Strömungsmechanik, 6. Auflage: Grundlagen - Grundgleichungen - Lösungsmethoden - Softwarebeispiele

Herbert Oertel jr. | Martin Böhle | Thomas Reviol Strömungsmechanik

Herbert Oertel jr. |Martin Böhle | Thomas Reviol

Strömungsmechanik Grundlagen – Grundgleichungen – Lösungsmethoden – Softwarebeispiele 6., überarbeitete und erweiterte Auflage Mit 346 Abbildungen STUDIUM

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

Die Autoren: Prof. Prof. e.h. Dr.-Ing. habil. Herbert Oertel jr., Ordinarius Institut für Strömungslehre, Karlsruher Institut für Technologie (KIT) Kaiserstraße 12, 76128 Karlsruhe Prof. Dr.-Ing. Martin Böhle, Universitätsprofessor Lehrstuhl für Strömungsmechanik und Strömungsmaschinen Technische Universität Kaiserslautern, Gottlieb-Daimler-Straße, 67663 Kaiserslautern Dr.-Ing. Thomas Reviol, Akademischer Rat Lehrstuhl für Strömungsmechanik und Strömungsmaschinen Technische Universität Kaiserslautern, Gottlieb-Daimler-Straße, 67663 Kaiserslautern

1. Auflage 1999 2., überarbeitete und erweiterte Auflage 2002 3., überarbeitete und erweiterte Auflage 2004 4., überarbeitete und erweiterte Auflage 2006 5., überarbeitete und erweiterte Auflage 2009 6., überarbeitete und erweiterte Auflage 2011 Alle Rechte vorbehalten © Vieweg +Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011 Lektorat: Thomas Zipsner | Imke Zander Vieweg+Teubner Verlag ist eine Marke von Springer Fachmedien. Springer Fachmedien ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.viewegteubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: AZ Druck und Datentechnik, Berlin Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Printed in Germany ISBN 978-3-8348-1397-8

V

Vorwort Das Str¨omungsmechanik Lehrbuch gibt eine Einf¨ uhrung in die Grundlagen, Grundgleichungen und L¨osungsmethoden der Str¨ omungsmechanik. Es f¨ uhrt systematisch in die Anwendung str¨omungsmechanischer Software ein, die der Entwicklungsingenieur in der Industrie vorfindet. Auf vielfachen Wunsch unserer Studenten haben wir in dem vorangegangenen Lehrbuch u ¨ber die Methoden und Ph¨anomene der Str¨omungsmechanik die str¨ omungsmechanischen Grundlagen derart erg¨ anzt, wie sie an der Universit¨at Karlsruhe im 5. Semester gelesen werden. Die analytischen und numerischen L¨osungsmethoden der str¨omungsmechanischen Grundgleichungen f¨ ur turbulente Str¨omungen bis hin zu praktischen Beispielen der Softwarenutzung folgen in erg¨anzenden Vorlesungen im 6. Semester. Um Ingenieure, Naturwissenschaftler und Technomathematiker f¨ ur den Lehrstoff der Str¨omungsmechanik zu gewinnen, wurde das einf¨ uhrende Kapitel u ¨ber Beispiele der Str¨ omungsmechanik in Natur und Technik erg¨ anzt. Die Motivation, ein weiteres Lehrbuch der Str¨omungsmechanik zu schreiben, kam bei der Bearbeitung der 10. Auflage des Standardwerkes Prandtl - F¨ uhrer durch die Str¨ omungslehre. Alle wesentlichen Gedanken und Ableitungen zu den Grundlagen der Str¨ omungsmechanik finden sich bereits im Originaltext von Prandtl 1942. Wir haben den Versuch unternommen, den damaligen Lehrstoff in die heutige Sprache der Ingenieure und Naturwissenschaftler zu u ucksichtigt, dass sich die ¨bertragen. Dabei wurde ber¨ L¨ osungsmethoden str¨ omungsmechanischer Probleme mit der Einf¨ uhrung von Großrechnern und str¨omungsmechanischer Software ver¨ andert haben. ¨ Das Lehrbuch wird erg¨ anzt durch das Ubungsbuch Str¨omungsmechanik. Darin findet der ¨ ur die Student zu jedem Kapitel Ubungsaufgaben mit ausf¨ uhrlichen L¨osungsbeispielen f¨ ¨ Klausurvorbereitung. Softwarebeispiele erg¨ anzen den Ubungsstoff, um sich fr¨ uhzeitig mit dem Umgang an Rechnern vertraut zu machen. Dabei ist das eigenst¨andige Nacharbeiten des in der Vorlesung Erlernten unerl¨ asslich f¨ ur die Vertiefung des Lehrstoffes. Das Manuskript der Str¨ omungsmechanik wurde gemeinsam mit meinem langj¨ahrigen Assistenten und heutigen Universit¨ atsprofessor M. B¨ohle ausgearbeitet. Es profitiert von zahlreichen Diskussionen und Anregungen unserer Studenten und Kollegen. Besonderer Dank gilt unseren Mitarbeitern U. Dohrmann, L. Huber, F. Sassenhausen und L. Z¨ urcher f¨ ur die Erstellung des Manuskripts und der Abbildungen. Dem Springer-Verlag danken ¨ wir f¨ ur die Ubertragung der Methoden und Ph¨anomene der Str¨omungsmechanik. Dem Vieweg-Verlag sei f¨ ur die a ¨ußerst erfreuliche und gute Zusammenarbeit gedankt. Karlsruhe, Juli 1999

Herbert Oertel jr.

VI

Vorwort zur 6. Auflage Das Str¨omungsmechanik Lehrbuch hat sich als Standardwerk f¨ ur Ingenieure, Naturwissenschaftler und Technomathematiker etabliert. Es gibt eine Einf¨ uhrung in die Grundlagen, Grundgleichungen und L¨ osungsmethoden der Str¨omungsmechanik und f¨ uhrt systematisch in die Anwendung str¨ omungsmechanischer Software ein. Die einf¨ uhrenden Str¨ omungsbeispiele aus Natur und Technik werden mit einem Lehrfilm erg¨anzt, der von der Homepage www.prof-oertel.de heruntergeladen werden kann. Vorlesungsbegleitende Experimente und Computersimulationen sowie Softwarebeispiele zum Vorlesungsstoff findet man im Vieweg+Teubner-Portal zum Lehrbuch und unter der Adresse www.ubka.uni-karlsruhe.de/digibibl/index.html im Elektronischen Volltextarchiv EVA und im Digitalen Video- und Audioarchiv DIVA des Universit¨atsverlages Karlsruhe unter dem Autor Oertel. Die Anwendung der str¨ omungsmechanischen Software f¨ ur Forschung und Entwicklung wird mit einem Einf¨ uhrungs- und Software-Verifikationskurs unterst¨ utzt, der als Einstieg in die Numerische Str¨omungsmechanik gedacht ist. Das Software-Kapitel schließt mit erfolgreich durchgef¨ uhrten Beispielen von Industrieprojekten ab. In der Neuauflage wurden die Kapitel Turbulenzmodellierung und Molekulardynamische Simulationsmethoden u anzt. Im Software-Kapitel wurden die Beispiele ¨berarbeitet und erg¨ der Industrieprojekte aktualisiert. Die Zielgruppe des Lehrbuches sind Studierende der Fachrichtungen Maschinenbau, Chemieingenieurwesen, Verfahrenstechnik, Physik und Technomathematik an Universit¨aten, Technischen Hochschulen und Fachhochschulen. ¨ Dank gilt K. Fritsch-Kirchner f¨ ur die bew¨ ahrte Manuskriptarbeit und Uberarbeitung der Abbildungen. Dem Vieweg+Teubner-Verlag danken wir f¨ ur die jahrelange ¨außerst erfolgreiche Zusammenarbeit. Ganz besonderen Dank gilt meinem zu fr¨ uh verstorbenem Assistenten und fr¨ uheren Mitarbeiter U. Dohrmann, der an der Formulierung der Str¨ omungsmechanik wesentlichen Anteil hatte. Karlsruhe, April 2011

Herbert Oertel jr.

VII

Inhaltsverzeichnis Bezeichnungen

IX

1 Einf¨ uhrung

1

1.1

Str¨omungen in Natur und Technik

1.2

Str¨omungsbereiche

30

1.3

Produktentwicklung

43

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik 2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

48

Eigenschaften str¨ omender Medien

48

2.1.1

Transporteigenschaften

48

2.1.2

Thermodynamische Eigenschaften

53

2.1.3

Ober߬ achenspannung

56

Hydro- und Aerostatik

60

2.2.1

Hydrostatik

60

2.2.2

Aerostatik

64

Hydro- und Aerodynamik, Stromfadentheorie

68

2.3.1

Kinematische Grundbegriffe

68

2.3.2

Inkompressible Str¨ omungen

77

2.3.3

Kompressible Str¨ omungen

103

Technische Str¨ omungen

127

2.4.1

Turbulente Str¨ omungen

127

2.4.2

Impulssatz

141

2.4.3

Drehimpulssatz

147

2.4.4

Rohrhydraulik

150

2.4.5

Str¨ omungen Nicht-Newtonscher Medien

158

2.4.6

Str¨ omungsabl¨ osung

162

2.4.7

Str¨ omungsmaschinen

176

Aerodynamik des Flugzeuges

187

2.5.1

Profilstr¨ omung

188

2.5.2

Tragfl¨ ugelstr¨ omung

194

Str¨omungen mit W¨ arme¨ ubertragung

195

2.6.1

Beheizte vertikale Platte

195

2.6.2

Rohrstr¨ omung

200

3 Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik 3.1

2

Kontinuit¨ atsgleichung (Erhaltung der Masse)

206 207

VIII 3.2

3.3

3.4

Inhaltsverzeichnis

Navier-Stokes Gleichungen (Erhaltung des Impulses)

209

3.2.1

Laminare Str¨ omungen

209

3.2.2

Reynolds-Gleichungen f¨ ur turbulente Str¨omungen

220

3.2.3

Turbulenzmodelle

227

3.2.4

Grobstruktursimulation

251

3.2.5

Feinstrukturmodellierung

255

Energiegleichungen (Erhaltung der Energie)

258

3.3.1

Laminare Str¨ omung

258

3.3.2

Turbulente Str¨ omungen

264

Grenzschichtgleichungen

269

3.4.1

Inkompressible Str¨ omungen

269

3.4.2

Kompressible Str¨ omungen

279

3.5

Potentialgleichungen

280

3.6

Grundgleichungen in Erhaltungsform

286

4 Numerische L¨ osungsmethoden 4.1

4.2

295

Analytische Vorbereitung

297

4.1.1

Dimensionsanalyse

297

4.1.2

Linearisierung

305

4.1.3

Stabilit¨ atsanalyse

326

4.1.4

Strukturanalyse

334

Diskretisierung

347

4.2.1

Galerkin-Methode

348

4.2.2

Finite-Elemente-Methode

357

4.2.3

Finite-Differenzen-Methode

362

4.2.4

Finite-Volumen-Methode

369

4.2.5

Molekulardynamische Simulationsmethoden

383

5 Str¨ omungsmechanik Software

405

5.1

Software Verifikation und Validierung

406

5.2

Anwendungsbeispiele

428

Ausgew¨ ahlte Literatur

459

Sachwortverzeichnis

462

X

Bezeichnungen A a a a B, b C cd cf ci cf,g cm cp cs cp cv cw c

[m2 ] [m/s2 ] [m/s] [m2 /s] [m] [] [] [] [] [] [] [] [] [J/(kgK)] [J/(kgK)] [] [m/s]

c D D, d E e F f f0  F f FA FD FI Fr FW G Gr  G g H, h h J K K ks Kn k L L, l

[m/s] [m2 /s] [m] [J] [J/kg] [N ] [] [] [] [1/s] [N ] [N ] [N ] [] [N ] [N ] [] [] [m/s2 ] [m] [J/kg = m2 /s2 ] [m4 ] [J/kg] [J/kg] [m] [] [J/K] [W ] [m]

Fl¨ ache Beschleunigung Schallgeschwindigkeit Temperaturleitf¨ ahigkeit Breite Massenkonzentration Druckwiderstandsbeiwert Reibungsbeiwert induzierter Widerstandsbeiwert Reibungswiderstandsbeiwert Momentenbeiwert Druckbeiwert Wellenwiderstandsbeiwert spezifische W¨ armekapazit¨at bei konstantem Druck spezifische W¨ armekapazit¨at bei konstantem Volumen Widerstandsbeiwert Geschwindigkeit in Stromfadenrichtung, Absolutgeschwindigkeit Molek¨ ulgeschwindigkeit Diffusionskoeffizient Durchmesser, L¨ ange Gesamtenergie spezifische innere Energie Kraft Verteilungsfunktion Maxwell-Gleichgewichtsverteilung konvektiver Fluss Frequenz Auftriebskraft Druckkraft Impulskraft Froude-Zahl Widerstandskraft Gewichtskraft Grashof-Zahl dissipativer Fluss Erdbeschleunigung H¨ ohe spezifische Enthalpie Fl¨ achentr¨ agheitsmoment zeitlich gemittelte Turbulenzenergie Turbulenzenergie mittlere Sandkornrauhigkeit Knudsen-Zahl Boltzmann-Konstante Leistung L¨ ange

XI

Bezeichnungen

LR l M M MI m m ˙ M Nn Nt Nu n n n n  n p pv Pr Q Q Q˙ q R R R, r Re Ra s s Str T T t U

[m] [m] [] [N m] [N m] [kg] [kg/s] [g/mol] [] [] [] [m] [] [1/m3 ] [1/s] [] [P a] [P a] [] [m2 /s] [J] [W ] [W/m2 ] [J/(kgK)] [J/(molK)] [m] [] [] [J/(kgK)] [m] [] [K] [s] [s] [m/s]

 U u V V

[] [m/s] [m3 ] [m/s]

V˙ v v v W

[m3 /s] [m/s] [m/s] [m/s] [m/s]

w

[m/s]

Gleitl¨ ange Mischungswegl¨ ange Mach-Zahl Moment Impulsmoment Masse Massenstrom Molmasse Partikelzahl Kollisionszahl Nußelt-Zahl Normalkoordinate Polytropenexponent Teilchendichte Drehzahl Normalenvektor Druck Dampfdruck Prandtl-Zahl Quellenst¨ arke, Senkenst¨ arke W¨ armemenge Heizleistung, W¨ armemenge pro Zeiteinheit, W¨armestrom W¨ armemenge pro Fl¨ achen- und Zeiteinheit spezifische Gaskonstante allgemeine Gaskonstante Radius Reynolds-Zahl Rayleigh-Zahl spezifische Entropie Stromfadenkoordinate, Spaltbreite Strouhal-Zahl Temperatur Periodendauer Zeit Geschwindigkeit eines K¨ orpers in x-Richtung Anstr¨ omgeschwindigkeit L¨ osungsvektor Geschwindigkeitskomponente in x-Richtung Volumen Geschwindigkeit eines K¨ orpers in y-Richtung Anstr¨ omgeschwindigkeit Volumenstrom Geschwindigkeitskomponente in y-Richtung Geschwindigkeitsvektor makroskopische Str¨ omungsgeschwindigkeit Geschwindigkeit eines K¨ orpers in z-Richtung Anstr¨ omgeschwindigkeit Geschwindigkeitskomponente in z-Richtung

XII X

[]

Dampfgehalt

x y z

[m] [m] [m]

kartesische Koordinate kartesische Koordinate kartesische Koordinate

α α Δ Δa Δl Δpv δ δT δij  η Γ γ˙ κ λ λ ¯ λ μ μt ν Φ Φ Ψ σ σ σ ρ τ τ τw Θ ω ω φ ξ ξ

[] [1/K] [m] [J/kg] [J/m3 ] [N/m2 ] [m] [m] [] [J/(m3 s)] [] [m2 /s] [1/s] [] [] [W/(mK)] [m] [N s/m2 = kg/(ms)] [N s/m2 = kg/(ms)] [m2 /s] [m2 /s] [1/s2 ] [m2 /s] [N/m] [N/m] [] [kg/m3 ] [s] [N/m2 ] [N/m2 ] [] [1/s] [1/s] [] [] [m/s]

Winkel thermischer Ausdehnungskoeffizient Dicke der viskosen Unterschicht spezifische Arbeit volumenspezifische Arbeit Druckverlust Grenzschichtdicke Temperaturgrenzschichtdicke Kronecker-Delta Dissipationsrate Wirkungsgrad Wirbelst¨ arke, Zirkulation Scherrate Verh¨ altnis der spezifischen W¨arme, Isentropenexponent Verlustbeiwert W¨ armeleitf¨ ahigkeit mittlere freie Wegl¨ange dynamische Viskosit¨at turbulente Viskosit¨at kinematische Viskosit¨at Potentialfunktion Dissipationsfunktion Stromfunktion Oberfl¨ achenspannung Spannungstensor Kavitationszahl Dichte charakteristische Zeit Schubspannung Wandschubspannung Winkel Drehung, Winkelgeschwindigkeit Kollisionsfrequenz Winkel Verlustkoeffizient Geschwindigkeitsvektor

  ∗

¯ ˜ ∞

Schwankungsgr¨ oße, St¨orgr¨oße massengemittelte Schwankungsgr¨oße kritische Gr¨ oße, dimensionslose Gr¨oße zeitlich gemittelte Gr¨oße zeitlich massengemittelte Gr¨oße Anstr¨ omgr¨ oße

1

1

Einfu ¨ hrung

Das Lehrbuch der Str¨ omungsmechanik richtet sich an Studenten der Ingenieur- und Naturwissenschaften. Es vermittelt im Kapitel 2 die str¨omungsmechanischen Grundlagen, die f¨ ur die Beschreibung und Analyse von Str¨ omungen in Natur und Technik erforderlich sind. Bereits die eindimensionale Stromfadentheorie sowie der integrale Impuls- und Drehimpulssatz weisen einen ersten Weg zur Auslegung str¨omungstechnischer Ger¨ate und Anlagen. Mit ihnen l¨ asst sich z.B. die Abmessung einer Maschine in einem ersten Schritt schon recht genau ermitteln und eine Aussage u ¨ber die auftretenden Str¨omungsverluste machen. Allerdings versagen diese Methoden bei der Optimierung von Maschinen z. B. wenn an die zu entwickelnden Ger¨ ate besondere Anforderungen gestellt werden wie leises Betriebsverhalten, guter Wirkungsgrad, kleine Abmessungen, stark ged¨ampftes Schwingungsverhalten etc. Außerdem kann f¨ ur die meisten Anwendungsf¨alle mit den einfachen str¨ omungsmechanischen Grundlagen das Betriebsverhalten einer Maschine nicht ausreichend genug bestimmt werden, so dass daf¨ ur umfangreiche Experimente durchgef¨ uhrt werden m¨ ussen, die sehr kosten- und zeitintensiv sein k¨onnen. Das Gleiche trifft auch f¨ ur die Vorhersage z.B. des Wetters, des W¨armeaustausches in den Ozeanen oder des Schadstofftransportes in der Atmosph¨are zu. Hier sind weiterf¨ uhrende Vorhersagemethoden auf der Grundlage der kontinuumsmechanischen Grundgleichungen dreidimensionaler Str¨ omungen erforderlich. Dem wird in Kapitel 3 und 4 Rechnung getragen, die systematisch u omungsmechanischen Grundgleichungen und deren ¨ber die str¨ L¨ osungsmethoden zur Anwendung str¨ omungsmechanischer Software f¨ uhren. In den letzten Jahrzehnten hat die Rechnertechnik erhebliche Fortschritte gemacht, so dass es bereits ohne allzu großen Aufwand m¨ oglich ist dreidimensionale Str¨omungen auf Rechnern zu simulieren. Dadurch werden allm¨ ahlich aufwendige Versuche und Experimente durch die numerische Simulation von Str¨ omungen ersetzt, wodurch die Entwicklungskosten und Entwicklungszeiten verringert werden. Mit diesem Buch sollen dem Studenten die Grundlagen dieser neueren Methoden der Str¨omungsmechanik vermittelt werden, die bereits in vielen Entwicklungsabteilungen Anwendung finden. Die Vorgehensweise der Str¨ omungsmechanik beinhaltet die analytischen, numerischen und experimentellen Methoden. Alle drei werden, auch wenn die numerischen Methoden zunehmend die experimentellen ersetzen, zur L¨ osung von str¨omungstechnischen Problemen ben¨ otigt. Das vorliegende Buch beschr¨ ankt sich auf die theoretischen, also auf die analytischen und numerischen Methoden. Sie sollen den Studenten nach dem Durcharbeiten des Buches dazu bef¨ ahigen, die Grundgleichungen der Str¨omungsmechanik zu verstehen und die Str¨omungsmechanik-Software f¨ ur technische Probleme anwenden zu k¨onnen. Dabei werden die Grundbegriffe der analytischen und numerischen Verfahren in einem ersten Ansatz behandelt. Der Inhalt des Buches ist teilweise sehr theoretisch. Um w¨ahrend der umfangreichen Herleitungen den Bezug zu den technischen Anwendungen nicht aus dem Auge zu verlieren, haben wir die Tragfl¨ ugelstr¨ omung von Verkehrsflugzeugen, die Kraftfahrzeugumstr¨omung und Str¨omungen in Rohrleitungen verfahrenstechnischer Anlagen als repr¨asentative Beispiele ausgew¨ahlt, anhand derer wir in diesem Buch die Grundlagen und L¨osungsmethoden H. Oertel jr et al., Strömungsmechanik, DOI 10.1007/978-3-8348-8110-6_1, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

2

1 Einf¨ uhrung

der Str¨omungsmechanik entwickeln. Um zun¨achst dem Studenten die Vielfalt str¨ omungsmechanischer Anwendungen vor Augen zu f¨ uhren und das Bewusstsein daf¨ ur zu wecken, dass Str¨omungen in unserer technischen und nat¨ urlichen Umwelt allgegenw¨ artig sind, wollen wir in den folgenden einf¨ uhrenden Kapiteln ausgew¨ahlte Str¨ omungsbeispiele beschreiben.

1.1

Str¨ omungen in Natur und Technik

Str¨ omungen sind verantwortlich f¨ ur die meisten Transport- und Mischungsprozesse, wie sie zum Beispiel beim Transport von Schadstoffen in unserer Umwelt, bei industriellen Prozessen bis hin zu lebenden Organismen vorkommen. Die Verbrennung begrenzter fossiler Brennstoffe produziert heute den gr¨ oßten Teil der elektrischen Energie und W¨armeenergie. Die Optimierung von Str¨ omungen bei diesen Verbrennungsprozessen dient der Verringe¨ und Kraftstoffverbrauches bei gleichzeitiger Reduzierung der Schadstoffemisrung des Olsionen. Str¨omungen interessieren beim Antrieb von Flugzeugen, Schiffen und Kraftfahr¨ und Gas durch Pipelines, bei der Herstellung von Materiazeugen, beim Pumpen von Ol lien und deren Beschichtung. Sie erm¨ oglichen Leben durch den Transport von Sauerstoff und Kohlendioxid im Organismus. Sie sind von Bedeutung beim Bau von widerstandsarmen Kraftfahrzeugen und Verkehrsflugzeugen, bei der Entwicklung von Tr¨agerraketen und Raumgleitern f¨ ur den Transport zur Raumstation, bei der Energie- und Umwelttechnik, bei der Verfahrens- und Prozesstechnik bis hin zur Simulation ganzer Produktionsanlagen, im Bereich des Bauingenieurwesens, in der Physik f¨ ur die Geo- und Astrophysik, in der Meteorologie und Klimaforschung bis hin zur Medizin, wo Innovationen immer h¨aufiger mit der str¨omungsmechanischen Optimierung von k¨ unstlichen Herzklappen, Herzen und Gef¨aßprothesen einhergehen. Wir beginnen mit der Beschreibung einiger Str¨ omungsbeispiele unserer nat¨ urlichen Umwelt. Die Str¨omungen in der Erdatmosph¨ are sind durch den W¨armeaustausch zwi¨ schen den warmen Aquatorzonen und den kalten Polen gekennzeichnet. Wir nennen diese ¨ Str¨ omungen mit W¨ armetransport Konvektionsstr¨omungen . Am Aquator steigt die von der senkrecht stehenden Sonne aufgeheizte Luft in die Atmosph¨are auf und f¨allt an den ¨ kalten Polen ab. Der W¨ armeaustausch zwischen dem Aquator und den Polen erfolgt durch

Polarer Jet

Abb. 1.1: Str¨omungen in der Atmosph¨ are

1.1 Str¨ omungen in Natur und Technik

3

großr¨aumige Winde. Diese globale Luftzirkulation bestimmt das großr¨aumige Wetter auf der Nord- und S¨ udhalbkugel der Erde. Die kleinskaligen Winde, die unser lokales Wetter bestimmen, spielen bei dieser großr¨aumigen Luftstr¨ omung in der Atmosph¨ are eine untergeordnete Rolle. Die stabilsten großr¨aumigen Windsysteme sind die Passatwinde, die von der aufsteigenden Luft am ¨ ¨ Aquator angetrieben werden und zwei Ringwirbel um den Aquator bilden, deren meridionale Zirkulation im rechten Bild der Abbildung 1.1 Hadley-Zelle genannt wird. In den mittleren Breiten variiert die Str¨ omung mit der Zeit. Es bilden sich Hoch- und Tiefdruckgebiete, die mit der West-Ost-Luftstr¨omung wieder zerfallen und das Wettergeschehen in der Atmosph¨ are bestimmen. In diesen Breiten ist der Temperaturgradient ¨ zwischen dem Aquator und den Polen am gr¨ oßten, so dass der Energie- und Impulsaustausch nicht durch ein einfaches Wirbelsystem bewerkstelligt werden kann, wie dies bei der Hadley-Zelle der Fall ist. Die Str¨ omung wird instabil und der Energie- und Impulstransport erfolgt u aumige Wirbelsysteme. ¨ber mehrere großr¨ Jedoch zeigt das Jahresmittel eine mittlere meridionale Zirkulation, die als gestrichelte Ferrel-Zelle in Abbildung 1.1 eingezeichnet ist. An den Polen bilden sich entsprechende schwache polare Zellen aus. Das lokale Gleichgewicht des Drehmoments verlangt zum Ausgleich der bisher dargestellten Ostwinde die entsprechenden Westwinde, die sich als Jetstr¨ome in der hohen Atmosph¨ are ausbilden. Diese ver¨andern ebenfalls von Tag zu Tag ihre Lage, was z.B. f¨ ur die Luftfahrt von Bedeutung ist, da sie von den Verkehrsflugzeugen als R¨ uckenwind im transatlantischen Luftverkehr genutzt werden. Das linke Bild der Abbildung 1.1 zeigt im zeitlichen Monatsmittel die Lage der polaren und subtropischen Jetstr¨ome auf der Nordhalbkugel. Diese Jet-Winde wurden 1999 f¨ ur die erste Erdumrundung mit einem Heißluftballon ausgenutzt. Der 8 Tonnen schwere und 54 Meter hohe Breitling Orbiter 3 Ballon ben¨otigte 20 Tage f¨ ur 42.000 Umrundungskilometer in 11.000 Metern H¨ohe. Die Abbildung 1.2 zeigt ein Tiefdruckgebiet auf der Nordhalbkugel, dessen West-OstBewegung durch den langen Wolkenschweif erkennbar ist. Es stellt sich die Frage, warum sich die Tiefdruckwirbel auf der Nordhalbkugel immer entgegen dem Uhrzeigersinn drehen. Bei der Erkl¨arung hilft die Prinzipskizze der Abbildung 1.2. Am Ort der Betrachtung zeigt die Druckkraft in Richtung des Zentrums des Tiefdruckwirbels. Demzufolge wird ein Luftelement in Richtung des Druckgradienten beschleunigt. Die Windrichtung ¨andert  verursachten Coriolis-Kraft. sich jedoch unter dem Einfluss der durch die Erdrotation ω

Abb. 1.2: Tiefdruckgebiet auf der n¨ ordlichen Erdhalbkugel

4

1 Einf¨ uhrung

Dabei wird der Wind solange beschleunigt, bis sich ein Gleichgewicht zwischen Druck und Coriolis-Kraft einstellt. Daraus resultiert eine Windrichtung entlang der Isobaren des Tiefdruckgebietes. Ber¨ ucksichtigen wir in unserer Betrachtung die der Coriolis-Kraft u ummung der Str¨omungsbahnen, ¨berlagerte Zentrifugalkraft, so verursacht diese eine Kr¨ die das typische Bild eines Zyklons entstehen l¨ asst. Am Ort der Betrachtung sind Coriolisund Zentrifugalkraft mit der Druckkraft im Gleichgewicht. Die entsprechende Betrachtung auf der S¨ udhalbkugel der Erde zeigt, dass sich dort die Tiefdruckwirbel im Uhrzeigersinn drehen. Die Abbildung 1.3 zeigt die Satellitenaufnahme der Windgeschwindigkeiten u ¨ber dem Pazifischen Ozean. Die Str¨ omungslinien zeigen die Str¨omungsrichtungen der Windgeschwindigkeit an. Es sind mehrere Tiefdruckgebiete auf der Nord- und S¨ udhalbkugel zu erkennen. In entgegengesetzter Richtung drehen die dazugeh¨origen Hochdruckgebiete. ¨ In den sp¨aten Sommermonaten heizt sich die Luft am Aquator derart stark auf, so dass die verst¨arkten Passatwinde innerhalb weniger Tage Wirbel mit einem Durchmesser von 500 bis 1000 km und einer Rotationsgeschwindigkeit von bis zu 300 km/h bilden. Diese Hurrikans bilden sich u assern vor der afrikanischen K¨ uste in der ¨ber den warmen Gew¨ ¨ N¨ahe des Aquators, bewegen sich mit dem Hauptwind der Hadley-Zelle nach Westen und drehen in gr¨oßeren Breiten nach Osten, wo sie als Tiefdruckgebiete Europa erreichen. Sie erscheinen j¨ahrlich am Ende des Sommers mit ihrer zerst¨orerischen Wirkung u ¨ber den karibischen Inseln und rotieren, wie die Zyklone, aufgrund der Coriolis-Kraft auf der ¨ Nordhalbkugel entgegen dem Uhrzeigersinn. Uber Land werden sie entsprechend ihrer Drehrichtung nach Osten abgelenkt und bewegen sich abgeschw¨acht u ¨ber den Atlantik. Abbildung 1.4 zeigt die Satellitenaufnahme des Hurrikans Ivan im Sommer 2004 und die Bahnen der Hurrikans Charley und Ivan u ¨ber den Karibischen Inseln. Die Energiequelle f¨ ur einen Hurrikan ist die im Meerwasser gespeicherte W¨arme. In einem Wirbelsturm steigt, ¨ahnlich wie in einer Gewitterwolke, feuchte warme Luft nach oben. Sobald sie eine k¨altere Luftschicht erreicht, deren Temperatur dem Taupunkt f¨ ur diese Luftschicht entspricht, beginnt der Wasserdampf zu kondensieren. Dieser Vorgang hat zwei Konsequenzen. Einerseits wird W¨ arme frei, welche die umgebende Luft aufheizt. Die Kondensation erniedrigt gleichzeitig den Wasserdampf-Partialdruck in der Luft. Beide Vorg¨ange verrin-

Abb. 1.3: Windgeschwindigkeiten u ¨ber dem Pazifischen Ozean

1.1 Str¨ omungen in Natur und Technik

5

Abb. 1.4: Hurrikan Ivan und Bahnen der Hurrikans Charley und Ivan 2004

gern den Luftdruck, so dass noch mehr Meerwasser verdampfen und in große H¨ohen der Troposph¨are aufsteigen kann. Je mehr Meerwasser verdampft, desto mehr Energie gelangt in den Hurrikan. Auch starke Scherwinde, z.B. an Gewitterfronten oder auftriebsbedingte Winde in der W¨ uste, k¨onnen kleinskaligere Wirbel bilden. Sie sind als Tornados oder Windhosen bekannt, haben einen Durchmesser von bis zu 500 m und eine Lebensdauer von einigen Minuten. ¨ Ein entsprechender W¨ armeaustausch zwischen dem warmen Wasser der Aquatorregionen und dem kalten Wasser der eisbedeckten Pole findet in den Ozeanen statt, der wiederum Auswirkungen auf das Wettergeschehen in der Atmosph¨are hat. Dabei ist der Energieaustausch im Ozean neunmal gr¨ oßer als in der Atmosph¨are. Die Str¨omungen in den Ozeanen werden durch die Kontinente begrenzt. Damit ist eine globale Zirkulation, wie wir sie in der Atmosph¨are dargestellt haben, nicht m¨ oglich. Die Ozeanstr¨omungen werden zum einen von den großr¨ aumigen Winden angetrieben und zum anderen entstehen sie wie in der Atmosph¨are durch Konvektionsstr¨ omungen, die den W¨armeaustausch zwischen dem ¨ Aquator und den Polen bestimmen. In Abbildung 1.5 ist wiederum im zeitlichen Mittel die Zirkulation im Nord-Atlantik dar-

Eisdecke

Golfstrom

Abb. 1.5: Meeresstr¨ omungen im Atlantik

6

1 Einf¨ uhrung

gestellt. Die Scherwirkung der von der Hadley-Zelle verursachten Ostwinde verursachen ¨ im Pazifik n¨ordlich des Aquators eine Oststr¨ omung, die vor Afrika umgelenkt wird und als warme Wasserstr¨ omung nach Westen str¨ omt. Diese teilt sich vor den Westindischen Inseln auf. Ein Teil str¨ omt in den Golf von Mexiko, der zweite Teil str¨omt entlang den Bahamas. Die beiden Teilstr¨ ome vereinigen sich vor der K¨ uste Floridas und str¨omen als warmer Golfstrom entlang der K¨ uste Georgias. Dieser nordatlantische Golfstrom hat eine hohe Str¨omungsgeschwindigkeit an der Wasseroberfl¨ache von 3 m/s und eine Ausdehnung von 100 km. Am Rande des Golfstroms steigt die Wassertemperatur um etwa 10 K an. Der Volumenstrom dieser Warmwasserr¨ ohre betr¨agt betr¨achtliche 30 Millionen m3 /s. Dieser m¨achtige Golfstrom verl¨ asst die K¨ uste Nord-Amerikas am Kap Hatteras und str¨omt ostw¨arts nach Europa, wo sein warmes Wasser f¨ ur das milde Klima an der Britischen und Norwegischen K¨ uste verantwortlich ist. Der zweite Teil des Golfstroms str¨omt entlang der K¨ uste Nord-Afrikas und bildet die großr¨aumige nord-¨aquatoriale Zirkulation. Die kalte Meeresstr¨omung bewegt sich entlang der Nord- und S¨ udamerikanischen K¨ uste vom ¨ Nordpol zum Aquator. Ein anderes Ph¨anomen der Ozeane sind die Ausbreitung von Wasserwellen, die durch Erdbeben in der Tiefe des Ozeans erzeugt werden. Dabei entstehen langwellige Meereswellen, die man Tsunami nennt und deren Geschwindigkeit allein von der Wassertiefe ihrer Entstehung abh¨angt (siehe Abbildung 1.6). Treffen Tsunamis auf ihrem Weg durch ein ¨ Meeresbecken auf flachere Stellen, werden Sie abgebremst. Uber der Tiefsee werden sie wieder beschleunigt. Auf dem offenen Meer betr¨agt die Wellenh¨ohe eines Tsunamis bis zu einem halben Meter, wo er aufgrund der großen Wellenl¨ange von einigen Kilometern kaum bemerkt wird. Im flachen K¨ ustengew¨ asser wird der Tsunami am Boden abgebremst, w¨ahrend der obere Teil der Welle weitgehend ungest¨ort weiterl¨auft. Dies f¨ uhrt an der K¨ uste

Abb. 1.6: Ausbreitung eines Tsunamis 2005

1.1 Str¨ omungen in Natur und Technik

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zum Aufsteilen der Welle bis zu einer H¨ ohe von 30 m. Jeder Tsunami besteht aus einem Wellenpaket, also mehreren Wellen, die im Minutenabstand an der K¨ uste eintreffen k¨ onnen. In den meisten F¨allen n¨ahert sich zun¨achst ein Wellental. Als Folge davon zieht sich das Meer oft hunderte von Metern zur¨ uck, bevor die Wellenfront u uste hereinbricht. ¨ber die K¨ Ein solcher Tsunami entstand 2005 durch ein Erbeben vor der indonesischen K¨ uste in 2300 m Tiefe. Dort schob sich aufgrund der Kontinentaldrift (siehe Abbildung 1.9) die Kontinentalplatte unter die Burma Platte. Die Entspannung der Verschiebung erfolgte innerhalb von 7 Sekunden, deren Vertikalbewegung den Tsunami ausl¨oste. Dabei wurde die Inselgruppe der Nikobaren um 6 m und der Nordpol um 2 cm verschoben, was eine Verk¨ urzung der Erdrotation um einige μs zur Folge hatte. 15 s nach dem Tiefseebeben erreichte die Welle Indonesien. Die an der K¨ uste von Indonesien reflektierte TsunamiWelle erreichte dann nach 3 bis 5 Stunden die K¨ ustengebiete von Thailand und Indien. Ein aktuelles Thema ist der durch die Industrialisierung hervorgerufene Klimawandel. Unter dem Klima versteht man die u ¨ber Jahrzehnte beziehungsweise Jahrtausende gemittelten str¨omungsmechanischen Verteilungen in der Erdatmosph¨are, die u ¨ber die mittlere Temperatur der Erdoberfl¨ ache registriert werden. Betrachtet man die Abk¨ uhlung der Erde u ¨ber die Jahrmillionen ihrer Entwicklung, so nahm die mittlere Temperatur in 60 Millionen Jahren von 20 ◦ C auf 10 ◦ C ab. Im Plioz¨an begann sich aufgrund der Exzentrizit¨ at der Erdrotationsachse die mittlere Sonneneinstrahlung periodisch zu ver¨ andern, so dass im Zyklus von 100000 Jahren Temperaturschwankungen von 10 ◦ C um die mittlere Temperatur von 5 ◦ C auftraten, die zu Eis- und Warmzeiten f¨ uhrten. Dem u ¨berlagert ist die periodische Ver¨anderung des Neigungswinkels der Erdachse mit einem Zyklus von 41000 Jahren. Die Pr¨azession der Erdrotation f¨ uhrt zu einer weiteren periodischen Temperaturoszillation der Erdoberfl¨ache mit einem Zyklus von 25750 Jahren, die im Mittelalter eine kleine Eiszeit hervorgerufen hat. Kommen wir zu unseren Zeitskalen, so ist nachgewiesen, dass auch u ¨ber die Jahrhunderte eine periodische Temperaturoszillation den nat¨ urlichen Temperaturschwankungen u ¨ber die Jahrtausende u ¨berlagert ist. Die Abbildung 1.7 zeigt den Anstieg der Temperatur in der Erdatmosph¨are im zwanzigj¨ahrigen Mittel von 1885 bis 2000 um 2 ◦ C. Darin enthalten ist der Einfluss der Schadstoffe, die die Industrialisierung mit der Verbrennung fossiler Brennstoffe verursacht hat und seit 1980 eine zus¨ atzliche Temperaturerh¨ohung von 1 ◦ C bewirkte. Die Vorausberechnung mit den derzeit verf¨ ugbaren Klimamodellen der Atmosph¨are und der Ozeane sagt bis 2050 eine weitere Temperaturerh¨ ohung der Atmosph¨are um bis zu 1 ◦ C voraus, wobei die Fehlerschranke der Klimamodelle ±1 ◦ C betr¨agt. Insofern ist die Tendenz des Klimawandels nachgewiesen, wenngleich sich die Absolutwerte der Temperaturerh¨ohung im Bereich der nat¨ urlichen Temperaturschwankungen bewegen. Die Konsequenz der nachgewiesenen Temperaturerh¨ohung der Atmosph¨are und der Erdoberfl¨ache ist vielschichtig. Die Eismassen der Pole und der Gletscher schmelzen ab. Damit wird leichteres S¨ ußwasser in die salzhaltigen Ozeane eingebracht. Am Nordpol kam dadurch Ende 2004 der in Abbildung 1.5 schwarz eingezeichnete kalte Tiefenstrom des Golfstromes f¨ ur ganze 10 Tage zum Erliegen. Eine 3 ◦ C kalte Wasserschicht war um 700 m abgesackt und blockierte den Tiefenstrom u ¨ber dem Meeresboden in 3000 m Tiefe im westlichen Teil des Ozeans. Eine Voraussetzung f¨ ur das Versiegen des Golfstromes w¨are

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1 Einf¨ uhrung

ein gewaltiger Zufluss an S¨ ußwasser durch das Abschmelzen der Eismassen Gr¨onlands. Dadurch w¨ urde sich das Oberfl¨ achenwasser verd¨ unnen und es w¨ urde wesentlich langsamer absinken, wodurch die Zirkulation des kalten und warmen Golfstroms im Atlantik abgeschw¨acht w¨ urde. Die Ozeane sind gewaltige W¨armespeicher. Allein in den obersten drei Metern der Meere ist soviel W¨ arme enthalten wie in der dar¨ uberliegenden Lufts¨aule bis in 100 km H¨ohe. Deshalb kommt den Meeren beim Klimawandel eine zentrale Rolle zu. Dennoch gen¨ ugen auch die ung¨ unstigsten Klimaszenarien bis zum Ende des Jahrtausends nicht, um den Kollaps der Nordatlantikstr¨ome herbei zu f¨ uhren. Erw¨armt sich die Atmosph¨are, wird zunehmend Oberfl¨ achenwasser verdunstet und das salzhaltigere Oberfl¨achenwasser vor Gr¨ onland sinkt wieder verst¨ arkt ab. So erwartet man, dass sich der Golfstrom im n¨achsten Jahrhundert wieder erholt. Ursache f¨ ur den Klimawandel sind die durch die Verbrennung fossiler Brennstoffe in die Atmosph¨are eingebrachten Schadstoffe, wie Kohlendioxid, Methan, Wasser, Stickoxide und kleine Partikel sogenannte Aerosole, die die nat¨ urliche Luftchemie der Erdatmosph¨are ver¨ andern. Auch hier gibt es einen nat¨ urlichen Prozess, den Ausbruch von Vulkanen. So schleuderte der Pinatubo auf den Philippienen 1991 Schwefelaerosole bis in die untere Stratosph¨are in H¨ohen von bis zu 25 km. Dort breiteten sie sich mit den atmosph¨arischen Str¨omungen rasch um den Globus aus und waren einige Monate sp¨ater u ¨ber die gesamte ¨ Nordhemisph¨are und sogar in Gebieten s¨ udlich des Aquators verteilt. Aerosole reflektieren einen Teil der kurzwelligen solaren Strahlung und verringern dadurch die Sonnenstrahlung auf die Erde. So kam es 2 Jahre nach dem Ausbruch des Pinatubo zu einer Erniedrigung der bodennahen Lufttemperatur in der Nordhemisph¨are um etwa 0.5 ◦ C. Dem entgegen wirkt der Treibhauseffekt. Die langwellige Sonnenstrahlung wird von Was-

20−jähriges Mittel

Vorhersage bis 2050 Δ T / °C 6 4 2 0 −2 −4 −6 Temperaturanstieg bis 2050

Abb. 1.7: Temperaturanstieg in der Erdatmosph¨are aufgrund des Klimawandels

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1.1 Str¨ omungen in Natur und Technik

ser, Kohlendioxid und Ozon in der Atmosph¨ are absorbiert. Diese Gase strahlen entsprechend ihrer Temperatur sowohl in das Weltall aber auch als Gegenstrahlung auf die Erde. Sie vermindern dadurch die langwellige Abstahlung der Erdoberfl¨ache und erh¨ohen die mittlere Temperatur der Erde. Diesen Effekt nennt man Treibhauseffekt, der seit der beginnenden Industrialisierung im 19. Jahrhundet wirksam ist und sich seit 1980 auswirkt. Insbesondere das Kohlendioxid verst¨ arkt die langwellige atmosph¨arische Gegenstrahlung und tr¨agt wesentlich zur Erh¨ ohung der mittleren Temperatur der Abbildung 1.7 bei. Neben dem Treibhauseffekt spielt das sogenannte Ozonloch in den Wintermonaten u ¨ber dem S¨ ud- und Nordpol beim globalen Klimawandel eine Rolle. Der Ozonabbau in der polaren Stratosph¨are ist ein fotochemischer Prozess, der durch anthropogene Spurenstoffe ¨ verursacht ist. Beim Ubergang vom Winter in das Fr¨ uhjahr ist ein deutlicher R¨ uckgang des Ozongehaltes in H¨ ohen zwischen 20 und 30 km u ¨ber den Polen zu verzeichnen. Aufgrund der Absorptionsf¨ ahigkeit der nat¨ urlichen Ozonschicht f¨ ur die kurzwellige solare UVStrahlung sch¨ utzt die Ozonschicht das Leben auf der Erde. Ozon O3 bildet sich aus molekularem O2 und atomarem Sauerstoff durch die Absorption ultravioletter Solarstrahlung kleiner als 242 nm. Das Ozon wiederum wird durch die solare Strahlung von Wellenl¨angen kleiner als 1200 nm zerst¨ ort und in molekularen und atomaren Sauerstoff aufgespaltet. Insgesamt bilden diese Reaktionen ein fotochemisches Gleichgewicht. Der Verlust von Ozon geschieht durch zus¨ atzliche katalytische Reaktionen. Als Katalysatoren wirken die Schad¨ stoffe wie Chlor, Wasserstoff und Stickoxide. Uber die Hadley-Zirkulation der Abbildung 1.1 werden diese Stoffe mehr oder weniger gleichm¨aßig u ¨ber die Nordhemisph¨are verteilt. Lediglich in den Wintermonaten kommt es in der Atmosph¨are zu einer Meridianzirkulation, die den Austausch der Toposph¨ are und der Stratosph¨are sowie den Schadstofftransport in die Polregionen bewirkt. Auch im Erdinneren sind es Konvektionsstr¨ omungen, die den Energie- und Impulstransport vom heißen Erdkern zum erstarrten Erdmantel bestimmen. Diese sind f¨ ur das Erdmagnetfeld und die Drift der Kontinente auf der Erdoberfl¨ache verantwortlich.

Erdmagnetfeld

Abb. 1.8: Str¨omungen im Erdinneren

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1 Einf¨ uhrung

Die Prinzipskizze der Abbildung 1.8 zeigt nicht maßstabsgetreu den heutigen Stand ¨ der Erkenntnisse im Schnitt durch die Aquatorebene. Die Erde ist kein starrer K¨orper, sondern sie hat elastische, plastische und fl¨ ussige Eigenschaften. Aufgrund des hohen Druckes besteht der Erdkern aus festen Eisenlegierungen. Mit zunehmendem Abstand vom Erdmittelpunkt schließt sich eine elektrisch leitf¨ahige Kernfl¨ ussigkeit an, deren Wirbelstr¨omungen das Erdmagnetfeld verursachen. In etwa 3000 km Tiefe geht der fl¨ ussige Erdkern in das z¨ahplastische Mantelmaterial u ¨ber, das als Asthenosph¨are bezeichnet wird. Auf den Mantelkonvektionszellen der Asthenosph¨are driften etwa ein Dutzend starrer Lithosph¨arenplatten. Die Kontinentalbl¨ ocke sind in die Lithosph¨arenplatten eingebettet und werden mitgef¨ uhrt. Die Str¨ omungsgeschwindigkeiten sind dabei um Gr¨oßenordnungen kleiner als in der Erdatmosph¨ are und in den Ozeanen. Die Entstehungsgeschichte der Erde reicht 4.5 Milliarden Jahre zur¨ uck. Im Urzustand str¨omten aufgrund der radioaktiven Aufheizung geschmolzenes Eisen und Nickel in Form von Ringwirbeln zum Erdzentrum, ohne dass f¨ ur diese Hypothese gesicherte wissenschaftliche Erkenntnisse vorliegen. Man stellt sich aus heutiger Sicht den weiteren Verlauf der Evolution der Erde so vor, dass Silikate vom Erdinneren an die Oberfl¨ache transportiert wurden, wo sie aufgrund der Abk¨ uhlung erstarrten und die Erdkruste bildeten. Etwa vor 200 Millionen Jahren begannen sich die Kontinente und Ozeane auszubilden, wie wir sie heute kennen. Gesichert ist die Erkl¨ arung der Kontinental-Drift auf der Erdoberfl¨ache, die durch die Konvektionsstr¨omung in der Erdmantelschicht verursacht wird. Die Abbildung 1.9 zeigt, dass etwa vor 250 Millionen Jahren S¨ ud-Amerika und Afrika ein Kontinent bildeten. Dies wird insbesondere deutlich, wenn man die Landmassen unter Wasser mitber¨ ucksichtigt. Diese beiden Kontinente driften bis heute in den Scherschichten der in Abbildung 1.8 skizzierten Konvektionsrollen der Asthenosph¨ are auseinander. Die Driftgeschwindigkeit betr¨ agt heute bis zu 5 cm pro Jahr. In der Umgebung von Auftriebszonen der Konvektionsrollen in der Erdmantelschicht wird heißes Magma aus dem Erdinneren an die Erdoberfl¨ache transportiert. So entstand der mittelatlantische R¨ ucken. In den Abtriebszonen wird kaltes Erdkrustenmaterial ins Erdinnere transportiert, was den Graben im Pazifik zur Folge hat. Die Drift der s¨ udamerikanischen Kontinentalplatte bildet vor dem Graben das Anden-Gebirge. Die

Abb. 1.9: Drift der Kontinente

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1.1 Str¨ omungen in Natur und Technik

Gr¨oße der Konvektionsrollen in der Erdmantelschicht betr¨agt etwa 700 km. Dies vermutet man deshalb, da f¨ ur geringere Tiefen bisher keine Erdbebenzentren lokalisiert wurden. Ganz entsprechende Str¨ omungen beobachten wir auch auf und in den Planeten unseres Sonnensystems bei ver¨ anderter Rotationsgeschwindigkeit der Planeten und anderer Gaszusammensetzung von deren Atmosph¨ are. Die Str¨omungen in den Planetenatmosph¨aren haben die gleiche Ursache wie die in der Erdatmosph¨are. Der Energie- und Impulsaus¨ tausch zwischen dem Aquator und den Polen erfolgt ebenfalls u ¨ber großr¨aumige Konvektionsstr¨omungen. Diese h¨ angen von der Rotationsfrequenz und der jeweiligen H¨ohe der Planetenatmosph¨are sowie deren Dichteschichtung und chemischen Zusammensetzung, der Bilanz der Sonneneinstrahlung und deren Reflexion auf der Planetenoberfl¨ache ab. Beobachten wir in Abbildung 1.10 die Jupiter-Atmosph¨are, so erkennen wir ganz entsprechende zonale Zellstrukturen, wie wir sie in Abbildung 1.1 f¨ ur die Erdatmosph¨are beschrieben haben. Der Jupiter, der gr¨ oßte Planet unseres Sonnensystems, besteht aus verdichtetem Gas und rotiert 2.4 mal so schnell wie die Erde. Er emittiert nahezu doppelt so viel Energie, als er von der Sonne aufnimmt. Dabei betr¨agt die Temperaturdifferenz ¨ zwischen den Polen und dem Aquator lediglich 3 K, so dass der W¨armetransport zu den ¨ Polen eine untergeordnete Rolle spielt. Die Oberfl¨ache ist in der Umgebung des Aquators in zwei Konvektionszellen hohen und niedrigen Drucks aufgeteilt. Diese bilden B¨ander von Gas-Jets entgegengesetzter Richtung, an deren Scherschichten sich großr¨aumige Wirbel ausbilden. Die Windgeschwindigkeiten betragen dabei bis zu 500 km/h. In gr¨oßeren Breiten entstehen aufgrund der inneren Aufheizung ovale antizyklonische Wirbel ganz analog den Hurrikans in der Erdatmosph¨ are. Diese wirken in der Jet-Str¨omung der JupiterAtmosph¨are wie Hindernisse, die im Nachlauf wiederum eine periodische Wirbelbildung zur Folge haben. Diese so genannten roten Flecken haben eine Ausdehnung von bis zu 22000 km und sind bemerkenswert stabil. Sie zerfallen sehr langsam, so dass ihr Durchmesser vor 100 Jahren etwa doppelt so groß war. Die Atmosph¨are des Saturns zeigt eine ganz ¨ ahnliche Struktur wie die des Jupiters, wobei die Saturnringe keine Str¨ omungserscheinung sind, sondern im Gravitationsfeld des Saturns mitrotierende Materieringe darstellen.

Jupiter

Abb. 1.10: Str¨omungen in Planetenatmosph¨ aren

Saturn

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1 Einf¨ uhrung

Auch die Granulation der Sonnenoberfl¨ ache (Abbildung 1.11) ist ein Str¨omungsph¨anomen. Es sind wiederum Konvektionszellen mit einem Durchmesser von etwa 1000 km und einer Lebensdauer von einigen Minuten. Das heiße Plasma des Sonnen-Fusionsreaktors str¨ omt in den hellen Zonen an die Sonnenoberfl¨ache und str¨omt in den dunklen Zellzonen nach entsprechender Abk¨ uhlung nach innen. Die Plasmastr¨ome in den Zellen sind mit starken Magnetfeldern verbunden. Dies tritt insbesondere in der Umgebung von schwarzen Flecken in Erscheinung, wo sich in den k¨alteren Zonen der Sonnenoberfl¨ache die Konvektionszellen entlang des radialen Magnetfeldes zu l¨anglichen Konvektionsrollen den sogenannten Fibrillen formen. Das rechte Bild der Abbildung 1.11 zeigt drei Schichten der solaren Oberfl¨ache, die mit speziellen Filtern des Sonnenteleskopes der Universit¨at Utrecht aufgenommen wurden. Die untere Schicht der Photosph¨ are, also der Oberfl¨ache der optisch sichtbaren Sonne zeigt die bereits beschriebene Granulation der Sonnenoberfl¨ache sowie einen schwarzen Flecken, der die Gr¨ oße der Erde besitzt. Das mittlere Bild zeigt einen Bereich der unteren Chromosph¨are, der sich einige hundert Kilometer dar¨ uber befindet. Das Muster a¨hnelt ¨ jenem in der Photosp¨ are, aber die Helligkeitsstufen sind vertauscht. Uber den hellen Granulationszellen erscheint die Chromosph¨ are dunkel und u ber den Zwischenr¨ aumen hell. ¨ Dies deutet darauf hin, dass die Konvektionszellen eine umgekehrte Str¨omungsrichtung besitzen. In der Umgebung des schwarzen Fleckens treten die l¨anglichen Fibrillen auf, die sich entlang der Magnetfelder orientieren. Einige tausend Kilometer h¨oher in der oberen Schicht der Chromosph¨ are haben die l¨ anglichen Konvektionsrollen der Fibrillen die Oberhand gewonnen. Dabei haben die meisten Magnetfeldlinien ihren Ursprung in der Region des Sonnenfleckens. Wir finden auch Wirbelsysteme im Kosmos (Abbildung 1.12). Die Galaxien bestehen aus hunderten Billionen einzelnen Sternen. Unsere Sonne bedurfte etwa 250 Millionen Jahre, um sich einmal um das Zentrum unseres Milchstraßensystems zu bewegen, dessen Durchmesser etwa 75.000 Lichtjahre betr¨ agt. Im Weltall gibt es Billionen solcher rotierender Galaxien, die dadurch gekennzeichnet sind, dass sie im Wirbelzentrum eine h¨ohere stella-

Abb. 1.11: Str¨omungen auf der Sonnenoberfl¨ ache

1.1 Str¨ omungen in Natur und Technik

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Abb. 1.12: Galaxie

re Konzentration aufweisen, wo neue Sterne entstehen k¨onnen. Diese astrophysikalischen Beispiele gehen jedoch weit u ¨ber die kontinuumsmechanische Theorie der Str¨omungen hinaus, mit der wir uns in diesem Lehrbuch befassen werden. Im Gegensatz zu den vorangegangenen Beispielen von Str¨omungen in der Natur befasst sich die Biostr¨ omungsmechanik mit Str¨ omungen, die von flexiblen biologischen Oberfl¨ achen aufgepr¨agt werden. Man unterscheidet die Umstr¨omung von Lebewesen in Luft oder im Wasser, wie den Vogelflug oder das Schwimmen der Fische und Innenstr¨omungen, wie den geschlossenen Blutkreislauf von Lebewesen. Die Evolution hat in den vergangenen Jahrmillionen f¨ ur die Fortbewegung der Lebewesen je nach Gr¨oße und Gewicht das Kriechen, Laufen, Schwimmen, Gleiten bzw. Fliegen entwickelt. Der f¨ ur die Ortsver¨ anderung notwendige Vortrieb erfordert eine angepasste Str¨omungskontrolle. Die Fortbewegung von Bakterien und Einzellern erfolgt bei vorherrschender Reibung mit Wimpern und Geißeln. Kaulquappen und Kraken nutzen die Tr¨agheitskraft eines Strahlantriebs zur Fortbewegung. Aale bewegen sich wellenf¨ormig, Wale nutzen die Wirbelabl¨ osung der Schwanzflosse zum Vortrieb. Schnell schwimmende Fische, wie die Haie (Abbildung 1.13), weisen L¨angsrillen auf ihren Schuppen auf, die die viskose Unterschicht der Str¨ omungsgrenzschicht derart beeinflussen, dass der Str¨omungswiderstand reduziert wird. Damit erreichen Haie kurzzeitig Spitzengeschwindigkeiten von bis zu 90 km/h. In der Technik werden derartige Riefenfolien genutzt, um den Widerstand von Verkehrs-

Abb. 1.13: Haifisch

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1 Einf¨ uhrung

flugzeugen und Hochgeschwindigkeitsz¨ ugen bzw. die Verluste in Pipelines zu verringern. Das Fliegen ist in der Natur in unterschiedlicher Weise bei den Insekten, Flederm¨ausen und V¨ogeln zu beobachten. Da die Propellerrotation um eine Achse biologisch nicht m¨ oglich ist, wird der zum Fliegen erforderliche Auftrieb und Vortrieb durch die Hinund Herbewegung eines Fl¨ ugelschlages erreicht. Der Vortrieb entsteht dadurch, dass der Abw¨ artsschlag mit großer Kraft und der Aufw¨ artsschlag bei m¨oglichst geringem Widerstand ausgef¨ uhrt wird. Den gr¨ oßten Anteil des Vortriebes liefern beim Vogel die ¨außeren Teile des Fl¨ ugels, die den gr¨ oßten Teil der Vertikalbewegung zur¨ ucklegen. Dabei wird die Anstellung verschiedener Profilschnitte des Fl¨ ugels im Verlauf einer Schwingungsperiode durch die Deformation des Fl¨ ugels ver¨ andert. Der innere Teil des Fl¨ ugels erzeugt im Wesentlichen den Auftrieb. Damit sind die Funktionen des Tragfl¨ ugels und Antriebpropellers eines Propellerflugzeuges im Vogelfl¨ ugel integriert. Allerdings wird dies damit erkauft, dass sich Auftrieb und Vortrieb im Verlauf einer Schwingung ¨andern. Den damit verbundenen Stabilit¨ atsproblemen wird durch aerodynamische Kr¨afte der Schwanzfl¨achen entgegengewirkt, die als horizontales Steuerruder die Schwingbewegung ausgleichen. Der gr¨ oßte Wandervogel Albatros erreicht bei einer Spannweite von 3.8 m eine Spitzengeschwindigkeit von bis zu 110 km/h und eine Gleitzahl, dem Verh¨altnis von Auftriebskraft zu Widerstandskraft, von 20. Die erste erfolgreiche technische Umsetzung des Vogelfluges gelang Otto Lilienthal 1891 mit seinem manntragenden Gleitflugzeug (Abbildung 1.14). Der vogel¨ahnliche Gleiter hatte einen starren Fl¨ ugel mit integrierten vertikalen und horizontalen Fl¨achen, die f¨ ur die Stabilit¨at sorgten. Die Flugkontrolle des Hanggleiters erfolgte durch Gewichtsverlagerung des K¨orpers unter dem Gleiter. Der W¨arme- und Stofftransport in Lebewesen erfolgt in Kreisl¨aufen. Dazu geh¨oren die Atmung, der Blut- und Lymphkreislauf sowie der Wasserhaushalt. Allen biologisch bedingten Str¨omungen ist gemeinsam, dass die Bewegung von ¨außeren bzw. inneren hochflexiblen und strukturierten Oberfl¨ achen aufgepr¨ agt wird. Daraus resultiert eine aktiv kontrollierte Str¨omung, deren Verluste gering gehalten werden.

Abb. 1.14: Storch und Hangsegler

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1.1 Str¨ omungen in Natur und Technik

Von der Vielzahl biologischer Str¨ omungen w¨ ahlen wir die Blutzirkulation im menschlichen K¨ orper aus. Herz-Kreislauf-Erkrankungen geh¨oren mit zu den h¨aufigsten Erkrankungen der modernen Zivilisation. Ablagerungen in Arterienverzweigungen und an Herzklappen sowie Vernarbungen des Herzmuskels durch einen Herzinfarkt ver¨andern ¨ das pulsierende Str¨ omungsverhalten im Herzen und im Blutkreislauf. Uberschreiten die Str¨omungsverluste einen lebensbedrohlichen kritischen Wert, ist eine Operation unausweichlich. Um die Str¨ omungsverluste im erkrankten Herzen vor und nach der Operation vorhersagen zu k¨onnen, wurde ein virtuelles Herz zur Str¨omungssimulation entwickelt. Das Herz pumpt in jeder Minute etwa 5 l Blut in den Kreislauf. Die Pumpleistung kann sich bei k¨orperlicher Belastung auf 20 bis 30 l pro Minute erh¨ohen. Der Blutkreislauf besteht aus zwei getrennten, u ¨ber das Herz untereinander verbundenen Teilkreisl¨aufen.

menschliches Herz

Einströmen Mitralklappe geöffnet

Ventrikelkontraktion

Ausströmen Aortenklappe geöffnet

Ventrikelrelaxation

Strömungsberechnung im linken Herzventrikel, dem Vorhof und der Aorta

Abb. 1.15: Str¨omung im menschlichen Herzen w¨ahrend eines Herzzyklus

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1 Einf¨ uhrung

Man bezeichnet den einen als K¨ orperkreislauf und den anderen als Lungenkreislauf. Der Gesamtkreislauf sichert den Gasaustausch zwischen dem Stoffwechsel im menschlichen K¨orper und der Luft der Atmosph¨ are. Das Herz besteht aus zwei getrennten Pumpkammern, dem linken und rechten Ventrikel. Der rechte Ventrikel f¨ ullt sich mit sauerstoffarmem Blut aus dem K¨orperkreislauf, um sich bei seiner Kontraktion in den Lungenkreislauf zu entleeren. Das in der Lunge reoxigenierte Blut wird vom linken Ventrikel in den K¨ orperkreislauf bef¨ordert. Die vereinfachte Darstellung der Str¨omung w¨ ahrend eines Herzzyklus ist in Abbildung 1.15 gezeigt. Die Vorh¨ofe und Ventrikel des Herzens sind durch die Atrioventrikularklappen getrennt, die das Einstr¨omen in die Herzventrikel regulieren. Sie verhindern die Blutr¨ uckstr¨omung w¨ahrend der Ventrikelkontraktion. W¨ ahrend der Ventrikelrelaxation verhindert die Pulmonalklappe den Blutr¨ uckstrom aus den Lungenarterien und die Aortenklappe den R¨ uckstrom aus der Aorta in den linken Ventrikel. Die Ventrikel durchlaufen w¨ ahrend der Herzzyklen eine periodische Kontraktion und Relaxation, die den pulsierenden Blutstrom im K¨ orperkreislauf sicherstellt. Dieser Pumpzyklus ¨ geht mit Anderungen des Ventrikel- und Arteriendruckes einher. Die jeweilige Druckdiffe¨ renz sorgt f¨ ur das druckgesteuerte Offnen und Schließen der Herzklappen. Beim gesunden Herzen ist die pulsierende Str¨ omung laminar und abl¨osefrei. Defekte des Pumpverhaltens des Herzens und Herzinsuffizienzen f¨ uhren zu turbulenten Str¨omungsbereichen und R¨ uckstr¨omungen in den Ventrikeln, die die Str¨ omungsverluste im Herzen erh¨ohen. F¨ ur die medizinische Diagnostik ist die Kenntnis des instation¨aren dreidimensionalen Str¨ omungsfeldes erforderlich. Die Abbildung 1.15 zeigt in vier Einzelbildern die Ergebnisse einer Computersimulation der Str¨ omung im menschlichen Herzen. Das erste Bild zeigt die Stromlinien des Einstr¨ omvorgangs in den linken Herzventrikel. Die Mitralklappe ist ge¨offnet und die Aortenklappe geschlossen. Man erkennt den Einstr¨omwirbel, der sich mit fortschreitender Zeit verzweigt und die Ventrikelspitze durchstr¨omt. Bei der Ventrikelkontraktion sind Aorten- und Mitralklappe geschlossen. Der linke Ventrikel ist vollst¨andig mit omungsgeschwindigkeiten sind sehr klein. Beim AusBlut gef¨ ullt und die berechneten Str¨ str¨omen ist die Mitralklappe geschlossen und die Aortenklappe ge¨offnet. Die Stromlinien zeigen den Ausstr¨omjet in die Aorta. Bei der Ventrikelrelaxation sind beide Herzklappen geschlossen. Es beginnt das Einstr¨ omen in den linken Vorhof. Dies soll zun¨achst an einf¨ uhrenden Str¨ omungsbeispielen aus unserer nat¨ urlichen Umwelt gen¨ ugen. Der interessierte Leser findet weitere Anregungen in den anschaulichen B¨ uchern von M. Van Dyke 1982 und H. J. Lugt 1983. Wenden wir uns den technischen Str¨ omungsbeispielen zu. Unsere Umwelt ist in vielf¨altiger Weise von Str¨ omungsph¨ anomenen gekennzeichnet. So f¨ uhrt die Optimierung von Str¨omungen zur Widerstandsverringerung von Verkehrsflugzeugen, Schienen- und Kraftfahrzeugen und damit zu Kraftstoffeinsparungen. Sie f¨ uhrt in den Antriebsaggregaten zur Steigerung des Wirkungsgrades und der Reduktion der Schadstoffemission. Bei der Herstellung von Materialien aus der Schmelze bestimmt sie die innere Struktur und damit die Festigkeit und Belastbarkeit des Materials. In chemischen Produktionsanlagen und Pipelines verringert die Optimierung der Str¨omungen die Verluste und reduziert da-

1.1 Str¨ omungen in Natur und Technik

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mit die f¨ ur die Herstellung und den Transport der Fl¨ ussigkeiten und Gase erforderliche Pumpleistung. Die Entwicklung der Verkehrs- und Schienenfahrzeuge u ¨ber die Jahrzehnte ist in Abbildung 1.16 dargestellt. Im Wesentlichen geht es darum, entsprechend der Transportgeschwindigkeit widerstandsarme K¨ orperformen zu finden, um den Kraftstoffverbrauch der Triebwerke bzw. die elektrische Leistung der Antriebsmotoren m¨oglichst gering zu halten. Die Entwicklung der Verkehrsluftfahrt begann in den dreißiger Jahren mit der legend¨aren Ju 52. Sie transportierte 17 Passagiere mit einer Geschwindigkeit von 250 km/h und wurde von drei Kolbenmotoren angetrieben. Das Bestreben m¨oglichst schnell von einem Ort zum anderen zu fliegen, f¨ uhrte zur Entwicklung der D¨ usentriebwerke, die es heute erlauben in einer H¨ohe von 10 km mit einer Geschwindigkeit von 950 km/h zu fliegen. Die Großraumjets transportieren dabei bis zu 555 Passagiere und in der n¨achsten Generation der Verkehrsflugzeuge bis zu 900 Passagiere. Der erste Vertreter dieser aerodynamisch neuen Generation von Verkehrsflugzeugen war die Boeing 707 (Bildmitte Abbildung 1.16). Die entscheidende aerodynamische Erfindung war dabei der Pfeilfl¨ ugel der Aerodynamischen Versuchsanstalten in G¨ ottingen in den fr¨ uhen vierziger Jahren, der erst einen widerstandsarmen Flug bei den so genannten transsonischen Geschwindigkeiten m¨oglich machte. Ein

Abb. 1.16: Entwicklung der Verkehrsflugzeuge und Schienenfahrzeuge

18

1 Einf¨ uhrung

Vertreter der neuen Generation von Verkehrsflugzeugen ist der Airbus A 340. Dabei ist der Rumpf f¨ ur den Transport m¨ oglichst vieler Passagiere gr¨oßer geworden. Dennoch erreicht man eine erhebliche Treibstoffersparnis gegen¨ uber der Boeing 707. Neben der verbesserten Aerodynamik des transsonischen Tragfl¨ ugels sind es leichtere Materialien und verbesserte Fertigungstechniken sowie neue Fan-Triebwerke und das automatisierte Zwei-PilotenCockpit, die zu dieser Kraftstoffeinsparung und damit zur Reduzierung der Schadstoffemission durch die Luftfahrt in der hohen Atmosph¨are gef¨ uhrt haben. Die Fan-Triebwerke haben gegen¨ uber den urspr¨ unglichen D¨ usentriebwerken einen deutlich gr¨oßeren Durchmesser. Ein Teil der vom Fan verdichteten kalten Luft wird am heißen Antriebsstrahl als Luftmantel vorbeigef¨ uhrt. Dies hat den zus¨ atzlichen Nutzeffekt, dass die Schallabstrahlung der D¨ usentriebwerke bei gleichzeitiger Steigerung des Wirkungsgrades drastisch reduziert werden konnte. Die Zukunft des interkontinentalen Luftverkehrs geh¨ort den Großraumjets. Der Airbus A 380 transportiert in der Grundausf¨ uhrung 555 Passagiere bis zu 14800 km. Dabei betr¨agt das maximale Startgewicht 560 Tonnen. Die Neukonstruktion dieses Großraumjets besitzt eine Kabinenl¨ange von 50 m bei einem Rumpfdurchmesser von 7 m. Die Fl¨ ugelspannweite von 80 m u ¨bertrifft alle Spannweiten bisheriger Passagierflugzeuge. Bei den Schienenfahrzeugen ist eine ganz entsprechende aerodynamische Entwicklung u ¨ber die Jahrzehnte zu beobachten. Da der Leistungsaufwand mit der dritten Potenz der Geschwindigkeit und der Widerstand eines Fahrzeuges quadratisch mit der Geschwindigkeit w¨achst ergibt sich bei Reisegeschwindigkeiten u ¨ber 100 km/h die Notwendigkeit, die aerodynamische Formgebung entsprechend anzupassen. So erreichten bereits 1936 herk¨ommliche Dampflokomotiven mit den entsprechenden aerodynamischen StromlinienVerkleidungen Spitzengeschwindigkeiten u ¨ber 200 km/h. Darunter fallen neben den Radverkleidungen insbesondere die seitlichen Windabweiser, die den Dampf vom F¨ uhrerhaus fern halten. Bei den IC-Z¨ ugen wurde eine widerstandsarme Formgebung der Lokomotive und Luftabweisern im Bereich der R¨ ader der Fahrgastwagen in ersten Ans¨atzen verwirklicht. Erst beim ICE 3, der eine Reisegeschwindigkeit von bis zu 330 km/h erreicht, wurde eine konsequente aerodynamische Formgebung technisch umgesetzt, wenngleich auch hier z. B. die Stromabnehmer einer aerodynamischen Verkleidung bed¨ urfen. Auch bei den Schienenfahrzeugen ist die str¨ omungsmechanische Entwicklung noch nicht am Ende. Derzeit sind Projekte in R¨ ohren mit Reisegeschwindigkeiten von bis zu 500 km/h in der Planung.

Abb. 1.17: Modell des Airbus A 340 im Windkanal und Flugerprobung

19

1.1 Str¨ omungen in Natur und Technik

c w = 0,170

1938

c w = 0,365

1937

Abb. 1.18: Mercedes-Benz W125 im Windkanal

In der Vergangenheit wurde die Aerodynamik von Verkehrsflugzeugen und Schienenfahrzeugen ausschließlich im Windkanal entwickelt. Abbildung 1.17 zeigt das Windkanalmodell des Airbus A 340 in der Startphase. Dabei werden mit einer in der Halterung des Modells integrierten Waage sechs Komponenten der aerodynamischen Kr¨afte gemessen. Da im Windkanal das ruhende Modell mit der dem Flug entsprechenden Windgeschwindigkeit von ca. 300 km/h angestr¨ omt wird, muss der Boden des Windkanals mit der entsprechenden Geschwindigkeit mitbewegt werden. Dies sind sehr aufwendige Experimente, die die Entwicklungszeit eines Verkehrsflugzeuges von bis zu 8 Jahren von der Definition der Anforderung (Fluggeschwindigkeit, Nutzlast) u ¨ber den Entwurf bis zur Produkteinf¨ uhrung entscheidend bestimmen. Diese sehr langen und damit kostenintensiven Entwicklungszeiten werden heute mit str¨ omungsmechanischen Simulationsmethoden

Abb. 1.19: Entwicklung des cw -Wertes von Kraftfahrzeugen

20

1 Einf¨ uhrung

auf Großrechnern deutlich verringert. Die Str¨ omungssimulation erlaubt dabei recht einfache Variationen der Geometrie und Str¨ omungsparameter, ohne dass daf¨ ur jeweils neue Windkanalmodelle gebaut werden m¨ ussen. In den zuk¨ unftigen Projekten wird demzufolge die str¨omungsmechanische Software auf Großrechnern neben dem Windkanal das Entwicklungswerkzeug f¨ ur den Entwurfsingenieur sein. Dem Windkanalexperiment wird zunehmend die Rolle der Software-Verifikation zukommen. Die f¨ ur die Produktentwicklung erforderlichen str¨omungsmechanischen Grundlagen sowie die mathematischen Methoden zur L¨osung der str¨ omungsmechanischen Grundgleichungen auf Großrechnern bis hin zur Handhabung der Software werden in diesem Lehrbuch bereitgestellt. Die widerstandsarme aerodynamische Formgebung eines Kraftfahrzeuges wurde bereits 1938 technisch gel¨ ost. Den f¨ ur das Erreichen des Geschwindigkeitsweltrekordes auf der Straße von Mercedes-Benz 1937 gebauten Rennwagen zeigt Abbildung 1.18. Der heute gel¨aufige Widerstandsbeiwert cw (dimensionslose Widerstandskraft) betrug 0.365. Mit der Versenkung des Fahrers in den Rennwagen und der Verkleidung der R¨ader wurde ein so genannter Stromlinienk¨ orper (siehe Kapitel 2.3.2) verwirklicht mit der drastischen Widerstandsreduzierung auf einen cw -Wert von 0.17. Die Abbildung 1.19 macht deutlich, dass der optimal erreichbare aerodynamische Wert 0.12 betr¨agt. Umso beachtlicher ist die Entwicklungsleistung der damaligen Mercedes-Benz Ingenieure. Wirklich ber¨ ucksichtigt wurde diese Erkenntnis bei Straßenfahrzeugen jedoch erst in den achtziger Jahren, nach¨ dem das Bewusstsein der erforderlichen Kraftstoffeinsparung durch die Olkrise geweckt wurde. Heute hat sich die Kraftfahrzeugindustrie auf einen Kompromiss des Widerstandsbeiwertes von etwa 0.26 eingestellt, der es gegen¨ uber dem Stromlinienk¨orper erlaubt einen komfortablen Fahrgastraum mit dem erforderlichen Rundumblick zu realisieren. Obwohl die Aerodynamik des Kraftfahrzeuges seit mehr als 60 Jahren bekannt ist, kommt es dennoch zu aerodynamischen Fehlschl¨ agen, wie die Abbildung 1.20 eindrucksvoll demonstriert. Beim 24 Stunden Rennen von Le Mans hebt 1999 einer der Rennwagen beim ¨ Uberfahren einer Kuppe ab und u agt sich mehrmals. Offensichtlich war der durch ¨berschl¨ die Formgebung der Karosserie vorgegebene aerodynamische Anpressdruck auf die Straße

Abb. 1.20: Rennwagen beim 24 Stunden Rennen in Le Mans

1.1 Str¨ omungen in Natur und Technik

21

zu gering. An dieser Stelle sei unsere Einf¨ uhrung str¨ omungstechnischer Beispiele mit einer Anekdote erg¨anzt. Der einzige f¨ ur die aerodynamische Entwicklung von Kraftfahrzeugen in Deutschland betriebsbereite und mit einer entsprechenden Waage ausger¨ ustete Windkanal stand 1952 an Schlichtings Institut in Braunschweig. Es lag also nahe, dass das benachbarte Wolfsburger Werk die Volkswagentypen V W 11 und V W X2 , der dem Stromlinienk¨orper sehr ¨ahnlich war, im Braunschweiger Windkanal bez¨ uglich des aerodynamischen Widerstandes vermessen ließ. Die Windkanalergebnisse sind in Abbildung 1.21 dargestellt. F¨ ur den Prototypen V W X2 wurde ein beachtlich g¨ unstiger Widerstandsbeiwert von 0.22 gemessen, w¨ ahrend der letztendlich produzierte VW-K¨afer den sehr schlechten ¨ Widerstandsbeiwert von 0.4 aufweist. Uber die Ignoranz seiner Ergebnisse war Schlichting derart ver¨argert, dass er die Ergebnisse der Abbildung 1.21 nicht gerade zur Freude der beteiligten Firma auf der n¨ achsten internationalen Tagung vortrug. Ein weiteres technisches Anwendungsbeispiel der Bauwerksaerodynamik zeigt die Abbildung 1.22. Die inzwischen f¨ ur ihre unsachgem¨aße aerodynamische Auslegung ber¨ uhmt gewordene Tacoma Narrows Br¨ ucke u ¨berspannte u ¨ber eine L¨ange von 1810 m die Meerengen von Puget Sound im US-Bundesstaat Washington. Am 7. November 1940 wehte der Wind senkrecht zur Br¨ ucke mit einer Geschwindigkeit von ca. 68 km/h. Dabei setzte an der gegen¨ uberliegenden Seite der Br¨ ucke eine periodische Str¨omungsabl¨osung ein, die man K´arm´ ansche Wirbelstraße nennt. Die Eigenfrequenz der Br¨ ucke entsprach

Abb. 1.21: Messung der KraftfahrzeugWiderstandsbeiwerte im Windkanal

22

1 Einf¨ uhrung

Abb. 1.22: Aerodynamische Schwingungsanregung der Tacoma Br¨ ucke

ungl¨ ucklicherweise der Frequenz der periodischen Str¨omungsabl¨osung, so dass mechanische Eigenschwingungen angeregt wurden, die letztendlich zum Einsturz der Br¨ ucke f¨ uhrten. Die Optimierung von Str¨ omungen ist auch f¨ ur die Auslegung von Verbrennungsmotoren von Bedeutung. In Abbildung 1.23 ist der bekannte Zyklus eines Otto-Motors dargestellt. Das Kraftstoff-Luft-Gemisch wird bei ge¨ offnetem Einlassventil vom zur¨ ucklaufenden Kolben angesaugt. Um eine m¨ oglichst homogene Durchmischung zu erreichen, u ¨berlagert man eine Drallstr¨omung, den so genannten Tumble. Im zweiten Takt wird bei geschlossenem Ventil das Treibstoff-Luft-Gemisch derart verdichtet, dass nach der Z¨ undung der Verbrennung das expandierende heiße Gas den Kolben f¨ ur den mechanischen Antrieb nach unten bewegt. Ist der Verbrennungszyklus abgeschlossen, werden im 4. Takt die Abgase durch das Auslassventil ausgestoßen. Nach mehr als 100 Jahren Entwicklung von Verbrennungsmotoren sollte man meinen, dass die Str¨omungsvorg¨ange des Ansaugens, der Verdichtung, der Verbrennung und des Austritts der heißen Abgase bereits optimiert sind. Schon die Notwendigkeit eines zus¨ atzlichen Katalysators f¨ ur die Verminderung der Schadstoffemissionen zeigt, dass dies bis heute nicht der Fall ist. Es werden intensive Bem¨ uhungen unternommen, um die beim Dieselmotor u ¨bliche Direkteinspritzung des Treibstoffs auch beim Otto-Motor zu verwirklichen. Davon verspricht man sich eine Treibstoffersparnis von etwa 10 % bei gleichzeitiger Erh¨ohung des Wir-

Ansaugen

Verdichtung

Abb. 1.23: Zyklus eines Otto-Motors

Verbrennung

Austritt der Abgase

23

1.1 Str¨ omungen in Natur und Technik

Auslass− ventil

Einlass− ventil

Einspritz− ventil brennbare Gemisch− wolke

Abb. 1.24: Otto-Motor mit Direkteinspritzung (Bosch 1999)

kungsgrades. Die Abbildung 1.24 zeigt einen solchen direkteinspritzenden Otto-Motor. In der Kompressionsphase wird die vom Einspritzventil eingebrachte brennbare Gemischwolke u undkerze zur Z¨ undung ge¨ber die Umlenkung in der Kolbenmulde direkt an der Z¨ bracht. Der Kraftstoff wird u use eingespritzt. Es bleibt jedoch die ¨ber eine Mehrlochd¨ str¨omungsmechanische Aufgabe der Optimierung der Verbrennung bez¨ uglich der Verringerung der Schadstoffemissionen. Str¨ omungen mit Verbrennung werden technisch genutzt f¨ ur den Antrieb von Flugzeugen, Schiffen und Kraftfahrzeugen. Die Verbrennung fossiler Brennstoffe erzeugt den gr¨oßten Teil der elektrischen und W¨ armeenergie (Abbildung 1.25). Die Optimierung der Str¨omungen bei diesen Verbrennungsprozessen erm¨oglicht die Verringerung des Kraftstoffverbrauches sowie die Reduzierung der Schadstoffemissionen. Turbulente Verbrennungsprozesse sind durch ein breites Spektrum von Zeit- und L¨angenskalen charakterisiert. Die typischen L¨ angenskalen der Turbulenz reichen von der Ausdehnung der Brennkammer bis hinunter zu den kleinsten Wirbeln, in denen turbulente

Brennkammer

Abb. 1.25: Str¨omungen mit Verbrennung

Abgase

24

1 Einf¨ uhrung

Abb. 1.26: Turbulente Flamme, (J. Warnatz und U. Riedel 2003)

kinetische Energie dissipiert wird. Die der Verbrennung zugrunde liegenden chemischen ¨ Reaktionen geben ein breites Spektrum von Zeitskalen vor. Abh¨angig vom Uberlappen der turbulenten Zeitskalen mit den chemischen Zeitskalen gibt es Bereiche mit einer starken oder schwachen Wechselwirkung zwischen Chemie und turbulenter Str¨omung. Eine vollst¨andige Beschreibung turbulenter Flammen muss deshalb die kleinsten und die gr¨oßten Skalen aufl¨ osen. Es werden Mittelungstechniken in Form von Turbulenzmodellen eingesetzt, die die technische Anwendung im Hinblick auf Mischung, Verbrennung und Schadstoffbildung realistisch beschreiben. So zeigt die Verbrennungsfront einer Flamme in Abbildung 1.26 abgeschlossene Bereiche von Frischgas, die in das Abgas eindringen. Dieser transiente Prozess kann mittels der direkten numerischen Simulation, die in Kapitel 3.2.4 beschrieben wird, zeitlich aufgel¨ ost untersucht werden und ist f¨ ur die Bestimmung des G¨ ultigkeitsbereiches bestehender sowie die Entwicklung neuer Modelle zur Beschreibung der turbulenten Verbrennung von Bedeutung. In verfahrenstechnischen und chemischen Produktionsanlagen (Abbildung 1.27) sind es Rohrstr¨omungen in Kr¨ ummern und Verzweigungen, die Verluste verursachen. Bei Fl¨ ussigkeitsabscheidern sind Mehrphasenstr¨omungen mit Tropfen und Blasen zu ber¨ ucksichtigen, die bei der Optimierung der Prozessabl¨aufe eine Vielfalt str¨omungstechnischer Fragestellungen aufwerfen. Die Mehrphasenstr¨ omungen (Abbildung 1.28) sind die am h¨aufigsten auftretende Str¨ omungsformen in Natur und Technik. Dabei ist der Begriff Phase im thermodynamischen Sinne als einer der Aggregatszust¨ ande fest, fl¨ ussig und gasf¨ormig zu verstehen, die in ein- oder mehrkomponentigen Stoffsystemen simultan auftreten k¨onnen. Die mit Regentropfen und Hagelk¨ ornern driftenden Gewitterwolken, der sch¨aumende Gebirgsbach, die abgehende Schneestaub-Lawine oder die Vulkanasche-Wolke sind eindrucksvolle Beispiele f¨ ur Mehrphasenstr¨ omungen in der Natur. In der Kraftwerks- und chemischen Verfahrenstechnik sind Mehrphasenstr¨omungen ein entscheidendes Mittel f¨ ur W¨ arme- und Stofftransport. Zweiphasenstr¨omungen bestimmen das Geschehen in den Dampferzeugern, Kondensatoren und K¨ uhlt¨ urmen von Dampfkraftuhlturm ist in der Abwerken. Der niederfallende Regen des K¨ uhlwassers in einem Nassk¨

1.1 Str¨ omungen in Natur und Technik

25

bildung 1.29 zu sehen. Die Wassertropfen geben ihre W¨arme durch Verdampfen an die sich erw¨armende aufsteigende Luft ab. Mehrphasen-Mehrkomponenten-Str¨omungen werden bei der Gewinnung, dem Transport und der Verarbeitung von Erd¨ol und Erdgas eingesetzt. Bei Destillations- und Rektifikationsprozessen der chemischen Industrie sind diese Str¨omungsarten ebenso maßgeblich beteiligt. Sie treten auch als Kavitationserscheinungen an schnell umstr¨ omten Unterwassergleitfl¨achen auf. Ph¨anomene dieser Art sind in Str¨omungsmaschinen h¨ ochst unerw¨ unscht, da sie zu gravierenden Materialsch¨adigungen f¨ uhren k¨onnen. Mehrphasenstr¨omungen mit Verbrennung treten auch in Str¨ omungsmaschinen auf. Als exemplarisches Beispiel sei das Fan-Triebwerk eines Verkehrsflugzeuges beschrieben. In der Abbildung 1.30 ist das Schnittbild eines modernen Fan-Triebwerks gezeigt. Die vorderen Schaufelbl¨ atter bilden den so genannten Fan, der vornehmlich den Schub des gesamten Triebwerkes erzeugt. Der Fan wird von einer Gasturbine angetrieben, die sich im Inneren des Triebwerkes befindet (auch Core-Engine genannt). Ein geringer Anteil des Schubes wird durch den aus der Gasturbine austretenden Impuls des Abgasstrahles erzeugt. Die Bl¨atter des Fans werden mit einer schallnahen Mach-Zahl von M∞ = 0.8 angestr¨omt. Infolge der Rotation der Bl¨ atter ist die Relativgeschwindigkeit zwischen den Bl¨attern und der Str¨ omung gr¨ oßer als die Schallgeschwindigkeit. Die Bl¨atter werden also ¨ insbesondere auf gr¨ oßeren Radien mit Uberschall angestr¨omt und auf ihnen entstehen wie auf dem Tragfl¨ ugel eines Verkehrsflugzeuges Verdichtungsst¨oße, die nicht nur Verluste erzeugen, sondern zus¨ atzlich akustische Probleme verursachen. Der Fan wird von der Core-Engine angetrieben. Diese wiederum besteht f¨ ur so genannte Mehrwellentriebwerke aus einem Nieder- und Hochdruckkompressor, einer Brennkammer sowie einer Nieder- und Hochdruckturbine. Die durch die Fan-Stufe leicht vorverdichtete

Abb. 1.27: Produktionsanlage in der chemischen Verfahrenstechnik

26

1 Einf¨ uhrung

Abb. 1.28: Mehrphasenstr¨ omungen

Luft str¨omt in die erste Stufe des Niederdruckverdichters. Da die Luft niedrige Temperaturen besitzt und infolgedessen die ¨ ortliche Schallgeschwindigkeit klein ist, wird bei den ¨ g¨angigen Drehzahlen des Kompressors der Rotor mit einer Uberschallstr¨ omung beaufschlagt. Die durch den Nieder- und Hochdruckkompressor verdichtete Luft str¨omt in die Brennkammer, in die Kerosin eingespritzt und verbrannt wird. Es entsteht eine Zweiphasenstr¨omung, die aus fl¨ ussigem und gasf¨ ormigem Brennstoff sowie aus Luft besteht. Der Einspritzvorgang des Kerosins muss so gew¨ ahlt werden, dass eine gute Durchmischung erzielt wird. Eine gute Durchmischung wiederum wird in einer Str¨omung mit hohem Turbulenzgrad erreicht. Die G¨ ute der Durchmischung bzw. der Turbulenzgrad und die Turbulenzverteilung innerhalb der Brennkammer bestimmen auch die Schadstoffemission. Durch die Verbrennung wird der Str¨ omung Energie zugef¨ uhrt. Die Str¨omung wird heiß und tritt in die nachfolgende Hochdruckturbine ein, die den Hochdruckverdichter antreibt. Da das Gas heiß ist, ist die Schallgeschwindigkeit hoch, so dass die eintretende

Abb. 1.29: Nassk¨ uhlturm

27

1.1 Str¨ omungen in Natur und Technik

Turbinenstr¨omung einer Unterschallstr¨ omung mit kleinen Mach-Zahlen entspricht. In der Hochdruckturbine wird das heiße Gas entspannt und tritt nachfolgend in die Niederdruckturbine ein, die den Niederdruckverdichter antreibt. Die Temperatur, auf die die Str¨ omung aufgeheizt wird, erh¨oht zwar den Energiegehalt der Str¨omung, die der Turbine zugef¨ uhrt wird, fordert aber von den eingesetzten Materialien h¨ohere Belastungsgrenzen. Mit neuartigen Werkstoffen kann die zul¨assige Wandtemperatur von Turbinenschaufeln auf bis zu 1250 ◦ C erh¨oht werden, in den Turbinen moderner Verkehrsflugzeuge herrscht allerdings eine Betriebstemperatur von mehr als 1500 ◦ C. Um die Schaufeln dennoch bei dieser Temperatur einsetzen zu k¨onnen, wird ein Teil der angesaugten Kaltluft dem Verdichter-Volumenstrom entnommen und in der Turbine an der Schaufeloberfl¨ache durch K¨ uhlbohrungen ausgestoßen. Durch das Einstr¨omen der kalten Luft in die heiße Gasstr¨ omung legt sich ein Film geringerer Temperatur zwischen Heißgas und Schaufel, der den W¨ armeeintrag in die Schaufel reduziert, so dass die Temperatur auf der Schaufeloberfl¨ ache einen Wert unterhalb der zul¨assigen Wandtemperatur annimmt. Dieser Vorgang wird Filmk¨ uhlung genannt. In der Abbildung 1.31 ist der Vorgang schematisch dargestellt. Die Raumfahrt hat sich mit dem Transport von Satelliten und Raumstationen in den erdnahen Orbit in den letzten Jahrzehnten etabliert. Mit dem Bau der neuen Raumstation ISS und dem gr¨ oßer werdenden Bedarf geostation¨arer Satelliten in der Erdumlauf-

Fan Core Engine

Brennkammer Kompressor

Abb. 1.30: Dreiwellen Fan-Triebwerk

Turbine

28

1 Einf¨ uhrung

Abb. 1.31: Prinzip der Filmk¨ uhlung

bahn wird die Entwicklung wiederverwendbarer Orbitaltransport- und R¨ uckkehrsysteme immer notwendiger. Die historische Entwicklung des Orbitaltransports begann 1949 mit dem Start der ersten zweistufigen V-2 Rakete. Bei der R¨ uckkehr der zweiten Stufe in die Erdatmosph¨are wurde erstmals in der Geschichte der Luft- und Raumfahrt die Mach-Zahl 5 u ¨berschritten. Ein Meilenstein der weiteren Entwicklung des Orbitaltransportes war das teilweise wiederverwendbare Orbitaltransportsystem Space-Shuttle in den siebziger Jahren, das bis heute im Einsatz ist (Abbildung 1.32). Die f¨ ur den Start erforderlichen Feststoff-Raketenbooster werden wieder geborgen. Entgegen den Raumkapseln landet der Orbiter nach seiner Mission in einer erdnahen Umlaufbahn auf der Erde (Abbildung 1.33). Lediglich der Treibstofftank geht nach jedem Start verloren. Nachdem 1949 die Raketenspitze der zweiten Stufe der V-2 bei ihrem ballistischen Wiedereintritt in die Erdatmosph¨ are aus 390 km H¨ ohe vergl¨ uhte, folgte 1961 der erste bemannte Wiedereintritt in die Erdatmosph¨ are mit einer Wiedereintrittskapsel. Beim Abbremsen der Kapsel in der Erdatmosph¨ are wurden Mach-Zahlen u ¨ber 25 erreicht. Das Gas vor der Kapsel wurde dabei u ¨ber 10000 K heiß, so dass die Wiedereintrittskapsel vor dem Vergl¨ uhen durch ein Hitzeschild gesch¨ utzt werden musste. Es haben sich in der fr¨ uhen Phase der Wiedereintrittstechnologie Ablationshitzeschilder aus beispielsweise faserverst¨arkten Kunstharzen als Hitzeschutz bew¨ahrt. Dabei wird die teilweise Zerst¨orung der ¨außeren Wandschicht durch chemische Reaktionen, Sublimation, Verdunsten oder

Abb. 1.32: Start der V-2 Rakete und des Space Shuttles

1.1 Str¨ omungen in Natur und Technik

29

auch Schmelzfluss f¨ ur die W¨ armeabfuhr genutzt. Nach jedem Wiedereintritt muss das Hitzeschild der Kapsel ersetzt werden. Erst in j¨ ungster Zeit sind neue hitzebest¨andige Faserverbund-C/SiC-Materialien entwickelt worden, die mit einem entsprechenden Oxidationsschutz ein wiederverwendbares Hitzeschild m¨oglich machen. Ein erster Ansatz eines wiederverwendbaren Hitzeschutzes wurde bereits beim Space Shuttle mit Kacheln realisiert. Die Str¨omungsbeispiele aus Natur und Technik lassen sich fortsetzen. Wenn der Student bis hier dem Text gefolgt ist, wird das Interesse geweckt sein, die Grundlagen und Methoden der Str¨ omungsmechanik lernen zu wollen, um selbst die F¨ahigkeit zu erlangen, str¨omungsmechanische Probleme der Natur- und Ingenieurwissenschaften l¨osen zu k¨onnen. Die Zusammenfassung des einf¨ uhrenden Kapitels ist als Film Faszination Str¨ omungsmechanik unter www.prof-oertel.de verf¨ ugbar. Wir m¨ochten am Ende der Einf¨ uhrung noch auf zus¨atzliche Literatur verweisen. Als erg¨anzende Literatur zum Lehrstoff der Str¨omungsmechanik empfehlen wir f¨ ur die Vertiefung der str¨ omungsmechanischen Grundlagen das Standardwerk H. Oertel jr., Prandtl–F¨ uhrer durch die Str¨ omungslehre 2008, in dem auch erg¨anzende Gebiete der Str¨omungsmechanik wie die Aerodynamik, turbulente Str¨omungen, str¨omungsmechanische Instabilit¨ aten, Str¨ omungen mit W¨arme- und Stoff¨ ubertragung, Str¨omungen mit mehreren Phasen und chemischen Reaktionen, Str¨omungen in der Atmosph¨are und im Ozean, biologische Str¨ omungen sowie Mikrostr¨omungen beschrieben sind. Die von technischen Problemen abgeleiteten str¨ omungsmechanischen Ph¨anomene finden sich in unserem Lehrbuch H. Oertel jr. und M. B¨ohle 1995, 2005. F¨ ur die Vertiefung der analytischen und numerischen L¨ osungsmethoden verweisen wir auf die Lehrb¨ ucher H. Oertel jr. und E. Laurien 2003, 2009, H. Oertel jr. und J. Delfs 1996, 2005, H. Oertel jr. 1994, 2005. Die Biostr¨ omungsmechanik findet sich in unserem neuen Lehrbuch H. Oertel jr. 2008. Die analytische Beschreibung der str¨omungsmechanischen Grundlagen und Methoden findet man in G. K. Batchelor 2009, H. Herwig 2008, J. H. Spurk 2008 F. M. White 2011 und die technische Anwendung der Grenzschichttheorie in H. Schlichting und K. Gersten 2006. F¨ ur die Vertiefung der mathematischen Grundlagen empfehlen wir das Buch von K. Meyberg und P. Vachenauer 2006, 2007.

Abb. 1.33: Landung der Wiedereintrittskapsel und des Space Shuttles

30

1.2

1 Einf¨ uhrung

Str¨ omungsbereiche

Eine erste Ber¨ uhrung mit Str¨ omungen kann jeder selbst z.B. am Wasserhahn erfahren. H¨alt  , die die Str¨omung auf man den Finger in den Wasserstrahl, so versp¨ urt man eine Kraft F den Finger aus¨ ubt. Diese Kraft nennen wir Widerstand, den ein K¨orper in einer Str¨omung erf¨ ahrt. Dieser Widerstand ist abh¨ angig von der Geometrie des umstr¨omten K¨orpers, der Oberfl¨achenbeschaffenheit, dem str¨ omenden Medium und den Str¨omungsvariablen. Der Widerstand wird einen unterschiedlichen Wert f¨ ur einen Gasstrahl bzw. f¨ ur den bisher betrachteten Wasserstrahl haben. Um Gase und Fl¨ ussigkeiten nicht st¨andig unterscheiden zu m¨ ussen, f¨ uhren wir den Sammelbegriff des Fluids ein. Die Str¨ omungsmechanik befasst sich mit dem kinematischen und dynamischen Verhalten dieser Fluide. Das str¨omende Fluid wird als Kontinuum betrachtet. Dies bedeutet, dass wir die molekulare Struktur des str¨ omenden Mediums vernachl¨assigen, da die mittlere freie Wegl¨ange der Molek¨ ule λ = 6.8 · 10−8 m f¨ ur Luft bei Normalbedingungen klein gegen die charakteristischen makroskopischen Abmessungen des Str¨omungsfeldes ist. Die charakteristischen physikalischen Gr¨oßen des Str¨ omungsfeldes der Abbildung 1.34 wie der Geschwindigkeitsvektor v mit den Komponenten in den drei Raumrichtungen u, v, w, der Druck p, die Dichte  = (x, y, z) und ρ und die Temperatur T werden als kontinuierliche Funktionen des Ortes x der Zeit t angenommen. Der zun¨achst betrachtete Finger im Wasserstrahl ist in der Abbildung 1.34 durch eine horizontale Platte ersetzt. Die vom K¨ orper ungest¨orte Anstr¨omung w∞ zeigt in vertikale Richtung und wird mit dem Index ∞ versehen. F¨ ur die Beschreibung einer Str¨omung m¨ ussen die drei skalaren Feldgr¨ oßen p, ρ und T sowie die drei Komponenten (u, v, w) der vektoriellen Geschwindigkeit v als Funktionen der drei Koordinaten (x, y, z) und der Zeit t berechnet werden: ⎛ ⎞ u(x, y, z, t) p(x, y, z, t) , ρ(x, y, z, t) , T (x, y, z, t) , v (x, y, z, t) = ⎝ v(x, y, z, t) ⎠ . (1.1) w(x, y, z, t) F¨ ur die Berechnung dieser sechs Str¨ omungsgr¨ oßen stehen die kontinuumsmechanischen Grundgleichungen Masse-, Impuls- und Energieerhaltung sowie die thermodynami-

Abb. 1.34: Kraftwirkung einer Str¨omung

1.2 Str¨ omungsbereiche

31

Abb. 1.35: Fl¨ ussigkeitsstrahl gegen eine horizontale Platte schen Zustandsgleichungen zur Verf¨ ugung, die in Kapitel 3 eingehend behandelt werden. In Abbildung 1.35 wird das Beispiel der umstr¨ omten horizontalen Platte weiter betrachtet, um einige grundlegende Begriffe der Beschreibung von Str¨omungen einzuf¨ uhren. Im linken Bild sind die Str¨omungsbahnen mit Aluminiumflittern sichtbar gemacht. Es f¨allt in der Mitte der Platten ein ausgezeichneter Punkt auf, den wir Staupunkt nennen, in dem sich die Str¨omungslinien nach links und rechts verzweigen. Im Staupunkt eines Str¨omungsfeldes ist der Geschwindigkeitsvektor v gleich Null und man findet ein Maximum des Drucks p. Das rechte Bild der Abbildung 1.35 zeigt die Prinzipskizze der Str¨omung. An der Plattenoberfl¨ache gilt die Haftbedingung des Fluids. Es ist wiederum die Geschwindigkeit gleich Null, der Druck variiert jedoch im Allgemeinen entlang der Koordinate x. Die Geschwindigkeit senkrecht zur Platte variiert am betrachteten Ort vom Wert Null bis zur konstanten Geschwindigkeit der Außenstr¨ omung. Damit haben wir eine erste Bereichseinteilung gefunden, die das Str¨ omungsgebiet in eine Grenzschichtstr¨omung und eine Außenstr¨omung aufteilt. Ber¨ ucksichtigen wir die Stoffeigenschaften des Fluids, wie z.B. die Z¨ahigkeit μ (siehe Kap. 2.1), die f¨ ur die Reibung in der Str¨omung verantwortlich ist, so ist die Grenzschichtstr¨ omung der reibungsbehaftete Anteil des Str¨omungsfeldes und die Außenstr¨omung der reibungsfreie Anteil. Ursache f¨ ur die innere Reibung sind die intermolekularen Wechselwirkungskr¨ afte des Fluids. Zwei elastische Kugeln tauschen beim Stoß (Abbildung 1.36) Impuls und Energie momentan und vollst¨ andig aus und weisen die in Abbildung 1.37 skizzierte unendlich große Wechselwirkungskraft auf. Im Gegensatz dazu ist die Wechselwirkung zwischen den Molek¨ ulen des str¨omenden Fluids, je nach ihrem relativen Abstand r, durch eine abstoßende beziehungsweise anziehende Wechselwirkungskraft gekennzeichnet (siehe Kap. 2.1). Die-

Abb. 1.36: Stoß zweier Kugeln (Punktmechanik)

32

1 Einf¨ uhrung

Abb. 1.37: Wechselwirkungskraft beim Stoß harter Kugeln

se Wechselwirkungskr¨ afte zwischen den Molek¨ ulen bestimmen die Transporteigenschaften des Fluids, wie z.B. die Z¨ ahigkeit (Reibung), W¨ armeleitung (Energietransport), Diffusion (Massentransport). F¨ ur die unterschiedlichen Bereiche des str¨ omenden Fluids gelten die entsprechenden Grundgleichungen der Kontinuumsmechanik: Masse-, Impuls- und Energieerhaltung, die sowohl f¨ ur die reibungsbehaftete Grenzschichtstr¨omung also auch f¨ ur die reibungsfreie Außenstr¨omung gelten und in Kapitel 3 behandelt werden. Eine ganz andere Einteilung der Str¨ omungsgebiete erlauben die Str¨omungsgr¨oßen Geschwindigkeit v und Dichte ρ. Wir sprechen von einer inkompressiblen Str¨omung, wenn die Dichte ρ im Str¨ omungsfeld bei vorgegebener Temperatur konstant ist, wie z.B. bei Wasserstr¨omungen. Die Str¨ omung ist kompressibel, wenn die Dichte, wie z.B. bei Luftstr¨omungen, sich im Str¨ omungsfeld ver¨ andert. Ist der Geschwindigkeitsvektor v gleich Null, so sprechen wir f¨ ur das ruhende Medium von der Hydrostatik (ρ = konst.) bzw. der Aerostatik (ρ variabel). Entsprechend bezeichnen wir die Gebiete des str¨omenden

Abb. 1.38: Einteilung der Str¨ omungsgebiete

33

1.2 Str¨ omungsbereiche

Fluids mit Hydrodynamik und Aerodynamik. In Abbildung 1.38 sind Beispiele erg¨ anzt. So behandelt die Hydrostatik z.B. den linearen Druckverlauf in einer stehenden Wassers¨ aule, die Aerostatik den Druck- und Temperatur(bzw. Dichte-) verlauf in der ruhenden Atmosph¨are, die Hydrodynamik die Wasserstr¨omung um eine Platte und die Aerodynamik der Tragfl¨ ugelumstr¨omung.

Tragfl¨ ugelumstr¨ omung Abbildung 1.39 zeigt den Fl¨ ugel des Airbus A 321. Das Flugzeug fliegt von links nach rechts. Im Windkanal wird der Tragfl¨ ugel von links mit der Mach-Zahl M ∞ (Verh¨altnis der Anstr¨omungsgeschwindigkeit u∞ und der Schallgeschwindigkeit a∞ ) angestr¨omt, wobei die Anstr¨omung einer hohen Unterschall-Mach-Zahl M∞ ≈ 0.8 entspricht. Eine weitere dimensionslose Kennzahl charakterisiert den reibungsbehafteten Grenzschichtbereich der Fl¨ ugelumstr¨omung, die Reynolds-Zahl ReL , die sich mit der Anstr¨omung u∞ , der Fl¨ ugeltiefe L und der kinematischen Z¨ ahigkeit ν (ν = μ/ρ) berechnet: ReL = u∞ · L/ν. Sie betr¨agt f¨ ur Verkehrsflugzeuge ungef¨ ahr ReL ≈ 7 · 107 . F¨ ur diesen Flugzustand m¨ ussen die Str¨ omungsverluste gering gehalten werden, damit das Verh¨altnis von Auftrieb und Widerstand einen m¨oglichst großen Wert erreicht. Um dies zu erzielen, muss der Aerodynamiker die verschiedenen Str¨omungsph¨anomene kennen, um die Berechnungsmethoden gezielt und geeignet anwenden zu k¨onnen. Die Tragfl¨ ugelstr¨omung ist jedoch nicht nur f¨ ur den Auslegungszustand in großen Flugh¨ohen von Interesse. Beim Entwurf muss gleichzeitig ber¨ ucksichtigt werden, dass der Tragfl¨ ugel auch bei Start und Landung, also im Langsamflug mit zus¨atzlichen Hochauftriebsmitteln ausreichend Auftrieb erzeugt. Ebenfalls ist bei der Entwicklung eines Flugzeuges zu beachten, wie der Rumpf und die Triebwerke die Tragfl¨ ugelstr¨omung beeinflussen und wo z.B. der beste Ort f¨ ur die Triebwerksanbringung ist. F¨ ur all diese Fragen finden analytische und vornehmlich numerische Methoden ihre Anwendungen. Denn beim Entwurf ist man bestrebt, mit einigen wenigen Windkanalversuchen den Tragfl¨ ugel so zu entwickeln, dass die Entwicklungskosten und Entwicklungszeiten m¨oglichst gering gehalten werden. Außerdem ist z.B. eine Optimierung einer Airbus-Tragfl¨ache und eine Untersuchung des Auftriebs- und Widerstandsverhaltens bei verschiedenen Anstellwinkeln und Str¨omungsgeschwindigkeiten ohne moderne

Abb. 1.39: Tragfl¨ ugel eines Verkehrsflugzeuges

34

1 Einf¨ uhrung

str¨ omungsmechanische Methoden kaum denkbar. In Abbildung 1.40 sind die Str¨ omungsbereiche in einem Profilschnitt des Tragfl¨ ugels, die dimensionslose Druckverteilung sowie die Sichtbarmachung der Str¨omung mit Teilchen dargestellt. F¨ ur die Diskussion benutzen wir den dimensionslosen Druckbeiwert cp , der wie folgt definiert ist: cp =

p − p∞ 1 · ρ∞ · u2∞ 2

.

(1.2)

p ist der Druck an einer beliebigen Stelle im Str¨omungsfeld, wobei die Gr¨oßen p∞ , ρ∞ und u∞ f¨ ur den Druck, die Dichte bzw. f¨ ur die Geschwindigkeit der Anstr¨omung steugel gezeigt, um den Unterhen. In Abbildung 1.40 ist der −cp -Verlauf um den Tragfl¨ ¨ druck auf der Oberseite (Saugseite) und den Uberdruck auf der Unterseite (Druckseite) des Tragfl¨ ugels gegen¨ uber der freien Anstr¨ omung hervorzuheben. Die freie Anstr¨omung mit der Geschwindigkeit u∞ wird entlang der Staulinie verz¨ogert. Auf der Vorderkante des Tragfl¨ ugels kommt die Str¨ omung zum Stillstand und erreicht dort ihren maximalen ugel nennen wir Staupunkt. Druckbeiwert cp (−cp minimal). Diesen Punkt auf dem Fl¨ Vom Staupunkt aus verzweigt sich die Staulinie zur Saug- und Druckseite. Wir diskutieren zun¨achst den −cp -Verlauf entlang der Saugseite. Vom Staupunkt aus wird die Str¨omung entlang der Oberseite stark beschleunigt (der −cp -Wert wird gr¨oßer) und erreicht im vor¨ deren Teil der Tragfl¨ ache Uberschallgeschwindigkeiten. Weiter stromab wird die Str¨omung u ¨ber einen Drucksprung, den wir Verdichtungsstoß nennen, wieder auf eine Unterschallgeschwindigkeit verz¨ ogert (sprunghafter Abfall des −cp -Wertes). Die Str¨omung wird weiter zur Hinterkante hin verz¨ ogert. Auf der Druckseite wird die Str¨ omung ebenfalls vom Staupunkt aus beschleunigt. Die Beschleunigung ist jedoch im Nasenbereich nicht so groß wie auf der Saugseite, so dass

Strömungssichtbarmachung

Abb. 1.40: Str¨omungsbereiche und Druckverteilung auf einem Tragfl¨ ugel

1.2 Str¨ omungsbereiche

35

¨ auf der gesamten Druckseite keine Uberschallgeschwindigkeiten auftreten. Ungef¨ahr ab der Mitte der Tragfl¨ ache wird die Str¨ omung wieder verz¨ogert, und der −cp -Wert gleicht sich stromab dem −cp -Wert der Saugseite an. An der Hinterkante sind die Druckbeiwerte der Druck- und Saugseite n¨ aherungsweise gleich groß. Auf der Saug- und Druckseite bildet sich eine d¨ unne Grenzschicht aus. Die saug- und die druckseitige Grenzschicht treffen sich an der Hinterkante und bilden weiter stromab die Nachlaufstr¨ omung. Sowohl die Str¨ omung in den Grenzschichten als auch die Str¨omung im Nachlauf ist reibungsbehaftet. Außerhalb der genannten Bereiche ist die Str¨omung nahezu reibungsfrei. Aus den Eigenschaften der Str¨ omungsbereiche resultieren f¨ ur die Berechnung der jeweiligen Str¨omungen unterschiedliche Gleichungen. F¨ ur die Grenzschichtstr¨omungen gelten mit guter N¨aherung die Grenzschichtgleichungen. Mit mehr Aufwand hingegen ist die Berechnung der Nachlaufstr¨ omung und die Str¨omung im Hinterkantenbereich verbunden. F¨ ur diese Bereiche m¨ ussen die Navier-Stokes-Gleichungen gel¨ost werden. Die reibungsfreie Str¨omung im Bereich vor dem Stoß ist mit der Potentialgleichung einer Berechnung zug¨anglich, was mit vergleichsweise wenig Aufwand verbunden ist. Die reibungsfreie Str¨omung hinter dem Stoß außerhalb der Grenzschicht muss mit den EulerGleichungen berechnet werden, da dort die Str¨omung drehungsbehaftet ist. All diese str¨omungsmechanischen Grundgleichungen, deren Namen zun¨achst einmal genannt sein sollen, werden ausf¨ uhrlich in Kapitel 3 behandelt. In Abbildung 1.41 sind erg¨ anzend Farbspuren der Str¨omungen auf dem Tragfl¨ ugel im Windkanalexperiment gezeigt. Wir erkennen, dass in einem großen Bereich der Fl¨ ugelspannweite die Farbspuren geraden Linien folgen. In diesen Profilschnitten gelten

Abb. 1.41: Str¨omungsspuren auf der Oberfl¨ache eines Tragfl¨ ugels im Windkanal

36

1 Einf¨ uhrung

die Aussagen, wie wir sie bisher besprochen haben. In der Umgebung des Flugzeugrumpfes weichen die Str¨omungslinien jedoch von der geraden Linie ab und bilden einen “Wirbel” auf der hinteren Oberfl¨ ache des Tragfl¨ ugels, den wir in den folgenden Kapiteln mit dem Begriff der Str¨ omungsabl¨ osung verkn¨ upfen werden, die einen wesentlichen Einfluss auf das Flugverhalten des Flugzeuges hat. Zum Abschluss des Tragfl¨ ugelbeispiels wird noch die Frage behandelt, warum der Fl¨ ugel eines Verkehrsflugzeuges im Gegensatz zu dem eines Segelflugzeuges gepfeilt ist. Dies h¨angt bei den hohen Flug-Mach-Zahlen von 0.8 mit der Mach-Zahlabh¨angigkeit des dimensiuhren den Widerstandsbeiwert cw onslosen Widerstandsbeiwertes cw zusammen. Wir f¨ mit cw =

FW 1 · ρ∞ · u2∞ · A 2

(1.3)

ugels ist. Der ein, wobei FW die Widerstandskraft und A die Querschnittsfl¨ache des Fl¨ Widerstand steigt bei transsonischen Str¨ omungen stark an. Da man mit einem Verkehrsflugzeug m¨oglichst schnell (hohe Mach-Zahl) fliegen will, aber bei m¨oglichst geringem Widerstand den Treibstoffverbrauch m¨ oglichst gering halten will, nutzt man die Pfeilung des ur die Widerstandsverringerung. Die geometrische Beziehung Fl¨ ugels von etwa φ = 30◦ f¨ M = M∞ · cos(φ) verringert die lokale Mach-Zahl, mit der das Profil im jeweiligen Profilschnitt des Tragfl¨ ugels angestr¨omt wird um den Wert cos(φ) und h¨alt um den entsprechenden Betrag den Widerstandsbeiwert gering. Damit fliegt das Verkehrsflugzeug bei der Str¨omungs-Machohe mit einer Geschwindigkeit von 950 km/h. Zahl M∞ = 0.8 in z. B. 10 km H¨ Kraftfahrzeugumstr¨ omung Einer der ersten Schritte bei der Entwicklung eines Kraftfahrzeuges beinhaltet die Festlegung der Fahrzeugkontur, die mehr vom Designer als vom Aerodynamiker bestimmt wird.

