeldrehung im Gegenuhrzeigersinn Spindel Halt Werkzeugwechsel Kühlschmiermittel Nr. 2 EIN Kühlschmiermittel Nr. 1 EIN Kühlschmiermittel AUS Klemmen Lösen Spindel Halt mit definierter Endstellung Programmende mit Rücksetzen zum Programmanfang Aufhebung einer Verriegelung

Überlagerungen wirksam Überlagerungen unwirksam Konstante Spindeldrehzahl AUS Konstante Spindeldrehzahl EIN Werkstückwechsel

Der gängige Satzaufbau für die Kreis(-bogen) programmierung sowohl beim Drehen als auch beim Fräsen enthält die Angaben: Satznummer Wegbedingung Koordinaten des Kreis (bogen)-Zielpunktes Kreisinterpolationsparameter evtl. technologische Angaben

(N ...) (G ...) (X ..., Y ..., Z ...) (I ..., J ..., K ...) (F ..., S ..., T ..., M ...)

Vor dem Programmieren von Kreisen oder Kreisbögen muss festgelegt werden, ob das Werkzeug im Uhrzeigersinn (G02) oder im Gegenuhrzeigersinn (G03) fahren soll. Hierzu schaut man immer aus Richtung einer positiven Hauptachse senkrecht auf diejenige Hauptebene, in der die Arbeitsbewegung stattfindet. 4.5.1 Kreisprogrammierung beim Drehen Der Satzaufbau für die Kreisprogrammierung beim Drehen enthält die Adressen: N... G... X... Z... I... K 4.5.1.1 Wegbedingungen G02 und G03 Für die korrekte Festlegung der Wegbedingung bei der Kreisinterpolation ist zu unterscheiden, ob das Werkzeug vor der Drehmitte oder hinter der Drehmitte liegt. 4.5.1.2 Koordinaten des Kreisbogen-Zielpunktes Pz Nach der Wegbedingung werden die Koordinaten des Kreisbogen-Zielpunktes PZ programmiert. Als Koordinatenwert in X-Richtung wird bei Absolutbemaßung (G90) bei fast allen Drehmaschinensteuerungen der Durchmesser programmiert, bei Inkrementalbemaßung (G91) dagegen die Maßänderung des Radius. Der Koordinatenwert in Z-Richtung wird bei Absolutbemaßung immer auf den Werkstücknullpunkt bezogen programmiert, bei Inkrementalbemaßung dagegen als Relativmaß. 4.5.1.3 Kreisinterpolationsparameter Nach den Koordinaten des Kreisbogen-Endpunktes werden die Kreisbogeninterpolationsparameter I und K programmiert, mit denen der Kreismittelpunkt auf

P 22 den Kreisanfangspunkt bezogen festgelegt wird, siehe Abschnitt 5.4.4.5, Kreisinterpolationsparameter. Bilder 4 und 5 zeigen die Kreisprogrammierung beim Drehen im Uhrzeigersinn und im Gegenuhrzeigersinn.

P Programmierung von Werkzeugmaschinen 4.5.2 Kreisprogrammierung beim Fräsen Die Wahl der Adressen und damit der Satzaufbau hängt beim Fräsen davon ab, in welcher Hauptebene die Kreisinterpolation erfolgen soll, sofern die Steuerung eine 2 aus 3 D- oder 3 D-Interpolation erlaubt. In diesem Fall muss beim Fräsen im Gegensatz zum Drehen zusätzlich diejenige der drei Hauptebenen programmiert werden, in der ein Kreis(-bogen) gefahren werden soll. Programmiert wird die Ebenenauswahl der Hauptebene X/Y durch die Wegbedingung G17, die der Hauptebene X/Z durch G 18 und die der Hauptebene Y/Z durch G 19. Damit ergeben sich für die Kreisprogrammierung beim Fräsen drei Möglichkeiten des Satzaufbaus. a) Kreis(bogen) in der X/Y-Ebene (G17) N ... G ... X ... Y ... I ... J ... b) Kreis (bogen) in der X/Z-Ebene (G18) N ... G ... X ... Z ... I ... K ... c) Kreis (bogen) in der Y/Z-Ebene (G19) N ... G ... Y ... Z ... J ... K ... 4.5.2.1 Wegbedingungen G02 und G03 Blickt man aus Richtung einer positiven Hauptachse senkrecht auf eine Hauptebene, so gilt für alle drei Hauptebenen:

Bild 4. Kreisprogrammierung im Uhrzeigersinn (G02) beim Drehen. Bemaßung absolut (G90)

 Bewegung im Uhrzeigersinn  ist zu pro Wegbedingung G02 grammie Bewegung im Gegenuhrzeigersinn

ren.  Wegbedingung G03 4.5.2.2 Koordinaten des Kreisbogen-Zielpunktes Pz Nach der Wegbedingung werden die Koordinaten des Kreisbogen-Zielpunktes Pz programmiert. Die Koordinaten ergeben sich aus der Hauptebene, in der der Kreisbogen gefahren wird. Alle Koordinatenwerte werden absolut oder inkremental auf den Werkstücknullpunkt bezogen programmiert. 4.5.2.3 Kreisinterpolationsparameter Nach den Koordinaten des Kreisbogen-Endpunktes werden die Kreisinterpolationsparameter I/J, I/K oder J/K programmiert, mit denen der Kreismittelpunkt auf den Kreisanfangspunkt bezogen festgelegt wird. Bilder 6 und 7 zeigen die Kreisprogrammierung beim Fräsen im Uhrzeigersinn und im Gegenuhrzeigersinn.

Bild 5. Kreisprogrammierung im Gegenuhrzeigersinn (G03) beim Drehen. Bemaßung absolut (G90)

4 Manuelles Programmieren

P 23 Die Korrekturangaben für die Werkzeuge werden gesondert an die CNC-Steuerung übergeben. Hierzu stehen meist zwei Eingabemöglichkeiten zur Wahl. a) Manuelle Eingabe der Korrekturdaten Der Maschinenbediener gibt die Korrekturdaten über die Steuerungstastatur unmittelbar an der Maschine in den Werkzeugspeicher der Steuerung ein.

Bild 6. Kreisprogrammierung im Uhrzeigersinn (G03) beim Fräsen.

Bild 7. Kreisprogrammierung im Gegenuhrzeigersinn (G03) beim Fräsen.

4.6 Werkzeugkorrekturen beim Drehen und Fräsen Moderne CNC-Steuerungen enthalten Funktionen, die es gestatten, Werkzeugkorrekturen zu programmieren. Unter Werkzeugkorrektur ist das automatische Verrechnen von Werkzeuglängen, -durchmessern oder -radien mit der Teilegeometrie zu verstehen. Dies bedeutet für die Programmierung, dass im Teileprogramm nur die Geometriedaten für die Fertigkontur stehen (so genannte Konturprogrammierung).

b) Automatisches Einlesen der Korrekturdaten Die Korrekturdaten werden von einem Korrekturdatenträger (Lochstreifen, Magnetband usw.) über ein geeignetes Eingabegerät oder aus einem Datenspeicher in den Werkzeugspeicher der CNC-Steuerung eingespielt. Es ist auch möglich, die Daten über Datenleitungen aus größeren Entfernungen in die Maschinensteuerung zu überspielen. Das Trennen der Teilegeometrie von der Werkzeuggeometrie hat betriebsorganisatorische Gründe. Änderungen der Werkzeugmaße durch Verschleiß oder Werkzeugbruch können somit unmittelbar an der Maschine in den Werkzeugspeicher eingegeben werden, ohne zeitaufwändige Programmänderungen vornehmen zu müssen. Die vom Maschinenbediener direkt an der Steuerungskonsole in den Werkzeugkorrekturspeicher einzugebenden Maße werden in aller Regel einem Werkzeugkarteiblatt entnommen (Bild 8). Daneben bieten einige Steuerungen die Möglichkeit, Werkzeugkorrekturdaten unmittelbar in das Teileprogramm zu schreiben. 4.6.1 Werkzeuglängenkorrektur beim Bohren und Fräsen Der Korrekturwert für die Werkzeuglängenkorrektur (Bohrer- oder Fräserlänge) liegt bei Senkrechtkonsolfräsmaschinen in Z-Richtung. Das voreingestellte Längenmaß ist dabei das Maß von der Anschlagfläche der Werkzeugaufnahme an die Spindelnase bis zur Werkzeugspitze (Bild 9). Das ermittelte Längenmaß wird z. B. unter der Adresse H und einem gewählten Speicherplatz, z.B. 02, abgespeichert. Der Speicher muss vor Eingabe der Werkzeuglänge auf null gesetzt werden.

■ Beispiel: voreingestellte Werkzeuglänge laut Karteiblatt  150 mm Aufruf des Speichers H02 (Speicher vorher auf null gesetzt) Eingabe von Z + 150

P 24

P Programmierung von Werkzeugmaschinen Wird durch das Programm die Werkzeuglängenkorrektur aufgerufen, so erfolgt steuerungsintern das automatische Verrechnen der voreingestellten Werkzeuglänge (Z + 150) mit den programmierten ZWerten. Würde keine Längenkorrektur erfolgen, so käme es bei Anfahren des Werkstücknullpunktes in ZRichtung zwangsläufig zum Werkzeugbruch, da die Maschine versuchen würde, bis zur Spindelnase zu verfahren. 4.6.1.1 Veränderung der Werkzeuglänge Ändert sich die voreingestellte Werkzeuglänge durch Nachschleifen oder weil ein neues Werkzeug eingesetzt wurde, so kann die Längenänderung als Korrekturwert Z in den Speicher eingegeben werden. Der Korrekturwert wird zu dem im Speicher stehenden Längenwert Z addiert oder von ihm subtrahiert. 4.6.2 Fräser-Radiuskorrektur Soll eine Werkstückkontur gefräst werden, so muss der Werkzeugmittelpunkt auf einer Bahn verlaufen, die um den Radius des Werkzeuges versetzt neben der Werkstückkontur liegt (Bild 10).

Bild 10. Fräser-Radiuskorrektur Bild 8. Werkzeugkarteiblatt für Drehmeißel

Die Fräsermittelpunktsbahn, auch Äquidistante genannt, muss bei Steuerungen ohne Fräser-Radiuskorrektur unter Berücksichtigung des Werkzeugradius errechnet werden. Das Errechnen erfordert umso höheren Aufwand, je mehr Kreisbögen oder nichtachsparallele Strecken die Kontur enthält. Bei der Fräser-Radiuskorrektur gibt es nach Norm den Unterschied zwischen der (einfachen) achsparallelen Korrektur (Streckensteuerung) und der komfortablen Bahnkorrektur. Steuerungen mit 2 aus 3 D- oder 3 D-Interpolation enthalten generell die Bahnkorrektur, welche die achsparallele Korrektur mit einschließt. 4.6.2.1 Bahnkorrektur

Bild 9. Werkzeuglängenkorrektur beim Bohren und Fräsen

Bei der Fräser-Bahnkorrektur ermittelt die CNCSteuerung durch Verrechnen des Fräserradius mit der

4 Manuelles Programmieren programmierten Kontur selbsttätig die Fräsermittelpunktsbahn (Äquidistante), wodurch z.B. automatisch Hilfsschnittpunkte berechnet oder Hilfskreise an Konturübergängen in die Fräsermittelpunktsbahn eingefügt werden. Hierdurch wird es möglich, beliebige Konturverläufe zu zerspanen. Wie bei der achsparallelen Korrektur gibt es bei der Bahnkorrektur zwei Korrekturlagen des Werkzeuges:  links von der Kontur oder  rechts von der Kontur. Links von der Kontur bedeutet: von der Hauptspindel aus gesehen bewegt sich das Werkzeug in Vorschubrichtung links von der Kontur. Rechts von der Kontur bedeutet: von der Hauptspindel aus gesehen bewegt sich das Werkzeug in Vorschubrichtung rechts von der Kontur. Beide Fräser-Radiuskorrekturen werden durch GWörter aufgerufen:  Fräser-Radiuskorrektur links durch G41,  Fräser-Radiuskorrektur rechts durch G42. Das Löschen der modal wirksamen Fräser-Radiuskorrekturen erfolgt durch G40. Vor Aufruf der Fräserbahnkorrektur muss gegebenenfalls die Hauptebene adressiert werden, in der die Korrektur erfolgen soll. Bild 11 zeigt die Vorschubrichtung und die Werkzeuglage zur Kontur bei G41 und G42. Nach Start eines CNC-Programmes kann eine FräserRadiuskorrektur nur dann wirksam werden, wenn mit Aufruf der Wegbedingungen G41 oder G42 auch der Korrekturspeicher mit dem Werkzeugradius aufgerufen wird.

P 25 4.6.2.2 Anfahren zur Kontur und Abfahren von der Kontur unter Berücksichtigung der Bahnkorrektur Die Werkzeugradiuskorrektur sollte immer vor dem Anfahren an die Kontur aktiviert werden, da es andernfalls zu Konturzerstörungen oder Kollisionen kommen kann. Entsprechend sollte das Aufheben einer Werkzeugradiuskorrektur erst dann erfolgen, wenn die Kontur verlassen wurde. Wird eine Kontur mit aktivierter Werkzeugradiuskorrektur unter einem Anfahrwinkel kleiner als 180° angefahren oder unter einem Abfahrwinkel kleiner als 180° verlassen, so wird die Kontur nicht vollständig bearbeitet. Eine vollständige Konturbearbeitung ist dann sichergestellt, wenn sowohl der Anfahr- als auch Abfahrwinkel größer als 180° ist (Bild 12).

Bild 12. Anfahren zur Kontur und Abfahren von der Kontur unter Berücksichtigung der Fräser-Bahnkorrektur 4.6.3 Werkzeugkorrekturen beim Drehen Folgende Angaben sind für die Werkzeugkorrektur beim Drehen erforderlich: Bild 11. Fräser-Bahnkorrektur ■ Beispiel: N ... G41 X10 .... D02 LF G41 ruft Korrekturwert (z. B. R = 5 mm) aus Speicher D02 ab

 Werkzeuglängenmaße  Schneidenradiuskorrektur  und je nach Steuerungsfabrikat die WerkzeugEinstellposition. Die Korrekturdaten können wie beim Fräsen/Bohren manuell oder über eine Datenleitung in den Korrekturspeicher eingespielt werden.

P 26

P Programmierung von Werkzeugmaschinen

4.6.3.1 Werkzeuglängenmaße Die Werkzeuglängenmaße sind die Abstände der Schneidenecke in X- und Z-Richtung bezogen auf den Werkzeugbezugspunkt (WZ). Der Werkzeugbezugspunkt liegt vorbestimmt am Werkzeugträger und ist Bezugspunkt für alle eingesetzten Werkzeuge (Bild 13). Die Bemaßung der Werkzeugschneide bezieht sich meist nur auf eine theoretische (spitze) Schneidenecke P, da diese in der Praxis aus technologischen Gründen abgerundet wird (Bild 13).

Bild 14. Drehen ohne Schneidenradiuskorrektur

Bild 13. Bezugspunktvermassung der Werkzeugabmessungen 4.6.3.2 Schneidenradiuskorrektur (Schneidenradiuskompensation) Durch die Abrundung der Schneidenecke ist zu beachten, dass je nach Lage der Werkzeugschneide an der zu zerspanenden Kontur die konturerzeugende Tangente durch den Berührpunkt B nicht mehr durch die theoretische Schneidenecke P läuft. Die theoretische Schneidenecke P und die konturerzeugende Tangente durch B liegen nur dann auf einer gemeinsamen Geraden, wenn diese parallel zur Xoder Z-Achse liegt (Zerspanung längs oder plan). Bei nicht-achsparalleler Vorschubrichtung kommt es ohne Schneidenradiuskorrektur, auch Schneidenradiuskompensation genannt, zu mehr oder weniger großen Maßabweichungen von der Sollkontur, also zu Konturverzerrungen (Bild 14). Die Größe der (maximalen) Konturabweichung beim Drehen ohne Schneidenradiuskorrektur lässt sich rechnerisch bestimmen (Bild 15).

Bild 15. Drehen ohne Schneidenradiuskorrektur Beim Drehen mit Schneidenradiuskorrektur erfolgt die steuerungsinterne Berechnung der Werkzeugbahn im Prinzip wie beim Fräsen mit Bahnkorrektur. Die Äquidistante ist in diesem Fall die Mittelpunktsbahn des Mittelpunktes M der abgerundeten Schneidenecke (Bild 16). Es gibt zwei Korrekturlagen des Werkzeuges:  links von der Kontur oder  rechts von der Kontur. Zusätzlich zur Korrekturlage ist anzugeben, ob das Werkzeug vor oder hinter der Drehmitte steht. a) Werkzeug hinter der Drehmitte: Links von der Kontur bedeutet: Das Werkzeug liegt in Vorschubrichtung links von der Kontur. Rechts von der Kontur bedeutet: Das Werkzeug liegt in Vorschubrichtung rechts von der Kontur.

4 Manuelles Programmieren

P 27 4.6.3.3 Werkzeug-Einstellposition Je nach Einsteilposition des Werkzeuges haben die theoretischen Schneidenecke P und der Mittelpunkt M der abgerundeten Schneidenecke unterschiedliche Lagen zueinander. In Bild 18 ist dargestellt, dass die Istkontur (erzeugt durch Berührpunkt B) und die Sollkontur (erzeugt durch die theoretische Schneidenecke P) je nach Lage der theoretischen Schneidenecke in unterschiedlicher Richtung voneinander abweichen.

Bild 16. Drehen mit Schneidenradiuskorrektur b) Werkzeug vor der Drehmitte: Wie schon bei der Kreisinterpolation muss von unten auf die XZ-Ebene geschaut werden. Dadurch wird links und rechts im Gegensatz zur Werkzeuglage ,,hinter der Drehmitte“ vertauscht. Programmiert wird die Schneidenradiuskorrektur durch die Wegbedingungen: G41  Schneidenradiuskorrektur links von der Kontur, G42  Schneidenradiuskorrektur rechts von der Kontur. Das Löschen erfolgt durch die Wegbedingung G40. Bild 17 zeigt die Werkzeuglage zur Kontur unter zusätzlicher Berücksichtigung, ob das Werkzeug vor oder hinter der Drehmitte liegt. Die Eingabe des Schneidenradius Rs erfolgt entweder manuell unmittelbar an der Steuerung, mittels Datenträger oder über Datenleitungen.

Istkontur: Bahn der Berührpunkte B Sollkontur: Bahn der Schneidenecke PR Sollkontur: Bahn der Schneidenecke PL

Bild 18. Zusammenhang zwischen der Ist- und der Sollkontur unter Berücksichtigung der WerkzeugEinstellposition Neben den Werkzeugabmessungen und der Schneidenradiuskorrektur muss deshalb bei einigen Steuerungen zusätzlich die Einstellposition der Werkzeugschneide als Korrekturangabe eingegeben werden. Ein Prinzip zur Beschreibung der Einstellposition ist die Angabe von Einstellpositionsziffern. Es werden acht unterschiedliche Lagen der Werkzeugschneide im Arbeitsraum festgelegt. Bild 19 zeigt die Zuordnung der Einstellpositionsziffern 1 ... 8 in Abhängigkeit von der Werkzeugorientierung und unter Berücksichtigung der positiven X-Achse. Ein weiteres Prinzip ist die Lagebeschreibung der theoretischen Schneidenecke P zum Mittelpunkt M über die Parameter I und K, für die je nach Schneidenlage entweder null oder die Größe des Schneidenradius vorzeichenrichtig eingesetzt werden muss (Bild 19).

4.7 Programmierbeispiel 4.7.1 Grundsätze für das manuelle Programmieren

Bild 17. Unterscheidung der Werkzeugkorrekturen rechts und links bei der Schneidenradiuskorrektur

Zuerst sollte ein Arbeitsplan als Grundlage für die Programmerstellung aufgestellt werden. Anstelle eines Arbeitsplanes kann auch eine Skizze des zu fertigenden Werkstücks erstellt werden, in der z.B. Bezugspunkte, Verfahrwege und -richtungen sowie technologische Angaben eingetragen werden. Tabelle 4 zeigt eine tabellarische Ablaufplanung.

P 28

P Programmierung von Werkzeugmaschinen Es handelt sich dabei meist um folgende, modal wirksame G-Funktionen: G00, G17, G40, G53, G 90 sowie G94. Tabelle 4. Vorgehensweise bei der manuellen Programmerstellung 1 Werkstück-Nullpunkt festlegen 2 Geometrische Angaben festlegen – Programmierung in Absolut- oder Inkrementalbemaßung – Nullpunktverschiebung z.B. bei Unterprogrammen 3 Arbeitsplan erstellen – Anfahrpunkt(e) an die Kontur (wichtig für Werkzeugradiuskorrektur und Einfahrkreise) – Richtung der Verfahrwege (wichtig für Werkzeugradiuskorrektur) – Spindeldrehzahl – Vorschub – Werkzeug – Kühlschmierung 4 Programm schreiben – Arbeitsschritte DIN-gerecht und unter Berücksichtigung der steuerungsspezifischen Abwandlungen in die Programmiersprache übersetzen 5 Programm-Eingabe – unmittelbar an der Steuerungskonsole – über Teletype – über Programmiergerät/Personalcomputer 6 Programm-Test – Zeichnungsplot der Kontur und Verfahrwege – grafisch-dynamische Simulation 7 Programm-Korrektur oder -Optimierung 8 Programm abarbeiten

4.7.3 Programmierbeispiel Fräsen/Bohren Bei dem Werkstück handelt es sich um einen Auswerfer mit umlaufend 2 mm Aufmaß, wobei die Kontur mit einer Tiefenzustellung von 15 mm zu zerspanen ist. Weiterhin ist eine Rechtecktasche 10 mm tief auszuräumen. Zusätzlich ist ein Lochreis mit vier Durchgangsbohrungen von 6 mm Durchmesser zu bohren. Bild 20 zeigt das vollständig bemaßte Werkstück.

Bild 19. Korrekturangaben der Werkzeugeinstellposition 4.7.2 Steuerungsfunktionen im Einschaltzustand Bei der Inbetriebnahme einer CNC-Steuerung werden bestimmte G-Funktionen selbstständig von der Steuerung voreingestellt (initialisiert).

a) Werkstücknullpunkt W Am Werkstück werden zwei Werkstücknullpunkte festgelegt. Der Werkstücknullpunkt W1 wird im Einrichtbetrieb bestimmt. Er liegt in der linken unteren Werkstückecke an der Werkstückoberkante. Vom Werkstücknullpunkt W1 aus ist die Außenkontur sowie die Rechtecktasche bemaßt. Der Werkstücknullpunkt W2 ist unter der Adresse G59 gespeichert. Er liegt in der Mitte des Lochkreises. Die Maßprogrammierung des Lochkreises bezieht sich auf den Werkstücknullpunkt W2.

4 Manuelles Programmieren b) Geometrische Angaben Alle Maße werden absolut programmiert; G90 ist Einschaltzustand der Steuerung. c) Arbeitsplan aufstellen Bild 21 zeigt die Verfahrwege der Werkzeuge in Einzelschritte zerlegt. Die Kontur wird im Uhrzeigersinn umfahren, die Rechtecktasche wird wegen Beibehaltung der Radiuskorrektur im Gegenuhrzeigersinn ausgeräumt. Arbeitsebene ist die X/Y-Ebene, G17 ist Einschaltzustand der Steuerung. a) Zerspannung Kontur und Rechtecktasche Vorschub s = 120 mm/min Schnittgeschwindigkeit c = 170 m/min Werkzeug Schaftfräser 8 mm Durchmesser b) Bohren der vier Bohrungen  6 mm Vorschub s = 45 mm Schnittgeschwindigkeit c = 20 m/min Werkzeug Wendelbohrer, Typ N,  6 mm

Bild 20. Auswerfer

P 29 c) Programm schreiben

Bild 21. Auswerfer

P 30

P Programmierung von Werkzeugmaschinen

4.7.3.1 Programmliste zum Programmierbeispiel Fräsen/Bohren

4.7.3.2 Programmerläuterung zum Programmierbeispiel Fräsen/Bohren %490306 N0 G00 Z200 N1 X30 Y–25 T0101 M06

Programmanfangszeichen und Programmnummer Eilgang Werkzeugwechselposition in Z-Achse Werkzeugwechselposition Aufruf Werkzeug Nr. 01 und Werkzeugspeicher 01 Werkzeugwechsel ausführen

Konturpunkt

P0

4 Manuelles Programmieren %490306 N2 Z–15 F120 S170 M03 N3 G41 X10 Y–10 N4 G01 Y25 N5 X20 Y60 N6 X45 N7 G03 X55 Y70 I0 J10 N8 G01 Y85 N9 X85 N10 G02 X98.332 Y76.874 I0 J–15 N11 G01 X117.776 Y39.166 N12 G02 X100 Y10 I–17.8 J–9.07 N13 G01 X84.365 N14 G03 X45.635 I–19.365 J–35 N15 G01 X0 N16 G40 N17 G00 Z2

Programmanfangszeichen und Programmnummer Zustellung auf Frästiefe 15 mm Vorschub 120 mm/min Schnittgeschwindigkeit 170 m/min Spindeldrehung im Uhrzeigersinn Werkzeugradiuskorrektur links Anfahrpunkt an die Kontur

P 31 Konturpunkt

P1

Linearinterpolation Linearbewegung achsparallel

P2

Linearbewegung

P3

Linearbewegung achsparallel Kreisinterpolation im Gegenuhrzeigersinn Endpunkt Kreisbogen im Radius R10

P4

P5

Kreismittelpunkt Linearinterpolation Linearbewegung achsparallel Linearbewegung achsparallel Kreisinterpolation im Uhrzeigersinn Endpunkt Kreisbogen mit Radius R15

P6 P7

P8

Kreismittelpunkt Linearinterpolation Linearbewegung Kreisinterpolation im Uhrzeigersinn Endpunkt Kreisbogen mit Radius R20

P9

P10

Kreismittelpunkt Linearinterpolation Linearbewegung achsparallel Kreisinterpolation im Gegenuhrzeigersinn Endpunkt Kreisbogen mit Radius R40 Kreismittelpunkt Linearinterpolation Linearbewegung achsparallel Werkzeugradiuskorrektur AUS Eilgang Linearbewegung achsparallel

P11

P12

P13 P13 P14

P 32 %490306 N18 X59 Y30 N19 G01 Z–10 N20 G41 X76 Y26 N21 G03 X85 Y35 I0 J9 N22 G03 X80 Y40 I–5 J0 N23 G01 X60 N24 G03 X55 Y35 I0 J–5 N25 G01 Y25 N26 G03 X60 Y20 I5 J0 N27 G01 X80 N28 G03 X85 Y25 I0 J5 N29 G01 Y35 N30 G40 M05 N31 G00 Z200

P Programmierung von Werkzeugmaschinen Programmanfangszeichen und Programmnummer

Konturpunkt

Positionierung über Rechtecktasche

P15

Linearinterpolation Zustellung auf Frästiefe 10 mm

P16

Werkzeugradiuskorrektur links Position innerhalb Kreistasche

P17

Einfahrweis im Uhrzeigersinn an Taschenkontur innen

P18

Kreisinterpolation im Gegenuhrzeigersinn Endpunkt Kreisbogen mit Radius R5

P19

Kreismittelpunkt Linearinterpolation Linearbewegung achsparallel Kreisinterpolation im Gegenuhrzeigersinn Endpunkt Kreisbogen mit Radius R5

P20

P21

Kreismittelpunkt Linearinterpolation Linearbewegung achsparallel Kreisinterpolation im Gegenuhrzeigersinn Endpunkt Kreisbogen mit Radius R5

P22

P23

Kreismittelpunkt Linearinterpolation Linearbewegung achsparallel Kreisinterpolation im Gegenuhrzeigersinn Endpunkt Kreisbogen mit Radius R5

P24

P25

Kreismittelpunkt Linearinterpolation Linearbewegung achsparallel

P26

Werkzeugradiuskorrektur AUS Spindeldrehung AUS

P27

Eilgang Werkzeugwechselposition in Z-Achse

P27

4 Manuelles Programmieren %490306 N32 X30 Y–25 T0202 M06 N33 G59 N34 G95 Z2 F.45 S20 M03 N35 G00 X7.07 Y7.07 N36 G01 Z–28 N37 G00 Z2 N38 X–7.07 N39 G01 Z–28 N40 G00 Z2 N41 Y–7.07 N42 G01 Z–28 N43 G00 Z2 N44 X7.07 N45 G01 Z–28 N46 G00 Z200 N47 X30 Y–25 N48 M30

Programmanfangszeichen und Programmnummer Werkzeugwechselposition Aufruf Werkzeug Nr. 02 und Werkzeugspeicher 02 Werkzeugwechsel ausführen

P 33 Konturpunkt

P28

Aufruf der gespeicherten Nullpunktverschiebung W2 Vorschub in mm/U Sicherheitsabstand Vorschub 0.45 mm/U Schnittgeschwindigkeit 20 m/min Spindeldrehung im Uhrzeigersinn Eilgang Positionierung über Bohrung 1

P29

Linearinterpolation Linearbewegung auf Bohrtiefe

P30

Eilgang Linearbewegung auf Sicherheitsabstand

P31

Positionierung über Bohrung 2 Linearinterpolation Linearbewegung auf Bohrtiefe Eilgang Linearbewegung auf Sicherheitsabstand Positionierung über Bohrung 3 Linearinterpolation Linearbewegung auf Bohrtiefe Eilgang Linearbewegung auf Sicherheitsabstand Positionierung über Bohrung 3 Linearinterpolation Linearbewegung auf Bohrtiefe

P32 P33 P34 P35 P36 P37 P38 P39 P40

Werkzeugwechselposition Programmende mit Rücksetzen der Steuerung in Anfangszustand

P41

P 34

P Programmierung von Werkzeugmaschinen

4.8 Besondere Programmierfunktionen für das Bohren, Fräsen und Drehen

4.8.1.1 Bohrzyklen

Komfortable CNC-Steuerungen bieten ergänzend zur DIN 66025 dem Programmierer Steuerungsfunktionen, die das Erstellen vieler Programme erheblich vereinfachen. Als besondere Programmierfunktionen oder -techniken sind Zyklen, Unterprogramme, Programmschleifen sowie Koordinatentransformationen, Spiegeln von Konturen oder Variablenprogrammierung zu nennen. Bei der Behandlung von Beispielen geschieht dies steuerungsspezifisch. Dargestellte Wegbedingungen sind in der Regel nach Norm frei belegbar und damit abhängig vom Steuerungsfabrikat mit unterschiedlichen Funktionen belegt.

In DIN 66025 sind insgesamt neun Bohrzyklen genormt. Mit den genormten Bohrzyklen stehen Funktionen für das Bohren, Tieflochbohren, Zentrieren, Senken, Reiben sowie Gewindeschneiden zur Verfügung, sofern diese in einer Steuerung gespeichert sind. Tabelle 5 zeigt die Zuordnung der Funktionen zu den jeweiligen Bohrzyklen. Der Aufruf der Bohrzyklen erfolgt durch die Wegbedingungen G81 bis G89. Aufgehoben werden die Bohrzyklen G81 bis G89 durch die Wegbedingung G80. Im Folgenden wird der Bohrzyklus G81 anhand der Steuerung Sinumerik 3M näher beschrieben. Die Maßangaben werden Parametern (R02, R03) zugewiesen (Bild 22).

4.8.1 Zyklen

■ Beispiel: Programmsatz mit Bohrzyklus G81, Bohrachse ist die Z-Achse

Bei den Zyklen handelt es sich um vorprogrammierte Funktionen, die jederzeit abrufbar in einer Steuerung abgespeichert sind. Zyklen vereinfachen den Programmieraufwand für häufig vorkommende Fertigungsabläufe wie beispielsweise Nutenfräsen, Bohren oder achsparalleles Drehen, da meist nur wenige Bearbeitungswerte für komplexe Arbeitsgänge programmiert werden müssen. Für die wichtigen Bearbeitungsverfahren Bohren, Fräsen und Drehen gibt es eine Vielzahl von Bearbeitungszyklen, von denen allerdings nur die Bohrzyklen genormt sind. Allgemein werden die Zyklen über G-Wörter adressiert. Abweichend davon erfolgt bei einigen Steuerungsfabrikaten die Adressierung der Zyklen durch LWörter oder durch Klartexteingabe. Der Satzaufbau bei den dargestellten Bearbeitungszyklen ist ebenfalls steuerungsspezifisch unterschiedlich.

Bild 22. Bohrzyklus G81, Bohren/Zentrieren

Tabelle 5. Bohrzyklen und zugeordnete Funktionen Arbeitszyklus Nr. Wegbedingung 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Arbeitsbewegung ab Vorschub-Startpunkt mit Arbeitsvorschub mit Arbeitsvorschub mit unterbrochenem Arbeitsvorschub Vorwärtsdrehung mit Arbeitsvorschub mit Arbeitsvorschub Spindel ein, mit Arbeitsvorschub Spindel ein, mit Arbeitsvorschub Spindel ein, mit Arbeitsvorschub mit Arbeitsvorschub

auf Tiefe verweilen Spindel – ja – –

– – –

Rückzugsbewegung bis Vorschub-Startpunkt mit Eilgang mit Eilgang mit Eilgang

umkehren mit Arbeitsvorschub

Anwendungsbeispiel

Bohren, Zentrieren Bohren, Plansenken Tieflochbohren, Spänebrechen Gewindebohren

– –

– Halt

mit Arbeitsvorschub mit Eilgang

Ausbohren 1, Reiben Ausbohren 2

–

Halt

mit Handbedienung

Ausbohren 3

ja

Halt

mit Handbedienung

Ausbohren 4

ja

–

mit Arbeitsvorschub

Ausbohren 5

4 Manuelles Programmieren 4.8.1.2 Fräszyklen Sofern eine Steuerung Fräszyklen anbietet, sind diese nicht genormten Zyklen für Standardbearbeitungen wie – Lochkreise – Nuten – Rechtecktaschen – oder Kreistaschen vorbereitet. Die Fräszyklen werden meist über G-Wörter adressiert, die nach Norm ständig frei verfügbar sind oder die vom Steuerungshersteller nicht mit genormten Funktionen belegt wurden (Tabelle 2). In Abhängigkeit vom Steuerungsfabrikat werden gleiche Fräszyklen mit unterschiedlichen Adresswerten programmiert. Nachfolgend wird ein Fräszyklus zum Ausräumen von Rechecktaschen durch Schruppen im Gegenlauf anhand der Deckel Dialogsteuerung 2 beschrieben.

4.8.1.3 Drehzyklen Sofern eine Steuerung Drehzyklen anbietet, sind diese nicht genormten Zyklen für häufig vorkommende Bearbeitungen wie – Längs- oder Planschruppen – Abspanen längs einer beliebigen Kontur – Gewindedrehen – Drehen radialer oder axialer Einstiche – Drehen von Freistichen gemäß Norm – Drehen von Fasen – sowie automatisches Ausmessen von Werkzeugen vorbereitet. Die Drehzyklen werden meist durch G-Wörter adressiert. Wie die Fräszyklen werden auch die Drehzyklen steuerungsspezifisch mit unterschiedlichen Adresswerten programmiert. Nachfolgend wird ein Drehzyklus zum Längsdrehen mit anschließendem Konturschnitt anhand der Gildemeister EPLSteuerung näher beschrieben. Der Drehzyklus wird durch G81 und G37 aufgerufen. Es handelt sich dabei um zwei in einem Satz geschriebene Arbeitszyklen.

P 35 Der Fräszyklus wird durch G71 aufgerufen. Maßangaben werden bei der Steuerung in Mikrometer, Vorschübe in mm/min und Drehzahlen in 1/min programmiert (Bild 23).

Bild 23. Rechtecktaschen – Fräszyklus G71 ■ Beispiel: Programmsatz mit Fräszyklus

Der Drehzyklus G81 ist ein Schruppzyklus, der den programmierten Konturzug mit vorgegebener Zustellung achsparallel zerspant. An Konturübergängen wie Radien oder Schrägen bleiben durch die schrittweise Zustellung Stufen stehen. Diese Stufen werden mit dem Drehzyklus G37 abschließend in einem Schnitt entlang der programmierten Kontur abgespant (Bild 24). Maßangaben werden bei der Steuerung in Millimeter angegeben. ■ Beispiel: Programmsatz mit Drehzyklen G81 und G37

Zur vollständigen Beschreibung des Arbeitszyklus gehört der nachfolgende Programmausschnitt.

P 36

P Programmierung von Werkzeugmaschinen

Bild 24. Arbeitszyklus Längsdrehen G81 mit konturparallelem Schnitt G37

N ...

vorangehende Programmsätze

N9 ...

Angaben zu Werkzeug und Technologie

N10 G 00

X200

Z205

N11 G81 G37

X 60

Z200

N12 G01 N13 G01 N14 G01 N15 G03 N16 G01

Z180 X100 X120 X160

I10

Z170 Z150 Z130

I0

N17 G80

LF

Startpunkt im Eilgang anfahren

LF

Arbeitszyklus aufrufen mit Angabe des Konturendpunktes

LF LF LF K–20 LF LF LF

N18 ...

Konturbeschreibung der zu spanenden Kontur

Ende Abspanzyklus G81/G37 weitere Programmsätze

4.8.2 Unterprogrammtechnik

4.8.2.2 Aufruf eines Unterprogramms

Unterprogramme sind Programmteile, die nur einmal programmiert werden und im Hauptprogramm mehrfach aufgerufen werden können. Zweckmäßig ist dies immer dann, wenn auf einem Werkstück beispielsweise mehrfach wiederkehrende, gleiche Konturabschnitte zerspant werden müssen. Dadurch wird die Programmlänge erheblich verkürzt.

Aufgerufen wird ein Unterprogramm vom Hauptprogramm aus durch eine Adresse und die dahinter angegebene Programmnummer. Nach DIN 66 025 sollte zur Adressierung von Unterprogrammen die Adresse L benutzt werden. In Abweichung von der Norm werden beispielsweise auch die Adressen A, M, U oder Q benutzt. Von Unterprogrammen aus können je nach Steuerungsfabrikat weitere Unterprogramme aufgerufen werden. Die Anzahl der ineinander schachtelbaren Unterprogramme ist ebenfalls steuerungsabhängig. Bild 25 zeigt schematisch den Programmlauf durch ein Hauptprogramm mit geschachtelten Unterprogrammen. Der Rücksprung vom Unterprogramm zum Hauptprogramm oder von Unterprogramm zu Unterprogramm erfolgt immer in dem Satz, der dem Unterprogramm-Aufrufsatz nachfolgt.

4.8.2.1 Aufbau eines Unterprogramms Der formale Aufbau eines Unterprogramms unterscheidet sich in der Regel nicht von einem Hauptprogramm. Das Unterprogramm beginnt mit dem Programmanfangszeichen und einer Programmnummer, das Programmende wird im letzten Unterprogrammsatz durch M02 gekennzeichnet. Die Unterprogrammsätze werden mit Satznummern nummeriert.

4 Manuelles Programmieren

P 37 lung eine andere Programmteilwiederholung aufzurufen, was einer Schachtelung von Programmteilwiederholungen entspricht.

L01: Aufruf (L) und Zahl (01) der Programmteilwiederholungen N3 N11: erster (N3) und letzter Satz (N11) des wiederholten Programmteils

Bild 26. Programmteilwiederholung (Programmschleife) 4.8.4 Änderungen der Werkstückabmessungen und Lageänderungen von Konturen

Bild 25. Unterprogrammtechnik 4.8.3 Programmteilwiederholungen (Programmschleifen) Programmteilwiederholungen oder Programmschleifen sind Programmteile, die bereits abgearbeitet wurden und von nachfolgenden Programmsätzen aus nochmals aufgerufen und abgearbeitet werden. Im Prinzip stellen die in einer Programmteilwiederholung durchlaufenen Sätze ein Unterprogramm dar, das in das Hauptprogramm eingebettet ist. Vorteil: Verkürzung der Programmlänge 4.8.3.1 Aufruf einer Programmteilwiederholung Eine Programmteilwiederholung wird durch einen Programmsatz aufgerufen. Im aufrufenden Satz steht die Satznummer des Programmteil-Anfangs (N...) und des Programmteil-Endes (N...) oder auch nur die Satznummer eines Einzelsatzes. Je nach Steuerungsfabrikat kann zusätzlich die Anzahl (L ...) der Programmteilwiederholungen programmiert werden, sodass die Programmschleife mehrfach durchlaufen wird. Nach Abarbeitung des wiederholten Programmteiles wird das Programm in dem die Programmteilwiederholung aufrufenden Satz fortgesetzt. Bild 26 zeigt schematisch den Ablauf eines Programms mit einer Programmteilwiederholung. Weiterhin kann je nach Steuerungsfabrikat die Möglichkeit bestehen, innerhalb einer Programmteilwiederho-

Zusätzlicher Programmkomfort wird bei einer Reihe von Dreh- oder Fräsmaschinen-Steuerungen dadurch geboten, dass Änderungen der Werkstückabmessungen oder verschiedene Lagen mehrerer identischer Konturzüge auf einem Werkstück durch einfache Funktionen programmiert werden können. Neben den in DIN 66 025 vorgesehenen programmierbaren Nullpunktverschiebungen (G54 bis G59) sind dies nicht genormte Funktionen beispielsweise zur Programmierung – der Drehung des Koordinatensystems – des Spiegelns an einer oder zwei Hauptachsen oder – von Adresswerten über Variablen (Variablenprogrammierung). Mit der Steigerung des Programmierkomforts geht meistens eine erhebliche Verringerung des Programmieraufwandes einher, da wiederkehrende Konturen oder Bohrbilder bei gleichzeitiger Anwendung der Unterprogrammtechnik oder Programmteilwiederholung nur einmal beschrieben zu werden brauchen. 4.8.4.1 Variablenprogrammierung Werden in einem Fertigungsbetrieb häufig Teile mit geometrisch ähnlicher Kontur oder im Rahmen von Teilefamilien durch Dreh- oder Fräsbearbeitung gefertigt, so ist dafür die Variablenprogrammierung die geeignete Funktion. Variablenprogrammierung bedeutet, dass den Adressen anstelle fester Zahlenwerte in einem Teileprogramm Variablen zugeordnet werden. Belegt wird eine Variable mit einem Zahlenwert entweder in einem vom Teileprogramm getrennten (Unter-) Programm oder durch Handeingabe an der Steuerungstastatur.

P 38

P Programmierung von Werkzeugmaschinen

Hieraus folgt, dass Teileprogramme mit Variablen erst dann lauffähig sind, wenn den Variablen zuvor Zahlenwerte zugewiesen wurden.

■ Beispiel:

Variablenkennzeichnung

Zahlenwertzuweisung zu den Variablen Die Zahlenwertzuweisung zu den Variablen sowie die Variablen selbst werden in getrennten Programmen programmiert. Meistens stehen die Variablen im Hauptprogramm und die Zahlenwertzuweisung zu den Variablen erfolgt dann in einem gesonderten Unterprogramm.

Die Variablen werden bei einer Reihe von Dreh- und Fräsmaschinensteuerungen mit dem Buchstaben R und mit einer Nummer von eins bis neunundneunzig bezeichnet. Damit stehen 99 Variablen zur Benutzung frei. Mit Ausnahme der Adresse N können allen übrigen Adressen Variablen zugeordnet werden.

Das Hauptprogramm ruft in Satz N2 durch L500814 das Unterprogramm für die Zahlenwertzuweisung auf. Damit erlangen die Variablenwerte R1 bis R4 Gültigkeit für das Hauptprogramm. Bild 27 zeigt, wie drei unterschiedliche Werkstücke einer Teilefamilie durch Anwendung der Variablenprogrammierung mit einem Hauptprogramm gefertigt werden können. Das Drehteil wird durch Variablen bemaßt. In einer Tabelle ist die Zuordnung der unterschiedlichen Werkstückmaße der drei Werkstückvarianten zu den Variablen R1 bis R19 angegeben. Anhand der Variablentabelle werden dann nacheinander drei Unterprogramme beispielsweise durch Handeingabe an der Steuerungskonsole erstellt.

■ Beispiel: Zahlenwertzuweisung zu den Variablen in einem Unterprogramm

Zeichnung des Werkstücks mit allgemeingültiger Vermaßung mit Variablen

Variable Werkstück 1 R1  200 R2  145 R3  120  90 R4  60 R5  30 R6 R7  20 R8  190 R9 20 R97 25 R98  120 R99 105 R10 80 R11 90 R12 150 R13 220 R14 100 R15 190 R16 225 R17 45° R18 2 R19

Bild 27. Praxisbeispiel Variablenprogrammierung „Drehteile-Familie“ (Gildemeister EPL-Steuerung)

15

Werkstück 2  290  200  150

Werkstück 3

Bemerkung

 110  95  23  270 35 10

190 150 75°

180 200 15°

Gradzahl Steigung Außengew. Steigung Innengew.

Tabelle mit den vom Bediener einzugebenden Variablen

4 Manuelles Programmieren 1. Normen DIN 406, Teil 4: Maßeintragung in Zeichnungen, Bemaßung für die maschinelle Programmierun., 1980 DIN 406, Teil 10: Maßeintragung, Begriffe, allgemeine Grundlagen. 1992 DIN 406, Teil 11: Maßeintragung, Grundlagen der Anwendung, Koordinatenbemaßung, Rohmaße.1992 DIN 55003, Teil 3: Bildzeichen, Numerisch gesteuerte Werkzeugmaschinen. 1981 DIN 66025, Teil 1: Programmaufbau für numerisch gesteuerte Arbeitsmaschinen, Allgemeines. 1983

P 39 DIN 66215, Blatt 1: Programmierung numerisch gesteuerter Arbeitsmaschinen, CLDATA, Allgemeiner Aufbau und Satztypen. 1974 DIN 66215, Teil 2: Programmierung numerisch gesteuerter Arbeitsmaschinen, CLDATA, Nebenteile des Satztyps 2000. 1982 DIN 66217: Koordinatenachsen und Bewegungsrichtungen für numerisch gesteuerte Arbeitsmaschinen. 1975 DIN 66246, Teil 1: Programmierung numerisch gesteuerter Arbeitsmaschinen, Processor-Eingabesprache, Grundlagen und mögliche Geometriedefinitions- und Ausführungsanweisungen. 1983 DIN 66257: Numerisch gesteuerte Arbeitsmaschinen, Begriffe. 1983

3 Steuerungsarten und Interpolationsmöglichkeiten

2.2 Informationsquellen Als Informationsquellen werden die technische Zeichnung, der Bearbeitungsplan, die technologischen Daten (Bedienungsanleitung der Werkzeugmaschine), der Werkzeugplan und die Spannmittelkartei bezeichnet. Die technische Zeichnung beschreibt die Geometrie des Werkstückes. Ihr können außerdem Werkstoffangaben und die geforderte Oberflächenqualität sowie alle Toleranzangaben entnommen werden. Der Bearbeitungsplan beschreibt die nach technologischen und betriebswirtschaftlichen Gesichtspunkten sinnvolle Bearbeitungsreihenfolge unter Beachtung der Herstellungsfaktoren Werkzeugmaschine, Werkzeug und Werkstoff. Die einzusetzenden Werkzeuge werden in einem Werkzeugplan genau beschrieben, um Standzeitbedingungen und somit die Fertigungsqualität festzulegen. Er enthält außerdem Informationen über die Reihenfolge der einzusetzenden Werkzeuge, über die voreingestellten Maße zum Werkzeugträger sowie erforderliche Zerspandaten. Aus der Geometrie des Werkstückes und den geplanten Werkzeugverfahrwegen können sich Kollisionsmöglichkeiten zwischen Werkstück(en), Werkzeug und Spannmittel ergeben. Verhindert wird dies durch einen Spannplan, mit dessen Hilfe der Programmierer optimale Verfahrwege festlegen kann. Die technologischen Daten wie Geschwindigkeiten, Vorschübe, Drehzahlen und andere Spannungsgrößen können Tabellen entnommen werden.

3 Steuerungsarten und Interpolationsmöglichkeiten In der zerspanenden Fertigung lassen sich die meisten Bearbeitungsprobleme aus den drei Geometrieelementen Punkt, Gerade und Kreis darstellen. Tabelle 1. Einteilung der Steuerungsarten

P7 allein nacheinander erfolgen oder in allen Achsen gleichzeitig. Wird bei der Bearbeitung ein Positionieren im Eilgang notwendig und besitzt die Werkzeugmaschine eine Bahnsteuerung, so wird das Werkzeug bei einigen Steuerungen unter einem Winkel von 45° bis zum Auftreffen auf eine Achse verfahren, um dann achsparallel den definierten Punkt zu erreichen. Eine Bearbeitung findet erst am definierten Punkt statt. Das Punktsteuerungsverhalten wird hauptsächlich beim Bohren und seinen Folgeverfahren, beim Punktschweißen und Stanzen angewandt. Bild 1 zeigt das Punktsteuerungsverhalten am Beispiel eines Bohrbildes.

1. Anfahren an P1 im Eilgang 2. Bohren von P1 und Auftauchen aus der Kontur 3. Anfahren an P2 im Eilgang 4. Bearbeiten P2 und Auftauchen aus der Kontur 5. Anfahren an P3 im Eilgang 6. Bearbeiten an P3 und Auftauchen aus der Kontur 7. Anfahren des WWP im Eilgang

(P1 – P2) (P2 – P3) (P3 – WWP)

Bild 1. Punktsteuerungsverhalten beim Bohren

3.2 Streckensteuerung Bei der Streckensteuerung befindet sich das eingesetzte Werkzeug beim Verfahren ständig im Eingriff. Es lassen sich nur achsparallele Konturen erzeugen. Bei der Bearbeitung in einer Achsrichtung befinden sich die anderen Achsen in Ruhestellung.

Die notwendigen Steuerungsvorgänge werden über das Teileprogramm durch die Werkzeugmaschinensteuerung den Antriebselementen übermittelt. Dazu bedient man sich bestimmter Steuerungsgrundelemente, die in Tabelle 1 dargestellt sind.

3.1 Punktsteuerungsverhalten Beim Punktsteuerungsverhalten wird das Werkzeug im Eilgang vom Startpunkt an den entsprechenden Zielpunkt gefahren, ohne dabei im Eingriff zu sein. Die Weginformation für das Verfahren im Eilgang außerhalb der Werkstückgeometrie wird im Teileprogramm mit G00 angegeben. Das Bewegen an den Zielpunkt kann je nach Steuerung in jeder Achse

(WWP – P1)

Bild 2. Streckensteuerung beim Drehen

P8

1. Anfahren an die Kontur im Eilgang 2. Schnittbewegung parallel zur X-Achse 3. Schnittbewegung parallel zur Y-Achse 4. Heraufahren aus der Kontur im Eilgang 5. Anfahren des WWP im Eilgang

P Programmierung von Werkzeugmaschinen

(WWP – P1) (P1 –P2) (P2 –P3) (P3 – HP) (HP – WWP)

Bild 3. Streckensteuerung beim Fräsen

1. Anfahren an die zu erzeugende Kontur im Eilgang (WWP – P1) 2. Eintauchen in die Kontur (P1 P2) 3. Schnittbewegung gleichzeitig in X- und Y-Achse (P2 P3) 4. Auftauchen aus der Kontur (P3 P4) 5. Anfahren des WWP im Eilgang (P4 – WWP)

Bild 5. Bahnsteuerung beim Fräsen

Das Anfahren an die Kontur erfolgt wiederum im Eilgang. Eine Schnittbewegung zur Erzeugung einer achsparallelen Gerade muss der Steuerung mit dem Wegbefehl G01 mitgeteilt werden. Das Prinzip der Streckensteuerung beim Drehen und Fräsen wird in den Bildern 2 und 3 dargestellt.

3.3 Bahnsteuerung Wenn die Geometrie eines Werkstückes eine Bearbeitung in zwei oder mehr Achsen erfordert, sind die Tisch- und Werkzeugbewegungen nur durch eine Bahnsteuerung möglich. Hierbei sind für jede Achse getrennte Antriebsmotoren notwendig, wobei jeweils ein eigener Lageregelkreis vorhanden sein muss. Die Bewegungen innerhalb der Achsrichtungen werden relativ zueinander gesteuert. Damit kann jede beliebige Bahnkurve hergestellt werden. Bild 4 zeigt die Bahnsteuerung bei Drehmaschinen mit Flachbett- und Schrägbettführung. Die Bilder 5 und 6 stellen die Bahnsteuerung beim Fräsen einer Gerade und einer beliebigen Kreisbahn dar.

1. Anfahren an die Kontur im Eilgang 2. Schnittbewegung parallel zur X-Achse (G01) 3. Schnittbewegung im Gegenuhrzeigersinn (G03) 4. Schnittbewegung im Uhrzeigersinn (G02) 5. Auftauchen aus der Kontur auf HP 6. Anfahren des WWP im Eilgang

(WWP - P1) (P1 P2) (P2 P3) P4) (P3 (P4 HP) (HP - - WWP)

Bild 6. Bahnsteuerung beim Fräsen

Bild 4. Bahnsteuerung beim Drehen

Nach der Anzahl der gleichzeitig in einem Funktionszusammenhang stehenden Achsen unterscheidet man die 2-Achsen-Bahnsteuerung, die 2- aus 3-AchsenBahnsteuerung, die 3-Achsen-Bahnsteuerung und die 5-Achsen-Bahnsteuerung (s. Tabelle 2). Da bei einer Bahnsteuerung jeder Achse ständig neue Positionswerte vorgegeben werden, ist eine programmierbare Rechenschaltung (Interpolator) notwendig, die alle Achsbewegungen über einen Geschwindigkeitsregler der Antriebsmotoren so koordiniert, dass die gewünschte Bahn erzeugt wird.

3 Steuerungsarten und Interpolationsmöglichkeiten

P9

Tabelle 2. Bearbeitungsmöglichkeiten der Bahnsteuerung 2-AchsenBahnsteuerung

Bei Bearbeitung gleichzeitig in 2 Achsen können beliebige Bahnen in einer Ebene (X/Y, X/Z, Y/Z) hergestellt werden.

2- aus 3-AchsenBahnsteuerung

Zusätzlich zu der Möglichkeit, beliebige Bahnkurven in einer Ebene herzustellen, ist eine lineare Zustellung der 3. Achse möglich.

3-AchsenBahnsteuerung

Es besteht ein ständiger Funktionszusammenhang zwischen den drei Achsen. Es kann eine räumliche Bahn erzeugt werden.

5-AchsenBahnsteuerung

Ps = Startpunkt Pz = Zielpunkt Nach DIN 66025 wird die Linearinterpolation mit der Wegbedingung G01 angegeben

Bild 7. Die Linearinterpolation

Es kann jede beliebige räumliche Bahn hergestellt werden. Der Werkzeughalter und Werkstückträger sind schwenkbar.

3.4 Interpolationsarten Da auf numerisch gesteuerten Dreh- und Fräsmaschinen gefertigte Werkstücke selten ausschließlich achsparallele Konturen aufweisen, hat der Interpolator die Aufgabe, einem Lageregelkreis den für die Konturerzeugung erforderlichen Lagesollwert vorzugeben. Die Antriebsmotoren für die Vorschubbewegung der Achsschlitten werden über einen Geschwindigkeitsregler so koordiniert, dass eine programmierte Bahn möglichst fehlerfrei nachgefahren wird. Neue Werkzeugmaschinensteuerungen beinhalten Interpolatoren, die eine Linear- und Zirkularinterpolation ermöglichen. Wird die Zirkularinterpolation in einer Hauptebene mit einer senkrecht zu dieser Ebene verlaufenden Linearinterpolation verknüpft, handelt es sich um die Schraubenlinieninterpolation. 3.4.1 Linearinterpolation Bei der Linearinterpolation wird eine Gerade durch das Verfahren einer oder mehrerer Achsen gleichzeitig in einer Arbeitsebene hergestellt. Nach DIN 66025 wird die Linearinterpolation (Bild 7) mit dem Wegbefehl G01 gekennzeichnet. Die Bilder 8 und 9 zeigen die Linearinterpolation am Beispiel eines Drehteiles und eines Fräswerkstückes.

Bild 8a. Beispiel zur Linearinterpolation Aufgabe: Beschreibung der dargestellten Kontur in Absolutmaßprogrammierung (I-Programmierung). Der Drehmeißel befindet sich im WWP und soll im Eilgang auf W/P0 fahren. Nach erzeugter Kontur soll der Drehmeißel im Eilgang zum WWP zurückfahren. Satz- WegbeNr. dingung Koordinaten N G X Z N10 G90 N20 N30 N40 N50 N60 N70 N80 N90 N100 N110

G00 G01 G01 G01 G01 G01 G01 G01 G00 G00

X0 X 55 X 60 (X 60) X 80 (X 80) X 100 X 100 X 120 (X120)

Erklärung

Absolutmaßprogrammierung Z0 Eingang WWp –– oP0 (Z 0) Vorschub P0 oP1 Z-5 Vorschub P1 oP2 Z-30 Vorschub P2 oP3 Z-50 Vorschub P3 oP4 Z-70 Vorschub P4 oP5 Z-80 Vorschub P5 oP6 Z-100 Vorschub P6 oP7 (Z-100) Eilgang P7 –– oP8 Z + 40 Eilgang P8 –– oWWP

P 10

P Programmierung von Werkzeugmaschinen WegSatzNr. bedingung N G

Bild 8b. Beispiel zur Linearinterpolation Drehen

N10

G17

N20

G90

N30

G00

N40 N50 N60 N70 N80

G01 G01 G01 G01 G01

N90

G01

N100

G00

Koordinaten X Y

Erklärung

Anwählen der x/y-Ebene (Absolutmaßeingabe) Absolutprogrammierung (-bemaßung) Eilgang P0  X-55 Y-35 Startpunkt P1 (X-55) Y 15 Vorschub P1  P2 X-30 Y 35 Vorschub P2  P3 X 20 (Y 35) Vorschub P3  P4 X 55 Y-10 Vorschub P4  P5 X 35 Y-35 Vorschub P5  P6 Vorschub P6  X-55 (Y-35) Zielpunkt P7 X0 Y0 Eilgang P7 –  P0

Aufgabe: Beschreibung der dargestellten Kontur in Relativprogrammierung (Inkrementalbemaßung). Bild 9b. Beispiel zur Linearinterpolation Definition der dargestellten Kontur über die Punkte P1 – P7. Das Werkzeug befindet sich in P0 und soll im Eilgang zur Startpunkt P1 fahren. Nach erzeugter Kontur soll das Werkzeug zum Nullpunkt P0 im Eilgang zurückfahren.

Aufgabe: Beschreibung der dargestellten Kontur in Absolutmaßprogrammierung

SatzNr. N

Wegbedingung G

N10

G17

N20

G91

N30

G00

N40 N50 N60 N70

G01 G01 G01 G01

Bild 9a. Beispiel zur Linearinterpolation Definition der dargestellten Kontur über die Punkte P1 – P7. Das Werkzeug befindet sich in P0 und soll im Eilgang zur Startpunkt P1 fahren. Nach erzeugter Kontur soll das Werkzeug zum Nullpunkt P0 im Eilgang zurückfahren.

