Algebraische Topologie 005

Algebraische Topologie Oliver R¨ondigs Wintersemester 2005/2006

Inhaltsverzeichnis 1 Erste Woche: Satz von Seifert-Van Kampen

1

2 Zweite Woche: Ankleben von Zellen und die Fundamentalgruppe

3

3 Dritte Woche: Die Homotopie-Erweiterungs-Eigenschaft

7

4 Vierte Woche: Zellenkomplexe

9

5 Fu ¨ nfte Woche: Die Euler-Charakteristik und Homologie

12

6 Sechste Woche: Homotopie-Invarianz der singul¨ aren Homologie

16

7 Siebte Woche: Der Ausschneidungssatz

18

8 Achte Woche: Zellul¨ are Homologie

23

9 Neunte Woche: Das Klebelemma

28

10 Zehnte Woche: Formale Eigenschaften

34

11 Elfte Woche: Zellul¨ are Approximation

37

12 Zw¨ olfte Woche: Schwache Homotopie¨ aquivalenzen

40

13 Dreizehnte Woche: Whitehead-Satz

45

14 Vierzehnte Woche: Der Satz von Blakers-Massey

49

15 Notation

57

1

Erste Woche: Satz von Seifert-Van Kampen

¨ Wiederholt: Schleife, Homotopie von Schleifen, Funktorialit¨at, Homotopie-Aquivalenz induziert Isomorphismus der Fundamentalgruppen. Bekannt: ur alle n ≥ 0. • π1 R n ∼ = {1} f¨ = π1 D n ∼ • π1 S n ∼ ur alle n ≥ 2. = {1} f¨

1

• Die Abbildung Z

≻ π1 (S 1 , 1)

k

≻ [z 7→ z k ]

ist ein Gruppenisomorphismus. • Die Gruppe Σ2 operiert auf S n verm¨oge x ≻ − x. Der Quotientenraum ist hom¨oomorph ¨ ur alle n ≥ 2. zum RPn . Mit Hilfe der Uberlagerungstheorie folgt, dass π1 RPn ∼ = Σ2 f¨ Unbekannt: • π1 (S 1 × S 1 ) • π1 (S 1 ∨ S 1 ) (Einpunktvereinigung) Satz 1.1. Seien (X, x0 ) und (Y, y0 ) punktierte top. R¨ aume. Die Projektionen induzieren einen Isomorphismus ∼ = ≻ π1 (X, x0 ) × π1 (Y, y0 ) π1 (X × Y, (x0 , y0 )) von Gruppen. Beweis. Verwende, dass eine stetige Abbildung in ein Produkt das Gleiche ist wie stetige Abbildungen in die jeweiligen Faktoren. Wende dies an auf Schleifen und Homotopien von Schleifen.  Beispiel 1.2. Ist Tn : = S 1 × S 1 × · · · × S 1 der n-dimensionale Torus, so ist π1 (Tn ) ∼ ur alle n. = Zn f¨ Zur Einpunktvereinigung: Konstruktion des Koproduktes von Gruppen. W (G, H) Menge der ` ` ≻ G H. Dies endlichen W¨ orter im Alphabet G H. Ein endliches Wort ist eine Abbildung n ist ein Monoid u ugen von W¨ortern, mit dem leeren Wort als neutrales Element. ¨ber Aneinanderf¨ Ein Wort ist reduziert, wenn • es kein neutrales Element enth¨ alt, und • benachbarte Buchstaben in verschiedenen Gruppen liegen. Jedes Wort l¨ asst sich auf eindeutige Weise reduzieren, indem neutrale Elemente weggelassen und Nachbarn aus der gleichen Gruppe multipliziert werden. Zwei Worte heissen ¨ aquivalent, wenn die zugeh¨origen reduzierten W¨ orter u ¨ bereinstimmen. Definition 1.3. Der Quotient G ⋆ H : = W (G, H)/ ∼ wird Koprodukt oder freies Produkt der Gruppen G und H genannt. Lemma 1.4. Die Monoidstruktur auf W (G, H) induziert eine Gruppenstruktur auf G ⋆ H. G und ≻ K und β : H ≻ K Gruppenhoms, so gibt es H sind Untergruppen von G ⋆ H. Sind α : G ≻ K, der auf α und β einschr¨ ankt. genau einen Gruppenhom α · β : G ⋆ H ¨ Beweis. Nachrechnen, dass Monoidstruktur mit Aquivalenzrelation vertr¨aglich ` ist. Dies liefert Mo¨ noidstruktur auf G ⋆ H. Existenz von Inversen: Ist g1 g2 · · · gn Wort in G H, so ist die Aquiva−1 −1 −1 ¨ lenzklasse von gn · · · g2 g1 das Inverse zur Aquivalenzklasse von g1 g2 · · · gn in G ⋆ H. ¨ Konstruktion von α · β: Die Aquivalenzklasse von g1 h2 g3 · · · hn wird auf α(g1 ) · β(h2 ) · α(g3 ) · · · · · β(hn ) abgebildet. Wohldefiniertheit folgt, weil α und β Gruppenhomomorphismen sind. 

2

Beispiel 1.5. Σ2 ⋆ Σ2 = {1, σ, τ, στ, τ σ, στ σ, . . . }. Enth¨alt Kopie von Z (erzeugt von στ ). Bemerkung 1.6. Analog bildet man das freie Produkt ⋆j∈J Gj einer Menge {Gj }j∈J von Gruppen. Folgende Version des Satzes von Seifert-Van Kampen ist in [2, 1.1.20] bewiesen. Satz 1.7 (Seifert-Van Kampen, 1932). Sei X ein topologischer T Raum, der durch weg-zusammenh¨ angende offene Teilmengen {Uj }j∈J ¨ uberdeckt ist. Sei x0 ∈ j∈J Uj der Basispunkt. 1. Ist Uj ∩ Uk wegzusammenh¨ angend f¨ ur alle j 6= k, so ist der kanonische Gruppenhomomorphismus Φ : ⋆j∈J π1 (Uj ) ≻ π1 (X) surjektiv. 2. Ist Uj ∩ Uk ∩ Ul wegzusammenh¨ angend f¨ ur alle j, k, l, so ist der Kern von Φ die normale Untergruppe, die von Elementen der Form ijk (a)ikj (a−1 ), erzeugt ist. Hierbei ist ijk : Uj ∩ Uk

⊂

j, k ∈ J,

a ∈ π1 (Uj ∩ Uk )

≻ Uj die kanonische Einbettung.

Beweis. Siehe Vorlesung oder [2, 1.1.20].



Beispiel 1.8. π1 (S 1 ∨ S 1 ) ∼ ur Sph¨ aren. = Z ⋆ Z. Geht mit beliebiger Menge von Kreisen. Ebenso f¨ Beispiel 1.9. π1 (S 1 × S 1 ) mit Hilfe von A = S 1 × S 1 r (1, 1) und B = offener Ball um (1, 1).

2

Zweite Woche: Ankleben von Zellen und die Fundamentalgruppe

Anwendung des Satzes von Seifert-Van Kampen: Welche Gruppen existieren als Fundamentalgruppen topologischer R¨ aume? Hierzu folgende fundamental wichtige Definition: Definition 2.1. Sei i : A ⊂ ≻ B eine abgeschlossene Einbettung ≻ X eine stetige ` und f : A Abbildung. Der Quotientenraum der disjunkten Vereinigung X B bez¨ uglich der von i(x) ∼ f (x) ∀x ∈ ∂A

¨ erzeugten Aquivalenzrelation wird mit X ∪A B bezeichnet. Man sagt, der Raum X ∪A B entsteht durch Verkleben von X und B entlang A. Die Abbildung f ist die Anklebe-Abbildung. Die Notation ist ungenau, weil ja weder f noch i darin erw¨ahnt werden. Und das Resultat h¨ angt ja sicher von den Abbildungen ab. 0 1 ⊂ ≻ ∆1 und f : ∂D 1 ≻ S 0 die konstante Abbildung, dann ist Beispiel 2.2. Sei ` i :1 S = ∂∆ 0 0 1 0 S ∪S D = D S . Ist f hingegen die Identit¨at, so ist S 0 ∪0S D1 = D 1 . Die beiden R¨aume sind weder hom¨ oomorph noch homotopie-¨ aquivalent.

Lemma 2.3. Sei i : A ⊂ ≻ B eine abgeschlossene Einbettung und f : A ≻ X eine stetige ` q ′ ⊂ Abbildung. Die kanonische Abbildung i : X ≻X B ≻ X ∪A B ist eine abgeschlossene q

Einbettung. Die kanonische Abbildung f ′ : B ⊂ ≻ X ∪ B ≻ X ∪A B induziert eine offene ⊂ ≻ X ∪A B. Die unterliegende Menge von X ∪A B ist die disjunkte Einbettung h : B r i(A) Vereinigung der Bilder dieser beiden Einbettungen. 3

¨ Beweis. Es ist hilfreich, die Aquivalenzrelation einmal explizit hinzuschreiben, was in [1, I.13.13] getan wurde. Man sieht dann sofort die Injektivit¨at der beiden Abbildungen, und auch die letzte Aussage. (Die Abbildung B ≻ X ∪A B muss nicht injektiv sein.) Ist C ⊆ X abgeschlossen, so ist a

q −1 i′ (C) = C i f −1 (C)

abgeschlossen in X

offen in X

`

`

B, also ist i′ eine abgeschlossene Einbettung. Ist U ⊆ B r i(A) offen, so ist
q −1 h(U ) = U

B, also ist h eine offene Einbettung.



Lemma 2.4. Sei i : A ⊂ ≻ B eine abgeschlossene Einbettung und f : A ≻ X eine stetige ≻ Y und h : B ≻ Y stetige Abbildungen mit der Eigenschaft, dass Abbildung. Seien g : X g ◦ f = h ◦ i gilt. (In anderen Worten: Das Diagramm A

f

≻X

∩

i g B

∩

g g h ≻Z e

kommutiert.) Dann gibt es genau eine stetige Abbildung Y A

f

≻ Z derart, dass das Diagramm

≻X

∩

≻≻

e

h

g

i kan g kan g B ≻ B ∪A X

≻

Y

kommutiert. Beweis. Folgt aus Lemma 2.3.



Satz 2.5. Sei L ein lokal kompakter Hausdorff-Raum. Ist f : X ≻ Y × L. Projektion, so auch f × L : X × L

≻ Y eine Quotientenraum-

Beweis. Siehe [1, I.13.19], welches [1, I.8.2] verwendet. Letzteres besagt, dass die Projektion X × K ≻ X eine abgeschlossene Abbildung ist, sofern K kompakt ist.  Definition 2.6. Sei J eine Menge und f¨ ur jedes j ∈ J eine stetige Abbildung fj : ∂∆n gegeben. In anderen Worten, man hat eine stetige Abbildung a ≻ X. f: ∂∆n

≻X

j∈J

` Der Raum X ∪‘j∈J ∂∆n j∈J ∆n entsteht durch Ankleben von n-Zellen an X. Die Abbildung f ist ≻ Y entsteht durch Ankleben die Anklebe-Abbildung. Allgemeiner sagt man, eine` Abbildung g : X n von n-Zellen, wenn es eine stetige Abbildung f : j∈J ∂D ≻ X und einen Hom¨oomorphismus ∼ ` ` = n h: Y ≻ X ∪f j∈J D gibt, so dass h ◦ g die kanonische Abbildung X ⊂ ≻ X ∪f j∈J D n ist. 4

Beispiel 2.7. Zellenstrukturen f¨ ur S n , D n , Torus. Definition 2.8. Sei g ≥ 1 und E ein 4g-Eck. Die Kanten heissen a1 , b1 , a′1 , b′1 , a2 , b2 , a′2 , . . . , b′g reihum. Des weiteren seien die Kanten wie in folgendem Bildchen orientiert: a1

≻•

b1

b2 ′

•

• f a′1

≻

≺

•

a′2

•

b2

b1 ′

≻

≺

g •

•≺

a2

•

Identifiziere nun ak mit a′k und bk mit b′k gem¨ass der angegebenen Orientierung. Der entstehende topologische Raum sei mit Fg bezeichnet. Er heisst orientierbare Fl¨ache vom Geschlecht g. Siehe [2, Seite 5]. Man sieht: Fg entsteht durch Ankleben einer 0-Zelle an den leeren Raum, dann Ankleben von 2g 1-Zellen an die eine 0-Zelle, und anschliessend Ankleben einer 2-Zelle mit der AnklebeAbbildung, die induziert ist durch einen Hom¨oomorphismus von S 1 mit dem 4g-Eck. Lemma 2.9. Sei Y der Raum, der aus X durch Ankleben von n-Zellen entlang der Abbildung ` ` ≻ X entsteht. Sei M das Bild in Y von j∈J {0} unter der kanonischen Abbildung. f : j∈J ∂Dn Dann ist Y r M ein offener Unterraum, der X als Deformationsretrakt enth¨alt.
` ` n Beweis. Y r M offener Unterraum: Zu zeigen ist, dass p−1 (Y r M ) offen ist in X j∈J D , wo p kanonische Projektion. Offensichtlich ist a a
p−1 (Y r M ) = X D n r {0} j∈J

≻ Y rM und diese Teilmenge ist offen. Deformationsretrakt: Ziel ist Homotopie H : Y r M × I von Identit¨ at zu einer Abbildung mit Bild in X. Nach Satz 2.5 und der universellen Eigenschaft 2.4 ` n ≻ Y rM und j∈J D r{0}×I ≻ Y rM anzugeben. reicht es, kompatible Abbildungen X ×I x ab.  Erstere sei konstant Inklusion, zweite bilde (x, t) auf (1 − t)x + t |x| Lemma 2.10. Sei X wegzusammenh¨ angend. Sei Y ein Raum, der aus X durch Ankleben von n-Zellen entsteht. Ist n ≥ 3, so induziert die Inklusion i : X ⊂ ≻ Y einen Isomorphismus ∼ =

i∗ : π1 X

≻ π1 Y.

Ist n = 2, so ist i∗ surjektiv, und der Kern ist der durch die Anklebe-Abbildungen erzeugte Normalteiler. Beweis. Sei x0 ∈ X der Basispunkt. Fixiere Basispunkt p = (1, 0, . . . , 0) ∈ ∂D n und Weg ` wj in X von x0 zu fj (p) f¨ ur jedes j ∈ J. Vergr¨ossere Y etwas: Sei A der Quotientenraum von j∈J I × I ¨ bez¨ uglich der von (0, x)j ∼ (0, y)k erzeugten Aquivalenzrelation. A enth¨alt Unterraum B = {(x, y)j ∈ A | y = 0 oder x = 1}. Verklebe A mit Y entlang der Abbildung g : B ≻ Y , die (x, 0)j auf wj (x) und (1, y)j auf das ¨ Bild von (1 − y2 , 0, . . . , 0) ∈ Djn in Y abbildet. Die Inklusion Y ⊂ ≻ Z ist Homotopie-Aquivalenz, 5

die zugeh¨orige Deformationsretraktion schiebt die angehefteten Streifen nach Y . Eine ist induziert von ( 2a −a (1 − t)b + 2−b , (1 − t)b) wenn b ≤ 2 − 2a ( 2−b

(a, b, t) ≻ −a 2a 2−b ( 2−b (1 − t)b + t(2 − 2−b a ) + 2−b , (1 − t)b + t(2 − a ) ) wenn b ≥ 2 − 2a

¨ Verwende offene Uberdeckung U = Z r M und V = Z r X und Basispunkt (0, 1) = x1 . Klar U ∪ V = Z. Nach Lemma 2.9 ist U homotopie-¨aquivalent zu X, und V ist zusammenziehbar (besteht aus den unten offenen Streifen, zusammen mit den offenen B¨allen). Der Schnitt U ∩ V ist wegzusammenh¨ angend: er besteht aus den unten offenen Streifen, zusammen mit den punktierten offenen B¨allen. Insbesondere ist U ∩ V homotopie-¨aquivalent zu einer Einpunkt-Vereinigung von n − 1-Sph¨aren, indiziert u ¨ ber J. Nach Satz 1.7 ist π1 Z isomorph zum freien amalgamierten Produkt π1 U ⋆π1 (U ∩V ) π1 V . Da π1 V ∼ ur n ≥ 3. = {1}, folgt die erste Aussage aus π1 (U ∩ V ) ∼ = {1} f¨ Ist n = 2, so liefert die Anklebe-Abbildung fj , zusammen mit dem Weg wj , die Schleife wj  fj  wj und somit ein Element αj ∈ π1 (X, x0 ). Verwende Raum X ′ = X ∨ I und Y ′ = Y ∨ I. Die Gruppe π1 (U ∩ V ) ist frei, mit Erzeugern βj f¨ ur alle j ∈ J. Dies kann man durch eine weitere Anwendung ¨ von Satz 1.7 sehen, wobei die offene Uberdeckung durch [
Wj = U ∩ V r Dkn r ({0} ∪ ∂∆nk ) k6=j

gegeben ist. Das Bild von βj in π1 (X ′ , x1 ) ∼ = π1 (X, x0 ) stimmt mit αj u ¨ berein.



Kurze Beschreibung der Pr¨ asentation einer Gruppe. Satz von Novikov (Wort-Problem). Satz 2.11. Sei G eine Gruppe. Dann gibt es einen weg-zusammenh¨ angenden Raum, dessen Fundamentalgruppe isomorph zu G ist. Beweis. W¨ ahle eine Pr¨ asentation. Bilde die Einpunktvereinigung _ X= S1 Erzeuger von G

≻ X, die erst j1 mal und w¨ahle f¨ ur jede Relation R = anj11 · · · anjkk die Anklebeabbildung fR : S 1 1 um die mit aj1 indizierte S heruml¨ auft, dann j2 mal um die mit aj1 indizierte S 1 heruml¨auft, und so weiter. Dies liefert eine Anklebe-Abbildung a ≻ X. f: ∂∆2 R Relation in G

≻ π1 Y Sei i : X ⊂ ≻ Y die durch Ankleben entstandene Inklusion. Nach Lemma 2.10 ist i∗ : π1 X surjektiv, und der Kern ist die von den Anklebe-Abbildungen erzeugte normale Untergruppe. Also ist π1 Y isomorph zu G.  Beispiel 2.12. Sei Fg die orientierte Fl¨ache vom Geschlecht g. Die Fundamentalgruppe π1 Fg hat folgende Pr¨ asentation: < a1 , b1 , . . . , ag , bg |[a1 , b1 ][a2 , b2 ] · · · [ag , bg ] > Bemerkung 2.13. Sp¨ ater werden wir eine sch¨onere “funktorielle” Konstruktion eines Raumes mit vorgegebener Fundamentalgruppe kennenlernen.

6

3

Dritte Woche: Die Homotopie-Erweiterungs-Eigenschaft

R¨aume, die durch Ankleben von Zellen entstehen, haben folgende sch¨one Eigenschaft. Definition 3.1. Sei i : A ⊂ ≻ B ein abgeschlossener Unterraum. Man sagt, i hat die HomotopieErweiterungs-Eigenschaft (kurz HEE), wenn folgendes gilt: Ist eine Abbildung f : B ≻ X und ≻ X von f ◦ i gegeben, so gibt es eine Homotopie F : B × I ≻X eine Homotopie H : A × I von f , die F ◦ (i × I) = H erf¨ ullt. Um festzustellen, welche Inklusionen die HEE haben, gibt es ein ≻ B hat die HEE genau dann, wenn A ×

Lemma 3.2. Eine abgeschlossene Einbettung i : A ⊂ I ∪A×{0} B × {0} ⊂ ≻ B × I eine Retraktion besitzt.

Beweis. Nebenbei: der Raum A × I ∪A×{0} B × {0} ist hom¨oomorph u ¨ber die kanonische Abbildung ⊂ zu dem Unterraum A × I ∪ B × {0} ≻ B × I. Dies verwendet, dass A ⊂ ≻ B abgeschlossen ist (sonst ist die kanonische Abbildung nicht abgeschlossen). Erstmal: Angabe einer Abbildung f : B ≻ X und einer Homotopie H : A × I ≻ X von ≻ X. Wenn i f ◦ i ist dasselbe (nach Lemma 2.4) wie eine Abbildung g : A × I ∪A×{0} B × {0} ≻ X. die HEE hat, besitzt g eine Erweiterung zu einer Abbildung F : B × I i habe HEE. Also hat id : A × I ∪A×{0} B × {0} ≻ A × I ∪A×{0} B × {0} eine Erweiterung ≻ A × I ∪A×{0} B × {0}. Dies ist die gew¨ unschte Retraktion. r: B × I Gegeben eine Retraktion r, so ist zu vorgegebenem g : A×I ∪A×{0} B×{0} ≻ X die Abbildung g ◦ r eine Erweiterung.  Beispiel 3.3. Die Inklusion ∂D n

⊂

¨ ≻ D n hat die HEE. Folgt aus Ubung Eins Aufgabe 4.

Beispiel 3.4. Sei A = {0, 1, 21 , 31 , 14 , . . . } Unterraum von I. Die Inklusion A ⊂ ≻ I hat nicht die HEE. Sei r : I × I ≻ A × I ∪ I × {0} eine stetige Abbildung mit r ◦ j = id. Insbesondere ist r surjektiv. W¨ ahle zu n ≥ 1 einen Punkt (an , 1) ∈ I × I mit 
 2n + 1 ,0 r (an , 1) = 2n(n + 1)

1 in I ×I. Wegen der Stetigkeit folgt n+1 < an < n1 . Der Grenzwert der Folge (an , 1) ist (0, 1) ∈ A×I,
und der Grenzwert der Folge r (an , 1) ist (0, 0). Somit ist r nicht stetig.

Um mehr Beispiele zu bekommen:

Lemma 3.5.

1. Eine disjunkte Vereinigung von Abbildungen mit der HEE hat wieder die HEE.

2. Hat i : A ⊂ ≻ B die HEE und ist f : A X ⊂ ≻ X ∪A B die HEE.

≻ X irgendeine Abbildung, so hat die Abbildung

3. Ist A = A0

⊂

≻ A1

⊂

≻ A2

⊂

≻ ···

eine Folge von Abbildungen mit der HEE, so hat die kanonische Abbildung A ⊂ HEE, wobei [ A∞ = An n∈N

¨ mit der Topologie aus Ubung Eins Aufgabe 1.

4. Hat i die HEE und ist X irgendein Raum, so hat i × X die HEE. 7

≻ A∞ die

Beweis. Teil 1: Folgt, weil Produkt mit I mit disjunkter Vereinigung vertauscht: a
a
Aj × I = Aj × I j∈J

j∈J

(Gilt f¨ ur jeden Raum, nicht nur f¨ ur I.) Details: Ist fj : Bj ≻ X und Homotopie Hj : Aj ×I ≻X der Einschr¨ ankung fj ◦ ij gegeben ∀j ∈ J, so gibt es Homotopie Fj von fj ∀j ∈ J. Teil 2: Sei g : X ∪A B ≻ Y Abbildung und G : X × I ≻ Y Homotopie der Einschr¨ankung. ≻ Y und Homotopie der Einschr¨ankung auf A. Weil i die HEE hat, gibt Dies liefert Abb. h : B es Homotopie H : B × I ≻ Y , die auf G ◦ (f × I) einschr¨ankt. Nach Satz 2.5 ist X ∪A B × I ∼ = (X × I) ∪A×I (B × I). Lemma 2.4 liefert Homotopie von g, die G erweitert. ≻ X Abbildung und H0 : A0 × I ≻ X Homotopie der Einschr¨ankung. Teil 3: Sei f : A∞ ≻ X Einschr¨ ankung von f . Weil A0 ⊂ ≻ A1 die HEE hat, gibt es Homotopie H1 Sei fn : An von f1 , die H0 erweitert. Weil A1 ⊂ ≻ A2 die HEE hat, gibt es Homotopie H2 von f2 , die H1 erweitert etc. Sei (x, t) ∈ A∞ × I, also (x, t) ∈ An × I f¨ ur ein n ≥ 0. Setze F (x, t) : = Hn (x, t). Dies ist wohldefiniert, weil Hn Hn−1 erweitert. F ist stetig, weil [  [ An × I = (An × I) n

n

als topologische R¨ aume, und weil die Einschr¨ankung Hn von F auf An × I stetig ist f¨ ur jedes n ¨ (siehe Ubung Eins Aufgabe 1). Teil 4: Ist i abgeschlossene
Einbettung, so auch i × X. Ist A × I ∪ B × {0} Retrakt von B × I, so ist auch A × I ∪ B × {0} × X Retrakt von B × I × X. Der kanonische Hom¨oomorphismus

B×I ×X

∼ =

≻ B × X × I induziert eine stetige Bijektion
≻ A × X × I ∪ B × I × {0}. f : A × I ∪ B × {0}

Weil die Quelle die Unterraumtopologie von B × I × X tr¨agt, ist die Abbildung f −1 stetig. Das Resultat folgt mit 3.2.  Definition 3.6. Ein relativer Zellenkomplex (oder auch relativer CW-Komplex ) ist eine abgeschlossene Inklusion i : A ⊂ ≻ X von topologischen R¨aumen, welche folgende Eigenschaften hat: 1. Es gibt eine Filtrierung A = X−1 der Inklusion i : A ⊂ n-Zellen entsteht.

≻ X0

⊂

⊂

≻ X1

⊂

≻ ···

⊂

≻ Xn

⊂

≻ ···

⊂

≻X

≻ X derart, dass f¨ ur alle n ≥ 0 Xn aus Xn−1 durch Ankleben von

2. Eine Menge U ⊆ X ist offen genau dann, wenn der Schnitt U ∩ Xn offen in Xn ist f¨ ur alle n ≥ −1. Ist A = ∅ (der absolute Fall), so spricht man von einem Zellenkomplex. Beispiel 3.7. Sei A = S 1 . S 1 Zellenkomplex. S ∞ , n-Ecke.

