Tehnici de calcul în teoria sistemelor. Vol. 2: Sisteme optimale

Colectia AUTO MA TI CĂ

e

INFORMATICA

1. Sclulcilta, S., CoslakctN.,

Nicu[cscu CI. 2. Pctrovski .·1., Rozman, la. 3. Bru{man, S. "" 4. J{u:nc{ov, O. 5. Mogili[ellski, V. tl . •Ualov, V. 7. Gla:cnco, T. '-'

Automatiznrcn complcxoi At·{ionan•a l'lectric:i cu amplificatoare manncticc Jndieatonrc numerice Controlul automnt al nh•cJului de ~cparntie n dotH1 ml.'dii Cuplnje şi frine electromagnetice tm pullJeri Tt~Iemecnnica

Ami•IiHcntonre dt~ impulsuri cu scmicouductourc in urţiomlrile t•Iectrice 8. Stupcl, F. 'frmlnctonrc şi com•ertonre cl1~t~tromccnnice 9. Rai ţin, T. JJ • ..- llispozith·e de cnicnl analonic in nutomnticft 10. !5/candin, V. ~11., Ccrm{o11 1\. • .:11.' Autumatizuren circuitelor clectrh~c 11. .Ştcfiincscu, N. SeJsinc 12. Totolici, D. 0 Annlizn nutomnti't continuii 13. Bătrîna, 1. Dimo, 1'., Sipoş, 1. Aparute de mfssurnt şi măsur:iri numerice 14. Frănkcl, D., De Sabcilă, 1. TrmluctoruJ linii 15. Procoj:wJJici, E. Cuplnje cJN~tromnonetit:e cu frit~tiune şi cu din{i 16. Webcr, F. )tfasururea, comanda şi reninren in tehnh~u t~Iintali1iuH 17. Paladc, D. Aerul comprimat in sistemele :mtomutc 18, 19. Wcinricll, G. ş.a. Sisteme de reglarc unifh~atc pentru IH'ocesc rapide vol. I şi II 20. Cosfakc, N. 1 Alegerea sistemelor electronice numerice de prelucrare a informatiei 21. Codrcanu, C. şi T. Coloşi. Tcrmistonre şi \'nristoare 22, 23. Brana, C., Brana, V. Transmiterea informnt.iei numerice in missurfsri ţj nutomatlziirl, voi. I şi II 24. Popa, ~-11. Utilizuren eulculutonrelor in trnnsportul fcro\'illr 25. Sioicoviciu, O. Cintliriren automntfl in intlustric 26. Dancca, 1. "Dispozith·cie aritmetice ale cn)cuJatonrelor numeric~ 27, 28.Costaclw N. ş.n.FORTRAN (voi. I şi II) 29. Georgescu, 1. ~ Sisteme tic cchlpnmcntc ~i Jtrogramc pentru calculatoare 30. ~·lllramescu, .tl. c~ Echlpnmente pcrl[erlee nlc cuiculntonrelor numerice 31. ~11arinoiu, V., Paşcllinii, 1. Robinete de reglnre 32. Bejan, 1. Ampli[ientorul mnunetie jn sistemele nutmnate 33. 34. Epurc, M. ş.arCnlcuiatoarelc FELIX C-256, IRIS 50 şi JBM 360J30, 40 Funeţionnro şi depanare 35. HăngănuJ, .M. ş.an•rograme FORTRAN comentate in nutomatic;1 36. Gcoryescu, 1. ,7 Sisteme de opernrc pentru calenl:1toare numerice 37. Wilkes 1. Sisteme de calcul cu acces mnlliplu. 38, 39. Ionescu, V. şi L. Lupaş. 'fcbnici de caJcnl in teoria sist~ U. 6) -~ : T x x-_". Y este conl'inuli. Fie acnRl S 0 C T X X X Y, mulţ;itnea ţintă sa.u terminaU\ care în final va. fi descrisă ~i ea printr-o varietate netedă, momentan a.ceasta neinteresiml în moll expres.

10

că :E este adevărata implicaţ.ia :

Vom spune

constructiv Pejcritol' la S 0

1mtle ""este proiecţia lui T

)
['· (t, m(t), 11 (t)) dl> ,-L(t, m(t), k(t, a·(l))dl =O=

t,

• t,

= J {1 00 m., O>), unde

m (t) = cp (1; t., m" "')15

Fie acum functia H : T X X X R" X U -+ R prin egalitatea H(f., :e, 11, 11) = L(t, m, 11) + (y, .f(t, w, 1t)) unde JJ E Ba se nun1cşte costa.rc. Se spune că H este regulat
~,,

y))

funcţia

= H (1,

< H (t, m,

H0

m,

:

R X R"-+ B,

y, c(l,

m, 11))

definită

= min u

de egali-

H (1., m, y, u)'

EIJ

(1, m)

se

11: n), ''"Pc (t, m, y)

E

(5.5)

di\

nume~te hamiUonianul problemei de optim rclaHv la 1'1. Fie acum 11° : T X D -+ B umle D•' este un domeniu

care

conţ.ine pe X, F? = ~~o şi ll~ =

grad "11° existînd,

şi fiind continue în D. Se spune eă yo Hamilton -J acobi- Bcl.lnw11 relativ la !',

verifică ecuaţia

dacă

V1 (t,m) + H 0 (1, m, Y~ (1, m)j = o, (t, w) E di\ unde H este regulată referitor la 1'1. Putem aeu1n sfi. enunţ.ăn1 şi să tlernonstrăn1 :

(5.6)

Teorema 1\c suficienjă [5.2]. FielilCTxX şi Hrcgult1t;\ referitor la ,'ll, Presupunem că. : 1. 11° rlefini tă mai sus (cu ll~ şi ŢT~ continue) veriiim1 ecuaţ.ia H -J- B cn condiţia de frontieră ]1° (t, m) = ), (t, m), (1, cv) E , Y? (1,

a;)

n (1,

+ H (t,

=L (t, m, k (t, .r) ) =

a;)

+ H(t,

a;,

yg (t, x),

1t)

>

:r,) Y 0 (1, m), c (t, ,,,, Y"(t, m))) =

+H

Y? (t, x)

0

(t, x,

V~ (t, x) ) =

o

pentru u =/= k (t, m) şi (t, x) E Jlt. Fie atunci "' o comandă admisibilă care o'il -transferă. (t 0 , m0 ) pe S cu 12 - timpul de transfer. Notind cu J indicele de performanţ.ă generat de L şi ~ avem conform lemei menţionate A

O = J (t 0 , .r 0 , w)

=J

(''

A

L (t,

x (t),

·ii (t)) dt


'0 ) = J(t 0 , x"w)- T"(l., x0 )

";;; J('' L' H" (t, ro(l), r~ (t, ro(t))),

sau desvoltat L(t, x(t), u(t)) + ( F~(t, ili(t) ), J(t, x(t), 1i(t))) > H' (t, m(t), (1, ii:(t))) ţinînd cont de 1. atîta timp cît (t, ili(t)) E '"\". Vom avea L(t, ili(l), u(t)) + + ">(t, m(t)) + + < (t) unde O atîta timp eît apartenenţa la veeinătate este îndeplinită. în final rearanjînd inegalitatea rezultă :

11:

n

-V? (t, m(t))-

O

rezultă că

+ ),, r''L(t,

m(t), ·ii{t)) dt

ceea ce contrazice optimalitatea lui ii(.). Atunci inegalitatea devine egalitate şi datorită unicităţii minimului lui H(t, ro, vg (t, ro), n), conseeinţa este eYidentă. 2. EgalitfLtea rezultată se n1ai poa.te scrie atunei

H(t, w(t), vg(t, x(t)),

11)

> H(t, x(t), YZ

(t, iv(t)), ·ii(l))

pentru orice" EU. ((x(. ), ii(.)) fiind o pereche optoimală). inegalitate exprimă principiul minim11l11i. 3. ii(t) = k(t, x(t) ) este admisibilă datorită netezimii lui k. Să abordăm în fine problema ecuaţiilor canonice. Vom presup1me satisfăcute condiţiile teoremei de necesitate cu menţiunea că condiţia 4. este mai lejeră adică H este regulată referitor la Jl\ 7 iar funcţia c care defineşte minimul unic absolut este cu derivate parţ.iale continue (in mport cu t, ro, y) în Jlt. Evident condiţia 4. de la teorema de necesitate este satisfăcută deoarece k(t, ro) = O(t, x, V~ (1, ro) ). Vom mai presupune că V 0 are derivate parţiale de ordinul 2 oont-in11e în Il\ (adică este suficient de preten· tios netedă). Sii evaluăm H~ (t, x, Jf). Evident

Această

H 0(t, x, y)

= H(t, x,

y, c(t, x, y))

= L(t, re, c(t, x, y)) +

+ (f(t, ro, c(t, x, y)),

y)


ecuatiile canonice

Fie

%llrrll~ro + ~ llnll~rn +

H (1, re, y, 11) =

+ (1/, cu

Funeţ,ia H 11 = c(t,

.t·,

i~i

A(t) m

atinge

+ B (t) 11)

_'1m~n. 1~m,1fl

absolwt, 1mic, in raport

11) dat de

H" (1,

a·,

y,

11)

=O

aclieă

R (t)

11

+ B''

(t) 11 = O

de unde 11

=-

R- 1 (t) B'' (t)!!

Hamiltonianul este dat atunci de H 0 (t, m, 11)

=

H (t, m, y, c (1, m,J!))

++IIR- 1 (t) BT (t) 11111111 ,

+ (1/, 30

A (t) ()

deoarece R(.) este simetriei\ pozitiv definită. Cum asnpl't1 lui n(.) nn se impune nici o restricţie in ceea. ee priveşte posibilitatea de conducere, terminalul final fiin O. .Atunci

P(t) = Y(t)X- 1(t)

este o soluj;ie a ecuaFei Riccati în intenalul considerat. Demonstraţie

P(t)X(t) = Y(t)

de unde P(t)X(t)

+ P(t)X(t)

=

Y(t)

aclică

P(t) (A (t) X (t) -

B (t)R- 1 (t) B'' (t) Y (t))

+

+ P(t)X(t) = - Q(t)X(t)- AT(t) Y(t) De unde înmulj;ind cu x-'(t) P(t) A(t) -

+ F(t)

rezultă:

P(t) B(t) R- 1(t) BT(t)P(t) = -

+

Q(tl - .1tT(t) P (tl

care prin aranjarea termenilor este tocmai

ecuaţ;ia

Riceati.

41

O!Jscrva!ii esen{ialc 1. Ecuaţia (5.17) este verificată simetriei solutiei. 2. Solnţ.in, explicii!, se. serie

fără

nici o

ipoteză

a

IT(t; T, S(T))=(0 01(t, T) X(T)--1-0"(t, T) Y(T))X

x (Ou (t, '1') X('l') = (0,1 {1, T)

+0

12

{t, T)Y(tW 1

+ 6" (t, T)S(T)) x (Ou {t, T) -1-0

12

= (t, T)S('l'W 1 (5.22)

unde S(T)

= Y(T)X- 1 (T)

3. Se vede că dac•\ det X(T) 4= O atunci într-o vecin, lui T ecuaţia admite o soluţie şi numai una. 4. Dacă T( 'l')X- 1( T) este simetriei\ atunci soluţ;ia este simetrică. nătate

5.2.10. Paramctrizarca sohtfWor ccuafiilor canonice Ecuaţiile canonice (5.15) ale pătmtice •m următoarele condiţii

problemei la limită.

varia.ţionale

a) x{-r) = x

b) F(T)x(T) =O c) (y(T),z) = (S(T)x(T), z)

(5.2.3)

pentru orice z pentru care F( T)z = O ultima condiţie reprezentînd, condiţia de tmnsversalitate, care în fond explicitează faptul că Y~( T, x) este nm·nmlă pe varietn.tea finală. Condiţiile b) şi c) furnizează tle fapt n - condiţii; reprezentate prin pammetrul n - dimensional p. Acest parmnetru trebuie să caracterizeze : - apartenenţ.a lui x( T) b varietate liniară s - tlimensionali1

42

- faptul că 11( T) are două componente, după cum1·ezultă, (lÎil

(11( T) - 8( T)x( T), z) = O

o componentă liberă liniară finală, adică

j_ pe S şi una

11( T) = 8( T)x( '1') Soluţiile

în forma

(x(. ), JJ(. )) ale

conţinută

în varietatea

+ 11'""

ecnaţiilor

canonice se vor scrie

parametrizată

x(t)

=

X(l) p

(5.24)

11(t) = Y(t) p

pammetrul

p

l'ixindn-se din x(-r)

condiţia iniţială

= x =

X(-r)p

Pentru o expunere comodă se alege un sistem preferenj;ial de coordonate. Fie astfel JJ'( T) adusă b forma diagonal canonică

1!'( T) = [O 1"_,] (rang JJ'( T) = n-s) Rezultă că x E il\ P, x = (fL, O) unde fL este s - dimensional. .Atunci luînd p = (fL, v), v fiind (n-s) - dimensional, rezultă din :

S3 x(T) = X(T)p că:

[

fL ] =[X""( T) x,.( T)

o

~> X(T)

=

X,"( T)J [ fLJ X"( T) v

[~' ~] 43

Oondiţia

ele transversalitate (5.23)

dă

(Y(T)p, z) = (S(T)X(T)p, z), z e:!i

.Atunci

rezultă

z1'Y('l')p= z''S(T) X(T) p adică

Y,.,(T)] [ p.] = [p.T O] [S""(T) S",(T)] X Y"(T) _v s,,,('Z'l B"(TJ

ele unele

* = S,",(T))

p.TY" 1,('l')!L-J-p.TY,.,(T)v = I"''S"1,p.(S1

.Atunci se vede

că

Y,,,,( T)

S,,,,,

=

Y "'( T)

=

O

sau: Y(T) = [

d'" ;] V, V- rcrbitrare

cleei y(T) = (S,,"p.'

V"+

Vv)

şi unele pentru a avea o distincţie netă a lui alege U = O, V =In-" în definitiv

Y(T)

=

[S,,,, o

o

Yuben

se

1

1)1-/1

Recapitulînd X( T) = [I, O ] , Y( 'l') = [ S,,,, O ] O O

m(T) = (1"• O) cu p =

44

In-• 1/( T) = (S,,,,p., v) O

(v,

v)

(5.::!5)

Concluzii esen!iale

1) Luînd X(T), Y(T) ele formele date, construind soluţia (X(.), Y(. )) se obţine familia pammetric1! a tuturor e•l'fremalelor care an varietatea tenninali! finală S (m(.), y(.))

2)

X~

(T)Y(T)

=

(X(.)p, Y(.)p)

. t.=[ 8;" o] snne -

~nea

0

În consecinţă o familie pammetrică (X(t) p, Y(i) p) care satisface ecuaţiile canonice (libere), este ncccsal' pentru ca Sit fie o familie

parametrică

ele c:ctremalc ca

XT( T) Y( TL= YT('l')X( T)

rezultînd evident

că

X'"(t) Y(t) = Y'"(t) X(t)

pentru orice t.

Aşa

dar nu orice pe,-cche de

soluţii

(m( • ),

JJ( • )) este o etctremali!. 3) Dacă det X(t) ? O pe un intenal oarecare, (X(.) p, Y(.) p) fiind o familie parametrizată de extremale, rezultă elin cele relatate la 2) că şi Y(t)X- 1(1) = P(t) este shneti'ÎCl!. '1) p se poate determina unic numai dacă det X("-) # O adică

5) X( '1') este litatea cert mai

singulară ele fericită ca

unde reznltl\ numai posibi-

det X(t) # O pe [.-, T) 6) Dacă det X(T) ? O ( p unic determinat in fnncţ,ie de fiecare m(

· 1

+ p'!.

= clt

de umle p(t)

= "(t, O,

Se vede că pentru 11

O,)

= "

2

=

tgt

~> r:(l 1 )

= ± oo

*) Dacii problema nu esle specială, extrema drcaplft fiind liber:1, atunci P (1') = 1" (T) X - 1 {T) = oo

50

Un punct t1 pentru cn.re limTI(t; T, S(T)) = w (cel

puţ,in

pe o

componentă n.

