Streifzuege durch die Wahrscheinlichkeitstheorie

Springer-Lehrbuch

Olle Häggström

Streifzüge durch die Wahrscheinlichkeitstheorie Aus dem Schwedischen übersetzt von Arne und Christina Ring

Mit 38 Abbildungen

123

Olle Häggström Mathematical Sciences Chalmers University of Technology S-412 96 Göteborg, Schweden e-mail: [email protected] Übersetzer: Arne Ring und Christina Ring e-mail: [email protected]

Die schwedische Originalausgabe erschien 2004 bei Studentlitteratur, Lund, Schweden mit dem Titel „Slumpens skördar: Strövtåg i sannolikhetsteorin“.

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Mathematics Subject Classification (2000): 60-01, 91-01, 60K35

ISBN-10 3-540-23050-5 Springer Berlin Heidelberg New York ISBN-13 978-3-540-23050-2 Springer Berlin Heidelberg New York Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media springer.de © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2006 Printed in Germany Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daß solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Satz: Datenerstellung durch den Übersetzer unter Verwendung eines Springer TEX-Makropakets Herstellung: LE-TEX Jelonek, Schmidt & Vöckler GbR, Leipzig Einbandgestaltung: design & production GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier

46/3142YL - 5 4 3 2 1 0

Vorwort

Die Wahrs heinli hkeitstheorie  die Mathematik des Zufalls  ist ein spannendes Gebiet mit vielen interessanten Phänomenen und lehrrei hen Herausforderungen. Seit 1991 arbeite i h fast auss hlieÿli h auf diesem Gebiet. Dabei kann i h mi h ni ht daran erinnern, dies au h nur einmal bereut oder irgendwel he Zweifel an der Wahl meines Fa hes gehabt zu haben. Mit diesem Bu h mö hte i h die Faszination weitergeben, die i h für den Zufall und die Wahrs heinli hkeitstheorie empnde. Die Idee zum Bu h ist ent-

1 in die Wahrs heinli hkeitstheorie

standen, als i h über die Einführungskurse

na hda hte, die an der Göteborger Chalmers Universität und an anderen s hwedis hen Ho hs hulen und Universitäten gehalten werden. Nur selten gelingt es, mit diesen Kursen das Interesse der Studenten zu we ken, so dass sie denken: Mit diesem Gebiet will i h mi h intensiver bes häftigen. Wie passt dies zu meiner Behauptung, dass die Wahrs heinli hkeitstheorie spannend und stimulierend sei? Meiner Meinung na h kann man dies damit erklären, dass die Kurse zwar dur haus viel Wi htiges behandeln (dies viellei ht aber au h etwas zu intensiv), wie beispielsweise die Anpassung der Normalverteilung an bestimmte Datenmengen. Dadur h bleibt jedo h keine Zeit für die Überras hungen, Paradoxa und anderen faszinierenden Phänomene, die die Wahrs heinli hkeitstheorie bereit hält. Dabei können viele dieser Phänomene ohne umfassende Bes hreibung der Voraussetzungen präsentiert und verstanden werden. Dieses Bu h enthält deshalb hauptsä hli h eine Auswahl sol her Anwendungen. Mein Anliegen ist es, dass dieses Bu h parallel zu den genannten Einführungsvorlesungen als stimulierende Zusatzlektüre genutzt wird. Glei hzeitig hoe i h, dass es au h ein breiteres Publikum mit Freude liest. I h denke dabei ni ht zuletzt an Lehrer und S hüler von Gymnasien. Das Bu h muss ni ht Kapitel für Kapitel dur hgearbeitet werden. Stattdessen im Folgenden einige Vors hläge, wie es gelesen werden könnte.

1

Dies entspri ht an deuts hen Universitäten den Vorlesungen in den ersten Se-

mestern (Anm. d. Übers.).

VI

Vorwort

1. Na h einem einleitenden Kapitel über philosophis he Aspekte des Zufalls und der Wahrs heinli hkeiten behandeln die restli hen sieben Kapitel vers hiedene Themengebiete der Wahrs heinli hkeitstheorie. Diese Kapitel sind weitgehend voneinander unabhängig und können deshalb ohne gröÿere Probleme in beliebiger Reihenfolge gelesen werden. Es gibt jedo h zwei Ausnahmen: • Im Abs hnitt 2.1 werden einige Grundbegrie des Fa hgebietes eingeführt  zum Beispiel Wahrs heinli hkeiten, Erwartungswert und Unabhängigkeit  die im Rest des Bu hes immer wieder verwendet werden. • Das abs hlieÿende Kapitel 8 zur Frage, wie ein Zufallswanderer na h Hause ndet, baut auf dem vorhergehenden Kapitel 7 auf. Die meisten der Kapitel sind so gestaltet, dass sie relativ einfa h beginnen, um am S hluss immer höhere Anforderungen an die Aufmerksamkeit und die Fähigkeiten der Leserinnen und Leser zu stellen, die mathematis hen Gedankengänge na hzuvollziehen.2 Das hat zur Folge, dass diese Darstellung vielen Leser sehr anspru hsvoll ers heinen könnte. Wenn es zu s hwierig wird, empfehle i h, einige Seiten zu überspringen, um z. B. im nä hsten Kapitel weiterzulesen! Im ersten Teil des Bu hes werden einige Leser viellei ht die Abs hnitte 4.2 und 4.3 sowie 5.35.5 beim ersten Lesen überspringen. 2. I h habe mi h dafür ents hieden, mit Fuÿnoten ziemli h groÿzügig umzugehen. Diese enthalten eine Mis hung aus Abs hweifungen, Vertiefungen und Quellenhinweisen, die i h dem Leser ni ht vorenthalten wollte, die aber au h ni ht unbedingt für das Verständnis des Haupttextes notwendig sind. Wer glaubt, dass Fuÿnoten das Verständnis ers hweren, kann sie einfa h ignorieren. 3. Für den ambitionierten Leser habe i h im Anhang C eine Anzahl an Übungen und Projektaufgaben zusammengestellt, mit denen man das Verständnis der Kapitel 28 weiter vertiefen kann. Es ist bereits deutli h geworden, dass das Bu h auf vers hiedene Art und Weise und mit vers hiedenen Ansprü hen gelesen werden kann. Wer das gesamte Bu h dur hliest, kann si h darauf freuen (a) einen guten Einbli k in die mathematis he Beweisführung zu bekommen und (b) mit mehreren aktuellen Fors hungsgebieten Bekannts haft zu ma hen. 2

S hon beim ersten s hnellen Dur hblättern wird man feststellen, dass einige

Abs hnitte ziemli h formelbeladen sind. Der Physiker Stephen Hawking zitiert in seinem berühmten Bu h

Eine kurze Ges hi hte der Zeit (Hawking, 1988) eine Faust-

regel, die besagt, dass jede mathematis he Formel in einem Bu h die Auagenstärke halbiert. Hawking ents hied deshalb, aus seinem Manuskript alle Formeln auÿer ei2 ner (E = m c ) zu strei hen, von der er glaubte, sie ni ht strei hen zu können. Wie man sieht, habe i h diese Strategie ni ht gewählt. Der Leser, der an die bes hriebene Faustregel glaubt  und der aus oensi htli hen Gründen weiÿ, dass die Auage mindestens bei einem Exemplar liegt  kann ausre hnen, wel he formidable Auage das Bu h hätte errei hen können, wenn i h mi h dafür ents hieden hätte, ähnli h unterhaltsam wie Hawking zu sein.

Vorwort

VII

Es war ni ht ganz einfa h, Themen der Wahrs heinli hkeitstheorie auszuwählen, die die Grundlage der vers hiedenen Kapitel bilden können. Einige Gebiete, wie die Browns he Bewegung und die Diusion, habe i h von vornherein ausges hlossen, da sie ein umfassenderes und te hnis h anspru hsvolleres mathematis hes Vorwissen benötigen, um analysiert oder au h nur deniert zu werden. Was no h aussteht und in diesem Bu h ni ht behandelt wird, kann grob als

diskrete

oder

kombinatoris he

Wahrs heinli hkeitstheorie

klassiziert werden. Trotz dieser Eins hränkung und Abgrenzung gibt es eine Vielzahl an Themenberei hen, die man hätte aufnehmen können, so dass das Bu h ohne Probleme dreimal so di k geworden wäre. Wenn genügend Leser Interesse an einem Na hfolgeband  Streifzüge dur h die Wahrs heinli hkeitstheorie II signalisieren, kann man über eine Fortsetzung spre hen. Jegli he Kommentare zum Text sind mir willkommen. Auf der Internetseite

http://www.math. halmers.se/olleh/

ndet

man meine Adresse.

⋄ ⋄ ⋄ ⋄ Es gibt zu viele Personen in meiner Umgebung, aus deren Kenntnissen i h für meine Arbeit direkt oder indirekt Nutzen gezogen habe, als dass i h sie hier alle aufzählen könnte. Deshalb bes hränke i h mi h darauf, Jenny Andersson, Jean Bri mont, Stellan Brynell, Judith Kleinfeld, Christian Maes, Alan Sokal und Johan Wästlund zu nennen, die bereitwillig Fragen beantwortet haben, die i h im Zusammenhang mit diesem Bu hprojekt gestellt habe. Ein herzli hes Dankes hön ri hte i h au h an Axel von Arbin, Gunnar Englund, Jan Grandell, Jonas Häggström, Peter Olofsson, Bo Rothstein, Je Steif, Pontus Strimling, Hermann Thorisson und Johan Tykesson, die vers hiedene Teile des Manuskripts gelesen und kommentiert haben. Natürli h ist keine dieser Personen für verbliebene Unstimmigkeiten und Fehler verantwortli h  die Verantwortung für den Text liegt allein bei mir.

Göteborg, im März 2004

Olle Häggström

Anmerkungen zur Übersetzung

Wie der Autor des Bu hes sind au h die Übersetzer der Ansi ht, dass die Mathematik no h mehr als bisher auf die Lernenden zugehen muss. Eine allgemeinverständli he Einführung in die Wahrs heinli hkeitstheorie ist dafür eine gute Mögli hkeit, zumal mit dem vorliegenden Bu h au h aktuelle, fa hli h anspru hsvollere Themen bespro hen werden. Während es in anderen mathematis hen Disziplinen seit längerer Zeit derartige Lehrbü her in deuts her Spra he gibt (wie die Einführung in die Topologie von Jäni h (2005) oder der Roman zur Graphentheorie von Gritzmann & Brandenberg (2005)), fehlte dies bisher für die Wahrs heinli hkeitstheorie. Dabei ist es ni ht überras hend, dass ein sol hes Bu h nun aus S hweden kommt, denn die dortigen Universitäten sind für ihre sehr gute Ausbildung in Wahrs heinli hkeitstheorie und Statistik bekannt. Zufällig hat au h die Übersetzung dieses Bu hes in Sto kholm ihren Anfang genommen: Im letzten Jahr hatten si h dort die Mathematiker zum europäis hen Kongress

4e m

getroen, und am Rande der Konferenz wurden

Übersetzer für das Bu h von Prof. Häggström gesu ht. Wie aktuell die Themenstellungen seiner

Streifzüge

sind, zeigt si h au h in den Beiträgen dieser

Konferenz, denn eine ganze Reihe von Wissens haftlern stellten vertiefende Untersu hungen in den hier behandelten Gebieten vor.

3

Inhaltli h haben wir versu ht, uns bei der Übersetzung am informellen Stil des Originals zu orientieren. So wurde die persönli he Anrede des Autors wie im S hwedis hen beim

Du

belassen. Au h die typis h s hwedis hen Beispie-

le haben wir direkt übernommen. Wenn der Autor vom s hwedis hen Lotto oder von s hwedis hen Fussballspielen spri ht, kann man diese Beispiele lei ht selbst auf den eigenen Erfahrungskreis übertragen. Auÿerdem wurden einige mathematis he Begrie aus dem S hwedis hen übernommen. Besonders mö hten wir auf den Begri des Zufallswanderers hinweisen, den wir im Zusammenhang mit Irrfahrten in den Kapiteln 7 und 8

3

Na hzulesen im Tagungsband (Laptev, A. (2005)) oder auf der Internetseite

http://www.math.kth.se/4e m/.

X

Vorwort

anstelle des im Deuts hen (und Englis hen) übli hen unbelebten Teil hens verwenden. Dagegen verwenden wir dur hgängig den älteren deuts hen Begri der Zufallsgröÿe ni ht den der Zufallsvariable, mit der Begründung, die s hon

4 angegeben wurde.

von Krengel (2003)

Au h der Bu htitel wei ht von der s hwedis hen Ausgabe ab. In der deuts hen Ausgabe haben wir den Untertitel des Originals als Haupttitel gewählt. Der Originaltitel lautete Die Ernte des Zufalls  seine Bedeutung wird im Kapitel 5 näher erläutert. Häug existiert die zitierte englis he Literatur au h in deuts her Spra he. Für diese Bü her wurde im Literaturverzei hnis der deuts he Titel mit aufgeführt  die im eventuell Original genannte s hwedis hen Ausgabe wurde dann ni ht erwähnt. Mit der Wendung Leserinnen und Leser wollen wir beide Ges hle hter direkt anspre hen, während es im S hwedis hen praktis h keine männli hen bzw. weibli hen Formen einzelner Wörter gibt. Au h wenn die Diskussion zur alten und neuen Re hts hreibung no h ni ht beendet ist, haben wir uns weitgehend an die neue Re hts hreibung gehalten. Ledigli h bei der Getrennt- und Zusammens hreibung wei hen wir zu Gunsten des besseren Verständnisses von ihr ab. Abs hlieÿend mö hten wir uns sehr herzli h bei Frau Prof. Gantert (Münster) bedanken, die dur h ihre Hinweise und Anregungen wesentli h zur Verbesserung der Übersetzung beigetragen hat.

Christina und Arne Ring

Ulm, im Juli 2005

4 weil

Eine Zufallsvariable ist ... mathematis h ni hts anderes als eine Funktion. Nur

ω

das Ergebnis eines Zufallsexperimentes ist, ist au h der Wert

X(ω)

zufällig.

Denkt man an die übli he Bedeutung des Terms Variable` in der Mathematik, so ers heint die Bezei hnung Zufallsvariable unpassend ...

Inhaltsverzei hnis

1

Zufall und Wahrs heinli hkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2

Drei Paradoxa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Einige Grundbegrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Die Rü kseite der Münze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Das Auto und die Ziegen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Die zwei Ums hläge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Das Ums hlagproblem als statistis hes S hätzproblem . . . . . . . . 2.6 Zwei weitere Ums hlagprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 9 16 19 21 25 29

3

Spieltheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Nullsummenspiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Nullsummenspiele mit mehreren Ents heidungss hritten . . . . . . 3.3 Können Egoisten zusammenarbeiten? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31 32 41 47

4

Das 4.1 4.2 4.3

63 64 70 74

5

Perkolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.1 Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.2 Perkolation in zwei oder mehr Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 5.3 Beweisideen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.4 Perkolation auf Bäumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.5 Die Anzahl der unendli hen Komponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

6

Die 6.1 6.2 6.3

Gesetz der groÿen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Beispiel des Münzwurfes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das s hwa he und das starke Gesetz der groÿen Zahlen . . . . . . . Wie man das Gesetz der groÿen Zahlen beweist . . . . . . . . . . . . .

Welt ist klein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Soziale Netzwerke und Milgrams Briefketten . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Die Erd®szahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Zwei einleitende Modellierungsversu he . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

XII

Inhaltsverzei hnis

kleine Welt

6.4 Die -Graphen von Watts und Strogatz . . . . . . . . . . . . 151 6.5 Navigation dur h soziale Netzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

7

Irrfahrten und Glei hstromkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 7.1 Irrfahrten auf einem Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 7.2 Glei hstromkreise. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 7.3 Gewi htete Irrfahrten und Markovketten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 7.4 Leistungsminimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 7.5 Ein Verglei h zweier Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

8

Findet ein Zufallswanderer zum Ausgangspunkt zurü k? . . . 201 8.1 Der Satz von Pólya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 8.2 Eine Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 8.3 Zwei Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 8.4 Drei Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 8.5 Die mittlere Zeit, um zum Ausgangspunkt zurü kzunden . . . . 215 8.6 Irrfahrt und Perkolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

A Summen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 B

Die Grundlagen der Wahrs heinli hkeitstheorie . . . . . . . . . . . . 233

C

Übungen und Projekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 Sa hverzei hnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

1 Zufall und Wahrs heinli hkeit

Die Frage na h der Existenz des Zufalls gehört zu den wirkli h groÿen Fragen, die Philosophen und Naturwissens haftler seit Jahrhunderten bes häftigen. Vom 16. Jahrhundert an entde kte die Wissens haft  angeführt von Isaa Newton und anderen  in ras her Folge immer neue physikalis he Gesetzmäÿigkeiten. Ein deterministis hes Weltbild ers hien deshalb immer plausibler. Determinismus bedeutet in diesem Zusammenhang, dass die Naturgesetze so bes haen sind, dass sie keinen Raum für irgendeinen Zufall lassen. Das heiÿt, wenn vollständig speziziert ist, wie das Universum in diesem Augenbli k bes haen ist, kann die Zukunft nur auf eine einzige, vorherbestimmte Weise ablaufen. Der französis he Astronom und Mathematiker Pierre Simon de Lapla e drü kte diesen Sa hverhalt 1814 in einigen oft zitierten Zeilen wie folgt aus: Wir müssen also den gegenwärtigen Zustand des Weltalls als die Wirkung seines früheren und als die Ursa he des folgenden Zustands betra hten. Eine Intelligenz, wel he für einen gegebenen Augenbli k alle in der Natur wirkenden Kräfte sowie die gegenseitige Lage der sie zusammensetzenden Elemente kennte, und überdies umfassend genug wäre, um diese gegebenen Gröÿen der Analysis zu unterwerfen, würde in derselben Formel die Bewegungen der gröÿten Weltkörper wie des lei htesten Atoms ums hlieÿen; ni hts würde ihr ungewiss sein und Zukunft wie Vergangenheit würden oen vor Augen liegen. 1 Dieses deterministis he Weltbild wurde in der Zwis henzeit mehrfa h in Frage gestellt. Der Dur hbru h der Quantenme hanik in den 20er Jahren des letzten Jahrhunderts führte zu heiÿen Diskussionen, wie diese Ergebnisse zu deuten sind. Der dänis he Physiker Niels Bohr s hlussfolgerte aus der Quantenme hanik, dass die Natur selbst im Kleinsten für Zufälle oen sei, während si h Albert Einstein gegen diese Deutung mit den berühmten Worten wandte, dass Gott ni ht würfele. Die heute vorherrs hende Si htweise auf die Quantenme1

Lapla e (1814) in der deuts hen Übersetzung von 1932.

2

1 Zufall und Wahrs heinli hkeit

hanik ist die so genannte Kopenhagener Deutung (so benannt, weil sie auf Bohr zurü k geht). Wir haben an dieser Stelle keine Mögli hkeit, darauf näher einzugehen, sondern begnügen uns damit zu erwähnen, dass der so genannte Kollaps der quantenme hanis hen Wellenfunktion als e htes Zufallsphänomen aufgefasst wird. Diese Deutung ist jedo h ni ht unproblematis h2 , und es existieren konkurrierende Theorien, von denen das deterministis he Modell, das David Bohm in den 50er Jahren des 20. Jahrhunderts formulierte, am meisten respektiert ist.3 Die Streitfragen zur Quantenme hanik und zum Determinismus können momentan ni ht als ents hieden angesehen werden.4 Ein weiterer Angri gegen den Determinismus, wie er von Lapla e formuliert wurde, kam zu Beginn der 80er Jahre des letzten Jahrhunderts aus Ri htung der Chaostheorie5. Für lesenswerte populärwissens haftli he Einführungen in dieses Gebiet siehe Ekeland (1984) und Glei k (1987). Die Chaosfors hung bes häftigt si h (unter anderem) mit so genannten sensitiven Abhängigkeiten vom Startwert. Dies bedeutet, dass zwei Systeme, die in fast dem glei hen Startzustand anfangen und dann beispielsweise von Newtons Kraftgesetzen getrieben werden, na h und na h voneinander abwei hen und völlig 2

Das

gröÿte

Problem

der

Kopenhagener

Deutung

ist,

dass

behauptet

wird,

die Wellenfunktionen kollabieren in Folge von Interaktionen mit makroskopis hen Phänomenen, was in der Regel dadur h bes hrieben wird, dass man eine

tung

Beoba h-

des Systems dur hführt. Das ist re ht verwirrend (wie deniert man den Begri

Beoba htung physikalis h exakt?) und man riskiert, in einem Zirkels hluss zu landen. Ein führender mathematis her Physiker drü kt dies so aus, dass physikalis he Erklärungen am Ende immer einen reduktionistis hen Weg verfolgen: Die Eigens haften von Objekten` werden mit denen ihrer Teile erklärt, die s hlieÿli h dur h die Quantenme hanik beherrs ht werden. Do h an dieser Stelle s hweigt die Theorie plötzli h und spri ht nur von makroskopis hen Objekten, so dass der reduktionistis he Weg zu einem Zirkels hluss führt (Bri mont, 1999).

3

Was das Modell Bohms angeht, siehe z. B. Bell (1993), Albert (1994) und Bri -

mont (1999). Über die Quantentheorie im Allgemeinen, und speziell zu ihren philosophis hen Konsequenzen, gibt es eine Vielzahl populärwissens haftli her Zusammenstellungen von variierender Qualität. Ein gutes Bu h für den Anfang ist Lindley (1997). Es lässt si h lei ht lesen (wennglei h es etwas zu weits hweig ist) und vermeidet glei hzeitig den verbreiteten Fehler, morgenländis hen Mystizismus einzustreuen. Auÿerdem sollte au h die bemerkenswerte populäre

Katze

Jagd auf S hrödingers

(Gribbin, 1984) genannt werden. Während si h Lindley positiv für die Kopen-

hagener Deutung ausspri ht, ist Gribbin skeptis her und zieht eher die spektakuläre Viele-Welten-Theorie vor.

4

Siehe au h Kümmerer & Maassen (1998) und Gill (1998) für eine verwandte

(und stimulierende) Debatte darüber, wie der quantenme hanis he Zufall mit klassis her Wahrs heinli hkeitstheorie behandelt werden kann, oder ob man eine spezielle Quantenwahrs heinli hkeitstheorie (mit anderen Axiomen als die klassis hen) benötigt.

5

Damit ist ni ht gesagt, dass die Chaostheorie zu dieser Zeit erfunden wurde:

zentrale Teile gehen sogar auf bahnbre hende Arbeiten des französis hen Mathematikers Henri Poin aré um 1890 zurü k.

1 Zufall und Wahrs heinli hkeit

3

vers hiedene Zustände errei hen. Dass die Welt rei h an derartigen Phänomenen ist, steht auÿer Zweifel, und das populäre Bild vom Flügels hlag des S hmetterlings auf dem Platz des Himmlis hen Friedens, der darüber ents heidet, ob es einige Monate später im Nordatlantik Sturm gibt oder ni ht, ist im Prinzip si herli h ri htig.6 Das ist der Grund, weshalb die Wettervorhersagen bekanntli h so s hwierig sind  je weiter wir die Prognosen in die Zukunft verlängern wollen, desto mehr wä hst die Anforderung an die Genauigkeit der Startwerte und an die Re hnerkapazitäten, bis die Prognosen ni ht mehr in zufriedenstellender Zeit bearbeitet werden können. Gemäÿ einer populären Auassung bringt diese Tatsa he Lapla e's Weltbild zu Fall, weil sie es unmögli h ma ht, die Entwi klung des Weltalls in alle Zukunft vorherzusehen. Der Determinismus ist tot! So einfa h ist es natürli h ni ht. Wie der belgis he Physiker Jean Bri mont in seinem Artikel S ien e of haos or haos in s ien e7 von 1995 zeigt, baut diese Kritik gegen Lapla e und den Determinismus auf einer Vermis hung der Begrie Determinismus und Vorhersagbarkeit auf. Dass wir Mens hen die Entwi klung eines physikalis hen Systems ni ht vorhersagen können, bedeutet ni ht unbedingt, dass dieses System fundamental indeterministis h ist.8 Tatsä hli h gibt es in der Chaostheorie ni hts, was gegen den Determinismus spri ht.

⋄ ⋄ ⋄ ⋄

Die obige Diskussion hat bis heute keine ents heidenden Argumente zur Klärung der Frage gebra ht, ob die Naturgesetze deterministis h oder sto hastis h (d. h. dem Zufall unterworfen) sind. Wir wissen es einfa h ni ht. Viellei ht ist es sogar so, dass wir es ni ht wissen können. Nehmen wir beispielsweise an, wir hätten ein physikalis hes System, von dem wir zu wissen glauben, dass seine Dynamik vollkommen zufällig sei. Können wir uns dabei wirkli h si her sein, dass wir keinen Aspekt des Systems  z. B. eine früher völlig unbekannte Messgröÿe  vergessen haben, der eindeutig (also deterministis h) die weitere Dynamik des Systems deniert? Man kann si h s hwer vorstellen, dass es mögli h ist, darüber Gewissheit zu errei hen. 6

Jedo h ist es oenbar ni ht mögli h, dies mit einem direkten Experiment zu

beweisen  denn das würde erfordern, dass wir in der gesamten Atmosphäre und darüber hinaus zwei Mal exakt den glei hen Ausgangszustand, mit Ausnahme des kleinen S hmetterlings, herstellen.

7

Bri monts Artikel ist die beste Zusammenstellung, die i h zu diesen Fragen ken-

ne. Sa hli h und elegant korrigiert der Autor einige der meist genannten Missverständnisse zu Chaos, Determinismus und dem thermodynamis hen Zeitpfeil. Demjenigen, der si ht generell dafür interessiert, wie pompöse Pseudowissens haft entlarvt wird, kann i h Sokal & Bri mont (1997) wärmstens empfehlen.

8

Oder auf eine andere Weise ausgedrü kt: Der Determinismus beinhaltet ni ht

Vorhersagbarkeit. Wie Bri mont (1995) na hweist, war si h Lapla e darüber vollständig im Klaren, und Lapla e betont sogar, dass wir Mens hen immer unendli h weit von der perfekten Intelligenz entfernt sein werden, die er si h im obigen Zitat vorstellt (siehe Fuÿnote 1 auf Seite 1).

4

1 Zufall und Wahrs heinli hkeit

Do h was glaube i h selbst? Die Wahrs heinli hkeitstheorie ist die Mathematik des Zufalls und sollte i h als Wahrs heinli hkeitstheoretiker ni ht au h eine Meinung zur Existenz des Zufalls haben? (I h habe diese Frage s hon mehrmals gestellt bekommen.) Sollte i h ni ht zwangsläug darauf hoen, dass es den Zufall gibt? Wenn si h zeigen würde, dass es keinen Zufall gibt, würde i h dann ni ht arbeitslos werden? Nun, während wir auf den überzeugenden Beweis unserer Freunde, der Physiker, warten  einen Beweis, der mögli herweise nie erbra ht wird  ziehe i h eine agnostis he Haltung vor. Auÿerdem ist der Gedanke, die Wahrs heinli hkeitstheorie sei mit einem S hlag sinnlos, wenn wir einsehen würden, dass die Welt deterministis h ist, aus meiner Si ht fals h. Das hängt mit dem Unters hied von Determinismus und Vorhersagbarkeit zusammen, den wir bereits erklärt haben.9 Nehmen wir an, wir würden die grundlegendsten Naturgesetze kennen, die unsere Welt steuern, und sie wären deterministis h. Sie würden alles steuern, eins hlieÿli h sämtli her Atome und Moleküle, aus denen ein Fuÿballspieler zusammengesetzt ist, und au h alles andere, was den Ausgang eines Fuÿballspiels beeinussen kann. Das Ergebnis wäre somit vorherbestimmt, bevor das Spiel beginnt. Damit wäre jedo h ni ht gesagt, dass wir das Ergebnis mit Hilfe von Naturgesetzen vorhersagen könnten. Um das zu können, würden wir ein extrem detailliertes Wissen über den Ausgangszustand benötigen  denn das kleinste Elektron im Gehirn des kreativen Mittelfeldspielers könnte einen ents heidenden Einuss haben  ganz zu s hweigen von der gigantis hen Re hnung, die wir benötigen würden, um festzustellen, zu wel her Entwi klung des Spiels dieser Zustand führen würde.10 Man kann si h nur s hwer vorstellen, dass irgendwann eine Analyse auf dem Niveau der Elementarteil hen bei der Fuÿball-Elferwette eher mögli h ist, als die heutigen Spekulationen über Formkurven und Manns haftsaufstellungen. Wir können damit re hnen, dass si h die Lottogesells haften ni ht von einem eventuellen Na hweis abs hre ken lieÿen, dass die Naturgesetze prinzipiell deterministis h seien. Ohne Zweifel würden sie weiterhin Wetten auf Fuÿballspiele aussetzen, als wären sie zufällig. 9

In den folgenden Abs hnitten werde i h versu hen, glaubhaft zu ma hen (au h

wenn das no h ni ht zu einem Beweis führt), dass der Determinismus keine Bedrohung für die Wahrs heinli hkeitstheorie darstellt. Es gibt jedo h wi htigere Angelegenheiten, die in diesem Zusammenhang auf dem Spiel stehen würden: der freie Wille des Mens hen. Jedo h argumentiert Dennett (2003), dass, wenn der freie Wille bedroht ist, es ni ht in jedem Fall der Determinismus ist, von dem das Problem ausgeht. Dies ist ni ht zuletzt vor dem Hintergrund interessant, dass es vermutli h die empfundene Bedrohung des freien Willens ist, die der Ursprung für die (oft gefühlsmäÿig begründete) Ablehnung des Determinismus ist, die unter den Intellektuellen heute so verbreitet ist. 10 Eine nur grobe Re hnung rei ht ni ht aus, wie beispielsweise der Lattens huss von Anders Svensson in der Verlängerung des Spiels zwis hen S hweden und dem Senegal in der Fuÿball-WM zeigt.

1 Zufall und Wahrs heinli hkeit

5

Prozesse und Verläufe wahrs heinli hkeitstheoretis h zu modellieren, hat si h in Situationen, in denen wir keine Mögli hkeit haben, den Verlauf im Detail zu bes hreiben und vorherzusehen, als fru htbare Herangehensweise erwiesen. Ein Paradebeispiel hierfür ist die Modellierung der Ausbreitung eines Gases in einem Behälter. Die Anzahl der Moleküle ist so groÿ (in der Regel in der Gröÿenordnung von 1023 ), dass wir unmögli h die exakte Position und Ges hwindigkeit aller Moleküle spezizieren und verfolgen können. Mit einem sto hastis hen Modell mit Anfangszustand (d. h. einem Modell, wel hes Zufallsmögli hkeiten einbezieht) kann man jedo h mit einer Wahrs heinli hkeit nahe Eins approximativ vorhersehen, wie si h das Gas eine gewisse Zeit später verteilt haben wird11 ; das ist es, was die statistis h-me hanis he Grundlage der Thermodynamik ausma ht (Martin-Löf, 1979). Es gibt mindestens einen weiteren guten Grund, Molekülbewegungen sto hastis h zu modellieren. Au h wenn wir die exakte Ausgangslage und -ges hwindigkeit der 1023 Moleküle präzisieren könnten, würde jeder Versu h, ihre weiteren Bewegungen exakt zu bere hnen, dur h Einüsse von auÿen verkompliziert werden. Interaktionen zwis hen den Molekülen innerhalb des Gasbehälters einerseits und andererseits allem, was auÿerhalb passiert, können klein sein, aber ihre Eekte wa hsen exponentiell mit der Anzahl der Kollisionen zweier Moleküle. Sie tun dies in einem sol hen Maÿe, dass einige Zehn dieser Kollisionen ausrei hen, damit der Einuss der Gravitation eines einzelnen Staubkorns z. B. in den Ringen des Saturns, einen Einuss auf die Lage des Moleküls im Behälter hat! Wie Ekeland (1984) betont, ist es ni ht mögli h, den Einuss auf das physikalis he System, das wir analysieren, auszus halten, in dem wir das betra htete System auf das gesamte Universum erweitern. Das Zusammenwirken der unters hiedli hen Einüsse ist damit in der Praxis unvermeidbar und auÿerhalb unserer Kontrolle, weshalb si h die Dynamik des physikalis hen Systems teilweise unregelmäÿig und zufällig verhält. Die wahrs heinli hkeitstheoretis he Modellierung und Analyse ist in Wissens haft und Ingenieurkunst heute eine übli he Methodik. Wenn eine Brü ke über den Öresund12 konstruiert oder eine Verteilerstation für Mobiltelefone 11

Die sehr groÿe Anzahl von Partikeln im System ist eine Voraussetzung für die groÿe Si herheit, mit der Gröÿen, wie Dru k und Temperatur, vorhergesagt werden können. Dagegen sollte man si h darüber im Klaren sein, dass es nur unter gewissen Umständen mögli h ist (z. B. wenn ein System eine groÿe Anzahl von Komponenten besitzt) derartige s höne Eigens haften zu erhalten. Die Chaostheorie bietet interessante Beispiele für das Gegenteil, wie in der Ges hi hte oder den Gesells haftswissens haften. Es rei ht s hon aus, si h darüber Gedanken zu ma hen, wel h groÿer Teil der Ges hi hte des 20. Jahrhunderts eine Folge des Handelns eines geisteskranken Veterans des ersten Weltkriegs ist, um zu verstehen, dass ein Gegenstü k zur ktiven Psy hoges hi hte (eine statistis he Methode, um mit groÿer Genauigkeit den historis hen Verlauf der Zukunft vorherzusagen) im Roman Foundation (Asimov, 1951) vernünftigerweise ni ht Wirkli hkeit werden kann. 12 Der Öresund ist die Meerenge zwis hen der dänis hen Insel Seeland und dem süds hwedis hen S honen (Anm. d. Übers.).

6

1 Zufall und Wahrs heinli hkeit

dimensioniert werden soll, werden sto hastis he Modelle zur Modellierung des zu erwartenden Verkehrsusses (des Auto- oder Telekommunikationsnetzes) eingesetzt. Natürli h ist es ni ht mögli h, den Verkehr mit einer sol hen Genauigkeit vorherzusagen, dass man weiÿ, dass Herr und Frau Nilson aus Staanstorp am 19. August um 16.08 Uhr in einem s hwer beladenen Volvo am Brü kenkopf in Malmö ankommen werden. Es ist ni ht einmal mögli h, exakt vorherzusehen, wie der Gesamtverkehrsuss am heutigen Tag zwis hen 16.00 und 18.00 Uhr sein wird. Jedo h hat man mit wohlabgewogenen Annahmen  die oft auf statistis hen Untersu hungen basieren, etwa zu den gegenwärtigen oder künftigen Reisegewohnheiten der Bevölkerung  hervorragende Mögli hkeiten, gute S hätzungen für das Risiko von Verkehrsstaus am Freitagna hmittag bei einer bestimmten Dimensionierung der Brü ke zu erhalten.13

⋄ ⋄ ⋄ ⋄ Viellei ht fragen si h jetzt einige der Leserinnen und Leser, wie man auf mathematis he Weise re hnen und Voraussagen über etwas ma hen kann, das zufällig ist (oder als sol hes angenommen wird). In den na hfolgenden Kapiteln dieses Bu hes werden wir dafür genügend Beispiele nden. Begeben wir uns auf einen Streifzug dur h die Wahrs heinli hkeitstheorie!

13

Wie bekannt ist, ging bei der Öresundsbrü ke etwas s hief. Die Städteplaner

mussten einige Zeit na h der Fertigstellung enttäus ht feststellen, dass die Gebühren für die Brü kenüberfahrt ni ht einmal annähernd so groÿe Einnahmen wie vorhergesagt ergaben. Eine glaubhafte Erklärung ist viellei ht, dass sie si h zu sehr vom Zuwa hsoptimismus haben blenden lassen, der die Öresundregion zu dieser Zeit bestimmte, so dass ihre Prognosen den Bezug zur Realität verloren hatten. Bevor wir sie jedo h zu hart ri hten, sollten wir au h bea hten, dass mathematis he Modellierungen und Vorhersagen von komplexen gesells haftli hen Vorgängen sehr s hwierig sind.

2 Drei Paradoxa

Ein Teil des Charmes der Wahrs heinli hkeitstheorie ist ihr Rei htum an interessanten Paradoxa. Unter einem Paradoxon verstehen wir eine Behauptung (oder eine Problemstellung), die beim ersten Hinsehen widersprü hli h oder unvernünftig ers heint, bei genauerer Analyse jedo h eine plausible und widerspru hsfreie Erklärung besitzt.1 Diese genauere Analyse ist oft lehrrei h und kann in einzelnen Fällen zu Aha-Erlebnissen führen. In diesem Kapitel habe i h drei der bekanntesten und am meisten diskutierten Paradoxa der elementaren Wahrs heinli hkeitstheorie zusammengestellt. I h habe mi h dafür ents hieden, sie als Problemstellung zu formulieren. Wer mögli hst viel aus diesem Kapitel lernen mö hte, dem s hlage i h vor, zunä hst selbst die Lösung der Probleme zu su hen, bevor er meine Lösungsvors hläge liest. Den drei Problemen und ihren Lösungen ist gemeinsam, dass sie eine Grundregel illustrieren, die bei allen Anwendungen der Wahrs heinli hkeitstheorie gilt: Bevor irgendwel he Wahrs heinli hkeiten bere hnet werden können, müssen wir zunä hst ein wahrs heinli hkeitstheoretis hes Modell für die Situation formulieren, die im Problem dargestellt wird.

Die Probleme werden mit ansteigendem S hwierigkeitsgrad präsentiert: Es ist gut mögli h, dass man hem das erste Problem viellei ht zu trivial ers heint. Wer dazugehört (und wessen Lösung au h mit meiner übereinstimmt!), kann direkt zu den beiden anderen Problemen übergehen; i h hoe, dass dann wenigstens das letzte Problem die Intuition der Leserinnen und Leser bezügli h der Wahrs heinli hkeiten herausfordert. 1 rer

Wir halten uns also an die übli he Bedeutung des Wortes Paradoxon:

s heinba-

Widerspru h. Das muss man betonen, da in der Literatur immer öfter eine andere

Bedeutung verwendet wird: nämli h einfa h nur

Widerspru h.

Es führt natürli h zu

Verwirrungen, wenn man beide Bedeutungen miteinander vermis ht.

8

2 Drei Paradoxa

Problem 2.1 (Die Rü kseite der Münze). In einem Beutel liegen drei

Geldstü ke. Eines ist eine Euromünze, mit dem Adler auf der einen Seite und der 1 auf der anderen (im Folgenden trotzdem Kopf und Zahl genannt). Die beiden anderen sind wie folgt modiziert: die eine Münze zeigt auf beiden Seiten Zahl und die andere auf beiden Seiten Kopf. Man soll mit verbundenen Augen auf gut Glü k eine der drei Münzen aus dem Beutel nehmen und werfen. Na h Abnehmen der Augenbinde zeigt si h, dass die geworfene Münze Kopf zeigt. Wie groÿ ist die Wahrs heinli hkeit, dass si h auf ihrer Rü kseite Zahl bendet? Problem 2.2 (Das Auto und die Ziegen). Du nimmst an einer Spielshow im Fernsehen teil, in der Du vor drei Tore gestellt wirst. Hinter einem von ihnen  Du weiÿt ni ht, hinter wel hem  verbirgt si h ein wertvoller Sportwagen; hinter den beiden anderen bendet si h ein Paar weniger begehrenswerter Ziegen. Die Spielshow funktioniert so, dass Du eines der Tore wählst; worauf der Moderator ein anderes Tor önet, wel hes er so wählt, dass in jedem Fall eine Ziege zum Vors hein kommt. Du erhältst jetzt die Mögli hkeit, anstelle des zuvor gewählten Tores auf das dritte Tor zu setzen. Was solltest Du tun, um Deine Chan e auf den Sportwagen zu maximieren  bleibst Du bei Deinem Tor, we hselst Du zum dritten oder spielt es keine Rolle, wofür Du Di h ents heidest? Problem 2.3 (Die beiden Briefums hläge). Wieder bist Du in einer

Spielshow, und dieses Mal wirst Du Geld gewinnen! Der Moderator hat einen (für Di h unbekannten) positiven Betrag x auf einen Zettel ges hrieben, und den Betrag 2x auf einen anderen. Beide Zettel hat er ans hlieÿend in je einen Ums hlag gelegt. Die Ums hläge sind identis h und werden ordentli h gemis ht, bevor du einen von ihnen auswählst. Den gewählten Ums hlag önest Du und liest, wel her Betrag angegeben ist. Ans hlieÿend darft Du ents heiden, ob Du diesen Betrag behalten mö htest oder zum anderen Ums hlag we hseln willst. Solltest Du we hseln oder ist es klüger, die ursprüngli he Wahl beizubehalten? Nehmen wir beispielsweise an, dass Du den Betrag von 10 EUR im gewählten Ums hlag ndest. Dann kann der andere Ums hlag entweder 5 oder 20 EUR enthalten. Im Dur hs hnitt bedeutet dies (5 + 20)/2 = 12,5 EUR. Deutet das darauf hin, dass es im Dur hs hnitt für Di h besser wäre zu we hseln? Entspre hendes s heint unabhängig vom Betrag zu gelten. Findet man einen Betrag  z. B. y EUR  im gewählten Ums hlag, so ist der erwartete Betrag im anderen Ums hlag 54y . Das bedeutet, dass Du in jedem Fall we hseln solltest. Bedeutet das au h, dass Du weiÿt, dass Du we hseln solltest, bevor Du den Ums hlag önest? Ist das ni ht merkwürdig? Die Situation vor der Wahl des Ums hlags ist vollkommen symmetris h  beide Ums hläge haben die glei he Wahrs heinli hkeit den höheren Betrag zu enthalten, und sie sollten deshalb im Dur hs hnitt glei h viel wert sein. Irgendwo muss hier ein Denkfehler liegen  aber wo?

2.1 Einige Grundbegrie

9

So weit die drei Probleme. Na h der Einführung einiger wahrs heinli hkeitstheoretis her Grundbegrie im Abs hnitt 2.1, die für die weitere Diskussion notwendig sind, werden die na hfolgenden drei Abs hnitte die Lösungen der Probleme vorstellen. Wer dana h vom Ums hlagproblem no h ni ht genug bekommen konnte, ndet in den Abs hnitten 2.5 und 2.6 weitere Varianten.

2.1 Einige Grundbegrie Um logis h ri htige wahrs heinli hkeitstheoretis he S hlussfolgerungen ziehen zu können, benötigen wir eine mathematis he Präzisierung des Begries

Wahrs heinli hkeit, zusammen mit anderen grundlegenden Begrien wie bedingte Wahrs heinli hkeit, Unabhängigkeit, Erwartungswert usw.

In diesem Abs hnitt werden wir diese Begrie so informell wie mögli h einführen und verweisen für eine mathematis h ausführli here Behandlung auf

2

den Anhang B.

Die

Wahrs heinli hkeit

⋄ ⋄ ⋄ ⋄ eines Ereignisses

A

ist eine Zahl zwis hen 0

und 1. Sie quantiziert die Zufälligkeit des Ereignisses, also sagt, wie wahr-

P(A) bezei hnet.3 Wenn wir si her sind, dass A ni ht eintrit, setzen wir P(A) = 0, während P(A) = 1 1 aussagt, dass wir absolut si her sind, dass A eintrit. P(A) = 2 bedeutet hingegen, dass es glei h wahrs heinli h ist, dass A eintrit bzw. ni ht eintrit. Betra hten wir glei hzeitig eine Reihe unters hiedli her Ereignisse A, B, C, . . ., s heinli h es ist, dass

A

eintritt. Sie wird mit

dann müssen ihre Wahrs heinli hkeiten gewisse Eigens haften (Re henregeln) erfüllen, auf die wir an dieser Stelle jedo h ni ht näher eingehen wollen (siehe Anhang B). Stattdessen geben wir uns mit einigen Beispielen zufrieden. Nimm an, dass ein Metereologe die Aufgabe hat vorherzusagen, ob es morgen regnet oder die Sonne s heinen wird. Er soll diese Vorhersage sowohl für

S

das Wetter in Sto kholm ( ) als au h für Göteborg (

G) treen. Die Wetterlage

ist jedo h so kompliziert, dass keine absolut si here Prognose mögli h ist, und der Metereologe stattdessen die Wahrs heinli hkeiten für die vier denkbaren Fälle (Realisierungen) wie folgt angibt:

2

 P(Regen    P(Regen  P(Sonne   P(Sonne

G, Regen in S) = 0,4 G, Sonne in S) = 0,1 in G, Regen in S) = 0,2 in G, Sonne in S) = 0,3 in in

(2.1)

Wer bereits einen Einführungskurs in Wahrs heinli hkeitstheorie oder mathematis her Statistik gehört und ihn fris h im Gedä htnis hat, kann ohne Probleme direkt zu Abs hnitt 2.2 springen. 3 Der Bu hstabe P hängt mit dem englis hen probability und dem französis hen probabilité zusammen.

10

2 Drei Paradoxa

Bea hte, dass si h die in (2.1) angegebenen Wahrs heinli hkeiten zu 1 aufsummieren  das ist notwendig, denn wir wissen, dass genau eines dieser Ereignisse eintreen muss. Ausgehend von diesen Wahrs heinli hkeiten können andere abgeleitet werden, wie z. B.

P(Regen

in

G) = P(

Regen in

G, G

Regen in

+ P(Regen in , Sonne = 0,4 + 0,1 = 0,5

S) S)

in

und in mindestens einer der Städte)

P(Sonne

G G

S

=

= P(Regen in , Sonne in ) + P(Sonne + P(Sonne in , Sonne in )

S

G,

in

Regen in

S)

= 0,1 + 0,2 + 0,3 = 0,6 . Die letztgenannte Wahrs heinli hkeit kann alternativ bere hnet werden:

P(Sonne

in mindestens einer der Städte)

=

= 1 − P(Regen

in

G,

Regen in

S)

= 1 − 0,4 = 0,6

wobei die allgemeine Re henregel verwendet wird, dass die Wahrs heinli hkeit, dass ein Ereignis

A ni ht

A eintrit, glei h eins minus der Wahrs heinli hkeit ist, dass

eintrit.

An dieser Stelle sollten wir einiges zur S hreibweise sagen, wenn es um Kombinationen unters hiedli her Ereignisse geht. Wie oben dargestellt, s hreiben wir

P(Regen

G,

in

Regen in

S)

für die Wahrs heinli hkeit, dass es

sowohl

in Göteborg als au h in Sto kholm regnet. Allgemeiner bezei hnen wir für zwei

A

beliebige Ereignisse mit

P(A, B).

und

B

die Wahrs heinli hkeit, dass beide eintreen,

Eine alternative und etwas formellere Bezei hnungsmögli hkeit

ist die Anwendung des S hnittbegries der Mengenlehre, bei der die glei he Wahrs heinli hkeit mit

B

P(A ∩ B)

bezei hnet wird. Dass sowohl

A

als au h

eintreen ist demzufolge wiederum ein Ereignis, das als S hnittmenge der

Ereignisse

A und B

dargestellt werden kann. Die Ereignisse werden hierbei als

Teilmengen der Mengen aller mögli hen Realisierungen aufgefasst. Die Mengenoperation Logik.

∩

wird S hnittmenge gelesen und entspri ht dem und in der

Auf ähnli he Art und Weise bezei hnen wir das Ereignis, dass

eines

mindestens

A und B eintrit, mit A ∪ B und die zugehörige WahrP(A ∪ B). In diesem Fall wird ∪ als Vereinigungsmenge

der Ereignisse

s heinli hkeit mit

gelesen, die die entspre hende Operation zum oder in der Logik ist.

Diese Mengenoperationen können au h auf drei oder mehr Ereignisse ange-

P(A ∩ B ∩ C) die Wahrs heinli hkeit bezei hnet, A, B und C eintreen.

wendet werden, so dass z. B. dass alle drei Ereignisse

2.1 Einige Grundbegrie

11

⋄ ⋄ ⋄ ⋄ Ein weitergehender Begri als die bisher eingeführte Wahrs heinli hkeit ist der der

bedingten Wahrs heinli hkeit eines Ereignisses A bei gegebenem

Ereignis

B,

die mit

P(A | B) bezei hnet wird. Diese bedingte Wahrs heinli hkeit kann als korrigierte Wahrs heinli hkeit für

A

gedeutet werden, die unsere Kenntnis berü ksi htigt, dass

B

einge-

treten ist. Nehmen wir beispielsweise im obigen Wahrs heinli hkeitsmodell des Wetters für Göteborg und Sto kholm an, dass wir uns morgen in Göteborg benden. Wir werden feststellen, dass es dort regnet und sollen dann die Wahrs heinli hkeit beurteilen, dass es zur glei hen Zeit au h in Sto kholm regnet. Wenn wir festgestellt haben, dass es in Göteborg regnet, reduzieren si h die vier mögli hen Realisierungen der Glei hungen in (2.1) auf zwei:

{Regen

in

G, Regen in S} und {Regen in G, Sonne in S}. Diese beiden Mög-

li hkeiten haben eine totale Wahrs heinli hkeit von 0,4 + 0,1 = 0,5. Wenn wir

jetzt die korrigierte Wahrs heinli hkeit für Regen in Sto kholm (unter der

Bedingung, dass es in Göteborg regnet) bere hnen, ist der Anteil an der totalen Wahrs heinli hkeit relevant, dass es in Sto kholm (und Göteborg) regnet:

P(Regen = = =

in

S | Regen in G) =

S, Regen in G) P(Regen in S, Regen in G) + P(Sonne in S, Regen in G) P(Regen in S, Regen in G) P(Regen in G) P(Regen

in

0,4 = 0,8 . 0,5

(2.2)

Dieses Beispiel motiviert folgende allgemeine Denition.

Denition 2.4. Die bedingte Wahrs heinli hkeit eines Ereignisses A,

unter der Bedingung eines Ereignisses B , wird als P(A | B) =

P(A ∩ B) P(B)

(2.3)

deniert.4 4

Bea hte, dass diese bedingte Wahrs heinli hkeit nur dann wohldeniert ist, wenn P(B) > 0 gilt (denn andernfalls dividieren wir dur h Null). Wie man die bedingte Wahrs heinli hkeit auf vernünftige Art und Weise für den Fall P(B) = 0 deniert, ist an dieser Stelle ni ht klar. In der fortges hrittenen Wahrs heinli h-

12

2 Drei Paradoxa

Oft wird Glei hung (2.3) in umformulierter Form

P(A ∩ B) = P(B) P(A | B)

(2.4)

verwendet, die wie folgt gedeutet werden kann: Um festzustellen, ob das Ereignis

A∩B

eingetreten ist  d. h., dass

sowohl A B

sind  können wir zuerst prüfen, ob das Ereignis

als au h

B

eingetreten

eingetreten ist (das die

P(B) besitzt). Ist die Antwort  ja, prüfen wir im nä hsA eingetreten ist (dessen bedingte Wahrs heinli hkeit P(A | B)

Wahrs heinli hkeit ten S hritt, ob beträgt).

Ein Beispiel zum Unters hied zwis hen Wahrs heinli hkeit und bedingter Wahrs heinli hkeit: Wenn wir denieren, dass

B = {Regen

in

G}

gilt, so ergibt si h

A = {Regen

in

S}

und

P(A) = 0,4 + 0,2 = 0,6 , während

P(A | B) = 0,8 entspre hend der Re hnung in (2.2) ist. Das Wissen, dass

B

eingetroen ist,

hat uns also gezwungen, unsere Eins hätzung zur Wahrs heinli hkeit, dass

A

eintrit, zu korrigieren (weil

0,6 6= 0,8

ist). Diese veränderte Wahrs hein-

li hkeit ma ht deutli h, was wir unter (statistis h)

abhängigen

Ereignissen

verstehen. Die statistis he Abhängigkeit darf man jedo h ni ht mit

Abhängigkeit

kausaler

verwe hseln: Das Wetter in Sto kholm und das in Göteborg

können sehr wohl statistis h abhängig sein, ohne dass man daraus direkt die

S hlussfolgerung ziehen kann, dass das Wetter an dem einen Ort das Wetter

5

am anderen verursa ht.

In diesem Beispiel haben wir

P(A | B) 6= P(A) erhalten. Wenn stattdessen

P(A | B) = P(A)

(2.5)

keitstheorie  auf die man normalerweise ni ht vor dem Promotionsstudium stöÿt  gibt es jedo h eine etablierte und anwendbare Theorie, die dies zulässt, siehe z. B. Williams (1991). 5 Der Begri kausale Abhängigkeit (Ursa he-Wirkungs-Beziehung) ist jedo h problematis her, als man zunä hst glauben würde. Ein Beispiel: An einer ansonsten leeren Straÿenkreuzung steht ein Auto an der roten Ampel. Was ist die Ursa he? Ein Ingenieur könnte auf die Reibung in der Bremsanlage des Autos verweisen. Für einen Neurologen liegt es näher, die Kopplungen im Nervensystem und Gehirn zu benennen, die den Seheindru k des Autofahrers zu einem Impuls im re hten Fuÿ überführen, das Bremspedal nieder zu treten. Ein Jurist könnte behaupten, dass die Erklärung in den Bestimmungen der StVO liegt. Ein Soziologe könnte die Bedeutung des Lernens von sozialen Normen hervorheben, die besagen, dass man vor einer roten Ampel stehen bleibt. Und so weiter. Wer hat jedo h re ht  können wir eine der genannten Erklärungen als die eigentli he Ursa he für das Stehen des Autos benennen? Oenbar ni ht. (Dieses Beispiel hat mir Bo Rothstein vorges hlagen.)

2.1 Einige Grundbegrie

13

gültig gewesen wäre, hätten wir s hlussfolgern müssen, dass die Kenntnis über B die Wahrs heinli hkeit für A ni ht beeinusst. Man spri ht in sol hen Fällen deshalb davon, dass A (statistis h) unabhängig von B ist.6 Verbinden wir (2.4) und (2.5), so ergibt si h für unabhängige Ereignisse P(A ∩ B) = P(B) P(A | B) = P(A) P(B) ,

d. h. dass die Wahrs heinli hkeit, dass sowohl A als au h B eintreen, glei h dem Produkt der jeweiligen Wahrs heinli hkeiten ist. Dies soll unsere Denition der Unabhängigkeit sein:

Denition 2.5. Zwei

Ereignisse

A

und

B

werden

unabhängig

genannt,

wenn

(2.6)

P(A ∩ B) = P(A) P(B) gilt.

Zwei Ereignisse, die ni ht unabhängig sind, werden natürli herweise abhängig genannt. Die einander entgegengesetzten Begrie abhängig und unabhängig sind in der Wahrs heinli hkeitstheorie so wi htig und zentral, dass wir unsere Bekannts haft mit ihnen am besten mit einigen weiteren Beispielen vertiefen. Dafür können wir die Hilfe meines guten Freundes Axel in Anspru h nehmen, der seine Morgengewohnheiten bes hreibt: Jeden Morgen, das ganze Jahr hindur h, gehe i h zu meinem Briefkasten an der Grundstü ksgrenze und hole meine Morgenzeitung. Während dieses kurzen Spaziergangs ma he i h einige Beoba htungen, die i h im Folgenden aufzähle. Zusätzli h habe i h die Wahrs heinli hkeiten der jeweiligen Ereignisse ges hätzt, vorausgesetzt, es wird ein beliebiger Tag des Jahres gewählt. Die Zeitung hat eine Sonntagsbeilage S hnee auf der Erde Es regnet Die Sonne s heint Die Straÿenlaternen leu hten Der Laubsänger singt Der Ku ku k ruft Grünes Laub an den Birken Man hört das Müllfahrzeug Man hört einen Pug Man hört Radfahrer Man hört Gewehrs hüsse 6

P(Sonntagsbeilage) = P(S hnee) = 51 P(Regen) = 51 P(Sonne) = 51 P(Straÿenlaternen) = P(Laubsänger) = 61 1 P(Ku ku k) = 18 5 P(Birkenlaub) = 12 P(Müllfahrzeug) = 71 1 P(Pugs har) = 150 1 P(Radfahrer) = 36 1 P(Gewehr) = 180

1 7

1 2

Wenn wir im folgenden über Abhängigkeit und Unabhängigkeit spre hen, ohne explizit anzugeben, ob statistis he Abhängigkeit oder kausale Abhängigkeit verwendet wird, meinen wir immer den statistis hen Begri.

14

2 Drei Paradoxa Ein Teil der Beoba htungen (Ereignisse) sind voneinander abhängig, entweder mit oder ohne kausale Abhängigkeit; andere wiederum sind völlig unabhängig voneinander. Dass zwei Ereignisse voneinander abhängig sind, bedeutet, dass dur h das Eintreten des einen Ereignisses die Wahrs heinli hkeit des anderen Ereignisses beeinusst wird. Die Wahrs heinli hkeit, dass man das Müllfahrzeug hören kann, 1 ist 7 , weil die Mülltonnen jeden Mittwo h zu der Zeit geleert werden, wenn i h die Zeitung hole. Die Wahrs heinli h1 keit P(Regen), dass es regnet, ist . Es ist plausibel, dass diese bei5 den Ereignisse voneinander unabhängig sind. Im Dur hs hnitt reg-

P(Müllfahrzeug),

net es jeden fünften Tag, und im Dur hs hnitt au h jeden fünften Mittwo h, weil der Wo hentag kaum irgendeinen Einuss auf das Wetter hat. Die Wahrs heinli hkeit, dass beide Ereignisse eintreten,

P(Regen ∩

Müllfahrzeug), ist deshalb glei h

P(Regen) · P(Müllfahrzeug) =

1 1 1 · = . 5 7 35

Dies stimmt mit der mathematis hen Denition der Unabhängigkeit überein: Die Wahrs heinli hkeit des S hnittereignisses ist glei h dem Produkt der beiden ursprüngli hen Wahrs heinli hkeiten der Ereignisse. Die Wahrs heinli hkeit, dass i h die Sonntagsbeilage an einem Morgen im Briefkasten nde, an dem i h au h das Müllfahrzeug höre, ist praktis h Null:

P(Müllfahrzeug ∩

Sonntagsbeilage)

= 0.

Wenn i h

das Müllfahrzeug höre, beeinusst das die Wahrs heinli hkeit für die Sonntagsbeilage am selben Morgen in hö hstem Maÿe, weil Sonntag und Mittwo h ni ht auf einen Tag fallen können. Das bedeutet, dass die Wahrs heinli hkeit

P(Müllfahrzeug ∩

Sonntagsbeilage)

ni ht glei h dem Produkt

P(Müllfahrzeug) · P(Sonntagsbeilage) =

1 1 1 · = 7 7 49

ist, was sieben bis a ht Mal pro Jahr entspre hen würde. Also sind diese beiden Ereignisse voneinander abhängig. Es existiert jedo h keine Ursa he-Wirkungs-Beziehung (Kausalität). Denn weder der Lärm des Müllfahrzeugs hindert die Sonntagsbeilage daran, im Briefkasten zu liegen, no h umgekehrt. Hingegen existiert zwis hen den Wo hentagen und den beiden Ereignissen ein Ursa henzusammenhang, der zur beoba hteten Abhängigkeit der Ereignisse führt. Ein anderes Beispiel. Die Wahrs heinli hkeit, dass an einem zufällig ausgewählten Morgen grüne Blätter an den Birken zu sehen sind,

2.1 Einige Grundbegrie

15

5 12 (denn das trit a. fünf von zwölf Monaten ein). 1 Die Wahrs heinli hkeit für S hnee auf der Erde, P(S hnee), ist . Al5

P(Birkenlaub), ist

lerdings ist die Wahrs heinli hkeit, dass sowohl S hnee liegt als au h grüne Blätter an den Birken hängen, ni ht

P(S hnee) · P(Birkenlaub) =

1 5 1 · = 5 12 12

(das entspri ht einem Monat pro Jahr), sondern si herli h bedeutend 1 geringer: angenommen es gilt P(Birkenlaub ∩ S hnee) = 200 = 0,005, also etwa zwei Tage pro Jahr. Das heiÿt, diese Ereignisse sind voneinander abhängig. Au h in diesem Fall existiert kein kausaler Zusammenhang  es ist ni ht das Austreiben der Blätter, weshalb der S hnee vers hwindet, oder umgekehrt. Die Erklärung für die Abhängigkeit ist stattdessen, dass ein ursä hli her Zusammenhang zwis hen den Jahreszeiten und den beiden Ereignissen existiert. Was gilt für die anderen Morgenereignisse? Wel he der Ereignisse sind voneinander abhängig bzw. unabhängig? In wel hen Fällen gib es eine direkte Ursa he-Wirkungs-Beziehung? Sind zum Beispiel Die Sonne s heint und Man hört Radfahrer unabhängige Ereignisse? Stehen

7

sie in einem kausalen Zusammenhang?

Diese Fragen von Axel gebe i h als zusätzli he Übung der Begrie abhängig und unabhängig an die Leserinnen und Leser weiter.

⋄ ⋄ ⋄ ⋄ Nehmen wir an, dass wir einen fairen Würfel werfen, und sei

X

die Augen-

zahl, die oben liegt. Dann nimmt X eine der Realisierungen 1, 2, . . . , 6 jeweils 1 mit der Wahrs heinli hkeit 6 an. X ist dabei eine numeris he Gröÿe, deren Wert auf dem Zufall beruht. Sol he Gröÿen nennt man in der Wahrs heinli hkeitstheorie

Zufallsgröÿe oder sto hastis he Variable. Eine natürli he Frage,

die si h bei einer Zufallsgröÿe

X

stellt, ist, wel hen Wert wir für

s hnitt erwarten können. Diesen Dur hs hnitt nennt man von

X

gen von

und bezei hnet ihn mit

X

E[X].8

X

im Dur h-

Erwartungswert

Können alle mögli hen Realisierun-

mit der glei hen Wahrs heinli hkeit eintreten, dann ist

E[X]

ganz

einfa h der Mittelwert dieser Realisierungen, so dass wir im Würfelbeispiel

E[X] =

1+2+3+4+5+6 = 3,5 6

erhalten. Besitzen die vers hiedenen Realisierungen jedo h unters hiedli he Wahrs heinli hkeiten, bere hnet man den Erwartungswert stattdessen als ge-

wi hteten Mittelwert, bei dem die Gewi hte dur h die Wahrs heinli hkeiten 7 8

Axel von Arbin, persönli he email, September 2003. Im Englis hen heiÿt es expe tation.

16

2 Drei Paradoxa

der Werte geben sind. Als Beispiel können wir uns eine Zufallsgröÿe Y denken, die das Ergebnis des Würfelns mit einem gezinkten Würfel angibt. Dieser Würfel sei so präpariert, dass eine Se hs mit Wahrs heinli hkeit 12 eintritt und 1 aufjede der übrigen Realisierungen 1, . . . , 5 nur mit Wahrs heinli hkeit 10 9 treten. Wir erhalten den Erwartungswert von Y folgli h als 1 E[Y ] = 10 ·1+ = 4,5 .

1 10

·2+

1 10

·3+

1 10

·4+

1 10

·5+

1 2

·6

Die beiden obigen Zufallsgröÿen X und Y besitzen die glei he Anzahl Realisierungen, die sie annehmen können, nämli h 1, 2, . . . , 6. Allerdings besitzen sie eine unters hiedli he Verteilung. Mit der Verteilung einer Zufallsgröÿe ist die vollständige Spezikation der Wahrs heinli hkeiten aller mögli her Realisierungen gemeint. Ein Spezialfall liegt vor, wenn alle Realisierungen die glei he Wahrs heinli hkeit besitzen (wie im obigen Fall von X ). Diese Verteilung wird als Glei hverteilung bezei hnet. Abs hlieÿend wollen wir den Begri Zufallsgröÿe mit dem Begri Unabhängigkeit kombinieren. Nehmen wir an, dass X und Y zwei Zufallsgröÿen mit einer endli hen Zahl denkbarer Realisierungen sind. Beide Zufallsgröÿen werden als voneinander unabhängig bezei hnet, wenn für jedes Paar (x, y) aller mögli hen Realisierungen die Beziehung10 P(X = x, Y = y) = P(X = x)P(Y = y)

gilt. 2.2 Die Rü kseite der Münze

Das Problem, die Rü kseite einer Münze zu erraten, ist vermutli h sehr alt, und es kommt in unters hiedli hen Varianten in den meisten Lehrbü hern der Wahrs heinli hkeitstheorie vor. Es s heint verlo kend zu sein, in der gegebenen Situation zu antworten, dass es glei h wahrs heinli h sei, Kopf bzw. Zahl auf der Rü kseite vorzunden. Von den drei Münzen wissen wir, dass wir nur die Zahl-Zahl-Münze oder die Kopf-Zahl-Münze vor uns haben können, und diese besitzen von Beginn an die glei he Wahrs heinli hkeit. Im einen Fall haben wir die Zahl auf der Rü kseite, und im anderen Fall den Kopf, so dass die Sa he klar sein sollte: 50 : 50. 9

Bea hte, dass si h die Wahrs heinli hkeiten der se hs mögli hen Ergebnisse zu eins addieren müssen. 10 Um ganz genau zu sein, muss hervorgehoben werden, dass diese Denition nur für so genannte diskrete Zufallsgröÿen gilt, womit man Zufallsgröÿen mit nur einer endli hen oder abzählbar unendli hen Anzahl von Realisierungen meint. Für allgemeinere Zufallsgröÿen benötigt man eine kompliziertere Denition; siehe die Diskussion im Zusammenhang mit (B.12) im Anhang B.

2.2

Die Rü kseite der Münze

17

Das ist jedo h fals h! Wir werden glei h sehen, dass die gesu hte Wahrni ht 12 ist. Um zur ri htigen Antwort zu gelangen, müssen wir zunä hst ein Mo-

s heinli hkeit

dell für den bes hriebenen Versu h entwi keln. Bezei hnen wir die drei Münzen mit

MZahl

(Zahl-Zahl),

MKopf

(Kopf-Kopf ) und

Mgemischt

(Kopf-Zahl).

Wi htig ist auÿerdem, die se hs Münzseiten zu berü ksi htigen, die wir mit z1 z2 k1 k2 z k , SKopf , Sgemischt SZahl , SZahl , SKopf und Sgemischt bezei hnen. Sie sind den jeweiligen Münzen entspre hend der na hfolgenden Tabelle zugeordnet.

Münze

Seite

Motiv

MZahl

z1 SZahl z2 SZahl k1 SKopf k2 SKopf z Sgemischt k Sgemischt

Zahl

MKopf Mgemischt

Zahl Kopf Kopf Zahl Kopf

Weiterhin können wir annehmen, dass für jede der drei Münzen die Wahr1 3 beträgt, aus dem Beutel gezogen zu werden  das ist gemeint, wenn wir davon spre hen, auf gut Glü k eine der Münzen zu wählen. Auÿers heinli hkeit

dem können wir annehmen, dass für jede der beiden Seiten einer gezogenen 1 Münze die bedingte Wahrs heinli hkeit 2 ist, oben zu liegen. Ermitteln wir nun, wie groÿ die Wahrs heinli hkeit ist, zu Beginn des k1 Versu hs eine bestimmte Münzseite zu erhalten, beispielsweise SKopf . Dazu müssen wir zunä hst die Münze MKopf aus dem Beutel ziehen. Die Wahr1 s heinli hkeit für dieses Ereignis ist 3 und im Dur hs hnitt wird in der Hälfte k1 der Fälle die Seite SKopf beim Münzwurf na h oben gelangen. Die Wahrk1 k1 s heinli hkeit P(SKopf oben), d. h. die Seite SKopf gelangt na h oben, ist somit dur h

k1 P(SKopf

oben)

=

1 1 1 · = 3 2 6

gegeben. Die entspre henden Re hnungen für die übrigen fünf Seiten führen auf das glei he Ergebnis, demzufolge besitzen alle se hs Seiten die glei he Wahr1 s heinli hkeit 6 oben zu liegen. (Viellei ht war das man hem s hon zu Beginn klar?) Diese Wahrs heinli hkeiten gelten,

bevor

wir den Versu h dur hführen.

Wenn Du na h Entfernen der Augenbinde siehst, dass Kopf oben liegt, müssen wir das berü ksi htigen und die

bedingte

Wahrs heinli hkeitsverteilung dafür

ermitteln, dass das Ereignis Kopf oben gegeben ist. Wenn wir das Ereignis Kopf oben sehen, sind die se hs vor der Versu hsk1 SKopf , k2 k SKopf , und Sgemischt , von denen jede die glei he Wahrs heinli hkeit besitzt.

dur hführung theoretis h mögli hen Münzseiten auf drei reduziert:

18

2 Drei Paradoxa

Von diesen drei Mögli hkeiten erfüllt nur eine die Bedingung, dass Zahl unk Sgemischt . Die gesu hte bedingte Wahrs heinli hkeit P(Zahl unten | Kopf oben) ist deshalb . ten mögli h ist, nämli h

ein Drittel

Das ist die ri htige Antwort, aber zur Si herheit wollen wir dieses Ergeb-

nis no h einmal mit Hilfe der Denition der bedingten Wahrs heinli hkeit herleiten (Denition 2.4), na h der in diesem Fall

unten | Kopf oben)

P(Zahl

=

P(Zahl unten, Kopf oben) P(Kopf oben)

(2.7)

gilt. Das Ereignis Zahl unten, Kopf oben ist mit dem Ereignis äquivalent dass k die Münzseite Sgemischt na h oben kommt, die die (unbedingte) Wahrs hein1 li hkeit 6 besitzt. Demzufolge wissen wir, dass

P(Zahl

unten, Kopf oben)

=

1 . 6

(2.8)

Auÿerdem gilt wegen (2.7)

P(Kopf

oben)

k1 k2 = P(SKopf oben) + P(SKopf 1 1 1 1 = + + = . 6 6 6 2

oben)

k + P(Sgemischt

oben) (2.9)

Setzen wir nun die Ergebnisse (2.8) und (2.9) in die Formel (2.7) ein, erhalten wir

P(Zahl

unten | Kopf oben)

P(Zahl unten, Kopf oben) P(Kopf oben) 1/6 1 = = . 1/2 3 =

Das zu Beginn erhaltene Ergebnis ist somit bestätigt. Bist Du immer no h ni ht überzeugt? Lass mi h ein weiteres Argument 1 2 wäre, würde das bedeuten, dass die Chan e, die gemis hte Münze Mgemischt gezogen zu haben, unter der Bedingung, dass wir 1 Kopf oben sehen, 2 ist. Aus Symmetriegründen muss vernünftigerweise au h anführen: Wenn die Antwort

Zahl

oben sehen, die Chan e für Mgemischt , unter der Bedingung, dass wir 1 1 2 sein. Das hieÿe, die Wahrs heinli hkeit für Mgemischt wäre 2 , davon, ob Kopf oder Zahl oben zu liegen kommen. Dies bedeutet wiederum, dass wir die Münze

Mgemischt

unabhängig

im Dur hs hnitt in der Hälfte der Fälle aus dem

Beutel ziehen würden, wenn wir den Versu h mehrmals dur hführen. Wie wir wissen, ist das jedo h unsinnig, denn wenn wir auf gut Glü k ziehen, müssen 1 3 haben, gezogen zu werden!

alle drei Münzen die glei he Wahrs heinli hkeit

2.3

Das Auto und die Ziegen

19

2.3 Das Auto und die Ziegen Dieses Ratespiel, das das Problem mit dem Sportwagen und den Ziegen bes hreibt, ist der amerikanis hen Fernsehshow Let's Make a Deal entnommen. Das Problem wurde in den USA na h dem Moderator Monty Hall benannt. 1990 s hrieb ein Leser einen Brief an die Kolumne Ask Marilyn in der Zeits hrift

Parade Magazine

und fragte: Ist es besser, das Tor zu we hseln, oder

bei der ursprüngli hen Wahl zu bleiben? Die Autorin der Kolumne, Marilyn

11 , ant-

vos Savant, die im übrigen den hö hsten IQ auf der Welt haben soll

wortete, dass es besser sei zu we hseln. Sie war der Meinung, dass ein Spieler 2 3 habe, den Sportwagen zu bekommen, während der, der beim ursprüngli hen Tor bleibe, den Sportwagen nur mit 1 einer Wahrs heinli hkeit von 3 erhielte. Das löste eine Sturzut von Reaktionen und Protesten aus: Die meisten meinten, dass die Wahrs heinli hkeit, den 1 Sportwagen zu erhalten, immer 2 beträgt, unabhängig davon, ob man das Tor we hselt oder ni ht. Marilyn vos Savant hielt jedo h an ihrer Antwort fest 

der we hsele, die Wahrs heinli hkeit

und dies war vollkommen ri htig, denn sie hat re ht. Für nähere Hintergründe zu diesem Problem, siehe Morgan et al. (1991). Die einfa hste Motivation der Antwort von vos Savants ist folgende: Der Teilnehmer, der bei seinem ursprüngli hen Tor bleibt, wird dann und nur dann gewinnen, wenn er zu Beginn die ri htige Tür gewählt hat. Dieses Ereignis tritt 1 3 ein. Der Teilnehmer, der stattdessen we hselt, wird dann und nur dann gewinnen, wenn er zu Beginn die 2 ri htige Tür gewählt hat  und dafür beträgt die Wahrs heinli hkeit . 3 Können wir dieser kurzen Argumentation jedo h Glauben s henken? Wenn bekanntli h mit Wahrs heinli hkeit

ni ht

man bedenkt, wie kontrovers das Problem diskutiert wurde, sollten wir viellei ht do h eine tiefgründigere Analyse dur hführen, um auf der si heren Seite zu sein. Beginnen wir damit, ein wahrs heinli hkeitstheoretis hes Modell dieses Spiels aufzustellen. Man kann davon ausgehen, dass der Moderator das Spiel für den Teilnehmer der Spielshow so s hwer wie mögli h ma hen will und deshalb den Sportwagen zufällig hinter einem der drei Tore platzieren wird, d. h. mit Wahr1 12 Dem ersten Augens hein na h kann es so 3 für jedes Tor. aussehen, als würde das bereits für eine vollständige Spezikation rei hen,

s heinli hkeit

d. h. als könnten alle relevanten Wahrs heinli hkeiten mit den vorliegenden Informationen bere hnet werden. Es muss jedo h no h ein weiteres Detail festgelegt werden, nämli h, wel he der beiden Ziegen-Tore der Moderator önet, wenn der Teilnehmer zu Beginn das Tor mit dem Sportwagen auswählt. Wieder können wir annehmen, dass der Moderator  um das Spiel so s hwer

11

I h bin bezügli h dieser Behauptung etwas skeptis h. Wie kann eine Person wis-

sen, dass sie den hö hsten IQ der Welt besitzt? Und wenn jemand der intelligenteste Mens h der Welt ist, ist es dann wirkli h vernünftig, diese einzigartige Ressour e für eine Fragekolumne in einer wenig forts hrittli hen Zeits hrift zu verwenden?

12

Wenn diese Modellannahme ni ht überzeugt, siehe Abs hnitt 3.2 im nä hsten

Kapitel. Dort wird eine spieltheoretis he Motivation angegeben.

20

2 Drei Paradoxa

wie mögli h zu ma hen  eines der beiden Ziegen-Tore auf gut Glü k auswählt, d. h. mit Wahrs heinli hkeit 12 für jedes.13 (Man könnte sogar behaupten, dass au h das no h ni ht ausrei ht, um das Spiel vollständig zu spezizieren, und dass wir eine Verteilung dafür angeben müssen, wel hes Tor der Teilnehmer zu Beginn auswählt. Aus dem Bli kwinkel des Teilnehmers kann das jedo h als fest betra htet werden, denn er weiÿ ja, was er gewählt hat, und das ist unabhängig davon, wo der Sportwagen steht.) Bezei hnen wir die Tore mit L1 , L2 und L3 und das Ereignis, dass si h der Sportwagen hinter dem Tor Li bendet, mit Ai (für i = 1, 2, 3). Nehmen wir jetzt an, dass der Teilnehmer das Tor L1 gewählt hat, und dass der Moderator daraufhin das Tor L2 önet (wo si h, entspre hend der Spielregeln, eine Ziege bendet)  die übrigen Fälle können analog behandelt werden, wie wir glei h sehen werden. Jetzt wissen wir, dass si h der Sportwagen hinter dem Tor L1 oder dem Tor L3 bendet, d. h., dass eines der Ereignisse A1 und A3 gilt. Wir wollen ihre bedingte Wahrs heinli hkeit bere hnen, unter der Bedingung, dass der Moderator das Tor L2 geönet hat. Bezei hne deshalb B als das Ereignis, dass der Moderator Tor L2 geönet hat. Wenn der Sportwagen wirkli h hinter Tor L1 stehen würde, hätte der Moderator die Mögli hkeit, entweder L2 oder L3 zu önen, so dass P(B | A1 ) = 12 ist. Wenn der Sportwagen jedo h hinter L3 steht, so müsste er L2 önen, was P(B | A3 ) = 1 bedeutet. Wir können diese Beoba htungen verknüpfen und erhalten14 P(A3 | B) =

P(B ∩ A3 ) P(B)

P(B ∩ A3 ) P(B ∩ A1 ) + P(B ∩ A2 ) + P(B ∩ A3 ) P(A3 ) P(B | A3 ) = P(A1 ) P(B | A1 ) + P(A2 ) P(B | A2 ) + P(A3 ) P(B | A3 ) 1 ·1 2 = 1 1 31 = . 1 3 3 · 2 + 3 ·0+ 3 ·1 =

Die Wahrs heinli hkeit P(A1 | B) muss demzufolge 1 − P(A3 | B) = 13 sein. Dieses Ergebnis stimmt mit der kurzen Argumentation von oben überein, so dass wir den Rat von vos Savants, das Tor zu we hseln, voll und ganz unterstützen.

13 14

Siehe vorhergehende Fuÿnote. Wer den Satz von Bayes kennt (siehe (B.1) im Anhang B), kann ihn direkt

anwenden, und damit die zweite und dritte Zeile der folgenden Bere hnung überspringen.

2.4

Die zwei Ums hläge

21

2.4 Die zwei Ums hläge

Die folgende Diskussion des Ums hlagproblems baut zum groÿen Teil auf Argumenten von Christensen & Utts (1992) auf, die au h eine Reihe von Hinweisen zur Ges hi hte des Problems geben. In der s hwedis hen Literatur nden wir Arnérs (2001) Analyse des Problems, die jedo h eher verwirrend als erleu htend ist. Wir werden hier versu hen, die Begrie eingehend zu diskutieren. Zuvor wollen wir den Fehls hluss der Problemformulierung weiterführen, um festzustellen, wel he widersinnigen Konsequenzen er hat. Angenommen es wäre ri htig, dass, falls wir 10 EUR im gewählten Ums hlag nden, wir im Dur hs hnitt (5+20)/2=12,5 EUR im anderen Ums hlag erwarten können. Wenn wir stattdessen y EUR im gewählten Ums hlag nden, können wir mit dem glei hen Gedankengang s hlussfolgern, dass si h im anderen Ums hlag der erwartete Betrag von 5y 4 bendet. Das gilt unabhängig vom Wert von y , so dass wir bereits vor Önen des Ums hlags wissen, dass wir den Ums hlag we hseln sollten. Sei µ der Erwartungswert dessen, was wir im gewählten Ums hlag nden, d. h. der Betrag, mit dem wir im Dur hs hnitt re hnen können. Wir hatten ja bereits festgestellt, dass der andere Ums hlag im Dur hs hnitt 54 so viel enthält wie der gewählte, und dass der erwartete Betrag in diesem Ums hlag somit 5µ 4 ist. Versu hen wir, dies no h deutli her werden zu lassen. Dazu nehmen wir an, dass der Moderator so lange einen We hsel der Ums hläge zulässt, wie beide Ums hläge ungeönet sind. Wir führen einen We hsel dur h und besitzen jetzt einen Ums hlag, der im Dur hs hnitt 5µ 4 so viel wert ist, wie der erste. Da die jetzige Situation jedo h die glei he ist wie zu Beginn, können wir erneut 54 gewinnen, wenn wir wieder we hseln. Dur h den doppelten We hsel haben wir somit den Wert des ursprüngli hen Ums hlags auf 25µ 16 erhöht. Dur h weiteres Wiederholen dieses Verfahrens könnten wir den Wert des Ums hlags beliebig in die Höhe treiben ... ein nanzielles Perpetuum mobile! Das ist natürli h Unsinn.

⋄ ⋄ ⋄ ⋄

Ein Fehler der oben stehenden Argumentation besteht darin, dass sie ni ht auf einem vollständigen Modell beruht. Wir haben (mehr oder weniger explizit) speziziert, dass die Beträge x und 2x festgelegt sind und die Wahrs heinli hkeit jeweils 12 beträgt, den Ums hlag mit x bzw. mit 2x auszuwählen. Das rei ht jedo h ni ht aus, um die entstandene Situation vollständig zu modellieren. Denn bisher haben wir ni hts darüber ausgesagt, wie der Moderator den Wert x bestimmt. Gehen wir zu groÿen Bu hstaben über15 und bezei hnen den dur h den Moderator gewählten Betrag mit X und den Betrag im von uns 15

Groÿbu hstaben sind übli h, um darauf hinzuweisen, dass wir uns mit Zufalls-

gröÿen bes häftigen.

