Übungsbuch Strömungsmechanik: Grundlagen, Grundgleichungen, Analytische und Numerische Lösungsmethoden, Softwarebeispiele, 7. Auflage

Herbert Oertel jr. I Martin Böhle Übungsbuch Strömungsmechanik Herbert Gertel jr. I Marti n Böhl e 00 Ubungsbuch S...

Author: Herbert Oertel | Martin Böhle

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Herbert Oertel jr. I Martin Böhle Übungsbuch Strömungsmechanik

Herbert Gertel jr.

I Marti n Böhl e

00

Ubungsbuch Strömungsmechanik Grundlagen, Grundgleichungen, Analyt ische und Numerische Lösungsmethoden, Softwarebeispiele 7., überarbeitete und erwe iterte Auflage Mit 174 Abbild ungen STUDIUM

11 VIEWEG + TEUBNER

Bibliografische Infor mat ion der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsch e Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationatbibliografie; detail lierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

Prof. Or.-In g. habil. Herbert Dertel jr., Ordinarius Institut für Strömungslehre, Universität Kerlsruhe. Kaiserstraße 10, 76131 Karlsruhe Prof. Dr.-In g , Martin Böhl e, Universitä tsp rofessor Lehrstuhl für Strömungsmechanik und Strömungsmaschinen. Technische Universität Kaiserslautern, Gottlieb-Daimler-Straße, 67663 Kaiserslautern

Die 1. Auflage des Buches erschien unter demselben Titel im Springer Verlag. 2., übe rarbeitete und erw eiterte 3., überarbeitete und erwei terte 4., überarbeitete und erwei terte 5., überarbeitete und erwei terte 6., übe rarbe itete Auflage 2008 7., überarbeitete und erweiterte

Auflage Auflage Auflage Auflage

1998 2001 2003 2006

Auflage 2010

Alle Rechte vorbehalten

© vreweg - t eubner I GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 20 10 l ektorat: Thomas Zipsner I Imke Zander Vieweg+Teubner ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science +Busines s Media. www .viewegteubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschü tzt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgeset zes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere fü r Vervielfältigungen, Überset zungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen. Handelsnamen. Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt we rden dürften. Umschlaggestaltung: Künkellopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: STRAUSS GMBH, Mörlenbach Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN 978-3-8348-0917-9

\'

Vorwort :\Iit den Übungsaufgaben zur St r ömun gsmechanik H. Ueri el ir., M. Böhl e l!J92 sind wir einem oft goä utcrt cn \\'ullsch lI11 S(~n'r St udenten nachgokommeu , neben den Vorfesuugon und Übungen im Hörsa a l, Pille Grundlage für d ie eigens tä nd ige P r üfungsvorbereltuug zu schaffen. D ie Ühnngsaufgalx-n wurden neu bear beitet und den Vorlesungen Strihu lJ11.IJslehre und MaOwU!lltü che M ethoden der Strij1Tl1tn9Slehn~ angepasst , d ie a n der Univer sität K arls-

ruhe im fuuftcn und sechs ten Senn-ster für Studenten des Xla schim-nbaus, des Chr-mi.-ingentcurwcscns , der P hysik und der Technomathematik gelese n werden. Es werden zunächst die G rund begriffe der St römungsmechanik . die eindimens ionale St romfadentheorie lind die vereinfachte Berech nu ng technischer Strömungen vermitte lt . Es folgen Übungsa ufga ben zn den G rundgleichungen de r St r ömun gsmechanik und zu den daraus abgeleiteten Modellglclchungeu für la m ina re und tu rbulent e, inkompressible und kom pressible Strömungen. In tlen darauf fnlgon.Ion Kapit eln werden deren a na lyt ische und numorischc Lösun gsmet hodem in einem er stell Ans at z behandelt. Diesen Kapiteln kommt im Übungsbuch a bs ichtlich eine besondere Bedeutung zu, da der Iugonleu r in der P ra xis zunehmend numerisühn ~ I e.. thodcn und st röruungsmechauische Software auf vernetzten Grolsn-clx-naul ngcn für die P ro dukt ent wicklung nutzt Um den Studenten ein erste s Ühen mit Lösungssoft ware zu ermöglichen , werden die analytischen Lösungswege \'011 Soft ware- Beispieleu begleitet. Die Ühnngsaufgabon zur Strömu ngsmechanik orgänzon das Lehrbuch St römungsmeehanik H. Ocrtel ]1·., M. ßij}tll~ 1005, WOO , das als Leitfaden der St r ömungslehro Vorlesungen a n der Universit är Karlsruhc dient . Da bei ist es für den Studenten auch im Zeitalter der Sof'tware-Xut zung unerläs slich , den Leh rst off, a ngeleitet von den Übungsaufgalx-n und detailliert bcschrlebcnon Lösungswegen . selbst nachzuvollatohen. Das Erl ernen der F ähigkei t , st röruungsmechunlsche P roh lenu, mathemat isch zu formulieren und für ausgewäh lt e Allwendungsbeisplelo a na lyt isch und uumerisrh zu Idsun, ist ein wesput liclws Ausbildungsainl, das die ak tive Mitarbeit der Studenten erfordert. Dafür so ll da s Übungsbuch Anregungen geben. Dip Übnngsaufgalx-n sind \'0 11 meinen la ngjä hngon Assisteutl'u uud Mit autor (>. 1. Böhlo und U. Dohnuann ent spreehend der Vork-snu gskapltrl zusammengestellt worden. Sie sind in uu tr-rschicdlichc Schwierigkeitsgrade ein geteilt, so dass der Student sich ent sprechend seines ' Vissellsstaueles den Lehr stoff 1In meist praktischen strömungsmechanischen Übungsbcis pick-n erarbeiten kann. Die Ühn ngs aufgal x-n sind mehr fach iu dun tllllugell im Hörsaal vorge rec hnet un d die Lösungswege mit den Studenten überarbeitet worden. Die Auswahl der Übungsaufgaben ist zwangslä ufig ein Kompromiss und o rient iert sich an den St ud ienplänen de r Univers ität Kerls ruhe. Es werden a ber a uch St udent en höherer Semest er an anderen deut schsprachigen Universit äten za hlreic he Anregungen finden und d ie schwlertgcn Übungsaufgaben als Prüfs tein ihres strömungsmechanische n W issens empfinden können.

Das Manuskrip t wur de in bewahrter Weise von meinem Assisten ten U. Dohrmanu angefertigt. Unserer Mit arbeiterin L. Huber gilt besonderer Da nk für die Übera rbeit ung der Abbildungen. \Yir danken dem Vleweg Verl ag für die l:]lPruahme des Übungsbuches uu d für die erfreulich gut e Zusa mmenarbeit. Ka rlsruhe , August 1998

Herbort Ocr tel jr.

Vorwort zur 7. Auflage Das Übungs buch St röm ungsmechanik ha t sich zur P rü fungsvorbereit ung und Vorlesungsbcgleitung der Vorlesun gen Strömungslehre und Ma thema t ische Methoden der St römungsleh re inzwischen etablier t und bewährt . Die Ühnngsaufgalx-n wurden hezüglich der [ üugsten P rüfungsaufga ben a ktualisiert un d neue Ülnm gsa ufgabon zur Tur bu lonamodellier uug, Gr obstruktnrsimu lation lind La tice- Boltzmunn-M ut hode wurden eq!;iinzt. Der Zugang zur vorlesung sbcgleltendcn Strömungsmechanik Softwa re er folgt über die 110mepage des Inst it u t s für Strömungslehre der Universität Knrlsruhe www-isl.ma ch.uni-

karfsr uhe .de 11l1d w ww .ubka .uni-karlsru h e .d e .

S. Ruck un d K. Frir. sch-Kirrhncr dan ken wir für di e Manuskript er stellung u nd dem Viuweg + Teubner Verl ag für di e Fortführung der erfreulich guten Zusammcu arbcit . G a nz besonderer Da nk gilt mciuom zu frü h versterbeneu Assistenten IIlH! bisherigen Mi tau tor U. Dohnnanu , der wcscutltcbcn Anteil a n den Übungen der Strömungsmechanik ha t. Karl sruhe, Augu st 200n

Herbett. Ücrtcl j r.

VII

Inhaltsverzeichnis 1

Ein fii h r u ng

1

2

G r undla gen d e r Ström u n gsmechan ik 2.1 Strömungsbereiche 2.2 Hydr o- und Aerostatik 2.2.1 Hyd rost at ik 2.2.2 Aerostatik 2.3 Hydro- lind Aero dynamik, St romfadentheorie 2.3.1 Ki nemati sche Grundbegriffe 2.3.2 Inkompressible Strömun gen 2.3.3 Kom pressible St römungen 2.4 Technische Strömuugcn 2.4.1 Tur bulente Strömungen 2.4 .2 Im pulssat z 2.4.3 Dreh impulssat z 2.4.4 Rohrhyd ra ulik 2.4 .5 Strömungen Nicht -Newtonscher Medien 2.4 .6 Strömungsablösun g 2.4.7 St römungsmaschinen 2.5 Aerod ynamik des Flugzeuges 2.5.1 P rofilströmung 2.5.2 Tragflügelstr ömung 2.6 Strömungen m it Wärmeübert rag ung 2.6.1 Beheiz te vert ikale P latte 2.6.2 Rohrst röm un g

3

3

3 10 10 17

23 23 33

52 63 63 73 89 95 108 115

123 130 130

133 135

138 140

Grund gleichung en d er Str ö m u ngs m echa n ik

142

3.1 3.2

145

3.3

3,4

3.5

Ko nt iuui t ät sglcich ung Kavier-Stokes-Glcichungcn 3.2 .1 Lam inare Strömungen 3.2.2 Reyuol ds-G letchungcn für turbulente Strömlingen 3.2.3 Turbulenzmodelle 3.2,4 (I robst rukt ursimnl a t ion Enor gicg teichuugon 3.3.1 Lam inare Strömungen 3.3.2 T urbu lent e St römunge n Grenzschlchtgletchungen 3.4 .1 Inkompressible Strömungen 3.4.2 Kom pressible Strömungen Potcntialgk-ichnngcn 3.5.1 Kompressible St römungen

142 145

157 166 176 179

179 185 188 188 195 198 198

VIII

3.0

In halt sverz eichnis

3.5.2 Inkom pressible Suömuugon Grundglctchungou in Erhaltuugsfonu

4 N u mer ische L ös u ngs m et hod e n 4.1 Analytische Vorbereitung

4.2

5

4.1.1 Dimension sanalyse 4.1.2 Ltnca nsicrung 4.1.3 Srabilitätsanalyso .,1 .1.4 Strukturanalyse Diskret lsicrung -1.2.1 Galcrkin-Mct hodc --1.2.2 Fi liit c- Element e-l\ lct hodo 4.2.3 Finite- Diffpw IlZl'll-l\[et hot!e 4.2.4 Finite- Vohuncn-Mcthodc --1 .2.5 i\ lolck ula rd yuamischc Simula t Ionsm et hode

Anhang 5.1 Übers icht über die Aufgaben 5.2 St römungsmechanik Software

204 215

221

221 22 1 228 236 239 24-5

24;5 254 258 265 278 28 4 284 289

B e zeichnung en

293

Aus ge wählt e Li t era tur

296

Sachwortve rzei ch n is

297

1

1

E infü h rung

Mit dem vorliegenden Übungsbuch möchten wir den Studentinnen lind Studenten eine :-' liiglichkPit hinten , dun Vorlesungsstoff durch d as Rochnon VO ll Beispielaufga ben zu vert iefen und die t nchuisc-hen Anwendungen des Lohrstoffos kennenzulernen . Der Vorlosungsstoff, der auf den Lehrbüchern VOl l H. Oo ü l jr., M . ßjjhte 199;) , I O!)!) lind auf der neusten Auflage 2009 ba siert , ist zum Teil abst ra kt und für St udierende sind die tochnischun Anweudungen nicht unmit tclbar erkennbar. Man mu ss sich oft mals zuerst se h r viel tln-oretisches Wissen anei gucu , I1I1l a uschüegcnd technische Strömungsprobleme lösen zu können. Xlit dieser Aufgabensammlung möchten wir da zu bott ragon , da ss der Lehrs toff für die Stu dierend en nicht nur abst ra ktes Wissen bleibt sonde rn , da ss sie den Zweck des Erlerncns des Vorlesun gsstoffes erkennen und damit a uch Spaß an der Lösung st römung smechanis cher P rob leme gewinnen .

Die Beispielaufgabou besitzen oiuonuut ers rhiedlichen Schwierigkeit sgrad. Die moisron Kapitel dieses ß lId ws sind so aufgebaut , dass die am Anfang des jeweiligen Kapitels ste henden Aufgaben leicht und mit wenig Aufwand zu lösen sind . Der Schwicrigkuit sgraduimmt dann bis Z U lH En de des Ka pit els zu . Mit dem Rechnen der einfachen Aufgaben können sich die Studierenden allmählich mit den in der Vorlesun g lx-handr-lu-n P rohk-mcu vertraut machen. Die schwierigen Aufgaben sollen der P rüfungsvorbereitung dieneu . Da rü ber hinaus r-nt hiilt das Buch auc h Aufgaben, die als P rüfungsa ufga ben zu schwierig sind. In diesen Aufgaben werden Strömungsprobleme vorgestellt, die ent weder als Ein fiihnmg in ein umfangreiches neues Thema oder als Anleit un g zur selbst ä ndigen Lösung von aus gewählten schwierigen technischen P roblemen an gesehen werden können. Dieses trifft Insbesondere für die Ka pitel 'G rundglcirhungcn der St römungsmecham k' lind 'Met hoden der Strömuugsrncchanik ' zu. Eine Übersicht übe l' den Schwieri gkeit sgrad der einzelnen Aufgaben gibt eine entsp rechende Tabelle im Anhang dies es Buches. Allerdings muss da zu gesagt werden , da ss der Schwieri gkeit sgrad einer Aufgabe nur subj ekt iv ein geschät zt werden kann . Für den einen ist eine Aufgabe schwer zu lösen, die von einem anderen wiederuni als leicht ein gestuft wird . Insofern giht die Tala-lle im Anhang dir-ses Bur-lies dun Studcnnnncn uud Studenten die l\liiglichkeit den erlernten \Yisscllssl a nd zu überprüfen .

Obwohl einige Aufgaben als sehr schwier ig eingeschiitzt werden kön nen , empfeh len wir den Studierenden, jede Aufgab e selbst zu rechnen und sich dabei ni ch t sofort an den vorgr-rccbuctcn Lösungen zu orientieren . Die Lös ung en sind sehr ausf ührli ch buschrieben lind sollten nur zur Kont rolle diene n oder ggf iibcr Vcrst ändmsschwtertgkcit cn hinweg helfen . Kill' so hat man sicherlich den größt en Nut zen von dCIJl vorliegenden Übungsbuch. Nachfolgend sollen die einzelnen Kapitel vorgestellt werden . Im ersten Kap itel 'Grundlagen de r Strömuugsmcchantk ' werden Beispielaufgaben behandelt , die mit den Grundkenntnisseil der Suömnugsmecbantk zu ]iiscn sind . Es werden Aufgaben zu ruhenden Fluiden und zur eindimensionalen Stromfadentheorie vorgerechuot , wobei das Verhalten YOl I inkompressiblen und komprr-sxlhlon Fluiden betrachtet wird . Im Ka pit el "Ilererhnung von technischen Strömungen ' werden Beispiele turbulenter Strömungen gezeigt , die größtenteils Aus k-guugsrcchuungcn für Rohrleitungssysteme mit und ohne Strönmngsmuschincn, Umströmungcn sowie einfache Iiechnuugen für den Entwurf t echni scher Gerät e beinhalt en. Im Ka pit el 'Grundglclchuugcu der Strömungsmcrhanik ' werden Beispiele 1.11 den wicht igsten Grundgleichungen der Strömungsmechanik behandelt . Mit den Beispielen soll dem

2

I Einfüh run g

Lernenden gezeigt werden , dass die umfangreichen Navler-Stokcs-Glcichungcn Strömungell in bxw . 11111 technische Geräte beschreiben und dass sie für da s jeweils betrachtete P roblern angepasst werden müssen. Insbeso ndere soll dabei auc h gezeigt werden, dass die

vereinfachtun Gkdehungen {Grenz schicht- bzw . Pot enüalglcichungcn ) in dE'I" Technik ihre Anwendung finden. Das letzte übergeor d net e Ka pitel 'Xumurische Lösung smet hodcn ' beinhaltet Beispielau fgaben die zeigen , wie m it unalytisrhen hzw . nuun-rischenMethodr-n die im Ka pitel 'G rundg buchuu gcn der Str ömungsmc cbamk ' behandelten Gleichungen gelöst werden können. Bevor eure numerische oder analytische Rechnung durchgeführt wird , sollt e zunächst das suömuugsmech a ntschc P rob lem mittels einer Dimensionsanalyse behandelt werden und falls möglich, sollten die das Problem best immenden Gleichungen Iiuearisiert bzw. gegebenenfa lls ein e Stabilitätsanalyse du rchgeführt werden , Beispielaufga ben dazu sind in den entsprcehcnrlun Kapiteln 'Dimen sions an a lyse", 'Lineariss-rung' uud 'Stahilinitsanalyse' enthalten. Die Auswertung der hurechnetnn Srröruungsfulder erfolgt mit don kiuematischuu Metboden der Strukturanalyse. Mit den einfachen numerischen Beispielaufga ben soll deutlich werden, dass Ingenieu rprobleme zum Teil mit pes, Work stations oder Gro/i,ruchnurn gelöst werden. Es soll in diese-n Kapi teln UUf ein erster Einstieg in das sehr umfangreiche Thema 'Numerische Strömungsmcchanlk ' gegeben werden , da s in eurem gesonderten Lehrbuch E, Laurien, H, On'tel j'" 201m behandelt wird , Die T heor ie und Beispiele zur Anwendung der St a bilität saualysc finden sich in dem er gänzenden Lehr buch 'Suömungs mecha nlsche Inst a bilit äteu " H. (Jertel jr., J. Delf~ 1996 , 2005. Die vorgestellten Beispielaufgaben sowie die Software- Belspiele sollen dazu dienen , dass sich die Studenten lind Studentinnen auch nach dein Vorexamen gerne m it St r ömungsmechnnik beschäftigen. Ins besonde re da s erste Ülwn mit strömuugsmcchanischc r Software soll den Weg weisen wie in der Indust riepr axis st römungsmecha nische P ro bleme gelös t werden. Für ein e erfolgrei che Software-Nut zung sind die im Übungsbuch vermittelten analytischen Fä higkeiten eine Vorausse tzun g.

3

2 2 .1

Grundlagen d er Strömungsmechanik Strömungsberei che

Aufg ab e 2 .1.1

Kraftfah r zeuglullst röulung

E in Kraft fahrze ug w ir d vo n ein er r eib u ngsfr eie n Parallels trö m u ng d er G es chwi nd igke it Uoo a ngeströmt. Abb ild u ng 2 .1. 1a zeigt d as K ra ftfahrze ug und die P arallels t römung im M itt e lsch n itt d er (x, z)- E b e lle. U n ter Verna chlä s s igung von B o d e n e i n fl ii ssen läs s t s ich die U mat r öm u n g d e s K r aftfah r zeug- Mittelschnitte s in d r ei unte r schiedliche B ereiche ein t e il e n .

a ) Man b enenne die d r e i unterschie dlichen Str ö Ill u lIgsbe r e ic h e und gebe ihr e char a kteris tisch e n E ige n schaft e n a n .

b ] Man s k izzie re di e Strömungsbereic h e u m d as K raftfa hrzeug im Mi ttelsch n it t und trage zu sätzli ch di e Staupu n kt e sow ie d as G r enzsch ichtp r ofil a u f d em Dac h des K r aftfahr zeugs in die Sk izz e e in . Lösu ng: a ] Im St aupunkt des Kraftfah rzeugs wird die roibungsfrr-ic Paralle lst römung a uf die Geschwindigkeit Kuli verzöger t. Anschließend wird die Strömung beschleunigt , wobei sich der Bere ich: der 7'eibung.~ behaftel en Gre llzs ch i ch t.~ l7'ö m u 7lg in unmittelbarer Nähe der Oberftäehe au sbildet. Außerhal b der Grenzschicht befinde t sich der B ereich: der f'Cibll71!J.4 7'eien A uße n.~ l1"ijm tlng. Durch die Verdrii ngungswirkung, die das Kratt fahr zeug der Anst r ömung ent gegenset zt , wird die Ström ung bcschlcuntgt , bis die maxi male Höhe des Kra ftfah rzeugs erreicht ist. St rom ab der maximalen Höhe wird die Strömun g verz ögert , was ZUIll Ablösen der Grenzschicht und zur Ausbildu ng des Bere ichs der 7'Cibu7Igslwhajt etell Na chlaujstriimllng führt.

