Teoria calitativă a ecuaţiilor algebrice

CUPRINS

Introducere I.

Numere complexe

§ 1. Mulţimea numerelor complexe § 2. Reprezentarea geometrică a numerelor complexe § 3. Extragerea rădăcinii dintr-un număr complex. Rădăcinile unităţii. .

§ § § § § § § § § § § §

7 9 9 13 21

II. Elemente d© structuri algebrice

24

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

24 27 32 34 36 39 43 49 52 54 56 58

Noţiunea de operaţie algebrică internă Grup, subgrup, omomorfisme de grupuri Relaţii de echivalenţă Relaţii de echivalenţă pe grupuri Subgrup normal. Grup factor Grupuri ciclice Grupuri de permutări Inel, subinel, ideal Inel factor. Teorema fundamentală de izomorfism Inelul claselor de resturi modulo n. Teorema lui Euler Corp, subcorp Corpul de fracţii al unui domeniu de integritate

III. Inele de polinoame 1. Construcţia inelului de polinoame într-o nedeterminată. Proprietăţi generale § 2. Proprietăţi aritmetice ale inelelor de polinoame § 3. Rădăcinile unui polinom. Proprietăţi § 4. Polinoame ireductibile în inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp. Descompunerea polinoamelor în factori ireductibili

61

§

61 67 71 77

5

5. Inelul polinoamelor de mai multe nedeterminate 6. Polinoame simetrice 7. Teorema fundamentală a algebrei IV. Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de gradul doi, trei şi patru . . . . § 1. Numere complexe exprimabile prin radicali § 2. Ce înseamnă a rezolva o ecuaţie prin radicali § 3. Formulele de rezolvare pentru ecuaţiile de gradul 2, 3, 4 § 4. Natura rădăcinilor ecuaţiei de gradul trei cu coeficienţi reali . . . . § 5. Metoda Lagrange de rezolvare a ecuaţiilor algebrice de grad ^ 4 . . V.

Metode numerice de determinare a rădăcinilor reale ale polinoamelor cu coeficienţi reali

§ 1. Marginile rădăcinilor § 2. Numărul rădăcinilor reale ale unui polinom cu coeficienţi reali . . . § 3. Aproximarea rădăcinilor reale ale unui polinom

§ § § § § § § § § § §

84 87 97 102 102 103 104 109 112 121 121 125 128

VI. Elemente de teoria corpurilor

136

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

136 139 140 143 144 146 148 150 151 155 157

Extinderi finite Extinderi finit generate Elemente algebrice. Extinderi algebrice Extinderi simple Extinderi normale Automorfismele unei extinderi Grupul lui Galois asociat unei extinderi normale Compozitul a două corpuri Corespondenţa lui Galois Calculul grupului lui Galois Grupul Galois al unui polinom

VII. Rezolvarea ecuaţiilor algebrice prin radicali § 1. Grupuri rezolubile § 2. Grupul An (n ^ 5) § 3. Extinderi radicale simple § 4. Extinderi radicale § 5. Rezolvarea ecuaţiilor algebrice prin radicali § 6. Cîteva observaţii asupra corpurilor de caracteristică zero § 7. Teorema Abel-Ruffini VIII. Construcţii cu rigla şi compasul

161 161 164 167 173 177 179 181 184

§ 1. Problema geometrică şi transpunerea ei algebrică § 2. Primul criteriu de constructibilitate cu rigla şi compasul § 3. Clase conjugate. Formula claselor § 4. Al doilea criteriu de constructibilitate cu rigla şi compasul § 5. Construcţia poligoanelor regulate cu rigla şi compasul

184 190 193 196 197

Bibliografie

200

INTRODUCERE

î n lucrare este tratată în principal problema rezolvării prin radicali a ecuaţiilor algebrice cu coeficienţi complecşi. Se numeşte ecuaţie algebrică de gradul n o ecuaţie de forma xn +

+ . •. + an = 0,

unde a1? a29 . . . , sînt numere complexe. Rezolvarea ecuaţiilor algebrice prin radicali i-a preocupat pe matematicieni de peste 2 000 de ani. Este suficient să reamintim că formulele de rezolvare a ecuaţiilor de gradul al doilea erau cunoscute încă de la babilonieni, iar pentru ecuaţiile algebrice de gradul al treilea şi al patrulea, formulele de rezolvare sînt cunoscute din perioada Renaşterii italiene. Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mare sau egal cu cinci a stat în continuare în atenţia matematicienilor (este suficient să reamintim aici pe Buler, Descartes, Lagrange) dar abia la începutul secolului al XlX-lea a fost demostrată de către Abel şi Ruffini imposibilitatea găsirii unor formule de rezolvare pentru ecuaţiile de grad mai mare sau egal cu cinci. Problema rezolvării ecuaţiilor algebrice a fost complet tranşată odată cu apariţia teoriei lui Galois cînd au fost date criterii de rezolvabilitate a ecuaţiilor prin radicali. Lucrarea are opt capitole. Primele trei capitole sînt pregătitoare, prezentînd noţiunile de bază necesare în celelalte capitole. î n capitolul IY sînt prezentate metode elementare de găsire a formulelor de rezolvare pentru ecuaţiile de grad mai mic sau egal cu patru. Capitolul Y prezintă metode numerice de determinare aproximativă a rădăcinilor reale ale unei ecuaţii 7

algebrice cu coeficienţi reali. Ultimele trei capitole prezintă teoria lui Galois cu aplicaţii la rezolvarea ecuaţiilor algebrice, precum şi la problema construcţiilor geometrice cu rigla şi compasul (problemă de asemenea veche, datînd din antichitate). Această lucrare prezintă toate noţiunile necesare înţelegerii ei, începînd cu numere complexe, elemente de teoria grupurilor etc. şi sfîrşind cu elemente de teoria corpurilor, teoria lui Galois etc., fiind accesibilă unei mase largi de cititori. Pe parcursul lucrării am notat cu Dsl mulţimea numerelor naturale {0, 1, 2, . . . } , cu 2Z mulţimea numerelor întregi, cu Q mulţimea numerelor raţionals iar cu ER mulţimea numerelor reale. AUTORII