1-+11

matricei e suficient) numele de pnnct conju.gnt (s1•îng sau drept f:1ţă de T) asociat cn T. Se vede din expresia lui P(t) = Y(t)X- 1 (1) că punctele conjugate apar atunci cînd det X(t) = O Fie t 1 < T pentru cn.re det X(t 1 ) = O. Atunci d:1că m1 $
nită,

a (1"

T) Y (T) p1 =O

unde Y (T) p,

=

[~'''' ~] [~,] = [~,]

S~ll

a(t 1 , T) (O, v1 ) =O",. (O, v1 ) dem a(t" T) (hermitică) Ori p1 = (O, v 1 ) j_ il\, prin !nodul ele construcjoie a pmmnetrului p. Atunci din (5.13) p1 _L(§ + dem t1(t" T)) = p1 j_ X (buna formulare n. problemei). Aceast_a înseamnă că p1 = O ~ v1 = O ceea ce este absurd. In concluzie rc(t) nu este identic nulft. D~finiţia precisre X(t1 )(11" 0)= = O(i11 =F O) se numeşte pnnat fooal (definiţie precisă) Grafic dn.că S"" = O avem fig. 5.2. desen care sugerează denumirea de foaal. Oonalnzia lr"mei 1. Dn.că pentm un 11 < T detX(t 1 )=0, aclică există p1 =FOca X(t,) p1 =O şi cbcă probleme; este bine formulrttă atunci ;,;(!) = x·(t) p1 nu este identic nulă pe [,,T] Observaţii

-in cazul problemei speciale (extrema finn.li'L liberă), fl, singu.larizaren. lui X(.) se face prin puncte focale; - în cazul problemei generale, particuln.rizrttă In. extrema finrtHt redusă. la un lHlncti, p = v singularizarea lui X(.) se face prin puncte conjugn.te. aclică p

=

53

Lama 2. Se presuplme că pentru orice "' E [-,, T), problem:o este bine formuhtă pe [ "'• 'l']. Atunci există o vecinătate a lui T IJentru care oricare ar fi -r < !1 în :oceastă vecinăta.t;e dctX(t) =!=O pe [-,, T]. Demonstraţie. Fie problema inij;ială făcută speciali't prin simpla schimbare a. variet>'iţ.ii terminale finale S =X Atunci 1

F (t)

= (0 21 (1, T)

+0

02

(t, T) S (T)) (011 (t, T)

+

+O" (t, T) S (T))-' existiî, prin coutinuitrLte in jurnl lui T deoarece det (011 (t ,'l')

+0

12

(1, 'l') S

si va rămme diferit de zero int;r-o · Atunci

fo (t, m) este

soluţia

=

ecuaj.iei H- J

(T))It~T = vecinătate

1 a lui T.

2._11mll~ll> 2

eu

coniliţ.irt

Fie pentru această problemă (specială) conilij;ia iniţială a:("') = O cu "' arbitrar Îll vecinătatea precizată mai sus a lui 'l' Fie 1!

- n- 1 Atnnci

=

-n-I (t) BT (t) fr~ (t, x)

(t) BT (t)

P (t) m =

- Îf

= -

(1) m = le (t, m)

ecuaţia

X= (A (t)-B (t) n-'(t) BT (t)

p (t))

m

cu conclij;ia iniţ,ială x( •) = O are soluţia. i1leni:ic nulă care (trivbl) ( T, O)--+ ('1', O) ou comamb opi;imă. A O. Sint astfel satisfăcute condiţiile teoremei de ;mficienţă (consecinţă n. lemei lui Camtheoclory) aşa că A A x(t) = o, " (t) = O este t.raiectoritt şi conmncln. 011timală unică. a problemei (ele fttpt unicitatea. se jmlect\ pe '11 = = k(t, a:), n.clică în circuit închis). Indicele de performanţă n.rc vttloaren.

transferă

"=

'

'

J = 1 o (o, '" ( •))

=o

Să Jll'BRUinmenl că in veeinătaiiea iniţială se singubrizeftză în ' n.dică blemn. fiinil bine fornmhltă., lenm 1

:r,,(t)

= X

mnint,ittv problenm clet X(.-) = O. Proa.firmi't că

(t) p,

nu este identic nulă pc [•, '1'). AceasUt tmiect-oric 1meşte (•, O) cu ('1', O) în mod netrivial, sub acţhmen. comenzii '11,, (.) Să considerăm perechea (u,, (. ), '"'• ( · )) plftsată în problemD- specială. Aceastrt pereche a.re sens pentru problema specială im· imlicele de perfommnţ(t >tlproblemei speciale are valon.rea zem după cum imediat se poate calcub. Îmemnnă că (',t.(.) O, ,;(.) O) şi (u, ( _),:v, (.)) distincte şi considerate in problema specială, cauzează valoarea, zero n indieelui J- eare este RÎ valom•en, minhnă a acestui indice penlru initializn,re zei·o. Înseamnă că problen1'1 speciaLi nu are .'îoluţie unică eeea ce contraziee teorema generală de suficienţă. Cansecinţt.l. Prmctele cn.re HÎ!lgnJarizen.ză X (.) ni problemei (iniţiale) sint izolate. Intr-aclcviî.r da.cft punctele ar forum 1m in1;erval [t', t"] a.trmci se repetă. mtionmnentu1 de nud sus 1wntru t" consiclera1i ca, '1' dar peniii'U a avea coinciclenţa indicilor de perfor1n~tntă în r.ele clonă. problmne se h drept 8(t")=X'' (t")Y(t"), ca.re eyideni; este Himetrică, pentru pro blenn Hpeeia.!ă.

=

=

55

Va rezulta că în vecinihtate11 lui t" nu singularizează X(.) ceea ce contrazice

sînt ]Hmcte cr~re ipoteza iniţială. în concluzie se poate enunţa cea de a. dona teorem•t funda,menta.lă (prima fiind enunţată la ii.2.10). Tcoremi"t fundamentală (Il). Da.ci!, problema variaţi­ mmlă pătmtică este bine formnlat;ă pe orice interva.J [t, T] cu t < T în vecinătatea lui T, atunci se poate al + 21 2 + 21 + 1

Exemplul 2. Fie sistemul scalar

cu indicele ele

performanţă

" "'l1 - )' .'V"'/t"( J =1 2 o

Se cere să se determine extrennlnl acestui sistem Avem atlmci H(l,

;I:,

y, u)

=!

+ ym'n

,,;'n'

~

care este o flmcţ,ie regnlntă cu l{l, ""• y) = -11 H11miltonianul problemei este H

o

(l

.'t, 1,/, 'Il '

)

= -12

" ,, .

,, ., .

W"'lj"

.'!'"'//" -

1 ,, ,, = -2 "'" .lj"

Sistemul canonic (]evine llm -------· = H" - = dl y

cu

.,

m~-11

•

condiţiile terminale x(O) = 1, :r(l) = e Avem atunci elin împă.rţiren. celor două ecuaţii canoniee

ela:

'"

cly

11

59

eă

de unde se vecle Va rezulta

ft'Y - 01 , 0 1

-

constantă arbitrară.

dm ; w) 62

;;;.· O, fapt oferit ele majoritatea problemelor wactice ele conducere optiluală. Ţinînd cont ele condiţiile terminale finale m( T) -liber

(y(T), z) = (8m(T),z)

'v'zEX,

rezultă că

!f(T)

= 8'v(T)

Pammetrimrea solutiilor sistEmului este datfl, ai,unci de X(T) =1

1' = p =X (T) p

ele unde Y(T) = 8 .Aşa

dar familil1 ele extremale a problemei speciale este

variaţionale

m(t) = X(t)p

1/(t)=l"(l)p

nnde

ooluţb

(X(. ), T (.)) este iniţhtlimtă cu

X(T)

= 1

J'(T)

= 8

Rezultă soluţi>t formală

a

(6.3)

ecnaţiei

Ricca1>i

Il (1; T,8) = T(t)X- 1 (1) = (0 21 (t,T)

+

l%1'

+ O"(I,T) 8)(0

11

(1,1')

+0

12

(t,T)8)- 1

ceea ce implim1 că existenţa globaH\ a cu uedegenenuert lui

soluţiei

(6.4)

este echi-

·valentă

X(t) = 011 (1,T)

+ 0"(1,.1')8 63

6.2. Existen1a

glofJală

Acea 'ta este Teoremft.

Dacă

dată

a solu1:iei

ele

mmătoarea

8 :;;,- O, a.iunci X(.) nu are puncte .focale

pentm t :(; 1'. J\bi mult, a) B >0

= 11(.

;'I', 8) >0

b) 8;;, O şi (A(.),., VQ(.)), T- completconstnwtibil~> A T, ,o, t ~ t(T), (8 0 (t(T), 'I') >O)

= 11 (.;

Demo11slmţie. Să,

=/= O astfel ca

presu]nmem

X(t)p, =O

că există

/1 < 'I'

şi p1 =/=

(clet X (1 1 ) = O)

Atlmci elin

însea,mnă eă

(ii"(,)li~,, +

jju,,(.)l11,.,)

ele umle

1 =O [ft• TJ

=0

It,,(.)= -B- 11.)BT(.)y(.)l

1[1,.

T]

Atunci pe [t" 'I'] sistemul canonic eleviue

-'tr = eli

64

.fl(t)x cu x(T) = p,

'

O

şi

din ~{!)

= tl:(l, 'l')p,

rczultrt di

mlică

IT(t", O, O)

este

(6.8)

esenţ,ială.

GA. Mărginirea uniformă a solutiei

Fie următoarele clefiniţii : Definitia 1. Perechea (A(.), B(.)) este Jli(.) - 1tnifonn complet accesibilă unde _71f(.) > O, drtcă există /',. > O ast.fel inci1; oricare ar fi t avem 1

EIM(t-11, 1)

=

(t, cr)B(cr)ll[(cr)BT(cr)T(I,cr)dcr> O

\ ~

t- j,

(G.9)

69

Obsel'vaţh:

1.

Dacă

accesibilă

(A(.), B{. )) e'te .III(.) -uniform complet ea este şi .III(.) - uniform controlabilă. illtt"-

adevăr

&\M{t, f

+ ll.)

['+"'

= ),

= te şi pent111 cazul invll.riant in timp. Definiţia 3. PerecheO şi {.ti, B) este o pereche inv::~­ în timp complet accesibilă ::~tunci pereche::~ este M uniform pozitiv complet accesibilă. riantă

70

Teoremă. Dacă (A(.), B(.)) este Jl- 1 (.) - uniform complet accesibil(; atunci, pen1rn orice S ;;;, O avem

TI(t; T, 8) ,;;:; lil_;;:,(t, t

+ ~) + tlo(t, t + ~), t + ~
=

" ( T,t) 8
proprietăţ,ii

de monotinie avem

< T" t - T" < t - T', de unde IJ(I- T"; O, O)> IT(t-T'; O, O)

sau IJ(O, T' - t, O)

•

e;;-

1

(t,

t + 6.)

+'~n-•(f,

t

+

cr) do-= t.)

de unde în definitiv

(Îb 0 1 (1, t

+ /:,.) + &\n-•(t, t +

:( Il(l; T, 8), t 76

6W 1
(.A-BR~'BTP, O) complet observabilă (după cum uşor se verifică algebrie). Aşa dar avem de-a face cu o ecuaţ,ie Liapunov (.A- BR-'BTP)"'P

în care

însă (.A -

Rezultă,

că

+ P(.A-

BR-'BTP) = -GTG


O ca unică soluţ,ie pozitiv

dei~f1;.-~devă.r

şi

două soluţii

definiţ_e. ~.

fie P1 P2 pozitiv Atunci pe baza_teoremei de mai sus A- BR-'BTP" şi A - BR-IBTP, sint hurwitziene. Avem

+ P,A- P,BR-lBTP, + Q =o A.TP2 + P,A- P,BR-lBTP, + Q =o ATP,

78

'1

de unde (A- BR- 1 BTJ5,)Tf),.+ !),(A- BR- 1 BTJ5,) =O Cll

/),. = J5,- J5, Avem

aşa

dar o

ecuaţie

FT!),.

de forma

+ f),.G =

cu F, G Jmrwitziene. Unica

!),. =

r

-H

soluţie

este

eFT1He"' dl

şi cum H =O=>!),.= J5,- J5, =O. Cu alte cuvinte unicul punct fi«, în conul deschis almatricilor pozitiv definite al aplicaţiei II (t, T,.) este P. Teorema 2. Dacă (A, B, VQ) este canonic atunei

(6.17)

pentru ecnaj;ia

dm -

dt

realizează

= Am

+ Bu(t)

m(O) = m

minimul (finit) al indicelui J =

~~oo (J!m(t)ll~ 2

care are valoarea

Jo

+ Jlu(t)!i),) clt

(6.18)

corespunzătoare

(6.19)

79

Dcmcmstraţic.

Fie TI (1; T,P). Atunci

li(t)

= -

BR~ 1 BT

TI (1; T, 'P) c1'(1)

este soluţ,ia optinml{L '' problemei Yariajionale (vezi capitolul anterior) speciale: r(O,a,,T,X;co) =

~

pătm1ice

llx(T)I];+

~

T

+ ~~ Jo[ ('d•t(l)l\11 +

llu(t)ll},)cll

1 !1 _.:_ oJT TI (O·, T.E' )m = - xT( T)E'•r( T) '

{) ~

clar IT (O; T, 'P) =

Făcînd

T

~>

F,

()

+

~

aşa că

w, ;t(T)-+ O, de unde

)'l')dl L Tv - - -l . )'"(ti·~( J- o o ,l,f. )ii'Q 'l ii·~( Uf.) n t--X X n n 1

~

o

~

J ro este tocmai valoarea minimă a lui J ",. Dacă prin absurd există J ro < J'" cauzat de a.Jtii comandă 11(. ), A

fie atunci

80

pentru care valoarea

J1

optimă

este

= x 1 IT(O; T,O);v

Atunci evident

J r?

,".,.IT (O; '!.', O).v

La limili\ cînd T -+ w [O,=] reznlt(L că

JT? "'TPm

adică

=

' 11(.) este considerată pe

Jro ~)J",? Joo

cecrt ce c.ste absmd. Teorema este complet demonstr,otă. St1 t,recen1 la, cazul general, variabil în tilnp. Unnă­ tom·ea teoremă în condiţii destul ele tari dă o imagine a comportării asimptotice n, soluţiei IT(.; T, S), S ?>O a eenaţ,iei genera,Je Ricca,tL T1•orcma 3. Dacă (A(.), B(. )) este R- 1 ( . ) - unijor1n paziJiD complet acccsibiltl, (A(.), VQ(.)), I -uniform pozitiv complet obscrvabUâ şi (1(.) > pi, p >O, atunci

1111 (t; T, 81 ) -IT(t; T, 8,)11 o 'J

se vede imediat ei\ A

11
~

T, X('l'), Y('l')-

daţi,

ceea ce presupune cunoaşterea matricei funclamentale 0 (t, T)asociată sistemului canonic, de aceea solt•abil este 1n general numai crr:zul invariant în ti-mp. În acest caz se consideră

s >-o

1) 2) Q ;;;, o 3) R >O (strict necesar pentru ca problema

să

fie

regnlată)

Se alege un pas de iterare Il > O. Se =

enlculenă

e[_f,-BR-~~n~0(T-c'l,T)=[Ou 9::!1

e"] 6::!~

care este permanent una şi aceeaşi matrice constantă. Atunci P(t- 6) = ( 821 + o" P (t)) ( 811 + 010 P UW', t = -kc'l, P(O) = S. Astfel formula de itemre este P 1,+1

= (801

+ 0" Pk) ( 0 + O" P,J11

1

,

P1

= 8y- O

6.6.2. llietocla ele rezolvare

e

eeuaţiei

algebrice Riccati

Această metodă a fost propusă de K.leinman [6.10] se bazează pe metoda generală Newton-Kantorovici ele rezolvare a ecuaţmor funcţionale in spaţii Banach. Deosebirea este de tip formal, dar în acelaşi timp detuon-

şi

st;rnrea

34

convergenţei

este

făcutft

în

condiţii

mai

uşoare

ţinincl

cont ele forma ecuaţiei algebrice Riccati. A.şa cum este cunoscut, cel puţin în cazul algebrei elementare, ecuaţia algebrică P(x) = O, in condiţii care se vor expune in c:lpitolul 9 admite o rădăcină (cel puţin) ca limită a şirului reenrsiv mk+ 1 = m,,- p- 1 (cc1J P(m1J k = 1, 2, ...