22

2 Drei Paradoxa

gewählten Ums hlag mit Y . Der Betrag im Ums hlag, den wir ni ht gewählt haben, sei Y ′ . Gehen wir davon aus, dass die Ums hläge sorgfältig gemis ht wurden, unabhängig davon, wel hen Betrag X der Moderator ausgewählt hat. Dann gilt z. B.: 1 P(Y = 100 | X = 50) = (2.10) 2

und P(Y = 100 | X = 100) =

1 . 2

(2.11)

Aus den glei hen Gründen gilt P(Y = X, Y ′ = 2X) =

1 2

und

1 . 2 Das heiÿt, die Wahrs heinli hkeit, dass der Betrag Y ′ halb so groÿ oder doppelt so groÿ ist wie Y , beträgt jeweils 12 : P(Y = 2 X, Y ′ = X) =

P(Y ′ =

Y 2

) = P(Y ′ = 2 Y ) =

1 2

.

(2.12)

Nehmen wir jetzt an, dass wir den gewählten Ums hlag önen und Y = 100 vornden. Folgt dann aus (2.12), dass Y ′ jeweils mit Wahrs heinli hkeit 12 glei h 50 oder glei h 200 ist? Nein! Wenn wir Y = 100 beoba hten und wissen wollen, wie groÿ die Chan e dafür ist, dass ein We hsel zu einer Verbesserung führt, so dürfen wir ni ht P(Y ′ = 2 Y ) bere hnen, sondern müssen die bedingte Wahrs heinli hkeit P(Y ′ = 2 Y | Y = 100)

(2.13)

betra hten. Y ′ = 2 Y ist äquivalent damit, dass der kleinere der beiden Beträge Y ist und somit X = Y gilt. Für den Fall, dass wir Y = 100 beoba htet haben, ist deshalb Y ′ = 2 Y das glei he wie X = 100. Analog ist Y ′ = Y2 das glei he wie X = 50. Die in (2.13) gesu hte bedingte Wahrs heinli hkeit erhält man dann wie folgt:16

16

Dieser langen Re hnung kann man folgendes hinzufügen: 1. Die bedingte Wahr-

s heinli hkeit

P(X = 100 | Y = 100)

in der zweiten Zeile der Re hnung darf ni ht

mit der in (2.11) verwe hselt werden, die etwas ganz anderes besagt. 2. Die fünfte Zeile der Re hnung verwendet die allgemeine Formel (2.4) für S hnittwahrs heinli hkeiten. 3. Die Halbierungen , die in der vorletzten Zeile der Re hnung auftreten, ergeben si h aus (2.10) und (2.11).

2.4 Die zwei Ums hläge

23

P(Y ′ = 2 Y | Y = 100) =

= P(X = 100 | Y = 100) P(X = 100, Y = 100) = P(Y = 100) P(X = 100, Y = 100) = P(X = 100, Y = 100) + P(X = 50, Y = 100) P(X = 100) P(Y = 100 | X = 100) = P(X = 100) P(Y = 100 | X = 100) + P(X = 50) P(Y = 100 | X = 50) 1 2 P(X = 100) = 1 1 2 P(X = 100) + 2 P(X = 50) P(X = 100) = . (2.14) P(X = 100) + P(X = 50)

Anhand dieser Glei hung wird deutli h, dass zur Bere hnung der bedingten Wahrs heinli hkeit (dass si h der We hsel lohnt, wenn Y = 100 gegeben ist) die Wahrs heinli hkeiten P(X = 50) und P(X = 100) bekannt sein müssen oder zumindest eine Information darüber vorliegen muss, wie si h P(X = 50) und P(X = 100) zueinander verhalten. Das erfordert bei der Modellierung des Spiels die Spezikation einer Wahrs heinli hkeitsverteilung für den Wert X , den der Moderator wählt. Die Antwort auf unsere ursprüngli he Frage wird also davon abhängen, wel hes Modell wir an dieser Stelle annehmen. Gehen wir z. B. davon aus, dass der Moderator für X eine der Zahlen 1, 2, . . . , 1000 jeweils mit der Wahr1 s heinli hkeit 1000 auswählt, so ergibt die Re hnung (2.14) P(Y ′ = 2 Y | Y = 100) =

1 1000 1 1000

+

=

1 1000

1 . 2

(2.15)

Dieses Ergebnis passt zur ursprüngli hen Problemformulierung. Andere Annahmen zur Wahl von X führen jedo h auf andere Ergebnisse, z. B. folgende: •

Wenn die Verteilung für X dur h17 P(X = n) = gegeben ist, erhalten wir P(Y ′ = 2 Y | Y = 100) =

•

n 5050

100 5050 100 5050

+

50 5050

=

für n = 1, . . . , 100 2 . 3

Wird X = 30, 40 oder 50 mit jeweils der Wahrs heinli hkeit men, erhalten wir

1 3

angenom-

17 Die Wahrs heinli hkeiten müssen si h zu 1 summieren, so dass wir kontrollieren müssen, dass 1 + 2 + · · · + 100 = 5050 ist. Dies könnten wir zwar dur h Na hre hnen tun; einfa her ist es jedo h, si h an die Anekdote zu erinnern, wie der S huljunge Gauss diese Summe in weniger als einer Minute bere hnete  und damit die Honung seines Lehrers zerstörte, eine längere Zeit ungestört zu sein. Siehe z. B. Firsov (1995) sowie die Ausführungen im Anhang A.

24

2 Drei Paradoxa

P(Y ′ = 2 Y | Y = 100) =

0 0+

1 3

= 0.

Tatsä hli h ist es mögli h, für eine beliebige Wahl von p zwis hen 0 und 1 eine Verteilung für X zu nden, so dass P(Y ′ = 2 Y | Y = 100) = p gilt. (Als Übung kann man diese Behauptung beweisen!) Wel hes Modell oder wel he Verteilung sollte man für X wählen? Diese Frage kann die Wahrs heinli hkeitstheorie ni ht alleine beantworten. Stattdessen müsste der Spielshowsteilnehmer  wenn man dieses Spiel in Wirkli hkeit spielen würde  si h selbst dazu eine Meinung bilden, z. B. mit Hilfe eventueller Einsi hten in die Psy hologie des Moderators. Der s heinbare Widerspru h im Ums hlagproblem entsteht also dur h eine Vermis hung der für Y ′ = 2 Y und der entspre henden Wahrs heinli hkeit, wenn z. B. Y = 100 gegeben ist, oder dur h die unbewusste (aber fals he) Annahme, dass beide Wahrs heinli hkeiten zusammen fallen müssen. In Glei hung (2.15) haben wir gesehen, dass die beiden Wahrs heinli hkeiten tatsä hli h zusammenfallen können, z. B. für die Verteilung 1 P(X = n) = 1000 mit n = 1, 2, . . . , 1000. Entsteht ni ht erneut ein Widerspru h, wenn wir diese Verteilung für X annehmen? Die Antwort ist nein, denn um ein nanzielles Perpetuum mobile zu ermögli he y den Wert 12 annehhalten, müsste P(Y ′ = 2 Y | Y = y) für men. Mit der gerade genannten Verteilung für X kann Y alle ganzen Zahlen zwis hen 1 und 1000 sowie alle geraden ganzen Zahlen bis 2000 annehmen. Y ′ glei h 896 sein, so dass Wenn wir jetzt z. B. Y = 1792 beoba hten, ′ P(Y = 2 Y | Y = 1792) = 0 ist. Um dies auf die Spitze zu treiben, versu hen wir, für X eine Wahrs heinli hkeitsverteilung zu konstruieren, so dass jede mögli he Realisierung y auf

bedingten

Wahrs heinli hkeit

jedes

muss

P(Y ′ = 2 Y | Y = y) =

1 2

(2.16)

führt. (Wenn uns das gelingt, haben wir wieder ein nanzielle Perpetuum mobile.) Nehmen wir zu Beginn der Einfa hheit halber an, dass X nur Zweierpotenzen als Werte annehmen kann, d. h. die Elemente der Menge {. . . , 41 , 21 , 1, 2, 4, 8, 16, . . .}. Wenn wir jetzt beispielsweise den Fall Y = 8 betra hten, dann müssten wir errei hen, dass P(Y ′ = 2 Y | Y = 8) =

1 2

gilt. Eine Re hnung entspre hend der in (2.14) ergibt P(Y ′ = 2 Y | Y = 8) =

P(X = 8) , P(X = 8) + P(X = 4)

und damit diese Wahrs heinli hkeit glei h sein.

1 2

wird, muss P(X = 8) = P(X = 4)

2.5 Das Ums hlagproblem als statistis hes S hätzproblem

25

Wenn wir stattdessen den Fall Y = 16 betra hten, können wir auf die glei he Art und Weise s hlussfolgern, dass P(X = 16) = P(X = 8) gelten muss. Damit können wir fortfahren, so lange wir wollen. Als Resultat ergibt si h, dass P(X = 2k ) für jede ganze Zahl k den glei hen Wert p annehmen muss. Nehmen wir jetzt an, dass p = 0 gilt. Dann ist P(X = 2k ) = 0 für jedes k , und wenn wir über alle k summieren, erhalten wir ∞ X

P(X = 2k ) = 0 .

k=−∞

Dies ist jedo h keine Wahrs heinli hkeitsverteilung (denn für eine sol he müssen si h die Wahrs heinli hkeiten zu 1 addieren), so dass der Fall p = 0 ni ht mögli h ist. Das heiÿt, es muss p > 0 gelten. Dann wird jedo h ∞ X

k=−∞

k

P(X = 2 ) =

∞ X

k=−∞

p = p·∞ = ∞,

d. h. au h in diesem Fall liegt keine Wahrs heinli hkeitsverteilung vor. Damit haben wir bewiesen, dass auf der Menge {. . . , 14 , 21 , 1, 2, 4, 8, 16, . . .} keine Wahrs heinli hkeitsverteilung für X existiert, die die Glei hung (2.16) für jeden mögli hen Wert x erfüllt. Kann es dann eine Verteilung für X geben, die für jedes y die Glei hung (2.16) erfüllt, wenn für X andere Werte als Zweierpotenzen zugelassen werden? Die Antwort ist nein und kann wie folgt begründet werden. Nehmen wir an, dass es eine Verteilung für X gäbe, die (2.16) für jedes mögli he y erfüllt. Der Moderator wählt X entspre hend dieser Verteilung. Nehmen wir weiter an, dass der Moderator einen geizigen Chef hat, der, wenn der Moderator seinen Wert für X vors hlägt, diesen auf die nä hst niedrigere Zweierpotenz korrigiert. Damit erhält X eine neue Verteilung, die si h oenbar auf der Menge {. . . , 14 , 12 , 1, 2, 4, 8, 16, . . .} bewegt, und die auÿerdem (2.16) erfüllt (oder etwa ni ht?). Da wir zuvor gerade gezeigt haben, dass es keine sol he Verteilung auf der Menge der Zweierpotenzen gibt, müssen wir s hlussfolgern, dass es keine Verteilung für X gibt, die die Bedingung (2.16) erfüllt. 2.5 Das Ums hlagproblem als statistis hes S hätzproblem

Betra hten wir das Ums hlagproblem aus einer etwas anderen Perspektive. Man kann die Situation des Spielshowteilnehmers au h als statistis hes S hätzproblem18 sehen. Wenn der Spieler seinen gewählten Ums hlag geönet hat, soll er auf der Basis der vorliegenden Information (dem Wert 18

In der s hwedis hen (und deuts hen, Anm. d. Übers.) Universitätstradition gibt

es das Fa h

mathematis he Statistik,

das aus zwei Teilen besteht: Wahrs hein-

26

2 Drei Paradoxa

von Y ) versu hen, den Betrag von X zu s hätzen, den wir als unbekannbetra hten. In der Analyse des vorhergehenden Abs hnitts bestanden wir darauf, bereits zu Beginn eine Wahrs heinli hkeitsverteilung für den unbekannten Parameter X angeben zu müssen. Diese Vorgehensweise wird der Bayess he Ansatz für statistis he S hlussfolgerungen genannt. Die für X angenommene Verteilung wird als a-priori-Verteilung bezei hnet. Die Bayess he S hule steht im Gegensatz zur klassis hen19 Statistik, deren Vertreter argumentieren, dass man in den meisten Situationen keinen Grund hat anzunehmen, dass der unbekannte Parameter zufällig ist und einer gewissen Verteilung unterliegt. Stattdessen sollte X als eine feste (aber weiterhin unbekannte) Konstante behandelt werden. Der Vater der s hwedis hen mathematis hen Statistik, Harald Cramér, hatte z. B. für den Bayesianismus ni ht viel übrig, wie das folgende Zitat seines Bu hes Sannolikhetskalkylen von 1951 deutli h ma ht. ten Parameter

In älteren Wahrs heinli hkeitskalkülen wurde das Problem des S hätzens von m mit Hilfe von Bayes' Satz gelöst. Man da hte si h den wirkli hen Wert der beoba hteten Gröÿe als Zufallsvariable, und nahm die Existenz einer a-priori-Verteilung π(m)dm an [...℄ Die S hwä he dieser S hlussfolgerung besteht vor allem darin, dass die a-priori Frequenzfunktion π(m) im Allgemeinen vollständig unbekannt ist. Um einfa he Ergebnisse zu erhalten, ist man gezwungen, ziemli h wirkli hkeitsfremde Annahmen bezügli h dieser Funktion zu treen. Davon abgesehen leidet die S hlussfolgerung unter dem grundlegenden Fehler, dass der wirkli he Wert m in den meisten Fällen ni ht das Resultat eines zufälligen Versu hes ist und deshalb ni ht als Zufallsgröÿe betra htet werden kann. Gewöhnli h sollte m ganz einfa h als feste  wennglei h unbekannte  Konstante betra htet werden. Unter sol hen Umständen existiert überhaupt keine a-priori Frequenzfunktion. Bayes' Satz ist deshalb für die Fehlertheorie so gut wie wertlos, und seine Anwendung in diesem Gebiet sollte dur h Methoden mit Kondenzintervallen ersetzt werden. li hkeitstheorie und Statistik. Während die Wahrs heinli hkeitstheorie mathematis he Modelle für Zufallsphänomene behandelt, ist die zentrale Frage der Statistik, wie man S hlussfolgerungen über unbekannte Gröÿen auf der Grundlage von Informationen oder Daten zieht, die  z. B. auf Grund von Messfehlern  auf irgendeine Art und Weise unsi her oder unvollständig sind. Mit statistis hen S hätzproblemen sind Probleme gemeint, die mehr dem Gebiet der Statistik als der Wahrs heinli hkeitstheorie zuzuordnen sind. Der Zusammenhang zwis hen Wahrs heinli hkeitstheorie und Statistik besteht darin, dass Messfehler und andere Einüsse, die die Daten verfäls hen, im Allgemeinen auf die eine oder andere Art als zufällig angenommen werden können und deshalb mit Hilfe wahrs heinli hkeitstheoretis her Modelle bes hreibbar sind. 19 Oder frequentistis hen, wie sie au h (etwas irreführend) genannt wird.

2.5

Das Ums hlagproblem als statistis hes S hätzproblem

27

Der Bayess he Ansatz wurde seit der Zeit, als Cramér diese Worte s hrieb, immer mehr akzeptiert. Dies zeigt si h au h darin, dass mindestens die Hälfte der Artikel, die derzeit in führenden Statistikzeits hriften publiziert werden (wie den Annals of Statisti s und dem Journal of the Royal Statisti al So iety), Bayess he Methoden behandeln. Speziell in so genannten ents heidungstheoretis hen Situationen gibt es gute (fast zwingende?) Argumente für den Bayess hen Ansatz; siehe z. B. Savage (1954) und Berger (1980). Mit einer ents heidungstheoretis hen Situation ist eine Situation gemeint, bei der das Ziel der statistis hen Analyse ist, eine Ents heidung dur h die Maximierung einer gewissen Gewinn- oder Nutzenfunktion zu treen. Wir erkennen die Situation wieder, in der si h der Spielshowteilnehmer beim Ums hlagproblem bendet. Glei hwohl gibt es au h heute no h Statistiker, die den Bayess hen Methoden so abweisend gegenüberstehen, dass sie meinen, dass sogar eine Situation wie diese mit klassis her Statistik behandelt werden müsse. Die Herausforderung besteht dann darin, eine Methode zu nden, die unabhängig vom Wert des Parameters X gute Resultate liefert.20 Christensen & Utts (1992) nahmen diese Herausforderung an, neben der Bayess hen Analyse, die wir im vorigen Abs hnitt diskutierten, eine klassis he Lösung zu su hen. Ihr Vors hlag ist, immer den ursprüngli h gewählten Ums hlag zu behalten. Dies führt auf einen Gewinn von X oder 2 X jeweils mit der Wahrs heinli hkeit 12 , so dass der Erwartungswert des Gewinns  unabhängig davon, wie groÿ X ist  1 2

·X +

1 2

·2X =

3X 2

beträgt. Dieses Ergebnis darf als einigermaÿen akzeptabel angesehen werden. Nennen wir diese Strategie die feige Strategie. Als die mutige Strategie wollen wir die ebenso gute Methode bezei hnen, immer zu we hseln, die als erwarte21 Existiert eine bessere Strategie in dem ten Gewinn au h den Wert 3X 2 ergibt. Sinne, dass si h (unabhängig von X ) ein erwarteter Gewinn ergibt, der gröÿer als 3X 2 ist? Au h wenn man eine Weile darüber na hdenkt  dies ers heint do h ziemli h unmögli h?

⋄ ⋄ ⋄ ⋄

Überras henderweise existieren Strategien, die unabhängig von X im Mittel besser sind als die feige Strategie. Eine sol he, die wir im Folgenden kennenlernen wollen, wurde von Ross (1994) vorgestellt. 20

Eigentli h müssten wir im Folgenden, da

wieder zur Bezei hnung

x

X

ni ht länger eine Zufallsgröÿe ist,

übergehen. Wir bleiben jedo h bei

X,

um zu betonen,

dass es si h um dieselbe Gröÿe wie im vorhergehenden Abs hnitt handelt.

21

Wir sehen, dass die mutige Strategie nur auf den ersten Bli k mutiger als die

feige ers heint, denn beide Methoden ergeben genau die glei he Verteilung für den Gewinn.

28

2 Drei Paradoxa

Versetzen wir uns wieder in die Situation des Spielshowteilnehmers und legen wir vor dem Önen des Ums hlags einen S hwellenwert C > 0 fest, der ents heiden soll, ob wir we hseln oder ni ht. Wenn wir in dem gewählten Ums hlag einen Betrag Y vornden, für den Y ≥ C gilt, sind wir zufrieden und behalten ihn, während wir im Fall Y < C den Ums hlag we hseln. Gilt für den unbekannten Parameter X , dass X ≥ C ist, werden wir den gewählten Ums hlag mit Si herheit behalten, so dass der Erwartungswert für den Gewinn der glei he bleibt wie bei der feigen Strategie: 3X 2 . Gilt stattdessen C X < 2 , werden wir mit Si herheit we hseln, so dass der Erwartungswert der glei he ist wie im Fall der mutigen Strategie: also wieder 3X 2 . Den ents heidenden Vorteil der S hwellenwertstrategie stellt der dritte Fall dar, der eintritt, wenn X zwis hen C2 und C liegt. Denn dann we hseln wir wenn Y = X gilt und behalten den Ums hlag für den Fall, dass Y = 2X ist. Dies hat zur Folge, dass wir den Betrag 2X unabhängig davon erhalten, wel hen Ums hlag wir zu Beginn gewählt haben. Der Erwartungswert für den Gewinn ist somit 2X . Mit dieser Vorgehensweise steht uns eine Strategie zur Verfügung, die für alle Werte von X eine mindestens glei h gute dur hs hnittli he Auss hüttung wie die feige Strategie ermögli ht, für gewisse Werte von X jedo h mehr ergibt. Das ist s hon ein Forts hritt, gesu ht war jedo h eine Strategie, die unabhängig von X einen höheren Gewinn als die feige Strategie ergibt. Für eine sol he Strategie können wir  und das ist der ents heidende Punkt bei Ross  den S hwellenwert C zufällig wählen. Diese Strategie wird als randomisierte oder gemis hte Strategie bezei hnet.22 Für einen festen Wert von C haben wir gesehen, dass der erwartete Gewinn für X < C ≤ 2X glei h 2X wird und andernfalls nur 3X 2 beträgt. Dur h eine zufällige Wahl von C wird der erwartete Gewinn 3X E[Gewinn] = P(C 6∈ (X, 2X]) + 2X P(C ∈ (X, 2X]) 2 3X 3X = P(C 6∈ (X, 2X]) + P(C ∈ (X, 2X]) 2 2 X + P(C ∈ (X, 2X]) 2 3X X = + P(C ∈ (X, 2X]) . 2 2 Bei der Bestimmung unserer gemis hten Strategie steht es uns frei, eine ganz beliebige Verteilung für C zu wählen. Wenn wir für C eine Verteilung ansetzen, die die gesamte positive reelle A hse überde kt  z. B. die Exponentialverteilung23  wird die Wahrs heinli hkeit P(C ∈ (X, 2X]) für jedes X positiv. Die obige Re hnung ergibt deshalb unabhängig von X 3X E[Gewinn] > . 2 22 23

Gemis hte Strategien werden als zentrales Thema im Kapitel 3 behandelt. Siehe (B.10) im Anhang B.

2.6 Zwei weitere Ums hlagprobleme

29

2.6 Zwei weitere Ums hlagprobleme

Es gibt mehrere Varianten des Ums hlagproblems. An dieser Stelle mö hte i h einige weitere vorstellen. Sie sind der ausgezei hneten Problemsammlung Mathemati al Puzzles: A Connoisseur's Colle tion von Peter Winkler (2003) entnommen. Der Moderator s hreibt zwei unters hiedli he reelle Zahlen X und X ′ jeweils auf einen Zettel und legt jeden in einen Ums hlag. Dana h werden die Ums hläge gemis ht, und Du darfst einen auswählen und önen. Ans hlieÿend ents heidest Du, ob Du den Ums hlag behalten oder zum anderen Ums hlag we hseln willst. Du gewinnst 1 EUR, wenn Du die höhere Zahl wählst. Was solltest Du tun, um die Gewinnwahrs heinli hkeit zu maximieren?

Problem 2.6.

Es gibt diverse Strategien, die eine Gewinnwahrs heinli hkeit von 12 garantieren. Sie kann beispielsweise dadur h errei ht werden, dass man immer oder nie we hselt oder indem man zur Ents heidung eine Münze wirft. Wer das Argument von Ross im vorhergehenden Abs hnitt verinnerli ht hat, kann mit etwas Na hdenken eine Strategie konstruieren, die eine gröÿere Gewinn han e als 12 garantiert. Eine andere Variante des Ums hlagproblems ist die folgende. Sie besitzt eine sehr elegante Lösung, die i h hier jedo h ni ht verraten mö hte. Wer an diesem Problem verzweifelt, kann si h an Winklers Bu h wenden. Problem 2.7. Die Situation ist im Prinzip die glei he wie beim vorhergehenden Problem, mit zwei Unters hieden:

(a) Du kennst die Verteilung von X und X ′  sie sind unabhängig und werden beide entspre hend einer Glei hverteilung auf dem Intervall [0, 1] auf gut Glü k gezogen24. (b) Als Ausglei h für (a) darf der Moderator (ohne zu mis hen) wählen, wel hen Ums hlag Du önen sollst. Bei dieser Variante kannst Du die Gewinnwahrs heinli hkeit von 12 dadur h garantieren, indem Du eine Münze wirfst, die ents heidet, ob Du den Ums hlag taus hen sollst oder ni ht. Gibt es eine Strategie für den Moderator (bezügli h der Wahl des Ums hlags, der geönet werden soll), die garantiert, dass Du keine Strategie nden kannst, die eine höhere Gewinnwahrs heinli hkeit als 12 besitzt?

24

Siehe Formel (B.11) im Anhang B.

3 Spieltheorie

Dem ersten Eindru k des Wortes na h zu urteilen, ist die Spieltheorie eine re ht heitere und unkomplizierte Bes häftigung. Tatsä hli h ist sie jedo h ein ernst zu nehmender Zweig der Mathematik mit wi htigen Anwendungen in den Wirts hafts- und Gesells haftswissens haften, der Evolutionsbiologie und Informatik sowie in gewissen militäris hen Zusammenhängen. Die traditionelle Einteilung der mathematis hen Fa hgebiete ordnet die Spieltheorie normalerweise ni ht der Wahrs heinli hkeitstheorie zu. Trotzdem halte i h es für ri htig, die Spieltheorie in ein Bu h wie dieses mit aufzunehmen. Die Spieltheorie führt sehr s hnell zu Situationen, in denen ein Spieler, der vom Gegner ni ht dur hs haut werden will, auf die eine oder andere Weise zufällig agieren sollte. Wir werden in Kürze einige Beispiele dafür kennenlernen. Um diese zufälligen Strategien1 zu verstehen, benötigt man ein gewisses Maÿ an wahrs heinli hkeitstheoretis hen Grundlagen. In den Abs hnitten 3.1 und 3.2 bes häftigen wir uns mit einem besonders fundamentalen Teil der Spieltheorie, der Theorie der so genannten endli hen Nullsummenspiele zweier Personen. Diese Theorie ndet bei vers hiedenen Gesells hafts- und Glü ksspielen Anwendung (was im Folgenden dur h einige Beispiele belegt wird) und kann unter anderem au h für die Konstruktion eektiver Computeralgorithmen verwendet werden (Motwani & Raghavan, 1995). Die Annahmen des Nullsummenspiels  das uns zum meiner Meinung na h spannendsten Teil der Spieltheorie führt  erläutern wir im Abs hnitt 3.3. Das Nullsummenspiel erönet die Mögli hkeit einer Zusammenarbeit der Spieler. Dies führte zu weitrei henden Diskussionen, wie dur h Darwinismus und natürli he Selektion in der Tierwelt (s heinbar) uneigennützige Handlungen entstehen können (Axelrod & Hamilton, 1981; Dawkins, 1989; Dennett, 1995) und wie wir Mens hen Gesells haftsstrukturen einri hten und aufre ht erhal1

Weiter unten werden sie als

zei hnet.

randomisierte

oder

gemis hte

Strategien be-

32

3 Spieltheorie

ten können, die trotz des starken Einusses des mens hli hen Egoismus (den wir wohl alle

2 in uns tragen) funktionieren (Axelrod, 1984; Rothstein, 2003).

3.1 Nullsummenspiele Wir beginnen mit einem Beispiel. Denken wir uns zwei feindli he Armeen A und B, die si h auf zwei Anhöhen gegenüber stehen, die dur h ein Tal getrennt sind. Will einer den Gegner angreifen, kann er wählen, ob er den Angri längs der nördli hen oder südli hen Seite des Tales beginnt. Eine dritte, eher defensive Strategie besteht darin, auf der eigenen Anhöhe zu bleiben. A ist bei der direkten Konfrontation drauÿen auf dem Feld besser als B, so dass A gewinnt, wenn beide Armeen auf der nördli hen oder südli hen Seite angreifen. Wenn die Armeen hingegen von unters hiedli hen Seiten her angreifen, gewinnt B dank seiner Fähigkeit, die Lage s hnell zu erfassen, umzudirigieren und dem Gegner in den Rü ken zu fallen. Geht nur eine der beiden Armeen zum Angri über, während die andere auf ihrer Anhöhe bleibt, gewinnt letztere wegen ihrer günstigen Höhenlage. S hlieÿli h wird keine der beiden Armeen gewinnen, wenn kein Angri erfolgt: das Ergebnis ist unents hieden. Die Generäle der Armee müssen ihre jeweilige Ents heidung (Angri nördli h, Angri südli h oder stehen bleiben) glei hzeitig und ohne Wissen der Ents heidung des anderen treen. Diese Situation kann dur h die so genannte

Auszahlungsmatrix

(bzw.

Spielmatrix) in Abb. 3.1 dargestellt werden. Die Elemente der Matrix geben den Gewinn aus der Si ht von A an: ents hieden, und

−1

+1

bedeutet Gewinner,

0

bedeutet un-

Verlierer; aus der Si ht von B gilt das Umgekehrte. Das

Spiel wird so gespielt, dass A eine Zeile und B eine Spalte der Matrix wählt. Die Ents heidung erfolgt glei hzeitig, so dass A seine Wahl ohne Wissen der Wahl von B trit (und umgekehrt). Diese Wahl führt auf ein Element der Matrix, das für A so groÿ wie mögli h sein sollte, während B das kleinstmögli he Element anstrebt. Wir können das Spiel unblutig enden lassen, indem wir festlegen, dass die siegrei he Armee der verlierenden Armee keinen S haden zufügt. Stattdessen muss der Verlierer ein Lösegeld von beispielsweise 1 EUR an den Gewinner zahlen. Der Gewinn von A ist damit genauso groÿ wie der Verlust von B (und vi e versa), weshalb dieses Spiel als

Nullsummenspiel

bezei hnet wird. Dies

ist au h der Grund für die Bezei hnung Auszahlungsmatrix. Wie sollten A bzw. B spielen? Betra htet man die Auszahlungsmatrix, stellt man fest, dass A garantiert mindestens ein Unents hieden errei hen kann, wenn A auf seiner Anhöhe stehen bleibt; entspre hend kann B garan-

tiert mindestens ein Unents hieden errei hen. Wenn si h beide Spieler auf diese Weise mindestens das Unents hieden si hern wollen, entsteht eine Glei hgewi htslage. Wer im Alleingang davon abwei hen will, wird unwiderrui h

2

Viellei ht sollte man si herheitshalber oder fast alle hinzufügen.

3.1 Nullsummenspiele

33

B

Nord

PSfrag repla ements

bleiben

+1

−1

−1

Süd

−1

+1

−1

bleiben

+1

+1

0

Nord

A

Süd

Abb. 3.1. Die Auszahlungsmatrix für das Spiel zwis hen den beiden Armeen.

bestraft.3 Das Ergebnis zweier rational handelnder Spieler (rational in dem Sinne, dass sie ihren Gewinn maximieren wollen) wird deshalb das Unents hieden sein. Folgli h können wir behaupten, dass der objektive des Spiels (aus der Si ht von A) Null beträgt, denn diesen Gewinn erzielt A, wenn beide Spieler rational handeln.

Wert

⋄ ⋄ ⋄ ⋄ Das oben stehende Spiel erweist si h bei näherer Analyse als ziemli h langweilig. Was kann man im Verglei h dazu über das alte S hereSteinPapier Spiel sagen, dessen Auszahlungsmatrix in Abb. 3.2 zu sehen ist? Auf wel hen Wert führt dieses Spiel? Wir sehen: Wel he Zeile A (Anna) au h wählt, sie riskiert in jedem Fall, 1 EUR zu verlieren. Auf die glei he Art und Weise riskiert au h B (Björn), 1 EUR zu verlieren, egal wel he Spalte er wählt. Heiÿt das, dass man den Wert des Spiels (aus Annas Si ht) gar ni ht spezizieren kann, sondern stattdessen sagen sollte, dass er zwis hen −1 und 1 liegt? Nein, es gibt tatsä hli h au h beim S hereSteinPapier Spiel einen Glei hgewi htspunkt, der dem Glei hgewi htspunkt des vorherigen Spiels entspri ht. Ausgehend von diesem Glei hgewi ht können wir den Wert des Spiels bestimmen. Um ein sol hes Glei hgewi ht zu nden, müssen wir allerdings zulassen, dass die Spieler gemis hte Strategien verwenden. Damit ist gemeint, dass sie Zugang zu irgend einer Form von Zufallsme hanismus haben  z. B. einem Würfel oder einem Zufallsgenerator  mit dessen Hilfe sie bestimmen, wie sie spielen sollen. Eine gemis hte Strategie anzuwenden, bedeutet demzufolge, 3

Eine sol he Glei hgewi htslage wird au h als Sattelpunkt der Auszahlungs-

matrix bezei hnet.

34

3 Spieltheorie

B

PSfrag repla ements

S here

Stein

0

−1

+1

Stein

+1

0

−1

Papier

−1

+1

0

S here

A

Papier

Die Auszahlungsmatrix des S hereSteinPapier Spiels. Die beiden Spieler ma hen hinter ihrem Rü ken das Zei hen eines der drei Gegenstände, und auf ein Kommando hin zeigen sie es na h vorn. Die S here besiegt (aus oensi htli hen Gründen) das Papier, dieses besiegt den Stein, der seinerseits die S here besiegt. Wenn die Spieler das glei he Zei hen vorzeigen, ist das Spiel unents hieden.

Abb. 3.2.

dass man den Zufall aktiv zu Hilfe nimmt. Das bezei hnet man häug au h als randomisieren. Indem man gemis hte Strategien zulässt, kann si h Anna z. B. auf die Strategie festlegen, S here, Stein oder Papier mit jeweils der Wahrs heinli hkeit 1 3 zu spielen. Wenn wir dann davon ausgehen, dass Björn S here wählt, wird das Spiel mit Wahrs heinli hkeit 13 unents hieden ausgehen; Anna gewinnt mit Wahrs heinli hkeit 13 , das Glei he gilt für Björn. Der Erwartungswert von Annas Gewinn beträgt damit 1 3

·0+

1 3

·1+

1 3

· (−1) = 0 .

Den glei hen Erwartungswert erhalten wir, wenn Björn Stein oder Papier spielt, und es ist au h ni ht s hwer einzusehen, dass der Erwartungswert weiterhin 0 ist, wenn si h au h Björn dafür ents heidet, seine Strategie zu randomisieren (zu mis hen).4 Auf die glei he Art und Weise sehen wir, dass au h Björn den Erwartungswert 0 garantieren kann, indem er die glei he ( 13 , 13 , 31 )-Randomisierung wie Anna wählt. Das heiÿt, dass si h zwar keiner der Spieler gegen einen Verlust in einzelnen Spieldur hgängen s hützen kann, si h jedo h beide Spieler den erwarteten Gewinn von 0 si hern können, so dass das gesamte Spiel den 4

Unters hwellig setzen wir hierbei voraus, dass Anna und Björn Zugang zu eiund unabhängigen Zufallsquellen haben. Dies nehmen wir künftig an, was sinnvoll und in Übereinstimmung mit der früheren Annahme ist, dass sie ihre Strategie-Ents heidung ohne Wissen der Wahl des jeweils anderen treen. genständigen

3.1 Nullsummenspiele

35

Wert 0 besitzt.5 Wenn beide Spieler die ( 13 , 13 , 31 )-Randomisierung anwenden, so hätte keiner von ihnen etwas davon, von dieser Strategie abzuwei hen. Wir nennen eine sol he Situation deshalb Glei hgewi htslage.

⋄ ⋄ ⋄ ⋄ Diese beiden Beispiele wollen wir jetzt zum allgemeinen endli hen Nullsummenspiel mit zwei Spielern A und B verallgemeinern. Sol h ein Spiel wird dur h die Auszahlungsmatrix U der Dimension (m × n) und dur h die Elemente uij , mit i = 1, . . . , m und j = 1, . . . , n, deniert. Während A einen von m mögli hen Zügen A1 , . . . , Am wählt, ents heidet si h B (glei hzeitig) für einen von n mögli hen Zügen B1 , . . . , Bn . Hat A den Zug Ai und B den Zug Bj gewählt, dann ergibt das Spiel, dass B an A den Betrag uij bezahlt (der eventuell negativ sein kann, so dass A den Betrag an B bezahlen muss), siehe Abb. 3.3. Wie im Fall des S hereSteinPapier Spiels lassen wir au h bei der Verallgemeinerung gemis hte Strategien zu. A kann somit einen Wahrs heinli hkeitsvektor6 (p1 , . . . , pm ) spezizieren, bei dem pi die Wahrs heinli hkeit angibt, dass der Spieler A Ai spielt. Entspre hend soll B einen Wahrs heinli hkeitsvektor (q1 , . . . , qn ) angeben, wobei qj die Wahrs heinli hkeit bedeutet, dass Spieler B Bj spielt. Vm soll die Menge aller Wahrs heinli hkeitsvektoren mit m Komponenten bezei hnen, analog ist Vn deniert. Nehmen wir jetzt an, dass A und B gemis hte Strategien anwenden, die den Wahrs heinli hkeitsvektoren p = (p1 , . . . , pm ) und q = (q1 , . . . , qn ) entspre hen. Die Auszahlung (des Spielers B an A) wird damit eine Zufallsgröÿe, die wir mit X bezei hnen. Weil das Element uij mit Wahrs heinli hkeit pi qj gewählt wird, erhält X den Erwartungswert7 E[X] =

m X n X

pi qj uij .

(3.1)

i=1 j=1

Ents heidet si h A jedo h für p, so weiÿ sie ni ht, wel he (gemis hte) Strategie B gewählt hat. Deshalb sollte sie damit re hnen, dass er diejenige Strategie q gewählt hat, die den Erwartungswert in (3.1) minimiert, so dass si h in diesem Fall 5 Aus Symmetriegründen hätten wir von vornherein sagen können, dass wenn dieses Spiel einen wohldenierten Wert besitzt, dieser vernünftigerweise 0 sein muss. Gerade haben wir gezeigt, dass er wohldeniert ist. 6 Der Vektor (p1 , . . . , pm ) wird genannt, wenn m pi ≥ 0 für jedes i und i=1 pi = 1 gilt. Die Komponenten repräsentieren Wahrs heinli hkeiten einer Verteilung, die  wie wir wissen  ni htnegativ sein müssen und si h zu 1 aufsummieren. 7 Die Σ -Notation der Summen wird im Ans hluss an (A.3) im Anhang A vorgestellt.

P

Wahrs heinli hkeitsvektor

36

3 Spieltheorie

B1

B2

···

Bn

A1

u11

u12

···

u1n

A2

u21

u22

···

u2n

. . .

. . .

. . .

Am

um1

um2

PSfrag repla ements

. . .

···

umn

Abb. 3.3. Allgemeine Auszahlungsmatrix für Nullsummenspiele.

E[X] = min

q∈Vn

ergibt.

m X n X

pi qj uij

(3.2)

i=1 j=1

Das ist der Erwartungswert, den si h A als kleinsten Betrag dur h die Wahl der Strategie

p si hert. Diesen Minimumwert mö hte sie natürli h so ho h wie p so, dass der Ausdru k in (3.2) maximiert wird,

mögli h wählen. Wählt sie

kann sie si h si her fühlen, dass ihr erwarteter Gewinn mindestens

max min

p∈Vm q∈Vn

m X n X

pi qj uij

(3.3)

i=1 j=1

beträgt. Dies ist der gröÿte erwartete Gewinn, den si h A si hern kann. Sehen wir uns nun das Spiel aus dem Bli kwinkel von B an: Spieler B will

E[X]

minimieren. Wählt er die Strategie

die Strategie

q, muss er damit re hnen, dass A p gewählt hat, die für dieses q den Ausdru k in (3.1) maximiert,

so dass der Erwartungswert

max

p∈Vm

m X n X

pi qj uij

i=1 j=1

beträgt. Wenn er klug ist, wählt er

q so, dass der obige Ausdru k so klein

wie

mögli h wird. Das heiÿt, es ergibt si h

min max

q∈Vn p∈Vm

m X n X i=1 j=1

pi qj uij .

(3.4)

3.1

Nullsummenspiele

37

Somit kann B garantieren, dass der erwartete Gewinn von A diesen Betrag ni ht übersteigt. Wir haben mit (3.3) beziehungsweise (3.4) Ausdrü ke für den hö hsten Erwartungswert der Auszahlung X erhalten, den A erzwingen kann, beziehungsweise die kleinste Auszahlung, die B erzwingen kann. Im Fall des S here SteinPapier Spiels sahen wir, dass beide Ausdrü ke zusammenfallen, so dass wir sie als Wert des Spiels denieren. Müssen die Ausdrü ke (3.3) und (3.4) immer auf denselben Wert führen? Das ist ni ht sebstverständli h, denn es gibt in der Mathematik genügend Beispiele dafür, dass das Vertaus hen von Maximum und Minimum zu unters hiedli hen Ergebnissen führt.8 Der amerikanis he Mathematiker John von Neumann bewies 1928 die folgende sehr s höne Aussage.

Satz 3.1 (von Neumanns MinimaxSatz).

Für beliebige endli he Null-

summenspiele mit zwei Spielern und der Auszahlungsmatrix

(m × n)

U

der Dimension

gilt

max min

p∈Vm q∈Vn

m X n X

pi qj uij = min max

q∈Vn p∈Vm

i=1 j=1

m X n X

pi qj uij .

(3.5)

i=1 j=1

Aus dem Satz folgt: wenn A die Strategie p wählt, so dass si h das Maximum in (3.3) ergibt, und B wählt q, so dass si h das Minimum in (3.4) ergibt, dann nützt es keinem Spieler, einseitig von seiner Strategie abzuwei hen. Dieses Paar p und q kann deshalb als Glei hgewi htslage des Spiels bezei hnet werden, und den Minimax-Ausdru k in (3.5) können wir den Wert des Spiels nennen. Ein Spiel kann mehr als eine Glei hgewi htslage besitzen9 ; diese führen als Folge von Satz 3.1 alle zum glei hen Erwartungswert der Auszahlung X . Der Beweis des Satzes ist eine Übung in Linearer Algebra, die wir hier ni ht dur hführen wollen. Wer am Beweis interessiert ist, kann si h entweder an die klassis hen Ausführungen von von Neumann & Morgenstern (1944) oder an modernere Lehrbü her wie Binmore (1992) und Owen (2001) wenden.

⋄ ⋄ ⋄ ⋄ Sehen wir uns ein weiteres Beispiel an. Als junger Student (um 1990) versu hte i h gelegentli h, meine Kommilitonen für diverse Glü ksspiele zu begeistern. Sie waren immer so gestaltet, dass sie zu meinem Vorteil ausgingen; glei hzeitig ers hienen sie zunä hst verlo kend für meine Kommilitonen. (Genau genommen ist das wohl die glei he Ges häftsidee, die Lotto/Toto und 8

Wer damit ni ht vertraut ist, kann z. B. überprüfen, dass

maxx∈{1,2} miny∈{1,2} |x − y| = 0 9

ist, während

miny∈{1,2} maxx∈{1,2} |x − y| = 1 gilt.

Ein triviales Beispiel dafür liegt vor, wenn alle Elemente der Matrix den glei hen

Wert annehmen. I h mö hte die Leserinnen und Leser dazu ermuntern, weitere, weniger triviale Beispiele zu konstruieren.

38

3 Spieltheorie

andere Spielunternehmen in gröÿerem Rahmen verfolgen.) Bei einer Gelegenheit s hlug i h meinem Korridor-Na hbarn Eri folgendes Spiel vor. I h hatte auf einen Zettel in einem Ums hlag einen der Beträge 100 oder 200 ges hrieben. Eri sollte raten, wel her der beiden Beträge es war. Wenn er ri htig riet, sollte er diesen Betrag in S hwedis hen Kronen erhalten, andernfalls sollte er mir 150 Kronen bezahlen.10 Was würdest Du an Eri s Stelle tun? Wir können das Problem spieltheoretis h formulieren. I h kann 100 oder 200 Kronen in den Ums hlag legen, und Eri kann einen der Beträge raten. Dies führt auf eine (2 × 2)-Auszahlungsmatrix, wie sie in Abb. 3.4 dargestellt ist. B (i h) 100

200

100

100

−150

200

−150

200

PSfrag repla ements

A (Eri )

Abb. 3.4. Die Auszahlungsmatrix meines Versu hs, von Eri Geld zu gewinnen.

Ausgehend von von Neumanns Minimax-Satz (Satz 3.1) können wir s hlussfolgern, dass das Spiel einen wohldenierten Wert besitzt. Wenn Eri ein rationaler Spieler11 wäre, so würde er dann und nur dann darauf eingehen, wenn dieser Wert positiv (oder zumindest ni ht negativ) ist, und dann die gemis h10

I h kann hier erwähnen, dass selbst i h ni ht wusste, wel her der Beträge es war,

weil i h ni ht auf meine Fähigkeit vertraute, ein neutrales Pokerfa e zu bewahren. Davon wusste Eri allerdings ni hts.

11

Wenn wir über rationale Spieler spre hen, meinen wir Spieler, die auss hlieÿ-

li h ihren erwarteten Gewinn maximieren. Allerdings ist das etwas problematis h, denn was würdest Du tun, wenn Du vor folgende Wahl gestellt wärst? Du darfst wählen, ob Du entweder 1 000 000 EUR direkt auf die Hand bekommst, oder ob eine Münze geworfen werden soll, die ents heidet, ob Du 2 100 000 EUR oder ni hts erhältst. Die meisten (au h i h) würden si h ziemli h si her mit der Million begnügen. Ein rationaler Spieler, wie wir ihn deniert haben, würde si h dagegen für den Münzwurf ents heiden, denn das ergibt ja 1 050 000 EUR als erwarteten Gewinn. Deshalb könnte der Begri rationaler Spieler na h unserer Denition zunä hst ungünstig bzw. ni ht sinnvoll ers heinen. In der Ents heidungstheorie und in Teilen der Spieltheorie (jedo h ni ht in der Theorie der Nullsummenspiele) kann man dies dur h die Einführung einer Nutzenfunktion korrigieren, die für jeden Betrag sagt, wie groÿ sein Nutzen (was immer das bedeutet) für uns ist. Die meisten von uns würden vermutli h

keinen

doppelt so groÿen Nutzen von den 2,1 Millionen wie von

3.1 Nullsummenspiele

39

te Strategie p wählen, die diesen Wert auf der re hten Seite von (3.5) ergibt. Satz 3.1 sagt allerdings ni ht, wie man diesen Wert des Spiels bere hnet und die Strategien ndet, die dem Glei hgewi htspunkt entspre hen. Für den Fall von (2 × 2)-Matrizen gibt es zur Lösung des Problems das folgende Rezept.12 Nehmen wir an, dass die Elemente der Matrix a, b, c und d sind, wobei a ≥ b ≥ c ≥ d ist. Dann müssen a und b entweder in der glei hen Zeile, der glei hen Spalte oder der glei hen Diagonale liegen, was drei unters hiedli he Fälle ergibt: 1. Wenn a und b in der glei hen Zeile liegen, ist es selbstverständli h, dass A diese Zeile wählt, denn unabhängig davon, wel he Spalte B wählt, verdient A bei dieser Zeile mehr als bei der anderen. Genauso selbstverständli h ist es, dass B die Spalte wählt, die das Element b enthält. Der Wert des Spiels ist deshalb b. 2. Wenn a und b in der glei hen Spalte liegen, sollte B die andere Spalte wählen, was dazu führt, dass A die Zeile wählen sollte, die c enthält. Damit ergibt si h c als Wert des Spiels. 3. Der Fall, bei dem a und b in der glei hen Diagonale stehen, ist der interessanteste, denn dann müssen beide Spiele gemis hte Strategien wählen. In der glei hen Zeile wie a bendet si h entweder c oder d, was wiederum zwei Fälle ergibt: 3.1. Wenn a und c in der glei hen Zeile liegen, ist die Maximin-Strategie von A so deniert, dass diese Zeile mit der Wahrs heinli hkeit13 b−d (b − d) + (a − c)

gewählt wird, und die andere Zeile mit der Wahrs heinli hkeit a−c . (b − d) + (a − c)

Die Minimax-Strategie von B ist, die Spalte, die a und d enthält, mit Wahrs heinli hkeit der einen Million haben, und unter diesem Bli kwinkel ist es ganz ri htig, si h mit der einen Million zu begnügen. 12 Es lohnt si h, einen Moment innezuhalten und das Spiel zu analysieren, denn dieses Beispiel ist äuÿerst lehrrei h! 13 Die folgenden Formeln kann man si h nur s hwer merken. Eine einfa here Mögli hkeit ist, si h das folgende S hema einzuprägen: A wählt die Zeile, die a und c enthält, mit einer sol hen Wahrs heinli hkeit p, dass es (im Sinne des Erwartungswertes) keine Rolle mehr spielt, für wel he Spalte si h B ents heidet. Wenn B die Spalte mit a und d wählt, wird sein erwarteter Verlust p a + (1 − p) d, und wenn er die andere Spalte wählt, ist der erwartete Verlust p c + (1 − p) b. Wenn wir diese Ausdrü ke glei hsetzen (d. h. p a + (1 − p) d = p c + (1 − p) b) und na h p auösen, b−d erhalten wir p = (b−d)+(a−c) .

40

3 Spieltheorie

b−c (b − c) + (a − d)

zu wählen, und die andere mit Wahrs heinli hkeit a−d . (b − c) + (a − d)

Der Wert des Spiels wird damit zu

a(b − d) + d(a − c) . (b − d) + (a − c)

3.2. Wenn si h a und d in der glei hen Zeile benden, ist die Lösung die glei he, mit dem Unters hied, dass c und d ihre Rollen in allen Termen von 3.1 vertaus hen. Der Wert des Spiels wir damit zu a(b − c) + c(a − d) . (b − c) + (a − d)

Dass diese Vorgehensweise wirkli h den ri htigen Wert des Spiels ergibt, ist im Fall 1 und 2 völlig klar, im dritten Fall jedo h weniger oensi hli h. Man kann den Fall 3 überprüfen, indem man untersu ht, ob einer der Spieler seinen erwarteten Gewinn dur h Abwei hen von der vorges hlagenen Glei hgewi htslage verbessern kann. Das erweist si h als unmögli h. Im Fall meines Spiels mit Eri sehen wir, dass a (d. h. in diesem Fall 200) und b (d. h. 100) auf der glei hen Diagonale liegen. Aus den Formeln in 3.1 folgern wir, dass B (also i h) als Minimax-Strategie die erste Spalte (d. h. 7 wählen 100 Kronen in den Ums hlag zu legen) mit Wahrs heinli hkeit 12 muss, und die andere Spalte (200 Kronen in den Ums hlag) mit der übrigen 5 Wahrs heinli hkeit 12 . Wenn au h Eri seiner Maximin-Strategie folgt, wird sein erwarteter Gewinn E[X] =

200 · 250 − 150 · 350 25 a(b − d) + d(a − c) = = − , (b − d) + (a − c) 250 + 350 6

d. h. ein erwarteter Verlust von 4 Kronen und 17 Öre. Bea hte auÿerdem: Wenn i h den Betrag im Ums hlag entspre hend meiner Minimax-Strategie wähle (was i h tat), spielt es keine Rolle für den erwarteten Gewinn von Eri , wel hen Betrag er rät: Wenn er 100 Kronen rät, wird sein erwarteter Gewinn E[X] =

7 12

· 100 +

5 12

· (−150) = −

25 ≈ −4,17 Kronen, 6

während die Wahl von 200 Kronen im Dur hs hnitt E[X] =

7 12

· (−150) +

5 12

· 200 = −

25 ≈ −4,17 Kronen 6

ergibt.14 14

Wie es am Ende ausging? Ob Eri mitspielte? Was er in diesem Fall wählte und

was si h dann im Ums hlag befand? Das will i h aus steuerli hen Gründen ni ht näher darlegen.

3.2 Nullsummenspiele mit mehreren Ents heidungss hritten

41

(2 × 2) (3 × 3) lassen

Jetzt haben wir gelernt, wie wir Nullsummenspiele der Dimension behandeln sollten. Au h Spiele der Dimensionen

(3 × 2)

und

si h von Hand analysieren  siehe dazu den Klassiker Williams (1954), der

Nullsummenspiele sehr ausführli h und ohne irgendwel he fortges hrittene Mathematik behandelt. Gröÿere Matrizen sind s hwieriger und sollten vor-

15 , vorausgesetzt, sie

teilhafterweise Computerprogrammen überlassen werden sind ni ht

allzu

groÿ. Im nä hsten Abs hnitt werden wir auf einige Auszah-

lungsmatrizen stoÿen, die so groÿ sind, dass kein Computer der Welt au h nur annähernd die Kapazität besitzt, die zur Bere hnung der Glei hgewi htslage benötigt wird.

3.2 Nullsummenspiele mit mehreren Ents heidungss hritten Es

wäre dur haus verständli h, wenn man vom endli hen Zwei-Spieler-

Nullsummenspiel den Eindru k hat, dass dieses eine re ht begrenzte Klasse von Spielen darstellt  denn es gehört zu den Voraussetzungen, dass jeder der Spieler nur einen einzigen Zug ma hen darf, und die Züge beider Spieler glei hzeitig erfolgen müssen, ohne die Aktion des Gegners zu kennen. Das s heint die meisten Spiele mit dynamis herem Charakter auszus hlieÿen, bei denen die Spieler eine Folge von Ents heidungen treen müssen, und das Spiel dabei immer weiter forts hreitet, so dass au h Anpassungen der eigenen Strategie an die Ents heidungen des Gegners vorzunehmen sind. Allerdings sind diese Eins hränkungen ni ht ganz so groÿ, wie man zunä hst glauben mö hte, weil viele dieser sequentiellen Spiele so umformuliert werden können, dass sie in die bisher bes hriebene Theorie passen. Sehen wir uns an, wie zwei unserer beliebtesten Gesells hafts- und Wettbewerbsspiele, S ha h und Bridge, in

16

diesem Sinne bes hrieben werden können.

•

S ha h

sieht auf den ersten Bli k ganz und gar ni ht so aus, als ob es

zur oben denierten Klasse der endli hen Zwei-Spieler-Nullsummenspiele gehören könnte. Bei diesem Spiel erfolgen die Züge der beiden Spieler na heinander, d. h. unter Kenntnis der früheren Züge des Gegners. Nehmen wir für einen Augenbli k an, dass eine S ha hpartie beendet wird, na hdem S hwarz seinen ersten Zug gesetzt hat (und dass es Regeln gibt, die auf Grund der dabei entstandenen Stellung das Resultat der Partie festlegen). Selbst dann ist es s hwierig, S ha h als Zwei-SpielerNullsummenspiel aufzufassen, weil S hwarz seinen (einzigen) Zug mit Wissen des Erönungszuges von Weiÿ gespielt hat. Die vers hiedenen Mögli hkeiten von Weiÿ sind in diesem Spiel Bauer na h e4, Bauer na h d4,

15

Speziell mit Hilfe der so genannten Simplexmethode für lineare Optimierungs-

probleme, siehe Owen (2001). 16 In Fuÿnote 22 auf Seite 44 ist genauer bes hrieben, dass Wettbewerbsbridge ni ht in ein Zwei-Spieler-Nullsummenspiel umformuliert werden kann.

42

3 Spieltheorie Springer na h f3 und die übrigen 17 zugelassenen Erönungszüge. Gehen wir davon aus, dass jeder dieser 20 vers hiedenen Erönungszüge eine Reihe der Auszahlungsmatrix darstellt. Für jeden dieser Erönungszüge hat S hwarz exakt 20 vers hiedene Antwortzüge. Allerdings kann S hwarz seine Antwort unter Berü ksi htigung des Zuges von Weiÿ vornehmen, so dass wir seine unters hiedli hen Spielmögli hkeiten als Strategien folgenden Typs annehmen wollen: Wenn Weiÿ den Bauer na h e4 setzt, spiele i h Bauer auf 5. Setzt Weiÿ stattdessen den Bauern auf d4, spiele i h Springer auf f6. Wenn Weiÿ stattdessen ... und so weiter mit der Spezikation der Antwortzüge auf jeden mögli hen Erönungszug von Weiÿ. Eine sol he Strategie wollen wir als eine Spalte der Auszahlungsmatrix denieren. Damit wird die Anzahl der Spalten 20

bedeutend gröÿer als die Anzahl der Zeilen  es ergeben si h genau

20

17 , was uns davon abs hre kt, die Auszahlungsmatrix niederzu-

Spalten

s hreiben  aber es wird no h s hlimmer kommen! Jetzt lassen wir die Annahme fallen, dass die Spieler jeweils nur einen Zug haben, und beginnen eine normale S ha hpartie. Eine Zeile in unserer Auszahlungsmatrix wird damit aus einer vollständigen Spezikation aller weiÿen Züge bei jeder Stellung, die man si h in der Partie denken kann, bestehen. Es gibt eine absolute obere Grenze dafür, wie lang eine

18 , und deshalb ist die Anzahl der mögli hen

S ha hpartie werden kann

Stellungen endli h, was wiederum dazu führt, dass die Anzahl der Zeilen der Auszahlungsmatrix endli h ist. Endli h aber groÿ  unvorstellbar groÿ! Die Anzahl der mögli hen Stellungen führt bei einfa hen S hätzungen auf 20 eine Gröÿenordnung von mindestens 10 , und bei den meisten dieser Stellungen hat Weiÿ eine ganze Reihe unters hiedli her Züge zur Auswahl, so 20 1010 oder mehr wird.19 Diese Zahl kann z. B.

dass die Anzahl der Spalten

mit der Anzahl der Elementarteil hen im bekannten Universum vergli hen 80 werden, für die übli herweise 10 als (sehr grober) Näherungswert ange-

17

Das ist eine wirkli h sehr groÿe Zahl: 2020 = 104 857 600 000 000 000 000 000 000. Wir nehmen hier an, dass die Spieler die so genannte 50-Zug-Regel bea hten, die besagt, dass, wenn innerhalb von 50 Zügen kein Stein ges hlagen und kein Bauer gezogen wurde, die Partie dann mit Remis endet. Die obere Grenze liegt damit in der Gröÿenordnung von 10 000 Zügen. 19 Wir nehmen hierbei an, dass die Wahl des Zuges von Weiÿ in einer bestimmten Stellung nur genau auf dieser Stellung beruht, und ni ht vom bisherigen Spielverlauf abhängt, d. h., dur h wel he Züge die jeweilige Situation entstanden ist. Lassen wir auÿerdem zu, dass Weiÿ die Vorges hi hte berü ksi htigt, wird die Anzahl der Zeilen 20 der Matrix so groÿ, dass au h eine Zahl wie 1010 im Verglei h dazu vers hwindend klein ers heint. Wer si h mit no h gröÿeren Zahlen bes häftigen und unterhalten mö hte, dem empehlt si h ein näheres Studium der so genannten A kermannfunktion, siehe z. B. Graham & Spen er (1990) oder Conway & Guy (1996). 18

3.2 Nullsummenspiele mit mehreren Ents heidungss hritten

43

80 geben wird. 10 ist mit Si herheit eine sehr groÿe Zahl, aber im Verglei h 1020 zu 10 ers heint sie lä herli h klein! Stellen wir die Spielstrategie von S hwarz auf die glei he Weise dar, erhalten wir eine groÿe, aber endli he Anzahl von Spalten in unserer Auszahlungsmatrix. Jede Kombination von Zeilen und Spalten deniert eine S ha hpartie, wobei wir für jede Endstellung das Ergebnis für Weiÿ),

0

(unents hieden), oder

−1

+1

(Gewinn

(Gewinn für S hwarz) ablesen kön-

nen. Dieses Ergebnis ist ein Element der s hwindelerregend groÿen Auszahlungsmatrix. Mit Hilfe von von Neumanns Minimax-Satz können wir s hlussfolgern, dass S ha h (von zwei perfekten Spielern ausgeübt) einen wohldenierten Wert besitzt.

•

20

Bridge besitzt weitere Komplikationen, die über die von S ha h hinaus-

gehen. Die erste ist, dass die Anzahl der Spieler dieses Spiels vier beträgt. Diese vier Spieler sind als zwei Paare (NordSüd, beziehungsweise OstWest) gruppiert und sollen versu hen, einander zu besiegen. Das zwei-

21 zufällig ist, und dass

te Problem besteht darin, dass die Ausgangslage

keiner der Spieler während des Spiels (zumindest während des einleitenden Ges hehens) die vollständige Kenntnis über diese Ausgangslage besitzt. Für

jeden

der

vier

Spieler

können

wir,

wie

beim

S ha hspiel,

eine

(ni ht-randomisierte) Spielweise denieren, die als vollständige Spezikation dient, wie die Spieler bieten oder spielen sollen. Dabei werden alle zugängli hen Informationen (die eigenen Karten, die Karten des Strohmanns, das gesamte Bietges hehen und der bisherige Spielverlauf ) berü ksi htigt. Insgesamt ergeben si h dabei endli h viele Spielmögli hkeiten. Eine Spielmögli hkeit eines Paares  nehmen wir NordSüd an  besteht aus einer Kombination der beiden einzelnen Spielweisen der Spieler Nord und Süd. Damit gibt es für NordSüd endli h viele Spielmögli hkeiten, die wir als

20

S ha h, ebenso wie andere Spiele, bei denen die Spieler alternierend ihre Züge spielen, wobei die vollständige Information über den bisherigen Spielverlauf genutzt werden kann, kann alternativ (und in gewisser Hinsi ht eektiver) mit einem so genannten Spielbaum statt einer Auszahlungsmatrix analysiert werden. Aus einer sol hen Analyse folgt, dass S ha h entweder den Wert +1, 0 oder −1 besitzt, also keinen gebro henen Wert dazwis hen annehmen kann (siehe Binmore, 1992). Im Übrigen kann jede mögli he Stellung mit einer dieser drei Zahlen bewertet werden. Bemerkenswerterweise gibt es keinen mathematis hen Beweis dafür, dass der Wert der Ausgangsstellung mindestens 0 ist, d. h. dass Weiÿ bei perfektem Spiel mindestens ein Remis errei hen kann; obwohl Groÿmeister, mit denen i h darüber gespro hen habe, dies als oensi htli h eins hätzen. Watson (1998) hat das Interesse an dieser Fragestellung no h verstärkt, indem er behauptet, dass der Wert genau 0 sein muss. 21 Eine Ausgangslage ist eine Verteilung der 52 Karten auf 4 Hände, wobei jede 52! Hand 13 Karten enthält. Die Anzahl der mögli hen Ausgangslagen ist (13!) 4 . (Man könnte auÿerdem berü ksi htigen, wer die Karten gibt und wie die Zonen liegen; aber diese Dinge sind allen Spielern bekannt und können in der Analyse deshalb als fest angenommen werden.)

44

3 Spieltheorie Zeilen der Auszahlungsmatrix denieren, während si h die Spalten analog dazu als mögli he Strategien der OstWest Spieler ergeben. Wenn die Spielweise von NordSüd und OstWest gegeben ist, denieren wir ein Element der Auszahlungsmatrix als Mittelwert der Gewinnpunkte, die Nord Süd unter Berü ksi htigung aller Ausgangslagen erhält, wenn die gegebene Spielweise auf die jeweilige Ausgangslage angewendet wird (der einfa he Mittelwert rei ht, da alle Ausgangslagen die glei he Wahrs heinli hkeit besitzen, wenn das Kartenspiel gut gemis ht ist). Wieder garantiert von Neumanns Minimax-Satz, dass das Spiel einen wohldenierten Wert besitzt.22 Die Auszahlungsmatrix ist au h in diesem Spiel sehr groÿ  interessierte Leserinnen und Leser kann versu hen herauszunden, ob sie gröÿer oder kleiner als beim S ha h wird.

Charakteristis h und damit Voraussetzung für eine Umformulierung der beiden Spiele S ha h und Bridge ist, dass eine Folge von Ents heidungen (perfekter) rationaler Spieler zu einer einzigen groÿen Ents heidung komprimiert wird, bei der die Spieler im Vorfeld bestimmen, was sie in jeder mögli hen Spielsituation tun werden. Wenn wir jedo h versu hen zu verstehen, wie gewöhnli he Mens hen in sol hen Spielen handeln  statt den perfekten Spieler zu betra hten , ist diese Art der Komprimierung kein gutes Modellierungswerkzeug, weil viele der physiologis hen Prozesse und Rü kkopplungen verloren gehen, die es in der wirkli hen Spielsituation gibt. Sieht man von psy hologis hen Aspekten ab und hält si h an den perfekten rationalen Spieler, kann man si h glei hwohl fragen, ob es tatsä hli h ein Forts hritt ist, dass S ha h und Bridge in der Theorie in die Klasse der Zwei-Spieler-Nullsummenspiele eingeordnet werden können. Wiegt es ni ht viellei ht s hwerer, dass es in diesen Fällen in der Praxis ni ht mögli h ist, die Spieltheorie zur Ermittlung der optimalen Strategie heranzuziehen? Zur Verteidigung der Spieltheorie kann man sagen, dass die groÿe Komplexität von S ha h und Bridge vermutli h notwendig war, um  in Konkurrenz mit unzähligen anderen Spielen  die Ausbreitung und Stellung zu errei hen, die diese beiden Spiele heute besitzen. Wenn es mögli h gewesen wäre, sie bis ins Detail zu analysieren (wie im Falle einfa herer Spiele, wie S hereSteinPapier oder Ti Ta Toe), hätten sie kaum Weltmeisters haften hervorgebra ht und hunderttausende von Anhängern auf der ganzen Welt gefunden. 22 Weil si h Nord und Süd im Vorfeld abstimmen dürfen, können sie au h einen gemeinsamen Zufallszahlgenerator zur Ents heidung über ihre Strategie verwenden. Somit gibt es hinsi htli h der Wahl ihrer gemis hten Strategie keine Eins hränkung. Im Wettbewerbsbridge gibt es jedo h Regeln, wel he Bietsysteme angewendet werden dürfen, und dass diese im Vorfeld oengelegt werden müssen. In unserem Zusammenhang können diese Regeln so gedeutet werden, dass ausges hlossen ist, dass Nord und Süd jeweils unabhängig voneinander randomisieren. Somit fällt Wettbewerbsbridge ni ht in die Klasse von Spielen, für die von Neumanns Minimax-Satz gilt.

3.2

Nullsummenspiele mit mehreren Ents heidungss hritten

45

⋄ ⋄ ⋄ ⋄ Na hdem wir festgestellt haben, dass S ha h und Bridge fast zu s hwierig sind, um in der Praxis mit Hilfe von Auszahlungsmatrizen vollständig analysiert werden zu können, untersu hen wir jetzt ein etwas einfa heres Beispiel: das Spiel mit dem Auto und den Ziegen aus Kapitel 2 (Problem 2.2). Die beiden Spieler sind einerseits Moderator M und andererseits der Teilnehmer T. Berü ksi htigen wir die Ents heidung des Moderators M, wo das Auto stehen soll, besteht das Spiel aus vier S hritten: 1. M wählt aus, hinter wel hem der drei Tore

L1 , L2

oder

L3

das Auto stehen

soll. 2. T wählt eines der Tore. 3. M önet ein Tor, das T ni ht gewählt hat und hinter dem das Auto ni ht steht. (Hat T ein Tor mit Ziegen gewählt, gibt es für M keine Wahl. Hat T jedo h das Tor mit dem Auto gewählt hat, besitzt M zwei Mögli hkeiten, zwis hen denen er wählen kann.) 4. T ents heidet, ob er bei seinem Tor bleibt oder zum anderen ungeöneten Tor we hselt. In glei her Weise wie bei S ha h und Bridge kann dieser Vier-S hritt-Prozess so umformuliert werden, dass M und T nur jeweils

•

eine

Ents heidung treen:

M ents heidet, hinter wel hes der drei Tore er das Auto stellt, und legt glei hzeitig fest, wel hes andere Tor er önet, wenn si h T im obigen S hritt 2 für das Tor mit dem Auto ents heidet. Insgesamt ergibt dies

(1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1) und (3, 2), woLi gestellt wird; und Tor Lj geönet werden soll.

für M se hs Mögli hkeiten bei

(i, j)

bedeutet, dass das Auto hinter das Tor

wenn T dieses wählt, das

•

T wählt ein Tor

Lj ,

Li

und ents heidet auÿerdem für jedes der beiden anderen

Lj önet  wird er zum Li bleiben (b)? Dies ergibt für T zwölf mögli he Varianten, die wir mit 1bb, 1bw, 1wb, 1ww, b2b, b2w, w2b, w2w, bb3, bw3, wb3 und ww3 bezei hnen, wobei z. B. 1bw bedeutet, wähle L1 , bleibe dabei, wenn M das Tor L2 önet, aber we hsle das Tor, wenn M das Tor L3 önet. Die Variante b2b bedeutet wähle L2 und bleibe dabei, unabhängig davon, ob M das Tor L1 oder L3 önet. Tore, z. B.

was er tun wird, wenn M das Tor

dritten Tor we hseln (w) oder bei

Wenn wir annehmen, dass das Auto den Wert 1 und die Ziegen den Wert 0 besitzen, so kann das Spiel dur h die Auszahlungsmatrix in Abb. 3.5 repräsentiert werden. Es wäre ziemli h aufwändig, diese Auszahlungsmatrix ohne unsere früheren Erkenntnisse zu analysieren. Mit Hilfe der Resultate, die wir im Abs hnitt 2.3 gewonnen haben, können wir jedo h die Glei hgewi htsstrategien erraten, und ans hlieÿend ihre Ri htigkeit überprüfen. Zur Abwe hslung beginnen wir damit, das Spiel aus dem Bli kwinkel des Moderators zu betra hten. Im Abs hnitt 2.3 wurde vorges hlagen, dass er,

46

3 Spieltheorie

(1, 2) (1, 3) (2, 1) (2, 3) (3, 1) (3, 2) 1bb

1

1

0

0

0

0

1bw

1

0

1

1

0

0

PSfrag repla ements 1wb

0

1

0

0

1

1

1ww

0

0

1

1

1

1

b2b

0

0

1

1

0

0

b2w

1

1

1

0

0

0

w2b

0

0

0

1

1

1

w2w

1

1

0

0

1

1

bb3

0

0

0

0

1

1

bw3

1

1

0

0

1

0

wb3

0

0

1

1

0

1

ww3

1

1

1

1

0

0

Abb. 3.5. Die Auszahlungsmatrix für das Auto-Ziegen-Spiel.

um die Ents heidung für T so s hwer wie mögli h zu ma hen, das Auto auf gut Glü k hinter eines der Tore stellen sollte (also hinter jedes mit Wahr1

s heinli hkeit 3 ). Auÿerdem soll M, wenn T das Tor mit dem Auto auswählt, eines der beiden anderen Tore wiederum auf gut Glü k (mit jeweils der Wahr1

s heinli hkeit 2 ) auswählen. Das bedeutet, dass M jede der se hs Spalten der 1 1 1 Auszahlungsmatrix in Abb. 3.5 jeweils mit der Wahrs heinli hkeit 3 · 2 = 6 auswählt.

Wählt T nun eine bestimmte Zeile der Matrix, so bedeutet die gemis hte Strategie für M, dass der erwartete Gewinn für T der Mittelwert der se hs Elemente der Zeile ist. Die Zeilensumme (die hier glei h der Anzahl der Einsen ist) variiert in den unters hiedli hen Zeilen zwis hen 2 und 4, so dass T einen 4

2

erwarteten Gewinn von 6 = 3 erhalten kann, wenn er eine Zeile mit 4 Einsen wählt. Mehr kann der Teilnehmer T weder dur h die Wahl einer festen Zeile no h dur h Randomisation errei hen. Deshalb können wir s hlussfolgern, dass M mit seiner

( 61 , . . . , 16 )-Randomisierung garantieren kann, 2

Gewinn von T hö hstens 3 sein wird.

dass der erwartete

3.3

Können Egoisten zusammenarbeiten?

47

Wenn wir jetzt eine Spielweise für T nden, die ihm einen erwarteten Gewinn von mindestens 23 garantiert, haben wir eine Glei hgewi htslage und optimale Strategie für beide Spieler gefunden. Im Abs hnitt 2.3 plädierten wir dafür, dass T we hseln soll. Deshalb konzentrieren wir uns jetzt auf die Varianten 1ww, w2w und ww3. Keine dieser Varianten ist von vornherein besser als die anderen. Es ist jedo h sinnvoll, M in so groÿer Ungewissheit wie mögli h zu lassen, damit er die gemis hte Strategie verwendet, bei der 1ww, w2w und ww3 jeweils mit der Wahrs heinli hkeit 13 auswählt werden. Wählt M jetzt eine bestimmte Spalte, wird der erwartete Gewinn von T glei h dem Mittelwert der drei Elemente dieser Spalte, die in den Zeilen 1ww, w2w und ww3 liegen. Eine s hnelle Überprüfung zeigt, dass der Mittelwert in sämtli hen Spalten 23 ist. Somit ist der erwartete Gewinn für T immer 23 , wenn er si h für die ( 13 , 31 , 13 )-Randomisierung der Spalten 1ww, w2w und ww3 ents heidet. Unser Ergebnis ist das folgende: M kann errei hen, dass der erwartete Gewinn von T hö hstens 23 beträgt, und T kann einen Gewinn von mindestens (tatsä hli h exakt) 23 erzielen. Deshalb ergibt das vorges hlagene Paar von Strategien eine Glei hgewi htslage vom von Neumann-Typ. Dies stimmt mit dem überein, was wir im Abs hnitt 2.3 bereits vorges hlagen hatten: T soll we hseln und kann si h damit eine Gewinnwahrs heinli hkeit von 23 si hern. An dieser Stelle beenden wir unsere Diskussion. Wer von diesem Problem no h ni ht genug bekommen hat, dem empfehlen wir die Lektüre von D'Arino et al. (2002), der eine re ht exotis he Version dieses Spiels mit Anleihen aus der Quantenme hanik vorstellt. 3.3 Können Egoisten zusammenarbeiten?

Bei einem Nullsummenspiel sind die Interessen der beiden Spieler einander genau entgegen gesetzt: der Gewinn des einen ist glei h dem Verlust des anderen. Im wirkli hen Leben gibt es (glü kli herweise!) genügend Situationen, bei denen unsere Interaktionen mit den Mitmens hen ni ht einen sol hen antagonistis hen Charakter besitzen. Um dies zu modellieren, kann man si h in der Spieltheorie von der Nullsummenannahme wegbewegen. Gehen wir wieder von zwei Spielern A und B aus, wobei A aus m mögli hen Spielweisen A1 , . . . , Am und B aus n Spielmögli hkeiten B1 , . . . , Bn wählen kann. Der Unters hied zu den bisher betra hteten Spielen ist, dass jedes Element uij der Auszahlungsmatrix dur h ein Paar (u′ij , u′′ij ) ersetzt wird, wobei u′ij den Gewinn von A darstellt, wenn A die Variante Ai und B die Variante Bj spielt, und u′′ij für den Gewinn von B bei glei her Situation steht. Wenn wir z. B. u′′ij = −u′ij für alle i und j setzen, erhalten wir wieder das Nullsummenspiel. Die genau entgegengesetzte Situation liegt vor, wenn u′′ij = u′ij für alle i und j gilt und si h eine reine Zusammenarbeitssituation ergibt: was für A gut ist, ist au h für B vorteilhaft, und vi e versa. Um uns von der Denkweise des Nullsummenspiel zu lösen, bei dem beide Spieler notwendigerweise

48

3 Spieltheorie

B L

R

L

(−1, −1)

(−100, −100)

R

(−100, −100)

(+1, +1)

PSfrag repla ements A

Abb. 3.6.

Die Auszahlungsmatrix für eine reine Zusammenarbeitssituation.

dana h streben, den anderen zu übervorteilen bzw. zu bekämpfen, betra hten wir im Folgenden das Beispiel in Abb. 3.6. Ein kurzer Bli k auf die Matrix ergibt, dass es sowohl im Interesse von A als au h von B liegt, dass beide die Alternative R spielen, denn dann erhalten beide Spieler einen Euro als Gewinn, während alle anderen Ergebnisse zu Verlusten für beide führen.23 Wenn sie si h vor dem Spiel abstimmen können, werden sie diese Lösung ziemli h si her nden. Selbst wenn sie vorher ni ht miteinander reden, gelingt es ihnen wahrs heinli h trotzdem, dieses Spielergebnis herbeizuführen. Würdest Du selbst bei diesem Spiel gegen einen unbekannten Spieler mitspielen, wenn Du keine Gelegenheit hättest, vor dem Spiel mit ihm zu kommunizieren? Du selbst mö htest natürli h R spielen; aber viellei ht existiert do h ein geringes Risiko, dass der Mitspieler ni ht einsieht, dass au h er R spielen sollte. Das wäre dann sehr teuer für Di h. Wärest Du bereit, dieses Risiko zu tragen? Und was würdest Du sagen, wenn wir die Auszahlung von −100 auf −1 000 000 verändern? Würdest Du immer no h mitma hen? Vor dem Weiterlesen sollte man si h ruhig etwas Zeit nehmen und über diese Fragen na hdenken. I h wage zu behaupten, dass die meisten Leserinnen und Leser dieses Spiel viele Male gespielt haben, mit Mitspielern, die sie ni ht kannten, und mit denen sie keine Gelegenheit zur vorherigen Kommunikation hatten. Wir können uns dieses Spiel nämli h als Modell dafür denken, dass si h zwei Autofahrer auf einer sonst leeren Landstraÿe von entgegengesetzten Ri htungen nähern. Sie haben die Wahl, si h re hts (R) oder links (L) zu halten. Wenn beide re hts fahren, ist alles in Ordnung (+1 für beide). Wenn beide links fahren, wird es 23 Man sollte au h bea hten, dass es bei reinen Zusammenarbeitssituationen wie dieser keine Veranlassung zur Randomisation der eigenen Strategie gibt. Für eine Randomisierung ents heidet man si h (wie wir bei mehreren unters hiedli hen Beispielen im Zusammenhang mit Nullsummenspielen gesehen haben), um dem Gegner die Vorhersage zu ers hweren, was man selbst spielen wird  warum sollte man das in einer Situation tun, in der die Interessen beider Spieler glei h sind?

3.3 Können Egoisten zusammenarbeiten?

49

etwas turbulent, aber sonst ist alles in Ordnung (−1 für beide). Hält si h der eine jedo h re hts und der andere links, gibt es eine Katastrophe (−1 000 000 für beide). Ohne Zweifel eine riskante Situation! Die Erklärung dafür, dass wir bei diesem lebensgefährli hen Spiel mitma hen, liegt vermutli h zum groÿen Teil darin, dass es im Vorfeld eigentli h do h Gelegenheit zur Kommunikation mit dem anderen gab. Sobald das andere Auto in Si htweite ist, begeben wir uns na h re hts, und signalisieren damit unsere Bereits haft, au h beim Treen selbst re hts zu fahren. Man kann hinzufügen, dass alle (s hwedis hen) Autofahrer in gewisser Weise ein kollektives Abkommen ges hlossen haben, si h in der vorliegenden Verkehrssituation re hts zu halten.24

⋄ ⋄ ⋄ ⋄

S hwieriger ist die Situation des Spiel in Abb. 3.7, die weder ein Nullsummenspiel no h eine reine Zusammenarbeitssituation ist. Betra hten wir das Spiel aus Annas Bli kwinkel. Wenn Björn Z spielt (Z wie Zusammenarbeit) wird Annas Gewinn 3 oder 5, abhängig davon, ob sie Z oder V (V wie Verrat) spielt. In diesem Fall gewinnt sie mehr, wenn sie V spielt. Nehmen wir stattdessen an, dass Björn V spielt, so wird Annas Gewinn 0 oder 1, je na hdem, ob sie si h für Z oder V ents heidet; wiederum ist V die bessere Wahl für sie. Wir können deshalb s hlussfolgern: unabhängig davon, was Björn spielt, ist es für Anna besser, V statt Z zu spielen. In der Spieltheorie sagt man V dominiert Z, wenn Anna unabhängig von der Spielweise Björns mit V einen höheren Gewinn als mit Z erzielt. Björn

PSfrag repla ements

Z

V

Z

(3, 3)

(0, 5)

V

(5, 0)

(1, 1)

Anna

Abb. 3.7. Auszahlungsmatrix für das Spiel, das als Gefangenen-Dilemma be-

zei hnet wird.

Björn kann seine Situation auf dieselbe Weise analysieren und kommt au h zum Ergebnis, dass er V spielen sollte, denn das Spiel ist symmetris h. Damit 24

Eine andere Erklärung könnte sein, dass wir Mens hen uns darin übers hätzen,

Risiken sol hen Typs ri htig zu beurteilen; siehe Slovi et al. (1982).

