Spannungs-Verformungsverhalten granularer Materialien am Beispiel von Berliner Sand

Spannungs-Verformungsverhalten granularer Materialien am Beispiel von Berliner Sand

Von der Fakultat Bauingenieur- und Vermessungswesen der Universitat Stuttgart zur Erlangung der Wurde eines Doktor-Ingenieurs (Dr.-Ing.) genehmigte Abhandlung

Vorgelegt von

Dipl.-Ing. Heiner Mullerschon aus Nurtingen

Hauptberichter: Mitberichter:

Prof. Dr.-Ing. Wolfgang Ehlers Prof. Dr.-Ing. Pieter Vermeer

Tag der mundlichen Prufung: 07. 08. 2000

Institut fur Mechanik (Bauwesen) der Universitat Stuttgart 2000

Bericht Nr. II-6 aus dem Institut fur Mechanik (Bauwesen), Lehrstuhl II, Universitat Stuttgart

Herausgeber:

Prof. Dr.-Ing. W. Ehlers

c

Heiner Mullerschon Institut fur Mechanik (Bauwesen) Lehrstuhl II Universitat Stuttgart Pfaenwaldring 7 70 569 Stuttgart

Alle Rechte, insbesondere das der U bersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten. Ohne Genehmigung des Autors ist es nicht gestattet, dieses Heft ganz oder teilweise auf fotomechanischem Wege zu vervielfaltigen.

Vorwort Die vorliegende Arbeit entstand wahrend meiner Tatigkeit als wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut fur Mechanik (Bauwesen) der Universitat Stuttgart. Mein besonderer Dank gilt Herrn Prof. Dr.-Ing. Wolfgang Ehlers fur die Anregung zu dieser Arbeit, fur seine Unterstutzung und Forderung sowie fur die U bernahme des Hauptberichts. Herrn Prof. Dr.-Ing. Pieter Vermeer danke ich fur die kritische Auseinandersetzung mit  bernahme des Mitberichts. meiner Arbeit und die bereitwillige und schnelle U Desweiteren danke ich Herrn Vermeer und allen Mitarbeitern des Instituts fur Geotechnik der Universitat Stuttgart fur die gute und unburokratische Zusammenarbeit insbesondere im Bereich experimenteller Fragestellungen. Nicht zuletzt bedanke ich mich bei allen Kollegen und Mitarbeitern am Institut fur Mechanik (Bauwesen) der Universitat Stuttgart fur das angenehme und freundliche Arbeitsklima und fur die in vielfacher Hinsicht hilfreiche Unterstutzung. Hervorheben mochte ich dabei die Hilfe von Martin Ammann, Peter Blome und Peter Ellsiepen, die durch intensives Korrekturlesen wesentlich zur Verbesserung der Arbeit beigetragen haben. Auerdem bedanke ich mich ganz herzlich bei allen wissenschaftlichen Hilfskraften fur die tatkraftige Unterstutzung, vor allem bei der Durchfuhrung von Versuchen sowie bei Ralf Plonus fur die fruchtbare Zusammenarbeit bei der Entwicklung neuer experimenteller Methoden. Abschlieend gilt mein ganz besonderer Dank meiner lieben Frau Carola, deren Unterstutzung und Verstandnis ein wesentlicher Baustein zum Gelingen dieser Arbeit war. Stuttgart, im August 2000

Heiner Mullerschon

Inhaltsverzeichnis Einleitung Motivation und Problemstellung . . Voraussetzungen . . . . . . . . . . Gliederung und Umfang der Arbeit Notation . . . . . . . . . . . . . . .

1 . . . .