Abb. 1.42: Umstr¨ omung eines Kraftfahrzeuges

37

1.2 Str¨ omungsbereiche

Die Grenzen der Variationsm¨ oglichkeiten an der Kontur (Abbildung 1.42), innerhalb derer der Aerodynamiker die Außenhaut des Fahrzeuges mitbestimmt, sind gering. Unter Ber¨ ucksichtigung dieser Vorgaben optimiert der Automobil-Aerodynamiker vornehmlich die Kontur dahingehend, dass der Umstr¨omungswiderstand m¨oglichst klein wird. So sind in den letzten Jahren Fahrzeuge entwickelt worden, deren Widerstandsbeiwerte cw kleiner als 0.3 sind. Die Minimierung des Umstr¨ omungswiderstandes ist jedoch l¨angst nicht die einzige Aufgabe, die der Aerodynamiker beim Entwurf u ussen bei der Op¨bernimmt. Gleichzeitig m¨ timierung der Kontur alle Kr¨ afte und Momente, die durch die Luftstr¨omung entstehen, mitber¨ ucksichtigt werden. Dabei sind insbesondere die Auftriebskraft, die Seitenwindkraft und das Moment um die Hochachse des Fahrzeuges von Wichtigkeit, da sie am meisten die Fahrstabilit¨at beeinflussen. Des Weiteren geh¨ort es zu den Aufgaben des Aerodynamikers daf¨ ur Sorge zu tragen, dass die Windger¨ ausche minimal sind, die Verschmutzung der Scheiben bei der Fahrt gering bleibt, die Seitenspiegel im Hochgeschwindigkeitsbereich nicht vibrieren etc. Die Umstr¨omung eines Kraftfahrzeuges kann mit guter N¨aherung, im Gegensatz zur bereits betrachteten Tragfl¨ ugelstr¨ omung eines Verkehrsflugzeuges als inkompressibel angenommen werden, da die Dichte¨ anderungen klein sind. Wie beim Tragfl¨ ugel unterscheiden wir in Abbildung 1.43 Str¨ omungsbereiche der reibungsfreien Umstr¨omung, der Grenzschichtstr¨omung und der reibungsbehafteten Nachlaufstr¨omung. Die Druckkraftverteilung weist am K¨ uhler einen Staupunkt auf, in dem die Druckkraft einen maximalen Wert hat. Auf der K¨ uhlerhaube wird die Str¨omung beschleunigt, was einen Druckabfall zur Folge hat. Auf der Windschutzscheibe wird die Str¨omung erneut ¨ aufgestaut, was wiederum zu einem Druckanstieg f¨ uhrt. Nach Uberschreiten des Druckminimums auf dem Dach wird die Str¨ omung mit dem damit verbundenen Druckanstieg verz¨ogert. Stromab des Kofferraums geht die Grenzschichtstr¨omung in die Nachlauf-

Sichtbarmachung im Nachlauf

Abb. 1.43: Str¨omungsbereiche und Druckkraft auf einem Fahrzeug

38

1 Einf¨ uhrung

str¨ omung u ¨ber. Wie die Visualisierung der Str¨ omung mit Hilfe von Rauch im Windkanalexperiment zeigt, bildet sich stromab des Fahrzeughecks ein R¨ uckstr¨omgebiet aus, das durch den schwarzen Bereich gekennzeichnet ist, in den keine Str¨omungsanzeiger (weiße Rauchpartikel) eindringen k¨onnen. Die Unterbodenstr¨ omung zwischen Fahrzeug und Straße k¨onnen wir als eine Spaltstr¨omung auffassen, deren obere Begrenzung rauh ist. Der Mittelwert der Rauhigkeitsspitzen betr¨agt bei Personenkraftwagen bis zu ≈ 10 cm, so dass wir die Str¨omung in der unmittelbaren Umgebung der oberen Wand als verwirbelt annehmen m¨ ussen. Um diese Verwirbelungen zu vermeiden, werden bei vielen Personenkraftwagen Frontspoiler im unteren Bereich des Fahrzeuges vor dem Einlauf des Spaltes angeordnet. Damit wird erreicht, dass sich ein großer Teil der Str¨ omung nicht unter dem Fahrzeug einstellt, wo infolge der Verwirbelungen eine Erh¨ ohung des Umstr¨omungswiderstandes hervorgerufen w¨ urde. Die dadurch erzielbaren Einsparungen sind gr¨oßer als die Verluste, die durch den Widerstand der Spoiler verursacht werden. Die negative Druckkraft auf der oberen Kontur ist in den meisten Bereichen wesentlich gr¨ oßer als unter dem Fahrzeug, so dass dieser Druckunterschied einen Auftrieb bewirkt. Bei der aerodynamischen Auslegung wird nun angestrebt, sowohl den Auftrieb als auch den Widerstand klein zu halten. Dazu werden, wie bereits bei der Darstellung der Unterbodenstr¨omung erw¨ ahnt, in vielen Anwendungsf¨allen Kontur¨anderungen vorgenommen und Spoiler eingesetzt, die die Str¨ omung dahingehend umlenken, dass das Fahrzeug z.B. zus¨atzlichen Abtrieb erf¨ ahrt. In Abbildung 1.44 ist die Struktur der Str¨ omung im bisher betrachteten Mittelschnitt des Kraftfahrzeuges skizziert. Wir erkennen das R¨ uckstr¨omgebiet mit einem Staupunkt auf der Kraftfahrzeugoberfl¨ ache sowie einem Sattelpunkt im Str¨omungsfeld stromab, in dem die Str¨ omungslinien sich in die Nachlaufstr¨ omung und das R¨ uckstr¨omgebiet verzweigen. Im rechten Bild der Abbildung 1.44 ist die dreidimensionale Struktur der Nachlaufstr¨omung dargestellt. Man erkennt, dass sich im oberen Bereich des Kofferraumdeckels ein so ge-

Abb. 1.44: Struktur der Nachlaufstr¨ omung eines Kraftfahrzeuges

1.2 Str¨ omungsbereiche

39

nannter Hufeisenwirbel ausbildet, den man bei leichtem Schneetreiben im Heck des Fahrzeuges selbst beobachten kann. Fl¨ ussigkeits-Dampfabscheider Ganz andere Str¨ omungsbereiche sind in chemischen Produktionsanlagen zu ber¨ ucksichtigen. Nehmen wir das Beispiel eines Fl¨ ussigkeits-Dampfabscheiders, so sind Fl¨ ussigkeitsstr¨omungen in Rohrleitungen von Blasenstr¨omungen, Tropfenstr¨omungen bzw. Dampfstr¨omungen zu unterscheiden. Derartige Fl¨ ussigkeits-Dampfabscheider findet man z.B. in Raffinerien zur Gewinnung schwerer Kohlenwasserstoffe aus Erd¨olbegleitgas. Die Abbildung 1.45 zeigt die vereinfachte Prinzipskizze eines geothermischen Kraftwerkes zur Energiegewinnung nach dem Single Flash Prinzip. Dieses Prinzip findet Anwendung, wenn eine unzureichende Menge an Dampf bei entsprechendem Druck und entsprechender Temperatur vorliegt. Die Anlage besteht aus einem Drosselventil, dem Abscheider (Demister), der Turbine zur Energiegewinnung aus dem Dampf und der Pumpe zur Druckerh¨ohung der Fl¨ ussigkeit, die in die Verpressbohrung zur¨ uckgef¨ uhrt wird. Im Str¨omungsbereich 1 liegt eine inkompressible Fl¨ ussigkeitsstr¨omung vor, die durch ein Drosselventil in den Str¨ omungsbereich 2, eine Zweiphasenstr¨omung (Fl¨ ussigkeit und Dampf) u berf¨ u hrt wird. Bei einem adiabaten Drosselprozess wird durch ein in die Rohr¨ str¨ omung eingebrachtes Hindernis, z.B. ein Absperrorgan oder eine Messblende, ein Druckabfall Δp = p1 − p2 mit p2 < p1 erzeugt, w¨ahrend die Enthalpie h des str¨omenden Fluids konstant bleibt (log(p)-h-Diagramm). Die dann vorliegende Zweiphasenstr¨omung bei 2 wird anschließend einem Abscheider oder auch Demister zur isobaren Trennung von Fl¨ ussigkeiten und Dampf zugef¨ uhrt. Nach der Trennung im Abscheider liegt im Str¨ omungsbereich 3 eine kompressible Dampfstr¨omung vor und im Str¨ omungsbereich 5 eine inkompressible Fl¨ ussigkeitsstr¨omung. Die Vorg¨ange lassen sich auch im, aus der Thermodynamik bekannten log(p)-h-Diagramm darstellen, in dem der Druck p logarithmisch u ¨ber der Enthalpie h des str¨omenden Mediums aufgetragen wird. Im Zweiphasengebiet oder auch Nassdampfgebiet liegt ein Gemisch aus Fl¨ ussigkeit und Dampf vor, das links von der unteren Grenzkurve und rechts von der oberen Grenzkurve begrenzt wird. Beide Grenzkurven treffen sich im kritischen Punkt K. Die untere Grenz-

Abb. 1.45: Prinzipskizze und Druck-Enthalpiediagramm eines Fl¨ ussigkeits-Dampfabscheiders

40

1 Einf¨ uhrung

kurve stellt die Verbindungslinie aller Punkte des Verdampfungsbeginns dar und trennt die Fl¨ ussigkeit vom Zweiphasengebiet. Die obere Grenzkurve stellt die Verbindungslinie aller Punkte des Verdampfungsendes dar und trennt das Zweiphasengebiet vom Dampf. Die Variable X bezeichnet in der Thermodynamik gew¨ohnlich den Dampfanteil im Nassdampf, so dass die untere Grenzkurve auch als X = 0 und die obere Grenzkurve als X = 1 bezeichnet werden kann. Durch unterschiedliche Wahl der Druckdifferenz Δp bei der Drosselung lassen sich unterschiedliche Str¨omungsbereiche 2 im Zweiphasengebiet realisieren, was durch die d¨ unnen Linien im log(p)-h-Diagramm angedeutet ist. Im Str¨omungsbereich 3 liegt eine Dampfstr¨omung vor. Als Dampf bezeichnet man ganz allgemein einen gasf¨ormigen Stoff in der N¨ahe der Grenzkurve. Durch die Turbine wird die kompressible Dampfstr¨omung 3 entspannt. Das f¨ uhrt dazu, dass der thermodynamische Zustand des str¨omenden Mediums nach der Turbine 4 im log(p)-h-Diagramm wieder im Nassdampfgebiet liegt. Damit liegt erneut eine Zweiphasenstr¨ omung vor. Innerhalb der Pumpe, die die inkompressible Fl¨ ussigkeitsstr¨omung vom Str¨omungsbereich 5 in den Str¨omungsbereich 6 u uhrt, k¨ onnen durch die dort vorherrschenden Beschleu¨berf¨ nigungen der str¨omenden Fl¨ ussigkeiten starke Druckabsenkungen auftreten. Daher muss ussigkeit nicht unter darauf geachtet werden, dass der minimale statische Druck pmin der Fl¨ adlichen Kavitationserscheinungen f¨ uhrt, den Dampfdruck pD absinkt, was zu materialsch¨ die die Pumpe zerst¨ oren k¨ onnen. Der Str¨omungsbereich 1 sowie die Str¨ omungsbereiche 5 und 6 sind typische Beispiele f¨ ur die in technischen Anwendungen h¨ aufig vorkommenden inkompressiblen Str¨omungen durch gerade oder gekr¨ ummte Rohre. Beim Durchstr¨omen solcher Rohre sorgen Reibungs-

Rohrleitung

Abb. 1.46: Str¨omungsbereiche einer Zweiphasenstr¨omung

beheiztes Rohr

1.2 Str¨ omungsbereiche

41

einfl¨ usse f¨ ur das Auftreten von Druckverlusten ΔpV , die es zu ermitteln gilt. Die Kenntnis dieser Druckverluste ist z. B. n¨ otig zur Auswahl geeigneter Pumpen mit entsprechender Leistung. Die Str¨ omungsbereiche 2 und 4 der Zweiphasenstr¨omung, bei denen das str¨omende Fluid in zwei Aggregatzust¨ anden vorliegt, ist ein typisches Beispiel aus der Verfahrenstechnik. Der Str¨ omungsbereich 3 dient als Beispiel f¨ ur eine kompressible ¨ Str¨omung, bei der neben der Anderung des Drucks und der Geschwindigkeit zus¨atzlich ¨ auch die Anderung der Zustandsgr¨ oßen Dichte ρ und Temperatur T zu ber¨ ucksichtigen ist. Zur Wirkungsgradverbesserung wird in der Technik die Anlage um eine zweite Entspannungsstufe mit Drossel und Abscheider erweitert. Eine solche Double Flash Anlage ist z. B. in La Bouillante auf Guadeloupe in Betrieb. In Abbildung 1.46 sind erg¨ anzend die Str¨ omungsbereiche der Zweiphasenstr¨omung skizziert. Wir unterscheiden in den jeweiligen Rohrleitungssystemen des Fl¨ ussigkeits-Dampfabscheiders die Fl¨ ussigkeitsstr¨ omung mit X = 0, die Blasenstr¨omung eingebettet in die Fl¨ ussigkeit mit 0 < X 0 hat sich das Teilchen entlang der skizzierten Bahnkurve an den Ort x  (t2 ) usw. Die momentane Position x  des bewegt und zum Zeitpunkt t2 > t1 zum Ort x  0 und der Zeit t. Die betrachteten Teilchens ist also eine Funktion des Ausgangsortes x Teilchenbahn schreibt sich damit  (  =f x x0 , t)

.

Die gew¨ohnliche Differentialgleichung f¨ ur die Berechnung der Teilchenbahn lautet f¨ ur ein vorgegebenes Geschwindigkeitsfeld v (u, v, w) d x = v ( x, t) dt

.

(2.30)

Dies ist nichts anderes als die wohlbekannte Definitionsgleichung der Geschwindigkeit. F¨ ur die einzelnen Geschwindigkeitskomponenten lauten die Differentialgleichungen dx = u(x, y, z, t) dt

,

dy = v(x, y, z, t) dt

,

dz = w(x, y, z, t) dt

.

(2.31)

Es handelt sich um ein System gew¨ ohnlicher Differentialgleichungen 1. Ordnung. Die Teilchenbahn berechnet sich durch Integration dieser Differentialgleichungen mit der Anfangs (t = 0). 0 = x bedingung x

Abb. 2.19: Teilchenbahn

69

2.3 Hydro- und Aerodynamik, Stromfadentheorie

F¨ ur eine station¨ are Str¨ omung ergibt sich das Differentialgleichungssystem ohne Abh¨angigkeit von der Zeit t d x = v ( x) dt

.

(2.32)

Dabei ist zu beachten, dass zwar ∂/∂t ≡ 0, aber das totale Differential d/dt = 0 ist. Eine weitere M¨oglichkeit, Str¨ omungen zu beschreiben sind Stromlinien. Diese zeigen zu einem bestimmten Zeitpunkt tn das Richtungsfeld des Geschwindigkeitsvektors v an (Abbildung 2.20). Da die Tangenten an jedem Ort und zu jedem Zeitpunkt parallel zum Geschwindigkeitsvektor gerichtet sind, lautet die Bestimmungsgleichung f¨ ur die Stromlinie v × d x=0

.

(2.33)

F¨ ur die Geschwindigkeitskomponenten ergibt sich damit ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ u dx v · dz − w · dy 0 ⎝ v ⎠ × ⎝dy ⎠ = ⎝w · dx − u · dz ⎠ = ⎝0⎠ w dz u · dy − v · dx 0

=⇒

⎧ ⎪ ⎨v · dz = w · dy w · dx = u · dz ⎪ ⎩ u · dy = v · dx

.

Daraus folgt das Differentialgleichungssystem 1. Ordnung f¨ ur die Stromlinie w(x, y, z, t) dz = dy v(x, y, z, t)

,

dz w(x, y, z, t) = dx u(x, y, z, t)

,

dy v(x, y, z, t) = dx u(x, y, z, t)

.

(2.34)

Die Stromlinien berechnen sich wiederum durch Integration nach Trennung der Variablen. Damit sind sie Integralkurven des Richtungsfeldes des vorgegebenen Geschwindigkeitsvektors v . Im Experiment oder auch in einem berechneten Str¨omungsfeld lassen sich die Bahnlinien dadurch sichtbar machen, dass man ein Teilchen bzw. ein Fluidelement anf¨arbt. Fotografiert man das Str¨omungsgebiet mit langer Belichtungszeit, wird die Teilchenbahn sichtbar. Ganz entsprechend erh¨ alt man ein Bild der Stromlinien, indem man viele Teilchen markiert und das Str¨omungsfeld mit kurzer Belichtungszeit fotografiert. Auf dem Bild sieht man dann eine Vielzahl von kurzen Strichen, deren Richtung das Tangentenfeld des Geschwindigkeitsvektors zum Zeitpunkt der Aufnahme wiedergeben. Die Verbindungslinien der einzelnen Striche sind die Stromlinien. Die dritte wichtige M¨ oglichkeit der Beschreibung von Str¨omungen sind Streichlinien. Diese sind entsprechend der Abbildung 2.21 zum Zeitpunkt tn Verbindungslinien der Orte,

Abb. 2.20: Stromlinie

70

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

die die Teilchenbahnen aller Teilchen erreicht haben, die zu irgendeinem Zeitpunkt t0 < tn  0 passiert haben. Gibt man am Ort x  0 des Str¨omungsfeldes Farbe bzw. alle den festen Ort x Rauch zu, so sind Momentaufnahmen der Farbf¨ aden bzw. Rauchfahnen die Streichlinien. Die Gleichung der Streichlinie zum Zeitpunkt tn lautet  =x  ( x x0 , t0 , t)

,

(2.35)

 0 den Scharparameter. Man erh¨alt eine parat0 bezeichnet den Kurvenparameter und x meterfreie Darstellung der Streichlinie, indem man den Kurvenparameter t0 eliminiert. Es sei zum Beispiel aus einer Berechnung der Teilchenbahnen die folgende Gleichung bekannt:   x (x0 + t0 + 1) · e(t−t0 ) − t − 1  =x  ( = . x x0 , t0 , t) = y (y0 − t0 + 1) · e−(t−t0 ) + t − 1 Gesucht sei die Gleichung derjenigen Streichlinie in der (x, y)-Ebene, die zum Zeitpunkt t = 0 durch den Punkt (x0 , y0 ) = (−1, −1) geht. Setzen wir den Ansatz in Gleichung (2.35) ein, ergibt sich x = t0 · e−t0 − 1 ,

y = −t0 · et0 − 1

=⇒

(x + 1) · (y + 1) = −t20

=⇒

x + 1 = t0 · e−t0 , y + 1 = −t0 · et0  t0 = −(x + 1) · (y + 1) ,

,

t0 eingesetzt in x = t0 · e−t0 − 1 ergibt eine implizite Gleichung der gesuchten Streichlinie in der (x, y)-Ebene √  x = −(x + 1) · (y + 1) · e− (x−1)·(y+1) − 1 . F¨ ur station¨ are Str¨ omungen fallen Teilchenbahnen, Stromlinien und Streichlinien zusammen. Bei instation¨ aren Str¨ omungen unterscheiden sich die jeweiligen Kurven. Kommen wir zu den Str¨ omungsbeispielen des Einf¨ uhrungskapitels 1.2 zur¨ uck. Sowohl die Str¨omung um die waagerechte Platte als auch die Umstr¨omung des Tragfl¨ ugels und des Kraftfahrzeuges wurden als station¨ are Umstr¨ omungsprobleme vorgestellt. Nun k¨onnen wir

Abb. 2.21: Streichlinie

71

2.3 Hydro- und Aerodynamik, Stromfadentheorie

die Str¨omungslinien der Abbildungen 1.34, 1.39 als Teilchenbahnen bzw. Stromlinien interpretieren. Der jeweiligen Str¨ omung im Wasserkanal werden Aluminiumflitter beigegeben, deren Momentaufnahme mit entsprechend langer Belichtungszeit die Struktur der station¨aren Umstr¨omung charakterisieren. In Abbildung 1.42 wurde im Windkanal die Nachlaufstr¨omung des Kraftfahrzeuges mit Rauch sichtbar gemacht, der in der Anstr¨omung  0 der Str¨ an einem festen Ort x omung beigesetzt wurde. Alle Rauchteilchen haben den gleichen Ort durchlaufen, demzufolge sind Streichlinien in der Momentaufnahme visualisiert. Die Abbildung 2.22 erg¨ anzt die Prinzipskizzen der Teilchenbahnen, Stromlinien und Streichlinien der drei Str¨ omungsbeispiele, die f¨ ur die station¨aren Umstr¨omungen zusammenfallen.

Plattenumströmung

Tragflügelumströmung

Kraftfahrzeugumströmung

Abb. 2.22: Teilchenbahnen, Stromlinien, Streichlinien der station¨aren Umstr¨omung einer senkrecht angestr¨omten Platte, eines Tragfl¨ ugels und Kraftfahrzeuges

72

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

F¨ ur instation¨ are Str¨ omungen unterscheiden sich die Teilchenbahnen von den Stromlinien und Streichlinien, was die Interpretation instation¨arer Str¨omungen schwierig gestaltet. Ein einfaches Str¨omungsbeispiel soll dies veranschaulichen. In Abbildung 2.23 bewegen wir eine Kugel mit konstanter Geschwindigkeit u∞ durch ein ruhendes Fluid. Die Teilchenbahn durchl¨auft beim Vorbeibewegen der Kugel eine Schleife, w¨ahrend die Momentaufnahme der Stromlinien geschlossene Kurven zeigen. Dies ist das Str¨omungsfeld, das wir als außenstehende, ruhende Beobachter sehen. Ganz anders sieht das Stromlinienbild aus, wenn wir uns mit der Kugel mitbewegen. Wir sehen dann die konstante Anstr¨omung u∞ auf uns zukommen und die Str¨ omung wird zeitunabh¨angig. Statt der geschlossenen Stromlinien bilden sich station¨ are Stromlinien von links nach rechts verlaufend aus, die mit den Bahn- und Streichlinien zusammenfallen. Je nachdem in welchem Bezugssystem wir uns

Teilchenbahn ruhender Beobachter

Stromlinien ruhender Beobachter

Stromlinien mitbewegter Beobachter

Abb. 2.23: Kugelumstr¨ omung, ruhender und mitbewegter Beobachter

73

2.3 Hydro- und Aerodynamik, Stromfadentheorie

Teilchenbahnen ruhender Beobachter

Stromlinie ruhender Beobachter

Stromlinie mit der Welle mitbewegter Beobachter

Abb. 2.24: Welle in einer Grenzschicht, ruhender und mitbewegter Beobachter

befinden, kann das Str¨ omungsfeld also v¨ ollig anders aussehen. Physikalisch ausgedr¨ uckt heißt dies, Stromlinien und Teilchenbahnen sind nicht invariant beim Wechsel des Inertialsystems (Ortstransformation mit konstanter Translationsgeschwindigkeit). Zwei weitere Beispiele von Scherstr¨ omungen sollen diese Erkenntnis vertiefen. Betrachten

Streichlinien

Teilchenbahnen

Stromlinien ruhender Beobachter

Stromlinien mitbewegter Beobachter

Abb. 2.25: K´arm´ ansche Wirbelstraße, ruhender und mitbewegter Beobachter

74

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

wir eine ebene Welle in einer Plattengrenzschichtstr¨omung. Diese schreibt sich f¨ ur die u-Komponenten der Geschwindigkeitsauslenkung u(x, z, t) = u ˆ(z) · ei·(a·x−w·t)

,

mit der Amplitudenfunktion u ˆ(z), die ausschließlich eine Funktion der Vertikalkoordinate z ist, der Wellenzahl a und der Kreisfrequenz ω. Die Phasengeschwindigkeit c der Welle ist c = ω/a. Der ruhende Beobachter sieht Kreise als Teilchenbahnen und Stromlinien der Welle, wie in der Momentaufnahme der Abbildung 2.24 skizziert, mit der Phasengeschwindigkeit c an sich vorbeilaufen. Der mit der Welle mitbewegte Beobachter sieht die mit der Phasengeschwindigkeit c bewegte Platte und ein Stromlinienbild, das Katzenaugen ¨ahnelt. Das zweite Beispiel einer Scherschichtstr¨ omung ist die Nachlaufstr¨omung eines Zylinders, die wir bereits aus Kapitel 1.1 im Zusammenhang mit dem Einsturz der Tacoma Br¨ ucke als K´ arm´ ansche Wirbelstraße kennengelernt haben. Das Singen der Hochspannungsleitungen im Wind wird ebenfalls am zylindrischen Querschnitt durch die periodische Str¨omungsabl¨osung der K´ arm´ anschen Wirbelstraße verursacht. Die Abbildung 2.25 zeigt

Streichlinien Prandtl 1929

Teilchenbahnen Timme 1957

berechnete Stromlinien von Kármán 1912

Abb. 2.26: Streichlinien, Teilchenbahnen, Stromlinien der K´ arm´ anschen Wirbelstraße

75

2.3 Hydro- und Aerodynamik, Stromfadentheorie

Abb. 2.27: Wolkenstraßen hinter der Insel Jan Mayen

zun¨ achst die Streichlinien, Teilchenbahnen und Stromlinien des mit der konstanten Geschwindigkeit u∞ durch das ruhende Fluid bewegten Zylinders f¨ ur den ruhenden Beobachter. Der mit den periodisch stromab schwimmenden Wirbeln der Phasengeschwindigkeit c mitbewegte Beobachter sieht die Stromlinien wiederum als Katzenaugen. Die historischen Aufnahmen von Prandtl 1929 und Timme 1957 im Wasserkanal und die theoretisch berechneten Stromlinien von von K´ arm´ an 1912 sind in Abbildung 2.26 erg¨anzt. Beispiele von Streichlinien der K´ arm´ anschen Wirbelstraße zeigen die Wolkenstraßen hinter der Insel Jan Mayen in Abbildung 2.27. Wie wir insbesondere an den Beispielen instation¨arer Str¨omungen gelernt haben, ist bereits die Beschreibung der Kinematik insbesondere instation¨arer Str¨omungen ein schwie¨ riges Unterfangen. Es bedarf viel Ubung und Erfahrung, experimentelle Ergebnisse im Windkanal bzw. Str¨ omungssimulationen auf dem Rechner physikalisch richtig zu interpretieren. Dennoch gibt gerade die kinematische Beschreibung der Str¨omung einen wichtigen Einblick in die Struktur einer Str¨ omung, deren mathematische Behandlung wir in Kapitel 4.1.3 fortsetzen werden.

Nachdem wir festgestellt haben, dass das Str¨ omungsbild vom Bezugssystem abh¨angig ist, gibt es f¨ ur die mathematische Beschreibung einer Str¨omung grunds¨atzlich zwei M¨oglichkeiten. Bei der Eulerschen Betrachtungweise gehen wir vom ortsfesten Beobachter aus. Diese Beschreibungsweise entspricht dem Vorgehen beim Einsatz eines ortsfesten Messger¨ates zur Messung der lokalen Str¨ omungsgr¨oßen, die wir auch bei der Ableitung der str¨omungsmechanischen Grundgleichungen in den folgenden Kapiteln ausschließlich benutzen werden. Die Lagrangesche Betrachtungsweise geht von einem teilchen- bzw. fluidelementfesten, also mitbewegten Bezugssystem aus. Der mathematische Zusammenhang beider Be /dt2 trachtungsweisen ist z. B. f¨ ur die Beschleunigung der Str¨omung b = dv /dt = d2 x das totale Differential des Geschwindigkeitsvektors v (u, v, w). F¨ ur die u-Komponente u(x, y, z, t) des Geschwindigkeitsvektors gilt: du =

∂u ∂u ∂u ∂u · dt + · dx + · dy + · dz ∂t ∂x ∂y ∂z

.

76

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

Damit ergibt sich f¨ ur die totale zeitliche Ableitung von u du ∂u ∂u dx ∂u dy ∂u dz = + · + · + · dt ∂t ∂x dt ∂y dt ∂z dt

,

mit dx =u , dt

dy =v dt

,

dz =w dt

ist du ∂u ∂u ∂u ∂u +v· +w· = +u · dt ∂t ∂x ∂y ∂z      S L K

.

(2.36)

Dabei bedeuten S L K

¨ Substantielle zeitliche Anderung, Lagrangesche Betrachtung, ¨ Lokale zeitliche Anderung am festen Ort, ¨ Konvektive r¨aumliche Anderungen infolge von Konvektion von Ort zu Ort, Einfluss des Geschwindigkeitsfeldes v = (u, v, w).

¨ ¨ Die lokale zeitliche Anderung L und die konvektive r¨aumliche Anderung K ergeben die Eulersche Betrachtung. F¨ ur die Beschleunigung b des Str¨ omungsfeldes, die in den Bewegungsgleichungen der folgenden Kapitel ben¨ otigt werden, erhalten wir b = dv = ∂v + u · ∂v + v · ∂v + w · ∂v = ∂v + (v · ∇)v dt ∂t ∂x ∂y ∂z ∂t

,

(2.37)

mit dem Nabla-Operator ∇ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z)T und (v · ∇) dem Skalarprodukt aus dem Geschwindigkeitsvektor v und dem Nabla-Operator ∇. F¨ ur kartesische Koordinaten ergibt sich ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ ∂u ∂u ∂u ∂u du +u· +v· +w· ⎛ ⎞ ⎜ dt ⎟ ⎜ ∂t ∂x ∂y ∂z ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ bx ⎜ dv ⎟ ⎜ ∂v ∂v ∂v ∂v ⎟ b = ⎝by ⎠ = ⎜ ⎟ ⎟=⎜ + u · + v · + w · ⎜ dt ⎟ ⎜ ∂t ∂x ∂y ∂z ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ bz ⎝ dw ⎠ ⎝ ∂w ∂w ∂w ∂w ⎠ +u· +v· +w· ∂t ∂x ∂y ∂z dt und f¨ ur (v · ∇)v

⎞ ∂ ⎛ ⎞ ⎜ ∂x ⎟ ⎜ ⎟ u ⎜ ∂ ⎟ ∂ ∂ ∂ ⎟ v · ∇ = ⎝ v ⎠ · ⎜ ⎜ ∂y ⎟ = u · ∂x + v · ∂y + w · ∂z ⎜ ⎟ w ⎝ ∂ ⎠ ∂z ⎛

,

77

2.3 Hydro- und Aerodynamik, Stromfadentheorie

⎛

⎞ ∂u ∂u ∂u +v· +w· ⎛ ⎞ ⎜ ∂x ∂y ∂z ⎟ ⎜ ⎟ u  ⎜ ∂v ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎜ ∂v ∂v ⎟ ∂ ⎟ v =⎜ u· +v· +w· +v· +w· (v · ∇)v = u · ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ⎟ ⎜ ⎟ w ⎝ ∂w ∂w ∂w ⎠ +v· +w· u· ∂x ∂y ∂z u·

.

Im Falle einer station¨ aren Str¨ omung gilt, dass alle partiellen Ableitungen nach der Zeit verschwinden ∂/∂t = 0, wohingegen die substantielle Ableitung nach der Zeit d/dt durchaus ¨ ungleich Null sein kann, wenn konvektive Anderungen auftreten. Bei einer instation¨aren Str¨omung gilt sowohl ∂/∂t = 0 als auch d/dt = 0.

2.3.2

Inkompressible Str¨ omungen

Bevor wir uns in Kapitel 3 mit der Ableitung der str¨omungsmechanischen Grundgleichungen f¨ ur die in Kapitel 1.3 eingef¨ uhrte Nachrechnung allgemeiner dreidimensionaler und zeitabh¨angiger Str¨ omungsprobleme mit v (x, y, z, t), p(x, y, z, t), ρ(x, y, z, t) und e(x, y, z, t) befassen, leiten wir in diesem Kapitel die eindimensionale Stromfadentheorie zun¨achst f¨ ur inkompressible Str¨ omungen ab. Die Grundgleichungen und Methoden der eindimensionalen Stromfadentheorie werden auch heute noch in der Industrie entsprechend Kapitel 1.3 f¨ ur den Vorentwurf neuer Produkte eingesetzt. Insofern lohnt es sich also, die eindimensionale Stromfadentheorie als Einstieg in die theoretische Behandlung von Str¨omungen abzuleiten. Die L¨osungssoftware des zu behandelnden algebraischen Gleichungssystems wird in Kapitel 5.1 bereitgestellt. Die eindimensionale Geschwindigkeitskomponente bezeichnen wir mit c(s), die ausschließlich Funktion einer Koordinate s ist, die wir Stromfadenkoordinate nennen. Zur Einf¨ uhrung dieser eindimensionalen Stromfadenkoordinate s ist es n¨ utzlich, zun¨achst den ohre einzuf¨ uhren. Bilden die Stromlinien eine geschlossene Fl¨ache, Begriff der Stromr¨ nennt man diese Mantelfl¨ ache Stromr¨ ohre (Abbildung 2.28). Beispiele von Stromr¨ohren sind in Abbildung 2.29 dargestellt.

Stromröhre

Stromfaden

Abb. 2.28: Stromr¨ohre und Stromfaden

78

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

Abb. 2.29: Beispiele von Stromr¨ ohren

Da die Stromlinien per Definition die Tangenten der Geschwindigkeitsvektoren sind, tritt durch den Mantel der Stromr¨ ohre keine Fluidmasse. Das bedeutet, dass durch¨ str¨ omte Kan¨ale mit festen W¨ anden Stromr¨ ohren bilden. Sind die Anderungen der ¨ Str¨omungsgr¨oßen u uber den Anderungen ¨ber den Querschnitt der Stromr¨ohre klein gegen¨ ¨ l¨ angs der Stromr¨ohre, lassen sich die n¨ aherungsweise eindimensionalen Anderungen der Str¨omungsgr¨oßen entlang des abstrahierten Stromfadens berechnen. Die Koordinate l¨angs des Stromfadens nennen wir Stromfadenkoordinate s. L¨angs eines Stromfadens gilt f¨ ur die angenommene inkompressible und zun¨ achst station¨are Str¨omung c = c(s)

,

p = p(s)

,

A = A(s)

.

Alle Str¨omungsgr¨oßen sowie der Querschnitt A der Stromr¨ohre sind ausschließlich Funktionen der Stromfadenkoordinate s. F¨ ur ein Umstr¨omungsproblem z. B. des Kraftfahrzeuachen festges, lassen sich entsprechend der Stromr¨ ohre der Kanalstr¨omungen Stromfl¨ legen. Die Abbildung 2.30 zeigt eine solche Stromfl¨ache um das Kraftfahrzeug. Sind die ¨ ¨ Anderungen quer zur Stromfl¨ ache klein gegen¨ uber den Anderungen l¨angs der Stromlinien, wie dies z.B. im Mittelschnitt der Kraftfahrzeugumstr¨omung der Fall ist, l¨asst sich wiederum ein Stromfaden festlegen, entlang dem sich die Str¨omungsgr¨oßen n¨aherungsweise eindimensional ¨andern.

Abb. 2.30: Strom߬ ache und Stromfaden

79

2.3 Hydro- und Aerodynamik, Stromfadentheorie

Die Grundgleichungen der eindimensionalen Stromfadentheorie schreiben sich f¨ ur die Massenerhaltung: ˙ 1 ist gleich dem aus der Der in eine Stromr¨ ohre eintretende Massenstrom m ˙ 2 . Mit den Volumenstr¨omen V˙ 1 und V˙ 2 Stromr¨ ohre austretenden Massenstrom m ergibt sich ˙2 m ˙ 1 = ρ1 · V˙ 1 = ρ1 · c1 · A1 = ρ2 · c2 · A2 = ρ2 · V˙ 2 = m m ˙ = ρ · c · A = konst.

.

, (2.38)

Impulserhaltung bzw. Bewegungsgleichung: Wir formulieren zun¨ achst die Bewegungsgleichung f¨ ur einen Stromfaden, der in die reibungsfreie Außenstr¨ omung bzw. reibungsfreie Kernstr¨omung eines Kanals gelegt wird. Bei der Kr¨aftebilanz entlang eines ausgew¨ ahlten Stromfadenelements dV (Abbildung 2.31) kann in erster N¨aherung die Querschnitts¨ anderung entlang des Stromfadens vernachl¨assigt werden. Die Bewegungsgleichung lautet Masse · Beschleunigung = Summe aller angreifenden Kr¨ afte. F¨ ur das Volumenelement dV gilt also  i . (2.39) dm · b = F i

Mit der Beschleunigung b haben wir uns bereits in Kapitel 2.3.1 befasst. F¨ ur den eindimensionalen Stromfaden schreibt sich Gleichung (2.37) b=

dc ∂c ∂c = +c· dt ∂t ∂s

,

f¨ ur die angenommene station¨ are Str¨ omung c · (dc/ds). Die Masse des in Abbildung 2.31 betrachteten Volumenelements dV ist dm = ρ · dA · ds. Die am Volumenelement angreifenden Kr¨afte sind die Druckkr¨ afte und die Gravitation, deren Komponenten entlang der Stromfadenkoordinate ins Gleichgewicht gesetzt werden. Damit ergibt sich  ∂c ∂c dc = ρ · dA · ds · +c· = ρ · dA · ds · dt ∂t ∂s  ∂p = p · dA − p + · ds · dA − ρ · g · dA · ds · cos(ϕ) , ∂s

Abb. 2.31: Kr¨aftebilanz am Stromfadenelement dV

80

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

cos(ϕ) = dz/ds und Division durch ρ · dA · ds liefert die Euler-Gleichung f¨ ur den Stromfaden dc ∂c ∂c 1 ∂p dz = +c· =− · −g· dt ∂t ∂s ρ ∂s ds

.

(2.40)

F¨ ur station¨ are Str¨ omungen sind alle Gr¨ oßen nur Funktionen von s und es folgt  2  2 d c 1 dp dz c 1 dc = =− · −g· , d + · dp + g · dz = 0 . c· ds ds 2 ρ ds ds 2 ρ Die Integration l¨angs des Stromfadens s vom Ort 1 mit c1 , p1 und s1 , z1 zum Ort 2 mit c2 , p2 und s2 , z2 liefert  1 2 c2 − c21 + 2

p2

1 · dp + g · (z2 − z1 ) = 0 . ρ

p1

F¨ ur die betrachtete inkompressible Str¨ omung ist ρ = konst., so dass der Faktor 1/ρ vor das Integral gezogen wird. Man erh¨ alt die Bernoulli-Gleichung f¨ ur inkompressible station¨are reibungsfreie Str¨omungen. Die Dimension ist Energie pro Masse: c22 p2 p1 c2 + + g · z2 = 1 + + g · z1 = konst. 2 ρ 2 ρ

.

(2.41)

Alternativ dazu wird h¨ aufig auch die Bernoulli-Gleichung der Dimension Energie pro Volumen angewandt: p2 +

1 1 · ρ · c22 + ρ · g · z2 = p1 + · ρ · c21 + ρ · g · z1 = konst. 2 2

.

(2.42)

An einem beliebigen Ort lautet die Bernoulli-Gleichung f¨ ur station¨are Str¨omungen p+

1 · ρ · c2 + ρ · g · z = konst. 2

oder

p c2 + + g · z = konst. ρ 2

.

(2.43)

Die Konstante fasst dabei die drei bekannten Terme an einem Ausgangszustand zusammen. Sie hat f¨ ur alle Punkte l¨ angs s eines Stromfadens den gleichen Wert, kann sich jedoch von Stromfaden zu Stromfaden a ¨ndern. Die Bernoulli-Gleichung ist eine algebraische Gleichung und liefert den Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und Druck. F¨ ur instation¨ are Str¨omungen muss die partielle zeitliche Ableitung ∂c/∂t der Euler-Gleichung ebenfalls l¨angs des Stromfadens s integriert werden. Dabei ist die Integration bei fester Zeit t von s1 bis s2 durchzuf¨ uhren. Es ergibt sich die Bernoulli-Gleichung f¨ ur instation¨are eindimensionale Str¨ omungen

s2 ρ·

1 ∂c · ds + p2 + · ρ · c22 + ρ · g · z2 = konst. ∂t 2

,

s1

s2 s1

p2 c2 ∂c · ds + + 2 + g · z2 = konst. ∂t ρ 2

.

(2.44)

81

2.3 Hydro- und Aerodynamik, Stromfadentheorie

Anwendung der Bernoulli-Gleichung ¨ Eine Vielzahl von Anwendungsbeispielen der Bernoulli-Gleichung sind im Ubungsbuch zu diesem Lehrbuch erl¨ autert. Wir wollen vier Beispiele herausgreifen, die in der Praxis angewandt werden. Mit dem Venturi-Rohr der Abbildung 2.32 kann man u ¨ber die Messung des Drucks am engsten Querschnitt mit der Bernoulli-Gleichung (2.41) den Massenstrom bestimmen. Die Querschnittsverengung verursacht eine Beschleunigung in der D¨ use und entsprechend der Bernoulli-Gleichung den damit verbundenen Druckabfall (D¨ use). Die Querschnittserweiterung hat eine Verz¨ ogerung der Str¨omung mit dem entsprechenden Druckr¨ uckgewinn zur Folge. Misst man den Druck p am engsten Querschnitt A, berechnet sich bei bekanntem c1 und p1 die Geschwindigkeit c mit p c2 p1 c2 + = 1+ = konst. 2 ρ 2 ρ

.

allt der Schwerkraftterm weg. Der gesuchte MassenDa bei diesem Beispiel z1 = z ist, f¨ strom ermittelt sich bei bekannter Querschnittsfl¨ache A am engsten Querschnitt m ˙ =ρ·c·A . Die Anwendung der Bernoulli-Gleichung (2.41) erm¨oglicht es also, aus einem gemessenen Druck p die Str¨omungsgeschwindigkeit c zu ermitteln. Dies nutzt man z.B. beim Flugzeug, um mit dem Prandtl-Staurohr die Fluggeschwindigkeit zu bestimmen. Bevor wir auf die Funktionsweise des Prandtl-Rohres eingehen, m¨ ussen wir zun¨achst verschiedene Druckbegriffe einf¨ uhren. Betrachten wir die Bernoulli-Gleichung (2.42) p+

1 · ρ · c2 + ρ · g · z = konst. 2

Abb. 2.32: Venturi-Rohr

82

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

bezeichnen wir p = pstat als statischen Druck und (1/2) · ρ · c2 = pdyn als dynamischen Druck. Der statische Druck pstat ist derjenige Druck den man misst, wenn man sich mit der Str¨omungsgeschwindigkeit c im Fluid mitbewegt. Er ist folglich f¨ ur die Druckkraft, die auf einen umstr¨omten K¨ orper wirkt, verantwortlich. Der dynamische Druck pdyn kann als ein Maß f¨ ur die kinetische Energie pro Volumen eines mit der Geschwindigkeit c str¨omenden Volumenelements des Fluids betrachtet werden. F¨ ur Schichtenstr¨omungen, wie z. B. die Grenzschichtstr¨omung um einen Tragfl¨ ugel, ist z1 = z2 . Damit f¨allt der Schwerkraftterm ρ · g · z aus der Gleichung heraus. Die Konstante auf der rechten Seite der Bernoulli-Gleichung kann von Stromlinie zu Stromlinie variieren. Sie ist eine Eigenschaft der jeweils betrachteten Stromlinie und wird durch geeignete Bezugswerte bestimmt. Solche Bezugswerte k¨onnen z.B. die bekannten Werte der ugelumstr¨omung kann ungest¨orten Anstr¨ omung wie p∞ und c∞ sein. Im Falle der Tragfl¨ die Konstante auf der sogenannten Staustromlinie, die von der Anstr¨omung im Unendlichen u ugel f¨ uhrt, festgelegt ¨ber einen variablen Punkt 1 zum Staupunkt 0 auf dem Tragfl¨ werden (Abbildung 2.33). Auf der Staustromlinie lautet die Bernoulli-Gleichung p∞ +

1 1 · ρ · c2∞ = p1 + · ρ · c21 = p0 = konst. 2 2

.

Im Staupunkt gilt c = 0, daher existiert dort kein dynamischer Druckanteil. Die Variable ur den auch die Bezeichnungen Ruhedruck oder p0 bezeichnet den Druck im Staupunkt, f¨ Gesamtdruck gebr¨ auchlich sind. Es gilt folglich p0 = pges = pRuhe = pstat + pdyn

.

(2.45)

Den dynamischen Druck der Anstr¨ omung (1/2)·ρ·c2∞ haben wir bereits in den einf¨ uhrenden Kapiteln f¨ ur den dimensionslosen Druckbeiwert cp cp =

p − p∞ · ρ · c2∞

1 2

benutzt. Die unterschiedlichen Druckbegriffe sind in Abbildung 2.34 zusammenfassend dargestellt. Die Dr¨ ucke lassen sich mit den klassischen Methoden der Hydrostatik messen. Messung des statischen Druckes pstat :

Abb. 2.33: Druckbegriffe bei der Tragfl¨ ugelumstr¨omung

83

2.3 Hydro- und Aerodynamik, Stromfadentheorie

Abb. 2.34: Die verschiedenen Druckbegriffe statischer Druck pstat , dynamischer Druck pdyn , Gesamtdruck pges

Das einfachste Messprinzip zur Bestimmung des statischen Druckes pstat besteht aus einer Wandanbohrung und dem in Kapitel 2.2.1 eingef¨ uhrten U-Rohrmanometer. Der statische omung ist der Grenzschicht aufgepr¨agt, d.h. er ist innerhalb der Druck pstat der Außenstr¨ Grenzschicht konstant in Wandnormalenrichtung. Mit einer Wandanbohrung wird folglich der statische Druck der Außenstr¨ omung gemessen. Es gelten die Zusammenh¨ange der Abbildung 2.35 zwischen Druckdifferenz Δp und Steigh¨ohe Δh im Manometer mit ρL Dichte der Luft, ρF Dichte der Fl¨ ussigkeit und pref Referenzdruck. Die Abbildung 2.36 zeigt das Windkanalmodell eines Tragfl¨ ugels. Die Druckmessbohrungen, denen wir z.B. die Druckverteilung der Abbildung 1.39 entnommen haben, sind so fein, dass sie auf der Abbildung nicht zu erkennen sind. Lediglich die Druckr¨ohrchen im Innern des Fl¨ ugelmodells, die zu den Druckaufnehmern f¨ uhren (heute PiezoquarzDruckaufnehmer statt den klassischen U-Rohrmanometern), deuten deren Existenz an. asst sich auch mit einer Sonde messen, die in die Str¨omung Der statische Druck pstat l¨ gehalten wird (Abbildung 2.37). Sie arbeitet nach dem gleichen Prinzip wie die Wandbohrungen, diese sind bei der Sonde in Form von Bohrl¨ochern zur Abnahme des statischen Druckes auf den Umfang der Sonde verteilt. Auch hier bildet sich u ¨ber der Sondenspitze eine Grenzschicht aus, der der statische Druck der Außenstr¨omung aufgepr¨agt ist. Um Messfehler zu minimieren, m¨ ussen die Bohrl¨ocher einen hinreichenden Abstand von der Sondenspitze und vom Sondenschaft besitzen, damit die dadurch hervorgerufenen St¨orungen abgeklungen sind und bei der Messung nicht miterfasst werden.

pstat + ρL · g · h = pref + ρF · g · Δh pstat − pref = ρF · g · Δh − ρL · g · h sehr h¨aufig gilt: ρL · g · h  ρF · g · Δh ⇒ Δp = pstat − pref = ρF · g · Δh

Abb. 2.35: Messung des statischen Druckes pstat

84

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

Messung des Gesamtdruckes pges bzw. Ruhedruckes p0 : Die Messung des Gesamtdruckes pges bzw. Ruhedruckes p0 geschieht mit einem sogenannten Pitot-Rohr. Stellt man dieses in die Parallelstr¨omung, so wird sich das Rohr f¨ ur einige Momente solange mit Luft f¨ ullen, bis die Luft u ¨berall im Rohr zur Ruhe gekommen ist. Dies gilt auch f¨ ur den Eintrittsquerschnitt, in dem sich der Staupunkt mit c = 0 einstellt. Daraus folgt, dass innerhalb des Pitot-Rohres u ¨berall der Gesamtdruck pges herrscht, der wiederum mit dem U-Rohrmanometer gemessen wird. Messung des dynamischen Druckes pdyn : Zur Messung des dynamischen Druckes pdyn wird eine Kombination aus statischer Sonde und Pitot-Rohr verwendet, das Prandtlsche Staurohr, das den dynamischen Druck als Differenzdruck aus Gesamtdruck und statischem Druck bestimmt. Damit l¨asst sich die Geschwindigkeit aus dem gemessenen dynamischen Druck bestimmen.   2 · pdyn 2 · ρF · g · Δh c= = . (2.46) ρL ρL Das Beispiel eines Prandtl-Staurohres, wie man es an jedem Flugzeug beobachten kann, ist in Abbildung 2.38 gezeigt. Mit der Bernoulli-Gleichung kann man bei vorgegebener Geometriekontur eine erste Berechnung der reibungsfreien Außenstr¨ omung eines Modell-Kraftfahrzeuges durchf¨ uhren. Wir kommen auf dieses Berechnungsbeispiel im Softwarekapitel 5.1 zur¨ uck. Die Abbildung 2.39 zeigt den berechneten Druckbeiwert cp stromab des Staupunktes. Auf der K¨ uhlerhaube wird die Str¨ omung beschleunigt, was mit einem Druckabfall einher¨ geht. Nach Uberschreiten des Druckminimums auf dem Dach des Kraftfahrzeuges wird die Str¨omung verz¨ogert. Mit der Bernoulli-Gleichung berechnet man den damit verbundenen Druckanstieg bis zur Hinterkante. Im Nachlauf des Kraftfahrzeuges versagt die reibungs-

Abb. 2.36: Statische Druckmessbohrungen in einem Trag߬ ugelmodell

85

2.3 Hydro- und Aerodynamik, Stromfadentheorie

freie Stromfadentheorie, da in diesem Str¨ omungsbereich entsprechend Abbildung 1.42 die Reibung ber¨ ucksichtigt werden muss. Dem Diagramm der Abbildung 2.39 entnehmen wir, dass der Staupunkt cp = (p − p∞ )/(0.5 · ρ∞ · c2∞ ) = 1 falsch berechnet wird. Hier versagt die eindimensionale Stromfadentheorie, da die Stromlinienverzweigung im Staupunkt nur mit der zwei- bzw. dreidimensionalen Theorie berechnet werden kann. Diese wird in Kapitel 3 abgeleitet.

Statischer Druck pstat ρL · g · h  ρF · g · Δh Δp = pstat − pref = ρF · g · Δh

Gesamtdruck pges pges = pref + ρF · g · Δh

Dynamischer Druck pdyn pges = pstat + ρF · g · Δh pdyn = pges − pstat pdyn = 12 · ρL · c2 = ρF · g · Δh  c=

2·pdyn ρL

 =

2·ρF ·g·Δh ρL

Abb. 2.37: Messung des statischen Druckes pstat , des Gesamtdruckes pges und des dynamischen Druckes pdyn

86

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

Abb. 2.38: Prandtl-Staurohr

In Bezug auf die Ergebnisse beim Venturi-Rohr l¨ asst sich mit der Bernoulli-Gleichung das Ph¨anomen der Kavitation erkl¨ aren. In einer mit Fl¨ ussigkeit durchstr¨omten D¨ use der Abbildung 2.40 sinkt im Bereich der Querschnittsverengung aufgrund der Beschleunigung der Str¨omung der Druck ab. Sinkt der Druck unterhalb des S¨attigungsdruckes der Fl¨ ussigkeit entstehen Dampfblasen (siehe Abbildung 1.46). Wird die Str¨omungsgeschwindigkeit im weiteren Verlauf des Diffusors aufgrund der Vergr¨oßerung des Str¨omungsquerschnittes wieder verrringert, verbunden mit steigendem Druck, kondensieren die Blasen bei ¨ Uberschreiten des S¨ attigungsdruckes schlagartig. In der Str¨omung k¨onnen sich Blasen zu gr¨oßeren Blasen vereinigen, was den Druckstoß vergr¨oßert, der bei der Kondensation entsteht. Diesen Vorgang nennt man Kavitation. Diese kann z. B. in Leitungsverengungen, Pumpen oder W¨armetauschern St¨ orungen und Sch¨aden verursachen.

Kr¨ aftebilanz senkrecht zum Stromfaden ¨ Bisher haben wir Str¨ omungsbeispiele behandelt, bei denen per Definition die Anderungen ¨ l¨angs des Stromfadens groß gegen¨ uber den Anderungen quer zum Stromfaden waren. Im einf¨ uhrenden Kapitel 1.1 haben wir jedoch Str¨omungsbeispiele kennengelernt (z.B. Ab¨ bildung 1.2 Tiefdruckgebiet, Abbildung 1.4 Hurrikan), bei denen die Anderungen der Str¨omungsgr¨oßen senkrecht zum Stromfaden gr¨ oßer sind als l¨angs des Stromfadens. Dies legt es nahe, f¨ ur den reibungsfreien Außenbereich dieser station¨aren Wirbelstr¨omungen die Kr¨aftebilanz am Volumenelement dV senkrecht zum Stromfaden entlang der Normalenrichtung n durchzuf¨ uhren. s bezeichnet jetzt die Bogenl¨ange des Stromfadens, r ist der

Abb. 2.39: Berechnete reibungsfreie Druckverteilung auf einem ModellKraftfahrzeug

87

2.3 Hydro- und Aerodynamik, Stromfadentheorie

p

Abb. 2.40: D¨ usenstr¨omung

s/L

Kavitation

in

einer

lokale Kr¨ ummungsradius. Die Bewegungsgleichung normal zum Stromfaden lautet  Fi,n . dm · bn = i

Das Massenelement dm berechnet sich zu dm = ρ · dV = ρ · dA · dn. Bezeichnet c die Geschwindigkeit l¨angs der Stromfadenkoordinate s, so berechnet sich der Betrag der Be z und dem Masschleunigung bn aus dem Quotienten des Betrags der Zentripetalkraft F senelement dm. Es gilt also  z| = |F

dm · c2 r

,

|bn | =

 z| c2 |F = dm r

.

alt das Massenelement auf der gekr¨ ummten Bahn, ihre Richtung Diese Beschleunigung bn h¨ weist also auf den lokalen Kr¨ ummungsmittelpunkt hin, der Richtung von n entgegen. Als afte sowie eine Komponente der Schwerkraft ρ · dA · dn · g ¨außere Kr¨afte treten Druckkr¨ auf (Abbildung 2.41). Damit ergibt sich f¨ ur die Bewegungsgleichung  2  c ∂p dm · bn = ρ · dA · dn · − = p · dA − p + · dn · dA + ρ · dA · dn · g · sin(ϕ) , r ∂n

Abb. 2.41: Kr¨aftebilanz am Volumenelement senkrecht zum Stromfaden

88

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

nach Division durch (−ρ · dA · dn) und mit sin(ϕ) = −dz/dn folgt c2 1 ∂p dz = · +g· r ρ ∂n dn

.

(2.47)

F¨ ur eine ebene Schichtenstr¨ omung bei z = konst. ergibt sich wegen dz = 0 c2 1 ∂p = · r ρ ∂n

.

(2.48)

In Richtung der ¨außeren Normalen n bzw. bei ebenen Kreisstr¨omungen in radialer Richtung r, steigt der Druck an. Druckkraft und Zentripetalkraft halten sich das Gleichgewicht. Wirbelbewegungen auf konzentrischen Kreisbahnen lassen sich mit der gew¨ohnlichen Differentialgleichung (2.48) berechnen. So lassen sich z.B. die Druck- und Geschwindigkeitsverteilung eines Tornados (Abbildung 2.42) n¨ aherungsweise mit der eindimensionalen Stromfadentheorie ermitteln. Die Stromlinien sind konzentrische Kreise. F¨ ur den Geschwindigkeitsbetrag c gilt auf Kreisbahnen c(r) = cr /r mit der Umfangsgeschwindigkeit c(R0 ) = c0 am festgelegten Radius R0 und der Konstanten cr = c0 · R0 . Mit n = r schreibt sich Gleichung (2.48) 1 dp c2r = · r3 ρ dr

.

(2.49)

Die Integration dieser gew¨ ohnlichen Differentialgleichung 1. Ordnung ergibt mit der vorgegebenen Randbedingung an einem festgelegten Radius R0 , p(R0 ) = p0  ρ · c2r 1 1 p(r) = p0 + − 2 . (2.50) · 2 R02 r Dies kann in der folgenden Form geschrieben werden p(r) +

ρ 2 ρ · c (r) = p0 + · c20 = konst. 2 2

Abb. 2.42: Str¨omungen auf Kreisbahnen in einem Tornado

.

(2.51)

2.3 Hydro- und Aerodynamik, Stromfadentheorie

89

Abb. 2.43: Druck- und Geschwindigkeitsverteilung in einem Potentialwirbel Damit haben wir die Bernoulli-Gleichung f¨ ur Wirbelstr¨omungen auf konzentrische Kreise u ¨ber die Kr¨aftebilanz senkrecht zum Stromfaden abgleitet. Man kann zeigen, dass die Str¨omung auf konzentrischen Kreisen wirbelfrei ist, mit ∇×c = 0. Die Abbildung 2.43 zeigt f¨ ur r ≥ R0 die mit Gleichung (2.50) berechnete Druckverteilung sowie die angenommene Geschwindigkeitsverteilung c = cr /r. Druck und Geschwindigkeit verhalten sich entsprechend der Bernoulli-Gleichung (2.51) urde f¨ ur den Potentialwirbel die Geschwinmit wachsendem r gegenl¨ aufig. F¨ ur r < R0 w¨ digkeit beliebig anwachsen. Da dies nicht der physikalischen Realit¨at entspricht, wird f¨ ur r < R0 die Differentialgleichung der reibungsfreien Wirbelstr¨omung (2.49) durch die Differentialgleichung der reibungsbehafteten Str¨ omung abgel¨ost, die wir gegen Ende dieses Kapitels behandeln werden. Auch hier best¨ atigt sich wieder die in Kapitel 1.2 eingef¨ uhrte Einteilung der Str¨ omungsbereiche. Im Wirbelkern stellt sich die reibungsbehaftete Starrk¨orperrotation mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ωr und der linearen ur r < R0 weiter ab und erreicht Geschwindigkeitsverteilung c = ωr ·r ein. Der Druck f¨allt f¨ f¨ ur das ausgew¨ahlte Beispiel des Tornados Werte zwischen 20 und 200 mbar.

Energieerhaltung Die dritte Grundgleichung, die f¨ ur die vollst¨ andige mathematische Beschreibung der Str¨omungen mit W¨ armetransport oder bei der Ber¨ ucksichtigung der Arbeitsleistung von Str¨omungsmaschinen zu behandeln ist, ist die Energieerhaltung. F¨ ur die Ableitung der Energiebilanz erg¨anzen wir die Prinzipskizze der betrachteten Stromr¨ohre und des Stromfadens der Abbildung 2.28 um eine zus¨ atzliche spezifische W¨armemenge q (Abbildung 2.44).

90

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

Allgemein gilt f¨ ur die Energieerhaltung einer station¨ aren und reibungsfreien ¨ Str¨ omung, dass die Anderung des Energiestroms im betrachteten Volumenelement dV gleich der Leistungen der angreifenden Kr¨ afte und des W¨ armestroms ist. Damit berechnet sich der Energiestrom E˙ in der Einheit Watt {W} = {J/s} zu   c2 c2 ˙ E = e+ ·m ˙ = e+ ·ρ·c·A , 2 2 mit der auf das Massenelement dm = ρ · dV bezogenen inneren Energie e und der masur die beiden Querschnitte A1 und A2 der senspezifischen kinetischen Energie c2 /2. F¨ betrachteten Stromr¨ ohre folgt mit der Kontinuit¨ at m ˙ = konst..   c21 c21 ˙ ·m ˙ = e1 + · ρ 1 · c1 · A 1 , E1 = e1 + 2 2   c2 c2 ˙ = e 2 + 2 · ρ 2 · c2 · A 2 . E˙ 2 = e2 + 2 · m 2 2 Die Leistungen der angreifenden Kr¨ afte (Druckkr¨afte und Schwerkraft) sowie der Leistung ¨ des W¨armestroms q · m ˙ f¨ uhren bei Vernachl¨ assigung der Reibung zu einer Anderung des Energiestromes von 1 nach 2 gem¨ aß der folgenden Bilanzgleichungen ˙ +q·m ˙ , E˙ 2 − E˙ 1 = p1 · A1 · c1 − p2 · A2 · c2 + g · (z1 − z2 ) · m   2 2 c c ˙ +q·m ˙ . e2 + 2 · m ˙ − e1 + 1 · m ˙ = p1 · A1 · c1 − p2 · A2 · c2 + g · (z1 − z2 ) · m 2 2 Nach Division durch m ˙ = ρ1 · c1 · A1 = ρ2 · c2 · A2 folgt e2 +

p2 1 p1 1 + · c22 + g · z2 = e1 + + · c21 + g · z1 + q ρ2 2 ρ1 2

.

Mit der Definition der massenspezifischen Enthalpie h = e + p/ρ ergibt sich h2 +

1 2 1 · c2 + g · z2 = h1 + · c21 + g · z1 + q 2 2

.

Fasst man darin die drei Gr¨ oßen h1 , c1 und g · z1 am Querschnitt A1 als gegebene Gr¨oßen nach h1 + (1/2) · c21 + g · z1 = konst. zu einer Konstanten zusammen und betrachtet die Gr¨oßen am Querschnitt A, so erh¨ alt man h+

1 2 · c + g · z − q = konst. 2

.

(2.52)

Abb. 2.44: Stromr¨ohre und Stromfaden mit spezifischer W¨armemenge q

91

2.3 Hydro- und Aerodynamik, Stromfadentheorie

Wird keine W¨arme zu- oder abgef¨ uhrt und damit die innere Energie nicht ver¨andert, so sind der Energiesatz und die Bernoulli-Gleichung identisch. Dies gilt ausschließlich f¨ ur die in diesem Kapitel betrachtete inkompressible Str¨omung. F¨ ur Str¨omungen mit mechanischer Energiezufuhr (Pumpe) oder mechanischer Energieabnahme (Turbine), wie sie z.B. in einem Nachtspeicher-Kraftwerk der Abbildung 2.45 vorkommen, erg¨ anzt man den Energiesatz (2.52) bzw. bei Vernachl¨assigung der W¨ armeverluste in der Pumpe und Turbine um den Term der spezifischen Arbeit ΔlP /ρ der Pumpe. Entsprechendes gilt f¨ ur die Turbine mit der spezifischen Arbeit ΔlT /ρ (Einheit der volumenspezifischen Arbeit Δl {J/m3 }). Beim Speicherkraftwerk str¨ omt tags¨ uber zu den Zeitpunkten der Spitzenleistungen das Wasser vom Stausee der H¨ ohe z2 die Druckleitung hinab zum Auffangbecken der H¨ohe z1 und treibt die stromerzeugende Turbine. Nachts wird bei geringer Netzbelastung das Wasser mit der nun als Pumpe wirkenden Turbine von der H¨ohe z1 zur H¨ohe z2 hinauf gepumpt. Bei dem Pumpeinsatz wird dem Fluid auf dem Weg von 1 nach 2 Energie zugef¨ uhrt. Der Energiegehalt pro Volumen {J/m3 } des Fluids ist somit bei 2 gr¨oßer als bei 1 1 1 p2 + · ρ · c22 + ρ · g · z2 > p1 + · ρ · c21 + ρ · g · z1 . 2 2 Mit der volumenspezifischen Arbeit der Pumpe ΔlP > 0 lautet die Bernoulli-Gleichung (Str¨omungsrichtung von 1 → 2) p2 +

1 1 · ρ · c22 + ρ · g · z2 = p1 + · ρ · c21 + ρ · g · z1 + ΔlP 2 2

.

(2.53)

Str¨omt das Fluid von 2 nach 1 und treibt dabei die Turbine an, so wird dem Fluid auf dem Weg von 2 nach 1 Energie entzogen. Der Energiegehalt des Fluids ist somit an der Stelle 1 kleiner als an der Stelle 2 1 1 p1 + · ρ · c21 + ρ · g · z1 < p2 + · ρ · c22 + ρ · g · z2 . 2 2

Abb. 2.45: Speicherkraftwerk

92

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

Definiert man die volumenspezifische Arbeit, die eine Turbine in elektrische Energie umwandelt ebenfalls positiv ΔlT > 0, so lautet die Bernoulli-Gleichung in diesem Fall (Str¨omungsrichtung von 2 → 1) p1 +

1 1 · ρ · c21 + ρ · g · z1 = p2 + · ρ · c22 + ρ · g · z2 − ΔlT 2 2

.

(2.54)

¨ Man beachte, dass sich beim Ubergang vom Anwendungsfall Pumpe zum Anwendungsfall Turbine die Str¨omungsrichtung ge¨ andert hat. Aus den angef¨ uhrten volumenspezifischen Arbeiten Δl f¨ ur die Pumpe bzw. Turbine erh¨alt man deren Leistung L in {W} = {J/s} durch Multiplikation mit dem Volumenstrom V˙ = A · c zu L = Δl · V˙

.

Zusammenstellung der reibungsfreien Grundgleichungen der Stromfadentheorie Damit lassen sich die Grundgleichungen der eindimensionalen Stromfadentheorie f¨ ur die inkompressible und reibungsfreie Str¨ omung zusammenfassen:

Masseerhaltung

ρ · c · A = konst.

Impulserhaltung Integral der Euler-Gleichung ⇒ Bernoulli-Gleichung

s

Energieerhaltung

h+

(2.55)

p 1 ∂c · ds + + · c2 + g · z = konst. ∂t ρ 2

(2.56)

1 2 1 · c + g · z − q − · Δl = konst. 2 ρ

(2.57)

Dies sind 3 algebraische Gleichungen zur Bestimmung der Str¨omungsvariablen c, p, h. Sie werden erg¨anzt durch die thermodynamischen Beziehungen h = cp · T

,

q=

A · q˙ A · λ ∂T Q˙ = =− · m ˙ m ˙ m ˙ ∂s

.

Die volumenspezifische Arbeit der Str¨ omungsmaschinen Δl m¨ ussen mit den allgemeinen Grundgleichungen in Kapitel 3 berechnet bzw. gemessen werden. Die L¨osung der algebraischen Gleichungen (2.55) bis (2.57) erfolgt entweder mit den bekannten Methoden der Algebra oder, wenn m¨ oglich, analytisch. F¨ ur die numerische L¨osung wird in Kapitel 5.1 das Softwarepaket KAPPA (Karlsruhe Parallel Program for Aerodynamics) Stromfaden bereitgestellt, das wir bereits bei der Berechnung der Kraftfahrzeugumstr¨omung ¨ benutzt haben. Beispiele analytischer L¨ osungen sind im Ubungsbuch Str¨omungsmechanik in Kapitel 2.3 zusammengestellt.

93

2.3 Hydro- und Aerodynamik, Stromfadentheorie

Navier-Stokes-Gleichung Zum Abschluss dieses Kapitels u ¨ber inkompressible Str¨omungen gilt es, die zweidimensionale Impulserhaltung bzw. Bewegungsgleichung der reibungsbehafteten Str¨omung in der Umgebung von festen W¨ anden zu erg¨ anzen. Wir legen nunmehr die Stromfl¨ ache und den Stromfaden z.B. der Abbildung 2.30 in den Bereich der Grenzschichtstr¨ omung bzw. des reibungsbehafteten Nachlaufs der Kraftfahrzeugumstr¨omung. Wir greifen entlang des Stromfadens wiederum ein zylindrisches Volumenelement heraus und betrachten f¨ ur die reibungsbehaftete Str¨omung die Stromr¨ohre der Abbildung 2.46. Hierbei wird ein zylindrisches Ringelement der L¨ange ds und der Stirnfl¨ache dA = 2 · π · r · dr betrachtet. Die Geschwindigkeit c ist nicht mehr nur eine Funktion von s und gegebenenfalls von t, sondern zus¨atzlich von der Radialkoordinate r abh¨angig. Da ∂c/∂r = 0 f¨ ur r = 0 gilt, treten in der Kr¨aftebilanz Schubspannungsanteile auf. F¨ ur die Bewegungsgleichung  i F dm · b = i

ergibt sich mit der Masse dm = ρ · dA · ds = ρ · 2 · π · r · dr · ds, der Beschleunigung  i , Druckkr¨aften, Schubspannungen bs = ∂c/∂t+c·(∂c/∂s) und den angreifenden Kr¨aften F und der Komponente der Schwerkraft l¨ angs s   ∂c ∂c ∂c ∂c +c· = ρ · 2 · π · r · dr · ds · +c· = p · 2 · π · r · dr− dm · ∂t ∂s ∂t ∂s  ∂p p+ · ds · 2π · r · dr − ρ · g · 2π · r · dr · ds · cos(ϕ) − τ · 2 · π · r · ds+ ∂s  ∂τ τ+ · dr · 2 · π(r + dr) · ds , ∂r cos(ϕ) = dz/ds und Division durch (ρ · 2 · π · r · dr · ds) liefert bei Vernachl¨assigung von Termen der Ordnung (dr)2 und mit dem Ansatz τ = μ · (∂c/∂r) sowie ν = μ/ρ die (τ + oτ )dr 2π(r+dr )ds or

o ( p + p ds ) 2πr dr os

ds 2πr dr p2πr dr

r

τ 2πr ds ϕ

s ds

ϕ

dz

ρg2πr dr ds

Abb. 2.46: Kr¨aftebilanz am Stromfadenelement dV f¨ ur die reibungsbehaftete Str¨omung

94

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

Navier-Stokes-Gleichung in Zylinderkoordinaten ∂c ∂c 1 ∂p +c· =− · +ν· ∂t ∂s ρ ∂s



∂2c 1 ∂c · + 2 r ∂r ∂r

−g·

dz ds

.

(2.58)

Dabei handelt es sich um eine partielle Differentialgleichung 2. Ordnung. Im Gegensatz zur Euler-Gleichung (2.40) ber¨ ucksichtigt die Navier-Stokes-Gleichung zus¨atzlich den ¨ Reibungseinfluss durch die Anderungen der Schubspannungen, die die zweiten Ableitungen der Geschwindigkeiten verursachen. Die linke Seite der Navier-Stokes-Gleichung charakterisiert wiederum die Grundgleichung der Kinematik (2.36) f¨ ur die eindimensionale Str¨omung, die jetzt um die Druck-, Reibungs- und Schwerkraft erg¨anzt wurden. F¨ ur die Stromfadenkoordinaten s und n lautet die Navier-Stokes-Gleichung dz ∂c ∂c 1 ∂p ∂ 2c −g· +c· =− · +ν· 2 ∂t ∂s ρ ∂s ∂n ds

.

(2.59)

Die einzelnen Terme bedeuten: ∂c ∂c +c· ∂t ∂s 1 ∂p · ρ ∂s ∂2c ν· ∂n2 dz g· ds

Tr¨ agheitskr¨afte pro Masse, Druckkraft pro Masse, Reibungskraft pro Masse, Schwerkraft pro Masse.

Wir machen die Navier-Stokes-Gleichung mit geeigneten charakteristischen Gr¨oßen des Str¨omungsfeldes dimensionslos. Die dimensionslosen Gr¨oßen werden mit einem hochgestellten Stern gekennzeichnet. Alle auftretenden Ortskoordinaten s, n und z werden auf eine charakteristische L¨ ange L bezogen und die Geschwindigkeit c auf eine charakteristische Geschwindigkeit c∞ . Der Quotient L/c∞ stellt eine charakteristische Zeit dar, mit deren Hilfe die Zeit t entdimensioniert wird. Der Druck p wird mit dem doppelten Wert des dynamischen Druckes, also mit ρ · c2∞ entdimensioniert. s∗ =

s L

,

n∗ =

n L

,

z∗ =

z L

,

c∗ =

c c∞

,

t∗ =

t · c∞ L

p∗ =

,

p ρ · c2∞

.

Setzt man die Gr¨oßen in die dimensionsbehaftete Navier-Stokes-Gleichung (2.59) ein, so erh¨alt man c2∞ ∂c∗ c2 ∂c∗ 1 ρ · c2∞ ∂p∗ c∞ ∂ 2 c∗ L dz ∗ · ∗ + ∞ · c∗ · ∗ = − · · ∗ +ν· 2 · −g· · ∗ ∗2 L ∂t L ∂s ρ L ∂s L ∂n L ds Nach Multiplikation mit dem Faktor L/c2∞ folgt ∗ ∂ 2 c∗ ∂p∗ ν g · L dz ∗ ∂c∗ ∗ ∂c · + c · = − + − · ∂t∗ ∂s∗ ∂s∗ c∞ · L ∂n∗2 c2∞ ds∗

.

.

95

2.3 Hydro- und Aerodynamik, Stromfadentheorie

Die vor den letzten beiden Termen stehenden Kombinationen charakteristischer Gr¨oßen entsprechen jeweils dem Kehrwert der mit der charakteristischen L¨ange L gebildeten Reynolds-Zahl ReL = (c∞ · L)/ν und der mit der L¨ange L gebildeten Froude-Zahl F rL = c2∞ /(g · L), die wir bereits in den einf¨ uhrenden Kapiteln benutzt haben. Die dimensionslose Navier-Stokes-Gleichung lautet ∗ ∂c∗ ∂p∗ 1 ∂ 2 c∗ 1 dz ∗ ∗ ∂c + c · = − + · − · ∂t∗ ∂s∗ ∂s∗ ReL ∂n∗2 F rL ds∗

,

(2.60)

mit den dimensionslosen Kennzahlen Froude-Zahl :

Reynolds-Zahl :

2 c · ∂c Tr¨ agheitskraft ∂s = c∞ , = F rL = Schwerkraft g·L g · dz ds c · ∂c Tr¨ agheitskraft ∂s = c∞ · L = ReL = 2 Reibungskraft ν ∂ ν · c2 ∂n

.

agheitskraft der Str¨omung und die SchwerF¨ ur F r-Zahlen F rL 1 dominiert die Tr¨ kraft kann vernachl¨ assigt werden. F¨ ur Re-Zahlen ReL 1 dominiert ebenfalls die Tr¨agheitskraft. Der Reibungseinfluss beschr¨ ankt sich auf eine d¨ unne wandnahe Reibungsschicht, die wir bereits als Grenzschicht kennengelernt haben. F¨ ur die in Abbildung 2.47 auf die Laufl¨ange L bezogene Grenzschichtdichte δ gilt die Beziehung 1 δ ∼√ L ReL

.

(2.61)

Der statische Druck innerhalb dieser Grenzschicht entspricht dem statischen Druck der reibungsfreien Außenstr¨ omung, er wird der Grenzschicht aufgepr¨agt. F¨ ur Re-Zahlen ReL  1 dominiert die Reibungskraft im gesamten Str¨ omungsfeld. Dies ist der Bereich der schleichenden Str¨ omung (Abbildung 2.47), in der eine Bereichsaufteilung in reibungsfreie

Abb. 2.47: Plattengrenzschichtstr¨omung und schleichende Str¨omung um einen Zylinder

96

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

Außenstr¨omung und wandnahe reibungsbehaftete Str¨omungsschicht nicht mehr m¨oglich ist. Die Gr¨oßenordnungen der Reynolds-Zahlen, die bei Lebewesen und in der Technik auftreten, sind in der folgenden Tabelle in Bezug auf die Fortbewegungsarten zusammengestellt. Natur

ReL

Fortbewegung

Bakterien

10−7

Reibung dominiert Fortbewegung ⇒ Wimper

Einzeller (Geißeln)

10−4

Kaulquappen

102

Tr¨ agheitskraft dominiert ⇒ Strahlantrieb

Aal

105

wellenf¨ormige Fortbewegung

Mensch

106

große ReL -Zahlen Wirbelabl¨ osung zur Fortbewegung

Blauwahl

108

⇒

Schwanzflosse

Technik Kraftfahrzeug Flugzeug

107

Verbrennungskraftmaschinen

Unterseeboot

109

Schiffspropeller

Integrieren wir die dimensionslose Navier-Stokes-Gleichung 2.60 zu einem festen Zeitpunkt t l¨angs der Stromkoordinate s, ergibt sich ∗  ∗2

s c ∂c∗ ∂ ∗ · ds∗ = · ds + ∗ ∗ ∂t ∂s 2 ∗ ∗ ∗

s

s

s 2 ∗ ∗ ∂p∗ dz ∂ c 1 1 · ds∗ − · · ds∗ + · · ds∗ + konst. , − ∗ ∗ ∂s F rL ds ReL ∂n∗2

s

∗

s

∗

∂c∗ 1 1 1 · ds∗ + · c∗2 + p∗ + · z∗ − · ∂t∗ 2 F rL ReL

∗

s

∂ 2 c∗ · ds∗ = konst. ∂n∗2

. (2.62)

Die Gleichung (2.62) erg¨ anzt in der KAPPA-Softwarezusammenstellung die Bernoulli Gleichung (2.56) um den Reibungsterm (1/ReL ) · (∂ 2 c∗ /∂n∗2 ) · ds∗ , der im Softwarepaket KAPPA-Stromfaden (Kapitel 5.1) f¨ ur die Berechnung der Reibungsschichten ber¨ ucksichtigt wurde. Es ist dann nicht mehr von der eindimensionalen Stromfadentheo¨ rie zu sprechen, vielmehr haben wir die Uberleitung zu der allgemeinen Formulierung der str¨omungsmechanischen Grundgleichungen f¨ ur dreidimensionale Str¨omungen gefunden. F¨ uhren wir die Berechnung der Druckverteilung auf dem Modell-Kraftfahrzeug der Abbildung 2.39 in der reibungsbehafteten Grenzschicht mit Gleichung (2.62) durch, dann

2.3 Hydro- und Aerodynamik, Stromfadentheorie

97

Abb. 2.48: Berechnete reibungsbehaftete Druckverteilung auf einem Modell-Kraftfahrzeug

verursacht die Reibung einen gr¨ oßeren Druckabfall auf dem Kraftfahrzeug (Abbildung 2.48). Die Ursache daf¨ ur kann man mit einer durch die Reibungsschicht ver¨anderten fiktiven Geometriekontur des Kraftfahrzeuges deuten. Diese ist mit dem Begriff der Verdr¨ angungswirkung der Grenzschichtstr¨ omung verkn¨ upft. Die Grenzschicht verdr¨angt Masse, die eine ver¨ anderte reibungsfreie Außenstr¨omung zur Folge hat. Die Berechnung der reibungsfreien Außenstr¨ omung der reibungsbehafteten Umstr¨omung eines K¨orpers kann also derart erfolgen, dass man an jedem Ort der urspr¨ unglichen Kontur eine Verugt, die einen neuen Modellk¨orper definiert (Abbildung 2.49). dr¨ angungdicke δ ∗ hinzuf¨ Die Verdr¨angungsdicke δ ∗ berechnet sich aus dem urspr¨ unglichen Grenzschichtgeschwin-

Abb. 2.49: Verdr¨angung der reibungsfreien Außenstr¨omung durch die Verdr¨angungsdicke der Grenzschicht

98

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

digkeitsprofil c/c∞ mit δ∗ = L

∞ 

c 1− c∞

0



z! L

d

.

Analytische L¨ osungen der Navier-Stokes-Gleichung Es sind drei analytische L¨ osungen der Navier-Stokes-Gleichung angef¨ ugt. In einem Rohr mit Kreisquerschnitt des Radius R stellt sich ein parabolisches Geschwindigkeitsprofil c(r) ein (Abbildung 2.50). Es handelt sich dabei um eine station¨are ∂c/∂t = 0 und ausgebildete ∂c/∂s = 0 Rohrstr¨ omung. Damit ¨andert sich das Geschwindigkeitsprofil entlang der Koordinate s nicht, womit (1/ρ)·∂p/∂s = konst. sein muss. Es handelt sich um eine horizontale Schichtenstr¨ omung mit dz = 0, damit f¨allt die Schwerkraft g · dz/ds = 0 weg. F¨ ur diese Voraussetzungen ergibt die Navier-Stokes-Gleichung in Zylinderkoordinaten (2.58) d2 c 1 dc · + 2 = konst. r dr dr

,

(2.63)

wobei die konstante Z¨ ahigkeit ν dem konstanten Druckgradienten (1/ρ) · ∂p/∂s zugeschlagen wurde. Da die Geschwindigkeit c(r) ausschließlich eine Funktion der Radialkoordinate r ist, erhalten wir eine gew¨ ohnliche Differentialgleichung 2. Ordnung. Mit den zwei Randbedingungen r=R und der Nebenbedingung

,

c(R) = 0

dc

=0 dr r=0

,

l¨asst sich die Differentialgleichung (2.63) mit einem Potenzreihenansatz f¨ ur c(r) l¨osen  dp r2 R2 · · 1− 2 c(r) = − . 4 · ν · ρ ds R Mit der maximalen Geschwindigkeit cmax = −(R2 /(4 · ν · ρ)) · (dp/ds) ergibt sich f¨ ur die Rohrstr¨omung  r2 . (2.64) c(r) = cmax 1 − 2 R

Abb. 2.50: Hagen-Poisseuille-Rohrstr¨omung

99

2.3 Hydro- und Aerodynamik, Stromfadentheorie

F¨ ur die ebene station¨ are Kanalstr¨ omung, die man Poiseuille-Str¨ omung nennt, erh¨alt man ebenfalls ein parabolisches Geschwindigkeitsprofil c(n) (Abbildung 2.51). Die zu l¨ osende Navier-Stokes-Gleichung (2.59) schreibt sich mit ∂p/∂s = konst. und dz = 0 f¨ ur die ausgebildete Kanalstr¨ omung ∂c/∂s = 0 ν·

d2 c = konst. dn2

.

(2.65)

Nach zweimaliger Integration ergibt sich mit den Randbedingungen n = ±H

,

c(±H) = 0

das parabolische Geschwindigkeitsprofil   n2 H2 dp n2 c(n) = − · · 1 − 2 = cmax · 1 − 2 2 · ν · ρ ds H H

.

(2.66)

Die Schubspannung dieser reibungsbehafteten Kanalstr¨omung berechnet sich mit (2.1) τ (n) = μ ·

dc 2 · μ · cmax ·n . =− dn H2

Wir erhalten also die in Abbildung 2.51 gezeigte lineare Verteilung der Betr¨age der Schubspannungen. F¨ ur die Couette-Str¨ omung der Abbildung 2.52 ergibt sich im Kanal mit der unteren ruhenden Wand und der mit der konstanten Geschwindigkeit U bewegten oberen Wand mit der zus¨atzlichen Voraussetzung ∂p/∂s = 0 f¨ ur die Navier-Stokes-Gleichung (2.59) d2 c =0 dn2

.

(2.67)

Nach zweimaliger Integration erh¨ alt man mit den Randbedingungen n = ±H

,

c(−H) = 0

,

c(+H) = U

Abb. 2.51: Poiseuille-Kanalstr¨omung

100

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

Abb. 2.52: Couette-Str¨omung das lineare Geschwindigkeitsprofil c(n) =

n! U · 1+ 2 H

.

(2.68)

Widerstandsbeiwerte Nachdem wir die Grundlagen der reibungsfreien und reibungsbehafteten Str¨omungsbereiche bereitgestellt haben, k¨ onnen wir an die einf¨ uhrenden Beispiele in Kapitel 1.2 ankn¨ upfen und den Widerstand umstr¨omter K¨orper bestimmen. Der Gesamtwiderstandsbeiwert cw (1.2) cw =

W 1 · ρ · c2 · A 2 ∞ ∞

,

mit der Widerstandskraft W auf den K¨ orper, der Anstr¨omung c∞ und einer charakteristischen Querschnittsfl¨ ache A setzt sich entsprechend der reibungsfreien und reibungsbehafteten Bereiche des Str¨ omungsfeldes aus zwei Anteilen zusammen: cw = cd + cf,g

,

(2.69)

den durch die Druckverteilung cp verursachten Formwiderstand bzw. Druckwiderstand F D und den Reibungswiderstand F R . Die zugeh¨origen Widerstandsbeiwerte schreiben sich cd =

FD 1 · ρ · c2 · A 2 ∞ ∞

,

cf,g =

FR 1 · ρ · c2 · A 2 ∞ ∞

.

Die Druckkraft FD berechnet sich aus dem Druckbeiwert cp (1.1) cp =

p − p∞ 1 · ρ · c2 2 ∞ ∞

und die Reibungskraft FR aus dem lokalen Reibungsbeiwert cf cf =

τw 1 · ρ · c2 2 ∞ ∞

,

mit der Schubspannung τw an der Wand. Durch Integration entlang der Wandstromlinie s, ergibt sich der Gesamtwiderstand W eines umstr¨omten K¨orpers der L¨ange L mit der

101

2.3 Hydro- und Aerodynamik, Stromfadentheorie

Bogenl¨ange der K¨orperoberfl¨ ache Ls : ⎛ Ls,o L

s,u ⎝ cp,o · sin(αo ) · ds − cp,u · sin(αu ) · ds W = 0

0 L

s,o

L

s,u

cf,u · cos(αu ) · ds⎠ ·

cf,o · cos(αo ) · ds +

+ 0

⎞ 1 · ρ∞ · c2∞ · B 2

,

(2.70)

0

dabei bedeuten o und u die Oberseite bzw. Unterseite des K¨orpers und B eine charakteristische Tiefe mit A = L · B. Die Integration erfolgt entlang der jeweiligen Oberfl¨achen. Bei der Aufspaltung in Druck- und Reibungswiderstand geht man davon aus, dass zwar der Druckwiderstand stark von der Form des K¨ orpers abh¨angt, dass aber der Reibungswiderstand im Wesentlichen nur von der Gr¨ oße der K¨orperoberl¨ache abh¨angt und nicht von der Form der Oberfl¨ ache. Die Abbildung 2.53 zeigt den Druckwiderstandsbeiwert cd und lokalen Reibungsbeiwert cf f¨ ur ein mit c∞ angestr¨ omtes symmetrisches Profil. Dabei ist zu beachten, dass wir entgegen dem Beispiel in Kapitel 1 jetzt von einer inkompressiblen Str¨omung geringer Str¨omungsMach-Zahl ausgehen, wie wir sie z. B. beim Segelflugzeug vorfinden. Die Abbildung 2.54 fasst die Widerstandsanteile umstr¨ omter K¨ orper zusammen. Der Grenzschicht der l¨ angs angestr¨ omten Platte wird der Druck aufgepr¨agt, wie wir in Kapitel 3.4 beweisen werden. Damit ist der Druckwiderstandsbeiwert cd gleich Null und der Gesamtwiderstandsbeiwert cw besteht ausschließlich aus dem Reibungswiderstandbeiwert cf,g , dessen lokale Reibungsbeiwerte l¨ angs der Platte in Abbildung 2.3.2 dargestellt sind.

Abb. 2.53: Druckbeiwert cp und Widerstandsbeiwert cf der symmetrischen Profilumstr¨omung

102

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

Abb. 2.54: Anteile von Druckwiderstandsbeiwert cd und Reibungswiderstandsbeiwert cf,g umstr¨omter K¨orper Ein schlankes Profil hat entsprechend der kleinen Querschnittsfl¨ache A nur einen geringen Druckwiderstand (Abbildung 2.54). Es dominiert der Reibungswiderstand. Beim umstr¨omten Zylinder kehrt sich das Verh¨ altnis der Widerstandsanteile um und es dominiert der Druckwiderstand. Die quer angestr¨ omte Platte hat praktisch nur Druckwiderstand und der Reibungswiderstand ist verschwindend klein. uck. Kommen wir zur Fragestellung des K¨ orpers mit geringstem Gesamtwiderstand cw zur¨ Bei der Auslegung des Rennwagens der Abbildung 1.18 mit einem cw -Wert von 0.17 wurde die Idealgeometrie bereits 1938 gefunden. Es sind Stromlinienk¨ orper, wie sie in Abbildung 2.56 dargestellt sind, die den geringsten Widerstand aufweisen. In Kapitel 2.4.5

cf

1

s /L

Abb. 2.55: Reibungsbeiwert cf der Plattengrenzschicht

103

2.3 Hydro- und Aerodynamik, Stromfadentheorie

8

c

Abb. 2.56: Stromlinienk¨orper in freier Anstr¨omung (Zeppelin) und in Bodenn¨ahe (Kraftfahrzeug)

8

c

werden wir jedoch sehen, dass selbst diese geringen Widerstandsbeiwerte durch geeignete Beeinflussung der Wandschubspannung τw noch weiter verringert werden k¨onnen. 2.3.3

Kompressible Str¨ omungen

Die kompressible Str¨ omung wird mit der Gr¨ oße der Kompressibilit¨at K charakterisiert K=

relative Volumen¨ anderung dV 1 =− · erforderliche Druck¨ anderung V dp

.

(2.71)

Da die Druck¨anderung dp > 0 bei gleichzeitiger Volumen¨anderung dV < 0 ist, wird in der Definition von K ein Minuszeichen erg¨ anzt, damit K selbst positive Werte annimmt. ur Gase gilt bei konstanter Der Zahlenwert z.B. f¨ ur Wasser ist KH2 O = 5 · 10−5 bar−1 . F¨ Temperatur das Boyle-Mariotte-Gesetz m , V dV m = −Konst. · 2 dp p

p = Konst. · V = Konst. ·

m p

=⇒

(2.72) ,

mit (1/V ) = p/(m · Konst.) folgt f¨ ur K K=−

p dV 1 m · = Konst. · 2 · dp V p m · Konst.

=⇒

K=

1 p

.

Der Zahlenwert f¨ ur Luft ist bei p = 1 bar, KLuft = (1/p) = 1 bar−1 . Ein Vergleich der Medien Luft und Wasser liefert KLuft = 20000 K H2 O

.

Luft ist also etwa 20000 mal so kompressibel wie Wasser. Davon haben wir bereits fr¨ uher Gebrauch gemacht, dass im Allgemeinen Wasserstr¨omungen inkompressible Str¨omungen sind und Gasstr¨omungen bei entsprechend hoher Str¨omungsgeschwindigkeit als kompressible Str¨omungen behandelt werden m¨ ussen. Erg¨anzend zu den charakteristischen Kennzahlen des vorangegangenen Kapitels tritt jetzt die Mach-Zahl M M=

c Str¨ omungsgeschwindigkeit = a Schallgeschwindigkeit

(2.73)

als zus¨atzliche dimensionslose Kennzahl auf. Die Schallgeschwindigkeit a entspricht der Ausbreitungsgeschwindigkeit kleiner St¨ orungen der Zustandsgr¨oßen (z.B. Druckst¨orungen dp) in einem ruhenden kompressiblen Medium (Abbildung 2.57). Die Schallgeschwindigkeit

104

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

ist eine Signalgeschwindigkeit, mit der St¨ orungen im Str¨omungsfeld u ¨bertragen werden. Das Gas, u ¨ber das die Schallwelle hinweg gelaufen ist, weist eine Druckst¨orung dp, eine Dichtest¨orung dρ und eine St¨ orung der Geschwindigkeit dc auf. F¨ ur den mit −a mitbewegten Beobachter ruht die Schallwelle, und er sieht hinter der Schallwelle die Geschwindigkeit dc − a. Beschr¨ anken wir uns auf die reibungsfreie Außenstr¨omung, lassen sich f¨ ur die ruhende Schallwelle die Kontinuit¨atsgleichung m ˙ = ρ · c · A = konst.

=⇒

(ρ + dρ) · (−a + dc) · A = −ρ · a · A

dc dρ = ρ a

=⇒

,

und die Bernoulli-Gleichung schreiben c2 + 2

p

dp = konst. ρ

(−a + dc)2 + 2

,

p+dp

0

0

dp a · dc = ρ

dp (−a)2 = + ρ 2

p

dp ρ

,

0

.

Die Schallgeschwindigkeit a ist folglich mit der Druck- und Dichte¨anderung im Medium gekoppelt. Kleine St¨ orungen breiten sich verlustfrei, d.h. isentrop aus, daher l¨asst sich f¨ ur das Quadrat der Schallgeschwindigkeit schreiben  a2 =

∂p ∂ρ

. s

Dies entspricht der Definitionsgleichung (2.9). Mit Hilfe der Gleichung der isentropen Zustands¨anderung  κ p ρ = (2.74) p1 ρ1 leicht gestörte Strömungsgröße

ruhendes Gas a

Ausbreitungsvorgang (eindimensional, stationär)

p

p + dp ρ + dρ dc

ρ

c = 0 Schallwelle

leicht gestörte Strömungsgröße p + dp ρ + dρ − a + dc

ungestörte Strömungsgrößen −a

mit −a bewegtes Bezugssystem

p ρ

−a Schallwelle ruht

Abb. 2.57: Ausbreitung einer Schallwelle im ruhenden und mitbewegten Bezugssystem

105

2.3 Hydro- und Aerodynamik, Stromfadentheorie

folgt κ ρ p1 p 1 p1 p ρ1 · · =κ· ·  =κ· =κ· ρ ρ1 ρ1 ρ p1 ρ ρ1 

∂p = p1 · κ · ∂ρ



ρ ρ1

(κ−1)

,

und mit der idealen Gasgleichung (2.8) a2 = κ ·

p ρ

a2 = κ · R · T

,

a2 = κ ·

,

R ·T M

,

(2.75)

mit der allgemeinen Gaskonstanten R = 8.314 J/(mol · K) und der Molmasse M {g/mol}. F¨ ur die Schallgeschwindigkeit a ergeben sich damit die folgenden wichtigen Proportionalit¨aten  √ 1 a∼ T , a∼ . (2.76) M Die Zahlenwerte f¨ ur Luft sind κ = 1.4

,

R = 287

J kg · K

,

T = 293.15 K

=⇒

a = 343.20

m km = 1235.5 s h

.

Schallwellen sind in unserem nat¨ urlichen und technischen Umfeld allgegenw¨artig. Ein eindrucksvolles Beispiel ist der Peitschenknall. In Abbildung 2.58 sind vier Momentaufnahmen des Peitschenschnurendes gezeigt. Bei 1ist das Peitschenschnurende kurz vor dem

Abb. 2.58: Peitschenknall

106

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

Umkehrpunkt. Bei 2 plustert das Schnurende auf, und es entsteht dabei die Knallwelle S, die nicht mehr als kleine St¨ orung betrachtet werden kann. Die Schallwelle steilt zu einem Verdichtungsstoß auf, den wir als lauten Knall h¨oren. In den weiteren Momentaufnahmen 3 und 4 breitet sich die Knallwelle in der kompressiblen umgebenden Luft aus. Betrachten wir in Abbildung 2.59 die Schallwellen, die von einer ruhenden bzw. bewegten Schall-St¨orquelle (Beispiel Peitschenknall) ausgehen. F¨ ur die ruhende Schallquelle breiten sich die Schallwellen als konzentrische Kugelwellen aus. Bewegt sich die Schallquelle mit einer Geschwindigkeit u∞ kleiner als die Schallgeschwindigkeit a∞ (M∞ < 1), verdichten sich stromauf die Kugelwellen. Ein außenstehender Beobachter h¨ort zun¨achst eine h¨ohere Frequenz (hoher Ton) und nach dem Vorbeibewegen der Schallquelle eine tiefere Frequenz (tiefer Ton). Bewegt sich die Schallquelle mit einer Geschwindigkeit u∞ gr¨oßer als die Schallgeschwindigkeit a∞ (M∞ > 1), bleiben die Schallwellen innerhalb eines charakteristischen Kegels, dem sogenannten Mach-Kegel, mit dem Kegelwinkel sin(α) = a∞ /u∞ ¨ zur¨ uck. Ist die Schallquelle ein Uberschallflugzeug, so steilt sich dieser Mach-Kegel wiederum zu einem Verdichtungsstoß (Kopfwelle) auf, dessen Druckverteilung am Boden in Abbildung 2.60 skizziert ist. Der Verdichtungsstoß erzeugt am Boden den Drucksprung Δp, ¨ den wir als Knall h¨ oren. Um hinter dem Uberschallflugzeug den ungest¨orten thermodynamischen Zustand der Luft p∞ wieder erreichen zu k¨onnen, ist ein weiterer Verdichtungsstoß erforderlich (Schwanzwelle), der die Druckerh¨ohung der Kopfwelle wieder r¨ uckg¨angig ¨ macht. Deshalb h¨oren wir am Boden bei einem u immer ¨berfliegenden Uberschallflugzeug einen Doppelknall.

Mach-Zahlbereiche Neben der Charakterisierung reibungsbehafteter Str¨omungen mit der Reynolds-Zahl ReL , Str¨omungen mit W¨ armetransport mit der Prandtl-Zahl P r∞ , dem Einfluss der Erdschwere mit der Froude-Zahl F rL , gibt uns nunmehr die Mach-Zahl M∞ die M¨oglichkeit, die Bereiche inkompressibler und kompressibler Str¨ omungen abzugrenzen. Von inkompressiblen Unterschallstr¨omungen mit ∂ρ/∂s  ∂c/∂s sprechen wir f¨ ur M∞  1 Unterschallstr¨ omung, inkompressibel (Kraftfahrzeugumstr¨omung)

8

a Δt

8

u >a

8

8

u ∂c/∂s, f¨ ur ¨ ¨ M∞ > 1 Uberschallstr¨ omung (Uberschallflugzeug Concorde)

,

Wir sprechen von Hyperschallstr¨ omungen mit ∂ρ/∂s ∂c/∂s f¨ ur M∞ 1 Hyperschallstr¨ omung (Wiedereintrittsflugzeug, Space Shuttle)

.

Dabei verlassen wir im Bereich der Hyperschallstr¨omungen den G¨ ultigkeitsbereich der thermodynamischen Zustandsgleichungen f¨ ur ideale Gase. Es m¨ ussen in diesem MachZahlbereich die chemischen Reaktionen heißer Luft mitber¨ ucksichtigt werden, die wir in unserem Lehrbuch Aerothermodynamik H. Oertel jr. 1994, 2005 behandeln. Dabei gilt z.B. f¨ ur die Mach-Zahl M∞ = 10 1 ∂c 1 ∂ρ · ∼ 100 · · ρ ∂s c ∂s und es dominiert der Einfluss der Kompressibilit¨at.

8

M >1

Schwanzwelle

Kopfwelle

reflektierte Stoßwellen

Boden Δp

¨ Abb. 2.60: Uberschallflug und Druckverteilung am Boden

Δp

p

8

8

p

108

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

Stromfadentheorie kompressibler Str¨ omungen

Die Ableitung der eindimensionalen Stromfadentheorie kompressibler Str¨omungen kn¨ upft an die Euler-Gleichung (2.40) an. Wir betrachten im Folgenden eine station¨are Schichtenstr¨omung der reibungsfreien Außenstr¨ omung bzw. der reibungsfreien Kernstr¨omung einer D¨ use. F¨ ur die Schichtenstr¨ omung ist dz = 0 und die Euler-Gleichung schreibt sich f¨ ur die Stromfadenkoordinate s 1 dρ 1 dp 1 dρ dp dc =− · =− · · = −a2 · c· ds ρ ds ρ dρ ds ρ ds 1 1 dρ 1 dc · =− 2 · · , c ds M∞ ρ ds 1 dρ 1 dc 2 · = −M∞ · · ρ ds c ds

,



2

:c

,

(2.77)

mit (1/ρ) · (dρ/ds) der relativen Dichte¨ anderung und (1/c) · (dc/ds) der relativen Geschwindigkeits¨anderung. 2 Im Unterschall gilt M∞  1, daher ist die relative Dichte¨anderung bei Unterschallstr¨omungen sehr viel kleiner als die relative Geschwindigkeits¨anderung und kann bei sehr kleinen Mach-Zahlen oftmals v¨ ollig vernachl¨ assigt werden. 2 ¨

1 gilt bei Im Uberschall ist dieses Verhalten gerade umgekehrt. Wegen M∞ ¨ Uberschallstr¨omungen, dass die relative Dichte¨anderung sehr viel gr¨oßer ist, als die re¨ lative Geschwindigkeits¨ anderung. Wird eine Uberschallstr¨ omung beschleunigt, dc/ds > 0, 2 so ist diese Beschleunigung wegen des Vorfaktors −M∞ mit einer betr¨achtlichen Dichteab¨ nahme des Mediums, dρ/ds < 0, verbunden. Uberschallstr¨ omungen ben¨otigen also Raum. ¨ Aufgrund der Kontinuit¨ atsgleichung muss bei einer beschleunigten Uberschallstr¨ omung wegen der st¨arkeren relativen Dichteabnahme der Querschnitt A l¨angs s zunehmen. 2 ¨ ≈ 1 und alle Anderungen, relative DichBei transsonischen Str¨ omungen gilt M∞ te¨anderung sowie relative Geschwindigkeits¨ anderung, sind von gleicher Gr¨oßenordnung. Das Integral der Euler-Gleichung ergibt wiederum die Bernoulli-Gleichung f¨ ur die kompressible Str¨omung. Gehen wir vom Integral entlang des Stromfadens s von der Stelle 1 zur Stelle 2 unter Vernachl¨ assigung der Erdschwere mit z1 = z2 aus, ergibt sich

1 · (c22 − c21 ) + 2

p2

dp =0 ρ

.

p1

¨ F¨ ur die Anderung der Zustandsgr¨ oßen gelten die Gleichungen der isentropen Zu-

109

2.3 Hydro- und Aerodynamik, Stromfadentheorie

stands¨anderungen (2.74) (nicht f¨ ur Verdichtungsst¨oße!), 1  κ1  κ 1 p p1 1 1 p1κ ρ = = ⇒ · = · p− κ =⇒ p1 ρ1 ρ p ρ1 ρ1 p2 1 1 1 

p2

p 2 " κ−1 κ−1 # κ−1 1 pκ κ pκ κ dp pκ = 1 · = 1 · p− κ · dp = 1 · ·p κ · p2 κ − p1 κ ρ ρ1 ρ1 κ−1 ρ1 κ − 1 p1

p1

,

p1

p2 p1

dp κ = · ρ κ−1



p2 p1 − ρ2 ρ1

.

Damit lautet die Bernoulli-Gleichung f¨ ur kompressible Str¨omungen 1 2 p2 p1 κ 1 κ ·c + · · = · c21 + 2 2 κ − 1 ρ2 2 κ − 1 ρ1

=⇒

p 1 2 κ ·c + · = konst. 2 κ−1 ρ

. (2.78)

Mit a2 = κ · (p/ρ) folgt 1 2 1 a22 a21 · c2 + = · c21 + 2 κ−1 2 κ−1

=⇒

1 2 a2 ·c + = konst. 2 κ−1

.

(2.79)

Mit Hilfe der Zustandsgleichung f¨ ur ideale Gase (p/ρ) = R · T = (cp − cv ) · T und dem Isentropenexponent κ = (cp /cv ) folgt p cp κ · = · κ−1 ρ cv cp · T 2 +

cp cv

1 · (cp − cv ) · T = cp · T = h , −1

1 2 1 · c = cp · T1 + · c21 2 2 2

h2 +

1 2 1 · c = h1 + · c21 2 2 2

=⇒

=⇒

cp · T +

h+

1 2 · c = konst. 2

1 2 · c = konst. 2

,

,

(2.80)

(2.81)

die ohne Ber¨ ucksichtigung des W¨ armestroms und der Schwerkraft der Energiegleichung (2.52) entspricht. Die Festlegung der Konstanten der Bernoulli-Gleichung erfolgt mit den Ruhewerten des Gasreservoires (Kessel) oder den sogenannten kritischen Werten. F¨ ur die Ruhewerte im Kessel p0 , ρ0 , a0 , T0 gilt mit c = 0 Gleichung (2.79)  1 1 2 a20 a20 a2 1 ·c + = , a2 · M2 + = , 2 κ−1 κ−1 2 κ−1 κ−1 1 a2 = , 2 κ − 1 a0 · M2 1+ 2

110

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

mit a2 = κ · R · T und a20 = κ · R · T0 folgt T = T0

1 κ−1 1+ · M2 2

,

(2.82)

2 > 0. Mit der Isentropenbeziehung T ist immer kleiner als T0 , da stets gilt M∞

ρ = ρ0



T T0

1 κ−1

folgt f¨ ur die Ruhedichte ρ0 ρ = ρ0

1 κ−1 1+ · M2 2

1 κ−1

,

(2.83)

2 ρ ist mit M∞ > 0 kleiner als ρ0 . Mit der Isentropenbeziehung κ  κ−1 T p = p0 T0

folgt f¨ ur den Ruhedruck p0 p =  p0

1 κ−1 1+ · M2 2

κ κ−1

.

(2.84)

Mit der Gleichung (2.82) kann ebenfalls die Ruhetemperatur T0 im Staupunkt eines Flugk¨orpers bestimmt werden. Gehen wir von einer Str¨omungstemperatur T = 300 K aus, so ergibt sich im Staupunkt (c = 0) f¨ ur eine Flug-Mach-Zahl von M∞ = 2 die Stau¨ punkttemperatur T0 = 540 K. Der Staupunkt des Uberschallflugzeuges Concorde heizt sich also w¨ahrend des Fluges auf. Bei M∞ = 5 betr¨agt die Staupunkttemperatur bereits T0 = 1800 K. Bei derart hohen Temperaturen ist jedoch die Voraussetzung der isentropen Zustands¨anderung und des idealen Gasgesetzes nicht mehr gew¨ahrleistet. F¨ ur die Bestimmung der Konstanten der Bernoulli-Gleichung kann man auch die kritischen Werte nutzen (Index ∗). Als kritische Werte bezeichnet man diejenigen Werte, die die Str¨omungsgr¨oßen aufweisen, wenn gerade die Schallgeschwindigkeit M = 1 erreicht wird T (M = 1) = T ∗ , ρ(M = 1) = ρ∗ p(M = 1) = p∗ , a(M = 1) = a∗ , c(M = 1) = c∗ = a∗ .

,

Es gilt also 1 a2 a∗2 1 2 ·c + = · c∗2 + = a∗2 · 2 κ−1 2 κ−1



1 1 + 2 κ−1



oder 1 2 1 · c + cp · T = · a∗2 + cp · T ∗ 2 2

,

= a∗2 ·

κ+1 2 · (κ − 1)

111

2.3 Hydro- und Aerodynamik, Stromfadentheorie

mit a∗2 = κ · R · T ∗ =

cp · (cp − cv ) · T ∗ = cp · (κ − 1) · T ∗ =⇒ cv

1 2 1 · c + cp · T = · cp · (κ − 1) · T ∗ + cp · T ∗ = 2 2 1 2 κ+1 · T∗ = · cp · (κ − 1) · T ∗ + · cp · T ∗ = cp · 2 2 2

.

Es existiert ein Zusammenhang zwischen den Ruhewerten (Index 0) und den kritischen Werten (Index ∗). Dazu muss man die Mach-Zahl M in Gleichung (2.82) und (2.84) M = 1 setzen, variable Gr¨ oßen mit einem ∗ indizieren, w¨ahrend die Ruhewerte unver¨andert bleiben. Man erh¨alt 2 T∗ = T0 κ+1

ρ∗ = ρ0

,



2 κ+1

1 κ−1



,

p∗ = p0

,

p∗ = 0.528 p0

2 κ+1

κ κ−1

.

(2.85)

Speziell f¨ ur Luft mit dem Wert κ = 1.4 ergibt sich T∗ = 0.833 T0

,

ρ∗ = 0.634 ρ0

.

Stromfadentheorie bei ver¨ anderlichem Querschnitt A(s) Bei variablem A(s) lautet die Kontinuit¨ atsgleichung m ˙ = ρ(s) · c(s) · A(s) = konst.

.

Logarithmiert man die Kontinuit¨ atsgleichung, so erh¨alt man ln(ρ(s) · c(s) · A(s)) = ln(ρ(s)) + ln(c(s)) + ln(A(s)) = ln(konst.)

,

die Differentiation d/ds liefert 1 dA 1 dρ 1 dc · + · + · =0 . ρ ds c ds A ds Mit der Euler-Gleichung (2.77) l¨ asst sich der Dichte-Term aus der logarithmierten Kontinuit¨atsgleichung eliminieren und man erh¨ alt 1 dc 1 dA · · (−M 2 + 1) + · =0 , c ds A ds 1 1 dA 1 dc · = 2 · · c ds M − 1 A ds

.

(2.86)

Aus Gleichung (2.86) folgt, wie der Querschnitt A(s) einer D¨ use geformt sein muss, um das ¨ Gas kontinuierlich von Unterschall-Mach-Zahlen M < 1 auf Uberschall-Mach-Zahlen M> 1 zu beschleunigen (Abbildung 2.61). Kontinuierliche Beschleunigung verlangt dc/ds > 0.

112

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

Ist die Mach-Zahl M < 1, erfordert dies eine Querschnittsverengung dA/ds < 0. Ist die Mach-Zahl M > 1, ist eine Querschnittserweiterung dA/ds > 0 f¨ ur die Beschleunigung des Gases erforderlich. F¨ ur die Mach-Zahl M = 1 hat die Differentialgleichung (2.86) eine Singularit¨at. Um dc/ds > 0 sicherzustellen, muss dA/ds = 0 gelten. ¨ Will man also kontinuierlich vom Unterschall in den Uberschall beschleunigen, muss die daf¨ ur erforderliche D¨ use zun¨ achst eine Querschnittsverengung und stromab des engsten Querschnitts eine Querschnittserweiterung aufweisen. Die dazugeh¨orige D¨ use ist in Abbildung 2.61 skizziert. Man nennt sie Laval-D¨ use. Am engsten Querschnitt stellen sich bei der Mach-Zahl M = 1 die zuvor eingef¨ uhrten kri¨ tischen Werte (Index *) der Gleichung (2.85) ein. Das divergente D¨ usenteil im Uberschall kann man auch anschaulich erkl¨ aren, wenn man sich vor Augen h¨alt, dass die rela¨ tive Dichteabnahme im Uberschall viel st¨ arker ist als die relative Geschwindigkeitszunahme. Aus diesem Grund muss zur Aufrechterhaltung eines konstanten Massenstromes m ˙ = ρ · c · A = konst., der Querschnitt A(s) l¨ angs s zunehmen. Im Folgenden wird die Differentialgleichung abgeleitet, die die relative Querschnitts¨anderung (1/A) · (dA/ds) mit der relativen Mach-Zahl¨anderung (1/M ) · (dM/ds) in Beziehung setzt. Der Logarithmus der Definitionsgleichung f¨ ur die Mach-Zahl c = M · a ergibt ln(c) = ln(M ) + ln(a)

.

Die Differentiation d/ds f¨ uhrt auf 1 dc 1 dM 1 da · = · + · c ds M ds a ds

.

dc > 0 , M < 1 ds dA < 0 ds dc > 0 , M > 1 ds dA > 0 ds dc nicht singulär, M = 1 ds dA = 0 ds

8

c

A min

M< 1

M= 1

M> 1

Abb. 2.61: Laval-D¨ use

(2.87)

113

2.3 Hydro- und Aerodynamik, Stromfadentheorie

Logarithmieren von a2 = κ · (p/ρ) liefert 2 · ln(a) = ln(κ) + ln(p) − ln(ρ). Differentiation d/ds ergibt 1 dp 1 dρ 2 da · = · − · a ds p ds ρ ds

.

Im n¨achsten Schritt muss der Ausdruck dp/ds auf dρ/ds zur¨ uckgef¨ uhrt werden a2 =

dp dρ

dp = a2 · dρ

=⇒

,

dp dρ p dρ = a2 · =κ· · ds ds ρ ds κ dρ 1 dp · = · . p ds ρ ds

,

Man erh¨alt 1 dρ 2 da · = (κ − 1) · · a ds ρ ds

,

mit der Euler-Gleichung folgt κ − 1 −M 2 dc 1 da · = · · a ds 2 c ds

.

Diese Gleichung eingesetzt in Gleichung (2.87) unter Ber¨ ucksichtigung von Gleichung (2.86) liefert 1 1 dA 1 dM (κ − 1)(−M 2 ) 1 1 dA · · = · + · 2 · · 2 M − 1 A ds M ds 2 M − 1 A ds ⎛ 1 dA ⎜ · ·⎝ A ds

1+

⎞ κ−1 · M2 1 dM ⎟ 2 · ⎠= M2 − 1 M ds

.

,

(2.88)

Dies ist eine gew¨ohnliche Differentialgleichung erster Ordnung zur Bestimmung von M (s) bei gegebenem Querschnittsverlauf A(s). Mit der Randbedingung M = M ∗ = 1 f¨ ur A = osung Amin = A∗ bei M ∗ = 1 lautet die L¨ κ+1 2·(κ−1)  1 A κ−1 2 = · 1+ · (M − 1) A∗ M κ+1

,

(2.89)

mit Gleichung (2.89) ist die Mach-Zahl implizit als Funktion des vorgegebenen Querschnittsverlaufs A(s) gegeben, wenn an der engsten Stelle A∗ Schallgeschwindigkeit herrscht. In diesem Fall l¨ asst sich der Massenstrom m ˙ durch die D¨ use als Funktion der kritischen Werte bestimmen m ˙ = ρ · c · A = ρ∗ · c∗ · A∗ = ρ∗ · a∗ · A∗ = konst.

.

F¨ ur die Diskussion der L¨ osungskurven der Gleichung (2.89), betrachtet man das Richtungsfeld der gew¨ohnlichen Differentialgleichung (2.88). Dazu l¨osen wir Gleichung (2.88)

114

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

zun¨achst nach dM/ds auf ⎛ dM 1 dA ⎜ =M· · ·⎝ ds A ds

1+

⎞ κ−1 · M2 ⎟ 2 ⎠ M2 − 1

=⇒

dM = M  (s) = f(M, A, s) ds

.

Die Ableitung der Mach-Zahl M  (s), ist also eine Funktion f der Mach-Zahl M (s), des vorgegebenen Querschnittsverlaufs A(s) und der Koordinate s. Durch die Beziehung M  (s) = f(M, A, s) wird jedem Punktepaar (s, M ) in der (s, M )-Ebene eine Richtung zugeordnet. Besonders ausgezeichnete Richtungselemente ergeben sich am engsten Querschnitt Amin der Abbildung 2.62. F¨ ur M = 1 ergibt sich mit dA/ds = 0 dM =0 , ds also horizontale Tangenten. F¨ ur M = 1 ergeben sich, solange dA/ds = 0 ist, vertikale Tangenten mit dM =∞ ds

.

Der singul¨are Punkt am engsten Querschnitt Amin mit dA/ds = 0 und bei der Mach-Zahl 1 ist ein Sattelpunkt. Der singul¨ are Punkt ist dadurch gekennzeichnet, dass keine eindeutig definierte Richtung vorgegeben ist. Es sind zwei Fortschreitungsrichtungen m¨oglich. Mit diesen drei Grenzf¨ allen lassen sich die mathematisch m¨oglichen L¨osungskurven der Gleichung (2.89) in Abbildung 2.62 eintragen. Davon sind nicht alle L¨ osungskurven f¨ ur die angenommene kontinuierliche Beschleunigung in der Laval-D¨ use physikalisch relevant. Der Bereich der Str¨omungsumkehr f¨allt weg, so

M

dM = 0 ds

M

s

8

dM = ds

1

1

M =1

M =1

A min

Abb. 2.62: Richtungsfeld der Laval-D¨ usen-Differentialgleichung

s

115

2.3 Hydro- und Aerodynamik, Stromfadentheorie

dass sich die relevanten L¨ osungskurven in Abbildung 2.63 darstellen. Welche L¨osungskurve sich letztendlich in der Laval-D¨ use einstellt, h¨ angt vom Gegendruck p∞ am D¨ usenende gegen¨ uber dem Ruhedruck p0 im Kessel ab. Je nach Anwendungsfall, hoher Gegendruck pA bzw. geringen Gegendruck pE , erhalten wir unterschiedliche Str¨omungsformen, die im Folgenden behandelt werden. F¨ ur einen hohen Gegendruck pA erhalten wir die reine Unterschalldurchstr¨omung M < 1 der Laval-D¨ use. Im Bereich der Querschnittsverengung wird die Str¨omung beschleunigt (D¨ use). Im Bereich der Querschnittserweiterung wird die Str¨omung f¨ ur M < 1 wieder verz¨ogert. Hier wirkt die Laval-D¨ use als Diffusor. Ist der Gegendruck pB , wird gerade die Mach-Zahl 1 im engsten Querschnitt erreicht und es stellen sich die kritischen Werte (Index *) ein. Im querschnitterweiternden Bereich der Laval-D¨ use wird wiederum eine Unterschallstr¨omung erreicht und die Str¨omung wird verz¨ogert. Unterschreitet der Gegendruck diesen kritischen Wert pB , so tritt beim Gegendruck pC die ¨ Beschleunigung in den Uberschall M > 1 ein, jedoch ist eine stetige Durchstr¨omung der ¨ Laval-D¨ use nicht mehr m¨ oglich. Es stellt sich im Uberschallteil ein Verdichtungsstoß ein, der einen Sprung der Str¨ omungsgr¨ oßen verursacht. Die L¨osungskurve springt am Ort ¨ s vom Uberschall M > 1 in den Unterschall M < 1. Erniedrigt man den Gegendruck am D¨ usenende auf den Wert pD , wandert der Verdichtungsstoß ans D¨ usenende. Erst beim D¨ usengegendruck pE sprechen wir von einer ideal angepassten Laval-D¨ use. Die kontinuierliche Beschleunigung der Str¨ omung folgt der oberen L¨osungskurve in Abbildung ¨ 2.63 vom Unterschall M < 1 bis in den Uberschall M > 1. Am D¨ usenende stellt sich der in Abbildung 2.64 skizzierte, dem Umgebungsdruck p∞ angepasste Freistrahl ohne Verdichtungsstoß ein. F¨ ur Gegendr¨ ucke zwischen pD und pE erh¨ alt man schiefe Verdichtungsst¨oße am D¨ usenende

M F E

pF pE

D C B A

pD pC pB pA p

1

ρ0

T0

M< 1

Amin

p

8

c=0 p0

8

s

Abb. 2.63: Mach-Zahlverlauf in der Laval-D¨ use in Abh¨angigkeit des Gegendruckes p am D¨ usenausgang

116

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

gefolgt von sogenannten Expansionsf¨ achern. Diese Str¨omungsform schiefer Verdichtungsst¨ oße gefolgt von Expansionsf¨ achern setzt sich im Freistrahl periodisch fort, so dass ei¨ ne charakteristische Knotenstruktur entsteht. Diesen Uberschallfreistrahl nutzt man z.B. beim Schneidbrenner zum Schneiden von Metall. Senkt man den Gegendruck am D¨ usenende weiter auf pF ab, verschwinden die schiefen Verdichtungsst¨oße. Es stellt sich eine Expansionsstr¨omung ohne Verdichtungsst¨oße am D¨ usenende ein, die als Freistrahlglocke sichtbar wird. Diese kann z. B. beim Raketenflug in großen H¨ohen beobachtet werden (Abbildung 2.65). In Abbildung 2.66 ist die Massenstromdichte in der Laval-D¨ use erg¨anzt. Die Massenstromdichte ist der Quotient aus Massenstrom m ˙ und der durchstr¨omten Querschnittsfl¨ache A m ˙ =ρ·c A

.

