Teoria calitativă a ecuaţiilor diferenţiale

A.

HALANAY

T E O R I A C A L I TAT I VĂ A E C U A Ţ I I L O R DIFERENŢIALE STABILITATEA DUPĂ LIAPUNOV. OSCILAŢII. SISTEME CU A R G U M E N T Î N T Î R Z I A T

EDITURA

ACADEMIEI

REPUBLICII 19 6 3

POPULARE

ROMlNE

Coperta de: Stoian

Eugen

PREFAŢĂ

Teoria calitativă a ecuaţiilor diferenţiale cunoaşte în ultima vreme o dezvoltare constatată prin numărul mare de cărţi şi lucrări originale care-i sînt dedicate. Se ştie că începuturile teoriei calitative a ecuaţiilor diferenţiale sînt nemijlocit legate în lucrările lui Poincare, Liapunov, Birhhoff, de probleme clasice ale mecanicii şi mecanicii cereşti. Aşa au apărut şi teoria stabilităţii şi teoria matematică a oscilaţiilor cu metoda parametrului mic şi teoria generală a sistemelor dinamice. Perioada de mare avînt, din jurul anului 1930, a teoriei calitative a ecuaţiilor diferenţiale în TJniunea Sovietică a pornit pe deoparte de la reluarea, la Institutul de aviaţie din Kazan, a problemelor teoriei stabilităţii cu aplicaţie la studiul stabilităţii avionului, iar, pe de altă parte, la Moscova, datorită observaţiei lui A. A. Andronov asupra utilităţii aparatului matematic al teoriei soluţiilor periodice ale ecuaţiilor neliniare pentru explicarea unor fenomene ale radiotehnicii. Este perioada fixată de exemplu de celebra carte de teoria oscilaţiilor a lui A. A. Andronov, HaiMn şi Witt la care se adaugă la fel de cunoscuta carte de „mecanică neliniară" a lui Krîlov şi Bogoliubov. începînd din 1930, la Universitatea din Moscova funcţionează seminarul de teoria calitativă a ecuaţiilor diferenţiale, orientat în special spre problemele teoretice fundamentale. Bilanţul activităţii seminarului în prima perioadă este fixat în cele două ediţii ale monografiei lui F. F. NemîţTci şi V. F. Stepanov ,,Teoria calitativă a ecuaţiilor diferenţiale" a căror circulaţie largă a şi dat denumirea acestei direcţii de cercetare. în ultimii 10—15 ani, atît teoria stabilităţii, cît şi teoria soluţiilor periodice (la care se adaugă problema soluţiilor aproape-periodice), au primit un nou impuls prin faptul că ele reprezintă o parte din aparatul mate matic al teoriei reglării automate. Caracteristic pentru dezvoltarea teoriei calitative a ecuaţiilor diferenţiale este faptul că, pentru rezolvarea problemelor ei, se foloseşte un aparai matematic tot mai variat: topologia şi analiza funcţională, algebră liniară şi teoria funcţiilor de o variabilă complexă.

4

Ţinînd seama de marea varietate a problemelor, alegerea materialului pentru o carte dedicată teoriei calitative a ecuaţiilor diferenţiale este o protilemâ grea. în această monografie autorul a fost călăuzit de ideea unei expuneri sistematice, închegate, a teoriei stabilităţii (bazată în primul rînd pe metoda funcţiei lui Liapunov) şi a teoriei oscilaţiilor, inclusiv teoria -sistemelor cu parametru mic. în această expunere accentul a fost pus tocmai (pe teoremele generale, pe acea dezvoltare a teoriei care clarifică ideile şi metodele. A fost introdus un capitol relativ la teoria stabilităţii sistemelor de reglare, în care accentul cade de asemenea pe cele mai generale teoreme obţinute în această direcţie, în particular pe prezentarea contribuţiei esenţiale adusă aici de V. M. Popov, membru corespondent al Acad. R.P.R. Ultimul capitol reia problemele teoriei stabilităţii şi teoriei oscilaţiilor în cadrul sistemelor cu întîrziere, care în ultima vreme ocupă un loc din ce în ce mai mare atît în preocupările matematicienilor cît şi ale celor ce lucrează în domeniul aplicaţiilor. în întreaga lucrare au fost cuprinse o serie de rezultate obţinute la noi în ţară; în particular, ultimul capitol reprezintă o expunere sistematică şi perfecţionată a rezultatelor autorului în teoria sistemelor cu întîrziere. Comentariile bibliografice de la sfîrşitul fiecărui capitol au în primul rînd menirea de a indica acele izvoare care au fost nemijlocit folosite pentru redactarea lucrării sau ale căror idei sînt dezvoltate în lucrare. Există şi un număr mic de excepţii — semnalarea unor lucrări fundamentale care nu au fost cuprinse în lucrare deoarece ar fi cerut dezvoltări prea mari. De altfel, nici chiar în sensul limitat despre care s-a vorbit mai sus, bibliografia nu are pretenţia de a fi completă. AUTORUL

TABLA

DE

MATERII Pag. 7

INTRODUCERE

$ § § § §

1. 2. 3. 4. 5.

Scrierea vectorială a sistemelor de ecuaţii diferenţiale Teorema de existenţă Inegalităţi diferenţiale Teorema de unicitate Teoremele de continuitate şi de derivabilitate în raport cu condiţiile iniţiale Capitolul

. .