În cazul in speţă a ecuat,iei liniare

"'"+l

(6.31)

se vrt determina indirect ca soluţie (6.22)

cctl'e rtşa cum se va vedea conduce la o ecuaţie ele tip Liapunov. în consecinţă tehnica ele rezolvare se bazează pe apelarea succesivă a unei rutine (in cazul ele faţă Bingnlac) ele rezolvare a ecnaţiei Liapunov (in mod neinter,âtiv). Înainte de rt trece la algoritmul respectiv să demonstrăm unnătoa1·ea

·

Teort'mii. Fie

ATP +PA- PBR- 1 B 1'P+ Q =O ecnl!cJia Riccati, ur~de Q > O, (A, B, VQ) - canonic şi fie P unica soluţie pozitiv definită. Fie de asemenea K astfel încît (A - BK) este stabilă, iac· P* unica soluţie pozitiv definită a ecuaţiei Linpunov (A- BK)TP

Atunci

+ P("-1- BK) + K 'RE + Q =O 1

ecuaţia

(A - BK*)T P + P(A - BK*) + K~ RK*+ Q = O 1mde are o

unică soluţie

paziti,- definiti'> IT, nstfel incit (6.23)

85

iar A - BK* este stabilă. Aceasta revine în primul rînd la a

Demonstmţie.

arăta

că ecuaţia

cu

11 (t; T, O) are proprietatea

soluţia

Iim 11 (t; T, O)

există şi

este

că

finită.

T-+oo

Fie

aşadar

+ P*(A- BK) + KT RK + Q -P =(A- BK*)TP + P(A- BK*) + K~RK*+ Q O= (A- BK)T P*

de unde ~

-(P*-P)

=

T

(A-BK*) (P*-P)

1

T

(P*'-P) (A-BK*)-

-(A-BR-lBT p *)TP*-P*(A-BR- BTP*)-(A-BK)TP* + 1

+ P*(A!-JBK) + (K*- K)TR(K*- K)- 2 K~ RK* + + KT BTjP* + P*BK =(A;- BK*)T(P*- P) + + (P*- P) (A-BK*) + (K*-K)~R(K*-K)- AT p* + + P*BR- BTP*-P*A+P*BR- BTP*+ATP*-K''BP*+ + P*A- P*BK- 2P*BR- BTP* + KTBTP.+ P*BK 1

1

1

adic.ă

_......:....._

- (P*-P) =(A - BK*)T (P*- P)

+

+ (P.- P) (A- BK*) + (K*- K)TR(K*- K) Atunci T

= \ •O

86

etA-DK,)Tt

(K*-K)TR(K*- K) et-O

Adică altă

Pe de

P* parte

II (O; T, 0)=

> II (O;

1', O) V T

~: eO

deoarece (A, VQ)-complet observabil. Se vede că atunci II (O,.,O) este monoton-crescătoare şi nuiTginită. !n consecinţă lim (O, T, O)

=

II >O

T-+~

şi

evident

înseamnă că

(A -

avem

BK*)T II

+ II (A -

BK*) = - K~RK,- Q

cn (A, VQ) - complet observabilă, adică (A - BK*) stabilă.

1

!n definitiv II=

Ce!A-BK,tT O, K 0 definit prin

cu

ace matricea A - BK0

stabilă

Demonstraţie. Deoarece (A, P 0 >O, adică există p-l

92

B) este complet

controlabilă

Atunci (A -

+ Po(A- BK )T =(A- BR- 1B 'P0 1)P +

BK,)P 0

-1- P 0(A 1

1

0

0

P 0 1 BB- 1BT) = AP0 -1- P 0 A. T -'JBB- 1 B'' _

-

= \"'(Ac-A'BB- 1 BTc-ATI -1-

e-~ 1 BB- 1 BTc--' 1 ' 1 A 1 ')dt-

·O

- 'JBB- 1 BT

=-

('~e--41 BR- 1 BTe--1 T1 dt-

J, dt

(e--' 0 BR- 1B 1'e-ATo

= -

+ BR- B 1

'JBB- 1 B 1' = 1')

Cu alte cuyinte (A - BK 0 ) P 0 -1- P 0(A - BK0 )T = -(c-A 0BR- 1BTe--ITo -1-1- BB-1BT) adică-

se obţine o ecuaţie Liapunov dua-lă, cu membrul drept semipozitiy definit. Rămîne de arătat că perechea (A - BK 0 , L) este complet controlabilă, unde

Să

presupunem prin absurd eli existl'o x =f= O astfel ca ,~r \' 0-rA-m;:0 JI ( 0 -.-lo BR-1 BT 0__.,r,

+

•O

+ BR-'BT)e-r-'-BKoJ'''dt x =o

sa.u eă Brc-r.-1-BKoJT! x=O, eeea ce înseamnă că (A -BK.,B) nu este com11let controlabiliidenţiază determinarea soluţiilor pentru cazuri simple ale ecuaţiilor Riccati diferenţirrlă, respecti> algebrică.

Exemplul 1. Fie sistemul scalar

X= -X+ u şi

indicele de

performrrnţă

+\T ( 2+

J =

x

-

11

2

)rltj

•O

Se cere să se calculeze soluţia ecuaţ,iei diferenţiale Riccati corespunzătoare problemei de optim formulate. Se >ede imediat că .A.

=

-1, B

=

1, Q = 1, R

=

1

Necunoscuta P a ecuaţiei Riccati se >a nota cu p care este o funcţie scalat·ă. Ecuaţia diferenţială matricială Rict din:rselor restrictii de rer~lizr~bilitr~te sr~u de identificare a, parametrilor ·sistemul ni considerat. A~a încît ana,liza ~i f::inte.za unor sistJmne 1iniare snlwpt-.inutle este nr~tumltt şi, totodată neccsr~ră din Jmnct de vedere practic. Pentru olJţinerea unei r~precieri a, perfornmnţ:elor sistemelor snboptimale se vor intmduce noţiuni speeifice acestora., cum este, de exemplu, gradul de suboptima· li tate. in acest mpitol se vor analiza < auxiliară. Tmcte comenzile sulJoptimale construite au un grad de snboptiJnalitate impus; grallul de snboptimalitate se determini'; prin metodele da.t.e in paragraful 7.~. Exemplele de caleul date verifiei't reznltrttele stabilite. de calcul ce permit

100

7.1. Formulm·ea problemei 1le cmuluccrc suhoJ>timală Jlroportională

În cele ce urmează ne Yom referi b sisteme liniare continue, cu stări măsurabile, a căror performanţă este evaluată printr-un indice de calitrtte pMratic. Formubrert problemei optimale liniar-pătratice considemte este urll1ătoarea, : Fie sistemul liniar camcterizat de .ic(t) = A(t)a•(t)

+ B(l)u(t)

(7.la)

m(/.o) = "'o şi

!f(l) = O(f),v(t) (7.lb) unde w(t) reprezintă un vector '//-dimensional, 11(!) un vector •·-dimensional, !f(t) un vector m-dimensional, iar A('), B(t) şi O(l) sînt matrice de fornm, nxn, nxr şi, respectiv, mxn, eu elemente continue pe intervalul [t," ti]. Se urmăreşte determinarert comenzii optimale n* (l) care minimizează indicele de performanţă pătratic J(u)=x''(ti)Ji'w(ti)

-1-

r

[!i''(t)Q(t)y(t)-1-u''(t)R(t)u(/)]dt (7.2)

'"

unile nmtricelc }I',Q(t) şi R(t) :;înt matrice simetrice, pozitiv !lefinit;e, de forma 11 X n, m x 11, şi, respectiv ,. x ,. ; matricele Q(t) şi R(t) sînt matrice cu elemente continue pe intervalul [t 0 , ti]. Se presupune că ti este fixat şi nu există restricţii asupra comenzii 11(1). După cum este ennoscut [7.1], [7.2], comamla optimală 11*(t) este dat.ă de relaţia ·11'1'

unile matricea pozitiv Riccati

unică,

K(l.)

(t) =

-R~ 1 (t)B''

(t)K(t)x (t)

(7.3)

simetrică Ii(t), de forma n x n, este soluţia definită a ecuaţ.iei matricea,le diferenţiale

+ ~F (t)J[(t) + K(l.) A(I.)-J[ (I)B(I) B- (1) B'' (t)Ii(l) -11

-1K (1,) =li'

O'' (1) Q(t.) O(t)

=

O (7.'1)

101

Yalof1rea.

minimă

a indicelui de

performanţă (7.~)

este: (7.G)

iar sistemul optimal in einmit; închis vn. fi descris ele

:v (t) =

[11(1)- B(t) R- 1 (t)B" (1) K(t)] x(t)

(7.fin)

şi

(7.6b)

y(t) = O(t)m(t)

Se consideră următoarea problemă optimnlă duală în raport cu problema optimală formulată mai sus. Fie sistemul liniar caracterizat de Â

+ (!T(I) 11{1)

A

1'1.

m (1) = - 11'(1) a•(t) A

(7.7a)

A

m(lo)=mo şi

Ît (1)

= B'' (1) ~(/)

(7./b)

A

A

nmle ;r(l) reprezint.it un vector n-dimensional, 11{1) un vector m-dimensional, y(i) un vector 1·-dimensional iar A(l), B(t) şi 0(1) sînt matrice de forma 11 >< 11, 11 X,. şi, respectiv, 1n x n, cu elen1en1!e continue IJC intervalul [1 0 , 11 ]. Se mmărcştc determinarea comenzii optimale ~*(t) care nlinimizează, fnncţ~ionala A

unde matricole P, (J(t) şi R(i) sînt matrice simetrice, IJozit.iv definite, de fonna 11 >~u, 'm>ia unică, pozit.iv definită a ecuaţ.iei matriceale diferentiale liniare : QT(t) 11Î(t)]- [ - A''(l)-

A

Y(l,) = p-1 1~inîncl

(7.19)

seama c:1 K(l) '( Y(l)*, A

(7.20)

V tE [1 0, 11]

(7 .21)

A

K(l) '( Y(t), rezultă

!,fiE [1 0, 11 ]

ert A

y-'(t) '( K(t) '( F(t),

\'tE [10, tf]

(7.22)

În cazul problemei invariante în timp cu timp final infinit, matricele constcant.e 11! şi 11Î trebuie să fie alese " Prin defini(.ie, dac;"t .A şi B sinl matrice simelrirc, nl.unci prin inegalitatea .A>.B (A>B) se în[elegc 1::i matricea .A-B cslc pozitiv dcfinilti (scmîdefinilă).

105

A

astfel încî1; mairi cele (A- B11I) şi, respectiv (-A 7' - QT J1I) să fie stabile; nmtricele cost constante Y şi V sînt elate ele ecuaţ,ii nmtrieertle liniare de tip Liapunov şi anume Y(A -BJli)-1-(A -BJJI)'T +O''QC şi, 1\

+ Jll"R111 =o

(7.23)

respectiv, A

A

A

A

1\

Y(- .1F- O''Jlf)-1-( -AT -QT Jlf)Y -1- BB- 1BT -1- Jll"Q- 1 J1I =0 (7 .24)

Deîini[ia l. Numim gratl llc snboptimalilaJc (imlicc tlc subo1Jiimalitatc) a comenzii proporţionale (7 .1.1) numo'irul rertl pozitiv p pentru care avem J (1lrJ ~ pJ(n*)

(7.25)

pentrn orice m" unele performanţele ,J(nL) şi J(n*) sînt date ele relaj;iilc (7,15) şi, respectiv, (7.5). Oomando1 proporţională (7.14) cu un grad ele snboptimalit.ate bine determinat p se numeşte comanclă suboptimalt! ( p - 81lbo11i'imală ). Ţinînd seama ele definiţia ele mai sus şi ele relaţiile (7.fi) şi (7.15), rezultă că indicele de suboptimalitai•e p satisface inegalitatea 111atriceaJă Y(t 0 ) ~ pKUol

(7.2G)

Reciproc, satisfacerea inegalităţii ( 7.2G) implieă îmleplinirea condiţiei ( 7,25), Ott o consecinţă imediată a definiţiei lreznltlt c[t indicele ele suboptimalitate este supmnnit[1r; [1Cest lncru este adevărat ehtorită faptului că, prin definiţia comenzii optimale, există inegalitai;ea (7 .20), Ddini(in 2. Numim gracl ilc Bllboptimalitatc minhn al comenzii proporţ.ionale (7.H) cel mai mic număr real pozitiv p pentru care avem (7.27)

pentru orice m" unele perfonmm(:ele J(11L) date de relaţiile (7.15) şi, rcspeetiY, (7.5). 106

şi

J(u*) sînt

Prin construcţia, unei comenzi suboptinmle proporţio­ nale pentru problenm optinmlt\ liniar-pt\tmtict\ (7.1), (7.2) se urmăreşte determinarea nnei comenzi suboptimale proporţionale (7.H) cn nn grad de snboptinmlitate minim impns. Este evident crl, obţinerea nnei comenzi snboptiInale cu un grad de suboptin1n,litate 1na.i 1nic sau egal cu gradul de snboptinmlitate impus implict\ antomat realiza.rea aeestui deziderat, deoarece

-p

tlcul efectuate [7 .11], s-a constfltat cii deviflţia relativă a gradului de suboptimalitate (ealeulat; prin utilizarea problemei duale) faj;:\ de gradul de whoptimfllitate minim scade ocht}> cu apropiercfl gradului de wbopt.imalitate de valoam:c 1 ; totod:ctă in toate exemplele efectuate deviaţia relativă n-a depăşit 10%. 7.3. l\Ietmle de determinare a eOIUNlzii suhoptimale proporţionale

Dacii in 1mragmful anterior s-au prezentnt metode de calcul al gmrlulni ilc suboptinmlitate pent;m o cmmmcl{, ]Jroporţională datlî, în continuare se vor analiza metode de constrne(ie a unor comenzi snboptinmle proport;ionale eu grad de snhoptimalitate impus. Se vor prezent~ algoritmi pentm r·onstrueţ.ia comenzilor suboptim~lc proporţionale bazate pe considern.rett unor subwlui;iijsupmsoluţ.ii ale ecnaţici nmtriccale diferenţiale (algebrice) Rieeati. Toate rezultatele ob(inute in eazul problemei optim~lc variabile in timp cu timp fixat, vezi pma.graful 7.3.1, se vor refommla pent,rn problcm O (8 < O) şi, bineinţ,eles, toate m~.tricele vor fi constante. arăta imediat că rlttcă mlttricelt snpmsolnţie (snhsolnţie) lt eeuaţiei nmtriceale diferenţiale Hiecr~ti, atunci avem inegalitrLter~ [7 .8]

Ob8erva{ic : Se pottte

L(t) este o

L(t)

< Jl(l)

umle K(t) este Riccati (7A).

(L(I) ;;;, Jl(l),

soluţir~

emmţ,iei

V 1 E [t,. t,]

(7.59)

mai:riceale

diferenţiale

l'ropozi!ia 3. Da.c:1 lllrLtrieen sin1ct.rică·~ cu for1n;u 11- X n, pozit.iv definită L(l), cu elemente eont:inue pe int:ervr~lnl [1 0 , 11], este o subsoluţie (supmsoluţ.ie) a emmţiei matricealc diferenţiale Hiccn.ti atunci mat.ricer~ L- 1 (1) este o suprr~­ soluţie (subsolnţie) '" ectmţ,iei nmtriccale difcrenţi:ole Riccati dnn.le şi reciproc. Demonstraţ.ie : Dacă matricea L(l) este o supmsoluţie (subsoluţ-.ie) 01 ecuaţiei nmtriceale diferenţiale Ricmti >1tlmci sini; îndeplinite relrtţiile (7.iî7) ~i (7.08).

Dae:1 notfnn (7.60) 117

atunei ave1n (7.Gla)

(7.6lb)

.

L(/1) = L- 1(11) = p- 1

(7.6lc)

Înlocuind rehtţiile (7.01) in (7.57) se obţine

- .L- 1 L(t) i -1(1) -1- i- 1(1) A(l) A

+A"(/)

i- 1(1) -

A

-L - 1(1) B(t) I~,-1(1) B''(l) L-1(1) -1- C'' (1) {,l(t) 0(1) = 8(1)

.