¨ F¨ ur die mit Uberschall durchstr¨ omte Laval-D¨ use ergibt sich mit den kritischen Werten am engsten Querschnitt A∗ = Amin m ˙ = konst.

=⇒

ρ · c · A = ρ∗ · c∗ · A∗

=⇒

ρ·c A∗ = ∗ ∗ ρ ·c A

.

pD

8

pD > p > pE

8

pD > p > pE

8

pE = p

pF

Abb. 2.64: Str¨omungsformen am Laval-D¨ usenende in Abh¨angigkeit des Gegendruckes p

117

2.3 Hydro- und Aerodynamik, Stromfadentheorie

geringe Höhe

große Höhe

Abb. 2.65: Raketenantriebsstrahl der Saturn-Rakete Da der Querschnitt A in einer Laval-D¨ use bis auf den engsten Querschnitt Amin = A∗ ∗ u ¨berall gr¨oßer als A ist, gilt A∗ ρ·c = ∗ ∗ ≤1 . A ρ ·c Die dimensionslose Massenstromdichte (ρ · c)/(ρ∗ · c∗ ) nimmt also am engsten Querschnitt der Laval-D¨ use Amin = A∗ ihren maximalen Wert (ρ · c)/(ρ∗ · c∗ ) = 1 an. Verdichtungsstoß ¨ Als Verdichtungsstoß bezeichnet man ganz allgemein eine nahezu sprunghafte Anderung der Str¨omungsgr¨oßen Geschwindigkeit v , Druck p, Dichte ρ und Temperatur T . Die¨ se Anderungen treten in einer extrem d¨ unnen Schicht des Gases auf, die von der Gr¨oßenordnung einige mittlere freie Wegl¨ angen des Gases betragen. Die mittlere freie Wegl¨ange bezeichnet die Strecke, die ein Molek¨ ul bzw. Atom im statistischen Mittel zwischen zwei Zusammenst¨ oßen mit einem anderen Molek¨ ul zur¨ ucklegt. F¨ ur Luft betr¨agt die mittlere freie Wegl¨ ange λ unter Normalbedingungen λ = 10−7 m. In diesem Gr¨oßenordnungsbereich treten sehr starke Gradienten der Zustandsgr¨oßen auf, weshalb es gestattet ist, den Verdichtungsstoß im Rahmen der Kontinuumsmechanik durch ei¨ ne sprunghafte Anderung zu modellieren. Die Bezeichnung Verdichtungsstoß erkl¨art sich durch die sprunghafte Zunahme der Dichte ρ u ¨ber den Stoßbereich. Neben der Dichte steigen auch die Temperatur T und der Druck p, w¨ahrend der Betrag der Geschwindigkeit |v | sinkt. ¨ Ein Verdichtungsstoß kann sich grunds¨ atzlich nur im Bereich einer Uberschallstr¨ omung einstellen. Der Spezialfall des senkrechten Verdichtungsstoßes, bei dem Anstr¨omrichtung ¨ und Stoßfront einen rechten Winkel bilden, f¨ uhrt immer von Uberschall auf Unterschall.

118

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

M =1 8

c

M 1

M ( s) 1

s

ρc ρ*c *

1

s

Abb. 2.66: Verlauf der Mach-Zahl und der Massenstromdichte in der Laval-D¨ use

Bei einem schiefen Verdichtungsstoß, der beispielsweise durch den Machschen Kegel bei ¨ der Umstr¨omung des Uberschallverkehrsflugzeuges Concorde dargestellt wird, bilden Anstr¨omrichtung und Stoßfront den Machschen Winkel α, den wir bereits zu Beginn des ¨ Kapitels kennengelernt haben. In diesem Fall kann der Stoß auch von Uberschall auf ¨ ¨ Uberschall f¨ uhren, wobei die Uberschallgeschwindigkeit nach dem Stoß kleiner sein muss als diejenige der Anstr¨ omung vor dem Stoß. Abbildung 2.67 zeigt auf der linken Seite die Verh¨altnisse schematisiert in einem Schnitt ¨ des Tragfl¨ ugels. Das Uberschallgebiet auf dem Tragfl¨ ugel ist hier durch die Mach-Zahl M > 1 gekennzeichnet. Dieses Gebiet wird stromab durch den Verdichtungsstoß abgeschlossen und es herrscht Unterschallgeschwindigkeit mit M < 1. Der Stoß ist leicht gekr¨ ummt und im Bereich kurz oberhalb des Aufsetzens auf die Grenzschicht nahezu senkrecht. F¨ ur einen solchen senkrechten Verdichtungsstoß schreiben wir nachfolgend die Stoßgleichungen an. Entsprechendes gilt f¨ ur den Verdichtungsstoß in der Laval-D¨ use. ¨ Wir gehen ganz allgemein von einer station¨ aren, reibungsfreien Uberschallanstr¨ omung aus. Diese ist gekennzeichnet durch die  gegebenen Werte f¨ ur c1 , ρ1 , p1 und T1 . Mit Hilfe der Schallgeschwindigkeit (2.75) a1 = κ · p1 /ρ1 wird die Mach-Zahl der Anstr¨omung M1 = c1 /a1 festgelegt. κ bezeichnet darin das Verh¨altnis der spezifischen W¨armen cp /cv . Beim Durchgang durch die Stoßfl¨ ache in Richtung der Fl¨achennormalen erfahren diese ¨ Werte sprunghafte Anderungen. Wir interessieren uns f¨ ur die Str¨omungsgr¨oßen c2 , ρ2 , ache. Die Geschwindigkeit c2 ist dann kleiner als die Anp2 und T2 stromab der Stoßfl¨

119

2.3 Hydro- und Aerodynamik, Stromfadentheorie

str¨omgeschwindigkeit c1 , w¨ ahrend die anderen Zustandsgr¨oßen zunehmen. In Abbildung 2.67 rechts ist dies durch einen k¨ urzeren Geschwindigkeitsvektor f¨ ur c2 hinter dem Stoß dargestellt. Die Zustands¨ anderungen u ¨ber den senkrechten Verdichtungsstoß k¨onnen mit den Erhaltungss¨atzen f¨ ur Masse, Impuls und Energie einer eindimensionalen, station¨aren und reibungsfreien Str¨ omung vor und nach dem Stoß beschrieben werden. Wir gehen von den Gleichungen der eindimensionalen Theorie aus: Masse :

ρ 1 · c1 = ρ 2 · c2

Impuls :

p1 + ρ1 · = p2 + ρ2 · 1 1 h1 + · c21 = h2 + · c22 2 2

Energie :

c21

c22

,

(2.90)

,

(2.91)

,

(2.92)

F¨ ur die Enthalpie h gilt die kalorische Zustandsgleichung h = cp · T = e +

p p = cv · T + ρ ρ

.

L¨ost man die Grundgleichungen (2.90) - (2.92) nach den vier unbekannten Gr¨oßen hinter alt man die Stoßgleichungen. dem Verdichtungsstoß c2 , p2 , ρ2 und T2 auf, erh¨ Unter Beachtung der thermischen Zustandsgleichung f¨ ur ideale Gase p/ρ = R · T kann die Enthalpie h in Abh¨ angigkeit der folgenden Gr¨ oßen geschrieben werden:  1 p p p cv κ p a2 +1 · = · = . h = cv · · + = R ρ ρ cp − cv ρ κ−1 ρ κ−1 Damit lautet der Energiesatz (2.92) 1 κ 1 p1 p2 κ + · u21 = + · u22 · · κ − 1 ρ1 2 κ − 1 ρ2 2

.

Im Zusammenhang mit den Erhaltungsgleichungen f¨ ur Masse (2.90) und Impuls (2.91) erhalten wir ein System von drei algebraischen Gleichungen zur Bestimmung der drei gesuchten Gr¨oßen c2 , p2 und ρ2 hinter dem Stoß. Die ebenfalls gesuchte Temperatur T2 kann dann mit der thermischen Zustandsgleichung aus p2 und ρ2 bestimmt werden. Unter Stoß Schalllinie Stoß M 1

c1

M 1 der Anstr¨omung als Parameter steht    1 c2 1 ρ1 2 κ−1  2 · 1− 2 = 2 · 1+ · M1 − 1 = =1− c1 ρ2 κ+1 M1 M1 κ+1  2·κ  2 p2 · M1 − 1 =1+ , p1 κ+1     1 a22 2·κ  2 2 T2 , · M1 − 1 · 1 − · 1− 2 = 2 = 1+ T1 a1 κ+1 κ+1 M1 κ−1 1+ · (M12 − 1) κ + 1 2 M2 = . 2·κ 1+ · (M12 − 1) κ+1

,

(2.93) (2.94) (2.95)

(2.96)

Die Stoßgleichungen (2.93) - (2.95) liefern die Werte nach dem senkrechten Verdichtungsstoß in Abh¨angigkeit der Anstr¨ om-Mach-Zahl. W¨ahrend Druck und Temperatur nach dem Stoß mit zunehmender Anstr¨ om-Mach-Zahl beliebig steigen k¨onnen, strebt das Dichur M1 → ∞ dem Wert (κ + 1)/(κ − 1) zu. F¨ ur Luft mit κ = 1.4 steigt teverh¨altnis ρ2 /ρ1 f¨ die Dichte nach dem Stoß h¨ ochstens auf den 6-fachen Wert der Anstr¨omdichte. Allerdings gilt diese Absch¨atzung nur unter der Annahme eines idealen Gases. Wir wollen einen bestimmten Zusammenhang zwischen p2 und ρ2 nach dem Stoß bestimmen und eliminieren hierzu c2 in den Gleichungen (2.90) - (2.92). Nach einigen Rechenschritten erhalten wir eine Beziehung, die eine gleichseitige Hyperbel in der (ρ1 /ρ2 , p2 /p1 )¨ Ebene darstellt. Damit kann man die thermodynamisch m¨oglichen Anderungen der Zuber den Stoß hinweg leicht verfolgen. Diese Hyperbel tr¨ a gt den standsgr¨oßen p1 und ρ1 u ¨ Namen Hugoniot-Kurve und sie lautet κ + 1 ρ1 − κ − 1 κ − 1 ρ2 p2 · = κ−1 p1 κ + 1 ρ1 − ρ2 κ+1

.

(2.97)

121

2.3 Hydro- und Aerodynamik, Stromfadentheorie

Einen weiteren Zusammenhang erh¨ alt man, wenn man eine Beziehung f¨ ur p2 /p1 als Funktion von ρ1 /ρ2 lediglich aus Masseerhaltung (2.90) und Impulserhaltung (2.91) ableitet ohne Beachtung des Energiesatzes. Dann erhalten wir die kinematisch m¨oglichen Zustands¨anderungen, die durch eine Geradengleichung beschrieben werden. Diese Gerade heißt Rayleigh-Gerade  ρ1 p2 − 1 = −κ · M12 · −1 . (2.98) p1 ρ2 Die Rayleigh-Gerade hat die Steigung −κ · M12 , die mit der Hugoniot-Kurve zwei Schnittpunkte aufweist, die Identit¨ at mit p2 = p1 sowie ρ2 = ρ1 und die Stoßl¨osung hinter dem Stoß (Abbildung 2.68). Die Fl¨achen im Hugoniot-Diagramm lassen sich als Energien deuten. So repr¨asentiert die Fl¨ache unterhalb der Rayleigh-Geraden A’ B’ C D die innere Energie e des Stoßes    ρ1 p2 e2 − e1 1 ρ1 . + 1 · 1 − · = − 1 · 1 − p1 2 p1 ρ2 ρ2 ρ1       ABCD A B CD Die Dreieckfl¨ache A C D oberhalb der Rayleigh-Geraden repr¨asentiert die kinetische Energie c22 /2   c22 2 = 1 · p2 − 1 · 1 − ρ1 p1 2 p1 ρ2 ρ1    ACD

,

so dass die Gesamtfl¨ ache A’ B’ C D die Erh¨ ohung der Gesamtenergie im Stoß darstellt. ¨ Vor einem stumpfen K¨ orper in einer Uberschallanstr¨ omung M1 > 1 stellt sich die in Abbildung 2.69 gezeigte Kopfwelle ein. In der Umgebung der Staustromlinie kann die Kopfwelle Hugoniot − Kurve p2 p1

Zustand hinter dem Stoß C

D

Rayleigh − Gerade

B

1

B’ κ−1 κ+1

A A’ 1 ρ 1 / ρ2

Abb. 2.68: Hugoniot-Diagramm

122

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

TS T1, M1

Abb. 2.69: Kugelkopfwelle n¨ aherungsweise als senkrechter Verdichtungsstoß betrachtet werden. Die Temperatur im Staupunkt TS berechnet sich mit der Energiegleichung (2.92) und der kalorischen Zustandsgleichung h = cp · T cp · TS = cp · T1 +

c21 2

.

Mit M1 = c1 /a1 , a21 = κ · R · T , cp − cv = R und κ = cp /cv ergibt sich f¨ ur die Staupunkttemperatur TS κ−1 TS · M12 =1+ T1 2

.

(2.99)

¨ F¨ ur den Uberschallflug mit M1 = 2 haben wir bereits TS = 540 K berechnet. F¨ ur den Hyperschallflug mit M1 = 10 stellt sich die Staupunkttemperatur TS = 6300 K ein, was letztendlich Hitzeschildmaterialien wie Keramik-Kacheln f¨ ur den W¨armeschutz erforderlich macht. Da der W¨ arme¨ ubergang vom Kr¨ ummungsradius abh¨angt und f¨ ur große Radien, also stumpfe K¨orper relativ gering ist, resultiert die Auslegung von Wiedereintrittsflugzeugen wie sie z. B. beim Space Shuttle realisiert wurde. Die Abbildung 2.70 zeigt den Space ¨ Shuttle im Uberschallwindkanal. Die Kopfwelle ist in der Umgebung der Staustromlinie nahezu ein senkrechter Verdichtungsstoß, der in den schiefen Stoß der Kopfwelle u ¨bergeht. Wir haben bereits erw¨ ahnt, dass die Abstr¨ om-Mach-Zahl hinter einem schiefen Stoß M > 1 ¨ sein kann, so dass der Fl¨ ugel des Space Shuttle wiederum mit Uberschall angestr¨omt wird, was eine zweite Kopfwelle vor dem Fl¨ ugel zur Folge hat. Die Abbildung 2.71 fasst die m¨ oglichen Str¨ omungsformen von der Unterschall- bis zur ¨ Uberschallanstr¨ omung um ein Fl¨ ugelprofil nochmals zusammen. Bei einer Unterschallanstr¨omung kleiner als M∞ = 0.75 erreicht die Beschleunigung auf dem Profil keine

123

2.3 Hydro- und Aerodynamik, Stromfadentheorie

Abb. 2.70: Kopfwellen vor dem Wiedereintrittsflugzeug Space Shuttle, M1 = 3 ¨ Uberschall-Mach-Zahlen M > 1, so dass sich eine reine Unterschallumstr¨omung einstellt. Bei der transsonischen Mach-Zahl M∞ = 0.81 erhalten wir das bereits in Kapitel 1.2 ¨ (Abbildung 1.40) diskutierte Uberschallgebiet auf dem Profil, das von einem nahezu senkrechten Verdichtungsstoß abgeschlossen wird. F¨ ur die Unterschall-Mach-Zahlen gr¨oßer als 0.85 tritt auch an der Unterseite des Profils ein Verdichtungsstoß auf, der f¨ ur UnterschallMach-Zahlen nahe 1 gemeinsam mit dem oberen Stoß in die schiefen Verdichtungsst¨oße ¨ der Schwanzwelle u ur Uberschallanstr¨ om-Mach-Zahlen M∞ > 1 tritt zun¨achst ¨bergehen. F¨ ¨ eine abgel¨oste Kopfwelle vor dem Profil auf. F¨ ur die Uberschallflug-Mach-Zahl M∞ = 2 stellt sich ein anliegender schiefer Stoß als Kopfwelle ein, der gemeinsam mit der Schwanz¨ welle den in Abbildung 2.60 diskutierten Doppelknall des Uberschallflugzeuges zur Folge hat.

8

8

M , M1 M

0.75

0.81

0.98 M1 1.4

2

¨ Abb. 2.71: Str¨omungsformen um ein Fl¨ ugelprofil von Unterschall- bis Uberschallanstr¨ omung

124

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

S c n,2 c t,2

c1 c t,1

c n,1

c2

α

β

α

Abb. 2.72: Schiefer Verdichtungsstoß

Schiefe Verdichtungsst¨ oße berechnen sich mit den Grundgleichungen des senkrechten Verdichtungsstoßes (2.90) - (2.92) und (2.93) - (2.96) sofern man diese auf die Normalkomponenten der Geschwindigkeiten anwendet. In Abbildung 2.72 ist die Richtungs¨anderung des Geschwindigkeitsvektors c = (cn , ct ) u ¨ber einen schiefen Verdichtungsstoß mit den Normalkomponenten cn und den Tangentialkomponenten ct skizziert. Mit

cn,1 = c1 · sin(α) cn,2 = c2 · sin(α − β)

,

,

ct,1 = c1 · cos(α)

,

ct,2 = c2 · cos(α − β)

,

schreiben sich die Grundgleichungen des schiefen Verdichtungsstoßes (2.90) - (2.92)

schiefer Verdichtungsstoß

α

abgelöste Kopfwelle

90°

0° 0°

βG = 50° β

Abb. 2.73: Stoßwinkel α schiefer Verdichtungsst¨oße

125

2.3 Hydro- und Aerodynamik, Stromfadentheorie

Masse:

ρ1 · cn,1 = ρ2 · cn,2

Impuls:

p1 + ρ1 · c2n,1 = p2 + ρ2 · c2n,2

,

(2.100) ,

(2.101)

ρ1 · cn,1 · ct,1 = p2 + ρ2 · cn,2 · ct,2 1 1 h1 + · c21 = h2 + · c22 . 2 2

Energie:

, (2.102)

(2.100) und (2.101) ergibt f¨ ur die Tangentialkomponenten ct,1 = ct,2 2

Gleichung (2.102) ergibt mit c =

c2n

+

.

(2.103)

c2t

1 2 1 (2.104) · c = h2 + · c2n,2 . 2 n,1 2 Es gelten also die Stoßgleichungen des senkrechten Verdichtungsstoßes f¨ ur die Normalkomponenten der Geschwindigkeiten vor und nach dem Verdichtungsstoß mit der Zusatzbedingung, dass die Tangentialkomponenten ct,1 und ct,2 gleich sein m¨ ussen. Tr¨agt man in Abbildung 2.73 f¨ ur unterschiedliche Anstr¨ om-Mach-Zahlen M1 die m¨oglichen Stoßwinkel α auf erkennt man, dass jenseits eines bestimmten Grenzwertes βG des Abstr¨omwinkels β kein schiefer Verdichtungsstoß mehr m¨ oglich ist. Es stellt sich f¨ ur β > βG die bereits diskutierte abgel¨oste Kopfwelle ein. h1 +

Instation¨ are Verdichtungsst¨ oße erzeugt man mit einem Stoßrohr. Das Stoßrohr besteht aus einem Hochdruckteil und einem Niederdruckteil, die durch eine Membran ge¨ trennt sind. F¨ ullt man in den Hochdruckteil das Treibgas mit Uberdruck bis zum Bersten der Membran ein, bewegt sich in den mit dem Testgas gef¨ ullten Niederdruckteil des Stoß Verdünnung

Verdichtung

Hochdruckteil

Ruhe

Niederdruckteil

t Verdünnung

Verdichtung

Ruhe

Ruhe x

Abb. 2.74: Stoßrohr, Verd¨ unnungswelle

Weg-Zeit-Diagramm

des

Verdichtungsstoßes

und

der

126

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

Stoßrohres ein instation¨ arer Verdichtungsstoß mit der konstanten Geschwindigkeit cs entsprechend dem Weg-Zeit-Diagramm der Abbildung 2.74. In den Hochdruckteil l¨auft die entsprechende Verd¨ unnungswelle. Bewegen wir uns mit der konstanten Stoßgeschwindigkeit cs mit dem Verdichtungsstoß mit, k¨ onnen f¨ ur die Berechnung der Zustands¨anderungen u aren Stoß die Grundgleichungen (2.90) - (2.92) und (2.93) - (2.96) des ¨ber den instation¨ senkrechten Verdichtungsstoßes mit c1 = −cs

,

c2 = c2 − cs

.

angewendet werden. Kompression und Expansion ¨ Das Verhalten von Uberschallstr¨ omungen an konkaven und konvexen W¨anden ist verschieden. An konkaven W¨ anden laufen die Kompressionslinien zusammen und bilden einen Verdichtungsstoß. Bei konvexen W¨ anden bildet sich ein Expansionsf¨acher mit einem kontinuierlichen Verlauf der Str¨ omungsgr¨ oßen. Diese kontinuierliche Expansion wird PrandtlMeyer-Expansion genannt. Bei einer scharfen konkaven Ecke erh¨alt man einen schiefen Verdichtungsstoß, der bereits in Abbildung 2.72 gezeigt wurde. Die konvexe Ecke hat wiederum einen kontinuierlichen Expansionsf¨ acher zur Folge, wobei die Expansionswellen in der Ecke konzentriert sind (Abbildung 2.75).

Überschall−Kompression Druckanstieg

Überschall−Expansion Druckabfall

¨ Abb. 2.75: Kompression und Expansion von Uberschallstr¨ omungen

2.4 Technische Str¨ omungen

2.4 2.4.1

127

Technische Str¨ omungen Turbulente Str¨ omungen

Die meisten in Natur und Technik vorkommenden Str¨omungen sind bei entsprechend großen Reynolds-Zahlen turbulent. Im Gegensatz zu den bisher behandelten laminaren Str¨omungen zeichnen sich turbulente Str¨omungen durch Schwankungen der Str¨omungsgr¨oßen aus, die einen zus¨ atzlichen Querimpuls- und Energieaustausch verursachen. Daraus resultieren v¨ olligere zeitlich gemittelte Geschwindigkeitsprofile verglichen mit den laminaren Profilen in Grenzschichten, Kan¨alen und Rohren. Die Abbildung 2.76 zeigt die bereits diskutierten laminaren Geschwindigkeitsprofile im Vergleich mit den Profilen turbulenter Grenzschicht- und Rohrstr¨omungen, die sich bei ¨ Uberschreiten einer sogenannten kritischen Reynolds-Zahl Rec einstellen. Bringen wir in Abbildung 2.77 einen Farbfaden in die Str¨ omung ein, so erhalten wir f¨ ur die station¨are laminare Str¨omung eine gerade Streichlinie, wie wir sie bereits in Kapitel 2.3.1 kennengelernt haben. In der turbulenten Str¨ omung zerfleddert der Farbfaden aufgrund der u ¨berlagerten Schwankungen und dem damit verbundenen zus¨atzlichen Querimpulsaustausch. ¨ Der laminar-turbulente Ubergang erfolgt in einer Str¨omung nicht abrupt sondern u ¨ber mehrere Zwischenzust¨ ande, die in Abbildung 2.78 f¨ ur die Grenzschichtstr¨omung dargestellt sind. Die Reynolds-Zahl u∞ · δ/ν wird hier mit der Grenzschichtdicke δ und der Geschwindigkeit u∞ außerhalb der Grenzschicht gebildet. Bei umstr¨omten K¨orpern ist die Grenzschichtdicke in der N¨ ahe der Staulinie sehr d¨ unn. Die Str¨omung ist zun¨achst ¨ laminar und wird stromab, beim Uberschreiten einer kritischen Reynolds-Zahl, turbulent. √ Die Dicke der laminaren Grenzschicht der Platte w¨achst mit x an. Dabei ist x der Abstand von der Vorderkante. Die mit x gebildete kritische Reynolds-Zahl der Plattengrenzschicht betr¨agt: u∞ · x ! Rec = = 5 · 105 . ν c Die Berechnung der kritischen Reynolds-Zahl erfolgt mit der Stabilit¨atstheorie, die wir in Kapitel 4.1.3 behandeln. Die kritische Reynolds-Zahl der Rohrstr¨omung hingegen betr¨agt 2300.

Abb. 2.76: Laminare und turbulente Geschwindigkeitsprofile in Grenzschichten und Rohrstr¨omungen

128

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

laminar

Farbe

turbulent

u ( x, r, ϕ, t)

Abb. 2.77: Reynolds-Experiment: laminare und turbulente Rohrstr¨omung, Reynolds 1883

Die laminare Grenzschichtstr¨ omung wird bei der kritischen Reynolds-Zahl Rec von zweidimensionalen St¨orwellen u ¨berlagert, die nach Tollmien-Schlichting benannt sind. Weiter stromab u ¨berlagern sich dreidimensionale St¨orungen, die eine charakteristische ΛWirbelbildung mit lokalen Scherschichten in der Grenzschicht zur Folge haben. Der Zerfall ¨ der Λ-Wirbel verursacht Turbulenzflecken, die den Ubergang zu einer turbulenten Grenzschichtstr¨omung einleiten. Bei Ret ist der Transitionsvorgang abgeschlossen, stromab ist die Grenzschicht turbulent. Wie aus Abbildung 2.78 zu ersehen ist, w¨ achst die Grenzschichtdicke beim laminar¨ turbulenten Ubergang stark an, was mit einer Widerstandserh¨ohung einhergeht. Turbulente Str¨omungen sind grunds¨ atzlich dreidimensional und zeitabh¨angig. Damit verlassen wir den Bereich der eindimensionalen Stromfadentheorie und kehren wieder zu den Bezeichnungen der Str¨ omungsgr¨ oßen v (x, y, z, t), p(x, y, z, t), ρ(x, y, z, t) zur¨ uck. Es gelten die Grundgleichungen f¨ ur dreidimensionale Str¨ omungen, die wir in Kapitel 3 behandeln

0 stabile, laminare Strömung 1 instabile Tollmien−Schlichting−Wellen 2 dreidimensionale Wellen, Λ −Wirbel 3 Wirbelzerfall 4 Bildung von Turbulenzflecken 5 turbulente Strömung

¨ Abb. 2.78: Laminar-turbulenter Ubergang in einer Grenzschicht

129

2.4 Technische Str¨ omungen

werden. Die mathematische Beschreibung turbulenter Str¨omungen leitet sich von den experimentellen Erkenntnissen der Abbildung 2.77 ab. Reynolds zog aus seinem Experiment die Schlussfolgerung, dass sich die Str¨ omungsgr¨oßen, wie z.B. die u-Komponente der ¨ Geschwindigkeit, als Uberlagerung der zeitlich gemittelten Geschwindigkeiten u ¯(x, y, z) und der zus¨atzlichen Schwankungen u (x, y, z, t) darstellen lassen (Abbildung 2.79). Der Reynolds-Ansatz f¨ ur turbulente Str¨ omungen schreibt sich: v (x, y, z, t) = v (x, y, z) + v  (x, y, z, t)

.

(2.105)

Die Definition des zeitlichen Mittelwertes am festen Ort lautet f¨ ur das Beispiel der Geschwindigkeitskomponente u 1 u ¯= · T

T u(x, y, z, t) · dt .

(2.106)

0

T ist dabei ein geeignet großes Zeitintervall von der Form, dass eine Zunahme von T kei¨ ne weitere Anderung des zeitlich gemittelten Wertes u ¯ mehr ergibt. Aus der Definition des zeitlichen Mittelwertes l¨ asst sich ableiten, dass die zeitlichen Mittelwerte der Schwankungsgr¨oßen verschwinden, d. h. es gilt f¨ ur die Geschwindigkeitsschwankungen u = 0

v = 0

,

w = 0 .

,

Der Nachweis erfolgt f¨ ur die u-Komponente Geschwindigkeit 1 u ¯= · T

T

1 u(x, y, z, t) · dt = · T

0

T

1 (¯ u + u ) · dt = · T 

0

1 · T

1 u ¯ · dt + · T

0

T u ¯ · dt =

1 ·u ¯· T

0

u ¯=u ¯ + u

T

T

u · dt ,

0

T dt = u ¯ , 0

⇒

u = 0 =

1 · T

T

u · dt .

0

Zur Charakterisierung turbulenter Str¨ omungen f¨ uhrt man den dimensionslosen Turbulenzgrad T u ein, der im Z¨ ahler die Wurzel aus dem zeitlich gemittelten Quadrat

Abb. 2.79: Reynolds-Ansatz f¨ ur die u-Komponente der Geschwindigkeit

130

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

der Schwankungsgr¨ oßen und im Nenner die zeitlich gemittelte Str¨omungsgeschwindigkeit an einer betrachteten Stelle enth¨ alt. F¨ ur die Geschwindigkeitskomponente u in Hauptstr¨omungsrichtung x lautet der Turbulenzgrad  (u )2 Tu = . u ¯ Da turbulente Str¨omungen dreidimensional sind, folgt f¨ ur die dreidimensionale Verallgemeinerung des Turbulenzgrades an einer betrachteten Stelle im Str¨omungsfeld   ! ! 1 · (u )2 + (v  )2 + (w  )2 1 (u )2 + (v  )2 + (w )2 3 3 √ = . (2.107) Tu = u ¯2 + v¯2 + w ¯2 | v | Aufgrund der Schwankungsbewegungen u , v  und w  in einer turbulenten Str¨omung kommt es zu einem zus¨ atzlichen Beitrag zum Str¨ omungswiderstand. Dieser zus¨atzliche Anteil hat jedoch nichts mit der molekularen Viskosit¨at μ zu tun, sondern ist auf die zus¨atzlichen Quer- und L¨ angsimpuls-Austauschprozesse zur¨ uckzuf¨ uhren, die in einer turbulenten Str¨ omung auftreten. Sie werden im Folgenden mathematisch beschrieben. ¨ Ausgangspunkt ist die Navier-Stokes-Gleichung (2.59). Beim Ubergang vom StromfadenKoordinatensystem s und n zu einem kartesischen (x, y, z)-Koordinatensystem wird die Geschwindigkeit c entlang des Stromfadens durch die Variable u ersetzt, s durch x und n durch z. Man erh¨alt dz ∂u 1 ∂p ∂2u ∂u +u· =− · +ν· 2 −g· ∂t ∂x ρ ∂x ∂z dx

.

Diese Gleichung gilt prinzipiell auch f¨ ur turbulente Str¨omungen, muss jedoch um die konvektiven Beschleunigungen in y- und z-Richtung und in Kapitel 3.2.2 um die 2. und 3. Navier-Stokes-Gleichung f¨ ur die v- und w-Komponenten der Geschwindigkeiten erg¨anzt werden. Es ergibt sich damit die erste Navier-Stokes-Gleichung ∂u ∂u ∂u +u· +v· +w· ∂t ∂x ∂y 1 − · ρ

∂u = ∂z  2 ∂p ∂ u ∂2u ∂2u dz +ν· + 2 + 2 −g· ∂x ∂x2 ∂y ∂z dx

.

(2.108)

Bei einer inkompressiblen Str¨ omung mit ρ = konst. handelt es sich bei den turbulenten Str¨omungsgr¨oßen, die in der Gleichung (2.108) auftreten, um die Geschwindigkeitskomponenten u, v, w und um den Druck p. Unter Anwendung des Reynolds-Ansatzes (2.105) f¨ ur die Geschwindigkeiten u = u ¯ + u , v = v , w = w und den Druck p = p¯ + p entlang des Stromfadens erh¨ alt man ∂(¯ u + u ) ∂(¯ u + u ) ∂(¯ u + u ) ∂(¯ u + u ) + (¯ + v · + w · = u + u ) · ∂t ∂x ∂y ∂z p + p ) 1 ∂(¯ ∂ 2 (¯ ∂ 2 (¯ ∂ 2 (¯ dz u + u ) u + u ) u + u ) +ν· − · + ν · + ν · −g· ρ ∂x ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 dx

.

131

2.4 Technische Str¨ omungen

Unter Beachtung der Rechenregeln f¨ ur die zeitliche Mittelung und einer ebenen Str¨omung u ¯=u ¯(x, z) folgt daraus (¯ u + u ) ·

∂(¯ u + u ) ∂(¯ u + u ) ∂(¯ u + u ) + v · + w · = ∂x ∂y ∂z ¯ ¯ ∂2u 1 ∂ p¯ ∂2u dz +ν· 2 +ν· 2 −g· − · ρ ∂x ∂z ∂x dx

.

ur Str¨omungen gilt, die im zeitliDabei ist zu beachten, dass ∂(¯ u + u )/∂t = 0 nur f¨ chen Mittel station¨ar sind. Daf¨ ur f¨ uhren wir den Begriff der quasi-station¨aren turbulenten Str¨omung ein. Die zeitliche Mittelung der nichtlinearen Tr¨agheitsterme auf der linken Seite der Gleichung bedarf einer besonderen Betrachtung. Es gilt ∂u ¯ ∂(¯ u + u ) ∂u ¯ ∂u ∂u ¯ ∂u ∂u =u +u + u · + u · =u ¯· + u · ¯· ¯· ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x )   ∂(¯ u + u ∂ u ¯ ∂u ∂u = v · + v · = v · , v · ∂y ∂y ∂y ∂y

(¯ u + u ) ·

w ·

∂(¯ u + u ) ∂u ¯ ∂u ∂u = w · + v · = w · ∂y ∂z ∂z ∂z

,

.

F¨ ur den Summanden u · (∂u /∂x) gilt insbesondere u ·

∂u ∂x

T



T



 2

∂ (u ) 1 ∂u · dt = · ∂x T ∂x 2 0 0 $ % ∂u ∂ (u )2 ∂(u )2 = = − u · . ∂x 2 ∂x ∂x =

1 · T

u ·

⎛

· dt =

∂ ⎝1 · ∂x T

T

⎞

 2

(u ) · dt⎠ 2

0

Entsprechend gilt f¨ ur die Summanden v  · (∂u /∂y) und w · (∂u /∂z) v ·

∂u ∂v  ∂(u · v ) = − u · ∂y ∂y ∂y

,

w ·

∂u ∂w ∂(u · w ) = − u · ∂z ∂z ∂z

.

Die zeitlich gemittelte Navier-Stokes-Gleichung lautet dann u ¯·

∂(u · v  ) ∂(u · w ) ∂u ∂v  ∂w ∂u ¯ ∂(u )2 + + + − u · − u · − u · = ∂x ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ¯ ¯ ∂2u 1 ∂ p¯ ∂2u dz +ν· − · +ν· 2 −g· 2 ρ ∂x ∂x ∂z dx

.

Verwendet man jetzt die Kontinuit¨ atgleichung aus Kapitel 3.1 setzt den Reynolds-Ansatz wiederum ein, multipliziert sie mit der Schwankungsgeschwindigkeit u und mittelt sie zeitlich ergibt sich u ·

∂(¯ u + u ) ∂v  ∂w ∂u ∂v  ∂w ∗ u · + u · = u · + u · + u · =0 . ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z

132

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

Die zeitlich gemittelte Navier-Stokes-Gleichung lautet somit u ¯·

∂u ¯ ∂(u )2 ∂(u · v  ) ∂(u · w ) + + + = ∂x ∂x ∂y ∂z ¯ ¯ ∂2u 1 ∂ p¯ ∂2u dz +ν· − · +ν· 2 −g· 2 ρ ∂x ∂x ∂z dx

.

(2.109)

Multipliziert man diese Gleichung mit der konstanten Dichte ρ und schreibt Druck- und Schwerkraftterm auf die linke Seite, so ergibt sich ∂u ¯ ∂ p¯ dz + +ρ·g· = ∂x ∂x dx  ! ∂   ∂   ∂u ¯ ∂u ¯ ∂ ∂ ∂ μ· μ· ρ · (u )2 − ρ · u · v  − ρ · u · w  + − ∂x ∂x ∂z ∂z ∂x    ∂y    ∂z             τyx τzx τxx τ¯xx τ¯zx

ρ·u ¯·

.

Auf der rechten Seite der Gleichung befinden sich diejenigen Terme, die f¨ ur den Widerstand der Str¨omung verantwortlich sind. Neben den Schubspannungen τ¯xx und τ¯zx aufgrund der Reibung erh¨alt man bei einer turbulenten Str¨ omung zus¨atzliche Widerstandsanteile auf   grund der Geschwindigkeitsschwankungen, die hier mit Index  als τxx , τyx und τzx bezeichnet werden. Allgemein erhalten die bei turbulenten Str¨omungen zus¨atzlich auftretenden Spannungsanteile τ  den Namen Reynoldssche scheinbare Normal- und Schubspannungen, da sie durch turbulenten L¨ angs- und Querimpulsaustausch und nicht durch die molekulare Viskosit¨ at μ verursacht werden. F¨ ur die unteren Doppelindizes an der Spannungsvariablen τ gelten die gleichen Konventionen, die auch in der Festk¨ orpermechnik u ¨blich sind. Der erste Index gibt die Normale des Schnittufers an und der zweite Index die Richtung, in der die zugeh¨orige Kraft wirkt. Im allgemeinen dreidimensionalen Fall (siehe Kapitel 3.2.2) ist τ  ein Spannungstensor mit 9 Komponenten, bestehend aus 6 scheinbaren Schubspannungen und 3 scheinbaren Normalspannungen (Spur des Schubspannungstensors) ⎞ ⎛    ⎞ ⎛ τxx τxy τxz −ρ · u · u −ρ · v  · u −ρ · w · u    ⎠ τyy τyz = ⎝ −ρ · u · v  −ρ · v  · v −ρ · w · v  ⎠ . (2.110) τ  = ⎝ τyx    τzx τzy τzz −ρ · u · w −ρ · v  · w −ρ · w · w Im Spannungstensor gilt aufgrund des Momentengleichgewichts die Gleichheit zugeordne  ter Schubspannungen, d.h. es gilt zB. τxy = τyx oder −ρ · u · w = −ρ · w · u etc. Die zeitlich gemittelten Produkte der Schwankungsgr¨oßen und mithin die Komponenten des ussen mit Modellgleichungen beschrieben Spannungstensors τ  sind nicht bekannt und m¨ werden. Boussinesq machte angeleitet vom Newtonschen Ansatz laminarer Str¨omungen die Annahme, dass die unbekannten Schwankungsterme auf die bekannten zeitlich gemittelten Gr¨oßen der Grundstr¨ omung zur¨ uckzuf¨ uhren sind, unter Einf¨ uhrung eines unbekannten Proportionalit¨atsfaktors μt , der als ’turbulente Viskosit¨at’ bezeichnet wird. Mit Hilfe der Boussinesq-Annahme ergeben sich unter anderem die folgenden Beziehungen  ¯ ∂u ¯ ∂u ∂u ¯    + = μt · 2 · , τxx = −ρ · u · u = μt · ∂x ∂x ∂x

133

2.4 Technische Str¨ omungen

 τzx = −ρ · u · w = μt ·



¯ ∂u ¯ ∂w + ∂z ∂x

.

(2.111)

Dabei ist μt eine zu bestimmende Funktion und nicht wie die molekulare Viskosit¨at μ eine Stoffkonstante. Ein m¨oglicher Ansatz zur Bestimmung von μt ist der Prandtlsche Mischungswegansatz. In Abbildung 2.80 gehen wir davon aus, dass eine turbulente zweidimensionale Grenzschichtstr¨omung in der (x, z)-Ebene vorliegt. Der Reynolds-Ansatz ergibt u=u ¯(z) + u w = w .

,

Bewegen wir ein Fluidelement mit der Schwankungsgeschwindigkeit vom Niveau z0 zum ¨ Niveau z0 + l, erh¨ alt man f¨ ur die Anderung von u ¯ mit u ¯(z0 + l) > u ¯(z0 ) und der TaylorEntwicklung % $



d¯ u

d2 u l2 ¯

. ¯(z0 + l) = u ¯(z0 ) − u ¯(z0 ) + ·l+ · + ··· u ¯(z0 ) − u dz z0 dz 2 z0 2 Unter Vernachl¨assigung der Terme h¨ oherer Ordnung folgt

d¯ u

¯(z0 + l) = −l · . u ¯(z0 ) − u dz z0 Diese Untergeschwindigkeit −l · (d¯ u/dz|z0 ) im Niveau z0 + l fasste Prandtl als Geschwindigkeitsschwankung

d¯ u

 u (z0 + l) = −l · dz z0 im Niveau z0 + l auf. Aus Kontinuit¨ atsgr¨ unden folgt f¨ ur w  : w = l ·

d¯ u dz

.

Die Mischungswegl¨ ange l ist dabei definiert als diejenige Wegl¨ange, die ein Str¨omungselement zur¨ ucklegt, bis es sich mit seiner Umgebung vollst¨andig vermischt hat

Abb. 2.80: Prinzipskizze zum Prandtlschen Mischungswegansatz

134

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

und seine Identit¨at verloren ging. Damit sind die Geschwindigkeitsschwankungen u und w auf die Mischungswegl¨ ange l und das gemittelte Geschwindigkeitsprofil u ¯(z) zur¨ uckgef¨ uhrt  = −ρ · u · w kann berechnet werden und die scheinbare Schubspannung τzx   2 d¯ u d¯ u d¯ u  τzx ·l· = ρ · l2 · = −ρ · u · w = −ρ · −l · . dz dz dz Da eine zweidimensionale turbulente Grenzschichtstr¨omung mit w ¯ = 0 vorausgesetzt wurde, gilt auch (∂ w/∂x) ¯ = 0 und aus der Boussinesq-Annahme (2.111) folgt  = μt · τzx

d¯ u dz

.

(2.112)

Damit erh¨alt man eine Bestimmungsgleichung zur Ermittlung der gesuchten Gr¨oße μt , denn es gilt  2 d¯ u d¯ u  τzx = −ρ · u · w = ρ · l2 · = μt · dz dz und somit μt = ρ · l 2 ·

d¯ u dz

.

(2.113)

Darin ist die Mischungswegl¨ ange l noch unbekannt. Sie muss aus Experimenten ermittelt werden, die zu empirischen N¨ aherungsformeln f¨ ur die Berechnung von l f¨ uhren. Kehren wir nach diesen grunds¨ atzlichen Betrachtungen turbulenter Str¨omungen zur turbulenten Plattengrenzschichtstr¨ omung der Abbildung 2.76 zur¨ uck. Die Gr¨oßenordnung der turbulenten Scheinviskosit¨ at μt erlaubt eine Bereichseinteilung turbulenter Plattengrenzschichten (Abbildung 2.81). In unmittelbarer Wandn¨ahe gilt μt  μ. Dies ist der Bereich der viskosen Unterschicht, die von besonderer technischer Bedeutung f¨ ur die Widerstandsreduzierung mit sogenannten Riblets ist, die wir zum Abschluss dieses Kapitels behandeln werden. Im Bereich der viskosen Unterschicht sind die Geschwindigkeitsschwankungen u und w sehr klein und f¨ ur die Mischungswegl¨ ange gilt l → 0. Die gesamte Schubspannung τ¯ges in der betrachteten turbulenten Str¨ omung lautet τ¯ges = μ ·

d¯ u − ρ · u · w  dz

.

Wegen u · w ≈ 0 folgt daraus f¨ ur die Wandschubspannung τ¯w in der viskosen Unterschicht  d¯ u τ¯w = μ · , dz w nach Trennung der Ver¨ anderlichen erh¨ alt man eine gew¨ohnliche Differentialgleichung f¨ ur das gesuchte Geschwindigkeitsprofil d¯ u=

1 · τ¯w · dz μ

.

135

2.4 Technische Str¨ omungen

Die Integration liefert zun¨ achst

u¯

1 d¯ u= · μ

0

z τ¯w · dz

,

0

also eine lineare Geschwindigkeitsverteilung u ¯(z) bei einer konstanten Schubspannung τ¯w u ¯(z) =

τ¯w ·z μ

.

(2.114)

Eine Erweiterung mit der konstanten Dichte ρ liefert u ¯(z) =

τ¯w ρ τ¯w z · ·z = · ρ μ ρ ν

.

Definiert oße die sogenannte Wandschubspannungsgeschwindigkeit uτ zu  man als neue Gr¨ uτ = τ¯w /ρ, so erh¨ alt man uτ · z u ¯(z) = = z+ uτ ν

,

(2.115)

mit der neuen dimensionslosen Koordinate z + = (uτ · z)/ν. Im Bereich der Wandturbulenz außerhalb der viskosen Unterschicht, aber immer noch in Wandn¨ahe, gilt ebenfalls noch die Konstanz der Wandschubspannung τ¯w = konst.. Prandtl nahm an, dass sich die Wandschubspannung in folgender Weise mit der Mischungswegl¨ange l = k · z als lineare Funktion von z ansetzen l¨ asst (k bezeichnet darin eine Konstante)  τ¯w = ρ · l2 ·

d¯ u dz

2

 = ρ · k2 · z 2 ·

d¯ u dz

2 .

Abb. 2.81: Bereichseinteilung der turbulenten Grenzschichtstr¨omung

136

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

Daraus folgt die Differentialgleichung zur Bestimmung von u ¯(z) zu  2 τ¯w uτ 1 d¯ u 1 d¯ u = u2τ = k2 · z 2 · = uτ · ⇒ d¯ u= · · dz ⇒ ρ dz dz k·z k z

.

Die unbestimmte Integration liefert u ¯(z) = u ¯(z) 1 = · ln uτ k



z+ · ν uτ



uτ · ln(z) + C1 k

,

1 1 + C1 = · ln(z + ) + · ln · k k



ν uτ

+ C1

.

Fasst man die letzten beiden Summanden zu einer neuen Integrationskonstanten C zusammen, so erh¨alt man als Endergebnis ein logarithmisches Geschwindigkeitsprofil im Bereich der Wandturbulenz 1 u ¯(z) = · ln(z + ) + C uτ k

.

(2.116)

Die zeitlich gemittelten Geschwindigkeitsprofile (2.114) - (2.116) in Wandn¨ahe sind in Abbildung 2.82 dargestellt. Die viskose Unterschicht erstreckt sich u ¨ber den Bereich ¨ 0 < z + < 5. Es schließt sich der Ubergangsbereich 5 < z + < 30 bis zum logarithmischen Bereich f¨ ur 30 < z + < 350 an. Charakteristische Gr¨ oßen der Turbulenzgradverteilung in Wandn¨ahe sind in Abbildung 2.83 dargestellt. Der Turbulenzgrad (2.107), die turbulente kinetische Energie K  = k 2 = (u2 + v 2 + w 2 )/2 (3.64) und die Quadrate der Geschwindigkeitsschwankungen sind mit der Wandschubspannungsgeschwindigkeit uτ entdimensioniert. Die gr¨oßten Schwankungen ¨ weist die u2 -Komponente auf, deren Maximum im Ubergangsbereich bei z + = 20 liegt. ¨ Der laminar-turbulente Ubergang f¨ uhrt zu einer Erh¨ohung des Reibungswiderstandes cf , der in Abbildung 2.84 in Abh¨ angigkeit der mit der Laufl¨ange x gebildeten Reynolds-Zahl ur den lokalen Reibungsbeiwert cf (x) gilt: Rex dargestellt ist. F¨

Abb. 2.82: Turbulentes Grenzschichtprofil

137

2.4 Technische Str¨ omungen

⎧ 0.664 ⎪ √ ⎪ ⎪ ⎨ Rex

laminare Grenzschichtstr¨ omungen τw (x) cf (x) = 1 = 2 ⎪ 0.0609 ⎪ 2 · ρ · u∞ ⎪ ⎩ turbulente Grenzschichtstr¨ omungen 1 (Rex ) 5

. (2.117)

¨ Der Ubergang von der laminaren zur turbulenten Grenzschichtstr¨omung erfolgt entsprechend Abbildung 2.78 nicht schlagartig, sondern u ¨ber einen Transitionsbereich. Aus den lokalen Widerstandsbeiwerten cf (x) lassen sich die dimensionslosen integralen Reibungswi R bezogen derstandsbeiwerte cf,g berechnen. Diese sind definiert als Wandreibungskraft F auf das Produkt aus dynamischem Druck und Plattenoberfl¨ache A = L · b, b bezeichnet dabei die Tiefe der Platte senkrecht zur Zeichenebene und x die Laufl¨ange:  τw (x) = μ · 1 FR = b · · ρ · u2∞ · 2

∂u ∂z



τw (x) cf (x) = 1 · ρ · u2∞ 2

, w

L cf (x) · dx

⇒

cf,g =

0

1 2

L ,

τw (x) · dx

FR = b

,

0

1 FR = · 2 L · ρ · u∞ · L · b

L cf (x) · dx

.

0

F¨ ur den integralen Reibungswiderstandsbeiwert cf,g gilt im Abstand L von der Vorderkante der Platte cf,g =

1 2

1 FR = · L · ρ · u2∞ · b · L

L cf (x) · dx 0

⎧ 1.328 ⎪ √ ⎪ ⎪ ⎨ ReL =

laminare Grenzschichtstr¨ omungen

⎪ 0.074 ⎪ ⎪ ⎩ turbulente Grenzschichtstr¨ omungen 1 (ReL ) 5

Abb. 2.83: Turbulenzgradverteilung in Wandn¨ ahe

. (2.118)

138

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

Der Reibungswiderstand einer laminar umstr¨ omten Platte ist damit kleiner als der Reibungswiderstand einer vollst¨ andig turbulent umstr¨omten Platte unter sonst gleichen Bedingungen, so dass gilt:

cf,gt > cf,gl

.

Das unterschiedliche Aufdickungsverhalten der Grenzschichtdicke δ der laminaren und einer turbulenten Grenzschichtstr¨ omung entnimmt man der Abbildung 2.85. Ausgangspunkt ist die f¨ ur eine laminare Grenzschichtstr¨ omung g¨ ultige Beziehung (2.61) δ 1 ∼ √ L ReL

.

Bei der laminaren Blasius-Grenzschicht lautet der Proportionalit¨atsfaktor 5

δ 5 = √ L ReL Multiplikation mit

.

√ ReL liefert

δ  · ReL = 5 L

⇒

δ · L





U∞ · L =5 ν

⇒

δ·

U∞ =5 ν·L

.

F¨ ur eine turbulente Grenzschichtstr¨ omung gilt die Beziehung δ 1 ∼ 1 L (ReL ) 5

.

(2.119)

Abb. 2.84: Reibungswiderstand cf der laminaren und turbulenten Plattengrenzschicht

139

2.4 Technische Str¨ omungen

8

u

δ

νL

5

laminar

turbulent

5 .10

Multiplikation mit

5

Abb. 2.85: Grenzschichtdicke δ der laminaren und turbulenten Plattengrenzschicht

ReL

√ ReL ergibt

1 δ  (ReL ) 2 · ReL ∼ 1 L (ReL ) 5

 ⇒

δ·

1 U∞ −1 ∼ ReL2 5 ν·L

 ⇒

δ·

U∞ ∼ Re0.3 L ν·L

.

Durch Beeinflussung der turbulenten Wandschubspannung τ w l¨asst sich der Reibungsbeiwert cf der turbulenten Grenzschichtstr¨omung verringern. Die Idee daf¨ ur liefert die Natur. Schnellschwimmende Haie (bis zu 90 km/h) zeigen mikroskopisch feine, in Str¨ omungsrichtung verlaufende Rillen auf den Schuppen. Die vergr¨oßerte Aufnahme der Abbildung 2.86 macht die L¨ angsrillen und Stege auf den einzelnen Schuppen eines blauen Haies deutlich. Es dr¨angt sich die Vermutung auf, dass an Oberfl¨achen mit L¨angsrillen weniger Reibung entsteht als an glatten Oberfl¨ achen. Setzt man diese Erkenntnis in die technische Nutzung um, entstehen Folien mit L¨ angsrillen, sogenannte Riblets, der H¨ohe (2.115) z + = 500 und mit Abst¨anden von y + = 100 (60 μm), die man auf die glatte Oberfl¨ache aufbringt, deren Reibungswiderstand verringert werden soll. Als Ergebnis wird die Schwankung der Querstr¨ omung v  und damit der Querimpulsaustausch in der viskosen Unterschicht der Grenzschicht verhindert. Die dunklen Bereiche

8

u

100 μ m Haifisch−Schuppen

Riblet−Folie

Abb. 2.86: Haifisch-Schuppen und Riblet-Folie

140

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

der Abbildung 2.87 zeigen hohe Schwankungen der Geschwindigkeit in der Umgebung der Oberfl¨ache und die hellen Bereiche geringe Schwankungen. Das Resultat ist eine Verringerung des Reibungswiderstandsbeiwertes cf,g um 8 %. Bei einem Verkehrsflugzeug betr¨ agt der Reibungswiderstandsbeiwert cf,g mehr als 50 %. Da nicht alle Flugzeugteile mit der Riblet-Folie beklebt werden k¨onnen, betr¨agt das reale Potenzial der Widerstandsreduzierung 3 %. Nachgewiesen wurden 1 % Treibstoffersparnis bei einem Airbus A 340, der zu 30 % mit Riblet-Folien u ¨berklebt wurde. Die widerstandsverringernden Folien k¨ onnen auch bei Schnellz¨ ugen der n¨achsten Generation sowie in Rohrstr¨omungen und Pipelines zur Verringerung der Verluste eingesetzt werden. Die Natur zeigt noch eine andere M¨ oglichkeit der Verringerung der Wandschubspannung. Die Schleimh¨ aute der Delfine d¨ ampfen aufgrund ihrer flexiblen welligen Struktur den ¨ laminar-turbulenten Ubergang in der Grenzschicht und verringern zus¨atzlich durch Zugabe von Polymeren an der Oberfl¨ ache der Haut den Reibungswiderstand um mehr als 50 %. Diesen Effekt hat man z. B. bei der Alaska-Pipeline genutzt und durch Zugabe von nur ¨ eine Reduktion der Pumpleistung von 30 % erreicht. einigen millionstel Polymeranteil in Ol

Abb. 2.87: Struktur der Schwankungsgr¨oßen in der viskosen Unterschicht der Grenzschicht

141

2.4 Technische Str¨ omungen

2.4.2

Impulssatz

Der Impulssatz ist eine Bilanzaussage an einem Kontrollvolumen V und dient der direkten Bestimmung gesuchter integraler K¨ afte bei bekannten Str¨omungsgr¨oßen am Rand des Kontrollvolumens V . Der Impuls dI eines Massenelementes dm = ρ · dV ist definiert als Produkt aus Massenelement und Geschwindigkeitsvektor v ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ u u dIx dI = ⎝ dIy ⎠ = dm · ⎝ v ⎠ = ρ · ⎝ v ⎠ · dV w dIz w ⎛

dI = dm · v = ρ · v · dV

⇒

.

Da bei kompressiblen Str¨ omungen die Dichte ρ zeitabh¨angig sein kann, ρ = ρ(t), muss aus Gr¨ unden der Masseerhaltung m = ρ(t) · V (t) = konst. das betrachtete Volumen V ebenfalls zeitabh¨angig als V (t) angesetzt werden. Der Impuls der Gesamtmasse m bzw. des betrachteten Gesamtvolumens berechnet sich aus dem differentiellen Impuls dI des Massenelementes durch Integration u ¨ber das Volumen V (t) ⎞ ⎛ ⎞

Ix u I = ⎝ Iy ⎠ = ρ · ⎝ v ⎠ · dV Iz w V (t) ⎛

I =

ρ · v · dV

⇒

V (t)

.

¨ Der Impulssatz besagt, dass die totale zeitliche Anderung d/dt des Impulses gleich der Resultierenden aller ¨ außeren Kr¨ afte ist. Als ¨außere Kr¨afte treten  A auf:  M und Oberfl¨ achenkr¨ afte F Massenkr¨afte F

  dI d M+ A ρ · v · dV = F F = dt dt

,

V (t)

⎛ dI ⎞ x ⎜ dt ⎟ ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ ⎜ ⎟  FA,x ⎜ dI ⎟  FM,x ⎜ y⎟= ⎝ FA,y ⎠ ⎝ FM,y ⎠ + ⎜ dt ⎟ ⎜ ⎟ FM,z FA,z ⎝ ⎠ dIz dt

.

Im Folgenden wird die zeitliche Ableitung des Integrals n¨aher betrachtet. Da hierbei sowohl das Integrationsgebiet V als auch der Integrand ρ · v von der Zeit abh¨angen, kommt man am einfachsten zum Ziel, wenn man die Ableitung d/dt als Grenzwert des Differenzenquotienten bildet d dt

ρ · v · dV = V (t)

lim

Δt→0

⎛

1 ⎜ ⎝ Δt

V (t+Δt)

V

(t)

⎟ ρ(t) · v (t) · dV ⎠

ρ(t + Δt) · v (t + Δt) · dV − 0

⎞

0

.

142

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

F¨ ur den ersten Summanden gilt die Additivit¨ at des Integrals V (t+Δt)

ρ(t + Δt) · v (t + Δt) · dV = 0 V

(t)

V (t+Δt)

ρ(t + Δt) · v (t + Δt) · dV + 0

ρ(t + Δt) · v (t + Δt) · dV

.

V (t)

Eine Taylor-Entwicklung mit Abbruch nach dem linearen Term liefert f¨ ur den Integranden ρ(t + Δt) · v (t + Δt) = ρ(t) · v (t) +

∂(ρ · v ) · Δt + · · · ∂t

.

Setzt man die letzten beiden Gleichungen in den Differenzenquotienten ein, so erh¨alt man

d ρ · v · dV = dt V (t) ⎛ ⎞ V V (t+Δt)

(t)

1 ⎜ ∂(ρ · v ) ⎟ · Δt · dV + ρ(t + Δt) · v (t + Δt) · dV ⎠ . lim ⎝ Δt→0 Δt ∂t 0

V (t)

Im n¨achsten Schritt geht es darum, das Volumenintegral u ¨ber die Differenz V (t+Δt)−V (t) auf ein Integral u ache A(t) des Volumens V (t) zur¨ uckzuf¨ uhren. Entsprechend ¨ber die Oberfl¨ der eindimensionalen Stromfadentheorie gilt f¨ ur den Massenstrom m ˙ die Beziehung m ˙ =ρ·c·A

⇒

m ˙ = V˙ = c · A . ρ

Bei einer Verallgemeinerung auf dreidimensionale Str¨omungen berechnet sich der Vo ) aus dem Gelumenstrom V˙ als Oberfl¨ achenintegral u ¨ber das Skalarprodukt (v · n schwindigkeitsvektor v = (u, v, w) und dem a ußeren Oberfl¨ a chennormalen-Einheitsvektor ¨  = (nx , ny , nz ) n

 ) · dA . V˙ = (v · n A

F¨ ur den Volumenstrom gilt weiterhin V (t + Δt) − V (t) 1 = lim · V˙ = lim Δt→0 Δt→0 Δt Δt

V (t+Δt)

·dV = V (t)

Die totale zeitliche Ableitung des Impulses ergibt

d ρ · v · dV = dt V (t)

 ) · dA . (v · n A(t)

143

2.4 Technische Str¨ omungen

⎛

⎜ Δt · lim ⎝ Δt

∂(ρ · v ) · dV + ∂t

Δt→0

V (t)

⎞ ⎟  ) · dA⎠ ρ(t + Δt) · v (t + Δt) · (v · n

.

A(t)

Nach dem Grenz¨ ubergang erh¨ alt man den Impulssatz

dI ∂(ρ · v ) d  ) · dA = · dV + ρ · v · (v · n ρ · v · dV = dt dt ∂t V

V

.

(2.120)

A

¨ Der erste Summand beschreibt die lokale zeitliche Anderung des Impulses im Innern des betrachteten Kontrollvolumens. Um dieses Integral auswerten zu k¨onnen, ist die Kenntnis der Str¨omungsgr¨ oßen im Innern des Kontrollvolumens erforderlich. Bei station¨aren Str¨omungen gilt (∂/∂t) = 0. Der zweite Summand beschreibt den konvektiven Impulsstrom durch die Oberfl¨ ache des Kontrollvolumens. Zur Berechnung dieses Integrals sind nur Str¨omungsdaten auf dem Rand des Kontrollvolumens erforderlich. F¨ ur station¨are Str¨ omungen lautet der Impulssatz

  dI d M+ A  ) · dA = = ρ · v · dV = ρ · v · (v · n F F dt dt V

(2.121)

A

Mit

⎛

I=− F

.

 ) · dA ρ · v · (v · n

⇒

A

⎛ ⎞ ⎞

FI,x u ⎝ FI,y ⎠ = − ρ · ⎝ v ⎠ (v · n  ) · dA w FI,z A

ergibt sich I+ F



M+ F



A=0 F

,

(2.122)

⎛ ⇒

⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ FI,x 0  FM,x  FA,x ⎝ FI,y ⎠ + ⎝ FM,y ⎠ + ⎝ FA,y ⎠ = ⎝ 0 ⎠ . 0 FI,z FM,z FA,z

 I verl¨ Der Impulskraftvektor F auft parallel zum Geschwindigkeitsvektor v , die Richtung  D , die  von F I ist stets auf das Innere des Kontrollvolumens gerichtet. Die Druckkraft F  zu den Oberfl¨achenkr¨ aften F A z¨ ahlt, ist definiert als ⎛ ⎛ ⎞ ⎞

FD,x nx D =− p·n ⎝ FD,y ⎠ = − p · ⎝ ny ⎠ · dA.  · dA ⇒ F FD,z nz A A  den ¨außeren Normalen-Einheitsvektor Da der Druck p eine positive skalare Gr¨ oße ist und n  D , wegen des Minuszeichens, der Oberfl¨ache darstellt, weist die Richtung der Druckkraft F ebenfalls stets auf das Innere des Kontrollvolumens.

144

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

Wenden wir im Folgenden den Impulssatz (2.122) auf die laminare Grenzschichtstr¨ omung an. Damit l¨ asst sich die Funktion f bestimmen, die die Grenzschichtdichte upft (2.61) δ/L mit der Reynolds-Zahl ReL verkn¨ δ = f(ReL ) L

.

Als Kontrollvolumen wird in Abbildung 2.88 ein Quader der L¨ange L, der H¨ohe δ(L) und der Tiefe b in y-Richtung ausgew¨ ahlt. Der Druck p wird der Grenzschicht von der Außenstr¨omung aufgepr¨agt (∂p/∂z) = 0 und ist im Falle der Plattengrenzschicht im Außenraum konstant. Daraus folgt, dass der Druck auch in der Grenzschicht konstant ist und somit heben sich alle auftretenden Druckkr¨ afte gegenseitig auf. An der Stelle 3 wird aus Gr¨ unden der Vereinfachung ein lineares Geschwindigkeitsprofil u(z) angenommen, da es gegen¨ uber dem Blasius-Grenzschichtprofil analytisch zu integrieren ist. F¨ ur u(z) gilt dann u(z) =

u∞ ·z δ(L)

.

Am linken Rand an der Stelle 1 wird der Querschnitt A1 = b · δ(L) mit der konstanten Geschwindigkeit u∞ durchstr¨ omt. Die Impulskraft FI,x1 lautet somit

FI,x1 = −

 ) · dA1 ρ · u∞ · (v · n

⎞ ⎛ ⎞ −1 u∞ = −ρ · u∞ ⎝ 0 ⎠ · ⎝ 0 ⎠ · A1 = ρ · u2∞ · A1 = ρ · u2∞ · b · δ(L) 0 0 A1

⎛

.

F¨ ur die Impulskraft FI,x3 folgt mit dA3 = b · dz

FI,x3 = −

 ) · dA3 ρ · u(z) · (v · n

A3

z

8

u

8

u

FI2

2 FI1

FI3 3 1

FW

δ( L)

u (z ) x

L

Abb. 2.88: Kr¨afte am Kontrollvolumen V f¨ ur die laminare Plattengrenzschicht

145

2.4 Technische Str¨ omungen

⎛

⎞ ⎛ ⎞ δ(L)

u(z) 1 ρ · u(z) · ⎝ 0 ⎠ · ⎝ 0 ⎠ · dA3 = −ρ · b · u2 (z) · dz 0 0 0

=− A3

.

Die Impulskraft FI,x1 weist somit in +x-Richtung und FI,x3 in −x-Richtung. Die Berechnung des Integrals liefert f¨ ur FI,x3 δ(L)

FI,x3 = −ρ · b ·

δ(L)

u2 (z) · dz = −ρ · b · 0

u2∞ · z 2 · dz δ 2 (L)

0

δ(L)  u2 1 3 1 = −ρ · b · 2 ∞ · ·z = − · ρ · b · u2∞ · δ(L) δ (L) 3 3 0

.

 I2 wird zun¨achst die Massenerhaltung geVor der Berechnung des Impulskraftvektors F ˙ 1 berechnet sich nutzt. Der durch die Fl¨ ache A1 = b · δ(L) eintretende Massenstrom m zu m ˙ 1 = ρ · U∞ · A1 = ρ · U∞ · b · δ(L)

.

˙ 3 ergibt sich F¨ ur den durch die Fl¨ ache A3 austretenden Massenstrom m

A3 m ˙ 3 =ρ·

δ(L)

δ(L)

0

0

u∞ · u(z) · dz = ρ · b · δ(L)

u(z) · dA3 = ρ · b · 0

=ρ·b·

δ(L)  1 u∞ 1 2 = · ρ · u∞ · b · δ(L) · ·z δ(L) 2 2 0

z · dz

.

Da m ˙3 < m ˙ 1 und die Platte undurchl¨ assig ist, muss durch die Fl¨ache A2 = b · L der ˙ 1−m ˙ 3 austreten: Differenzmassenstrom m ˙2=m ˙ 1−m ˙ 3 = ρ · u∞ · b · δ(L) − m ˙2=m

1 1 · ρ · u∞ · b · δ(L) = · ρ · u∞ · b · δ(L) 2 2

.

Die Grenzschicht hat folglich eine Verdr¨ angungswirkung und das Durchstr¨omen der Fl¨ache  I hervor. F¨ A2 ruft dort eine Impulskraft F ur die Geschwindigkeitskomponente, mit der 2 ache A2 austritt, wird die zun¨achst unbekannte der Massenstrom m ˙ 2 senkrecht durch die Fl¨ Komponente w2 (x) > 0 in +z-Richtung angenommen. Weiterhin gilt f¨ ur w2 (x) die Nebenbedingung w2  u∞ . Die Geschwindigkeit des Fluids in x-Richtung l¨angs der Fl¨ache  I zun¨achst ganz A2 betr¨agt u∞ . Per Definition berechnet sich der Impulskraftvektor F 2 allgemein zu ⎞ ⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤ ⎛

u∞ 0 u∞  I = − ρ · v · (v · n ⎠ ⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ 0 ⎠⎦ · dA2 ,  0 0 · · F ) · dA = − ρ · 2 2 (x) (x) 1 w w 2 2 A2 A2 ⎞ ⎛ ⎞

FI,x2 u∞ = ⎝ FI,y2 ⎠ = − ρ · ⎝ 0 ⎠ · w2 (x) · dA2 FI,z2 w2 (x) A2 ⎛

I F 2

.

146

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

 I erh¨alt man somit F¨ ur die x-Komponente FI,x2 des Impulskraftvektors F 2

1 FI,x2 = −u∞ · ρ · w2 (x) · dA2 = −u∞ · m ˙ 2 = − · ρ · u2∞ · b · δ(L) 2

.

A2

Die z-Komponente FI,z2 ist wegen w2 (x) vom Betrag her klein, weist in negative zRichtung und spielt f¨ ur den weiteren Verlauf der Betrachtung keine Rolle. Die Wandreibungskraft FW,x ist diejenige Kraft, die die Anstr¨omgeschwindigkeit u∞ auf den Wert Null an der Plattenoberfl¨ ache verz¨ ogert. Sie weist daher in negative x-Richtung und es gilt wegen du/dz > 0

L FW,x = −b ·

L | τw | ·dx = −b ·

0

0



L du

1 μ· · dx = −b · μ · u∞ · · dx dz z=0 δ(x)

.

0

Die Impulsbilanz in x-Richtung liefert | FI,x1 | − | FI,x2 | − | FI,x3 | − | FW,x |= 0 ρ · u2∞ · b · δ(L) −

,

1 1 · ρ · u2∞ · b · δ(L) − · ρ · u2∞ · b · δ(L) − μ · b · u∞ · 2 3

L

1 · dx = 0 δ(x)

,

0

1 · ρ · u∞ · δ(L) = μ · 6

L

1 · dx δ(x)

ρ · u∞ · δ(L) = 6·μ

⇒

0

L

1 · dx δ(x)

.

0

Differenziert man die letzte Gleichung auf beiden Seiten nach x und ber¨ ucksichtigt die Beziehung ν = μ/ρ, so erh¨ alt man 1 u∞ dδ(x) · = 6·ν dx δ(x)

⇒

δ(x) · dδ =

6·ν · dx u∞

.

Die Integration liefert δ(L)

0

⇒

6·ν δ · dδ = · u∞

δ 2 (L) =

12 · ν · L u∞



L dx

,

12 12 δ2 12 · ν = = = u∞ · L L2 u∞ · L ReL ν

.

0

⇒

δ(L)

6·ν · [x]L 0 u∞

⇒

1 2 ·δ 2

= 0

F¨ ur die urspr¨ unglich gesuchte Funktion δ/L = f(ReL ) ergibt sich  3.464 12 δ = ≈√ . L ReL ReL Der Faktor 3.464 ist eine Folge der vereinfachenden Annahme eines linearen Geschwindigkeitsprofils u(z). Der exakte Wert unter Verwendung des realen Blasius-Profils f¨ ur die Grenzschicht lautet 5, so dass gilt 5.0 δ = √ L ReL

.

147

2.4 Technische Str¨ omungen

A

W G u (z )

8

U

n

A

FD,N

8

FD, n

8

FI,

n

W

FI,N

G (N)

8

( ) FD

n

FI

Abb. 2.89: Kr¨afte am Kontrollvolumen V f¨ ur die Profilumstr¨omung

 und die Widerstandskraft |W  | eines Tragfl¨ Die Auftriebskraft |A| ugelprofils k¨onnen bei bekannten zeitlich gemitteltem Nachlaufprofil u ¯(z), p¯(z) ebenfalls direkt mit dem Impulssatz (2.122) bestimmt werden. Dabei werden im Windkanal die zeitlich gemittelten Geschwindigkeits- und Druckverteilungen am festgelegten Kontrollvolumen V gemessen und daraus mittels numerischer Integration die Impuls- und Druckkr¨afte bestimmt. Die Impulsbilanz in x-Richtung schreibt sich mit den Bezeichnungen der Abbildung 2.89 (Profil frei geschnitten)  I,N | + FI,x + |F  D | − |F  D,N| − |W  |=0 ,  I | − |F |F ∞ ∞

(2.123)

dabei bezeichnet der Index N die zeitlich gemittelten Profile im Nachlauf, ∞ die ungest¨orte Anstr¨omung und FI , FD die Impuls- und Druckkr¨afte, die durch die Verdr¨angungswirkung des Tragfl¨ ugelprofils verursacht werden. Das Minuszeichen vor der Widerstandskraft r¨ uhrt daher, dass der Widerstand als Reaktionskraft in die Bilanzgleichung eingeht. Die Impulsbilanz in z-Richtung ergibt  D | − |A|  =0 FI,z + |F

.

(2.124)

Die Gleichungen (2.123) und (2.124) bieten eine in der Windkanaltechnik u ¨bliche Methode, aus den gemessenen Geschwindigkeits- und Druckprofilen die Widerstands- und Auftriebskr¨afte umstr¨omter K¨ orper ohne L¨ osen der str¨ omungsmechanischen Grundgleichungen direkt zu bestimmen. Das Gewicht G muss in einer gesonderten Bilanz der Massenkr¨afte ber¨ ucksichtigt werden. 2.4.3

Drehimpulssatz

F¨ ur viele Anwendungen, vor allem aus dem Bereich der Str¨omungsmaschinen, ist eine zum Impulssatz v¨ollig analoge Aussage u ¨ber die Momente von Bedeutung. Mit Hilfe des

148

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

Drehimpulssatzes lassen sich z.B. die Angriffspunkte der Impulskr¨afte bestimmen oder die abgegebene bzw. aufgenommene Leistung beim Durchstr¨omen eines Laufrades.  ist ein Vektor, der senkrecht auf der von einem Abstandsvektor r und Der Drehimpuls L vom Impulsvektor I = m · v aufgespannten Ebene steht. F¨ ur den Drehimpuls gilt  = r × I = (r × v ) · m , L ⎞ ⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤ ⎛ ⎞ rx u ry · w − rz · v Lx ⎝ L y ⎠ = ⎣ ⎝ r y ⎠ × ⎝ v ⎠⎦ · m = ⎝ r z · u − r x · w ⎠ · m . w Lz rz rx · v − ry · u ⎛

 eines Massenelementes dm = ρ · dV ergibt Der differentielle Drehimpuls dL  = (r × v ) · dm = ρ · (r × v ) · dV dL

.

Der Drehimpuls eines Volumens V (t) ist somit V

(t)

 = L

ρ · (r × v ) · dV

.

0

¨ Der Drehimpulssatz sagt aus, dass die totale zeitliche Anderung d/dt des Drehim*   pulses L gleich der Summe aller angreifenden ¨ außeren Momente M a ist. *  Diese a¨ußeren Momente M a resultieren aus den beim Impulssatz besprochenen Massen* * und Oberfl¨achenkr¨ aften FM + F r angreifen. Es gilt A , die hier an einem Hebelarm      M) +  A) .  a= (r × F (r × F M Der Drehimpulssatz lautet  d dL = dt dt

V

(t)

ρ · (r × v ) · dV =



 a M

.

(2.125)

0

Die Bildung der totalen zeitlichen Ableitung erfolgt v¨ollig analog zu dem beim Impulssatz beschriebenen Vorgehen. Man erh¨ alt:

 d dL ρ · (r × v ) · dV = dt dt

V

 ∂(ρ · (r × v ))  a .  ) · dA = = M · dV + ρ · (r × v ) · (v · n ∂t V

A

Genau wie beim Impulssatz f¨ allt auch hier bei station¨aren Str¨omungen (∂/∂t = 0) das Volumenintegral fort und man ben¨ otigt nur das Oberfl¨achenintegral und die Str¨omungsdaten auf dem Rand des Kontrollbereiches

  a .  ) · dA = ρ · (r × v ) · (v · n M A

149

2.4 Technische Str¨ omungen

Bei einem station¨ar durchstr¨ omten ruhenden Kontrollvolumen in einem ruhenden Koordinatensystem ist die Voraussetzung einer station¨aren Str¨omung automatisch erf¨ ullt. Eine Str¨omungsmaschine mit einem rotierenden Laufrad in einem ruhenden Koordinatensystem erzeugt jedoch eine instation¨ are Str¨ omung. Hierbei ist zun¨achst ein Wechsel des Bezugssystems in ein mit dem Laufrad mitrotierendes Koordinatensystem vorzunehmen,  I analog um eine station¨are Str¨ omung zu erzeugen. Definiert man das Impulsmoment M zur Definition der Impulskraft als Tr¨ agheitsmoment zu

 I = − ρ · (r × v ) · (v · n  ) · dA , M A

so erh¨alt man den Drehimpulssatz

 I+ M



⎛  a=0 M

⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ MI,x 0  Ma,x ⎝ MI,y ⎠ + ⎝ Ma,y ⎠ = ⎝ 0 ⎠ 0 MI,z Ma,z

,

.

(2.126)

 I liegt lokal parallel zum Vektorprodukt (r × v ), denn das Der Impulsmomentenvektor M  ) liefert lediglich einen Beitrag zum Vorzeichen und zum Betrag des Skalarprodukt (v · n Impulsmomentes. Zur Verdeutlichung des Drehimpulssatzes wird nachfolgend ein Anwendungsbeispiel betrachtet. In der Abbildung 2.90 ist ein Rohrkr¨ ummer gezeigt, der an einem Rohr angeflanscht ist. Der Rohrkr¨ ummer lenkt die Str¨ omung von der vertikalen Str¨omungsrichtung in die horizontale Str¨ omungsrichtung um. Am rechten Ende des Kr¨ ummers tritt die Str¨omung in die freie Umgebung aus.  k , das von dem Rohrkr¨ Wir behandeln die Fragestellung wie groß ist das Moment M ummer auf die Flanschverbindung ausge¨ ubt wird. Dabei wird vorausgesetzt, dass das Abmaß l (Abbildung 2.90), die Str¨ omungsgeschwindigkeit c, die Dichte ρ des Fluids und die Querschnittsfl¨ache A1 bekannt sind.

p0

p0 A1 c

c

2

2

l z

z x

Mk

x 1

Abb. 2.90: Rohrkr¨ ummer

Mk

Kontrollvolumen V 1

150

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

Wird das Integral

 I=− M

 ) · dA ρ · (r × v ) · (v · n

(2.127)

A

f¨ ur die in Abbildung 2.90 gezeigte Kontrollfl¨ ache ausgewertet, so erh¨alt man f¨ ur den ska I laren Wert der y-Komponente des Vektors M MI,y = −ρ · l · c2 · A1

.

(2.128)

Zur Auswertung der Gleichung (2.127) soll Folgendes angemerkt werden. An der Stelle 1 str¨omt das Fluid u ¨ber die Berandung des Kontrollraumes. Der Ausdruck unter dem Integral in Gleichung (2.127) ist gleich dem Nullvektor f¨ ur diesen Abschnitt der Kontrollfl¨ache, da r × v = 0 ist. F¨ ur die Stelle 2 hingegen ergibt das Kreuzprodukt einen Vektor, der in positive y-Achsenrichtung zeigt. Er zeigt in die Zeichenebene hinein. Das Skalarprodukt v · n  ist postiv f¨ ucksichtigung dieser Einzelur die Stelle 2 und betr¨ agt c · A1 . Unter Ber¨  I den in Gleichung (2.128) formulierten heiten erh¨alt man f¨ ur die y-Komponente von M skalaren Wert. Ansonsten wirken auf die Kontrollfl¨ ache keine resultierenden Kr¨afte die ein Moment er k . Die Drehrichtung von zeugen. Der Kr¨ ummer u agt auf das Fluid das Moment −M ¨bertr¨  ultige Drehwirkung wird mittels der M k wird zun¨achst positiv angenommen. Die endg¨ Rechnung ermittelt. Gem¨ aß der Gleichung   I+  a=0 M M  k= erh¨alt man die folgende Gleichung f¨ ur − M −ρ · l · c2 · A1 − Mk,y = 0

⇒

*  Ma Mk,y = −ρ · l · c2 · A1

.

Vom Fluid wird also ein Moment auf den Kr¨ ummer ausge¨ ubt, das in negative Richtung wirkt. 2.4.4

Rohrhydraulik

Ziel dieses Kapitels ist die Bestimmung der Geschwindigkeitsverteilung u(r) und in ur Erg¨anzung zu Kapitel 2.3.2 des Druckverlustes Δp sowie des Reibungsverlustes cf f¨ laminar und turbulent durchstr¨ omte Kreisrohre. Ausgangspunkt ist die station¨ are laminare Hagen-Poiseuille Rohrstr¨ omung der Abbildung 2.50. Die Str¨ omung ist ausgebildet, d.h. das Geschwindigkeitsprofil u(r) h¨angt nur von der Radialkoordinate r ab und ¨ andert sich l¨angs x nicht, (∂u/∂x) = 0. Die Str¨omung wird angetrieben von einer konstanten Druckdifferenz in Str¨omungsrichtung x, also gilt (dp/dx) = konst. < 0. Wir kennen bereits das daraus resultierende parabolische Geschwindigkeitsprofil u(r) (2.63) als analytische L¨ osung der Navier-Stokes-Gleichung (2.62). Wir wollen als Einstieg in das Kapitel Rohrdynamik das gleiche Ergebnis erneut mit der in Abbildung 2.91 skizzierten Kr¨aftebilanz an einem zylindrischen Volumenelement dV = π ·r2 ·dx ermitteln.

151

2.4 Technische Str¨ omungen

Bei der ausgebildeten Rohrstr¨ omung treten keine resultierenden Impulskr¨afte auf, so dass ausschließlich Druckkr¨ afte wirken. Die Druckkraft an der Stelle 1 lautet (p1 > p2 )  D,1 |= p1 · π · r2 = p · π · r2 |F Die Druckkraft an der Stelle 2 ist



 D,2 |= p2 · π · r2 = |F

p+

.

dp · dx · π · r 2 dx

.

Die Reibung lautet  R | =| τ | ·2 · π · r · dx |F

.

Da die Geschwindigkeitsverteilung u(r) von einem maximalen Wert in der Rohrmitte umax auf den Wert Null an der Rohrwand abnimmt, gilt f¨ ur r = 0 u ¨berall (du/dr) < 0. Damit gilt f¨ ur den Betrag der Schubspannung | τ |= −μ ·

du dr

.

F¨ ur das Kr¨aftegleichgewicht folgt  D,1 | − | F  D,2 | − | F  R |= 0 , |F  dp · dx · π · r2 − | τ | ·2 · π · r · dx = 0 , ⇒ p · π · r2 − p + dx dp r dp du 1 dp r | τ (r) |= − − · π · r 2 =| τ | ·2 · π · r ⇒ · ⇒ = · · dx dx 2 dr μ dx 2

.

Diese Gleichung entspricht der gew¨ ohnlichen Differentialgleichung erster Ordnung (2.62) zur Bestimmung der gesuchten Geschwindigkeitsverteilung u(r). Nach Trennung der Ver¨anderlichen und unbestimmter Integration erh¨alt man zun¨achst u(r) =

1 dp 2 · ·r +C . 4 · μ dx

Die Integrationskonstante C bestimmt sich mit Hilfe der Randbedingung u(r = R) = 0 zu C=−

1 dp · · R2 4 · μ dx

.

Abb. 2.91: Kr¨aftebilanz f¨ ur die Hagen-Poiseuille Rohrstr¨omung

152

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

F¨ ur das Geschwindigkeitsprofil u(r) folgt damit u(r) =

1 1 1 dp 2 dp dp · ·r − · · R2 = − · · (−r2 + R2 ) 4 · μ dx 4 · μ dx 4 · μ dx

u(r) = −

 dp 1 r2 · · R2 · 1 − 2 4 · μ dx R

,

.

(2.129)

Es folgt also eine parabolische Geschwindigkeitsverteilung f¨ ur u(r) mit der Maximalgeschwindigkeit umax = −

dp 1 · · R2 4 · μ dx

.

F¨ ur den Volumenstrom V˙ im Rohr folgt

R

V˙ =

u(r) · dA = A

R u(r) · 2 · π · r · dr =

0

 r2 umax · 1 − 2 · 2 · π · r · dr R

0



R  r3 r − 2 · dr = 2 · π · umax · R 0

 R 1 1 2 1 r4 ˙ V = 2 · π · umax ·r − · 2 = 2 · π · umax · · R2 2 4 R 0 4 umax umax · π · R2 = · A = um · A . = 2 2 F¨ ur den volumetrischen Mittelwert um der Rohrgeschwindigkeit gilt folglich um =

dp 1 1 · umax = − · · R2 2 8 · μ dx

.

Der Volumenstrom l¨ asst sich damit in der folgenden Weise angeben dp 1 π · · R4 V˙ = um · A = · umax · A = − 2 8 · μ dx

.

(2.130)

Damit gilt f¨ ur die laminare Hagen-Poiseuille Rohrstr¨omung die Proportionalit¨at an der Stelle x = L dp V˙ ∼ Δp = L · dx

,

V˙ ∼ R4

.

(2.130) verdeutlicht die charakteristischen Abh¨ angigkeiten des Volumenstroms. Er ist proportional zum Druckverlust Δp = p1 − p2 und proportional zur 4. Potenz des Radius R.

153

2.4 Technische Str¨ omungen

Es interessiert die Frage nach der Gr¨ oße des Druckverlustes Δp bei vorgegebenem Volumenstrom. Dieser Druckverlust ist eine Folge des Reibungseinflusses. Aus (2.130) V˙ =

Δp π · · R4 8·μ L

Δp = p1 − p2

,

folgt 8·μ·L 8·μ·L 8·μ·L um · 8 · ρ · ν · L Δp = V˙ · = um · π · R 2 · = um · = 4 4 2 π·R π·R R R2

.

Im Folgenden wird der Term auf der rechten Seite von Δp in der Weise erweitert, dass charakteristische Gr¨ oßen der Str¨ omung zusammengefasst werden k¨onnen Δp =

16 · ν · L 1 16 · ν · L 1 L 64 1 2 = · ρ · u2m · · ρ · u2m · · !2 = · ρ · um · 2 u 2 um · R 2 2 D m·D um · D ν 2

.

Definiert man die mit dem Rohrdurchmesser D gebildete Reynolds-Zahl ReD = (um ·D)/ν und fasst den Faktor 64/ReD zu einem Verlustkoeffizienten λlam zusammen, so erh¨alt man die folgenden Gleichungen zur Berechnung des Druckverlustes Δp =

1 L · ρ · u2m · · λlam 2 D

,

λlam =

64 ReD

.

(2.131)

Diese Gleichungen gelten f¨ ur laminare Rohrstr¨ omungen, d.h. f¨ ur Reynolds-Zahlen kleiner als die kritische Reynolds-Zahl Rec ReD =

um · D < Rec = 2300 ν

.

F¨ ur die ausgebildete turbulente Rohrstr¨ omung gilt f¨ ur die zeitlich gemittelte Geschwindigkeit (∂ u ¯/∂x) = 0, so dass wiederum im zeitlichen Mittel Impulskr¨afte auftreten. Wenden wir in Abbildung 2.92 den Impulssatz auf ein Kontrollvolumen V = π · R2 · L mit dem Rohrradius R an, ergibt sich f¨ ur die Druckkraft an der Stelle 1 (¯ p1 > p¯2 )  D,1 |= p¯1 · π · R2 |F

. τw

V

r R

D

p1

p2

x u (r )

L τw

Abb. 2.92: Kr¨aftebilanz am Kontrollvolumen V f¨ ur die turbulente Rohrstr¨omung

154

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

Die Druckkraft an der Stelle 2 lautet  D,2 |= p¯2 · π · R2 |F

.

Die Wandreibungskraft berechnet sich  R,w |=| τ¯w | ·2 · π · R · L |F

.

F¨ ur das Kr¨aftegleichgewicht folgt  D,1 | − | F  D,2 | − | F  R,w |= 0 |F

,

p¯1 · π · R2 − p¯2 · π · R2 − | τ¯w | ·2 · π · R · L = 0 (¯ p1 − p¯2 ) · π · R2 = Δ¯ p · π · R2 =| τ¯w | ·2 · π · R · L

⇒

,

Δ¯ p =| τ¯w | ·

2·L R

.

F¨ ur die Wandschubspannung | τ¯w | existiert kein theoretischer Ansatz. Man hilft sich daher durch einen empirischen Ansatz, der die Druckverlustgleichung Δ¯ p analog zum laminaren Fall ermittelt 1 1 1 λt λt 2 · L L ¯2m · ⇒ Δ¯ p= ·ρ·u ¯2m · · = ·ρ·u ¯2m · · λt , | τ¯w |= · ρ · u 2 4 2 4 R 2 2·R Δ¯ p=

1 L ·ρ·u ¯2m · · λt , 2 D

λt = λt (ReD ) aus Experimenten,

ReD =

u ¯m · D . (2.132) ν

Aus experimentellen Ergebnissen folgt f¨ ur den Druckverlustbeiwert λt das BlasiusGesetz 0.3164 λt = , g¨ ultig f¨ ur 3 · 103 ≤ ReD ≤ 105 (2.133) 1 (ReD ) 4

Abb. 2.93: Nikuradse-Diagramm

155

2.4 Technische Str¨ omungen

und die implizite Darstellung von Prandtl  ! 1 √ = 2 · log10 ReD · λt − 0.8 , λt

g¨ ultig f¨ ur ReD ≤ 106

.

(2.134)

Bei rauhen Rohren lassen sich die Werte f¨ ur λt aus dem Nikuradse-Diagramm der Abbildung 2.93 ablesen. Die Rauigkeit Ks ist dabei der r¨aumliche Mittelwert der Oberfl¨achenrauhigkeit der Rohrw¨ ande. Einige Werte f¨ ur unterschiedliche Materialien sind in Abbildung 2.94 aufgelistet. Das Nikuradse-Diagramm folgt aus Messungen die an sandrauhen Rohren durchgef¨ uhrt wurden. F¨ ur technisch rauhe Rohre sind die Werte f¨ ur λt in dem sogenannten Moody-Diagramm (L. F. Moody 1944) u ¨ber der Reynolds-Zahl ReD ¨ aufgetragen. Der Unterschied zum Nikuradse-Diagramm besteht darin, dass der Ubergang vom hydraulisch glatten Rohr bei kleinen Reynolds-Zahlen zum vollkommen rauhen Rohr bei großen Reynolds-Zahlen allm¨ ahlicher verl¨ auft. Die aus Experimenten ermittelte Erweiterung der impliziten Gleichung (2.134) ergibt f¨ ur rauhe Rohre  Ks 2.51 1 √ = 2 · log10 √ + . (2.135) 3.71 · D λt ReD · λt F¨ ur Reynolds-Zahlen ReD > 106 wird der Verlustbeiwert λt unabh¨angig von der ReynoldsZahl, da dann s¨amtliche Rauigkeitselemente aus der viskosen Unterschicht der turbulenten Rohrgrenzschicht herausragen. Damit besteht der Rohrwiderstand im Wesentlichen aus dem Formwiderstand f¨ ur den die quadratische Abh¨angigkeit von der Geschwindigkeit u ¯m gilt. Abbildung 2.95 erg¨ anzt λt f¨ ur unterschiedliche runde und rechteckige Rohrquerschnitte. F¨ ur Λ = 0 entartet der Druckverlust λt des Rohres mit Kreisquerschnitt zum Grenzfall der ebenen Kanalstr¨omung mit λt · ReD,H = 96. Die Kreisringgeometrie zeigt f¨ ur geringe Werte von Λ, dass sich der Druckverlust nur wenig ¨andert. Daraus kann man schließen, dass der Kr¨ ummungseffekt des Rohres nur einen geringen Einfluss hat. Der starke Abfall der Rechteckgeometrie in der Umgebung von Λ = 0 deutet darauf hin, dass die Seitenw¨ande glatt

rauh

Glas, Kupfer, Messing Faserzement Holz Stahl Gusseisen Beton Mauerwerk Erdmaterial

111111111 000000000 KS 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 −3 −2 −1

10

10

10

1

10 K S 102

Abb. 2.94: Rauigkeiten unterschiedlicher Materialien

103

156

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

den Druckverlust stark beeinflussen. F¨ ur Λ = 1 liegen die Grenzf¨alle Kreis- bzw. quadratischer Rohrquerschnitt vor. Jetzt zeigt der Kreisringquerschnitt in der Umgebung von Λ = 1 einen starken Abfall des Druckverlustes. Dies bedeutet, dass auch ein kleines Innenrohr aufgrund der Haftbedingung einen starken Einfluss auf das Geschwindigkeitsprofil im Rohrquerschnitt hat. F¨ ur die Berechnung des zeitlich gemittelten turbulenten Geschwindigkeitsprofils u ¯(r) ist der Ausgangspunkt der Ansatz f¨ ur die Wandschubspannung τ¯w | τ¯w |=

1 λt ·ρ·u ¯2m · 2 4

.

Mit Hilfe der Blasius-Gleichung (2.133) λt =

0.3164 (ReD )

=

1 4

0.3164 !1 u ¯m · D 4 ν

folgt unter Beachtung der beiden Proportionalit¨ aten R ∼ D und u ¯m ∼ u ¯max der Zusammenhang ¯2max · (¯ umax )− 4 · R− 4 · ν 4 = ρ · (¯ umax ) 4 · R− 4 · ν 4 | τ¯w |∼ ρ · u 1

1

1

7

1

1

.

Beschr¨ankt man sich bei der Bestimmung von u ¯(r) zun¨achst auf die Wandn¨ahe f¨ ur r → R und f¨ uhrt die Substitution z = R − r ein, so l¨ asst sich f¨ ur das Geschwindigkeitsprofil u ¯(r) in Wandn¨ahe ein Potenzsatz mit einem noch unbekannten Exponenten m in folgender Weise aufstellen z !m , u ¯(r) = u ¯max · R m 7 7 7·m 7·m R u ¯max = u ¯(r) · m ⇒ (¯ umax ) 4 = u ¯ 4 (z) · R 4 · z − 4 . z F¨ ur die Wandschubspannung folgt damit ¯ | τ¯w |∼ ρ · u

7·m 4

(z) · R

7·m 1 4 −4

· z−

7·m 4

1

·ν4

.

100 D d

λ t. Re

H B 60 B

H

40 0

0.2

0.6

1.0

Λ = H /B , Λ = (D −d)/D

Abb. 2.95: Druckverlust λt bei unterschiedlichen Rohrquerschnitten

157

2.4 Technische Str¨ omungen

Prandtl und von K´arm´ an haben die Hypothese aufgestellt, dass | τ¯w | bei einer turbulenten Rohrstr¨omung unabh¨ angig vom Rohrradius R sein sollte, d.h. der Exponent von R soll verschwinden 1 7·m 1 − =0 ⇒ m= . ⇒ 4 4 7 Nach der R¨ ucksubstitution auf r erh¨ alt man das (1/7)-Potenzgesetz der turbulenten Rohrstr¨omung u ¯(r) = u ¯max · 1 −

r ! 17 R

.

(2.136)

F¨ ur m = (1/7) gilt f¨ ur die mittlere Geschwindigkeit u ¯m die Beziehung: u ¯m = 0.816 · u ¯max

.

Der G¨ ultigkeitsbereich des Gesetzes ist der Gleiche wie bei der Blasius-Gleichung (2.133), ReD ≤ 105 . Zwei unphysikalische Nachteile dieses Profils seien erw¨ahnt. An der Rohrwand ergibt sich ein unendlich steiler Geschwindigkeitsanstieg

d¯ u

−→ ∞ . dr r=R Dies ist jedoch unbedeutend, da das Gesetz in der viskosen Unterschicht keine G¨ ultigkeit hat. In der Rohrmitte tritt ein Knick auf, da (d¯ u/dr)(r = 0) nicht definiert ist. Das parabolische Geschwindigkeitsprofil der laminaren Rohrstr¨omung (2.129) sowie das zeitlich gemittelte Geschwindigkeitsprofil der turbulenten Rohrstr¨omung (2.136) sind in Abbildung 2.96 bei gleichem Volumenstrom V˙ gegen¨ ubergestellt. Verbleibt zum Abschluss dieses Kapitels noch die Aufgabe, die Dicke der viskosen Unterschicht Δ zu bestimmen. Mit dem Ansatz  d¯ u 1 λt ¯2m · =μ· | τ¯w |= · ρ · u 2 4 dz w erh¨ alt man innerhalb der viskosen Unterschicht Δ den linearen Anstieg der Geschwindigkeit vom Wert Null an der Wand auf den Wert 0.5 · u ¯m bei z = Δ, also gilt   1 1 ·u ¯m ·u ¯m d¯ u 1 λt d¯ u ⇒ μ· = ·ρ·u ¯2m · . = 2 =ν·ρ· 2 dz w Δ dz w Δ 2 4

Abb. 2.96: Geschwindigkeitsprofile der laminaren und turbulenten Rohrstr¨omung

158

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

F¨ ur die Dicke Δ der viskosen Unterschicht folgt somit Δ=

4·ν u ¯ m · λt

4 4 Δ ν = = · D λt u ¯m · D ReD · λt

⇒

.

Unter Beachtung des Blasius-Gesetzes (2.133) λt =

0.3164 1

(ReD ) 4 folgt Δ 12.64 = 3 D (ReD ) 4 2.4.5

.

(2.137)

Str¨ omungen Nicht-Newtonscher Medien

Die Fließeigenschaften Nicht-Newtonscher Medien haben wir in Kapitel 2.1.1 eingef¨ uhrt. Der Potenzansatz (2.2)

n

du

, τxz = K ·



dz mit den stoffspezifischen Konstanten K und n beschreibt f¨ ur n < 1 pseudoplastische und f¨ ur n > 1 dilatante Fluide. F¨ ur n = 1 erh¨ alt man mit K = μ den Grenzfall Newtonscher Medien. Die treibende Kraft der ausgebildeten Rohrstr¨ omung ist die konstante Druckdifferenz Δp. Wie bei der Str¨ omung einer Newtonschen Fl¨ ussigkeit ist der Druckgradient l¨angs des Rohres konstant dp/dx = −Δp/l. Zur Bestimmung der L¨osung kommt die Kontinuit¨atsgleichung f¨ ur inkompressible Medien ∇ · v = 0

(2.138)

und die Navier-Stokes-Gleichung f¨ ur station¨ are Str¨omungen ohne Schwerefeld (2.58)  ρ · (v · ∇)v = −∇p + ∇ · τ

(2.139)

zur Anwendung. Mit dem L¨ osungsansatz in Zylinderkoordinaten r, ϕ und x vr = 0

,

vϕ = 0

,

vx = u(r)

,

p = p(x)

(2.140)

 hat ist die Kontinuit¨atsgleichung erf¨ ullt und die linke Seite von (2.139) ist gleich Null. τ nur zwei nicht verschwindende Komponenten. F¨ ur τrx = τxr folgt mit (2.2):

n−1

du

du . (2.141) · τxr = τrx = K ·



dr dr Damit liefert allein die x-Komponente der Gleichung (2.139) einen Beitrag: 0=−

dp 1 d + · (r · τrx ) dx r dr

.

(2.142)

159

2.4 Technische Str¨ omungen

Die r- und die ϕ-Komponente der Gleichung (2.139) sind identisch erf¨ ullt. Aus Gleichung (2.142) erh¨alt man durch Integration: dp r C1 · + . dx 2 r Die Schubspannung τrx hat f¨ ur r = 0 einen endlichen Wert. Daraus folgt, dass die Integrationskonstante C1 gleich Null sein muss. Mit dem Ansatz (2.141) ergibt sich:

n−1

du

du dp r · K ·



= · . dr dr dx 2 τrx =

Da der Druck in Richtung der x-Achse abnimmt, ist dp/dx = −Δp/l negativ. Damit muss auch du/dr negativ sein:  n1 1 Δp du =− · rn . dr 2·K ·l Durch Integration folgt: u(r) = −

n · n+1



Δp 2·K·l

n1

·r

n+1 n

+ C2

.

C2 bestimmt sich aus der Haftbedingung an der Wand u(R) = 0, mit dem Rohrradius R. Es ergibt sich:  n+1 1  n+1 R Δp n r! n n · · · 1− u(r) = − . (2.143) n+1 2·K l R F¨ ur n = 1 stimmt (2.143) mit dem Geschwindigkeitsprofil einer Newtonschen Fl¨ ussigkeit u ur n < 1 ergibt sich an der Wand ein steilerer Geschwindigkeitsgradient, der in ¨berein. F¨ Abbildung 2.97 dargestellt ist. Der Volumenstrom V˙ berechnet sich mit (2.143) zu:

2·π R V˙ = 0

0

n · π · R3 · u(r) · r · dr · dϕ = 3·n+1



Δp R · 2·K l

n1 .

(2.144)

Abb. 2.97: Geschwindigkeitsverteilung einer Nicht-Newtonschen Fl¨ ussigkeit im Kreisrohr

160

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

Daraus erh¨alt man f¨ ur die mittlere Geschwindigkeit um :  V˙ n Δp n R = · R · · π · R2 3·n+1 2·K l 1

um =

.

F¨ ur n = 1 und K = μ ergibt sich das Hagen-Poiseuillesche Gesetz f¨ ur die Rohrstr¨omung einer Newtonschen Fl¨ ussigkeit. Weissenberg-Effekt Bei Scherstr¨omungen hoch-molekularer Fl¨ ussigkeiten treten Nicht-Newtonsche Effekte auf, die den Normalspannungen zugeordnet werden k¨onnen. Als Beispiel soll der WeissenbergEffekt betrachtet werden. Ein Nicht-Newtonsches Fluid bewegt sich zwischen zwei konzentrischen Zylindern mit den Radien R1 und R2 (Abbildung 2.98), von denen der Innere mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω rotiert. Die Fl¨ ussigkeit hat eine freie Oberfl¨ache, auf die der Umgebungsdruck wirkt. Die H¨ ohe der Fl¨ ussigkeitss¨aule ist so groß, dass die Str¨omung am Boden des Zylinders keine Auswirkung auf die Form der freien Oberfl¨ache hat. F¨ ur Zylinder-Koordinaten ist allein die ϕ-Komponente der Geschwindigkeit vϕ (r) von Null verschieden. Zwischen den beiden Zylindern liegt also eine Scherstr¨omung vor. Der Druck ist nur von r abh¨ angig. Der Spannungstensor des Nicht-Newtonschen Fluids soll die folgende Form haben: ⎞ ⎛ 0 τrϕ 0  = ⎝ τϕr σϕϕ 0 ⎠ , (2.145) τ 0 0 0 σϕϕ und τrϕ sind nur von r abh¨ angig. Aus der Navier-Stokes-Gleichung f¨ ur station¨are Str¨omungen (2.139) folgt f¨ ur die r- und ϕ-Komponente: −ρ ·

vϕ2 dp σϕϕ =− − r dr r

,

(2.146)

Abb. 2.98: Str¨ omung zwischen zwei konzentrischen Zylindern, der innere Zylinder rotiert

161

2.4 Technische Str¨ omungen

0=

1 d 2 1 d τrϕ · (r · τrϕ ) + = 2· (r · τrϕ ) r dr r r dr

.

(2.147)

Die z-Komponente der Gleichung (2.139) ist identisch erf¨ ullt. Unter Verwendung des Newtonschen Ansatzes in Zylinder-Koordinaten f¨ ur die Schubspannung τrϕ = μ · (dvϕ /dr − vϕ /r) ergibt sich aus Gleichung (2.147): 0=μ·

d 1 d ( · (r · vϕ )) dr r dr

.

(2.148)

Hieraus kann durch Integration die Geschwindigkeitsverteilung bestimmt werden. Diese ist identisch mit der entsprechenden Geschwindigkeitsverteilung einer Newtonschen Fl¨ ussigkeit: vϕ (r) = A · r + B ·

1 r

.

(2.149)

Mit den Randbedingungen vϕ (r = R1 ) = ω · R1 und vϕ (r = R2 ) = 0 erh¨alt man f¨ ur die Konstanten: A=−

ω · R12 R22 − R12

und

B=

ω · R12 · R22 R22 − R12

.

Aus Gleichung (2.146) folgt die Gleichung f¨ ur den Druck: vϕ2 dp d(ln(r)) dp σϕϕ = · =− +ρ· dr dr d(ln(r)) r r oder dp = −σϕϕ + ρ · vϕ2 d(ln(r))

.

(2.150)

Formal kann σϕϕ durch die Normalspannungsdifferenz σϕϕ − σrr ersetzt werden. Voraussetzungsgem¨aß wirkt auf die freie Oberfl¨ ache der konstante Außendruck. Damit ist die ¨ Anderung der Fl¨ ussigkeitsh¨ ohe h proportional zum Druckgradienten: 1 dp dh = · dr ρ · g dr

.

(2.151)

Bei hoch-molekularen Fl¨ ussigkeiten ist σϕϕ − σrr > 0. Aus den Gleichungen (2.150) und (2.151) folgt f¨ ur entsprechend große Werte der Differenz der Normalspannungen, dass der Fl¨ ussigkeitsspiegel h am drehenden inneren Zylinder h¨oher ist als am ruhenden a¨ußeren Zylinder. Dieses Hochsteigen der Fl¨ ussigkeiten am rotierenden Innenzylinder wurde von Weissenberg 1947 als Normalspannungseffekt beschrieben und kann bei vielen viskoelastischen Fl¨ ussigkeiten beobachtet werden. Strahlaufweitung Ein anderer Normalspannungseffekt tritt auf, wenn eine viskoelastische Fl¨ ussigkeit als Freistrahl aus einer D¨ use oder der M¨ undung eines zylindrischen Rohres austritt. Der aus

162

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

Abb. 2.99: Strahlaufweitung eines Fl¨ ussigkeitsstrahls einem vertikalen Rohr (Abbildung 2.99) nach unten austretende Strahl verbreitert sich im Fall einer Nicht-Newtonschen Fl¨ ussigkeit, bevor er sich aufgrund der Schwerkraft wieder zusammenschn¨ urt. Geht man davon aus, dass am M¨ undungsquerschnitt eine ausgebildete Hagen-Poiseuille-Str¨ omung vorliegt, reduziert sich die Navier-Stokes-Gleichung in radialer Richtung auf 1 d(p − σrr ) = − · (σϕϕ − σrr ) dr r

.

(2.152)

Mit (2.152) in Verbindung mit einer Impulsbilanz im M¨ undungsbereich und den Normalspannungsfunktionen kann wie beim Weissenberg-Effekt die Strahlaufweitung mit den Normalspannungen des Nicht-Newtonschen Fluids in Zusammenhang gebracht werden. Die Strahlaufweitung ist dabei umso gr¨ oßer je kleiner der Rohrradius ist. Dies entspricht beim Weissenberg-Effekt dem Tatbestand, dass das Aufsteigen der Fl¨ ussigkeit am rotierenden Stab umso gr¨ oßer ist, je kleiner der Durchmesser des inneren Zylinders gew¨ahlt wird. 2.4.6

Str¨ omungsabl¨ osung

Bei Umstr¨omungsproblemen, in Rohrkr¨ ummern und Rohrverzweigungen kommt es zur Str¨ omungsabl¨ osung, die uns in den vorangegangenen Kapiteln bereits mehrfach begegnet ist. Je nach Gr¨ oße der Reynolds-Zahl kann die Str¨omungsabl¨osung station¨ar oder instation¨ar erfolgen. Betrachten wir zun¨ achst die Umstr¨ omung einer Kugel. In Abbildung 2.100 ist im linken Bild zun¨achst die laminare, station¨ are Str¨ omungsabl¨osung bei geringen Reynolds-Zahlen skizziert. Die Abl¨osung der Grenzschicht auf der Kugel f¨ uhrt zu einem R¨ uckstr¨omgebiet. Der Druck p auf der Kugeloberfl¨ ache nimmt aufgrund der Beschleunigung stromab des Staupunktes stark ab und geht im R¨ uckstr¨ omgebiet in einen konstanten Wert u ¨ber. Die Str¨omungsabl¨osung der turbulenten Grenzschicht erfolgt bei entsprechend gr¨oßeren Reynolds-Zahlen weiter stromab auf der Kugeloberfl¨ache. Aufgrund der Verz¨ogerung der Str¨omung steigt der Druck p jenseits des Scheitelpunktes auf der Kugeloberfl¨ache uckstr¨omgebietes zun¨achst wieder an, um dann in den konstanten Wert des turbulenten R¨ u ¨berzugehen. Die Str¨omungsabl¨osung auf der Kugel kann man sich mit der folgenden Betrachtung plausibel machen. Die Abl¨ osung einer Str¨ omung von der Wand tritt dann ein, wenn das aufgrund der Haftbedingung in Wandn¨ ahe verz¨ ogerte Grenzschichtfluid ins Innere der Str¨omung transportiert wird. Bei einem Druckanstieg der Außenstr¨omung stromab ist das innerhalb

163

2.4 Technische Str¨ omungen

der Grenzschicht abgebremste Fluid wegen seiner geringen kinetischen Energie nicht mehr in der Lage, stromab in das Gebiet h¨ oheren Druckes zu str¨omen. Die Grenzschicht l¨ost sich vom K¨orper ab und bildet ein R¨ uckstr¨ omgebiet. Da die turbulente Grenzschichtstr¨omung durch einen zus¨atzlichen L¨ angs- und Querimpulsaustausch gekennzeichnet ist und eine h¨ ohere kinetische Energie besitzt, kann die turbulente Grenzschicht weiter stromab an der Kugeloberfl¨ache haften. Dabei verj¨ ungt sich das R¨ uckstr¨omgebiet und damit die Nachlaufstr¨omung, so dass der Gesamtwiderstand cw sich deutlich verringert. F¨ ur die mathematische Beschreibung des Abl¨ osekriteriums gehen wir von einer zweidimensionalen laminaren oder turbulenten Grenzschicht z.B. auf einem Zylinder aus. Aufgrund der Haftbedingung an der Wand u = 0 und w = 0 f¨ ur r = R mit dem Zylinderradius R bzw. z = 0 folgt aus der Navier-Stokes-Gleichung in kartesischen Koordinaten (2.65)

1 dp ∂ 2 u

· =ν· . (2.153) ρ dx ∂z 2 z=0 Anhand von Gleichung (2.153) und Abbildung 2.101 k¨onnen wir die Entwicklung der Grenzschichtstr¨omung in Abh¨ angigkeit des Druckgradienten diskutieren. Nimmt der Druck in x-Richtung ab, d.h. ist ∂p/∂x negativ, so wird die Str¨omung außerhalb der Grenzummung schicht stromab beschleunigt. Damit ist auch (∂ 2 u/∂z 2 ) < 0, folglich ist die Kr¨ des Geschwindigkeitsprofils u(z) an der Wand negativ. Wegen der Beschleunigung der Str¨omung w¨achst die Geschwindigkeit am Grenzschichtrand, was dazu f¨ uhrt, dass ∂u/∂z mit zunehmender Stromabkoordinate x anw¨ achst. Wegen τw = μ·(∂u/∂z)z=0 steigt damit auch die Wandschubspannung τw mit zunehmendem x an, folglich gilt (∂τw /∂x) > 0. laminar

turbulent

ϕ r

p p

0°

8

8

p p

90°

ϕ

180°

0°

90°

ϕ

180°

Abb. 2.100: Str¨omungsabl¨ osung und Druckverteilung der Kugelumstr¨omung

164

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

Im Falle (∂p/∂x) = 0 wird mit Gleichung (2.153) auch ∂ 2 u/∂z 2 an der Wand Null. Das Geschwindigkeitsprofil u(z) hat dann an der Wand einen Wendepunkt. Die Geschwindigkeit am Grenzschichtrand bleibt wegen des nicht vorhandenen Druckgradienten konstant. Innerhalb der Grenzschicht wird die Str¨ omung jedoch durch die vorhandenen Reibungskr¨afte verz¨ogert. In Wandn¨ ahe nimmt dadurch der Geschwindigkeitsgradient ∂u/∂z mit zunehmender Stromabkoordinate x ab. Dies f¨ uhrt zu einer Verringerung der Wandschubspannung τw in x-Richtung mit (∂τw /∂x) < 0. Die Str¨omungsabl¨osung von der K¨ orperkontur beginnt an dem Ort, an dem die stromauf positive Wandschubspannung τw soweit abgesunken ist, dass sie erstmals den Wert Null annimmt. Dies ergibt das Kriterium f¨ ur den Beginn der Str¨omungsabl¨osung Abl¨ osekriterium :

τw = 0

.

(2.154)

F¨ ur die turbulente Grenzschichtstr¨ omung ist der zeitlich gemittelte Wert der Wandschubspannung τ¯w = 0 anzunehmen. In Abbildung 2.101 ist die Prinzipskizze der Grenzschichtabl¨osung f¨ ur den Fall eines positiven Druckgradienten (∂p/∂x) > 0 gezeigt. Ein positiver Druckgradient f¨ uhrt zun¨achst dazu, dass die Str¨omung außerhalb der Grenzschicht in x-Richtung verz¨ogert wird. In der Abbildung ist dies dadurch verdeutlicht, dass die Geschwindigkeitspfeile am Grenzschichtrand mit zunehmender x-Koordinate k¨ urzer werden. Wegen (∂p/∂x) > 0 gilt nach Gleichung (2.153) f¨ ur die Kr¨ ummung des Geschwindigoßerem Wandabstand ist die Kr¨ ummung des keitsprofils an der Wand (∂ 2 u/∂z 2 ) > 0. In gr¨ Geschwindigkeitsprofils u(z) grunds¨ atzlich negativ. Daher muss bei positiver Kr¨ ummung an der Wand mit (∂ 2 u/∂z 2 ) > 0 an mindestens einer Stelle innerhalb der Grenzschicht gelten, (∂ 2 u/∂z 2 ) = 0. Diese Stelle ist ein Wendepunkt des Geschwindigkeitsprofils u(z). Im Vergleich zum Beginn der Abl¨ osung, bei der sich der Wendepunkt an der Wand befindet, wandert der Wendepunkt stromab des Abl¨ osebeginns ins Grenzschichtinnere. In Abbildung 2.100 lassen sich die Konsequenzen eines positiven Druckgradienten (∂p/∂x) > 0 verfolgen. In diesem Fall wird die Grenzschichtstr¨omung nicht nur durch Reibungs- sondern auch durch die Druckkr¨ afte verz¨ ogert und die Kr¨ ummung an der Wand ist stets positiv. Die Wandschubspannung τw nimmt in x-Richtung ab und bei τw = 0 beginnt die Abl¨osung.