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1 Experimentelle Beobachtungen

1 3 4 6

7

1.1 Homogene mehraxiale Elementversuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Triaxialversuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Rotationssymmetrische Probengeometrie . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Triaxialanlage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Probenaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Messung der Probendeformationen . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5 Ein u der Probenschlankheit und der Probenrandbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Allgemeines Materialverhalten granularer Stoe . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Ein u des Lode -Winkels bei deviatorischer Belastungsrichtung 1.4 Charakterisierung des Versuchssandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Versuchsergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Versuche mit Ent- und Wiederbelastungszyklen . . . . . . . . . 1.5.2 Kompressionsversuche: j1 j > j2 j = j3 j . . . . . . . . . . . . . 1.5.3 Hydrostatische Kompressionsversuche: j1 j = j2 j = j3 j . . . . . 1.5.4 Extensionsversuche: j1 j < j2 j = j3 j . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.5 Reibungswinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I

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8 10 10 17 19 19

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26 29 30 33 34 35 36 36 38 39

Inhaltsverzeichnis

II

2 Theoretische Grundlagen 2.1 Theoretische Grundlagen der Elasto-Plastizitatstheorie 2.1.1 Elastizitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Plastizitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Optimierungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Approximation der Hesse-Matrix . . . . . . . . 2.2.2 Levenberg-Marquardt -Algorithmus . . . . . . . . 2.2.3 SQP-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41 . . . . . . .

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3 Modellbildung und Parameteridenti kation

61

3.1 Elastische Deformationsanteile . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Elastizitatsgesetze fur Reibungsmaterialien . . . . . . 3.1.2 Ein neues Elastizitatsgesetz fur Reibungsmaterialien . 3.2 Plastische Deformationsanteile . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Fliebedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Isotrope Verfestigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Flieregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4 Parameteridenti kation der Fliebedingung . . . . . . 3.2.5 Parameteridenti kation des plastischen Potentials . . 3.2.6 Zusammenfassung des elasto-plastischen Stomodells gehorigen Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . und der . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . zu. . .

4 Bilanzgleichungen der TPM und FEM-Implementierung 4.1 Das inkompressible Zweiphasenmodell . . . . . . . . . . 4.1.1 Inkompressibilitatsbedingung und Konzept der Volumenanteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Bilanzgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Numerische Umsetzung mit der FE-Methode . . . . . . 4.2.1 Schwache Formulierungen der Bilanzgleichungen 4.2.2 Orts- und Zeitdiskretisierung . . . . . . . . . . 4.2.3 Losung der nicht-linearen Gleichungssysteme . .

41 42 47 55 56 57 59

61 62 68 81 82 85 85 86 95 97

99

. . . . . . . . . . . 101 . . . . . . .

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101 103 104 109 109 110 113

Inhaltsverzeichnis

III

5 Numerische Beispielrechnungen 5.1 Triaxialversuche . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Triaxialer Kompressionsversuch . . . 5.1.2 Hydrostatischer Kompressionsversuch 5.1.3 CU-Versuch . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Degebo-Versuch . . . . . . . . . . . . . . . .

117 . . . . .

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Zusammenfassung und Ausblick

117 119 120 121 122

125

Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

A Allgemeine tensorielle Beziehungen A.1 Tensoralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1.1 Tensorprodukte . . . . . . . . . . . . A.1.2 Identitats- und Fundamentaltensoren A.1.3 Kugeltensor und Deviator . . . . . . A.2 Invarianten . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2.1 Invarianten eines Tensors . . . . . . . A.2.2 Invarianten des Deviators . . . . . . A.3 Tensoranalysis . . . . . . . . . . . . . . . . .

127 . . . . . . . .

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127 127 128 128 129 129 129 130