L(l,) = p-1

(7.02)

Înm~tl(ind Ia. stinga şi ltt drer~pta prinm relaţie din (7,6~)

cn L(t)

şi

schimbînd semnul se

obţine

L(I)-A(t)L(/)-L(I)A 1'(1)-L(t) C''(t)Q(I) C(t)L(t)

-1- B(t) .R- 1(1) B'' (/)

-1-

= - Î"(l) 8(1) L(l)

(7,lî:l)

Daci1 8(1) ;;,. O, V tE [1 0, 11], adiett matricea, L(t) este o snpraROluj;ie fi ecuaţiei nmtriceflle diferenţiale Riccflti, a.tnnci - L(t)i'J(t) L(t) o( O, ceea ce lnr;emnnă că ma.tricea. L(l) este o snhsoluţie a ecuaţ.iei nHttriceale diferenţ.ialc duale; iar cbcă S(t) o( O, V tE [t 0, 11], rtdică matricea L(l) este o suhsoluţ.ie a ecuaţ.iei nmtriceale diferenţiale Riccati, atunci - L(l) S(t) L(l.) ;;,. o, ceea ce înseanmă cr1 matricea. L(t) este o supmsolnţie a, ecuaţiei matriceale diferenţ.iale Ricca1;i clnale. Proprietatea reciprocă se demonstrea.ză sin1ilar. A

118

A

Observaţie:

Pentru B(t) = O, V 1, rezulti1 legi1tura dintre solutia emmtiei matriceale Riccati si solutia ecnlltiei matricellle diferenţiale Riccati duale şi llnm11c relllj:ia (7.11 ). Pentru construcţia unei subsoluţii li emmţiei nmtriceale diferenjoillle Ricellti vom considem o nmtricc simetrică, de formll n X n, arbitrară, N(l), cu elemente continue pe intervlllul [1 0 , t1] şi nmtricell simetrică, ele formn, n X n, L(t) care este soluţia ecnaţiei matriceale diferenţiale liniare

L (t) + L

(!) II (l)

+N .L (!,)

=

+ JP' (t) L

(1)

(!) B (!) R- (t) B

+ 0'' (l) Q (t) C (t) + (t) N (t) = O

(7.64)

II (1) = A (1) - B (I)R- 1 (I)B 1'(t)N (!)

(7.65)

1

1'

]j'

unde s-a notat Trebuie să remarcăm faptul cii matricea .L(t) este tocmai matricea cost at[lşată comenzii proporj;ionale '1/L

(t) = -

R-l (l)BT(t)N(t)

X

(t)

(7.66)

pentm problema optimală Jiniflr-pătratică (7.1), (7.2). Din rezolvm·ea ecnaţ;iei mat.rice[lle diferenţiflle lini[lre (7.64) se obţ;ine nmtrice" simetrică .L(I) crtre este pozitiv definită deollrece C1 (t)Q(t)C(t)

-1- N(t)B(t)R-'(I)BT(t)lf(t)?>O

şiF>O

Vom arittl1 că nmtricea L(l) t1stfel determinată este o subsoluţie l1 emmţiei nmtricellle rliferent.in,le Hiccati. Intrltdevăr, din rclaţb (7. 64) reznJt,ă că

L (t) + L

(t) A (!)

-1- A 1'

- .L (t) B (t) R-' (1) B'' (t) .L (1)

=-

[.L (1) -

+

L (t) C (t) Q (t) C (t) =

(t)

1 '

N (t)] B (!) R- 1 (!) B'' (t) [L (1) -N (1)] '(o

şi

L (!1 ) = F

(7.67)

119

deci matricen. L(t) satisfnce definij;in, 1111ei subsolnj;ii a ecunj;iei matrice:tle diferenţ.iale I{icca.tL Calculul efectiv :ti nuci subsoluj;ii a emmţiei matriceale diferenj;iale Hiccati se reduce la rezolvarea ecuaţ.iei matriceale diferenj;iale liniare cu condij;ie finală (7.64). Procedeul de obj.inem a unei subsoluţ.ii a ecuaţiei matriceale diferenţiale Hiccati derivă din metoda iterativ:\ ele rezolvare a emmţ.iei nmtriceale diferenj.iale mccati prin aplicarea metodei Newton-I{aphson. Pentru construcţ.ia unei suprasoluţii a ecuaţiei matriceale diferenj;iale Riccati, vom considem o matrice simetrică, de forma n x n.rbitmră, ll(t), cu elemente continue pe intervalul [1 01 t1] şi ma1;rieea. simetrică, de forma

·n,

A

n x n, L (t) care este j.iale liniare ;.,

L (t)

"+ L" (t) H" (t) + JJT

-1-

i

(tfJ

N (t) 0

1 '

solnţ.ia

ecun.j;iei nmtriceale cliferen-

" (1) L (1)

(t) Q (1)

-1- B (1) R- 1 (1) B'' (t) -1-

c (1) N (t)

=

o

(7.68)

= p-1

unde s-a notat

= - AT(t) - C1'(t) Q (t)

IÎ (1)

c (t)

(7 .GD)

Şi

în acest ca.z trebuie s(i, subliniem frbptul că matricen. L (t) este matrice:b cost ataşată comenzii proporţionale A

A

/IL

A

(t) = - Q (t)

c (t) N

A

(1) "'(1)

(7.70)

pentru problema optimală duală (7.7), (7.8). Din rezolvarea ecnaţie.i matricea!; difcrenj;îale liniare (7.68) se obj;ine matricea simetrictb L (t) care este pozitiv definită deoarece

N (t) C'' (t) Q (1) j,r (1) + 120

B (1) R- 1 (1) nr (t) ;;;:,

o şi ]J'- 1 >o

A

Totodată,

matricea L (t) este o suhsolnţ.ie a emmţiei nmtricealc diferenj;iale Riceati iluale deoarece relaFa (7.68) se poate pune sub fomm Â

A

;"

L (t) - A (t) L (/) - L (t) A ''(t)

+B

(t)R' 1 (t) B'r(t) -

- L (t) C''(t) Q (t) c (1) L (t) = - [L (t) -it (1)] CT(I) Q (t) C(t) [L (1)- ii (1)] J' se \'[1 determina indicele de snboptimalitrLte nJ comenzii proporţ.ionale (7.69) utilizînd rehLj;ia p = ).",.xfL1,,.,(t 0 )L"+ 1 (1 0 )]

= ). "","'[L~c+I(I 0 )L,,, 1 (t 0 )] (7.7J)

Dacii indicele de suhoptinmlitate astfel obţinut este mai mic decît indicele de suboptinmlitate impus atunci procesul itemtiv se opreşte, în caz contmr procesul item tiv

122

se continuil, pînă la obţinerea unei comenzi suboptinmle cu un indice de subopthnalitate nu1i 1nic sau egal cu indicele de suboptimalitate impus. În sfîrşit, se poate pmpune un alt procedeu iterativ pentru construcj;ia unei comenzi suboptimale proporţ,immle cu un grael de suboptimalitate impus, mwe sil, se bazeze pe constmcj;ia altemativă a unei subsoluj;ii a ecuaj;iei matriceale diferenj;iale Rieeati şi a unei suhsoluţii a ecuaţiei nmtriceale diferenţiale Ricc"M duale. În acest caz fiecare snbsoluţ;ie construită a ecuaţ!iei 1natriceale diferenţiale l~iccati serveşte drept condiţie iniţială în eonstrucţia unei sulnoluţ;ii a ecuaţiei matriceale eliferenţiale Riccati duale şi reciproc. IVIai precis, dacil, L"(t) este o suhsoluţie determinată a ecuaFei matriceale Riccati la

iteraţia

k, atunci

.

L~:(t)

se va cletern1ina elin

ecna,ţia

matricealil, liniară (7.68) în care N(t) = L,;'(l); iar dacă

L"(t) este o subsoluţie determinată a eetmj;iei matriceale diferenţ;iale Riccati duale la iteraj;ia k, atunci L"+ 1 (t) se Ya determina elin ecuaţ,ia matriceală liniară (7 .o,;) în care N(l) = i,;'(l). În acest caz calculul gradului de subopti-

nmlitn,te se va face utilizînd una elin rcla.j;iile fifl:U

P

=

.

\nnx[L,,(lu)L,,,+l(lu)]

=

.

următoare

),"'""[Lkil(lu)L,,(to)J

:

(7.75) (7.76)

acest; lucru clepinzîncl de faptul dacă a avut loc o trecere de la problema optim:tlii In, problema optinmlil, clualii sau, respectiv, treccrert a avut loc ele la, problema optimală duală la problenm optÎlll[tlă. Procesul iterativ se va încheia în momentul obţ.inerii unui grad de snboptilnalita.te 1nai 1nic sau ega.I eu grn,dul de suboptimalitMe impus. 7.3.2. Cazul- problem.ci optinwle iuvariaulc 1-·n tin1p cu timp final infinit În continuare se vor rLnaliza nunut.i 1noclifieările ee intervin in C3·Zlll problemei optimale Î!wm·iante in timp

cu timp final infinit faj;ă de J1roblema optimală variabilă in timp cu timp final fixat. Presupunem că sînt îndeplinite condij;iile enunţate în paragraful 7.1. De la început trebuie să menţionăm necesitatea îndeplinirii unei condiţ;ii suplimentare şi anume dacă comanda suboptimală proporj;ională este u,(t)

= - Jllx(t)

(7.77)

unele Jll este o matrice constm1tă, de forma ,. >c n, atunci matricea (A - BM) trebuie si\ fie stabiliL O condiţie similarr\ existi\ şi pentru comrtnda suboptimali\ duală ;;,(t) = ' unde jll este o rna.trice

ii.r (t)

conf·rtn.ntt~;

(7.78)

de fonnn. ·m x n,

şi

anume, trebuie ctle. In >tcel>tşi timp >tYem L- 1 (-A'"- CTQCL- 1 ) +(-A''- C1'QCL-'JT L- 1 = = - BB- 1 B 1' - L- 1 CTQCL-' -L- 1 JJ 1'JJL- 1 ; : - W8 tt că (7.83) este o ecu>tjje nmtrice>tlă de tip Liapnnov şi deoarece L- 1 >O şi 8 1'8 >O rezultă c:1 matricea ÎI este st>tbilă. Observllfic: În reh>j.ie (7.10) se poat.e consitlcm JJ 1'1J> o, rhcă este îndeplinită condiţia suplimcntrm"L c:t

Silnilar, pentru IJroblmna duah'"'L a.ven1 Ul'nuttoarea IJl'Opoziţie:

PropoziJia 5. Dacă m>ttricea constantă., simetrică, de fornm n X n, pozitiv definită L este supmsoluj;ie a ecun.ţiei matriceale algebrice Hicct1H chmle, adică :

'

>ttunci mat.ricea L- 1 este o subsoluţie a ecmtj:iei matricet1le algebrice RiccMi şi, totodată, mt1tricca H este sţabilă, unde H = .A. - BB- 1 B''L-'

(7.85)

Demonstraj;ia propoziţiei G este simihtră cn demonpropozij;iei ·L l'ropozi!ia 6. Dacă m>ttrice>t constantă, simetrică, de forma n >< 11, pozitiv definit.i\ L este subsoluţie a ecuaj;iei 1natJriceale algebrice Hiccu.ti, adică stmţ.i>t

A''L -1- LA - LBR-'B''L

+ CTQC

= -

JJ 1'1J0

(7.87)

Demonstraţii• : Înmulţind la dreapta şi la stinga relaj;ia (7.86) cu matricea L- 1 şi schimbînd semnul se obţine

-

L- 1 ~F-

AL- 1 -f- BR-1BT- L-IQTQQL- 1 = (7.88)

deci nutricca L- 1 este l1lgebrice R leca ti rhulle.

snprasolnţia ecuaj;iei Totodată a•em

nmtriceale

= - L- 1 (A TL +LA + 20 7'QO)L-l = - 8"8 < o (7 .80) presupunînd concliţift (7.87) îndeplinită. Se obsetTă că (7.89) este o ecunţie llllttriceală liniară ele tip Liapunoy şi deoarece L- 1 >O şi BTB >O rezultă că nmtricca IÎ este stabili\. ObseTvatie: În relrcjirt (7.86) se poate comiclcm şi semnul

egal. Similar, propoziţie

pentru problema clual:l anm

următoarea

:

ProJ>oziţia

7. Dacă matricc:c constantă, simetrică, de forma 11 X n, pozitiv definită L este mbsolnjie l1 ecnaţiei n1atrieeale algebrice TiiccaH dnale, adică,

12G

A

atunci matricea. L- 1 este o snpmsolnţie n, ecuaţiei matrireale algebrice lUccati şi, totodfttii, nmtricea li, dată de relaj;ia (85), este stabilă,, in ca,zul indeplinirii condiţiei

-AL - LP' + 'JBB-I B >o 1

la

Demonstmj.i>t propoziţia G.

propoziţiei

'

(7.91)

7 coincide cu aceer1 folositi:\,

Obscrvnfie : În propoziţiile J -7 este suficient ca nmtriceit Q să fie pozitiv semidefinit.ă (şi nu pozitiv definit:1), dneit se lncreitză eu eenatht nul,tricea]ă, a,}gehrkă Hiceati şi eu eena1~hu n1a1Jricca.lă algebrieă, Riecn,ti dua,}fi., fă,rf't, a, enunţ" problema optinmlă dmtlă. Pentrn consirncţb unei subsoluj;ii a ec•nitjiei matriceale tulgebrice JI.iecn,i!i vmn consider:u o n1atricc eonf:d:u,nfiă., de form:1, r >< ·n., Jll0 astfel ca, n1atdccfb (7 .92) să fie stabilă; formularm1 problemei optimale asigură existenta nw,tricei .ili0 • Pentru 7~~ = 1, 2, . .. , considerăn1 1natrieea eonstantă,, de fornw, n X n, L 1,-;. 1 solutia ecua.ţiei n1atriceale liniare de tip J_jia.punov

(7.93)

unde (7 .94) şi

(7.95)

Ut.ilizinrl ucecaşi descompunere a reia.jiei (7.fJ3) ca în cazul problemei variabile în timp cu timp fi1ml fixat, vezi relat.ia (7.H7),sc }Joate arăta că, Ina,trieea LH 1 este o subsolnt·ie a ecmuţ;iei nutt.ricealc algebrice Riecn.ti şi, totodată, că nmtrieea. II1,+ 1 eKte stabilă. De fapt relajoh> (7.03) se poate deduce din metoda de rezol.-n,re itemtivft Newton-R..rt.phson a ecnat-iei mat.riceaJe algebrice Riecati. 127

De rtsemenea, se poate c1emonstm

că există

inegrtlibtert

[7.13]

Ii. < L,..",-I Ceale n:lg-ebrice Riccati constă în efer.tuarea Ul'lnătoarelor etape : ·(a) .Alegerea unei matrice constante, de forma ,. X n, jJ:[0 astfel ca matricea H 0 , dată de rclaţirt (7.82), să fie stabil:l. (b) Rezolvarea succesivă a ecuaj;iei mrttriceale liniare de tip !Jiapunov (7.93) pînă Iri itemj;ia 7.: prefixatii. Comanda proporj.ională bazat(< pe sulwoluţ.ia L,, este

(7.97) Pentru constrneţ.ia unei snprasoluţii a eeuaj;iei matriceale algebrice Riccati se va construi o subsoluţie a ecuaj;iei matriceale algebrice Riccati c1uale care satisface condiţia suplimentară dată de propozij;ia 7, vezi relaţia (7.91). Fie o matrice constanti't, de formrt m X 11, jJf0 rtstfel ca matricea 'I (7 .!JS) I'ro~..·1.7'- - C' 1' J'o să

fie stl1bil{t ; fonnnlarca problemei optimale chmle asignră existenj;a mrLtricei ii0 • Pentru le = O, 1, 2, ... , considerăm Inn.tricea constantă, de fornuo n X n 1 Lk+l solnţ,ia ecuaţiei matriceale liniare de tip Lirlpunov

unde • ·t'' Hj,=-I

C''' ':[A 'J.,,

(7.100)

şi

(7.101)

128

Ţinînd seama de propozij;i;t 7, rezult•1 eă matricea Lk+l este o supmsolnţic a ecmtj;iei matricealc algebrice Riccati dacru este satisfăcută condit;ia (7.102) Construcţ.ia efectivă a unei supmsoluţ;ii a ceuaj;iei matril~icc"'ti constă în efectum·ea următoarelor

ceale algebrice etape:

