Teoria funcţiilor de o variabilă complexă, vol. 2

ACADEMICIAN S.

STOILOW

TEORIA FUNCŢIILOR DE 0 VARIABILA COMPLEXA VOL.

II

FUNCŢII ARMONICE. SUPRAFEŢE

EIEMANNIENE

In colaborare cu

C A B I B I A A N D E E I A N CAZACU CANDIDAT ÎN ŞTIINŢELE FIZICO -MATEMATICE

E D I T U R A

A C A D E M I E I

R E P U B L I C I I 19 5 8

P O P U L A R E

R O M Î N E

PREFAŢĂ Acest al doilea voKm al tratatului meu de Teoria fun< ţiilo: de o vai ia bilă complexă cuprinde prelegeri ţinute de mine în cadrul cursurilor speciale, la Facultatea de matematică şi fizică din Bucureşti, în decursul ultimelor două decenii. Consacrate unor probleme centrale de teoria geo­ metrică a funcţiilor analitice şi alese astfel ca ele să poată servi drept bază, şi totodată ca o introducere în mai multe din cercetările cele mai noi, am socotit că ele pot constitui o completare utilă a primului volum. în afară de materiile care au făcut obiectul lecţiilor mele în această perioadă de aproape 20 de ani, volumul de faţă cuprinde şi rezultate mai recente datorite unor tineri şi valoroşi cercetători romîni. Astfel, în capitolul V sînt prezentate rezultatele obţinute de Cornel Constantinescu în cercetările sale asupra principiului măsurii hiperbolice şi asupra folosirii acestuia la adîncirea şi extinderea unor teoreme clasice; în capitolul IX sînt redate unele din rezultatele lui M. Jurchescu asupra suprafeţelor riemanniene cu frontieră absolut discontinuă, iar capitolul X cuprinde rezultatele obţinute de Cabiria Anăreian Cazacu cu privire la supra­ feţele de acoperire normal exhaustibile. Alte lucrări, nu mai puţin importante, ale altor tineri matematicieni romîni, nu au putut fi încadrate în text pentru că ele nu sînt legate direct de subiectele dezvoltate în diversele capitole ale acestui volum. Ele au fost însă menţionate la locul cel mai potrivit, cu trimiterile respective: sînt rezultatele lui I. Berstein asupra acoperirii riemanniene pe suprafeţe neorientabile sau asupra funcţiilor pseudoarmonice, ale lui JY. Boboc, asupra varie­ tăţilor difer enţiabile şi problemei lui Dirichlet, precum şi cele ale lui Aurel Gornea, relative la natura elementelor frontierei ideale ale suprafeţelor rie­ manniene abstracte. Am dorit să dăm astfel o imagine cît mai sugestivă a contribuţiei tinerei noastre şcoli de teoria funcţiilor, a importanţei şi a pers­ pectivelor ei. r

6

Gabiria Andreian Gazacu, conferenţiară la Facultatea de matematică si fizică, a adunat teostele şi notele acestor prelegeri şi, cu o pricepere deosebită, le-a dat forma, închegată şi unitară, sub care ele se prezintă aici. Tot ei i se datoresc notiţele istorice care însoţesc unele din chestiunile cele mai impor­ tante tratate în acest volum, care — fără sprijinul foarte preţios pe care mi Va dat — poate nu ar fi văzut lumina tiparului. îi exprim aici viile mele mulţumiri. s,

STOILOW

CAPITOLUL I

FORMULE PRELIMINARE. PROBLEMA LUI DIRICHLET I. DEFINIŢIA FUNCŢIILOR ARMONICE 1. Se numeşte funcţie armonică într-un domeniu £î din planul (x,y) o funcţie P y) uniformă, continuă împreună cu derivatele parţiale de primele două ordine, care verifică ecuaţia lui Laplace AP =

+

= 0.

(1)

2

dx*

dy

î n coordonate polare (r,