Koordinaten Erklärung X Y Anwählen der x/y-Ebene Relativprogrammierung (-maßeingabe) Eilgang P0 –  X-55 Y-35 P1Startpunkt) (X 0) Y 50 Vorschub P1 o P2 X 25 Y 20 Vorschub P2 o P3 X 50 (Y 0) Vorschub P3 o P4 X 35 Y-45 Vorschub P4 o P5

3 Steuerungsarten und Interpolationsmöglichkeiten SatzNr. N N80

Wegbedingung G G01

N90

G01

N100

G00

Koordinaten Erklärung X Y X-20 Y-25 Vorschub P5  P6 Vorschub P6  X-90 (Y 0) P7 (Zielpunkt) Eilgang P7 X 55 Y 35 (Zielpunkt) –  P0

3.4.2 Zirkularinterpolation Mithilfe der Linearinterpolation lassen sich theoretisch beliebige Kreisbahnen programmieren. Durch die Bestimmung von Anfangs- und Endpunkten eines Polygonzuges kann durch eine dichte Punktefolge eine Annäherung an die gewünschte Bahn erfolgen. Das erfordert hohen Programmieraufwand und wird durch die Zirkularinterpolation (Kreisinterpolation) ersetzt. Unter Zirkularinterpolation versteht man das Verfahren eines Werkzeuges auf einer kreisförmigen Bahn. Um eine Kreisbahn in einem zweidimensionalen Koordinatensystem festlegen zu können, ist der Kreismittelpunkt durch entsprechende Koordinaten zu definieren. Diese Koordinaten werden als Kreisinterpolationsparameter I, J, und K bezeichnet. Zusätzlich ist innerhalb einer Geometrie der Start- und Zielpunkt der Kreisbahn festzulegen. Außerdem muss der Steuerung die Bearbeitungsrichtung mitgeteilt werden.

P 11 Eine Schnittbewegung im Uhrzeigersinn wird über den Wegbefehl G02 und eine Schnittbewegung im Gegenuhrzeigersinn über G03 festgelegt. Hierzu schaut man immer aus Richtung einer positiven Hauptachse senkrecht auf diejenige Hauptebene, in der die Arbeitsbewegung stattfinden soll. Sowohl die Bewegungsrichtungen als auch die Hilfsparameter sind in DIN 66 025 festgelegt. Bild 10 zeigt das Prinzip der Zirkularinterpolation. Im Regelfall werden Interpolationsparameter inkremental vom Anfangspunkt der Kreisbahn aus angegeben. Eine Absolutprogrammierung der Hilfsparameter ist nach DIN 66 025 auch möglich. Bei Drehmaschinen ist für die korrekte Festlegung der Wegbedingungen zu unterscheiden, ob das Werkzeug vor der Drehmitte (Drehmaschine mit Flachbett) oder hinter der Drehmitte (Drehmaschine mit Schrägbett) liegt. Die Bilder 11 und 12 zeigen das Prinzip der Zirkularinterpolation beim Drehen für Drehmaschinen mit Flach- und Schrägbett. Die Bilder 13 und 14 beschreiben die Kontur eines Drehteiles und eines Fräswerkstückes mithilfe der Linear- und Zirkularinterpolation in Absolut- und Relativmaßprogrammierung.

Bild 11. Zirkularinterpolation im Uhrzeigersinn beim Drehen – Wegbedingung G02

Ps = Startpunkt Pz = Zielpunkt Definition des Start- und Zielpunktes: Ps (Xs/Ys) Pz (Xz/Yz) Hilfsparameter nach DIN 66025: I = Kreismittelpunkt in X-Richtung J = Kreismittelpunkt in Y-Richtung K = Kreismittelpunkt in Z-Richtung Bearbeitungsrichtung: G02 = Zirkularinterpolation im Uhrzeigersinn

Bild 10. Die Zirkularinterpolation beim Fräsen

Bild 12. Zirkularinterpolation im Gegenuhrzeigersinn – Wegbedingung G03

P 12

P Programmierung von Werkzeugmaschinen

Bild 13. Beispiel zur Zirkularinterpolation Drehen

Aufgabe: Beschreibung der dargestellten Kontur in Absolutmaßprogrammierung. Der Drehmeißel befindet sich im WWP und soll im Eilgang auf W/PO fahren. Nach erzeugter Kontur soll er im Eilgang zum WWP zurückfahren.

Beispiel Drehen/Zirkularinterpolation

3 Steuerungsarten und Interpolationsmöglichkeiten

P 13

Aufgabe: Beschreibung der dargestellten Kontur in fahren. Nach erzeugter Kontur soll das Werkzeug im Relativmaßprogrammierung. Der Drehmeißel befinEilgang zum WWP zurückfahren. det sich im WWP und soll im Eilgang auf W/PO Beispiel Drehen/Zirkularinterpolation/Relativ-/Inkrementalmaßprogrammierung

Definition der dargestellten Kontur (Fräsmittelpunktsweg) über die Punkte P1 – P11. Das Werkzeug befindet sich in P0 und soll im Eilgang zur Startpunkt P1 fahren. Nach erzeugter Kontur soll das Werkzeug zum Nullpunkt P0 im Eilgang zurückfahren.

P 14

P Programmierung von Werkzeugmaschinen Aufgabe: Beschreibung der Kontur einer Fräsmittelpunktsbahn in Absolutmaß- und Relativmaßprogrammierung

Bild 14. Beispiel zur Zirkularinterpolation Definition der dargestellten Kontur (Fräsmittelpunktsweg) über die Punkte P1 – P11. Das Werkzeug befindet sich in P0 und soll im Eilgang zur Startpunkt P1 fahren. Nach erzeugter Kontur soll das Werkzeug zum Nullpunkt P0 im Eilgang zurückfahren.

3.5 Ebenenauswahl In einem CNC-Teileprogramm muss neben den Angaben wie Absolut- oder Relativbemaßung und Eilgang- oder Schnittbewegung die Hauptebene, in der die Bearbeitung erfolgt, festgelegt werden. Die X/Y-Ebene wird mit G17, die X/Z-Ebene mit G18 und die Y/Z-Ebene mit G19 programmiert. Bild 15 zeigt die Auswahl der Bearbeitungsebenen beim Fräsen.

Bild 15. Auswahl der Bearbeitungsebenen beim Fräsen

Q 82 3. Konfigurieren des Intelligenten DP-Slaves 

  

Aus dem Hardware Katalog unter PROFIBUS-DP den Ordner bereits projektierte Stationen öffnen und per drag & drop die Station CDU 31x-2 DP auf das Symbol des Profibus-DP ziehen Im Fenster DP-Slave Eigenschaften einstellen: Register Kopplung wählen und auf die Schaltfläche Koppeln klicken Register Konfiguration wählen und über die Schaltfläche NEU die Adressen für den Datenaustausch Master-Slave (MS) zuordnen

Hinweis: Die Eigenschaften der Teilnehmer (Adresse, Betriebsart) können auch eingestellt werden über BEARBEITEN > Objekteigenschaften. Zuvor muss der gewünschte Teilnehmer (z.B. X2) im Stationsfenster markiert werden.

Bild 30. Profibus-DP-Netz

5 Sicherheitsanforderungen an Steuerungen Technische Systeme sind für eine begrenzte Zeit brauchbar, vorausgesetzt, sie werden innerhalb vorgegebener Grenzen beansprucht. Dazu gehören mechanische Beanspruchungen, Umweltbedingungen und eine einwandfreie Instandhaltung. Im Fehlerfall dürfen von automatisierten Anlagen keine Gefahren für Personen ausgehen. Die technische Anlage muss ebenfalls vor Schäden bewahrt werden. Da Fehler in jeder Anlage auftreten können, sind die Auswirkungen der Fehler entscheidend. Tritt irrtümlich in der Steuerung an einem Ausgang zum Stellglied ein 1-Signal auf, so kann dadurch ein Antrieb eingeschaltet werden. Dies kann gefährliche Auswirkungen haben. Es kann jedoch auch versehentlich durch dieses Signal eine Gefahrenmeldung ausgelöst werden. Dieses ist ungefährlich. Tritt irrtümlich ein 0-Signal auf, so kann dies ebenfalls sehr unterschiedliche Auswirkungen haben. Gefährlich wäre die Unterdrückung einer Fehleranzeige; ungefährlich das Abschalten eines Antriebs. Allgemeingültige Lösungen für Sicherheitsanforderungen kann es nicht geben, da jede steuerungstechnische Lösung eines technischen Problems bestimmten, technologisch bedingten, funktionellen Abläufen unterliegt. Für jedes Problem muss deshalb entschieden werden, welche sicherheitstechnischen Maßnahmen erforderlich sind, um Schäden für Personen und Anlagen zu

Q Steuerungstechnik vermeiden. Nachfolgend sind einige Sicherheitsmaßnahmen erläutert: 1. Verriegelungen Stellelemente (K1, K2), die einander entgegengesetzte Bewegungen steuern, dürfen nie gleichzeitig wirksam sein, da dies schwerwiegende Auswirkungen haben kann. Solche Bewegungen sind z.B. der Rechts- und Linkslauf von Motoren. 2. Sicherheitsgrenztaster Endlagen von Maschinentischen, Hebebühnen, Transportbewegungen und anderen technischen Einrichtungen können von Grenztastern (S3, S4) kontrolliert werden. Bei Überfahren unterbrechen Öffnerkontakte unmittelbar die Energieversorgung der Antriebe. 3. Drahtbruchsicherheit In Verbindung mit übergeordneten Sicherheitsschaltungen sollte beim Einsatz speicherprogrammierbarer Steuerungen immer die Forderungen nach drahtbruchsicherem Programmieren berücksichtigt werden. Dies bedeutet:  Signalgeber, mit denen Antriebe eingeschaltet werden, müssen bei Betätigung 1-Signal auslösen (Schließerkontakte).  Signalgeber, die Antriebe abschalten, müssen bei Betätigung ein 0-Signal am Eingang der SPS abgeben (Öffnerkontakte).  Gefahrenmeldungen sollen ebenfalls bei Auslösung ein 0-Signal abgeben. 4. Not-Aus-Einrichtungen Not-Aus-Signale müssen direkt alle Antriebe abschalten, durch die eine Gefährdung ausgeht. Über die beweglichen Anlagenteile hinaus muss ggf. auch die Energieversorgung (Druckluft, Öl, Spannung) betrachtet werden. Einrichtungen, durch deren Abschalten Menschen oder Geräte gefährdet werden (Spannvorrichtungen, Meldeeinrichtungen) dürfen nicht abgeschaltet werden. Das Entriegeln der Einrichtung darf nicht zu einem Wiederanlaufen einer Anlage oder Teilen einer Anlage führen. Die Anlage wird im energielosen Zustand in die Stellung versetzt, aus der sie nach dem Entriegeln der -Einrichtung wieder gestartet werden soll. Bei pneumatischen Anlagen sind die Gefahrenmomente wegen der Kompressibilität der Luft und der fehlenden Selbsthemmung der Linearbewegungen für jedes Arbeitselement zu untersuchen und Sicherheitsbedingung festzulegen. Elektrische Sicherheitsschaltungen werden häufig redundant aufgebaut. Dies bedeutet, dass zur Realisierung der Abschaltung mehr als die erforderlichen technischen Mittel verwendet werden, um ein Höchstmaß an Zuverlässigkeit zu erreichen.

5 Sicherheitsanforderungen an Steuerungen 5. Anmerkungen zur Not-Aus-Schaltung bei Verwendung einer SPS Aus dem Technologieschema (Bild 1) sind die Sicherheitsgrenztaster ersichtlich, die ein Überfahren der Endlagen verhindern. Dazu unterbrechen die Öffnerkontakte unmittelbar die Energieversorgung für den Antrieb. Die Kontakte können zusätzlich für optische Meldungen genutzt werden.

Q 83 gung für K02. Durch den 1. Nebenkontakt wird solange eine Selbsthaltung erzeugt, bis das Relais K02 angezogen hat und über den Öffner 61/62 das Relais K01 spannungslos macht. Jetzt werden die Stromwege zu den Schützen K1 und K2 für die Motoransteuerung freigegeben. Der 4. Nebenkontakt meldet dies über den Eingang E1.0 der Steuerung. Bei einer Betätigung des Not-Aus-Schalters fällt dieser Kontakt ab und die Steuerung erkennt das NotAus-Signal. Im Anwenderprogramm muss dieses Signal zum Rücksetzen der Speicher für die jeweilige Drehrichtung des Motors verwendet werden. Die Nebenkontakte von K02 in den Stromwegen zwischen den SPS-Ausgängen und den Schützen K1 bzw. K2 fallen ab. und unterbrechen unmittelbar die Stromwege. Die Hauptkontakte der Schütze im Arbeitsstromkreis fallen ab und der Antriebsmotor liegt nicht mehr an Spannung.

Bild 1. Technologieschema und Bedienfeld Die Verriegelung der Schütze zur Steuerung des Rechts- und Linkslauf erfolgt durch die Öffner der Hilfskontakte (Bild 3). Diese übergeordnete Sicherheitsschaltung sollte beim Einsatz speicherprogrammierbarer Steuerungen durch die Abfrage der Speicher für die jeweils entgegengesetzte Drehrichtung im Anwenderprogramm unterstützt werden. Eine Verriegelung der Taster für den Rechts- und Linkslauf erhöht die Sicherheit. Weiterhin sind die aufgeführten Forderungen bezüglich des drahtbruchsicheren Programmierens zu berücksichtigen. Die Not-Aus-Signale müssen direkt alle Antriebe abschalten, durch die eine Gefährdung ausgeht. Im Schaltplan ist eine redundante Gefahrenabschaltung für die Steuerung des Gleichstrommotors für einen Maschinentisch dargestellt. Bei Betätigung des Tasters S01 wird über den Öffner 51/52 des Relais K02 kontrolliert, ob sich das Relais K02 für die -Abschaltung tatsächlich in Ruhestellung befindet. K01 zieht an und schließt über den 2. Nebenkontakt den Stromweg 3 zur Spannungsversor-

Bild 2. Software-Verriegelungen

Q 84

Q Steuerungstechnik

Bild 3. Schaltplan mit Not-Aus-Beschaltung

Normen DIN 19226:

Leittechnik; Regelungstechnik und Steuerungstechnik T1 Allgemeine Grundbegriffe T3 Begriffe zum Verhalten von Schaltsystemen T4 Begriffe für Regelungs- und Steuerungssysteme T5 Funktionelle Begriffe T6 Begriffe zu Funktions- und Baueinheiten

EN 60848: GRAFCET (Spezifikationssprache für Funktionspläne und Ablaufsteuerungen) EN 60617: Graphische Symbole für Schaltpläne EN 61082: Schaltpläne EN 61346: T2 Kennbuchstaben von Betriebsmitteln in Schaltplänen DIN 19235: Meldung von Betriebszuständen

DINISO 1219: Graphische Symbole und Schaltpläne T1 Graphische Symbole T2 Schaltpläne EN 61131-3: Speicherprogrammierbare Steuerungen T3 Programmiersprachen (IEC 1131-3) VDI 3260:

Funktionsdiagramme von Arbeitsmaschinen und Fertigungsanlagen (zurückgezogen)

DIN 66261:

Sinnbilder für Struktogramme nach Nassi-Shneiderman

Literatur Braun, W.: Speicherprogrammierbare Steuerungen in der Praxis. Wiesbaden: Vieweg Verlag, 3. Auflage 2005 Siemens: Automatisierungssystem S7-300, M7 – Baugruppen, Nürnberg: 1998 Siemens: SIMATIC Software, Programmierhandbuch, Nürnberg: 1996

2 Signalverarbeitung in Steuerungen Struktogramm Eine weitere grafische Darstellungsmethode für Steuerungsaufgaben, deren Lösung auf der Anwendung eines Algorithmus beruht, ist das Struktogramm. Der Algorithmus zählt die auszuführenden Schritte auf und legt die Reihenfolge fest. Ein Struktogramm wird mit den Sinnbildern nach Nassi-Shneiderman (DIN 66261) dargestellt und mit Texten erläutert. Die Sinnbilder, sogenannte Strukturblöcke, stehen für Programmkonstrukte, deren innere logische Struktur in Steuerungsanweisungen überführt werden muss. Ein Strukturblock ist eine abgeschlossene Einheit mit einem Ein- und Ausgang, zur Erfüllung einer bestimmten Aufgabe. Der Steuerfluss verläuft immer von oben nach unten. Neben einfachen Strukturblöcken zur Beschreibung einer Aktionen oder einer Folge von Aktionen gibt es Strukturblöcke zur Auswahl von alternativer Verarbeitungen in Abhängigkeit von einem logischen Ausdruck oder einem Vergleichsausdruck. Unterschieden wird zwischen Einfach- und Zweifachauswahl oder einer Fallunterscheidung. Mit dem Strukturblock Wiederholung wird ein Verarbeitungsteil solange wiederholt, wie es der Steuerteil vorgibt. Ziel des Struktogramms ist eine von der Programmiersprache unabhängige, übersichtlich strukturierte Darstellung der Steuerungsaufgabe. Einzelne Strukturblöcke können beliebig miteinander verknüpft werden.

Q9

2 Signalverarbeitung in Steuerungen 2.1 Signalarten Ein Signal ist die Darstellung von Information. Die Darstellung erfolgt durch den Wert (digital) oder Werteverlauf (analog) einer physikalischen Größe (DIN 19226, T5). Als Informationsparameter des Signals gilt diejenige Größe, deren Wert oder Werteverlauf Informationen zur Verarbeitung in einer Steuereinrichtung enthält. Kontinuierlich veränderliche physikalische Größen, z.B. Temperatur, Druck liefern analoge Signale. Diese können innerhalb gewisser Grenzen jeden beliebigen Wert annehmen. Bei analogen Signalen ist dem kontinuierlichen Werteverlauf des Informationsparameters Punkt für Punkt unterschiedliche Information zugeordnet. Aus Bild 1 ist ersichtlich, dass zu jedem beliebigen Zeitpunkt dem Informationsparameter Druck (p) ein Wert (eine Information) zugeordnet werden kann.

Bild 1. Analogsignal

Bild 11. Strukturblöcke des Struktogramms

Digitale Signale sind diskrete Signale, deren Informationsparameter innerhalb bestimmter Grenzen nur eine endliche Zahl von Wertebereichen annehmen kann. Der Wertebereich des Informationsparameters ist ein ganzzahliges Vielfaches der kleinsten Einheit (E). Ein digitales Signal kann man sich auch als die Zusammenfassung mehrerer Binärstellen, also mehrerer zweiwertiger Größen vorstellen. So lassen sich z.B. Dezimalzahlen leicht als digitale Informationen darstellen. Werden Informationen von analogen Signalen in digital arbeitenden Systemen genutzt, dann muss die analoge Darstellung der Information durch AnalogDigital-Umsetzer in abzählbare codierte Einheiten zerlegt werden. Der Analog-Digital-Umsetzer liefert eine dem digitalen Wert proportionale physikalische Größe, die umso genauer ist, je besser das Auflösungsvermögen des Umsetzers ist.

Q 10

Q Steuerungstechnik untere Bereich des Signalpegels (L) entspricht dem Zustand „logisch 0“, d.h. ein Schaltkontakt ist geöffnet oder ein Wegeventil ist in Sperrstellung geschaltet worden. Tabelle 1. Bauelemente zur Signalverarbeitung Eingangssignale Berührende Sensoren Berührungslose Sensoren Schalter, Taster, Grenztas- Optische, induktive, kapater, Piezoaufnehmer zitive Näherungsschalter, Thermoelemente Ausgangssignale Stellglieder Aktoren Ventile, Schütze, Meldeeinrichtungen, Leistungstransistor, Motoren, Zylinder, Leistungsthyristor Beleuchtungsanlagen, Heizelemente

Bild 2. Darstellung digitaler Informationen Signale, die nur zwei Informationszustände darstellen können, nennt man binäre Signale. Ein Binärsignal ist ein einparametrisches Signal mit nur zwei Wertebereichen des Informationsparameters.

Signale von Signalgebern werden mit einem vorgeschriebenen Signalpegel als Eingangssignale an die Eingabeeinheit einer SPS oder in eine verbindungsprogrammierte Steuerung gegeben. Die eingehenden Signale werden durch die Steuereinheit entsprechend dem Anwenderprogramm oder der Schaltung verarbeitet. Als Ergebnis der Verarbeitung beeinflussen sie als Ausgangsgrößen über Stellglieder oder Aktoren die Steuerstrecke.

2.2 Logische Grundverknüpfung binärer Signale

Bild 3. Binärsignal Wertebereiche eines einparametrischen Signals können sein: Druck EIN/Druck AUS, Ventil geöffnet/Ventil geschlossen oder 1/0. Die Verarbeitung solcher Informationszustände ist als Bitverarbeitung bekannt. Für die Darstellung im Zweier-System werden in der Mathematik zwei Symbole, nämlich die logischen Zustände 0 und 1, verwendet: 0 wird beschrieben mit 1 wird beschrieben mit

0 · 20 = 0 1 · 20 = 1

Den logischen Zuständen (0, 1) des Informationsparameters wird technisch ein entsprechender Signalpegel (H, L) zugeordnet werden. Zwischen dem oberen und dem unteren Bereich des Signalpegels muss ein Sicherheitsbereich liegen. Der obere Bereich des Signalpegels (H) entspricht dem Zustand „logisch 1“, d.h. ein Schaltkontakt ist geschlossen oder ein Wegeventil ist in Durchlassstellung geschaltet worden. Der

Viele fluidische und elektrische Schaltungen lassen sich durch die logischen Grundverknüpfungen UND, ODER und NICHT in ihrem Verhalten beschreiben. Die Zustände binärer Sensoren, elektrischer Schalter, fluidischer Wegeventile sowie fluidischer und elektrischer Stellelemente und Aktoren lassen sich durch die logischen Zustände „0“ bzw. „1“ beschreiben. Diese Analogien ermöglichen die Anwendung der mathematischen Aussagenlogik zur Analyse und Synthese von binären Verknüpfungssteuerungen. UND-Verknüpfung Eine UND-Verknüpfung liegt immer dann vor, wenn das Eintreten der Ausgangsbedingung von der gleichzeitigen Erfüllung aller Eingangsbedingungen abhängig ist. Anders gesagt: Das Ausgangssignal hat nur dann den logischen Zustand „1“, wenn alle Eingangssignale den logischen Zustand „1“ haben. Bei der Darstellung der Grundverknüpfungen beschränkt man sich auf 2 Signalgeber. Als Signalgeber fungieren die von Hand betätigten 3/2-Wegeventile (1S1 und 1S2) bzw. die elektrischen Taster (S1 und S2). Sie erzeugen die Signale a und b. Bei betätigtem Wegeventil (Schaltstellung a) bzw. bei einem geschlossenem Kontakt des Taster ist der Sig-

2 Signalverarbeitung in Steuerungen nalzustand des Signalgebers jeweils a = 1; bei geöffnetem Kontakt bzw. in der Schaltstellung b des Wegeventils ist der jeweilige Signalzustand a = 0. Werden beide Signalgeber zur gleichen Zeit betätigt, kann der Kolben ausfahren oder das Relais den Nebenkontakt schließen. Die Signale a, b der beiden Signalgeber werden durch ein logisches UND verknüpft und der Variablen y zugewiesen. Die abhängige Variable y hat dann den logischen Zustand „1“. Das Stellsignal y ermöglicht das Eingreifen in die Steuerstrecke. Die Reihenschaltung der beiden Wegeventile kann in der Fluidtechnik auch durch ein Zweidruckventil (1V1) realisiert werden. Das Zweidruckventil ist ein Sperrventil. Die Druckluft kann nur durchfließen, wenn beide Signale (a und b) auf die Steuereingänge 12 und 14 am Zweidruckventil wirken. Liegt nur Druck an einem Signaleingang an, dann ist der

Q 11 Durchfluss gesperrt. Sind die beiden Signale a, b zeitlich versetzt, gelangt das zuletzt ankommende Signal zum Stellglied 1V2 und schaltet es in Durchlassstellung. ODER-Verknüpfung Eine ODER-Verknüpfung liegt vor, wenn das Eintreten der Ausgangsbedingung von der Erfüllung einer unabhängigen Eingangsbedingung abhängt. Technisch wird die ODER-Verknüpfung durch eine Parallelschaltung erreicht. Wird ein Signalgeber bei der Parallelschaltung betätigt, so genügt dies zur Ansteuerung des Relais oder des Zylinders. Das 1-Signal der Variablen a oder b führt also zu „logisch 1“ bei der abhängigen Variablen y. Auch die gleichzeitige Betätigung beider Signalgeber führt zur Aktivierung des Aktors.

Bild 4. Reihenschaltungen (UND-Verknüpfung) von 2 Signalgebern

Bild 5. Parallelschaltungen (ODER-Verknüpfung) von 2 Signalgebern

Q 12

Q Steuerungstechnik

Bild 6. Schaltung mit Öffnerkontakt In der Fluidtechnik kann die Parallelschaltung der beiden Ventile durch ein Wechselventil (1V1) ersetzt werden. Das Wechselventil ist auch ein Sperrventil und erfüllt die ODER-Funktion. Die Signale a oder b müssen jeweils von einem geeigneten Signalgeber erzeugt werden. Das Wechselventil verbindet den Steueranschluss mit dem höheren Druck mit dem Steueranschluss (12) am Stellglied 1V2. Wird nur ein Steueranschluss mit Druckluft beaufschlagt, dann verhindert das Ventil durch den Kugelsitz, dass die beaufschlagte Steuerleitung durch ein parallel geschaltetes Signalglied entlüftet wird. NICHT-Funktion Die NICHT-Funktion invertiert durch Negation den Signalwert einer Variablen, d.h. der Ausgangswert der NICHT-Funktion ist „1“, wenn der Eingangswert der Variablen „0“ ist. Aus dem elektrischen Schaltplan ist ersichtlich, dass die Signalleuchte P1 ohne Betätigung des Tasters S1 leuchtet, da der Stromweg 2 geschlossen ist. Wird der Taster S1 geschlossen, erlischt die Signalleuchte; das 1-Signal der Eingangsvariablen a bewirkt das 0-Signal der abhängigen Variable y. Die Ursache liegt in der Unterbrechung des 2. Stromweges durch den Nebenkontakt, einem Öffner, der durch das erregte Relais K1 geschaltet wird. Bei der pneumatischen Schaltung sind die Durchlassund die Sperrstellung vertauscht worden. Das 3/2Wegeventil hat also ebenfalls eine Öffnerfunktion.

Bei Betätigung von 1S1 wird der Druckluftstrom unterbrochen und die Rückstellfeder im einfach wirkenden Zylinder bewirkt das Einfahren des Kolbens. Darstellung der Grundverknüpfungen durch Programmierung Durch Programmiersprachen werden Steuerungsaufgaben für Automatisierungsgeräte beschrieben. Für die Programmierung von speicherprogrammierbaren Steuerungen gilt heute als Standard die IEC 1131-3. Anhand der Programmiersprachen Anweisungsliste (AWL), Funktionsbausteinsprache (FBS), Kontaktplan (KOP) und Strukturierter Text (ST) werden die Grundfunktionen nachstehend dargestellt.

2.3 Grundlagen und Anwendung der Schaltalgebra Regeln für die Grundverknüpfungen In einer schaltalgebraischen Gleichung können die Ausgangsgröße (y) und die Eingangsgrößen (a, b, ...) als Variable nur zwei Werte, nämlich 0 und 1 annehmen: y = f (a, b, ...) Für eine Eingangsvariable gilt: y = a, dabei ist y = 1, wenn a = 1 ist und y = 0, wenn a = 0 ist.

Bild 7. Logische Grundverknüpfungen in Steuerprogrammen

2 Signalverarbeitung in Steuerungen

Q 13

Für die UND-Verknüpfung von 2 Eingangsvariablen (a, b) gilt: y  ab

(: UND)

Die Verknüpfungsfunktion (Schaltfunktion) beschreibt mit den Operationen der Booleschen Algebra den funktionellen Zusammenhang zwischen den Werten/Zuständen der Eingangssignale (a, b) und denen des Ausgangssignals (y). Die Anzahl der Verknüpfungsmöglichkeiten ergibt sich mit: m = 2n m: Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten n: Anzahl der Signalgeber. Dies ergibt bei n = 2 Variablen 4 Kombinationsmöglichkeiten. Diese können in einer Schalttabelle dargestellt werden. Schalttabellen beinhalten die Zusammenstellung aller Wertekombinationen der Eingangsgrößen und der ihnen zugeordneten Werte der Ausgangsgröße der Schaltfunktion (DIN 19226, T3). Schalttabelle a 0 0 1 1

b 0 1 0 1

ab 00 01 10 11

Bild 10. NICHT-Schaltzeichen Nachfolgend sind in einer Tabelle wichtige Theoreme zusammengestellt, die zur Vereinfachung von Schaltfunktionen genutzt werden können. Tabelle 2. Zusammenstellung von Theoremen der Schaltalgebra a  0  0 a  0  a Netz mit offenem Kontakt a  1  a a  1  1 Netz mit geschlossenem Kontakt a  a  a a  a  a Gesetze der Idempotenz

a a  0 a a 1

aa

Gesetz des Komplements Doppeltes Komplement

Regeln für gemischte Schaltungen UND-, ODER - Verknüpfungen und Negationen lassen sich in größeren Schaltungen kombinieren und mit den Regeln der Booleschen Algebra beschreiben.

y 0 0 0 1

Bild 8. UND-Schaltzeichen Für die ODER-Verknüpfung von 2 Eingangsvariablen (a, b) gilt: y  ab

(: ODER) Bild 11. Gemischte Schaltungen

Schalttabelle a 0 0 1 1

b 0 1 0 1

ab 00 01 10 11

y 0 1 1 1

Die beiden gemischten Schaltungen lassen sich durch Verknüpfungsgleichungen wie folgt darstellen. Die Gleichung für die 1. Schaltung lautet: a  c  b  c  y . Diese Gleichung kann durch die Anwendung des Distributiv-Gesetzes vereinfacht werden:  a  b   c  y Für die 2. Schaltung gilt:  a  c    c  b   a  b  c Tabelle 3. Gesetze der Schaltalgebra

Bild 9. ODER-Schaltzeichen

ab  ba

Für die NICHT-Funktion (Negation) gilt: (– : Negation)

ay

ab  ba

 a  b  c  a  b  c   a  b  c  a  b  c  a  b  c   a  b  c a  c  b  c   a  b  c acbc  abc

Schalttabelle

Kommutativ-Gesetz 1. Assoziativ-Gesetz 2. Assoziativ-Gesetz 1. Distributiv-Gesetz 2. Distributiv-Gesetz

a

a

y

ab  ab

1. Gesetz von de Morgan

0 1

1 0

1 0

ab  ab

2. Gesetz von de Morgan

Q 14

Q Steuerungstechnik a  a  b  a

Absorptionsgesetz

a  a  b  a

Absorptionsgesetz

Folgende Bindungsregeln sind bei der Anwendung schaltalgebraischer Gesetze zu beachten:  Die UND-Verknüpfung hat Vorrang vor der ODER-Verknüpfung, wenn durch Klammern nichts anderes vorgeschrieben wird. a  b  c   a  b  c

 Kommt in einer gemischten Schaltung eine Negation vor, so ist diese zuerst auszuführen. abc  y

Mit Hilfe weiterer Inversionsgesetze lassen sich UND- in ODER-Verknüpfungen und ODER- in UND-Verknüpfungen umwandeln. ab  y

a  b  y

a b

a b a  b  y a  b   a  b

1. Negation der beiden Variablen 2. Negation des Klammerausdrucks 3. Umwandlung der Verknüpfung 4. Gleichsetzen

a b

a b  a  b  y a  b  a  b

Nachweis durch Schalttabelle

■ Beispiel: Wenn die Variablen für die obige Verknüpfungsgleichung die nachfolgend aufgeführten Werte annehmen: a = 1, b = 0, c = 0, führt dies zu folgendem Lösungsweg: 1  0  0= y 110=y 10=y 1=y

Wird der UND- bzw. der ODER-Verknüpfung ein NICHT-Element (Negation) nachgeschaltet, dann spricht man von einer NAND- bzw. NOR-Funktion.

a

b

ab

a

b

a  b

ab

0

0

0

1

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

0

1

1

0

1

1

1

0

0

0

1

Die obige Umwandlungen gelten auch für 3 oder mehr Variable:

a  b  c 

 a  b  c  bzw.  a  b  c   a  b  c

Ermittlung von Verknüpfungsfunktionen aus Schalttabellen Bild 12. Darstellung der NAND-, NOR-Verknüpfung Das Ergebnis einer NAND-Verknüpfung lässt sich auch durch die disjunktive Verknüpfung zweier Variablen erreichen, wenn die beiden Eingänge einer ODER-Verknüpfung negiert werden. ab  ab

(1. Gesetz von de Morgan)

Nachweis durch Schalttabelle a

b

a

b

a b

ab

0 0 1 1

0 1 0 1

1 1 0 0

1 0 1 0

1 1 1 0

1 1 1 0

Eine NOR-Verknüpfung kann durch eine konjunktive Verknüpfung zweier Variablen erreicht werden, wenn beide Eingänge der UND-Verknüpfung negiert werden. ab  ab

(2. Gesetz von de Morgan)

Möglicherweise sind von einer Verknüpfungssteuerung nur die Eingangsgrößen und die Ausgangsgrößen bekannt; die Schaltung aber nicht. Die Bedingungen, die zur Erfüllung der Schaltfunktion (y = 1) führen, können dann mit Hilfe einer Schalttabelle ermittelt werden. Eine solche Schalttabelle ist nachstehend dargestellt. Schalttabelle Zeile 1 2 3 4

A 0 0 1 1

b 0 1 0 1

y 0 1 1 0

Aus dieser Schalttabelle soll eine Verknüpfungsgleichung ermittelt werden, die zur Entwicklung einer Schaltung dient. Grundsätzlich gibt es 2 Möglichkeiten dieses Problem zu lösen: a) Die disjunktive Normalform In der Schalttabelle liefern zwei Zeilen für die Ausgangsgröße y den Wert 1. In diesen Zeilen haben die Eingangsgrößen folgende Signalzustände: Zeile 2: a = 0 und b = 1

2 Signalverarbeitung in Steuerungen

Q 15

oder Zeile 3: a = 1 und b = 0 Verknüpft man die Variablen in den Zeilen 2 und 3 mit UND, so ist die Verknüpfung für die Zeile 2 nur dann für y = 1 erfüllt, wenn der Wert der Variablen a negiert wird. Für die 3. Zeile ist die Bedingung y = 1 nur erfüllt, wenn die Variable b negiert wird. Werden die beiden Konjunkte anschließend disjunktiv verknüpft, erhält man die disjunktive Normalform der Verknüpfungsgleichung: a b ab  y

Werden in diese Gleichung die Werte der Zeile 2 und 3 eingesetzt, dann ist die Bedingung y = 1 erfüllt; werden die Werte der Zeilen 1 und 4 eingesetzt, dann ergibt sich: y = 0! In der disjunktiven Normalform der Verknüpfungsoder Schaltgleichung werden alle Konjunktionen der Eingangsgrößen, welche für y = 1 liefern, disjunktiv verknüpft. Den konjunktiven Term nennt man den MINTERM, da nur eine Verknüpfung aller Eingangsvariablen für die Ausgangsgröße den Wert 1 liefert. b) Die konjunktive Normalform Die Zeilen 1 und 4 der Schalttabelle liefern für die Ausgangsgröße y den Wert 0. Die variablen Eingangsgrößen in diesen Zeilen müssen durch ein ODER verknüpft werden. Eine ODER-Verknüpfung der Eingänge liefert nur dann den Wert 0 als Ausgangssignal, wenn alle Eingangssignale den Wert 0 haben. Alle anderen Eingangssignalkombinationen liefern 1 als Ausgangssignal. Den disjunktiven Term nennt man deshalb den MAXTERM. Für die 1. Zeile gilt: a = 0 oder b = 0 führt zu y = 0. Eine ODER-Verknüpfung der Eingangsvariablen in der Zeile 4 führt nicht zu y = 0. Um diese Bedingung zu erreichen, müssen beide Eingangsvariablen negiert werden, also: ab  y

Die konjunktive Normalform der Verknüpfungsgleichung lautet somit:

a  b  a  b  y Sie ist nur erfüllt, wenn beide Disjunkte 1 liefern. Dies ist der Fall, wenn die Werte der Eingangsgrößen in den Zeilen 2 oder 3 auftreten. Für die Zeile 2 gilt:

 0  1   0  1  1  1  1 Die beiden hier gefundenen Gleichungen zur Beschreibung des in der Schalttabelle vorgegebenen Verhaltens der abhängigen Variablen y werden auch durch ein Antivalenz-Glied, dem Exklusiv-ODER, erfüllt.

Bild 13. Exklusiv-ODER (XOR) Vereinfachung von Verknüpfungsfunktionen In der Praxis ist man bestrebt, Schaltungen mit wenigen Bauelementen oder geringem Programmieraufwand zu entwickeln. Dies erreicht man durch Minimierung der Verknüpfungsfunktion. Eine geringere Anzahl von Bauteilen bedeutet einen Kostenvorteil und eine Verringerung der Reparaturanfälligkeit. Steuerprogramme werden dadurch übersichtlicher, schneller und fehlerärmer. ■ Beispiel: Schaltungsvereinfachung Gegeben sei folgende Verknüpfungsgleichung:

a  b  a  b  a  b  a  b  y Anwendung der de Morgan-Gesetze auf den letzten Term der Gleichung ergibt: ab  ab Einsetzen in die Gleichung ergibt:

a  b  a  b  a  b   a  b  y

Umformen der durch UND verknüpften Terme mittels des Distributivgesetzes ergibt:

 a  b   a  b   a  a    a  b  b  a   b  b  y Die Terme a  a sowie b  b ergeben 0 (Gesetz des Komplements) und können entfallen, da sie keine Schaltfunktion haben. Entsprechend dem Gesetz der Idempotenz gilt:

a  b  a  b  a  b

Dies führt zu folgender Schaltungsvereinfachung:

a  b   a  b  a  b  y



     a  b  b  b  y

b  a  a  a  b  y





b ab  y

a  b  y

2.4 Das Karnaugh-Veitch-Diagramm Eine grafische Möglichkeit zur Vereinfachung von Schaltungen stellt das von Karnaugh entwickelte KVDiagramm dar. Der Umfang des KV-Diagramms richtet sich nach der Anzahl der in einer Gleichung vorkommenden Variablen. Ein solches Diagramm entsteht durch wiederholtes Spiegeln der Felder. Es enthält immer so viele Felder, dass alle möglichen Vollkonjunktionen in das Diagramm eingebracht werden können. Eine Vollkonjunktion ist eine UNDVerknüpfung, die alle vorkommenden Variablen der Verknüpfungsgleichung oder Schaltfunktion enthält. Für jede hinzukommende Eingangsgröße wird das ursprüngliche Feld um ein neues Feld erweitert. Im ursprünglichen Feld hat die neue Eingangsgröße den Wert 0; im neuen Feld hat sie den Wert 1.

Q 16

Q Steuerungstechnik

Bild 14. Entwicklung des KVDiagramms Die Variablen der Eingangsgrößen werden an den Rand des KV-Diagramms geschrieben. In die Felder des KV-Diagramms wird eingetragen, wie die Ausgangsgröße auf die Kombinationen der Zustände der Eingangsgrößen reagiert. Das Vorgehen entspricht der Erstellung einer Schalttabelle. Folgende Regeln gelten zur Vereinfachung mit dem KV-Diagramm:  Es können einzelne oder mehrere Felder, die symmetrisch zu einer horizontalen oder vertikalen Spiegellinie liegen, zur Vereinfachung zu Blöcken zusammengefasst werden. Die Zahl der Felder in einem Block muss eine Potenz von 2 sein.  Ändert sich eine Variable innerhalb eines Blocks beim Übergang von einem Feld zum anderen, so wird diese nicht gelesen.

Block II: a  b  c  d und a  b  c  d Im zweiten Block ändert sich die Variable c; dies führt zu:

a  b  d 1 .

Die beiden Terme werden zusammengefasst; dabei kann a  d ausgeklammert werden. Die minimierte Verknüpfungsgleichung lautet:





ad  bc  y

■ Beispiel: Term ohne Vollkonjunktion Gegeben sei folgende Verknüpfungsgleichung:

a  b  c  d   a  c  d   y Um diese Gleichung mit Hilfe des KV-Diagramms zu vereinfachen, muss der letzte Term in der vorstehenden Gleichung zunächst zu einer Vollkonjunktion „erweitert“ werden. Dazu wird der Ausdruck b  b verwendet.

 a  c  d   b  b a  c  d  b  a  c  d  b Die komplette Gleichung lautet dann:

a  b  c  d   a  c  d  b  a  c  d  b  y Sie wird in ein KV-Diagramm übertragen, wobei die 3 Felder mit den obigen Konjunktionen mit 1 belegt werden. Jedes Feld, das eine „1“ enthält, entspricht einem MINTERM. Dies sind die Felder 00, 04, und 06. Im KV-Diagramm lassen sich nun leicht Terme finden, die sich nur in einer Variablen unterscheiden. Sofern symmetrische Felder mit einer „1“ belegt sind, können sie zusammengefasst werden. Die sich ändernde Variable wird eliminiert. Im Beispiel lassen sich 2 Blöcke zusammenfassen: Block I ergibt sich aus den Feldern 00 und 04, der Block II resultiert aus den Feldern 04 und 06. Block I: a  b  c  d und a  b  c  d Im ersten Block ändert sich die Variable b; dies führt zu:

a  c  d 1 .

Bild 15. KV-Diagramm

2.5 Die Speicherfunktion Wenn ein Startsignal auf den Eingang einer digitalen Steuereinrichtung gegeben wird, dann geschieht dies oft in Form eines kurzen Impulses. Der Zustand „logisch 1“ ist nur für die kurze Betätigungszeit des Signalgebers vorhanden. Soll ein Signal für längere Zeit gespeichert werden, so ist eine Steuerung mit Speicherfähigkeit erforderlich. Entstehung des Speicherverhaltens Speicher haben die Aufgabe, Informationen bis auf Widerruf zu speichern. Ein binärer Speicher kann zwei Schaltzustände annehmen: Er ist gesetzt, d.h. er hat einen inneren Zustand „logisch 1“ oder er ist rückgesetzt, d.h. er hat den inneren Zustand „logisch 0“. Während bei kombinatorischen Steuerschaltungen der Wert der Ausgangssignale nur von der augenblicklichen Kombination der Eingangssignale abhängt, ist bei Steuerungen mit Speichern der Zustand der Ausgänge zusätzlich abhängig vom inneren Zu-

2 Signalverarbeitung in Steuerungen

Q 17

stand der Speicher. Soll beispielsweise ein Gerät (A) dauerhaft durch ein kurzes Tippen auf einen Taster EIN (S) eingeschaltet und durch ein kurzes Tippen auf einen Taster AUS (R) ausgeschaltet werden, kann der Wert des Ausgangssignals nicht mehr nur durch die Kombination der Eingangswerte angegeben werden. Es ist zusätzlich zu beachten, welchen inneren Zustand (Q) der Speicher hat (siehe Schalttabelle).

Aus der vereinfachten Gleichung ist zu erkennen, dass der Signalwert am Ausgang abhängig ist von der Eingangsvariablen R und der Setzvariablen S oder dem inneren Zustand Q des Speichers. Wird die Verknüpfungsgleichung grafisch als digitale Schaltung dargestellt, erkennt man sofort, dass eine Rückführung des inneren Speicherzustandes Q, welcher dem Zustand des Ausgangs entspricht, zur Speicherfunktion führt.

Schalttabelle Zeile 1 2 3 4 5 6 7 8

S: R: Q: A:

Q 0 0 0 0 1 1 1 1

R 0 0 1 1 0 0 1 1

S 0 1 0 1 0 1 0 1

A 0 1 0 0 1 1 0 0

Taster EIN (Setzen) Taster AUS (Rücksetzen) Innerer Zustand des Speichers Stellglied am Gerät (Ausgang)

Festlegung der Dominanz: Werden S und R gleichzeitig gedrückt, soll das Ausgangssignal A „0-Wert“ haben. In den Zeilen 1-4 ist der innere Zustand Q des Speichers 0. Der Wert des Ausgangssignals ist abhängig von den Eingangssignalen der Taster. In Zeile 5 hat das Ausgangssignal (A) den Wert 1, weil der innere Wert des Speichers (Q) 1 ist. Daraus ist ersichtlich, dass der logische Zustand des Ausgangs abhängig ist vom inneren Zustand des Speichers Q. Durch das 1Signal des Taster S in Zeile 6 verändert sich dieser Zustand nicht. In der Folgezeile 7 wird das Ausgangssignal durch R auf 0-Wert gesetzt. Dieser bleibt in der letzten Zeile aufgrund der Dominanz bestehen. Aus der Schalttabelle ergibt sich folgende Verknüpfungsgleichung (DNF):

Q  R  S   Q  R  S   Q  R  S   A R   Q  S    Q  S    Q  S   A

  R   Q  S   Q   S  S   A

   R   Q  S   Q  1  A

  R  Q  S   Q  A

  R   Q  Q    S  Q   A



Bild 16. Speicherverhalten, dominierend Rücksetzen Aus der Darstellung ist ersichtlich, dass der Speicher nach einem kurzzeitigen Signal EIN auf den Eingang S Signalwert „1“ hat. Wenn der Tastimpuls von EIN nicht mehr auf den Eingang S wirkt, bleibt die ODER-Verknüpfung weiter erfüllt, da nun der rückgeführte innere Zustand Q die ODER-Verknüpfung erfüllt. Das 1-Signal aus der ODER-Verknüpfung ergibt in Verbindung mit der negierten Abfrage des Signals AUS am Eingang R den inneren Speicherzustandes Q = 1. Die Speicherfunktion ist erfüllt. Wird in der Folge ein kurzer Impuls auf den Eingang R gegeben, ist aufgrund der Negation am Eingang R die UND-Verknüpfung nicht mehr erfüllt. Das gespeicherte 1-Signal ist aufgehoben und der Ausgangssignalwert wird „0“. Unabhängig von der Möglichkeit, durch eine Schaltung Speicherverhalten zu erzeugen, bieten speicherprogrammierbare Steuerungen (SPS) spezielle Funktionsbausteine als Speicherelemente zur Bitspeicherung: SR- und RS-Flipflop. Der SR-Speicher wird über den Setzeingang S auf den Signalzustand Q = 1 gesetzt. Rücksetzen erfolgt über den Rücksetzeingang R. Wenn gleichzeitig am Setz- und Rücksetzeingang ein Signal anliegt, dominiert das Signal am Rücksetzeingang. Da ein Programm immer zyklisch abgearbeitet wird, hat der zuletzt gelesene Befehl Dominanz. Dies ist im Fall des SR-Speichers der Rücksetzeingang R. Wird der Setzeingang zuletzt abgefragt, liegt dominierendes Setzen des Speichers vor.

R   1   S  Q    A R   S  Q  A

Bild 17. Speicherverhalten, dominierend Setzen

Q 18 Verriegelung von Speichern Verriegelung bedeutet Blockieren eines Signals oder eines Befehls durch bestimmte Signale, die Verriegelungssignale, solange mindestens noch eines davon ansteht (DIN 19226, T5). Das gegenseitige Verriegeln von Signalen ist in der Steuerungstechnik ein immer wiederkehrendes Prinzip. Sei es die Verhinderung des direkten Umschaltens eines Motors vom Rechts- in den Linkslauf oder die Verriegelung eines Folgeschrittes in einer Ablaufsteuerung, solange bestimmte Bedingungen nicht erfüllt sind.

Bild 18. Reihenfolgen-Verriegelung Elektrische und pneumatische Signalspeicherung Eine Signalspeicherung ist auch durch geeignete mechanische Befehlsgeber möglich, z.B. mechanische Stellschalter oder Ventile mit einer Raste. Sollen Schaltbefehle an leistungsstarken Anlagen oder Maschinen gespeichert werden, verwendet man in der Elektrotechnik eine Signalspeicherung durch Selbsthaltung. a) Elektrische Signalspeicherung Das Einschalten eines Stromkreises erfolgt durch einen Schließerkontakt, das Ausschalten erfolgt durch einen Öffnerkontakt (DIN VDE 0113). Haltbefehle müssen Vorrang vor zugeordneten Startbefehlen haben. Nach Betätigung des Tasters S2 betätigt (b = 1) ist der Stromweg 1 zum Relais K1 geschlossen (y = 1). Die Relaisspule wird erregt und erzeugt ein Magnetfeld.

Q Steuerungstechnik Dadurch wird der Anker vom Kern angezogen und der Nebenkontakt schließt den Stromweg 2 zur Relaisspule. Nach dem Loslassen des Tasters S2 bleibt die Relaisspule über diesen Nebenkontakt erregt und „hält“ sich selbst an Spannung (Selbsthaltung). Die Selbsthaltung oder Signalspeicherung kann nur durch Unterbrechung des die Stromversorgung sichernden Stromweges aufgehoben werden. Hierzu dient ein Öffner. Wird der Taster S1 betätigt, wird die Relaisspule stromlos und der Nebenkontakt fällt durch die Federkraft der Rückstellfeder ab (s. auch Bild 10, Abschnitt 3). Betrachtet man die Funktion dieser Selbsthaltung bei gleichzeitiger Betätigung beider Taster, so erkennt man, dass der Vorrang des Haltbefehls erfüllt ist. Liegen die beiden Signalgeber parallel zueinander, dann dominiert bei gleichzeitiger Betätigung beider Taster das Signal von S2. Er schließt den Stromweg 1 zum Relais K1. Bei dieser Schaltung ist also das Einschalten dominierend. b) Pneumatische Signalspeicherung Die pneumatische Selbsthaltung ist der elektrischen Selbsthaltung nachempfunden. Dazu sind zwei 3/2Wegeventile in Reihe geschaltet. Das Ventil 1S1 ist in Ruhestellung gesperrt (Schließer); das Ventil 1S2 hat in Ruhestellung Durchlass (Öffner). Aufgrund der Reihenschaltung dominiert die Ausschaltung durch das Ventil 1S2. In der Praxis ist es eher üblich pneumatische Wegeventile mit Haftverhalten als Signalspeicher zu verwenden. Solche Ventile werden durch Druckluftimpulse gesteuert und verharren in der jeweiligen Schaltstellung. Bild 20 zeigt ein 5/2-Wege-Impulsventil mit einer dominierenden Schaltstellung b. Die Dominanz dieser Schaltstellung erreicht man durch unterschiedliche Querschnitte an den Anschlüssen des Steuerschiebers. Abgeleitet aus der allgemeinen Druckgleich ergibt sich an der Stelle des größten Querschnitts eine größere Kraft zum Verschieben des Steuerschiebers im Ventil: F  p  A .

Bild 19. Elektrische Signalspeicherung

2 Signalverarbeitung in Steuerungen

Q 19

Bild 20. Pneumatische Signalspeicherung

2.6 Zeitelemente und Zähler in Steuerungen Zeitelemente in verbindungsprogrammierten Steuerungen In verbindungsprogrammierten Steuerungen werden für Zeitfunktionen Zeitrelais und geeignete Ventile verwendet. Zeitrelais haben die Aufgabe, nach Ablauf einer vorher eingestellten Zeit einen oder mehrere Nebenkontakte zu betätigen.

Diode sperrt. Der Kondensator wird aufgeladen. Der Widerstand R2 verhindert nach dem Schließen des Tasters einen Kurzschluss. Beim Aufladen des Kondensators steigt die Spannung am Relais K1 langsam an. Ist die Schaltspannung erreicht, schaltet K1. Die Anzugsverzögerung wird am Widerstand R1 eingestellt.

Bild 21. Zeitrelais

Bei einem Relais mit Anzugsverzögerung beginnt der Zeitablauf mit dem Schließen eines Tasters. Elektrisch wird die zeitliche Verzögerung durch RCGlieder bewirkt. Sobald der Taster S1 betätigt wird, fließt über den einstellbaren Widerstand R1 der Strom zum Kondensator C. Die parallel geschaltete

Ein großer Widerstand bedeutet eine große Verzögerungszeit. Bei einem kleineren Widerstand fließt ein größerer Strom, was eine geringere Verzögerungszeit zur Folge hat. Sobald das Signal des Tasters abfällt, entlädt sich der Kondensator über die Diode R und den Widerstand R2 sehr schnell.

Q 20 Bei einem Relais mit Abfallverzögerung beginnt der Zeitablauf mit dem Öffnen des Tasters. Nach Betätigung von S1 fließt der Strom über die in Durchlassrichtung geschaltete Diode zum Kondensator und zum Relais. Das Relais schaltet unmittelbar. Nach dem Spannungsabfall durch das Loslassen des Tasters entlädt sich der Kondensator über die in Reihe liegenden Widerstände und über die Spule des Relais K1. Ist R1 groß eingestellt, so fließt dort nur ein kleiner Strom. Für die Spule am Relais ist dann noch ein ausreichender Teilstrom vorhanden. Der Anker am Relais fällt verzögert ab und mit ihm die Kontakte. In pneumatischen Ventilen wird eine Verzögerungszeit durch Drossel und Luftspeicher erreicht. Eingestellt wird die zeitliche Verzögerung durch eine Dros-

Q Steuerungstechnik sel. Sie verlangsamt den Druckaufbau im Speicher oder verzögert den Druckabfall im Speicher. Das 3/2-Wegeventils schaltet in Durchlassstellung (a), wenn der aufgebrachte Luftdruck größer ist als die Federkraft (Anzugsverzögerung). Fällt das Steuersignal (12) ab, kann die Steuerluft sehr schnell über das Sperrventil (Rückschlagventil) abfließen. Die Kombination aus Drossel und Sperrventil wird als Drosselrückschlagventil bezeichnet. Bei der Abfallverzögerung wird das Ventil unmittelbar über die parallele Leitung zur Drossel in Durchlassstellung geschaltet. Das Umschalten des Ventils in die Sperrstellung (b) verzögert sich durch den verlangsamten Abfluss der Luft aus dem Luftspeicher über die Drossel. Der Bypass ist durch das Sperrventil verschlossen.

Bild 22. Ventile mit Zeitelementen Zeitoperationen mit speicherprogrammierbaren Steuerungen Programmierbare Zeitglieder haben die Aufgabe, zwischen einem Eingangssignal und dem Ausgangssignal des Zeitglieds eine bestimmte zeitlogische Beziehung herzustellen. Zeitglieder von speicherprogrammierbaren Steuerungen können sowohl grafisch als Funktionsbausteine oder auch alphanumerisch editiert werden. IEC-Zeitfunktionen sind: SFB 3 TP zur Impulsbildung, SFB 4 TON als Einschaltverzögerung und SFB 5 TOF als Ausschaltverzögerung.

Zeiten haben in der S7-CPU einen reservierten Speicherbereich vom Datentyp WORD; der Timer (Parameter: T-Nr.) hat den Datentyp TIMER. Das Zeitelement „Zeit als Impuls“ begrenzt die Laufzeit eines Signals, wenn es länger ansteht, als die im Timerwort (TW) eingetragene Zeit. Die eingetragene Zeit wird durch ein Signal auf den Setzeingang (S) gestartet. Der Timerausgang Q des Zeitgliedes wird unmittelbar auf „1“ gesetzt; nach Ablauf der eingetragenen Zeit fällt der Ausgang Q wieder auf „0“ ab. Über den Rücksetzeingang (R) kann das Zeitglied jederzeit dominierend rückgesetzt werden. Am Ausgang DUAL steht der aktuelle Zeitwert (Restzeit) dualcodiert und am Ausgang DEZ im BCD-Format zur Verfügung. Zähler in speicherprogrammierbaren Steuerungen

Bild 23. Zeit als Impuls (STEP 7)

Zähler dienen in Verbindung mit einer SPS u.a. zur Erfassung von Stückzahlen, Flüssigkeitsmengen, Mengendifferenzen und Gewichten. Dabei werden die einer Teilmenge entsprechenden Impulse einem Zähler zugeführt, der die Summe der eintreffenden Impulse bildet. Der Zählerstand entspricht der erfassten Menge. Einrichtungszähler beginnen die Zählung bei Null oder zählen als Rückwärtszähler von einem programmierten Zählerstand nach Null. Zähler haben einen reservierten Speicherbereich vom Datentyp WORD; der Parameter Z-Nr. hat den Datentyp COUNTER. Dargestellt werden die Zahlen von 0 bis 999. Durch Vor- und Rückwärtszähler kann der Zählerwert innerhalb dieses Bereichs verändert

3 Steuerungsmittel

Q 21

werden. Der eingetragene Zählerwert ZW – Datentyp WORD – wird gesetzt, wenn der Signalzustand am Eingang S von „0“ auf „1“ wechselt. Jeder Impuls auf den Eingang ZV erhöht den Zählerstand um 1, jeder Impuls auf den Eingang ZR verringert den Zählerstand um 1. Wechselt der Signalzustand am Eingang R, wird der Zählerwert auf 0 gesetzt. Ein ständiges 0Signal hält den Zählerstand auf 0. Der Ausgang Q führt 1-Signal, wenn der Zählerwert größer ist als 0. Im Ausgang DUAL steht der aktuelle Zählerwert dual codiert und im Ausgang DEZ im BCD-Format zur Verfügung. Beide Ausgänge haben den Datentyp WORD und können z.B. für Vergleichsfunktionen abgefragt werden.

erzeugt werden. Die Steuereinrichtung „Getriebe“ wirkt über geeignete Stellelemente auf die Steuergrößen Verfahrweg, Drehzahl und Geschwindigkeit zur Beeinflussung der Steuerstrecke ein.

Bild 2. Prinzip mechanischer Steuerungen 3.1.1 Steuerung von Drehbewegungen

Bild 24. Zähler (STEP 7)

3 Steuerungsmittel 3.1 Mechanische Steuerungen und Speicher Mechanische Steuereinrichtungen erreichen mit großen Stellgeschwindigkeiten sehr genaue Verstellwege. Sie bestehen aus Getrieben, Kupplungen, Kurvenscheiben und Hebeln. Die Antriebsenergie wird durch elektrische Antriebe bereitgestellt. Anwendung finden diese Steuerungsmittel vorwiegend im Werkzeugmaschinenbau.

Drehbewegungen können mit Stufengetrieben und stufenlos verstellbaren Getrieben übertragen werden. Dabei werden die Drehzahl, die Drehrichtung und das Drehmoment gesteuert. Die Antriebswelle wird in den meisten Fällen mit einer konstanten Antriebsleistung beaufschlagt. Mit einer Änderung der Drehzahl wird auch das Drehmoment verändert. Bei konstanter Leistung steht das Drehmoment M in umgekehrtem Verhältnis zur Drehzahl n (M ~ 1/n).

Bild 3. Kennlinie verstellbarer Getriebe

Bild 1. Mechanische Maschinensteuerung Getriebe beeinflussen als Steuereinrichtungen die Steuerstrecke durch eine Änderung von Drehzahl, Drehmoment, Drehrichtung oder der Bewegungsart. Die Eingangssignale können von geeigneten mechanischen, elektrischen oder fluidischen Signalgebern

Die Kennlinie ist eine Hyperbel. Bei einem Stufengetriebe werden entsprechend der Anzahl der Drehzahlstufen Punkte der Hyperbel belegt; bei schlupffreien, stufenlos verstellbaren Getrieben entspricht die Kennlinie dem geschlossenen Kurvenzug. Gestufte Getriebe werden als Stufenrädergetriebe und Stufenscheibengetriebe ausgeführt. Zur Kraftübertragung dienen Zahnräder oder Riemenscheiben und Riemen. Drehzahl und Drehrichtung werden bei automatischen Stufengetrieben durch Kupplungen verstellt.

