Statistische Tests mit Excel leicht erklärt. Beurteilende Statistik für jedermann GERMAN

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Author: Wolf-Gert Matthäus

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Wolf-Gert Matthäus

Statistische Tests mit Excel leicht erklärt

Wolf-Gert Matthäus

Statistische Tests mit Excel leicht erklärt Beurteilende Statistik für jedermann

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Dr. rer. nat. habil. Wolf-Gert Matthäus studierte von 1964 bis 1969 Mathematik an der TU Dresden. Dann lehrte er an der TH in Merseburg, wo er 1973 promovierte und sich 1978 habilitierte. Er wurde 1979 zum Dozenten für Numerische Mathematik berufen. Von 1991 bis 1998 wirkte er am Aufbau der deutschsprachigen Abteilungen an der Marmara-Universität in Istanbul (Türkei) mit. Nach seiner Rückkehr nach Deutschland übernahm er Lehraufträge an Universitäten, Fachhochschulen, Berufsakademien und Verwaltungs- und Wirtschaftsakademien.

1. Auflage Juni 2007

Alle Rechte vorbehalten © B.G. Teubner Verlag / GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2007 Lektorat: Ulrich Sandten / Kerstin Hoffmann Der B.G. Teubner Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. www.teubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de Druck und buchbinderische Verarbeitung: Strauss Offsetdruck, Mörlenbach Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany

ISBN 978-3-8351-0098-5

Vorwort

Statistik ist ein sproder Stoff. Obwohl zur Pflicht diverser Lehrplane an Schulen und Hochschulen zahlend, hat sich doch bei vielen, die sie durchlitten, keine Liebe zum Thema herausgebildet, und wer die Statistik vor sich hat, ist durch den ihr vorauseilenden Ruf schon ziemlich negativ voreingestimmt. Leider. Woran liegt das? Schuld ist die Natur der Sache - einerseits schaut stets der bose und unberechenbare Zufall durch die Zeilen, andererseits sind da die vielen Zahlen, mit denen man umgehen lernen muss. Hinzu kommt die von Generation zu Generation weitergegebene AuBerung, die abwechselnd dem Fiirsten Bismarck oder dem Premier Churchill zugeschrieben wird: "Jch glaube nur der Statistik, die ich selbst gefalscht habe." ja, die Statistik hat einen schlechten Ruf, und trotzdem muss sie gelehrt und verstanden

werden. Nichts sicher, aber trotzdem soll gerechnet werden. Ergebnisse werden erwartet, Hinzu kommen die vielen, vielen Fachbegriffe, angefangen bei den Zufallsgrorsen und weiter uber die Signifikanz bis hin zu den Korrelationen. Wozu das alles? Natiirlich kennen die Lehrenden und Fachbuchautoren diese Aversionen, sie versuchten und versuchen, den Lernenden den Sinn und Zweck der Statistik auf unterschiedlichste Weise nahe zu bringen. Der eine versucht es, indem er .Statistik ohne Forrneln" oder .Statistik popular" prasentiert. Der andere geht genau den anderen Weg, prasentiert Statistik konsequent als logische, rnathematisch-exakte, strenge Wissenschaft, leitet her, leitet ab, begriindet und beweist. Das vorliegende Buch will einen Mittelweg beschreiten. Auf zuviel Mathematik wird ebenso verzichtet wie auf zuviel unscharfe Popularitat. Entscheidend soll sein, den Sinn jeglicher Statistik immer und immer wieder herauszuarbeiten - dem Zufall ein wissenschaftliches Schnippchen zu schlagen, Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, Daten sinnvoll und sorgsam mit gebotener Vorsicht zu behandeln. Anfangs wird in den Kapiteln 1 bis 6 deshalb ausfiihrlich versucht, die iiberaus wichtigen Grundbegriffe der Zufallsgrojse und der Verteilungsfunktion zu erklaren. An vielen Beispielen wird dann vorgefiihrt, wie man von einer bekannten Verteilung einer Zufallsgrofse zu Wahrscheinlichkeitsaussagen kommt. Dabei ist eine Zufallsgrofse nichts anderes als ein Zufallsexperiment, das Zahlen liefert. Entweder liefert es genau zwei Zahlenwerte, dann henst die Zufallsgrotse alternativ, oder es liefert einige, wenige Zahlenwerte, dann heifst die Zufallsgrofse diskret. Ist die Anzahl der verschiedenen Ergebniswerte eines Zufallsexperiments uniiberschaubar grofs, dann spricht man von cincr stetigen Zufallsgrofsc. lIier spiclt die Normalverteilung cine dominierende Rolle. Ihr werden folglich auch drei Kapitel eingeraumt. Doch selbst wenn qualitativ bekannt ist, wie eine ZufallsgrbJSe verteilt ist, so fehlen doch oft genaue Kenntnisse zu den Parametern der zutreffenden Verteilungsfunktion. Sie werden zwangslaufig ersetzt durch geeignete Schatzungen, resultierend aus Zufallsstichproben.

Inhaltsverzeichnis Teil I: Zufallsgrößen und Verteilungen = N=

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NMKN= d~ìëëJqÉëí=òìê=mêΩÑìåÖ=ÇÉë=bêï~êíìåÖëïÉêíÉë=ÄÉá== = ÄÉâ~ååíÉê=pí~åÇ~êÇ~ÄïÉáÅÜìåÖ KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NNR= NMKNKN== ^ìÑÖ~ÄÉåëíÉääìåÖKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NNR= NMKNKO== eóéçíÜÉëÉI=dÉÖÉåÜóéçíÜÉëÉå=ìåÇ=cê~ÖÉëíÉääìåÖÉå KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NNR= NMKNKP== páÖåáÑáâ~åòåáîÉ~ì=ìåÇ=píáÅÜéêçÄÉKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NNS= NMKNKQ== mêΩÑÖê∏≈É KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NNS= NMKNKR== nì~åíáäÉ=ÑΩê=ÇáÉ=båíëÅÜÉáÇìåÖ=ãáí=ÇÉã=^ÄäÉÜåìåÖëÄÉêÉáÅÜ KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NNS= NMKNKS== ^ÄäÉÜåìåÖëÄÉêÉáÅÜÉKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NNT= NMKNKT== båíëÅÜÉáÇìåÖ=ãáí=^ÄäÉÜåìåÖëÄÉêÉáÅÜ KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NNT= NMKNKU== _ÉêÉÅÜåìåÖ=îçå=§ÄÉêëÅÜêÉáíìåÖëï~ÜêëÅÜÉáåäáÅÜâÉáíÉåKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NNT= NMKNKV== båíëÅÜÉáÇìåÖ=ãáí=§ÄÉêëÅÜêÉáíìåÖëï~ÜêëÅÜÉáåäáÅÜâÉáíÉåKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NNU= NMKNKNM=aáÉ=bñÅÉäJcìåâíáçå=GTEST=ÑΩê=ëÅÜåÉääÉ=òïÉáëÉáíáÖÉ=cê~ÖÉëíÉääìåÖ KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NNU= NMKNKNN=båíëÅÜÉáÇìåÖ=ãáí=GTEST KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NNV= NMKNKNO=_ÉáëéáÉäKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NNV= NMKO= báåÑ~ÅÜÉê=íJqÉëí=òìê=mêΩÑìåÖ=ÇÉë=bêï~êíìåÖëïÉêíÉë=ÄÉá== = ìåÄÉâ~ååíÉê=pí~åÇ~êÇ~ÄïÉáÅÜìåÖKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NOM= NMKOKN== ^ìÑÖ~ÄÉåëíÉääìåÖKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NOM= NMKOKO== eóéçíÜÉëÉI=dÉÖÉåÜóéçíÜÉëÉå=ìåÇ=cê~ÖÉëíÉääìåÖÉå KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NOM= NMKOKP== páÖåáÑáâ~åòåáîÉ~ì=ìåÇ=píáÅÜéêçÄÉKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NON= NMKOKQ== mêΩÑÖê∏≈É KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NON= NMKOKR== báåëÅÜìÄW=aáÉ=píìÇÉåíÛëÅÜÉ=íJsÉêíÉáäìåÖKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NON= NMKOKS== nì~åíáäÉ=ÑΩê=ÇáÉ=båíëÅÜÉáÇìåÖ=ãáí=ÇÉã=^ÄäÉÜåìåÖëÄÉêÉáÅÜ KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NOO= NMKOKT== ^ÄäÉÜåìåÖëÄÉêÉáÅÜÉKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NOP= NMKOKU== båíëÅÜÉáÇìåÖ=ãáí=^ÄäÉÜåìåÖëÄÉêÉáÅÜ KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NOP= NMKOKV== báåëÅÜìÄ=fW=bñÅÉä=ìåÇ=ÇáÉ=_ÉëÅÜ~ÑÑìåÖ=ÇÉê=nì~åíáäÉ=ãáí=TINV KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NOQ= NMKOKNM=báåëÅÜìÄ=ffW=nì~åíáäÉ=ÇÉê=íJsÉêíÉáäìåÖ=~ìë=q~ÑÉäå=~ÄäÉëÉåKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NOQ= NMKOKNN=_ÉêÉÅÜåìåÖ=îçå=§ÄÉêëÅÜêÉáíìåÖëï~ÜêëÅÜÉáåäáÅÜâÉáíÉåKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NOS= NMKOKNO=båíëÅÜÉáÇìåÖ=ãáí=§ÄÉêëÅÜêÉáíìåÖëï~ÜêëÅÜÉáåäáÅÜâÉáíÉåKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NOS= NMKOKNP=aáÉ=bñÅÉäJcìåâíáçå=TTEST=ÑΩê=ëÅÜåÉääÉ=òïÉáëÉáíáÖÉ=cê~ÖÉëíÉääìåÖ KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NOT= NMKOKNQ=båíëÅÜÉáÇìåÖ=ãáí=TTEST KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NOT=


NN=

NMKOKNR=_ÉáëéáÉäKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NOU= O

NMKP= báåÑ~ÅÜÉê=χχ JqÉëí=òìê=mêΩÑìåÖ=ÇÉê=s~êá~åò KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NOV= NMKPKN== ^ìÑÖ~ÄÉåëíÉääìåÖKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NOV= NMKPKO== eóéçíÜÉëÉI=dÉÖÉåÜóéçíÜÉëÉå=ìåÇ=cê~ÖÉëíÉääìåÖÉå KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NOV= NMKPKP== páÖåáÑáâ~åòåáîÉ~ì=ìåÇ=píáÅÜéêçÄÉKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NOV= NMKPKQ== mêΩÑÖê∏≈É KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NPM= O

NMKPKR== báåëÅÜìÄW=aáÉ=χ JsÉêíÉáäìåÖ KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NPM= NMKPKS== nì~åíáäÉ=ÑΩê=ÇáÉ=båíëÅÜÉáÇìåÖ=ãáí=ÇÉã=^ÄäÉÜåìåÖëÄÉêÉáÅÜ KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NPN= NMKPKT== ^ÄäÉÜåìåÖëÄÉêÉáÅÜÉKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NPO= NMKPKU== båíëÅÜÉáÇìåÖ=ãáí=^ÄäÉÜåìåÖëÄÉêÉáÅÜ KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NPO= O

NMKPKV== báåëÅÜìÄ=fW=nì~åíáäÉ=ÇÉê=χ JsÉêíÉáäìåÖ=~ìë=q~ÑÉäå=~ÄäÉëÉå KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NPP= NMKPKNM=báåëÅÜìÄ=ffW=bñÅÉä=ìåÇ=ÇáÉ=_ÉëÅÜ~ÑÑìåÖ=ÇÉê=nì~åíáäÉ=ãáí=CHIINVKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NPP= NMKPKNN=_ÉêÉÅÜåìåÖ=îçå=§ÄÉêëÅÜêÉáíìåÖëï~ÜêëÅÜÉáåäáÅÜâÉáíÉåKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NPQ= NMKPKNO=båíëÅÜÉáÇìåÖ=ãáí=§ÄÉêëÅÜêÉáíìåÖëï~ÜêëÅÜÉáåäáÅÜâÉáíÉåKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NPR= NMKPKNP=_ÉáëéáÉäKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NPR= = NN=

mêΩÑìåÖ=îçå=sÉêíÉáäìåÖÉåK=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NPT= O

NNKN= χ J^åé~ëëìåÖëíÉëí=òìê=mêΩÑìåÖ=ÉáåÉê=ÇáëâêÉíÉå=sÉêíÉáäìåÖKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NPT= NNKNKN== ^ìÑÖ~ÄÉåëíÉääìåÖKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NPT= NNKNKO== eóéçíÜÉëÉ=ìåÇ=dÉÖÉåÜóéçíÜÉëÉKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NPT= NNKNKP== páÖåáÑáâ~åòåáîÉ~ì=ìåÇ=píáÅÜéêçÄÉKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NPT= NNKNKQ== mêΩÑÖê∏≈É KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NPT= NNKNKR== nì~åíáä=ÑΩê=ÇáÉ=båíëÅÜÉáÇìåÖ=ãáí=ÇÉã=^ÄäÉÜåìåÖëÄÉêÉáÅÜ KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NPU= NNKNKS== ^ÄäÉÜåìåÖëÄÉêÉáÅÜKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NPV= NNKNKT== båíëÅÜÉáÇìåÖ=ãáí=ÇÉã=^ÄäÉÜåìåÖëÄÉêÉáÅÜ KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NPV= NNKNKU== _ÉêÉÅÜåìåÖ=ÇÉê=§ÄÉêëÅÜêÉáíìåÖëï~ÜêëÅÜÉáåäáÅÜâÉáíKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NPV= NNKNKV== båíëÅÜÉáÇìåÖ=ãáí=ÇÉê=§ÄÉêëÅÜêÉáíìåÖëï~ÜêëÅÜÉáåäáÅÜâÉáí KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NPV= NNKNKNM=pÅÜåÉääÉ=båíëÅÜÉáÇìåÖ=ãáí=CHITEST KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NQM= NNKNKNN=_ÉáëéáÉäKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NQM= O

NNKO= χ J^åé~ëëìåÖëíÉëí=òìê=mêΩÑìåÖ=ÉáåÉê=ëíÉíáÖÉå=sÉêíÉáäìåÖ== = ãáí=ÄÉâ~ååíÉå=m~ê~ãÉíÉêåKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NQO= NNKOKN== ^ìÑÖ~ÄÉåëíÉääìåÖKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NQO= NNKOKO== eóéçíÜÉëÉ=ìåÇ=dÉÖÉåÜóéçíÜÉëÉKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NQO= NNKOKP== páÖåáÑáâ~åòåáîÉ~ì=ìåÇ=píáÅÜéêçÄÉKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NQO= NNKOKQ== mêΩÑÖê∏≈É KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NQO= NNKOKR== nì~åíáä=ÑΩê=ÇáÉ=båíëÅÜÉáÇìåÖ=ãáí=ÇÉã=^ÄäÉÜåìåÖëÄÉêÉáÅÜ KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NQP=

===================================================================================================fåÜ~äíëîÉêòÉáÅÜåáë= NO NNKOKS== ^ÄäÉÜåìåÖëÄÉêÉáÅÜKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NQQ= NNKOKT== båíëÅÜÉáÇìåÖ=ãáí=ÇÉã=^ÄäÉÜåìåÖëÄÉêÉáÅÜ KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NQQ= NNKOKU== _ÉêÉÅÜåìåÖ=ÇÉê=§ÄÉêëÅÜêÉáíìåÖëï~ÜêëÅÜÉáåäáÅÜâÉáíKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NQQ= NNKOKV== båíëÅÜÉáÇìåÖ=ãáí=ÇÉê=§ÄÉêëÅÜêÉáíìåÖëï~ÜêëÅÜÉáåäáÅÜâÉáí KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NQQ= NNKOKNM=pÅÜåÉääÉ=båíëÅÜÉáÇìåÖ=ãáí=CHITEST KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NQQ= NNKOKNN=_ÉáëéáÉäKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NQR= O

NNKP= χ J^åé~ëëìåÖëíÉëí=òìê=mêΩÑìåÖ=ÉáåÉê=ëíÉíáÖÉå=sÉêíÉáäìåÖ== = ãáí=ìåÄÉâ~ååíÉå=m~ê~ãÉíÉêåKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NQT= NNKPKN== ^ìÑÖ~ÄÉåëíÉääìåÖKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NQT= NNKPKO== eóéçíÜÉëÉ=ìåÇ=dÉÖÉåÜóéçíÜÉëÉKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NQT= NNKPKP== páÖåáÑáâ~åòåáîÉ~ì=ìåÇ=píáÅÜéêçÄÉKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NQT= NNKPKQ== mêΩÑÖê∏≈É KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NQU= NNKPKR== nì~åíáä=ÑΩê=ÇáÉ=båíëÅÜÉáÇìåÖ=ãáí=ÇÉã=^ÄäÉÜåìåÖëÄÉêÉáÅÜ KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NQU= NNKPKS== ^ÄäÉÜåìåÖëÄÉêÉáÅÜKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NQU= NNKPKT== båíëÅÜÉáÇìåÖ=ãáí=ÇÉã=^ÄäÉÜåìåÖëÄÉêÉáÅÜ KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NQU= NNKPKU== _ÉêÉÅÜåìåÖ=ÇÉê=§ÄÉêëÅÜêÉáíìåÖëï~ÜêëÅÜÉáåäáÅÜâÉáíKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NQU= NNKPKV== båíëÅÜÉáÇìåÖ=ãáí=ÇÉê=§ÄÉêëÅÜêÉáíìåÖëï~ÜêëÅÜÉáåäáÅÜâÉáí KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NQV= NNKPKNM=pÅÜåÉääÉ=båíëÅÜÉáÇìåÖ=ãáí=CHITEST KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NQV= NNKPKNN=_ÉáëéáÉäKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NQV=

Teil IV: Zwei verbundene Stichproben = NO=

sÉêÄìåÇÉåÉ=ìåÇ=åáÅÜí=îÉêÄìåÇÉåÉ=píáÅÜéêçÄÉåKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NRN=

= NP=

m~ê~ãÉíÉêîÉêÖäÉáÅÜÉ=òïÉáÉê=îÉêÄìåÇÉåÉê=píáÅÜéêçÄÉå KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NRP=

NPKN= d~ìëëJqÉëí=òìã=sÉêÖäÉáÅÜ=ÇÉê=^åíÉáäïÉêíÉ=Öêç≈Éê=píáÅÜéêçÄÉå KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NRP= NPKNKN== ^ìÑÖ~ÄÉåëíÉääìåÖKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NRP= NPKNKO== eóéçíÜÉëÉI=dÉÖÉåÜóéçíÜÉëÉå=ìåÇ=cê~ÖÉëíÉääìåÖÉå KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NRP= NPKNKP== páÖåáÑáâ~åòåáîÉ~ì=ìåÇ=píáÅÜéêçÄÉKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NRP= NPKNKQ== mêΩÑÖê∏≈É KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NRQ= NPKNKR== nì~åíáäÉ=ÑΩê=ÇáÉ=båíëÅÜÉáÇìåÖ=ãáí=ÇÉã=^ÄäÉÜåìåÖëÄÉêÉáÅÜ KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NRQ= NPKNKS== ^ÄäÉÜåìåÖëÄÉêÉáÅÜÉKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NRR= NPKNKT== båíëÅÜÉáÇìåÖ=ãáí=^ÄäÉÜåìåÖëÄÉêÉáÅÜ KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NRR= NPKNKU== _ÉêÉÅÜåìåÖ=îçå=§ÄÉêëÅÜêÉáíìåÖëï~ÜêëÅÜÉáåäáÅÜâÉáíÉåKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NRR= NPKNKV== båíëÅÜÉáÇìåÖ=ãáí=§ÄÉêëÅÜêÉáíìåÖëï~ÜêëÅÜÉáåäáÅÜâÉáíÉåKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NRS= NPKNKNM=_ÉáëéáÉäKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NRS=


NP=

NPKO= aáÑÑÉêÉåòÉåJíJqÉëí=òìã=sÉêÖäÉáÅÜ=ÇÉê=bêï~êíìåÖëïÉêíÉ== = åçêã~äîÉêíÉáäíÉê=dêìåÇÖÉë~ãíÜÉáíÉåKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NRT= NPKOKN== ^ìÑÖ~ÄÉåëíÉääìåÖKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NRT= NPKOKO== eóéçíÜÉëÉI=dÉÖÉåÜóéçíÜÉëÉå=ìåÇ=cê~ÖÉëíÉääìåÖÉå KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NRT= NPKOKP== páÖåáÑáâ~åòåáîÉ~ì=ìåÇ=píáÅÜéêçÄÉKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NRU= NPKOKQ== mêΩÑÖê∏≈É KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NRU= NPKOKR== nì~åíáäÉ=ÑΩê=ÇáÉ=båíëÅÜÉáÇìåÖ=ãáí=ÇÉã=^ÄäÉÜåìåÖëÄÉêÉáÅÜ KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NRU= NPKOKS== ^ÄäÉÜåìåÖëÄÉêÉáÅÜÉKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NRV= NPKOKT== båíëÅÜÉáÇìåÖ=ãáí=^ÄäÉÜåìåÖëÄÉêÉáÅÜ KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NRV= NPKOKU== _ÉêÉÅÜåìåÖ=îçå=§ÄÉêëÅÜêÉáíìåÖëï~ÜêëÅÜÉáåäáÅÜâÉáíÉåKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NRV= NPKOKV== båíëÅÜÉáÇìåÖ=ãáí=§ÄÉêëÅÜêÉáíìåÖëï~ÜêëÅÜÉáåäáÅÜâÉáíÉåKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NSM= NPKOKNM=aáÉ=bñÅÉäJcìåâíáçå=TTEST=ÑΩê=ëÅÜåÉääÉ=òïÉáëÉáíáÖÉ=cê~ÖÉëíÉääìåÖ KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NSN= NPKOKNN=båíëÅÜÉáÇìåÖ=ãáí=TTEST KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NSN= NPKOKNO=_ÉáëéáÉäKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NSN= = NQ=

mêΩÑìåÖ=ÇÉë=hçêêÉä~íáçåëâçÉÑÑáòáÉåíÉåKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK NSP=