A

(a) Alegerea unei matrice constante, de forma mxn, JII 0 A astfel ca matricea II" datit de relaţia (7.98), să fie stabillc. (h) Determinarea unei nmtrice L 1;+u k =O, 1, :J, ... , care satisface condiţ;ia (7.102), prin rezolvarea eemtFei matriceale liniare de tip r~iapunov (7.fl9). Condiţ.i"' (7.102) este îndeplinită în cazul comenzii optimale duale, fapt ce justifică. aplicarea, procedeului itcratiY. A (c) C"'lculul nmtricei inverse L;;-;, pentru mrttricea determinată hl punctul (b ), ertre este supmsoluţie " ecuaţ.iei 1nat,ricea.lc a.lgebrice Uiccati. Comancl:t proporţională bazată pc suprawluţ;ia calculată este (7.103) 11 1, (1) = - B- 1 B'' L,~;, x (t) A

Plecîn(l de hL algorit1nii lH'Czenta,t,i nmi sus pentru conunor sobsoluj".ii şi suprasoluj;ii rtle eClmţiei matriceale algcbriec R,iecat,i se YfL rcalizfL construcţia, con1pleUi a unei comenzi su boptinmle proporţ;ionalc eu un gr"'d de suboptimalit"'te impus, dac(t se va sveeifica modul de oprire "'vrocesulni jj;erativ astfel încît comamh proporţio­ nală să aibă un grad ele snboptimfLlitate 1nai 111ic su.u egal cu _gradul ele "uboptimalitn.te impus. In principiu, toate procedeele itemtivc pentru construcţb comenzii suboptimale eu un grad de suboptimalitate impus, mcnj;ionate în c"'zul problemei optinmle varbbile în timp cu timp fimtl fixat;, se pot aplie>t direct şi in cazul problemei ovtinmlc inv>trirmte în timr' cu timp final infinit, cu observTtţ~ia cft In prilna Hcratic trebuie sit se strucţia

9-C. :!OU

129

aleagă. o conmmli't proporj,ională care stabilizează sistemul respectiv. Aşa. ine]t, in cele ce nrinează nu se vor n1ai repeta procedeele menţ,ionate în paragraiul 7 .3.1, ~i se va prezenta Jmnmi metoda propusă de IC!einman [7.12] pentru inipa.Iizm·ea procesului iterativ. Procedeul propus de Kleinnmn pentru determinarea unei matrice JI, astfel ca matricea (A - BJJI) să fie stabilă, se bazea,ză pe următoarea propoziţ.ie:

PrnJloZijia Il. Dacă se consideră perechea (A, B) complet controlalJilă, a.tnnci matricea Jlf dală de relaj;ia

JI = BT

w-

1

(t1 J

unde (7 .105)

conduce la o ma.trice (A - Blli) sta.bilă. Drn1onstra1ie : Considerărn expresia lnatricea.Iă

fl ., e- 3 T ' ) <s= } + [~ r, e_..,, BBT e- 3 T 'tsj JAT = - ~~, -(e--''BB 1

o

0

tls

(1.106)

Da.r ave1n (A, B) complet controlabilă TV(11 ) pozitiv definită . .Adunînd în ambii membri ai relaţ-iei (7.106) expresia

- 2BBT = - 1Y(t1 )Tl'- 1 (t 1 )BBT- BB 1' 11'- 1 (11 )lF(t1 ) (7.107) se

obţ,ine

[A- BBT Tr- 1 (t1 JJ ll'(t1 J + lF(t 1 J [A- BBT w-'(t,JY =

= - (e-··"· BBT e-A 1'r, 130

+ BBT)

(7.108)

Notînd

A =A - BB'' (J relaţia

=

w- 1 (1

1)

=A - BJJI

c--' 1• BB 1' e-A't,

(7.109a) (7.10!lbl

(7.108) devine (7.110)

Deoarece W( 11 ) > O şi (J > O, din teorema stabilităţii Liapunov rezultă eă matricea A are yalori rroprii cu parte reală negativă dacă e~Tt(J eA:z·t ~o, Vt. Aceasta însearnnă că este suficient să arătăm c•1 wTt B =!= O, 'It, ceea ce echivalează cu faptul că perechea (A, B) este complet controlabilă. Dar există impliertţh> [7 .5] : (A, B) complet controlabilf1 (~) (A - BB 1' JF- 1 (t), B) complet controlabilă astfel încît demonstraţia este ineheiată,.

C:tlculul efectiv :tl matricei J11 care conduce la o matrice ("1 - BM) st.,bilă, utilizînd procedeul Kleinm.,n, se reduce la c'"lculul integral ei matriceale (7.105 ), calcul ce se po.,te efectua prin metoda prezentrtti1 in capitolul 4. Parametml 11 poate fi ales 01,rbitrar, preferabil se rtlegc o va,loare cît rnai rnică pentru uşnrinţ;a calculului ~;eriei ce aproxime.,ză integrab (7.105). Obscrvat·ic : Dacii nmtricm1 A este stabilă atunci se portte alege direct JJI = O. Pentru sisteme monovariabile, r = 1, există posibilitatea de a construi matricea Jll utilizînd matricea de controlabilitate rt perechii (A, B). 7 .3.3. E;t'C11t]Jlc de calcul

În cele ce urmează se vor da exemple de calcul pentru comenzilor suboptimale proporţionale cu grad de suboptimalitate impus, cazul tratat în paragraful 7.3.2. Programele de calcul, descl'ise complet in lucrarea [7.11], au posibilitatea. ele a efeetna un număr de it;em('ii fixati dinainte sa,n de a efectua un nu1ntu· de itera.ţ;ii pînă cîml se obţine o comandă suboptinmlă cu nn gracl de snboptimalitate mai mic sau egal cu graclnl de snbopticonstrucţ,ia

131

malitate impus; determinarea gradului ele suboptimalitate s-a făcut prin metoda dată, în 7.2.2. Principalele subprograme scrise în FORTRAN IV, sînt date în paragraful 7.5. Se consideră problema timp fin>1l infinit, adidi ,; (1)

=

optimală invariantă

în timp cu

Acc(t) -1- Eu (t)

:c(O) =

y(t)

=

;1'0

Cm(t)

şi

~~

J(u) =

[yT(t)Qy(t)

+ u' (t)Ru(t)] dt

.(]

Exemplul 1 : Fie

A=[ O -~J =J -l

(J

[1

n

=[o

,R

=[~ ()] 1

'

1

~)]

,O=[l

S-au obţ,inut rezultatele: (a) Subsoluţ,ia emmj~iei nmtrieen,le algebrice Iticco,ti, două iterajcii, este L _ [

iar conmnda

1,335G91G -0,3507J278

132

după

-0,35074278] 0,68299208

suboptinuolă es1~e

--R-IBTL•( )--[-0,3il07L.978 ''" (f ) ,r, t -

"

-:3]

1,33iJG9Hl

0,68:39920. 81 ( ) -0,35074278 '" t

care are graelul ele suboptimalitate p = 1,0037152. (b) Suprasoluţ.ia ecuaţiei matricerole algebrice Riccati, după 3 iteraţii, este

i - [

-0,38109613] 0,65668585

1,232608 -0,38109613

m· comanda suboptimroli\ este ,; (t)=- R-' BT Lx(t)= _ [ -0,38109613 0,65668585] x (t) ' 1,232608 -0,38109613

care are gradul ele suboptimalitate p = 1,005702. Exemplul 2 : Fie

A= [

~ ~ ~]

-1 -2

,B =

-3

o o

l1r~]

1

l

,0= ~

~l ,R =

1J

[1]

S-au obţ.iuut rezultatele : (a) Subsoluj;ia ecuaţ.iei matriceale algebrice Riccati, 6 iteraţii, este L

=

1,9509515 1,8921861 [ 0,43781331

1,8921961 5,0038385 1,3020153

0,43781321 ] 1,3020153 0,563,18902

iar comanda subop1;imaH\ este 11, (t) =

= - [0,43781321

-

R- 1 BT LiV (!) 1,3020153

=

0,563,18902]

X

(t)

care are gradul de suboptinmlitn,te p = 1,1039253.

după

(b) Snpr11soluj;ia ecuaţiei matriceale algebrice Riccati, dup[t 3 itemţii, este

i

=

1,424548 o,98oo7254 [ 0,15394026

0,9800725,( 3,2428147 0,73711393

0,15394026 ] 0,73711393 0,38086593

iar comanda suboptimalii este

~~. (t) -

-

= -

[0,15394026

R-r BT Lx(t) 0,73711393

=

0,38086593] x(t)

care 11rc gradul de suboptimalit11te p = 1,0225706. ExemJilul 3 : Fie 1 1

oo]

,a= [ o o 1 o o o o 1

Q=

"

[~

o

~]

1

o

,R = [1]

S-au obţinut rezultatele: (11) Snbsoluj;ia emmţiei algebrice Riccati, dnpii 10 este: 4,041948 7,7725265 L = 7,7725265 18,203200 [ 4,6062686 14,158180 0,7924504 2,7750370

i11r conmnda

snboptimală 11,

- [0,7924504

134

4,6062686 14,158180 15,483035 3,2752326

itemţii,

j

0,7924504 2,7750370 3,2752326 0,85783191 -

este

(t) = - R- 1 BT L.v(t) = -

2,775037

3,2752326

0,85783191} X (i)

care are gri~dul de suboptinmlitate p = 1,0017617. (b) Suprasoluţ;i[l ecuaţiei matriceale algebrice Riccai;i, după G itemţ;ii, este 3,6996355

i

=

7,0654102

,1,2017354 16,399361 12,685745 12,6857 45 13,798267 2,•1784191 2,8943124

7,0654102 4,20173/H -0,72572072

iar comanda

suboptimală A

11,

(t)

- [0,72572072

= -

este A

R- 1 B~ Lx(t)

2,1784191

0,72572072] 2,•1784191 2,8943124 0,7691568•1

= -

2,89•13124

0,76915684} x(t)

cttre are gradul de suboptimrtlitate p = 1,00.3105. 7.4.

lleto•lă

de determinare a comenzii

snboptirnale

]ll"oporţional-intll[lrale

1n acest pi~ragmf se va trata problema sintezei tmei comenzi suboptimale proporţional-integrale pentru problema optimillă liniar-po;tmtică invilriant[; în timp cn timp final infinit, cilre va conduce la o pcrformanţ.ă linboptimală cn un grad de suboptimalitilte impus. Fol"lnularea problemei suboptimille consideri~te este urmă­ toarea. Fie sistemul linim· descris de :i:(t) = Ax(t)

-1-

B11(t)

.v(t 0 ) = m0 (7.111) unde m(t) reprezintă un vector n-dimensional, 11(t) un vector 1·-dimensional, iar matricole constan1;e A şi B sînt de forma n X n şi, respectiv, n x r (1· ,;;:; n). Se urmă­ reşte să se determine o comandă suboptimală proporţional­ integrală de forma ·n,(t)

= G1m(t) -j-G 2 ( '

J,,

m(s) ds, Vt

>

t0

(7.112)

unde G1 şi G2 sînt matrice constante de forma ,. X n, astfel încît să fie minimizat "aproxim10tiv" indicele de

per:formanţ.ă

J =(ro [mT(t) Qm(t) -1- nT (t) Rn(t)]dt

J,,

(7.113)

135

Presupunem eă sînt îndeplinite următoarele condij;ii uzuale (a) Perechea (A, B) este complet controlabilă (b) J\fatricea constantă Q, de forma n x n, este simetrică pozii;iv semidefinită (c) l\fatricea eonstantă R, de forma 1' X 1·, este simetrică pozitiv definită (d) Perechea (H, A) est;e complet observabilă, unde nmtrieea Il satisface relaj;ia H 1'II

=

Q

Se urmăreşt;e determinarea unei comenzi suboptimale de forma (7.112) pentru care G2 =/=O; sistemul suboptiml11 obj;inut trebuie să fie stabil. În scopul rezolvării problemei suboptiml1le formulate mai sus se va considera următoarea problemă optimală a.uxilia.ră. Pentru sistemul (7.111) se va determina o comandă optimală care minimizează indicele de performanţă auxiliar (7.114)

unde Z este o matrice const;antă, simet;rică, de fornm x '1', pozitiv definită, iar condij;ii!e (a) - (d) sînt îndeplinite. Rezolvarea acestei probleme optimale auxiliare se va face urmind metoda propusă de :i\Ioore-Anderson [7.H].

1'

Notă1n

A

.

;1'(/)

=

[x(t)]. , 11(/) = H(t), A

Q= t3G

A=

,

A

11 ( t)

[oQ

o],

B,

[A

o (7.115)

A

A

A

A

A

A

unde elementele introduse x(t), 7tă ele (7.118), sistemul (7.116) devine

relaţii>

A

A

(7.124)

m(tu) = '"o

unele matricea 0, ele forma (n + T) x (n + r), este valoarea indicelui ele performanţă (7.117) este A

A

stabilă;

A

J* = xtTP1 indici ele pel"fornmn\'i"i cît 1nn.i f!lpropiaţ;i printr-o alegere convenn.biH1 n. nu1,tricei pondere Z, şi, silnuliia.n, clinmniea celor două cmnenzi

fiind cit nmi apropiată. h Relaţia ( 7.112) este eelil valent[L cu reia ţ,iile

'rinînd asi;fel

seamr~

'*) =

G1.r(t)

11(1 0)=

G,:t(/ 0 )

Din identificare:L

(7.132) (7.133)

rcla,ţb

de (7.111),

zi(t) = G1 Bn(t)

+ G,m(t) (7.132) se

+ (G A + G,).T(t)

relr.ţ;iilor

1

(7.123)

şi

(7.134)

z- 1 P,, G, + G, A = + z- 1 P 31 din identificu,rea

relaţ;iilor

(7.126)

şi

scrie

(7 .134) rezultă că

(7.135)

G,B = -

şi

por~te

(7.136) (7.133)

rezultă că,

(7.137) Hezolvarea "ideali\" a problemei subopi;imr.le constă în satisfacerea, simultană a ecuaţiilor matriceale (7.119), (7.135), (7.136), şi (7.137) pentru care avem necunoscutele P, z, G1 şi G,. Un bihmţ; general al numărului de ecuaţ;ii şi al numărului ele necunoscute conduce la egalii;a ten, ;ocestora, clar totuşi trebuie ţinut seama că matricole Z şi P sint nmtrice simetrice, pozitiv definite. Din nefericire rezolvarea, simultană '" emmţiilor (7 .119), (7 .135) - (7 .137) nu este posibilă, în cazul restricţiilor susamintii;e, a.şa încît se va propune rczolvttrea unor probleme suboptimn,le {'.are să urnlăren.scrt. satisf:ocorert nunu1i it trei din relaţ>iile (7.119), (7.135)-(7.137) şi îndepliniren, condiţ,iei ca matricele P şi Z să fie simetrice, pozitiv definite, în i;imp ce cea de n, prttm rob ţie este n,proxinmtiv îndeplinită. Pentru n,signru,rea stn,bilităţ,ii sistemului subopl;inml este suficient să se alertgă matricea Z simetriei\, pozitiv definii;ă, mn,i;ricea P s[L se detormîne elin ecun,ţ;ia (7.119), iar matricele G1 şi G, să se determine din rebţiile (7.135) şi (7.136). 14.0

Noîmlopliniren, robţiei (7.137) este consecinţn, n,legerii unei ·u(t 0 ) neoptinmlo şi are ca efect deteriomrea

condiţii

performanţ;ei obţ.inute.