50

3 Spieltheorie

ist die Sa he klar: beide spielen V, die Auszahlung wird (1, 1), d. h. sie gehen jeder mit einem Euro in der Tas he na h Hause. Aber jetzt kommt der Haken: Was wäre, wenn Anna und Björn stattdessen jeweils Z gespielt hätten?! In diesem Fall wäre die Auszahlung sogar (3, 3) gewesen, und beide wären deutli h rei her. Deshalb sollten sie vor dem Spiel vereinbaren, dass beide Z spielen. Wenn es dann aber darauf ankommt, steht Anna vor der Versu hung, ihr Verspre hen zu bre hen und stattdessen V zu spielen, um ni ht weniger als 5 Euro mit na h Hause zu nehmen (quasi ein Ja kpot!). Und übrigens, kann sie Björn wirkli h trauen, dass er sein Wort hält und Z spielt? Er steht ja vor derselben Versu hung. Wenn er sie täus ht und V spielt, während sie Z wählt, dann geht sie mit leeren Händen na h Hause. Viellei ht ist es dann do h am besten, dass sie zur Si herheit V spielt, um wenigstens einen Euro Gewinn zu erhalten? Ja, so wird es wohl sein. Und Björn ma ht natürli h genau dasselbe, und damit sind wir wieder am Anfang: Die Spieler erhalten die Auszahlung (1, 1) obwohl sie beide daran hätten verdienen können, wenn sie zur Lösung (3, 3) gekommen wären. Dieses Spiel wird als Gefangenen-Dilemma bezei hnet (oder im Englis hen prisoner's dilemma ). Die Metapher, die zu diesem Namen geführt hat, ist zunä hst etwas verwirrend25, so dass wir stattdessen eine andere Interpretation des Dilemmas verwenden, wel hes Hofstadter (1985) entnommen ist: Björn hat einen guten Zugang zu einer gewissen Ware, die Anna gerne kaufen mö hte, und beide sind si h über den Preis einig geworden. Aus irgendeinem Grund muss das Ges häft jedo h heimli h stattnden, und die beiden dürfen unter keinen Umständen in gegenseitiger Gesells haft angetroffen werden. Deshalb haben sie folgendes vereinbart: An einem gewissen Platz, drauÿen im Wald, und zu einem bestimmten Zeitpunkt legt Björn eine Tas he mit der Ware ab; glei hzeitig legt Anna eine Tas he mit Geld an einem anderen abgespro henen Platz ab. Wenn das getan ist, können sie die jeweils andere Tas he holen, womit beide ein gutes Ges häft gema ht haben. Anna kann jedo h versu ht sein, statt einer vollen Tas he mit Geld, eine leere Tas he abzulegen, denn dann erhält sie ihre Ware völlig kostenlos. (Das ist ohne jegli hes Risiko, denn Björn kann sie, auf Grund der Geheimhaltung des Ges häftes, im Na hhinein ni ht verklagen, no h auf irgendeine andere Art und Weise bestrafen.) Auÿerdem muss sie damit re hnen, dass Björn der glei hen Versu hung erliegt  keine Ware zu hinterlegen  und sie in diesem Fall ni ht ohne Geld und ohne Ware dastehen will. Unabhängig davon, was Björn 25 Der Name des Spiels ergibt si h aus der folgenden Situation. Anna und Björn wurden verhaftet und eines s hweren Raubes verdä htigt. Sie werden von der Polizei getrennt verhört. Anna erfährt, dass, wenn sie beide die Tat zugeben, jeder 5 Jahre Gefängnis erhält. Wenn nur einer die Tat zugibt, erhält er oder sie eine verminderte Strafe von einem Jahr, während der andere 10 Jahre hinter Gitter muss. Wenn beide die Tat leugnen, können sie nur für illegalen Waenbesitz verurteilt werden, worauf 2 Jahre Gefängnis stehen. Björn erhält im anderen Raum die glei he Information. Was soll Anna tun? (Z bedeutet hier Zusammenarbeit mit dem Mittäter, also ni ht mit der Polizei.)

3.3 Können Egoisten zusammenarbeiten?

51

ma ht, ist es also besser für Anna, eine leere Tas he abzulegen (V zu spielen) statt eine mit Geld (Z zu spielen). Auf die glei he Weise erkennt Björn, dass es für ihn besser ist, eine leere Tas he zu hinterlegen (V) statt eine mit der ausgelobten Ware (Z). Es sieht also so aus, dass sowohl Anna als au h Björn V spielen werden, was glei hbedeutend damit ist, dass kein Ges häft zustande kommt. Das ist natürli h ungünstig, denn beide hätten ja etwas gewonnen, wenn sie auf ihre Übereinkunft (Z zu spielen) vertraut hätten. Es liegt hier eine Situation vor, in der die einzelnen Spieler, wenn sie selbstsü htig jeweils ihren eigenen Gewinn optimieren, in eine s hle htere Lage kommen, als wenn es ihnen gelingt, dur h Zusammenarbeit die für beide optimale Lösung zu nden. Situationen diesen Typs sind alltägli h. Reinigt man den Was hraum, na hdem man ihn benutzt hat (Z), oder hinterlässt man ihn s hmutzig (V)? Lässt man einen anderen Autofahrer in die eigene Spur we hseln, wenn es für ihn notwendig ist (Z), oder hält man seinen Platz in der Spur (V)?26 Keiner verdient selbst an sol hen Aufopferungen, aber alle würden daran verdienen, wenn sie si h gemeinsam beteiligen. Ein glei hartiges  eher ers hre kendes, aber ni ht weniger realistis hes  Dilemma handelt von zwei (oder mehreren) ethnis hen Gruppen innerhalb eines begrenzten geographis hen Gebietes, die davon protieren würden, in friedli her Koexistenz zu leben; die jedo h bewanete Angrie bis hin zum Völkermord beginnen, aus Angst, dass die Gegenpartei vor ihnen dasselbe tun könnte. Es ist oenbar von gröÿter Bedeutung, dass wir konstruktive Mögli hkeiten nden, um mit Situationen vom Typ des Gefangenen-Dilemmas sinnvoll umzugehen. Deshalb sollten wir uns weiter mit Lösungsvors hlägen des Gefangenen-Dilemmas bes häftigen. Zuvor wollen wir jedo h einen Abste her in die allgemeine Theorie der Lösung von Ni ht-Nullsummenspielen ma hen.

⋄ ⋄ ⋄ ⋄ Das wi htigste mathematis he Ergebnis der Theorie der endli hen Ni htzweier Spieler ist die Existenz von so genannten NashGlei hgewi hten, die 1950 vom amerikanis hen Mathematiker John Nash be-

Nullsummenspiele

26

Im Verglei h zum Gefangenen-Dilemma sind diese beiden Beispiele komplizier-

ter, weil es viele Spieler gibt und ni ht nur zwei. Ein Dilemma vom glei hen Typ ist die

Tragödie der Allgemeinheit (the tragedy of the ommons), die z. B. als Bild für

unsere globalen Umweltprobleme verwendet wird. Die Allgemeinheit sei das A kerund Weideland, das die Bauern aller Dörfer frei nutzen können. Wenn jeder nur seinen eigenen Vorteil sieht und das Land auf Kosten der Allgemeinheit maximal ausbeutet, wird es immer weniger Ertrag bringen (zum S hluss überhaupt keinen mehr) und die Bauern werden mehr und mehr verarmen. Stattdessen sollte der Einzelne seine Nutzung im Interesse der Allgemeinheit begrenzen. Im Artikel von Rothstein (2003) werden ähnli he Dilemmata behandelt, deren S hwerpunkt auf den notwendigen Strukturen liegt, bei denen die Spieler ihre Verantwortung für die metaphoris he Allgemeinheit wahrnehmen.

52

3 Spieltheorie

wiesen wurde.27 Ein Nash-Glei hgewi ht ist ein Paar eventuell gemis hter Strategien p und q der Spieler A und B, mit der Eigens haft, dass, wenn A die Strategie p und B die Strategie q anwendet, für keinen der beiden Spieler ein Anreiz besteht, auf eigene Faust von der gewählten Strategie abzuwei hen. Diese Situation begegnete uns bereits in von Neumanns Minimax-Satz (Satz 3.1). Wenden wir Nashs Ergebnis auf den Spezialfall von Nullsummenspielen an, führt das tatsä hli h auf Satz 3.1. Nashs Resultat ist somit eine Verallgemeinerung des Satzes von von Neumann. Es gibt immer mindestens ein Nash-Glei hgewi ht, so dass die nä hste Frage ist, ob es mehrere sol her Glei hgewi hte geben kann. Wie wir bereits im Ans hluss an von Neumanns Minimax-Satz feststellen konnten, existieren in der Klasse der Nullsummenspiele Fälle mit mehreren sol her Glei hgewi htslagen. Die Frage kann also bejaht werden. Sehen wir von der Nullsummenannahme ab, ergibt si h jedo h als neues Phänomen, dass die vers hiedenen Glei hgewi hte zu unters hiedli hen erwarteten Gewinnen führen können. Betra hten wir zum Beispiel das Spiel in Abb. 3.6, so nden wir wie erwartet ein Nash-Glei hgewi ht, wenn A die Strategie p = (0, 1) wählt, d. h. L mit Wahrs heinli hkeit 0 und R mit Wahrs heinli hkeit 1 spielt, und B die glei he Strategie q = (0, 1) anwendet. Dieses Nash-Glei hgewi ht ergibt für beide Spieler den erwarteten Gewinn von +1. Zusätzli h stellt au h das Paar p = q = (1, 0) (beide setzen zu 100% auf L) ein Nash-Glei hgewi ht dar. Dieses Glei hgewi ht führt jedo h für beide Spieler auf den erwarteten Gewinn von −1, der s hle hter als der vorherige Gewinn ist. Wie kann p = q = (1, 0) ein Nash-Glei hgewi ht sein, wenn es für beide oensi htli h besser ist, die Strategie (0, 1) anzuwenden? Die Erklärung ist einfa h: wenn beide Spieler darauf eingestellt sind, L zu spielen, so kann keiner der Spieler das bessere Glei hgewi ht nden, indem er auf eigene Faust zu R we hselt  das wäre reiner Selbstmord! Um zum besseren Nash-Glei hgewi ht zu gelangen, muss man si h mit dem anderen Spieler einig sein und gemeinsam R spielen.28 27

Nash konnte 1994 na h Jahrzehnten s hwerer S hizophrenie na h Sto kholm reisen, um für seine Leistungen in der Spieltheorie den Preis der s hwedis hen Rei hsbank für Wirts haftswissens haften zum Gedä htnis Alfred Nobels in Empfang zu nehmen. Der Allgemeinheit wurde er dur h die Biographie A Beautiful Mind (Nasar, 1998) und vor allem dur h den glei hnamigen Hollywoodlm bekannt; siehe au h Milnor (1998). Ein anderer wi htiger Beitrag zur Spieltheorie (neben dem Na hweis der Existenz von Nash-Glei hgewi hten) ist seine Betonung des Unters hieds zwis hen kooperativen und ni ht-kooperativen Spielen. Kooperative Spiele sind dadur h gekennzei hnet, dass die Spieler Gelegenheit haben, miteinander zu kommunizieren und eventuell Verträge einzugehen, bevor sie spielen, während für ni ht-kooperative Spiele das Gegenteil gilt; siehe die Diskussionen im Ans hluss an das Spiel in Abb. 3.6. 28 Als wäre das no h ni ht genug, gibt es sogar ein drittes und no h s hle hteres Nash-Glei hgewi ht für dieses Spiel. Wenn B randomisiert und unvorhersagbar q = (0,505; 0,495) spielt, dann erhält A den erwarteten Gewinn von -50,005, unab-

3.3 Können Egoisten zusammenarbeiten?

53

Was sagt diese Theorie über das Gefangenen-Dilemma? Ein Nash-Glei hgewi ht können wir bereits aus dem bisher Gesagten ers hlieÿen, nämli h dass beide Spieler zu 100% auf V setzen. Wie wir gesehen haben, ist dies kein besonders gutes Glei hgewi ht; viellei ht können wir darauf hoen, dass es ein besseres gibt? Ein Nash-Glei hgewi ht, bei dem Anna etwas anderes ma ht, als zu 100% auf V zu setzen, kann es jedo h ni ht geben, denn jeden erwarteten Gewinn, bei dem sie au h nur das kleinste Gewi ht ihrer Wahrs heinli hkeitsverteilung auf Z setzt, kann sie dadur h verbessern, dass sie vollständig auf V setzt. Aus den glei hen Gründen muss jedes Nash-Glei hgewi ht beinhalten, dass Björn vollständig auf V setzt. Wir müssen diese Frage also verneinen  es gibt kein anderes Nash-Glei hgewi ht als das, bei dem beide Spieler V spielen.

⋄ ⋄ ⋄ ⋄ Oenbar sieht es für Anna und Björn sehr s hle ht aus. Wel he Versu he wurden unternommen, um ihnen aus ihrem Dilemma herauszuhelfen? Ein Ausweg ist ganz einfa h, zu postulieren, dass die Prämisse fals h ist, die Spieler würden selbstsü htig ihre eigenen Gewinne optimieren. Stattdessen ents heiden sie si h uneigennützig dafür, was dem Kollektiv am meisten nützt. Mit anderen Worten: Wir haben es mit groÿzügigen und uneigennützigen Spielern zu tun. Das Problematis he an einer sol hen Lösung ist, dass Anna und Björn  wie alle biologis hen Wesen  dur h die Evolution und natürli he Auswahl hervorgebra ht wurden, die ans heinend diejenigen unerbittli h bena hteiligt, die si h selbst aufopfern, um andere zu begünstigen. Dawkins (1989) illustriert dieses Problem an Hand eines Beispiels mit Vögeln, die einander bei der Aufgabe des Federputzens helfen können: Nehmen wir an, das B einen Parasiten im Kopfgeeder hat. A befreit ihn davon. Einige Zeit später bekommt A einen Parasiten. Natürli h su ht er B auf, damit der den erwiesenen Dienst zurü kzahlen kann. B denkt jedo h gar ni ht daran zu helfen. Dawkins nennt in diesem Beispiel B einen Egoisten und A einen AltruisA bietet uneigennützig seine Dienste an, während B nur empfängt und ni ht zurü kgibt. Der Egoist ist ohne eigene Kosten Nutznieÿer der Dienste anderer, während der Altruist Zeit und Kraft auf etwas vers hwendet, das ihm

ten:

hängig davon, ob er auf L oder auf R setzt. Jede Wahl einer gemis hten Strategie ergibt deshalb au h den erwarteten Gewinn von -50,005. A könnte folgli h genauso gut die Strategie p = (0,505; 0,495) anwenden. Unter dieser Bedingung hat B aus den glei hen Gründen keine Strategie, die besser als q = (0,505; 0,495) ist, so dass für p = q = (0,505; 0,495) ein Nash-Glei hgewi ht vorliegt. Das illustriert auf dramatis he Weise (insbesondere wenn wir an die zwei Autofahrer auf der Landstraÿe denken), dass Nash-Glei hgewi hte  so harmlos das Wort Glei hgewi ht au h klingt  ni ht immer zum Nutzen für die beteiligten Spieler sind.

54

3 Spieltheorie

keinen eigenen Gewinn bringt. Diese vers hwendete Zeit und Kraft kann im Verhältnis zum Gewinn, einen Parasiten entfernt zu bekommen, unbedeutend ers heinen, aber völlig verna hlässigbar ist dieser Einsatz trotzdem ni ht. Der Egoist hat deshalb bei der natürli hen Selektion dem Altruisten gegenüber einen gewissen Vorteil, für lebenstü htige Na hkommen zu sorgen. Au h ein sehr kleiner Vorteil bekommt dur h den  über eine lange Zeit wirkenden  evolutionären Selektionsdru k ein relativ groÿes Gewi ht, was mit der Zeit zum Aussterben der Altruisten führen würde. Zumindest es, als ob das so wäre; hier haben wir es mit einem groÿen Rätsel zu tun, das gelöst werden muss,29 denn na h Dawkins Bes hreibung sind das gegenseitige Putzen und andere altruistis he Handlungsweisen in der Tierwelt sehr verbreitete Phänome.30 Ein vielverspre hender Versu h, das Dilemma von Anna und Björn zu lösen (und si h des genannten evolutionsbiologis hen Problems anzunehmen) ist, dass die glei hen Spieler das Gefangenen-Dilemma miteinander spielen. Im Fall von Anna und Björn bedeutet das, dass sie ihre Ges häftstransaktion regelmäÿig ausüben wollen, beispielsweise einmal pro Monat. Dann s heint es, dass es tatsä hli h Gründe für Anna geben kann  au h aus rein egoistis her Perspektive betra htet  das verspro hene Geld wirkli h zu liefern. Dadur h ma ht sie einen S hritt hin zu einer vertrauensvollen Ges häftsbeziehung zu Björn, einer Partners haft, die im Laufe der Zeit einen gröÿeren Gewinn erbringen kann als das kurzsi htige Sparen dur h Hinterlassen einer leeren Tas he. Wenn sie Björn mit einer leeren Tas he prellt, kann sie dann darauf hoen, dass Björn im nä hsten und den darauf folgenden Monaten die Ware liefert, die sie erhalten mö hte? Vermutli h ni ht. Wel he optimale Strategie gibt es für dieses komplexere Spiel, das wir WGD (Wiederholtes Gefangenen-Dilemma) nennen wollen? Diese Frage ist im Verglei h zum einmaligen Spieldur hgang s hwerer zu beantworten; denn was für Anna gut ist, kann darauf beruhen, wel he Strategie Björn wählt. Nimm z. B. an, dass Björn die Strategie anwendet, die ganz einfa h bedeutet, dass er immer V (Verrat) spielt. In diesem Fall ist es natürli h die beste (oder einzig vernünftige) Strategie, selbst immer V zu spielen. Wenn Björn stattdessen die Strategie anwendet, mit der er unabhängig von Anna immer Z (Zusammenarbeit) spielt, dann ist es für

s heint

mehrere Male

Geizhals

Gutgläubiger Altruist

29

Wenn dieses Rätsel keine Lösung besitzt, können wir ni ht wissens haftli h begründet an Darwins Theorie über die Entstehung der Arten dur h natürli he Selektion festhalten. Dann wiederum hätten wir ein ea htes Problem, weil die Wissens haft bisher ni ht die geringste Spur einer gangbaren Alternative zu Darwins Theorie bietet. 30 Dawkin gibt au h Beispiele für altruistis he Handlungsweise zwis hen Individuen vers hiedener Arten. Ein spannendes Beispiel handelt von gewissen kleinen Fis hen, die davon leben, Parasiten von gröÿeren Fis hen abzusammeln. Diese gröÿeren Fis he önen bereitwillig ihr Maul, so dass die kleinen Fis he hineins hlüpfen können, um ihre Zähne zu reinigen  und sie geben ni ht der Versu hung na h, die kleinen Fis he zu vers hlu ken! (Dawkins, 1989).

3.3 Können Egoisten zusammenarbeiten?

55

Anna weiterhin die beste Strategie, ständig V zu spielen. In beiden Fällen ist es für Anna also am besten, Geizhals zu spielen. Verwendet Björn jedo h eine weiterentwi kelte Strategie, bei der er berü ksi htigt, was Anna in früheren Runden gespielt hat, verändert si h die Situation. Er kann z. B. die Strategie Massive Vergeltung anwenden, bei der er solange Z spielt, bis Anna V spielt, und er dann dazu übergeht, für immer V zu spielen. Wenn Anna au h bei dieser Strategie Geizhals spielt, wird sie beim ersten Dur hgang einen e hten Gewinn erzielen, dana h artet das Spiel jedo h in ein beiderseitiges V-Spiel aus, was auf lange Si ht ungünstig ist. Wenn sie stattdessen darauf setzt, immer Z zu spielen, wird Björn dasselbe tun, was Anna auf lange Si ht einen höheren Gewinn bringt, als wenn sie der Versu hung erliegt, V zu spielen. Eine gute Strategie beim WGD berü ksi htigt also, wel he Strategie der andere Spieler spielt. Der amerikanis he Gesells haftswissens haftler Robert Axelrod interessierte si h in den 70er Jahren des letzten Jahrhunderts für dieses Problem und fragte si h, wie eine gute Strategie in einer Population von Individuen aussehen könnte, wenn die Individuen mit vers hiedenen unters hiedli hen Strategien ausgerüstet, WGD gegeneinander spielen. Um darauf eine Antwort zu erhalten, lud er 1979 eine Reihe von Fors herkollegen zu einem WGD-Turnier ein. Das Turnier wurde in Axelrod (1984) ausführli h bes hrieben und analysiert; detaillierte Analysen ndet man au h in Hofstadter (1985) und Dawkins (1989).31 Die folgende Erläuterung beruht zum gröÿten Teil auf diesen drei Texten. Axelrods Turnier verlief so, dass jeder Teilnehmer ein (in FORTRAN ges hriebenes) Computerprogramm einrei hte, mit dem eine WGD-Strategie32 speziziert wurde. Jedes Programm musste si h in einer 200-Runden-WGDPartie jedem anderen Programm stellen.33 Der Sieger des Turniers war denitionsgemäÿ das Programm, das insgesamt die hö hste Punktsumme sammelte. 14 Teilnehmer nahmen an diesem Turnier teil; zu diesen 14 Programmen fügte Axelrod ein fünfzehntes hinzu, das er Zufall nannte, weil es bei jedem Dur hgang einer WGD-Partie eine Münze warf, um zwis hen V und Z zu ents heiden. Die 15 Programme variierten in der Länge zwis hen 4 und 31 Eher am Rande berührt Nørretranders (2002) den Artikel von Axelrod, indem er sein Augenmerk auf eine andere biologis he Erklärung des uneigennützigen Handelns legt, nämli h die sexuelle Auswahl. Seine These ist, dass wir Mens hen aus den glei hen Gründen hilfrei h und groÿzügig sind, weshalb das Pfauenmänn hen einen so pra htvollen S hwanz besitzt: um dem anderen Ges hle ht zu imponieren und damit die Chan en zu erhöhen, rei hli h Na hkommen zu zeugen. Fast das ganze Spektrum der mens hli hen kulturellen Errungens haften wird auf diese Weise in Nørretranders' spannendem und kontroversem Bu h erklärt. 32 Das Programm soll also bei jedem Dur hgang einer WGD-Partie spezizieren, ob der Spieler Z oder V spielt, basierend auf dem Spielverlauf der jeweiligen Partie. Dem Programm ist es gestattet, einen Zufallsgenerator zu konsultieren. 33 Aus Gere htigkeitsgründen musste jedes Programm in einer 200-Runden-Partie au h no h gegen eine exakte Kopie von si h selbst antreten.

56

3 Spieltheorie

77 Programmzeilen. Den Sieg trug ein Programm des bereits zu dieser Zeit bekannten Spieltheoretikers und Psy hologen Anatol Rapoport davon, das

34

einen dur hs hnittli hen Gewinn von 504,5 pro 200-Runden-Spiel erzielte.

Zufall

Das zweite erhielt im Dur hs hnitt 500,4 Punkte; dana h war der Erfolg ziemli h unters hiedli h. Auf den letzten Platz kam das Programm dur hs hnittli h 276,3 Punkten.

mit

Wel he ho h entwi kelte Strategie hatte Rapoport gewählt, um das Turnier zu gewinnen? Überras henderweise war Rapoports Programm das

kürzeste des

gesamten Startfeldes; seine Strategie war: Beginne das Spiel mit Z. Wähle in jedem folgenden Dur hgang dasjenige Verhalten (Z oder V), das der andere Spieler im vorhergehenden Dur hgang gezeigt hat. Diese Strategie erhielt den Namen

Tit for Tat35

, was so viel wie Wie Du

mir, so i h Dir bedeutet. Worin liegt die Stärke dieser Strategie? In seiner

Tit for Tat

Analyse des Turniers betont Axelrod vor allem zwei Eigens haften als Erklärung für den Erfolg von

:

1. Die Strategie ist freundli h. Das heiÿt, sie spielt niemals V, bevor dies

der andere Spieler getan hat. Ans heinend ist es klug, ni ht unprovoziert V zu spielen, denn andernfalls riskiert man, eine gute Zusammenarbeit zu zerstören. Der Erfolg darin freundli h zu sein, zeigt si h au h darin, dass die sieben freundli hen Strategien im Turnier im Endergebnis die Platzierungen 17 erzielten. 2. Die Strategie ist verzeihend. Damit ist gemeint, dass die Strategie bereit

ist, zu Z zurü kzukehren, wenn der Mitspieler au h wieder Z spielt, selbst

Massive

wenn der Mitspieler dur h V bestraft wurde, weil er V gespielt hat. Dies

Vergeltung

s heint erfolgrei her zu sein als die ni ht-verzeihende Strategie .

Axelrod experimentierte mit einer Reihe von Varianten der vorges hlagenen

Tit for Tat

Strategien, um zu sehen, wie sie im Turnier abges hnitten hätten. Er fand einige, die (vor der Mitspieler

gewinnen können, wenn sie dabei gewe-

Tit for Two Tats in den letzten beiden Dur hgängen Tit for Two Tats ) hätten

sen wären. Eine sol he Variante ist wird Z gespielt.

, die V spielt, wenn

Tit for Tat

V gespielt hat, andernfalls

sieht also im Verglei h zu

etwas groÿzügiger über die Handlungen des Mitspielers hinweg.

34

Der hö hste theoretis h erzielbare S hnitt ist 1000 Punkte, wenn man selbst dur hgehend V spielt und alle Mitspieler die Strategie Gutgläubiger Altruist verfolgen und ständig Z spielen (für den Gewinn des einzelnen Spiels gilt weiterhin die Auszahlungsmatrix von Abb. 3.7). Das ist natürli h mehr als das, was man si h erhoen darf. Realistis her ist es, mit zwei einander helfenden Z-Spielern zu verglei hen, bei denen jeder 600 Punkte in einem 200-Runden-WGD-Spiel erzielt, oder mit zwei Spielern mit der Strategie Geizhals, die jeweils 200 Punkte errei hen. 35 In anderen Spra hen ndet man als Übersetzung au h Glei hes mit Glei hem (vergelten).

3.3 Können Egoisten zusammenarbeiten?

57

Die tatsä hli h beste Strategie war jedo h weiterhin unklar. Aus diesem Grund lud Axelrod zu einem neuen Turnier ein. Er veröentli hte glei hzeitig seine Analysen des ersten Turniers, so dass die Teilnehmer die S hlussfolgerungen in neue Strategien umsetzen konnten. Neben den Teilnehmern des ersten Turniers wandte er si h mit Hilfe von Annon en in Computerzeits hriften au h an enthusiastis he Programmierer , von denen er hote, dass sie viel

36

Zeit und Kraft in die Entwi klung ihrer Programme investieren würden.

Am zweiten Turnier nahmen 63 Programme teil, und Sieger wurde ... erneut Rapoport mit seiner

Tit for Tat-Strategie!37

Wie war das mögli h,

da Axelrod do h bereits Strategien veröentli ht hatte, die

Tit for Tat be-

siegen konnten? Das hängt damit zusammen, dass es bei der Bewertung, ob eine Strategie

S2

S1

besser als eine andere Strategie

S2

ist, ni ht nur auf

S1

und

selbst ankommt, sondern au h darauf, wel he anderen Strategien mit zum

Tit for Two Tats dar, während beim zweiten Turnier eine Mis hung von Strategien vorlag, bei der si h Tit for Two Tats bedeutend weniger eignete:

Einsatz kommen. Das erste Turnier stellte ein hervorragendes Umfeld für

diese Strategie kam nur auf den 24. Platz der Ergebnistabelle. Man kann si h natürli h fragen, weshalb si h

Tit for Two Tats in in diesem Startfeld ni ht

besser s hlug?

36

Im neuen Turnier gab es auÿerdem eine Regeländerung, weil die Regeln des ersten Turniers auf Grund folgender Konsequenz besorgniserregend waren: Eine im Vorfeld denierte Anzahl von Dur hgängen im WGD  wie 200  bedeutet, dass man im letzten Dur hgang V spielen kann, ohne irgendeine Vergeltung für hten zu müssen. Deshalb ist es das einzig rationale, um seinen Punktestand zu maximieren, im letzten Dur hgang V zu spielen. Wenn das alle einsehen, kann man s hlussfolgern, dass alle Mitspieler im letzten Dur hgang V spielen werden, unabhängig davon, wie zuvor gespielt wurde. Man selbst kann deshalb au h im vorletzten Dur hgang V spielen, ohne irgendwel he negativen Konsequenzen für si h selbst zu riskieren. Wird dieser Gedankengang weitergegeführt, kommt man zur S hlussfolgerung, dass es in jedem Dur hgang nur eine rationale Ents heidung gibt, nämli h V zu spielen. Die Analyse eines 200-Dur hgangs-WGD auf Basis der Prinzipien des Abs hnitts 3.2 kommt deshalb zu dem Ergebnis, dass das einzige Nash-Glei hgewi ht darin besteht, dass beide Spieler ständig V spielen. Wir sind damit wieder in der glei hen bedenkli hen Lage wie beim ursprüngli hen (einRunden)Spiel des GefangenenDilemmas. Eine Lösung des Problems besteht darin, die Anzahl der Spieldur hgänge zufällig zu wählen, so dass keiner der Spieler weiÿ, wel her Dur hgang der letzte sein wird. Eine natürli he Wahl für die Anzahl der Dur hgänge K stellt die geometris he Verteilung dar, die für ein beliebiges, aber festes p zwis hen 0 und 1 und n = 0, 1, 2, . . . auf P(K = n) = p(1 − p)n führt. Angenommen, es sind n Dur hgänge gegeben, dann folgt aus dieser Verteilung, dass die bedingte Wahrs heinli hkeit für mindestens einen weiteren Dur hgang immer 1 − p ist. Axelrod wählte die geometris he Verteilung mit p = 0, 00346 im zweiten Turnier, was einer dur hs hnittli hen Anzahl von 1/p ≈ 289 Dur hgängen entspri ht. 37 Am anderen Ende der Ergebnistabelle gelang es Zufall dieses Mal mit A h und Kra h, den letzten Platz zu vermeiden.

58

3 Spieltheorie Die Teilnehmer des zweiten Turniers konnten aus Axelrods Analyse des

ersten Turniers vers hiedene S hlüsse ziehen. Mehrere Teilnehmer zogen die naheliegende S hlussfolgerung, dass es gut wäre,

Tit for Two Tats oder

irgendeine ähnli he Strategie anzuwenden. Andere Teilnehmer da hten weiter und s hlussfolgerten: Viele werden mit der Hilfe der Analyse von Axelrod auf etwas im Stile von

Tit for Two Tats setzen. Deshalb sollte i h eine Strategie

nden, die die viellei ht etwas übertriebene Groÿzügigkeit dieser Strategien auf geeignete Weise ausnutzen kann.

Tit for Two Tats kann

z. B. tatsä hli h ausgenutzt werden, in dem

Tit for Two Tats die ganze Zeit Z spielen, und der Gegner würde im S hnitt 4 Punkte man jeweils Z und V abwe hselnd spielt. In diesem Fall wird

pro Dur hgang mit na h Hause nehmen (vergli hen mit den 3, die man erhält, wenn beide zusammen arbeiten), während das arme Dur hs hnitt ni ht mehr als

1,5

Tit for Two Tats im

Punkte pro Dur hgang erhält.

Tit for Two Tats im Tit for Tat kann man ni ht in ähnli her Weise ausnutzen, weil jede List im Spiel gegen Tit for Tat den Gegner im Sol h listige Gegner ma hten dem lei htgläubigen

zweiten Turnier das Leben s hwer.

nä hsten Spieldur hgang unbarmherzig selbst wieder trit. Vor diesem Hintergrund hebt Axelrod neben den oben genannten zwei weitere Eigens haften hervor, die dem Erfolg von 3.

Tit for Tat zu Grunde liegen:

Tit for Tat ist lei ht

provozierbar. Diese Strategie akzeptiert ni ht

stills hweigend, dass der andere Spieler V spielt, sondern s hlägt s hnell zurü k.

4.

Tit for Tat ist vorhersagbar. Ein Spieler, der gegen Tit for Tat spielt und mit vers hiedenen Spielweisen experimentiert, wird s hnell einsehen, dass er exakt das zurü k erhält, was er gibt. Mit komplizierteren Strategien riskiert man, dass der andere Spieler kein System in dem sieht, was man selbst spielt. Stattdessen zieht er die S hlussfolgerung: Der andere spielt ja vollkommen irrational und kümmert si h ni ht darum, wie i h mi h ents heide. Deswegen kann i h genauso gut immer V spielen.

Der Erfolg von

Tit for Tat in beiden Turnieren ist moralis h ermutigend,

weil er andeutet, das si h Zusammenarbeit in der Tendenz lohnt. Dies ist keine Frage eines reinen (gutgläubigen) Altruismus, sondern einer beabsi htigten Bereits haft zur Zusammenarbeit: So lange Du bereit bist, Parasiten aus meinem Geeder zu entfernen, bin i h bereit, dasselbe für Di h zu tun,

sonst jedo h ni ht. Um das evolutionsbiologis he Problem der Entstehung der Zusammenarbeit no h weiter zu beleu hten, kann man  was Axelrod au h tat  eine Computersimulation mit einer Reihe von Turnieren dur hführen, bei der jeweils die Strategie, die das s hle hteste Ergebnis erzielte, ni ht mehr am nä hsten Turnier teilnimmt, während die am besten platzierten Strategien im nä hsten Turnier in mehreren Exemplaren an den Start gehen (und si h somit rei hli h Na hkommen s haen). Auf diese Weise wird die Anzahl der Exemplare der vers hiedenen Strategien über die Zeit variieren, wie dies au h in einer biologi-

3.3 Können Egoisten zusammenarbeiten?

59

s hen Population der Fall ist, die der natürli hen Auslese unterliegt. Axelrod ging von der Startliste des zweiten Turniers aus und simulierte eine lange Folge von Turnieren. Au h diese Simulationen führten, na h vers hiedenen anfängli hen S hwankungen, zum Erfolg von Tit for Tat.38 Die evolutionäre Entstehung vers hiedener Strategien und Handlungsweisen kann (im Gegensatz zur Anwendung von Computerexperimenten) au h mathematis h mit Hilfe des Begries evolutionär stabile Strategien analysiert werden, der dur h den Biologen John Maynard Smith eingeführt wurde.39 Grob gespro hen ist eine Strategie S1 evolutionär stabil, wenn es in einer Population, in der die groÿe Mehrheit Individuen S1 , einige wenige Individuen jedo h eine andere Strategie S2 anwenden, ni ht mögli h ist, dass si h S2 besser s hlägt und deshalb wä hst und S1 verdrängt. Man kann zeigen, dass eine Population von Tit for Tat-Spielern evolutionär stabil ist, und somit z. B. ni ht von einer Gruppe von Geizhals-Spielern unterwandert werden kann.40 Hat man hingegen eine Population von Geizhals-Spielern, kann diese von einer Gruppe von Tit for Tat-Spieler unterwandert werden41 , vorausgesetzt, dass sie si h geographis h hinrei hend gut versammelt haben, um si h von Zeit zu Zeit zu treen (siehe Axelrod, 1984). Dies ist ein S hlüsselergebnis, das im Prinzip erklärt, wie (s heinbar) altruistis he Handlungsweisen dur h natürli he Selektion entstehen können. 38

Es soll hinzugefügt werden, dass spätere Computerexperimente das Bild ver-

kompliziert haben, und dass

Tit for Tat bei einem Teil von ihnen s hle hter ab-

s hneidet. Dass dies eintreen kann, geht aus den Fuÿnoten 40 und 41 weiter unten hervor; siehe au h Binmore (1998) für Hinweise auf eine Reihe sol her Studien.

39

40

Smith (1982). Diese Aussage ist jedo h von der exakten Denition der evolutionären Stabilität

abhängig (die subtiler ist, als man zunä hst annehmen würde). Mit einer kleinen, unter biologis hen Gesi htspunkten gut motivierten Modikation der Denition von Smith, zeigt si h, dass

Tit for Tat unter gewissen Umständen unterwandert wer-

den kann; siehe Boyd & Lorberbaum (1987) und Farrell & Ware (1989) für eine Präzisierung und einen Beweis.

41

Damit ist jedo h ni ht gesagt, dass

Tit for Tat jede beliebige

Population

unterwandern kann. Wir können uns beispielsweise eine Population von Individuen vorstellen, die in den zehn ersten Dur hgängen des WGD die folgende Zug-Serie spielen: V, V, Z, Z, Z, V, V, Z, V, V. Ans hlieÿend spielen sie immer Z, vorausgesetzt, dass der andere Spieler das Spiel auf genau die glei he Weise eingeleitet hat, ansonsten spielen sie von nun an V. Diese Strategie ist gewiss ni ht evolutionär stabil, jedo h kann sie nur sehr s hwer unterwandert werden, und sie kann mit Lei htigkeit einem Invasionsversu h einer kleineren Gruppe von

Tit for Tat-Spielern widerste-

hen. Die einleitende Sequenz fungiert als eine Art Codewort, die sagt: i h bin einer

von Eu h, und die Individuen in dieser Gruppe sind darauf eingestellt, miteinander zusammenzuarbeiten, lehnen es jedo h ab, mit Auÿenstehenden zusammenzuarbeiten. (Dies könnte als eher theoretis hes Beispiel verstanden werden; es ist jedo h eine ziemli h treende Bes hreibung des gegenwärtigen s hwedis hen Arbeitsmarktes mit seinem eektiven Auss hluss von Personen mit ni ht-skandinavis her Herkunft.)

60

3 Spieltheorie

Eine groÿe Stärke der

Tit for Tat Strategie liegt darin, dass der andere Tit for Tat spielt,

Spieler einer WGD-Partie, sobald er merkt, dass man

weiÿ, dass es au h für ihn das Beste ist, Z zu spielen. Deshalb wäre es natürli h einfa her, man könnte mit einem S hild herumgehen, auf dem steht I h spiele

Tit for Tat, oder diese Bots haft seiner Umwelt und anderen

WGD-Mitspielern auf andere Art und Weise übermitteln. Das Problem ist jedo h, dass diese Bots haft au h missbrau ht werden könnte. Ein ges hi kter

Betrüger, der auf eine überzeugende Weise signalisiert I h spiele Tit for Tat, um im ri htigen Augenbli k selbst einen groÿen Gewinn zu erzielen und zum nä hsten Opfer weiter zu gehen, kann natürli h sehr erfolgrei h werden. Dies ma ht ein gewisses Maÿ an Misstrauen notwendig: Wir sind ni ht immer bereit, einem I h spiele

Tit for Tat-S hild zu glauben, bevor wir einen

überzeugenderen Beweis erhalten haben. Viellei ht ist es so  i h spekuliere ein wenig, aber au h Dennett (2003) ist ähnli her Meinung  dass die beste

42

Tit for TatTit for Tat zu spielen.

Art und Weise, andere davon zu überzeugen, dass man ein Spieler ist, vollkommen ehrli h zu sein und

wirkli h

Erinnern wir uns an das Dilemma des Was hraumes: Soll i h ihn reinigen, wenn i h ihn verlasse oder ni ht? Es s heint, als wären die meisten Mens hen eher bereit, den Was hraum zu säubern, wenn sie den Eindru k haben, dass dies au h die anderen tun, als wenn sie vom Gegenteil überzeugt sind. (Auf ähnli he Weise s heint es si h mit der Mülltrennung, der Steuermoral und vielem anderen zu verhalten.) Aus allein rationalem (egoistis hem) Bli kwinkel ist dieses Verhalten s hwer zu erklären, da man immer die glei he Zeitersparnis hätte, wenn man auf das Reinigen verzi htet, unabhängig vom Verhalten der Na hbarn. I h glaube, dass wir Mens hen stattdessen im Allgemeinen einen ausgeprägten Hang dazu haben, etwas zu tun, was au h die anderen in unserer Umgebung tun. Diese Neigung ist dur h Jahrmillionen des Selektionsdru ks zu Gunsten eines allgemeinen

Tit for Tat-Handelns entstanden.

Tit for Tat. Diese Huldigungen sind in hohem Grade verdient, aber aus Gründen Diese Darstellung wird allmähli h zu einer Art Lobeshymne für

der Ausgewogenheit mö hte i h au h auf eine Kehrseite dieser Strategie hin-

43 Sie ist nämli h etwas zu empndli h.

weisen.

Tit for Tat-Spieler erzielen

gute Resultate, wenn sie aufeinander treen? Führen wir jedo h einmal eine Fehlerquelle in das Modell ein: Wenn jemand beabsi htigt, einen bestimmten Zug zu spielen (Z oder V), wird (z. B. dur h einen Übertragungsfehler) mit einer bestimmten Fehlerwahrs heinli hkeit  sagen wir 0,01  der entgegen-

Tit for Tat-Spieler aufeinander treen: Zunä hst geht alles gut, aber sobald ei-

gesetzte Zug gespielt. Was ges hieht, wenn zwei sol he ni ht-perfekten

ner von ihnen einen Fehler ma ht, resultiert dies in einem Teufelskreis von

42 43

Mit beste ist hier gemeint, dass es evolutionär am lohnenswertesten ist. In den Fuÿnoten 40 und 41 auf Seite 59 haben wir bereits einige S hwä hen

benannt. Für eine weitere Kritik an der einseitigen Huldigung von

Tit for Tat,

die die Literatur auf diesem Gebiet sehr stark prägt, siehe Binmore (1998), der eine (ziemli h bissige) Rezension zu Axelrod (1997) ges hrieben hat. Es ist mögli h, dass Binmore au h meine Bes hreibung für viel zu

Tit for Tat-freundli h hält.

3.3 Können Egoisten zusammenarbeiten? Bestrafungen und Gegenbestrafungen, so dass si h

61

Tit for Tat, vergli hen

mit dem Fall des perfekt-spielenden altruistis hen Spielers, als bedeutend

44

weniger konkurrenzfähig erweist.

Daraus lernen wir, dass es für uns Mens hen (ebenso wie für unter Parasiten leidende Vögel) wi htig ist, neben einer allgemeinen

Tit for Tat-

Handlungsweise, au h die Mögli hkeit der Kommunikation und Verständigung miteinander zu haben, so dass si h unsere Fehler und Missverständnisse beri htigen lassen, bevor wir in destruktiven Teufelskreisen von Bestrafung und Gegenbestrafung landen. Dies gilt sowohl im tägli hen Leben, als au h in der internationalen Politik.

⋄ ⋄ ⋄ ⋄ Kann alles mens hli he Handeln spieltheoretis h interpretiert werden? Viellei ht ni ht. Spieltheoretis he Analysen basieren nämli h auf einer Annahme, die wir die

rationalistis he

nennen können  dass alle Individuen im Hin-

bli k darauf handeln, dass letztendli h ihr Eigennutzen maximiert wird. Dieser Eigennutzen kann unters hiedli he Formen annehmen: In ökonomis hen Studien wird er im Allgemeinen mit Geld gemessen, während im biologis hen Zusammenhang die Anzahl der Na hkommen als natürli he Gröÿe betra htet wird, die die Individuen maximieren wollen. In diesen und einigen anderen Wissens haften ist es übli h, Erklärungen für ans heinend uneigennütziges Handeln darin zu su hen, dass es letztendli h do h um den Eigennutzen geht.

45 Den Gedanken, dass si h alles mens hli he Handeln auf den s hnöden

Eigennutzen reduzieren und damit erklären lieÿe, kann man natürli h äuÿerst kontrovers diskutieren. Siehe Rosenberg (2003) für eine wohlformulierte und gedankli h inspirierende Verteidigung der Idee, dass eine sol he Reduktion

ni ht mögli h ist. Darüber hinaus wird dort das Risiko diskutiert, dass immer mehr Dinge, die wir normalerweise völlig uneigennützig tun  z. B. die Pege unserer kranken Angehörigen  in den Aufgabenberei h des vom Gewinn gesteuerten Marktes übergehen.

44

In Lindgren & Nordahl (1994) ndet man faszinierende Computersimulationen zur Evolution in Populationen von WGD-spielenden Individuen mit diesem Defekt. In diesen Simulationen, die au h Mutationen beinhalten, mit denen alte Strategien verändert werden können, entstehen groÿe Wellenbewegungen auf immer längeren Zeita hsen, und Tit for Tat hebt si h ni ht deutli h von den anderen Strategien ab. 45 Die Diskussion des Gefangenen-Dilemmas im ersten Teil des Abs hnitts ist ein Beispiel dafür.

4 Das Gesetz der groÿen Zahlen

In diesem Bu h werden vers hiedene Themen der Wahrs heinli hkeitstheorie vorgestellt, die i h wegen ihrer Aktualität innerhalb der mathematis hen Fors hung ausgewählt habe. Im Gegensatz dazu behandelt dieses Kapitel ein ganz klassis hes Thema, das bei einer Einführung in die Wahrs heinli hkeitstheorie ni ht fehlen darf. Von allen Sätzen und Ergebnissen der Wahrs heinli hkeitstheorie kann das

Gesetz der groÿen Zahlen

als das berühmteste und in gewisser Weise au h

das fundamentalste bezei hnet werden. Es besagt etwa: Sei

X1 , X2 , . . .

ei-

ne Folge unabhängiger Zufallsgröÿen, die die glei he Verteilung und damit denselben Erwartungswert

µ

Zufallsgröÿen:

Mn =

Mn

ist der Mittelwert der ersten

X1 + X2 + · · · + Xn . n

n

(4.1)

Mn µ liegt. Wird n immer gröÿer, wissen wir mit immer gröÿerer Si herheit, dass der Unters hied zwis hen Mn und µ sehr klein ist; er wird gegen 0 streben, wenn n gegen ∞ wä hst.

Wenn

n

besitzen.

hinrei hend groÿ ist, können wir si her sein, dass der Mittelwert

nahe am Erwartungswert

Diese Bes hreibung des Gesetzes der groÿen Zahlen hilft uns zu verstehen,

wie der Begri Erwartungswert interpretiert werden kann: Wenn wir hinrei hend viele unabhängige Kopien

1 einer Zufallsgröÿe erzeugen und den Mit-

telwert ihrer Realisierungen bilden, erhalten wir ungefähr den Erwartungswert dieser Zufallsgröÿe. Allerdings lässt diese Bes hreibung mathematis he Präzision vermissen  was ist z. B. mit immer gröÿerer Si herheit und sehr klein gemeint? Es zeigt si h, dass es mehrere unters hiedli he Mögli hkeiten der mathematis hen Präzisierung dieses Gesetzes gibt. In diesem Kapitel werden wir die beiden

Das Wort Kopien ist in diesem Zusammenhang etwas irreführend, da die vers hiedenen Zufallsgröÿen ni ht den glei hen Wert annehmen müssen  Kopien sind sie nur in dem Sinne, dass alle Zufallsgröÿen die glei he Verteilung besitzen. 1

64

4 Das Gesetz der groÿen Zahlen

das s hwa he Gesetz der groÿen das starke Gesetz der groÿen Zahlen

wi htigsten Varianten kennenlernen  und . Die ges hi htli h gesehen erste Version des Gesetzes der groÿen Zahlen hat ihren Ursprung im Spezialfall,in dem die einieÿenden Zufallsgröÿen nur zwei mögli he Werte annehmen können. Diese Version wurde zu Beginn des 18. Jahrhunderts vom S hweizer Mathematiker Ja ob Bernoulli bewiesen, jedo h erst a ht Jahre na h seinem Tod publiziert.2 Ans hlieÿend folgten viele Erweiterungen und Verbesserungen des Ergebnisses von Bernoulli. Für unabhängige Zufallsgröÿen mit ein und derselben Verteilung erhielt das Gesetz der groÿen Zahlen 1933  mehr als 200 Jahre später!  seine endgültige Formulierung dur h den russis hen Mathematiker Andrej Kolmogorov3. No h heute ndet man in mathematis hen Zeits hriften jeden Monat neue Varianten des Gesetzes der groÿen Zahlen, die z. B. unters hiedli he Arten von Abhängigkeiten zwis hen den betra hteten Zufallsgröÿen berü ksi htigen. Im Abs hnitt 4.1 bes häftigen wir uns mit dem einfa hsten Fall des Gesetzes der groÿen Zahlen, bei dem die einieÿenden Zufallsgröÿen X1 , X2 , . . . die Realisierungen von Münzwürfen (Kopf oder Zahl) sind. Dana h werden wir im Abs hnitt 4.2 präzise Formulierungen des s hwa hen bzw. starken Gesetzes der groÿen Zahlen angeben und im Abs hnitt 4.3 einen ernsthaften Versu h zum Beweis unternehmen. Bereits jetzt soll (als Hinweis für vorsi htige Leserinnen und Leser!) angemerkt werden, dass die zweite Hälfte des Abs hnitts 4.2 zusammen mit Abs hnitt 4.3 die aus mathematis her Si ht (bisher) anspru hsvollsten Teile dieses Bu hes darstellen.

Zahlen

4.1 Das Beispiel des Münzwurfes

Nehmen wir an, wir werfen eine faire Münze, d. h. Kopf oder Zahl liegen jeweils mit der Wahrs heinli hkeit 12 oben. Wir werfen diese Münze mehrfa h und gehen davon aus, dass die vers hiedenen Münzwürfe unabhängig voneinander sind. Um die Ergebnisse der Würfe formal darzustellen, können wir die Zufallsgröÿen X1 , X2 , . . . einführen, deren Realisierungen dur h die Münzwürfe bestimmt sind, so dass  0 , wenn Wurf Nummer i Kopf zeigt, (4.2) Xi = 1 , wenn Wurf Nummer i Zahl zeigt. gilt.

2 3

Bernoulli (1713). Kolmogorov (1933). Andrej Kolmogorov lebte von 1903 bis 1987 und wird all-

gemein als der bedeutendste Wahrs heinli hkeitstheoretiker aller Zeiten angesehen.

4.1

Ausgehend von diesen Zufallsgröÿen

Sn

bilden, wobei

die Summe der

n

Das Beispiel des Münzwurfes

65

Xi können wir die Summen S1 , S2 , . . . Xi ist:

ersten

Sn = X 1 + X 2 + . . . + X n . Aus (4.2) folgt, dass den ersten

n

Sn

(4.3)

die Anzahl der Würfe ist, bei denen die Zahl in

Würfen oben lag (im folgenden kurz: Anzahl der Zahl-Würfe

genannt). Auÿerdem können wir für beliebige indem wir

Sn

dur h

n

Mn = Mn

n eine

weitere Zufallsgröÿe

Mn

bilden,

dividieren, und erhalten

Sn X1 + X2 + . . . + Xn = . n n

ist der Mittelwert der Zufallsgröÿen

(4.4)

X 1 , X 2 , . . . , Xn .

Während

Sn

die

Anzahl der Zahl-Würfe unter den ersten n Würfen ist, ist Mn der Anteil an Zahl-Würfe. Was sagt das Gesetz der groÿen Zahlen zu dieser Situation? Zunä hst müssen wir prüfen, ob wir es mit Zufallsgröÿen zu tun haben, die die Voraussetzungen des Gesetzes erfüllen; d. h., unabhängig zu sein und die glei he Verteilung (mit einem bestimmten Erwartungswert

µ)

zu besitzen.

Diese Voraussetzungen werden von den Zufallsgröÿen

Xi

erfüllt: Dass sie

unabhängig sind, folgt aus der Annahme, dass die Münzwürfe unabhängig

Xi

sind. Auÿerdem sehen wir, dass die Verteilung von

(

Xi =

0 1

gegeben ist. Die Zufallsgröÿen

für jedes

i

dur h

1 2 1 mit Wahrs heinli hkeit 2 mit Wahrs heinli hkeit

X1 , X2 , . . .

haben somit die glei he Verteilung,

und deshalb au h den glei hen Erwartungswert

µ = E[Xi ] =

µ,

der si h als

0+1 1 = 2 2

ergibt. Das Gesetz der groÿen Zahlen sagt uns deshalb, dass wir uns verhältnisMn nahe an 12 herankommt  sagen wir zwis hen 0,49 und 0,51 liegt  wenn n hinrei hend groÿ ist. Verhältnismäÿig mäÿig si her sein können, dass

si her kann hierbei z. B. bedeuten mit 99%-iger Si herheit, wenn wir rei hend groÿ wählen. Wählen wir

n

n

hin-

no h gröÿer, werden wir viellei ht eine

Wahrs heinli hkeit von mindestens 0,999 errei hen, dass

Mn

in das gewüns h-

te Intervall fällt  oder mindestens jede beliebige andere Wahrs heinli hkeit, so lange sie ni ht exakt 1 ist. Au h die Länge des Intervalls kann beliebig gewählt werden: Wenn

n

no h

gröÿer gewählt wird, können wir mit glei h

bleibender Si herheit das Intervall verkleinern, von dem wir behaupten, dass

Mn

dort hinein fällt, z. B. bis hin zu

[0,499, 0,501]

oder

[0,4999, 0,5001].

66

4 Das Gesetz der groÿen Zahlen Alternativ können wir das Gesetz der groÿen Zahlen für das Beispiel des

Münzwurfes so formulieren, dass wir mit 100%-iger Si herheit wissen, dass 1 4 si h Mn für n → ∞ dem Grenzwert 2 nähert. Wie kann dieses Zustreben bzw. si h nähern in der Praxis aussehen? Dies ist von Fall zu Fall vers hieden. In Abb. 4.1 ist eine Computersimula-

5

Mn der geworfenen Kopf als Funktion n = 1, . . . , 100) verhalten kann. An dieser

tion dargestellt , wie si h der Anteil der Anzahl der Münzwürfe

n

(für

Stelle mö hte i h empfehlen, eigene Computersimulationenen dur hzuführen, um weitere Beispiele zur Annäherung des Anteils der Zahl-Würfe an den Erwartungswert 0,5 zu erhalten. Betra hten wir einen Augenbli k lang die dargestellte Simulation (die genauso gut dur h eine Folge e hter Münzwürfe entstanden sein könnte). Was würde mit

Mn

ges hehen, wenn wir die Münze weiter werfen würden? Na h

dem Gesetz der groÿen Zahlen wissen wir, dass wir so gut wie si her sein können, dass

Mn

dem Wert

wird. Andererseits bedeutet geringer wird, wenn

n

0,5 sehr nahe kommt, wenn n hinrei hend groÿ M100 = 0,55, dass der Mittelwert wahrs heinli h

hinrei hend wä hst.

Diese Tatsa he bildet die Grundlage für das folgende, weit verbreitete Missverständnis zum Gesetz der groÿen Zahlen: Missverständnis 4.1. Wenn man die Münze einige Male wirft, und erhält öfter Zahl als Kopf, (so dass Mn > 0,5), so wird die Münze in der folgenden Zeit dazu tendieren, öfter Kopf als Zahl zu zeigen (damit Mn auf diese Weise  in Übereinstimmung mit dem Gesetz der groÿen Zahlen  in Ri htung 0,5 verringert wird).

4

An dieser Stelle werden kritis he Leserinnen und Leser viellei ht einwenden, dass 100% Si herheit übertrieben klingt  jede beliebige Folge von Einsen und Nullen der Sequenz (X1 , X2 , . . .) ist ja mögli h! Diese Beoba htung ist ri htig, und wenn wir es nur mit einer endli hen Anzahl von Münzwürfen zu tun hätten, wäre es ni ht mögli h, eine entspre hende Behauptung für eine 100%-ige Si herheit zu nden. Wenn die Anzahl der einieÿenden Zufallsgröÿen jedo h unendli h ist, verändert si h die Situation. Dazu folgendes Beispiel: Sei B das Ereignis, dass wir früher oder später Kopf erhalten. Au h wenn es im Prinzip mögli h wäre, dass B ni ht eintrit, d. h. dass alle Würfe Zahl ergeben, so gilt do h P(B) = 1. Beweis: Sei A das Ereignis, dass alle Würfe Zahl ergeben. Dann ist P(B) = 1 − P(A), so dass es ausrei ht, P(A) = 0 zu zeigen. Sei An das Ereignis, dass die n ersten Würfe Zahl ergeben. Dann ist P(An ) = ( 12 )n (oder?). Wähle jetzt eine beliebig kleine Zahl ε > 0. Dann kann man immer ein hinrei hend groÿes n nden, so dass ( 21 )n < ε ist. Das Ereignis A setzt das Ereignis An voraus, so dass P(A) ≤ P(An ) gilt, und wir können deshalb folgern, dass P(A) ≤ ( 12 )n < ε ist. Do h weil ε > 0 beliebig war, haben wir gezeigt, dass P(A) kleiner als jede positive Zahl ist, und deshalb bleibt nur die Mögli hkeit P(A) = 0. Und damit wissen wir, dass P(B) = 1 − P(A) = 1 gilt. 5 Diese Computersimulation, sowie zu groÿen Teilen au h die na hfolgende Diskussion, sind Häggström (2002a) entnommen.

4.1 Das Beispiel des Münzwurfes

67

Mn 1 PSfrag repla ements

0,75

0,5

0,25

0

0

20

40

60

80

100

n

Abb. 4.1. Eine Computersimulation, wie si h der Anteil der Zahl-Würfe in einer

Serie von 100 Münzwürfen verhalten kann. Zu Beginn sind die S hwankungen relativ stark, aber ab

n = 15

kann man si h vorstellen, dass si h die Kurve dem Grenzwert

0,5 nähert. Do h dann, zwis hen

n = 30

und

n = 37,

erhalten wir ni ht weniger als

a ht mal in Folge das Ergebnis Zahl (so etwas passiert mitunter!), so dass si h

Mn

ein Stü k vom Grenzwert wegbewegt und es eine längere Zeit dauert, bis dies wieder ausgegli hen ist. Für

n = 100

beoba hten wir

M100 = 0,55,

d. h., dass 55 der 100

ersten Würfe Zahl ergaben.

Wie wir im Folgenden sehen werden, geht diese Interpretation des Gesetzes der groÿen Zahlen jedo h zu weit. Auÿerdem widerspri ht man seinen Voraussetzungen, denn die einzelnen Münzwürfe werden als unabhängig voneinander vorausgesetzt, und aus dieser Unabhängigkeit folgt, dass die früheren Münzwürfe keinerlei Hinweis auf die Ergebnisse der zukünftigen Würfe geben. Wenn wir M100 = 0,55 beoba htet haben, können wir tatsä hli h erwarten, dass Mn fällt, wenn wir die Münzwürfe fortsetzen. Beispielsweise kann man explizit na hre hnen, dass M200 unter der Bedingung M100 = 0,55 wahrs heinli h kleiner als 0,55 wird, als dass es gröÿer als 0,55 wird. Es gilt demzufolge P(M200 < 0,55 | M100 = 0,55) >

1 , 2

obwohl die Münzwürfe Nr. 101, 102, . . . , 200 keine gröÿere Tendenz haben, Zahl statt Kopf zu zeigen. Wie ist das mögli h? Hier liegt wieder ein Paradoxon vor (mit der Bedeutung, wie wir sie in Kapitel 2 erwähnten), das eine Erklärung verlangt. Der ents heidende S hritt zur Auösung eines Paradoxons besteht oft darin, die ri htige Frage zu stellen. In diesem Fall ist es die folgende: Wie müssen die nä hsten hundert Würfe aussehen, damit der Mittelwert

M200

den Wert 0,55 annimmt?

68

4 Das Gesetz der groÿen Zahlen

Um diese Frage zu beantworten, denieren wir S ∗ als die Anzahl der ZahlWürfe in der Wurolge 101, 102, . . . , 200, d. h. S ∗ = X101 + X102 + · · · + X200 .

Wenn wir in diesen 100 Würfen 55 Mal Zahl erhalten, dann wird die Gesamtanzahl S200 von Zahl-Würfen der ersten 200 Würfe glei h 55 + 55 = 110, woraus S200 110 M200 = (4.5) = = 0,55 200 200 folgt. Allgemeiner  wenn S ∗ irgend eine andere Zahl als 55 sein sollte  so erhalten wir S200 55 + S ∗ M200 = (4.6) = , 200 200 und dur h Verglei h mit (4.5) sieht man, dass •

wenn S ∗ gröÿer als 55 ist, dann wird M200 gröÿer als 0,55,

•

wenn S ∗ kleiner als 55 ist, dann wird M200 kleiner als 0,55.

und umgekehrt, Wenn wir z. B. 53 Mal Zahl in den Würfen Nr. 101, 102, . . . , 200 haben, dann wird S200 55 + 53 M200 = = = 0,54 . 200 200 Es wird deutli h, dass wir öfter Zahl als Kopf unter den 100 nä hsten Würfen haben können, do h trotzdem verringert si h Mn  in diesem Fall von M100 = 0,55 auf M200 = 0,54. Die Verteilung von S ∗ (die Anzahl der Zahl-Würfe unter den Würfen Nr. 101, 102, . . . , 200) ist die glei he wie die Verteilung von S100 (die Anzahl der Zahl-Würfe unter den ersten 100 Würfen). In Abb. 4.2 wird diese Verteilung6 dargestellt, und wir sehen, dass der gröÿere Teil der Wahrs heinli hkeitsmasse links vom Wert 55 liegt. Es ist deshalb wahrs heinli her, dass 6

In dieser Abbildung sehen wir, dass diese Verteilung der Normalverteilung ähnelt  der berühmten Gauÿs hen Glo kenkurve (siehe (B.8) im Anhang B). Dies ergibt si h aus dem (na h dem Gesetz der groÿen Zahlen) viellei ht zweitwi htigsten Satz der Wahrs heinli hkeitstheorie: dem . Dieser besagt ungefähr folgendes: Wenn X1 , X2 , . . . unabhängige und identis h verteilte Zufallsgröÿen sind, dann gilt  unter gewissen, ziemli h allgemeinen Voraussetzungen an ihre Verteilung  für groÿe n, dass die kleine Abwei hung, die trotz allem zwis hen dem Mittelwert Mn und dem Erwartungswert µ vorliegt, typis herweise von der Gröÿenordnung √1n ist, und dass sie auÿerdem approximativ normalverteilt ist. Eine genauere Formulierung dieses Gesetzes wird im Anhang B dur h die Formel (B.13) gegeben. Für eine umfassendere Diskussion von Normalverteilung und zentralem Grenzwertsatz kann man si h an jedes beliebige Bu h der Wahrs heinli hkeitstheorie wenden, von populärwissens haftli hen Bü hern wie Gut (2002), über grundlegende Lehrbü her wie Blom (1998), zu mathematis h tiefergehenden Monographien wie Grimmett & Stirzaker (1982) und Williams (1991).

zentralen Grenzwertsatz

4.1

Das Beispiel des Münzwurfes

69

S ∗ kleiner als 55 wird, als dass S ∗ gröÿer als 55 wird. Das führt dazu, dass unter der Bedingung des Ereignisses M100 = 0,55 die Unglei hung M200 < M100 wahrs heinli her ist als umgekehrt. P(S100 = k) 0,1

PSfrag repla ements

0,05

0

40

45

50

55

Abb. 4.2. Die Wahrs heinli hkeit, bei 100 Würfen exakt als Funktion von

k.

60

k

k

Mal Zahl zu erhalten,

Bea hte, dass das wahrs heinli hste Ergebnis ist, 50 Mal Zahl

zu erhalten, während 55 Mal Zahl keinesfalls ein extremes Ergebnis darstellt.

Dieses Phänomen gilt ni ht nur für Folgen von Münzwürfen, sondern ist wesentli h allgemeiner, wie das in der folgenden Zusammenfassung zum Ausdru k kommt: Nehmen wir an, dass wir eine Folge unabhängiger Zufallsgröÿen mit ein und derselben Verteilung mit Erwartungswert µ beoba hten. Na h beispielsweise n = 100 beoba hteten Zufallsgröÿen stellen wir fest, dass der Mittelwert M100 den Erwartungswert µ übertrit. Dann ist es sehr wahrs heinli h, wenn die Folge der Zufallsgröÿen fortgesetzt wird, dass Mn gegen µ strebt (und deshalb abnehmen muss). Dies beruht jedo h ni ht auf einer Tendenz der künftigen Zufallsgröÿen, die  als Kompensation für die früheren Realisierungen  Werte annehmen, die im Dur hs hnitt geringer als µ sind; denn eine sol he Tendenz gibt es ni ht! Stattdessen lautet die Erklärung, dass zur Erhaltung eines etwas zu hohen Mittelwerts M100 au h die künftigen Zufallsgröÿen im Dur hs hnitt auf dem Niveau von M100 oder höher liegen müssen. Am wahrs heinli hsten ist es jedo h, dass die künftigen Zufallsgröÿen im Dur hs hnitt nahe µ liegen, und weil M100 > µ ist, wird dieser Dur hs hnitt vermutli h geringer sein als M100 . Damit verringert si h au h Mn . Korrektur von Missverständnis 4.1:

70

4 Das Gesetz der groÿen Zahlen

4.2 Das s hwa he und das starke Gesetz der groÿen Zahlen

Um exakte Formulierungen des s hwa hen bzw. starken Gesetzes der groÿen Zahlen angeben zu können, benötigen wir eine klare Vorstellung vom Begri des in der Mathematik. Nehmen wir an, dass x1 , x2 , . . . eine unendli he Folge von reellen Zahlen ist und x eine weitere reelle Zahl. In mathematis hen Texten ndet man oft den Ausdru k lim xn = x (4.7)

Grenzwertes

n→∞

was in Worten bedeutet: der Grenzwert von xn ist x, wenn n gegen unendli h geht. Eine andere Formulierung mit glei her Bedeutung ist, dass xn gegen x strebt, wenn n gegen unendli h geht, was man au h als xn → x für n → ∞

(4.8)

s hreiben kann. Was bedeutet das? Die Formulierungen (4.7) und (4.8) besagen, dass man dur h Wahl eines hinrei hend groÿen n errei hen kann, dass xn dem Wert x beliebig nahe kommt. Oder, genauer gesagt: Wel he kleine, aber positive Zahl ε > 0 wir au h wählen, wir nden immer eine endli he Zahl N , so dass |xn − x| < ε für alle n ≥ N gilt. Ein Beispiel: Sei x = 0 und xn = n1 , dann gilt (4.7). Weshalb? Wenn wir ein beliebiges ε > 0 wählen, z. B. ε = 0,001, dann können wir ein N < ∞ nden, so dass |xn − x| < ε

erfüllt ist, wenn n ≥ N gilt; für ε = 0,001 können wir beispielsweise N = 1001 wählen. Bea hte hierbei, dass xn niemals exakt glei h dem Grenzwert x ist  sondern die Folge xn beliebig nahe an x herankommt, wenn n gegen unendli h strebt. Versu hen wir nun, das Gesetz der groÿen Zahlen mit Hilfe dieses Grenzwertbegries auszudrü ken. Nehmen wir  wie früher  an, dass X1 , X2 , . . . unabhängige Zufallsgröÿen mit derselben Verteilung und dem Erwartungswert µ sind. Mit M1 , M2 , . . . seien ihre sukzessiven Mittelwerte bezei hnet, wie sie in (4.1) deniert wurden. Wir wollen eine mathematis he Formulierung dafür nden, dass Mn gegen µ strebt. Bereits im Fall der Münzwürfe im letzten Abs hnitt (wo µ = 12 ist) stoÿen wir jedo h auf gewisse S hwierigkeiten: Nehmen wir ein ε > 0 an, z. B. ε = 0,001. Können wir dann ein endli hes N nden, so dass M n − 1 < ε (4.9) 2

für alle n ≥ N garantiert ist? Nein! Wel hes endli he N wir au h wählen, so gibt es immer ein gewisses Risiko, dass z. B. alle N ersten Münzen Zahl zeigen,

4.2 Das s hwa he und das starke Gesetz der groÿen Zahlen

71

und dann ist (4.9) ni ht erfüllt. Die Wahrs heinli hkeit für ein sol hes extremes Ergebnis kann für einen groÿen Wert von N sehr klein werden, do h sie kann niemals genau Null sein. Deshalb müssen wir das Gesetz der groÿen Zahlen so formulieren, dass wir die Aussage (4.9) ni ht mit vollständiger Si herheit behaupten, sondern uns damit zufrieden geben zu sagen, dass sie mit groÿer Wahrs heinli hkeit gilt  so groÿ, dass sie dur h Wahl eines genügend groÿen N beliebig nahe an 1 herankommt. Satz 4.2 (Das s hwa he Gesetz der groÿen Zahlen).

Seien

X1 , X2 , . . . µ

unabhängige Zufallsgröÿen, die dieselbe Verteilung mit dem Erwartungswert besitzen. Seien biges

M1 , M2 , . . .

deren sukzessive Mittelwerte. Dann gilt für belie-

ε>0

(4.10)

lim P(|Mn − µ| < ε) = 1.

n→∞

Bea hte, dass für kein n ausges hlossen ist, dass Mn auÿerhalb des Intervalls (µ−ε, µ+ε) liegen kann; dagegen besagt der Satz, dass die Wahrs heinli hkeit einer sol hen Abwei hung für n gegen ∞ gegen 0 strebt. Der Satz 4.2 kann als Aussage über die Verteilungen der sukzessiven Mittelwerte M1 , M2 , . . . aufgefasst werden; er besagt, dass si h diese Verteilungen immer stärker um µ konzentrieren. Eine andere Betra htungsweise wäre, sämtli he Zufallsgröÿen Xi zu erzeugen und alle sukzessiven Mittelwerte M1 , M2 , . . . zu bere hnen. Dann könnten wir M1 , M2 , . . . als eine feste Folge ansehen und uns fragen, ob sie gegen µ konvergiert. Tut sie das? Mit wel her Wahrs heinli hkeit? Die nä hste Version des Gesetzes der groÿen Zahlen beantwortet diese Frage. Satz 4.3 (Das starke Gesetz der groÿen Zahlen).

Seien

X1 , X2 , . . .

un-

abhängige Zufallsgröÿen, die dieselbe Verteilung mit dem Erwartungswert besitzen. Seien

M1 , M2 , . . .

µ

deren sukzessive Mittelwerte. Dann gilt

P



 lim Mn = µ = 1 .

n→∞

(4.11)

⋄ ⋄ ⋄ ⋄ Der Unters hied zwis hen den Behauptungen des s hwa hen und des starken Gesetzes der groÿen Zahlen ist etwas subtil, wer diesen Unters hied ni ht sofort erfasst, bendet si h in guter Gesells haft.7 Im Folgenden will i h versu hen, diesen Unters hied zu verdeutli hen, was nebenbei au h zu einer Erklärung der Wörter s hwa hes und starkes der beiden Varianten des Gesetzes der groÿen Zahlen führt. (Wer si h im Moment ni ht mit Beweisführung der höheren 7

I h selbst brau hte mehrere Tage, um diesen Unters hied zu verstehen, als i h als Student das erste Mal mit den Grenzwertbegrien beider Sätze in Kontakt kam  und das trotz der hervorragenden Darstellung im Lehrbu h von Grimmett & Stirzaker (1982), aus dem i h diese Dinge lernte.

72

4 Das Gesetz der groÿen Zahlen

S hule bes häftigen mö hte, kann den Rest des Kapitels überspringen.8 ) Wir beginnen mit einer Denition.

Denition 4.4. Sei

Y1 , Y2 , . . . eine Folge von Zufallsgröÿen, und sei c eine

Konstante.

(a) Die Folge Y1 , Y2 , . . . konvergiert in Wahrs heinli hkeit gegen c (in ZeiP

hen Yn −→ c), wenn für jedes ε > 0 gilt, dass lim P(|Yn − c| < ε) = 1 .

n→∞

(b) Die Folge Y1 , Y2 , . . . konvergiert fast si her9 gegen c (in Zei hen Yn −→ c), wenn   P lim Yn = c = 1 . f.s.

n→∞

In dieser Terminologie besagt das s hwa he Gesetz der groÿen Zahlen, dass die sukzessiven Mittelwerte Mn gegen µ in Wahrs heinli hkeit konvergieren, während gemäÿ des starken Gesetzes der groÿen Zahlen Mn fast si her gegen µ konvergiert. Das folgende Ergebnis  Satz 4.5  bringt zum Ausdru k, dass fast si here Konvergenz die Konvergenz in Wahrs heinli hkeit impliziert. Damit können wir motivieren, weshalb Satz 4.3 das starke Gesetz der groÿen Zahlen genannt wird, während Satz 4.2 das s hwa he Gesetz ist: Wenn wir wissen, dass die Aussage von Satz 4.3 (fast si here Konvergenz) gilt, dann können wir unmittelbar folgern, dass die Aussage von Satz 4.2 (Konvergenz in Wahrs heinli hkeit) ebenfalls gilt.

Satz 4.5. Sei Y1 , Y2 , . . . eine Folge von Zufallsgröÿen, die fast si her gegen eine Konstante c konvergiert, d. h. f.s.

Yn −→ c . Dann gilt au h, dass

Y1 , Y2 , . . . in Wahrs heinli hkeit gegen c konvergiert, d. h. P

Yn −→ c .

8 Andererseits hilft das Lesen und Verstehen des abs hlieÿenden Teil des Kapitels, einen guten Einbli k und ein nützli hes Training in mathematis hen und wahrs heinli hkeitstheoretis hen Beweismethoden zu erhalten. 9 Als Student (siehe Fuÿnote 7 auf S. 71) da hte i h, dass das Wort fast in der Formulierung fast si her unnötig zurü khaltend wäre: Wenn die Wahrs heinli hkeit glei h 1 ist, könnte man do h genauso gut z. B. bombensi her sagen? Der ents heidende Punkt beim Wort fast ist, dass es trotz allem zugelassene Realisierungen gibt, bei dem ein Ereignis ni ht eintrit, dessen Wahrs heinli hkeit 1 ist. Im
Münzwurfbeispiel wissen wir, mit Hilfe von Satz 4.3, dass P limn→∞ Mn = 21 = 1, aber es ist ni ht von vornherein ausges hlossen, dass si h Mn auf eine andere Weise verhält. Beispielsweise können alle Münzen Zahl zeigen, so dass limn→∞ Mn = 1 ist. Allerdings ist dieser abwei hende Fall so ungewöhnli h, dass seine Wahrs heinli hkeit 0 beträgt.

4.2

Das s hwa he und das starke Gesetz der groÿen Zahlen

73

Wir wollen diesen Abs hnitt damit beenden, einen Beweis für diesen Satz anzugeben, der somit zu einer Art Rangordnung der Begrie fast si here Konvergenz und Konvergenz in Wahrs heinli hkeit führt. Zunä hst wollen wir jedo h darauf hinweisen, dass die Umkehrung von Satz 4.5 ni ht gilt. Mit anderen Worten, wenn wir eine Folge Y1 , Y2 , . . . von P Zufallsgröÿen haben, so dass Yn −→ c, dann können wir automatis h folf.s. gern, dass au h Yn −→ c gilt. Um das einzusehen, betra hten wir das folgende

ni ht

Gegenbeispiel.

Beispiel. Wir bilden eine Folge von Zufallsgröÿen

gende Weise deniert sind. Die meisten

Yi

Y1 , Y2 , . . .,

die auf die fol-

besitzen den Wert 0, mit folgenden

Ausnahmen:

• • •

Y1 = 1.

Eine

der Zufallsgröÿen

Y2

und

Y3

wird auf gut Glü k ausgewählt (mit

glei her Wahrs heinli hkeit) und erhält den Wert 1. Unabhängig von der Wahl der Zufallsgröÿe im zweiten Punkt wird Zufallsgröÿen

Y4 , Y5 , Y6 , Y7

eine der

auf gut Glü k ausgewählt (mit glei her Wahr-

s heinli hkeit) und erhält den Wert 1.

•

Von der bisherigen Wahl der Zufallsgröÿen

Y1 , . . . , Y7

unabhängig wird

eine der Zufallsgröÿen Y8 , . . . , Y15 auf gut Glü k ausgewählt (mit glei her Wahrs heinli hkeit) und erhält den Wert 1.

•

Und so weiter . . .

Die übrigen Zufallsgröÿen

Yi

erhalten den Wert 0. Somit nehmen sämtli he

Yi

einen der Werte 0 und 1 an, wobei

P(Yi = 1) =

gilt. Hieraus folgt für jedes

 1     1    2     41           

ε > 0,

1 8 1 16 . . .

für

i=1

für

i = 2, 3

für

i = 4, . . . , 7

für

i = 8, . . . , 15

für

i = 16, . . . , 31

. . .

dass

lim P(|Yn − 0| < ε) ≥ lim P(Yn = 0) = 1

n→∞

n→∞

erfüllt ist, und wir können folgern, dass P strebt: Yn −→ 0.

Yn

in Wahrs heinli hkeit gegen

Andererseits wissen wir mit Si herheit, dass unendli h viele der

Wert 1 annehmen werden, so dass

P gilt. Demzufolge konvergiert



Yn

 lim Yn = 0 = 0

n→∞

ni ht fast si her gegen 0.

Yi

0

den

74

4 Das Gesetz der groÿen Zahlen

Dieses Beispiel zeigt eine Folge von Zufallsgröÿen, die zwar in Wahrs heinli hkeit, jedo h ni ht fast si her, gegen 0 konvergiert. Somit sind die beiden ⊓ ⊔ Konvergenzbegrie ni ht äquivalent. Jetzt der verspro hene Beweis. Beweis (von Satz 4.5).

f.s.

Es gelte Yn −→ c, und δ, ε > 0 seien zwei beliebig f.s.

gewählte positive Zahlen. Wenn Yn −→ c gilt, existieren mit Wahrs heinli hkeit 1 ni ht mehr als endli h viele Zufallsgröÿen Yi , deren Abstand zu c mindestens ε beträgt. Deniere jetzt eine Zufallsgröÿe Z als Index i für die letzten der Werte Yi , die von c mindestens um den Betrag ε abwei hen. Z ist dann mit Wahrs heinli hkeit 1 endli h. Deshalb kann man eine feste Zahl N nden, die hinrei hend groÿ ist, damit die Wahrs heinli hkeit P(Z ≥ N ) kleiner als δ ist. Für jedes n ≥ N gilt dann: P(|Yn − c| ≥ ε) ≤ P(Z ≥ n) ≤ P(Z ≥ N ) < δ.

Weil δ > 0 beliebig gewählt war, können wir lim P(|Yn − c| ≥ ε) = 0

n→∞

folgern, was glei hbedeutend mit lim P(|Yn − c| < ε) = 1

n→∞

P

ist. Weil au h ε beliebig gewählt wurde, ist damit Yn −→ c gezeigt.

⊓ ⊔

4.3 Wie man das Gesetz der groÿen Zahlen beweist

In diesem Abs hnitt mö hte i h einige der Beweisansätze vorstellen, mit denen man das s hwa he bzw. das starke Gesetz der groÿen Zahlen beweisen kann. Um gewisse Komplikationen im Beweis (der ohnehin lang genug wird!) auszus hlieÿen werde i h mi h auf einen Spezialfall bes hränken  die Münzwürfe im Abs hnitt 4.1. Seien deshalb X1 , X2 , . . . unabhängige Zufallsgröÿen, so dass ( 0 mit Wahrs heinli hkeit 12 Xi = 1 mit Wahrs heinli hkeit 12 gilt, was (wie wir zuvor gesehen hatten) dazu führt, dass sie den Erwartungswert E[Xi ] = 12 besitzen. Weiterhin seien S1 , S2 , . . . und M1 , M2 , . . . die sukzessiven Summen bzw. Mittelwerte der Zufallsgröÿen Xi , wie sie in (4.3) und (4.4) deniert wurden. Zur Analyse dieser Gröÿen müssen wir einige Re henregeln für Erwartungswerte anwenden. Diese sind ans hauli h einleu htend, so dass wir an dieser Stelle auf ihren Beweis verzi hten wollen:

4.3

Wie man das Gesetz der groÿen Zahlen beweist

Lemma 4.6. Für beliebige Zufallsgröÿen Y1 , . . . , Yn

75

und eine beliebige Zahl

a

gilt

E[Y1 + Y2 + · · · + Yn ] = E[Y1 ] + E[Y2 ] + · · · + E[Yn ]

(4.12)

E[a Y1 ] = a E[Y1 ] .

(4.13)

und

Mit anderen Worten: Summieren wir zwei oder mehr Zufallsgröÿen, so ist der Erwartungswert der Summe glei h der Summe ihrer Erwartungswerte. Multiplizieren wir eine Zufallsgröÿe mit einer Konstanten a, so wird au h ihr Erwartungswert mit a multipliziert. Mit Hilfe von (4.12) nden wir, dass E[Sn ] = E[X1 + X2 + · · · + Xn ] = E[X1 ] + E[X2 ] + · · · + E[Xn ] n 1 = n· = 2 2

gilt, und mit Hilfe von (4.13) erhalten wir   Sn E[Sn ] E[Mn ] = E = n n n/2 1 = = . n 2

(4.14)

Da es unser Ziel ist, die Gesetze der groÿen Zahlen zu beweisen  was im Fall der Münzwürfe bedeutet, dass Mn nahe an 12 herankommt  ist die Beziehung (4.14) eine ausgespro hen gute Na hri ht: Mn besitzt den ri htigen Erwartungswert. Allerdings sagt dieser Erwartungswert bei weitem ni ht alles über die Verteilung der Mn aus. Insbesondere harakterisiert er ni ht die Streuung der Werte um den Erwartungswert herum. Ein gutes Maÿ für diese Streuung einer Zufallsgröÿen bzw. ihrer Verteilung um den Erwartungswert ist die so genannte Varianz:

Denition 4.7. Eine Zufallsgröÿe Varianz Var[Y ], die dur h

Y

mit

Erwartungswert

Var[Y ] = E[(Y − µ)2 ]

µ

besitzt

die

(4.15)

bere hnet wird.