, rei bungs freie Parallclansrromu ng

A b b . 2. 1.1a Kreftfahrzougumst röm un g

2 Grundlagen de r St römungsmechanik

b)

I I I I

u,

L

reibun gsfreie Auße nstr ömung

x

Grenzschichtrand

I I

--l-.... I

,,;.« ~-~-~-~~l ~ :~~i~~:

Gre tströmung ----;; reibnzschich ungsbehaftete vorderer .... Stau punkt - -

0

'1

I

/

0

rcibungs freie Parallelarts tröm ung

Nachlaufströmu ng reibungsb ehaftete • freier ~ Staupunkt hinterer Staupunkt

Abb. 2 .1 .1 b Su-ömungsbcn-ichc der Krnftfahrzeu gumströmuug Aufgabe 2.1.2

P rofllums tr ömuug

In e inem Windkana l mit para llel en ho rizo nt ale n Wänden is t ein zur :r- A c hs e sy m met r isc h es sc h la n kes Tragß iigelp r ofil e ingeb a u t (si e he Abb. 2 .1. 2a ). Das Profil e rst r eckt s ich über d ie gesa m te K analbr e ite sen kr e cht zu r Zei chenebene und s teht in e iner s t a t io nären P a r allel a lls t r ö m u n g d er M a c h- Za h l ,\Lx; = 0, 1 (Ux = 34 m j.~ ) . a) Man set ze e ine ablös efreie Umst.römung d es P rofilh eck s vo r a us und s k izz ie re qualitativ d en Verlauf d es Druckbe iwertes cp(x / L ) am R ande der Profi lgrenzsc h icht lä n gs d er Ob ers e ite des Profils. b ) Das Profil wird nun um e inen Anste llwinkel n = 2° z u r .r-Achse angeste llt . E s gelten die gleichen Voraussetzungen w ie für T eilaufgab e a) lind nach wi e vor ist die Umströmung d es P r ofil he ck s a b lösefrei. S k izz ie ren Si e q ualitativ d en Verlauf d es Druckheiwert es rp{x / L' ) am Rande der Profilgrenzsch icht lä n gs d er Oberseite d es a n geste llten Profils wohei die U nt e rsch ie de im Vergl ei ch z u m n icht angestellte n Fa ll a us Te ila ufga b e a) d eut lich e r ke n nb a r sein sollen .

c) Dur ch e ine Ve rgrößerun g d es Anstellwinkels n tritt unter s o nst weit erhin g leichen Vorauss e t zunge n Ablö su ng bei d er U m s t röm u n g d es Profilheck s auf. Skizzi eren S ie qua litativ d en Verlauf der Stromlinien um das a ngeste llte Pro-

Profil im Windkanal

Abb. 2 .1.2a Tragflügelp rofil

angestellte s Profil

Laminarprofil

2.1 Strö ffllmgHlwreidw

5

fil wob ei d ie U ntersch iede im Strom feld zwisc h en Ober- und U nterseite d es Pro fils d eutlich h ervor t r et en so llen . d) Im g leic hen \Vindkanal wird a nsch ließend e in so ge n a n n tes Laminarprofil unt ersuch t , b ei d em s ich die m ax imal e P rofildick e a m Ort xl I. = ü,5 b efin d en so ll . Da s Profil is t s y m met risch zu r .r- A ch se , erst r eckt s ich üb er die ga n ze K anal brei t e sen kr echt zur Ze icheneb ene und s teh t in einer s t a t.io n ür e n Parallel a nström u ng d er Mach-Zah l ;\!= = 0, 1. Setzen Si e e ine a blösefreie U m s t r ö m u n g d es Profilhecks voraus u n d sk izzie r en Sie qualit a t.iv d en Verlauf d es D r uckb eiw ertes cp(xl L ) am R ande d er P ro filgre nz sc h icht längs d er O b erse ite des Profils . Di e U nterschi ede zur cp- Ver t eil u u g a u s Teilau fgab e a) solle n deut lic h zu er ken ne n sein . Lösung: Bei inkompressiblen Strömungen gilt im Staupunkt cp = 1. Stromab des Staupunktes wird die Strömung beschleunigt , wodurch der stat ische Druck lind somit der cp- Wert ab nimmt. Das Druck minimum stellt sich nähcrungsweise am Or t der ma ximalen Profildicke ein. Durch Anste llung erhält man ein a usgcprägtercs Druckminimum . a)

b)

,,I

° t\ - - - --:--c-cc x L

xlL'

Cp - Verlauf ohne Anstellung

Cp - Verlauf mit Anstel lung

Abb. 2 .1. 2b Druckverläufe

c)

(1)

Zur Auswertung der Gleirhnngon (1) sind alle Grö/M'n außer de r 'Icnrpurnt urg rndienten dT / dz gegebell. Die Tempernr.ur nimmt in ein er polytrop en At mos ph är e linear ab (sil'he Au fgabe 2.2.6), so dass sich der Temperat ur gradient m it den gegehencil Temperaturen am Boden und in der Höhe Z i k m = 1 km wie folgt berechnen lässt . dT

TI"'" -

d,

Ta

2 1k m

0

(2)

Mit der Auswert ung der Glctchn ngen ( 1) und (2) orgebou sich die folgondon Zahl enwert e: 7;1 = 286 K , llu = 8:307 In, dT / d z = - 0, 006 /\/ m , 11 = 1, 2 1.

Die ma xima l tragba re Last G max ergibt sieh durch ein Kräftegleichgewicht der Höhe Zn,ax = 12 km :

11111

Ballon in (3)

( FA. 12km

ist die Auftriebskraft in 12 k m Höhe, G fh die Gewicht skraft des TraKgitses).

Dip Masse m it, des Tragg ases ändert sich wäh rend des Ballollaufsti eges nicht. Ih r Gewicht berochnot sich also wie folgt: (4)

Dip Auftriebskraft

F A .12 k m

berechnet sieh mit der Auft riebsformel:

(5)

In der Gleichung (5) st eht V I, da sich der Ba llon in der Höhe Z",ax = 12 k m voll ausgedehnt hat. Znr Auswertung der Gk-ir-hung muss noch die Dichte fJ I2 k m der Luft in der ben-acht eten Höhe erm ittelt werden. Sie lässt sich m it de r in Aufgabe 2.2.6 lx-rcit gest clltcn Formel (8) lx-rechnen. Die Form el lautet : 1' 12/.: ",

=

1'0 '

.,,"" ) """ n -, _1 . , Ho ( 1 - - ,-

(6)

Die Auswert ung der Glei chungen ergib t die folgenden Zahlenwerte: (J12k m = 0, 3 Hi k y / m :l g t' llIii ß Gleichung (6). F A . 12 b " = 4.34.0 N ge mä ß G leichu ng (5). G H, = :~84 N gemiiß Gleichung (4 ).

22

2 " " ",11" "" d" S O. D ie Borand u ng d es h a lbunendl ich en Stro m fe ld es is t gegeb en d urch d ie h ei d en G erad en y = +x u n d y = - x für .T 2: O.

2 x

a) \ Vie v iele Staupu n kte exist ieren im Strom fe ld? Man gebe d ie Koordina t en a n . Abb . 2.3 .2a Inne necke

b ) Man b es tim m e die G leic h u ng II = f(x ) j en er Strom lin ie, d ie durch d en Punkt P , (:c, = I. y, = 0) gcht , s k izziere q u alit a tiv d en Verlauf dieser und d er b enachbar t en St rom li ni e n lind gebe dic Ström u n gsriehtu ng lä ngs d er Strom lin ie n a n . e) Man b etra ch t e a u f d er durch P I ge hen d e n Strom li n ie ein en we iteren Punk t P a, d essen .r-K oc rd'ina t e -ra = 2 sei. W e lche Ze it Llt ve rstreic ht , b is s ich e in P ln ldele ment lä n gs d ieser Strom li n ie votrr P u nkt P , z u rri P 2 b ewegt h a t ? Lö s ung :

ge ge b en :

0, .T1

= 1,

y, =

0, ra = 2

ge s uc ht : a) Staupunkte, Koor dinaten , h)

y~

= f(x ), Skizze, e) Llt

a ) In einem Stau punkt gilt für die GcschwillCligkdtskom pollellteu: u = 0, v = O. Da es sich bei den G leichungen (1) UIII linea re Gleichungen handelt , existiert folglich IIIlI' ein Staupunkt im Strömungsfeld. Die Koordiuutcn des Staupunkt s S lauten somit (xs O. lIs 0) . Der Staupunkt befindet sich also im Koordinatenursprung. b) Die Definit ionsgleichung der Stromlinie lau te t: dy

dx

~

v u

(I ' x

H ' lI

y

=

y · dy = x · dx

(2)

Eine unb est immte Integrat ion von Gleich ung (2) liefert:

!y.d y=!

x · d.r+ C

==}

1 a = _I · x Z + C 2 " 2

- ' 1'

(3)

26

2 Gru ndlagen d er Str ömungsmechanik

Die Integ ru t ionskoust unt e C wird unter Ber ücksichtigung de r Randbedingung im P un kt P t m it ,l} l = Y(J: = LI = 1) = 0 be stimmt :

1

1

2

1

2 · !h =O = 2· x~ + C =2 +C

C ~ -~

===>

(")

Gleichung (4) in Gleichung (3) ein gesetzt , orgtbt : 2 ' :1/

l

A b b . 2 .3 .2h Stromtintenvorlauf

=

2

1

1 2

2

= 2" ' x

;1.2 -

1

=

===>

y = ±~

(5)

Die Strömungsrichtung er hält man aus einer Disk ussion der Vorzeichen der C cschwiudigkeit skomponeut cu u und I ' na ch Gleichung (1). Im angegebenen Dcfiuit ions bernich ist n für alle x posit iv, Für y > 0 nimmt 11 positive werte IIn und für y < () wird u negativ. Der Verla uf der St romlinien ist in Abbildung 2.3.2b skizziert. c) Das Fluidelement legt im Zeitinturvall A t die Strecke A.r = X z - .T l zurück. Da her wird als Ansatz die Dlfferenualglelchung zur Bestimmung der x - Komponen te der Teilche nbahn gewä hlt:

dx

-= u

dt

d x = I/ ·dt = 0 ·y(x ) · d t = 0 ' ~ · d t

=>

=>

1 d.r elt = - . --,;~'" n~

(6)

Die bestimmte Integra tion von Gleichung (6) erfolgt in der Zeit in den Grenzen von () bis li /und im Hilum in de n Grellzen von X I bis X2 , so da ss folgt :

ßt ~ ~ . [I" (x, + ';,l - l) -1 , (X,+';X1-1)] = , = -1 ·II I .:..:.t n

(x,+JXl-l) ;/' 1

(7)

+ v:rr=t

Durch Einsetzen de r Wer te

XI

= 1 und

li / =

J'2

= 2 erhält mall da s Endergebnis:

*. (2 lu

+ 13)

(8)

2 .:~

27

Hydro- und i\ ewdy" am ik, Stromfadentheorie

A u fga be 2 .3 .3

Richtungssta tion ä re Str ömu n g

G egeb e n is t die ins t a tionär e , e b ene Ström u n g ein es inkompr essiblen Fluids in d er [z-, y)- E Le n c fiir .1' > 0 und u > 0 durch die Ges chw ind igke itsko mponcnte n

u(x . t ) = - [A + Ii . s in( w' t)]· x

r( y,t) = [A + B · sin (",' , t) ], Y

(1)

mit d en Konsta nt en A > ß > U. a) Man b es timme die Komponente y (t ) d es B ahnkur venvekt o r s fii r- j enes Fluidt eilc h e n , das s ic h zu m Ze it p u nkt t = 0 im Punkt P (xp , 111' ) b efin d et . b) Man en t w ick le d le G le ich u ng d er Strom li n ie , die durch d en Punkt P geht , s k iz zie re d en Verlau f d er Strom lin ie durch P sowie benachbarter Strom li n ie n u nd ge he d ie St r ömungsrich tung a n. W e lcher So n der fa ll beziig lic h s tat io n ä re m und in s t a tionä rem Verha lt e n liegt hi er vo r ? c ) Man e ntwick le ei ne im p liz it e B est immungs gl ei chung fiir die Zeitdifferenz A t, die vers t r eic ht , bis ein F lu idteilch e n vom Punkt P ( J~P . !JP ) bis zu m Punkt Q (x Q. !JQ ) mit YQ = 3 '111' ge la ngt ist. d) Man b est im me die T - und die y- K om p on e nt e I)" und by d er s u bst a ntiellen B es chleunigung im Strom fe ld in Abhängi gke it von Ort und Zeit. Lösu ng: gege b en : A, 13, w,

X p , YI' , YQ =

3 ' YI'

ge s ucht : a ) y(t ), b) Stromlinie, Ski zze, Sonderfall , c) A t , d) b" , by a ) Die Definit tonsgleichung für die Teilchenbahnkomponente lautet: dy - = t' (2) dt Die gegebene G e~;('h w indi g kcit skomponent(' v( y. t) a us Gk-irhnng (1) in Gleichung (2) eingeset zt, er gibt: dy

dt

=

l'

=

.

[A + ß· sm (w· t )l · y

I

.

_. dIJ = [A + I} . sm (,,",' · y

===}

01· dt

(3)

Durch unhestinunte Int egra t ion von Gleichung (3 ) a uf de r linken Seit e nach 11 undauf der rechte n Seite na ch t erhält man: ln(y ) =

[A. t - g.(,os (w , t)] + Co

(4)

Die Int eg ra t lnns koust unt e Co wird mit Hilfe der Anfa ngsbedingung y(l = 0) = uv besti mmt zu :

ß

11l( yP) = - w

+ Co

Cu = ln (yp )

B +w

(5)

Co in Gk-it-hung (4) eingeSl'lzt , er gibt : IIl(Y) - ln (y p ) = [A .

In

t- !! .cos(",' . t)] +!! ,,",'

===}

,,",'

(!!...) ~ (A .t + ~",' . [l - ",,(w · 1)1) y/,

(6 )

28


Als Endergebnis erhält man für y{t ):

y(t) = YI' · exp

(A ·t + g.(I -cos{w' t)l)

(7)

b) Die Definitionsgleichung der Stromlinie lautet : dy (Lc

=

u

[A + ß · si ll(w ' (lI · Y - [A + ß . sill(' 0 11 = 1 > 0 11 = 1 > 0

t'= o t' = l> O i- = - 1 < 0

2 .:~

31

Hydro- und i\ ew dy" a m ik, Stromfadentheor ie

y

I j

/

p

x

I

- - f o "'6 s

'-- x __II , ' , Abb. 2.3 .4 Stromlinien A u fga be 2 .3 .5

Insta t ionä re St römun g

E in zweid imensio n a les e b e nes instat io nä res St r ö m u ngsfe ld ist gegeben d urch : u = B , .r . t . :-;in(w ' t )

l1 =A

m it t ;::

o lind

( 1)

d en Kons t anten A und B.

a) B e rechnen S ie die Strom li n ie ngle ich u n ge n z u m Zeitpunkt t = 0 und z u einem Zeitpunkt t > O. b ) B est im men S ie d ie Kompon ent e n J:(t ) und y(t ) d es B ahnkur venve k t or s für jenes Fl uid t eilchen, das s ich zu m Zeit p u n kt t = 0 im P u nk t P (xo, Yo ) b efinde t . c ) B estimmen S ie d ie x- und y- K om p o ne nt e bx(x ,y, t ) und by(x ,y, t ) d er s u bs tan t ie lle n Bes chleunigung im Stromfeld . Lösu ng: gegeben : A, B, w, xn, No ges ucht : a] !I,(t = 0) = f(x ), y, (t > 0) = f(J:), b) x (t) , y(t ), c) bx , by a ) Die Dcfiniuousgk-ichung tler St rom linie lautet zum Zeit pu nkt t = 0: v

"

=

v 0 dy = - ,dx = - ·
A

(2)

;'\aeh Integrenon von Gleichung (2) erhält man:

y(x ) = Cl

(3)

C I ist eine Int egra tio nskonsta nte. Sie besit zt für jede Stromlinie eine n bestimmten Wert . Die Stromlin ien VOll Gleichung (3) beschreiben eine Pa ra llelst röm ung entlang der r-Achsc. Für einen fes ten Zeitpunkt t > 0 lautet die Deflntüonsglelchung der Stromlinie : v

"

=

B ·.T · t , :-;ill(W' I) v dy =- ·dx = A - d.r u

(4)

32

2 Grundlagen d er St römungsmechanik

Nach Int eg ra t ion

VOll

Gleichung (4) erhält man:

y(x)

TI·

Z

X

.

t . sill(w . I) 2.A

+

c

(0)

2

C a ist wiederum eine Integr ut.iouskonst uute. D ie Stromlinien von Gleichung (;j) für einen festen Zeit pu nkt t > 0 sin d zu r y- Achse symmet r ische Parabeln .

b)Die Leidr-n Definit ton sgleichungen zur Ermittlung

d.z

- = 11 dt dIJ dt = tr

Na ch In tegra t ion

VOll

VOll

x {t ) lind y(t) lauten:

===>

dx = u·dt =A ·df

(6)

===>

dU = v . d l = ß . x . f . sin(w . t) . dt

(7)

Gleichun g (6) erhalt man:

x(t) = A· t + C3

(8)

Die In t .egrut ionskonstunte C:l bestimmt man mit Hilfe der Anfuugsbr-dinguug zu:

(9)

Setzt mun Gleichung (9) in Gloir-hnng (8) ein erhält man als Ergebnis:

(10)

x(t) = A ·t+~

Da x = f(t ) eine Fun kt io n der Zeit ist , die Funktion (10) ein setzen:

IllUS S 1119> (1/

h)

Als Zahlenwert erhält man: A = 3. G• 1O ~ 5 tl/2 = 0. 36

Aufgabe 2.3 .8

('1/1 2.

Trichter Pu

\Vie la nge sin k t d er W a sserspiegel d es in Abbildun g 2 .3 .8 gezeig ten Trich ters vo n d er Höhe z = /I bi s zu r Höhe z = 1I/ 21 Der Trichter bes it zt di e Höhe f{ = 1 m und a m ob e re n R and e inen Du rchmesser D = 0. 8 111. Die Ausflussöffnung hat di e Querschnittsßäche A = 3 . 10- 4 m 2 •

Hinwei s: Abb. 2 .3 .8 Mit Wa.'iS(·1' gefüllt er Die Ausfluss strömung soll als reibungsfre i und als qua si-s t ationär a ngen om men werTrichter d en (d. h . di e zeitlich e A b leitu ng d er Gesch wind igke it in d er Her n ou lli- G le ichu n g für instationärc Strö mungen kann vern ac h läss igt werden) .

36


Lösu ng: gegeben: JJ = I m , D = gesucht :

Ü. 8 1/1 ,

A = :3 cm 2 , !J = 9. 81 mj.~2

Absinkdauer T

Zur Lös ung der Aufgabe wird die Lage des \\'assefs piegd s an eine r beliebigen Stelle z zum Zeitpu nkt. t betrachtet.. An dieser St elle .r be sitzt der Trichter 11"11 D urchmesser d. Der Wa sserspiegel sinkt m it 11o -

=

C ma x '

2 2 'P2 . C",ax = Po + 'P2 . eil",:
0 phy sikalisch releva nt sind. Da mit laut et das Ergebnis: C2.m

v ·L

= - 8 , - ,r

+

J

v 2.L2

G-l · - -, -

r

+ 2 . 9 • 11

h) Zur Lösung wird ein St romfaden vom P unkt (Index ' }') bis ZU lU Aust ritt der Rohrleitu ng (Index '2') gelegt. Ent lan g des Stromfadens wird wieder die Bernoulli-Gloichung für inkompressible St.römungon m it Verhrst term a ngewendet. Sie lau tet: (6)

Aus de r Kont inui t ät sgleichu ng f l'l = \12 im Rohrst ück VOll 1 na ch 2 folgt wegen des konst aute n Durchmesser s CI = C2 = C2.1Il' Für die Höhe gilt bei gleiche m Nullniveau wie in Aufgabenteil a] ZI = Z2 = O. Für den Dru ck P I gilt P I = 2 · p". Am Austr itt gilt wegen der Freist ra hlbodinguu g p-, = ])" . Da mit ergibt sich a us Gloichuu g (0): 2 · Pa = Pa + l:::.PV.I _2

=?

Pa = l:::.PV,I _2

:\lit der Gleichung (3) für die Hagen-Poisouillo-St rönu mg und - l:::.PV.I_ Z/ L 1 folgt hiuruus: Pa =

8 ·p ·v· L I ,.2

C U1

(7) = ca.», und dp/ ds =

(8)

46

2 Gru ndlagen d er St römungsmechanik

Die Umstellu ng d ieser Gleichung liefer t das Er gebnis für d ie gemlu clte Geschwindigkeit:

(;2.",

= 8 . {J '

1/ .

(9)

LI

Die Revnolds-Za hl be rechnet sich aus: (: 2.",'

R eo =

2·

D

(:2 .", '

v

r

v

(10)

Mit Gleichung (9) erhält man daraus d ie Itcy uold s-Za hl zu:

c) Für d ie Strömung wird wie in Aufgabenn-il a) ein Stromfaden VOIll Flflsslgkolt ssplegel (Index '0') bis Z U IIl Austritt der Rohr leit ung {Inde x '2') gelegt. Ent lan g des St romfadens wird die Bemoulli-G k-ichung für inkompr essible St r öinungcn mit Verlus t term an gewendet . Es gilt wiederum Co = 0, Zo = 11 , ea = 0, 1'2 = Pa und C2 = C2 .", . Fiir (\
(11)

2 .:~ tl yd ro-

und i\ ew d y" a m ik, Stroll l fad\'n th\~) ri e

51

Für das er st e Integ ral aus Gleichung (6) er gibt sich jetzt mit den Gleichungen (11) und (9),

J'

c l"

dh · d ( L ,.) = d · dx

"

J'[

,.) , + 2· a ,(a+ h), 1 -2 · x - a 2 • ( L

Z

u

- h · (4 · a + b) · = d.

[z - (f)

I

L (LX)' + 2· b' · (XL )'] - d (X)

~. a 2 . (fY + ~ . a . (a + h)· J

2 -

_ ~ . b , (4. 1\ + h) ' (:")5+ ~ . I} L

v

= d.

«r

3

25

(~ . a 2 - 1~) . a ' b + 1

(zf

. ( :")'] , L u (12)

. \} )

Für das zweite Int eg ra l aus (I lcichnng (6) ergibt sich mit der Gleichung (10) :

J"'

Cf'
(X) 2 ·0 J ' [ (XI )! I = .,;c:;,' /l '

,

b·

~ 2.:.::. ! - ~o .,;c:;, . [~3 .a . (:") L ~ i.:..':. . ( ~ . a - ~ . 3

~

5

(X) I !]· d (X) I b

b)

(:") !]'() L (13)

Setzt. man d ie Gl eichungen (12 ) und (13) in Gleichung (6) ciu , erhält man für den cw = 2 · d ·

(' , 3

2 ') + -.,;c:;,:J 8·0 - . (1

- · a - - · 1\ · b + - · 1> (j 10 15

I)

- · a ~-· h

5

cw ~ ,,'('rt :

(14)

Aus Gleich ung (4) folgt da nn mit (14) uud m it der Fl äche A = L· T :

(15) ~lit den Konstanten a, b , d und c erhält man dami t für den Widersta nd \ F des P rofils das Ergebnis:

IV = 4, p' L , T,

" fc' (3-+-.4h_ =))

+ O J,12· .

(C;"su llillax . [7 + 10 . h lllax ] .z. L

-

L

'e ! '

""

m

5

3

L

52

2. 3 .3

2 G rund lagPIl der S t röllJ llllg~I!Il'('halli k

Kom pressib le Strömu nge n

A ufgabe 2. 3. 15

Tragfliige lu mströmung

Auf ein em Tragflüge l b e trä gt d ie m ax imale Strö mungsgeschwind ig ke it CI a rn Grenzsch ic htrand das 1,7 -fa ch e d er Ans t römgeschwi ndigkei t C oo (s ie he A b b. A bb. 2 .3 .15 Tragfi ügelumst r ömung 2. 3. 15). Wie groß ist a n d e r Stelle d er größten Übergeschw indigkeit CI d ie ört liche Mach-Zah l J\!] , wenn di e AuströmMach-Zah l .\1""" = 0, [) ist ? Es soll d ie r elh ungsfr ele A ußenströ m ung b ehandelt werden . Lös u ng: gegeben: ,\ [""", Cl = I , 7· coo , " = 1,4 gesuc ht: 111] Zur Lösung der Aufgabe wird die! Bcrnoulli-C leichuug für komp ressible und stat ionäre Strömungen entlang eines Stromfadens VOll der Zuströmung bis zur Stelle 1 a ngewendet. Sie la ut et: a~

c~

a~

c~

(1)

-- +- ~-- +

K- l

2

K- l

2

Gloichnug ( I ) auf beideu Soitcn durch c~ dividiert , ergi bt :

' + ~2 ( "'-) Cl od er na ch

CJfOI

(2)

= Al] umgeformt :

(3)

Set zt man die Gleichungen Cl

= 1,7 · coo

in die Gleichung (3) ein, so erhält man die folgende Berechnungsformel zur Bestimmung der gesuchte n Mach -Zahl Al]: 1

" I . [(T,f1)' - 1] + (1 I --Tn )' . .u~

2 .:~

53


A u fga be 2.3 .1 6

D ruckluftkes sel

E in großer Dru ckluftkess el (Kcsseldru ck Pb K ess el t empe ratur n ) b es itzt e in e Ablas söffnung mit d er Aus t rittsquerschnittflä che A , (s ie he A b b. 2.3 .16a ) . Es soll der sekünd lic h in die Atm osp häre (der Atmosp hären druc k is t Po) a usflie ßend e Massenstrom 1it b e r ech ne t werden. D a z u soll a ngenom men werden , das s a) die S tröm u ng rei b u ngsfrei und inkomp r essibel is t ,

b) die Strömung is entrop und kompressibel ist. Vor d ie Ablas söffnung mit d er Qllerschllittsfl äche A , w ir d ein E rweiter u ngss t ilck mit d e r Austr ittsq uerschn ittßäche A z gesetzt (s ie he A b b . 2 .3.16b) . Wie groß is t m it d e m Erweiterungsstück d er sek ü nd lic h a usfließen d e Massenstrom we n n w ie der angenom men werden soll , dass c) d ie Ström u ng reib u ngs frei u nd in kom p ress ib el is t , d) die Ström u ng is ent r op u nd kompres si b el ist. Fo lgen de Zahlenwe rte s in d fii r die R echnung gege ben : Pk = :1.7 bar , Po = 1 bar, Tk = 300 I

= 1, 4 .

