*. 6corza 'ragoni (Ed.)
7oSologia Lectures given at the Centro Internazionale Matematico Estivo (C.I.M.E.), held in Varenna (Como), Italy, $ugust 6eStemEer ,
C.I.M.E. Foundation c/o Dipartimento di Matematica “U. Dini” Viale Morgagni n. 67/a 50134 Firenze Italy
[email protected] ISBN 978-3-642-10897-6 e-ISBN: 978-3-642-10898-3 DOI:10.1007/978-3-642-10898-3 Springer Heidelberg Dordrecht London New York
©Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011 st Reprint of the 1 ed. C.I.M.E., Florence, 1955 With kind permission of C.I.M.E.
Printed on acid-free paper
Springer.com
CENTRO INTERNATIONALE MATEMATICO ESTIVO (C.I.M.E)
3° Ciclo - Varenna, Villa Monastero – 26 agosto – 3 sett. 1955
TOPOLOGIA
K. Kuratowski:
Théorie de la dimension .................................................
1
G. Scorza – Dragoni:
Traslazioni piane generalizzate....................................... 17
E. Sperner:
1.
Generalizzazioni del teorema di Brouwer sul punto unito ......................................................... 41
2.
Il problema dei colori sulle superficie chiuse .......... 75
G. Darbo:
Grado topologico e punti uniti in trasformazioni plurivalenti ...................................................................... 93
M. Dolcher:
Alcuni risultati della geometria delle trasformazioni continue .................................................. 99
M. Vaccaro:
Sulle rappresentazioni localmente biunivoche delle varietà topologiche sopra i poliedri ....................... 105
Roma - Istituto Matematico dell’ Università
ROlllli-Istituto Matenul.;icc dell'U.liversitEt,1955
1
C. RuratoE'sld
- 1 -
T~ORIE DE LA DII.IENSION
I. Introduction. Espaves metriques. Definition de l'espace metrique: EspacG dont lequol uno fonc-
\X-Y!1
tion non-negative de deux variables
nommae distance, est
Ie terme primitif, assujetti aux axiomes suivants:
~x-Yl
(i)
=o}:: (x=y),
(iii)
\x-Y \ +
Exemple~
;![-Y\ \x-z \.
(ii) \
Iy-z \ ?:
d t espaces mcariquGs: 11 cspeca euclidien
an
dimen-
sions En; cube de Hilbert, clest-a.-dire lr~space H de suites infinies x:=(x 1 ,x2 ",,), o~J xn \~ 1
Ix-y \
L
= )"
-
"t
Oil
\IXn-yn ).
2n
Tous sous-~nsemble dl~iespace metrique est metrique. Notions fondamentales.
6 (A)
=
~am8tre
sup
dlun ensemble A:
lx-xl \ ou x,x' f
A.
Ensemble borne = ensemble dont le diametre est fini. Limite d'une suite de points diun espace matrique: (p = lim Pn) __ (lim \Pn-p\ =0). n= ([)
Espace compact
= espace
n=([)
dans lequel toute suite infinie de
points contient une suite partielle convergente (exemples: llintervalle 0
~
t
~ 1;
Espace complet
cube H de Hilbert).
= espace
dans lequel toute suite satisfaisant
a la condition de Cauchy est convergente (ane suite P1 112'" fait
a.
la condition de Cauchy, 10rsqu I a. tout
E >'
sati.§.
0 co rrespond
un k tel que pour n :::. k ou a \Pn-Pk\
10
C.kuratowski
- 9 -
~transfGrmation dans
~, on montre le theoreme suivant: ~h9ore~. SoH X un ensemble compact a n dimensions si tue l'espace euclidien Er. A tout E > 0 correspond une transfor-
mation continue f de X en un polytope P de dimension n telle que
I< £
\f(x)-x
3i, en particulier, r
a la
tope P
~
2n+1, on peut assujettir Ie
~oly
condition supplementaire, que les simplexes (ouverts)
qui le constituent soient disjoints deux
a deux.
