A. Signorini (Ed.)
Teorie non linearizzate in elasticità, idrodinamica, aerodinamica Lectures given at the Centro Internazionale Matematico Estivo (C.I.M.E.), held in Venezia, Italy, September 20-28, 1955
C.I.M.E. Foundation c/o Dipartimento di Matematica “U. Dini” Viale Morgagni n. 67/a 50134 Firenze Italy
[email protected] ISBN 978-3-642-10901-0 e-ISBN: 978-3-642-10902-7 DOI:10.1007/978-3-642-10902-7 Springer Heidelberg Dordrecht London New York
©Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011 st Reprint of the 1 ed. C.I.M.E., Florence, 1955 With kind permission of C.I.M.E.
Printed on acid-free paper
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CENTRO INTERNATIONALE MATEMATICO ESTIVO (C.I.M.E)
4° Ciclo - Fondazione Giorgio Cini – Isola San Giorgio (Venezia) 20-28 sett. 1955
TEORIE NON LINEARIZZATE IN ELASTICITA’, IDRODINAMICA, AERODINAMICA
A. Signorini:
Trasformazioni termoelastiche finite di solidi incomprimibili ............................................................... 1
B. Finzi:
Teorie dinamiche dell’ala ............................................ 83
F. H. Van den Dungen:
Les ondes dans les fluides incompressibles............... 169
A. S I G NOR I N I
TRASFOBl1AZIONI TERMOBLASTICHE FINITZ DI
SOLIDI
INCOMPRIMIBILI
ROI.1A - Istituto Matematico dell. 'Universita., 1956
1
- 1 TRASFOillLIiZIOKI TBRMOELASTICTIF FINITE DI SOLIDI
INCOI,IPRWIBILI
Queste leziolll hannG come direttiva Ulla sintesi di quanto 6i treva sistematicamente svilu:ppato in una mia I.Iemoria sul-
le trasformazioni termoelastiche finite di solidi incom:primibili, in corso di stampa negli Annali di Matematica pura e appli ... cata
• Verranno anche esposti;
t. XXXIX ( 1955) pp. 147-201
come necessaria premessa, alcuni dei risultati di due precedenti Memorie degli stessi Annali.
Invece, per motivo di brevita,
non potro dare neppure un cenno delle ulteriori ricerche sviluR pate dal prof. T. liianacorda in tre recentissimi suoi lavori: Su1....122.i.~~~~1-_usote,~~ella
secondo grado
piu
.i?~soliC'~~nc'Omprimi bili
gen~rale
Elastici ta eli
Ann" di Iila"t., t. XLI.
pp. 1-10 Sulla to!,_oio_,'}. ..§l__ 9:.i,_.~L':l,_s:;:i,]Al!.ctro circolare tropo nella t,eori.a incomprimibili
oDlogen~Q~.!2.
~.(')Jl:~2-eformazio!!J..-!1-J1-i -t~_
solicli elastici
Boll. della U.l.1.I., 1955, pp. 177-89
Bulla piu. generaJ-_t3__!e2A.a, ..1;L,n~a.:r:...iEz,8:t,~_ih.e1:1_e.i;,r.a.sfC?£.mazj,Q.Rivista di I;atematica dell 'Universita di Parma, v.5, :pp. 233-53 i
Per s011idi .incom:primibili sembra assai utile l'introduzi£
ne LV' n.7,
di certe due variabili indipendenti al :posta dei
tre allUllgamenti unitari principali. Fra l'altro essa :porta a delimitare in modo espressivo l'area di definizione del potenzial.e isotermo [v. fig. a pag.
].
N"eH.a seconda I1emoria clegli Ann.alj i.nsistetti sul fatt.:J che la ipotesi carat"teristica della Elasticita di secondo grado aveva super[cto cosi feli C 3IO.Cl'l"G 0 tant! severi controlli di cara! tare quali tatiYo da far;ni r: onS8.re che per9..£§l1.£h§. solido naturale potesse andar bono anche
qua.nti~c."i var:>nt;e.
3
Questa mia pre-
.... "'" stinZione viene ora avvalorata dal per
aol.1.di.-.~i
·te.orema~_n..J.-..dcl. cap~
VI:
l' ipotesi caratteristica della Ela-
sticita.di secondo gradoiDmor..ealpot.enziale isotormo una fo!. rna c.he ... ove 8i annulli uno dei tre parametri in essa disponibili - Coincide con la f'Orrna prolJosta e discussa da II. l1oone.x fin dal 1940, Anzi l'annullarsi di tale parametro risulta pure necessario se incondizionatamente si accettano i risultati di esperienze assai recenti.