Lösu ng: gegeben : ]Jk, Po, Tk, A l , A z , R, gesucht :

f>

Für a) • 11 ) 11/

a] Für die nachfo lgenden Rechnungen wird die Dichte im Kessel benötigt . Sie lii:-;st sich mit tels der idea len Gas gleichung berechnen: fJk =

Pk

Ji , T k

Als Za hlenwer t ergibt sich für d ie Luftdicht e im Kessel: st rom /;/ berechnet sich mit der Kontinuit ät sgleichung:

{Jk

= 4. 297 kg / m 3 . Der Massen-

( 1)

In Gleichung (1) ist die Austrittsgeschwi ndigkeit CA 1I0ch unbekannt . Sie wird nachfolgend mit der Bcr noulli-Glclchung fiir inkom pressible Strömungen er mittelt . Dazu wird die Gleidnmg entlang eines Stromfadens vom Innerr-n des Kessels his zum Austrittsquerschnitt

P k .Tl
;I. v/]>o,,, ermittelt worden . Mit diesem Zahlenwert berechnet sieh der Gesa mtd ruck unmittelbar hinter dem verdichtUIlp;sstOf, zu : P~. v = :3. 85 !IU I'.

f) In dem Austrittsquerschnitt mit der Fläche ,.h nimm t die Strömung den Druck J!u der At tuosphiire an . Zur Bestimmung des Atmosphärendrucks Pu IIlU SS also der Druck im Aust rtusquorschnitt ermittelt werden. Da die Strömung über den Vcrdlchtungsstof nicht iscntrop verl äuft ist es für die weit ere Rechnung zweckmä ßig, die Strömung im Querschnit t mit der Fläche A v hint er dem Verdichrungsst of al s eine St römling zu be trachten, die durch eine isent rope Entspannu ng in einer anderen Laval- Düse vom Kesselzust a nd ( jJ~. \" T~. \,) entstande n ist. Die "andere, nur geda chte" Laval-D üsc wird in diPse!' Aufgabe als Ersa t zd üse bezoir-hnot , Für sk~ kann mit der bereit s angcwcndcrcn Formel die Fläche A" des engsten Querschnitts berechnet

werden: (

1+

-_1 . (M a - 1)) K +1 \' K -

;1*' =

--".±L.

"·-0

2,56 cm 2

Mit der bekannt en Fläche A·' ist die linke Seite der Gleichung:

-112 A"

~

n: --1 . p I,z - 1 , ( 1+ -

Al z

n: +1

--".±L.

l) ) ~

2 ,:~

GI


beka nnt , so da ss mit ihr die Strömungs-Mach-Zahl '\/2 im Querschn itt m it der Flä che Al it erat iv besti mmt werden kann. Da s Flächenverhältnis beträgt AdAo l = 1, 5-!, und für die Mach-Zahl erhält ma n de n \\'ert .Hz = 0,42, Der Drn ck ]Jz der Strömung im Austrtttsqucrscbutu ermittelt sich mit der Gleichung zu: l'2 =Pu =

Aufgab e 2.3 .19

(1 +

T

p~ , v

1

.

· A/n ~

,

= .JAI bar

Wiedereintritts8ug zeug

Vo r einem Wiedereintritts8ug zeug b ildet s ich b ei m E in tritt in die A tmosphäre eine r.,», Ko p fwe lle a us. D iese kann u äb e rungs wei s e a ls sen k rechter Stoß b ehand el t werden (s ie he A b b ildung 2 .3.1 9 ) . Mit A usnah me d e r K op fwe lle is t die Ström u ng is entrop. A b b. 2.3 .19 W ie{lereiut rit t Sßllgzeug Die Atmos phäre ist a ls id eales G as z u b etrach ten mit ", = 1.4 und R = 287 J /k,g/ K . Die Ström u ng ist e ben , ad iabat und r eibungsfrei .

-

a) B erechnen S ie d ie Dichte f' x ' W el che Mach-Zah l M x s owie welc h e d a zugehöri ge Geschwind igkeit C x ist m a ximal e rlau bt , d amit die zu lässige Tem peratur To.ll lax im Staupunkt d es Orb iters nicht iiberschritten wi rd ? b) B e r echnen Sie fiir d en Elug zus t and a u s der vorherigen T eilaufgabe d ie Mach- Zah l M 2 , d ie Geschwin d ig ke it C2, d en Druck 1J2 und die Dichte fJ2 unmittelbar hint e r d e m Ve rd ichtungsst oß. Ermit teln S ie dort d en Staudruck 1JO,2 ' Lösu ng: gege ben :

K

= 1,4 ,

n=

287

11I2 / ( .
.t . sin

(" ')

(9)

.ßt

Der gesuchte Druckverla uf J.I2(t ) folgt a us Gleichu ng (!J) un ter Bea cht ung von Gleichung (-I). :\lall erhä lt :

p,(i)

~ p, -

r(i J

+p · L ·

V

Ar.a

[1+co, ("if)

r

1r

2 . t:>.t . Sill

(10)

( :;/ )

c) Zur Anwendung des Impulssa t zes wird der in Abbildung 2.4.11c eingezeichnete äuIM'I"e Ko ntr ollra um a ngewendet. Aufgrund de r Symmetr ie der Anor d nung heben sich die x

1------1 I I 1 1

I

1

A h h. 2.4 .1 1c Kont rollraum und Kriift esk izze

~

l I I

/-;~

I ~

I

1

86


Druckkräft e in y- un d e-It lcht ung gegenseit ig a uf. Der Impulssa t z muss daher nur für die .1:- Richt IlUg angeschrieben werden. Es wirken Itup ulskriifte, Druckk rä fte. d ie mecha nische Kraft F:-; und die ges uchte Ha ltekraft Pli , so da ss folgt :

f h + f b:j - H 4 - FD_1-

f:" + f i-t =

()

(11)

Für die beiden Impulskräfte gilt:

IFl:l I =

p.

c5' A l

(12)

Die Druckkraft FD4 wirkt auf den gesa mten Kont rollraumquerschni t t an de r Stelle .1, der sich aus de r Summe au s durchst röm tem Q uerschni t t A a lind dem Querschnitt des Na dels chaftes A;'>I zusa mmensetz t. All der St elle 3 wirkt die Druc kkraft a usschließlich a uf den d ur chst römten Rmgkrcis querscb nit t A3 , da die auf A :-; wirken de Kraft durch die Vari able F~ bereit s berü cksichtigt wurde . Es gilt : (13) Ans Gleichung (11) folgt mit den Gleichungr-n (12) lind (13) : (14)

G leichun g (14) ent hä lt m it C3, C4 lind 1':1 noch d rei unbekannte Gr ößen , die auf gege bene Größen zur ückzuführen sind, P3 best immt man m it der Bcrnoulli- Glcich ung, die lä ngs ein es Stromfadens von der Stelle 3 zur Ste lle 4 angewa nd t wird : 1'3 +

'12 · P · C32 = 1'" + '2I ' P ·C42

Die Geschwindigkeit en (;3 und dem gegebenen Volumenstro m.

(;4

1 ' (C42 - C3' ) P:I = P,, + '2'P

(15)

be rech nen sich mittels der Kontinuit ät sgleichung a us

C4

V

(16)

= -

A,

l\lit den Gleichungen (16) lind (13) folgt a us Gk-irhung (14):

}''11 = }'' :'-/ - '2I . p. i!"2 A ~· A :1 ' Aufgabe 2. 4.1 2

(,A1')' · + a

- 1

p" . J I :'-/

(17)

Sc h u b umkeh r

Für U nters uch u ngen d es Wirkprinzips einer Trie bwerks clm b u m ke h r zu m Abbrems en VOll F lugzeu ge n w ird d er in Abbildung 2.4 .12a s k izzie r te Versuchss t a nd a u fge bau t. Ein Flüssi gk eits s trahl d er konstanten Dicht e p t r itt mit d er kons t anten G es chwindigkeit Cl a u s e iner rechteckigen Düse d er H öhe lt l und d e r B re it e b sen k rec ht zu r Zei cheneb ene in d ie fr ei e U m ge b ung d es Drucks p" a ns. M ittels e in e r in z- R ic ht u ng versch ie bbar angeordne t en Umle n ksc hau fe l w ir d e in Teil d es S trah le s I umgel enkt und ve rlässt die U m le n ks c h a u fe l mit ve ränd ert er Richtung ( \V in ke l o } und geä n d erte m R ec hteckq u e rsch n itt (H ö he

87

2.4 Technische StrÖlTlUli gell

p

, I, Abb. 2 .4 .12 a Schubumkehr beim Triebwerk

112. Breite b) . D as Geschwindigkeitsprofil an dieser Stelle 2 ist durch eine lin eare Funktion mit den W e rten (;2 = 0 an d er Sc hau felwand .~ = 0 lind C2.,,'"'' a n d er Strahloberflü ch e 8 = h 2 modelliert. D er T eilstrahl 3 hat di e variable Höhe z mit 0 :::; z :::; 11 1 und die Breite b sen k rech t zu r Zei chenebene . Die Gesch windigk eit (;3 ist konstant üb er d em Q u erschnitt a n d er St elle :t Die Strömung ist s t a t ion ä r und d er E in fluss d er Erdschwere ist ver n ac h läseigb ar , a) Bes timmen Sie die Teilstrah lgeschw in d igke it

(;:j

an d er Stelle

:J.

b ) Erm itteln S ie d ie G leic hu ng d er Geschw in d igke itsverte ilu ng C2( S) a n d er Stelle 2 a ls Fn n kt ion von .~ in A b hängig ke it d es noch unbek annt en Paramet ers h 2 sowie des vorgegebenen P aramet ers C2.",a,, ' c) Bes timmen Sie die Höhe h 2 (z ) d es Strahlquer schnitte s a n d er Ste lle 2. d) Di e U m le n ks cha u fel wird nun in e iner gegebenen Position z = h 3 a r ret ie rt. D amit sin d a uc h 11 2 lind C2.",a" festgel egt . Bestim men S ie in Ab hä ngigke it gegeb ener G röß en d ie H or izontal - und Vertika lkomponente d er H a ltekraft f~ nach Größe und R ich tung . di e a n d er Sc hau fe l a ngreifen muss, damit sich di ese im Glei chgewicht b efindet . Lös u ng: für Tellaufgabe d) zus ätzlich 11 2 • h 3

gegeben : p.

CI,

h l , b, o,

(;2 ."",,,

ges uc ht:

C3,

b)

c) h2 (z), cl ) f~

a)

C2( S),

a ] Zur Lösung wird die Bernoulli-Gleichnng von der Stelle 1 his zur St elle 3 a ngesetzt: Pa + ;'\ a dl

der Auftösuug

VOll

21 · p·C21 =

Gleichung (1) nach

Pa + (;;j

21 ' p'C32

( 1)

erhält man für dle gesuchte Geschwtndlg-

kci t:

(2)

h) Die Geschwindig keit sverteil ung a n der Stelle 2 ist linea r. Deshalb gilt der Ansat z (3)

88

2 Grundlagen d er St römungsmechanik

mit den Ko nst a nten K , lind K2 lind den Ra ndbcdtngungcn : (4) (5) Aus Gleichung (4) folgt 1. ablesen lässt . Im Ra hmen der Ablesegenauigkeit erhält man hier 100 · ). :::: 1, 6 un d so mit>. = 0, 016. Da die Innenwand des Roh res hydraulisch glatt ist , kann der Verlustkoeffizient >. bei der vorliegenden Rcy nold s-Zah l Rev = 1, 6(j . 105 auch mit der impliziten Fo rmel von P ra ndt l bes t immt werden. Er bes t imm t sieh mit der Heyn olds -Zahl Rel) = 1, ()ü . 10" lind der zuletzt genannten ~ lögliehkpit zu: ). = 0 , 0 1G2, so dass sieh mit der Gleichung (6) für h der Zahlenwer t h = 3.4:3 m ergi bt. d) Da sieh der Volumenstrom verdoppelt hat, verdoppelt sieh F;emiiF, Gloichuug (1) auch die Austrittsgoschwiudigkcit ('2, Sie betragt also: ('2= 12 m] », e} Für eine isotherme Verdichtung gilt gemäß der Gasgleichung für ideale Gase die Bczichung:]J" V = koust. Im Behä lter herrscht vor der Verdicht ung der Dru ck Po der Atmosphäre und das Volumen beträgt (I I - 11 ), (11" ' fJ 2)j 4 ( fJ ist der Durchmesser des Behält ers) , X ach der Verdich tung wirkt der Druck 1" im Behä lter und das Luft volumen hat sich auf den Wert (I I - h' ), (11"' fp )/ 4 verk leinert. Gpmäf; der idealen Gasgleichung gilt a lso: 1f · fJ2 1I" , fJ 2 - 4- ' (Il - 11 ) ' Pu = - 4-' ( Il - 11' ) .p'

JI - h

I

p = PO' - -

::::::;..

.

II - h'

(7)

f) Zur Berechnung von 11 ' wird die Bcr noulü- Glet cbung für inkompressible Strömungen un ter Ber iicksicht.igung der Strömungsverluste von der Stelle 1 zur Stelle 2 angewendet. Sie la ut et: P

2

P

I

PI +"2 ' CI + p. g ' {n + h ) =

[12 +"2

'2

(8)

. ('2 + D.pv

Die Absinkgeschwindigkeit des Wasserspit'gels ist gering. also: ('~ :::: O. DeI" Druck PI auf der Wassero!)('r fiäehe im Behä lter beträgt PI = P' und für den Dr uck P2 gilt : P2 = Po, Dam it vere infacht sieh die Gleichung (8) auf die Gleichung: I

P

,

'2

Jl + P '.rJ' (f1 + h ) = Po + "2 . (;2 + D.pv

(9)

pi gelIliiß Gleichung (7) und D.pv W~lll;iF, D. pv = (p/2)· c~2 . ( ). I . l id + (E + ( K + ( A) in Gleichung (9) eingesetzt , ergi bt die folgende Gleichung zur Berechn ung von 11' : /{ - 11 I P '2 II _ hl· PII + p · !I · (a + h ) = pu + "2 · (;2·

(

,I ) 1 +), · D + ( E + (K + ( A

(10)

Xlit eine r einfachen Rechnung lässt sieh die Gleichung (10) auf die folgende Form bringen:

11,2 + A ' h'

+B = "

°

(11)

A =a -lI - -C2·( 1 +).,' I ~+(E+(K+(A) - Pli 2 ·g D p .g

po·h P '!I

('2

" · ß ~ -- - a· J( + 2 '9

(

1 + ).

I

l D

' ~ + (E + (K + (,\

)

· 11

99

2 .4 Ted lllisd l\' Strömungen

Zur Auswert ung de r Glei chung (11) muss noch der Verlus t koeffizient X ermittelt werden. Da angenommen werden soll, dass die Innenwa nd des Rohres hyd ra ulisch gla tt ist , kann der Verlustkoeffi zien t mit de r Formel von P raudt l beruehnut werden. Für die RoynoldsZa hl Re~) erhä lt man den \\'ef t R e~) = :3,3 1 ·10" un d für X den \\'ert X = 0.0 13. Die quad ra tische G leichung (11) nac h },' a ufgelöst , erg ibt d ie endgül tige Formel zur ljestimmung von h' :

h' = -~ ±/(~r -13

(12)

Die Berechnung der Zahlenwerte lieferte d ie folgen den \\'ert e:

13 = 125 m 2

A = - :n , 2 TfI

h ~ = 2(j,5 m

Die physika lisch sinnvolle Lösung ist h' = g)

~ l it

h~

= 4, 7 m , da h', gröfsor als II ist.

der Formel :

.6. D

~

12, G4 - -,Reb

berechnet sieh d ie Dicke .6. der viskosen Unt erschicht für dCII Fa ll V' = 2 , \1 zu (Ren = 3,:31 . 10'»: .6. = 2.53 · 10- " TI! • .6. ist gr öber als die mittlere Sa udkomrauhigkei t k~ ; d .h. die Innenwa nd des Rohres kann als hyd ra ulisch glatt ang esehen werden.

A u fga be 2.4 .1 7

Pumpe n a nlage

E in e P u mpe förd ert a us e ine m See d en Vo lu m e nstrom \> = 0,06 m 3 [ « durch e in R ohr d es Dur chmes sers d = 0, 1 1Il lin d d er Länge I = 18 TI! in einen tu n II = 15 TI! höher liegenden Hoch b e hälter (s ie h e Abb . 2 .4 .1 7) . Dabei trete n folgen de Verluste a uf: Rohrre ib u ngsverluste (.\ = 0, 0:1), Verluste am Ei ntritt ( E = 0, :3) . Verlus t e im Kr ümmer ( 1\ = 0.4) und Ve rlus t e am Aus tritt ( A = 0, 8).

"

J \~

Po

S,

j

d

--'z

11 ~

--l

A bb. 2.4 .1 7 P umpena nlage

a ) W elche Höhe z über d em W a ss erspiege l d arf die Pump e hö chs t ens h a b en, dam it im Roh r d er D ampfdruck PD des W ass ers (PD = 40(}O N/ ", 2) nicht u n t ers chr it ten w ir d? Der A ußend r uck Po b e t r ä gt Po = 1 bar . b ) W elche P u m penleist u ng L is t erforderlich ?

100

2 G ru nd lagen d er

St rÖIfluJlg~ ""'rhaJl i k

Lö s u ng : gegebe n: JJ = 15 7/1, d = 0,1111 , l = 18 m,). = 0, 0:3, CE = 0.:3, (K = 0,4 , CA = 0. 8, i'" = 0,06 11/3 j s, Jlo = I/mI' , PD = 4000 N /m 2 , p = 1000 k,q j m 3 gesu cht:

a ) z, b) L

a ) Zur Berechnung der maximalen Höhe z wird d ie Bcrnculli- Gleic hung für inkompressible Strömungen entlang eine s SI rom faden s VOll der Stelle 1 zur Stelle 2 unter Ber ücksicht igung der a uft retenden Strömungsverluste angewendet. Die Stelle 2 liegt unmittelbar unterhalb der P um pe, Die Bcrnoulll-Glcichung lautet : (1)

Die Geschwindigkeit Cl ist Xull uud für den Dru ck PI gilt: PI = Pu- Da mit rief Gleichung (1) die ma ximale Höhe z lx-rechnet wird, ist für de n Dru ck J!2 der Da mpfd ru ck PD einzusutzeu , also: J!2 = PD. VOll der Stelle I zur Stelle 2 treten Einlauf- und Rohrreib ung sver luste auf. Für sie gilt:

Die entsprechenden Drücke für PI un d fJ2 sowie die Str ömungsverluste ö n, gemäß G leichuug (2) in Gleichung (1) eingeset zt , erg ibt die folgende Gleichung:

In Gleichung (3) ist die Strömungsgeschwindigkeit mit der Kont inuit ätsglcirhung bestimmt: 7r _

J2

_

c2 - - - = F 4

::::::;..

C2

C2 =

im Hohr noch unbekannt. Sie wird 4"F ,- . cf'

(4)

w' miiß Gleidnmg (4) in Gleichung (3) eingesetzt , ergibt das gesuchte Ergebnis für di e maximale Höhe z :

C2

Po - PD P

82" ill~ - {I + ( F;)

7r

- (

8 _ y2 >..

"q + ;r:-;rr "(l b) Zur Berechnung der erforderlichen P umpenleist ung wird die Bemoulli-Glcichung ent lang eine s Stromfadens VO ll der Stelle 1 zur Stelle 3 angewendet. Da bei werden die Strümungsvcrluste und d ie En ergiezufuhr d urch die P umpe berücksichtigt . Die Bcr noulliGleichung lautet : ]Jl

+ "2P 'CI2 + !:!.lp =

]J:l

P 2 + "2' c.1 + (J·!J · ll + !:!.p"

(5)

101

2.4 Ted lllisd l\' Strömungen

ß [I' ist die auf das Volumen bezogene Arbeit , die de m Mediu m zugeführt wird (l ß l p) = [N m./m3 ] = [N/ 1H Z]) . Die Drücke PI und 1'3 sind gleich dem Atmosphärend ruc k Po. Sie heben sieh a lso in der Glei chung (5) gogensoitig auf. Die Absink- hzw. Steiggeschw indigkeit der \Yassewherfliid u'u an d un Sn-llcn 1 und 3 sind klein, so das s sie in der Ik-ruoulliGleichung verna chl ässigt werden können. Ma n er hält a lso folgondo vereinfachte Gloichuug: ß l p = p ' g ' II

+ ß pv

(6)

Von der Stelle 1 bis zur Ste lle 3 treten Rohrroibungs - , Einlanf- , Umlenk - und Aust ritt svcrlustc auf. Ihre Summe hisst sich wie folgt. formulieren: (7) c ist. die Strömungsgeschwindigkeit im Rohr. Sie ist gleich der Geschwindigkeit cz- !::J. pv

gemäß Gleichung (7) in Gleichung (6) eingesetzt , ergibt. mit c = cz die folgende Gleichung: (8)

Erset zt man in Glei chung (8) die Strömungsgeschwindigkeit ca durch die Gleichung (4), er häl t man für die au f das Volumen bozogono P utnpenurbeit die folgende Formel : !::J. [" = p. g . 1/

+p'

8,V' ( 1 >. . d + (E + ( K + (A )

(9)

1T2 . r/4'

Die erforderliche Pumpenleis t ung ergibt sieh m it der G leichung L = ß l p ' (r dann zu: . L = ßll" V =

(I '

. g ' ll · V

+p'

8 · V,

~.