Dans un ordre d I illees analogue ~ on ales theoremes suivan.s (d I Alexandroff) : L Pour qu'un.espace compact X soit de dimension ~n, i1
'£ > 0
faut et i l suffi t qu I a tout
ciOJrresponde une trasnforma-
tion continue de X en un polytope de dimension!S n, dont toutes les tranches (clest-a.-dire les ensembles f-i(y)) sont de diametre
"t- Y)~ (Y
't y)
?
est un retracte absolu)?
(X 't Y et dim X=n):~ (In
't
Y) ?
1) Voir ma note de Colloquium lIiathemuticum 2{1951}, p.186 ...191.
14
c. Kurato ws.k:i
- 13 -
Ajoutons que Ie. condition In't' Y (ou I d6signe 1 'interval1e 0 ~ t ~ 1) caracterise les eapaces Y localement et integra-
lement connexes en toute dimension Lefschetz.
15
0
per ogni x( M. La dimOA
straz;ione pro cede poi esattemente come ne1 teorema 4 fino alIa definizione della funzione
~
(x) per tutti gli x ( M soddisfa-
centi alle condizioni la indicate. Nel caso attuale 1a funzione ~
soddisfa alla conc1izjone simpliciale in virtu della
(7) Cfr. anche: G. F e i g 1
[101
54
,in particolare ~ 71
- 15 E. Sp1"" soddisfacente alla "( t ,,-1 (x 1I)=x~ da cui per t -1 (x")=x € M aegue appunto t (x}=x, di guisa che con x" M ai e trovato 11 punto uni to r1 !h'iesto. Noi passiamo ora ad un'a1tra estensione del teorema di
B r 0 u w e r sul punta unito, nella qua1e non sono soltanto ampliati gli insiemi di pll-1ti, ma son generalizzate anche Ie traeformazioni, nel senso che si considerano trasformazioni cha ad ogni punta associano come sua immagine un insieme di Punti. Una tal generalizzazione del teorama di B r 0 u w e r e stata uUlizzata per 1a prima volta da J. v. N e u man n nella sua teoria dei giuochi. Noi seguiamo qui la esposizione
[19]
di S. K a k uta n i (13) ad H. N i k aid Il teorema in questione e il seguente:
0
l 20b1
Tegrema 8. Se K e un insieme compatto e convesso dello spazio euclideo Rn e L (x) una trasformaziona superiormente semicontinua (9) che ad ogni x ( K associa, come immagine, un sottoinsieme chiuso e convesso
~ (x~
K, allora esiste almeno,un
punto Xo E:: K per i l quale suss:i1 (3 ,con YoG. V e 13 numero reale entrambi comunque prefissati, allora risl;:l ta appunto (33)
min YfV
max f(x,y) = max min f(x,y). XE"U YE V U
Xe
Per dimostrare questo teoroma definiamo utilizzando Ie funzione f(x,y) dve certi insiemi di punti L.C: U x V, i=1,2, J. mediante Ie posizioni:
67
- 28 -
E. Sporner (xo'Yo) E L1 ~
f(x ,y ) = max o 0
(xo ,y0 )~ L2 ~
f{x ,y ) o 0
x~
U
=
min y € V
f{x,y 0 ), f(x ,y); 0
cioe L1 e costituito esattamente da tutti i punti (x ,y ) E U x V -
per i quali risul ti f{x ,y ) = max f(x,y o.
0
xE. ij
0
h
00
similmente per L2•
Ciaecun Li , i=1,2, e certamente chiuso. Vediamo ora cosa significhino Ie ipotesi del lemma per gli attuali insiemi Li • A norma delle (34), Ie condizioni (29) e (30) assumono adesso la seguente forma:
f(S
x € U ~ f(x,y ) = max Yo U
O!f
(36)
y E VXo ff.-?' f(xo'y)
8i riconlIDsce cha guesti insiomi IT Yo
=
min
,Yo)'
f(x o ' IYl ).