Q 38

Q Steuerungstechnik

4 Speicherprogrammierbare Steuerungen 4.1 Das Automatisierungssystem Automatisieren bedeutet den Einsatz künstlicher Mittel, um einen technischen Prozess selbsttätig ablaufen zu lassen. Die Steuerung der technischen Abläufe erfolgt vorwiegend durch speicherprogrammierbare Steuerungen, weil der zu beeinflussende Teil der Anlage stabil ist und nur erfassbare Störgrößen auftreten. Die Eingangsgrößen der Steuerungen kommen aus der zu steuernden Anlage oder erfolgen als Bedieneingriff durch den Menschen. Art und Umfang der Bedieneingriffe werden durch die Betriebsart festgelegt. Mögliche Bedieneingriffe sind Start- oder Stoppsignale. Meldungen aus dem Betriebsartenteil oder aus dem zu steuernden Prozess signalisieren den Zustand oder Zustandsänderungen im Automatisierungssystem. Durch technische Systeme zu automatisierende Funktionen sind u.a. das Speichern, Vereinzeln, Identifizieren, Positionieren, Spannen und Zusammenfügen von Maschinenelementen. Bei der Realisierung von Automatisierungssystemen sind einfache, möglichst lineare Bewegungen zu bevorzugen. Speicherprogrammierbare Steuerungen weisen in der Automatisierungstechnik gegenüber verbindungsprogrammierten Steuerungen viele Vorteile auf, u.a.:  Programme können schnell und problemlos verändert und auf modifizierte Aufgaben zugeschnitten werden (hohe Flexibilität)  Problemlose Speicherung der Programme  Großer Funktionsumfang einschließlich der Verarbeitung digitaler und analoger Daten  Geringe Betriebskosten  Maßnahmen zur Fehlererkennung und -ortung sind programmierbar. Nachteilig sind ihre höhere Komplexität und der Einfluss systematischer Fehler in der Software. Der Hardwareaufbau, der für die nachfolgenden Beispiele verwendeten Simatic S7, ist in der Tabelle 1 dargestellt. Tabelle 1. Konfiguration der Steuerung Pos. Steck- Bezeichnung

Adresse

platz 1

1

Stromversorgung PS 307 2A

Entfällt

2

2

Zentralbaugruppe CPU 315-2 DP

MPI (1)

3

3

Reserviert für eine Erweiterungs-

4

4

Digitale Ein-/Ausgabebaugruppe

baugruppe E0.0 - E0.7, E1.0 - E1.7 A0.0 - A0.7, A1.0 - A1.7 5

5

Analoge Ein-/Ausgabebaugruppe

PEW272 – PEW 278 PAW272, PAW274

Grundsätzlich ist eine Konfiguration der Steuerungshardware zu empfehlen; dies erleichtert die Ermittlung der jeweiligen Adressen der Ein- und Ausgänge einer Steuerung. Konfigurieren bedeutet die softwaremäßige Anordnung von Baugruppen in einer Konfigurationstabelle entsprechend dem tatsächlichen physikalischen Aufbau. STEP 7 ordnet den Baugruppen dann automatisch Adressen zu, die einsehbar sind. Die Zuordnung erfolgt durch Aktivierung der Simatic 300Station im angelegten Projekt. Nach dem Öffnen des Hardware-Katalogs werden in der Reihenfolge des tatsächlichen physikalischen Aufbaus zunächst die Profilschiene, dann die Stromversorgung PS 307 2A, die verwendete CPU und anschließend die erforderlichen Signalbaugruppen eingefügt. Abschließend muss die Hardwarekonfiguration gespeichert werden. Die Eingabebaugruppe hat die Aufgabe, die eingehenden Steuersignale an die Verarbeitungseinheit zu übergeben. In dieser Baugruppe erfolgt die Entstörung, die Pegelumwandlung (5V), die Codierung und die galvanische Trennung der Signale zum Schutz der CPU. Dem positiven oder höheren Potenzial wird der Signalzustand „1“ und dem Bezugs- oder Massepotenzial der Signalzustand „0“ zugeordnet. Ein offener Eingang oder ein Drahtbruch bedeutet ebenfalls Signalzustand „0“. Die Ausgabebaugruppe bereitet die von der Verarbeitungseinheit gelieferten Signale auf. Liefert der Ausgang den Signalzustand „1“, dann wird die an den Ausgang gelegte Spannung durchgeschaltet. Das Durchschalten kann entweder mit Relais oder mittels Transistor erfolgen, wobei auch hier eine galvanische Trennung vorgenommen wird. In der Verarbeitungseinheit (CPU) werden die aus der Eingabeeinheit kommenden Signale entsprechend dem Programm des Anwenders, also den Erfordernissen der zu steuernden Anlage folgend, verarbeitet. Ein Programm ist eine nach den Regeln der verwendeten Sprache festgelegte syntaktische Einheit aus Anweisungen und Vereinbarungen, welche die zur Lösung einer Aufgabe notwendigen Elemente umfasst (DIN 19226, T5). Neben den logischen Grundfunktionen erfolgt die Signalverarbeitung im Anwenderprogramm durch Zuweisungen, Zeit- Zähl-, Speicher-, Rechen-, Vergleichs- und vielen anderen Funktionen. Technisch besteht die Verarbeitungseinheit der SPS im Wesentlichen aus dem Programmspeicher und der Zentraleinheit. Verbunden sind die Einheiten durch ein Bussystem, welches die digitalen Signale nacheinander zwischen den einzelnen Komponenten der Verarbeitungseinheit transferiert. Ein Anwenderprogramm wird in der Reihenfolge abgearbeitet, in der es im Programmspeicher abgelegt ist. Die Zeit für einen Programmdurchlauf nennt man Zykluszeit. Zu Beginn eines jeden Zyklus fragt das Steuerwerk die Signalzustände an den Eingängen der Steuerung nacheinander ab und setzt im Prozessabbild für die Eingänge die jedem Eingang zugeordnete Speicherzelle auf „0“ oder „1“.

4 Speicherprogrammierbare Steuerungen

Q 39

Bild 1. Hardwareaufbau Simatic S7 Der Prozessor des Steuerwerks greift während der Programmbearbeitung auf dieses Prozessabbild zurück und bearbeitet abhängig davon die im Programmspeicher stehenden Steueranweisungen. Dazu liest er die Signalzustände in sein Rechenwerk und verknüpft bestimmte Signale miteinander, z.B. entsprechend den logischen Grundfunktionen (UND, ODER). Am Ende eines Programmzyklus überträgt das Steuerwerk das Prozessabbild aus den internen Speichern über die Ausgabeeinheit auf die Stellglieder. Ein Ausgangssignal wirkt also erst am Zyklusende. Nach Erreichen des Programmendes beginnt ein erneuter Programmdurchlauf. An die mehrpunktfähige Schnittstelle MPI (Multi Point Interface) können bis zu 32 Geräte angeschlossen werden, die miteinander kommunizieren, z.B.  Automatisierungssysteme  Programmiergeräte  Bedien- und Beobachtungssysteme Die Teilnehmeradressen der CPU und der Ausbau des MPI-Netzes werden durch die Parametrierung festgelegt. Um ein S7-Programm anzulegen, muss zunächst der SIMATIC Manager geöffnet und ein neues Projekt angelegt werden. Projekte dienen der geordneten Ablage aller Daten und Programme, die beim Lösen einer Automatisierungsaufgabe anfallen. Der Einstieg in die Programmierung erfolgt durch das Öffnen des angelegten Projekts im SIMATIC Manager. In das markierte Projekt wird eine SIMATIC 300-Station eingefügt. Ein Doppelklick auf das Symbol SIMATIC 300-Station stellt den Hardware Katalog zur Verfügung, der durch einen Doppelklick zu öffnen ist. Nun kann die Konfiguration entsprechend der Tabelle 1 durchgeführt werden. Nach dem Speichern zeigt der SIMATIC Manager die Objekthierarchie des STEP 7-Projekts an. Durch das Öffnen der Objekte erscheinen unter der Station SIMATIC 300(1) das Symbol CPU 315-2 DP und der Container S7-Programme. Ein Doppelklick auf CPU 315-2 DP lässt die Symbole, S7-Programm und Verbindungen erscheinen. Ein Doppelklick auf das Symbol S7Bausteine öffnet den Ordner „Quellen“, „Symbole“ und „Bausteine“. Ein Klick auf den Ordner Bausteine stellt den OB1 bereit. Ein Anwenderprogramm wird

in eine Funktion (FC) oder einen Funktionsbaustein (FB) geschrieben. Vorgehensweise Ordner Bausteine markieren und über das ICON „Einfügen“ wird S7-Bausteine > Funktion oder Funktionsbaustein ausgewählt. In der Einstellmaske wird die Programmiersprache ausgewählt und die Eingabe mit OK bestätigt. Ein Doppelklick auf FC1/FB1 öffnet den Baustein und er kann editiert werden.

In einer CPU laufen zwei verschiedene Programme ab:  das Betriebssystem und  das Anwenderprogramm Das Betriebssystem ist in jeder CPU enthalten und organisiert alle Funktionen und Abläufe der CPU, die nicht mit einer spezifischen Steuerungsaufgabe verbunden sind. Das Anwenderprogramm wird zur Bearbeitung einer spezifischen Automatisierungsaufgabe vom Anwender erstellt. Es ist vorteilhaft, Anwenderprogramme in einzelne in sich geschlossene Programmschritte zu unterteilen. Hieraus ergeben sich folgende Vorteile:  umfangreiche Programme werden übersichtlicher  einzelne Programmteile können standardisiert werden  Änderungen lassen sich leichter durchführen  der Programmtest wird vereinfacht, weil er abschnittsweise erfolgen kann. Ein Anwenderprogramm besteht aus Bausteinen, Operationen und Operanden. Es enthält alle Anweisungen und Deklarationen sowie Daten für die Signalverarbeitung, durch die eine Anlage oder ein Prozess gesteuert werden kann. Es ist einer programmierbaren Baugruppe (CPU) zugeordnet und wird in verschiedene Bausteine gegliedert. Der Organisationsbaustein (OB1) ist die Schnittstelle zwischen dem Betriebssystem der S7 und dem Anwenderprogramm; er legt die Reihenfolge fest, mit der das Anwenderprogramm abgearbeitet wird. Zusammengehörende Programmteile mit in sich abgeschlossenen anwendungsorientierten Funktionen werden in Codebausteinen programmiert. Zu den Codebausteinen gehören die Funktion (FC), Funktionsbausteine (FB), Systemfunktionen (SFC) und Systemfunktionsbausteine (SFB).

Q 40

Funktionen sind hierarchisch die niedrigste Programmorganisationseinheit. Sie dienen zur Aufnahme häufig verwendeter mathematischer und logischer Funktionen. In Funktionsbausteinen werden aufgabenspezifische, möglichst bibliotheksfähige Unterprogramme geschrieben. Ihnen ist immer ein Instanz-Datenbaustein zugeordnet, er stellt das Gedächtnis des Bausteins dar. In globalen Datenbausteinen (DB) werden Anwenderdaten gespeichert, auf die von allen Codebausteinen aus zugegriffen werden kann. Funktionen und Funktionsbausteine sind parametrierbar und verfügen über temporäre Lokaldaten. Temporäre Lokaldaten bleiben nur innerhalb des Bausteins erhalten und können nur hier verwendet werden. In Funktionsbausteinen können zusätzlich statische Lokaldaten deklariert werden. Diese Daten sind bausteinintern gültig und werden über den aktuellen Bausteinaufruf hinaus gespeichert (Gedächtnisfunktion). Zu den Lokaldaten eines Bausteins gehören Formalparameter und Variable, die in einer Variablendeklarationstabelle angegeben werden. Die Variablendeklaration umfasst die Angabe eines symbolischen Namens und des Datentyps. Zusätzlich kann ein Kommentar eingefügt werden. Folgende Formalparameter können deklariert werden:  (in) – Eingangsparameter werden innerhalb des Bausteins abgefragt  (out) – Ausgangsparameter werden innerhalb des Bausteins beschrieben  (in_out) – Durchgangsparameter können abgefragt und beschrieben werden Die Deklaration stat und temp gehören nicht zu den Formalparametern.  (stat) – Interne Zustandsvariable, wird im Instanz Datenbaustein gespeichert (nur FB)  (temp) – temporäre Variable zur Aufnahme von Zwischenergebnisse während der Bausteinbearbeitung Bei Aufruf des Bausteins durch ein Anwenderprogramm werden die Formalparameter mit Aktualparametern, z.B. E, A, MW, MD versehen (parametriert). Aufgerufen werden die Codebausteine durch den Organisationsbaustein OB1. Dieser wird seinerseits zyklisch vom Betriebssystem der S7 aufgerufen.

Q Steuerungstechnik

Bei STEP 7 werden zunächst die aufgerufenen und danach die aufrufenden Bausteine programmiert. Der Datentyp der Variablen hat einen bestimmenden Einfluss auf den möglichen Wertebereich der Daten und auf die zulässigen Operationen, die mit den Variablen durchgeführt werden können. Die Festlegung des Datentyps erfolgt durch Schlüsselwörter (Bit, Byte, Word), die auch den Speicherplatz für die Variable im Anwenderprogramm festgelegen. Nachfolgend sind wichtige elementare Datentypen zusammengestellt. Elementare Datentypen sind unveränderbar; die Obergrenze für die Speicherplatzgröße beträgt 32 Bit. Tabelle 2. Elementare Datentypen Schreibweise und Wertebereich

Datentyp

Größe

BOOL

1 Bit

BYTE

8 Bit

(B#)16# 0 … FF

WORD

16 Bit

(W#)16# 0000 … FFFF

DWORD

32 Bit

(DW#)16# 0000_0000 … FFFF_FFFF

INT

16 Bit

-32768 bis +32767

DINT

32 Bit

L#-2147483648 bis +2147483647

REAL

32 Bit

Dezimalzahl oder Exponentialdarstellung

S5Time

16 Bit

S5T#0ms bis 9990s

TIME

32 Bit

TIME#-24d20h31m bis +24d20h31m

False (0), True (1)

Zahlen sind eine wichtige Teilmenge der in Automatisierungsgeräten zu verarbeitenden Daten. Kenntnisse von der Darstellungen der Zahlen unterstützen das Verständnis für die entsprechenden Datentypen. Das Dualzahlensystem kennt nur die Ziffern 0 und 1. Kennzeichen der dualen Zahlendarstellung ist es, dass die aufsteigenden Stellenwerte Potenzen der Basis 2 sind. Der darstellbare Zahlenumfang ist abhängig von der Wortlänge der Dualzahlen. Der Zusammenhang zwischen einer Dualzahl im Format 8 Bit = 1 Byte und einer Dezimalzahl wird in der Tabelle 3 dargestellt:

4 Speicherprogrammierbare Steuerungen

Q 41

Tabelle 3. Wertigkeit der Stellen der Dualzahlen 7

6

Wertigkeit 2 2 Byte 1 0 Stellenwert der 128 0 Bits

5

2 0

4

2 1

3

2 1

2

2 0

1

2 0

2 1

0

16

8

0

0

1

Eine Folge von 16 Binärzeichen wird als Wort bezeichnet. Als Dualzahl ist sie eine Ganzzahl vom Datentyp INTEGER (INT), das Bit Nr. 15 (MSB) enthält das Vorzeichen (VZ). Die Vorzeichenregel für Ganzzahlen der Datentypen INT und DINT und die Gleitpunktzahl lautet: VZ: 0 bedeutet positive Zahl, VZ: 1 bedeutet negative Zahl. Daraus ergibt sich ein positiver Zahlenbereich von +32767 bis 0 und ein negativer Zahlenbereich von –1 bis –32768. Eine Bitkette von 32 Bit ergibt ein Doppelwort vom Datentyp DOPPELINTEGER (DINT), das Bit 31 enthält das Vorzeichen.

0

Unabhängig von der Wortlänge steht links das höchstwertige Bit (MSB: Most Significant Bit) und rechts das niedrigwertigste Bit (LSB: Least Significant Bit). Das Byte oder auch Merkerbyte in der obigen Tabelle entspricht der Dezimalzahl 153. Haben alle 8 Bit den Wert 1, ergibt sich die zugehörige Dezimalzahl 255. Tabelle 4. Aufbau von Ganzzahlen Bit 15 14 13 13 11 10 9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

VZ 214 213 212 211 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20

Gleitpunktzahlen sind gebrochene, mit einem Vorzeichen versehene Zahlen und haben den Datentyp REAL. Sie bestehen intern aus dem Vorzeichen VZ, dem 8 Bit-Exponenten Exp zur Basis 2 mit einem Abzugsfaktor 127 und einer 23 Bit-Mantisse. Die Mantisse stellt den gebrochenen Anteil der Zahl dar. Der ganzzahlige Anteil der Mantisse ist immer 1, er wird nicht gespeichert. Die Codierung der Gleitpunktzahl umfasst 32 Bit; Bit 31 ist das Vorzeichen. Tabelle 5. Aufbau einer Gleitpunktzahl Bit

31 0/1 VZ

30 27 Exponent

23 20

22 2-1 Mantisse

0 2-23

Der Wert einer Gleitpunktzahl wird errechnet aus: Wert = (VZ)⋅(1. Mantisse)⋅( 2(Exp-127) )

4.2 Grundlagen der Programmierung nach IEC 1131-3 Steuerungsaufgaben werden durch Programmiersprachen beschrieben. Für die Programmierung von speicherprogrammierbaren Steuerungen gilt heute als Standard die IEC 1131-3. Folgende Programmiersprachen wurden in dieser Norm festgelegt:  Anweisungsliste (AWL) bzw. Instruction List (IL)  Funktionsbausprache (FBS) bzw. Function Block Diagram (FBD)  Kontaktplan (KOP) bzw. Ladder Diagram (LD)  Strukturierter Text (ST) bzw. Structured Control Language (SCL)  Ablaufsprache (AS) bzw. Sequential Funktion Chart (SFC)

Die Funktionsbausteinsprache und der Kontaktplan sind grafisch orientierte Sprachen, die den Steuerungsablauf bildhaft darstellen. Sie sind übersichtlich und sowohl für den Anwender als auch den Informatiker leicht zu lesen. Die Funktionsbausteinsprache entspricht dem Funktionsplan (FUP) von STEP 7. Der Kontaktplan ist dem Stromlaufplan vergleichbar. Die Anweisungsliste verwendet mnemotechnische Abkürzungen oder mathematische Symbole für die zu programmierenden Funktionen. Strukturierter Text (ST) ist eine der Hochsprache PASCAL vergleichbare Programmiersprache mit SPS-spezifischen Erweiterungen und dient vornehmlich für die Programmierung mathematischer Funktionen. Die Ablaufsprache verfügt über sprachliche und grafische Elemente zur Programmierung von Ablaufsteuerungen. Tabelle 6. Aufbau von Steueranweisungen (Globaldaten) Adressierung

Marke

Absolut M001: Symbolisch

Operation

Operand/ Variable

U L

E0.5 Ana_Wert1

Kommentar //Taster //Analogwert laden

Eine Steueranweisung ist die kleinste selbstständige Einheit eines Steuerprogramms. Sie stellt die Arbeitsanweisung für die Zentraleinheit dar. Der Operationsteil ist derjenige Teil der Steueranweisung, der die auszuführende Operation beschreibt; der Operandenteil ist derjenige Teil der Steueranweisung, der die für die Ausführung der Operation notwendigen Daten enthält. Das Operandenkennzeichen (E) gibt die Art des Operanden an, der zugehörige Parameter (0.5) die Adresse. Der Operand kann sowohl absolut oder

Q 42 symbolisch als Variable (Ana_Wert1) adressiert werden. Sprungmarke und Kommentar sind optional. Die Sprungmarke besteht aus 4 Zeichen und wird mit einem Doppelpunkt abgeschlossen, der Kommentar beginnt mit zwei Schrägstrichen und endet am Zeilenende. Sollen absolute Adressen (E0.5) in allen Anwenderbausteinen mit symbolischen Bezeichnungen angesprochen werden, wird eine Symboltabelle angelegt. Der Symbol-Editor dient zur Deklaration globaler Variablen. Ein Symbol ist ein vom Anwender definierter Name, der ein Programm häufig leichter lesbar macht. Die Symboltabelle wird durch einen Doppelklick auf den Ordner Symbole oder im Programmeditor in der Menüzeile Extras > Symboltabelle geöffnet und anschließend beschrieben. a) Textorientierte Sprachen Anwenderprogramme können inkrementell oder quellorientiert erstellt werden. Bei der inkrementellen Programmierung überprüft der AWL-Editor jede abgeschlossene Zeile auf Syntaxfehler. Nur syntaktisch korrekte Bausteine lassen sich speichern. Bei der quellorientierte Programmierung muss eine Quelle angelegt werden.

  

Q Steuerungstechnik 

Der Rückhub des Kolbens soll mit hoher Geschwindigkeit erfolgen; er wird durch einen Handtaster mit Öffnerkontakt (S4) eingeleitet. Vorüberlegung: Das geschlossene Schutzgitter ist eine Bedingung für den Beginn des Arbeitsablaufs. Diese Bedingung wird aus Sicherheitsgründen am Rücksetzeingang des SR-Speichers abgefragt. Ein Öffnen des Schutzgitters muss zur Unterbrechung des Arbeitsablaufs führen. Dies ist nur möglich, wenn das Signal auf den Rücksetzeingang wirkt. Infolge der Dominanz des Rücksetzeingang erübrigt sich die Abfrage des Signalgebers am Setzeingang. Die Pressensteuerung ist eine Verknüpfungssteuerung mit Speicherfunktion, dies wird durch die interne Zustandsvariable Q des Speichers abgebildet. Es gilt: (S1∨S2)∧ B1 ∨ Q = A1.0 = 1 Arbeitshub:  Rückhub: S3∨S4 = Q ⇒ A1.0 = 0

Die Signalgeber zur Steuerung der Presse werden an die Spannungsquelle (L+) der SPS gelegt und wirken auf die digitalen Eingänge der SPS. Die Stellelemente werden durch die digitalen Ausgänge der SPS geschaltet, der Minuspol wird auf die Bezugsoder Masseklemme (M) der SPS gelegt. Die an den Eingängen der SPS anliegenden Signalzustände (0/1) der Signalgeber werden erfasst, durch das Anwenderprogramm verarbeitet und als Verknüpfungsergebnis an die Ausgänge der SPS gegeben. Die verwendeten Betriebsmittel für die Beschaltung sind in der Belegungsliste zusammengestellt und den Ein- und Ausgängen der SPS zugeordnet worden. Belegungsliste Betriebsmittel

Bez.

Beispiel: Steuerung einer Presse Der Kolben einer Presse darf nur dann einen Arbeitshub ausführen, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

Handtaster Arbeitshub

S1

E0.0

Fußtaster Arbeitshub

S2

E0.1

Grenztaster für das Schutzgitter

S3

E0.2

Das Werkstück (B1) eingelegt wurde Das Schutzgitter (S3) geschlossen ist und Der Hand- oder Fußtaster (S1  S2) betätigt wird. Das Startsignal wird gespeichert und der Kolben fährt gedrosselt aus.

Induktiver Sensor zur Werkstückerkennung

B1

E0.3

Handtaster Rückhub (Öffner)

S4

E0.4

Bild 2. Schaltplan zur Steuerung einer Presse

Operand

3/2-Wegeventil mit Federrückstellung und Spule 1V1, M1 A1.0

4 Speicherprogrammierbare Steuerungen

Programmerläuterung Erkennt die SPS an den Eingängen E0.0 oder E0.1 und am Eingang E0.3 1-Signal, wird der RS-Speicher gesetzt (Q=1), wenn auch das Schutzgitter geschlossen wurde und der Eingang E0.2 auch 1-Signal meldet. Das Signal „Schutzgitter geschlossen“ wird am Rücksetzeingang negiert abgefragt und ist aus Sicherheitsgründen dominierend. Das geöffnete Schutzgitter meldet 0-Signal und führt aufgrund der negierten Abfrage des Signalgebers immer zum Rückhub des Kolbens.

Bild 3. Signaldiagramm zur Pressensteuerung Der Ausgang A1.0 kann also nur bei geschlossenem Schutzgitter durchgeschaltet werden. Die Spule M1 am 3/2-Wegeventil 1V1 wird erregt und der Kolben fährt aus. Der Rückhub erfolgt im Regelfall, wenn der Öffner S4 nach Betätigung 0-Signal gibt. Der SR-Speicher wird rückgesetzt (Q=0); das 0-Signal wird dem Ausgang A1.0 zugewiesen. Die Spule liegt dann nicht mehr an Spannung und die Feder stellt das 3/2-Wegeventil zurück; der Kolben fährt ein. Dabei entlüftet er direkt über das Schnellentlüftungsventil. Der beim Entlüftungsvorgang am Anschluss 2 anstehende Druck schaltet das Ventil derart, dass die Entlüftung 3 geöffnet und 1 gesperrt wird.

Bei der quellorientierten Programmierung wird das Anwenderprogramm als ASCII-Textdatei in eine AWL- oder SCL-Quelle geschrieben. Vorgehensweise S7-Programme > Quellen > Einfügen > S7-Software > AWL-Quelle/SCL-Quelle

Q 43

Die AWL-Quelle wird durch Doppelklick auf das Symbol geöffnet und editiert. Dabei müssen bestimmte Regeln und Schlüsselwörter beachtet werden. Im Bausteinkopf wird die Bausteinart festgelegt, hier durch das Schlüsselwort FUNCTION und die Angabe FC1, dem Baustein in dem das übersetzte Programm abgelegt wird. Im Deklarationsteil werden die erforderlichen Schlüsselwörter für die bausteinlokalen Variablen angegeben. Im Beispiel sind dies für die Eingangsvariablen: VAR_INPUT, END_VAR, für die Ausgangsvariable: VAR_OUTPUT, END_VAR und für die temporäre Variable des Speichers: VAR_TEMP, END_VAR. Dazwischen stehen die Bezeichnungen für die Variablen. Die Reihenfolge für die Deklaration der Variablen ist unbedingt einzuhalten. Zuerst die Formalparameter in der Reihenfolge in, out, in_out und danach folgen die Lokaldaten; in einer Funktion sind dies die temporären Variablen. Nach dem Schlüsselwort BEGIN wird der Anweisungsteil des Programms geschrieben. Die Unterteilung in Netzwerke (NETWORK) ist nicht erforderlich, sie dient nur zur Gliederung und Kommentierung des Programms. Es gelten die Operationen wie bei der inkrementellen Programmierung. Das Programm endet mit dem Schlüsselwort END_FUNCTION. Nach Fertigstellung wird die Datei übersetzt. Die bei der Übersetzung der Datei erkannten Fehler müssen korrigiert werden, erst danach wird die Datei im Verzeichnis Bausteine unter FC1 abgelegt. Nach dem Aufruf der Funktion im OB1 müssen die im Deklarationsteil aufgeführten Formalparameter mit absoluten Adressen versorgt werden. Die temporären Variablen sind Lokaldaten und werden nur intern beschrieben. Anschließend kann das Anwenderprogramm getestet und ausgeführt werden.

Q 44

Q Steuerungstechnik

Tabelle 7. Schlüsselwörter zur quellorientierten Programmierung in AWL und ST Bausteintyp Bausteinkop

Anweisungsteil Bausteinende

Funktion (FC) FUNCTION VAR_INPUT END_VAR

Funktionsbaustein (FB) FUNCTION_BLOCK VAR_INPUT END_VAR

VAR_OUTPUT END_VAR VAR_IN_OUT END_VAR

VAR_OUTPUT END_VAR VAR_IN_OUT END_VAR VAR_STAT END_VAR VAR_TEMP END_VAR BEGIN NETWORK END_FUNCTION _BLOCK

VAR_TEMP END_VAR BEGIN NETWORK END_FUNCTION

Die Programmierung in der neuen Programmiersprache Strukturierter Text (ST) kann für die Programmierung mathematischer aber auch logischer Funktionen verwendet werden. Zur Einführung in diese Programmiersprache wird ebenfalls der Lösungsalgorithmus für das Lehrbeispiel Pressensteuerung entwickelt. Dazu muss zunächst eine SCL-Quelldatei im

SIMATIC Manager wie oben beschrieben angelegt werden. Das weitere Vorgehen entspricht im Wesentlichen der quellorientierten Programmierung in AWL. Im Bausteinkopf wird die Bausteinart durch das Schlüsselwort FUNCTION festgelegt. Danach werden im Deklarationsteil die Variablen, vergleichbar der quellorientierten Programmierung in Anwei-

4 Speicherprogrammierbare Steuerungen sungsliste, definiert. Die Schlüsselwörter BEGIN und END_FUNCTION begrenzen den Anweisungsteil. Die wichtigsten Operatoren und Kontrollanweisungen sind der nachstehenden Tabelle zu entnehmen. Kontrollanweisungen dienen zur wiederholten Ausführung von Steueranweisungen (Schleifen) oder zur

Q 45 Ausführung lösungsbedingter Anweisungen (Alternativen). Nach Fertigstellung wird die Quelle übersetzt und in der Funktion FC1 abgelegt. Die Quelle wird nach dem Aufruf im OB1 entsprechend der AWL-Quelle parametriert. Die Parameter sind Schnittstellen nach außen zur Übergabe der Daten.

Tabelle 8. Ausgewählte Sprachelemente Strukturierter Text Kontrollanweisungen

Aufgabe

AND

Operatoren

Logisches UND

FOR-Schleife

Wiederholung von Programmteilen bis zur festgelegten Zahl der Schleifendurchläufe.

OR

Logisches ODER

WHILE-Schleife

Durchlaufen einer Schleife bis zur Erfüllung der Durchführungsbedingungen

NOT

Negation eines logischen REPEAT-Schleife Operanden

Ausführen der Schleife bis zur Erfüllung der Abbruchbedingung

XOR

Logisches ExklusivODER

IF-Anweisung

Ausführen einer Anweisung in Abhängigkeit von einer Bedingung

< >

Kleiner Größer

CASE-Anweisung

Dient zur 1 aus n Auswahl von Programmteilen

=

Kleiner oder Gleich Größer oder Gleich

CONTINUE-Anweisung

Möglichkeit zum Abbruch des momentanen Schleifendurchlaufs

==

Gleich Ungleich

EXIT-Anweisung

Dient zum Verlassen von Schleifen

:=

Zuweisung

GOTO-Anweisung

Veranlasst einen Sprung zu der angegebenen Sprungmarke

()

Klammerung

RETURN-Anweisung

Veranlasst einen Rücksprung in den aufrufenden Baustein oder ins Betriebssystem

b) Grafische Programmiersprachen Die Funktionsbausteinsprache und der Kontaktplan sind grafisch orientierte Programmiersprachen. Sie sind übersichtlich und gut lesbar. Exemplarisch soll an zwei Beispielen die Programmierung mit grafischen Programmelementen dargestellt werden. Beispiel 1: Heizkessel mit Temperaturüberwachung Die Temperatur in einem Heizkessel soll von einem Temperatursensor, der bei einem eingestellten Grenzwert der Temperatur anspricht, überwacht werden. Bei überhöhter Temperatur soll eine Meldung durch die Signalleuchte P1 erfolgen. Ist die Temperatur nach 20 Sekunden noch nicht abgefallen, soll zusätzlich ein akustisches Signal P2 ausgelöst werden. Das akustische Warnsignal kann durch einen Taster S1 abgeschaltet werden.

Bild 4. Heizkesselüberwachung

Q 46 Symbol LM_P1 Hupe_P2 TempS_B1 Tast S1

Q Steuerungstechnik Adresse A 1.1 A 1.2 E 0.1 E 0.2

Datentyp BOOL BOOL BOOL BOOL

Kommentar Signalleuchte: Überhöhte Temperatur Akustische Warnmeldung Der Temperatursensor steuert einen Öffner Drucktaster zum Abschalten des Hupsignals

Programmerläuterung Das Anwenderprogramm zur Heizkesselüberwachung ist als Kontaktplan editiert worden. Der Kontaktplan orientiert sich am Stromlaufplan. Er verfügt nur über wenige grafische Symbole und verwendet viele Elemente der Funktionsbausteinsprache. Im vorliegenden Beispiel werden die absoluten Adressen durch symbolische Bezeichnungen ersetzt. Dazu ist eine Symboltabelle angelegt worden. Die Symboltabelle kann im Programmeditor in der Menüzeile Extras > Symboltabelle geöffnet und anschließend beschrieben werden. Unterbricht der Sensor den Öffnerkontakt zur Meldung einer überhöhten Temperatur, wird unmittelbar die Signalleuchte P1 angesteuert. Gleichzeitig wird der Timer T1 durch das Sensorsignal beaufschlagt. Der Timer schaltet durch, wenn die am Eingang TW eingetragene Verzögerungszeit von 20 Sekunden abgelaufen ist. Der Timerausgang Q führt 1-Signal und die Hupe P2 ertönt. Fällt das Signal des Sensors ab, führt der Timerausgang Q 0-Signal, die Hupe schaltet ab. Geschieht dies nicht, kann die Hupe über den Rücksetzeingang des Timers abgeschaltet werden.

Bild 6. Prozessablauf: Automatischer Reinigungszyklus Der automatische Reinigungsvorgang soll auch unabhängig durch Handsteuerung des doppelt wirkenden Zylinders durchgeführt werden können. Als Stellglied zur Steuerung des Zylinders dient ein 5/2-WegeMagnetimpulsventil. Die Endlagen des Kolbens werden durch die ReedKontakte B1 und B2 kontrolliert. Der Arbeitszyklus wird durch einen Taster (S1) gestartet und nach drei Reinigungsbädern automatisch unterbrochen. Wird der Prozess von Hand gesteuert, erfolgt die Steuerung des Zylinders durch die Taster S2 und S3. Die Umschaltung Automatik-/Handbetrieb erfolgt durch einen Stellschalter (S0).

Bild 5. Signaldiagramm: Zeit als Einschaltverzögerung Beispiel 2: Steuerung eines Reinigungsprozesses Ein Korb mit kleinen Bauelementen, deren Oberfläche infolge der Bearbeitung eine Ölschicht hat, soll in ein Reinigungsbad abgesenkt werden, dort 30 Sekunden bleiben, angehoben werden und nach dem Abtropfen (5 s) wieder in das Bad abgesenkt werden. Der Vorgang soll 3-mal wiederholt werden.

Bild 7. Technologieschema mit Bedienfeld

4 Speicherprogrammierbare Steuerungen

Q 47

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Q Steuerungstechnik

4 Speicherprogrammierbare Steuerungen Programmerläuterung Das Anwenderprogramm zur Steuerung der Reinigung von Bauteilen ist in zwei Codebausteinen geschrieben worden. Der Funktionsbaustein FB1 enthält den Programmteil zur automatischen Steuerung des Reinigungsvorgangs. Er wird bedingt aufgerufen, wenn auf den Freigabeeingang EN das 1-Signal des Steuerungseingangs E0.7 wirkt. Der Freigabeausgang wird hier nicht beschaltet, er kann zur Signalisierung von Fehlern bei der Bearbeitung des Codebausteins genutzt werden. Nach Aufruf führt der Funktionsbaustein den Programmzyklus aus. Mit dem Startsignal fährt der Kolben unmittelbar aus. Gleichzeitig wird der Rückwärtszähler Z1 gesetzt. Der Rückhub erfolgt nach Ablauf der eingestellten Verzögerungszeit am Timer T2. Der Zeitablauf wird gestartet, sobald am Setzeingang S durch den Reed-Kontakt B2 ein 1-Signal ansteht. Dieses Signal muss während der gesamten Laufzeit des Timers anstehen. Nach Ablauf der Zeit schaltet der Ausgang Q des Timers die Spule M2 am Magnetventil. Der Kolben fährt ein. Der Reed-Kontakt B1 startet in Verbindung mit dem Merker M4.0, der nun 1-Signal führt infolge der erfüllten Vergleichsbedingung, eine kurze Verzögerungszeit (t1). Mit einem Vergleicher werden die Werte zweier Operanden des gleichen Datentyps (INT/DINT/REAL) verglichen. Das Vergleichsergebnis steht als boolscher Wert zur Verfügung. Nach Ablauf fährt der Kolben wieder aus, bis der Rückwärtszähler auf Null gezählt hat. Der Zähler blockiert einen weiteren Arbeitszyklus. Soll der Kolben von Hand gesteuert werden, muss der Signalgeber auf den Eingang E0.7 0-Signal liefern. Dann wird die Funktion FC1 aufgerufen. Unter Umgehung des Zählers und der Zeitglieder kann der Korb beliebig abgesenkt und gehoben werden. Für beide Codebausteine sind in der Variablendeklarationstabelle die Formalparameter eingetragen worden. Die Variablendeklaration umfasst die Zuordnung der Deklaration, die Angabe eines symbolischen Namens und eines Datentyps; der Kommentar ist optional. Die deklarierten Eingangsparameter (in) sind die Eingangssignale der Taster und die Signale der Reed-Kontakte, die Vorgabezeiten für die Timer und die Vorgabe des Zählerwerts. Die Ausgangsparameter (out) sind die Signale zur Ansteuerung der Magnetspulen M1 und M2. Ein Formalparameter ist ein Platzhalter für den tatsächlichen Parameter. Er übergibt seinen Wert bei Aufruf an einen Aktualparameter; solche Aktualparameter sind z.B. E0.0 oder A1.0. Merker oder Merkerwort als globale Speicheradressen der CPU erfordern keine Deklaration. Weitere globale Speicheradressen sind Zähler Z und Timer T. Variable, die in Anwenderprogrammen verarbeitet werden, können verschiedene Datentypen haben. Mit Hilfe eines Datentyps wird festgelegt, wie der Wert einer Variablen oder Konstanten im Anwenderprogramm verwendet werden soll. In der Deklarationstabelle verwendete Datentypen sind BOOL, WORD und TIME. Boolesche Werte sind True oder False bzw. 1/0, sie belegen 1 Bit. Der Datentyp Word ist eine 16-Bit-Bolge, S5Time dient der Darstellung einer Zeit zwischen 0ms und 9990s. Beide Codebausteine werden im OB1 aufgerufen und parametriert, d.h. den Formalparametern wird ein Aktualparameter zugeordnet.

c) Ablaufsprache Die Ablaufsprache verfügt über sprachliche und grafische Elemente zur Programmierung von Ablaufsteuerungen. STEP 7 stellt dafür das Optionspaket S7-GRAPH zur Verfügung. Seine Funktionalität wird anhand einer linearen Ablaufkette für einen doppelt wirkenden Zylinder, dessen Kolben nach einem Startimpuls durch einen Taster (S1) ausfährt und zeitverzögert wieder einfährt, erläutert. Als Stellglied dient ein 5/2-Wege-Magnetimpulsventil, dessen Spulen 50 ms angesteuert werden. Die Endlagen des Zylinders

Q 49 werden durch die Reed-Kontakte B1 und B2 kontrolliert. Nach Betätigung des Starttasters S1 soll eine Signalleuchte den Start der Ablaufkette signalisieren; nach Erreichen der Ausgangssituation erlischt diese Signalleuchte. Belegungsliste Betriebsmitttel

Bez

Operand

Taster

S1

E0.0

Reed-Kontakt

B1

E0.1

Reed-Kontakt

B2

E0.2

Magnetimpulsventil mit Spule

M1

A1.1

Magnetimpulsventil mit Spule

M2

A1.2

Signalleuchte (Initialisierung)

P1

A1.0

Signalleuchte (Automatik)

P2

A1.3

Um das Anwenderprogramm zu editieren, muss zunächst ein Funktionsbaustein (FB) erzeugt, als Sprache GRAPH eingestellt und der Graph-Editor durch Doppelklick auf den FB geöffnet werden.

Bild 8. Graph-Editor Der Editor bietet den Initialisierungsschritt und eine Aktion sowie die erste Transition an. Das weitere Vorgehen kann wie folgt erfolgen:  Einfügen > Schritt und Transition über die Menüleiste oder identifizieren der Einfügeposition mit dem Cursor und anklicken des Icons in der Symbolleiste  Sind die erforderlichen Schritt eingefügt, wird der Rücksprung zum Schritt 1 eingefügt  Die Aktionen können nach einem Klick in den Aktionsrahmen textuell eingefügt werden  Die Transitionsbedingungen werden nach Identifizierung der Einfügeposition als KOP- oder FUPBox eingefügt und beschrieben  Der Parametersatz des FB wird über Extras > Baustein-Einstellungen > Minimal (weil nur Automatikbetrieb vorliegt) gewählt  Datei speichern, FB aufrufen, parametrieren und den Datenbaustein erzeugen

Q 50

Erläuterung Nach dem Aufruf des Anwenderprogramms ist der Initialisierungsschritt aktiv (Anzeige A1.0). Die Aktion ist kontinuierlich wirkend (N). Um die Ablaufkette einmal zu durchlaufen, muss sich der Zylinder in der Grundstellung befinden (B1) und das Signal des Tasters S1 (E0.0) muss gegeben werden. Das Signal des Initialisierungsschritt erlischt. Schritt 2 ist aktiv und die Aktionen werden ausgeführt: Der Ausgang A1.1 meldet speichernd (S) den Start der Ablaufkette und die Spule M1 wird über den Ausgang A1.2 50 ms aktiviert. Erreicht der Kolben die vordere Endlage, gibt der Reed-Kontakt B2 (E0.2) die Transition T2 frei. Schritt 3 wird aktiv. Die Spule M2 wird 5 s verzögert (D) für 50 ms (L) über den Ausgang A1.3 aktiviert. Der Kolben fährt ein, betätigt den Reed-Kontakt B1 (E0.1), die Signalleuchte für den automatischen Ablauf erlischt und es erfolgt der

Q Steuerungstechnik

Rücksprung zum Schritt 1. Der Zyklus kann erneut gestartet werden. In S7-Graph sind die Ablaufkette und die Befehlsausgabe in einem Funktionsbaustein zusammengefasst. Sind verschiedene Betriebsarten für eine Steuerungsaufgabe erforderlich, so können im Funktionsbaustein FB1 die erforderlichen Parametersätze eingestellt werden unter Extras > BausteinEinstellungen > Übersetzen/Speichern. Der Parametersatz Standard stellt u.a. die Betriebsarten Automatik, Tippen und Hand zur Verfügung.

4.3 Bibliotheksfähige Programmbausteine STEP 7 stellt dem Programmierer vorgefertigte Systemfunktionen (SFC) und Systemfunktionsbausteine (SFB) in einer Bibliothek zur Verfügung. Diese können in Anwenderprogrammen aufgerufen und para-

4 Speicherprogrammierbare Steuerungen metriert werden. Für den Anwender besteht auch die Möglichkeit für seine Bedürfnisse bibliotheksfähige Bausteine selber zu erzeugen und in einer Bibliothek abzulegen. Dazu bieten sich häufig wiederkehrende mathematische und logische Funktion oder Programmteile an. Die in der Bibliothek als parametrierbare Bausteine abgelegten Bausteine können bei Bedarf aufgerufen und in Anwenderprogramme einbezogen werden. a) Blinktaktgeber Ein Blinktaktgeber für eine beliebige Blinkfrequenz kann mit Hilfe der Zeitfunktionen von STEP 7 programmiert und in Anwenderprogrammen genutzt werden. Nutzt man ein Blinktakt-Pause-Verhältnis von 1:1, genügt eine Zeitfunktion. Zunächst muss unter Bibliothek ein Ordner zur Ablage der Programmbausteine angelegt werden.

Erläuterung Um die Funktion beliebig verwenden zu können, muss sie parametrierbar sein. Dazu werden in der Variablendeklarationstabelle die Lokaldaten des Bausteins deklariert. Dies sind die Formalparameter mit den Deklarationen in und out und zwei temporäre Variable. Die Variable ZE_OP wird negiert abgefragt und startet die vorzugebende Laufzeit des Timers. Nach Ablauf der Zeit hat der Timer (Z_Glied) einen Zyklus lang 1-Signal. Mit diesem Signal des Zeitoperanden ZE_OP wird die temporäre Variable MERK auf „1“ gesetzt bis die Laufzeit des Timers erneut abgelaufen ist. Das Signal für den Blinktakt BL_TA und der Zeitoperand ZE_OP, der wieder 1-Signal hat, setzen die Variable MERK auf „0“. Der Wert der Variablen MERK wird dem Formalparameter BL_TA zugewiesen.

Q 51 Vorgehensweise Datei > Neu > Bibliothek > Namen angeben: z.B. FCBausteine ÖFFNEN Anwenderprojekte Name FC-Bausteine FB-Bausteine Standard Library

Bibliothek Beispielprojekte Ablagepfad C:\Siemens\Step 7\S7 libs\FC-Bausteine C:\Siemens\Step 7\S7 libs\FB-Bausteine C:\Siemens\Step 7\S7 libs\StdLib30

Anschließend wird der Ordner FC-Bausteine geöffnet und eine Funktion erzeugt. Vorgehensweise Doppelklick auf S7-Programme > Bausteine > Einfügen > S7-Bausteine > Funktion

Anschließend wird die Funktion geöffnet, editiert und in der Bibliothek gespeichert.

Die Funktion wird später im Beispiel zur Drehstrommotorsteuerung aufgerufen und parametriert. b) Messwertkontrolle Von einem Messgeber eingehende Messwerte sollen mit dem oberen und unteren Grenzwert verglichen werden. Liegt der Messwert innerhalb der Toleranz, soll das Messergebnis als GUT (1-Signal) ausgegeben werden. Ist der Messwert größer als der obere Grenzwert soll Nacharbeit angezeigt werden, ist er kleiner als der untere Grenzwert soll Ausschuss angezeigt werden.

Q 52

Q Steuerungstechnik Tabelle 9. Struktogramm zur Messwertanalyse

Erläuterung Struktogramme haben das Ziel, den Algorithmus einer Steuerungsaufgabe durch Texte und Sinnbilder nach Nassi-Shneiderman grafisch anschaulich darzustellen. Die Messwertkontrolle kann zu verschiedenen Ergebnissen führen: Messergebnis liegt innerhalb der Grenzen, Messwert zu groß (Nacharbeit) oder Messwert zu klein (Ausschuss). Das Struktogramm enthält deshalb eine Mehrfachauswahl, die im Anwenderprogramm verarbeitet wird. Der Funktionswert der Funktion ist mit dem Datentyp BOOL deklariert worden. Er wird im Programm als Ausgangsparameter behandelt. Im Beispiel wird ihm das innerhalb der Grenzwerte liegende Messergebnis als Boolscher Wert zugewiesen. Wird der erwartete Messwert nicht eingehalten, werden die nicht akzep-

tierten Abweichungen als Ausschuss oder Nacharbeit angezeigt. Nach Aufruf kann die Funktion parametriert und für Prüfaufgaben in Steuerprogrammen verwendet werden. c) Betriebsartenbaustein Durch Betriebsarten wird Art und Umfang des Eingriffs in den Ablauf einer Steuerung festgelegt. Dies gilt für Verknüpfungssteuerungen ebenso wie für Ablaufsteuerungen. Es ist deshalb sinnvoll für solche Routinen ebenfalls Untergrogramme zu entwickeln und in einer Bibliothek abzulegen. Für die Betriebsarten Automatik, Tippen und Hand liegt eine digitale Schaltung vor, die als Funktionsbaustein zu programmieren ist. Als Bedieneingriffe sind die Signale Start, Stopp und Halt und Energie Ein ausgewiesen.

4 Speicherprogrammierbare Steuerungen

Bild 9. Digitale Schaltung für die Betriebsarten Automatik, Tippen und Hand

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Q Steuerungstechnik

4 Speicherprogrammierbare Steuerungen

Erläuterung Die digitale Schaltung wird in der Funktionsbausteinsprache als Programmbaustein in sechs Netzwerke aufgeteilt. Diese enthalten in den ersten vier Netzwerken die Abfragen für die deklarierten Formalparameter der Eingänge, erforderliche Verriegelungen und temporäre Variable zur Zwischenspeicherung von Signalen. Die beiden letzten Netzwerke beinhalten die erforderlichen Signalverknüpfungen für die Freigabesignale zur Steuerung der Ablaufkette. Die Signalverknüpfungen werden den deklarierten Formalparametern für die Ausgangssignale zugeordnet.

Q 55

den für Überwachungs- und Meldefunktionen genutzt.

4.4 Verknüpfungssteuerung für einen Drehstrommotor Drehstrommotoren sind die wichtigsten elektrischen Antriebe. Sie werden u.a. zum Antrieb von Lüftern, Pumpen und Werkzeugmaschinen verwendet. Wird der Drehstrommotor in Sternschaltung betrieben, werden nach dem Einschalten des Netzschalters und dem Schließen der Hauptkontakte eines Schützes die Enden der Ständerwicklung u, v, w durch die drei Hauptleiter L1, L2 und L3 mit dem Drehstromnetz verbunden. Am Sternpunkt ist der Mittelleiter angeschlossen. Der Motor läuft in Sternschaltung; an jeder Wicklung liegt 400V / 3 = 230V . Die Umsteuerung der Drehrichtung erfolgt durch Vertauschen von zwei Außenleitern mit Hilfe des zweiten Schützes, das bei Drehrichtungswechsel angesteuert wird. Die Schütze dienen als elektromagnetisch betätigte Schalter, die durch die SPS angesteuert werden. Die Hilfskontakte des Schützes wer-

Bild 10. Ständerwicklung in Sternschaltung Anforderungen an die Steuerungsaufgabe:     

Leitungsschutz durch Schmelzsicherungen Bereitschaltung durch einen Netzschalter Ein Motorschutzrelais schützt den Motor vor Überlast Wahl zwischen Tippbetrieb und Dauerlauf des Motors Verriegelung von Rechts- und Linkslauf über Taster und Schütze  Die Umschaltung der Drehrichtung im Dauerbetrieb erfolgt zeitlich verzögert  Die Meldekontakte der Schütze, des Motorschutzrelais und des Netzschalters werden für Verriegelungs-, Überwachungs- und Meldefunktionen genutzt  Eine Störmeldung soll blinkend angezeigt werden

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Bild 11. Schaltplan des Drehstromantriebs

Q Steuerungstechnik

4 Speicherprogrammierbare Steuerungen

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Programmerläuterung In der Variablendeklarationstabelle sind die Namen der Variablen, ihre Deklaration, der Datentyp und ein kurzer Kommentar zum besseren Lesen des Programms aufgeführt. In den Netzwerken 1 bis 3 des Funktionsbausteins FB1 erfolgt die Freigabe des Motors und der Aufruf des Tipp- oder Dauerbetriebs. Die beiden folgenden Netzwerke enthalten die Signalverknüpfungen zur Steuerung der Drehrichtungen. Die Motorüberwachung im Netzwerk 6 kontrolliert die Funktion der Schütze durch Vergleich der Schützmeldungen mit den Zuständen der SPS-Ausgänge. Die Meldung wird aufgrund der Verzögerungszeit beim Umschalten der Drehrichtung zeitlich verzögert. Spricht das Motorschutzrelais an, wird die Überwachungsfunktion sofort ausgelöst, ebenso durch die

Q Steuerungstechnik

gleichzeitige Betätigung der Taster für den Rechtsund Linkslauf, um einen größeren Motorschaden zu vermeiden. Die Variable für die Störungsmeldung (Ueberwach) ist als statische Variable deklariert. Sie wird als lokale Variable intern bearbeitet. Die Störung wird im Datenbaustein (DB1) gespeichert; nach Behebung der Störung kann der Speicher normiert werden. Die Störung wird der Variablen „St_Meld“ zugewiesen und dient zum Aufruf des Blinktaktgebers FC100 im OB1. Eine Störung wird durch die Signalleuchte P1 angezeigt. P2 signalisert über den Ausgang A1.3 Dauerbetrieb. Auf den Aufruf und die Parametrierung der Bausteine wird hier verzichtet. Die Zuordnung der Signalgeber und Aktoren ist aus dem Schaltplan ersichtlich!

4 Speicherprogrammierbare Steuerungen

4.5 Ablaufsteuerungen 4.5.1 Struktur einer Ablaufsteuerung Ablaufsteuerungen sind Steuerungen mit zwangsläufig schrittweisem Ablauf. Bei prozessabhängigen Ablaufsteuerungen ergeben sich die Bedingungen für das Weiterschalten von einem Ablaufschritt zum nächsten Ablaufschritt durch prozessabhängige Signale aus der gesteuerten Anlage. Bei zeitabhängigen Ablaufsteuerungen sind die Transitionsbedingungen zwischen den Ablaufschritten von der Zeit abhängig. In der Steuerungspraxis ist der Ablauf sowohl von der Zeit als auch von den Signalen aus dem Prozess abhängig.

Q 59 arbeitet die Leiteinrichtung nur durch Bedienungsgriffe in Abhängigkeit von gegebenenfalls vorhandenen Verriegelungen. Die Ablaufkette wird beim Umschalten in diese Betriebsart rückgesetzt, die Handsteuerung wirkt direkt auf die Befehlsausgabe ein. Die Betriebsart Einrichten ermöglicht die Steuerung der Stellgeräte einzeln unter Umgehung vorhandener Verriegelungen durch Bedieneingriff. b) Ablaufkette Kernstück der Ablaufsteuerung ist die Ablaufkette. Hier ist die Schrittfolge für den schrittweisen Funktionsablauf der Steuerung festgelegt. Die Ablaufkette lässt sich weitgehend standardisieren, da die einzelnen Schritte einen vergleichbaren Aufbau haben. Die innere Struktur eines Schrittes lässt sich wie folgt beschreiben:  Ein Schritt hat speicherndes Verhalten.  Die Schritte werden nacheinander durchlaufen.  Der nachfolgende Schritt erfordert das Setzen des vorhergehenden Schrittes und die Erfüllung der Transition für den nachfolgenden Schritt.  Die Schritte einer Ablaufkette können durch übergeordnete Freigabe- und Rücksetzbedingungen beeinflusst werden. c) Meldungen Durch Meldungen können Zustände oder Zustandsänderungen angezeigt werden. Meldesignale dienen vorwiegend zur Information des Menschen. Leuchtmelder oder akustische Signale signalisieren u.a. die eingestellte Betriebsart, die Grundstellung einer Anlage, Störungen oder auch die Auslösung eines NotAus-Tasters.

Bild 12. Struktur einer Ablaufsteuerung a) Betriebsarten Art und Umfang des Eingriffs in die Steuerung durch den Bediener wird durch die Betriebsart bestimmt (DIN 19226, T5). Neben den Betriebsarten Automatik, Teilautomatik, Hand und Einrichten nennt die Norm für Ablaufsteuerungen die Betriebsarten Schrittsetzen und Tippen. In der Betriebsart Automatik arbeitet die Leiteinrichtung programmgemäß ohne Bedienungseingriff in den Wirkungsablauf. In der Betriebsart Schrittsetzen kann die Ablaufkette durch Bedienungseingriff auf einen beliebigen Schritt gesetzt werden; die Betriebsart Tippen ermöglicht das Weiterschalten der Ablaufkette auf den jeweils nächsten Schritt durch einen Bedieneingriff. Der Bedieneingriff wird über einen Signalgeber vorgenommen, der für die gesamte Ablaufsteuerung nur einmal für diesen Zweck vorhanden ist. In der Betriebsart Hand

d) Befehlsausgabe Die Befehlsausgabe verknüpft die Befehle der einzelnen Schritte der Ablaufkette mit den Freigabesignalen und ggf. mit den erforderlichen Verriegelungssignalen aus dem Prozess oder die Signale von Bedieneingriffen wirken z.B. im Handbetrieb auf bestimmte Stellelemente ein. Da an die Befehlsausgabe sehr unterschiedliche Anforderungen gestellt werden, ist eine Standardisierung kaum möglich. Es ist jedoch sinnvoll für die Befehlsausgabe einen Baustein zu programmieren, um dem Gesamtprogramm eine übersichtliche Struktur zu geben. 4.5.2 Entwicklung einer Ablaufsteuerung Wichtige Aufgaben in der Automatisierungstechnik sind die Vereinzelung und das Positionieren von Bauteilen. Anhand einer solchen Station wird eine Ablaufsteuerung mit den erforderlichen Codebausteinen entwickelt.

Q 60 Aufgabenbeschreibung Die Bauteile werden mit einem doppelt wirkenden Zylinder aus einem Stapelmagazin ausgeschoben und von einem pneumatischen Schwenkantrieb mit Vakuumsauger und Venturidüse positioniert. Die Endlagen des Zylinders werden durch zwei ReedKontakte (1B1, 1B2) kontrolliert, die Endpositionen des Schwenkarms durch zwei induktive Sensoren (2B1, 2B2). Im Magazin vorhandene Werkstücke werden durch einen kapazitiven Sensor (1B3) identifiziert. Dieser Sensor ist in den Ausschiebeschuh integriert; er löst im Automatikbetrieb einen Arbeitszyklus aus, wenn Teile im Magazin vorhanden sind.

Q Steuerungstechnik

Bild 13. PE-Wandler

Anforderungen an die Lösung der Automatisierungsaufgabe:  Die Anlage soll die Betriebsarten Automatik, Tippen und Hand ermöglichen.  Als Bedieneingriffe stehen neben dem Haupt- und Betriebsartenschalter Signalgeber für Start, Stopp und Halt zur Verfügung.  Voraussetzung für den Start in der Betriebsart Automatik ist die Grundstellung der Anlage sowie das geöffnete Hauptventil für die Druckluftversorgung.  Zustände und Zustandsänderungen in der Steuerung sollen durch optische Meldungen angezeigt werden.

Die Meldung „Druckluft Ein“ erfolgt durch einen PE Wandler. Der PE-Wandler setzt das pneumatische Signal in ein elektrisches Signal für die Steuerung um. Wenn die Membran mit Druckluft beaufschlagt wird, wölbt sie sich und betätigt den Mikroschalter. Unterschreitet der Druck einen einstellbaren Mindestwert, öffnet der Mikroschalter den elektrischen Stromkreis. Dies führt zur Ausbildung der binären Signale 0/1.

