• TOPOLOGIE • CATEGORII • SUPRAFEŢE RIEMANNIENE
Coperta şi supracoperta de EUGEN S T O I A N
CABIRIA ANDREIAN-CAZACU, ARISTIDE DELEANU şi MARTIN IURCHESCU
TOPOLOGIE CATEGORII SUPRAFEŢE RIEMANNIENE Profesorului nostru S. S T O I L O W
EDITURA ACADEMIEI REPUBLICII SOCIALISTE
Bucureşti 1966
ROMÂNIA
PREFAŢĂ
Materialul din volumul de faţă este inspirat din expunerile făcute de cei trei autori în cadrul „Seminarului S. Stoilowţinut la Institutul de matematică al Academiei Republicii Socialiste Romania în anii 1962—1963, 1963-1964, 1964-1965. Cartea este împărţită în trei părţi. Prima parte este consacrată expunerii unei teorii a dimensiunii pentru categoria spaţiilor topologice metrice separabile. Expunerea urmează îndeaproape pe cea dată în cartea Dimension Theory de W. Hurewicz şi H. WalIman, cu excepţia paragrafului 4, unde se dă o demonstraţie diferită pentru teorema de punct fix a lui Bromver. Cea de-a doua parte este consacrată expunerii teoriei categoriilor şi este subdivizată în trei capitole. în absenţa unei teorii a mulţimilor cu o infinitate de tipuri, adoptăm în expunere punctul de vedere al universurilor care are ca punct de plecare o teorie a mulţimilor cu un singur tip (al mulţimilor), dar introduce în acesta o ierarhie de subtipuri (universurile). Capitolul I conţine faptele de bază ale teoriei categoriilor. Functorii adjuncţi introduşi de D. M. Кап joacă un rol important în întreaga expunere, în acest capitol aceştia sînt utilizaţi mai ales în legătură cu studiul limitelor proiective şi inductive pentru functori. în scopul unei clasificări a categoriilor sînt prezentate categoriile aditive şi categoriile abeliene după Buchsbaum şi Gronthendieck şi categoriile cantoriene după lucrarea [7]. Acestea din urmă reprezintă echivalentul neaditiv al categoriilor abeliene şi au ca exemplu tipic categoria U-Ens, după cum categoriile abeliene au ca exemplu tipic categoria U-Ab. Pentru aceste clase de categorii sînt date două teoreme generale de stabilitate. Semnalăm de asemenea introducerea noţiunii de morfism strict după lucrarea [7] care permite definiţia bună pentru functori Im şi Coim. Capitolul II este consacrat expunerii teoriei generale a fasciculelor. Deşi urmează în linii mari expunerea clasică a lui B. Godement, expunerea de faţă se deosebeşte de cea a lui Godement prin accentuarea rolului ei de model pentru teoria generală a categoriilor şi functorilor. Astfel, de exemplu, faptul că prefasciculele şi fasciculele de grupuri abeliene pe un spaţiu topologic X formează categorii abeliene este dedus din cele două teoreme generale
6
Prefaţă
de stabilitate şi din faptul că avem un functor de completare R° de la categoria prefasciculelor în categoria fasciculelor. Mai mult, avem o situaţie similară pentru prefasciculele şi fasciculele de mulţimi pe X, evident cu înlocuirea cuvîntului „abelian" prin cuvîntul „cantorian". Capitolul III se ocupă cu д-functori. Functorii sateliţi care se definesc cu ajutorul unei proprietăţi universale joacă un rol central în acest capitol, şi la acest punct expunerea urmează cartea Homological algebra a lui H. Cartan şi 8. Eilenberg. Teoria functorilor derivaţi este iniţial subordonată teoriei sateliţilor, dar se demonstrează apoi teorema lui de Rham abstractă care dă un procedeu comod de calcul al functorilor derivaţi cu ajutorul rezoluţiilor aciclice şi rezoluţiilor injective. Teoria generală a functorilor derivaţi este aplicată la definiţia şi calculul grupurilor de coomologie ale unui spaţiu topologic cu coeficienţi într-un fascicul. Partea a treia din acest volum este consacrată teoriei lui Teichmüller. în problema clasică a modulelor suprafeţelor riemanniene pusă de Riemann, memoriile lui Teichmüller au marcat o nouă etapă de dezvoltare. Ele au determinat numeroase cercetări importante datorită lui Ahlfors, В ers, Rauch, Kodaira şi Spencer, Weil, Grauert, Grothendieck şi alţii. Expunerea de faţă stabileşte rezultatul de bază : spaţiul Teichmüller al suprafeţelor riemanniene, compacte, de gen g = 1, respectiv > 1, canonice, este omeomorf cu spaţiul euclidian de dimensiune 2 respectiv de dimensiunea 6g-6. Diversitatea metodelor matematice, specifice operei lui Teichmüller, a impus prezentarea multor teorii auxiliare. Astfel primele trei capitole urmăresc hi esenţă caracterizarea claselor de omotopie ale omeomorfismelor unei suprafeţe riemanniene compacte pe o suprafaţă conform echivalentă. Un alt instrument important al teoriei, reprezentările cvasiconforme şi legătura lor cu diferenţialele pătratice, formează capitolul IV. Rezultatele principale ale teoriei sînt grupate în capitolul V : folosind după Bers un sistem de module pentru o suprafaţă riemanniană compactă canonică, se demonstrează teoremele de existenţă şi unicitate a unei reprezentări cvasiconforme extremale, reprezentarea Teichmüller, în fiecare clasa de omeomorfisme omotope, precum, şi teorema despre spaţiul Teichmüller. AUTORII
C U P R I N S
PARTEA TNTÎI
TEORIA
DIMENSIUNII Pas.