Der Ausdru k (Y − µ)2 in (4.15) ist das Quadrat der Abwei hung der Zufallsgröÿen Y von ihrem Erwartungswert, und die Varianz Var[Y ] kann deshalb als mittlere quadratis he Abwei hung der Zufallsgröÿe Y von ihrem Erwartungswert bes hrieben werden.10 10

In diesem Zusammenhang ergibt si h die Frage, weshalb man ni ht die dur h-

s hnittli he

absolute

Abwei hung

E[|Y − µ|]

verwendet. Dieses Streumaÿ ers heint

76

4 Das Gesetz der groÿen Zahlen

Nehmen wir jetzt an, dass Var[Mn ] = E[(Mn − 12 )2 ] klein ist. Dann kann die Wahrs heinli hkeit, dass Mn wesentli h von 12 abwei ht, vernünftigerweise ni ht allzu groÿ sein. Dieser Gedanke wird dur h das folgende Lemma präzisiert.11 Lemma 4.8.

ε > 0 gilt:   1 Var[Mn ] P M n − ≥ ε ≤ . 2 ε2

Für beliebiges

(4.16)

Ist dieses Lemma bewiesen, rei ht es also aus zu zeigen, dass Var[Mn ] → 0 für n → ∞ gilt, um folgern zu können, dass au h P(|Mn − 21 | ≥ ε) gegen 0 strebt. Genau das müssen wir für das s hwa he Gesetz der groÿen Zahlen für Münzwürfe zeigen. Beweis (von Lemma 4.8).

Sei Zn = (Mn − 12 )2 , so dass Var[Mn ] = E[Zn ] .

Wir nehmen eine neue Zufallsgröÿe Zn∗ zu Hilfe, die so deniert wird, dass sie die beiden mögli hen Werte ε2 und 0 gemäÿ der folgenden Regel annimmt Zn∗

=



ε2 wenn Zn ≥ ε2 0 wenn Zn < ε2 .

(4.17)

Zn∗ ≤ Zn .

(4.18)

Im Fall Zn∗ = ε2 gilt oenbar Weil Zn = (Mn − 12 )2 ein Quadrat ist, kann diese Zufallsgröÿe niemals negativ werden, und deshalb gilt (4.18) au h im Fall Zn∗ = 0. Somit gilt (4.18) immer, so dass au h die entspre hende Unglei hung für die Erwartungswerte der beiden Zufallsgröÿen gilt: E[Zn∗ ] ≤ E[Zn ] .

(4.19)

genauso natürli h wie die Varianz. Allerdings besitzt die Varianz groÿe mathematis he Vorteile. Unter anderem kann man zeigen, dass für unabhängige Zufallsgröÿen Y1 , . . . , Yn die Beziehung Var[Y1 + · · · + Yn ] = Var[Y1 ] + · · · Var[Yn ] gilt; eine entspre hende Formel gibt es für die absolute Abwei hung ni ht. 11 Das Lemma ist ein Spezialfall der so genannten Ts hebys hovs hen Unglei hung. Diese besagt, dass die Wahrs heinli hkeit, dass eine Zufallsgröÿe Y von ih] rem Erwartungswert µ mindestens den Abstand ε besitzt, hö hstens glei h Var[Y ε2 ist. (Die frühere Transkription lautete im Deuts hen Ts hebys he; die korrekte S hreibweise Ts hebys hov  analog zu Gorbats hov  setzt si h erst langsam dur h, Anm. d. Übers.).

4.3 Wie man das Gesetz der groÿen Zahlen beweist

77

Weiterhin kann E[Zn∗ ] mit Hilfe von (4.17) als E[Zn∗ ] = ε2 · P(Zn∗ = ε2 ) + 0 · P(Zn∗ = 0) = ε2 · P(Zn∗ = ε2 ) = ε2 · P(Zn ≥ ε2 )

ausgedrü kt werden, woraus wir die Beziehung P(Zn ≥ ε2 ) =

E[Zn∗ ] ε2

ableiten können. In Verbindung mit (4.19) ergibt si h daraus E[Zn ] , ε2

P(Zn ≥ ε2 ) ≤

und wenn wir s hlieÿli h bea hten, dass |Mn − 12 | ≥ ε dann und nur dann gilt, wenn Zn ≥ ε2 ist, erhalten wir   1 P Mn − ≥ ε = P(Zn ≥ ε2 ) 2 Var[Mn ] E[Zn ] = , ≤ ε2 ε2 und das Lemma ist bewiesen.

⊓ ⊔

Um Lemma 4.8 zum Beweis des s hwa hen Gesetzes für Münzwürfe anwenden zu können, benötigen wir no h eine Abs hätzung der Varianz Var[Mn ]  die ja auf der re hten Seite von (4.16) steht. Dies leistet das nä hste Lemma: Lemma 4.9. Für die Varianz von

Mn

gilt

Var[Mn ] =

1 . 4n

(4.20)

12

Dieser Beweis erfordert eine lange Re hnung. Wir wollen sie beginnen, indem wir die Denition der Varianz und die Denition (4.4) von Mn ausnutzen sowie eine weitere Umformung dur hführen. Dabei ergibt si h: Beweis.

12

Gewöhnli h wird der Beweis von (4.20) und ähnli hen Varianzformeln auf et-

was andere Weise geführt. Beispielsweise kann man zunä hst die Varianz bere hnen (was bedeutend einfa her ist, weil

Var[Xi ] Xi nur zwei mögli he Werte annimmt)

und dann allgemeine Re henregeln für die Varianz von Summen und Linearkombinationen anwenden, wie die in Fuÿnote 10 auf S. 76. Auf den ersten Bli k führt das zu kürzeren Beweisen; do h man muss si h darüber im Klaren sein, dass der Beweis von Varianzformeln, wie der in Fuÿnote 10, darauf aufbaut, dass für unabhängige Zufallsgröÿen

X und Y die Beziehung E[X Y ] = E[X] E[Y ] erfüllt ist.

Dieser Zusammenhang ist zweifellos wahr, aber sein Beweis ist ni ht ganz so einfa h und wird deshalb gewöhnli h in grundlegenden Lehrbü hern ausgelassen. Wir zeigen Lemma 4.9 stattdessen von Grund auf ohne die Anwendung von unbewiesenen Varianzformeln.

78

4 Das Gesetz der groÿen Zahlen

" 2 # 1 Var[Mn ] = E Mn − 2 " 2 # X1 + X2 + · · · + Xn 1 =E − n 2 "  # X1 + X2 + · · · + Xn − n2 2 =E n " 2 # (X1 − 12 ) + (X2 − 12 ) + · · · + (Xn − 21 ) =E n   ((X1 − 21 ) + (X2 − 12 ) + · · · + (Xn − 12 ))2 . =E n2 1

Die Re henregel (4.13) erlaubt uns, den Faktor n2 aus dem Erwartungswert herauszuziehen, so dass wir die Re hnung folgendermaÿen fortsetzen können:

 ((X1 − 12 ) + (X2 − 12 ) + · · · + (Xn − 21 ))2 n2 "     2 # 1 1 1 1 E X1 − + X2 − + · · · + Xn − n2 2 2 2   !  2 n  1 1  X  E X − i n2 2 i=1    ! X  n  n  X 1  1 1   E Xi − Xj − n2 2 2 i=1 j=1     n n  1 X X 1  1 E X − X − j i n2 2 2 i=1 j=1

Var[Mn ] = E =

=

=

=

=



   n n 1 1 1 XX E X − X − , i j n2 i=1 j=1 2 2

(4.21)

wobei die letzte Zeile die Re henregel (4.12) benutzt. Als nä hstes müssen wir jetzt den Erwartungswert

E[(Xi − 12 )(Xj − 12 )]

von (4.21) analysieren.

die Werte 0 oder 1 jeweils mit der Wahrs heinli hkeit 1 2 annimmt, 1 1 ist der erste Faktor (Xi − 2 ) glei h ± 2 . Dabei ist die Wahrs heinli hkeit für Weil

Xi

1

das positive bzw. negative Vorzei hen au h 2 . Dasselbe gilt für den anderen 1 1 1 Faktor (Xj − 2 ); das Produkt wird 4 oder − 4 , abhängig davon, ob Xi = Xj

gilt oder ni ht. Somit müssen wir im Folgenden zwei Fälle separat betra hten,

nämli h

•

Mit

i=j

i=j

bzw.

i 6= j :

gilt (notwendigerweise)

Xi = Xj ,

(Xi − 12 )(Xj − 21 ) = 14 E[(Xi − 12 )(Xj − 21 )] = 14 .

so dass

mit Wahrs heinli hkeit 1 ist. Also erhalten wir

4.3

•

Wenn 1

i 6= j

gilt, ist

Wie man das Gesetz der groÿen Zahlen beweist

Xi = Xj

oder

Xi 6= Xj 1

79

jeweils mit der Wahrs heinli h1

keit 2 , so dass das Produkt (Xi − 2 )(Xj − 2 ) jeweils mit der Wahrs hein1 1 1 1 1 li hkeit 2 glei h 4 oder − 4 wird. Der Erwartungswert E[(Xi − 2 )(Xj − 2 )] 1

wird dann glei h 2

·

1 4

+

1 2

· (− 14 ) = 0.

Zusammenfassend bedeutet das, dass von den sind, auÿer den

n

n2

Termen in (4.21) alle glei h 0

Termen, die den Fällen entspre hen, wenn

i=j

ist, und

1

von denen jeder glei h 4 ist. Die lange Re hnung auf der vorigen Seite führt also auf

   n n 1 XX 1 1 Var[Mn ] = 2 Xj − E Xi − n i=1 j=1 2 2 =

1 1 1 ·n· = n2 4 4n

⊓ ⊔

und das Lemma ist bewiesen.

Ausgerüstet mit den Lemmata 4.8 und 4.9 können wir den Beweis des s hwa hen Gesetzes der groÿen Zahlen für Münzwürfe auf folgende Weise zusammenfügen.

Beweis (von Satz 4.2 im Fall der Münzwürfe). Wähle ein beliebiges Lemma 4.9 besagt, dass Var[Mn ] von Lemma 4.8 ein, erhalten wir

 P Mn −

=

 1 Var[Mn ] ≥ ε ≤ 2 ε2 1 . = 4nε2

n → ∞ strebt. Somit   1 lim P Mn − < ε = 1 , n→∞ 2

Dieser Ausdru k geht gegen 0, wenn

und weil

ε > 0

ε > 0.

1 4n ist. Setzen wir dieses Ergebnis in (4.16)

(4.22) erhalten wir

beliebig gewählt war, haben wir das s hwa he Gesetz der

groÿen Zahlen für Münzwürfe bewiesen.

⊓ ⊔

⋄ ⋄ ⋄ ⋄ Na hdem wir gezeigt haben, dass die Münzwürfe das s hwa he Gesetz der groÿen Zahlen erfüllen, wollen wir im nä hsten S hritt beweisen, dass sie au h das starke Gesetz der groÿen Zahlen erfüllen. Wie wir im Abs hnitt 4.2 gesehen haben, ist es ni ht selbstverständli h, dass au h das starke Gesetz der groÿen Zahlen gilt, nur weil das s hwa he Gesetz Gültigkeit besitzt.

80

4 Das Gesetz der groÿen Zahlen

Wähle ein beliebiges ε > 0. Sei An das Ereignis, dass die Abwei hung |Mn − 12 | den Wert ε übers hreitet. Um das starke Gesetz der groÿen Zahlen für Münzwürfe zu beweisen, müssen wir zeigen, dass die Abwei hung |Mn − 12 | mit Wahrs heinli hkeit 1 den Wert ε hö hstens endli h oft übertrit. Mit anderen Worten: Wir wollen zeigen, dass hö hstens endli h viele der Ereignisse A1 , A2 , . . . eintreen. Eine in der Wahrs heinli hkeitsre hnung oft benutzte Strategie, um zu zeigen, dass nur endli h viele Ereignisse einer Folge A1 , A2 , . . . eintreen, ist, die Summe der Wahrs heinli hkeiten der vers hiedenen Ereignisse abzus hätzen. Diese Summe ist glei h der erwarteten Anzahl von Ereignissen die eintreen, und wenn mit positiver Wahrs heinli hkeit unendli h viele von ihnen eintreffen, so muss natürli h der Erwartungswert der Anzahl der eintreenden Ereignisse unendli h sein. Umgekehrt gilt deshalb, wenn die erwartete Anzahl von eintreenden Ereignissen endli h ist, d. h. wenn die Summe ∞ X

(4.23)

P(An )

n=1

endli h ist, dann wissen wir, dass mit Wahrs heinli hkeit 1 hö hstens endli h viele der Ereignisse An eintreen.13 Um s hlieÿli h zeigen zu können, dass die Summe in (4.23) endli h ist, müssen wir ihre Terme abs hätzen. Eine sol he Abs hätzung zeigten wir bereits in (4.22), und mit ihrer Hilfe erhalten wir ∞ X

n=1

P(An ) ≤ =

∞ X

1 2 4nε n=1 ∞ 1 X1 . 4ε2 n=1 n

(4.24)

P 1 Wenn wir jetzt zeigen könnten, dass die re hte Seite 4ε12 ∞ n=1 n endli h ist, wäre alles klar. Leider ist dies jedo h ni ht so einfa h, denn es ist bekannt, dass die Summe ∞ X 1 n=1

n

harmonis he Reihe bezei hnet wird  unendli h ist (siehe An-

 die als hang A).14 13 14

Diese Tatsa he ist als Lemma von

P

BorelCantelli

bekannt.

Dass die re hte Seite von (4.24) unendli h ist, bedeutet jedo h ni ht notwendig,

dass das au h für die linke Seite

∞ n=1

P(An ) gilt. Mit verfeinerten Methoden (siehe deviations) in Durrett, 1991) kann man tatsä hli h Abs hätzungen von P(An ) erhalten, die deutli h besser sind ∞ als die von (4.22), so dass man mit ihnen n=1 P(An ) < ∞ zeigen kann. Damit ist z. B. den Abs hnitt über groÿe Abwei hungen (large

P

der Beweis des starken Gesetzes der groÿen Zahlen abges hlossen.

Im Folgenden wählen wir jedo h eine andere Methode zum Abs hluss des Beweises.

4.3

Wie man das Gesetz der groÿen Zahlen beweist

81

Deshalb müssen wir einen Tri k nden! Zunä hst betra hten wir statt

aller

Ereignissen

A1 , A2 , . . .

nur die Ereignisse

mieren wir die Wahrs heinli hkeiten

dieser

A1 , A2 , A9 , . . . , Ak2 , . . ..

Sum-

Ereignisse, erhalten wir (dur h

Ausnutzen von (4.22) auf die glei he Weise wie in (4.24)) die Abs hätzung

∞ X

k=1

P(Ak2 ) ≤ =

∞ X

k=1

1 4 k 2 ε2

∞ 1 X 1 . 4ε2 k2 k=1

Dies ist besser, weil die Summe dass wir

∞ X

k=1 ableiten können, woraus si h

P(hö hstens

1 15 ist (siehe Anhang A), so k=1 k2 endli h

P∞

P(Ak2 ) < ∞

endli h viele der Ereignisse

A1 , A4 , A9 , . . .

treen ein)

= 1 (4.25)

ergibt. Trotz dieses Forts hritts sind wir no h ni ht am Ziel, denn (4.25) sagt nur etwas über eine gewisse

Teilmenge

der Ereignisse

A1 , A2 , . . .

aus, ni ht über

die gesamte Reihe. Denno h wird es si h zeigen, dass (4.25) eine S hlüsselrolle auf dem Weg zum Beweis des starken Gesetzes der groÿen Zahlen spielt. Weil

ε > 0 wieder beliebig war, können wir (4.25) als folgendes Lemma formulieren: Lemma 4.10.

Für beliebiges ε > 0 ergibt si h

 1 P Mk2 − ≥ ε 2

für hö hstens endli h viele ganze Zahlen k



= 1.

Wir werden jetzt den Beweis des starken Gesetzes der groÿen Zahlen für Münzwürfe mit Hilfe einer eleganten, allgemeinen mathematis hen Te hnik, dem Widerspru hsbeweis, abs hlieÿen. Wir behaupten ganz einfa h, dass das gewüns hte starke Gesetz der groÿen Zahlen

ni ht wahr ist  und zeigen,

dass dies zu einem Widerspru h führt. Dann kann die Behauptung nur fals h sein, so dass das starke Gesetz der groÿen Zahlen wahr ist, womit der Beweis vorliegt. Diese Vorgehensweise führt uns auf den Widerspru h, dass das Lemma 4.10 ni ht wahr sein soll  obwohl wir ja gerade gezeigt haben, dass dieses Lemma wahr ist. Nehmen wir also an, dass das starke Gesetz der groÿen Zahlen ε′ > 0, so dass

ni ht

für

Münzwürfe gilt. Dann existiert ein

15

 P Mn −

1 ≥ ε′ 2

für unendli h viele

Das exakte Ergebnis dieser Summe ist

π2 . 6

n



> 0

(4.26)

82

4 Das Gesetz der groÿen Zahlen

gilt. Wenn das Ereignis von (4.26) eintrit, muss au h mindestens eines der folgenden beiden Ereignisse (a) und (b) eintreen: (a) Mn ≥ (b) Mn ≤

1 2 1 2

+ ε′ für unendli h viele n, − ε′ für unendli h viele n.

Nehmen wir an, dass (a) eintrit; der Fall (b) kann ganz analog behandelt werden. Die Idee dieses Beweises ist die folgende: Wenn Mn ≥ 21 + ε′ für ein hinrei hend groÿes n gilt, dann ist es ni ht mögli h, dass der Mittelwert  während n bis zum nä hsten ganzen Quadrat k 2 wä hst  soweit absinkt, dass au h Mk2 den Wert 12 mit einem gewissen ε übers hreitet. Da dies für unendli h viele n gilt, entsteht ein Widerspru h zu Lemma 4.10. Die Menge der ganzen Zahlen kann in endli he Teilintervalle des Typs {(k − 1)2 + 1, (k − 1)2 + 2, . . . , k 2 − 1, k 2 } zerlegt werden, und wenn (a) eintrit, dann muss das Ereignis Mn ≥ 12 + ε′ au h bei unendli h vielen dieser Teilintervalle eintreen. Sei n ein groÿer Wert, für den Mn ≥ 21 + ε′ gilt, und sei k 2 die obere Grenze seines Teilintervalls. Damit ergibt si h Sn = n M n   1 ′ ≥n +ε , 2

und weil die Anzahl der Zahl-Würfe Sn ni ht geringer werden kann, wenn die Anzahl der Münzwürfe steigt, erhalten wir   1 Sk 2 ≥ n + ε′ 2   1 + ε′ , ≥ (k − 1)2 2 wobei die zweite Unglei hung daraus folgt, dass n im Teilintervall {(k − 1)2 + 1, (k − 1)2 + 2, . . . , k 2 − 1, k 2 } liegt, so dass n ≥ k − 1 ist. Die Division dur h k 2 ergibt   Sk 2 (k − 1)2 1 ′ Mk 2 = 2 ≥ (4.27) +ε . k k2 2 ′

Wähle jetzt ein ε zwis hen 0 und ε′ ; z. B. können wir ε = ε2 annehmen. Wenn (a) eintrit, muss die Unglei hung (4.27) für unendli h viele Quadra2 von (4.27) für k → ∞ gegen 1 geht, muss te k 2 gelten. Da der Faktor (k−1) k2 au h 1 Mk 2 ≥ + ε 2 für unendli h viele k gelten. Und all dies muss im Hinbli k auf (4.26) mit positiver Wahrs heinli hkeit ges hehen, so dass

4.3 Wie man das Gesetz der groÿen Zahlen beweist



P Mk 2 ≥

1 + ε für unendli h viele ganze Zahlen k 2



83

(4.28)

> 0.

Wie gewüns ht, widerspri ht dies jedo h Lemma 4.10. Damit stellen wir fest, dass die Annahme, das starke Gesetz der groÿen Zahlen würde (für Münzwürfe) ni ht gelten, fals h sein muss. Es verbleibt nur die Mögli hkeit, dass das starke Gesetz der groÿen Zahlen (für Münzwürfe) wahr ist, was den Beweis abs hlieÿt.

⋄ ⋄ ⋄ ⋄

Zum S hluss einige Anmerkungen zu den zusätzli h notwendigen Voraussetzungen, um das s hwa he und starke Gesetz der groÿen Zahlen  über das Münzwurfbeispiel hinaus  verallgemeinern zu können. Wenn die Zufallsgröÿen Xi sind (in dem Sinne, dass ein endli hes M existiert, so dass P(−M < Xi < M ) = 1 ist), verläuft der Beweis sowohl des s hwa hen als au h des starken Gesetzes der groÿen Zahlen im Groÿen und Ganzen wie oben. Der einzig wesentli he Unters hied ist, dass das Lemma 4.9 (mit Zn := (Mn − µ)2 ) und die Re hnung innerhalb seines Beweises etwas anders aussehen; die re hte Seite von (4.20) wird in diesem i] etwas allgemeineren Fall zu Var[X . n Wenn die Xi sind, ergeben si h  je na hdem, ob der Erwartungswert E[Xi2 ] der Zufallsgröÿen endli h ist oder ni ht  mehr oder weniger zusätzli he Probleme.16 Wenn E[Xi2 ] < ∞ ist, verläuft der Beweis des s hwa hen Gesetzes der groÿen Zahlen auf die glei he Art und Weise wie im Fall der bes hränkten Zufallsgröÿen. Der Beweis des starken Gesetzes der groÿen Zahlen kann na h dem glei hen S hema wie oben geführt werden, wobei der Widerspru hsbeweis von (a) bis (4.28) etwas komplizierter wird, weil ein Teil der Ereignisse, von denen oben gesagt wird, dass sie eintreen, ni ht länger si her sind, aber do h ges hehen, was sorgfältig quantiziert werden muss.17 Wenn s hlieÿli h E[Xi2 ] = ∞ gilt, kann man die oben stehende Beweisführung gar ni ht mehr anwenden, ni ht einmal für das s hwa he Gesetz der groÿen Zahlen. (In diesem Fall wird die Varianz in Lemma 4.9 unendli h, und deshalb kann das Lemma 4.8 ni ht zu Hilfe genommen werden.) Man muss si h anderer Methoden bedienen: Für das s hwa he Gesetz der groÿen Zahlen verwendet man oft eine Methode, die die Zufallsgröÿen auf geniale Weise abs hneidet (als Alternative existiert eine Methode mit Fouriertransformation), während das starke Gesetz der groÿen Zahlen mit Argumenten aus der so genannten Martingaltheorie bewiesen werden kann. Diese s hlagkräftigen Beweismethoden können beispielsweise in Feller (1957), Durrett (1991), und Williams (1991) na hgelesen werden.

bes hränkt

unbes hränkt quadrierten

si her mit hoher Wahrs heinli hkeit

16

Die Bedingung

Var[Xi ] endli h ist. 17

E[Xi2 ] < ∞ ist äquivalent zur Bedingung, dass die Varianz 4

Wenn man eine Annahme über ein endli hes viertes Moment (E[Xi

] < ∞)

hinzufügt, gibt es einen anderen, äuÿerst eleganten Beweis, siehe z. B. Durrett (1991), Seite 41.

5 Perkolation

Es ist an der Zeit zu klären, was mit dem Titel des Bu hes  Die Ernte

1 Mathematik kann man (entpre hend

des Zufalls  eigentli h gemeint ist.

einer weit verbreiteten Metapher) mit der Feldwirts haft verglei hen  man sät etwas, um später die Frü hte ernten zu können. Die Saat besteht in der Mathematik aus Axiomen und Modellannahmen. Wenn diese formuliert sind, gilt es abzuwarten, wel he Ernte in Form von Re hnungen, Sätzen und anderen Ergebnissen eingebra ht werden kann. Damit si h der Aufwand lohnt, muss natürli h gesi hert sein, dass die Ernte bedeutend gröÿer ist als die Saat. Das gilt au h für die Mathematik, denn ein gutes Kriterium für ästhetis he Mathematik ist, dass s heinbar einfa he Modellannahmen zu weitrei henden, tiefen  und viellei ht sogar überras hen-

2

den  Ergebnissen führen.

Eine der wi htigsten Bots haften, die i h mit diesem Bu h vermitteln mö hte, ist, dass viele Gebiete der Wahrs heinli hkeitstheorie rei hen Ertrag bringen. Einige von ihnen haben wir bereits kennen gelernt  z. B. eine relativ komplexe S hlussweise im Kapitel 4, die zur Bes hreibung eines einfa hen

1

In der s hwedis hen Originalausgabe ers hien das Bu h unter dem Titel Die

Ernte des Zufalls; für die deuts he Ausgabe wurde der Untertitel der s hwedis hen Ausgabe als Titel gewählt (Anm. d. Übers.).

2

Ein nahe verwandtes Kriterium ist, dass für s heinbar einfa he Fragen die Ant-

worten s hwer zu nden sind und komplex sein können. Ein sehr s hones Beispiel dafür ist die Frage Gibt es positive ganze Zahlen x, y , z und n ≥ 3, so dass xn + y n = z n ist?. Der französis he Mathematiker Pierre de Fermat hatte im 17. Jahrhundert behauptet, dass er einen Beweis dafür gefunden habe, dass die Frage verneint werden müsse. Do h weil er ihn ni ht veröentli ht hatte, zweifeln die Experten der Na hwelt, dass er ihn wirkli h gefunden hatte. Es dauerte sogar bis 1994, bevor der Engländer Andrew Wiles einen korrekten Beweis vorlegte. Der Beweis von Wiles ist mehrere hundert Seiten lang und baut seinerseits auf mehreren tausend Seiten Hintergrundmaterial auf ! Siehe Singh (1997) für eine gut lesbare populärwissens haftli he Darstellung des Problems von Fermat und der Lösung von Wiles.

86

5 Perkolation

Sa hverhaltes wie wiederholte Münzwürfe notwendig war. In diesem Kapitel werden wir uns mit einem weiteren, meiner Meinung na h sehr überzeugenden Beispiel bes häftigen: der

Perkolationstheorie. Sie ist ein Zweig der Wahr-

s heinli hkeitstheorie, dessen Fors hung der letzten Jahrzehnte mit minimaler

3

Saat eine wirkli h rei he Ernte eingebra ht hat.

Was ist eigentli h Perkolation? Die Bro khaus Enzyklopädie gibt folgende Erklärung.

Perkolation (lat. olare das Dur hseihen`) die, 1) Biologie, Chemie, Pharmazie: Verfahren zur Extraktion von Panzeninhaltsstoen (Perkolaten) aus gepulverten Panzenteilen dur h Kaltextraktion in einer besonders konstruierten Apparatur, dem Perkolator. 2) Bodenkunde Versi kern des Bodenwassers bis zum Grund- oder 4

Stauwasser.

Beide hier angegebenen Bedeutungen spre hen von einer Flüssigkeit, die ein poröses Material dur hdringt. Wollen wir ein sol hes Phänomen mit Hilfe einer mathematis her Modellierung abbilden und verstehen, sieht man s hnell ein, dass es unrealistis h wäre, jede kleine Pore des Materials im Detail zu bes hreiben. Dagegen kann man si h die Poren im Material mittels eines wahrs heinli hkeitstheoretis hen Modells zufällig generiert vorstellen  dieser Ansatz ist (zumindest historis h gesehen) der Ausgangspunkt der Perkolationstheorie. Na hdem wir im Abs hnitt 5.1 den

Graphenbegri in der Mathematik

diskutiert haben  der ein wi htiges Arbeitsmittel der Perkolationstheorie ist  werden wir im Abs hnitt 5.2 das zu Grunde liegende mathematis he Modell der Perkolationstheorie formulieren und die bekanntesten Ergebnisse und oenen Probleme dieses Gebietes kennen lernen. Dana h versu hen wir im Abs hnitt 5.3 einige Gedankengänge und Beweisideen zu verstehen, die zu diesen Ergebnissen führen und skizzieren ans hlieÿend in den Abs hnitten 5.4 und 5.5 einige Themen, denen man in der weitergehenden Fors hung zur Perkolationstheorie begegnet.

3 Auÿerdem ist es au h eines der Gebiete, auf dem i h selbst viel gefors ht habe; gegen Ende dieses Kapitels werde i h einige Ergebnisse anspre hen. 4 Bro khaus Enzyklopädie (1996), 20. Auage, Band 16. In der 17. Auage ndet man zu 2) no h ausführli her: Bodenkunde Dur hsi kern des der S hwerkraft folgenden Bodenwassers dur h die Makroporen den Bodens. Es kann u. a. zur Lösung und Wegfuhr bestimmter Bodenteile beitragen (Anm. d. Übers.).

5.1 Graphen

87

5.1 Graphen

Um die Modelle der Perkolationstheorie diskutieren zu können, müssen wir zunä hst den mathematis hen Begri Graph kennen lernen. Ein Graph besteht aus (i) einer Menge von Knoten x1 , . . . , xn , und (ii) einer Menge von Kanten e1 , . . . , em , wobei jede Kante zwei Knoten verbindet. Einen Graphen kann man sehr gut verans hauli hen, indem man seine Knoten als Punkte in der Ebene zei hnet und die Kanten als Linien zwis hen den Knoten, die die Knoten verbinden; siehe Abb. 5.1. Eine Kante e, die die beiden Knoten xi und xj verbindet, wird oft mit e = hxi , xj i

PSfrag repla ements

bezei hnet.

x1

e1

e2

e3

x3 x2

e4

e6

e5

x5

x4

e7

e8

x6

e10

e9

x7

Abb. 5.1. Ein Graph

menge

G1 mit der Knotenmenge {x1 , x2 , . . . , x7 } und der Kanten{e1 = hx1 , x2 i, e2 = hx1 , x3 i, . . . , e10 = hx6 , x7 i}.

Wer mö hte, kann Graphen au h als völlig abstrakte mathematis he Objekte ansehen. Ihr Studium führt auf das Gebiet der Graphentheorie, eines der besonders aktiven Fors hungsgebiete der Mathematik.5 Darüber hinaus besitzen Graphen eine Vielzahl natürli her Anwendungen. Beispielsweise können die Knoten Flugplätze repräsentieren, und ein Knotenpaar wird genau dann dur h eine Kante verbunden, wenn es eine direkte Flugverbindung zwis hen den beiden Flugplätzen gibt. Eine andere Interpretation wird ausführli h im Kapitel 6 diskutiert, wo die Graphen soziale Netzwerke darstellen: Die 5

Siehe z. B. Bollobás (1998) oder Diestel (2000).

88

5 Perkolation

Knoten sind Personen, während eine Kante zwis hen zwei Knoten anzeigt, dass si h die beiden Personen kennen. Für die dritte in der Perkolationstheorie relevante Deutung stellt man si h Graphen als Modelle für poröses Material vor, bei denen die Kanten die Poren des Materials darstellen und die Knoten ihre Verknüpfungspunkte. Wer mö hte, ndet si her weitere mögli he Interpretationen für Graphen. Die Graphentheorie ist ein hervorragendes Beispiel für die groÿe Leistungsfähigkeit abstrakter Mathematik  einer Mathematik, die die spezielle Anwendung, für die sie zunä hst geda ht war, beiseite lässt, um stattdessen die mathematis hen Objekte selbst zu untersu hen. Vielfa h erweisen si h zwei oder mehrere dem ersten Ans hein na h ni ht verwandte Anwendungen dur h Übertragung in eine formale mathematis he Bes hreibung als äquivalent und können deshalb mit den glei hen Methoden bearbeitet werden. Ein Paradebeispiel mit graphentheoretis hem Hintergrund werden wir ausführli h in Kapitel 7 im Zusammenhang mit Irrfahrten und Glei hstromkreisen untersu hen. Ein anderes Beispiel wird dur h die beiden folgenden Probleme bes hrieben.

6

(a) Nimm an, du wärst Kartenzei hner, und vor Dir liegt eine (s hwarz-weiÿe) Landkarte, auf der einige Länder aneinander grenzen und andere ni ht. Deine Aufgabe ist es nun, die vers hiedenen Länder mit

k

vers hiedenen

Farben so einzufärben, dass zwei aneinander grenzende Länder immer unters hiedli he Farben erhalten. Ist dies mögli h? (Die Antwort hängt natürli h von der Karte und der Anzahl der Farben

k

ab.)

(b) Du bist Direktor einer S hule. Das Unterri htsjahr beginnt in Kürze und Du musst den Stundenplan für eine Vielzahl von Fä hern und die einzelnen Lehrer, Klassen und Räume aufstellen. In jeder Wo he stehen

k

vers hiedene Zeiten für den Unterri ht zur Verfügung, wobei die folgende Nebenbedingung einzuhalten ist: Zwei Fä her dürfen ni ht glei hzeitig unterri htet werden, wenn sie die glei hen Lehrer oder S hüler betreen, oder in den glei hen Räumen stattnden müssen (z. B. der Turnhalle). Kann man den Unterri ht der S hule unter Berü ksi htigung dieser Bedingungen planen? (Au h in diesem Fall hängt die Antwort von

k

ab, ebenso

von den Details der Nebenbedingung.) Beide Problemstellungen ers heinen zunä hst viellei ht völlig unabhängig voneinander. Wenn man jedo h versu ht, den mathematis hen Kern der Probleme zu extrahieren und sie abstrakt zu denieren, gelangt man in beiden Fällen zum folgenden graphentheoretis hen Problem: ( ) Ist es für einen gegebenen Graphen

G

mögli h, seine Knoten mit

k

Far-

ben so einzufärben, dass jedes Paar von Knoten, das dur h eine Kante verbunden ist, unters hiedli he Farben erhält? Um das Kartenproblem (a) als Graphenproblem ( ) auassen zu können, wird jedes Land auf der Karte dur h einen Knoten repräsentiert, wobei zwis hen

6

Dieses Beispiel entstammt Gowers (2000, 2002).

5.1 Graphen

89

aneinander grenzenden Ländern eine Kante gezogen wird. Eine Färbung der Knoten des Graphen, so dass Paare von Knoten, die dur h eine Kante verbunden sind, ni ht die glei he Farbe erhalten, entspri ht der gewüns hten Färbung der Karte.7 Das Planungsproblem (b) kann auf folgende Weise als graphentheoretis hes Problem ( ) verstanden werden. Die vers hiedenen Fä her werden dur h Knoten repräsentiert. Diese Knoten werden genau dann dur h eine Kante verbunden, wenn sie auf Grund der Nebenbedingung ni ht glei hzeitig stattnden dürfen. Jede der k Zeiten im Stundenplan wird dur h eine der k Farben dargestellt. Eine Färbung aller Knoten des Graphen entspri ht dem Stundenplan aller Fä her, und wenn jedes Paar von Knoten, die dur h eine Kante verbunden sind, unters hiedli he Farben besitzt, dann erfüllt der Stundenplan die gestellten Anforderungen. Ein Grund für die Betra htung der abstrakten Problemformulierung ( ) ist, dass eine geeignete Lösungsmethode des abstrakten Problems glei hzeitig au h weitere konkrete Problemstellungen (wie die in (a) und (b)) löst. Auÿerdem spri ht für die abstrakte Formulierung, dass sie auss hlieÿli h den Kern des Problems betra htet, so dass wir uns auf das Wesentli he konzentrieren und ni ht von diversen Details in (a) und (b) abgelenkt werden.

⋄ ⋄ ⋄ ⋄

Damit wollen wir das Graphenfärbeproblem verlassen und den Begri des Zusammenhangs eines Graphen betra hten. Der Graph G1 in Abb. 5.1 ist in dem Sinne zusammenhängend, dass jeder Knoten von jedem anderen Knoten aus errei ht werden kann, indem man si h sukzessive auf einer Folge von Kanten des Graphen bewegt. Beim Flugverkehr-Beispiel bedeutet dies, dass man si h von einem beliebigen Flugplatz aus zu jedem anderen Flugplatz bewegen kann, gegebenenfalls dur h eine Reihe von Zwis henlandungen und Umstiegen. Ni ht alle Graphen sind zusammenhängend, jedo h kann jeder Graph in zusammenhängende Komponenten zerlegt werden. Eine zusammenhän7 Eines der am meisten bes hriebenen und diskutierten Ergebnisse der zweiten Hälfte des vergangenen Jahrhunderts ist der so genannte Vierfarbensatz, der in den 70er Jahren dur h Kenneth Appel und Wolfgang Haken bewiesen wurde (siehe Appel & Haken, 1977). Er besagt, dass für eine Karte, auf der jedes Land zusammenhängend ist (Enklaven wie z. B. Russlands Kaliningrad werden ni ht zugelassen), immer 4 Farben ausrei hen. In der graphentheoretis hen Formulierung ( ) entspri ht diese Bedingung, dass der Graph eben ist. Das heisst, er kann so auf ein Blatt Papier gezei hnet werden, dass si h keine Kanten kreuzen. Der Beweis von Appel und Haken enthält au h eine umfassende Computerbere hnung, und war deshalb Gegenstand von Kontroversen und philosophis hen Diskussionen, was man tatsä hli h unter einem mathematis hen Beweis versteht. Der Vierfarbensatz und seine Ges hi hte wird im Bu h von Wilson (2003) populärwissens haftli h bes hrieben; Holt (2003) hat dies in einem Beri ht zusammengefasst.

PSfrag repla ements 90

5 Perkolation x1

x3 x2

x4

x5

x6

x7

Abb. 5.2. Dieser Graph G2 besitzt die glei he Knotenmenge besitzt wie in Abb. 5.1, jedo h weniger Kanten. G2 ist ni ht zusammenhängend, sondern zerfällt in drei zusammenhängende Komponenten: eine besteht aus den Knoten x1 , x2 , x3 und x4 , eine aus den Knoten x6 und x7 , und s hlieÿli h besteht eine Komponente aus dem isolierten Knoten x5 .

gende Komponente ist eine Menge von Knoten, in der alle Knoten  beim Start in einem beliebigen Knoten der Komponente  dur h einen Weg auf den Kanten der Komponente errei ht werden können; jedo h kann kein anderer Knoten des Graphen errei ht werden. Die Abb. 5.2 verdeutli ht dieses Konzept. S hlieÿli h eine Anmerkung zur Denition von Graphen: Bisher wurde in diesem Abs hnitt viellei ht der Eindru k erwe kt, dass ein Graph aus einer endli hen Anzahl n von Knoten und einer endli hen Anzahl m von Kanten besteht. Tatsä hli h hindert uns aber ni hts daran, Graphen mit unendli h vielen Knoten und Kanten zu betra hten  genau das wollen wir im nä hsten Abs hnitt mit den Perkolationsmodellen tun.

5.2 Perkolation in zwei oder mehr Dimensionen

Kantenperkolation Kantenwahrs heinli hkeit

8 gehen wir von einem Graphen G Für die so genannte aus, und verwenden eine Zahl p zwis hen 0 und 1 als Parameter des Modells  diese wird als bezei hnet. Für jede Kante des

8

Die Knotenperkolation wird ähnli h wie die Kantenperkolation deniert, mit dem Unters hied, dass man zufällig Knoten (statt Kanten) aus dem Graphen entfernt.

5.2 Perkolation in zwei oder mehr Dimensionen

91

Graphen können wir uns vorstellen, dass wir eine Münze werfen, die mit Wahrs heinli hkeit p Wappen zeigt9 , und • •

wenn die Münze Zahl zeigt, wird die Kante entfernt (ges hlossen)10 , wenn sie Wappen zeigt, darf die Kante oen bleiben.

Dieses Vorgehen wird unabhängig für jede Kante des Graphen wiederholt. Man erhält dadur h einen neuen Graphen, der aus der glei hen Knotenmenge wie der ursprüngli he Graph besteht, wobei die Anzahl der Kanten im Allgemeinen geringer ist. Eine Kantenperkolation auf dem Graphen G1 in Abb. 5.1 könnte beispielsweise zum Graphen G2 in Abb. 5.2 führen. Das Kantenperkolationsmodell ist somit sehr einfa h: Die Kanten eines Graphen werden unabhängig voneinander ges hlossen, wobei jede Kante jeweils mit der Wahrs heinli hkeit p geönet bleibt. Die Menge aller oenen Kanten wird Perkolationskonguration genannt.11 In der Perkolationstheorie stellt man si h damit insbesondere die folgenden Fragen: Wie sehen die zusammenhängenden Komponenten im verbleibenden Teilgraphen aus? Wie groÿ sind sie? Wie viele sind es? Wie groÿ ist die Wahrs heinli hkeit, dass zwei gegebene Knoten x und y si h in der glei hen zusammenhängenden Komponente benden? Und so weiter. Die Antworten auf diese Fragen hängen natürli h in hohem Maÿe vom Ausgangsgraphen ab, ebenso von der Kantenwahrs heinli hkeit p. Die am intensivsten untersu hten und viellei ht wi htigsten Beispiel sind die sogeannten Gitter in zwei bzw. drei Dimensionen. Im Fall d = 2 (wobei d die Dimension bezei hnet) besteht die Knotenmenge aus allen ganzzahligen Punkten (i, j) der Ebene. Mit ganzzahligen Punkten sind die Punkte gemeint, deren x-Koordinate i und y -Koordinate j jeweils ganze Zahlen sind. Die Kanten bestehen zwis hen den Knoten, die nä hste Na hbarn sind, d. h. die den Abstand 1 in der Ebene besitzen. Den entstehenden Graphen nennen wir quadratis hes Gitter Z2 . Bea hte, dass dieser Graph sowohl unendli h viele Kanten als au h unendli h viele Knoten besitzt; siehe Abb. 5.3. Auf entspre hende Weise können wir das kubis he Gitter Z3 denieren: Hier besteht die Knotenmenge aus allen ganzzahligen Punkten (i, j, k) des dreidimensionalen Raumes R3 , und jeder Knoten erhält eine Kante zu jedem seiner 6 nä hsten Na hbarn. Dies kann direkt verallgemeinern und das Gitter Zd für beliebige Dimensionen d denieren (au h wenn man si h diese Gitter s hwerer vorstellen kann), bei dem die ganzzahligen Punkte (i1 , . . . , id ) von Rd die Knoten des Gitters sind, und jeder Knoten mit seinen 2d nä hsten Na hbarn dur h eine Kante verbunden ist. 9

Wenn p 6= 21 ist, ist die Münze somit unfair. Wenn eine Kante entfernt wird, so kann man au h sagen, dass damit der Weg für das hindur hieÿende Wasser undur hlässig wird. Aus diesem Grund nennen wir im Folgenden die vorhandenen Kanten oen, die entfernten Kanten werden ges hlossen genannt (Anm. d. Übers.). 11 Um no h einmal an die A kerbaumetapher vom Beginn des Kapitels anzuknüpfen  dies ist die einfa he Saat für die folgende Theorie. 10

92

5 Perkolation

Abb. 5.3. Ein Teil eines Quadratgitters

Z2 .

Das Gitter erstre kt si h unendli h

weit in alle Ri htungen der Ebene.

Die Abb. 5.4 und 5.5 zeigen typis he Beispiele, wie die Perkolation auf Z2 für die Parameterwerte p = 0,3 bzw. p = 0,7 aussehen kann.

dem Gitter

Die Abbildungen weisen groÿe Unters hiede auf: Für

p = 0,3

s heint es, als

ob nur kleine zusammenhängende Komponenten entstehen, während si h für

p = 0,7

die meisten Knoten zu einer einzigen riesigen zusammenhängenden

Komponente zusammens hlieÿen. Wenn wir uns jetzt die Kanten der Graphen als Poren des porösen Materials vorstellen, wie wir das zu Beginn des Kapitels bespro hen haben, können wir anhand der Abb. 5.4 und 5.5 erahnen, dass die Antwort auf die Frage, ob die Flüssigkeit das Material dur hdringen kann, von der Anzahl der Poren abhängt. Wenn die Porendi hte ho h ist (d. h. die Kantenwahrs heinli hkeit groÿ ist, wie hier

p = 0,7)

kann si h die Flüssigkeit über groÿe Distanzen

hinweg mehr oder weniger ungehindert fortbewegen, während es bei einer geringen Porendi hte (p

= 0,3) oenbar unmögli h ist, dass si h die Flüssigkeit

weiter als nur kurze Stre ken dur h das Material bewegt. In der Natur wäre das betra htete Material dreidimensional ist, so dass 3 man si h vorstellen kann, dass man eher vom dreidimensionalen Gitter Z 2 ausgehen sollte (statt vom zweidimensionalen Gitter Z ). Ein sol her Ansatz würde  au h wenn es s hwieriger wäre, die entspre henden Bilder zu zei hnen  zu den glei hen S hlussfolgerungen führen, wie die Abb. 5.4 und 5.5: Die Dur hlässigkeit des Materials für Flüssigkeiten hängt in hohem Maÿe von der Kantenwahrs heinli hkeit

p

ab.

Für Perkolationsmodelle sind weitere Interpretationen denkbar. In Fall von zwei Dimensionen könnten wir uns z. B. die Knoten als Bäume eines Waldes vorstellen. Das zufällige Auftreten einer Kante zwis hen zwei Knoten (Bäumen) harakterisiert, inwieweit si h die Zweige dieser Bäume so nahe kommen,

5.2

Perkolation in zwei oder mehr Dimensionen

Abb. 5.4. Eine Kantenperkolation auf dem Gitter

Z2

mit

p = 0,3.

Abb. 5.5. Eine Kantenperkolation auf dem Gitter

Z2

mit

p = 0,7.

93

dass ein eventuelles Feuer in einem der Bäume si h zum nä hsten ausbreiten kann: Die Abb. 5.4 und 5.5 besagen dann, dass für p = 0,7 ein groÿerä higer Waldbrand ausbre hen könnte, während p = 0,3 einen sol hen eektiv verhindert. Wenn man mö hte, kann man in unserer Interpretation das Feu-

94

5 Perkolation

er au h dur h Krankheitskeime ersetzen, so dass das Perkolationsmodell zu einem Modell der Ausbreitung von Infektionskrankheiten (Epidemien) wird.12 Für all diese Interpretationen und Anwendungsgebiete muss das Perkolationsmodell allerdings entspre hend angepasst werden,13 bevor die Modelle als realistis h bezei hnet werden können. In diesem Kapitel wollen wir sol he Anwendungen ni ht weiter vertiefen, sondern im Sinne der mathematis hen Abstraktion, für die wir im Abs hnitt 5.1 plädierten, Perkolationsmodelle als eigenständige mathematis he Objekte (ohne spezielle Anwendung) betra hten und zu untersu hen.14 Ist es  ausgehend vom Unters hied der Abb. 5.4 und 5.5  mögli h, einen mathematis hen Satz zur Existenz zusammenhängender Komponenten zu formulieren? Ein Problem besteht darin, dass in einem Gebiet von 20×30 Knoten (wie dem der Abbildungen) unabhängig vom gewählten p zwis hen 0 und 1 alles Mögli he passieren kann, und uns deshalb keine si heren Hinweise auf die tatsä hli hen Eigens haften des Modells vorliegen. (Au h wenn z. B. p = 0,999 ist, existiert no h eine gewisse  sehr kleine, jedo h positive  Wahrs heinli hkeit, dass ni ht eine einzige Kante des Gebietes zur zusammenhängenden 12

Eine weitere Anwendung der mathematis hen Perkolationstheorie betrit die so

genannte spontane Magnetisierung von ferromagnetis hem Material, wie z. B. Eisen. 3 Die Knoten des Gitters Z repräsentieren Atome, die (der Einfa hheit halber) jeweils zwei mögli he Spins erhalten:

+

und

−.

Die Kanten des Perkolationsmodells

erfüllen die Funktion, dass sie angrenzende Knoten (Atome) den glei hen Spin annehmen lassen. Mit einer Kantenkonguration wie der in Abb. 5.5 wird die Mehrzahl der Knoten dazu gezwungen, den glei hen Spin anzunehmen, was einer Magnetisierung des Materials entspri ht. Andererseits führt eine Kantenkonguration wie der in Abb. 5.4 mit groÿer Wahrs heinli hkeit dazu, dass etwa glei h viele Knoten die Spins

+

und

−

erhalten, so dass sie si h im Groÿen und Ganzen aufehebn

und das Material unmagnetisiert bleibt. Das bekannteste mathematis he Modell für dieses Phänomen ist das so genannte

Isingmodell,

das wie das bes hriebene

Kantenperkolationsmodell aufgebaut ist, bis auf den Unters hied, dass die Kanten eine gewisse Abhängigkeit voneinander besitzen. Darüber hinaus wurden eine Reihe weiterer Beziehungen zwis hen der Perkolation und Modellen für Ferromagnetismus hergeleitet; siehe Georgii et al. (2001) für eine Einführung in dieses spannende Fors hungsgebiet zwis hen Wahrs heinli hkeitstheorie und statistis her Physik.

13

Ein Beispiel: Ist es wirkli h vernünftig, im Beispiel der Waldbrände zu erwarten,

dass alle Bäume so angeordnet sind, dass sie exakte Quadrate bilden? Das könnte mögli herweise angepanzte Jungwälder gelten, do h in älteren Wäldern ist die Antwort mit Si herheit nein. Deshalb würde eine Modikation des Modells wesentli h 2 besser passen, die die Knoten als zufällig in der gesamten R -Ebene verteilt an2 nimmt, anstatt die Anordnung des Gitters Z vorauszusetzen. Das führt zu den so genannten

kontinuierli hen Perkolationsmodellen,

siehe z. B. Meester & Roy

(1996).

14

Man könnte dabei an die folgende Redensart denken, die einer meiner auslän-

dis hen mathematis hen Kollegen gern (mit einem S huss Selbstironie) zitiert: The

purpose of reality is to inspire good mathemati s . I h habe den Urheber dieser Worte bisher leider no h ni ht gefunden.

5.2 Perkolation in zwei oder mehr Dimensionen

95

Komponente gehört.) Jede Aussage darüber, was innerhalb dieses Gebietes ges hieht, kann deshalb nur im Stile von mit Wahrs heinli hkeit nahe 1 oder als no h genaueres Beispiel mit einer Wahrs heinli hkeit von mindestens

0,99

getroen werden. Zum Beispiel kann man beweisen, dass die Wahrs heinli hkeit, dass ein re hte kiges Gebiet der Gröÿe zur linken Seite besitzt, für ter

p = 0,3

20 × 30 einen Weg von der re hten p = 0,7 nahe 1 ist.15

nahe 0 und für

Elegantere Ergebnisse erhält man, wenn man das gesamte unendli he GitZ2 betra htet, wo man  im Unters hied zu den endli hen Berei hen 

exakt 0 oder 1 sind.16 Zum Beispiel ist es sinnvoll, na h der Wahrs heinli hkeit zu fragen, die eine unendli he

Wahrs heinli hkeiten erhalten kann, die

zusammenhängende Komponente entstehen lässt. Wenn wir die Kantenwahrs heinli hkeit

p = 1

wählen, werden

alle Kanten bestehen bleiben, und wir

erhalten zwangsläug eine unendli he zusammenhängende Komponente. Genauso zwingend führt

p = 0

dazu, dass alle Kanten vers hwinden, so dass

keine unendli he Komponente existieren kann. Was ges hieht jedo h im Berei h zwis hen diesen beiden Extremen, d. h. für

0 < p < 1?

Das folgende

sehr s höne und genaue Ergebnis betra hte i h als den gröÿten Forts hritt, den die Wahrs heinli hkeitstheorie während meiner bisherigen Lebenszeit ge-

17

ma ht hat.

Sei ψ(p) die Wahrs heinli hkeit, dass die Kantenperkolation auf dem Gitter Z2 mit der Kantenwahrs heinli hkeit p zu (mindestens) einer unendli hen zusammenhängenden Komponente führt. Dann gilt

Satz 5.1.

ψ(p) =

(

0 für p ≤ 1 für p >

1 2 1 2

.

1 Aus diesem Grund wird 2 als der kritis he Wert der Kantenperkolation auf 2 dem Gitter Z bezei hnet: eine unendli he zusammenhängende Komponente entsteht dann und nur dann, wenn die Kantenwahrs heinli hkeit

p

diesen

kritis hen Wert übers hreitet. Der Satz 5.1 hat keinen allgemein anerkannten Namen, do h ein geeigneter wäre Satz von Harris und Kesten . Die erste Hälfte des Satzes  dass für p ≤ 12 keine unendli he zusammenhängende Komponente entsteht  wurde

15

I h nehme hier von dem komplizierten Unterfangen Abstand, die Ausdrü ke

Wahrs heinli hkeit nahe 0 und Wahrs heinli hkeit nahe 1 in diesem Zusammenhang genauer zu quantizieren, sondern begnüge mi h mit diesen vagen Worten, die

p = 0,3 kein sol her p = 0,7. Wir können jedo h feststellen, dass man eine solGebiet von 200 × 300 Kanten, mit dem glei hen Ergebnis (und

bedeuten, dass man si h ziemli h si her sein kann, dass für Weg existiert, jedo h für

he Frage für ein

no h gröÿerer Si herheit) beantworten kann. No h allgemeiner: Die Wahrs heinli h-

2n × 3n Knoten einen Weg von der linken zur n → ∞ gegen 0, wenn p = 0,3 ist und gegen 1, wenn

keit, dass ein re hte kiges Gebiet von re hten Seite enthält, geht für

p = 0,7 16

17

ist.

Verglei he mit der S hlussfolgerung in Fuÿnote 4 auf Seite 66. I h bin 1967 geboren.

96

5 Perkolation

vom Amerikaner Ted Harris in einem in vers hiedener Hinsi ht bahnbre henden Artikel bewiesen (Harris, 1960). Ziemli h s hnell stellte man fest, dass Harris' Ergebnis vernünftigerweise s harf sein muss (d. h. dass eine unendli he zusammenhängende Komponente entsteht, sobald p den Wert 12 ) übers hreitet, do h es bedurfte ganzer 20 Jahre, bevor der holländis h-amerikanis he Mathematiker Harry Kesten dies beweisen (Kesten, 1980) und damit den Beweis des Satzes 5.1 abs hlieÿen konnte. Diesen Satz na hzuvollziehen würde an dieser Stelle zu anspru hsvoll sein, jedo h werden wir im nä hsten Abs hnitt einige Ideen darstellen, die diesem Ergebnis zu Grunde liegen. Um den vollständigen Beweis mit den elegantesten Methoden, die heute zur Verfügung stehen  und die zum groÿen Teil, jedo h ni ht vollständig, denen ursprüngli hen Ideen von Harris und Kesten entspre hen  na hzulesen, sei das Bu h von Grimmett (1999)18 empfohlen.

⋄ ⋄ ⋄ ⋄

Was ges hieht in drei Dimensionen? Wird die Kantenperkolation auf dem Gitter Z3 mit der Kantenwahrs heinli hkeit p zu einer zusammenhängenden Komponente führen? Wir werden im nä hsten Satz sehen, dass die Antwort auf diese Frage wie beim zweidimensionalen Gitter davon abhängt, ob p gröÿer oder kleiner einem gewissen kritis hen Wert ist; dies gilt übrigens au h für vierund mehrdimensionale Gitter. Für eine gegebene positive ganze Zahl d und eine beliebige Kantenwahrs heinli hkeit p sei ψd (p) die Wahrs heinli hkeit, dass die Kantenperkolation auf dem Gitter Zd mit der Kantenwahrs heinli hkeit p zu einer unendli hen zusammenhängenden Komponente führt.19 Satz 5.2. Für jede Dimension so dass

0 < pc < 1

ist und

d≥2

ψd (p) =

(

existiert ein kritis her Wert

0

für

p < pc

1

für

p > pc .

pc = pc (d),

gilt.

Für die Perkolation auf dem Gitter Z3 ist also bekannt, dass das Auftreten einer unendli hen zusammenhängenden Komponente davon abhängt, ob p gröÿer oder kleiner einem kritis hen Wert pc ist. Allerdings kennen wir den genauen Wert von pc ni ht. Man kann obere und untere S hranken für pc bestimmen; jedo h glauben die meisten Experten, dass keine explizite Formel hergeleitet werden kann. Was wir jedo h über den kritis hen Wert pc (3) im dreidimensionalen Gitter mit Si herheit sagen können, ist, dass er ni ht gröÿer als 12 sein kann. Dies 18

Grimmett (1999) ist im Übrigen ein wi htiges Standardwerk für die heutige Perkolationstheorie und auÿerdem die beste Ans hlusslektüre für diejenigen, die si h na h dem Lesen dieses Kapitels mit diesem Gebiet weiter bes häftigen wollen. 19 Die Funktion ψ(p), die im Satz 5.1 deniert wurde, ist glei he ψ2 (p).

5.2

Perkolation in zwei oder mehr Dimensionen

97

gilt, weil der kritis he Wert für das zweidimensionale Gitter 12 ist (Satz 5.1). Auf Grund der Tatsa he, dass das Gitter Z3 ein vollständiges Gitter Z2 enthält20 , kann eine unendli he zusammenhängende Komponente auf Z3 ni ht s hwieriger zu erzeugen sein kann als auf Z2 ! Mit der glei hen Argumentation kann man na hvollziehen, dass der kritis he Wert pc (4) beim vierdimensionalen Gitter ni ht gröÿer als pc (3) sein kann; entspre hend kann man die S hlusskette au h höherdimensionale Gitter erweitern. Wir wissen also, dass pc (2) ≥ pc (3) ≥ pc (4) ≥ · · ·

(5.1)

gilt. Man kann sogar zeigen, dass all diese Unglei hungen in strengem Sinne gelten, d. h. dass pc (2) > pc (3) > pc (4) > · · · gilt; siehe Grimmett (1999).

⋄ ⋄ ⋄ ⋄ Was die Sätze 5.1 und 5.2 besonders interessant ma ht, ist die Tatsa he, dass wir die Perkolationsmodelle als dur h einen lokalen Parameter (in diesem Fall p, der über das Verhalten der einzelnen Kanten ents heidet) gesteuert ansehen können, was zu qualitativ unters hiedli hem globalen21 Verhalten führt (d. h. die Existenz oder Ni ht-Existenz einer unendli hen zusammenhängenden Komponente). Wenn wir uns vorstellen, dass wir p knapp unterhalb des kritis hen Wertes pc wählen und na h und na h etwas erhöhen, entsteht beim kritis hen Wert eine groÿe Veränderung des globalen Verhaltens des Systems: Plötzli h tau ht eine unendli he zusammenhängende Komponente auf. Sol he Phänomene  relativ kleine Veränderungen eines lokales Parameters die zu einer plötzli hen und dramatis hen Veränderung des Systems auf globalem Niveau führen  sind bemerkenswert, wo immer sie in mathematis hen Modellen auftreten. Sie werden in Analogie zu physikalis hen Eigens haften oft Phasenübergänge genannt  wie si h z. B. bei Wasser (bei normalem Luftdru k) eine Temperaturerhöhung von knapp unterhalb der 100◦ C-Grenze auf knapp oberhalb dieses Wertes auswirkt. Ein groÿer Teil der aktuellen Fors hung in Wahrs heinli hkeitstheorie  insbesondere der an die statistis he Physik grenzenden Teilgebiete  bes häftigt si h mit unters hiedli hen Typen derartiger Phasenübergängen.

⋄ ⋄ ⋄ ⋄ Viellei ht fragt si h man her an dieser Stelle, warum wir uns so stark auf die Perkolation in zwei- und mehrdimensionalen Gittern konzentrieren, und 20

Wenn wir nur die Knoten von

Z3

betra hten, deren dritte Raumkoordinate 0

ist, und die Kanten, die diese Knoten verbinden, erhalten wir eine exakte Kopie des Gitters

21

Z2 .

Man hmal spri ht man von den

pis hen lokal

mikroskopis hen

im Gegensatz zu den

makrosko-

Eigens haften des Systems, was in diesem Zusammenhang den Gegensätzen

und

global

entspri ht.

98

5 Perkolation

den eindimensionalen Fall bisher vollständig auÿer a ht gelassen haben. Die allgemeine Denition des Gitters Zd kann genauso gut auf den Fall d = 1 übertragen werden und führt auf den Graphen in Abb. 5.6.

Abb. 5.6. Ein Teil des eindimensionalen Gitters

Z1 .

Sehen wir uns also an, was ges hieht, wenn wir die Kantenperkolation auf Z1 betra hten. Die Fälle p = 0 und p = 1 sind in Übereinstimmung mit dem, was wir für höheredimensionale Gitter gesehen haben, trivial: Für p = 0 vers hwinden alle Kanten so dass keine unendli he zusammenhängende Komponente entstehen kann, während im Fall p = 1 alle Kanten bestehen bleiben und wir eine unendli he zusammenhängende Komponente erhalten, die aus dem gesamten ursprüngli hen Gitter Z1 besteht. Was ges hieht jedo h für 0 < p < 1? Es gelte 0 < p < 1 und x sei ein gegebener Knoten im Gitter Z1 . Damit x in einer unendli hen zusammenhängenden Komponente einer Perkolationskonguration liegt, muss mindestens eine von zwei Bedingungen eintreten: Entweder man kann von x aus unendli h weit na h re hts oder unendli h weit na h links gehen. Mit anderen Worten müssen entweder alle Kanten re hts von x oder alle Kanten links von x in der Perkolationskonguration bestehen bleiben. Beginnen wir mit der Betra htung der n nä hsten Kanten, die si h re hts von x im Gitter Z1 benden. Jede von ihnen besitzt die Wahrs heinli hkeit p, erhalten zu bleiben, und weil sie unabhängig voneinander sind, ist die Wahrs heinli hkeit, dass alle n Kanten erhalten bleiben glei h pn . Da p < 1 ist, geht diese Wahrs heinli hkeit für n → ∞ gegen 0, so dass die Wahrs heinli hkeit, dass alle (n = ∞) Kanten re hts von x bestehen bleiben, 0 ist.22 Mit anderen Worten: Wenn wir in x starten und na h re hts gehen, können wir hundertprozentig si her sein, dass wir früher oder später auf eine ges hlossene Kante zu treen. Auf die glei he Weise sehen wir, dass die Wahrs heinli hkeit, dass alle Kanten links von x erhalten bleiben, au h 0 beträgt. Somit ist die Wahrs heinli hkeit, dass si h x in einer unendli hen zusammenhängenden Komponente bendet, deshalb 0. Do h da x ein beliebiger Knoten im Gitter Z1 war, können wir s hluÿfolgern, dass für jeden Knoten des Gitters Z1 die Wahrs heinli hkeit glei h 0 ist, si h in einer unendli hen zusammenhängenden Komponente zu benden. Deshalb kann eine sol he Komponente für p < 1 ni ht entstehen. Zusammenfassend können wir feststellen, dass für die Kantenperkolation auf dem Gitter Z1 eine unendli he zusammenhängende Komponente nur im trivialen Fall p = 1 entstehen kann. Sobald p < 1 ist, zerfällt das Gitter in 22

Das ist im Prinzip der glei he Gedankengang wie in Fuÿnote 4 auf Seite 66.

5.2 Perkolation in zwei oder mehr Dimensionen endli he Komponenten. Man könnte

Z1

99

als zu dünnes Gitter ansehen, als

dass bei Kantenperkolation ein ri htiges Phasenübergangsphänomen ähnli h dem in den Sätzen 5.1 und 5.2 entstehen könnte. Die Hauptursa he ist darin zu sehen, dass es von einem Knoten im Gitter

Z1

nur genau zwei denkbare Wege gibt, si h unendli h weit wegzubewegen

(während es in höherdimensionalen Gittern unendli h viele sol her Wege gibt).

⋄ ⋄ ⋄ ⋄ Kommen wir wieder zum interessanteren Problem der Kantenperkolation in zwei und mehr Dimensionen. Beim Verglei h des Satzes 5.1, der den Fall 2 d des Gitters Z behandelt, mit Satz 5.2 (dem allgemeineren Fall Z ) konnten 2 wir bereits feststellen, dass nur für Z der exakte kritis he Wert bekannt ist. Die Ergebnisse unters heiden si h jedo h in einem weiteren wi htigen Punkt: Satz 5.2 gibt an, was für

p > pc (Existenz einer unendli hen zusammenhänp < pc (keine unendli he zusammenhängende

genden Komponente) und für

Komponente) ges hieht; er sagt jedo h ni hts darüber aus, was zu erwarten ist, wenn p genau den kritis hen Wert pc annimmt. Im zweidimensionalen Fall 1 (für den der kritis he Wert glei h 2 ist) sagt uns Satz 5.1, dass für den Grenz1 fall pc = keine unendli he zusammenhängende Komponente entsteht. Die 2 folgende Vermutung besagt, dass Entspre hendes au h in höherdimensionalen Gittern gilt. Vermutung 5.3. Für eine beliebige Dimension tenperkolation auf dem Gitter

pc (d)

kritis hen Wert

Zd

d ≥ 2 betra hten wir die Kanp, die den

mit der Kantenwahrs heinli hkeit

annimmt. Dann gilt

ψd (p) = 0 . Entspre hend dieser Vermutung kann also für den kritis hen Wert

p = pc

kei-

ne unendli he zusammenhängende Komponente entstehen. Diese Vermutung für beliebige Dimensionen

d ≥ 2

zu beweisen

23 ist eines der berühmtesten

oenen Probleme der heutigen Wahrs heinli hkeitstheorie. Dass sie für

d=2

gültig ist, folgt aus Satz 5.1. Darüber hinaus ist diese Vermutung au h für die Dimensionen

d ≥ 19

wahr; das wurde vor mehr als zehn Jahren vom japani-

s hen Mathematiker Takhashi Hara und seinem kanadis hen Kollegen Gordon

24

Slade bewiesen.

Weiter unten geben wir eine alternative Formulierung der Vermutung 5.3 unter Verwendung der so genannten Perkolationsfunktion

θd (p)

an, die

auf folgende Weise deniert wird: Betra hten wir die Kantenperkolation auf

Dass sie tatsä hli h wahr ist, davon sind im Groÿen und Ganzen alle Experten auf diesem Gebiet trotz des ausstehenden Beweises überzeugt. 24 Hara & Slade (1994). 23

100

5 Perkolation

dem Gitter

Zd

p, und sei θd (p) die WahrZd in einer unendli hen zudes Knotens x hat hier keine

mit der Kantenwahrs heinli hkeit

s heinli hkeit, dass ein gegebener Knoten

x

aus

sammenhängenden Komponente liegt. Die Wahl Zd von jedem beliebigen Knoten aus ge-

weitere Bedeutung, weil das Gitter

sehen glei h aussieht. Zwis hen den Funktionen beliebige

d

und

p

ψd (p)

und

θd (p)

besteht für

die Beziehung

ψd (p) = 0

dann und nur dann, wenn

Um das na hzuvollziehen, nehmen wir zunä hst

θd (p) = 0 .

ψd (p) = 0

(5.2)

an. In diesem

Fall wissen wir mit 100%-iger Si herheit, dass keine unendli he zusammenhängende Komponente entsteht, so dass für jeden einzelnen Knoten

x

die

Wahrs heinli hkeit 0 ist, in einer sol hen Komponente zu liegen, d. h. es gilt

θd (p) = 0.

Nehmen wir andererseits

θd (p) = 0.

Dann hat jeder einzelne Kno-

ten die Wahrs heinli hkeit 0, einer unendli hen zusammenhängenden Komponente anzugehören, und damit kann wiederum eine sol he Komponente ni ht entstehen, so dass

ψd (p) = 0

gilt.

Mit Hilfe der Beziehung (5.2) können wir eine äquivalente Formulierung von Vermutung 5.3 nden:

Vermutung 5.3 (alternative Formulierung) sion

d≥2

Für eine beliebige Dimen-

betra hten wir die Kantenperkolation auf dem Gitter

Kantenwahrs heinli hkeit

p,

die den kritis hen Wert

pc (d)

Zd

mit der

annimmt. Dann

gilt

θd (p) = 0 .

θd (p) zeigt ein etwas komplizierteres Verhalten als ψd (p), wenn p die Werte von 0 bis 1 dur hläuft. Während ψd (p) im kritis hen Wert pc (d) direkt von 0 na h 1 springt, wä hst θd (p) für p > pc (d) na h Die Perkolationsfunktion

und na h von 0 auf 1 an. Zu den Eigens haften, die für die Perkolationsfunktion

θd (p)

bekannt und bewiesen sind, gehören

(i)

θd (p) = 0

für

p < pc (d),

(ii)

θd (p) > 0

für

p > pc (d),

(iii)

θd (p) < 1

für

p < 1,

(iv)

limp→1 θd (p) = 1,

(v)

θd (p)

ist auf dem Intervall

(pc (d), 1]

stetig, und

(vi)

θd (p)

ist auf dem Intervall

(pc (d), 1]

monoton wa hsend.

25

25

Die Eigens haften (i), (ii) und (iii) können fast direkt bewiesen werden (u. a. mit Hilfe von (5.2)), und i h will die ambitionierten Leserinnen und Leser gern zu einem Beweisversu h auordern. Wie man (vi) beweist, wird aus dem Beweis des Lemmas 5.8 im nä hsten Abs hnitt deutli h werden. Etwas komplizierter zu zeigen ist (iv), während (v) ein ziemli h tief liegendes Ergebnis ist (siehe Grimmett, 1999).

5.2 Perkolation in zwei oder mehr Dimensionen θd (p)

101

θd (p)

1

1

PSfrag repla ements

pc (d)

1

p

pc (d)

1

p

Abb. 5.7. Die beiden im Prinzip mögli hen Verhaltensweisen der Perkolationsfunktion θd (p). Für d = 2 und d ≥ 19 weiÿ man, dass das linke Bild ri htig ist, während es im Fall der die Dimensionen 3 bis eins hlieÿli h 18 genauso gut denkbar ist (weil Vermutung 5.3 no h ni ht bewiesen wurde), dass das re hte Bild ri htig ist.

Somit ist die Perkolationsfunktionen θd (p) auf dem gesamten Intervall [0, 1] stetig, auÿer mögli herweise im Punkt p = pc (d). Zusätzli h weiÿ man, dass die Funktion im kritis hen Punkt p = pc (d) re htsstetig ist. Verbindet man die oben aufgezählten Eigens haften, so ergibt si h als S hlussfolgerung, dass die Funktion (im Wesentli hen) etwa wie in den Diagrammen in Abb. 5.7 aussehen wird. Wenn (in Übereinstimmung mit Vermutung 5.3) θd (pc ) = 0 ist, dann gilt das linke Bild; anderenfalls das re hte. Dur h den Beweis der Vermutung 5.3 s hlieÿt man somit ein Verhalten der Perkolationsfunktion θd (pc ) = 0 entspre hend dem re hten Bild aus. Interessierte Leserinnen und Leser können gern versu hen, die Vermutung zu beweisen  wer es s hat, wird (zumindest in Mathematikerkreisen) Ehre und Berühmtheit erlangen. Viele bedeutende Mathematiker haben dies bereits versu ht; bisher sind sie jedo h ges heitert.26

26

Damit ist jedo h überhaupt ni ht gesagt, dass diese Versu he vergebli h waren  sie haben direkt oder indirekt den Anstoÿ für eine Reihe weiterer interessanter Ergebnisse gegeben. Unter anderem konnte man die Stetigkeit der Perkolationsfunktion für andere Graphen als das Gitter Zd beweisen; siehe Barsky et al. (1991) und Benjamini et al. (1999) für einige der bekanntesten Ergebnisse in diese Ri htung. In diesem Zusammenhang muss man au h erwähnen, dass andere Graphen konstruiert werden können, für die die Wahrs heinli hkeit, dass ein gegebener Knoten in einer unendli hen zusammenhängenden Komponente liegt, wie im re hten Bild der Abb. 5.7 von p abhängt (d. h. mit einer Unstetigkeit im kritis hen Wert); Beispiele dafür nden si h u. a. bei Chayes & Chayes (1986) und Häggström (1998). Mehr über Perkolation auf anderen Graphen als dem Gitter Zd ist in den Abs hnitten 5.4 und 5.5 ausgeführt.

102

5 Perkolation

5.3 Beweisideen Konzentrieren wir uns nun auf die Kantenperkolation auf dem Gitter

Z2

und

erinnern uns an den grundlegenden Satz 5.1, der besagt, dass eine unendli he zusammenhängende Komponente dann und nur dann entsteht, wenn die Kan1 tenwahrs heinli hkeit den kritis hen Wert 2 übers hreitet. In einem Bu h wie diesem lässt si h dieser Satz ni ht vollständig beweisen, stattdessen wollen wir uns darauf bes hränken, das folgende s hwä here Ergebnis zu skizzieren. Proposition 5.4. Für die Kantenperkolation auf dem Gitter

1 kritis her Wert pc , für den 3 keit

ψ(p)

≤ pc ≤

Z2

existiert ein

2 3 gilt, so dass die Wahrs heinli h-

für die Existenz einer unendli hen zusammenhängenden Kompo-

nente

ψ(p) =



0 wenn p < pc 1 wenn p > pc

beträgt.

Dieses Ergebnis besagt wie der Satz 5.1, dass das Modell einen kritis hen 1 Wert pc besitzt; jedo h wird no h ni ht präzisiert, dass pc = 2 ist, sondern wir begnügen uns damit, nur ein Stü k des Weges zu Satz 5.1 zu verfolgen, 1 2 indem wir zeigen, dass pc irgendwo im Intervall [ 3 , 3 ] liegt. Die Behauptung in Proposition 5.4 ist ni ht ganz einfa h. Um sie zu beweisen, ist es deshalb empfehlenswert, sie zunä hst in einige Teilbehauptungen zu zerlegen und diese einzeln zu zeigen. (In der mathematis hen Beweisführung ist eine sol he Teile und Herrs he-Strategie im Allgemeinen ein kluger Problemzugang.) Eine geeignete Aufteilung wird dur h die folgenden vier Lemmata gegeben. Lemma 5.5. Für jedes

p


2 3 gilt

ψ(p) = 1 . Lemma 5.7. Für jedes Lemma 5.8. Seien

p1

p

ist

und

p2

ψ(p)

entweder 0 oder 1.

zwei Wahrs heinli hkeiten mit

Dann gilt

0 ≤ p1 ≤ p2 ≤ 1 .

ψ(p1 ) ≤ ψ(p2 ) . I h behaupte nun, dass dur h den Beweis dieser vier Lemmata die Proposition 5.4 bewiesen ist. Man kann diese Behauptung auf folgende Weise einsehen: Wie verhält si h die Funktion ψ(p), wenn p sukzessive von 0 auf 1 erhöht p < 31 ist, gilt ψ(p) = 0 (Lemma 5.5). Später muss ψ(p) den Wert 0 verlassen (spätestens bei p = 32 , was aus Lemma 5.6 folgt). Sobald ψ(p) den Wert 0 verlässt, muss es den Wert 1 annehmen (Lemma 5.7), wird? Zu Beginn, wenn

5.3

Beweisideen

103

und bei 1 bleiben, wenn p weiter wä hst (weil ψ(p) ni ht kleiner werden kann  Lemma 5.8). Das heiÿt also: Wenn p die Werte von 0 bis 1 dur hläuft, ist ψ(p) zunä hst 0, springt dann zu 1 und verbleibt dort bis p = 1 gilt. Der Wert von p, bei wel hem ψ(p) springt, ist der kritis he Wert pc , der auf Grund von Lemma 5.5 und Lemma 5.6 die Beziehung 13 ≤ pc ≤ 32 erfüllen muss  dies entspri ht genau der Proposition 5.4. Damit können wir jetzt mit dem Beweis der Lemmata 5.55.8 beginnen. Im Beweis von Lemma 5.7 werden wir einen allgemeinen Satz (bekannt als Kolmogorows 0-1-Gesetz) verwenden, den wir hier aus Platzgründen ni ht beweisen können; der Beweis der übrigen Lemmata wird im Detail ausgeführt. Sei p < 13 . Wir wollen zeigen, dass keine unendli he zusammenhängende Komponente entsteht, d. h. dass ψ(p) = 0 gilt. Mit Hilfe von (5.2) wissen wir, dass es ausrei ht zu zeigen, dass ein gegebener Knoten x des Gitters Z2 die Wahrs heinli hkeit 0 besitzt, si h in einer unendli hen zusammenhängenden Komponente zu benden. Die Wahl des Knotens x hat keine Bedeutung, wie wir zuvor gezeigt haben, so dass wir den Knoten (0, 0) untersu hen können, dessen x und y -Koordinaten beide 0 sind; diesen Knoten bezei hnen wir mit 0, und nennen ihn Nullpunkt. Weiterhin denieren wir für positive ganze Zahlen n die Menge Beweis von Lemma 5.5:

(5.3)

Λn = {(i, j) ∈ Z2 : −n ≤ i ≤ n, −n ≤ j ≤ n} .

Unter Λn verstehen wir also die Menge der Knoten aus Z2 , deren Koordinaten beide zwis hen −n und n liegen, so dass si h ein quadratis her Kasten mit der Seitenlänge 2 n + 1 und dem Zentrum im Nullpunkt ergibt. Auÿerdem denieren wir ∂Λn = {(i, j) ∈ Λn : wenigstens

eine der Koordinaten

i

und

j

ist glei h

−n

oder

n}.

Wir nennen ∂Λn den Rand der Menge Λn , und dieser Rand besteht somit aus den Knoten von Λn , die mindestens einen Na hbarn auÿerhalb von Λn besitzen. Das Ereignis, dass 0 in einer unendli hen zusammenhängenden Komponente liegt, sei mit 0 ↔ ∞,

bezei hnet, was bedeutet, dass der Nullpunkt mit unendli h vielen anderen Knoten verbunden ist, oder, dass man si h vom Nullpunkt aus unendli h weit weg bewegen kann. Um si h unendli h weit von 0 weg zu bewegen, wird (unabhängig von n) verlangt, dass man den Rand ∂Λn passiert. Es sei 0 ↔ ∂Λn

das Ereignis, dass 0 in einer zusammenhängenden Komponente liegt, die mindestens einen Knoten von ∂Λn enthält. Wir wissen also, dass P(0 ↔ ∞) ≤ P(0 ↔ ∂Λn )

ist und versu hen jetzt, die re hte Seite von (5.4) abzus hätzen.

(5.4)

104

5 Perkolation

Unter einem Weg versteht man eine Folge (e1 , e2 , . . . , ek ) von Kanten des Gitters Z2 , so dass jedes Paar (ei , ei+1 ) von Kanten innerhalb der Folge einen gemeinsamen Knoten besitzt. Mit einem selbstvermeidenden Pfad ist ein Weg gemeint, bei dem keine Kante mehr als einmal dur hlaufen wird. Wenn das Ereignis 0 ↔ ∂Λn eintrit  d. h. dass man von 0 na h ∂Λn längs der Kanten gehen kann, die es in der Perkolationskongurationen gibt , muss es einen selbstvermeidenden Pfad mit Start im Nullpunkt geben, der mindestens die Länge n besitzt, und der in dem Sinne oen ist, dass si h alle Kanten des Pfades in der Perkolationskonguration benden, also selbst oen sind. Wie viele denkbare Wege der Länge n gibt es von 0 ausgehend? Diese Frage ist für gröÿere n ziemli h s hwer zu beantworten, jedo h können wir die folgende Abs hätzung als obere S hranke angeben. Die Anzahl der Mögli hkeiten für die erste Kante des Weges ist 4 (denn es gibt 4 Kanten, die vom Nullpunkt wegführen). Für die nä hste Kante hat man drei Auswahlmögli hkeiten (denn wir dürfen ni ht entlang der Kante zurü k gehen, auf der wir zu diesem Knoten gelangt sind), und in jedem folgenden S hritt können wir wieder aus hö hstens 3 Kanten auswählen. Die Anzahl der selbstvermeidenden Pfade der Länge n vom Nullpunkt aus ist deshalb hö hstens (5.5)

4 · 3n−1 .

Jeder dieser Wege besteht aus n Kanten und besitzt somit die Wahrs heinli hkeit pn , oen zu sein (man kann dies einsehen, indem man jede der Kanten unabhängig voneinander oen lässt, wobei die Kantenwahrs heinli hkeit jeweils p beträgt). Die Wahrs heinli hkeit, dass mindestens ein oener Weg der Länge n vom Nullpunkt aus existiert, ist deshalb hö hstens 4 · 3n−1 pn .

Daraus folgt, dass

P(0 ↔ ∂Λn ) ≤ 4 · 3n−1 pn

gilt, woraus in si h in Verbindung mit (5.4) die Beziehung P(0 ↔ ∞) ≤ P(0 ↔ ∂Λn ) ≤ 4 · 3n−1 pn

= 43 (3 p)n .

ergibt. Die Annahme p < 13 bedeutet, dass 3 p < 1 ist, so dass die re hte Seite von (5.6) für n → ∞ gegen 0 strebt. Damit kann sie dur h Wahl eines groÿen n beliebig klein gema ht werden. Aus (5.6) ergibt si h P(0 ↔ ∞) = 0 .

Folgli h ist θ2 (p) = 0, was zusammen mit (5.2) ψ(p) = 0 ergibt.