( >. . dI + (E + (K + (A )

= 20 , 9 HF

A ufgab e 2.4 .18 R ohr leitungssy s t em e iner P u m p e nanlage In e inem Kraftwe r k w ir d mit e iner Pumpe K ond ensat mit d em Massenstro m 1;1 a us e in e m Kond ens atbe hä lt er zum Speis ewa ss erbe h ä lt er ge fö rder t. D ie Rohrlei tung u nd die Rohrle it u n gsel eme nte s in d e ntsp rechend d e r A bbild u n g 2 .4 .18 a n geo r d net. Das Rohrleitu ng ssy stem h a t einen Durchme ss e r d l b is zu r P ump e lind ein en D urchmess er d:J vou der Pumpe b is z u m S p e isewasserbehä lt er . I m K onfuser 11 vor d er Pumpe w ird d er Durch m es ser a u f die G röße dz reduzi ert . D e r Druck im Konden sat b e hälter b e t r äg t PK = [) bar u u d d er d es Speis ewasserb e hälters Ps = 10 bar, D as W as se r im K ondensa t b ehält e r is t ges ä ttigt (kinem a t isc he Viskos it ä t v, Di cht e p). In a ll e n R ohre n (Lä n ge n l2, I ~, [n, h, [10, 112, 114, [Uh 120' lz2' 124, 12(>! Iaa) tre t e n R oh rre ibu n gs ve r lu s t e a uf. Di e R ohre h a b en eine ä q u iva le u t e mittle re Saud koruran higke it ks . Zu sätzlich s in d fol gende Ve rlust e zu b erücksi chtigen: E intritts verlu ste ((1), Krümmerve rlus t e (( 3. ( 7' (9. (1:10 (I !), (21. ( 2:10 ( 25. (27) , Ve rlus t e in d er Riickschla gkla pp e ((-,) , K o nfu sorverlu ste (( Il ) , K o n usverluste ( 15' ( 17) , Ventilverlus t e (( 16) im Regelve ntil und A u strit t sverluste (( Z9)' D ie zugehör ige n Ve rlu s t ko effiziente n s in d mit d en

102

2 G ru nd lage n der

StrÖIfluJlg~""'rhaJlik

P, Speisewa ssertank

1" Kond ensatbehälter

I

I

_ I I ~_

1

" Iq

I' \ompc --------'-

,; 1 1 I- -.!o_

SII

A,

R A b b . 2 .4 .18 Rohrleit un gssystem einer P umpenanlage

Geschwin d ig ke ite n in d e n j e weiligen R ohrlei tun gen zn b erechnen. Di e Fliiss ig ke its höhen h K u nd h s in d en b e iden Behältern kö nnen a ls unverän derlic h a ngese hen werden . a) Man b ere chne die Drücke p" und Pli v o r und n a ch d e r Pumpe.

b ) Man b er echne die gleich wertigen Längen lK r und fit e ines Rohres d es D urch m essers d, und d e r R auhigkei t k" in d e m die gleichen Verluste entsteh en w ie in d en K rümme rn 3 , 7 b zw , 9 und w ie in der Rücksch lagk la p pe 5. Hinwei s: D ie D icht e lin d d ie kine m a tische Viskosi tät des W as se r s s in d kons ta n t. Man kann mit d en m ittle re n S trö m u llgsgeschwind igkeite n r e chnen. Lö sung : gege ben : ri! = 2;l k y/s , fJ = !)l5. :3 ky !m;\ v = 1, 97 · 1O- 7 111 2 / 8 , !J = 9, 8 1 111 /8 2 , hK = 5 111, h s = 15 m , d, = 0, 2 m; da = 0, 15 111 , (h = 0, 125 TrI , 12 = 1 111, f4 = f 20 = hl = 5 m , /r; = f8 = 110 = h 2 = :J m , 1'2 = O, :.J m , l 14 = / 28 = 0,5 m , fl/I, = 0 . 8 m , b; = 7 m, k" = 5 . 10- 5 111 , (, = 0, 5, (3 = (7 = (9 = ( 11 = ('3 = ( '9 = (2 ' = (2;J = (2[, = (27 = 0. 2, (r; = 2,:3, (, r; = ('7 = O. 15, ( '6 = :3. 0, (29 = 1,0 gesuc ht :

a ) pv ,

p", b)

in

lK r>

a) Die Verlust koeffizienten "01' der P umpe sind auf die Geschwindi gkeit in den Bohren mit dem Durchmesser d, bezogen. Die Geschwindigkeit vor der P umpe wird mit c, bezeichnet. Sie ergib t sieh aus dem Xlassenst rom: .

111 = fJ '

c, . A , = fJ' c, .-•4 .d,I

er =

4 · ,ir 4 2 = 0. 8 1II j.~

7r •

o: '1

(1)

103


Der Dru ckverlust 6.p" . 1-

11

in dem Rohr leit ungssystem vor d er P umpe berechnet sich aus:

{

i = 1,:1.5, 7, 9 2.4, 6 ,8 , 10

J=

Da d ie Roh re vor de r P umpe d en gleichen Dur chmesser lin d die gleiche Sandkor nra uldgkcit besitzen , ist der Verlustbeiwert in allen Rohren gleich , d . h. >'j = >' 1' Da mit ergibt sich für d en Drnck vcrlnst :

1,:J,~,7.9 { J~ :- 2.4 ,G, 8, 10 Zur Bcs ü mm uug des Verlustbeiwertes

wird die Rey nold s-Zahl benötigt :

>' 1

CI '

(2)

dl

Re = - - = 8 12000 v

(3)

F ü r d as Verhältnis des Rohrdurchmesser s zur Sandkornrauhlgkclt ergibt sich:

~I

(4)

= 4000

"

Xlit tlcn Zahlenwerten au s de n Gle ichungen (3 ) un d (4) kann ma ll im Xiku radsc-Diagramm d en Zahlenwert >' 1 = 0, 015 für den \ 'erlus t boiwert ablesen , Mit dtescm Verlustbeiwert . der Geschwindigkeit aus Gleich ung (1) un d den gegebenen Zahlenwerten kann der Du rckverlust mit Gleichung (2) be rechnet werden. :\Ian erhält als Za hlenwert 6. P" ,I_ 11 = 1390 Pa. Die Bernoullt-Glcicäung zuzuglieh der Druc kverluste zwischen d er Sp icgr-loberfiä chc des Kondensa tb eh äl tcr s (Stelle 0) und dem P umpeneint.rit t. (St elle Pv ) la utet : P1I

+ 2"I ' p. 1":02 + p '!J' ZO =

]I)'"

2 + 2"1 . p ' ('Pv + P '!J ' ZPv + 6.P" ,I _ 11

(5)

Das Xullniveau wird auf die Höhe der P umpe gelegt. Damit gilt Zo = 111\. und Z P v = O. Der Dru ck auf de r Spiegeloberfläche im Kondensatbehiilre r ist gegeben (Pu = ]lK) und die Geschwind igkeit ist vernachlässigbar klein (ro = 0), Der Dru ck PPv ist der gesuchte Druck 1J" . Die Gesch wind igkeit am Eintritt in d ie P u mpe wird mit C2 bezeichnet , sodass gilt ('1' " = (:2 . Eingesetzt in Gletchuug (5) ergibt sich für d en gesuchten Dru ck: Pv

= PK

+ P '!J' hl\.

2"1 -p . c22 -

-

:\li t der Konti nui tat sgleichung folgt aus d em Mas sens t rom die Geschwindigkeit m. = p , c 2 '

('2

=

A2

(6)

6.1'" ,1_ 11 1":2:

=P ' C2 ' -" '([,2

4 · 1;/ 52

Jr ' P ' u2

4

= 1.42 ntj s

(7)

Set zt man Gleichung (7) in G leichu ng (6) ein, erhält ma ll mit dem berechneten Zahlenwert für den Druck verlus t 6.pv,l _ 1l und den gegebenen Zahlenwerten für den gesuchten Dru ck Pv = 5.45 bUT,

104

2 Grund lagen de r

St rÖIfluJlg~ "'''rhaJli k

Die Verlustkoeffizienten nach der P umpe sind auf die Geschwindigkeit in den Rohren mit dem Durchmesser " nchüg"

a) Die Ausgang sgleichungen zur Lösung des Problems sin d die Kont inuit ä tsgleichung un d die Gleichung für die Lelst uu gseufnahme der Tur bine, Sie lauten: (1)

(2) \7 ist der Volumenstrom durch tim; Fa llro h r bz w. du rch die Tur bine un d A lT en ts pri cht der spuzifischcu Arbeit, die die Turbine pro Volumonr-inhr-i t F luid aufnimmt. l> gpmfj{~ Glei chung (1) in Gle ichung (2) eingesetzt , er gibt d ie folgende G leichung:

(3)

In der Gleichung (3) ist L~Ir 1I0ch unbeka nnt. Eine weitere Gleichung für LlIT erhä lt man durch d ie Anwendung der Bcrn oulli- Glcichun g entlang eines Stro mfa de ns von der Stelle I zur St elle 2 unter Berüc ksichtigung der St r ömun gsverlus te lind der En crg tccnt ua hm c

107


durch die Turbine. Die Gleichung la ut et: PI +

'P2 . (;12 + P '.rJ ' Jl

-

ßh = ])2 +

'P2 ' ('22 +

!:J.pv

(4)

In Gleichung (4) steht auf der linken Seite - !:J.h ·, da de111 Fluid Energie cutzogen wird. Die Drücke PI und P2 sind gleirh dem Umgeb ung sdruck Po und hoben sieh gegenseitig auf. Die Abaiukgeschwindigkeit C I des " 'asserspiegd s im Speiehcrheluilter ist klr-iu, so dass c? ::::::: 0 ist. G leichung (4) vereinfacht sich mit einer einfachen Umformung zu : (5)

Für die Strömungsverluste ergibt sieh:

!:J.pv =

~ ' c~, (>. . ~ +(E +2' (K)

(6)

!:J.pv ge mäß Gleichung (6) in Gleichung (5) eingesetzt , ergibt die endgültige Gleichung für

!:J.h·. Sie lautet :

(7)

Die Best unmungsglcichung für D erhält man nun , indem ma n die rechte Seite der Gleichung (7) gleich der rechten Seite der Gleichung (3) set zt. Xlan erhält die folgende Glctchung:

P c22 , ( I- + ( E +2 ' (K ) = p 'g · JJ -_· 1 +>" 2

D

4 ·L 2 1r · D 'C2

die mit einer einfachen Umfo rmung auf die felgende Form gebracht wird: [)2 + A ·[) + ß =O

(8)

A= -

2 · 9 . /l

n

= - p.

1':'

>' · l · c~

t1' [1 + 2 . (K + (E ] S· L c-j. [1 + 2 · ( K + (E])

(2, C2 ' s : JJ -

).Iit den gogcbonen Zahlenwerten erhält mau für A und B: A = - 0. 0483 m

B = - 1. 3108 m 2

Die Lösung sformel für die quadratischen Gleichungen (8)

ergi bt die Lösun gen D I = 1, 17m lind D 2 = - 1, 12 nc. Die physikalisch sinnvolle Lösung ist offensichtlich: D I = D = 1,1 71/1.

108

2 Grund lagen de r

St rÖIfluJlg~ " "'rhaJli k

b) Zur Über prüfung. ob der Zahlenwert>' richt ig gesch ätzt wur de ist zue rst zu klären , ob die Innenwand des Rohr es hydraulisch glatt ist. Zur Berechnung der Dicke ß der viskosen Uutcrsr-hiehr gilt die nachfolgende For mel : Ll

12,64

- ~ --,-

D

R," . ' J)

C2'

Ucv = - -

D

"

Für d ie Iiey nold s-Zahl R e D erhält ma n de n Wert R e D = :~ . 9 .101\ so dass sich mit der For mel der Wer t!:::'/ D = l , 44 . 10- 4 ergibt. Da s Verhä lt nis k~ / D beträgt k"/ D = 1/200 = 5 . 1O ~ :l, d.h. die mittlere Sandkoruruuhigkeit k" ist größer als d ie Dicke!:::. der viskosen Unterschicht . Die Innenwan d des Rohres ist also nicht hyd raulisch gla tt, so dass der Wer t für >. zweckmäßig mit dem Xikuradsc- Diagramm überprüft wird. Das Diagra mm zeigt , dass für Re/) = :3. 9 · 10ll und D/ k" = 200 der \Yer t "\ = 0, 03 ausreichen d genau gesehätz t wurde.

2 .4 .5

S trömu nge n N ic ht - New t o nsch e r Medie n Rohrström u n g

A ufgabe 2 .4. 20

l ~t I

~

.

-

u(r)

--7

T > Tf

E in R ohr d e r Lä n ge L wird von e in e m N icht-New t o n seh e n B inghamM ed ium durch strömt. Di e Strömung is t inkompressibel, rotation ssy m met r is ch, la mina r und in Strömungs rt chtung a usgeb ildet. D ie s t at isc h en D r ücke Pt und !JZ a n d e n Stelle n 1 u nd 2 s ind kons t a n t ä b e r den Quersc hnitt. D ie Pl ießfunkt.io n duld,. = f(T) d es Bingbam -Medlums s ch re ib t s ich:

~

T > Tf T < Tf

I

L

2

A b b . 2. 4 .20 Rohr st röm un g Xicht-Xcwtonscher xlcdten f(T) = 0 f(T) =

T(f' )

für

0< -

~; . ( T~~)

-1)

-

Tf

< 1 -

für

T(r)

-

Tf

> I

mit der ko ns t ant e n Zäh ig keit p. Es g ilt we it erh in T(I' = R) > rr, D as F luid verhält s ich unt e rhalb d e r Flie ßspannung rt w ie ein feste r e la s tisc her Körper und obe r halb Tf wi e e in N ewt onsches M ediu m . In d er R andzone s t r öm t d a s Newton se h e M ed iu m mit ei nem parabolis chen G es chw indigkeitspr o HI. Die K ernzone ve r h ä lt s ich w ie ein fest e r K ör p e r . a) Man b erech n e d en Volume n s trom fu n k t io n f(T).

V in Abhäng igkei t

d e r a llge meinen F ließ-

b ) Man set zt e filr f(7} die F ließfu n kt ion d es B ingham-Med iums e in und b erechne d e n Vo lu menstrom V.

100

2 .4 Ted lllisd l\' Strömungen

Lö sung: gegeben : IL, Tf, P I, ]JZ, R, L ge s uch t :

v

a ] Für den Volumenstrom in dem Rohr gilt:

v = j 1/(1') ' dA A ~ lit

dA = 2 . 11" . r . dr folgt hieraus:

"

V = 2 ' 11" ' j l1 (r ). r ·dr u ~ Iit

der part iellen Integ rat ion erhält man :

(["(,-)--]""-J- -1'2

2

0

"

du (r )

1'2

dr

2

-.I,

)

\Y('gen der Haft bed ingung gilt 1/ (1' = R) = 0 und für I' = 0 ist 1'2/ 2 = O. Damit fällt der erst e Summand in der Kla mmer weg und es ergibt sieh für den Volumenst rom mit d u/d r = f(T):

V ~ - 2 -, -

J"

C(T)

o

"2

. dr

( 1)

Aus einem Kräftegleichgewich t an einem zylind rischen Volumenelement folgt für die Schubspannung einer aus gebildeten Rohrst römung (Ka pitel 2.4A, H . Ocrtel jr, et al. 2006 ): dp 1" T(') ~ - - 3, 5 ,10:; ) d en kon s t ant en W er t Cw .i1 = 0,4 a u fwe ist (s ie he ge st richelter Verla u f in Ab b . 2.4.23b) , soll d ie W indlas t IV a u f d e n Sc h ornstein e r mittelt werden . W •

u~

/=c=\_ -} d, 11

1,2

3.5' \OS

Ab b . 2.4 .23a Sehorustem

Rct

Abb . 2.4.23b cw - Verla uf übe r Red

116

2 G ru nd lagen d er

St rÖIfluJlg~ ""'rhaJl i k

Lö s u ng : gegebe n: du = Ü 111, d" = U,5 1/1 , II = 100 m, Ux, = I. G m j.. h iingt von de r Reynolds-Za h l a b . Diese ergibt sich ans R c/) == C2 . D 2 / 1) zu Rco == a . 2· 10". Da mit kann der Verlust be iwort a us der implizit en G lcir-hung von P randt l:

:x

== 2 · log lO ( Re/) .

J>:) -

0, 8

1

.>. == [logl o(Rc7J ' '>')

(5)

0. 8]2

berechnet werden. Die Berechnung erfolgt it erativ mit G leichun g (5). Es wird mit einem Start wer t von .>. == 0 ,02 begonnen. Xnch 2 Itera t ionen ist der Verlust beiwert genügend gcnau best imm t u nd man erhält '>'2 = 0 . 0 14. Da mit kann jetzt mit Gleichung (4) d ie ma ximale Aufs tellh öhe er mi t telt werd en. Sie ergib t sich zu h l "' «x == 5, 6 1//. Zur Berechnun g d er ben öt igten Fördorhöhc de r P UIIlJle wird d ie Bernoul li-Glcichun g zuzügli ch d er Verl ust e von d er Stelle 3 b is zur Stelle 4 aufgestellt : P :\

:\Iit

C4

==

+ 1'2" ' (; ':j + P . 9

(;3 , Z4 -

P3

Z3

P

. Z:\

== h" - h 4 2

+ 2" . (;3

-

== Ps +

==

]Jol

+ 2"P ' (;42+ P

. !J . Z4

+ '2'.. p . •..~ . . '". . .

h t u nd der Freist rah lbed ingun g P 4 == (J

2

P

2

2" . (;3 + (J'!J ' (h 5 - hd + 2" . C:l ' \ \ .

P"

L3

D :\

+ p. !J . h 4 folgt: (6)

125


Die Reynolds-Zah l ergibt sieh hier zu Rel) = C3 ' D3 /v = -l . 105 • ). {jt der impliziten P ra nd tl-Gleichung (5 ) folgt nach 2 Itera t ionen A3 = 0.014. Aus Gleichung (3) erhält man : P2

+ -fJ . C22 2

=

PI -

o:g . 11 1 -

2

L A2 ' - 2 D2

'G-

P2 -

fJ 2 - . C2'

(7)

Für d ie benötigte F ördcrhöhe der Pumpe gilt: P ·9· 11 = A I = A pllPs = P3 +

~

~ ·c~

Xach der F ördcrhöhc aufgelöst und d ie Gtelchungen (2), (6) un d (7) eingeset zt ergibt sich:

H -= h 5

+

Aufgahe 2.4 .28

Po-

p, p'y

L, + (D,), ' ]= 52. :3 ' A2 'L -

+ - cj . [ I +A:1 ' 2 '!J

D2

D :\

D2

TrI

A xiallaufrad

Zur B e schreibung d er Strömung in e in e m Axia llaufrad (s ie he Abb. 2.4 .28a) benutzt m an Geschwindigkeitsdreiecke , insbe sondere fiir d en Strönmngsverlauf am La u fr a d - Ein- und Austritt. Mit Hilfe d e r G e schwindigkeitsdr eiecke in d en dre i e in ge z e ic h n e t e n Schnitten a n d er N a be (S ch n itt 1) , am G ehäus e (Schnitt 3 ) und in der Mitte d er Schaufel (S ch n itt 2 ) und a u f der Basis fol gend er Auslegungsda t en. Innenr adius R 1 = :1.10- 2 11I, Außenradius fl:\ -= 6 .10- 2 1/1, Vo lumens trom V -= 120 m:l/h , Drehzahl n = :30()O mir, -I , G e s amtdruckerh öhung t:J.Py, 150 m in - 1 werden Axiallaufr-lider verwendet . Da mit ist mit den gegebenen Auslegungsdaten die Wahl eines Axiallaufrades vernünftig. b) Aus der Kontluuttä rsgletchung folgt , dass die beiden axialen Geschwindigkeit skomp onenten gleich sein müssen (cl m = C2", = cm ) . ;"Iit der Kontinui ät folgt dann:

V. = Hieraus erhält ma n für die axialen Cm =

CI ",

=

C", •

1T' (R '3

-

R'I )

G e~eh w indi ~ k('i t skotn ponellten :

C2" ,

v

= 1T . ( R~

.

Ri) = .3.9 m]»

Der Radius im Mittelschnitt berechnet sich als arithmctischers Mit tel des iiußf'rcIl un d inneren Hadius: (3)

Damit folgt für die Umfa ngsgeschwindigkeiten in den drei Schni tt en:

U; = 2 ·1T· H.; ·n

(4)

Eine dra llfreie Zuströmung bed eutet , dass am Eintr itt in das La ufrad die Absolu tgcschwlndigkeit keine Komponent e in Umfa ngsricht ung besitzt (cl " .} = Cl u.2 = C l u.3 = 0). Damit können die Gc schwindig kcit sdrcicckc, wie in Abbil dung 2.4 .28b gezeigt , skizziert werden.

12 7

2.4 Ted lll;sd l\' Strömungen

Für den Eint ritt swinkel (4 ),

ßI folgt dann aus dem Gcschwlndlg kelt sd rclcck und

ßl.; = uretau

( _U_,)

= aretau

CI ",

Gle ichung

(:2_,cnc,_'oJlo'_'':':' ) Clm

Als Zahlenwerte ergeben sich daraus die Winkel ßLi = 75°,

ßLZ

= .s2, 9° und

ßl.3

= 87°.

Für die Au mobslelstung L fl.~~ des ax ialen La ufra des gilt mit der Dra llfreihei t am Eintritt (die Umfa ngsgeschwindigkeit en am Ein- und Austritt sillCt gleich] :

L,, nk rit aufgetragen .

Abb. 2.5.1b Druck vert eilungen winkel u

CI'

der Profiltunst römung für verschiedene Anstell-

Für n ;::::; 2° haben wir eine ablösefreie Umströmuug des P rofils. Auf der Oberseit e des P rofils bildet sieh im Bereich der Vorderkante eine starke Saugspitze aus . Durc h die Geometrie des Flügels wird die Strömung auf der Oberseire wesentlich stärker beschleunigt , so dass der Druck au f der Olwr seite wesentlich geri nger ist als auf der Profilun ters eit e. Durch eine Erhöhung des Anstellwinkels kommt es zu eine r weiteren Beschleunigung auf der Oberseite und einer leichten Reduzierung der Geschwindigkeit a uf der Unt erseite des P rofils , wodurch die Druckdifferenz erhöht wird und der Auftrieb ansteigt. Dei n ;::::; 10° kommt es bereits a uf der P rofiloberseit e zu einer Ablösung mit einem zeitlic h gcmiu cltcn Rückst römgebiet mit konstantem Druck im Bereich des hi nteren P rofils. Hierdurch schwächt sieh die Zunahme der Druckdifferenz übe l" das P rofil ab und es kommt zu einer Verring erung des Auftriebsaus ti eges.