§ § § § § §
1. 2. 3. 4. 5. 6.
Proprietăţi generale Teorema sumei Aplicaţii în sfere Spaţii euclidiene Teorema de separare a lui Jordan Dimensiunea in sensul lui Lebesgue Anexe
PARTEA A
TEORIA
CAPITOLUL
I.
13 17 25 38 54 58 70
DOUA
CATEGORIILOR
Categorii şi functori
§ 1. Univers § 2. Categorii . § 3. Functori § 4. Morfisme stricte § 5. Functori reprezentabili § 6. Functori adjuncţi § 7. Limite proiective şi inductive § 8. Proprietăţi de comutativitate ale limitelor proiective şi inductive § 9. Teoreme de existenţă pentru limite proiective şi inductive § 10. Exactitate § 11. Categorii aditive § 12. Categorii abeliene § 13. Categorii cantoriene şi functori de completare . .
75
75 77 82 87 91 96 102 110 115 123 132 139 145
8 Pag. CAPITOLUL
§ § § § § § § § §
CAPITOLUL
§ § § § § § § § § § § § §
Teoria fasciculelor
II.
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
153
Prefascicule Fascicule Fibre Imagini directe . . . . : T - morfisme Imagini inverse Punctul R° Module pe un spaţiu inelat Fascicule induse
153 155 158 162 165 168 174 179 183
III. Coomologie
189
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.
189 193 196 202 204 206 213 217 223 225 229 231 235
Obiecte injective şi proiective Module libere şi module proiective Module injective S-functori Criteriu de universalitate Teoremă de existenţă pentru sateliţi S-functori exacţi Functorul R° Functori derivaţi Calculul functorilor derivaţi Coomologia unui spaţiu topologic Fascicule flasce . . Fascicule moi pe un spaţiu paracompact . . . .
PARTEA A
TREIA
SUPRAFEŢE RIEMANNIENE Introducere CAPITOLUL
§ § § § § CAPITOLUL
§ § § §
243
I. Elemente din teoria omotopiei
247
1. 2. 3. 4. 5.
247 252 261 263 265
Grupul fundamental Acoperiri Grupul transformărilor de acoperire Acoperirea universală Aplicaţii omotope
II. Suprafeţe riemanniene
277
1. 2. 3. 4.
277 280 284
Definiţii Acoperiri Grupuri Fuchs Reprezentarea unei suprafeţe riemanniene închise cu ajutorul unui poligon fundamental
300
9 Pag.
§ 5. Grupul fundamental şi grupurile de omologie suprafeţelor riemanniene compacte
CAPITOLUL III.
§ § § § § §
1. 2. 3. 4. 5. 6.
CAPITOLUL I V .
Clase de aplicaţii riemanniene
ale
omotope ale suprafeţelor
Caracterizarea claselor de aplicaţii continue omotope Gradul unei aplicaţii continue Teorema lui Brouwer Relaţia lui Kneser între gen şi gradul aplicaţiei . Caracterizarea claselor de omeomorfisme omotope . Suprafaţă riemanniană canonică Reprezentări cvasiconforme
§ 1. Propoziţii auxiliare § 2. Reprezentări cvasiconforme între suprafeţe riemanniene § 3. Teorema de existenţă a reprezentărilor cvasiconforme pentru suprafeţe riemanniene canonice § 4. Reprezentări Teichmüller
CAPITOLUL
V.
§ § § § §
1. 2. 3. 4. 5.
304
313 313 316 320 326 331 333
338
338 342 345 348
Teoreme fundamentale
356
Mulţimi normate de translaţii neeuclidiene . . . . Metrica indusă de o diferenţială pătratică . . . . Teorema de unicitate Teorema de existenţă Spaţiul Teichmüler !