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Teil V: Zwei nicht verbundene Stichproben = NT=

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Teil VI: Einfache Varianzanalyse NU=

báåÑ~ÅÜÉ=s~êá~åò~å~äóëÉ=åáÅÜí=îÉêÄìåÇÉåÉê=píáÅÜéêçÄÉå KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK ONN=

NUKN= ^ääÖÉãÉáåÉëI=^ìÑÖ~ÄÉåëíÉääìåÖKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK ONN= NUKO= hä~ëëáëÅÜÉë=sçêÖÉÜÉå KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK ONN= NUKOKN== dêìééÉåKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK ONN= NUKOKO== ^ìÑÖ~ÄÉåëíÉääìåÖKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK ONO= NUKOKP== eóéçíÜÉëÉI=dÉÖÉåÜóéçíÜÉëÉ=ìåÇ=cê~ÖÉëíÉääìåÖÉå KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK ONO= NUKOKQ== páÖåáÑáâ~åòåáîÉ~ì=ìåÇ=píáÅÜéêçÄÉåKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK ONP= NUKOKR== mêΩÑÖê∏≈É KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK ONP= NUKOKS== nì~åíáä=ÑΩê=ÇáÉ=båíëÅÜÉáÇìåÖ=ãáí=ÇÉã=^ÄäÉÜåìåÖëÄÉêÉáÅÜ KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK ONQ= NUKOKT== ^ÄäÉÜåìåÖëÄÉêÉáÅÜKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK ONR= NUKOKU== båíëÅÜÉáÇìåÖ=ãáí=^ÄäÉÜåìåÖëÄÉêÉáÅÜ KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK ONR= NUKOKV== _ÉêÉÅÜåìåÖ=ÇÉê=§ÄÉêëÅÜêÉáíìåÖëï~ÜêëÅÜÉáåäáÅÜâÉáíKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK ONR= NUKOKNM=båíëÅÜÉáÇìåÖ=ãáí=ÇÉê=§ÄÉêëÅÜêÉáíìåÖëï~ÜêëÅÜÉáåäáÅÜâÉáí KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK ONR= NUKOKNN=_ÉáëéáÉäW=hä~ëëáëÅÜÉ=aìêÅÜÑΩÜêìåÖ=ÇÉê=ÉáåÑ~ÅÜÉå=s~êá~íáçåë~å~äóëÉ KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK ONS= NUKP= báåÑ~ÅÜÉ=s~êá~åò~å~äóëÉ=ãáí=ÇÉã=bñÅÉäJtÉêâòÉìÖ=ANOVA KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK ONT= NUKPKN== dêìåÇä~ÖÉå KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK ONT= NUKPKO== ^êÄÉáí=ãáí=ANOVA KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK ONT= = tÉáíÉêÑΩÜêÉåÇÉ=ìåÇ=îÉêíáÉÑÉåÇÉ=iáíÉê~íìêKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK OON= = p~ÅÜïçêíîÉêòÉáÅÜåáë KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK OOP= = wìë~ããÉåëíÉääìåÖ=ÇÉê=ÄÉëÅÜêáÉÄÉåÉå=ëí~íáëíáëÅÜÉå=qÉëíëKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK OPR=

1

Zufall und Wahrscheinlichkeit

1.1

Zufall

1.1.1

Vergangenheit und Gegenwart

Seit 4 Millionen jahren, so nimmt man heute an, gibt es menschenahnliche Wesen auf unserer Ercle. Uncl clie ersten Funde cles homo sapiens in cler speziellen Form, so wie wir ihn heute kennen, clatieren auf ein Alter von 40000 Jahren. Seitdem der Mensch existiert, furcbtet er den Zufall: Er furchtet, dass ein Erdbeben seine Hutte zerstort. Er furchtet, dass Hagelschlag die Ernte vernichtet. Er furchtet, dass verheerencle Durre die Tiere totet. Er furchtet, dass ein Stich eines zufallig umher fliegenden giftigen Insekts todliche Krankheit verursacht. Er furchtet, dass ein zufallig entstandener Tsunami gerade dann auf seinen Traumstrand trifft, wenn er dort mit seiner Familie Urlaub macht. Seitdem cler Mensch existiert, hofft er aber auch auf den Zufall - uncl class ein fur ibn gunstiges zufalliges Ereignis eintreten mage: Er bofft, dass ein Blitz zufallig in einen in der Nahe stehenclen Baum einschlage, ihm clas Feuer, das lebensnotwendige, das er gerade zu beherrschcn gelcrnt hat, zu bringcn, Er bofft, class die Wolken nicht zufallig voruberzichcn, sondcm erlosenden Regen bringen. Er hollt, dass ein gerade gezeugtes Kind ein Knabe werde. Er hofft, class cler nachste Sechser im Lotto gerade auf clie von ihm getippten Zahlen falle. Doch der Zufall ist und bleibt unberechenbar. Das Eintreten eines bestimmten zufalligen Ereignisses liefs sich bisher nicht vorhersagen, lasst sich auch heute nicht vorhersagen und wird sich auch in Zukunft nicht vorhersagen lassen.

1.1.2

Zufallsexperimente

Jecler Ausgangspunkt zeichnet.

fur ein zufalliges Ereignis wird allgemein als Zufallsexperiment

be-

Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang, der sich unter stets gleichen Bedingungen oft wiederholen lasst, bei dessen Ausgang (clem Ereignis) aber cler Zufall eine Rolle spielt. •

Das Werfen einer Munxe ist offensichtlich ein Zufallsexperiment mit clen beiden Zufallsereignissen "Zahl" ocler "Wappen". Das sincl clie einzigen beiclen Meremaluierte, die uberhaupt auftreten konnen.

•

Ebenso ist clas Wiirfeln ein Zufallsexperiment mit clen sechs elementaren Zufallsereignisscn .Eins", .Zwci", .Drci", "Vier", "Hinf" und .Scchs". Bier gibt es also sechs mogliche Merlemahoerte.

•

Stellt man sich mit verbundenen Augen in eine belebte Fuggangerzone, greift sich aus der Menge einen Passanten belie big heraus, stellt ihn auf eine Waage und bestimmt sein Korpergeuncbt bis auf das Milligramm genau, dann fiihrt man ebenfalls ein Zufallsexperiment clurch - mit einer beachtlichen, fast unencllich anzusehenden Hille an m6glichen Ergebnissen.

18

Denn

1 Zufall und Wahrscheinlichkeit

wer will bei letztgenanntem

mit urgewaltiger

Kbrpermasse

kur herausgegriffen

Zufallsexperiment

oder

wurde?

vorher

ein zarter Teenager

Ocler ein gestanclener

wissen,

wahrend

ob ein Sumo-Ringer

seiner

Mann mit seinen

aktuellen

achtzig

Hunger-

Kilo unci leich-

tem Bierbauch? Es ist wohl nicht vermessen

zu sagen,

dass wir bei cliesem Fuggangerzonen-Experiment

sebr, sehr vielen Merkmalwerten

rechnen

mussen.

abel' man benutzt

trotzdem

gem dafur.

diese Vokabel

Schon cliese Beispiele

alternativer Art konnen

del' nein, Zahl oder Wappen,

Zufallsexperimente Merlemaluierte. die Anzahl morgens

Ausschuss

cler Unfalle

Zufallsexperimente

Ergebnis

wir folglich

mit

vielegibt:

zwei Meremalioerte Iiefern: ja

nur genau

oder Qualitat,

beim Wurfeln,

an einer

bestimmten

Patienten

mannlich

eines

oder weiblich

0-

usw.

liefern

Karte aus einem

in einem

Monat,

eines Krankenhauses

sehr,

Kartenspiel,

clie Anzahl

cler

usw.

sehr viele (umgangssprachlich:

un-

fallen sicher aile Messergebnisse.

darunter

als zufalliges Ereignis bezeichnet

Zufallsexperiments

alternativen,

ab jetzt zwischen

die gezogene Kreuzung

in cler Aufnahme

stetiger Art clagegen

viele) Merkmalwerte,

Da jedes

unendlich

diskreter Art liefern mehr als zwei, abel' nicht zu viele verschieclene

Die Augenzahl

ankommenclen

endlich

sind es nicht

class es drei Arten von Zufallsexperirnenten

lassen uns vermuten,

Zufallsexperimente

Naturlich

diskreten unci stetigen zufalligen

wird, wollen Ereignissen

un-

terscheiden: Ein alternatives zufdlliges Ereignis liegt clann vor, wenn cles Zufallsexperiments

erwarten

wir genau zwei Merlemaluierte

konnen.

diskreten zufdlligen Ereignis mussen wir mit mehr als zwei, abel' in cler Regel nicht allzu vielen Merlemaiu/erten rechnen, die eintreffen konnen,

Bei einem

Derngegenuber

wird

das Spektrum

eignis unuberschaubar

del' Merkmalwerte

1.2

Wahrscheinlichkeit zutalllqer Ereignisse

1.2.1

Ausgangspunkt

Auch

clie im vorigen

nichts

an del' unverruckbar

Abschnitt

vargenommene

feststehenden

Man kann bei del' Durchfuhrung zufallige

Ereignis

eintreten

Wie wircl clie Munze Passant

bei einem

stetigen zufdlligen Er-

graB.

eines

Klassifizierung

zufdlliger Ereignisse andert

Aussage: Zufallsexperiments

niernals vorhersagen, welches

wircl.

fallen? Was wircl cler Wurfel

zeigen?

Wie schwer

wohl sein?

Niemancl

weifs varher,

was del' unberechenbare

Zujall bringen

wircl.

wircl cler gewogene

1.2

Wahrscheinlichkeit

Doch

diese

schlimme

die Menschheit

zufalliger Ereignisse

Ohnmacht,

Existenz nicht damit abfinden, Die Priester zinmanner

dieses

seit ihrer Existenz.

der beruhrnten und

logarithmischen lich berechnet"

unzahlige

beschaftigt

sich in den Jahrtausenden

ihrer

lassen soli.

Schamanen

ihren Nutzen

und Wahrsager,

aus diesem

Streben

Medi-

der Men-

des Zufalls.

- so lehrten

Gesetze,

von der Berechenbarkeit

Orakel,

- sie alle zogen

das Wesen des Zufalls erkennbar Michael Stifel (1487-1567)

und wollte

dass sich daran nichts andern

schen nach der Beherrschbarkeit Die Welt ist erkennbar

nem-Zl~[all-wehrlos-ausgeliefert-Sein

Sie wollte

antiken

Sterndeuter

19

es die Grofscn der Renaissance.

Warum soli nicht auch

werden?

war ein Zeitgenosse

von Martin Luther. Er erkannte

war ein begnadeter

Mathematiker.

bereits

die

Aber er war auch uberzeugt

des Zufalls - fur den 18. 10. 1533 um 8.00 Uhr sagte er .verlass-

den Weltuntergang

voraus. Er wurde ubrigens

bestraft, als seine Vorhersage

nicht eintrat ... Der scharfsinnige dienste,

Casanova

erwarb

als er eine Lotterie erfand,

sich am Hofe die so raffiniert

liefS, dass sie ihren Gewinn gewisserrnafsen

Zufall wissenschaftlich

Mathematiker

als Begleiter

wurde

zu auBern.

mit an die Spielbanken,

Schlusse sollten sie ziehen aus ihren Reobachtungen,

Konigs

grol$e Ver-

war, dass sie die Menschen

vorher ausrechnen

Kurz und gut - der Druck auf die Mathematiker zum Phanornen

des franzosischen

mit den Jahren

Die reichen damit

glauben

konnten.

Adligen

sie Daten

Formeln

immer groBer, sich Eurapas

nahmen

sammeln

konnten.

sollten sie entwickeln,

wann

Rot oder Schwarz oder Zero zu erwarten

ware, Grofser Lohn und viel Ehre winkten

ihnen.

Was aber kam heraus,

damals,

am Ende des siebzehnten

Es kam

nicht zum gewunschten

Ergebnis - es konnte

Stattdessen

wurde

der Begriffder

Die Wahrscheinlichkeit beziehungsweise

damals,

jahrhunderts?

auch nicht dazu kommen.

Wahrscheinlichkeit

geboren

und mathematisch

gefasst.

eines zufalligen Ereignisses ist eine Zahl zwischen Null und Fins null Prozent und einhundert Prozent.

zwischen

Diese Zahl, die seitdem jedem zufalligen Ereignis nach den Regeln der Wahrscheinlichkeits-

rechnung zugeordnet werden kann, lost leetnesfalls die nach wie vor unlosbare Vorhersage des Ausgangs eines Zufallsexperiments. Selbst wenn

ein Ereignis die Wahrscheinlichkeit

von 83 Prozent

Aufgabe der

hat (wie z. B. das Wiirfeln

einer Zahl, die nicht Bins ist), so ist damit doch niemals vorher gesagt, dass nun auf Dauer keine Eins mehr erscheinen

wird - wer je im Familienkreise

spielt hat, wird das bestatigen

konnen,

Wozu soll aber die Wahrscheinlichkeit brauchbar

nutzlich

sein, wenn

Mensch-argere-dich-nicht

ge-

sie doch fur die Vorhersage un-

ist?

Mit Ililfc dcr Wahrschcinlichkcit Das Ereignis, beim Munzwurf

konncn "Wappen"

zufallige Ercignissc zu sehen,

uerglicben worden.

ist wahrscheinlicher

als beim Wurfeln

eine Sechs zu erhalten. Das Ereignis, aus einem Skatblatt ein As zu ziehen, rade Augenzahl

beim Wiirfeln.

ist uieniger wahrscheinlich

als eine ge-

20


Das Ereignis, bei Munzwurf "Zahl" oder "Wappen" zu sehen, wie eine Augenzahl zwischen null und sieben beim Wtirfeln. Eigentlich

Doch

wider

wahrscheinlich

Vergleichbarkeit zufdlliger Ereignisse der einzige Nicht in der Vorhersage des Eintreffens.

besteht

in der

Wahrscheinlichkeit. besseres

nungstrager

ist genauso

Wissen

machte

die Menschheit

Nutzen

die Wahrscheinlichkeit

der

zum Hoff-

und bis heute zur Bewertung zufdlliger Ereignisse.

und nutzte sie umgehend

Denn wenn - wer will sich da ausschlieisen

- ein Mensch vor die Wahl gestellt wird, beim

Glilcksspiel

die gegenilber

eine neue Variante

zu wahlen,

eine bobere Gewinnwahrscheinlichkeit

gehensweise

seiner bisher verwendeten

Vor-

besitzt, dann wird er wohl diese Vari-

ante wahlen. Auch wenn

ihm sein kuhler Verstand

del' neuen

Variante

die Variante

mit del' geringeren

liefern konnte, Die Hoffnung Die Hoffnung Mafszabl

sagt, dass weder bei del' fruher praktizierten

del' groise Gewinn

uberhaupt

eintreffen

Wahrscheinlichkeit

trotzdem

noch bei

muss - oder dass umgekehrt sofort einen

groBen

Gewinn

stirbt zuletzt...

del' Menschen

Idammert

fur die Moglichkeit

als scheinbare

sich an die Wahrscheinlichkeit

des Eintreffens

eines

erwunschten

bestimmten

zufalligen

Ereignisses. fill' diese Vorgehensweise, del' Wahrscheinlichkeit diese zusatzliche bewertende Bedeutung zu geben, ist del' inzwischen auch vielfach beobachtete Effekt, dass bei oftma liger, massenbafter Wiederholung cines Zufallscxperimcnts die relative Haufigkeit,

Motivierend

mit del' das gewunschte So haben

Ereignis beobachtet

Kriegsgefangene

des zwanzigsten

ben, dass sie tatsachlich

Millionen

werden

konnte,

sich dann eine ungefahre

abel' nach Verteilung

del' Wahrscheinlichkeit

Jahrhunderts des nachsten

massenbafter

damit vertrie-

In del' Schlussbilanz

konkreten

Wiederholung

auf funfzig Prozent

nahe kommt.

sich die Langeweile

Male eine Milnze warfen.

sie dann fest, dass zwar uber den Ausgang hergesagt

wurde,

Wurfes

stellten

nie etwas vor-

des Milnzwurfs

ergab

.Zahl" und filnfzig Prozent

"Wap-

pen". Wie es die Wahrscheinlichkeit Inzwischen allgemein

vorhcrgesagt

zu habcn

schcint,

hat sich die Beuiertung zufdlliger Ereignisse mit Hi{/e ihrer Wahrscheinlichkeit durchgesetzt;

ganze Branchen,

wie z. B. die Versichemngen,

sie auf der Basis von Wahrscheinlichkeitsberechnungen Foiglich wird auch in diesem Buch, direkt oder indirekt,

leben davon, dass

ihre Entscheidungen

treffen.

del' Wahrscheinlichkeitsbegriff

im-

mer eine Rolle spielen.

1.2.2 Nahern

Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit wir uns der klassischen

Wahrscheinlichkeitsdejinition

uber das bekannte

Wilrfel-

beispiel. Wie groB ist die Wahrscheinlichkeit,

nach einem Wurf eine ungerade Zahl zu sehen?

1.2

Wahrscheinlichkeit

zufalliger Ereignisse

21

Die Intuition sagt uns, dass diese Wahrscheinlichkeit warum?

gleich filnfzig Prozent sein wird. Aber

Beim Wlirfeln gibt es sechs Elementarereignisse - die Augenzahlen eins bis sechs. Wenn drei dieser Elementarereignisse eintreten (namlich eins, drei oder funf), dann erleben wir unser gesuchtes Ereignis "ungerade Zahl", Drei Elementarereignisse sind gunstig fur unser betrachtetes eignisse gibt es insgesamt. Die klassische Forrnel fur die Wahrscheinlichkeit (1.01)

Ereignis, sechs Elementarer-

benutzt genau diese Begriffe:

Anzahl der fur das Ereignis gunstigen

Elementarereignisse Anzahl aller Elementarereignisse

hei I· hkei W a h rsc em IC cert

Beispiel: Wie grofS ist die Wahrscheinlichkeit, zichcn?

aus einem Skatblatt mit 32 Karten ein As zu

Antwort: 32 Elementarereignisse gibt es insgesamt, vier davon sind gunstig fur das betrachtete Ereignis. Folglich erhalten wir: (1.02)

.

.h

)

4 1 32 8

P("em As zie en" =-=-=0,125=12,5%

In der Forme! (1.02) wird erstmalig die ubliche Abkurzung (1.03)

p('Ereignis tritt ein'')

= Wahrscheinlichkeit,

dass ein Ereignis eintritt

verwendet. Das Formelzeichen P entstammt dabei diesmal nicht dem englischen, sondern dem franzosischen 5prachraum, es ist der Anfangsbuchstabe des franzosischen Wortes probabilite (Wahrscheinlichkeit). Denn es war vor allem der franzosische Mathematiker P. Laplace (1749 bis 1827), der sich urn die Grundlagen und die Begriffsbildung der Wahrscheinlichkeit verdient gemacht hat.

1.2.3

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie

Das Ergebnis eines Zufallsexperiments ist ein zufdlliges Ereignis. Zufallige Ereignisse werden oft mit grofSen lateinischen Buchstaben abkurzend bezeichnet. 50 sind zum Beispiel beim Zufallsexperiment denkbar:

"Werfen eines Wlirfels" folgende Ereignisse

Ereignis A: di e Augenzahl i st gerade Ercignis B: di e geworfene Augenzahl i st 3 Zwei Ereignisse werden besonders hervorgehoben,

das sichere und das unmoglicbe Ereignis:

Ein Ereignis, das im Ergebnis jeder Wiederholung eines Zufallsexperiments notwendigerweise eintritt, wird als sicheres Ereignis bezeichnet. Fur das sichere Ereignis ist das Symbol n ublich.

22


Ein Ereignis,

das im Ergebnis

treten

wird

kann,

das Symbol

jeder Wiederholung eines Zufallsexperiments niemals einEreignis bezeichnet. Fur das unrnogliche Ereignis ist

als unmogliches

0 gebrauchlich.

So ist zum Beispiel

fur das oben

angefuhrte

Ercignis 0: di e geworfene Ereignis

Augenzahl Augenzahl

das sicbere beziehungsweise

eine Moglichkeit,

1.2.4

0: di e geworfene

Ereignissen

arbeiten

Das Ereignis

wir das Zufallsexperiment Ereignis Ereignis

die Beziehung

Ereignis

zu beschreiben.

und auch

die BezieOperationen mit

A ~ B), wenn

mit dem Ein-

man einige

definieren

B (in Zeichen

Begriffe,

B eintritt. ein Wut:l mit zuei Wiit:leln, so ist mit

A: es wurde ei ne 3 und ei ne 4 geworfen B: es wurde mindestens ei ne gerade Zahl geworfen

A c B erfullt,

Gilt A ~ B und B ~ A, dann werden Bcirn Zufallscxpcrirncnt Ereignis Ereignis

1.2.5

benotigt

Ereignissen

A heiist Teilereignis des Ereignisses

von A stets auch das Ereignis

Betrachten

gleiche

dasunmogliche

zu konnen,

hungen (Relation en) zwischen zufalligen zufdlligen Ereignissen festlegen.