°

Für > 0hi t ist die Ablösung schließlich zur Profilspit ze gewandert. Da mit ist , wie bereits in Teila ufga be a lx-schrieben, der Ber eich des konstanten Dru ckes im Bere ich der ursprünglichen Saugspitze des P rofils und d ie Druckdifferenz zwischen Ober- un d Unterseite des P rofils wird dras t isch reduziert. Dieses hat den Zusammenbruch des Auft riebs zur Folge. Da bei kommt es unter Umstä nden wie in der Skizze gezeigt im Bere ich des hinteren P rofils zu einem Wied er a nlegen der Strömung. c) In Abbildung 2.5.1c sind die Stromlinien der Hochauft riebskonfigur a t ion gezeigt . Die Strömung geht unter anderem durch die Spalte zwischen Vorflügel und P rofil bzw . P rofil und Kla ppe. Hier durch wird zum einen Energie in die Gre nzschicht des P rofils transportiert , ZUIll an deren wird die Aust römuug des P rofils verbessert . Das fiihrt daz u, dass bei (} ;::::; 10° die Ablösung auf der Obors eirn des P rofils vermieden wird, wodun :h die Druckdi ffcrcnz übe r den Pliigel höher ist (siehe ('I,-\'erteilung der Abbi ldung 2.5.1eredulIlug lx-nöt igt mau zunächst die Hcynolds-Za hl de r Kugcla nst röJnuug: R CD

=

IVI . VI ' P2 I"

= 1

Fü r Heyuolds-Zahk-n R CD ::; 1 handelt es sich UIU eine sehleidwude St römung so d ass das Stokessehe Widerstand sgeset z für eine Kugel gilt (cw = 24/ Ren ). Da mit ergib t sich die Widerstandskraft zu :

In Gleichung (2) eingesetzt erhält ma n: PI '

r V1 dtc ' - = PI' g' IYI - P2' g ' .11

\'

1 -

.

3'1f' P 2 '

n1 ' \\' 1

bzw. mi t Vt = 1/ 6 · a . V f:

' _. :.;. 11,; " -d w = q ' ( 1 - -,~ ) - 18 · -,1 ,',dl ' PI PI .

Vi

Xlit der Anfa ngsbodln gung w(t = 0) = H'I folgt na ch einer Integ ration für d ie Geschwindigkeit :

,

w(t ) =

I dU'

,

/= 0

dt

· elt =

[9-(1 - PIP2) _ 18 . 1PI12 '' H'~ ] · t+ lF VI

l

138

2 Grund lagen de r

St rÖIfluJlg~ " "'rhaJli k

Xlit Gleichung (1) folgt für den wärtne übcrg ang skocffizten t cn:

[ (1 - -p')

h (t ) =a' y '

PI

- 18 ·

"" 11', ] · ( + (/· 11,, + 0 PI ' V I

(3)

2

Die pro Zeit- und Flächeneinheit üb ertragene Wä rmemenge bet räg t: '1 (t ) ~ h(t ) · (T, - T, ) Xlit der halben Kugeloberfläche er gibt sieh hieraus die pro Zeiteinheit übert ragene Wär mt-menge zu: .

'i (t )

~

d(J

-

c1t

~

1T

h(t ) · - . D Z, . (T, - T, )

2

Die Integra t ion in der Zeit über d ie ersten 2 Sekunden (ll l = 2 8) unter Verwendung Gleichung (3) füh rt auf die VOll der Ku gel abgegebenen W ärmemenge: 1;0 ':>1

q (t ) = --

I

t ;o ~t

-d'i . dt = df

(;0

=

,q .

rr D , h(t ) · _. l 2

.

(Tl - Tz) · dl

(", 0

'1 ""([ ( p') I "' tl

=

1

"Oll

1- -

PI

- 18 ·

""1'1 . 11'D?, ] . t + H",, + -b). -. rr n . V , . (Tl 2

Tz ) · clt

(l

,] .6-21+ 111+, b) · -rr2 · A f · /} ·Daj , (T\ -Tz) - H~ · "" 11'2 ([s ( 1 - -"') PI PI ' D a I

.\Iit den Zahlenwertun ergibt sieh für die durch die I'r zwnngPIlP Konvok tionssrrönumg abgegobono Wiirlllellll'llgp der " "er t Q(t) = 6.:3 . 10- 3 J .

2 .6 .1

B ehei zt e ve rtika le P latte

Aufgabe 2 .6 .3

Ve rtikale Platte

E ine b ehei zte ve r tika le Platte d er Länge L und kons tanter Oberftä cheute mperat u r T w b efinde t s ich in a n fa ngs ruhender Luft (Pr = O. 71) mit d er T emperatur T x . Durch d en Temperaturgradienten e rgibt s ich ein Di chteunters chied und es s tell t s ic h e ine freie Konvekt.ionsst.römung e in . a) Best im mcn S ie die W ä rmel eitfähigkei t >.. d er Lu ft. b ) H andelt es s ic h urn ei n e laminare oder turbulente Konvek t.ions s t.r ömung? c) Sk izz ieren S ie d en T e mpe r a t u r- und Geschwin d ig kei tsverlau f d e r K onvekt io nsström u ng a n d e r b ehei zt en ve rtika len Pla tte . d ) W ie groß is t das Ve rhältnis vo n v iskose r zu the rmische r Grenzsch ic htdicke und wie w ü r de es s ic h ä n der n, wenn statt der Lu ft Ö l (Pr ~ 20(0) ve r wendet w ir d?

2 .6 Strömllng('ll mi t

130

\VärTTl('ül)('rtragllllg

Lö sung: ge geben : Pr = 0, 7 1, p = 1, 1!J 1.:9/m:1, I' = 1, 82 · W- fl Pa . », n = :3. 42 · W - 3 1/ K , cl' = 1007.1/ (1.:9 ' f{ ), L = 0, 1 m, T"" = 20°C, T w = 170°C ge sucht : a ) ..\, b) La mina re oder turbulente Stromuug, c) Skizze von Tem pera t ur - und Geschwindigkeitsverlauf. d ) Verhältnis Grenz sch icht dicken

a) De r Wä rmelenkoeffi zient ..\ ergibt sich aus der Definit ion d er Pra ndtl-Za hl. 1

..\ = 1

' CI>

p,.

= 0. 0258 Il"/ (m · K )

(1)

b] Da bei der freie n K O ll \"(~kt i o il ss t rölI lI lil /;!; z lln ;il:hs t keine vorgegebene Bezugsgeschwindigkeit existiert, wird die Rayleigh-Za hl statt der Hcynold s-Za hl als charakteristische Kenn zahl verwend et, Liegt d ie Rayleigh-Z ah l zwischen 1(}4 un d los , so handelt es sieh um eine la mina re Konvek üonsström u ng. F ü r Rayleigh- Za hlcn größer loS liegt eine turbulente Strömung vor.

Ra = Pr . GI"

(2)

mit (3)

Xach Eins et zen der /;!;egebenell Zahlenwerten ergibt sich

Ra = 1, 53. 107 Es handelt sieh somit

UIlI

(4)

eine laminare Konveku onsströmung.

c) Der Verla uf von Tempera t ur und Gesch wind igkeit ist in Abbildung 2.6.3 d a rgestellt.

/

\\(X. l)

Zusä t zlich ist in Ab bild ung 2.6.3 die Dicke de r thermischen Grenzschicht OT un d d er viskosen Gren zschicht eingezeichnet. I

I~f

1~

I~

Abb. 2.6.3 Verla uf VO ll Tempe ra t ur und Geschwindigkeit an d er beheizten vertikalen Pla tt e

o

d) Dei Medien mit einer P ra ndt l-Zah l in der Grölsenmeinung von 1 (wie z. D. Luft ) ist d ie viskose und t her mische Grcnz srhieht ungefähr gleich dick. Dei :\Iedien mit einor hohen P randtl-Zahl do mi niert die viskose G renzschicht und d ie Dicke der thermischen Gren zschiehr be schränkt sich a uf d en wandnahen Bereich . Allgemein gilt für das Verhältnis mis cher Grenz schicht :

\ '011

viskoser zu ther-

(5)

14 0

2. 6 .2

2 Grund lagen de r St rÖIfluJlg~ "'''rhaJli k

R ohrs t römung

Aufgabe 2. 6.4

Rohr str ömung In ei nem undur ch lässiges Rohr m it der Länge L und dem Durchmesser D 1 b efind et sich ein F luid 1 d er Temperatur TI ' Da s Rohr ist von e ine m F luid 2 mi t d er Tem pera tur T 2 umgeben (sieh e Abb . 2.6 .4 ) . D abei is t T , > T 2 • D er W ärrneiibergangsko effi zien t vo m F luid 1 a u f das R oh r is t 11" vo m F lu id 2 a u f d a s Rohr is t 11 2 , Di e W ä rmel e itf'ah ig ke it d es R ohr es is t >. und d er mittlere Durchmesser des Rohres D", ist d efinier t durch:

Fluid 2

s

Abb. 2 .6.4 Rohrst römung

D", =

!.

[)~ - Df 2 In( D 2 ) - In(D d

(1)

\Vie groß ist d e r Wärmestrom pro Längenein heit QI L fiir d ie gegebenen \ Ver t e im verlustfreie n e ind imensionale n stat io nären Fall? Lösung : gegeben: h, = (l000 !Vm - 2 1\"- I , T, = 330 tc, hz = 100 11'111 - 2 1\' >. = 200 H"m - ' .'I- I , V I = 2 . 10- 2 /11, D 2 = ;~ . 10- 2 m gesu cht:

1,

Tl

290

tc,

(i l L

Die VO Ill Fluid I an das Rohr übert ragene \\'ärmellll'nge pro Flächen- und Zeiteinheit betragt: (2)

mit der Temperat ur Tl-U der inneren Roh rwa nd . Die vom Rohr an das Fluid 2 übertragene Wä rm emenge pro Flächen- und Zeiteinheit beträgt : (3)

mit der Tempera t ur T H •2 der äußerell Rohrwand. Im Rohr gilt der uindimcusionalc Fouri erAnsa t z für die W änncleit ung: (4)

Für die pro Zeiteinheit über t ragene Wä rmemenge, d. h. der Wä rmestrom vom Fluid 1 auf das Rohr hzw. vom Rohr auf das Fluid 2 berechnet sich ans den Gleichungen (2) und (3) zu:

o=

Ifl . 11" '

D 1 . L = h l · (TI - Tn.I ) · 11" · D I

(j =

1f2 ' 11" '

D , . L = 11 2 , (T H . 2

-

T2 )

· 11" '

.

L

D2 . L

2 .6 Strömllng('ll mi t

141

\VärTTl('ül)('rtragllllg

Daraus können die beiden wand t cmpcr at uron des Rohres bestimmt worden:

(j

TH. I = TI - --,--"',,-----,-

(5)

o + --,--"',,-----,-

(6)

.

T H •2

rr · " I , D I · L

= Tz

11" •

"2 .D z . L

Aus Gleichung (4) folgt mit (1) für den \\"är H1est rom im Rohr : D 2 - D2

I

_ •

Z

t

2 In(D z )

In(D d

1

D§ - Di

,

I.

:\Iit den Gleichun gen (5) und (6) folgt hieraus:

(2 = ->' ·2'

rr . L . (Tz - TJl

+

cl

~

Dz -D t

+

cl

~

2" ' IIl (D z ) -

11l(D t)

Xach einer Umformung erhäl t man hieraus den Wä rmest rom pro Längeneinheit:

Ci L

142

3 3. 1

Grundgleichungen d er Strömungsmechanik Kontinuität sglei chung

Aufga b e 3 .1. 1

Inkompressible S trö m u ng

e inem stationären dreid imens ionalen u ud inkompressib len Strömungsfe ld m it d em dimensi onsl osen Geschwindigkeitsve ktor

VOll

v ;=: ( ll ,V , w)

s ind d ie Geschw in digke itskOin ponentell u = ;r2 + 2 . Z2 urid vs = y2 - 2 . 11 . z in einem ka r t esi s chen (s-, y. z l- K o or-d irra t errsy atern gegeben . a) D as Gcschwi nd igkeitsfcl d v = (u, 'V, w) er fü llt d ie K on ti nu itätsgle ic hu ng. Man b erechne die K omponente 'V des Geschwin d igke itsfe ldes in y- R ich t u n g in a llgeme iner For m , b ) Es soll iibe rpriift werden , ob d ie vor liege nde Strömu ng fiir a lle (x , y , z) d rehungsfre i ist .

c) Man b erechne d ie B eschleunigung o..,(x , y, a) der gegebenen Ström u ng in .r-R icht .un g . Lö sung : = x 2 + 2 . Z2.

gegeben :

11

gesucht :

a)

'V,

W

=

.11 2 -

2.y.z

b] Drehun g-freiheit , c) o,,(x ,y, z)

a) Die Kontinuit ätsgloichuu g für eine stutiouiire inkompressible St römung lautet:

Olt Il s:

(}l'

(}w

()y

il z

(1)

-+- +- ~ ü

Aus den gegebenen Geschwlndtgkettskomponcnten Ilu - = 2 · .:r

11

un d w erhält man:

{Jw

- =- 2 · y O.r Oz Xlit dun Gle ichungen (2) folgt aus der Konr.inuit iltsgleichung (1):

iJv 2 · x + (}y - 2 · y= O

===}

01'

- = - 2 · x+ 2 · 1/ iJy .

(2)

(3)

Eine partielle Int egra tion von Gleichung (3) nac h y führt auf die gesuchte Komp onen te v , wobei C(x , e) eine Funktion bezeichnet , die au sschließlich von ;1" un d z abhängt:

v(x , y , z) = - 2.x . y+ y2 +C{x. Z)

(4)

b) Zur Übe rprüfung der Drolnmgsfroihci t wird de r Dre hungs- oder Wirbels t ärkevek tor w benötigt , der sich ans der Rot a tio n des Gosehwindigkeitsfeldes ergibt :

(5)

143

3 . 1 KOllti llu it ä tsgl('ichu llg

u

und

11'

sind in der Aufgabenstellung gegeben, so dass ma n

il u {Ju ' - - = 4 · z -=!- O für Dz lJI

wy = -

iN'y

berechnen k ann: (6)

z -=!- O

Dip gegebene St römung ist also nieht für a lle (x, y , z) d rehungsfrei. c) Die Beschleunigung b", erhiilt man an s der rotalon w itlid ll'll Ableltuug der Geschwindigkeitskomponeuto u, Es gilt:

du Uu n« öu Du b = - = - + u·-+ v · - + w·x dt Dt Dx ay äz Da eine st a üonäru Strömung vorliegt , ver schwindet Du/ Dt , ebenso Du/ Dy, da Funkt io n von 11 ist. Somit folgt :

(7) 11

keine

bx = (x 2 + 2,:;, 2 )· 2 'x + (y 2 - 2 · y · z ) ' .1 · z bx = 2 · .r:1 +4 ' X'Z2 + 4 .y2 'z - 8 . y ' Z 2 A ufgabe 3.1.2

K ompres sible Strömung

Vorge geben is t e in ideales G as (1' = p ' R , T , gle ich u ng:

n = koust .] s ow ie die Kontinuit äts( 1)

a) M an zeige , dass s ic h a us d e r K ont inuität sglei chung (1) d ie fol gende Bezie Imng für die totale ze it liche Änderung d es Druckes ableiten lä s st:

1 dp 1 dT - · - = - · - - '9· v pdl Td t b) F ür d a s gege bene d imensionslos e G es chwindigkeitsfeld

v (x , .lI ,. t ) =

.t)) ( t) (,v ) = Vi) · ..;x 2 + .IP · (,;,,(w e OSiN"

(2)

mit d er K ons t anten Vo sow ie d er konst anten Winkelgeschwindigkei t w u n d d er e ben fa lls gege benen dimensi onslos en 'Icmpcra tur vert .eilung

T (x , y ) = An ' J ;r2 +y2 +To

(3)

mit d en K ons tant en Au u nd Tu b estimme man die relat ive s u bstant ie lle T emp eraturänderung ( l / T ) · ( 0 1> 0

154

3 G ru nd gl('id lllllgP" dpr S trÖIflu"g~""'rhaJl ik

Aufgabe 3.2.5

Zylinderspaltströmu ng

Ein Zylinder mit dem Rad ius 1", is t von einem ä ußeren Zyli nder mit d e m Radius 1'2 umgeben (s ie he A b b. 3 .2.5a) . D er innere Zylinder rotiert m it d er Winkel ges chw ind igke it u..' , lin d der ä ußere Zy li n der mit d e r Wi nkel gesch wi n digkei t W2 ' Zwischen d e n h e id e n Zylinder n b efin d e t sich e in F lu id . In d ieser Aufga b e s oll d as Geschwind ig keitsprofil d es F lu ids zwischen d en beiden Zylinde rn e r m it telt werden (laminar e Ström u ng vo rausges etzt). Dazu soll vo n d e n N a v ie r -S t o kes- G le ich u n ge n in P ola r ko ordinaten a usgegange n werd e n . Sie laut e n für e in e stat ionäre u n d inkomp r essi ble Ström u ng (s ie he Abb. 3 .2 .5 b) : Koutlnultätsglel chungr

iJUt· 11r I iJun -+-+_ ·_ iJr r r iM

(1)

~ o

1. N a vier- S t o kes- G fel chun g r

(2)

2. Navicr-S to kes-G lei chung:

o 1 Op ( 02 11 '~ + p ' -iJa iJr2

- - .r

(

II r '

Dut') iJr

1I ,~

+ -;.

ihIt'}

iJ13

II Utl) ~ r .

+ --, -

01l,~ 1 fJ2 {/ +-,.1 .-- 1It' -) +-.-+,.22- .ou -r ) + f " D,. ,.2 ,.2 DiP DJ 11

(3)

D ie G le ic hu ngen s ollen zuerst fiir d as P roble m vereinfacht werden u nd a nsc h ließen d s oll u(,» mit ein e r verei n fac hten Glei chung ermittelt werden.

y

r

Abb. 3 .2 .5a Zylinderspalts t römung

Abb . 3 .2 .5b Polarkoordinat en

155 Lösung:

rz , W I , ""2

gegeben :

1'1 ,

ges ucht :

11(1' )

Da sieh die Sr.römungsgrökcn in Umfangsrichtung nicht iindc rn, verschwinden in den Gleichungcn ( 1) bis (3) a lle Ableit ungen nach JJ und die Größen 11,_, 11{1 und p sind nur VO ll r abhängig. Xlit der Kont inuit ä tsgleichung ergibt sich dann die folgende gewöhnliche Dilfercnüalglcichung:

, -du + -UI'r dr

(4)

~ O

:\Iit der folgenden einfachen Rechnung ka nn die Gk-irhung für

du , Ur +- = 0 dr r

==>

-

Ur

Ur

Ur

r

gelöst werden: C = -

r

(5)

C ist eine Int egra t ions konst a nt e. :\lit der Randbedin gung u,.(r = rr ) = 0 ergibt sieh für C der Wert C = O. Gemä ß Glei chung (5) ist U r also für 1'1 $ r $ 1'2 Xu11 , was a uch sofort erkennbar ist.

:\[it [)j(HJ = 0 und U r = 0 erhält man mit den Gleichungen {2} lind (3) die beide n folgenden gewöhnlichen Dfffcr ontlalglelchungon für 11 mit 'U = 11,9 lind p (Vohuncnkräfte Ir und Iv gleich xuu). 1' .

d 2 1/ d ,.2

1 du

+ ~ . dr

u2

~

I'

u

-

dp dt'

(6)

= 0

1'2

(7)

In der ersten Different ia lgleichung (6) sind

1I lind p als zu best imm ende G rößen vorhanden. Die zweite Different ia lgleichun g (7) enthält nur n, Deshalb wird die zweite Differentialgleichurig weiter betrachtet. Sie kann mit der nachfolgenden Umschreibu ng sofort einmal iutegriurt werden:

D ilf"...i,,,,

zpilli("he X ndt'ru"K

(Ni i -r_ , _ p o. 1/ - ' 11- {) X j

/t 'TT

J

1

Prod" kt;" "

lIj )

.

D Xj

DK '

')

D.rj

J

+ /1 ' -

Olt: D.r.j

- ' 11-

I nrh "I""l : nil f", ion

- 11 - _

,

iJlI:

. VI j

( 1)

--..-.ni "si!,,, t i,,,,

mit d er zeitlich gcm itteltc n Turbule naeucrgi o K = ](' und K ' = ( Jl?+ II ~z + 1l ~f)/ 2 . D ie Ström u ng is t statio när lind e in d imens io nal. XI is t die O rtskoordinate in Strö mungsric ht u ng. Die Ä n deru ng d e r mole k u laren Diffu si on is t in Strömu ngsr ich t u n g vernach lässig bar. Mall b eacht e in d e r G leichung ( 1) die Sum mat.io nskonventfon . Im Prod uk tio nsterm is t die zeitlich gem ittelte Ko nt in u itätsgle ic hu ng zu b eriick sichtigen. b) W el che w ic ht ig e Bez ie h u ng z u r exper imentellen B es timmung d er Tu r b u le nz ergibt s ich b ei z usätzlicher Ve rna chläs si gun g d e r t urb u le nten Di ffu sion ? Lösu ng:

a] Da es sieh um eine stationäre Strömung handelt gilt für die zeitliche Änderung: ·1/·

~ =O lJl

wegen der eindimensionalen Strömung in XI -Richt ung fallen die Ableit ung en in z'a- und x3-Richt ung im Konvckt ionsrcr m wcg: p .

( Üj

DK ) = p . (

· -.-

() Xj

iJK lJxl

lJ K _ -iJKiJK + 11:\ · - ) = p . 111· lJ.rz {);r3 {)X I

jj l · - - + 1[ Z · - -

:\lit der sclbcn Begründu ng fallen auch die entsprechenden Terme bei der molekularen Diffusion weg. Zusä tzlich kann hier die Ableit ung in XI-Richtung entfalle n, da die Änderu ng der molekularen Diffusion in St römungsr icht ung vcmachlässtgbar ist :

Der Rcynolds -Ansa t z wird in die Kou d nuuä t sglcichu ng eingesetzt un d diese wird da nn zeitlich gcmtttelt. wegen der eindi mensionalen Strömung fallen ebenfa lls die Ablei t ungen in xz- und x3-Richtung weg:

liO

3 G ru nd gl('id lllllgP" dpr S trÖIflu"g~""'rhaJl ik

Im P roduktiunst nrm fallen wegen der Eind imensionalitiit die Ableitungen in X2 - lind Richt ung weg und es gilt fi2 = fi;J = O. Xlit der Kontinu itä t sgleichung (2) ergibt sich: (JUj

p.. D.r j

- , -, ll· . Il ·

J

I

= fJ .