Abb. 2.101: Prinzipskizze der Grenzschichtabl¨ osung

165

2.4 Technische Str¨ omungen

Im zweidimensionalen Fall ist dies gleichbedeutend mit (∂u/∂z) = 0. Im weiteren Verlauf stromab wird die Wandschubspannung negativ. Dies bedeutet eine Umkehr der Str¨omungsrichtung in Wandn¨ ahe mit (∂u/∂z) < 0 und somit R¨ uckstr¨omung. Die R¨ uckstr¨omung f¨ uhrt stromab des Abl¨ osepunktes zu einem Rezirkulationsgebiet. Auf einer gekr¨ ummten Oberfl¨ ache unendlicher Ausdehnung f¨ uhrt die Str¨omungsabl¨osung zu einer zweidimensionalen Abl¨ oseblase (siehe Abbildung 2.102). Die Staustromlinien verzweigen an der Abl¨ oselinie und treffen an der Wiederanlegelinie erneut auf die Wand. Ein ganz anderes Bild ergibt sich bei einer dreidimensionalen Str¨omungsabl¨osung. In Abbildung 2.102 ist das Str¨ omungsbild eines Hufeisenwirbels dargestellt, wie er bei der Umstr¨omung eines Zylinders in Bodenn¨ ahe entsteht (siehe auch Abbildung 4.39). Das Abl¨osegebiet ist stromab nicht begrenzt. Auch die Trennstromfl¨ache ist stromab nicht geschlossen und deshalb auch stromauf offen. Die Abl¨oselinie bildet nicht mehr wie im zweidimensionalen Fall stromauf die Begrenzung des Abl¨osegebietes. Deshalb gilt auch nicht mehr das zweidimensionale Abl¨ osekriterium τw = 0. Die Abl¨oselinie der dreidimensionalen Str¨omungsabl¨ osung l¨ asst sich mathematisch als Konvergenzlinie der Wandstromlinien beschreiben. In Kapitel 4.1.4 wird gezeigt, dass die Bedingung τw = 0 lediglich in so genannten singul¨ aren Punkten gilt. Diese sind in Abbildung 2.102 mit S1 und S2 bezeichnet. Nachdem das Abl¨ osekriterium f¨ ur die Grenzschichtstr¨omung bekannt ist, kehren wir zur Kugelumstr¨ omung mit dem Kugeldurchmesser D zur¨ uck und diskutieren die ReynoldsZahl-Abh¨angigkeit des Widerstandsbeiwertes cw = cw (ReD ) (Abbildung 2.103) und der Strouhal-Zahl Str = Str(ReD ) (Abbildung 2.104). Die dimensionslose Abl¨ osefrequenz Str ist definiert als das Verh¨altnis der lokalen Beschleunigung zur konvektiven Tr¨ agheit: Str =

f ·D ρ · u∞ /T = ρ · u2∞ /D u∞

.

mit der Abl¨osefrequenz f = 1/T , dem reziproken Wert der Schwingungsdauer T .

Abb. 2.102: Formen der Abl¨ osung bei ebenen und r¨aumlichen Str¨omungen

(2.155)

166

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

Wir beginnen die Diskussion der Reynolds-Zahl-Abh¨angigkeit von cw zun¨achst f¨ ur

Abb. 2.103: Str¨omungsformen und Widerstandsbeiwert cw der Kugelumstr¨omung in Abh¨angigkeit der Reynolds-Zahl ReD = (u∞ · D)/ν

167

2.4 Technische Str¨ omungen

Reynolds-Zahlen ReD ≤ 1. Bei solchen Reynolds-Zahlen u ¨berwiegen die Reibungskr¨afte die Tr¨agheitskr¨afte bei weitem. Es handelt sich um die schleichende Str¨omung, die analytisch beschrieben werden kann. F¨ ur die Widerstandskraft W einer bei ReD ≤ 1 station¨ar umstr¨omten Kugel lautet die analytische L¨ osung der Navier-Stokes-Gleichung W =6·π·μ·

D · u∞ 2

.

(2.156)

Ein Drittel dieser Widerstandskraft W hat seinen Ursprung im Druckgradienten und zwei Drittel in den Reibungskr¨ aften. Bemerkenswert ist ferner, dass die Widerstandskraft W im Bereich schleichender Str¨ omungen proportional der ersten Potenz der Anucksichtigung der Definition des cw -Wertes erhalstr¨omgeschwindigkeit u∞ ist. Unter Ber¨ ten wir aus Gleichung (1.3) eine Beziehung f¨ ur cw = cw (ReD ). Es gilt cw =

24 W 24 · μ = = 1 · ρ · u2 · π · D 2 ρ · u∞ · D ReD ∞ 4 2

.

(2.157)

Die Beziehung cw = (24/ReD ) wird auch als Stokessches Widerstandsgesetz bezeichnet und ist g¨ ultig im Reynolds-Zahl-Bereich ReD < 20. Bei einer Erh¨ohung der Reynolds-Zahl bis zu einem Wert von ReD = 130 stellt sich stromab der angestr¨ omten Kugel der Zustand station¨arer Str¨omungsabl¨osung ein. Die Fluidteilchen in unmittelbarer Wandn¨ ahe verlieren durch die starken Reibungskr¨afte derart an kinetischer Energie, dass sie nicht in der Lage sind, den Druckanstieg in der hinteren H¨alfte der Kugel zu kompensieren. Die Folge ist eine Str¨omungsabl¨osung stromab des Kugel¨aquators. Man erh¨ alt ein station¨ ares R¨ uckstr¨omgebiet im Nachlaufbereich unmittelbar hinter der Kugel. Bei der Berechnung der station¨aren Nachlaufstr¨omungen k¨onnen die Tr¨agheitsterme nicht mehr vernachl¨ assigt werden und es sind die vollst¨andigen NavierStokes-Gleichungen des Kapitels 3 zu l¨ osen. Bei der Reynolds-Zahl ReD = 300 wird die Nachlaufstr¨omung instabil und bildet einen periodischen wellenf¨ ormigen Nachlauf. Eine weitere Steigerung der Reynolds-Zahl bis zu uhrt erstmals zur Bildung einer instation¨aren periodischen einem Wert von ReD = 800 f¨ Wirbelabl¨osung der laminaren Grenzschicht auf der Kugeloberfl¨ache mit einer laminaren Nachlaufwirbelstraße. Es bilden sich schraubenf¨ ormige Wirbelschleifen, die auch Hairpin Wirbel genannt werden und sich periodisch im Nachlauf fortsetzen. F¨ ur Reynolds-Zahlen

Abb. 2.104: Dimensionslose Abl¨ osefrequenz Str der Kugelumstr¨ omung in Abh¨angigkeit der ReynoldsZahl ReD

168

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

gr¨oßer ReD = 420 u ¨berlagert sich der periodischen Abl¨osung der Wirbelschleifen eine irregul¨are Oszillation der Nachlaufstr¨ omung senkrecht zur Str¨omungsrichtung. Die dimensionslose Abl¨osefrequenz betr¨ agt Str = 0.18 − 0.2. ¨ Bei Reynolds-Zahlen gr¨ oßer als ReD = 800 erfolgt der Ubergang zu einer turbulenten Nachlaufstr¨omung. Es bilden sich zun¨ achst transitionelle und dann turbulente periodisch abl¨osende Wirbelschleifen mit einer Strouhal-Zahl von 0.2 − 0.22. Neben der Abl¨osefrequenz der Nachlaufstr¨ omung tritt eine zweite, h¨ohere Frequenz auf (siehe Abbildung 2.104), die von sekund¨ aren Instabilit¨ aten der lokalen Scherschichten in den Wirbelschleifen verursacht wird. Im Reynolds-Zahlbereich 3000 ≤ ReD < 4 · 105 werden die diskreten Wirbelschleifen durch die periodische Abl¨osung rotierender Ringwirbel abgel¨ost, die einen helixartigen wellenf¨ ormigen Nachlauf bilden. Dabei nimmt die Strouhal-Zahl ab, bis sie einen konstanten Wert Str = 0.18 − 0.2 erreicht. Im Reynolds-Zahl-Bereich 3 · 105 ≤ ReD ≤ 4 · 105 wird die Grenzschichtstr¨omung auf der Kugel turbulent. Der Abl¨ osebereich verlagert sich auf der Kugeloberfl¨ache stromab und hat eine Verj¨ ungung der Nachlaufstr¨ omung zur Folge. Damit verbunden ist ein drastisches Absinken des cw -Wertes von 0.48 auf 0.12, wie in Abbildung 2.103 gezeigt. Bei einer turbulenten Grenzschicht ist der Reibungswiderstand gr¨oßer, also erfolgt der Abfall des cw -Wertes durch die Verringerung des Druckwiderstandes. Das Str¨omungsbild zeigt im zeitlichen Mittel eine hufeisenf¨ ormige Abl¨ osung einer Wirbelfl¨ache. ¨ auf Im Bereich 4 · 105 ≤ ReD < 106 wandert der laminar-turbulente Ubergangsbereich der Kugeloberfl¨ache nach vorne, wodurch der Reibungswiderstand ansteigt, w¨ahrend der Druckwiderstand weitgehend konstant bleibt. Dadurch steigt der cw -Wert wieder an. Im Reynolds-Zahl-Bereich ReD > 106 ist die Grenzschicht auf der Kugeloberfl¨ache stromab des vorderen Staupunktes turbulent, wodurch die Abl¨osestelle festliegt und sich bei einer weiteren Steigerung der Reynolds-Zahl nicht mehr ¨andert. Daher wird der cw -Wert der Kugel unabh¨angig von ReD . Im turbulenten Nachlauf bildet sich ein periodisch oszillie-

¨ Abb. 2.105: Beeinflussung der Ubergangs-ReynoldsZahl des Golfballs

169

2.4 Technische Str¨ omungen

rendes und rotierendes stromlinienf¨ ormiges Wirbelpaar. Die Abh¨angigkeit des Widerstandsbeiwertes von der Reynolds-Zahl nutzt man beim Golfball aus. Es ist das Bestreben des Golfspielers, beim Abschlag dem Golfball eine m¨ oglichst hohe Anfangsgeschwindigkeit und damit hohe Reynolds-Zahl zu verleihen um m¨ oglichst weit zu schlagen. Je geringer der Widerstand des Golfballes ist umso weiter gelingt der Abschlag. Die Diskussion des cw -Wertes zeigt uns, dass dies besonders erfolgreich gelingt, wenn dabei eine Reynolds-Zahl gr¨oßer als 4 · 105 erreicht werden. Dem entspricht eine Abschlagsgeschwindigkeit von mehr als 100 m/s. Da diese auch vom besten Golfspieler nicht erreicht werden, ist man bestrebt, durch geeignete Beeinflussung des ¨ laminar-turbulenten Uberganges der Kugelgrenzschicht die Verj¨ ungung der turbulenten Kugelnachlaufstr¨omung bei kleineren Reynolds-Zahlen zu erzielen. Dies gelingt mit einer Lochverteilung (Dimple) auf der Oberfl¨ ache des Golfballes. Diese verursacht den laminar¨ turbulenten Ubergang in der Kugelgrenzschicht bei geringeren Reynolds-Zahlen und reduziert den Str¨omungswiderstand. Im Windkanalexperiment (Abbildung 2.105) wird der Wert ReD = 105 gemessen. Dem entspricht eine Abschlaggeschwindigkeit von 35 m/s, die von Spitzenspielern erreicht wird. Den gleichen Effekt der Nachlaufverj¨ ungung und Widerstandsreduzierung erzielt man mit einem St¨ordraht in der laminaren Kugelgrenzschicht. Dieser verursacht den laminar¨ turbulenten Ubergang in der Grenzschicht bei kleineren kritischen Reynolds-Zahlen als

5

10

cw

1 Str

4

8

8

u = 1 Df Str

3

6

4

2

cw 1

0

2

0 10

103

105

ReD

107

Abb. 2.106: Widerstandsbeiwert cw und reziproke Werte der dimensionslosen Abl¨osefrequenz 1/Str f¨ ur die Zylinderumstr¨omung

170

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

diese von der Theorie vorhergesagt werden. Die Wirkung des St¨oreffektes in der Grenzschicht entspricht damit den Dimples beim Golfball. Ein ganz entsprechendes Verhalten zeigt der Widerstandsbeiwert cw in Abh¨angigkeit der Reynolds-Zahl ReD f¨ ur die Zylinderumstr¨ omung. In Abbildung 2.106 sind alle bekannten experimentellen Werte cw mit den gemessenen reziproken Werten der dimensionslosen Abl¨osefrequenz 1/Str dargestellt. Dieses sind die Werte f¨ ur die bereits in Kapitel 1.1 beschriebene K´ arm´ ansche Wirbelstraße. Die Abbildung 2.107 erg¨anzt die Str¨omungsbilder der Zylinderumstr¨omung f¨ ur den Bereich der station¨aren Str¨omungsabl¨osung im Reynoldsanschen Wirbelstraße Zahl-Bereich 3 ≤ ReD < 40 und den Bereich der laminaren K´arm´ f¨ ur 40 ≤ ReD ≤ 200. Bei der Reynolds-Zahl ReD = 73 ist zus¨atzlich die Struktur der

Prandtl 1927 Anfahren des Zylinders aus der Ruhe, Ausbilden der Kármánschen Wirbelstrasse über Zwischenzustände

ReD 32

Homann 1936 Konstante Anströmung des Zylinders

55

65

73

102 Wirbelstruktur

Abb. 2.107: Station¨ are Zylinderumstr¨ omung und laminare K´ arm´ ansche Wirbelstraße

171

2.4 Technische Str¨ omungen

K´arm´ anschen Wirbelstraße gezeichnet, sowie sie in Kapitel 4.1.4 eingef¨ uhrt wird. Die periodische Wirbelabl¨ osung der K´ arm´ anschen Wirbelstraße setzt bei der ReynoldsZahl ReD = 40 ein. Mit steigender Reynolds-Zahl f¨allt 1/Str stark ab, die Abl¨osefrequenz nimmt entsprechend zu, um bei Reynolds-Zahlen zwischen 103 und 105 nahezu konstante ¨ Werte von Str = 0.21 anzunehmen. Mit dem Ubergang zu turbulenten Grenzschichtstr¨omungen auf den Zylinder f¨ allt 1/Str entsprechend dem Abfall des Widerstandsbeiwertes cw stark ab. F¨ ur Reynolds-Zahlen gr¨ oßer 107 stellt sich in der turbulenten Nachlaufstr¨omung bei konstantem cw -Wert auch eine konstante Abl¨osefrequenz ein, da der ¨ laminar-turbulente Ubergang in der Zylindergrenzschicht bis in den Staupunkt gewandert ist und sich bei weiter wachsender Reynolds-Zahl keine Ver¨anderung der turbulen-

cw

cw

0.47

1.17

0.39

1.20

0.42

1.16

0.59

1.60

0.81

1.50

0.50

1.55

1.17

1.98

1.17

2.00

cw

0.26

1.40

2.30

1.38

2.20

0.012

1.20

103 cw 102 10 Kreisscheibe 1

1.10 dreidimensionale Körper

2.00 zweidimensionale Körper

10−1

Kugel Ellipsoid Stromlinienkörper

10−2 10−1

10 4 < ReD < 105

Abb. 2.108: Widerstandsbeiwert cw stumpfer K¨orper

10

103

105 ReD 107

172

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

ten Str¨omung ergibt. Die Widerstandsbeiwerte cw im Reynolds-Zahl-Bereich von 104 bis 105 sind in Abbildung 2.108 f¨ ur unterschiedliche dreidimensionale und zweidimensionale K¨orperformen zusammengestellt und die Reynolds-Zahl Abh¨angigkeit erg¨anzend f¨ ur unterschiedliche Rotationsk¨ orper dargestellt. Die Kreisscheibe hat bei turbulenten Reynolds-Zahlen den gr¨oßten Widerstand. Da die Str¨ omungsabl¨osung durch die geometrisch bedingte Abrisskante fixiert ist, tritt der Widerstandseinbruch bei der Reynolds-Zahl 4·105 nicht auf. Beim Ellipsoiden ist dieser aufgrund der K¨orperform zu kleineren Reynolds-Zahlen verschoben. Beim Stromlinienk¨orper tritt ¨ der Widerstandseinbruch ebenfalls nicht auf, da der laminar-turbulente Ubergang zun¨achst in der K¨orpergrenzschicht erfolgt und sich in den Nachlauf kontinuierlich fortsetzt. Str¨omungsabl¨osung tritt auch bei der inkompressiblen Kraftfahrzeugumstr¨ omung auf. W¨ahrend die Str¨omungsabl¨ osung auf dem Tragfl¨ ugel zur Aufrechterhaltung des Auftriebs vermieden werden muss, stellt sie beim Kraftfahrzeug eine wesentliche Komponente bei der Widerstandsreduzierung der Kraftfahrzeugumstr¨omung dar. Einen ersten Eindruck der Abl¨osebereiche einer Kraftfahrzeugumstr¨ omung hatten wir bereits im einf¨ uhrenden Kapitel 1.2 in Abbildung 1.43 gewonnen. Beim Kraftfahrzeug mit Stufenheck rechnen wir mit Str¨omungsabl¨osung auf der Heckscheibe und an der Abreißkante des Kofferraumdeckels. Mit unserem jetzigen Kenntnisstand k¨onnen wir dieses Str¨ omungsverhalten der Abbildung 2.109 sofort verstehen. Positive Druckgradienten ∂p/∂x f¨ uhren zur Str¨ omungsabl¨osung und R¨ uckstr¨omung. Die auf dem Fahrzeugheck abl¨ osende Grenzschicht erzeugt nach dem Passieren der Abreißkante des Kofferraumdeckels als freie Scherschicht einen Teil der Nachlaufstr¨omung des Kraftfahrzeuges. Es bildet sich ein Hufeisenwirbel, in dem die Randwirbel und die R¨ uckstr¨omung am Kofferraumdeckel ineinander u ¨bergehen. Dem wird ein zweites R¨ uckstr¨omgebiet u ¨berlagert, das von der Diffusorstr¨omung zwischen Straße und Kraftfahrzeug gespeist wird. Diese Struktur der Nachlaufstr¨ omung haben wir bereits in Kapitel 1.2 diskutiert. Die mathematische Beschreibung der Struktur dieser dreidimensional abgel¨osten Str¨omung aftigen. Da die Reynolds-Zahl die Gr¨oßenordnung wird uns in Kapitel 4.1.4 weiter besch¨

Abb. 2.109: Str¨omungsabl¨ osung am Kraftfahrzeugheck

2.4 Technische Str¨ omungen

173

107 hat, wissen wir inzwischen, dass die Nachlaufstr¨omung des Kraftfahrzeuges instation¨ar und turbulent ist und Abbildung 2.109 ein zeitlich gemitteltes Bild der Str¨omungsstruktur darstellt. Auch in Rohrleitungen oder Diffusorstr¨ omungen kann Str¨omungsabl¨osung auftreten. Wir kn¨ upfen an das vorangegangene Kapitel 2.4.4 an und betrachten die Str¨ omungsabl¨osung in gekr¨ ummten Rohrleitungen. Die Str¨omungsabl¨osung verursacht auch hier zus¨atzliche Verluste und aufgrund der Zentrifugalkraft eine Sekund¨arstr¨omung. Wir betrachten den Kr¨ ummer in Abbildung 2.110, der eine vertikale Str¨omung in eine horizontale Str¨ omung umlenkt. Wir setzen im geraden vertikalen Rohrst¨ uck eine station¨are ausgebildete Rohrstr¨ omung voraus, in der ein treibender Druckgradient in Str¨omungsrichtung vorherrscht. In radialer Richtung quer zur Str¨omung wird konstanter Druck vorausgesetzt. Die Bernoulli-Gleichung f¨ ur gekr¨ ummte Stromf¨aden liefert die Aussage, dass der Druck in radialer Richtung ansteigt, um der Fliehkraft das Gleichgewicht zu halten. Es baut sich ein Druckgradient quer zur Str¨ omungsrichtung auf, der zu einem Druckanstieg an der Außenwand und zu einem Druckabfall an der Innenwand des Kr¨ ummers f¨ uhrt. Dies wirkt dem Druckabfall l¨ angs der Stromlinienkoordinate s an der Außenwand entgegen und verst¨arkt ihn an der Innenwand. Die Stromlinienkoordinate s bezeichnet die Bogenl¨ange eines betrachteten Stromfadens und wird stromab positiv gez¨ahlt. Bei den letzten Beispielen hatten wir bereits mehrfach festgestellt, dass ein Druckanstieg in Str¨ omungsrichtung zur Str¨ omungsabl¨ osung f¨ uhrt. Daher setzt die Abl¨osung zuerst an der Außenwand im Punkt A ein. Beim Austritt aus dem Kr¨ ummer gleicht sich der Druck quer zur Str¨omungsrichtung wieder aus. Dadurch steigt der Druck an der Innenwand und f¨allt an der Außenwand wieder ab. Dies f¨ uhrt zu einem Wiederanlegen der Str¨omung Aw an der Außenwand und zum Beginn der Str¨ omungsabl¨osung im Punkt B an der Innenwand. Auch an der Innenwand legt sich die Str¨ omung mit zunehmender Bogenl¨ange s in einiger Entfernung nach Passieren des Kr¨ ummers im geraden horizontalen Rohrst¨ uck Bw wieder an. Dort herrscht wieder ein negativer Druckgradient ∂p/∂s, der den Reibungskr¨aften das Gleichgewicht h¨alt. Der Druck quer zur Str¨ omungsrichtung ist in diesem nicht gekr¨ ummten Teilabschnitt wieder konstant.

Abb. 2.110: Prinzipskizze der Str¨ omungsabl¨ osung im Kanalkr¨ ummer

174

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

Wir erkennen in Abbildung 2.110, dass sich stromab der Abl¨osepunkte A und B sowohl an der Außen- als auch an der Innenwand Rezirkulationsbereiche ausgebildet haben, die einen zus¨atzlichen Energieverlust der Str¨ omung bewirken. Im zweiten Bild der Abbildung 2.110 ist der Druckverlauf im Rohr f¨ ur zwei Stromlinien im Außen- und Innenwandbereich u ¨ber der Stromlinienkoordinate s aufgetragen. Die fallende Gerade zeigt den linearen Druckabfall in einem geraden Rohrst¨ uck an. Die durch Reibung hervorgerufenen Energieverluste der Str¨ omung ¨ außern sich auch ohne Abl¨osung durch einen Druckverlust in Str¨omungsrichtung. Oberhalb der Geraden gibt die durchgezogene Kurve den Druckverlauf einer Stromlinie im Außenwandbereich an, wie er sich ohne Abl¨osung einstellen w¨ urde. Unterhalb der Geraden findet sich die entsprechende Kurve f¨ ur eine Stromlinie im Innenwandbereich. Die Abl¨osung in den Punkten A und B tritt jeweils im Bereich ansteigender Dr¨ ucke auf. Der zus¨atzliche Str¨ omungsverlust durch Abl¨ osung zeigt sich im Diagramm dadurch, dass die gestrichelten Druckverl¨ aufe an der Außen- und Innenwand des Kr¨ ummers unterhalb derjenigen ohne Abl¨ osung verlaufen. Neben der Str¨omungsabl¨ osung tritt im Kr¨ ummer eine Sekund¨ arstr¨ omung auf. Diese wird entsprechend der Abbildung 2.111 der Hauptstr¨omung in Richtung der Stromlinienkoordinate s u ¨berlagert und verursacht Geschwindigkeitskomponenten senkrecht zur Hauptstr¨omung. Ursache dieser Sekund¨ arstr¨ omung ist die Kr¨ ummung des Rohres, sowie die Verz¨ogerung der Str¨ omung durch Reibungskr¨afte an der Wand. Die Geschwindigkeit ist an der Innenseite des Kr¨ ummers gr¨ oßer als an der Außenseite. Das in Wandn¨ahe str¨ omende Fluid hat aufgrund der Reibung eine geringere Geschwindigkeit als das Fluid in der Mitte des Kr¨ ummers. Die Zentrifugalkr¨ afte, die in der Mitte des Kr¨ ummers gr¨oßer sind als an den Seitenw¨ anden, verursachen die Bewegung nach außen. Dies ist aber aus Gr¨ unden der Kontinuit¨ at nur m¨ oglich, wenn an den W¨anden des Kr¨ ummers eine Bewegung in umgekehrter Richtung einsetzt. Es bildet sich folglich ein Doppelwirbel aus, der der Hauptstr¨omung u arwirbel f¨ uhren zu Str¨omungsverlusten. ¨berlagert ist. Auch die Sekund¨ Ein eindrucksvolles Beispiel einer Sekund¨ arstr¨ omung im Kr¨ ummer mit Verzweigungen ist die pulsierende Blutstr¨ omung in der menschlichen Aorta. Wir haben im einf¨ uhrenden

Abb. 2.111: Sekund¨arstr¨omung im gekr¨ ummten Rohr

175

2.4 Technische Str¨ omungen

Kapitel die Str¨omung im menschlichen Herzen eingef¨ uhrt. Die periodische Kontraktion und Relaxation des linken Ventrikels bef¨ ordert das in der Lunge reoxigenierte Blut mit dem u ¨ber einen Herzzyklus erzeugten Druckpuls in den K¨orperkreislauf. Der K¨orperkreislauf beginnt mit der Aorta, die sich in die Kopf-, Bein- und Schl¨ usselbeinarterie aufteilt. Die Reynolds-Zahlen der Blutstr¨ omung in den Arterien liegen zwischen einhundert bis mehreren tausend. Der Str¨ omungspuls des Herzens verursacht in den kleineren Arterien eine periodische laminare Str¨ omung und in den gr¨oßeren Arterien eine transitionelle ¨ Str¨ omung. Der Ubergang zur turbulenten Arterienstr¨omung wird dabei von tempor¨aren Wendepunktprofilen eingeleitet. Deren Instabilit¨aten treten w¨ahrend der instation¨aren R¨ uckstr¨omung in der N¨ ahe der Arterienwand in der Relaxationsphase des Herzens auf. Sie k¨onnen sich jedoch w¨ ahrend eines Herzzyklus zeitlich nicht ausbilden. In der Aorta bilden sich aufgrund der Zentrifugalkraft, wie wir inzwischen wissen, Sekund¨arstr¨omungen aus. Dabei entsteht eine Geschwindigkeitskomponente senkrecht zu den Stromlinien, die eine Zirkulationsstr¨ omung in Richtung der Außenwand verursacht.

t / T0 = 0.33 Sekundärströmung

t / T0 = 0.25

t / T0 = 0.5

Geschwindigkeitsprofile und Momentanstromlinien, Systole

Abb. 2.112: Geschwindigkeitsprofile und Struktur der Sekund¨arstr¨omung in einer menschlichen Aorta, T0 Herzzyklus

176

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

Diese wirkt ebenfalls stabilisierend auf den Transitionsprozess. Die kritische Reynolds-Zahl des zeitlich gemittelten Geschwindigkeitsprofils w¨achst von 2300 f¨ ur das gerade Rohr auf bis zu 6000 des gekr¨ ummten Rohres an. Die Peak-Reynolds-Zahlen stellen sich beim gesunden Menschen so ein, dass die Sekund¨ arstr¨ omung in der Kr¨ ummung des Aortenkanals unter station¨aren Bedingungen das Einsetzen der Turbulenz verhindern. In Wirklichkeit erfolgt die beschriebene instation¨ are transitionelle Str¨omung in der wandnahen Grenzschicht w¨ahrend der Abbremsphase des Pumpzyklus. Die auftretenden Instabilit¨aten wer¨ den nach kurzer Zeit durch die zeitliche Anderung des Geschwindigkeitsprofils ged¨ampft. Der Druckpuls erzeugt in der elastischen Aorta eine Arterienerweiterung von etwa 2 %. Hinzu kommt eine Auslenkung der Aorta, die der Ausbildung der Sekund¨arstr¨omung entgegen wirkt. Die Abbildung 2.112 zeigt das Momentbild der Str¨omung in der Aorta. Zu Beginn der Kontraktionsphase des Herzens erreicht die Str¨ omung an der Innenseite der aufsteigenden Aorta ein Maximum. Nach dem Durchlaufen des Kr¨ ummungs- und Verzweigungsbereiches verlagert sich das Geschwindigkeitsmaximum an die Außenseite des Aortenbogens. Aufgrund der Zentrifugalkraft entstehen zwei Sekund¨arwirbel, die bis in die Relaxationsphase des Herzens bestehen bleiben. Aufgrund des Druckpulses der Blutstr¨omung erfolgt eine radiale Ausweichbewegung der Aorta, die die Amplitude der Sekund¨arstr¨omung abschw¨acht und ein Drehen der Sekund¨ arwirbel in der absteigenden Aorta bewirkt. W¨ahrend der Relaxationsphase des Herzens flachen die tempor¨aren Geschwindigkeitsprofile ab und zeigen in der aufsteigenden Aorta eine erste R¨ uckstr¨omung bis schließlich die Aorta in ihre Ausgangslage zur¨ uckgekehrt ist.

2.4.7

Str¨ omungsmaschinen

Str¨ omungsmaschinen lassen sich in zwei Gruppen von Maschinen einteilen. Die Pumpen und Verdichter geh¨ oren zu der einen, die Turbinen zu der anderen Gruppe. Mit Pumpen bzw. Verdichtern wird dem Fluid Energie zugef¨ uhrt. Turbinen entziehen dem Fluid Energie. In der Literatur werden Pumpen und Verdichter h¨aufig auch als Arbeitsmaschinen und Turbinen als Kraftmaschinen bezeichnet. Die Bauformen der Str¨ omungsmaschinen sind sehr mannigfaltig und es w¨ urde den Rahmen dieser Einf¨ uhrung sprengen, wenn alle Bauformen beschrieben w¨ urden. Dennoch gibt es sowohl f¨ ur die Turbinen als auch f¨ ur die Pumpen und Verdichter zwei wesentlich unterschiedliche Bauformen. Die erste Bauform entspricht der Axialmaschine, die das Gegenteil von der zweiten Bauform der Radialmaschine ist. Beide Bauformen gibt es f¨ ur druckerzeugende Maschinen (Pumpen und Verdichter) sowie f¨ ur Turbinen, in denen der Druck in Str¨omungsrichtung abgebaut wird. In der Abbildung 2.113 sind eine radiale und axiale Pumpe gezeigt. Die radiale Maschine entspricht einer Gliedergeh¨ ausepumpe. Sie wird z.B. in der Kraftwerkstechnik als Kesselspeisepumpe eingesetzt. Radiale Maschinen erzeugen im Vergleich zu den axialen Maschinen einen hohen Druck und setzen vergleichsweise wenig Masse durch. Die axialen Maschinen besitzen einen großen Massenstrom und erzeugen einen im Vergleich zu den radialen Maschinen geringen Druck. In der Abbildung 2.113 ist das axiale Laufrad einer K¨ uhlwasserpumpe gezeigt, die ebenfalls in der Kraftwerkstechnik eingesetzt wird.

177

2.4 Technische Str¨ omungen

Funktionsweise der axialen Str¨ omungsmaschine In der Regel besteht eine Str¨ omungsmaschinenstufe aus einem Laufrad (rotierende Komponente) und einem Leitrad (feststehende Komponente). Bei den druckerzeugenden Str¨omungsmaschinen folgt in Durchstr¨ omungsrichtung das Leitrad dem Laufrad (Abbildung 2.114). In Turbinen ist die Anordnung umgekehrt. Zun¨achst wird die Funktionsweise der Axialpumpe bzw. des Axialverdichters beschrieben. Der Einfachheit halber wird dabei eine inkompressible Str¨ omung vorausgesetzt. In der Abbildung 2.114 sind ein Seitenschnitt durch die Maschine (Meridianschnitt) und die Abwicklung des mittleren koaxialen Schnittes gezeigt. Es wird vorausgesetzt, dass der mittlere koaxiale Schnitt ein Repr¨ asentant der gesamten Stufe ist. Relativ zum Geh¨ause bewegt sich die Str¨ omung mit den Geschwindigkeiten c, die als Absolutgeschwindigkeiten im Str¨omungsmaschinenbau bezeichnet werden. Die Indizes 1, 2 und 3 kennzeichnen die Ebenen vor dem Laufrad, zwischen Lauf- und Leitrad sowie hinter dem Leitrad. Das Laufrad bewegt sich mit der Umfangsgeschwindigkeit U . Relativ zum Laufrad str¨omt das Fluid mit den Geschwindigkeiten w, die als Relativgeschwindigkeiten bezeichnet werRadialmaschine

Axialmaschine

radiales Laufrad

axiales Laufrad

Abb. 2.113: Pumpe mit radialem und axialem Laufrad

178

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

den. Das Laufrad wird also mit der Relativgeschwindigkeit w1 und unter dem Winkel β1 angestr¨omt. Im Laufrad wird die Str¨ omungsrichtung der Relativstr¨omung vom Winkel β1 auf den Winkel β2 umgelenkt und verz¨ ogert, da die axiale Geschwindigkeitskomponente cm der Absolut- und Relativgeschwindigkeit in den Ebenen 1, 2 und 3 gleich ist. Die axiale Geschwindigkeitskomponente, die als Meridiangeschwindigkeit bezeichnet wird, bestimmt den Massenstrom durch die Maschine. Durch die Verz¨ogerung der Relativgeschwindigkeit im Laufrad von w1 auf w2 wird ein Druckanstieg in dem Fluid bewirkt. Hinter dem Laufrad besitzt die Absolutstr¨omung eine Umfangskomponente (Drall). Im nachfolgenden feststehenden Leitrad wird die Absolutstr¨omung in axiale Richtung umgelenkt und dabei verz¨ogert. Die Verz¨ogerung bewirkt einen weiteren Druckanstieg des Fluids. Der gesamte Druckanstieg in einer Stufe der Axialpumpe bzw. des Axialverdichters wird also durch die Verz¨ogerung der Relativstr¨omung im Laufrad und der Absolutgeschwindigkeit im Leitrad bewirkt. Es gibt noch eine Vielzahl von Besonderheiten der Axialmaschine, die bei der Auslegung der Maschine ber¨ ucksichtigt werden m¨ ussen. Das wesentliche Funktionsmerkmal der Axialmaschine ist jedoch das Verz¨ ogern der Relativgeschwindigkeit im Laufrad und der Absolutgeschwindigkeit im Leitrad. Im Gegensatz zur Axialmaschine wird in der Radialmaschine der Druckanstieg vornehmlich durch ein anderes Funktionsprinzip bewirkt, das nachfolgend beschrieben wird. Funktionsweise der radialen Str¨ omungsmaschine In der Radialmaschine str¨ omt das Fluid vornehmlich in radialer Richtung. Infolge des Radienwechsels nimmt die Umfangsgeschwindigkeit vom Eintritt zum Austritt zu. Um die Funktionsweise der Radialmaschine zu verstehen, werden die Kr¨afte betrachtet, die auf ein Fluidelement in Str¨ omungsrichtung wirken. In Abbildung 2.115 sind diese Kr¨afte an einem Fluidelement dargestellt. F¨ ur die Diskussion dieser Str¨ omung ist nicht die Geschwindigkeit c der Absolutstr¨omung (Str¨omung relativ zum Geh¨ ause), sondern die Relativgeschwindigkeit w in Bezug auf das Laufrad von Interesse. Wir wollen zun¨ achst nur das Wesentliche der Laufradstr¨omung

Abb. 2.114: Stufe einer Axialmaschine mit Abwicklung eines koaxialen Schnittes

2.4 Technische Str¨ omungen

179

verstehen und betrachten dazu ein Fluidelement auf einer Stromlinie der Relativstr¨omung vom Eintritt bis zum Austritt eines Schaufelkanals. Auf das Fluidelement wirken die folgenden Kr¨ afte: • Tr¨ agheitskraft dm · w · dw/ds infolge der Beschleunigung in Richtung des Stromfadens (nicht eingezeichnet). • Druckkr¨ afte infolge des Druckgradienten entlang bzw. senkrecht zum Stromfaden. Es sind nur die Druckkr¨ afte eingezeichnet, die in Str¨omungsrichtung wirken. • Zentrifugalkraft dFZ = dm · r · ω 2 infolge der Rotation der gesamten Str¨omung um die Drehachse des Laufrades. ummung der Stromlinie. • Zentrifugalkraft dFZ infolge der Kr¨ • Corioliskraft dFC infolge der Relativgeschwindigkeit des Teilchens und der Rotation der gesamten Str¨ omung um die Drehachse des Laufrades. ¨ • Reibungskr¨ afte, die wegen der Ubersichtlichkeit nicht eingezeichnet sind. Aufgrund der Rotation des Kanals wirken auf das Fluidelement die Zentrifugalkraft dFZ und die Corioliskraft dFC . Wenn wir uns zun¨ achst auf eine reibungslose Str¨omung beschr¨anken, dann k¨onnen wir gem¨aß der eingezeichneten Kr¨ afte die Bernoulligleichung im rotierenden System herleiten. Gem¨aß eines Kr¨ aftegleichgewichtes in Str¨ omungsrichtung erhalten wir die folgende Euler-Gleichung: −dm · w ·

dw + p · A − (p + dp) · A + dm · ω 2 · r · cos(ϕ) = 0 . ds

Abb. 2.115: Kr¨afte auf Fluidteilchen im Radiallaufrad

(2.158)

180

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

Mit dm = ρ · A · ds und cos(ϕ) = dr/ds sowie der Integration der Gleichung (2.158) vom Eintritt bis zum Austritt, erhalten wir die Bernoulligleichung f¨ ur die Relativstr¨omung. dm steht f¨ ur die Masse des Teilchens, A steht f¨ ur die Querschnittsfl¨ache des Fluidelements. Sie lautet: ρ ρ (2.159) − · (w22 − w12 ) − (p2 − p1 ) + · ω 2 · (r22 − r12 ) = 0 . 2 2 Wenn wir Gleichung (2.159) umformen und dabei ber¨ ucksichtigen, dass U2 = ω · r2 und U1 = ω · r1 gilt, erhalten wir die endg¨ ultige Gleichung p2 − p 1 =

ρ ρ · (U22 − U12 ) − · (w22 − w12 ) 2 2

.

(2.160)

Die Str¨omung erf¨ahrt im Pumpenrad einen Druckanstieg, da U2 gr¨oßer als U1 ist. Die Relativstr¨omung wird in dem Schaufelkanal vom Eintrittswinkel β1 auf den Austrittswinkel β2 umgelenkt, wobei sich die Str¨ omungsgeschwindigkeit w kaum ¨andert. Der Druckanstieg wird also vornehmlich durch den Unterschied der Umfangsgeschwindigkeiten U1 und U2 bewirkt und weniger durch die Verz¨ ogerung der Relativgeschwindigkeit, wie es bei der Axialmaschine der Fall ist. Eulersche Turbinengleichung Die Eulersche Turbinengleichung ist die fundamentale Gleichung des Str¨omungsmaschinenbaus, die wir nachfolgend herleiten. Sie basiert auf dem Drehimpulssatz, der in Kapitel 2.4.3 dieses Buches eingef¨ uhrt wurde. Wir wenden den Drehimpulssatz   a=0 ,  I+ M M

 I = − ρ · (r × v ) · (v · n  ) · dA M A

Abb. 2.116: Gr¨oßen am Radiallaufrad

181

2.4 Technische Str¨ omungen

auf das in Abbildung 2.116 gezeigte radiale Laufrad an, so dass gilt:   I| +  a | = MI,1 + MI,2 + MS . 0 = |M |M

(2.161)

Die am Eintritt und Austritt auf die Kontrollfl¨ache wirkenden Druckkr¨afte sind radial gerichtet und verursachen kein Moment. MS entspricht deshalb dem Antriebsmoment mit entgegengesetztem Vorzeichen, also MS = −MAntrieb

.

F¨ ur die Impulsmonente MI,1 und MI,2 am Eintritt bzw. Austritt gilt: MI,1 = −ρ · cm1 · A1 · r1 · cu1 , MI,2 = ρ · cm2 · A2 · r2 · cu2 . MS , MI,1 und MI,2 eingesetzt in Gleichung (2.161) ergibt: −MAntrieb − ρ · cm1 · A1 · r1 · cu1 + ρ · cm2 · A2 · r2 · cu2 = 0 . Ber¨ ucksichtigen wir weiterhin die Kontinuit¨ atsgleichung m ˙ = ρ · cm1 · A1 = ρ · cm2 · A2

,

mit dem Massenstrom m ˙ durch das Laufrad, erhalten wir die Eulersche Turbinengleichung: MAntrieb = m ˙ · (r2 · cu2 − r1 · cu1 )

.

(2.162)

F¨ ur die Antriebsleistung L des Laufrades gilt: L = MAntrieb · ω = ω · m ˙ · (r2 · cu2 − r1 · cu1 ) bzw. L=m ˙ · (U2 · cu2 − U1 · cu1 )

.

Die pro Masseneinheit abgegebene Arbeit, die im Str¨omungsmaschinenbau auch als spezifische Arbeit Δa = Δl/ρ bezeichnet wird, berechnet sich mit Δa =

L = U2 · cu2 − U1 · cu1 m ˙

.

(2.163)

Die Herleitung der Gleichung (2.163) wurde am Beispiel einer Radialmaschine durchgef¨ uhrt. Die Gleichung ist jedoch allgemeing¨ ultig f¨ ur die getroffenen Vereinfachungen und gilt daher sowohl f¨ ur Radial- als auch f¨ ur Axialmaschinen. F¨ ur Axialmaschinen gilt allerdings U1 = U2 = U , so dass die spezifische Arbeit auf einem koaxialen Schnitt einer Axialmaschinenbeschaufelung nur durch den Unterschied ¨ der Umfangskomponenten, d. h. durch die Anderung der Relativgeschwindigkeit w1 zu w2 bewirkt wird. F¨ ur den Fall einer axialen Str¨ omungsmaschine erscheint in Gleichung (2.163) demnach nur noch die Umfangskomponente des betrachteten koaxialen Schnitts und die spezifische Arbeit f¨ ur axiale Str¨ omungsmaschinen kann wie folgt formuliert werden:

182

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

Δaaxial = U · (cu2 − cu1 )

.

Der Unterschied zwischen Radial- und Axialmaschinen wird auch durch die Gleichung (2.160) deutlich, die aus der Kr¨ aftebilanz im rotierenden System resultiert. Es ist ersichtlich, dass f¨ ur eine Umfangsgeschwindigkeit eines gew¨ahlten koaxialen Schnitts einer Axialmaschine, der Druck nur durch Verz¨ ogerung der Relativgeschwindigkeit erzeugt wird. In Radialmaschinen wird der Unterschied der Umfangsgeschwindigkeiten ausgenutzt und die spezifische Arbeit errechnet sich zu: Δaradial = U2 · cu2 − U1 · cu1

.

Die Eulersche Gleichung kann sowohl f¨ ur Pumpen bzw. Verdichter (Arbeitsmaschinen), als auch f¨ ur Turbinen (Kraftmaschinen) verwendet werden. Bei der Herleitung der Eulerschen Gleichung wurde gefordert, dass die an Ein- und Austritt wirkenden Kr¨afte radial ausgerichtet sind und kein zus¨atzliches Moment verursachen. Dies ¨ ist in manchen Betriebszust¨ anden nicht gegeben. Tritt starke Teillast oder Uberlast ein, k¨onnen sich Wirbelsysteme an den Schaufeln ausbilden, die nicht vernachl¨assigbare Schubspannungen auf den Kontrollraumfl¨ achen hervorrufen. Die resultierenden Kr¨afte stehen in diesen F¨allen nicht senkrecht auf der Kontrollraumfl¨ache und die Eulersche Gleichung verliert ihre G¨ ultigkeit. Streng genommen w¨ urde die Eulersche Gleichung nur dann G¨ ultigkeit besitzen, wenn die Stromlinien an Ein- und Austritt kongruent zu den Schaufeln verlaufen w¨ urden, d. h. wenn unendlich viele, unendlich d¨ unne Schaufeln vorhanden w¨aren. Weiterhin wurden Reibungskr¨ afte an der benetzten Laufradoberfl¨ache sowie der Einfluss der Erdbeschleunigung vernachl¨ assigt. Transiente Effekte blieben ebenfalls unber¨ ucksichtigt, vgl. Gleichung (2.161). Zur Ber¨ ucksichtigung kompressibler Effekte m¨ usste die an Ein- und Austritt voneinander abweichende Dichte bekannt sein und entsprechend ber¨ ucksichtigt werden. Da dies gem¨ aß Gleichung (2.162) nicht der Fall ist, ist die uns bekannte Form der Eulerschen Gleichung nur f¨ ur inkompressible Str¨omungen g¨ ultig. Verschiedene halbempirische Ans¨ atze erm¨ oglichen die Verwendung der Eulerschen Gleichung, wenn die oben genannten Vereinfachungen nicht oder nur teilweise getroffen werden k¨onnen. Insbesondere die Notwendigkeit einer begrenzten Anzahl an Schaufeln, sowie die Verwendung eines reibungsbehafteten Fluids wurden durch solche Ans¨atze in die analytische Berechnung der spezifischen Arbeit einer Str¨omungsmaschine eingearbeitet. Liegt eine begrenzte Anzahl an Laufradschaufeln vor, d. h. sind die Stromlinien im Schaufelkanal nicht zwingend kongruent, so bildet sich ein relativer Kanalwirbel aus. In Abbildung 2.117 ist dies am Beispiel einer Arbeitsmaschine schematisch dargestellt. Durch die zus¨atzliche Relativbewegung verschiebt sich die Geschwindigkeit w2 zur Geschwindigkeit w2 , wodurch eine Verminderung der theoretisch m¨oglichen Leistung eintritt. Diese wird durch den so genannten Minderleistungsfaktor p ber¨ ucksichtigt. Der Minderleistungsfaktor war zentraler Gegenstand vieler Untersuchungen, die verschiedene Modellvorstellungen und Berechnungsmethoden hervorbrachten. Eine detaillierte Beschreibung dieser Methoden w¨ urde den Rahmen dieser Einf¨ uhrung u ¨berschreiten. Zum weiteren Studium der Minderleistungstheorie wird u. a. auf die Werke von C. Pfleiderer, H. Petermann 2005 oder J.F. G¨ ulich 2010 verwiesen.

183

2.4 Technische Str¨ omungen

Abb. 2.117: relativer Kanalwirbel Die Reibungsverluste, die in den Schaufelkan¨ alen auftreten, werden in der Praxis durch den hydraulischen Wirkungsgrad η der Maschine ber¨ ucksichtigt. Dieser kann zum Beispiel nach Methoden von J.F. G¨ ulich 2010 abgesch¨ atzt werden. Durch die Einf¨ uhrung des Minderleistungsfaktors p und des Wirkungsgrades η kann man die Abweichung der theoretischen spezifischen Arbeit von der realen spezifischen Arbeit ber¨ ucksichtigen, wenn man weiterhin davon ausgehen kann, dass die Erdbeschleunigung nur von geringem Einfluss ist und dass eine inkompressible und station¨are Str¨omung in der Maschine vorliegt. Je nachdem, ob es sich bei der Maschine um eine Arbeitsmaschine oder eine Kraftmaschine handelt, werden Minderleistungsfaktor und Wirkungsgrad unterschiedlich ber¨ ucksichtigt. F¨ ur die Arbeitsmaschine gilt ΔaAM =

ΔaAM,theoret. · (1 + p) η

und f¨ ur die Kraftmaschine ΔaKM =

ΔaKM,theoret. · η (1 + p)

.

Auswahl der Bauform mit der spezifischen Drehzahl ns Neben dem Radial- und Axiallaufrad gibt es noch zus¨atzlich das halbaxiale Laufrad. Diese Laufradform entspricht einer Kombination aus der radialen und axialen Bauform. Es ist in Abbildung 2.118 zusammen mit dem radialen und axialen Laufrad dargestellt. Die spezifische Drehzahl, die nachfolgend hergeleitet wird, bestimmt die Form des Laufrades. Zur Herleitung der spezifischen Drehzahl wird ein spezielles Laufrad betrachtet, das f¨ ur den Volumenstrom V˙ und f¨ ur die F¨ orderh¨ ohe H ausgelegt ist und das mit der Drehzahl n arbeitet. Nachfolgend wird davon ausgegangen, dass das Laufrad drallfrei angestr¨omt omungsverluste im Laufrad unabh¨angig von V˙ , Δa = g ·H wird (also cu,1 = 0), dass die Str¨

184

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

und n sind und, dass der Abstr¨ omungswinkel β2 hinter dem Laufrad konstant ist. V˙ , H und n stehen f¨ ur den Volumenstrom, die F¨ orderh¨ohe bzw. die Drehzahl des Laufrades. Gem¨aß der Gleichung (2.163) ist die spezifische Arbeit Δa und damit auch H proportional dem Quadrat der Umfangsgeschwindigkeit U2 . Mit der Vergr¨oßerung von U2 vergr¨oßert sich gem¨aß ¨ahnlicher Geschwindigkeitsdreiecke auch cu,2 . Es gilt: Δa = g · H ∼ U22 ∼ (n · D2 )2 √ H D2 ∼ . n

, (2.164)

Wird nun die Drehzahl des Laufrades von der Auslegungsdrehzahl n auf die Drehzahl n1 ge¨ andert, so gilt gem¨ aß der Beziehung (2.164): √ √ √ H H1 H1 =⇒ n1 = n · √ = . (2.165) n n1 H ur die F¨orderh¨ ohe, die sich bei der Drehzahl n1 einstellt. H1 steht f¨ F¨ ur die Herleitung der Gleichung zur Berechnung der spezifischen Drehzahl wird neben der Gleichung (2.165) eine weitere Gleichung f¨ ur den Volumenstrom ben¨otigt. Dazu gilt: V˙ ∼ D02 · cm,1 ∼ D02 · D0 · n ∼ D23 · n . Unter Ausnutzung der Gleichung (2.164) folgt weiter: √ V˙ H 3 ˙ =⇒ D22 ∼ √ V ∼ D2 · D2 H bzw. √ H1 V˙ 1 V˙ ˙ ˙ √ =√ =⇒ V1 = V · √ H1 H H

.

(2.166)

V˙ 1 und H1 stehen f¨ ur den Volumenstrom bzw. die F¨orderh¨ohe, die sich beim Drehzahlwechsel von n auf n1 einstellen.

Abb. 2.118: Radiales, halbaxiales und axiales Laufrad

185

2.4 Technische Str¨ omungen

Unter der spezifischen Drehzahl ns versteht man die Drehzahl, bei der eine Laufradform (radiale, halbaxiale bzw. axiale Form) einen Volumenstrom von 1 m3 /s f¨ordert und eine F¨orderh¨ohe von 1 m erzeugt. Die absolute Gr¨ oße des Laufrades ist f¨ ur diese Definition nicht entscheidend. Dabei interessiert nicht, ob das Laufrad einen Durchmesser von 10 cm oder 1 m besitzt sondern die Laufradform. Es werden also geometrisch ¨ahnliche Laufr¨ader vorausgesetzt. Zur Berechnung der spezifischen Drehzahl ns • wird zuerst die Drehzahl von n ge¨ andert, so dass das Laufrad eine F¨orderh¨ohe von H1 = 1 m erzeugt (s. Gleichung (2.165)). ¨ • Danach wird das Laufrad unter Beibehaltung der geometrischen Ahnlichkeit und der F¨orderh¨ohe H1 = 1 m verkleinert bzw. vergr¨oßert, so dass es einen Volumenstrom von 1 m3 /s f¨ordert. Der erste Schritt ist mit Gleichung (2.165) und (2.166) beschrieben. Wenn wir die Einheiten f¨ ur die F¨orderh¨ ohen und Volumenstr¨ ome vernachl¨assigen gilt: n n1 = √ H

,

V˙ V˙ 1 = √ H

.

(2.167)

Beim Durchf¨ uhren des zweiten Schrittes muss ber¨ ucksichtigt werden, dass sich die Abmaße (z. B. die Durchmesser) quadratisch mit dem Volumenstrom a¨ndern. Zus¨atzlich m¨ ussen die Geschwindigkeitsdreiecke erhalten bleiben, d.h. bei der Verkleinerung bzw. Vergr¨oßerung muss die Drehzahl entsprechend vergr¨oßert bzw. verkleinert werden, damit sich die Umfangsgeschwindigkeiten nicht a ¨ndern. Es gilt deshalb: n2 V˙1 D2 = 22 = s2 1 Ds n1

(2.168)

bzw. mit den Gleichungen (2.167)  n ns = n1 · V˙ 1 = √ · H



V˙ √ H

=⇒

ns = n ·

 V˙ 3

H4

.

(2.169)

In die Gleichung (2.169) werden der Volumenstrom, die F¨orderh¨ohe und die Drehzahl mit uglich der den Einheiten m3 /s, m bzw. 1/min eingesetzt. Zus¨atzliche Informationen bez¨ Verwendung von unterschiedlichen Einheiten sowie anders formulierter Radformkennzahlen findet man bei C. Pfleiderer, H. Petermann 2005. In Abbildung 2.119 ist der zu erwartende Wirkungsgrad η einer Laufradform in Abh¨angigkeit von der spezifischen Drehzahl ns und dem Volumenstrom V˙ dargestellt. Zus¨atzlich sind die Bereiche f¨ ur radiales, halbaxiales und axiales Laufrad gekennzeichnet. ¨ Die Uberg¨ ange sind fließend. Bei der Auslegung eines Laufrades sind in der Regel die Gr¨oßen Volumenstrom V˙ , F¨ orderh¨ ohe H und die Drehzahl n vorgegeben. Der Ingenieur berechnet mit den zuletzt genannten Gr¨ oßen die spezifische Drehzahl und erh¨alt damit bereits einen Eindruck von der Laufradform. Zus¨atzlich kann er mit der Abbildung 2.119 den Wirkungsgrad der Maschine absch¨ atzen.

186

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

Abb. 2.119: Wirkungsgrad η in Abh¨ angigkeit der spezifischen Drehzahl ns und des Volumenstroms V˙ Um die Kennlinie einer Str¨ omungsmaschine zu erhalten, wird die F¨orderh¨ohe H in Abh¨angigkeit des Volumenstromes V˙ f¨ ur eine konstante Drehzahl n aufgetragen. Durch die Variation der Drehzahl erh¨ alt man das Kennfeld der Maschine. In Abbildung 2.120 ist ein solches Kennfeld schematisch dargestellt. Zus¨atzlich sind dort die Linien konstanten Wirkungsgrades η eingetragen. Zur Auslegung einer kompletten Anlage, tr¨agt man in dieses Kennfeld die sogenannte Anlagenkennlinie ein. Die Schnittpunkte zwischen der Anlagenkennlinie und den Kennlinien der Str¨ omungsmaschine ergeben die m¨oglichen Betriebspunkte der Anlage.

H

η = konst.

n

. V

Abb. 2.120: Str¨omungsmaschine

Kennfeld

einer

187

2.5 Aerodynamik des Flugzeuges

2.5

Aerodynamik des Flugzeuges

Ziel der Aerodynamik ist es, die Kr¨ afte und Momente umstr¨omter K¨orper vorherzusagen. Bewegt sich ein Flugzeug mit konstanter Geschwindigkeit u∞ , so erf¨ahrt es die resultierende Luftkraft F R (Abbildung 2.121). Die Komponente dieser Kraft in Anstr¨omrichtung ist der Widerstand F W , die Komponente senkrecht dazu der Auftrieb F A . Die Neigung der Resultierenden F R zur Anstr¨ omrichtung und damit das Verh¨altnis von Auftrieb zu Widerstand h¨angen im Wesentlichen von der geometrischen Form des Tragfl¨ ugels und der unscht. F¨ ur den Anstr¨omrichtung ab. Ein großer Wert des Verh¨altnisses FA /FW ist erw¨ station¨aren Gleitflug eines Segelflugzeuges muss die resultierende Luftkraft FR entgegengesetzt gleich dem Gewicht G sein. Damit ergibt sich f¨ ur den Gleitwinkel α die Beziehung: tan(α) =

FW FA

.

(2.170)

Der mit dem Winkel φ gepfeilte Fl¨ ugel der Spannweite S eines Verkehrsflugzeuges ist in Abbildung 2.121 skizziert. Die jeweiligen senkrechten Schnitte der Tiefe L durch den Fl¨ ugel werden Profile genannt. Die Skelettlinie, der Mittelwert des Abstandes zwischen Oberund Unterseite des Fl¨ ugels, ist eine ausgezeichnete Profillinie, die bei der Beschreibung der reibungsfreien Theorie in Kapitel 4.1.2 ben¨otigt wird. Die Anstellung des Profils zur ungest¨orten Anstr¨ omung u∞ wird mit α bezeichnet. Die aerodynamischen Kr¨afte Auftrieb F A , Widerstand F W sowie die Resultierende F R werden von der Druckverteilung und der Verteilung der Wandschubspannungen auf den Fl¨ ugeloberfl¨achen verursacht. Zus¨atzlich wird ein Moment M erzeugt, das f¨ ur die Fl¨ ugeldrehung verantwortlich ist. Die dimensionslosen Beiwerte sind: ca =

FA 1 · ρ∞ · u2∞ · A 2

,

cw =

FW 1 · ρ∞ · u2∞ · A 2

,

cm =

M 1 · ρ∞ · u2∞ · A · L 2

, (2.171)

mit der Fl¨ ugelfl¨ache A und der Profiltiefe L. Der Druck- und Reibungsbeiwert ergeben sich zu: cp =

p − p∞ 1 · ρ∞ · u2∞ 2

,

cf =

τw 1 · ρ∞ · u2∞ 2

Abb. 2.121: Prinzipskizze eines Tragfl¨ ugels und Profils

,

(2.172)

188

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

mit dem Druck der ungest¨ orten Anstr¨ omung p∞ . Alle Beiwerte sind Funktionen der Anstr¨omgeschwindigkeit u∞ , der Reynolds-Zahl ReL , des Anstellwinkels α und des Pfeilwinkels φ. 2.5.1

Profilstr¨ omung

Typische Profile der inkompressiblen Unterschallstr¨omung sind in Abbildung 2.122 skizziert. Das Vogelprofil ist auf der Ober- und Unterseite stark gew¨olbt, um auch bei extremen Fluglagen den erforderlichen Auftrieb zu erzeugen. Das aufgedickte Unterschallprofil eines Flugzeuges mit der Dicke d/L = 13 % (G¨ ottinger Profil 298) besitzt einen gr¨oßeren Auftriebsbeiwert ca bei geringerem Widerstandsbeiwert als das Vogelprofil. Verkehrsflugzeuge fliegen im transsonischen Unterschall bei der Mach-Zahl M∞ = 0.8 bis 0.85 mit sogenannten superkritischen Profilen. Die superkritischen Profile f¨ ur die transsonische Anstr¨omung ¨ sind entsprechend der Abbildung 2.122 schlanker, damit sich auf dem Profil der Ubergang ¨ in die Uberschallstr¨ omung m¨ oglichst weit stromab vollzieht. Die unterschiedlichen Str¨ omungsbereiche sind in Abbildung 2.123 f¨ ur transsonische Unter¨ und Uberschall-Mach-Zahlen dargestellt. Von transsonischen Unterschall-Mach-Zahlen ¨ spricht man, wenn wie im ersten Bild die Beschleunigung auf dem Profil in den Uberschall ¨ f¨ uhrt. Dabei wird das Uberschallgebiet von einem Verdichtungsstoß abgeschlossen, der einen zus¨atzlichen Druckwiderstand cs zur Folge hat, den man Wellenwiderstand nennt. Die Verdichtungsst¨oße sind in Abbildung 2.123 fett eingetragen und die Schalllinien M = 1 gestrichelt gekennzeichnet. Die Verz¨ ogerung der Str¨omung auf dem Profil verursacht einen Druckanstieg bis zur Hinterkante. Dort stellt sich ein Druck ein, der geringf¨ ugig u ¨ber dem Druck der ungest¨orten Anstr¨ omung ist. Erh¨oht man die transsonische Anstr¨ om-Mach-Zahl auf Werte gr¨oßer als 0.85 erstreckt sich ¨ im zweiten Bild der Uberschallbereich u ¨ber die gesamte Oberseite des Profils. Der Verdichtungsstoß wandert bis zur Hinterkante, w¨ ahrend sich auf der Unterseite ebenfalls ein ¨ lokales Uberschallgebiet mit Verdichtungsstoß einstellt. Der Stoß an der Hinterkante sorgt f¨ ur den erforderlichen Druckanstieg, der in den Druck der Nachlaufstr¨omung u uhrt. ¨berf¨ Der Grenzfall der Anstr¨ omung mit der Mach-Zahl M∞ = 1 ist im dritten Bild der Abbildung 2.123 skizziert. Die Verdichtungsst¨ oße auf der Ober- und Unterseite des Profils sind

Abb. 2.122: Charakteristische Profilformen

2.5 Aerodynamik des Flugzeuges

189

Abb. 2.123: Mach-Zahlverteilung der transsonischen Profilumstr¨omung

bis in den Nachlauf gewandert und verzweigen sich an der Hinterkante zu zwei schiefen und einem senkrechten Verdichtungsstoß im Nachlauf. Die Schalllinie erstreckt sich u ¨ber ¨ das ganze Stromfeld und nahezu das gesamte Profil wird von einer Uberschallstr¨ omung umstr¨omt. Ist die Anstr¨ om-Mach-Zahl geringf¨ ugig gr¨oßer als 1, bildet sich eine abgel¨oste Kopfwelle weit vor dem Profil aus. ¨ F¨ ur die Uberschall-Anstr¨ omung M∞ ≥ 1 verringert sich der Kopfwellenabstand. Es entsteht ein Unterschallgebiet zwischen Stoß und Profil. Die schiefen Verdichtungsst¨oße wandern aus der Nachlaufstr¨ omung an die Profilhinterkante. Erh¨oht man die Anstr¨om-Mach¨ Zahlen weiter, stellen sich an der scharfen Vorderkante der Uberschallprofile anliegende schiefe Verdichtungsst¨ oße entsprechend denen an der Hinterkante ein. In Abbildung 2.124 ist die Abh¨ angigkeit des Auftriebs- und Widerstandsbeiwertes von der Mach-Zahl f¨ ur ein vorgegebenes Profil skizziert. Bei Unterschall-Mach-Zahlen steigt der

Abb. 2.124: Auftriebsbeiwert ca und Widerstandsbeiwert cw in Abh¨angigkeit der Anstr¨om-Mach-Zahl M∞

190

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

Auftriebsbeiwert mit wachsender Mach-Zahl an: ca = 

2·π 2 1 − M∞

,

M∞ < 1 .

(2.173)

Dazu geh¨ort der mit der in Kapitel 4.1.2 zu behandelnden linearen Theorie berechnete Druckbeiwert des Profils: cp0 , cp =  2 1 − M∞ wobei cp0 der Druckbeiwert der inkompressiblen Str¨omung ist. ¨ Eine Abnahme des Auftriebsbeiwertes berechnet sich mit der linearen Uberschall-Theorie: ca = 

4 2 −1 M∞

,

M∞ > 1 .

(2.174)

Im transsonischen Unterschallbereich durchl¨ auft der Auftriebsbeiwert ein Maximum. Der ¨ Einbruch des Auftriebsbeiwertes erkl¨ art sich mit dem Auftreten des Uberschallbereichs und des zweiten Verdichtungsstoßes auf der Unterseite des Profils. Die Mach-ZahlVerteilung der Abbildung 2.123 deutet an, dass sich dadurch der Auftrieb drastisch verringert, um f¨ ur Mach-Zahlen gr¨ oßer als 0.9 wieder anzusteigen. Der erneute Anstieg des Auftriebsbeiwertes tritt dann ein, wenn die Verdichtungsst¨oße vom Nachlauf an die Hinterkante des Profils gewandert sind und sich aufgrund des geringen Stoßwinkels abschw¨achen. Erst mit dem Auftreten der Kopfwelle und dem Unterschallgebiet zwischen Verdichtungs¨ stoß und Profil nimmt der Auftriebsbeiwert im Uberschall wieder ab. F¨ ur die Auslegung des Profils eines Verkehrsflugzeuges wird man die Flug-Mach-Zahl im transsonischen Unterschall in der Umgebung des Maximums von etwa 0.8 − 0.85 w¨ahlen. alt sich analog zum Auftriebsbeiwert ca , lediglich das Der Widerstandsbeiwert cw verh¨ zweite Maximum bei transsonischen Unterschall-Mach-Zahlen tritt nicht auf. Bis zum ¨ Auftreten der Uberschallgebiete auf der Oberseite des Profils bleibt der Widerstandsbeiwert mit zunehmender Anstr¨ om-Mach-Zahl nahezu konstant. Mit dem Auftreten des

Abb. 2.125: Druckverteilung cp eines superkritischen Profils

191

2.5 Aerodynamik des Flugzeuges

Verdichtungsstoßes auf der Unterseite des Profils nimmt der Widerstandsbeiwert erheblich zu. Bis zum Erreichen des Widerstands-Maximums bei der Mach-Zahl M∞ = 1 k¨onnen ¨ in den Uberschallgebieten lokale Mach-Zahlen bis zu M = 2 erreicht werden. Die Verdichtungsst¨oße auf dem Profil werden so stark, dass der Druckanstieg Str¨omungsabl¨osung verursacht und dadurch der Widerstand zus¨ atzlich vergr¨oßert wird. Dies f¨ uhrt zur Auslegung superkritischer Profile (Abbildung 2.125) mit dem Ziel, die transsonische Flug-Mach-Zahl bei m¨ oglichst geringem Widerstand zu erh¨ohen. Dabei liegt das ¨ Dickenmaximum des Profils nahe der Vorderkante und das ausgedehnte Uberschallgebiet auf dem Profil wird mit einem schwachen Verdichtungsstoß m¨oglichst weit stromab abgeschlossen. Gegen¨ uber herk¨ ommlichen transsonischen Profilen wird die Saugspitze im vorderen Bereich des Profils vermieden. Die Abh¨angigkeit des Auftriebsbeiwertes ca vom Anstellwinkel α ist in Abbildung 2.126 f¨ ur ein vorgegebenes Unterschall-Profil dargestellt. Der Auftrieb w¨achst mit steigendem Anstellwinkel zun¨achst linear an, solange die Str¨ omung anliegt. Auch f¨ ur den Anstellwinkel α = 0◦ erh¨alt man aufgrund der Unsymmetrie des Profils einen positiven Auftriebsbeiwert. Der Auftriebsbeiwert durchl¨ auft bei einem kritischen Anstellwinkel αkrit ein Maximum und f¨allt f¨ ur gr¨oßere Anstellwinkel stark ab. Die Momentaufnahme der Str¨ omung zeigt in Abbildung 2.126, dass dann die Str¨omung auf der gesamten Oberseite des Profils instation¨ar abl¨ost. Mit dem Zusammenbruch des Auftriebsbeiwertes geht ein Anwachsen des Profilwiderstandes einher. Um mit einem Tragfl¨ ugel starten und landen zu k¨onnen, wird bei verringerter Geschwindigkeit mit Vorder- und Hinterklappen die Fl¨ ugelfl¨ache vergr¨oßert. Dies f¨ uhrt zu der in Abbildung 2.126 gestrichelten Auftriebskurve, die zu h¨oheren Auftriebswerten f¨ uhrt.

Ablösung

anliegende Strömung

Abb. 2.126: Auftriebsbeiwert Anstellwinkels α

ca

und

Str¨omungsbilder

in

Abh¨angigkeit

des

192

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

Abb. 2.127: Auftriebsbeiwert ca und Widerstandsbeiwert cw in Abh¨angigkeit des Anstellwinkels α und Konstruktion des Polarendiagramms

Ein f¨ ur die Auslegung von Profilen wichtiges Diagramm ist das Polarendiagramm . Dabei ur unterschiedliche Anwird der Auftriebsbeiwert ca u ¨ber dem Widerstandsbeiwert cw f¨ stellwinkel α aufgetragen. Man spricht von einer Polaren, da man der Abbildung 2.127 direkt die am Profil wirkenden Kr¨ afte entnehmen kann. Der Vektor vom Ursprung zu

Abb. 2.128: Druckverteilungen der reibungsfreien und reibungsbehafteten Profilumstr¨ omung

2.5 Aerodynamik des Flugzeuges

193

einem Punkt der Polaren zeigt die resultierende Kraft R an. F¨ ur das superkritische Profil der Abbildung 2.125 ist der Anstieg des Auftriebsbeiwertes mit wachsendem Anstellwinkel ur einen groß, der Maximalwert von ca verglichen mit Unterschall-Profilen jedoch gering. F¨ großen Bereich des Anstellwinkels bleibt der Widerstandsbeiwert gering. Die Auslegung bei der Anstr¨om-Mach-Zahl M∞ = 0.76 ergibt einen Auftriebsbeiwert von ca = 0.57. Die Abbildung 2.127 zeigt die Prinzipskizze der Abh¨angigkeit des Auftriebs- ca und Widerstandbeiwertes cw vom Anstellwinkel α und wie sich daraus das Polarendiagramm konstruieren l¨asst. Das kleinste und damit g¨ unstigste Verh¨altnis von ca /cw markiert die ¨ Tangente des Polarendiagramms. Nach Uberschreiten von ca,max nimmt ca mit zunehmendem α bzw. cw wieder ab. Um den Einfluss der Reibung bei der Profilumstr¨omung analysieren zu k¨onnen, sind in Abbildung 2.128 die Druckverteilungen unterschiedlicher Abl¨oseformen f¨ ur die reibungsfreie und reibungsbehaftete Str¨ omung f¨ ur ein angestelltes Unterschall-Profil dargestellt. Solange die Grenzschichtstr¨ omung am Profil anliegt, wird aufgrund der Verdr¨angungswirkung des reibungsbehafteten Anteils der Druckverteilung der Druck erh¨oht. Kommt es zur Str¨omungsabl¨osung bildet sich auf dem Profil ein zeitlich gemitteltes R¨ uckstr¨omgebiet mit konstantem Druck aus. Der Auftrieb wird dadurch verringert. Beginnt die Abl¨osung bereits an der Vorderkante, kann es auf dem Profil zum Wiederanlegen der Str¨omung kommen, so dass der Bereich konstanten Drucks im Gebiet der Saugspitze des Profils liegt und der Auftrieb demzufolge zusammenbricht. Die Str¨omung ist dann durch den grauen reibungsbehafteten Teil der Druckverteilung bestimmt, so dass sich die in Kapitel 4.1.2 zu behandelnde Theorie der reibungsfreien Profilumstr¨omung auf den Bereich der reibungsfreien Außenstr¨ omung der anliegenden Profilgrenzschicht beschr¨ankt.

Abb. 2.129: Randwirbel eines endlichen Trag߬ ugels

194 2.5.2

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

Tragfl¨ ugelstr¨ omung

Im Folgenden werden die Erkenntnisse der Profilumstr¨omung auf den endlichen Tragfl¨ ugel der Abbildung 2.121 u ugelumstr¨omung ist dreidimensional. ¨bertragen. Die Fl¨ Der zweidimensionalen Profilstr¨ omung wird eine dritte Geschwindigkeitskomponente in Spannweitenrichtung u arung daf¨ ur findet sich in Abbildung 2.5.1. Auf ¨berlagert. Die Erkl¨ ¨ der Oberseite des Fl¨ ugels herrscht Unterdruck und auf der Unterseite Uberdruck. Dies f¨ uhrt zu einer Umstr¨ omung der Fl¨ ugelspitzen, die im Nachlauf jeweils einen Wirbel bilden. Diese Wirbel verursachen eine abw¨ arts gerichtete Geschwindigkeitskomponente hinter dem Fl¨ ugel. Die zus¨ atzliche Wirbelbildung an den Fl¨ ugelspitzen ver¨andert die Druckverteilung in der Weise, dass ein zus¨ atzlicher Druckwiderstand entsteht, den man induzierten Widerstand nennt. Die Widerstandsbilanz (2.69) bestehend aus Druck- und Reibungswiderstand wird also beim Tragfl¨ ugel um den induzierten Druckwiderstand ci erg¨anzt: cw = cd + cf,g + ci + cs

.

(2.175)

Beim transsonischen Tragfl¨ ugel kommt der Druckwiderstand des Verdichtungsstoßes auf der Oberseite des Fl¨ ugels hinzu, den man Wellenwiderstand cs nennt. Die Widerstandsanteile f¨ ur einen Tragfl¨ ugel mit superkritischem Profil betragen 51 % f¨ ur den Reibungsur den induzierten Widerstand ci , 10 % f¨ ur den Druckwiderstand cd widerstand cf , 35 % f¨ und 4 % f¨ ur den Wellenwiderstand cs . Dabei handelt es sich um einen gepfeilten transsonischen Tragfl¨ ugel, der die lokale Anstr¨om-Mach-Zahl der Profilschnitte in der Weise erniedrigt, so dass der Anstieg des Widerstandes in Abbildung 2.124 zu h¨ oheren Mach-Zahlen verschoben wird. Die Tatsache, dass die effektive Profil-Mach-Zahl durch Pfeilung φ um Mn = M∞ · cos(φ) verringert werden kann, wurde erstmals von A. Betz 1939 erkannt (Abbildung 2.130). Dabei ging er ¨ von der Uberlegung aus, dass lediglich durch die Normalkomponente v n der Anstr¨omung Druckwiderstand erzeugt wird. Erfolgt die Anstr¨omung tangential zur Spannweite mit der omung keine Druck¨anderung am Fl¨ ugel hervorrufen. Geschwindigkeit v t , so kann diese Str¨ Es entsteht lediglich Reibungswiderstand.

Abb. 2.130: Einfluss der Pfeilung φ auf den Widerstandsbeiwert cw

2.6 Str¨ omungen mit W¨ arme¨ ubertragung

2.6

195

Str¨ omungen mit W¨ armeu ¨ bertragung

Im einf¨ uhrenden Kapitel haben wir zahlreiche Beispiele von Str¨omungen mit W¨arme¨ ubertragung in Natur und Technik kennengelernt. Man spricht von einer freien Konvektionsstr¨ omung, wenn die Str¨ omung von Temperatur bzw. Konzentrationsgradienten verursacht wird. Die damit verbundenen Dichteunterschiede haben die Konvektionsstr¨omungen zur Folge. Beispiele freier Konvektionsstr¨omungen sind beheizte Zylinder und Platten. Von erzwungenen Konvektionsstr¨ omungen spricht man, wenn der Str¨omung zus¨atzlich eine ¨außere Kraft, z.B. ein Druckgradient aufgepr¨agt wird. Ein Beispiel daf¨ ur sind beheizte oder gek¨ uhlte Rohrleitungen wie sie z.B. in W¨armetauschern benutzt werden. W¨ arme- und Stoffaustauschvorg¨ ange findet man z.B. im Ozean oder bei zahlreichen Prozessen der chemischen Verfahrenstechnik, wie Absorption, Adsorption, Extraktion und Destillation. Verdunstet Wasser an der Oberfl¨ache der Ozeane, so verbleibt eine hohe Salzkonzentration und es entsteht eine instabile Dichteschichtung. Die Ausbreitung von Substanzen in L¨ osungsmitteln oder das Trennen von Substanzen in Zentrifugen sind weitere Beispiele. Beispiele f¨ ur biologische Stoffaustauschvorg¨ange sind die Versorgung des Blutes mit Sauerstoff und die Nahrungsaufnahme im K¨orper.

2.6.1

Beheizte vertikale Platte

Als Beispiel einer freien Konvektionsstr¨ omung wird die vertikale beheizte Platte der Abbildung 2.131 behandelt. Die Wandtemperatur Tw ist gr¨oßer als die Umgebungstemperatur T∞ . Die von der Platte auf das Fluid u uhrt zu einer Temperatur¨bertragene W¨arme f¨ erh¨ ohung des Fluids in Wandn¨ ahe und wegen der Temperaturabh¨angigkeit der Dichte zu

Abb. 2.131: Laminare Konvektionsstr¨ omung an der beheizten vertikalen Platte

196

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

einer Ver¨anderung der Dichte. Nimmt die Dichte mit steigender Temperatur ab, so entstehen in Wandn¨ahe Auftriebskr¨ afte und w¨ armeres Fluid steigt l¨angs der Platte auf. Der Einfluss der Platte bleibt auf die Wandgrenzschicht beschr¨ankt. Das Verh¨altnis der Dicke der Reibungsgrenzschicht δ zur Dicke der Temperaturgrenzschicht δT verh¨alt sich wie √ P r. Die Geschwindigkeits- und Temperaturprofile der laminaren Grenzschichtstr¨omung sind in Abbildung 2.131 f¨ ur Luft mit der Prandtl-Zahl 0.71 dargestellt. Die von der Wand pro Fl¨ acheneinheit und Zeiteinheit u ¨bertragene W¨armemenge betr¨agt: qw = h · (Tw − T∞ )

.

(2.176)

h ist der W¨arme¨ ubergangskoeffizient, Tw die Wandtemperatur und T∞ die ungest¨orte Außentemperatur. Die dimensionslose Kennzahl, die den W¨armetransport charakterisiert, ist die Nußelt-Zahl : N uL =

h·L qw · L = λ · (Tw − T∞ ) λ

.

(2.177)

Sie beschreibt das Verh¨ altnis des W¨ arme¨ uberganges der W¨armeleitung und Konvektion, bezogen auf die W¨ armeleitung des ruhenden Fluids. Da f¨ ur die freie Konvektionsstr¨ omung zun¨ achst keine vorgegebene Bezugsgeschwindigkeit existiert, muss statt der Reynolds-Zahl eine f¨ ur die Konvektionsstr¨omung charakteristische Kennzahl gefunden werden. Man w¨ ahlt die: GrL =

α · g · (Tw − T∞ ) · L3 ν2

,

(2.178)

mit dem thermischen Ausdehnungskoeffizienten α, ν der kinematischen Z¨ahigkeit und der Laufl¨ange z = L.  Die Verkn¨ upfung mit der Prandtl-Zahl ν/k ergibt die Rayleigh-Zahl: Ra = P r · Gr

.

(2.179)

Bei Vorgabe des W¨armestroms von der Wand in das Fluid schreibt sich die Grashof-Zahl GrL =

α · g · qw · L4 ν2 · λ

.

(2.180)

Bei der beheizten vertikalen Platte ver¨ andern sich aufgrund der Aufdickung der thermiubergangskoeffizient h proportioschen Grenzschicht der W¨ armestrom qw und der W¨arme¨ nal L−1/4 . In Abbildung 2.132 sind die laminaren Geschwindigkeits- und Temperaturprofile an der vertikal beheizten Platte bei konstanter Wandtemperatur Tw u ¨ber der dimensionslosen Koordinate  1 GrL 4 x η= · z 4 gezeigt. Die charakteristische Bezugsgeschwindigkeit  w0 = α · g · L · (Tw − T∞ )

(2.181)

197

2.6 Str¨ omungen mit W¨ arme¨ ubertragung

ergibt sich aus dem Vergleich der Grashof-Zahl mit dem Quadrat der Reynolds-Zahl Re2L = w02 · L2 /ν 2 . Als Parameter wurde die Prandtl-Zahl des Fluids gew¨ahlt. F¨ ur P r ≤ 1 ist ur die Reibungsschicht δ und die thermische Grenzschichtdicke δT etwa gleich groß. F¨ P r 1 beschr¨ankt sich die thermische Grenzschicht auf eine wandnahe Schicht. Der W¨arme¨ ubergang an der Wand folgt aus:   ∂T C dT qw = −λ · = −λ · (Tw − T∞ ) · 1 · , (2.182) ∂x w dη w z4 mit der Konstanten C. Die lokale Nußelt-Zahl bei konstanter Wandtemperatur Tw .  1  Grz 4 h·L dT =− · N uL = λ 4 dη w

(2.183)

ist in Abbildung 2.133 in Abh¨ angigkeit der Prandtl-Zahl aufgetragen. Die L¨osungskurve kann durch die Beziehung 1

0.676 · P r 2 N uL 1 ! 14 = (0.861 + P r) 4 GrL 4 approximiert werden. Neben der lokalen Nußelt-Zahl an der Stelle z = L interessiert die mittlere Nußelt-Zahl: 1

N uL 0.902 · P r 2 1 14 =  (0.861 + P r) 4 GrL 4

.

(2.184)

Gibt man den W¨ armestrom qw statt der Wandtemperatur Tw vor, ergibt sich die ver¨anderte Randbedingung (∂T /∂x) ur die Grenzschichtdicke δ ergibt sich √ = qw (z)/λ. F¨ dann δ ∼ ν 2/5 im Vergleich zu δ ∼ ν bei vorgegebener Wandtemperatur Tw .

Abb. 2.132: Geschwindigkeits- und Temperaturprofile der beheizten vertikalen Platte bei konstanter Wandtemperatur Tw

198

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

Abb. 2.133: Lokale Nußelt-Zahl an der beheizten vertikalen Platte bei konstanter Wandtemperatur Tw Der G¨ ultigkeitsbereich der bisher beschriebenen laminaren Grenzschichtstr¨omung mit ur Rayleigh-Zahlen W¨armetransport beschr¨ ankt sich auf 104 < RaL = GrL · P r < 108 . F¨ 4 kleiner 10 trifft die Grenzschichtapproximation nicht mehr zu und f¨ ur Rayleigh-Zahlen ¨ zur turbulenten freien Konvektionsstr¨omung. gr¨oßer 108 vollzieht sich der Ubergang ¨ Berechnet man das Einsetzen des laminar-turbulenten Uberganges mit der in Kapitel 4.1.3 ur beschriebenen Stabilit¨ atstheorie erh¨ alt man die kritische Grashof-Zahl Grkrit = 3 · 106 f¨ den Beginn der thermischen Instabilit¨ aten in Luft bei der Prandtl-Zahl 0.71. Diese ist wesentlich kleiner als der im Experiment bestimmte Abschluss des Transitionsprozesses Grt von 109 . Dies deutet darauf hin, dass im Experiment die St¨orwellen kleiner Amplituden nicht erkannt werden und lediglich stromauf der Abschluss des Transitionsprozesses gemessen wird. Die Abbildung 2.134 zeigt ein Differentialinterferogramm in Luft der laminaren Konvektionsstr¨ omung der vertikalen Platte bei konstanter Wandtemperatur Tw f¨ ur die Grashof-Zahl 8 · 106 , die im Experiment stabil ist. Die Interferenzstreifen zeigen n¨aherungsweise Linien gleicher Temperaturgradienten. F¨ ur Grashof-Zahlen gr¨ oßer als 109 ist die turbulente Grenzschichtstr¨omung der beheizten vertikalen Platte vollst¨ andig ausgebildet. Das turbulente Grenzschichtprofil ist in Abbil-

Abb. 2.134: Differentialinterferogramm der beheizten vertikalen Platte, GrL = 8 · 106 , P r = 0.71

199

2.6 Str¨ omungen mit W¨ arme¨ ubertragung

Abb. 2.135: Turbulentes Geschwindigkeitsprofil an der beheizten vertikalen Platte dung 2.135 skizziert. Es l¨ asst sich in drei Bereiche einteilen. In ausreichender Entfernung von der Wand findet man den Bereich ausgebildeter Turbulenz. In unmittelbarer Wandn¨ahe ist der in Kapitel 2.4.1 eingef¨ uhrte Bereich der viskosen Unterschicht. Da¨ zwischen befindet sich ein Ubergangsbereich, in dem sich die Geschwindigkeit nur wenig ver¨andert. Entsprechend dem Boussinesq-Ansatz berechnet sich die turbulente Wandschubspannung mit  ∂w τw = (μ + μt ) · (2.185) ∂x x=0 und der W¨armestrom an der Wand:  qw = (λ + λt ) ·

∂T ∂x

. x=0

Abb. 2.136: Lokaler W¨ arme¨ ubergang an der beheizten vertikalen Platte

(2.186)

200

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

Die auftriebsbedingte Turbulenzproduktion verursacht einen deutlich verbesserten W¨arme¨ ubergang. Dies gilt f¨ ur Fluide großer Prandtl-Zahlen. F¨ ur Medien kleiner PrandtlZahlen wie z.B. in Luft ist die auftriebsbedingte Turbulenzproduktion n¨aherungsweise zu vernachl¨assigen. Die Abh¨ angigkeit des lokalen W¨arme¨ ubergangs vom laminaren in den turbulenten Bereich f¨ ur Luft und Wasser ist in Abbildung 2.136 gezeigt. In der Praxis haben sich zur Absch¨ atzung des W¨arme¨ ubergangs der beheizten vertikalen Platte Interpolationsformeln eingeb¨ urgert. F¨ ur den gemittelten W¨armestrom ergibt sich im Bereich 0 < P r · GrL < 1012 : 

2.6.2

1

0.387 · (P r · GrL ) 6 N uL = 0.825 +  8 9 27 ! 16 1 + 0.492 Pr

.

(2.187)

Rohrstr¨ omung

Erzwungene Konvektionsstr¨ omungen unterliegen neben den Auftriebskr¨aften zus¨atzlich ¨außeren Kr¨ aften. Die Rohrstr¨ omung mit W¨arme¨ ubergang ist, erg¨anzend zu Kapitel 2.4.4, ein Beispiel einer erzwungenen Konvektionsstr¨omung mit Druckgradient. Die Abbildung 2.137 zeigt die Ausbildung des parabolischen Geschwindigkeitsprofils im Einlauf der laminaren Rohrstr¨ omung sowie die Ausbildung des Temperaturprofils bei isotherm gek¨ uhlter Rohrwand. Im Einlaufbereich h¨ angt die Geschwindigkeits- und Temperaturverteilung von der Radialkoordinate r und von x ab. F¨ ur den viskosen Einlauf kann bei gleichm¨aßiger Zustr¨omung L ≈ 0.05 · ReD angenommen werden. Das Verh¨altnis der thermischen zur viskosen Einlaufl¨ ange h¨angt wiederum von der Prandtl-Zahl des Fluids ab. Bei fl¨ ussigen Metallen ist

Abb. 2.137: Entwicklung des Geschwindigkeits- und Temperaturprofils der gek¨ uhlten Rohrstr¨omung

201

2.6 Str¨ omungen mit W¨ arme¨ ubertragung

wegen δT δ der thermische Einlauf gegen¨ uber dem viskosen Einlauf vernachl¨assigbar. ¨ Bei hochviskosen Olen ist dies wegen δT  δ umgekehrt. Bei der erzwungenen Konvektionsstr¨ omung entspricht die Reynolds-Zahl ReD der omung charakterisiert. Grashof-Zahl GrL , die die freie Konvektionsstr¨ F¨ ur die ausgebildete Rohrstr¨ omung stellt sich das parabolische Geschwindigkeitsprofil ein: u r !2 =1− , (2.188) umax R mit dem Rohrradius R, der Maximalgeschwindigkeit umax = Δp · R2 /(4 · μ · L) = 2 · um und dem konstanten Druckgradienten Δp/L. Das thermisch ausgebildete Temperaturprofil berechnet sich mit der Energiegleichung in Zylinderkoordinaten, die in Kapitel 3.3.1 abgeleitet wird:  ∂T 1 ∂ ∂T u· =k· · r· . (2.189) ∂x r ∂r ∂r Die mittlere Geschwindigkeit um und die mittlere Temperatur Tm ergeben sich mit: 1 · um = π · R2

R 2 · π · r · u · dr

,

0

1 · Tm = um · π · R 2

R 2 · π · r · u · T · dr

.

0

F¨ ur den Fall konstanter W¨ arme¨ ubertragung qw = h · (Tw − Tm ) ist bei der thermisch ausgebildeten Rohrstr¨ omung der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient h konstant: ⎞ ⎛  Tw − T ⎠ qw λ ⎝ ∂ !· · h= = . (2.190) z Tw − Tm R Tw − Tm ∂ R w (Tw − Tm ) ist konstant. Daraus resultiert: dTw dTm ∂T = = ∂x dx dx

.

In die Energiegleichung (2.189) eingesetzt, ergibt sich:  u dTm 1 ∂ ∂T · = · · r· f¨ ur qw = konst. k dx r ∂r ∂r

.

(2.191)

Den Fall konstanter W¨ armestromdichte findet man bei vielen technischen Anwendungen, wie z.B. bei der elektrischen Heizung, nuklearer Heizung oder bei W¨armetauschern. F¨ ur die thermisch ausgebildete Rohrstr¨ omung gilt bei vorgegebener Wandtemperatur Tw Tw − T dTm ∂T = · ∂x Tw − Tm dx

.

202

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

w w

w

Abb. 2.138: Verlauf der mittleren Tm und Wandtemperatur Tw sowie des W¨armestroms qw bei beheizter Rohrwand Damit ergibt sich f¨ ur die Energiegleichung (2.189)   dTm u Tw − T 1 ∂ ∂T · · = · · r· k Tw − Tm dx r ∂r ∂r

f¨ ur

Tw = konst.

.

(2.192)

Abbildung 2.138 zeigt den Verlauf der Temperatur und des W¨armestroms. Im Falle qw = konst. ist die Temperaturdifferenz (Tw − Tm ) = konst.. Im Fall Tw = konst. nimmt (Tw − ange x ab, da Tm (x) aufgrund der Energiezufuhr anw¨achst. F¨ ur qw = Tm (x)) mit der Rohrl¨ konst. ergibt sich die Nußelt-Zahl N u = 4.36 und bei Tw = konst. der Wert N u = 3.66. Ber¨ ucksichtigt man die Einlaufstr¨ omung der Abbildung 2.137, so erh¨alt man die lokale Nußelt-Zahl entlang des Rohres mit dem Durchmesser D = 2 · R. Die Abbildung 2.139 ur qw = konst. und Tw = konst. mit den zeigt den Verlauf der lokalen Nußelt-Zahl N uL f¨ Grenzf¨allen der hydrodynamischen und thermisch ausgebildeten Rohrstr¨omung f¨ ur das Medium Luft mit P r = 0.71. Man erkennt, dass die thermische Einlaufstrecke L mit LT ≈ 0.05 · ReD · P r D

(2.193)

angen¨ahert werden kann. F¨ ur das Verh¨ altnis der Einlaufstrecken gilt LT /L ≈ P r. Hoch¨ haben demzufolge große thermische Einlaufstrecken. viskose Ole

Abb. 2.139: Lokale Nußelt-Zahl in der Einlaufstrecke einer Rohrstr¨omung, P r = 0.71

203

2.6 Str¨ omungen mit W¨ arme¨ ubertragung

Der W¨arme¨ ubergangskoeffizient ist im Einlaufbereich gr¨oßer als im ausgebildeten Bereich. Dies ist verst¨andlich, da die Grenzschicht im Einlaufbereich anw¨achst und demzufolge der lokale W¨arme¨ ubergang abf¨ allt. Der Vergleich mit Experimenten ergibt bei gr¨ oßeren Temperaturdifferenzen Abweichungen. Diese haben ihre Ursache in den bisher als konstant vorausgesetzten Stoffwerten. Bei großen Temperaturdifferenzen variieren die Viskosit¨at und W¨armeleitf¨ahigkeit u ¨ber dem Rohrradius. Die Abbildung 2.140 zeigt den Einfluss ver¨anderlicher Viskosit¨at auf das Geschwindigkeitsprofil. F¨ ur μw > μm wird aufgrund der Zunahme der Viskosit¨at in Wandn¨ahe bei K¨ uhlung einer Fl¨ ussigkeit bzw. Heizung eines Gases das Geschwindigur beheizte Fl¨ ussigkeiten keitsprofil schlanker. F¨ ur μw < μm ist die Reibung in Wandn¨ahe f¨ bzw. gek¨ uhlte Gase geringer, so dass das Geschwindigkeitsprofil v¨olliger wird. Ein ¨ahnliches Verhalten haben wir bereits bei der Rohrstr¨ omung Nicht-Newtonscher Fluide in Kapitel 2.4.5 kennengelernt. Die turbulente Rohrstr¨ omung ohne W¨ armezufuhr wurde bereits in Kapitel 2.4.4 Rohrhydraulik beschrieben. F¨ ur die rotationssymmetrische Rohrstr¨omung konstanten Querschnitts gelten die folgenden Vereinfachungen f¨ ur die turbulente Schubspannung τ (r): τ (r) = τw ·

r ∂u ∂u = −μ · + ρ · u · v  = −(μ + ρ · τ ) · R ∂r ∂r

,

(2.194)

ur den W¨ armestrom ergibt sich: mit τw = −(dp/dx) · R/2 und f¨ 2 · qw q(r) = · um · r · R

r u · r · dr = λ ·

∂T ∂T − ρ · cp · T  · v  = (λ + ρ · cp · q ) · ∂r ∂r

, (2.195)

0

mit den turbulenten Austauschgr¨ oßen τ und q . Mit der vereinfachten Annahme vorgegebenen W¨ armestroms qw = konst. an der Rohrwand und damit der Vernachl¨ assigung der konvektiven Terme in der Energiegleichung, ben¨otigt man keine Information u ¨ber das zeitlich gemittelte Geschwindigkeitsprofil. Es verbleibt die L¨osung der vereinfachten Energiegleichung, die wir in Kapitel 3.3.2 noch genauer kennenlernen werden:  dT τ dT 1 · = −μ · cp · + . (2.196) −(λ + ρ · cp · q ) · dr P r ν · P rt dr

Abb. 2.140:Einfluss ver¨ anderlicher Viskosit¨ at auf das parabolische Geschwindigkeitsprofil

204

2 Grundlagen der Str¨ omungsmechanik

Abb. 2.141: Temperaturprofile der ausgebildeten turbulenten Rohrstr¨omung f¨ ur qw = konst. Mit den dimensionslosen Variablen z+ =

r · uτ ν

,

T+ =

(Tw − T ) · ρ · cp · uτ qw

 ,

uτ =

τw ρ

(2.197)

und empirischen Ans¨ atzen f¨ ur P rt und τ erh¨alt man die Temperaturverteilungen der ausgebildeten Rohrstr¨ omung in Abbildung 2.141 f¨ ur vorgegebenen W¨armestrom qw = konst. Im logarithmischen Bereich des zeitlich gemittelten Geschwindigkeitsprofils ist der molekulare Austausch n¨ aherungsweise gegen¨ uber dem turbulenten Austausch vernachl¨assigbar. Dieser Bereich r¨ uckt mit wachsender Prandtl-Zahl immer n¨aher an die Rohrwand. Die viskose Unterschicht wird d¨ unner. Damit erh¨oht sich der Widerstand gegen¨ uber der W¨ armeleitung und die Temperaturprofile werden v¨olliger, womit der W¨arme¨ ubergang demzufolge zunimmt. Die Abh¨angigkeit der gemittelten Nußelt-Zahl L N u = (1/L) · 0 N ux · dx von der Reynolds-Zahl ReD und der Prandtl-Zahl P r ist in Abbildung 2.142 dargestellt.

Abb. 2.142: Nußelt-Zahl der ausgebildeten turbulenten Rohrstr¨omung f¨ ur qw = konst.

205

2.6 Str¨ omungen mit W¨ arme¨ ubertragung

In der Literatur gibt es eine Reihe von empirischen Beziehungen f¨ ur die Nußelt-Zahl, die sowohl f¨ ur konstanten W¨ armestrom qw als auch f¨ ur konstante Wandtemperatur Tw verwendet werden. Ein Beispiel einer solchen Beziehung ist: $  23 % (ReD − 1000) · P r · τw 2 D ρ · um  Nu = · 1+ 2 l τ w 1 + 12.7 · · (P r 3 − 1) ρ · u2m mit τw = (dp/dx) · R/2.

,

(2.198)

206

3

Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

Nachdem die eindimensionale Theorie der reibungsfreien inkompressiblen und kompressiblen Str¨omung sowie die zweidimensionale Theorie der reibungsbehafteten Str¨omung und deren technische Anwendungen im vorangegangenen Kapitel behandelt wurden, gilt es in diesem Kapitel die allgemeinen Grundgleichungen der dreidimensionalen Str¨omung bereitzustellen. Diese bilden die Grundlage f¨ ur die numerischen L¨osungsmethoden im folgenden Kapitel 4, die heute in kommerzieller Str¨ omungsmechanik Software genutzt werden. Sowohl der Naturwissenschaftler als auch der Ingenieur nutzen diese Software in der Praxis z. B. f¨ ur die Wettervorhersage, die Berechnung des Erdmagnetfeldes, die Vorhersage von Erdbeben oder die Auslegung von Flugzeugen, Kraftfahrzeugen und Str¨omungsmaschinen. Wir betrachten zur Ableitung der str¨ omungsmechanischen Grundgleichungen die im vorigen Kapitel beschriebene Tragfl¨ ugelstr¨ omung bzw. die Kraftfahrzeugumstr¨omung und stellen uns erg¨anzend zur eindimensionalen Stromfadentheorie die Aufgabe, die Grundgleichungen aufzustellen, mit denen diese Str¨ omungen berechnet werden k¨onnen. Mit der Berechnung der Str¨ omung sollen die drei Geschwindigkeitskomponenten u, v, w des Geschwindigkeitsvektors v , die Dichte ρ, der Druck p und die Temperatur T der Str¨omung in Abh¨angigkeit von den drei kartesischen Koordinaten x, y und z ermittelt werden. Es gelten die Erhaltungss¨ atze f¨ ur Masse, Impuls und Energie. Wir betrachten ein infinitesimal kleines Volumenelement, dessen linke vordere untere Ecke sich an einer beliebigen Stelle im Str¨omungsfeld mit den Koordinaten (x, y, z) befindet und dessen Kanten jeweils parallel zu den entsprechenden Koordinatenachsen sind (Abbildung 3.1). Das betrachtete Volumenelement ist raumfest, d. h. seine Begrenzungen bewegen sich nicht mit der Str¨omung mit.

kompressible Strömung

inkompressible Strömung

Abb. 3.1: Volumenelement in einer Tragfl¨ ugel- und Kraftfahrzeugumstr¨omung H. Oertel jr et al., Strömungsmechanik, DOI 10.1007/978-3-8348-8110-6_3, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

207

3.1 Kontinuit¨ atsgleichung (Erhaltung der Masse)

Wir setzen voraus, dass das Fluid homogen ist, so dass es als Kontinuum behandelt werden kann. ¨ Nacheinander werden nun die zeitlichen Anderungen von Masse, Impuls und Energie innerhalb des Volumenelements betrachtet. Wir beginnen mit der Betrachtung der zeitlichen ¨ Anderung der Masse und stellen als erste Gleichung die Kontinuit¨atsgleichung auf.

3.1

Kontinuit¨ atsgleichung (Erhaltung der Masse) ¨ Die zeitliche Anderung der Masse im Volumenelement = * der einstr¨ o menden Massenstr¨ ome in das Volumenelement − * der ausstr¨ omenden Massenstr¨ ome aus dem Volumenelement

In der Abbildung 3.2 ist das Volumenelement groß dargestellt. Seine Kanten besitzen die L¨ angen dx, dy und dz. Durch die linke Oberfl¨ ache des Volumenelements mit der Fl¨ache dy·dz tritt der Massenstrom ρ·u·dy·dz ein. Die Gr¨oße ρ·u ¨andert ihren Wert von der Stelle x zur Stelle x + dx in x-Richtung um (∂(ρ · u)/∂x) · dx, so dass sich der durch die rechte Oberfl¨ache dy · dz des Volumenelements austretende Massenstrom mit dem Ausdruck (ρ · u +

∂(ρ · u) · dx) · dy · dz ∂x

angeben l¨asst. F¨ ur die y- und z-Richtung gelten die analogen Gr¨oßen auf den entsprechenden Oberfl¨achen dx · dz und dx · dy. ¨ Die zeitliche Anderung der Masse innerhalb des betrachteten Volumenelements entspricht nach der Erhaltung der Masse der Differenz aus eintretenden und austretenden Massenstr¨omen. Der Term ∂(ρ · dx · dy · dz) ∂ρ = · dx · dy · dz ∂t ∂t ·

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Abb. 3.2: Ein- und ausstr¨ omende Massenstr¨ ome

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208

3 Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

¨ entspricht dem mathematischen Ausdruck f¨ ur die zeitliche Anderung der Masse im Volu¨ menelement. Gem¨aß der vorigen Uberlegungen gilt  ∂ρ ∂(ρ · u) · dx · dy · dz = ρ · u − (ρ · u + · dx) · dy · dz+ ∂t ∂x  ∂(ρ · v) ρ · v − (ρ · v + · dy) · dx · dz+ ∂y  ∂(ρ · w) · dz) · dx · dy . ρ · w − (ρ · w + ∂z Damit erh¨alt man die Kontinuit¨ atsgleichung ∂ρ ∂(ρ · u) ∂(ρ · v) ∂(ρ · w) + + + =0 ∂t ∂x ∂y ∂z

.

(3.1)

F¨ ur ein inkompressibles Fluid vereinfacht sie sich zu ∂u ∂v ∂w + + =0 ∂x ∂y ∂z

.

(3.2)

In koordinatenfreier Vektorschreibweise lauten die hergeleiteten Gleichungen ∂ρ + ∇ · (ρ · v ) = 0 ∂t

∇ · v = 0

bzw.

.

(3.3)

Mit dem Operator ∇· ist die Divergenz des jeweiligen Vektors bezeichnet, auf den der Operator angewendet wird. Der Nabla-Operator ∇ enth¨alt die folgenden Komponenten  ∇=

∂ ∂ ∂ , , ∂x ∂y ∂z

T .

209

3.2 Navier-Stokes Gleichungen (Erhaltung des Impulses)

3.2 3.2.1

Navier-Stokes Gleichungen (Erhaltung des Impulses) Laminare Str¨ omungen

¨ Die * zeitliche Anderung des Impulses im Volumenelement = ome in das Volumenelement − * der eintretenden Impulsstr¨ der ausstr¨ o menden Impulsstr¨ ome aus dem Volumenelement + * der auf das Volumenelement wirkenden Scherkr¨ afte, Normalspannungen+ * der auf die Masse des Volumenelements wirkenden Kr¨ afte.

Wir kommen wieder auf das in Abbildung 3.2 gezeigte Volumenelement im Str¨omungsfeld zur¨ uck und betrachten nun in analoger Weise zur Herleitung der Kontinuit¨atsgleichung die ¨ zeitliche Anderung des Impulses innerhalb des Volumenelements. Der Impuls entspricht dem Produkt aus Masse und Geschwindigkeit. Das Fluid innerhalb des Volumens besitzt ¨ also den Impuls ρ · dx · dy · dz · v , dessen zeitliche Anderung sich mit dem Ausdruck ∂(ρ · v ) ∂(ρ · dx · dy · dz · v ) = · dx · dy · dz ∂t ∂t

(3.4)

beschreiben l¨asst. Wir wollen zun¨achst nur eine Komponente des Impulsvektors ρ · dx · dy · dz · v betrachten ¨ und zwar die Komponente, die in x-Richtung zeigt. Ihre zeitliche Anderung l¨asst sich wie folgt ausdr¨ ucken ∂(ρ · u) ∂(ρ · dx · dy · dz · u) = · dx · dy · dz ∂t ∂t

.

(3.5)

Es stellt sich nun die Frage, wodurch sich der Impuls bzw. die Impulskomponente innerhalb des betrachteten Volumenelementes zeitlich ¨ andert. ¨ Ahnlich wie bei der Betrachtung der Massenstr¨ome tritt pro Zeiteinheit durch die Oberfl¨achen des Volumenelements ein Impuls in das Volumen ein bzw. aus. Bei der Herleitung der Kontinuit¨atsgleichung verwendeten wir die Gr¨oße ρ (Masse pro Volumen). Nun benutzen wir die Gr¨oße (ρ · u) (Impuls pro Volumen) und k¨onnen mit dieser Gr¨oße, analog zur Herleitung der Kontinuit¨ atsgleichung, die ein- und ausstr¨omenden Impulsstr¨ome angeben. Wir betrachten dazu wieder das Volumenelement, das zusammen mit den Impulsstr¨omen in der Abbildung 3.3 dargestellt ist. Weiterhin beschr¨anken wir uns zun¨achst, wie bereits ¨ gesagt, auf die x-Richtung der zeitlichen Anderung des Impulses ρ · dx · dy · dz · v . Durch die linke Oberfl¨ ache dy · dz des Volumenelements tritt der Impulsstrom (ρ · u) · u · dy · dz = ρ · u · u · dy · dz

(3.6)

andert ihren Wert in x-Richtung um ein. Die Gr¨oße ρ · u · u ¨ ∂(ρ · u · u) · dx ∂x

,

(3.7)

210

3 Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

so dass sich der auf der rechten Oberfl¨ ache dy · dz des Volumenelements austretende Impulsstrom mit dem Ausdruck (ρ · u · u +

∂(ρ · u · u) · dx) · dy · dz ∂x

(3.8)

bezeichnen l¨asst. Weiterhin tritt der in x-Richtung wirkende Impuls ρ · u auch u ¨ber die verbleibenden Oberfl¨achen dx · dz und dx · dy ein bzw. aus, allerdings str¨omt er jeweils mit der Geschwindigkeitskomponente v bzw. w durch die Oberfl¨achen. ¨ F¨ ur die y- und z-Richtungen gelten die analogen Uberlegungen, so dass sich insgesamt auf jeder Oberfl¨ache drei Impulsstr¨ ome angeben lassen (Abbildung 3.3). Nun sind die ein- und ausstr¨ omenden Impulsstr¨ome nicht die alleinige Ursache f¨ ur die ¨ zeitliche Anderung des Impulses innerhalb des Volumenelements. Der Impuls innerhalb ·

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Abb. 3.3: Ein- und ausstr¨ omende Impulsstr¨ ome

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3.2 Navier-Stokes Gleichungen (Erhaltung des Impulses)

211

des Volumens wird zus¨ atzlich durch die am Volumen angreifenden Kr¨afte ge¨andert. Zu diesen Kr¨aften geh¨ oren • Normal- und Schubspannungen: Sie sind in Abbildung 3.4 dargestellt. Ihre Gr¨oßen ¨andern sich in x-, y- und z-Richtung, so dass an den Stellen x + dx, y + dy und ¨ z + dz jeweils ihre Gr¨ oßen plus der entsprechenden Anderungen eingezeichnet sind. Bez¨ uglich der Bezeichnung und des Vorzeichens der Normal- und Schubspannungen treffen wir die folgenden Vereinbarungen: Der erste Index gibt an, auf welcher Oberfl¨ache die Spannung wirkt. Zeigt die Normale der Oberfl¨ache, auf der die betrachtete Spannung wirkt, z. B. in x-Richtung, so wird dies mit einem x als erstem Index gekennzeichnet. Der zweite Index gibt dann an, in welche Koordinatenrichtung die aus der Spannung resultierende Kraft wirkt (Abbildung 3.4).

Abb. 3.4: Normal- und Schubspannungen

212

3 Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

Eine Kraft zeigt zur Herleitung der Gleichungen in positive Koordinatenrichtung, wenn die Normale der Oberfl¨ ache in positive Koordinatenrichtung zeigt, sie zeigt in negative Richtung, wenn die Normale in negative Koordinatenrichtung weist. • Volumenkr¨afte: Volumenkr¨ afte sind die Kr¨ afte, die auf die im Volumen befindliche Masse wirken. Zu ihnen geh¨ ort die Schwerkraft. Es k¨onnen auch andere Volumenkr¨afte, wie z. B. elektrische und magnetische Kr¨afte, auf eine Str¨omung wirken. Wir bezeichnen sie mit k = (kx , ky , kz ). Die Einheit der Volumenkraft ist {N/m3 }. Entsprechend unseres Leitsatzes gilt ¨ Die * zeitliche Anderung des Impulses im Volumenelement = der eintretenden Impulsstr¨ ome in das Volumenelement − * der ausstr¨ o menden Impulsstr¨ ome aus dem Volumenelement + * der auf das Volumenelement wirkenden Scherkr¨ afte, Normalspannungen+ * der auf die Masse des Volumenelements wirkenden Kr¨ afte. ¨ Daraus resultiert die Gleichung f¨ ur die zeitliche Anderung des u-Impulses auf. Gem¨aß des angegebenen Satzes und den in Abbildung 3.3 dargestellten Impulsstr¨omen, sowie den in Abbildung 3.4 dargestellten Normal- und Schubspannungen, ergibt sich f¨ ur die zeitliche ¨ Anderung des Impulses ρ · dx · dy · dz · u die folgende Gleichung:  ∂(ρ · u) ∂(ρ · u · u) · dx · dy · dz = ρ · u · u − (ρ · u · u + · dx) · dy · dz+ ∂t ∂x  ∂(ρ · u · v) · dy) · dx · dz+ ρ · u · v − (ρ · u · v + ∂y  ∂(ρ · u · w) ρ · u · w − (ρ · u · w + · dz) · dx · dy+ ∂z kx · dx · dy · dz+  ∂τxx · dx) · dy · dz+ −τxx + (τxx + ∂x  ∂τyx −τyx + (τyx + · dy) · dx · dz+ ∂y  ∂τzx −τzx + (τzx + · dz) · dx · dy . ∂z

(3.9)

Mit Vereinfachung der Gleichung (3.9) erhalten wir die erste vorl¨aufige u-Impulsgleichung f¨ ur die x-Richtung. Sie lautet ∂τxx ∂(ρ · u) ∂(ρ · u · u) ∂(ρ · u · v) ∂(ρ · u · w) ∂τyx ∂τzx + + + = kx + + + ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z

. (3.10)

F¨ ur die y- und z-Richtung erhalten wir mit einer analogen Rechnung die entsprechenden Gleichungen. Sie lauten wiederum ∂τyy ∂τzy ∂τxy ∂(ρ · v) ∂(ρ · v · u) ∂(ρ · v · v) ∂(ρ · v · w) + + + = ky + + + ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z

,

213

3.2 Navier-Stokes Gleichungen (Erhaltung des Impulses)

∂(ρ · w) ∂(ρ · w · u) ∂(ρ · w · v) ∂(ρ · w · w) ∂τyz ∂τzz ∂τxz + + + = kz + + + ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z

.

¨ Diese Gleichungen beinhalten bereits die gesamte Physik bez¨ uglich der Anderung des Impulses im Volumenelement. Jedoch stellen sich nun noch die folgenden Fragen: • In welchem Term finden wir die Gr¨ oße des Fl¨ ussigkeitsdruckes bzw., wenn wir ein Gas betrachten, den thermodynamischen Druck wieder? • Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Spannungen τ und den Geschwindigkeitskomponenten u, v und w? Ein ¨ ahnlicher Zusammenhang, ist uns bereits mit dem Newtonschen Reibungsgesetz τ = μ · (∂u/∂z) bekannt. Wir diskutieren zun¨ achst die erste Frage. In einer reibungfreien Außenstr¨omung verschwinden alle Schubspannungen und es wirken nur noch die Normalspannungen, die wiederum alle gleich sind und dem Fl¨ ussigkeitsdruck bzw. im Falle eines Gases, dem thermodynamischen Druck entsprechen. Deshalb ist es zweckm¨aßig, den Druck wie folgt zu definieren p=−

τxx + τyy + τzz 3

.

(3.11)

Das Minuszeichen ber¨ ucksichtigt, dass der Druck als negative Normalspannung wirkt. Die drei Normalspannungen τxx , τyy und τzz werden jeweils in zwei Anteile aufgespalten und zwar in einen Anteil p, der als Druck bezeichnet wird und in einen weiteren Anteil, der mit den Reibungseffekten des Fluids zusammenh¨angt und den wir nachfolgend, entsprechend der jeweiligen Richtung, mit σxx , σyy bzw. σzz bezeichnen werden. Dr¨ ucken wir dies formelm¨aßig aus, erhalten wir τxx = σxx − p

,

τyy = σyy − p ,

τzz = σzz − p .

(3.12)

aß der Gleichungen (3.12) in die entsprechenden GleichunSetzen wir τxx , τyy und τzz gem¨ gen ein, ergibt sich ∂(ρ · u) ∂(ρ · u2 ) ∂(ρ · u · v) ∂(ρ · u · w) + + + = ∂t ∂x ∂y ∂z ∂p ∂σxx ∂τyx ∂τzx + + + kx − ∂x ∂x ∂y ∂z ∂(ρ · v) ∂(ρ · v · u) ∂(ρ · v 2 ) ∂(ρ · v · w) + + + = ∂t ∂x ∂y ∂z ∂p ∂τxy ∂σyy ∂τzy + + + ky − ∂y ∂x ∂y ∂z ∂(ρ · w) ∂(ρ · w · u) ∂(ρ · w · v) ∂(ρ · w 2 ) + + + = ∂t ∂x ∂y ∂z ∂τyz ∂σzz ∂p ∂τxz kz − + + + ∂z ∂x ∂y ∂z

,

(3.13)

,

(3.14)

. (3.15)

214

3 Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

Es bleibt nun noch u ¨brig die zweite Frage zu beantworten. Wir suchen also den Zusammenhang zwischen den Spannungen σ bzw. τ und den Geschwindigkeitskomponenten u, v und w. Es geht um die Erweiterung des Newtonschen Reibungsgesetzes τ = μ · (du/dz), das einen linearen Ansatz zwischen den Geschwindigkeitsgradienten du/dz und der Schubspannung τ postuliert. Der nun folgende weiterreichende und f¨ ur dreidimensionale Str¨omungen anzuwendende Stokessche Reibungsansatz, auf den wir nicht weiter eingehen wollen, beinhaltet das Newtonsche Reibungsgesetz. Er lautet  ∂u 2 ∂u ∂v ∂w σxx = 2 · μ · − ·μ· + + , ∂x 3 ∂x ∂y ∂z

σyy

2 ∂v − ·μ· =2·μ· ∂y 3

σzz

∂w 2 − ·μ· =2·μ· ∂z 3 

τyx = τxy = μ ·

∂u ∂v + ∂x ∂y





∂u ∂v ∂w + + ∂x ∂y ∂z ∂u ∂v ∂w + + ∂x ∂y ∂z



,

 τyz = τzy = μ ·

, 

τzx = τxz = μ ·

∂u ∂w + ∂z ∂x

,

∂w ∂v + ∂y ∂z

(3.16) ,

.

Der Stokessche Reibungsansatz erf¨ ullt die folgende Symmetriebedingung τyx = τxy

,

τyz = τzy

,

τzx = τxz

.

(3.17)

Eine M¨oglichkeit zum Nachweis dieser Symmetrie kann mit dem Aufstellen eines Momentengleichgewichts f¨ ur die im Volumenelement enthaltene Masse erfolgen. Diese Betrachtung wird im Buch von H. Schlichting, K. Gersten 2006 erl¨autert, in dem auch der Stokessche Reibungsansatz erkl¨ art wird. Setzen wir die Normal- und Schubspannungen gem¨aß der Gleichungen (3.16) in die Impulsgleichungen (3.13), (3.14) und (3.15) ein, erhalten wir die Impulsgleichungen in Form der Navier-Stokes Gleichungen. Sie lauten ∂p ∂(ρ · u) ∂(ρ · u2 ) ∂(ρ · u · v) ∂(ρ · u · w) + + + = kx − + ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x       ∂u 2 ∂ ∂u ∂v ∂ ∂w ∂u ∂  μ· 2· − · (∇ · v ) + μ· + + μ· + ∂x ∂x 3 ∂y ∂y ∂x ∂z ∂x ∂z ∂(ρ · v) ∂(ρ · v · u) ∂(ρ · v 2 ) ∂(ρ · v · w) ∂p + + + = ky − + ∂t ∂x ∂y ∂z ∂y       ∂ ∂u ∂v ∂ ∂v 2 ∂ ∂v ∂w  μ· + + μ· 2· − · (∇ · v ) + μ· + ∂x ∂y ∂x ∂y ∂y 3 ∂z ∂z ∂y

,

,

215

3.2 Navier-Stokes Gleichungen (Erhaltung des Impulses)

∂p ∂(ρ · w) ∂(ρ · w · u) ∂(ρ · w · v) ∂(ρ · w2 ) + + + = kz − + ∂t ∂x ∂y ∂z ∂z       ∂ ∂w ∂u ∂ ∂v ∂w ∂ ∂w 2 μ· + + μ· + + μ· 2· − · (∇ · v ) ∂x ∂x ∂z ∂y ∂z ∂y ∂z ∂z 3

.

Der Ausdruck ∇ · v entspricht der Divergenz des Geschwindigkeitsvektors v , d. h. ∇ · v =

∂w ∂u ∂v + + ∂x ∂y ∂z

.

Wir wollen nun noch mit einer einfachen Rechnung die linke Seite der ersten Navier-Stokes Gleichung anders schreiben. Auf analoge Weise lassen sich die linken Seiten der restlichen Navier-Stokes Gleichungen umschreiben. Mit der Anwendung der Produktregel erhalten wir f¨ ur die linke Seite der ersten Navier-Stokes Gleichung

∂(ρ · u) ∂(ρ · u2 ) ∂(ρ · u · v) ∂(ρ · u · w) + + + = ∂t ∂x ∂y ∂z ρ·

∂ρ ∂(ρ · u) ∂u ∂u +u· +u· +ρ·u· + ∂t ∂t ∂x ∂x

u·

∂u ∂(ρ · w) ∂u ∂(ρ · v) +ρ·v· +u· +ρ·w· = ∂y ∂y ∂z ∂z 

ρ·  u·

∂u ∂u ∂u ∂u +u· +v· +w· ∂t ∂x ∂y ∂z

+

∂ρ ∂(ρ · u) ∂(ρ · v) ∂(ρ · w) + + + ∂t ∂x ∂y ∂z

.