Bild 14. Technologieschema der gesteuerten Station mit Bedienfeld Zur Realisierung der Betriebsarten wird der Betriebsartenbaustein FB205 aus der Bibliothek verwendet. In der Betriebsart AUTOMATIK wird durch den Signalgeber „Start“ der automatische Ablauf der Station ausgelöst. Er kann durch den Signalgeber „Halt“ in der Grundstellung unterbrochen werden. Der Signalgeber „Stopp“ unterbricht den Ablauf in jedem beliebigen Schritt; der Kontakt dieses Signalgebers ist ein Öffner. Ein erneutes Betätigen des Signalgebers für „Start“ ermöglicht die Fortführung des automatischen Ablaufs im letzten aktiven Schritt. In der Betriebsart TIPPEN kann die Ablaufkette durch Betätigung eines Signalgebers auf den jeweils nächsten Schritt weitergeschaltet werden. Dies erleichtert die Prüfung und Einstellung bei Inbetriebnahme der Anlage. Wird die Betriebsart HAND geschaltet, erfolgt ein Rück-

setzen der Ablaufkette. Die Stellgeräte können nach Betätigung geeigneter Signalgeber unter Berücksichtigung vorhandener Verriegelungen einzeln angesteuert werden. Der Funktionsbaustein FB205 wird im OB1 aufgerufen und parametriert. Die Ablaufkette für den Automatikbetrieb der Station ist dem Funktionsplan zu entnehmen. Das Anwenderprogramm für die Ablaufkette ist in der Funktion FC1 programmiert. Im ersten Schritt wird die Grundstellung abgefragt und im Betriebsartenbaustein als Startbedingung für die Ablaufkette verarbeitet. Ist die Ablaufkette freigegeben (M35.1) und der kapazitive Sensor erkennt Teile im Magazin, dann wird die Ablaufkette entsprechend der gewählten Betriebsart im Automatik- oder Tippbetrieb durchlaufen. Die SR-Speicher M2.1, M3.1 und M4.1 zur Ansteuerung der Magnetspulen an

4 Speicherprogrammierbare Steuerungen

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den Ventilen werden durch die aus dem Funktionsplan ersichtlichen Transitionsbedingungen gesetzt und rückgesetzt. Ein Haltbefehl wird im Automatikbetrieb nach Durchlaufen der Schrittkette wirksam. Da die Transitionsbedingungen zwischen den Schritten mit dem Freigabesignal (Frei_Ab) aus dem Betriebsartenteil verknüpft sind, kann ein Stoppsignal den automatischen Ablauf in jedem Schritt unterbrechen. Ein erneutes Startsignal gibt die Ablaufkette wieder frei. Das Freigabesignal für den Handbetrieb (Frei_Hd) setzt den Signalspeicher für die Ablaufkette zurück, verriegelt den automatischen Ablauf und gibt die Betriebsart Hand frei. Mit Hilfe geeigneter Signalgeber können die Stellelemente unter Berücksichtigung der Verriegelungssignale (Endlagen, Magazinkontrolle) angesteuert werden. Die Befehlsausgabe erfolgt in der Funktion FC2. Hier wird in den Betriebsarten AUTOMATIK und TIPPEN das Freigabesignal mit den Signalen der Programmschritte aus der Ablaufkette verknüpft und über die Ausgänge der SPS auf die Spulen der Magnetventile übertragen. Ist die Betriebsart HAND geschaltet, können die Stellglieder durch die gewählten Signalgeber unter Beachtung der Verriegelungen angesteuert werden. Die Überwachung der gesteuerten Anlage erfolgt durch eine Funktion (FC120). Sie signalisiert folgende Meldungen:    

Betriebsbereitschaft in der Grundstellung Laufender Automatikbetrieb Eingestellte Betriebsart Druck Ein (Hauptschalter)

Die Funktion FC120 (Meldungen) wird im Organisationsbaustein aufgerufen und parametriert. Auf die Darstellung des Anwenderprogramms „Meldungen“ wird hier verzichtet.

Bild 15. Funktionsplan der Ablaufkette für den Automatikbetrieb

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Bild 16. Schaltplan der Station

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Baustein: OB1

„Main Programm Sweep (Cycle)“

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Die Bausteine des Anwenderprogramms werden nach Aufruf durch den OB1 zyklisch bearbeitet. Beim Aufruf des Funktionsbausteins werden vor der eigentlich Abarbeitung der Anweisungen die aktuellen Eingangsparameter in den Instanz-Datenbaustein kopiert: Für den Formalparameter „Start“ ist dies die Adresse E0.1, symbolisch adressiert mit „S1“. Nach der Bearbeitung des Funktionsbausteins werden die aktuellen Werte der Ausgangsparameter zurückgegeben. Bedingung für die Verwendung standardisierter Code-Bausteine ist die Möglichkeit der Parameterübergabe, um den Baustein an beliebiger Stelle mit Aktualparametern versorgen zu können.

Q Steuerungstechnik

4.5.3 Ablaufkette mit Hilfsspeicher Bei bestimmten Arbeitsabläufen können in verschiedenen Ablaufschritten aufgrund der notwendigen Kolbenbewegungen gleiche Signalkombinationen auftreten. Da die Signale aus dem Prozess bei Ablaufsteuerungen als Transitionsbedingung für den Folgeschritt verwendet werden, kann dies zu einem Abweichen vom dem für den Prozess erforderlichen Bewegungsablauf in der Ablaufkette führen. Das Problem soll anhand des folgenden Bewegungsablaufs zweier doppelt wirkender Zylinder untersucht werden.

4 Speicherprogrammierbare Steuerungen

Q 67 Aus dem Funktionsdiagramm sind die in den jeweiligen Schritten der Ablaufkette betätigten Sensoren zu ersehen. Betrachtet man die Signalkombinationen der betätigten Näherungsschalter, dann stellt man fest, für das Ausfahren der Zylinder 1A1 und 2A1 stehen die Signalkombination B1∧ B3 = 1 zur Verfügung. Da beide Zylinder bei dieser Signalkombination ausfahren würden, käme es zu einem Fehlverhalten im Bewegungsablauf der Zylinder. Durch ein zusätzliches Unterscheidungsmerkmal, einen weiteren Speicher, auch Hilfsspeicher genannt, wird ein Signal von der Steuereinrichtung zur Unterscheidung der Schritte der Ablaufkette bereitgestellt. Treten in einer Ablaufkette mehrere Ablaufschritte auf, die sich nicht durch die jeweils auftretenden Signalkombinationen für die Transitionsbedingungen unterscheiden, dann sind mehrere Hilfsspeicher erforderlich.

Bild 17. Programmbearbeitung

Bild 19. Digitale Schaltung mit Hilfsspeicher Das Anwenderprogramm für die Ablaufkette ist nachfolgend dargestellt.

Bild 18. Aktorik mit Funktionsdiagramm

Q 68

4.5.4 Ablaufkette als Schrittkette Für die Entwicklung der Schrittkette gilt der Bewegungsablauf entsprechend dem Funktionsdiagramm in Bild 19. Für die Arbeitsweise der Schrittkette gilt Folgendes:  Die Schritte der Ablaufkette werden nacheinander durchlaufen  In der linearen Ablaufkette ist immer ein Schritt aktiv  Der Folgeschritt wird geschaltet, wenn der vorangehende Schritt aktiv ist und die Transitionsbedingung erfüllt ist

Q Steuerungstechnik

 Sobald der Folgeschritt aktiv ist, wird der vorhergehende ausgeschaltet

4 Speicherprogrammierbare Steuerungen

Q 69 Die Anwendung des Schrittkettenprinzips ermöglicht für eine lineare Ablaufkette eine weitgehend standardisierte Lösung. Als Setzbedingung für den Schritt dient die Abfrage des vorhergehenden Schrittes, ggf. die Abfrage der eingestellten Betriebsart und die Transition für den Folgeschritt. Der aktive Schritt übergibt mit Hilfe der MOVE-Box die Schrittnummer, die am Eingang IN angegeben ist, an den Ausgang OUT. Die Schrittnummer wird dann im Ausgangsparameter Ab_Schr mit dem Datentyp INT abgelegt. Dieser variable Ausgangsparameter wird in der Befehlsausgabe mit dem geforderten Schritt zur Ansteuerung des Aktors verglichen. Ist die Bedingung erfüllt, wird der Schritt von der Befehlsausgabe ausgegeben und die Aktion ausgeführt. Dies kann als nicht gespeicherte Aktion, gespeicherte Aktion (im aktuellen Anwenderprogramm) oder zeitlich begrenzt bzw. verzögert erfolgen. Die Programmierung mit S7-Graph, IEC Ablaufsprache, entspricht der Entwicklung einer Schrittkette.

Bild 20. Prinzip einer Schrittkette

Q 70

Q Steuerungstechnik

4 Speicherprogrammierbare Steuerungen

Q 71

4.6 Analoge Signale in digitalen Steuerungen

funktionen sowie arithmetischen und mathematischen Funktionen.

Speicherprogrammierbare Steuerungen können neben binären Signalen auch digitale Signale verarbeiten. Ein binäres Signal hat nur zwei Wertebereiche. Digitale Signale sind durch mehrstellige Bitketten gekennzeichnet, sie können viele Wertebereiche annehmen. Jeder Wertebereich erhält durch Codierung eine festgelegte Bedeutung, z.B. als Zahlenwert. Eine Bitkette mit acht Binärstellen wird als ein Byte, eine Bitkette mit sechzehn Binärstellen als ein Wort bezeichnet. Je größer die Anzahl der Binärstellen, desto größer ist die Anzahl der Wertebereiche. Die Verarbeitung digitaler Signale erfolgt mit Digitalfunktionen wie Vergleichen, Umwandlungs- und Schiebe-

Häufig muss die digitale Steuerung Signale von analogen Sensoren verarbeiten. Der analoge Sensor stellt den Werteverlauf der gemessenen physikalischen Größe (z.B. Druck, Abstand) kontinuierlich als elektrisches Signal in Form einer Spannung oder eines Stromes der digitalen Steuerung zur Verfügung. Durch entsprechende Analog-Digital-Umsetzer werden diese Signale in digitale Signale, z.B. als Zahlenwert umgewandelt. Die Weiterverarbeitung durch die Steuerung erfolgt digital. Das Ergebnis kann einem Verbraucher sowohl digital als auch in analoger Form zur Verfügung gestellt werden.

Q 72

Q Steuerungstechnik

Bild 21. Analogwertverarbeitung mit SPS dass der sich ändernde Analogwert bei einer 12-BitAuflösung mit Sprüngen von 8 im Digitalwert dargestellt wird. Unabhängig von der Wortlänge ist immer das rechts stehende Binärzeichen das niedrigstwertige (LSB), links steht das höchstwertige Binärzeichen (MSB).

Allgemeines zur Darstellung analoger Signale Übliche Auflösungen bei den Analogbaugruppen der S7-300-Reihe sind 8 Bit bis 15 Bit plus Vorzeichen. Eine 8-Bit-Auflösung für den analogen Signalausgang eines Sensors bedeutet bei einer Signalspannung von 0 bis 10 V, das der Analogbereich mit 28 = 256 unterschiedlichen Werten dargestellt werden kann. Die Stufung beträgt dann:

Beispiel: Ein analoger Temperatursensor mit einem Messbereich von 0 bis 100 °C und einer Signalspannung von 0 bis 10 V misst eine Temperatur von 52 °C. Zur Verfügung steht eine Baugruppe mit einer 8-BitAuflösung. Der Nennbereich des Digitalwerts für die Signalspannung liegt zwischen 0 und 27648. Infolge der 8-Bit-Auflösung der verwendeten Baugruppe kann für die Temperatur 52 °C kein exakter Digitalwert zugeordnet werden. Die Analog-Digital-Umsetzung ergibt für den gemessenen Temperaturwert den Zahlenwert:

10 V = 0, 0390625 V = 39, 0625 mV 256

Bei einem Signalstrom von 20 mA ergibt sich: 20 mA = 0, 078125 mA 256

Für das Vorzeichen (VZ) gilt: „0“ steht für ein positives, „1“ für ein negatives Vorzeichen.

dig_Ana =

Die rechte Spalte gibt den Abstand der Digitalwerte an, mit dem die Analogwerte dargestellt werden können. Beträgt die Auflösung einer Baugruppe weniger als 15 Bit, wird der Analogwert durch den Ladebefehl linksbündig in die Bits 0 bis 15 des Akkumulators eingetragen. Die nicht besetzten niederwertigen Stellen werden mit „0“ beschrieben. Hieraus ergibt sich,

Dig_wert 27648 ⋅T= ⋅ 52 °C = 14376,96 Mess_ber 100 °C

Dieser Wert ist infolge der Auflösung der Baugruppe nicht darstellbar, möglich sind nur die folgenden Sprünge im digitalen Raster: 14208 – 14336 – 14464 usw. Für Vergleichszwecke kann hier die codierte Ganzzahl (INT) 0011100000000000 (entsprechend 14336) verwendet werden.

Tabelle 10. Bitmuster zur Darstellung der Auflösung (Auszug) 6 Auflösung

Zahlendarstellung von Analogwerten

Bitnummer

15

14

13

12

11

Wertigkeit 15-Bit-Darstellung

VZ 214 213 212 211 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 0/1 0/1 0/1 0/1 0/1 0/1 0/1 0/1 0/1 0/1 0/1 0/1 0/1 0/1 0/1 0/1 1

10

9

8

7

6

5

4

12-Bit-Darstellung

0/1 0/1 0/1 0/1 0/1 0/1 0/1 0/1 0/1 0/1 0/1 0/1 0/1 0

0

0

8

8-Bit-Darstellung

0/1 0/1 0/1 0/1 0/1 0/1 0/1 0/1 0/1 0

0

0

128

0

0

3

0

2

0

1

0

Tabelle 11. Codierung der Analogwerte Bitnummer

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

Wertigkeit 14208

VZ 0

214 0

213 1

212 1

211 0

210 1

29 1

28 1

27 1

26 0

25 0

24 0

23 0

22 0

21 0

20 0

14336

0

0

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

14464

0

0

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

6

Siemens: Automatisierungssystem S7-300 – Baugruppendaten, Nürnberg 1998

4 Speicherprogrammierbare Steuerungen Allgemeines zum Datenaustausch bei Digitalfunktionen Voraussetzung für die Verwendung von Digitalfunktionen (Vergleichen, Arithmetische Funktionen, Schiebefunktionen) sind das Laden (L) und das Transferieren (T) der Digitalwerte. Die Ladefunktion dient zum Füllen von Akkumulatoren (Rechenregistern), um anschließend die Werte digital zu verarbeiten, z.B. Vergleichen oder Rechnen. Die Transferfunktion überträgt die Ergebnisse aus dem Akkumulator in die Speicherbereiche der CPU, etwa in den Merkerbereich. Ladefunktionen werden auch benötigt um Anfangswerte für Zeit- oder Zählfunktionen vorzugeben oder die aktuellen Zeit- und Zählwerte zu verarbeiten. Die Ladefunktion besteht aus der Operation (Laden) und einem Operanden. Ein Digitaloperand kann ein Byte, ein Wort oder Doppelwort sein. Ein Byte steht für 8 Binärzeichen Ein Byte kann als Merkerbyte (MB), als Eingangsbyte (EB), als Ausgangsbyte (AB) oder beim Laden aus dem Peripheriebereich als Peripheriebyte (PEB) geladen werden. Eine Folge von 16 Binärzeichen wird als ein Merkerwort (MW) bezeichnet. Ein Merkerdoppelwort (MD) ist 32 Bit breit. Merker, Merkerbyte, Merkerwort und Merkerdoppelwort gehören zum Speicherbereich der CPU, sie können Informationen entsprechend ihrer Bitbreite aufnehmen. Ein- und Ausgänge können auch als Eingangswort (EW) und als Eingangsdoppelwort (ED) sowie als Ausgangswort

Beispiel 2: Grenzwertmeldung In einem Kessel soll das Produkt aus Druck p und Volumen V eines Gases einen bestimmten oberen Wert nicht überschreiten und einen unteren Grenzwert nicht unterschreiten.

Q 73 (AW) und Ausgangsdoppelwort (AD) geladen werden. Greift das Anwenderprogramm direkt auf die Eingabebaugruppen zu, so erfolgt dies in der Regel über das Peripherieeingangswort (PEW). Das PEW ist ein Leseregister des Signalspeichers, in dem der Betrag der am Analogeingang angelegten Spannung oder Stromstärke abgelegt wird, andere Bereiche sind das Peripherieeingangsbyte (PEB) und das Peripherieeingangsdoppelwort (PED). Eingabebaugruppen werden in der Regel durch das PEW angesprochen. Mit der Operation Lade (L) wird der Operand, z.B. PEW 272 in das Verknüpfungsregister geladen. Das Peripherieausgangswort (PAW) ist ein Bereich, in dem der am Analogausgang auszugebende Betrag der Spannung oder Stromstärke abgelegt ist. Durch das PAW werden in der Regel die Ausgabebaugruppen angesprochen. Daneben gibt es noch das Peripherieausgangsbyte (PAB) und das Peripherieausgangsdoppelwort (PAD). Die Transferfunktion besteht aus der Transferoperation und einem Digitaloperanden. Der Digitaloperand kann ebenfalls byte-, wort- oder doppelwortbreit sein. Transferiert wird zu den Ein- und Ausgängen, zur Peripherie und zu den Merkern. Nachfolgenden sind zwei Beispiele für das Programmieren mit analogen Signalen aufgeführt. Beispiel 1: Laden und Transferieren

Liegt das Produkt p  V innerhalb der Grenzen, die durch Vergleichszahlen bestimmt werden, meldet dies die Signalleuchte P1. Wird die obere Grenze verletzt, meldet dies die Signalleuchte P2 und ein Sicherheitsventil wird geöffnet. Die Unterschreitung des unteren Grenzwerts meldet die Signalleuchte P3.

Q 74

Q Steuerungstechnik

Verarbeitung analoger Weginformationen Induktive Analogaufnehmer erfassen die Position von metallischen Objekten innerhalb des gesamten Arbeitsbereiches und geben den Messwert annähernd proportional zum Abstand in Form eines Strom- oder Spannungssignals aus. Sie haben eine Abweichung in der Linearität von etwa ± 2% bezogen auf den Endwert. Wichtiger als eine vollständige Linearität ist eine gute Reproduzierbarkeit der Messwerte. Sie liegt in der Größenordnung von 2 Promille vom Endwert. Auf den jeweiligen Arbeitsbereich umgerechnet erhält man eine Wiederholgenauigkeit von ca. 5 bis 14 m. Technisch interessante Anwendungen ergeben sich bei der Steuerung einer Roboterhand, der Lageprüfung von Bauteilen und zur Ermittlung von Geometriedaten. Für den induktiven Sensor gelten die nachfolgenden Daten, die bei der Verarbeitung des Sensorsignals als Messwert im Anwenderprogramm zu berücksichtigen sind. Ferner muss der Zusammenhang zwischen dem analogen Sensorsignal und dem digitalisierten Analogwert bekannt sein, er ist den Handbüchern des Steuerungsherstellers (Siemens) zu entnehmen. Tabelle 12. Sensordaten7 Betriebsspannung 15 – 30 VDC 7

Signalausgang Spannung

Strom

0 – 10 V

0 – 20 mA

Messbereich

3 – 8 mm

Festo Didactic, Datenblatt Sensoreinheit D.ER-SIEA-M30

Tabelle 13. Spannungs- und Strommessbereiche (Auszug Siemens-Handbuch) ± 10 V

± 20 mA

Digitalwert

10,000

20,000

27648

0

0

0

-10,000

-20,000

-27648

Bemerkung Nennbereich

Für die Lagemessung ergibt sich aufgrund der Analog-Digital-Umsetzung der digitalisierte Analogwert (dig_Ana) aus nachfolgender Formel: dig_Ana =

Dig_wert 27648 ⋅ s= ⋅s Mess_ber 8

Möchte man nicht die digitalisierten Analogwerte verarbeiten, sondern die ursprünglichen Messwerte (norm_Wert), so ergeben sich diese aus: norm_Wert (s ) =

Mess_ber ⋅ dig_Ana . Dig_wert

4 Speicherprogrammierbare Steuerungen

Q 75 Der Zusammenhang zwischen den Spannungs- bzw. Stromwerten ist den einschlägigen Tabellen in den Siemens-Handbüchern zu entnehmen. Bei Umrechnungen ist stets der Maximalwert bzw. der Minimalwert des jeweiligen Nennbereichs zu berücksichtigen Bei der Lageprüfung handelt es sich um eine Abstandmessung mit positiven Zahlenwerten. Dem größten Wert des Messbereichs (8 mm) entspricht der Spannungswert 10 V, dem kleinsten Wert des Messbereiches (3 mm) entspricht eine Spannung von 3,75 V. Die zugehörigen Digitalwerte sind der Tabelle zu entnehmen. Dem Abstand 5 mm entspricht die Spannung 6,25 V. Der zugehörige digitalisierte Analogwert (dig_Ana) errechnet sich aus:

dig _ Ana

Dig _ wert ˜ norm _ Wert Mess _ ber

27648 ˜ 6, 25 17280 10V

Steht eine Analogeingabebaugruppe mit 8-Bit-Darstellung + VZ zu Verfügung, so wird der Analogwert mit Sprüngen von 128 im digitalen Raster dargestellt: 17152, 17280, 17408 usw.

Bild 22. Sensorkennlinie Beispiel: Lageprüfung eines Bauteils Zwei analog arbeitende induktive Wegsensoren werden zur Lageprüfung eines Bauteils vor der Montage verwendet. Die Lage des Bauteils ist hinreichend genau, wenn es sich innerhalb einer Toleranzzone von r75 m befindet. Die Messwerte werden von einer SPS verarbeitet. Die richtige Lage des Bauteils wird durch eine Signalleuchte (P1) angezeigt; eine fehlerhafte Lage soll zu einem Auswurf des Teils führen.

Da im vorliegenden Beispiel eine Toleranzzone von r75 m eingeräumt wurde, ergeben sich die in der Tabelle angegebenen Grenzwerte zur Lagebestimmung der Teile. Die Digitalwerte entsprechen dem Raster einer 8-Bit-Auflösung der analogen Baugruppe (rechnerisch ergibt sich für den Grenzwert 5,075 mm ein Digitalwert von 17539).

Grenzwerte zur Lagebestimmung Grenzwert Max_Wert Min_Wert

Abstand Analogsignal Digitalwert 5,075 mm 6,34375 V 17536 4,925 mm 6,15625 V 17024

Tabelle 14. Struktogramm zur Lageprüfung

Bild 23. Lageskizze

Q 76

Bild 24. Schaltplan zur Lageprüfung von Bauteilen

Q Steuerungstechnik

4 Speicherprogrammierbare Steuerungen

Q 77

Programmerläuterung

die Lage für den folgenden Fügevorgang richtig. Meldet ein Analog-

FB250: Der in den Peripherieeingangsworten (PEW272 bzw. 274)

geber eine Abweichung von der vorgegebenen Toleranzzone, wird

abgelegte Betrag der Spannung der analogen Induktivgeber B1 und

dieses Signal einem Merker (Formalparameter AUS_X1 oder

B2 wird durch die Analogbaugruppe in einen Digitalwert zur weiteren

AUS_X2) zugewiesen. Die Signale der Merker werden in der Funkti-

Verarbeitung umgewandelt und durch das in eine SCL-Quelle ge-

on FC1 ausgewertet.

schriebene Anwenderprogramm des FB 250 normiert. Der Funktions-

FC1: Haben alle Merker den Signalzustand „0“, ist die Lage des

baustein wird im OB1 in den Netzwerken 1 und 2 aufgerufen und mit

Bauteils für den Fügevorgang richtig. Wenn der Taster („Prüf_Start“)

den notwendigen Aktualwerten bzw. Aktualparametern versorgt.

betätigt wurde, meldet eine Signalleuchte 10 Sekunden optisch:

Werden die definierten Grenzwerte nicht über- oder unterschritten, ist

„Richtige Lage“. Der Fügevorgang kann ausgelöst werden. Ist die

Q 78 Lage des Bauteils in einer Achse fehlerhaft, dann erfolgt die Ansteuerung der Spule M1 am Magnetventil für die Auswurfdüse. Durch den Luftstrom wird das geprüfte Teil ausgeworfen. Die Düse schließt nach 4 Sekunden automatisch.

Die Programmstruktur ist die eines strukturierten Anwenderprogramms, da das Unterprogramm zur Lageprüfung des Bauteils (FB205) mehrfach aufgerufen wird. Grundsätzlich müssen solche Unterprogramme parametrierbar sein. Der vorliegende Funktionsbaustein wird zweimal im Hauptprogramm (OB1) aufgerufen und mit verschiedenen Aktualparametern (PEW272 bzw. PEW274) versehen.

Bild 25. Strukturiertes Programm

4.7 Busankopplung der speicherprogrammierbaren Steuerung 4.7.1 Bussysteme in der Feldebene Zwischen den einzelnen Komponenten eines Automatisierungssystems werden in der Regel Informationen ausgetauscht. Diese Informationen sind Signale von Sensoren, die in das Automatisierungssystem gelangen oder von dort zu den Aktoren; andere Informationen sind Messwerte und Diagnosemeldungen. Weitere Daten werden zwischen der Fertigungsund der Büroebene ausgetauscht. Wären für alle diese Kommunikationsbeziehungen Punkt zu PunktVerbindungen erforderlich, würde dies einen enormen Verdrahtungsaufwand bedeuten. Moderne Automatisierungsgeräte übertragen Informationen digital über geeignete Bussysteme in Form serieller Zweidrahtverbindungen. Der Informationsaustausch erfolgt mit Telegrammen, die aus Nutzdaten, Sendeund Empfangsadressen gebildet werden. Bussysteme verringern die Kosten für die Verdrahtung und die sonst erforderlichen Schaltschränke. Mehrere dezentrale intelligente Steuerungseinheiten bewältigen komplexe Steuerungsaufgaben, was in der Folge zu

Q Steuerungstechnik Kosteneinsparungen bei der Softwareentwicklung und der Wartung führt. Schließlich ermöglicht die Vernetzung die Durchlässigkeit von Daten zwischen dem Fertigungsnetz und dem Büronetz. Dies macht betriebliche Abläufe transparenter, verbessert die Auftragsabwicklung und ermöglicht die Fernwartung von Maschinen und Anlagen. Zwei für die Prozess- oder Feldebene wichtige Bussysteme sind der AS-i-Bus und der PROFIBUS. Sie dienen zur Anbindung von Sensoren/Aktoren und fertigungsnahen Ein- und Ausgabebaugruppen. Der Datenaustausch zwischen der Peripherie und dem Prozessabbild des Automatisierungsgerätes erfolgt meistens zyklisch nach dem Master-Slave-Verfahren. Slaves sind Buskomponenten, die Eingangs- und Ausgangssignale der Anlage erfassen bzw. ausgeben. Die Master-Station holt die Daten von den Eingängen des Slaves und versorgt die Ausgänge der Slaves zyklisch mit Steuerdaten. Die Steuerdaten werden vom Steuerungsprogramm zur Verfügung gestellt. Die Kommunikation zwischen speicherprogrammierbaren Steuerungen oder mit dem Programmiersystem erfolgt meistens azyklisch durch Steuerbefehle aus dem Anwenderprogramm über Ethernet. Ethernet ist ein robustes Netz in der mittleren Kommunikationsebene zur Verbindung von Personalcomputern zu lokalen Netzen. Der Informationsaustausch im Bürobereich erfolgt auf der Grundlage des TCP/IP-Konzepts. Die Nutzung dieses Netzes für den Automatisierungsbereich befindet sich im Anfangsstadium. Der AS-i-Bus dient zur Ankopplung von Aktoren und Sensoren an die Steuerung. Aktoren und Sensoren sind Buskomponenten, die überwiegend Bit-Signale aus dem Prozess liefern oder fordern. Die Abkürzung steht für Aktor-Sensor-Interface. Neben der Ankopplung von Buskomponenten mit integrierten Aktoren und Sensoren besteht die Möglichkeit, externe Aktoren und Sensoren anzuschließen. Die Verbindung zwischen den Buskomponenten erfolgt über eine Zweidrahtleitung, die von einem Netzteil mit einer spezifizierten Gleichspannung versorgt wird. Bei der Konfiguration der Hardware mit DP/AS-i-Links wird automatisch eine Konfigurationstabelle von STEP 7 eingeblendet, in die AS-i-Slaves aus dem Hardware Katalog platziert werden können. Jeder AS-i-BusSlave hat 2 Adressen: die AS-i-Teilnehmeradresse und eine E/A-Adresse in der SPS. Möchte man auch in höheren Ebenen der Automatisierungshierarchie über die Daten der Sensoren und Aktoren verfügen, dann sind Netzübergänge erforderlich. Den hierfür erforderlichen Buskoppler nennt man Gateway.

4 Speicherprogrammierbare Steuerungen

Q 79

Bild 26. Bussysteme in der Feldebene Die Profibus-Familie stellt für die allgemeine Automatisierung den Profibus FMS und für die Prozessautomatisierung branchenorientiert den Profibus PA zur Verfügung. Die Abkürzung steht für Process Field Bus. Er ist europäisch genormt in der EN 50170. Die am häufigsten eingesetzte Variante des Feldbussystems ist der Profibus-DP, optimiert für den schnellen Datenaustausch hauptsächlich in der Fertigungstechnik. Schnell ist der Datenaustausch, wenn während der Zykluszeit des Programms mindestens einmal aktualisierte Daten über den Bus kommen. Der Zusatz DP steht für dezentrale Peripherie. Die Anschlussmodule (DP-Slaves) werden möglichst nahe an die Anlage gebracht und untereinander mit der zentralen Steuerung über das serielle Bussystem verbunden. Die erforderliche Anzahl von DP-Slaves mit digitalen Eingängen (DE), digitalen Ausgängen (DA) sowie ggf. analogen Eingängen (AE) und analogen Ausgängen (AA) wird über die Profibus-Leitung mit der zentralen SPS verbunden. Der DP-Master ist das Bindeglied zwischen der Steuerungs-CPU und dezentralen Peripheriegeräten. Er führt den Datenaustausch mit seinen DP-Slaves durch und überwacht den Profibus-DP. Aus der Sicht des Steuerungsprogramms ist kein Unterschied zu erkennen, ob die verwendeten

Geräte zentral mit der Steuerung verbunden sind oder dezentral über ein Bussystem. Neben den DP-Slaves können über den Profibus DP auch intelligente Slaves mit der zentralen CPU kommunizieren. Merkmal eines intelligenten DP-Slaves ist, dass die Ein/Ausgangsdaten dem DP-Master von einer „vorverarbeitenden CPU“ zur Verfügung gestellt werden. Die zentrale CPU greift also nicht auf die dezentralen Ein-/Ausgänge der „vorverarbeitenden CPU“ zu. Das Anwenderprogramm der „vorverarbeitenden CPU“ muss für den Austausch der Daten zwischen Operandenbereich und Ein-/Ausgängen sorgen. Ein intelligenter DP-Slave kann nicht gleichzeitig DP-Master für andere Slaves sein. Beide Feldbussysteme, AS-i-Bus und Profibus DP sind offene Systeme der industriellen Kommunikation, die mit einem geringen Protokollaufwand arbeiten; sie kommen mit 3 Schichten des ISO/OSIReferenzmodells8 aus.

8

Unter dem Namen „Open Systems Interconnection (OSI)“ wurde ein Referenzmodell zur Beschreibung der Kommunikation zwischen Rechnern herausgegeben. Verbunden hiermit ist die Schaffung von Standardprotokollen für die Informationstechnik.

Q 80

Q Steuerungstechnik

Zu jedem System gehört ein Programmiergerät zur Erstellung des Anwenderprogramms und für Diagnoseaufgaben. Dies ist in der Regel ein PC. Der Router ist die Verbindungskomponente zu großen Netzen (WAN). Unter Routing versteht man die Wegsteuerung einer Nachricht durch das Netzwerk. 4.7.2 Projektierung mit dezentraler Peripherie Als dezentrale Peripherie werden Mastersysteme bestehend aus DP-Master und DP-Slave bezeichnet, die über ein Buskabel verbunden sind und über das Protokoll Profibus-DP kommunizieren. Physikalisch ist der Profibus-DP entweder ein elektrisches Netz auf der Basis einer geschirmten Zweidrahtleitung oder auf der Basis eines Lichtwellenleiters. Das Netzwerk zur Übertragung der elektrischen Signale beim Profibus-DP ist in Linienstruktur ausgeführt, Abweichungen sind jedoch möglich. Die Linientopologie bezeichnet man auch als serielles Bussystem, in dem der Anschluss der Teilnehmer quasiparallel über installierte Busterminals erfolgt. In einem Netz können auch mehrere Master mit ihnen zugeordneten DP-Slaves vorhanden sein. Aus Sicherheitsgründen darf ein DP-Slave nur von einem Master beschrieben werden, von dem er parametriert und konfiguriert wird. Für die Kommunikation im Netz ist der physikalischen Struktur eine logische Struktur übergeordnet. Zu einem bestimmten Zeitpunkt darf nur das Protokoll (Nachricht) eines Teilnehmers auf dem Bus sein. Ein solches Protokoll, ein Token, kann nur ein aktiver Teilnehmer (SPS) senden Die Slaves sind passive Teilnehmer, sie werden durch das MasterSlave-Verfahren angesprochen. Sind mehrere Master im Netz, darf immer derjenige senden, der das Token besitzt. Die Reihenfolge ist durch die Busadresse geregelt. Die DP-Slaves werden mit einem zyklischen Polling von ihrem Master angesprochen, wenn dieser das Token erhalten hat. Dabei arbeitet der Master eine sog. Poll-Liste ab, in der die von ihm konfigurierten DP-Slaves mit ihrer Profibusadresse aufgeführt sind. Ist nur ein Master im Netz, entfällt das Token-Passing. Hauptvorteile des Token-Passing, Master-Slave-Verfahrens sind die Echtzeitfähigkeit des Systems infolge der Tokenumlaufzeit und der Ausschluss von Zufälligkeiten.

Bild 27. Profibus-DP-System (Master-Slave) Die Busankopplung kann mittels Kommunikationsbaugruppen oder durch eine integrierte Profibus-DPSchnittstelle erfolgen. Bei der Projektierung von DPSlaves ist zu unterscheiden zwischen kompakten und intelligenten Slaves. Als kompakter Slave kann z.B. das Peripheriegerät SIMATIC ET 200L genutzt werden. Für eine CPU mit integrierter Schnittstelle ist folgende grundsätzliche Vorgehensweise für die Konfigurierung eines DP-Slaves möglich: 1. DP-Master auswählen und anordnen

 z.B. CPU 315-2 DP aus dem „Hardware Katalog“ wählen und auf dem Baugruppenträger positionieren  Im Dialogfeld „Eigenschaften“ Profibus-DP einstellen und die Adresse des DP-Masters (z.B. 2) festlegen  Es erscheint das BUS-Symbol im oberen Teil des Stationsfensters

2. DP-Slave auswählen und anordnen   

DP-Slave aus dem Fenster „Hardware Katalog“ unter PROFIBUS-DP wählen und per drag & drop auf das BUSSymbol des DP-Masters-Systems ziehen Im Dialogfeld Eigenschaften einstellen und ProfibusAdresse des DP-Slaves vergeben Slave-Symbol erscheint am DP-Mastersystem. Im unteren Teil des Stationsfensters erscheint der Peripherieausbau des kompakten Slaves

Hinweis: Die Eigenschaften der Teilnehmer (Adresse, Betriebsart) können auch eingestellt werden über BEARBEITEN > Objekteigenschaften. Zuvor muss der gewünschte Teilnehmer (z.B. X2) im Stationsfenster markiert werden.

4 Speicherprogrammierbare Steuerungen

Am kompakten Peripheriegerät ET 200L muss die bei der Konfigurierung vergebene Profibus-Adresse einstellt werden. Über die integrierte Schnittstelle wird das Peripheriegerät über das Profibuskabel mit dem Master verbunden, zusätzlich ist die Spannungsversorgung nötig. Das ET 200L ist als Blockperipherie nicht erweiterbar. Auf die Ein- und Ausgänge des DP-Slave wird vom Anwenderprogramm in der SPS direkt zugegriffen; sie werden wie Einund Ausgänge des Zentralgerätes behandelt. Die Kommunikation über das Bussystem wird vollständig von der Master-Anschaltung im Zentralgerät und der integrierten Profibus-DP-Schnitttstelle im ET 200L übernommen. Bei einem DP-Mastersystem mit einem Intelligenten Slave greift der DP-Master auf einen Übergabebereich in Ein-/Ausgangsadressraum der vorverarbeitenden SPS zu. Für den Austausch der Daten zwischen dem Operandenbereich und den Ein- und Ausgängen sorgt das Anwenderprogramm der vorverarbeitenden SPS. Als DP-Master kann eine CPU mit integrierter Schnittstelle (CPU 315-2 DP) verwendet werden, als Intelligenter Slave z.B. die CPU 314C-2 DP. Die Konfigurierung eines solchen System erfolgt in mehreren Schritten: 1. In einem Projekt werden zwei SIMATIC 300Stationen in bekannter Weise mit Hilfe des „Hardware Katalogs“ konfiguriert 2. Öffnen der Hardware der Station SIMATIC 300(1) und das DP-Mastersystem anlegen 

 

Teilnehmer (Zeile x2) DP-Master markieren und über BEARBEITEN > Objekteigenschaften wählen Eigenschaften einstellen: Profibus-Netz wählen und Profibus Adressen vergeben, Profibus Adresse des DP-Masters vergeben (z.B. 1) und Betriebsart DP-Master einstellen Im Stationsfenster erscheint das Symbols des Profibus-DP

Q 81

Bild 28. Profibus-DP-System (Intelligenter Slave)

Bild 29. Projekt-Übersicht (SIMATIC Manager)

Q 82 3. Konfigurieren des Intelligenten DP-Slaves 

  

Aus dem Hardware Katalog unter PROFIBUS-DP den Ordner bereits projektierte Stationen öffnen und per drag & drop die Station CDU 31x-2 DP auf das Symbol des Profibus-DP ziehen Im Fenster DP-Slave Eigenschaften einstellen: Register Kopplung wählen und auf die Schaltfläche Koppeln klicken Register Konfiguration wählen und über die Schaltfläche NEU die Adressen für den Datenaustausch Master-Slave (MS) zuordnen

Hinweis: Die Eigenschaften der Teilnehmer (Adresse, Betriebsart) können auch eingestellt werden über BEARBEITEN > Objekteigenschaften. Zuvor muss der gewünschte Teilnehmer (z.B. X2) im Stationsfenster markiert werden.

Bild 30. Profibus-DP-Netz

5 Sicherheitsanforderungen an Steuerungen Technische Systeme sind für eine begrenzte Zeit brauchbar, vorausgesetzt, sie werden innerhalb vorgegebener Grenzen beansprucht. Dazu gehören mechanische Beanspruchungen, Umweltbedingungen und eine einwandfreie Instandhaltung. Im Fehlerfall dürfen von automatisierten Anlagen keine Gefahren für Personen ausgehen. Die technische Anlage muss ebenfalls vor Schäden bewahrt werden. Da Fehler in jeder Anlage auftreten können, sind die Auswirkungen der Fehler entscheidend. Tritt irrtümlich in der Steuerung an einem Ausgang zum Stellglied ein 1-Signal auf, so kann dadurch ein Antrieb eingeschaltet werden. Dies kann gefährliche Auswirkungen haben. Es kann jedoch auch versehentlich durch dieses Signal eine Gefahrenmeldung ausgelöst werden. Dieses ist ungefährlich. Tritt irrtümlich ein 0-Signal auf, so kann dies ebenfalls sehr unterschiedliche Auswirkungen haben. Gefährlich wäre die Unterdrückung einer Fehleranzeige; ungefährlich das Abschalten eines Antriebs. Allgemeingültige Lösungen für Sicherheitsanforderungen kann es nicht geben, da jede steuerungstechnische Lösung eines technischen Problems bestimmten, technologisch bedingten, funktionellen Abläufen unterliegt. Für jedes Problem muss deshalb entschieden werden, welche sicherheitstechnischen Maßnahmen erforderlich sind, um Schäden für Personen und Anlagen zu

Q Steuerungstechnik vermeiden. Nachfolgend sind einige Sicherheitsmaßnahmen erläutert: 1. Verriegelungen Stellelemente (K1, K2), die einander entgegengesetzte Bewegungen steuern, dürfen nie gleichzeitig wirksam sein, da dies schwerwiegende Auswirkungen haben kann. Solche Bewegungen sind z.B. der Rechts- und Linkslauf von Motoren. 2. Sicherheitsgrenztaster Endlagen von Maschinentischen, Hebebühnen, Transportbewegungen und anderen technischen Einrichtungen können von Grenztastern (S3, S4) kontrolliert werden. Bei Überfahren unterbrechen Öffnerkontakte unmittelbar die Energieversorgung der Antriebe. 3. Drahtbruchsicherheit In Verbindung mit übergeordneten Sicherheitsschaltungen sollte beim Einsatz speicherprogrammierbarer Steuerungen immer die Forderungen nach drahtbruchsicherem Programmieren berücksichtigt werden. Dies bedeutet:  Signalgeber, mit denen Antriebe eingeschaltet werden, müssen bei Betätigung 1-Signal auslösen (Schließerkontakte).  Signalgeber, die Antriebe abschalten, müssen bei Betätigung ein 0-Signal am Eingang der SPS abgeben (Öffnerkontakte).  Gefahrenmeldungen sollen ebenfalls bei Auslösung ein 0-Signal abgeben. 4. Not-Aus-Einrichtungen Not-Aus-Signale müssen direkt alle Antriebe abschalten, durch die eine Gefährdung ausgeht. Über die beweglichen Anlagenteile hinaus muss ggf. auch die Energieversorgung (Druckluft, Öl, Spannung) betrachtet werden. Einrichtungen, durch deren Abschalten Menschen oder Geräte gefährdet werden (Spannvorrichtungen, Meldeeinrichtungen) dürfen nicht abgeschaltet werden. Das Entriegeln der Einrichtung darf nicht zu einem Wiederanlaufen einer Anlage oder Teilen einer Anlage führen. Die Anlage wird im energielosen Zustand in die Stellung versetzt, aus der sie nach dem Entriegeln der -Einrichtung wieder gestartet werden soll. Bei pneumatischen Anlagen sind die Gefahrenmomente wegen der Kompressibilität der Luft und der fehlenden Selbsthemmung der Linearbewegungen für jedes Arbeitselement zu untersuchen und Sicherheitsbedingung festzulegen. Elektrische Sicherheitsschaltungen werden häufig redundant aufgebaut. Dies bedeutet, dass zur Realisierung der Abschaltung mehr als die erforderlichen technischen Mittel verwendet werden, um ein Höchstmaß an Zuverlässigkeit zu erreichen.

3 Steuerungsmittel

Q 21

werden. Der eingetragene Zählerwert ZW – Datentyp WORD – wird gesetzt, wenn der Signalzustand am Eingang S von „0“ auf „1“ wechselt. Jeder Impuls auf den Eingang ZV erhöht den Zählerstand um 1, jeder Impuls auf den Eingang ZR verringert den Zählerstand um 1. Wechselt der Signalzustand am Eingang R, wird der Zählerwert auf 0 gesetzt. Ein ständiges 0Signal hält den Zählerstand auf 0. Der Ausgang Q führt 1-Signal, wenn der Zählerwert größer ist als 0. Im Ausgang DUAL steht der aktuelle Zählerwert dual codiert und im Ausgang DEZ im BCD-Format zur Verfügung. Beide Ausgänge haben den Datentyp WORD und können z.B. für Vergleichsfunktionen abgefragt werden.

erzeugt werden. Die Steuereinrichtung „Getriebe“ wirkt über geeignete Stellelemente auf die Steuergrößen Verfahrweg, Drehzahl und Geschwindigkeit zur Beeinflussung der Steuerstrecke ein.

Bild 2. Prinzip mechanischer Steuerungen 3.1.1 Steuerung von Drehbewegungen

Bild 24. Zähler (STEP 7)

3 Steuerungsmittel 3.1 Mechanische Steuerungen und Speicher Mechanische Steuereinrichtungen erreichen mit großen Stellgeschwindigkeiten sehr genaue Verstellwege. Sie bestehen aus Getrieben, Kupplungen, Kurvenscheiben und Hebeln. Die Antriebsenergie wird durch elektrische Antriebe bereitgestellt. Anwendung finden diese Steuerungsmittel vorwiegend im Werkzeugmaschinenbau.

Drehbewegungen können mit Stufengetrieben und stufenlos verstellbaren Getrieben übertragen werden. Dabei werden die Drehzahl, die Drehrichtung und das Drehmoment gesteuert. Die Antriebswelle wird in den meisten Fällen mit einer konstanten Antriebsleistung beaufschlagt. Mit einer Änderung der Drehzahl wird auch das Drehmoment verändert. Bei konstanter Leistung steht das Drehmoment M in umgekehrtem Verhältnis zur Drehzahl n (M ~ 1/n).

Bild 3. Kennlinie verstellbarer Getriebe

Bild 1. Mechanische Maschinensteuerung Getriebe beeinflussen als Steuereinrichtungen die Steuerstrecke durch eine Änderung von Drehzahl, Drehmoment, Drehrichtung oder der Bewegungsart. Die Eingangssignale können von geeigneten mechanischen, elektrischen oder fluidischen Signalgebern

Die Kennlinie ist eine Hyperbel. Bei einem Stufengetriebe werden entsprechend der Anzahl der Drehzahlstufen Punkte der Hyperbel belegt; bei schlupffreien, stufenlos verstellbaren Getrieben entspricht die Kennlinie dem geschlossenen Kurvenzug. Gestufte Getriebe werden als Stufenrädergetriebe und Stufenscheibengetriebe ausgeführt. Zur Kraftübertragung dienen Zahnräder oder Riemenscheiben und Riemen. Drehzahl und Drehrichtung werden bei automatischen Stufengetrieben durch Kupplungen verstellt.

Q 22 Stufenlos verstellbare Getriebe werden ausgeführt als Umschlingungsgetriebe, Reibradgetriebe und Wälzgetriebe.

Q Steuerungstechnik hergehende Bewegung versetzt. Schubkurbelgetriebe werden zur Umwandlung von Dreh- in Längsbewegungen bei Pressen verwendet.

Bild 6. Kurvengetriebe

Bild 4. Umschlingungsgetriebe Umschlingungsgetriebe sind Stufenscheibengetriebe, bei denen die Scheiben aus 2 kegelförmigen Teilen bestehen. Die beiden Scheibenhälften lassen sich axial auf ihrer Welle verschieben. Dadurch werden die Laufradien/Durchmesser für das Zugmittel verstellt, was wiederum eine Änderung der Abtriebsdrehzahl und des Drehmoments zur Folge hat. Die Zugmittel werden in Abhängigkeit von den auftretenden Zugkräften und der Lebensdauer des Getriebes ausgewählt. Neben dem Breitkeilriemen werden Lamellenketten und Rollenketten verwendet. 3.1.2 Steuerung geradliniger Bewegungen Bei vielen Arbeitsmaschinen wird die Umwandlung der Drehbewegung in eine geradlinige Bewegung verlangt. Hierzu müssen zusätzliche Getriebe verwendet werden. Zur Erzeugung gleichförmiger Bewegungen dienen Zahnrad und Zahnstange oder bei modernen Werkzeugmaschinen Kugelgewindetriebe. Ungleichförmige Bewegungen können durch Kurbeloder Kurvengetriebe erzeugt werden.

Zur Verwirklichung ungleichförmiger Bewegungen bei Zustell- und Vorschubbewegungen an Werkzeugmaschinen werden Kurvengetriebe verwendet. Die Bewegungsgesetze (Weg- und Geschwindigkeitsverläufe) werden durch die Kurvenform festgelegt. Das als Scheiben- oder Trommelkurve ausgeführte Maschinenelement ist ein Programmspeicher. Durch die Steigung der Kurve ist eine bestimmte Geschwindigkeit vorgegeben; der Weg wird von einer unteren bis zu einer oberen Raststellung von der Kurve abgenommen. Die Kurve ist also Speicher für Wege und Geschwindigkeiten. Sie überträgt die gesamte am Stellglied benötigte Leistung. Diese Leistung ist gekennzeichnet durch das Drehmoment an der Kurvenscheibe und die zugehörige Winkelgeschwindigkeit, die der Kraft und der Geschwindigkeit am Stellglied entsprechen. Der Übertragungsmechanismus besteht aus weiteren mechanischen Elementen wie Rolle, Hebel, Zahnstange und Ritzel oder Zahnsegment. Eine solche Steuerung ist einfach und wenig störungsanfällig. Eine Übertragung größerer Kräfte über längere Strecken ist jedoch aufgrund von Spiel und Verformungen in den Übertragungsgliedern ungünstig. Erhöhte Massenkräfte wirken sich zudem ungünstig auf das dynamische Verhalten solcher Systeme aus. 3.1.3 Steuerung aussetzender Bewegungen Für Transportbänder, Rundschalttische, Werkzeugrevolver werden aussetzende Bewegungen verlangt. Getriebe zur Erzeugung aussetzender Bewegungen sind: Malteserkreuzgetriebe, Sternradgetriebe und Getriebe mit sich kreuzenden Wellen.

Bild 5. Kurbelgetriebe Bei der Kurbelschleife ist die Schwinge am Maschinengestell befestigt. Durch die sich drehende Kurbel mit der Koppel wird die Schwinge in eine hin- und

Das Malteserkreuzgetriebe besteht aus einer sich mit gleichbleibender Geschwindigkeit drehenden Scheibe mit einer Rolle und dem Malteserkreuz, welches mit unterschiedlich vielen Schlitzen ausgeführt werden kann. Die Rolle an der treibenden Scheibe greift bei jeder Umdrehung in einen Schlitz des Malteserkreu-

3 Steuerungsmittel

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zes ein und dreht es weiter. Der Drehwinkel ist von der Anzahl der Schlitze des Malteserkreuzes abhängig.

Bild 7. Malteserkreuzgetriebe

3.2 Elektrische Steuerungen 3.2.1 Bauelemente elektrischer Steuerungen Elektrotechnische Bauelemente zeichnen sich hinsichtlich leichter Energieversorgung, hoher Lebensdauer und Wartungsfreundlichkeit aus. In jeder elektrischen Steuerung werden elektromechanische Schaltkontakte benötigt, die als Signalgeber verwendet werden. Man unterscheidet bei den Schaltkontakten zwischen Schließerkontakten und Öffnerkontakten. Schließerkontakte schließen bei Betätigung einen Stromweg, Öffnerkontakte unterbrechen bei Betätigung einen Stromweg. Schließerkontakte dienen zum Einschalten von Maschinen und Anlagen. Ausgeschaltet wird mit Hilfe von Öffnerkontakten. Im Sinne der Digitaltechnik können sowohl Schließer als auch Öffner nur 2 Zustände annehmen: Sie schließen (1) oder unterbrechen (0) einen Stromweg. Nach der Art ihrer Betätigung unterscheidet man zwischen Tastschaltern (Taster) und Stellschaltern (Schalter). Taster wirken für die Dauer ihrer Betätigung. Der Kontakt oder die Kontaktunterbrechung erfolgt über bewegliche Schaltstücke. Die Betätigung kann von Hand oder durch Schaltnocken erfolgen. Eine Feder sorgt im Allgemeinen dafür, dass die Ausgangsstellung nach Rücknahme der Krafteinwirkung wieder erreicht wird. Tastschalter verfügen häufig über mehrere Schaltkontakte, die durchnummeriert werden. Grenztaster werden durch Schaltnocken betätigt. Sie signalisieren das Erreichen von Endlagen oder verriegeln Bewegungsrichtungen. Sie sind mit Sprungschaltern ausgerüstet, damit bei langsamer Betätigung sprunghaft ein Kontakt geschlossen oder unterbrochen wird. Stellschalter verharren in jener Schaltstellung, in der sie durch Betätigung versetzt werden. Sie werden ausgeführt als Kippschalter oder Wahlschalter für Betriebsarten mit mehreren Schaltstellungen.

Bild 8. Tastschalter

Bild 9. Reed-Kontakt Reed-Kontakte sind berührungslos betätigte Näherungsschalter. Die Kontakte sind zum Schutz gegen Staub und Feuchtigkeit in einem Gehäuse angeordnet. Bei Annäherung eines Permanentmagneten werden die Kontaktzungen geschlossen. Das Signal kann zur Kontrolle von Endlagen oder zur Erfassung von Zählimpulsen für Stückzahlen verwendet werden. Die Schaltzeit ist kleiner 2 ms; die Schaltfrequenz 500 Hz. Die Fernbedienung von Schaltkontakten erfolgt über Relais oder Schütze. Relais sind kleine elektromagnetisch angetriebene Schalter, die bevorzugt im Steuerstromkreis eingesetzt werden zum Schalten kleiner Leistungen. Schütze sind elektromagnetisch angetriebene Schalter, die mit kleiner Steuerleistung große Arbeitsleistungen (1 bis 500 kW) schalten. Die Kontakte werden geschlossen, wenn die Spule erregt wird und den Anker anzieht. Die Schützspule wird entweder von Wechselstrom (Wechselstromschütz) oder Gleichstrom (Gleichstromschütz) durchflossen.

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Q Steuerungstechnik

Bild 10. Relais und Leistungsschütz Nach dem Abfall der Steuerspannung wird der Anker durch Federkraft rückgestellt. Zusätzliche Hilfskontakte dienen zur Schützüberwachung. Relais und Schütze sind weitgehend wartungsfrei und sorgen für eine galvanische Trennung von Steuer- und Arbeitsstromkreis. Nachteilig sind der Kontaktabrieb, Schaltgeräusche und begrenzte Schaltgeschwindigkeiten. Will man in Fertigungsprozessen den bedienenden und überwachenden Menschen weitgehend ersetzen, müssen Kenngrößen des zu automatisierenden Prozesses durch Sensoren messtechnisch erfasst und aufbereitet werden. Ein Sensor ist eine in sich abgeschlossene Steuerungskomponente, die an ihrem Eingang durch einen geeigneten Messfühler mit der Messgröße in Verbindung steht und diese in ein elektrisches Signal umformt. Der Anwender unterscheidet die Sensoren nach der zu erfassenden Messgröße, dem Messverfahren und nach der Art des Sensorausgangs: binär oder multivalent. Binäre Sensoren kennen nur zwei Zustände: Ein oder Aus, entsprechend den logischen Zuständen 1/0. Multivalente Sensoren sind analoge oder digitale Sensoren. Um eine beliebige physikalische Größe in ein elektrisches Signal umzuformen, bedarf es eines Messfühlers (engl. Sensor element), der mittels eines geeigneten physikalischen Prinzips diese Umformung erreicht. Als physikalisches Prinzip zur Erfassung einer Temperatur kann die Temperaturabhängigkeit des ohmschen Widerstandes eines Metalls genutzt werden. Der Widerstand wird mit einem konstanten

Strom gespeist. Ändert sich die Temperatur des Messobjekts, z.B. einer Flüssigkeit, kann die veränderte Messgröße (Temperatur) über ein proportionales Messsignal erfasst werden. Sensoren beinhalten prinzipiell einen geeigneten Messfühler und eine Anpasselektronik zur Verstärkung und/oder Umformung des elektrischen Signals. Die Anpasselektronik kann aus wenigen passiven Bauteilen bestehen oder aus einer komplexen Elektronik einschließlich eines Mikroprozessors für Selbstdiagnose und zur Aufbereitung eines genormten Ausgangssignals:

 0 ... 10 V oder 0 ... 10 V  0 ... 20 mA oder 4 ... 20 mA  5 ... 25 Hz

Bild 11. Messwertaufnehmer Wichtige physikalische Messgrößen sind: Länge/ Weg, Dehnung, Geschwindigkeit, Winkelgeschwindigkeit, Kraft, Druck, Temperatur, Feuchtigkeit, Beleuchtungsstärke.

3 Steuerungsmittel

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Die Messfühler können in zwei Hauptkategorien aufgeteilt werden: Aktive Messfühler sind Energiewandler. Sie formen die zu messende nichtelektrische Größe direkt in ein Signal um. Wichtige aktive Sensorelemente sind elektromagnetische, kapazitive und piezoelektrische Fühler, Thermoelemente, Fotoelemente und pH-Sonde. In vielen Bereichen der Automation reichen einfache Abfragen: Wird eine bestimmte Distanz über/unterschritten, eine bestimmte Füllhöhe über/unterschritten, Bohrer gebrochen/nicht gebrochen usw. Für solche Informationen werden binäre Sensoren verwendet. Bis auf den mechanischen Grenztaster arbeiten alle Sensoren berührungslos. Mechanisch arbeitende Schalter sind jedoch nach wie vor sehr wichtig. Ihre Vorteile sind: robust, preisgünstig, sehr kleine Abmessungen, für kleine und große Schaltleistungen erhältlich und sicher im Einsatz. Die binären elektrischen Sensoren sind mit einem Schwellwertschalter (Trigger) aufgebaut. Erreicht die Messgröße die Einschaltschwelle, dann wird eingeschaltet. Bei Unterschreitung der Ausschaltschwelle wird das Signal ausgeschaltet. Tabelle 1. Binäre Sensoren Sensortyp

Messgröße

Grenztaster

Kontaktbetätigung über ein Distanz über-/unterschritten, Hebelsystem (taktil) Druck, Kraft über-/unterschritten, Niveau über-/unterschritten

Lichtschranke Objekte im Raum detektieren, Objektdistanz über-/unterschritten, Niveau über-/unterschritten

Physikalisches Prinzip

Lichtstrahl wird unterbrochen Reflektiertes Licht wird erfasst Winkel des vom Objekt zurückgeworfenen Lichtstrahls wird detektiert

Induktiver Sensor

Objektdistanz Sensor erzeugt magnetisches über-/unterschritten Feld. In elektrisch leitendem Material im Feld werden Wirbelströme erzeugt.

Kapazitiver Sensor

Objekt im Raum Sensor erzeugt elektrisches detektieren, Feld. Objekt im Feld erhöht Objektdistanz die Kapazität des Sensors. über-/unterschritten

Ultraschall

Objekt im Raum detektieren, Objektdistanz über-/unterschritten, Niveau über-/unterschritten

Sensor sendet Schallimpuls aus, der vom Objekt zurückgeworfen wird. Durch Messung der Laufzeit kann die Objektdistanz bestimmt werden.

Als Kriterien für die Auswahl geeigneter Sensoren sind zu beachten:

     

Materialabhängigkeit Reichweite Wiederholgenauigkeit Schmutzempfindlichkeit Feuchteempfindlichkeit Temperaturbereich

    

Schwingungsempfindlichkeit Schaltspielzahl Kosten Wartungsfreundlichkeit Selbstdiagnose

Mit analogen Sensoren werden physikalische Größen erfasst und in analoge elektrische Spannungsoder Stromsignale umgewandelt. Durch Kalibrierung können sie auch als Messwertgeber in digitalen Steuerungen eingesetzt werden. Analoge Sensoren dienen zur

 Erfassung von Wegen, Winkeln, Abständen und Dicken  Geschwindigkeitsmessung  Erfassung von Dehnungen, Kräften, Kraftmomenten und Drücken  Erfassung von Beschleunigungen (Schwingungen)  Messung von Temperaturen. Passive Messfühler sind Impedanzen (ohmscher Widerstand, Induktivität, Kapazität), die durch die physikalische Messgröße verändert werden. Damit ein elektrisches Signal entsteht, wird eine Hilfsenergie benötigt. Wichtige passive Sensorelemente sind das Potentiometer, der Dehnungsmessstreifen (DMS), induktive und kapazitive Fühler sowie temperaturabhängige Widerstände (NTC, PTC, Pt 100). Der ohmsche Widerstand R eines Körpers (einer Widerstandsbahn) mit gleichbleibendem Querschnitt hat den Wert: R

 l A

.

Der Leiterwiderstand R kann sich durch eine Veränderung des spezifischen Widerstandes  infolge einer Temperaturänderung oder durch die Veränderung der mechanischen Spannung in einem Bauteil ändern. Auch die Änderung der Leiterlänge l oder des Querschnitts A führt zu einer Veränderung des Leiterwiderstandes. Diese Zusammenhänge werden in ohmschen Widerstandssensoren genutzt. Messpotentiometer dienen zur Schließwinkelerfassung von Ventilen oder zur Messung des Verfahrweges eines Schlittens aufgrund veränderter Potentiometerspannungen. Potentiometer liefern eine winkelbzw. wegproportionale Spannung. Rx s s   Rx   Ro Ro so so Ux s s   U x  U o U o so so

bzw.

Die Linearitätsabweichung bei Potentiometern nimmt zu, wenn die Teilspannung Rx gegenüber der Gesamtspannung sehr klein wird. Die Abweichung liegen jedoch weit unter 1 %.