⊂

≻ S 2 ist ein relativer Zellenkomplex. S 2 ist auch ein absoluter

Beispiel 3.8. Ein kompakter metrischer Raum, der kein Zellenkomplex ist, sieht so aus: [ 1 1 H := Kn , wo Kn Kreis im R2 mit Radius um ( , 0) n n n≥1

Das sind die Hawaii’schen Ohrringe. Bemerkung 3.9. Die Wahl einer Filtrierung, zusammen mit Auswahlen der Anklebe-Abbildungen, ist eine Zellenstruktur auf einem (relativen) Zellenkomplex. Ein Zellenkomplex kann sehr viele Zellenstrukturen haben. 8

4

Vierte Woche: Zellenkomplexe

Beispiel 4.1. Zellenstruktur des CPn . Der Raum CPn ist nach Definition der Quotientenraum von Cn+1 r {0} bez¨ uglich der Operation von C r {0}, die (x0 , . . . , xn ) auf (zx0 , . . . , zxn ) abbildet. Klar: S 2n+1

⊂

≻ Cn+1 r {0}

≻ CPn

ist surjektiv und Quotientenraum-Projektion (bzgl. Operation eingeschr¨ankt auf z ∈ S 1 ¨ von x ∈ S 2n+1 in CPn . Sei {0}). Bezeichne x die Aquivalenzklasse f:

⊂

≻Cr

≻pCPn D 2n x = (x0 , x1 , . . . , xn−1 ) ≻ (x, 1 − |x|2 )

dann ist das Bild eines Punktes in ∂D 2n in CPn−1 (letzte Koordinate Null!). Die Abb. f ist stetig als ≻ CPn Komposition stetiger Abbildungen. Reicht zu zeigen: induzierte Abb. g : CPn−1 ∪∂D2n D 2n ist Hom¨oomorphismus. Bild ist Hausdorff’sch, Quelle ist kompakt, also reicht die Bijektivit¨ at von n 2n+1 1 g: Ist x ∈ CP mit x ∈ S , xn 6= 0, so gibt es genau ein z ∈ S mit zxn reell und positiv. Dann ist zx im Bild von f . Eindeutigkeit von z liefert Injektivit¨at. Lemma 4.2. Sei i : A ⊂ ≻ X ein relativer Zellenkomplex. Dann hat i die HEE. Beweis. Folgt aus Definition 3.6 und Lemma 3.5.



Wozu die HEE? Satz 4.3. Die Abbildung i : A ⊂ ≻ B habe die HEE. Ist A zusammenziehbar, so ist B ¨ eine Homotopie-Aquivalenz.

≻ B/A

Beweis. Sei f = idB : B ≻ B und H : A × I ≻ A eine Homotopie von idA zu einer Abbildung ≻ {a} ⊂ ≻ A. Erweitere i ◦ H zu Homotopie F von idB zu einer Abbildung B ≻ B. A An der Stelle t = 1 ist F (A, 1) = {a}, also induziert F (−, 1) eine Abbildung g : B/A ≻ B. Sei ≻ B/A die kanonische Projektion, dann ist idB ≃ g◦q. Die Abbildung q◦F : B×I ≻ B/A q: B ∼ ≻ B/A bildet A× I auf einen Punkt ab und induziert eine Homotopie G : B × I/A× I = B/A× I nach Satz 2.5. Es gilt G(−, 0) = id, weil ja F (−, 0) = id. Wegen F (−, 1) = g◦q ist q◦g◦q = G(−, 1)◦q und somit G(−, 1) = q ◦ g.  Den Satz 4.3 werden wir sp¨ ater verallgemeinern. Beispiel 4.4. S 2 ∪∂D1 D1 , wo ∂D 1

≻ S 2 injektiv ist.

Beispiel 4.5. Ist X ein Raum, so ist die (unreduzierte) Einh¨ angung definiert als Verklebung S(X) : = X × I ∪X×∂I ∂I wobei X × ∂I ≻ ∂I die kanonische Projektion ist. (Bildchen.) Beispiel: S(S n ) ∼ = S n+1 . Ist (X, x0 ) ein punktierter Raum, so ist die reduzierte Einh¨angung definiert als Verklebung Σ(X, x0 ) : = S(X) ∪{x0 }×I ∗ wobei {x0 }×I ⊂ ≻ X ×I. Dies ist auf kanonische Weise wieder ein punktierter Raum. (Es ist sicher besser, wenn x0 ein abgeschlossener Punkt ist, was
ja in Hausdorff-R¨aumen zum Beispiel erf¨ ullt ist.)
≻ Σ(X, x0 ) Beispiel: Σ S n , (1, 0, . . . , 0) ∼ = S n+1 , (1, 0, . . . , 0) . Die kanonische Abbildung S(X) besteht also darin, dass ein zusammenziehbarer Unterraum kollabiert wird. Im Falle (X, x0 ) = ¨ (A, 0), wobei A der Raum aus Beispiel 3.4 ist, ist diese Abbildung keine Homotopie-Aquivalenz. Tats¨achlich ist die Fundamentalgruppe der Einh¨angung abz¨ahlbar (isomorph zu einer freien Gruppe 9

auf abz¨ahlbar vielen Erzeugern, wie man mit Satz 1.7 sehen kann). Die reduzierte Einh¨angung ist hom¨oomorph zu den Hawaii’schen Ohrringen 3.8. Die Fundamentalgruppe der Q Hawaii’schen Ohrringe ist u ahlbar, denn es gibt eine surjektive Abbildung π1 (H, 0) ≻ n≥1 π1 S 1 . Dies ¨berabz¨ 1 sieht man u ≻ H, die im Zeitintervall n+1 ≤ t ≤ n1 an -mal um den n¨ber die Schleife f : I ten Kreis Kn heruml¨ auft. Mit f (0) = 0 ∈ H ist die Schleife stetig (jede Umgebung von 0 ∈ H enth¨alt fast alle Kn ’s). So sieht man auch, dass H kein Zellenkomplex ist, der durch Ankleben von abz¨ahlbar endlich vielen 1-Zellen an den Punkt 0 entsteht. Mehr u ¨ber π1 (H, 0) ist in [2, I.1.25]. ur i. Ein Definition 4.6. Sei i : A ⊂ ≻ X relativer Zellenkomplex. W¨ahle eine Zellenstruktur f¨ Unterkomplex dieser Zellenstruktur ist ein Unterraum Y ⊆ X der aus A, zusammen mit einer Vereinigung von offenen Zellen aus X besteht, und folgende Eigenschaft hat: Der Abschluss in X einer Zelle in Y liegt wieder in Y . Beispiel 4.7. Ist i : A ⊂ ≻ X rel. Zellenkomplex, so ist die unterliegende Menge von X isomorph zu  a a A D n r ∂D n . j∈Jn ,n≥0

` 0

` 1

` D 1 r ∂D D 2 r ∂D2 . Y =`D 0 D 2 r ∂D2 ist kein Unterkomplex Beispiel: D 0 ⊂ ≻ D 2 = D (Abschluss von D 2 r ∂D 2 liegt nicht in Y ). Aber Z = D 0 D1 r ∂D 1 ist Unterkomplex.

Lemma 4.8. Ist Y Unterkomplex von A ⊂ ≻ X, so sind A ⊂ ≻ Y und Y Zellenkomplexe.

⊂

≻ X wieder relative

Beweis. Zu A ⊂ ≻ Y : A abgeschlossen in Y , weil Y Unterraum von X. Setze Yn : = Xn ∩ Y . Klar: U ⊆ Y offen in Y genau dann, wenn U ∩ Yn offen in Yn ∀n. Denn Y ist Unterraum von X. Sei n ≥ 0 derart, dass A ⊂ ≻ Yn−1 rel. Zellenkomplex ist. Sei D n r ∂Dn Zelle in Y . Die Anklebe-Abbildung ≻ Xn−1 , und weil der Abschluss dieser Zelle in Y f¨ ur diese Zelle in X ist von der Form ∂D n liegt, ist das Bild dieser Anklebe-Abbildung in Yn−1 . Es folgt, dass A ⊂ ≻ Yn rel. Zellenkomplex ist, somit auch A ⊂ ≻ Y . Zu Y ⊂ ≻ X: Y abgeschlossen in X, weil Y ` ∩X` in Xn ∀n. Denn das Urbild n = Yn abgeschlossen

` ` n n ≻ Xn ist Yn−1 von Yn unter der kanonischen Projektion Xn−1 j∈JnY D , also j∈JnX D abgeschlossen nach Induktion. Filtrierung: Y

⊂

≻ Y ∪ X0

⊂

≻ Y ∪ X1

⊂

≻ ···

⊂

≻ Y ∪ Xn

⊂

≻ ···

⊂

≻X

Indexmenge f¨ ur n-Zellen ist JnX r JnY . Auch klar: U ⊆ X offen genau dann, wenn U ∩ (Y ∪ Xn )  offen ∀n, weil ja Y Unterraum und A ⊂ ≻ X rel. Zellenkomplex. Definition 4.9. Ein rel. Zellenkomplex i : A ⊂ ≻ X ist endlich, wenn er aus endlich vielen Zellen besteht. Ist A kompakt und A ⊂ ≻ X endlich, so ist auch X kompakt. Denn X ist zumindest quasikompakt als Quotientenraum des kompakten Raumes  a a n A D j∈Jn ,n≥0

Beachte, dass die Indexmenge endlich ist. Die Hausdorff-Eigenschaft l¨asst sich mit Hilfe von Lemma 2.9 leicht nachrechnen – siehe Lemma. Lemma 4.10. Ein Schnitt (endlicher) Unterkomplexe ist wieder (endlicher) Unterkomplex. Eine endliche Vereinigung (endlicher) Unterkomplexe ist wieder (endlicher) Unterkomplex. 10

Beweis. Folgt aus Definition 4.6.



Lemma 4.11. Sei A ⊂ ≻ X ein relativer Zellenkomplex und A ein Hausdorff-Raum. Dann ist X Hausdorff-Raum. Beweis. W¨ ahle Punkte x, y in X. Benutze: sind U, V disjunkte offene Mengen in Xn , so gibt es disjunkte offene Mengen U ′ , V ′ in Xn+1 , mit U = U ′ ∩ Xn , V = V ′ ∩ Xn . Denn nach Lemma 2.9 ≻ Xn . Setze U ′ : = r −1 (U ), gibt es offene Umgebung W von Xn in Xn+1 und Retraktion r : W ′ −1 V : = r (V ). Das Resultat folgt.  Konvention 4.12. Von nun an seien alle relativen Zellenkomplexe Hausdorff. Satz 4.13. Sei A ⊂ ≻ X ein relativer Zellenkomplex und K ⊆ X eine kompakte Teilmenge. Dann liegt K in einem endlichen Unterkomplex. Beweis. Erst: Sei C ⊆ X r A Teilmenge, die aus jeder Zelle h¨ochstens endlich viele Punkte enth¨ alt. Dann ist C abgeschlossen und diskret. R.z.z. C ∩ Xn abgeschlossen in Xn ∀n. Sei n ≥ 0 derart, dass C ∩ Xn−1 abgeschlossen in Xn−1 . Dann ist  a a {P1j , . . . , Pnjj } q −1 (C ∩ Xn ) = C ∩ Xn−1 j∈Jn

abgeschlossen, wobei q kanonische Projektion nach Xn ist. Wende dies auch auf beliebige Teilmenge von C an, so folgt, dass jede Teilmenge von C abgeschlossen ist. Nun: Sei K ⊆ X kompakt. Nimm an, K enth¨alt Punkte P1 , P2 , . . . aus unendlich vielen verschiedenen Zellen. Dies liefert Menge C ⊆ X r A, die abgeschlossen in K (also kompakt) und diskret ist. Widerspruch zur Unendlichkeit von C. Insbesondere K ⊆ XN f¨ ur ein N . R.z.z: Abschluss einer n-Zelle liegt in endlichem Unterkomplex. Sei n derart, dass Abschluss jeder k-Zelle, k < n, in endlichem Unterkomplex liegt. Dann liegt auch jede kompakte Teilmenge in ≻ Xn−1 ist kompakt, Xn−1 in endlichem Unterkomplex. Das Bild der Anklebe-Abbildung f : ∂D n liegt also in endlichem Unterkomplex. Und Abschluss von D n r ∂Dn in X ist D n ∂Dn ∪ Im(f ). Denn letzteres stimmt u ≻ Xn . Weil D n kompakt, ist f ′ (D n ) ¨berein mit Im(f ′ ), wo f ′ : D n quasi-kompakt, also kompakt und somit abgeschlossen.  Kanonische “Zellenstruktur” auf Produkt von Zellenkomplexen. Bemerkung 4.14. Sei X : = ∨n∈N S 1 , sei J die Menge der Folgen in den positiven nat¨ urlichen Zahlen und Y : = ∨a∈J S 1 . Das Produkt X × Y ist kein Zellenkomplex. Sei zu (n, a) ∈ N × J ein Punkt Pn,a = (p1n,a , p2n,a ) aus dem durch (n, a) indizierten Torus S 1 × S 1 so gew¨ahlt, dass der Abstand von pin,a zum Basispunkt a1n betr¨agt. Sei A = ∪N×J Pn,a die durch diese Punkte gegebene Teilmenge. Sei U eine Umgebung des Basispunktes in X × Y . Dann gibt es offene Umgebungen V ⊆ X, W ⊆ Y des Basispunktes, so dass V × W ⊆ U (Produkttopologie). Zu n ∈ N gibt es ein dn ahle zu n ∈ N eine positive nat¨ urliche Zahl an mit der Eigenschaft, so dass (Udn (1)) ⊆ V ∩ Sn1 . W¨ 1 dass an > n und an > dn . Dies liefert eine Folge a = (an ). Weil W offen in Y ist, gibt es eine Zahl ǫ > 0 derart, dass U (1)ǫ ⊆ W ∩ Sa1 . W¨ahle m ∈ N mit m > 1ǫ . Dann ist Pm,a ∈ V × W , denn der 1 < ǫ. Also trifft A Abstand der Koordinaten von Pm,a zum Basispunkt ist a1m < dn und a1m < m jede Umgebung des Basispunktes. Satz 4.15. Sei X ein Zellenkomplex und Y ein lokal kompakter Zellenkomplex. Dann ist X × Y , versehen mit der kanonischen Zellenstruktur, wieder ein Zellenkomplex. Beweis.



11

5

Fu ¨ nfte Woche: Die Euler-Charakteristik und Homologie

Zellenstruktur liefert numerische “Invarianten”. Definition 5.1. Sei X ein endlicher Zellenkomplex. W¨ahle eine Zellenstruktur f¨ ur X. Die EulerCharakteristik der gew¨ ahlten Zellenstruktur ist die ganze Zahl eu(X) : =

∞ X (−1)i Anzahl der Zellen in Dimension i i=0

Es ist unklar, ob dies eine topologische Invariante ist. Klar: Notation ist miserabel, da Zellenstruktur nicht auftaucht. Sp¨ ater: Euler-Charakteristik ist Homotopie-Invariante! Beispiel 5.2. ( 2 eu(S n ) = 0 eu(D n ) =( 1 eu(RPn )= 0 eu(CPn )=

wenn n gerade ist wenn n ungerade ist 1 wenn n gerade ist wenn n ungerade ist n 2(1 − g)

eu(Fg ) =

Um Homotopie-Invarianz zu zeigen: setze Euler-Charakteristik in Beziehung mit einer funktoriellen Konstruktion. Definition 5.3. Sei n ≥ 0. Das n-Simplex ist der Unterraum X ∆n : = {x ∈ Rn+1 | xi = 1, xi ≥ 0 ∀ 0 ≤ i ≤ n} i=0n

Beispiel 5.4. 0,1,2,3. Klar: ∆n ∼ = Dn . Das n − 1-Simplex ist auf n + 1 Weisen ein Unterraum des n-Simplex. Setze f¨ ur 0 ≤ i ≤ n δi : ∆n−1 x

≻ ∆n ≻ (x0 , . . . , xi−1 , 0, xi , . . . , xn−1 )

Dies ist die i-te Seite von ∆n . Sie liegt gegen¨ uber der i-ten Ecke. Der Rand von ∆n ist die Verein n ∼ nigung aller Seiten. Klar: ∂∆ = ∂D induziert durch Hom¨oomorphismus von Beispiel 5.4. Definition 5.5. Sei X ein topologischer Raum. Eine ∆-Komplex-Struktur auf X besteht aus einer ≻ X}j∈J , die folgende Bedingungen erf¨ ullt: Menge von Abbildungen {cj : ∆nj 1. Die Einschr¨ ankung von cj auf ∆nj r ∂∆nj ist injektiv, und jeder Punkt aus X liegt im Bild genau einer dieser Einschr¨ ankungen. 2. Ist cj Element der Menge, so auch jede Komposition cj ◦ δi . 3. Eine Teilmenge U ⊆ X ist offen genau dann, wenn jedes Urbild c−1 j (U ) offen ist. Beispiel 5.6. f ◦ δ1 : ∆0

• S 1 hat folgende ∆-Komplex-Struktur: {f : ∆1 ≻ S1}

12

≻ ∆1 /∂∆1 ∼ = S 1 , f ◦ δ0 =

• {q : ∆2 ≻ ∆2 /∂∆2 ∼ ≻ S 2 , q ◦ δ0 ◦ δ0 : ∆0 ≻ S 2 } ist keine ∆-Komplex= S 2 , q ◦ δ0 : ∆1 2 1 1 Struktur auf S , weil die Einschr¨ ankung q ◦ δ0 auf ∆ r ∂∆ nicht injektiv ist. Bedingungen 2 und 3 sind erf¨ ullt. • Verklebe zwei 2-Simplizes entlang ihres Randes: ∂∆2

≻ ∆2

⊂

∩

∩

g ∆2

p·

g ≻ ∆2 ∪∂∆2 ∆2

⊂

ur n 6= 2.) Dies liefert u = S 2 eine ∆-Komplex-Struktur auf S 2 . (Geht auch f¨ ¨ ber ∆2 ∪∂∆2 ∆2 ∼ • Kanonische Struktur auf ∆2 : {id∆2 , ∆1

⊂

δ0

≻ ∆2 , ∆1

⊂

δ1

≻ ∆2 , ∆1

⊂

δ2

(1,0,0)

≻ ∆2 , ∆0

⊂

≻ ∆2 , ∆0

(0,1,0)

⊂

≻ ∆2 , ∆0

(0,0,1)

⊂

≻ ∆2 }

• Ersetzt man in vorigem Beispiel δ1 durch die Abbildung (s, t) ≻ (t, 0, s) von ∆1 nach ∆2 , so sind die Bedingungen 1 und 3 erf¨ ullt, Bedingung 2 aber nicht – id∆2 ◦ δ1 = δ1 fehlt in der Menge. Sei M eine Menge und Z[M ] die freie abelsche Gruppe auf M . Elemente in Z[M ] sind endliche Linearkombinationen n X ai mi , wo ai ∈ Z, mi ∈ M i=1

Dies ist in offensichtlicher Weise eine abelsche Gruppe, analog zum Vektorraum mit vorgegebener Basis. Unterschied: Z ist kein K¨ orper, lediglich ein Ring, also hat nicht jeder Z-Modul eine Basis. (Beispiel?) Die freien abelschen Gruppen sind gerade die, die eine Basis besitzen. Hier: abelsche Gruppen sind dasselbe wie Z-Moduln.

Lemma 5.7. Sei M eine Menge und A eine abelsche Gruppe, mit unterliegender Menge uA. Zu jeder Abbildung φ : M ≻ uA gibt es genau einen Gruppenhomomorphismus φ : Z[M ] ≻A ur alle m ∈ M . derart, dass φ(1 · m) = φ(m) f¨ Beweis. Klar.



Definition 5.8. Sei X ein top. Raum und {cj : ∆nj ≻ X} eine ∆-Komplex-Struktur auf X. Sei Jn die Menge der Abbildungen in der ∆-Komplex-Struktur mit Quelle ∆n . Definiere Cn∆ (X) : = Z[Jn ] und dn :

Cn∆ (X)

∆ ≻ Cn−1 (X)

(c : ∆n → X)

≻

n X

(−1)i c ◦ δi

i=0

ur alle n < 0. Per Konvention ist Cn∆ (X) = {0} f¨ Lemma 5.9. Sei 0 ≤ j < i ≤ n. Dann gilt δi ◦ δj = δj ◦ δi−1 : ∆n−2 13

⊂

≻ ∆n .

Beweis. Sei x = (x0 , . . . , xn−2 ) ∈ ∆n−2 . Dann ist
δi δj (x) = =

δi (x0 , . . . , xj−1 , 0, xj , . . . , xn−2 )

(x0 , . . . , xj−1 , 0, xj , . . . , xi−2 , 0, xi−1 , . . . , xn−2 )

und
δj δi−1 (x) =

δj (x0 , . . . , xi−2 , 0, xi−1 , . . . , xn−2 )

=

(x0 , . . . , xj−1 , 0, xj , . . . , xi−2 , 0, xi−1 , . . . , xn−2 ).

 Folgerung 5.10. Sei X ein top. Raum mit der Struktur {cj : ∆nj F¨ ur alle n gilt ∆ dn−1 ◦ dn = 0 : Cn∆ (X) ≻ Cn−2 (X). Beweis. Nach Lemma
5.7 reicht es zu zeigen, dass f¨ ur alle c : ∆n von X dn−1 dn (1 · c) = 0 ist. Es gilt
dn−1 dn (1 · c) =

≻ X} eines ∆-Komplexes.

≻ X in der ∆-Komplex-Struktur

dn−1

n  X (−1)i (c ◦ δi ) i=0

n  X i j (−1) (c ◦ δi ◦ δj ) (−1)

n−1 X

=

j=0

=

i=0

X

(−1)i+j (c ◦ δi ◦ δj )

0≤i≤n,0≤j≤n−1

X

=

i+j

(−1)

  X (−1)i+j (c ◦ δi ◦ δj ) (c ◦ δi ◦ δj ) + j≥i

j

X  X  (−1)i+j (c ◦ δj ◦ δi−1 ) + (−1)i+j (c ◦ δi ◦ δj )

=

j

=

X

j≥i

k+1+ℓ

(−1)

j≥i

ℓ≤k

=

−

X

k+ℓ

(−1)

  X (−1)i+j (c ◦ δi ◦ δj ) (c ◦ δℓ ◦ δk ) + j≥i

ℓ≤k

=

  X (−1)i+j (c ◦ δi ◦ δj ) (c ◦ δℓ ◦ δk ) +

0

In vorletzten Schritt: k : = i − 1 und ℓ : = j. Also 0 ≤ k ≤ n − 1 und 0 ≤ ℓ ≤ n − 1.



Definition 5.11. Ein Kettenkomplex ist eine Folge ···

dn+1

≻ Cn

dn

≻ Cn−1

dn−1

≻ ···

von Homomorphismen abelscher Gruppen – indiziert u ¨ber n ∈ Z – mit der Eigenschaft, dass dn−1 ◦ dn = 0 f¨ ur alle n ∈ Z gilt. Der Index n wird Grad genannt. Schreibe kurz (C, d). Beispiel 5.12.

• Der triviale Kettenkomplex ist · · · 14

≻0

≻0

≻ ···.

• Ist A eine abelsche Gruppe, so ist · · · S(A, n), wenn A im Grad n ist.

≻0

≻A

≻0

≻ · · · der Kettenkomplex

• Eine ∆-Komplex-Struktur induziert einen Kettenkomplex ≻ Cn∆ (X)

···

dn

∆ ≻ Cn−1 (X)

≻ ···

nach Korollar 5.10. Dies ist ein nichtnegativer Kettenkomplex. • ···0

≻Z

m

≻Z

≻ 0 · · · ist ein Kettenkomplex.

• Ist (C, d) ein Kettenkomplex, so ist (C[1], d) ein Kettenkomplex mit C[1]n : = Cn+1 . Definition 5.13. Ist (C, d) ein Kettenkomplex, so ist nach Definition Imdn+1 ⊆ Kerdn . Der Quotient Hn (C, d) : = Kerdn /Imdn+1 ist die n-te Homologiegruppe von (C, d). Elemente in Zn : = Kerdn werden n-Zykel genannt, Ele≻ X}j∈J so mente in Bn : = Imdn+1 sind n-R¨ ander. Hat X die ∆-Komplex-Struktur {cj : ∆nj ist
Hn∆ (X) : = Hn C ∆ (X), d die n-te ∆-Homologiegruppe von X. Beispiel 5.14.

• Hn∆ (S 1 )

• Hn∆ (S 1 × S 1 ) • Hn∆ (S 2 ) • Hn∆ (RP2 ) Problem: um Invarianten von topologischen R¨aumen zu bekommen, sollte dies nicht von der Struktur eines ∆-Komplexes abh¨ angen. L¨osung: nimm an Stelle von bestimmten Abb. ∆n ≻X n ≻ X (nat¨ urlich nur stetige!). einfach alle Abbildungen ∆ Definition 5.15. Sei X ein top. Raum. Ein singul¨ ares n-Simplex ist eine Abbildung s : ∆n Die Menge der singul¨ aren n-Simplizes wird mit

≻ X.

HomTop (∆n , X) bezeichnet. Sei Cn (X) : = Z[HomTop (∆n , X)] die freie abelsche Gruppe auf den singul¨aren n-Simplizes. Definiere dn : Cn (X) dn (1 · s) : =

n X

≻ Cn−1 (X) u ¨ber

(−1)i 1 · (s ◦ δi )

i=0


Lemma 5.16. Sei X ein top. Raum. Dann ist C(X), d ein Kettenkomplex.

Beweis. Genau wie Korollar 5.10.

15



6

Sechste Woche: Homotopie-Invarianz der singul¨ aren Homologie

Beispiel 6.1. Es gilt Cn (D 0 ) ∼ = Z ∀ n ∈ N und ( 0 n ungerade oder n = 0 dn = id n gerade und positiv Also ist Hn (D 0 ) ∼ ur n = 0 und trivial sonst. = Z f¨ Lemma 6.2. Sei X ein wegzusammenh¨angender nichtleerer Raum. Dann ist H0 (X) ∼ = Z. Beweis. Sei ǫ : C0 (X) ≻ Z definiert u ≻ X) ≻ 1. Weil X nichtleer ist, ist ¨ ber (1 · s : ∆0 ǫ surjektiv. Reicht zu zeigen: Kerǫ = Imd . Aber ǫ(d (s)) = ǫ(s ◦ δ − s ◦ δ1 ) = 1 − 1 = 0, also 1 1 0 P Pn Imd1 ⊆ Kerǫ. Sei c = ni=1 ai si mit ǫ(c) = a = 0. W¨ a hle Basispunkt x0 ∈ X und Weg i=1 i 0 1 ≻ X von x0 zu si (∆ ). Dann ist pi : ∆ d1

n X i=1




ai pi =

n X




ai si −

i=1

n X i=1


ai x0 = c. 

Lemma 6.3. Sei X ein topologischer Raum, und sei X = ∪j∈J Xj die Zerlegung von X in Wegzusammenhangskomponenten. Dann ist ⊕j∈J Hn (Xj ) ∼ = Hn (X). Insbesondere ist H0 (X) ∼ = ⊕j∈J Z. Beweis. Weil ∆n wegzusammenh¨ angend, ist (C(X), d) ∼ = ⊕j∈J (C(Xj ), d). Rest folgt.