IV

Inhaltsverzeichnis

Einleitung Motivation und Problemstellung Die Vorhersage von Setzungen und Verformungen im Baugrund, hervorgerufen durch Baumanahmen oder durch ein Bauwerk selbst, erfordern die genaue Kenntnis des Materialverhaltens im Untergrund. Sicherheit gegen Grenzzustande, wie z. B. Grundbruch, Gelandebruch oder sehr groe, das Gebaude schadigende Verformungen, sollen gewahrleistet werden. Als Baugrund liegen hau g granulare Materialien wie Kies oder Sand als naturliche Erdstoe vor. So sind beispielsweise samtliche Gebaude am Potsdamer Platz in Berlin auf Sand gegrundet. Das Materialverhalten einer granularen Struktur wie Sand ist allerdings auerst komplex. Stogesetze zur realitatsnahen Beschreibung dieses Materialverhaltens mussen verschiedensten Eigenschaften genugen. So mu z. B. die Abhangigkeit der Scherfestigkeit vom Spannungszustand als ein typisches Merkmal von Reibungsmaterialien modelliert werden. Die Berucksichtigung der Belastungsgeschichte, dilatante Eekte sowie die Charakteristik der Materialverfestigung mit zunehmender Belastung konnen ebenfalls nicht vernachlassigt werden. Klassische linear-elastische (Hooke sches Gesetz) und ideal-plastische (Grenzbedingung nach Mohr-Coulomb) Spannungs-Verformungstheorien der Bodenmechanik ergeben oftmals groe Abweichungen zwischen rechnerischen Vorhersagen und tatsachlichen Beobachtungen. Dieses Problem hat, in Zusammenhang mit der Entwicklung der Finiten-Elemente-Methode, in den letzten 40 Jahren international zu intensiver Forschungstatigkeit gefuhrt. In dieser Zeit sind eine Vielzahl von Arbeiten entstanden, die sich mit der Entwicklung von elasto-plastischen Stogesetzen fur granulare Materialien beschaftigen. An dieser Stelle seien die Arbeiten von Pooroshab et al. [83, 84], Rowe [88], Duncan & Chang [31], Lade [67], Gudehus [45, 46], Vermeer [107], Arslan [1], Desai [24], Kim & Lade [57] und Lade & Kim [70, 71] herausgegrien, da diese als richtungsweisende Beitrage gelten. Die Entwicklung von neuen Materialgesetzen wird vor allem durch die standige Steigerung der Computerkapazitaten vorangetrieben, da sich dadurch immer komplexere Theorien numerisch umsetzen lassen. Durch diese Entwicklung stiegen auch die Anforderungen im experimentellen Bereich, da anspruchsvolle Materialgesetze eine versuchstechnisch exakte Untersuchung der Materialeigenschaften erfordern. Vor allem die Erfassung kleiner Deformationen in mehraxialen Versuchen sowie die Untersuchung postkritischer Bereiche bildeten die Schwerpunkte versuchstechnischer Forschungsaktivitaten der letzten Jahre. Im Bereich experimenteller Untersuchungen sind die Leistungen von Ko & Scott [61, 62, 63], Roscoe [85], Bishop 1

2

Einleitung

& Wesley [8], Lade & Duncan [68], Tatsouka & Ishihara [100], Goldscheider [42], Yamada & Ishihara [114] und Desrues et al. [26] besonders hervorzuheben.