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Bild 12. Prinzip eines analogen Sensors Zum zahlenmäßigen Erfassen von Messgrößen wie Wegstrecken oder Zeitspannen werden digitale Sensoren verwendet. Wichtige digitale Sensoren im Maschinenbau sind inkrementale Wegsensoren, Codemaßstäbe und Winkelcodierer zur Erfassung von Verfahrwegen oder Drehbewegungen an Werkzeugmaschinen. Wichtige Aktorelemente in der Steuerungstechnik sind Elektromagnete. Sie werden häufig zur Betätigung von Ventilen und Kupplungen verwendet. Im Prinzip bestehen sie aus einer Spule mit Eisenkern und einem beweglichen Eisenkern, dem Anker. Wird die Magnetspule von Strom durchflossen, wird der bewegliche Anker angezogen. Er stellt sich so ein, dass der Widerstand für die magnetischen Flusslinien möglichst klein wird. Man unterscheidet zwischen Hub- und Drehmagneten.

Bild 13. Hubmagnet Wichtige elektrische Antriebe zur Erzeugung von Drehbewegungen sind der Gleich- und der Drehstrommotor. Lineare Bewegungen werden von Linearmotoren erzeugt. Beim Linearmotor bewirkt ein magnetische Wanderfeld eine Kraft und bewegt je nach technischer Ausführung den Induktor oder den Anker in linearer Richtung des Feldes. Line-

Q Steuerungstechnik armotoren werden in Förderanlagen, für den Werkstofftransport und für Schnellbahnen verwendet. Gleich- und Drehstromantriebe benötigen einen hohen Anlaufstrom im Moment des Einschaltens, deshalb dürfen nur kleine elektrische Motoren direkt eingeschaltet werden. Gleichstrommotoren werden heute über Stromrichterschaltungen angelassen und betrieben. Auch für Drehstrommotoren gibt es eine Vielzahl von Anlassschaltungen, u.a. die Stern-Dreieckschaltung. Während der Hochlaufphase verringert sich der Anlaufstrom bis zum Bemessungsstrom. Je nach Bauart werden Gleichstrommotoren als Antriebe für Werkzeugmaschinen, Förderanlagen, Lüfter, Pumpen und Bahnen eingesetzt. Drehstrommaschinen finden u.a. Verwendung zum Antrieb von Werkzeugmaschinen, Ventilatoren, Wasserpumpen und Gebläsen. Die Auswahl des Antriebs richtet sich nach der Betriebsart und dem Drehzahlverhalten in Abhängigkeit vom Motordrehmoment. Die wichtigsten elektronischen Bauelemente für Schaltungen in der Steuerungstechnik sind Dioden, Transistoren und Thyristoren. Sie werden aus den chemisch 4-wertigen Grundwerkstoffen Silizium und Germanium gefertigt. Beide Stoffe haben im reinen Zustand nur eine begrenzte Leitfähigkeit. Bei der Herstellung der Halbleiterbauelemente werden die Grundwerkstoffe geringfügig durch die 3-wertigen Elemente Indium (P-Dotierung) oder 5wertigen Elemente Antimon (N-Dotierung) verunreinigt. Bei P-Dotierung beruht der physikalische Leitungsmechanismus auf einem Mangel an Elektronen, bei der N-Dotierung auf einem Überschuss an Elektronen. Fügt man nun P- und N-dotierte Halbleiter aneinander, dann ist diese Anordnung leitend, sobald eine Spannung angelegt wird: Minuspol an der N-Dotierung, Pluspol an der PDotierung. Die überschüssigen Elektronen des Ndotierten Halbleitermaterials wandern in die Fehlstellen des P-dotierten Halbleitermaterials. Man spricht von einem PN-Übergang in Durchlassrichtung. Wird die Polung umgetauscht, findet kein Elektronenfluss statt. Die überschüssigen Elektronen des N-dotierten Materials werden zum hier anliegenden Pluspol getrieben. Aus dem Bereich des Elektronenmangels können keine Elektronen abfließen. Dieser PN-Übergang sperrt. Halbleiterdioden sind Bauelemente mit einem PNÜbergang. Die Diode lässt in Pfeilrichtung den Strom fließen und sperrt in entgegengesetzter Richtung. Dioden werden zur Gleichrichtung von Wechselströmen, zur Trennung elektrischer Geräte von bestimmten Stromwegen und zur Verknüpfung von Signalen eingesetzt. Transistoren bestehen aus 3 Halbleiterschichten mit der Dotierungsfolge PNP oder NPN.

3 Steuerungsmittel

Q 27 fließt zwischen Kollektor (C) und Emitter (E). Der Basisstrom IB ist wesentlich kleiner als der gesteuerte Strom Ic, so können auf einfache Weise kleine Eingangsleistungen elektronisch verstärkt werden. Ein Thyristor ist ein steuerbarer Halbleiterbaustein mit mehreren P- und N-Bereichen. Im ungesteuerten Fall sperrt der Thyristor den Strom in beiden Richtungen. Durch einen Stromimpuls über eine Steuerelektrode wird der Thyristor leitend, wenn eine positive Spannung zwischen Anode und Katode anliegt. Solange die Spannung anliegt, bleibt der Thyristor leitend. Wird der durchfließende Strom Null, sperrt der Thyristor, bis er durch einen erneuten Impuls angesteuert wird. Mit Thyristoren können steuerbare Gleichstromquellen für Antriebe aufgebaut werden.

Bild 14. Diode

Bild 16. Steuerung mit Thyristor 3.2.2 Elektrische Schaltungstechnik Elektrische Schaltungen werden durch Schaltpläne dargestellt. Sie erläutern die Arbeitsweise, die Anordnung und das Zusammenwirken der Betriebsmittel.

Bild 15. NPN-Transistor Die Basis des Transistor (B) dient zur Steuerung des Stromes. Liegt an der Basis des Transistors keine Steuerspannung, ist der Durchgang EmitterKollektor gesperrt, da ein PN-Übergang immer in Sperrrichtung arbeitet. Liegt an der Basis eine Spannung, bewirkt der Basisstrom eine Aufhebung dieser Sperrwirkung des PN-Übergangs; der Strom

■ Beispiel: Drehrichtungssteuerung Die Ständerwicklung eines kleinen Drehstrommotors mit einer Leistung von 1 kW für einen Lüfter soll in Sternschaltung durch einen handbetätigten Motorschutzschalter an ein Drehstromnetz angeschlossen werden. Der Motorschutzschalter Q1 wird als Hauptschalter an der Netzschaltstelle zur Dauereinschaltung verwendet. Er vereint die Schaltfunktionen und Überlast- sowie Kurzschlussschutz. Nach Betätigung ist der Arbeitsstromkreis an das Drehstromnetz angeschlossen; ein Hilfskontakt schaltet den Steuerstromkreis betriebsbereit. Die Leitungen werden durch zusätzliche Schmelzsicherungen geschützt. Rechts- und Linkslauf werden durch zwei Taster geschaltet, die gegenseitig zu verriegeln sind. Eine direkte Umschaltung der Drehrichtung soll nicht möglich sein. Zum Anhalten dient ein Taster mit Öffnerkontakt. Anmerkungen zum Schaltplan: Die Steuerung des Drehstrommotors erfolgt indirekt durch Trennung des Stromlaufplans in einen Steuer- und einen Arbeitsstromkreis. Die Ansteuerung des Motors erfolgt über die Schütze K1 und K2. Die Spulenanschlüsse liegen im Steuerstromkreis an einer kleinen Steuerspannung; die Hauptkontakte schalten im Hauptstromkreis den Arbeitsstrom. Hierdurch ergeben sich wesentliche Vorteile:  Geringe Steuerspannungen schalten hohe Arbeitsströme (Sicherheit)  Galvanische Trennung von Steuer- und Arbeitsstromkreis

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Q Steuerungstechnik

Bild 17. Schaltplan für einen Drehstrommotor  

  

  

Die übersichtliche Darstellung der Steuerung erleichtert die Fehlersuche Fernbedienung der Antriebe Wird der Taster S2 betätigt, schließt sich der Stromweg 1 für das Schütz K1. Über den 1. Nebenkontakt des Hilfsschützes im 2. Stromweg geht das Schütz in Selbsthaltung. Der 2. Nebenkontakt unterbricht den 3. Stromweg zum Schütz K2. Rechts- und Linkslauf sind gegeneinander verriegelt. Verriegelungen sollen unerwünschte Schaltzustände verhindern. Diese können verursacht werden durch: Fehlbedienung Durch fehlerhafte Befehlsgeräte und Schütze (Verschweißen oder Klemmen der Kontakte) Zu große Rückfallzeiten eines Schützkontaktes gegenüber der Anzugszeit eines anderen Schützes Der Hauptkontakt des Schützes schließt im Stromweg 32 die 3 Strombahnen des Drehstromnetzes und der Motor läuft hoch. Eine direkte Umschaltung des Motors in den Linkslauf ist wegen der Schützverriegelung nicht möglich. Eine Umschaltung in den Linkslauf setzt zunächst die Betätigung des Tasters S1 voraus. Alle Kontakte des Schützes K1 fallen ab: Die Selbsthaltung wird unterbrochen Der Motor liegt nicht mehr am Drehstromnetz Die Verriegelung des Schützes K2 ist aufgehoben Durch eine Betätigung des Tasters S3 wird der Linkslauf gestartet, die Selbsthaltung realisiert und das Schütz K1 verriegelt.

Löst der Motorschutzschalter infolge Überlastung oder Kurzschluss aus, nimmt das Schaltschloss die Schaltstellung „Ausgelöst“ ein. Eine mechanische Wiedereinschaltsperre verhindert ein selbsttätiges Anlaufen des Motors, z.B. nach Abkühlung.

3.3 Fluidische Steuerungen 3.3.1 Vergleich fluidischer Steuerungen Fluidische Steuerungen nutzen zur Leistungsübertragung die Wandlung von mechanischer Energie in Druckenergie in strömenden Flüssigkeiten und Gasen. Die einfach steuer- und regelbaren Flüssigkeitsund Gasströme gestatten vielfältige Anwendungsmöglichkeiten. Aufgrund der hohen Leistungsdichte (Druck) lassen sich große Kräfte bei geradlinigen und rotierenden Bewegungen mit relativ kleinen Maschinen erzeugen. Dadurch ergibt sich ein günstiges Leistungsgewicht, dass hohe Umschaltgeschwindigkeiten zulässt. Druckerzeuger, Steuerelemente und Antriebe sind in einem Kreislauf geschaltet. Innerhalb eines Steuerkreises können je nach Zusammenstellung

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Antriebe mit kreisendem, schwenkendem oder schiebendem Abtrieb verwendet werden. Die Stellelemente für die Antriebe können direkt oder indirekt betätigt werden; in Verbindung mit elektrischen/elektronischen Steuerungsmitteln besteht eine gute Fernbedienbarkeit. Der Transport des Druckmittels in Leitungen ermöglicht eine hohe Freizügigkeit in der räumlichen Anordnung der Bauelemente.

Tabelle 3. Vor- und Nachteile fluidischer Antriebe Eigenschaft

Bauelemente

Sekundäre Energiewandlung: Wandlung der pneumatischen oder hydraulischen Energie in mechanische Arbeit

Zylinder, Hydro- oder Druckluftmotor, Schwenkmotor

Energiesteuerung: Wege-, Druck-, Strom- und Erfolgt durch direkte oder Sperrventile indirekte Betätigung von Ventilen, die die Wirkungsrichtung, die Durchflussmenge und den Druck beeinflussen Energietransport: Erfolgt durch Flüssigkeiten oder Gase

Leitungen, Leitungsverbindungen, Sperrventile, Filter, Trockner, Kühler

Energiebevorratung:

Tank, Hydraulikspeicher, Druckluftspeicher, Manometer

Primäre Energiewandlung: Wandlung mechanischer in pneumatische oder hydraulische Energie

Elektromotor und Pumpe oder Verdichter

Die Pneumatik findet vornehmlich Anwendung bei  Linearantrieben zum Zuführen, Verschieben, Spannen und Auswerfen  Rotierenden Antrieben zum Schrauben, Bohren und Schleifen  Schlagenden Antrieben zum Meißeln, Schneiden, Nieten und Pressen  Düsen zum Auswerfen von Werkstücken und Reinigen von Spänen  Sandstrahl- und Farbspritztechniken und  der Vakuumtechnik Bevorzugte Anwendungsbereiche der Hydraulik sind:  Werkzeugmaschinen-, Hütten- und Walzwerkindustrie  Straßenfahrzeuge, Bau- und Landmaschinen  Kunststoffverarbeitung  Schiffsbau und  Flugzeughydraulik

Hydraulik

Luft ist kompressibel, Öl ist nahezu inArbeitsdruck  10 bar kompressibel Arbeitsdruck 30 ... 400 bar

Temperaturverhalten

Unempfindlich gegen Temperaturschwankungen

Viskosität verändert sich, höhere Leckverluste

Weggenauigkeit

Weniger gut

Sehr gut

Steuer- und Regelbarkeit

Sehr gut

Sehr gut

Tabelle 2. Prinzip fluidischer Steuerungen Energiefluss

Pneumatik

Druckmedium

SignalverknüpVorwiegend elektrofung mit anderen magnetische Ventile Systemen

Vorwiegend elektromagnetische Ventile

Wirkungsgrad

Weniger gut aufgrund Weniger gut aufvolumetrischer- und grund volumetriReibungsverluste scher und Reibungsverluste

Überlastsicherheit

Ja

Ja, durch Druckbegrenzung

Leistungsdichte

Weniger gut aufgrund der Kompressibilität der Luft, geringere Kolbenkräfte

Sehr gut aufgrund hoher Betriebsdrücke und kleiner Bauelemente

3.3.2 Bauelemente in fluidischen Steuerungen Signale in pneumatischen und hydraulischen Steuerungen werden häufig von Wegeventilen gegeben. Wegeventile beeinflussen die Steuerung durch Veränderung ihrer Schaltstellung, indem sie die Durchflussrichtung des Druckmittels sperren oder freigeben.

Bild 18. Wegeventile Die Schaltstellungen a und b werden durch Rechtecke dargestellt. Die Anzahl der Felder entspricht der Anzahl der Schaltstellungen. Die Ventile haben Anschlüsse für den Zufluss des Druckmittels, für die Arbeitsleitungen und die Entlüftung. Die Ausgangs-

Q 30 stellung ist jene, die ein Ventil nach dem Einschalten der Druckquelle einnimmt und mit der das Steuerprogramm beginnt. Ist das Druckmittel in der Ausgangsstellung gesperrt, spricht man von der SperrNullstellung; strömt das Druckmittel in der Ausgangsstellung durch das Ventil, so spricht man von der Durchfluss-Nullstellung. Die Anschlüsse müssen in den verschiedenen Schaltstellungen an genau dieselbe Stelle gesetzt werden, damit sich die Leitungsanschlüsse in den verschiedenen Schaltstellungen überdecken. Die Bezeichnung eines Wegeventils ergibt sich aus der Anzahl der Anschlüsse und der Anzahl der Schaltstellungen, z.B. 3/2-Wegeventil. Ventile, die keine definierte Ausgangsstellung haben, werden als Impulsventile bezeichnet. Ein solches Ventil ist im Bild 18 das 5/2-Wegeventil. Wird das Ventil durch einen Impuls kurzzeitig angesteuert, dann nimmt es eine neue Schaltstellung ein und behält diese solange bei, bis es durch einen Gegenimpuls wieder umgesteuert wird. Das Ventil hat Haftverhalten, d.h. es speichert den jeweiligen Schaltzustand. Die Ventile können auch durch Handhilfsbetätigung umgeschaltet werden. Im Gegensatz zu den bistabilen Impulsventilen haben Ventile mit Federrückstellung eine definierte Ausgangsstellung; sie sind monostabil. Die Betätigung der Ventile erfolgt durch Muskelkraft (Knopf, Hebel, Pedal), mechanisch durch Stößel, Feder, Rolle oder durch Elektromagnete. Die Betätigungsarten sind genormt und werden außerhalb der Ventile angeordnet (DIN ISO 1219). Die Auswahl der Wegeventile erfolgt entsprechend dem Verwendungszweck und der geforderten Funktion. Nach ihrem Konstruktionsprinzip unterteilt man sie in Sitzund Schieberventile. Sitzventile haben Schließelemente wie Kugel, Kegel oder Teller. Das 3/2Wegeventil ist ein Tellersitzventil. Es hat einen kurzen Betätigungsweg. Bei größeren Ventilen werden häufig größere Betätigungskräfte erforderlich. Man verwendet dann vorgesteuerte Ventile, bei denen elektromagnetisch besteuerte Ventile das Hauptventil öffnen. Bei Schieberventilen werden die Ventilanschlüsse durch eine axiale Bewegung des Steuerkolbens im Ventil gesteuert. Schieberventile kennzeichnen größere Schaltwege und kleine Betätigungskräfte. Sperrventile sperren den Durchfluss des Druckmittels in einer Richtung und geben ihn in entgegengesetzter Richtung frei. Zu dieser Gruppe von Ventilen gehören das Rückschlag-, das Schnellentlüftungs-, das Wechsel- und Zweidruckventil. Schnellentlüftungsventile ermöglichen die direkte Entlüftung des Zylinders. Wechsel- und Zweidruckventil dienen auch zur logischen Verknüpfung von binären Signalen. Das Wech-

4

Q Steuerungstechnik selventil entspricht einem logischen ODER und das Zweidruckventil einem logischen UND 4.

Bild 19. Sperrventile Stromventile steuern durch Verstellen des Durchflussquerschnitts die Menge des durchfließenden Mediums. Dadurch wird die Geschwindigkeit des Zylinders oder die Drehzahl eines Motors gesteuert. In pneumatischen Steuerungen werden vorwiegend Drosselventile zur Veränderung des Leitungsquerschnitts eingesetzt. Die Drosselventile sind häufig mit Rückschlagventilen gekoppelt, genannt Drosselrückschlagventile. In einer Richtung wird die Durchflussmenge gedrosselt, die parallele Leitung sperrt. Bei Umkehrung der Durchflussrichtung ermöglicht das Rückschlagventil den freien Durchfluss. Bei Drosselventilen besteht an der Drosselstelle vor und hinter der Drossel ein Druckgefälle p. Mit zunehmender Druckdifferenz wird der Öl- oder Luftstrom größer. Der Druck p1 im Zulauf wird im Allgemeinen konstant gehalten. Der Druck p2 ist abhängig vom Arbeitswiderstand. Ändert sich dieser, ändert sich auch der Druck p2. Einfache Drosselventile werden dort eingesetzt, wo die Belastungsdrücke sich wenig ändern. Bei einer Blende ist die Drosselstrecke besonders klein; sie ist annähernd Null und damit viskositätsunabhängig.

Bild 20. Stromventile

Schaltungen mit Zweidruck- und Wechselventilen sind in den Abschnitten 1 und 2 dargestellt.

3 Steuerungsmittel

Q 31 oder hydraulische Energie in mechanische Energie umgewandelt.

Bild 21. Schema eines 2-Wege-Stromregelventils

Bild 22. Druckventile

Sind weitgehend konstante Drücke erforderlich, bietet sich die Verwendung eines 2-Wege-Stromregelventils an. Es besteht aus einer Drossel mit veränderlichem Querschnitt und einem Druckausgleichschieber. Der Druckausgleichschieber wird an den gleichgroßen Stirnflächen mit dem Druck p2 vor der Drossel und dem Druck p3 hinter der Drosselstelle beaufschlagt. Da der Druck hinter der Drosselstelle kleiner ist, muss der Druckausgleichschieber ständig durch eine Feder unterstützt werden. Diese Feder ist maßgebend für die Druckdifferenz an der Drosselstelle. Das Gleichgewicht drückt sich in folgender Gleichung aus:

Bild 23. Zylinder

∆ p2,3 =

FF = const. A

Tritt eine Erhöhung der Last auf, dann steigt p3 an. Der erhöhte Druck p3 verändert die Lage des Druckausgleichschiebers so, dass sich der Zuflussquerschnitt weiter öffnet. Dadurch wird der Druck p2 erhöht und p2,3 wird auf den konstanten Wert korrigiert. Druckventile dienen zur Druckbegrenzung, zum Zuund Abschalten des Drucks und zur Konstanthaltung des Arbeitsdrucks. Druckbegrenzungsventile begrenzen die Höhe des Systemdrucks (Sicherheitsventil) in hydraulischen Anlagen. Sie öffnen bei Überschreitung des durch eine Feder eingestellten Systemdrucks. Bei der Auswahl des Ventils muss auf den maximalen Druck und die maximale Durchflussmenge geachtet werden. Für große Volumenströme oder hohe Anforderungen an die Genauigkeit des eingestellten Drucks müssen vorgesteuerte Druckbegrenzungsventile verwendet werden. Solche Ventile setzen sich aus einem kleinen Kegelsitz zur Drucksteuerung und einem großen Hauptventil zur Förderstromsteuerung zusammen. Folgeventile geben druckabhängig den Ölstrom frei oder sperren ihn bei Druckabfall. Druckregelventile halten den Druck in einem nachgeordneten System nach oben konstant, unabhängig vom Hauptkreis. Antriebselemente verändern die Lage oder den Zustand des Arbeitselements. Dabei wird pneumatische

Zylinder dienen zur Realisierung geradliniger Bewegungen. Einfach wirkende Zylinder werden nur von einer Seite mit Druckluft beaufschlagt. Sie verrichten beim Ausfahren mechanische Arbeit. Der Rückhub erfolgt durch die eingebaute Rückstellfeder. Beim Ausfahren wird die Kolbenkraft durch die Rückstellfeder in Abhängigkeit vom Kolbenhub beeinflusst. Die Kolbenkraft verringert sich beim Vorhub entsprechend der Federkennlinie. Eine weitere Verringerung der Kolbenkraft resultiert aus der Reibung, bedingt durch Dichtungselemente, Oberflächengüte und Schmierung. Die tatsächliche Kolbenkraft ergibt sich mit F = A⋅ pe − FR − FF . Doppelt wirkende Zylinder werden zum Aus- und Einfahren der Kolbenstange wechselseitig mit Druckluft beaufschlagt. Sie verrichten in beiden Bewegungsrichtungen Arbeit. Es ist jedoch zu beachten, dass die Rückzugskraft geringer ist als die Kraft beim Vorhub: F = A⋅ pe ⋅ η . Beim Ausfahren wirkt die Druckluft auf die gesamte Kolbenfläche; beim Rückhub ist der Querschnitt der Kolbenstange zu berücksichtigen. Dadurch ist die Dauer des Rückhubs etwas geringer. Werden mit Zylindern größere Massen bewegt, so wird ein hartes Anschlagen in den Endlagen durch Endlagendämpfung verhindert. Zur berührungsfreien Betätigung von Signalgebern (z.B. Reed-Kontakte) in den Endlagen werden in die Kolben Ringmagnete eingebaut, die mit ihrem Kraftfeld die am Zylinder montierten Magnetschalter betätigen. Zylinder mit zweiseitiger Kolbenstange bewegen sich in beiden Hubrichtungen mit gleicher Geschwindig-

Q 32 keit und die Kräfte beim Vor- und Rückhub sind gleich groß. Aufgrund der beidseitigen Lagerung der Kolbenstange können sie größere Querkräfte aufnehmen. Daneben gibt es viele Sonderbauformen von Zylindern: Teleskopzylinder, Zylinder ohne Kolbenstange u.a. Bei den Druckluftmotoren sind Drehzahl, Drehmoment und Leistung durch den Arbeitsdruck und die Luftmenge verstellbar. Sie haben ein geringes Leistungsgewicht, sind leicht zu handhaben und dienen als Antriebe für verschiedene Werkzeuge. Nachteilig ist die Lastabhängigkeit der Drehzahl, die bis zu 30000 min–1 erreicht. Pneumatische Schwenkmotoren eignen sich zum Öffnen und Schließen von Klappen, Drehschiebern und für Schwenk- und Wendevorrichtungen. In ihrer Bauart gleichen sie dem Prinzip Zahnstange und Ritzel. Durch das Ritzel wird ein Schwenkarm angetrieben.

Q Steuerungstechnik Langsam laufende Hydromotoren decken den Drehzahlbereich zwischen 0,1 min–1 bis 750 min–1 ab.

Bild 25. Drehantriebe 3.3.3 Pneumatische Steuerungen

Bild 24. Prinzip des Schwenkmotors Hydraulische Schwenkmotoren haben einen Schwenkbereich von 50° bis 360° und übertragen auf kleinem Raum unabhängig vom Drehwinkel große Drehmomente. Sie werden für Schließ- und Öffnungsvorgänge an Ventilen, für Transportbewegungen und für Spannvorgänge eingesetzt. Hydraulikmotoren sind die Umkehrung der Pumpen. Wird der Motor von der Hydraulikflüssigkeit beaufschlagt, entsteht an der Motorwelle ein Drehmoment. Schnell laufende Hydromotoren liegen im Drehzahlbereich zwischen 750 min–1 und 3000 min-1.

Als Pneumatik bezeichnet man die Verwendung der Druckluft zum Antrieb und zur Steuerung von Maschinen. Pneumatikanlagen bestehen aus der Verdichteranlage, der Druckluftaufbereitung und der eigentlichen pneumatischen Steuerung. In pneumatischen Anlagen benötigte Luft wird durch Kompressoren verdichtet und in Behältern gespeichert. Sie enthält in Abhängigkeit von ihrem Volumen und der Temperatur eine nicht sichtbare Menge Wasserdampf. Nach Verdichtung ist das Volumen geringer geworden. Die relative Feuchtigkeit ist dadurch höher als in der angesaugten Luft. Die Druckaufbereitungsanlage ist deshalb mit Nachkühler, Kondensatableiter und Trockner auszustatten.

Bild 26. Drucklufterzeugung

3 Steuerungsmittel Die Druckluft im Speicher und in den Leitungen ist zu 100 % mit Wasserdampf gesättigt. Fällt der Druck im Speicher infolge von Wärmeabstrahlung ab, wird der Taupunkt der zu 100 % gesättigten Druckluft unterschritten. Es fällt Kondensat an. Kondenswasser in der Druckluft wäscht bei Werkzeugen, Ventilen und Zylindern den Schmierfilm aus. Dies führt zu höherem Verschleiß und bewirkt Korrosion. Durch ein Rohrleitungsnetz fließt die Druckluft zu den Verbrauchern. Rostteilchen, die auf dem Weg zum Verbraucher aus dem Rohrleitungsnetz mitgerissen werden, können in der Steuerung zu Betriebsstörungen führen. Sie müssen aus der Druckluft gefiltert werden. Zur Schmierung der pneumatischen Bauelemente wird die Druckluft mit einem Ölnebel angereichert. Durch einen Regler werden die Arbeitselemente mit einem konstanten Arbeitsdruck versorgt. Diese letztgenannten Aufgaben erfüllt die Aufbereitungseinheit, die in der Regel Filter, Öler und Druckregelventil vereint.

Q 33

Bild 27. Aufbereitungseinheit Pneumatische Steuerungen werden eingesetzt, wenn man mit einer geringen Anzahl von Verknüpfungsbedingungen auskommt, wenn Explosionsgefahr besteht oder andere ungünstige Bedingungen für den Einsatz elektrischer/elektronischer Steuereinrichtungen bestehen. Bei Verwendung elektrotechnischer Steuereinrichtungen werden pneumatische Bauelemente als Antriebe und als Ventile zur Beeinflussung der Druckluft sowie zur Aufbereitung und Speicherung der Druckluft verwendet. Die Signalverknüpfung erfolgt durch elektrische Bauelemente. 5

Bild 28. Funktionsdiagramm mit Anordnung der Signalgeber 5

Schaltpläne für pneumatische Verknüpfungsschaltungen sind im Abschnitt 1 dargestellt.

Q 34 ■ Beispiel: Elektropneumatische Steuerung von Zylindern Für den Bewegungsablauf von zwei doppelt wirkenden pneumatischen Zylindern soll entsprechend dem Funktionsdiagramm in Bild 28 ein Stromlaufplan zur Steuerung des Bewegungsablauf entwickelt werden. Als #Stellelemente für die beiden Zylinder dienen 5/2-WegeMagnetimpulsventile. Die Zylinderendlagen werden durch ReedKontakte kontrolliert. Die Energie wird durch ein 3/2-Wegeventil mit Raste freigegeben bzw. abgeschaltet. Die in den jeweiligen Schritten der Ablaufkette betätigten Signalgeber sind im Funktionsdiagramm aufgeführt. Betrachtet man die Signalkombinationen der betätigten Sensoren, dann stellt man fest, dass diese nicht zur folgerichtigen Ansteuerung der Zylinder genügen. In den Schritten 2 und 4 stehen für das Einfahren des Zylinders 1A1 und das Ausfahren des Zylinders 2A1 die Signalkombination 1B 2  2 B1  1 zur Verfügung. Dies führt zu einem Fehlverhalten im Bewegungsablauf der Ablaufkette. Um dies zu vermeiden, ist ein zusätzliches Unterscheidungsmerkmal erforderlich. Durch einen weiteren Speicher, auch Hilfsspeicher genannt, wird zusätzlich ein Signal von der verbindungsprogrammierten Steuereinrichtung bereit-

Q Steuerungstechnik gestellt, das eine Unterscheidung in den Schritten der Ablaufkette ermöglicht. Die sich bei 2 Arbeitselementen aus den betätigten Sensoren ergebenden 4 Kombinationen sind in einem KV-Diagramm dargestellt. Sind 3 Arbeitselemente vorhanden, ergeben sich 23  8 Kombinationen. Die Größe des Diagramms richtet sich nach der möglichen Anzahl von Signalverknüpfungen durch die betätigten Kontakte in den Endlagen der Zylinder und den erforderlichen Hilfsspeichern, die in das Diagramm aufgenommen werden müssen. Die Kombinationen der betätigten Sensoren sind waagerecht und der Hilfsspeicher x ist senkrecht eingetragen worden. Der Hilfsspeicher x wird durch das Signal des Näherungsschalters 2B2 im 3. Schritt gesetzt: x  1 . Er wird nach Durchlaufen der Ablaufkette im 1. Schritt durch den Signalgeber 1B1 rückgesetzt: x  0 . Das Signal des rückgesetzten Hilfsspeichers (K02) steuert im 2. Schritt das Ausfahren des Kolbens von Zylinder 2A1 und das 1-Signal steuert im 4. Schritt das Einfahren des Kolbens von Zylinder 1A1. Treten in einer Ablaufkette mehrere Ablaufschritte auf, die sich nicht durch die jeweils auftretenden Signalkombinationen unterscheiden, dann ist für jeden Schritt ein Hilfsspeicher erforderlich.

Anmerkungen zum Stromlaufplan: Die Ablaufkette für die beiden Zylinder wird durch Betätigung des Tasters S5 gestartet, wenn der Kolben des Zylinders 1A1 sich in der hinteren Endlage befindet. Sie wird unterbrochen durch Betätigung des Tasters S6. Im Stromlaufplan dient das Relais K02 im 3. Stromweg als Hilfsspeicher. Ist die Selbsthaltung unterbrochen, ermöglicht der 2. Nebenkontakt, ein Öffner, im 8. Stromweg die Ansteuerung des Relais K2 für den 2. Schritt in der Ablaufkette. Der gleichzeitig unterbrochene Stromweg 12 macht die Spule M2 stromlos, eine Voraussetzung für das Umschalten des Ventils 1V1. Wenn der ausgefahrene Kolben des Zylinders 2A1 in der vorderen Endlage den Näherungsschalter 2B2 erreicht, geht das Relais K02 in Selbsthaltung, der 2. Nebenkontakt im 12. Stromweg schließt und Relais K3 zieht an. Der Kolben des 1. Zylinders fährt ein, betätigt in der hinteren Endlage 1B1 und unterbricht die Selbsthaltung. Ein erneuter Durchlauf der Ablaufkette beginnt automatisch, solange S6 nicht betätigt wird.

Bild 29. Minimierung mit dem KV-Diagramm

Bild 30. Stromlaufplan

3 Steuerungsmittel 3.3.4 Hydraulische Steuerungen Im technischen Sinne umfasst Hydraulik Antriebs-, Steuer- und Regeleinrichtungen, deren Kräfte und Bewegungen mit Hilfe des Druckes von Flüssigkeiten erzeugt werden. Hydraulikanlagen arbeiten entweder nach dem hydrostatischen oder dem hydrodynamischen Prinzip. Die Hydrostatik nutzt die erzeugte Druckenergie, die durch die Hydraulikflüssigkeit in Arbeit umgesetzt wird, für Steuer- und Regeleinrichtungen, Kupplungen u.a. Das hydrodynamische Prinzip nutzt die Strömungsenergie zur Kraftübertragung etwa bei Drehmomentenwandlern im Fahrzeugbau. In der Hydraulik unterscheidet man nach der Art des Kreislaufs zwischen Systemen mit offenen und geschlossenen Ölkreisläufen.

Q 35 F A Der Druck breitet sich in Flüssigkeiten in einem geschlossenen System allseitig in gleicher Stärke aus und kann infolge der Inkompressibilität der Hydraulikflüssigkeiten technisch genutzt werden. Die Fortpflanzung des Druckes erfolgt auch in bewegten Flüssigkeiten. Flüssigkeiten lassen sich leicht verschieben, da sie die Form der umgebenden Gefäße annehmen. Für den Volumenstrom qV gilt: qV  v  A Die Energie oder das Arbeitsvermögen W einer Hydraulikanlage, z.B. eines Hubzylinders ist abhängig von der Kolbenkraft und dem Kolbenweg. Es ergibt sich aus: W  p  V . Die Leistung ergibt sich unter Beachtung der obigen Zusammenhänge aus: P  p  qV . p

■ Beispiel: Elektrohydraulische Steuerung Eine hydraulische Spannvorrichtung soll zur Aufnahme unterschiedlicher Werkstücke zwei unterschiedliche Spannkräfte anbieten. Das Umschalten zwischen beiden Spannkräften erfolgt durch einen Taster. Als Stellelement für den doppelt wirkenden hydraulischen Zylinder dient ein 4/3-Wegeventil mit Federzentrierung. Die Vorschubgeschwindigkeit des Kolbens soll durch ein Drosselrückschlagventil einstellbar sein. Spannen und Entspannen der Werkstücke erfolgt durch zwei Taster.

Bild 31. Ölkreisläufe Offene Kreisläufe werden in der Industriehydraulik bevorzugt, weil die thermische Belastung des Öls geringer ist. Hydrostatische Antriebe haben bevorzugt geschlossene Kreisläufe, da sie eine schnelle Umsteuerung über die Pumpenverstellung ermöglichen. Zur Ergänzung des nicht vermeidbaren Lecköls ist entweder eine zusätzliche Speisepumpe oder ein Nachsaugventil erforderlich. Die Hydraulikflüssigkeit ist der Energieträger des Systems. Sie schmiert aufeinander gleitende Teile, gewährt den Korrosionsschutz der benetzten Oberflächen und führt die Wärme, den Abtrieb und andere Schmutzpartikelchen, die von außen in die Hydraulikflüssigkeit gelangen, ab. Hydrauliköle gibt es entsprechend den auftretenden Betriebsdrücken. In hydraulischen Anlagen wirken im allgemeinen hohe Drücke. Der Druck p entsteht, wenn eine äußere Kraft F auf einen Teil der abgesperrten Hydraulikflüssigkeit über einen Kolben mit der Fläche A wirkt.

Anmerkungen zum Schaltplan: Der Spannvorgang wird nach Betätigung des Tasters S1 ausgelöst. Aufgrund der Federzentrierung des Stellglieds 1V5 ist eine Selbsthaltung erforderlich. Über das Drosselrückschlagventil 1V6 kann die Vorschubgeschwindigkeit eingestellt werden. Der Rückhub erfolgt ungedrosselt über das parallel geschaltete Rückschlagventil. Die größere Spannkraft wird über das direkt beaufschlagte Druckbegrenzungsventil 1V2 ermöglicht. Eine geringere Spannkraft kann nach dem Umschalten des 2/2-Wegeventils 1V4 durch den Taster S3 in die Schaltstellung b eingestellt werden. Das nachgeschaltete Druckbegrenzungsventil 1V3 ist für einen geringeren Druck ausgelegt. Wird dieser Druck erreicht, dann öffnet das Ventil und das Hydrauliköl fließt über den Filter in den Tank zurück. Nach Betätigung von S2 fährt der Kolben in die Endlage zurück und die vorgewählte Spannkraft wird wieder auf den Druck p1 eingestellt. Der Taster muss allerdings bis zum Erreichen der Endlage betätigt werden, weil keine Selbsthaltung vorhanden ist und die Federzentrierung das Ventil sofort wieder in die mittlere Umlaufstellung (0) schalten würde. Der Höchstdruck im System wird durch das Druckbegrenzungsventil V1 im Hydraulikaggregat begrenzt und ist am Manometer Z3 abzulesen. Die Blende V2 schützt das Manometer vor Druckstößen. Tank Z1 und Filter Z2 dienen der Reinhaltung des Hydrauliköls, zur Luftabscheidung und dem Abbau von Strömungsturbulenzen.

Q 36

Q Steuerungstechnik

Bild 32. Elektrohydraulischer Schaltplan 3.3.5 Proportionalhydraulik In elektrohydraulischen Schaltplänen können Durchflussweg und Durchflussrichtung während des Betriebes verändert werden, indem die Wegeventile elektrisch betätigt werden. Druck und Durchflussmenge sind durch die Federkraft vorgegeben bzw. werden bei der Inbetriebnahme mit Einstellschrauben eingestellt. Zunehmende Automatisierung macht es bei immer mehr hydraulischen Anlagen erforderlich, den Druck und die Durchflussmenge während des Betriebes zu verstellen. Zur Erfüllung dieser Forderungen sind Proportionalventile erforderlich. Sie werden von einer elektrischen Steuerung durch ein elektrisches Signal verstellt. Dadurch ist es während des Betriebes möglich, den Druck in Phasen geringer Belastung mit einem Proportional-Druckbegrenzungsventil abzusenken und Energie einzusparen und/oder mit Proportional-Wegeventilen einen Schlitten sanft anzufahren und abzubremsen. ■ Beispiel: Steuern der Bewegungsumkehr mittels ProportionalWegeventil Um Druckspitzen und Erschütterungen und damit Materialbelastungen zu vermeiden, müssen massebehaftete Antriebe auf kurzem Weg kontrolliert beschleunigt und abgebremst werden, z.B. bei Schleif- oder Honmaschinen. Die Werkstückenden werden der Steuerung von Signalgebern zur Einleitung des Umkehrvorganges signalisiert. Die Sollwerte (W) und Rampen (R) zur Steuerung des Bewegungsablaufs für den Maschinentisch werden an der Sollwertkarte und an der Proportionalverstärkerkarte eingestellt. Die Sollwerte können im Spannungsbereich zwischen 10 V in Schritten von 100 mV eingestellt werden. Die voreingestellten Sollwerte (Spannungssignale) werden durch die Verstärkerkarte in einen Magnetstrom zur Steuerung der Magnete in den Proportionalventilen

umgewandelt. Der Durchfluss durch das Proportionalventil verändert sich entsprechend dem Magnetstrom. Die externe Ansteuerung der eingestellten Sollwerte erfolgt über die Eingänge (I1, I2, I3) der Sollwertkarte. Das Bitmuster 000 an den Eingängen der Sollwertkarte ruft den Sollwert W1, das Bitmuster 100 den Sollwert W2 ab. Die Rampen werden als Steigungsparameter auf der Sollwertkarte zwischen 0 bis 10,0 s/V eingestellt. Die 4 verschiedenen Rampen werden in den 4 Quadranten des kartesischen Koordinatensystems definiert: 

1. Quadrant: positive Steigung von 0 V



2. Quadrant: negative Steigung bis 0 V



3. Quadrant: negative Steigung von 0 V



4. Quadrant: positive Steigung bis 0 V

Bild 33. Weg-Zeit-Diagramm eines Maschinentisches Durch das Zuschalten einer Rampe wird die Anfahrgeschwindigkeit des Kolbens beim Aus- und Einfahren verringert (R1, R3) und der Abbremsvorgang verzögert (R2, R4). Die Rampenzeiten beeinflussen das Ansteigen des Sollwerts und damit die Veränderung des Magnetstroms. Eine langsame Zunahme des Magnetstroms sorgt für ein langsames Öffnen des Proportionalventils und damit für einen geringen Durchfluss des Druckmediums durch das Ventil, was eine Verringerung der Kolbengeschwindigkeit zur Folge hat.

3 Steuerungsmittel

Sollwertkarte

Q 37



Sollwerte: W1 = 10,0 V W2 = – 10,0 V Rampenzeiten: R1 0 +: tR1 = 0,05 s/V R2 + 0: tR2 = 0,05 s/V R3 0 –: tR3 = 0,05 s/V R4 –  0: tR4 = 0,05 s/V 4/3-WegeProportionalventil Durchfluss

Proportional Verstärkerkarte Magnetstrom: IAmax = 1000 mA IBmax = 1000 mA



Zylinder Geschwindigkeit

Sind die Magnete am 4/3-Wege-Proportionalventil stromlos, wird der Ventilkolben durch Federn in der Mittelstellung (0) gehalten. Durch die Ansteuerung eines Magneten entsteht eine Kraft, die

Bild 34. Schaltplan zur Proportionalhydraulik

über einen Stößel den Ventilkolben gegen die gegenüberliegende Druckfeder verschiebt. Die Kraft des Magneten ist proportional zum elektrischen Strom. Im Zusammenwirken mit der Feder stellt sich ein Kräftegleichgewicht entsprechend der Federkennlinie ein. Die Auslenkung des Kolbens ist um so größer, je größer der Magnetstrom ist. Beim Verfahren des Ventilkolbens wird ein Spalt von P nach A und B nach T geöffnet. Diese Spalte werden von den Steuerkanten am Ventilkolben geöffnet. Die Form der Steuerkante beeinflusst die Durchflusscharakteristik des Ventils. Der Volumenstrom ist abhängig vom Drosselspalt, dem Differenzdruck und der Viskosität des Druckmediums. Anmerkungen zum Schaltplan: Die Steuerung erlaubt bei geöffnetem Betriebsartenschalter S2 die Einstellung Handbetrieb. Hand ist eine Betriebsart, in der die Stellelemente unter Berücksichtigung gegebenenfalls vorhandener Verriegelungen durch Bedienungseingriff gesteuert werden können. Wird der Betriebsartenschalter S2 geschlossen, kann die Steuerung im Automatikbetrieb nach Betätigung des Tasters S1 gestartet werden. Die rollenbetätigten Signalgeber 1B1 (Schließer) und 1B2 (Öffner) sind Grenztaster, die nach Betätigung durch den Kolben die Sollwerte zur Steuerung des Proportionalventils abrufen. In den Endlagen wird der Kolben weich umgesteuert entsprechend den eingestellten Rampenwerten R1 bis R4.

1 Steuerungstechnische Grundlagen

Q1

Q Steuerungstechnik Werner Thrun

1 Steuerungstechnische Grundlagen Steuerungen werden in der Fertigungs-, Montageund Transporttechnik eingesetzt, wenn der aufgabengemäß zu beeinflussende Teil der Anlage stabil ist und nur erfassbare Störgrößen auftreten. Allgemeine Grundbegriffe zur Planung, für den Aufbau, die Prüfung und den Betrieb von technischen Steuerungen sind genormt 1. Bei der Projektierung von Steuerungsaufgaben lässt sich nicht immer von vornherein sagen, ob ein pneumatisches, hydraulisches oder elektrisches / elektronisches System am besten zur Lösung des Steuerungsproblems geeignet ist. In dem Bestreben, den Bauaufwand, die Betriebssicherheit und die technische Vollkommenheit für die jeweilige Aufgabe zu optimieren, müssen häufig zwei oder mehr Steuerungsund Antriebsmedien miteinander verknüpft werden. Neben den technischen sind häufig auch ökonomische und ökologische Gesichtspunkte zu beachten.

 ein rollenbetätigtes Ventil zur Erkennung des geschlossenen Schutzgitters (1S4),  zwei handbetätigte Ventile zur Erzeugung des Startsignals (1S1 und 1S2). Ausgangsgröße des Systems ist der Wirkweg des Biegewerkzeugs.

1.1 Grundbegriffe der Steuerungstechnik In der DIN 19226 (T1 und T4) wird Steuerung wie folgt definiert: „Das Steuern, die Steuerung, ist der Vorgang in einem System, bei dem eine oder mehrere Größen als Eingangsgrößen andere Größen als Ausgangsgrößen auf Grund der dem System eigentümlichen Gesetzmäßigkeit beeinflussen. Kennzeichen für das Steuern ist der offene Wirkungsweg oder ein geschlossener Wirkungsweg, bei dem die durch die Eingangsgrößen beeinflussten Ausgangsgrößen nicht fortlaufend und nicht wieder über dieselben Eingangsgrößen auf sich selbst wirken.“ Folgendes Beispiel einer Verknüpfungssteuerung dient der Einführung in die Begrifflichkeit der Steuerungstechnik: Ein Werkzeug zum Biegen von Werkstücken wird durch einen einfach wirkenden Zylinder bewegt. Der Biegevorgang darf nur stattfinden, wenn der Werkstoffstreifen zugeführt ist, das Schutzgitter geschlossen ist und beide Handtaster betätigt werden. Die Signalgeber zur Erzeugung der Eingangsgrößen für das System sind:  ein durch Taststift betätigtes Ventil zur Erkennung des Werkstücks (1S3), 1

Bild 1. Technologieschema eines Biegewerkzeugs

Bild 2. Wirkungsplan der Steuerung Die Signalgeber erzeugen die Eingangsgrößen; sie bilden also die Führungsgröße w der Steuerung, die der Steuerkette von außen zugeführt wird und der die Ausgangsgröße der Steuerung in vorgegebener Abhängigkeit folgen soll. Die Eingangsgrößen wirken auf die Steuereinrichtung.

Wichtige Normen sind: DIN 19226; DIN EN 60848; T9; DIN ISO 1219 - 1,2; IEC 61131-3;

Q2 Die Steuereinrichtung ist derjenige Teil des Wirkungswegs, der die aufgabengemäße Beeinflussung der Strecke über das Stellglied bewirkt, d.h. die Steuereinrichtung beinhaltet die dem System eigentümliche Gesetzmäßigkeit. Diese Gesetzmäßigkeit kann z.B. durch ein Steuerprogramm oder eine entsprechende Schaltung erzeugt werden. Erfüllen die Eingangsgrößen jene von der Schaltung oder dem Steuerprogramm abgefragten Bedingungen, so gibt die Steuereinrichtung als Ausgangsgröße die Stellgröße y an das Stellglied.

Q Steuerungstechnik Das Stellglied überträgt die steuernde Wirkung auf die Strecke. Das Stellglied ist eine am Eingang der Steuerstrecke angeordnete Funktionseinheit, die in den Energiefluss eingreift. Die Steuerstrecke ist der Teil des Systems, der aufgabengemäß zu beeinflussen ist. Die zu beeinflussende Größe (Steuergröße x im Wirkungsplan) der Steuerstrecke soll der Führungsgröße w folgen. Diese zu steuernde Größe ist der Weg des Werkzeugs.

Bild 3. Aufbau der Steuerkette (Biegewerkzeug) Technisch kann die Steuerkette entsprechend Bild 3 realisiert werden. Die Steuerstrecke wird aufgabengemäß beeinflusst, wenn die Stellgröße y über den Steuereingang 12 das Stellglied 1V3 in die Schaltstellung a schaltet. Der Energiefluss (Druckluft) zum Arbeitselement (Zylinder 1A1) wird frei gegeben Der Kolben des Zylinders verrichtet im physikalischen Sinn die Arbeit W = F ⋅ s längs eines Weges. Der Wirkweg s entspricht der zu beeinflussenden Größe x. Kennzeichen der Steuerung ist ein offener Wirkungsweg, d.h. es findet keine Rückwirkung der zu steuernden Größe auf die Führungsgröße statt. Gleichwohl kann die Steuerstrecke durch von außen wirkende Größen beeinflusst werden. Diese Größen werden in der Steuerungstechnik als Störgrößen (z) bezeichnet. Störgrößen werden vielfach durch die Belastung der Strecke oder durch Druckabfall im System bewirkt. Ist die Störgröße erfassbar, so kann sie der Steuereinrichtung als Eingangsgröße zugeführt werden. Man nennt dies eine Störgrößenaufschaltung.

Sind die Störgrößen nicht direkt erfassbar, dann ist zur Lösung der Aufgabenstellung eine Regelung erforderlich. Wird die Steuerung durch ein Schaltwerk, z.B. eine Ablaufsteuerung, realisiert, so enthält sie eine Speicherfunktion. Die Strecke wird dann durch die Setzbedingung für den Speicher so lange beeinflusst, bis der Speicher durch die Rücksetzbedingung, dies kann das Signal eines Grenzsignalgliedes sein, rückgesetzt wird.

Bild 4. Wirkungsplan einer Steuerung mit Störgrößenaufschaltung

1 Steuerungstechnische Grundlagen

Bild 5. Wirkungsplan einer Steuerung mit Rücksetzkreis Obwohl hier eine Steuerung mit geschlossenem Wirkungsweg vorliegt, handelt es sich nicht um eine Regelung. Die Ausgangsgröße wird nicht fortlaufend erfasst und wirkt nicht über dieselben Eingangsgrößen auf sich selbst zurück.

1.2 Unterscheidungsmerkmale für Steuerungen Informationsdarstellung Die Eingangsgrößen der Steuerung sind Signale, die bestimmte Informationen aus dem Prozess oder aus dem Betriebsartenteil geben. Nach der Art der Signaldarstellung kann zwischen analogen, digitalen und binären Steuerungen unterschieden werden. Ein analoges Signal ist im Idealfall ein stetes Abbild der zu verarbeitenden Größe. Die meisten physikalischen Größen ändern sich stetig und werden deshalb analog dargestellt. Die Verarbeitung analoger Signale kann mit stetig wirkenden Funktionsgliedern (z. B. analoge Sensoren, Proportionalventile) erfolgen. Häufig werden die analogen Signale mittels AnalogDigital-Umsetzer in abzählbare Einheiten zerlegt und binär codiert der digital arbeitenden Steuereinrichtung zugeführt. Digitale Steuerungen arbeiten vorwiegend mit zahlenmäßig dargestellten Informationen. Der Wertebereich eines solchen Signals ist ein Vielfaches der kleinsten Einheit des Informationsparameters (Weg, Spannung). Die Signalverarbeitung erfolgt vorwiegend mit Funktionseinheiten wie Zähler, Register, Speicher und Rechenwerk. Es gibt aber auch Signale, die nur zwei Werte oder Zustände annehmen können. Solche binären Signale werden z. B. von einem Schalter (Ein/Aus) oder von einem Relais (Kontakt geschlossen/geöffnet) abgegeben. Die Steuerung verarbeitet die binären (zweiwertigen) Eingangssignale mit Verknüpfungs-, Speicherund Zeitgliedern zu binären Ausgangssignalen. Signalverarbeitung Bei den digitalen und binären Steuerungen unterscheidet man nach der Art der Signalverarbeitung synchrone und asynchrone Steuerungen sowie Verknüpfungssteuerungen (DIN 19226, T5). Bei synchronen Steuerungen erfolgt die Signalverarbeitung synchron zu einem Taktsignal. Asynchrone Steuerungen arbeiten taktunabhängig. Eine Signaländerung erfolgt nur in Abhängigkeit von der Änderung der Eingangssignale.

Q3 Eine Verknüpfungssteuerung ordnet den Zuständen der Eingangssignale durch eine Verknüpfungsfunktion bestimmte Zustände der Ausgangssignale zu. Eine Verknüpfungsfunktion ist eine Schaltfunktion für binäre Schaltgrößen. Sie kann durch die Boolesche Algebra beschrieben werden. Auch Steuerungen mit Speicher- und Zeitfunktionen ohne zwangsläufig schrittweisen Ablauf werden Verknüpfungssteuerungen genannt. Steuerungsablauf Ablaufsteuerungen sind Steuerungen mit zwangsläufig schrittweisem Ablauf. Das Weiterschalten von einem Schritt zum programmgemäß folgenden Schritt erfolgt in Abhängigkeit von Transitionsbedingungen. Transitionsbedingungen sind die Voraussetzungen für den programmgemäß folgenden Schritt. Die Schrittfolge kann jedoch auch mit Sprüngen, Schleifen und Verzweigungen programmiert werden. Bei prozessabhängigen Ablaufsteuerungen sind die Transitionsbedingungen vorwiegend von Signalen aus der gesteuerten Anlage abhängig. Bei zeitgeführten Ablaufsteuerungen sind die Transitionsbedingungen nur von der Zeit abhängig. Programmverwirklichung Hinsichtlich der Programmverwirklichung unterscheidet man zwischen verbindungs- und speicherprogrammierten Steuerungen. Als Programm einer Steuerung gilt grundsätzlich die Gesamtheit aller Steuerungsanweisungen und Vereinbarungen für die Signalverarbeitung einer Steuerung, durch die die Ausgangsgröße aufgabengemäß beeinflusst wird (DIN 19226, T5). Bei verbindungsprogrammierten Steuerungen bestimmen die Funktionseinheiten und deren Verbindung (Verdrahtung/Verschlauchung) den Programmablauf. Speicherprogrammierbare Steuerungen enthalten einen Programmspeicher, in dem das Steuerprogramm gespeichert wird. Der Speicher ist eine Funktionseinheit, die Programme und andere Daten in digitaler Darstellung aufnimmt und abrufbar bereit hält. Die Art des Speichers bestimmt Umfang und Art der Änderungsmöglichkeiten für das Steuerprogramm. Eine speicherprogrammierbare Steuerung, die einen Nur-Lese-Speicher als Programmspeicher enthält, der nur durch Eingriff in die Steuereinrichtung ausgetauscht werden kann, wird als austauschprogrammierbare Steuerung bezeichnet. Eine speicherprogrammierbare Steuerung, die einen Schreib-Lese-Speicher als Programmspeicher enthält, welcher beliebig verändert werden kann, wird als freiprogrammierbar bezeichnet.

Q4

1.3 Grafische Darstellung von Steuerungsabläufen Schaltpläne Ein Schaltplan ist die zeichnerische Darstellung von Betriebsmitteln durch Schaltzeichen. Er zeigt die Art, in der verschiedene Betriebsmittel zueinander in Beziehung stehen und miteinander verbunden sind. Schaltpläne können ergänzt werden durch andere Schaltungsunterlagen, wie Diagramme, Tabellen und Beschreibungen. Ein Diagramm ist die grafische Darstellung von Beziehungen zwischen verschiedenen Vorgängen und Vorgängen und ihrer Zeitabhängigkeit, Vorgängen und physikalischen Größen und Zuständen mehrerer Betriebsmittel. Diagramme sollen Wesentliches herausstellen und dadurch Vorgänge leicht fasslich und einprägsam darstellen. Eine Tabelle ist eine systematisch angeordnete Übersicht, die ohne erläuternden Text verständlich sein soll. a) Schaltpläne für fluidische Steuerungen In fluidtechnischen Systemen wird Energie durch flüssige oder gasförmige Medien, die unter Druck stehen, innerhalb eines Schaltkreises übertragen, gesteuert oder geregelt. Die Schaltpläne erleichtern das Verständnis für die fluidtechnische Anlage und vermeiden Unklarheiten und Missverständnisse bei der Planung, Herstellung und Instandhaltung der

Q Steuerungstechnik Anlage. Die Schaltzeichen nach DIN ISO 1219 für pneumatische und hydraulische Betriebsmittel sind funktionell zu deuten. Die Symbole sind weder maßstäblich noch für irgendeine bestimmte Lage festgelegt. Sie sollen jedoch der Vorgabe der Norm entsprechen. Der Aufbau der Schaltpläne ermöglicht es, allen Bewegungs- und Steuerungsschaltkreisen während der verschiedenen Schritte des Arbeitsablaufs zu folgen. Die räumliche Darstellung der Anlage muss nicht berücksichtigt werden. In den Schaltplänen geben die Symbole normalerweise Geräte im unbetätigten Zustand an. Jeder andere Zustand kann jedoch dargestellt werden, wenn er klar bestimmt ist. Die folgenden pneumatischen und hydraulischen Schaltpläne werden in ihrer Ausgangslage gezeichnet. Dabei ist die Energie zugeschaltet und die Bauglieder nehmen festgelegte Zustände ein. Besteht die Steuerung aus mehreren Schaltkreisen oder Steuerketten, wird sie in nebeneinander liegende Schaltkreise unterteilt, entsprechend der Reihenfolge des Funktionsablaufs. Gleichartige Bauglieder sollen innerhalb eines Schaltkreises in gleicher Lage dargestellt werden. Bauelemente, die durch Antriebe betätigt werden, z.B. Grenztaster oder Ventile, werden an der Betätigungsstelle durch einen Markierungsstrich mit ihrer Kennzeichnung dargestellt. Die Bauglieder der Steuerkette werden ausgehend von der Energieversorgung in Richtung des Energieflusses angeordnet und gekennzeichnet.

Bild 6. Aufbau fluidischer Schaltpläne

1 Steuerungstechnische Grundlagen Die Kennzeichnung der Bauteile ist wie folgt aufgebaut: 1 – 1 – A –1

Schaltkreis-Nr. Anlagen-Nr.

BauteilKennzeichnung Bauteil-Nr.

Die Anlagen-Nr. wird nur dann angegeben, wenn der Schaltplan aus mehreren Anlagen besteht. Jeder Schaltkreis oder Steuerkette erhält eine Nummer. Bauelemente, die für mehrere Schaltkreise eine Funktion erfüllen, z.B. Versorgungsglieder und Hauptschalter, werden vorzugsweise mit der Nr. 0 bezeichnet. Im vorliegenden Schaltplan ist dies die Aufbereitungseinheit 0Z1. Für die Bauteilkennzeichnung gelten folgende Buchstaben:  P: Pumpen und Kompressoren  A: Antriebe  M: Antriebsmotore  S: Signalgeber  V: Ventile  Z: Jedes andere Bauteil Alle Bauteile innerhalb einer Steuerkette erhalten eine fortlaufende Bauteil-Nummerierung, beginnend mit der Ziffer 1.

Bild 7. Elektrohydraulischer Schaltplan

Q5 b) Schaltpläne für elektrische Steuerungen Elektrische Schaltpläne werden als Übersichtsschaltpläne, Installationspläne und Stromlaufpläne ausgeführt; sie zeigen die Arbeitsweise und die Verbindungen von elektrischen Einrichtungen. In der Steuerungstechnik werden überwiegend Stromlaufpläne verwendet. Sie geben insbesondere Einsicht in die Arbeitsweise der Steuerkette. Jedes elektrische Betriebsmittel wird in einem senkrecht gezeichneten Stromweg dargestellt. Die Stromwege werden von links nach rechts durchnummeriert. Sie werden vorzugsweise so angeordnet, dass die Wirkungsweise bzw. die Signalflussrichtung berücksichtigt wird. Die räumliche Lage der Betriebsmittel und der mechanische Zusammenhang wird nicht berücksichtigt; dies ist den Kennzeichnungen zu entnehmen. Die Stromversorgung kann gekennzeichnet werden durch +, – /L1,L2 und andere Zeichen. Der Steuerstromkreis enthält die Bauelemente für die Signaleingabe und -verarbeitung, der Hauptstromkreis enthält die für die Betätigung der Arbeitselemente erforderlichen Stellglieder. Der Zweck dieser Anordnung ist:  Leichtes Lesen des Schaltplans  Erkennen der Wirkungsweise eines Betriebsmittels oder einer Teilanlage  Erleichterung der Prüfung, Wartung und Fehlersuche

Q6

Q Steuerungstechnik

Die Kennzeichnungen für die Art der Betriebsmittel sind den einschlägigen Normen zu entnehmen. Einige häufig verkommende Kennbuchstaben sind in der Tabelle 1 zusammengestellt. Neben den Kennbuchstaben erhalten die elektrischen Betriebsmittel noch eine fortlaufende Zählnummer. Die Kennzeichnung des Betriebsmittels kann noch ergänzt werden durch einen Kennbuchstaben für die Funktion des jeweiligen Betriebsmittels; der Taster S1 im Stromlaufplan in Bild 7 könnte noch durch den Buchstaben H = Halt ergänzt werden, also S1H. Einzutragen sind auch die Kontaktbezeichnungen und die Spulenanschlüsse. Aufgelöst dargestellte Betriebsmittel, z.B. das Relais K1, werden an der Relaisspule und an den Nebenkontakten mit der gleichen Kennziffer bezeichnet. Zum besseren Verständnis des Stromlaufplans dienen die Schaltgliedertabellen unterhalb der Relaisspulen in den Stromwegen 1 und 3. Im obigen Schaltplan dient der 1. Nebenkontakt im 2. Stromweg zur Selbsthaltung des Schützes, der 3. Nebenkontakt im 3. Stromweg zur Verriegelung des Schützes K2 für die entgegengesetzte Drehrichtung.