≻ Y Abbildung, so liefert jedes singul¨are n-Simplex s : ∆n ≻ X eines in Y , Ist f : X n n¨amlich f ◦ s : ∆ ≻ Y . Dies induziert einen Homomorphismus von Kettenkomplexen C(f ) : (C(X), d)

≻ (C(Y ), d)

Letzteres bedeutet: f¨ ur alle n hat man Hom Cn (f ) : Cn (X) Cn (X)

Cn (f )

≻ Cn (Y ) so dass

≻ Cn (Y )

dn dn g g Cn−1 (f ) ≻ Cn−1 (Y ) Cn−1 (X) kommutiert. Insbesondere bildet Cn (f ) Zykel auf Zykel und R¨ander auf R¨ander ab, also induziert Cn (f ) einen Homomorphismus Hn (f ) : Hn (X) ≻ Hn (Y ). Lemma 6.4. Es gilt Hn (g ◦ f ) = Hn (g) ◦ Hn (f ) und Hn (id) = id. Beweis. Ersteres folgt aus der Assoziativit¨at der Komposition von Abbildungen, zweites weil id◦s = s.  Satz 6.5 (Homotopie-Invarianz). Sei F : X × I ist Hn (f ) = Hn (g) : Hn (X) ≻ Hn (Y ) f¨ ur alle n.

16

≻ Y eine Homotopie von f nach g. Dann

Beweis. Seien (v0 , . . . , vn ) Ecken von ∆n × {0} ⊂ ≻ ∆n × I und (w0 , . . . , wn ) Ecken von ∆n × {1} ⊂ ≻ ∆n × I. Definiere f¨ ur alle 0 ≤ i ≤ n zi : ∆n+1 ⊂ ≻ ∆n × I u ¨ber ( vj wenn j ≤ i zi (ej ) = wj−1 wenn j > i Erweiterung von zi auf Nicht-Eckpunkte sei linear. Es gilt zi ◦ δi = zi−1 ◦ δi

(1)

zi ◦ δj = (δj × I) ◦ zi−1

(2)

zi ◦ δj = (δj−1 × I) ◦ zi

(3)

f¨ ur alle n ≥ i > 0. Ausserdem gilt

f¨ ur alle i > j und f¨ ur alle j > i + 1. (Skizze!) Definiere nun Homomorphismen Pn : Cn (X) Pn (1 · s) : =

≻ Cn+1 (Y ) f¨ ur alle n u ¨ber

n X (−1)i (F ◦ (s × I) ◦ zi ). i=0

Es gilt dann dn+1 ◦ Pn = Cn (g) − Cn (f ) − Pn−1 ◦ dn

(4)

Denn dn+1

n  X (−1)i (F ◦ (s × I) ◦ zi ) dn+1


Pn (1 · s) =

i=0

n+1 n XX

(−1)i+j F ◦ (s × I) ◦ zi ◦ δj

=

j=0 i=0

= X i>j

i+j

(−1)

F ◦ (s × I) ◦ z0 ◦ δ0 − F ◦ (s × I) ◦ zn ◦ δn+1 + X F ◦ (s × I) ◦ zi ◦ δj + (−1)i+j F ◦ (s × I) ◦ zi ◦ δj j>i+1

+

n X

F ◦ (s × I) ◦ zi ◦ δi −

F ◦ (s × I) ◦ zi−1 ◦ δi

i=1

i=1

=

n X

g◦s−f ◦s+

X (−1)i+j F ◦ (s × I) ◦ (δj × I) ◦ zi−1 i>j

+

X

(−1)i+j F ◦ (s × I) ◦ (δj−1 × I) ◦ zi

j>i+1

=

g ◦ s − f ◦ s − Pn−1 (dn (s))

Mit Gleichung (4) folgt der Satz, denn wenn c ∈ Cn (X), so ist Cn (g)(c) − Cn (f )(c) = dn+1 (Pn (c)) + Pn−1 (dn (c)) ∈ Imdn+1 .  Eine Folge von Gruppenhomomorphismen Pn : Cn ≻ Dn+1 mit Eigenschaft (4) nennt man Kettenhomotopie. Wir haben gezeigt: Homotopie liefert Kettenhomotopie liefert identische Abb. auf Homologie. 17

Folgerung 6.6. Hn (D m ) ∼ = Hn (D 0 ) ∼ = Hn (Rm ). Ist i : (C, d) ⊂ ≻ (D, e) eine Inklusion von Kettenkomplexen (also in : Cn ≻ Dn injektiv f¨ ur alle n), so ist (Dn /Cn ) auf kanonische Weise ein Kettenkomplex, mit Randhomomorphismus fn (a) := en (a). Erst mal: Definition 6.7. Eine Folge αn+1

≻ An+1

···

≻ An

αn

≻ ···

≻ An−1

von Homomorphismen abelscher Gruppen heisst exakt an der Stelle n, wenn Kerαn = Imαn+1 . Die Folge heisst exakt, wenn sie an jeder Stelle exakt ist. Eine Folge heisst kurz, wenn h¨ochstens drei Gruppen nichttrivial sind. • Die Folge 0

Beispiel 6.8. • Die Folge A

α

α

≻A

≻ B ist exakt genau dann, wenn α injektiv ist.

≻ 0 ist exakt genau dann, wenn α surjektiv ist.

≻B α

≻B • Die Folge 0 ≻A einen Isomorphismus B/A

β

≻C ≻ 0 ist exakt genau dann, wenn α injektiv ist und β ≻ C induziert.

• Die Folge 0

≻A

a7→(a,0)

≻A⊕B

(a,b)7→b

≻B

≻0

ist kurz exakt. • Ein Kettenkomplex ist exakt genau dann, wenn alle Homologiegruppen trivial sind. ≻ (D, e) eine injektive Abbildung von Kettenkomplexen, und bezeichne Satz 6.9. Sei i : (C, d) mit p : (D, e) ≻ (D/C, f ) die Projektion. Dann gibt es eine lange exakte Folge ···

≻ Hn (C, d)

Hn (i)

≻ Hn (D, e)

Hn (p)

≻ Hn (D/C, f )

δ

≻ Hn−1 (C, d)

Hn−1 (i)

≻ ···

von Homologiegruppen. Beweis. Definition von δ: Sei [a] ∈ Hn (D/C) und w¨ahle Repr¨asentanten a ∈ Kerfn , also a ∈ Dn /Imin mit fn (a) = 0. W¨ ahle Repr¨ asentanten b ∈ Dn , also a = bImin . Bedingung fn (a) = 0 bedeutet en (b) ∈ Imin−1 . W¨ ahle c ∈ Cn−1 mit in−1 (c) = en (b). Es gilt

in−2 dn−1 (c) = en−1 in−1 (c) = en−1 en (b) = 0 also dn−1 (c) = 0, weil in−2 injektiv ist. Setze δ([a]) : = [c] = cImdn ∈ Hn−1 (C, d). Rest des Beweises: siehe [2, Theorem 2.16]. 

7

Siebte Woche: Der Ausschneidungssatz

Wichtigste Anwendung von 6.9: Definition 7.1. Sei X ein topologischer Raum und i : A ⊂ ≻ X die Einbettung eines Unterraumes. Sie induziert eine Inklusion C(i) : C(A) ⊂ ≻ C(X) von Kettenkomplexen. Setze Cn (X, A) : = Cn (X)/Cn (A). Die Homologiegruppen Hn (X, A) : = Hn (C(X, A)) des Kettenkomplexes C(X, A) sind die relativen Homologiegruppen von i : A ⊂ ≻ X.

18

Ein Element in Hn (X, A) ist repr¨ asentiert durch eine n-Kette c ∈ Cn (X), die ein Zykel relativ zu A ist, also dn (c) ∈ Cn−1 (A). Satz 6.9 impliziert die Existenz einer langen exakten Folge ···

≻ Hn (A)

Hn (i)

≻ Hn (X)

≻ Hn (X, A)

≻ Hn−1 (A)

≻ ···

von Homologiegruppen. Beispiel 7.2. Sei (X, x0 ) ein punktierter topologischer Raum. Die relativen Homologiegruppen Hn (X, x0 ) = Hn (X, {x0 }) sind die reduzierten Homologiegruppen von (X, x0 ). Die lange exakte Fol≻ Hn (X, x0 ) ge der relativen Homologiegruppen, Beispiel 6.1 und Lemma 6.2 zeigen, dass Hn (X) ein Iso ist f¨ ur n 6= 0. F¨ ur n = 0 gibt es kurze exakte Folge ≻ H 0 x0

0

≻ H0 X

≻ H0 (X, x0 )

≻ 0.

N¨achstes Ziel: Identifiziere Hn (X, A) mit Hn (X/A, A/A). Geht nur gut unter Voraussetzungen ¨ an i : A ⊂ ≻ X (HEE). Sei U = {Uj ⊂ ≻ X}j∈j eine Uberdeckung von X derart, dass die of′ ⊂ ¨ ≻ X eine offene Uberdeckung von X formen. Ein singul¨ares n-Simplex fenen Unterr¨ aume Uj s : ∆n ≻ X heisse klein bez¨ uglich U, wenn das Bild von s in einem der Uj ∈ U liegt. Sei κn : CnU (X) ⊂ ≻ Cn (X) die von den kleinen n-Simplizes erzeugte Untergruppe. Dies ist eine Inklusion von Kettenkomplexen. Satz 7.3 (Kleine Simplizes). Die Inklusion κ induziert Isomorphismen Hn (C U (X)) f¨ ur alle n.

∼ =

≻ Hn (X)

¨ Beweis. Zeige, dass κ Ketten-Homotopie-Aquivalenz ist (siehe Gleichung (4)): Konstruiere AbbilU ≻ C (X) von Kettenkomplexen und Ketten-Homotopien von ρ ◦ κ bzw. κ ◦ ρ zur dung ρ : C(X) jeweiligen Identit¨ at. Grundlegender Trick: mache singul¨are Simplizes kleiner durch Unterteilen. Der Baryzenter von ∆n sei der Punkt bn : =



n

1 1 1  X 1 = , ,..., ei ∈ ∆n . n+1 n+1 n+1 n+1 i=0

(Beispiel n = 0, 1, 2). Ist ein Tupel i = (i1 , i2 , . . . , in ) von ganzen Zahlen mit 0 ≤ ik ≤ n − k + 1 gegeben, so definiert dies eine Einbettung ui : ∆n ek

≻ ∆n

⊂

≻ δi1 ◦ δi2 ◦ · · · ◦ δik bn−k

die linear auf alle anderen Punkte fortgesetzt wird. Sei I n die Menge dieser Tupel. Das Vorzeichen eines Tupels i sei definiert als Pn sgn(i) : = (−1) k=1 ik ur eine Teilmenge A ⊆ Rn ihr (Bildchen n = 1, 2) Fakt: Bild von ui (∆n ) ist kleiner als ∆n . Sei f¨ Durchmesser definiert als m(A) : = maxa,b∈A |a − b|. Ist A gegeben als kleinste konvexe Teilmenge, die affin unabh¨ angige Punkte v0 , . . . , vn enth¨alt, so ist m(A) = max0≤j 0 ein m ≥ 1 existiert, so dass jede m-fache Unterteilung von ∆n Durchmesser < ǫ hat. Definiere nun Un : Cn (X) ≻ Cn (X) u ¨ ber X Un (s) : = sgn(i)s ◦ ui i∈I n

Zeige nun, dass U Abbildung von Kettenkomplexen ist. Es gilt ui1 ,i2 ,...,in ◦ δ0 = δi1 ◦ ui2 ,...,un . Seien zwei Einbettungen ui und uj gegeben, die genau eine Seite gemeinsam haben, z.B. ui ◦ δk = uj ◦ δℓ , wo k, ℓ > 0. Die k-te Ecke von ui ist der Baryzenter in einem n − k-Simplex, und die ℓ-te Ecke von uj ist der Baryzenter in einem n − ℓ-Simplex. Die zwei Seiten k¨onnen nur dann u uberliegenden Ecken aus einem Simplex der gleichen Dimension ¨bereinstimmen, wenn die gegen¨ stammen. Also ist k = ℓ. Es folgt i1 = j1 , i2 = j2 , . . . , ik−1 = jk−1 . Fall A: k = n. Dann ist in , jn = 0, 1 und sgn(i) = −sgn(j). Fall B: k < n. Weil δj injektiv ist, muss δik ◦ δik+1 = δjk ◦ δjk+1 gelten. Fall 1: ik > ik+1 . Dann ist nach Lemma 5.9 δik ◦ δik+1 = δik+1 ◦ δik −1 . Dann muss auch jk = ik+1 und jk+1 = ik − 1 gelten. Fall 2: ik ≤ ik+1 . Dann ist ik+1 + 1 > ik und wie in Fall 1 folgt jk = ik+1 + 1 und jk+1 = ik . Wieder wegen der Injektivit¨at von δj folgt ik+2 = jk+2 , . . . , in = jn . In beiden F¨ allen gilt sgn(i) = −sgn(j). Es folgt n X X

dn Un (s) =

(−1)j sgn(i)s ◦ ui ◦ δj

j=0 i∈I n

=

X

sgn(i)s ◦ ui ◦ δ0

i∈I n

X

= X

=

sgn(i)s ◦ δi1 ◦ ui2 ,...,in

i∈I n n X

(−1)j sgn(i′ )s ◦ δj ◦ ui′

i′ ∈I n−1 j=0

=

Un−1 dn (s)

Andere Konstruktion von Un : Sei A ⊆ Rn ein konvexer nichtleerer Unterraum, zum Beispiel A = ≻ A heisst linear, wenn ∆n . Ein singul¨ ares n-Simplex s : ∆n s

n X i=0



xi ei =

n X

xi s(ei )

i=0

P f¨ ur alle Punkte ni=0 xi ei ∈ ∆n gilt. Beachte: ist s linear, so auch s ◦ δi . Sei Ln (A) ⊆ Cn (A) die Untergruppe, die von den linearen singul¨aren n-Simplizes erzeugt wird, also die linearen Ketten.

20

Wegen obiger Bemerkung ist dies ein Kettenkomplex. Definiere f¨ ur einen Punkt a ∈ A einen Homomorphismus an : Ln (A) ≻ Ln+1 (A) u ber ¨ an (s) : ∆n+1 e0 ej

≻A ≻a ≻ s(ej−1 ) wenn j > 0

Es gilt dann (dn+1 ◦ an )(s) =

n+1 X j=0


(−1)j an (s) ◦ δj = s − an−1 dn (s)

(6)

Verwende dies im Falle a = bn ∈ ∆n = A. Beachte, dass jedes singul¨are n-Simplex s : ∆n eine Abbildung C(s) : C(∆n ) ≻ C(X) von Kettenkomplexen induziert. Es gilt  
Un (s) = Cn (s) bnn−1 ◦ Un−1 ◦ dn (id∆n )

≻X

(7)

f¨ ur n > 0 und U0 = id. Hier wird verwendet, dass id∆n linear ist, und dass die Unterteilung eines linearen singul¨ aren Simplex eine lineare Kette ist. ≻ Cn+1 (X) zwischen id und Un induktiv Definiere nun eine Ketten-Homotopie Vn : Cn (X) u ¨ber 
 (8) Vn (s) : = Cn+1 (s) bnn id∆n − (Vn−1 ◦ dn )(id∆n )

wobei induktiv verwendet wird, dass Vn−1 lineare singul¨are Simplizes auf lineare Ketten abbildet. Klar ist, dass Vn nat¨ urlich ist in dem Sinne, dass Cn+1 (f )◦Vn = Vn ◦Cn (f ) f¨ ur jede stetige Abbildung ≻ Y . Klar ist auch, dass Vn kleine singul¨are Simplizes auf kleine Ketten abbildet. Sei n f: X derart, dass dn ◦ Vn−1 = id − Un−1 − Vn−2 ◦ dn−1 gilt. Es folgt 
 dn+1 Vn (s) = dn+1 Cn+1 (s) bnn id∆n − (Vn−1 ◦ dn )(id∆n ) 
 = Cn (s)dn+1 bnn id∆n − (Vn−1 ◦ dn )(id∆n ) 
 = Cn (s) id∆n − (Vn−1 ◦ dn )(id∆n ) − bnn−1 dn id∆n − (dn ◦ Vn−1 )(dn id∆n ) 
 = Cn (s) id∆n − (Vn−1 dn )(id∆n ) − bnn−1 dn id∆n − (id − Un−1 − Vn−2 dn−1 )(dn id∆n ) 
 = Cn (s) id∆n − (Vn−1 ◦ dn )(id∆n ) − bnn−1 Un−1 (dn id∆n ) s − Vn−1 dn s − Un (s)

=

wobei im letzten Schritt Gleichung (7) eingeht. Nach Induktion gilt dn+1 ◦ Vn = id − Un − Vn−1 ◦ dn Dann ist f¨ ur m ≥ 0 V (m) : =

m−1 X i=0

21

V Ui

∀n

(9)

eine Ketten-Homotopie zwischen id und U m . Denn m−1 X

dV (m) + V (m)d =

i=0 m−1 X

=

dV U i + V U i d dV U i + V dU i

i=0 m−1 X

(dV + V d)U i

=

i=0 m−1 X

=

(id − U )U i

i=0

m−1 X

=

i=0

= Sei f¨ u r s : ∆n

dann ist

i

U −

m−1 X

U i+1

i=0

id − U m

≻ X m(s) definiert als kleinste Zahl derart, dass U m(s) (s) ∈ CnU (X). Definiere
W (s) : = V m(s) (s),
dV m(s) (s) + W ds
s − U m(s) (s) − V m(s) ds + W ds

dn+1 Wn (s) + Wn−1 dn (s) = =

s − ρn (s)

=:

Weil m(s ◦ δi ) ≤ m(s), ist m(s◦δi )−1    m(s)−1 X X
V Ui − V U i (s ◦ δi ) = V m(s) − W (s ◦ δi ) = i=0

i=0

m(s)−1

X

V U i (s ◦ δi )

i=m(s◦δi )

und somit ist ρn (s) ∈ CnU (X) f¨ ur alle s ∈ Cn (X). Es gilt  
dn ρn (s) = d U m(s) (s) + V m(s) ds − W ds  
= U m(s) (ds) + dV m(s) ds − dW ds  
= U m(s) (ds) + id − U m(s) − V d ds − (id − ρ − W d)ds  
= U m(s) (ds) + id − U m(s) ds − (id − ρ)ds =

ρn−1 dn (s)

≻ C U (X) eine Abbildung von Kettenkomplexen. Ist s klein, so ist ρ(s) = s, also ist ρ : C(X) also ist ρ ◦ κ = idC U (X) . Wir k¨ onnen W als Kettenhomotopie von idC(X) zu κ ◦ ρ auffassen. Der Satz folgt. 

22

Satz 7.4 (Ausschneidungssatz). Sei i : A ⊂ ≻ X die Inklusion eines Unterraumes. Sei Z ⊆ A eine Teilmenge, deren Abschluss im Inneren von A liegt. Dann induziert die Inklusion j : X r Z ⊂ ≻ X einen Isomorphismus ∼ =

Hn (X r Z, A r Z)

≻ Hn (X, A)

f¨ ur alle n. Beweis. Sei X u ¨berdeckt durch U = {A ⊂ ≻ X, B : = X r Z ⊂ ≻ X}. Weil der Abschluss von Z im Innern von A liegt, enth¨ alt das Innere von X r Z das Komplement des Innern von A. Jedes singul¨are Simplex in A ist klein, und die Inklusion κ : C U (X) ⊂ ≻ C(X) induziert eine injektive Abbildung κ′ : C U (X)/C(A) ⊂ ≻ C(X)/C(A) = C(X, A). ≻ C U (X) die Identit¨at auf kleinen Simplizes ist (also insbesondere auf C(A)), Weil ρ : C(X) induziert auch ρ eine Abbildung ρ′ : C(X)/C(A)

≻ C U (X)/C(A)

mit ρ′ ◦ κ′ = id. Die Ketten-Homotopie W ist ebenfalls die Identit¨at auf kleinen Simplizes, also insbesondere auf C(A), und induziert eine Ketten-Homotopie W ′ von id zu κ′ ◦ ρ′ . Demnach ist Hn (κ′ ) ein Isomorphismus. ≻ C U (X)/C(A), Die Inklusion C(B) ⊂ ≻ C U (X) induziert eine Abbildung C(B)/C(A ∩ B) die ein Isomorphismus ist. Denn die singul¨aren Simplizes in B, die nicht in A liegen, bilden eine Basis beider Kettenkomplexe, und die Abbildung respektiert diese Basis. Also ist die Zusammensetzung Hn (B, A ∩ B)

≻ Hn (X, A)

ein Isomorphismus f¨ ur alle n. Es gilt B = X r Z und A ∩ B = A r Z.

8



Achte Woche: Zellul¨ are Homologie

Beispiel 8.1. Betrachte die Nordhalbkugel N : D m ⊂ ≻ S m , den Nordpol x ∈ S m und den N S¨ udpol y ∈ S m . Die Abbildung D m ⊂ ≻ S m r {y} ist eine Deformationsretraktion, die auf eine ¨ Deformationsretraktion S m−1 ⊂ ≻ S m r {x, y} einschr¨ankt (siehe Aufgabe 3 Ubung Eins). Man m m kann eine Deformation w¨ ahlen, die S r {x, y} auf S r {x, y} abbildet, z.B. f S m r {y} × I ∼ ≻ Rm × I = (v, t)

f −1 ≻ S m r {y} ∼ =

≻ Rm ≻

(

v (1 − t)v + 2t |v|

|v| ≥ 2

v

|v| ≤ 2

≻ Rm die stereographische Projektion ist, die z = (z0 , . . . , zm ) auf zm2+1 z wobei f : S m r {y} abbildet. Nach der relativen Version von Satz 6.5 u ¨ber Homotopie-Invarianz (siehe Aufgabe 3 ¨ ≻ Hn (S m r {y}, S m r {x, y}) ein Isomorphismus f¨ ur alle n. Ubung Sechs) ist Hn (D m , S m−1 ) Der Ausschneidungssatz 7.4 impliziert, dass Hn (S m r {y}, S m r {x, y})

⊂

≻ Hn (S m , S m r {x})

ein Isomorphismus ist. Des weiteren induziert die Identit¨at idS m ein kommutatives Diagramm nach von der Form ··· ≻ Hn (y) ≻ Hn (S m ) ≻ Hn (S m , y) ≻ Hn−1 (y) ≻ Hn−1 (S m ) ≻ · · ·

···

Hn (i) Hn (id) Hn (i) Hn (id) g g g g g ≻ Hn (S m r x) ≻ Hn (S m ) ≻ Hn (S m , S m r x) ≻ Hn−1 (S m r x) ≻ Hn−1 (S m ) ≻ · · · 23

Die Abbildung Hn (i) ist ein Isomorphismus f¨ ur alle n, weil i : {y} ⊂ ≻ S m r {x} eine Homotopie¨aquivalenz ist. Nach dem F¨ unferlemma 8.2 ist Hn (S m , y) ≻ Hn (S m , S m r {x}) ein Isomorphismus f¨ ur alle n. Aus Beispiel 7.2 folgt induktiv ( Z n=m Hn (S m , y) ∼ = 0 n 6= m Lemma 8.2 (Fu ¨ nferlemma). Sei A1

≻ A2

≻ A3

≻ A4

≻ A5

α1 g B1

α2 g ≻ B2

α3 g ≻ B3

α4 g ≻ B4

α5 g ≻ B5

ein kommutatives Diagramm von abelschen Gruppen, wobei die Zeilen exakte Folgen sind. 1. Sind α2 und α4 surjektiv, und ist α5 injektiv, so ist α3 surjektiv. 2. Sind α2 und α4 injektiv, und ist α1 surjektiv, so ist α3 injektiv. Beweis. Siehe [2, p.129].



Beispiel 8.1 liefert im Prinzip die Berechnung der Homologiegruppen eines Zellenkomplexes. Sei nun X ein Zellenkomplex, und w¨ ahle eine Zellenstruktur auf X, also eine Folge von Unterr¨aumen ≻ ··· ⊂ ≻ X ` deren Topologie die von X bestimmt, und Anklebe-Abbildungen fn : j∈Jn ∂Dn ≻ Xn−1 derart, dass Xn aus Xn−1 durch Ankleben von Zellen entlang fn entsteht. Betrachte nun die langen exakten Folgen von relativen Homologiegruppen f¨ ur die Paare (Xn+1 , Xn ), (Xn , Xn−1 ) und (Xn−1 , Xn−2 ). Sie passen in ein kommutatives Diagramm ∅ = X−1

⊂

≻ X0

⊂

Hn (Xn−1 )

···

≻ X1

⊂

≻ ···

⊂

≻ Xn

⊂

Hn (Xn+1 ) ≻

≻ Hn (Xn ) ≻ 1 δ n+ ιn ≻ dZell n+1 ≻ Hn (Xn , Xn−1 ) ≻ Hn+1 (Xn+1 , Xn )

δn

≻ Hn (Xn−1 , Xn−2 ) ≻

≻ Hn−1 (Xn−1 ) ≻

Hn−1 (Xn−2 )

ι n−

≻ ···

(10)

1

≻ Hn−1 (Xn )

Definiere nun CnZell (X) : = Hn (Xn , Xn−1 ) und dZell wie im Diagramm (10). Offensichtlich liefert n dies einen Kettenkomplex, den sogenannten zellul¨ aren Kettenkomplex von X, der nat¨ urlich von der Zellenstruktur auf X abh¨ angt. Lemma 8.3. k 6= n.

1. Die Gruppe Hk (Xn , Xn−1 ) ist isomorph zu Z[Jn ] wenn k = n und trivial wenn

2. Es gilt Hk (Xn ) ∼ ur k > n. = 0 f¨ 24

3. Die Inklusion Xn

⊂

≻ X induziert einen Isomorphismus Hk (Xn )

≻ Hk (X) f¨ ur k < n.