⊓ ⊔

Wie wir gerade gesehen haben, ist der zentrale Gedanke von Lemma 5.5, die Anzahl selbstvermeidender Pfade der Länge n vom Nullpunkt aus abzus hätzen. Lemma 5.6, das den Fall p > 23 betrit, baut auf einer ähnli hen, jedo h

5.3 Beweisideen

Abb. 5.8. Ein Auss hnitt aus dem Gitter

Z2

105

(mit s hwarzen Knoten und dur h-

gezogenen Kanten) zusammen mit dem entspre henden Auss hnitt aus dem dualen ˜ 2 (mit weiÿen Knoten und gestri helten Kanten). Gitter Z

geometris h etwas fortges hritteneren Idee auf: Statt der selbstvermeidenden Pfade zählen wir hier so genannte , die den Nullpunkt eins hlieÿen. Zur Denition dieser Konturen müssen wir das zu Z2 gehörende sogenannte ˜ 2 bezei hnet wird. Das Gitter Z ˜2 Gitter zu Hilfe nehmen, das mit Z 2 glei ht dem Gitter Z bis auf den Unters hied, dass es eine halbe Längeneinheit sowohl auf der x- als au h auf der y -A hse vers hoben ist; siehe Abb. 5.8. ˜2 Bea hte, dass jede Kante des Gitters Z2 genau eine Kante des Gitters Z kreuzt und vi e versa. Ausgehend von der Perkolation auf dem Gitter Z2 mit der Kantenwahrs heinli hkeit p gibt es eine interessante und vielverspre hende Mögli hkeit, ˜ 2 zu denieren: Für jede einen Perkolationsprozess27 auf dem dualen Gitter Z 2 ˜ sei e˜ dann und nur dann vorhanden, wenn die Kante e Kante e˜ des Gitters Z

Konturen

duale

27

Wir verwenden hier das Wort

Prozess

obwohl in diesem Modell keine Zeit-

Dynamik vorliegt. Dieser Spra hgebrau h kann etwas ungewöhnli h ers heinen, er ist in der Wahrs heinli hkeitstheorie jedo h sehr übli h. Der Grund ist der folgende: Während des gesamten 20. Jahrhunderts hatten Untersu hungen von sto hasti-

s hen Prozessen, d. h. von mathematis hen Modellen, bei denen si h Gröÿen unter dem Einuss des Zufalls mit der Zeit ändern, einen immer wi htigeren (und zum S hluss dominierenden) Anteil an der Wahrs heinli hkeitstheorie. Viele Ergebnisse der Theorie der sto hastis hen Prozesse konnten auf interessante Weise in Bezug auf mehrdimensionale Zeit verallgemeinert werden. Eine natürli here Interpretation dieser Verallgemeinerungen erhält man, wenn die Zeitdimensionen als Raumdimensionen aufgefasst werden, so dass man anstelle eines mit der Zeit veränderli hen Verlaufs etwas erhält, was si h im Raum verändert  unser Perkolationsprozess ist ein sol hes Beispiel  und das Wort Prozess wurde trotz der fehlenden zeitli hen

106

5 Perkolation

Eine Kantenperkolation auf dem Gitter Z2 zusammen mit dem dualen ˜ 2 ; dies ist so deniert, dass eine Kante Kantenperkolationsprozess auf dem Gitter Z ˜ 2 dann und nur dann vorhanden ist, wenn die entspre hende Kante des im Gitter Z Gitters Z2 ni ht vorhanden ist. Abb. 5.9.

des Gitters Z2 , die e˜ kreuzt, entfernt wurde; siehe Abb. 5.9. Dieser Prozess wird als der duale Perkolationsprozess bezei hnet; er besitzt die Kantenwahrs heinli hkeit (1 − p), wobei die Kanten wieder unabhängig voneinander oen sind. Unter einer Kontur im dualem Gitter verstehen wir einen selbstvermei˜ 2 , der im glei hen Knoten endet, in dem er beginnt, denden Pfad im Gitter Z und in dem kein Knoten dur h mehr als zwei Kanten verbunden wird. Eine Kontur ums hlieÿt immer einen gewissen Teil der Ebene. Wir bezei hnen sie als Kontur um 0, wenn der Nullpunkt im ums hlossenen Gebiet liegt. Die Kontur wird ges hlossen28 genannt, wenn alle ihre Kanten im (dualen) ˜ 2 vorhanden sind. Perkolationsprozess auf Z Mit Hilfe dieser Begrie ist es uns jetzt mögli h, den Beweis des Lemmas 5.6 zu führen. Der Perkolationsprozess auf Z2 hat zusammen ˜ 2 die Eigens haft, dass jede endli he zusammit dem dualen Prozess auf Z menhängende Komponente des Gitters Z2 von einer ges hlossenen Kontur im Beweis von Lemma 5.6:

Dynamik in diesen Modellen beibehalten. Dies ist au h für sto hastis he Prozesse übli h, die si h sowohl im Raum als au h in der Zeit bewegen. 28 ˜ 2 sind einander entgegen gesetzt: Die Ausdrü ke oen in Z2 und ges hlossen in Z 2 Während wir uns die Kanten im Gitter Z als Poren denken können, auf denen si h Flüssigkeit dur h das Gitter bewegen kann (siehe Fuÿnote 10 auf Seite 91), werden die vorhandenen Kanten im dualen Gitter als Hindernisse oder Mauern interpretiert (zur Verans hauli hung siehe Abb. 5.9).

5.3

Beweisideen

107

Abb. 5.10. Eine endli he zusammenhängende Komponente eines Kantperkolations2 prozesses auf

Z

, zusammen mit einer ums hlieÿenden Kontur des dualen Prozesses.

˜ 2 umgeben ist  dies wird in Abb. 5.10 illustriert. Wenn 0 in eiGitter Z ner endli hen zusammenhängenden Komponente liegt, muss es deshalb eine ges hlossene Kontur um 0 geben. Wie viele denkbare Konturen der Länge n (d. h. aus n Kanten bestehend) gibt es, die den Nullpunkt 0 eins hlieÿen? Ähnli h der Abs hätzung der Wege im Beweis von Lemma 5.5 geben wir uns mit einer ziemli h groben Abs hätzung na h oben zufrieden. Eine Kontur um 0 muss die x-A hse an mindestens einer Stelle links vom Nullpunkt s hneiden. Bilden wir eine Kontur der Länge n, indem wir die am weitesten links bendli he Kreuzung mit der x-A hse verwenden und dem Weg im Uhrzeigersinn folgen. Wenn die Kontur die Länge n besitzt, kann die Kreuzung die x-A hse natürli h ni ht weiter als n2 Längeneinheiten links von 0 kreuzen, so dass die erste Kante auf hö hstens n vers hiedene Mögli hkeiten gewählt werden kann. Für die nä hste und alle folgenden Kanten gibt es hö hstens 3 vers hiedene Mögli hkeiten. Deshalb ist die Anzahl der mögli hen Konturen der Länge n, die 0 eins hlieÿen, dur h

(5.6)

n 3n−1

bes hränkt. Jede Kante des dualen Gitters verbleibt mit Wahrs heinli hkeit 1 − p in der Perkolationskonguration, so dass jede Kontur der Länge n mit die Wahrs heinli hkeit (1 − p)n ges hlossen ist. In Verbindung mit (5.6) ergibt si h daraus, dass die erwartete Anzahl ges hlossener Konturen der Länge n um 0 hö hstens n 3n−1 (1 − p)n (5.7)

ist. Um eine Abs hätzung der zu erwarteten Anzahl von Konturen um 0 zu erhalten, können wir (5.7) über alle n summieren und erhalten E[Anzahl ges hlossener Konturen um 0] ≤ =

∞ X

n=1 ∞ X

n=1

n 3n−1 (1 − p)n n 3 (3 (1

− p))n .

(5.8)

108

5 Perkolation

Die Voraussetzung in Lemma 5.6 war p > 23 , woraus folgt, dass der Faktor 3 (1 − p) in (5.8) kleiner als 1 und damit die Summe endli h ist (siehe das abs hlieÿende Beispiel im Anhang A). Die erwartete Anzahl ges hlossener Konturen um 0 ist deshalb endli h, und wir können folgern, dass P(es gibt hö hstens endli h viele ges hlossene Konturen um 0) = 1

(5.9)

gilt. Ein wi htiges Teilergebnis des Beweises ist somit errei ht. Für den nä hsten S hritt sei Λn die Menge, wie wir sie im Beweis von Lemma 5.5 deniert haben, wobei alle Knoten von Λn zu endli hen zusammenhängenden Komponenten gehören sollen. Die Vereinigungsmenge dieser endli hen Komponenten ist wieder endli h und von einer abges hlossenen Kontur umgeben. Diese abges hlossene Kontur ums hlieÿt au h den Nullpunkt 0 und liegt vollständig auÿerhalb von Λn . Nehmen wir jetzt an, dass es keine unendli he zusammenhängende Komponente gibt, so dass folgli h alle Knoten zu endli hen Mengen gehören. Dann können wir für jedes n eine abges hlossene Kontur um 0 nden, die auÿerhalb von Λn liegt. Für jede abges hlossene Kontur um 0 muss es mindestens eine Kontur geben, die die erstgenannte Kontur ums hlieÿt. Das ist jedo h nur mögli h, wenn es unendli h viele abges hlossene Konturen um 0 gibt. Aus (5.9) folgt jedo h, dass es nur mit Wahrs heinli hkeit 0 unendli h viele abges hlossene Konturen gibt. Damit haben wir gezeigt, dass eine unendli he zusammenhängende Komponente mit Wahrs heinli hkeit 1 existiert, und das ⊓ ⊔ Lemma ist damit bewiesen. Beweis von Lemma 5.7: Um dieses Lemma zu beweisen, müssen wir den Verbleib bzw. das Entfernen von Kanten in der Perkolationskonguration als Zufallsgröÿe darstellen. Wir nummerieren die Kanten des Gitters Z2 in beliebiger Reihenfolge und nennen sie e1 , e2 , e3 , . . .. Auÿerdem denieren wir für jede Kante ei eine zugehörige Zufallsgröÿe Xei mit Xei =

(

1 wenn die Kante ei in der Perkolationskonguration ist, 0 sonst.

(5.10)

Dann sind Xe1 , Xe2 , . . . unabhängige Zufallsgröÿen, die die Werte 0 und 1 mit den Wahrs heinli hkeiten p und 1 − p annehmen: Xei =

(

1 mit Wahrs heinli hkeit p 0 mit Wahrs heinli hkeit 1 − p .

(5.11)

Sei im Folgenden A das Ereignis, dass es in der Perkolationskonguration eine unendli he zusammenhängende Komponente gibt. Wir können behaupten, dass A dur h die Zufallsgröÿen Xe1 , Xe2 , . . ., deniert wurde, so dass wir, wenn wir den Wert aller Xei kennen, au h wissen, ob A eintrit oder ni ht. Nehmen wir jetzt an, dass uns eine Perkolationskonguration gegeben ist, in der es keine unendli he Komponente gibt. Wir modizieren diese Konguration dadur h, dass wir eine einzige der ges hlossenen Kanten wieder önen.

5.3 Beweisideen

109

Dieses Vorgehen kann hö hstes dazu führen, dass wir zwei endli he zusammenhängende Komponenten zu einer einzigen gröÿeren Komponente zusammenfügen  die jedo h weiterhin endli h ist. Damit ist klar, dass wir dur h Änderung einer einzigen Kante (d. h. dur h Änderung eines Xei ) ni ht beeinussen können, ob A eintrit oder ni ht. Au h dur h Wiederholung dieses Vorgehens für die Kanten Xe1 , Xe2 , . . . , Xen (wobei n eine beliebige ganze Zahl ist) und damit der Veränderung von Xe1 , Xe2 , . . . , Xen , können wir das Eintreen von A ni ht beeinussen.29 A ist deshalb ein so genanntes terminales Ereignis: Ein Ereignis, das dur h eine unendli he Menge von Zufallsgröÿen deniert ist, wird als terminales Ereignis bezei hnet, wenn es ni ht dur h beliebige Änderungen von endli h vielen dieser Zufallsgröÿen beeinusst werden kann.30 Für terminale Ereignisse gilt folgendes allgemeine Ergebnis: Kolmogorows 0-1-Gesetz. Wenn die Zufallsgröÿen, die ein terminales Ereignis denieren, voneinander unabhängig sind, muss das terminale Ereignis die Wahrs heinli hkeit 0 oder 1 besitzen.

Weil A ein terminales Ereignis ist und die Zufallsgröÿen Xe1 , Xe2 , . . . unabhängig sind, folgt Lemma 5.7 als eine direkte Anwendung von Kolmogorows 0-1-Gesetz. Um den Beweis des Lemmas 5.7 abzus hlieÿen, müssten wir au h einen Beweis des 0-1-Gesetzes von Kolmogorow angeben. Diesen Beweis würde man übli herweise in Vorlesungen des Promotionsstudiums führen31 ; er ist für eine Darstellung an dieser Stelle deshalb ni ht geeignet. Stattdessen können wir den Gedankengang kurz skizzieren, um sein Ergebnis glaubhaft zu ma hen. Zur Konkretisierung wollen wir uns an das oben genannte Ereignis A und die Zufallsgröÿen Xe1 , Xe2 , . . . halten. Sei n beliebig gewählt, und sei B ein Ereignis, das nur dur h die Ereignisse Xe1 , Xe2 , . . . , Xen deniert wird. Weil A ein terminales Ereignis ist, ist es allein dur h die restli hen Zufallsgröÿen Xen+1 , Xen+2 , . . . deniert. Weil die Zufallsgröÿen Xen+1 , Xen+2 , . . . unabhängig von Xe1 , Xe2 , . . . , Xen sind, können wir s hlieÿen, dass A von B unabhängig ist. Damit haben wir gezeigt, dass A von jedem Ereignis unabhängig ist, das dur h endli h viele Xei deniert wird. Daraus folgt (dies ist der kritis he S hritt, den man zeigen müsste, um den Beweis abzus hlieÿen), dass A von jedem Ereignis unabhängig ist, das dur h die Zufallsgröÿen Xei deniert wird. 29

Bea hte, dass es in dieser S hlussfolgerung von ents heidender Bedeutung ist, dass n endli h ist. Wenn wir unendli h viele Kanten zulieÿen, könnten wir unendli he zusammenhängende Komponenten na h Belieben s haen oder zerstören. 30 Der Begri terminales Ereignis (auf englis h: tail event) kommt vom (mathematis h etwas vagen) Ausdru k, dass das Ereignis nur davon abhängt, was im späteren Verlauf der Folge von Zufallsgröÿen ges hieht. 31 Siehe z. B. Durrett (1991) oder Williams (1991) für Beweise von Kolmogorows 0-1-Gesetz.

110

5 Perkolation

Beispielsweise ist

A

von si h selbst unabhängig! Wenden wir darauf die

Denition der Unabhängigkeit an, erhalten wir

P(A ∩ A) = P(A) P(A) und da

A∩A

das glei he ist wie

A,

folgt

P(A) = P(A)2 . Die quadratis he Glei hung

x = 1,

x = x2

hat genau zwei Lösungen,

so dass wir folgern können, dass

P(A)

x = 0

glei h 0 oder 1 sein muss.

und

⊓ ⊔

Das vierte und letzte Lemma (Lemma 5.8) ers heint oensi htli h: Wenn wir

p

erhöhen und somit mehr Kanten einfügen, kann si h die Wahrs heinli hkeit

für eine unendli he zusammenhängende Komponente vernünftigerweise ni ht verringern. Diese Intuition ist völlig ri htig, do h wir sollten auf einen mathematis hen Beweis ni ht verzi hten. Zur Vorbereitung lohnt es si h, einen Augenbli k über das dem ersten Ans hein na h ni ht verwandte Problem na hzudenken, wie man eine Computersimulation der Kantenperkolation mit Kantenwahrs heinli hkeit

p

dur hführen kann.

Viele Programmierspra hen enthalten eine Funktion, die Zufallszahlen zwis hen 0 und 1 erzeugt, die auf dem Intervall

32 Mit glei hförmiger Verteilung auf

sind.

[0, 1]

[0, 1]

glei hförmig verteilt

ist gemeint, dass die Wahr-

s heinli hkeit, dass si h die Zufallszahl in einem bestimmten Teilintervall von

[0, 1]

bendet, glei h der Länge dieses Teilintervalls ist.

Wenn wir zufällig bestimmen wollen, ob eine Kante oen ist, können wir eine Zufallszahl puter erzeugen). Die Kante

e

Ue

in (5.10) eingeführten

e

Ue ≤ p ist (d. h. die p). Verwendet man die

ist genau dann oen, wenn

Wahrs heinli hkeit, dass die Kante bestehen bleibt, ist eine Kante

e in der Konguration

ziehen (d. h. wir lassen sie den Com-

{0, 1}-wertigen Zufallsgröÿen Xe , um auszudrü ken, ob = 1) oder ges hlossen wird (Xe = 0), gilt  1 für Ue ≤ p Xe = (5.12) 0 sonst,

oen bleibt (Xe

Xe wird in Übereinstimmung mit (5.11)  1 mit Wahrs heinli hkeit p Xe = 0 mit Wahrs heinli hkeit 1 − p .

und die Verteilung von

32

Das stimmt eigentli h ni ht ganz: Die Zufallszahlen

zu

werden dur h eine

deterministis he Prozedur erzeugt und sind deshalb ganz und gar ni ht zufällig. Aus diesem Grund ist es korrekter, sie als

Pseudozufallszahl zu bezei hnen. Wenn die

deterministis he Prozedur hinrei hend gut ist, verhalten si h Pseudozufallszahlen in den meisten Fällen so, dass man sie ni ht von wirkli hen Zufallszahlen unters heiden kann.

5.3

Beweisideen

111

Um mehrere Kanten zu simulieren  z. B. für eine Struktur wie in Abb. 5.4  können wir das eben bes hriebene Verfahren für jede einzelne Kante wiederholen, wobei jeweils eine neue Zufallszahl gezogen werden muss. Die Zufallszahlen sind unabhängig33 , so dass die Kanten voneinander unabhängig sind, und die ganze Konguration die ri htige Verteilung besitzt (d. h. unabhängige Kanten mit der Kantenwahrs heinli hkeit p). Stellen wir uns jetzt vor, dass wir eine Kantenperkolation mit p = 0,3 simulieren und Abb. 5.4 erhalten. Um ans hlieÿend eine Kantenperkolation mit p = 0,7 (wie in Abb. 5.5) zu simulieren, kann man auf unters hiedli he Art und Weise vorgehen: Zum Einen könnte man die glei he Methode wie für p = 0,3 anwenden, um für den zweiten Perkolationsprozess neue Zufallszahlen zu generieren. Eine andere Mögli hkeit wäre, zwar die glei he Methode zu verwenden, jedo h für beide Perkolationsprozesse exakt die glei hen Zufallszahlen wie für p = 0,7 zu verwenden. Die letztgenannte Idee hat interessante Konsequenzen  sehen wir sie uns deshalb genauer an. Da wir es jetzt mit zwei Perkolationskongurationen zu tun haben, müssen wir die Symbolik entspre hend anpassen. Für eine Kante e im Gitter Z2 sei die Zufallsgröÿe Xe0,3 der Status der Kante (1= oen, 0= ges hlossen) in der Konguration für p = 0,3, während Xe0,7 auf die glei he Weise den Status der Kante für p = 0,7 repräsentiert. Jeder Kante e weisen wir ihre eigene Zufallszahl Ue zu (die auf dem Intervall [0, 1] glei hförmig verteilt ist) und setzen, analog zu (5.12),  1 für Ue ≤ 0,3 Xe0,3 = 0 sonst und Xe0,7

=



1 für Ue ≤ 0,7 0 sonst.

Für die Untersu hung einer Kante e in den beiden Perkolationsprozessen sind drei Fälle zu berü ksi htigen: • • •

Ue ≤ 0,3. Dann ist Xe0,3 = 1 und Xe0,7 = 1. 0,3 < Ue ≤ 0,7. Dann ist Xe0,3 = 0 und Xe0,7 = 1. 0,7 < Ue . Dann ist Xe0,3 = 0 und Xe0,7 = 0.

Bea hte, dass Xe0,3 ≤ Xe0,7 ≤ 1 in allen drei Fällen gilt, so dass eine Kante e, die für p = 0,3 oen ist, au h im Perkolationsprozess p = 0,7 oen ist. Dies gilt für alle Kanten der Simulation, so dass wir wissen, dass jede Kante, die für p = 0,3 oen ist, au h für p = 0,7 oen ist. Die Perkolationskongurationen der Abb. 5.4 und 5.5 wurden auf diese Weise simultan simuliert. Wer mö hte, kann selbst überprüfen, ob alle Kanten der Abb. 5.4 au h in Abb. 5.5 oen sind.

33

Siehe Fuÿnote 32 auf Seite 110.

112

5 Perkolation

Da wir jetzt wissen, wie man zwei Perkolationsprozesse mit vers hiedenen Kantenwahrs heinli hkeiten gemeinsam simuliert, haben wir  wie wir glei h sehen werden  den Hauptteil zum Beweises von Lemma 5.8 im Prinzip ausgeführt. Sei p1 ≤ p2 . Jeder Kante e des Gitters Z2 werde eine Zufallszahl Ue zugewiesen (unabhängig von anderen Kanten und auf [0, 1] glei hförmig verteilt). Es gelte:  1 für Ue ≤ p1 Xep1 = 0 sonst Beweis von Lemma 5.8:

und

Xep2

=



1 für Ue ≤ p2 0 sonst.

Die Zufallsgröÿen Xep1 stellen eine Kantenperkolation auf dem Gitter Z2 mit der Kantenwahrs heinli hkeit p1 dar, so dass ψ(p1 ) = P(Kantenkongurationen entspre hend Xep1 beinhaltet eine

unendli he zusammenhängende Komponente)

(5.13)

gilt. Analog gilt für die Zufallsgröÿen dass sie eine Kantenperkolation auf dem Gitter Z2 mit der Kantenwahrs heinli hkeit p2 darstellen, so dass Xep2 ,

ψ(p2 ) = P(Kantenkongurationen entspre hend Xep2 beinhaltet eine

unendli he zusammenhängende Komponente)

(5.14)

ist. Für jede Kante e gilt  dann ist Xep1 = 1 und Xep2 = 1,  wenn Ue ≤ p1 wenn p1 < Ue ≤ p2 dann ist Xep1 = 0 und Xep2 = 1,  dann ist Xep1 = 0 und Xep2 = 0. wenn p2 < Ue

In allen drei Fällen ist Xep1 ≤ Xep2 , so dass wir folgern können, dass jede Kante, die in der p1 -Konguration oen ist, au h in der p2 -Konguration oen ist. Wenn es eine unendli he zusammenhängende Komponente in der p1 -Konguration gibt, muss es au h in der p2 -Konguration eine sol he Komponente geben. Mit Hinweis auf (5.13) und (5.14) ergibt si h daraus was den Beweis abs hlieÿt.34 34

ψ(p1 ) ≤ ψ(p2 ) , ⊓ ⊔

Dies ist ein Beispiel eines so genannten Kopplungsbeweises. Unter Kopp-

lung versteht man in der Wahrs heinli hkeitstheorie die glei hzeitige Konstruktion

von zwei oder mehr Prozessen (wie in diesem Fall die Kantenperkolation mit zwei vers hiedenen Kantenwahrs heinli hkeiten), um sie verglei hen zu können und Eigens haften der vers hiedenen Prozesse abzuleiten. In den letzten Jahrzehnten haben si h die Kopplungsmethoden als sehr fru htbar erwiesen, sowohl für den Beweis neuer Sätze als au h, um bekannte Sätze neu und einfa her zu beweisen. Lindvall (1992), Thorisson (2000) und Häggström (2002b) führen in Kopplungsmethoden ein und stellen eine Reihe von Anwendungen vor.

5.3 Beweisideen

113

Damit sind alle vier Lemmata bewiesen, die wir zum Beweis der Proposition 5.4 benötigten, dass die Kantenperkolation auf dem Gitter

Z2

einen

1 2 kritis hen Wert pc besitzt, der im Intervall [ 3 , 3 ] liegt.

Anfangs hatten wir bereits erwähnt, dass uns der Beweis von Satz 5.1, 1

dass der kritis he Wert genau 2 beträgt, im Rahmen dieser Einführung in die Wahrs heinli hkeitstheorie ni ht mögli h ist. Der eleganteste Beweis mit den heute bekannten Methoden wurde von Grimmett (1999) vorgestellt. Dort wird au h eine s hwä here, do h intuitiv verständli he Folgerung angegeben. Dieser baut auf dem dualen Gitter

˜2 Z

auf, das wir im Zusammenhang mit

dem Beweis des Lemmas 5.6 eingeführt hatten: Wenn

θ2 ( 21 ) > 0

ist, dann gibt es für

au h im dualen Gitter

˜2 Z

p=

1 2 sowohl im Gitter

Z2

als

(fast si her) unendli he zusammenhängen-

de Komponenten. Die Ebene ist ein wenig zu eng, um zwei disjunkte unendli he zusammenhängende Komponenten aufnehmen zu können, so dass ihre gemeinsame Existenz unwahrs heinli h ers heint. Dies spri ht dafür, dass seits

Zd

p < pc ,

θ2 ( 21 ) = 0

und somit

pc ≥

1 2 gilt. Ist anderer-

so könnte man si h die endli he Komponenten im Gitter

wie in einem Ozean von Kanten im Gitter

˜2 Z

vorstellen. Deshalb

sollte dieser Ozean eine unendli he zusammenhängende Komponente enthalten, so dass daraus folgt

pc ≤

1 − p ≥ pc

1 35 2.

ist. Somit gilt

p ≤ 1 − pc

für

p < pc ;

⋄ ⋄ ⋄ ⋄ Bisher haben wir in diesem Abs hnitt auss hlieÿli h den zweidimensionalen Fall betra htet. Die Gedankengänge der obenstehenden Beweise kann man fast vollständig au h auf Gitter höherer Dimensionen übertragen. Sehen wir uns an, wie das für den Beweis des Satzes 5.2 aussieht. Wir erinnern uns zunä hst, dass dieser Satz die Gitter beliebiger Dimensionen er besagt, dass es einen kritis hen Wert die Wahrs heinli hkeit

ψd (p)

pc (d)

d≥2

behandelt;

zwis hen 0 und 1 gibt, so dass

für die Existenz einer unendli hen zusammen-

hängenden Komponente bei einer Kantenperkolation auf dem Gitter Werte

ψd (p) =



0 für p < pc (d) 1 für p > pc (d)

Zd

die

(5.15)

annimmt. Wenn wir zurü k zum Beweis von Lemma 5.7 und Lemma 5.8 gehen, stellen wir fest, dass dieser Beweis an keiner Stelle die Struktur des Gitters

Z2

Zd in höheren Dimensionen angewendet werden, so dass si h ergibt, dass ψd (p) eine ni ht fallende Funktion von p ist, die nur die Werte 0 und 1 annehmen kann. Daraus folgt, dass es einen kritis hen Wert pc (d) gibt, so dass (5.15) gilt; was dann no h aussteht ist der Beweis, dass pc ni ht 0 oder 1 sein kann, sondern ausnutzt. Der Beweis kann deshalb au h allgemeiner auf Gitter

irgendwo dazwis hen liegen muss. 35

Zitiert aus Grimmett (1999), S. 287.

114

5 Perkolation

Lemma 5.6 nutzt die spezielle zweidimensionale Struktur des Quadratgitters am stärksten aus, so dass die dort verwendeten Ideen nur sehr s hwer auf die Fälle mit höheren Dimensionen verallgemeinert werden können. Glü kli herweise können wir das vermeiden und stattdessen die Beoba htung (5.1) aus Abs hnitt 5.2 ausnutzen. Sie besagt, dass pc (d) monoton mit d fällt, so dass man die Beziehung pc (d) ≤ pc (2) (5.16) für jedes d ≥ 2 ableiten kann. Glei hzeitig wissen wir aus Lemma 5.6, dass pc (2) ≤ 23 ist, was in Verbindung mit (5.16) pc (d) ≤

2 3

ergibt und zeigt, dass pc (d) deutli h kleiner als 1 ist. S hlieÿli h müssen wir no h pc (d) > 0 beweisen. Zunä hst stellen wir fest, dass wir nur eine einzige spezis he Eigens haft des Gitters Z2 im Beweis von Lemma 5.5 verwendet haben: Jeder Knoten des Gitters besitzt nur 4 Kanten. Dies führte zur Abs hätzung (5.5): Die Anzahl der selbstvermeidenden Pfade der Länge n mit Start im Nullpunkt ist hö hstens 4 · 3n−1 . Im allgemeineren d-dimensionalen Fall besitzt jeder Knoten 2 d Kanten. Analog zum zweidimensionalen Fall ergibt si h, dass die Anzahl der selbstvermeidenden Pfade der Länge n mit Start im Nullpunkt des Gitters Zd hö hstens 2 d (2 d − 1)n−1

beträgt. Mit der Kantenwahrs heinli hkeit p wird die Wahrs heinli hkeit, dass mindestens einer dieser Wege oen ist, glei h 2 d (2 d − 1)n−1 pn .

(5.17)

1 Gilt p < 2 d−1 , so geht der Ausdru k (5.17) für n → ∞ gegen 0 und die Wahrs heinli hkeit, dass der Nullpunkt zu einer unendli hen Komponente gehört, muss 0 sein. Zusammenfassend haben wir damit für beliebige Dimensionen d ≥ 2 bewiesen, dass 1 2 ≤ pc (d) ≤ (5.18)

2d−1

3

gilt. Unser Ziel, Satz 5.2 zu beweisen, ist damit errei ht. Zusätzli h konnten wir mit (5.18) sogar den kritis hen Wert no h stärker eingrenzen. 5.4 Perkolation auf Bäumen

Trotz harter Arbeit im vorigen Abs hnitt, den Untersu hungen des kritis hen Wertes für die Kantenperkolation des Gitters Z2 , konnten wir den klassis hen Satz 5.1 von Harris und Kesten no h ni ht beweisen, dass der kritis he Wert

5.4 Perkolation auf Bäumen

115

für das Gitter Z2 genau 12 beträgt. Zum Trost wollen wir in diesem Abs hnitt den exakten kritis hen Wert für die Kantenperkolation auf bestimmten anderen Graphen  den so genannten  bestimmen. Ein Baum ist ein Graph mit folgenden Eigens haften:

Bäumen

(a) er ist zusammenhängend und (b) es gibt ni ht mehr als einen selbstvermeidender Pfad zwis hen je zwei beliebigen Knoten des Graphen. Die Eigens haft (a) bedeutet, dass es zwis hen jedem Paar von Knoten mineinen selbstvermeidenden Pfad gibt. In Verbindung mit (b) ergibt si h, dass es zwis hen jedem Paar von Knoten genau einen selbstvermeidenden Pfad gibt. Eigens haft (b) bedeutet au h, dass der Graph keine enthält, wobei ein Kreis ein selbstvermeidender Pfad ist, der im selben Knoten endet, in dem er au h beginnt.36 Um einen Baum zu bes hreiben oder zu erzeugen, kann man von einem gegebenen Knoten ausgehen, der die genannt und mit ρ bezei hnet wird. Ans hlieÿend legt man fest, wie viele Na hbarn x1 , . . . , xk die Wurzel haben soll, und nennt sie die Kinder der Wurzel (oft au h als Na hfolger bezei hnet). Für jedes dieser Kinder xi speziziert man wiederum, wie viele Na hbarn es auÿer der Wurzel besitzen soll, und nennt diese neuen Knoten die Kinder von xi (somit die Enkel der Wurzel) usw. Das am häugsten untersu hte Beispiel erhält man, wenn alle Knoten genau zwei Kinder besitzen. Es entsteht der so genannte , der mit T2 bezei hnet wird und links in Abb. 5.11 dargestellt ist. Die Anzahl der Knoten, die von der Wurzel den Abstand n besitzen, ist in T2 glei h 2n . Allgemeiner können wir für eine beliebige positive ganze Zahl d den Baum Td , als den Baum denieren, bei dem alle Knoten genau d Kinder besitzen. Den Spezialfall d = 3 nennt man den (in der Mitte von Abb. 5.11). In Td besitzen alle Knoten auÿer der Wurzel genau d + 1 Na hbarn, während die Wurzel nur d Na hbarn besitzt. Um diesen Unters hied zu vermeiden, nimmt man in man hen Fällen zwei Kopien von Td , und verbindet beide Wurzeln dur h eine Kante. Der entstehende Baum wird mit T′d bezei hnet. T′2 wird genannt und ist re hts in Abb. 5.11 dargestellt. Alternativ kann der Baum T′d dadur h bes hrieben werden, dass seine Wurzel genau d + 1 und alle übrigen Knoten d Kinder besitzen. Wir sehen, wenn man der Bäume von der Wurzel her deniert, so ndet man keinen Baum, bei dem alle Knoten die glei he Anzahl von Kanten und glei hzeitig die glei he Anzahl von Kindern besitzen. Neben den bisher vorgestellten Bäumen gibt es viele weitere, die man dadur h erhält, dass die Anzahl der Kinder der vers hiedenen Knoten in der sukzessiven Konstruktion variiert wird. Wir konzentrieren uns der Einfa hheit halber auf die Beispiele Td und T′d . destens

Kreise

Wurzel

binäre Baum

trinären Baum

der erweiterte binäre Baum

36 Der Begri Kreis ist demzufolge mit dem Konturbegri im Beweis von Lemma 5.6 verwandt, au h wenn er ni ht genau dasselbe bedeutet.

116

5 Perkolation

Abb. 5.11. Ein Auss hnitt der drei gewöhnli hsten unendli hen Bäume: von links na h re hts der binäre Baum T2 , der trinäre Baum T3 und der erweiterte binäre Baum T′2 . Bea hte, dass wir es (im Unters hied zu Botanikern) vorziehen, den Baum so zu zei hnen, dass si h die Wurzel oben bendet.

Der Baum T1 ist ein unspektakulärer Baum, denn er besteht aus einer einzigen langen Kette von Knoten, und als erweiterter Baum T′1 ergibt si h das Gitter Z1 in Abb. 5.6. Die Perkolation auf T′1 ist deshalb (wie aus der Diskussion des Gitters Z1 in Abs hnitt 5.2 hervorgeht) ziemli h uninteressant: eine unendli he zusammenhängende Komponente kann nur im trivialen Fall p = 1 entstehen. Das glei he gilt natürli h au h für T1 . Ganz anders stellt si h die Situation für Td und T′d mit d ≥ 2 dar: Genau wie beim Gitter Zd in zwei oder mehr Dimensionen weisen diese Bäume ni httriviale kritis he Werte auf. Für einen gegebenen Baum T und ein gegebenes p, sei ψT (p) die Wahrs heinli hkeit, dass die Kantenperkolation auf T mit der Kantenwahrs heinli hkeit p zu einer unendli hen zusammenhängenden Komponente führt. Wir wollen den folgenden Satz beweisen: Satz 5.9. Sei s heinli hkeit

d ≥ 2. Für die Kantenperkolation auf Td mit Kantenwahrp ist die Wahrs heinli hkeit ψTd (p), dass eine unendli he zu-

sammenhängende Komponente existiert, glei h

ψTd (p) =

(

0

für

p≤

1

für

p>

1 d 1 d

.

Der kritis he Wert der Kantenperkolation auf Td beträgt also 1d . Dasselbe gilt au h für den erweiterten Baum T′d , siehe Lemma 5.10 weiter unten. Die zusammenhängende Komponente, die die Wurzel ρ in der Kantenperkolation auf Td enthält, kann als so genannter Verzweigungsprozess aufgefasst werden. Ein Verzweigungsprozess ist ein sto hastis her Prozess, bei dem man von einem Individuum ausgeht  nennen wir sie Eva  die entspre hend einer bestimmten Verteilung e ine zufällige Anzahl an Kindern bekommt. Die Gröÿe der Na hkommens haft der nä hsten Generation wird im Folgenden als

5.4 Perkolation auf Bäumen

117

Kinderanzahl bezei hnet. In der nä hsten Generation erhält jedes der Kinder wiederum eine zufällige Anzahl Kinder, wobei die Kinderanzahl im Verglei h zu Evas Kinderanzahl jeweils unabhängig und dieselbe Verteilung besitzen sind. Diese Enkel erhalten wieder Kinder usw. Das

ρ

im Perkolationsprozess

entspri ht der Eva im Verzweigungsprozess, und die Knoten, die im Perkolationsprozess in die zusammenhängende Komponente fallen, die

ρ

enthält,

entspre hen den Individuen im Verzweigungsprozess (Evas Na hkommen). Wenn in einer Generation sämtli he Individuen keine (null) Kinder bekommen, stirbt der Verzweigungsprozess (die Population) aus. Eine der wi htigsten Fragen der Theorie der Verzweigungsprozesse ist, inwieweit die Population eine Chan e besitzt, für immer zu überleben, d. h. ob die Anzahl der Individuen der Population (alle Generationen zusammen genommen) unendli h werden

37 Wenn wir den trivialen Fall auss hlieÿen, dass die Anzahl der Kinder

kann.

immer gröÿer als 1 ist, ergibt si h als Antwort auf diese Frage, dass das unendli he Überleben von Verzweigungsprozessen dann und nur dann eine positive Wahrs heinli hkeit besitzt, wenn der Erwartungswert der Kinderanzahl e ht gröÿer als 1 ist. Am s hnellsten kann man Satz 5.9 beweisen, indem man zunä hst das allgemeine Ergebnis für das Überleben von Verzweigungsprozessen zeigt  was mit Hilfe so genannter erzeugender Funktionen ges hieht, siehe z. B. Jagers (1975) oder Williams (1991)  und dieses Ergebnis folgendermaÿen auf Perkolationsprozesse anzuwenden. Wenn Perkolationsprozess auf dem Baum

Td

p

die Kantenwahrs heinli hkeit im

ist, dann ist der Erwartungswert der

Kinderanzahl im entspre henden Verzweigungsprozess glei h

p d,

und dieser

übers hreitet die 1 (als Kriterium, dass die Population überlebt) genau dann, 1 wenn p > d gilt. Wir wollen den Satz 5.9 hier auf etwas andere Art und Weise zeigen, die meiner Meinung na h eher ein intuitives Bild der Fragestellung gibt, als

38 Wir beginnen mit einem

es die Methoden erzeugenden Funktionen können. nützli hen Lemma. Dabei sei

37

θT,x (p) für einen Baum T

und einen Knoten

x des

Eine frühe Triebkraft für die Einführung von Verzweigungsprozessen war die Frage, die den Engländer Sir Fran is Galton im 19. Jahrhundert bes häftigte: ob adlige Ges hle hter die Mögli hkeit haben, auf lange Si ht zu überleben. Diese Frage motivierte ihn, Verzweigungsprozesse zu untersu hen. Heute werden Verzweigungsprozesse in vers hiedenen Gebieten der Naturwissens haften angewendet, vor allem der Populationsbiologie und der Kernphysik. Für weitere Informationen zur Ges hi hte und zum Inhalt von Verzweigungsprozessen, siehe z. B. Jagers (1975). 38 Auÿerdem hat diese Methode den Vorteil, dass sie der Methodik von Lyons (1990, 1992) ähnli h ist, die den kritis hen Wert der Kantenperkolation auf beliebigen Bäumen in Abhängigkeit einer natürli hen Gröÿe, der Verzweigungszahl bestimmten. Die Verzweigungszahl (auf englis h bran hing number) ist für Td und T′d glei h d, do h au h für beliebig komplizierte Bäume ist sie wohldeniert. Es hat si h au h gezeigt, dass die Verzweigungszahl eine S hlüsselgröÿe für eine Reihe anderer sto hastis her Prozesse auf Bäumen ist, siehe z. B. Peres (1999).

118

5 Perkolation

Baumes die Wahrs heinli hkeit, dass si h x in einer unendli hen Komponente der Kantenperkolation mit der Kantenwahrs heinli hkeit p bendet. Lemma 5.10. Für beliebiges äquivalent:

p ∈ [0, 1]

sind die folgenden vier Behauptungen

(i) θTd ,ρ (p) > 0 (ii) θT′d ,ρ (p) > 0 (iii) ψTd (p) = 1 (iv) ψT′d (p) = 1 . Um zu zeigen, dass diese vier Behauptungen äquivalent sind, rei ht es aus, die vier Implikationen der Kette Beweis.

(i) ⇒ (iii) ⇒ (iv) ⇒ (ii) ⇒ (i)

(5.19)

zu zeigen. Nehmen wir zunä hst an, dass (i) gilt, d. h. θTd ,ρ (p) > 0. Weil die Wahrs heinli hkeit, dass ρ zu einer unendli hen zusammenhängenden Komponente gehört, ni ht gröÿer als die Wahrs heinli hkeit sein kann, dass überhaupt eine unendli he zusammenhängende Komponente existiert, können wir ψTd (p) ≥ θTd ,ρ (p) folgern, und damit gilt au h ψTd (p) > 0 .

(5.20)

Im Lemma 5.7 des vorigen Abs hnitts sahen wir für den Fall der Perkolation auf Z2 , dass die Wahrs heinli hkeit der Existenz einer unendli hen zusammenhängenden Komponente nur die Werte 0 oder 1 annehmen kann. Wie wir zuvor festgestellt haben, funktioniert der Beweis für beliebige Graphen, weshalb wir folgern können, dass ψTd (p) glei h 0 oder 1 sein muss. Dass ψTd (p) Null sein kann, hatten wir bereits in (5.20) ausges hlossen, so dass die einzige verbleibende Mögli hkeit ψTd (p) = 1 ist. Damit ist die Implikation (i) ⇒ (iii) gezeigt. Für die nä hste Implikation nehmen wir (iii) an, d. h. ψTd (p) = 1. Weil Td ein Teilgraph von T′d ist, muss die Unglei hung ψTd (p) ≤ ψT′d (p) gelten. Somit wissen wir, dass ψT′d (p) = 1 ist, und wir haben (iii) ⇒ (iv) gezeigt.

Um (iv) ⇒ (ii) zu zeigen, nehmen wir an, dass (iv) gilt, d. h. dass die Existenz einer unendli hen zusammenhängenden Komponente auf T′d die Wahrs heinli hkeit 1 besitzt. Diese Komponente muss si h irgendwo im Baum benden, so dass zumindest ein Knoten x eine positive Wahrs heinli hkeit θT′d ,x (p) > 0 besitzt, zu einer unendli hen zusammenhängenden Komponente zu gehören. Do h der Baum T′d ist vollständig homogen  in dem Sinne, dass er von jedem Knoten aus glei h aussieht  so dass θT′d ,x (p) ni ht von der Wahl des Knotens x abhängen kann. Damit wissen wir, dass θT′d ,ρ (p) > 0 gilt, und die Implikation (iv) ⇒ (ii) ist gezeigt. Abs hlieÿend müssen wir (ii) ⇒ (i) beweisen. Dazu nehmen wir (ii) an, d. h. es gilt θT′d ,ρ (p) > 0. Wenn die Wurzel ρ im erweiterten Baum T′d zu

5.4

Perkolation auf Bäumen

119

einer unendli hen zusammenhängenden Komponente gehört, dann muss die Perkolationskonguration (mindestens) einen unendli hen selbstvermeidenden Pfad mit Start in der Wurzel enthalten. Dieser geht notwendigerweise dur h

d+1

einen der

Na hbarn der Wurzel. Jeder der Na hbarn besitzt die glei he

Wahrs heinli hkeit, si h in einem sol hen Weg zu benden, und wegen der

θT′d ,ρ (p) > 0

Annahme

ist diese Wahrs heinli hkeit positiv. Wenn wir jetzt

einen der Na hbarn entfernen (und alles, was von der Wurzel aus gesehen na h diesem Na hbarn kommt), ist die Wahrs heinli hkeit, dass einer der anderen Na hbarn zu einem sol hen Weg gehört, immer no h positiv. Damit ist der entstandene Baum jedo h glei h

(ii) ⇒ (i)

Td ,

so dass

θTd ,ρ (p) > 0

gilt, und

bewiesen ist.

Der Kreis der Implikationen (5.19) ist somit gezeigt  alle vier Behaup-

⊓ ⊔

tungen sind äquivalent!

Beweis von Satz 5.9: Es gibt drei vers hiedene Fälle, die separate Betra h-

tung erfordern: I.

p


1 d : der subkritis he Fall, 1 d : der kritis he Fall, 1 d : der superkritis he Fall.

Zunä hst etwas zur Terminologie und zu den Symbolen, die in allen drei Fäl-

Td im Abstand n von der Wurzel ρ n (oder des Levels n) bezei hnet. Wir denieren

len benötigt werden: Die Knoten von werden als Knoten der Tiefe eine Zufallsgröÿe

Y , die angibt, wie tief

die zusammenhängende Komponente,

zu der die Wurzel gehört, in den Baum hinabrei ht: Wenn diese Komponente endli h ist, wird

Y

glei h der Tiefe des von

ρ

am weitesten entfernten Kno-

tens gesetzt. Ist diese Komponente unendli h, setzen wir denieren wir für jedes der Tiefe

n

n

eine Zufallsgröÿe

Zn ,

Y = ∞.

Auÿerdem

die die Anzahl der Knoten in

angibt, die si h in der glei hen zusammenhängenden Komponente

wie die Wurzel benden. Bea hte, dass

{Y ≥ n} und {Zn ≥ 1} zwei Bes hrei-

bungen desselben Ereignisses sind: dass die zusammenhängende Komponente der Wurzel bis zur Tiefe

n

rei ht. Damit ergibt si h die Äquivalenz

Y ≥ n ⇔ Zn ≥ 1 .

(5.21)

Kommen wir jetzt zu den drei Fällen.

1 d : der subkritis he Fall. Wähle eine beliebige positive ganze Zahl n. n Die Anzahl der Knoten der Tiefe n von Td ist d (oder etwa ni ht?). Jeder n Knoten x auf dem Level n besitzt die Wahrs heinli hkeit p , zur selben zuI.

p
0 können wir also (dur h Wahl eines hinrei hend groÿen n) die Unglei hung θTd ,ρ (p) < ε erfüllen. Demzufolge muss θTd ,ρ (p) = 0

gelten. Dank Lemma 5.10 können wir jetzt ψTd (p) = 0 folgern, und der Satz 5.9 ist für den subkritis hen Fall bewiesen. p = d1 : der kritis he Fall. Wir wollen zeigen, dass θTd ,ρ (p) = 0 au h für p = d1 gilt. Aus (5.22) wissen wir, dass die Anzahl der Knoten Zn der Tiefe n, die in der glei hen zusammenhängenden Komponente wie die Wurzel liegen, den Erwartungswert II.

E[Zn ] = (p d)n = ( d1 · d)n =1

(5.24)

besitzt. Für p = d1 geht dieser Erwartungswert für n → ∞ ni ht gegen 0, und wir müssen eine andere Methodik als im subkritis hen Fall anwenden. Sei A das Ereignis, dass ρ zu einer unendli hen zusammenhängenden Komponente gehört. Wenn A eintrit, muss Zn ≥ 1 für alle n gelten. Wir wollen untersu hen, ob si h Zn in Abhängigkeit von n ändert, und führen deshalb eine neue Zufallsgröÿe W ein, die als die kleinste ganze Zahl k deniert ist, so dass Zn = k für unendli h viele n gilt. Wenn es ein sol hes k ni ht gibt  was bedeutet, dass Zn für n → ∞ über alle Grenzen wä hst  wird W = ∞ gesetzt. Um auszus hlieÿen, dass A eintrit, wollen wir jeweils zeigen, dass beide Mögli hkeiten (a) A trit ein, W < ∞,

und

(b) A trit ein, W = ∞,

5.4

Perkolation auf Bäumen

121

die Wahrs heinli hkeit 0 besitzen. Wir beginnen mit der Mögli hkeit (a). Sei k eine positive ganze Zahl und gelte Bk = {W = k} .

Ermitteln wir jetzt die Perkolationskonguration des Baumes mit Start in der Wurzel sukzessive für jedes Level, indem wir auf jedem Level n die Anzahl der Knoten Zn bestimmen, die mit der Wurzel zusammenhängen. Jedes Mal, wenn Zn = k ist, gibt es genau d k Kanten von diesen k Knoten zum nä hsten Level rei hend, von denen jede mit Wahrs heinli hkeit d1 oen ist. Die Wahrs heinli hkeit, dass keine dieser Kanten oen ist, beträgt 

d−1 d

d k

.

Wenn dieser Fall eintritt, wird Zn+1 = 0, und die zusammenhängende Komponente endet. Diese Wahrs heinli hkeit ist jedes Mal die glei he, wenn wir Zn = k beoba hten, so dass die Wahrs heinli hkeiten mindestens m Mal Zn = k zu beoba hten, ohne dass Zn+1 = 0 ist, hö hstens 1−



d−1 d

 d k !m

beträgt. Diese Wahrs heinli hkeit geht für m → ∞ gegen 0. Damit haben wir gezeigt, dass P(Zn = k für unendli h viele n) = 0 , gilt, so dass P(Bk ) = 0 (5.25) ist. Die Wahrs heinli hkeit, dass A eintrit und W < ∞ ist, wird damit P(A trit ein, W < ∞) = P(1 ≤ W < ∞) ∞ X = P(Bk ) k=1

= 0,

weil wir dank (5.25) wissen, dass jeder Term der Summe 0 ist. Somit ist (a) ausges hlossen. Gehen wir zur Mögli hkeit (b) weiter, die besagt, dass A eintrit und W = ∞ ist. Das bedeutet, dass Zn gegen unendli h wä hst: limn→∞ Zn = ∞. Denieren wir jetzt, für positive ganze Zahlen k, eine weitere Zufallsgröÿe Xk als das letzte n, für das Zn < k ist. Für den Fall, dass es ein sol hes n ni ht gibt, setzen wir Xk = ∞. Wenn W = ∞ ist, d. h. wenn limn→∞ Zn = ∞ gilt, ist Xk für jedes k endli h. Wähle ein beliebiges ε > 0 und ans hlieÿend eine ganze Zahl k so dass k > 2ε ist. Wir werden jetzt sehen, wel he (unvernünftigen) Konsequenzen wir erhalten, wenn

122

5 Perkolation

P(W = ∞) ≥ ε

(5.26)

ist. Bea hte zunä hst, dass (5.26) auf P(Xk < ∞) ≥ ε

führt. Wir können deshalb ein endli hes n nden, so dass P(Xk < n) ≥

ε 2

gilt. Do h wenn Xk < n ist, dann ist Zn ≥ k, so dass P(Zn ≥ k) ≥

ε 2

gilt, was auf Grund der Wahl von k auf E[Zn ] ≥ k P(Zn ≥ k) kε ≥ 2 >1

führt. Dies widerspri ht jedo h (5.24), so dass die Annahme (5.26) fals h sein muss. Weil ε > 0 beliebig war, folgt P(W = ∞) = 0

und die Mögli hkeit (b) ist ausges hlossen. Damit haben wir gezeigt, dass sowohl (a) als au h (b) die Wahrs heinli hkeit 0 besitzen, so dass P(A) = 0 ist. Das heisst, dass θTd ,ρ ( d1 ) = 0 gilt. Dank Lemma (5.10) wissen wir somit, dass ψTd ( d1 ) = 0 ist, und Satz 5.9 ist für den kritis hen Fall bewiesen. Im bisherigen Verlauf des Beweises haben wir insbesondere den Erwartungswert E[Zn ] ausgenutzt. Jetzt wollen wir einen zugehörigen bedingten Erwartungswert verwenden. Wir erinnern uns, dass der Erwartungswert E[Zn ] angibt, was wir im Dur hs hnitt für Zn erwarten können. Analog gibt der bedingte Erwartungswert E[Zn | D] unter der Bedingung eines Ereignisses D an, was wir im Dur hs hnitt für Zn erwarten können, wenn wir wissen, dass D eingetreten ist. Weil Zn die mögli hen Werte 0, 1, . . . , dn annimmt, wird der Erwartungswert E[Zn ] dur h III.

p >

1 d : der superkritis he Fall.

n

E[Zn ] =

d X

k P(Zn = k)

(5.27)

k=0

gegeben. Die entspre hende Formel für den bedingten Erwartungswert E[Zn | D] ist n

E[Zn | D] =

d X

k=0

k P(Zn = k | D) .

(5.28)

5.4

Perkolation auf Bäumen

123

Wir werden uns hier insbesondere mit dem Spezialfall D = {Zn ≥ 1} befassen, d. h. das Ereignis, dass die zusammenhängende Komponente, in der si h die Wurzel bendet, bis zur Tiefe n rei ht. Die folgende Formel wird dabei eine zentrale Rolle spielen: E[Zn ] = P(Zn ≥ 1) · E[Zn | Zn ≥ 1] .

(5.29)

Um zu zeigen, dass (5.29) stimmt, stellen wir zunä hst fest, dass der erste Term in beiden Summen (5.27) und (5.28) 0 ist und deshalb weggelassen werden kann. Auÿerdem gilt für k ≥ 1, dass das Ereignis {Zn = k} das glei he wie {Zn = k, Zn ≥ 1} ist. Dies ergibt n

E[Zn ] =

d X

k P(Zn = k)

k=1 n

=

d X

k=1

k P(Zn = k, Zn ≥ 1)

n

=

d X

k=1

k P(Zn = k| Zn ≥ 1) P(Zn ≥ 1)

= P(Zn ≥ 1)

n

d X

k=1

k P(Zn = k| Zn ≥ 1)

= P(Zn ≥ 1) E[Zn | Zn ≥ 1]

und die Formel (5.29) ist veriziert. Damit kann die Wahrs heinli hkeit P(Zn ≥ 1) als P(Zn ≥ 1) =

E[Zn ] E[Zn | Zn ≥ 1]

(5.30)

ausgedrü kt werden. Wir wollen uns eine Vorstellung von P(Zn ≥ 1) vers haffen und müssen dazu sowohl für den Zähler E[Zn ] als au h für den Nenner E[Zn | Zn ≥ 1] gute Abs hätzungen einsetzen. Aus Formel (5.22) wissen wir bereits, dass E[Zn ] = (p d)n ist, so dass nur no h E[Zn | Zn ≥ 1] betra htet werden muss. Dazu zei hnen wir den Baum Td wie in Abb. 5.12 bis zur Tiefe n mit der Wurzel na h oben, und su hen ihn von links ab, um einen Weg zu nden, der von der Wurzel zur Tiefe n rei ht. Wenn Zn ≥ 1 ist, stoÿen wir s hlieÿli h auf einen sol hen Weg γ , der si h von allen Wegen, die von der Wurzel zur Tiefe n rei hen, am weitesten links bendet  in der Abb. 5.12 mit einer di keren Linie gekennzei hnet. Der ents heidende Punkt bei dieser Su he von re hts na h links ist, dass es uns ausrei ht γ zu ermitteln, au h wenn uns dann keinerlei Information darüber vorliegen, was re hts von γ ges hieht. Dadur h ist die bedingte Verteilung für alle Kanten re hts von γ an dieser Stelle ganz einfa h glei h ihrer ni ht bedingten Verteilung: Sie sind unabhängig mit der Kantenwahrs heinli hkeit p.

124

5 Perkolation

Abb. 5.12. Eine Perkolation auf dem binären Baum T2 bis zur Tiefe 4. Die dur hgezogenen Kanten sind die oenen und mit der Wurzel zusammenhängenden; von diesen ist der am weitesten links stehende Weg von der Wurzel zur Tiefe 4 di k markiert. Die Kanten, die zum Perkolationsprozess gehören, aber ni ht in einer Komponente mit der Wurzel liegen, wurden mit punktierten Linien dargestellt.

Wie viele weitere Knoten können wir in der Tiefe n erwarten, die von ρ aus errei hbar sind, zusätzli h zum Knoten, den wir am Ende des Weges γ erhielten? Diese weiteren Knoten können auf Wegen errei ht werden, die si h re hts von γ in vers hiedenen Tiefen verzweigt haben. Für ein m zwis hen 0 und n − 1 haben die Knoten in γ in der Tiefe m re hts von γ hö hstens d − 1 Kinder, und jedes von diesen besitzt in der Tiefe n dn−m−1 Na hkommen. Somit gibt es in der Tiefe n re hts von γ hö hstens (d − 1) dn−m−1

Knoten, die Na hkommen des Knotens von γ (in der Tiefe m) sind. Jeder von ihnen kann im Perkolationsprozess (von ρ aus) mit der bedingten Wahrs heinli hkeit pn−m errei ht werden (unter der Bedingung des am weitesten links stehenden Weges γ ), so dass der bedingte Erwartungswert, wie viele von ihnen von ρ aus errei hbar sind  und damit zu Zn beitragen  hö hstens (d − 1) dn−m−1 pn−m

ist. Summieren wir über m und addieren 1, um den Endknoten von γ zu berü ksi htigen, erhalten wir

5.4

Perkolation auf Bäumen

E[Zn | γ bendet si h am weitesten links] ≤ 1 +

n−1 X

125

(d − 1) dn−m−1 pn−m

m=0

=1+ =1+

n−1 d−1 X (p d)n−m d m=0 n d−1 X (p d)k d k=1

wobei der letzte S hritt aus der Variablensubstitution k = n−m folgt. Bea hte, dass diese obere Grenze für den bedingten Erwartungswert von Zn unabhängig vom aktuellen γ gilt, so dass E[Zn | Zn ≥ 1] ≤ 1 +

n d−1 X (p d)k d k=1

beträgt. Die allgemeine Formel für die Summe einer geometris hen Reihe (siehe Anhang A) führt auf n X

(p d)k =

k=1

(p d)n+1 − 1 pd−1

so dass E[Zn | Zn ≥ 1] ≤ 1 +

d − 1 (p d)n+1 − 1 d pd −1

ist. Wir können jetzt (wie geplant) diese Abs hätzung in (5.30) einsetzen, was zusammen mit der früher erhaltenen Beziehung E[Zn ] = (p d)n P(Zn ≥ 1) =

E[Zn ] E[Zn | Zn ≥ 1] (p d)n ≥ . (p d)n+1 −1 1 + d−1 d p d−1

(5.31)

ergibt. Die Annahme p > d1 (das ist gerade der superkritis he Fall, den wir hier untersu hen) bedeutet, dass p d > 1 ist. Wenn wir jetzt n → ∞ streben lassen, geht damit die re hte Seite von (5.31) gegen d (p d − 1) pd −1 = , (d − 1) p d pd−p

so dass lim P(Zn ≥ 1) ≥

n→∞

gilt, was streng gröÿer als 0 ist.

pd−1 pd−p

126

5 Perkolation Das Ereignis

Y = ∞,

hängenden

Komponente

P(Y = ∞),

für die

dass die Wurzel zu einer unendli hen zusammengehört,

besitzt

deshalb

die

Wahrs heinli hkeit

P(Y = ∞) = lim P(Y ≥ n) n→∞

= lim P(Zn ≥ 1) n→∞

≥

pd −1 > 0 pd−p

P(Y = ∞) glei h θTd ,ρ (p), so dass wir hiermit gezeigt haben, θTd ,ρ (p) > 0 ist. Wegen Lemma 5.10 wissen wir somit, dass ψTd (p) = 1

gilt. Jedo h ist dass

ist. Damit ist der superkritis he Fall geklärt und der Beweis des Satzes 5.9

⊓ ⊔

(endli h!) abges hlossen.

5.5 Die Anzahl der unendli hen Komponenten Bei unseren Untersu hungen der Perkolationsmodelle haben wir uns in diesem Kapitel bisher darauf konzentriert, die Existenz eines kritis hen S hwellenwertes

pc

zu beweisen und wenn mögli h zu bere hnen. Es gibt jedo h no h eine

Reihe anderer Fragen, die man für diese Modelle stellen kann, wobei ihre Analyse natürli h in die drei Fälle unterteilt werden muss, die wir zu Beginn des Beweises von Satz 5.9 dargestellt haben. I.

p < pc :

der subkritis he Fall. Hier gibt es nur endli he zusammenhän-

gende Komponenten, do h man könnte viel zur Verteilung ihrer Gröÿe und Form sagen. II.

p = pc :

der kritis he Fall. Hierzu können au h fast-kritis he Situa-

tionen gere hnet werden, wenn man untersu ht, was ges hieht, wenn si h

p < pc oder p > pc setzt und p immer mehr pc nähert (von

unten oder von oben). III.

p > pc :

der superkritis he Fall.

Alle drei Fälle haben ihre eigenen harakteristis hen Fragestellungen und Phänomene. Der komplizierteste Fall ist der kritis he,

p = pc ,

bei dem man si h

gerade an der Grenze bendet, ab der si h unendli he Komponenten bilden können. Insbesondere in zweidimensionalen Fall wurden in den letzten Jah-

39 Dies hier zu diskutieren würde zu

ren bedeutende Forts hritte gema ht.

weit führen, so dass wir diesen Abs hnitt stattdessen dem superkritis hen Fall

39

p > pc

widmen.

40

Siehe z. B. Smirnov & Werner (2001), oder, für einen kurzen und völlig unmathematis hen Beri ht, Häggström (2002 ). 40 Wir werden auf die superkritis he Perkolation im Abs hnitt 8.6 zurü kkommen, wenn wir eine Irrfahrt auf der unendli hen zusammenhängenden Komponente einer Perkolationskonguration starten.

5.5 Die Anzahl der unendli hen Komponenten

127

Die superkritis he Perkolation wird dur h die Existenz einer unendli hen zusammenhängenden Komponente harakterisiert. Gibt es jedo h nur eine, oder könnte es mehrere geben? Dies ist die viellei ht wi htigste Frage für superkritis he Perkolationen, und für Zd wird die Antwort dur h den folgenden Satz gegeben. Für die Kantenperkolation auf dem Gitter gilt

Satz 5.11.

p > pc (d)

Zd (d ≥ 2) mit

P(es gibt genau eine unendli he zusammenhängende Komponente) = 1 .

Mehr als eine unendli he zusammenhängende Komponente wird es also ni ht geben.41 Für d = 2 geht dieses Ergebnis bis auf den zuvor genannten klassis hen Artikel von Harris (1960) zurü k. Für d ≥ 3 musste man auf das Ergebnis lange warten, bis es endli h dur h Aizenman, Kesten & Newman (1987) bewiesen wurde. Der von Aizenman et al. vorgelegte Beweis war jedo h äuÿerst kompliziert, und vers hiedene Fors her su hten weiterhin na h einem kürzeren und lei hter zu dur hs hauenden Beweis. Einige Jahre na h Aizenman et al. kamen Burton & Keane (1989) mit einem alternativen Beweis, der bedeutend kürzer und sehr elegant ist, und der auÿerdem au h auf andere Probleme als das ursprüngli he Modell übertragen werden konnte. Ganz folgeri htig wurde das der gebräu hli he Beweis, wie man ihn heute in Vorlesungen zur Perkolationstheorie vorstellt42 , und erst na h längerem Abwägen habe i h mi h dafür ents hieden, Burtons und Keanes Argumente in diesem Bu h ni ht vorzustellen. Wer no h stärker in die Perkolationstheorie eindringen mö hte, dem empfehle i h deshalb  als nä hsten S hritt na h dem meinem Bu h,  die sorgfältige und glei hzeitig lei ht lesbare Präsentation des BurtonKeane-Argumentes in Grimmett (1999).

⋄ ⋄ ⋄ ⋄ Stattdessen wollen wir uns ansehen, wie Harris (1960) den Satz 5.11 im zweidimensionalen Fall bewies. Dieser Beweis baut auf der Anwendung des dualen Perkolationsprozesses auf  siehe Abb. 5.9  auf den wir im Beweis von Lemma 5.6 gestoÿen waren. Obwohl wir am superkritis hen Fall p > 12 (wir erinnern uns aus Abs hnitt 5.2, dass der kritis he Wert für das Gitter Z2 glei h 12 ist) interessiert 41

Man kann an dieser Stelle hinzufügen, dass der übli he Beweis von Satz 5.11

mehr als einer unendli hen Komponente im p = pc auszus hlieÿen. Dieses Resultat wirkt jedo h etwas unnatür-

au h geeignet ist, um die Existenz von kritis hen Fall

li h, da si h ja alle Experten einig sind (au h wenn der Beweis no h aussteht, siehe

Abs hnitt 5.2), dass für p = pc gar keine unendli he Komponente entsteht. 42 Diese Kurse werden vor allem für Doktoranden gehalten, obwohl (wie i h in

diesem Kapitel zeigen mö hte) ein groÿer Teil dieser Theorie au h mit geringeren mathematis hen Kenntnissen verstanden werden kann.

128

5 Perkolation

sind, beginnen wir mit der Betra htung des kritis hen Falles p = 12 . Harris zeigte (siehe Satz 5.1), dass der gewöhnli he Perkolationsprozess für p = 12 nur endli he zusammenhängende Komponenten besitzt, so dass jede Komponente somit von einer Kontur des duale Prozesses einges hlossen ist: siehe Abb. 5.10. Wenn man darüber hinaus einen Menge Λn nimmt (wie sie in (5.3) deniert wurde) und die Vereinigung aller endli hen zusammenhängenden Komponenten, die Knoten in Λn besitzen, so ist au h diese Vereinigung von einer Kontur im dualen Prozess umgeben. Jedes endli he Gebiet von Z2 ist damit in eine sol he Kontur einges hlossen. Jetzt wollen wir ein spezielles Detail der Betra htung von p = 21 ausnutzen, nämli h die so genannte Selbstdualität: Der duale Perkolationsprozess besteht aus einem exakt glei hen Gitter wie der ursprüngli he (das duale Gitter ist nur um eine halbe Längeneinheit in x- und y -Ri htung vers hoben), und besitzt mit 1 − p = 12 die glei he Kantenwahrs heinli hkeit wie der ursprüngli he Prozess. Somit haben der ursprüngli he und der duale Prozess  jeder für si h betra htet  genau die glei hen Verteilungseigens haften. Wenn wir jetzt wissen, dass der duale Prozess die Eigens haft besitzt, um jedes endli he Gebiet Konturen zu enthalten, wissen wir, dass das Glei he au h für den ursprüngli hen Prozess gilt.43 Lemma 5.12. Für die Kantenperkolation auf dem Gitter wahrs heinli hkeit

p =

Z2

mit Kanten-

1 2 gilt mit Wahrs heinli hkeit 1, dass jedes endli he

Gebiet von einer Kontur umgeben ist.

(Mit Kontur ist an dieser Stelle eine Kontur im ursprüngli hen Prozess gemeint, ni ht im dualen.) Wir wollen jetzt vom kritis hen Fall p = 21 zum superkritis hen Fall p > 12 übergehen. Im Zusammenhang mit dem Beweis des Lemmas 5.8 in Abs hnitt 5.2 sahen wir, wie man Perkolationsprozesse für zwei (oder mehr) Werte der Kantenwahrs heinli hkeit p simultan konstruieren kann, so dass beim Übergang von einer geringeren zu einer gröÿeren Kantenwahrs heinli hkeit nur Kanten geönet werden können  jedo h keine Kante ges hlossen wird. Wenn man jedo h nur Kanten önet und niemals s hlieÿt, können au h keine Konturen in Lemma 5.12 vers hwinden, und entspre hende Ergebnisse gelten au h für gröÿere Werte von p: Lemma 5.13. Für die Kantenperkolation auf dem Gitter

Z2

mit

p>

1 2 gilt

mit Wahrs heinli hkeit 1, dass jedes endli he Gebiet von einer endli hen Kontur umgeben ist.

43

Betra hten wir den ursprüngli hen und den dualen Prozess zusammen bei

p=

1 , 2

erhalten wir deshalb eine komplizierte unendli he Hierar hie, bei der jede zusammenhängende Komponente des einen Prozesses von einer Kontur des anderen Prozesses umgeben ist, die wiederum von einer Kontur in ersterem Prozess umgeben ist, usw. Deshalb entsteht weder in dem einen no h in dem anderen Prozess eine unendli he zusammenhängende Komponente. Do h sobald man die Balan e stört und

p 6=

1 2

setzt, nimmt einer der Prozesse überhand und erzeugt eine unendli he Komponente.

5.5

Beweis von Satz 5.11 für

Gitter dass

Z2

x1

mit

und

p>

x2

Die Anzahl der unendli hen Komponenten

d = 2: Betra hte die

1 2 und zwei beliebige Knoten

129

Kantenperkolation auf dem

x1

und

x2 .

Nehmen wir an,

unendli hen zusammenhängenden Komponenten angehören.

Dann müssen von beiden Knoten Wege ausgehen, die si h in die Unendli hkeit fortsetzen. Von Lemma 5.13 wissen wir auÿerdem, dass es irgendwo eine

x1 als au h x2 eins hlieÿt. Beide unendli hen Wege x1 und x2 müssen diese Kontur passieren. Damit ist es mögli h, von x1 na h x2 zu gehen, indem man zuerst dem einen Weg von x1 zur Kontur folgt,

Kontur gibt, die sowohl von

seinen Weg dann auf der Kontur forsetzt, bis man den zweiten Weg errei ht, von wo aus man s hlieÿli h na h

x2

geht.

Wir können also folgern, dass wenn zwei Knoten

x1

und

x2

unendli hen zu-

sammenhängenden Komponenten angehören, sie dann tatsä hli h der glei hen unendli hen Komponente angehören. Weil die Knoten wählt wurden, gibt es an keiner Stelle von

Z2

x1

und

x2

beliebig ge-

Platz für eine weitere unendli he

Komponente, womit die Eindeutigkeit der unendli hen Komponente bewiesen

⊓ ⊔

ist.

⋄ ⋄ ⋄ ⋄ Wie wir weiter oben angedeutet hatten, kann die Eindeutigkeit der unendli hen Komponente bei superkritis her Perkolation au h für einer Reihe weiterer Gitter und Graphenstrukturen auÿer dem gewöhnli hen Gitter

Zd

bewiesen werden. Könnte man Satz 5.11 direkt für die Perkolation auf beliebigen Graphen verallgemeinern? Die Antwort auf diesen Frage ist nein, was bereits bei der Betra htung von Bäumen festgestellt werden kann: Satz 5.14. Für die Kantenperkolation auf dem Baum Td (d ≥ 2) mit einer Kantenwahrs heinli hkeit p, die die Ungeli hungen d1 < p < 1 erfüllt, gibt es mit Wahrs heinli hkeit 1 unendli h viele unendli he zusammenhängende Komponenten gibt.

Wir erinnern uns aus Satz 5.9, dass unendli he Komponenten bei der Kantenperkolation auf

Td

dann und nur dann entstehen, wenn

p >

1 d ist. Der

Satz 5.14 besagt deshalb, dass es, sobald es eine unendli he Komponente gibt, dann gibt es unendli h viele. Eine Ausnahme bildet der triviale Fall

p = 1,

für den wir natürli h nur eine unendli he Komponente erhalten. Um einzusehen, warum 5.14 gilt, betra hten wir die Kantenperkolation auf 1

mit d < p < 1. Wir denken uns wie übli h den Baum in der Ebene darge1 stellt, mit der Wurzel na h oben. Weil p > d ist, wissen wir, dass wir mindes-

Td

tens eine unendli he zusammenhängende Komponente erhalten. Andererseits sind wegen

p < 1

unendli h viele Kanten des Baumes ges hlossen worden.

Der ents heidende Punkt ist an dieser Stelle, dass unterhalb jeder ges hlossenen Kante

e

eine exakte Kopie des Baumes

Td

liegt, von der wir (wieder mit

Hinweis auf Satz 5.14) wissen, dass sie mindestens eine unendli he zusammenhängende Komponente gibt. Da dies für jede ges hlossene Kante gilt, muss es unendli h viele unendli he zusammenhängende Komponenten geben.

130

5 Perkolation

Man kann hinzufügen, dass die Behauptung des Satzes 5.14 au h in erweiterten Bäumen T′d gilt, und mit einer etwas ausführli heren Argumentation können wir zeigen, dass das Glei he für superkritis he Perkolationen auf beliebigen Bäumen gilt (siehe Peres & Steif, 1998).

⋄ ⋄ ⋄ ⋄

In einem Artikel mit dem die Phantasie anregenden Titel Per olation in ∞ + 1 dimensions (Grimmett & Newman, 1990)44 wurde die Perkolation auf einem Typ von Graphen untersu ht, bei dem die Frage der Anzahl unendli her zusammenhängender Komponenten eine kompliziertere Antwort erfordert als wir sie für Gitter Zd und Bäume erhielten. Den Graphen, den Grimmett und Newman betra hten, nennt man das kartesis he Produkt45 von T′d (d ≥ 2) und dem Gitter Z1 ; er wird mit T′d × Z bezei hnet.46 Um verständli h zu ma hen, wie dieser Graph bes haffen ist (der si h s hwerli h in einer Abbildung darstellen lässt) wollen wir zunä hst erklären, wie man das kubis he Gitter Z3 als kartesis hes Produkt konstruieren kann. Wir stellen uns vor, dass wir das quadratis he Gitter Z2 auf Papier aufgemalt und davon unendli h viele Kopien erzeugt haben, die als unendli hes Bündel (na h oben und na h unten) so zusammengefasst sind, dass jeder Knoten einer Kopie exakt unter einem Knoten der direkt darüber liegenden Kopie liegt (und exakt über einem Knoten der direkt darunter liegenden Kopie). Wenn wir jetzt einen Graphen bilden, indem wir vertikale Kanten zwis hen den übereinander liegenden Knoten der unendli h vielen Gitter Z2 des Bündels zusammenfügen, erhalten wir das kartesis he Produkt Z2 × Z  wel hes identis h zum kubis hen Gitter Z3 ist. Den Graphen T′d × Z erhält man auf entspre hende Weise; der einzige Unters hied ist, dass wir auf dem Papier die Kopien des Baumes T′d statt des Gitters Z2 haben.47 44

Direkt na h seinem Ers heinen wurde er nur wenig bea htet, do h etwa um die Jahrtausendwende erkannte man seine Bedeutung. 45 Die allgemeine Denition des kartesis hen Produkts G × H zweier Graphen G und H lautet wie folgt: Die Knotenmenge von G×H besteht aus allen Paaren (u, v), bei denen u der Knotenmenge von G und v der von H angehört. Zwei Knoten (u1 , v1 ) und (u2 , v2 ) in G×H werden dann (und nur dann) mit einer Kante verbunden, wenn entweder (a) u1 = u2 und v1 ist Na hbar von v2 in H , oder (b) v1 = v2 und u1 ist Na hbar von u2 in G. 46 Sie wählten deshalb lieber den erweiterten Baum T′d statt Td , damit der resultierende Graph T′d × Z homogen ist (d. h. von jedem Knoten des Graphen aus glei h aussieht). Damit kann man einige Argumente etwas lei hter handhaben, do h alle Ergebnisse, die weiter unten diskutiert werden, gelten genauso für Td × Z. 47 In der Perkolationstheorie und der mathematis hen Physik fasst man man hmal Bäume als Approximationen des Gitters Zd auf, wenn die Dimension d gegen ∞ geht; dies ist der Grund für den Titel des Artikels von Grimmett und Newman.

5.5 Die Anzahl der unendli hen Komponenten Dass dieser Graph einen kritis hen Wert

pc

131

besitzt, der zwis hen 0 und 1

liegt, kann man mit Hilfe re ht einfa her Modikationen der Ideen zeigen, d die wir für das Gitter Z im Abs hnitt 5.2 verwendet hatten. Grimmett und Newman befassten si h vor allem mit dem superkritis hen Fall

p > pc

und un-

tersu hten, und wie viele unendli he zusammenhängende Komponenten man in diesem Fall erhält. Sie fanden, dass die Antwort  im Unters hied zum d Gitter Z und zu den Bäumen  ni ht für alle p glei h ist. Für jedes feste

p

kann man zeigen,

48 dass die Anzahl der unendli hen zusammenhängenden

Komponenten mit Wahrs heinli hkeit 1 eine Konstante

Np

ist, d. h., dass es

keine Mögli hkeit für zufällige Unters hiede dieser Anzahl gibt. Grimmett und Newman zeigten, dass man auÿer dem kritis hen Wert

p1

und

p2

pc

au h no h Zahlen

pc < p1 < p2 < 1 ist und  0 für p < pc    ∞ für pc < p < p1 Np =    1 für p2 < p

nden kann, so dass

(5.32)

gilt. Die Anzahl der unendli hen Komponenten für die superkritis he Kanten′ perkolation auf Td × Z wird für p knapp oberhalb von pc glei h ∞, während die Anzahl glei h 1 wird, wenn p hinrei hend nahe 1 liegt. In der Glei hung (5.32) ist die Zeile mit

p

im Intervall zwis hen

p1

und

p2

absi htli h ausgelassen, weil Grimmett und Newman ni ht ents heiden konn-

Np wird. Sie wussten, dass Np für jedes gegebene p > pc entweder 49 und deshalb lag es nahe zu vermuten, dass p und p 1 2 einzigen kritis hen Wert pu (u wie in unique) vereinigt werden

ten, wie groÿ 1 oder

∞

zu einem

sein muss,

könnten, so dass das Modell genau zwei kritis he Werte entspre hend

 0 Np = ∞  1

für für für

p < pc pc < p < pu pu < p

(5.33)

besitzt. Was in Grimmetts und Newmans Untersu hungen fehlte, um

Np für p im Intervall zwis hen p1 und p2 einige Male zwis hen den Werten

(5.33) beweisen zu können, war, dass man auss hlieÿen konnte, dass wa hsendes

48

Dies kann man mit allgemeinen Argumenten tun, die mit Kolmogorows

0-1-Gesetz zusammenhängen, das wir im Beweis von Lemma 5.7 verwendet hatten. 49 Eine Alternative könnte sein, dass Np eine positive ganze Zahl gröÿer oder glei h 2 wäre. Do h damit würde man s hnell einen Widerspru h erzeugen, dass

Np

keine Konstante ist: Wenn man nur endli h viele unendli he Komponenten erhält, wäre es lei ht mögli h, dass si h zwei oder mehrere von ihnen dur h eine einzige Kante verbunden werden könnten si h die Anzahl der unendli hen Komponenten dadur h verringert. (Dieses Argument ist hier etwas vereinfa ht dargestellt, do h man kann es dur h eine in der Perkolationstheorie übli herweise verwendete Te hnik, die so genannte

lokale Modikation

mathematis h exakt formulieren, siehe z. B.

Häggström (2003) für eine sorgfältige Bes hreibung.)

132 ∞

5 Perkolation

und 1 hin und her springen könnte. Dies wäre eine ziemli h merkwürdiges

Verhalten, do h um dies auss hlieÿen zu können, muss man die so genannte

Eindeutigkeitsmonotonie beweisen, nämli h dass gilt: Wenn

Np1 = 1

und

p2 > p1

ist, dann muss au h

Np2

glei h 1 sein.

(5.34)

Mit anderen Worten: Wenn man nur eine einzige zusammenhängende Komponente bei einem gewissen

p

erhält, muss dies au h dann gelten, wenn

p

wä hst. Wenn man die oben zitierten Ergebnisse von Grimmett und Newman mit (5.34) verbindet, so folgt (5.33)  oder etwa ni ht? Es waren s hlieÿli h der israelis he Mathematiker Yuval Peres und i h in einem gemeinsamen Artikel (Peres & Häggström, 1999), denen es (für eine allgemeinere Klasse von Graphen) gelang, die erforderli he Monotonie (5.34) zu beweisen und damit zu zeigen, dass si h

Np

als Funktion von

p

wie in (5.33) verhält.

In unserem Beweis nutzten Peres und i h die glei he Art der simultanen Konstruktion der Perkolationsprozesse mit vers hiedenen Kantenwahrs heinli hkeiten aus, die wir im Ans hluss an den Beweis von Lemma 5.8 verwendet hatten, dass eine Vergröÿerung von

p

immer zu einem Önen, do h nie zu

einem S hlieÿen von Kanten führt. Unser Beweis wurde jedo h weit komplizierter (leider viel zu komplex um ihn hier vorstellen zu können) als der von Lemma 5.8, was damit zusammen hängt, dass das Hinzufügen von Kanten zu einer Perkolationskonguration im Prinzip sowohl in einer Vergröÿerung als au h zu einer Verringerung der Anzahl zusammenhängender Komponenten führen kann: Eine Vergröÿerung, indem unendli h viele ten zu einer neuen

unendli hen

endli he

Komponen-

Komponente zusammengeführt werden, und

eine Verringerung, indem mehrere unendli he Komponenten miteinander verbunden werden und dadur h die Gesamtzahl unendli her Komponenten sinkt. Eine der Hauptideen in unserer Beweisführung ist, dass sobald für einen gewissen Wert

p

eine einzige unendli he zusammenhängende Komponente entstan-

den ist, dann ist sie (mit Wahrs heinli hkeit 1) hinrei hend allgegenwärtig, so dass bei einer Vergröÿerung von

p

jeder Kandidat für eine neue unendli he

Komponente unmittelbar von der ursprüngli hen absorbiert wird. Zum S hluss eine persönli he Anmerkung: Die dargestellte Zusammenarbeit mit Yuval Peres werte i h als eine meiner wi htigsten Fors hungsarbeiten, vor allem weil unsere Ideen s hnell eine S hlüsselrolle für eine Reihe weiterer

50 spielten. (Nur zu oft hatte i h wissens haftli he

Perkolationsuntersu hungen

Artikel veröentli ht, die nur geringe oder au h keine erkennbare Auswirkung auf die weitere Fors hung hatten.)