Beispiel:

i st kl ei ner al s 7 i st groBer al s 6

Beziehungen zwischen zufalligen Ereignissen

Um mit zufalligen

treten

Zufallsexperiment

die beiden

Ereignisse

als gleich bezeichnet,

ein Wurl mit einem Wiit:lel sind die bcidcn

A: es wurde ei ne durch 3 teil bare Augenzahl B: es wurde ei ne 3 oder ei ne 6 geworfen

A = B. Ercignisse

geworfen

Ereignisse.

Operationen mit zufalligen Ereignissen C heifst Summe der Ereignisse A und B, wenn gilt: C tritt genau dann ein, mindestens eines del' beiden Ereignisse A oder B eintritt. Man schreibt C=Au B.

Ein Ereignis wenn Beispiel:

Ereignis

Ereignis Ereignis

A: es wurde ei ne 2 oder ei ne 4 geworfen B: es wurde ei ne 4 oder ei ne 6 geworfen C: es wurde ei ne gerade Zahl geworfen

0 heitst Produkt der Ereignisse A und B, wenn gilt: 0 tritt genau dann soioobl das Ereignis A als aucb das El'eignis B eintritt. Man schl'eibt C=A11 B.

Ein Ereignis wenn Beispiel:

El'eignis A: es wurde ei ne 2 oder ei ne 4 geworfen El'eignis B: es wurde ei ne 4 oder ei ne 6 geworfen El'eignis 0: es wurde ei ne 4 geworfen

ein,

2

ZufallsgroBe und Verteilungsfunktion

2.1

ZufallsgroBe

2.1.1

Definition

Wir wollen jetzt die Arten der betracbteten Zufallsexperimente und deren Mengen an zufallige Ereignisse, mit den en wir uns beschaftigen, etwas eingrenzen. Bisher formulierten wir in Worten die Ereignisse, mit denen wir uns beschaftigten, zum Beispiel in der Art "Fin As wird aus einem Skatblatt gezogen" oder .Eine Sechs wird gewurfelt" oder .Beim Munzwurf sieht man das Wappen. Ab jetzt wollen wir speziell nur noch von solchen Zufallsexperimenten sprechen, die entweder aus sich selbst heraus Zablen-Ereignisse liefem oder deren Ereignisse sich auf sinnvolle Art als Zablen kodieren lassen. Diese speziellen Zufallsexperimente

nennt man Zufallsgrofsen.

Wenn ein Zufallsexperiment ein zablenmdfsiges Ergebnis liefert oder wenn die eintretenden Ereignisse sich sinnvoll durch Zablen kodieren lassen, dann spricht man von einer Zufallsgrofse. Das Zufallsexperiment "Wurfeln" liefert ebenso wie das Zufallsexperiment "Gewichtsbestimmung in der Fufsgangerzone" sofort Zablenioerte - damit erhalten wir sofort Zufallsgrofsen, cs braucht kcine Kodicrungs-Ubcrlcgungcn zu gebcn. Wenn dagegen beim Zufallsexperiment "Munzwurf" das verbal (mit Worten) formulierte Ereignis "Wappen" mit einer Zahl (zurn Beispiel mit der Null) und das gegenteilige Ereignis .Zahl' auch mit einer Zahl (zum Beispiel mit der Fins), kodiert wird, dann konnen wir folglich auch in diesem Fall von einer Zufallsgr6jse sprechen. Ebenso kann man bei der Qualitdtseontrolle elas in Worten formulierte Zufallsereignis "Produkt ist brauchbar" mit der Zahl Fins kodieren, Zahlt das Produkt aber zum Ausschuss, dann kann es beispielsweise mit der Zahl Null kodiert werden. So kommen wir auch dart zu einer zablenrndfsigen Bescbreibung des Ergebnisses des Zufallsexperiments und konnen wieder von einer ZZ{fallsgr6/sesprechen. Jede zufallige Messung ist gleichzeitig sofort eine Zufallsgroise, sie liefert mit dem Messwert eine Zah!. Jeden andere zufallige Zablen-Beobacbtung (z. R. die Anzahl der in einer bestimmten Stunde an einer Mautstelle ankommenden Fahrzeuge) lasst uns, da stets eine Zahl geliefert wird, auch hier von einer Zl.Jjallsgr6jle sprechen. Fur Zz?fallsgr6/iien benutzt man grolSe lateinische Ruchstaben X, Y, Z, ... £iir die konkreten zahlenmafSigen Freignisse dieser "Zahlen liejernder ZZ{fallsexperimente" benutzt man dagegen zugehbrige kleine, mit Hilfe eines tiefgestellten Index nummerierte Buchstaben: (2.01)

x = "Wurfeln": Xl

=1, x2 =2, x3 =3, x4 =4, Xs =5, x6 =6

2 Zufallsgr6JSeund Verteilungsfunktion

24

Wenn wir im folgenden also nicht mehr ganz allgemeine, beliebige, in Worten formulierte zufallige Ereignisse betrachten, sondem nur noch zufallige Zahlenereignisse (also ZufallsgrbiSen), dann entfemen wir uns von der mathematischen Disziplin Wahrscheinlichkeitsrecbnung und nahern uns der matbematiscben Statistik, die grundsatzlich nur mit Zablen umgeht.

2.1.2

Drei Arten von ZufallsgroBen

Eine Zufallsgrofse X heiist alternatiu, wenn sie nur zwei verschiedene Werte nehmen kann.

XI

und

X2

an-

Eine alternative Zujallsgr6jSe tritt dann auf, wenn ein Zufallsexperiment mit genau ztoei uerschiedenen Zablenereignissen durchgefuhrt wird (zum Beispiel der kodierte Muneuiurf oder die kodierte Qualitatskoritrolle). Die Symbolik P(X=x) bezeichnet dabei abkurzend die Wahrscheinlichkeit, dass das Zufallsexperiment den Zahlenwert XI liefert, entsprechend bezeichnet P(x=x) die Wahrscheinlichkeit, dass das Zufallsexperiment den Zahlenwert x2liefert. Da bei solchen Altemativ-Zufallsexperimenten odcr X2 eintrctcn muss, gilt die Bczichung

stets eines der beiden Zahlenereignisse x,

(2.02) Anders formuliert: Wenn das eine Zahlcncrcignis XI mit der Wahrschcinlichkcit PI cintritt, dann besitzt das andere Zahlenereignis X2 immer die Wahrscheinlichkeit P2 = i-PI' Die beiden Ereignisse sind komplemenuir zueinander. Eine Zufallsgrojse X heitst diskret, wenn sie nur einige verschiedene Werte x., annehmen kann.

X2,

... ,

x;

Eine disk rete Zufallsgr6jse tritt dann auf, wenn ein Zufallsexperiment mit einigen uerscbiedenen Zablenereignissen durchgefuhrt wird (zum Beispiel das Wiirfeln). Die Symbolik P(X=xb) (k = 1, ... , n) bezeichnet dabei abkurzend die Wahrscheinlichkeit, dass das Zufallsexperiment gerade den Zahlenwert xk (k = 1, ... , n) liefert. Da stets eines der Zahlenereignisse XI, X2, ... zeluiahrscheinlichleeiten gleich Eins werden: (2.03)

P(X=x\ )+P(X=x2)+

...+P(X=xJ

,

x; eintreten wird, muss die Summe aller Ein-

=1

Fur die Formel (2.03) benutzt man gem abkurzend das Summen.zeichen: (2.04)

P(X=xk)

=I

k~l

Wir wollen hier nicht - was folgerichtig ware - sofort die Definition einer stetigen Z~!lallsgr6jse folgen lassen. Denn diese werden in anderer Weise erklart und behandelt.

2.2 Zugang zur Verteilungsfunktion

25

Stetige Zufallsgrofsen, die sich bei Zufallsexperimenten mit einer unuberschaubaren Vielfait an moglichen Ereigniswerten (z. B. Messungen aller Art) ergeben, werden grundsatzlich anders behandelt als alternative oder diskrete ZufallsgrblSen. Deshalb soli erst einmal der Regriff der Verteilungsfunletion fur alternative und disk rete Zujallv!,r6/sen eingefuhrt werden. Dann folgt spater im Abschnitt 4 auf Seite 55 der Begriff der stetigen Verteilungsfunhtion, der uns dann anschlielSend zum Begriff der stetigen Zzifallsgr6t<en fuhren wird.

2.2

Zugang zur Verteilungsfunktion

2.2.1

Verteilungsfunktion beim WOrfeln

Betrachten wir nun die Zufallsgroise X= "Wz:iz:/eln", mit den sechs mbglichen Zablenereignissen ,,1"oder ,,2" oder ,,3"oder ,,4"oder ,,5"oder ,,6". Aile zufdlligen Zablenereignisse beim Wtirfeln haben dieselbe Wahrscheinlichkeit, also muss diese gleich sein: Die Wz:irfel-Zl~fallsgrc!fseX nimmt ihre sechs rnoglichen Werte 1 bis 6 mit jeweils gleicher Wahrscheinlichkeit 1/6 an.

(2.05)

P(X=I)=-,

I

6

P(X=2)=-,

I

6

... ,P(X=6)=-

I

6

Da der Ausgang des Zufallsexperiments hier auf naturliche Weise durch Zablen beschrieben wird, kann uns niemand hindern, eine (vorerst rein akadernische) Frage zu stellen: •

Wie gralS wird die Wahrscheinlichkeit sein, dass der Zahlenuiert des Zufallsereignisses gleich Minus 1 oder sogar nocb hleiner als Minus 1 wird?

Wir suchen also, mit anderen Worten, die Wahrscheinlichkeit, dass beim Wtirfeln nach einem Wurf der Wert Minus 1 oder ein nocb leleinerer Wert auf dem Wiirfel zu lesen ist. Forrnelmafsig wird die Fragestellung so beschrieben: •

Wir suchen P(X ::S-1).

Naturlich muss diese Wahrscheinlichkeit gleich Null sein, denn es wird wahl nie jemandem gelingen, nach einem Wurf mit einem handelsublichen Wiirfel auf diesem Wurfel die Beschriftung Minus Eins oder wornoglich eine nocb hleinere Zahl zu Iesen: (2.06)

p(X::S-I)=O

Auch die Wahrscheinlichkeit, dass Minus einbalb (-1/2) oder eine nocb kleinere Zahl auf dem Wtirfel zu sehen sein wird, ist wieder Null: (2.07)

I P(X2).

We iter sind dann aile Wahrscheinlichkeiten

pex=x),

... , pex=xr)

bekannt.

Aile diese Angaben konnen stets von den Sprungstellen und Sprunghoben der Verteilungsfunktion abgelesen werden.

aus dem Bild

Mit anderen Worten, wir behaupten: Die Verteilungsfunktion F'/x)=peX-Sx) einer Zufallsgrofse X liefert uns aIle notwendigen Informationen tiber die Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten unseres Zahlen-Zufallsexperiments. Alles, was uns an einer Zufallsgrofse X interessieren konnte, insbesondere Wahrscheinlichkeiten, konnen wir ihrer Verteilungsfunktion F,/x) entnehmen. So lautet die Behauptung. Sehen wir uns clazu ein Beispiel an. Eine Zufallsgrojse

(3.01)

Fx(x)

X besitze die folgende Verteilungsfunktion:

°

0,5

Osx x2, ... , x; der Verteilungsfunktion Fy(x)=P(X-:::.x) konnten wir erkennen, dass die Zufallsgrojse die Werte x., x2 , ... , x; annimmt. An den Sprungboben konnten wir die Wahrseheinliehkeiten P(X=x P(X=x~ , ... , P(X=x) fur die zufalligen Zahlenereignisse ablesen. j),

Doeh nun? Bei dieser Verteilungsfunktion aus Bild 4.1 gibt es keine Sprungstelien, demzufolgc auch keine Sprungbohen. Nimmt die so besehriebene Zufallsgr61SeX also folglieh uberbaupt nieht einen einzigen einzelnen Wert X mit einer gewissen Wahrseheinliehkeit P(X=x) an? So ist es. Die dureh die Verteilungsfunktion von Bild 4.1 besehriebene Zufallsgrotse X nimmt nieht wenige einzelne (diskrete) Werte an, sondern sie nimmt unuberscbaubar viele Werte aus einem grofsen Bereich an. Man sagt aueh gem, die dureh die Funktion aus Bild 4.1 besehriebene Zufallsgrofse X besitzt unendlieh viele Merkmaluierte. Sie wird deshalb als stetige b!/allv!,roj.sebezeichnet. Eine stetige Verteilungsfunktion besehreibt eine stetige Zufallsgrofse X, die unendlieh viele Merkmaluierte annehmen kann. Unter diesen unendlieh vielen Merkmalwerten spielt ein einzelner Wert offensiehtlieh keine Rolle, so dass er nicht - wie bisher - dureh eine Sprungstelle in der Verteilungsfunktion hervorgehoben wird. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine stetige Zufallsgroise X einen einzelnen bestimmten Merkmalwert X annimmt, ist folglieh Null: P(X=x)=O. Damit erhebt sich die Frage, welehe Informationen uber die Zufallsgr61SeX wir denn nun uberhaupt aus dern Bild der Verteilungsfunktion ablesen konnen?

4.1 Einfuhrung

'57

Aus dem Bild der Verteilungsfunktion vall- Wahrscheinlichkeiten ablesen. P(X::; x)

(4.02)

P(X>x)=

einer stetigen ZL!fallsgr6t1e X lassen sich drei Inter-

= Fx(x) I-FAx)

P(x] < X::; x2)

= Fx(x2)

-

FAx])

•

Wir erfahren mit Hilfe des Bildes der Verteilungsfunletion einer stetigen ZL!fallsgr6.fseX also, wie grog die Wahrscheinlichkeit ist, dass die Zufallsgrofse X einen Merkmalwert annimmt, der links von einem gegebenen Wert liegt.

•

Ebenso konnen wir sofort ablesen, wie grolS die Wahrscheinlichkeit ist, dass die Zufallsgroge X einen Wert annimmt, der gr6.f.serist als ein gegebener Wert.

•

Und schlieislich liefert uns die Verteilungsfunktion die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgrotse X einen Wert innerhalb eines gegebenen Interualls annimmt.

Die Bilder 4.2 bis 4.4 zeigen, wie man entsprechend der gestellten Aufgabe ablesen muss. 0,95 0,9 0,85

PIX~xl

0,8 0,75 0,7 0,65

0,_ 0,55

0,_ 0,45 0,' 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 .0,5

0

0,5

1

1',5 x

2

2,5

:3

3,5

Bild 4.2: Wahrscheinlichkeit

4

4,5

=5

5,5

6

6,5

7

7,5

a

8,5

6,5

7

7,5

B

8,5

P(Xsx) ablesen

0,95 0,9 0,85 0,8

~-"-----.(

0,75 0,7 0,65

0,_ 0,55

0,_ 0,45

0,' 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 -0,5

0

0,5

1

1',5 x

2

2,5

:)

3,5

Bild 4,3: Wahrscheinlichkeit

4

4,5

=5

5,5

6

P(X>x) ablesen

4 Stetige Verteilungsfunktionen und stetige Zufallsgrosen

58

Dem Bild 4.2 konnen wir beispielsweise sofort entnehmen, dass die Wahrscheinlichkeit dafur, dass die ZufallsgrblSe X einen nichtpositiuen Wert annimmt, gleich Null ist. Denn es kann z. E. sofort abgelesen werden: P(X~-l)=Fl-l)=O. Weil die Wahrscheinlichkeit fur das Auftreten eines Zahlenereignisses recbts der 5, wie wir aus Bild 4.3 weiter entnehmen konnen, offensichtlich weniger als 1 Prozent betragt, konnen wir davon ausgehen, dass un sere nach Eild 4.1 verteilte ZufallsgrblSe X vorrangig Zablenwerte zwischen 0 und 5 annehmen wird.

-

1

tP1"'XSy

0,95 0,9 0,85 0,8 0,75 0,7 0,65 0,6 0,55 0,5 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0

1

)(1'

2

3x~

4

Bild 4.4: Wahrscheinlichkeit

5

P(Xl<X~X2)

6

7

8

ablesen

Am wahrscheinlichsten ist, dass die nach Bild 4.1 verteilte Zufallsgrofse X Zablenioerte zwischen Null und Eins annehmen wird (Bild 4.5). 1 0,95

~

0,_ 0,85 0,_ 0,75 0,7 0,65 0,_ 0,55

PI2Jl+3G')-1-F(Jl+3G') 0,00135 0,00135 0,00135 0,00135 0,00135 0,00135 0,00135 0,00135 0,00135 0,00135 0,00135 0,00135 0,00135 0,00135 0,00135 0,00135 0,00135 0,00135

ergeben sich gleiche Wahrscheinlichkeiten

Eigenschaft 3: Wie auch imrner Jl und a gewahlt werden - die Wahrscheinlichkeit, dass eine N(Jl,rJ)-verteilte Zufallsgroise X Werte zwischen x=Jl-rJ und x=Jl+rJ annehmen wird, betragt immer 68,3%. Das bcdcutct, class wir bci massenhafter Wicclcrholung cines Zufallscxpcrimcnts, des sen Zahlenereignisse nach N(up)-verteilt sind, damit rechnen konnen, dass in mebr als zwei Drittel alter Fdlle der beobachtete zufallige Zahlenwert in das Intervall fl'-(J,Jl+rJ]fallen wire!.

0,9

0,8

0,7

N(IJ,o) mit 1J=100,0=30

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

15

25

35

Bild 5,3: Mebr als zwei Drittel im symmetriscben

Streifen der Breite

2rJ urn Jl

65

5.1 Eigenschaften normalverteilter Zufallsgrosen

Dahei gilt zusatzlich wegen cler Symmetrie von NCjJ,a), class ungefahr die Hdlfte clieser zwei Drittel, also ein Drittel, in das linke Teilintervall fallen wird und das andere Drittel in den gleichbreiten Streifen rechts von u, Offensichtlich hat der Parameter jJ der Normalverteilung eine ganz besondere Bedeutung. Die hereits mitgeteilten Wahrscheinlichkeiten sowie alle Bilder von NCjJ,a) lassen den Schluss zu, dass man bei massenbafter Wiederholung eines Zufallsexperiments mit norrnaloerteiltem Ausgang erwarten kann, dass vorrangig ein Wert in der Nahe von jJ eintrifft, und zwar mit gleicher Wahrscheinlichkeit links oder rechts von u, Werte der Zufallsgrofse in Bereichen, die von jJ weit entfernt sind, werden demnach nur mit geringen Wahrscheinlichkeiten zu beobachten sein. Der Parameter jJ wird deshalb Enoartungsioert der Normalverteilung NCjJ,a) genannt. Der Parameter (J dagegen steuert die Steilheit (vergleiche Bild 5.4).

der Funktionskurve der Normalverteilung

Er sorgt damit insbesondere fur ein breites oder schmales 3(J-Intervall !{i-3(J, jJ-3(J}, in das mit 99,7-prozentiger Wahrscheinlichkeit die Ergebnisse des Zufallsexperiments, d. h. die Werte der Zufallsgrofse X, fallen werden. Die meisten Werte einer normalverteilten Zufallsgrojse fallen mit gleichhohen Wahrscheinlichkeiten in die beiden gleichbreiten Streifen !{i-a, jJ} und ~l, jJ+a} rechts und links vom Erwartungswert. Die Breite dieser Streifen hangt bei gegehener Wahrscheinlichkeit vom Parameter (J ab. Bild 5.4 veranschaulicht die Wirkung des Parameters (J anhand von zwei Normalfunktionsbildern mit gleichem Enoartungsioert ur l Otl, aber zwei verschieden grojsen Werten von (J. Fur (J=30 gilt P(jJ-a<XS jJ+a)=O,8 fur a=38,5. Fur (J=I 0 dagegen erhalt man dieselbe Intervall-Wahrscheinlichkeit P(jJ-a<XS jJ+a)=O, 8 fur den wesentlich kleineren Wert a=12,8. In beiden Fallen betragt die Wahrscheinlichkeit dafur, dass Werte aufserbalb zeichneten Interualls angenommen werclen, nur noch 20 Prozent.

~ +---------------O,/f'------_ +---------/--+--+-------1 +---------/-+----+------1 +----------7---+-------1 '1~IOO,o~30

/

+----------+----+-------1 / j--'B=e~1 a==3~O=fa="e~nw~a=h~r-------1----+-------1 scheinlich

80% aller

/

t-'-~~aHsj~e--~I-----+--------1 X in dieses Intervall

__",-

des gekenn-

/ 0,'+----------/1------_ "'+----------+/+--------1 0"+--------++/--------1 0,'+-----------+-+---------1

I t---------+----'NGe----1 I

'1~IOO,,,~10

Bei 0=10 fallen wahr-

0,'+----------+----""'-="'-"''=-'''''''''-------1 schelnllch

OA

80% aller

/

/

X in dieses Interval!

0,,+---------/-----r-------1

/

/

j~ o

10

20

30

40

50

60

70

80

Bild 5.4: Ie kleiner (J, desto gr6fser ist die Wahrscheinlichkeit

Je groBer der Wert des Parameters (J, desto breiter streuen teilten ZufallsgrbBe X um den Erwartungswert u,

I

-:

t.>

90100110120130140160160170180190

del' Ndhe zu jJ

die Werte einer normalver-

66

5 Normalverteilte Zufallsgrosen

Der Parameter a wird deshalb Standardabweichung

der Normalverteilung N(fl,a) genannt.