IVl~ V
\
sono chiusi e non vuoti
,V Xo
per ogni x o (. U ~ per ogni y o~ L V. Ida nelle ipotesi poste dal teorema 11 per f(x,y) essi Bono anche convessir Di qui e dal lemma si trae che L1
n L2
e diversa de. zerot cioe, a norma delle
(34), che osiste un tal punto (i ,y ) da aversi o 0 f(i
o
,y ) = 0
max f(x,y) = min f(i ~y).
x~U
0
y€V
0
Ma allora s1 ha immediatamente max f(x,y,,, max f{Xpy) '" mj:n f(ic'y.) ~ max min f(x,y,; XE:.U Y6V xeU yli. V e questa relazione confrontata con la (32) porga In (33). min
y€-V
xe.U
Fina1mente bisogna ancora ricordare chc i1 teorema del minimo-massimo puo casere dimostrato andhe sotto ipotesi piu generali. 8i vegga, per cecmpio,
(200J •
K.
Fan
19 a,b)
e H.
N i-
k aid 0 Indioheremo ora un altro csempio di app1icazione dei teorcmi sui punti uniti. Precisamante, ricondurremo la dimostrazio-
68
- 29 -
E. Sperncr
~l
ne dell'eaistenza delle soluzioni di un sistema generale di equozioni differenziali ordinarie al precedente teorema 10, aeguendo l'esposizione di T Y c h 0 n 0 f f [23a] • Allo scopo incominciamo col ricordare alcuni concetti. Siano a > 0 ad x due numeri reali fissi ed E_ l'int~val-
0
10 Xo -a ~x,< Xo +a della retta numerica reale. E consideriamo 10
apazio P delle funzioni reali continue nell'intcrvallo E. Allora ogni funzione reale y(x), definita per ogni x£ E ed ivi continua, €I un "punto" di P • Dofiniamo la distanza d(Y1'Y2) di due punti Y1'Y2 mediante la posizione
di guisa cho il noatro apazio
Prisulta
EP
ossere uno spazio metri-
co (in particolare sussiste In relazione triangolare d(Y1'Y2) e partanto anche uno spazio topologico. In conformi ta. di cio un f -intorno del punto YEP e costi tui to ~ d(Y1~Y3)+d(Y2Y3»
o
dalla totalita. degli Y f P soddisfacenti alIa d(yo'y) ~ [ • E nello spazio P la nozione di convergenza rositituisce quella di convcrgenza uniforme.
e:P
segue A1Y1+ \ 212 E P por ogni Poiche da Y1 ' Y2 coppia di numori reali 1\ 1 e A2' 10 spazio .p e line are , convaseo e lmcalmente convesso. Sis infine J un insieme (finito 0 infinito) di indicia Ad ogni oL, J are ociamo un esemplare Po( dello spazio .p teste definito. E consideriamo quindi il prodotto Dopologico (18)
Allora ancho questo apazio R e linoare 0 local monte convosso. L'elem.ento corrente r t R si pub anche presentare nella forma
69
.. 30 E. Spemer
§ 2.
(39)
P
Ie quale deve indicare che Ie "oomponenti II Y d! r son in corrispondenza biunivoca con gli clementi delllinsieme J. Mediante questi conoetti possiamo stud1are facilmente un sistema di equazioni differenziali ordinarie il quale oontenga tante equazioni e tanto funzioni incognite quanti sono gii clementi dell'insieme di indioi J. Pensiamo un tal sistema dato nella forma (40)
dy
t(
= frA.
dx
(x,
t" ) = :t
(0( E
01..