În continum·e se ·vor analiz11 mimuoa mn,tricclor Z, P, a1 ohservn,ţ;iilo de nmi sm.

două variante IWntru deterşi

a"

luind in considerare

Farianla 1 (1) ecll:1ţ.iilo (7.1HJ), (7.136) şi (7.137) sint s;Ltisfăcute nmtricele P şi Z sint pozitiv definite. (2) ecuflţ.in, (7.13u) este fllH'oxinmtiv s»tisfăcutl. ~i care [trată că se poate renunţa b prcscl"ierea lui E, norma !ni L'im fiind măsurată indirect prin "

Întmcît L'im respectă restricţiile reznlti1

adică

'f'x

(m)

.fx

(m)

+ 'f'x

(m) ?~· (:c) ). =O

1n ipoteza nctczindi varietăţii de restricţii, rang cp" (m) = q adică [ 'i'x ( m) rp~ ( m)J- 1 există, se poate efectua determinarmt !ni 1. rezultînd (8.16) Variaţia

!ni E' (m, ),) este

31' (m, i.) =

E'~'

(m, i.) L'i;c

aclicăr

3F(m, ),)

=-

rt.IIE'x

(.T,

i.)ll'

(8.17)

cu alte euvinte daeit a > O, variaţ;ia este negf1tivă, iar " este suficient de mic (pentm valabilitatea primei aproximaţii) QP;)

deci (8.26)

183

păi;mtice

Ideea convergenj;ci

Il

se degnj(t atunci imediat

11

1!

+ I; ·r, = g,,, + I; i~i-;-1

Q ~.,"

+ I;

= !J;.c,

i=i+l

k, Q p" j

=

i=i+l

=1, :J, . . . , n

Atunci

(g".,." p,) = (!/;.,." p,)

+ b"

k, (p,, Q p,)

i=i+l

=o,

j = J, . .

11

primul termen mmlîndu-se datoriti\ condiţiei de determinare a lui k; irtr snmn, n,nulîndn-se drttorită mutual conjngării. În consecinţă Yn+I j_ RU, adică Un-H = O, gruclientul anulîndn-se în n paşi. Rezulti\ din fln+l = Qx,.+I + c, că a:0 _1_1 = - Q- 1 c adică minimul n, fost rttins şi el în n paşi. De asemenea revenind In, ideea inij;irtlă n, lui Hestenes şi Stiefel se vede ei\

+

IntJ•odncîml

notaţia dîadică

1'; )(P; ." P; avmn

şi

pf,

n X n - matrice

exprmda

adicft inversa

Q~ 1

se poate calcula cu expresia (8.27)

1119

Dacif, vectorii 111, . . . , 2J 11 se consindcsc printr-1tn 1JI'ocedcn iterat-iv aceasta va couduue ltr o J.Uocedurit J.Jlif.ra.Uc cou-verrtenlt'î de calcul al minim ului. Aceasl !1 este tipic în metodele de gnulicnt conjugat. 8.3.3. Proce!lurile lle calcul "tili.zale

A. Procedura D•widon-Flelcher-PolV

retnr~ivitate

a directiilor pj_

:

i ,, 11, (lp,) 13 -c,

~Oli

193

(P;, Qp;) = O j < i,

întrucît

inducţ.ie. Ră.mine să, a.rătăn1

conform îpotezeî

de

ctl,

(P;, QII, Qp;) = O j


(y,_1) H,_ 1 +

-

t.m,_1) (t.w,_1

(~îi-l, H1-1 ~ii-1>

(Yi-u ~mi-1>

De unde Il1 QJ"·) =

(z _II,_l"'G_c1> (Y_(,HJ Qp1, Qp;) -' L'.a•;) (L'.w; ' 1 J t r 1 (Q1'n H; Qp 1 ) (L'.wJ, y,)

"""';>

Deci

ultima egalital;e fiind De asen1eni,

concliţ;ionată

c,,_1Yk-1 = c,,_,Q datorită

mutual

conjugării

~

,,.,,_1 = o

vectorilor

~x,.

Consecinţa 2. Termenul C, '{I

=

(1 -

y,)(y,) y, = " .II= () Il -

(y" y,)

şi

199

dn.t· (y" p,)

= ((J

C. "'" p,)

= k1 ([Jp 11 p 1)

o=

O 1 = 2,.,. ,n

dat.m·it(L n1nhw-l eonjug:Irii. At:uupi

:jc=J, .. ,,i folo::;ind tlezyolt-a.ren, recursiyă, de 1nai suR a lui Pi+I ipoteza, de indneţ-.ie. De asernenen,

şi

deoa-I'tt•e

Aşad.u .P1 _1_1 Jn·oieetează ortogonal orice vector, 11e snbspatiul orotog·mml subspatinlni generat ele y" ... , y., eeea ee corespunde dupfi~ mun s~a Yfiznt snbspatlnlui generat de Pi+J' · · · ,p"

Consecinta 3. Jlu+t = o, deoarece 1-\+ 1 }Jl'oieetcază. in {O} uriee. \'ettor couforn1 lenwi de 111ni sus. CoDsecint.elc 1 ~i 3 tWaJfi, crL

De fk;eineiwa a mr-lotlci.

I'n-t-I=

O cvitlcnjta.zli convcrucnfa plitl'aitclf..

ObseJ·na(il J)

Dacă-

nn{le T

200

P1

e~t.c

i:;;

1 1 O, ntnnei evideul

nesingnlan1.. SchilllbÎlul yaria.biia

;l'

in

gradientul IJ de.-ine f(:c) =

rp(~)

=fo

+ (c, T ~)

+2_

de unde ~

rezultîml

:i\Ietod"'

t = TT(a

+ IJ1'

i;) = 'F(e

= 'J'Ty

în fornm

diferenţa gmdienţilor

Y[L

+ IJ.r)

fi lleserist\ ile

eu

unele 11

l1;c,) (11,c, ,-~-----


D~"'P

.Accasti\ necesitate provine din fn,ptul că considerînd ,~i termenul !!..;~· 1 ) (!la:,/(!l =

i\meţiei

arl>i-

()

mini1uizarea ele-a lungul lui PH 1 = - lli+ 1 flt+l" J\'Jn,i departe JI,y,) (II,y, + b.:v,) ( !!,.,,.,--) g._,_lfl;l'i+l = - It·_, 1 · ', ' (y., (!l.v.,

'· . (H

= -

H,-r,>

·r,> · '·

k (Il- - H,y,)H(H,y,) !/·. ) •+1

. •

(

,.,.J

Yo · iYi

ultimul termen anulîndu-se din condiţia de ortogonalitate pentru determiParea lui k,( !la·, = /,:,p ,) Fie acun1

(Il 1,

., ) _

·- -,+1' ·li

-

-

k

'i+l

( ·''JJ li

-i-

_(y,, Ha;) (H,y,) -(~'

1

o

= - k,.,.krW, - ·rTH,)

H ~ ) 1

=

_

Yi+l -

(i

o

(8.37)

Consiclerîndu-ne acum în vecinătatea mininmlui, .f'nncţia are o comportare ptUrat-ică şi deci proprietatea se extinde

202

şi pentru y,_" y,_, etc. Or pe măsură ee· tla'Hl devine ortogonal pe 1m subspaţ,iu de dimensiune din ce în ce nmi mare, în momentul în care dimensiunea, snhspa.ţ,inlui este egnrlă. cu n, 6.;ri+I l. B", aclieă. 6.wH·l = O, cee;L ce a.sigură convergenţl1 pătrn,tieă " me1,odei DPP şi în cn,zul nelini>1r făcînd-o efic>1ce. 8.3.5. Consideraţii as·upra. m.cto,lci graclicnţilor conjugaţi în procedeul Pletcher-l~eeves clirecj,iile conjug>1te se eletermină prin metocl>1 propusă de Beelmmn. Ace>1st>1 constă în construire" celei de a (i + 1) - a direcţie conjugu.tă ca o combinaţ-ie liniară de g,+', p". .. ,p,. Pentru1: = 2 avem p, = ~. !h + ~,p" .1' 1 = - g1 (iniţ,ializare) Din condiţia (p" g,) < O rezultă ţinînd con1' dî, (p" y,) trebuie să fie nul (p" g,) = ~" (g" g,)

şi observaţia c{; g, J. !/" de ttsemenca p 1 J. construcţia lui p,. Presupunem t1Clill1 el; p" ... ,p, curecţii mututtl conjugttte şi că

k, j :( -i

+ 1,

Pic atunci

de asemenett 1'k.l. g1, 1.:


cit în final

r;, =

rl,!.:,+l tce.st caz g,(t-,) Aş>t

=

F"(.r0 1-,)

= fx(:r,)

dar

+ tp~'(:r,)

1.,

= Qm,

+ + JF l., C

+ ~;Jl; Ay,(t.,) + [l,.il:p,

Jli+l o= -- IJ;{\)

Atunci A 1'(m) = O. Acest lucru Ya fi detaliat in pmagra,ful 8.4. în cn.re se va n.borc1a, ~i 11roble1nf.L reslabilirii rcstricţ,iilor. Observaţie. Se vede cii în cazul restricţiei e:s:plicitati1 printr-o varietate (n- g)-dimensionalCt, convergenţa p (y, (p"-,.,)'"

unele 0 1 'c 1

>

!h




JJ") (p"

1'" y,)

, T

(p",

H-c. 2on

=

' +~-(t.;c -[li'.•t')" (C..c -[ill•>:)

+

unde remninthn

1\

_

A

_, ,z

i. este un InuHiiJlicator q - tlhnen-

că

siono,l, iar__l'-un multiplicator scalar, Q desclllnim1 ·mini;.!C(

mizarca proiecţiei deplas

-

r1.

(f.(•r) -1- rp'/i (m) ), -1-

li ni [Il izn-tă a

-/j,)

restricţiei

se

obţine A

'fz

(m).f. (;r) -1-

-

( ');oi'

?x

(:r)rp;:' (a.•) ), -1- 1\'m (a.•)p =O

adieă

), =

Se vede imediat lni y este Ay rt.

şi

(m))- 1

(

rp,(m)f, (a.·) -1-1 r;;,(m)p)

că dependenţa variaţiei

=-

(8.45)

lui 1- de variat-ia

(ninimizare în planul

F'. (•"• ),) şi ;,, lldică considerînd y = '"

de un de

rezultă

.v- r~.F',(x, ),) - r1. ·r p minimizarea funcţiei de variabilele

F'(y, ),) = F'(x- rt.F'" (:r, ),) -

214

A

+ ux =

"'y

p, ),) ~ scalare, cp este o funcie vectorială 11 - dimensională, iar 2)

Cmuli{'iif(' opro.rimatirc t1e c.rtrcm

,8.fl.:3.

Se vor int:rnllnt't' .fuuc{ionalelc (]e eroare P .~i q em·e~pun­ restricţiilor respecti.- eom1ijiilor de optim prin :

z,l.tmwe

(8.53) .!

(1 ~" \ ; i.

-

.r

9;

J.':'

-!

r11

+ \ !.(-

·Il

+

1

11 ' •0

·Il

(f~- ?~

i,) dt

+

(f/;:

-l-

~ţ,

:-dl]:Z --l- !i

(i.

-1(8.51)

·•> ., , ........ J':

Pentm soluţia exactă evident P = O, Q = o, iar pentru orice soluţie aproximativă P >o, Q >O. Vor trebui determinate funcj;iile x (.) n (.),A(.) şi vectorii ,u.şi ..-astfelîncît

Q< unde •1

şi

E:!

" -

o. BT B

+

.t;;l i\.71:

Atunci

= (J,T i'>m) 1 - p,r i'>m) 0 = (V "''''h = ~: p (1) dt deoarece (1\.a: )0 = O p (1)- p (O)

229

Urlnea,ză că

c). 8f dt + "'t BT B clt + "'"T t (rp;; 1. - Jr.l clt 1

Din

condiţia

1

ele transversalitate

iar din condij;ia

şi

p,T L'.m) 1

=:o

rezultă

parametrică

înlocuind avem :

): aj clt

+ (Ur. +
rp

11" dt

+ 11

t)i( x, "), 11"

rezultînd SP = O deoarece !lw - rp, !lx - rp., !ln = O şi ( x u -

fixată) a indicelui P. aproximaţ;ie conduce

tii~ L>it

+(it- 'P) =o

Pentru cont1·olnl pa~ilor ele 1·estabilire se introduce factorul a- care conduce la ecuaţiile transformate :

L\.-;;,-

rp.L\.-w -

~ ..L\.:U

-

o/~L\.-;;

(L\.xJ. =

+ ; (~; -

rp)

=

o

o

(;~ + ~.L\.âi + ~~L\.;)1 = o Pas11l de 1·estabilire este dat criterinl pătml'ic minimizat.

Rezolvarea se face prin formalismul variaj;ional. Fie în acest scop funcţionala

J" =

~: l!'"dt + (G")1

unde l!' "

1

A-TA-

= - --a,u ! t u·11

2

+'-T(A-'ua;- m u•v -m u ! t -ATa:

11.

-A-

'

Tu

.Aplicîml ecuaj;iile lui Euler avem :

d

1

-l!'"--' --l!'"l!'"A --- O' ~ l!'"A· ' ;:in dt dt A• u o :Il

!mpreună

cu

condiţia

+ (G"-)

- O

An: 1 -

de transversalitate

(l!'"D.'?·

+ G"-)

- O

.6,:Cl-

233

Dezvoltînd se

obţine

şi

G

+ ~~fih =o

Introelucîml variabilele auxiliare A

se

obţine

!!.fii = -:::::• CI.

setul ele

1

=

u

~Te !!. B = -c:;;- • () = -..=CI.

(7.

ecuaţii

'P.l + i?.li + i?nc - (ii - i?) .

-

-p--

A - 'P, /,

B=

iJ im:preună

cu

=

rp~'):

):'P~'): elt - (~~fi),

condiţiile iniţiale şi

finale

CDo =o

şi

(~

+ ~•.A + ~r.iJh = o

G + 'P.:'fih

=

o

Tehnica de integra1·e se bazează pe integrarea "inapoi inainte" combinată cu metoda soluţiilor particulare Fie valorHe

234

din care

rezultă

imediat valorile fin:1,le

care permit integrarea "înapoi" a ecuaj;iei diferenţiale omogene în ); obţinîndu-se soluţiile );,(t) i = 1, q 1o Sînt astfel perfect determinate funcţiile o

+

jj,(t)

ip~);,(t),

=

c,

= ):

rp~);,(t)dt

-

integrează

ecuaţiile

acum de (q

o

cu

,

(~~),iL,

+ 1) ori "înainte", 1, = 'P.A., + 'P,iW! + 'P.c, - (:ii - 'PJ, i = 1, Se

o o

o o,

q

+1

condiţiile

obţinindu-se funeţiile

Se introduc

q+1 problemei sub forma

.J,(t), i = 1,

soluţ,ii!e

tJ+l

l(t)

= i=l :E 1o, ales suficient de mic, are loc procesul de descreştere al lui p. Pasul ac restabilire 1· tori>1lă. În c>1drul teoriei sistemelor, eficacitl1tea acestei metode, s->1 dovedit în special în problematica proceselor optimale şi anume în ceea ce se numesc problemele bilocale (pentru ecuaţii diferenţiale orclin>1re). Oomplicaj;ia acestor l'robleme rezidă în modul de formulare >1l condiţiilor la limitii, în sensul cii o parte din condiţii sînt date la un capăt al intervalului de timp, iflr restul de condiţii la celăblt capăt, ceea ce face Cfl procedeele clasice de rezolvm·e a ecul1ţ,iilor diferenţiale (Runge-Kntta de ex) să fie neaplicabile. În cele ce urmează, după o prezentare a princil'iilor metodei se va face o succintă expunere l1 instrumentului matenmtic necesar, bogat în special pe deriy~,re~, opemj;iilor neliniare, după care vlt fi >1bordată ' problema aplicabilităţii metoclei la problemele de conducere optima](, a sistemelor, 9.1. Principiulmclodci Newton-Kantorovici-Raphson

:Metoda, a,nunlittă este o generltlizare a procedeului ' iterativ de rezolvare a ecuaţiilor >1lgebrice cunoscut sub nlnnele de 1netoda

trLngenţ,ei

:sau a

liniarizăl'ii, a,parţ;inînd:

lui Newton şi fiind o l1plien,ţ-,ie pmctică a, noţ,iunii de derivati'>. Considerînd problenm calculului rădăcinilor reale >1lc ccnaj;iei P(x) =O (9.1.) umle P este o funcţie deriv>1bilă tle .-ariabila re>1lă ro, · 111 etocla

256

tarngentei

constă

în :

- alegerea unui punct arbitrar "'"' ele regnH1 in vcdnă­ tatca rădăcinii, în pren,labil lomlizlttă şi, liuin.riztuen, ecuaţiei în jurul ttcestui punct, P 1;,(m)

- rezolvarell

= P(x0 ) -1- P'(x0 )(x- "'o)

ecullţiei

(9. 2)

liubrizate (9.2) n.clieii, (9.3)

- iterarell relaţiei (9.3), adică rezolvarea ouccesivă de liniarizllte de tipul (9.2) : m".1•1 = x"- (P'(x"))- 1 P(w") (9.4) Se obţine rtstfel şirul (x")v;;: .. O

Vom nota de asemenea operatorul U cu P'(ro0 ) care se numeşte derivată tare sau în sens Frechet a operaţiei nelinim·e P în punctul m0 • Distincţia între acelaşi fel de notaţie (P'(m0 ) ) se face menj;îonînd expres felul derîvatei. Am introdus cele două definiţii intrucit în literatură apar ambele. U(ro) adică P'(m0 )(x) se numeşte lliferenfiala operaţiei P în punctul m0 (slabă respectiv tare după cum P'(m0 ) este derîvata slabă sau tare). Observaţie.