Fassen wir zusammen: Ist von einer Zufallsgrofse X bekannt, dass sie N(fl,a)-verteilt ist und kennt man die Werte fur den Erwartungswert fl und die Standardabweichung a, dann lassen sich aile Intervall-Wahrscheinlichkeiten Fx(x)=P(X-Sx) aus der Funktionskurve ablesen oder mit der Excel-Funktion =NORMVERT( ; WAHR) berechnen. Weiter kann man dann die Wahrscheinlichkeiten P(X>x) und P(xj<X-Sx) aus der Funktionskurve ahlesen oder unter Verwendung derselben Excel-Funktion berecbnen. P(X>x)

=

P(x,<X-Sx)

l-P(X-Sx) =

=

1- Fx(x),

P(X-S x2)- P(X-S x.)

=

F/x)

- Fixl)

Was sollen wir aber tun, wenn wir zwar wissen, dass eine zu untersuchende Zufallsgr61Se X normalverteilt ist, wenn wir aber die Parameterwerte fl und/oder a nicht kennen? Obrte Angaben zu den Parametern fl und a kann keine Funktionskurve der Normalverteilungsfunktion Ntu,«) mit Excel hergestellt werden. Denn ohne Werte fur fl und a kann die Excel-Funktion =NORMVERT( ; WAHR) nicht verwendet werden. Also konnen ohne Angaben zu den Parametem fl und a keine Intervall-Wahrscheinlichkeiten fur X ermittelt werden. Wie ist in solchen Fallen vorzugehen? Gibt es einen Ausweg? In solchcn Fallen rnusscn die fchlcndcn Parameter gescbatzt wcrdcn,

5.2

Pararneterschatzunqen

fUr die Normalverteilung

Als Ausgangspunkt fur eine Scbatzung der Parameter muss eine Stichprohe in folgender Weise gezogen werden: Das Zufallsexperiment, von clem bekannt sein soli, dass seine zufalligen Zahlenereignisse normaluerteilt sind, wird einige Male durchgefuhrt. Dabei ergeben sich gariz konkrete Zahlenwerte, die zusammen die Stichprohe bilden. Die Anzahl cler erhaltenen Werte nennt man den Umfang der Stichprobe. Jeder Stichprobenwert wird dabei als eine Realisierung der (unbekannten) X bezeichnet.

Zufallsgr6jse

Naturlich ist jecle Stichprobe dem Zufall unterworfen - urn clas zu betonen, sollte besser sogar von einer Zufallssticbprobe gesprochen werden. Jede andere (Zufalls-)Stichprobe wird grundsatzlich andere Werte liefem. Sollten wir uns so dem Zufall ausliefem? Es gibt keine andere Moglichkeit - ohne Stichprobe ist eine Schatzung cler Parameter der Normalverteilung unmoglicb. Wenn die n erhaltenen Stichprobenwerte mit x., x2, ... , x; bezeichnet werden, dann sind nach den folgenden Formeln die beiden Sticbprohenparameter x und s zu berechnen: I

X (5.01)

=-

n

(XI + x2 + ...+ xn)

I =-

n

n

LXi i~1

67

5.2 Parameterschatzungen fur die Normalverteilung Der Stichprobenparameter

x henst Mittelioert Coder Durchschnittswert) der Stichprobe.

Der Stichprobenparameter s heitst (ernpirische) Standardabioeichung

der Stichprobe.

Hintoeis: Beide Stichprobenparameter konnen mit den Excel-Funktionen

=MITTELWERT( =STABW( angefordert werden. Dabei muss links uom Doppelpunkt der Name der Zelle eingetragen werden, in der sich der erste Stichprobenwert befindet, rechts uom Doppelpunlet muss der Name der Zelle stehen, die den letzten Stichprobenwert enthalt. Bild 5.5 zeigt eine kleine Stichprobe einer narmalverteilten Zufallsgrose, dazu die Farmeln und Werte der beiden Sticbprobenparameter x und s. A

B

C

0

1

74,65

x

=MITTELWERT(A1

2

B9,56 13B,15 36,07 105,53 95,62 13B,6B 123,39 99,45 93,2B 113,84 124,33 B1,BB 72.,60 95,53

S

=STABW(A1 :A151

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

A

:A 15)

B

C

0

1

74,65

x

9B,B4

2

B9,56 13B,15 36,07 105,53 95,62 13B,6B 123,39 99,45 93,2B 113,B4 124,33 B1,BB 72.,60 95,53

S

27,12

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Bild 5.5: Stichprobe und Excel-Funletionen [ur die belden Stichprobenparameter Mit den beiden jetzt verfugbaren Stichprobenparametern x und s konnen die beiden unbekannten Parameter der Normalverteilung, der Ertoartungstoert fl und die Standardabweichung (J, nach den folgenden Regeln gescbatzt werden: Als Scbdtzu.ng fur den unbekannten Parameter u, den Enuartungsuiert lung, sollte der Sticbprobenmitteltuert xvelwendet werden.

der Normaluertei-

Als Schatzung fur den unbekannten Parameter (J, die Standardabioeichung uerteilung, sollte die Stichprobenstandardabtoeichung s verwendet werden.

der Normal-

Die Begrundung fur diese beiden Regeln (und auch die Schatzregeln aus Abschnitten 3.2.2 und 3.3.2 auf den Seiten 42 und 51) finden sich in einem speziellen Gebiet der mathematischen Statistik, der so genannten Scbtitztheorie. Dart werden zuerst Kriterien fur die Gute von Schatzungen farmuliert, anschlieisend wird bewiesen, dass die beiden genannten Stichproben parameter jeweils Om Sinne dieser Kriterien) die besten Schdtzungen darstellen. Einzelheiten dazu konnen z. B. in [1] und [21] nachgelesen werden.


68

Was bleibt noch zu tun? Erinnem wir uns - bisher sincl wir immer clavon ausgegangen, dass wir unssen, dass eine Zufallsgrofse normaloerteilt ist. Sind zusatzlich die beiden Parameter J1 uncl (J bekannt, clann konnen wir aile gewunschten Intervall-Wahrscheinlichkeiten fur die Zufallsgrotse abies en oder berechnen. Auch fur den Fall, dass wir die Erwartungswert und Standardabweichung nicht kennen, haben wir cloch wenigstens angenommen, class das Zufallsexperiment, mit clem wir unsere Stiehprobe zur Scbatzung der Parameter erzeugen, uns solche Stichprobenioerte liefem wird, die im Wesentlichen die Eigenschaften normalverteilter zufalliger Zahlenergebnisse besitzen. Was aber ist zu tun, wenn wir derartige a-priori-Informationen e"Vorher-Informationen") nicht besitzen? Wenn wir Aussagen uber Intervallwahrscheinlichkeiten cler Zahlenergehnisse eines Zufallsexperimentes machen soilen , ohne zu wissen, ob clie Zufallsgr6lSe, clie dieses Zufallsexperiment beschreibt, uberhaupt normalverteilt ist?

5.3

Normalverteilung mit einer Stichprobe erkennen

5.3.1

Autgabenstellung, Grundsatzllches

Wir betrachten also jetzt ein Zufallsexperiment mit zufdlligen Zahlenergebnissen, das durch eine Zufallsgrofse X beschrieben wird. Es liegen aber keine Informationen uber die Verteilungsfunktion Fx(x)=P(X-:;.x) clieser ZufallsgrcilSeVOL Haben wir dann uberhaupt eine Chance, fur X eine der drei gesuchten Intervallwahrscheinlichkeiten P(X-:;'x), P(X>x) oder Ptx, < X -:;.x.) ermitteln zu konnen? ]a. Denn sofern eine mit dem Zufallsexperiment gezogene Stiehprobe erkennen lasst, dass sie grundsatzlicb die Eigenscbaften normaluerteilter Zufallsgrofsen besitzt, dann sprieht nichts dagegen, Normalverteilung anzunehmen. Aus der Stichprobe konnen dann der Erwartungswert J1 mit x und die Standardabweichung (J mit s geschatzt werden.

5.3.2

Wann dart Normalverteilung an genom men werden?

Wie aber kann man einer Stichprobe ansehen, class sie grundsatzlich clie Eigensehaften normaluerteilter Zu/allv!,r6/sen besitzt? Dafur gibt es ztoei Bedingungen. • Die Stichprobenwerte rnussen sich fast vollstandig Coder wenigsten uberwiegend) im so genannten 3s-Bereieh, clem Intervall [x-3s, x+3s} , das symmetrisch zum Stichprobenmittelwert x ist, befinden. • Wenn weiterhin das Histogramm der Stichprohe eine Glockenform hat, dann spricht nichts dagegen, fur clie Zahlenergebnisse des Zufallsexperiments, d. h. fur die ZufallsgrblSe X, eine Normalverteilung anzunehmen. Man sagt dann, die Stichprobe starnrnt aus einer normaloerteilten Grundgesamtheit. Auch hier gilt wieder: Alles basiert eigentlich nur auf einer (Zufalls-)Stichprobe. Wer weilS, ob das alles richtig ist? Doch was sollen wir machen - wir konnen nur auf der Basis einer Stiehprobe uberhaupt zu Aussagen kommen. Anders geht es nicht.

69

5.3 Normalverteilung mit einer Stichprobe erkennen

Sehen wir uns nun zuerst an, wie die 3s-Bedingung einer Stichprobe uberpruft wird. Anschlieisend mussen wir erfahren, was ein Histogramm ist, und schlieislich muss die Vokabel Glochenform erklart werden. Fangen wir an.

5.3.3

OberprOfung der 3s-Bedingung

Auf dem Excel-Blatt in Bild 5.6 sind ab Zelle A22 die ersten Werte einer umfangreichen Zufalls-Stichprobe (5000 Werte) zu sehen. Oben erkennen wir die wichtigen Kenngrofsen der Stichprobe, der Sticbprobenmitteluiert betragt ca. 100 und die Stichprohenstandardahweichung 5 hat ungefahr den Wert 15. A

B

MiUelwert:

A

B

MiUelwert:

99,9335

x

Standard2

2 3

Varianz:

4

4 5 ,6 7

Minimum

~Bl·3'B2 ~Bl+3'B2

6 7

abweichun

Maximum linke 3s-Gr,enz,e r,"cht," 3s-G'r,enz,e

8 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Zu untersuchende

Zu untersuchende

St.ichprobe

Stichprobe

21 22 23 24 25 26

21 83,2060780136089 101,830744622566 97,1165038914478 91,830731 0053933 97,7789968852449

22

23 24 25 26

83,20607801 101,8307446 97,11650389 91,83073101 97,77899689

Bild 5.6: Stichprohe mit 3s-Bedingung Damit lassen sich sofort die Grenzen des 3s-Bereiches angeben: Die linke Grenze des 35Bereiches befindet sich bei ca. 55, die rechte Grenze des 3s-Bereiches bei ca. 145. Erst einmal muss festgestellt werden, dass das Minimum der Stichprobe mit rund 44 auiserhalb des 3s-Bereiches liegt, ebenso liegt der gr6jlte Wert der Stichprohe mit ca. 150 augerhalb des 3s-Bereiches. 1st also schon die erste Bedingung aus Abschnitt 5.3.2 nicht erfullt? Wenn man aber die Stichprobe der Grage nach ordnen lasst, dann kann sofort abgelesen werden, dass lediglich 12 Stichprobenwerte autserhalb der 3s-Grenzen liegen. Zwolf von funftausend - es sind gerade einmal 0,2 Prozent aller Stichprobenwerte autserhalb der 3s-Grenzen. Da darf wahl doch formuliert werden, dass sich die Stichprobenwerte fast ausscbliefslich innerhalb der 3s-Grenzen befinden.


70

Histogramm

5.3.4

Ein IIistogramm Klasse.

ist cine grafische Darstdlung

in Saulcnform, jcdc Saulc cntspricht eincr

Eine Klasse ist ein schmales Teilintervall des Bereiches

aller Stichprobenwerte.

,Xmax}

Die Hobe jeder Sdule gibt dann an, wie viele Werte der Stichprobe sich in der jeweiligen Klasse befinden. K

A Mitlelwert:

~

99,9335

linke Klassen-

rechte Klassen.

M

Anzahl

-'-5.-01-35i~-=.~:",,::::ze~~:",,~e~5::ze~~=~4=~-=====;=====;=====;=====;=====~=====~=====~====~-jll ~~~~~:~1 2~i::~~~ -I-Z,;~~--+------;::Z:--+----+;4.-------1-,-----'------'------'------'-----'-----'-----'--,---11 ==.~=~~;=~=j::ti =~=~~;t: ~= 1000(r--------_.-----------___1

r2+---'b-";~'--~~l--'hdua-~det. 5

8 10 12 14 ~

MaXimun~ rel~nh~~~~:~~:~~~

9

11

13

15 16

18 2019 17

2122 2524

65

ti

102

85 ~4 815 101 108 858 115 122 410 129 135 75

900

11

101

925

108

115

743

8001/

J------------h---------i

94

100

J------------.-..---------i 1/ 11

122

129

217

600

1)6 143

143 15,1

37 14

400111/~~----____I

500

300

II....•

200111/J------1 zu untersuchende Stichprobe

23

83,20607801 101,8307446

26

91,83013101 97,77899689

100O~

t/

."

'"

."

Grundgesamtheit dienten

uns bisher

ob eine Stich probe

ledie

erfiillt, d. h. ob ihr Histogramm einer Glockenkurve dhnlich sieht.

Kapitel wird abel' daruber

informiert,

dass die Glockenkurve in engem

Zu-

mit del' Normaloerteilung steht.

Sic stcllt namlich schaftigt

Hilfe festgestellt

~":l

die so genannte

sich das folgende

Dichtefunktion del' Normalverteilung

Kapitel noch einmal

das spricht fur deren uberragende

Bedeutung

intensiv

dar. Ubcrhaupt

mit del' Normalverteilung

in del' Statistik.

be-

- auch

6

Normalverteilung, Glockenkurve, Quantile

6.1

Zusammenhange, Dichtefunktion

Im vergangenen Kapitel lemten wir auf Seite 73 die Glockenleurue lediglich als Anscbauungsmuster dafur kennen, wie ein Histogramm einer Stichprobe aussehen muss, damit wir sagen konnen, die Stichprobe verhalte sich ungefahr so wie eine normalverteilte Zufallsgroge - damit wir also davon ausgehen konnten, dass die Stichprobe aus einer normaluerteilten Grundgesamtheii stamme. Nun wollen wir die eigentliche Bedeutung der Glockenkurve kennen lernen. Zu jeder Normalverteilungsfunktion

N(j1,a)

gibt es genau eine zugehorige Glockenkurve.

...

Im Bild 6.1 sind oben nebeneinander die Funktionsbilder der beiden Normalverteilungen NO 00,30) und NO 00,10) und darunter die zugehorigen Glockenkurven angegeben.

-

,1~t=====t=====t=====~~~~~1f§==================~1 ,~I:.:==w ==:':;0"==:': pJ (Behauptung: del' Prozentsatz an Einsen in del' Grundgesamtheit ist gr6jSer als durch die Nullhypothese vorgegehen.) Zweiseitige Fragestellung:

-I H

2:

p,r

pJ

(Behauptung: del' Prozentsatz an Einsen in del' Grundgesamtheit ist anders als durch die Nullhypothese vorgegehen)

9.1.3

Signifikanzniveau und Stich probe

Ein Signifikanzniveau a muss vorgegehen sein. Damit wird die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art gesteuert: Ein Fehler 1. Art tritt dann auf, wenn die Nullhypothese Ho tatsachlich zutrifft, aber aufgrund del' Zufallsstichprohe zu Unrecht zugunsten del' betrachteten Gegenhypothese abgelehnt wird. Eine Zufallsstichprohe mit n Stichprohenwerten wird gezogen. Die Zahl n henst dann Urnfang der Stichprohe.

9.1.4

PrufgroBe

Die Einsen in del' Stichprohe (bzw. die Anzahl des zu prufenden Merkmalwertes) werden a bgezdhlt, und das Verhaltnis P* ihrer Anzahl zum Stichprohenumfang n wird herechnet.

9 Parameterprufung mit graBen Stichpraben

106

(9.01)

P*

Anzah! der Einsen in der Stichprobe n

Wird der Antei! p* der Einsen in der Stichprobe dabei in Prozent (0% < p* < 100%) angegeben, so ergibt sich der Wert cler Prufgro'Se z aus cler Formel (9.02)

P *- Po

z = ~

Po

100- Po

n Wircl cler Anteil P" cler Einsen in der Stichprobe in Teilen der Eins so ergibt sich der Wert der Prufgrofse z aus der Forme! z = P *- Po (9.03)

(0

l'eI

(Behauptung: Der Erwartungswert der Grundgesamtheit ist grof<er als durch die Nullhypothese vorgegeben.) Zweiseitige Fragestellung: (Behauptung: Der Erwartungswert der Grundgesamtheit ist anders als durch die Nullhypothese vorgegeben)

9.2.3


Ein Signifikanzniveau a muss vorgegeben sein. Damit wird die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art gesteuert: Ein Fehler 1. Art tritt dann auf, wenn die Nullhypothese Ho tatsachlich zutrifft, aber aufgrund der Zufallsstichprabe zu Unrecbt zugunsten der betrachteten Gegenhypothese ahgelehnt wird. Fine Zufallsstichprobe mit n Stichprobenwerten x, , heiist dann Umfang der Stichprobe.

9.2.4

X2, ... , XII

wird gezogen. Die Zahl n

PrufgroBe

Zuerst benbtigt man den Mittelwert x (das arithmetische Mittel) der Stichprobe: 1 n (9.04)

x=-n L> i~l

x kann elementar berechnet, oder schneller mit Hilfe der Excel-Funktion =MITIELWERT( ) beschafft werden, wobei dann in die Klammern der Bereich der Stichpro he einzutragen ist.

9.2

Prufung

des Erwartungswertes

mit graBen

Bei bekannter Standardabtoeicbung

{T

Stichpraben

berechnet

111

man die PrufgrbBe

Z

nach der Forme!

,X-JIo

(9.05)

z="\jn---

a Ist die Standardabuieichung

nicht behannt, muss zuerst anstelle Sticbprobenstandardabuieicbung) ermitte!t werden:

so genannte

s (die

von zr die Schatzung

(9.06) Dicsc Scbatzung fur die Standardabtoeichung beschafft diesem

werden,

wobei

in die Klammern

z nach folgender

Fall wird die PrufgrbBe

=STABW(

kann mit Hilfc der Exccl-Funktion der Bereich Formel

der Stich probe

einzutragen

ist. In

berechnet:

,X-j.l,

(9.07)

z="\jn---o

9.2.5

Quantile fur die Entscheidung mit dem Ablehnungsbereich

s

Entsprechend

der gegebenen

dardnormaloerteilung

Fragestellung

beschafft werden,

mussen

nun

Quantile der StanAblebriungsbereicbe erkennen

verschiedene

um die jeweiligen

zu konnen:

zJ

• Links einseitige Fragestellung: Hier wird das buantil benotigt. Es kann aus der Tabelle der Standardnormaluerteilung abgelesen (siehe Seite 91) oder mit Hilfe der Excel-Formel l=sTANDNORMINV( )1 beschafft werden, wobei in die Klammern von a einzutragen

der Zahlenwert Einseitige

ZI_J

• Rechts einseitige Fragestellung: Hier wird das buanti! benotigt. Es kann aus der Tabelle der Standardnormaluerteilung abgelesen oder mit Hilfe von l=sTANDNORMINV( )1 beschafft

Fragestellungen:

werden, zutragen Zweiseitige

ist,

Fragestellung:

wobei ist.

• Hier werden

in die Klammern

die buantile

der Zahlenwert

Za/2 und

zl_a/21 benotigt,

nen aus der Tabelle der Standardnormaluerteilung oder mit Hilfe von ESTANDNORMINV( in die Klammern tragcn sind.

9.2.6

Ablehnungsbereiche

• Links einseitige Fragestellung Der Ablebnungsbereich beginnt Za und

weiter

erstreckt

sich

bis in das negative

von

Zl-a

und

crstrcckt

beim

dart

,tt,tto:

Quanti! rcchts

die Zahlenwerte

von I-a ein-

Sie kon-

abgelesen

)1 beschafft werden, wobei von a/2 bzw. I-a/Z einzu-

112

9 Parameterprufung

• Zzueiseitige Fragestellung

HI : jt;rjto:

Quantil

sich von dart nach

Za/2 und

erstreckt

Stichpraben

Der linke Teil des Ablebnungsbereicbes beginnt links weiter

bis in das negative

Der rechte Teil des Ablehnungsbereicbes beginnt beim Quantil dort nach rechts we iter bis in das positive Unendliche.

9.2.7

mit graBen

Zl-a/2 und

beim

Unenclliche.

erstreckt

sich von

Entscheidung mit Ablehnungsbereich

Fallt die Prufgrofse Z in den Ablehnungsbereich der betrachteten Fragestellung, dann ist die Nullhypotbese zugunsten der betracbteten Gegenhypothese abzulehnen. Die Zufallsstichprobe spricht bei dieser Gegenhypothese signifileant gegen die Nullhypothese. Andernfalls gibt es keinen Grund zur Ablebnung der Nullhypothese: probe spricht nicht signifileant gegen die Hypothese.