(x, ••• 'Y~ , ••• )
J,
f 0(, (x, ~ ) rappresenta. per ogni ct f J t una iunzione reele ed univoca, definita per ogni x ~ E e per ogni .". e: R
Qui
e continua in Ex R. La continuita di f~ nel punto (x, ~ ) significa, in conformita della topologia che vige in R: dato a piacere i1 ~umero positivo ~ ,incorrispondenz~ esistono un tal altro numero positiv~ ~ ed un insieme finito di indici
~ l' ~ 2'··"
••• ,y~, ••• )
~ n siUatti, che per ogni
~
= (x', •••
soddisfacente alle condizioni
(18) Un
sistema di intorn! atto a individuare Ie topologia del prodotto topolog1~ R 3i puc notoriamente definire come segue: Sia U IL un sottoinsieme aperto d1 Pol siffattoche U c(,. coincida con Fa(. per quasi tutti gli ot. di J, cio~ sUfatto che U eI.. sia una por~ione propria di Po( sol tanto per un gruppo fini to di 01.. E:. J, U 01.. essendo peral tro defini to per ogni a( E: J. Allora U = IT u ~ un intorno in R. E gli insj,emi apert! di R J dalle somma di U siffatt~, gli addendi potendo sono costituiti anche essere infini tie
"'f
70
- 31 -
§2
E. Spemer
,
(1=1,2 ••• ,n)
si abbia
\f r.( (x',
t"~
)-fO(. (x,
comunque siano scel te le Y'r.- per ~ • ". ,
r )\ < E ~ 1" ~ 2' •••
diverso do
~ n" Ne viene che se al posto d.e~le y ~ s1 pensano po-
ste delle funzioni continue in E della x, la.. iunzione composta
t" )
f ot. aha risul. ta dalla f II{ (x,
e una funzione continua del-
e equivalente
la x noll'intcrva110 E. Epporo i1 sistema (40) al sistema di equazioni integrali
(41)
+
f 0(
(x,
r
)dx,
nolle quali 10 c Q( rappresentano dei numeri reali arbi trariamente assognati, i ''valori iniziali" delle soluzioni ricercate.
(41) consideriamo finalmente 10
Accanto alla equazioni trnsformazione
x
y«*
(42)
=cc(
Sx
+
f at (x, "( )dx
( 0(
E.
J) ,
0
cha muta il punta
r
E R, oioe i l punto (39), nel punta
(43)
( La trasformazione
r
)j'.
..... ,
= 't.
, ...... ).
(-X- ) c081
defini to trasformo
10 spozio R in se, appunto perche 1e funzioni Y!
definite me-
diante 10 (42) son continuo in cgni punto d1 E, di guisa che *- appartiene ad R. Inoltre dalla continuita. delle funz10ni
r
f ~ (Xt "(' ) segue facilmento 1a continui ta. di ogni
r
~
't (
r ) per
R.
I1 confrontc delle (41) con 1£1 (42) s1 ossicura che 10 soluzioni del sistema
(41) son date proprio dai punti uniti d01-
71
- 32 E. Spomor
§2
la trasformazione (42). Eppero, in conformita del teorema 10, noi possiamo
enunciare~
circa l'esistenza di tali soluzioni,
i l seguente
Teorema 12. Ogni porzione compatta e convassa di R, la quale sia trasformnta in se clalla
t ,
contiene almeno un punto di
R, 11 quale soddisfa con le sue componenti
ai sistemi
(40) e
(41).
Sicche per garantire la risolubilita del nostro sistema, basta indicare un sottoinsieme di R dctato delle pro prieta rioordate nel teorema 12. La cosa e particolar.mente facile se le funzioni
f~
(x, ••• ,y~ , ••• ) sono limitate, cioe se in corri-
spondenza ad ogni 0( E:
J si puc determinare un tal numar 0
po si ti vo me(, da aversi
If
(44)
0(.
(x"o"y~,.oo)I·~
mot.
por ogni puntc (x, •• ,y ~ ,0") di E x R. Nel fatto, in queste 0
ipotesi, per costruire un sottoinsieme dl R quale quello desiderato si pub prooedere nel modo ohe segue. Nella spazio POl consideriamo la totalita
X~
delle fun-
zioni y(x) E PO( soddisfacenti alle due condizioni ly(x)-co(\
(45) per x,
~
ly(x')-y(x)1 ~ Xl
a.m ci.!