Cititorul poate verifica

uşor că

:

1. Dacă P este derivabila tarc în m0 atunci este şi dcrivabilă slab în m0 • 2. Dacă limita de la (9.6) este 1mifonnă în raport cu m atunci P este derîvabilă tare în m0 • Adică (9.1) se poate citi şi : oricare ar fi e >o există 3( o, m) astfel ca

)-11

"( l ·tl

P(m 0

+ tx)P(x) t

_ U(

)Il~ mii""'

DacO. pentru orice direcţie m, adicO. pentru toţi m pentru care li mii= 1 (sferaunitarO.cucentrulînO), 3 nu depinde decît de o şi nu de m adîcO. este independent de direcţie, limita este uniformă şi derivata slabO. devine deriva ta tare. Proprielltţi

ale derivatei

1. Dacă P este in ro0

derîvabilă

tare în m0 ea este

continuă

259

2. Duei\ P = U E [X~" Y], adicii este un opemtor lininr continuu, a.tunci .P este derivubilă, hore în orice punct x 0 şi P'(rr0 ) = U oricure ar fi a: 0 E X 3. Drtcii P 1 şi .P, sint dcrivabile în a• 0 (slab suu tare) şi"'" "',sînt numere ut;unei (oo1 1'1 -I-CL 2 1',)'(r,;0 )= ot1 P;(r" 0 ) + + ot,P;(x0 ). 1. Dacă X, Y, Z .sint spa(;ii Banuch şi [.! c X, t. c Y sînt mulţimi deschise ia,r P :D. -o- t. şi Q :t. -+ Z sînt opcraj;ii nelinin.rc şi dacă .P este derivnbilă slab in m0 iar Q este derivahilă tare în 1/o = P(x0 ) atunci opemjia R :0.--o-Z definită de R = QP este clcrivahilă slab în m0 şi R'(m 0 ) = = Q(P(m0 ) ).l"(m0 ) = Q'(!J 0 )P'(m0 ) (compnnîndu-se opera.. jiile liniare). G. În fine să punem in cvidcnjă fornwla crcştcrilor finite sau formula lui Ijagrange. Presupunem m0 ED. şi segmentul [m 0 , m] suficient de mic conj;inut în f.!. Presupunem de :osemenca că opcmj.i:o .P arc o derivatâ slabit în fiecare p1tnct al segmentului. Atunci IIP(m)-P(w 0 )ll~supiiP'(a• 0 o.::;o~1

.Ace:ostă

-1- Mm)ll lltimll, t.m=m-x0

formuli\ se extinde în sensul

UE[X -o- Y] în locul lui P

că

11 P(w 0 -f-t.a:)-.P(m 0 ) - U(t.m)il";;supi!P'(m0 0~0~1

iar

d:ocă

punînd P - U,

rezultă

+ Mx)- Ull !lt.w[!

în particuhr U = .P'(m 0 ) :otunci

IIP(x0 -l- tim) - J'(m0 ) -

-

.P'(x0 )t.mll P'(m,)


- :Y (D. c X, deschisă) şi presupunem că pentru fiecn,re mEf.!, P are o deriy:otă .P'(!C)E E [X -o- Y] c:ore este un opemtor liniar. Atunci opemj;ia .P' este definită pe [.! cu Ynlori în elasa opemtorilor [X~, Y] n,dică P' :D. ->- [X~· :Y] mu D.sx h ' .P' {m)E E[X -o· Y]

Vom d:o cîteva exemple de calcul :oi derivatei P'

260

Exemplul 1. Fie X = R" şi Y = ll"' şi P : X -+ Y Atunci intr-un sistem m·bitrar de coordonate P se reprezint!' prin matrieea

liniară.

a11 • •

A=

: [ ami·

Deon.reee P este liniar:1 pc spaţ>ii finit dimensimmlc, in orice punct x ea este deriva bilă (tare) rezultînd P'(a•) = P. Adică în orice punct xEX derivata lui P se rcprezinti1 prin 1uatricea .il. Exemplul 2. Fie acum P o opemj>ie nelinim·ă. definită pe Q cit' cu valori în Rm . .Aee_a.sta revine 1rt eonsiclern.ren, a m. funcţii de n variabile care explkitcazi1 y = P(x) prin y1 = cp1 (xl, .. . ,x")

Si1 presupunem

că

P este

dm1vabilă

slab în x 0 • Atunci

P'(x0 ) = U umle U este un operator li:rtim· reprezentabil l)l'intr-o 1natrice .il = [aii]I~i.:S:m l~i~u

aşadar

a 11

•••

a1

,.1

U(x) =

l

a.ml · · · a.mn

;

Dacă

x = c1 =(O, ... ,1, ... ,O), j = 1, ... , n, atunci

"li

1=

: . ,J

U(c1 )=

l, ... , n

[ amJ

26!

sau explicit U(e,) =Iim P( O, exclusivit;r~te

dependent în

1-r 1 ~ adică

o

limită

de

a, =>

ca

E

iizTII

O, ast-fel încît oricare ar fi m, m' E X

pentru orice (.v, m') Există li{

2.

E

Il B(m, m') Il ,;; M llmll llm'll Cea mai mică valoare a lui M care satisface mai sus se nume~ te norma operaj;iei B. Ea este cu clefiniţ.ia IIBII =sup IIB(a•,m')ll Dăm

Il mii, llm'll,;; 1 cîteva exemple de opemj;ii biliniare

l~xeinplul şi

condiţ.ia de echivalentă

5. Fie An> , ... ,A <mJ '1J1 111atrici fie definita operaţia

pătrate

n Xn

B: R" >< R"-+ R"' (y = B(m, .v') )prin

unde evident mT A x') (xT.A.
+ tw')- P'(m

1-tU

t

- P" (a::0 )( .,ro·')

0) _

(9.10)

limih> efcctubulu-se în [X-+ Y], sau în Y conducînd la 1.nn .P'(.>'o --~-!-tO

-1-

tm')m- P'(xo)X f,

= P"( x 0 )( ro,

m')

"nifonn cu Il x[ 1= 1 Dac[t limit" (9.10) este uniformă şi cu Il x' Il = 1 atunci P este t11tbln 1ler·ivabila- tarc (în sens Frechet) în x., iar P"(w 0 ) este dcri?•ata tm·e de ordi1wl doi (Frechet). 1n acest ultim caz P"(•''u){.~, m') = B(m, m') se numeşte diferenţiala (U'rrehct) de orilh1-11l dni a operaţiei P în m0 • l•'ic m·mătoarelc exemple de dublă derivare l~xelll!lhll 7. Fie X = B" şi Y = Rm şi P: D.-+ Rm, DcX deschisă. Presupunem că P este derivahilă în orice llllllet -'" E D. Calculul ac;,st<Ji derivate s-a făcut în exemplul :J
două spaţii

(m 0

există şi

E

va fi

notată

2. 11 r.(P(mo)) 11 < ·1 3. IIP"(m)ll < K, pentru orice m 4. Constantele B, r;, K satisfac

r., iar 11 r.11
es t e pos1.b.l" 1 am """ Y) mt rum·t mgm·

1

-V

verifică coniliţia 4. Să ilustrăm metoda pe cîteva aplicaţii tip·ice. Aplicaţia 1. Rezolvarea ecua[iilor algeb-rice [9.1], Fie ele rezolvat ecuaţia

cbcă

1 - 2h -1,,

- se

[9.3].

f(m) =O

unele .f este o funcj;ie de variabila reală sau complexă m, cu valori reale sau complexe. Atunci conform teoremei fundamentale dacă a:0 este o aproximaţie iniţială şi dad'L mtox lf"(m) J < K, jx-x"i"''

f(mo) f'(a: 0 )

1

1

= -~,

1

Jf'(mo) /

=B

şi

h= Jf'(mo)JK,;;.!.., _..__1-Y1-2h ·n=,·0 (sau

Jf'(m 0 ) 12 2 ' mi ' 7 h ., pentru simplificare ,. ~ 2')) MNKR-0 sau MNKRM furnizează sigur o soluţie. Ca exemplu [9.3], fie ecuaţia .f(a:) = m lnm

+ 0,145

= O

Luînd m0 = 0,2, rezultă 2r, = 2 lf(m0 ) 1/ lf'(m0 ) 1= 0,0392, iar considerînd ,. = 2') rezultă intervalul lm- 0,2J
O. Fie ro 0 E O\ o aproximaţie iniţiaJă. PJ.·esupunem că .f este continuă şi are f~ şi J;, continue în O ";; t 1, 11 w - ro0 (t) lle n, :aven1

276

ecun,ţ,iei

Atu uei max[[x(t)f[n,;;;ma.m[[
dt

(9.15) dy o ' dt = - Hx(t,x,y)

.

Soluţia acestui sistem de 2n ecuaj;ii cu 2n necunoscute care satisface UI'mătoarele coniliţii

x( -r) = x - condiţia iniţiaJă (n-condiţii) y; (m ( T)) = O,i = 1, ... ,q - condij;ia finală (!/ (T), z) = (1," (m (T)), z) - condit:ia de trans-} "

versalitate conditii pentru orice z tangent h1 varietatea finală S în punctul fina.! x ( T), adică conţ;inut în planul tangent 8T dus în x ( T) la S ceea ce se scrie (y~ (m ('l')), z)

=O

i = 1, ... , q,

se numeşte un extrema! (de fapt psculloemtremal într-o tratare mai de detaliu), întrucît corespunde unui minim local al problemei de optim (demonstraţia se găseşte în [9. 7], [9.8], [9.9]) mtre este şi 1m minim global în anumite condij.ii ([9.7], [9.8], [9.9]). Minimullui H în raport cu ·n fiind unic, în raport cu tripletul (t,m,y), rezultă că cunoaş­ teren, extremului (iii(. ), y(. )) implică cunoaşterea comenzii optimale. În consecinţă pentn1 a rezolva problema de optim prin intermediul extremalelor este necesar 11 se rezolva sistemul de ecuaţii canonice cu condiţiile date mai sus, o parte din condiţii fiind formulate pentru t = -r, iar restul pentru t = T. Se ajunge astfel la o p1'0blemă. bilocală (neliniară), în care unul din procedeele cele mai eficace de rezolvare îl reprezintă MNKR. Întrucît metoda, este ba,zată pe Jiniarizare să vedem la ce conduce liniarizarca s-istcmnlni canonic (9.15). 280

Pentru :tceasta fie o de

variaţ;ie

a extremalului (x( . ) ,'jj( •))

descrisă

x (t)

(lli;oll, ll·r.oll) y (t) = Y (t) + ·r, (t) +o ( 11 i;o 11, 1[·r,u [[) prin v:trierea condij;iilor inij;iale: 1; 0 = X 0 -X0 ; ~" = =

m (t)

+!; (t) +o

ecuaţiile

Atunci se obj;in imediat

şi

liniare în

y 0 -y0

creşterile ţ

·r, : 0 ( ) > -d 1; = H-!1·11 t ~ + H-"vu (t) ·r;

clt

0 (t) > - H- 0 (t)· d·r, - - H-:rx~ dt:rvfJ

0 T) (H-:-"; r-u -Hvx

cu condiţiile iniţiale 1; 0 , ·1 0 , la momentul .,., iar iÎ x~ (t) etc. fiincl calculate de-a.lungn1 extremalnlui (neva.ria.t) şi fiind matrici pătmte. Observaţi·i

1._ it~:c şi fi~u sînt n1atrlce sirnctrice (0 2 JÎOfom; O;Vj =

[)Z

JÎ 0 j();vi O;V')

2. H~, este negativ semid~finită. într-adevăr H 0 (t,iv,y)

=

H• (t,x,fi)

+ (Y- fi,

n: (t,m,y))

+

+ o1171 - y 11 2..ui,u (t ,.v,y ;-; -)' o ~ o ~ 1 nil

Da.r H 0 (t,ii,fi) şi

=

H (t,x,y,c (t,x,fj))

conform celor din ca.p. 5 H~ (t,x,fj) = f (t,x,e (t,.v,fj))

Aşa.

-

dar

(y- 'fi, n: (t,x,y)) = (y,f (t,x,e (t,x,fj))) = H (t,x,y,c (t,x,'fi))- n• (t,,v,fi) 281

Înlocuind rezulti:t

oIIY -ii ll'n•vv (t ,x,y -; -)

= H (t,x,y,c (t,x,y)) -

- H (t,x,y,c (t,x,y)) !(o

conform clefini(.iei lui e. DrLctL O = o, H 0 (t,m.,) este liniară deci H~, = O. în concluzie H~, (t,m,y) este o formă pătm­ tică negativ semidefinită. Este deci justficată introducerea mmătoarelor notaţii Ă(I);'H~.(t)

- B (t)

:R-

1

(t)

=

H~,T {1)

{t) = .H~, (t) ·~ O

JJ-T

Q(t)

şi

=

fj ('l') =

),xx

.Hg,

dt

=

Ă

(t)

~

-

simetrică

(X (T))

Cu alte cuvinte sistemul canonic în

d~

(t) -

B (t) R- 1 (t) JJT

(t)

variaţii

devine

·~ (9.17)

dl) = -

dt

Q {t) ~- Ă'"

(t) '1

care conform celor rchtatc in cap. 5 corespunde indicelui de performanj;ă

ir =

..:!:._ 11 ~ ( Tl 11' s + ..!._ (T ( 11 ~; (tl 11' a"' 2

2

J't

+

-1- liP. (t) 11 2 Rlll dt asociat dinamicii

t= Linhtrizîncl 1.

X (

2.

l

282

T) =

şi

.A (t) !;

condit,iile la X =?