9.2.8

Die Zufallsstich-

Berechnung von Oberschreitungswahrscheinlichkeiten

Vollig gleichwertig zur Ermittlung

mit den in den Abschnitten

der objektiv-statistischen

9.1.5 bis 9.1.7 geschilderten

Rechenschritten

ist die Methode der Uberscbreitungs-

Entscheidung

wahrscheinlichkeit. Sie unterscheidet

nungsbereichen. von der jeweiligen

sich

nur in der Vorgebensuieise von

Um diese

Methode

Fragestellung

anwenden

eine der beiden

Entscbeidung

der

zu konnen,

wird

zuerst

rnittels Ahleh-

in Abhangigkeit

Oberschreitungswahrscheinlichkeiten

be-

notigt: Einseitige

Fragestellung:

• Zur Entscheidung

bei beiden einseitigen Fragestellunoen

die einseitige Oberschreitungszuahrscheinlichkeit zu ermitteln.

Das kann

dardnormalverteilung ren

Zweiseitige

Fragestellung:

Ablesen

(siehe

Seite

Klammern

der

Zahlenwert

der

i

ist

= l-tP( Iz I]

in der Tabelle 109) oder

El-STANDNORMVERTCABS( ))1 erfolgen,

Funktion werden

durch

Ip

der Stan-

mit Hilfe

wobei

z

Prufgrotse

der

in die inneeingetragen

muss .

bei zweiseitiger Pragestelluno ist die zweip2 = 2· (l-tP( Iz Ij seitige Uberscbreitungsioabrscheinlichleeit

• Zur Entscheidung

I

zu ermitteln.

Das kann

dardnarmalverteilung Funktion

(siehe

Seite

1=2*(l-STANDNORMVERTCABS(

bei in die inneren eingetragen

durch Ablesen

werden

Klammern muss.

in der Tabelle

der Stan-

109) oder

mit Hilfe

der

))1 beschafft

werden,

wo-

der Zahlenwert

der Prufgrofse

z

9.2 Prufung des Erwartungswertes mit groBen Stichproben

9.2.9

113

Entscheidung mit Oberschreitungswahrscheinlichkeiten

• Wird wegen der Gegenhypothese Hilillks: I' < 1'0 die links einseitige Fragestellung behandelt, so ist die Hypothese zugunsten der Gegenhypotbese abzulebnen, wenn die Prufgro'Se z negativ ist und gleichzeitig die einseitige Oherschreitungswahrscheinlichkeit

P, kleiner als

das vorgegebene Signifileaneniueau a ist: Iz 1'0 die rechts einseitige Fragestellung behandelt, so ist die Hypothese zugunsten der Gegenhypothese ahzulehnen, wenn die PrufgrbBe z positiv ist und gleichzeitig

die einseitige Oberschreitungswahrscheinlichkeit

ner als das vorgegebene Signifileariznioeau

a ist:

Iz>o und PI

PJ klei-

Ablehnungl. Die Stich-

probe spricht bei dieser Gegenhypothese signifikant gegen die Hypothese H'T Ist dagegen bei der rechts einseitigen Pragestellung z:50 oder Pj?a, dann gibt es keinen Grund zur Ablchnung der Hypothese H'T • Wird wegen der Gegenhypothese 11j :I'~I'() die zweiseiLige Fragestellung behandelt, so ist die Hypothese zugunsten der Gegenhypothese abzulebnen. wenn die zweiseitige Oberscbreitungsuiabrscbeinlicbkeit

P2 kleiner als etas vorgegebene Signifileanxniueau

Ip

a ist:

Ablehnungl

Die Stichprobe spricht hei dieser Gegenhypothese signifikant gegen die Hypothese H(). Ist dagegen bei der zweiseitigen Fragestellung Pj?a, dann gibt es keinen Grund zur Ablchnung dcr Hypothese Ho'

9.2.10

Beispiel

Vor einer Schule gilt eine Geschwindigkeitsbeschrankung auf 30 km/h. Die Polizei behauptet, dass zu schnell gefahren wird. Der Verband der Autofahrer behauptet aber, dass im Mittel noch langsamer gefahren wird. Die Schuler dagegen meinen, dass dieser 30-km/h-Wert uberbaupt nicht stimmen kann manche fahren schneller, andere wieder langsamer. Ihre Behauptung soli hier die Gegenhypothese liefern - die Schuler formulieren offensichtlich zur Nullbypotbese Ho: 1'=1'0=30die Gegenhypothese HI :I' ~I'o . Daraus ergibt sich, dass es sich hier um eine zweiseitige Fragestellung handelt. Als Signifikanzniveau werden die ublichen funf Prozent festgelegt. An einem Tag wird zufallig die Geschwindigkeit von 100 Fahrzeugen gemessen. Die Messergebnisse werden in den Bereich A2:A101eines Excel-Blattes eingetragen (siehe Bild 9.3). Bild 9.3 Iasst in Zelle 84 erkennen, dass sich mit dieser Stichprobe ein Mittelwert von 29,2 krn/h herausstellt. Rein gefiihlsmiifsig spricht die Stichprobe also gegen die behaupteten 30 krn/h als ublicher Dmchschnittsgeschwindigkeit.

114

9 Parameterprufung mit graBen Stichpraben

Reicht das aber aus, um die Signifikanz des Widerspruchs festzustellen und die Hypothese nach den ubjektiven Regeln der mathematiscben Statistik zugunsten der Gegenhypothese verwerfen zu durfen? Sehen wir uns die beiden Arten der Entscheidungsrechnung

in Bild 9.3 an.

c

c 100 < •• Umfang (n)

I'J

(Behauptung: Der Erwartungswert der Grundgesamtheit ist gr6jler als durch die Nullhypothese vorgegeben.) Zweiseitige Fragestellung: (Behauptung: Der Erwartungswert der Grundgesamtheit ist anders als durch die Nullhypothese vorgegeben)

116

10 Parametertests

10.1.3

mit kleinen

Stichproben


Fin Signifikanzniveau a muss vorgcgebcn scin, Damit wird die Wahrschdnlichkdt cines Fehlers 1. Art gesteuert: Ein Fehler 1. Art tritt dann auf, wenn die Nullhypothese H()tatsachlich zutrifft, aber aufgrund del' Zufallsstichprobe zu Unrecht zugunsten del' betrachteten Gegenhypothese abgelehnt wird. mit n Stichprobenwerten Umfang der Sticbprobe.

x,;

Eine Zufallsstichprobe heilSt dann

10.1.4

X2,

x;

... ,

wird gezogen.

Die Zahl n

PrOfgroBe

Zucrst bcnotigt

man den Mittclwcrt 1

x

(das arithmctischc

Mittel) del' Stichprobc:

n

x=-2> n

(10.01)

i=1

x

kann

elemental'

beschafft

werden,

berechnet, wobei

Mit del' hekannten

oder

dann

schneller

mit Hilfe del' Excel-Funktion

in die Klammern

Standardahweichung

{T

del' Bereich

berechnet

=MITTELWERT(

del' Stichprobe

einzutragen

anschlieisend

die Prufgrofse

man

ist.

z

nach del' Formel (10.02)

z

=.[;;

x - flo (J'

10.1.5

Quantile fur die Entscheidung mit dem Ablehnungsbereich

Entsprechend

del' gegehenen

dardnormaloerteilung

Fragestellung

beschafft

werden,

mussen

Quantile der StanAblebnungsbereicbe erkennen

nun verschiedene

um die jeweiligen

zu konnen:

zJ

• Links einseitige Fragestellung: Hier wird das buantil benotigt. Es kann aus del' Tabelle der Standardnormaluerteilung ahgelesen (siehe Seite 91) oder mit Hilfe del' Excel-Formel l=sTANDNORMINV( )1 beschafft werden, wobei in die Klammern del' Zahlenwert Einseitige

von a einzutragen

ist.

Fragestellungen:

• Rechts einseitige Fragestellung: Hier wird das buantil Zl_J benotigt. Es kann aus del' Tabelle der Standardnorrnaluerteilung abgelesen oder mit Hilfe von l=sTANDNORMINV( )1 beschafft werden, zutragen Zweiseitige

Fragestellung:

wobei ist.

in die Klammern

del' Zahlenwert

von I-a ein-

• Hier werden die buantile Za/2 und zl_a/2Ibenbtigt. Sie konnen aus del' Tabelle der Standardnormaloerteilung abgelesen oder mit Hilfe von ESTANDNORMINV( in die Klammern tragen

sind.

die Zahlenwerte

)1 beschafft werden,

wobei

von a/2 bzw. 1-a/2 einzu-

10.1 Prufung des Erwartungswertes

10.1.6

und

117

Standardabweichung

Ablehnungsbereiche

• Links einseitige Fragestellung Der Ahlehnungshereich beginnt Za

bei bekannter

erstreckt

sich von

weiter bis in das negative

HI.links

:

1'<Jt():

beim Quantil

dart

nach linles

Unendliche.

• Recht, einseitige Fragestellung HI,rech!s : 1'>l'li Der Ablehnungsbereich beginnt beim Quanti! ZLa

und erstreckt

sich von dort nach rechts

weiter bis in das positive Unendliche .

• Zweiseitige Fragestellung

HI

Quantil

sich von dart nach links weiter bis in das negative

Za/2 und erstreckt

:

I';rfl'o: Der linke Teil des Ablehnungsbereiches beginnt beim Unendliche.

Del' rechte Teil des Ahlehnungshereiches beginnt beim Quantil ZI_a/2 und erstreckt dort nach rechts we iter bis in das positive Unendliche.

10.1.7

sich von


Fallt die Prufgro'Se Z in den Ablehnungsbereich del' betrachteten Fragestellung, dann ist die Nullhypothese zugunsten der betrachteten Gegenhypothese abzulehnen: Die Zufallsstichprobe spricht bei diesel' Gegenhypothese signifikant gegen die Nullhypothese. Andernfalls gibt es keinen Grund zur Ahlehnung del' Nullhypothese: probe spricht nicht signifikan! gegen die Hypothese.

10.1.8


Willig gleichwertig schritten

Die Zufallsstich-

mit den

zur Ermittlung

in den Abschnitten

der objektiv-statistischen

10.1. 5 bis 10.1. 7 geschilderten Entscheidung

Rechen-

ist die Methode der Uber-

schreitungswahrscheinlichkeit. Sie unterscheidet sich nur in der Vorgehensweise von del' Entscheidung miuels Ahlehnungshereichen. Urn diese Methode anwenden zu konnen, wird zuerst in Abhangigkeit von del' jeweiligen Fragestellung eine del' beiden Uberscbreitungswahrscheinlichkeiten benotigt: Einseitige Fragestellung: • Zur Entscheidung bei beiden einseitigen Fragestellunuen ist die einseitige Uberscbreitungsuiabrscbeinlicbleeit i = 1-l1J(Iz I]

Ip

zu ermitteln. Das kann durch Ablesen in der Tabelle del' Standardnormalverteilung Funktion

ren Klammern werden

(siehe

l=l-STANDNORMVERTCABS( muss.

der Zahlenwert

Seite 109) oder

mit Hilfe del'

)1 erfolgen, wobei in die inneder Pri.ifgroBe

z

eingetragen

10 Parametertests mit kleinen Stichproben

118

Zweiseitige Fragestellung:

10.1.9

• Zur Entscheiclung bei zweiseitiger Fragesteilunu ist clie zuieiseitige Uberscbreitungsioabrscbeinlicbleeit = 2*(1-(j)( 1z I] 2 zu ermitteln. Das kann clurch Ablesen in cler Tabelle cler Standardnormalverteilung Csiehe Seite 109) oder mit Hilfe der Funktion 1=2*(l-STANDNORMVERTCABS( ))1 beschafft werden, wobei in die inneren Klammern cler Zahlenwert cler PrufgrciBe z eingetragen werden muss.

Ip


• Wircl wegen cler Gegenhypothese Hj,links: I' n

00.03)

;=1

x

kann

elemental'

beschafft

berechnet,

werden,

wobei

oder

schneller

dann in die Klammern

Da die Standardabuieichung I

n

n-l

;=\

-2)x;

s=

00.04)

Diese Schdtzung beschafft

ist.

s (die so ge-

_X)2

kann mit Hilfe del' Excel-Funktion

in die Klammern

del' Bereich

Dann wird die Prufgro'Se

t nach folgender

Formel

t

einzutragen

werden:

wobei

(10.05)

del' Stichprobe

ist, muss dafur die Schatzung

ermittelt

fur die Standardabioeicbung

werden,

del' Bereich

jetzt nicht bekannt

Stichprohenstandardalnueichung)

nannte

=MITTELWERT(

mit Hilfe del' Excel-Funktion

del' Stichprobe

einzutragen

=STABW( ist.

berechnet:

,X-Jl o __

= "1/ n

s

10.2.5

Einschub: Die Student'sche t·Verteilung

Bisher

wurde

ublich

und

als Formelzeichen findet

immer

fur die Prufgrofse

dann

Verwendung,

wenn

stets del' Buchstabe zur Bestimmung

z

verwendet.

Er ist

del' Grerizen des Ah-

Iebnungsbereicbes oder zur Berecbnung der beiden Oberschreitungswahrscheinlichkeiten die Standardnormaluerteilung zur Anwendung kommt. Del' Wechsel

des Buchstahens

lig die Quantile benotigt

eincr

anderen

lasst es vermuten

- nun kommt

Verteilungsfunktion,

namlich

die Situation,

in del' erstma-

del' Student'scben

t-Verteilung,

werden.

Die Student'sche

t-Verteilung

teilungsfunktionen,

ist genau

die sich voneinander

genommen

eine

nur in einem

unendliche

Schar

einzelner

Parameter, dem so genannten

Ver-

Frei-

beitsgrad, unterscheiden. In Bild 10.2 sind fur die beiden

Freiheitsgrade

Verteilungsfunktionen

und

he zu diesen

den Ahschnitt

Begriffen

zugehorigen

m=2 und

Dichtefunktionen 6.1 ab Seite 76).

m= 100 die Funktionskurven del' t-Verteilung

dargestellt

del' (sie-

122

-6

10 Parametertests mit kleinen Stiehproben

-5

-4

-)

-2

e

-6

-5

-4

-:3

-2

Bild1O.2: Student'scbe t- Verteilung mit m=2 und m=100 Freibeitsgraden Wie leicht zu sehen ist, besitzt die Funktionskurve jeder t- Verteilung die typische Gestalt des streng symmetrisehen liegenden "S", die schon von del' Normaluerteilung und insbesondere von del' Standardnorrnaloerteilung bekannt ist, (siehe Seite 63 und Seite 75). In del' Tat ist cs so, dass sich die t- Verteilung mit wachscnder Zahl del' Frcihcitsgradc del' Standardnormaluerteilung immer mehr annahert. Nieht zuletzt deshalb durfen ja bei grofsem Sticbprobenumfang benumfang mit beleannter Standardahtoeicbung die Quantile lung verwendet werden.

oder bei kleinem Stichproder Standardnormaluertei-

Bei kleinem Stichprobenumfang und vorausgesetzter normaluerteilter Grundgesamtheit; abel' mit unbehannter Standardahioeicbung, wird abel' nun die t- Verteilung zur Anwendung kommen. Das wird im nachsten Absehnitt genauer erklart, Neu gegenuber dem Bisherigen wird jetzt, dass nun der Umfang n del' (kleinen) Stichprobe fur die Ermittlung von Quantilen und 0berschreitungswahrscheinlichkeiten wichtig wird.

10.2.6

Quantile fUr die Entscheidung mit dem Ablehnungsbereich

Entspreehend del' gegebenen Fragestellung mussen nun versehiedene Quantile einer tVerteilung besehafft werden, um die jeweiligen Ablebnungsbereicbe erkennen zu konnen: Einseitige Fragestellung:

• Links einseitige Fragestellung: Hier wird das buantil ta.mlder t-Vcrtcilung mit m=n-1 Frcihcitsgraclcn bcnotigt. Es kann aus del' Tahelle der t- Verteilung abgelesen (siehe Seite 125) oder mit Hilfe der Excei-Pormel E -TINV( )1 beschafft werden, wobei in die Klammern an die erste Position cler doppelte Zahlenuiert von a (I) einzutragen ist. Reehts neb en dem Semikolon muss die Anzahl der Freibeitsgrade m=n-1 stehen.

10.2 Prufung des Erwartungswertes bei unbekannter Standardabweichung

123

Einseitige Fragestellung:

• Rechts einseitige Fragestellung: Hier wird das buantil tLa.ml del' t-Verteilung mit m=n-l Freiheitsgraden benotigt, Es kann aus del' Tabelle der t- Verteilung abgelesen (siehe Seite 125) oder mit Hilfe del' Excel-FormeIETINV( )1 beschafft werden, wobei in die Klammern an die erste Position del' doppelte Zablenuiert von a (I) einzutragen ist. Rechts neben dem Semikolon muss die Anzahl del' Freiheitsgrade m=n-l stehen .


• Hier werden die buantile ta/2.m und tl_a/2.ml benotigt. Das Quanti! ta/2,m kann aus del' Tabelle der t- Verteilung abgelesen oder mit Hilfe von I~TINV( )1 beschafft werden, wobei in die Klammern an erster Stelle del' Zablenuiert von a einzutragen ist. Das Quantil tLa/2,m kann ebenfalls aus del' Tabelle der t-Verteilung abgelesen oder mit Hilfe von I=TINV( )1 beschafft werden, wobei in die Klammern an erster Stelle del' Zableruoert von a (l) einzutragen ist. Rechts neben dem Semikolon muss stets die Anzahl del' Freiheitsgrade m=n-l stehen.

10.2.7

Ablehnungsbereiche

einseitige Fragestellung HI,links : ,tt,tt(J: Del' Ablehnungsbereich beginnt beim Quantil tl-a,m und erstreckt sich von dort nach rechts weiter bis in das positive Unendliche . • Zweiseitige

Fragestellung

HI:

,tt,r,ttu: Del' linke Teil des Ablebnungsbereicbes

beginnt beim

Quantil ta/2,m und erstreckt sich von dort nach links weiter bis in das negative Unendliche. Del' rcchtc Teil des Ablebnungsbereicbes beginnt bcim Quanti! tLa/2,m und erstreckt sich von dort nach rechts weiter bis in das positive Unendliche.

10.2.8


Fallt die Pl'lifgl'ol$e t in den Ablehnungsbereich del' betrachteten Fragesrellung, dann ist die Nullbypothese zugunsten der betracbteten Gegenhypothese abzulehnen: Die Zufallsstichprobe spricht bei diesel' Gegenhypothese signifikant gegen die Nullhypothese.

124


Andernfalls gibt es keinen Grund zur Ablehnung der Nullhypothese: Die Zufallsstichprobe spricht nicht signifikant gegen die Hypothese.

10.2.9

Einschub I: Excel und die Beschaffung der Quantile mit TINV

Offensichtlich sind die Programmierer der Excel-Funktion =TINV( ) davon ausgegangen, dass die zweiseitige Fragestellung am haufigsten auftreten wird - deshalb haben sie TINV bereits so programmiert, dass bei Eingabe des Wertes des Signifikanzniveaus a sofort das Quantil tLa/2,m fur den linken Rand des rechten Teils des Ablebnungsbereicbes bei der zweiseitigen Fragestellung geliefert werden. In Bild 10.3 ist das in der Spalte F deutlich zu erkennen. Der zugehorige Negativwert = -TINV( ) liefert demzufolge mit dem Quantil ta/2,mden rechten Rand des linken Teils des Ablebnungsbereicbes bei der zweiseitigen Fragestellung, in Bild 10.3 in der Spalte E zu erkennen. Fur die Quantile der einseitigen Fragestellungen ta,m bzw. tl-a,m muss deshalb anstelle von a der doppelte Wert 2a in - TINV( ) bzw. TINV( ) an der ersten Position eingetragen werden. Bild 10.3 stellt mit Excel-Formeln und Zahlenwerten zusammen, wie sich mit der Funktion TINV zu jedem Signifikanzniveau a und zu jeclem Freiheitsgracl rn die benotigten Quantile der Student'schen t-Verteilung beschaffen lassen. A

B

C

0

E

F

1

cr.

m

t...

t1~

t...i2

k.12

2

0,1 0,1 0,1 0,1 0,05 0,05 0,05 0,05 0,02 0,02 0,02 0,02 0,01 0,01 0,01 0,01

3

4 5 6 1 8

9

10 11 12 13 14 15 16 17

1

=-llNV(2'A2;B2) =llNV(2'A2;B2) 4 =-llNVIA2;B2) =llNVIA2;B2) 8 /I /I /I 12 /1 /1 /1 16 Formel 4 nac~ unten nac~ unten : nach unten Enten 8 kopieren kopieren kopleren kopieren 12 16 4 8 12 16 4 8 12 16

~'1~'1E'1

~

2

3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13

14 15 16 17

A

B

C

D

cr. 0,1 0,1 0,1 0,1 0,05 0,05 0,05 0,05 0,02 0,02 0,02 0,02 0,01 0,01

m

t...

t1~

4 8 12 16 4 8 12 16 4 8 12 16 4 8 12 0,01 16

om

-1,53321 -1,39682 -1,35622 -1,33676 -2,13185 -1,85955 -1,78229 -1,74588 -2,99853 -2,44898 -2,30272 -2,23536 -3,74695 -2,89646 -2,681 -2,58349

E

t...a

1,53321 -2,1318 1,39682 -1,8595 1,35622 -1,7823 1,33676 -1,7459 2,13185 -2,7764 1,85955 -2,306 1,78229 -2,1788 1,74588 -2,1199 2,99853 -3,7469 2,44898 -2,8965 2,30272 -2,681 2,23536 -2,5835 3,74695 -4,6041 2,89646 -3,3554 -3,0545 2,681 2,58349 -2,9208

F

t1_.12

2,1318 1,8595 1,7823 1,7459 2,7764 2,306 2,1788 2,1199 3,7469 2,8965 2,681 2,5835 4,6041 3,3554 3,0545 2,9208

Bild 10,3: Excel-Formeln fur die Quantile der t- Verteilung

10.2.10

Einschub II: Quantile der t-Verteilung aus Tafeln ablesen

Sehr vielfaltig ist clie Menge cler Tabellen in Lehrbuchern uncl Formelsammlungen, mit cleren Hilfe man - angeblich - schnell und leicht das fur die betrachtete Aufgabenstellung notwendige Quantil Coder die beiden Quantile bei zweiseitiger Fragestellung) ablesen kann. Rild 10.4 auf der nachsten Seite zeigt eine solehe Tabelle, sie ist dem Ruch von [21] entnommen und findet sich aber auch in [2] und anderen Buchern, Sehr hilfreich fur das Herausfinden des passenden Quantils aus einer solehen Tabelle ist die Erinnerung an die Standardnormaluerteilung. Bekanntlich ist die t-Verteilung der Standardnormaloerteilung c[J(x)=N(O,l) sehr ahnlich und nahert sich ihr mit wachsender Zahl der Freiheitsgrade immer mehr an. Insbesondere besitzt die t-Verteilung die gleichen Symmetrie-Eigenschaften wie c[J(x).