Ix.-x\
mot,
C E. Le funzioni di Xo(. son quindi equilimitate
B
posseggona rapporti increment ali equilimitati e l'insieme K
«. C P
e inol tro o-ompatto, perche a norma di un risul tato
[3J '
classico ( A r z 0 1 a H a u p t I A u ill ann I P a u c [12J p. 91, B a u r b a k i [6b] ) ogni sottoinsiemo infinito di Xc( contieno una sottosuccessione (unifor.memente) convorgente, il cui limite appartiono di nuovo a XO(' inoltro Xolpossiedo una base nUfD.orabile
72
( 19)
- 33 E. Sperner Finallllente
Ko(
e anche canvesso, perche le condizi. ani (45)
Bono soddisfatte per ogni
co~binazione
lineare del tipa
A y+ ;1\'y', se y ed y' appurtengano a Ko(e se ). e A'san numeri real1 e non negativi con una somma uguale ad 1; e ls cosa s1 riconosce facilmente. Con gli insiemi
K~
cosi defini ti per ogni c( E
J costru-
iamo in corr*spondenza della (38) il prodotto (46)
K
C R,
il quale risulta di nuovo cOlllpatto in conformita di,un teorema di
T y c h
l6a) ).
1
0 n 0 f f [23b (cfr. anche 13 0 u r b a k i InoJ.tre K e convesso, perChe tali sono tutti i Ko(.
Inoltre dalla (42) e dalle (44) si deduce immediatamente che
~(K) appartiene a K. Sicche l'insieme K soddisfa a tutte
le condizioni richieste dal teorema 12. Eppero: Teorellla 13,
Se 1e funzioni f~del sistema (40) e del sistema (41) soddisfano alle (44), quei sistellli posseggono almeno una eoluzione contenuta in K. Ricordiamo che Ie estensioni del teorema di B r 0 u w e r aU! punto unito si prestano a dimostrare teoremai di esistenza per Ie soluzioni di equazioni alle derivate parziali. Allo scopo 6i vegga per eselllpio J. S c h a u d 0 r [21J und J. L e -
l18]
ray e J. S c h a u d e r e J. L era y ~7]. 8i conoscono anche al tre applica zioni dol teorema sul punta (19) Per esempio, Ie funzioni continue in E, 1e quali subordinano funzioni lineari in opportune suddivisioni di E, operate ds un numero finito dipunti razionali,i coefficienti di quolle funzioni lineari essendo numeri razionali, forniscono appunto un insieme numcrabile, denso in K~.
73
- 34-
unito, per e8~pio in queetioni geometr1che; aB oi manoa 11 tempo per trattare snohe questi argomenti. (Ofr. alouni esempi nella bibliograf1a).
., ., .,
74
- 35 E. Sperner
II.
XL
PRQBL~D~I
COLORI SULLE SUPERFICIE CHIUSE.
Mentre il problema dei quattro colori sulla sfera (C a y 1 e y 1879) non ~ ancora risolto, questioni analoghe poste per superficie di genere superiore 8i son rivelate abbordabili ed anzi proprio negli ultimi tempi hanno condotto a riBlltatl particolarmente belli. 51 tratta precisamente della determinazione e del confronto di due numeri caratteristici, con 1a definizione dei quali inizieremo 1a nostra esposizione. Al10 scopo consideriamo una certa superficie F, chiusa (orientabile 0 non). Noi diremo ehe una suddivisj?ne di F in un numero finito di poligoni, topologici beninteso (1), costituisce un complesso di regioni su F. Due poligoni (regioni) di un tal complesso sonG contigui, se essi poseeggono un lato almeno in comune. Cio premesso, definiamo: 1. Il numero cromatico )(F) di F come i l piu piccolo numero naturale )( i1 qua1e goda della seguenta proprieta: 0 g n i comp1esso di regioni su F pub essere co10rato con )(co10ri in tal guisa, che due regioni contigue risul tino colorat e con color1 diversi, qualunque esse siano; 2, Il maeeimo numero V (II eli regioni contigue au F I come 11 massimo numero naturale siffatto, ehe su F esista un complesso di regioni, a due a due contigue, costituito esattamente da
V
V
regioni. Naturalmente risulta
X
V (F)
t(
stenza di (F), cioe 11 fat to che posta da P. J. H e a woo d [3V flaao per )( (F) 1a limitazione
75
X(F).