Beweis. Teil 1: W¨ ahle M = Vereinigung der Bilder der Mittelpunkte der angeklebten n-Zellen. Nach Lemma 2.9 ist Xn−1 ⊂ ≻ Xn r Z die Inklusion eines Deformationsretraktes, also gilt nach (relativer) Homotopieinvarianz 6.5. Sei Z = Xn−1 ⊂ ≻ Xn , dann ist nach dem`Ausschneidungssatz 7.4 Hk (Xn r Z, Xn r M r Z) ∼ = Hk (Xn , Xn r M ). Es ist aber Xn r Z ∼ = j∈Jn Dn r ∂Dn , also wieder nach Homotopieinvarianz und 6.3 ( M n n−1 ∼ Z[Jn ] k = n ∼ Hk (D , S )= Hk (Xn r Z, Xn r M r Z) = 0 k 6= n j∈J n

Teil 2: Die lange exakte Folge des Paares (Xn , Xn−1 ) und Teil 1 zeigen Hk (Xn−1 ) ∼ ur = Hk (Xn ) f¨ ∼ k 6= n, n − 1, insbesondere f¨ ur k > n. Es folgt 0 ∼ H (X ) H (X ) f¨ u r k > n. = k 0 = k n Teil 3: Es folgt auch Hk (Xn ) ∼ ur k < n, also Hk (Xn ) ∼ = Hk (Xn+1 ) f¨ = Hk (X), sofern X = Xn+m f¨ ur m gross genug. Nimm an, dass X unendlich-dimensional ist. Zu zeigen ist die Bijektivit¨ at ⊂ von Hk (i) : Hk (Xn ) ≻ Hk (X) f¨ ur k < P n. Beachte i : Xn ≻ X ist relativer Zellenkomplex. k ≻ X singul¨ares k-Simplex. Sei [a] ∈ Hk (X) repr¨ asentiert durch a = m a s , wobei s : ∆ i i i i=1 k Weil ∆ kompakt ist, ist nach Satz 4.13 das Bild von si in einem endlichen Unterkomplex von Xn ⊂ ≻ X. Dies gilt f¨ ur jedes i, also ist a singul¨are Kette (und nat¨ urlich auch Zykel) in einem endlichem Unterkomplex. Nach dem schon gezeigten Teil von Aussage 3 ist [a] im Bild von ≻ Hk (X). Sei nun [b] ∈ Hk (Xn ) mit [i◦b] = 0. Letzteres bedeutet, dass es k +1-Kette γ : Hk (Xn ) c in X gibt mit dk+1 c = i◦b. Nach obigem Argument sind b und c in einem endlichen Unterkomplex von Xn ⊂ ≻ X, also nach dem schon gezeigten Teil von Aussage 3 ist [b] = 0. 

Satz 8.4 (Zellul¨ are Homologie). Sei X ein Zellenkomplex mit gew¨ ahlter Zellenstruktur. Die Homologiegruppen des zellul¨ aren Kettenkomplexes sind isomorph zu den Homologiegruppen von X. Beweis. Verwende hierzu Diagramm (10). Nach Lemma 8.3 gilt Hn (Xn+1 ) ∼ = Hn (X), also Hn (X) ∼ = Hn (Xn )/Imδn+1 . Weil Hn (Xn−1 ) = 0 nach Lemma 8.3 induziert ιn einen Iso Imδn+1

∼ =

≻ Imιn ◦ δn+1 = ImdZell n+1

und einen Iso Hn (Xn ) ∼ = Kerδn . Weil Hn−2 (Xn−1 ) = 0 nach Lemma 8.3 ist ιn−1 injektiv, also gilt Zell unferlemma 8.2 und Diagramm Kerdn = Kerδn . Der Satz folgt mit dem F¨ 0

≻ Imδn+1

≻ Hn (Xn )

g 0

ιn ∼ = g ≻ ImdZell n+1

ιn ∼ = g ≻ KerdZell n

≻ Hn (X) g ≻ Hn C

Zell


(X)

≻0 g ≻0 

Dies hat sofort fantastische Konsequenzen. Folgerung 8.5. Die Euler-Charakteristik eines endlichen Zellenkomplexes h¨ angt nicht von der Zellenstruktur ab. Beweis. Der Struktursatz [3, III.7.3] f¨ ur endlich erzeugte abelsche Gruppen liefert rankA = Anzahl der Z-Summanden. Erweitere Euler-Char von Kettenkomplexen von Vektorr¨aumen auf die von Kettenkomplexen von abelschen Gruppen. Nach Definition und Lemma 8.3 ist die Euler-Charakteristik ¨ von X dieselbe wie die des zellul¨ aren Kettenkomplexes, und somit nach Adaption von Ubung F¨ unf Aufgabe 2 und Satz 8.4 ∞ X (−1)i rankHi (X) eu(X) = i=0



25

Beispiel 8.6. ( Z 0 ≤ k ≤ n, k gerade Hk (CP ) ∼ = 0 sonst n

rechnen zu k¨ onnen: Um besser mit dZell n Definition 8.7. Sei f : S n

≻ S n eine Abbildung und x ∈ S n . Die induzierte Abbildung ≻ Hn (S n , f (x))

Hn (f, x) : Hn (Sn , x)

ist (nach kompatibler Identifikation der Gruppen mit Z, oder – anders ausgedr¨ uckt – nach kompa≻ Z, also gegeben durch Multiplikation mit einer Zahl tibler Wahl eines Erzeugers) ein Hom Z deg f ∈ Z. Dies ist der Grad von f , er h¨angt offensichtlich nicht von x ab. Wenn n ≥ 1, kann man auch direkt Hn (S n )
Lemma 8.8. 1. deg : HomTop (S n , S n ), ◦

≻ Hn (S n ) nehmen. ≻ (Z, ×) ist ein Monoidhomomorphismus.

2. Ist f nicht surjektiv, so ist deg f = 0.

3. Ist f homotop zu g, so ist deg f = deg g. 4. Ist f Spiegelung an einer Hyperebene durch den Nullpunkt, so ist deg f = −1. Beweis. Teil 1 folgt aus der Funktorialit¨at der Homologie (Lemma 6.4). Teil 2 folgt, weil dann f als S n ≻ S n r {z} ⊂ ≻ S n faktorisiert, und S n r {z} zusammenziehbar ist. Teil 3 folgt aus ¨ der Homotopieinvarianz (Satz 6.5). Teil 4 folgt aus geschickter Wahl eines Erzeugers – siehe Ubung Sieben Aufgabe 3.  Definition 8.9. Sei f : S n

≻ S n , n > 0 eine Abb. und y ∈ S n ein Punkt derart, dass f −1 (y) =

{x1 , . . . , xm } endlich ist. W¨ ahle Umg V von y und paarweise disjunkte Umg. xi ∈ Ui Es gibt ein kommutatives Diagramm Hn (Ui , Ui r {xi })

f

≻ V ∋ y.

≻ Hn (V, V r y)

∼ ∼ = = g g Hn (S n , S n r {xi }) ≻ Hn (S n , S n r y) f f ∼ ∼ = = Hn (S n )

≻ Hn (S n )

W¨ahle kompatible Isomorphismen mit Z f¨ ur die Eckpunkte des Diagramms. Die induzierte Abbildung Hn (Ui , Ui r {xi }) ≻ Hn (V, V r y) ist dann Multiplikation mit einer Zahl deg f |xi ∈ Z, dem lokalen Grad von f bei xi . Die Definition 8.9 h¨ angt nicht von der Wahl der Umgebung ab. Es reicht zu zeigen, dass eine Verkleinerung der Umgebung den lokalen Grad nicht beeinflusst, was nach dem Ausschneidungssatz gilt. ≻ S n , n > 0 eine Abb. und y ∈ S n ein Punkt derart, dass f −1 (y) = Lemma 8.10. Sei f : S n {x1 , . . . , xm } endlich ist. Dann ist m X deg f |xi . deg f = i=1

26

Beweis. Sei Z : = S n r ∪m i=1 Ui , dann ist nach dem Ausschneidungssatz und Lemma 6.3 m M i=1



m Hn Ui , Ui r {xi } ∼ = Hn ∪m i=1 Ui , ∪i=1 Ui r {xi }

= Hn S n r Z, (S n r f −1 (y)) r Z
∼ = Hn S n , S n r f −1 (y)




Die Inklusion Ui ⊂ ≻ S n induziert also die Inklusion des i-ten
direkten Summanden der freien abel≻ Hn S n , S n
r f −1 (y) . Die Inklusion S n r f −1 (y) ⊂ ≻ S n r schen Gruppe αi : Hn (Ui , Ui r xi ) {xi } induziert einen Hom βi : Hn S n , S n r f −1 (y) ≻ Hn (S n , S n r {xi }) , der nach Komposition ∼ =

Hn (Ui , Ui r {xi }) die Projektion auf den i-ten Summanden ist. mit Hn (S n , S n r {xi }) ≺ Betrachte nun das Diagramm φi

Hn (Ui , Ui r {xi }) ∼ =

αi g
βi ≺ n n n n Hn (S , S r {xi }) ≺ Hn S , S r f −1 (y) ≺ ∼ = f γ Hn (S n )

≻ Hn (V, V r y)

∼ = g ψ ≻ Hn (S n , S n r y) f ∼ = Hn (f ) ≻ Hn (S n )

Die horizontalen Abbildungen sind durch f bzw. Einschr¨ankungen von f definiert.
Das Diagramm ur alle i, kommutiert. IdentifizierePdie Ecken in kompatibler Weise mit Z. Dann gilt βi γ(1) = 1 f¨ m also γ(1) = (1, . . . , 1) = i=1 αi (1). Es folgt Hn (f )(1) = ψγ(1) = ψ

m X i=1

m m m X X
X deg f |xi . φi (1) = ψαi (1) = αi (1) = i=1

i=1

i=1

 Wir wissen: CnZell (X) = Hn (Xn , Xn−1 ) ist frei auf den n-Zellen von X. Um dZell auszurechnen, n betrachte ein Basis-Element j ∈ Jn . Lemma 8.11. Sei f¨ ur j ∈ Jn und k ∈ Jn−1 deg (j, k) der Grad der Abbildung gj,k : ∂Djn

fj

≻ Xn−1 /Xn−1 r (Dkn−1 r ∂Dkn−1 ) ≺

≻ Xn−1

Dann gilt dZell n (1 · j) =

P

k∈Jn−1

∼ =

Dkn−1 /∂Dkn−1

∼ =

≻ S n−1 .

deg (j, k) · k.

Beweis. Betrachte Diagramm δ Hn (Djn , ∂Djn ) ∼ ≻ Hn−1 (∂Djn ) = A Hn−1 (fj ) g g δn ≻ Hn−1 (Xn−1 ) Hn (Xn , Xn−1 ) dnZell

ιn−1 ≻ g Hn−1 (Xn−1 , Xn−2 )

gj,k

≻ Hn−1 (S n−1 ) f βk

B Hn−1 (q) C φ

≻ Hn−1 (Xn−1 /Xn−2 ) ι g

≻ Hn−1 (Xn−1 /Xn−2 , Xn−2 /Xn−2 )

Diagramm A kommutiert wegen der Nat¨ urlichkeit von δ, Diagramm B kommutiert nach Definition von gj,k , Diagramm C kommutiert wegen der Nat¨ urlichkeit der relativen Kettenkomplexe. W¨ ahle 27

Erzeuger von Hn (Djn , ∂Djn ), der auf 1 · j abgebildet wird, und sei 1 das Bild dieses Erzeugers under δ. Wie im Beweis von Lemma 8.10 ist βk Projektion auf den k-ten Summanden. Die Homs ι und φ sind Isomorphismen (f¨ ur ι: lange exakte Folge der rel. Homologiegruppen, f¨ ur φ, weil Xn−1 /Xn−2 ∼ = ∨k∈Jn−1 S n−1 und φ die Basen respektiert). Es folgt dZell n (1 · j) = ιn−1 (Hn−1 (fj )(1)) und somit ist die k-te Komponente von dZell n (1 · j) gegeben durch deg gj,k .



Beispiel 8.12. Siehe 2.8. Der zellul¨ are Kettenkomplex von Fg ist ≻Z

0

dZell 2

≻ Z2g

dZell 1

≻0

≻Z

= 0, damit H0 (Fg ) ∼ Es gilt dZell = Z. Es gibt nur ein j ∈ J2 . Wegen der Symmetrie der Konstruktion 1 stimmen gj,k und gj,k′ bis auf Rotation u ¨ berein. Da eine Rotation homotop zur Identit¨at ist, reicht es, ein k ∈ J1 zu betrachten. Es gilt mit geeigneter Parametrisierung  1 4g  0 ≤ θ ≤ 4g z   1 1 2 4g ≤ θ ≤ 4g gj,k (z) = 3 2  ≤ θ ≤ 4g z −4g 4g    1 3 ≤ θ ≤ 4g 4g

4g

= 0. wobei z = e2πiθ . Also ist gj,k immer nullhomotop, und somit dZell 2

9

Neunte Woche: Das Klebelemma

Letzte Aufgabe im Zusammenhang mit Homologie: Sei i : A ⊂ ≻ X eine Abbildung mit der HEE. ≻ X/A einen Isomorphismus Hn (X, A) ≻ Hn (X/A, A/A). Dann induziert die Projektion X Erinnerung an HEE. Beispiel 9.1. Sei X = I und A = {1, 21 , 13 , . . . , 0}. Dann ist H1 (X, A) surjektiv. Vergleiche mit Beispiel 4.5.

≻ H1 (X/A, A/A) nicht

Lemma 9.2. Seien i : A ⊂ ≻ X und j : A ⊂ ≻ Y Abbildungen mit der HEE. Ist f : X eine Homotopie¨aquivalenz mit f ◦ i = j, so ist f eine Homotopie¨ aquivalenz relativ zu A.

≻Y

Beweis. Siehe auch [2, Prop. 0.19]. Zu zeigen ist: es gibt ein Homotopie-Inverses g von f mit g◦j = i, ≻ X von g ◦ f zu idX mit F (i(a), t) = a f¨ ur alle a ∈ A, t ∈ I, und eine eine Homotopie F : X × I Homotopie F ′ : X × I ≻ X von f ◦ g zu idY mit F ′ (j(a), t) = a f¨ ur alle a ∈ A, t ∈ I. Sei g0 ein Homotopie-Inverses von f . Problem: eventuell ist g0 ◦ j 6= i. Verbessere g0 : Sei H: X ×I ≻ X Homotopie von g0 ◦ f zu idX . Das Diagramm A×0⊂

i

∩

g A×I f

≻X ×0

f

≻Y

∩

⊂

∪

A×1⊂

i×I

i

g ≻X ×I f ∪

≻X ×1

28

H

id

g0 g ≻X ≻

kommutiert also. Erweitere H ◦ (i × I) : A × I ≻ X zu Homotopie G : Y × I ≻ X mit vorgegebenem Anfangspunkt G|Y ×0 = g0 . Sei g1 : = G|Y ×1 , dann gilt g1 ◦ j = i, weil ja G auf A × 1 mit H|A×1 = i u ¨ bereinstimmt. Also g0 verbessert. Es gilt g1 ◦ f ≃ g0 ◦ f ≃ idX . Eine explizite Homotopie ist K: X ×I (x, t)

≻X
( G f (x), 1 − 2t ≻ H(x, 2t − 1)

0 ≤ t ≤ 12 1 2 ≤t≤1

(11)

ur Dies ist wohldefiniert, weil f¨ ur t = 21 G|Y ×1 ◦ f = g0 ◦ f = H|X×0 . Also auch stetig. Ist x = i(a) f¨ ein a ∈ A, so ist f¨ ur 0 ≤ t ≤ 12



K i(a), t = G f (i(a)), 1 − 2t = G j(a), 1 − 2t = H i(a), 1 − 2t

und f¨ ur

1 2

≤t≤1



K i(a), t = H i(a), 2t − 1 .

Definiere nun L: A × I × I (a, t, u) Beachte, dass f¨ ur u = 1 − 2t

und f¨ ur u = 2t − 1

≻X (
K i(a), t u ≤ 1 − 2t oder u ≤ 2t − 1
≻ K i(a), 1−u sonst 2



1 − u K i(a), t = K i(a), = H i(a), u 2



u + 1 = H i(a), u . K i(a), t = K i(a), 2 Es folgt, dass L wohldefiniert und stetig ist. Es gilt nach Definition von L L|A×I×0 =

K|A×0

(12)

L|A×0×I =

i ◦ pr

(13)

L|A×1×I =

i ◦ pr

(14)

L|A×I×1 =

i ◦ pr

(15)

Weil i : A ⊂ ≻ X die HEE hat, so auch i × I : A × I ⊂ ≻ X × I nach Teil 4 von Lemma 3.5. ≻ X zu einer Homotopie L′ : X × I × I ≻ X, die bei Erweitere die Homotopie L : A × I × I K : X ×I ≻ X anf¨ angt. Nach Gleichung (12) ist dies m¨oglich. Sei h : I ≻ I × I die Abbildung   0 ≤ t ≤ 13 (0, 3t) ≻ (3t − 1, 1) 31 ≤ t ≤ 23 t   (1, 3 − 3t) 32 ≤ t ≤ 1

Dann ist F : = L′ ◦ (X × h) : X × I ≻ X eine Homotopie von L′ |X×0×0 = K|X×0 = g1 ◦ f zu ′ L |X×1×0 = K|X×1 = idX . Ausserdem gilt F i(a), t) = i(a) nach Gleichungen (13), (14) und (15). In anderen Worten: F ist Homotopie von g1 ◦ f zu idX relativ zu A. Es gilt f ◦ g1 ≃ f ◦ g0 ≃ idY , und g1 ◦ j = i. Wende das bisher gezeigte auf die Situation an, wo i und j vertauscht sind, mit g1 anstelle von f und f anstelle von g0 . Dies liefert Abbildung f1 ≃ f mit der Eigenschaft f1 ◦ i = j, sowie eine Homotopie von f1 ◦ g1 zu idY , die relativ zu A ist. Damit gilt f1 = f1 ◦ idX ≃A f1 ◦ g1 ◦ f ≃A idY ◦ f = f,

also sind f und f1 homotop relativ zu A. Es folgt die Existenz einer Homotopie F ′ von f ◦ g1 zu idY relativ zu A. 

29

Folgerung 9.3. Sei i : A ⊂ ≻ X eine Abbildung mit der HEE und eine Homotopie¨ aquivalenz. Dann ist A ⊂ ≻ X Deformationsretrakt. id

i

Beweis. Spezialfall A ⊂ ≻ A, A ⊂ ≻ X. Nach Lemma 9.2 existiert eine Abbildung r : X mit r ◦ i = idA und Homotopie i ◦ r ≃A idX , also ist i : A ⊂ ≻ X Deformationsretrakt.

≻ Y eine

Beispiel f¨ ur Abbildung mit HEE ist Inklusion in den Abbildungszylinder. Sei f : X Abbildung, dann ist der Abbildungszylinder definiert als Verklebung f

X × {0} = X

≻A 

≻Y ∩

∩

j g ≻ M(f ).

p·

g X ×I

¨ Nach Ubung Drei Aufgabe 3 hat die Inklusion i(f ) : X = X × 1 ⊂ pr

≻ M(f ) die HEE. Ausserf

≻ Y und X × I ≻X ≻ Y eine Abbildung dem induzieren die Abbildungen idY : Y ≻ Y mit der Eigenschaft, dass p(f ) ◦ i(f ) = f . Des weiteren ist p(f ) eine Homop(f ) : M(f ) topie¨aquivalenz. Denn nach Konstruktion ist p(f ) ◦ j = idY , und eine Homotopie von idM(f ) zu j ◦ p(f ) kann man u ¨ber das Verklebediagramm (siehe Satz 2.5) X × {0} × I

f ×I

≻Y ×I ∩

∩

p·

g X ×I ×I angeben. Sei H : M(f )×I und X × I × I

X×g

≻ X ×I

j×I g ≻ M(f ) × I

≻ M(f ) die Abbildung, die induziert ist durch Y ×I kan.

pr

≻Y

j

⊂

≻ M(f )

≻ I eine stetige Abbildung mit

≻ M(f ), wobei g : I × I

g(0, t) = 0

∀t ∈ I

g(s, 0) = s

∀s ∈ I

g(s, 1) = 0

∀s ∈ I

ist – zum Beispiel die Abbildung (s, t)

≻

(

t≥s t≤s

0 s−t j

j

Beachte, dass H konstant auf dem Unterraum Y ⊂ ≻ M(f ) ist, also ist sogar Y ⊂ ≻ M(f ) Deformationsretrakt. Wir sehen: jede Abbildung faktorisiert als Abbildung mit der HEE, gefolgt von einer Homotopie¨ aquivalenz. Satz 9.4. Sei f : X ≻ Y eine Abb. Sie ist eine Homotopie¨aquivalenz genau dann, wenn X Deformationsretrakt des Abbildungszylinders von f ist. Insbesondere sind zwei topologische R¨ aume homotopie¨ aquivalent genau dann, wenn es einen dritten Raum gibt, der die anderen beiden als Deformationsretrakt enth¨alt. f

g

≻Y ≻ Z gegeben, so dass zwei der Beweis. Es reicht zu zeigen: Sind Abbildungen X Abbildungen f, g, h : = g ◦ f Homotopie¨aquivalenzen sind, dann ist auch die dritte Abbildung eine Homotopie¨ aquivalenz. 30

Fall 1: f, g Homotopie¨ aquivalenzen. Seien f , g Homotopie-Inverse, dann ist h ◦ f ◦ g = g ◦ f ◦ f ◦ g ≃ g ◦ g ≃ idZ

und f ◦ g ◦ h = f ◦ g ◦ g ◦ f ≃ f ◦ f ≃ idX

Fall 2: f, h Homotopie¨ aquivalenzen. Seien f , h Homotopie-Inverse, dann ist h ◦ f = g ◦ f ◦ f ≃ g. Es folgt g ◦ f ◦ h = h ◦ h ≃ idZ und f ◦ h ◦ g = f ◦ h ◦ h ◦ f ≃ f ◦ f ≃ idX Fall 3: (Der f¨ ur den Satz interessante Fall.) g, h Homotopie¨aquivalenzen. Seien g, h HomotopieInverse, dann ist g ◦ h = g ◦ g ◦ f ≃ f und somit f ◦ h ◦ g ≃ g ◦ h ◦ h ◦ g ≃ idY

und h ◦ g ◦ f = h ◦ h ≃ idX 

Um die Kompatibilit¨ at von Verklebekonstruktionen mit Homotopie¨aquivalenzen zu studieren, ben¨otigen wir ein Analogon von Lemma 3.5 f¨ ur Deformationsretrakte. (Liefert neuen Beweis daf¨ ur, ⊂ ⊂ ≻ M(f ) Deformationsretrakt ist, da ja 0 ≻ I ein Deformationsretrakt ist.) dass Y Lemma 9.5. 1. Eine disjunkte Vereinigung von Deformationsretrakten ist wieder ein Deformationsretrakt. 2. Ist i : A ⊂ ≻ B ein Deformationsretrakt und f : A j : X ⊂ ≻ X ∪A B wieder ein Deformationsretrakt.

≻ X irgendeine Abbildung, so ist

3. Ist A = A0

⊂

≻ A1

⊂

≻ A2

⊂

≻ ···

eine Folge von Deformationsretrakten, so ist die kanonische Abbildung A ⊂ formationsretrakt.

≻ A∞ ein De-

4. Ist i ein Deformationsretrakt und X irgendein Raum, so ist i × X ein Deformationsretrakt. Beweis. Zur Illustration einmal Teil 2: Es gibt Abb. r : B ≻ A mit r ◦ i = idA . Die Abbildungen ≻ X und id : X ≻ X induzieren eine Abbildung s : X ∪A B ≻ X mit s ◦ j = idX . f ◦r: B Sei F ◦ B × I ≻ B die Homotopie von i ◦ r zu idB relativ zu A. Definiere G : X ∪A B × pr j ≻ X ∪A B u ≻ X ⊂ ≻ X ∪A B und I ∼ ¨ber die Abbildungen X × I = X × I ∪A×I B × I F

kan.

≻B ≻ X ∪A B. Nach Definition ist G relativ zu X und eine Homotopie von j ◦ s zu B×I id. Die anderen Teile sind ebenfalls leicht zu zeigen.  Lemma 9.6. Sei i : A ⊂ ≻ X eine Abbildung mit der HEE. Dann ist die kanonische Abbildung f : X × {0} ∪ A × I ⊂ ≻ X × I die Inklusion eines Deformationsretraktes. ≻X× Beweis. Weil i : A ⊂ ≻ X die HEE hat, besitzt die Inklusion f eine Retraktion r : X × I 0 ∪ A × I nach Lemma 3.2. Die Komposition f ◦ r ist eine Abbildung in ein Produkt (X × I). Sei f ◦ r = (r1 , r2 ). Die Deformationsretraktion X × I ≻ X × I ist gegeben u ¨ber die Abbildung ≻X ×I

H: X ×I ×I (x, s, t)


≻ r1 (x, s · t), (1 − t)s + tr2 (x, s)

Sie ist stetig, da jede Komponente aus stetigen Funktionen zusammengesetzt ist. F¨ ur t = 0 ist
p(x, s, 0) = r1 (x, 0), (1 − 0)s + 0 · r2 (x, 0) = (x, s). 31

F¨ ur t = 1 ist

p(x, s, 1) = r1 (x, s), (1 − 1)s + ·r2 (x, s) = r1 (x, s), r2 (x, s) = f ◦ r.

Die Homotopie startet also bei der Identit¨at und landet bei der Komposition f ◦ r. F¨ ur x = i(a) ist

p i(a), s, t = r1 (a, s · t), (1 − t)s + tr2 (x, s) = (a, s − ts + ts) = (a, s) F¨ ur s = 0 ist


p(x, 0, t) = r1 (x, 0), (1 − t)0 + t · r2 (x, 0) = (x, 0).

Die Homotopie H ist also konstant auf dem Unterraum X × 0 ∪ A × I.

Bemerkung 9.7. Es ist auch m¨ oglich, direkt zu zeigen, dass X × 0 ∪ A × I hat, wenn dies f¨ ur A ⊂ ≻ X gilt.

 ⊂

≻ X × I die HEE

Satz 9.8 (Klebelemma). Es sei ein kommutatives Diagramm p1

Y1 ≺

A1

⊂

i1

f

h g Y2 ≺

g A2

p2

⊂

i2

≻ X1 g g ≻ X2

von Abbildungen top. R¨ aume gegeben. Die Abb. i1 , i2 haben die HEE, und f, g, h seien Homotopie¨aquivalenzen. Dann ist auch die induzierte Abbildung X1 ∪A1 Y1

≻ X2 ∪A2 Y2

eine Homotopie¨aquivalenz. Beweis. Betrachte zun¨ achst den Spezialfall, wo p1 = f = id und g = id. Gemeint ist das folgende: ≻ Y eine Homotopie¨aquivalenz, so ist auch die induHat i : A ⊂ ≻ X die HEE und ist h : A ′ ≻ X ∪A Y eine Homotopie¨aquivalenz. Nach Satz 9.4 reicht es zu zeigen, dass zierte Abb. h : X X ⊂ ≻ M(h′ ) eine Homotopie¨ aquivalenz ist. Die Abbildungen i : A ⊂ ≻ X und j : Y ⊂ ≻ X ∪A Y ≻ M(h′ ) u induzieren eine Abbildung k : M(h) ¨ber das Diagramm A×I ≺

⊃

A×0

h

≻Y ∩

∩

∩

i×I

i j ′ g g g h X × I ≺ ⊃ X × 0 ≻ X ∪A Y

Die Abbildungen k und X × 1 ⊂ ≻ M(h′ ) induzieren also eine Abbildung p : X ∪A×1 M(h)

≻ M(h′ ).