[Jü ,

(

~

ox ,

;/:3-

- , - -, DiI , - , - -, .1l- ,, -. -, + ;)'Dü, """" . 11, . 2 + n-- . 1l, . 3 Jl ,

Jl

OX 2

Jl

OXa

iJ ü 2 -r- -, iJü2 -r- -, iJ ü 2 t r-t-r + --;-. va' U , + --:;-. 112 ' 112 + --:;-. 112 ' 1I:J OX t

+ (~)Ü3 ..[ ,

OX 2

. U:\ . 1/,

+ (~)U3 ..[2

a X3

.

u:\ .11~ + ~)) U:1 . ( ..[:1

11:1 • 11:1)

Aus der Kontiuuitä t sgleichung (2) folgt direkt Huj j(hj = O. Xlit dieser Bedingung und den wegfallen den Ableit ung en in X 2 - uud x3-Richt ung wegen der Eindimensionali tä t ergibt sieh nach einer Umformung der turbu lenten Diffusiou:

Die Dissipat ion kann nicht vereinfacht werden, da sich die Eindimcnsionalita t nur a uf statistisch gcmitt eltc Gröscn bezieht. Dami t er hält Inan :

Du'

i )j/

() Xj

{)Xj

IJ . ~ . -

' = 11 .

('J 'l,)' + (0";)' _ (.1":)' + (.1";)' -

+ ( -.1";)' + D X :l

D.rt

D·1'2

O X :J

- 11 '

-

UXj

Setzt mnn alle vereiufachtnu Ter me wieder in Gk-irhung ( I ) ein erhält man als Ergebnis: (3)

b) Vernachlässigt ma n in Gleichung (3) die turbulente Diffusion folgt die wichtige BedeI1I1lIg:

In Aufgabe 3 .2 .13

f -

Glei chung

Die ge m ittelt e Turb ulenzenergie J{ wir d m it d er zu vor b ere chnet en Differentia lgle ich u ng b erechne t . B ei Betra ch tung d er 'Iurbulenzdlssipa r lon { muss d eren Transport b erück si cht igt u n d mit t els e iner Tra nsp ortglelcln m g (e-G lelchun g ) b erechne t werden . Di e a llgemeine, exak te D issipationsgleichung lautet:

-(h D/

P' -

+P'(Ii),..ar' fh, ) ~ '-..---' K"r",.. kli,,"

+

{P t

JI ' -

,

Dx 2

----....-..",,, I..

iJ

+ ör j

ku l,,r.. Dilrus i" tl

(

_,__, - p . { ' ll )

-

.

2/1

-

P

,

(') IJ j

' -

-

ÖXI

ö p'

' -

Ö.f t

)

.

turbu lent .. D itrlls;" n

( 1) Ve rnklrlll n g

Die Dissipation ( ist d efiniert al s: (2)

Die Größe {' b edeut et : (3)

a) In dieser Aufgabe so ll die modellierte e-Gle lch u n g mit d en Bed in gu ngen a us d er vorhergehenden Aufgabe vereinfach t werd en. b] Im zwe iten Aufgabenteil s oll zudem die turbulente Diffusion ve r n ac h lässig t werden.

Lö sun g : a) Da es sieh

11111

eine stat ionäre Strömung ha ndelt , gilt für die zeitliehe Äudr-ruu g: Ü{ -= 0

Ot

Aufgru nd der eindimensionalen Strömling in Xl-Richt ung sind die Ableitungen des konvcktivcn Terms in X 2 und x:l-Riehtu ng gleich null :

(4)

172

3 Grund gl('idlllllgP" der S trÖIfluJlg~""'rhaJl ik

Die turbulenten Diffusionst er me ergeben:

!I(- p . -t /l l) ) = -, il- - (- p . -t / u', ) +-,!I(- p ' -f' ui ) +v!I( - _ p . -( t ll ~ ) =

-, -

ö.rj

d.r ,

d.rz

.e:}

iI

-0-

0 ·1"1

( - {J . -( 1 1I ~ )

(5)

(6)

Molek ulare Diffusion lässt sich aufgrund der ein dime nsionalen St römungseigenschaften voreinfachen zu: (7)

Sie ist aber bei diesem Strömungsfall zu vernuchlfissigun (siehe Aufgabousn-llung } und som it null. Vereinfachung der Produkt ions t urme der Dissipa t ionsglei chung: Da die Strömung eindimensional ist , sind die Ableitungen in ;1:2- und x3- Rk ht ungell zu vernachlässigen , U2 = lh = O. Aufgr und der Kont.inuit ät sgleirhuug folgt ~ = O. Dam it ergibt sich für die P roduk t ionsterme:

-," 1'7' ( U, 211 - 1/ , - , J

a.fj

'1'( /li () X j '

Ox /

= 2II

-'0"'"u; I

' ll "

]

ü' 11, -

-- ' -- ~ O

()XI

(J.t?

(8)

ou,

= - 2Jl >- ,

üx,

(9)

Die Vernicht ungsterme der Dissipa t ion lassen sieh nicht vereiufarhen. Die Disstpat ionsglcichung lalltet fiir diesen Strömungsfall somit :

(10)

173 b) Unter Verna chlässigung de r turbulenten Viskosit ät ergibt sich: (11)

Aufgabe 3.2 .14

N ledr-i g- R c ynold s- Zahl-Turbulenz modell

Zur Validicrung e ines N ic d r ig- Rcyn o ld s - Za h l-Turbulenzmodells so ll e ine Rohrstr öm u ng b erechnet lind mit ex per imen telle n D a t en ve rglic he n werden . Es gibt prinzipiell zwei Ansätze zu r Ber ück si chtigung VO ll Grenzschicht en b ei R eynolrls- Turbllienzmodell en. D er wandnahe Bere ich d er Grenzschicht kann unter Verwendung e iner w andfunknon modelliert oder berechnet werden. Die s mus s b ei d er Netzerstellu n g fii r die B erechnung b eriick sichtigt werden. Bei der B erechnung d er kompletten G r e nzsch ich t mus s die s e vollständig auf-

ge lös t werden, um die St rö m u n gs grö ße n genügend genau darstellen zu könn en, da innerhalb der Grenzschicht g roße Gradienten a n ft r e ten . I n di es er Aufgabe soll eine Abschätzung d er Zellhöhen d es R echennetzes in Wandnähe durchgeführt werden, um ein e a u s re ich en de Auflösung zu gewäh r leiste n . Di e Turbulenz so ll in d er s päteren Berechnung dur ch Verwendung e ines N ied r igR eynolds-Z ahl- Tu r b u le nz m od e lls mit Wandauflösung b eriick si chtigt werd e n. A us diesem Grund muss vor a llem die vi sk os e Unterschich t und d eren strömungsnaber Bereich a u fgelöst werd en . Die Rohrs trömung soll als a usgeb ildet b etra chtet werden . Das R ohr mit d em Durchmesser D wird dabei mit d er mittler en St römungsgesehwindigk ei t Um mit d en b eiden Fliissi gkeiten A und B j eweils durch strömt. Zu r korr ekt en A us leg u ng d es j eweiligen Grenzsehichtn et zes sin d Vorausberechuugen nötig . a) Man unter-teile a llgem e in d ie Wandgr en zschicht turbule nter Strömungen in verschiedene B ereiche und b egriinden Sie Ihre U nter teil u ng. h) Man bestimme di e Höhe ZA (hzw . zu ) d er v is kosen U nt er sch ich t und di e lokal e Gesch win d igke it UA(Z) (bzw . un (z) . Zeichnen Sie di e Gesch win d igkeitsverläufe d er vi skosen Unterschichten b eider Strömungsfälle schemat isch . e) Man ve rgleich e dic E rgeb n iss e mit d en folgenden Formeln zu r Abschätzung d er v is kose n Grenzsehich thöhe fiir t u r b u le n te R ohr strömungen .

Formel 1:

'" D

=

12.64

,.

( 1)

(ReD) '

Fo r mel 2 : ß = 122 . f it (l ieD) , fllr 2:mO < R e < lO7 . D

R(~ 1J

.G

(2)

d] U nt er Verwendung d er E rge b n isse a u s Te ilau fga be a ) so llen die Ze ll höhen innerhalb d er vi skosen U n t ers ch ic ht festgelegt werd e n , so d ass di e Strömun g durch fiinf Ze lle n mit e in em W ach stum von 20 Prozent in z-Richtung pro Zelle

174

3 G run d gl('id lllllgP" d er S trÖIfluJlg~""'rh aJl ik

d a r ges t ellt w ird . Man b e rechne d ie H öhe d er Ze lle d irekt a n d er W and fii r h eide Medien. D ie K oordinate z ze igt ins Strömu ngsinnere . Lö sung :

ge ge b e n : u'" = 1 m f8 , D = 0,01 1/1, G = 1,35, F lüssigke it A : PA = 1000 ky/m\ m2 fs, F liis s igkcit B : PB = 1000 ky / m \ VlJ = 10- 7 m 2 /.~

VA = 10- 6

a] Die Grenzschich t lässt sich in d rei Bereiche unt erteilen: Der Strömungsbrcich direk t a n der Wa nd wird als viskose Unte rschicht bezeichnet . In ihm überwiegen molekula re gegenüber turbulenten Kräft e (jl» Il tl . weiter zum St römungsinneren folgt der Übcrgangsberolch, in dem molekul a re und t urhulent u Kriifte von der sclbcn Größcuordullg auftreten und som it berücksicht igt werden mii ssen (jL 'IA N ITWAI = ~2 -p · lt", · = :1. 955 - "

4

1 '>'I1J N ITI\' /J] = - . p.u;,,' - - = 2, 224 - 2

24

m

m

(5)

Es werde n nun dimensionslose Koordinaten ein gefü hrt: 11 + = tl ( Z) . llr = jTW , z+ = z· Ur tL r P V

z+ . /I' .,fP

Z+ . /I ,

~

--

Ur

~

ZA

(7)

JTW"

Im Bereich der viskosen Unt erschicht 0 ::; y+ ::; 5 gilt

JI +

(6)

= z+ .

Z+ . /lA - .JjiÄ 5 - 10- 6 - v' 1000 ... = --~=!-'-" = m = 7 9,,1 · 10- 5 m, zn = 1, 060 .10- 5 m J TW A J:t 955 '

li5 Inner ha lb der viskosten Unterschicht ist die wands cbub spa nnun g r unewtonsehe Fluide:

dU('-) ) ITwl = 11' ( ~

~ TI

und lautet für

. u (z ) = -TI. . --:--J 2 ( 2;

( Z

( Z

(8)

Bei der zeitlichen Mittelung des Druckterms wird die Kompolleute p ' (Dul {Jx) betrachtet. Da bei ist zu beachten , dass der turbulent schwankende Dru ck einfach gcmittelt a ngeset zt wird und die Geschwtnd tgkeit skomponont en ma ssengemittclt . Somit folgt: iru Du iru Oii il u" +-= p ·-+ p · __ + p' · - +1/ ' D.r v.r {J,T O.T Ox

-fJ/i ( v,r

1/ )

fI

_

---oll _ Oü Oll" 0/1" p: äx = 1" Vx + p. Vx + p' (}x

(9) (10)

Analog folgt für die zeitlichen :\litteiungeJl des y- IIlId z-Ant eils: ------;)iJ iJii (JI''' 0,," p ' - =P' - +p ' - - + p" - Oy Oy Oy Oy

------ow

{hv

Ow"

Oll'"

p ' ä z = p ' 0: + p ' iJz + p' . Vz

(11)

Die vollst ändige zeitli ch gemtuclt e Energiegleichung für turbulent e Strömungen lautet :

lJT +i· ·lJT _ lJT ) - +w · ( i"J·Ds: äy Vz OT" OT") or+cv . ( p · n" · -fu- + p · v" · DU + p ' w" · -fu-

~

Ü'T" ) D'T D'T +Ü'T ), . ( -+ - ) + ),. (D'T" -(h'l - +ü'T" - +-iJ:r'l iJ,P iJz'l iJy'l a z'l O/J OiV) _po( OU -;- +_+_ Ox

__ p o (iJU" __ {)x

Oy

Oz

--

+ Il' ~

ÜU'") ('p ' __ + P" Oz Ox

+ {h'" __ + __ Dy

ÜI/"

öo" + p' . a__ w" ) __ Oy {)z

3 G ru nd gl('id lllllgP" dpr StrÖIflu"g~""'rhaJlik

18 8

3.4 3 .4 .1

G renzsch ichtgle ich ungen I nkom p res s ib le St römu n gen

Aufgabe 3 .4 .1

Gre nzsc h ichtgle ich u nge n

u(x.y)

x

L_, __ Abb. 3 .4 .1 P lattengrcllzschichtst riilllllllg D er Widerstand IFr einer e ins eitig b e n etz ten P latte (si ehe A bb. 3 .4.1 ) d er Länge x und der Breite b (s e n krech t z ur Zei chenehene ) b e t rägt n ach d em Impuls satz : x

" (x )

Wr(x ) = ! T",(x ) . b . dx = p . ! ll·(Ux-u )·b· dy n

(1)

"

b e zei chne t die W ands chubspannung. M it Hilfe dieser G le ichung s oll fiir e ine la m ina r e G renz sc h ic ht e ine For m el fiir die G r e n zsch ic ht d icke Ii in Abhängi gk ei t d er Lautlänge X , d e r ki n ema tischen Zä h ig ke it I) und d er A n str ömgesc hwind ig keit Ux; e r m it telt werd e n . D abe i so ll fiir die G esc hwind ig ke itsvert e ilung in d e r Gre nz s ch ic ht d a s p arabolische G es e t z

Tw

(2)

a nge n ommen werden. Di e a bzu le ite n d e Formel is t mit d e r vo n Bla sius a ngege b e n e n Fo r m el Ii(x ) = 5,2 · /(v. x)jUx; zu ve rgle ich e n . Lösung : gegeben : u (x , y) , v , Ux; gesu ch t :

Formel für 6(x )

Zur Lösung der Aufgab e wird zunä chst die linke Seite der G leichung

,

! o

!

6( x )

Tw(x ) · dx =p ·

o

11 '

(Uc 0, 1/ = f(ll/Uo), W ie verhalte n s ich die P r ofil e fii r unt ers chiedliche Ze itp u n kte I > 0 b e ziigli ch d er s k iz zie r ten Geschwind ig ke itsve r teih m g? Lös u ng: ge gebe n : p , Uo , v gesuch t : a) Skizze 1/(11, t), h) Vereinfachte Grundgletchungen , c) Art der Gleichu ngen , Anfan gs- und Randbodtngungcn, 11 ) Skizze ll/UO(I/)

194

3 Grund gl('idlllllgP" dpr S trÖIflu"g~""'rhaJl ik

a)

u(y ,O

, ' >.

A bb. 3.4 .3b Ges chwindigkeitspr ofi l zum Zeitpunkt 11 b) Die Grundgleichungen für eine instation äre ebene und inkompressible Strömung lauten:

p'

011 ( -ut + Öl)

p' ( ul

Du ö v -'J +" = 0 er oy

(1)

011 +v· -Oll) = -{}p (0211 [PI1) - + /1 ' - - + - -

(2)

Öv) = - -äp+ /1 ' (D2 1J (PV) - - +-

(3)

IJ ' (J.r

Dv

[}y

+ u · -[Ir . +v· -UU

u.r

a.r 2

I.hP

Oll

O.r2

{}y 2

Folgende Vereinfachungen ergeben sieh aus der Aufgabcnstcllung: 1. Es han delt sieh um ein räumlich ausgebildetes Ceschwi ndigkcit spr ofil, d. h. Jl und I! sin d keine Funkt ionen von 1' . Da mit sind alle Gradienten der Geschwindigkeit in .r-Rtchtung gleich Xull:

Du

I.Pu

iJv

I.P t' ih z

(4)

-~-=-=-~ O

ax

ax z

ax

2. Der Druck entlang der Pla tt e ist konstant, (I. h. p ist keine Funkt ionen gilt:

\"011 I.

Dam it

(5) Setzt man die Gleichungen (4) und (5) in d ie Grundgleichungen (1) - (3) ein erhält mall :

iJv iJy

-= 0

(6)

1' .

(011öt. + V. Oll) _/1' {Pu ay D2

(7)

p.

lh, ) ap iP v Ol! - =- - + /1' ( -+V al ' Oll DlI ay 2

(8)

y

Aus der Kontinuitätsgleichung (G) folgt mit der Haft bed tng ung vly==ü = 0 an der undurchlässigen Platte 1! = C(t) = O. Dieses in die Gleichungen (7) lind (8) eingesetzt ergibt:

alt

P' -

BI

f)p

I.P u

=11 ' - -

-= 0 {}y

{}y 2

(0) (10)

195

3.4 ( ;renzschichtgl\>idHlllgel\

Aus der 2. Xavicr -Srckcs-Glotchuug (10) folgt für konstanten Druck entlang der Pla tte P = C (t ) = ko nst ., d. h. der Druck ändert sich im gesamten Strömungsfeld nicht. Da mit er gibt sich aus der 1. Xavior-Stokos-Gloirhung (9) clie folgende Gleichung zur Beschreilruug des Haylcigh-Stokos-Probkuus:

(11) e. )

'1=

Die erhaltene Gleichung ist eine lineare partielle Different ialgleichung. Die zugehö rigen Randbedingung en lauten

y 2· ,rv:-/

II(Y = 0,(

> 0) = VI)

und u(y

---+ 00 ,

t > 0) = 0

Die Anfang sbedingung la ut et U(y

u

> 0, ( < 0) = 0

U, A h h. 3A.3e Geschwind igkeitspro fil 'I = f(lI/ Vol d .) Die P rofile sind für ver schiedene Zeitpunkte t > 0 ähnlich, d.h. sie lassen sich durch Skalierung von y ineinander überführen (siehe Abb. 3.4.3e). 3.4.2

K omp ressib le Ström ungen

A u fgabe 3 .4 .4

Gre nzseh iehtg le iehu ug

F ür ein e st a t ion ä re laminare inkompres sible Ström u ng in d er (x , y)- E b e n e in Gre n zsch ichtapproxirnatio ll laut en die G re nz sch ichtgleic hungen b ei kons t ant er d ynamische r Zäh igkeit 1/: UII

Ur

( 1)

-0 .r +"J = () (.11 p'

( 11 '

Du

[) ,r

+ 1"

DU)

dp

Oy = - d;r

+ JI'

(PU

(2)

()y2

B ei b ekannt er Gesc hwi ndigkeit am G r e n zs ch ich t r a nd V,,(x ) lässt s ich d e r D ruck gradient mit Hilfe d e r B ernou lli-G leich ung b estim m e n :

p(x ) +

'12 ./) . V"2(x)

= koust.

==>

dp dV" - +p ·V{, · - - = d.r dr dp = _ p ' V". d U" dr d.r

()

(3)

196

3 Grund gl('idlllllgP" der S trÖIfluJlg~""'rhaJl ik

So m it stellen di e G renzschichtgleichu uge n (1) und (2) e in System von zwe i p artiellen Differ ent ialglei ch ungen zu r Bes timmung d er zwe i U nb eka n nten 11 und v d ar. N a ch fo lgen d soll diskutiert werde n , welche Punkte beim Aufst ellen de r kom-

pressiblen Grenzechich t gl ei chung a usge h en d VOll d en G leic hu ngen (1) und (2) b esonders z u b e a chten s ind . D abei w ir d d a r auf hingewiesen , d a ss die d ynamisc he Zäh ig ke it Jl b ei kompr es siblen S trömungen e ine Fu n ktio n d er T empera tur is t , d . h . es gilt: Il ;:;; Il {T l . a) W ie laut en die Gleichungen (1) u n d (2) für d en Fall einer s t a t ion ä re n la min a ren kompr essiblen Grenzsch lcl ustr öm u ng in der [z-, y)- E b e llc? b ) W elche unbe kannten Größen en t h ä lt d as Differential gl ei chungssy s t em a us TeiIa u fga he a) und w ie vi e le zusä tzliche G leic hu ngen sind zur Sc h ließu ng d es D ifferentialglei chungssy stems nötig '! c) Man ge b e die Nam en d er in T eilaufgahe h ) zu sät zlich b enöt igt e n G leic hun gen und (soweit m ögli ch) d ie zugehörigen For m eln a n. Lösung : a] Gleichung (1) stellt d ie Kont tnuit ärsgletcbung für eine inkompressible Strö mung da r. Sie ist somit d urch die Kont tnutt ät sglcichung für eine kompressible Strömung zu ersetzen: Ü(P' '' ) Üx

+

D(p · , ) _O Üy

-

(4)

Die Formulieru ng der konvek t iven Ter me auf der linken Seite von Gleichung (2) ist im inkompressiblen lind im kompressiblen Fa ll identisch und kann somi t unverändert übernommen werd en. Gleich es gilt für den Druckgradtc nt en, de r sieh au ch im kom pressiblen Fall d urch die Ges chwindigkeit U" am Grenzschichtra nd ausdrücken lässt. Eine Änderung ist jedoch he im Itctbuugst crm auf der rechten Seite VOll Gleichung (2) vorzunehmen , da la ut Voraussetzung im kom pressiblen Fa ll I' = IL(T ) =j:. konst. gilt . Die Tem pera tur T ist. eine ska lare Feidgriiße die iiblicherweise dne Ort sabhängigkeit a ufweist . Dam it ist auch IL ort sabhän gig. Der Reibungst erm auf der rechten Seite \'011 G leichung (2) folgt bei der Herleitung der Xavier-Srokcs- Glelc hungen aus einem Gradtont on des Schubspannungsterms T. Es gilt :

~T.tJ ~

g(" .~u) y

Y

(5)

Lediglieh im inkompressib len Fall m it IL = konst , dar f 1I in G leichullg (5) \"0 1' das Differt-ntiul geschr-ieben worden. Im kom pressiblen Fall ist aufgründ der Temperat ur- und som it. der Ort sabhängigkeit der d yna mischen Zähi gkei t in den Grenzschich tg leichu ngen die For mulieru ng aus Glclchuug (5) zu verwenden . :\Iall erhält : p.

D" +v , oy DU) =- & k X

,

c p, o

2'P""'·UJ..,

-jM;"

(' )

1

)'lit der Gleichung (1) ergibt sieh für O(:r) für die Ober- und Unt erseite:

0" ~ tall(O,,) ==

h1 (IX == 4, r:'

d/j"

h2

d y"

( ) = &= 4 . [; , Ou~ tan8"

2 . X) T

(

1-

(

2, I- T

x)

P,

o

Q5

Abb. 3 .5 .3 b Drurkvcrt r-ilung auf Obe r- und Unter seite

xU

203

Auf de r Obers eit e laufe n linksläufige Cha rakt erist iken ins Strömungsfeld . a uf der Unterseite rech tsläufige. Die Formel (2) IlIUSS desha lb für die Oberseite mit einem P luszeichen und für di e Unterseite mit einein ),[iUllszeidll'll angewendet werden . Xlan erhält als o für Cl'.O und C".,,: (3)

c) y

x-.

I

In Abbildung 3.5.3(' ist der Xascnbcreich des P rofils grog herausgezeichnet. Die an einer festen Stelle c ] L eingezeichneten Kräft e l'k ,o . dA o und ]Jk,ll . dA " vcrursarhen UIlI (1('11 P un k t D das Moment {LUJ). Es berechnet sich zu :

;;\ x

D

. -1 , 1 - -, - ,- . (2 . 2 · (Lx

11 .