L'effettiva esi-
X (F) e finito, e stata t
i l quale giE. nel 1890
- 36 -
E. Sperner
dove N e 18 naratteristica di E u 1 e r 0 della superficie, la radice quadrata va presa positivamente e Ie parentesi quadre stanno a indicare che b1sogna prendere i l massimo intero non superiore a (7 + V49+24N)/2. LEl dimostrazione della d1suguagl1anza di Heawood 8i lascia condurre facilmente a termine (2) per N~ -1 (cfr. per esempio G. R i n gel [35a} ,pag.131), peraltro a tuttoggi manca per N=-2; dimostrare la (47) per la sfera sign.i.fi.cherebbe precisamente risolvere 11 problema dei quattro colori. Heawood ha espresso la congettura che nella (47) valgano sempre i segni di uguaglianza. E questo
e stato
effett1vamente
(1) 8i potrebbero considerare come regioni anche campi piu volte connessi t cosa che peraltro non altererebbe i1 valore dei numeri che saranno presto definiti nel testo. (2) La dimostr~zione della (47) e parti.colarmente facile per quello che ha tratto al numero (F). Indichi.no infatti rispettivamente c{o' ()( 1 ed 0{ 2 (= ~ ) 11 numero dei vertici, dei lati e delle regioni d1 un complesso mass1male d1 regioni, a due a due contigue, flU F. Allora susslstonole relazio.ni
01athem. , Cambridge I\1ass. 'i950/ Vol. 2, pp. 202 - 208.
18. LERAY, J. t SCHAUTlER, J.,
Topologie et equations fonction les, Ann., de llEcole Norln .• Sup. 51 (1934)" ppo 4·5 - 78,
19a.NEm~NN,
J.v.,
19b.NEUMANN, J.v.,
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Uber ein ~konomisches Gleichungssystem und eine Verai.lgemcinerung des Brouwers0hen Fixpunktsatzes, Ergebnisse eines mathem, Kolloqu. Wien, 8 (1937) pp. 73 - 83.
89
- 50 -
E. Sperner 19c.NEUMANN, J.v., MORGENSTERN, 0., 20a.NIKAIPO, H., 20b.NlKAIDO, H., 20c.NlKAIDO, H.,
21a.SCHAUDER, J., 21b.SCBAUDER,
J.,
21e.SCHAUDER, J. t 22a.SPERNER, E., 22b.SPERNER, E.,
23a.TYCHONOFF. A., 23b.TYCHONOFF, A.,
2~.
WALLACE, D.,
25io.WECKEN, F., 25b. WECKEN, F.,
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90
.... 51 E. Sperner
250. WEOKEB, F., 26. MAGENES,
E.,
27.
BOSE, R.C.,
28.
OOXETER, R.S.M.,
29.
DIRAC, G. A. ,
30.
FRANKLIN. Ph.,
31.
HEAWQOD, P.J.,
32.
HEFFTER,
33.
KAGNO, I.N. ,
34.
KONIG, D. ,
L.,
II
35a. RINGEL, G.,
Fixpunktklassen III, Mindestzablen von Fixpunkten, Math. Annalen 118 (1942), Pp. 544 - 577. ~oprieta topologiche di certi insiemi di;punti e teoremi di esisten, za di punti uniti in trasformazioni plurivalenti di una r-cella in se. Giornale di Matematiche di Battagll ni, s. IV., vol. 78 (1948/49) Pp. 168 - 181. On the construction of balanced incomplete block desi~s, Ann. of Eugenics 9 (1939), pp. 353 - 399. The map colouring of unorientable surfaces, Duke Math. J. 10 (1943) pp. 293 - 304. Map-colour theorems, C~ J. 14ath. 4 (1952) PP. 480 - 490. A six colour problem, J. Math. Massachusetts 13 (1934) Pp. 363 - 369. Map-colour-theorem, Quart. J. pure apple Math. 24 (1890) pp. 332 - 338. 11 Uber das Problem der Nachbargebiete, Math., Ann. 38 (1891) PP. 477 - 508. A note on the Heawood colour formula, J. Math. Massach. 14 (193,) pp. 228 - 231. Theorie der endlichen und unendlichen Graphen, Leipzig, 1936, P. 196. ff. Farbensatz fdr nichtorientierbare FH!chen beliebigen Geschlechts, Journ. r.u. angew. Math. 190 (1952) pp. 128 - 147.