4
A. Signorini.
Capitolo I.'
SPOSTAMENTI TRIDIMENSIONALI REGOLARI GENEliALITA!
Siano
e.e
C
due cdnfigurazioni. di un sistema continuo
tridimcnsionale S, scelte a piacere nell'insieme di tutw quel le cha per esso vogliono i.ntendersi possi bili; in modo che 10 spostamcnto da C _ [configurazione di partenzaJ gurazione di arrivo]
in C [confi-
posea identifiearsi eon un qualunque sPQ.
stamento globalc di S. La C.. verI's. anche ch:iamata eonfigurazione di riferimento. Indiehero sempre con p. p .. una qualunque coppia di punti corrispondenti in G e Ct ' con ~. i1 vettore P~P, cioe 10 spostamento del punta p. nello spostamento globale di S da C. in
C,
~f =C~~C. Fisso a piacere una terna cartesiana trirettangola
G~:: 0.£, ~'l.. ~3
e rispetto a
1: convengo,
una volta per tutte, di indicare con
,jv ~~ 1e coordinate del gcnerieo ordinate di P, con
~1
p.,
con
x1 ' x2 ,·
x 3 ,le co-
( r = 1, 2, 3) eee. : anche adoprando. senz'altro avviso
~I{, = xI' - ¥I'
le componenti di
1,
i coefficienti di un'omografia vettoriale, li intendero riferiti alla
(t .
Potro pensare biunivoca e incondizionatamente regolare 1a corrispondenza fra
P~
e Pi in particolare sempre
i1 determinante funzionale (1)
1)
,
J(~t)X~IXj) ~(;~-~l·;-~~·~----.I
5
positiv~
- 4 -
A. Signorini.
Riuaciranne comode Ie notazioni. abbreviative XI(.Q::
~I(.._ d Y4
-u- JVv'tJ . It..~ - ~JI)-'
Non eeclu.de [salvo contrario avviso] re soggetto a
qw~ehe vineo~o
interno, del tipo
\Cy~
j)
che S posse esse-
J
= ,ju 3) jt. Fin d10ra lonvengo pure di chiamare omogeneo ogni spostamento pel quale : e x siano funzioni lineari delle y: potra magari trattarsi d: uno spostamento rigido. 2. OORRISPOliD.sNZ"
DEGLI h'LEMENTI LIN:JSARI.
=
Siano: dP_ (dY1' dY2' dy 3 ) il generieo elemento lineare orientato USCI nte da P* e dP 3 ( dx 1 , dx2 , dX 3 ) i1 suo cor-
Ov" ed a.. i versori di dP
rispondente in C
-
~
e dP.
Sempre in : 'igua~do al generico P ¥ indichero can la semplice notazione
~
1 t omografia vettoriale
dP
eLf.
per la
qua~e
~I
evidentemente
proprio
~a
:::~x~~!\
e
ct che specifica la legge di corrisponden-
za fra dP e e dP, mediante l'uguaglianza (2)
dP
Ta1volta chiamero dP 1timmagine di dP~su C [e dP. ltim-
-J .
magine di dP su C Indicando con S~
i1 ooefficiente di di1ataziono lineare
in P ~ nella direzione di Q;'A la (2) puc anche sostituirsi can
6
[CiOe -;onendo
\ dP \
::(It ~Q..)l d Px \]
- 5 -
A. Signorini
che implica
~c il coefficients di dilatazione cubica
Indicando con
L ~
in P,lI aioe -ponendo de '" mente formace
(1+~e
C-c o -Ef pure evidonte che la
solo quando 3.
jf
D~FOR1liAZIONE
e
)
de.
101--1 3
J
la (1)1
evidonte-
•
riaulta indipendente da
~
p.
omogenoo.
PURA E ROTAZIONE
LoCnJ~t SPOSTil.I'I[~NTI
OYlOGENEL
Por uno spostamento infinitesimo notoriamente conviene la sistematica decomposizione dell' omograf1a ot.. nella somma d1 una dilatazione con un'omografia assiale; decomposizione che indipendentemente
dall'eut~ta·dello
spostamento - si specifica in
(5)
non appena si ponga
Per uno spostamento finito conviene invece decomporre La fA nel prodotto di due omografie, con le modali t~ che ora ~recisero.