I

TEORIA STABILITĂŢII DUPA LIAPUNOV

19

§ 1. Teoreme asupra stabilităţii şi stabilităţii uniforme § 2. Stabilitatea asimptotică § 3. Sisteme liniare § 4. Stabilitatea la sistemele liniare § 5. Sisteme liniare cu coeficienţi constanţi § 6. Funcţia Liapunov la sisteme liniare cu coeficienţi constanţi § 7. Teoria stabilităţii după prima aproximaţie § 8. Stabilitatea în raport cu perturbaţii permanente § 9. Sisteme liniare cu coeficienţi periodici § 10. Condiţia lui Perron Capitolul

1. 2. 3. 4.

Forma canonică şi funcţia Liapunov corespunzătoare Studiul intrinsec al sistemelor de reglare Metoda lui V. M. Popov Stabilitatea practică a sistemelor cu elemente de tip releu Capitolul

129

131 143 157 208

III

TEORIA OSCILAŢIILOR

§ § |

20 26 42 46 50 61 63 88 105 119

II

STUDIUL STABILITĂŢII ABSOLUTE LA SISTEMELE NELINIARE DEREGLARE AUTOMATĂ .

§ § § §

7 8 10 13 15

1. Oscilaţii liniare 2. Soluţii aproape-periodice ale sistemelor liniare 3. Sisteme cvasiliniare

214

214 220 225

6 Pag.

§ 4. § 5. § 6. § 7. § 8. § 9. § 10. § 11. §12.

Sisteme cu parametru mic Metoda luării mediei Metode topologice Sisteme autonome Sisteme autonome cu parametru mic Soluţii periodice de speţa a doua O metodă de aproximaţii succesive Perturbaţii periodice ale sistemelor autonome Perturbaţii singulare

Capitolul

IV

SISTEME CU ARGUMENT TNTÎRZIAT

§ 1. § 2. § 3. § 4. § 5. § 6. § 7. § 8. § 9. §10. § 11. § 12. § 13. § 14. §15.

240 251 261 264 272 287 291 300 309

Teorema de existenţă. Proprietăţi generale Teoria stabilităţii Liapunov Condiţia lui Perron la sistemele cu întîrziere O evaluare în teoria stabilităţii sistemelor liniare cu întîrziere Stabilitatea unor sisteme de reglare cu întîrziere Sisteme liniare periodice cu întîrziere Sisteme periodice cu argument întîrziat. Cazul critic Cazul critic la sisteme generale cu întîrziere Teoria stabilităţii sistemelor liniare periodice cu întîrziere Stabilitatea sistemelor liniare periodice cu întîrziere mică Sisteme cu parametru mic, cu întîrziere Sisteme cu argument întîrziat cu parametru mic Soluţii aproape-periodice la sisteme cvasiliniare cu întîrziere Metoda luării mediei la sisteme cu argument întîrziat Alte teoreme relative la soluţii periodice şi aproape-periodice ale sistemelor cu întîrziere

320

320 326 340 350 356 359 361 373 383 387 403 409 427 433 456

ANEXA

I. II. III.

Elemente de teoria transformatei Fourier Permutarea ordinii de integrare la integrala Stieltjes Teoria stabilităţii sistemelor liniare staţionare cu întîrziere

463 470 474

Bibliografie

479

INTRODUCERE La baza întregii teorii calitative a ecuaţiilor diferenţiale stau teoremele generale de existenţă, unicitate şi dependenţă continuă de condiţiile iniţiale şi de parametri. De aceea vom începe prin a reaminti aceste teoreme generale, stabilind cu acest prilej unele leme care vor fi întîlnite adesea în cele ce urmează. D e asemenea vor fi precizate cele mai frecvente notaţii. § 1. SCRIEREA VECTORIALĂ A SISTEMELOR DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

S ă considerăm un sistem de ecuaţii diferenţiale de forma (i = 1, 2 , . . . , n). Yom nota cu x vectorul coloană

Yom folosi de obicei norma euclidiană | x | = ]( x\ + . . . + oc?. î n unele cazuri sînt convenabile şi normele echivalente | x\ = | xx |+ I + + • • • + I x n I s a u \ x \ = m a x I x% I; cînd vom folosi aceste norme v o m % =

menţiona special acest lucru. Derivata vectorului x(t) este prin definiţie vectorul

ăxn

TEORIACALITATIVĂA

8

ECUAŢIILOR DIFERENŢIA LE

x(t) — x(t0) Aceasta nu este o definiţie formală; ea coincide cu lim t-+to t — t0 limita fiind definită cu ajutorul normei introduse. D e asemenea integrala vectorului x(t) pe [a, 6] este prin definiţie vectorul •P^Wd •o

t)

M e i aceasta nu este o definiţie formală; se poate ajunge la ea definind integrala în mod obişnuit cu ajutorul sumelor Riemann. Foarte adesea v o m folosi evaluarea K6®(t)dt

x(t) | dt.

Avem

Notăm Jk — ^ xk • a

(t)dt,

Rezultă Jf

n LJ2 YibkJk k

=

P e de altă parte, sk h J * = ek h C »* ,]a

= CJa sk bM x k ( o a* < Ja C V ţ W 1 k

*

i ki ş d m t .

Dar S fefc = 1, deci k

i>hJ*< A:

C

.a T

= A

0

1

Ja

ceea ce demonstrează evaluarea scrisă mai sus. § 2. TEOREMA DE EXISTENŢĂ

î n notaţiile vectoriale introduse, sistemul de ecuaţii diferenţiale se scrie da? /•/. x a)

INTRODUCERE 9*

Yom presupune în cele ce urmează că / e continuă într-un domeniu D Q DEFINIŢIE. O funcţie 9 definită şi continuă pe un interval I al axei reale (cu valori în Rn) se numeşte z-soluţie a sistemului (1) pe I dacă: a)

(t, 0 astfel ca \f(t, * ) - f ( h < e pentru (t, x) 6 D, (F, x) ţ 2>, |