Zustand oder ohne Einwirkung einer Betätigungskraft dargestellt. Abweichungen hiervon werden besonders gekennzeichnet. Werden fluidische Arbeitselemente elektrisch gesteuert, gibt es zwischen den verschiedenen energetischen Systemen Schnittstellen. In dem elektrohydraulischen Schaltplan in Bild 7 ist das 4/3-Wegeventil 1V1 im Hydraulikplan eine solche Schnittstelle.2 Elektrische Arbeitselemente liegen im Arbeitsstromkreis an höheren Spannungen. Zur Steuerung genügen kleine Spannungen; dies sorgt für eine hohe Betriebssicherheit. Zwischen den beiden unterschiedlichen Stromkreisen bilden Schütze die Schnittstelle. Allgemein ist eine Schnittstelle ein System von Vereinbarungen, die den Informationsaustausch zwischen miteinander kommunizierenden Systemen ermöglicht. Die hier angesprochene Hardware-Schnittstelle dient zur Realisierung folgender Aufgaben:   

Energetische Signalanpassung Leistungsverstärkung Energiewandlung

Tabelle 1. Kennzeichnung von Betriebsmitteln Kennbuchstabe Art des Betriebsmittels

Beispiel

B

Umsetzer

Sensor

C

Kapazität

Kondensator

F

Schutzeinrichtung

Überstromauslöser

P

Meldeeinrichtung

Signalleuchte, Hupe

K

Schütz, Relais

Zeitrelais

M

Motor,

Drehstrommotor,

Elektromech. Einrichtung Spule am Magnetventil S

Schalter

Taster

Alle Betriebsmittel werden in der Steuerungs- und Regelungstechnik im spannungs- oder stromlosen

Funktionsdiagramm In Funktionsdiagrammen3 werden die Zustände und Zustandsänderungen von Arbeitsmaschinen und Fertigungsanlagen grafisch dargestellt. Funktionsdiagramme zeigen das Zusammenwirken der einzelnen Bauglieder und Arbeitseinheiten einer Arbeitsmaschine oder Fertigungsanlage. Die Darstellungsgrundsätze und Sinnbilder sollen in allen Fällen gleich sein, um das Lesen und Verstehen des Funktionsablaufs zu gewährleisten. Es genügt die einfachste Darstellung, die den Arbeitsablauf eindeutig kennzeichnet.

Bild 8. Funktionsdiagramm für die Zylindersteuerung aus Bild 6 2 3

Siehe Bild 17: Schaltplan für einen Drehstrommotor, Abschnitt 3 Die VDI-Richtlinie 3260 „Funktionsdiagramme von Arbeitsmaschinen und Fertigungsanlagen“ wurde zurückgezogen. Der VDI empfiehlt die Darstellung entsprechend DIN EN 60848. Die VDI-Richtlinie wird hier verwendet, da sie besonders für die Darstellung linearer Bewegungen geeignet ist.

1 Steuerungstechnische Grundlagen Funktionsdiagramme werden unterteilt in Wegdiagramm und Zustandsdiagramm. Im Wegdiagramm werden die Wege eines Arbeitsgliedes durch Bildzeichen dargestellt. Im Zustandsdiagramm werden die Funktionsfolgen der Arbeitseinheiten und die steuerungstechnische Verknüpfung der zugehörigen Bauglieder dargestellt. Auf der Ordinate wird der Zustand, z.B. Weg, Druck, Winkel, auf der Abszisse werden die Schritte und/oder Zeiten aufgetragen. Die Bauglieder sind in der Lage dargestellt, die sie im unbetätigten Zustand einnehmen, also auch durch Einwirken einer Feder- oder Kolbenkraft. Dabei ist die Energie zugeschaltet. Der Arbeitsablauf des doppelt wirkenden Zylinders wird in Schritte aufgeteilt. Schritte werden durch Zustandsänderungen eingeleitet. Eine solche Zustandsänderung wird im vorliegenden Beispiel durch die Betätigung des 3/2-Wegeventil 1S1 eingeleitet, wenn der Kolben des Zylinders eingefahren ist und den Grenztaster 1S2 betätigt. Das Zeitglied, Ventil 1V1 im pneumatischen Schaltplan, bewirkt eine Begrenzung der Signaldauer bei Betätigung von 1S1. Bei zu langer Signaldauer besteht die Gefahr, dass der Kolben nach Erreichen der vorderen Endlage sofort wieder einfährt, wenn er das Ventil 1S3 betätigt. Der Bereich zwischen diesen beiden Zuständen wird als Schritt bezeichnet. Die Schrittangabe kann durch eine Zeitangabe ergänzt werden. Im vorliegenden Beispiel werden die Startvoraussetzungen zur Einleitung des 1. Schrittes in ihrer zeitlichen Abfolge dargestellt. Die Abhängigkeiten der Bauglieder untereinander können durch Signallinien dargestellt werden. Die Signallinie hat ihren Anfang am Signalglied und endet an der Stelle, wo das Signal eine Zustandsänderung einleitet. Funktionsplan Die DIN EN 60848 – Spezifikationssprache für Funktionspläne (kurz GRAFCET) dient zur prozessorientierten Beschreibung und Darstellung von Steuerungsabläufen. Sie beschreibt die Funktion und das Verhalten der Steuerung unabhängig von der technischen Realisierung. Die Darstellung unterscheidet Struktur und Wirkungsteil. Die Struktur zeigt mögliche Abläufe zwischen den Situationen der Steuerung. Sie enthält folgende Bestandteile:  Schritte  Transitionen  Wirkverbindungen Die Schritte charakterisieren das stationäre Verhalten des Systems; sie werden durch Rechtecke mit einer den Schritt kennzeichnenden Ziffer dargestellt. Ein Schritt ist entweder aktiv oder inaktiv. Eine Transition ist eine Aktivität zwischen den Schritten, die zum Auslösen des Folgeschrittes führt. Eine Wirkverbindung verbindet zwei oder mehrere Schritte mit einer Transition.

Q7 Im Wirkungsteil werden folgende Elemente angewendet:  Transitionsbedingungen  Aktionen Mit der Transition ist eine Transitionsbedingung, häufig ein logischer Ausdruck, verknüpft. Die Aktion zeigt in einem Rechteck an, was mit einer Ausgangsvariablen geschehen soll. Die Aktion kann durch Zuweisung oder durch Zuordnung ausgelöst werden. Die Zuordnung ist eine gespeichert wirkende Aktion. Die Anfangssituation wird durch den zu diesem Zeitpunkt aktiven Schritt beschrieben. Die Auswahl dieses Schrittes ist vom betrachteten System abhängig. Die Anfangssituation für die Steuerung des Hydromotors ist gegeben, wenn die Hydraulikpumpe eingeschaltet ist. Um den zweiten Schritt einzuleiten, muss die Transitionsbedingung zwischen den beiden Schritten erfüllt werden. Die Transition wird symbolisch durch einen kurzen Strich dargestellt. Bei eingeschalteter Hydraulikanlage wird der 2. Schritt durch die Erfüllung der Transitionsbedingung, Betätigung des Tasters S2, ausgelöst. Ist ein Schritt aktiv, wird die zugehörige Aktion ausgeführt. Ist der zweite Schritt im Beispiel aktiv, wird die Aktion „Rechtslauf des Hydromotors einschalten“ durch Zuordnung der Variablen M1 := 1 ausgeführt. Der Hydromotor wird durch das Umschalten des Stellglieds in den Rechtslauf versetzt. Aufgrund der Zuordnung wird die Aktion gespeichert. Dies wird durch den aufwärts gerichteten Pfeil am Rechteck der Aktion gekennzeichnet. Erfolgt keine ausdrückliche Kennzeichnung der Aktion als gespeicherte Aktion, so handelt es sich um eine kontinuierlich wirkende Aktion. Die Ausgangsvariable der kontinuierlich wirkenden Aktion wird verbal in dem allgemeinen Rechteck für die Aktion benannt, z.B. Öffne Ventil, Aktiviere Spule. Die beiden zusammengehörenden Schritte sind durch Wirkverbindungen gekennzeichnet. Die Wirkverbindungslinien verlaufen senkrecht oder waagerecht. Verläuft die Wirkverbindung von unten nach oben, so ist dies durch einen Pfeil anzuzeigen. Die Aktion ist rechts neben dem Schritt anzuordnen. Ein Schritt kann eine oder mehrere Aktionen bewirken. Mehrere Aktionen können unter- oder nebeneinander angeordnet werden. Wird eine Aktion deaktiviert, so handelt es sich auch um eine gespeichert wirkende Aktion. Sie wird durch einen abwärts gerichteten Pfeil am Rechteck der Aktion gekennzeichnet. Im Beispiel des Hydromotors wird durch die Betätigung des Tasters S1 (Öffner) die Transitionsbedingung erfüllt und der Motor in den Stillstand versetzt; der Variablen M1 wird der Zustand 0 zugeordnet. Als Transitionsbedingungen können ebenfalls logische Verknüpfungen von Signalen, Werte von Zählern oder eine Zeit verwendet werden. Aktionen können zeitlich verzögert oder zeitlich begrenzt werden.

Q8

Q Steuerungstechnik

Bild 9. Funktionsplan zur Hydromotorsteuerung aus Bild 7 Transitionsbedingungen zwischen den einzelnen Schritten des Funktionsplans können auch textuell beschrieben werden. Ist die Transitionsbedingung immer erfüllt, erhält sie den Wert TRUE (1). Grafische Darstellung von Ablaufstrukturen Für die Erstellung von Funktionsplänen oder GRAFCET-Plänen stehen verschiedene charakteristische Strukturen zur Verfügung, die strikten Bildungsregeln unterliegen bezüglich des Wechsels von Schritten und Transitionen. Die Grundstruktur ist eine Folge von Schritten, eine lineare Ablaufkette. Jeder Schritt hat eine nachfolgende Transition. Die Transition ist freigegeben, wenn der vorhergehende Schritt und die Transitionsbedingung erfüllt ist. Neben dem Ablauf einer Anzahl von Schritten, die nacheinander gesetzt werden, kann auch eine Auswahl aus mehreren Ablaufmöglichkeiten getroffen werden. Der Funktionsplan in Bild 9 zeigt eine Ablaufauswahl mit den Alternativen Rechtslauf oder Linkslauf des Hydromotors. Diese Struktur ist durch zwei oder mehrere gleichzeitig freigegebene Transitionen gekennzeichnet. Die Auswahl einer Ablaufkette ist exklusiv, d.h. es kann nur ein Ablauf gewählt werden. Die exklusive Aktivierung muss vom Anwender sichergestellt werden, sie ist nicht strukturell garantiert! Sie erfolgt bei der Steuerung des Hydromotor in Bild 9 durch die negierte Abfrage des Tasters für die jeweils entgegengesetzte Drehrichtung. Die Transitionsbedingungen werden für jeden Ablauf unterhalb der waagerechten Linie eingetragen. Oberhalb dieser Linie ist ein Übergangssymbol nicht zulässig. In besonderen Fällen können auch Schritte übersprungen werden oder es kann ein Rückführsprung stattfinden.

Die Aktivierung paralleler Ablaufketten erfolgt gleichzeitig. Die Darstellung paralleler Abläufe noch einer Transition erfolgt durch das Synchronisationssymbol, eine Doppellinie.

Bild 10. Parallelbetrieb Nach der gleichzeitigen Aktivierung wird der Ablauf der aktiven Schritte in jeder Ablaufkette voneinander unabhängig. Der Übergang von Schritt 4 zu den Schritten 5 und 6 sowie 7 und 8 findet nur statt, wenn der Schritt 4 aktiv und die der gemeinsamen Transition zugeordnete Transitionsbedingung a erfüllt ist. Die Zusammenführung der parallelen, unabhängigen Ablaufketten wird durch das Synchronisationssymbol dargestellt. Die Transition zum Schritt 9 steht unterhalb dieser Linie; sie wird nur freigegeben, wenn die Schritte 6 und 8 gesetzt sind und die gemeinsame Transitionsbedingung, die fallende Flanke des binären Signals e, erfüllt ist.

2 Signalverarbeitung in Steuerungen Struktogramm Eine weitere grafische Darstellungsmethode für Steuerungsaufgaben, deren Lösung auf der Anwendung eines Algorithmus beruht, ist das Struktogramm. Der Algorithmus zählt die auszuführenden Schritte auf und legt die Reihenfolge fest. Ein Struktogramm wird mit den Sinnbildern nach Nassi-Shneiderman (DIN 66261) dargestellt und mit Texten erläutert. Die Sinnbilder, sogenannte Strukturblöcke, stehen für Programmkonstrukte, deren innere logische Struktur in Steuerungsanweisungen überführt werden muss. Ein Strukturblock ist eine abgeschlossene Einheit mit einem Ein- und Ausgang, zur Erfüllung einer bestimmten Aufgabe. Der Steuerfluss verläuft immer von oben nach unten. Neben einfachen Strukturblöcken zur Beschreibung einer Aktionen oder einer Folge von Aktionen gibt es Strukturblöcke zur Auswahl von alternativer Verarbeitungen in Abhängigkeit von einem logischen Ausdruck oder einem Vergleichsausdruck. Unterschieden wird zwischen Einfach- und Zweifachauswahl oder einer Fallunterscheidung. Mit dem Strukturblock Wiederholung wird ein Verarbeitungsteil solange wiederholt, wie es der Steuerteil vorgibt. Ziel des Struktogramms ist eine von der Programmiersprache unabhängige, übersichtlich strukturierte Darstellung der Steuerungsaufgabe. Einzelne Strukturblöcke können beliebig miteinander verknüpft werden.

Q9

2 Signalverarbeitung in Steuerungen 2.1 Signalarten Ein Signal ist die Darstellung von Information. Die Darstellung erfolgt durch den Wert (digital) oder Werteverlauf (analog) einer physikalischen Größe (DIN 19226, T5). Als Informationsparameter des Signals gilt diejenige Größe, deren Wert oder Werteverlauf Informationen zur Verarbeitung in einer Steuereinrichtung enthält. Kontinuierlich veränderliche physikalische Größen, z.B. Temperatur, Druck liefern analoge Signale. Diese können innerhalb gewisser Grenzen jeden beliebigen Wert annehmen. Bei analogen Signalen ist dem kontinuierlichen Werteverlauf des Informationsparameters Punkt für Punkt unterschiedliche Information zugeordnet. Aus Bild 1 ist ersichtlich, dass zu jedem beliebigen Zeitpunkt dem Informationsparameter Druck (p) ein Wert (eine Information) zugeordnet werden kann.

Bild 1. Analogsignal

Bild 11. Strukturblöcke des Struktogramms

Digitale Signale sind diskrete Signale, deren Informationsparameter innerhalb bestimmter Grenzen nur eine endliche Zahl von Wertebereichen annehmen kann. Der Wertebereich des Informationsparameters ist ein ganzzahliges Vielfaches der kleinsten Einheit (E). Ein digitales Signal kann man sich auch als die Zusammenfassung mehrerer Binärstellen, also mehrerer zweiwertiger Größen vorstellen. So lassen sich z.B. Dezimalzahlen leicht als digitale Informationen darstellen. Werden Informationen von analogen Signalen in digital arbeitenden Systemen genutzt, dann muss die analoge Darstellung der Information durch AnalogDigital-Umsetzer in abzählbare codierte Einheiten zerlegt werden. Der Analog-Digital-Umsetzer liefert eine dem digitalen Wert proportionale physikalische Größe, die umso genauer ist, je besser das Auflösungsvermögen des Umsetzers ist.

5 Fuzzy-Regelung

R 41

5 Fuzzy-Regelung Neben der klassischen Regelungstechnik gewinnt heute eine andere Art der Herangehensweise an Regelungsaufgaben Bedeutung, die mit vermeintlich unscharfen (engl.: fuzzy) Begriffen wie ‚Temperatur ist viel zu hoch’, ‚Laufkatze ist weit weg’, ‚Ventil wird weit geöffnet’ arbeitet. Zufällig oder unscharf ist diese Art der Regelung nicht, sondern sie führt über ein präzises Regelwerk zu genau determinierten Ergebnissen. Dieses Regelwerk in Verbindung mit den ‚unscharfen’ Begriffen gestattet es, durch vorhandenes Expertenwissen Prozesse zu verbessern, die mit klassischer Regelungstechnik nur aufwändiger und weniger ‚elegant’ zu lösen wären. Insbesondere in Fällen, in der die Regelungsaufgabe nicht durch ein mathematisches Modell zu beschreiben ist, hat Regelung mit Fuzzy-Methoden deutliche Vorteile. Sie findet deshalb auch in den oft durch viele Störgrößen gekennzeichneten Alltagsproblemen zunehmend Einsatz. Beispiele sind die Regelung der Wassermenge, der Waschmittelmenge und der Wassertemperatur in einer Haushaltswaschmaschine, die Regelung der Saugleistung in einem Haushaltsstaubsauger, die Regelung der Raumtemperatur in einer Wohnung. Die Ermittlung der Stellgröße y aus den Eingangsgrößen x1…xn geschieht nach der im Bild 1 dargestellten dreistufigen Struktur, bei der in der ersten Phase die Eingangsgrößen in Zugehörigkeitsfunktionswerte umgewandelt werden. Diese werden über das Regelwerk in der zweiten Phase verknüpft und bei der Defuzzifizierung in der dritten Phase in Stellgrößen umgewandelt.

Bild 1. Struktur eines Fuzzy-Controllers Für die Erläuterung der Begriffe und Vorgehensweise wird für dieses Kapitel ein Standardbeispiel gewählt, an dem ein Regelzyklus durchlaufen werden soll. Dieses wird hier schon vorgestellt, um ein Modell vor Augen zu haben; später wird darauf Bezug genommen. In der Situation von Bild 2 soll die Bremskraft eines Fahrzeuges in Abhängigkeit von der eigenen Geschwindigkeit und dem Abstand zum voraus fahrenden Fahrzeug geregelt werden.

Bild 2. Bremskraftregelung in Abhängigkeit von eigener Geschwindigkeit und Abstand zum vorausfahrenden Fahrzeug. Die Bremskraft muss umso stärker sein, je dichter das Fahrzeug auffährt und je höher die Geschwindigkeit ist

5.1 Fuzzy-Mengen Die theoretische Basis bildet die Fuzzy-Logik (Fuzzy Logic), die es in der Mathematik neben der zweiwertigen Logik ( {wahr, falsch}, {TRUE, FALSE}, {0,1} ) gibt. Deren Anwendung auf die Leittechnik wird als Fuzzy-Control, auch Fuzzy-Regelung, bezeichnet. Fuzzy-Logik verwendet linguistische Terme (linguistic term) wie „niedrig“, „mittel“, „hoch“ oder „ganz offen“, „halb offen“, „ganz zu“ für die Beschreibung physikalischer Größen wie „Temperatur“ oder „Wärmeenergie“. Diese heißen hier linguistische Variable (linguistic variable). Jeder linguistische Term wird durch die Angabe einer Grundmenge G und einer Zugehörigkeitsfunktion (membership function)  definiert. Die Zugehörigkeitsfunktion ist eine abschnittsweise lineare Funktion. Dadurch wird dann eine Fuzzy-Menge M beschrieben. In den folgenden Beispielen werden die Begriffe erläutert. Beispiel: Beschreibung von Temperatur und Wärmezufuhr eines Wasserbades Ein Wasserbad soll auf einer konstanten Temperatur gehalten werden. Dazu wird in Abhängigkeit von der Wassertemperatur mehr oder weniger Wärmeenergie zugeführt. Lösung: Die linguistische Variable ‚Wassertemperatur’ kann als eine von vielen Möglichkeiten durch die linguistischen Terme ‚sehr niedrig’, ‚niedrig’, ‚mittel’, ‚hoch’ und ‚sehr hoch’ beschrieben werden. Die Grundmenge G besteht hier aus Temperaturwerten aus dem Intervall [0 °C; 100 °C].

Die Zugehörigkeit z.B. zum Term ‚mittel’ wird durch eine Funktion beschrieben, die für T < 30 °C den

R 42

R Regelungstechnik

Wert 0 hat, dann linear bis zum Wert 1 bei T = 50 °C ansteigt und dann wieder linear abfällt und für T > 70 °C den Wert 0 hat. Also lautet die entsprechende Zugehörigkeitsfunktion als abschnittsweise definierte Funktion:

Die Zugehörigkeitsfunktionen müssen nicht notwendigerweise Dreiecksgestalt haben. Weitere typische Formen sind in Bild 4 dargestellt.

µT, mittel = 0  linear ansteigend auf 1  linear abfallend auf 0  0

für 0 °C für 30 °C für 50 °C für 70 °C

≤ T < T < T ≤ T

≤ ≤ < ≤

30 °C 50 °C 70 °C 100 °C

Sie kann aber auch durch Punkte beschrieben werden, an denen der Graf gültig, d.h. größer als 0 ist, also hier (30;0), (50,1), (70,0). Die einzelnen Fuzzy-Mengen müssen nicht notwendigerweise symmetrisch sein. Durch Erfahrung kann es auch sinnvoll sein, andere Einteilungen vorzunehmen. So kann z.B. die linguistische Variable ‚Geschwindigkeit’ des hinteren Fahrzeugs aus Bild 2 durch linguistische Terme nach Bild 3 beschrieben werden.

Bild 3. Beschreibung der Geschwindigkeit eines Fahrzeugs. Die niedrigen Geschwindigkeiten sind feiner gegliedert als die hohen.

Bild 4. Gebräuchliche Formen von Zugehörigkeitsfunktionen Wenn mit Simulationssoftware gearbeitet wird, haben sich folgende Skalen durchgesetzt: Skala 1: negativ groß (NG), negativ klein (NK), Null (N), positiv klein (PK) und positiv groß (PG) Skala 2: sehr klein (SK), klein (K), mittel (M), groß (G) und sehr groß (SG) Die Zugehörigkeitsfunktion kann auch durch Angabe der Eckpunkte beschrieben werden. Die meisten Programme liefern beide Möglichkeiten. Im Programm fuzzyTECH (www.fuzzytech.com) sieht der Bildschirm mit der so erzeugten Zugehörigkeitsfunktion wie in Bild 5 aus. Die Eckpunkte lassen sich durch Verschieben und durch Eingabe der Koordinaten manipulieren. Die Bilder 5 und 6 zeigen zwei Realisierungen von Zugehörigkeitsfunktionen mit der Software.

Bild 5. Zugehörigkeitsfunktionen für eine Geschwindigkeit in fuzzyTECH

Bild 6. Zugehörigkeitsfunktionen für einen Fahrzeugabstand in fuzzyTECH

5 Fuzzy-Regelung

R 43

Bild 7. Zugehörigkeitsfunktionen für eine Bremskraft in fuzzyTECH Auch die Ausgangsgrößen werden durch FuzzyMengen beschrieben (siehe Bild 7).

5.2 Fuzzifizierung Nach DIN 61131-7 wird beim Fuzzifizieren ermittelt, wie die Eingangsvariablen zu den linguistischen Termen passen. Dazu wird der aktuelle Zugehörigkeitsgrad von Eingangsvariablen für jeden linguistischen Term der entsprechenden linguistischen Variablen bestimmt. Dies ermittelt die Software aus den Zugehörigkeitsfunktionen. Dieser Vorgang soll anhand eines konkreten Beispiels beschrieben werden: In Fortführung des Fahrzeug-Beispiels soll eine Geschwindigkeit v = 110 km/h und ein Abstand a = 45 m fuzzifiziert werden.

Bild 8. Fuzzifizierung der Geschwindigkeit v = 110 km/h

Der Wert 110 km/h der linguistischen Variable ‚Geschwindigkeit’ hat damit folgende Zugehörigkeitsgrade (Bilder 8 und 9):

µhoch (110 km/h) = 0,75 µsehr hoch (110 km/h) = 0,30 Begründung: Die Zugehörigkeitsfunktion für ‚hoch’ fällt im Intervall [100 km/h; 140 km/h] linear von 1 auf 0. Deshalb hat sie bei 110 km/h den Wert 0,75 erreicht. Die Zugehörigkeitsfunktion für ‚sehr hoch’ steigt im Intervall [80 km/h; 180 km/h] linear von 0 auf 1. Deshalb hat sie bei 110 km/h den Wert 0,30 erreicht. Auf gleiche Weise wird ein Abstand a = 45 m fuzzifiziert (Bilder 10 und 11).

Bild 10. Fuzzifizierung des Abstandes a = 45 m Der Wert 45 m der linguistischen Variable ‚Abstand’ hat damit folgende Zugehörigkeitsgrade: µmittel (45 m) = 0, 20

µgross (45 m) = 0,33

Bild 9. Fuzzifizierung der Geschwindigkeit v =110 km/h in fuzzyTECH

Begründung: Die Zugehörigkeitsfunktion für ‚mittel’ fällt im Intervall [25 m; 50 m] linear von 1 auf 0. Deshalb hat sie bei 45 m den Wert 0,2 erreicht. Die Zugehörigkeitsfunktion für ‚gross’ steigt im Intervall [40 m; 55 m] linear von 0 auf 1. Deshalb hat sie bei 45 m den Wert 0,33 erreicht.

Bild 11. Fuzzifizierung des Abstandes a = 45 m in fuzzyTECH

R 44

5.3 Regelwerk und Inferenz In der Inferenz (Bearbeitung) des Fuzzy-Algorithmus wird beschrieben, wie die Eingangsgrößen logisch verbunden sind. Diese Anhängigkeiten werden in einem oder mehreren Regelblöcken dargestellt. Zum richtigen Hantieren und um die Möglichkeit zu bieten, das Regelwerk (rule base) in verschiedene Module aufzuteilen, ist die Verwendung von mehreren Regelblöcken erlaubt. Diese so genannten linguistischen Regeln (linguistic rule) haben die Struktur: Rk: Wenn Bedingung Pk erfüllt ist, dann ist die Konklusion Ck auszuführen. Hier umfasst die Bedingung jeder Regel eine linguistische Aussage oder eine Kombination von Aussagen durch die Eingangsvariablen, während die Konklusion die Ausgangsvariablen im Sinne einer Handlungsanweisung bestimmt.

R Regelungstechnik zwei Eingangsvariablen AND-verknüpft, formuliert man z.B. die Regeln folgendermaßen: Regel 1: Regel 2:

WENN Abstand = sehr klein UND Geschwindigkeit = sehr niedrig, DANN Bremskraft = klein. WENN Abstand = sehr klein UND Geschwindigkeit = niedrig, DANN Bremskraft = groß. usw.

Die so gestalteten Regeln werden in Form einer Tabelle (Bild 12) oder einer Matrix (Bild 13) angegeben. Bei der Matrix werden dabei die Werte der Eingangsvariablen den Zeilen bzw. Spalten zugeordnet. Die Werte der Ausgangsvariablen werden in die Matrixfelder eingetragen.

Bild 13. Regelwerk als Matrix

Bild 12. Regelwerk als Tabelle In der Tabelle kann auch noch ein Wichtungsfaktor (weighting factor) angegeben werden. Hier wird er auf 1.00 belassen. Das Regelwerk erhält Erfahrungswissen über den Ablauf eines bestimmten Prozesses, der betrachtet wird. Man verwendet linguistische Regeln, um das Wissen darzustellen. Die Formulierung der Regeln fordert das fachliche Können des Entwicklers. Charakteristisch ist dabei das Überlappen der einzelnen Fuzzy-Mengen. Liegen zwei Eingangsgrößen und nur eine Ausgangsgröße vor, wie im Fahrzeug-Beispiel, und sind die

Auswertung Alle Regeln mit einem Erfüllungsgrad größer null (sog. ‚aktive’ Regeln) werden zunächst getrennt voneinander ausgewertet. Dazu wird für jede aktive Regel der Aggregatwert bestimmt. In Abhängigkeit von diesem Wert wird für jede Regel die Fuzzy-Menge im Schlussfolgerungsteil der Regel in der Höhe des Erfüllungsgrads abgeschnitten. Jede aktive Regel ergibt also zunächst eine ’geköpfte’ Fuzzy-Menge als Schlussfolgerung für die Ausgangsgröße. Anschließend werden die Schlussfolgerungen kombiniert und zu einem exakten Steuerwert zusammengefasst. Liegen mehrere Eingangsgrößen vor, werden zunächst in einer Unterfunktion der Inferenz, der sog. Aggregation (aggregation), die verknüpften Eingangsaussagen zu einer Gesamtaussage zusammengefasst. Für die Umsetzung der AND-Verknüpfung gibt es mehrere Möglichkeiten. Gebräuchlich ist die Umsetzung durch den Min-Operator umgesetzt, d.h. es wird jeweils das Minimum an die nächste Funktion übergeben: Der Abstand a = 45 m gehört zu den Fuzzy-Mengen der Terme sehr klein mit dem Zugehörigkeitsgrad 0 klein mit dem Zugehörigkeitsgrad 0 mittel mit dem Zugehörigkeitsgrad 0,2 groß mit dem Zugehörigkeitsgrad 0,33 sehr groß mit dem Zugehörigkeitsgrad 0

5 Fuzzy-Regelung Die Geschwindigkeit v = 110 km/h gehört zu den Fuzzy-Mengen der Terme sehr niedrig mit dem Zugehörigkeitsgrad 0 niedrig mit dem Zugehörigkeitsgrad 0 mittel mit dem Zugehörigkeitsgrad 0 hoch mit dem Zugehörigkeitsgrad 0,75 sehr hoch mit dem Zugehörigkeitsgrad 0,3 Damit sind folgende Regeln aktiv: Regel 14: Abstand = mittel UND Geschwindigkeit = hoch Regel 15: Abstand = mittel UND Geschwindigkeit = sehr hoch Regel 19: Abstand = groß UND Geschwindigkeit = hoch Regel 20: Abstand = groß UND Geschwindigkeit = sehr hoch

R 45 Für jede dieser Regeln wird die Aggregation Pi bestimmt. Hier wird der Min-Operator gewählt: Pi = Min ( µa,i ; µ v,i ) , also P14 = Min ( µa,mittel ( 45 m ) ; µ v,hoch (110 km/h )) = = Min (0, 2;0,75) = 0, 2

P15 = Min ( µa,mittel ( 45 m ) ; µ v,sehr hoch (110 km/h )) = = Min (0, 2;0,3) = 0, 2

P19 = Min ( µa,groß ( 45 m ) ; µ v,hoch (110 km/h )) = = Min (0,33;0, 75) = 0,33 P20 = Min ( µa,groß ( 45 m ) ; µ v,sehr hoch (110 km/h )) = = Min (0,33;0,3) = 0,3

Bild 14. Grafische Darstellung des Ergebnisses der Aggregation.

R 46 In der Unterfunktion Aktivierung (activation) wird die WENN-DANN-Konklusion umgewandelt. Die Struktur dabei ist Regel i: WENN Bedingung Pi DANN Konklusion Ci für alle aktiven Regeln. In Abhängigkeit von Pi wird die Fuzzy-Menge der Konklusion ‚abgeschnitten’ (Bild 15). Im Fahrzeug-Beispiel heißt das (Bild 16):

R Regelungstechnik Im letzten Schritt der Inferenz, in der Unterfunktion Akkumulation (accumulation), werden die einzelnen ‚geköpften’ Fuzzy-Mengen zu einem Gesamtergebnis verknüpft. Auch hier gibt es verschiedene Möglichkeiten. Für das behandelte Beispiel ist der MaxOperator sinnvoll. In den einzelnen linguistischen Termen wird jeweils der Größte genommen und diese Funktionen werden dann zusammengefasst. Im Beispiel heißt dies (Bilder 17 und 18):

Bild 15. Auswertung einer Regel

Bild 16. Aktivierung

5 Fuzzy-Regelung

R 47

Bild 17. Akkumulation der Bremskraft

Bild 18. Akkumulation der Bremskraft mit fuzzyTECH

5.4 Defuzzifizierung Die durch Akkumulation gewonnene Fuzzy-Menge muss im letzten Schritt in einen scharfen Zahlenwert für die anzuwendende Ausgangsgröße – hier die Bremskraft – umgewandelt werden. In der Defuzzifizierung wird die Frage beantwortet, mit welcher Kraft in der konkreten Situation gebremst werden muss. Es muss ein Verfahren gefunden werden, das die Information der Ergebnismenge möglichst gut abbildet. Die am häufigsten verwendete Defuzzifizierungsmethode ist die sog. Schwerpunktmethode (Center of Area, CoA). Hierbei wird der Schwerpunkt der resultierenden Ergebnis-FuzzyMenge ermittelt und sein Abszissenwert als scharfe Ausgangsgröße gewählt.

wobei die xSi die Schwerpunkte der einzelnen Flächen sind. Rechteck: A1 = l ⋅b = 11, 67⋅0,33 = 3,8511 xS1 = l 2 = 11,67 / 2 = 5,835

Trapez:

1 1 A2 = (a + b)⋅h = (0,33+ 0,3)⋅0,33 2 2 = 0,10395 xS2 =

=

h⋅(a + 2b) +11,67 = 3⋅(a + b)

0,33⋅(0,33+ 2⋅0,3) +11,67 = 3⋅(0,33+ 0,3)

=11,8324

Rechteck: A3 = l ⋅b = 10⋅0,3 = 3 xS3 = 12 + l 2 = 12+10 / 2 = 17

Dreieck:

Bild 19. Defuzzifizierung Zur Berechnung des Flächenschwerpunkts wurden der interessierende Ausschnitt gewählt und die Achsen mit x und y bezeichnet (Bild 19). Gesucht ist die x-Komponente des Schwerpunkts. Mit dem Momentsatz für Flächen gilt: xS =

A1⋅ xS1 + A2 ⋅ xS2 + A3 ⋅ xS3 + A4 ⋅ xS4 A1 + A2 + A3 + A4

1 1 A4 = g ⋅h = ⋅3⋅0,3 = 0, 45 2 2 1 1 xS4 = ( x1 + x2 + x3 ) = (22+ 22+ 25) = 3 3 = 23

Damit 3,8511⋅5,835+ 0,10395⋅11,8324+ 3⋅17 + 0, 45⋅23 xS = 3,8511+ 0,10395+ 3+ 0, 45 xS =11, 4856 Dieses CoA-Verfahren zu Echtzeitbedingungen überfordert eine S5-Steuerung. Deshalb wird in fuzzyTECH an dieser Stelle ein Kompromiss-Verfahren eingesetzt, das CoM (Center of Maximum)-Verfahren. Es rechnet jeweils mit der x-Komponente des Maximums (bei einem ausgedehnten Maximum wird der mittlere x-Wert genommen)

R 48

xs =

R Regelungstechnik

µsehr_klein ⋅ xMax(sehr_klein) + µklein ⋅ xMax(klein) µsehr_klein + µklein

0,33⋅2,5+ 0,3⋅15 0,33+ 0,3 = 8, 45238 =

Das ist auch der Wert, den fuzzyTECH berechnet (Bild 20).

Bild 20. Ergebnis der Defuzzifizierung Ursache der Abweichung zu 8,45238 ist die 8-bitVerschlüsselung der Daten. Dieser Wert wird als Stellgröße an die Bremse geliefert. Damit ist ein Regelzyklus abgeschlossen.

1 Grundlagen

R1

R Regelungstechnik Berthold Heinrich

Die Kernaufgabe in der Regelungstechnik besteht darin, für eine bestimmte Regelungsaufgabe den geeigneten Regler auszuwählen und die Parameter anzupassen. In diesem Kapitel werden zunächst Begriffe im Zusammenhang mit Regelkreisen erläutert. Danach werden Regler und Strecken getrennt betrachtet, um im dritten Teil in ihrem Zusammenwirken untersucht zu werden.

1 Grundlagen 1.1 Grundbegriffe Die Regelungstechnik bildet in zweierlei Hinsicht eine Ausweitung der Steuerungstechnik. Zum einen fließen Informationen zurück. Aus der Steuerkette wird ein Regelkreis. Zum anderen spielt das Zeitverhalten der Elemente des Regelkreises eine entscheidende Rolle (Bild 1).

Temperatur verstanden. Das Erfassen des Istwertes der Regelgröße geschieht durch Fühler (Bild 3) oder Sensoren, fortlaufend muss dabei nicht kontinuierlich sein, es reicht auch die hinreichend häufige Abtastung. Die Führungsgröße w ist eine von der Regelung nicht beeinflusste Größe, die von außen zugeführt wird und der die Ausgangsgröße der Regelung in vorgegebener Abhängigkeit folgen soll. Die Führungsgröße ist nicht notwendig konstant. In vielen Fällen ist sie zeitlich veränderlich. Die Angleichung der Regelgröße an die Führungsgröße ist die eigentliche Regelaufgabe. Dabei bedeutet Angleichung nicht notwendig Deckungsgleichheit. Entsprechend der Regelaufgabe werden Abweichungen in festgelegten Grenzen zugelassen. Auf Grund der ermittelten Abweichung zwischen Regelgröße und Führungsgröße bildet die Regeleinrichtung die Stellgröße.

Bild 1. Druckverlauf in einem Druckluftspeicher Regelung DIN 19226 definiert: Das Regeln (die Regelung) ist ein Vorgang, bei dem eine Größe, die Regelgröße, fortlaufend erfasst, mit einer zweiten Größe, der Führungsgröße, verglichen und im Sinne der Angleichung an die Führungsgröße beeinflusst wird. Der sich daraus ergebende Wirkungsablauf findet im so genannten Regelkreis statt (Bild 2).

Bild 2. Regelkreis im Wirkungsplan Unter Größen werden hier physikalische Größen wie elektrischer Widerstand, Spannung, Dichte, Druck,

Bild 3. Wasserstandsregelung Regelgröße Führungsgröße Stellgröße Störgröße Regelstrecke Regeleinrichtung

Füllhöhe Sollhöhe (Einsteller) Ventilhub Ablauf, Wasserdruck Behälter Hebelgestänge mit Ventil und Schwimmer

Diese Stellgröße muss so gewählt werden, dass sich die Regelgröße der Führungsgröße annähert. Auf den Regelkreis wirken auch nichtplanbare Störungen ein, die man zu einer Störgröße zusammenfasst, die auf die Strecke einwirkt. Auch diesen Einfluss muss der Regelkreis ‚ausregeln’. Regeln ist demnach ein Kreisprozess aus  fortlaufendem Messen der Regelgröße,  ständigem Vergleichen mit der Führungsgröße,

R2

R Regelungstechnik

 Angleichen der Regelgröße an die Führungsgröße. Regelstrecke Laut DIN 19226 ist die Regelstrecke der aufgabengemäß zu beeinflussende Teil des Systems. Ein System ist dabei eine abgegrenzte Anordnung von Gebilden, die miteinander in Beziehung stehen. Ein solches System kann ein Glühofen sein (Bild 4), der durch eine Regelung auf einer konstante Temperatur gehalten wird. Die Gebilde darin sind u.a. der Brenner, der Temperaturfühler, das Stellventil, der Regler. Dieses System wechselwirkt nur über bestimmte Größen mit der Umgebung. Eingegeben werden in dieses System die Solltemperatur (Führungsgröße), sowie (teilweise unbeeinflussbar) Störungen wie beispielsweise eine sich ändernde Umgebungstemperatur oder kaltes Glühgut. Der Wirkungsweg ist in dieser Definition der Weg, auf dem die Größen verändert werden. Die Richtung wird im Wirkungsplan (Bild 2) durch Pfeile verdeutlicht. Weg und Richtung der Wirkungen müssen nicht unbedingt mit Weg und Richtung zugehöriger Energieflüsse und Massenströme übereinstimmen.

Druckluft

Bild 4. Temperaturregelung eines gasbeheizten Ofens Of Ofen, Gl Glühgut, Th Thermometer, Br Brenner, St Stellgerät, VK Ventilkörper. MA MembranAntrieb, Fd Feder, R Regler, - Temperatur als Regelgröße, -w Führungsgröße, ps Stelldruck als Stellgröße Eine aufgabengemäße Beeinflussung bedeutet, dass die Einflussnahme der Regelung im Dienst des zu lösenden Problems steht. In einem Glühofen ist aufgabengemäß die Innentemperatur konstant zu halten. Dazu wird dem Ofen eine sich jeweils ändernde Gasmenge pro Zeit zugeführt. Im Ofen wird die Regelgröße Temperatur beeinflusst, also ist der Ofen die Regelstrecke. Nach der Art der die Strecke durchlaufenden Regelgröße unterscheidet man z.B. Temperatur-, Druck-, Durchfluss-, Niveau- oder Drehzahlregelstrecken. Beispiele für Regelstrecken sind z.B. ein DurchlaufTemperofen, ein Härteofen, der Kühlraum eines Kühlgerätes, ein klimatisierter Raum, ein Silo für

Schüttgüter, der Behälter eines Heißwasserbereiters, ein Mischkessel oder eine rotierende Maschine mit konstanter Drehzahl. Regelgröße, Aufgabengröße, Rückführungsgröße DIN 19226 definiert: Die Regelgröße x ist die Größe in der Regelstrecke, die zum Zweck des Regelns erfasst und über die Messeinrichtung der Regeleinrichtung zugeführt wird. Sie ist die Ausgangsgröße der Regelstrecke und Eingangsgröße der Messeinrichtung. Die physikalische Größe, die von der Regelung beeinflusst wird, durchläuft die Regelstrecke. Der Zustand dieser Regelgröße wird an einem Punkt der Strecke, der Messort genannt wird, erfasst und einem zweiten Teil des Systems, der Regeleinrichtung, zugeführt. Die von der Messeinrichtung aufgenommene Regelgröße heißt Rückführungsgröße r. Den Bereich, innerhalb dessen die Regelgröße eingestellt werden kann, nennt man Regelbereich Xh. Von der Regelgröße wird die Aufgabengröße xA unterschieden. Dieses ist die Größe, die zu beeinflussen Aufgabe der Regelung ist. Sie muss mit der Regelgröße wirkungsmäßig verknüpft sein, braucht aber nicht dem Regelkreis anzugehören. Unterschied zwischen Regelgröße und Aufgabengröße: Bei der Regelung der Zusammensetzung eines Gemischs kann die Aufgabengröße, die Zusammensetzung, nicht immer unmittelbar erfasst werden. Als Regelgröße wird eine von der Zusammensetzung des Gemischs abhängige Eigenschaft (z.B. pH-Wert, Dichte, Trübung, elektrische Leitfähigkeit) verwendet. Beispiele für typische Regelgrößen: Im Maschinenbau: Kraft, Druck, Drehmoment, Drehzahl, Geschwindigkeit In der Verfahrenstechnik: Temperatur, Druck, Masse, Durchfluss, pH-Wert, Heizwert Stellgröße, Stellort Die Stellgröße y ist die Ausgangsgröße der Regeleinrichtung und zugleich Eingangsgröße der Strecke. Sie überträgt die steuernde Wirkung der Einrichtung auf die Strecke. Der Angriffspunkt der Stellgröße im Regelkreis wird Stellort genannt. Der Bereich, innerhalb dessen die Stellgröße einstellbar ist, heißt Stellbereich Yh. Führungsgröße, Arten der Regelung Die Führungsgröße w einer Regelung ist eine von der betreffenden Regelung nicht beeinflusste Größe, die dem Regelkreis von außen zugeführt wird und der die Ausgangsgröße der Regelung in vorgegebener Abhängigkeit folgen soll. Der Regler hat keinen rückwirkenden Einfluss auf die Führungsgröße. Sie wird von außen dem Regelkreis als Größe zugeführt. Das kann auf zwei Arten geschehen: die Führungsgröße kann entweder zeitlich konstant sein oder sich mit der Zeit verändern.

1 Grundlagen Ist die Führungsgröße auf einen festen Wert eingestellt, spricht man von einer Festwertregelung (Bild 5). Dieser feste Wert wird auch oft Sollwert genannt. Verändert sich der Wert der Führungsgröße und folgt die Regelgröße während der Regelung diesen veränderten Werten, so wird von einer Folgeregelung gesprochen. Ist diese Veränderung der Führungsgröße zeitabhängig, ist sie also durch einen Zeitplan vorgegeben, so liegt eine Zeitplanregelung (Bild 6) vor. Beim Einsatz eines Computers zur Regelung kann der zeitliche Verlauf auch durch eine Funktionsgleichung oder durch eine Funktionstabelle eingegeben werden. Beispiel für Festwertregelung Raumtemperatur 22 ºC, relative Luftfeuchtigkeit 55%, Speicherdruck 9,5 bar, Durchfluss 7,2 m3/h

Bild 5. Festwert für die Führungsgröße Beispiel für Zeitplanregelung Temperatur der Lauge in einem Waschautomaten, Nachtabsenkung bei einer Hausheizungsanlage

R3 rungsgröße. Wenn es nicht zu Missverständnissen führt, wird aber hier e=w–x (1) angesetzt, wobei x die Regelgröße ist. Störgröße Eine Störgröße z in einer Regelung ist eine von außen wirkende Größe, die die beabsichtigte Beeinflussung in der Regelung beeinträchtigt. Störgrößen können nicht nur das Verhalten der Strecke, sondern auch das des Reglers beeinflussen. Manchmal unterscheidet man diese beiden Arten der Störung. In erster Näherung kann jedoch angenommen werden, dass die Störung erst am Messort durch die messtechnische Erfassung der Regelgröße im Regelkreis registriert wird. Weiterhin kann man in erster Näherung alle Störgrößen zu einer zusammenfassen und sie am Eingang der Strecke, am Störort, wirken lassen. Der Störbereich Zh ist der Bereich, innerhalb dessen die Störgröße liegen darf, ohne dass die vereinbarte größte Sollwertabweichung der Regelung überschritten wird. Die Abschätzung des Störbereichs setzt Erfahrung und Kenntnis über mögliche Störeinflüsse voraus. Mit dieser Sichtweise für den Störbereich haben diese Grenzen den Charakter von Toleranzgrenzen. Beispiele typischer Störgrößen  Temperaturschwankungen im Außenklima  Spannungsschwankungen im Versorgungsnetz  Schwankungen der Wasserzulauftemperatur Regeleinrichtung

Bild 6. Zeitplan für die Temperatur eines Durchlaufofens zur Wärmebehandlung von Gusseisen Der Führungsbereich Wh ist der Bereich, innerhalb dessen die Führungsgröße liegen kann. So kann z.B. an einem Gefrierschrank die gewünschte Temperatur in einem Bereich zwischen -18ºC und -25ºC eingestellt werden.

Die Regeleinrichtung ist neben der Strecke der zweite Block im Regelkreis. Sie ist derjenige Teil des Wirkungsweges, der die aufgabengemäße Beeinflussung der Strecke über das Stellglied bewirkt und enthält einen Regler und einen Steller. Letzterer ist eine Funktionseinheit, in der aus der Reglerausgangsgröße yR die zur Aussteuerung des Stellgliedes erforderliche Stellgröße y gebildet wird. Bei einer Regeleinrichtung (Bild 7) für einen Druck (Regelgröße x) verstellt eine Membran (1) als Messwerk über einen Differenzialhebel (2) ein Strahlrohr (3); dessen Stellung bestimmt den Zufluss zu dem Stellantrieb (4) für die Öffnung des Stellgliedes. Der Stellkolben erhält einen der Auslenkung des Strahlrohres proportionalen Ölstrom und damit eine entsprechende Stellgeschwindigkeit.

Regeldifferenz, Reglerausgangsgröße Die Regeldifferenz e ist die Differenz zwischen der Führungsgröße w und der Rückführungsgröße r. Dabei wird berücksichtigt, dass der Vergleich der Führungsgröße mit der Regelgröße selbst in der Praxis selten möglich ist, sondern nur der Vergleich mit der von der Messeinrichtung gelieferten Rückfüh-

Bild 7. Druck-Regeleinrichtung

R4

R Regelungstechnik

Messeinrichtung Die Regelgröße wird durch eine Messeinrichtung erfasst. Diese Größe wird dem Vergleicher zugeführt. In vielen Fällen ist der vom Sensor unmittelbar aufgenommene Wert in der vorliegenden Form als Informationseingang am Regler noch nicht geeignet.

 Ist die Form der Größe nicht geeignet, wird zwi-

schen Sensor und Vergleichglied ein Messumformer geschaltet. Dieser hat die Aufgabe, die Regelgröße, die vom Sensor in einer bestimmten Form geliefert wird (z.B. als Druck) in eine andere Form (z.B. elektrische Spannung), die vom Vergleichsglied benötigt wird, umzuwandeln.  Oft reicht die vom Sensor gelieferte Leistung nicht aus, um einen Regelvorgang auszulösen. Dann wird zwischen Sensor und Vergleichsglied noch ein Messverstärker geschaltet, der den vom Sensor gelieferten Messwert auf ein höheres Energieniveau anhebt.

Regler Der Regler (Bild 8) ist das Kernstück der Regeleinrichtung. Er besteht aus Vergleichsglied und Regelglied. Das Vergleichsglied bildet die Regeldifferenz e aus der Führungsgröße w und der Rückführgröße r. Wie in Gleichung (1) beschrieben, nimmt man für prinzipielle Überlegungen oft statt der Rückführgröße r die Regelgröße x. Das Regelglied ist eine Funktionseinheit (Bild 9), in der aus der Regeldifferenz die Reglerausgangsgröße yR so gebildet wird, dass im Regelkreis die Regelgröße, auch beim Auftreten von Störgrößen, der Führungsgröße so schnell und genau wie möglich nachgeführt wird. In der Praxis wird aber häufig ein Gerät als Regler bezeichnet, wenn es die Funktionsblöcke     

Führungsgrößeneinsteller Messumformer Vergleicher Regelglied Regelverstärker

enthält.

Bild 8. Druckregler

Bild 9. Funktionsblöcke eines Reglers Stellglied Das Stellglied ist die am Eingang der Strecke angeordnete, zur Regelstrecke gehörende Funktionseinheit, die in den Massenstrom oder Energiefluss eingreift. Ihre Eingangsgröße ist die Stellgröße. Typische Stellglieder für Massenströme sind Ventile, Schieber und Klappen. Typische Stellglieder für den Energiefluss sind elektrische Schalter, elektronische Schalter, pneumatische Schalter und Stellwiderstände.

1.2 Grafische Darstellung von Regelkreisen mithilfe des Wirkungsplans Der Wirkungsplan ist die sinnbildliche Darstellung der Gesamtheit aller Wirkungen in einem System. An ihm lassen sich die logischen Abhängigkeiten einfach erkennen. Darstellung der Glieder Die Glieder des Regelkreises wandeln Eingangssignale in Ausgangssignale um. Dieses wird hier sinnbildlich in einem Rechteck, Block genannt, dargestellt (Bild 10). Die wirkungsmäßige Abhängigkeit wird in diesem Block entweder durch eine arithmetische Anweisung, durch eine boolesche Verknüpfung, durch eine Übertragungsfunktion, durch eine Übergangsfunktion, eine Kennlinie, ein Kennlinienfeld oder durch eine Schaltfunktion angegeben. Oft findet man auch eine Benennung des Gliedes. Die Ein- und Ausgangssignale werden durch Wirkungslinien dargestellt, deren Pfeilspitzen die Wirkungsrichtung angeben.

Bild 10. Blockdarstellung

1 Grundlagen

R5

Darstellung der Verzweigung (Bild 11) In Regelkreisen findet häufig eine Verzweigung der Wirkung statt. Typisch ist hier das Abspalten eines Messzweiges vom Hauptzweig. Solche Verzweigungsstellen werden durch einen Punkt auf dem Verzweigungsknoten dargestellt.

Bild 13. Darstellung der Kettenstruktur Blöcke in Parallelstruktur (Bild 14) Eine Parallelstruktur ist der Parallelschaltung der Elektrotechnik vergleichbar. Der Signalfluss wird verzweigt. Dabei ist festzuhalten, dass die Parallelstruktur trotz der geometrischen Ähnlichkeit kein Kreisprozess ist.

Verzweigung xa2 = xa1 = xe Bild 11. Darstellung der Verzweigung Darstellung der Addition (Parallelschaltung)

xa = xa1 + xa2

Ist an einer Stelle das Ausgangssignal die algebraische Summe der Eingangssignale, so wird statt eines Blocks ein Kreis gezeichnet. Durch entsprechende Vorzeichen kann damit auch die Umkehrung des Wirkungssinns beschrieben werden (Bild 12).

Bild 14. Darstellung der Parallelstruktur Blöcke in Kreisstruktur (Bild 15) Beim Zusammenwirken der Blöcke in einer Kreisstruktur erfolgt stets eine Rückwirkung des Ausganges auf den Eingang. Dieser zielgerichtete Eingriff des Ausgangs auf den Eingang heißt auch Rückkopplung. Der Wirkungsweg erhält bei der Kreisstruktur die Form einer geschlossenen Schleife.

Addition xa = xe1 – xe2

Bild 12. Darstellung der Addition Bild 15. Darstellung der Kreisstruktur Blockstrukturen Blöcke in offener Kettenstruktur (Bild 13) Die Reihung der Blöcke in der linearen Wirkungsrichtung ist typisch für alle Steuerungsvorgänge. Hintereinander liegende Glieder werden wie in einer elektrischen Reihenschaltung dargestellt.

Bild 16. Wirkungsplan eines Regelkreises

Übersicht: Typischer Wirkungsplan eines Regelkreises In dem Wirkungsplan in Bild 16 sind alle hier behandelten Teile eines Regelkreises in ihrem funktionellen Zusammenhang dargestellt.

R6

R Regelungstechnik

■ Beispiel: für den Aufbau eines elektro-hydraulischen Regelkreises Anhand eines elektro-hydraulischen Regelkreises Bild 17 sollen die Grundbegriffe erläutert werden.

Bild 17. Elektro-hydraulischer Regelkreis (Bosch)

Lösung: Der hydraulische Leistungsstrang besteht aus Antriebsaggregat, dem Regelventil als Stellglied und dem Hydromotor bzw. Zylinder als Antriebsglied für die Last. Die Eingabe der Führungsgröße (Sollwert) erfolgt im Allgemeinen als analoges elektrisches Gleichspannungssignal und kann verschiedenen Quellen entstammen. Häufig sind dies Potenziometer, Funktionsgeneratoren, numerische Steuerungen oder Signale, die von anderen Antriebssystemen der Maschine kommen. Der Istwert der Regelgröße wird von der Messeinrichtung erfasst und in ein ebenfalls analoges Gleichspannungssignal gewandelt. Als Messumformer kommen je nach Regelgröße (Lage, Geschwindigkeit, Kraft usw.) verschiedene Geräte wie Potenziometer, Inkrementalmessstäbe, Tachogeneratoren, Druckmessdosen usw. in Betracht. Im elektronischen Regelverstärker erfolgt der Soll/Ist-Vergleich d.h., es wird die Regeldifferenz gebildet. Diese wird verstärkt, mit einem bestimmten Übertragungsverhalten versehen und als Stellgröße dem Regelventil zugeführt. Zwischen Regler und Ventil liegt noch der Leistungsverstärker des Regelventils. Dieses „Interface“ wandelt die StellgrößenSpannung in einen Magnetstrom und enthält auch das Lageregelsystem des Ventils.

Bild 18. Regelung einer Förderleistung Lösung: Die Strecke ist die Bandlänge zwischen Aufgabestelle und Bandwaage. Der Messort (Bild 19) ist die Einbaustelle der Bandwaage und der Stellort ist der Austritt der Vibrationsrinne.

■ Beispiel: für die Regelung einer Förderleistung Das Bunkerabzugsband in Bild 18 wird von einem Vibrationsförderer beladen. Die Förderleistung in t / h soll konstant gehalten werden. Zur Istwerterfassung kann eine Bandwaage unter dem tragenden Turm eingebaut werden. Der Regelkreis soll skizziert werden, Strecke, Messort, Stellort, Stellglied, Stellgröße, Reglereingänge und Reglerausgang sollen benannt werden! Welche Störgrößen könnten auftreten?

Bild 19. Stellort und Messort Das Stellglied ist der Vibrator, dessen Vibrationsfrequenz die Stellgröße ist. Die beiden Reglereingänge (Bild 20) sind der von der Bandwaage erfasste Istwert der Regelgröße Förderleistung und der eingegebene Sollwert der Förderleistung. Der Reglerausgang ist die Stellgröße Vibrationsfrequenz. Die Aufgabe der Wiege-Elektronik ist die reglergerechte Umformung des von der Bandwaage erfassten Istwertes in eine geeignete elektrische Größe.

1 Grundlagen

R7 Kennlinie: U = U (x, I, Ue )

Bild 20. Regelkreis Mögliche Störgrößen sind Veränderungen im Fördergut durch Feuchteeinfluss und Spannungsschwankungen in der Energieversorgung des Vibrators. Bild 21. Kennlinienfeld

1.3 Beschreibung des Verhaltens von Regelkreisgliedern Ein Regelkreis setzt sich aus vielen Komponenten zusammen, deren Zusammenwirken die Eigenschaften und die Wirkung des Regelkreises ausmachen. Unabhängig vom Detail ist es wichtig zu wissen, wie der Regelkreis als Gesamtheit auf veränderte Eingangsgrößen reagiert, um ggf. ungewollte Effekte beseitigen zu können oder auch nur, um sein Verhalten beschreiben zu können. Meist ist der Regelkreis zu komplex, um sein Gesamtverhalten geeignet vorhersagen und einstellen zu können. Deshalb wird methodisch so vorgegangen, dass zunächst das Verhalten der Komponenten untersucht und beschrieben wird. Aus deren Kenntnis lässt sich dann vieles über das Zusammenwirken in einem Kreisprozess aussagen. Es ist sinnvoll, bei diesen Untersuchungen nicht von Regel-, Stell-, Führungs- und Störgrößen zu sprechen, sondern allgemein von Eingangs- und Ausgangsgrößen. Diese werden mit u und v bezeichnet. Statisches Verhalten Das statische Verhalten von Regelkreisgliedern wird durch Kennlinien beschrieben. Eine Kennlinie beschreibt im Beharrungszustand die Abhängigkeit der Ausgangsgröße v von der Eingangsgröße u. Als Beharrungszustand eines Gliedes gilt derjenige beliebig lange aufrechtzuerhaltende Zustand, der sich bei zeitlicher Konstanz der Eingangssignale nach Ablauf aller Einschwingungsvorgänge ergibt. Hat ein Glied mehrere Eingangsgrößen, so ergibt sich ein Kennlinienfeld. Dabei trägt man das Ausgangssignal in Abhängigkeit einer einzigen Eingangsgröße auf. Die übrigen Eingangsgrößen fasst man als Parameter auf. Bild 21 zeigt die Klemmspannung U eines Stromkreises (als Ausgangsgröße v). Diese wird in Abhängigkeit von der durch die Lage x des Abgriffkontaktes (als Eingangsgröße u1) gekennzeichneten Einstellung eines Widerstandes aufgetragen. Die im Kreis wirksame Spannung Ue (als Eingangsgröße u2) und der Belastungsstrom I (als Eingangsgröße u3) sind hier die Parameter.