Weil A × 1 ⊂ ≻ M(h) ein Deformationsretrakt ist, ist es auch X ⊂ ≻ X ∪A M(h) nach Teil 2 von Lemma 9.5. Es reicht also zu zeigen, dass p eine Homotopie¨aquivalenz ist. Tatsache ist, dass p Kobasiswechsel des Deformationsretraktes q : X × 1 ∪A×1 A × I ⊂ ≻ X × I aus Lemma 9.6 ist. Das sieht man an folgendem Diagramm: A×1⊂ ∩

≻A×I

≻ M(h)

∩

p· p· k g g g X × 1 ⊂ ≻ X × 1 ∪A×1 A × I ≻ X ∪A×1 M(h) q ≻ g X ×I 32

p·

p g ≻ M(h′ )

Betrachte nun den allgemeinen Fall. Faktorisiere p1 und p2 mit Hilfe des Abbildungszylinders, so dass wir das Diagramm Y1 ≺ ≺

p1

≃ M(p1 ) ≺

⊃

h′ g M(p2 ) ≺

h

i1

A1 × 1 ⊂

g ⊃ A2 × 1 ⊂ id g A2 ⊂

p2

≻ X1 f id ≻ X1

i2

g g ≻ X2

i2

id g ≻ X2

f

≃ g ≺ Y2 ≺

i1

A1 ⊂ f id

erhalten. Nach dem schon behandelten Spezialfall k¨onnen wir annehmen, dass p1 und p2 auch die HEE haben. Betrachte nun das Diagramm A1

i1

⊂

≻ X1

∩

∩

f

g

≻

p1

A2

i2

⊂

≻ ≻ X2

∩

g Y1

g i′2 ≻ X1 ∪A1 Y1

⊂

f

g′

′

≻ g ≻ X2 ∪A1 Y1

q g Y2

q′ g ≻ X2 ∪A2 Y2

?

h

≻ g Y1 ∪A1 A2

≻

≻

Nach dem Spezialfall sind f ′ und g′ Homotopie¨aquivalenzen. Weil h = q ◦ f ′ eine Homotopie¨ aqui′ valenz ist, ist auch q eine. Nach Teil 2 von Lemma 3.5 hat i2 die HEE. Also ist wieder nach dem Spezialfall q ′ eine Homotopie¨ aquivalenz. Es folgt, dass die Abbildung ?, die uns interesssiert, eine Komposition von zwei Homotopie¨ aquivalenzen ist.  Damit beantworten wir eine Frage, die wir schon lange h¨atten stellen sollen: Ankleben einer Zelle h¨angt nur von der Homotopieklasse der Anklebe-Abbildung ab. Folgerung 9.9. Sei i : A ⊂ ≻ X eine Abbildung mit der HEE, und F : A × I Homotopie von f zu g. Dann sind X ∪A,f Y und X ∪A,g Y homotopie¨aquivalent. Beweis. Wende das Klebelemma 9.8 auf das Diagramm Y ≺

f

A×0⊂

i

∩

id g Y ≺ f id Y ≺

F

g

g A×I f

∩

⊂

∪

A×1⊂ 33

≻X ×0

i×I

i

g ≻X ×I f ∪

≻X ×1

≻ Y eine

an. Alle vertikalen Abbildungen sind Homotopie¨aquivalenzen, und i × I hat wieder die HEE nach Teil 4 von Lemma 3.5. Es gibt also Homotopie¨aquivalenzen X ∪A,f Y ≺

≃

X × I ∪A×I Y

≃

≻ X ∪A,g Y. 

Und die versprochene Anwendung. Satz 9.10. Sei i : A ⊂ ≻ X eine Abbildung mit der HEE. Dann induziert die Projektionsabbildung ≻ X/A einen Isomorphismus Hn (X, A) ≻ Hn (X/A, A/A). X Beweis. Sei c(A) : = A × I/A × {0}. Es gibt eine kanonische Inklusion A = A × {1} ⊂ ≻ c(A) und einen kanonischen Basispunkt c0 = A × {0} ⊂ ≻ c(A). Letztere Inklusion ist eine Homotopie¨ Aquivalenz, mit Homotopie induziert von A×I ×I

(a,s,t)7→(a,st)

≻A×I

≻ c(A)

Betrachte die Abbildung der Verklebe-Diagramme c(A) ≺ g ∗≺

⊃

A⊂

i

≻X

id id g i g A⊂ ≻X

Wenn i die HEE hat, so ist die induzierte Abbildung X ∪A c(A) ≻ X/A eine Homotopie¨ aquivalenz punktierter R¨ aume nach dem Klebelemma 9.8. Ausserdem sieht man, dass der Homomorphismus Hn (X, A) ≻ Hn (X/A, A/A) durch die Komposition Hn (X, A) ≻ Hn (X ∪A×1 ≻ Hn (X/A, A/A) induziert ist. Nach dem Ausschneidungssatz 7.4 ist c(A), c(A)) Hn (X ∪A×1 c(A) r c0 , c(A) r c0 )

≻ Hn (X ∪A×1 c(A), c(A))

ein Isomorphismus. Die Inklusion X ⊂ ≻ X ∪A×1 c(A) r c0 ist ein Deformationsretrakt u ¨ ber die Homotopie   ≻ X ∪A×1 c(A) r c0 X ∪A×1 c(A) r c0 × I
die konstant ist auf X und ein Paar (a, s), t ∈ c(A) r c0 auf (a, t · s + (1 − t)) abbildet. Die Einschr¨ankung A ⊂ ≻ c(A)rc0 ist ebenfalls ein Deformationsretrakt (¨ uber die eingeschr¨ankte Homoto≻ Hn (X ∪A×1 pie), und mit Homotopieinvarianz 6.5 erh¨alt man einen Isomorphismus Hn (X, A) c(A) r c0 , c(A) r c0 ). 

10

Zehnte Woche: Formale Eigenschaften

Frage: tritt jede abelsche Gruppe als Homologiegruppe auf? Beispiel 10.1. Fall Z/m, n ≥ 1. W¨ ahle Abbildung fm : S n ≻ S n vom Grad m (gibt es nach n n+1 u ∪S n ,fm S . Zum Beispiel M (Z/2, 1) = RP2 . ¨bung Acht Aufgabe 3). Setze M : = M (Z/m, n) : = D Dann ist Hk (M (Z/m, n), x) = Z/m. Betrachte ···

≻ Hk+1 S n

≻ Hk+1 Dn+1

≻ Hk+1 S n+1

≻ Hk+1 S n

≻ Hk+1 Dn+1

≻ Hk+1 S n+1

≻ ···

···

g ≻ Hk+1 S n

g ≻ Hk+1 M

g ≻ Hk+1 S n+1

g ≻ Hk+1 S n

g ≻ Hk+1 M

g ≻ Hk+1 S n+1

≻ ···

34

und w¨ahle k = n, dies liefert das Resultat. Ist G endlich erzeugt, erhalten wir M (G, n) u ¨ber Einpunkt-Vereinigung von solchen M ’s und S n ’s. Im allgemeinen Fall stelle G dar als Quotient einer freien abelschen Gruppe F ≻≻ G. Der Kern ist wieder frei und liefert ¨ahnlich wie bei π1 eine Vorschrift zum Ankleben von Zellen. Beachte: Ist n > 1, so ist M (G, n) einfach-zusammenh¨angend. Lemma 10.2 (Moore-R¨ aume). Sei G1 , G2 , . . . eine Folge von abelschen Gruppen. Dann gibt es einen wegzusammenh¨angenden Zellenkomplex X mit Hn (X) ∼ = Gn . Beweis. Nimm die Einpunkt-Vereinigung der M (Gn , n).



Kategorie: Klasse von Objekten, f¨ ur je zwei Objekte Menge von Morphismen, Identit¨aten, Kompositionsgesetz mit Assoziativit¨ at und Unit¨at. Beispiel 10.3.

• top. R¨ aume mit stetigen Abbildungen Top

• Zellenkomplexe mit stetigen Abbildungen • Mengen mit (injektiven) Abbildungen • Gruppen mit Homomorphismen • abelsche Gruppen mit Homomorphismen Ab • top. R¨ aume mit Homotopieklassen von Abbildungen • Kettenkomplexe • EG, BG. • partiell geordnete Mengen • C op Definition 10.4. Ein punktierter Zellenkomplex (X, x0 ) ist ein relativer Zellenkomplex {x0 } ⊆ X. In anderen Worten: X ist nichtleerer Zellenkomplex mit einer Null-Zelle als Basispunkt. Eine ≻ (Y, y0 ) ist einfach eine stetige Abbildung f : X ≻ Y mit punktierte Abbildung f : (X, x0 ) f (x0 ) = y0 . Sei Zell∗ die Kategorie der punktierten Zellenkomplexe und punktierten Abbildungen. (2) Allgemeiner: Sei Zell∗ die Kategorie der Paare (X, A), wo A ⊂ ≻ X ein relativer Zellenkomplex ist (keine Zellenstruktur gew¨ ahlt) und A punktierter Zellenkomplex. Abbildungen sind punktierte Abbildungen von Paaren. Funktor: Zuordnung von Kategorien Beispiel 10.5.

• π1

• Hn • ⊕n≥0 Hn • singul¨ arer Komplex • dualer Vektorraum • freie abelsche Gruppe • vergiss • Quotientenraum:paare nach top 35

Nat¨ urliche Transformation: Abbildung von Funktoren. • Hurewicz-Abbildung

Beispiel 10.6.

• einheit, coeinheit f¨ ur freie abelsche Gruppe • δ • Doppeldual Satz 10.7. Sei X ein weg-zusammenh¨ angender Raum mit Basispunkt x0 . Die Hurewicz-Abbildung hX : π1 (X, x0 ) ≻ H1 (X) induziert einen Isomorphismus ∼ =

π1 (X, x0 )ab

≻ H1 (X).

¨ Beweis. W¨ ahle Iso θ : ∆1 ≻ I, z.b. θ(x, y) = x. Aus Aufgabe 4 von Ubung 5 bzw. 6 folgt: Bildet ≻ X an x0 auf die Homologieklasse des 1-Zykels man Homotopieklasse [f ] einer Schleife f : I 1 · (f ◦ θ) ab, so erh¨ alt man einen wohldefinierten surjektiven Gruppenhomomorphismus φ : π1 (X, x0 )ab

≻ H1 (X).

Es reicht zu zeigen, dass h injektiv ist. W¨ahle f¨ ur jeden Punkt x ∈ X einen Weg px : I ≻ X von x0 nach x derart, dass px0 der konstante Weg ist. (Geht, weil X wegzs.) Definiere einen Gruppenhom ≻ π1 (X, x0 )ab u ψ : C1 (X) ¨ber 1·s

  ≻ ps(1,0)  (s ◦ θ −1 ) ps(0,1) .

(Bildchen!) Dies geht, weil die Zielgruppe abelsch und die Quelle frei abelsch ist – nach π1 klappt das nicht. Hier wie im Folgenden wird zwischen Elementen in π1 und der Abelianisierung nicht unterschieden. Um einen Homomorphismus auf H1 (X) zu bekommen, muss man noch zeigen: jeder ≻ X ein singul¨ares 2-Simplex mit Eckenbildern s(1, 0, 0) = Rand geht auf die 1. Sei also s : ∆2 x, s(0, 1, 0) = y, s(0, 0, 1) = z dann ist ψ(s ◦ δ0 − s ◦ δ1 + s ◦ δ2 )

ψ(d2 (s)) = =

[py  (s ◦ δ0 ◦ θ

−1

) pz ] · [px  (s ◦ δ1 ◦ θ

−1

−1

) pz ]

· [px  (s ◦ δ2 ◦ θ −1 ) py ]

=

[py  (s ◦ δ0 ◦ θ −1 ) pz ] · [pz (s ◦ δ1 ◦ θ −1 ) px ] · [px  (s ◦ δ2 ◦ θ −1 ) py ]

=

[py  (s ◦ δ0 ◦ θ −1 ) pz  pz  (s ◦ δ1 ◦ θ −1 ) px  px  (s ◦ δ2 ◦ θ −1 ) py ]

=

[py (s ◦ δ0 ◦ θ −1 ) (s ◦ δ1 ◦ θ −1 ) (s ◦ δ2 ◦ θ −1 ) py ]

=

1

Somit induziert ψ einen Gruppenhomomorphismus ψ : H1 (X) ≻ π1 (X, x0 )ab . Und weil px0 konstant ist, ist
ψ(φ([f ])) = ψ 1 · f ◦ θ = [px0  f ◦ θ ◦ θ −1 px0 ] = [f ]. Insbesondere ist φ injektiv.



Definition 10.8. Eine reduzierte Homologietheorie besteht aus 1. einer Folge {hn : Zell∗

≻ Ab}n∈Z von Funktoren

2. einer Folge von nat¨ urlichen Transformationen δn : hn (X/A) mit folgenden Eigenschaften: 36

≻ hn−1 (A)

1. Homotopieinvarianz 2. lange exakte Folge 3. beliebige Summen Beispiel 10.9. h(X, x0 ) = H(X, x0 ). Andere Beispiele u ¨ber direkte Summen, Koeffizienten, shift, Bordismus, K-Theorie. Koeffizienten vom orientierten Bordismus: Z, 0, 0, 0, Z, Z/2, 0, 0, Z ⊕ Z, . . . . Koeffizienten von reeller K-Theorie: Z, Z/2, Z/2, 0, Z, 0, 0, 0. Satz 10.10 (Eilenberg-Steenrod). Ist h reduzierte Homologietheorie und h∗ (S 0 ) = Z, so ist h∼ = H.

11

Elfte Woche: Zellul¨ are Approximation

Segensreiche Anwendungen der singul¨ aren Homologie: Invarianz der Dimension, Brouwer’scher Fixpunktsatz, Gruppenoperationen auf gerade-dimensionalen Sph¨aren, kommutative endlich-dimensionale reelle Divisionsalgebren [2, 2B.5], ... Was sagt Homologie u ¨ ber den Hom¨oomorphie- bzw. Homotopietyp eines top. Raumes? Nicht genug! So haben S 1 ∨ S 1 ∨ S 2 und S 1 × S 1 isomorphe Homologiegruppen, aber verschiedene Fundamentalgruppen. Feinere Invariante: Homotopiegruppen. Definition 11.1. Sei (X, x0 ) ein punktierter topologischer Raum und n ≥ 0. Die Menge der Homotopieklassen von Abbildungen (I n , ∂I n ) ≻ (X, x0 ) sei mit πn (X, x0 ) bezeichnet. Homotopien seien hier relativ (konstant auf dem Unterraum ∂I n ). F¨ ur n = 1 erhalten wir die Fundamentalgruppe, f¨ ur n = 0 die punktierte Menge der Wegzusammenhangsklassen eines Raumes (punktiert durch die Klasse der konstanten Abbildung mit Wert x0 ). Nat¨ urlich kann man (I n , ∂I n ) durch (D n , ∂Dn ) ersetzen, aber die n Koordinaten machen ≻ (X, x0 ) sei einiges einfacher. Sei n ≥ 1. Die Verkn¨ upfung zweier Abbildungen f, g : (I n , ∂I n ) definiert als f g :

In

≻X ( f (2t1 , t2 , . . . , tn ) 0 ≤ t1 ≤ 12 (t1 , . . . , tn ) ≻ g(2t1 − 1, t2 , . . . , tn ) 12 ≤ t1 ≤ 1

Man u uft leicht, dass eine relative Homotopie f ≃ f ′ eine relative Homotopie f  g ≃ f ′  g ¨ berpr¨ induziert, und ebenso f¨ ur g ≃ g ′ . Lemma 11.2. Sei n ≥ 2. Die Operation [f ] + [g] : = [f g] definiert eine kommutative Gruppen≻ Ab. Ist f ≃ f ′ eine relative struktur auf πn (X, x0 ). Das Resultat ist ein Funktor πn : Top∗ Homotopie, so gilt πn (f ) = πn (f ′ ). Beweis. Die Kommutativit¨ at folgt aus dem Bildchen auf [2, Seite 340]. Anderer Beweis in Aufgabe ¨ 1 von Ubung 10. Der Rest ist klar.  Definition 11.3. Seien A ⊂ ≻ X und B ⊂ ≻ Y relative Zellenkomplexe. W¨ahle Zellenstrukturen f¨ ur beide. Eine Abbildung f : (X, A) ≻ (Y, B) ist zellul¨ ar (bez¨ uglich der gew¨ahlten Zellenstruktur), wenn f (Xn ) ⊆ Yn gilt f¨ ur alle n ≥ 0. Beispiel 11.4. Sei A = {x} ⊂ ≻ S m = {x} ∪∂Dm D m und B = {y} ⊂ ≻ S n = {y} ∪∂Dn D n , mit m < n. Dann ist f : (S m , x) ≻ (S n , y) zellul¨ar genau dann, wenn f konstant y ist.

37

Lemma 11.5. Sei m < n, A ⊂ ≻ X = A ∪∂Dm D m und B ⊂ ≻ Y = B ∪∂Dn D n . Jede Abbildung f : (X, A) ≻ (Y, B) ist homotop zu einer Abbildung mit Bild in B. Die Homotopie kann so gew¨ ahlt werden, dass sie konstant auf A ist. Beweis. Es reicht zu zeigen: Jede Abbildung f : (D m , ∂Dm ) zu einer Abbildung mit Bild in B. Denn ist g : (X, A) Dm

≻X

g

≻ Y eine Abbildung f : (D m , ∂Dm )

≻ (Y, B) ist homotop relativ ∂D m ≻ (Y, B) eine Abbildung, so liefert

≻ (Y, B), und die Homotopie F : D m × pr

g

1 ≻A⊂ ≻X ≻ Y die I ≻ Y relativ ∂D m liefert zusammen mit der Homotopie A × I m ∼ m gew¨ unschte Homotopie auf X × I = D × I ∪∂D ×I A × I (siehe Satz 2.5). ≻ (Y, B) Induktion nach n. Sei zun¨ achst n = 1, also m = 0. Eine Abbildung f : (D 0 , ∂D0 ) ist ein Punkt in Y . Ist der Punkt in B, ist nichts zu tun. Ansonsten ist der Punkt in der offenen 1-Zelle. W¨ahle Weg von diesem Punkt zu +1 ∈ ∂D 1 . Dies liefert die gew¨ unschte Homotopie. Als Induktionsvoraussetzung w¨ ahlen wir einen Spezialfall der Aussage des Lemmas. Sei n derart, dass jede Abbildung f : (D p , ∂Dp ) ≻ S n−1 mit p < n−1 homotop relativ ∂D p zu einer konstanten ¨ Abbildung ist. Ubergang zum Quotienten liefert, dass jede Abbildung S p ≻ S n−1 homotop zu einer konstanten Abbildung ist, wenn p < n − 1. In anderen Worten: Jede Abbildung S p = ≻ S n−1 besitzt eine Erweiterung auf eine Abbildung D p+1 ≻ S n−1 . Hierbei kann ∂Dp+1 n−1 man S durch einen homotopie¨ aquivalenten Raum ersetzen. Wir werden folgende Formulierung ben¨otigen:

Jede Abbildung S p

≻ S n−1 × (a, b) besitzt eine Erweiterung D p+1

≻ S n−1 × (a, b).

(16)

≻ (Y, B) eine Abbildung, wo Y = Um den Induktionsschritt zu zeigen, sei f : (D m , ∂Dm ) B ∪∂Dn D n . Gibt es einen Punkt x in der offenen n-Zelle, den f nicht trifft, so k¨onnen wir f als Abbildung nach Y ′ = B ∪∂Dn Dn r {x} auffassen. Die Inklusion B ⊂ ≻ Y ′ ist nach Lemma 2.9 ein Deformationsretrakt, und liefert somit eine Homotopie von f zu einer Abbildung mit Bild in B. Unser Ziel ist es also, f relativ ∂D m zu einer Abbildung zu deformieren, die einen Punkt – sagen wir den Mittelpunkt der n-Zelle – nicht trifft. Sei hierzu U ′ : = {x ∈ D n | |x| ≤

2 1 } und V ′ : = {x ∈ D n | |x| ≥ }. 3 3

Sei U das Bild von U ′ in Y unter der charakteristischen Abbildung, und sei V Vereinigung von B
mit dem Bild von V ′ . Es gilt also U ∪ V = Y , beide Mengen sind offen, und U ∩ V ∼ = S n−1 × 31 , 23 . ∼ (D m , ∂Dm ) f ≻ (Y, B). Weil I m kompakt Betrachte an Stelle von f die Abbildung g : (I m , ∂I m ) =

ist, gibt es ein N > 0 und eine Unterteilung von I m in Teilw¨ urfel der Kantenl¨ange N1 derart, dass jeder Teilw¨ urfel nach U oder nach V abgebildet wird (manche auch nach U ∩V ). Diese Unterteilung liefert eine Zellenstruktur auf I m . Sei C der Unterkomplex der Zellen, die nach V abgebildet werden, und betrachte den relativen Zellenkomplex C = Z−1

⊂

≻ Z0

⊂

≻ ···

⊂

≻ Zp

⊂

≻ ···

⊂

≻ Zm = I m .

Also enth¨alt Zp+1 r Zp die p + 1-Zellen in I m , die unter g nach U , aber nicht nach V abgebildet werden. Setze g−1 : = g|C : Z−1 ≻ Y . Konstruiere nun induktiv eine Folge von Abbildungen gp : Zp ≻ Y mit den Eigenschaften 1. gp |Zp−1 = gp−1 2. gp (W ) ⊆ U ∩ V f¨ ur alle p-Zellen W ∈ Zp r Zp−1 . Sei p derart, dass gp bereits konstruiert ist. Um gp+1 zu konstruieren, w¨ahle eine p + 1-Zelle W ∈ Zp+1 r Zp−1 . Es gilt, dass gp (∂W ) ⊆ U ∩ V . Denn wenn W ′ eine p-Zelle in ∂W mit W ′ ∈ Zp r Zp−1 ist, so gilt gp (W ′ ) ⊆ U ∩ V nach Voraussetzung. Und wenn W ′ eine p-Zelle in ∂W mit g(W ′ ) ⊆ V 38

ist (also W ′ ⊆ C), so gilt auch gp (W ′ ) = g(W ′ ) ⊆ V und gp (W ′ ) = g(W ′ ) ⊆ g(W ) ⊆ U . Nach Induktionsannahme < n−1 existiert eine Erweiterung von gp : ∂W ≻ U∩
(16) und weil p ≤ m−1 1 2 n−1 W W ∼ V =S × 3 , 3 zu einer Abbildung gp+1 : W ≻ U ∩ V . Konstruktion von gp+1 f¨ ur jede p + 1Zelle W ∈ Zp+1 r Zp−1 liefert gp+1 : Zp+1 ≻ Y mit den gew¨ unschten Eigenschaften 1 und 2. ≻ Y . Weil ∂I m ⊆ C ist gm (∂I m ) = Insbesondere haben wir nun eine Abbildung gm : I m m g(∂I ) ⊆ B. Es reicht zu zeigen, dass g homotop relativ ∂I m zu gm ist. Tats¨achlich wird die Homotopie relativ C sein. Sei D ⊆ I m der Abschluss des Komplements I m r C. Setze Im × I (x, t)

≻Y ( (1 − t)g(x) + tgm (x) ≻ g(x)

x∈D x∈C

Hierbei k¨onnen wir sowohl g|D als auch gm |D als Abbildungen D ≻ U auffassen. Denn jede Zelle W , die g nicht nach V abbildet, wird von g nach U abgebildet, und von gm sogar nach V ∩ U . Dies gilt dann auch f¨ ur ∂W , und somit auf ganz D. Nun ist aber U hom¨oomorph zu dem konvexen Raum U ′ ⊆ Rn , was die Wahl einer linearen Homotopie erm¨oglicht. Die Homotopie ist wohldefiniert, denn f¨ ur x ∈ C ∩ D ist gm (x) = g(x) nach Konstruktion. Weil gm den Mittelpunkt von D n nicht trifft, ist g homotop relativ ∂I m zu einer Abbildung mit Bild in B.  Folgerung 11.6. Sei m < n und x ∈ S n . Es gilt πm (S n , x) ∼ = 0. Beweis. Dies folgt aus Beispiel 11.4 und Lemma 11.5.



≻ (Y, B) eine Abbildung von Satz 11.7 (Zellul¨ arer Approximationssatz). Sei f : (X, A) relativen Zellenkomplexen. W¨ ahle Zellenstrukturen f¨ ur A ⊂ ≻ X und B ⊂ ≻ Y . Dann ist f homotop zu einer zellul¨ aren Abbildung. Die Homotopie ist konstant auf A. Beweis. Der Beweis verl¨ auft so, dass f per Induktion u ¨ber die Zellenstruktur von (X, A) immer “zellul¨arer gemacht” wird. Setze f 0 : = f . Sei m derart, dass eine Folge F 0 , F 1 , . . . , F m−1 von Homotopien existiert mit folgenden Eigenschaften: 1. F i ist konstant auf Xi−1 f¨ ur alle 0 ≤ i < m 2. F i ist eine Homotopie von f i zu f i+1 3. f i (Xj ) ⊆ Yj f¨ ur alle j < i (fi ist zellul¨ar bis zur Dimension i − 1). Fasse Xm auf als Verklebung a

∂Djm

≻ Xm−1 ∩

j∈Jm ∩

ag Djm

h

g ≻ Xm

j∈Jm

` h und bezeichne die Komposition Dkm ⊂ ≻ j∈Jm Djm ≻ Xm mit fkm . Weil D m kompakt ist, liegt fkm (D m ) in einem endlichen Unterkomplex (Z, Ym ) des relativen Zellenkomplexes (Y, Ym ). Weil (Z, Ym ) endlich viele Zellen der Dimension > m hat, kann man Lemma 11.5 endlich oft anwenden m m m und erh¨alt so eine Homotopie Gm k relativ ∂Dk von fk zu einer Abbildung gk , deren Bild in Ym liegt. Zusammensetzen all der Homotopien Gm ur j ∈ Jm liefert eine Homotopie Gm relativ j f¨ 39

zu Xm−1 von f m |Xm : Xm ≻ Y zu einer Abbildung mit Bild in Ym . Wegen der HEE f¨ ur die Inklusion Xm ⊂ ≻ X existiert eine Erweiterung von Gm zu einer Homotopie F m : X × I ≻Y, m m+1 m m die bei f : X ≻ Y anf¨ angt und bei einer Abbildung f aufh¨ort. Weil F |Xm = G , ist die Homotopie konstant auf Xm−1 und f m+1 (Xm ) ⊆ Ym . Nat¨ urlich ist wegen dieser Konstanz und der Induktionsvoraussetzung auch f m+1 (Xj ) = f m (Xj ) ⊆ Yj f¨ ur alle j < m. Also erf¨ ullt F m die Eigenschaften 1, 2 und 3. Definiere nun F: X ×I (x, t)

≻

≻Y  (
 m F m x, (m + 1)(m + 2) t − m+1 F n (x, 0)

m m+1

≤t≤

m+1 m+2

t = 1, x ∈ Xm , n > m

Die Definition ist so zu verstehen: Ist t < 1, so liegt es in einem der angegebenen Intervalle. Man kann nachrechnen, dass f¨ ur t = m+1 m+2  (m + 1)2 − m(m + 2)  F m x, (m + 1)(m + 2) (m + 1)(m + 2) m m+1 F (x, 1) = f (x) = F m+1 (x, 0)   m + 1 m + 1  F m+1 x, (m + 2)(m + 3) − m+2 m+2

 m + 1 m  F m x, (m + 1)(m + 2) = − m+2 m+1 = =

gilt. Ist nun (x, 1) ∈ X × I, so gilt x ∈ Xm f¨ ur ein m. Es folgt aus Bedingung 1, dass F n |Xm ×I = m+1 f |Xm konstant (unabh¨ angig von t) ist f¨ ur alle n > m. Also ist F wohldefiniert. Die Homotopie F ist stetig, sobald F |Xm ×I stetig ist f¨ ur alle m ≥ −1. Es folgt aber aus Bedingung 1, dass m+1 gilt. Die Stetigkeit folgt.  F (x, t) = F m+1 (x, t) = f m+1 (x) f¨ ur alle t ≥ m+2 Bemerkung 11.8. Mit Hilfe des Grades einer Abbildung kann man zeigen, dass πn (S n , x) nichttrivial ist f¨ ur alle n ≥ 0. Hierzu identifizieren wir πn (X, x) mit der Menge der punktierten Homo≻ (X, x). Der Grad ist ja ein Monoidhomotopieklassen von punktierten Abbildungen (S n , 1) morphismus deg : HomTop (S n , S n ) ≻Z (siehe Definition 8.7). Als kleine Modifikation w¨ahlen wir die Einschr¨ankung des Grades auf
deg : HomTop∗ (S n , x), (S n , x) ≻ Z.