Der letzte Klammerausdruck verschwindet wegen der Kontinuit¨atsgleichung (3.1), so dass gilt ∂(ρ · u) ∂(ρ · u2 ) ∂(ρ · u · v) ∂(ρ · u · w) + + + = ∂t ∂x ∂y ∂z  ρ·

∂u ∂u ∂u ∂u +u· +v· +w· ∂t ∂x ∂y ∂z

.

F¨ ur die linken Seiten der restlichen Navier-Stokes Gleichungen gilt entsprechend ∂(ρ · v) ∂(ρ · v · u) ∂(ρ · v 2 ) ∂(ρ · v · w) + + + = ∂t ∂x ∂y ∂z  ρ·

∂v ∂v ∂v ∂v +u· +v· +w· ∂t ∂x ∂y ∂z

,

216

3 Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

∂(ρ · w2 ) ∂(ρ · w) ∂(ρ · w · u) ∂(ρ · w · v) + + + = ∂t ∂x ∂y ∂z  ρ·

∂w ∂w ∂w ∂w +u· +v· +w· ∂t ∂x ∂y ∂z

.

Die Navier-Stokes Gleichungen lauten also in ihrer endg¨ ultigen Form f¨ ur eine instation¨are dreidimensionale und kompressible Str¨ omung  ρ·

∂u ∂p ∂u ∂u ∂u +u· +v· +w· = kx − + ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x   ∂u 2 ∂ μ· 2· − · (∇ · v ) + ∂x ∂x 3     ∂ ∂u ∂v ∂ ∂w ∂u μ· + + μ· + ∂y ∂y ∂x ∂z ∂x ∂z

 ρ·

∂v ∂v ∂v ∂v +u· +v· +w· ∂t ∂x ∂y ∂z

, (3.18)

= ky −

∂p + ∂y

  ∂ ∂u ∂v μ· + + ∂x ∂y ∂x     ∂v 2 ∂ ∂v ∂w ∂ μ· 2· − · (∇ · v ) + μ· + ∂y ∂y 3 ∂z ∂z ∂y

 ρ·

∂w ∂w ∂w ∂w +u· +v· +w· ∂t ∂x ∂y ∂z

= kz −

,

∂p + ∂z

  ∂ ∂w ∂u μ· + + ∂x ∂x ∂z     ∂w ∂v ∂ ∂w 2 ∂ μ· + + μ· 2· − · (∇ · v ) ∂y ∂z ∂y ∂z ∂z 3

.

Die Navier-Stokes Gleichungen bilden zusammen mit der Kontinuit¨atsgleichung (3.1) und der Energiegleichung, die noch hergeleitet wird, die Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik. Aus ihnen lassen sich weitere vereinfachte Gleichungen zur Berechnung von technisch interessierenden Str¨ omungen ableiten, von denen die wichtigsten in diesem Lehrbuch noch beschrieben werden. Wir beschr¨anken uns zun¨ achst auf Newtonsche Medien (μ = f(τ )) und auf inkompressible Str¨omungen. Die Gleichungen (3.18) vereinfachen sich dann auf die folgenden Glei-

217

3.2 Navier-Stokes Gleichungen (Erhaltung des Impulses)

chungen (gem¨aß der Kontinuit¨ atsgleichung (3.2) gilt ∇ · v = 0)  2  ∂u ∂u ∂u ∂ u ∂2u ∂2u ∂u ∂p , +u· +v· +w· = kx − +μ· ρ· + + ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x ∂x2 ∂y 2 ∂z 2   2 ∂v ∂v ∂v ∂v ∂ v ∂p ∂2v ∂2v ρ· , (3.19) +u· +v· +w· = ky − +μ· + + ∂t ∂x ∂y ∂z ∂y ∂x2 ∂y 2 ∂z 2   2 ∂w ∂w ∂w ∂w ∂ w ∂2w ∂2w ∂p , ρ· +u· +v· +w· = kz − +μ· + + ∂t ∂x ∂y ∂z ∂z ∂x2 ∂y2 ∂z 2 die wir in koordinatenfreier Schreibweise der Vektoranalysis wie folgt zusammenfassen k¨onnen:  ∂v + (v · ∇)v = k − ∇p + μ · Δv ρ· . (3.20) ∂t In Gleichung (3.20) steht ∇p f¨ ur den Gradienten von p und (v ·∇) f¨ ur das Skalarprodukt aus Geschwindigkeitsvektor und Nabla-Operator. Dies ergibt den Konvektionsoperator, der auf jede Komponente des Geschwindigkeitsvektors v angewandt wird. Δv steht f¨ ur den auf v angewandten Laplace-Operator. F¨ ur diese Abk¨ urzungen gelten gem¨aß der Schreibweise der Vektoranalysis die folgenden Vereinbarungen ! ∂p ∂p ∂p T v · ∇ = u · ∂ + v · ∂ + w · ∂ , , ∇p = ∂x , ∂y , ∂z ∂x ∂y ∂z (3.21) 2 2 2    ∂ v v v ∂ ∂ Δv = + + 2 . ∂x2 ∂y 2 ∂z Die Gleichungen (3.19) bilden zusammen mit der Kontinuit¨atsgleichung (3.2) ∇ · v = 0

(3.22)

ein Gleichungssystem, bestehend aus vier skalaren partiellen nichtlinearen Differentialgleichungen von zweiter Ordnung, f¨ ur die vier Unbekannten u, v, w und p, das f¨ ur vorgegebene Anfangs- und Randbedingungen gel¨ ost werden muss. Auf die L¨osungsmethoden wird in diesem Buch sp¨ater noch eingegangen. Die Bedeutung der einzelnen Terme der Navier-Stokes-Gleichung (3.20) sowie deren Vereinfachungen f¨ ur Str¨ omungsbeispiele, die in Kapitel 2 behandelt wurden, sind in Abbildung 3.5 dargestellt. Dabei werden die Volumenkr¨afte k vernachl¨assigt. Die linke Seite der Navier-Stokes-Gleichung beschreibt die lokale und konvektive Beschleunigung, die wir bereits in Kapitel 2.3.1 kennen gelernt haben. Auch bei einer station¨aren Str¨omung mit ∂v /∂t = 0 erf¨ahrt die Str¨ omung eine konvektive Beschleunigung aufgrund der sich mit dem Ort ¨andernden Str¨ omungsgr¨ oßen. Die Ursache der Str¨omungsbeschleunigung sind die Druck- und Reibungskr¨ afte. Bei einer station¨aren ausgebildeten Rohrstr¨omung findet keine Beschleunigung statt. Die Druckkraft ist konstant und man erh¨alt in Zylinderkoordinaten Gleichung (2.63). Die ebene Kanalstr¨ omung f¨ uhrt nach zweimaliger Integration auf das parabolische Geschwindigkeitsprofil (2.66) der Poiseuille-Str¨omung. F¨ ur die station¨are Plattengrenzschichtstr¨ omung wird der Druck von außen aufgepr¨agt und es ergibt sich die vereinfachte Navier-Stokes-Gleichung der Blasius-Grenzschicht ρ · (v · ∇)v = μ · Δv

.

218

3 Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

Bei der station¨aren Zylinderstr¨ omung ist die Druckkraft zus¨atzlich zu ber¨ ucksichtigen und es gilt die Navier-Stokes-Gleichung

ρ · (v · ∇)v = −∇p + μ · Δv

.

F¨ ur die Berechnung der periodischen Wirbelabl¨ osung der K´ arm´ anschen Wirbelstraße sowie der instation¨aren Abl¨ osung am Profil sind alle Terme der Navier-Stokes-Gleichung (3.20) zu ber¨ ucksichtigen. Analytische L¨ osungen der Navier-Stokes-Gleichung existieren f¨ ur die Str¨omungsbeispiele nicht. Man ist auf numerische N¨aherungsl¨osungen angewiesen, die in Kapitel 4.2 beschrieben werden. Betrachten wir ein Fluidelement, dann ist unmittelbar ersichtlich, dass Druckkr¨afte das Fluidelement in Richtung der Kraft verschieben und dabei verformen. Die Schubkr¨afte f¨ uhren dagegen zu einer zus¨ atzlichen Drehung des Fluidelementes. Dies ist f¨ ur eine Grenzschicht in Abbildung 3.6 skizziert. In der reibungsfreien Außenstr¨omung wird dem Fluidelement keine Drehung u ahrend die Str¨omung in der reibungsbehafteten ¨berlagert, w¨ Grenzschicht drehungsbehaftet ist.  berechnet sich aus dem Geschwindigkeitsvektor mit Der Drehvektor ω

 = ∇ × v ω

,

Abb. 3.5: Vereinfachungen der Navier-Stokes-Gleichung der inkompressiblen Str¨omung

219

3.2 Navier-Stokes Gleichungen (Erhaltung des Impulses)

mit den Komponenten in Kartesischen Koordinaten ∂w ∂v − , ∂y ∂z ∂u ∂w − , ωy = ∂z ∂x ∂u ∂v ωz = − . ∂x ∂y ωx =

Integriert man ω u ¨ber eine vorgegebene Oberfl¨ache O erh¨alt man die Zirkulation der Str¨omung in diesem Bereich +

 dO = v ds . Γ= ω O

L

Wird die Oberfl¨ache ω von einer Linie L umschlossen, l¨asst sich das Oberfl¨achenintegral mit dem Satz von Stokes in ein Linienintegral u uhren. Die Zirkulation Gamma cha¨berf¨ rakterisiert die Drehung im Str¨ omungsfeld. Betrachten wir ein kompressibles Fluid, so haben wir als zus¨atzliche Unbekannte noch die Dichte ρ zu ber¨ ucksichtigen. Dazu ben¨ otigen wir dann noch eine weitere Gleichung und zwar die Energiegleichung, deren Herleitung noch erl¨autert wird. Kompressible Str¨ omungen mit W¨ arme¨ ubergang, die wir in Kapitel 2.4.6 kennengelernt haben, k¨onnen unter Voraussetzung der Boussinesq-Annahme mit der Navier-StokesGleichung (3.20) berechnet werden. Dabei wird die Dichte¨anderung infolge Druck¨anderung vernachl¨assigt. Infolge der W¨ armeausdehnung ¨ andert sich die Dichte jedoch mit der Temperatur. Bei Konvektionsstr¨ omungen ist dies die Ursache f¨ ur die Auftriebskraft ρ(T ) · g . Im Rahmen der Boussinesq-Approximation wird die Dichte¨anderung nur im Auftriebsterm ber¨ ucksichtigt und in allen anderen Termen vernachl¨assigt. Dabei ist der Ansatz f¨ ur die Dichte: ρ(T ) = ρ0 · (1 − α · (T − T0 ))

Abb. 3.6: Drehung einer Str¨ omung in einer Grenzschicht

,

(3.23)

220

3 Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

mit dem W¨armeausdehnungskoeffizienten α, einer Bezugsdichte ρ0 und einer Bezugstemperatur T0 . Die Z¨ahigkeit wird als konstant angenommen. Zus¨atzlich wird die Dissipation vernachl¨assigt. Unter diesen Voraussetzungen erh¨alt man die Navier-Stokes-Gleichung  ∂v + (v · ∇)v = −∇p + μ · Δv − ρ · g . (3.24) ρ· ∂t Hinzu kommt die Energiegleichung, die in Kapitel 3.3.1 behandelt wird.

3.2.2

Reynolds-Gleichungen f¨ ur turbulente Str¨ omungen

In den vorigen Abschnitten haben wir die Navier-Stokes Gleichungen f¨ ur laminare Str¨omungen hergeleitet. Diese Gleichungen sind, zumindest aus der Sicht des Ingenieurs, als exakt anzusehen. Wenn wir sie mit analytischen oder numerischen Methoden f¨ ur alle technischen Probleme l¨ osen k¨ onnten, so k¨ onnten wir an dieser Stelle das Kapitel Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik beenden und zu den L¨osungsverfahren u ¨bergehen. Die Gleichungen sind aber f¨ ur die Mehrzahl der technischen Probleme nur n¨aherungsweise l¨osbar und deshalb gibt es eine Reihe von modifizierten und vereinfachten Gleichungen, mit denen man das Wesentliche der Str¨ omungsphysik erfassen und berechnen kann. Als Ingenieur muss man lernen, ein Str¨ omungsproblem zu beurteilen um auf dieses die geeignet vereinfachten Gleichungen anzuwenden, so dass die Str¨omung genau berechnet bzw. mit der entsprechenden Software (Kapitel 5) auf einem Rechner simuliert werden kann. Wir denken in diesem Zusammenhang an die in Kapitel 2 diskutierten Str¨omungsprobleme. Auf dem Tragfl¨ ugel sind die Grenzschichten und die Nachlaufstr¨omung f¨ ur Reynoldsomung um ein Kraftfahrzeug wird ebenfalls durch Zahlen gr¨oßer 5 · 105 turbulent. Die Str¨ große turbulente Str¨ omungsbereiche bestimmt und bei der Rohrstr¨omung k¨onnen wir davon ausgehen, dass die Str¨ omung nach einer charakteristischen Laufl¨ange f¨ ur ReynoldsZahlen gr¨oßer 2300 turbulent ist. In diesem Abschnitt wollen wir uns mit den modifizierten Navier-Stokes Gleichungen zur Berechnung von turbulenten Str¨ omungen auseinandersetzen. Die vereinfachten Grundgleichungen werden dann in den nachfolgenden Abschnitten hergeleitet und deren Anwendungen erl¨autert. Bevor wir nun die modifizierten Gleichungen zur Berechnung von turbulenten Str¨omungen herleiten, m¨ ussen wir uns erg¨anzend zu Kapitel 2.4.1 nochmals den Grundlagen turbulenter Str¨ omungen zuwenden und erg¨anzend zur Reynolds-Mittelung die Favre-Mittelung f¨ ur turbulente kompressible Str¨omungen einf¨ uhren.

Kompressible Str¨ omungen Wir betrachten wieder die Tragfl¨ ugelstr¨ omung an zwei verschiedenen Stellen (Abbildung 3.7). Die erste Stelle, sie wird mit dem Index 1 gekennzeichnet, liegt im hinteren turbulenten Teil der Grenzschicht, an der die Str¨ omung quasi-station¨ar (im zeitlichen Mittel station¨ar) ist. Weiterhin betrachten wir die Str¨ omung an der Stelle mit dem Index 2 im turbulenten Nachlauf, wo die Str¨ omung ebenfalls turbulent ist und zus¨atzlich im zeitlichen Mittel instation¨ar.

221

3.2 Navier-Stokes Gleichungen (Erhaltung des Impulses)

In der Abbildung 3.8 sind die zeitlichen Verl¨ aufe des Betrages einer Str¨omungsgr¨oße f (z. B. Geschwindigkeit, Druck etc.) an den Stellen 1 und 2 dargestellt. An beiden Stellen ¨andert sich die Str¨omung mit der Zeit, also sind streng genommen beide Str¨omungen als instation¨ ar anzusehen. Allerdings besitzt die Str¨ omung an der Stelle 1 einen zeitlichen Mittelwert ¯f, der u ¨ber die Zeit konstant ist und die betrachtete Str¨omungsgr¨oße f schwankt mit nur kleinen Ausschl¨agen f  um diesen gemittelten Wert. Eine solche Str¨omung bezeichnet man als quasi-station¨ar. Ihren Mittelwert ¯f k¨ onnen wir mit der Gleichung ⎞ ⎛

T 1 ¯f = lim ⎝ · f · dt⎠ (3.25) T →∞ T 0

berechnen. Dabei gilt weiterhin ⎛ 1 lim ⎝ · T →∞ T

T

⎞ f  · dt⎠ = 0 .

(3.26)

0

An der Stelle 2 hingegen ¨ andert sich der Mittelwert ¯f mit der Zeit und die Str¨omung wird dort als turbulent und instation¨ ar bezeichnet. Wir benutzen zur Definition wieder die bereits verwendete Gleichung ¯f = 1 · T

T f · dt

.

(3.27)

0

Jedoch m¨ ussen wir das Mittelungsintervall [0, T ] geeignet groß w¨ahlen. Wird es zu groß gew¨ahlt, so wird der instation¨ are Verlauf herausgemittelt. Wird es zu klein gew¨ahlt, so repr¨asentiert der berechnete Wert nicht den tats¨achlichen Mittelwert. Die Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik, die wir in den vorigen Abschnitten hergeleitet haben, beinhalten auch die Physik der Schwankungsbewegungen. Um diese allerdings f¨ ur technische Probleme mit numerischen Verfahren berechnen zu k¨onnen, m¨ ussten Rechner mit einer sehr großen Speicherkapazit¨ at und Rechenleistung zur Verf¨ ugung stehen, um die zeitlichen Verl¨aufe und r¨ aumlichen Strukturen der turbulenten Schwankungen ausreichend aufl¨osen zu k¨ onnen. Solche Rechner wird es auch in absehbarer Zeit nicht geben, so dass man gezwungen ist, f¨ ur die Berechnung von technischen Str¨omungen die Schwankungsbewegungen mit sogenannten Turbulenzmodellen n¨aherungsweise zu modellieren. In diesem Abschnitt wollen wir nun die Grundgleichungen der Str¨omungsmechanik dahingehend modifizieren, dass in ihnen die Turbulenzmodelle ber¨ ucksichtigt werden k¨onnen.

Abb. 3.7: Tragfl¨ ugelstr¨omung

222

3 Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

Dazu werden wir die Grundgleichungen zeitlich mitteln. Die Turbulenzmodellierung, die immer noch ein Aufgabengebiet der Forschung ist, wird in einem nachfolgenden Abschnitt in ersten Ans¨atzen ausgef¨ uhrt. Wir f¨ uhren zun¨achst die folgenden massengemittelten Gr¨oßen ein u ˜=

ρ·u ρ¯

,

v˜ =

ρ·v ρ¯

,

w ˜=

ρ·w ρ¯

,

ρ·T T˜ = ρ¯

,

e˜ =

ρ·e ρ¯

. (3.28)

¨ Mit dem Uberstreichen der Produkte, z. B. von ρ · u, ist gem¨aß der Gleichung (3.25) (bzw. gem¨aß Gleichung (3.27)) die zeitliche Mittelung ⎞ ⎛

T 1 ρ · u = lim ⎝ · (ρ · u) · dt⎠ (3.29) T →∞ T 0

gemeint, die man auch Favre-Mittelung nennt. Die Gr¨oßen u, v usw. lassen sich nun aus den zeitlichen Mittelwerten gem¨aß den Gleichungen (3.28) und einer Schwankungsgr¨ oße, die wir nachfolgend mit zwei Strichen kennzeichnen, zusammensetzen. Dabei werden der Druck p und die Dichte ρ (trivialerweise) nicht massengemittelt. Ihre Schwankungsgr¨ oßen werden mit nur einem Strich gekennzeichnet. Wir definieren also die folgenden Gr¨ oßen ρ = ρ¯ + ρ , u=u ˜ + u , T = T˜ + T  ,

p = p¯ + p , v = v˜ + v  , e = e˜ + e .

w=w ˜ + w

,

(3.30)

Es ist wichtig zu vermerken, dass die zeitlich gemittelten Gr¨oßen von f  (f  steht f¨ ur eine beliebige Schwankungsgr¨ oße um u ˜, v˜, usw.), also f  , nicht Null sind. Hingegen ist die Gr¨oße ρ · f  , wie nachfolgend gezeigt, Null. Um dies zu zeigen, betrachten wir das Produkt ρ · u. Gem¨aß der eingef¨ uhrten Definition gilt ˜ + ρ · u ρ · u = ρ · (˜ u + u ) = ρ · u Durch das zeitliche Mitteln des Ausdrucks erhalten wir ⎞ ⎛

T 1 ρ · u = lim ⎝ · (ρ · u ˜ + ρ · u ) · dt⎠ = T →∞ T 0

Abb. 3.8: Zeitlich gemittelte Gr¨ oßen

.

223

3.2 Navier-Stokes Gleichungen (Erhaltung des Impulses)

⎛

⎛

⎞

T 1 (ρ · u ˜) · dt⎠ + lim ⎝ · (ρ · u ) · dt⎠ = T →∞ T 0 0 ⎞ T

1 ˜ + ρ · u . =u ˜ · lim ⎝ · ρ · dt⎠ + ρ · u = ρ¯ · u T →∞ T

1 = lim ⎝ · T →∞ T ⎛

⎞

T

0

Also ist ρ·u ρ · u =u ˜+ ρ¯ ρ

.

Vergleichen wir diese Gleichung mit der Definitionsgleichung f¨ ur u ˜, so erkennen wir, dass gilt: ρ · u = 0. Weiterhin gelten die folgenden Rechenregeln f¨ ur zwei beliebige Gr¨oßen f und g (dem Leser wird empfohlen, die Rechenregeln selbst nachzuvollziehen) ∂f ∂¯f = ∂s ∂s

,

f + g = ¯f + g¯

,

ρ · ˜f = 0

.

(3.31)

Mit den nun bekannten Rechenregeln ist es m¨oglich, die Grundgleichungen zeitlich zu mitteln. Wir beginnen mit der zeitlichen Mittelung der Kontinuit¨atsgleichung, d.h wir wollen herausfinden, wie sich die Gleichung ver¨ andert, wenn wir sie nicht nur f¨ ur einen Zeitpunkt betrachten, sondern f¨ ur ein Zeitintervall. Da wir die Gleichungen f¨ ur eine instation¨are Str¨omung mitteln wollen, muss das Zeitintervall [0, T ], wie bereits diskutiert, geeignet groß gew¨ahlt werden (deshalb steht in den nachfolgenden Gleichungen nicht mehr limT →∞ ). Die zeitliche Mittelung schreibt sich f¨ ur die Kontinuit¨atsgleichung wie folgt 1 · T

T 

∂ρ ∂(ρ · u) ∂(ρ · v) ∂(ρ · w) + + + ∂t ∂x ∂y ∂z

· dt = 0

0

oder ∂ρ ∂(ρ · u) ∂(ρ · v) ∂(ρ · w) + + + =0 ∂t ∂x ∂y ∂z

.

(3.32)

Setzen wir in die Gleichung (3.32) die Gr¨ oßen u, v und w gem¨aß der Gleichungen (3.30) ein, so k¨onnen wir mit den Rechenregeln (3.31) und mit ρ · f  = 0 die folgende Rechnung durchf¨ uhren ∂ρ ∂[ρ · (˜ u + u )] ∂[ρ · (˜ v + v  )] ∂[ρ · (w ˜ + w )] + + + =0 ∂t ∂x ∂y ∂z

,

∂ρ ∂[ρ · (˜ u + u )] ∂[ρ · (˜ v + v  )] ∂[ρ · (w ˜ + w  )] + + + =0 ∂t ∂x ∂y ∂z

,

∂ ρ¯ ∂[ρ · (˜ ui + ui )] + =0 . ∂t ∂xi

224

3 Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

Der zweite Summand beinhaltet die abk¨ urzende Schreibweise f¨ ur die drei Koordinatenund Geschwindigkeitsrichtungen (i = 1, . . . , 3). F¨ ur ihn gilt weiterhin ∂(ρ · u ∂(¯ ρ·u ˜i ) ui + ui )] ˜i ) ∂(ρ · ui ) ∂[ρ · (˜ = + = ∂xi ∂xi ∂xi ∂xi

.

Die zeitlich gemittelte Kontinuit¨ atsgleichung lautet also ρ·u ˜) ∂(¯ ρ · v˜) ∂(¯ ρ · w) ˜ ∂ ρ¯ ∂(¯ + + + =0 ∂t ∂x ∂y ∂z

.

(3.33)

Sie hat sich gegen¨ uber der urspr¨ unglichen Kontinuit¨atsgleichung rein ¨außerlich kaum ˜i . ver¨andert und enth¨ alt jetzt nicht mehr die Gr¨ oßen ρ und ui , sondern ρ¯ und u Es folgt nun die zeitliche Mittelung der Navier-Stokes Gleichungen, die in analoger Weise wie die Mittelung der Kontinuit¨ atsgleichung durchgef¨ uhrt wird. Dabei beschr¨anken wir uns wieder auf die Gleichung f¨ ur die x-Richtung und schreiben (s. dazu Gleichung (3.13)) ∂τyx ∂τzx ∂p ∂σxx ∂(ρ · u) ∂(ρ · u2 ) ∂(ρ · u · v) ∂(ρ · u · w) + + + = kx − + + + ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x ∂x ∂y ∂z mit

 ∂u 2 σxx = μ · 2 · − · ( · v ) ∂x 3

 ,

τij = μ ·

∂ui ∂uj + ∂xj ∂xi

,

.

Mit den eingef¨ uhrten Rechenregeln (3.31) erhalten wir ¯xx ∂ τ¯yx ∂ τ¯zx ∂(ρ · u) ∂(ρ · u2 ) ∂(ρ · u · v) ∂(ρ · u · w) ∂ p¯ ∂ σ + + + = kx − + + + .(3.34) ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x ∂x ∂y ∂z Gem¨aß der Definition von u ˜ ist ρ · u = ρ¯·˜ u, so dass in der Gleichung (3.34) alle Summanden der linken und rechten Seite gemittelt bekannt sind, außer drei Summanden der linken Seite, die die r¨aumlichen partiellen Ableitungen enthalten. Sie wollen wir nachfolgend weiter betrachten, indem wir in diese Glieder f¨ ur u, v und w die entsprechenden Ausdr¨ ucke gem¨aß der Gleichungen (3.30) einsetzen. Wir erhalten ∂[ρ · (˜ u + u )2 ] ∂[ρ · (˜ u + u ) · (˜ v + v  )] ∂[ρ · (˜ u + u ) · (w ˜ + w )] + + = ∂x ∂y ∂z ∂(ρ · u ˜2 ) ∂(ρ · u 2 ) ∂(2 · ρ · u ˜ · u ) + + + ∂x ∂x ∂x ∂(ρ · u ˜ · v˜) ∂(ρ · u ˜ · v  ) ∂(ρ · u · v˜) ∂(ρ · u · v  ) + + + + ∂y ∂y ∂y ∂y ∂(ρ · u ∂(ρ · u · w ) ˜ · w) ˜ ˜ · w ) ∂(ρ · u · w) ˜ ∂(ρ · u + + + = ∂z ∂z ∂z ∂z ∂(¯ ρ·u ˜2 ) ∂(ρ · u 2 ) ∂(¯ ρ·u ˜ · v˜) ∂(ρ · u · v  ) + + + + ∂x ∂x ∂y ∂y

225

3.2 Navier-Stokes Gleichungen (Erhaltung des Impulses)

∂(¯ ρ·u ˜ · w) ˜ ∂(ρ · u · w ) + ∂z ∂z

.

Setzen wir das Ergebnis der Rechnung in die Gleichung (3.34) ein, erhalten wir die Reynolds-Gleichung f¨ ur die x-Richtung. Sie lautet ρ·u ˜2 ) ∂(¯ ρ·u ˜ · v˜) ∂(¯ ρ·u ˜ · w) ˜ ∂(¯ ρ·u ˜) ∂(¯ + + + = ∂t ∂x ∂y ∂z $ % ¯xx ∂ τ¯yx ∂ τ¯zx ∂(ρ · u 2 ) ∂(ρ · u · v  ) ∂(ρ · u · w ) ∂ p¯ ∂ σ + + + − + + . (3.35) kx − ∂x ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z F¨ ur die zeitlich gemittelten Normal- und Schubspannungen σxx , τyx und τzx erhalten wir mit einer einfachen zus¨ atzlichen Rechnung die erg¨anzenden Gleichungen 

σ ¯xx

 ∂u ˜ 2 ∂u 2  ˜ =μ· 2· − · ( · v ) + μ · 2 · − · ( · v ) ∂x 3 ∂x 3 $ %   ∂uj ∂ui ∂u ˜i ∂u ˜j +μ· τ¯ij = μ · + + . ∂xj ∂xi ∂xj ∂xi

,

(3.36) (3.37)

˜ und  · v  stehen f¨ ur die Divergenzen Die Ausdr¨ ucke  · v v ∂w ˜ ∂u ˜ ∂˜ + + ∂x ∂y ∂z

,

∂u ∂v  ∂w + + ∂x ∂y ∂z

.

Die Gleichung (3.35) enth¨ alt im Vergleich zu der Navier-Stokes Gleichung auf der rechten Seite zus¨atzliche Glieder, mit denen die Schwankungsbewegungen der Str¨omung ber¨ ucksichtigt werden. Diese Glieder sind Tr¨ agheitsglieder, denn sie r¨ uhren von den konvektiven nichtlinearen Termen her. Die durch die Schwankungen verursachten Tr¨ agheitskr¨afte in der Str¨omung erwecken den Eindruck, dass in der Str¨ omung eine zus¨ atzliche Reibung wirksam ist. Deshalb werden diese Schwankungsterme auch als zus¨ atzliche Reibungsglieder interpretiert, obwohl sie direkt nichts mit den Reibungseffekten gemeinsam haben. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von turbulenter Scheinreibung. Weiterhin haben die Schwankungsbewegungen einen Einfluss auf die zeitlich gemittelten Normal- und Schubspannungen, wie wir es jeweils an dem zweiten Summanden der Gleichungen (3.36) und (3.37) erkennen k¨ onnen. Diese zuletzt genannten Summanden werden jedoch bei der Berechnung von Str¨ omungsfeldern vernachl¨assigt, da ihr Einfluss auf die Ergebnisse der Str¨ omungsberechnungen bekannterweise gering ist. Die zus¨atzlichen Terme in der Gleichung (3.35) m¨ ussen f¨ ur turbulente Str¨omungen geeignet modelliert werden (f¨ ur laminare Str¨ omungen sind sie verst¨andlicherweise Null). Dazu gibt es Turbulenzmodelle. Nachfolgend werden nun alle drei Reynolds-Gleichungen f¨ ur die x-, y- und z-Richtung angegeben. Sie lauten

226

3 Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

∂ p¯ ∂(¯ ρ·u ˜) ∂(¯ ρ·u ˜2 ) ∂(¯ ρ·u ˜ · v˜) ∂(¯ ρ·u ˜ · w) ˜ + + + = k˜x − ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x $ % ∂ τ¯yx ∂ τ¯zx ∂(ρ · u 2 ) ∂(ρ · u · v  ) ∂(ρ · u · w ) ∂σ ¯xx + + − + + , + ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z

(3.38)

ρ · v˜ · u ˜) ∂(¯ ρ · v˜2 ) ∂(¯ ρ · v˜ · w) ˜ ∂ p¯ ∂(¯ ρ · v˜) ∂(¯ + + + = k˜y − ∂t ∂x ∂y ∂z ∂y $ % ∂ τ¯xy ∂σ ¯yy ∂ τ¯zy ∂(ρ · v  · u ) ∂(ρ · v  2 ) ∂(ρ · v  · w ) + + + − + + , ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z

(3.39)

∂(¯ ρ · w) ˜ ∂(¯ ρ·w ˜·u ˜) ∂(¯ ρ·w ˜ · v˜) ∂(¯ ρ·w ˜2) ˜ ∂ p¯ + + + = kz − ∂t ∂x ∂y ∂z ∂z $ % ∂ τ¯yz ∂σ ¯zz ∂(ρ · w · u ) ∂(ρ · w · v  ) ∂(ρ · w 2 ) ∂ τ¯xz + + − + + . + ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z

(3.40)

mit $ %   ∂u ∂u ˜i 2 2  ˜ ) + μ · 2 · i − · ( · v ) σ ¯ii = μ · 2 · − · ( · v ∂xi 3 ∂xi 3 % $  ∂uj ∂ui ∂u ˜i ∂u ˜j . +μ· τ¯ij = μ · + + ∂xj ∂xi ∂xj ∂xi

,

(3.41)

(3.42)

Inkompressible Str¨ omungen F¨ ur inkompressible Str¨ omungen (ρ = konst.) vereinfachen sich die Gleichungen (3.28) und (3.30) u ˜=u ¯ , u=u ¯ + u

,

v˜ = v¯ , v = v¯ + v 

,

w ˜=w ¯ , w=w ¯ + w

,

p = p¯ + p

.

(3.43)

Die Kontinuit¨atsgleichung lautet v ∂w ¯ ∂u ¯ ∂¯ + + =0 ∂x ∂y ∂z

.

Die zeitlich gemittelten Navier-Stokes Gleichungen lauten

(3.44)

227

3.2 Navier-Stokes Gleichungen (Erhaltung des Impulses)

 ρ·

∂u ¯ ∂u ¯2 ∂(¯ u · v¯) ∂(¯ u · w) ¯ + + + ∂t ∂x ∂y ∂z

∂ τ¯yx ∂ τ¯zx ∂σ ¯xx + + −ρ· + ∂x ∂y ∂z  ρ·





$

∂ p¯ ∂x %

(3.45) ,

∂ p¯ = k¯y − ∂y

∂(v  · w ) ∂(v  · u ) ∂v  2 + + ∂x ∂y ∂z

∂w ¯ ∂(w ¯·u ¯) ∂(w ¯ · v¯) ∂ w ¯2 + + + ∂t ∂x ∂y ∂z

∂ τ¯yz ∂σ ¯zz ∂ τ¯xz + + −ρ· + ∂x ∂y ∂z

3.2.3

$

= k¯x −

∂(u · v  ) ∂(u · w ) ∂u 2 + + ∂x ∂y ∂z

v·u ¯) ∂¯ v2 ∂(¯ v · w) ¯ ∂¯ v ∂(¯ + + + ∂t ∂x ∂y ∂z

∂ τ¯xy ∂σ ¯yy ∂ τ¯zy + + + −ρ· ∂x ∂y ∂z

ρ·

$



= k¯z −

%

(3.46) ,

∂ p¯ ∂z

∂(w · u ) ∂(w · v ) ∂(w 2 ) + + ∂x ∂y ∂z

%

(3.47) .

Turbulenzmodelle

Mit dem Herleiten der Reynolds-Gleichungen haben wir erreicht, dass wir bei der Berechnung von turbulenten Str¨ omungen die Schwankungsbewegungen ber¨ ucksichtigen k¨onnen, ohne sie dabei detailliert zeitlich und r¨ aumlich aufl¨osen zu m¨ ussen. Die zus¨atzlichen Terme, die die Schwankungsgr¨ oßen beinhalten, werden mit Turbulenzmodellen bestimmt. In diesem Abschnitt werden wir lernen, wie wir mit zus¨atzlichen Modellvorstellungen die Schwankungsterme f¨ ur die jeweiligen technischen Str¨omungsprobleme ermitteln k¨onnen. Die Gleichungen (3.38) bis (3.40) k¨ onnen wir mit der folgenden vektoriellen Schreibweise zusammenfassen ˜) ∂(¯ ρ · v ˜ ˜ · )v ˜ = k + ρ¯ · (v − ¯ p +  · τ¯ +  · τt ∂t mit

(3.48)

⎛

⎛

⎞ σ ¯xx τ¯yx τ¯zx ¯yy τ¯zy ⎠ τ¯ = ⎝ τ¯xy σ τ¯xz τ¯yz σ ¯zz

,

,

⎞ −ρ · u 2 −ρ · u · v  −ρ · u · w ⎜ ⎟ τt = ⎝ −ρ · v  · u −ρ · v  2 −ρ · v  · w ⎠ −ρ · w · u −ρ · w  · v −ρ · w  2

. (3.49)

In der Gleichung (3.48) ist auch der Ausdruck (v · )v ein Vektor. Die meisten f¨ ur technische Str¨ omungsprobleme anwendbaren Turbulenzmodelle basieren auf der Boussinesq-Annahme, die wir bereits in Kapitel 2.4.1 kennengelernt haben. Bous-

228

3 Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

sinesq schlug bereits im Jahre 1877 vor, die Schwankungsgr¨oßen im rechten Tensor (3.49) mit einem Ansatz zu modellieren, der analog zur Berechnung der Normal- und Schubspannungen des linken Tensors (3.49) gilt. aß der Gleichung (3.42), wenn wir den zweiten SumF¨ ur die Schubspannungen τ¯ij gilt gem¨ manden dieser Gleichung (er ist sehr klein) vernachl¨assigen  ∂u ˜i ∂u ˜j τ¯ij = μ · + . (3.50) ∂xj ∂xi Die Boussinesq-Annahme geht davon aus, dass die Schwankungsgr¨oßen −ρ · ui · uj in Analogie zur Gleichung (3.50) ermittelt werden k¨onnen:  −ρ · ui · uj = μt ·

∂u ˜i ∂u ˜j + ∂xj ∂xi

.

(3.51)

oße oder als turbulente Viskosit¨at beziehungsweise Wirbelvisμt wird als Austauschgr¨ kosit¨at bezeichnet. Diese steht in keinem direkten Zusammenhang mit der molekularen Z¨ahigkeit, obwohl der Begriff ’turbulente Viskosit¨at’ darauf hindeutet. Wir haben bereits gelernt, dass die Terme des rechten Tensors (3.49) Tr¨agheitsterme sind. Turbulenzmodelle, die auf der Boussinesq-Annahme basieren, beschr¨anken sich auf die Modellierung der Austauschgr¨ oße μt . Sie beinhalten Gleichungen, mit denen die Austauschgr¨oße in Abh¨angigkeit von den mittleren Str¨ omungsgr¨oßen ρ¯, u ˜ usw. berechnet werden kann. Es gibt je nach Str¨ omungsproblem vergleichsweise einfache Turbulenzmodelle, die mit algebraischen Gleichungen die Austauschgr¨ oße angeben und wiederum kompliziertere, bei deren Anwendung partielle Differentialgleichungen gel¨ost werden m¨ ussen. Turbulenzmodelle werden in der Literatur gem¨ aß der Anzahl der partiellen Differentialgleichungen, die ein Modell beinhaltet, geordnet. So spricht man bei den algebraischen Turbulenzmodellen von Null-Gleichungsmodellen. Enth¨alt ein Turbulenzmodell zur Beschreibung der Austauschgr¨ oße eine partielle Differentialgleichung, so wird dieses als ein EinGleichungsmodell bezeichnet. Ein Zwei-Gleichungsmodell besitzt demzufolge zwei partielle Differentialgleichungen und stellt bei der Anwendung auf technische Probleme bez¨ uglich des Aufwandes eine obere Grenze dar, insbesondere dann, wenn die Turbulenz von dreidimensionalen Str¨omungen modelliert wird. Bei der Auswahl eines Turbulenzmodells zur Berechnung einer turbulenten Str¨omung m¨ ussen immer die beiden folgenden Punkte beachtet werden: • Ein Turbulenzmodell ist in der Regel nur f¨ ur eine bestimmte Str¨omung anwendbar. So gibt es z. B. Turbulenzmodelle f¨ ur Str¨omungen mit starken Druckgradienten, kleinen Reynolds-Zahlen, f¨ ur freie Scherstr¨omungen und f¨ ur Str¨omungen an rauhen Oberfl¨achen usw.. Vor der Anwendung muss gekl¨art werden, welche Art von Str¨omung berechnet werden soll. • Jedes Turbulenzmodell basiert auf experimentellen Ergebnissen, die wiederum f¨ ur festgelegte Reynolds- und Mach-Zahlbereiche sowie zus¨atzliche Parameter ermittelt wurden. Die in dem Turbulenzmodell enthaltenen Konstanten beziehen sich auf diese experimentellen Ergebnisse. Vor der Berechnung der Str¨omung muss also gepr¨ uft

3.2 Navier-Stokes Gleichungen (Erhaltung des Impulses)

229

werden, ob die im Turbulenzmodell enthaltenen Konstanten passend f¨ ur die zu berechnende Str¨ omung sind. Wir werden nun nacheinander die einfachen (Null-Gleichungsmodelle) und die aufwendigeren (Ein- und Zwei-Gleichungsmodelle) kennenlernen. Alle basieren auf der BoussinesqAnnahme und setzen isotrope turbulente Str¨ omungen voraus. Einfache algebraische oder Null-Gleichungsmodelle Zun¨achst beschr¨anken wir uns auf eine zweidimensionale Grenzschichtstr¨omung, um eine Vorstellung von der Methode der Turbulenzmodellierung zu erhalten. Eines der erfolgreichsten Turbulenzmodelle f¨ ur eine Grenzschichtstr¨omung ist von Prandtl im Jahre 1920 vorgeschlagen worden. Es beinhaltet das Mischungswegkonzept, das bereits im Kapitel 2.4.1 beschrieben wurde. F¨ ur detaillierte Ausf¨ uhrungen verweisen wir auf die B¨ ucher von L. Prandtl – F¨ uhrer durch die Str¨ omungslehre, H. Oertel jr. 2008, H. Schlichting, K. Gersten 2006, B. E. Launder, D. B. Spalding 1979 und von J. Piquet 2001. Daraus resultiert die Gleichung f¨ ur die Berechnung der turbulenten Schubspannung μt



∂u ˜

μt = ρ¯ · l2 ·



, (3.52) ∂z mit der Mischungswegl¨ ange l. Sie ist eine Funktion der Wandnormalenkoordinate und wird f¨ ur die unterschiedlichen Turbulenzmodelle verschieden angegeben. F¨ ur die Berechnung der Tragfl¨ ugelstr¨ omungen w¨ ahlen wir das Turbulenzmodell von B. S. Baldwin, H. Lomax 1978 aus, das nachfolgend beschrieben wird (s. dazu auch T. Cebeci, A. M. O. Smith 1974). Es basiert auf der Boussinesq-Annahme und nutzt zur Modellierung der Austauschgr¨oße μT im wandnahen Bereich das Prandtlsche Mischungswegkonzept. Baldwin und Lomax teilen die turbulente Prandtl-Grenzschicht in einen inneren und ur den inneren Bereich gem¨aß des oße μt wird f¨ ¨außeren Bereich ein. Die Austauschgr¨ Prandtlschen Mischungswegkonzeptes berechnet und im ¨außeren Bereich mit einer algebraischen Gleichung, die auf Ergebnissen von Grenzschichtuntersuchungen beruht. F¨ ur

Abb. 3.9: Bereichseinteilung der turbulenten Grenzschicht

230

3 Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

μt gilt also die folgende Aufspaltung der Abbildung 3.9  (μt )innen z < zcross μt = (μt )außen z > zcross

.

(3.53)

zcross steht f¨ ur die Wandnormalenkoordinate, die die Grenze zwischen dem inneren und ur dreidimensio¨außeren Bereich bildet. Baldwin und Lomax haben die Gleichung (3.52) f¨ nale Grenzschichtstr¨ omungen erweitert. Sie berechnen f¨ ur den inneren Bereich die Austauschgr¨oße mit der Gleichung (μt )innen = ρ¯ · l2 · | ω ˜|

.

(3.54)

l steht wiederum f¨ ur die Mischungswegl¨ ange und ω f¨ ur die Drehung der Str¨omung. Die Mischungswegl¨ange wird mit der Prandtl-Van-Driest-Gleichung l = κ · z · [1 − exp(− berechnet, wobei z+ =

z+ )] A+

√ ρ¯w · τw · z μ

(3.55)

ist (Index w f¨ ur Gr¨ oßen auf der Kontur bzw. Wand). F¨ ur die Drehung gilt (s. dazu Abbildung 3.10)  2  2  2 ∂˜ v ∂w ∂w ˜ ∂u ˜ ∂˜ v ˜ ∂u ˜ + + . |ω ˜ |= − − − ∂y ∂x ∂z ∂y ∂x ∂z Die Drehung ω unterscheidet sich nicht wesentlich von dem Gradienten ∂ u ˜/∂z, da alle Gradienten im Vergleich zu ∂ u ˜/∂z klein sind. F¨ ur die Anwendung des Balwin-Lomax-Modells ben¨otigt man nicht die Dicke der Grenzschicht, was wiederum bei der Anwendung anderer Turbulenzmodelle der Fall sein wird und die Durchf¨ uhrung von Rechnungen erschwert. Die Gleichungen zur Berechnung der Mischungswegl¨ange beinhalten die Konstanten κ und A+ . Sie sind in der Tabelle 3.1 angegeben. Die Austauschgr¨oße (μt )außen berechnet sich gem¨aß den Angaben von Baldwin und Lomax mit der algebraischen Gleichung (μt )außen = ρ¯ · K · CCP · FWAKE · FKLEB

.

(3.56)

Abb. 3.10: Dreidimensionales Grenzschichtprofil

231

3.2 Navier-Stokes Gleichungen (Erhaltung des Impulses)

K und der Clauser-Parameter CCP sind Konstanten (Tabelle 3.1). FKLEB (z) ist die Intermittenzfunktion von Klebanoff, die eine Funktion der Wandnormalenkoordinate z ist. Die Gr¨oße FWAKE berechnet sich mit der Gleichung FWAKE = min(F1 , F2 )

,

F1 = zmax · Fmax

,

F2 = CWK · zmax ·

2 UDIF Fmax

.

(3.57)

Fmax ist das Maximum der Funktion F (z) = z· | ω ˜ | ·[1 − exp(−

z+ )] A+

,

(3.58)

das an der Stelle z = zmax auftritt. Die Gr¨ oße UDIF berechnet sich mit der Gleichung   UDIF = ( u2 + v 2 + w 2 )max − ( u2 + v 2 + w2 )min . (3.59) (Index max bzw. min f¨ ur gr¨ oßten bzw. kleinsten Wert in der Grenzschicht). Der zweite Summand der Gleichung (3.59) wird f¨ ur die Modellierung der Turbulenz in Grenzschichten Null gesetzt. F¨ ur die Modellierung der Turbulenz von Nachl¨aufen muss die vollst¨andige Gleichung (3.59) verwendet werden. Die Intermittenzfunktion von Klebanoff FKLEB lautet ,  6 -−1 CKLEB · z FKLEB (z) = 1 + 5.5 · zmax

.

(3.60)

Es bleibt noch die Frage offen, ab welcher Stelle z in der Grenzschicht von dem Wert (μt )innen zum Wert (μt )außen u ¨bergegangen werden muss. Die Stelle z = zcross ist die Stelle, wo bei zunehmenden z zum ersten Mal gilt: (μt )innen = (μt )außen . ¨ Dem Leser des Buches stellt sich sicherlich die Frage, mit welchen Uberlegungen sich die Konstanten und Gleichungen des Turbulenzmodells von Baldwin und Lomax begr¨ unden. Die Gleichungen und Konstanten basieren gr¨oßtenteils auf experimentellen Ergebnissen. Es w¨ urde bei weitem den Rahmen dieses Lehrbuches sprengen, alle Gleichungen ausf¨ uhrlich zu diskutieren. Wir haben das Turbulenzmodell von Baldwin und Lomax nur deshalb so ausf¨ uhrlich in diesem Buch beschrieben, da wir dem Leser einen Eindruck von der praktischen Anwendung eines einfachen algebraischen Turbulenzmodells geben wollen. Zudem werden

A+

CCP

CKLEB

CWK

κ

K

Pr

P rt

26

1.6

0.3

0.25

0.4

0.0168

0.72

0.9

Tab. 3.1 : Konstanten des Turbulenzmodells von Baldwin und Lomax

232

3 Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

wir in diesem Buch noch numerische Rechnungen zur Tragfl¨ ugelstr¨omung, bei denen die Turbulenz mit dem Modell von Baldwin und Lomax ber¨ ucksichtigt wurde, vorstellen. Zur Berechnung der kompressiblen Tragfl¨ ugelstr¨ omung ben¨otigen wir nicht nur die zeitlich gemittelten Impulsgleichungen, sondern zus¨ atzlich die zeitlich gemittelte Energiegleichung, die wir in Kapitel 3.3.2 behandeln werden. In dieser Gleichung treten auch Schwankungsgr¨ oßen auf, die entsprechend modelliert werden m¨ ussen. In Gleichung (3.109) sind die Terme ui · (∂p/∂xj ) und λ · (∂T  /∂xi ) klein im Vergleich ur die Gleichung (3.110). zu den Termen ∂(−cp · ρ · T  · uj )/∂xi . Entsprechendes gilt f¨ Die Terme σkk · (∂uk /∂xk ) und τij · (∂ui /∂xj ) sind im Vergleich zu den Gliedern σ ˜kk · ˜i /∂xj ) zu vernachl¨ assigen. Die Turbulenzmodellierung bez¨ uglich (∂ u ˜k /∂xk ) bzw. τ˜ij · (∂ u der Energiegleichung beschr¨ ankt sich also auf die Glieder −

∂ (cp · ρ · T  · uj ) ∂xi

,

(3.61)

die den zus¨atzlichen W¨ armefluss infolge der turbulenten Schwankungsbewegungen beschreiben. F¨ ur diese Glieder wird in Analogie W¨armeleitungsansatz gemacht. Er lautet

zur

Boussinesq-Annahme

−cp · ρ · T  · ui = −λt ·

∂ T˜ ∂xi

.

der

folgende

(3.62)

λt steht f¨ ur die turbulente Leitf¨ ahigkeit. Sie steht in keinem direkten Zusammenhang mit der molekularen W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ, sondern ist, wie die turbulente Viskosit¨at μt , als eine Austauschgr¨oße zu verstehen. Um sie berechnen zu k¨ onnen, wird die turbulente Prandtlzahl eingef¨ uhrt, die wie folgt definiert ist P rt = μ t ·

cp kt

,

kt =

μ t · cp P rt

.

(3.63)

Verwenden wir den Ausdruck f¨ ur kt in Gleichung (3.62), haben wir eine Berechnungsm¨oglichkeit f¨ ur die Schwankungsgr¨ oßen −cp · ρ · T  · ui , vorausgesetzt wir kennen die turbulente Prandtlzahl. Gem¨aß vieler gebr¨ auchlicher Turbulenzmodelle wird die turbulente Prandtlzahl P rt mit einem Wert nicht wesentlich kleiner eins, z. B. mit P rt = 0.9, angenommen. Experimente, die f¨ ur Wandgrenzschichten durchgef¨ uhrt wurden zeigen jedoch, dass die turbulente Prandtlzahl am ¨außeren Rand ≈ 0.6 − 0.7 betr¨ agt und nach innen bis auf den Wert 1.5 zunimmt. Ein typisches Anwendungsbeispiel f¨ ur das Baldwin-Lomax-Turbulenzmodell ist die Umstr¨omung eines transsonischen Tragfl¨ ugels, dessen Profilschnitt in Abbildung 3.11 gezeigt ist. Das Turbulenzmodell der kompressiblen Grenzschichtstr¨omung wird an der Hinterkante des Profils in die Nachlaufstr¨ omung u uhrt. ¨bergef¨

233

3.2 Navier-Stokes Gleichungen (Erhaltung des Impulses)

Abb. 3.11: Anwendungsbeispiel f¨ ur das Baldwin-Lomax-Turbulenzmodell Die Vorteile der algebraischen Turbulenzmodelle liegen auf der Hand. Sie sind einfach in numerische Verfahren zu integrieren und verursachen bei ihrer Anwendung wenig Rechenzeit, da nur einfache algebraische Gleichungen und keine komplizierten gew¨ohnlichen oder partiellen Differentialgleichungen gel¨ ost werden m¨ ussen. Andererseits werden die turbulenten Austauschgr¨oßen μt und kt nur in Abh¨angigkeit von den o¨rtlichen Geschwindigkeitsprofilen berechnet. Bei der Berechnung wird nicht das turbulente Verhalten der Str¨ omung stromauf oder stromab ber¨ ucksichtigt. Außerdem beschreiben die algebraischen Modelle, die auf dem Prandtlschen Mischungswegkonzept basieren, die Turbulenz an Stellen mit (∂ u ˜/∂z) = 0 falsch. Experimente zeigen, dass z. B. in der turbulenten Rohrstr¨ omung die Turbulenz auf der Mittellinie des Rohres nicht verschwindet. Aus diesen Gr¨ unden sind kompliziertere Turbulenzmodelle entwickelt worden. Ein-Gleichungsmodelle Wir beschr¨anken uns nachfolgend auf die Turbulenzmodellierung von inkompressiblen Str¨omungen. Die nachfolgend beschriebenen Modelle k¨onnen mit Zusatztermen auf kompressible Str¨omungen entsprechend erweitert werden. Ein-Gleichungsmodelle beinhalten in der Regel eine partielle Differentialgleichung f¨ ur die Turbulenzenergie. Die Turbulenzenergie k  ist wie folgt definiert K  = k = 2

1 2 2 2 · (u + v  + w  ) 2

.

(3.64)

Wir f¨ uhren noch zus¨ atzlich die zeitlich gemittelte Turbulenzenergie ein. Die Gleichung dazu lautet K=

k 2

1 = · T

T 

1 1 2 2 2 · (u + v  + w  ) · dt = · (u 2 + v  2 + w  2 ) 2 2

.

(3.65)

0

Die Turbulenzenergie ist ein Maß f¨ ur die Intensit¨at der Turbulenz. Wir werden nun eine partielle Differentialgleichung f¨ ur die zeitlich gemittelte Turbulenzenergie k¯ aufstellen. Auf ihr basieren die Ein- und Zwei-Gleichungsmodelle.

234

3 Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

Die Navier-Stokes Gleichungen f¨ ur inkompressible Str¨omungen k¨onnen wir abgek¨ urzt wie folgt aufschreiben ,  ∂ui ∂ 2 ui ∂ui ∂p +μ· ρ· . (3.66) =− + ρ · uj · ∂t ∂xj ∂xi ∂x2j Mit xi bzw. xj sowie ui bzw. uj sind jweils die Koordinatenrichtungen x, y, z bzw. die Geschwindigkeitskomponenten u, v, w gemeint. Der Index i = 1, 2, 3 kennzeichnet die jeweilige Gleichung f¨ ur die entsprechende Koordinatenrichtung. Mit dem Index j = 1, 2, 3 ist ein Summationsindex gemeint. So ist mit den in eckigen Klammern stehenden Gliedern konkret Folgendes gemeint ,   3 3  ∂ 2 ui ∂ui ∂ui ∂ 2 ui = = uj · , . uj · ∂xj ∂xj ∂x2j ∂x2j j=1

j=1

Wir behalten nachfolgend diese abk¨ urzende Schreibweise bei, um die Herleitung u ¨bersichtlicher aufzuschreiben. In der Gleichung (3.66) ersetzen wir die Geschwindigkeit ui , uj und den Druck p durch die zeitlichen Mittelwerte u ¯i , u ¯j bzw. p¯ plus der entsprechenden Schwankungsgr¨oße ui , uj  bzw. p und multiplizieren sie auf beiden Seiten mit der Schwankungsgeschwindigkeit ui . Wir erhalten  ∂(¯ ui + ui )  ∂(¯ ui + ui ) · ui + ρ · (¯ ρ· uj + uj ) · · ui = ∂t ∂xj , ∂(¯ p + p )  ∂ 2 (¯ ui + ui ) − · ui + μ · · ui . (3.67) ∂xi ∂x2j Durch zeitliches Mitteln der Gleichung (3.67) und die anschließend durchgef¨ uhrte Rechnung gem¨aß den Rechenregeln (3.31) erhalten wir die folgende Gleichung  ∂(¯ ui + ui )  ∂(¯ ui + ui ) · ui = · ui + ρ · (¯ ρ· uj + uj ) · ∂t ∂xj , ui + ui ) ∂(¯ p + p )  ∂ 2 (¯ · ui − · ui + μ · , ∂xi ∂x2j ,  ¯i   ∂u ∂ui  ∂ui  ∂ u i ¯j · ·u + · u · u + ui · uj · = · ui + ρ · u ρ· ∂t ∂xj i ∂xj i j ∂xj

, ∂p  ∂ 2 ui  ·u +μ· · ui − ∂xi i ∂x2j

. (3.68)

Beachte weiterhin, dass der Index j in der Gleichung (3.68) einen Summationsindex darstellt. Ber¨ ucksichtigen wir die Identit¨ aten ∂ui  ∂( 12 · ui ) · ui = ∂t ∂t 2

,

235

3.2 Navier-Stokes Gleichungen (Erhaltung des Impulses)

∂ui  ∂( 12 · ui ) ·u = , ∂xj i ∂xj     2 ∂ 2 ui  ∂ui  ∂ui ∂ · ui = ·u − ∂x2j ∂xj ∂xj i ∂xj 2

(3.69)

in Gleichung (3.68), erhalten wir schließlich , 2 2 ∂ 12 · ui 2 ) ∂ u ∂( 12 · ui ) ¯i   ∂( 12 · ui )  +ρ· u ¯j · + ·u ·u + · uj = ρ· ∂t ∂xj ∂xj i j ∂xj   2 ∂( 12 · ui 2 ) ∂p  ∂ui − ·u +μ· −μ· . ∂xi i ∂xj ∂xj

(3.70)

Gleichung (3.70) beinhaltet drei Gleichungen (i = 1, 2, 3) f¨ ur die drei Koordinatenrichtungen. Wenn wir diese drei Gleichungen addieren, erhalten wir eine partielle Differentialgleichung f¨ ur die zeitlich gemittelte Turbulenzenergie k 2 = K (siehe Gleichung (3.65). Die Differentialgleichung lautet  ∂K ∂K = +ρ· u ¯j · ρ· ∂t ∂xj    2 ∂ 2K ∂u ¯i   ∂K   ∂p ∂ui  μ· − ·u −ρ· ·u ·u + · uj − μ · . (3.71) ∂x2j ∂xi i ∂xj i j ∂xj ∂xj In Gleichung (3.71) sind sowohl i als auch j Summationsindizes. Es stehen also in der genannten Gleichung Doppelsummen. Ber¨ ucksichtigen wir in dieser Gleichung noch die Identit¨at   ∂ ∂f  ∂f  ∂v  ∂w ∂u + + = (f  · ui ) = · ui + f  · · u , ∂xi ∂xi ∂x ∂y ∂z ∂xi i erhalten wir die endg¨ ultige Form der Differentialgleichung f¨ ur die zeitlich gemittelte Turbulenzenergie pro Masse K (die Gr¨ oße f steht f¨ ur p und K). Sie lautet ρ·

 ∂K ∂K +ρ· u ¯j · = ∂t ∂xj

   2 ! ∂u ¯i   ∂K   ∂ ∂ui ∂ 2K  · u − ρ · − p · u · u + · u − μ · μ· i j ∂x2j ∂xi ∂xj i j ∂xj ∂xj

.

(3.72)

Da wir bereits mit der Herleitung der str¨ omungsmechanischen Gleichungen vertraut sind, erkennen wir sofort die physikalische Bedeutung der einzelnen Terme. Auf der linken Seite ¨ der Gleichung (3.72) stehen die zeitliche Anderung der Turbulenzenergie pro Masse in dem raumfesten Kontrollvolumen dx · dy · dz und die konvektiven Terme, mit denen die Bilanz des Transports von Turbulenzenergie in bzw. aus dem Kontrollvolumen beschrieben wird. Auf der rechten Seite stehen Ausdr¨ ucke, die wir nur zum Teil sofort interpretieren k¨onnen. Der erste und zweite Term sowie der zweite Ausdruck in der eckigen Klammer der rechten

236

3 Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

Seite ber¨ ucksichtigen die Diffusion der Turbulenzenergie. Der letzte Term der rechten Seite beschreibt die Dissipation der Turbulenzenergie. F¨ ur die Produktion der Turbulenzenergie steht der erste Ausdruck in der eckigen Klammer. Wir kommen auf die Ermittelung der Glieder der rechten Seite der Gleichung (3.72) im Folgenden zur¨ uck. Es stellt sich nun die Frage, wie wir die Gleichung (3.72) zur Berechnung von Str¨omungen anwenden. Prandtl und Kolmogorov haben 1940 die Annahme vorgeschlagen, dass die turbulente Viskosit¨at μt mit der Beziehung μt = ρ · l ·

√

K

(3.73)

berechnet werden sollte. l ist ein L¨ angenparameter, der der Mischungswegl¨ange ¨ahnlich ist, jedoch nicht gleich dieser ist. Wir werden den Zusammenhang zwischen der Mischungswegl¨ange l und dem L¨ angenparameter l noch angeben. Der Ansatz von Prandtl und Kolmogorov (3.73) basiert auf der Dimensionsanalyse, auf die wir in Kapitel 4.1.1 zu sprechen kommen werden. Bei der Berechnung von turbulenten Str¨ omungen l¨osen wir zus¨atzlich zu den ReynoldsGleichungen die partielle Differentialgleichung (3.72) zur Ermittelung von K und berechnen mit der Prandtl-Kolmogorov-Annahme die turbulente Viskosit¨at μt . Die Berechnung der Glieder der rechten Seite der Gleichung (3.72) basiert auf experimentellen Ergebnissen und Modellvorstellungen. Die Berechnungsformeln geben wir nachfolgend an. Alle anderen Turbulenzmodelle, auch Turbulenzmodelle, die nicht auf der Boussinesq-Annahme aufbauen, beinhalten zur Modellierung der Turbulenz experimentelle Ergebnisse. Wie sich aus den Experimenten die weiter unten angegebenen Gleichungen ableiten, sollte sich der Leser nach dem Durcharbeiten des vorliegenden Lehrstoffes mit Spezialvorlesungen und zus¨atzlicher Literatur aneignen. Ebenfalls kann er in weiterf¨ uhrenden Vorlesungen auch Turbulenzmodelle kennenlernen, die nicht auf der Boussinesq-Annahme basieren und noch zu den Forschungsaufgaben der Str¨omungsmechanik geh¨ oren. Zur Modellierung der Turbulenz von Innenstr¨ omungen (Kapitel 2.4.4) k¨onnen wir die Gleichung (3.72) dahingehend vereinfachen, dass wir alle Gradienten der rechten Seite in Str¨omungs- und Umfangsrichtung vernachl¨ assigen, da sie im Vergleich zu den Gradienten u ¨ber der H¨ohe des Kanals klein sind (s. dazu Abbildung 3.12). Wir gehen weiterhin davon

Abb. 3.12: Koordinatensystem f¨ ur die Kanalstr¨ omung

237

3.2 Navier-Stokes Gleichungen (Erhaltung des Impulses)

Terme der Gl. (3.72) ρ· 

∂K ∂t

Konvektion von K

 ∂2K ∂   − p · w + ρ · w · K 2 ∂z ∂z −ρ · u · w ·  μ·

∂uj ∂z

Modellterme

¨ zeitliche Anderung von K

∂K ρ· u ¯j · ∂xj μ

physikalische Bedeutung

Diffusion von K

∂u ¯ ∂z

Produktion von K

2

∂ ∂z

∂K μt · P rt ∂z  2 ∂u ¯ μt · ∂z



μ+

3

Dissipation von K

CD · ρ · K 2 l

Tab. 3.2 : Gleichungen zur Berechnung der rechten Seite der K-Gleichung

aus, dass auch die Gradienten ∂¯ v ∂z

,

∂w ¯ ∂z

im Vergleich zu dem Gradienten ∂ u ¯/∂z klein sind. Die getroffenen Annahmen sind ohne weiteres zul¨assig. Wir werden dies im n¨ achsten Abschnitt besser verstehen k¨onnen, wenn wir die Vereinfachungen zur Herleitung der Grenzschichtgleichungen diskutieren werden. Die Gleichung (3.72) vereinfacht sich also auf die Gleichung

 ρ

∂K ∂K ∂K ∂K +u ¯· + v¯ · +w ¯· = ∂t ∂x ∂y ∂z  ∂2K ∂   ∂u ¯ − μ· − p · w  + ρ · w  · K  − ρ · u · w  · 2 ∂z ∂z ∂z , 2   2   2 ∂u ∂v ∂w μ · + + ∂z ∂z ∂z

. (3.74)

Die Summanden der rechten Seite, von denen jeder einen physikalischen Vorgang zur ¨ zeitlichen Anderung der Turbulenzenergie pro Masse beschreibt, werden mit Ausdr¨ ucken berechnet, die auf zus¨ atzlichen Modellvorstellungen und Messungen basieren. Sie sind in der Tabelle 3.2 angegeben. Die endg¨ ultige Gleichung zur Simulation der Turbulenzenergie

238

3 Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

lautet demnach  ρ ∂ ∂z

∂K ∂K ∂K ∂K +u ¯· + v¯ · +w ¯· ∂t ∂x ∂y ∂z 

μt μ+ P rt



= .

 2 3 ∂K ∂u ¯ CD · ρ · K 2 · + μt · − ∂z ∂z l

(3.75)

CD ist eine weitere Konstante. Sie besitzt den Wert CD = 0.08 . . . 0.09. Gleichung (3.75) gilt nicht f¨ ur den wandnahen Bereich, sondern nur f¨ ur den r¨aumlich wesentlich gr¨oßeren voll turbulenten Bereich (Abbildung 3.13). F¨ ur den wandnahen Bereich z + < 30 (s. Gleichung (3.55)) muss die Turbulenz weiterhin mit dem Prandtlschen Mischungswegansatz berechnet werden. Die Gleichung (3.75) geht f¨ ur den wandnahen Bereich unmittelbar in den Ansatz des Prandtlschen Mischungsweges u ¨ber, wie wir nachfolgend zeigen werden. Experimentelle Ergebnisse zeigen, dass in unmittelbarer Wandn¨ahe die konvektiven und diffusiven Glieder der Gleichung (3.75) verschwinden. Wenn wir diese experimentelle Kenntnis auf die Gleichung (3.75) anwenden, also die konvektiven und diffusiven Glieder vernachl¨assigen, erhalten wir die nachfolgende Gleichung die zum Ausdruck bringt, dass im wandnahen Bereich die Dissipation gleich der Produktion der Turbulenzenergie ist. Die Gleichung lautet  μt ·

∂u ¯ ∂z

2

3

=

CD · ρ · K 2 l

.

(3.76)

Ersetzen wir auf der rechten Seite K mit der Prandtl-Kolmogorov-Annahme, erhalten wir die Gleichung  μt ·

∂u ¯ ∂z

2

CD · ρ = · l



μt ρ · l



3 ,

μt =

1 CD

12

 ·ρ·

l2

·

∂u ¯ ∂z

.

(3.77)

Wenn wir Gleichung (3.77) mit Gleichung (3.52) vergleichen, erkennen wir, dass gilt 

1 CD

12

· l2 = l2

,

l = l ·

 4

CD

Abb. 3.13: Bereichseinteilung der turbulenten Innenstr¨omung

.

(3.78)

3.2 Navier-Stokes Gleichungen (Erhaltung des Impulses)

239

Wir ben¨otigen f¨ ur die Anwendung der Differentialgleichung (3.75) noch geeignete Randbedingungen. Gem¨aß der Boussinesq-Annahme gilt τt = μt · (∂ u ¯/∂z). Ber¨ ucksichtigen wir diese Annahme in der Gleichung (3.77), erhalten wir f¨ ur K die folgende Gleichung: 1  1 2 2 μt = · ρ · l2 · τt . (3.79) CD Ersetzen wir weiterhin μt auf der linken Seite gem¨aß der Prandtl-Kolmogorov Annahme, erhalten wir die folgende Gleichung 1  1 2 τ √t ρ2 · l2 · K = · ρ · l2 · τt , K(x, y, z) = . (3.80) CD ρ · CD Mit Gleichung (3.80) k¨ onnen wir die Randbedingung f¨ ur K berechnen. Ab der Stelle ur z = zcross sind die konvektiven und diffusiven Glieder nicht mehr vernachl¨assigbar. F¨ z < zcross gilt das Prandtlsche Mischungsweggesetz und f¨ ur z > zcross wird μt gem¨aß der partiellen Differentialgleichung (3.75) berechnet. τt in Gleichung (3.80) wird mit dem Prandtlschen Mischungswegansatz berechnet. Mit der partiellen Differentialgleichung (3.75) f¨ ur die Turbulenzenergie haben wir erreicht, dass wir bei der Berechnung der Turbulenz an einer festen Stelle im Str¨omungsfeld den Einfluss der Turbulenz stromauf und stromab mitber¨ ucksichtigen k¨onnen. Allerdings ist die partielle Differentialgleichung immer noch abh¨angig von einer ¨ortlichen algebraischen Gleichung f¨ ur die L¨ ange l . Es ist jedoch davon auszugehen, dass die Turbulenzdissipation  = μ · (∂uj /∂z)2 , ¨ahnlich wie die Turbulenzenergie K, von dem turbulenten Verhalten der Str¨omung an Stellen stromauf und stromab abh¨ angig ist. Um die Turbulenzmodellierung bez¨ uglich dieser physikalischen Vorstellung zu vervollst¨ andigen, sind die Ein-Gleichungsmodelle auf die ZweiGleichungsmodelle erweitert worden. Zwei-Gleichungsmodelle Eines der bekanntesten Zwei-Gleichungsmodelle, das h¨aufig in numerische Verfahren implementiert ist, ist das K--Modell. Es besteht aus der partiellen Differentialgleichung (3.75) und einer weiteren Differentialgleichung, die die Turbulenzdissipation beschreibt. Wir nehmen wieder Bezug auf die Gleichung (3.74) und f¨ uhren die vereinfachte Kompour u, v, w und x, y, z ein: nentenschreibweise ui , xi bzw. uj , xj mit i, j = 1, 2, 3 f¨  ∂K ∂K = +ρ· u ¯j · ρ· ∂t ∂xj    2 ! ∂u ¯i   ∂K   ∂ 2K ∂ ∂ui  · u − ρ · =μ· − p · u · u + · u . (3.81) − μ · i i j j 2 ∂xj ∂xi ∂xj ∂xj ∂xj Wir interessieren uns zun¨ achst f¨ ur den letzten Term auf der rechten Seite. Gem¨aß der vorausgegangenen physikalischen Interpretation steht er f¨ ur die Dissipation der Turbulenzenergie K. Man beachte, dass sowohl der Index i als auch der Index j der Gleichung einem Summationsindex entspricht.

240

3 Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

Im vorangegangenen Abschnitt ist dieser Term mit einer algebraischen Gleichung modelliert worden. Nachfolgend wollen wir eine zweite partielle Differentialgleichung f¨ ur die Dissipation der Turbulenzenergie entwickeln. Diese Gleichung beschreibt ausf¨ uhrlicher die Dissipation als die bisher betrachtete algebraische Gleichung. Sie erm¨oglicht damit eine weiterf¨ uhrende Modellierung der turbulenten Schwankungsgr¨oßen. Die Dissipation  ist wie folgt definiert: ⎛ ⎞   2 3 3   ∂u i ⎝ ⎠ μ· = ∂xj i=1

.

(3.82)

j=1

Im Folgenden werden die Summenzeichen weggelassen. Zun¨achst entwickeln wir die Gleichung f¨ ur die Schwankungsgr¨ oßen. Dazu ersetzen wir in der Navier-Stokes-Gleichung wie¯i und eine Schwankungsgr¨oße ui . der die Geschwindigkeiten ui durch einen Mittelwert u Es gilt: ui = u ¯i + ui

.

(3.83)

i steht wieder f¨ ur die jeweilige Raumrichtung (i = 1, 2, 3). Setzt man die Gleichung (3.83) in die Navier-Stokes-Gleichung, erh¨ alt man: ,    2  ∂(¯ u ∂ + u ) ) (¯ u + u ) ∂(¯ p + p ∂(¯ ui + ui ) i i i i +μ· . (3.84) =− + ρ · (¯ uj + uj ) · ρ· ∂t ∂xj ∂xi ∂x2j Der Index j entspricht einem Summationsindex und i kennzeichnet die jeweilige NavierStokes-Gleichung f¨ ur die entsprechende Raumrichtung. Durch einfaches Ausmultiplizieren und Umstellen der Gleichung erh¨ alt man:     ∂ui ∂u ¯i ∂u ¯i ∂ui ¯i  ∂u  ∂ui +ρ· = +ρ· u ¯j · +u ¯j · ρ· + uj · + uj · ∂t ∂xj ∂t ∂xj ∂xj ∂xj ¯i ∂ p¯ ∂2u ∂p ∂ 2 ui − +μ· − + μ · . (3.85) ∂xi ∂x2j ∂xi ∂x2j Subtrahiert man von dieser Gleichung die zeitlich gemittelte i-te Navier-Stokes-Gleichung, erh¨alt man die folgende Gleichung f¨ ur die Schwankungsgr¨oßen:   ∂(ρ · ui · uj ) ∂p ∂ui ∂u ¯i ∂ui ∂ 2 ui ∂ui =− +u ¯j · + uj · + uj · +μ· + . (3.86) ρ· ∂t ∂xj ∂xj ∂xj ∂xi ∂x2j ∂xj Die Gleichung (3.86) entspricht einer Transportgleichung f¨ ur die Turbulenzmodellierung. Eine Gleichung f¨ ur die Dissipation der Turbulenzenergie erh¨alt man, indem die folgenden Schritte auf die Gleichung (3.86) angewendet werden: • Anwendung des Operators ∂/∂xj auf die i-te Gleichung. • Multiplikation mit ∂ui /∂xj . • Zeitliche Mittelung der resultierenden Gleichung.

241

3.2 Navier-Stokes Gleichungen (Erhaltung des Impulses)

Mit der Durchf¨ uhrung dieser Schritte erhalten wir die gesuchte partielle Differentialgleichung f¨ ur die Dissipation : $ %    ∂u ∂ ∂ ∂ 2 · μ ∂p ∂ j = +u ¯j · · ρ· · +μ· −ρ ·  · uj − ∂t ∂xj ∂xj ρ ∂xl ∂xl ∂xj $ % ∂uj ∂uj ∂ui ∂2u ∂u ¯i ¯i ∂ui ∂ul  · −2·μ· · · + · −2 · μ · uj · ∂xl ∂xj · ∂xl ∂xl ∂xi ∂xl ∂xj ∂xj  2 ∂ui ∂ui ∂ul ∂ 2 ui · · −2· μ· −2 · μ · ∂xl ∂xj ∂xj ∂xj · ∂xj j = 1, 2, 3

,

l = 1, 2, 3

,

(3.87)

.

ur Die Gr¨oße  steht f¨  = μ ·

∂ui ∂ui · ∂xj ∂xj

.

Die Gleichung (3.87) entspricht der exakten Gleichung f¨ ur die Dissipation . Es ist zu erkennen, dass sie nicht direkt gel¨ ost werden kann, da die zeitlichen Mittelwerte der rechten Seite nicht bekannt sind. Man ist also wieder darauf angewiesen, die rechte Seite durch passende Vereinfachungen zu modellieren. Das erste und zweite Glied in der ersten runden Klammer auf der rechten Seite beschreibt die turbulente Diffusion von . Die molekulare Diffussion von  wird durch das letzte Glied in der ersten Klammer ausgedr¨ uckt. In der zweiten Zeile der Gleichung (3.87) stehen die Glieder f¨ ur die Produktion der Dissipation und in der letzen Zeile die Glieder f¨ ur den Abbau der Gr¨oße . Die turbulente Diffusion von  (gemeint sind die ersten beiden Terme innerhalb der ersten runden Klammer auf der rechten Seite) wird in der Regel durch den Ausdruck C ·

K 2 ∂ ·  ∂xj

(3.88)

modelliert, so dass gilt: −ρ ·  · uj −

2 · μ ∂uj ∂p K 2 ∂ · · · = C · ρ ∂xj ∂xj  ∂xi

.

(3.89)

Die Produktionsterme und Terme f¨ ur die Vernichtung von  werden entsprechend der Fachliteratur mit −C1 ·

 ∂u ¯i · ui · uj · K ∂xj

bzw. mit −C2 ·

2 K

242

3 Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

angegeben, so dass die Gleichung (3.87) in vielen F¨allen durch die Gleichung 

∂ ∂ = +u ¯j · ∂t ∂xj  K 2 ∂ ∂  ∂u ¯i 2 ∂ 2 · · ui · uj · +μ· − C2 · ρ · C · − ρ · C1 · ∂xj  ∂xj ∂xj K ∂xj K

ρ·

, (3.90)

mit j = 1, 2, 3 modelliert wird. C , C1 und C2 basieren auf experimentellen Untersuchungen. Sie haben folgende Werte: C = 0.07...0.09

,

C1 = 1.41...1.45

,

C2 = 1.90...1.92

.

Die Herleitung der Gleichung (3.87) basiert auf den Navier-Stokes-Gleichungen. Durch die Modellierung der rechten Seite durch einfachere Ausdr¨ ucke verliert die Gleichung ihren Bezug zu den Navier-Stokes-Gleichungen und entspricht nur noch einer Gleichung der Turbulenzmodellierung bzw. der Modellierung der Dissipation . Der Leser stellt sich sicherlich ¨ die Frage, auf welchen Uberlegungen die Ausdr¨ ucke der rechten Seite der Gleichung (3.90) basieren. Diese Fragestellung geh¨ ort zu dem weiterf¨ uhrenden Thema Turbulenzmodellierung und ist Gegenstand der Fachliteratur (siehe z. B. J. Piquet 1999). Im einf¨ uhrenden Software-Kapitel 5.1 wird als Str¨omungsbeispiel der Rohrkr¨ ummer gew¨ahlt. Wir greifen den numerischen L¨ osungsverfahren in Kapitel 4 voraus und zeigen in Abbildung 3.14 die mit dem K--Turbulenzmodell berechneten Turbulenzgr¨oßen. Die turbulente kinetische Energie wird im Bereich der starken Scherung der Umlenkung erzeugt und stromab transportiert, wo sie aufgrund der Diffusion und Dissipation abklingt. Die Dissipation besitzt ein Maximum im Inneren des Kr¨ ummers. Die Wirbelviskosit¨ at ist mehrere Gr¨ oßenordnungen gr¨oßer als die molekulare Viskosit¨at uber der physikalischen Reibung. mit μ = 3 · 10−3 N s/m2 und dominiert damit gegen¨ Die Wahl der Randbedingungen f¨ ur die Geschwindigkeit an der Wand kann auf unterschiedliche Weise vorgenommen werden. Mit Vorgabe der physikalischen Randbedingungen ¯ =0 , v

K=0

,

∂ =0 ∂n

.

(3.91)

an der Wand wird das Modell als Niedrig-Reynolds-Zahl K--Modell bezeichnet. Hier m¨ ussen sowohl die viskose Unterschicht als auch die wandnahe Schicht numerisch aufgel¨ost werden. Der Wandabstand der wandn¨ achsten Gitterpunkte sollte etwa z+ ≈ 1 betragen, damit gen¨ ugend Rechennetzpunkte f¨ ur die Aufl¨ osung der viskosen Unterschicht vorhanden sind. Diese Variante des K--Modells erfordert noch Korrekturen in der K-Gleichung, um die physikalischen Effekte bei niedrigen Reynolds-Zahlen besser abzubilden. Bei großen Reynolds-Zahlen ist das logarithmische Wandgesetz des Kapitels 2.4.1 hinreichend genau, um die wandnahe Schicht zu approximieren. Anstelle der Haftbedingung wird f¨ ur die zeitlich gemittelte Geschwindigkeit u ¯ die Bedingung (2.116)

243

3.2 Navier-Stokes Gleichungen (Erhaltung des Impulses)

u+ =

1 · ln(z + ) + 5.5 0.41

,

(3.92)

mit z+ =

z · uτ , uτ = ν



τw u ¯ , u+ = ρ uτ

als Randbedingung ber¨ ucksichtigt, welche die Wandschubspannung τw als zus¨atzliche Variable implizit enth¨ alt. Die Gleichung (3.92) stellt eine Bedingung zwischen der Geschwindigkeit am wandn¨ achsten Punkt und der Wandschubspannung dar. Sie kann nur iterativ erf¨ ullt werden. Das logarithmische Wandgesetz wird in diesem Zusammenhang oft als Wandfunktion bezeichnet. Das numerische Rechennetz in Wandn¨ahe darf verglichen mit der ersten Variante relativ grob sein, da die Wandfunktion die sehr hohen Gradienten im Zwischenraum zwischen dem ersten wandn¨ achsten Gitterpunkt und der Wand u uckt. ¨berbr¨ Diese Variante des Modells wird als Standard K--Modell bezeichnet, da sie wegen des deutlich geringeren Aufwandes die bevorzugte Variante ist. Gleichung (3.92) ist nur im Bereich des logarithmischen Wandgesetzes aber nicht innerhalb der viskosen Unterschicht g¨ ultig. Daher ist bei der Anwendung darauf zu achten, dass z + deutlich gr¨oßer als 30 gew¨ahlt wird. Str¨omungen mit Abl¨ osung oder mit Staupunkten k¨onnen mit Wandfunktionen nur ungenau approximiert werden. Das Standard K--Modell z¨ ahlt zu den am h¨ aufigsten verwendeten Turbulenzmodellen, da es sich mit moderatem Rechenaufwand f¨ ur viele Str¨omungsprobleme als hinreichend

K

Turbulente kinetische Energie

μt

Wirbelviskosität

ε

Dissipation von K

Abb. 3.14: Turbulente kinetische Energie K, Dissipation  und Wirbelviskosit¨at μt im Mittelschnitt eines Rohrkr¨ ummers, ReD = 7.3 · 107

244

3 Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

genau erwiesen hat. Der numerische Aufwand ist gegen¨ uber dem Niedrig-Reynolds-Zahl Modell gerade bei großen Reynolds-Zahlen erheblich reduziert. Anstelle der Dissipation  wird oft die Gr¨ oße ω = K/ verwendet. Dies f¨ uhrt zum K-ω Turbulenzmodell, welches besonders in Wandn¨ahe Vorteile aufweist. Eine Kombination dieser beiden Zweigleichungsmodelle ist das SST-Scherspannungsmodell , das sich in der industriellen Praxis durchgesetzt hat.

Weiterentwickelte Wirbelviskosit¨ atsmodelle Mit einfachen Zweigleichungsmodellen, wie dem K--Modell, k¨onnen f¨ ur einfache Str¨ omungen und manche abgel¨ oste Str¨ omungen gute Ergebnisse erzielt werden. F¨ ur komplexere Str¨omungen versagen die einfachen Modelle jedoch: • Str¨omungen mit niedriger Reynoldszahl • Anisotropie in den Reynoldsspannungen • Starke, entgegen Abl¨osegebiete.

der

Str¨ omungsrichtung

wirkende

Druckgradienten

und

Gegen¨ uber der Grobstruktursimulationen des folgenden Kapitels, bietet der Reynoldsansatz jedoch den großen Vorteil, dass Str¨ omungen, die im Mittel station¨ar sind (quasistation¨are Str¨omungen), station¨ ar berechnet werden k¨onnen, da der turbulente, instation¨are Anteil modelliert werden kann. Dies reduziert den numerischen Aufwand um ein bis zwei Gr¨oßenordnungen. Daher wurden die Wirbelviskosit¨atsmodelle konsequent weiterentwickelt. Im Folgenden werden die aktuellsten dieser weiterentwickelten Wirbelviskosit¨ atsmodelle kurz vorgestellt.

Niedrig-Reynoldszahl K--Modell Bei Str¨omungen niedriger Reynoldszahl gilt das logarithmische Wandgesetz nicht mehr. Es ist daher nicht mehr m¨ oglich, die Wandbedingungen u ¨ber das Wandgesetz zu modellieren. Daher muss f¨ ur diese F¨ alle die Grenzschicht bis zur Wand aufgel¨ost werden. Die hohen ¨ Gradienten f¨ ur K und  beim Ubergang zur viskosen Unterschicht erfordern eine sehr hohe Aufl¨osung bis in die viskose Unterschicht hinein. Der dimensionslose Wandabstand muss hierbei z + < 1 sein. Wie bereits dargestellt, nimmt mit Ann¨ aherung an die viskose Unterschicht der Einfluss der turbulenten Viskosit¨ at im Vergleich zur molekularen Viskosit¨at zu. Um bei Aufl¨osung der Grenzschicht diesem Umstand Rechnung zu tragen, m¨ ussen die Transportgleichungen f¨ ur K und  umgeschrieben werden:

μt = ρ · Cμ · fμ

K2 

,

(3.93)

245

3.2 Navier-Stokes Gleichungen (Erhaltung des Impulses)

∂ (ρ · K) ∂ ∂ + (ρ · K · ui ) = ∂t ∂xj ∂xj

 μt ∂ μ+  σ ∂xi

,

 2  μt ∂  + C1 f1 2μt Sij Sij − C2 f2 ρ . μ+ σ ∂xi K K

∂ ∂ ρ (ρ  ui ) = + ∂t ∂xj ∂xj

(3.94)

(3.95)

¨ Die auff¨alligste Anderung ist die, dass in den Diffusionstermen die molekulare Viskosit¨at enthalten ist. Außerdem werden die Konstanten Cμ , C1 und C2 , die aus dem Standard K--Modell bekannt sind, mit den entsprechenden Wandd¨ampfungsfunktionen fμ , f1 bzw. f2 multipliziert. σK und σ sind ebenfalls empirische Konstanten, die dem Str¨omungsproblem angepasst werden m¨ ussen. Die Wandd¨ampfungsfunktionen sind Funktionen der turbulenten Reynoldszahl Ret = u l/ν = K 2 / (ν) und Rez = K 1/2 z/ν. Eine m¨ogliche Formulierung ist:  2

fμ = (1 − exp (−0.0165Rez ))  f1 =

0.05 a+ fμ

3 ,

1+

20.5 Ret



  f2 = 1 − exp −Re2t

,

(3.96)

.

(3.97)

Gleichungen (3.93) - (3.95) sowie die Reynolds gemittelten Navier-Stokes-Gleichungen (3.33), (3.38), (3.40) und (3.113) m¨ ussen bis zur Wand integriert werden. W¨ahrend die Wandrandbedingung f¨ ur K trivial ist, bereitet die Randbedingung f¨ ur  Probleme. Experimentelle Ergebnisse zeigen einen starken Anstieg von  auf einen konstanten Wert direkt an der Wand, allerdings konnte der Wert von  direkt an der Wand nicht bestimmt werden. Eine m¨ ogliche Randbedingung an der Wand ist daher ∂/∂z = 0. Andere !2 √ Modelle benutzen eine modifizierte Dissipationsrate an der Wand ˜ = −2·ν ∂ K/∂n und die Wandrandbedingung ˜ = 0. Es sei an dieser Stelle angemerkt, dass das Gleichungssystem durch die hohen Gradienten und die Einf¨ uhrung der D¨ ampfungsfunktion numerisch steif wird und das K--Modell in Niedrig-Reynoldszahl-Formulierung h¨ aufig Konvergenzprobleme hat. Zwei-Schichten-Modell Die Zwei-Schichten-Modelle verfolgen dieselbe Zielsetzung wie die Niedrig-ReynoldszahlModelle, die Wandgrenzschicht bis zur viskosen Unterschicht aufzul¨osen. Die numerischen Probleme, die durch die nichtlineare D¨ ampfungsfuntktion der Niedrig-ReynoldszahlFormulierung entstehen, werden durch Aufteilung der Grenzschicht in zwei Schichten vermieden. √ • Turbulenter Bereich (Rez = z K/ν ≥ 200), in dem die Standard-Formulierung des K--Modells Anwendung findet. Die turbulente Viskosit¨at wird mit der Gleichung μt,t = Cμ · ρ · K 2 / berechnet.

246

3 Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

• Viskoser Bereich (Rez < 200), in dem nur die K-Gleichung gel¨ost wird. Die Dissipa3/4 tionsrate wird mit der L¨ angenskala l = K ·z (1 − exp (−Rez /A)) als  = Cμ K 3/2 /l, −2/4 mit A = 2 · κ · Cμ , berechnet. Die turbulente Viskosit¨at im viskosen Bereich wird √ 1/4 modelliert mit μt,w = Cμ · ρ · K · l und A = 70. Die Formulierung der Mischungswegl¨ ange im wandnahen, viskosen Bereich entspricht damit der im Prandtlschen Mischungswegansatz oder dem Ein-Gleichungsmodell verwendeten Mischungswegl¨ange f¨ ur die wandnahe Grenzschicht. ¨ Zur Gl¨attung des Ubergangsbereichs zwischen viskosem und turbulentem Bereich und ¨ damit zwischen μt,w und μt,t bei Re ≈ 200 wird eine Ubergangsfunktion Fμ benutzt, so dass sich die turbulente Viskosit¨ at ergibt: μt = Fμ μt,t + (1 − Fμ ) μt,w

.

(3.98)

¨ Die Ubergangsfunktion Fμ = Fμ (Rez ) ist gleich null an der Wand, strebt im voll turbu¨ f¨ ur Rez ≈ 200. lenten Bereich (Rez >> 200) gegen 1 und bildet einen sanften Ubergang Das Zweischichtmodell ist weniger von Rechennetzen abh¨angig und numerisch stabiler als der Niedrig-Reynoldsansatz und findet breite Verwendung in komplexen Str¨omungssimulationen, wenn eine Aufl¨ osung der Wandgrenzschicht notwendig ist. K-ω-Modelle Insbesondere in der Luftfahrt sind die klassischen Turbulenzmodelle problematisch. Die Probleme sind typischerweise charakterisiert durch komplexe Geometrie und einen weiten Bereich an L¨angenskalen. Auf der großen L¨ angenskala ist die Str¨omung weitgehend reibungsfrei (Außenstr¨ omung), wobei jedoch durch extrem kleinskalige Vorg¨ange in den turbulenten Grenzschichten eine komplette Umstrukturierung des gesamten Str¨omungsfeldes m¨oglich ist (Abl¨osung). Es ist daher schwierig, eine einheitliche L¨angenskala f¨ ur die Turbulenzmodellierung zu finden. Der Einsatz des K-ω-Modells scheitert h¨aufig an dessen mangelnder Genauigkeit im direkten Wandbereich und den daraus resultierenden Problemen bei der Vorhersage der druckgetriebenen Abl¨osung. Die beiden offensichtlichen M¨ angel des K-ω-Modells sind: ¨ • Ubersch¨ atzung des turbulenten Austauschs bei entgegen der Str¨omungsrichtung wirkenden Druckgradienten, z. B. in gekr¨ ummten Grenz- oder Scherschichten. Dies f¨ uhrt zur Untersch¨ atzung der Abl¨ oseneigung von verz¨ogerten Grenzschichten und zur numerischen Unterdr¨ uckung der Abl¨ osung bzw. der Verlagerung der Abl¨oselinie stromab. • Der Einsatz der im n¨ achsten Kapitel beschriebenen Grobstruktursimulation oder auch Reynolds-Spannungen-Transportgleichungsmodellen verbietet sich bei technischen Anwendungen aufgrund des damit verbundenen erh¨ohten Aufwandes. Daher wurden f¨ ur diese Anwendungen Zwei- und Mehrgleichungsmodelle entwickelt, von denen im Folgenden zwei typische Vertreter beschrieben werden.

247

3.2 Navier-Stokes Gleichungen (Erhaltung des Impulses)

Wilcox-K-ω-Modell Im K--Modell wird die turbulente L¨ angenskala zur Bestimmung der turbulenten Viskosit¨at durch l = K 2/3 / bestimmt. Die Dissipationsrate  ist jedoch nicht die einzige denkbare Variable zur Bestimmung von l. Es wurden unz¨ahlige Zwei-Gleichungsmodelle vorgeschlagen, die auf anderen L¨ angenskalen basieren. Die am weitesten verbreitete, alternative Gr¨oße zur Bestimmung von l ist die turbulente Frequenz ω = /K. Die Langenskala √ ergibt sich zu l = K/ω. Die turbulente Viskosit¨at l¨asst sich als

μt =

ρ·K ω

(3.99)

darstellen. Die Transportgleichungen f¨ ur K und ω lauten:  ∂ μt ∂K ∂ ∂ (ρ K) (ρ K ui ) = μ+ + ∂t ∂xj ∂xj σk ∂xi  ∗ ∂ui 2 + 2 ρ Sij · Sij − ρ K δij − β ρ K ω , 3 ∂xj  μt ∂ ∂ ∂ ∂ (ρ ω) μ+ + (ρ ω ui ) = ∂t ∂xj ∂xj σw ∂xi  ∂ui 2 + γ1 2 ρ Sij · Sij − ρ ω δij − β1 ρ ω 2 , 3 ∂xj

(3.100)

(3.101)

mit den Modell-Konstanten: σk = 2.0,

σw = 2.0,

γ1 = 0.553,

β1 = 0.075,

β∗ = 2.0.

Die Formulierung des Diffusionsterms entspricht der des Niedrig-Reynoldszahl-K-Modells. Die Formulierung in ω erlaubt jedoch den Verzicht auf die nichtlinearen D¨ampfungsterme. Die Wandrandbedingungen sind ebenfalls einfacher. Die Wandrandbedingung f¨ ur K ist wiederum trivial. F¨ ur ω ergibt sich damit eine Polstelle an der Wand. In der praktischen Anwendung l¨ asst sich der Anstieg von ω ins Unendliche jedoch  durch Vorgabe eines sehr hohen Wertes oder eine hyperbolische Variation ωP = 6 · ν/ β1 · zp2 ann¨ahern, ohne dass die Ergebnisse stark sensitiv von der genauen Behandlung abh¨angen. F¨ ur den Eintrittsrand m¨ ussen die Werte f¨ ur K und ω vorgegeben werden. Am Austrittsrand kommt eine Gradientenrandbedingung zum Einsatz. Die Fernfeldrandbedingung K → 0 und ω → 0 bereitet aufgrund der Singularit¨at f¨ ur ω = 0 in Gleichung (3.99) Probleme. Es muss daher aus mathematischen Gr¨ unden am Fernfeldrand ein sehr kleiner Wert f¨ ur ω vorgegeben werden. Unerfreulicherweise zeigt sich, dass die Ergebnisse sehr sensitiv auf kleine Variationen dieses Randwerts reagieren, was das Modell f¨ ur den Einsatz in der Luftfahrtanwendung, in denen typischerweise Fernfeldrandbedingungen ben¨otigt werden, problematisch macht.

248

3 Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

Menter-K-ω-SST-Modell Es zeigt sich ,dass die Ergebnisse des K--Modells deutlich weniger sensitiv auf die willk¨ urliche Festlegung der Fernfeldrandwerte der Dissipation sind, als die des K-ωModells. Andererseits liefert das K-ω-Modell deutlich bessere Ergebnisse f¨ ur Wandgrenzschichten mit Druckgradienten. Dies legt eine Kombination der St¨arken beider Modelle nahe. Das K-ω-SST Modell besteht aus: • einer Transformation des K--Modells in ein K-ω-Modell in Wandn¨ahe und • dem Standard K--Modell im wandfernen, turbulenten Außenbereich. Die turbulente Viskosit¨ at berechnet sich wie im Wilcox-K-ω-Modell aus

μt =

ρ·K ω

.

(3.102)

Die Transportgleichung f¨ ur K ist ebenfalls identisch zu Gleichung (3.100). Die Gleichung f¨ ur den Transport von ω ergibt sich durch direkte Transformation der -Gleichung (3.95) mit  = K/ω zu  μt ∂ ∂ ∂ ∂ (ρ ω) μ+ + (ρ ω ui ) = ω ∂t ∂xj ∂xj σω,1 ∂xi  ∂ui 2 ρ ∂K ∂ω δij − β2 ρ ω 2 + 2 . (3.103) +γ2 2 ρ Sij · Sij − ρ ω 3 ∂xj σω,2 ∂xk ∂xk Diese Gleichung unterscheidet sich von Gleichung (3.101) durch den letzten Term auf der rechten Seite, den so genannten Quer-Diffusionsterm, der bei der Transformation  = K/ω entsteht. Die ge¨anderten Modellkonstanten sind: σk = 1.0,

σω,1 = 2.0,

σω,2 = 1.17,

γ2 = 0.44,

β2 = 0.083,

β∗ = 0.09.

Zur Vermeidung von numerischen Instabilit¨ aten durch m¨ogliche Unstetigkeiten beim ¨ Ubergangsbereich zwischen K-ω- und K--Modell werden analog zum Zweischichten¨ Modell Ubergangsfunktionen f¨ ur den Quer-Diffusionsterm, sowie die Modellkonstanten C1 und C2 verwendet. Auch das K-ω-SST-Modell zeigt die oben f¨ ur das K--Modell dargelegten Probleme in Bereichen starker Umlenkung wie z. B. in Staupunkten. Um diese zu mindern, werden typischerweise so genannte Limiter eingesetzt. Diese limitieren

249

3.2 Navier-Stokes Gleichungen (Erhaltung des Impulses)

• die turbulente Viskosit¨ at in Bereichen mit gegen die Str¨omungsrichtung wirkenden Druckgradienten • die Produktion von turbulenter Energie in Staupunkten. Nicht-lineare-K--Modelle Allen bisher behandelten Zwei-Gleichungs-Modellen ist gemein, dass sie die Effekte der Anisotropie der Turbulenz nicht ber¨ ucksichtigen k¨onnen, da die BoussinesqApproximation diese nichtlinearen Effekte vernachl¨assigt. Neben den ReynoldsSpannungs-Modellen, die f¨ ur jede turbulente Spannung eine eigene Transportgleichung l¨ osen, dadurch jedoch einen deutlich erh¨ ohten Rechenaufwand fordern und h¨aufig Konvergenzprobleme aufweisen, wurde das K--Modell um nichtlineare Terme erweitert, die die Sensitivit¨at f¨ ur anisotrope Effekte der Turbulenz in die Modelle integrieren sollen. Die linearen Zwei-Gleichungs-Modelle basieren auf dem Boussinesq-Ansatz −ρ ui uj = τij = τij (Sij , K, , ρ)

,

(3.104)

wobei τij nur von den lokalen Bedingungen abh¨ angt. Die turbulenten Spannungen und damit die Turbulenz an sich muss sich instantan an die lokalen Zust¨ande anpassen, w¨ahrend sie konvektiv durch das Feld transportiert werden. Analog zu den Betrachtungen bei den algebraischen Turbulenzmodellen, die zu den Transportgleichungsmodellen f¨ uhren, kann argumentiert werden, dass diese instantane Anpassung nicht physikalisch ist und daher ¨ die turbulenten Spannungen auch von Anderungen der Scherung dSij /dt abh¨angen muss. Ausgehend von dieser Idee wurden verschiedene Ans¨atze f¨ ur nichtlineare K--Modelle vorgeschlagen. Ein m¨ oglicher Ansatz geht von einer asymptotischen Erweiterung aus, die unter Ber¨ ucksichtigung der quadratischen Terme auf

K2 2 2 Sij τij = −ρ ui uj = − ρ K δij + ρ Cμ  3 3 K 1 Sim · Smj − Smn · Smn δij + S˙ ij − −4 CD Cμ2 2  3

1 3

S˙ ij δij

! ,

(3.105)

mit ∂Sij ∂ + ui S˙ ij = ∂t ∂xi



 Sij −

∂ui ∂uj Smj + Smi ∂xm ∂xm

(3.106)

und der zu kalibrierenden Konstanten CD = 1.68 f¨ uhrt.

(3.107)

250

3 Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

Die Standardformulierung der turbulenten Spannungen mit dem Boussinesq-Ansatz kann als Sonderfall der Gleichung (3.105) f¨ ur geringe Deformationsraten verstanden werden. Ein Ansatz zur Sensitivierung des K--Modells, basierend auf den Erkenntnissen aus den Reynolds-Spannungs-Modellen, hat als Grundlage eine generalisierte Formulierung der Wirbelviskosit¨atshypothese auf Grundlage einer Potenzreihe von Tensorprodukten der mittleren Scherrate:

Sij =

1 2

Ωij =

1 2



∂ui ∂uj + ∂xj ∂xi



und der mittleren Wirbelst¨ arke 

∂ui ∂uj + ∂xj ∂xi

.

Dies f¨ uhrt auf die quadratische Formulierung:

2 τij = − ρ ui uj = 2 μt Sij − ρ K δij 3  K 1 Sik · Sjk − · Skl · Skl δij − C1 · μt  3 K − C2 · μt (Sik · Ωjk + Sjk · Ωik )   1 K Ωik · Ωjk − Ωkl · Ωkl δij . − C3 · μt  3

(3.108)

Durch die Einf¨ uhrung von drei quadratischen Termen, die durch Anpassung der drei zus¨atzlichen Modellkonstanten gewichtet werden, k¨onnen die drei ReynoldsHauptspannungen unterschiedliche Werte annehmen, was die Erfassung von Anisotropieeffekten der turbulenten Str¨ omung erm¨ oglicht. Analog zu der hier dargestellten quadratischen Erweiterung wird h¨aufig eine kubische Erweiterung des K--Modells eingesetzt, auf deren detaillierte Darstellung verzichtet wird. Durch die Ber¨ ucksichtigung dieser nichtlinearen Terme sind mit dem K--Modell Vorhersagequalit¨aten erreichbar, die denen der vollen Reynoldsspannungsmodelle entsprechen. Wir beenden an dieser Stelle die Einf¨ uhrung in die Turbulenzmodellierung. In diesem Abschnitt des Buches sollte der Leser einen ersten Eindruck von der Denkweise der Turbulenzmodellierung vermittelt bekommen. Wir haben gelernt, dass Turbulenzmodelle auf einfachen empirischen Vorstellungen und umfangreichen Experimenten beruhen. Die weitere Vertiefung dieser Kenntnisse insbesondere im Hinblick auf die direkte Str¨omungssimulation mit der so genannten Large-Eddy-Simulationsmethode ist Gegenstand des folgenden Kapitels (siehe auch E. Laurien, H. Oertel jr. 2011).

251

3.2 Navier-Stokes Gleichungen (Erhaltung des Impulses)

3.2.4

Grobstruktursimulation

Die bisher beschriebenen Turbulenzmodelle gehen weitgehend von einer Str¨omung isotroper Turbulenz aus. Darunter versteht man, dass die homogene turbulente Str¨omung keine Vorzugsrichtung oder Orientierung aufweist. Im Gegensatz dazu zeigt die Momentaufnahme der inhomogenen anisotropen turbulenten Str¨ omung der Abbildung 3.15 mehrere miteinander gekoppelte L¨ angenskalen, die gleichzeitig angeregt sind. Das Bild eines turbulenten Wasserjets illustriert Wirbelstrukturen unterschiedlicher Gr¨oßenordnungen mit zunehmender Komplexit¨ at. Derartige turbulente Str¨omungen lassen sich mit den bisher beschriebenen Turbulenzmodellen nicht berechnen. Auch ist der Reynolds-Ansatz (3.30) nicht mehr g¨ ultig. Dies f¨ uhrt zur direkten Simulation turbulenter Str¨omungen, die das vollst¨andige Spektrum turbulenter Str¨ omungsstrukturen numerisch auch ohne Turbulenzmodell simulieren. Dabei werden die Navier-Stokes-Gleichungen (3.18) bzw. (3.20) ohne Turbulenzmodell gel¨ost. Jedoch wird dies auch in Zukunft nur f¨ ur einfache Geometrien und niedrige Reynolds-Zahlen m¨ oglich sein. Daher scheidet diese Methode zur Durchf¨ uhrung von praxisorientierten Berechnungen von Str¨ omungen großer Reynolds-Zahlen aus. Sie kann ¨ lediglich zur Entwicklung und Uberpr¨ ufung von Turbulenzmodellen beitragen. Die Abbildung 3.16 zeigt das Ergebnis der direkten Simulation der turbulenten Rohrstr¨ omung bei der Reynolds-Zahl ReD = 5600. Die Isolinien der Stromabgeschwindigkeit u und deren turbulenten Schwankungen u machen die r¨aumliche Turbulenzstruktur in Wandn¨ahe deutlich, die sich mit fortschreitender Zeit ¨andert. Die Geschwindigkeitsschwankungen in Radial- und Umfangsrichtung sind dabei wesentlich kleiner als die stromabw¨artigen Schwankungen. Im zeitlichen und r¨aumlichen Mittel berechnet man das in Abbildung 2.82 gezeigte lineare Geschwindigkeitsprofil der viskosen Unterschicht und das logarithmische Wandgesetz im Bereich der Wandturbulenz.

homogen isotrop

Abb. 3.15: Turbulente Str¨ omungen

inhomogen anisotrop

252

3 Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

Unterteilt man die turbulenten Strukturen von Str¨omungen hoher Reynolds-Zahlen in zwei Anteile, die großr¨ aumigen und die feinskaligen, so kommt man zu einer anderen Berechnungsmethodik. Die großr¨ aumigen Strukturen einer turbulenten Str¨omung werden in ihrer zeitlichen und r¨ aumlichen Entwicklung direkt simuliert und nur die feinskaligen Strukturen werden modelliert. Diese Methode wird als Grobstruktursimulation (LargeEddy-Simulation, LES) bezeichnet. Sie ist stets instation¨ar und erfordert daher zeitgenaue Berechnungsmethoden, die in Kapitel 4.2 behandelt werden. Die r¨aumliche Diskretisierung des Rechengebietes sowie die zeitliche Aufl¨osung m¨ ussen gen¨ ugend fein gew¨ ahlt werden, so dass die Wirbelstrukturen aufgel¨ost werden k¨onnen. Man kann davon ausgehen, dass die gr¨ oßten Strukturen im Stadium ihrer Entstehung etwa den charakteristischen Abmessungen des Str¨ omungsgebietes entsprechen und im Verlauf ihrer Weiterentwicklung zunehmend kleinere Strukturen erzeugen, welche in noch kleinere zerfallen. Die Bedeutung der großr¨ aumigen Strukturen f¨ ur den turbulenten Austausch bleibt dabei erhalten. Misst man die Geschwindigkeitsfluktuationen in einer turbulenten Str¨omung an einem festen Ort mit hoher zeitlicher Aufl¨ osung, so enth¨alt das Signal die unterschiedlichen charakteristischen Zeitskalen aller in der Turbulenz enthaltenen Wirbel. Dieses Signal kann mit Hilfe einer Fourieranalyse in seine einzelnen Frequenzanteile aufgespalten werden (Abbildung 3.17). Bei dem so definierten Energiespektrum ist auf der horizontalen Achse die Frequenz f und auf der vertikalen Achse der zugeh¨orige Energieinhalt aufgetragen. Die Frequenz f kann auch durch eine Wellenzahl a (Anzahl der Wellen oder Wirbel pro L¨ angeneinheit) ersetzt werden, da die hochfrequenten Schwankungen von kleinen und die niederfrequenten Schwankungen von großen Wirbeln erzeugt werden. Damit ist eine Grundlage f¨ ur die Aufteilung in große und kleine Wirbel gegeben. Ein typisches Turbulenzspektrum bei hohen Reynolds-Zahlen wird in Abbildung 3.17 in

r 0.5

u 1.5 1.0

0

0.5 0.0

0.5

0.5

u’ 0.5

0

0.0

0.5

−0.5

Abb. 3.16: Direkte Simulation der turbulenten Rohrstr¨omung, ReD = 5600

3.2 Navier-Stokes Gleichungen (Erhaltung des Impulses)

253

verschiedene Bereiche unterteilt. Der Bereich niedriger Frequenzen oder Wellenzahlen wird durch die großr¨aumigen energietragenden Wirbel hervorgerufen. Hier findet die Erzeugung der Turbulenz statt. Diese Strukturen beinhalten auch die st¨arkste Anisotropie, da sie im Stadium ihrer Entstehung eng mit der Geometrie des Str¨omungsgebietes verbunden sind. Diese Strukturen werden bei der Grobstruktursimulation direkt, also ohne Turbulenzmodell, simuliert. Der Bereich mittlerer Frequenzen oder Wellenzahlen wird als der Tr¨agheitsbereich bezeichnet. Hier findet der weitere Zerfall in immer kleinere Strukturen statt. Man kann zeigen, dass daf¨ ur die nichtlinearen Tr¨ agheitsterme verantwortlich sind. Die Reibung ist dabei von untergeordneter Bedeutung. W¨ ahrend des Zerfalls wird die Turbulenz mehr und mehr isotrop und die Geometrie des Str¨ omungsgebietes tritt in den Hintergrund. Die Theorie isotroper Turbulenz besagt, dass die Energie E mit der Wellenzahl a wie ur zahlreiche Str¨omungen experimentell best¨atigt worden. E ∼ a−5/3 abnimmt. Dies ist f¨ Der Tr¨agheitsbereich ist umso ausgedehnter, je gr¨oßer die Reynolds-Zahl ist. In diesem Bereich befindet sich die Grenze zwischen großr¨aumigen und feinskaligen Strukturen im Sinne einer Grobstruktursimulation. Im Bereich hoher Frequenzen oder Wellenzahlen geht der Tr¨agheitsbereich allm¨ahlich in den Dissipationsbereich u ¨ber, in dem der Abfall der Energie mit der Wellenzahl auf E ∼ a−7/3 vom Betrag her zunimmt. Hier findet der Zerfall weiterhin statt. Zus¨atzlich spielt die turbulente Dissipation eine Rolle, da mit abnehmender Wirbelgr¨oße die Reibungseinfl¨ usse gegen¨ uber den Tr¨ agheitseinfl¨ ussen mehr und mehr hervortreten. Dieser Gr¨oßenbereich wird nicht numerisch aufgel¨ ost sondern hinsichtlich seiner Auswirkungen auf die großr¨aumigen Strukturen mit Hilfe eines Feinstruktur-Turbulenzmodells modelliert. Eine Grobstruktur-Simulation beginnt, ausgehend von einer Anfangsbedingung, mit

Abb. 3.17: Energiespektrum der Turbulenz

254

3 Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

einer zeitlichen Phase der Str¨ omungsausbildung in der großr¨aumige Strukturen im Str¨omungsfeld instation¨ ar gebildet werden und dieses nach und nach ausf¨ ullen. Danach wird die Str¨omung statistisch station¨ ar. Das bedeutet, dass die zeitlichen Mittelwerte der Str¨ omungsgr¨oßen an jedem Ort im Str¨ omungsfeld nicht mehr von der Gr¨oße des Mittelungsintervalls abh¨ angen. Das Ergebnis kann zeitlich gemittelt werden. Vergleicht man in Abbildung 3.18 die Grobstruktur-Turbulenz mit der FeinstrukturTurbulenz, so erkennt man, warum die Simulation der ersten und die Modellierung der zweiten methodisch g¨ unstig ist. Die Schwierigkeit die geometrieabh¨angigen, inhomogenen und anisotropen Grobstrukturen zu modellieren wird durch ihre Simulation umgangen. Das Feinstrukturmodell ist einfacher und genauer als ein Turbulenzmodell, welches das gesamte Turbulenzspektrum modelliert. Die Feinstrukturturbulenz kann als universell homogen und isotrop sowie kurzlebig angesehen werden. F¨ ur die Beschreibung der Methode betrachtet man die r¨aumliche Verteilung eines Messsignals f(t) entlang einer Koordinate x (Abbildung 3.19). Die Skizze l¨asst erkennen, dass sowohl großr¨aumige als auch feinskalige Strukturen vorhanden sind. Zur Trennung dieser Strukturen nehmen wir eine mathematische Filterung vor. Diese bedeutet, dass an jeder Stelle x die Str¨omungsgr¨ oße f mit einer Filterfunktion G(x ) multipliziert und anschließend u ¨ber Δx integriert wird: Δx

f(x, t) =

1 · Δx

2

f(x − x , t) · G(x − x ) · dx

.

(3.109)

− Δx 2

Dabei ist x die zugeh¨ orige Integrationsvariable. Das gefilterte Signal entspricht der gestrichelten Linie. Es handelt sich nicht um eine station¨are Gr¨oße, wie bei der ReynoldsMittelung, sondern der gefilterte Wert ist selbst eine Funktion der Zeit. Die feinskaligen Schwankungen wurden jedoch herausgefiltert. Es sind unterschiedliche Filterfunktionen vorgeschlagen worden, von denen hier nur der Gauß-Filter betrachtet werden soll (andere Filterfunktionen f¨ uhren auf entsprechende Ergebnisse). Die Filterung wird in allen drei Raumrichtungen vorgenommen und die Filterfunktionen m¨ ussen bestimmten Anforderungen gen¨ ugen. Der Unterschied zur Mittelung besteht darin, dass vor der Integration noch

Abb. 3.18: Eigenschaften der Grobstruktur- und der Feinstrukturturbulenz

255

3.2 Navier-Stokes Gleichungen (Erhaltung des Impulses)

Abb. 3.19: Filterung einer Str¨omungsgr¨oße mit der Filterfunktion multipliziert wird. Wie bei der Reynolds-Mittelung (3.30) wird nun jede lokale Str¨omungsgr¨oße als Summe von gefiltertem Wert und Schwankungswert aufgefasst. Z. B. erh¨alt man f¨ ur die Geschwindigkeitskomponenten: um (x, t) = um (x, t) + um (x, t)

,

(3.110)

wobei der gefilterte Wert u ¨berstrichen dargestellt ist. Im Unterschied zur Mittelung verschwindet die gefilterte Fluktuation nicht: u m = 0 . Unter Beachtung dieses Unterschiedes, kann die Herleitung der Grundgleichungen der Grobstruktursimulation nun analog zur Herleitung der Reynolds-Gleichungen durchgef¨ uhrt werden. Das Ergebnis der gefilterten Grundgleichungen sowie Ans¨atze der Feinstrukturmodellierung finden sich in unserem weiterf¨ uhrenden Lehrbuch Numerische Str¨omungsmechanik. Eine Einf¨ uhrung in die Theorie der Grobstruktursimulation wird in dem Buch von P. Sagaut 2006 gegeben. 3.2.5

Feinstrukturmodellierung

Wie im vorangegangenen Abschnitt beschrieben, wird bei der Grobstruktursimulationen LES das Str¨omungsfeld mittels einer Filteroperation in einem Grob- sowie einen Feinstrukturanteil zerlegt, wobei der Feinstrukturanteil τij = ui uj − ui uj

(3.111)

und dessen Einfluss auf den Grobstrukturanteil durch ein Feinstrukturmodell modelliert wird. Da die Dissipation der turbulenten St¨ orungen in diesen kleinen Skalen stattfindet, besteht die Hauptaufgabe des verwendeten Feinstrukturmodells darin, die Dissipation geeignet wiederzugeben, also der Str¨ omung das richtige Maß an Energie zu entziehen.

256

3 Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

Einige dieser Modelle sind an die im vorangegangenen Abschnitt beschrieben Turbulenzmodelle angelehnt. Verbreitet ist das algebraische Smagorinsky-Modell. Desweiteren lassen ¨ sich Ahnlichkeitsund dynamische Modelle finden, die die Wechselwirkung zwischen den kleinsten aufgel¨osten und den gr¨ oßten nicht-aufgel¨osten Skalen zu beschreiben versuchen. Typischerweise wird bei einer Grobstruktursimulation versucht, ca. 80% der turbulenten Energie direkt aufzul¨ osen. Ist die Filterweite gr¨ober, so sind aufw¨andigere Feinstrukturmodelle anzuwenden. Wird ein wesentlicher Teil der turbulenten kinetischen Energie modelliert, wird von einer Very Large Eddy Simulation (VLES) gesprochen. Das Smagorinsky-Feinstrukturen-Modell basiert auf dem Boussinesq-Ansatz (2.111). Es gilt: turb τij −

1 ∂u SM · δij τkk = −νt · = −2 · νt · Sij = τij 3 ∂y

,

(3.112)

Wobei Sij der gefilterte Deformationstensor ist. Dieser Term beschreibt den turbulenzbedingten Impulstransport. Der zweite Term auf der linken Seite ist als turbulenter Druck zu verstehen, als die Spur des Tensors. Er wird zum Druckterm der gefilterten Gleichungen zugerechnet und daher im Folgenden nicht weiter betrachtet. Analog zum Prandtlschen Mischungswegmodell wird der Ansatz verwendet, dass die turbulente Wirbelviskosit¨at proportional zu einer charakteristischen L¨ ange und Geschwindigkeit

einer charakteristischen

 ist, also τt = lc uc . Desweiteren ist uc = lc Sij , wobei S = 2 · Sij · Sij . Es liegt nahe, die charakteristische L¨ ange lc u uhrt mit einer ¨ber die Gitterweite Δ zu definieren. Dies f¨ ange Modellkonstanten Cs auf die Feinstrukturl¨ lc = Cs · Δ

(3.113)

und somit auf



2 SM τij = −2 · (Cs · Δ) S Sij

.