Meist sind Kennlinien gekrümmt. Sie werden vielfach, vor allem zur Berechnung, durch Geraden ersetzt. Man spricht hierbei von Linearisieren. Dabei wird im Arbeitspunkt eine Tangente an die Kennlinie gelegt. Aus der Steigung ergibt sich der sog. Übertragungsbeiwert K. K

v u

(2)

Im Bild 21 wurde der Arbeitspunkt bei x = 2 cm, Ue = 110 V und I = 50 A gewählt. An der Geraden liest man ab: K=

∆ v ∆ e 200 V V = = = 66,7 . ∆u ∆x 3cm cm

Zeitverhalten Das Zeitverhalten der Regelkreisglieder wird dadurch untersucht, dass man die jeweiligen Eingangsgrößen typisch ändert und zwar    

sprunghaft, ansteigend, impulsförmig oder sinusförmig.

Das Übergangsverhalten beschreibt dann den zeitlichen Verlauf des Ausgangssignals bei Aufschaltung charakteristischer zeitlicher Verläufe des Eingangssignals. Sprungantwort Viele Regelvorgänge verhalten sich so, dass die Eingangsgröße u sich sprunghaft ändert von einem Anfangswert u0 auf einen festen Endwert u1. Die Reaktion der Ausgangsgröße darauf wird hier Sprungantwort genannt. Diese kann sehr unterschiedlich ausfallen. Die Sprungantwort kann schlagartig erfolgen, sie kann sich langsam und gleichmäßig ihrem Endwert nähern, oder sie kann erst über den Endwert hinauswandern, um sich ihm dann schwingend zu nähern.

R8

R Regelungstechnik

Die Aufschaltung eines Sprunges ist – zumindest bei theoretischen Betrachtungen – eine häufig angewandte Testmethode bei der Untersuchung von Regelkreisgliedern. Um aus der Funktionsgleichung den Einfluss der konstanten Eingangssprunghöhe u zu eliminieren, führt die DIN eine neue Funktion h(t) ein, die Übergangsfunktion genannt wird. h(t ) =

v(t ) u (t )

(3)

Anstiegsantwort Steigt die Eingangsgröße linear an, so nennt man die Reaktion des Gliedes darauf Anstiegsantwort (Bild 24). Diese kann wiederum sehr unterschiedlich sein, steigt sie überproportional, nennt man ihren Verlauf progressiv, steigt sie weniger als linear an, degressiv. 0 für t ≤ 0 u(t) =  K ⋅t für t > 0

(6)

Für große t und stabiles Verhalten gilt h(t) = K wobei K der Übertragungsbeiwert aus (2) ist.

(4)

Bild 24. Anstiegsantwort

Bild 22. Sprungantwort ■ Beispiel: für die Berechnung eines Übertragungsbeiwertes Der Übertragungsbeiwert des Zahnradpaares aus Bild 23 soll berechnet werden.

Impulsantwort Ein Impuls (Bild 25) ist eine sprunghafte, jedoch zeitlich begrenzte Änderung Ein kurzzeitig steil hoch schnellender Impuls heißt Nadelimpuls. Das Übergangsverhalten bei einem impulsförmigen Eingangssignal heißt entsprechend Impulsantwort.  0 für t ≠ 0 u(t) =  ∞ für t = 0

Bild 23. Übergangsfunktion am Zahnradpaar

Bild 25. Impulsantwort

Lösung:

Frequenzantwort

Das obere Zahnrad mit der Zähnezahl z1 drehe mit der konstanten Drehzahl ne. Dieses ist die Eingangsgröße u(t). Die Ausgangsgröße v(t) ist die sich einstellende konstante Drehzahl na. Für die Übergangsfunktion h(t) gilt nach (3) v(t ) h(t ) = . u (t )

Für die Übersetzung an einem Zahnradpaar gilt na z1 = ne z2

(5)

z1 . Laut (4) ist h(t) = K, z2 also ist der Übertragungsbeiwert hier das umgekehrte Übersetzungsverhältnis.

Also ist die Übergangsfunktion h(t) =

(7)

Neben den oben beschriebenen Arten kann das Zeitverhalten eindeutig auch durch die Zuordnung des Ausgangssignals zu einer sinusförmigen Änderung des Eingangssignals beschrieben werden. Dabei muss das Eingangssignal alle Frequenzen zwischen Null und Unendlich durchlaufen. Ein sinusförmiges Eingangssignal kann beschrieben werden durch u(t) = A · sin ( t),

(8)

wobei A die Amplitude und  = 2f die Kreisfrequenz ist (Bild 26).

1 Grundlagen

R9 v(t ) B⋅e j(ω t+ϕ ) B⋅e j(ω t ) ⋅e j( ϕ ) B j( ϕ ) = = = ⋅e . u (t ) A A⋅e j(ω t ) A⋅e j(ω t )

Dieses Verhältnis, das von t unabhängig ist, nennt man Frequenzgang und bezeichnet es mit G(j). Es gilt also G(j): =

Bild 26. Funktionsgraf bei reeller Darstellung

v(t ) B j( ϕ ) = ⋅e . u (t ) A

(12)

Die folgenden Rechnungen werden erheblich einfacher, wenn man diese Schwingung mittels komplexer Zahlen beschreibt. u(t) = A · (cos ( t) + j · sin ( t)),

(9)

oder in Exponentialform u(t) = A · e j t

(10)

Die Zusammenhänge sind in Bild 27 dargestellt.

Bild 28. Funktionsgraf der Frequenzantwort in reeller Darstellung

Bild 27. Funktionsgraf bei komplexer Darstellung (heißt hier Ortskurve) Für die hier betrachteten linearen Systeme kann man zeigen, dass die Ausgangsgröße v(t) im eingeschwungenen Zustand auch einen sinusförmigen Verlauf mit gleicher Frequenz hat. Allerdings ist sie meist phasenverschoben. Damit gilt v(t) = B · e j( t + )

(11)

Bild 29. Ortskurve der Frequenzantwort bei komplexer Darstellung Darstellung des Frequenzganges Der Frequenzgang G(j) ist eine komplexe Funktion der Frequenz . Der Wert einer komplexen Funktion bei einem bestimmten -Wert wird durch einen Zeiger dargestellt. Zeichnet man die Zeiger zu verschiedenen Frequenzen in ein Koordinatensystem und verbindet die Endpunkte der Zeiger, so entsteht eine Kurve, die Ortskurve des Frequenzgangs (Bild 30).

Der Verlauf der Ausgangsgröße wird auch Frequenzantwort genannt. In Bild 28 sind die Zusammenhänge in reeller Darstellung, in Bild 29 in komplexer Darstellung aufgeführt. Bildet man den Quotienten v(t ) u (t )

so erhält man

Bild 30. Ortskurve

R 10

R Regelungstechnik

Tabelle 1. Beschreibung des Verhaltens von Regelkreisgliedern

Eine andere Darstellung bildet das Bode-Diagramm. Dort wird von der komplexen Funktion G(j) einmal der Betrag | G(j) |, zum anderen der Phasenwinkel  in Abhängigkeit von der Frequenz  gezeichnet (Amplitudengang (Bild 31), bzw. Phasengang (Bild 32)).

Bild 31. Amplitudengang Charakteristisch ist, dass der Betrag des Frequenzganges | G(j) | und die Frequenz  im logarithmischen Maßstab, der Phasenwinkel  im linearen Maßstab aufgetragen werden.

Bild 32. Phasengang

2 Regelstrecken Laut DIN 19226 gilt: Die Regelstrecke ist derjenige Teil des Wirkungsweges, welcher den aufgabengemäß zu beeinflussenden Teil der Anlage darstellt. Die regelungstechnische und auch mathematische Behandlung von Regelstrecken gibt in zweierlei Hinsicht Probleme auf. Einerseits ist die Art der Strecke oft durch das zu regelnde Problem vorgegeben und in ihren Parametern nur wenig veränderbar. Andererseits sind die Kenngrößen der Strecken fast immer unbekannt, sie werden meist nicht – wie bei Reglern – von den Händlern mitgeliefert und müssen zunächst entweder durch physikalische Gesetzmäßigkeiten oder experimentell ermittelt werden. Es interessiert hierbei sowohl das Zeitverhalten als auch das statische Verhalten. Das statische Verhalten dient in erster Linie zur Beurteilung der generellen Eignung, d.h., ob der Stellbereich überhaupt sinnvoll durch die Strecke abgedeckt werden kann. Diese Information kann aus dem Kennlinienfeld nach Wahl des Arbeitspunktes ermittelt werden. Das Zeitverhalten dient zur Beurteilung der Frage, ob eine gegebene Strecke im Zusammenwirken mit den anderen Teilen des Regelkreises sinnvolle Ergebnisse liefert. Notwendig dafür ist stets eine mathematische Beschreibung des dynamischen Verhaltens der Strecke. Die

R 10

R Regelungstechnik

Tabelle 1. Beschreibung des Verhaltens von Regelkreisgliedern

Eine andere Darstellung bildet das Bode-Diagramm. Dort wird von der komplexen Funktion G(j) einmal der Betrag | G(j) |, zum anderen der Phasenwinkel  in Abhängigkeit von der Frequenz  gezeichnet (Amplitudengang (Bild 31), bzw. Phasengang (Bild 32)).

Bild 31. Amplitudengang Charakteristisch ist, dass der Betrag des Frequenzganges | G(j) | und die Frequenz  im logarithmischen Maßstab, der Phasenwinkel  im linearen Maßstab aufgetragen werden.

Bild 32. Phasengang

2 Regelstrecken Laut DIN 19226 gilt: Die Regelstrecke ist derjenige Teil des Wirkungsweges, welcher den aufgabengemäß zu beeinflussenden Teil der Anlage darstellt. Die regelungstechnische und auch mathematische Behandlung von Regelstrecken gibt in zweierlei Hinsicht Probleme auf. Einerseits ist die Art der Strecke oft durch das zu regelnde Problem vorgegeben und in ihren Parametern nur wenig veränderbar. Andererseits sind die Kenngrößen der Strecken fast immer unbekannt, sie werden meist nicht – wie bei Reglern – von den Händlern mitgeliefert und müssen zunächst entweder durch physikalische Gesetzmäßigkeiten oder experimentell ermittelt werden. Es interessiert hierbei sowohl das Zeitverhalten als auch das statische Verhalten. Das statische Verhalten dient in erster Linie zur Beurteilung der generellen Eignung, d.h., ob der Stellbereich überhaupt sinnvoll durch die Strecke abgedeckt werden kann. Diese Information kann aus dem Kennlinienfeld nach Wahl des Arbeitspunktes ermittelt werden. Das Zeitverhalten dient zur Beurteilung der Frage, ob eine gegebene Strecke im Zusammenwirken mit den anderen Teilen des Regelkreises sinnvolle Ergebnisse liefert. Notwendig dafür ist stets eine mathematische Beschreibung des dynamischen Verhaltens der Strecke. Die

2 Regelstrecken Ergebnisse dieser Berechnungen werden meist grafisch dargestellt. Aus diesen Diagrammen kann der Praktiker vor Ort dann wichtige Informationen gewinnen. Das unterschiedliche dynamische Verhalten bildet auch die Grundlage für eine Systematisierung der unterschiedlichen Streckentypen. Diese erfolgt nicht nach der zu regelnden physikalischen Große, sondern nach dem Zeitverhalten der Strecke.

2.1 Einteilung der Strecken

R 11 Strecken mit und ohne Verzögerung Ein zweiter Gesichtspunkt ist die Verzögerung, mit der die Strecke einer Stellgrößenänderung folgt. Selten erfolgt die Antwort der Strecke sofort mit voller Stärke. Meist reagiert die Strecke mit einer Trägheit. Strecken mit Verzögerung enthalten Speicherelemente, welche die träge Reaktion bewirken. Die Anzahl der Speicherelemente gibt die Ordnungszahl an. Je höher die Ordnungszahl, desto schwieriger wird die Regelbarkeit.

Strecken mit und ohne Ausgleich Ein Unterscheidungsmerkmal ist die Frage nach dem so genannten Ausgleich. Der Ausgleich verleiht der Strecke die Eigenschaft der Selbstbegrenzung und wirkt damit stabilisierend. Solche Strecken streben einem Beharrungswert zu.

Strecke ohne Verzögerung Legt man an den Spannungsteiler in Bild 3 eine Spannung an, so kann man sofort am Widerstand R2 ein konstante Spannung UR abgreifen.

Strecke ohne Ausgleich Eine Strecke ohne Ausgleich ist z.B. ein Flüssigkeitsbehälter (Bild 1). Öffnet man den Zufluss, so steigt der Flüssigkeitsstand, ohne einem Beharrungswert zuzustreben.

Sprungantwort

Bild 1. Strecke ohne Ausgleich Strecke mit Ausgleich Legt man an den Spannungsteiler in Bild 2 eine konstante Spannung U0 an, so kann man am Widerstand R2 eine konstante Spannung U2 abgreifen. Die Spannung U2 erreicht einen Beharrungswert.

Bild 3. Strecke ohne Verzögerung

Strecke mit Verzögerung Legt man an den Kondensator in Bild 4 eine konstante Spannung an, so baut sich die am Kondensator abfallende Spannung erst allmählich auf.

Sprungantwort Sprungantwort

Bild 2. Strecke mit Ausgleich

Bild 4. Strecke mit Verzögerung

R 12

R Regelungstechnik

Strecke mit Verzögerung höherer Ordnung Mehrere hintereinander geschaltete RC-Glieder wie in Bild 5 ergeben eine Strecke höherer Ordnung.

Sprungantwort

Bild 7. Strecke mit Totzeit

Bild 5. Strecke mit Verzögerung höherer Ordnung

Strecken mit und ohne Totzeit Die Totzeit ist die Zeit, die vergeht, bis eine Strecke reagiert.

Strecke ohne Totzeit Legt man an den Spannungsteiler in Bild 6 eine Spannung an, so kann man am Widerstand R2 ein konstante Spannung UR abgreifen.

2.2 Regelstrecken mit Ausgleich (P-Strecken) Die mathematisch und meist auch technisch einfachste Strecke besitzt eine Regelgröße x, die sich mit dem Proportionalitätsfaktor KPS proportional zur Stellgröße y verhält. x = KPS · y

(13)

Übertragungsbeiwert Der Proportionalitätsfaktor K PS ist der Übertragungsbeiwert (Index P für P-Verhalten, S für Strecke). Er kann – wie oben beschrieben – aus der Steigung der Kennlinie (Bild 8) im Arbeitspunkt bestimmt werden.

Sprungantwort

Bild 6. Strecke ohne Totzeit

Bild 8. Kennlinienfeld Blocksymbol

Strecke mit Totzeit

Als Blocksymbol für den Wirkungsplan sind die Darstellungen aus Bild 9 gebräuchlich.

Verändert man die Füllmenge des Förderbandes in Bild 7, so wird sich die Abwurfmenge erst nach einer gewissen Zeit verändern, nämlich dann, wenn die Stellfront an der Abwurfstelle angekommen ist.

Bild 9. Blocksymbole für P-Strecken

2 Regelstrecken

R 13

Sprungantwort

Die Spannung U0 steige zum Zeitpunkt t = 0 sprunghaft von 0 V auf 12 V.

Auf Grund des einfachen mathematischen Zusammenhangs lässt sich die Sprungantwort einer solchen Strecke leicht angeben (Bild 10).

Bild 10. Sprungantwort einer P-Strecke Frequenzgang Es lässt sich zeigen, dass für den Frequenzgang einer P-Strecke gilt G(j) = KPS Damit ergibt sich die Ortskurve (Bild 11). Sie ist zu einem Punkt entartet.

Bestimmt werden soll  die Ausgangsspannung U2 (nach dem ohmschen Gesetz)  der Übertragungsbeiwert KPS  die Sprungantwort  die Übergangsfunktion  die Ortskurve das Bode-Diagramm

Bild 13. Spannungsteiler Lösung:

Nach dem ohmschen Gesetz in Verbindung mit der Maschenregel liefert die Beziehung zwischen der Eingangsgröße U0(= xe) und der Ausgangsgröße U2(xa) U2 =

R2 500 Ω ⋅U 0 = ⋅12 V = 0, 714⋅12 V = 8,6 V . R + R 200 Ω + 500 Ω 1 

2 K PS

Somit ist der Übertragungsbeiwert KPS = 0,714 und die Ausgangsspannung U2 = 8,6. Damit ergeben sich folgende Diagramme (Bild 14-Bild 17). Sprungantwort

Bild 11. Ortskurve einer P-Strecke Bode-Diagramm Mit dem Betrag des Frequenzganges | G | = KPS und der Phasenverschiebung  = 0 ergibt sich das BodeDiagramm aus Bild 12.

Bild 14. Sprungantwort des Spannungsteilers Übergangsfunktion

Bild 15. Übergangsfunktion des Spannungsteilers Ortskurve

Bild 12. Bode-Diagramm einer P-Strecke ■ Beispiel: für eine Berechnung Für den Spannungsteiler aus Bild 13 als P-Strecke werden die charakterisierenden Größen und Diagramme erstellt. (R1 = 200  R2 = 500  U0 = 12 V)

Bild 16. Ortskurve des Spannungsteilers

R 14

R Regelungstechnik

Bode-Diagramm Wegen Betrag des Frequenzganges | G | = KPS = 0,714 und auch Phasenverschiebung = 0 ergeben sich folgende Ortskurve und folgendes Bode-Diagramm

gung der Kennlinie der Änderungsgeschwindigkeit im Arbeitspunkt bestimmt werden. KIS · t wächst über alle Grenzen. Blocksymbol Als Blocksymbol für den Wirkungsplan sind die Darstellungen aus Bild 20 gebräuchlich.

Bild 20. Blocksymbole für I-Strecken Bild 17. Bode-Diagramm des Spannungsteilers

Sprungantwort

Hebel

Auf Grund des einfachen mathematischen Zusammenhangs lässt sich die Sprungantwort einer solchen Strecke leicht angeben (Bild 21).

Bild 18. Der Hebel als P-Strecke Nach dem Hebelgesetz gilt für die Kräfte F1, F2 und die Hebelarme l1, l2: l F2 · l2 = F1 · l1, also ist F2 = 1 F1 und damit l2 KPS =

l1 . l2

Bild 21. Sprungantwort einer I-Strecke

Gasleitung

Frequenzgang

Bild 19. Die Gasleitung als P-Strecke Nach der Zustandsgleichung für ideale Gase gilt bei konstanter Temperatur für die Drücke p1, p2 und die Volumenströme Q1, Q2: Q1 p1 und damit p2 · Q2 = p1 · Q1, also ist p2 = Q2 KPS =

Es lässt sich zeigen, dass für den Frequenzgang G(j) einer I-Strecke gilt K IS K IS =−j (15) G(j) = ω jω Damit ergibt sich die Ortskurve aus Bild 22. Sie ist rein imaginär.

Q1 . Q2

2.3 Regelstrecken ohne Ausgleich (I-Strecken)

Bild 22. Ortskurve einer I-Strecke

Bei einen I-Glied ist die Sprungantwort x(t) eine linear mit der Zeit ansteigende Gerade. x(t) = KIS · t · y

(14)

Übertragungsbeiwert Der Faktor KIS · t ist der Übertragungsbeiwert (Index I für I-Verhalten, S für Strecke) Er kann aus der Stei-

Bode-Diagramm Da für den Betrag des Frequenzganges | G | = und für die Phasenverschiebung Im(G )  tan () = → ∞, d.h. ϕ = Re(G ) 2 gilt, ergibt sich das Bode-Diagramm aus Bild 23.

K IS

ω

2 Regelstrecken

R 15 Weitere Beispiele für I-Strecken Motorgetriebene Spindel

Bild 26. Motorgetriebene Spindel als I-Strecke Bild 23. Bode-Diagramm einer I-Strecke Regelstrecken ohne Ausgleich sind regeltechnisch labil. Ihre Regelung ist schwierig durchzuführen.

Eine motorgetriebenes Gewinde (Bild 26) bewegt einen Tisch. Schlingenbahn

■ Beispiel:

der Berechnung für eine Niveauregelstrecke

Für die Niveauregelstrecke in Bild 24 werden die charakteristischen Größen und Diagramme ermittelt. Behälterdurchmesser d = 0,3 m Stellgröße Qzu = 3 l/s Regelgröße h: Füllhöhe

Bild 27. Schlingenbahn als I-Strecke Schlingenregelung (Bild 27) von elastischen Stoffbahnen mit großem Durchhang.

2.4 Regelstrecken mit Verzögerung (PTn-Strecken) Bild 24. Niveauregelstrecke Lösung: Da hier über die Geometrie der Strecke der funktionelle Zusammenhang zwischen der Regelgröße h und der Stellgröße Qzu bestimmbar ist, kann KIS berechnet werden.

h=

=

V Qzu ⋅t = = A A

1  0,3m 2 ⋅   2 

1  d 2 ⋅  2

⋅Qzu ⋅t =

1 ⋅Qzu ⋅t = 14,15 2 ⋅Qzu ⋅t m

  K IS

Die Antwort einer Strecke auf Veränderungen der Stellgröße verlaufen nur in Ausnahmefällen verzögerungsfrei. Ursache dafür sind Glieder, welche die Eigenschaft der Speicherung besitzen. Sie sorgen dafür, dass z.B. bei P-Strecken der neue Beharrungswert nicht sofort nach Änderung der Eingangsgröße voll erreicht wird, sondern dass sich die Regelgröße erst allmählich diesem Wert annähert. Der Druckluftspeicher aus Bild 28 ist ein typisches Glied mit Verzögerungsverhalten. Der Druck im Behälter zeigt ein degressives Anstiegsverhalten. Die Ursache liegt in dem sich aufbauenden Gegendruck im Behälterinneren. Eingangsdruck und Innendruck gelangen ins Gleichgewicht.

Als Sprungantwort (Bild 25) ergibt sich damit h(t) = KIS · Qzu · t = 14,15 = 0,042

1 m3 ·t= · 3 · 10–3 2 s m

m cm · t = 4,2 ·t s s

Bild 28. Druckluftspeicher PT1-Strecken

Bild 25. Sprungantwort der Niveauregelstrecke

Strecken, die P-Verhalten zeigen und ein Speicherelement besitzen, werden als PT1-Strecken bezeichnet. Ihre Sprungantwort x(t) hat den Verlauf einer Exponentialfunktion und wird beschrieben durch

R 16

R Regelungstechnik

t   x(t) = KPS · y · 1− e T1     

(16)

Dabei ist T1 eine Zeitkonstante, deren Wert aus dem Grafen der Sprungantwort abgelesen werden kann. T1 ist die Zeit, nach der die Ursprungstangente an x(t) den Beharrungswert KPS · y erreicht. Blocksymbol Als Blocksymbol für den Wirkungsplan ist die Darstellung aus Bild 29 gebräuchlich.

Bode-Diagramm Mit dem Betrag des Frequenzganges K PS |G| = und der Phasenverschiebung 1+ ω 2 T12 

1   ergibt sich das Bode-Diagramm  ω T1 

 = arctan− (Bild 32).

Bild 29. Blocksymbol für PT1-Strecken Sprungantwort Die Sprungantwort hat einen Verlauf, wie in Bild 30 dargestellt.

Bild 32. Bode-Diagramm einer PT1-Strecke ■ Beispiel

für die Berechnung bei der Aufladung eines Kondensators Für den Ladevorgang beim Kondensator sollen die charakteristischen Größen berechnet werden. Lösung Der Ladevorgang eines Kondensators (Bild 33) an Gleichspannung zeigt PT1-Verhalten t   − RC  (18) UC = U0  1− e   

Man sieht, dass der Übertragungsbeiwert KPS in diesem Falle gleich 1 ist. Die Zeitkonstante T1 ist gleich RC. In der Elektrotechnik wird diese Zeitkonstante oft mit  abgekürzt.

Bild 30. Sprungantwort einer PT1-Strecke Frequenzgang Es lässt sich zeigen, dass für den Frequenzgang einer PT1-Strecke gilt G(j) =

K PS 1+ j ω T1

Damit ergibt sich die Ortskurve (Bild 31).

Bild 33. Ladevorgang beim Kondensator KPS = 1 T1 =  = RC

(17)

Für C = 5 F, R = 20 k:, U0 = 100 V erhält man

T1 = RC = 20 k: · 5 PF = 20 · 103 : · 5 · 10–6 F = 0.1 s Wird eine sinusförmige Eingangsspannung ^

U0 = U0 sin (Zt) angelegt, so wird er Frequenzgang G(jZ) =

Bild 31. Ortskurve einer PT1-Strecke

=

1 1 1− jω ⋅0,1s = = = 1+ jωT1 1+ jω⋅0,1s 1+ ω 2 ⋅0, 01s2

1 ω⋅0,1s − 1+ ω 2 ⋅0, 01s 2 1+ ω 2 ⋅0,01s 2

2 Regelstrecken

R 17

also Re(G) =

1 1+ ω 2 ⋅0, 01s 2

Im(G) =

ω⋅0,1s 1+ ω 2 ⋅0, 01s 2

Weitere Beispiele für PT1-Strecken Feder mit Dämpfung (ohne Masse)

Damit lässt sich die Ortskurve in Bild 35 konstruieren. Um das Bode-Diagramm zeichnen zu können, wird der Betrag und der Winkel benötigt: | G | = [Re(G )]2 +[Im(G )]2 2

=

=

2

    1 ω⋅0,1s   +   1+ ω 2 ⋅0, 01s 2   1+ ω 2 ⋅0, 01s 2 

1 1+ω2 ⋅0,01s2

 = – arctan ( · 0,1 s)

Bild 37. Feder-Dämpfungs-System als Beispiel für eine PT1-Strecke Feder mit Dämpfung und vernachlässigbar kleiner Masse (Bild 37). F d s = (1− e−t⋅T1 ) mit T1 = cf cf Stoffbahn

Bild 34. Sprungantwort bei der Kondensatoraufladung Bild 38. Bandzug einer Stoffbahn als Beispiel für eine PT1-Strecke Bei der Regelung des Bandzuges einer Stoffbahn (Bild 38) zwischen zwei angetriebenen Klemmstellen baut sich die Kraft F bedingt durch die Elastizität des Materials nicht verzögerungsfrei auf. Bild 35. Ortskurve bei der Kondensatoraufladung PT2-Strecken Schalten wir zwei Speicherglieder in Reihe hintereinander, so ändert sich die Sprungantwort in grundlegender Weise (Bild 39). Die Strecke reagiert nun mit einem zunächst schwachen, dann zunehmend steiler werdenden Anstieg ihrer Ausgangsgröße im Zeitverlauf. Sie zeigt in dieser ersten Phase einen progressiven Anstieg. Nach einem Abschnitt des Steilanstiegs jedoch kehrt sich die Tendenz um. Die Funktion gewinnt zwar weiterhin an Höhe, sie steigt noch an, jedoch der Anstieg flacht ab, wird degressiv. Der Punkt der Tendenzwende vom progressiven zum degressiven Verlauf heißt Wendepunkt, die durch ihn gelegte Tangente Wendetangente. Bild 36. Bode-Diagramm bei der Kondensatoraufladung

R 18

R Regelungstechnik

2.5 Regelstrecken mit Totzeit (Tt -Strecken) Bei einem Totzeitglied ist die Sprungantwort x um die Totzeit Tt gegenüber dem Eingangssprung y verschoben. 0 für t ≤ Tt x(t) =  Ks ⋅ y für t > Tt

(19)

Bild 44. Blocksymbol einer Tt-Strecke Als Blocksymbol für den Wirkungsplan ist die Darstellung aus Bild 44 gebräuchlich. Bild 39. Sprungantwort bei einer PT2-Strecke (Tu heißt Verzugszeit, Tg heißt Ausgleichzeit) Als Blocksymbol für den Wirkungsplan ist die Darstellung aus Bild 40 gebräuchlich.

Bild 40. Blocksymbol für PT2-Strecken Beispiele für PT2-Strecken In Bild 41 - Bild 43 findet man weitere Beispiele für PT2-Strecken.

Bild 45. PTt-Strecke Sprungantwort Die Sprungantwort hat einen Verlauf, wie in Bild 46 dargestellt.

Mechanisches System

Bild 41. Mechanisches System als Beispiel für eine PT2-Strecke Druckspeicher Bild 46. Sprungantwort bei einer PTt-Strecke Frequenzgang Bild 42. Druckspeicher als Beispiel für eine PT2Strecke

Es lässt sich zeigen, dass für den Frequenzgang gilt G(j) = e–jTt Damit ergibt sich die Ortskurve (Bild 47).

RLC-Kreis

Bild 43. RLC-Glied als Beispiel für eine PT2-Strecke

Bild 47. Ortskurve einer Tt-Strecke

2 Regelstrecken

R 19

Bode-Diagramm Mit dem Betrag des Frequenzganges | G | = 1 und der Phasenverschiebung  = – Tt ergibt sich das BodeDiagramm (Bild 48).

Bild 49. Die Aufnahme der Sprungantwort liefert die Diagnose Folgende Fragen helfen, die richtige Diagnose zu finden:

Bild 48. Bode-Diagramm einer Tt-Strecke Ordnungszahl und Regelbarkeit Das entscheidende Kriterium für die Regelbarkeit von Strecken höherer Ordnung ist das Verhältnis Ausgleichszeit Tg = Verzugszeit Tu

(20)

Je größer dieses Verhältnis ist, desto besser ist die Strecke regelbar. Generell gilt: ­! 5 °2,5...5 ° Tg /Tu ® °1,2...2,5 °¯ 1,2

gut regelbar mäßig regelbar schlecht regelbar sehr schlecht regelbar

1. Wie antwortet die Strecke auf einen Eingangssprung, einen Eingangsanstieg und einen Eingangsimpuls? 2. Sind Totzeiten vorhanden, und wie können diese gegebenenfalls verringert werden? Ist es beispielsweise möglich, den Abstand zwischen Messglied und Stellglied klein zu halten? Können Messglieder mit kleinen Ansprechzeiten eingesetzt werden? 3. Strebt die Regelgröße nach der Eingangsänderung einem neuen Beharrungswert zu, und hat die Strecke somit einen selbstregulierenden Charakter? 4. Neigt die Strecke zur Instabilität oder gar zur Schwingung? ■ Beispiel: für die Analyse einer Regelstrecke

(21)

Von der Formulierung her gelten diese Regeln nur für PTn-Strecken, denn nur dort tauchen die Parameter Tg und Tu auf. Eine PT0-Strecke lässt sich aber als Grenzfall einer PTn-Strecke auffassen, dann erhält man Tg= 0 und Tu= 0. Eine PT1-Strecke ist ebenfalls als Grenzfall mit Tg= 0 und Tu = T1. Damit sind diese beiden Strecken sehr gut regelbar. Bei einer PTtStrecke kann die dort auftretende Totzeit und die Verzugszeit zu Tu zusammengefasst werden. Damit gelten die Formeln auch für diesen Fall. Diagnose der Regelstrecke Das Studium der zu regelnden Anlage (Bild 49) ist sowohl für den Regeltechniker als auch für den Anwender eine besonders wichtige Aufgabe.

Die Regelstrecke im Bild 17 auf Seite R6 soll exemplarisch analysiert werden. Lösung: Zur klassischen Regelstrecke von Bild 17 auf Seite R6 gehören das Regelventil (Nenngröße, theoretische Regelqualität), die Leitungen zum Zylinder (Querschnitt, Länge, Elastizitätsmodul der Schläuche), der Zylinder (Hub, Durchmesser, Befestigung, Elastizitätsmodul). Jedoch haben auch die anderen Komponenten Einfluss auf das Verhalten der Strecke: x x x x x

Versorgung (Aggregattyp, Speicheranlage, verwendetes Öl) Rohrleitungen zum Hydraulikventil Messsystem (Rückführung, Druck, Lage, Qualität der Messung) Elektronischer Regler selbst Werkstück (Art der Gegenkraft, äußere Störungen)

Die Gruppe der Parameter, auf die Einfluss genommen werden kann, wird in die Art der Strecke aufgenommen. Die anderen werden zu einer Störgröße zusammengefasst, und nur der Störbereich wird berücksichtigt.

R 20 Tabelle 1. Übersicht Regelstrecken

R Regelungstechnik

3 Regler

3 Regler In einer Analogie kann man die Strecke als „Patient“ und den Regelungstechniker als „Arzt“ ansehen. Die „Diagnose“ in Form der Klassifizierung und Parameteridentifizierung der Strecke ist geschehen. Nun interessiert die Frage, welche Mittel zur „Therapie“ zur Verfügung stehen. Oder: Welche Typen von Reglern gibt es? Streng genommen muss zwischen dem Regler und dem Regelglied getrennt werden (Bild 1). In den allermeisten Fällen bilden jedoch Regelglied und Vergleicher eine Einheit, sodass man vom Reglerverhalten sprechen kann, obwohl eigentlich nur das des Regelgliedes gemeint ist.

Bild 1. Funktionsblöcke eines Reglers

3.1 Einteilung der Regler Die Übersicht in Bild 2 beschreibt nur eine mögliche Einteilung der Grundtypen. Weitere Klassifizierungsmerkmale sind möglich und auch üblich. Beeinflusst die Regelabweichung die Stellgröße direkt, so handelt es sich um einen Regler ohne Hilfsenergie. Diese kostengünstige Anordnung ist nur für kleine Stellleistungen, -kräfte und -geschwindigkeiten geeignet.

R 21 festliegender Energiehöhe jedoch begrenzter Einwirkdauer aus. Sie werden auch schaltende Regler genannt und im technischen Alltag sehr häufig eingesetzt. Unstetige Regler sind normalerweise weniger aufwändig im Aufbau und in der Wartung als stetige. Stetigkeit im allgemeinen Sinne kennzeichnet den kontinuierlichen Verlauf eines Prozesses, einer Handlung, einer Änderung. Unstetigkeit dagegen kennzeichnet einen Verlauf, der sich in Schritten vollzieht.

3.2 Unstetige Regler am Beispiel des Zweipunktreglers Die in der Hausgeräte- und Heizungstechnik dominierenden Zweipunktregler weisen nur zwei Werte der Stellgröße auf, die Werte Ein und Aus. Kennzeichnend für ein derartiges Stellverhalten sind die Stellglieder Kontaktschalter und Magnetventil. Unter den Sammelbegriff Kontaktschalter fallen hier Grenzsignalgeber, Relais und Schaltschütze. Sie alle haben eine Gemeinsamkeit, sie operieren nicht mit Zwischenstellungen. Zweipunktregler (Bild 3 und Bild 4) sind billig und anspruchslos. Nachteilig ist der stoßartige Betrieb mit dem sprunghaften Einschalten der vollen Höhe der Stellenenergie sowie das unvermeidbare Schwanken des Istwertes um den Sollwert. Der Zweipunktregler schaltet nicht zum selben Wert der Regelgröße ein oder aus. Die Differenz der Werte der Eingangsgröße, bei denen sich die Ausgangsgröße ändert, nennt man Schaltdifferenz xsd.

Bild 3. Bimetallschalter als Zweipunktregler

Bild 2. Einteilung von Reglern Unstetige Regler üben die Stellfunktion in einer Folge von Energieimpulsen, von Einwirkzeiten mit

Bild 4. Stab-Temperaturregler

R 22 Trägheit und Beharrungsvermögen führen bei umkehrbaren Vorgängen oft dazu, dass zwischen dem zurückschreitenden und dem vorwärts schreitenden Teil des Gesamtvorganges eine Differenz entsteht, obwohl der geometrische Verlauf zumindest Ähnlichkeit aufweist. Das bekannteste Beispiel hierfür ist der Ummagnetisierungsvorgang mit der Richtungsumkehr im Wechselstrom. Dabei ist der Hystereseverlust durch die Größe der umschriebenen Fläche gekennzeichnet (Bild 5). Bei unstetigen Reglern entsteht die Hysterese durch die Umkehr des Schaltvorganges. Sie ist die richtungsbedingte Differenz der Eingangssignale, bei denen das Ausgangssignal von Ein nach Aus und von Aus nach Ein springt.

Bild 5. Kennlinie eines Zweipunktreglers Je größer die geregelte Last ist, umso stärker wirkt sich beim Ein-Aus-Verfahren der stoßartige Betrieb aus. Für die Schalteinrichtung bedeutet das ein häufiges Einschalten der vollen Last und für die Regelgröße eine große Schwankungsbreite. Bei großen Anlagen ist es vorteilhaft, nur den für die Lastschwankung vorausschaubar in Betracht kommenden Anteil im Zweipunktverfahren zu regeln und den größten Anteil der Last als Grundlast einfach durchlaufen zu lassen (Bild 6). Wichtig ist dabei die Wahl des Anteils der Grundlast. Wählt man diesen Anteil zu groß, so können größere Störungen nicht mehr ausgeregelt werden. Bei zu kleiner Grundlast entfällt weitgehend der beabsichtigte Effekt. Als Blocksymbol für den Wirkungsplan ist die Darstellung aus Bild 7 gebräuchlich.

R Regelungstechnik

Bild 7. Blocksymbol eines Zweipunktreglers

3.3 Stetige Regler Praktische Technik ist stets ein Kompromiss zwischen der Forderung nach höchster Präzision in der Erfüllung der gegebenen Aufgabe und dem wirtschaftlich vertretbaren Maß des Aufwands. Die Anwendung einer unstetigen Regelung ist immer eine derartige Kompromisslösung. Die Schwankungsbreite wird innerhalb der vertretbaren Grenzen hingenommen. Nach der Art des regelnden Eingreifens unterscheiden sich die stetigen Regler in grundlegender Weise. Da gibt es zum Beispiel eine Gruppe, die sehr schnell auf jede Änderung in der Strecke reagiert, dabei jedoch keine höchste Präzision in der Erreichung des Sollwertes erzielt. Eine andere Gruppe benötigt eine verhältnismäßig große Operationszeit, um dann aber auch ein sehr genaues Resultat zu bringen. Optimale Ergebnisse lassen sich oft nur durch die Kombination der Arten unter Inkaufnahme eines beträchtlichen gerätetechnischen Aufwandes erzielen. Regler mit P-Verhalten Der mathematisch einfachste Regler besitzt eine Stellgröße y, die mit dem Proportionalitätsfaktor KPR proportional zur Regeldifferenz e ist: y = KPR · e.

(22)

Übertragungsbeiwert Der Proportionalitätsfaktor KPR ist der Übertragungsbeiwert. Er kann aus der Steigung der Kennlinie bestimmt werden.

KPR =

∆y ∆e

Bild 8. Kennlinie eines P-Reglers Blocksymbol Als Blocksymbol für den Wirkungsplan sind die Darstellungen aus Bild 9 gebräuchlich.

Bild 6. Zweipunktregler mit Grundlast

Bild 9. Blocksymbole für P-Regler

3 Regler

R 23

Sprungantwort Auf Grund des einfachen mathematischen Zusammenhangs lässt sich die Sprungantwort eines PReglers leicht angeben (Bild 10).

Der klassische Regler mit P-Verhalten ist der von James Watt zuerst angewendete Fliehkraftregler. Die Regelgröße ist die geradlinige Hubbewegung der Gleithülse. Zwischen beiden besteht eine feste Beziehung. Jeder Wellendrehzahl entspricht eine bestimmte Lage der Fliehkraftpendel und dieser wiederum eine ganz bestimmte Stellung der Gleithülse.

Bild 13. P-Regler von James-Watt Proportionalbereich / Stellbereich KPR =

y1 y2  e1 e2

Bild 10. Sprungantwort eines P-Reglers

Frequenzgang Es lässt sich zeigen, dass für den Frequenzgang einer P-Strecke gilt G(j) = KPR .

Jeder P-Regler arbeitet nur in einem gewissen Bereich proportional. Dies wird deutlich bei der Niveauregelung (Bild 14 und Bild 15). Der Bereich des Niveaustandes, der durchfahren werden muss, um den Schieber zwischen den Stellungen geschlossen und voll geöffnet zu bewegen, ist der Proportionalbereich Xp. Innerhalb dieses Bereiches ändert sich die Stellgröße (Stellbereich Yh) proportional zur Änderung der Regelgröße.

(23)

Damit ergibt sich die Ortskurve (Bild 11). Sie ist zu einem Punkt entartet.

Bild 11. Ortskurve einer P-Strecke

Bode-Diagramm Weil für den Betrag der Frequenzantwort | G | = KPR und für die Phasenverschiebung  = 0 gilt, ergibt sich das Bode-Diagramm (Bild 12).

Bild 12. Bode-Diagramm einer P-Strecke

Bild 14. Niveauregelung mit großem Proportionalbereich Bei großem Proportionalbereich greift der Regler schwach ein. Bei kleinem Proportionalbereich greift der Regler stark ein. Sind der Proportionalbereich Xp bzw. der Stellbereich Yh bekannt bzw. durch die Regelaufgabe vorgegeben, so kann der Übertragungsbeiwert KPR berechnet werden durch KPR =

Yh . Xp

(24)

R 24

R Regelungstechnik einem höheren minimalen Ansprechdruck bei den vorgesteuerten Ventilen durch die Federspannung der Hauptstufe. In Anlagen, in denen keine großen Volumenströme und große Druckschwankungen zu erwarten sind, reicht der Einsatz eines nicht vorgesteuerten Druckbegrenzungsventil, da man stets den Proportionalbereich auswählen kann.

Bild 15. Niveauregelung mit kleinem Proportionalbereich Weitere Beispiele für P-Regler In Bild 16 und Bild 17 findet man weitere Beispiele für P-Regler.

Elektronisch

– +

∞

+

Bild 16. Operationsverstärker als Beispiel für einen P-Regler

Mechanisch

Bild 18. Kennlinien von Druckbegrenzungsventilen Regler mit I-Verhalten Beim Regler mit I-Verhalten ist die Stellgröße proportional zur Fläche, welche die Regeldifferenz e in einer bestimmten Zeitspanne t bildet. Diese Fläche wird in der Mathematik mit ∫ edt bezeichnet. Deshalb gilt: y = K IR ∫ edt . Für konstante Regeldifferenzen gilt die vereinfachte Formel y = KIR · e · t

Bild 17. Prallplatte als Beispiel für einen P-Regler

(25)

KIR · t ist der Übertragungsbeiwert K. Er wächst für t   über alle Grenzen. Als Sprungantwort erhält man daher Bild 19.

Abweichungen von der idealen Kennlinie in der Praxis In der Praxis weichen die Regler von den idealen Kennlinien (Bild 18) ab. Das wird u.a. an dem Druckbegrenzungsventil, welches zur Regelung des Drucks (vgl. Bild 17 auf Seite R6) eingesetzt wird, deutlich. Der Öffnungsdruck eines Druckbegrenzungsventils sollte möglichst unabhängig vom jeweiligen Durchfluss-Strom konstant bleiben. Ideal wäre also eine waagerechte Kennlinie. Allerdings werden mit steigendem Durchfluss Widerstände wirksam, die sich zum Einstelldruck addieren und die Regelkennlinie steigen lassen. Das Ventil kommt schließlich in den Sättigungsbereich e, in dem es nicht eingesetzt werden sollte. Vorgesteuerte Druckbegrenzungsventile haben einen flacheren Verlauf der Kennlinien c als direkt gesteuerte Ventile d. Erkauft wird dies mit

Bild 19. Sprungantwort eines I-Reglers

Frequenzgang Es lässt sich zeigen, dass für den Frequenzgang des I-Reglers gilt G(j) =

K IR K IR =−j jω ω

(26)

3 Regler

R 25

Die Funktion ist rein imaginär, d.h. die Ortskurve sieht wie Bild 20 aus.

Elektronisch

– +

Bild 20. Frequenzgang eines I-Reglers

Bode-Diagramm

∞

+

Bild 23. Operationsverstärker als Beispiel für einen I-Regler Motorgetriebenes Ventil

Mit dem Betrag des Frequenzganges |G| =

K IR

ω

und der Phasenverschiebung  mit tan () = =

Im(G ) →−∞ Re(G )

π

2 ergibt sich das Bode-Diagramm (Bild 21).

Bild 24. Motorgetriebenes Ventil als Beispiel für einen I-Regler Regler mit D-Verhalten

Bild 21. Bode-Diagramm eines I-Reglers

Blocksymbol Als Blocksymbol für den Wirkungsplan ist die Darstellung aus Bild 22 gebräuchlich.

Bild 22. Blocksymbol für I-Regler

Beispiele für I-Regler In Bild 23 und Bild 24 findet man Beispiele für I-Regler.

Beim Regler mit D-Verhalten ist die Stellgröße proportional zur Änderungsgeschwindigkeit ve der Regeldifferenz e. Für diese Geschwindigkeit gilt ve = e/t. Deshalb gilt: y = K DR ⋅

∆e ∆t

(27)

wobei KDR der Übertragungsbeiwert ist. Bei einem Eingangssprung ist die Änderungsgeschwindigkeit nur bei t = 0 von Null verschieden, d.h., es ergibt sich die ideale Sprungsantwort (Bild 25) als Impuls der Breite 0. In der Realität ergibt sich aber immer eine „abgerundete“ Kurve (Bild 26). Ein Maß für die Steilheit des Abfalls ist die Zeitkonstante TD. Im idealen Falle gilt für die Zeitkonstante TD = 0. Der Vorteil des D-Anteils liegt im schnellen Reagieren, da er änderungsgeschwindigkeitsabhängig ist.

R 26

R Regelungstechnik

tan () =

Im(G ) ω⋅ K DR = → −∞ Re(G ) 0

 2 ergibt sich das Bode-Diagramm (Bild 28).

=

Bild 25. Ideale Sprungantwort bei D-Verhalten Blocksymbol Als Blocksymbol für den Wirkungsplan ist die Darstellung aus Bild 29 gebräuchlich.

Bild 26. Reale Sprungantwort bei D-Verhalten Frequenzgang Es lässt sich zeigen, dass für den Frequenzgang des D-Gliedes gilt G(j) = j ·  · KDR. (28) Die Funktion ist rein imaginär, d.h. die Ortskurve sieht wie in Bild 27 aus.

Bild 29. Blocksymbol für D-Regler Regler mit PID-Verhalten Regler mit PID-Verhalten vereinigen die Vorteile des P-Gliedes (Genauigkeit), des I-Gliedes (keine bleibende Regelabweichung) und des D-Gliedes (Schnelligkeit). Sie sind aber schwerer zu handhaben. Der PID-Regler wird gebildet aus einer Parallelschaltung von P-, I- und D-Regler (Bild 30).

Bild 27. Frequenzgang eines D-Gliedes Bild 30. PID-Regler als Parallelschaltung Bode-Diagramm Die Gleichung für die Sprungantwort lässt sich mit den Formeln (22), (25) und (27) herleiten aus y = yp + y1 + yD = KPR · e + KIR · ∫ edt + KDR · ⋅

 K IR ∆e = KPR · 1+  K PR ∆t

K

∆e 

⋅  ∫ edt + KDR PR ∆ t 

(29)

mit den Abkürzungen K PR = Tn K IR

Bild 28. Bode-Diagramm eines D- Gliedes

und

K DR = Tv K PR

(30) und (31)

gilt Mit dem Betrag des Frequenzganges | G | =  · KDR und der Phasenverschiebung  mit

 1 y = KPR · 1+  Tn

∆e 

∫ edt +Tv ⋅ ∆ t  .

(32)

3 Regler

R 27

Tn wird Nachstellzeit und Tv wird Vorhaltezeit genannt. Dabei ist Tn diejenige Zeitspanne (Bild 31), welche bei der Sprungantwort benötigt wird, um auf Grund der I-Wirkung eine gleich große Stellgrößenänderung zu erreichen, wie sie infolge des P-Anteils entsteht. Und Tv ist diejenige Zeitspanne, um welche die Anstiegsantwort eines PD-Reglers einen bestimmten Wert der Stellgröße früher erreicht, als er infolge seines P-Anteils alleine erreichen würde.

Im

ω K PR Re

Bild 32. Frequenzgang eines PID-Reglers

Bode-Diagramm Mit dem Betrag des Frequenzganges 2

  1  | G(j) | = KPR 1+Tv ω −  Tn ω    und Phasenverschiebung  mit Im(G ) 1 tan () = = Tvω − Re(G ) Tn ω

(34)

 1    = arctanTvω −  Τnω   ergibt sich das Bode-Diagramm (Bild 33).

Bild 31. Übergangsfunktion eines PID-Reglers (real)

Frequenzgang Es lässt sich zeigen, dass für den Frequenzgang des PID-Reglers gilt G(j) = GP + GI + GD = KPR – j

K IR

ω

+ jω K DR

  K DR K 1  ω − IR ⋅  = K PR1+ j K PR ω   K PR 

Bild 33. Bode-Diagramm eines PID-Reglers Blocksymbol

Und mit den Abkürzungen von oben gilt   1  G(j) = KPR 1+ jTv ω − .  n ω   

Als Blocksymbol für den Wirkungsplan ist die Darstellung aus Bild 34 gebräuchlich. (33) Bild 34. Blocksymbol für PID-Regler

Da der Realteil konstant ist, ergibt sich eine Parallele zur Im-Achse als Ortskurve (Bild 32), welche die ReAchse bei KPR schneidet.

Beispiele für PID-Regler In Bild 35 und Bild 36 findet man Beispiele für PIDRegler.

R 28

R Regelungstechnik ■ Beispiel: für die Berechnung der Kenngrößen eines PID-Reglers Ein PID-Regler hat die Konstanten KPR = 0,225, KIR = 5 s-1, KDR = 1,25 ms. Die zugehörigen Kenngrößen sollen berechnet werden.

Elektronisch

– +

∞

+

Bild 35. Operationsverstärker als Beispiel für einen PID-Regler R KPR = r Re Tn = R r · C r Tv = R r · C e

Lösung:

Mit Tv = Tn =

K DR 1, 25 ms = = 5,56 ms und 0, 225 K PR

K PR 0, 225 s = = 45 ms erhält man. 5 K IR

für die Übergangsfunktion h(t) mit Formel (32): h(t) =

  y 1 Tv  1 5,56 m = K PR1+ ⋅t + = 0, 225⋅1+ ⋅t + e t  45 ms t  Tn 

für den Frequenzgang G(j) mit Formel (33):   1  = G(j) = KPR 1+ jTv ω − Τ n ω     

Motorgetriebenes Ventil

   1 = 51+ j 5,56 ms⋅ω − 45 ms⋅ω   .     

für den Realteil des Frequenzgangs Re(G(j)) mit Formel (33): Re(G(j)) = KPR · 1 = 0,225

für den Imaginärteil Im(G(j)) des Frequenzgangs nach Formel (33):    1  1 5,56 ms⋅ω −  = 50, 22 Im(G(j)) = KPR · Tv ω −  45 ms⋅ω  Τn ω   



Bild 36. Pneumatischer Druckregler mit verzögerter und nachgebender Rückführung zum Erzeugen des PID-Verhaltens.

für die Phasenverschiebung  nach Formel (34):   1 0, 225⋅ 5,56 ms⋅ω − 45 ms⋅ω     = = tan() = Re(G ) 0, 225 Im(G )

= 5,56 ms⋅ ω −

1 45 ms⋅ ω

3 Regler Tabelle 1. Regler

R 29

R 30

R Regelungstechnik

3 Regler

R 31

3.4 Quasistetige Regler Bisher wurden analoge Regler vorgestellt. Eine Ausnahme bildeten die Zwei- bzw. Dreipunkt-Regler. Eine andere Gruppe von Reglern wird als digitale oder quasistetige Regler bezeichnet (Bild 37). Hierbei wird der Regler durch eine elektronische Schaltung, einen Mikroprozessor, eine SPS oder einen Computer ersetzt. Das Verhalten des Reglers bestimmt ein Programm. Dadurch ergeben sich eine Reihe von Vorteilen. Durch die Programmsteuerung ist das Reglerverhalten beliebig einstellbar. Es lässt sich sogar zu verschiedenen Regelphasen ein jeweils unterschiedliches Programm fahren, das z.B. in der Anfahrphase den I-Anteil erhöht, um möglichst schnell zur Führungsgröße zu gelangen.

gebildet werden. Anhand eines im Rechner gespeicherten Programmteils, dem Regelalgorithmus (Bild 38), kann nun die Stellgrößenfolge y(kT) berechnet werden. Im Folgenden soll kurz die Berechnung der Stellgrößenfolge für einen PID-Regler vorgestellt werden.

Bild 38. Regelalgorithmus Der Übergang vom stetigen Regler zum quasistetigen wird dadurch vollzogen, dass der I-Anteil durch eine Summe und die D-Anteil durch den Differenzenquotienten ersetzt wird. So erhält man mit Formel (32):   T k−1 ∑ e(k ) −e(k −1)  (36) y(k) = KPR ·  e(k ) + Tn i=0   Bild 37. Computergesteuerte Regelung Auch ist ein beliebiger Verlauf der Regelgröße einstellbar, welcher der Regelaufgabe angemessener ist. Dadurch, dass das Reglerverhalten als Software vorliegt, ist es leicht änderbar, da einfach nur das Programm ausgetauscht werden muss. Umbauarbeiten entfallen. Durch den Einsatz von Computern ist die Möglichkeit der Vernetzung gegeben, sodass die Prozesse bzw. Daten von Ferne abgefragt oder beeinflusst werden können. Auch die Verbindung und gegenseitige Beeinflussung von Regelkreislaufen wie sie z.B. bei chemischen Prozessen oft auftreten, ist jetzt möglich. Die oft hohen Investitionskosten verlieren gegenüber den Vorteilen ständig an Bedeutung.

Diese Formel kann mittels eines Unterprogramms ausgewertet werden. Die Grundstruktur eines PIDAlgorithmus ist in Bild 39 abgebildet. P-, I-, PI- und PD-Regler werden durch Weglassen von Programmteilen gebildet. Durch die Darstellung der Formel für die Stellgröße als Programm lässt sich ein Regler durch einen Rechner ersetzen.

Idee der Programmierung Über den Analog-Digital-Umsetzer bekommt der Rechner eine Folge von Ist-Werten x(kT), dabei ist k die Nummer des Wertes und T die Abtastzeit. Im Rechner gespeichert ist die Formel für die Führungsgröße W(kT). Im einfachsten Fall ist diese eine Konstante, aber auch Funktionen sind möglich. Daraus kann für jeden Zeitpunkt die Regeldifferenz e(kT) = w(kT) – x(kT)

(35)

Bild 39. PID-Regelalgorithmus

R 32 Idee der Simulation (Bild 40) Der Einsatz von Rechnern in der modernen Regelungstechnik zeigt sich an weiteren Anwendungsfällen. Nicht bei allen Regelstrecken ist es nämlich möglich, die Stellgröße sprunghaft zu ändern, um den Verlauf der Ausgangsgröße aufzuzeichnen, damit man die Kenngrößen der Strecke ermitteln kann. Auch die direkte Untersuchung von vermaschten technischen Anlagen ist meist nicht durchführbar. Oft sind aber die Gleichungen, die diesen Prozessen zu Grunde liegen, bekannt. Diese lassen sich wiederum als Programm in einem Rechner darstellen und bearbeiten. Am Rechner lassen sich viele Versuche durchführen, aus denen dann das Verhalten der Regelstrecke und ihre Kenngrößen ermittelt werden können. Sogar Störungen, die in der Wirklichkeit nur sehr schwer oder gar nicht dargestellt werden könnten, sind hier simulierbar.

R Regelungstechnik Oft ist eine Strecke gegeben. Ihre Kennwerte müssen aber meist erst empirisch ermittelt werden. Die Ergebnisse werden entweder als Frequenzgang, im Bode-Diagramm oder in der Ortskurve dargestellt. Folgende Fragen sind zu klären:

Welche Aufgaben gibt es für den Regelkreis?

Wie findet man einen zur Strecke passenden Regler?

Welche Güte- oder Beurteilungskriterien gibt es für einen Regelkreis?

Wie kann man das Verhalten des Regelkreises beschreiben (Bild 1 und Bild 2)?

Was heißt ,optimales’ Verhalten?

Wie kann man die dazu gehörenden Parameter ermitteln?

Bild 1. Schlechtes Regelverhalten

Bild 40. Simulation einer Regelstrecke Die Güte der Simulation hängt entscheidend von der Güte der Beschreibung der tatsächlichen Verhältnisse durch die mathematischen Gleichungen ab. Je genauer diese die Wirklichkeit widerspiegeln, desto besser ist die Simulation. Und hierin liegt das Problem der Simulation. Man ist sich in vielen Fallen nicht sicher, ob man wirklich alle Einflussgrößen in den Gleichungen berücksichtigt hat, ob nicht die Vereinfachungen, die man notgedrungen machen musste, die Wirklichkeit doch zu stark verzerren.

Bild 2. Gutes Regelverhalten

4.1 Beurteilungskriterien Die Aufgaben und Einsatzgebiete von Regelkreisen sind vielfältig, jedoch müssen von jedem Kreis drei unterschiedliche Aufgaben bewältigt werden.

Anfahrverhalten (Bild 3)

4 Zusammenwirken zwischen Regler und Strecke In den vorigen Abschnitten wurden die Grundglieder von Strecken und Reglern einzeln behandelt. Aufgabe der Regelungstechnik ist, für eine meist vorgegebene Strecke ein der Aufgabe gemäß passenden Regler auszuwählen und seine Parameter für ein optimales Regelverhalten einzustellen.

Die Regelgröße x soll nach dem Einschalten den Sollwert erreichen. Dies kann auf unterschiedliche Art und Weise geschehen. So ist es bei der einen Regelaufgabe zulässig, dass der Sollwert auch kurzfristig überschritten wird (z.B. Temperaturregelung), bei einer Drehmaschine ist dies sicherlich unerwünscht. In einem anderen Fall kann es darauf ankommen, den Sollwert möglichst schnell zu erreichen.

R 32 Idee der Simulation (Bild 40) Der Einsatz von Rechnern in der modernen Regelungstechnik zeigt sich an weiteren Anwendungsfällen. Nicht bei allen Regelstrecken ist es nämlich möglich, die Stellgröße sprunghaft zu ändern, um den Verlauf der Ausgangsgröße aufzuzeichnen, damit man die Kenngrößen der Strecke ermitteln kann. Auch die direkte Untersuchung von vermaschten technischen Anlagen ist meist nicht durchführbar. Oft sind aber die Gleichungen, die diesen Prozessen zu Grunde liegen, bekannt. Diese lassen sich wiederum als Programm in einem Rechner darstellen und bearbeiten. Am Rechner lassen sich viele Versuche durchführen, aus denen dann das Verhalten der Regelstrecke und ihre Kenngrößen ermittelt werden können. Sogar Störungen, die in der Wirklichkeit nur sehr schwer oder gar nicht dargestellt werden könnten, sind hier simulierbar.