10.2 Prufung des Erwartungswertes bei unbekannter Standardabweichung

125

Deshalb findet sich in einer Tabelle der Quantile der t-Verteilung oft in der Spalte fur die Anzahl der Freibeitsgrade ganz unten das Symbol o: - in der zugehorigen letzten Zeile befinden sich dann narnlich die hinreichend bekannten Quantile der Standard normalverteilung. In Bild 10.4 ist gezeigt, wo und wie man die beiden oft verwendeten Quantile Z095 und Z0075 findet. Damit sind gleichzeitig aber die zutreffenden Spalten fur und to,Y75 gefunden, die Zeile ergibt sich jeweils aus der zutreffenden Anzahl der Freiheitsgrade. Arnzahl der F r,e iheit.sg rad e m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1,0 11 12 1J,

14 1S 16 17 1,8 19' 20 :21 22 23:24 2S 26 :27 2,8 29' 30 40 60 120

0,1

0,0:5

0,02

0,01

0,002

0,10011

6,31 2,92 2,35 2,13 2,02 1,94 1,89 1,86 1,83 1,81 1,80 1,78 1,77 1,76 1,75 1,75 1,74 1,73 1,73 1,72 1,72 1,72 1,71 1,71 1,71 1,71 1,70 1,70 1,70 1,70 1,68 1,67 1,66

12,71 4,30 3,1,8 2,7,8 2,57 2,4S 2,,36 2,31 2,26, 2,2:30 2,20 2,1,8 2,16 2,14 2,13, 2,,12 2,,11 2,1'0 2:09' 2,'09' 2,'0,8 2,'07 2,'07 2,'06 2,'06 2,'06 2,'OS 2,'OS 2,'05, 2,004 2' ,'00 1,9,8

31,,82 6,,96 4,54 3,75 3,36 3,14 3,00 2,90 2,82 2,76 2,72 2,68 2,65 2,62 2,60 2,,58

63,66 9,92 5,84 4,60 4,03 3,71 3,50 3,36 3,25 3,17 3,11 3,05 3,01 2,98 2,95 2,,92 2,,90 2,88 2,86 2,85 2,83 2,82 2,81 2,80

318,31 2:2,33 10,21 7,17 5,89 5,21 4,79 4,50 4,30 4,141 4,02 3,93 3,85 3,79 3,73 3,69 3,65 3,61 3,58 3,55 3,53

636,62 31,60 12,n 8,61 6,87 5,96 5,41 5,04 4,78 4,59 4,,44 4,32 4,22 4,14 4,07 4,01 3,97 3,

2:,57 2,55 2,54 2,53 2,52 2,51 2,50 2,49 2,49 2,48 2,47

Bild 10.4: Tafel mit Quantilen der t- Verteilung Es ist leicht zu merken: Wenn man unsicher ist, ob man das richtige Quantil der t-Verteilung gefunden bzw. abgeiesen hat, dann denke man an das entsprechende Quantil der Standardnormaluerteilung. Sind Vorzeichen und Grofsenordnung (aufser fur m1'0 die rechts einseitige Fragestellung bchander Gegenhypothese abzulebnen, wenn die Prufgrofse t

positiu ist und gleichzeitig die einseitige Oberschreitungswahrscheinlichkeit uorgegebene

Signifiharuzniueau

Ist dagegen

a ist:

It>o

und Pj

Ablehnungl.

signifihant gegen die Hypothese

bei dieser Gegenhypothese

PI kleiner als das

Die Stichprobe

spricht

Ho'

bei der rechts einseitigen Fragestellung tsO oder P12a,

Grund zur Ablehnung

127

dann gibt es keinen

Hu'

der Hypothese

• Wird wegen der Gegenhypothese HI ."I';rl'o die zweiseitige Fragestellung behandelt, so ist die Hypothese zugunsten der Gegenhypothese abzulebnen, wenn die zuieiseitige Uber-

schreitungswahrscheinlichkeit

P2 kleiner als das uorgegebene Signifikanenioeau

Ip

Ablchnungl

spricht bei dieser Gegenhypothese

signifikant gegen die Hypothese

bei der zuieiseitigen Fragestellung P22a, dann gibt es keinen

der Hypothese

a ist:

Her

Grund zur Ab-

Hu'

Die Excel·Funktion TTEST fOr schnelle zweiseitige Fragestellung Fall der zweiseitigen

Speziell fur den oft auftretenden

these HI '"I';rl'o stellt Excel die bequeme

Funktion

Fragestellung mit der Gegenhypo-

=nEST(

) zur Verfiigung,

die aus der Stichprobe und dem Hypothesenuiert 1'0 sofort den Wert der UberschreitungsP2 liefert. Dafur muss an erster Stelle zwischen der Bereich der Sticbprobe eingetragen werden.

wahrscheinlichkeit erstem Semikolon Als Besonderheit

bei der Anwendung

nen, dass der Hypothesenwert "zweite Stichprobe

von nEST fur Ein-Stichproben-Tests

flu jeweils neben jeden Stichprobenwert,

mit n gleichen

Werten", einzutragen

Schlieislich folgen noch die Zahlen 2 (fur zweiseitig)

Klammer und

ist zu erwahgleichsam

als

ist.

Der "Bereich mit dern mehrfach eingetragenen Hypothesenwert" und zweiten Semikolon anzugeben (sidle Beispiel auf Seite 128).

ist zwischen

dern ersten

und 1 (fur die Art des Tests)

2 ; 1 )

=nEST( /\

/\

I

I

Stichprobenbereich

10.2.14

offnender

Bereich mit den Hypothesenwerten

Entscheidung mit TTEST

• Wird wegen der Gegenhypothese Hi ."I';rl'u die zuieiseitige Fragestellung behandelt, so ist die Hypothese zugunsten der Gegenhypothese a hzulehnen, wenn der Ergehniswert der Excel-Funktion nEST kleinerals das vorgegebene Signifikaneniueau a ist: InEST( Die Stichprobe

) Ablehnungl



Her


128

Ist dagegen bei der zuieiseitigen Fragestellung TTEST(

) 2?a, dann gibt es kei-

nen Grund zur Ablehnung del' Hypothese H.,

10.2.15

Beispiel

Eine Stichprobe vorn Umfang 190,010

n=

°

1 enthalte die folgenden Werte:

190,012190,012190,024190,020

190,012190,014190,012190,022190,0231

Es sei bekannt, dass diese kleine Stichprobe aus einer normaloerteilten Grundgesamtbeit stammt. Zu prufen ist beim ublichen Signifikanzniveau von a= 5% die Nullhypothese uber den Erwartungswert Ho:l'= 1'0=90,018 gegen die Gegenhypothese HI :I';r 1'0 . Es handelt sich folglich hier um die zweiseitige Fragestellung. Da zwar normaluerteilte Grundgesarntheu vorausgesetzt wird, die Standardabioeicbung abel' unbeleanru ist, ist wegen des geringen Umfangs del' Stichprobe del' einfacbe t-Test dieses Abschnitts anzuwenden. Bild 10.5 enthalt sowohl fur die Entscheidungsrechnung mittels Ablehnungsbereich als auch fur die Entscheidungsrechnung mittels Oberschreitungswahrscheinlichkeit die einzutragenden Formeln und die resultierenden Zahlenwerte. c

B

.-- Umfang [n] der Stichprobe .-- Hypothesenwert

laol

.-- Mittelwert (,,) der Stichprobe .-- Stichprobenstandardabweichung .-- PrufgroBe (tl a, dann

gibt es keinen


Grund zur Ahlehnung

der Hypothese

III!"

Hoo

140

11 Prufung von Verteilungen

11.1.10

Schnelle Entscheidung mit CHITEST

• Die Hypothese Ho: F(x)=FaCx) ist zugunsten der Gegenhypothese Hi : F(x),,=Fo(x) nen, wenn der Ergebnisuiert der Excel-Funktion CHITESTkleiner als das vorgegebene leanzniueau a ist: ICHITEST( ) Ablehnungl Die Stichprobe spricht bei dieser Gegenhypothese

abzuleb-

Signifi-

signifileant gegen die Hypothese H(r

1st dagegen CHITEST(; ) 2?a, dann gibt es keinen Grund zur Ablehnung der Hypothese Ho Dabei ist in der Funktion CHITESTzwischen offnender Klammer und Semikolon der Bereich einzutragen, in dem sich die Anzahl des Auftretens jedes Merkmalwertes C"tatsachliche Anzahlen") befindet, zwischen Semikolon und scbliefsender Klammer muss dagegen eingetragen werden, in we!chem Bereich der Excel-Tabelle sich die hypothetischen Anzahlwerte bcfindcn.

11.1.11

Beispiel

Beispiel: Fine Stichprobe aus einer diskreten Grundgesamtheit 0, 1, 2, 3 und 4, die in folgender Weise angenommen werden:

Merkmalwert beobachtete Anzahl

hat die funf Merkmalwerte

0

1

2

3

4

131

95

46

20

8

Zu prufen ist die Hypothese, ob hier POISSON- Verteilung mit ..1,= 1 vorliegen kann. Korrekter gesprochen - es muss durch objektive Rechnung gepruft werden, Stich probe signifikant gegen die Hypothese der POISSON- Verteilung spricht.

ob diese

In das Exce!-Arbeitsblatt werden in die Zellen B2 bis B6 die Merkmalwerte und in C2 bis C6 die tatsachlichen Anzahlen eingetragen. In Zelle C7 liefert die Forme! =SUMMECC2:C6) den Umfang der Stichprobe. Die Wahrscheinlichkeiten fur das Auftreten der funf Merkmalwerte mussen nun mit Hilfe der POISSON-Verteilung berechnet werden: Also tragt man (siehe Abschnitt 3.2.3) in die Zelle D2ein =POISSONCB2;1;FALSCH) Mit B2wird der Bezug auf den Merkmalwert hergestellt, die 1 ist der Wert fur A, und FALSCH muss man eintragen, weil ja nicht der Wert der VerteilungsJimktion, sondern nur eine Einzelwahrscheinlichkeit gesucht ist (siehe Seite 47). Entsprechende Eintrage kommen dann nach D3bis D6. Zur Erzeugung der tbeoretiscben Anzahlen =D3*C$7und so weiter.

tragt man in E2 dann ein =D2*C$7,in E3 kommt

Soll die Entscheidung mit Hilfe des Ablebnungsbereicbes nach Abschnitt 11.1.7 oder mit der Uberscbreitungsioabrscbeinlicbleeit gemafS Abschnitt 11.1.9 gefunden werden, dann rnussen in den Spalten Fund G noch die Hilfsgrofsen fur die spatere Summation bereitgestellt werden.

11.1 Prufung einer diskreten Verteilung

141

In der Zelle G7entsteht dann der Wert der PrDfgr61Se./ Bild 11.3 zeigt in den Zeilen 1 his 7 das Vorgehen. A

B

i

Merkmal·

Tatsachliche

wert x;

Anzahl (n;)

E

0

C

P(X=x;)

1 1 0 3 2 1 4 3 2 124 3 5 5 4

131 95 46 20 8 =SUMMEIC2:C6)

1.2.-

I

theoretische Anzahl

theoretische Wahrscheinlichkeit

t

=POISSON[B2;1 ;FALSCl;l) Formel

I nach unten I kopieren

F

[n;.e,)'

G

[n;.e;I'le,

e,=n'PIX=x,) =D2'C$7

A

=(C2-E21'Y

=F21E2

Formel £Gormel l:orme, nac~ unten nac~ unten nac~ unten kopieren kopleren kopieren

t= A

=SUMME[G2:G61

8 9

10 11 12 13 14 15 15 17 18

0.05 =CHIINV(B10:41

die in das jeweilige

Intervall fallen.

Anzahl der Stich-

11.2 Prufung einer stetigen Verteilung mit hekannten Parametern

143

Als nachstes hestimmt man mit der angenommenen Verteilung die theoretischen Wahrscheinlichkeiten, dass die Zufallsgroise einen Wert aus dem Intervall annimmt (vergleiche Abschnitt 4.1 auf Seite 57) und multipliziert die erhaltene Wahrscheinlichkeit jeweils mit der Gesamtzahl nailer Stiehprohenwerte. In Bild 11.5 ist in den drei reehten Spalten das Vorgehen dargestellt:

110"'

Ibis unter

be

0 bac

Mel,e Anz.ahl

lntarvall

Plm;-, ~x<mill =F~I m iI-F~I m i~'I

theo retlsehe Anz.ahl

m,

n,

m2 m3 m4

m2 m3 m4 ms

n2 n3: n4 n",

mo:~x,<m, m,~x<m2 m2~x<m3 m3::~x,<m4 m4:~x:<ms

p" P2 P3 P'4 Ps

,e,=n"IP, ,et=n"IP2 ,e3=n" IP3: ,e4'=n"IP4 ,es=n"IP",

mk-'

mk

n,k

m,k·":~ x< m k

Pk

,e,.= n "IP,k

m~ m,

n

Bild 11.5: Tbeoretiscbe Wahrscheinlichkeiten

und Interuallhaufigleeiten

Es entstehen die Werte e., e2, ... , ek fur die jeweils theoretische Anzahl, mit der die Intervalle belegt wurden, ware die Grundgesamtheit tatsachlich gemajs der Behauptung verteilt. Hinweis: Wenn sich fur eine oder mehrere Klassen eine theoretische Anzahl von weniger als 5 ergiht, rnussen Klassen zusammengefasst und die Reehnung noeh einmal wiederholt werden. Wenn die vermutete Verteilung zutreffen wurde, dann mussten sich fur jedes Intervall ungefabr gleiche Werte fur die tatsdcbliche und die theoretische Anzahl einstellen. Stimmen die Anzahlwerte in dcr drittcn und sechsten Spalte nicht ubcrcin - was aufgrund des Zufalls-Charakters der Stichprobe zu erwarten ist - dann muss anstelle der gefublsmdjsigen Entscbeidung gegen die Hypothese (oder nicht gegen die Hypothese) die objektive Rechnung nach den Regeln der mathematischen Statistik kommen. Dazu muss zuerst die Priifgr6jse i nach der folgenden Formel herechnet werden:

Die Entseheidung wird also wieder mit der i Verteilung zu fallen sein. Die Spezifik der Aufgahenstellung fuhrt aueh hier wieder dazu, dass naeh den Regeln einer rechts einseitigen Fragestellung vorgegangen wird.

11.2.5

Quanti! fOr die Entscheidung mit dem Ablehnungsbereich

Es wird das buantil x'l-a", I der ;/-Verteilung mit m=k-J Freiheitsgraden benotigt. Es kann aus der Tahelle der x'-Verteilung ahgelesen (siehe Seite 133) oder mit Hilfe der Excel-Formel ECHIINV( II beschafft werden, wobei in die Klammern an die erste Position der Zahlenwert von a einzutragen ist. Rechts neb en dem Semikolon muss stets die Anzahl der Freiheitsgrade stehen. Sie ergibt sich hier nach der Formel m=k-J, wohei k die Anzahl der festgelegten Intervalle angiht.

144

11.2.6

11 Prufung

von Verteilungen

Ablehnungsbereich

• Der Ablehnungsbereich

beginnt

beim

Quantil X'l-a,m und erstreckt sich von dort nach rechts weiter his in das positive Unendliche.

11.2.7

Entscheidung mit dem Ablehnungsbereich

X' in den Ablehnungsbereich, dann ist die Nullhypothese zugunsten der Gegenhypothese abzulebnen. Die Zufallsstichprobe spricht dann signifileant gegen

Fallt die Prufgroise die Nullhypothese.

Andernfalls giht es heinen Grund zur Ablehnung der Nullhypothese: probe spricht nicbt signifileant gegen die Hypothese.

11.2.8

Die Zufallsstich-

Berechnung der Oberschreitungswahrscheinlichkeit

Vollig gleichwertig

ist wieder

die Methode der Oherschreitungswahrscheinlichkeit.

Sie unter-

scheidet sich nur in der Vorgebensuieise von der Entscheidung

mittels Ablehnunesbereichen: Zur Entscheidung ist die einseitige Oberschreitungswahrscheinlichkeit Ip,= 1- CHI(x', mj mit Hilfe des Funktionstoertes der X' - Verteilung aus dem Wert der Prufgrofse X' und der Anzahl der Freiheitsgrade

zu ermitteln.

der Zableruoert

)1 erfolgen, wobei an erster Stelle

ECHIVERT(

Das kann mit Hilfe der Excel-Funktion

der Prajgr6j.<eX' eingetragen

werden

muss.

Als zweite Angabe ist die Anzahl der Freiheitsgrade m=k-1 einzutragen.

11.2.9

Entscheidung mit der Oberschreitungswahrscheinlichkeit

• Die Hypothese ist zugunsten wahrscheinlichkeit

der Gegenhypotbese abzulebnen,

IPj Ahlehnungl


signifileant gegen die Hypothese

PI 2: a, dann gibt es keinen Grund zur Ablehnung

der Hypothese

H(}.

Ho'

Schnelle Entscheidung mit CHITEST

• Die Hypothese Ho: F(x)=Frlx) ist zugunsten der Gegenhypothese HI: F(x);rr~lx) abzulehnen, wenn der Ergebnisuiert der Excel-Funktion CHITEST kleiner als das vorgegebene Signifilearizruoeau a ist: ICHITEST( Die Stichprobe Ist dagegen these Hu.

) Ablehnungl signifikant gegen die Hypothese

gibt es keinen

Grund

zur Ahlehnung

HQ•

der Hypo-

11.2 Prufung einer stetigen Verteilung mit hekannten Parametern

145

Dabei ist in del' Funktion CHITEST zwischen offnender Klammer und Semikolon del' Bereich einzutragcn, in dcrn sich die Anzahl dcr im Intcrvall bcfindlichcn Stichprobcnwcrtc C"tatsachliche Anzahlen") befindet, zwischen Semikolon und scbliejsender Klammer muss dagegen eingetragen werden, in welchem Bereich del' Excel-Tabelle sich die hypothetischen Anzahlwerte befinden.

11.2.11 Beispiel Die Eintragungen in dem Arheitshlatt von Bild 11.6 zeigen, wie die 200 Werte einer Stichprohe uber den Bereich von 60 his 160 verteilt sind. Es ist zum Signifikanzniveau a=0,05 zu prufen, ob diese Stichprohe signifikant del' Hypothese widerspricht, dass die Grundgesamtheit normaluerteilt ist mit dem Erwartungswert #= 100 und del' Standardahweichung 0"=20. Korrekter gesprochen - es muss durch ohjektive Rechnung gepruft werden, oh diese Stichprohe signifieant gegen die Hypothese der Normaluerteilung spricht. A von

B Ibis untar

1 2

6'0

3

:10

4

80

5

90

6

1()0

10 :80 90 100 1110

I

110

BO

8

12:0 130

13'0 140

9

10

C Ibe 0 ba chtete

AnLahlln;1 2:

1~ 30 44 52

2~ 20 12

2001

Bild 11.6: Stichprobe aus (tnelleicht/) normaluerteilter Grundgesamtbeit In das Excel-Arbeitsblatt werden in die Zellen A2 bis A9 die linken Intervallgrenzen und in B2 his B9 die rechten Intervallgrenzen sowie in C2 his C9 die tatsachlichen Anzahlen eingetragen. Das Abzahlen kann dabei mittels des Excel-Werkzeuges HISTOGRAMM erfolgen (siehe Abschnitt 5.3.4 auf Seite 70). In Zelle C10 liefert die Formel =SUMME(C2:C9)

dann den Umfang del' Stichprobe. Die Wahrscheinlichkeiten fur das Auftreten del' funf Merkmalwerte mussen nun mit Hilfe del' Nonnalverteilung mit den gegehenen Parametern #= 100 und 0"=20 herechnet werden. Also tragt man (siehe Ahschnitt 5.1 auf Seite 64) in die Zelle D2 ein =NORMVERT(B2;100;20;WAHR)-NORMVERT(A2;100;20;WAHR)

Mit B2 bzw. A2 wird del' Bezug auf die linke und rechte Intervallgrenze hergestellt, die 100 ist del' Wert fur #, die 20 steht fur 0; und WAHR muss man eintragen, weil nun del' Wert der Verteilungsfunktion gesucht ist (siehe Seite 66). Durch Kopieren werden anschliersend die Eintrage kommen in D3 his D9 erzeugt. Zur Erzeugung del' theoretischen (bypotbetiscben) Anzahlen tragt man anschlieisend in E2 die Formel =D2*C$10 ein, nach E3 kommt =D3*C$10 usw.