91
- 52 E. Sperner
35b. RINGEL, G.,
35c. RINGEL, G.,
36. TIETZE.
H.,
Farbensatz f~r orientierbare Fl!chen vom Geschleohte p 0, J. r. u. angew. Math. 193 (1954) PP. 11 - 38. Bestimmung der Maximalzahl der Naohbargebiete auf nichtorientierbaren Fl!chen, Math. Annalen 127 (1954) pp. 181 - 214. Einige Bemerkungen ~ber das Problem des Kartenf~rbenB auf einseitigen Fl~chen, Jahresber. Deutsch. Math. Ver. 19 (1910) pp. 67 - 68.
92
--..
GRADO TQPCLOGICO i: PUNTI UHIT:;: ~-------..
---~
n:
1RASFORliAZICJlH
HOMA-Istituto Matematico deE'lhiversita-HOlllA
93
-- ---
.~.
- 1 -
GRA.DO TO:FOLOGICO E
:Jurbo
:~U1~TI lIT.u:~lL.l!~ TR:,§l~QJll.iAZ]O:t£:r:.
pLURIVALENTI
-
Sia T una trasfol'mazione plurivalente defini ta in un sottoinsieme E del piano (reale euclidco)
G ~
,per 121 quale 8i presen
tino Ie seguenti circostanze: 1) Per ogni punto P 6. E, T (l:'~up: sottoinsieme compatto d_~.._ Eiano ~~ ~()_nnettente;. i l pt~l1.2-medesi.PlO; 2) T
e superiorme!1te~mico.!l:li.p2-:§l. e afsoe.:i,.r:lta_~l..®zigne
3) Ad ogni punta PEE n=.erici
0,
F-p( 11) (a valori
piu in gene~:'ilE~'..E!l:tsl1.~Yi 5ld un gr'9:P"p.9~eliano)
additiva sull~zioni 2J~i~ - !::!:.l?~E.i.~diJJE); ta"1 E'"._~oe.sJ.l~ si abbia FpC1 cicIo si:1g01are, 1-dimensionale di E-E e sia
,
r
r
= ~ mk 1. dove i r k sono 1-simpleslli singolLlri o.i vertiei I::: Pk 1 e Pk con rk=P k 1-P, 2 (Gli O-simplessi possono ic1enti, ,a c,"" ficarsi eoi pu..'lti). SUPPcl1iamo c'le sia possi bile as[l( ciare a eia..ll..
~
l..
seuno dei vertiei Pk,i una eateE21 1-dir.lec1sionale Ck,i il cui supperto non interseehi .la T-ilIlmagine dei simplessi •
r.J
contenen-
ti i1 punto Pk . e tule ehe Ck . =O-P, ., con 0 un PWlto apparte,1 ,1 tC,l _ nente alIa componente illillli tata d'i T( Un Distema di
CP--
catene come Ie
tCk,i~
r ).
si dire. sistema .§:.§..'.l..o_ciato al ciclo
95
r. e i l
- 2 .•
ciclo
r"
,r
l:'lormal e. Si dimostFa che ogni 1-cilo (1".
baricentriche normali.
J
Se
e un 1-ciclo di
C'" -T(r)
possiede suddivisioni
}~-Eo
(p '" E), i l suo supporto
,j
decompone T (p) in un numlll'O fini'to 0 i jjo:c;:,ioni chi us e""'l)(;:;:,te Noi po,:Temo
wp(o) , :=. I'r)v· Ff ("'"C;i ) dove
Vj rallprosenta l' oraine di
t
8.1 ciclo
TS
nn p1',YltO generico di
rclati vo
e ad una prefissata orientasione del piano G~
Dopo ..ai~che si definisco l'ordine topologico.Q ( sformazione T relativ~ 3.l cicIo normale
D(r)::: )'. K
Tn,
k'
(,Up k
r
~ della tra-
j"' llonendo
(VV
\J
0 '(
COIl.