R Regelungstechnik Oft ist eine Strecke gegeben. Ihre Kennwerte müssen aber meist erst empirisch ermittelt werden. Die Ergebnisse werden entweder als Frequenzgang, im Bode-Diagramm oder in der Ortskurve dargestellt. Folgende Fragen sind zu klären:

Welche Aufgaben gibt es für den Regelkreis?

Wie findet man einen zur Strecke passenden Regler?

Welche Güte- oder Beurteilungskriterien gibt es für einen Regelkreis?

Wie kann man das Verhalten des Regelkreises beschreiben (Bild 1 und Bild 2)?

Was heißt ,optimales’ Verhalten?

Wie kann man die dazu gehörenden Parameter ermitteln?

Bild 1. Schlechtes Regelverhalten

Bild 40. Simulation einer Regelstrecke Die Güte der Simulation hängt entscheidend von der Güte der Beschreibung der tatsächlichen Verhältnisse durch die mathematischen Gleichungen ab. Je genauer diese die Wirklichkeit widerspiegeln, desto besser ist die Simulation. Und hierin liegt das Problem der Simulation. Man ist sich in vielen Fallen nicht sicher, ob man wirklich alle Einflussgrößen in den Gleichungen berücksichtigt hat, ob nicht die Vereinfachungen, die man notgedrungen machen musste, die Wirklichkeit doch zu stark verzerren.

Bild 2. Gutes Regelverhalten

4.1 Beurteilungskriterien Die Aufgaben und Einsatzgebiete von Regelkreisen sind vielfältig, jedoch müssen von jedem Kreis drei unterschiedliche Aufgaben bewältigt werden.

Anfahrverhalten (Bild 3)

4 Zusammenwirken zwischen Regler und Strecke In den vorigen Abschnitten wurden die Grundglieder von Strecken und Reglern einzeln behandelt. Aufgabe der Regelungstechnik ist, für eine meist vorgegebene Strecke ein der Aufgabe gemäß passenden Regler auszuwählen und seine Parameter für ein optimales Regelverhalten einzustellen.

Die Regelgröße x soll nach dem Einschalten den Sollwert erreichen. Dies kann auf unterschiedliche Art und Weise geschehen. So ist es bei der einen Regelaufgabe zulässig, dass der Sollwert auch kurzfristig überschritten wird (z.B. Temperaturregelung), bei einer Drehmaschine ist dies sicherlich unerwünscht. In einem anderen Fall kann es darauf ankommen, den Sollwert möglichst schnell zu erreichen.

4 Zusammenwirken zwischen Regler und Strecke

R 33

Bild 3. Anfahrverhalten bei einem Stellsprung

Führungsverhalten (Bild 4) Der Regelkreis muss auf eine Veränderung der Führungsgröße W mit einer Änderung der Regelgröße x reagieren. Vom Einfluss einer Störgröße wird hier im Allgemeinen abgesehen.

Bild 6. Stabilität

4.2 Regelung mit stetigen Reglern Mathematische Grundlagen Regler und Strecke (Bild 7) sind im Wirkungsplan in ihrem Zusammenhang durch Angabe des Frequenzganges darstellbar. Daraus lässt sich dann eine Gleichung für die Regelgröße x aufstellen.

Bild 4. Führungsverhalten

 e     w − x)⋅G R + z ⋅G s = x  ( 

    y

(37)

Störverhalten (Bild 5) Tritt eine Störung z auf, so soll die Regelgröße x möglichst schnell und fehlerfrei den alten Wert annehmen, den sie vor der Störung hatte. Hierbei wird meist von einer konstanten Führungsgröße ausgegangen.

Bild 7. Regelkreis mit GR und Gs Nach x aufgelöst ergibt sich x=

G R GS 1+ G R GS

w+

GS 1+ G R GS

z.

(38)

Hieraus lässt sich eine Gleichung für das Führungsund Störverhalten ableiten: Bild 5. Störverhalten Zu diesen allgemeinen Aufgaben kommt noch ein weiterer Begriff, der zur Beurteilung des Regelkreises wichtig ist.

Stabilität (Bild 5) Damit ist die Eigenschaft eines Regelkreises gemeint, aus einem schwingenden Verhalten nach einer gewissen Zeit zu einem stabilen Zustand zu gelangen, d.h., falls eine Schwingung vorliegt, muss sie eine abklingende Amplitude aufweisen.

Führungsverhalten (z = 0) x 1 = G G w 1+ G R GS R S

(39)

Störverhalten (w = 0) x 1 = G z 1+ G R GS S

(40)

Ebenso lässt sich hieraus eine Gleichung für die bleibende Regelabweichung (Bild 8) ermitteln.

R 34

R Regelungstechnik

 G G GS R S e=w–x=w–  1+ G G w+ 1+ G G  R S R S

=

1 1 w− G ⋅z 1+ G R GS 1+ G R GS S

 z = 

(41)

Für z = 0, also für den Fall, dass keine Störung vorliegt, ergibt sich eine bleibende Regelabweichung xb.

Bild 9. Regelkreis an der Stabilitätsgrenze Bild 8. Bleibende Regelabweichung

xb =

1 w 1+ G R GS

Stabilitätsuntersuchung mit der Ortskurve

(42)

In der Ortskurve (Bild 10) ist +1 auf der reellen Achse der Punkt, an dem die beiden Stabilitätsbedingungen erfüllt sind. Schneidet nun der Frequenzgang G0 = – GRGS

1 Die Größe wird Regelfaktor R genannt. 1+ G R GS

Er kommt in der Gleichung für die bleibende Regelabweichung und in denen für das Stör- und Führungsverhalten vor.

(46)

die reelle Achse links von dem Punkt, so ist der Regelkreis stabil, rechts davon ist er instabil. Dieses Kriterium wird das vereinfachte Nyquist-Kriterium genannt.

Stabilitätsuntersuchungen Ein Regelkreis hat dann seine Stabilitätsgrenze (Bild 9) erreicht, wenn bei sinusförmigem Eingang y(t) für die Regelgröße x(t) gilt x(t) = y(t),

(43)

d.h. insbesondere für die Amplituden y^ , x^ und den Phasenwinkel  yˆ V0 = =1 und  = n · 2 xˆ

(44)

denn in diesem Fall schwingt die Regelgröße genau wie die Stellgröße und zwar amplituden- und phasengleich, d.h. es findet bei der Regelgröße weder ein Abklingen noch ein Aufschwingen statt. Die Bedingungen yˆ = 1 und  = n · 2 xˆ

nennt man Stabilitätsbedingungen.

(45)

Bild 10. Stabilitätskriterien bei der Ortskurve Stabilitätsuntersuchung mit dem Bode-Diagramm Addiert man nämlich grafisch der Frequenzgangsbeträge | GR| und | GS| (das entspricht wegen der logarithmischen Teilung einer Multiplikation), so erhält man – G0. Addiert man die Phasenverschiebungen R und S und realisiert die Vorzeichenumkehr durch Addition von , so erhält man 0 (Bild 11). Der kritische Punkt PK ist nun der Punkt, bei dem der Phasengang 0 die  -Achse schneidet ( = 0). Im Frequenzgang wird nun nachgesehen, welchen Wert | G0| hat. Ist dieser Wert < 1, so ist der Regelkreis stabil, ist er > 1, instabil.

4 Zusammenwirken zwischen Regler und Strecke

R 35 Für die PT1-Strecke gilt nach Formel (17): K PS 2 GS = = 1+ jωT1 1+ jω⋅0, 2s sowie daraus | GS| =

2 1+ ω 2 ⋅0, 04s 2

und 

1     0, 2s⋅ω 

 = arctan  −

Für den Regler gilt nach Formel (23) : und damit | GR| = 2,5 und  = 0. Offensichtlich ist der Schwingkreis strukturstabil, da er Phasengang die -Achse nirgends schneidet.

Bild 11. Stabilität im Bode-Diagramm Weitere Parameter Weitere, oft bei der Beurteilung eines Regelkreises herangezogene Werte sind

Anregelzeit Tan

Ausregelzeit Taus

Überschwingweite xü An- und Ausregelzeit (Bild 12) beginnen, wenn der Wert der Regelgröße nach einem Eingangssprung einen vorgegebenen Toleranzbereich der Regelgröße verlässt. Die Anregelzeit endet, wenn der Wert in diesen Bereich erstmals wieder eintritt, die Ausregelzeit, wenn er in diesen Bereich dauerhaft wieder eintritt. Die Überschwingweite ist die größte vorübergehende Sollwertabweichung. Bild 13. Bode-Diagramm b) Untersuchung der Stabilität mithilfe des Nyquist-Kriteriums Mit den Herleitungen von a) gilt nach Formel (46) für den Frequenzgang des Regelkreises: 2 5 = = G0 = – GRGS = – 2,5 · 1+ jω⋅0, 2 1+ jω⋅0, 2 =

−5 ω +j 1+ jω 2 ⋅0, 042 1+ jω 2 ⋅0,04s 2

Damit ergibt sich die Ortskurve in Bild 14, woraus ersichtlich wird, dass der Regelkreis strukturstabil ist, denn die Ortskurve schneidet die Re-Achse links von +1.

Bild 12. An- und Ausregelzeit, Überschwingweite ■ Beispiel: für eine Berechnung an einer PT1-Strecke

Gegeben ist eine PT1-Strecke, für die der dimensionslose Proportionalbeiwert KPS und die Zeitkonstante T1 durch Messungen bekannt sind: KPS = 2, T1 = 0,2 s. Diese Strecke soll mit einem PRegler, der auf KPS = 2,5 eingestellt ist, geregelt werden. Der Sollwert soll 100 betragen. Es soll eine Aussage zur Stabilität gemacht werden. Lösung: a) Untersuchung der Stabilität mithilfe des Bode-Diagramms (Bild 13)

Bild 14. Ortskurve

R 36

R Regelungstechnik

Kriterien für die Reglerauswahl Nachdem nun in den vorhergehenden Kapiteln die Komponenten eines Regelkreises vorgestellt und die Beurteilungskriterien für die Güte und die Stabilität angesprochen wurden, ist es nun möglich, die zu einzelnen Strecken geeigneten Regler zu suchen und Richtlinien für deren Einstellung zu finden. Dabei sollen die Vor- und Nachteile der einzelnen Kombinationen deutlich werden. Der Prozess der Reglerauswahl geschieht meist nach dem Schema in Bild 15. Aus den regelungstechnischen Anforderungen des technologischen Prozesses und den – zu ermittelnden – Kenndaten der Strecke wird der für diese Aufgabe geeignete Regler ausgewählt Die Parameter dieses Reglers werden dann zunächst grob und in der Optimierungsphase fein eingestellt.

Bild 16. I-Strecke und P-Regler

Bild 17. Führungsverhalten Das Führungsverhalten (Bild 17) zeigt T1-Verhalten (vgl. Formel (39)(39)) x = w

1 1+ jω

1 K PR K IS

mit T1 =

1 . K PR K IS

T1   −  2 Es strebt mit einer abklingenden e-Funktion  1− e  der Füh  rungsgröße zu. T1 kann verkleinert werden, wenn KPR größer gewählt wird. Eine bleibende Regelabweichung tritt nicht auf. Für das Störverhalten (Bild 18) gilt nach Formel (40) 1 x K PR = 1 z 1+ jω K PR K IS

Bild 15. Auswahl und Einstellung eines Reglers

Auch hier liegt wieder T1- Verhalten vor, wobei der Einfluss der Störgröße mit 1/KPR reduziert wird, d.h. mit ausreichend großem KPR kann man den Einfluss der Störung beliebig klein halten, aber nicht ganz ausregeln.

Im ersten Schritt muss also ermittelt werden, welcher Regler zu welcher Strecke passt und welche Eigenschaften diese Kombination hat. Eine Übersicht zeigt die Tabelle 3. ■ Beispiel: für die Herleitung eines Feldes

Für eine Kombination aus I-Strecke und P-Regler (Bild 16) aus Tabelle 3 soll hier exemplarisch ihr Inhalt hergeleitet werden.

Bild 18. Störverhalten

Lösung:

K IS In diesem Falle gilt mit Formel (23) (GR = KPR), (15) (GS = ) jω

und Formel (41) also K PR K IS K IS ⋅w+ ⋅z = x=   K PR K IS  K PR K IS      jω1+ jω1+   jω  jω   

=

1 1 1+ jω K PR K IS

⋅w+

1 K PR

1 1+ jω K PR K IS

⋅z

Stabilität Da G0 = – GRGS = = – KPR ·

K IS K PR ⋅ K IS = j⋅ ω jω

gilt, die Ortskurve (Bild 19) sich also auf der imaginären Achse befindet, ist das System strukturstabil. Also kann man die oben gestellte Forderung, dass KPR groß gewählt werden muss, ohne Stabilitätsprobleme erfüllen.

4 Zusammenwirken zwischen Regler und Strecke

R 37

In Tabelle 1 sind die Eigenschaften einiger wichtiger Kombinationen aufgeführt. Die Angaben in den Zeilen sind von links nach rechts zu lesen, da man in den meisten Fällen versuchen wird, einen möglichst einfachen Regler zu finden. Erst wenn dieser die Regelaufgabe nicht befriedigend löst, wird man einen anderen Regler wählen. Bild 19. Ortskurve Tabelle 1. Kombination von Regler und Strecke

R 38

R Regelungstechnik

Einstellregeln Sind die Kenngrößen der Strecke unbekannt oder ist der mathematische Aufwand für die exakte Betrachtung zu groß, gibt es ein experimentelles Näherungsverfahren von Ziegler und Nichols, das es gestattet, die Reglereinstellung zu ermitteln. Voraussetzung ist, dass der Kreis zu Schwingungen angeregt werden kann. Dann verfährt man nach dem im Bild 20 beschrieben Verfahren in Verbindung mit der Tabelle 2.

Tabelle 2. Einstellregeln Regler

zu verstehen. Die Reglereinstellung ist den Anforderungen der Aufgabe entsprechend noch zu verbessern.

4.3 Regelung mit Zweipunktreglern (Bild 21) Die Auslegung von Zweipunktreglern erfolgt prinzipiell nach den gleichen Gesichtspunkten. Der Zweipunktregler ist mit einem P- Regler vergleichbar. Um den Verlauf der Regelgröße zu bestimmen, kann man jedoch in einfachen Fällen ein grafisches Verfahren anwenden. Aus der Kurve können dann auch die Kenngrößen abgelesen werden.

Kenngrößen

P-Regler

KPR = 0,5 KPR

krit

PD-Regler

KPR = 0,8 KPR

krit

Tv = 0,12 Tkritt PI-Regler

KPR = 0,45 KPR

krit

Tn = 0,83 Tkritt PID-Regler

KPR = 0,6 KPR

Bild 21. Regelung mit Zweipunktregler

krit

Tn = 0,5 Tkritt Tv = 0,125 Tkritt

Ausgangspunkt ist die – experimentell aufgenommene – Sprungantwort der Strecke. Links daneben zeichnet man, um –90º gedreht, die Kennlinie des Reglers. Unter die Sprungantwort zeichnet man ein Koordinatensystem für die Stellgröße. Dann lässt sich der Verlauf der Regelgröße konstruieren, indem man die Kennlinie mit der Sprungantwort kombiniert. ■ Beispiel:

für die Ermittlung des Verlaufs der Regelgröße für einen Zweipunktregler an einer PT1-Strecke mit Totzeit (Bild 22) PT1-Strecke mit Totzeit Tt; Zweipunktregler mit Schaltdifferenz xsd.

Lösung:

Bild 20. Verfahren nach Ziegler und Nichols

Der Vorteil dieses Verfahrens ist leicht einzusehen, der mathematische Aufwand ist sehr gering. Jedoch sind die erzielten Ergebnisse nur als Näherungswerte

Ohne Regler würde die Regelgröße x nach dem Einschalten verzögert nach einer e-Funktion mit der Zeitkonstanten T1 auf den Endwert xmax ansteigen. Wird der Sollwert auf w eingestellt, so ist nach dem Einschalten zunächst x = 0 und e = w – x = w. Daher schaltet der Zweipunktregler ein und die Regelgröße steigt gemäß der Einschaltkurve an. Infolge der Schalthysterese schaltet der Zweipunktregler bei Erreichen von w noch nicht ab, sondern erst bei x = xob. Wegen der Totzeit reagiert die Strecke nicht sofort, sondern erst nach Verlauf von Tt. Nach dieser Zeit fällt die Regelgröße entsprechend der Ausschaltkurve (die übrigens nicht die gleiche Zeitkonstante haben muss wie die Einschaltkurve, hier wird aber davon ausgegangen) bis auf x = xu. Dann wird der Regler wieder eingeschaltet. Wiederum reagiert die Strecke erst nach Tt.

4 Zusammenwirken zwischen Regler und Strecke

R 39

Bild 22. Ermittlung des Regelgrößenverlaufs

Aus dem sich ergebenden Verlauf der Regelgröße lassen sich einige allgemeine Hinweise für den Einsatz von Zweipunktreglern ableiten:

Eine Verkleinerung der Schaltdifferenz xsd erzeugt auch eine kleinere Schwankungsbreite, was häufig erwünscht ist. Damit wird aber eine höhere Schaltfrequenz in Kauf genommen und damit eine kürzere Lebensdauer des Reglers.

Eine Verkleinerung der Zeitkonstante T1 bringt nur eine Verringerung der Periodendauer und damit der Frequenz.

Die Verkleinerung der Totzeit hat ebenfalls direkten Einfluss auf die Schwingungsweite und die Schaltfrequenz. Die Lage des Sollwerts – und das ist neu hier – hat ebenfalls Einfluss auf die Schaltfrequenz. In Bild 23 ist der Verlauf der Regelgröße für verschiedene Sollwerte w eingezeichnet. Man sieht, dass für w = 0,5 xmax die höchste Schaltfrequenz auftritt. Wird w vergrößert oder verkleinert, wird die Schaltfrequenz jeweils kleiner. Zu sehen ist auch, dass die Anfahrphase bei großem w wesentlich länger dauert als bei kleinem. Aber etwas anderes ist entscheidender. Wenn w 50 % von xmax beträgt, ist keine bleibende Regelabweichung vorhanden. Das ist der große Vorteil dieser speziellen Lage. Diese lässt sich durch Einführung einer sog. Grundlast erreichen. Soll w bei 70 % von xmax liegen und die Schwankungsbreite  10 % von xmax betragen, so wird man eine Grundlast so auslegen, dass der ungeregelte Teil des Kreises 40 % von xmax beträgt.

Bild 23. Lage des Sollwertes Dann liegt nämlich der Sollwert in der Mitte des geregelten Bereichs. Dadurch wird erreicht, dass sich neben anderen Vorteilen keine bleibende Regelabweichung einstellt und die stoßweise Belastung des Kreises merklich kleiner wird. Großer Nachteil ist aber das ungünstige Störverhalten. Die Grundlast schränkt den Wirkungsbereich des Reglers ein. Sie muss auch bei jeder Änderung der Führungsgröße neu eingestellt werden. Auch die Rückführung verbessert das Verhalten des Zweipunktreglers. Die Idee dabei ist, dass man den Regler bereits vor Erreichen des Sollwertes abschaltet

R 40

R Regelungstechnik

bzw. wieder einschaltet. Durch geeignete Bemessung der Rückführung wird die Schwankungsbreite oft erheblich reduziert.

4.4 Regelung mit einer SPS (Bild 24) Als Sonderfall der digitalen Regelung kann man eine SPS als Regler einsetzen. Die Regelgröße wird auch hier in bestimmten Zeitabständen TA abgetastet und in Form eines Zahlenwertes bis zur nächsten Abtastung gespeichert. Als Konsequenz ergibt sich hier, dass auch die vom Regler ermittelte Stellgröße y für die Dauer der Abtastzeit auf dem gleichen Wert bleiben muss.

Abtastung des Ist-Wertes

Bild 24. Regelung mit einer SPS

Bild 25. Funktionsbaustein zur Druckregelung Soll- und Istwert werden über die Analogbaugruppen PEW 272 und PEW 276 abgefragt. Der Ausgang A5.0 gibt das Stellsignal, das z.B. die Pumpe ein- und ausschaltet. Die Hysterese von hier 60 bar und die Abtastzeit von hier z.B. 5 s werden als Merkerwerte (digital) abgespeichert. Damit lautet der grundlegende Gedanke des Regelalgorithmus für den Zweipunktregler (Bild 26): Ist der Istwert der Regelgröße x kleiner als die festgelegte untere Schaltschwelle, dann muss die Stellgröße y = 1 werden. Ist der Istwert der Regelgröße x größer als die festgelegte obere Schaltschwelle, dann muss die Stellgröße y = 0 werden. Liegt der Istwert der Regelgröße x zwischen der unteren und der oberen Schaltschwelle, dann bleibt die Stellgröße y unverändert. Das zugehörige SPS-Programm ist stark hardwareabhängig und wird deshalb hier nicht aufgeführt.

Soll- und Istwerte können über eine Analogbaugruppe abgefragt werden. Mit einer SPS können sowohl stetige Regler als auch unstetige Regler realisiert werden. Für unstetige Regler stehen die bekannten binären Signalausgänge und für stetige Regelungen entsprechende Analogausgänge zur Verfügung. ■ Beispiel für eine Druckregelung mit einer SPS als Zweipunktregler In der Anlage soll der Druck am Presszylinder zur Erhöhung der Zuverlässigkeit auf einen Wert von 300 bar  10% eingestellt werden. Dieses soll zusätzlich zur Druckregelung im Hydraulikaggregat durch eine SPS realisiert werden. Lösung Der einzusetzende Funktionsbaustein hat folgende Ein- und Ausgänge (Bild 25):

Bild 26. Regelalgorithmus

3 Arbeitsvorbereitung und Arbeitsplanung

S 41

2.6.6 Baustellenfertigung Die Baustellenfertigung unterscheidet sich von den genannten Arbeitsablaufprinzipien grundsätzlich dadurch, dass der Arbeitsgegenstand ortsgebunden ist und dass Betriebsmittel sowie Menschen und Material gleichzeitig oder in zeitlicher Folge an den Arbeitsgegenstand oder das Projekt herangebracht werden müssen. Als Varianten der Baustellenfertigung können das Wanderfertigungsprinzip (z. B. Gleisbauarbeiten, Kabelverlegen, Abbau von Kohle oder Erz, Straßenbau) und das Förderprinzip (z. B. Transporte mittels Fördermitteln einschl. Be- und Entladen) definiert werden.

3 Arbeitsvorbereitung und Arbeitsplanung Die Arbeitsvorbereitung im klassischen Sinn bezieht sich auf den Bereich der Fertigung und Montage. Die Aufgaben der Arbeitsvorbereitung werden in Bild 24 beschrieben. Das Ziel besteht darin, ein bestmögliches wirtschaftliches Arbeitsergebnis zu erreichen.

Die Realisierung erfolgt grundsätzlich in zwei meist auch organisatorisch getrennten Aufgabenbereichen, die als Arbeitsplanung und Arbeitssteuerung (auch Produktionsplanung und -steuerung (PPS) oder Fertigungsplanung und -steuerung genannt) bezeichnet werden. Die Aufgaben der Arbeitsplanung werden gemäß Bild 25 in Funktionen und Unterfunktionen gegliedert. In der Arbeitsablaufplanung wird für jedes einzelne Element der Erzeugnisgliederung die Reihenfolge der Arbeitsvorgänge festgelegt. Bei häufig wiederkehrenden Arbeitsvorgängen werden in der Methodenplanung technologische Verfahren und organisatorische Abläufe festgelegt bzw. entwickelt. Die Arbeitsstättenplanung reicht von der Planung einer Fabrik über die Werkstättenplanung bis hin zur Gestaltung einzelner Arbeitsplätze. Die Arbeitsstättenplanung kann organisatorisch auch parallel zur Arbeitsvorbereitung angeordnet sein, wobei ihr dann oft die Instandhaltung übertragen ist.

ARBEITSVORBEREITUNG Die Arbeitsvorbereitung umfaßt alle umfasst alleMaßnahmen Maßnahmender der methodischen Arbeitsplanung und Arbeitssteuerung mit dem Ziel, ein Optimum aus Aufwand und Arbeitsergebnis zu erreichen.

ARBEITSPLANUNG Die Arbeitsplanung umfaßt umfasst alle einmalig auftretenden Planungsmaßnahmen, welche unter ständiger Berücksichtigung der Wirtschaftlichkeit die fertigungsgerechte Gestaltung eines Erzeugnisses oder die ablaufgerechte Gestaltung einer Dienstleistung sichern.

ARBEITSSTEUERUNG Die Arbeitssteuerung umfasst alleMaßnahmen, Maßnahmen, umfaßt alle die für eine der Arbeitsplanung entsprechende Auftragsabwicklung erforderlich sind.

Bild 24. Definition der Arbeitsvorbereitung und ihre Bestandteile (REFA)

S 42

S Betriebswirtschaft Arbeitsablaufplanung Arbeitsstättenplanung Arbeitsmittelplanung

Arbeitsplanung

Arbeitszeitplanung Bedarfsplanung je Einheit Arbeitsfristenplanung Arbeitskostenplanung

Erzeugnisgliederung Arbeitsvorgangsplanung Methodenplanung Fabrikplanung Werkstätten- und Bereichsplanung Arbeitsplatzgestaltung Maschinen, Anlagen, Einrichtungen Werkzeuge, Vorrichtungen, Lehren Sonderarbeitsmittel (Spezialmaschinen) Planzeitwertermittlung Vorgabezeitermittlung Materialbedarf je Einheit Arbeitsmittelbedarf je Einheit Arbeitskräftebedarf je Einheit Fristenermittlung Stat. Ermittlung der Durchlaufzeit Materialkosten je Einheit Arbeitsmittelkosten je Einheit Lohnkosten je Einheit

Bild 25. Aufgliederung der Arbeitsplanung in Funktionen und Unterfunktionen (REFA) Im Funktionsbereich Arbeitsmittelplanung werden für jedes Werkstück die jeweiligen Arbeitsmittel bestimmt. Dies beinhaltet sowohl Maschinen und Anlagen, als auch Lager und Transporteinrichtungen. Zusätzlich werden Werkzeuge, Vorrichtungen, Lehren, Schablonen, Gesenke, (Guss- und Spritz-) Formen sowie eventuelle Spezialmaschinen festgelegt. In der Arbeitszeitplanung werden die Zeiten für die Ausführung der einzelnen Arbeitsschritte ermittelt. Die Planzeiten betreffen nicht genau zu planende Arbeiten, wie z. B. Reparaturen oder Montagearbeiten an großen Objekten. Im Gegensatz dazu bezieht sich die Vorgabezeit auf gut zu berechnende Arbeitsgänge. Der gesamte Arbeitsvorgang wird dabei in Arbeitselemente oder Arbeitsabläufe zerlegt, woraus auch die Arbeitsbewertung erfolgen kann. Die Bedarfsplanung je Einheit hat die Aufgabe, Material, Arbeitsmittel und Arbeitskräfte nach Art und Menge zu bestimmen. Hierbei gilt es, für diese drei Bereiche die jeweils wirtschaftlich günstigen Lösungen zu ermitteln. Die Arbeitsfristenplanung dient als Bindeglied zur Arbeitssteuerung. Hierbei wird aus statistischen Erhebungen die Durchlaufzeit für Werkstücke, Baugruppen und Erzeugnisse zur Angebots- und Auftragsterminplanung ermittelt. In der Arbeitskostenplanung werden aus den Kosten für Material, Arbeitsmitteln und Arbeitskräften entsprechend der Bedarfsplanung die Herstellkosten ermittelt. Das Ergebnis der Arbeitsplanung wird im Arbeitsplan dokumentiert. Man unterscheidet dabei zwischen

Basis- oder Stamm-Arbeitsplan (auftragsunabhängig, auch neutraler Arbeitsplan genannt) und AuftragsArbeitsplan (auftragsabhängig). Der Auftrags-Arbeitsplan enthält zusätzliche Auftragsdaten, wie Stückzahl, Auftragsnummer (und oder Kunde), Fertigstellungstermin und Prioritätskennziffer. Die Arbeitsplanung erstellt jedoch nur den Basis-Arbeitsplan.

3.1 Arbeitsplanerstellung Bild 26 zeigt den Grobablauf bei einer konventionellen Arbeitsplanerstellung ohne Einsatz eines DVSystems. Ausgehend von Zeichnungen und zugehörigen Stücklisten wird zuerst das Rohmaterial bestimmt und anschließend die Reihenfolge der erforderlichen Fertigungsverfahren. Zusätzlich wird dabei jedem Arbeitsvorgang die entsprechende Fertigungseinrichtung (Maschine, Anlage, Arbeitsplatz) zugeordnet sowie die Vorgabezeit ermittelt. Der so entstandene Arbeitsplan ist auftrags- und terminneutral. Um die kostengünstigste Lösung bei der Rohmaterialfestlegung zu finden, müssen die vom Unternehmen beherrschten Fertigungsverfahren und die geplante Stückzahl herangezogen werden. Alternative Ausgangsmaterialien mit den erforderlichen Bearbeitungen zeigt Bild 27. Daran anschließend erfolgt eine Gegenüberstellung der in Frage kommenden Rohteilformen, bezüglich der Herstellkosten in Abhängigkeit von der Stückzahl. Aus Bild 28 ergibt sich, dass das Gussstück für die Planstückzahl die niedrigsten Herstellkosten hat.

3 Arbeitsvorbereitung und Arbeitsplanung

S 43

Zur Bestimmung der Arbeitsvorgangsfolge (Bild 30) werden das Rohteil und das Fertigteil gegenübergestellt und die einzusetzenden Fertigungsverfahren ermittelt. Dabei richtet sich der Arbeitsplaner nach Arbeitsplänen ähnlicher Werkstücke, nach im Unternehmen vorhandenen Richtlinien, und er geht aufgrund seiner Erfahrung aus Planungsvorgängen der Vergangenheit vor. Um aus den alternativen Fertigungsverfahren das Kostengünstige zu ermitteln, wird in der Praxis häufig auf Relativkostenkataloge zurückgegriffen. Außerdem werden die im Unternehmen vorhandenen Maschinen berücksichtigt, wobei auch Aufstellungsort und technische Eigenschaften bei Maschinen gleicher Funktion unterschieden werden. Im Anschluss erfolgt dann die Festlegung der Reihenfolge der Arbeitsvorgänge. Wichtige Angaben im Arbeitsplan bei jedem Arbeitsgang: 1) Arbeitsgangbeschreibung (-text) 2) Arbeitsplatz/Maschinengruppe 3) Rüstzeit tr 4) Zeit je Einheit te 5) Lohngruppe 6) Betriebsmittel (Vorrichtungen, Schablonen, Prüfmittel) Wichtige Angaben im Arbeitsplankopf: 1) Teile-Nummer/Zeichnungsnummer und PositionsNummer 2) Teilebenennung 3) Halbzeug Bild 26. Ablauf einer Arbeitsplanerstellung (Wiendahl)

Zusätzliche Angaben im Auftragsarbeitsplan: 1) Auftrags-Nummer/Kunde 2) Losmenge 3) Solltermin

Konstruktionsebene

Materialebene

Fertigteil - Stückzahl und Form

Stange

Sägen Arbeitsablaufebene

Univers. drehen

Rohr

Sägen

Revolverdrehen

Univers. drehen

Blech

Guss Guß

Brennen

Revolverdrehen

Univers. drehen

Univers. drehen

Gleicher Zwischenzustand

Kalkulationsebene

Kostenvergleich Optimales Rohmaterial

Bild 27. Einflussbereiche der Rohmaterialbestimmung (Wiendahl)

S 44

S Betriebswirtschaft

Herstellkosten/ Stück

Guß Guss Blech

Stange

1

geplante Stückzahl

Planstückzahl

Bild 28. Qualitativer Verlauf der Herstellkosten/Stück bei Verwendung verschiedener Rohmaterialien (Wiendahl)

Zeichnungsdaten

Auftragsdaten

Stücklistendaten

Arbeitsplandaten

Datenverwaltung

Termin-, Kapazitätsplanung; Disposition

Arbeitsunterlagenerstellung

Kalkulation

Langfristige Planungsaufgaben

Arbeitsplanstammsatz

Terminierung der Arbeitsgänge

Auftragsarbeitspapiere

Vorkalkulation

Fabrikplanung

Stücklistenebene: Rohmaterial

Kapazitätsbedarf an Maschinen u. Personal

Arbeitsunterweisung

Mitlaufende Kalk. (Planstandsermittlung)

Personalplanung

Materialnachweise

Materialdisposition

Lohnbelege

Nachkalkulation

Betriebsmittelplanung

Maschinennachweis

Betriebsmittelplanung und -beschaffung

Betriebsmittelbereitstelllisten

Nacharbeits-, Ausschußbewertung

MaterialflußMaterialflussuntersuchung untersuchung

Werkzeugnachweis

Materialbereitstelllisten

Vorrichtungsnachweis

Rückmeldung

Bild 29. Verwendung Arbeitsplandaten in anderen Bereichen (Wiendahl)

Lagerplanung

3 Arbeitsvorbereitung und Arbeitsplanung

Stange, gewalzt

S 45 Parameter: - Form - Maße - Werkstoff

Ausgangszustand

AG 1: sägen AG 2: drehen AG 3: fräsen AG 4: bohren AG 5: schleifen

- Arbeitspläne ähnlicher Werkstücke Planungsablauf: - Gegenüberstellung Fertigzustand / Ausgangszustand - Suche alternativer Verfahren - Wirtschaftlichkeitsvergleich - Festlegung Arbeitsvorgänge - Zuordnung von Maschinen und Betriebsmittel

- Know-How des Arbeitsplaners - Richtlinien - Beispielsammlung - Standardarbeitspläne

Arbeitsvorgänge

- Relativkostenkataloge

Hilfsmittel Parameter: - Form - Maße - Toleranzen - Oberflächenzustand

Fertigzustand

Bild 30. Ablauf und Hilfsmittel zur Ermittlung der Arbeitsgangfolge (Wiendahl)

3.2 Datenermittlung Wenn im Arbeitsstudium von Daten gesprochen wird, so sind damit 1. Zeiten für Ablaufabschnitte, 2. Einflussgrößen, von denen die Zeiten für Ablaufabschnitte abhängen, 3. Bezugsmengen, auf die sich die Zeit bezieht und 4. Daten für Arbeitsbedingungen gemeint. Die Zeit für die Ausführung eines bestimmten Ablaufabschnittes hängt von der Person, vom Arbeitsverfahren, von der Arbeitsmethode und von den

Arbeitsbedingungen ab. Mathematisch ausgedrückt ist die Zeit eine Funktion der Einflussgrößen. Zeit = f (Einflussgrößen) Die Ermittlung von Daten sollte unter Berücksichtigung folgender Gesichtspunkte erfolgen: 1. der Verwendungszweck 2. die Reproduzierbarkeit Der Verwendungszweck bestimmt, welche und wie viele Daten mit welcher Genauigkeit erfasst werden müssen. Im Arbeitsstudium wird hauptsächlich nach 4 Verwendungszwecken unterschieden:

Bild 31. Verwendung von Daten (REFA) ■ Beispiele: Auftrag annehmen; Auftrag lesen; Zeichnung lesen; Maschine einrichten und einstellen; Proben und Muster anfertigen; Werkzeuge und Vorrichtungen abbauen.

Die Reproduzierbarkeit ist ein Merkmal für das Wiederverwerten von Daten. Beim Ausführen wird die Eingabe im Sinne der Arbeitsaufgabe des Arbeitssystems verändert. (Zeit, die die Arbeiten an den Einheiten des Auftrages insgesamt erfordern.)

S 46

S Betriebswirtschaft

3.2.1 Ablaufabschnitte 3.2.1.1 Beeinflussbare und unbeeinflussbare Ablaufabschnitte Eine weitere Unterscheidung ist Folgende: Tätigkeit bzw. Nutzung

voll beeinflussbar

Bei bedingt beeinflussbaren Abläufen kann der Mensch die Zeit für das Ausführen des Arbeitsablaufes nur soweit beeinflussen, wie das Arbeitsverfahren und die Arbeitsmethode einen Spielraum zulassen. ■ Beispiele: Löten, Schweißen, Drehen mit Handvorschub, Autofahren.

unbeeinflussbar (u)

beeinflussbar (b)

■ Beispiele: Instrumente überwachen, automatisierter Vorschub, gesteuerte Prozesse

bedingt beeinflussbar

Bei voll beeinflussbaren Abläufen hängt die Zeit für das Ausführen des Arbeitsablaufes ausschließlich vom Menschen ab. ■ Beispiele: Montieren, Rad wechseln, Zeichnung lesen.

Bei unbeeinflussbaren Abläufen kann der Mensch die Zeit des Arbeitsablaufes nicht beeinflussen, wenn er die Daten des vorgeschriebenen Arbeitsverfahrens und die Arbeitsmethode einhält.

3.2.2 Ablaufarten des Menschen Es sind alle Ereignisse gemeint, die auftreten können, solange der Mensch im Rahmen eines Arbeits- oder Dienstverhältnisses und der Arbeitszeitordnung (AZO) dem Unternehmen zur Verfügung steht, und zwar unter Einbeziehung der gesetzlichen und vertraglich geregelten Pausen. Für den Menschen gelten folgende Ablaufarten:

Tätigkeit

im Einsatz

außer Einsatz Mensch

ML

M Betriebsruhe

MR

MH

Nebentätigkeit

MN

Zusätzl. Tätigkeit zusätzl. Tätigkeit

MZ

ablaufbedingtes Unterbrechen

MA

störungsbedingtes Unterbrechen

MS

Erholen

ME

persönl. bedingtes Unterbrechen

MP

Unterbrechen der Tätigkeit

nicht erkennbar

Bild 32. Ablaufarten für den Menschen (REFA)

Haupttätigkeit

MX

3 Arbeitsvorbereitung und Arbeitsplanung Begriff 1. Im Einsatz

Bedeutung wenn er während der festgelegten Arbeitszeit Arbeitsaufgaben ausführt.

2. Außer Einsatz wenn er zur Ausführung von Arbeitsaufgaben nicht zur Verfügung steht (z. B. Auftragsmangel, Krankheit, Kur, Urlaub, länger anhaltende Störungen). 3. Betriebsruhe

4. Nicht erkennbar

hierunter fallen die gesetzlich, tariflich oder betrieblich geregelten Arbeitspausen (z. B. Betriebsversammlungen, Feiertage) es kommt vor, dass die Zeit einzelner Ablaufabschnitte nicht erkennbar ist; insbesondere bei der Durchführung von Multimomentaufnahmen ist es nützlich, diese Ablaufart vorzusehen

5. Haupttätigkeit ist eine planmäßige, unmittelbar der Erfüllung der Arbeitsaufgabe dienende Tätigkeit (z. B. Werkstück bearbeiten; selbsttätig ablaufenden Drehvorgang beobachten, Montage durchführen, Kfz-Reparatur durchführen) 6. Nebentätigkeit ist eine planmäßige, nur mittelbar der Erfüllung der Arbeitsaufgabe dienende Tätigkeit (z. B. Werkstück holen, Arbeitsanweisung lesen, Werkstück einspannen, Drehzahl und Vorschub umstellen, prüfen und messen) 7. Zusätzliche Tätigkeit

können weder im Vorkommen noch im Ablauf vorausbestimmt werden (z. B. Werkstück nacharbeiten, Roboter neu kalibrieren, Ersatzteile bei Fehllieferung neu bestellen)

8. Ablaufbeding- ist ein planmäßiges Warten des Menschen tes Unterbrechen auf das Ende von Ablaufabschnitten, die beim Betriebsmittel oder beim Arbeitsgegenstand selbstständig ablaufen (z. B. warten auf das Auskühlen einer Form; warten bei Fließarbeit auf das nächste Stück, automatischer Werkzeugwechsel, Trocknung nach der Lackierung) ist ein zusätzliches Warten des Menschen 9. Störungsbedingtes Unter- infolge von technischen und organisatorischen Störungen sowie Mangel an Informabrechen tionen (z. B. warten auf Material, warten auf Arbeitsauftrag, warten wegen Energieausfall, warten auf Instandhaltungspersonal) 10. Erholen

S 47

Erholen ist ein Unterbrechen der Tätigkeit, um die infolge der Tätigkeit aufgetretene Ermüdung abzubauen (Ausruhen nach dem Schmieden eines Rohlings am Arbeitsplatz mit Hitzebelastung)

liegt vor, wenn der Mensch seine Tätigkeit 11. Persönlich bedingtes Unter- aus persönlichen Gründe unterbricht (z. B. Zigaretten holen, Gang zur Toilette oder brechen Kaffeeautomat, verspäteter Arbeitsbeginn)

Tabelle 4. Ablaufarten für den Menschen (REFA) Neben den unter 5, 6 und 7 genannten Tätigkeiten ist es aus ergonomischer Sicht auch möglich, folgende Aufteilung vorzunehmen:

Tätigkeit

vorwiegend nicht muskelmäßig

geistige Tätigkeit im engeren Sinne

MG

vorwiegend muskelmäßig

Überwachen Beobachten Steuern

Verrichten

MV

MU

Bild 33. Tätigkeiten aus ergonomischer Sicht (REFA) 3.2.3 Ablaufarten des Betriebsmittels Sie umfassen alle Ereignisse, die beim Zusammenwirken der Systemelemente in Erfüllung einer Arbeitsaufgabe anfallen und darüber hinaus außerhalb des Zusammenwirkens liegen. Für das Betriebsmittel gelten folgende Ablaufarten: Begriff 1. Im Einsatz

Bedeutung wenn es dem Betrieb zur Ausführung von Arbeitsaufgaben zur Verfügung steht und durch Aufträge belegt ist.

2. Außer Einsatz wenn es längerfristig nicht zur Verfügung steht oder durch Aufträge längerfristig nicht belegt werden kann. 3. Betriebsruhe

hierunter fallen die offiziellen Pausen und sonstige Arbeitsunterbrechungen (z. B. Betriebsruhe wegen Ein- oder Zwei-SchichtBetrieb, Katastrophen).

4. Nutzung

es wird genutzt, wenn es am Zusammenwirken der Systemelemente eines Arbeitssystems beteiligt ist.

5. Hauptnutzung ist eine planmäßige, unmittelbare Nutzung im Sinne seiner Zweckbestimmung (z. B. Spanabnahme an der Drehmaschine, Sägevorgang an einer Kreissäge, lackieren eines Bauteils). 6. Nebennutzung ist eine mittelbare Nutzung, wobei es planmäßig zur Hauptnutzung vorbereitet, beschickt, entleert bzw. in den ursprünglichen Zustand zurückversetzt wird oder wobei es stillsteht, um den Arbeitsgegenstand innerhalb des Betriebsmittels prüfen zu können (z. B. Rücklauf des Drehmeißels, Ein- und Ausspannen). 7. Zusätzliche Nutzung

ist die Haupt- und Nebennutzung des Betriebsmittels, deren Vorkommen oder Ablauf nicht vorausbestimmt werden kann (z. B. zusätzliche Reinigung).

8. Ablaufbeding- wartet das Betriebsmittel planmäßig auf eine tes Unterbrechen Tätigkeit des Menschen, auf eine Veränderung von Arbeitsgegenständen oder auf das Ende bestimmter Ablaufabschnitte an anderen Betriebsmitteln (z. B. auf Kran warten). ist ein zusätzliches Warten infolge von 9. Störungsbedingtes Unter- technischen und organisatorischen Störungen (z. B. Energieausfall). brechen der Mensch unterbricht infolge des Erholens 10. Erholungsbedingtes Unter- die Nutzung des Betriebsmittels. brechen ist ein Unterbrechen der Nutzung, verur11. persönlich bedingtes Unter- sacht durch den Menschen. brechen

Tabelle 5. Ablaufarten für das Betriebsmittel (REFA)

S 48

S Betriebswirtschaft

Für nicht erkennbar gelten die entsprechenden Aussagen wie beim Menschen. Hauptnutzung

BH

Nebennutzung

BN

Zusätzl. Nutzung zusätzl.

BZ

ablaufbedingtes Unterbrechen

BA

störungsbedingtes Unterbrechen

BS

erholungsbedingtes Unterbrechen

BE

persönl. bedingtes Unterbrechen

BP

Nutzung

im Einsatz

außer Einsatz Betriebsmittel

BL

B Betriebsruhe

BR

Unterbrechen der Nutzung

BX

nicht erkennbar

Bild 34. Ablaufarten für das Betriebsmittel (REFA)

Verändern

Einwirken

AE

Fördern

AF

zusätzl. Zusätzl.Verändern Verändern AZ

Prüfen

Arbeitsgegenstand A

AP

ablaufbed. Liegen

AA

zusätzl. Liegen

AS

Liegen

Lagern

AL

nicht erkennbar

AX

Bild 35. Ablaufarten für den Arbeitsgegenstand (REFA)

3 Arbeitsvorbereitung und Arbeitsplanung

S 49

3.2.4 Ablaufarten des Arbeitsgegenstandes Sie berücksichtigen neben allen Ereignissen, die beim Zusammenwirken von Mensch, Betriebsmittel und Arbeitsgegenstand vorkommen, auch das Liegen und Lagern. Den Ablauf der Arbeitsgegenstände von der Ankunft bis zum Verlassen des Betriebes bezeichnet man als Durchlauf oder Materialfluss. Begriff 1. Verändern

Bedeutung besteht in einer Zustands-, Form-, Lageoder Ortsveränderung eines Arbeitsgegenstandes (Formveränderung: z. B. Zerspanen; Zustandsveränderung: z. B. Abbinden d. Beton).

2. Einwirken

besteht in einer Formveränderung von Arbeitsgegenständen oder in einer Zustandsveränderung.

3. Fördern

ist das Verändern von Arbeitsgegenständen nach Lage oder Ort.

4. Zusätzliches Verändern

besteht in Einwirken und Fördern, deren Vorkommen nicht vorausbestimmt werden kann (z. B. unvorhergesehene Nacharbeit).

5. Prüfen

ist das Kontrollieren von Arbeitsgegenständen im Materialfluss.

6. Liegen

entsteht, wenn das Verändern und Prüfen des Arbeitsgegenstandes ablaufbedingt (z. B. Bereitstellung) oder störungsbedingt (z. B. infolge Reparaturen an Betriebsmitteln) unterbrochen wird) ist.

7. Lagern

ist das Liegen von Arbeitsgegenständen im Lagerbereich

Tabelle 6. Ablaufarten für den Arbeitsgegenstand (REFA) 3.2.5 Anwendungsbeispiele

Ablaufabschnitt

Nr. 1 2 3 4

Ablaufabschnitte Platte auf Schweißtisch legen Teil ausbrennen Kontrollieren durch Messen Teil in Transportbehälter legen

1. Auftragsabhängige Vorgabezeiten Sie beziehen sich auf einen Auftrag mit einer bestimmten vorgegebenen Stückzahl.

Ablaufart M

B

A

2 Maschine einschalten

MN BN AA

Die Auftragszeit ist wie folgt gegliedert:

3 Loch in Werkstück bohren

MH BH AE

Kontrollieren des Durchmessers mittels Messschieber

5 Maschine ausschalten Werkstück aus Bohrvorrichtung nehmen 6 und in Behälter legen

A AF AE AP AF

Nach der Analyse der Arbeitsabläufe für Mensch, Betriebsmittel und Arbeitsgegenstand können für jeden der einzelnen Ablaufabschnitte die Daten (Bezugsmengen, Einflussgrößen, Arbeitsbedingungen und insbesondere die Zeiten) festgelegt bzw. ermittelt werden. Aus der Synthese aller Zeiten für die Ablaufabschnitte erhält man schließlich die Vorgabezeiten. Vorgabezeiten sind Sollzeiten für von Mensch und Betriebsmittel ausgeführte Arbeitsabläufe. Bezogen auf den Menschen enthalten sie Grund-, Erholungsund Verteilzeiten, auf das Betriebsmittel bezogen nur Grund- und Verteilzeiten. Die Vorgabezeit für den Menschen wird als Auftragszeit T, die Vorgabezeit für Betriebsmittel wird als Belegungszeit TbB bezeichnet. Im Wesentlichen werden zwei Arten von Vorgabezeiten unterschieden:

3.3.1 Vorgabezeiten für den Menschen (Auftragszeit T)

4

B BA BH BA BA

3.3 Vorgabezeitermittlung (Synthese)

MN BN AF

Werkstück aus Behälter nehmen und in 1 Bohrvorrichtung einlegen

Ablaufart M MN MH MN MN

2. Auftragsunabhängige Vorgabezeiten Sie beziehen sich auf eine bestimmte Mengeneinheit (z. B. 1, 100 oder 1000 Stück).

1. Bohren eines Loches Nr.

2. Teile mit einem Schneidbrenner aus einer Tafel ausbrennen

MN BN AP MN BN AA MN BN AF

S 50

S Betriebswirtschaft

A u ftra g s z e it T

R ü s tz e it t

A u s fü h ru n g s z e it t a = m x t e

r

Z e it je E in h e it t

R ü s tg ru n d z e it t rg

R ü s te r h o lu n g z e it t re r

R ü s tv e rte ilz e it t rv

G ru n d z e it t g

T ä tig k e its z e it t t

bbeeinflussbare e e in flu ß b a re T ä tig k e its z e it t tb

E rh o lu n g z e it t er

W a rte z e it t w

e

V e r te ilz e it t v

s a c h lic h e V e r te ilz e it t s

p e rs ö n lic h e V e r te ilz e it t p

uunbeeinflussb. n b e e in flu ß b . T ä tig k e its z e it t tu

Bild 36. Gliederung der Auftragszeit T für den Menschen (REFA) beeinflussbare Tätigkeitszeit ttb

3.3.1.1 Grundzeit Die Grundzeit für das Rüsten setzt sich wie folgt zusammen:

Tätigkeitszeit tt

Rüstgrundzeit trg = tMHR + tMNR + tMAR Mit MHR = Haupttätigkeit beim Rüsten, MNR = Nebentätigkeit beim Rüsten, MAR = ablaufbedingtes Unterbrechen beim Rüsten. Die Grundzeit beim Ausführen: Grundzeit tg = Tätigkeitszeit tt + Wartezeit tW tg = tt + tw tt = tMH + tMN tw = tMA t g = t t + t w =  t MH +  t MN +  t MA

Mit MH = Haupttätigkeit, MN = Nebentätigkeit und MA = ablaufbedingtes Unterbrechen. Die Zeiten für einzelne Ablaufabschnitte werden durch große Buchstaben (z. B. tMA) und die Summe der Zeiten für alle Ablaufabschnitte der Mengeneinheit 1 durch kleine Buchstaben (z. B: tW) gekennzeichnet. Es kann zweckmäßig sein, die Tätigkeitszeit in einen beeinflussbaren und einen unbeeinflussbaren Anteil aufzuspalten:

unbeeinflussbare Tätigkeitszeit ttu

3.3.1.2 Erholungszeiten Die Erholungszeit für das Rüsten ist: Rüsterholungszeit trer =  tMER, sie kann auch als prozentualer Zuschlag zur Rüstgrundzeit angegeben werden: z t rer = t rg ⋅ rer 100 % zrer = Rüsterholzeitzuschlag oder -prozentsatz. Für die Erholungszeit beim Ausführen gilt: Erholungszeit ter =  tME oder z t er = t g ⋅ er 100 % 3.3.1.3 Verteilzeit Für den Menschen lässt sich die Verteilzeit gemäß Bild 36 entsprechend für das Rüsten und Ausführen ableiten: Rüstverteilzeit trv z t rv = t rg ⋅ rv 100 % mit zrv = Rüstverteilzeitzuschlag oder -prozentsatz und Verteilzeit tv = sächliche Verteilzeit ts + persönliche Verteilzeit tp

3 Arbeitsvorbereitung und Arbeitsplanung

S 51

auf den Menschen bezogene Ablaufarten

auf den Menschen bezogene Zeitarten je Einheit

Haupttätigkeit

t MH

Nebentätigkeit

t MN

zusätzl. Tätigkeit Zusätzl. Tätigkeit

t MZ

ablaufbedingt

t MA

störungsbedingt

t MS

erholungsbedingt

t ME

sachliche Verteilzeit

ts

persönlich bedingt

t MP

persönliche Verteilzeit

tp

tt

Tätigkeitszeit Tätigkeit

Einsatzzeit

Unterbrechen der Tätigkeit

Grundzeit

tg

Erholungszeit

t er

Verteilzeit

tv

tw

Wartezeit

Zeit je Einheit

te

Bild 37. Gliederung der Zeitarten des Menschen, bezogen auf eine Einheit eines Auftrages (REFA) tv = ts + tp =  tMZ +  tMS +  tMP z t v = tg⋅ v 100 % Mit

MZ MS MP zv

= zusätzliche Tätigkeit, = störungsbedingtes Unterbrechen, = persönlich bedingtes Unterbrechen, = Verteilzeitzuschlag oder -prozentsatz.

3.3.1.4 Zeit je Einheit Für die Mengeneinheit 1 gilt: t e = t g + t er + t v = t t + t w + t er + t p + t s Unter Einbeziehung der Erhol- und Verteilzeitprozentsätze ist:  z + zv z + zv   t e = t g + t g ⋅ er = t g1 + er 100 % 100 %   Mit tg = Grundzeit, ter = Erholzeit, tv = Verteilzeit, tt = Tätigkeitszeit, tw = Wartezeit, tp = persönliche Verteilzeit, ts = sächliche Verteilzeit, zer = Erholzeitprozentsatz und zv = Verteilzeitprozentsatz. 3.3.1.5 Rüstzeit Das Rüsten enthält alle Zeiten, für vorbereitende und nachbereitende Tätigkeiten. Es tritt im Allgemeinen am Anfang und am Ende eines Auftrages auf und erfolgt je Auftrag einmal. Wird ein großer Auftrag auf Teilaufträge (Lose) aufgeteilt, dann tritt das Rüsten für jeden Teilauftrag auf.

Rüsten

Rüsten

Ausführen Auftragszeit

Das Rüsten kann wie folgt unterteilt werden: 1. Vorbereitende Tätigkeiten, dazu zählen: Auftrag empfangen (Zeichnung, Stücklisten, Arbeitspläne, Materialentnahmescheine, Transportbegleitscheine, Lohnscheine usw.), lesen, Papiere ausfüllen und abgeben. 2. Beschaffung von Werkzeugen, Messmittel, Vorrichtungen, Lehren, Material usw., dazu gehören: Gang zur Ausgabestelle, Wartezeit an der Ausgabestelle, Aus- und Abgabezeiten für Werkzeuge, Vorrichtungen und Messmittel. 3. Einstelltätigkeiten am Arbeitsplatz / Betriebsmittel, dazu zählen: Programmieren/Programm einlesen; Vorschub, Drehzahl oder andere Parameter einstellen; Vorrichtungen aufbauen, ausrichten und abbauen; Schneidwerkzeuge einstellen, einsetzen, ausrichten und ausbauen; Probeschnitte / Probe- oder Musterstück herstellen, prüfen und eventuell Maschineneinstellwerte korrigieren usw. 4. Rückversetzen des Arbeitsplatzes/Betriebsmittel in den ursprünglichen Zustand, dazu zählen das Reinigen der Maschine und Tätigkeiten, die bereits unter 1 ... 3 aufgezählt wurden. Die Rüstzeit setzt sich wie folgt zusammen: t r = t rg + t rer + t rv = t rg + t rg ⋅  z + z rv   = t rg1 + rer 100 %  

z rer + z rv = 100 %

S 52 mit

S Betriebswirtschaft trg trer trv zrer

= Rüstgrundzeit, = Rüsterholzeit, = Rüstverteilzeit, = Rüsterholzeitzuschlag und zrv = Rüstverteilzeitzuschlag.

3.3.1.6 Auftragszeit Die Auftragszeit lässt sich aus der Rüstzeit und der Zeit für das Ausführen wie folgt bestimmen: Auftragszeit T = Rüstzeit tr + Ausführungszeit ta T = tr + ta = tr + m te Mit m = Auftrags- oder Losgröße. ■ Beispiel

Für das Fräsen eines Werkstückes hat die Ablaufanalyse Folgendes ergeben:

Nr. 1

Ablaufabschnitt Arbeitspapiere besorgen, lesen und abgeben

Werkzeuge u. Messmittel aus der Ausga2 be holen und abgeben 3

Werkzeuge ausrichten, einspannen und ausspannen

4 Vorschub und Drehzahl einstellen 5

Probeteil aus Behälter nehmen und einspannen

Soll- Ablaufart zeit in min M 18

MNR

12

MNR

8

MNR

5

MNR

0,8

MNR

6 Maschine einschalten

0,1

MNR

7 Probestück fräsen

10,6

MHR

8

Maschine ausschalten und Probestück ausspannen

0,6

MNR

9

Probestück vermessen und Maschineneinstellwerte korrigieren

14,9

MNR

10 Teil aus Behälter nehmen und einspannen 11 Maschine ein- und ausschalten

0,1 0,2

MN MN

12 Teil fräsen

8,8

MH

13 Teil ausspannen und in Behälter legen

0,15

MN

12

MNR

14 Maschine reinigen

Die Auftragszeit T ist zu berechnen, wenn m = 806 Stück (inklusiv einem Probestück) herzustellen sind und zrer = zer = 3 % sowie zrv = zv = 7 % ist. Rüstgrundzeit trg =  tMHR +  tMNR +  t MAR = 10,6 min + 71,4 min = 82 min  z + z rv   Rüstzeit tr = trg + trer + t rv = t rg 1+ rer 100 %    3% + 7 %  = 90, 2 min ≈ 90 min = 82 min 1 + 100 %   Grundzeit tg =  tMH +  tMN +  t MA = 8,8 min + 0,45 min = 9,25 min  z + zv   Zeit je Einheit te = tg + ter + tv = t g1+ er 100%  

 3%+ 7%  = 10,18min = 9, 25 min1+ 100%   Auftragszeit T = tr + ta = tr + m te = 90 min + 805 · 10,18 min = 8285 min

3.3.2 Vorgabezeiten für das Betriebsmittel (Belegungszeit TbB)

Im Gegensatz zum Menschen [M], der Tätigkeiten ausführt, spricht man beim Betriebsmittel [B] von einer Nutzung. Die Zeiten für das Betriebsmittel enthalten nur Grund- und Verteilzeiten. Die Belegungszeit TbB ist wie folgt gegliedert (Bild 38): Belegungszeit TbB = Betriebsmittelrüstzeit trB + Betriebsmittelausführungszeit taB TbB = t rB + t aB = t rB + m⋅t eB

Mit Betriebsmittelrüstzeit trB = Betriebsmittelrüstgrundzeit trgB + Betriebsmittelrüstverteilzeit trvB. Die Betriebsmittelrüstgrundzeit trgB setzt sich folgendermaßen zusammen: t rgB = Σ t BHR + Σ t BNR + Σ t BAR + Σ t BER

Darin bedeutet: BHR = Hauptnutzung beim Rüsten, BNR = Nebennutzung beim Rüsten, BAR = Ablaufbedingtes Unterbrechen beim Rüsten, BER = Erholungsbedingtes Unterbrechen beim Rüsten, dies ist die Zeit, der der Mitarbeiter für das Erholen beim Rüsten bekommt, nicht das Betriebsmittel! Die Betriebsmittelrüstverteilzeit trvB bezieht sich wie beim Menschen auf die Grundzeit, nur das hier die erholungsbedingte Brachzeit Σ t BER abzuziehen ist: z t rvB = ( t rgB − Σ t BER )⋅ rv 100% Damit wird: z t rB = t rgB + t rvB = t rgB + ( t rgB − Σ t BER )⋅ rv 100 %  z  z t rB = t rgB1 + r