(3.114)

1/3

herangezogen, es sind aber auch andere FormulieAls Δ wird meist Δ = (ΔxΔyΔz) rungen m¨oglich. Im Gegensatz zum Prandtlschen Mischungswegkonzept besteht hier nicht mehr das Problem, eine charakteristische L¨ ange zu definieren zu m¨ ussen, da diese bereits durch die Gitterweite gegeben ist. Die Smagorinsky-Konstante Cs ist hingegen abh¨angig vom Str¨omungsproblem. Ein durch die Theorie isotroper Turbulenz bestimmter Wert liegt ur praktische Anwendungen hat sich ein Wert von Cs = 0.1 als sinnbei etwa Cs = 0.17. F¨ voll erwiesen. Beim Smagorinsky-Modell handelt es sich um ein rein dissipatives Modell, das so genannte Backscatter-Effekte, bei denen lokal Energie von den kleinen zu den großen Wirbeln u ¨bertragen wird, nicht abbilden kann. Desweiteren verschwindet wegen |S| > 0 die Wiromungen nicht. Ebenfalls von Nachteil ist die isotrope belviskosit¨at νt in laminaren Str¨ Dissipation, die der Str¨ omung in allen Richtungen in gleichem Maße Energie entzieht. Von Vorteil ist seine Einfachheit und seine Robustheit.

3.2 Navier-Stokes Gleichungen (Erhaltung des Impulses)

257

Abb. 3.20: DES der Kugelumstr¨ omung, ReD = 1 · 105 Ein Problem der LES ist die Tatsache, dass die Gr¨oße der turbulenten Skalen sich in Wandn¨ahe stark ver¨ andern. Dies gilt insbesondere f¨ ur hohe Reynoldszahlen, da die Grenzschichtdicke mit steigender Reynoldszahl abnimmt. Außerdem findet im Gegensatz zur Außenstr¨omung in Wandn¨ ahe eine turbulente Produktion in den kleinen Skalen statt. Es existieren zwei Ans¨ atze, zum einen die Aufl¨ osung der Grenzschicht durch ein entsprechend feines Gitter oder zum anderen die Modellierung der wandnahen Str¨omung mit einer Wandfunktion. Die Verwendung einer Wandfunktion ben¨otigt einen geringeren Diskretisierungsaufwand, allerdings kann so keine Kenntnis u ¨ber die wandnahe Str¨omung gewonnen werden und sie ist f¨ ur von Wand- und Abl¨oseeffekten gepr¨agten Str¨omung kein ad¨ aquater Ansatz. Diese Umst¨ande haben zur Entwicklung der Detached Eddy Simulation (DES) gef¨ uhrt. Ziel der DES ist es, abgel¨ oste Str¨ omungen bei hohen Reynoldszahlen zu simulieren, ohne den hohen Aufwand einer Grobstruktursimulation mit Wandaufl¨osung betreiben zu m¨ ussen. Die wandnahe Str¨ omung ist durch starke Scherschichten gekennzeichnet, die bereits mit einfachen Turbulenzmodellen gut modelliert werden k¨onnen. Die DES macht sich die Tatsache zunutze, dass die wandnahe Str¨omung mit einer klassischen Turbulenzmodellierung (Kapitel 3.2.3) durchgef¨ uhrt werden kann und in der freien Str¨omung die Grobstruktursimulation angewandt wird. Da im wandfernen Bereich ein Gitter vorliegen muss, das dem Anspruch einer Grobstruktursimulation in diesem Bereich gen¨ ugt, ist der Rechenaufwand zwar deutlich gr¨ oßer, als bei einer Reynoldsgemittelten Simulation, aber deutlich geringer als bei einer Grobstruktursimulation mit aufgel¨oster Grenzschicht. Die Abbildung 3.20 zeigt das Beispiel einer solchen Detached Eddy Simulation der Kugelumstr¨omung bei einer Reynoldszahl Red = 1 · 105 . Deutlich sind die in der Abbildung 2.103 dargestellten rotierenden Wirbelschleifen im Nachlauf der Kugel aber mit einer wesentlich besseren Detailauf¨ osung zu erkennen.

258

3 Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

3.3 3.3.1

Energiegleichungen (Erhaltung der Energie) Laminare Str¨ omung

¨ Die zeitliche Anderung der inneren und kinetischen Energie im Volumenelement = * omung ein- und ausfließenden Energiestr¨ ome + * der durch die Str¨ der durch W¨ a rmeleitung einund ausfließenden Energiestr¨ ome + * der durch die Druck-, Normalspannungs- und Schubspannungskr¨ afte am Volumenelement geleisteten Arbeiten pro Zeit + der Energiezufuhr von außen + Arbeit pro Zeit, die durch das Wirken der Volumenkr¨ afte verursacht wird. ¨ Wir leiten nun die Energiegleichung her. Dazu betrachten wir die zeitliche Anderung der Gesamtenergie E in dem infinitesimal kleinen Volumenelement. Die im Volumenelement befindliche Energie setzt sich aus der inneren Energie ρ · e · dx · dy · dz (e{J/kg}) und der kinetischen Energie ρ · (V 2 /2) · dx · dy · dz = (1/2) · ρ · (u2 + v 2 + w2 ) · dx · dy · dz des Gases ¨ der im Volumenelement befindlichen zusammen (v · v =: V 2 ). Die zeitliche Anderung Energie l¨asst sich wie folgt ausdr¨ ucken:     2 2 ∂ ρ · e + V2 · dx · dy · dz ∂ ρ · e + V2 = · dx · dy · dz . (3.115) ∂t ∂t Die im Volumenelement befindliche Gesamtenergie wird durch die nachfolgend aufgelisteten Vorg¨ange ge¨andert: • Durch die mit der Str¨ omung in das Volumenelement hinein- und heraustransportierte ¨ innere und kinetische Energie pro Zeit. Wir bezeichnen diesen Anteil der Anderung ˙ nachfolgend mit dE. • Durch den Transport von Energie, die pro Zeiteinheit durch W¨armeleitung in das ¨ Volumen ein- bzw. austritt. Diesen Anteil der Anderung bezeichnen wir nachfolgend ˙ mit dQ. • Durch die am Volumenelement durch die Druck-, Normalspannungs- und Schubspan¨ nungskr¨afte geleistete Arbeit pro Zeit. Wir bezeichnen diesen Anteil der Anderung ˙ nachfolgend mit dA. • Durch Energie pro Zeit, die von außen dem im Volumenelement befindlichen Gas zugef¨ uhrt wird. Dies kann z. B. durch Strahlung und/oder durch im Gas ablaufende Verbrennungsprozesse erfolgen. Wir bezeichnen diesen Anteil bzw. diese Anteile bezogen auf die im Volumenelement befindliche Masse zusammenfassend mit q˙s {J/(kg · s)}. • Durch die Arbeit, die am Volumenelement durch das Wirken der Volumenkraft k{N/m3 } pro Zeit geleistet wird. Zu den Volumenkr¨aften z¨ahlen die Schwerkraft sowie magnetische und elektrische Kr¨ afte, die ggf. auf die Str¨omung wirken. Die zeit¨ liche Anderung der Energie des im Volumenelement befindlichen Gases, die durch die Kraft k · dx · dy · dz bewirkt wird, entspricht der Leistung (k · v ) · dx · dy · dz.

259

3.3 Energiegleichungen (Erhaltung der Energie)

˙ In der Abbildung 3.21 sind die ein- und ausflieWir beginnen mit der Betrachtung von dE. ßenden Energiestr¨ ome dargestellt. Mit einer analogen Betrachtung wie bei der Herleitung der Navier-Stokes Gleichungen erhalten wir f¨ ur den Term dE˙  ⎛ ⎞⎤ V 2 · u)   ∂(ρ · e + 2 ⎜ ⎟⎥ ⎢ V2 V2 ⎜ ⎥ · dx⎟ dE˙ = ⎢ ⎠⎦ · dy · dz+ ⎣ρ · e + 2 · u − ⎝ρ · e + 2 · u + ∂x ⎡



⎛

⎡

  2 2 ⎜ ⎢ ⎜ρ · e + V ⎢ρ · e + V · v − ·v+ ⎝ ⎣ 2 2

2 ∂(ρ · e + V2

· v)

∂y

⎞⎤ ⎟⎥ ⎥ · dy ⎟ ⎠⎦ · dx · dz+

 ⎛ ⎞⎤ 2 V   ∂ ρ · (e + 2 · w) 2 2 ⎜ ⎟⎥ ⎢ ⎜ρ · e + V ⎢ρ · e + V ⎥ · w − · w + · dz ⎟ ⎝ ⎠⎦ · dx · dy ⎣ 2 2 ∂z ⎡



V2 Ex = ρ · e + 2

, ,

· u · dy · dz

 V2 Ey = ρ · e + · v · dx · dz 2

,

 V2 Ez = ρ · e + · w · dx · dy 2 ⎛



2

⎜ V Ex,dx = ⎜ ⎝ρ · e + 2

 ⎞ V2 · u) ∂(ρ · e + ⎟ 2 ·u+ · dx⎟ ⎠ · dy · dz ∂x 

⎛

Ey,dy

V2  ∂(ρ · e + ⎜ V2 2 =⎜ ⎝ρ · e + 2 · v + ∂y ⎛



2

⎜ V Ez,dz = ⎜ ⎝ρ · e + 2

· v)

⎞ ⎟ · dy ⎟ ⎠ · dx · dz

 ⎞ V2 ∂(ρ · e + · w) ⎟ 2 ·w+ · dz ⎟ ⎠ · dx · dy ∂z

Abb. 3.21: Konvektive Energiestr¨ ome

.

260

3 Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

Durch Vereinfachung erh¨ alt man   ⎛ 2 2 V V ∂(ρ · e + 2 · v) ⎜ ∂(ρ · e + 2 · u) + + dE˙ = − ⎜ ⎝ ∂x ∂y 

2 ∂(ρ · e + V2

∂z



⎞ · w) ⎟ ⎟ · dx · dy · dz ⎠

. (3.116)

Wir stellen nun die Gleichung f¨ ur den Anteil dQ˙ auf. Gem¨aß des Fourierschen W¨armeleitungsgesetzes fließt die W¨ armeenergie in Richtung abnehmender Temperaturen. Z. B. gilt f¨ ur ein eindimensionales W¨ armeleitungsproblem die Gleichung q˙ = −λ·(dT /dx). q˙ steht f¨ ur den W¨ armefluss pro Fl¨ ache {W/m2 } und λ f¨ ur die W¨armeleitf¨ahigkeit {W/(m · K)}, die im Allgemeinen von dem jeweiligen Fluid, dem Druck und der Temperatur abh¨angig ist. Wenden wir das Fouriersche W¨armeleitungsgesetz zur Berechnung des Anteils dQ˙ an, so erhalten wir f¨ ur den gesamten Energiefluss durch W¨armeleitung in bzw. aus dem Volumenelement den nachfolgenden Ausdruck    ∂T ∂ ∂T ∂T ˙ − −λ · + −λ · · dx · dy · dz+ dQ = −λ · ∂x ∂x ∂x ∂x    ∂T ∂T ∂ ∂T −λ · − −λ · + −λ · · dy · dx · dz+ ∂y ∂y ∂y ∂y    ∂T ∂T ∂ ∂T −λ · − −λ · + −λ · · dz · dx · dy . (3.117) ∂z ∂z ∂z ∂z Durch Vereinfachung erh¨ alt man     ∂ ∂T ∂ ∂T ∂ ∂T ˙ dQ = λ· + λ· + λ· · dx · dy · dz ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z

.

(3.118)

Nachfolgend werden wir nun die Beziehungen f¨ ur die durch die Druck-, Normalspannungsund Schubspannungskr¨ afte am Volumenelement geleisteten Arbeiten aufstellen. Auf jeder Oberfl¨ache des Volumenelements wirken drei Spannungen, die auf die Reibung zur¨ uckzuf¨ uhren sind und der statische Druck. Die durch den Druck und die Spannungen resultierenden Kr¨afte leisten Arbeit an dem Volumenelement. Die Arbeit pro Zeit, die wir auch als Leistung bezeichnen, ergibt sich jeweils aus dem Produkt der Geschwindigkeit und der Kraft, die in Richtung der jeweiligen Geschwindigkeitskomponente wirkt. Eine Arbeit pro Zeit wird mit einem positiven Vorzeichen ber¨ ucksichtigt, wenn die Geschwindigkeitskomponente in Richtung der Druck-, Normalspannungs- bzw. Schubspannungskraft zeigt. Trifft dies nicht zu, wird die Arbeit pro Zeit mit einem negativen Vorzeichen versehen. Wir wollen uns zun¨ achst nur auf die Leistung dA˙ x beschr¨anken, die dem Volumenelement u achen mit dem Fl¨ acheninhalt dy · dz zu- bzw. abgef¨ uhrt wird. F¨ ur ¨ber die beiden Oberfl¨ die verbleibenden Leistungen dA˙ y und dA˙ z erhalten wir analoge Ausdr¨ ucke (s. Abbildung 3.4). Wir erhalten f¨ ur dA˙ x gem¨ aß der folgenden Rechnung den Ausdruck  ∂(p · dy · dz · u) ˙ · dx − dAx = p · dy · dz · u − p · dy · dz · u + ∂x

261

3.3 Energiegleichungen (Erhaltung der Energie)

 ∂(σxx · dy · dz · u) · dx − σxx · dy · dz · u + σxx · dy · dz · u + ∂x  ∂(τxy · dy · dz · v) τxy · dy · dz · v + τxy · dy · dz · v + · dx − ∂x  ∂(τxz · dy · dz · w) τxz · dy · dz · w + τxz · dy · dz · w + · dx . (3.119) ∂x Durch Vereinfachung erh¨ alt man  ∂(p · u) ∂(σxx · u) ∂(τxy · v) ∂(τxz · w) ˙ dAx = − + + + · dx · dy · dz ∂x ∂x ∂x ∂x

. (3.120)

F¨ ur die y- und z-Richtung erhalten wir entsprechende Ausdr¨ ucke f¨ ur dA˙ y und dA˙ z . Sie lauten  ∂(p · v) ∂(τyx · u) ∂(σyy · v) ∂(τyz · w) dA˙ y = − + + + · dx · dy · dz , (3.121) ∂y ∂y ∂y ∂y  dA˙ z =

−

∂(p · w) ∂(τzx · u) ∂(τzy · v) ∂(σzz · w) + + + ∂z ∂z ∂z ∂z

· dx · dy · dz

. (3.122)

dA˙ ergibt sich nun aus der Summe von dA˙ x , dA˙ y und dA˙ z . Wir k¨onnen nun die Energiegleichung in ihrer vorl¨aufigen Form aufstellen. Der Leitsatz dazu lautet ¨ Die zeitliche Anderung der inneren und kinetischen Energie im Volumenelement = * omung ein- und ausfließenden Energiestr¨ ome + * der durch die Str¨ der durch W¨ a rmeleitung einund ausfließenden Energiestr¨ ome + * der durch die Druck-, Normalspannungs- und Schubspannungskr¨ afte am Volumenelement geleisteten Arbeiten pro Zeit + der Energiezufuhr von außen + Arbeit pro Zeit, die durch das Wirken der Volumenkr¨ afte verursacht wird. Gem¨aß des Leitsatzes und den Gleichungen (3.115), (3.116), (3.118), (3.120), (3.121), (3.122) sowie den Ausdr¨ ucken (ρ · q˙s ) · dx · dy · dz und (k · v ) · dx · dy · dz lautet der Energiesatz in seiner vorl¨ aufigen Form (der Term dx · dy · dz k¨ urzt sich auf beiden Seiten heraus)  2 V ∂(ρ · e + 2 ) = ∂t    ⎛ ⎞ V 2 · u) ∂(ρ · [e + V 2 · v) ∂(ρ · e + V 2 · w) ∂(ρ · e + 2 2 2 ⎜ ⎟ ⎟+ −⎜ + + ⎝ ⎠ ∂x ∂y ∂z

262

3 Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik



   ∂ ∂T ∂ ∂T ∂ ∂T λ· + λ· + λ· + ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z  ∂(p · u) ∂(σxx · u) ∂(τxy · v) ∂(τxz · w) − + + + + ∂x ∂x ∂x ∂x  ∂(p · v) ∂(τyx · u) ∂(σyy · v) ∂(τyz · w) − + + + + ∂y ∂y ∂y ∂y  ∂(p · w) ∂(τzx · u) ∂(τzy · v) ∂(σzz · w) + + + + k · v + ρ · q˙s − ∂z ∂z ∂z ∂z

.

(3.123)

Die Gleichung (3.123) beinhaltet bereits die vollst¨andige Physik und es bleibt nun die Aufgabe u ur das weitere Arbeiten geeignetere Form ¨brig, die Energiegleichung in eine f¨ zu u uhren und f¨ ur die Normal- und Schubspannungen die entsprechenden Ausdr¨ ucke ¨berf¨ gem¨aß des Stokesschen Reibungsgesetzes (3.16) einzusetzen. Zuerst werden wir die Gleichung (3.123) in eine andere Form bringen. Durch Umformen und Differenzieren erhalten wir die folgende Gleichung   V2 ∂ρ ∂(ρ · u) ∂(ρ · v) ∂(ρ · w) e+ · + + + + 2 ∂t ∂x ∂y ∂z  ∂e ∂e ∂e ∂e ρ· +u· +v· +w· + ∂t ∂x ∂y ∂z    ⎞ ⎛  2 2 2 V V V V2 ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 ⎟ ⎜ ⎟= ρ·⎜ +u· +v· +w· ⎝ ∂t ∂x ∂y ∂z ⎠    ∂T ∂ ∂T ∂ ∂T ∂ λ· + λ· + λ· − ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z  ∂p ∂p ∂p p · (∇ · v ) − u · +v· +w· + ∂x ∂y ∂z   ∂σxx ∂τyx ∂τzx ∂σyy ∂τzy ∂τxy u· + + +v· + + + ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z  ∂τxz ∂τyz ∂σzz ∂u ∂u ∂u w· + + + σxx · + τyx · + τzx · + ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂v ∂v ∂v ∂w ∂w ∂w + σyy · + τzy · + τxz · + τyz · + σzz · + τxy · ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z k · v + ρ · q˙s . 

(3.124)

Der erste Summand in der Gleichung (3.124) ist wegen der Kontinuit¨atsgleichung (3.1) gleich Null. Ebenfalls k¨ onnen wir den dritten Summanden der linken Seite der Gleichung (3.124) und die Terme  ∂p ∂p ∂σxx ∂τyx ∂τzx ∂p +v· +w· , u· + + , u· ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z   ∂σyy ∂τzy ∂τxz ∂τyz ∂σzz ∂τxy k · v + + , w· + + , v· ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z

263

3.3 Energiegleichungen (Erhaltung der Energie)

herausstreichen. Die f¨ ur diese Vereinfachung dazugeh¨orige Rechnung soll hier nicht vorgef¨ uhrt werden. Sie wird nachfolgend nur kurz beschrieben. • Man multipliziert die erste Gleichung (3.13) mit u, die zweite Gleichung (3.14) mit v und die dritte Gleichung (3.15) mit w. • Danach addiert man die so erhaltenen Gleichungen und erh¨alt eine resultierende Gleichung, die man von der Gleichung (3.124) wiederum subtrahiert. Dabei f¨allt der Term k · v heraus. Wenn wir die genannte Rechnung mit Gleichung (3.124) durchf¨ uhren, erhalten wir die folgende Energiegleichung  ∂e ∂e ∂e ∂e +u· +v· +w· = ρ· ∂t ∂x ∂y ∂z     ∂ ∂T ∂ ∂T ∂ ∂T λ· + λ· + λ· − p · (∇ · v ) + ρ · q˙s + ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂u ∂u ∂u ∂v ∂v ∂v + τyx · + τzx · + τxy · + σyy · + τzy · + σxx · ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂v ∂w ∂w ∂w τzy · + τxz · + τyz · + σzz · . (3.125) ∂z ∂x ∂y ∂z Es bleibt nun nur noch u ¨brig, in die Gleichung (3.125) die Normal- und Schubspannungsterme gem¨aß des Stokesschen Reibungsgesetzes (3.16) einzusetzen. Mit einer weiteren einfachen Rechnung erh¨ alt man dann die Energiegleichung in der endg¨ ultigen Form. Sie lautet  ∂e ∂e ∂e ∂e ρ· +u· +v· +w· = ∂t ∂x ∂y ∂z , (3.126)     ∂T ∂ ∂T ∂ ∂T ∂ λ· + λ· + λ· − p · (∇ · v ) + ρ · q˙s + μ · Φ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z mit der Dissipationsfunktion Φ ,

2

Φ=2·

∂u ∂x



2

∂u ∂w + ∂z ∂x

 +

−

2 · 3

∂v ∂y



2

 +

∂w ∂z

2 -

∂w ∂u ∂v + + ∂x ∂y ∂z

 +

2

∂u ∂v + ∂x ∂y

2

 +

∂w ∂v + ∂y ∂z

2 + . (3.127)

Diese enth¨alt nur quadratische Glieder und ist deshalb an jeder Stelle im Str¨omungsfeld gr¨oßer als Null. Sie bedeutet physikalisch die Umwandlung von Reibungsverlusten in W¨armeenergie, die aufgrund der quadratischen Terme irreversibel ist. Bei der Herleitung der Energiegleichung haben wir bis jetzt noch keine Einschr¨ankungen gemacht. Sie gilt noch vollkommen allgemein und beschreibt den Energiehaushalt in einem

264

3 Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

kleinen Volumenelement auch f¨ ur Str¨ omungen, in denen z. B. chemische Prozesse ablaufen oder, was gleichbedeutend ist, Verbrennungsprozesse stattfinden. Wir haben nur vorausgesetzt, dass die Str¨ omung homogen ist (es d¨ urfen also z. B. keine Rußpartikel in der Str¨ omung vorhanden sein) und, dass das Fluid ein Newtonsches Medium ist. Nachfolgend werden wir nun die Energiegleichung speziell f¨ ur kalorisch perfekte Gase aufstellen. F¨ ur ein kalorisch perfektes Gas sind die spezifischen W¨armekapazit¨aten cp und cv keine Funktion der Temperatur und es gelten die folgenden thermodynamischen Beziehungen e = cv · T

,

h=e+

p = cp · T ρ

oder e = cp · T −

p ρ

.

(3.128)

Mit Gleichung (3.126) und (3.128) erh¨ alt man nach einer kleineren Rechnung unter Ausnutzung der Kontinuit¨ atsgleichung (3.1) die Energiegleichung f¨ ur ein kalorisch perfektes Gas  ∂T ∂T ∂T ∂T +u· +v· +w· = ρ · cp · ∂t ∂x ∂y ∂z ∂p ∂t

+u· 

∂p ∂x

+v·

∂p ∂y

+w·

∂p ∂z

! +

   ∂ ∂T ∂ ∂T ∂ ∂T λ· + λ· + λ· + ρ · q˙s + μ · Φ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z

(3.129) .

Mit der Boussinesq-Approximation, die wir f¨ ur Str¨omungen mit W¨armetransport in Abschnitt 3.2.1 eingef¨ uhrt haben, erh¨ alt man die Energiegleichung in der folgenden Form:  ∂T + v · ∇T = λ · ΔT . (3.130) ρ · cp · ∂t

3.3.2

Turbulente Str¨ omungen

Als N¨achstes wollen wir nun die Energiegleichung zeitlich mitteln. Dabei beschr¨anken wir uns auf kalorisch perfekte Gase und kommen wieder auf die Gleichung (3.129) zur¨ uck. Bevor sie zeitlich gemittelt wird, werden wir ihre rechte Seite noch modifizieren. Durch Erweitern der linken Seite der Gleichung (3.129) durch die linke Seite der Kontinuit¨atsgleichung (3.1) und die anschließende Zusammenfassung erhalten wir (der Index i steht wieder f¨ ur die drei Raum- bzw. Geschwindigkeitsrichtungen)    ∂T ∂T ∂T ∂T ∂ρ ∂(ρ · ui ) ρ · cp · + ui · + ui · + = ρ · cp · + T · cp · = ∂t ∂xi ∂t ∂xi ∂t ∂xi

265

3.3 Energiegleichungen (Erhaltung der Energie)

∂(ρ · cp · T ) ∂(ρ · cp · T · ui ) + ∂t ∂xi

.

Die Energiegleichung kann also wie folgt geschrieben werden ∂(ρ · cp · T ) ∂(ρ · cp · T · u) ∂(ρ · cp · T · v) ∂(ρ · cp · T · w) + + + = ∂t ∂x ∂y ∂z  ∂p ∂p ∂p ∂p +u· +v· +w· + ∂t ∂x ∂y ∂z     ∂ ∂T ∂ ∂T ∂ ∂T λ· + λ· + λ· + ρ · q˙s + Ψ . ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z

(3.131)

Ψ ist die Summe der folgenden Produkte (vgl. dazu (3.125)) ∂u ∂u ∂u ∂v ∂v ∂v + τyx · + τzx · + τxy · + σyy · + τzy · + ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂w ∂w ∂w + τyz · + σzz · . τxz · ∂x ∂y ∂z

Ψ = σxx ·

Wir mitteln nun die Energiegleichung und setzen daf¨ ur in die Energiegleichung die Gr¨oßen u, v, w, p und T gem¨ aß den Gleichungen (3.30) ein. Dadurch erhalten wir die folgende Gleichung (wir verwenden wieder die abk¨ urzende Schreibweise) ∂(ρ · cp · (T˜ + T  )) ∂(ρ · cp · (T˜ + T  ) · (˜ ui + ui )) = + ∂t ∂xi , -%  $ ) ˜ + T  ) ∂(¯ p + p ∂( T ∂(¯ p + p ) ∂ λ· + (¯ ρ + ρ ) · q˙s + Ψ.(3.132) + + (˜ ui + ui ) · ∂t ∂xi ∂xi ∂xi Mit der Anwendung der bereits bekannten Rechenregeln erhalten wir die zeitlich gemittelte Energiegleichung f¨ ur kalorisch perfekte Gase ∂(¯ ρ · cp · T˜) ∂(¯ ˜) ∂(¯ ˜ ρ · cp · T˜ · u ρ · cp · T˜ · v˜) ∂(¯ ρ · cp · T˜ · w) + + + = ∂t ∂x ∂y ∂z ∂ p¯ ∂ p¯ +u ˜· + v˜ · ∂t ∂x $ ∂ ∂ T˜ λ· +λ· ∂x ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z

$

∂ p¯ ∂ p¯ ∂p ∂p ∂p +w ˜· + u · + v  · + w · + ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z % ∂T    − cp · ρ · T · u + ∂x

∂ T˜ ∂T  λ· +λ· − cp · ρ · T  · v ∂y ∂y

$

%

∂ T˜ ∂T  λ· +λ· − cp · ρ · T  · w ∂z ∂z

+ % ¯ + ρ¯ · q˙s + Ψ

, (3.133)

266

3 Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

mit ∂u ∂u ˜k ∂u ˜i ∂u ¯ = σkk · ∂uk + τij · ∂ui = σ ¯kk · + σkk · k + τ¯ij · + τij · i Ψ ∂xk ∂xj ∂xk ∂xk ∂xj ∂xj

. (3.134)

F¨ ur die zeitlich gemittelten Normal- und Schubspannungen σ ¯kk bzw. τ¯ij gelten die Gleichungen (3.41) und (3.42). Die Gleichung (3.133) enth¨ alt auf der rechten Seite drei zus¨atzliche Terme. Weiterhin hat ¯ im Vergleich zu Ψ verdoppelt. Es ist nicht schwer, die sich die Anzahl der Glieder von Ψ Herkunft der zus¨atzlichen Ausdr¨ ucke nachzuvollziehen. Der Term ∂(cp · ρ · T  · uj )/∂xj r¨ uhrt wieder von den nichtlinearen, konvektiven Gliedern her. Er beschreibt in der Energiegleichung den zus¨ atzlichen Energietransport, der durch die turbulenten Schwankungsbewegungen hervorgerufen wird. Bevor wir diesen Abschnitt beenden, wollen wir noch die zeitlich gemittelte Energiegleichung f¨ ur inkompressible Str¨ omungen angeben. Zur Berechnung der Str¨omungsgr¨oßen u ¯, v¯, w ¯ und des Druckes p¯ reichen die Gleichungen (3.44) bis (3.47) vollst¨andig aus. Ist jedoch dar¨ uberhinaus die Temperaturverteilung im Str¨omungsfeld von Interesse, so muss zus¨atzlich die Energiegleichung gel¨ ost werden. Bei der Berechnung von inkompressiblen Str¨ omungen ist die Energiegleichung von der Kontinuit¨atsgleichung und den Impulsgleichungen entkoppelt, d. h. man kann zuerst die Gleichungen (3.44) bis (3.47) l¨ osen und benutzt anschließend mit der Kenntnis von u ¯, v¯, w ¯ und p¯ die Energiegleichung zur Bestimmung des Temperaturfeldes. Die Energiegleichung f¨ ur ein inkompressibles Medium lautet mit c = cv  ¯ ∂(T¯ · u ¯) ∂(T¯ · v¯) ∂(T¯ · w) ¯ ∂T + + + = ∂t ∂x ∂y ∂z

ρ·c· ∂ ∂x ∂ ∂z

 λ·

∂ T¯ − ρ · c · T  · u ∂x

+

∂ ∂y

 λ·

∂ T¯ − ρ · c · T  · v + ∂y

.

(3.135)

 ∂ T¯ ¯ λ· − ρ · c · T  · w + ρ · q˙s + Ψ ∂z

Wir kommen nun auf unser urspr¨ ungliches Problem zur¨ uck, das wir uns am Anfang dieses Kapitels gestellt haben. Es sollten die Gleichungen zur Berechnung der inkompressiblen Fahrzeugstr¨omung sowie der kompressiblen Tragfl¨ ugelstr¨omung aufgestellt werden. Nachfolgend wollen wir die Anwendungen der Gleichungen auf die genannten Probleme erl¨autern. • Die inkompressible Fahrzeugumstr¨ omung Mit der Kontinuit¨ atsgleichung (3.2) und den Navier-Stokes Gleichungen (3.19) haben wir vier Gleichungen f¨ ur die vier Unbekannten u, v, w und p zur Verf¨ ugung. Die Z¨ahigkeit μ setzen wir als bekannt und nicht abh¨angig von der Temperatur voraus.

3.3 Energiegleichungen (Erhaltung der Energie)

267

Die Navier-Stokes Gleichungen (3.19) sind nichtlinear und von zweiter Ordnung. Die L¨osungsverfahren dieses Systems partieller Differentialgleichungen werden in Kapitel 4. erl¨autert. • Die kompressible Tragfl¨ ugelstr¨ omung Bei der Berechnung von kompressiblen Str¨omungen muss neben den Gr¨oßen u, v, w und p noch die Dichte ρ in Abh¨ angigkeit von den drei Koordinaten x, y und z berechnet werden. Mit der Kontinuit¨ atsgleichung (3.1), den Navier-Stokes Gleichungen (3.18) und der Energiegleichung (3.109) haben wir f¨ unf Gleichungen f¨ ur die f¨ unf Unbekannten u, v, w, p und T zur Verf¨ ugung. Die Dichte k¨onnen wir nach der Berechnung der zuletzt genannten Gr¨ oßen mit der thermischen Gasgleichung p=ρ·R·T berechnen. Auch diese Gleichungen sind, wie die Gleichungen f¨ ur inkompressible Str¨omungen, nichtlinear und k¨ onnen in der Regel f¨ ur technische Probleme nur mit numerischen Verfahren auf leistungsf¨ ahigen Rechnern gel¨ost werden. Die L¨osungsmethoden werden wiederum in Kapitel 4. behandelt. Insbesondere bei der Berechnung von kompressiblen Str¨omungsfeldern muss die Str¨omungsphysik mitber¨ ucksichtigt werden. So wissen wir bereits, dass in komomungen Verdichtungsst¨ oße auftreten k¨onnen, u pressiblen Str¨ ¨ber die sich die Str¨omungsgr¨oßen unstetig ¨ andern. Jedoch sind unsere aufgestellten Differentialgleichungen an der Stelle solcher Unstetigkeiten nicht g¨ ultig, so dass sich nun die Frage stellt, wie man an diesen Stellen die Str¨ omung berechnen kann. Es gibt in der numerischen Str¨omungsmechanik geeignete Techniken, Unstetigkeiten im Str¨omungsfeld zu ber¨ ucksichtigen. Diese Techniken werden sp¨ater einf¨ uhrend vorgestellt. • Die heiße kompressible Str¨ omung Das Gas der kompressiblen Tragfl¨ ugelstr¨ omung kann als kalorisch ideales Gas angenommen werden. Wird jedoch die Zustr¨ om-Mach-Zahl groß (M∞ > 2) oder sogar sehr groß (M∞ > 5), so verh¨ alt sich das Gas nicht mehr kalorisch perfekt. Diese ¨ F¨alle treten z. B. bei der Umstr¨ omung von Uberschallflugzeugen (z.B Concorde) und Raumfahrtflugger¨ aten (z. B. Space Shuttle) auf, die die Erdatmosph¨are verlassen oder wiedereintreten. In solchen F¨allen kann die Energiegleichung (3.129) f¨ ur kalorisch perfekte Gase nicht mehr angewendet werden. Es muss dann die allgemeing¨ ultigere Energiegleichung (3.126) zur L¨osung des Problems herangezogen werden. Weitere Beziehungen f¨ ur die innere Energie e sowie f¨ ur die Werte der Z¨ahigkeit μ und der W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ m¨ ussen der Thermodynamik entnommen werden. Hier beginnt das interessante Gebiet der Aerothermodynamik, das die Str¨omungsmechanik idealer Gase mit der Chemie heißer Gase verkn¨ upft. F¨ ur viele Probleme der Aerothermodynamik reichen die hier aufgestellten Gleichungen wegen der Hochtemperatureffekte nicht mehr aus und sie m¨ ussen deshalb f¨ ur die Aufgaben und Fragestellungen der Aerothermodynamik erweitert werden (s. dazu H. Oertel jr. 1994, 2005). • Str¨ omungen mit W¨ arme¨ ubertragung F¨ ur die freie und erzwungene Konvektionsstr¨omung, die wir in Kapitel 2.6 eingef¨ uhrt haben, kann die Boussinesq-Approximation angewendet werden. Sie besagt,

268

3 Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

dass die Stoffgr¨ oßen als konstant vorausgesetzt werden und lediglich die Temperaturabh¨angigkeit der Dichte (3.23) ρ(T ) = ρ0 · [1 − α · (T − T0 )] im Auftriebsterm ber¨ ucksichtigt wird. Daraus resultieren wiederum f¨ unf vereinfachte nichtlineare Differentialgleichungen f¨ ur die f¨ unf unbekannten u, v, w, p und T .

3.4 Grenzschichtgleichungen

3.4

269

Grenzschichtgleichungen

Ludwig Prandtl hat im Jahre 1904 in seiner ber¨ uhmten achtseitigen Arbeit (vgl. L. Prandtl 1961) nachgewiesen, dass sich bei der Umstr¨ omung von K¨orpern bei großen Reynoldsunne Schicht um den K¨orper Zahlen (ReL > 104 ) die Reibungseffekte auf eine sehr d¨ beschr¨anken. Außerhalb dieser Schicht, die wir Grenzschicht nennen, kann die Str¨omung als reibungsfrei angenommen werden. Die Dicke der Grenzschicht ist abh¨ angig von der Reynolds-Zahl. Bei der Profilumstr¨omung besitzt sie z. B. bei einer Reynolds-Zahl von ReL = ρ · u∞ · L/μ ≈ 105 − 106 an der Hinterkante eine Dicke von ungef¨ ahr 5% der Profill¨ange L vorausgesetzt, dass die Grenzschichtstr¨omung turbulent ist. Eine laminare Grenzschicht ist wesentlich d¨ unner. F¨ ur die Str¨omung außerhalb der Grenzschicht vereinfachen sich die Navier-Stokes-Gleichungen auf die Euler-Gleichungen, da die Reibungsglieder f¨ ur diesen Teil der Str¨omung verschwinden. Die Navier-Stokes Gleichungen lassen sich ebenfalls f¨ ur die Grenzschichtstr¨omung vereinfachen. Wie wir nachfolgend sehen werden, k¨onnen wir f¨ ur die Grenzschichtstr¨omung in den Navier-Stokes-Gleichungen gewisse Terme vernachl¨assigen, da sie im Vergleich zu den u ¨brigen Gliedern der Gleichungen eine Gr¨oßenordnung kleiner sind. 3.4.1

Inkompressible Str¨ omungen

Um die Grenzschichtgleichungen aus den Navier-Stokes-Gleichungen ableiten zu k¨onnen, f¨ uhren wir eine Gr¨ oßenordnungsabsch¨atzung der einzelnen Glieder der dimensionslosen Navier-Stokes-Gleichungen durch. Wir wollen uns zun¨achst mit der Gr¨oßenordnungsabsch¨ atzung vertraut machen und betrachten dazu die horizontale Geschwindigkeitskomponente u∗ = u/u∞ der Plattengrenzschichtstr¨omung (Abbildung 3.22). Wir gehen zun¨achst davon aus, dass die Grenzschichtstr¨omung zweidimensional, inkompressibel und station¨ ar sei. Sp¨ ater betrachten wir dann das komplexere dreidimensionale Str¨omungsproblem. Die dimensionslosen Str¨omungsgr¨oßen u∗ , w∗ und p∗ erf¨ ullen zusammen die nachfolgenden dimensionslosen Navier-Stokes-Gleichungen und die Kontinuit¨atsgleichung (s. Gleichung (3.198)). Die Gleichungen lauten unter Vernachl¨assigung

Abb. 3.22: Plattengrenzschichtstr¨ omung

270

3 Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

der Volumenkr¨afte ki ∂w∗ ∂u∗ + =0 , ∗ ∂x ∂z ∗  2 ∗ ∗ ∗ ∂p∗ 1 ∂ u ∂ 2 u∗ ∗ ∂u ∗ ∂u · + ∗2 u · ∗ +w · ∗ =− ∗ + , ∂x ∂z ∂x ReL ∂x∗ 2 ∂z  2 ∗ ∗ ∗ ∂p∗ 1 ∂ w ∂ 2 w∗ ∗ ∂w ∗ ∂w , +w · =− ∗ + · + u · ∂x∗ ∂z ∗ ∂z ReL ∂x∗ 2 ∂z ∗ 2

(3.136) (3.137)

(3.138)

mit x , L u u∗ = , u∞

x∗ =

z L

,

w∗ =

w u∞

z∗ =

ρ · u∞ · L , μ p p∗ = . ρ · u2∞

ReL = ,

L entspricht der L¨ ange der Platte und u∞ steht f¨ ur die Anstr¨omgeschwindigkeit. Bei der Durchf¨ uhrung der Gr¨ oßenordnungsabsch¨ atzung interessiert uns nicht, ob die einzelnen Glieder sich durch einen Faktor von drei, vier etc. unterscheiden. Wir wollen die Unterschiede in den Gr¨ oßenordnungen (Faktor zehn oder mehr) der einzelnen Glieder herausfinden. Um mit der Gr¨oßenordnungsabsch¨ atzung vertraut zu werden, betrachten wir den Differentialquotienten ∂u∗ /∂x∗ , der in den Gleichungen (3.136) und (3.137) steht. Betrachten wir z. B. die Stellen 1 und 2 in Abbildung 3.22, an denen die Gr¨oße u∗ ungef¨ahr 1.0 (Stelle 1) bzw. 0.1 (Stelle 2) ist, so l¨ asst sich der Differentialquotient ∂u∗ /∂x∗ wie nachfolgend gezeigt absch¨atzen

∗

∂u 0.1 − 1

≈



∂x∗ 0.5 − 0 = 1.8 . Die Gr¨oße ∂u∗ /∂x∗ nimmt also im dimensionslosen Rechengebiet Zahlenwerte zwischen 1 und 10 an. Sie ist also von der Gr¨ oßenordnung Eins. Bei unserer weiteren Absch¨ atzung gehen wir davon aus, dass die Grenzschichtdicke δ klein und von der Gr¨oßenordnung  ist, wobei  f¨ ur eine kleine Gr¨oßenordnung steht. Diese Annahme ist insofern richtig, als wir im Experiment beobachten k¨onnen, dass bei großen Reynolds-Zahlen Re > 104 die Grenzschichtdicke δ sehr viel kleiner als z. B. die Profill¨ange L ist. Mit dieser Kenntnis k¨ onnen wir nun den zweiten Differentialquotienten ∂w∗ /∂z ∗ in der Kontinuit¨atsgleichung absch¨ atzen. Die Gr¨ oße z ∗ kann in der Grenzschicht nur Werte der Gr¨oßenordnung  annehmen. Da ∂u∗ /∂x∗ die Gr¨oßenordnung Eins besitzt und deshalb auch ∂w∗ /∂z ∗ von der Gr¨ oßenordnung Eins sein muss (sonst kann die Kontinuit¨atsgleichung nicht erf¨ ullt sein), muss auch die Gr¨oße w ∗ von der Gr¨oßenordnung  sein. Wir erhalten also die folgende Absch¨ atzung ∂w∗ ∂u∗ + =0 . ∂x∗ ∂z ∗ 1

 

271

3.4 Grenzschichtgleichungen

Die Geschwindigkeitskomponente w∗ ist also sehr klein und die Kontinuit¨atsgleichung bleibt f¨ ur die Grenzschichtstr¨ omung weiterhin unver¨andert bestehen. Wir k¨onnen nun dazu u ¨bergehen, die Glieder der Navier-Stokes Gleichungen abzusch¨atzen. ¨ Gem¨aß unserer vorigen Uberlegungen erhalten wir die folgende Absch¨atzung (unter den Gleichungen sind jeweils die Gr¨ oßenordnungen der einzelnen Glieder angegeben) ∗ ∂u∗ ∂p∗ 1 ∗ ∂u + w · = − + · ∂x∗ ∂z ∗ ∂x∗ ReL 1 1 · 1  · = 1 2 · 

u∗ ·

∗ ∂w∗ ∂p∗ 1 ∗ ∂w + w · = − + · ∂x∗ ∂z ∗ ∂z ∗ ReL    · =  2 · 1 · 1 

u∗ ·

∂ 2 u∗ ! ∂ 2 u∗ + ∂x∗ 2 ∂z ∗ 2 1 1 ! 1 2 ∂ 2 w∗ ! ∂ 2 w∗ + 2 ∂x∗ ∂z ∗ 2 !   1 2

,

(3.139)

.

.

(3.140)

Bez¨ uglich der Absch¨ atzung ist Folgendes zu erg¨anzen: • Wir setzen voraus, dass die Reynolds-Zahl so groß ist, dass der Ausdruck 1/ReL mindestens von der Gr¨ oßenordnung 2 klein ist. • In der Gleichung (3.140) besitzt der Druckgradient ∂p∗ /∂z ∗ die Gr¨oßenordnung , da alle anderen Glieder in der Gleichung von dieser Gr¨oßenordnung sind. • Wir k¨onnen also Gleichung (3.140) bei der Berechnung der Grenzschichtstr¨omung streichen und davon ausgehen, dass sich der Druck p in z-Richtung kaum ¨andert. Es gilt also f¨ ur die Berechnung p = f(z). • Der Druckgradient (∂p∗ /∂x∗ ) = (dp∗ /dx∗ ) besitzt die Gr¨oßenordnung Eins. Betrachten wir die Gleichung (3.139) f¨ ur den Bereich des Grenzschichtrandes, wo die reibungsbehaftete Str¨ omung in die reibungslose Str¨omung u ¨bergeht, so k¨onnen wir die Reibungsglieder vernachl¨ assigen. Da die Gleichung (3.139) auch am Grenzschichtrand erf¨ ullt ist und die linke Seite die Gr¨oßenordnung Eins besitzt, ist auch der Druckgradient dp∗ /dx∗ von der Gr¨ oßenordnung Eins. • Aus der Gr¨oßenordnungsabsch¨ atzung f¨ ur die Gleichung (3.139) geht hervor, dass die zweite Ableitung in x∗ -Richtung sehr klein ist und in der Gleichung vernachl¨assigt werden kann. Wir gehen wieder zu den dimensionsbehafteten Gr¨oßen u ¨ber und nutzen die Kenntnisse der Gr¨oßenordnungsabsch¨ atzung zur Formulierung der Grenzschichtgleichungen. Sie lauten f¨ ur eine zweidimensionale, inkompressible und station¨are Grenzschichtstr¨omung (Abbildung 3.23)

272

3 Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

∂u ∂w + =0 , ∂x ∂z  ∂u dp ∂2u ∂u +w· = − +μ· 2 ρ· u · ∂x ∂z dx ∂z ∂p =0 ∂z

.

(3.141) ,

(3.142)

(3.143)

Der Druckgradient dp/dx kann in der Gleichung (3.142) als bekannt vorausgesetzt werden. Weiter unten wird beschrieben, wie er ermittelt werden kann. Die Grenzschichtgleichungen (3.141) und (3.142) sind also zwei Gleichungen f¨ ur die zwei Unbekannten u und w, wenn wir die Gleichung (3.143) nicht mitber¨ ucksichtigen. Um den Druckgradienten dp/dx zu ermitteln, betrachten wir eine Stromlinie entlang des Grenzschichtrandes einer Profilumstr¨ omung (Abbildung 3.23). Da auf dem Grenzschichtrand die Reibungseffekte verschwinden, gilt in einer gewissen Umgebung die eindimensionale Euler-Gleichung. Sie lautet entsprechend Kapitel 2.3.3 ρ · Ue ·

dUe dp =− dx dx

.

(3.144)

ur die Geschwindigkeit am Grenzschichtrand. Sie berechnet sich mit der Ue = u(δ) steht f¨ Theorie der reibungsfreien Außenstr¨ omung, auf die wir im nachfolgenden Abschnitt zu sprechen kommen. Zur Berechnung der Grenzschichtstr¨ omung ben¨ otigen wir noch geeignete Randbedingungen f¨ ur die partiellen Differentialgleichungen (3.141) und (3.142). Auf der Kontur, also f¨ ur z = 0, gilt die Haftbedingung u(z = 0) = 0 und w(z = 0) = 0. Am Grenzschichtrand nimmt die u-Geschwindigkeitskomponente den Wert Ue an die, wie bereits erw¨ahnt, mit der Theorie f¨ ur reibungslose Str¨ omungen berechnet wird. Die Grenzschichtdicke δ ist schwer definierbar, da sich die Gr¨ oße u bekanntlich asymptotisch in z-Richtung dem Wert uglich dieser Randbedingung des ¨ofteren in der Literatur Ue ann¨ahert. Deshalb wird bez¨ die mathematische Formulierung lim u(x, z) = Ue (x)

z→∞

verwendet. Mit den Gleichungen (3.141) und (3.142) k¨ onnen wir das Str¨omungsproblem vollst¨andig

Abb. 3.23: Zweidimensionale, inkompressible Grenzschicht

273

3.4 Grenzschichtgleichungen

l¨ osen. F¨ ur die Berechnung der Temperaturgrenzschicht ben¨otigen wir jedoch noch eine weitere Grenzschichtgleichung, die wir wiederum durch eine Gr¨oßenordnungsabsch¨atzung der einzelnen Glieder der Energiegleichung (3.135) erhalten. Da wir weiterhin eine zweidimensionale inkompressible und station¨ are Grenzschicht betrachten, vereinfacht sich die Gleichung entsprechend. Wir vernachl¨ assigen wieder die Volumenkr¨afte ki und den W¨armestrom q. Um die Gr¨oßenordnungsabsch¨ atzung durchf¨ uhren zu k¨onnen, u uhren wir die Glei¨berf¨ chung (3.135) in die nachfolgende dimensionslose Form. Dazu f¨ uhren wir die zus¨atzliche dimensionslose Gr¨ oße θ ein, die wie folgt definiert ist θ=

T − T∞ Tw − T∞

.

Tw und T∞ stehen f¨ ur die Temperatur der Platte bzw. f¨ ur die Temperatur der Anstr¨omung. Die entsprechende dimensionslose Form der Energiegleichung lautet (der Leser sollte die entsprechende Rechnung dazu selbst durchf¨ uhren) ∂θ ∂θ + w∗ · ∗ = ∂x∗ ∂z  2  1 Ec ∂p∗ ∂p∗ ∂ θ ∂ 2θ + · + · Φ∗ Ec · u∗ · ∗ + w ∗ · ∗ + ∂x ∂z ReL · P r∞ ReL ∂x∗ 2 ∂z ∗ 2 u∗ ·

. (3.145)

Die Gr¨oßen Re, P r und Ec stehen der Reihe nach f¨ ur die Reynolds-, Prandtl- und EckertZahl. Sie sind wie folgt definiert ReL =

ρ · u∞ · L μ

,

P r∞ =

cp · μ λ

,

Ec = 2 ·

T0 − T∞ Tw − T∞

.

In der Gleichung zur Definition der Eckert-Zahl Ec steht T0 f¨ ur die Gesamttemperatur. ¨ Beachte beim Durchf¨ uhren der Rechnung zur Uberf¨ uhrung der Energiegleichung in die dimensionslose Form, dass gem¨ aß des Energiesatzes der Thermodynamik die Gleichung u2∞ = Ec · cp Tw − T∞ gilt. Φ∗ ist die dimensionslose Dissipationsfunktion. Sie lautet entsprechend  ∗ 2  ∗ 2  ∗ 2 ∂u ∂w ∂w ∂u∗ ∗ +2· + + ∗ . Φ =2· ∂x∗ ∂z ∗ ∂x∗ ∂z Bei der Gr¨oßenordnungsabsch¨ atzung gehen wir wieder davon aus, dass 1/ReL von der Gr¨oßenordnung 2 ist und, dass die Prandtl- und Eckert-Zahl von der Gr¨oßenordnung Eins sind. Es gibt Anwendungen, bei denen die Prandtl- oder Eckert-Zahl eine Gr¨oßenordnung gr¨oßer oder kleiner als Eins sein k¨ onnen. In der Mehrzahl der Anwendungen treffen unsere Annahmen jedoch zu. Mit den getroffenen Annahmen erhalten wir nun die folgende Gr¨oßenordnungsabsch¨atzung f¨ ur die Energiegleichung (3.145) u∗ ·

∂θ ∂θ + w∗ · ∗ = ∗ ∂x ∂z

1 · 1

 ·

1 = 

274

3 Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

Ec ·

u∗ ·

∗ ! 1 ∂p∗ ∗ ∂p + + w · · ∗ ∗ ∂x ∂z ReL · P r∞

!

∂ 2 θ ! Ec ∂2θ + + · Φ∗ ReL ∂x∗ 2 ∂z ∗ 2

.

1 ! 2 F¨ ur den letzten Summanden der rechten Seite erhalten wir die nachfolgende Gr¨oßenordnungsabsch¨ atzung  ∗ 2  ∗ 2  ∗ 2  ∗ 2 # " Ec Ec ∂u ∂w ∂w ∂w∗ ∂u∗ ∂u . · Φ∗ = · 2· +2· + +2· · + ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ReL ReL ∂x ∂z ∂x ∂x ∂z ∂z ∗ 1 ·

1 · 1

2 ·

 · 

2

·

" 1

1

2

1

·



1 2

1 

#

Die Gr¨oßenordnungsabsch¨ atzung f¨ ur den Differentialquotienten ∂θ/∂x∗ erfolgt in analoger Weise zur Absch¨ atzung von ∂u∗ /∂x∗ . θ besitzt auf der Kontur den Wert 1 und am Grenzschichtrand f¨ ur die Plattenstr¨ omung den Wert 0. Gem¨aß der Gr¨oßenordnungsabsch¨ atzung erhalten wir aus der Energiegleichung f¨ ur die Temperaturgrenzschicht die nachfolgende Gleichung. Sie schreibt sich mit den dimensionsbehafteten Gr¨oßen wie folgt   2 ∂T ∂p ∂2T ∂T ∂u +w· =u· +λ· ρ · cp · u · + μ · ∂x ∂z ∂x ∂z 2 ∂z

.

(3.146)

F¨ ur die Gleichung (3.146) ben¨ otigen wir noch zwei Randbedingungen f¨ ur die Gr¨oße T . Betrachten wir eine Kontur mit einer bekannten Temperatur Tw , so lauten die beiden Randbedingungen T (x, z = 0) = Tw

,

lim T (x, z) = Te

z→∞

.

Betrachten wir hingegen eine Kontur, in die ein bekannter W¨armestrom q fließt, so lauten die Randbedingungen entsprechend

q(x) ∂T

= , lim T (x, z) = Te . z→∞ ∂z z=0 λ Die Temperatur Te am Grenzschichtrand wird mit der reibungslosen Theorie ermittelt, auf die wir im nachfolgenden Kapitel eingehen werden. Von den Grenzschichtgleichungen der Str¨ omungen mit W¨ arme¨ ubertragung haben wir bereits in Kapitel 2.6 Gebrauch gemacht. F¨ ur die freie Konvektionsstr¨omung der beheizten vertikalen Platte f¨ uhrt man die Grenzschichttransformation ein: 1 x z , z∗ = x∗ = · GrL4 , L L 1 u w · GrL4 , , u∗ =  w∗ =  g · α · L · (Tm − T∞ ) g · α · L · (Tm − T∞ ) T − T∞ T∗ = . Tm − T∞

275

3.4 Grenzschichtgleichungen

Damit werden die Grenzschichtgleichungen unabh¨angig von der Rayleigh- bzw. GrashofZahl. Es ergibt sich mit der Boussinesq-Approximation und unter Vernachl¨assigung der Dissipation das Gleichungssystem:

∂w∗ ∂x∗ ∂T ∗ u∗ · ∂x∗

u∗ ·

∂w∗ ∂u∗ + =0 , ∗ ∂x ∂z ∗ ∂w∗ ∂ 2 w∗ + w∗ · = + T∗ , ∂z ∗ ∂x∗ 2 ∂T ∗ 1 ∂ 2T ∗ + w∗ · = · . ∗ ∂z P r∞ ∂x∗ 2

Der Energie- und Impulsausgleich ist u ¨ber die Temperatur T ∗ im Auftriebsterm gekoppelt. Die Temperaturverteilung der freien Konvektionsstr¨omung erzeugt demzufolge die Geschwindigkeitsverteilung. F¨ ur die erzwungene Konvektionsstr¨ omung der beheizten l¨angs angestr¨omten Platte der Abbildung 3.22 vereinfachen sich die Grenzschichtgleichungen (3.143) und (3.146) unter der Voraussetzung der Boussinesq-Approximation und Vernachl¨assigung der Dissipation: ∂w∗ ∂u∗ + =0 , ∂x∗ ∂z ∗ ∗ ∗ ∂u ∂u dp∗ 1 ∂ 2 u∗ · ∗2 , u∗ · ∗ + w ∗ · ∗ = − ∗ + ∂x ∂z dx ReL ∂z ∗ ∗ ∂T ∂T 1 ∂2T ∗ ∗ u∗ · + w · = · . ∂x∗ ∂z ∗ P r∞ · ReL ∂z ∗ 2 Statt der Grashof-Zahl charakterisiert bei der erzwungenen Konvektionsstr¨omung die Reynolds-Zahl die Grenzschichtstr¨ omung mit W¨arme¨ ubertragung. F¨ ur die G¨ ultigkeit der Grenzschichtgleichungen muss zus¨ atzlich zu ReL 1, ReL · P r∞ 1 gefordert werden. Die Kontinuit¨ats- und Impulsgleichungen sind jetzt von der Energiegleichung entkoppelt. Damit kann die Str¨ omungsgrenzschicht unabh¨ angig von der Temperaturgrenzschicht berechnet werden. Bis jetzt haben sich unsere Betrachtungen auf zweidimensionale laminare Grenzschichten beschr¨ankt. Nachfolgend werden wir die entsprechenden Erweiterungen der Gleichungen auf turbulente zweidimensionale Grenzschichten diskutieren. Um die Gleichungen zur Berechnung einer turbulenten Grenzschicht aufzustellen, m¨ ussen wir eine Gr¨ oßenordnungsabsch¨ atzung f¨ ur die einzelnen Terme der ReynoldsGleichungen durchf¨ uhren. Diese lauten f¨ ur eine zweidimensionale Grenzschicht unter Vernachl¨assigung der Volumenkr¨ afte in dimensionsloser Form (Gleichungen (3.44) bis (3.47)) ∂w∗ ∂u∗ + =0 ∂x∗ ∂z ∗ u∗ ·

∗ ∂u∗ ∗ ∂u + w · = ∂x∗ ∂z ∗

1 ∂p∗ + · − ∂x∗ ReL



∂ 2 u∗ ∂ 2 u∗ + 2 ∂x∗ ∂z ∗ 2



,

(3.147)

∂(u∗  ) ∂(u∗  · w∗  ) − ∂x∗ ∂z ∗ 2

−

,

(3.148)

276

3 Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

u∗ ·

∗ ∂w∗ ∗ ∂w + w · = ∂x∗ ∂z ∗

∂p∗ 1 − ∗+ · ∂z ReL



∂ 2 w∗ ∂ 2 w∗ + ∂x∗ 2 ∂z ∗ 2



∂(u∗  · w∗  ) ∂(w∗  ) − ∂x∗ ∂z ∗ 2

−

.

(3.149)

u∗ , w∗ und p∗ in den Gleichungen (3.147) bis (3.149) sind dimensionslose und zeitlich gemittelte Gr¨oßen. Alle Geschwindigkeiten, einschließlich der Schwankungsgeschwindigkeiten, sind mit der Zustr¨ omgeschwindigkeit u∞ dimensionslos gemacht worden. Die Gr¨oße ur p/(ρ · u2∞ ). p∗ steht f¨ Die Kontinuit¨atsgleichung (3.147) bleibt, wie im laminaren Fall, gem¨aß der Gr¨oßenordnungsabsch¨ atzung unver¨ andert. Damit wir die zeitlich gemittelten NavierStokes-Gleichungen absch¨ atzen k¨ onnen ist es unumg¨anglich, experimentelle Ergebnisse 2 f¨ ur die Gr¨oßen u∗  und u∗  · w∗  heranzuziehen. In der Abbildung 3.24 sind diese Gr¨ oßen u ¨ber der Koordinate normal zur Oberfl¨ache dargestellt (siehe auch Abbildung 2.83). Wie wir der genannten Abbildung entnehmen k¨onnen, verschwinden die Schwankungsgr¨ oßen am Grenzschichtrand und infolge der Haftbedingung 2 ebenfalls auf der Oberfl¨ ache. Die Schwankungsgr¨ oßen u∗  und u∗  · w∗  unterscheiden sich innerhalb der Grenzschicht um einen Faktor der nicht gr¨oßer als zehn ist, d. h. sie sind von gleicher Gr¨oßenordnung. Die Gr¨ oßenordnung dieser Glieder betr¨agt . Mit dieser Kenntnis k¨ onnen wir nun die Gr¨ oßenordnung der Terme der Schwankungsgr¨oßen absch¨atzen. Wir beginnen mit der Gr¨ oßenordnungsabsch¨atzung f¨ ur die Schwankungsgr¨oßen der Gleichung (3.148). Diese ergibt ∂(u∗  · w∗  ) ∂(u∗  ) + ) ∂x∗ ∂z ∗ 2

−(

 1

.

 

Wir erkennen, dass nur der zweite Summand von der Gr¨oßenordnung Eins ist und deshalb in der Gleichung (3.148) erhalten bleibt.

Abb. 3.24: Schwankungsgr¨ oßen in der turbulenten Grenzschicht

277

3.4 Grenzschichtgleichungen

Abschließend m¨ ussen noch die Gr¨ oßenordnungen der Ausdr¨ ucke der Gleichung (3.149) bestimmt werden. Die nachfolgende Gr¨ oßenordnungsabsch¨atzung ergibt u∗ · 1 ·

∗ ∂w∗ ∂p∗ 1 ∗ ∂w + w · = − + · ∗ ∗ ∗ ∂x ∂z ∂z ReL

 1

 ·

 

=

2 ·

1

2 ∂ 2 w∗ ! ∂(u∗  · w∗  ) ∂(w∗  ) ∂ 2 w∗ + − − ∂x∗ ∂z ∗ ∂x∗ 2 ∂z ∗ 2 !     1 2 1 

.

Alle Glieder der Gr¨ oßenordnung Eins bleiben erhalten. Der Druckgradient ∂p∗ /∂z ∗ ist also im Gegensatz zur laminaren Grenzschicht von der Gr¨oßenordnung Eins. Die entsprechende dimensionsbehaftete Grenzschichtgleichung f¨ ur die z-Richtung lautet also ∂w 2 ∂ p¯ = −ρ · ∂z ∂z

.

(3.150)

F¨ ur die Berechnung der Grenzschicht k¨ onnen wir die Gleichung (3.150) allerdings vernachl¨assigen, da der Druck vom Grenzschichtrand bis zur Oberfl¨ache nur um einen Wert der Gr¨oßenordnung  variiert. Nach der Herleitung der Grenzschichtgleichungen mittels einer Gr¨oßenordnungsabsch¨ atzung durch dimensionslose Kennzahlen gehen wir nun wieder zu dimensionsbehafteten Gleichungen u ur eine station¨are, ¨ber. Die Gleichungen f¨ zweidimensionale und turbulente Grenzschichtstr¨omung k¨onnen wir also wie folgt aufschreiben, wenn wir den Druckgradienten ∂ p¯/∂x, wie bereits beschrieben, gem¨aß der eindimensionalen Eulergleichung ber¨ ucksichtigen ∂u ¯ ∂w ¯ + =0 , ∂x ∂z  ∂u ¯ dUe ∂(u · w ) ¯ ∂u ¯ ∂2u ρ· u ¯· +w ¯· = Ue · +μ· 2 −ρ· ∂x ∂z dx ∂z ∂z

(3.151) .

(3.152)

¨ Das Uberstreichen der einzelnen Gr¨ oßen soll auf die zeitlich gemittelten Gr¨oßen hinweisen. F¨ ur die Berechnung der turbulenten inkompressiblen Temperaturgrenzschicht ben¨otigen wir die gem¨aß einer Gr¨ oßenordnungsabsch¨ atzung vereinfachte Energiegleichung. Da wir das Wesentliche zur Herleitung der Grenzschichtgleichungen bereits diskutiert haben und da sich auch bei der Vorgehensweise zur Vereinfachung der Energiegleichung nichts ¨andert, geben wir diese Gleichung ohne Herleitung wie folgt an. Sie lautet 

∂ T¯ ∂ T¯ +w ¯· ρ·c u ¯· ∂x ∂z

=

 ∂ 2 T¯ ∂u ¯ ∂u ¯ ∂    dUe   λ· + μ· −ρ·w ·u · −ρ·c· w ·T −u ¯ · Ue · 2 ∂z ∂z dx ∂z ∂z

(3.153) .

Die Gleichungen f¨ ur eine turbulente Grenzschichtstr¨omung besitzen auf der rechten Seite f¨ ur die Schwankungsgr¨ oßen nur Differentialquotienten bez¨ uglich der z-Richtung. Die

278

3 Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

entsprechenden Differentialquotienten in Hauptstr¨omungsrichtung (x-Richtung) sind vernachl¨assigbar klein. Die in den Grenzschichtgleichungen stehenden Schwankungsgr¨oßen m¨ ussen mit geeigneten Turbulenzmodellen, auf die wir im vorigen Abschnitt eingegangen sind, entsprechend modelliert werden. Im verbleibenden Teil dieses Abschnittes wollen wir die aufgestellten Gleichungen auf dreidimensionale Grenzschichten erweitern. Eine dreidimensionale Grenzschichtstr¨omung, so wie sie z. B. bei der Kraftfahrzeugumstr¨ omung auftritt, ist in Abbildung 3.25 dargestellt. Die Gleichungen f¨ ur eine inkompressible und turbulente Grenzschichtstr¨omung sind nachfolgend angegeben. Sie basieren, wie die Gleichungen f¨ ur die zweidimensionalen Grenzschichtstr¨omungen, auf einer Gr¨ oßenordnungsabsch¨atzung der Reynolds-Gleichungen und beinhalten deshalb bez¨ uglich ihrer Herleitung nichts wesentlich Neues. Auf den dreidimensionalen Str¨omungszustand kommen wir noch zu sprechen. Die Gleichungen lauten ∂u ¯ ∂¯ v ∂w ¯ + + =0 , ∂x ∂y ∂z  ∂u ¯ + v¯ · ρ· u ¯· ∂x  ∂¯ v + v¯ · ρ· u ¯· ∂x

∂u ¯ ∂u ¯ +w ¯· ∂y ∂z ∂¯ v ∂¯ v +w ¯· ∂y ∂z



(3.154)

=−

∂ p¯ ∂2u ∂u · w ¯ +μ· 2 −ρ· ∂x ∂z ∂z

,

(3.155)

=−

∂ p¯ ∂ 2 v¯ ∂v  · w +μ· 2 −ρ· ∂y ∂z ∂z

.

(3.156)



Die Druckgradienten ∂ p¯/∂x und ∂ p¯/∂y lassen sich mit der Theorie der reibungslosen Str¨ omungen berechnen, die wir im n¨ achsten Abschnitt kennenlernen werden. F¨ ur die Berechnung von laminaren Grenzschichten entfallen die Schwankungsglieder auf der rechten Seite der Gleichungen (3.155) und (3.156). Die Gr¨oßen u ¯, v¯, w ¯ und p¯ sind dann nicht als zeitlich gemittelte Gr¨ oßen aufzufassen. Es ergeben sich die bereits abgeleiteten Gleichungen (3.141) bis (3.143) f¨ ur laminare Grenzschichten. Die Randbedingungen f¨ ur die Gleichungen (3.154) bis (3.156) lauten gem¨aß der Haftbedingung der Str¨omung auf der Wand und der freien Außenstr¨omung wie folgt: u ¯(z = 0) = 0 , lim u ¯ = Ue

z→∞

,

v¯(z = 0) = 0 lim v¯ = Ve

z→∞

,

w(z ¯ = 0) = 0 ,

.

Abb. 3.25: Dreidimensionale Grenzschichtstr¨omung

279

3.4 Grenzschichtgleichungen

3.4.2

Kompressible Str¨ omungen

Die Herleitung der Gleichungen f¨ ur eine dreidimensionale kompressible Grenzschicht¨ str¨omung basiert auf analogen Uberlegungen, die wir bereits bei der Herleitung der u ¨brigen Grenzschichtgleichungen kennengelernt haben. Allerdings ist ihr Umfang wesentlich gr¨oßer, so dass wir die Gleichungen abschließend ohne Herleitung angeben werden. Die nachfolgenden Grenzschichtgleichungen beinhalten im Gegensatz zur Favre-Mittelung Str¨omungsgr¨oßen, die einfach zeitlich gemittelt sind (s. dazu Gleichung (3.25)). F¨ ur eine dreidimensionale kompressible Grenzschichtstr¨ omung lauten diese Gleichungen ∂(¯ ρ·u ¯) ∂(¯ ρ · v¯) ∂(¯ ρ · w) ˜ + + =0 , ∂x ∂y ∂z  ∂u ¯ ρ · u · w  ) ¯ ∂(¯ ∂u ¯ ∂u ¯ ∂ p¯ ∂2u ρ¯ · u ¯· + v¯ · +w ˜· =− +μ· 2 − , ∂x ∂y ∂z ∂x ∂z ∂z  ∂¯ v ∂¯ v ∂ p¯ ∂ 2 v¯ ∂(¯ ∂¯ v ρ · v · w ) + v¯ · +w ˜· =− +μ· 2 − . ρ¯ · u ¯· ∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ∂z

(3.157)

(3.158)

(3.159)

Mit der Gr¨oße w ˜ ist die Gr¨ oße w ˜=

ρ·w ρ¯

gemeint. Die vereinfachte Energiegleichung lautet f¨ ur die dreidimensionale Grenzschichtstr¨omung wie folgt: 

∂h0 ∂h0 ∂h0 + v¯ · +w ˜· ρ¯ · u ¯· ∂x ∂y ∂z  μ· 1−

1 P r∞



 ∂ μ ∂h0 = − ρ¯ · cp · w · T  + · ∂z P r∞ ∂z

 ∂u ¯ ∂¯ v     · u ¯· + v¯ · − ρ¯ · u ¯ · w · u − ρ¯ · v¯ · v · w ∂z ∂z

.

(3.160)

h0 steht f¨ ur die Gesamtenthalpie pro Masse, die sich mit der Gleichung h0 = cp · T +

v¯2 u ¯2 + 2 2

berechnet. Die Randbedingungen f¨ ur die Grenzschichtgleichungen lauten entsprechend u ¯(x, y, z = 0) = 0 , ρ¯(x, y, z = δ) = ρ¯e ,

v¯(x, y, z = 0) = 0 , h0 (x, y, z = δ) = h0,e

w(x, ˜ y, z = 0) = 0

,

.

Die Gr¨oßen am Grenzschichtrand und die Druckgradienten in den Gleichungen (3.158) und (3.159) werden mit der reibungslosen Theorie ermittelt, auf die wir im nachfolgenden Abschnitt eingehen werden.

280

3.5

3 Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

Potentialgleichungen

Im vorigen Abschnitt haben wir die Grenzschichtgleichungen kennen gelernt, f¨ ur deren Anwendung wir die Str¨ omungsgr¨ oßen am ¨ außeren Grenzschichtrand kennen m¨ ussen. Wenn wir die Str¨omungsgr¨ oßen am Grenzschichtrand kennen dann wissen wir auch, welche Druckverteilung auf die Kontur wirkt, denn beim Herleiten der Grenzschichtgleichungen haben wir gelernt, dass innerhalb der Grenzschicht f¨ ur den Druck die Bedingung (∂p/∂z) ≈ 0 gilt. Die Kenntnis der Druckverteilung auf der Kontur ist eine notwendige Voraussetzung zur Beantwortung vieler technischer Fragen. So k¨ onnen z. B. Festigkeitsrechnungen am Flugzeug nicht ohne diese Kenntnis durchgef¨ uhrt werden. Dies gilt ebenfalls f¨ ur die Ermittlung von Verstellkr¨aften bei Tragfl¨ ugelklappensystemen. In diesem Abschnitt werden wir die Gleichungen zur Ermittlung der Druckverteilung herleiten. Wir betrachten den Grenzschichtrand, der f¨ ur große Reynolds-Zahlen ReL n¨aherungsweise mit der Kontur u ¨bereinstimmt. In Abbildung 3.26 ist ein Tragfl¨ ugelprofil dargestellt, das von links mit der Geschwindigkeit u∞ angestr¨omt wird. Wie bereits im vorangegangenen Kapitel erl¨autert gehen wir davon aus, dass die Str¨omung außerhalb der Grenzschicht nahezu reibungsfrei ist. F¨ ur die Berechnung der in Abbildung 3.26 gezeigten Str¨omung eignen sich die Kontinuit¨atsgleichung und die Euler-Gleichungen, die den bereits bekannten Navier-Stokes Gleichungen ohne Reibungsglieder entsprechen. Die Gleichungen lauten also, wenn wir wieder die Volumenkr¨afte vernachl¨ assigen und davon ausgehen, dass die Str¨omung station¨ar ist ∂(ρ · u) ∂(ρ · v) ∂(ρ · w) + + =0 , ∂x ∂y ∂z 

∂u ∂u ∂u +v· +w· ρ· u· ∂x ∂y ∂z



(3.161)

∂p ∂x

,

(3.162)

 ∂v ∂v ∂v ∂p ρ· u· +v· +w· =− ∂x ∂y ∂z ∂y

,

(3.163)



∂w ∂w ∂w +v· +w· ρ· u· ∂x ∂y ∂z

=−

=−

∂p ∂z

.

(3.164)

Die in Abbildung 3.26 gezeigte Str¨ omung beinhaltet neben der geringen Reibung noch eine weitere Eigenschaft, die die Berechnung vereinfacht. Wie wir unmittelbar einsehen werden, ist die Anstr¨ omung drehungsfrei. Nun kann mit dem bekannten Croccoschen Wirbelsatz (wir gehen auf ihn nicht gesondert ein) gezeigt werden, dass die Str¨omung auch

Abb. 3.26: Profilumstr¨omung

281

3.5 Potentialgleichungen

weiter stromab drehungsfrei bleibt, wenn im Str¨omungsfeld keine Entropie- und Gesamtenthalpiegradienten auftreten. Da wir eine isentrope Str¨omung ohne Energiezufuhr bzw. -abfuhr betrachten, bleibt auch die in Abbildung 3.26 gezeigte Str¨omung weiter stromab drehungsfrei. Die Drehungsfreiheit ist f¨ ur Str¨ omungen ohne Energiezufuhr und -abfuhr nur dann nicht erf¨ ullt, wenn die Str¨ omung reibungsbehaftet ist (z. B. Grenzschichtstr¨omung) oder wenn im Str¨omungsfeld ein gekr¨ ummter Verdichtungsstoß auftritt, wie es z. B. bei einem stump¨ fen K¨orper in Uberschallanstr¨ omung der Fall ist (Abbildung 3.27). Zur Berechnung der Str¨omung des zuletzt genannten Str¨ omungsproblems m¨ ussen die Gleichungen (3.161) bis (3.164) angewandt werden. Detaillierte Kenntnisse u ber diese Zusammenh¨ange kann der ¨ Leser in Prandtl – F¨ uhrer durch die Str¨ omungslehre, H. Oertel jr. 2008 erwerben. Wir wollen nachfolgend voraussetzen, dass die Str¨omung reibungs- und drehungsfrei ist. Unter diesen Voraussetzungen l¨ asst sich das Gleichungssystem mit den Gleichungen (3.161) bis (3.164) auf ein einfacheres Gleichungssystem vereinfachen, das im Wesentlichen nur eine partielle Differentialgleichung beinhaltet. Diese Differentialgleichung wird als Potentialgleichung bezeichnet. Die Motivation f¨ ur diese Namensgebung werden wir nachfolgend kennen lernen. Wenn wir davon ausgehen, dass die Str¨ omung Str¨omungsfeld die Bedingung

i j



rotv = ∇ × v = ∂ ∂

∂x ∂y

u v

drehungsfrei ist, dann gilt f¨ ur das

k

∂

= 0 ∂z

w

.

Anders geschrieben lautet die Bedingung (3.165)    i · ∂w − ∂v + j · ∂u − ∂w + k · ∂v − ∂u = 0 , ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y

(3.165)

(3.166)

so dass f¨ ur das drehungsfreie Str¨ omungsfeld an jeder Stelle die Gleichungen ∂v ∂w = ∂y ∂z

,

∂u ∂w = ∂z ∂x

gelten.

Abb. 3.27: Drehungsbehaftete Str¨ omungen

,

∂v ∂u = ∂x ∂y

(3.167)

282

3 Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

Die Bedingungen f¨ ur die Drehungsfreiheit (3.167) kombinieren wir zun¨achst mit den EulerGleichungen (3.162) - (3.164). Wir betrachten dazu die Gleichung (3.162), die wir mit dem Differential dx multiplizieren. Wir erhalten  ∂u ∂u ∂u ∂p ρ· u· · dx + v · · dx + w · · dx = − · dx . (3.168) ∂x ∂y ∂z ∂x Nun gelten gem¨aß der Drehungsfreiheit der Str¨ omung die Gleichungen ∂v ∂u = ∂y ∂x

,

∂u ∂w = ∂z ∂x

.

(3.169)

Setzen wir diese in die Gleichung (3.168) ein, erhalten wir die folgende Gleichung  ∂v ∂w ∂p ∂u · dx + v · · dx + w · · dx = − · dx ρ· u· ∂x ∂x ∂x ∂x oder  ρ·

∂ u2 ∂ v2 ∂ w2 · dx + · dx + · dx ∂x 2 ∂x 2 ∂x 2

=−

∂p · dx ∂x

.

(3.170)

Mit einer analogen Rechnung bez¨ uglich der Euler-Gleichungen (3.163) und (3.164) erhalten wir die nachfolgenden Gleichungen f¨ ur die y- und z-Richtung. Diese lauten  ∂ u2 ∂ v2 ∂ w2 ∂p ρ· · dy + · dy + · dy = − · dy , (3.171) ∂y 2 ∂y 2 ∂y 2 ∂y  ρ·

∂ v2 ∂ w2 ∂ u2 · dz + · dz + · dz ∂z 2 ∂z 2 ∂z 2

=−

∂p · dz ∂z

.

(3.172)

Durch die Addition der drei Gleichungen (3.170) bis (3.172) ergibt sich die Gleichung   ∂ V2 ∂ V2 ∂ V2 ∂p ∂p ∂p ρ· · dx + · dy + · dz = − · dx + · dy + · dz , (3.173) ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ∂x ∂y ∂z mit V 2 = u2 + v 2 + w2 . Die Gleichung (3.173) enth¨alt auf der linken Seite das vollst¨andige Differential f¨ ur das Geschwindigkeitsfeld und auf der rechten Seite das vollst¨andige Differential f¨ ur das Druckfeld, so dass wir die Gleichung (3.173) auch wie folgt schreiben k¨onnen 1 · ρ · d(V 2 ) = −dp 2

bzw.

ρ · V · dV = −dp

.

(3.174)

Mit der Gleichung (3.174) sind wir bereits aus der Stromfadentheorie vertraut. Jedoch lernten wir, dass diese Gleichung nur entlang eines Stromfadens g¨ ultig ist. Diese Einschr¨ankung haben wir nun bei ihrer Herleitung nicht getroffen, d. h. sie gilt f¨ ur ein drehungsfreies Str¨omungsfeld nicht nur entlang eines Stromfadens, sondern auch in jeder beliebigen Richtung im Str¨ omungsfeld. Die Gleichung (3.174) ben¨otigen wir f¨ ur die weitere Herleitung der Potentialgleichung.

283

3.5 Potentialgleichungen

Zur Herleitung der Potentialgleichung benutzen wir die folgende Aussage der Vektoranalysis. F¨ ur eine differenzierbare skalare Funktion F gilt ∇ × ∇F = 0 .

(3.175)

Es bleibt dem Leser u ¨berlassen, diese Aussage auf ihre Richtigkeit zu untersuchen, was mit wenig Aufwand durchf¨ uhrbar ist. Da wir davon ausgehen, dass das Str¨ omungsfeld drehungsfrei ist (es gilt also ∇ × v = 0), k¨ onnen wir den Geschwindigkeitsvektor v u ¨ber eine skalare Funktion Φ angeben, so dass gilt v = gradΦ = ∇Φ

.

(3.176)

Mit der Funktion Φ, die als Potentialfunktion bezeichnet wird, k¨onnen wir die Geschwindigkeitskomponenten u, v und w wie folgt angeben u=

∂Φ ∂x

,

v=

∂Φ ∂y

,

w=

∂Φ ∂z

.

(3.177)

Als n¨achstes Ziel wollen wir eine Bestimmungsgleichung f¨ ur die Potentialfunktion Φ aufstellen. Wenn wir Φ ermittelt haben, k¨ onnen wir unmittelbar mit den Gleichungen (3.177) den Geschwindigkeitsvektor v berechnen und mit der Bernoulli-Gleichung den Druck. Um die Gleichung aufzustellen, betrachten wir die Kontinuit¨atsgleichung (3.161). Wir ersetzen die Geschwindigkeitskomponenten gem¨aß den Gleichungen (3.177). Durch Einsetzen und Differenzieren erhalten wir    ∂Φ ∂ ∂Φ ∂ ∂Φ ∂ ρ· + ρ· + ρ· =0 , ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z  ρ·

∂2Φ ∂2Φ ∂2Φ + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

+

∂Φ ∂ρ ∂Φ ∂ρ ∂Φ ∂ρ · + · + · =0 . ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z

(3.178)

Die Gleichung (3.178) lassen wir zun¨ achst in ihrer jetzigen Form stehen. Als n¨achsten Schritt werden wir Ausdr¨ ucke f¨ ur die Differentialquotienten ∂ρ/∂x, ∂ρ/∂y und ∂ρ/∂z aufstellen, die wir anschließend in die Gleichung (3.178) einsetzen. Damit erreichen wir die Eliminierung der Gr¨ oße ρ aus der Gleichung (3.178). Wir kommen nun auf die Gleichung (3.174) zur¨ uck und ersetzen die Gr¨oße V 2 mit den Gleichungen (3.177) zu  2

2

2

2

V =u +v +w =

∂Φ ∂x

2

 +

∂Φ ∂y

2

 +

∂Φ ∂z

2

Wir erhalten dann mit der Gleichung (3.174) die folgende Gleichung , 2  2  2 ∂Φ ∂Φ ∂Φ 1 . + + dp = − · ρ · d 2 ∂x ∂y ∂z

.

(3.179)

284

3 Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

Da wir ein isentropes Str¨ omungsfeld betrachten (s = konst.), gilt weiterhin f¨ ur die Schallgeschwindigkeit a2  ∂p dp dp = a2 , = dρ = 2 . (3.180) ∂ρ s dρ a Wir ersetzen in der Gleichung (3.180) das Differential dp durch die Gleichung (3.179) und erhalten die Gleichung , 2  2  2 ∂Φ ∂Φ ∂Φ 1 ρ . (3.181) + + dρ = − · 2 · d 2 a ∂x ∂y ∂z Diese Gleichung k¨onnen wir speziell f¨ ur die x-Richtung des Str¨omungsfeldes formulieren. Die Gleichung lautet dann , 2  2  2 1 ρ ∂ ∂Φ ∂ρ ∂Φ ∂Φ =− · 2 · + + ∂x 2 a ∂x ∂x ∂y ∂z oder, wenn wir auf der rechten Seite differenzieren  ∂ρ ρ ∂Φ ∂ 2 Φ ∂Φ ∂ 2 Φ ∂Φ ∂ 2 Φ =− 2 · · + · + ∂x a ∂x ∂x2 ∂y ∂y∂x ∂z ∂z∂x

.

(3.182)

F¨ ur die y- und z-Richtung erhalten wir die entsprechenden Gleichungen. Sie lauten  ∂ρ ρ ∂Φ ∂ 2 Φ ∂Φ ∂ 2 Φ ∂Φ ∂ 2 Φ =− 2 · + · · , (3.183) + ∂y a ∂x ∂x∂y ∂y ∂y 2 ∂z ∂z∂y ∂ρ ρ =− 2 ∂z a



∂Φ ∂ 2 Φ ∂Φ ∂ 2 Φ ∂Φ ∂ 2 Φ · + · + · ∂x ∂x∂z ∂y ∂y∂z ∂z ∂z 2

.

(3.184)

Wenn wir nun in der Gleichung (3.178) die Differentialquotienten ∂ρ/∂x, ∂ρ/∂y und ∂ρ/∂z gem¨aß den Gleichungen (3.182) - (3.184) einsetzen, erhalten wir die Potentialgleichung f¨ ur eine dreidimensionale reibungs- und drehungsfreie Str¨omung. Sie lautet , , , 2 - 2 2 - 2 2 - 2    ∂ Φ ∂ Φ ∂ Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ 2 2 2 a − · · · + a − + a − − ∂x ∂x2 ∂y ∂y 2 ∂z ∂z 2 . (3.185) ∂Φ ∂Φ ∂ 2 Φ ∂Φ ∂Φ ∂ 2 Φ ∂Φ ∂Φ ∂ 2 Φ · · −2· · · −2· · · =0 2· ∂x ∂y ∂x∂y ∂x ∂z ∂x∂z ∂y ∂z ∂y∂z Die Potentialgleichung (3.185) ist eine nichtlineare Differentialgleichung zweiter Ordnung. Sie enth¨alt als Unbekannte die Potentialfunktion Φ und die Schallgeschwindigkeit a. F¨ ur die Schallgeschwindigkeit gilt die Bernoulli-Gleichung (siehe Kapitel 2.3.3) a2 = a20 −

κ−1 · (u2 + v 2 + w2 ) = 2 , 2  2  2 ∂Φ κ−1 ∂Φ ∂Φ 2 · + + a0 − 2 ∂x ∂y ∂z

.

(3.186)

285

3.5 Potentialgleichungen

√ a0 steht f¨ ur die Schallgeschwindigkeit der Gesamt- oder Ruhegr¨oßen (a0 = κ · R · T0 , T0 = Gesamt- bzw. Ruhetemperatur). Sie ist f¨ ur die Berechnung des Str¨omungsfeldes als bekannt vorauszusetzen. Mit κ ist der Isentropenexponent des Gases gemeint. Die Berechnung des Str¨ omungsfeldes wird mit den Gleichungen (3.185) und (3.186) wie folgt durchgef¨ uhrt: • Es werden die Gleichungen (3.185) und (3.186) unter Einhaltung von Randbedingungen gel¨ost. Man erh¨ alt Φ und a. • Mit den Gleichungen (3.177) werden die Geschwindigkeiten berechnet. √ • Danach wird die Mach-Zahl M = ( u2 + v 2 + w 2 /a) berechnet. • Der Druck, die Temperatur und die Dichte berechnen sich mit den Gleichungen (Kapitel 2.3.3) T 1 = , κ − T0 1 + 2 1 · M2 1 p = ! κ p0 1 · M 2 κ−1 1+ κ− 2 ρ 1 = ! 1 ρ0 1 · M 2 κ−1 1+ κ− 2

,

.

oßen des Str¨omungsfeldes, die f¨ ur die BerechT0 , p0 und ρ0 sind die Gesamt- bzw. Ruhegr¨ nung bekannt sind. Die nichtlineare Differentialgleichung (3.185) l¨asst sich zusammen mit der Gleichung (3.186) f¨ ur technische Probleme nur numerisch l¨osen. Allerdings kann man sie f¨ ur die Umstr¨omung von schlanken Profilen linearisieren. Die linearisierte Form besitzt f¨ ur ¨ Uberschallanstr¨ omungen eine analytische L¨ osung. Wir kommen in dem Abschnitt 4.1.2 Linearisierung auf die Herleitung ausf¨ uhrlich zu sprechen. Abschließend wollen wir noch den Grenzfall der inkompressiblen Str¨omungen betrachten. F¨ ur eine inkompressible Str¨ omung gilt a → ∞. Dividieren wir die Gleichung (3.185) auf beiden Seiten durch a2 und betrachten anschließend den Fall a → ∞, erhalten wir die Potentialgleichung f¨ ur eine inkompressible Str¨ omung. Sie lautet ∂ 2Φ ∂2Φ ∂2Φ + + =0 ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

.

(3.187)

Die Differentialgleichung (3.187) entspricht der Laplace-Gleichung. Sie ist linear und von zweiter Ordnung.

286

3.6

3 Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

Grundgleichungen in Erhaltungsform

Bevor wir uns mit den kontinuumsmechanischen Grundgleichungen in Erhaltungsform befassen, wollen wir zun¨ achst die in den vorangegangenen Kapiteln abgeleiteten Modellgleichungen der Str¨ omungsmechanik in einer Hierarchie ihrer Ableitung zusammenfassen (Abbildung 3.28). Die allgemeinste Form der mathematischen Beschreibung einer Str¨omung bietet die Gaskinetik, von der wir im einf¨ uhrenden Kapitel 1.2 Gebrauch gemacht haben. Im Gegensatz zur Kontinuumstheorie wird hier die molekulare Struktur der Str¨omung betrachtet. In der kinetischen Gastheorie wird der Zustand des Systems durch die Angabe des Ortes und der Geschwindigkeiten aller Molek¨ ule beschrieben. Die Molek¨ ulpositionen werden im dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem festgelegt. Dieser Raum wird physikalischer Raum genannt. Die Geschwindigkeiten der Molek¨ ule, die sich im Volumenelement dV = dx · dy · dz befinden unterscheiden sich im Allgemeinen durch Gr¨oße und Richtung. Zur Kennzeichnung der Geschwindigkeiten wird zus¨atzlich ein Geschwindigkeitsraum eingef¨ uhrt. Beide R¨aume sind in Abbildung 3.29 dargestellt. Sie werden zu einem sechsdimensionalen Raum zusammengefasst. Ein Punkt in diesem Raum ist durch die Angabe  = (x, y, z) und den Geschwindigkeiten c = (cx , cy , cz ) der kartesischen Koordinaten x festgelegt und repr¨ asentiert ein Molek¨ ul. Ein Fluid mit N Teilchen wird demnach durch N Punkte im sechsdimensionalen Raum repr¨asentiert. Ein Mol eines Gases besitzt also 6 · 1023 Bildpunkte. Wegen dieser hohen Partikelzahl empfiehlt sich die Einf¨ uhrung einer stetigen Funktion zur Beschreibung der Teilchendichte im sechsdimensionalen Raum. Die Verteilungsdichtefunktion in diesem Raum wird durch f ( x,c) =

dN d x · dc

Abb. 3.28: Hierarchie der str¨ omungsmechanischen Grundgleichungen

(3.188)

287

3.6 Grundgleichungen in Erhaltungsform

definiert. Sie beschreibt die statistische Verteilung der Partikel auf den physikalischen und den Geschwindigkeitsraum. Dabei ist dN die Anzahl der Bildpunkte im Volumenelement  ,c und dc = dcx · dcy · dcz . Aus der Integration dx · dy · dz · dcx · dcy · dcz an der Stelle x der Verteilungsfunktion u ¨ber alle Geschwindigkeits- und Ortskoordinaten ergibt sich als Summe aller Bildpunkte die Gesamtzahl der Teilchen

N= f ( x,c, t) · d x · dc . (3.189)   c x

Aus der Kenntnis der mikroskopischen Struktur der Str¨omung in der Form der skalaren Verteilungsfunktion f ( x,c, t), k¨ onnen alle Fluideigenschaften in Abh¨angigkeit der Zeit abgeleitet werden. Im Geschwindigkeitsraum kann eine Verteilungsfunktion u ¨ber die Beziehung dN = N · f (c) · dc

(3.190)

definiert werden. Makroskopische Gr¨ oßen werden zu einem bestimmten Zeitpunkt als Mittelwerte molekularer Eigenschaften aufgefasst. Die makroskopischen Gr¨oßen ergeben sich durch Mittelung der molekularen Gr¨ oßen Q gewichtet mit der Verteilungsfunktion f (c):

1 ¯ · Q · dN Q= N N

und mit Gleichung (3.190): ¯= 1 · Q N

+∞ +∞

Q · N · f (c) · dc = Q · f (c) · dc

−∞

.

(3.191)

−∞

Die beschriebene Vorgehensweise wird als Bildung von Momenten der Verteilungsfunktion bezeichnet. Die wichtigsten Momente der Verteilungsfunktion sind die mittlere

Abb. 3.29: Physikalischer Raum und Geschwindigkeitsraum

288

3 Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

Str¨ omungsgeschwindigkeit +∞

c = c · f (c) · dc

,

(3.192)

−∞

der Druck p +∞

p= −∞

m 2 · c · f (c) · dc 3

(3.193)

und Temperatur T 2 · T = 3·n·k

+∞

−∞

m 2 · c · f (c) · dc 2

,

(3.194)

mit der Teilchendichte n (Anzahl der Teilchen pro Volumen), der Teilchenmasse m und der Boltzmann-Konstanten k. Mit den Gleichungen (3.191) - (3.194) ist die Verkn¨ upfung der mikroskopischen mit der makroskopischen Betrachtungsweise hergestellt. F¨ ur die Verteilungsfunktion f l¨ asst sich eine Transportgleichung formulieren, die die statistische Verteilung der Partikel im physikalischen und Geschwindigkeitsraum beschreibt. Diese gaskinetische Grundgleichung nennt man Boltzmann-Gleichung:   ∂f ∂f ∂f ∂f F + c · + · = ∂t ∂ x m ∂c ∂t coll

.

(3.195)

Die linke Seite der Boltzmann-Gleichung stellt die substantielle Ableitung der Verteilungsfunktion f nach der Zeit im sechsdimensionalen Phasenraum dar, wobei der Term  /m) · (∂f /∂c) die Anderung ¨ (F der Verteilungsfunktion durch die Beschleunigung der  beschreibt. Die rechte Seite repr¨asentiert die Partikel aufgrund ¨ außerer Kraftfelder F ¨ Anderung der Verteilungsfunktion als Folge der Kollisionen der Partikel. Dieser Term ist ein Integralausdruck in dem die Verteilungsfunktion quadratisch erscheint: 

∂f = (f  · f1 − f · f1 ) · cr · b · db · d · dc1 , (3.196) ∂t coll dabei bezeichnet cr die Relativgeschwindigkeit der Partikel und b den Stoßparameter. Nachdem die Boltzmann-Gleichung eingef¨ uhrt ist kommen wir zur Hierarchie der str¨omungsmechanischen Grundgleichungen der Abbildung 3.28 zur¨ uck. Die kontinuumsmechanischen Erhaltungsgleichungen f¨ ur Masse, Impuls und Energie ergeben sich mit der Momentenbildung aus der Boltzmann-Gleichung. F¨ ur Newtonsche Medien erh¨alt man mit der Stokes-Annahme die Navier-Stokes-Gleichungen f¨ ur kompressible und inkompressible Fluide. Die zeitliche Mittelung f¨ uhrt zu den Reynolds-Gleichungen turbulenter Str¨omungen. Die Berechnung kleiner St¨ orungen im Str¨omungsfeld erfolgt u ¨ber einen St¨oransatz mit den St¨ orungsdifferentialgleichungen, die in Kapitel 4.1.3 benutzt werden.

289

3.6 Grundgleichungen in Erhaltungsform

Aus den Navier-Stokes-Gleichungen leiten sich die in Abbildung 3.30 dargestellten vereinfachten Modellgleichungen ab. F¨ ur reibungsfreie Str¨omungen ergibt sich die EulerGleichung. Ist die Str¨ omung zus¨ atzlich drehungsfrei gilt die Potentialgleichung. Str¨omungen bei geringen Mach-Zahlen f¨ uhren zu den Navier-Stokes-Gleichungen inkompressibler Fluide. Ist die Dichte des Fluids nur von der Temperatur und nicht vom Druck abh¨angig, ergibt sich unter Ber¨ ucksichtigung des hydrodynamischen Auftriebs die Boussinesq-Gleichung. F¨ ur Str¨ omungen bei großen Reynolds-Zahlen ist die Dicke der wandnahen Grenzschicht klein gegen¨ uber den geometrischen Abmessungen, daher k¨onnen einzelne Terme innerhalb der Grenzschicht vernachl¨assigt werden. Dies f¨ uhrt zu den parabolisierten Navier-Stokes-Gleichungen und den Grenzschichtgleichungen. F¨ ur die numerische Berechnung von Str¨ omungen ist es von Vorteil die kontinuumsmechanischen Grundgleichungen f¨ ur Masse (3.1), Impuls (3.13), (3.14), (3.15) und Energie (3.123) der vorangegangenen Kapitel in Erhaltungsform umzuschreiben. Dies bedeutet, dass in den Grundgleichungen die Erhaltungsgr¨ oßen Masse, Impuls und Energie als Divergenz dieser Gr¨oßen dargestellt werden. So enth¨ alt die Kontinuit¨atsgleichung als Divergenz den Ausdruck ∇ · (ρ · v ), die Impulsgleichungen als Divergenz den Ausdruck ∇ · (ρ · v · v ) mit dem Tensorprodukt v · v = ul · um , l = 1, 2, 3, m = 1, 2, 3 und letztlich die Energiegleichung als Divergenz den Ausdruck ∇ · (ρ · E · v ) mit der Gesamtenergie pro Masse E = e + (V 2 /2). F¨ uhrt man dimensionslose Gr¨oßen ein (Index ∗) ergibt sich f¨ ur die dimensionslosen kartesischen Koordinaten x∗m =

xm L

,

m = 1, 2, 3

,

mit einer f¨ ur das gesamte Str¨ omungsfeld charakteristischen Bezugsl¨ ange L. Dabei steht x∗m f¨ ur ⎛ ∗⎞ ⎛ ∗⎞ x x1  ∗ = ⎝ x∗2 ⎠ = ⎝ y ∗ ⎠ . x x∗3 z∗ Die dimensionslose Zeit ist

t · u∞ , L mit einer f¨ ur das gesamte Str¨ omungsfeld charakteristischen Bezugsgeschwindigkeit u∞ . t∗ =

Abb. 3.30: Vereinfachte Modellgleichungen

290

3 Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

F¨ ur die dimensionslosen Geschwindigkeiten ergibt sich u∗m = ur Dabei steht u∗m f¨

um u∞

,

m = 1, 2, 3

.

⎛

⎞ ⎛ ∗⎞ u∗1 u v ∗ = ⎝ u∗2 ⎠ = ⎝ v ∗ ⎠ u∗3 w∗

.

Die dimensionslosen Zustandsgr¨ oßen f¨ ur Dichte ρ∗ , Druck p∗ , Temperatur T ∗ und innere ∗ Energie e berechnen sich aus ρ∗ =

ρ ρ∞

,

p∗ =

p ρ∞ · u2∞

,

T∗ =

T T∞

,

e∗ =

e u2∞

,

mit f¨ ur das gesamte Str¨ omungsfeld charakteristischen Bezugsgr¨oßen ρ∞ und T∞ . Schließlich werden die dynamische Z¨ ahigkeit μ und die W¨armeleitf¨ahigkeit λ mit wiederum f¨ ur das gesamte Str¨omungsfeld charakteristischen Stoffgr¨oßen μ∞ und λ∞ dimensionslos gemacht μ∗ =

μ μ∞

,

λ∗ =

λ λ∞

.

angigen Variablen in denen die DifferenDie Gr¨oßen x∗m und t∗ sind die vier unabh¨ tialgleichungen formuliert sind. Die abh¨ angigen Variablen sind im L¨ osungsvektor zusammengefasst ⎞ ⎛ ρ∗ ⎜ ρ∗ · u∗1 ⎟ ⎜ ∗ ∗⎟ ∗ ∗ ∗ ⎟ (3.197) U (xm , t ) = ⎜ ⎜ ρ∗ · u2∗ ⎟ , ⎝ ρ · u3 ⎠ ρ∗ · E ∗ mit den Komponenten ρ∗ · u∗m des dimensionslosen Impulsvektors pro Volumen ⎛ ∗ ∗⎞ ρ · u1  ρ · v ρ∗ · v ∗ = = ⎝ ρ∗ · u∗2 ⎠ ρ∞ · u∞ ρ∗ · u∗3 und der dimensionslosen spezifischen Gesamtenergie pro Volumen ρ∗ · E ∗ =

ρ·E ρ∞ · u2∞

des Fluids. Die Gr¨ oße E bezeichnet die Gesamtenergie pro Masse (innere Energie e + kinetische Energie (1/2) · V 2 ). Die dimensionslosen Erhaltungsgleichungen f¨ ur ein kompressibles laminares Fluid lauten in Erhaltungsform (Masse-, Impuls- und Energieerhaltung) 3 3  1 ∂U ∗  ∂F ∗m ∂G∗m + − · =0 ∂t∗ ∂x∗m ReL m=1 ∂x∗m m=1

.

(3.198)

291

3.6 Grundgleichungen in Erhaltungsform

Man spricht von Erhaltungsform oder konservativer Form, da das Differentialgleichungssystem (3.198) an einem raumfesten Kontrollvolumen hergeleitet wurde, so dass jede Gleichung direkt die Massen-, Impuls- oder Energieerhaltung ausdr¨ uckt. Der L¨osungsvektor (3.197) enth¨alt in jeder Zeile die zu erhaltenden Variablen (konservative Variablen), bezogen auf das Volumen, also Masse pro Volumen ρ∗ , Impuls pro Volumen ρ∗ · v und Gesamtenergie pro Volumen ρ∗ · E ∗ . Im Gegensatz zu den konservativen Variablen stehen die primitiven Variablen Geschwindigkeit, Druck und Temperatur, die in den vorangegangenen Kapiteln benutzt wurden. Unter Vernachl¨assigung der Volumenkr¨ afte k und der Energiezufuhr qs ist in (3.198) F ∗m der Vektor der konservativen Fl¨ usse in Richtung m ⎞ ⎛ ρ∗ · u∗m ⎜ ρ∗ · u∗m · u∗1 + δ1m · p∗ ⎟ ⎟ ⎜ ∗ ∗ ∗ · u∗2 + δ2m · p∗ ⎟ (3.199) Fm = ⎜ ⎟ , ⎜ ρ ∗ · um ⎝ ρ · u∗m · u∗3 + δ3m · p∗ ⎠ u∗m · (ρ∗ · E ∗ + p∗ ) ur i = j; δij = 0 f¨ ur i = j) und G∗m der Vektor der dissipativen Fl¨ usse in (δij = 1 f¨ Koordinatenrichtung m ⎞ ⎛ 0 ∗ ⎟ ⎜ τm1 ⎟ ⎜ ∗ ⎟ ⎜ τm2 ⎟ , G∗m = ⎜ (3.200) ∗ ⎟ ⎜ τm3 ⎟ ⎜ 3 ⎠ ⎝* ∗ ∗ u∗l · τlm + qm l=1

mit der dimensionslosen inneren Energie e∗ = E ∗ −

3 1  ∗2 e · u = 2 2 m=1 m u∞

,

dem dimensionslosen Druck p∗ = (κ − 1) · ρ∗ · e∗ =

p ρ∞ · u2∞

,

T T∞

,

der dimensionslosen Temperatur 2 T ∗ = (κ − 1) · κ · M∞ · e∗ =

den dimensionslosen Spannung $ τij∗

∗

=μ ·

∂u∗j ∂u∗i + ∗ ∂xj ∂x∗i

%

 ∂u∗ 2 k · δij − · μ∗ · 3 ∂x∗k 3

k=1

und dem dimensionslosen W¨ armestrom in Richtung m ∗ qm =

λ∗ ∂T ∗ λ∗ · κ ∂e∗ · = · 2 · Pr ∗ (κ − 1) · M∞ P r∞ ∂x∗m ∞ ∂xm

.

292

3 Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

Diese Gleichungen enthalten die Stoffeigenschaften P r∞ = (cp · μ∞ )/λ∞ Prandtl-Zahl, κ = (cp /cv ) Verh¨altnis der spezifischen W¨ armekapazit¨aten, μ∗ dimensionslose dynamische Z¨ahigkeit, welche f¨ ur Luft unter atmosph¨ arischen Bedingungen mit P r∞ = 0.71, κ = 1.4 und der Sutherland-Gleichung in dimensionsloser Form μ∗ = (T ∗ ) 2 · 3

1 + S∗ T ∗ + S∗

S∗ =

,

110.4K T∞

im Temperaturbereich von 170 K bis 1900 K gegeben sind. Die folgenden dimensionslosen Kennzahlen charakterisieren das Str¨ omungsfeld

Darin ist a∞ =

M∞ =

u∞ a∞

ReL =

ρ ∞ · u∞ · L Reynolds − Zahl μ∞

P r∞ =

cp · μ∞ λ∞

Mach − Zahl

,

Prandtl − Zahl

, .

√ κ · R · T∞ eine charakteristische Schallgeschwindigkeit.

Es handelt sich bei den Erhaltungsgleichungen um ein System von f¨ unf gekoppelten nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Da die Zeit als unabh¨angige Variable enthalten ist und r¨ aumlich gerichtete Transportmechanismen vorherrschen, sind die Gleichungen parabolisch. Sind station¨are Str¨ omungen von Interesse, so werden die Zeitableitungen weggelassen. Die Gleichungen sind dann elliptisch in Unterschallgebieten und hyperbolisch in ¨ Uberschallgebieten. Man bezeichnet sie daher auch als von gemischtem Typ. Die folgenden Randbedingungen sind zu ber¨ ucksichtigen: An einer festen Wand gilt die Haftbedingung v ∗ = 0

(3.201)

sowie entweder die Temperatur-Randbedingung der isothermen Wand T ∗ = Tw∗

,

(3.202)

mit der vorgeschriebenen dimensionslosen Wandtemperatur Tw∗ oder der TemperaturRandbedingung der adiabaten Wand ∂T ∗ =0 ∂n∗

(3.203)

mit der dimensionslosen Koordinate n∗ in Wandnormalenrichtung. Ein weiterer Rand ist der Fernfeldrand, welcher das Rechengebiet bei Umstr¨omungsproblemen nach außen hin begrenzt. Ist der Fernfeldrand weit genug vom umstr¨omten K¨orper entfernt, herrscht dort die ungest¨orte Außenstr¨omung u∞ , bzw. die Randbedingung der reibungsfreien Str¨ omung.

293

3.6 Grundgleichungen in Erhaltungsform

Falls es nicht m¨oglich ist, den Fernfeldrand so festzulegen, dass Reibung keine Rolle spielt, beispielsweise wenn eine Grenzschicht, eine Abl¨ oseblase oder eine Nachlaufstr¨omung das Integrationsgebiet verl¨ asst, so kann keine mathematisch exakte Randbedingung angegeben werden. In diesem Fall behilft man sich mit der Extrapolation von Str¨omungsgr¨oßen im Str¨omungsfeld auf den Rand. Der L¨osungsvektor bei t = t0 = 0 wird durch die Anfangsbedingung (3.204) festgelegt. U ∗ (x∗i , 0) = U ∗0 (x∗i )

(3.204)

Das Anfangs-Randwertproblem der reibungsbehafteten Erhaltungsgleichungen besteht aus den Differentialgleichungen (3.198)–(3.200), den Randbedingungen (3.201)–(3.203) und der Anfangsbedingung (3.204). F¨ ur die Berechnung von turbulenten Str¨ omungen gelten die zeitlich gemittelten Grundgleichungen f¨ ur Masse (3.33), Impuls (3.38) - (3.40) mit (3.41) und (3.42) und Energie (3.133) mit (3.134). Wir wollen diese Gleichungen ebenfalls in Erhaltungsform darstellen. Um diese Grundgleichungen dimensionslos zu machen, verwenden wir f¨ ur die mit der Favre-Mittelung zeitlich gemittelten Gr¨ oßen und f¨ ur die Schwankungsgr¨oßen die gleichen Bezugswerte wie f¨ ur die Str¨ omungsgr¨ oßen. Es gilt damit f¨ ur eine dimensionslose Gr¨oße f ∗ f ∗ = f˜∗ + f ∗ 

.

Der zeitlich gemittelte L¨ osungsvektor der abh¨ angigen Variablen ist ⎛ ⎞ ρ∗ ∗ ∗ 01 ⎟ ⎜ρ · u ⎜ ⎟ ∗ ∗ ∗ ∗ ⎜ 0∗ 2 ⎟ . ρ · u U (xm , t ) = ⎜ ⎟ ⎝ ρ∗ · u 0∗ 3 ⎠ 0∗ ρ∗ · E

(3.205)

Die dimensionslosen Erhaltungsgleichungen f¨ ur ein kompressibles turbulentes Fluid lauten damit in Erhaltungsform (Masse-, Impuls- und Energieerhaltung) 3 3 3    1 ∂U ∗ ∂F ∗ m ∂G∗ m ∂R∗m + − · + =0 ∂t∗ ∂x∗m ReL m=1 ∂x∗m ∂x∗m m=1 m=1

.

(3.206)

Diese Gleichung (3.206) besitzt eine zu der Erhaltungsgleichung f¨ ur laminare Str¨omungen (3.198) analoge Form. An die Stelle der konservativen Variablen treten zeitlich gemittelte Variablen und alle Terme der Gleichung sind zeitlich gemittelt zu verstehen. Als Folge der Mittelung ist der Term R∗ hinzugekommen Die in Gleichung (3.206) unter Vernachl¨ assigung der Volumenkr¨afte k und der Energiezu∗ fuhr qs vorkommenden Terme sind F m der Vektor der zeitlich gemittelten konvektiven Fl¨ usse in Koordinatenrichtung m ⎛ ⎞ 0∗ m ρ∗ · u ⎜ ρ∗ · u 0∗ m · u 0∗ 1 + δ1m · p∗ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ∗ 0∗ 0∗ ⎟ ∗ F m = ⎜ ρ · u m · u 2 + δ2m · p∗ ⎟ , (3.207) ⎜ ∗ 0∗ 0∗ ⎟ ⎝ ρ · u m · u 3 + δ3m · p∗ ⎠ ∗ · (ρ∗ · E 0∗ + p∗ ) u0 m

294

3 Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

(δij = 1 f¨ ur i = j; δij = 0 f¨ ur i = j), G∗ m der Vektor der gemittelten dissipativen Fl¨ usse in Koordinatenrichtung m ⎞ ⎛ 0 ⎟ ⎜ τ ∗ m1 ⎟ ⎜ ∗ ⎟ ⎜ τ m2 ∗ ⎟ ⎜ (3.208) G m=⎜ ∗ ⎟ τ m3 ⎟ ⎜ 3 ⎠ ⎝* 0∗ l · τ ∗ lm + q ∗ m u l=1

und der hinzugekommene Vektor f¨ ur das algebraische Turbulenzmodell ⎞ ⎛ 0 ⎟ ⎜ ρ∗ · u∗ 11 · u∗ m ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 ∗  ∗ ∗ ⎟ ⎜ ρ ·u 1 ·u m ∗ R m=⎜ ⎟, 1 ∗  ∗ ∗ ⎟ ⎜ ρ ·u 1 ·u m ⎟ ⎜ 3 3 3 ∗ * ⎠ ⎝ * * ρ  ∗   ∗  1 1 ∗  ρ∗ u∗1 ∗  u ∗  u∗  − ∗  τ ∗ ρ∗ h∗1 u m+ u + u1 u u lm m m m l l l l 2 l=1 l=1 l=1

(3.209)

mit der Enthalpie h∗ = e∗ + (p∗ /ρ∗ ) und 0∗ = e2∗ + E

2

0∗ = k

3 ∗2  u1 m 0∗ 2 +k 2 m=1

3  · u∗ m u∗ m1 2 m=1

,

.

(3.210)

(3.211)

0∗ die zeitlich gemittelte Turbulenzenergie genannt. Darin wird k Die in dem zus¨atzlichen Term R∗ vorkommenden Schwankungsgr¨oßen sind unbekannt, ebenso wie die zeitlich gemittelten abh¨ angigen Variablen des L¨osungsvektors, deren Berechnung unser Ziel ist. Das Gleichungssystem hat wie bereits besprochen mehr Unbekannte als Gleichungen. Es ist also nicht geschlossen. Es ist die Aufgabe der Turbulenzmodellierung (s. Kapitel 3.2.3), dieses System durch empirische Annahmen u ¨ber die Gr¨oße dieses zus¨atzlichen Terms R∗ f¨ ur das jeweilige Str¨omungsproblem zu schließen. Durch Vernachl¨assigung der Reibung, also von G∗ in Gleichung (3.198) erh¨alt man die Erhaltungsform der dimensionslosen reibungsfreien Grundgleichungen 3  ∂U ∗ ∂F ∗m + =0 ∂t∗ ∂x∗m m=1

.

(3.212)

Gegen¨ uber den reibungsbehafteten Grundgleichungen in Erhaltungsform (3.198) und (3.206) haben die reibungsfreien Erhaltungsgleichungen den Vorteil, dass sie unter erheblich geringerem Aufwand numerisch gel¨ ost werden k¨onnen. Die Berechnung von zweiten Ableitungen entf¨allt, da diese nicht mehr in den Gleichungen enthalten sind.

295

4

Numerische L¨ osungsmethoden

In diesem Kapitel werden wir die Methoden zur L¨osung der in Kapitel 3 hergeleiteten Grundgleichungen kennenlernen. Sie lassen sich in analytische und numerische Methoden einteilen (Abbildung 4.1). Die analytischen Methoden sind bereits Anfang des letzten Jahrhunderts entwickelt worden als es noch keine Rechner mit großer Speicherkapazit¨at und hoher Rechengeschwindigkeit gab und dienen heute der analytischen Vorbereitung numerischer L¨osungen. Es gibt analytische Berechnungen die z. B. beinhalten, dass ein Tragfl¨ ugel die Zustr¨omung nur geringf¨ ugig st¨ort (diese Vereinfachung werden wir in Kapitel 4.1.2 kennenlernen), dass ein Schaufelprofil eine geringe Dicke besitzt oder auch, wie wir es bereits bei der Herleitung der Grenzschichtgleichungen kennenlernten, dass Glieder kleinerer Gr¨oßenordnung vernachl¨assigt werden k¨ onnen. Dies f¨ uhrt zur Linearisierung der Grundgleichungen und damit zu einer Vereinfachung der numerischen L¨osung. Mit den numerischen Verfahren hingegen ist man bestrebt, die in Kapitel 3 hergeleiteten Gleichungen f¨ ur ein Str¨ omungsproblem unter Einhaltung von Rand- und Anfangsbedingungen m¨oglichst genau n¨ aherungsweise zu l¨ osen, ohne dass man irgendwelche gravierenden Vereinfachungen oder Annahmen treffen muss. F¨ ur die Berechnung von technischen Str¨omungen (z. B. Tragfl¨ ugelstr¨ omung, Kraftfahrzeugumstr¨omung) k¨onnen diese Methoden in der Regel f¨ ur komplexe und beliebige Geometrien angewandt werden. F¨ ur ihre Anwendung sind Rechenanlagen mit umfangreichen Programmen und Auswertesoftware erforderlich, die heute verf¨ ugbar sind. Ein großer Nachteil der numerischen Verfahren ist allerdings, dass mit ihnen die Abh¨angigkeit des Ergebnisses von einer eingehenden Gr¨oße nur mit aufeinander folgenden Rechnungen bestimmt werden kann, wobei von Rechnung zu Rechnung die eingehenden Gr¨ oßen passend variiert werden m¨ ussen. In den folgenden Kapiteln werden wir lernen, dass die numerischen Methoden durch die analytischen Methoden erg¨ anzt werden. Dies gilt insbesondere dann, wenn wir herausfinden wollen, wie gut die Genauigkeit eines numerischen Verfahrens ist. Zur analytischen Vorbereitung geh¨ ort grunds¨ atzlich die Dimensionsanalyse des vorgegebenen ¨ Str¨omungsproblems, um sich einen ersten Uberblick u ¨ber die eingehenden Parameter zu verschaffen. Die Auswertung der umfangreichen numerischen Daten dreidimensiona-

Abb. 4.1: Analytische und numerische L¨ osungsmethoden H. Oertel jr et al., Strömungsmechanik, DOI 10.1007/978-3-8348-8110-6_4, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

296

4 Numerische L¨ osungsmethoden

ler Str¨omungsprobleme verlangt zus¨ atzlich eine Strukturanalyse (Kapitel 4.1.4) des berechneten Str¨omungsfeldes, um eine physikalische Interpretation des Str¨omungsfeldes zu erm¨oglichen. Die Vorgehensweise zur Berechnung einer Str¨ omung ist in Abbildung 4.2 zusammengefasst. Man beginnt mit der Problemdefinition. Im n¨ achsten Schritt werden die dem Problem angepassten Grundgleichungen und Modelle ausgew¨ahlt. Es folgt die Auswahl der den Grundgleichungen angepassten L¨ osungsmethoden bis hin zur Auswertung und Bewertung der numerischen N¨ aherungsl¨ osung. Diese Prozedur der numerischen Str¨omungssimulation bedarf bez¨ uglich der Auswahl der Grundgleichungen und L¨osungsmethoden umfangreicher

Problemdefinition

Auswahl der Grundgleichungen physikalische Modelle

3 1 U 3 Fm . Σ Gm + R m = 0 +Σ − t m=1 x m ReL m=1 x m xm

Transitionsmodell − Turbulenzmodell

Auswahl der Lösungsmethoden CAD−Modell Diskretisierung numerisches Modell

Auswertung der Näherungslösung Widerstand

Stabilität

Verifikation im Windkanal

Abb. 4.2: Berechnung einer Str¨ omung und deren Verifikation im Windkanal

297

4.1 Analytische Vorbereitung

Ingenieurerfahrung, die an zahlreichen Str¨ omungsbeispielen erworben werden muss. Jede numerische L¨osung ist fehlerbehaftet. Zum einen sind es numerische Fehler, die durch die mathematische Diskretisierung und Rundungsfehler auf der Rechenanlage entstehen, zum anderen sind es Fehler der verwendeten physikalischen Modelle. Die Problematik der Auswahl von Turbulenzmodellen haben wir bereits in Kapitel 3.2.3 beschrieben. Aus diesem Grund muss f¨ ur jede behandelte Geometrieklasse die numerische L¨osung im Experiment oder sofern m¨ oglich mit analytischen L¨osungen verifiziert werden, um sie dann f¨ ur Parametervariationen in der ausgew¨ ahlten Geometrieklasse (Kraftfahrzeug, Flugzeug, Str¨omungsmaschine etc.) nutzen zu k¨ onnen. Wir kommen auf diese zu erlernende Ingenieurkunst im Softwarekapitel 5.2 zur¨ uck. In weiterf¨ uhrenden Vorlesungen u ¨ber die numerische Str¨omungsmechanik wird auch erl¨ autert, wie die analytischen Ergebnisse in die numerischen Verfahren einfließen (siehe E. Laurien, H. Oertel jr. Numerische Str¨ omungsmechanik, 2008). In dem vorliegenden Lehrbuch wird dazu eine Einf¨ uhrung gegeben.