I NUMERE COMPLEXE

§ 1. Mulţimea numerelor complexe

î n matematică, noţiunea de număr a avut o evoluţie progresivă. La început, se face cunoştinţă cu mulţimea IN a numerelor naturale. Dar imposibilitatea de a face unele operaţii simple, rezultate din operaţiile fundamentale, ne conduce la lărgirea repetată a acestei mulţimi. Mai întîi, se introduc numerele întregi negative, obţinîndu-se astfel o mulţime mai largă şi anume mulţimea 2Z a numerelor întregi formată din numere întregi pozitive (naturale) nenule, negative şi zero. Apoi, această mulţime se lărgeşte la mulţimea (Q a numerelor raţionale, care este mai bogată. Se extinde încă noţiunea de număr, completînd mulţimea numerelor raţionale cu numere iraţionale, obţinîndu-se astfel mulţimea [R a numerelor reale. Fundamentarea matematică riguroasă a teoriei acestor mulţimi nu constituie obiectul acestei cărţi, cunoştinţele căpătate în şcoala medie despre acestea fiind suficiente pentru a aborda problematica lucrării de faţă. Să considerăm problema rezolvării unei ecuaţii de gradul al doilea cu coeficienţi reali. Mulţimea numerelor reale nu se dovedeşte suficient de largă pentru a putea găsi rădăcini ale oricărei ecuaţii de acest tip. Cea mai simplă ecuaţie de gradul al doilea care nu are rădăcini reale este a* + 1 = 0. 9

Se pune problema lărgirii conceptului de număr real, introducînd o mulţime de numere mai bogată, în aşa fel, ca această ecuaţie să aibă soluţii. î n această nouă mulţime, ridicarea la o putere oarecare are întotdeauna sens. Noua mulţime care se obţine va fi mulţimea C a numerelor complexe, de care ne vom ocupa în continuare. Mai întîi prezentăm construcţia sa, plecînd de la mulţimea [R a numerelor reale. Fie produsul cartezian IR X IR = {(a, 6) | a, 6 e [R}. Convenim să notăm cu litere greceşti elementele mulţimii IR X [R. Pe această mulţime se definesc două operaţii algebrice şi anume adunarea şi înmulţirea. Fie a = (a, b) şi a' = (a', b') care aparţin lui [R X DR. Dacă (a, b) + (a', V) = {a + a'^b + 6'), atunci elementul (a + a\ b + b') se numeşte suma dintre a şi a' iar operaţia prin care oricăror a şi a' din [R X IR li se asociază suma lor se numeşte adunare. De asemenea dacă (a, b) (a', V) = (aa' — 66', aV + a'&), elementul (aa' — 66', aV + a'b) se numeşte produsul dintre a şi a' iar operaţia prin care oricăror a şi a' din IR X IR li se asociază produsul lor se numeşte înmulţire. Definiţia 1.1. Fiecare element al mulţimii DR x IR pe care sînt definite cele două operaţii se numeşte număr complex. Se notează cu C mulţimea numerelor complexe. Arătăm acum că numerele reale sînt un caz particular de numere complexe. Fie pentru aceasta mulţimea R = {(a, 0)|a e IR}. Evident (a, 0)

a

este o bijecţie între mulţimea IR şi mulţimea IR a numerelor reale. Mai mult, adunarea şi înmulţimea numerelor complexe dau pentru elementele mulţimii IR egalităţile (a, 0) + (a', 0) - (a + a', 0), (a, 0) (a', 0) = (aa', 0). 10

Aceste relaţii arată că regulile de adunare şi înmulţire pe ER sînt aceleaşi ca cele de adunare şi înmulţire a numerelor reale corespunzătoare. Astfel, submulţimea [R a lui C are aceleaşi proprietăţi algebrice ca acelea ale mulţimii numerelor reale. Din acest motiv, putem identifica numărul complex (a, 0) cu numărul real a, punînd (a, 0) = a. î n particular, numerele complexe (0, 0) şi (1, 0) sînt respectiv numerele reale 0 şi 1. Vom arăta acum că operaţiile de adunare şi înmulţire ale numerelor complexe au toate proprietăţile fundamentale ale operaţiilor de adunare şi înmulţire de pe mulţimea numerelor reale (sau a numerelor raţionale). Teorema 1.1. Operaţiile de adunare şi înmulţire a numerelor complexe au proprietăţile : 1) a + a' = a' + a, oricare ar fi a, a' e C (comutativitatea); 2) a + («' + a") = (a + oc') + a", oricare ar fi a, a', a" e există a* e <E astfel încît a + <x*:=<x* + a = 0 ; 5) 6) tatea); 7) 8)

oca' = a'a, oricare ar fi a, a' e