¨ Aufgabe 3 von Ubung 8 zeigt, dass diese Abbildung surjektiv ist Nach Lemma 8.8 Teil 3 faktorisiert der Grad u ¨ber die kanonische Abbildung
HomTop∗ (S n , x), (S n , x) ≻ πn (S n , x),

also ist die induzierte Grad-Abbildung πn (S n , x) ein Isomorphismus von abelschen Gruppen ist.

12

≻ Z auch surjektiv. Man kann zeigen, dass sie

Zw¨ olfte Woche: Schwache Homotopie¨ aquivalenzen

F¨ ur Homologiegruppen ist eine relative Form n¨ utzlich. Die hat man auch bei Homotopiegruppen. n−1 n ⊂ ≻ I als Unterraum auf und definiere J n−1 als Abschluss des Komplementes Fasse hierzu I ×0 n−1 n von I × 0 in ∂I .

40

Definition 12.1. Sei i : A ⊂ ≻ X die Inklusion eines Unterraums, x0 ∈ A und n ≥ 1. Die Menge der Homotopieklassen von Abbildungen (I n , ∂I n , J n−1 ) ≻ (X, A, x0 ) sei mit πn (X, A, x0 ) bezeichnet. Homotopien seien hier Homotopien von Tripeln in dem Sinne, dass sie die Unterr¨ aume respektieren. Also wird ∂I n (nicht notwendigerweise konstant) nach A abgebildet, und J n−1 wird auf den Basispunkt abgebildet. Wieder verwendet man  f¨ ur die Definition einer Gruppenoperation, was jedoch n ≥ 2 erfordert. So ist etwa π1 (X, A, x0 ) die Menge der (relativen) Homotopieklassen von Wegen in X, die in A starten und in x0 enden. Dies hat im Allgemeinen keine vern¨ unftige Gruppenstruktur. Jedoch ist die Gruppenstruktur wieder abelsch f¨ ur n ≥ 3. Lemma 12.2. Eine Abbildung f : (I n , ∂I n , J n−1 ) ≻ (X, A, x0 ) liefert das neutrale Element in n πn (X, A, x0 ), wenn sie homotop relativ ∂I zu einer Abbildung mit Bild in A ist. ≻ A ⊂ ≻ X. Dann ist [f ] = [g] ∈ πn (X, A, x0 ), Beweis. Sei f homotop relativ zu ∂I n zu g : I n n n denn g(∂I ) ⊆ g(I ) ⊆ A die Homotopie ist konstant auf ∂I n , respektiert also die Unterr¨ aume. n−1 n n n−1 ⊂ Weil i : J ≻ I ein Deformationsretrakt ist, gibt es eine Abbildung r : I ≻J mit r ◦ i = id und eine Homotopie H : id ≃ i ◦ r, die konstant auf J n−1 ist. Dann liefert g ◦ H eine Homotopie von g zu einer Abbildung g ◦ i ◦ r. Weil aber g|J n−1 konstant x0 ist, ist g somit homotop zur konstanten Abbildung. Die Homotopie bewahrt den Unterraum ∂I n , da ja sowieso g schon ganz nach A abbildet. Sie ist auch relativ zu J n−1 , da H konstant auf J n−1 ist. ≻ X von f zu x0 mit Ist umgekehrt [f ] = [x0 ], so gibt es eine Homotopie F : I n × I F (∂I n × I) ⊆ A und F (J n−1 × I) = {x0 }. Also ist auch F (I n × 1) = {x0 }. W¨ahle eine Abbildung φ : In × I ≻ I n × I mit der Eigenschaft, dass f |I n ×0 = id, f |I n ×1 sei ein Hom¨oomorphismus von n n ≻ ∂I n × 0. Dann ist F ◦ φ die gew¨ unschte I × 1 auf I × 1 ∪ ∂I n × I, und f |∂I n×I = pr1 : ∂I n × I Homotopie.  Nat¨ urlich kann man – wie schon bei der absoluten Homotopiegruppe – das Tripel (I n , ∂I n , J n−1 ) durch das hom¨ oomorphe Tripel (D n , ∂Dn , Dn−1 ) ersetzen, wobei D n−1 ⊂ ≻ ∂D n die Inklusion der Nordhalbkugel ist. Das Kollabieren von D n−1 liefert das Tripel (D n , ∂Dn , x) (bis auf Hom¨ omorphie). Dies induziert einen Isomorphismus von πn (X, A, x0 ) mit den Homotopieklassen von Abbildungen von Tripeln f : (D n , ∂Dn , x) ≻ (X, A, x0 ). angend, wenn f¨ ur jedes m ≤ n und jede Definition 12.3. Eine Inklusion A ⊂ ≻ X ist n-zusammenh¨ m m m Abbildung f : (D , ∂D ) ≻ (X, A) eine Homotopie relativ zu ∂D von f zu einer Abbildung ur alle n, so ist i eine schwache mit Bild in A existiert. Ist i : A ⊂ ≻ X n-zusammenh¨angend f¨ Homotopie¨aquivalenz. So ist eine Inklusion A ⊂ ≻ X 0-zusammenh¨angend, wenn jede Wegzusammenhangskomponente von X einen Repr¨ asentanten aus A hat. Dank Lemma 12.2 und der obigen Umschreibung der relativen Homotopiegruppen erh¨ alt man leicht folgende Aussage. Lemma 12.4. Eine Inklusion A ⊂ ≻ X ist n-zusammenh¨angend genau dann, wenn sie 0-zusammenh¨ angend ist und πm (X, A, x0 ) ∼ ur alle x0 ∈ A und 1 ≤ m ≤ n. = {1} gilt f¨ Beweis. F¨ ur n = 0 ist nichts zu zeigen. Sei n ≥ 1. Sei A ⊂ ≻ X n-zusammenh¨angend. W¨ahle x0 ∈ A und einen Repr¨ asentanten f : (D m , ∂Dm , x) ≻ (X, A, x0 ) eines Elements in πm (X, A, x0 ), wobei m ≤ n gilt. Es gibt eine Homotopie relativ ∂D m zu einer Abbildung mit Bild in A. Nach Lemma 12.2 ist [f ] = 1 ∈ πm (X, A, x0 ). ≻ (X, A) Sei nun πm (X, A, x0 ) ∼ ur alle x0 ∈ A und 1 ≤ m ≤ n. Sei f : (D m , ∂Dm ) = {1} f¨ eine Abbildung, wo 1 ≤ m ≤ n, und w¨ahle einen Basispunkt x ∈ ∂D m . Setze x0 : = f (x), dann ist [f : (D m , ∂Dm , x) ≻ (X, A, x0 )] = 1 ∈ πm (X, A, x0 ). Nach Lemma 12.2 ist f homotop relativ  ∂Dm zu einer Abbildung mit Bild in A. Also ist A ⊂ ≻ X n-zusammenh¨angend.

41

Lemma 12.5. Sei A ⊂ ≻ X ein relativer Zellenkomplex und B ⊂ ≻ Y eine n-zusammenh¨ angende Inklusion. Dann ist jede Abbildung f : (X, A) ≻ (Y, B) homotop relativ A zu einer Abbildung g mit g(Xn ) ⊆ B. Beweis. Die Homotopie wird induktiv konstruiert, wobei f −1 : = f . W¨ahle eine Zellenstruktur A = X−1 ⊆ X0 ⊆ X1 ⊆ · · · ⊆ X. Sei −1 ≤ m ≤ n derart, dass eine Folge von Homotopien F 0 , F 1 , . . . , F m−1 existiert mit den Eigenschaften 1. F i ist konstant auf Xi−1 2. F i ist Homotopie von f i−1 zu f i , und f i (Xi ) ⊆ B f¨ ur alle 0 ≤ i ≤ m − 1. Das m-Skelett entstehe durch das Verklebe-Diagramm a ∂Djm ≻ Xm−1 ∩

j∈Jm

∩

ag Djm

h

g ≻ Xm ,

j∈Jm

f m−1

was uns Abbildungen gj : (Djm , ∂Djm ) ≻ (Y, B) per Komposition mit Xm ⊂ ≻ X ≻Y m ⊂ liefert. Weil B ≻ Y n-zusammenh¨ angend ist, gibt es eine Homotopie Gj relativ zu ∂Dj von gj zu einer Abbildung hj mit Bild in B. Die Homotopien {Gj }j∈Jm induzieren eine Homotopie f m−1

≻ Y relativ Xm−1 von Xm ⊂ ≻ X ≻ Y zu einer Abbildung mit Bild in B. Weil G : Xm × I ⊂ Xm ≻ X die HEE besitzt, existiert eine Erweiterung F m : X × I ≻ Y von G. Dann ist F m die gew¨ unschte Homotopie. Zusammensetzen der Homotopien liefert eine Homotopie relativ A von ≻ Y mit f (Xn ) ⊆ B.  f zu einer Abbildung f n : X Satz 12.6. Sei A ⊂ ≻ X ein relativer Zellenkomplex und B ⊂ ≻ Y eine schwache Homotopie¨aqui≻ (Y, B) homotop relativ A zu einer Abbildung mit valenz. Dann ist jede Abbildung f : (X, A) Bild in B. Beweis. Nach dem Beweis von Lemma 12.5 erhalten wir f¨ ur jedes m ≥ 0 eine Homotopie F m relativ m−1 m −1 m Xm−1 von f zu f , wobei f = f und f (Xm ) ⊆ B. Definiere F: X ×I (x, t)

≻

≻Y  (
 m F m x, (m + 1)(m + 2) t − m+1 F n (x, 0)

m m+1

≤t≤

m+1 m+2

t = 1, x ∈ Xm , n > m

wie schon in dem Beweis des zellul¨ aren Approximationssatzes 11.7. Dies hat die gew¨ unschten Eigenschaften.  Folgerung 12.7. Sei i : A ⊂ ≻ X ein relativer Zellenkomplex und eine schwache Homotopie¨aquivalenz. Dann ist A ⊂ ≻ X ein Deformationsretrakt. Beweis. Nach Satz 12.6 existiert eine Homotopie relativ A von idX zu einer Abbildung mit Bild in A. Fertig!  ≻ (X, x0 ) von Paaren auch eine Abbildung Offensichtlich liefert eine Abbildung (I n , ∂I n ) ≻ (X, A, x0 ) von Tripeln, was eine Abbildung γn : πn (X, x0 ) ≻ πn (X, A, x0 )

(I n , ∂I n , J n−1 )

42

f¨ ur n ≥ 1 induziert. Da die Gruppenstrukturen f¨ ur n ≥ 2 auf identische Weise konstruiert werden, ist γn ein Gruppenhomomorphismus. Eine Abbildung (I n , ∂I n , J n−1 ) ≻ (X, A, x0 ) liefert per n−1 n n−1 n−1 ⊂ Einschr¨anken auf I ×0 ≻ ∂I eine Abbildung (I , ∂I ) ≻ (A, x0 ), was wieder eine Abbildung δn : πn (X, A) ≻ πn−1 (A, x0 ) f¨ ur n ≥ 1 induziert. Sie ist wieder ein Gruppenhomomorphismus f¨ ur n ≥ 2, weil ja die erste Koordinate f¨ ur die Konstruktion der Gruppenstruktur verwendet wurde. Satz 12.8. Sei i : A ⊂ ≻ X die Inklusion eines Unterraums und x0 ∈ A. Die Folge ···

δn+1 πn (i) γn δn ≻ πn (A, x0 ) ≻ πn (X, x0 ) ≻ πn (X, A, x0 ) ≻ πn−1 (A, x0 ) ≻ π1 (X, A, x0 )

···

≻ π0 (A, x0 )

≻ ··· ≻ π0 (X, x0 )

ist exakt. Beweis. Setze βn : = πn (i). Exaktheit an einer Stelle heisst, das das Bild einer Abbildung mit dem Urbild des ausgezeichneten Elementes unter der n¨achsten Abbildung u ¨bereinstimmt. Dies ist relevant f¨ ur die Stellen π1 (X, x0 ) ≻ π1 (X, A, x0 ) ≻ π0 (A, x0 ) ≻ π0 (X, x0 ). ≻ (A, x0 ) Repr¨asentant eines Elementes in Exaktheit bei πn (X, x0 ) f¨ ur n ≥ 1: Sei f : (I n , ∂I n ) ≻ (X, A, x0 ). Da f Bild πn (A, x0 ). Dann ist γn (βn ([f ])) repr¨ asentiert durch f : (I n , ∂I n , J n−1 ) n n in A hat, ist nach Lemma 12.2 γn (βn ([f ])) trivial. Sei nun f : (I , ∂I ) ≻ (X, x0 ) Repr¨asentant eines Elementes in πn (X, x0 ) derart, dass γn ([f ]) = 1 ∈ πn (X, A, x0 ) gilt. Dann ist nach Lemma 12.2 f homotop relativ zu ∂I n zu einer Abbildung In

g

i

≻ A ⊂ ≻ X.

Da aber f (∂I n ) = {x0 } gilt, ist die Homotopie konstant auf ∂I n und somit [f ] = [i ◦ g] = βn ([g]) ∈ πn (X, x0 ). Exaktheit bei πn (X, A, x0 ) f¨ ur n ≥ 1: Sei f : (I n , ∂I n ) ≻ (X, x0 ) Repr¨asentant eines Elementes in πn (X, x0 ). Dann ist δn (γn ([f ])) repr¨asentiert durch die Einschr¨ankung der Abbildung f : (I n , ∂I n , J n−1 ) ≻ (X, A, x0 ) auf das Paar (I n−1 × 0, ∂I n−1 ). Da aber f (∂I n ) = {x0 } gilt, ist die Einschr¨ankung konstant und somit 
 δn γn [f ] = 1 ∈ πn−1 (A, x0 ). ≻ (X, A, x0 ) Repr¨asentant eines Elementes [f ] ∈ πn (X, A, x0 ) mit Sei nun f : (I n , ∂I n , J n−1 ) δn ([f ]) = 1. Dies bedeutet, dass die Einschr¨ankung von f auf (I n−1 × 0, ∂I n−1 ) als Abbildung g : (I n−1 , ∂I n−1 ) ≻ (A, x0 ) homotop relativ ∂I n−1 zu der konstanten Abbildung ist. Sei G : I n−1 × ≻ A eine solche Homotopie von x0 zu f . Betrachte nun die Abbildung I h:

In (x1 , . . . , xn ) ≻

(

≻X G(x1 , x2 , . . . , xn−1 , 2xn ) 0 ≤ xn ≤ 21 f (x1 , x2 , . . . , xn−1 , 2xn − 1) 12 ≤ xn ≤ 1

Sie ist wohldefiniert, weil G(x1 , . . . , xn−1 , 1) = f (x1 , . . . , xn−1 , 0) gilt – und somit auch stetig. Ist x ∈ J n−1 , so ist h(x) = x0 , weil ja G(∂I n−1 × I) = x0 und f (J n−1 ) = x0 . Ausserdem ist f¨ ur (x, 0) ∈ I n−1 × 0 h(x, 0) = G(x, 0) = x0 , und somit h(∂I n ) = {x0 }. Sei H:

In × I

≻X ( G(x1 , x2 , . . . , xn−1 , 1 − t + 2xn ) 0 ≤ xn ≤ 2t (x1 , . . . , xn , t) ≻ t 2 xn − 2−t ) 2t ≤ xn ≤ 1 f (x1 , x2 , . . . , xn−1 , 2−t 43

Dies ist eine Homotopie, die bei f startet und bei h endet. Des weiteren ist H(∂I n ) ⊆ A und H(J n−1 ) = {x0 }, also ist H eine Homotopie von Abbildungen von Tripeln. Es folgt, dass [f ] = [h] = γn ([h]). Exaktheit bei πn (A, x0 ) f¨ ur n ≥ 0: Sei f : (I n+1 , ∂I n+1 , J n ) ≻ (X, A, x0 ) Repr¨asentant eines f

≻A ≻ X homotop relativ ∂I n zu Elementes in πn+1 (X, A, x0 ). Dann ist I n × 0 ⊂ ≻ I n+1 einer konstanten Abbildung – die Homotopie ist gegeben durch f selbst. Also ist βn (γn ([f ])) = 1 ∈ πn (X, x0 ). Ist f : (I n , ∂I n ) ≻ (A, x0 ) Repr¨asentant eines Elementes in πn (A, x0 ) und βn ([f ]) = 1, ≻ X relativ ∂I n von i ◦ f zu einer konstanten Abbildung. so gibt es eine Homotopie F : I n × I n+1 n+1 n ≻ (X, A, x0 ) eine Abbildung von Tripeln mit δn ([F ]) = [f ].  Somit ist F : (I , ∂I ,J ) Folgerung 12.9. Sei A 6= ∅. Eine Inklusion i : A ⊂ ≻ X ist n-zusammenh¨angend genau dann, wenn f¨ ur alle x0 ∈ A die Abbildung πm (i) : πm (A, x0 ) ≻ πm (X, x0 ) bijektiv ist f¨ ur alle m < n und ⊂ ≻ πn (X, x0 ) surjektiv ist. Insbesondere ist i : A ≻ X eine schwache Homoπn (i) : πn (A, x0 ) topie¨ aquivalenz genau dann, wenn f¨ ur alle x0 ∈ A die Abbildung πn (i) : πn (A, x0 ) ≻ πn (X, x0 ) bijektiv ist f¨ ur alle n. Beweis. Dies folgt aus Satz 12.8 und Lemma 12.4.



Folgerung 12.9 motiviert folgende Definition. ≻ Y ist eine schwache Homotopie¨aquivalenz, wenn

Definition 12.10. Eine Abbildung f : X • entweder X = Y = ∅, oder

• X 6= ∅ und die Abbildung πn (f, x0 ) : πn (X, x0 ) jedes n ≥ 0 ein Isomorphismus ist. Lemma 12.11.

≻ πn (Y, f (x0 )) f¨ ur jedes x0 ∈ X und f¨ ur

1. Jede Homotopie¨ aquivalenz ist eine schwache Homotopie¨ aquivalenz.

2. Ist f eine schwache Homotopie¨ aquivalenz und g homotop zu f , so ist auch g eine schwache Homotopie¨ aquivalenz. ≻ Y, g : Y

3. Sind zwei der drei Abbildungen f : X topie¨ aquivalenzen, so auch die dritte.

≻ Z, g ◦ f : X

≻ Z schwache Homo-

¨ Beweis. Teil 1 folgt aus Aufgabe 2 von Ubung 10. Teil 2 sieht man so ein: Sei F : X × I ≻ Y die Homotopie von f zu g, und ist x0 ∈ X, so liefert der Weg F |{x0 }×I : I ≻ Y von y0 : = f (x0 ) zu ≻ πn (Y, y1 ). Weil das Diagramm y1 : = g(x0 ) einen Isomorphismus πn (Y, y0 ) πn (X, x0 )

πn (f ) ≻ πn (Y, y0 )

πn

(g)

∼ = ≻ g πn (Y, y1 )

kommutiert, folgt Teil 2. Zu Teil 3: Sind f und g schwache Homotopie¨aquivalenzen, so ist es auch g ◦ f , weil πn ein Funktor ist. Seien f und g ◦ f schwache Homotopie¨aquivalenzen. W¨ahle einen Punkt y0 ∈ Y . Ist y0 = f (x0 ) f¨ ur ein x0 ∈ X, so folgt, dass pin (g, y0 ) Iso ist wegen Funktorialit¨ at. Weil π0 (f ) ein Iso ist, gibt es jedoch ein x0 ∈ X und einen Weg von f (x0 ) zu y0 . Dieser Weg induziert Isomorphismen, die in das kommutative Diagramm πn (Y, f (x0 ))

πn (g, f (x0 )) ≻ πn (Z, g(f (x0 )))

∼ = g πn (Y, y0 )

∼ = g πn (g, y0 ) ≻ πn (Z, g(y0 )) 44

passen. Es folgt, dass πn (g, y0 ) ein Iso ist. Seien nun g und g ◦ f schwache Homotopie¨aquivalenzen. Sei x0 ∈ X, dann ist sofort πn (f, x0 ) ein Isomorphismus wegen Funktorialit¨at. 

13

Dreizehnte Woche: Whitehead-Satz

Satz 13.1 (J.H.C. Whitehead). Sei f : X ≻ Y eine schwache Homotopie¨ aquivalenz von Zellenkomplexen. Dann ist f eine Homotopie¨ aquivalenz. Beweis. W¨ ahle eine zu f homotope zellul¨are Abbildung g. Dies ist nach dem zellul¨aren Approximationssatz m¨ oglich. Dann ist auch g eine schwache Homotopie¨aquivalenz. Weil g zellul¨ ar ist, ist der Abbildungszylinder M(g) ein Zellenkomplex, der X als Unterkomplex enth¨alt (Aufgabe 1 ¨ Ubung 11). Somit faktorisiert g als eine Inklusion i von Zellenkomplexen, gefolgt von einer Homotopie¨aquivalenz. Es folgt, dass auch i eine schwache Homotopie¨aquivalenz ist. Dann ist aber i schon eine Homotopie¨ aquivalenz nach Folgerung 12.7, und somit ist g als Komposition von Homotopie¨aquivalenzen wieder eine. Weil f zu g homotop ist, ist auch f eine Homotopie¨aquivalenz.  Beispiel 13.2. Der Warschauer Kreis W ist ein Beispiel f¨ ur einen Raum, der f¨ ur jeden Basispunkt triviale Homotopiegruppen hat, aber dennoch nicht zusammenziehbar ist. Der Raum W besteht aus der Vereinigung des Abschlusses der Menge 1 M : = {(x, sin ) | 0 < x ≤ 1} ⊆ R2 x mit dem Bild eines injektiven Weges w : I ≻ R2 von (0, 0) zu (1, sin 1), der M nur in diesen beiden Punkten trifft (Skizze!). Zur Erinnerung: M ist nicht wegzusammenh¨angend. Denn nimm ≻ M von (1, sin 1) zu (0, 1). Sei t0 : = inf f −1 ({0} × [−1, 1]). Weil an, es gebe einen Weg f : I I abgeschlossen ist, ist es auch das Urbild, also ist f (t0 ) = (0, y0 ) ∈ {0} × [−1, 1]. Ist y0 = 1, so konstruiere eine Folge an ∈ [0, t0 ) induktiv. Setze a0 : = 0. Ist an−1 bereits konstruiert, so w¨ahle ein an ∈ [0, t0 ) mit an > an−1 und   1 f (an ) = 3π , −1 2 + kπ f¨ ur ein gen¨ ugend grosses k. Dies liefert eine streng monotone, also gegen x0 konvergente Folge, deren Bild gegen (0, −1) konvergiert. Ist y0 6= 1, so konstruiere analog eine Folge, deren Bild gegen (0, 1) konvergiert. Dies ist im Widerspruch zur Stetigkeit von f . Als Vorbereitung betrachte die Quotientenraumprojektion p:

W v

≻ S1   v ∈ {0} × [−1, 1] 1 πit ≻ e v = w(t)   πi(2−x) e v = (x, sin( x1 ))

≻ (x, sin( x1 )) Die Abbildung p ist wohldefiniert – unter anderem, weil sowohl w als auch x injektive Abbildungen sind. Sie ist auch surjektiv. Die Stetigkeit von p an allen Punkten ausser 1 ∈ S 1 ist klar. Ist 1 ∈ U ⊆ S 1 ein kleines offenes Intervall, so besteht das Urbild p−1 (U ) aus einem kleinen offenen St¨ uck des Bildes von w, der Menge {0} × [−1, 1] und einer offenen Teilmenge von M . Dies ist offen in W , und somit ist p stetig. Weil W kompakt und S 1 Hausdorff’sch ist, ist p eine Quotientenraumprojektion. Da p|W r0×[−1,1] injektiv ist, ist die induzierte Abbildung ≻ S 1 sogar ein Hom¨ oomorphismus. W/0 × [−1, 1] 45

Sei e : R ≻ S 1 die Exponentialfunktion x ≻ e(x) = e2πix . Wir verwenden, dass e eine ¨ Uberlagerung ist und als solche die Homotopie-Liftungs-Eigenschaft hat: Ist F : X × I ≻ S 1 eine Homotopie und g : X × 0 ≻ R eine Abbildung mit e ◦ g = F |X×0 , so existiert eine Homotopie G: X × I ≻ R mit der Eigenschaft, dass e ◦ G = F und G|X×0 = g (siehe [2, 1.1.30]). Nimm ≻ W von idW zu einer Abbildung W ≻ {v0 } ⊂ ≻ W , an, es gebe eine Homotopie H : W × I H

p

wo v0 ∈ W . Dann gibt es auch eine Homotopie F : W × I ≻W ≻ S 1 von p zu einer 1 ⊂ Abbildung f : W ≻ {p(v0 )} ≻ S . Letztere Abbildung besitzt nat¨ urlich einen Lift, etwa ⊂ ≻ {x0 } ≻ R, wobei x0 ∈ [0, 1] und e(x0 ) = p(v0 ). Somit existiert eine Homotopie g: W ≻ R von g zu einer Abbildung h : W ≻ R mit e ◦ h = p. Es gilt dann h(0 × G: W × I [−1, 1]) ⊆ e−1 (1) = {0, 1}. Weil [−1, 1] zusammenh¨angend ist, ist entweder h(0 × [−1, 1]) = {0} oder h(0 × [−1, 1]) = {1}. 1 , sin nπ). Dann ist Fall 1: h(0 × [−1, 1]) = {0}. Sei an := ( nπ 1

1

p(an ) = eπi(2− nπ ) = e2πi(1− 2nπ ) und somit h(an ) = 1 −

1 2nπ .