50 Sowohl für meine eigenen und die von anderen, siehe z. B. Lyons & S hramm (1999) und Häggström (2003).

6 Die Welt ist klein

Wir benden uns an Bord eines fast voll besetzten Inlandsuges, der gerade in Sto kholm-Bromma gestartet ist. Zwei Männer mittleren Alters, die si h ni ht kennen, sitzen nebeneinander. Na h den ersten allgemeinen Gesprä hsthemen, wie das Regenwetter und die geringe Verspätung des Abuges, kommen sie näher ins Gesprä h:

1 ... Kennen Sie jemanden von der Redaktion?

Sagten Sie VLT

Zur Redaktion selbst habe i h keinen Kontakt, i h kenne jedo h einige der Redakteure. Dort gibt es einen Reporter, der Johan Kretz heiÿt. Johan Kretz! Den kenne i h gut  wir haben öfters zusammen Golf gespielt! Kennen Sie ihn? Wel h ein Zufall! Er ist einer meiner besten Freunde aus meiner Studentenzeit in Göteborg. Die Welt ist klein! Die meisten Leserinnen und Leser kennen diese Situation si herli h. Viele von uns haben si h irgendwann s hon darüber gewundert, wel he unerwarteten Verbindungen man zu neuen Bekannten feststellt. In diesem Kapitel

kleine Welt

werden wir sehen, wie Fors her unters hiedli her Disziplinen versu ht haben, dieses sogenannte

-Phänomen zu untersu hen und wahrs heinli h-

keitstheoretis h zu modellieren.

6.1 Soziale Netzwerke und Milgrams Briefketten Einer, der bereits in den 60er Jahren des letzten Jahrhunderts über die Kleinheit der Welt na hda hte, war der amerikanis he Sozialpsy hologe Stanley Milgram. Er fragte si h, wie lang eine Kette von gemeinsamen Bekannten sein muss, um zwei zufällig ausgewählte Personen miteinander zu verbinden.

1

Vestmanlands Läns Tidning ist eine Zeitung in Västmanland, einer s hwedi-

s hen Provinz im Nordosten von Sto kholm (Anm. d. Übers.).

134

6 Die Welt ist klein

Wenn diese Personen einander kennen, sei die Länge der Kette 1. Wenn sie si h ni ht kennen, jedo h mindestens einen gemeinsamen Bekannten besitzen, sei die Länge der Kette zwei. Haben sie keinen gemeinsamen Bekannten, jedo h Bekannte, die si h kennen, besitzt die Kette die Länge 3, und so weiter. Milgram publizierte 1967 das Ergebnis eines genialen Experimentes2 , mit dem diese Frage beantwortet werden sollte.3 Die Ergebnisse dieses Experiments führten zur weit verbreiteten Vorstellung, dass alle Mens hen dur h sehr kurze Ketten miteinander verbunden sind  oft wird angegeben, dass die Kettenlänge ni ht gröÿer als se hs sei. Zwar wurden die Ergebnisse des Milgrams hen Experiments oft übertrieben dargestellt, do h au h ohne diese Übertreibungen sind sie überzeugend: 96 zufällig ausgewählten Personen  hier Startpersonen genannt  der Stadt Omaha im Mittleren Westen der USA gab Milgram den Namen eines 2 3

Milgram (1967). Milgram hat als ges hi kter Experimentator allerdings ni ht dur h dieses Er-

gebnis seine gröÿte Berühmtheit erlangt. In seiner bekanntesten und am meisten diskutierten Studie  au h in den 60er Jahren dur hgeführt  wurden die Versu hspersonen zu Lehrer-S hüler-Paaren zusammengestellt. Beiden Versu hsteilnehmern wurde als Ziel der Studie mitgeteilt, dass die Wirkung von Bestrafungen auf das Lernen untersu ht werden soll. Der sogenannte Lehrer sollte sinnlose Wörterreihen vorlesen, die der S hüler wiederholen musste. Jedesmal, wenn er einen Fehler ma hte, sollte der Lehrer dem S hüler per Knopfdru k einen Elektros ho k geben. Die Stärke der Elektros ho ks erhöhte si h na h und na h. Allerdings waren die Elektros ho ks nur gespielt. Die eigentli he Versu hsperson war der Lehrer. Das Ziel war herauszunden, wie lange er bereit ist, den Anweisungen des Versu hsleiters zu folgen. Der S hüler, der vom eigentli hen Ziel in Kenntnis gesetzt wurde, erhielt keine Stromstöÿe; er täus hte sie jedo h perfekt vor. Die meisten der Lehrer drü kten ein groÿes Unbehagen und einen starken Widerwillen dagegen aus, immer stärkere Stromstöÿe austeilen zu müssen. Dur h die Ermahnungen des autoritären Versu hsleiters und seine Hinweise, wie wi htig es sei, das Experiment wie geplant dur hzuführen, gingen mehr als 60% der Lehrer bis zum hö hsten Level, das mit 

Gefahr  Lebensgefährli he Stroms hläge

bezei hnet war. Dieses beunruhigende Ergebnis, das den Hang normaler Mens hen zum Gehorsam gegenüber Autoritäten zeigt, lässt uns einige der dunkelsten Ereignisse des 20. Jahrhunderts verstehen; hoentli h kann es dazu beitragen, derartige Katastrophen in Zukunft zu verhindern. Diese Art der Zusammenarbeit steht im Gegensatz zur Diskussion im Abs hnitt 3.3, wo der Begri der

Zusammenarbeit als etwas insgesamt gutes und wün-

s henswertes ers heint  während wir hier sehen, dass ein allzu groÿer Wille einer Bevölkerung zur Zusammenarbeit sehr gefährli h sein kann. Milgrams Versu h führte zu einer lebhaften Debatte über Fors hungsethik: Man kann si h lei ht vorstellen, wie s hle ht si h die Lehrer na h dem Versu h fühlten; und das au h no h, na hdem ihnen das wahre Experiment oengelegt wurde. I h erfuhr von diesem bedeutenden Versu h dur h die s hwedis he Ausgabe des Bu hes von Koestler (1978), das eine teilweise brillante (do h an man hen Stellen ziemli h verwirrende) Betra htung über die Situation der Mens hen und der Mens hli hkeit liefert. Eine aktuellere Referenz ist Myers (1998).

6.1 Soziale Netzwerke und Milgrams Briefketten

135

Börsenmaklers  hier Zielperson genannt  der in Boston arbeiten sollte, sowie einen Brief mit der Bitte, ihn zur Zielperson weiterzuleiten. Als Regel wurde vorgegeben, dass die Versu hsteilnehmer den Brief direkt an die Zielperson s hi ken, wenn sie mit ihr persönli h bekannt sind. Anderenfalls sollten sie den Brief zu einem ihrer Bekannten s hi ken, von dem sie vermuteten, dass er die gröÿte Chan e besitzt, den Brief zur Zielperson weiterzuleiten. Wer z. B. jemanden in der Finanzbran he kannte, oder jemanden, der in Boston wohnte, war gut beraten, den Brief an denjenigen zu s hi ken. Der Empfänger des Briefes war vor die glei he Aufgabe gestellt, usw. Der Brief enthielt eine Liste, in die Absender und Empfänger eingetragen wurden. Milgram wollte dadur h herausnden, ob der Brief die Zielperson errei hte, und wenn ja, na h wie vielen S hritten. Im Ergebnis dieses Experiments errei hten 18 der 96 Briefe die Zielperson und keine dieser 18 Briefketten benötigte dazu mehr als 11 S hritte; der Median war 8. Dieses Ergebnis ist bemerkenswert. Aus der Existenz einer Briefkette der Länge K zwis hen einer Startperson und der Zielperson folgt, dass die kürzeste Bekannts haftskette zwis hen diesen Personen hö hstens die Länge K hat (sie kann jedo h au h kürzer sein, da die Briefkette ni ht notwendigerweise den kürzesten, optimalen Weg nden muss). In diesem Experiment sieht es so aus, als ob der Börsenmakler in Boston kurze Bekannts haftsketten von weniger als einem Dutzend S hritte zu einem beträ htli hen Anteil (vermutli h mehr als 15%) aller Einwohner Omahas in Nebraska besitzt. Und weil das vers hlafene Omaha soziologis h gesehen sehr weit von Boston entfernt ist, kann man si h gut vorstellen, dass er ähnli h kurze Bekannts haftsketten zu mindestens 15% der Bevölkerung der gesamten USA besitzt! Viellei ht könnte man si h heute fragen, wie dieses Ergbenis mögli h ist. Zur Zeit der Untersu hung entspra hen diese 15 Prozent rund 30 Millionen Einwohnern, und kein Mens h hat au h nur annähernd einen so groÿen Bekanntenkreis. Das ist zwar ri htig, wenn wir jedo h au h die Bekannten der Bekannten, und die Bekannten der Bekannten der Bekannten usw. berü ksi htigen, vergröÿert si h die Menge der errei hbaren Personen sehr s hnell. Nehmen wir an, dass die Zielperson 1000 Bekannte besitzt.4 Wenn diese ihrerseits wieder 1000 Bekannte haben, besitzt die Zielpersonen bereits eine Million Bekannte der Bekannten. Gehen wir no h einen S hritt weiter, sind es bereits ein Milliarde Bekannte der Bekannten der Bekannten. Das heisst, wir würden bereits mehrfa h die Bevölkerung der USA abde ken und wären auf gutem Wege, die ganze Welt zu erobern! Mit Si herheit ist das eine deutli he Übers hätzung der tatsä hli hen Zahlen, weil die Bekannten einer Person oft 4

1000 könnte zunä hst als unrealistis h hohe Abs hätzung empfunden werden,

bei genauer Betra htung ist diese Gröÿenordnung für viele Mens hen realistis h. Zähle selbst alle Deine Freunde und Bekannte. I h bin si her, Du wirst überras ht sein, wie viele es sind. Vergiss dabei ni ht Deine Familie, Verwandte, Arbeitskollegen, alte S hulfreunde, Na hbarn (sowohl in der jetzigen Na hbars haft als au h dort, wo Du früher gewohnt hast), Bekannte aus Vereinen usw.

136

6 Die Welt ist klein

au h untereinander bekannt sind und auÿerdem viele gemeinsame Bekannte haben können. Das heisst, die meisten Personen des Bekanntenkreises können über viele unters hiedli he, kurze Bekannts haftsketten errei ht werden, von denen die Mehrzahl der Bekannts haftsketten im Prinzip überüssig ist, um eine konkrete Person zu errei hen. Trotzdem kann davon ausgegangen werden, dass eine Person Millionen Zielpersonen über ziemli h kurze Ketten errei hen kann.

⋄ ⋄ ⋄ ⋄

Es wäre interessant, ein Bild der sozialen Bekannts haftsstrukturen der gesamten USA (oder S hwedens, oder der gesamten Welt) zu zei hnen. Um die soziale Struktur geeignet darzustellen, kann man Soziogramme verwenden. Soziogramme sind Graphen, deren Knoten Personen und deren Kanten irgendeine Form von Bekannts haft repräsentieren. In Lehrbü hern zur Sozialphysiologie ndet man übli herweise Soziogramme, die die Freunds haften innerhalb einer S hulklasse darstellen. Abb. 6.1 zeigt ein einfa hes Beispiel.5 Daniel PSfrag repla ements

Egil

Anna

Björn

Fanny

Calle

Abb. 6.1. Anna und Björn aus Abs hnitt 3.3 können endli h ihre Bekannts haften

oen legen. Sie treen si h bei Anna mit Björns Bruder Calle und Annas Arbeitskollegen Daniel, Egil und Fanny zum Abendessen. Das Soziogramm stellt dar, wel he der Teilnehmer si h bereits vor diesem Treen kannten.

Inspiriert dur h Milgrams Analysen würden wir natürli h am liebsten das riesige Soziogramm der gesamten Weltbevölkerung mit allen persönli hen Bekannts haften untersu hen.6 In einem sol hen Soziogramm könnte man (mit 5

Ein komplexeres Beispiel wurde kürzli h anhand der Freunds haften von S hü-

lern in einer amerikanis hen S hule vorgestellt (Bearman (2004)). Das Soziogramm ndet man im Internet unter

http://resear hnews.osu.edu/ar hive/ hainspix.htm.

Besonders interessant war dabei, dass neben den erwarteten kleineren Ketten ein 288 S hüler umfassender Ring si htbar wurde  do h wie in den folgenden Abs hnitten gezeigt wird, ist diese Struktur ni ht ungewöhnli h (Anm. d. Übers.).

6

Wer ni ht glaubt, dass dass die Motivation einer sol hen Untersu hung einfa h

intellektuelle Neugier sein kann, dem mö hte i h vers hiedene denkbare Anwendungen dieser Ergebnisse nennen: Die Kenntnis der sozialen Strukturen kann uns

6.1 Soziale Netzwerke und Milgrams Briefketten

137

etwas Mühe) ablesen, wie lang die kürzeste Bekannts haftskette z. B. zwis hen Carolina Klüft und George W. Bush ist  nennen wir diese Länge den

Abstand

zwis hen Klüft und Bush  oder zwis hen zwei beliebigen anderen

Personen. Es wäre sehr interessant, die Verteilung des Abstandes zweier auf gut Glü k ausgewählter Personen zu bestimmen. Allerdings ers heint es vollkommen unmögli h, die Daten für ein sol hes Soziogramm zu erheben. Es ist deshalb realistis her, dur h mathematis he Modellierung der entspre henden Strukturen eine ungefähre Vorstellung von den Eigens haften dieses Soziogramms zu erhalten. Das Hauptziel des aktuellen Kapitels ist es deshalb, einige denkbare Modelle zu diskutieren. Zuvor sehen wir uns jedo h einige der Milgrams hen Untersu hungen genauer an.

⋄ ⋄ ⋄ ⋄ Seit Milgram Ende der 60er des vergangenen Jahrhunderts die Ergebnisse seiner Experimente mit den Briefketten vorgestellt hat, wurde die Auassung, dass alle Mens hen dur h Bekannts haftsketten hö hstens der Länge 6 miteinander verbunden sind, ein Teil des intellektuellen Allgemeingutes. Gibt es jedo h einen empiris hen Beleg für diese Auassung? Die amerikanis he

kleine Welt

7

Psy hologin Judith Kleinfeld untersu hte diese Behauptung näher , und fand einige Fragezei hen in Bezug auf das

-Phänomen. Ihre Hauptkritik-

punkte an Milgrams Studie  und der unkritis hen Weise, wie diese Ergebnisse weiter verbreitet wurden  können wie folgt zusammengefasst werden. 1. Neben der Gruppe der 96 zufällig ausgewählten Einwohner von Omaha umfasste Milgrams Versu h au h no h einige hundert weitere Startpersonen. Die eine Hälfte von ihnen waren Einwohner aus Boston und die andere Aktieninvestoren aus Omaha. Von diesen beiden Gruppen könnte man natürli h erwarten, dass sie den Weg zum Börsenmakler in Boston bedeutend s hneller nden, im Verglei h zum typis hen Amerikaner. Trotzdem ist die Zahl 6  der am meisten zitierte Abstand zwis hen zwei beliebigen Amerikanern  aus dem Median der Länge der Briefketten hervorgegangen, wenn man alle drei Gruppen zusammen betra htet (und si h auf die Briefketten bes hränkt, die die Zielperson errei ht haben). Die Zahl 8 wäre angemessener gewesen, weil sie dem Median der (zum Ziel führenden) Briefketten der ersten Gruppe entspri ht. 2. Au h die erste Gruppe der 96 zufällig ausgewählten Einwohner von Omaha kann ni ht als repräsentativ angesehen werden. Ihre Namen wurden einer kommerziellen Adressliste entnommen, die vermutli h einen überpro-

z. B. helfen zu verstehen, wie anste kende Krankheiten wie HIV, Ebola oder SARS verbreitet werden und wie sie eingedämmt werden können. Au h in Marketing- und PR-Abteilungen interessiert man si h in den letzten Jahren verstärkt dafür, wie si h Ideen in sozialen Netzwerken verbreiten. In Watts (2003) ist eine umfassende Diskussion dieser und anderer Anwendungen zu nden. 7 Kleinfeld (2002).

138

6 Die Welt ist klein

portional hohen Anteil von Besserverdienenden enthielt. Personen dieser Kategorie werden auf Grund ihrer Kontakte den Weg zum Börsenmakler in Boston si herli h lei hter nden. 3. Selbst wenn wir die 96 Einwohner von Omaha als repräsentative Gruppe akzeptieren, bleibt das Problem bestehen, dass die Mehrheit der Briefketten  78 von 96  ihr Ziel überhaupt ni ht errei hte. Eine sol he Studie als Beleg für die Behauptung zu verwenden, dass

alle

Amerikaner eher dur h

kürzere Bekannts haftsketten verbunden sind, ers heint etwas voreilig. Die Untersu hung von Kleinfeld umfasste au h eine Literaturre her he, inwieweit andere Studien zur Bestätigung der Behauptungen von Milgram dur hgeführt wurden. Das Ergebnis war nieders hmetternd: Im Zeitraum 19672002 konnte Kleinfeld nur eine Handvoll sol her Studien nden, wobei in allen Studien nur ein geringer Anteil der begonnenen Briefketten abges hlossen werden

8

konnte; man he Studien wiesen au h methodis he Mängel auf.

Es s heint so, als könnte man aus Kleinfelds Untersu hungen folgern, dass entweder (a) die Welt klein ist und Milgrams Ergebnisse (zumindest prinzipiell) ri htig sind, do h bisher empiris h ni ht hinrei hend belegt werden konnten, oder (b) die Welt eben ni ht so klein ist, wie man bisher annahm. Kleinfeld geht mit ihrer Kritik so weit zu behaupten, dass die Wahrheit trotz allem bei (b) liegt und zwei beliebig ausgewählte Amerikaner somit ni ht dur h eine kurze Bekannts haftskette verbunden sind. Als Argument für diese Auassung führt sie die hohen Klassen- und Rassenbarrieren der amerikanis hen Gesells haft an, und stellt si h vor, dass das riesige Soziogramm aller Amerikaner aus einer relativ groÿen zusammenhängenden Komponente ho hausgebildeter weiÿer Mittelklasseamerikaner besteht, es andererseits jedo h eine Reihe kleinerer Gruppierungen gibt, die weniger gut situierte Bevölkerungsgruppen beinhalten und deshalb eine geringe Anzahl von Verbindungen zur groÿen Klasse besitzen. Die weiÿe Mittelklasse, so Kleinfeld, lebt in Übereinstimmung mit der Milgrams hen These in einer kleinen Welt, daneben gibt es jedo h groÿe Mens hengruppen, die daran ni ht beteiligt sind.

8

Als i h diesen Text im Herbst 2003 s hrieb, wurde eine kurz zuvor publizierte

Studie gerade heiÿ diskutiert  siehe Dodds et al. (2003) und Granovetter (2003). Sie stellt den bisher gröÿten Versu h dar, Milgrams S hlussfolgerungen zu bestätigen. Diese globale Studie verwendete die e-mail als Kommunikationsmittel; die Startpersonen wurden dur h Annon en im Internet rekrutiert. Die Länge der abges hlossenen Ketten lag gröÿtenteils um 35, do h der Anteil dieser abges hlossenen Ketten blieb gering: Nur 384 von 24 163 Ketten errei hten ihre Zielpersonen. Dieser geringe Anteil kann viellei ht au h dur h die heutige Verhalten der E-mail-Anwender erklärt werden, die es gewohnt sind, ankommende E-mails, um die sie ni ht gebeten hatten, meist als Spam zu betra hten und sofort wegzuwerfen. Damit könnte man au h erklären, warum die Ketten, die trotz allem ihr Ziel errei hten, so

extrem

kurz waren

 je länger eine (potentielle) Kette ist, desto gröÿer ist das Risiko, dass jemand sie bri ht.

6.1

Soziale Netzwerke und Milgrams Briefketten

139

I h selbst bin nur teilweise bereit, Kleinfelds Argumente zu übernehmen. Es ist si her glaubhaft, dass arme Afroamerikaner tendenziell weniger Verbindungen zur ho hausgebildeten Mittelklasse im groÿen Soziogramm besitzen, also weniger gut vernetzt sind. Allerdings glaube i h ni ht, dass die amerikanis he Gesells haft so stark segmentiert ist, dass ein typis her Repräsentant ni ht do h

irgendeinen

Weiÿen kennt  oder im s hlimmsten Fall jemanden

kennt, der einen Weiÿen kennt (z. B. über seine Kinder; selbst wenn das amerikanis he S hulsystem dur h eine starke Rassentrennung gekennzei hnet ist, völlig hermetis h ist es jedo h ni ht). Somit besitzt au h der arme Afroamerikaner Verbindungen zu einem Weiÿen, und in glei her Weise rei hen einige wenige S hritte aus, um zu einem Repräsentanten der weiÿen Mittelklasse zu gelangen. Das heisst, für den Preis einiger zusätzli her S hritte kann man die gut vernetzte Komponente errei hen. Eine ähnli he Überlegung spri ht dafür, dass der geringe Anteil abges hlossener Ketten bei Milgram kein starkes Argument dagegen ist, dass die Welt klein ist. Wenn wir Milgrams Ergebnis glauben, dass mehr als 15% der Bevölkerung weniger als 11 S hritte von der Zielperson entfernt sind, dann folgt im Wesentli hen, dass jeder in Omaha hö hstens etwa 13 S hritte von dieser Zielperson entfernt ist; denn jeder Einwohner wird si herli h eine Person dieser 15% kennen  oder zumindest einen Bekannten haben, der einen Bekannten unter den 15% besitzt. Meiner Meinung na h könnten die Einwände von Kleinfeld als Argumente dafür gelten, dass die typis hen Bekannts haftsketten einige wenige S hritte länger sind als man früher glaubte; do h insgesamt würde die Anzahl der notwendigen S hritte trotzdem ni ht gröÿer als 15 werden. Auÿerdem kann man von Briefketten gewöhnli h ni ht erwarten, dass sie optimal sind (d. h. den kürzesten Weg zur Zielperson nden), so dass der tatsä hli he Abstand in der Regel übers hätzt wird. Deshalb ist der typis he Abstand zwis hen zwei beliebig gewählten Amerikanern im Soziogramm voraussi htli h kleiner als 15. Oen bleibt, ob der Median einen Wert von 5, 6, 8 oder 12 (oder eine andere ziemli h kleine Zahl) annimmt. Wenn wir die Fragestellung, die bisher auf Amerika bezogen wurd, auf die gesamte Welt erweitern, wird der typis he Abstand zweier beliebig gewählter Personen si her no h etwas gröÿer. Aus den bisher bereits diskutierten Gründen, wird er jedo h ni ht wesentli h gröÿer sein: praktis h kann man überall auf der Welt eine Person auf gut Glü k auswählen  und sie wird entweder einen Bekannten in den USA haben oder jemanden kennen, der entweder selbst in den USA war oder auf andere Weise einen Amerikaner getroen hat. Au h wenn die empiris hen Untersu hungen von Milgram und anderen mit gewissen Mängeln behaftet sind und die Zahl 6 mögli herweise fals h ist, kann do h kein Zweifel daran bestehen, dass wir in einer kleinen Welt leben.

9

9

Wenn wir davon spre hen, dass die Welt klein ist, müssen wir viellei ht einzel-

ne Mens hen ausnehmen, die aus dem einen oder anderen Grund überhaupt keine

140

6 Die Welt ist klein

⋄ ⋄ ⋄ ⋄ Zu Beginn des Kapitels hatten wir bereits festgestellt, dass man das Soziogramm der Bekannts haften der gesamten Weltbevölkerung ni ht im Detail darstellen kann. In den Abs hnitten 6.36.5 werden wir uns mit einigen Versu hen bes häftigen, mathematis he Modelle zu denieren, die wi htige Aspekte des wirkli hen Soziogramms beinhalten. Zuvor wollen wir im Abs hnitt 6.2 ein anderes Soziogramm kennenlernen, das trotz seiner Gröÿe (do h es ist ni ht ganz so groÿ wie das Soziogramm der gesamten Weltbevölkerung) für detaillierte Studien geeignet ist.

6.2 Die Erd®szahl Bei Empfängen und ähnli hen sozialen Veranstaltungen auf Mathematikkon-

10 hört man oft die Frage: Wel he Erd®szahl hast Du?.

ferenzen

Die Erd®szahl eines Mathematikers zeigt seinen Abstand zum ungaris hen Mathematikern und Kosmopoliten Paul Erd®s (19131996) in einem speziellen Soziogramm an, bei dem die Knoten alle Fors her darstellen, die irgendwann eine mathematis he Arbeit veröentli ht haben, und zwei Knoten nur dann dur h eine Kante verbunden werden, wenn die beiden Mathematiker einmal eine gemeinsame Arbeit veröentli ht haben. Die Erd®szahl 1 besitzt derjenige, der eine gemeinsame Publikation mit Paul Erd®s vorweisen kann. Die Erd®szahl 2 hat jemand, der zwar ni ht mit Erd®s selbst, jedo h mit jemanden mit der Erd®szahl 1 eine Arbeit veröentli ht hat, usw. Die Erd®szahl 0 hat

11

(hatte) nur Erd®s selbst.

12 Er war

Paul Erd®s war eine in vieler Hinsi ht bemerkenswerte Person.

einer der bedeutendsten Mathematiker des 20. Jahrhunderts, der eine groÿe Anzahl wi htiger Beiträge zur Kombinatorik, Graphentheorie, Zahlentheorie, Wahrs heinli hkeitstheorie und anderen Zweigen der Mathematik geliefert hat. Er war nie fest angestellt, sondern ständig auf Reisen. Er konnte Dank der Gastfreunds haft seiner Gastgeber überleben; es wurde sogar behauptet, dass er rastlos wurde, wenn er einmal mehr als zwei Wo hen in der glei hen Stadt oder sogar nur im selben Land verbra hte. Das einzige Eigentum, das

persönli hen Bekannten haben. Dass es diese Mens hen gibt, ist jedo h kein ernster Einwand gegen das -Phänomen als sol hes. 10 Glaub es oder ni ht, do h selbst Mathematiker s hätzen es ab und zu, sozial aufzutreten. 11 Eine ähnli he Gröÿe ist in der Filmwelt populär, wo Erd®s' Rolle dur h den S hauspieler Kevin Ba on eingenommen wird und zwei S hauspieler im Soziogramm eine gemeinsame Kante besitzen, wenn sie zusammen in einem Film gespielt haben. Siehe die Internetseite von Tjaden & Wasson (2003). 12 Es wurden über ihn mehrere Biograen ges hrieben, wobei Homan (1998) ein Bestseller wurde.

kleine Welt

6.2 Die Erd®szahl

141

ihm wi htig war, waren seine mathematis hen Notizbü her, die er ständig bei si h trug. Es gibt viele Anekdoten über ihn. Mit 21 Jahren war er  der mit seiner Mutter (der er sehr verbunden war und blieb) und einer Hausangestellten aufgewa hsen war  das erste mal vor die Aufgabe gestellt, si h selbst eine S heibe Brot zu s hmieren. Er erzählte selbst gern von diesem Ereignis: I h erinnere mi h sehr gut. I h war gerade in England angekommen, um dort zu studieren. Es war Kaeezeit, und es wurde Brot gerei ht. I h s hämte mi h dafür einzugestehen, dass i h mir niemals ein Butterbrot gema ht hatte, so dass i h einen Versu h wagte. Das war gar

13

ni ht so s hwer.

Erd®s veröentli hte mehr Publikationen und s hrieb diese zusammen mit mehr Koautoren als jeder andere Mathematiker in der Ges hi hte: seine 1401 Artikel teilte er mit 502 vers hiedenen Koautoren. Diese spektakuläre Anzahl (der Zweite der Liste mit den meisten Publikationen ist Drumi Bainov mit 782, und der Zweite in der Liste der Anzahl der Koautoren ist Frank Harary mit 254) war zusammen mit Erd®s' mathematis her Brillanz und seinen vielen Eigenheiten eine wesentli he Ursa he dafür, dass die Erd®szahl überhaupt zu einem festen Begri wurde. Die quantitativen Angaben in diesem Abs hnitt sind der Internetseite

The Erd®s Number Proje t des amerikanis hen Mathe-

matikers Jerry Grossman entnommen (Grossman 2002, 2003). Grossman nutzte die Datenbank MathS iNet, um das Soziogramm aller Mathematiker der Erde und ihrer Koautorens haft zu erstellen und daraus viele Ergebnisse zur

14 Die Ergeb-

Erd®szahl und andere Beziehungen und Strukturen abzuleiten.

nisse basieren auf den Artikeln, die 2001 im MathS iNet vorhanden waren, wobei Grossman für 2004 eine Aktualisierung in Aussi ht gestellt hat.

15

Eine kleine Erd®szahl zu besitzen ist in Mathematikerkreisen mit einem gewissen Prestige verbunden. I h selbst kann mi h mit der Erd®szahl 2 brüsten, die i h vor einigen Jahren dur h einen Artikel im

Journal of Statisti al Physi s

zusammen mit Peter Winkler erhalten habe (der glei he Winkler, auf den wir im Abs hnitt 2.6 gestoÿen sind); Winkler seinerseits hat einen gemeinsamen

16

Artikel mit Erd®s.

Sehen wir uns das Soziogramm von Grossman etwas näher an. Es enthält

irka 337 000 Knoten (was also der Anzahl der Mathematiker entspri ht, die

13

Aus Homan (1998) zitiert. MathS iNet ist eine imponierend vollständige Datenbank der mathematis hen Publikationen. Trotzdem mag es natürli h die eine oder andere Arbeit geben, die ni ht in diese Datenbank aufgenommen wurde. Wir wollen  um dieses Problem zu umgehen  an dieser Stelle das Soziogramm ganz einfa h so denieren, dass nur die Koautorens haft einer im MathS iNet aufgenommenen Arbeit für eine Kante im Graphen qualiziert. 15 Diese liegt in der Zwis henzeit auf http://www.oakland.edu/enp/ vor. (Anm. d. Übers.) 16 Brightwell et al. (1999), Erd®s et al. (1989). 14

142

6 Die Welt ist klein

irgendwann etwas publiziert haben). In Analogie zur Perkolationstheorie (siehe Kapitel 5) sollte man zunä hst untersu hen, in wel he zusammenhängende Komponenten der Graph zerfällt. Es zeigt si h, dass die gröÿte Komponente

ir a 208 000 Knoten umfasst  insbesondere den von Paul Erd®s. Die nä hst gröÿere Komponente besitzt ... nur 39 Knoten! Dieser extreme Unters hied zwis hen der gröÿten und der zweitgröÿten Komponente erinnert an das Eindeutigkeitsergebnis, das wir im Kapitel 5 für die unendli he Komponente bei superkritis hen Perkolationen erhalten hatten: Wir sehen eine einzige riesige Komponente, während die übrigen (verglei hsweise) winzig sind. Von den 129 000 Knoten auÿerhalb der groÿen Komponente sind 84 000 völlig isoliert, d. h. sie bestehen aus einzelnen Mathematikern, die nie eine gemeinsame Arbeit veröentli ht haben. Die verbleibenden 45 000 Knoten, die weder isoliert sind no h zur groÿen Komponente gehören, verteilen si h auf ir a 17 000 Komponenten, von denen ziemli h genau zwei Drittel aus exakt zwei Knoten, d. h. einem Paar monogamer Mathematiker, bestehen. Als nä hsten S hritt können wir uns ansehen, wie weit die vers hiedenen Knoten in der groÿen Komponente von Erd®s entfernt sind, also die jeweilige Erd®szahl ermitteln. Bei der Dur hsi ht aller Knoten der groÿen Komponente zeigt si h, dass die gröÿte existierende Erd®szahl 15 ist; die übrigen Erd®szah-

17

len verteilen si h entspre hend der folgenden Tabelle 6.1.

Der Median dieser Verteilung der Erd®szahlen ist 5, und der Mittelwert 4,69. Auÿerdem sehen wir, dass mehr als 99% aller Mathematiker der groÿen Komponente eine Erd®szahl zwis hen 2 und 8 besitzen. Auf Grund dieses Ergebnisses könnte man den Eindru k gewinnen, dass Erd®s ungefähr die glei he Stellung in der groÿen Komponente einnimmt wie die Sonne im Sonnensystem  dass entweder alles von ihm ausstrahlt oder si h alles um ihn dreht. Dies würde Erd®s' Sonderstellung allerdings etwas übertreiben. Wenn i h  in aller Bes heidenheit  die Einführung des Begries

18 (analog zur Erd®szahl deniert), würde 19 eine Häggströmzahl von hö hstens k + 2 erhalten.

Häggströmzahl vors hlagen dürfte jeder mit der Erd®szahl

k

Eine Tabelle der Häggströmzahlen würde sehr ähnli h der Tabelle 6.1 der Erd®szahlen sein, wobei einige Zahlen viellei ht etwas na h oben vers hoben wären (jedo h hö hstens um 2). Die Tabelle besagt also weniger, dass Erd®s der Nabel der Mathematikerwelt ist, sondern stattdessen, dass die groÿe Komponente den Charakter einer kleinen Welt besitzt  denn der Abstand zweier Knoten kann ni ht gröÿer

17 Unberü ksi htigt bleiben all die Mathematiker, die si h ni ht in der groÿen Komponente benden; ihre Erd®szahl ist als ∞ deniert. 18 Leider muss i h einsehen, dass diese Alternative zur Erd®szahl kein allgemeines Gesprä hsthema auf mathematis hem Co ktailparties werden kann. 19 Beweis: Nimm an, dass jemand die Erd®szahl k besitzt. Wenn man im Soziogramm den direkten Weg zu Erd®s geht (k S hritte), und ans hlieÿende den direkten Weg zu mir (2 S hritte), haben wir einen Weg mit k + 2 von ihm zu mir gefunden. (Es könnte eventuell au h Abkürzungen geben, die kürzer als k + 2 S hritte sind; do h diese können ni ht kürzer als k − 2 S hritte werden.)

6.2

Die Erd®szahl

143

Tabelle 6.1. Die Verteilung der Erd®szahlen aller Mathematiker der groÿen Komponente.

Erd®szahl

Anzahl der Knoten

0

1

1

502

2

5 713

3

26 422

4

62 136

5

66 157

6

32 280

7

10 431

8

3 214

9

953

10

262

11

94

12

23

13

4

14

7

15

1

16

0

sein als die Summe der Erd®szahlen der beiden Knoten20 , und wir können unmittelbar aus der Tabelle ablesen, dass kein Paar von Knoten einen Abstand gröÿer als 29 besitzt. Im Verglei h zur Gesamtanzahl der Knoten in der Komponente ist dies eine sehr kleine Zahl. Tatsä hli h zeigt eine nähere Untersu hung des Soziogramms, dass der maximale Abstand zwis hen zwei Knoten der gröÿten Komponente no h geringer ist, nämli h 27. Auÿerdem gibt es eine kleine Anzahl an Knoten  unter anderem der des israelis hen Mathematikers Noga Alon  die no h zentraler als Erd®s liegen. Mit zentraler ist dabei gemeint, dass die gröÿte Alon-Zahl im Verglei h zur gröÿten Erd®szahl kleiner ist: 14 versus 15. Betra hten wir jetzt au h no h die Knoten im Soziogramm, die der groÿen Komponente ni ht angehören, erhalten wir eine Situation, die dem Bild von Judith Kleinfeld für das Netzwerk der sozialen Kontakte in den USA entspri ht: Ein groÿer Anteil der Individuen lebt in einer kleinen Welt, es gibt jedo h au h eine groÿe Anzahl an Individuen, die auÿerhalb stehen. Im vorigen Abs hnitt hatte i h meine Skepsis gegenüber diesem Bild geäuÿert. Damit liegt die Beweislast bei mir, und i h sollte erklären, warum i h glaube, dass si h das Netzwerk der sozialen Beziehungen in der Bevölkerung der USA vom Netzwerk der Koautoren der Mathematiker unters heidet. 20

Der Beweis ist der glei he wie in Fuÿnote 19 auf Seite 142: Man startet in einem

der Knoten, geht den direkten Weg zu Erd®s und von dort den direkten Wege zum zweiten Knoten.

144

6 Die Welt ist klein

Der Unters hied liegt ganz einfa h darin, dass die allermeisten Mens hen weit mehr persönli he Bekannte als Mathematiker Koautoren haben  ni ht einmal die Anzahl der Koautoren von Erd®s, der mehr Koautoren als jeder andere hatte, ist gröÿer als ein Bekanntenkreis mittelmäÿiger Gröÿe. Weil Mathematiker sehr oft keinen, einen oder hö hstens zwei Koautoren haben, kann man si h sehr lei ht vorstellen, dass kleine Komponenten ohne jede Verbindung zum Rest der Mathematikergesells haft entstehen. Bei persönli hen Bekannts haften ist die Situation eine ganz andere: Die überwiegende Mehrzahl der Individuen hat einen mindestens dreistelligen Bekanntenkreis, und die Anzahl der Bekannten der Bekannten ist mindestens no h eine Gröÿenordnung höher. Es ers heint deshalb unglaubwürdig, dass keiner dieser Bekannten eine Verbindung zur groÿen zusammenhängenden Komponente der Personen besitzen soll, die den Börsenmakler in Boston längs einer Kette von etwa einem Dutzend S hritte errei hen können.

6.3 Zwei einleitende Modellierungsversu he

Versu hen wir jetzt, realistis he mathematis he Modelle für das riesige Soziogramm der persönli hen Bekannts haften der gesamten Welt zu erstellen. Da wir21 an dieser Stelle davon überzeugt sind, dass das -Phänomen der Realität entspri ht, sollten wir von unseren Modellen fordern, dass zwei auf gut Glü k ausgewählte Knoten des Soziogramms typis herweise dur h eine kurze Sequenz von Kanten verbunden sind. Die Mens hen leben auf der Erde im wesentli hen zweidimensional, so dass es vernünftig ist, mit einem zweidimensionalen Gitter als Modell des Soziogramms zu beginnen. Sei n die Anzahl der Individuen der Welt, dann können wir ein quadratis hes Gitter entspre hend √ dem√ in Abs hnitt 5.2 annehmen, das statt aus unendli h vielen, nur aus n · n quadratis h angeordneten Knoten besteht22 ; siehe Abb. 6.2. Wie weit sind zwei Knoten dieses Graphen im Mittel voneinander entfernt? Die √ Entfernung variiert etwas, do h die Gröÿenordnung wird typis herweise n sein. Wenn √ wir jetzt n ≈ 6 000 000 000 (die Weltbevölkerung) einsetzen, erhalten wir n ≈ 77 000. Die kürzeste Bekannts haftskette, die zwei Individuen verbindet, wäre also typis herweise eine fünfstellige Zahl. Diese Eigens haft ist jedo h mit dem -Phänomen unvereinbar, so dass das Modell verworfen werden muss. Das eben betra htete Gittermodell ist auÿerdem auf Grund der geringen Anzahl an Na hbarknoten unangemessen: Jeder Knoten besitzt hö hstens 4

kleine Welt

kleine Welt

21

Zumindest i h, do h viellei ht sind kritis he Leserinnen und Leser immer no h

skeptis h?

22

Dies setzt voraus, dass

gibt, so dass

n = k2

n

eine Quadratzahl ist, d. h. dass es eine ganze Zahl

k

gilt. Wenn das ni ht der Fall ist, kann man das Gitter dadur h

adjustieren, dass man einige Knoten längs einer der Kanten des Gitters entfernt. Um das zu vermeiden, nehmen wir einfa h an, dass

n

eine Quadratzahl ist.

√

PSfrag repla ements

6.3 Zwei einleitende Modellierungsversu he

145

n

2 1

1 2

√

n

Abb. 6.2. Ein Vors hlag für ein (oenbar re ht grobes) mathematis hes Modell des weltweiten sozialen Netzwerkes. Im √ Unters hied zum Gitter in Abb. 5.3 ist dieser √ Graph endli h (er enthält insgesamt n · n = n Knoten), während si h der Graph in Abb. 5.3 in alle Ri htungen unendli h weit ausbreitet .

Na hbarn23 , was einem sehr begrenzten Bekanntenkreis von 4 Personen entspri ht. Um diese Limitierung zu überwinden, müssen wir die Anzahl der Kanten, die von jedem Knoten ausgehen, vergröÿern. Wir können uns die Knoten als ganzzahlige Punkte (i, j) der Ebene vorstellen, wobei i und j alle √ ganzen Zahlen von 1 bis n dur hlaufen. Erweitern wir den Graphen so, dass jeder Knoten ni ht nur mit den vier nä hsten ganzzahligen Punkten verbunden ist, sondern zu allen ganzzahligen Punkten in einer gröÿeren Umgebung in Verbindung steht. Zum Beispiel können wir festlegen, dass jeder Knoten v1 eine Kante zu jedem Knoten v2 besitzt, wenn si h die x- und y -Koordinaten um hö hstens 15 Einheiten unters heiden. Das bedeutet, dass ein Knoten v mit allen Knoten innerhalb eines Quadrates von 31 · 31 Knoten mit v im Zentrum verbunden ist. Die meisten Knoten (die ni ht zu nah am Rand des Gitters liegen) erhalten somit 31 · 31 − 1 = 960 Na hbarn. Dies entspri ht der Gröÿenordnung realer Bekanntenkreise sehr viel besser als das vorherige Modell. Wie lang ist die Länge der kürzesten Bekannts haftskette zwis hen zwei Knoten dieses modizierten Gitters im Mittel? Die x-Koordinaten zweier be√ liebig gewählter Knoten unters heiden si h im Mittel um n/2. Da man si h in einem S hritt ni ht weiter als√15 Längeneinheiten in x-Ri htung fortbewegen kann, benötigt man ir a n/30 S hritte in der Bekannts haftskette. (Die Gröÿenordnung des Unters hieds der y -Koordinaten ist glei h. In diesen groben Abs hätzungen können wir jedo h davon absehen, weil man si h dur h diagonale S hritte glei hzeitig in x- und in y -Ri htung bewegen kann.) 23

Die Knoten am Rand des Gitters besitzen nur 3 oder 2 Na hbarn.

146

6 Die Welt ist klein

Bei n ≈ 6 000√000 000 ergibt si h als Gröÿenordnung der Länge der Bekannts haftskette n/30 ≈ 2 500 S hritten, was na h wie vor viel zu groÿ ist, um das kleine Welt-Phänomen zu bes hreiben. Bei der mathematis hen Modellierung von sozialen Netzwerken mit kleiner Welt-Eigens haft sollte als Faustregel die gewährleistet sein, dass der mittlere Abstand zweier Knoten als Funktion der Anzahl der Individuen n ni ht s hneller als proportional zu log(n) wä hst.24 Wenn wir wieder von n ≈ 6 000 000 000 ausgehen, ergibt si h log(n) ≈ 22,5 als Gröÿenordnung, die für eine kleine Welt √ akzeptabel sein könnte. Bea hte, dass beispielsweise die Wurzelfunktion n, die man si h übli herweise als relativ langsam wa hsende Funktion vorstellt, in diesem Fall viel zu s hnell wä hst. Zusammengefasst ergibt si h aus diesem Modellierungsversu h, dass das zweidimensionale Gitter ni ht geeignet ist, das Phänomen der kleinen Welt adäquat zu bes hreiben. Man benötigt stattdessen einen grundsätzli h anderen Modellierungsansatz.

⋄ ⋄ ⋄ ⋄ Eine ganz andere Art, ein Modell für das weltumspannende Soziogramm zu erstellen, sind Erd®sRényi-Zufallsgraphen, die  wie der Name andeutet  dur h Erd®s & Rényi (1959) eingeführt wurden. Ein sol her Zufallsgraph besitzt zwei Parameter: eine positive ganze Zahl n, die für die Anzahl der Knoten steht, und eine Zahl p zwis hen 0 und 1, die die Wahrs heinli hkeit dafür angibt, dass zwei Knoten dur h eine Kante verbunden sind. Erd®s Rényi-Zufallsgraphen mit diesen Parametern werden mit G(n, p) bezei hnet, und man erhält sie auf die folgende Art und Weise: 1. Die Knotenmenge v1 , . . . , vn besitzt n Knoten. 2. Zwei Knoten vi und vj mit i < j werden mit Wahrs heinli hkeit p dur h eine Kante verbunden. Für vers hiedene Paare von Knoten ges hieht dies unabhängig. Äquivalent kann man einen Erd®sRényi-Zufallsgraphen dur h eine Kantenperkolation mit der Kantenwahrs heinli hkeit p aus einem vollständigen Graphen mit n Knoten erzeugen. Ein vollständiger Graph ist dadur h gekennzei hnet, dass jedes Paar von Knoten dur h eine Kante verbunden ist. Beginnen wir damit uns anzusehen, was mit dem Erd®sRényi-Zufallsgraphen ges hieht, wenn p festgelegt wird und n gegen ∞ wä hst. Eine sol he Asymptotik zu untersu hen, ist bei der Analyse mathematis her Modelle übli h. Natürli h kann man kann si h fragen, wozu diese Betra htung, wenn das interessierende n (n = 6 000 000 000) endli h ist? Der Grund ist einfa h: Gewöhnli h ist es lei hter festzustellen, was für den Grenzübergang n → ∞ ges hieht, als für ein festes groÿes n. Das Verhalten für n → ∞ gibt in der 24 Mit log(n) ist der natürli he Logarithmus von n gemeint, d. h. e = 2,718 28... potenziert werden muss, um n zu erhalten.

die Zahl, mit der

6.3 Zwei einleitende Modellierungsversu he

147

Regel au h darüber Aufs hluss, wie si h das Modell für feste, aber groÿe n verhält. Betra hten wir zwei Knoten vi und vj . Die Wahrs heinli hkeit, dass eine Verbindung zwis hen beiden besteht ist p, unabhängig von der Anzahl der Knoten n. Im Gegensatz dazu ist die Wahrs heinli hkeit, dass es einen Weg der Länge 2 gibt, von n abhängig, weil die Anzahl der mögli hen Wege mit n wä hst. Insgesamt existieren n − 2 sol her Wege (je Knoten einer, auÿer vi und vj ). Für jeden dieser Wege beträgt die Wahrs heinli hkeit, dass si h beide Kanten im Zufallsgraphen benden, p2 . Die Wahrs heinli hkeit, dass si h keiner dieser n − 2 mögli hen Wege im Zufallsgraphen bendet, ist (6.1)

(1 − p2 )n−2 .

Dieser Term geht für n → ∞ gegen 0. Demzufolge strebt die Wahrs heinli hkeit, dass ein gegebenes Paar von Knoten im Erd®sRényi-Zufallsgraphen dur h mindestens einen Weg der Länge 2 verbunden ist, für n → ∞ gegen 1. Das heisst, man kann wirkli h von einer kleinen Welt spre hen: Fast25 alle Paare von Individuen besitzen einen gemeinsamen Bekannten. Das ist bereits zu viel des Guten! Auÿerdem spri ht gegen den Erd®sRényi-Zufallsgraphen mit festem p und groÿem n, dass die erwartete Anzahl an Kanten, die von einem gegebenen Knoten ausgehen, glei h (n − 1) p ist (dies folgt aus der Tatsa he, dass es n mögli he Kanten gibt, von denen jede mit Wahrs heinli hkeit p im Graphen verbleibt). Für n → ∞ geht die erwartete Anzahl an Kanten folgli h gegen ∞. Au h diese Eigens haft des Modells ist für soziale Netzwerke unrealistis h: die Anzahl der Na hbarn sollte ni ht zu groÿ werden und si h etwa in der Gröÿenordnung von 1000 Na hbarn bewegen. Statt p könnten wir beispielsweise p = nc festhalten, wobei c > 0 eine positive Konstante ist.26 Die erwartete Anzahl an Na hbarn eines Knoten wäre dann (n − 1) c (n − 1) p = n und weil für n → ∞ der Term n−1 gegen 1 strebt, wird die erwartete Anzahl an n Na hbarn für groÿe n ungefähr c; sehen wir im Folgenden vom Faktor n−1 n ab 25

Praktis h ni ht nur

s heinli hkeit)

alle.

fast

alle, sondern (für

n → ∞ mit überwältigender Wahr-

Beweis: Die erwartete Anzahl der Knotenpaare, die ni ht dur h

eine Kante verbunden werden können, erhält man dur h Multiplikation von (6.1) n (n−1) (1 2

− p2 )n−2 führt. Dies geht für n → ∞ gegen 0. Deshalb muss die Wahrs heinli hkeit, dass es überhaupt sol he

mit der Gesamtanzahl der Knoten, was auf

Knotenpaare gibt, au h gegen 0 gehen. 26 Hierbei nehmen wir natürli h implizit an, dass

n ≥ c ist, um ni ht den Kardinal-

fehler zu begehen, gröÿere Wahrs heinli hkeiten als 1 zu verwenden. (Wenn i h die s hriftli hen Arbeiten meiner Studenten in Wahrs heinli hkeitsre hnung korrigiere, und dabei in einer Lösung eine Wahrs heinli hkeit von z. B. 14 oder -1 angegeben wurde, gebe i h immer Null Punkte, au h wenn der Lösungsweg teilweise ri htig ist.)

148

6 Die Welt ist klein

und sagen, dass die erwartete Anzahl an Na hbarknoten c sei. Wenn wir z. B. c = 1 000 setzen, wird der typis he Bekanntenkreis im Soziogramm die gewüns hte Gröÿe besitzen. Untersu hen wir, ob das Modell au h andere Eigens haften besitzt, die es als geeignet für die Bes hreibung sozialer Netzwerke werden lassen. Erd®s und Rényi bewiesen den folgenden, sehr berühmten Satz, dass der Zufallsgraph G(n, nc ) für den Grenzübergang n → ∞ einen S hwellenwert besitzt, ähnli h dem S hwellenwert der Perkolationsmodelle in Kapitel 5.

Sei c > 0 und sei Xn die Anzahl der Knoten im Zufallsgraphen G(n, nc ), die si h in der gröÿten zusammenhängenden Komponente benden. Sei Xn′ der Anteil der Knoten im Zufallsgraphen G(n, nc ), die si h in der zweitgröÿten zusammenhängenden Komponente benden. Dann gilt Folgendes: Satz 6.1 (Erd®s und Rényi).

(i) Es existiert eine Funktion g(c), so dass   P lim Xn = g(c) = 1 n→∞

ist, wobei

g(c)

gilt.



= 0 für c ≤ 1 > 0 für c > 1

(ii) Unabhängig von c gilt limn→∞ Xn′ = 0 mit Wahrs heinli hkeit 1. Wir nennen eine zusammenhängende Komponente im Zufallsgraphen G(n, nc ) gigantis h, wenn die Anzahl der Knoten der Komponente von der glei hen Gröÿenordnung ist wie die Anzahl der Knoten des gesamten Graphen.27 Teil (i) des Erd®sRényi-Satzes besagt für groÿe n, dass eine gigantis he Komponente genau dann auftritt, wenn der Erwartungswert der Anzahl der Na hbarknoten im Zufallsgraphen gröÿer als 1 ist. Teil (ii) besagt, dass es ni ht mehr als eine gigantis he Komponente gibt  dieses Eindeutigkeitsergebnis erinnert uns an die Perkolation im Abs hnitt 5.5 und zusätzli h an das reale Soziogramm der Mathematiker-Koautorens haft in Abs hnitt 6.2, das aus einer einzigen riesengroÿen Komponente und sonst nur verglei hsweise winzigen Komponenten besteht. Der Satz 6.1 ist für die Theorie der Erd®sRényi-Zufallsgraphen fundamental, in den letzten 40 Jahren seit dem Artikel von Erd®s & Rényi (1959) hat si h diese Theorie zu einem bedeutenden Fors hungsgebiet entwi kelt. Ein besonderes Augenmerk lag dabei auf der Verbesserung der Ergebnisse zur 27

Viellei ht ers heint diese Denition von

gigantis h

etwas ungenau, da ni ht ge-

n n → ∞ ist die darf für n → ∞

nau gesagt wird, was mit glei her Gröÿenordnung gemeint ist. Für ein festes müssen wir mir dieser Ungenauigkeit leben, do h für den Grenzwert genaue Denition: Der Anteil der Knoten des gesamten Graphen ni ht gegen Null gehen.

6.3 Zwei einleitende Modellierungsversu he Gröÿe und Struktur zusammenhängender Komponenten für den Fall

28

149

c = 1

bzw. in der unmittelbaren Umgebung dieses S hwellenwertes.

Wir werden Satz 6.1 an dieser Stelle ni ht beweisen, sondern wollen stattdessen eine intuitive Erklärung angeben, warum der S hwellenwert gerade bei

c=1

liegt. Diese Erklärung ist der des Abs hnitts 5.4 sehr ähnli h, wo der pc = d1 der Perkolation auf dem Baum Td im Mittelpunkt der Untersu hungen stand. Wir können uns einen Knoten v im Zufallsgraphen als kritis he Wert

Ahnvater eines Verzweigungsprozesses vorstellen, die Na hbarn von

v als sei-

ne Kinder, und die Enkel alle Knoten mit dem Abstand 2, usw. Die erwartete Anzahl an Kindern ist hö hstens c, die erwartete Anzahl an Enkeln hö hstens c2 usw. Wenn c < 1 ist, geht die erwartete Anzahl an Kindern mit wa hsender Generation

k

relativ s hnell gegen 0, so dass der Baum der Verwandten von

v

sehr s hnell ni ht weiter wä hst. Das bedeutet, dass die Komponente klein k bleibt. Gilt stattdessen c > 1, wä hst c mit wa hsendem k , was uns ans heinend das gewüns hte Ergebnis liefert. Allerdings gibt es eine S hwierigkeit, auf die wir a hten müssen: Weil immer mehr Knoten zur Komponente von

v

hinzugefügt werden, sinkt die Anzahl der potentiellen neuen Knoten, die in der nä hsten Generation hinzugefügt werden können, so dass si h die erwartete Anzahl der Kinder der nä hsten Generation verringert. Um mit diesem Problem geeignet umzugehen, führen wir eine neue Konstante

d=

d ein, die dur h

c−1 2c

c > 1 liegt d zwis hen 0 und 12 . So lange hö hstens d n Knoten Verzweigungsprozess von v eingehen, verbleiben mindestens (1 − d) n

deniert ist. Für in den

Knoten als Kandidaten für den Zusammens hluss im Verzweigungsprozess. c Weil jeder dieser Knoten mit Wahrs heinli hkeit n ein Kind eines gegebenen Individuums im Verzweigungsprozess ist, beträgt die erwartete Anzahl von Kindern in jeder Generation mindestens

(1 − d) n ·

c n

= (1 − d) c   c−1 = 1− c 2c   2c−c+1 = c 2c c+1 > 1. = 2

Deshalb hat der Verzweigungsprozess eine gute Chan e, si h zumindest so lange zu vergröÿern, bis er

dn

Knoten umfasst. Das heisst, dass

Chan e hat, in einer Komponente mit mindestens

dn

v

eine gute

Knoten zu liegen, die

wir als eine gigantis he Komponente ansehen.

28

Einen guten Überbli k über dieses na h wie vor aktuelle Fors hungsgebiet kann

man dur h die zusammenfassenden Artikel von Bollobás (2001) und Janson et al. (2000) erhalten.

150

6 Die Welt ist klein Damit ist der S hwellenwert in Satz 6.1 mehr oder weniger erklärt. Aus den

Überlegung zu Verzeigungsprozessen kann man weitere Folgerungen ableiten,

kleine Welt-Phänomens von Nutzen sein c > 1 und untersu hen, wie viele Generationen Komponente die Gröÿe d n errei ht. Eine etwas

die uns bei der Modellierung des können. Wir bleiben beim Fall

m

benötigt werden, bevor die

pessimistis he S hätzung kann man mit Hilfe der erwarteten Kinderanzahl der nä hsten Generation erhalten. Je Generation ist die erwartete Anzahl an c+1 Kindern 2 , bis die gewüns hte Gröÿe der Komponente errei ht wird, so dass in der Generation k mindestens



c+1 2

Individuen erwartet werden. Für ein

k≥

k,

n → ∞

das die Bedingung

log (d n)
log c+1 2

erfüllt, ergeben si h somit mindestens Ausdru ks wä hst für

k

dn

Individuen. Die re hte Seite dieses

wie die Logarithmusfunktion

können wir s hlussfolgern, dass ein typis her Knoten

v

log n.

Deshalb

eine gute Chan e hat,

von einem beträ htli hen Anteil der Knoten des gesamten Graphen maximal den Abstand der Gröÿenordnung

log n zu

besitzen. Somit ist das folgende Er-

gebnis motiviert, das in der Theorie der Zufallsgraphen eine zentrale Stellung

29

einnimmt.

Betra hte den Erd®sRényi-Zufallsgraphen G(n, nc ) für c > 1 und groÿe n. Es existieren positive Zahlen a > 0 und b > 0 (die von c abhängen können, jedo h ni ht von n), so dass gilt: Lemma 6.2.

lim P(mindestens a · n

n→∞

Knoten von

G(n, nc )

besitzen

voneinander hö hstens den Abstand

b log(n) ) = 1 . log(n) im kleine Welt-

Wenn wir, wie oben vorges hlagen, einen Abstand proportional zu Graphen als hinrei hend kleinen Abstand akzeptieren, um das

Phänomen widerzuspiegeln, dann deutet das Lemma 6.2 an, dass der Erd®s G(n, nc ) zur Modellierung des weltweiten Soziogramms geeignet sein könnte. Mögli herweise kann man Einwände dagegen haben, dass

Rényi-Zufallsgraph

das Lemma nur garantiert, dass ein fester Anteil von Individuen gut vernetzt ist, und dass wir uns ni ht mit weniger zufrieden geben, als dass dieser Anteil nahe 1 sein soll. Man kann jedo h mit etwas genaueren Überlegungen zeigen, dass, wenn die erwartete Anzahl

c

von Na hbarn einen Wert von 1000

annimmt, der Anteil der gut vernetzten Individuen der 1 sehr nahe kommen wird.

29

Siehe z. B. Bollobás (2001). Unsere Betra htung kann zu einem vollständigen

Beweis des Lemmas 6.2 ausgebaut werden.

6.4 Die

kleine Welt-Graphen von Watts und Strogatz

151

Leider gibt es jedo h einen bedeutend ernsteren Einwand gegen den Erd®s Rényi-Zufallsgraphen als Modell sozialer Netzwerke. Betra hte den Zufallsgraphen G(n, nc ) mit c = 1000 und n = 6 000 000 000 als Modell für ein soziales Netzwerk. Dann hat jedes Paar von Individuen die Wahrs heinli hkeit c 1 = n 6 000 000

einander zu kennen. Weiterhin hat eine typis he Person A ir a 1000 Bekannte; sagen wir aus gründen der Einfa hheit genau 1000. Unter diesen 1000 Personen hat man 1000 · 999 ≈ 500 000 2 vers hiedene Mögli hkeiten, zwei Personen auszuwählen. Jedes von diesen 500 000 Paaren hat die Wahrs heinli hkeit 1 zu 6 000 000, einander zu kennen. Die erwartete Anzahl der Bekannten von A, die au h einander kennen, 000 ist deshalb 6500 000 000 , also etwas weniger als ein Zehntel. Eine typis he Person hätte also weniger als 10% Wahrs heinli hkeit, dass si h zwei seiner Bekannten untereinander kennen. Denkt man si h das Modell des wirkli hen Lebens, so ist dieses Ergebnis völlig widersinnig  denn wir alle haben ja viele Bekannte, die einander kennen. Der Klasse der Erd®sRényi-Zufallsgraphen G(n, nc ) besitzt also viel zu wenige Dreie ke, wobei wir unter Dreie k drei Knoten verstehen, die alle paarweise miteinander verbunden sind. Darum sind diese Graphen ni ht realistis h genug, um als Modell für soziale Netzwerke von Mens hen verwendet werden zu können.30

6.4 Die

kleine Welt

-Graphen von Watts und Strogatz

In den ersten 30 Jahren, na hdem Milgram seine kleine Welt-Untersu hungen31 veröentli hte, bes häftigte man si h nur wenig mit der mathematis hen Modellierung dieses Phänomens. Die beiden naheliegendsten Standardmodelle (das zweidimensionale Gitter beziehungsweise die Erd®sRényi-Zufallsgraphen), die wir im vorangegangenen Abs hnitt untersu ht hatten, erwiesen si h aus vers hiedenen Gründen für die Modellierung von sozialen Netzwerken ni ht realistis h genug. Diejenigen Soziologen, die si h für dieses Phänomen interessierten, hatten einen zu geringen mathematis hen Hintergrund, um diese 30

Jonasson (1999) hat einen Versu h unternommen, die Erd®sRényiZufallsgraphen dur h gewi htete Wahrs heinli hkeiten für jede Realisierung (ein mögli hes Ergebnis) zu modizieren, mit einem bestimmten Faktor für jedes Dreie k der Realisierung. Das Hauptergebnis in Jonassons Artikel kann man jedo h so auffassen, dass dieses Modell no h zu wenig vom Erd®sRényi-Zufallsgraphen abwei ht, als dass es ein wirkli her Dur hbru h bei der Su he na h geeigneten Modellen von sozialen Netzwerken sein könnte. 31 Milgram (1967).

152

6 Die Welt ist klein

Modelle weiterentwi keln zu können, und Mathemtiker hatten aus irgendwel hen Gründen kein ernsthaftes Interesse an dieser Fragestellung. Erst Ende der 90er Jahre des letzten Jahrhunderts untersu hte der junge australis he Physiker Dun an Watts der Cornell University (USA) das klei-

ne Welt-Phänomen im Rahmen seiner Dissertation näher. Watts besaÿ eine natürli he Neigung für die Mathematik und stand glei hzeitig physikalis hen Phänomen sehr aufges hlossen gegenüber. In einem viel bea hteten Artikel der renommierten Zeits hrift Nature s hlug er zusammen mit seinem Mentor Steven Strogatz das bis dahin vielverspre hendste Modell für soziale Netzwer-

32 Dana h explodierte

ke vor, dass Milgrams Ergebnisse widerspiegeln konnte.

das Interesse für das kleine Welt-Phänomen unter Mathematikern, theoretis hen Physikern und Informatikern förmli h. Das hatte sehr viel mit Watts' ges hi kter Art zu tun, seine Ergebnisse zu vermarkten: Seine Dissertation

Small Worlds von 1999 errei hte groÿe Verbreitung, und au h sein folgendes, populärwissens haftli h gehaltenes Bu h Six Degrees von 2003 wurde ein

33

Bestseller.

Watts und Strogatz s hlugen eine zweidimensionales Gittermodell

34 vor,

das sie modizieren, indem sie einen (relativ geringen) Anteil der Kanten auf gut Glü k aus dem Gitter entfernten und diese dur h ganz zufällige Kanten im Graphen zu ersetzen. Unter ganz zufälligen Kanten versteht man an dieser Stelle, dass ein Paar von Knoten

u

und

v

unabhängig von ihrer Lage

35 haben, eine neue Kante zu

und Entfernung im Gitter die glei he Chan e erhalten.

Wir können uns die Modelle von Watts und Strogatz folgendermaÿen vorstellen: Das Gitter zu Beginn repräsentiert die geographis he Ausbreitung von Individuen, und die Kanten im Gitter entspre hen den sogenannten nä hsten Na hbarn. Darüber hinaus existieren jedo h au h Kontakte über groÿe Abstände hinweg: Herr Andersson, der in unserer Straÿe wohnt, kennt den Barkeeper im Restaurant, das er während seines Mallor a-Urlaubs besu hte, und Frau Lundström nebenan kennt einen Bürgerre htler in Bolivien, mit dem sie dur h ihre ehrenamtli he Tätigkeit bei Amnesty International in Kontakt gekommen ist. Diese Modelle, mit einer Mis hung aus kurzen (ursprüngli hen zum Gitter gehörenden) Kanten und langen (neu eingefügten) Kanten, wurde im Englis hen small world graphs genannt. Da es no h keine bessere Übersetzung gibt, nenne i h sie im Folgenden kleine Welt-Graphen. Die kleinen Welt-Graphen besitzen eine Reihe von Eigens haften, die sie zu einem zu aussi htsrei hen Kandidaten für die Modellierung des weltweiten Soziogramms ma hen:

Watts & Strogatz (1998). Watts (1999, 2003). Eine weitere aktuelle Übersi ht über das Gebiet gibt Newman (2003). 34 Mann kann ähnli he Ergebnisse erhalten, indem man von einem Gitter in der Dimension d = 1 oder Dimensionen d ≥ 3 ausgeht, do h im soziologis hen Zusammenhang ers heint der zweidimensionale Fall besonders relevant zu sein. 35 sofern u und v no h ni ht dur h eine Kante verbunden sind 32

33

6.4 Die

kleine Welt

-Graphen von Watts und Strogatz

153

1. Die zweidimensionale Gitterstrukturen spiegelt (zumindest teilweise) die Geometrie bzw. Geographie dieser Welt wider. 2. Wenn das Gitter geeignet gewählt wird (d. h, dass es Dreie ke enthält) wird der Graph au h die Eigens haft besitzen, die beim Erd®sRényiZufallsgraphen fehlt: dass au h die Bekannten einer Person untereinander bekannt sein können. 3. Man kann aus diesen Modellen die zahl der Knoten des Gitters

n

kleine Welt

ableiten: Wenn die An-

ist, wird die Länge der kürzesten Kette

zwis hen zwei zufällig gewählten Knoten typis herweise in der Gröÿenordnung

log(n)

liegen.

Die ersten beiden Eigens haften dieser Aufzählung sind oensi htli h, die dritte wurde dur h Watts und Strogatz bewiesen.

36

⋄ ⋄ ⋄ ⋄

kleine Welt

Sehen wir uns an, ob wir (mit Hilfe eines konkreten Beispiels) feststellen können, weshalb die Bekannts haftsketten der

-Graphen so kurz

werden. Wir gehen dazu vom modizierten Quadratgitter aus, das wir im Abs hnitt 6.3 betra htet haben. Dort benden si h die Knoten in den ganzzahligen Punkten

(i, j)

der Ebene, wobei

i

und

j

Werte zwis hen 1 und

√ n

annehmen, und zwei Knoten genau dann dur h eine Kante verbunden werden, wenn si h ihre

x-

und

y -Koordinaten

um hö hstens den Wert 15 un-

ters heiden. Damit erhält jeder Knoten, wie zuvor festgestellt, 960 Na hbarn (auÿer den Knoten am Rand des Gitters). Zu diesen lokalen Kanten fügen wir no h Weitstre kenkanten hinzu, so dass jedes Paar von Knoten  unabhängig von ihrer Lage im Gitter  mit Wahrs heinli hkeit

36

bewiesen

p

dur h eine Kante

Bei vielen der Arbeiten von Watts und seinen Mitarbeitern ist es Ges hma kssa-

he, ob man ihre Ergebnisse als

ansieht  oder vielmehr beruht eine sol-

he Eins hätzung vor allem auf der eigenen wissens haftli hen Tradition. Watts hat groÿe Computerexperimente dur hgeführt und sie mit heuristis hen Überlegungen verbunden, die sehr überzeugende Hinweise für eine Reihe komplexer Phänomene geben; jedo h kann man als Mathematiker diese Hinweise ni ht als wirkli hen Beweis anerkennen. Mathematis h s hlüssige Beweise vers hiedener Versionen der Behauptungen von Watts und seinen Mitarbeitern wurden in der Zwis henzeit von eher formal ausgeri hteten Mathematikern erarbeitet, die dabei au h das Eine oder Andere zeigen konnten, was die Physiker ni ht vorausgesehen hatten; siehe z. B. Barbour & Reinert (2001) und Benjamini & Berger (2001). Dies ist für das Verhältnis von Mathematikern und Physikern ziemli h typis h, und i h bin davon überzeugt, dass beide Arbeitsweisen  das wilde Su hen versus das genaue Beweisen  für die Entwi klung der Wissens haft wi htig sind, und dass die gröÿten Forts hritte oftmals dort entstehen, wo beide Kulturen in direkten Kontakt miteinander treten. Der Nobelpreisträger in Physik, Steven Weinberg, drü kt das Verhältnis zwis hen beiden treend aus: Du hörst an dem Punkt Deiner wissens haftli hen Karriere auf, Dir über die Beweisbarkeit sorgen zu ma hen, wenn Du Physiker und ni ht Mathematiker wirst (Weinberg, 2001).

154

6 Die Welt ist klein

verbunden wird. Dies ges hieht unabhängig davon, wie weit sie im Gitter voneinander entfernt sind, und unabhängig für jedes Paar von Kanten.

37 (Wenn

zwei Knoten so nah beieinander liegen, dass sie bereits dur h eine Kante des Gitters verbunden sind, dann ändert si h dur h die eventuelle Hinzunahme einer Weitstre kenkante ni hts; jedes Paar von Knoten soll hö hstens dur h eine Kante verbunden sein.) In Analogie zur Betra htung des Erd®sRényiZufallsgraphen wählen wir

p

in Abhängigkeit von

n,

so dass die erwartete

Anzahl von Weitstre ken-Bekannts haften eines Individuums konstant bleibt: Konkret könnten wir

0,1 n

p = setzen. Dur h diese Wahl von

p

(6.2)

wird die erwartete Anzahl von Weitstre ken-

kanten (auÿer den Kanten, die si h bereits im ursprüngli hen Gitter benden) etwa

(n − 960) p = wobei die Näherung für groÿe

n

0,1 (n − 960) ≈ 0,1 n

besser wird. Man könnte behaupten, dass 0,1

(speziell hier in S hweden) eine ziemli h kleine Anzahl von globalen Bekannt-

kleine

s haften ist. I h verwende diesen Wert, weil i h zeigen mö hte, dass man

Welt

ni ht viele sol her zusätzli hen Bekannts haften benötigt, damit das

38

-Phänomen auftritt.

Wir bezei hnen diesen

kleine Welt

-Graphen mit

Gn .

Bereits früher hat-

ten wir im Zusammenhang mit den Gittermodellen die wenig eins hränkende Annahme eingeführt, dass

n

eine Quadratzahl ist (so dass

√ n

eine ganz Zahl

wird). Hier wollen wir der Einfa hheit halber zusätzli h annehmen, dass

n

dur h 10 √ teilbar √ ist. Dann kann man die Knoten des Gitters auf natürli he n n n × Weise in 10 10 = 100 Karos von 10 × 10 Knoten unterteilen. Als Hilfsmittel für die Untersu hung von Gn führen wir jetzt einen neuen n n Graphen Hn mit 100 Knoten ein, der den 100 Karos von Gn entspri ht. Zwei Knoten von Hn werden genau dann dur h eine Kante miteinander verbunden, wenn die entspre henden Karos von

Gn

dur h eine Weitstre kenkante

1002 = 10 000

mögli he Weit0,1 eingefügt wurde. n Die Wahrs heinli hkeit, dass die Kante zwis hen den Karos existiert, ist desverbunden sind. Zwis hen zwei Karos gibt es

stre kenkanten, wobei jede mit der Wahrs heinli hkeit halb

37

Im Unters hied zu den ursprüngli hen Modellen von Watts und Strogatz neh-

men wir keine Kanten aus dem Gitter heraus. Die Eigens haften des Modells werden dadur h kaum verändert, jedo h wird die S hlussweise vereinfa ht. 38 ′ Tatsä hli h kann man 0,1 gegen ein beliebiges c > 0 austaus hen (d. h., wir können die Glei hung (6.2) in

p=

c′ n

abändern), und die na hfolgende Argumentation

wird weiterhin Bestand behalten. Im Groÿen und Ganzen muss man bei dieser Argumentation nur die groÿ ist, damit

(10×10)-Karos dur h (k ×k)-Karos ersetzen, wobei k genügend k2 c′ > 1 gilt.

6.4

1 − P(keine

Die

kleine Welt

-Graphen von Watts und Strogatz

der 10 000 Kanten ist vorhanden)

diese Näherung ist wieder für groÿe

155

 10 000 0,1 = 1− 1− n 0,1 1000 ≈ 10 000 · = , n n

n gut. Aus der Annahme der Unabhängig-

keit von Weitstre kenkanten im Modell folgt, dass das Ereignis ein Paar von Karos ist mindestens dur h eine Weitstre kenkante verbunden unabhängig von entspre henden Ereignissen anderer Karos ist. Wel he Auswirkungen haben diese Eigens haften von deutli h, dass die Kanten in

Gn

auf

Hn ?

Es wird

Hn

unabhängig voneinander sind, wobei jede 1000 Kante mit der Wahrs heinli hkeit von (approximativ) n vorhanden ist. Hn n ist somit ein Erd®sRényi-Zufallsgraph mit Knoten und der Kantenwahr100 1000 s heinli hkeit p ≈ n . Mit den Bezei hnungen des Satzes 6.1 und Lemma 6.2 ergibt si h, dass die dur hs hnittli he Anzahl c an Kanten pro Knoten

c ≈

 n  1000 −1 · ≈ 10 , 100 n

n. Weil c > 1 ist, a, b > 0 gibt, so dass mit einer Wahrs heinli hkeit von nahezu 1 mindestens ein Anteil a der Knoten von Hn im Abstand von hö hstens b log(n) voneinander liegen. Diese Knoten von Hn nennen wir gut vernetzt, ebenso die entspre henden Karos in Gn . Seien jetzt u und v zwei beliebige Knoten im -Graphen Gn . Eine gute Strategie um einen kurzen Weg von u na h v zu nden, ist die folgende: Gehe von u aus entlang lokaler Kanten zum nä hsten gut vernetzten Karo. Von dort nimm den kürzesten Weg zu dem gut vernetzten Karo, dass v am beträgt  wiederum eine gute Approximation für groÿe

garantiert das Lemma 6.2, dass es positive Zahlen

kleine Welt

nä hsten liegt; längs diesem müssen wir eventuell lokale S hritte innerhalb der Karos ma hen, in denen wir zwis henlanden, do h dazu rei ht immer ein S hritt, weil alle Knoten innerhalb des Karos dur h Kanten miteinander verbunden sind. Im letzten gut vernetzten Karo geht man wieder längs lokaler Kanten bis zu

v.

1 5 ist, ist dur hs hnittli h jedes fünfte Karo gut vernetzt, so dass mit akzeptabler Wahrs heinli hkeit eines der Wie lang wird dieser Weg? Wenn z. B.

5 Karos, die

u

a=

am nä hsten liegen, gut vernetzt sind; und dieses Karo kann

mit hö hstens 5 S hritten errei ht werden. Analog erhält man au h für andere −1 Werte von a eine entspre hend groÿe Wahrs heinli hkeit, dass eines der a −1 nä hsten Karos gut vernetzt ist, und dieses kann mit hö hstens a S hrit-

39 Lemma 6.2 garantiert, dass die Anzahl der benötigten

ten errei ht werden.

b log(n) ist, um si h zum gut vernetzten v am nä hsten liegt; genauso viele lokale Kanten inner-

Weitstre kenkanten ni ht gröÿer als Karo zu bewegen, dass

halb der Zwis henlande-Karos müssen wir hinzure hnen. S hlieÿli h bewegen wir uns mit positiver Wahrs heinli hkeit vom gut vernetzten Karo bei

39

Da die Karos in einem zweidimensionalen Muster liegen, rei hen eigentli h

v

mit

√

a−1

S hritte, do h wir brau hen jetzt mit unseren Abs hätzungen ni ht so geizig zu sein.

156

6 Die Welt ist klein

a−1 S hritten zu v selbst. Insgesamt ergibt si h damit eine Weglänge von u na h v von 2 b log(n) + 2 a−1 , was für n → ∞ proportional zu log(n) ist. Damit haben wir bewiesen, dass Gn für groÿe n ein kleine Welt-Phänomen etwa

aufweist.

⋄ ⋄ ⋄ ⋄ Im Na hhinein ers heint der Vors hlag der kleine Welt-Graphen von Watts und Strogatz ziemli h oensi htli h: Man vereinigt ganz einfa h das beste aus den Gittermodellen (die für die lokalen Bekannts haften stehen) und die Erd®sRényi-Zufallsgraphen (die die globalen Bekannts haften darstellen). Do h für dieses Ergebnis war es notwendig, dass jemand in seinem Denken hinrei hend exibel ist, um si h eine sol he Kombination von lokalen und globalen Kanten als gutes Modell für soziale Netzwerke vorzustellen  und ans heinend ist dies niemand in den ersten 30 Jahren na h Milgrams Untersu hungen gelungen. Was können wir mit diesen kleine Welt-Graphen anfangen? Seit Watts & Strogatz (1998) entstanden sehr viele Fors hungsgruppen zur Studie von Modellen von unters hiedli hen Typen der Dynamik auf sol hen Netzwerken. Wie breiten si h beispielsweise Epidemien in einer kleinen Welt aus? Und was ges hieht, wenn wir zu den Wettbewerben rund um das Gefangenen-Dilemma in Abs hnitt 3.3 zurü kgehen, do h statt eines Turniers Jeder gegen Jeden das Problem als soziologis h realistis her auassen, indem si h die Individuen in einer kleine Welt benden und nur gegen ihre Bekannten spielen? In Watts (1999, 2003) werden derartige Projekte vorgestellt. Eine andere interessante Fors hungsri htung besteht darin, Graphen zu nden, die no h realistis her Modelle für soziale Netzwerke abgeben können, denn au h die bisher betra hteten kleine Welt-Graphen haben Eigens haften, die kritisiert werden können. Die zweidimensional Geographie ist ziemli h grob modelliert, mit der impliziten do h völlig unrealistis hen Annahme dass die Bevölkerung homogen über die Erdoberä he verteilt ist und die Soziologie überall ungefähr ähnli h aussieht. Tatsä hli h sehen die sozialen Netzwerke in New York und Junosuando (ein kleines Dorf im Pajala-Bezirk in Nords hweden) völlig vers hieden aus. In Junosuando kennen si h im Prinzip alle Einwohner untereinander, so dass si h besonders viele Dreie ke im Graphen benden. In New York kann man anderseits auf Grund der viel gröÿeren Anzahl mög-

li her Personen, die man kennen lernen könnte, mit viel weiter verbreiteten sozialen Kontakten re hnen, so dass wiederum weniger Bekannts haftsdrei-

40 Die kleine Welt-Graphen von Watts und Strogatz nehmen

e ke auftreten.

ebenso wenig auf diese geographis hen Inhomogenitäten wie auf individuelle Variationen der Gröÿe von Bekanntenkreisen Rü ksi ht; sol he Variationen sind zweifellos gröÿer als es das Modell andeutet. Watts (2003) bes hreibt eine

40

An und für si h ist es aber au h in New York wahrs heinli h, dass es spezielle

Subkulturen oder sogar Ghettos gibt, deren Netzwerke eher denen in Junosuando ähneln.

6.5

Navigation dur h soziale Netzwerke

157

Reihe neuerer Modelle von sozialen Netzwerken, die seit 1998 vorges hlagen wurden, inklusive dem, das wir im nä hsten Abs hnitt kennenlernen wollen.

6.5 Navigation dur h soziale Netzwerke

Einige Jahre na h dem bahnbre henden Artikel von Watts und Strogatz betra htete der amerikanis he Informatiker Jon Kleinberg die Milgrams hen Briefketten aus einer etwas anderen Perspektive. Wenn eine Briefkette von jemanden in Omaha gestartet wird und die Zielperson in Boston in, sagen wir, 8 S hritten errei ht, so zeigt si h, dass der Abstand (die Länge des kürzesten Weges im Soziogramm) zwis hen Start- und Zielperson hö hstens 8 ist. Do h es zeigt si h no h mehr, nämli h dass das soziale Netzwerk navigierbar ist, mit der Bedeutung, dass es für die Absender verhältnismäÿig lei ht ist, einen kurzen Weg tatsä hli h zu nden. Um diesen Unters hied herauszuheben, betra hten wir einen Augenbli k lang eine (etwas unrealistis he) Variante des Milgrams hen BriefkettenExperiments. Nehmen wir an, dass die Startperson gebeten wurde, all ihren Freunden und Bekannten zu s hreiben, und diese wiederum gebeten werden all ihren Freunden und Bekannten zu s hreiben, und so weiter. Nehmen wir weiterhin an, dass der Abstand von der Start- zur Zielperson 6 S hritte beträgt. Wenn keine einzige Person diese weitverzweigte Briefkette bri ht, erhalten wir garantiert einen Weg zur Zielperson mit 6 S hritten. Die wirkli hen Milgrams hen Briefketten waren deutli h restriktiver. Jeder Teilnehmer sollte nur einem Bekannten den Brief weiterleiten. Der Absender sollte natürli h versu hen, die Wahl des Empfängers optimal zu gestalten  d. h. den aus dem Bekanntenkreis auszuwählen, bei dem er die gröÿte Chan e vermutet, mit Hilfe einer kurzen Kette in Kontakt mit der Zielperson zu kommen  do h diese Optimierung wird mit äuÿerst unvollständiger Information dur hgeführt. Kein Absender kennt das groÿe Soziogramm vollständig, sondern weiÿ nur, wer si h im eigenen Bekanntenkreis bendet, teilweise viellei ht au h no h, wel hen Bekanntenkreis die Bekannten ihrerseits haben. Ist es wirkli h mögli h, dass man mit so wenig und so lokal begrenztem Wissen einen ri htigen Weg dur h das groÿe Soziogramm nden kann? Wir verlangen dabei ni ht, dass man den optimalen, kürzesten Weg ndet, sondern nur einen Weg, der eine akzeptable Länge besitzt. Eine Mögli hkeit, dies als mathematis hes Modell zu formalisieren, ist anzunehmen, dass si h die Briefketten auf den kleine Welt-Graphen von Watts und Strogatz bewegen. Wie können wir dabei den Zugang des Absenders zur Information modellieren? Wir können annehmen, dass der Absender das zu Grunde liegende Gitter in groben Zügen kennt (er also z. B. eine Karte der USA hat), dass er weiÿ, wo si h die vers hiedenen Bekannten innerhalb des Gitters benden (inklusive die, mit denen er Weitstre kenkanten teilt) und er weiÿ au h, wo si h die Zielperson bendet. Kann man mit dieser sparsamen

158

6 Die Welt ist klein

Informationen auf einem

kleine Welt

-Graphen mit

n

Knoten eine Briefket-

te zur Zielperson nden, deren Länge die Gröÿenordnung

41

log(n)

besitzt?

kleine Welt

Kleinbergs überras hende Antwort ist nein! Er zeigte, dass man bedeutend

42 Die Navigation auf

mehr S hritte zum Ziel benötigt. ist also s hwer.