146

11 Prufung von Verteilungen

Bild 11.7 zeigt die Formeln his zum Entstehen der Priifgr6jle X'. Bild 11.8 enthalt dazu die Formeln fur die Entscheidungsrechnung mit Hilfe von Prufgr6jle und Quantil, mit Hilfe der Uherschreitungswahrscheinlichkeit sowie mit Hilfe der Excel-Funktion CHITEST. Bild 11.9 schlieislich liefert die zugehorigen Zahlenwerte: A

B

von

bis unter

C

E

D

beobaehtete

hvpothetlsche

hvpolhelische Wohrseheinlichkeil

Am'ohl In;)

F

G

lnj-ef

Anzohlle;1

~ni-eifI

Eli

1

--4- 60 ..l.. 70 ---t- 80 ~ 90 ~ 100 110

10 80 90 100 110 120 130 140

--J- 120 ~9

10

130

~NORMVERTIB2;100;20;WAHRI-NORMVERTIA2; I 00;20;WAHR~U2'C$10 ~~~F2IE2 J d -V/ Formel Formel -(Formel vrormel / nach unlen nach unten nach unlen nac~ unlen kopleren l kopieren kopieren Jkopieren J

2 15 30 44

1

52 25 20 12 ~SUMMEIC2:C9

I

I

ft

t§

~SUMMEIG2:G9

I

Bild 11.7: Formeln his zur Pru/gr6jse B

A

12 =G10 13 0,05 14 =CHIINV(A13;7)

Ablehnungl

Die Stichprobe spricht bei dieser Gegenhypothese

signifikant gegen die Hypothese Hi;

Ist dagegen bei der ztoeiseitigen Fragestellung P2?a, dann gibt es keinen Grund zur Ablehnung der Hypothese Hi;

14.2.10

Beispiel

Es liegen zwei verbundene Stichproben vor: (3/4). (1/3). (1/1). (3/0), (9/5), (5/6). (7/8). Sie werden in die Spalten A und B einer Excel-Tabelle eingetragen, anschlieJSend wird wie beschrieben vorgegangen. Die Hypothese wird also nicht zuruclegeunesen. Die beiden (sehr kleinen) Zufallsstichproben deuten also trotz des beachtlichen Wertes des empirischen Korrelationskoeffizienten im Sinne der objektiven Rechnung der mathematischen Statistik nicht darauf hin, dass die Hypothese uorn Fehlen linearen Zusammenbanges zwischen den beiden Grundgesamtheiten infrage zu stellen ist. A B

C Yr) ,,,., (x'" y) vom Umfang KorrelationskoeJfizient sei nahe 1 oder -1, so dass lineare Regression denkbar ist.

11.

Der

Dazu werden die Bestanteile der zweidimensionalen Stichproben, die aus der Grundgesamtheit stammt, die die Einflussgrofsen liefert, ublicherweise mit x., ... x; bezeichnet. Die Stichprobe Yh ... Yn bezeichnet dann abhdngige Werte. Foiglich harte die Regressionsgleichung die Form Y=a+hX. Den (unbekannten) Zahlenwert a bezeichnet man als Achsenahschnitt, den Zahlenwert h als Steigung. Achsenabschnitt a und Steigung b sollen gepruft werden. Dabei wird allgemein keine Prufung auf einen bestimmten Hypothesenwert vorgenommen, sondern es wird nur grundsatzlich danach gefragt, ob die Stichproben signifikant dagegen sprechen, dass a bzw. h den Zablenuiert Null annehmen konnten. Denn der Fall a=O wurde bedeuten, dass die Regressionsgerade durch den Achsenschnittpunkt verlauft, wahrend b=O auf eine Regressionsgerade schlieisen liege, die parallel zur waagerechten Achse verliefe (siehe z. B. in [12] )

15.2.2

Hypothesen, Gegenhypothesen und Fragestellungen

Wir gehen von der Nullhypothese H(): a=O aus. Damit wird behauptet, dass der Achsenabschnitt verschwindet, die Regressionsgerade verlauft durch den Achsenschnittpunkt. Fur die Gegenhypothese gibt es nur die zuieiseitige Fragestellung: IHI

a,rO

I

15 Prufung der Regressionsparameter

168

Weiter gehen wir von der Nullbypotbese Regressionsgerade waagerecht verlauft,

Ho: b=O aus. Darnit wird behauptet, dass die

Flir die Gegenhypothese gibt es auch hier nur die zuieiseitige Fragestellung: IHI

15.2.3

b,.=OI


Ein Signifikanzniveau a muss vorgegehen sein. Darnit wird die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art gesteuert: Ein Fehler 1. Art tritt dann auf, wenn die Nullhypothese Ho tatsachlich zutrifft, aber aufgrund der zweidimensionalen Zufallsstichprobe zu Unrecbt zugunsten der betrachteten Gegenhypothese abgelebnt wird. Eine zweidimensionale Zufallsstichprobe mit n Stichprobenpaaren gezogen. Die Zahl n heifst dann Umfang der Sticbprobe.

15.2.4

(XI, Y/), ... ,(x",

y) wird

Schnelle Ermittlung der Uberschreitungswahrscheinlichkeiten

Anstelle aufwandiger Detailrechnungen sollte fur diese Aufgahenstellung das leistungsfahige Excel-Werkzeug REGRESSION benutzt werden. Es liefert, richtig bedient, nicht nur sofort den empiriscben Korrelationsleoeffizienten sowie Acbsenabscbniu und Steig u ng, sondern unter der Uberschrift P-Wert auch die heiden henbtigten zuieiseitigen Uberscbreitungsioahrscbeinlicbkeiten. Die Bedienung des genannten Werkzeugs wird im Beispiel auf Seite 170 ausfuhrlich vorgefuhrt.

15.2.5

Entscheidung mit Uberschreitungswahrscheinlichkeiten

• Wird wegen der Gegenhypothese HI : a"=Odie zweiseitige Fragestellung behandelt, so ist die Hypothese zugunsten der Gegenbypotbese abzulebnen, wenn die zuieiseitige Uberschreitungsuiabrscbeinlichkeit

P2 hleiner als das oorgegebene Signifikanznioeau a ist:

Ip P2 : Der Ablebnungsbereich beginnt beim Quantil Zl_a und erstreckt sich von dart nach rechts weiter bis in das positive Unendliche . • Zuieiseitige Fragestellung Quanti!

Za/2

HI,: PI FP2:

Der linke Teil des Ablehnungsbereicbes

und erstreckt sich von dort nach links weiter bis in das negative Unendliche.

Der rechte Tei! des Ablebnungsbereiches beginnt beim Quanti! dort nach rechts weiter bis in das positive Unendliche.

17.1.7

beginnt beim

Zl-a/2

und erstreckt sich von


Fallt die Prufgrofse Z in den Ablehnungsbereich der betrachteten Fragestellung, dann ist die Nullbypothese zugunsten der betracbteten Gegenhyputhese abzulebnen. Die Zufallsstichproben sprechen bei dieser Gegenhypothese signifileant gegen die Nullhypothese. Andernfalls gibt es keinen Grund zur Ablebnung der Nullhypothese: Die Zufallsstichproben sprechen nicht signifikant gegen die Hypothese.

17.1.8


Urn diese Methode anwenden zu konnen, wird zuerst in Abhangigkeit von der jeweiligen Fragestellung eine der beiden Oberschreitungswahrscheinlichkeiten benotigt: Einseitige Fragestellung:

• Zur Entscheidung bei beiden einseitigen Fragestellunuen ist die einseitige Oherschreitungswahrscheinlichkeit IP = l-cP( z I] zu ermittcln. Das kann durch Ablcsen in der Tabelle dcr Standardnormalvertei!ung (siehe Seite 109) oder mit Hilfe der Funktion E1-STANDNORMVERT(ABS( ) )1 erfolgen, wobei in die inneren Klammern der Zahlenwert der Prufgrofse z eingetragen werden muss. j


1

• Zur Entscheidung bei zuieiseitiger Fragesteilunu ist die zuieiseitige Oberschreitungswahrscheinlichkeit 2 = 2· (l-(j)( Iz I] zu ermitteln. Das kann durch Ablesen in der Tabelle der Standardnormalverteilung (siehe Seite 109) oder mit Hilfe der Funktion 1=2*(l-STANDNORMVERT(ABS( ))1 beschafft werden, wobei in die inneren Klammern der Zahlenwert der PrufgrciBe z eingetragen werden muss.

Ip

17 Parametervergleiche nicht verbundener Stichproben

184

17.1.9


• Wird wegen der Gegenhypothese HVinks: PIo und Pj Ablehnun~. Die Stichproben spre-

chen bei dieser Gegenhypothese significant gegen die Hypothese Ho. Ist dagegen bei der rechts einseitigen Fragestellung z:50 oder PI2:a, dann gibt es keinen Grund zur Ablehnung der Hypothese Hu

.

• Wird wegen der Gegenhypothese HI : PI,rP2 die zweiseitige Fragestellung behandelt, so ist die Hypothese zugunsten der Gegenhypothese abzulebnen, wenn die zweiseitige Oberschreitungswahrscheinlichkeit

P2 kleiner als das uorgegebene Signifileariznioeau. a ist:

IP Ablehnungl 2

Die Stichproben sprechen bei dieser Gegenhypothese signifikant gegen die Hypothese Ho. Ist dagegen bei der zweiseitigen Fragestellung P/2:a, dann gibt es keinen Grund zur Ablehnung der Hypothese H().

17.1.10

Beispiel

In einer Fabrik wird parallel an zwei Maschinen das gleiche Produkt gefertigt. Bei einer Maschine ergab eine Stichprobe vom Umfang 1000 einen Ausschussprozentsatz von 2,5 Prozent, bei der anderen Maschine zog man 800 Proben und erhielt 4,5 Prozent Ausschuss. Spricht diese Situation gefiihlsmdjsig bereits gegen die Hypothese, class beide Maschinen die gleiche Ausschussquote haben. Aber spricht sie auch signifikant dagegen? Das kann nur die objektiue statistische Rechnung beantworten. Hier liegt also die zuieiseitige

Fragestellung vor. Das Signifikanzniveau sei a=O, 05.

Bild 17.1 zeigt eine Excel-Tabelle, in der wieder beide Arten der statistischen Entscheidungsrcchnung vorgcfuhrt sind. In den Zellen A6 und A7 werden zuerst die Hilfsgro'Se P* und die Prufgrofse z berechnet. Die Zeilen 9 bis 11 beschreiben mit den beiden passenden Quantilen den zweiteiligen Ablehnungsbereich.

17.2 Vergleich von Erwartungswerten groJSerStichproben

185

Da die Prufgrofse z weit im linken Teil des Ablehnungsbereicbes liegt, ist die objektive Entscheidung offensichtlich: Die Hypothese ist zugunsten der Gegenhyputhese abzulehnen. A 1

B

2 2,5 J

800

4

4,5

A

112 die rechts einseitige Fragestellung behandelt, so ist die Hypothese zugunsten der Gegenbypotbese abzulebnen; wenn die Prufgroge z positiu ist und gleichzeitig die einseitige Oberschreitungswahrscheinlichkeit PI kleiner als das vorgegehene Signifikanzniveau proben sprechen bei dieser Gegenhypothese

a ist:

Iz>o und Pj Ahlehnungl. Die Stich-

signifikant gegen die Hypothese Ho.

17.2 Vergleich von Erwartungswerten

groJSer Stichproben

189

Ist dagegen bei der recbts einseitigen Fragestellung z:50 oder P/2:a, dann gibt es keinen Grund zur Ablehnung der Hypothese H,r • Wird wegen der Gegenhypothese H] : II] ~1I2 die zweiseitige Fragestellung behandelt, so ist die Hypothese zugunsten der Gegenhypothese abzulehnen, wenn die zweiseitige Uberschreitungswahrscheinlichkeit

P2 kleiner als das uorgegebene Signifilean znioeau a ist: Ip/a => Ablehnungl

Die Stichproben sprechen bei dieser Gegenhypothese Ist dagegen bei der zweiseitigen


H(r

Fragestellung P]2:a, dann gibt es keinen Grund zur Ab-

lehnung der Hypothese Ho.

17.2.10

Beispiel

In einer Fabrik wird parallel an zwei Maschinen die gleiche Konservenabfullung betrieben. Die erste Maschine liefert bei einer Stichprobe von 100 Stuck ein durchschnittliches Fullgewicht von 478 mg. Die andere Maschine liefert bei einer gleicbgrofsen Sticbprobe durchschnittlich 485 mg. Bekannt sei, dass die beiden Maschinen ungefahr mit gleicher Qualitat produzieren, darf gleicbe Standardabuieicbung angcnornmcn worden. Die beiden Stichproben

allerdings lieferten die unterschiedlichen

ben-Standardabuieichungen von s]=25bzw.

(ernpirischen)

also

Stichpro-

s2=27.

Darf man mit a=0,05 behaupten, dass ungleich abgcfullt wird? Rein gcfuhlsmarsig mochtc man "ja" sagen. Aber was sagt die objektiue Entscbeidungsrechnung nach den Regeln der matbematischen Statistik ?

1

100

2

478

J

25

4

100

5

485

6

27

A

B

A

112 die rechts einseitige Fragestellung behandelt, so ist die Hypothese zugunsten der Gegenhypothese abzulebnen, wenn die PrufgrbBe z positiv ist und gleichzeitig die einseitige Oberschreitungswahrscheinlichkeit

P, klei-

ner als das oorgegebene Signifileariznioeau a ist: Iz>o und PI Ablehnungl. Die Stichproben sprechen bei diesel' Gegenhypothese signifikant gegen die Hypothese H(r Ist dagegen bei del' rechts einseitigen Pragestellung z50 oder P]~a, dann gibt es keinen Grund zur Ablehnung der Hypothese IIo' • Wird wegen del' Gegenhypothese II] :II] ~1I2 die zuieiseitige Fragestellung behandelt, so ist die Hypothese zugunsten der Gegenhypothese abzulebnen. wenn die zweiseitige Oberschreitungswahrscheinlichkeit

P2 kleiner als das uorgegebene Signifieanxniueau

a ist:

Ip Ablehnungl 2

Die Stichproben sprechen bei diesel' Gegenhypothese signifikant gegen die Hypothese HI)" Ist dagegen bei del' zweiseitigen Fragestellung P]~a, dann gibt es keinen Grund zur Ablehnung der Hypothese H(r

17.3.10

Beispiel

Gegeben seien zwei Stichproben - die erste vom Umfang n)=20, die zweite vom Umfang n2=40. Es sei bekannt, dass sie aus norrnaluerteilten Grundgesarntbeiten seien auch beide Varianzen

stammen. Bekannt

(d.h. also die Quadrate der Standardabweichungen):

0/=3

und 0-/=5. Bild 17.3 zeigt, wie man elemental' auch dann in einer Excel-Tabelle die notigen Rechnungen veranlassen kann, wenn die Stichproben in den Spalten A und B eingetragen sind. Der

17 Parametervergleiche nicht verbundener Stichproben

194

Aufwand halt sich trotzdem in Grenzen - man muss lediglich die Urnfange eintragen und die Formeln fur die Mittelwerte an die richtigen Stellen setzen:

c

D

112 die rechts einseitige Fragestellung behandelt, so ist die Hypothese zugunsten der Gegenhypothese abzulehnen, wenn die PrufgrolSe t positiv ist und gleichzeitig

die einseitige Oberschreitungswahrscheinlichkeit

ner als das uorgegebene Signifileaneniueau ben sprechen

bei diesel' Gegenhypothese

Grund

a ist: It>o und PILeipzig: Teubner Verlag 1997

[15]

Ortseifen C.: Der SAS Kurs. Bonn e. a.: Thomson Publishing 1997

[16]

Papula L.: Matbematile f ~ r Ingenieure und Naturwissenscbaftler. Band 3: Wiesbaden e. a.: Vieweg Verlag 2001

[17]

Sahner H.: ScblieJgende Statistile. Stuttgart e. a.: Teubner Verlag 1990

[18]

Schweitzer, U.: Messdatenanalyse mit EXCEL. Poing: Franzis Verlag 2001

[19]

Sedlmeier P., K6hlers D.: Wabrscl'Jeinlicbleeiten im Alltag. Braunschweig: Wester mann Schulbuchverlag 2001

222

Weiterflihrende

und vertiefende

[20]

Sonje D.: SPSS/PCfur Einsteiger. Stuttgart e. a.: Teubner-Verlag

[21]

Storm, R.: Wahrscheinlichkeitsrechnung, Qualitdtslzontrolle. Leipzig: Fachbuchverlag

matbematische

Literatur

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Zwerenz,

Wirtschaftswissenschaftler.

Munchen

e. a.: Addison-Wesley

K.: Statistik uersteben mit Excel. Munchen:

Wesley Longman

e. a.: Pearson

Education

2002

Oldenbourg-Verlag

2001

Sachwortverzeich nis 3s- Beclingung - Bereich

69

Anrufe

68

3a-Grenzen

Anschnallquote 63

- Regel der Normalverteilung

78

A 79, 90

Abhangigkeit -, line are

105, 153

Anteilwert,

89

Ablehnung

Ablehnungsbereich

Ablesen

107, 113, 118

88, 89, 92, 94, 106

von Quantilen

Absolutwerte

-schnittpunkt

43

Zufallsexperimente

- Zufallsgrojse

18, 24, 38

105

- zufallige Ereignisse

18

24, 30, 35

- -, Verteilungsfunktion

28

Ankunfts-Modelle

212

Arten von Zufallsexperimenten

27, 38

sichere

81

23, 103 53, 184

184

Basis fur verlassliche

Aussagen

Bedeutung

cler Glockenkurve

Befragung

82

beobachteter

Prozentsatz

Beobachtung

zweier

Berechnung

83 75

19 92

Merkmale

152

Berechnungsvorschrift Grunclgesamtheit

115

104

cler PrlifgrbEe

- - Vergleichstabelle

40

Annahme normalverteilter

18, 23

85

Beobachtungswerte

42

der Statistik

110

-, zufallige 51, 63, 82

170

of variations

AN OVA 212,217

Mittel

Begriff der Wahrscheinlichkeit

36

ANALYSE-FUNKTIONEN

61)

B

167

- Grunclgesamtheit

Anliegen

arithmetisches

-quote

Achsenbeschriftung

analysis

137,143,145

-prozentsatz

167

148

138

Ausschuss

167

167

Alternativfall

145

Aussagen,

92

Achsenabschnitt

alternative

-, hypothetische

Auspragungen

79

ACIISENABSCIINITT

-, Prufung

Parameter

Auftraggeber

95

122, 134, 141

- zu schatzender

a-priori-Informationen

174 cler Hypothese

-, geteilter

Prufung

der Freiheitsgrade

-werte

164,174

-, nichtlineare

97, 99

-, theoretische

173, 179

39

Anteil, prozentualer

Anzahl

a - Quanti!