Es folgt
lim h(an ) = 1 6= h lim an = h(0, 0) = 0,

n→∞

n→∞

was der Stetigkeit von h widerspricht.
1 Fall 2: h(0 × [−1, 1]) = {1}. Sei bn := w n1 . Dann ist p(bn ) = e2πi( n ) und somit h(bn ) = n1 . Es folgt
1
lim h(bn ) = 0 6= h lim bn = h w( lim ) = h(w(0)) = h(0, 0) = 1, n→∞ n n→∞ n→∞ was der Stetigkeit von h widerspricht. Also kann es die Homotopie H nicht geben, und W ist nicht zusammenziehbar. Als n¨achstes betrachte die Homotopiegruppen von W . Ist v ∈ W ein beliebiger Punkt, so gibt es einen Weg von v zu w0 : = (0, 0) – entweder im Intervall {0} × [−1, 1], oder u ¨ber M und den Weg w. ≻ (W, w0 ) eine Schleife. Ich behaupte, dass ein x0 ∈ (0, 1] existiert, so Sei nun f : (I, ∂I)
ur alle x < x0 . Angenommen, so ein x0 existiere nicht. Konstruiere induktiv dass f (t) 6= x, sin x1 f¨ eine Folge tn ∈ I. Sei t0 die kleinste Zahl in I derart, dass f (t) = (1, sin 1)
– der Punkt ist ja im 2 2 Bild von f . W¨ ahle n ∈ N mit nπ < 1, dann existiert t′1 mit f (t′1 ) = nπ , 1 – auch dieser Punkt ¨ ist im Bild von f . W¨ ahle das kleinste t1 mit t1 > t0 und f (t1 )2 = 1. Ahlich wird t2 konstruiert, usw. Dies liefert eine streng monotone, also konvergente Folge in I mit limn→∞ f (tn ) = (0, 1). Setze t∞ : = limn→∞ tn und definiere nun g : [t0 , t∞ ] t

≻M ( f (t0 ) f (t) ∈ /M ≻ f (t) sonst

Die Abbildung g ist also der Teil von f , der in M landet und stellt einen Weg von f (t0 ) nach (0, 1) dar. Sie ist stetig, weil M nicht weg-zusammenh¨angend ist. Denn f kann nur u ¨ber t0 den Raum M betreten oder verlassen. Dies widerspricht aber der Tatsache, dass (0, 1) und (1, sin 1) in verschiedenen Wegzusammenhangskomponenten von M sind. Also landet f in einem auf offensichtliche Weise zusammenziehbaren Unterraum von W . Dies zeigt, dass π1 (W, w0 ) ∼ ≻ (W, w0 ) eine Abbildung, so liefert = {1}. Ist aber f : (I n , ∂I n ) die Komposition Peano f (I, ∂I) ≻ (I n , ∂I n ) ≻ (W, w0 ) dass f wieder in einem auf offensichtliche Weise zusammenziehbaren Unterraum von W landet. ≻ (I n , ∂I n ) eine surjektive stetige Abbildung. Somit ist πn (W, w0 ) Hierbei ist Peano : (I, ∂I) ≻ W ist eine schwache Homotopie¨aquivalenz, aber keine Homotopie¨ aquitrivial f¨ ur alle n und ∗ valenz. 46

Satz 13.3. Ist f : X ≻ Y eine schwache Homotopie¨ aquivalenz, so ist die von f induzierte Abbildung Hn (f ) : Hn (X; G) ≻ Hn (Y ; G) ein Isomorphismus f¨ ur alle n und alle Koeffizienten G. Beweis. Faktorisiere f als Inklusion X ⊂ ≻ M(f ), gefolgt von einer Homotopie¨aquivalenz. Es reicht zu zeigen, dass eine n-zusammenh¨angende Inklusion X ⊂ ≻ Z von weg-zusammenh¨ Pmangenden R¨aumen triviale relative Homologiegruppen Hi (Z, X; G) f¨ ur i ≤ n besitzt. Sei z = j=1 aj sj ein relativer i-Zykel in Z, der ein Element in Hi (Z, X; G) repr¨asentiert. Konstruiere einen Zellenkomplex K aus der disjunkten Vereinigung m a

∆i

j=1

¨ durch folgende Aquivalenzrelation: Je zwei R¨ander δp : ∆i−1 ⊂ ≻ ∂∆ij , δq : ∆i−1 ⊂ ≻ ∂∆ik werden per Identit¨ at identifiziert, wenn sj ◦ δp = sk ◦ δq . Also induzieren die sj ’s eine stetige Abbildung f: K ≻ Z. Sei L ⊆ K das i − 1-Skelett von K und x0 ein Basispunkt in L. Weil z ein relativer Zykel ist, ist f (L) ⊆ X. Wir k¨ onnen z als Bild eines relativen Zykels z ′ unter f auffassen. Weil ⊂ ≻ Z i-zusammenh¨ angend ist, ist nach Lemma 12.2 f homotop relativ L zu einer AbbilX dung mit Bild in X. Diese Homotopie zeigt, dass z = Hi (f )(z ′ ) im Bild der Abbildung 0 = Hi (X, X; G) ≻ Hi (Z, X; G) liegt, also trivial ist.  Die Umkehrung von Satz 13.3 gilt im Allgemeinen nicht – noch nicht mal f¨ ur Zellenkomplexe. Beispiel 13.4. Aus Beispiel 1.8 folgt, dass π1 (S 1 ∨ S 1 ) die freie Gruppe auf zwei Erzeugern, a und b, ist. Sei f : S 1 ≻ S 1 ∨ S 1 ein Repr¨asentant des Elements a5 b−3 ∈ π1 (S 1 ∨ S 1 ), und sei 1 1 1 ≻ S ∨ S ein Repr¨ asentant des Elements b3 (ab)−2 . Konstruiere einen Zellenkomplex als g: S Verklebung ` a g 2 f 2 ≻ S1 ∨ S1 ∂D ∂D ∩

∩

D2

g a

p·

g ≻X

D2

Der zellul¨are Kettenkomplex von X hat dann die Form d3

d2

d1

0 ≻0 ≻Z⊕Z ≻ Z⊕Z ≻Z   5 −2 wobei d1 = 0 und d2 = . Weil die Determinante dieser Matrix −1 ist, ist d2 ein −3 1 Isomorphismus und Hn (X) ∼ ur alle n 6= 0. R¨aume mit solchen Homologiegruppen nennt = {0} f¨ man auch azyklisch. Dank Lemma 2.10 erhalten wir, dass π(X) die Gruppe mit Pr¨asentation < a, b | a5 b−3 , b3 (ab)−2 > ist. Um zu zeigen, dass π(X) nichttrivial ist, reicht eine surjektive Abbildung in eine nichttriviale Gruppe. Sei G die Gruppe der Rotationssymmetrieen des regul¨ aren Dodekaeders. Man kann nachrechnen, dass G die Pr¨asentation < α, β | α5 , β 3 , (αβ)2 > besitzt. Hier ist α die Rotation um eine Achse, die durch die Mittelpunkte zweier gegen¨ uberliegender Pentagons geht, und β ist die Rotation um eine Achse, die zwei Eckpunkte dieser Pentagons und den Mittelpunkt des Dodekaeders durchquert. Ein Gruppenhomomorphismus ist gegeben durch φ : π(X)

≻G

a

≻α

b

≻β 47

Die Gruppe G ist u ¨ brigens isomorph zur A5 und hat 60 Elemente. Der Kern von φ besteht aus zwei Elementen, das nichttriviale ist a5 = b3 = (ab)2 . Insbesondere hat π1 (X) 120 Elemente. Es folgt, dass ∗ ≻ X einen Isomorphismus auf allen Homologiegruppen induziert, nicht aber auf der Fundamentalgruppe. (Die Gruppe π1 (X) ist die einzige Gruppe, die die Fundamentalgruppe einer Homologie-3-Sph¨ are sein kann. Eine Homologie-3-Sph¨are ist eine geschlossene 3-dimensionale Mannigfaltigkeit, die die Homologiegruppen der 3-Sph¨are hat.) Beispiel 13.2 zeigt, dass es R¨ aume gibt, die nicht homotopie¨aquivalent zu einem Zellenkomplex sind. Jedoch ist jeder Raum schwach-homotopie¨aquivalent zu einem Zellenkomplex. Definition 13.5. Sei X ein topologischer Raum. Ein zellul¨ ares Modell von X ist eine schwache ≻ X, wobei Z ein Zellenkomplex ist. Homotopie¨ aquivalenz f : Z ≻ W , wobei W der Warschauer Kreis aus Beispiel 13.2 ist, ist Beispiel 13.6. Die Abbildung ∗ ein zellul¨ares Modell. Es gibt noch andere, z.B. 0 × [−1, 1] ⊂ ≻ W oder I ≻ ∗ ≻ W. Satz 13.7. Sei X ein topologischer Raum. Dann existiert ein zellul¨ ares Modell von X. Beweis. Das zellul¨ are Modell wird induktiv konstruiert. Weil Elemente in Homotopiegruppen verwendet werden, die ja nicht immer Gruppen (π0 ) bzw. abelsch (π1 ) sind, werden die ersten Schritte explizit angegeben. Ist X = ∅, so ist nichts zu zeigen. Sei also X 6= ∅. W¨ahle aus jeder Wegzusammenhangskomponente von X einen Punkt. Dies liefert eine Abbildung a ≻X f0 : Z0 : = Dj0 j∈π0 (X)

derart, dass π0 (f0 ) ein Isomorphismus ist. W¨ahle f¨ ur jedes z ∈ Z0 eine Menge G1 (z) von Repr¨ asen1 1 tanten g : (D , ∂D ) ≻ (X, f0 (z)) f¨ ur ein Erzeugendensystem von π1 (X, f0 (z)). Die Abbildung g

∂D1 ⊂ ≻ D 1 ≻ X faktorisiert u ¨ber f0 . Die induzierte Abbildung ∂D 1 mit g bezeichnet. Wir erhalten ein Verklebediagramm ` a g 1 ≻ Z0 ∂D ∩

g∈G1 (z),z∈Z0

p·

∩

ag

≻ Z0 werde weiter

D1

g ≻ Z1

g∈G1 (z),z∈Z0

D1

Die Abbildungen g : ≻ X induzieren eine Abbildung f1 : Z1 ≻ X mit f1 |Z0 = f0 . Tats¨achlich ist Z1 eine disjunkte Vereinigung von Einpunkt-Vereinigungen von Kreisen. Die induzierte Abbildung π0 (f1 ) ist nach wie vor bijektiv, die induzierte Abbildung π1 (f1 , z) ist nach Konstruktion surjektiv f¨ ur alle z ∈ Z0 , da ja jeder Erzeuger in π1 (X, f0 (z)) getroffen wird. Sei nun n eine Zahl derart, dass eine Abbildung fn−1 : Zn−1 ≻ X existiert, wobei • Zn−1 ein Zellenkomplex der Dimension n − 1 ist, und • πm (fn−1 , z) bijektiv ist f¨ ur alle m < n − 1 und surjektiv f¨ ur m = n − 1, f¨ ur alle z ∈ Z0 . ≻ (Zn−1 , z) W¨ahle f¨ ur jedes z ∈ Z0 eine Menge Kn−1 (z) von Repr¨asentanten k : (∂D n , x) eines Erzeugendensystems des Kerns kerπn−1 (fn−1 , z). W¨ahle ausserdem f¨ ur jedes z ∈ Z0 eine Menge Gn (z) von Repr¨ asentanten g : (D n , ∂Dn ) ≻ (X, fn−1 (z)) eines Erzeugendensystems von πn (X, fn−1 (z)). Wieder faktorisiert die Einschr¨ankung g|∂Dn u ¨ber fn−1 . Die Verklebung a ∂Dn ≻ Zn−1 ∩

k∈Kn−1 (z),g∈Gn (z),z∈Z0

p·

∩

ag

Dn

k∈Kn−1 (z),g∈Gn (z),z∈Z0

48

g ≻ Zn

kommt zusammen mit einer Abbildung fn : Zn ≻ X derart, dass fn |Zn−1 = fn−1 . Nach dem ¨ zellul¨aren Approximationssatz 11.7 bzw. Aufgabe 4 von Ubung 12 ist πm (Zn−1 , z)) ⊂ ≻ πm (Zn , z) bijektiv f¨ ur alle m < n − 1 und surjektiv f¨ ur m = n − 1, f¨ ur alle z. Somit gilt das gleiche f¨ ur πm (fn , z), nach Induktionsvoraussetzung und Funktorialit¨at.
Ist α : (S n−1 , x) ≻ (Zn , z) derart, dass πn−1 (fn , z) [α] = {1} ∈ πn−1 (X, f0 (z)) ist, so ist α homotop relativ Basispunkt zu einer Abbildung mit Bild in Zn−1 (Satz 11.7). Also ist [α] = [k1 ] · [k2 ] · · · [kℓ ], wobei ki ∈ Kn−1 (z). Da aber jedes ki : ∂D n ≻ Zn−1 ⊂ ≻ Zn nach Konstruktion n ≻ Zn besitzt, ist [α] = {1} ∈ πn−1 (Zn , z), und πn−1 (fn , z) ist injektiv f¨ ur eine Erweiterung D alle z ∈ Z0 . Die Surjektivit¨ at von πn (fn , z) sieht man genauso, was den Induktionsschritt beendet, ≻ X. Da jeder Punkt in Z u und somit auch die Konstruktion von f : Z ¨ ber einen Weg mit einer 0-Zelle verbunden werden kann, ist πn (f, z) bijektiv f¨ ur alle z ∈ Z. Dies verwendet wieder Satz 11.7 ¨ bzw. Aufgabe 4 von Ubung 12.  Eine Konsequenz von Satz 13.7 und Satz 13.3 ist, dass die Homologiegruppen von X sich als Homologiegruppen von Z berechnen lassen. Da die Konstruktion von Z Wissen u ¨ber die Homotopiegruppen von X voraussetzt, ist dies nicht so praktisch. Nichtsdestotrotz gibt es Konstruktionen in (Ko)-Homologie, die zun¨ achst nur f¨ ur Zellenkomplexe funktionieren, sich aber mit oben genannten S¨atzen auf alle R¨ aume erweitern lassen. Man kann aus dem Beweis von Satz 13.7 noch etwas herausholen. angende zellul¨ are InLemma 13.8. Sei A ein Zellenkomplex und A ⊂ ≻ X eine n-zusammenh¨ ⊂ ≻ Z und eine Homotoklusion. Dann existiert eine n-zusammenh¨ angende zellul¨ are Inklusion A pie¨aquivalenz f : Z ≻ X relativ zu A derart, dass Z r A nur Zellen der Dimension > n besitzt. Beweis. Die Konstruktion ist wie im Beweis von Satz 13.7, wobei wir mit i : A ⊂ ≻ X starten. Also ist πm (i) bijektiv f¨ ur m < n und surjektiv f¨ ur m = n. Ankleben von n + 1-Zellen entlang von gen¨ uegend vielen Anklebeabbildungen aus dem Kern von πn (i) bzw. πn+1 (X) liefert j

i : A ⊂ ≻ Zn+1

fn+1

≻ X, wobei πn (fn+1 ) injektiv ist nach Konstruktion und surjektiv, weil πn (i) es

n+1

schon ist. Ausserdem ist πn+1 (fn+1 ) surjektiv nach Konstruktion. Man endet mit einer Faktorisiej

f

rung A ⊂ ≻ Z ≻ X von i derart, dass πm (j) bijektiv ist f¨ ur alle m < n und surjektiv f¨ ur m = n ¨ (zellul¨arer Approximationssatz 11.7 bzw. Aufgabe 4 von Ubung 12). Also ist j n-zusammenh¨angend – siehe Lemma 12.4. Des weiteren ist πm (f ) bijektiv – f¨ ur alle m ≥ n nach Konstruktion, und f¨ ur alle m < n, weil es f¨ ur πm (i) und πm (j) gilt. Somit ist f schwache Homotopie¨aquivalenz, und damit nach dem Whitehead-Satz 13.1 eine Homotopie¨aquivalenz. Weil f ◦ j = i gilt, ist nach Lemma 9.2 f sogar eine Homotopie¨ aquivalenz relativ zu A. Dies verwendet, dass sowohl i als auch j die HEE haben. 

14

Vierzehnte Woche: Der Satz von Blakers-Massey

Titelgebend ist der folgende Satz. Satz 14.1 (Blakers-Massey, 1951). Sei X ein Zellenkomplex mit Unterkomplexen A ⊂ und B ⊂ ≻ X derart, dass

≻X

• X = A ∪ B, • C : = A ∩ B ist nichtleer und zusammenh¨ angend, • C

⊂

≻ A ist m-zusammenh¨ angend und C

⊂

49

≻ B ist n-zusammenh¨angend f¨ ur m, n ≥ 0.

Dann ist die durch die Inklusionen induzierte Abbildung ≻ πi (X, B)

πi (A, C)

bijektiv f¨ ur i < m + n und surjektiv f¨ ur i = m + n. ¨ Der Satz hat sofort fantastische Konsequenzen f¨ ur die in Aufgabe 4 von Ubung 11 studierte Abbildung. Satz 14.2 (Freudenthal, 1937). Sei (X, x0 ) ein punktierter Zellenkomplex derart, dass die Inangend ist, wobei n ≥ 1. Die Einh¨ angungsabbildung klusion {x0 } ⊂ ≻ X n − 1-zusammenh¨
ΣX : πi (X, x0 ) ≻ πi+1 (X, x0 ) ∧ (S 1 , 1)

ist bijektiv f¨ ur i < 2n − 1 und surjektiv f¨ ur i = 2n − 1.

Beweis. Der reduzierte Kegel von (X, x0 ) ist definiert als Smash-Produkt c(X, x0 ) : = (X, x0 )∧(I, 0). Es gibt eine Inklusion i : (X, x0 ) ⊂ ≻ c(X, x0 ), die x auf (x, 1) abbildet. Weil X ein Zellenkomplex ist, ist es auch X × I nach Satz 4.15. Wir nehmen die einfachste Zellenstruktur auf I, mit zwei 0-Zellen. Weil x0 eine 0-Zelle ist, entsteht (X, x0 ) ∧ (I, 0) aus X × I durch Kollabieren des Unterkomplexes (X, x0 ) ∨ (I, 0). Somit ist c(X, x0 ) wieder ein Zellenkomplex, mit i : X ⊂ ≻ c(X, x0 ) als Unterkomplex. Betrachte nun (S 1 , 1) als punktierten Zellenkomplex mit zwei 0-Zellen, 1 und −1. Dann ist (X, x0 ) ∧ (S 1 , 1) ein Zellenkomplex (Begr¨ undung wie bei c(X, x0 )), der c(X, x0 ) auf zwei Arten als Unterkomplex enth¨ alt. Seien diese C+ ⊂ ≻ (X, x0 ) ∧ (S 1 , 1) und C− ⊂ ≻ (X, x0 ) ∧ (S 1 , 1). Es gilt dann C+ ∪ C− = (X, x0 ) ∧ (S 1 , 1) und C+ ∩ C= (X, x0 ). Wenn (X, x0 ) n − 1-zusammenh¨ angend ist, so ist X die lange exakte Folge ···

≻ πn (X, x0 )

⊂


≻ πn c(X, x0 )

≻ c(X, x0 ) n-zusammenh¨angend. Dies zeigt ≻ πn c(X, x0 ), X




≻ ···

weil der reduzierte Kegel nach Satz 4.3 zusammenziehbar ist. Somit ist die durch die Inklusion induzierte Abbildung ≻ πi+1 (X ∧ S 1 , C− , x0 ) φ : πi+1 (C+ , X, x0 ) nach dem Satz von Blakers-Massey 14.1 bijektiv f¨ ur i + 1 < 2n und surjektiv f¨ ur i + 1 = 2n. Es bleibt zu zeigen, dass das Diagramm δi+1 ∼ =

πi+1 (C+ , X, x0 )

≻ πi (X, x0 )

ΣX φ g g γ i+1 πi+1 (X ∧ S 1 , C− , x0 ) ≺∼ πi+1 (X ∧ S 1 , x0 ) = kommutiert. Sei also f : (I i+1 , ∂I i+1 , J i ) γi+1 wobei g die durch

≻ (C+ , X, x0 ) eine Abbildung, dann ist


ΣX (δi+1 [f ]) = γi+1 ΣX ([f |I i ×0 ]) = γi+1 [g] g : Ii × I (x, y)

≻ X ∧ S1 ≻ f (x, 0), e2πiy 50




gegebene Abbildung ist. Ziel ist es, eine Homotopie von Abbildungen (I i+1 , ∂I i+1 , J i ) ≻ (X ∧ ¨ S 1 , C− , x0 ) von f nach g anzugeben. Jeder
Punkt f (x, y) ∈ C+ ist Aquivalenzklasse eines Paares in X × I. Dieses Paar sei f1 (x, y), f2 (x, y) , so dass
f (x, y) = f1 (x, y), f2 (x, y) .

(Warnung: f1 und f2 stellen im Allgemeinen keine stetigen Funktionen dar!). Die gew¨ unschte Homotopie kann man in zwei Schritten angeben: F : Ii × I × I (x, y, t) G : Ii × I × I

≻ C+

≻ X ∧ S1

⊂


≻ f1 (x, ty), tf2 (x, ty) + (1 − t)(1 − y)

≻ X ∧ S1 ≻ f (x, 0), eπi(2−t)(1−y)

(x, y, t)




Es l¨asst sich nachrechnen, dass F und G stetig sind und die gew¨ unschten Eigenschaften erf¨ ullen.  Beispiel 14.3. Der Einh¨ angungshomomorphismus Σ : πn (S n ) ≻ πn+1 (S n+1 ) kommutiert mit k ≻ Z aus Bemerkung 11.8 – siehe [2, Prop.II.2.33]. Wir erhalten der Gradabbildung deg : πk (S ) ein kommutatives Diagramm π1 (S 1 )

Σ1 deg

1

≻ π2 (S 2 )

Σ2

≻ π3 (S 3 )

deg2 g3 g ≻ ≺ de Z

Σ3

≻ ···

···

von Abbildungen, in dem degk surjektiv ist (nach Bemerkung 11.8). Nach Satz 14.2 ist Σ1 surjektiv und Σn bijektiv f¨ ur alle n ≥ 2, denn S n ist n − 1-zusammenh¨angend nach dem zellul¨aren Approximationssatz. Da deg1 injektiv ist, ist auch Σ1 bijektiv, und somit πn (S n ) ∼ ur alle n ≥ 1. Die = Z f¨ Gradabbildung degk ist somit ein Gruppenisomorphismus f¨ ur alle k ≥ 1. Ein Erzeuger f¨ ur πn (S n ) ist die Identit¨ at. Folgerung 14.4. Sei (X, x0 ) ein n − 1-zusammenh¨ angender punktierter Zellenkomplex. Dann ist 1 (X, x0 ) ∧ (S , 1) n-zusammenh¨ angend. Beweis. Ist (X, x0 ) irgend ein Zellenkomplex, so ist X ∧ S 1 sicher weg-zusammenh¨angend, da ja jeder Punkt aus C+ ⊂ ≻ X ∧ S 1 mit dem Kegelpunkt u ¨ber einen Weg verbunden werden kann. Ist ≻ πi+1 (X ∧ S 1 , x0 ) bijektiv f¨ ur n ≥ 1, so ist n − 1 < 2n − 1, und nach Satz 14.2 ist πi (X, x0 ) 1 alle i < 2n − 1. Insbesondere ist πi (X ∧ S , x0 ) ∼ ur alle i ≤ n.  = {1} f¨ Bemerkung 14.5. Ist (X, x0 ) irgend ein punktierter Zellenkomplex, so ist die n-fache Einh¨angung X ∧ S n also n − 1-zusammenh¨ angend. Somit ist nach Satz 14.2 πi+n (X ∧ S n )

≻ πi+n+1 (X ∧ S n+1 )

bijektiv f¨ ur i + n < 2n − 1 und surjektiv f¨ ur i + n = 2n − 1. Also h¨angt πi+n (X ∧ S n ) nicht von n ab, solange n > i + 1. Die stabilen Homotopiegruppen von X sind definiert als πis (X, x0 ) : = πi+n (X ∧ S n ) f¨ ur n > i + 1. Weil die Einh¨ angung ein Funktor ist, ist πis : Zell∗ s werden zeigen, dass π∗ eine reduzierte Homologietheorie ist. 51

≻ Ab auch ein Funktor. Wir

Satz 14.6. Sei A ein m-zusammenh¨angender Zellenkomplex derart, dass A ⊂ ≻ X eine nzusammenh¨angende zellul¨are Inklusion ist, wobei m, n ≥ 0. Dann ist die durch die Projektion X ≻ X/A induzierte Abbildung ≻ πi (X/A)

πi (X, A)

bijektiv f¨ ur i ≤ m + n und surjektiv f¨ ur i = m + n + 1. Beweis. Sei c(A) der (unreduzierte) Kegel auf A und X ∪A c(A) die Verklebung von X und c(A) entlang A. Dies ist ein Zellenkomplex, der als Vereinigung von c(A) und X entsteht und dessen Schnitt A ist. Weil A m-zusammenh¨ angend und c(A) zusammenziehbar ist, ist A ⊂ ≻ c(A) m + 1≻ πi (X ∪A c(A), c(A)) zusammenh¨ angend. Nach dem Satz 14.1 von Blakers-Massey ist πi (X, A) bijektiv f¨ ur i ≤ m + n und surjektiv f¨ ur i = m + n + 1. Kollabiert man c(A) ⊂ ≻ X ∪A c(A) so ≻ X ∪A c(A)/c(A) ∼ erh¨alt man nach Satz 4.3 eine Homotopie¨aquivalenz X ∪A c(A) = X/A. Die Komposition ∼ = πi (X, A) ≻ πi (X ∪A c(A), c(A)) ≻ πi (X/A) stimmt mit der von X

≻ X/A induzierten Abbildung u ¨ berein, was den Satz beweist.