-Graphen

Kleinbergs Resultat stellt die Modellierung des groÿen Soziogramms von Watts und Strogatz somit stark in Frage, denn ihr Modell kann trotz allem ni ht erklären, was es eigentli h erklären sollte, nämli h die Kürze der Briefketten im Milgrams hen Versu h. Das bedeutet, dass man andere Modelle des Soziogramms su hen muss, die die Ergebnisse von Milgrams Untersu hungen besser erklären können. Wir wollen dieses Kapitel damit bes hlieÿen, Klein-

kleine Welt

bergs eigenen Vors hlag eines sol hen verfeinerten Modells vorzustellen, do h zuvor wollen wir verstehen, weshalb man auf den Watts und Strogatz so s hwer navigieren kann.

-Graphen von

⋄ ⋄ ⋄ ⋄ Wie können wir, mit der begrenzten Information wie Kleinberg sie vors hlägt, in einem kleine Welt-Graphen mit Knoten

u

zu einem anderen Knoten

v

n

Knoten einen Weg von einem

weitab von

u

nden? Auf primiti-

ve Weise könnten wir einfa h die Weitstre kenkanten ignorieren und uns im Gitter nur längs lokaler Kanten auf v zu bewegen. Damit würde man die Grö√ ÿenordnung von n = n1/2 S hritten benötigen, was (wie im Abs hnitt 6.3 ausgeführt) viel zu viel ist. Wenn wir au h die Weitstre kenkanten einbeziehen, kann man die S hrittanzahl zwar verringern, do h wir werden feststellen, dass man die Länge der 1/3 bes hränken kann. Für Briefkette ni ht wesentli h kürzer als auf ir a n

n = 200 000 000

(was ungefähr die Einwohnerzahl der USA zu Zeiten des n1/3 ≈ 585, was eine ganz andere Gröÿen-

Milgrams hen Versu hs war) wird

ordnung als die kurzen Briefketten ist, die Milgram beoba htete. Wenn wir einen Weg von

u na h v

von hö hstens der Gröÿenordnung

n1/3

nden wollen, müssen wir irgendwann während des Weges eine Weitstre kenv von hö hstens ir a n1/3

kante nden, die (im Gitter) einen Abstand von

besitzt. Weil des Gitter zweidimensional ist, ist die Anzahl der Knoten, die ein (n1/3 )2 = n2/3 .

geeigneter Landepunkt sein könnten, von der Gröÿenordnung

41

Wenn wir an dieser Stelle und im Folgenden von Gröÿenordnung und  ir a

spre hen, so bedeutet dies, dass wir uns ni ht darum kümmern, dass die jeweiligen Werte mit einer festen Konstante multipliziert werden müssen, so lange diese Konstante ni ht von

42

n

abhängt.

Man kann si h vorstellen, dass man im Modell das Wissen des Absenders so

erweitert, dass er au h weiÿ, wel he Bekannten seine Bekannten haben, und wo si h diese im Gitter benden. Do h Kleinfelds Antwort  dass man weit mehr als

log(n)

S hritte in der Briefkette benötigt, um zum Ziel zu gelangen  bleibt selbst mit diesem gröÿeren Informationszugang bestehen.

6.5 Navigation dur h soziale Netzwerke

159

Jedesmal wenn wir entlang der Briefkette auf einen Knoten stoÿen, der eine Weitstre kenkante besitzt, gibt es ir a n vers hiedene Knoten, auf die diese Weitstre kenkante führen kann, von denen ir a n2/3 für unserer Zwe ke geeignet sind (d. h. hinrei hend nahe bei v landen). Die Wahrs heinli hkeit, dass eine bestimmte Weitstre kenkante geeignet ist, ist deshalb von der Gröÿenordnung 1 n2/3 = 1/3 . n n Wenn wir na h einigen S hritten mit unserer Briefkette auf beispielsweise k Weitstre kenkanten gestoÿen sind, ist die Wahrs heinli hkeit ni ht gröÿer als

ir a k 1/3 n dass einer von ihnen hinrei hend nahe bei v liegt, und damit diese Wahrs heinli hkeit ni ht zu Null wird, muss k von der Gröÿenordnung von mindestens n1/3 sein. Damit haben wir gezeigt, dass man mindestens ir a n1/3 Weitstre kenkanten aufsu hen muss (sofern man ni ht besonderes Glü k hat), um v in

ir a n1/3 S hritte zu errei hen, so dass man wiederum mindestens ir a n1/3 Knoten besu hen muss. Damit ist die Chan e ni ht besonders groÿ, dass die Briefkette den Zielknoten v deutli h s hneller als mit ir a n1/3 S hritten errei ht.43 Diese Analyse zeigt also, dass das Ergebnis des Milgrams hen BriefkettenExperiments unmögli h wäre, wenn das Modell von Watts und Strogatz für groÿe soziale Netzwerke eine ri htige Bes hreibung der Wirkli hkeit wäre.

⋄ ⋄ ⋄ ⋄ Mit Hilfe der bisherigen Erfahrungen in diesem Kapitel sollten wir jetzt versu hen, no h andere Modelle zu nden, die besser als die Graphen von Watts und Strogatz die Existenz von Milgrams kurzen Briefketten erklären können. Der Fehler der -Graphen ist der folgende: So lange wir uns im Gitter ni ht innerhalb eines ziemli h engen Abstands  beispielsweise log(n)  von der Zielperson v benden, müssen wir eine Weitstre kenkante nden, die uns in die Nähe von v führt. Do h weil die Weitstre kenkanten über das gesamte Gitter glei hverteilt sind, helfen sie uns genau genommen ni hts, so lange sie uns ni ht nahe (d. h. einen Abstand der Gröÿenordnung log(n)) an die Zielperson heranführen. Mit anderen Worten: Wenn si h die Zielperson in Vansbro bendet, haben wir keine gröÿere Chan e, eine Weitstre kenkante

kleine Welt

kleine Welt sehr

43

Do h wir können au h feststellen, dass man tatsä hli h Briefketten mit der Gröÿenordnung von n1/3 S hritten nden kann, indem man systematis h längs lokaler Kanten zu neuen Knoten wandert, bis man auf einen Knoten trit, von dem eine Weitstre kenkante ausgeht, die innerhalb des Abstands von n1/3 von v landet.

160

6 Die Welt ist klein

in die Na hbars haft der Zielperson zu nden, wenn wir uns in Borlänge 60 km entfernt benden, vergli hen damit dass wir uns in Melbourne auf der anderen Seite der Welt benden!

lokal

global

Es s heint also, dass die und

kleine Welt

-Graphen die Kanten allzu streng in

einteilen, und man viellei ht Kanten auf vers hiedenen re-

gionalen Niveaus einführen sollte. Wenn si h die Startperson der Briefkette in Melbourne und die Zielperson in Vansbro bendet, könnte man si h sinnvollerweise eine Art geographis hes Einkreisen vorstellen: Die Startperson kennt keinen einzigen S hweden, aber do h wohl einen Europäer  z. B. einen Grie hen in Tessaloniki  und s hi kt ihm den Brief. Er kennt zwar au h keinen S hweden, do h eine Dänin in Aarhus. Die Dänin kennt einen S hweden in Sto kholm, der Einwohner in Borlänge kennt  und der wiederum hat Bekannte in Vansbro. Ein sol hes Einkreisen kann man si h etwa für

kleine Welt

Briefketten in den Milgrams hen Experimenten vorstellen, do h sie ist für die -Graphen von Watts Strogatz äuÿerst unwahrs heinli h, weil es

ni ht ausrei hend viele halblange Kanten gibt. Kleinbergs Rezept für ein besseres Modell s hlieÿt sol he regionalen oder halblangen Kanten ein. Man geht dabei wieder (wie bei den Modellen von Watts und Strogatz) von einem Gitter aus und fügt Extrakanten hinzu, wobei aber eine Extrakante von einem Knoten

u vergli hen mit einem nahen Knoten

eine geringere Wahrs heinli hkeit besitzt, am anderen Ende des Gitters zu landen (dies steht im Widerspru h zu den Modellen von Watts und Strogatz, bei denen die Extrakanten eine glei h groÿe Wahrs heinli hkeit haben, an einer beliebigen Stelle im Gitter zu landen). Speziell wählte Kleinberg die Wahrs heinli hkeit, dass eine Extrakante

u

in

v

landet, proportional zu

−γ

(dist(u, v)) wobei

dist(u, v)

den Gitter-Abstand zwis hen

(6.3)

u

und

v

bezei hnet, und

γ≥0

eine feste Zahl ist. Wenn diese Gewi hte bestimmt sind, und man eine gewüns hte Anzahl von Kanten

a von eine, typis hen Knoten u erwartet werden, u und

setzt man die Wahrs heinli hkeit für eine Weitstre kenkante zwis hen

v

glei h

1 −γ (dist(u, v)) Zγ

wobei die Konstante

Zγ

so gewählt wird, dass die erwartete Anzahl von Weit-

a ergibt. v glei h 1, was den Graphen von Watts und Strogatz entspri ht. Wenn γ > 0 gesetzt wird, wird eine Kante zwis hen u und v wahrs heinli her, je näher u und v beieinander liegen, und dieser Eekt wird umso gröÿer, je gröÿer γ ist. In diesem Modell sind für γ = 0 die Kontakte einer Person in z. B. Vansbro stre kenkanten von einem gegebenen Knoten die gewüns hte Zahl

Wenn

γ=0

ist, wird der Ausdru k in (6.3) unabhängig von

u

und

auÿerhalb der Heimatstadt über die gesamte Welt glei h verbreitet, während sie si h für wa hsendes

γ

immer stärker um die Gebiete Europa, S hweden,

die Lands haft Dalarna, und das Gebiet um den Västerdal-Fluss (in dieser Reihenfolge) konzentrieren.

6.5

Navigation dur h soziale Netzwerke

161

Kleinberg zeigte, dass die Existenz von kurzen Bekannts haftsketten und der Mögli hkeit sie tatsä hli h zu nden, stark vom Wert von γ abhängig ist. Wenn γ < 2 ist, erweist si h die Situationen im wesentli hen glei h zum Watts-Strogatz-Fall mit γ = 0: Es gibt kurze Bekannts haftsketten, do h man kann sie in der Praxis kaum nden. Wenn γ > 2 ist, konzentrieren si h die Bekanntenkreise so stark um den eigenen Heimatort dass sie Situationen eher dem reinen Gittermodell ähnelt: Die kurzen Bekannts haftketten von Mens hen in vers hiedenen Gebieten der Erde vers hwinden im Prinzip vollständig. Es verbleibt der Grenzfall γ = 2, und es zeigt si h, dass gerade in diesem Fall kurze Briefketten zwis hen typis hen Individuen existieren, au h wenn sie einen groÿen Abstand voneinander haben, und dass man diese Briefketten au h tatsä hli h nden kann.44 Das von Kleinberg vorges hlagene Modell mit γ = 2 ist also im Unters hied zu früheren Modellen mit den Ergebnissen des Milgrams hen Experiments vereinbar. Do h ist Kleinbergs Modell au h im Übrigen realistis h? Wie alle mathematis hen Modelle ist au h dieses natürli h nur eine Approximation der Wirkli hkeit, und es wurden au h dafür s hon Verbesserungen vorges hlagen (siehe z. B. Watts (2003)). Do h au h wenn dieses Modell ni ht perfekt ist, so kann es si h trotzdem erweisen, dass Kleinberg die Modellierung der Grundgedanken des kleine Welt-Phänomens gelungen ist. Damit dies überzeugen kann, müssen jedo h für Kleinbergs Modell die Ergebnisse mit einer Erklärung vervollständigt werden, weshalb mittlere und lange Weitstre kenkanten im sozialen Netzwerk gerade dem Wert γ = 2 entspre hen. Warum ist die Wahrs heinli hkeit, dass si h zwei Personen kennen, eine Funktion des Abstandes und nimmt gerade mit dem Abstand im Quadrat ab? Warum ni ht die dritte Potenz oder ein Abstand ho h 1,73, oder irgend etwas anderes? Auf diese Fragen gibt es heute wohl no h keine gute Antwort, do h wer weiÿ, was die Fors hungen der der Zukunft ergeben? Die Untersu hung der mathematis hen Modelle für soziale Netzwerke hat gerade erst begonnen. und es wird spannend sein, ihre Fortsetzung in den nä hsten Jahren zu verfolgen.

44

Dass der kritis he Wert von

das Gitter zweidimensional ist.

γ

gerade bei 2 liegt, hängt damit zusammen, dass

7 Irrfahrten und Glei hstromkreise

In diesem Kapitel werden wir sehen, wie si h zwei Probleme, die zunä hst ni hts gemeinsam zu haben s heinen  Eintrewahrs heinli hkeiten von Irrfahrten und Spannungen und Ströme in elektris hen Stromkreisen  bei näherer Betra htung als mathematis h äquivalent erweisen.1 Diese Brü ke zwis hen der Wahrs heinli hkeitstheorie und der Theorie von Stromkreisen dient beiden Seiten: Die Argumente aus der Elektrote hnik können bei der Analyse gewisser Irrfahrten genutzt werden, und die wahrs heinli hkeitstheoretis hen Interpretationen vereinfa hen die Untersu hungen von Glei hstromkreisen. Der Zusammenhang zwis hen beiden Problemstellungen wurde vor allem dur h das Bu h Random Walks and Ele tri Networks von Doyle & Snell (1984) allgemein bekannt, das zweifellos zu den Klassikern der Wahrs heinli hkeitstheorie gehört. Es hat alle späteren Präsentationen dieses Gebietes na hhaltig beeinusst2 ; dies gilt au h für die folgende Darstellung. Im Abs hnitt 7.1 wollen wir uns mit Irrfahrten auf Graphen vertraut ma hen. Dana h bes häftigen wir uns im Abs hnitt 7.2 mit elektris hen Stromkreisen, und wir werden die angespro hene Äquivalenz beider Probleme herausarbeiten. In Abs hnitt 7.3 diskutieren wir eine Verallgemeinerung auf die Klasse der so genannten . Dana h werden wir in den Abs hnitten 7.4 und 7.5 einige Beispiele kennenlernen, wie Ideen der Elektrote hnik bei Untersu hungen von Irrfahrten zur Anwendung kommen. (Das bedeutendste Beispiel einer sol hen Anwendung heben wir uns jedo h für das nä hste Kapitel auf.)

Markovketten

1

Dieselbe Theorie kann auf mindestens einem weiteren Gebiet angewendet wer-

den: bei statistis hen S hätzungen in so genannten Blo kversu hen. Wir können in diesem Bu h ni ht näher darauf eingehen, sondern verweisen stattdessen auf Tjur (1991). 2 Hierzu gehören u. a. Pemantle (1995) und mein eigener früherer Versu h (Häggström, 2000) einer kurzgefassten Präsentation der grundlegenden Ideen auf S hwedis h.

164

7 Irrfahrten und Glei hstromkreise

7.1 Irrfahrten auf einem Graphen Aus Abs hnitt 5.1 wissen wir, dass ein Graph aus einer Anzahl von Knoten

v1 , . . . , vn

und einer Anzahl an Kanten

e 1 , . . . , em

besteht, wobei jede Kante

eine Verbindung zweier Knoten darstellt. Abb. 7.1 zeigt ein Beispiel. Darüber hinaus wurden bereits in Abs hnitt 5.1 eine Reihe von Vors hlägen für die Interpretation von Graphen angegeben. An dieser Stelle soll eine weitere ergänzt werden: Der Graph könnte eine Stadt repräsentieren, wobei die Kanten die Straÿen der Stadt repräsentieren und die Knoten die Kreuzungen sind, an denen die Kanten zusammenlaufen. Eine

Irrfahrt

auf dem Graphen kann man si h als den Weg einer Per-

son vorstellen, die im Straÿennetz umherirrt. Jedes Mal, wenn sie an eine Kreuzung kommt, wählt sie auf gut Glü k eine der Straÿen aus (inklusive derjenigen, auf der sie zur Kreuzung gelangte), um dort ihre Wanderung fortzusetzen. Ein sol her Zufallswanderer, der si h im Knoten

v2

(Abb. 7.1) be-

ndet, kann si h z. B. im nä hsten S hritt mit jeweils der Wahrs heinli hkeit 1 3 ents heiden, zu einem der Knoten v1 , v3 oder v6 zu gehen.

PSfrag repla ements

v1

v3

v4

v2

v5

v6

v7

v8

v9

v10

v11

v12

Haus

Abb. 7.1. Ein Graph

Pub

G

mit 12 Knoten

v1 , . . . , v12 . Im Knoten v2 steht v9 oder v12 errei ht.

ein Zufalls-

wanderer, der seine Wanderung fortsetzt, bis er

Mit

X(0), X(1), X(2), . . . bezei hnen wir die Folge der Kreuzungen, die der v2 startet, gilt demzufolge

Zufallswanderer sukzessive besu ht. Wenn er in

X(0) = v2 , und

X(1) wird auf

gut Glü k unter den Na hbarn von

X(0) ausgewählt (d. h.

jeder der Na hbarknoten wird mit glei her Wahrs heinli hkeit gewählt). Das heiÿt, es gilt:

7.1 Irrfahrten auf einem Graphen    v1 mit Wahrs heinli hkeit X(1) = v3 mit Wahrs heinli hkeit   v6 mit Wahrs heinli hkeit

1 3 1 3 1 3

165

.

Wenn X(1) feststeht, wählen wir X(2) zufällig unter der Na hbarn von X(1) aus, und so weiter. Wenn man will, kann man dies in alle Ewigkeit fortsetzen. Alternativ könnte man eine bestimmte Stoppregel einführen; beispielsweise könnte die Irrfahrt abbre hen, sobald sie einen zuvor ausgewählten Knoten errei ht. Wenn der Graph zusammenhängend und auÿerdem endli h ist (so dass jeder Knoten von jedem anderen aus in einer endli hen Anzahl von S hritten errei ht werden kann), kann man beweisen, dass die Irrfahrt früher oder später den gewählten Knoten errei ht.3 Um das Ganze etwas spannender zu ma hen, könnten wir die Irrfahrt abbre hen lassen, wenn der Zufallswanderer einen von zwei gewählten Knoten  sagen wir v9 und v12 im Graphen G  errei ht. Wir können uns z. B. denken, dass er bei v9 wohnt, dass bei v12 ein Pub liegt, und die Fortsetzung des Abends dadur h ents hieden wird, ob er (in seinem bereits etwas benebelten Zustand) zuerst sein Haus (v9 ) oder den Pub (v12 ) errei ht. Sei A das Ereignis, dass die Irrfahrt v12 vor v9 errei ht, und sei pi die Wahrs heinli hkeit von A, wenn die Irrfahrt in vi beginnt. Wenn wir beispielsweise verlangen, dass die Irrfahrt in v2 beginnt, so setzen wir P(A) = p2 . Als nä hstes können wir fragen, wohin der Zufallswanderer bei seinem ersten S hritt geht; dabei ergibt si h p2 = P(A) = P(A, X(1) = v1 ) + P(A, X(1) = v3 ) + P(A, X(1) = v6 ) = 31 P(A | X(1) = v1 ) + 13 P(A | X(1) = v3 ) + 13 P(A | X(1) = v6 ) . 3

(7.1)

Betra hte z. B. den Graphen in Abb. 7.1, und die Wahrs heinli hkeit, dass der Zufallswanderer früher oder später den Knoten v12 errei ht. Deniere Y als ersten Zeitpunkt k, wenn X(k) = v12 ist (mit der Konvention, dass Y = ∞ gesetzt wird, wenn die Irrfahrt den Knoten v12 nie errei ht). Kein Knoten des Graphen G ist weiter als 5 S hritte von v12 entfernt, und kein Knoten hat mehr als 4 Na hbarn; hieraus folgt, dass bei jeder beliebigen Startposition des Zufallswanderers die Wahrs heinli hkeit P(Y ≤ 5) für das Eintreen von v12 na h spätestens 5 S hritten die Unglei hung P(Y ≤ 5) ≥ ( 41 )5 erfüllt. Die Wahrs heinli hkeit, v12 in 5 S hritten zu vermeiden, ist also hö hstens 1 − ( 41 )5 . Und wenn das ges hieht, so ist aus glei hem Grund die bedingte Wahrs heinli hkeit v12 , die nä hsten 5 S hritte zu vermeiden, hö hstens 1−( 14 )5 . Hieraus folgt, dass P(Y > 10) = P(Y > 5) P(Y > 10 | Y > 5) ≤ (1 − ( 14 )5 )2 ist. Dur h n-malige Iteration erhalten wir P(Y > 5 n) ≤ (1 − ( 41 )5 )n , was für n → ∞ gegen 0 geht. Deshalb gilt P (Y = ∞) = 0, so dass der Zufallswanderer mit Wahrs heinli hkeit 1 früher oder später auf den Knoten v12 trit. Das Argument weist groÿe Ähnli hkeit mit dem von Fuÿnote 4 auf Seite 66 auf und kann ohne Probleme auf beliebige endli he, zusammenhängende Graphen verallgemeinert werden.

166

7 Irrfahrten und Glei hstromkreise

Wenn der Zufallswanderer dur h seinen ersten S hritt zu v1 gelangt, benden wir uns in derselben Situation, als wenn die Irrfahrt in v1 gestartet wäre, so dass die bedingte Wahrs heinli hkeit P(A | X(1) = v1 ) im oben stehenden Ausdru k exakt p1 wird. Auf die glei he Weise erhalten wir P(A | X(1) = v3 ) = p3 und P(A | X(1) = v6 ) = p6 , und für (7.1) ergibt si h p2 =

1 3 (p1

+ p3 + p6 ) .

(7.2)

Demzufolge kann die Wahrs heinli hkeit p2 als der Mittelwert der pi aller Na hbarn vi des Knotens v2 gedeutet werden. Wenn die Irrfahrt stattdessen in v1 beginnt, gelangt sie im nä hsten S hritt jeweils mit der Wahrs heinli hkeit 12 entweder na h v2 oder v5 , und analog zur obigen Überlegung zur Beziehung (7.2) ergibt si h p1 =

1 2 (p2

+ p5 )

wieder als Mittelwert der Wahrs heinli hkeiten aller Na hbarknoten. Auf die glei he Weise können wir den Start der Irrfahrt in jedem anderen Knoten behandeln, mit zwei Ausnahmen: v9 (beim Start in v9 tritt A ni ht ein, so dass p9 = 0 ist) und v12 (beim Start in v12 trit A si her ein, so dass p12 = 1 ist). Somit erhalten wir für p1 , . . . , p12 das folgende Glei hungssystem:  p1      p2      p3      p4      p5    p 6  p 7      p  8     p9      p10      p 11    p12

= = = = = = = = = = = =

1 2 (p2 1 3 (p1 1 3 (p2 1 2 (p3 1 3 (p1 1 4 (p2 1 4 (p3 1 3 (p4

+ p5 ) + p3 + p6 ) + p4 + p7 ) + p8 ) + p6 + p9 ) + p5 + p7 + p10 ) + p6 + p8 + p11 ) + p7 + p12 )

(7.3)

0 1 3 (p6 1 3 (p7

+ p9 + p11 ) + p10 + p12 )

1.

Dies ist ein Glei hungssystem mit 12 Glei hungen und 12 Unbekannten (oder 10 Glei hungen und 10 Unbekannten, wenn p9 und p12 als bekannt angesehen werden). Das hört si h ganz gut an; wir müssen uns jedo h no h vergewissern, dass dieses System eine eindeutige Lösung besitzt. Lemma 7.1. Das Glei hungssystem

(7.3)

besitzt genau eine Lösung.

Dass das System mindestens eine Lösung hat, folgt aus der obigen Diskussion, denn die Wahrs heinli hkeiten p1 , . . . , p12 erfüllen die Beziehung (7.3), und sind somit wohldeniert. Beweis.

7.1

Irrfahrten auf einem Graphen

167

Damit muss nur no h gezeigt werden, dass es hö hstens eine Lösung gibt. Seien dazu (a1 , . . . , a12 ) und (b1 , . . . , b12 ) zwei (a priori mögli herweise vers hiedene) beliebige Lösungen des Glei hungssystems. Für i = 1, . . . , 12 denieren wir ci = ai − bi . Wenn wir beweisen können, dass ci = 0 für jedes i gilt, dann haben wir (a1 , . . . , a12 ) = (b1 , . . . , b12 ) gezeigt, und da diese Lösungen beliebig waren, kann man folgern, dass es nur eine einzige Lösung gibt. Was c9 und c12 betrit, ist die Situation klar: c9 = a9 − b9 = 0 − 0 = 0 und c12 = a12 − b12 = 1 − 1 = 0. Die übrigen Veriablen behandeln wir wiefolgt. Mit Hilfe der ersten Zeile von (7.3) und der Annahme, dass (a1 , . . . , a12 ) und (b1 , . . . , b12 ) Lösungen des Glei hungssystems sind, erhalten wir + a5 )

(7.4)

+ b5 ) .

(7.5)

a1 =

1 2 (a2

b1 =

1 2 (b2

und

Wenn wir jetzt (7.5) von (7.4) subtrahieren, erhalten wir a1 − b 1 =

1 2 ((a2

oder anders ausgedrü kt c1 =

− b2 ) − (a5 − b5 ))

1 2 (c2

+ c5 ) .

Auf entspre hende Weise können wir die zweite Zeile von (7.3) ausnutzen, um zu zeigen, dass c2 = 31 (c1 + c3 + c6 ) ist, und so weiter für die Zeilen 38 sowie 10 und 11, so dass das Glei hungssystem  c1 = 12 (c2 + c5 )      c2 = 31 (c1 + c3 + c6 )      c3 = 31 (c2 + c4 + c7 )     c = 1 (c + c )  8 4  2 3    1  c = (c + c 5 6 + c9 )  3 1    c = 1 (c + c + c + c ) 5 7 10 6 4 2 (7.6) 1  c7 = 4 (c3 + c6 + c8 + c11 )      c = 13 (c4 + c7 + c12 )   8    c9 = 0      c10 = 31 (c6 + c9 + c11 )      c11 = 31 (c7 + c10 + c12 )    c12 = 0

entsteht. Eine Lösung dieses Glei hungssystems ist oenbar (c1 , c2 , . . . , c12 ) = (0, 0, . . . , 0). Wir wollen jetzt no h zeigen, dass (0, 0, . . . , 0) die einzige Lösung ist. Sei M der gröÿte der Werte c1 , c2 , . . . , c12 , und sei vi ein Knoten, bei dem dieses Maximum angenommen wird. Wir wollen zeigen, dass M = 0 ist.

168

7 Irrfahrten und Glei hstromkreise

Für i = 9 oder i = 12 ist die Lage klar, so dass wir annehmen wollen, dass vi ein anderer Knoten ist. Dann ist ci (= M ) glei h dem Mittelwert der cj der Na hbarknoten, und weil deren Werte sämtli h hö hstens glei h M sind, müssen sie tatsä hli h genau glei h M sein, damit der Mittelwert den Wert M errei ht. Wenn einer der Na hbarn v9 oder v12 ist, dann muss M = 0 sein, und die Sa he ist wieder klar. Anderenfalls können wir den glei hen Gedankengang auf die Na hbarn von vi anwenden und somit einsehen, dass die cj ihrer Na hbarn glei h M sind. Dur h Wiederholung dieses Verfahrens bis man auf entweder v9 oder v12 stöÿt  was früher oder später ges hehen wird, weil der Graph zusammenhängend ist  errei hen wir zum S hluss eine Situation, bei der wir feststellen müssen, dass M = 0 ist. Damit wissen wir, dass für alle i gilt ci ≤ 0 . (7.7)

Auf die glei he Weise (sei m der kleinste der Werte c1 , c2 , . . . , c12 , usw.) zeigen wir, dass für alle i die Unglei hung ci ≥ 0 gilt, was in Verbindung mit (7.7) die Glei hung (c1 , c2 , . . . , c12 ) = (0, 0, . . . , 0) ergibt. Damit haben wir (a1 , . . . , a12 ) = (b1 , . . . , b12 ) gezeigt, und der Beweis ist abges hlossen.4 ⊓ ⊔

Wir können also dur h Lösen des Glei hungssystems (7.3) die Wahrs heinli hkeiten für die vers hiedenen Startpositionen der Irrfahrt bere hnen, dass der Knoten v9 vor dem Knoten v12 errei ht wird. Es gibt dazu eine Reihe numeris her Methoden (und sogar fertige Programmpakete); siehe Problem C.15 im Anhang C für eine wahrs heinli hkeitstheoretis h besonders anspre hende Methode. Für den Zufallswanderer in Abb. 7.1, der im Knoten v2 startet, er117 halten wir z. B. die Wahrs heinli hkeit p2 = 267 ≈ 0,438, den Pub (v12 ) vor dem eigenen Haus (v9 ) zu errei hen. Die übrigen Wahrs heinli hkeiten pi sind in Abb. 7.2 angegeben.

⋄ ⋄ ⋄ ⋄

Wie man her viellei ht bereits vermutet, ist der Gedankengang in diesem Abs hnitt ni ht nur auf den Graphen in Abb. 7.1 anwendbar, sondern kann no h wesentli h stärker verallgemeinert werden. Sei G ein beliebiger endli her Graph mit den Knoten v1 , v2 , . . . , vn , und seien pi die Wahrs heinli hkeiten, dass eine Irrfahrt mit Start in vj den Knoten v1 vor v2 errei ht. Dann erhalten wir ein Glei hungssystem analog zu (7.3), bei dem p1 = 1 und p2 = 0 sind, und für die übrigen Knoten v3 , v4 , . . . , vn erhält vi eine Wahrs heinli hkeit pi , die 4

Weil die Glei hungssysteme (7.3) und (7.6) so gut wie identis h sind (nur die

letzte Zeile,

p12 = 1 versus c12 = 0, unters heidet si h), kann man si h fragen, was (c1 , c2 , . . . , c12 ) = (0, 0, . . . , 0) auf (p1 , p2 , . . . , p12 ) statt auf (c1 , c2 , . . . , c12 ) ges hieht: Hierbei werden sowohl der gröÿte wie der kleinste der Werte pi für i = 9 bzw. i = 12 angenommen, so dass alle pi zwis hen 0 und 1

bei Übertragung des Beweises von

liegen (was au h in Ordnung ist, da sie Wahrs heinli hkeiten repräsentieren).

PSfrag repla ements

7.2 Glei hstromkreise 0,345

0,438

0,562

0,655

0,251

0,408

0,592

0,749

0

0,352

0,648

1

Haus

169

Pub

Abb. 7.2. Die Wahrs heinli hkeit pi für einen Zufallswanderer, den Pub zu errei hen, bevor er na h Hause kommt, als Funktion der Startposition vi . Die angegebenen Werte sind Näherungswerte; die exakte Lösung des Glei hungssystems (7.3) 92 150 175 67 109 lautet: p1 = 267 , p2 = 117 , p3 = 267 , p4 = 267 , p5 = 267 , p6 = 267 , p7 = 158 , 267 267 200 94 173 p8 = 267 , p9 = 0, p10 = 267 , p11 = 267 , p12 = 1.

dem Mittelwert ihrer Na hbarn entspri ht. Wenn G zusammenhängend ist, ergibt das Glei hungssystem eine eindeutige Lösung, was analog zum Beweis von Lemma 7.1 gezeigt werden kann. 7.2 Glei hstromkreise

In diesem Abs hnitt wollen wir die elektris hen Stromkreise einzuführen, die den Irrfahrten des vorhergehenden Abs hnitts entspre hen.5 Einer der einfa hsten denkbaren Stromkreise ist in Abb. 7.3 dargestellt. Die Knoten v1 und v2 kann man si h als Metallspitzen vorstellen, an denen die ankommenden Leitungen zusammengelötet sind. Die Spitzen sind einerseits an eine Spannungsquelle in Form einer 5-Voltbatterie ges hlossen (mit dem Minuspol an v1 und dem Pluspol an v2 ), und andererseits an einen Widerstand mit einem Widerstandswert von 10 Ohm. Daraus resultiert ein Strom dur h den Stromkreis, der im Widerstand vom Plus- zum Minuspol ieÿt, und der mit Hilfe des bere hnet werden kann. Dieses Gesetz besagt: wird an einen Widerstand mit dem Wert R eine Spannung U angelegt, ieÿt ein Strom I , der dur h

Ohms hen Gesetzes

I = 5

U R

(7.8)

Um ausführli here Informationen über Glei hstromkreise, das Ohms he Gesetz und die Kir hhos hen Regeln zu erhalten, empfehlen wir Doyle & Snell (1984) sowie z. B. Davidson & Hofvens hiöld (2001).

170

7 Irrfahrten und Glei hstromkreise

10 Ω

v1

I

v2

PSfrag repla ements

5 V

Abb. 7.3. Ein Glei hstromkreis, der aus einer 5-Voltbatterie und einem 10-Ohm-

I dur h den Widerstand kann dur h die Spannung U 5 R bere hnet werden, d. h. I = U = 10 = 0,5 Ampere. R

Widerstand besteht. Der Strom geteilt dur h den Widerstand

bere hnet werden kann. In Abb. 7.3 beträgt der Strom dur h den Widerstand 5 deshalb 10 = 0,5 Ampere. Etwas komplizierter ist es, die Ströme in einem gröÿeren Stromkreis, wie dem in Abb. 7.4, zu bestimmen. Hierbei muss für jeden Widerstand ein separater Stromuss bere hnet werden. Wenn die Knoten vi und vj Na hbarn im Stromkreis sind (d. h. wenn es einen Widerstand zwis hen ihnen gibt), dann bezei hnen wir den Strom dur h den Widerstand von vi na h vj mit Ii,j . (Der Strom kann positiv oder negativ sein, wobei das Vorzei hen von der betra hteten Ri htung abhängt: Ii,j = −Ij,i .) Am Widerstand zwis hen vi und vj liegt au h eine Spannung Ui,j an, und wenn wir sowohl die Spannung als au h den Widerstandswert kennen, können wir den Strom mit Hilfe des Ohms hen Gesetzes bere hnen. Die S hwierigkeit des Stromkreises in Abb. 7.4 ist, vergli hen mit dem in Abb. 7.3, dass die Widerstände ni ht direkt mit der Spannungsquelle verbunden sind. Die Spannungen Ui,j im Stromkreis kann man deshalb ni ht direkt wie zwis hen v1 und v2 in Abb. 7.3 ableiten, sondern sie müssen bere hnet werden. Dazu ist es zwe kmäÿig, von den Spannungen Ui,j zu den so genannten (elektris hen) Potenzialen der einzelnen Knoten überzugehen. Das Potenzial im Knoten vi wird mit Vi bezei hnet, und die Spannung Ui,j zwis hen zwei Knoten erhält man als Dierenz zwis hen Vi und Vj : Ui,j = Vi − Vj .

(7.9)

Unter der Bedingung, dass die Spannungen physikalis h sinnvolle Werte annehmen, sind die Potenziale bis auf eine additive Konstante wohldeniert: Wenn wir zu jedem Potenzial ein und dieselbe Konstante K hinzufügen, so werden die paarweisen Potenziale, d. h. Ui,j = (Vi + K) − (Vj + K) = Vi − Vj , genau wie in (7.9) ni ht verändert. Die Konstante K kann deshalb beliebig

7.2 Glei hstromkreise v1

PSfrag repla ements

1Ω

1Ω v5

1Ω v9

v2

1Ω

1Ω 1Ω

v6

1Ω

1Ω

v7

1Ω 1Ω v 11

v4

1Ω

1Ω

1Ω 1Ω v 10

v3

171

1Ω

v8

1Ω 1Ω v 12

1V

Ein Glei hstromkreis mit mehreren Ein-Ohm-Widerständen. (Die Struktur glei ht dem Graphen in Abb. 7.1, was kein Zufall ist.)

Abb. 7.4.

gewählt werden.6 In Glei hstromkreisen, die uns im Folgenden interessieren, kommt niemals mehr als eine Spannungsquelle vor. Wir können deshalb K so wählen, dass der Minuspol der Spannungsquelle immer das Potenzial 0 erhält.7 Sehen wir uns Abb. 7.4 an. Dort ist der Knoten v9 an den Minuspol der Spannungsquelle anges hlossen, so dass er das Potenzial V9 = 0 erhält. Weil die Spannungsquelle 1 Volt liefert, besitzt der an den Pluspol anges hlossene Knoten v12 das Potenzial V12 = 1. Wie können wir die übrigen Potenziale V1 , . . . , V8 sowie V10 und V11 bestimmen? Das ist mit Hilfe der so genannten ersten Kir hhos hen Regel (Knotenregel) mögli h. Diese Regel besagt, dass si h an einem Knoten die zuieÿenden und abieÿenden Ströme zu Null addieren. Physikalis h bedeutet das, dass si h keine Elektronen in einem Knoten akkumulieren dürfen: Die Elektronen, die in den Knoten hinein ieÿen, müssen au h wieder herauskommen. Angewendet z. B. auf den Knoten v2 in Abb. 7.4 heiÿt das, dass si h die zuieÿenden Ströme I1,2 , I3,2 und I6,2 zu 0 addieren: I1,2 + I3,2 + I6,2 = 0 . 6

(7.10)

Dies entspri ht in der Dierentialre hnung der Tatsa he, dass eine Stammfunktion F (x) einer Funktion f (x) (d. h. eine Funktion F (X), deren Ableitung f (x) ist), bis auf eine additive Konstante  die beliebig gewählt werden kann  wohldeniert ist. 7 Physikalis h kann das so gedeutet werden, dass der Minuspol geerdet wird.

172

7 Irrfahrten und Glei hstromkreise

Weil der Widerstand zwis hen v1 und v2 den Wert 1 Ohm besitzt, kann der Strom I1,2 mit Hilfe des Ohms hen Gesetzes (7.8) als I1,2 =

U1,2 = U1,2 = V1 − V2 1

ges hrieben werden. Auf die glei he Weise können wir I3,2 dur h V3 − V2 und I6,2 dur h V6 − V2 bes hreiben. Dur h Einsetzen dieser Zusammenhänge in (7.10) ergibt si h (V1 − V2 ) + (V3 − V2 ) + (V6 − V2 ) = 0 ,

und wenn wir diese Glei hung na h V2 umstellen, ergibt si h V2 =

1 3 (V1

+ V3 + V6 ) .

In Worten bedeutet dies, dass das Potenzial V2 glei h dem Mittelwert der entspre henden Gröÿen der Na hbarknoten ist. Diese Beziehung kommt uns sehr bekannt vor; wir hatten sie bereits bei unseren Bere hnungen der Eintrewahrs heinli hkeiten von Irrfahrten hergeleitet  siehe (7.2). Die entspre henden Bere hnungen für die zuieÿenden Ströme im Knoten v1 ergeben I2,1 + I5,1 = 0

woraus folgt, so dass

(V2 − V1 ) + (V5 − V1 ) = 0 V1 = 21 (V2 + V5 )

gilt. Wir sehen also, dass au h das Potenzial im Knoten v1 dur h den Mittelwert der Potenziale seiner Na hbarn gegeben ist. Die glei he Herleitung können wir für die übrigen Knoten angeben (auÿer für v9 und v12 , die beide direkt an die Spannungsquelle anges hlossen sind), so dass si h das folgende Glei hungssystem ergibt:  V1 = 21 (V2 + V5 )     V = 1 (V + V + V )  1 3 6 2  3    1  (V + V + V V = 2 4 7) 3  3    1  V4 = 2 (V3 + V8 )      V5 = 31 (V1 + V6 + V9 )     V = 1 (V + V + V + V ) 2 5 7 10 6 4 (7.11) 1  V = (V + V + V + V 7 3 6 8 11 )  4     V8 = 13 (V4 + V7 + V12 )      V9 = 0      = 31 (V6 + V9 + V11 ) V   10    V11 = 31 (V7 + V10 + V12 )    V12 = 1 .

7.3

Gewi htete Irrfahrten und Markovketten

173

Dieses Glei hungssystem erkennen wir von unseren Bere hnungen der Eintrewahrs heinli hkeiten in Abs hnitt 7.1 wieder: Das Glei hungssystem (7.11) für Potenziale V1 , . . . , V12 ist genau das glei he wie das System (7.3) für die Eintrewahrs heinli hkeiten p1 , . . . , p12 . Aus Lemma (7.1) wissen wir, dass das Glei hungssystem eine eindeutige Lösung besitzt, und daraus ergibt si h V1 = p1 , V2 = p2 , et . Aus Abb. 7.2 können wir deshalb ablesen, dass 94 173 92 117 150 175 67 109 158 200 , 267 , 267 , 267 , 267 , 267 , 267 , 267 , 0, 267 , 267 , 1) , (V1 , . . . , V12 ) = ( 267

ist, und dana h ist es ein Lei htes, die Stromüsse mit Hilfe des Ohms hen Gesetzes zu bestimmen.

⋄ ⋄ ⋄ ⋄ Den Zusammenhang, den wir hiermit zwis hen den Eintrewahrs heinli hkeiten von Irrfahrten einerseits und Potenzialen in Glei hstromkreisen andererseits hergestellt haben, gilt ni ht nur für den Graphen in Abb. 7.1 und den Stromkreis in Abb. 7.4. Wer den Überlegungen in diesem Kapitel bis hierher gefolgt ist, wird das folgende Ergebnis si herli h au h akzeptieren, au h wenn wir den Beweis hier ni ht ausführen. Satz 7.2. Sei G ein beliebiger endli her und zusammenhängender Graph, und seien v , w und u drei Knoten von G. Auf G wird eine Irrfahrt mit Start im Knoten v gestartet. Sei pv die Wahrs heinli hkeit, dass diese Irrfahrt den Knoten w vor dem Knoten u errei ht. Konstruiere andererseits aus dem Graphen G einen Glei hstromkreis dur h (a) das Einfügen von Ein-Ohm-Widerständen längs jeder Kante von G, und (b) den Ans hluss einer Ein-Volt-Spannungsquelle mit dem Pluspol an w und dem Minuspol an u. Bezei hne die daraus entstehenden Potenziale im Knoten v mit Vv . Dann gilt die Beziehung

pv = Vv .

Dieser Satz enthält die zentralen Bots haft dieses Kapitels und ermögli ht, bekannte Eigens haften von Glei hstromkreisen für die Erweiterung des Wissens über Irrfahrten auszunutzen  dazu werden wir in den Abs hnitten 7.4 und 7.5 Beispiele kennenlernen. Vorher werfen wir einen Bli k auf eine Verallgemeinerung.

7.3 Gewi htete Irrfahrten und Markovketten

Der Zusammenhang zwis hen Irrfahrten und Glei hstromkreisen, den wir in den beiden vorangegangenen Abs hnitten etabliert haben und der im Satz 7.2 zusammengefasst wurde, bes hränkt si h auf eine sehr spezielle Art von Glei hstromkreisen, bei der die Spannungsquelle exakt 1 Volt und sämtli he

174

7 Irrfahrten und Glei hstromkreise

Widerstände exakt 1 Ohm sein müssen. Da diese Anforderung sehr restriktiv und deshalb unbefriedigend ist, geht es als nä hstes um die Frage: Was ges hieht, wenn man beliebige Spannungen und Stromstärken zulässt? Gibt es für diesen allgemeineren Fall von Glei hstromkreisen eine Variante der Irrfahrten, die der in Satz 7.2 entspri ht? Variieren wir zunä hst die Spannungsquelle, indem wir einen Glei hstromkreis mit genau einer Spannungsquelle von 1 Volt dur h eine andere von U Volt ersetzen. Dann müssen sämtli he Potenziale und Ströme im Stromkreis exakt mit U multipliziert werden. Einer sol hen Veränderung des Stromkreises entspri ht ganz einfa h, dass man statt der bisherigen Einheit Volt eine neue Einheit deniert, bei der U Volt genau 1 entspre hen. Das wäre ungefähr so, als ob wir die Länge in Fuÿ statt in Metern messen würden und ist deshalb ni ht besonders interessant. Die neue Spannungsquelle bewirkt au h, dass die Potenziale zwis hen 0 und U statt zwis hen 0 und 1 variieren, so dass (zumindest für U > 1) jede Interpretation des Potenzials als Wahrs heinli hkeit ausges hlossen ist. Aus diesem Grund bes hränken wir uns im Folgenden auss hlieÿli h auf Stromkreise mit einer Spannungsquelle von exakt 1 Volt. Eine glei hermaÿen uninteressante Situation ergibt si h in einem Stromkreis mit auss hlieÿli h Ein-Ohm-Widerständen. Werden alle Widerstände dur h R-Ohm-Widerstände ersetzt, würden im Verglei h zum ursprüngli hen Stromkreis die Potenziale unverändert bleiben, während alle Ströme dur h R dividiert werden müssten, um den Ausgangszustand wieder herzustellen. Im Gegensatz zu dieser sehr speziellen Situation kann man si h vorstellen, dass in einem Glei hstromkreis mit mehr als einem Widerstand ni ht unbedingt alle Widerstandswerte denselben Wert annehmen. Lassen wir allerdings vers hiedene Widerstände mit unters hiedli hen Widerstandswerten zu, dann gibt es kein einfa hes Verfahren dur h Umskalieren von Spannungen und Strömen, mit dem man ein Stromkreis erzeugen kann, dessen Widerstände alle genau 1 Ohm betragen. Betra hten wir zum Beispiel den Stromkreis in Abb. 7.5, in dem der Widerstand zwis hen zwei angrenzenden Knoten vi und vj mit Ri,j bezei hnet ist. (Die Potenziale Vi und die Ströme Ii,j sind wie im vorhergehenden Abs hnitt deniert.) Wenden wir, analog zur Analyse des vorhergehenden Abs hnitts, die Kir hhos he Knotenregel am Knoten v1 an, erhalten wir I2,1 + I4,1 = 0 ,

was mit Hilfe des Ohms hen Gesetzes auf die Beziehung V2 − V1 V4 − V1 + = 0, R1,2 R1,4

führt. Dur h Auösen dieser Glei hung na h V1 ergibt si h V1 =

V2 R1,2 1 R1,2

+ +

V4 R1,4 1 R1,4

.

(7.12)

PSfrag repla ements 7.3

Gewi htete Irrfahrten und Markovketten

R1,2

v1

R1,4

R2,3

v2

R2,5 R4,5

v4

175

v3

R3,6 R5,6

v5

1

v6

V

Abb. 7.5. Ein Glei hstromkreis, in dem wir beliebige positive Widerstandswerte

R1,2 , R2,3 , R1,4 , R2,5 , R3,6 , R4,5

und

R5,6

zulassen.

Bes hreiben wir die Widerstände mit Hilfe ihrer

Leitfähigkeit anstatt ihres

Widerstandswertes, wird die Bedeutung von Glei hung (7.12) verständli her. Der Leitwert

C

derstandswertes

eines Widerstandes wird ganz einfa h als Kehrwert des Wi-

R

deniert:

C =

1 . R

Mit dem Leitwert als physikalis her Gröÿe kann man genauso natürli h arbeiten wie mit dem Widerstandswert: Während der Widerstandswert angibt, wel he Spannung benötigt wird, damit ein Ampere Strom dur h den Widerstand ieÿt, so gibt der Leitwert an, wie viel Strom pro Volt angelegter Spannung ieÿt.

1 Ri,j ) den Leitwert des Widerstands zwis hen den Knoten vi und vj . Bei Verwendung des LeitIm Stromkreis in Abb. 7.5 bezei hnen wir mit

Ci,j (=

werts anstelle des Widerstandswerts ergibt si h für Glei hung (7.12)

V1 = =

C1,2 V2 + C1,4 V4 C1,2 + C1,4 C1,2 C1,2 +C1,4

V2 +

Diese Glei hung ma ht deutli h, dass

C1,4 C1,2 +C1,4

V1

V4 .

ni ht der

Mittelwert der bena h-

barten Potenziale ist (wie im Fall der Ein-Ohm-Widerstände) sondern stattC1,2 dessen ein Mittelwert, bei dem V2 das Gewi ht C1,2 +C1,4 und C1,4 V4 das Gewi ht C1,2 +C erhält. Der Zähler in den Gewi hten gibt an, dass 1,4 si h die Potenziale proportional zum Leitwert verhalten, während die Nenner

gewi hteter

garantieren, dass si h die Gewi hte zu 1 aufsummieren. Wendet man die Kir hhos he Knotenregel in glei her Weise auf den Knoten

v2

an, ergibt si h die folgende Glei hung

176

7 Irrfahrten und Glei hstromkreise V2 =

C1,2 C1,2 +C2,3 +C2,5

V1 +

C2,3 C1,2 +C2,3 +C2,5

V3 +

C2,5 C1,2 +C2,3 +C2,5

V5 ,

der wiederum ein gewi hteter Mittelwert ist. Entspre hendes gilt au h für die Knoten v3 und v5 (jedo h ni ht für v4 und v6 , die ja direkt an die Spannungsquelle anges hlossen sind), so dass si h das folgende Glei hungssystem ergibt:   V1 =       V2 =       V3 =

C1,2 C1,2 +C1,4

V2 +

C1,2 C1,2 +C2,3 +C2,5 C2,3 C2,3 +C3,6

V2 +

C1,4 C1,2 +C1,4

V1 +

C2,3 C1,2 +C2,3 +C2,5

C3,6 C2,3 +C3,6

  V4 = 0     C2,5   V5 = C2,5 +C4,5  +C5,6 V2 +     V6 = 1 .

V4 V3 +

C2,5 C1,2 +C2,3 +C2,5

V5

V6

(7.13)

C4,5 C2,5 +C4,5 +C5,6

V4 +

C5,6 C2,5 +C4,5 +C5,6

V6

Dieses Glei hungssystem  bei dem die Leitwerte als bekannt angesehen werden und somit nur V1 , . . . , V6 unbekannt sind  hat eine eindeutige Lösung. Wir überspringen den Beweis dieser Behauptung: man kann ihn dur h eine einfa he Anpassung des Beweises von Lemma 7.1 ableiten. Wir werden jetzt eine modizierte Irrfahrt auf dem Graphen G in Abb. 7.6 denieren, mit der Eigens haft, dass für jeden Knoten vi des Graphen das Folgende gilt: Wenn die modizierte Irrfahrt in vi startet, und wir mit pi die Wahrs heinli hkeit bezei hnen, dass Knoten v6 vor v4 errei ht wird, so soll diese Wahrs heinli hkeit dieselbe sein wie das entspre hende Potenzial im Kreis in Abb. 7.5, so dassPSfrag repla ements pi = Vi . (7.14) gilt. Glei hung (7.14) gilt automatis h für i = 4 und i = 6, da V4 = 0 und V6 = 1 ist; do h wie können wir errei hen, dass Glei hung (7.14) au h für für die anderen i erfüllt ist? v2

C2,3 v3

C1,4

C2,5

C3,6

v4

C4,5 v5

C5,6 v6

v1

C1,2

Abb. 7.6. In diesem Graphen wollen wir eine modizierte Irrfahrt mit der Eigens haft denieren, dass bei Start der Irrfahrt im Knoten vi , die Wahrs heinli hkeit pi , dass Knoten v6 vor v4 errei ht wird, glei h dem entspre henden Potenzial Vi des Stromkreises in Abb. 7.5 ist.

7.3

Gewi htete Irrfahrten und Markovketten

177

Weil die Potenziale V1 , . . . , V6 das Glei hungssystem (7.13) erfüllen, und au h die Wahrs heinli hkeiten p1 , . . . , p6 die Glei hung (7.14) erfüllen sollen, können wir aus der ersten Zeile des Glei hungssystems s hlieÿen, dass p1 , p2 und p4 zusammen die Glei hung p1 =

C1,2 C1,2 +C1,4

p2 +

C1,4 C1,2 +C1,4

p4 .

(7.15)

erfüllen müssen. Diese Glei hung motiviert uns, die folgende Modikation der gewöhnli hen Irrfahrt zu denieren: Jemand, der si h in v1 bendet, geht im nä hsten S hritt zu einem der Na hbarn v1 oder v4 , jedo h ni ht mit Wahrs heinli hkeit 12 für beide Na hbarn, wie bei der gewöhnli hen Irrfahrt, sondern mit Wahrs heinli hkeiten proportional zu den Leitwerten, die den Kanten zugeordnet sind: 1,2 1,4 mit Wahrs heinli hkeit C1,2C+C na h v2 und mit Wahrs heinli hkeit C1,2C+C 1,4 1,4 na h v4 . Auf die glei he Weise verfahren wir mit den übrigen Kanten: die Wahrs heinli hkeit, zum einen oder anderen Na hbarn zu gehen, wird proportional zu den jeweiligen Leitwerte gesetzt. Jemand, der si h in einem Knoten vi bendet, geht mit den jeweiligen Wahrs heinli hkeiten Ci,jn Ci,j1 , ..., Ci Ci

(7.16)

zu einem der Na hbarn vj1 , . . . , vjn , wobei Ci = nl=1 Ci,jl die Summe der Leitwerte der Widerstände bezei hnet, die an vi anges hlossen sind. Die Leitwerte können somit als das Gewi ht der Kanten angesehen werden, und wir nennen diese Modikation der gewöhnli hen Irrfahrt eine gewi htete Irrfahrt. Wir starten jetzt eine gewi htete Irrfahrt im Knoten v1 und bezei hnen die na heinander errei hten Positionen mit X(0), X(1), . . ., so dass X(0) = v1 gilt. Sei A das Ereignis, dass v4 vor v6 errei ht wird. Wenden wir die entspre hende Bedingung wie im Zusammenhang mit der gewöhnli hen Irrfahrt in (7.1) an, so ergibt si h P

p1 = P(A) =

C1,2 C1,2 +C1,4

=

C1,2 C1,2 +C1,4

P(A | X(1) = v2 ) + p2 +

C1,4 C1,2 +C1,4

C1,4 C1,2 +C1,4

P(A | X(1) = v4 )

p4 ,

und der Zusammenhang mit (7.15) ist gezeigt. Die entspre henden Wahrs heinli hkeiten für die übrigen Knoten ergeben das Glei hungssystem

178

7 Irrfahrten und Glei hstromkreise

 p1       p2      p 3    p4      p5     p6

C1,4 C1,2 +C1,4

=

C1,2 C1,2 +C1,4

=

C1,2 C1,2 +C2,3 +C2,5

p1 +

=

C2,3 C2,3 +C3,6

C3,6 C2,3 +C3,6

p2 +

p2 +

p4

C2,3 C1,2 +C2,3 +C2,5

p3 +

C2,5 C1,2 +C2,3 +C2,5

p5

p6

(7.17)

=0 =

C2,5 C2,5 +C4,5 +C5,6

C4,5 C2,5 +C4,5 +C5,6

p2 +

p4 +

C5,6 C2,5 +C4,5 +C5,6

p6

= 1.

Dieses System ist identis h mit (7.13), und hat deshalb die glei he (eindeutige) Lösung, so dass die gewüns hte Beziehung (7.14) folgli h in jedem Knoten gilt. Wie in den vorhergehenden beiden Abs hnitten ist der erhaltene Zusammenhang natürli h ni ht nur für die beiden untersu hten Beispiele ri htig (in diesem Fall der Stromkreis in Abb. 7.5 und die gewi htete Irrfahrt auf dem Graphen in Abb. 7.6), sondern wesentli h allgemeiner ri htig. Wir können sogar jeden beliebigen Stromkreis des Typs nehmen, den wir in Abs hnitt 7.2 untersu ht haben, und die Ein-Ohm-Widerstände dur h beliebige Leitwerte ersetzen. Analog zu Satz 7.2 würden wir dabei feststellen, dass die elektris hen Potenziale im modizierten Stromkreis glei h den Eintrewahrs heinli hkeiten der gewi hteten Irrfahrt sind, bei der die Gewi hte der Kanten dur h die Leitwerte des Stromkreises gegeben sind.

⋄ ⋄ ⋄ ⋄ Irrfahrten und gewi htete Irrfahrten sind Beispiele für so genannte Mar-

kovketten. Markovketten sind spezielle zufällige Prozesse, und ihr Studium ist eines der gröÿten und wi htigsten Teilgebiete der modernen Wahrs heinli hkeitstheorie. Eine Markovkette mit Zustandsraum

8

Zufallsgröÿen

v1 , . . . , vn

X(0), X(1), X(2), . . . ,

{v1 , v2 , . . . , vn }

ist eine Folge von

bei der jede einzelne einen der Werte

annimmt, und die auf folgende Weise erzeugt wird: Wenn die Aus-

X(0), X(1), . . . , X(k) gegeben sind, d. h. wie si h die Markovk entwi kelt, dann wird der nä hste Zustand X(k +1) gemäÿ einer Verteilung über dem Zustandsraum {v1 , v2 , . . . , vn } gewählt, die allein auf X(k) beruht; die früheren Zufallsgröÿen X(0), X(1), . . . , X(k − 1) dürfen prägungen der

kette bis zur Zeit

ni ht berü ksi htigt werden.

Eine Irrfahrt ist ein Beispiel einer Markovkette, weil sie die ri htige Art der

k in k + 1 zu

Vergessli hkeit

besitzt: Wenn si h ein Zufallswanderer zur Zeit

einem

gewissen Knoten

v

einem

bendet, wird er zum nä hsten Zeitpunkt

auf gut Glü k ausgewählten Na hbarn von

v

gelangen. Dabei spielt es keine

Rolle, wo si h der Zufallswanderer vor der Zeit

k

au h für gewi htete Irrfahrten.

8

Oder genauer gesagt: ein sto hastis her Prozess.

befand. Entspre hendes gilt

7.3

Gewi htete Irrfahrten und Markovketten

179

Die Parameter einer Markovkette werden in der so genannten Übergangs-

matrix zusammenfasst:



bei der ein Element

 M1,1 M1,2 · · · M1,n    M2,1 M2,2 · · · M2,n    M =  . . .  . . . .  ..  Mn,1 Mn,2 · · · Mn,n

Mi,j

die bedingte Wahrs heinli hkeit bes hreibt, dass die

vj gelangt, vorausgesetzt, X(k) = vi gilt, gibt die Zeile i der ÜberVerteilung für X(k + 1) an (gegeben alles, was bis

Markovkette im nä hsten Zeitpunkt in den Zustand sie bendet si h  jetzt in gangsmatrix die bedingte zur Zeit

k

vi .

Wenn

ges hehen ist), die dann entspre hend

X(k + 1) =

 v1     v2

mit Wahrs heinli hkeit mit Wahrs heinli hkeit

Mi,1 Mi,2

.

.  .    vn

gewählt wird. Die Elemente

mit Wahrs heinli hkeit

Mi,j

(7.18)

Mi,n

der Übergangsmatrix müssen zwis hen 0

und 1 liegen, da sie Wahrs heinli hkeiten repräsentieren; auÿerdem müssen die Zeilensummen der Matrix 1 ergeben, so dass si h die Wahrs heinli hkeiten in (7.18) zu 1 summieren. Als Beispiel betra hten wir die Übergangsmatrix der Irrfahrt in Abb. 7.1.



0

1 3 0  0  1 3  0 M =  0  0   0  0  0 0

1 2

0 1 3

0 0 1 4

0 0 0 0 0 0

0 0 1 3 0 0 31 1 2 0 0 0 0 0 1 4 0 0 13 0 0 0 0 0 0 0 0

1 2

0 0 0 0 1 4

0 0 1 2

0 0 0

0 0 1 3 0 0 13 0 0 1 3 0 0 41 1 4 0 0 13 0 0 1 3 0 0 13 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 13 0 0 0 0 14 0 1 1 4 0 0 4 0 0 0 0 0 0 21 0 0 13 0 31 0 0 13 0 1 1 2 0 0 2

 0 0  0  0   0  0  0  1 3  0  0  1 3

0

Die zweite Zeile der Matrix besagt zum Beispiel, dass ein Zufallswanderer, der v2 bendet, im nä hsten S hritt jeweils mit Wahrs heinli hkeit 13 na h v1 , v3 oder v6 gelangt.

si h in

Oenbar kann jede gewi htete Irrfahrt als Markovkette bes hrieben werden. Als nä hstes wollen wir die Frage stellen, inwiefern die Umkehrung dieser Aussage gilt:

180

7 Irrfahrten und Glei hstromkreise

Kann jede Markovkette dur h eine gewi htete Irrfahrt repräsentiert werden? Die Antwort ist nein, und zwar aus zwei Gründen. Der erste von beiden ist trivial und kann lei ht behoben werden, während der andere fundamentaler ist. Der erste Einwand dagegen, dass jede Markovkette au h eine gewi htete Irrfahrt ist, liegt in der Tatsa he begründet, dass Markovketten au h Bewegungen von einem Zustand zu si h selbst zulassen, während dies bei Irrfahrten, wie sie oben deniert sind, ni ht mögli h ist. Das kann man jedo h dadur h korrigieren, dass man im Graphen, der der gewi hteten Irrfahrt zu Grunde liegt, au h so genannte Loops zulässt: Kanten, die in ein und demselben Knoten beginnen und enden. So kann zum Beispiel die Markovkette mit einer Übergangsmatrix

1

 M = 

5 2 5 2 5

2 5

0

2 5 3 5

3 5

0



(7.19)

 

(die zulässt, dass man in der Markovkette einen S hritt von

v1

na h

v1

geht)

als gewi htete Irrfahrt gemäÿ Abb. 7.7 repräsentiert werden.

1

PSfrag repla ements

v1 2

2 3

v3

v2

Abb. 7.7. Der Graph einer gewi hteten Irrfahrt die einer Markovkette mit der Übergangsmatrix M in (7.19) entspri ht. Die Ziern an den Kanten  inklusive dem Loop bei v1  geben ihre Gewi hte an.

Nun zum zweiten und bedeutenderen Einwand: Es gibt Markovketten, die si h von gewi hteten Irrfahrten wesentli h unters heiden. Betra hten wir z. B. die Markovkette mit dem Zustandsraum matrix



0

2 3

{v1 , v2 , v3 , v4 } 0

1 3



1 0 2 0   M = 3 1 3 2. 0 3 0 3 2 1 3 0 3 0

und der Übergangs-

(7.20)

7.3 Gewi htete Irrfahrten und Markovketten

181

Diese Markovkette kann als Wanderung auf dem Graphen in Abb. 7.8 gedeutet werden: in wel hem Knoten man si h au h bendet, geht man mit Wahrs heinli hkeit 23 einen S hritt in Uhrzeigersinn und mit Wahrs heinli hkeit 13 einen S hritt gegen den Uhrzeigersinn. Versu hen wir jetzt, den Kanten der Graphen in Abb. 7.8 geeignete Gewi hte C1,2 , C2,3 , C3,4 und C1,4 zu geben, so dass die gewi htete Irrfahrt der Übergangsmatrix (7.20) entspri ht. In der ersten Zeile in M sehen wir dass derjenige, der in v1 steht, mit einer doppelt so groÿen Wahrs heinli hkeit den nä hsten S hritt na h v2 als na h v4 geht, so dass C1,2 doppelt so groÿ sein muss wie C1,4 . Also gilt C1,2 = 2 C1,4 . Geht man in glei her Weise mit der zweiten, dritten und vierten Zeile in (7.20) vor, ergibt si h C2,3 = 2 C1,2 , C3,4 = 2 C2,3 und C1,4 = 2 C3,4 . Zusammengefasst führen diese Beziehungen auf C1,4 = 2 C3,4 = 4 C2,3 = 8 C1,2 = 16 C1,4 . Damit die re hte Seite mit der linken übereinstimmt, muss C1,4 = 0 gelten, was dazu führt, dass die übrigen Leitfähigkeiten au h 0 werden. Demzufolge ergibt si h, dass die Übergangswahrs heinli hkeiten (die für gewi htete Irrfahrten dur h (7.16)) gegeben sind) vom Typ 0/0 sind, und wir stellen fest, dass eine Markovkette mit einer Übergangsmatrix wie in (7.20) ni ht dur h eine gewi htete Irrfahrt dargestellt werden kann. PSfrag repla ements

v1

v2

C1,2

C1,4 v4

Abb. 7.8.

Wel he Gewi hte

C2,3 C3,4

v3

C1,2 , C2,3 , C3,4 und C1,4 sollten den Kanten zugeordnet

werden, damit dies eine gewi htete Irrfahrt wird, die der Übergangsmatrix in (7.20) entspri ht?

⋄ ⋄ ⋄ ⋄ Markovketten, die dur h eine gewi htete Irrfahrt im obigen Sinne dargestellt werden können, werden als reversible Markovketten bezei hnet, während die anderen Markovketten irreversibel genannt werden. Irreversible Markovketten sprengen den Rahmen dessen, was mit Hilfe von Glei hstromkreisen analysiert werden kann  und liegen damit auÿerhalb des Stoes von Doyle & Snell (1984).9 9

Reversibel ist hier eine Abkürzung für zeitreversibel. Diese Bezei hnung

beruht (grob gesagt) auf folgender Eigens haft: Filmt man den Verlauf der Markov-

182

7 Irrfahrten und Glei hstromkreise

Sowohl reversible als au h irreversible Markovketten sind Gegenstand sehr umfassender mathematis her Theorien. Was die Anwendungen betrit, waren Untersu hungen zu Wartes hlangen-Systemen10 (die unter anderem im Zusammenhang mit der Telekommunikation relevant sind) lange Zeit das wi htigste Gebiet, während im letzten Jahrzehnt andere Anwendungen Aufmerksamkeit fanden. Dazu gehört unter anderem die so genannte Markov-Ketten Monte Carlo-Methode11 für Bere hnungen innerhalb der immer populäreren Bayes' S hule (die bereits im Abs hnitt 2.5 erwähnt wurde), die statistis he Behandlung und bioinformatis he12 Analysen von DNS-Strängen und anderen biologis hen Sequenzdaten ermögli ht. 7.4 Leistungsminimierung

Wenn elektris her Strom dur h einen Widerstand ieÿt, entwi kelt si h im Widerstand Wärme, und die elektris he Energie wird in Wärmeenergie umgewandelt. Die Energieumwandlung pro Zeiteinheit wird Leistung genannt und mit E bezei hnet. Der Strom I ist ein Maÿ für die Menge der Ladung (man kann si h darunter die Anzahl der Elektronen13 vorstellen), die den Widerstand pro Zeiteinheit passiert, und die Spannung U ist ein Ausdru k dafür, wie viel elektris he Energie jede Ladungseinheit pro Zeiteinheit verliert. Die Leistung ist deshalb E = IU,

was unter Verwendung des Ohms hen Gesetzes entweder als E = I 2R

(7.21)

U2 R

(7.22)

oder als E =

kette während einer langen Zeit, und sieht si h ans hlieÿend diesen Film an, so hat man keine Mögli hkeit zu ents heiden, ob der Film vorwärts oder rü kwärts gezeigt wird. Diese Eigens haft besitzen irreversible Markovketten wie die in (7.20) ni ht: Vorwärts sieht der Film aus, als ob si h die Markovkette auf dem Graphen in Abb. 7.8 weitgehend im Uhrzeigersinn bewegt; betra htet man den Film jedo h rü kwärts, bewegt sie si h gegen den Uhrzeigersinn. Für irreversible Markovketten benötigt man so genannte geri htete Graphen, auf die wir in diesem Bu h ni ht eingehen. Für eine Einführung in die Theorie der Markovketten mit anderen S hwerpunkten als in Doyle & Snell (1984) verweisen wir beispielsweise auf Norris (1997), Enger & Grandell (2000) oder Häggström (2002b). 10 Asmussen (2003). 11 Gilks et al. (1996), Häggström (2002b). 12 Koski (2001). 13 Ein Stromuss von einem Ampere entspri ht ir a 6 · 1018 Elektronen pro Sekunde.

7.4

Leistungsminimierung

183

ges hrieben werden kann. Wenn wir jetzt einen Glei hstromkreis wie z. B. den in Abb. 7.4 oder den in Abb. 7.5 betra hten, so ist die gesamte Leistungsentwi klung Etot des Stromkreises glei h der Summe der Leistungen der einzelnen Widerstände: 2 X (Vi − Vj )2 X Ui,j = , Etot = (7.23) Ri,j Ri,j hvi ,vj i

hvi ,vj i

wobei die Summe über alle Paare hvi , vj i bere hnet wird, die dur h einen Widerstand verbunden sind (dabei wird jedes Paar nur einmal gezählt). In den Abs hnitten 7.2 und 7.3 sahen wir, wie si h die Potenziale V1 , . . . , Vk als Lösungen eines Glei hungssystems ergaben, das mit Hilfe des Ohms hen Gesetzes und der Kir hhos hen Regeln hergeleitet werden konnte. Wir wollen als nä hstes das Diri hlet-Prinzip formulieren, mit dem man die Potenziale V1 , . . . , Vk no h etwas anders harakterisieren kann: Die Potenziale erhalten sol he Werte, dass die Gesamtleistung (7.23) des Stromkreises so klein wie mögli h wird. Sei G ein zusammenhängender Graph mit der Knotenmenge {v1 , . . . , vk } und positiven Gröÿen Ri,j , die den Kanten des Graphen zugeordnet sind. Für eine beliebige Zuordnung W = (W1 , . . . , Wk ) reeller Zahlen zu den Knoten können wir Etot (W) als Etot (W) =

X (Wi − Wj )2 Ri,j

(7.24)

hvi ,vj i

denieren. Etot (W) ist eine Summe von Quadraten und kann deshalb ni ht negativ werden. Allerdings wird diese Summe 0, wenn man W1 = W2 = . . . = Wk setzt, und diese Wahl von W stellt aus Si ht unserer Zielstellung  Etot zu minimieren  eine optimale Wahl dar. Das Minimierungsproblem wird s hwieriger, wenn wir W in einigen Knoten mit bestimmten Werten festhalten wollen, z. B. W1 = 0 und W2 = 1. Satz 7.3 (Diri hlet-Prinzip).

Sei G wie oben ein zusammenhängender {v1 , . . . , vk } und positiven Zahlen Ri,j , die den Kanten zugeordnet sind. Sei W die Klasse aller reellwertigen Tupel W = (W1 , . . . , Wk ), so dass W1 = 0 und W2 = 1 ist. Dann gilt Graph

mit der

Knotenmenge

min Etot (W) = Etot (V)

W∈W

V = (V1 , . . . , Vk ) die elektris hen Potenziale der Knoten v1 , . . . , vk sind, hvi , vj i des Graphen einen Widerstand mit dem Wert Ri,j ans hlieÿt und auÿerdem eine Ein-Volt-Spannungsquelle mit dem Minuspol an v1 und dem Pluspol an v2 anlegt. wobei

wenn man längs jeder Kante

Viele physikalis he Systeme tendieren zu einem Zustand, bei dem die Energie bzw. die Leistung des Systems minimiert wird. Das gilt au h für Glei hstromkreise, deren Potenziale V1 , . . . , Vk si h entspre hend dem Diri hlet-Prinzip so einstellen, dass die Leistung des Stromkreises minimal ist.

184

7 Irrfahrten und Glei hstromkreise

Beweis (von Satz 7.3). Wir können die Werte W3 , W4 , . . . , Wk variieren, so dass die Minimierung von Etot (W) ein (k − 2)-dimensionales Minimierungsproblem wird. Um das Problem am Anfang einfa her zu gestalten, wollen wir damit beginnen, die Werte W1 , W2 , . . . , Wi−1 und Wi+1 , Wi+2 , . . . , Wk als fest anzusehen, und annehmen, dass wir den Wert von Wi nden wollen, der Etot (W) minimiert  ein eindimensionales Minimierungsproblem. Bezei hnen wir die Na hbarn von vi mit vj1 , . . . , vjn . Wenn wir dur h Variation von Wi die Gesamtleistung Etot (W) minimieren wollen, entspri ht das der Minimierung der Summe n X (Wi − Wi,jl )2 , Ri,jl

(7.25)

l=1

weil die übrigen Terme der re hten Seite von (7.24) ni ht dur h die Variation von Wi beeinusst werden. Sei f (Wi ) die Summe in (7.25). Die Ableitung von f (Wi ) bezügli h Wi ist dur h f ′ (Wi ) =

n X 2 (Wi − Wjl ) Ri,jl l=1 n X

=2

l=1

Cjl (Wi − Wjl )

1 gegeben, wobei wir die Bezei hnung der Leitwerte Ci,jl = Ri,j verwenden. l Leiten wir diesen Ausdru k no h einmal ab, erhalten wir die zweite Ableitung

f ′′ (Wi ) = 2

n X

Ci,jl ,

l=1

die positiv ist (weil die Leitwerte positiv sind). Deshalb wäre eine Nullstelle der ersten Ableitung f ′ (Wi ) ein Punkt, an dem f (Wi ) minimiert wird. Wenn wir f ′ (Wi ) = 0 setzen und na h Wi auösen, erhalten wir Wi =

Ci,j1 Wj1 + · · · + Ci,jn Wjn , Ci,j1 + · · · + Ci,jn

(7.26)

den gewi hteten Mittelwert der Wj1 , . . . , Wjn , wobei die Gewi hte proportional zu den Leitwerten Ci,j1 , . . . , Ci,jn sind. Nehmen wir jetzt an, dass W ni ht glei h der Menge V = (V1 , . . . , Vk ) der Potenziale ist, die wir im Stromkreis erhalten. Wir wissen, dass V die eindeutige Lösung des Glei hungssystems ist, bei dem jedes Vi (auÿer V1 und V2 ) wie in (7.26) ein gewi hteter Mittelwert der Na hbarpotenziale ist. Wenn also W 6= V gilt, dann gibt es (mindestens) einen Knoten vi (auÿer v1 und v2 ), für den Glei hung (7.26) ni ht gilt. In diesem Fall können wir Etot jedo h strikt verkleinern, indem wir Wi glei h dem gewi hteten Mittelwert in (7.26) setzen. Damit wissen wir, dass W die Gesamtleistung Etot ni ht minimiert.

7.4 Leistungsminimierung Weil die einzige Annahme über

V

die Gesamtleistung

Etot

W

war, dass

W

ni ht glei h

V

185

ist, kann nur

14

minimieren, was den Beweis abs hlieÿt.

⊓ ⊔

⋄ ⋄ ⋄ ⋄ Während das Diri hlet-Prinzip eine klare und intuitive elektrote hnis he Interpretation besitzt  die Potenziale im Glei hstromkreis verhalten si h so, dass die Gesamtleistung minimiert wird  ist es ni ht oensi htli h, wie dieses Prinzip in Bezug auf die Irrfahrten interpretiert werden soll. Ni ht desto trotz ist es bei der Untersu hung von Irrfahrten eine groÿe Hilfe, und wir wollen uns jetzt mit einem Beispiel dazu bes häftigen. Eine spezielle Klasse von Graphen sind die so genannten Zwei-Etagen-

Graphen, die auf die folgende Weise deniert sind. Man nimmt einen beliebigen Graphen G mit der Knotenmenge {v1 , . . . , vk }. Auÿerdem sei der ′ Graph G eine exakte Kopie von G. Das bedeutet, dass er die Knotenmenge {v1′ , . . . , vk′ } besitzt, und die Knotenpaare vi′ und vj′ nur dann dur h Kanten verbunden sind, wenn die entspre henden Knoten vi und vj in G dur h ei(2) ne Kante verbunden sind. Den Zwei-Etagen-Graphen G erhält man dann ′ dur h Zusammenfügen der beiden Graphen G und G , in dem für jedes i die ′ Knoten vi und vi dur h eine Kante verbunden werden. Abb. 7.9 zeigt ein Beispiel eines Graphen G und den zugehörigen Zwei(2) (2) Etagen-Graphen G . Wir können uns G aus zwei exakt glei hen Etagen bestehend vorstellen bei der jeder Knoten der einen Etage dur h eine vertikale Kante des entspre henden Knoten der anderen Etage verbunden ist. Wir (2) ′ ′ bezei hnen die Knoten v1 , . . . , vk als das Erdges hoss von G und v1 , . . . , vk als Oberges hoss. Bollobás & Brightwell (1997) untersu hten die Irrfahrt auf Zwei-Etagen-

15 , und insbesondere das folgende Problem der Eintrewahrs hein-

Graphen

li hkeiten. Betra hten wir eine Irrfahrt, bis sie entweder einen gegebenen Knov1 im Erdges hoss oder den entspre henden Knoten v1′ im Oberges hoss

ten

14

Letzteres ist no h ni ht ganz ri htig  wirkli h abges hlossen ist der Beweis ni ht, bevor wir au h na hweisen, dass ein Minimum von Etot existieren muss. Das ist auf die folgende Weise mögli h: Zunä hst können wir uns auf sol he W bes hränken, bei denen Wi für jedes i im Intervall [0, 1] liegt. Dies folgt aus der Tatsa he, dass, wenn wir jedes Wi das gröÿer als 1 ist, auf 1 verringern und jedes negative Wi < 0 auf 0 erhöhen, si h dann alle Terme von (7.24) verringern, so dass au h Etot verringert wird. Wenn wir uns auf W ∈ [0, 1]k bes hränken, können wir feststellen, dass Etot (W) eine stetige Funktion von W ist, und s hlieÿli h den allgemeinen Satz (siehe z. B. Persson und Böiers (1988), S. 33) ausnutzen, der besagt, dass stetige Funktionen auf kompakten Mengen ([0, 1]k ist kompakt) einen gröÿten und einen kleinsten Wert besitzen. 15 Sie befassten si h mit einer allgemeineren Klasse von Produktgraphen (siehe Fuÿnote 45 auf Seite 130); ein Zwei-Etagen-Graph G(2) kann als das kartesis he Produkt von G und dem Graphen angesehen werden, der nur zwei Knoten und eine Kante besitzt.

186

7 Irrfahrten und Glei hstromkreise

errei ht. Wenn wir die Irrfahrt in einem Knoten v2 im Erdges hoss starten, ist dann die Wahrs heinli hkeit, dass v1 vor v1′ errei ht wird, mindestens so groÿ wie die Wahrs heinli hkeit, zuerst auf v1′ zu treen?

v1′

PSfrag repla ements

v2 Abb. 7.9.

(re hts).

v1

v1 v2

Ein Graph G (links) und der entspre hende Zwei-Etagen-Graph G(2)

Es ers heint oensi htli h, dass die Antwort auf diese Frage ja sein muss, denn der Startknoten v2 sollte in jedem Fall näher an v1 als an v1′ liegen.16 Es zeigt si h jedo h, dass ähnli he Fragen, für die eine positive Antwort zunä hst genauso oensi htli h ers heint, überras henderweise verneint werden müssen.17 Deshalb muss diese Sa he näher untersu ht werden. Wir werden folgenden Satz zeigen, der besagt, dass eine Irrfahrt tatsä hli h eine gröÿere Wahrs heinli hkeit besitzt, vor v1′ zunä hst auf v1 zu treen, als umgekehrt.

Sei G(2) ein zusammenhängender Zwei-Etagen-Graph mit der Knotenmenge {v1 , . . . , vk , v1′ , . . . , vk′ }. Betra hte zwei Knoten v1 und v2 im Erdges hoss, und den Knoten v1′ , der der Na hbar von v1 im Oberges hoss ist. Starte eine Irrfahrt X(0), X(1), . . . mit X(0) = v2 und deniere Tv1 und Tv1′ als Zeitpunkte des ersten Eintreens der Irrfahrt in v1 beziehungsweise in v1′ . Satz 7.4.

16

Diese Intuition liegt au h einer Reihe anderer Probleme zu Grunde, die vers hiedene Typen von sto hastis hen Modellen auf Zwei-Etagen-Graphen betreen; siehe Häggström (2002d) für eine Einführung. 17 Bollobás & Brightwell (1997) geben folgendes Beispiel an. Nehmen wir an, dass wir eine Irrfahrt zur Zeit 0 in vi starten, und seien Tvj und Tvj′ die Zeitpunkte der ersten Ankunft bei vj beziehungsweise vj′ . 'Ist dann, unabhängig von n, die Wahrs heinli hkeit P(Tvj ≤ n) der Ankunft in vj spätestens zur Zeit n mindestens genauso groÿ wie die entspre hende Wahrs heinli hkeit P(Tvj′ ≤ n) der Ankunft in vj′ spätestens zur selben Zeit n? Dies ist ni ht immer so. Betra hten wir z. B. den Fall, dass G aus den drei Knoten v1 , v2 und v3 besteht, die in einer Reihe verbunden sind (die Kanten von G sind also hv1 , v2 i und hv2 , v3 i) und sei G(2) der entspre hende Zwei-Etagen-Graph. Für eine Irrfahrt, die in v3 gestartet wird, gilt dann  was man mit etwas Aufwand na hprüfen kann  dass die Wahrs heinli hkeit P(Tv1 ≤ 3) des Eintreens in v1 na h spätestens 3 Zeiteinheiten glei h 16 ist, während P(Tv1′ ≤ 3) = 92 ist, und wir sehen, dass die Unglei hung 16 < 92 in eine unerwartete Ri htung zeigt!