Basierend auf den gesammelten Erfahrungen dieser Autoren und den Vorarbeiten im Bereich elasto-plastischer Konstitutivgleichungen von Ehlers [33, 34] behandelt diese Arbeit die Entwicklung eines neuen Stomodells zur Beschreibung des Spannungs-Verformungsverhaltens von granularen Materialien am Beispiel von Berliner Sand. Von Interesse ist dabei die Beziehung zwischen einer auf die Kornstruktur des Sandes aufgebrachten Spannung bzw. Verformung und der sich daraus ergebenden Verformungsbzw. Spannungsantwort. Hierbei wird von einer makroskopischen, phanomenologischen Betrachtungsweise ausgegangen. Dies bedeutet, es wird eine Ansammlung von Korner betrachtet, die eine zusammenhangende Festkorperstruktur bilden (Kontrollvolumen). Die Anzahl der Korner mu so gro sein, da eine Struktur mit unendlich vielen Korner statistisch reprasentiert wird. Das mechanische Verhalten des betrachteten Kontrollvolumens wird gedanklich in einen Punkt eines kontinuierlichen Kontinuums projiziert, welches durch orts- und zeitabhangige Feldgleichungen sowie die entsprechenden Konstitutivgleichungen beschrieben werden kann. Eine andere Zugangsmoglichkeit ist die mikroskopische Betrachtung einzelner Korner bezuglich deren Geometrie und mechanischen Verhaltens sowie deren Wechselwirkungen zu benachbarten Kornern (Partikelmechanik). Auf diese Vorgehensweise wird im Rahmen dieser Arbeit nicht eingegangen. Experimentelle makroskopische Untersuchungen an granularen Strukturen zeigen, da nach einer Entlastung bei vorhergehender Erstbelastung bleibende Deformationen entstehen. Dies zeigt, da inelastische Verformungsanteile enthalten sind, die bei der Modellbildung berucksichtigt werden mussen. Dies geschieht in der Regel durch eine Aufteilung in elastische und plastische Deformationsanteile. Konstitutivgleichungen fur die jeweiligen Anteile sind dann erforderlich. Das in dieser Arbeit vorgestellte Modell beschreibt diese Anteile durch eine geometrisch lineare, elasto-plastische Theorie mit einem Ein achen iekriterium unter isotroper Verfestigung und einer nicht-assoziierten Flieregel. Die Beschreibung der elastischen Deformationsanteile erfolgt durch ein materiell nichtlineares Elastizitatsgesetz. Dabei werden verschiedenste Eigenschaften des elastischen Verhaltens einer granularen Struktur berucksichtigt. Bei der Entwicklung des Elastizitatsgesetzes wird auf die Einhaltung thermodynamischer Grundsatze Wert gelegt. Viele der in den vergangenen Jahren publizierten Elastizitatsgesetze fur Reibungsmaterialien erfullen diese Anforderung nicht. Die plastischen Deformationsanteile sind in dem hier vorgestellten Modell bestimmt durch eine spezielle Fliebedingung und ein zusatzliches plastisches Potential in Verbindung mit Evolutionsgleichungen fur die plastischen Verzerrungsanteile und fur Variablen der isotropen Verfestigung. Um das entwickelte Stomodell auf das spezielle Materialverhalten von Berliner Sand anpassen zu konnen, ist die Durchfuhrung und Auswertung von mehraxialen Elementversuchen erforderlich. Innerhalb dieser Arbeit werden solche mehraxiale Versuche in Form von Triaxialversuchen mit rotationssymmetrischen Probekorpern realisiert. Die Versuchsergebnisse zeigen dabei eine starke Sensitivitat in bezug auf die Versuchstechnik. Die besonderen Schwierigkeiten stellen hier die Einhaltung einer homogenen Spannungs- und Verzerrungsverteilung innerhalb der Probe sowie die Messung der exakten Probendeformationen dar. Anhand von Ergebnissen aus den durchgefuhrten Triaxialversuchen wird

Einleitung

3

eine Parameteridenti kation fur die Modellgleichungen vorgenommen. Hierbei werden elastische und plastische Konstitutivgleichungen getrennt betrachtet. Zur Versuchsauswertung und Parameteridenti kation wurde ein Programm entwickelt, das Ergebnisse aus triaxialen Kompressions- und Extensionsversuchen sowie aus Triaxialversuchen mit rein hydrostatischer Belastung als Eingabegroen benotigt. Die entwickelten elasto-plastischen Konstitutivgleichungen werden dann im Rahmen der Theorie Poroser Medien (TPM) (Bowen [13, 14], de Boer & Ehlers [11], Ehlers [32]) in ein Zweiphasenmodell mit inkompressiblen Konstituierenden eingearbeitet. Innerhalb der Bilanzgleichungen des Zweiphasenmodells geht das Stomodell in die Spannungsberechnung der Festkorperstruktur ein. Die Einbindung in ein Mehrphasenmodell ermoglicht die Beschreibung von wassergesattigten sowie von trockenen granularen Materialien. Da fur das gesamte Modell keine geschlossenen Losungen existieren, ist eine numerische Behandlung des Problems erforderlich. Dazu werden die Materialgleichungen in das FiniteElemente-Programm PANDAS1 eingearbeitet, das speziell fur die Behandlung von nichtlinearen Mehrphasenproblemen geeignet ist.