356 362 368 374 381
Bibliografie
391
PARTEA ÎNTII
Teoria dimensiunii de Aristide Deleanu
Teoria dimensiunii
Vom expune o teorie а dimensiunii pentru categoria ê ale cărui obiecte sînt spaţiile topologice metrice separabile şi ale cărei morfisme sînt aplicaţiile continue între asemenea spaţii. Astfel, notaţia : „X Ç ë " va reprezenta afirmaţia „X este un spaţiu topologic metric separabil". § 1. Proprietäfi generale DEFINIŢIA 1.1. Mulţimea vidă şi numai mulţimea vidă are dimensiunea — 1. Un spaţiu X Ç ë are dimensiunea ^ n ( n ^ > 0 ) în punctul p, dim pX^C < n, dacă p posedă vecinătăţi arbitrar de mici ale căror frontiere au dimensiunea ,
K=fi:0.
Să presupunem că p 6 C. întrucît X este normal, exist o submulţime deschisă U a lui X astfel încît OCP
şi U f l î = 0 .
Întrucît Cfx U = U — U, avem C£t TJ П M(p) = (Jx U П (C U К)
=0.
Aceasta înseamnă că orice punct al lui (J-x TJ este separat de p. Cfrx TJ fiind închisă, putem aplica lema 1.1 pentru a obţine o submulţime simultan închisă şi deschisă V, astfel încît (Jx TJ а V, p $ V. Se vede uşor că avem pÇU
— V=U
— V = U—
V,
de unde rezultă că TJ — V este simultan închisă şi deschisă. Întrucît (U — V) Г\ К = 0, urmează că p este separat de fiecare punct al lui E, care este conţinut în M (p), ceea ce contrazice definiţia lui M (p). TEOREMA 1 . 2 . Un spaţiu J G Ê local-compact are dimensiunea О dacă şi numai dacă este total neconex. Demonstraţie. Să presupunem că dim X = 0. Fie С o submulţime conexă a lui X. î n baza teoremei 1.1, dim 0 = 0, deci, conform corolarului 1.1, С este formată dintr-un singur punct. Eezultă că X e total neconex. Eeciproc, să presupunem că X este total neconex. Fie p € X şi fie U o vecinătate deschisă a lui p cu proprietatea că U este compactă. Conformjemei 1.2, mulţimea M(p) a punctelor lui U care nu pot fi separate de p în U este conexă, deci este formată numai din punctul p, căci^î/ este total neconexă. Eezultă că orice două puncte distincte^ale lui U pot fi separate în U, deci, în baza lemei 1.1, orice punct al lui U poate fi separat In U de orice submulţime închisă care rj.u-1 conţine. î n virtutea propoziţiei 1.1 rezultă dim U = 0, deci dim,U = 0, deci dimp X = 0, adică, în definitiv, dim X « 0.
•16
Teoria dimensiunii
TEOREMA 1 . 3 . Un subspaţiu X' G Ê al unui spaţiu Z G G de dimensiune ^ n are dimensiune n. Demonstraţie. Teorema este evident adevărată pentru n = — 1. Să presupunem că ea este adevărată pentru n — 3. Fie p 6 X' şi U' o vecinătate a- lui p in X'. Există atunci o vecinătate U a lui p în X astfel încît U' — TJ p| X'. întrucît dim X =
B(J\jFi i= 1
si din teorema 2.2 deducem dim ( 1 U £ ) < п. COROLARUL 2 . 2 . Dimensiunea unui spaţiu nevid nu poate fi mărită <prin adăugirea unui singur punct. Demonstraţia rezultă imediat din corolarul 2.1. TEOREMA 2.3. (Teorema de descompunere pentru dimensiunea n). Un spaţiu metrizabil separabil are dimensiunea ^ n (n finit) dacă şi numai daca el este reuniunea a n + 1 subspaţii de dimensiune 0. Demonstraţia rezultă prin aplicarea repetată a propoziţiei ( An) demonstrată în cursul demonstraţiei teoremei 2.2, şi a lemei 2.2. TEOREMA 2.4. (Teorema produsului). Fie X şi Y două spaţii din care cel puţin unul nu este vid. Atunci
din Ë
dim (X X Y) < dim X + dim Г. Demonstraţia se face prin inducţie dublă. Teorema este evidentă dacă dim X = — 1 sau dim Y = — 1. Să presupunem că ea este adevărată pentru cazurile : (5)
dim X
două X de Cx şi — 1, fiind
C± CZ U±, C2 CZ U2J U i n U 2 = 0.
Mulţimile f| A şi U2 f| A sînt închise în A şi deci pot fi separate în A, conform lemei 2.1. Există deci două mulţimi C[ şi Ci, simultan închise şi deschise în A, astfel încît A = C[
U Ci,
C[
П
a
=
0,
V± n A CZ Ci, (T2 n А с C£. î n consecinţă (8)
(Ci П U2) U (Со fi Ui) = 0