Folgerung 14.7. Die Funktoren πis : Zell∗



≻ Ab sind eine reduzierte Homologietheorie.

Beweis. Als Datum fehlen noch Randabbildungen, die lange exakte Folgen ···

≻ πis (A, x0 )

≻ πis (X, x0 )

≻ πis (X/A)

δi

s ≻ πi−1 (A, x0 )

≻ ...

(17)

liefern. Ist A ⊂ ≻ X punktierter Unterkomplex, so ist A∧S n ⊂ ≻ X ∧S n punktierter Unterkomplex ∼ = f¨ ur alle n. Es gibt einen kanonischen Isomorphismus X/A∧S n ≻ X ∧S n /A∧S n . Sei nun n > i+1, dann ist δi definiert als
∼ = ≻ πi+n (X ∧ S n /A ∧ S n ) f ∼ δi = g δi+n s πi+n (X ∧ S n , A ∧ S n ) πi−1 (A) ==== πi+n−1 (A ∧ S n ) ≺

πis (X/A) == πi+n (X/A) ∧ S n

Hierbei verwenden wir, dass A ∧ S n und A ∧ S n ⊂ ≻ X ∧ S n n − 1-zusammenh¨angend sind nach Folgerung 14.4, wobei n ≥ 2. Der vertikale Isomorphismus stammt aus Satz 14.6, das δi+n aus der langen exakten Folge von Satz 12.8. Man sollte nachrechnen, dass δi nicht von der Wahl von n abh¨angt. Die Exaktheit der Folge (17) folgt aus Satz 12.8, die Homotopieinvarianz von πis folgt direkt aus der Homotopieinvarianz von πi+n . Es reicht zu zeigen, dass  M  πis (X, x0 )j πis ∨j∈J (X, x0 )j ∼ = j∈J

gilt. Jedes Element in πis (∨j∈J (X, x0 )j ) ist repr¨asentiert durch eine Abbildung mit kompakter Quelle, trifft also nach Satz 4.13 h¨ ochstens endlich viele Zellen des Zellenkomplexes ∨j∈J (X, x0 )j . Weil dies auch f¨ ur Homotopien von Abbildungen mit kompakter Quelle gilt, reicht es, den Fall endlicher Indexmengen zu behandeln. Der folgt aber aus den beiden schon gezeigten Eigenschaften.  Die beschriebenen Folgerungen aus dem Satz 14.1 sollten Motivation genug sein, um den langen Beweis des Satzes durchzuhalten.

52

Definition 14.8. Seien v0 , v1 , . . . , vn affin unabh¨angige Punkte im Rm . Die kleinste konvexe Menge im Rm , die diese Punkte enth¨ alt, wird mit < v0 , . . . , vn > bezeichnet und n-Simplex genannt. Sie ist hom¨oomorph zum n-Simplex ∆n . Die Dimension eines n-Simplex ist n. Ein Polyeder ist ein Unterraum des Rn , der Vereinigung endlich vieler Simplizes ist. Die Dimension eines Polyeders P ist das Maximum der Dimensionen der Simplizes in irgend einer Zerlegung von P in endlich viele Simplizes. Man u ¨berzeugt sich leicht davon, dass die Dimension eines Polyeders P ⊆ Rk wohldefiniert ist. Beispiel 14.9. Der Raum S 1 ist kein Polyeder. Der dazu hom¨oomorphe Raum ∂I 2 ist ein Polyeder. Beispiel 14.10. Ist P ⊆ Rn ein Polyeder und x ∈ Rn r P ein Punkt, so ist xP : = {sx + ty ∈ Rn | y ∈ P, 0 ≤ s, t ≤ 1, s + t = 1} ein neuer Polyeder, der Polyederkegel von P mit x. Es reicht zu zeigen, dass x < v0 , . . . , vn > ein Polyeder ist. Ist {x, v0 , . . . , vn } affin unabh¨angig, so ist dies sogar ein n + 1-Simplex. Andernfalls finden wir nach dem Steinitz’schen Austauschsatz ein vi derart, dass {x, v0 , . . . , vi−1 , vi+1 , . . . , vn } affin unabh¨ angig ist, und x < v0 , . . . , vn >=< x, v0 , . . . , vi−1 , vi+1 , . . . , vn > ∪ < v0 , . . . , vn > . Beispiel 14.11. Sind P, Q ⊆ Rn Polyeder, so ist auch P ∩ Q ein Polyeder. Denn der Schnitt zweier Simplizes ist wieder ein Polyeder. Definition 14.12. Eine Abbildung f : < v0 , . . . , vn > f

n X i=0




ti vi =

n X

≻ Rk ist linear, wenn

ti f (vi )

i=0

P gilt f¨ ur alle nichtnegativen ti mit ni=0 ti = 1. Eine Abbildung f : P ≻ Rk von einem Polyeder P ist st¨ uckweise linear oder kurz PL, wenn f¨ ur irgendeine Zerlegung von P in endlich viele Simplizes P = P1 ∪ . . . ∪ Pk die Abbildung f |Pi : Pi ≻ Rk linear ist. Beispiel 14.13. Sei P : = {s(0, 2) + t(1, 3) | 0 ≤ s, t ≤ 1, s + t = 1} ⊂ R2 und Q : = {(x, 0) | 0 ≤ x ≤ ≻ Q die Abbildung, die jeden Punkt (x, y) ∈ P auf den Schnittpunkt der Geraden, 4}. Sei f : P die (0, 4) und (x, y) verbindet, mit Q abbildet (Projektion von (0, 4)). Diese Abbildung ist nicht PL, weil der Mittelpunkt des Intervalls P nicht auf den Mittelpunkt des Intervalls Q abgebildet wird. Ersetzt man P durch P ′ : = {(x, 2) | 0 ≤ x ≤ 2}, so liefert Projektion von (0, 4) eine PL Abbildung ≻ Q. P′ Lemma 14.14. Der Raum Y entstehe durch Ankleben einer k-Zelle an X. W¨ ahle einen Hom¨ oomor∼ = n k ≻ Y r X. Ist f : I ≻ Y eine Abbildung, so existiert eine Homotopie relativ phismus j : R zu f −1 (X) von f zu einer Abbildung g, sowie ein Polyeder K ⊆ I n mit folgenden Eigenschaften: 1. g(K) ⊆ Y r X, und g|K : K

≻Y rX

j −1

≻ Rk ist PL

2. es gibt eine nichtleere offene Menge U ⊆ Y r X mit g−1 (U ) ⊆ K Beweis. Sei Br ⊆ Rk ∼ = Y r X der abgeschlossene Ball mit Mittelpunkt 0 und Radius r. Weil B2 abgeschlossen ist, ist f −1 (B2 ) ⊆ I k abgeschlossen und damit kompakt. Also ist f gleichm¨assig stetig ur alle x, y ∈ f −1 (B2 ). auf f −1 (B2 ): es gibt ǫ > 0 derart, dass aus |x− y| < ǫ |f (x)− f (y)| < 21 folgt f¨ W¨ahle eine Unterteilung (Zellenstruktur) von I mit der Eigenschaft, dass jeder W¨ urfel der auf I n induzierten Zellenstruktur in einem Ball von Durchmesser < ǫ liegt. Sei K1 der Unterkomplex, der aus allen W¨ urfeln in I n besteht, die f −1 (B1 ) schneiden, und sei K2 der Unterkomplex, der aus allen 53

W¨ urfeln in I n besteht, die K1 schneiden. Wir k¨onnen ǫ so klein w¨ahlen, dass f (K2 ) ⊆ B2 gilt – etwa, indem ǫ kleiner als die H¨ alfte des Abstands von f −1 (B1 ) und dem Abschluss von I n rf −1 (B2 ) ist. Die Zellenstruktur auf K2 wird verfeinert, indem die W¨ urfel baryzentrisch in Simplizes unterteilt werden. Die 0-Zellen der neuen Zellenstruktur von K2 , genannt K2′ , sind die alten 0-Zellen, zusammen mit den Mittelpunkten der 1-, 2-, ..., n-Zellen aus K2 . Die neuen Zellen h¨oherer Dimension werden induktiv definiert: Ist x Mittelpunkt einer i-Zelle W der alten Zellenstruktur von K2 , so bestehen die i-Zellen in K2′ aus den Polyederkegeln aller i − 1-Zellen W ′ ⊆ W in K2′ mit Kegelpunkt x (siehe Beispiel 14.10). Jede i-Zelle ist ein konvexer Polyeder, und zwar die kleinste konvexe Menge, die alle ihre Eckpunkte enth¨alt. ′ Sei h : K2 Wert h(x) : = f (x) ≻ Rk ∼ = Y rX die Abbildung, die auf jeder Nullzelle Pn x ∈ K2 den P ′ hat und ansonsten linear fortgesetzt wird: Ist x ∈ K2 , so ist x = i=0 tiP ei , wobei ni=0 ti = 1, ti ≥ 0 und ei die Eckpunkte der n-Zellen sind, in der x liegt. Setze h(x) : = ni=0 ti h(ei ). Die Abbildung g ist nach Konstruktion PL. Die Abbildung φ : K2 ( φ(x) : = 1 φ(x) : = 0

≻ [0, 1] sei analog konstruiert, wobei

x ∈ K1 x ist Eckpunkt in K2 r K1

Nun k¨onnen wir eine Homotopie konstruieren: F : In × I (x, t)

≻Y rX ∼ = Rk ( f (x)
≻ 1 − tφ(x) f (x) + tφ(x)h(x)

x∈ / K2 x ∈ K2

Ist x ∈ ∂K2 , so ist φ(x) = 0. Also ist F stetig. Es gilt F |I n ×0 = f , und g : = F |I n ×1 ist eine Abbildung mit g|K1 = h|K1 . Weil K : = K1 ein Polyeder ist und g|K1 PL ist, reicht es, Bedingung 2 nachzuweisen. Ist x ∈ I n r K2 , so ist g(x) = f (x) ∈ / B1 . Denn f −1 (B1 ) ⊆ K1 ⊆ K2 . Ist x ∈ K2 r K1 , so liegt x ′ in einer n-Zelle W von K2 . Nach Konstruktion von W liegt es in einem Ball von Durchmesser < ǫ, also liegt das Bild f (W ) nach Wahl von ǫ in einem Ball BW von Radius 12 . Denn K2 ⊆ f −1 (B2 ). Weil BW konvex ist, ist auch h(W ) ⊆ BW , und damit ist auch g(W ) ⊆ BW . Weil W Punkte enth¨alt, die nicht in K1 liegen und f −1 (B1 ) ⊆ K1 , ist BW nicht in B1 enthalten (BW kann jedoch nichtleeren Schnitt mit B1 haben). Weil der Radius von BW halb so gross ist wie der von B1 , gibt es eine offene Umgebung 0 ∈ UW ⊆ B1 derart, dass g(W ) ∩ UW = ∅. Sei U der Schnitt aller dieser UW , eine offene Umgebung der 0 in B1 . Dann ist g(x) ∈ / U f¨ ur alle x ∈ I n r K1 . Das Urbild g−1 (U ) muss also eine Teilmenge von K1 sein.  Aus Lemma 14.14 l¨ asst sich Lemma 11.5 folgern. Das Tolle an PL Abbildungen ist, dass sie “vern¨ unftig” (also ebenso wie lineare Abbildungen) mit Dimensionen umgehen. Lemma 14.15. Sei f : P

≻ Rk eine PL Abbildung und Q ⊂ ≻ Rk ein Polyeder.

1. Das Bild f (P ) ist ein Polyeder mit dim f (P ) ≤ dim P . 2. Das Urbild f −1 (Q) ist ein Polyeder mit dim f −1 (Q) ≤ dim P + dim Q − dim f (P ) ∪ Q. Beweis. Es reicht, den Fall zu betrachten, wo P =< v0 , . . . , vp > ⊂ ≻ Rm und Q =< w0 , . . . , wq >. Bezeichne mit < P > den von P erzeugten affinen Unterraum des Rm . Dann k¨onnen wir f auf eine lineare Abbildung f : < P > ≻ Rk erweitern. Ist f injektiv, so ist f (P ) wieder ein n-Simplex, und f −1 (Q) = P ∩ Q ist wieder ein Polyeder. Andernfalls ist f (< P >) ein affiner Unterraum der
Dimension < p, und es gilt f (P ) = f (∂P ). Denn f¨ ur jeden Punkt x ∈ P ist f −1 f (x) ∩ < P > ein 54

affiner Unterraum positiver Dimension, der ∂P schneidet. Da ∂P ein Polyeder kleinerer Dimension ist, folgt Teil 1 nach Induktion. Der Polyeder Q entsteht als Schnitt von Halbr¨aumen Ha,b : = {x ∈ Rk |

k X

ai xi ≤ b}, a ∈ Rk , b ∈ R

i=1

im Rk . Es reicht also zu zeigen, dass f −1 (Ha,b ) ∩ P wieder P ein Polyeder ist. Dies folgt, weil m f −1 (Ha,b ) = Haf,b , wobei af ∈ Rm der Vektor mit (af )i = j=1 aj fji ist. (Die lineare Abbildung f habe die darstellende Matrix (fji ).) Denn der Schnitt eines Halbraumes mit einem Polyeder ist wieder ein Polyeder. Die Dimensionsformel aus Teil 2 folgt aus der Dimensionsformel f¨ ur den Schnitt der affinen Unterr¨ aume f −1 (< Q >)∩ < P >. Der Schnitt sei nichtleer (ansonsten ist nichts zu zeigen). Es gilt dim f −1 (Q) = dim f −1 < Q > = dim kerf + dim f < P > ∩ < Q > = dim < P > − dim f < P > + dim f < P > ∩ < Q > = dim < P > + dim < Q > − dim f < P > + < Q > ≤ dim P + dim Q − dim f (P ) ∪ Q.  Es folgt der Beweis des Satzes 14.1 von Blakers-Massey. Beweis. Seien A, B Unterkomplexe von X derart, dass C : = A ∩ B ⊂ ≻ A m-zusammenh¨angend angend ist, wobei m, n ≥ 0 und C 6= ∅ zusammenh¨angend ist. Nach und C ⊂ ≻ B n-zusammenh¨ ≃ ≃ Lemma 13.8 gibt es Homotopie¨ aquivalenzen A′ ≻ A und B ′ ≻ B relativ C derart, dass C ⊂ ≻ A′ durch Ankleben von Zellen der Dimension ≥ m + 1 entsteht, und C ⊂ ≻ B ′ durch Ankleben von Zellen der Dimension ≥ n + 1 entsteht. Betrachte die Verklebung X ′ : = A′ ∪C B ′ . ≃ ≻ X = A ∪C B nach dem Die Homotopie¨ aquivalenzen induzieren eine Homotopie¨aquivalenz X ′ Klebelemma 9.8. Wir k¨ onnen also annehmen, dass C ⊂ ≻ A aus Zellen der Dimension ≥ m + 1, und C ⊂ ≻ B aus Zellen der Dimension ≥ n + 1 besteht. Fall 1: C ⊂ ≻ A entstehe durch Ankleben von m + 1-Zellen und C ⊂ ≻ B entstehe durch ≻ πi (X, B): Sei Ankleben einer Zelle der Dimension d ≥ n + 1. Surjektivit¨at von πi (A, C) i i i−1 g : (I , ∂I , J ) ≻ (X, B, x0 ) Repr¨asentant eines Elementes in πi (X, B). Das Bild von g trifft ⊂ ◦≻ A. Ohne Beschr¨ankung der Allgemeinheit entsteht also nur endlich viele Zellen em+1 , . . . , em+1 1 ℓ m+1 . Endlich viele Anwendungen von Lemma 14.14 C ⊂ ≻ A durch Ankleben der Zellen e1 , . . . , em+1 ℓ i−1 −1 liefern eine Homotopie relativ J ⊆ g (C) von g zu einer Abbildung f : I i ≻ X, einen Polyeder m+1 i K ⊆ I der Dimension i und nichtleere offene Umgebungen U1 ⊆ em+1 , . . . , U , U0 ⊆ ed ℓ ⊆ eℓ 1 derart, dass ` m+1
` d • f (K) ⊆ X r C ∼ R R , und f |K ist PL, und = • f −1 (Uj ) ⊆ K, 0 ≤ j ≤ ℓ.

Diese Homotopie bildet ∂I i nach B ab, es gilt also [f ] = [g] ∈ πi (X, B). Ist P ⊆ K ein konvexer ≻ Rm+1 Polyeder derart, dass f |P linear ist, so ist f |P Einschr¨ankung einer linearen Abbildung Ri bzw. Ri ≻ Rd . Ist diese lineare Abbildung nicht surjektiv, so ist ihr Bild ein Unterraum der Kodimension ≥ 1. Deswegen existieren Simplizes ∆m+1 ⊆ U1 , . . . , ∆m+1 ⊆ Uℓ , ∆d0 ⊆ U0 derart, 1 ℓ dass ≻ ∆j f |f −1 (∆j ) : f −1 (∆j ) auf jedem Simplex in f −1 (∆j ) die Einschr¨ankung einer surjektiven linearen Abbildung von Ri nach Rm+1 bzw. Rd ist. Nach Lemma 14.15 ist f¨ ur einen fixierten Punkt q ∈ ∆d0 das Urbild 55

f −1 (q) ⊆ I i ein Polyeder der Dimension ≤ i + 0 − d ≤ i − n − 1. Beachte, dass f −1 (q) ∩ J i−1 = ∅. Sei pr : I i = I i−1 × I ≻ I die Projektion (x, y) ≻ x. Wieder nach Lemma 14.15 ist 
 T : = pr−1 pr f −1 (q)

ein Polyeder der Dimension dim T ≤ i − d + 1 ≤ i − n, und f (T ) ∩ ∆m+1 ist ein Polyeder der j m+1 derart, dass Dimension ≤ i − n. Ist also m + 1 > i − n, so gibt es einen Punkt pj ∈ ∆j pj ∈ / f (T ) ∩ ∆m+1 ⇔ f −1 (pj ) ∩ T = ∅ ∀ 1 ≤ j ≤ ℓ j



W¨ahle eine offene Umgebung pr f −1 (q) ⊆ W ⊆ I i−1 mit pr f −1 (pj ) ∩ W = ∅ = ∂I i−1 ∩ W f¨ ur alle 1 ≤ j ≤ ℓ. Dann existiert eine stetige Abbildung φ : I i−1

derart, dass

f −1 (q)

≻ [0, 1) mit φ(x) = 0 ∀ x ∈ / W

unter dem Graph von φ liegt. Definiere nun F : Ii × I

≻X ( f (x, y) y ≥ tφ(x)
(x, y, t) ≻ f x, tφ(x) y ≤ tφ(x)

Die Abbildung F ist stetig, also eine Homotopie von f zu einer Abbildung h, die q nicht trifft. Des weiteren
ist die Homotopie relativ zu J i−1 und bildet ∂I i−1 × {0} nach X r P ab, wobei P : = ∪ℓj=1 pj ∪. Betrachte nun das kommutative Diagramm ≻ πi (X, B)

πi (A, C)

∼ ∼ = = g g α πi (X r {q}, X r {q} r P ) ≻ πi (X, X r P )

(18)

in dem alle Abbildungen durch Inklusionen induziert sind. Die vertikalen Abbildungen sind nach Lemma 2.9 bijektiv. Die Homotopie F besagt gerade, dass [f ], aufgefasst als Element in πi (X, X r P ), im Bild von α ist. Dies zeigt die Surjektivit¨at im Fall 1. Die Injektivit¨ at im Fall 1 l¨ asst sich analog zeigen: Seien f0 , f1 : (I i , ∂I i , J i−1 ) ≻ (A, C, x0 ) Abi ≻ (X, B, x0 ) bildungen und F : I ×I eine Homotopie von Abbildungen von Tripeln (I i , ∂I i , J i−1 ) m+1 d von k◦f0 nach k◦f1 . Wieder existiert ein Polyeder K sowie Simplizes ∆0 , ∆1 , . . . , ∆ℓ derart, dass F |F −1 (∆j ) auf jedem Simplex in F −1 (∆j ) die Einschr¨ankung einer surjektiven linearen Abbildung von Ri+1 nach Rm+1 bzw. Rd ist. W¨ ahle einen Punkt q ∈ ∆d0 . Ist m + 1 > i + 1 − n, so existieren ≻ [0, 1) wie oben, die es erlauben, F −1 (q) “herPunkte pj ∈ ∆j und eine Abbildung φ : I i−1 × I auszuschneiden. Grund ist hier auch, dass weder f0 noch f1 den Punkt q treffen. Dies liefert eine Homotopie relativ I i × ∂I ∪ J i−1 × I von F zu einer Homotopie G, die q nicht trifft, aber trotzdem bei f0 anf¨angt und bei f1 aufh¨ ort. Das Resultat folgt mit dem kommutativen Diagramm (18). Fall 2: C ⊂ ≻ A entstehe durch Ankleben von m + 1-Zellen, und C ⊂ ≻ B entstehe durch Ankleben von beliebig vielen Zellen der Dimension ≥ n + 1. Surjektivit¨at von πi (A, C) ≻ πi (X, B): ≻ (X, B, x0 ) Repr¨asentant eines Elementes in πi (X, B). Das Bild von g Sei g : (I i , ∂I i , J i−1 ) ⊂ trifft nur endlich viele Zellen em+1 , . . . , em+1 ◦ ≻ A und endlich viele Zellen in B. Wiederholte 1 ℓ Anwendungen von Fall 1, die bei der Zelle der gr¨ossten Dimension in B im Bild von f beginnen, zeigen, dass [g] getroffen wird. Injektivit¨at analog, wobei man mit der Homotopie arbeitet. Fall 3: C ⊂ ≻ A entstehe durch Ankleben von Zellen der Dimension ≥ m + 1, und C ⊂ ≻ B entstehe durch Ankleben von Zellen der Dimension ≥ n + 1. Ist i ≤ m + n, so k¨onnen wir die Zellen in X der Dimension > m + n + 1 weglassen, da diese nach dem zellul¨aren Approximationssatz 11.7 keinen Beitrag zu πi leisten. Sei C = Am ⊆ Am+1 ⊆ Am+1 ⊆ . . . ⊆ A = Am+n+1 die Zellenstruktur von C ⊂ ≻ A, und setze Xk : = B ∪C Ak . Induktion u ¨ber k. Der Induktionsanfang k = m + 1 ist 56

Fall 2. Sei also πi (Ak−1 , C) ≻ πi (Xk−1 , B), k − 1 ≥ m + 1, bijektiv f¨ ur i < m + n und surjektiv f¨ ur i = m + n. Betrachte die durch die Inklusion (Ak , Ak−1 , C) ≻ (Xk , Xk−1 , B) induzierte Abbildung πi+1 (Ak , Ak−1 )

≻ πi (Ak−1 , C)

≻ πi (Ak , C)

≻ πi (Ak , Ak−1 )

≻ πi−1 (Ak−1 , C)

1 2 3 4 5 g g g g g πi+1 (Xk , Xk+1 ) ≻ πi (Xk−1 , B) ≻ πi (Xk , B) ≻ πi (Xk , Xk−1 ) ≻ πi−1 (Xk−1 , B)

(19)

von langen exakten Folgen von Tripeln. (Die lange exakte Folge eines Tripels ist eine leichte Verallgemeinerung der langen exakten Folge eines Paares, die wir in Satz 12.8 behandelt haben. Siehe [2, Thm. 4.3].) Sei m + n ≥ i ≥ 2. Dann ist die zweite Abbildung surjektiv und die f¨ unfte Abbildung bi⊂ ≻ Ak besteht nur aus dem Ankleben von k-Zellen, ist also k − 1jektiv. Die Inklusion Ak−1 zusammenh¨angend, und Ak ⊂ ≻ Xk ist weiterhin n-zusammenh¨angend. Nach Fall 2 ist also die vierte Abbildung surjektiv. Nach dem F¨ unferlemma 8.2 (beziehungsweise dem Beweis des F¨ unferlemmas f¨ ur 3 ≤ i ≤ 2) ist die mittlere Abbildung surjektiv. Sei nun m + n > i ≥ 2, dann ist die zweite Abbildung auch injektiv, ebenso wie die vierte. Des weiteren ist die erste Abbildung nun surjektiv nach Fall 2, also ist die mittlere Abbildung auch injektiv – wieder nach dem F¨ unferlemma 8.2 (beziehungsweise dem Beweis des F¨ unferlemmas f¨ ur ≻ π1 (A) und π1 (B) ≻ π1 (X) surjektiv 3 ≤ i ≤ 2). Ist i = 1, so sind im Falle m ≥ 1 π1 (C) nach Lemma 2.10, und π1 (A, C) = π1 (X, B) = {1}. Im Falle m = 0 ist n ≥ 1 und das Resultat folgt nach zellul¨ arer Approximation 11.7. 

15

Notation

Sei n ≥ 0. Die Menge der n-Tupel reeller Zahlen, versehen mit der u ¨ blichen Topologie, wird mit n n R bezeichnet. Analog C . Die n-dimensionale Sph¨are ist der Unterraum S n : = {x ∈ Rn+1 | x21 + x22 + · · · + x2n+1 = 1}. Der n-dimensionale Ball ist der Unterraum D n : = {x ∈ Rn | x21 + x22 + · · · + x2n+1 ≤ 1}. In der Sprache topologischer Mannigfaltigkeiten ist die n − 1-Sph¨are der Rand vom n-Ball: S n−1 = ∂Dn . Nach Konvention ist ∂D 0 = ∅. Das Einheitsintervall ist I = {x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 1}. Die Gruppe der Permutationen der Menge n = {1, . . . , n} wird mit Σn bezeichnet. Die Homotopieklasse einer ≻ Y wird mit [f ] bezeichnet. Die Fundamentalgruppe π1 (X, x0 ) eines stetigen Abbildung f : X punktierten topologischen Raumes (X, x0 ) ist die Menge der Homotopieklassen von Abbildungen (I, ∂I) ≻ (X, x0 ) von Paaren. Die Homotopien sind hier konstant auf den Unterr¨aumen. Ist X weg-zusammenh¨ angend, so h¨ angt π1 (X, x0 ) bis auf nicht-kanonische Isomorphie nicht von der Wahl von x0 ∈ X ab. In dem Fall schreibt man oft π1 (X). Ein kompakter Raum ist immer auch ein Hausdorff-Raum. Andernfalls heisst es quasi-kompakt.

Literatur [1] Glen E. Bredon. Topology and geometry, volume 139 of Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1993. 57

[2] Allen Hatcher. Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. [3] Serge Lang. Algebra, volume 211 of Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, third edition, 2002.

58