pro Minute

92

175 fur Prufgrofse

Beschaffung

von Quantilen

- mit CHIINV

133

80

92

224

Sachwortverzeichnis

Beschaffung

mit FINV

von Quantilen

206

- mit STANDNDRMINV 91 - mit TINV

Statistik

82, 103

Achse

Element

45, 52

67

Elementarereignis 98, 100

-, gunstiges

beurteilende

Statistik

84, 89, 103

empirische

- -, Strategic

85 152

statistischer zufalliger

Ereignisse

20

48, 50, 54 59, 63

- der POISSON-Verteilung

52

Bild einer Verteilungsfunktion Bild von N(Il,cr) mit Excel

- mit

127,161

Uberschreitungs-

33, 35, 36 61

47, 49, 53

- durch

berechnungen

40 17

2

X -Anpassungstest

137, 142, 147

204

- Kontingenztest

174

129,179

- U nabhangigkeitstest - Verteilung Einflussgrofse

21

-, unmogliches

19

174

130,138,143,144,148 163, 167, 169

40

90, 146

-, sicheres

- Funktion

20

Entscheidungsprozesse

-trager

c

174

Wahrscheinlichkeits-

-rechnung 50, 52

108, 113

- tiber Unabhangigkeit

Ereignis

Casanova

209

oder Abhangigkeit

-, Bild 48

- Test

- mit FTEST

88, 131, 166

140, 144, 149, 179

wahrscheinlichkeiten

39, 42, 47

- der Binomialverteilung

BINOMVERT

93, 98

- mit TTEST

22

Bild der Binomialverteilung

Binomialverteilung

149, 158

- mit GTEST 119

Ereignissen

- der Normalverteilung

21

Standardabweichung

- mit CHITEST

zwischen

zufalligen

104

- mit Ablehnungsbereichen

81

24

21

Entschcidung

- -, zweidimensional

Summe

der Stichprobe

Betrag der Prufgrotse

Beziehungen

34

-wahrscheinlichkeiten,

Schatzungen

Bewertung

151

-wahrscheinlichkeit

der

waagerechten

Beweis,

100, 107

Einzelstichprobe

beschreibende

beste

Uberschreitungs-

wahrscheinlichkeit

124

Beschriftung

einseitige

-, zufalliges

21 17,18,21

Ereignisse,

gleiche

-, Produkt

22

-, Summe

22

22

-, zufalligc 47 Erfassungsmaske HISTOGRAMM 71

des Werkzeugs

Sachwortverzeichnis

225

Erfolgswahrscheinlichkeit,

Ergebnis cler Entscheiclungsrechnung Erwartungswert

74, 75, 110, 115, 120

- cler Normalverteilung -, Prufung

Excel-Funktion VARIANZ

mittlere 48 93

Exce!-Werkzeug ANOVA 217 - HISTOGRAMM 71,145

115, 211

- von mehr als zwei Stichproben -, Ubereinstirnrnung -, Vergleich

211

F- Verteilung

185, 190, 195

Fehlentscheiclungen

FINV

Excel-Funktion ACHSENABSCHNITT

167

Flacheninhalt

50

131, 133 140,141,144,146,147,179

- CHI VERT 134, 149 - FINV

204, 206, 214

84

204, 206, 214

134

- CHITEST

39

Fehler 1. Art 86,105,110,116,121,129

124

- fur Quantile der l-Verteilung

- BINOMVERT

203

Familien von Zufallsexperimenten

47

Excel-Formeln fur Quantile der t-Verteilung

F

212

Excel fur Sprunghohen

- CHIINV

168

- REGRESSION

65, 67, 68

130

77, 91

- unter der Glockenkurve Forme! des

76

empirischen

Korrelationskoeffizienten

165

- fur clie Wahrscheinlichkeit, Fragebogenaktion

klassisch

211

- FTEST 208

Fragestellung, links einseitige

- FVERT 207, 215

-, rechts einseitige

- GTEST 118

-, zweiseitige

95,99,162,

- KORREL 164, 173

Freiheitsgracl

121, 130, 143,203,207,215

67, 110, 116

- MITTELWERT

89, 97

94,98, 143 199,201,208

-, Anzahl 122,149, 147, 148

- NORMINV 80

Freispruch, Mangel an Beweisen

- NORMVERT 61, 66, 75, 78

F-Test 202, 209

- POISSON 44

FTEST 208

- STABW 67, 111, 130, 196, 202

Fullgewicht, clurchschnittliches

- STANDNORMINV 80, 94, 106

Funktionskurve

- STANDNORMVERT 79

- cler Stanclarclnormalverteilung

- STEIGUNG

167

- SUMME 176 - TINV

122, 124

- TTEST

127, 161, 162, 199

- TVERT

126, 160

21

Funktionswert

189

cler Normalverteilung

einer Verteilungs-

funktion 33 FVERT 207,215

F-Verteilung

84, 87

203

90

60

226

Sachwortverzeichnis Gruppenbildung

G

-kennzeichen

GauG, Carl Friedrich 72 185, 190

85, 87, 88, 89

GTEST

42

118

Gute von Schatzungen 67

gcpaartc Stichprobcn 152, 161 Gesamtdurchschnitt

-mittelwerte 213 -summen 213

genaue Werte fur die Wahrscheinlichkeiten

212

-kennzeichen der Stichprobe 212

Gauss-Test 105,110,153,181, Gegenhypothese

218

Gutekontrolle eines Betriebes 53

213

H

Gesamtheit 83 Gesamtsumme 213 Gewinnwahrscheinlichkeit

Haufigkeit, relative 20

20

Gleichheit der Erwartungswerte - der Standardabweichungen

157, 162

Herstellung der Kreuztabelle 175

195

HISTOGRAMM 145

- der Varianzen 195, 209

Histogramm 69, 70, 75

Glockenform 68, 72

- der Stichprobe 68, 72

Glockenkurve 72, 73, 91

-, Glockenform 72

-, Flacheninhalr unter der 76

Hypothese 84, 85, 88, 93, 95, 96, 97

Graph der Binomialverteilung 48, 54

- der Gleichheit der Erwartungswerte 216

- - POISSON-Verteilung 40 Graph einer Verteilungsfunktion 34, 35

Grenzen des Ablehnungsbereiches Grenzwerte der Verteilungsfunktion

94 34

- verwerfen 84 - von der Unabhangigkeit

176

-, Ablehnung 87

grofsc Stichprobcn 89,105,110 81,83,84,

- der Normalverteilung 145 - der POISSON-Verteilung 140

Grenzen des 3s-Bereiches 69

Grundgesamtheit

Haufigkeitstabelle der Stichprobe 137

103, 104

-, unklar 150 Hypothesen-Prozentsatz

-, alternativ 105,153,181

92

-wert 98, 118

-, diskret 137,175 -, Eigenschaften 163 -, normalvcrtcilt 68, 104, 120, 145, 150 -, stetig 142,147,185

induktive Statistik 84

,zweidimensional

Interessen des Auftraggebers 86

167, 174

Intervall [~-3a,W3a]

- mit gleichen Varianzen 216 - mit gleicher Standardabweichung Gruppen

211, 212

185

63

Intervalle 143, 148, 175 -grenzen 142

Sachwortverzeichnis

227

Intervallhauflgkeiten

143

-wahrscheinlichkeiten Inverse

lineare

57, 59, 68, 74, 77

der Standardnormalverteilung

Irrtumswahrscheinlichkeit

95

86, 179

Regression

linearer

Zusammenhang

Liniendiagramm -grafik

Kenngrofsen Klassen

einer Stichprobe

-grenzen

massenhafte

Klassifizierung klassische

- Formel

zufalliger

Ereignisse

Durchfuhrung

18

der einfachen

Kontlikt

durch

Zahlen

zwischen

21

23

Totalerhebung

Merkmal

103, 104

104

-wert

17, 36, 47, 104, 105

-werte

mit Wahrscheinlichkeiten

Messfehler

und

81, 84

-reihen

Konservenabfullung

189

Messung,

-test

Kbrpergewicht KORREL

-, Begriff

-wert

175, 176, 178

F-Wert

220

Kurve der Normalverteilungsfunktion

104

110,116,121

67, 110, 116, 164 der Differenzen

- der Stichprobe 163, 164

158

104

mittlere

Erfolgswahrscheinlichkeit

Munze

17

-wurf

112

67, 110, 116, 121

Mittelwert

163

Kreuztabelle

48

17,20,24,29

59

N

L Laplace

der

MITTELWERT

163, 168, 173

165

-, Prufung

kritischer

23, 173

-, arithmetisches

163, 167, 169

163

-, empirischer

23

Mittel der Stichprobenwerte

Korrelationskoeffizient

-, Null

zufallige

Dberschreitungswahrscheinlichkeit

17

164, 173

-, Formel

173

Methode

174

38

115

Messwert

175

eines

84

23, 42

Zufallsstichprobe

Kontingenztafel

89

20

Mautstelle

-trager

216

fur die Wahrscheinlichkeit

Kodierung

Wiederholung

Massenproduktion

142

Variationsanalyse

Fragestellung

Zufallsexperiments

143

70,72,

62

M

69

70, 138

- zusammenfassen

163

45

links einseitige

K

167

N(!l,a)-verteilte 21

Normalitat

41

Zufallsgrofse

62, 63

228

Sachwortverzeichnis

normalverteilte

Grunclgesamtheit

- Zufallsgroise

61,63,75

- Zufallsgroisen,

63

erkennen

Stichproben

65

POISSON-Verteilung

-, Funktionskurve

60, 78

-, Graph

59

-, Pararneterschatzung

66

-, Standarclabweichung

66

N ormalverteilungsfunktion NORMINV

-, Parameter

Ie 42

Prasentation

von Daten

Produkt

80

Nullhypothese

-satz

85, 105, 108, 110, 115

105

-, beobachteter

92

92

Prufgrofse

Original-

en zufalliger

Ereignisse

und Vergleichstabelle

22 178

70

88,92,96,97,98,99,105,111

- und Ablehnungsbereich Prufung

- der Regressionsparameter

Parameter

- cler Binomialverteilung

- der Normalverteilung - einer Verteilung Parameter

- des Anteilwertes

59

89, 92, 94, 97, 99, 105 110,115,

- des Korrelationskoeffizienten

Parameter

J.l der Normalverteilung

Parameter

o 60

-, unbekannte

167

- des Erwartungswcrtes

147

- einer diskreten

42, 66

-, bekannte

142, 147

- des Achsenabschnitts

48

Ie 42

-, Schatzung

129, 135

- der Verteilung

130, 203

167

167

- der Varianz

152

173

181

- cler Steigung Paare

88

auf Unabhangigkeit

- der Anteilwerte

p

22

182

Prufbedingung

Operation

81

von Ereignissen

-werte

o

140

21

Prozentangaben

NORMVERT 61, 64, 75, 78

39,42,

40

probabilitc 75

175

44, 140

-, Erwartungswert

-, Parameter

153

Pivot -Tabellen-Assistent POISSON

68

nicht verbunclener

181

- verbundener

59, 74, 80, 115, 122

- mit einer Stich probe

Parametervergleiche Stichproben

Eigenschaften

Normalverteilung

68, 129

65

- einer Hypothese - einer stetigen

Punktwolke

147 Stichproben

115

P-Wert

163 137

85

Verteilung

- von Vcrtcilungcn

142

-tests mit kleinen

Verteilung

120

137

163, 173

168, 172, 220

142, 147

Sachwortverzeichnis

229

Rohgrafik

Q

52, 62

Rubrikenachse

Quaclratsumme -, totale

zwischen

Gruppen

214

214

Quadratsummen

45, 62

s

216

Saulengrafik Qualitat

eines Schutzen

70

48 Schar von Verteilungsfunktionen

Qualitatskontrolle

130, 203

23, 24, 84 Schatztheorie

Quantil

79,90,91,94,111,122,

Quantile

der F-Verteilung

67

124 Schatzung

52,67,

148, 149, 163

204, 205 - cler Parameter

- der Standardnormalverteilung

cler Normalverteilung

66

90, 106 - fur die gemeinsame

- cler t-Verteilung

124, 197 Standardabweichung

- cler ?tVerteilung

186

133 - fur die Standardabweichung

Schatzung fur p 51

R

- fur Ie 42

Rand des Ablehnungsbereiches Realisierungen

einseitige

Regeln

90, 94

104, 167, 169

- der Zufallsvariablen rechts

98

Statistik Statistik

168, 170

Regression,

line are

Regressionsanalyse -ergebnis

Wi

138

- der Wahrscheinlichkeitsrechnung REGRESSION

173

-gerade

167

167

81

sicheres

Ereignis

21

zwischen

signifikanter

Widerspruch

Signifikanz

84, , 87, 93

173 in der Telefonzentrale

Haufigkeit

21

Spektrum

Risiko von Fehlentscheidungen

Sprunge 82

-stellen

18

19 30, 32

Sprunghohen 84, 94

175

der Merkmalwerte

Spielbanken

cler Stich probe

82

Spaltensummen

20

39

46, 62

Sonntagsfrage

22

84, 94, 179

86,88,89,94,97,100,102

Sinuskurve

zufalligen

47

81

Skatblatt

167,169,172

Reprasentanz

Aussagen

Skalierung

-parameter

Ereignissen

sichere

Situation

169

84

im Wettkampf

-niveau

163, 167

-gleichung

Relationen

Statistik

Sicherheit 19

169

-forme!

67

Schutze

Fragestellung

der beurteilenden

-, beste

schlieisende

104

- cler mathematischen

relative

121

28, 30, 36, 41, 47, 50

cler Verteilungsfunktion

27, 30

Sachwortverzeichnis

230 STABW 67,111,130,196,202

- norrnalverteilter Grundgesamtheit

Standardabweichung

-, grog 89

66,74, 111, 115

- der Grundgesamtheit

129

Stichprobe, gruppiert

- cler Normalverteilung

67

-, Haufigkeitstabelle

- <J

,Ecpriiscntanz

67, 68

-, bekannte -, empirische

82 152, 164

Stichproben gleichen Umfangs 152

149

-, gemeinsame

212 142

,zweidimensional

115

- in Gruppen zerlegen 212

186

-, gleiche 189, 195

- unterschiecllichen Umfangs 152

-, unbekannte

-, gepaart

120, 195

Standardnorrnalverteilung -, Dichtefunktion STANDNORMINV STANDNORMVERT

78, 90, 94, 100

-, grofS 105,110,153,181,185,

-, nicht verbunden -, verbunclen

79

151,181,195,211

151, 169,173

Stichproben-Entnahme

Starke des linearen Zusammenhanges

152, 161

-, klein 190, 195

91

80, 91, 94, 95

Stichprobenpaare

82, 103

154,158,164,

-, induktive 84

-standardabweichung

-, schlieBende 84

-technik 84 152

-varianz 130 Strategie der beurteilenden Statistik 85

statistischer Beweis 81

Streifen, symmetrischer

167

64

Stuclent'sche t-Verteilung 121

Steigung 167 Steilheit der Normalverteilungs-Kurve stetige Grundgesamtheit - Verteilungsfunktion

67,74, 111, 121

-umfang 97, 98, 182

statistische Tests 84

STEIGUNG

168, 174

-parameter x. und s 66, 67

84, 89, 103

-, zweidimensionale

83

- Mittelwert 42, 67, 69, 70, 74, 83

163

Statistik, beschreibende -, beurteilende

75

60

142, 147

SUMME 176

Summe - aller Wahrscheinlichkeiten

56

- zufallige Ereignisse 18

- der Quadratquotienten

- Zufallsexperimente

- von Ereignissen 22

18

- ZufallsgrbBe 25, 56

Summenzeichen

- -, Bild 57

Symmetric 63

Stichprobe 66,68,81,82,86,88,

96, 97

24, 31

178

24

- der Normalverteilung

60, 77

Sachwortverzeichnis

231 t-Test 120, 164, 167, 195

Symmetrie der Standardnormalverteilung

TTEST

91

Symmetrie-Eigenschaften

127, 161, 162, 199,200

- fur zweiseitige Fragestellung 161

124

TVERT

T

126, 160

t-Verteilung 121,158,159,165,197,204

Tabelle der beobachteten Werte 178

-, Quantile 123

- der Quantile der t-Verteilung 125

u

- der Quantile der l-Verteilung

Oberschreitungswahrscheinlichkeit

- der Quantile der F-Verteilung 205

133

- cler Standarclnormalverteilung 90, 91

- und Signifikanzniveau 98, 99

- der theoretischen Werte 175

-, einseitig 100, 107, 112, 139

Taste ITill44

-, zweiseitig 100, 102, 107, 112

Teilereignis 22

Umfang cler Stichprobe 66, 105

88, 97

- einer gepaarten Stichprobe 154, 158

-in tervall 70

Tclcfonzentralc

- verbundener Stichproben

39, 41

Test des Anteilwertes 90

Unabhangigkeit

Testergebnis

-, Prufung auf 173

93

-funktionswert

-, vollige

92

152, 211

173

174

unbekannte Parameter der

-grotse 92

Normalverteilung 67

Test-Methoden 84

unendlich viele Merkmalwerte 18, 56

-, statistische 84 -statistik 92

unmogliches Ereignis 22

-typ 200

Urnenmodell der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Teufelskreis 83

v

theoretische Anzahl 137, 143 - Wahrscheinlichkeiten TINV

53

137, 143

122, 124

Varianz 129

Totalerhebung

81,85,87

Tragweite einer Fehlentscheidung

VARIANZ

88

130

Varianzanalyse 211,212,212,217

Trefferzahlen 47, 48, 51

Varianzen 129, 193

Treppenfunktion

-, gleiche 200, 212

27,35,36,41

Treppengestalt cler Verteilungsfunktion 45 Treppenstufe

-, Gleichheit 195, 209 -, Vergleich 202

34

Variationstafel 214

Sachwortverzeichnis

232

Veranderliche,

abhangige

-, unabhangige

169

Vielfachheiten der Merkmalwerte

169

verbunclene Stichproben Verbundenheit

Vierfeldertafel

211

Volkszahlung

152

Vergleich der Anteilwerte - der Erwartungswerte - der Varianzen

202

Vergleichstabelle V crhaltnissc,

175, 177, 178

vermutete Verteilung

38

- fur eine Fehlentscheidung

148

- durch Flacheninhalte

27, 32, 35, 48, 55, 58

- beim Munzwurf

30

- der F-Verteilung

203

Werkzeug

31, 32, 59

34

19

53

27

- HISTOGRAMM71,145 33

- REGRESSION 170

34

Statistik

Wert der Uberschrcitungswahrscheinlichkeit

161

- der Verteilungsfunktion

56, 59

-, vier Eigenschaften

17

EINFAKTORIELLE VARIANZ-

- der heschreihenden

-, Sprungstellen

115

ANALYSE 218 33

und Sprunghohe

28

20

24

Werfen einer Mi.inze

59

-, Sprunghohcn

20

77

Warenposten

-, Grenzwert -Eigenschaft

-, stetig

-masse

- rechnung, Regeln

56

-, forrnelmafsige Darstellung

-, Graph

77

137, 143

klassisch

-rechnung 31

74

-, Funktionswert

-, theoretische

-gesetz der Grundgesamtheit 28, 30

28

- mit genau zwei Spri.ingen

- ohne Sprungstellen

erklaren

31

-definition, 53

- einer alternativen Zufallsgrofse - einer Zufallsgrofse

19 84

Wahrscheinlichkeitsbegriff

- der POISSON-Funktion

-, diskret

50, 53

- fur die Wi.irfelergebnis-ZufalisgrofSe -, Summe

Verteilungsfunktion

-, alternativ

19, 20, 25, 31, 47

- eines Wettkampfergebnisses

143

- N( ~,cr)

81

Wahrscheinlichkeit

143

137,142,147

-, vermutet

86

20

- eines zufalligen Ereignisses

- der Zufallsgrofse

-, Pri.ifung

81, 103

Vorhersage

Wahl

182

151

-, hypothetisch

154

w

19, 20

prozentualc

154

Vorgabe eines Signifikanzniveaus

153

157, 185, 190, 195

- zufalliger Ereignisse

Verteilung

VERWEIS 70

- fur die Prufgrofse 31

92

145

82

27

Sachwortverzeichnis

Wertebereich -tabelle

233

der Verteilungsfunktion

61

Wettkampf

Zufallsexperiment -, massenhafte

der POISSON-Funktion

-tabelle

55

44

Wiederholung

- alternativer - cliskreter

47

17, 18, 32, 35, 47, 65

Art Art

18

18

-, Trefferzahlen

47, 50

- stetiger

Wettkampf-Typ

54

- vorn Ankunfts-Typ

Wettkampf-ZufallsgrofSe Wiclerspruch,

48

signifikanter

Wieclerholung experiments

18 39

- vom Wettkampf-Typ 84, 94, 179

-, Arten

23

Zufallsgrofse 23, 32, 68

63

- mit Zweipunktvcrtcilung

Wurf mit einem

Wurfel

Wurfel-Zufallsgrbge

c 65

-, N(~,('j)-verteilt

17, 24, 27

-, alternativ

27

-, cliskret

-, stetig

X-Eingabebereich

24, 30, 35 24, 31, 35 63, 67, 75

25, 56

Zufallsstichprobe

170

42, 51, 66, 82, 93, 96

-, zweiclimensional

y

zugehorige 170

163, 166, 169

163

zwei Stichproben

Zahlen-Ereignisse

124

- verbunclene

23, 24, 32, 36, 38

ZAHLENWENN 70 Zeilensummen

Zielgrofse

83

163, 167, 169

Beobachtungen

- Einflusse - Ereignisse,

42, 51

104

22

- -, Klassifizierung - -, Operationen

Statistik, 152

152

103 Ablehnungsbereich

Zweipunktverteilung zweiseitige

151

18 22

18, 20, 47

95

31

Fragestellung

95, 99

- Uberschreitungswahrscheinlichkeit

Rewertung

- -, Beziehungen

Zweifel

zweigeteilter

17,18,38,42,81,82,84,85

zufallige

zweiclimensionale

- Stichprobe

einer Zufallsstichprobe

151

Stichproben

beurteilencle 175

77

174

Zusammenhangsmais

Zahl cler Freiheitsgracle

Zufall

linear

-, nicht linear

z

153, 164, 168, 174

Glockenkurve

Zusammenhang,

Y-Eingabebereich

31

62, 63

-, normalverteilt

x

Ziehen

39

eines Zufalls-

des Parameters

Wirkung

Art

20

100

Zusammenstellung der beschriebenen statistischen Tests 9.1

Gauss-Test zur Prufung des Anteilwertes mit grofsen Stichproben

105

9.2

Gauss-Test zur Prufung des Erwartungswertes mit grofsen Stichproben

110

10.1

Gauss-Test zur Prufung des Erwartungswertes bei bekannter Standardabweichung

115

Einfacher t-Test zur Prufung des Erwartungswertes bei unbekannter Standardabweichung

120

10.3

Einfacher l-Test zur Prufung der Varianz

129

11.1

x -Anpassungstest

137

10.2

2

zur Prufung einer diskreten Verteilung

11.2 l-Anpassungstest zur Prufung einer stetigen Verteilung mit bekannten Parametern 11.3

142

2

X -Anpassungstest zur Prufung einer stetigen Verteilung mit unbekannten Parametern

147

13.1

Gauss-Test zum Vergleich der Anteilwerte grotser Stichproben

153

13.2

Differenzen-t-Test zum Vergleich der Erwartungswerte normalverteilter Grundgesamtheiten

157

14.2

t-Test zur Prufung des Korrelationskoeffizienten

164

15.2

t-Tests zur Prufung von Achsenabschnitt und Steigung

167

16.2

x -Kontingenztest

174

17.1

Gauss-Test zur Prufung dcr Anteilwerte mit grofscn Stichproben

181

17.2

Gauss-Test zum Vergleich von Erwartungswerten grofser Stichproben

185

17.3

Gauss-Test zum Vergleich von Erwartungswerten kleiner Stichproben, wobei (71 und (72 bekannt sind

190

Doppelter t-Test zum Vergleich von Erwartungswerten kleiner Stichproben, wobei (71 und (72 unbekannt sind

195

17.5

F-Test zum Vergleich der Varianzen

202

18

Einfache Varianzanalyse nicht verbundener Stichproben

211

17.4

2

zur Prufung der Unabhangigkeit.

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