4.1 4.1.1

Analytische Vorbereitung Dimensionsanalyse

Die Dimensionsanalyse ist der erste Schritt einer analytischen Vorbereitung, unabh¨angig davon ob wir eine Str¨ omung analytisch bzw. numerisch berechnen oder experimentell ausmessen wollen. Mit der Dimensionsanalyse erreichen wir eine Reduktion der unabh¨angigen Gr¨oßen des Problems, indem wir die Dimensionen der einzelnen Gr¨oßen behandeln. Um zu verdeutlichen was damit gemeint ist, betrachten wir wieder die Kraftfahrzeugumstr¨omung. In der Abbildung 4.3 ist ein Kraftfahrzeug gezeigt, das mit der Geschwindigkeit u∞ angestr¨omt wird. Wir wollen nun die Widerstandskraft FW in Abh¨angigkeit der das Problem bestimmenden Gr¨ oßen ermitteln. Wir wissen bereits, dass der Widerstand FW von der Anstr¨omgeschwindigkeit u∞ , der oße des Kraftfahrzeuges, die durch die L¨ange Dichte ρ∞ , der Z¨ahigkeit μ∞ und der Gr¨ L festgelegt ist, abh¨ angt. Wir setzen dabei voraus, dass die Gr¨oße des Kraftfahrzeuges variiert, die Form sich jedoch nicht ¨ andert (alle betrachteten Fahrzeuge sind geometrisch angigkeit der Zielgr¨ oße FW von den zuletzt genannten Gr¨oßen k¨onnen ¨ahnlich). Die Abh¨ wir mit der Funktion FW = f(u∞ , ρ∞ , μ∞ , L)

Abb. 4.3: Kraftfahrzeugumstr¨ omung

(4.1)

298

4 Numerische L¨ osungsmethoden

angeben. Mit der Anwendung der Dimensionsanalyse vereinfacht sich der funktionale Zusammenhang (4.1) auf eine andere Funktion ¯f, die nur noch eine Ver¨anderliche beinhaltet. Diese lautet: cW = ¯f(ReL )

,

FW cW = ρ∞ 2 2 2 · u∞ · L

,

ReL =

ρ∞ · u∞ · L μ∞

.

(4.2)

Sowohl der funktionale Zusammenhang f als auch ¯f sind unbekannt und m¨ ussen durch numerische Rechnungen bzw. Messungen oder aus einer Kombination der genannten zwei M¨oglichkeiten ermittelt werden. Wird der Zusammenhang z.B. experimentell herausgefunden, so ben¨otigt man zur Ermittelung von ¯f nur eine Messreihe und kann f¨ ur alle Kombinationen von u∞ , ρ∞ , μ∞ und L die Widerstandskraft FW angeben. Zur Ermittelung des funktionalen Zusammenhangs (4.1) hingegen sind erheblich mehr Messungen durchzuf¨ uhren. Es stellt sich nun die Frage, wie wir den funktionalen Zusammenhang (4.1) auf die Form (4.2) vereinfachen und womit sich diese Vereinfachung begr¨ undet. Wie bereits angedeutet, werden dazu die Dimensionen der Gr¨ oßen, die das Problem bestimmen, betrachtet. Jede physikalische Gr¨ oße wird durch eine Maßzahl und eine Einheit angegeben. Weiterhin kann jeder physikalischen Gr¨ oße eine Dimension und eine Einheit zugeordnet werden. So kann z.B. der Druck p in einem Beh¨ alter 50 N/m2 betragen. In diesem Fall w¨are die Zahl 2 50 die Maßzahl und N/m die f¨ ur den Druck entsprechende Einheit. Die Dimension gibt an, wie mit den Maßzahlen der Grundgr¨oßen die Maßzahl der abgeleiteten Gr¨oße bestimmt wird. Betrachten wir dazu weiterhin den Druck p als Gr¨oße, so wird zur Bestimmung seiner Maßzahl die Maßzahl einer Kraft durch die Maßzahl einer Fl¨ache dividiert. Die Dimension des Druckes, wir bezeichnen sie mit [p], schreibt sich also [p] =

F L2

.

(4.3)

F und L stehen f¨ ur die Grundgr¨ oßen Kraft bzw. L¨ange. Wir unterscheiden zwischen dem technischen und dem physikalischen System. Beim technischen System setzen sich die Dimensionen aller physikalischen Gr¨oßen der Mechanik aus den Grundgr¨oßen Kraft, L¨ ange und Zeit (F, L, T ) zusammen. Im physikalischen System werden alle Dimensionen mit den Grundgr¨oßen Masse, L¨ange und Zeit (M, L, T ) angegeben. In beiden F¨ allen haben wir drei Grundgr¨oßen zur Verf¨ ugung, mit denen wir die Dimensionen der das Str¨ omungsproblem beschreibenden Gr¨oßen ausdr¨ ucken k¨onnen. Wenn wir Str¨omungsprobleme mit Temperatureinfluss betrachten, z.B. ein str¨omendes Gas (Tragfl¨ ugelstr¨ omung), dann ist es notwendig, zus¨atzlich die Temperatur als vierte Grundgr¨oße miteinzubeziehen. Wir werden nun nachfolgend zeigen, dass wir die Dimension jeder mechanischen Gr¨oße x mit der folgenden Potenzschreibweise darstellen k¨onnen. Diese lautet, wenn wir als Grundgr¨oßen das physikalische System w¨ ahlen: [x] = M α1 · Lα2 · T α3

.

(4.4)

Der Zusammenhang (4.4) ist uns nicht unbekannt. Alle uns bekannten mechanischen Gr¨oßen, wie z. B. die Geschwindigkeit |v1 |, setzen sich aus den Grundgr¨oßen M , L und T

299

4.1 Analytische Vorbereitung

gem¨aß der Gleichung (4.4) zusammen. F¨ ur die Dimension L¨ange dividiert durch Zeit der abgeleiteten mechanischen Gr¨ oße |v 1 | nehmen in der Gleichung (4.4) die Exponenten α1 , α2 und α3 die folgenden Werte an: α1 = 0, α2 = 1 und α3 = −1. Wir kommen auf den Zusammenhang (4.4) sp¨ ater zur¨ uck. Um mit der Dimensionsanalyse vertraut zu werden, betrachten wir den nachfolgenden funktionalen Zusammenhang F , der die Abh¨angigkeit der Maßzahl x einer abgeleiteten Gr¨oße von den u ¨brigen Maßzahlen x1 , . . . , xn eines str¨ omungsmechanischen Problems angibt. Er lautet x = F(x1 , . . . , xn )

.

(4.5)

Um ihn besser verstehen zu k¨ onnen, nehmen wir wieder Bezug auf die bereits betrachtete Kraftfahrzeugumstr¨ omung (siehe dazu Abbildung 4.4 links). F¨ ur das Beispiel der Kraftfahrzeugumstr¨omung ist die Zahl x die Maßzahl der Widerstandskraft FW , die auf der linken Seite der Gleichung FW = f(u∞ , ρ∞ , μ∞ , L) steht. Die u ¨brigen Maßzahlen entsprechen demzufolge in der Gleichung (4.1) den Maßzahlen der Geschwindigkeit u∞ , der Dichte ρ∞ , der Z¨ahigkeit μ∞ und der L¨ange L. Unsere Maßzahlen gelten in Verbindung mit den Einheiten N f¨ ur die Kraft FW , m/s f¨ ur die Geschwindigkeit u∞ , kg/m3 f¨ ur die Dichte ρ∞ , m f¨ ur die L¨ange L und N · s/m2 f¨ ur die Z¨ahigkeit μ∞ . Zus¨atzlich betrachten wir eine weitere Kraftfahrzeugumstr¨omung. Das umstr¨omte Kraftfahrzeug ist dem Kraftfahrzeug der zuerst betrachteten Umstr¨omung geometrisch ¨ahnlich (siehe Abbildung 4.4 rechts). Es ist allerdings nicht gleich groß. Weiterhin wird es mit einem anderen Fluid angestr¨ omt, das sich in seiner Dichte ρ∞2 und seiner Z¨ahigkeit μ∞2 von dem Fluid des ersten Beispiels unterscheidet. Die Zustr¨omgeschwindigkeiten der beiden Umstr¨omungen u∞1 und u∞2 sind ebenfalls verschieden. F¨ ur die zweite Umstr¨ omung gilt auch der funktionale Zusammenhang (4.5). Nur stehen ur die zuletzt betrachtete in ihm nicht die Maßzahlen x1 , . . . , xn , sondern die Maßzahlen f¨ Kraftfahrzeugumstr¨ omung. Diese Maßzahlen bezeichnen wir mit y bzw. y1 , . . . , yn . Auch y und y1 , . . . , yn gelten in Verbindung mit den Einheiten, die wir bereits f¨ ur das zuerst beschriebene Umstr¨omungsproblem erw¨ ahnten. Der funktionale Zusammenhang lautet also y = F(y1 , . . . , yn )

.

(4.6)

Wenn wir nun in unseren beiden Beispielen die Einheiten wechseln (z.B. die L¨ange nicht mehr in Meter m, sondern in Kilometer km angeben) und dabei die physikalischen Gr¨oßen

Abb. 4.4: Zwei verschiedene Kraftfahrzeugumstr¨omungen

300

4 Numerische L¨ osungsmethoden

nicht ¨andern, so ver¨ andern sich unsere Maßzahlen von den Werten x1 , . . . , xn auf x1 , . . . , xn bzw. von y1 , . . . , yn auf y1 , . . . , yn . Ebenfalls ver¨ andern sich die Maßzahlen der abgeleiteten Gr¨oßen von x auf x bzw. von y auf y . Zwischen den Gr¨oßen xi und xi (i = 1, . . . , n) sowie yi und yi (i = 1, . . . , n) gelten die Zusammenh¨ange xi = ci · xi

,

yi = ci · yi

,

(4.7)

wobei c1 , . . . , cn den Zahlenwerten entsprechen, mit denen die Maßzahlen den neuen Einheiten angepasst werden. Wir haben nur die Einheiten ge¨ andert und nicht die physikalischen Gr¨oßen. Die physikalischen Gr¨oßen sind unabh¨ angig von dem verwendeten Maßsystem und deshalb bleibt das Verh¨altnis von den abgeleiteten Gr¨ oßen beim Wechseln der Einheiten erhalten. Bezeichnen wir X und Y als die zu den Maßzahlen x und y zugeh¨origen physikalischen Gr¨oßen, so gilt x x X = =  Y y y oder unter Ausnutzung der Gleichung (4.5) und (4.6) F(x1 , . . . , xn ) F(x1 , . . . , xn ) = F(y1 , . . . , yn ) F(y1 , . . . , yn )

.

(4.8)

Ersetzen wir in der Gleichung (4.8) die Werte xi und yi durch die entsprechenden rechten Seiten der Gleichungen (4.7), erhalten wir F(x1 , . . . , xn ) F(c1 · x1 , . . . , cn · xn ) = F(y1 , . . . , yn ) F(c1 · y1 , . . . , cn · yn ) F(c1 · x1 , . . . , cn · xn ) = F(c1 · y1 , . . . , cn · yn ) ·

, F(x1 , . . . , xn ) F(y1 , . . . , yn )

.

(4.9)

Mit der Gleichung (4.9) f¨ uhren wir nun den nachfolgenden mathematischen Formalismus durch. Durch partielles Differenzieren der Gleichung (4.9) nach c1 unter Anwendung der Kettenregel erhalten wir x1 ·

∂F(c1 · x1 , . . . , cn · xn ) ∂F(c1 · y1 , . . . , cn · yn ) F(x1 , . . . , xn ) = y1 · · ∂(c1 · x1 ) ∂(c1 · y1 ) F(y1 , . . . , yn )

.

(4.10)

Betrachten wir nun weiterhin den Sonderfall ci = 1 (i = 1, . . . , n), dann gilt y1 x1 ∂F(x1 , . . . , xn ) ∂F(y1 , . . . , yn ) = · · F(x1 , . . . , xn ) ∂x1 F(y1 , . . . , yn ) ∂y1

.

(4.11)

Da die linke Seite nur von x1 , . . . , xn und die rechte Seite nur von y1 , . . . , yn abh¨angig ist, sind sowohl die linke als auch die rechte Seite gleich einer Konstanten, die wir mit α1 bezeichnen. Es gilt also ∂F x1 · = α1 F(x1 , . . . , xn ) ∂x1

.

(4.12)

301

4.1 Analytische Vorbereitung

Durch partielles Integrieren u ¨ber x1 erhalten wir 1 F(x1 , . . . , xn ) = C1 (x2 , . . . , xn ) · xα 1

.

(4.13)

C1 (x2 , . . . , xn ) ist eine weitere Funktion, die wir zun¨achst nicht kennen. Wir k¨onnen die gezeigte Rechnung auch f¨ ur eine beliebige Maßzahl xi durchf¨ uhren. Dann erhalten wir als Ergebnis i F(x1 , . . . , xn ) = Ci (x1 , . . . , xi−1 , xi+1 , . . . , xn ) · xα i

.

(4.14)

Wenn wir alle n L¨ osungen miteinander kombinieren, dann lautet die Gesamtl¨osung α2 αn 1 x = F(x1 , . . . , xn ) = C · xα 1 · x2 · · · xn

,

(4.15)

wobei C nun keine Funktion von irgendeiner Maßzahl ist. C ist eine Konstante, die wir ohne Einschr¨ankung der Allgemeinheit C = 1 setzen k¨onnen indem wir fordern, dass x = 1 ur den Zusammenhang zwischen der Maßzahl ist, wenn alle xi = 1 (i = 1, . . . , n) sind. F¨ einer abgeleiteten Gr¨ oße und den Maßzahlen der Grundgr¨oßen gilt also α2 αn 1 x = xα 1 · x2 · · · xn

.

(4.16)

Mit der Gleichung (4.16) begr¨ undet sich auch die Dimensionsformel (4.4), denn die Dimension einer abgeleiteten physikalischen Gr¨ oße ist so definiert, dass sie angibt wie die Maßzahlen der Grundgr¨ oßen miteinander kombiniert werden, um die Maßzahl der abgeleiteten Gr¨oße zu berechnen. Gleichung (4.16) zeigt uns wie die Maßzahlen kombiniert werden. Wir gehen nun davon aus, dass eine funktionale Beziehung von n physikalischen dimensionsbehafteten Gr¨oßen Q1 , . . . , Qn existiert. Diese k¨onnen wir mit der impliziten Schreibweise wie folgt angeben F(Q1 , . . . , Qn ) = 0 .

(4.17)

Der funktionale Zusammenhang (4.17) k¨ onnte z.B. der Beziehung (4.1) entsprechen. Wenn die Gleichung (4.17) f¨ ur ein mechanisches Problem steht, dann gilt f¨ ur alle Dimensionen der physikalischen Gr¨ oßen Q1 , . . . , Qn die Dimensionsgleichung [Qi ] = M α1,i · Lα2,i · T α3,i

(4.18)

oder, wenn wir zu den Basisgr¨ oßen Kraft, L¨ ange, Zeit (F, L, T ) u ¨bergehen, [Qi ] = F α1,i · Lα2,i · T α3,i

.

(4.19)

Weiterhin kann jede Maßzahl der physikalischen Gr¨oßen Q1 , . . . , Qn mit der Gleichung (4.16) ausgedr¨ uckt werden. Es kann gezeigt werden, dass sich der funktionale Zusammenhang (4.17) auf n − m dimensionslose Gr¨oßen vereinfacht. m ist in der Regel die Anzahl der Grundgr¨oßen, die f¨ ur mechanische Probleme mit M, L, T bzw. mit F, L, T m = 3 ist. Bei der Betrachtung von Str¨omungen mit Temperatureinfluss ist die Temperatur eine weitere Grundgr¨oße und m ist in diesem Fall m = 4.

302

4 Numerische L¨ osungsmethoden

Dieser Zusammenhang ist als das Π-Theorem von Buckingham bekannt, das wir in diesem Buch nicht beweisen wollen. Seine Richtigkeit ist z.B. sehr ausf¨ uhrlich in dem Buch von P. W. Bridgman 1932 erkl¨ art, das dem interessierten Leser als vertiefende Lekt¨ ure zu empfehlen ist. Wir wollen nachfolgend lernen, wie wir das Π-Theorem zur Vereinfachung von funktionalen Zusammenh¨ angen anwenden k¨onnen. Zusammenfassend lautet das Π-Theorem von Buckingham Gegeben ist der funktionale Zusammenhang F(Q1 , . . . , Qn ) = 0

(4.20)

mit n-dimensionsbehafteten physikalischen Gr¨ oßen Q1 , . . . , Qn und m Grundgr¨ oßen (z.B. M , L, T bzw. F , L, T ). Dann gibt es einen weiteren funktionalen Zusammenhang ¯ 1 , . . . , Πn−r ) = 0 F(Π

(4.21)

mit n − r dimensionslosen Gr¨ oßen Π1 . . . Πn−r . F¨ ur r gilt in der Regel r = m. Der Zusammenhang (4.21) beschreibt vollst¨ andig die L¨ osung des Problems. Es stellt sich nun die Frage, wie die n − r dimensionslosen Gr¨oßen gebildet werden. Dazu betrachten wir die Dimensionen der n physikalischen Gr¨oßen, die wir mit den m Grundgr¨oßen A1 , . . . , Am wie folgt ausdr¨ ucken k¨ onnen α

α

m,1 [Q1 ] = A1 1,1 · A2 2,1 . . . Aα m .. .. . . α1,n α2,n m,n ] = A · A . . . Aα [Qn m 1 2

(4.22) .

Die dimensionslosen Gr¨ oßen Πi (i = 1, . . . , n − r) k¨onnen wir wie folgt angeben Πi = A01 · A02 · · · A0m = [Q1 ]k1 · [Q2 ]k2 · · · [Qn ]kn

.

(4.23)

Setzen wir in die Gleichungen (4.23) f¨ ur [Q1 ], . . . , [Qn ] die entsprechenden Ausdr¨ ucke gem¨aß der Gleichungen (4.22) ein, erhalten wir A01 · A02 · · · A0m = α

α

m,1 [A1 1,1 · A2 2,1 · · · Aα ] m

k1

α

α

α

α

m,2 k2 m,n kn · [A1 1,2 · A2 2,2 · · · Aα ] · · · [A1 1,n · A2 2,n · · · Aα ] m m

. (4.24)

Durch einen Vergleich der Exponenten der linken und rechten Seite der Gleichung (4.24) erhalten wir das folgende Gleichungssystem. Es lautet α1,1 · k1 + α1,2 · k2 + · · · + α1,n · kn = 0 .. .. .. . . . αm,1 · k1 + αm,2 · k2 + · · · + αm,n · kn = 0 .

(4.25)

303

4.1 Analytische Vorbereitung

F L T

FW 1 0 0

u∞ 0 1 −1

ρ∞ 1 −4 2

L 0 1 0

μ∞ 1 −2 1

Tabelle 4.1 : Dimensionstabelle

Die Gleichungen (4.25) bilden ein homogenes Gleichungssystem bestehend aus m Gleichungen f¨ ur die n Unbekannten k1 , . . . , kn (m ≤ n). Aus der linearen Algebra ist bekannt, dass ein homogenes Gleichungssystem genau r linear unabh¨angige L¨osungen besitzt, wobei r der Rang der Koeffizientenmatrix ⎞ ⎛ α1,1 . . . α1,n ⎜ .. . . . ⎟ (4.26) ⎝ . . .. ⎠ αm,1 . . . αm,n des Gleichungssystems (4.25) ist. Der Rang r der Matrix (4.26) entspricht der Anzahl der Zeilen und Spalten der Determinante mit der gr¨oßten Zeilen- und Spaltenanzahl, deren zugeh¨orige Matrix in (4.26) als Teilmatrix enthalten und deren Determinante von Null verschieden ist. In der Mehrzahl der F¨ alle ist bei der Anwendung der Dimensionsanalyse der Rang r der Matrix (4.26) gleich der Zeilenanzahl m, die der Anzahl der Grundgr¨oßen entspricht. Die Bestimmung der dimensionslosen Koeffizienten Π1 . . . Πn−r erfolgt nun entsprechend der nachfolgenden Vorgehensweise: • Bestimmung der n physikalischen Gr¨ oßen der funktionalen Beziehung (4.20). • Festlegung der Grundgr¨ oßen (f¨ ur mechanische Probleme F , L, T bzw. M , L, T ). • Aufstellen der Koeffizientenmatrix (4.26) und Ermittlung ihres Ranges. • Berechnung der n − r linear unabh¨ angigen Gr¨oßen und der mit ihnen korrespondierenden dimensionslosen Gr¨ oßen Π1 . . . Πn−r (in den meisten F¨allen ist r = m). ¯ 1 . . . Πn−r ). • Aufstellen des neuen funktionalen Zusammenhangs F(Π Wir kommen auf das Beispiel der Kraftfahrzeugumstr¨omung zur¨ uck. Den ersten Schritt unserer Vorgehensweise haben wir bereits zu Beginn dieses Abschnittes durchgef¨ uhrt als wir die Beziehung (4.1) aufstellten. Der zweite Schritt erscheint uns bereits trivial. Wir w¨ahlen als Grundgr¨ oßen die Gr¨ oßen F , L, T aus. Mit den ausgew¨ahlten Grundgr¨oßen k¨onnen wir die Koeffizientenmatrix (4.26) aufstellen, die wir gem¨aß der Tabelle 4.1 aufschreiben. Eine Teilmatrix, deren zugeh¨ orige Determinante von Null verschieden ist, ist z.B. die Matrix ⎛ ⎞ 0 1 0 ⎝ 1 −4 1 ⎠ , (4.27) −1 2 0

304

4 Numerische L¨ osungsmethoden

so dass wir gem¨aß dieser Teilmatrix die Gr¨ oßen u∞ , ρ∞ und L als neue Grundgr¨oßen auffassen und mit ihren Dimensionen die Dimensionen der verbleibenden Gr¨oßen FW und ucken k¨onnen. Es gilt also μ∞ entsprechend des Potenzansatzes ausdr¨ [FW ] = [u∞ ]k1 · [ρ∞ ]k2 · [L]k3

(4.28)

oder F 1 · L0 · T 0 = (F 0 · L1 · T −1 )k1 · (F 1 · L−4 · T 2 )k2 · (F 0 · L1 · T 0 )k3

.

(4.29)

Durch einen Vergleich der Exponenten der linken und rechten Seite der Gleichung (4.29) erh¨alt man das folgende Gleichungssystem f¨ ur die Unbekannten k1 , k2 und k3 . Es lautet F :

1=

k2 0 = k1 − 4 · k2 + k3 0 = −k1 + 2 · k2 .

L: T :

, ,

Die L¨osung des Gleichungssystems ergibt: k1 = 2, k2 = 1, k3 = 2, so dass die erste dimensionslose Gr¨oße Π1 entsprechend der Gleichung (4.28) Π1 =

FW ρ∞ · u2∞ · L2

(4.30)

lautet. Die zweite dimensionslose Gr¨ oße Π2 berechnet sich analog, indem die Dimension uckt der Gr¨oße μ∞ mit den Dimensionen der neuen Grundgr¨oßen u∞ , ρ∞ und L ausgedr¨ wird. Man erh¨alt als zweite dimensionslose Gr¨ oße Π2 =

1 μ∞ = ρ ∞ · u∞ · L ReL

,

(4.31)

so dass der neue funktionale Zusammenhang wie folgt lautet FW = ¯f(Π2 ) ρ∞ · u2∞ · L2 oder cW =

ρ∞ 2

FW = ¯f(ReL ) · u2∞ · L2

,

so wie wir es bereits zu Anfang dieses Abschnittes kennenlernten. Um das Verst¨andnis f¨ ur die Dimensionsanalyse abzurunden, wollen wir abschließend noch die Frage diskutieren, wie wir u ur den funktionalen Zusam¨berhaupt die Einflussgr¨oßen f¨ menhang (4.20) ermitteln k¨ onnen. Dazu ist zu sagen, dass es keine Vorgehensweise gibt, mit der man die f¨ ur das technische Problem relevanten Gr¨oßen bestimmen kann. In der Regel setzt der erste Schritt der Dimensionsanalyse eine gewisse Erfahrung bez¨ uglich des technischen Problems voraus. So k¨onnten wir z. B. bez¨ uglich der Kraftfahrzeugumstr¨omung der Meinung sein, dass der Luftdruck p0 einen Einfluss auf den Widerstand FW hat. W¨ urden wir ihn mit in die Beziehung (4.1) aufnehmen und anschließend die Dimensionsanalyse gem¨aß unserer

305

4.1 Analytische Vorbereitung

gelernten Vorgehensweise durchf¨ uhren, dann w¨ urden wir die weitere dimensionslose Gr¨oße Π3 = p0 /(ρ∞ · u2∞ ) erhalten. Der vereinfachte funktionale Zusammenhang w¨ urde dann cW = ¯f(ReL ,

p0 ) ρ∞ · u2∞

(4.32)

lauten. Wenn wir anschließend z.B. mit Windkanalversuchen den funktionalen Zusammenhang (4.32) ermitteln, werden wir feststellen, dass die Gr¨oße FW unabh¨angig von der Gr¨oße p0 /(ρ∞ · u2∞ ) ist. In diesem Fall w¨ urden wir die Gr¨oße p0 /(ρ∞ · u2∞ ) wieder aus der Beziehung (4.32) streichen. Wie bereits gesagt, ist die Dimensionsanalyse der erste Schritt zur L¨osung eines str¨omungsmechanischen Problems. Wenn man mit der Str¨omungsmechanik gut vertraut ist, dann wird das Bestimmen der wesentlichen Einflussgr¨oßen keine Schwierigkeiten be¨ reiten. Dazu ist jedoch anf¨ anglich viel Ubung erforderlich.

4.1.2

Linearisierung

Die in Kapitel 3 hergeleiteten Differentialgleichungen sind nichtlineare Gleichungen und k¨onnen im Allgemeinen nur numerisch gel¨ ost werden. Ein lohnender Zwischenschritt kann es sein, die das Problem beschreibenden Differentialgleichungen zu linearisieren und anschließend zu l¨osen. Wir werden uns in diesem Abschnitt mit der Linearisierung der Gleichung (3.185) auseinandersetzen. Die Vorgehensweise, die wir dabei lernen, ist auf viele andere Str¨omungsprobleme u ¨bertragbar. Die Anwendungen der linearisierten Gleichung (3.185) zur Berechnung von technisch interessierenden Str¨omungen werden als linearisierte Theorie und als Theorie kleiner St¨ orungen bezeichnet. Diese Bezeichnungen werden uns bei der Herleitung der linearisierten Gleichungen verst¨andlich werden. Wir betrachten wieder die Tragfl¨ ugelstr¨ omung und setzen voraus, dass die Reynolds-Zahl ugel der Zustr¨omung Re = u∞ · (L/ν∞ ) sehr groß ist. Die Grenzschichten auf dem Tragfl¨ sind also d¨ unn und wir beschr¨ anken uns auf die Berechnung der reibungsfreien Außenstr¨omung, wie wir das bereits in Kapitel 3 bei der Diskussion der Potentialgleichung (3.185) getan haben. Wir werden nun weiterhin annehmen, dass das Tragfl¨ ugelprofil schlank ist und dass es desugig st¨ort (siehe halb die ungest¨orte Zustr¨ omung mit der Geschwindigkeit u∞ nur geringf¨ Abbildung 4.5). Die Zustr¨ omung ist parallel zur x-Achse. Den Geschwindigkeitsvektor v 1

v1

z

w’ u

8

y

u’

8

u

x

Abb. 4.5: Str¨omung um einen schlanken Fl¨ ugel

306

4 Numerische L¨ osungsmethoden

k¨ onnen wir in zwei Anteile zerlegen, wobei der erste Anteil der ungest¨orten Zustr¨omung entspricht und der zweite Anteil gleich einem St¨ oranteil ist, der durch das schlanke Tragfl¨ ugelprofil hervorgerufen wird. v 1 schreibt sich also wie folgt ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ u u∞ v 1 = ⎝ 0 ⎠ + ⎝ v  ⎠ . (4.33) w 0 Die Geschwindigkeitskomponenten u , v  und w fassen wir als St¨orgr¨oßen auf, die im Vergleich zur ungest¨orten Zustr¨ omgeschwindigkeit u∞ klein sind. Diese sind nicht zu verwechseln mit den Schwankungsgr¨ oßen turbulenter Str¨omungen. Den Geschwindigkeitsvektor v 1 k¨ onnen wir mit der Potentialfunktion Φ = u∞ · x + ϕ

(4.34)

angeben, mit der wir durch Differenzieren nach x, y und z die Geschwindigkeitskomponenten u, v und w berechnen k¨ onnen. In Gleichung (4.34) steht ϕ f¨ ur ein unbekanntes St¨orpotential, das wir sp¨ ater mittels der linearisierten Gleichung (3.185) bestimmen wollen. Durch Differenzieren der Gleichung (4.34) nach x, y bzw. z erhalten wir gem¨aß der Gleichung (3.177) die entsprechenden Geschwindigkeitskomponenten u, v und w. Sie lauten u=

∂ϕ ∂Φ = u∞ + = u ∞ + u ∂x ∂x

v=

∂ϕ ∂Φ = = v ∂y ∂y

,

w=

∂ϕ ∂Φ = = w ∂z ∂z

.

, (4.35)

Wir ben¨otigen weiterhin f¨ ur die Gleichung (3.185) die zweiten Ableitungen von Φ nach x, y und z. Diese lauten ∂2ϕ ∂u ∂2Φ = = ∂x2 ∂x2 ∂x

,

∂ 2Φ ∂ 2ϕ ∂v  = = ∂y 2 ∂y2 ∂y

,

∂2Φ ∂ 2ϕ ∂w  = = ∂z 2 ∂z 2 ∂z

. (4.36)

Durch Einsetzen der ersten und zweiten Ableitungen von Φ gem¨aß der Gleichungen (4.36) und (4.36) in die Gleichung (3.185) erhalten wir ∂u ∂v  ∂w 2 2 + (a2 − v  ) · + (a2 − w  ) · − ∂x ∂y ∂z ∂u ∂u ∂v  − 2 · (u∞ + u ) · w  · − 2 · v · w · =0 . 2 · (u∞ + u ) · v  · ∂y ∂z ∂z

(a2 − u2∞ − 2 · u∞ · u − u ) · 2

(4.37)

Weiterhin gilt f¨ ur das Str¨ omungsfeld die Bernoullische Gleichung. Wenden wir sie entlang eines Stromfadens von der ungest¨ orten Zustr¨omung bis zu einer beliebigen Stelle im Str¨omungsfeld an, so gilt entsprechend Kapitel 2.3.3 2 2 a2∞ u2 a2 (u∞ + u )2 + v  + w  + ∞ = + κ−1 2 κ−1 2

307

4.1 Analytische Vorbereitung

oder umgeformt

a2 = a2∞ −

κ−1 2 2 2 · (2 · u∞ · u + u + v  + w  ) 2

.

(4.38)

a∞ steht f¨ ur die Schallgeschwindigkeit in der freien Zustr¨omung. Ersetzen wir in der Gleichung (4.37) a2 durch die rechte Seite der Gleichung (4.38) und dividieren anschließend die resultierende Gleichung durch a2∞ , erhalten wir die folgende Gleichung ,

κ−1 2 · M∞ 1− · 2

$

u u 2 + v  2 + w  2 2· + u∞ u2∞

% −

2 ∂u u u 2 + −2· · − M∞ · 2 · u∞ u∞ ∂x $ , % u u 2 + v  2 + w  2 v 2 κ−1 ∂v  2 2 + 1− − M∞ · 2 · · M∞ · 2 · + 2 2 u∞ u∞ u∞ ∂y 2 M∞

, 1−

κ−1 2 · · M∞ 2

$ 2·

2 M∞

2

2

u u +v +w + u∞ u∞

2

2 · 2 · M∞

v  ∂u u · v ∂u 2 − 2 · M∞ − · · 2 · u∞ ∂y u∞ ∂y

2 2 · M∞ ·

w  ∂u u · w ∂u 2 − 2 · M∞ − · · 2 · u∞ ∂z u∞ ∂z

2 · 2 · M∞

v  · w ∂v  =0 . · u2∞ ∂z

% 2 · − M∞

2

w u2∞

(4.39)

·

∂w  − ∂z

M∞ = u∞ /a∞ steht f¨ ur die Anstr¨ om-Mach-Zahl. Die Gleichung (4.39) enth¨ alt keine Vereinfachungen. Sie gilt f¨ ur jede drehungsfreie isentrope Str¨omung. Wir haben in unseren Gleichungen auch noch nicht mit einfließen lassen, dass wir eine Str¨omung betrachten wollen, die durch das Tragfl¨ ugelprofil nur schwach gest¨ort wird. Gleichung (4.39) gilt deshalb sowohl f¨ ur große als auch kleine St¨orgeschwindigkeiten u , v  und w .

308

4 Numerische L¨ osungsmethoden

Mit einer einfachen Umformung k¨ onnen wir die Gleichung (4.39) wie folgt schreiben 2 (1 − M∞ )·

∂v  ∂w  ∂u + + = ∂x ∂y ∂z

,

%  $ 2 2 2 u κ+1 κ−1 ∂u u v + w · (κ + 1) · + · · 2 + · + u∞ 2 U∞ 2 u2∞ ∂x , % 2 $ 2   v u + w 2 u κ+1 κ−1 ∂v  2 · 2 + · + + M∞ · (κ − 1) · · 2 U∞ 2 U∞ 2 u∞ ∂y %, $ 2   2 2 ∂w w u + v u κ+1 κ−1 2 M∞ · (κ − 1) · · · 2 + · + + u∞ 2 u∞ 2 u2∞ ∂z         v u u ∂u ∂u ∂v  w ∂w 2 · 1+ · 1+ M∞ · · · + + + + u∞ u∞ ∂y ∂x u∞ u∞ ∂z ∂x   ∂v  ∂w v  · w + . (4.40) · u2∞ ∂y ∂z

2 M∞

Bei der Umformung von Gleichung (4.39) auf Gleichung (4.40) haben wir dabei die Beziehungen ∂v  ∂w = ∂z ∂y

,

∂u ∂v  = ∂y ∂x

,

∂u ∂w = ∂z ∂x

ausgenutzt, die durch die Voraussetzung der Drehungsfreiheit der Potentialstr¨omung geliefert werden. Die linke Seite der Gleichung (4.40) ist linear hinsichtlich der St¨orungsgeschwindigkeitskomponenten u , v  , w und ihren Ortsableitungen. Hingegen enth¨alt ihre rechte Seite nur nichtlineare Terme, da hier Produkte der St¨orungsterme untereinander auftreten. Wir beschr¨ anken uns auf den Fall, dass der Tragfl¨ ugel die Zustr¨omung nur geringf¨ ugig st¨ ort. Es gilt also u 1 , u∞

v 1 u∞

,

w 1 u∞

.

(4.41)

Wenn wir nun den ersten Summanden der linken Seite der Gleichung (4.40) 2 )· (1 − M∞

∂u ∂x

mit dem ersten Summanden der rechten Seite , % 2  $ 2  2 u u κ+1 κ−1 v + w ∂u 2 · 2 + · + · M∞ · (κ + 1) · 2 u∞ 2 u∞ 2 u∞ ∂x vergleichen so stellen wir fest, dass der Betrag des letzteren f¨ ur Unterschallstr¨omungen bei einer Zustr¨om-Mach-Zahl M∞ im Bereich von 0 ≤ M∞ ≈ 1.2). Wir k¨onnen weiterhin auf der rechten Seite von Gleichung (4.40) den zweiten, dritten und vierten Summanden vernachl¨ assigen, wenn die Bedingungen (4.41) erf¨ ullt sind. Allerdings ist dies nur dann m¨ oglich, wenn die Mach-Zahl nicht zu groß wird. F¨ ur Zustr¨om-MachZahlen M∞ >≈ 5 nimmt die rechte Seite der Gleichung (4.40) allm¨ahlich Werte an, die verglichen mit den Werten der linken Seite von gleicher Gr¨oßenordnung sind. Nach Durchf¨ uhrung der Linearisierungsschritte und Absch¨atzungen bleibt somit nur die linke Seite von Gleichung (4.40) erhalten, w¨ ahrend die rechte Seite den Wert Null annimmt. Wir erhalten als Ergebnis eine lineare Gleichung, in der die St¨orungsgeschwindigkeiten nur in der ersten Potenz vorkommen. Unter Beachtung von Gleichung (4.36) k¨ onnen wir Gleichung (4.40) in einer Form darstellen, die als einzige Unbekannte nur noch das St¨orpotential ϕ enth¨alt. Die Gleichung (4.40) l¨asst sich also auf die linearisierte Potentialgleichung 2 (1 − M∞ )·

∂2ϕ ∂2ϕ ∂2ϕ + + =0 ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

(4.42)

vereinfachen (beachte die Gleichungen (4.36)), wenn • der Tragfl¨ ugel schlank ist und deshalb die Bedingungen (4.41) gelten. • die Zustr¨om-Mach-Zahl M∞ 0 erf¨ ullt ist, so wachsen die mit einem Dach gekennzeichneten St¨ orungsamplituden exponentiell mit der Zeit an und die zu untersuchende Str¨ omung ist instabil. F¨ ur Werte ωi < 0 wird der Exponent negativ was dazu f¨ uhrt, dass die St¨ orungsamplituden zeitlich ged¨ampft werden und abklingen. In diesem Falle ist die auf Stabilit¨ at zu untersuchende Grundstr¨omung stabil gegen¨ uber aufgebrachten St¨orungen. Der Grenzfall ωi = 0 bedeutet neutrale indifferente St¨orungen, die ihren urspr¨ unglichen Amplitudenwert zeitlich nicht ver¨andern. Nun k¨onnen wir den Wellenansatz aus Gleichung (4.89) in die St¨orungsdifferentialgleichungen (4.86) einsetzen und anschließend die beiden Exponentialfaktoren exp(−i · ω · t) · exp(i · a · x) k¨ urzen. Wir erhalten dw ˆ , dz  du0 d2 u ˆ 1 2 ˆ−i· ˆ− 2 (a · u0 − ω) · u ·w ˆ = − · a · pˆ + i · ν · a · u dz ρ dz  2 p 1 dˆ d w ˆ 2 +i·ν· a ·w ˆ=i· · ˆ− (a · u0 − ω) · w ρ dz dz 2 a·u ˆ=i·

, .

(4.91)

Die zugeh¨origen Randbedingungen aus den Gleichungen (4.87) und (4.88) nehmen nach K¨ urzen des Exponentialfaktors die Form u ˆ(z = zw ) = 0 , v (z → ∞) = 0 ,

w(z ˆ = zw ) = 0 pˆ(z → ∞) = 0

, (4.92)

an. Die Gleichungen (4.91) beschreiben gemeinsam mit den Randbedingungen (4.92) ein vollst¨andiges Differentialgleichungssystem, das sich zu einer einzigen Differentialgleichung zusammenfassen l¨asst.

4.1 Analytische Vorbereitung

331

Wir beginnen, indem wir den St¨ orterm u ˆ eliminieren. Dazu formen wir die erste Gleichung aus (4.91) nach u ˆ um, setzen das Ergebnis in die zweite Gleichung aus (4.91) ein. Wir erhalten mit   du0 −a2 dw ˆ dw ˆ d3 w ˆ (4.93) −a·w ˆ· = · pˆ − ν · a2 · − i · (a · u0 − ω) · dz dz ρ dz dz 3 eine Gleichung, in der nur noch die St¨ orungsgr¨ oßen w ˆ und pˆ vorhanden sind. Die gleichen St¨orungsgr¨oßen befinden sich auch in der dritten Gleichung aus (4.91), so dass es sich anbietet, aus diesen beiden verbliebenen Gleichungen die Druckst¨orung pˆ zu eliminieren. Dazu leiten wir Gleichung (4.93) zun¨ achst nach z ab und erhalten   2 2 2 d w d u0 d4 w ˆ ˆ ˆ −a2 dˆ p 2 d w − a · w ˆ · · − i · (a · u0 − ω) · = . (4.94) · − ν · a dz 2 dz 2 ρ dz dz 2 dz 4 Um den Druck vollst¨ andig zu eliminieren, m¨ ussen wir jetzt noch die dritte Gleichung aus (4.91) mit dem Faktor (−i · a2 ) multiplizieren und anschließend zu Gleichung (4.94) hinzuaddieren. Nach einer zus¨ atzlichen Erweiterung mit der imagin¨aren Einheit i ergibt sich  ˆ d2 w d 2 u0 2 3 ·w ˆ+ (a · u0 − ω) · + a · ω − a · u − a · 0 dz 2 dz 2  4 2 d w ˆ ˆ 2 d w 4 i·ν − 2 · a · + a · w ˆ =0 . (4.95) dz 4 dz 2 In der resultierenden Gleichung (4.95) finden wir als einzige verbliebene St¨orungsgr¨oße die Amplitude w ˆ der St¨ orungsgeschwindigkeit w  . Zu Beginn dieses Kapitels, im Abschnitt 4.1.1 u uhrung di¨ber die Dimensionsanalyse konnten wir lernen, wie es durch die Einf¨ mensionsloser Kennzahlen gelingt zu einer wesentlichen Reduktion der Einflussparamter zu kommen, welche ein Problem charakterisieren. Daher werden wir in Gleichung (4.95) unter Verwendung einer charakteristischen Geschwindigkeit Uδ und einer charakteristischen L¨ange d dimensionslose Gr¨ oßen einf¨ uhren. Als charakteristische Geschwindigkeit aßigerweise die Str¨ omungsgeschwindigkeit am oberen Rand der Uδ w¨ahlen wir zweckm¨ Grenzschicht an der zu untersuchenden Stelle x = X in Stromabrichtung.  Die charakteristische L¨ange L steht mit der Laufl¨ ange x = X im Zusammenhang: d = ν · X/Uδ . Alle Gr¨oßen mit der Dimension einer L¨ ange werden mit der charakteristischen L¨ange d gem¨aß Abschnitt 3.4 entdimensioniert und alle Geschwindigkeiten mit der charakteristischen Geschwindigkeit Uδ . Die Kreisfrequenz ω, welche die Dimension Zeit−1 besitzt, wird mit dem Quotienten d/Uδ entdimensioniert. Unter Beibehaltung der bisherigen Bezeichnungen f¨ ur die einzelnen physikalischen Gr¨oßen erhalten wir somit eine einzige dimensionslose Differentialgleichung 4. Ordnung, welche die Wellenzahl a, die Kreisfrequenz ω und die Reynolds-Zahl Red = Uδ · d/ν als Parameter enth¨alt. Dies ist Gleichung (4.96), die in der Literatur unter dem Namen OrrSommerfeld-Gleichung bekannt ist.  ˆ d2 w d2 u 0 2 · w+ ˆ (a · u0 − ω) · + a · a · ω − a · u − 0 dz 2 dz 2 . (4.96)  4 2 1 d w d ˆ w ˆ i· · − 2 · a2 · + a4 · w ˆ =0 Red dz 4 dz 2

332

4 Numerische L¨ osungsmethoden

Da die Orr-Sommerfeld-Gleichung die St¨ orungsamplitude w ˆ in der vierten Ableitung enth¨alt, m¨ ussen wir zur eindeutigen Bestimmung vier Randbedingungen f¨ ur w ˆ erf¨ ullen. Zwei Randbedingungen k¨ onnen wir unmittelbar aus den Gleichungen (4.92) u ¨bernehmen indem wir fordern, dass die St¨ orung w ˆ an der Wand und im Unendlichen verschwunden ist. Um die beiden anderen Randbedingungen zu erhalten, betrachten wir die erste Zeile der Gleichungen (4.91). Wir wissen bereits, dass auch die andere St¨orungskomponente u ˆ an der Wand zu Null wird. Das bedeutet aber, dass die Ableitung dw/dz ˆ auf der rechten Sei¨ te der Gleichung ebenfalls an der Wand den Wert Null hat. V¨ollig analoge Uberlegungen f¨ uhren uns zur vierten Randbedingung wenn wir bedenken, dass nach Gleichung (4.92) die St¨orkomponente u ˆ im Unendlichen ebenfalls zu Null wird. Wir k¨onnen nun die Randbedingungen f¨ ur w ˆ wie folgt zusammenfassen: w ˆ=0

,

dw ˆ =0 dz

f¨ ur

z = zw

und

w ˆ=0

,

dw ˆ = 0 f¨ ur dz

z→∞

.

(4.97)

Damit ist es uns gelungen, die lokale zeitliche Stabilit¨atsanalyse des von uns vorausgesetzten Grundstr¨omungsprofils in ein Eigenwertproblem der Differentialgleichung (4.96) und der Randbedingungen (4.97) zu u uhren. Wir hatten bereits festgestellt, dass die ¨berf¨ Frage nach Stabilit¨ at oder Instabilit¨ at der Grundstr¨omung vom Verhalten des Vorzeichens des Imagin¨arteils ωi der komplexen Kreisfrequenz ω = ωr + i · ωi beantwortet wird, wobei ωi < 0 Stabilit¨ at und ωi > 0 Instabilit¨ at bedeutet. Die komplexe Kreisfrequenz ω stellt den Eigenwert des Eigenwertproblems dar und die St¨orungsamplitudenfunktion w(z) ˆ die zugeh¨orige Eigenfunktion. Um eine lokale zeitliche Stabilit¨atsanalyse durchf¨ uhren zu k¨onnen, ben¨otigen wir als gegebene Gr¨ oßen das Profil der Grundstr¨omung u0 (z), die Reynolds-Zahl Red und die Wellenzahl a der St¨ orungen. Das sich ergebende Eigenwertproblem, das numerisch gel¨ ost werden muss, liefert dann einen komplexen Eigenwert ω und eine Eigenfunktion w(z). ˆ Als numerische L¨osungsmethode f¨ ur das Eigenwertproblem wird ein Spektralverfahren eingesetzt, welches eine Funktion durch einen Reihenansatz approximiert. Aus den bekannten Spektralverfahren w¨ ahlen wir die Tschebyscheff-Spektralmethode aus, da mit ihrer Hilfe auch nichtperiodische Funktionen durch einen Polynom-Ansatz mit TschebyscheffPolynomen approximiert werden k¨ onnen. Besonders geeignet zur L¨osung des Eigenwertproblems ist die Tschebyscheff-Matrixmethode, die eine Variante der TschebyscheffSpektralmethode darstellt. Wir kommen in Kapitel 4.2.1 darauf zur¨ uck. Die L¨osungen des Eigenwertproblems werden in Form von Stabilit¨atsdiagrammen dargestellt. Das Stabilit¨atsdiagramm wird erstellt, indem die Wellenzahl a u ¨ber der Reynolds-

Abb. 4.27: Stabilit¨atsdiagramm

4.1 Analytische Vorbereitung

333

Zahl Red aufgetragen wird. F¨ ur ein jeweils gegebenes Wertepaar (Red , a) wird die Nullstelle des Imagin¨arteils ωi = 0 des komplexen Eigenwertes ω im Diagramm eingetragen. Diese Neutralkurve trennt die stabilen von den instabilen St¨orungen. Sie wird auch Inunglichen differenzkurve genannt, da im Falle ωi = 0 die St¨orungsamplituden ihren urspr¨ Wert beibehalten. Im Gebiet innerhalb der Indifferenzkurve gilt ωi > 0, was Instabilit¨at bedeutet. Im Bereich außerhalb der Indifferenzkurve nimmt ωi negative Werte an und die zu untersuchende Grundstr¨ omung ist somit bei der betrachteten Reynolds-Zahl stabil gegen¨ uber aufgebrachten St¨ orungen mit der links an der Ordinate abzulesenden Wellenzahl. Somit sind wir in der Lage eine kritische Reynolds-Zahl Rec anzugeben, oberhalb derer eine gegebene Laminarstr¨ omung instabil wird und in den turbulenten Sr¨omungszustand u bergeht. Dazu m¨ u ssen wir in Abbildung 4.27 eine Parallele zur a-Achse legen und diese ¨ Parallele, beginnend bei Red = 0 soweit nach rechts verschieben, bis sie tangential an der Indifferenzkurve anliegt. Der Schnittpunkt dieser Tangente mit der Abszisse gibt den ur eine Blasius-Grenzschicht Wert der gesuchten kritischen Reynolds-Zahl Rec an. F¨ betr¨agt der mit der Laufl¨ ange L gebildete Wert der kritischen Reynolds-Zahl  Uδ · L = 5 · 105 . (4.98) Rec = ν c Mit der kritischen Reynolds-Zahl Rec = 5 · 105 korrespondiert die kritische Wellenzahl ac , die in diesem Fall den Wert ac = 0.31 annimmt. Dividieren wir die dimensionslose Wellenzahl ac durch die ebenfalls mit der Laufl¨ange x gebildete charakteristische L¨ange  d = ν · x/Uδ , so erhalten wir die dimensionsbehaftete Wellenzahl a = 2 · π/λc , aus der sich sofort die kritische Wellenl¨ ange λc der aufgebrachten St¨orungen berechnen l¨asst. Physikalisch bedeutet dies, dass die laminare Grundstr¨omung f¨ ur Reynolds-Zahlen kleiner Rec gegen¨ uber St¨orungen beliebiger Wellenl¨ ange stabil ist, da in diesem Reynolds-Zahlbereich ωi < 0 gilt, f¨ ur alle m¨ oglichen Wellenzahlen a. Bilden wir die kritische Reynolds-Zahl mit der charakteristischen L¨ ange d ergibt sich der Wert  Uδ · d = 302 . (4.99) Rec = ν c Diese Bildung ist sinnvoll, wenn man mit der Instabilit¨at kompressibler Grenzschicht vergleichen will (Abbildung 4.28). So ergibt sich f¨ ur das Einsetzen der Tollmien-Schlichting Welle in einer kompressiblen Grenzschichtstr¨ omung bei adiabater Wand ebenfalls Rec = 302. Unterschiede ergeben sich erst bei isothermen Berandungen. So berechnet man bei der Mach-Zahl M∞ = 0.8 die kritische Rayleigh-Zahl 500.

Abb. 4.28: Stabilit¨atsdiagramm der kompressiblen Plattengrenzschicht, M∞ = 0.8

334

4 Numerische L¨ osungsmethoden

F¨ ur ein tieferes Verst¨ andnis der Stabilit¨ atstheorie sowie f¨ ur erg¨anzende Beispiele str¨omungsmechanischer Instabilit¨ aten empfehlen wir das Buch von D. D. Joseph 1976 und das Lehrbuch von H. Oertel jr., J. Delfs 1996, 2005 sowie H. Oertel jr. 2008 in denen verschiedene Anwendungen der Stabilit¨ atsanalyse ausf¨ uhrlich beschrieben werden.

4.1.4

Strukturanalyse

Die Strukturanalyse geht von einem vorgegebenen Geschwindigkeitsfeld aus dx = u = u(x, y, z, t) , dt dy = v = v(x, y, z, t) , dt dz = w = w(x, y, z, t) . dt

(4.100)

Mit den kinematischen Grundgleichungen (4.100) bestimmen wir die Struktur der Str¨omung. Dabei verstehen wir unter der Struktur das Aufsuchen und die Klassifizierung sogenannter kritischer Punkte des Geschwindigkeits-Vektorfeldes sowie deren Beziehungen untereinander. Davon haben wir bereits in Kapitel 2.3 bei der Beschreibung von Str¨omungen Gebrauch gemacht. In diesem Kapitel sollen nunmehr die theoretischen Grundlagen f¨ ur die Bestimmung der kritischen Punkte wie Sattelpunkt, Knoten, Fokus usw. f¨ ur ein vorgegebenes Str¨ omungsfeld gegeben werden. Dies f¨ uhrt zu der Aufgabenstellung die Eigenwerte und Eigenfunktionen zu bestimmen. Dar¨ uber hinaus k¨onnen auch das Wirbelst¨arkefeld oder das Gradientenfeld der kinematischen Grundgleichungen (4.100) des Druckes einer solchen Strukturanalyse unterzogen werden. Die Theorie der kritischen Punkte (x0 , y0 , z0 ) geht von dem dreidimensionalen Geschwindigkeits-Vektorfeld v (x, y, z) = (u, v, w)T aus. Es wird vorausgesetzt, dass dieses stetig und zweimal differenzierbar ist. Die Integralkurven (Stromlinien) des Vektorfeldes sind entsprechend Kapitel 2.3.1 so definiert, dass ihr Linienelement u ¨berall dem momentanen Geschwindigkeitsvektor gleich gerichtet ist. Daraus folgt die Definitionsgleichung der Stromlinie dz w dz w dy v = , = , = dy v dx u dx u

.

(4.101)

Ein kritischer Punkt zeichnet sich dadurch aus, dass in ihm das Richtungsfeld der betrachteten vektoriellen Gr¨ oße unbestimmt ist. Betrachten wir im Folgenden den Geschwindigkeitsvektor v so bedeutet dies, dass in einem kritischen Punkt der Betrag der Geschwindigkeit verschwindet und, dass den Integralkurven (Stromlinien) gem¨aß Gleichung (4.101) in diesen Punkten keine Richtung zugeordnet ist. Eine n¨ahere Untersuchung der unmittelbaren Umgebung eines kritischen Punktes ist jedoch m¨oglich, wenn das Vektorfeld durch die Reihenentwicklung (4.102) um den Punkt (x0 , y0 , z0 ) angen¨ahert wird. Dabei wird im Folgenden ohne Beschr¨ ankung der Allgemeinheit angenommen: (x0 , y0 , z0 ) = (0, 0, 0). In den kritischen Punkten sind die Komponenten des Geschwindigkeitsvektors v analytische

335

4.1 Analytische Vorbereitung

Funktionen der Ortskoordinaten x˙ = u =

N  N−i N−i−j  

Ui,j,k · xi · y j · z k + O1 (N + 1)

,

Vi,j,k · xi · y j · z k + O2 (N + 1)

,

i=0 j=0 k=0

y˙ = v =

N N−i   N−i−j 

(4.102)

i=0 j=0 k=0

z˙ = w =

N  N−i N−i−j   i=0 j=0

Wi,j,k · xi · y j · z k + O3 (N + 1)

,

k=0

mit Ui,j,k =

1 ∂ i+j+k u · i! · j! · k! ∂xi · ∂y j · ∂z k Wi,j,k

1 ∂ i+j+k v · i! · j! · k! ∂xi · ∂yj · ∂z k ∂ i+j+k w 1 · = . i! · j! · k! ∂xi · ∂y j · ∂z k ,

Vi,j,k =

,

Oi sind dabei Fehlerfunktionen, die durch Terme der Ordnung N + 1 bestimmt sind. Zun¨achst wird der Fall eines kritischen Punktes in der freien Str¨ omung betrachtet. Hier gen¨ ugt es, die Reihenentwicklung aus Gleichung (4.102) bis zur Ordnung N = 1 vorzunehmen. Dies f¨ uhrt auf das Differentialgleichungssystem erster Ordnung ˙ =A·x  , x ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ a11 a12 a13 x1 x˙ 1 ⎝ x˙ 2 ⎠ = ⎝ a21 a22 a23 ⎠ · ⎝ x2 ⎠ . (4.103) x˙ 3 a31 a32 a33 x3 Die Koeffizienten aij sind dabei die Komponenten der Gradienten des Geschwindigkeitsvektors ∂ x˙ i /∂xj , xi,j = (x, y, z). Die Trajektorien des Gleichungssystems (4.103) sind im allgemeinen Fall die Bahnlinien des Stromfeldes, welches im station¨aren Fall mit den Stromlinien identisch ist. Zur Betrachtung von kritischen Punkten auf festen W¨ anden wird im Folgenden angenommen, dass die Geschwindigkeit v in wandnormalen Koordinaten mit z als wandnormale Richtung vorliegt. Im Gegensatz zu Punkten in der freien Str¨omung ist die Bedingung v = 0 auf einer festen Wand kein hinreichendes Kriterium f¨ ur die Existenz eines kritischen Punktes, weil diese dort aufgrund der Haftbedingung v = 0 identisch erf¨ ullt ist. Zur Identifikation eines kritischen Punktes ist jedoch die Unbestimmtheit der Richtung der Integralkurven des Vektorfeldes entscheidend. Da das Richtungsfeld der Geschwindigkeit im Grenzfalle verschwindenden Abstandes z zur Wand in das Richtungsfeld des  w nunmehr die maßgebliche Gr¨oße. w u Wandschubspannungsvektors τ ¨bergeht, ist also τ Kritische Punkte auf der Wand erfordern also das Verschwinden der Wandschubspannung  w. τ Aus der Haftbedingung folgt, dass die Gr¨ oße v /z mit z → 0 einem konstanten Wert zustrebt und, dass das Vektorfeld dieser Gr¨ oße dieselben Integralkurven besitzt wie das Feld der Wandschubspannung. Nach dem Satz von L’Hospital gilt v ∂v w = lim ∼τ z→0 z z→0 ∂z lim

.

336

4 Numerische L¨ osungsmethoden

Es ist deshalb zweckm¨ aßig den kritischen Charakter der Fl¨ache z = 0 zu umgehen und nunmehr die Taylorentwicklung der Gr¨ oße v /z zu betrachten. Mit x i = x˙ i /z f¨ uhrt Gleichung (4.103) mit N = 2 auf folgende Reihenentwicklung x = u/z = U1,0,1 · x + U0,1,1 · y + U0,0,2 · z + O1 (N + 1) , y  = v/z = V1,0,1 · x + V0,1,1 · y + V0,0,2 · z + O1 (N + 1) , z  = w/z = W0,0,2 · z + O1 (N + 1) .

(4.104)

Die Haftbedingung ist hierbei aufgrund der Beziehung Ui,j,0 = Vi,j,0 = Wi,j,0 = 0 ber¨ ucksichtigt. Im Gegensatz zu Gleichung (4.103) gehen nunmehr auch Ableitungen zweiter Ordnung des Geschwindigkeitsfeldes ein. Beschr¨ankt man sich in Gleichung (4.104) auf die linearen Terme in den Raumrichtungen xi = (x, y, z), erh¨alt man in v¨olliger Analogie zum Falle der freien Str¨ omung wiederum ein Differentialgleichungssystem erster Ordnung mit allerdings ver¨anderter Koeffizientenmatrix A  ,  = A · x x ⎞ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ x˙ x a11 a12 a13 x z ⎟ ⎝ y ⎠ = ⎜ ⎝ yz˙ ⎠ · ⎝ a21 a22 a23 ⎠ · ⎝ y ⎠ z z a31 a32 a33 x˙ z ⎛

.

(4.105)

 = (ω1 , ω2 , ω3 )T und unter Ber¨ Mit dem Wirbelst¨arkenvektor ω ucksichtigung der NavierStokes-Gleichung lassen sich die Koeffizienten aij wie folgt bestimmen: a11 = ∂ω2 ∂x a21 = − ∂ω1 ∂x a31 = 0

,

,

a12 = ∂ω2 ∂y , a22 = − ∂ω1 ∂y a32 = 0 ,

,

∂p a13 = 21 · ∂x

,

∂p , a23 = 21 · ∂y

,

a33 = 21 · ∂ω1 − ∂ω2 ∂y ∂x

(4.106) ! .

Die Gleichungen (4.106) gelten in den kritischen Punkten auf einer festen Wand, d.h. in Punkten mit τw = 0. Sie wurden erstmals von Oswatitsch 1974 angegeben. Bei ihrer

Abb. 4.29: Reelle und komplexe Eigenwerte des charakteristischen Polynoms (4.107)

337

4.1 Analytische Vorbereitung

Herleitung wird nur vorausgesetzt, dass die dynamische Z¨ahigkeit allein eine Funktion der Temperatur T (x, y, z) ist, wie dies bei idealen Gasen und den meisten Fl¨ ussigkeiten der Fall ist. Sie gelten demnach gleichermaßen f¨ ur kompressible und inkompressible Str¨omungen. Die Klassifizierung kritischer Punkte im vorgegebenen Str¨omungsfeld ist damit auf die Untersuchung singul¨ arer Punkte gew¨ ohnlicher Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten zur¨ uckgef¨ uhrt, deren mathematische Theorie entwickelt ist. Der Unterschied kritischer Punkte in der freien Str¨ omung zu solchen auf festen W¨anden liegt einzig in der zu untersuchenden Koeffizientenmatrix A (Gleichung (4.103) bzw. (4.105)). Die Berechnung der Eigenwerte dieser Matrix gem¨aß det[A − λI] = 0 f¨ uhrt auf das charakteristische Polynom λ 3 + P · λ2 + Q · λ + R = 0

,

(4.107)

mit den drei reellwertigen Invarianten der Matrix P = −Spur(A) = −(λ1 + λ2 + λ3 )

Q=

,

4 1 3 2 · P − Spur(A2 ) = λ1 · λ2 + λ2 · λ3 + λ3 · λ1 2 R = −det(A) = −λ1 · λ2 · λ3

(4.108)

,

(4.109)

.

(4.110)

Die L¨osungen der kubischen Gleichung (4.107) lassen sich zun¨achst anhand der Determinante D einteilen, mit D = 27 · R2 + (4 · P3 − 18 · P · Q) · R + (4 · Q3 − P2 · Q2 )

.

(4.111)

F¨ ur D > 0 erh¨alt man einen reellwertigen sowie ein Paar konjugiert-komplexer Eigenwerte, f¨ ur D < 0 drei reelle Eigenwerte die in Abbildung 4.29 dargestellt sind. Die Fl¨ache D = 0 teilt den durch die drei Invarianten P, Q und R aufgespannten Raum in zwei Halbr¨aume.

Abb. 4.30: Projektionen der reellen und komplexen Eigenwerte auf die P = 0 und R = 0 Ebenen (zweidimensionale Str¨ omung)

338

4 Numerische L¨ osungsmethoden

¨ Einen ersten Uberblick u omungsverhalten in der Umgebung kritischer Punk¨ber das Str¨ te erh¨alt man u ur die zweidimensionale ¨ber die Betrachtung der Eigenvektoren f¨ Str¨ omung in der Ebene R = 0 (siehe Abbildung 4.30). Die zugeh¨orige charakteristische Gleichung λ2 + P · λ + Q f¨ uhrt auf die vereinfachte Diskriminante Δ = 4 · Q − P2 . Diese trennt in der P-Q-Ebene das Gebiet komplexer Eigenwerte in Form einer Parabel und zeigt in Abbildung 4.31 in der P-Q-Ebene die den kritischen Punkten zugeordneten Eigenvektoren. Die zu den jeweiligen Eigenwerten zugeh¨ origen Eigenvektoren bestimmen die Richtung der Tangenten an die in den kritischen Punkten ein- bzw. auslaufenden Stromlinien. Bei negativem Vorzeichen der reellen Eigenwerte bzw. des Realteils der komplexen Eigenwerte laufen die Trajektorien auf den kritischen Punkt zu, bei positivem Vorzeichen von ihm weg. Liegen zwei reelle Eigenwerte mit unterschiedlichem Vorzeichen vor (Q < 0), so m¨ unden zwei Tangenten der Eigenvektoren in den kritischen Punkten ein und zwei laufen aus ihm heraus. Es handelt sich also um einen Sattelpunkt. Bei positivem Q liegt f¨ ur Δ > 0 ein zweitangentiger Knoten mit zwei reellen Eigenwerten gleichen Vorzeichens vor. F¨ ur Δ < 0 erh¨alt man einen Strudelpunkt oder Fokus mit zwei konjugierten komplexen Eigenwerten. Auf den Grenzlinien der verschiedenen Bereiche, d.h. den Achsen P = 0 oder Q = 0 sowie alle, wie zum Beispiel Wirbel, Senken der Parabel P2 = 4 · Q finden sich entartete F¨ und Quellen (entartete Knoten). So sind f¨ ur P = 0 nur Sattelpunkte (Q < 0) oder Wirbelpunkte (Q > 0) kinematisch m¨ oglich. F¨ ur P = 0 und Q = 0 ist der kritische Punkt degeneriert, so dass f¨ ur seine Beschreibung weitere Terme der Entwicklung (4.104) herangezogen werden. F¨ ur die dreidimensionale Str¨ omung sind den Eigenwerten der Abbildung 4.30 ebenfalls Str¨ omungszust¨ande zuzuordnen. Die Abbildung 4.32 zeigt einige ausgew¨ahlte Beispiele. So sind Kombinationen von Knoten, Sattel und Foki, sowie Knoten einer dreidimensionalen

Abb. 4.31: Eigenvektoren der kritischen Punkte f¨ ur die R = 0 Ebene (zweidimensionale Str¨ omung)

339

4.1 Analytische Vorbereitung

Senken- bzw. Quellenstr¨ omung dargestellt. Ein instabiler Wirbel erg¨anzt die Vielfalt der kinematisch m¨oglichen Str¨ omungsstrukturen. Liegen drei unterschiedliche reelle Eigenwerte vor, so existieren drei Ebenen, welche durch die Eigenvektoren der Matrix A aufgespannt werden. Diese Ebenen sind gegen¨ uber allen anderen m¨oglichen Ebenen dadurch ausgezeichnet, dass sie als Einzige in der Umgebung des kritischen Punktes L¨ osungskurven des Differentialgleichungssystems (4.103) bzw. (4.105) enthalten. Alle anderen L¨ osungskurven n¨ahern sich diesen Ebenen asymptotisch an. Die drei durch die Eigenvektoren aufgespannten Ebenen enthalten entweder Sattel- oder Knotenpunkte. In jeder dieser Ebenen finden sich also Verh¨altnisse, wie sie in Abbildung 4.31 f¨ ur den zweidimensionalen Fall dargestellt sind. Ein kritischer Punkt im dreidimensionalen Fall mit rein reellen Eigenwerten ist also durch eine Dreier-Kombination von Sattel- Knotenpunkten gekennzeichnet. M¨ oglich ist dabei die Kombination dreier Knotenpunkte oder zweier Sattelpunkte und eines Knotenpunktes. Im Falle eines reellen und eines Paares konjugiert komplexer Eigenwerte existiert nur eine Ebene, welche in der N¨ ahe des singul¨ aren Punktes L¨osungstrajektorien enth¨alt. Diese bilden in dieser Ebene einen Strudel- oder Wirbelpunkt. Bei positivem Vorzeichen des reellen Eigenwertes laufen die Trajektorien auf den kritischen Punkt zu, bei negativem von ihm weg. Im allgemeinen Fall einer instation¨ aren, kompressiblen Str¨omung sind zun¨achst alle Kombinationen von P, Q und R kinematisch m¨ oglich. Beschr¨ankt man sich jedoch auf inkompressible Str¨omungen, so fordert die Kontinuit¨ atsgleichung ∇ · v = 0. Dies ergibt im Falle eines kritischen Punktes in der freien Str¨ omung gem¨aß Gleichung (4.103) und Gleichung (4.108) a11 + a22 + a33 = 0 → P = 0

.

Abb. 4.32: Beispiele der Struktur dreidimensionaler Str¨omungen

340

4 Numerische L¨ osungsmethoden

Die Tatsache, dass das Vektorfeld der Geschwindigkeiten die Kontinuit¨atsgleichung erf¨ ullen muss, schr¨ ankt also die Lage der kinematisch m¨oglichen singul¨aren Punkte im P-Q-R-Raum erheblich ein. Die Diskussion dreidimensionaler kritischer Punkte erfolgt daher sinnvoller Weise nicht anhand der in Abbildung 4.29 gezeigten Fl¨ ache R = 0 sondern besser anhand der Fl¨ache P = 0, wie sie in Abbildung 4.33 gezeigt ist. Auch hier teilt eine charakteristische Linie die Q-R-Ebene in Gebiete mit unterschiedlichem Charakter der kritischen Punkte. In diesem Fall ist dies die Kurve 27 · R2 + 4 · Q3 = 0 gem¨aß Gleichung (4.111) mit P = 0. F¨ ur 27 · R2 + 4 · Q3 > 0 erh¨ alt man Strudel- oder Wirbelpunkte, sonst Sattel-KnotenKombinationen. Im Einzelnen lassen sich die folgenden Kombinationen identifizieren: Sattel-Knoten-Kombinationen 1a stabiler Knoten / Sattel / Sattel, 1b instabiler Knoten / Sattel / Sattel, 1c stabiler Knoten-Sattel / instabiler Knoten-Sattel (Staupunkt) 2a stabiler Sternknoten / Sattel / Sattel, 2b instabiler Sternknoten / Sattel / Sattel. Foki (Strudelpunkte) 3a stabiler Strudelpunkt, 3b instabiler Strudelpunkt, 3c Wirbelpunkt. Im Falle eines kritischen Punktes auf einer festen Wand f¨ uhrt die Einschr¨ankung ∇ · v = 0 aufgrund der Koeffizientenmatrix A aus Gleichung (4.106) zu den folgenden Beziehungen a33 = − a31

a11 + a22 , 2 = a32 = 0 .

Q 3c 3a

3b

2a stabiler Sternknoten / Sattel / Sattel

0 2a

2b 1c

1a

1b 0

R 1b instabiler Knoten / Sattel / Sattel

Abb. 4.33: Ebene P = 0 im P-Q-R-Raum

341

4.1 Analytische Vorbereitung

Damit gilt f¨ ur kritische Punkte auf einer festen Wand f¨ ur die Invarianten P, Q und R P · Q + 2 · P3 + R = 0

.

Nach dieser analytischen Vorbereitung auf der Basis der kinematischen Grundgleichungen (4.100, 4.101), die die Elemente einer Str¨ omungsbeschreibung bereitstellen, ist die Struktur eines Str¨ omungsfeldes festgelegt. Im Folgenden werden zur Veranschaulichung Str¨omungsbeispiele des einf¨ uhrenden Kapitels 1 bez¨ uglich der Str¨ omungsstruktur analysiert. Kraftfahrzeugumstr¨ omung Wie wir bereits kennen gelernt haben, beeinflusst die Nachlaufstr¨omung in starkem Maße die aerodynamische G¨ ute eines Kraftfahrzeuges (Widerstand, Auftrieb, Seitenwindempfindlichkeit). Dieser Effekt kann gut bei Autorennen beobachtet werden. F¨ahrt ein Fahrzeug in den Windschatten eines vorfahrenden Wagens, so verringert sich die Geschwindigkeit des vorausfahrenden Wagens und der hintere Wagen nutzt die geringere Anstr¨omung zur Beschleunigung. Anscheinend hat also eine Str¨omungsbeeinflussung hinter dem Fahrzeug eine signifikante Auswirkung auf die Struktur der Nachlaufstr¨omung. Die folgende

Abb. 4.34: Struktur der Nachlaufstr¨ omung eines Kraftfahrzeuges

342

4 Numerische L¨ osungsmethoden

Abb. 4.35: Topologie der Kraftfahrzeugumstr¨ omung im Mittelschnitt

Strukturanalyse basiert auf experimentellen Ergebnissen im Windkanal. Die Auswertung der Nachlaufstruktur aus numerischen Ergebnissen wird in Kapitel 4.2.4 (Abbildung 4.61) erg¨ anzt. Beide Vorgehensweisen liefern bez¨ uglich der Struktur der Nachlaufstr¨ omung das gleiche Ergebnis. Im Mittelschnitt A1 der Abbildung 4.34 identifiziert man im Nachlauf des Kraftfahrzeuges drei Halbsattel S  (Abl¨ oselinien und Staulinien am Heck) sowie einen Sattelpunkt S im Str¨omungsfeld. Das Str¨ omungsfeld ist durch zwei Foki F gekennzeichnet. Legt man die Schnittfl¨ache A2 senkrecht zu A1 in den Nachlauf des Kraftfahrzeuges erkennt man einen Fokus F, einen Sattelpunkt S und einen Knoten K. Die dreidimensionale Struk¨ tur der Nachlaufstr¨ omung erh¨ alt man durch Uberlagerung von A1 und A2. Das Bild sieht zun¨achst sehr verwirrend aus und man ben¨otigt einige Erfahrung um die charakteristischen Stromfl¨ achen zu erkennen, die letztendlich die dreidimensionale Struktur der Nachlaufstr¨omung charakterisieren. Die abschließende Interpretation der dreidimensionalen Struktur nimmt auch nicht das auf der Strukturanalyse basierende Softwarepaket ab, das lediglich die singul¨ aren Punkte im Str¨ omungsfeld liefert. Die abschließende Interpretation der Nachlaufstruktur ist im vierten Bild der Abbildung 4.34 skizziert. Am Kofferraumdeckel des Kraftfahrzeuges bildet sich ein Hufeisenwirbel aus, der sich in die Nachlaufstr¨ omung fortsetzt und sich weiter stromab zu einer Wirbelschleppe vereint. Die Scherschicht zwischen Straße und Unterboden des Kraftfahrzeuges bildet den Bereich der R¨ uckstr¨ omung, der stromab durch den Sattelpunkt S im Str¨omungsfeld (Schnittfl¨ ache A1) begrenzt wird. F¨ ur das Aufsuchen der Singularit¨ aten bzw. zur Kontrolle der Auswertung kann die folgende topologische Regel n¨ utzlich sein. Betrachten wir erneut den Mittelschnitt des Kraftfahrzeuges in Abbildung 4.35 und summieren die Anzahl der Sattelpunkte S (Halbsattel S’), dann gilt   1   1   S+ · (4.112) K − S = −1 . K+ · 2 2 Diese topologische Regel l¨ asst sich in Abbildung 4.35 durch Abz¨ahlen der singul¨aren Punkte auf der Kraftfahrzeugoberfl¨ ache und im Nachlauf nachvollziehen.   1   1   F+ · F − S = −1 S+ · 2 2 !  4 2 − 1 + 2

4.1 Analytische Vorbereitung

343

Abb. 4.36: Str¨omungsabl¨ osung auf dem Profil in Abh¨angigkeit steigenden Anstellwinkels

Profilumstr¨ omung In Kapitel 2.5.1 wurde bereits ausgef¨ uhrt, dass oberhalb eines kritischen Anstellwinkels αkrit die Str¨omung auf dem Fl¨ ugel eines Flugzeuges abl¨ost (Abbildung 2.126). Dies f¨ uhrt aufgrund der vergr¨oßerten Verdr¨ angung zu einer Erh¨ohung des Druck- und Reibungswiderstandes bei gleichzeitigem Abfall des Auftriebes. Mit wachsendem Anstellwinkel α setzt die Str¨omungsabl¨osung auf dem Profil zun¨ achst mit einer im zeitlichen Mittel station¨aren Abl¨oseblase ein. Die Abl¨ oselinie A und die Wiederanlegelinie W sind Halbsattel S (Abbildung 4.36). Mit steigendem Anstellwinkel kommt es zur Sekund¨arabl¨osung die zu zwei weiteren Halbsatteln f¨ uhrt. Im vorderen Teil des Profils bleibt die Abl¨osung im zeitlichen Mittel zun¨achst station¨ ar. Es bildet sich jedoch stromab eine offene Stromfl¨ache, die zu einer instation¨aren dreidimensionalen Str¨ omungsabl¨osung f¨ uhrt. Im dritten Bild der Abbildung 4.36 zeigen alle Stromfl¨ achen ins Str¨ omungsfeld. Die Abl¨osefl¨achen rollen auf und bilden eine Wirbelstraße. Die Sekund¨ arabl¨ osung f¨ uhrt jetzt zu einer zweiten Wirbelstraße, da die Str¨omung in Wandn¨ ahe nicht mehr gegen den Druckgradienten anlaufen kann, den die prim¨are Wirbelabl¨ osung verursacht. Die Abbildung 4.37 zeigt zwei M¨ oglichkeiten der dreidimensionalen Abl¨osung. Das erste Bild zeigt die dreidimensionale Abl¨ oseblase und das zweite Bild die Ausbildung einer freien

Abb. 4.37: Dreidimensionale Str¨ omungsabl¨ osung

344

4 Numerische L¨ osungsmethoden

Abb. 4.38: Wandstromlinien und Struktur der Umstr¨omung eines angestellten Deltafl¨ ugels Scherfl¨ache, die zu einer Wirbelstraße f¨ uhrt. Bei der Abl¨oseblase ist die R¨ uckstr¨omung in der Blase durch eine dreidimensionale Scherschicht von der Hauptstr¨omung getrennt. Die freie Scherfl¨ache des zweiten Bildes f¨ uhrt zu einer Stromfl¨achenverzweigungslinie auf der Wand und der Abl¨ osefl¨ ache, die stromab entsprechend Abbildung 4.36 aufrollt und eine instation¨are Wirbelstraße bildet.

Tragfl¨ ugelumstr¨ omung Das zweite Beispiel beschreibt die Str¨ omungsstruktur eines angestellten Del¨ tafl¨ ugels, den man bei Uberschallflugzeugen vorfindet. Der aerodynamische Auftrieb wird im Wesentlichen durch den Unterdruck im Kern der an der Vorderkante des Fl¨ ugels abgel¨osten Wirbel erzeugt. Die Abbildung 4.38 zeigt die prim¨are Wirbelabl¨osung (Foki) sowie die Wiederanlegelinien auf dem Fl¨ ugel, die durch die Konvergenz der Wandstromlinien sichtbar werden. Stromab der prim¨ aren Vorderkantenabl¨osung entsteht aufgrund der dreidimensionalen Querstr¨ omung auf dem Fl¨ ugel eine Sekund¨arabl¨osung, die auf jeder Fl¨ ugelh¨alfte zu zwei weiteren Foki F und einem Sattel S f¨ uhrt. Die Struktur der Str¨ omung weist also auf der Oberseite jedes Halbfl¨ ugels insgesamt drei Foki, einen Sattel und die Halbsattel der Abl¨ ose- und Wiederanlegelinien auf. Die Abstr¨omung u ¨ber dem Deltafl¨ ugel verursacht einen weiteren Sattelpunkt S. Die Wirbelst¨arke der Sekund¨arabl¨osung uber den Prim¨ arwirbeln, so dass von diesen die aerodynamischen ist jedoch gering gegen¨ Eigenschaften des Deltafl¨ ugels im Wesentlichen bestimmt werden.

Zylinderumstr¨ omung Ein Beispiel der Geb¨ audeaerodynamik soll das Kapitel der Strukturanalyse abschließen. Die Struktur der Umstr¨ omung eines runden Geb¨audes in Bodenn¨ahe idealisiert als Zylinderumstr¨ omung ist in Abbildung 4.39 dargestellt (siehe auch Abbildung 2.107). In Bodenn¨ahe bildet sich aufgrund der Haftbedingung an der Wand ein Hufeisenwirbel aus, der sich entlang der Mittellinie am Boden als Sattelpunkt S, Knoten K und vor dem Zylinder erneut als Sattelpunkt S und Halbsattel S im Staupunkt darstellen l¨asst. Dieser

4.1 Analytische Vorbereitung

345

Abb. 4.39: Umstr¨ omung eines Zylinders in Bodenn¨ahe

Hufeisenwirbel geht im Nachlauf in zwei Foki F u ¨ber. Im unmittelbaren Nachlauf des Zylinders bilden sich am Boden ein Sattelpunkt S, zwei Foki F, ein Knoten und zwei weitere Sattelpunkte S aus. Diese f¨ uhren zu den Sekund¨arwirbeln FS . Die dreidimensionale Str¨omungsabl¨osung auf dem Zylinder wird durch zwei Knoten eingeleitet, die in die vier Foki F der Nachlaufstr¨ omung u uhren. Je nach Reynolds-Zahl ist entsprechend der ¨berf¨ Ausf¨ uhrungen in Kapitel 2.4.6 das Wirbelsystem station¨ar oder instation¨ar. Die Str¨omungsstruktur der instation¨ aren Wirbelabl¨osung in freier Anstr¨omung ohne Einfluss eines Bodens haben wir bereits als K´ arm´ ansche Wirbelstraße in Abbildung 2.107 kennengelernt. Im Str¨ omungsfeld wechseln sich Sattelpunkte und Foki periodisch ab.

Str¨ omung im menschlichen Ventrikel Ein anderes Beispiel einer instation¨ aren periodischen Str¨omung ist die pulsierende Str¨omung im menschlichen Herzventrikel, die wir im einf¨ uhrenden Kapitel in Abbildung 1.15 beschrieben haben. Die Abbildung 4.40 zeigt zwei Momentaufnahmen eines Herzzyklus. Beim Einstr¨ omen in den linken Herzventrikel durch die Mitralklappe ent-

346

4 Numerische L¨ osungsmethoden

Abb. 4.40: Str¨omung im menschlichen Ventrikel w¨ahrend eines Herzzyklus steht ein Einstr¨omjet, der von einem Ringwirbel F1 begleitet wird. Dieser ¨außert sich im L¨angsachsenschnitt durch den Ventrikel durch zwei Foki. Aufgrund der Ventrikelbewegung w¨ahrend der F¨ ullphase wird der Ringwirbel asymmetrisch verformt und es entsteht ein Sattelpunkt mit zwei Halbsatteln im oberen Bereich des Ventrikels. Mit fortschreitendem F¨ ullvorgang verzweigt sich im L¨ angsachsenschnitt der asymmetrische Ringwirbel und die Durchstr¨ omung der Ventrikelspitze wird eingeleitet. Dabei bildet sich im L¨angsachsenschnitt ein weiterer Fokus verkn¨ upft mit einem weiteren Sattelpunkt und zwei Halbsatteln. Das dreidimensionale Str¨ omungsbild zeigt entsprechend dem Sattel-Knoten Bild der Abbildung 4.32, dass sich der dreidimensionale Ringwirbel F in die Ventrikelspitze eindreht. Im rechten Herzventrikel ergibt sich ein entsprechendes Str¨omungsbild. Der Ausstr¨omvorgang in die Aorta bei ge¨ offneter Aortenklappe sorgt f¨ ur ein Aussp¨ ulen des asymmetrischen Ringwirbels aus dem Herzventrikel in wohl geordneter zeitlicher Abfolge.

4.2 Diskretisierung

4.2

347

Diskretisierung

In diesem Abschnitt wollen wir die Grundlagen numerischer L¨osungsmethoden zur n¨aherungsweisen L¨ osung der str¨ omungsmechanischen Grundgleichungen erarbeiten, die wir in Kapitel 3 vorgestellt haben. Unser Ziel ist es, eine erste Einf¨ uhrung in die Vorgehensweise bei der numerischen L¨ osung eines str¨omungsmechanischen Problems zu geben. Dabei werden wir wichtige Begriffe aus der numerischen Mathematik im Rahmen unse¨ rer Lehrbuchreihe an dieser Stelle erstmalig einf¨ uhren, sowie einen Uberblick u ¨ber die in der Str¨omungsmechanik g¨ angigsten numerischen L¨osungsverfahren geben. Wir verzichten bewusst auf die ausf¨ uhrliche Beschreibung der mathematischen Details der numerischen Algorithmen und der linearen Algebra. Dem an den mathematischen Einzelheiten interessierten Leser empfehlen wir z.B. die Lehrb¨ ucher von E. Stiefel 1970 und L. Lapidus, G. F. Pinder 1999. Bez¨ uglich einer detaillierten Beschreibung numerischer Methoden in der Str¨omungsmechanik und ihrer Anwendungen bei praktischen Str¨omungsproblemen verweisen wir auf unser Lehrbuch E. Laurien, H. Oertel jr. 2009 und auf das Fachbuch von J. H. Ferziger, M. Peric 2002. Grunds¨atzlich existieren zwei unterschiedliche Klassen numerischer L¨osungsmethoden, die sich in der praktischen Anwendung erg¨ anzen. In der einen Klasse wird bereits vor der Durchf¨ uhrung der N¨ aherungsrechnung von einem L¨osungsansatz f¨ ur eine gesuchte Gr¨oße ausgegangen. Diese Gr¨ oße wird dabei in Form einer endlichen Reihe approximiert, wobei der Reihenansatz nach einer bestimmten Anzahl von Reihengliedern entsprechend der gew¨ unschten Genauigkeit abgebrochen wird. Zu dieser Klasse von L¨osungsmethoden geh¨oren z.B. das Galerkin- und das Spektralverfahren mit dem besonderen Vorteil, dass die einzelnen Ansatzfunktionen die Randbedingungen des zu l¨osenden Str¨omungsproblems exakt erf¨ ullen. Der Nachteil dieser ansonsten sehr genauen L¨osungsmethoden liegt darin, dass z.B. f¨ ur eine vorgegebene Kraftfahrzeug- oder Flugzeugkonfiguration keine geeigneten onnen. Ansatzfunktionen gefunden werden k¨ ur die erw¨ ahnten Str¨ omungsprobleme diejenigen numerischen Deshalb haben sich f¨

Abb. 4.41: Genauigkeit und Flexibilit¨ at numerischer L¨osungsmethoden

348

4 Numerische L¨ osungsmethoden

L¨osungsmethoden durchgesetzt, die nach einer Diskretisierung des Integrationsgebietes direkt die partiellen Differentialgleichungen n¨ aherungsweise l¨osen und dabei ohne vorher auszuw¨ahlende Ansatzfunktionen auskommen. Je nachdem wie die Diskretisierung des Str¨ omungsfeldes erfolgt (in strukturierte bzw. in unstrukturierte Gitter) und wie die Erhaltungss¨atze f¨ ur die jeweiligen Volumenelemente erf¨ ullt werden, lassen sich eine Vielzahl numerischer L¨osungsalgorithmen ableiten, von denen wir lediglich die wichtigsten auf die von uns in Kapitel 1 ausgew¨ ahlten Str¨ omungsprobleme anwenden werden. Abbildung 4.41 fasst die in den folgenden Abschnitten beschriebenen numerischen L¨osungsmethoden bez¨ uglich ihrer Genauigkeit und Flexibilit¨at zusammen. Die Galerkinund Spektralverfahren (SPM) sind entsprechend der gew¨ahlten Ansatzfunktionen und je nach Anzahl der Reihenglieder sehr genau, lassen sich jedoch nicht auf komplexe Geometrien anwenden. Spektralverfahren beruhen auf global definierten Funktionensystemen, die jedoch nur f¨ ur sehr einfache Geometrien bekannt sind. Aber z.B. der Transitionsprozess in der Tragfl¨ ugelgrenzschicht l¨ asst sich in einem ausgew¨ahlten Volumenelement mit Hilfe des Spektralverfahrens sehr genau berechnen. Die Finite-Differenzen-Methode (FDM) diskretisiert das Str¨omungsfeld in orthogonale Gitter und ersetzt die Differentialquotienten der Grundgleichungen durch die entsprechenden Differenzenquotienten. F¨ ur die Berechnung der Str¨omung um ein Kraftfahrzeug bzw. der Tragfl¨ ugelstr¨omung ist vor der Anwendung des Differenzenverfahrens jeweils eine aufwendige Transformation der komplexen Konfiguration auf ein Rechteckgebiet erforderlich. Diese Transformation erspart man sich bei den Finite-Volumen-Methoden (FVM) und bei den Finite-Elemente-Methoden (FEM), die sich inzwischen in der Praxis durchgesetzt haben. Die Finite-Volumen-Methode erf¨ ullt die diskretisierten Erhaltungss¨ atze u ber jedes Volumenelement im Str¨ o mungsfeld w¨ a hrend ¨ bei den Finite-Elemente-Methoden der numerische Fehler mit geeigneten Ansatzfunktionen und der Formulierung eines Variationsproblems in jedem Volumenelement minimiert wird. Finite-Elemente-Methoden besitzen eine hohe Flexibilit¨at, da sie auf sehr flexiblen unstrukturierten Netzen aufbauen. Die h¨ ochste Flexibilit¨at bez¨ uglich der Rechennetze weist die Lattice-Boltzmann-Methode (LBM) auf. Es werden keinerlei Anforderungen an das Rechennetz gestellt. In beliebig vorgegebenen Volumenelementen werden die Bewegungen und St¨oße einer vorgegebenen Anzahl von Modellpartikeln simuliert. Die maalt man dann durch den in Kapitel 3.6 vorgegebenen kroskopischen Str¨omungsgr¨ oßen erh¨ unden der Vollst¨andigkeit Mittelungsprozess. Die Lattice-Boltzmann-Methode wird aus Gr¨ angesprochen, aber in den folgenden Kapiteln nicht weiter behandelt.

4.2.1

Galerkin-Methode

Wir beginnen ganz formal mit der Einf¨ uhrung einer gesuchten Funktion g(x, y, z), die von den drei Raumkoordinaten x, y und z abh¨ angt. Diese Funktion g steht stellvertretend f¨ ur eine jeweils gesuchte Gr¨ oße aus den Navier-Stokes-Gleichungen (3.19) f¨ ur ein vorgegebenes station¨ares Str¨omungsproblem mit den dortigen Bezeichnungen v = (u, v, w), p, ρ und T . Gegeben ist ein Differentialoperator L der Gestalt L(x, y, z, g, g , g ) = 0 .

(4.113)

Gleichung (4.113) bedeutet, dass zwischen den drei unabh¨angigen Koordinaten x, y, z der abh¨angigen Gr¨oße g, sowie ihrer ersten Ableitung g und ihrer zweiten Ableitung g

349

4.2 Diskretisierung

nach den unabh¨angigen Variablen eine Beziehung besteht, in der alle abh¨angigen und unabh¨angigen Variablen auf die linke Seite der Gleichung geschrieben werden k¨onnen, so dass die rechte Seite zu Null wird. Es handelt sich also lediglich um eine formalisierte Schreibweise f¨ ur eine Differentialgleichung. Wir betrachten beispielsweise die Navier-StokesGleichung in x-Richtung zur Bestimmung der Geschwindigkeitskomponenten u(x, y, z) f¨ ur den Fall, dass alle anderen Gr¨ oßen bekannt sind und schreiben alle Gr¨oßen auf die linke Seite  2 ∂u ∂u 1 ∂p ∂ u ∂2u ∂2u ∂u =0 . (4.114) +v· +w· + · −ν· u· + + ∂x ∂y ∂z ρ ∂x ∂x2 ∂y2 ∂z 2 In formalisierter Schreibweise mit einem Differentialoperator L gem¨aß Gleichung (4.113) lautet Gleichung (4.114)  ∂u ∂u ∂u ∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2 u , , L x, y, z, u, =0 . (4.115) , , , ∂x ∂y ∂z ∂x2 ∂y2 ∂z 2 F¨ ur gekoppelte partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung, wie z. B. die vollst¨andigen Navier-Stokes-Gleichungen, bezeichnet L einen Matrixoperator. Das Prinzip des Galerkin-Verfahrens besteht darin, f¨ ur die gesuchte Funktion g(x, y, z) einen L¨osungsansatz in Form einer endlichen Reihe zu finden, der die Randbedingungen des Problems exakt erf¨ ullt g(x, y, z) ≈

N 

ci · Fi (x, y, z) = c1 · F1 (x, y, z) + · · · + cN · FN (x, y, z)

.

(4.116)

i=1

N bezeichnet die Anzahl der Reihenglieder, ci sind die zu bestimmenden konstanten Koahlten Ansatzfunktionen. Das Ungef¨ahrzeichen ≈ erkl¨art effizienten und Fi die ausgew¨ sich dadurch, dass die gesuchte Funktion g(x, y, z) nur im Falle N → ∞ exakt durch ein vollst¨andiges, orthogonales Funktionensystem Fi wiedergegeben wird. Da wir nach einer endlichen Zahl N von Reihengliedern abbrechen, wird g(x, y, z) je nach der Gr¨oße von N beliebig genau approximiert aber nicht exakt erreicht. Setzen wir den Ansatz (4.116) in die Differentialgleichung (4.113) ein, so erhalten wir $ % N N N      L x, y, z, ci · Fi (x, y, z), ci · Fi (x, y, z), ci · Fi (x, y, z) = R = 0 .(4.117) i=1

i=1

i=1

In Gleichung (4.117) steht R f¨ ur das Residuum, also einen Fehler der dadurch entsteht, dass f¨ ur die Funktion g(x, y, z) ein N¨ aherungsansatz eingesetzt wurde. Je kleiner das Residuum R ist, umso genauer entspricht der N¨ aherungsansatz aus (4.117) der L¨osung der ussen so bestimmt werden, Differentialgleichung (4.113). Die gesuchten Koeffizienten ci m¨ dass das Residuum m¨ oglichst klein wird. Wir erreichen dieses Ziel, indem wir das Residuum R mit Gewichtungsfunktionen Gj multiplizieren und anschließend fordern, dass das u ¨ber den Definitionsbereich gemittelte gewichtete Residuum verschwindet. Das Residuum muss hierzu linear unabh¨ angig und orthogonal zu jeder der N Gewichtsfunktionen Gj sein. Grunds¨atzlich ist es m¨ oglich, verschiedene Arten von Funktionen als Gewichtsfunktionen Gj einzusetzen. Das Charakteristikum eines Galerkin-Verfahrens besteht darin, dass als Gewichtsfunktionen Gj die jeweiligen Ansatzfunktionen Fj verwendet werden, d.h. beim

350

4 Numerische L¨ osungsmethoden

Galerkin-Verfahren gilt Gj = Fj . In Formeln lauten diese Forderungen, die zur Minimierung des Fehlers R f¨ uhren

R · Fj · dV = 0 . (4.118) V

Wenn wir noch das Residuum R durch Gleichung (4.117) ersetzen, so erhalten wir die Galerkinschen Gleichungen zur Minimierung des Fehlers

$ L x, y, z,

V

N 

ci · Fi (x, y, z),

i=1

N 

ci · Fi (x, y, z),

i=1 N 

% ci ·

Fi (x, y, z)

(4.119) · Fj · dV = 0

.

i=1

Gleichung (4.119) stellt ein System von N algebraischen Gleichungen zur Bestimmung der N Unbekannten ci dar, die mit den Methoden der linearen Algebra ermittelt werden. Die auf diese Weise erhaltenen Koeffizienten ci ergeben, eingesetzt in Gleichung (4.116), eine N¨aherungsl¨osung f¨ ur die gesuchte Funktion g(x, y, z). Wir sind bisher noch nicht auf die Auswahl der Ansatzfunktionen Fi eingegangen, da die Ansatzfunktionen entsprechend der unterschiedlichen Str¨omungsprobleme jeweils problemangepasst ausgew¨ ahlt werden m¨ ussen. Hierzu bedarf es einer gewissen Erfahrung. Bei der Auswahl der Ansatzfunktionen ist zu beachten, dass die Randbedingungen des Problems exakt erf¨ ullt werden. Des weiteren m¨ ussen auch h¨ohere Ableitungen von g(x, y, z) durch die ausgew¨ahlten Ansatzfunktionen dargestellt werden k¨onnen. Im Falle der NavierStokes-Gleichungen wird von den Ansatzfunktionen gefordert, Ableitungen zweiter Ord¨ nung problemlos zu modellieren. In unserem Ubungsbuch haben wir f¨ ur die Berechnung der ebenen Kanalstr¨ omung trigonometrische Ansatzfunktionen gew¨ahlt, die an den Kanalberandungen die Haftbedingung erf¨ ullen. Als Anwendungsbeispiel der Galerkin-Methode haben wir die freie Konvektionsstr¨ omung in einem unten beheizten kubischen Beh¨ alter mit isothermen Berandungen gew¨ahlt. Dabei wird im Rahmen der Boussinesq-Approximation die Dichte¨anderung lediglich im Auftriebsterm der Navier-Stokes-Gleichung ber¨ ucksichtigt und in allen anderen Termen vernachl¨ assigt (siehe auch Kapitel 3.2.1 und 3.3.1). Der Ansatz f¨ ur die Dichte ergibt ρ(T ) = ρ0 · [1 − α · (T − T0 )]

,

mit dem W¨armeausdehnungskoeffizienten α, einer Bezugsdichte ρ0 und einer Bezugstemperatur T0 . Die Z¨ahigkeit wird als konstant angenommen. Zus¨atzlich wird die Dissipation vernachl¨assigt. Ber¨ ucksichtigt man die dem W¨ armetransportproblem angepassten dimensionslosen Gr¨oßen x∗m = T∗ =

T − T∞ TW − T∞

xm L ,

,

k∞ · t L2

L · v k∞ L2 p∗ = (p + ρ∞ · g · x3 ) · ρ∞ · ν∞ · k∞ t∗ =

,

v ∗ =

, ,

351

4.2 Diskretisierung

dann erh¨alt man mit (3.24) und (3.150) die dimensionslosen Boussinesq-Gleichungen:

1 P r∞

∇ · v ∗ = 0 , ⎛ ⎞  ∗ 0 ∂v ∗ ∗ ∗ ⎝ ⎠ 0 − ∇p∗ + Δv ∗ · + ( v · ∇) v · T · = Ra ∞ ∂t∗ 1 ∗ ∂T + v ∗ · ∇T ∗ = ΔT ∗ , ∂t∗

,

(4.120)

mit der dimensionslosen Rayleigh-Zahl: Ra∞ =

g · L3 · α · (T − T∞ ) k ∞ · ν∞

.

Der Zusammenhang mit der in Kapitel 2.6 eingef¨ uhrten Grashof-Zahl ist durch die Beziehung Ra∞ = P r∞ · GrL gegeben. Die charakteristische L¨ange L ist der H¨ohe des Konvektionsbeh¨alters h gleichzusetzen. Je nach Gr¨oße der Prandtl-Zahl P r∞ ist ein unterschiedliches station¨ ares oder instation¨ ares Verhalten der Str¨omung zu erwarten. Ist ur Luft, 10−2 f¨ ur fl¨ ussige Metalle), so ist die Str¨omung instation¨ar. P r∞ klein (z. B. 0.71 f¨ ¨ so erh¨ ur Wasser, 103 f¨ ur Ol), alt man eine station¨are Str¨omung in Form Ist P r∞ groß (7 f¨ von Konvektionsrollen. Der instation¨ are Term besitzt in diesem Fall nur einen geringen Einfluss, da er mit einem kleinen Faktor 1/P r∞ multipliziert wird. Zun¨achst berechnen wir das Einsetzen der station¨aren Konvektionsstr¨omung im kubischen Beh¨alter (Abbildung 4.42) mit der in Kapitel 4.1.3 eingef¨ uhrten Methode der Stabilit¨atsanalyse. Dazu werden mit der Galerkin-Methode die linearisierten St¨orungsDifferentialgleichungen gel¨ ost. Der Grundzustand ist der W¨armeleitungszustand T0 (z) = −z

,

v = 0

.

(4.121)

Die Str¨omungsgr¨oßen werden nach dem Grundzustand entwickelt: T = T0 + T 

,

p = p 0 + p

,

v = v 

.

(4.122)

Damit ergibt sich f¨ ur den Differentialoperator L der Gleichung (4.113): ∇ · v  = 0

, 0 = −∇p + Δv  + Ra∞ · T  · ez −w = ΔT  ,

Abb. 4.42: Thermische Konvektion im kubischen Beh¨alter

,

(4.123)

352

4 Numerische L¨ osungsmethoden

mit dem Einheitsvektor ez = (0, 0, 1)T und den Randbedingungen: v  = 0

T = 0 .

,

(4.124)

Die linearisierten St¨ orungs-Differentialgleichungen sind unabh¨angig von der Prandtl-Zahl und damit unabh¨angig vom Medium. Von den Ansatzfunktionen v  =

N 

ai · v i

,

T =

i=1

N 

bj · Tj

(4.125)

j=1

wird gefordert, dass sie die Kontinuit¨ atsgleichung und die Randbedingungen erf¨ ullen. Sie sind als ∇x des Funktionensystems darstellbar, so dass der Druckterm aus der NavierStokes-Gleichung eliminiert werden kann. Mit den Ansatzfunktionen (4.125) erhalten wir die Galerkinschen Gleichungen (4.119): N 

Aki · ai + Ra∞ ·

i=1 N 

M 

Ckj · bj = 0 ,

k = 1, 2, · · · , N

,

j=1 M 

Cil · ai +

i=1

Blj · bj = 0

,

l = 1, 2, · · · , M

,

(4.126)

j=1

mit den Integralen

Aki =

Ckj =

Cil =

Blj =

v k · Δv i · dx · dy · dz

,

(v k · ez ) · Tj · dx · dy · dz

,

(v i · ez ) · Tl · dx · dy · dz

,

(Tl · ΔTj · dx · dy · dz

.

Damit erh¨alt man ein System von M + N homogenen linearen algebraischen Gleichungen f¨ ur die Koeffizienten ai , Bj . Als Parameter tritt die Rayleigh-Zahl auf. F¨ ur die Berechnung des Einsetzens der Konvektionsstr¨omung im kubischen Beh¨alter versuchen wir es zun¨achst einmal mit jeweils einer Ansatzfunktion: ⎛ ⎞ z · ( 41 − x2 )2 · ( 41 − y 2 ) · ( 41 − z 2 ) ⎜ ⎟ v 1 = ⎝ 0 (4.127) ⎠ . 1 1 1 2 2 2 2 −x · ( 4 − x ) · ( 4 − y ) · ( 4 − z ) T  soll die gleiche Symmetrie wie w  besitzen: 1 1 1 T  = −a1 · x · ( − x2 ) · ( − y 2 ) · ( − z 2 )2 4 4 4

.

353

4.2 Diskretisierung

Damit sind die Randbedingungen v  = 0 und f¨ ur die isotherme Berandung T  = 0 erf¨ ullt.  Mit ∇ · v 1 = 0 f¨allt der Druckterm aus der Navier-Stokes-Gleichung heraus. Mit den Galerkinschen Gleichungen (4.126) berechnet man a1 = −12/217. Die Nullstelle der Determinante von (4.128) liefert die kritische Rayleigh-Zahl Rac = 7700. L¨ost man das Eigenwertproblem mit mehreren Ansatzfunktionen N, so zeigt die Abbildung 4.43, dass bereits mit einer Ansatzfunktion die kritische Rayleigh-Zahl Rac auf 10% genau berechnet wird. Sechs Ansatzfunktionen liefern die kritische Rayleigh-Zahl und die Eigenfunktionen bereits mit einer Genauigkeit im Promille Bereich. Mit der Galerkin-Methode lassen sich auch instation¨ are Konvektionsstr¨ omungen berechnen. Die Koeffizienten der Ansatzfunktionen (4.120) sind dann zeitabh¨angig: v  =

N 

ai (t) · v i

T =

,

i=1

N 

bj (t) · Tj

.

(4.128)

j=1

Damit ergeben die Galerkinschen Gleichungen ein System nichtlinearer gew¨ohnlicher Differentialgleichungen: N 

Aki · ai (t) + Ra∞ ·

i=1 N  i=1

M 

Ckj · bj (t) −

j=1

Eil · ai (t) +

M 

N  1 ∂ai (t) · Dki · =0, P r∞ ∂t

k = 1, 2, · · · , N

,

i=1

Blj · bj (t) −

j=1

M 

Flj ·

j=1

∂bj (t) =0 ∂t

l = 1, 2, · · · , M ,

,

(4.129)

mit den zus¨atzlichen Integralen

Dki =

v k · v i · dV

,

(Tl · Tj · dV ,

∂T0 Eil = − (v i · ez ) · Tl · · dV ∂z

Flj =

.

Die L¨osung des Systems gew¨ ohnlicher Differentialgleichungen kann z. B. mit dem RungeKutta-Verfahren 4. Ordnung erfolgen, das in Kapitel 4.2.4 ebenfalls zur L¨osung instation¨arer Str¨omungsprobleme genutzt wird.

Abb. 4.43: Kritische Rayleigh-Zahl Rac in Abh¨angigkeit der Ansatzfunktionen N

354

4 Numerische L¨ osungsmethoden

Weitere Beispiele zur Galerkin-Methode aus dem Bereich der Str¨omungsmechanik finden ¨ sich in unserem Ubungsbuch H. Oertel jr., M. B¨ ohle 2010. Eine Vertiefung der Anwendung der Galerkin-Methode findet sich z. B. in dem Buch von C. A. J. Fletcher 1984. Spektralmethode In Zusammenhang mit dem Galerkin-Verfahren gehen wir noch auf das Spektralverfahren ein, welches sich direkt aus dem Galerkin-Verfahren ableitet. Zur Minimierung des numerischen Fehlers wird jetzt ein Variationsproblem formuliert, bei dem als Ansatz- und uhrt werden, die beliebig oft differenGewichtsfunktionen solche Funktionen Fk eingef¨ zierbar sind. Auch hier wird das Problem der Fehler-Minimierung zur¨ uckgef¨ uhrt auf ein algebraisches Gleichungssystem zur Bestimmung der unbekannten Koeffizienten u ˆk . Beim Spektralverfahren benutzt man als Z¨ ahlvariable k, um Verwechselungen mit der hierbei √ h¨aufig ben¨otigten imagin¨ aren Einheit i = −1 zu vermeiden. Ganz analog zum Ansatz aus Gleichung (4.116) des Galerkin-Verfahrens wird eine gesuchte Funktion, beispielsweise eine Geschwindigkeit u(x, y, t), durch Funktionensysteme mit Hilfe eines Reihenansatzes approximiert u(x, y, t) ≈

N 

u ˆk (y, t) · Fk (x) = u ˆ0 (y, t) · F0 (x) + · · · u ˆN (y, t) · FN (x)

.

(4.130)

k=0

Der Index ’ ˆ ’ auf den Koeffizienten soll darauf hindeuten, dass es sich im Falle periodischer Ansatzfunktionen Fk bei den u ˆk um Fourier-Koeffizienten, also Wellenamplituden, handelt. Beliebig oft differenzierbare Funktionen Fk , sind beispielsweise Sinus- und Cosinusfunktionen. In Gleichung (4.131) f¨ uhren die Ansatzfunktionen exp(i · k · a · x) auf die sogenannten Fourier-Spektralmethoden u(x, y, t) ≈

N 

u ˆk (y, t) · exp(i · k · a · x)

.

(4.131)

k=0

Die Variable a steht f¨ ur die Wellenzahl a = 2 · π/λ. Die Ansatzfunktionen stellen gem¨aß exp(i · k · a · x) = cos(k · a · x) + i · sin(k · a · x) Sinus- und Cosinusfunktionen dar. Die gesuchte Funktion u(x, y, t) wird dadurch in eine Fourier-Reihe in x-Richtung entwickelt. Die xAbh¨angigkeit von u(x, y, t) wird dabei in die Ansatzfunktionen u ¨bernommen, w¨ahrend u ˆk (y, t) die zugeh¨origen zu bestimmenden Fourier-Koeffizienten sind. Sie werden auch als Spektrum oder Wellenzahlenspektrum bezeichnet. Spektralverfahren konvergieren besonders schnell und sind sehr genau. Sie werden in der Str¨omungsmechanik insbesondere bei Str¨ omungsproblemen mit periodischen Randbedingungen eingesetzt. Der Vorteil eines Spektralverfahrens macht sich vor allem bei der Approximation h¨oherer Ableitungen bemerkbar. Die p-te Ableitung der Fourier-Reihe aus Gleichung (4.131) ist ebenfalls wieder eine Fourier-Reihe ∂ p u(x, y, t)  p p p ≈ i ·k ·a ·u ˆk (y, t) · exp(i · k · a · x) ∂xp N

.

(4.132)

k=0

Beim Programmieren eines numerischen Rechenverfahrens werden typischerweise nur die Koeffizienten u ˆk anstelle der gesamten Funktionen im Rechner gespeichert. Nach Ende

355

4.2 Diskretisierung

der Rechnung werden die gesuchten Funktionen durch Anwendung der Reihenentwicklung (4.130) aus den Spektral-Koeffizienten u ˆk berechnet. Man spricht daher auch vom spektralen Raum (k1 , k2 , k3 ) im Gegensatz zum physikalischen Raum (x, y, z), wobei wir den eindimensionalen Ansatz mit k1 = k und x vorgestellt haben. Soll eine nichtperiodische Funktion, z.B die Geschwindigkeitsverteilung einer Kanalstr¨omung u(z) mit dem Spektralverfahren approximiert werden, so sind Fourier-Ans¨atze nicht geeignet. u steht f¨ ur die Geschwindigkeit in Stromabrichtung und z f¨ ur die Kanalh¨ohe. Legt man die Koordinate z = 0 in die Symmetrieebene des Kanals und normiert die Kanalh¨ohe auf das Intervall −1 ≤ z ≤ 1, so lassen sich als Ansatzfunktionen Tschebyscheff-Polynome verwenden, die genau auf diesem Intervall definiert sind. Tschebyscheff-Polynome sind nach der Gleichung Tk (z) = cos (k · arccos(z))

(4.133)

definiert. Die ersten vier Tschebyscheff-Polynome, die in Abbildung 4.44 dargestellt sind, berechnen sich f¨ ur k = 0, 1, 2, 3 nach den Gleichungen , T0 (z) = 1 T2 (z) = 2 · z 2 − 1 ,

k=0: k=2:

k=1:

T1 (z) = z

k=3:

T3 (z) = 4 · z 3 − 3 · z

.

(4.134)

Die weiteren Tschebyscheff-Polynome f¨ ur k ≥ 4 berechnen sich nach der Rekursionsformel Tk (z) = 2 · z · Tk−1 − Tk−2

.

(4.135)

Die gesuchte Geschwindigkeitsfunktion u(z) wird dann approximiert durch die endliche Reihe u(z) ≈

N 

uk · Tk (z)

.

(4.136)

k=0

Als Anwendungsbeispiel des Spektralverfahrens behandeln wir die numerische Berechnung des Transitionsprozesses in einer kompressiblen Grenzschichtstr¨omung (siehe Abbildung ¨ 4.25), und erg¨anzen damit unsere stabilit¨ atstheoretischen Uberlegungen in Kapitel 4.1.4.

Tk (z ) 1 k=0 1 0 3

2

−1 −1

0

1z

Abb. 4.44: Die ersten vier Tschebyscheff-Polynome

356

4 Numerische L¨ osungsmethoden

Wir verwenden das r¨ aumlich-periodische Modell, das den Transitionsprozess in der Grenzschicht auf eine zeitliche Entwicklung der St¨ orwellen reduziert. Wir bewegen uns also mit dem betrachteten Volumenelement in der Grenzschicht stromab und berechnen ausgehend von den Tollmien-Schlichting-Wellen die zeitliche Entwicklung der λ-Wirbelbildung und deren Zerfall bis hin zur turbulenten Grenzschichtstr¨omung. Dabei benutzen wir r¨aumlich periodische Randbedingungen u(x) = u(x + Lx ) und u(y) = u(y + Ly ). Darin sind Lx und Ly die L¨angen des Transitionsbereiches in x- und y-Richtung, f¨ ur den die Simulationsrechnung durchgef¨ uhrt wird. Nur mit den periodischen Randbedingungen l¨asst sich das Transitionsproblem mit dem Spektralverfahren berechnen. Wir hatten bereits in Abbildung 4.25 eine schematische Darstellung des Transitionsvorganges gezeigt. Dort waren λ-Strukturen aufgef¨ uhrt, auf die wir im Folgenden n¨aher eingehen. Solche λ-Strukturen sind in Abbildung 4.45 f¨ ur die Plattengrenzschichtstr¨omung und in Abbildung 4.46 f¨ ur die dreidimensionale Fl¨ ugelgrenzschicht in ihrer r¨aumlichen Anordnung dargestellt. Die Fl¨ ugelebene ist ein Teil der x, y-Ebene, wobei die x-Richtung mit der durch einen Pfeil angedeuteten Anstr¨ omrichtung zusammenf¨allt und die y-Achse mit der Spannweitenrichtung des Fl¨ ugels. Die Wandnormalenkoordinate z steht senkrecht auf der Fl¨ ugeloberfl¨ache. Die λ-Strukturen bilden sich im Verlauf der fortschreitenden Instabilit¨at als stromabweisende pfeilspitzenartige Strukturen aus, die in der r¨aumlichen Verteilung bestimmter Str¨omungsgr¨ oßen, wie z.B. des Betrags gleicher Drehung, sichtbar gemacht werden k¨onnen. In Abbildung 4.46 sind die Isofl¨achen der Drehung ω = konst. der λStrukturen im Volumenelement eingezeichnet. Die Abbildung zeigt Simulationsergebnisse f¨ ur die charakteristischen Kennzahlen Mach-Zahl M∞ = 0.62 und Reynolds-Zahl ReL = 26 · 106 . ¨ λ-Strukturen sind Bereiche lokaler Scherung und Ubergeschwindigkeit in der Spitze. Da-

Tollmien−Schlichting−Welle

dreidimensional

λ −Struktur

¨ Abb. 4.45: Laminar-turbulenter Ubergang in der Plattengrenzschichtstr¨omung

357

4.2 Diskretisierung

¨ Abb. 4.46: Laminar-turbulenter Ubergang Fl¨ ugelgrenzschichtstr¨ omung, ReL = 26 · 106

in

einer

kompressiblen

durch wird das letzte Stadium der Transition zur ausgebildeten Turbulenz eingeleitet. Die λ-Strukturen sind grunds¨ atzlich spannweitig periodisch aufgereiht. Beim sogenannten fundamentalen Transitionstyp sind mehrere solcher Reihen von λ-Strukturen periodisch hintereinander angeordnet. Mit der Entstehung der λ-Strukturen ist das Auftreten hoher freier Scherschichten verbunden. Dies sind weit von der Wand abgehobene lokale Maxima der Schubspannung. Im weiteren Verlauf der Transition zerfallen die hohen Scherschichten in zunehmend kleinere Strukturen wodurch schließlich der turbulente Endzustand erreicht wird.