+ 13 (t) p. (t)

limită

(9.16)

rezultă

!; ( -r) = /;

(x (T)) =o "'"(y~ (x (T)),O

=o,

i = 1, .. . ,q

atlică

~ ( T) = O

1Ji (T) unde rang 1Ji (T)

=

q~n -

8

3. (y (T), z) =(A. (m (T)), z) ('11 (T), z) = (S (T)

~

=

(T), z)

pentru orice z pentru care F ( T)t = o Oonclttzie : Sistemul canonic liniarizat corespunde unei probleme variaţionale pătratice, numită problema vm·ia' ţională accesorie. În fine să vedem semnificaţia lui v. Revenind 1:1 sistemul canonic şi eonsiderînd numai condiţiile asociate vttrietăţii terminale se obţine o clasă de soluţii în care n-condiţii (cele ele la inceput) sînt neprecizate, adică o clasă dependentă de n-pttrametri clasă care poartă numele de caracteristici. Oei n parttmetri definesc vectorul p = (fL, v) unele fL este parametrul 8 = n-qclimensional asociat varietăţii S, adică m(T) = m(fL) = x( p)

iar v-parametrul complementar. Din versalitate rezultă

+ y 11 ,,., 1/ub" _l ff,

y( T) = A," ( m( T)) consecinţă

condiţia

ele trans-

(planul tangent) în

y(p) = A0 (m(p)) +y(v) = ).,(p) +y(v)

Oaracteristicile sint cleei familia m( .J:= cp (.; T, m(T), y(T)2cp(. ,p) y(.) = ~(.; T, m(T), y(T))==~(.,p)

De asemenea 1t(t)

= c(t, cp(t,

p),~(t,p))

şi

L(t,p) = H 0(t, cp,'F')-

Atunci se




T

L(t,p)clt

283

Calculînd prima calcnlclor şi

cleriviml

încă

clerivată

V, se

obţine, după

efectuarea

Y,= q>;f (T) , (l) 111,~, "' -11 :jl, (l) 111:. (}))eli+

""

dependenţi

numai (!,O)""" 'Po (t,O) p

YJ(/) ""'Y(t,p)- < B după cum imediat se poate vede, cu norma corespunzătoare sp>tţ,iulni produs ( 11( 11,v) 11 = 111>tX (lin 11, llv lll) în care y'

x(.)

w =

atunci problema

!!( . ) m( T) , ,v(T) y( T)

Y =

bilocală neliniară

y'

revine la 2!15

P(w) = O,pentruoricezpentrn i = 1, ... , q. ii'INKRO revine lrt rtdică

,:.


standard

(O)=~·

, i = 1, 2,.- . . ,p.;; n

(9.26)

şilat=1

~ 101 0 1 9999 X 0,8279 X 101 0,1000 X

10' 10° 10° 10° 10° 10° 10' 10°

10° 10° 101

0,3320 0,3230 0,2667 0,1613 0,6423 0,1590 0,2,!01 0,2201 0,1230 0,4339 0,,1208

X

10~

X 10' X 10' X 10'

X 10-1

X 10- 1

x Io-a X IO-a

X 10- 1 X 1o-n

x

1o~a

IIIBL!OGTIAFIE Spre deosebire de majorilulea capilolelor din lucrare, suportul matematic al acestui capitol este mai pretenţios, in sensul că reclamă elemente de teoria operatorilor neliniari in spaţii Bunach, în acest scop cititorului dornic de a aprofunda domeniul amintit mai sus i se recomandă lucrarea [f:U]. (lb. rusă sau engleză). In ceea ce prjyeştc metodica şi justificările teoretice din domeniul analizei neliniarc, lucrfirile [DA] şi [9.5] formează un excelent material de studiu pentru cei interesaţi in detaliile şi mnănunteJc de perspeclivii ale analizei ncliniare. Pentru o in\Clegerc mai p1·ofundă a teoriei sistemelor optimale recomandăm rcferin1ele [D.7] şi [D.O]. Aspectele de diferite nuanţe, succint expuse dar fcurte clar, legate de prohlcmnlică bjioca}ă pol fi studiate de cititor in acnlula traducere a Ed. Tehnice [D.10], iar aspectele lem·ctice de anYergurft li1 [9.13], In fine pentru detaliile de calcul şi exemplificările adecvate din domeniul conducerii oplinwle recomand:im cititorului referintele [9.11]. [9.12], (9.15].

lfl.1.] [0.2].

[9.3]. [9.4]. tH.5].

Kantorovici, L. 'V. G. P. Ali:ilov: Functional Analysis in Normcd Spaccs Moscow 1[}59. 1\1 arin e s cu G.: Spafii llccloria[c normale, Ed, Acad-. RSH 1956 B e 1 a I un k o: Re:olvarca ecuaţii[or operaţionale ncliniare in spafii Banacll, Ed. Acad. RSR 1969. Şchiop: .A. I. 1Hetodc aproximative in analiza mliniară, Ed. Acad. RSR 1972. K r u n s n os e 1 ski i 1\l. A. ş.a. : Prib[ijennoe reşenie opcralornih uravncnii 1. N. 1969.

299

[9.G]. [9.7]. [9.8].

[9.9]. [9.10]. [9.11 ]. [9.12]. [9.1 :J]. [9.1-1]. [9.15]. [9.16].

300

1 o n c s cu VI. Sisteme lîniarc Ed. Acad RSR 1973 Pc nes cu C., Ion c s c n VI., Rosi n g c r E. Procese optimale Ed. Acad. RSR 19i0. K a lm n n R., Ar b i b M., Fa 1 h P. Topics in Malhcmalical, S.tJslcms Thwrn :\IcGraw-HiH 1969. H c s t c n c s M. R. Calw[os of Varialions aml Optimal Thcor!J, John \Vilcy 196G. :u os z y n s }{ i K: Jletodc numerice ele rc=olvarc a ccuaţiilor clifcrcnţia[c ordinare. Ed. tchnic:i 1973. ::u i c 1 e A. : .Mctlwci of Particular Solulions la Linear TwO-Point Boumlary- 1'alnc Problcms. JOTA Yol. Z. nr ..J, 1968. Mie 1 c A., R. R. I y c r: General Teclmiquc for SollJlli{l Nonlinwr, Two-Poinl Boundaru - Value rroblcms Via lhe 1\Icthod of Pnrliclllnr Solnlions JOTA Yol. 5. nr. 5. mai 1070. Bai 1 c y P. B., S han c pin c L. F., i,y a Il ma n P. E. : Xonlinrar, 1'u'o~Potnl Boundary~ 1'a/uc Problnns, Awdemic Pn·~s :'\ew York 1958, B c IIm an R. E., K a 1 a lJ a R. E., Quasilincarizafion aml Non linear Boundary- \'a[ue Problcms. Thc Ro.nd Corporo.Uon, Rcporl m. R --138-PR, HlG5. D y c r P., :\le., Re y n o J d s S. H: T!Jc Compulalion lllJ(l Tl~eory of Optimal Control. Academie Press, ~cw- York 1970 Ha 1 s ton A., Numerica[ Jnlcgration 1Hctiwrls for tbc Solulion of Orclinary Dif{crcnfîal Equafions. John \VHey, New-York HIGO.

AUTOi\IATICA, i\IANAGE~lENT,CALCULATOAUE (AMC) (\"ul. 19-3/74 şi 20-4/74 (S. H'i coH, 15 Ici broşat exemiifarul) SE DIFUZEAZĂ ŞI l'E lli\ZA DE AllO:\Al!E:\"T l'E:\"TRU TOATE CELE PATRU VOLUME (GO LEI) Lucrările constituie al treilea, rcspecliY al patrulea volum din noul ciclu, care şi-a inceput apariţia din trimestrul II al anului lQU şi a cărui caracteristică principală este atacurca domeniului conducerii şi organiz::Irii - al managementului -in locul melrologiei, ce prezenta un interes nmll mai restrins. Ultimul volum (lG) din seria veche Aulonmuc;,, melrologie, calculatoare (A l\I C) a apărut in: anul 19i1. Publicaţ.ia In acea formă, deşi s-a bucurat de aprecierile specialîşlilor de inaltii calificare, s-a difuzat din ce in ce mai dificil, mai ales datoriiii. lipsei unui sislem de abonamente, specific acestor genuri de lucrări tehnico~şliinţificc de informare şi referinţă. Koul ciclu urmăreşte să realizeze un cerc mai larg şi mai stabil de intreprinderi, de instituţii şi de cililori care sli folosească cu interes sporit ma le~ rialele propuse spre publicare. Pentru aceasta, în afara cuprindcrii trmatîcii - managcmenlulrri - care se adresează, attt prin natura sa cit şi prin conţinutul articolelor, tuturor cadrelor de conducere şi specialiştilor din intreaga noastră economie ce urmează cursurile de perfecţionare şi reciclare de diferite tipuri şi nivele, in tematica lellllicii de ca{cut se va acorda o atenţie sporilii materialelor privind introducerea sistemelor informatice in intreprinderile noastre, in corelare cu preocupările din temalica managementullli, iar in domeniul aulomali:ării, - sistemelor automate complexe, inclusi\" al celor cu calculatoare, proprii combinatelor şi uzinelor mari. Aceste domenii tematice inlănţuite sub multiple aspecte - in lnvăţă­ tnint, cercetare, proiectare, producţie, utilizare -in ţara noastră şi pe plan mondial, vor fi reiiectate tn materiale de sinteză elabora le de specialişti din institutii centrale ca: Institutul de Conducere şi Infornul.ticfl (ICI), Centrala Industrialft de Electronică şi Automalizări, Centrul de perfecţiona­ re a cadrelor de conducere (CEPECA) din cadrul Academiei Ştefan Gheor~ ghiU, Comisia de Automatizare a Academiei R.S.R., Inspectoratul general de control al calilltt-li, din ministerele de specialitate (i.\linislerul 3luncii ş.a.), din mari institute de cercetare şi proiectare, uzine şi intreprinderi de profil, ca de exemplu: Inslilulul de proiect:lri nulotnalizftri, Institutul de tehnicii şi calcul, facultiiţi şi catedre de automalidi., informaticii., organizare, din institute de specialitate. Se asigură o corelare intre temalica ciclului şi principale direcţii de lnvăţămint şi cercetare promovate în accsle domenii de instituţiile centrate menţionate.

Se acord:'i un spaţiu corespunzător munifest:lrilor tehnico~şliinţifict: interne şi internaţionale din domeniile ştiinţei conducerii, ştiinţei sislemelor -in particular a celor automate şi informatice. În acest cadru se grupează malerialcle din acest Yolum, cu un accent deosebit pe secţiunile realizate in colaborare cu speeialişlii din Institutul Central de Conducere şi Informatică. Comenzile se primesc la. Editura tehnica, str. Ştirbei \-odă37, sector 7 Bucureşti. Plata se face in numerar la rambursare sau prin virament in contul 64-31-44 Filiala sectorului 1, Bucureşti, Centrala Cărţii pentru Editura tehnică.

30!

EDITURA TEHNICĂ vă pune Ia dispoziţie lucrarea, in limba franceză, CIRCUITS A SEUICONDUCTEURS DANS L'INDUSTRIE. Mil'LIFICATEURS ET OSCILLATEURS (Circuite cu semiconductoare tn industrie. Amplificatoare şi oscilatoare) de ing. A. Vătăşescu, ing. R, Sinnreidi ing. Şt. Gavăt, dr. ing. R. Stere, dr. ing. R. Piringer, publicată in 1972, in coedilarc cn editura !vlnsson et Cie, Paris, Franţa. Tratează amplificatonrcle şi osciJatoarc]c cu dispozitive semiconductoare, utilizate In prezent pc scarii Iargfi în electronicii industrială şi automalic:l. Pentru fiecare categoric de amplificatoare şi oscilatoare studiată, se prezintă structura, principiile de buză şi relaţiile fundamentale, se dau indicaţii de proiectare, ill1strate prin exemple de calcul şi scheme moderne, inclusiv cu circuite integrate. Prin modul gradat de prezentare a materialului, prin echilibrul nspectelor teoretice şi practice, lucrarea se adresează um1i cerc larg de e]eclronişli, de Ia cercetători ştiinţifici la studenţi sau tehnicieni cu un nivel de pregătire mai inalt. Autorii sint conducători de uzine (ing. A. Vătăşcscu inginer şef la Intreprinderea de piese radio şi semiconductoare Băneusa), cercetători şi proiectanţi de tnaltii calificare tn electronică (ing. H. Sinnrcich la Institutul de Cercetări de telecomunicaţii, ing. Şt. Gavăt la Institutul de proieclări automatizări), cadre didactice tn invăţămîntul superior (dr. ing. R. Slere, şi dr. ing. H. Piringcr Jn Ins li lutul Politelmic Bucureşti, Fac. de Electronică). Lucrnrea a apărut şi in limba română in 1971, tn două tiraje şi s-a difuzat imediat dupi1 apariţie, bncurindu-se de aprecieri deosebit de favorabile in ţartt şi in străinătate. Ediţia franceză este tmbunălăţită faţă de ediţia in Jimba romfmă. Editura lehnicfl dispune, in mod excepţional, in afara lirajului difuzat prin editura Masson, de un număr de exemplare din această importantii lucrare, pe care vi le oferă la preţul de 33 lei/exemplar. Cartea are 40:1 pagini, 318 figuri, 23 tabele, 1 planşă, index alfnbelic de subiecte, bibliografic la fiecare din cele 10 capitole. Comenzile se primesc la Editura tehnică, str. Ştirbei Vodă nr. 37, sector 7, Bucureşti. Plata se poate face in numcrnr. prin rambursare sau prin Yiramcnt (în contul 64-31-·1·1 Filiala sectorului 1, Bucureşti Centrala eiirţii - pentru Editura telmicii). Menţionăm c:llucrarea se mai poate procura şi din librăriile care difuzează şi cărţi jn limbi străine.

302

Din_planul pe 1974 şi trim. I. 1975 în domeniile AUTOMATICA, INFORMATICA, ELECTRONICA, MANAGEMENT Seria "Biblioteca de automaticlt, management"

informatică,

electronică,

J{ulman H. - TEORIA SISTEMELOR DINAJ\UCE Muymm1, H. B. -:.\!ANUAL DE INGINERIE INDUSTRIAL.:\ (Voi. I) Nicolau E. (coordona lor)- :;\IANUALUL INGINERULUI ELECTRONIST

Seria PRACTICA m:.magemenl)

(Automatică,

informaticl't,

(1)

electronieă,

C, - ANALIZA ŞI PROIECTARE,> CIRCUITELOR INFOR\lA'j'IONALE ÎN UNITATILE ECO"-'OMICE Bulucca C-iin ş.a.- CIRCUITE INTEGRATE LINJARE Vălt1şescu A. ş.a. - UTILIZAREA RAŢIONALA A DISPOZITIVELOR SE1\1ICONDUCTOARE Dan Ion ş.a,- UTILIZAREA SEl\IlCONDUCTOARELOR ÎN ELECTRONICA Jlidoş,

DE PUTERE P. Conslar>lincscu, C. ~egoi!ii - SISTEII-IE II'\FORJ\IATICE. ?dODELE PENTRU CONDUCERE Pis:lu, Gb., Mih:1escu C., Toma, A. -ELABORAREA ŞI BIPLEI\IENTAREA SISTEMELOR DE INFOR\IATICĂ Vasilescu P., Anastasiu D.- ÎNDRUl\lAR PENTRU PROIECTAREA SISTE:\IELOH INFORMATICE ,loncs, J. Ch. DESIGN INDUSTRIAL.

Seria INIŢIERE management)

(Automatică,

informatică,

electronicr1,

Vasiliu Em.- INIŢIERE ÎN RADIOELEC1RONICA CUANTICĂ Birlca Şl. - INIŢIERE ÎN CIBERNETICA SISTEMELOR INDUSTRIALE

Coleeţ.ia AUTOl\IATICl-INFOR!\IATICl Petrescu, A. 11-HCROPROGRAI\·tARE Ionescu, V. Lupaş, L. - TEHNICI DE CALCUL ÎN TEORIA SISTEMELOR (vol. I şi vol. Il) Liizăroiu, D., Şlaiher, S. - SERVOMOTOARE ELECTRICE CU INERŢIE REDUS.:-\ ÎN AUTOMATIZAIU ŞI PRELUCRAREA DATELOR

303

Seria AUTOlHATICĂ, 1\:IANAGEiUENT, CALCULATOARE*' Colective de

specialişti

sub coordonarea IPA, ICI idem idC\11 idcm

Ali!C 1 i (1/74) A:llC 18 (2/H) AMC 19 (:l/i·l) A:\[C 20 (.lji4)

Seria ELECTRONICĂ APLICATĂ Ban1a, A. - Al\IPLIFICATOARE OPERATIO~ALE Fcic1· I. ş.a.- DIODA ZENER. APLICATII Boldeu, Gh.- LOCALIZAREA TELECOMUNICATII Sinnrcich, I-I. şi Vasilcscu, A.--: LOR !N COD

Colecţia

RADIO

şi

DERAN.JAME:--ITELOR 'l'RANSMISIU~I

ÎN

CABLURILE

DE

CU l\IODULATIA. !:\!PULSURI-

TELEVIZIUNE

Kmizmcl', L. P. - 2222 EXPRESII DE ELECTROXICA CO:\IE:\TATE PENTRU RADIOAMATORI Sii.hleunu, A., Rosici, N. - 73 SCHEME PENTRU RADIOA:\IATORI G;lmulcscu, A.- CONSTRUCTII DE AMPLIFICATOARE TRANZISTORIZATE PEl'iTRU ANTENE 1\Iăciucă, C.- CONSTRUCTII DE RADIORECEPTOARE PENTRU AUTOVEHICULE 11-Ioldovcanu, C. şi Stoica, A.- STABILIZATOARE DE TEXSIL'NE

*) Seria Ai\IC se poale procma şi scriind la Editura telmicr1. Str. Ştirbei Vodă 37. l'eutru redacţiile automatică-informatică-electro­ nică-management. Abonamentul pentru aceste 4 \·olume - 60 lei, ce se trimet la Jlrimirea \'Olumelor.

304