Uoo

+

~

,2,2 11 V

+

+w

/2 ) , . ,

)

(9)

4. 1

AJlal ~· ti ~ch('

233

\'orl)('f"('i tu ll g

:\[it der Mach- Za hl M :>o = Uoc/ a x lau te t Gleichung (9): _1_' = 1 _ _" _-_ 1 . ,\/2. ( 2 , _"_' [ Px 2 JO Uoc

,2 +..;:, ,2 .c.:':"_ " ) + ~"'---' ",,+

U;"

] ""

(10)

Dip Verhältnissn u' l Ux , v' /Uoc und w' I Uoc sind kleine G riif~en . :\Iit der angegebenen binumi srhen Reihe kann unter Vernachlässigung der Glieder höherer Ord nung die Gleichung (9) wie folgt vereinfacht werden: n · ,\[ 2 . _]I = 1 __

P:>o

2

(11)

x

d] plpx gemäß de r Gleichung (11) in die Gleichung (4 ) eingesetzt , ergibt: e/>

", = n ' 2M 2 . [ 1 - '"2 . M~ . ( 2 · U

X

:>0

+

2 U22 2) + ... - 1]

u' + v' +u/ ~

2+ u" 2) , __ 2 .s: u' 2 U + J2

c/, _

+t"

(

~

(12)

r ~

Die Verhältnisse 11' I Uex , l" l Ux lind /V' /U oo sin d kleine Größen, da das Tragflügelprofil schlank ist. Die Größen (11'1U",o)2 , (ViI U00 f lind (w' I Uo 0, was Inst a bilitä t lx-deutet. Im Dereich auferhalb der Indiff erenzkurve nimm t ""'j negative werte an und die zu untersuchende Grundströmung ist som it bei der betrachteten Heyno lds-Za hl st a bil gegen iiber a ufgebra chten Störungen mit der links a n der O rdi na te abzulesenden wellenzahl. Strömun gsmechanik Software zum Ka pitel 'Ste bilt t ät sa nal ys e' ist im Anhang 5.2 bes chrieben. 4.1.4

Stru kt urana ly se

Aufgabe 4. 1. 9

Sen ke ust.rö rn u ng

F iir ein zweidimensio nales Ström u ngsfe ld g ilt fol gende D iffe rent ia lg le ic h u ng : dy dx

x +y

( 1)

240

4 :'\UTIwrischo: l,ösllllgs rn et ho

00:

lim v",( r, t ) = 0

,-=

Mit Hilfe d es dimensionslosen Ä h n lic h ke itsparamete rs 8 sowie d es Ansa t zes = r/ .,jV'7t läs s t s ich d a s gegebene A nfangs- Randwertprob lem in ein Ran dwertp roble rn m it ei ner gewöh n lic hen Differentialg leichung in d e r Variab le n ,~ überfü hren .

8

f

"()+(.-, - -1) , f'() ....

2

s = O

.~

(2)

Die z ugehörigen Randbedingung en laut en: .~

=0 :

fe.. = 0) = 0

G eht man d a von a us , d as s f( lO) ;::;, b edingunge n : 8

=

ü

:

.... __ 00 :

lim f(... )= a "~=

(j

gilt e r g e ben sich d ie vere infachten Ran d-

. . = 10 :

f(., ~ O ) ~ O

f(....

= 10 ) = a

(3)

a) M it Hilfe d es Ansa t zes f(s ) = 11 (.. . ) + W(8) u n d d e r Fu nkt io n 11'(8) = (a/ I0 ) · ,.. ü b erführ e m an d as R andwe rtproblem (2) - (3) in e in homogenes R andwert proble m fiir die Fu n k tion 11(.. . ). Man ge b e die Di ffe r entialgl ei chun g zu r B estimm u ng vo n u(... ) und d ie b eiden R andbedingungen a n .

b] Man wende d ie Galerk in -Met hod e unt e r B enutzu ng e in er ein zige n A nsatzfu nkt ion g(,.,.) = "" '(10- . . ) z ur A p proximat ion von 1/ (,"' ) auf d ie unt e r a) gewon nene D ifferentialg leichu ng a n . Man gebe a ls Endergebnis d ie Näheruugslösu ng fü r f(s) d es R and we r t p roble m s ( 2) -(3) an . Lösung: a ] Der ABsatz für

f(.~ )

lautet: a f( s) = Il(s) + 1I'{s) = «(s } + 10 . .'I

(4)

Gleichung (2) enthält die erste Ableitung f' (....) sowie die zweite Ablei tung f" (8). Man erhält die beiden benöt igt en Ableitungen a us Gleich ung (4):

f' (s) = U' (8) + l~

(5)

=}

Set zt ma n Gleichung (5) in G loichuu g (2) ein , so erhält man:

" (.2, ,1) ( ,

11

(8)+

- --

a) = 0

. 11(8) + 10

(6)

250

4 :'\UTIwrischo: l,ösllllgs rn et ho.

254

4 :'\UTIw r isc ho:

4 .2.2

Lösll llgs rn et ho I

2. Fall (k

-I- O. k -I- 11 )

;

,

J( o

(10)

dN"_k . dN .) ~ · dy = dU dU

Fü r den Fall U < k - I ) lind 3. Fall (k = n) :

J,(

U>

dN_' d N_ ' j) dy

dy

o

k

+

·d.i} =

{ - -!- für j = k - 1 T für j ee k A -, - K für j= k + l

(11)

1) ist das bet rachtete Integral gleich Xull.

{ * , fH' j ~ U

(12)

- K für j= n- 1 0 fiir j
0.5

Abb . 4 .2,5 Vergleich der nu me rischen Lösung mit der a nalytischen Lösu ng

Anlaufvo r g ang d er K analströmung

A ufg abe 4. 2. 6

Die dimens ions lo se Different ia lgleichung

(1) mit _ v f = t ·-

ü

h'

=

/l '

P · 1I 2

1 dp dr

p = - _ .p

b e s chreibt mit den Anfangs- und R and b edingungen d e n instationären Anlaufvorgan g e iner K analstr- ömung (sie he Abb. 4 .2. 1) . In die ser Aufg a b e s o ll d er Vo r g ang numerisch mi t d er expliz iten DnFort Fran kcl-Met hode b ere chnet werden. A n schl ießend s o ll d a s Ergeb n is mit d er a nalytischen Lösung ve rglic hen we r den. Wird die DuFort- Fra nke l- M e thode z u r Lösu ng d e r D iffere nt ia lg leich u ng (1) angewendet , erhält m a n : _ ll+ t

uj

-

_ n_ t

lI j

2 . .6.[

(2)

260

4 :'\UTIwrischo: l,ösllllgs rn et ho;" " +-b- (1+ -r).1>;- 1.'" mit i = 1. 2, 3 ·1);+1 ,,,,

(6)

263

4 .2 ()i sk ret is i" r llng

Aus den Ra ndbedingung en be i x = 0 lind x = 1 ergeb en sich: (7)

lind ~ 4 . 11l

(8)

= (J

:\lit der Anfan gsbedin gung bei t = 0 wird ~o .o

= ~ 1. 0 =

3.0= 2.1 ( _ ! + 2.. + 1) .! +! . ~ . ~

1>"" = _ k_ , ....~ 4· k

Z_' _k

, "

=

3

4·k

2

85 ', ., -- -216

.s: '(1 - -ZI) ,""

0~. 2 ~ 4· k

+_'_ ' 4 ·k

'(1 + ! ) . 2

:JG· k

"

18

3

2·

+ ( _4 ·kk + ~ 16 ·k +
~

1>2.2 =

~. (1- ~) .y)'

b) Um die großen Gradienten in y-TI ichtuug in der Grenzschicht in Wandu ähc richtig ZII berechnen wird 6. y zur Wa nd hin verkleinert. Für eine gute Auflösung der Grenzschicht sollten mindestens 20 Git te rzellen in die lam ina re Grenzschicht fallen. Ist die G renzschicht turbulent sollt en ra. 10 P unkt e in die viskose Unterschicht fallen 11111 sie r ichtig aufzulösen. Dabei sollte l:::.y so gewä hlt werden , dass die Schichtdic ke unmittelbar an der Wan d ein en Wert für y+ VOll I hat.

Aufgabe 4.2 .9

R eibungsfr eie Außenströrnung

E ine e b en e kompressible St röm u ng in d er (x , y)· E b e ne kann a u ße r halh d es Bereic hs der Gre nzsch ichtström u ng durch di e r eibungsfr ei en E u ler-G leic hu nge n b eschri eben wer d e n . Di ese laut en zusammen mit der Kont in u itätsgleic hu ug fiir den vorliegen den Fall in Erhaltu ngs form . DU

~

or.;

-+ L-- ~ O

Dt

1II= 1

OXm

(1)

Da rin b ezei chne t U d en Lösungs vekt or u nd F m d en Vektor d er konvektiven Fliisse .

260

4 .2 ()isk re ti s i" r lln g

Zu r Lös u ng d er E u ler- Gle lch u n ge n soll e ine zellz e nt r ie r t e Pi ni t e-Vo lumen -M et .hod e mit äqu idista nt en Vol u m enzellen d es n ormierten Volumens Vi.j .k = 6..1' . 6..11 . I mit äquid is t ant en K antenlängen 6..r = 6..11 e ingesetzt werden . De r W er t e iner j ed en St rön l1lngsgröge a us U is t innerhalb j eder einze lne n Volumenzelle zu j edem Zei tpunkt konstant. Ihr W ert wird zu j ed em Zeitp u n k t jeweils im Zell m itt elp u n kt b es t immt . F flr d ie fol genden Te ilan fga ben wird a ussch ließlich d ie E u le r- G le ichu ng in y R ich t u n g b etra ch t e t : ciJ"(p",,,',,')

-

[)t

+

()(p ' 11 ' v) iJI

+ [)(p.ay1-,2)

iJp

ay

+ ~= O

(2)

a) Vo r B egt un e iner Diskre tisi erung in Fi ni t e Volum en is t die D iffere nt ia lgle ich u ng (2 ) zu nächst a ls int egrale E r h a lt u ngsgle ich u ng zu formulie ren. Int egrier en S ie d ie E u ler- G le ichu n g ( 2) übe r das Gesa mtvo lu men V m it d er G esamtober Häche A und wenden Sie den G außschen Int egra lsa t z a n . D er ä u ß ere O b er8ächelluonllalen- Ei nhei t s vek t or a uf d er G esamtober fläche A sein Tl

=

( Tl..,. Tl y , Tl z ) .

b) M it H il fe e in er ze llze ntr-ierte n Fi n ite-Vo lumen -M et hode d is kretisiere man d ie in t egr al e E r halt u ngsgle ich u ng a us A ufga ben t e il a ) und iib erfiihre s ie in e ine gewö h n lic he Di ffer en ti algle ichung in d er Ze it zur B esti m m u ng d er Ko mp o n ent e (p ' v) i~j d es Lösungsvek tors U a ls Funkt io n d e r Ter m e d e r konvek t ive n F lüsse e in sc h lie ß lic h des Dru ckes. E s ge lten d ie folge nden B ez e ichnu n gen , d ie s ich a us d er Sk izze in Abbildun g 4 .2 .9 e n t neh m en lass en :

(p . v) r~j ist die Lösu ngsgröße innerh a lb der Vol u m e n zelle Vi,j .k zu m Zeitpu nkt l = n ' 6. l = t'',

(p '

JJ ' v) : ~j

ist d er konvekt ive F luss in .r- R ich t u n g in n erhalb d er Volumenzelle

Vi,j ,k ZUlU Ze itpu n kt r'', ( p' 1' 2) :~j ist d er kon vektive F luss in y- R icht u n g innerhalb d er Volu m e nz el le Vi,j ,k zu m Zei tpu n kt t n ,

i,j+l

•

. --'n,

i-I ,j "

I"· ", • f-O'

•

i + l ,j

" j

t

11)

• i. j .1 A bb. 4. 2. 9 Finite-Volumen-Zelle

2iO pi~j

4 :'\ UTIwrisch o: l,ösllllgs rn e! hoO f>O

fiir fii r

y= O

(3)

y =h

(4)

a) Mit H ilfe e ines ze llz entrie rten Fi ni t e- Vo lu m e n- Verfa hrens iiber fiih re man d ie gegeb ene vereinfac hte Navler-Stokes-G leich u ng (1) in eine gewöhnlic h e j = D ifferentialgleichu ng in d er Zeit zur Best immung d er Geschw indigke it 1" " , m. Anders als in der P ra x is iiblich verwend e man der E in fach h eit halber äqui d is tante Volmuenzellen des no rmierten Vo lumens V; ,j,k = 1 . A.y . 1 m it d er äq uidistanten Kanten lä nge A y.

ur.

h) Wie lauten d ie A nfangsbed ingu ngen

Iljl

zu m Zeitpu n kt t = 0 fiir die Volu-

menzell e n j ?

c) Best immen Si e d ie R andb edingun gen in einer dem F initen-VolumenVerfa h ren angepassten Sc hrei bwe ise .

,

Fimnre Volumenzellen ,

I

I h y

,I

~~

.: :c.u" ' y

'y - " ---.oUj

1,

,"," - ,","

y =h

r, :

-

y =O

x

Abb. 4. 2.11a Ebener Ka na l mit mom ent an bewegter Wauel (Havleigh-Stokcs-Problo iu]

276

4 :'\UTIwrischo: l,ösllllgs rn et ho h h

10 VO ll - von !J h- HJIl h- von

Knot en 4

0. 1:371

Knoten 5

0 . 0:346

Kn oten 6

0 , 1:362

Knoten 7

0 , 03:37

t,

I,

Knot en 0

0 , 1357

h

\ '011

ha ck bounce

ft

\ '011

Knoten 8

O. O;J41

Je

!G von Knoten 2

0 , 1359

[t

h

von K no t en 3

O, o:l40

Ix

von Knoten 8

0, 5451

h

c) Ausführen des Kolfisioussrh rit ts: Borechueu der :\loIncu te aus der Zwischenverteilung: s

Dichte

fJ

=L

,

Z= 1, 2265 kgj m 3

i=U

Geschwind igkeit in x-Rich tung

/I

= L ~i .F · ]; = 0,00 102 m]«

,

i ",O

v = L ( .y · h = 0,00024 m] «

Geschwind igkeit in y-Richtung

. ", 0

Ber echnen d er Glcichgowlchtsvcrtcllung:

J' 'I I = P . t p....

(I+ u a· ~" + ~ . ( ~" . ~(I 6,)) 2 2

.(1

2

2

c~

-

" ,I

(7) (8)

283

4 .2 ()i sk ret is i" r llng

mit dem wicluungsfakror tl'. ;:

R icht ung i

t1, = 1/ !J

für i = 0,2,4 ,6

tl' = I/:36

für i = 1, 3,5,7

tl' = 4/!J

für i = 8

Gle ichgewichtsverteilung

I '"

Xichtglcichgewichtsyerteilllug

0

0 , 1:J7(1

O, I :Hi9

1

0 , 0 34 :~

0 , 034 1

2

0 , 1 :~65

0 , 1 :~6 7

3

0. 0:3:19

0 , 0:340

4

0 , 1356

0 , 1355

5

o,m;J!J

0 , m :J8

6

0 , 1 :~6 1

0 , 1 :~6 2

7

0 , 0:342

0 , 0 :~43

8

0 , 545 1

0 , 545 1

I,

Berechnen der Kollisionsfreq uen z «r:

kiruunatische Viskosi t ät :

Zcit schritt weit c:

Kollisions frequ en z:

Berechnen des Kollisio nsschrit t cs :

v = -I'

p

!:J.t = !:J. x / t.o a'l . !:J. t w = -v~+:-Qi , =. -'~'"

,

(9)

(10)

284

5 5 .1

Anhang Übersi cht über die Aufgaben

Auf den nachfolgenden Seit en findet mall eine Ühersidlt üb er die im Übungsbuch zus ammengestellten Aufga ben . In der Spa lte mit der Glwrseh rift SG ist der Schwierigkeitsgrad der Aufga be angegeben. Der Schwierigkeitsgrad einer Aufgabe ist m it einer Zahl von 1 bis 4 gekennzeichnet. Aufgabenmit dem Schwierigkeitsgrad 1 sind leicht zu lösen, Aufg abenmit dem Schw ierigk eitsgrad 3 besit zen ungefähr den Schwierigkeitsgr ad einer P rüfu ngsaufgabe für eluc Prüfung in StT'Ömun!J.~ lell1"e bz w. Mathematische Methoden der St7'Ö1Tltln!J.~ lehre an der Unive rsit ät Ke rlsruhe für Studenten des xlaschtncnbaus und Chc miciu gcnteurwcscns. Der Schwierigkelt sgrad 4 soll an deuten , dass d ie Aufgabe ' weit er führend ' ist , d. h. es wird eine Bolsplelaufga bc vorgestellt , die auch event uell in einem Lehrbuch steht bzw. stehen könnte. Sie muss nicht unbedin gt schwieriger a ls eine Prüfungsa ufga be sein (also nur M u t !!).

K AP I T EL

A UFGABE

SG

2. 1.1 2. 1.2 2.1.3 2.1.4

1 2 2 2

2 .2.1 H ydrostatik

2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5

1 1 2 2 2

2.2 .2 A erostatik

2.2.6 2.2.7 2.2.8

2 2 3

2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.3.5

2 2 2 2 3

2.1

Strömungsberei che

2. 2

H ydrostatik und Ae rosta tik

2.3

H ydro- und Ae rodynamik ,

Stromfadent h eorie 2.3.1 Kinematische G rundbegriffe

285

5.1 Übers ieht iil", r die ,\ ufga h\",

KAPITEL 2 .3 .2 Inkompre s sible Strömung en

2.3 .3 Kompre s sible Strömungcn

2.4

AUFGABE

SG

2.3.6 2.3.7 2.3.8 2.3.!.l 2.3.10 2.3.11 2.3.12 2.3.13 2.3.14

1 1 2

2.3.15 2.3.16 2.3.17 2.3.18 2.3.19

3 3 2 2 3 3 1 2 2 3 2

Technische Strö m u ngen

2 .4 .1 Turbulente S trömungen

2.4.1 2.4.2 2.4.3 2.4.4 2.4.5

2 .4 .2 Impuls s at z

2.4.6 2.4.7 2.4.8 2.4.!.l 2.4.10 2.4.11 2.4.12

2 .4 .3 Drehimpuls satz

2.4.13 2.4.14 2.4.15

2 2 2 2 3 1 2 2 3 3 3 3 1 3 3

2 .4 .4 Rohrhydraulik

2.4.16 2.4.17 2.4.18 2.4.W

3 2 2 3

286

;; A nha ng

A UFGAB E

SG

2A .20 2.4 .21 2.4 .22

3 2 2

2.4 .23 2.4 .24

3 3

2.4 .25 2.4 .26

2 2

2.4 .27 2.4 .28 2.4. 2g

2 2 2

2.5.1 2.5. 2

3 3

2. 5.2 Tragfliigel strömung

2.5.3

2

2.6

2.6.1

2.6.2

2 3

2.6 .1 B ehei zt e ver tika le Pla tte

2.Q.3

2

2.6.2 R ohrs t römung

2.6 .4

2

3.1.1 3. 1.2

2

KAPIT EL 2.4 .5 Str ö m ungen Nicht- N ewtonse her Medie n

2.4.6 S t r öm u ngsab l ös u n g

2 .4.7 S t r öm u n g smasch ine n

2. 5 A erodynamik d e s F lugzeugs 2. 5.1 P r ofllums tr ömung

3 .1 3 .2

S trömung en mit W ä rmeiib ertra gung

Kont in u it ätsgle ic hu ng

2

Nav ie r -Stoke s- G le ic h u ngen

3 .2 . 1 L aminare S t r ö m u n gen

3.2 .1

2

3.2.2 3.2.3

3 3

3.2.4

3 3 2 3 3 3

3.2.5

3. 2.2 R c ynclds-Glci chuugen

3 .2.3 'I'ur-bulenzrnod elle

3.2.6 3.2.7 3.2.8 3.2 .9 3.2 .10

3.2.11 3.2.12

3 .2 .4 G rob str u kt u r s im u lat ion

3.2 .13 3.2.14 3.2. 15

2 1 3 3 3 4

287

5.1 Übers ieht iil", r die ,\ ufga h\",

A U F GAB E

SG

3 .3.1 La m in a r e Strömungen

3.3.1 3.3 .2

3 3

3.3 .2 Turbulente Strömungen

3.3.3

3

3.4 .1 3.4 .2 3.4 .3

3

3.4.4

3

3.5.1 K o m p r e s s ible Strömu ngen

3.5.1 3.5.2 3.5 .3

1 2

3.5 .2 Inkompre s s ible Strömu ngen

3.5.4 3.5.5 3.5.6 3.5.7

3 .6

G r undg le ic hunge n in E r haltu ngs fo rm

3.6.1 3.6.2

3 2 3 3 3 1 3

4. 1

Analy tische Vorbe reitu ng

4. 1.1 ·1.1.2 4.1.3

1 1 4

4. 1..1

3 3

K API TEL

3.3

3.4

Energiegleichung

Grenzschich tgleic h u ugen

3 .4.1 Iuko m p r e s sible Strömungen

3.4 .2 Kompressible Strömungen

3 .0"

4 4

P o t ent ialgl e iclmng en

4 .1. 1 Dimensionsanalyse

4. 1.2 Line a r is iernng

4 .1.3 Stabilität sanalys e 4. 1.4 Strukt u ranalyse

4.1.5 4. 1.6 4. 1.7

4

3

4. 1.8

4

·-1.1 .0

3 2

·U . lO 4. 1.11 4.1.12

2

3

288

;; A nha ng

A UFGAB E

SG

4.2. 1 4.2.2

3

4.2.3

3

4. 2.2 F inite-Ele mente-Met ho de

4.2.4

3

4. 2.3 F in ite- D iffere nzen -Met hode

4.2.5

2 3 3

KAPIT EL

4.2 D iskre t .isle rung 4.2 .1 Gale rkin-M e thode

4.2.6

4.2.7 4. 2.4 Finite - Volumen-M etho de

4 .2 .4 Mole kula rdynam isc he S inm lat io ns met hoden

2

4.2.8 4.2.9 4.2 .10 1.2 .11

3

4.2. 12 4.2.13

2 3

3

3 3

289

5 .2 StrömungHllIPcloanik Software

5.2

St römungs mechanik Software

Das Tätigkeitsfeld des Ingenieurs hat nicht nur im Borelch der Strömungsmechanik durch den verst ärkten Rechnereins a tz un d die Vernetzurig der Rechner erhebliche Verändcrungen erfahren . Xcbcn den analytischen Fähigkeiten, strömungsmechanische P robleme zu lösen , wird in der industriellen P ra xis zunehmend der Umga ng mit strömungsmcchanlsche r Software gefordert . Um diese Entwicklung zu fördern , haben wir begleitend zu den Übnngsaufgabon Übnngssofrwa ru bereitgestellt , die den Einstieg in die Xut aung kouuuorzieller Strömungslllcchanik·Software erleichtern soll. Dahei ist es unumgänglich, dass man den aktiven Umgang mit strotnungstncchanischcr Software a uf vernetzten Rechnern für die sp.itere Ber ufspra xis selbst ändig üht. Die Entw icklung des Intemet s bietet die Möglichkeit , vorlesungsbegleitende Strömungsmechanik Software, abrufbar auf der Homopa ge des Insti t ut es für Strömungslehre an der Universitä t Kar lsruhc , bereitzustellen und die Int eraktton zwischen Studenten und Ausbildungspersonal zu fördern. http: / /www .1Ibka.1Ini-karlsr1lhe .de /d igi bibi1illde x.ht1l11 Die das Übungsbuch begleitende Software gliedert sieh entsprechend der Buchka pitel . Die Grundla gen d er S trölIlUngslIlechanik in Kapite l 2 werden durch das Software-Ylodul