Chiaroo dilatazione ''pUI'.l!!;
()
Sia allora CX& 1e dilatazione pura univocamente caratte-
7
- 6 -
A. Signorini
rizzata aall'uguaglianza 2-
<Xs == - i:
condizione oquivulente a quolln
cho 1a (22) abbia tuttc c trc 10 radici reali c positive.
9.
§POs~lt4H~~:i:!i'[:g;5_GO~,
In questo nO. prondoro in speciale esamo 10 spostamonto C '- 0
: s:Qostamento inverso. Per esso :pub ripotcrsi tutto eib
* ho dette per 0 II -.). 0, se'mplicemonto sisti tuendo cho finoro con - oU./G (r
=
1,2,3)
0
M,'C
adoprando come vario.bili indipcndonti Ie
x al posta dolle y. In corrispondunzo. 0.1 generico olemento di S pongo
e ancho distinguo con un soprassogno l'omografia di deformBzione,
16
- 15 -
A. Signorini
Ie caratteristiche di deformazione ecce dello spostxJento inverso: cioe l'omografia di dcformazione, le carattcristiche di deformazione, ecce inerenti a Ow r1spotto a 0, invcce cha a C rispotto a C.
~
Con questa convenzio-
no, insicme a
(25) risulta
(25)' coc. Specialmantc oocorre, per futuri sviluppi, rilcvare che [POl gcn:,rico spostamonto finito biunivoca f..
Lnon con
mediante
f.
-1
10.
~ e in
corrispondenzo.
, ron invGc1-' con 10. trasformata (4) di
ctCj>
Invoro dnlla (25), pur cffetto dell'uguo.glianza
a =01.-t
J
scmplicGmcnte s1 ottionG (26)
In corrispondenzo. a un'omografia qualunquc {;' ~ ~'{.~ ~ 0 ad un rotore chiamo trasformata di ~ mc~ 6l 1 omografia r~ til (~~I. • I COGfj'iciGnti di fl·'(R,. rispetto alia torna trl.rottangola 'tri.= 011£," ~~ ~~3 ordinatamonte coincidono con i gr : in particolare iJtro invarianti principali di r~ ordina~amonte coincidono 0 il valore della temperatura di m in una scala opportuna, la ~ assoluta. Anche nella s - entropia specifica - per o&ni m rimane arbitra.ria·una costante additiva. I sistemi Sf cost definiti hanno un'importanza di primo ordine,perche forniscono 10 schema piu spontaneo, se pure un
po' semplic.ista,
di vastissime categorie di f enomeni sensibil-
mente reversi bili: questa affermazl.. one e implici ta nel secondo principio della Termodinamica. In certo modo i sistemi a trasformazioni reversibili fanno riscontro, nell'ambito de! fenomeni termomeccanici, ai sistemi privi di attrito della Meccanica analities. Hel seguito viene sempre indicate. con .:; la fUnzione earatteristica
J(X/ P*)=W-E11 .
(2)
La forma eft et ti va della funzione caratteristicaJ deve
':J-
[aome quell a di ogni al tra intendersi definita della specie
del corpo naturale schematizzato in ~ per ciascun m rimane arbi traria in l' aggiunta di una funzions lineare IT della sola T.
:f
30
- 29 -
T. La
:f
A. Signorini
corrisponde a1 potenziale termodinamico di
~
e
coei sempre la chiamero. Da (II, 20),· (1) e (IIs21) risulta
(3) per ogni m e
peJ~
ogni sua trasformazione elem.entare.
Basta questa per accorgersi che stemai1 valore di
~1
pe~
ogni elemento del si-
puo dipendere solo dai valori 100al1 del-
le caratteristiche di d eformazione
0
deJ.la temperatura assoluta;
s'intende quando - insiemo alIa oonfigurazione di riferimento 8i sia
oomu.~que
scelta la 1.
aJ.la funzione caratteristica
Se S
~
bili T, £1' £1.
In altri termini almeno riguardo
J. i
'X" possono corto ridursi aIle
e coarctu da 0bn1 vincolo intel'no f Ie sette variaJ
• - - -
_ )
C{.
s1 !!lossono pensaro come indipenden-
ti e la (3) s1 eso.urisce nelle sotto uguaglianzo
'OT 2. SISTEMI INCOMl'BIIVlIBILI A TRA3,!!'ORMAUONI REVFRSIBI1L
Accenniano can TlIC la tomperatura nella C '¥
'
stat