Si giustificu tal", Jefinizione dimostn.ndo che non dipendo to 8.1 o,iclo
r;
r' )
Ee daIlE, ilccclt:i dl~l ciotum di cC),tene {Ck,i\ associar:ee da}10 f3UccesDivc sUdai-duicni baricentriei1e di
quest 'ultino fo.tto permette eU estendere in'wdo rca'c'.lralc
1a c.efir-iziono di ,(1 (
r)
nO. 0cnL 1-c:id.o
Si dimostra inol trc oho cicli di E-!~o
0
.0 (
r di
r ) e una
non veria 011 '1ariarc di
r
logi8. di E-Ec. In partio01ara ne segu.e fi( ·~o
I2 (
chc;
E-Eo'
i'unziono linoarl) doi in
1illEl
I' ) =
clasGl' eli omo-
0 tutte 10 '101-
,-,
1-"':"0 in E-Zo. Si ottengonc co Dl cd Gcri d:i esi sten:~a di punti
perche se
I~" in E e·O (
r
)1-0, doyc eSS8re
ff 0
in
~).ni ti,
E:-Eo ()
quino.i E o1-¢. In particolal'e si trovel C!10 nna trallformazione 8ol1tinQa
96
- 3 -
bivalede(1) di una 2-celJ.ain unito.
se
possiede selltpre qualche punto
Oio non accade in cenerale, come prova un esempio(2) ,
per trasfo r.mazioni continue tri valenti.
(1) Diciamo n-valfmte una trasfo,:'l.JElzion8 T quando
11
e i1
massi:no
numero eli ,ilUnti dell'insienw T(P) al vRrial'e di P in E. (2) cfr.: G.Darbo: Grado Topologico e teoromi di esistenzR di
PW1-
'(;i uniti per trasformazioni plul'ivcllc'uti eli bicelle, 0-cen(1.sem. ;.latem.Univ,Padova, (1950) XIX ]pagg.371-395.
97
MAR I 0 =========
DOL C HER ===~===~=====
ALCUNI RISULTATI DELLA GEOIdBTRH DELLE TRASFORMAZIONI CONTIlWB
Roma-Istituto Matematico dell'Universita-Roma
99
-
ALCUNI RISULTATI DELLA
1 -
Gl~OT.'l2:rl'RIJ'
DELLE TRASFOlli.:.AZIOlU
CONTINlJ~
(Contenuto dell'esposizione tenuta i l 31.VIII.1955 a Varenna)
Il risultato di cui qui si tratta s'inserisce in una ricerca, :piu generale, dei caratteri "geometrici" delle trasformazioni continue piane, ossia di quei caratteri che mentre assumono particolare rilievo nel caso a18ebrico-analitico, trovano come loro effettivo campo di validita quello, piu ampio, delle trasformazioni continue: si tratta cioe di caratteri di nat;ura topologiea. Eecone un esempio, connesso con la particolare questione di cui qui si tratta e formulato relativamente al caso pi1'1. semplice: lise una funzione razionale intera p(z) ha due zeri doppi, essa possiede almeno un ulterioro zero". dell ' enunciato a18ebrico,
8SS0
riposa sopra un fatto topologico
e ppiva
la cui formulaziono general8 non
e il
II problema studiato Sia
d'interesse.
seguonte.
C un dominio limitate di un piano E, , il cui contorno
complessivo se
I.!algrado l'estrema banalita
lr
consti di un numero finito di curve semplici chiu-
/(i(i=O,1, ••• r) a due a due disgiunto, che conviene ponsare
equiorientate rispetto a C.
C in un piano
Sia T una trasformazione continua di
c:' , Posto T(, "d )= 1'1
per ogni componente A' di
g -]'
co (04 "Ordine") di A' rispetto a
,
T( di)=
(}!
e indicando
,can n(A') l'indice topologi-
l' ,
dicesi "eccezionalEJ" un
punto p' di A' allorche l!insieme T(p") consta di un munGro N(p I) ~
In(A 1)(
di punti.
Dicasi "difetto" della T in un punta
eccezionale p' la differenza In(AI)1 -N(p'), difetto elella T in AI 1a somma elei difetti nEJi punti ecc()zionali esist