4.2.2

Finite-Elemente-Methode

Die Methode der Finiten-Elemente wurde urspr¨ unglich in der Festk¨orper-Mechanik zur Berechnung von Strukturproblemen entwickelt. Ihre Anwendung bei Str¨omungsproblemen wurde in Zusammenhang mit der erforderlichen Diskretisierung des Integrationsfeldes mit unstrukturierten Netzen bei komplexen Konfigurationen wie dem Flugzeug oder dem Kraftfahrzeug attraktiv. Wir geben in diesem Kapitel eine vorl¨ aufige Einf¨ uhrung in das Finite-Elemente-Verfahren und verweisen bez¨ uglich der mathematischen Details auf das Buch von E. Stein 1988. Zur Vereinfachung behandeln wir ein zweidimensionales Problem. Im ersten Schritt wird das Integrationsgebiet in der x, z-Ebene, das den Definitionsbereich einer gesuchten Funktion u(x, z) darstellt, in sich nicht u ¨berlappende geometrische Elemente gleicher Art un-

358

4 Numerische L¨ osungsmethoden

terteilt. Im zweidimensionalen Fall handelt es sich dabei meist um Dreiecke, bzw. im dreidimensionalen Fall um Tetraeder. Die Eckpunkte dieser Elemente heißen Knoten. Die Gesamtheit der Elemente und Knoten bildet ein Netz, welches das Integrationsgebiet diskretisiert (siehe auch Abbildung 4.50). Abbildung 4.47 zeigt die Diskretisierung eines Teils der x, z-Ebene in Dreieckelemente, die ein unstrukturiertes Netz bilden. Bei unstrukturierten Netzen kann ohne R¨ ucksicht auf die Netzstruktur, lokalen Erfordernissen entsprechend, eine Netzverfeinerung vorgenommen werden. Im Vergleich zu strukturierten Netzen in der Ebene, bei der die Knoten und die Elemente durch ein Indexpaar definiert sind, werden die Knoten und Elemente bei unstrukturierten Netzen mehr oder weniger beliebig durchnummeriert. Das auf diese Weise diskretisierte Integrationsgebiet der Funktion u(x, z) bezeichnen wir als Rechengebiet Ω. An die Stelle der kontinuierlichen Funktion u(x, z) treten nach der Diskretisierung als gesuchte Gr¨oßen die Werte von u in den Knotenpunkten von Ω. Eine sogenannte Zuordnungsmatrix stellt den Zusammenhang zwischen Knoten und Elementen her. Jedem Dreieckelement mit den lokalen Knotennummern A, B und C (im mathematisch positiven Drehsinn angeordnet) werden darin die globalen Elementnummern in der x, zEbene zugeordnet. Die Zuordnungsmatrix ist ebenfalls in Abbildung 4.47 gezeigt. In Abbildung 4.48 betrachten wir ein Dreieckelement mit den drei Knoten A, B und C. Die drei Knoten haben die bekannten Koordinaten (xA , zA ), (xB , zB ) und (xC , zC ). Wir gehen nun dazu u uhren, die ¨ber, innerhalb eines jeden Elements lokale Koordinaten einzuf¨ unabh¨angig von der tats¨ achlichen geometrischen Form des Elementes sind. Wir w¨ahlen unter den verschiedenen M¨ oglichkeiten f¨ ur lokale Koordinaten die sogenannten Lagrange Fl¨achenkoordinaten aus und betrachten erneut Abbildung 4.48. Durch einen beliebigen Punkt innerhalb des Dreiecks (A,B,C) wird der Fl¨acheninhalt des vollst¨andigen Dreiecks unterteilt in drei Teilfl¨ achen F1 , F2 und F3 , deren Summe wieder den Gesamtfl¨acheninhalt FABC des Dreieckelementes ergeben muss. Die Lagrange Fl¨achenkoordinaten ξj lassen sich interpretieren als das Verh¨ altnis der Fl¨ ache des j-ten Teildreiecks Fj zur Gesamtfl¨ache des Dreiecks (A,B,C) und sind somit definiert als ξj =

Fj Fj Fj = = 3 * F1 + F 2 + F 3 FABC Fj

.

(4.137)

j=1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3 6 2 2 1 1 1 7 7

2 2 5 7 7 2 8 8 9

4 3 4 5 2 6 7 9 5

9

5

Element−Nr. A B C

9

4 3 3

8

4

1

8

7 7

5 2

2

C

6 1 6

Abb. 4.47: Unstrukturiertes Finite-Elemente Netz

B A

359

4.2 Diskretisierung

Jeweils zwei Koordinaten verschwinden auf den Knoten des Dreiecks und jeweils eine auf den Seiten. Wandert der Punkt innerhalb des Dreiecks (A,B,C) aus Abbildung 4.48 beispielsweise in die Ecke A, so wird ξ1 = F1 /FABC = 1, w¨ahrend F2 und F3 zu Null werden und somit ξ2 und ξ3 verschwinden. Der Wert der Koordinaten ξj liegt folglich zwischen Null und Eins und die Summe aller drei Koordinaten betr¨agt immer Eins. Jeder Punkt innerhalb eines bestimmten Dreieckelementes (A,B,C) ist durch Angabe seiner Lagrange Fl¨achenkoordinaten (ξ1 , ξ2 , ξ3 ) im lokalen Koordinatensystem eindeutig bestimmt. Zwischen diesen lokalen Koordinaten und den Koordinaten des gleichen Punktes im globalen (x, z)-Koordinatensystem besteht der folgende Zusammenhang x = xA · ξ1 + xB · ξ2 + xC · ξ3 , z = zA · ξ1 + zB · ξ2 + zC · ξ3 , 1 = ξ1 + ξ2 + ξ3 , oder in Matrizenschreibweise ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ξ1 x x A xB xC ⎝ z ⎠ = ⎝ zA zB zC ⎠ · ⎝ ξ2 ⎠ 1 1 1 ξ3 1

(4.138)

.

(4.139)

Die Wertepaare (xA , zA ) etc. bezeichnen darin wieder die globalen Koordinaten der Knoten des jeweiligen Dreiecks (A, B, C) im Integrationsgebiet Ω. Durch Einf¨ uhrung der Finiten Elemente, in unserem Fall Dreieckelemente, wird das globale Integrationsgebiet Ω der gesuchten Funktion u(x, z) in n einzelne lokale Integrationsgebiete Ωe unterteilt. Ωe entspricht dabei dem Gebiet eines Dreieckelementes, wobei der Index e die Z¨ahlvariable f¨ ur die Anzahl n der Elemente darstellt. Im zweiten Schritt der Finite-Elemente-Methode werden auf diesen Elementgebieten Ωe in Abh¨angigkeit lokaler Koordinaten ξj sogenannte Formfunktionen Nj (ξ1 , ξ2 , ξ3 ) definiert, die zur endg¨ ultigen Diskretisierung des Problems f¨ uhren. Diese Formfunktionen Nj bei der Finite-Elemente-Methode sind v¨ ollig analog zu den Ansatzfunktionen beim Galerkinahlvariable f¨ ur die Anzahl der Knoten eines Verfahren. Der Index j bei Nj bezeichnet die Z¨ Elementes. In unserem Beispiel mit Dreieckelementen l¨auft j von 1 bis 3. Die Formfunktion Nj besitzt die Eigenschaft, dass sie an einem Knoten j eines jeweils betrachteten Elementes e den Wert Eins besitzt und an allen anderen Knoten desselben Elementes den Wert Null. Damit kann eine Zustandsgr¨ oße ue (ξ1 , ξ2 , ξ3 ) an den Knoten eines Elementes e approxi-

C

z

F2 A

F1

F3 B x

Abb. 4.48: Lokale Koordinaten im Dreieckelement

360

4 Numerische L¨ osungsmethoden

miert werden durch die Gleichung ue (ξ1 , ξ2 , ξ3 ) =

3 

ue,j · Nj (ξ1 , ξ2 , ξ3 ) = ue,1 · N1 + ue,2 · N2 + ue,3 · N3

. (4.140)

j=1

Auch hier wird die Analogie zum Approximationsansatz des Galerkin-Verfahrens aus Gleichung (4.116) deutlich. Wir erkennen aber gleichzeitig die Unterschiede zum GalerkinVerfahren. In Gleichung (4.140) gilt der Reihenansatz mit den gesuchten Koeffizienten ur ein jeweils diskretes Element aus dem Integratiue,j und den Formfunktionen Nj nur f¨ onsbereich, w¨ahrend das Galerkin-Verfahren ohne Diskretisierung des Integrationsbereichs in einzelne Elemente auskommt. Wegen der Ausblendeigenschaft der Formfunktion Nj (Nj = 1 im Knoten j, in den anderen Knoten Nj = 0) sind die Ansatzkoeffizienten ue,j in Gleichung (4.140) auch gleichzeitig die Werte der Funktion ue (ξ1 , ξ2 , ξ3 ) an den Knoten j. Es gibt verschiedene M¨ oglichkeiten, Formfunktion Nj mit den geforderten Eigenschaften auszuw¨ahlen. Beim h¨ aufig eingesetzten Taylor-Galerkin-Finite-Elemente-Verfahren (siehe auch H. Oertel jr., Aerothermodynamik, 1994, 2005), welches nicht identisch ist mit dem Galerkin-Verfahren aus Abschnitt 4.2.1, arbeitet man mit linearen Formfunktionen, auf die wir n¨aher eingehen wollen. In Abbildung 4.49 sind die linearen Formfunktionen im Dreieckelement dargestellt. Die Formfunktion nimmt linear ab vom Wert Eins im betrachteten Knoten des Elementes auf den Wert Null in den anderen beiden Knoten desselben Elementes. Die linearen Formfunkangigkeit der Lagrange Fl¨achenkoordinaten nach tionen Nj berechnen sich somit in Abh¨ den Gleichungen N 1 = NA = ξ 1

,

N 2 = NB = ξ 2

,

N 3 = NC = ξ 3

.

(4.141)

Durch Summation u ur die ur¨ber alle Elemente erhalten wir dann eine Approximation f¨ spr¨ unglich gesuchte Funktion u(x, z) u(x, z) ≈

n  3  e=1 j=1

ue,j · Nj =

n 

(ue,1 · N1 + ue,2 · N2 + ue,3 · N3 )

.

(4.142)

e=1

In Gleichung (4.142) bezeichnet der Summationsindex j die Summe u ¨ber alle Knoten eines Elementes Ωe . Im Falle der von uns behandelten Dreieckelemente l¨auft j von 1 bis 3. Der 1 1

1

C

A B

Abb. 4.49: Lineare Formfunktionen im Dreieckelement

361

4.2 Diskretisierung

Index e bezeichnet die Summation u ¨ber alle n Elemente Ωe , in die der Integrationsbereich Ω der gesuchten Funktion u(x, z) diskretisiert wurde. Die Bestimmung der unbekannten Koeffizienten ue,j geschieht u ¨ber die Formulierung eines Variationsproblems, wie wir es beim Galerkin-Verfahren im letzten Abschnitt bereits kennen gelernt haben. Der Approximationsansatz aus Gleichung (4.142) wird in die zu l¨osende Differentialgleichung eingesetzt. Dadurch erh¨ alt man, wie bereits in Gleichung (4.117) gezeigt, ein Residuum R aus der Differenz zwischen der exakten L¨osung u(x, z) und der N¨aherungsl¨osung f¨ ur u(x, z). Beim Taylor-Galerkin-Finite-Elemente-Verfahren wird das Residuum R mit Gewichtsfunktionen Nk multipliziert und anschließend gefordert, dass das Skalarprodukt aus Residuum R und Gewichtungsfunktionen Nk , integriert u ¨ber den Integrationsbereich, verschwindet. Der Index k l¨auft dabei u ber die Anzahl der Knoten ¨ eines Elementes. Wegen der Diskretisierung in einzelne Elemente wird dieses Integral aufgesplittet in eine Summe von Integralen u ¨ber die Elemente. Als Bestimmungsgleichungen f¨ ur die Koeffizienten ue,j erhalten wir

(R · Nk ) · dΩ = Ω

n  e=1Ω

(R · Nk ) · dΩ = 0

.

(4.143)

e

Die Gleichungen (4.143) sind wiederum ein lineares Gleichungssystem zur Bestimmung der ¨ gesuchten Koeffizienten. In unserem Ubungsbuch Str¨omungsmechanik finden sich zwei Beispielaufgaben zur Kanalstr¨ omung, die einmal mit dem Galerkin-Verfahren nach Kapitel 4.2.1 und einmal mit dem Galerkin-Finite-Elemente-Verfahren gel¨ost werden. Desweiteren sind in den Musterl¨ osungen f¨ ur diese Aufgaben die einzelnen L¨osungsschritte vom approximierten L¨osungsansatz bis zur Formulierung des linearen Gleichungssystems ausf¨ uhrlich beschrieben. Bei der Anwendung der Finiten-Elemente-Methode kommen wir auf die Tragfl¨ ugelstr¨omung zur¨ uck und zeigen in Abbildung 4.50 ein Rechennetz und eine numerische

Abb. 4.50: Rechennetz und berechnete Druckverteilung auf der Ober- und Unterseite eines Tragfl¨ ugelprofils, (NASA Langley Research Center 1990)

362

4 Numerische L¨ osungsmethoden

L¨osung f¨ ur das Tragfl¨ ugelprofil. Das Rechennetz besteht aus unstrukturierten Dreieckelementen. Am Rand der Kontur und im Nachlaufbereich hinter dem Tragfl¨ ugel sind die Dreieckelemente erheblich dichter angeordnet als in einiger Entfernung vom Tragfl¨ ugelprofil. Dies ist notwendig, um die Grenzschicht und die Nachlaufstr¨omung mit ausreichender Genauigkeit aufl¨osen zu k¨ onnen. Bei der Auswahl geeigneter Netze ist ein Verst¨andnis der Str¨omungsph¨anomene erforderlich, um eine geeignete lokale Verfeinerung der Netze vornehmen zu k¨onnen. Wir kommen in Kapitel 5 auf die Str¨omungsph¨anomene zur¨ uck. So muss im Bereich eines Verdichtungsstoßes entsprechend dem lokalen Drucksprung das Netz verfeinert werden, um den Stoß numerisch aufl¨ osen zu k¨onnen. Dazu verwendet man sogenannte adaptive Netze, f¨ ur die unstrukturierte Elemente besonders geeignet sind. Unter der Netzadaption versteht man die Anpassung des Netzes an das Str¨omungsproblem. Die numerische Aufl¨osung ist dort groß, wo starke Gradienten der Str¨omungsgr¨oßen vorhanden sind und dort gering, wo die Str¨ omungsgr¨ oßen konstant sind oder sich nur schwach ¨andern. Treten w¨ahrend einer numerischen Berechnung starke Gradienten auf, so werden in diesen Gebieten zus¨atzliche Knoten eingef¨ ugt, was zu einer Netzverfeinerung durch kleinere Elemente f¨ uhrt. F¨ ur eine eingehende Beschreibung der Netzgenerierung und Netzadaption verweisen wir auf unser Lehrbuch ’Numerische Str¨omungsmechanik’, E. Laurien, H. Oertel jr. 2008. Die Abbildung 4.50 zeigt eine mit Finite-Elementen auf unstrukturierten Netzen berechnete Druckverteilung auf dem Profil im Vergleich mit einer experimentell gewonnenen Druckverteilung. Die Mach-Zahl betr¨ agt M∞ = 0.79, die Reynolds-Zahl ReL = 6.5 · 106 und der Anstellwinkel des Profils α = 2.3◦ . Die obere Kurve zeigt die Druckverteilung auf der Oberseite des Tragfl¨ ugels und die untere Kurve die Druckverteilung auf der Unterseite. Die durch den Verdichtungsstoß verursachte Druckerh¨ohung erscheint im −cp -Diagramm f¨ ur die obere Tragfl¨ ugelh¨ alfte als sprunghafte Abnahme des −cp -Wertes. Die Netzverfeinerung im Grenzschicht- und im Nachlaufbereich des Profils ist deutlich zu sehen. Es wurden die Favre-gemittelten Reynolds-Gleichungen aus Kapitel 3.5.1 mit dem Baldwin-Lomax¨ Turbulenzmodell aus Kapitel 3.5.3 gel¨ ost. Die Ubereinstimmung mit den Messwerten ist in beiden F¨allen sehr gut.

4.2.3

Finite-Differenzen-Methode

Die Finite-Differenzen-Methode geht ebenso wie die Finite-Elemente-Methode im ersten Schritt von einer Diskretisierung des Integrationsbereiches aus. Im zweiten Schritt werden die partiellen Differentialgleichungen jedoch ohne jeglichen L¨osungsansatz in den diskreten Gitterpunkten in Differenzengleichungen u uhrt. Dies setzt ein orthogonales Rechen¨berf¨ netz voraus. Wir beginnen mit der zeitlichen Diskretisierung eines instation¨aren Str¨omungsproblems f¨ ur eine gesuchte Gr¨ oße u(t, x, y, z). Abbildung 4.51 zeigt die kontinuierliche Zeitachse t beginnend bei t = 0, die in eine bestimmte Anzahl von diskreten Gitterpunkten unterteilt wird, an denen die Funktionswerte u(t, x, y, z) n¨aherungsweise berechnet werden sollen. Die kontinuierliche Zeit t wird also in ¨aquidistante Zeitintervalle Δt unterteilt, an deren Intervallgrenzen die gesuchten Funktionswerte zu bestimmen sind.

363

4.2 Diskretisierung

Abb. 4.51: Prinzipskizze der zeitlichen Diskretisierung Ein beliebiger diskreter Zeitpunkt tn auf der Zeitachse ist dann bestimmt durch tn = n · Δt

,

mit

n = 0, 1, 2, 3, · · ·

.

(4.144)

Dabei ist n der Z¨ahlindex f¨ ur die Zeit. Δt bezeichnet das vorgegebene Zeitintervall und ur den n-ten diskreten Zeitpunkt, an dem der wird Zeitschrittweite genannt. tn steht damit f¨ Funktionswert u(tn ) berechnet wird. F¨ ur diesen Funktionswert u(tn ) wird die abk¨ urzende uhrt. Die kontinuierliche Anfangsbedingung u(t = 0) = Schreibweise u(tn ) = un eingef¨ konst. eines Anfangswertproblems schreibt sich in der diskretisierten Notation in der Form u(t0 = 0) = u0 = konst.. Die Bezeichnung un stellt den augenblicklichen Funktionswert zum Zeitpunkt tn dar, un−1 , un−2 , etc. bekannte Funktionswerte zu fr¨ uheren, vergangenen ur einen zuk¨ unftigen Zeitpunkt tn+1 zu Zeitpunkten und un+1 den Funktionswert, der f¨ bestimmen ist. Nach der Diskretisierung des Integrationsbereiches erfolgt mit der Approximation der Differentialquotienten durch Differenzenquotienten der zweite Schritt bei der Anwendung einer Finite-Differenzen-Methode. Wir beginnen die Approximation der Differentialquotienten durch Differenzenquotienten mit einer Taylor-Entwicklung in der Zeit t f¨ ur einen Funktionswert u(t0 + Δt). Es gilt ∂u Δt2 ∂ 2 u |t=t0 + · 2 |t=t0 + · · · ∂t 2! ∂t ∂u |t=t0 + O(Δt2 ) . u(t0 + Δt) = u(t0 ) + Δt · ∂t

u(t0 + Δt) = u(t0 ) + Δt ·

(4.145)

Der Ausdruck O(Δt2 ) macht eine Aussage u ¨ber die Ordnung des Fehlers, wenn man die Taylor-Entwicklung f¨ ur u(t0 + Δt) nach dem dritten Summanden abbricht. In diesem Fall machen wir einen Fehler 2. Ordnung, da die Gr¨oße des Fehlers f¨ ur Δt → 0 von der Gr¨oße von (Δt)2 bestimmt wird. L¨ osen wir Gleichung (4.145) nach dem Differentialquotienten auf, den wir approximieren wollen, so ergibt sich u(t0 + Δt) − u(t0 ) ∂u |t=t0 = − O(Δt) ∂t Δt

.

(4.146)

Schreiben wir Gleichung (4.146) f¨ ur einen beliebigen Zeitpunkt tn auf und benutzen die folgende abk¨ urzende Schreibweise, so erhalten wir

Vorw¨artsdifferenz:

u(tn+1 ) − u(tn ) ∂u(tn ) = − O(Δt) ∂t Δt ∂un ∂t

=

un+1 −un Δt

− O(Δt)

.

,

(4.147)

364

4 Numerische L¨ osungsmethoden

Gleichung (4.147) nennt man einen Vorw¨ arts-Differenzenquotienten, da die Ableitung an der Stelle t = tn mit einem Wert un+1 an einem zuk¨ unftigen Zeitpunkt tn+1 approximiert wird. Umgekehrt f¨ uhrt der Vorw¨ arts-Differenzenquotient bei bekannter Ableitung an der Stelle t = tn auf eine explizite Finite-Differenzen-Methode, da es gelingt, Gleichung (4.147) explizit nach dem unbekannten Wert un+1 aufzul¨osen un+1 = un + Δt ·

∂un ∂t

.

(4.148)

Von einer impliziten Differenzen-Methode spricht man, wenn die rechte Seite der Differenzen-Approximation die unbekannten Werte un+1 enth¨alt: un+1 = un + Δt ·

∂un+1 ∂t

.

(4.149)

Entsprechend der Abbildung 4.52 bedeutet dies grafisch, dass die exakte Funktion u(t) an der Stelle (tn , un ) durch die Tangente des Kurvenverlaufs u(t) im Punkt (tn+1 , un+1 ) angen¨ahert wird und (4.149) nicht nach un+1 aufgel¨ost werden kann. Beim expliziten Verfahren wird die Tangente an den Punkt (tn , un ) angelegt. Die beschriebene Zeitdiskretisierung wird Euler-Methode genannt. Ableitungen nach der Zeit werden in der Str¨ omungsmechanik in der Regel mit Hilfe von Differenzenverfahren approximiert auch dann, wenn die r¨aumlichen Ableitungen mittels anderer Verfahren diskretisiert werden, wie beispielsweise bei den Finite-Elemente oder den noch zu besprechenden Finite-Volumen-Methoden. Dies liegt darin begr¨ undet, dass Differenzen-Methoden sehr effizient auf Transportvorg¨ange, die nur in eine Richtung wirken, angewandt werden k¨ onnen. Bei Zeitableitungen ist das der Fall, da Informationen nur in einer Richtung entlang der positiven Zeitkoordinate t von der Vergangenheit in die Zukunft transportiert werden. Im Raum, in dem Transportmechanismen in allen Richtungen m¨oglich sind, eignen sich neben der Vorw¨ artsdifferenz auch andere Differenzenquotienten, die wir daher am Beispiel der Ortsableitungen erkl¨aren wollen. Wir kommen jetzt zur Raumdiskretisierung, die genau wie die zeitliche ebenfalls auf einer Unterteilung der kontinuierlichen Koordinaten in ¨aquidistante Gitterpunkte beruht.

Abb. 4.52: Grafische Interpretation der expliziten und impliziten Euler-Methode

365

4.2 Diskretisierung

Die Abst¨ande der Gitterpunkte, an denen die Funktionswerte gesucht sind, werden in r¨aumlichen kartesischen Koordinaten x, y und z mit Δx, Δy und Δz, bezeichnet. Die Z¨ahlindizes entlang der Koordinatenrichtungen x, y und z lauten i, j und k. Die diskreten unabh¨angigen Ortsvariablen lauten somit xi = i · Δx mit i = 0, 1, 2, 3 · · · , yj = j · Δy mit j = 0, 1, 2, 3 · · · , zk = k · Δz mit k = 0, 1, 2, 3 · · · . Die Abbildung 4.53 zeigt auf der linken Seite einen Ausschnitt aus einem zweidimensionalen Netz zur Diskretisierung der x, z-Ebene. Auf der rechten Seite ist die Diskretisierung im Raum dargestellt. Auch hier gilt die abk¨ urzende Schreibweise, die bereits bei der Zeitdiskretisierung verwendet wurde. Eine instation¨are dreidimensionale Gr¨oße u(t, x, y, z), die in Raum und Zeit diskretisiert wurde, lautet in diskreter Notation u(n · Δt, i · Δx, j · Δy, k · Δz) = u(tn , xi , yj , zk ) = uni,j,k

.

(4.150)

Zur Herleitung der weiteren Differenzenquotienten bedienen wir uns wieder einer TaylorEntwicklung. Einen R¨ uckw¨ arts-Differenzenquotient zur Approximation einer r¨aumlichen Ableitung in x-Richtung erhalten wir durch eine Taylor-Entwicklung von u(x0 −Δx, y0 , z0 ) u(x0 − Δx, y0 , z0 ) = u(x0 , y0 , z0 ) − Δx ·

∂u |x=x0 + O(Δx2 ) ∂x

.

(4.151)

¨ Nach Umformung und Uberf¨ uhrung in die diskretisierte Schreibweise folgt f¨ ur den R¨ uckw¨arts-Differenzenquotient zur Approximation der ersten Ableitung in x-Richtung (vgl. Abbildung 4.53) R¨ uckw¨artsdifferenz:

∂ui,j,k ui,j,k − ui−1,j,k = − O(Δx) ∂x Δx

.

(4.152)

Auch beim R¨ uckw¨ arts-Differenzenquotient ist der Fehler von 1. Ordnung. R¨ uckw¨artsDifferenzen werden ben¨ otigt zur Erf¨ ullung der Randbedingungen am Ende des Integrati-

i,k+1

z

k.Δ z

i-1,k

i,k

i,j,k+1

z

i+1,k

i,j+1,k

i,k-1 y i .Δ x in der Ebene

x

i,j,k

i-1,j,k

k.Δ z

i,j-1,k

i+1,j,k

i,j,k-1

i .Δ x im Raum

Abb. 4.53: Prinzipskizze der ebenen und r¨ aumlichen Diskretisierung

x

366

4 Numerische L¨ osungsmethoden

onsbereiches. Ist beispielsweise der i-te Funktionswert ui,j,k eine vorgeschriebene Randbedingung, so l¨asst sich der Wert ui−1,j,k berechnen, indem entgegen der positiven x-Achse vom rechten Rand aus r¨ uckw¨ arts in das Integrationsgebiet gerechnet wird. Neben dem Vorw¨arts- und R¨ uckw¨ arts-Differenzenquotient existiert noch der zentrale Differenzenquotient zur Approximation der ersten Ableitung. Dabei wird die Ableitung von ui,j,k in Abh¨angigkeit der Funktionswerte unmittelbar diesseits und jenseits des betrachteten Punktes gebildet. Man bildet den zentralen Differenzenquotienten, indem man die ur u(x0 +Δx, y0 , z0 ) subtrahiert. Taylor-Entwicklung f¨ ur u(x0 −Δx, y0 , z0 ) von derjenigen f¨ Die Glieder mit Ableitungen geradzahliger Ordnung heben sich dann gegenseitig auf und wir erhalten

u(x0 + Δx, y0 , z0 ) − u(x0 − Δx, y0 , z0 ) = 2 · Δx ·

∂u (Δx)3 ∂ 3 u |x=x0 + · 3 |x=x0 + · · · ∂x 3 ∂x (4.153) .

Gleichung (4.153) nach der ersten Ableitung aufgel¨ost und auf die diskretisierte Schreibweise gebracht ergibt (vgl. Abbildung 4.49) Zentrale Differenz:

ui+1,j,k − ui−1,j,k ∂ui,j,k = − O(Δx)2 ∂x 2 · Δx

.

(4.154)

Beim zentralen Differenzenquotienten ist der Fehler also von 2. Ordnung klein. Der Differentialquotient der ersten Ableitung wird mit einem zentralen Differenzenquotienten folglich genauer approximiert als mit denjenigen aus Gleichung (4.147) und (4.152). Den Differenzenquotienten f¨ ur die zweite Ableitung erhalten wir, indem wir die TaylorEntwicklungen f¨ ur u(x0 + Δx, y0 , z0 ) und u(x0 − Δx, y0 , z0 ) addieren. Jetzt heben sich alle Ableitungen ungeradzahliger Ordnung gegenseitig auf und nach Umformung bleibt u ¨brig: u(x0 + Δx, y0 , z0 ) − 2 · u(x0 , y0 , z0 ) + u(x0 − Δx, y0 , z0 ) ∂2u |x=x0 = − O(Δx)2 . 2 ∂x (Δx)2 In diskretisierter Schreibweise folgt f¨ ur den Differenzenquotienten zur Approximation der zweiten Ableitung

Differenz 2. Ableitung:

∂ 2 ui,j,k ui+1,j,k − 2 · ui,j,k + ui−1,j,k = − O(Δx)2 . 2 ∂x (Δx)2

(4.155)

Der Fehler ist bei Approximation der zweiten Ableitung ebenfalls von 2. Ordnung klein. Wir haben somit alle Differenzenquotienten hergeleitet, die zur Diskretisierung der str¨omungsmechanischen Grundgleichungen ben¨ otigt werden. Ableitungen nach den Variablen y bzw. z ergeben sich ganz analog zu den f¨ ur die x-Richtung angegebenen durch Vertauschen des jeweiligen Laufindexes. Wie bereits zu Beginn des Kapitels erl¨ autert wurde, existieren unterschiedliche FiniteDifferenzen-Methoden, deren Bezeichnung sich daran orientiert, welche Methode benutzt

367

4.2 Diskretisierung

wird, um einen unbekannten Wert un+1 zu einem zuk¨ unftigen Zeitpunkt tn+1 zu berechnen, n n wenn u zum gegenw¨ artigen Zeitpunkt t bekannt ist. Das explizite Finite-DifferenzenVerfahren aus Gleichung (4.148) tr¨ agt auch den Namen explizites Euler-Verfahren oder Euler-Vorw¨artsverfahren. Im Vergleich dazu erh¨alt man ein Euler-R¨ uckw¨artsverfahren, wenn man die zeitliche Ableitung zum Zeitpunkt t = tn+1 mit einem Wert un des aktuellen Zeitpunktes tn approximiert. Dies ergibt folglich einen zeitlichen R¨ uckw¨artsDifferenzenquotienten u(tn+1 ) − u(tn ) ∂u(tn+1 ) = ∂t Δt

oder auch

∂un+1 un+1 − un = ∂t Δt

.

(4.156)

Gleichung (4.156) f¨ uhrt auf ein implizites Finite-Differenzen-Verfahren oder auch implizites Euler-Verfahren. Bei bekanntem Wert un zum aktuellen Zeitpunkt tn gelingt es nicht, Gleichung (4.156) explizit nach den Werten un+1 zum zuk¨ unftigen Zeitpunkt tn+1 aufzul¨osen. Ein implizites Finite-Differenzen-Verfahren resultiert bei einem AnfangsRandwert-Problem in einem algebraischen Gleichungssystem. Gleichung (4.156) ist dann f¨ ur jeden diskreten Punkt i der Ortsdiskretisierung aufzustellen, so dass man i Gleichungen f¨ ur die i Unbekannten un+1 an den i Ortspunkten erh¨alt. Dieses Verfahren erfordert folglich einen h¨oheren Programmieraufwand als ein explizites Verfahren. Die Genauigkeit entspricht derjenigen eines expliziten Verfahrens, jedoch sind die Stabilit¨atseigenschaften, auf die wir am Ende des Kapitels zu sprechen kommen erheblich g¨ unstiger, d. h. ein numerischer Fehler verst¨ arkt sich nicht, sondern wird abgeschw¨acht. Ein implizites Verfahren, bei dem die Genauigkeit und vor allem die Stabilit¨at erh¨oht wird, ist das Crank-Nicholson-Verfahren. Dieses Verfahren setzt sich aus den Gleichungen (4.147) und (4.156) zusammen, indem zur Bestimmung des unbekannten Wertes un+1 der arithmetische Mittelwert der jeweiligen linken Seiten der beiden Gleichungen eingesetzt wird. Es ergibt sich  n+1 ∂u ∂un un+1 − un 1 · + = . (4.157) 2 ∂t ∂t Δt Ein erstes Anwendungsbeispiel zur Finite-Differenzen-Methode findet sich bez¨ uglich ¨ der numerischen Berechnung einer Kanalstr¨omung in unserem Ubungsbuch Str¨omungsmechanik. Wir wollen abschließend noch einige Bemerkungen zum Begriff der numerischen Stabilit¨ at machen. Ein numerisches L¨ osungsverfahren f¨ ur partielle Differentialgleichungen wird prinzipiell von zwei verschiedenen Fehlerquellen beeinflusst: • Rundungsfehler R : Der Rundungsfehler entsteht im Rechner selbst, da Gleitkommazahlen nur mit endlicher Genauigkeit abgespeichert werden. Beispielsweise der Bruch 1/3 wird bei einer Zahlendarstellung im Rechner nach einer endlichen Anzahl von 3 Ziffern nach dem Komma abgebrochen. Die Differenz dieser Zahl zum exakten Wert 1/3 ergibt den Rundungsfehler R . • Diskretisierungsfehler D : Die Differenz zwischen der exakten analytischen L¨osung einer Differentialgleichung und der rundungsfehlerfreien numerischen L¨osung der

368

4 Numerische L¨ osungsmethoden

zugeh¨origen Differenzengleichung wird als Diskretisierungsfehler bezeichnet. Er entsteht folglich nicht im Rechner, sondern dadurch, dass bei einer Taylor-Entwicklung nach einer endlichen Anzahl von Summengliedern abgebrochen wird. Ein numerisches Verfahren wird als stabil bezeichnet, wenn ein vorhandener Fehler  bei der Berechnung der gesuchten Werte zum Zeitpunkt tn+1 aus zum Zeitpunkt tn bekannten Werten nicht anw¨achst. F¨ ur Stabilit¨ at muss folglich gelten n+1 ≤1 n

.

(4.158)

Vor allem wenn bei der Auswahl der Zeitschrittweite Δt in Kombination mit der Raumschrittweite z.B Δx bestimmte Bedingungen verletzt werden, stellen sich numerische Instabilit¨aten ein. Zur Verdeutlichung dieser Aussage betrachten wir Abbildung 4.54. Gezeigt ist ein Weg-Zeit-Diagramm, wobei x f¨ ur eine Raumrichtung steht und t die Zeit bezeichnet. Bei einem expliziten Verfahren l¨ asst sich an jedem r¨aumlichen Punkt xi ein gesuchter Funktionswert un+1 zum folgenden Zeitpunkt tn+1 ausrechnen. Dazu werden im gezeigten i Fall bekannte Funktionswerte zum Zeitpunkt tn in den Punkten xi−1 , xi und xi+1 verwendet. Die beiden Geraden, die in Abbildung 4.54 zum Punkt (xi , tn+1 ) f¨ uhren, schließen einen Sektor ein und haben die konstanten Steigungen 1/c bzw. −1/c. Es gelten also die Beziehungen: Δt =

1 · Δx c

f¨ ur

x ≤ xi

,

1 Δt = − · Δx c

x ≥ xi

f¨ ur

.

(4.159)

Dieser Sektor bildet den Einflussbereich des physikalischen Informationstransportes. Als notwendige Bedingung f¨ ur die Stabilit¨ at eines numerischen Verfahrens muss gew¨ahrleistet sein, dass der Einflussbereich des numerischen Informationstransportes den physikalischen Einflussbereich als Teilmenge enth¨ alt. Dies ist dann erf¨ ullt, wenn die Geraden, die den uhren, eine Sektor des numerischen Einflussbereiches bilden und zum Punkt (xi , tn+1 ) f¨ geringere Steigung haben als 1/c bzw. −1/c. F¨ ur die Wahl des Zeitschrittes muss also gelten Δt ≤

1 · Δx c

bzw.

c·

Δt = CFL ≤ 1 Δx

t t

n+1

instabil t

stabil

instabil

n

x i−1

xi

Abb. 4.54: Zum Begriff der numerischen Stabilit¨at

x i+1

x

.

(4.160)

369

4.2 Diskretisierung

Abb. 4.55: Stabile und instabile L¨ osung der K´arm´ anschen Wirbelstraße, ReD = 100 Der Ausdruck c · (Δt/Δx) wird nach Courant, Friedrichs und Lewy als CFL-Zahl bezeichnet und bildet ein wichtiges Stabilit¨ atskriterium. Anhand der in Kapitel 2.3 vorgestellten K´arm´ anschen Wirbelstraße wird gezeigt, dass eine Verletzung der CFL-Bedingung (4.160) zu unphysikalischen Ergebnissen f¨ uhrt. In Abbildung 4.55 ist der zeitliche Verlauf der u-Komponente der Geschwindigkeit im Nachlaufgebiet eines mit der Reynolds-Zahl ReD = 100 angestr¨omten Zylinders dargestellt. Erf¨ ullt der gew¨ahlte Zeitschritt die CFL-Bedingung stellt sich die oszillatorische Schwankung der K´ arm´ anschen Wirbelstraße ein und die Amplitude der Geschwindigkeitsschwankung erreicht nach einer Einlaufzeit einen konstanten Wert. Wird ein zu großer Zeitschritt gew¨ahlt, ist die CFL-Bedingung verletzt und das Verfahren wird instabil. Weitere Einzelheiten zur Finite-Differenzen-Methode und zum Stabilit¨atsverhalten numerischer Verfahren finden sich in den B¨ uchern von R. Peyret, T. D. Taylor 1990 und D. P. Telionis 1981.

4.2.4

Finite-Volumen-Methode

¨ Ahnlich wie bei der Finite-Differenzen-Methode wird auch bei der Finite-VolumenMethode das Integrationsgebiet mit Hilfe eines numerischen Netzes diskretisiert. Abi

Ausströmrand

Fernfeldrand nfeldrand

kk

jj

Flügel Flügel Nachlauff

Abb. 4.56: R¨aumliche Diskretisierung der Tragfl¨ ugelumstr¨omung in Finite-Volumen

370

4 Numerische L¨ osungsmethoden

bildung 4.56 zeigt die r¨ aumliche Diskretisierung des Integrationsgebietes um ein Tragfl¨ ugelprofil in Finite-Volumen. Im Unterschied zu der Finite-Differenzen-Methode werden hier jedoch nicht die Differentialquotienten in den Grundgleichungen durch Differenzenquotienten approximiert. Bei der Finite-Volumen-Methode werden die Erhaltungsgleichungen u ullt. Die Grundgleichun¨ber das jeweilige Volumenelement in integraler Form erf¨ gen werden also in integraler Form diskretisiert. Bei der Finite-Volumen-Methode wird der Ausdruck Zelle benutzt, im Unterschied zu dem Ausdruck Element bei der FiniteElemente-Methode. Diese Zellen besitzen im Zweidimensionalen die Form allgemeiner Vierecke mit vier Seitenfl¨ achen bzw. im Dreidimensionalen die Form allgemeiner K¨orper mit sechs Seitenfl¨achen, sogenannte Hexaeder. Wir behandeln hier das Zellmittelpunkt-Schema, bei welchem die Diskretisierung in den Zellmittelpunkten vorgenommen wird und die Kontrollvolumina um die Zellmittelpunkte gelegt werden. In Abbildung 4.56 sind die jeweiligen Kontrollvolumenzellen gezeigt. Jeder Zellmittelpunkt besitzt die diskretisierten Koordinaten i, j und k, wobei i den Zellenindex in x-Richtung, j denjenigen in y-Richtung und k den Zellenindex in z-Richtung bezeichnet. Durch die Integration der Grundgleichungen u ¨ber die einzelnen Kontrollvolumina entstehen Bilanzgleichungen, die eine konservative Diskretisierung gew¨ahrleisten. Die konservative Form der Grundgleichungen erh¨alt man bekanntlich immer dann, wenn von einem raumfesten Kontrollvolumen ausgegangen wird, das sich nicht mit der Str¨omung mitbewegt. Wir kn¨ upfen an die Grundgleichungen in Erhaltungsform aus Gleichung ¯ ∗, ¯ ∗ , den zeitlich gemittelten konvektiven Fl¨ ussen F (3.198) an, mit dem L¨ osungsvektor U ∗ ∗ ¯ und dem Vektor des algebraischen Turbulenzmodells R ¯ m , der den dissipativen Fl¨ ussen G ∗ ∗alg ¯ ¯ mit Gm zu Gm vereint wird: 3 3  ¯∗ ¯ ∗alg ¯∗  1 ∂F ∂G ∂U m m + − · =0 . ∗ ∗ ∂t∗ ∂x Re ∂x L m m m=1 m=1

(4.161)

Dies ist die differentielle Formulierung der kompressiblen turbulenten und dreidimensionalen Grundgleichungen in Erhaltungsform. Da die Finite-Volumen-Methode von einer Diskretisierung des r¨ aumlichen Integrationsgebietes V ausgehen, m¨ ussen wir Gleichung (4.161) zun¨achst in die entsprechende Integralform der Grundgleichungen bringen. Wir integrieren daher u ¨ber das gesamte Volumen V des Str¨omungsfeldes und erhalten %

$ 3 3  ¯∗ ¯∗ ¯ ∗alg ∂U ∂F ∂ G 1 m m · dV = 0 . (4.162) · dV + − · ∂t∗ ∂x∗m ReL m=1 ∂x∗m m=1 V

V

Zur weiteren Umformung von Gleichung (4.162) ben¨otigen wir den Gaußschen Integralsatz, der f¨ ur eine beliebige Vektorfunktion f lautet

   · dO . div f · dV = ∇ · f · dV = f · n (4.163) V

V

O

Dieser Satz besagt, dass das Volumenintegral der Divergenz einer Vektorfunktion f gleich ist dem Oberfl¨achenintegral des Skalarproduktes aus der Vektorfunktion f und dem  der Oberfl¨ache O, also die durch die Oberfl¨ache ¨außeren Oberfl¨achennormalenvektor n

371

4.2 Diskretisierung

des Volumens hindurchfließenden Fl¨ usse. O ist die Oberfl¨ache des Berechnungsvolumens  = (n1 , n2 , n3 ) der nach außen weisende Normalenvektor und n %

$

3 3  ∂U 1 ∗alg ¯ ¯  · dO = 0 . ·n (4.164) Fm + G · dV + · ∂t ReL m=1 m m=1 V

O

Da die Grundgleichungen in Erhaltungsform f¨ ur ein raumfestes Kontrollvolumen aufgestellt wurden, ist das Integrationsgebiet V nicht von der Zeit abh¨angig. Dies bedeutet, dass die Zeitableitung in Gleichung (4.164) vor das Integral gezogen werden kann. Es folgt %

$ 3 3  ∂ 1 ∗alg ¯m + ¯  · dO = 0 . ·n (4.165) F G U · dV + · ∂t ReL m=1 m m=1 V

O

Der erste Schritt der Diskretisierung des kontinuierlichen Integrationsgebietes V besteht in der Unterteilung von V in einzelne diskrete Volumenzellen Vijk mit jeweils sechs Ober l , wobei l = 1, · · · , 6 den Z¨ fl¨achen Ol · n ahlindex f¨ ur die Oberfl¨achen darstellt. Ol be l = (nlx , nly , nlz ) die zeichnet den Betrag des Fl¨ acheninhaltes der l-ten Oberfl¨ache und n zugeh¨origen ¨außeren Normalen-Einheitsvektoren. Abbildung 4.57 zeigt ein diskretes Volumenelement Vijk mit den sechs Normalen-Einheitsvektoren. Gesucht sind die Werte der Str¨ omungsgr¨ oßen U ijk in den Mittelpunkten der jeweiligen Volumenzellen Vijk . Der n¨ achste Schritt besteht folglich in der Approximation der Grundgleichungen (4.165) f¨ ur jede einzelne Volumenzelle Vijk . Wir erhalten 3  6 6 3 !  1  d · V + (F · O ) − =0 . Galg U ijk ijk ml ml ijk ml · Oml dt Re∞ m=1 ijk m=1 l=1

(4.166)

l=1

Die Fl¨ usse F il und Galg ache approximiert. Zu il werden nun im Mittelpunkt jeder Seitenfl¨ ihrer Berechnung werden die konservativen Variablen zwischen den beiden an eine Fl¨ache angrenzenden Zellen gemittelt, z. B. f¨ ur eine beliebige Variable Φ n6 i,j,k+1 i,j+1,k

n4 i−1,j,k

n3

n2 i+1,j,k

n1 i,j−1,k n5 i,j,k−1

Abb. 4.57: Volumenzelle und Normaleneinheitsvektoren

372

4 Numerische L¨ osungsmethoden

1 · (Φi,j,k + Φi−1,j,k ) 2 1 = · (Φi,j,k + Φi,j−1,k ) 2 1 = · (Φi,j,k + Φi,j,k−1 ) 2

1 · (Φi+1,j,k + Φi,j,k ) 2 1 = · (Φi,j+1,k + Φi,j,k ) 2 1 = · (Φi,j,k+1 + Φi,j,k ) 2

(Φl=1 )i,j,k =

,

(Φl=2 )i,j,k =

,

(Φl=3 )i,j,k

,

(Φl=4 )i,j,k

, (4.167)

,

(Φl=6 )i,j,k

(Φl=5 )i,j,k

.

Bei Variablen, welche als Ableitungen vorkommen, z. B. bei der Berechnung der Schubur jede Seispannungen und des W¨ armestroms in Galg ml , muss eine lokale Transformation f¨ tenfl¨ache l vorgenommen werden. Die Richtungen der Gitterlinien mit konstanten Indizes i, j, k werden mit ξ, η und ζ bezeichnet. Das totale Differential einer beliebigen Variablen Φ ergibt dann ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂x ∂y ∂z ∂Φ ∂Φ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ⎜ ⎟ ⎜ ∂x ⎟ ⎜ ∂ξ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ∂x ∂y ∂z ⎟ ⎜ ⎜ ∂Φ ⎟ ∂Φ ⎜ , ⎜ ∂η ⎟ = ⎜ ∂η ∂η ∂η ⎟ · ⎜ ∂y ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ∂Φ ∂Φ ∂x ∂y ∂z ∂ζ l ∂z l ∂ζ ∂ζ ∂ζ l

(4.168)

wobei die darin vorkommende Matrix mit T l bezeichnet wird (Transformationsmatrix). Die Invertierung dieser Gleichung liefert ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ ∂Φ ∂Φ ⎜ ∂ξ ⎟ ⎜ ∂x ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ∂Φ ⎟ ∂Φ ⎟ ⎜ ⎟ = T−1 · ⎜ (4.169) ⎟ . ⎜ l ⎜ ∂y ⎟ ⎜ ∂η ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ∂Φ ∂Φ ∂z l ∂ζ l Die darin vorkommenden Differentialquotienten werden durch Differenzen der L¨osungsvariablen oder der Zellenmittelpunkte entlang der lokalen Richtungen ξ, η und ζ ausgedr¨ uckt, z. B. f¨ ur die Fl¨ ache l = 1: 

∂Φ

= Φi,j,k − Φi−1,j,k ,

∂ξ l=1 ijk   1 1 1 ∂Φ

= · , (4.170) · (Φi,j+1,k + Φi−1,j+1,k ) − · (Φi,j−1,k + Φi−1,j−1,k )

∂η l=1 ijk 2 2 2   ∂Φ

1 1 1 · (Φi,j,k+1 + Φi−1,j,k+1 ) − · (Φi,j,k−1 + Φi−1,j,k−1 ) = · .

∂ζ l=1 ijk 2 2 2 Darin kann Φ entweder eine L¨ osungsvariable oder eine Koordinate (x, y, z) sein. Als Endergebnis der Ortsdiskretisierung liegt ein System von gekoppelten gew¨ohnlichen Differentialgleichungen f¨ ur jede Zelle i, j, k vor d U i,j,k + Q(U i,j,k , U i±1,j±1,k±1 ) = 0 , dt

(4.171)

373

4.2 Diskretisierung

mit dem r¨aumlichen Diskretisierungsoperator Q(U ), der die Koppelung enth¨alt. Die Gleichung (4.171) ist nichts anderes als Gleichung (4.166) dividiert durch das Volumen der Zelle Vijk . Dieses System muss nach der Zeit integriert werden. Dazu w¨ahlt man das klassische explizite Runge-Kutta Verfahren. Dieses lautet mit U (0) = U n f¨ ur jede Zelle i, j, k (Zellenindizes weggelassen) Δt Δt · Q(U (0) ) + · D(U (0) ) , 2 2 Δt Δt U (2) = U (0) − · Q(U (1) ) + · D(U (0) ) , 2 2 U (3) = U (0) − Δt · Q(U (2) ) + Δt · D(U (0) ) , ! Δt · Q(U (0) ) + 2 · Q(U (1) ) + 2 · Q(U (2) ) + Q(U (3) ) U (4) = U (0) − 6 +Δt · D(U (0) ) . U (1) = U (0) −

(4.172)

Die L¨osung zum neuen Zeitschritt ist dann U n+1 = U (4) . Dabei wird ein zus¨atzlicher Term D(U (0) ) hinzugef¨ ugt, die zus¨ atzliche numerische Dissipation. Die Einf¨ uhrung einer zus¨ atzlichen numerischen Dissipation hat folgende Gr¨ unde: • Die Runge-Kutta Finite-Volumen Methode besitzt nicht gen¨ ugend verfahrenseigene numerische Dissipation. Sie w¨ are ohne den Zusatzterm D(U (0) ) numerisch instabil. Diese Instabilit¨ at ¨ außert sich durch Oszillationen der Str¨omungsgr¨oßen mit der Gitterweite (hochfrequente Oszillationen). Der Erfahrung nach erreichen diese Oszillationen nur eine Amplitude von einigen Prozent und wachsen dann nicht weiter. Die Instabilit¨ at ist also nur sehr schwach, dennoch muss sie mit Hilfe der Terms D ged¨ampft werden. • In der N¨ahe von Verdichtungsst¨ oßen (Abbildung 4.58) treten sehr starke Oszillationen auf, die bei gen¨ ugender Stoßst¨ arke zum Abbruch der Rechnung f¨ uhren (overflow). Durch einen zus¨ atzlichen Gl¨ attungsoperator in D wird der Stoß u ¨ber eine bestimmte Anzahl von Zellen verschmiert, d. h. die Diskontinuit¨at des Stoßes wird ¨ durch einen glatten Ubergang mit starken Gradienten ersetzt. Diese Gl¨attung wird nur dann eingeschaltet wenn sie notwendig ist, um nicht die L¨osung im gesamten Str¨omungsfeld zu verf¨ alschen. Dies bezeichnet man als numerische Dissipation 2. Ordnung. ur die Seitenfl¨ ache l) besteht aus f¨ unf gleichlautenden Komponenten Der Operator D l (f¨ dl = dli entsprechend den f¨ unf konservativen Variablen Ui , i = 1 . . . 5. Er lautet angewendet auf eine beliebige Variable Φ z. B. f¨ ur die Seitenfl¨ache l = 1 dl =

1 (2) · [ l (Φi,j,k − Φi−1,j,k ) Δt (4) − l (−Φi+1,j,k + 3 · Φi,j,k − 3 · Φi−1,j,k − Φi−2,j,k )]

(4.173)

374

4 Numerische L¨ osungsmethoden

und f¨ ur die Seitenfl¨ ache l = 2: dl =

1 (2) · [ l (Φi+1,j,k − Φi,j,k ) Δt (4) − l (Φi+2,j,k − 3 · Φi+1,j,k + 3 · Φi,j,k + Φi−1,j,k )]

.

(4.174)

Dieser Operator wirkt wie eine Gl¨ attung. Man bezeichnet ihn als numerische Dissipation 4. Ordnung. Er wird f¨ ur die Seiten l = 1, 2 in i-Richtung, f¨ ur l = 3, 4 in j-Richtung und f¨ ur l = 5, 6 in k-Richtung angewendet. Darin ist (2)

l

= 0.25 · max(νi−1,j,k , νi,j,k )

(4.175)

der Vorfaktor der numerischen Dissipation zweiter Ordnung, welcher sich aus dem geeignet normierten Betrag der zweiten Ableitung des Druckes in den an die Seitenfl¨ache l angrenzenden Zellen i − 1, j, k und i, j, k bestimmt νi,j,k =

|pi+1,j,k − 2 · pi,j,k + pi−1,j,k | |pi+1,j,k | + 2 · |pi,j,k | + |pi−1,j,k |

.

(4.176)

Der Verdichtungsstoß wird also durch die zweite Ableitung des Druckes detektiert. Dies ist sinnvoll, da der Druck diejenige Gr¨ oße ist, die sich u ¨ber einen Stoß hinweg am st¨arksten ¨andert. Weiterhin ist in Gleichung (4.174) (4)

l

= 0.25 · max(0,

1 (2) − l ) 256

.

(4.177) (2)

Diese Gr¨oße ist also immer positiv und gleich dem Wert 1/256, wenn l = 0 ist, al(2) so fernab von St¨oßen. Wenn l jedoch eine nennenswerte Gr¨oße annimmt, also in der N¨ahe eines Stoßes, wird die numerische Dissipation vierter Ordnung ausgeschaltet. Dies ist notwendig, da ihr Operator in der N¨ ahe eines starken Gradienten (Stoß) wieder neue Oszillationen hervorrufen w¨ urde. Die Auswirkung der zus¨atzlichen numerischen Dissipation in der N¨ahe eines Stoßes ist in Abbildung 4.58 schematisch gezeigt. Die Isolinien der Dissipation 2. und 4. Ordnung f¨ ur die transsonische Tragfl¨ ugelumstr¨omung sind in Abbildung 4.59 dargestellt.

Abb. 4.58: Oszillation in der N¨ ahe eines Verdichtungsstoßes bei der Finite-Volumen Runge-Kutta Methode

4.2 Diskretisierung

375

Die Technik der numerischen Dissipation 2. und 4. Ordnung kann nicht streng mathematisch begr¨ undet werden, sondern hat sich durch numerisches Experimentieren als geeignet herausgestellt, siehe dazu A. Jameson, W. Schmidt und E. Turkel 1981. Sie hat sich seither in der Praxis bestens bew¨ ahrt. Bei der Berechnung inkompressibler Str¨ omungen tritt die prinzipielle Schwierigkeit auf, dass das Druckfeld nicht bekannt ist. Es treten lediglich die Druckgradienten in den Quelltermen der Navier-Stokes-Gleichungen auf. Zur Berechnung von konsistenten Druckund Geschwindigkeitsfeldern sind derzeit zwei prinzipiell unterschiedliche Vorgehensweisen u ¨blich. In der ersten Methode wird die Kontinuit¨ atsgleichung zur Bestimmung einer k¨ unstlich eingef¨ uhrten Dichte benutzt. Anhand einer Zustandsgleichung (z. B. der Zustandsgleichung f¨ ur ideale Gase) kann dann wiederum der Druck bestimmt werden. Diese Vorgehensweise erlaubt es, dass alle bisher abgeleiteten Algorithmen f¨ ur kompressible Str¨omungen auf inkompressible Str¨omungen u ¨bertragen werden k¨onnen. Die mathematischen Details sind in Kapitel 5 der Str¨ omungsmechanik, H. Oertel jr., M. B¨ ohle 1999 aufgef¨ uhrt. Bei dieser Methode der k¨ unstlichen Kompressibilit¨ at wird zwischen Druck und Dichte eine willk¨ urlich schwache Kopplung angesetzt. Eine andere Methode zur Ermittlung des Geschwindigkeits- und Druckfeldes inkompressibler Str¨omungen ist eine auf den Druck bezogene Methode. Hierbei wird zum Abgleich von Impulsbilanz und Kontinuit¨ at der Druck aus einer separaten Gleichung bestimmt, die aus der Navier-Stokes- und der Kontinuit¨ atsgleichung resultiert. Bei diesen auf den Druck bezogenen Methoden sind unterschiedliche L¨ osungsalgorithmen entwickelt. Im Folgenden wird das sogenannte Druckkorrekturverfahren und daraus resultierend der SIMPLEAlgorithmus beschrieben. Es wird zun¨achst ein vorl¨ aufiges Druckfeld p∗ gesch¨atzt. Mit Hilfe dieses gesch¨atzten Druckfeldes k¨onnen die Navier-Stokes-Gleichungen diskretisiert und gel¨ost werden. Zur Diskretisierung der Navier-Stokes-Gleichungen (3.20) wird die in diesem Kapitel beschriebene Finite-Volumen Methode benutzt. Es resultiert ein algebraisches Gleichungssystem f¨ ur die unbekannten Geschwindigkeitskomponenten u∗i , vi∗ und wi∗ in den Knotenpunkten

Abb. 4.59: Numerische Dissipation 2. und 4. Ordnung im Str¨omungsfeld eines transsonischen Profils, M∞ = 0.8, ReL = 107

376

4 Numerische L¨ osungsmethoden

des Finite-Volumen-Netzes aui · u∗i = avi · vi∗ = ∗ aw i · wi =

3  nb 3  nb 3 

aunb · unb + bu + (p∗i+1 − p∗i−1 ) · Ai

,

avnb · vnb + bv + (p∗j+1 − p∗j−1 ) · Aj

,

w ∗ ∗ aw nb · wnb + b + (pk+1 − pk−1 ) · Ak

(4.178)

.

nb

In diesen Gleichungen sind die aus der Diskretisierung der konvektiven und dissipativen u v w Terme resultierenden Koeffizienten aui , avi und aw i bzw. anb , anb und anb nach dem gerade betrachteten Knoten i des Finite-Volumen-Netzes bzw. den umliegenden Knoten sortiert und zusammengefasst. In den Koeffizienten bu , bv und bw sind alle Quellterme enthalten. Der Druckgradient wird durch die Druckdifferenzen in x-, y- bzw. z-Richtung multipli* ziert mit den entsprechenden Seitenfl¨ achen Aj , Aj , Ak abgebildet. Die Summation nb erfolgt u ¨ber die umliegenden Knoten des betrachteten Knotens i. Das resultierende Geschwindigkeitsfeld v wird im Allgemeinen die Kontinuit¨atsgleichung nicht erf¨ ullen. Ziel der weiteren Vorgehensweise ist daher die Verbesserung der Drucksch¨atzung p∗ , so dass das Geschwindigkeitsfeld v die Kontinuit¨ atsgleichung erf¨ ullt. Dazu werden zun¨achst die Druck- und Geschwindigkeitskorrekturen p und u , v  und w (nicht zu verwechseln mit St¨or- bzw. Schwankungsgr¨ oßen) eingef¨ uhrt. Wird das korrekte Druckfeld p p = p∗ + p

(4.179)

angenommen, dann ist zu untersuchen wie sich die Geschwindigkeitskomponenten u, v und w u = u∗ + u 

,

v = v∗ + v

,

w = w∗ + w

(4.180)

mit der Druckkorrektur p ver¨ andern. Wird von der diskretisierten Navier-StokesGleichung f¨ ur die exakte Geschwindigkeit u die diskretisierte Navier-Stokes-Gleichung f¨ ur das vorl¨aufige Geschwindigkeitsfeld (Gleichung (4.178)) subtrahiert, ergeben sich Terme der Form u = u∗ − du (pi+1 − pi−1 ), die als Geschwindigkeitskorrekturgleichungen bezeichnet werden. Abschließend bleibt aus der Kontinuit¨atsgleichung eine Gleichung f¨ ur die Druckkorrekturen p herzuleiten. Die auftretenden Geschwindigkeiten werden ebenfalls durch die Geschwindigkeitskorrekturgleichungen ersetzt und die entstehenden Terme schließlich nach den unbekannten Druckkorrekturen p aufgel¨ost. Damit sind alle Gleichungen aufgestellt, die zur Berechnung einer inkompressiblen Str¨omung ben¨otigt werden. Der Algorithmus zur L¨osung dieser Gleichungen wurde bereits 1972 entwickelt und ist in der Literatur als SIMPLE-Algorithmus (Semi-Implicit-Method for Pressure-Linked Equations, S. V. Patankar 1980) bekannt. Die einzelnen Schritte des SIMPLE-Algorithmus sind: • Sch¨atzen des vorl¨ aufigen Druckfeldes p∗ . • L¨osen der diskretisierten Impulsgleichungen f¨ ur u∗ , v ∗ und w∗ . • L¨osen der Druckkorrekturgleichung f¨ ur p  .

4.2 Diskretisierung

377

• Korrigieren von Druck- und Geschwindigkeitsfeldern p = p∗ + p , u = u∗ + u , v = v ∗ + v  und w = w∗ + w . • L¨osen der Gleichungen f¨ ur andere Variablen wie Temperatur, Turbulenzgr¨oßen, etc. sofern diese das Str¨ omungsfeld beeinflussen. • Iterieren dieser Schritte bis eine konvergente L¨osung erreicht ist. Dieser Algorithmus ist in verschiedenen Formen in nahezu allen kommerziellen SoftwarePaketen enthalten und hat seit seiner Entwicklung zahlreiche Verbesserungen bzgl. seiner Konvergenzrate erfahren. Die Finite-Volumen-Methoden sind auf zahlreiche Str¨omungsprobleme angewandt worden. Bereits in Kapitel 4.1.2 hatten wir von einer Finite-Volumen-L¨osung der Reynoldsgemittelten Navier-Stokes-Gleichungen Gebrauch gemacht. Die Abbildung 4.6 zeigt den Vergleich der Finite-Volumen-L¨ osung einer Profilumstr¨omung bei der Anstr¨om-Mach-Zahl osung der nichtlinearen Potentialgleichung. In den vorausgegangenen M∞ = 0.82 mit der L¨ Kapiteln haben wir mehrfach dargestellt, dass die L¨osung der Navier-Stokes-Gleichungen die Druckverteilung um ein transsonisches Tragfl¨ ugelprofil am genauesten wiedergibt. Wir erg¨ anzen in diesem Kapitel Finite-Volumen-L¨ osungen f¨ ur die transsonische Tragfl¨ ugelund Kraftfahrzeugumstr¨ omung, f¨ ur eine Str¨ omungsmaschine und f¨ ur die Str¨omung im menschlichen Herzen. Als erstes Beispiel ist in Abbildung 4.60 die Finite-Volumen L¨osung eines transsonischen Tragfl¨ ugels eines Verkehrsflugzeuges gezeigt. Zun¨achst ist die mit einem Finite-Volumen-Netz diskretisierte Geometrie des umstr¨omten Tragfl¨ ugels dargestellt. Deutlich zu erkennen ist die verfeinerte Aufl¨osung im Bereich der Staulinie und im Nachlauf des Fl¨ ugels sowie im Bereich des Verdichtungsstoßes. Das Ergebnis der Finite-Volumen-Rechnung f¨ ur die Mach-Zahl M∞ = 0.78, die Reynolds-Zahl ReL = 26.6 · 106 und dem Pfeilwinkel φ = 20◦ ist in Form von Isotachen, also Linien gleicher Mach-Zahl, dargestellt. Die Berechnung erfolgt mit der zuvor beschriebenen Finite-Volumen Methode und dem Baldwin-Lomax Turbulenzmodell von Kapitel 3.2.3. ¨ Die numerische L¨ osung zeigt das Uberschallfeld und den Verdichtungsstoß, der dieses stromab abschließt. F¨ ur den vorgegebenen Auftriebsbeiwert ca = 0.0506 eines Modellfl¨ ugels des AIRBUS A 320 berechnen wir einen Widerstandsbeiwert cw = 0.0184. Dies ist der Wert, den man erreichen kann, sofern es gelingt einen sogenannten transsonischen Laminarfl¨ ugel zu realisieren. Wir folgen unserem zweiten Anwendungsbeispiel in Kapitel 1.2 und zeigen numerische Ergebnisse einer Kraftfahrzeugumstr¨ omung, die mit Finite-Volumen-Verfahren gewonnen wurden. Hier ist es das Ziel, den Str¨ omungswiderstand, den Auftrieb, das SeitenwindMoment und die Struktur der Nachlaufstr¨ omung numerisch zu berechnen. W¨ahrend beim Tragfl¨ ugelbeispiel die Favre-gemittelten kompressiblen Grundgleichungen numerisch gel¨ost wurden, werden jetzt die Reynolds-gemittelten Gleichungen benutzt. Als Turbulenzmodell wurde das K--Modell aus Kapitel 3.2.3 eingesetzt. In den cp -Diagrammen der Abbildung 4.61 sind die dimensionslosen Druckverteilungen auf der Ober- und Unterseite des Kraftfahrzeuges f¨ ur die Reynolds-Zahl ReL = 8 · 106 (U∞ = 130 km/h) im Vergleich mit experimentellen Ergebnissen im Windkanal dargestellt. Im mittleren Teil der Abbildung

378

4 Numerische L¨ osungsmethoden

4.61 ist wiederum die Geometrie und Diskretisierung des umstr¨omten Kraftfahrzeuges gezeigt. Im Vergleich zur Flugzeugumstr¨ omung des vorherigen Beispiels muss bei der Berechnung einer Kraftfahrzeugumstr¨ omung zus¨ atzlich die Fahrbahn ber¨ ucksichtigt werden. Die Berechnung wird dann nach einem Wechsel des Bezugssystems vom bewegten Fahrzeug in ruhender Luft zum stehenden Fahrzeug in einer Anstr¨omung durchgef¨ uhrt. Daher muss die Fahrbahn ebenfalls diskretisiert werden, um Grenzschichteffekte zwischen Fahrzeugunterboden und der Fahrbahn in die Rechnung mit aufzunehmen. Als Randbedingung f¨ ur die Fahrbahn ist dann die Geschwindigkeit der Anstr¨omung vorzugeben, w¨ahrend am Fahrzeugunterboden v = 0 zu fordern ist. Die Bedingung der bewegten Fahrbahn ist im Windkanal schwer zu realisieren, weshalb h¨ aufig auf ein vereinfachtes Prinzipexperiment im Windkanal mit ruhender Fahrbahn und ruhendem Kraftfahrzeug in einer Anstr¨omung zur¨ uckgegriffen wird. Daher wurden die Berechnungen im gezeigten Fall ebenfalls mit ruhender Fahrbahn und ruhendem Kraftfahrzeug durchgef¨ uhrt. In Abbildung 4.61 erkennt man, dass die gemessenen und berechneten Druckverteilungen sehr gut u ¨bereinstimmen. Die numerische L¨osung zeigt auch, dass die Struktur der Nachlaufstr¨omung richtig wiedergegeben wird. Dazu werden die in Kapitel 4.1.4 beschriebenen singul¨aren Punkte im Str¨omungsfeld analysiert und sichtbar gemacht. Der Vergleich mit Abbildung 4.34 zeigt erg¨anzend, dass der Hufeisenwirbel stromab des Kofferraums zum einen von der Scher-

−cp 1.0

Rechnung Experiment

0.5 0.0 0.2

0.4

0.6

1.0 x/L

−0.5 −1.0 Finite−Volumen−Netz, 8. 10 5 Gitterpunkte

Druckverteilung M = 0.96 M=1 M = 1.12

Isotachen

8

M = 0.78, ReL= 26.6. 106 , Anstellwinkel α = 2°, Pfeilwinkel φ = 20°

Abb. 4.60: Finite-Volumen-Diskretisierung, Druck- und Mach-Zahlverteilung eines transsonischen Trag߬ ugels

379

4.2 Diskretisierung

schicht an der Kofferraum-Abrisskante und zum anderen von der Diffusorstr¨omung zwischen Kraftfahrzeugunterboden und der Straße gespeist wird. Ein weiteres Beispiel der Anwendung der Finite-Volumen-Methode ist die Nachrechnung der in Abbildung 4.62 gezeigten Axialpumpe. Dabei ist insbesondere der Wirkungsgrad η und die F¨orderh¨ ohe H von Interesse. Die Axialpumpe soll eine F¨orderh¨ohe von 10 m erreichen. Die Geometrie der Beschaufelung wurde mit verschiedenen Auslegungsprogrammen entsprechend Kapitel 1.3 ermittelt und es bleibt durch die Nachrechnung zu u ufen, ob die Schaufelgeometrie die gestellten Anforderungen erf¨ ullt. Die Geometrie ¨berpr¨ und das Rechennetz der Beschaufelung sind in Abbildung 4.62 dargestellt. Die Berechnung erfolgt im mitbewegten rotierenden Bezugssystem. Damit steht das Laufrad und das Geh¨ause rotiert. Dies hat den Vorteil, dass die Rechnung station¨ar durchgef¨ uhrt werden kann. In diesem Bezugssystem wird das Fluid beim Durchlaufen des Schaufelkanals umgelenkt und erf¨ ahrt dadurch eine Druckerh¨ohung, die als F¨orderh¨ohe

cp 1

Rechnung Experiment

Oberseite

0.5 0 -0.5 -1 0

0.25

0.5

0.75 x/L 1 Unterseite

cp 0.5 0 -0.5 0 . 10 Gitterpunkte Finite−Volumen−Netz, 3.8 6

Strömungsstruktur im Radhaus

0.25

0.5

0.75 x/L 1

Druckverteilungen

Struktur der Nachlaufströmung

Abb. 4.61: Finite-Volumen-Diskretisierung einer Kraftfahrzeugumstr¨omung und Druckverteilungen in der Symmetrieebene, (Daimler 2001), u∞ = 130 km/h, ReL = 8 · 106

380

4 Numerische L¨ osungsmethoden

der Pumpe bezeichnet wird. Bei der numerischen L¨osung der Reynolds-Gleichungen sind dabei zus¨atzlich die Zentrifugal- und Coriolis-Kraft zu ber¨ ucksichtigen. Die Auswertung der numerischen Rechnung zeigt, dass die Axialpumpe im Auslegungspunkt eine F¨orderh¨ ohe von H = 9.8 m erreicht, was der geforderten F¨orderh¨ohe von H = 10 m sehr nahe kommt. Durch wiederholte Berechnung der Str¨omung mit verschiedenen Randbedingungen kann nach Auswertung der Ergebnisse eine Kennlinie der Str¨ omungsmaschine ermittelt werden. Dabei wird jeweils u ¨ber dem Volumenstrom V˙ der Wirkungsgrad η aufgetragen. Durch die Geometrie der Beschaufelung wird das Fluid zun¨achst beschleunigt, wodurch der statische Druck abf¨allt. Anschließend wird wieder verz¨ogert, was mit einem Druckanstieg verbunden ist. Bei dem angesprochenen Druckabfall kann es unter Umst¨ anden dazu kommen, dass der Dampfdruck des Fluids unterschritten wird. Das Fluid kann also kurzzeitig verdampfen bevor es bei der anschließenden Druckerh¨ohung wieder verfl¨ ussigt wird. Dieses Ph¨anomen wird als Kavitation bezeichnet

Finite−Volumen−Netz, 2.8. 10 5 Gitterpunkte

Wirkungsgrad p 105 Pa 1.8 0.6 0.2

0.2 0.6 1.0 Isobaren

Abb. 4.62: Finite-Volumen-Diskretisierung einer Axialpumpe und Isobaren der Druckverteilung auf dem Laufrad, ReD = 1.4 · 107

4.2 Diskretisierung

381

und sollte vermieden werden, da es zur Besch¨ adigung der Beschaufelung f¨ uhrt. Herrscht vor der Axialpumpe ein gen¨ ugend großer Druck ist keine Kavitation zu erwarten. Der daf¨ ur erforderliche Druck bzw. die damit gleichzusetzende erforderliche Zulaufh¨ohe der Axialpumpe betr¨ agt f¨ ur die gew¨ ahlten Bedingungen etwa 2.5 m. Ein Beispiel einer instation¨ aren Str¨ omung ver¨ anderlicher Geometrie und bewegter Rechennetze haben wir mit dem virtuellen Herzen in Kapitel 1.1 kennen gelernt. Die Erweiterung der Finite-Volumen-Methode auf bewegte Rechennetze haben wir zwar in diesem Kapitel nicht behandelt, dennoch wollen wir die Ergebnisse der Str¨omungssimulation der pulsierenden Blutstr¨ omung im menschlichen Herzen zeigen, um einen Anreiz f¨ ur zuk¨ unftige Str¨omungsberechnungen in der Biostr¨ omungsmechanik zu geben. Zun¨ achst ben¨otigt man ein zeitabh¨ angiges Geometriemodell f¨ ur einen zeitlich gemittelten Herzzyklus. Das Geometriemodell wird mit Bilderkennungs-Software von Bilddaten des gesunden menschlichen Herzens eines Magnet-Spin-Resonanz-Tomographen (MRT) abgleitet. Das Geometriemodell wird zu jedem Zeitpunkt aus 26 horizontalen und vertikalen Schnittebenen konstruiert. Ein Herzzyklus T0 besteht aus 18 Zeitschritten. Das Geometriemodell der linken Herzh¨ alfte besteht aus dem Ventrikel, dem Vorhof und der Aorta. Die druckgesteuerte Aorten- und Mitralklappe m¨ ussen erg¨anzend modelliert werden. Die Aortenklappe besteht aus drei halbmondf¨ ormigen Bindegewebstaschen. Sie verhindert w¨ahrend der Relaxationsphase des Herzens die Blutr¨ uckstr¨omung aus der Aorta. Wegen des hohen Druckes, dem die Aortenklappe w¨ ahrend der Kontraktionsphase ausgesetzt ist, sind die Klappentaschen wesentlich stabiler gebaut als die Segel der Mitralklappe. Im ge¨offneten Zustand legen sich die Taschen der Aortenklappe trotz des hohen Aortendruckes nicht an den Aortenbulbus an. Die Spitzen der Taschen werden umstr¨omt und bilden zwischen Klappentasche und Aortenbulbus ein R¨ uckstr¨omgebiet, dessen Gegendruck das Ausbeulen der Taschen und das Anlegen verhindert.

Abb. 4.63: Finite-Volumen-Berechnung des linken Herzventrikels und der Aorta, ReD = 3470, T0 = 1.0 s

382

4 Numerische L¨ osungsmethoden

Die Abbildung 4.63 zeigt das Ergebnis der Str¨ omungsberechnung mit der Finite-VolumenMethode und bewegten Tetraeder bzw. Hexaeder Netzen von 2 · 105 Gitterpunkten. Die ur die mit dem Durchmesser der Aorta gebildete Reynolds-Zahl betr¨agt ReD = 3470 f¨ systolische Ausstr¨omphase des Herzens. Die pulsierende Blutstr¨omung ist laminar. Das erste Bild zeigt den Einstr¨ omvorgang in den linken Ventrikel bei ge¨offneter Mitralklappe. Es bildet sich ein Ringwirbel , dessen Drehrichtung bereits das Ausstr¨omen durch die Aortenklappe vorbereitet. Im Laufe des Einstr¨ omvorgangs verzweigt sich der Ringwirbel im L¨angsschnitt entsprechend der Abbildung 4.40, so dass auch die Ventrikelspitze durchstr¨omt wird. Auch hier entspricht die Drehrichtung des eingedrehten dreidimensionalen ¨ Ringwirbels dem folgenden Ausstr¨ omvorgang. Uberschreitet der Blutdruck im Ventrikel einen bestimmten Wert, ¨ offnet sich die Aortenklappe und das Blut str¨omt als Jet in die Aorta. Am Ende der Kontraktionsphase ist bei vollst¨andig ge¨offneter Aortenklappe die Jet-Str¨omung ebenfalls vollst¨ andig ausgebildet. In der Aorta verzweigt die Str¨omung in die einzelnen Arterien. Dabei vergr¨ oßert die Aorta ihren Durchmesser, so dass sie zum einen das Volumenreservoir f¨ ur den Kreislauf bildet und zum anderen die Sekund¨arstr¨omung in der Aortenkr¨ ummung abbaut. Dieser Effekt wird durch ein Auslenken der absteigenden Aorta unterst¨ utzt. Bei der anschließenden Ventrikelrelaxation sind beide Herzklappen geschlossen und der Herzzyklus beginnt von neuem. F¨ ur die Auswertung der numerischen Ergebnisse ist die im Kapitel 4.1.4 durchgef¨ uhrte Analyse der Str¨omungsstruktur (siehe Abbildung 4.40) eine wesentliche Hilfe. Die Auswertung der dreidimensionalen Str¨ omungsstruktur im Herzen ist in Abbildung 4.64 dargestellt. ¨ Beim Offnen der Herzklappen zum Zeitpunkt t = 0.76 stellen sich im linken und rechten Ventrikel w¨ahrend des F¨ ullvorganges zun¨ achst die bereits beschriebenen Einstr¨omjets ein, die nach einem Viertel des Herzzyklus jeweils von einem Ringwirbel (dreidimensionaler Fokus F1) begleitet werden. Diese entstehen als Ausgleichsbewegung f¨ ur die im ruhenden Fluid abgebremsten Einstr¨ omjets. Im weiteren Verlauf nehmen aufgrund der Bewegung des Myokards die asymmetrischen Ringwirbel an Gr¨oße zu. Dabei erfolgt die Ausdehnung der Wirbel in axialer Richtung gleichm¨ aßig, in radialer Richtung wird jedoch im linken Ventrikel die linke Seite verst¨ arkt. Beim Eindringen in die Ventrikel verringern sich die Geschwindigkeiten der Wirbel. Die Ventrikelspitzen werden zu diesem Zeitpunkt nicht

Abb. 4.64: Dreidimensionale Str¨ omung im Herzen

383

4.2 Diskretisierung

durchstr¨omt. Im weiteren Verlauf des Einstr¨ omvorganges kommt es im linken Ventrikel aufgrund der starken Deformation zu einer Neigung des Ringwirbels in Richtung der Ventrikelspitze und zur Ausbildung der Sattelfl¨ ache S1 an der Myokardwand, die ein effizientes Ausstr¨omen w¨ahrend der Systole vorbereitet. Dabei verringert sich die Geschwindigkeit der dreidimensionalen Str¨ omung, bis schließlich der Einstr¨omvorgang abgeschlossen ist und die Mitralklappe schließt. Die weitere Deformation der Wirbelstruktur wird durch die Tr¨agheit der Str¨ omung bestimmt. Parallel induziert der obere Teil des Ringwirbels einen Sekund¨arwirbel im Aortenkanal F2 mit dem Sattelpunkt S2 an der Wand des Aortenkanals. Aufgrund der komplexeren Geometrie des rechten Ventrikels ist der Einstr¨omringwirbel entlang der Ventrikelkontur verformt. Dies f¨ uhrt dazu, dass sich w¨ahrend des Einf¨ ullvorganges beim Drehen des Ringwirbels in Richtung der Ventrikelspitze die Wirbelachse gegen die Außenwand des Myokards neigt und dort eine Sattelfl¨ache S1 erzeugt. Die Str¨omungsberechnung zeigt, dass deshalb der Ringwirbel vor Beginn des Ausstr¨ omens zerf¨allt und eine Sekund¨ arstr¨ omung in der Ventrikelspitze F3 entsprechend der Sekund¨arstr¨omung im Pulmonalarterienkanal F2 verursacht. Insofern ist die Interpretation der dreidimensionalen Str¨ omungsstruktur im rechten Ventrikel nicht so eindeutig wie im linken Ventrikel. Zum Zeitpunkt t = 0.41 ¨ offnet die Aortenklappe und der Ausstr¨omvorgang in die Aorta beginnt. Dabei wird die Bewegungsrichtung der Wirbel fortgesetzt. Es wird zun¨achst der Wirbel F2 und dann in zeitlicher Abfolge der Ringwirbel F1 ausgesp¨ ult. Das Geschwindigkeitsmaximum des Ausstr¨ omvorganges wird im zentralen Bereich der Aortenklappe erreicht und zum Zeitpunkt t = 0.63 ist der Str¨ omungspuls in der Aorta ausgebildet. Am Ende des Ausstr¨omvorganges hat sich die Wirbelstruktur im linken und rechten Ventrikel vollst¨andig aufgel¨ost. Dabei werden vom gesunden menschlichen Herzen etwa 63 % des linken Ventikelvolumens ausgestoßen. 4.2.5

Molekulardynamische Simulationsmethoden

osungsmethode der str¨omungsmechanischen GrundgleiEine ganz andere numerische L¨ chungen ist die molekulardynamische Simulationen der Verteilungsfunktion f der in Kapitel 3.6 eingef¨ uhrten Boltzmann-Gleichung (3.195). Die Boltzmann-Gleichung beeinhaltet alle bisher beschriebenen L¨ osungen der kontinuumsmechanischen Navier-Stokes-Gleichungen sowohl f¨ ur die laminare als auch f¨ ur die turbulente Str¨omung, ohne dass von der Stokesschen Annahme eines Newtonschen Mediums oder der Boussinesq-Approximation einer turbulenten Str¨omung Gebrauch gemacht werden muss. Die Problematik der gaskinetischen, beziehungsweise kontinuumsmechanischen Modellbildung verlagert sich jedoch auf die erforderliche Kenntnis der Wechselwirkungspotentiale der Fluide im Kollisionsterm der rechten Seite der Boltzmann-Gleichung:   ∂f ∂f ∂f F ∂f + c · + · = ∂t ∂ x m ∂c ∂t coll

(4.181)

Die Boltzmann-Gleichung ist entsprechend unseren Ausf¨ uhrungen in Kapitel 3.6 die Trans-

384

4 Numerische L¨ osungsmethoden

portgleichung der Verteilungsfunktion f . Diese beschreibt die Verteilung der mikroskopischen Molek¨ ulparameter im Geschwindigkeitsraum c=cm und im physikalischen Raum  =xm mit m=1,2,3. Die Boltzmann-Gleichung ist aufgrund des Kollisionsterms eine Inx  und tegrodifferentialgleichung, wobei die Verteilungsfunktion f von allen 6 Variablen c, x der Zeit t abh¨angt. Die Modellierung des Kollisionsterms der rechten Seite der Boltzmann-Gleichung (4.181) f¨ ur Gase und Fl¨ ussigkeiten unterscheiden sich wesentlich durch den mittleren Abstand ihrer Molek¨ ule. Bei Gasen ist die Bindung zu Nachbarmolek¨ ulen gering und der große Molek¨ ulabstand erlaubt eine freie Bewegung der Molek¨ ule, unterbrochen durch St¨oße mit ¯ maßgebend. Die anderen Molek¨ ulen. Bei Gasen ist deshalb die mittlere freie Wegl¨ange λ theoretische Behandlung von Gasen im Rahmen der kinetischen Gastheorie ist relativ weit entwickelt. In Fl¨ ussigkeiten hingegen ist der Abstand der Molek¨ ule deutlich kleiner, so dass die Molek¨ ule in st¨andiger Wechselwirkung mit den Nachbarmolek¨ ulen stehen. Dies macht die molekulare Behandlung von Fl¨ ussigkeiten schwierig. Da die G¨ ultigkeit der Kontinuumsmodelle wesentlich von den molekularen Gegebenheiten bestimmt ist, werden die entsprechenden Kriterien in den folgenden Abschnitten separat f¨ ur Gase und Fl¨ ussigkeiten diskutiert. Die mittlere freie Wegl¨ ange in einem Gas ist verkn¨ upft mit der H¨aufigkeit von St¨oßen. F¨ ur ein ideales Gas mit sph¨ arischen Molek¨ ulen h¨angt die mittlere freie Wegl¨ange gem¨aß ¯ = √ kB · T λ 2 · π · p · σ2

(4.182)

mit den Zustandsgr¨ oßen Druck p und Temperatur T zusammen. kB ist die BoltzmannKonstante (kB = 1, 38·10−23 J/K) und σ der Streuquerschnitt, der bei elastischen Kugeln dem Molek¨ uldurchmesser gleich kommt. Die L¨ angenskala L, u ¨ber welche Gradienten der makroskopischen Str¨ omungsgr¨ oßen wie Druck, Dichte, Geschwindigkeit oder Temperatur vorliegen, ergibt sich aus dem Geschwindigkeitsprofil u(z) z. B. in einer ebenen Scherstr¨omung: L∼

u | du dz |

.

(4.183)

¯ und L¨angenskala L der Str¨omung bezeichnet Den Quotient aus mittlerer freier Wegl¨ ange λ man als Knudsen-Zahl: Kn =

¯ λ L

.

(4.184)

F¨ ur Kn  1 gelten die Kontinuumsmodelle. Die mittlere freie Wegl¨ange charakterisiert die Anzahl der Molek¨ ule pro Mittelungsvolumen, welche f¨ ur eine kontinuumsmechanische Beschreibung zur Verf¨ ugung stehen. Eine große Anzahl von Molek¨ ulen pro Mittelungsvolumen kann durch eine kleine mittlere freie Wegl¨ange sichergestellt werden. Die Definition der Knudsen-Zahl macht deutlich, dass Abweichungen von Kn  1 sowohl f¨ ur große mittlere freie Wegl¨ angen als auch f¨ ur kleine L¨angenskalen der Str¨omung auftreten ¯ treten bei Str¨ k¨onnen. Große λ omungen verd¨ unnter Gase auf, kleine L finden wir in

385

4.2 Diskretisierung

Mikrokan¨alen. Die Str¨ omung verd¨ unnter Gase und die Gasstr¨omung in und um kleine Geometrien sind deshalb ¨ ahnlich bez¨ uglich der Knudsen-Zahl. Kn → 0 (ReL → ∞) Kn ≤ 10−2 10−2 < Kn ≤ 10−1 10−1 < Kn ≤ 10 10 < Kn

Euler-Gleichungen Navier-Stokes-Gleichungen mit Haftbedingung Navier-Stokes-Gleichungen mit Gleitbedingung ¨ Ubergangsbereich freie molekulare Str¨omung

F¨ ur Knudsen-Zahlen Kn ≤ 10−2 k¨ onnen die kontinuumsmechanischen Gleichungen und die Haftbedingung als Randbedingungen verwendet werden. Die Erh¨ohung der KnudsenZahl macht eine Korrektur der kinematischen und thermischen Randbedingungen notwendig. Es treten Unstetigkeiten der Geschwindigkeit und der Temperatur an der Wand ¨ erreicht. Der Bereich Kn > 10 ist auf. F¨ ur 10−1 < Kn ≤ 10 wird der Ubergangsbereich schließlich durch die freie molekulare Str¨ omung gekennzeichnet. An einem konkreten Beispiel werden die Bereiche der Knudsen-Zahl verdeutlicht. Bei Luft unter Normalbedingungen (288 K, 1 bar), erh¨ alt man eine mittlere freie Wegl¨ange von ¯ = 65 nm. Eine Str¨ λ omung im Mikrokanal von L = 1 μm Weite, hat dann die KnudsenZahl Kn = 0.065 zur Folge. Dies ist bereits eine Str¨omung, bei der die Gleitbedingung des Gases an der Wand zu ber¨ ucksichtigen ist. Im gleichen Kanal bei einem Druck von 0.1 bar ¯ = 650 nm und wegen Kn = 0.65 erh¨alt man eine Str¨omung, die nicht mehr ergibt sich λ mit Kontinuumsmodellen beschrieben werden kann. Technische Beispiele der Knudsen-Zahlen sind im Folgenden aufgef¨ uhrt. ¯ λ Umgebungsbedingungen Vakuumtechnik Satellitentechnik Mikrochip-Herstellung

−7

10 m 10−2 m 0.1 m 10−7 m

L 1m 0.1 m 10 m 10−6 m

Kn 10−7 0.1 0.01 0.1

W¨ ahrend f¨ ur Gase mit der kinetischen Gastheorie ein etabliertes molekulares Modell zur Verf¨ ugung steht, welches die Grenzen der kontinuumsmechanischen Behandlung zu charakterisieren erlaubt, sind die Grenzen der kontinuumsmechanischen Behandlung von Fl¨ ussigkeiten deutlich schwieriger zu fassen. Das Konzept der mittleren freien Wegl¨ange und die Knudsen-Zahl sind f¨ ur Fl¨ ussigkeiten nicht hilfreich, da die Molek¨ ule einer Fl¨ ussigkeit in st¨andiger Wechselwirkung mit den Nachbarmolek¨ ulen stehen. Aus Experimenten mit extrem d¨ unnen Fl¨ ussigkeitsfilmen zwischen molekular glatten Platten geht hervor, dass erst bei Filmdicken unter etwa 10 Molek¨ ullagen (∼ 5 nm) die Fl¨ ussigkeit nicht mehr als Kontinuum aufgefasst werden kann. Man beobachtet dann nichtglatte Ver¨anderungen der Normal- und Schubspannungen. Dies ist ein Hinweise darauf, dass die Anzahl der Molek¨ ullagen Einfluss auf das Verhalten der Fl¨ ussigkeit nimmt. Weiterhin zeigen diese Experimente bereits f¨ ur Fl¨ ussigkeitsfilme unter 100 Molek¨ ullagen

386

4 Numerische L¨ osungsmethoden

¨ (∼ 50 nm) Anderungen der Viskosit¨ at. Dies bedeutet, dass die Fl¨ ussigkeit kein Newtonsches Verhalten mehr aufweist. F¨ ur Scherraten  ε γ˙ ≥ 1.4 · (4.185) σ2 · m erh¨alt man sprunghaftes Verhalten der Str¨ omungsgr¨oßen u ¨ber die Scherschicht, w¨ahrend f¨ ur kleine Scherraten ein kontinuierliches Verhalten beobachtet wird. Die Scherrate eines ebenen Problems ist gem¨ aß γ˙ = du/dz mit dem Gradienten der Geschwindigkeit verkn¨ upft. ε ist die Bindungsenergie, m die Masse und σ der Durchmesser der Molek¨ ule. F¨ ur Wassermolek¨ ule bei Normalbedingungen erh¨alt man eine Bindungsenerulmasse von m ∼ 3 · 10−26 kg und einen Mogie von ε ∼ 3.5 · 10−21 J, eine Molek¨ −10 lek¨ uldurchmesser von σ ∼ 3 · 10 m. Die Absch¨atzung gem¨aß Gleichung (4.185) ergibt ur einfache Molek¨ ule mit kleideshalb γ˙ ≥ 1.6 · 1012 s−1 . Die Scherraten erscheinen f¨ ner Molek¨ ulmasse und kleinem Molek¨ uldurchmesser extrem groß. Komplexe, schwere und große Molek¨ ule liefern gem¨ aß Gleichung (4.185) kleinere kritische Scherraten, welche in technischen Systemen durchaus erreicht werden k¨onnen. Es stellt sich analog zu den Gasen die Frage, ob an der Wand (z = 0) Unstetigkeiten der Geschwindigkeit oder der Temperatur auftreten k¨onnen. Hierf¨ ur ist es hilfreich das sogenannte Navier-Gleitgesetz in der Form ˙ = 0) u(z = 0) − uw = LR · γ(z

(4.186)

zu formulieren. In Gleichung (4.186) ist der Sprung der wandtangentialen Geschwindigkeit proportional zur Scherrate. Die Proportionalit¨atskonstante LR hat die Dimension einer L¨ange und wird als Gleitl¨ ange bezeichnet. Eine verschwindende Gleitl¨ange (LR → 0) f¨ uhrt zur Haftbedingung. In einer isothermen Couette-Scherstr¨omung werden f¨ ur einfache sph¨arische Fl¨ ussigkeitsmolek¨ ule f¨ ur Scherraten kleiner einem kritischen Wert γ˙ k eine konstante Gleitl¨ange von LR ≤ 17 · σ gefunden. F¨ ur Wasser sind somit Gleitl¨angen bis angt im Einzelnen von der Wechselwirkung und KomLR ∼ 5 nm zu erwarten. Der Wert h¨ patibilit¨at der Wand- und Fl¨ ussigkeitsmolek¨ ule ab. F¨ ur γ˙ < γ˙ k wird somit das NavierGleitgesetz best¨atigt. Die kritische Scherrate γ˙ k liegt im Bereich  ε , (4.187) γ˙ k = 0.025 . . . 0.4 · 2 σ ·m wobei wiederum eine Abh¨ angigkeit von der Wechselwirkung und Kompatibilit¨at von Wand- und Fl¨ ussigkeitsmolek¨ ulen auftritt. F¨ ur Wassermolek¨ ule f¨ uhrt dies mit den oben diskutierten Einschr¨ ankungen zu Scherraten von γ˙ k = 0.3 . . . 4.5 · 1011 s−1 . Solch große Scherraten sind in technischen Systemen kaum zu erwarten. Auch hier ist darauf hinzuweisen, dass schwere und große Fl¨ ussigkeitsmolek¨ ule kleinere kritische Scherraten γ˙ erwarten lassen. F¨ ur γ˙ > γ˙ k w¨ achst die Gleitl¨ ange deutlich an, was auf freies Gleiten der Molek¨ ule schließen l¨asst. In diesem Bereich ist die Navier-Gleitbedingung nicht mehr g¨ ultig. Grundlagen molekularer Modelle Im Hinblick auf die Berechnungsverfahren, die eine direkte numerische Simulation der Verteilungsfunktion f durchf¨ uhren, werden die gaskinetischen Gleichungen der einzelnen

387

4.2 Diskretisierung

Partikelst¨oße behandelt. In verd¨ unnten Gasen finden im wesentlichen Zusammenst¨oße je zweier Molek¨ ule statt. F¨ ur die gaskinetische Betrachtung reicht es daher im Allgemeinen aus, ausschließlich Zweierkollisionen zu ber¨ ucksichtigen. Die Beschreibung des Prozesses besteht in der Berechnung der Geschwindigkeitsvektoren c1 und c2 und der inneren Energien εi,1 und εi,2 nach dem Stoß der beiden einzelnen Partikel. Der einfachste Fall eines Partikelstoßes ist der elastische Stoß. Hier werden zwischen den Molek¨ ulen nur translatorische Energien ausgetauscht. Ein Austausch zwischen translatorischer Energie und den inneren Energien der Molek¨ ule erfolgt nicht. Man kann daher diesen Stoß mit den klassischen Erhaltungsgleichungen der Mechanik behandeln. In Abbildung 4.65 sowie in den folgenden Gleichungen bezeichnen die Indizes 1 und 2 die beiden Stoßpartner. Variablen nach dem Partikelstoß werden mit einem Strich gekennzeichnet. Es gilt die Massenerhaltung m1 + m2 = m1 + m2

.

(4.188)

Die Impulserhaltung ergibt m1 · c1 + m2 · c2 = m1 · c1 + m2 · c2 = (m1 + m2 ) · cm

,

(4.189)

mit der Schwerpunktgeschwindigkeit cm . Die Energieerhaltung schreibt sich m1 · c21 + m2 · c22 = m1 · c1 2 + m2 · c2 2

.

(4.190)

Definiert man die Relativgeschwindigkeiten cr = c1 − c2

und

cr = c1 − c2

,

Abb. 4.65: Geometrie der Zweierkollisionen im Massenschwerpunktssystem

(4.191)

388

4 Numerische L¨ osungsmethoden

so folgt aus der Impuls- und Energieerhaltung m2 m1 + m2 m1 c2 = cm − m1 + m2 m2 c1 = cm + m1 + m2 m1  c2 = cm − m1 + m2 c1 = cm +

· cr

,

· cr

,

· cr

,

· cr

.

(4.192)

F¨ uhrt man diese Beziehungen in die Erhaltungsgleichungen ein, ergeben sich mit der reduzierten Masse m1 · m2 (4.193) mr = m1 + m 2 die Gleichungen m1 · c21 + m2 · c22 = (m1 + m2 ) · c2m + mr · c2r m1 ·

c2 1

+ m2 ·

c2 2

= (m1 + m2 ) ·

c2m

+ mr ·

c2 r

, ,

(4.194)

aus denen sofort folgt, dass sich der Betrag der Relativgeschwindigkeit u ¨ber die Kollision nicht a¨ndert. Die Richtung der Relativgeschwindigkeiten nach dem Stoß ist durch die zwei Stoßparameter χ und ε festgelegt. Man betrachtet dazu zwei Partikel und f¨ uhrt eine Stoßebene ein, die durch den Mittelpunkt von Partikel 1 geht und senkrecht auf dem Relativgeschwindigkeitsvektor cr vor dem Stoß steht (siehe Abbildung 4.65). Durch die Polarkoordinaten b und ε ist die Position des Auftreffpunktes von Partikel 2 auf Partikel 1 gekennzeichnet. Mit χ bezeichnet man den Ablenkwinkel, der in der Ebene liegt, die durch die Vektoren cr und cr aufgespannt wird. Die Beschreibung der Transporteigenschaften eines Gases, wie z. B. der Z¨ahigkeit μ oder der W¨armeleitf¨ahigkeit λ, wird entscheidend durch das verwendete Wechselwirkungspo-

Abb. 4.66: Wechselwirkungspotentiale

389

4.2 Diskretisierung

tential zwischen den Partikeln bestimmt. In Abbildung 4.66 sind verschiedene Modelle der Wechselwirkungspotentiale dargestellt. Das klassische Wechselwirkungspotential der Gaskinetik ist das der starren elastischen Kugeln, bei dem eine Wechselwirkung zwischen den Molek¨ ulen nur dann stattfindet, wenn sich diese ber¨ uhren. Dieses Modell liefert als Temperaturabh¨angigkeit der dynamischen Z¨ ahigkeit und der W¨ armeleitf¨ ahigkeit das Ergebnis μ(T ) ∼ T 0.5

und

λ(T ) ∼ T 0.5

.

(4.195)

Dieses Ergebnis ist unabh¨ angig von der Gassorte. Weitere Wechselwirkungspotentiale sind das rein repulsive Wechselwirkungspotential und das Lennard-Jones-Potential. Das rein repulsive Wechselwirkungspotential ber¨ ucksichtigt die elektrostatische Abstoßung der elektrisch gleichgeladenen Partikelkerne. Dabei ist die Wechselwirkungspotentialkraft K = −∇Φ definiert. Das Lennard-Jones-Potential ber¨ ucksichtigt neben der elektrostatischen Abstoßung bei kleinen Relativabst¨ anden r der stoßenden Partikel die anziehende Van-der-Waals-Multipolwechselwirkung, die aufgrund der Deformation der Elektronenh¨ ullen der stoßenden Molek¨ ule bzw. Atome bei gr¨oßeren Relativabst¨anden dominiert. F¨ ur unsere Anwendungen sind die Wechselwirkungsenergien so hoch (> 1 eV ), dass f¨ ur die Beschreibung der Transportvorg¨ ange das Modell der sogenannten Variablen Harten Kugeln (VHS), welches aus dem Harte-Kugel-Modell entwickelt wurde, eine gute N¨aherung darstellt. In dem Modell der Variablen Harten Kugeln wird der totale Streuquerschnitt als Funktion der relativen kinetischen Energie in der Form  σT ∼

1 · mr · c2r 2

−ω (4.196)

angesetzt. Der Exponent ω stellt eine gasspezifische Gr¨oße dar. Damit beschreibt das VHS-Modell f¨ ur die Spezialf¨ alle ω = 0 das Starrkugelmodell und f¨ ur ω = 0.5 die sogenannten Maxwell-Molek¨ ule. Die Kollisionswahrscheinlichkeit der Maxwell-Molek¨ ule ist unabh¨angig von der Relativgeschwindigkeit der Molek¨ ule. Im folgenden Abschnitt wird ausschließlich von diesem vereinfachten Wechselwirkungsmodell Gebrauch gemacht. F¨ ur Luft wird typischerweise (ω = 0.25) verwendet.

Monte-Carlo-Simulation Es wird konkret der zeitliche Verlauf der Bewegung und der elastischen bzw. inelastischen Kollisionen von einigen hunderttausend Gas-Modellpartikeln in einem vorgegebenen Simulationsgebiet verfolgt. c, f ∗ · dc∗i = Den Zugang zur gaskinetischen Simulation liefert die mit x∗ = x/L, c∗ = c/¯ √ ∗ ∗ 2 ∗ f · dci /n, b · db = b · db/( 2 pi · d ) und t = t/(L/¯ c) dimensionslos gemachte BoltzmannGleichung: 

∂ 1 ∂ ∗ ∗ · (f ∗ · f1 ∗ − f ∗ · f1∗ ) · c∗rel · b∗ · db∗ · dε · dc∗1 . (4.197) +c · ∗ f = ∂t∗ ∂r Kn Die dimensionslose Boltzmann-Gleichung liefert identische L¨osungen f¨ ur Probleme mit der

390

4 Numerische L¨ osungsmethoden

gleichen Knudsen-Zahl Kn =

¯ 1 λ = σ · L n · c¯cr · L

,

das heißt bei vorgegebener charakteristischer L¨ ange L muss das Produkt aus Streuquerschnitt und Teilchendichte σ · n konstant gehalten werden, um eine identische L¨osung zu erhalten. Damit kann man die reale Zahl von Molek¨ ulen in einer Str¨omung durch einige zehntausend Modellpartikel mit k¨ unstlich vergr¨ oßertem Streuquerschnitt ersetzen. F¨ ur die lokale Mittlung der makroskopischen Gr¨ oßen m¨ ussen jedoch gen¨ ugend Modellteilchen zur Verf¨ ugung stehen. Von der Vielzahl der numerischen Simulationsmethoden werden die direkte Monte-CarloSimulationsmethode (DSMC) und die Molecular-Dynamics-Methode (MD) ausgew¨ahlt. Bei der DSMC-Methode werden die Teilchen freimolekular bewegt und die Kollisionspartner statistisch ausgew¨ ahlt. Im Gegensatz dazu werden bei der MD-Methode die Trajektorien der Teilchen exakt in der Zeit verfolgt. Bei Gasen findet eine Kollision nur statt, wenn sich zwei Teilchen bis auf ihren Streuquerschnitt angen¨ahert haben. Bei Fl¨ ussigkeiten liegt eine permanente Wechselwirkung mit den Nachbarteilchen vor. Wegen des relativ hohen Rechenaufwandes der MD-Methode empfiehlt sich f¨ ur Gase die heuristische DSMCMethode. Die direkte Monte-Carlo-Simulationsmethode (DSMC) wurde von G. A. Bird 1976 entwickelt und stellt ein leistungsf¨ ahiges, heuristisches Verfahren zur Untersuchung verd¨ unnter Gasstr¨omungen dar. Der entscheidende Unterschied zur Molecular-Dynamics-Methode (MD) besteht in der entkoppelten statistischen Behandlung der Bewegung und Kollisionen der Modellpartikel. Bei diesem Verfahren werden die real im Str¨ omungsfeld vorhandenen Molek¨ ule durch Modellpartikel ersetzt. Es werden mehrere hunderttausend Modellpartikel verwendet. Der Anfangszustand wird, wie bei der Molecular Dynamics Methode, zuf¨allig festgelegt (Abbildung 4.67) und ¨andert sich durch die Bewegung und Kollisionen der Partikel mit der

Abb. 4.67: Rechenablauf der DMSC-Methode

391

4.2 Diskretisierung

Simulationszeit. Das Str¨ omungsfeld wird zur Ermittlung makroskopischer Gr¨oßen und zur Gew¨ahrleistung korrekter lokaler Kollisionsraten in Zellen unterteilt. Dieses Gitter kann entweder an den K¨ orper angepasst oder rechteckig sein (Abbildung 4.68). Der zentrale Iterationsschritt des Monte-Carlo-Simulationsverfahrens sieht folgendermaßen aus (siehe Abbildung 4.67). Die Partikel werden entsprechend einem vorgegebenen Zeitschritt Δtm bewegt. Partikel, die das Rechengebiet verlassen, werden entfernt und Kollisionen der Partikel mit der Oberfl¨ ache der Wand berechnet. Hier m¨ ussen die beschriebenen Wandwechselwirkungsmodelle an der Wandoberfl¨ache ber¨ ucksichtigt werden. An den R¨andern des Str¨ omungsfeldes werden aus Kontinuit¨atsgr¨ unden neue Partikel generiert. Es wird bestimmt, in welche Zelle jedes Partikel geh¨ort. Umgekehrt wird nun f¨ ur jede Zelle bestimmt, welche Partikel sich in ihr befinden. F¨ ur jede Zelle wird eine auf den uhrt. Die Positionen der Zeitschritt Δtm abgestimmte Anzahl von Kollisionen durchgef¨ Partikel bleiben dabei unver¨ andert. Nach G. A. Bird 1976 ergibt sich die Anzahl der Kollisionen pro Zelle u ¨ber den Zeitschritt Δtm zu Nt =

1 · Nm · n · Δtm · σ · cr 2

,

(4.198)

mit der Partikelzahl Nm pro Zelle, der Teilchendichte n, der Relativgeschwindigkeit cr und dem Stoßquerschnitt σ der Stoßpartner. Die Berechnung des Produktes σ · cr ist sehr aufwendig, da alle m¨oglichen Partikelkombinationen in einer Zelle zur Bildung des Mittelwertes herangezogen werden m¨ ussen. G. A. Bird 1976 f¨ uhrte deshalb einen Kollisionszeitz¨ ahler tC ein, welcher nach jeder Kollision unter Verwendung des Stoßquerschnittes σ und der Relativgeschwindigkeit cr der jeweiligen Stoßpartner um ΔtC =

2 Nr · n · σ · cr

(4.199)

erh¨oht wird, bis dieser Z¨ ahler gleich der Simulationszeit ist. Dadurch wird im Mittel die nach Gleichung (4.198) geforderte Kollisionszahl Nt im Zeitschritt Δtm erreicht. Die Kollisionspartner werden innerhalb der Zellen zuf¨ allig gew¨ahlt. Hieraus ergibt sich, dass eine Kollision zwischen zwei Partikeln umso wahrscheinlicher wird, je gr¨oßer ihr Stoßquerschnitt und ihre Relativgeschwindigkeit wird. Ist ein geeignetes Paar gefunden, so werden die sechs unbekannten Geschwindigkeitskomponenten der ausgew¨ ahlten Stoßpartner berechnet. Dazu stehen die Impuls- und Ener-

Abb. 4.68: Gitter f¨ ur die Monte-CarloSimulation

392

4 Numerische L¨ osungsmethoden

gieerhaltungsgleichungen (4.189) und (4.190) zur Verf¨ ugung. Die Richtung des Relativgeschwindigkeitsvektors nach dem Stoß wird durch Zufallszahlen bestimmt, das Verfahren ist also im Gegensatz zur direkten Simulationsmethode nicht deterministisch. Die Erhaltung des Drehimpulses ist bei den in diesem Abschnitt vorgestellten Verfahren nicht von vornherein sichergestellt. An Beispielen wurde jedoch nachgewiesen, dass der Drehimpuls erhalten bleibt, wenn gen¨ ugend Partikel in einer Zelle vorhanden sind. Molekulardynamische Simulation Die Molecular-Dynamics-Methode ist dadurch gekennzeichnet, dass ausschließlich der Anfangszustand durch statistische Methoden festgelegt wird. Das weitere Vorgehen ist streng deterministisch, d. h. zu jedem sp¨ ateren Zeitpunkt kann vom Zustand des Systems auf den Anfangszustand geschlossen werden. Zu Beginn der Rechnung wird eine vorgegebene Anzahl Modellteilchen im Rechenraum unter der Ber¨ ucksichtigung der geometrischen Randbedingungen positioniert. Jedem Partikel werden darauf die thermischen Geschwindig¨ keitskomponenten zugeordnet. Nach Uberlagerung der makroskopischen Geschwindigkeit ist dann der Anfangszustand des Str¨ omungsfeldes festgelegt. Diese Modellpartikel werden nun mit der zugeordneten Geschwindigkeit bewegt. Molekulardynamische Simulationen sind bevorzugt dann einzusetzen, wenn eine andauernde nicht stoßf¨ormige Wechselwirkung zwischen den Molek¨ ulen vorliegt. Dies ist in der Regel bei Fl¨ ussigkeiten und dichten Gasen der Fall. Eine molekulardynamische Simulation berechnet explizit die Bewegung einer großen Zahl von Fluidmolek¨ ulen, welche gegebenenfalls in Wechselwirkung mit ihren Nachbarmolek¨ ulen bzw. einem Festk¨orper stehen. Es m¨ ussen demnach die Kr¨ afte zwischen gleichen und unterschiedlichen Fluidmolek¨ ulen, sowie zwischen Fluid- und Festk¨ orpermolek¨ ulen formuliert werden. Dies geschieht etwa mit Hilfe des Lennard-Jones-Potentials, welches die Wechselwirkung inerter, nicht ionisierter, nicht polarer, sph¨arischer Atome beschreibt. F¨ ur das Wechselwirkungspotential gilt die N¨aherung: φ(r)  −

C2 C1 + 12 6 r r

.

(4.200)

F¨ ur große Abst¨ande dominieren die anziehende Kr¨afte (φ ∼ r −6 ), welche durch die gegenseitige Polarisierung der Atome zustande kommen (van-der-Waals-Kr¨afte). F¨ ur kleine Abst¨ande werden abstoßende Kr¨ afte bestimmend (φ ∼ r −12 ), welche auf der Wechselwirkung der Elektronenh¨ ullen beruhen. Die Konstanten C1 und C2 sind f¨ ur viele Atome nach der Methode von J. E. Lennard-Jones 1931 bestimmt worden. Die Wechselwirkung komplexer Fluidmolek¨ ule, wie beispielsweise Dipolmolek¨ ule oder Kettenmolek¨ ule, kann durch die elastische Verbindung mehrerer Atome realisiert werden. Dies f¨ uhrt auf ¨ahnliche komplexere Potentiale f¨ ur ihre Wechselwirkungen. Bei der Wechselwirkung zwischen Fl¨ ussigkeitsatomen und den Festk¨orperatomen der Wand ist zu ber¨ ucksichtigen, dass die Festk¨ orperatome in ein elastisches Gitter eingebunden sind. Durch Integration der elastischen Kr¨afte ergibt sich im einfachsten Fall ein Potential der Form: φ(r)  −

C4 C3 + 10 4 r r

.

(4.201)

393

4.2 Diskretisierung

Auch hier sind realistische Modelle f¨ ur Molek¨ ule in der Literatur zu finden. Die Ableitung ∂φ/∂r des Potentials ist mit der Kraft auf die Molek¨ ule verkn¨ upft. In der Praxis beschr¨ankt man sich darauf, nur die n¨ aheren Nachbarmolek¨ ule zu ber¨ ucksichtigen. Bei bekannter Kraft auf das Einzelmolek¨ ul kann mithilfe des Newtonschen Gesetzes die Molek¨ ulposition durch Zeitintegration aus der Beschleunigung numerisch ermittelt und verfolgt werden. Die Vorgabe kinematischer Randbedingungen entf¨allt. Auf molekularer Ebene ist die Wirkung fester R¨ ander auf das Fluid durch die Wechselwirkung der Festk¨orperund Fluidmolek¨ ule vollst¨ andig beschrieben. Thermische Randbedingungen werden durch die Vorgabe definierter Brownscher Molekularbewegung etwa der Festk¨orpermolek¨ ule des Randes realisiert. Das kinematische und thermische Verhalten der Fluidmolek¨ ule nahe der R¨andern erlaubt umgekehrt R¨ uckschl¨ usse auf die makroskopischen Randbedingungen. Es gelingt, bei erheblichem numerischem Aufwand, die Bewegung der Fluidmolek¨ ule, ge¨ gebenenfalls mit Uberg¨ angen zwischen fl¨ ussiger und gasf¨ormiger Phase, sowie bei Wechselwirkung mit Festk¨ orpern oder anderen Fluiden im Detail zu simulieren. Ist die Bewegung der Einzelmolek¨ ule bekannt, wird das Verhalten makroskopischer Fluidportionen zug¨anglich. Die Bewegung des Kontinuums wird somit durch Mittelung u ¨ber eine große Anzahl von Molek¨ ulen erhalten, wobei die Anzahl die r¨aumliche Aufl¨osung festlegt. Eine weitere Mittelung in der Zeit eliminiert die thermisch bedingte statistische Bewegung der Molek¨ ule. Begrenzt durch den Rechenzeitbedarf solcher Simulationen sind Molek¨ ulzahlen von einigen hunderttausend Molek¨ ulen sowie eine zeitliche Begrenzung der Simulationen zwingend. Es werden Gebiete von der Abmessung einiger hundert Angstr¨om f¨ ur einige Nanosekunden simuliert. Die molekulardynamischen Simulation eignet sich damit besonders, den Grenzbereich zwischen molekularen Vorg¨angen und der kontinuumsmechanischen Betrachtung zu studieren. Dies ist besonderes von Interesse an festen W¨anden oder an bewegten Phasengrenzen.

Lattice-Boltzmann-Methode Wir kommen zu unseren kontinuumsmechanischen Beispielen der Tragfl¨ ugel- und Kraftfahrzeugumstr¨omung der vorangegangenen Kapitel zur¨ uck. Auch im kontinuumsmechanischen Bereich f¨ ur Kn ≤ 10−2 kann man auf der Basis der Boltzmann-Gleichung (4.181) zu N¨aherungsl¨osungen kommen, sofern man die Verteilungsfunktion f als Ensemble vieler Molek¨ ule in jeder Zelle des Rechengitters formuliert und die Wechselwirkung lediglich u ¨ber die R¨ander der Zellen stattfindet. Die Fortbewegung und Kollision eines Ensembles von Partikelverteilungsfunktionen f¨ uhrt zur Lattice-Boltzmann-L¨ osungsmethode. Die makroskopischen Gr¨ oßen ergeben sich aus den entsprechenden Momenten der Verteilungsfunktion als Mittelwerte der molekularen Eigenschaften:

ρ ( x, t) =  (t, x ) = ρ ( x, t) · u

∞

−∞

∞ −∞

f ( x, c, t) dξ ξf ( x, c, t) dξ

,

(4.202) ,

(4.203)

394

4 Numerische L¨ osungsmethoden

) = Dαβ (t, x Παβ ( x, t) =

∞

−∞

∞ −∞

cα · cβ f ( x, c, t) dξ

,

(4.204)

ξα · ξβ f ( x, c, t) dξ = ρ uα uβ + Dαβ

,

(4.205)

mit dem Drucktensor Dαβ , dem Impulsstromtensor Παβ und der Geschwindigkeit der Teilchen: ξ = v + c. Dabei steht v f¨ ur die Summe der makroskopischen Str¨omungsgeschwindigkeiten und c f¨ ur die Molek¨ ulgeschwindigkeit. Analog dazu ergeben sich die Momente der Boltzmann-Gleichung (3.195) durch Multipli!  kation mit einer geschwindigkeitsabh¨ angigen Funktion Φ ξ und anschließender Integration u ¨ber den Geschwindigkeitsraum. Durch entsprechende Umformulierung erh¨alt man die Maxwellschen Transportgleichungen:

∂ ∂t

∂ Φ · f dξ + ∂xi ξ =

Φ · ξi f dξ



ξ

1 2

ξ

ξ1

(Φ + Φ1 − Φ − Φ1 ) f · f1 · cr · b · db dξ1 dξ

(4.206)

AC

mit der Relationsgeschwindigkeit der Molek¨ ule cr und dem Stoßquerschnitt b · db. F¨ ur die Betrachtung der Momente und der Stoßinvarianten Masse, Impuls und Energie entf¨allt das Kollisionsintegral. Als Ergebnis erh¨ alt man die makroskopischen Erhaltungsgleichungen f¨ ur Masse, Impuls und Energie:

∂ ∂ρ (ρ · ui ) = 0 + ∂t ∂xi ∂ρ ∂ (ρ · uj ) + (ρ · ui uj + p · δij ) = ∂t ∂xi ∂ ∂ρ (ρ · E) + (ρ · ui · E + ui · p) = ∂t ∂xi

,

∂ σij , ∂xi ∂ (uj · σij + qi ) ∂xi

(4.207) (4.208) .

(4.209)

Diese Gleichungen enthalten noch keinen Ausdruck f¨ ur den Spannungstensor und die W¨armeleitf¨ahigkeit. F¨ ur eine geschlossene L¨ osung sind Angaben u ¨ber das Kollisionsverhalten und die Verteilungsfunktion erforderlich. Thermodynamisches Gleichgewicht Die Boltzmann-Gleichung (3.195) stellt eine nichtlineare Integro-Differentialgleichung dar, die nur f¨ ur Sonderf¨ alle eine analytische L¨ osung erlaubt. Unter der Annahme Kn → 0 verschwindet die linke Seite der Gleichung. Die Bestimmung des Kollisionsintegrals liefert

395

4.2 Diskretisierung

die Maxwell-Verteilung f¨ ur ein System im thermodynamischen Gleichgewicht, ohne Annahme u afte: ¨ber die intermolekularen Kr¨ ⎛

f0 =

n (2 · π · k · T /m)

3/2

  ⎜ −m · ξ − v exp ⎝ 2·k·T

!2 ⎞ ⎟ ⎠ ,

(4.210)

mit der makroskopischen Str¨ omungsgeschwindigkeit v , der Teilchendichte n, der Molek¨ ulmasse m, der Temperatur T und der Boltzmann-Konstante k. Der Kollisionsterm (3.196) kann durch einen mathematisch einfacheren Term ersetzt werden, der die Abweichung einer Verteilungsfunktion zur Maxwell-Verteilung (4.210) beschreibt. Diese Form der Boltzmann-Gleichung nennt man BGK-Modell:

 ∂f F ∂f  ∂f +ξ + = ω (f0 − f )  ∂t ∂ x m ∂ξ

,

(4.211)

mit der lokalen Geschwindigkeitsverteilung f0 = f (ρ, u, T ) und der Kollisionsfrequenz ω = ω (ρ, T ).

Chapman-Enskog-Entwicklung ur den Sonderfall thermoF¨ ur die Bestimmung von f0 wird die Boltzmann-Gleichung f¨ dynamischen Gleichgewichts gel¨ ost. F¨ ur kleine Abweichungen vom thermodynamischen Gleichgewicht (Kn