7.4

Dann gilt

P(Tv1 < Tv1′ ) ≥

Leistungsminimierung

1 . 2

187

(7.27)

Der folgende elegante Beweis, der auf dem Diri hlet-Prinzip aufbaut, ist Bollobás & Brightwell (1997) entnommen. Mit Bezei hnungen, wie denen im Abs hnitt 7.1, sei pi (beziehungsweise p′i ) die Wahrs heinli hkeit, dass ein Zufallswanderer, der si h in vi (bzw. vi′ ) bendet, v1 vor v1′ errei ht. Aus Symmetriegründen stimmt die Wahrs heinli hkeit, dass ein Zufallswanderer, der in vi startet und v1 vor v1′ errei ht, mit der Wahrs heinli hkeit überein, dass ein Zufallswanderer, der in vi′ startet, v1′ vor v1 errei ht. Die letztgenannte Wahrs heinli hkeit ist jedo h glei h 1 − p′i , so dass wir die Beziehung

Beweis (von Satz 7.4).

pi = 1 − p′i

(7.28)

für jedes i erhalten. Bilden wir jetzt in übli her Weise einen Glei hstromkreis, in dem wir längs der Kanten von G(2) Ein-Ohm-Widerstände einfügen sowie die Knoten v1 und v1′ an den Plus- beziehungsweise Minuspol einer Spannungsquelle von 1 Volt ans hlieÿen. Der Zusammenhang zwis hen den Eintrewahrs heinli hkeiten und Potenzialen führt dazu, dass die Potenziale V1 , . . . , Vk und V1′ , . . . , Vk′ des Stromkreises die Beziehungen Vi = pi (7.29) und

Vi′ = p′i

für jedes i erfüllen. Wir wollen zeigen, dass das Tupel V = (V1 , . . . , Vk , V1′ , . . . , Vk′ ) von Potenzialen die Eigens haft besitzt, dass Vi ≥

1 für jedes i 2

(7.30)

gilt. Wenn wir die Beziehung (7.30) zeigen können, dann wissen wir insbesondere, dass V2 ≥ 21 gilt, was zusammen mit (7.29) auf p2 ≥ 12 führt. Weil p2 glei h der linken Seite von (7.27) ist, folgt Satz 7.4 unmittelbar. Somit müssen wir no h (7.30) zeigen und tun dies mit einem Widerspru hsbeweis. Um einen Widerspru h zu erzeugen nehmen wir an, dass (7.30) ni ht gilt, d. h. dass 1 Vi < für irgendein i (7.31) 2

gilt. Wir wollen jetzt ein neues Tupel von Zahlen W = (W1 , . . . , Wk , W1′ , . . . , Wk′ )

188

7 Irrfahrten und Glei hstromkreise

bilden, die den Knoten von

G(2)

W1 = 1 und W1′ = 0 Leistungsentwi klung Etot (V) des

zugeordnet sind, so dass

gilt. Das Diri hlet-Prinzip besagt, dass die Stromkreises die Beziehung

Etot (V) < Etot (W) für jedes dieser Tupel

(7.32)

W (= 6 V) erfüllt ist. Wenn wir also zeigen können, dass W in die fals he Ri htung weist, haben wir den

die Unglei hung für irgendein gewüns hten Widerspru h.

W

bilden wir auf die folgende Weise. Für jedes

der Potenziale

• •

wenn

Vi

und

Vi ≥ Vi′

Vi′

bestimmen wir, wel hes

Wi = Vi und Wi′ = Vi′ zu, ′ Vi gilt, vertaus hen wir Vi und Vi′ und setzen

gilt, dann weisen wir

Vi < Wi′ = Vi .

ansonsten, wenn

Wi = Vi′

i

am gröÿten ist, und

und

Weil

Vi = 1 − Vi′

(7.33)

gilt (was wir wegen (7.28) wissen), bedeutet das, dass beide Potenziale ihren Platz in

W

genau dann we hseln, wenn

Vi
0 hat das Teil hen eine erhöhte Wahrs heinli hkeit, na h re hts zu gehen, und auf entspre hende Weise eine verringerte Wahrs heinli hkeit, si h na h links zu bewegen. Was passiert dann auf lange Si ht mit einer sol hen Irrfahrt, die zum Zeitpunkt 0 z. B. im Nullpunkt gestartet wurde? Wie zuvor bezei hnen wir mit X(n) die Position des Teil hens zur Zeit n. Weiterhin seien Xx (n) und Xy (n) seine x- beziehungsweise y -Koordinate zur Zeit n, so dass folgli h X(n) = (Xx (n), Xy (n))

gilt. Wenn das Teil hen einen S hritt geht, erhöht si h die x-Koordinate entweder um −1, 0 oder +1 mit den entspre henden Wahrs heinli hkeiten 14 − β , 1 1 2 und 4 + β . Der erwartete Zuwa hs in x-Ri htung wird somit −1 · ( 14 − β) + 0 ·

1 + 1 · ( 14 + β) = 2 β . 2

Die x-Koordinate Xx (n) des Teil hens ist glei he der Summe der ersten n dieser Zuwä hse, und aus dem Gesetz der groÿen Zahlen (Satz 4.3) folgt, dass Xx (n) für n → ∞ gegen 2 β strebt: n   Xx (n) = 2β = 1 . P lim (8.28) n→∞ n Hierbei kann Xxn(n) als Dur hs hnittsges hwindigkeit des Teil hens na h re hts während der ersten n S hritte aufgefasst werden, und 2 β ist die asymptotis he Dur hs hnittsges hwindigkeit, die das Teil hen auf lange Si ht errei ht. Für β > 0 folgt aus (8.28), dass Xx (n) → ∞ für n → ∞ gilt, so dass die Irrfahrt mit Drift transient ist (obwohl sie auf dem zweidimensionalen Gitter wandert, auf dem die gewöhnli he, ungewi htete Irrfahrt rekurrent ist). Aus (8.28) können wir auÿerdem ableiten, dass mit wa hsendem Driftparameter au h die asymptotis he Ges hwindigkeit wä hst. Eigentli h ist das ni ht besonders überras hend, do h wir werden glei h ein Beispiel einer Irrfahrt kennenlernen, die si h in dieser Beziehung anders verhält.

8.6 Irrfahrt und Perkolation

221

⋄ ⋄ ⋄ ⋄ Gehen wir jetzt no h einen S hritt weiter und betra hten eine ähnli he Irrfahrt mit Driftparameter, do h dieses Mal auf einer Perkolationskomponente von Z2 . Wir halten die Kantenwahrs heinli hkeit p mit p > pc fest, und erzeugen einen Teilgraphen des Gitters Z2 gemäÿ des gewöhnli hen Kantenperkolationsmodells auf dem Z2 Gitter mit Kantenwahrs heinli hkeit p. Dana h starten wir im Nullpunkt eine Irrfahrt mit Drift na h re hts entspre hend (8.27), jedo h mit der folgenden Modikation: Ein Zufallswanderer, der si h im Knoten (i, j) bendet, wählt einen der vier Na hbarknoten entspre hend der Verteilung (8.27) zufällig aus. Wenn die Kante zwis hen (i, j) und dem gewählten Na hbarn in der Perkolationskonguration existiert, geht der Zufallswanderer zum gewählten Knoten, während er anderenfalls eine Zeiteinheit im Knoten (i, j) stehen bleibt  um beim nä hsten Zeitpunkt einen neuen Versu h zu unternehmen, zu einem der Na hbarknoten zu gehen. Für diese Irrfahrt auf einer Perkolationskomponente mit Drift können wir uns die Frage stellen, was mit der Dur hs hnittsges hwindigkeit Xxn(n) für n → ∞ ges hieht. Wenn der Startknoten zu einer endli hen zusammenhängenden Komponente gehört, kann Xx (n) ni ht über eine bestimmte Grenze wa hsen, und es ist oensi htli h, dass Xxn(n) → 0 für n → ∞ gilt. Interessanter ist der Fall, wenn der Startknoten zur unendli hen zusammenhängenden Komponente gehört. In diesem Fall kann man zeigen, dass es eine Zahl µp,β gibt (die von p und β abhängen kann), so dass lim

n→∞

Xx (n) = µp,β n

asymptotis he Ges hwindigkeit

gilt. Wir nennen µp,β die , die für die Kantenwahrs heinli hkeit p und den Driftparameter β entsteht. Für p = 1 (was der Irrfahrt mit Drift direkt auf dem Gitter Z2 entspri ht) gilt na h (8.28) die Beziehung µp,β = 2β . Für p < 1 (aber natürli h weiterhin p > pc ) lässt si h die asymptotis he Ges hwindigkeit ni ht so einfa h bere hnen, und im Allgemeinen ist dies ni ht explizit mögli h. Do h wir können au h etwas einfa here Fragen zu µp,β stellen, wie die folgende, s heinbar harmlose Problemstellung: Wä hst die asymptotis he Ges hwindigkeit µp,β (für ein festes p > pc ) als Funktion des Driftparameters β ? Wie wir gesehen haben, kann diese Frage für p = 1 bejaht werden, was unmittelbar aus (8.28) hervor geht. Es könnte zunä hst so aussehen, als ob die Frage au h für p < 1 selbstverständli h bejaht werden kann, do h hier ergibt si h eine Überras hung. Als man in Physikerkreisen begann, Irrfahrten mit Drift auf Perkolationskomponenten zu simulieren13 , deutete das Ergebnis darauf hin, dass die asymptotis he Ges hwindigkeit µp,β als Funktion ni ht überall 13

Siehe z. B. Barma & Dhar (1983).

222

8 Findet ein Zufallswanderer zum Ausgangspunkt zurü k?

für wa hsendes β wä hst. Arbeiten von Berger, Gantert & Peres (2003) und Sznitman (2003) bestätigten dies kürzli h:14 Satz 8.8 (Berger, Gantert und Peres; Sznitman). Kantenperkolation auf dem Gitter

Z2

mit einem

p,

so dass

Betra hte

eine

pc < p < 1

ist.

Für eine Irrfahrt auf der unendli hen zusammenhängenden Komponente mit Drift existieren zwei Werte

µp,β

β1 

und

>0 =0

β2 , für für

so dass

0 < β1 ≤ β2
0 =0

für für

0 < β < βc βc < β < 14

gilt. Dies ist glei hbedeutend damit, dass man in Glei hung (8.29)

(8.30)

β1 = β 2

setzt, was ni ht aus Satz 8.8 folgt (zumindest ni ht oensi htli h!). Glei hung (8.30) zu beweisen  oder mögli herweise zu widerlegen  ist viellei ht das gröÿte oene Problem auf diesem Gebiet. Mit gutem Erinnerungsvermögen erkennt man dieses Problem als Monotonieproblem ähnli h der so genannten Eindeutigkeitsmonotonie wieder, die am Ende von Abs hnitt 5.5 diskutiert wurde.

⋄ ⋄ ⋄ ⋄ Die Entde kungsreise dur h die Wahrs heinli hkeitstheorie, zu der i h im ersten Kapitel eingeladen hatte, ist an dieser Stelle beendet. I h hoe, dass es die Leserinnen und Leser au h so empnden, dass wir auf eine Reihe interessanter Sehenswürdigkeiten gestoÿen sind. Darüber hinaus gibt es in der Wahrs heinli hkeitstheorie unzählige weitere faszinierende Objekte und Phänomene, die no h weit auÿerhalb der Si htweite dieser Reise liegen. I h hoe, dass mein Bu h für viele ein Anstoÿ ist, si h auf die Su he na h ihnen zu begeben, und viellei ht sogar neue Phänomene zu entde ken. Die umfangrei hen Fuÿnoten und das Literaturverzei hnis könnten bei der Fortsetzung der Reise eine erste Hilfe sein.

Anhang A Summen

Wie der Leser allenfalls bereits bemerkt hat, kommt die Addition in diesem Bu h sehr häug vor. Deshalb habe i h mi h ents hlossen, in diesem Anhang etwas Material über Summen zusammen zu stellen. Wir erklären zunä hst die P gängige -Notation für Summen, um später zu zeigen, wie man ents heiden kann, ob eine Summe mit unendli h vielen Termen endli h oder unendli h ist. Die Summe a1 + a2 + · · · + ak (A.1)

mit k Termen, kann ebenso  häug eleganter  dur h das Symbol k X

ai

(A.2)

i=1

bezei hnet werden. Ein konkretes Beispiel wäre 5 X 1 , 2 i i=1 1 1 diese Summe steht für 11 + 14 + 91 + 16 . + 25 Eine Summe muss ni ht unbedingt mit i = 1 beginnen; beispielweise beP zei hnet 6i=3 ai die Summe a3 + a4 + a5 + a6 . Die einzelnen Terme einer Summe können selbst wieder Summen sein. Nehmen wir z. B. an, dass jedes ai eine Summe von l Termen ist (mit i = 1, . . . , k), so dass ai = bi,1 + bi,2 + · · · + bi,l

gilt. Die Summen in (A.1) und (A.2) können dann zu

226

A Summen

a1 + a2 + · · · + ak = =

k X

k X i=1

=

ai

i=1

(bi,1 + bi,2 + · · · + bi,l )

k X l X

(A.3)

bi,j

i=1 j=1

Doppelsumme

umgestellt werden. Der Ausdru k in (A.3) ist eine so genannte  eine einfa here und kompaktere Notation für die Summe der folgenden k × l Terme: b1,1 b1,2 b1,3 · · · b1,l b2,1 b2,2 b2,3 · · · b2,l .. .. .. .. . . . . bk,1 bk,2 bk,3 · · · bk,l

Für eine Summe a1 + a2 + · · · von unendli h vielen Termen wird die Bezei hnung ∞ X

ai

i=1

(A.4)

Reihe

verwendet. Eine sol he Summe unendli h vieler Terme wird oft als bezei hnet. Was bedeutet dies? Für eine Summe von Termen mit endli her Anzahl, beispielsweise k Termen, ist die Sa he sonnenklar: Wir beginnen mit dem ersten Element, legen dann das zweite dazu, dann das dritte, und so weiter bis alle k Terme in der Summe enthalten sind und uns die Endsumme vorliegt. Aber mit einer Summe von unendli h vielen Termen, wie in (A.4), ist die Sa he ni ht ganz so einfa h, weil die skizzierte Prozedur nie zum Ende kommt. Um die Summe in (A.4) zu denieren, müssen wir den Grenzwertbegri der Mathematik zu Hilfe nehmen (siehe die Einleitung des Abs hnitts 4.2 für die Denition des Grenzwertes). Um eine vorläuge Vorstellung von der Summe in (A.4) zu erhalten, führen wir die Bezei hnung Sk für die Teilsumme (oder Partialsumme) der k ersten Terme ein: k X Sk = ai . i=1

Dana h können wir k → ∞ streben lassen und den Grenzwert S = lim Sk k→∞

(A.5)

betra hten (vorausgesetzt, der Grenzwert existiert). Die Summe in (A.4) wird dann als dieser Grenzwert S deniert.

A Summen

227

In einigen Fällen führt das zu keinem sinnvollen Ergebnis, z. B. wenn wir die Terme ai in der Summe als ai =



1 für i ungerade −1 für i gerade

denieren. Dann ergibt si h S1 S2 S3 S4

= = 1 + (−1) = = 1 + (−1) + 1 = = 1 + (−1) + 1 + (−1) =

1 0 1 0

(A.6)

und so weiter: die Teilsummen werden bis in alle Ewigheit zwis hen 0 und 1 pendeln, so dass der Grenzwert in (A.5) ni ht existiert, und der Summe P∞ i=1 ai kein Wert zugewiesen werden kann. Die meisten in diesem Bu h auftretenden Summen haben jedo h auss hlieÿli h positive Terme1 , und für sol he Summen kann diese Art des Pendelns, wie sie bei (A.6) vorliegt, ni ht entstehen. Wenn ai ≥ 0 für sämtli he i gilt, erhalten wir S1 ≤ S2 ≤ S3 ≤ · · ·

wobei zwei unters hiedli he Szenarien denkbar sind: Entweder a) wä hst Sk für k → ∞ über alle S hranken, so dass wir den Grenzwert S = ∞ erhalten,

oder

b) wä hst Sk (notwendigerweise immer langsamer) gegen eine gewisse endli he S hranke, und der Grenzwert S wird dabei glei h dieser S hranke. In beiden Fällen ist die Summe ∞ i=1 ai = S = limk→∞ Sk wohldeniert; der Unters hied ist, dass sie im Fall a) unendli h wird, während sie bei b) eine endli he Zahl ergibt.2 Es ist oft wi htig zu ents heiden, wel her der Fälle a) oder b) vorliegt. (Beispiele dafür enthalten unter anderem die Abs hnitte 4.3, 8.3 und 8.4.) Wir wollen uns in den folgenden Diskussionen der Frage widmen, wie diese Ents heidung in einigen grundlegenden Fällen getroen wird. P

⋄ ⋄ ⋄ ⋄

Sei c ≥ 0 eine Konstante, für die ai = ci für jedes i gilt. Dann erhalten wir die so genannte geometris he Reihe 1

Das hängt unter anderem damit zusammen, dass Wahrs heinli hkeiten niemals

negativ sein können. 2 Oft spri ht man im Fall a) davon, dass die Summe während sie im Fall b) als

konvergent bezei hnet wird.

bestimmt divergent ist,

228

A Summen ∞ X

ci = c + c2 + c3 + · · · .

i=1

Wenn c > 1 ist, wird limi→∞ ci = ∞, und die Summe muss selbstverständli h unendli h werden. Im Fall c = 1 ist der Grenzwert ganz einfa h eine Summe von unendli h vielen Einsen, und au h diese muss unendli h werden. Weniger oensi htli h ist, was für c < 1 ges hieht. Um zu ents heiden, ob die Summe endli h oder unendli h wird, betra hten wir zunä hst die Teilsumme k X

Sk =

i=1

ci = c + c2 + · · · + c k .

Nun kommt ein ranierter Tri k: Wenn wir Sk mit 1 − c multiplizieren, erhalten wir (1 − c) Sk = (1 − c) (c + c2 + · · · + ck )

= (c − c2 ) + (c2 − c3 ) + (c3 − c4 ) + · · · + (ck − ck+1 ) = c − ck+1

(A.7)

weil alle Terme in (A.7), auÿer dem ersten und dem letzten, einander paarweise auslös hen. Wenn wir na h Sk auösen, erhalten wir Sk =

c − ck+1 . 1−c

(A.8)

Weil wir angenommen haben, dass c < 1 ist, geht der Term ck+1 im Zähler von (A.8) gegen 0, wenn k → ∞ geht. Daraus ziehen wir die S hlussfolgerung, dass si h die geometris he Reihe zu ∞ X

ci = lim Sk k→∞

i=1

=

c 1−c

(A.9)

aufsummiert. Somit konnten wir ni ht nur ents heiden, dass die Summe endli h ist, sondern wir konnten sie sogar exakt bere hnen.

P∞

i=1

⋄ ⋄ ⋄ ⋄

Ein anderes wi htiges und gut bekanntes Beispiel ist die so genannte harmonis he Reihe

∞ X 1 i=1

i

= 1+

1 2

+

1 3

+

1 4

+ ··· .

In dieser Reihe gehen die einzelnen Terme gegen 0, aber es zeigt si h, dass die Summe trotzdem unendli h wird (viellei ht ein wenig überras hend für

A Summen

229

jemanden, der das no h nie zuvor gesehen hat). Um einzusehen, dass die Summe unendli h wird, verwenden wir eine Methode, bei der die Terme in der Summe gruppiert werden, so dass ∞ X 1 i=1

i

= 1 + ( 21 + 31 ) + ( 14 + =

∞ X

1 5

+

1 6

+ 17 ) + ( 18 + · · · +

1 15 )

+ ···

bj

(A.10)

j=1

ist, wobei

   b1     b2       b3     b 4           bj       

=1 = = =

1 2 1 4 1 8

+

+

1 6

+ ···+

. . .

=

1 3 1 5

+

1 2j−1

+ 1 15

+ ···+

. . .

1 7

1 2j −1

j ≥ 1 ist also bj glei h einer Summe von 1 alle gröÿer als 2j sind. Daraus folgt die Unglei hung gilt. Für beliebige

bj >

2j−1

Termen, die

2j−1 1 = . 2j 2

Dies ergibt in Verbindung mit (A.10), dass ∞ X 1 i=1

i

=

∞ X j=1

bj = ∞

(A.11)

gilt, denn eine Summe unendli h vieler Terme, von denen jeder einzelne mindestens 1 2 ist, muss unendli h werden.

⋄ ⋄ ⋄ ⋄ Eine Variante der harmonis hen Reihe ist ∞ X 1 . 2 i i=1

Diese Summe erweist si h als endli h, und um das einzusehen, wollen wir die glei he Art der Gruppierung von Termen wie die in (A.10) anwenden, nämli h

230

A Summen

∞ X 1 1 + = 1 + ( 41 + 91 ) + ( 16 2 i i=1

=

∞ X

1 25

+

1 36

+

1 49 )

1 + ( 64 + ··· +

1 225 )

+ ···

dj

j=1

wobei dj =

1 (2j−1 )2

+

1 1 + ···+ j . 2 + 1) (2 − 1)2

(2j−1

Hier ist dj eine Summe von 2j−1 Termen, von denen jeder hö hstens glei h 1 (2j−1 )2 ist, so dass dj ≤

1 2j−1 = j−1 (2j−1 )2 2

gilt. Dies ergibt die Abs hätzung ∞ ∞ ∞ ∞ X X X X 1 1 = d ≤ = 2 · j i2 2j−1 j=1 j=1 j=1 i=1

= 2·

1 2

1−


1 j 2 1 2

= 2,

(A.12)

wobei die vorletzte Glei hheit eine Anwendung unserer Formel (A.9) für die P 1 3 geometris he Reihe ist. Somit können wir festhalten, dass ∞ 2 i=1 i endli h ist. Es ist ni ht s hwer, die obere S hranke 2 in (A.12) zu verbessern, und es ist P π2 1 darüber hinaus sogar mögli h, die exakte Summe zu bere hnen: ∞ i=1 i2 = 6 .

⋄ ⋄ ⋄ ⋄

Man kann natürli h ni ht damit re hnen, dass si h alle Summen so behandeln lassen, wie wir es oben getan haben. Für allgemeinere Summen von positiven Termen gibt es glü kli herweise eine Reihe von Standardmethoden, die oft ausrei hen, um zu ents heiden, ob eine Summe endli h oder unendli h ist. Eine sol he Methode ist es, ges hi kte Termgruppierungen zu nden, ähnli h denen in (A.10). Eine andere Methode Pbesteht im Verglei h vers hiedener Reihen. NehmenP wir an, dass die Summe ∞ i=1 ai endli h ist, und wir mö hten ents heiden, ob ∞ i=1 bi endli h oder unendli h ist. Wenn wir zeigen können, dass für ein k gilt,Pdass für alle i ≥ k die Umglei hung bi ≤ ai gilt, dann muss 4 au h die Summe ∞ i=1 bi endli h sein. 3

P

P

∞ 1 i=1 ip betra hten, und mit ∞ 1 der glei hen Methode wie für die harmonis he Reihe und für i=1 i2 ist es mögli h ∞ 1 zu zeigen, dass die Summe i=1 ip genau dann endli h ist, wenn p > 1 gilt. ∞ 4 Umgekehrt gilt, dass wenn i=1 ai unendli h ist, und bi ≥ ai für alle i ≥ k gilt, ∞ dann ist b unendli h. i=1 i Allgemeiner können wir für beliebiges

P

P

P

p

die Reihe

A Summen

231

Als Beispiel, wie man diese Verglei hsmethode anwenden kann, betra hten wir die Summe

∞ X

i ci ,

(A.13)

i=1

wobei die Konstanten Faktor

i

c

die Bedingung

c 0 für i = 1, . . . , k ist, dann gilt für jedes Ereignis A P(A) =

k X i=1

P(Bi ) P(A | Bi ) .

Weiterhin kann der Satz von Bayes abgeleitet werden. Er besagt, falls dieselben Voraussetzungen erfüllt sind, und wenn auÿerdem P(A) > 0 gilt, dann ist für i = 1, . . . , k au h P(Bi ) P(A |Bi ) P(Bi | A) = Pk . j=1 P(Bj ) P(A |Bj )

Zwei Ereignisse A und B werden

unabhängig

genannt, falls

P(A ∩ B) = P(A) P(B)

gilt.

(B.1)

B

Die Grundlagen der Wahrs heinli hkeitstheorie

235

Allgemeiner werden Ereignisse A1 , . . . , Ak unabhängig genannt, wenn für jedes l ≤ k und jede Teilmenge i1 , . . . , il ∈ {1, . . . , k}, für die i1 < i2 < · · · < il gilt, die Beziehung P(Ai1 ∩ Ai2 ∩ · · · ∩ Ail ) = P(Ai1 )P(Ai2 ) · · · P(Ail )

erfüllt ist. Eine unendli he Folge A1 , A2 , . . . von Ereignissen wird unabhängig genannt, wenn für jedes k gilt, dass die Ereignisse A1 , . . . , Ak unabhängig sind. Wenn P(B) > 0 ist, dann sind A und B genau dann unabhängig, wenn P(A | B) = P(A) gilt. Die Unabhängigkeit von A und B kann somit als Kenntnis davon aufgefasst werden, dass das Ereignis B ni ht beeinusst, wie wahrs heinli h das Ereignis A ist.

⋄ ⋄ ⋄ ⋄

Eine Zufallsgröÿe (oder Zufallsvariable) kann man si h intuitiv als eine numeris he Gröÿe vorstellen, die zufallsbedingt ist. Die mathematis he Denition lautet: Eine (reellwertige) Zufallsgröÿe X ist eine Abbildung X : Ω → R, d. h. eine Funktion, die jedem Element ω ∈ Ω einen reellen Wert zuweist. (Allgemeiner kann man über S -wertige Zufallsgröÿe spre hen, die in der Praxis häuger auftreten als reellwertige: damit sind Abbildungen X : Ω → S gemeint, bei denen S jede beliebige Menge sein kann.) Zwei wi htige Klassen reellwertiger Zufallsgröÿen sind die diskreten und die stetigen Zufallsgröÿen.4 Eine reellwertige Zufallsgröÿe X wird als diskret bezei hnet, wenn es eine endli he oder oder abzählbar unendli he Menge S ⊂ R gibt, so dass P(X ∈ S) = 1 gilt. Oft ist S = Z (d. h. die ganzen Zahlen) oder eine Teilmenge von Z. Wenn stattdessen eine Funktion f : R → R mit der Eigens haft existiert, dass für alle a, b ∈ R mit a < b gilt, dass P(a ≤ X ≤ b) =

ist, so wird X stetig mit tion f gilt immer

Z

b

f (x) dx

a

(B.2)

Di htefunktion5 f genannt. Für eine Di htefunkZ

∞

f (x) dx = 1 .

(B.3)

−∞

Auÿerdem kann f immer so gewählt werden, dass die Bedingung f (x) ≥ 0 für jedes x ∈ R erfüllt ist. Die Formeln (B.2) und (B.3) können so gedeutet werden, dass die Flä he zwis hen der Kurve f und der x-A hse die Wahrs heinli hkeitsmasse (mit der totalen Masse 1) repräsentiert. Dann entspri ht die Wahrs heinli hkeit P(a ≤ X ≤ b) genau der Masse oder Flä he, die von 4

5

Es gibt au h reellwertige Zufallsgröÿen, die weder diskret no h stetig sind. Die Di htefunktion wird im Englis hen man hmal au h

nannt.

frequen y fun tion

ge-

236

B Die Grundlagen der Wahrs heinli hkeitstheorie

der Kurve

f

x-A hse sowie den Linien x = a und x = b einges hlossen

und der

wird; siehe Abb. B.1.

f (x)

1

PSfrag repla ements

a

Abb. B.1. Wenn

X

x

b

eine stetige Zufallsgröÿe mit der Di htefunktion

die Wahrs heinli hkeit

P(a ≤ X ≤ b)

Für eine Zufallsgröÿe

X

soll ihr

f

ist, dann ist

glei h der Flä he des s hwarzen Gebietes.

Erwartungswert E[X] intuitiv als Wert

aufgefasst werden, den man im Dur hs hnitt von

X

erwartet. Für eine dis-

krete Zufallsgröÿe kann der Erwartungswert als

E[X] =

X

x P(X = x)

(B.4)

x

deniert

werden,

P(X = x) > 0

wobei

über

alle

Werte

x

summiert

wird,

bei

denen

gilt. Die entspre hende Denition für eine stetige Zufallsgröÿe

mit der Di htefunktion

f

ist

E[X] =

Z

∞

x f (x) dx .

−∞

Man kann sagen, dass der Erwartungswert der dur hs hnittli he Wert der Zufallsgröÿe ist, er sagt also ni hts über ihre Streuung aus. Ein übli hes Maÿ für die Streuung ist stattdessen die mit Erwartungswert

µ

Varianz Var[X], die für eine Zufallsgröÿe X

als

Var[X] = E[(X − µ)2 ] deniert ist, d. h. als mittlerer quadratis her Abstand vom Erwartungswert. Oft spri ht man au h von der

Standardabwei hung einer Zufallsgröÿe,

die ganz einfa h die Quadratwurzel der Varianz ist. Für Erwartungswerte und Varianzen gelten eine Reihe von Re henregeln. Wenn gilt

X 1 , . . . , Xk

Zufallsgröÿen sind und

c

eine reellwertige Konstante ist, so

B Die Grundlagen der Wahrs heinli hkeitstheorie

und

237

E[X1 + · · · + Xk ] = E[X1 ] + · · · + E[Xk ]

(B.5)

E[c Xi ] = c E[Xi ] .

(B.6)

Für die Varianz gilt analog zu (B.6) Var[c Xi ] = c2 Var[Xi ] ,

(B.7)

wobei wir bea hten müssen, dass die Konstante c quadriert werden muss, wenn sie aus der Varianz heraus gezogen wird. Um eine Entspre hung zu (B.5) für Varianzen zu erhalten, müssen wir annehmen, dass die Variablen X1 , . . . , Xk unabhängig sind (siehe die Diskussion vor (B.12) weiter unten). In diesem Fall (aber sonst ni ht immer6 ) gilt, dass Var[X1 + · · · + Xk ] = Var[X1 ] + · · · + Var[Xk ] .

Eine reellwertige Zufallsgröÿe X wird (ni ht überras hend) positiv genannt, wenn P(X ≥ 0) = 1. Eine oft verwendete Erweiterung positiver Zufallsgröÿen ist, den Wert X = ∞ zuzulassen.7 Wenn P(X = ∞) > 0 ist, gilt E[X] = ∞ automatis h. Es ist jedo h au h mögli h, dass man einen unendli hen Erwartungswert erhält, obwohl P(X = ∞) > 0 ni ht gilt.8 Für eine Zufallsgröÿe X und ein Ereignis B mit P(B > 0) kann man au h den bedingten Erwartungswert von X unter der Bedingung B denieren, der mit E[X | B] bezei hnet wird. Wir begnügen uns hier mit der Denition für den Fall, dass X diskret ist: E[X | B] =

X x

x P(X = x | B)

wobei (wie in (B.4)) über alle Werte x summiert wird, für die P(X = x) > 0 gilt.

⋄ ⋄ ⋄ ⋄ 6 Ein Gegenbeispiel: Wenn X eine Zufallsgröÿe mit Var[X] > 0 ist, und es gelte Y = X , so erhalten wir mit Hilfe von (B.7), dass Var[X + Y ] = Var[2 X] = 4 Var[X] 6= 2 Var[X] = Var[X] + Var[Y ] gilt. 7 Ein natürli hes Beispiel wird im Abs hnitt 8.5 angegeben. Dort wird T als erwartete Zeit deniert, bis der Zufallswanderer zum ersten Mal zu seiner Ursprungsposition zurü kndet; und wenn er nie zurü k kommt, wird der Erwartungswert unendli h: T = ∞. 8 Siehe wiederum Abs hnitt 8.5 für ein Beispiel; ein weiteres wird im Problem C.3 genannt.

238

B Die Grundlagen der Wahrs heinli hkeitstheorie

Einige der wi htigsten Beispiele für Di htefunktionen stetiger Zufallsgröÿen sind die folgenden: •

Normalverteilung. Die berühmteste aller Di htefunktionen ist die so genannte Gausss he Glo kenkurve, die dur h die Glei hung f (x) =

√1 2π

e−x

2

(B.8)

/2

gegeben ist. Allgemeiner kann man für µ ∈ R und σ > 0 f (x) =

√ 1 2πσ2

e

−(x−µ)2 2σ2

,

(B.9)

denieren, wobei wir also für den Spezialfall µ = 0 und σ = 1 wieder die Glei hung (B.8) erhalten, die als standardisierte Normalverteilung bezei hnet wird. Allgemein ist (B.9) eine Vers hiebung und Skalierung von (B.8). Eine stetige Zufallsgröÿe mit Di htefunktion wie in (B.9) wird normalverteilt mit Erwartungswert µ und Standardabwei hung σ genannt.9 Die groÿe Bedeutung der Normalverteilung in der Wahrs heinli hkeitstheorie kommt vor allem daher, dass sie im so genannten zentralen Grenzwertsatz auftritt; siehe (B.13). • Exponentialverteilung. Für λ > 0 können wir die Di htefunktion f (x) =



λ e−λx für x ≥ 0 0 sonst

(B.10)

denieren. Eine stetige Zufallsgröÿe mit dieser Di hte wird exponentialverteilt mit Erwartungswert λ1 genannt. • Glei hverteilung auf einem Intervall. Für a, b ∈ R mit a < b wird die Glei hverteilung auf dem Intervall [a, b] dur h die Di htefunktion f (x) =



1 b−a

0

für x ∈ [a, b] sonst

(B.11)

deniert. Dies kann so verstanden werden, dass die Zufallsgröÿe X jeden beliebigen Wert im Intervall [a, b] mit glei her Wahrs heinli hkeit annehmen kann. Ein in der Praxis wi htiges Beispiel ist der Fall [a, b] = [0, 1], weil die Zufallszahlgeneratoren, die den meisten Computersimulationen zu Grunde liegen, diese Verteilung na hahmen. Der Begri Unabhängigkeit ist ni ht nur auf Ereignisse, sondern au h auf Zufallsgröÿen anwendbar. Ein Ereignis A wird dur h die Zufallsgröÿe X deniert genannt, wenn man allein am Wert von X ablesen kann, ob A eingetreten ist oder ni ht. Zwei Zufallsgröÿen X und Y werden unabhängig 9

Erwartungswert und Varianz können als µ beziehungsweise σ 2 bere hnet werden. Eine entspre hende Anmerkung kann au h für die nä hste Di htefunktion in unserer Liste getroen werden, die Exponentialverteilung.

B Die Grundlagen der Wahrs heinli hkeitstheorie

239

genannt, wenn für alle Ereignisse A und B , die dur h X bzw. Y deniert wurden, gilt, dass A und B unabhängig sind. Allgemeiner werden die Zufallsgröÿen X1 , . . . , Xk unabhängig genannt, wenn die Ereignisse A1 , . . . , Ak für jede Wahl der A1 , . . . , Ak unabhängig sind, wobei jedes Ai dur h Xi deniert ist. Unendli h viele Zufallsgröÿen X1 , X2 , . . . werden unabhängig genannt, wenn für jedes k die Zufallsgröÿen X1 , . . . , Xk unabhängig sind. Wenn X und Y diskrete Zufallsgröÿen sind, ist Unabhängigkeit von X und Y äquivalent dazu, dass P(X = x, Y = y) = P(X = x) P(Y = y)

(B.12)

für alle x und y gilt. Für allgemeinere Zufallsgröÿen gilt diese Charakterisierung jedo h ni ht.10 Dagegen gilt allgemein, dass X und Y genau dann unabhängig sind, wenn P(X ≤ x, Y ≤ y) = P(X ≤ x) P(Y ≤ y)

für alle x und y gilt. Die Zufallsgröÿen X1 , X2 , . . . werden genannt, wenn sie alle die glei he Verteilung haben, d. h. wenn für alle positiven ganzen Zahlen i und j und alle x ∈ R gilt, dass

identis h verteilt

P(Xi ≤ x) = P(Xj ≤ x)

ist. Die beiden bekanntesten klassis hen Ergebnisse der Wahrs heinli hkeitstheorie, das und der , behandeln die Situation, bei der uns eine Folge von unabhängigen und identis h verteilten Zufallsgröÿen X1 , X2 , . . . vorliegt. Nehmen wir an, dass ihr (notwendigerweise gemeinsamer) Erwartungswert µ beträgt, und dass ihre (ebenso gemeinsame) Standardabwei hung σ ist. Mit Mn wird der Mittelwert der ersten n Xi -Variablen bezei hnet:

Gesetz der groÿen Zahlen

Mn =

1 n

n X

zentrale Grenzwertsatz

Xi .

i=1

Das Gesetz der groÿen Zahlen11 besagt (in einer seiner Versionen), dass Mn mit Wahrs heinli hkeit 1 gegen den Erwartungswert µ strebt: lim Mn = µ .

n→∞

10

Ein Gegenbeispiel: Sei

X glei hverteilt auf dem Intervall [0, 1], und sei Y = X . P(X = x, Y = y) = 0 = P(X = x)P(Y = y). Dagegen sind X und Y ni ht unabhängig, denn wenn A das Ereignis ist, dass X ≤ 21 und B das Ereignis ist, dass Y ≤ 21 , so werden A und B abhängig, weil P(A ∩ B) = 21 6= 14 = P(A)P(B).

Dann gilt (B.12) trivialerweise, denn

11

Dies haben wir ausführli h im Kapitel 4 diskutiert.

240

B Die Grundlagen der Wahrs heinli hkeitstheorie

Der zentrale Grenzwertsatz besagt, dass die kleinen S hwankungen um

Mn

(au h für groÿe

n)

1 Gröÿenordnung √n sind, d. h. dass für jedes

lim P

n→∞

µ,

die

aufweist, approximativ normalverteilt und von der

a∈R

gilt, dass

√  Z a n(Mn − µ) f (x) dx ≤a = σ −∞

ist, wobei die Di htefunktion

f (x) dur h (B.8),

Normalverteilung, gegeben ist.

(B.13)

d. h. dur h die standardisierte

Anhang C Übungen und Projekte

Die beste Mögli hkeit, si h ein Gebiet der Mathematik wirkli h anzueignen, besteht darin, selbst zu re hnen und Probleme zu lösen. Deshalb habe i h in diesem Anhang für die ambitionierten Leserinnen und Leser eine Anzahl von Übungsaufgaben mit dem Ziel zusammen gestellt, das Verständnis für die vers hiedenen Teile der Wahrs heinli hkeitstheorie zu erhöhen, die in den Kapiteln 28 behandelt werden. Diese Übungen bzw. Problemstellungen sind teilweise so umfangrei h, dass sie in einzelne Projektaufgaben unterteilt werden könnten. Um einen ungefähren Hinweis zum Umfang und S hwierigkeitsgrad der einzelnen Aufgabe zu geben, verwende i h die Symbole (*), (**) und (***). Dabei markiert (*) eine relativ einfa he Übungsaufgabe, während (***) auf ein ganzes Projekt hinweist; (**) kennzei hnet die Zwis henstufe. Zudem wird [in e kigen Klammern℄ hinter jeder Aufgabe das Kapitel angegeben, dem die Aufgabe zuzuordnen ist.

⋄ ⋄ ⋄ ⋄

Bevor wir uns den Aufgaben zuwenden, mö hte i h einige Worte zu Computersimulationen von Zufallsgröÿen zu sagen, weil sie in nahezu der Hälfte der Übungen ein wi htiger Bestandteil sind. Neben einem gewissen Maÿ an Programmierkenntnissen setzen die Aufgaben Kenntnisse zur Simulation von Zufallsgröÿen voraus. Im Zusammenhang mit dem Beweis von Lemma 5.8 im Abs hnitt 5.3 wurde bereits anhand eines Beispiel verdeutli ht, wie man eine Zufallsgröÿe mit den mögli hen Werten 0 und 1 simuliert. Wir werden daran anknüpfen und die Vorgehensweise verallgemeinern, um Zufallsgröÿen mit beliebiger endli her Anzahl mögli her Werte zu simulieren. Die meisten Programmierspra hen sind mit einem so genannten (Pseudo-) Zufallszahlengenerator (oder kurz: Zufallsgenerator) ausgestattet, der eine Zahl U zwis hen 0 und 1 erzeugt. Zufallsgeneratoren sind so gestaltet, dass U so aussieht, als läge eine auf dem Intervall [0, 1] glei hverteilte Zufallsgröÿe vor, die somit die Di htefunktion

242

C Übungen und Projekte

f (x) =

1 für x ∈ [0, 1] 0 sonst



besitzt, die einen Spezialfall der Di htefunktion (B.11) im Anhang B darstellt. Eine sol he Zufallsgröÿe hat die Eigens haft, dass sie für ein beliebiges Teilintervall von [0, 1] der Länge a mit Wahrs heinli hkeit a in diesem Teilintervall liegt. Die Simulationsaufgabe, die im Ans hluss an den Beweis des Lemmas 5.8 behandelt wurde, simuliert eine Zufallsgröÿe X , die die Werte 0 und 1 mit den Wahrs heinli hkeiten annimmt, die dur h X=



1 mit Wahrs heinli hkeit p 0 mit Wahrs heinli hkeit 1 − p

(C.1)

gegeben sind. Diese Aufgabe wurde dadur h gelöst, dass eine Zufallszahl U erzeugt und X wie folgt deniert wurde: X=



1 für U ≤ p 0 für U > p .

(C.2)

X besitzt mit dieser Denition die gewüns hte Wahrs heinli hkeit (C.1), weil U mit Wahrs heinli hkeit p in das Intervall [0, p] und mit Wahrs heinli hkeit 1 − p in das Intervall (p, 1] fällt.

Darüber hinaus sind Zufallsgeneratoren so konstruiert, dass sie bei mehrfa hem Aufruf eine Folge unabhängiger Zufallsgröÿen U1 , U2 , . . . simulieren, deren Elemente jeweils auf [0, 1] glei hverteilt sind. Wenn wir also eine Folge unabhängiger Zufallsgröÿen X1 , X2 , . . . generieren wollen, so dass jede den Wert 1 mit Wahrs heinli hkeit p und 0 mit Wahrs heinli hkeit 1 − p annimmt, können wir für jedes i ganz einfa h Xi =



1 für Ui ≤ p 0 für Ui > p

(C.3)

setzen. Nehmen wir jetzt stattdessen an, dass wir eine Folge unabhängiger, identis h verteilter Zufallsgröÿen Y1 , Y2 , . . . simulieren wollen, die die Werte einer endli hen Menge {a1 , . . . , ak } mit den Wahrs heinli hkeiten Yi =

 a1 mit Wahrs heinli hkeit p1     a2 mit Wahrs heinli hkeit p2

.

..     ak mit Wahrs heinli hkeit pk

(C.4)

annehmen. Dabei sind p1 , . . . pk positive Zahlen, die in ihrer Summe 1 ergeben. Um die Idee von (C.2) und (C.3) verwenden zu können, müssen wir disjunkte Teilintervalle I1 , . . . , Ik des Intervalls [0, 1] mit den zugehörigen Längen p1 , . . . , pk (entspre hend der zu a1 , . . . , ak gehörigen Wahrs heinli hkeiten) nden. Diese disjunkten Teilintervalle können auf vers hiedene Art und Weise

C Übungen und Projekte

243

erzeugt werden, wobei die natürli hste Vorgehensweise wäre, sie von re hts na h links na heinander in

   a1    a2    a 3 Yi =   .  .  .     ak

gilt und die Variablen

Yi

[0, 1] für für für

für

anzuordnen, so dass

0 ≤ Ui ≤ p1 p1 < Ui ≤ p1 + p2 p1 + p2 < Ui ≤ p1 + p2 + p3 p1 + p2 + · · · + pk−1 < Ui ≤ 1

somit die ri htige Verteilung besitzen, d. h. die Glei-

hung (C.4) erfüllen.

⋄ ⋄ ⋄ ⋄ Kommen wir jetzt zu den Übungsaufgaben und fügen wir mit den ersten Aufgaben den Paradoxa aus Kapitel 2 drei weitere hinzu.

Problem C.1 (Das Geburtstagsproblem1).

[Kapitel 2℄

(*)

Wie viele S hüler müssen si h in einer S hulklasse benden, um zu garantieren, dass mindestens zwei von ihnen am selben Tag Geburtstag haben? Die Antwort ist oenbar 367, denn mit 366 S hülern ist es mögli h, dass ihre Geburtstage über alle Tage des Jahres verteilt sind, aber wenn der 367. S hüler hinzukommt, so muss es an irgendeinem Tag eine Dublette geben. Eine sehr viel interessantere Frage ist, wie viele S hüler man benötigt, um mit einer Wahrs heinli hkeit von mindestens 0,5 zwei S hüler zu nden, die am selben Tag Geburtstag haben. Man könnte zunä hst auf 183 tippen (einen S hüler für jeden Tag des halben Jahres). Es wird jedo h oft behauptet, die ri htige Antwort sei 23. Tree geeignete Modellannahmen und ents heide

2

dann, ob diese Antwort ri htig sein kann.

1 Dies ist eine sehr beliebte Übungsaufgabe der Wahrs heinli hkeitstheorie; siehe z. B. Gut (2002) für eine ausführli he Abhandlung. 2 Die Antwort ist ja. Zu den geeigneten Modellannahmen gehört (a) anzunehmen, dass si h keine Zwillinge in der Klasse benden, (b) auszus hlieÿen, dass es jemanden gibt, der am 29. Februar geboren ist, und ( ) anzunehmen, dass jeder der ausstehenden 365 Tage ein glei h wahrs heinli her Geburtstag ist. Man kann si herli h gegen all diese Annahmen Einwände erheben, aber i h behaupte, dass sie hinrei hend gute Approximationen der Wirkli hkeit sind, um sinnvolle Werte für die Wahrs heinli hkeit zu erhalten, dass eine S hulklasse mit einer gegebenen Gröÿe mindestens zwei S hüler mit glei hem Geburtstag besitzt.

244

C Übungen und Projekte

Problem C.2 (Eine bemerkenswerte Anordnung von Würfeln3 ).

[Kapitel 2℄ (*) Bei einem gewöhnli hen se hsseitigen Würfel kommt jede Seiten mit Wahrs heinli hkeit 16 beim Würfeln oben zu liegen. Wir können uns eine Variante des gewöhnli hen Würfels denken, bei der die se hs Seiten zwar weiterhin die glei he Wahrs heinli hkeit besitzen, die Seiten jedo h mit anderen Zahlen als der gewöhnli hen Zahlenmenge (1, 2, 3, 4, 5, 6) bes hriftet sind. Stellen wir uns jetzt ein Spiel vor, bei dem es darum geht, einen so hohen Wert wie mögli h zu errei hen. Dann sind gewisse Zahlenkombinationen zur Bes hriftung des Würfels besser geeignet als andere. Betra hten wir die drei Würfel A, B und C mit folgenden Bes hriftungen:    A sei mit den Zahlen 3, 3, 3, 3, 3, 6 bes hriftet, B sei mit den Zahlen 2, 2, 2, 5, 5, 5 bes hriftet,   C sei mit den Zahlen 1, 4, 4, 4, 4, 4 bes hriftet.

Diese Würfel können nun paarweise miteinander vergli hen werden, um festzustellen, mit wel hem von ihnen beim gemeinsamen Werfen beider Würfel die gröÿte Chan e hat, das höhere Ergebnis zu erhalten. Zeige, dass (a) P(A besiegt B) > 21 , (b) P(B besiegt C) > 21 , ( ) P(C besiegt A) > 12 . Überras hend, ni ht wahr?

⊓ ⊔

[Kapitel 2℄ (*) Emil mö hte seinen ersten Gebrau htwagen kaufen. Er weiÿ jedo h ni ht viel über den Gebrau htwagenmarkt und hat si h deshalb für die folgende Strategie ents hieden. Das erste Auto sieht er si h nur an, fährt es Probe, kauft es jedo h ni ht. Dana h prüft er andere verfügbare Autos auf die glei he Art und Weise, bis er eines ndet, das besser als das zuerst getestete Fahrzeug ist. Diesen Wagen kauft er dann. Wie viele Autos muss Emil im Dur hs hnitt Probe fahren, bevor er das Fahrzeug ndet, das er zum S hluss kauft? Mit anderen Worten: Es soll der Erwartungswert E[K] ermittelt werden, wobei K die Anzahl der Autos ist, die Emil Probe fährt, bevor er si h zum Kauf des zuletzt getesteten Fahrzeugs ents hlieÿt. Um dieses Problem zu lösen, müssen wir ein Modell ansetzen. Wir denken uns die Qualität der Gebrau htwagen als Zufallsgröÿen, X1 , X2 , . . ., wobei Problem C.3 (Das Dilemma des Autokäufers).

3

Der hervorragende amerikanis he Statistiker Bradley Efron wird gewöhnli h als

Erster genannt, der Beispiele von Würfeln mit dieser bemerkenswerten Eigens haft angegeben hat. Siehe z. B. Gardner (1970).

C Übungen und Projekte

245

Xi die Qualität des i. Wagens bes hreibt. Es ist natürli h, si h die Variablen X1 , X2 , . . . als unabhängig und identis h verteilt vorzustellen. Auÿerdem nehmen wir an, dass ihre gemeinsame Verteilung stetig ist, um die Mögli hkeit auszus hlieÿen, dass es ein totes Rennen zwis hen zwei Autos gibt (d. h. dass sie qualitativ genau glei hwertig sind). (a) Zeige für beliebige ganze Zahlen (b) Wende (a) an, um

E[K] = ∞

k,

dass

zu zeigen.

Problem C.4 (Falken und Tauben).

P(K = k) = 5

1 4 k(k−1) gilt.

⊓ ⊔

[Abs hnitt 3.3℄

(***)

Ähnli h dem WGD (dem wiederholten Gefangenen-Dilemma), das in Abs hnitt 3.3 ausführli h behandelt wurde, existiert eine Reihe anderer Spiele, die aus evolutionärer Perspektive interessant sind. Eines ist das folgende: Zwei Spieler A und B sollen si h ein Essen der Gröÿe 1 teilen. Beide wählen (glei hzeitig und ohne Wissen der Wahl des Anderen) eine Zahl zwis hen 0 und 1, mit dem sie ihren Anteil am Essen beanspru hen. Wenn A die Zahl

a

und B die Zahl b wählt, so beruht die tatsä hli he Aufteilung darauf, ob

die Summe

a+b

die Zahl 1 übersteigt oder ni ht. Ist

a + b ≤ 1, so ist die a während B

Aufteilung in Ordnung, und A erhält den gewüns hten Anteil den Anteil

b

erhält. Gilt hingegen

a + b > 1,

so entsteht ein Konikt, und

beide Spieler gehen leer aus (der Gewinn ist 0). Ein Nash-Glei hgwi ht dieses Spieles liegt vor, wenn beide Spieler auf gea = 21 und b = 12 . In dieser Situation hat 1 keiner der Spieler etwas davon, von 2 abzuwei hen, denn ein geringerer Anspru h führt dazu, dass man weniger Essen bekommt, während ein höherer nau die Hälfte des Essen setzen:

dazu führt, dass man überhaupt kein Essen erhält. Es gibt jedo h au h andere Nash-Glei hgewi hte: z. B. erhält man ein a = 43 und B für b = 41 ents heidet. Denken wir uns eine Population einer groÿen Anzahl n von Spielern, die

Nash-Glei hgewi ht, wenn si h A für

si h alle paarweise zu diesem Spiel treen. Weiterhin sei jeder Spieler entweder 3 ein Falke, womit wir meinen, dass er immer auf 4 setzt, auf wen er au h trit, 1 oder eine Taube, die immer auf setzt. 4 (a) Weise na h, dass in einer sol hen Population die Falken den Tauben ge1 genüber im Vorteil sind, wenn der Anteil der Tauben 3 übersteigt, es si h sonst jedo h lohnt, als Taube zu agieren. (b) Simuliere eine Population, bei der jede Generation aus

n

sol hen Spielern

besteht, die si h innerhalb der Generation treen. Die nä hste Generation

4

Hinweis: Das Ereignis, dass K = k ist, ist das glei he, wie wenn unter den ersten k Autos gilt, dass (i) Auto Nr. k das beste, und (ii) dass Auto Nr. 1 das zweitbeste Auto ist. 5 Hinweis: Nimm die Formeln (B.4) aus Anhang B und (A.11) aus Anhang A zu Hilfe.

246

C Übungen und Projekte besteht aus den Kindern dieser Spieler. Die Spieler, die eine hohe Gesamtpunktzahl im Turnier erhalten, bekommen im Verglei h zu denen mit geringerer Gesamtpunktzahl etwas mehr Na hkommen. Alle Na hkommen sind vom glei hen Typ (Falken oder Tauben) wie ihre Eltern. Wenn die programmte hnis he Umsetzung dieser Simulation gelungen ist, sollte man feststellen können, wie si h die Population in Ri htung des Glei hgewi htes stabilisiert, das man aus Aufgabe (a) erraten kann, nämli h ein Drittel Tauben und zwei Drittel Falken.

( ) Simuliere eine Population, die si h entspre hend des glei hen Regelwerkes wie dem in (b) entwi kelt, die jedo h mit einem gröÿeren Artenrei htum startet. Sie enthält ni ht nur Falken und Tauben, sondern beispielsweise 9 1 au h Superfalken (die 10 spielen), Meisen (die 10 spielen) und gere htere 1 Vögel vers hiedener Arten (die z. B. 2 spielen). Wohin strebt die Zusammensetzung einer sol hen komplexeren Population mit der Zeit? Probiere vers hiedene Varianten aus, um zu ermitteln, in wel her Art und Weise die Zusammensetzung der Population zu Beginn den zeitli hen Verlauf der Population beeinusst. Die Simulation kann mögli herweise no h interessanter werden, wenn man zusätzli h von einer Generation zur nä hsten eine gewisse Mutationsfrequenz einführt: ein kleiner Teil der Na hkommen soll zu einem anderen 

⊓ ⊔

viellei ht zufällig gewählten  Typ als dem ihrer Eltern werden.

Problem C.5 (Ein warnendes Beispiel, das Gesetz der groÿen Zahlen betreend). [Kapitel 4℄ (**) Es sei eine Zufallsgröÿe

X

gegeben, deren Erwartungswert

µ wir weder kennen

no h bere hnen können. Trotzdem sei es unser Ziel, auf irgend eine andere Art mögli hst zuverlässige Informationen über den Erwartungswert dieser Zufallsgröÿe zu erhalten. Nehmen wir auÿerdem an, dass wir unendli h viele unabhängige Zufallsgröÿen

X1 , X2 , . . .

generieren können, die alle die glei he Verteilung wie

damit den glei hen Erwartungswert

µ)

X

(und

besitzen. Vom Gesetz der groÿen Zah-

len wissen wir, dass die sukzessiv bere hneten Mittelwerte M1 , M2 , . . . na h Pn µ streben (wobei Mn = n1 i=1 Xi ist). Deshalb ers heint die folgende Prozedur zur S hätzung von µ naheliegend:

und na h gegen

1. Für ein geeignet groÿes 2. Bilde

Mn =

Indem wir und

µ

n

1 n

Pn

i=1

Xi ,

n

werden die Variablen

und s hätze

µ

X 1 , . . . , Xn

erzeugt.

dur h den Mittelwert

Mn .

hinrei hend groÿ wählen, können wir den Abstand zwis hen

Mn

beliebig klein werden lassen, so dass die Wahrs heinli hkeit dafür so

nahe bei 1 liegt, wie wir es wüns hen (das folgt aus Satz 4.2). Was bedeutet jedo h

n

hinrei hend groÿ ? Eine Na hteil der oben genannten Prozedur ist,

dass es keine generelle Empfehlung dafür gibt, wie groÿ sollte.

n

gewählt werden

C Übungen und Projekte

247

Ein Versu h, zum ri htigen Ergebnis zu gelangen, besteht darin, die Zufallsgröÿen X1 , X2 , . . . sukzessive zu erzeugen, um ans hlieÿend die Mittelwerte M1 , M2 , . . . zu bere hnen und sie graphis h darzustellen. Man setzt das Verfahren solange fort, bis si h der Mittelwert stabilisiert hat, und beendet die S hätzung von µ mit dem letzten beoba hteten Mittelwert Mn . Für gewisse Verteilungen kann dieses Verfahren jedo h zu irreführenden Ergebnissen führen. Nehmen wir z. B. an, die gemeinsame Verteilung der Zufallsgröÿen sei die folgende: −1 0 X=  1    1 000 000     

mit mit mit mit

Wahrs heinli hkeit Wahrs heinli hkeit Wahrs heinli hkeit Wahrs heinli hkeit

0,333 33 0,333 33 0,333 33 0,000 01 .

Dann ist der Erwartungswert µ = (−1) · 0,33333 + 0 · 0,33333 + 1 · 0,33333 + 1000000 · 0,00001 = 10

Was ges hieht, wenn wir die vorges hlagene Methode der S hätzung von µ anwenden, indem wir die bere hneten Mittelwerte graphis h darstellen und prüfen, ob der Mittelwert gegen einen bestimmten Wert strebt? Demonstriere mit Hilfe von Simulationen, dass dies (typis herweise) zu einer S hätzung von µ führt, die vom tatsä hli hen Wert weit entfernt ist. ⊓ ⊔ Problem C.6 (Konvergenzges hwindigkeit beim Gesetz der groÿen Zahlen). [Abs hnitt 4.3℄ (***)

Wiederhole das Beispiel des Münzwurfs, bei dem X1 , X2 , . . . unabhängig und glei hverteilt sind, und die einzelnen Xi jeweils die Werte 0 oder 1 mit 1 der Wahrs heinli hkeit 2 annehmen. Deniere den Mittelwert wie übli h als 1 Pn Mn = n i=1 Xi . Führe mehrere Simulationen analog der in Abb. 4.1 dur h (gerne mit n gröÿer als 100) um zu sehen, wie Mn dem Grenzwert 12 zustrebt. Das s hwa he Gesetz der groÿen Zahlen (Satz 4.2) besagt, dass für beliebige ε > 0   lim P Mn − n→∞

1 ≥ε 2

= 0

gilt. Wie s hnell strebt diese Wahrs heinli hkeit gegen 0? Halte z. B. ε = 0,05 fest, und s hätze   P Mn −

1 ≥ 0,05 2

(C.5)

indem Du für Mn sehr viele Simulationen entspre hend der obigen Methode dur hführst, und mit pˆ(n) den Anteil der Simulationen bezei hnest, bei denen Mn die Bedingung in (C.5) ni ht erfüllt. Ein Graph über das Verhalten von

248

C Übungen und Projekte

pˆ(n) als Funktion von n ma ht deutli h, wie s hnell die Wahrs heinli hkeit in (C.5) für n → ∞ gegen 0 strebt. Verglei he das Ergebnis mit der oberen Grenze (4.22) im Beweis von Satz 4.2, die im Fall ε = 0,05  P Mn −

 1 100 ≥ 0,05 ≤ 2 n

ergibt. Was kannst Du für die Grenze (4.22) s hlussfolgern? Sie ist oenbar hinrei hend gut, um zu zeigen, dass die Wahrs heinli hkeit in (C.5) gegen Null strebt. Wie gut ist sie jedo h, um zu ents heiden, wie s hnell die Wahrs heinli hkeit gegen Null geht?6 ⊓ ⊔ Problem C.7 (Perkolation auf einer unendli hen Leiter).

[Abs hnitt 5.2℄ (**)

Abb. C.1. Ein Graph

G(2) ,

den man die unendli he Leiter nennen könnte. Im

Problem C.7 soll gezeigt werden, dass die Kantenperkolation auf diesem Graphen den kritis hen Wert

pc = 1

besitzt.

Der Graph G(2) in Abb. C.1 kann als eine Art Zwis henstufe zwis hen dem Z1 Gitter und dem Z2 -Gitter angesehen werden.7 Beweise, dass er jedo h eher Z1 als Z2 glei ht, was seine perkolationstheoretis hen Eigens haften angeht, denn der kritis he Wert pc einer Kantenperkolation auf G(2) nimmt den Wert pc = 1 an. S hlage auÿerdem eine geeignete Verallgemeinerung dieser Ergebnisse für ⊓ ⊔ eine gröÿere Klasse von Graphen vor. Problem C.8 (Knotenperkolation auf dem Z2 -Gitter).

(***)

[Abs hnitt 5.2℄

Statt der Kantenperkolation auf dem Z2 -Gitter kann man au h die Knotenperkolation auf diesem Gitter untersu hen: Hierbei zieht man für jeden Knoten x ∈ Z2 ein Los, ob x (mit Wahrs heinli hkeit p) oen ist oder (mit Wahrs heinli hkeit 1 − p) ges hlossen. Dieses Verfahren wird für jeden Knoten unabhängig dur hgeführt. Wird ein Knoten x verworfen, werden au h alle Kanten verworfen, die x als Endpunkt hatten. 6

Es gibt Methoden, mit denen man bessere S hätzungen für die Konvergenzge-

s hwindigkeit erhalten kann, als die, die dur h (4.22) gegeben ist; siehe Fuÿnote 14 auf Seite 80.

7

Mit der Terminologie sogenannter Zwei-Etagen-Graphen in Abs hnitt 7.4 kann G(2) au h als Zwei-Etagen-Graph des Z1 -Gitters aufgefasst werden.

der Graph

C Übungen und Projekte

249

Ans hlieÿend werden die zusammenhängenden Komponenten des verbleiZ2 -Gitter

benden Teilgraphen untersu ht. Die Knotenperkolation auf dem führt wieder auf einen kritis hen Wert

pc,nod .

Das heiÿt, dass die Existenz

einer unendli hen zusammenhängenden Komponente davon abhängt, ob terhalb oder oberhalb des kritis hen Wertes

pc,nod

p un-

liegt. Im Unters hied zur

Kantenperkolation, bei dem man ja weiÿ (Satz 5.1), dass der kritis he Wert 1 2 ist, ist der exakte Wert von pc,nod ni ht bekannt. 8 S hätze pc,nod mit Hilfe von Simulationen ! ⊓ ⊔

glei h

Problem C.9 (Ein anderer Baum für eine Perkolation). [Abs hnitt 5.4℄

(***)

Der folgende Baum, der als eine Art Kompromiss zwis hen dem binären Baum

T2

und dem trinären Baum

T3

angesehen werden. Beginne mit der

Wurzel, sie habe 3 Kinder. Diese Kinder sollen je 2 Kinder haben. Die Enkel sollen je 3 Kinder haben, diese Urenkel wieder je 2 Kinder, und so weiter, mit je drei bzw. je zwei Kindern in jeder zweiten Generation. (a) Beweise dur h Modikation der Methoden des Beweises von Satz 5.9, dass 1 die Perkolation auf diesem Baum auf den kritis hen Wert pc = √ führt. 6 (b) Entstehen unendli he zusammenhängende Komponenten, wenn den kritis hen Wert

pc

p

exakt

⊓ ⊔

annimmt?

Problem C.10 (Ein Gegenbeispiel, die Anzahl unendli her zusammenhängender Komponenten betreend). [Abs hnitt 5.5℄ (**) Im Ans hluss an (5.32) wurde für gewisse Graphen behauptet, dass die Perkolation mit gegebener Kantenwahrs heinli hkeit stimmte Anzahl

Np

p

auf eine im Vorfeld be-

unendli her zusammenhängender Komponenten führen

muss, d. h. dass kein Raum für eine zufällige Variation dieser Anzahl bleibt. Dies gilt für alle sogenannten

homogenen Graphen, die si h grob gespro hen

dadur h auszei hnen, dass der Graph von jedem Punkt aus ähnli h aussieht. Hingegen ist die Behauptung ni ht für alle Graphen ri htig, und wir wollen uns im Folgenden mit einem Gegenbeispiel bes häftigen. Konstruiere einen Graphen dur h eine

einzige

G,

indem zwei separate Kopien des

Z2 -Gitters

Extrakante, zwis hen dem Nullpunkt des einen Gitters und

dem des anderen, verbunden werden. Betra hte die Perkolation auf

8

Eine S hwierigkeit dabei ist, dass man in einer Simulation nie mit

G mit

der

Bestimmtheit

feststellen kann, ob eine unendli he Komponente entsteht, weil nur ein endli her Teil des Gitters simuliert werden kann. Deshalb muss man eine Art endli he Approximation des Ereignisses, ob eine unendli he zusammenhängende Komponente entsteht, einführen. Für hinrei hend groÿe quadratis he Teilmengen kann man (zumindest für den Zwe k der S hätzung von

pc,nod )

das Ereignis verwenden, dass eine

zusammenhängende Komponente von der linken Seite des Quadrates zur re hten rei ht.

250

C Übungen und Projekte

Kantenwahrs heinli hkeit von z. B. p = 0,7 (das einzig Wi htige hierbei ist, dass 0,5 < p < 1), und zeige, dass gilt P(exakt eine unendli he Komponente entsteht) > 0

und P(exakt zwei unendli he Komponenten entstehen) > 0 .

⊓ ⊔

Problem C.11 (Der Erd®sRényi-Zufallsgraph). [Abs hnitt 6.3℄ (***) Simuliere  für ein so groÿes n wie mögli h, ohne dass si h unhandli he Laufzeiten ergeben  den Erd®sRényi-Zufallsgraphen G(n, p) beispielsweise für die Kantenwahrs heinli hkeiten p=

1 2 3 200 , , , ..., . 100n 100n 100n 100n

Die vers hiedenen Simulationen können entweder unabhängig oder, (was man viellei ht vorziehen kann) wie in der Simulationsmethode im Ans hluss an den Beweis von Lemma 5.8, gekoppelt dur hgeführt werden. Untersu he, wie si h die Gröÿe der zusammenhängenden Komponente als Funktion von p verhält. Bei wel hem p beoba htet man in etwa die stärkste Veränderung? Untersu he au h, wie stark die zusammenhängende Komponente von p abhängt. Stimmen die Simulationsergebnisse mit dem Satz 6.1 überein? ⊓ ⊔

gröÿten

zweitgröÿte

Problem C.12 (Simulation von einer Milgrams hen Briefkette). [Abs hnitte 6.4 und 6.5℄ (***) Simuliere eine eindimensionale Variante von Watts' und Strogatz' -Graphen, bei dem n Individuen in einer Reihe verkoppelt und zusätzli h zufällige Langdistanz-Kanten eingefügt werden, wobei die erwartete Anzahl von Langdistanz-Kanten, die von einem gegebenen Knoten ausgehen, z. B. 15 ist. Die Gröÿe n der Population sollte so groÿ wie mögli h gewählt werden, ohne dass die Computersimulationen und Bere hnungen unhandli h werden.

die Welt ist klein

(a) S hätze die typis he Länge der kürzesten Bekannts haftskette zwis hen zwei auf gut Glü k ausgewählten Individuen. (b) S hätze die typis he Länge der Milgrams hen Briefkette zwis hen zwei auf gut Glü k ausgewählten Individuen. Damit die Briefkette Kleinbergs Annahme entspri ht, was die Individuen vernünftigerweise wissen können, kann man jedes Individuum in der Kette den Brief an diejenige Person weiters hi ken lassen, die im kürzesten geographis hen Abstand zur Zielperson wohnt. Verglei he mit dem Ergebnis von (a).

C

Übungen und Projekte

251

Dies kann natürli h au h in zwei Dimensionen dur hgeführt werden (und was viellei ht no h interessanter ist). Dies erfordert jedo h eine gröÿere Anzahl n von Individuen, damit das System eine ausrei hend groÿe geographis he Ausbreitung erhält. ⊓ ⊔

Problem C.13 (Symmetrien und Eintrewahrs heinli hkeiten). [Ab-

s hnitt 7.1℄ (*) In Abb. 7.2 sieht es so aus, als ob si h ein Teil der Eintrewahrs heinli hkeiten p1 , . . . , p12 paarweise zu 1 summieren: unter anderem ist p2 + p3 = 1. Finde ein Argument, um zu zeigen, es einen Grund für diesen Zusammenhang gibt (er also keine numeris he Zufälligkeit ist). ⊓ ⊔

Problem C.14 (Wiederholtes Glü ksspiel). [Kapitel 7℄ (**) Zwei Spieler A und B treen si h wiederholt zu einem Glü ksspiel. Jeder Spieldur hgang endet damit, dass der Verlierer dem Gewinner 1 EUR bezahlt. Die beiden Spieler sollen solange spielen, bis einer von ihnen sein gesamtes Geld verloren hat und der andere zum Gesamtsieger ernannt wird. Wenn zu einer bestimmten Gelegenheit A m EUR und B n EUR besitzt, wie groÿ ist dann die Wahrs heinli hkeit, dass A Gesamtsieger wird?9 ⊓ ⊔

Problem C.15 (Numeris he Bere hnung der Eintrewahrs heinli hkeiten). [Kapitel 7℄ (***) Um Glei hungssysteme für Eintrewahrs heinli hkeiten wie das in (7.3) zu lösen  oder äquivalent für elektris he Potentiale in Glei hstromkreisen  gibt es vers hiedene numeris he Standardmethoden. I h mö hte hier die folgende Methode empfehlen, die zwar ni ht die eektivste, aber dafür umso lehrrei her ist. Nehmen wir an, dass uns ein zusammenhängender Graph G mit den Knoten v1 , v2 , . . . , vn vorliegt. Auf diesem Graphen denken wir uns einen Zufallswanderer, der so lange umhergeht, bis er v1 oder v2 errei ht und dann für immer dort verbleibt. Für i = 1, . . . , n, bezei hne pi die Wahrs heinli hkeit, dass ein Zufallswanderer, der in vi startet, v1 vor v2 errei ht. Dann ist p1 = 1 und p2 = 0, während die pi -Werte der übrigen Knoten glei h dem Mittelwert ihrer Na hbarn sind. Mit Hilfe der folgenden Methode kann man einen Näherungswert für p3 , . . . pn erhalten.

9

Hinweis: Das Vermögen von A kann als Irrfahrt auf den Knoten

angesehen werden.

0, 1, 2, . . . , n+m

252

C Übungen und Projekte

1. Setze p1,0 = 1, p2,0 = 0, und gib p3,0 , . . . , pn,0 beliebige Startwerte zwis hen 0 und 1.10 2. Setze p1,1 = 1, p2,1 = 0, und für i = 3, . . . , n sei pi,1 der Mittelwert der pj,0 -Werte, die den Na hbarknoten von vi entspre hen. 3. Sei p1,2 = 1, p2,2 = 0 und für i = 3, . . . , n sei pi,2 der Mittelwert der pj,1 -Werte, die den Na hbarknoten von vi entspre hen. 4. Und so weiter . . . Diese Prozedur funktioniert, wie wir glei h zeigen werden, in dem Sinne, dass p3,k , . . . , pn,k den gewüns hten Werten p3 , . . . , pn asymptotis h zustreben, d. h. lim pi,k = pi (C.6) k→∞

für i = 3, . . . , k gilt. Die Methode sieht umständli h aus. Wenn man sie jedo h auf dem eigenen Re hner programmiert, kommt man relativ s hnell zur Lösung. Einige Aufgaben: (a) Wende die oben skizzierte Methode an, um die Eintrittswahrs heinli hkeiten auf einem geeigneten Graphen zu bere hnen. Ein Beispiel könnte die Betra htung des Königs bei der Irrfahrt auf dem S ha hbrett sein, bis er entweder die untere linke E ke a1 oder die obere re hte E ke h8 errei ht. (b) Mit pˇi,k sei der pi,k -Wert bezei hnet, den wir mit der oben stehenden Prozedur für den Spezialfall der Startwerte p3,0 = · · · = pn,0 = 0 erhalten. Beweise mit Hilfe der Induktion11 über k, dass pˇi,k glei h der Wahrs heinli hkeit ist, dass si h ein Zufallswanderer, der zur Zeit 0 im Knoten vi gestartet ist, zur Zeit k in v1 bendet. (Damit wir dies zeigen können, müssen wir uns daran erinnern, dass der Zufallswanderer für immer stehen bleibt, sobald er v1 oder v2 errei ht.) ( ) Bezei hne mit pˆi,k den pi,k -Wert, den wir mit obenstehender Prozedur im Spezialfall der Startwerte p3,0 = · · · = pn,0 = 1 erhalten. Beweise auf ähnli he Weise wie in (b), dass pˆi,k glei h der Wahrs heinli hkeit für einen Zufallswanderer, der zur Zeit 0 im Knoten vi gestartet ist, dass er si h zur Zeit k irgendwo anders als in v2 bendet. (d) Wende das Ergebnis von (b) und ( ) an, um zu zeigen, dass gilt: lim (ˆ pi,k − pˇi,k ) = 0 .

k→∞

10 Wenn man will, kann man die Prozedur dadur h etwas eektiver gestalten, dass man p3 , . . . , pn ungefähr errät, und diese den Startwerten p3,0 , . . . , pn,0 zuweist. 11 Das Prinzip des Induktionsbeweises ist das folgende: Nehmen wir an, dass wir eine unendli he Folge A0 , A1 , A2 . . . von Behauptungen haben, die wir beweisen wollen. Um dies zu tun, rei ht es aus zu beweisen, dass (i) A0 wahr ist und (ii), dass für jedes k gilt: Ak wahr ist, dann ist au h Ak+1 wahr. Wenn wir (i) und (ii) zeigen können, wissen wir, dass A0 gilt, was (mit Hilfe von (ii)) dazu führt, dass A1 gilt, was wiederum dazu führt, dass A2 gilt, und so weiter. Siehe z. B. Jonasson & Lemurell (2004) für eine Einführung in diese in vielen Fällen sehr s hlagkräftige Beweismethode.

Wenn

C Übungen und Projekte

253

(e) Zeige mit Hilfe der Induktion über k, dass für beliebige Startwerte p3,0 , . . . , pn,0 zwis hen 0 und 1 die Unglei hung pˇi,k ≤ pi,k ≤ pˆi,k

erfüllt ist. (f) Wende die Ergebnisse von (d) und (e) an, um die Konvergenz (C.6) gegen den ri htigen pi -Wert zu beweisen. ⊓ ⊔ [Kapitel 8℄ (**) Ents heide, ob eine Irrfahrt auf dem binären Baum T2 (siehe Abs hnitt 5.4 für seine Denition) mit Start in der Wurzel rekurrent oder transient ist. ⊓ ⊔ Problem C.16 (Irrfahrten auf Bäumen).

Problem C.17 (Irrfahrten mit Drift auf einer Perkolationskomponente). [Abs hnitt 8.6℄ (***)

Simuliere einen groÿen Auss hnitt einer superkritis hen Kantenperkolation auf dem Z2 -Gitter (z. B. mit Kantenwahrs heinli hkeit p = 0,7). Starte dann eine Irrfahrt mit Drift auf der Komponente, die wie die unendli he zusammenhängende Komponente aussieht. (Eine sol he Irrfahrt hat die Sprungwahrs heinli hkeiten, wie sie im Zusammenhang mit (8.27) eingeführt wurden, wobei Versu he, über gelös hte Kanten zu springen, ignoriert werden.) Wiederhole dies für unters hiedli he Werte des Driftparameters β und s hätze für jeden dieser Parameter, wel he asymptotis he Ges hwindigkeit µ der Zufallswanderer erhält. Zei hne µ als Funktion von β , und stelle fest, mit wel her Drift β man µ maximieren kann. Führe das gesamte Experiment für andere Werte von p erneut dur h und untersu he, wie si h der Zusammenhang zwis hen β und µ vers hiebt oder verändert. ⊓ ⊔

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25

Determinismus 15 Di htefunktion 237238 Dierenzuss 198 Diri hlet-Prinzip 185 Doppelsumme 228 Driftparameter 222225 eektiver Widerstand 194200, 212216, 220 Einheitsuss 197, 215216 Ents heidungstheorie 27 Erd®sRényi-Zufallsgraph 148158 Erd®szahl 142146

Ereignis 920, 66, 235242 terminales 109 Erwartungswert 15, 238239 bedingter 122124, 239 Falken und Tauben 247 Fermats Satz 85 Flu htwahrs heinli hkeit 191201 freier Wille 4 Gasbehälter 5 Geburtstagsproblem 245 Gefangenen-Dilemma 4961 wiederholtes 5461 5456, 59 Gesetz der groÿen Zahlen 6384, 241, 248250 s hwa hes 64, 71, 7679 starkes 64, 71, 7984 Gitter 91 duales 105113, 128 eindimensionales 9899 kubis hes 91, 94 quadratis hes 91, 92 unendli hes 95 Glei hgewi htslage 32, 35 Glei hstromkreis 171201, 206216 Graph 8790 zusammenhängend 89 Graphentheorie 87 Grenzwert 6667, 7071, 228230 gut vernetzt 141, 153, 157158 5456

Geizhals

Gutgläubiger Altruist

266

Sa hverzei hnis

Irrfahrt 166, 253255 auf Bäumen 255 auf Gittern 203 auf Graphen 166171 gewi htete 179 in zufälliger Umwelt 219225 mit Drift 221225, 255 Isingmodell 94 kartesis hes Produkt 130, 187 Kir hhos he Knotenregel 173 -Phänomen 135142, 145 Logarithmus 148 Kolmogorows 0-1-Gesetz 103, 109 Komponente zusammenhängende 89, 140, 251 gigantis he 150 Kontur 105 im dualen Gitter 106 Konvergenz fast si her 72 in Wahrs heinli hkeit 72 Kopenhagener Deutung 2 Kopplung 113 kritis her Wert 95101, 113, 131, 225, 251

kleine Welt

Paradoxon 7, 67, 245247 Perkolation 86, 255 auf unendli her Leiter 250 Kantenperkolation 90 Knotenperkolation 90, 250 superkritis he 119131, 220225, 251, 255 Perkolationsfunktion 99101 Perkolationskonguration 91, 98132 Phasenübergang 97 Potenzial 172 Quantenme hanik

12

Rationalismus, rationaler Spieler 38, 61 Rayleighs Monotonieprinzip 195, 220 Reihe 228 geometris he 229 harmonis he 230 Reihens haltung 208 Rekurrenz 204

5556 Milgrams Briefketten 135142, 154163, 252 MinimaxSatz 37 Mittelwert 15, 44, 6382 gewi hteter 15 Münzwurf 8, 1618, 6483

Satz von Bayes 20, 236 Satz von Harris und Kesten 95 Satz von Pólya 204 S ha h 4143, 254 selbstvermeidender Pfad 104 Simulation 110112, 243245, 247253, 255 Soziogramm 138160 Spannungsquelle 171, 197 Standardabwei hung 238 Statistik 25 Bayes- 2627, 184 klassis he 26 Strategie evolutionär stabile 59 gemis hte 28, 34 randomisierte 28, 34 Stromquelle 197

Nash-Glei hgewi ht 5153, 57 natürli he Auswahl 5355 navigierbar 159163 Ni ht-Nullsummenspiele 5161 Nullsummenspiel 32

Thermodynamik 3, 5 Thomson-Prinzip 198 5661 Tragödie der Allgemeinheit 51 Transienz 204 Ts hebys hovs he Unglei hung 76

Öresundsbrü ke 6 Ohms hes Gesetz 171

Übergangsmatrix 181182 Ums hlagproblem 2129

Leistung 184200, 212216 Lemma von BorelCantelli 80 Lotto 4, 38 Markovkette 180184 reversible 183

Massive Vergeltung

Tit for Tat

Sa hverzei hnis unabhängig

1215, 236240

Varianz 75, 238 Verteilung 16 Exponentialverteilung 240 geometris he 57 Glei hverteilung 16, 240 Normalverteilung 240 Verzweigungsprozess 117 Vierfarbensatz 89 Vorhersagbarkeit 36 Wahrs heinli hkeit bedingte 11 totale 236

9

Wahrs heinli hkeitsmaÿ 236 Wahrs heinli hkeitsvektor 35 Weitstre kenkante 156163 WGD (wiederholtes GefangenenDilemma) 5461 Widerspru hsbeweis 81, 189 zentraler Grenzwertsatz 68, 240 Zufallsgröÿe 15 diskret 16, 237 stetig 237 Zufallszahl 110, 240, 244 Pseudozufallszahl 110, 243 Zusammenarbeit 31, 4758 Zwei-Etagen-Graph 187191

267