KA PPA - Stro mfa d en A

inkompressibel

A

reibungsfrei

A

stationär

K raft fahrzeug:

A O berseite

Tragflügel:

V V V

Düse: Stoßrohr:

O berseite

V V V

instationär

V

Unterseite

kompressibel reibungsbehaftet

Düscnströmung Stoßausbrcitung

Anströmgeschwindigkeit in knvh ( Kfz) Anstrum -Mach-Zahl [Tragflügel] Druckverhältnis Gcgendruck/kuhedruc k (Düse) Druckverhältnis Treibrohrdruck/Laufrohrdruck (Stcßrohr)

I Rechnung starten I

Ein9aben löSChen l

Abb. 5 .2 .1 Eiugabemenii von KAP PA· St ro mfadell

Ir

I

290

;; A nha ng

ergänzt (siehe Abb . 5.2.1). Da bei werden die algebra ischen Gleichungen der ciudimcnsionalen Stromfadentheorie Kapitel 2.3. 2 und 2.3.3 sowie d ie zweidimensiona le ;'\avicr -SrokcsGleichung für die reibungsbehaftete Strömung iterativ für vorgegebene Belspiele golöst . Als Anwendungsbeispiele wur den die Kraftfa hrz eug umst römuug und Tragftügolumstr öUlllng (inkompressibel), die Strömung durch eine Düse und im Stoßrohr (kompressibel) ausgewählt . Durch Auklickcn der angebotenen Optionen lässt sich z. B. die st.atiouiire, kompressible, reibungsfreie Strömung d urc h eine Laval-Dü sc bere chnen. Als Ergebnis erhält man Dr uckund Xla ch-Zahl-Verlauf p(r ) IIl1d M (x ) lä ngs der Düsenachse für ein jeweils gewähltes Druckver häl t nis VOll Gegendr uck PA am Düsena usgang zu Ruhedruck Po im Kessel , an dem die Düse angeschlossen ist. KAP PA-St ro mfad eu bietet somit die :\löglkhkeit , den Einflu ss des Druckverh ält nisses auf die sich einstellende charakteristische Strömungsform in der Düse zu st udieren. Beispielsweise erk ennt mau, dass bei einem Druck ver hält nis (PA/PO) = 0.98 überall in der Düse eine re ine Unterschallst.römnng mit der maxim alen Xlnch-Zahl am engs ten Querschnitt von Aln,ax ~ 0.37 vorherrscht. ljci Absenken des Druckver hä lt nisses auf beispielsweise (PA/pO) = 0.9 stellt sich st roma b des engsten Querschnittes ein senkrechter Verdicht ungss to k ein , was man am sprungar tigen Abfall der Mach-Za hl von Al > 1 auf Al < 1 erkennen kann . Bei einem geringen Druckver hä lt nis VOll z. B. ÜIA /PO) = 0.1 erhält man schließlich olne kontinuierlich besc hleunigte Strömung in der La val-D üse, bei der die XlachZahl läng s der Düsen a chse vou anfänglich Al ~ 0.22 UIIl einen Faktor 10 auf etwa Al ~ 2.2 ansteigt. Die a naly t ischen und numerischen Lösungsmethoden in Kapit ol I werden für ausgcwühlte Übung sbeispiele (z. B. d ie Kan alst römuug ) mit einer Reihe von Software-Beispielen behandelt (siehe Abb . 5.2.2). Die Aerodynamik des Ka pit els 2.5, . .1.1.2 und --1 .1.3 der Vorlesung Augewandre Strömungsmeehanik wird an Softwarebeispielen der Ber echnung von Grenzschichtströmungen sowie deren Insta bilit ät cn am Beispiel der P rofi l und Tragfiügelumst römung er gänzt . Die P ro.. gr annnpakete zu den r-inzclnun T honren besteheu jeweils aus einem Quellprogra mm in der Programmierspr ache F() HTHA:\, griißt ent eiis au s einem zusatzliehen Pa ra met er-File, sowie aus einem P rogra mm zur grafischen Aufbereitung der Ergobntsdatcu. Sofern di e analytische Lösung eines P ro blems bekannt ist , wird sie ebenfalls berechnet un d zu Verglciehszwccken mit der Lösung, die das numerische Xähcrun gsvcr fe bren liefert , in das gleiche Diagram m eingezeichnet. Durch Variation der Pa ra meter im Pa ra met er- File, z. B. die Anzahl der Ansa t zfunkt tonen lwi der Galcrktn-Mcrhode, kann da nn die Auswirkung auf die numerische Xähcrungslösung diskutiert werden.

29 1

5 .2 St rö mu ngHllIPcloanik Softwa re

Mathemattsehe Methoden de r Strumungsmccha ntk

•

Lincarisicrung

•

SlabiI itätsanalyse

•

Galcrkinvcrfahrcn

•

Finite- Differenzen- Methode

• Finite- Elemente-Methode • Finitc-Volumen-Methode Augewandte St röm ungsmec ha nik

Aerod ynamik

• Blas jus-Grenzschic ht • Turbulente Plattengrenzschicht • Ort- Sommerfeld-Gleichung - Eigenwe rtlöset • Profilumströmung

•

Tragl1üge1umströmung

Abb . 5 .2. 2 Software..Beispiele zu \ Ia tbeillatis ehe \I('t ho de n der Ströiuungsmechauik

293

B ezei chnungen A

a

u, b

b Cf CI'

Ce Cv

c'"

[m 2 ]

[1II/8J

[mI [m/8 2J

[I

[[ [l / (kgK )1 [l / (kgK )1

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[m j.~ 1

D, d

[m] [.I/kgl [NI

F tächo, Q uprsd lllit t sfliid w Sr-ha llge sr-hwindigk eit Bre it e Besch leunigu ng Reibu ngsbeiw ert Dru ckbeiwer t

spezifische wärmckapad t ät bei konst an tem Druck spezifische wärmckapad tä t bei konstantem Volumen \vidersta nd sbciwer t Geschwindigkeit in Strorufudenrichtung, Absolut geschwindi gke it :\ I( )l( ~k ül g( ~scl lw i ll(l i gk(' it

t:

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PD fl F

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ll , h h h

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L L, I I ,11 ,11 MI m m N PS H ,Vu n

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[lVI [mI [mI

[[ [Nml

[,Vml

[kg l [k9/'1 [mI

[I [I [I

[Pal

Durchmesser , Länge spezifische innere Energie K raft Frequenz Vcrtcilungsfunk tion Auftrlcbsk raft Druck kraft Impulskraft konvektiver Fluss Froude-Zahl Gewichtskraft dissipa t lver Flus s Erdbeschleun igu ng Höhe spezifisehe E nt ha lpie \ Y än nr-üborgnngskooffizient Flarhnn t r äghcitsmoment zeitl ich gcmi t teltc T urb ulenzenergie T ur b ulenzene rg ie m it t lere Sandkornra uhtgkett Leist ung Lä nge Itschungswcglängc :\Iaeh -Zahl :\Iollu'ut Impul smoment :\Iasse Xlasscus t rom Nominal PUIllP sucrion hoad , Ha lt ehöhe Xu ßelt-Zahl poly tropen Exponent , Drehza hl Xormalenvekt or Druck

x

294 J'r

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Ponmri alfunk t ion Störpotential Pfeilwinkel Dissipa t ionsfuukt.ion Stromfunktion o herfl ächenspannung , X onnalspann ung Dichte cbaraktcrisüschc Zei t Schubspannung \\'andschu bspannung Winkel Drehung, W inkelgeschwind igkeit Koll isions frnquenz Winkel \ 'crlust kocffiz icnt Teilchcugcschwtndigkci t Schwankungsgröfc, Störgr öße massengern i t tel t e Schwankuugsgr öfc kri tische Größe, dimensionslose Größe \\ 'ellcnam pli t udc zeitlich gemir.tclte Größe zeitlich mussengcmit.tclre Größe Anstriim griiRe Radi a lkomponent e Umfa ngskomponeute

296

Ausgewählte Literatur Strömung sme chanik Lehrbücher G. K. Bctchcior. An Int rod ucdon to Fluid Dyn a mtes. Cambrldgc Uuivcrsity P ress, Cambr idg o, 200i . E. Luurien; H. Ocrtel j",. Xumerische Strömungsmcchanlk. 3. Auflage, Vtcwcg-i- Teubner, Wies baden, 2009 . H. Ocrtel j t". Introduction to F luid ~l('challics. ViCK('g+Verlag, Br aunschwoig , \\'iPsb adl' ll, 2001, Universit ätsvorlag. Karlsr uhe, 2003. H. Oert el jr"" M. Bühle. Strömungsmechanik - xlcthodcn und P hä nomene. SpringerVerlag, Ber lin, Hcidclberg , 1995, Universit ät sver lag. Ka rlsru hc, 2Ü03. H. (Jed e! jr"" M. ß Mde, U. D ohrmann. Strömungsmerhanik. 5. Auflage, Vicweg t- Tcubner,

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297

Sachwortverzeich n is l,'-Gl eichllllg, 168 Ablösekr it erium . 121, 122 Ablösung, 130, 131 Absaugung, 181 Aerodyna mik, 23, 130, 284 Aerodyn a mik, 286 Aerost atik . 10, 17, 284 Akusti k-Gleichung, 229, 230 Anfang s-Randwert proble m, 248 , 249,

262 Anfa ngsbedingung. 27, 30, 32, 193, 195, 249, 259, 262, 263 Anlaufka nals t römung. 259 Ansatzfunktion, 245, 249 -252 , 254, 255 Anstellwinkel, 4, 130, 199 Antricbslclstuug, 127, 128 Approxima tion, 249, 252, 260 Arbeit spezifische, 126 At mosphä re, 11, 17, 20 -22, 53, 58, 60. 76,98 Aunospharo isotherme, 17, 19 Atm osphä re po lytrope, 17, 19- 21 At mos phä rondruck , 14, 53, 54, 60, 96, 101 Auft rieb , 131, 137 Auft.riebsbeiwert. , 130, 132,200 Aufr riebskruft , 14, 19, 21, 2ü I Aukr-nst römn ng , 3, 8, 42, 52, 74, 19 1, 198, 204 , 209 Ausfluss, 37, 39, 9 ;) Aust ri t tsvcrlust, 10 1 Axiallaufrad. 125 Ba ldwin-Lomux-Tur bulenzmodell, 168 Behälter rot ieren d, 15 Hemoulli-Gleichung, 42, 50, 76, 84, 86, 8 7, 97, 100, 101, 103, 104, 106. 124. 195, 23 1, 232 inkompressible St römung, 44 -46 Bcrnoullt-Gleichurig

inkompressible St röm ung, 33, 35- 37, 40, 47, 48, 53,75, 78, 98, 100, 208,211 ,213 Ber noulli- G leichurig instationäre Strömung, 35. 37, 40 Bcrnoulll- Gleichurig kompressible Strömung. 52 Bcr nonl ll-Gloiclumg statiouiire Strömung, 37, 52 Blasins, 190 Hlasius-Formel , 188. 190 Blasiu s-Gh-ichuug 192 ßl ut , 114 Blu t viskosit ät . 114, 115 Boussinesq- Ann a hmc, 71, 72, 166. 167 Boussincsq- Gleich ungen , 234 Charakteristik, 265 Charakteristik linksläufige, 198, 200. 203 Cha rakterist ik rucht sbiufl gc, 108, 2()0 Couetre-Strömung, 68, 179, 18 1, 18-1 Da mpfd ruck, 99, I OD, 123 Deltaflügel. 24 1, 242 Differenzen- Met hode, 258, 261, 262 , 288 Differenzenquoti unt., 258, 260. 262 Diffusion molekulare, 169 turbulente, 169, 170 Diffuso r, 39. 40 Dtmcnslonsa nalyse, 2, 221, 28 7 Dtpols t römung, 209, 212 Dlssipat ton , !G9, 170, 185 Dissipat ionsfun ktio n, 180 Drehimpuls, 128 Drehi mpulssat z. 89--9 1, 93, 95, 285 Dre hung, 23, 24 Drchungsfn-iheit., 142 Drehza hl, 125, 127 spez ifische, 125, 126 Druck statischer, 5, 7, 8, 56. 82, 145, 241 Druc kabfall . 9

298

Sadl\\'ortwrzcich 11is

Druck bel wer t . 4, 5, 50 , 132, 133 , 198-200, 202,209,211 ,23 1,

233 Druck gradlcnt , 145 , 147, 149-1 51 , 153, 195, 196. 238 Druekkraft , 12, 42, 70, 77, 79. 80, 82, 86, 88, 118 , 153, 203 , 214 Druckluft kessel. 53 Druck st ör un g. 228 Druck vcrhul tnis, 5·1 , 56 Druck verhältnis krit isches , 54 Druckverlust . 80, 97,103 -105,1 11,112 Druek ver t cilung, 201, 202 , 207-209 , 211 , 213,214 Druck widerst a nd . 49. 67 , 118 -120 D tlFo r t-Fr a ll kel- ~ l e t h od(' , 259, 260 Düsens trömung. 55, 56, 58, tt, 206 Eigeufrequeuz, 120 Eigenfunktion , 239 Eigenwert, 239 Eigcuwertproblem, 239 Einlaufströmung. 80 Einlaufverlust. 100, 101, 105 Eint rittsvr-rlust , 101 Energiegleichung. 179, 180, 182, 185 -18 7,197,234,287 Energiesatz, 58 Energiezufuhr . 48, 100 Erhaltungsform. 2li Euler-Gk-ichung. 228 , 22fl, 268, 26fl Favr e-Mt t tclung, 162, 165, 185 Fehler, 24 7 numerischer, 261 Flüsse dissipa tiv, 218 Flüsse konvektiv, 218 Plüsslgkeit -Dampfa bscheidcr. B Flüssig keit sschicht , 233 Fltissig koitss t rahl, 86 Fokus, 241 , 242 Förderhöhr-, 123 , 125 Four ier-Ansat z, 140 Freis trahl. 43 , 46

Fretst ra hlbcdlngung, 45, 48

Galcrkin-xlct hodc, 245 , 248 -25 1, 254, 255 , 258, 278, 288 Gas ideales, 17, 22, 61, 143, W7, 232 C usgkochuug ideale, 53, 57, ss, 6 1, 98 , 144 Gaskonst ante spezifische , li, 20, 53, 55 , 232 Gasst röm u ng. 8 , s, 53 Gau Ji,scher Intcgralsat z, 26 7, 276 Gebä udcums t römung , 6 Gejste rzelle, 277 Gesamt druck . 56, 58 - 60, 62 Gcsamtwidc rstand , 67 , 68 , 118, 120 Gcschw lndt gkctt sdreteck , 127-129 C oldstei n-R egel, 242 , 243 C rcnzsclricht dicke , 63 , 64 , 81, 83, 188, WO, 224 , 225 Gronzschichtgk-idumg, 2, 188, 190 -192, W5, iss, 265, 267, 28 7 Grenzsrh ichtprofil, 3 , 64 , WO Grcn zschlchtst römung, 265 Grenz schichtst römung laminar, 196 Grobst ru ktu rsimulat iou, 176 IIaft bedinguug, 7, 146 , 148, 149, 180 , 19 1, 194, 219 Halhsattel, 24 1, 242 Halt eenerg ie . 123 Hal tehöhe . 124 Hoehaufr riebskonfigurat.ion, 130, 131 Hyd ra ulisch glatt, 96 -99 , 108 Hydrodynamik, 23, 284 Hyd rost at ik, 10, 284 Impulserhalt ung. 217 Impulsgleichu ng . 74, 75, 7!:l , 162, 23 ~ Impulskruft , 74 ~ 76, ro, 80, 82, 83, 86, 88.89 Impulsmorucnt , 90 -93 Impulssatz, 73, 77- 81, 85 , 86 , 88 -90, 188, 285 Inst a bilität , 236 , 239 Iscnt ro pcncxponcnt ., 53 , 55 , 231

299

St u-hwort\-l'rll'ieli 11 is

k-f;- Tu rbuh-uzmodcll, 171

Xiclu -Xewtonsches ;"!('(Iiulll , 111, 1H ,

Kanalst r ömung . 70, 1.15, 2.15 , 254, 258, 259 , 272, 275 Kcgel vcntü , 13, H Kennzahl, 221- 226 K es ..'>I.'), 53, 54, 58, 59 Knon-np un kt , 2.10, 2.12 Kout inuit ätsg k-ichu ng , .15 Kout luui t fitsgk-iehung. 33, 36. 38, -10, 53, 5-i , 57, 75, 76, 78. 8-1 , 86 , 88, 9-&, 96, HK", 106, H 2. H 3. H5. 1-19, 152. 15-1, 155, 159, 161, 162, IBO, 182, 190, 191, 19-1 . 196 .21 8,228, 229, 237 ,

280 Xtcdng- Rp)"llolfls-Za hl-;"lodl'll, 173 Xtkurad sc-Dlagr amm. 97, l OS XPSH· \\"nt, 123 Xussolt-Za hl. 135. 136

268. 286

KOllt rollfiäd ll', 79, 8 1, 90. 9 1, 93, 94 Ko nt roll ra um . 74 -76. 79 -8 2, 85 , . 90, 112 Ko nt rol lvolumen . 74, 75, BO Kon vekt ion , 169 er zwungene. 138 Kopfwelle, 61 Kr äftebila uz , 112 Kraftfa hrzeugumst römuug. 3, 2-12 Kreiszyl inder. 115,209,211, 2 12 Kreisayl inck-nunst römuug. 209, 210 Kr ümmer, 76, 89 9 1,99, 122 Kr ümmorvcrlusr , 9;), 101 Kugel, 118, 221 Kugelumst r ömuug, 117,22 1,222 Kugelwidcrstnudv l l S La rgo- Eddy- Simulat ion , 176 Lntlce-Hcltzm ann-Xlet hodc, 278, 270 La val-D üse, 53, 55 -ss, 60 Luftdruck, 14, 1!J, 20, U6 :'>. Iac·h-Zahl , -I, ,'j, ,'j2 , 55-,'j9, GI , 62, 198, 109.2111 ,22-1 , n l , 23;~ :'>. lassl'('rhClltuug,217 :'>. !ass Pllsl rolll, 53 -55, 57, 82, 91,1-15, U7

Xavlor-Srokes -Glelchuug, 2, 117, 145, 1-19 , 152, 15-i , 157, 158. 161, 182 , 183, 195, 196, 23-1 , 236,

280 Xewtousr-hcr Reib ungsausat z. 65, 151 -1 53.1 89

Para belprofil . ZU1 Pa rallel st rahl, 55

Pa rallel st r ömung. 3 -5, 3 1, 20 I , 202 Pfcil ung. 133 P feilwinkel. 134 Pl e t teugren zschtd u , 63. 65, 67, 8 1, 82, 190. 19 1 Pol ytropc nc xpcuen t , 18,21 Pot entialfunkt ion . 20-1 . 205 Pc t ent ialg leir hung, 2. 198. 20-1 , 287 linear, 2Q..I linearisie rt , 198, 199 Potent ialwi rbe l. 42, 206 , 207, 2 12, 248,

20! Pra llslrah l,74 Pra nd t l-Fon ncl . 98, 99 Pran d rt-Gleichung . 125 P rand t l-Zahl , 135, 181 Pran d tlsche ;"Iisehuugsw('glällg, 287 Strömling quasi-stationär , 3:> ,162 , 18G Strömung station är , 5, 6, 25, 28, 37 , 52, 55 , 87, 91 , 93 , 142, 143, 145. 149. 154, 161 , 191, 195,221,24:>, 258 Strömung tech nisch , 28:> Strömungsablösung. 130, 286 Strömungsmaschlncn , 28G St rouh

Übungsbuch Strömungsmechanik: Grundlagen, Grundgleichungen, Analytische und Numerische Lösungsmethoden, Softwarebeispiele, 7. Auflage

Ubungsbuch Stromungsmechanik: Grundlagen, Grundgleichungen, Analytische und Numerische Losungsmethoden, Softwarebeispiele 5.Auflage

Übungsbuch Strömungsmechanik: Grundlagen, Grundgleichungen, Analytische und Numerische Lösungsmethoden, Softwarebeispiele, 6.Auflage

Strömungsmechanik, 6. Auflage: Grundlagen - Grundgleichungen - Lösungsmethoden - Softwarebeispiele

Stromungsmechanik. Grundlagen, Grundgleichungen, Losungsmethoden, Softwarebeispiele

Numerische Mathematik, 7., uberarbeitete Auflage

Partielle Differenzialgleichungen: Eine Einführung in analytische und numerische Methoden

Numerische Mathematik, 8. Auflage

Numerische Strömungsberechnung, 2. Auflage

Numerische Strömungsmechanik, 4. Auflage

Wasserbau: Grundlagen, Gestaltung von wasserbaulichen Bauwerken und Anlagen, 7. Auflage

Maß- und Integrationstheorie, 7. Auflage

Marktpsychologie: Grundlagen und Anwendung 3. Auflage (Lehrbuch)

Thermodynamik: Grundlagen und technische Anwendungen, 14. Auflage

Numerische Strömungssimulation in der Hydrodynamik: Grundlagen und Methoden

Stahlfaserbeton: Grundlagen und Praxisanwendung, 2. Auflage

Organisationssoziologie: Grundlagen, Theorien und Problemstellungen, 2.Auflage

Thermodynamik: Grundlagen und technische Anwendungen, 13.Auflage

Beatmung: Grundlagen und Praxis 4. Auflage

Android 2: Grundlagen und Programmierung, 2. Auflage

Diabetologie kompakt: Grundlagen und Praxis, 4. Auflage

Wärmeübertragung: Grundlagen Und Praxis, 4. Auflage

Analytische Informationssysteme: Business Intelligence-Technologien und -Anwendungen, 3. Auflage

Konzentrative und analytische Meditation GERMAN

Finanzderivate mit MATLAB: Mathematische Modellierung und numerische Simulation, 2. Auflage

Numerische Behandlung gewöhnlicher und partieller Differenzialgleichungen, 2. Auflage

Lineare Algebra und analytische Geometrie

Numerische Mathematik kompakt: Grundlagenwissen für Studium und Praxis, 4. Auflage

FEM - Grundlagen und Anwendungen der Finite-Element-Methode im Maschinen- und Fahrzeugbau 7. Auflage

Motorradtechnik: Grundlagen und Konzepte von Motor, Antrieb und Fahrwerk, 7. Auflage

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