Voraussetzungen In den 60er und 70er Jahren wurden in Berlin auf dem Versuchsgelande der Deutschen Forschungsgesellschaft fur Bodenmechanik (Degebo) eine Reihe gromastablicher Versuche zur Untersuchung von Setzungen und des Grundbruchverhaltens bei nichtbindigen Boden durchgefuhrt. Dabei liegen speziell Versuchsergebnisse aus dem Jahr 1964 in sehr gut dokumentierter Form vor (Elminger & Muhs [40]). Innerhalb des Forschungsprojekts "Baugrund-Tragwerk-Interaktion\ (BTI)2 , in dem unter anderem die Modellierung des Materialverhaltens von kohasionslosen Boden behandelt wird, wurde beschlossen, die Ergebnisse dieser Groversuche zur Veri zierung eines zu entwickelnden Stomodells zu verwenden. Die Versuche von 1964 wurden mit unterschiedlich dicht gelagertem Sand durchgefuhrt. Aus diesen Versuchen wurden innerhalb des Projekts Versuche mit einer Sanddichte von d = 1,71 g/cm3 ausgewahlt3 . Mit Berliner Sand dieser Dichte sollten dann alle weiteren Untersuchungen durchgefuhrt werden. Um den in den Groversuchen von 1964 verwendeten Sand zu reproduzieren, wurde Sand am Potsdamer Platz in Berlin entnommen und durch Sieben und Umverteilen einzelner Kornanteile so manipuliert, da die Kornverteilung der des Sandes aus den Groversuchen entspricht. Mit diesem Sand wurden dann mit der vorgegebenen Dichte Elementversuche durchgefuhrt, die zur Parameteridenti kation eines Stomodells erforderlich sind. Die Aufbereitung des Versuchssandes, die bodenmechanische Klassi zierung sowie die Durchfuhrung von Elementversuchen erfolgte am Institut fur Geotechnik der TU Darmstadt. Die Ergebnisse dieser Versuche gehen teilweise in diese Arbeit ein. 1 Porous media Adaptive Nonlinear nite element solver based on Dierential Algebraic Systems. 2 Das Forschungsprojekt BTI wird gefordert von der Deutschen Forschungsgemeinschaft (DFG). 3 Fur Berliner Sand wird diese Dichte in der Bodenmechanik als dichte Lagerung\ klassi ziert.

"

4

Einleitung

Gliederung und Umfang der Arbeit Die vorliegende Arbeit lat sich in einen experimentellen Teil (Kapitel 1), einen Teil, in dem die Grundlagen der Elasto-Plastizitatstheorie (Kapitel 2) sowie die Modellbildung und die Parameteridenti kation (Kapitel 3) behandelt wird, und einen Teil, der auf die numerische Umsetzung der Feldgleichungen und der Konstitutivbeziehungen eingeht (Kapitel 4), untergliedern. Im letzten Teil (Kapitel 5) werden abschlieend Beispielrechnungen gezeigt. Im experimentellen Bereich in Kapitel 1 steht die Durchfuhrung von Triaxialversuchen im Vordergrund. Hier wird ein verbesserter Versuchsaufbau vorgestellt, der die Realisierung homogener Randbedingungen erlaubt. Desweiteren wird eine neue Methode zur Messung der Probenvolumenanderung beschrieben. Mit dieser Methode ist die exakte Erfassung extrem kleiner Volumenanderungen moglich. Im Bereich der Modellbildung wird in Kapitel 2 auf die Grundlagen der Elasto-Plastizitatstheorie eingegangen. Dabei werden in diesem Kapitel die bei der Entwicklung von konstitutiven Ansatzen zu beachtenden Restriktionen diskutiert. In Kapitel 3 wird dann ein Stomodell vorgestellt, das eine detaillierte Modellierung der Materialeigenschaften von granularen Stoen erlaubt. Mit der Auswertung der Elementversuche werden fur dieses Modell die materialspezi schen Parameter ermittelt. In Kapitel 4 wird in kurzer Form die Herleitung eines Zweiphasenmodells auf der Basis der Theorie Poroser Medien gezeigt. Die FEM-Implementierung der schwachen Formen der Bilanzgleichungen dieses Modells einschlielich der in Kapitel 3 eingefuhrten Konstitutivgleichungen ist abschlieendes Thema in Kapitel 4. Schlielich werden in Kapitel 5 zur Veri zierung der Modellgleichungen Nachrechnungen von experimentellen Ergebnissen durchgefuhrt. Auf der folgenden Seite ist zur Verdeutlichung die Gliederung der Arbeit schematisch dargestellt.

Einleitung

5

Kapitel 1:

 Entnahme, Aufbereitung und

111111111111 000000000000 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 Sandkorn

der Elasto-Plastizitatstheorie und Restriktionen bei der Modellbildung  Entwicklung eines geeigneten Stomodells

εv 0.015

−1000

mittel

grob

fein

400 350 300 250 200 150 100 50 00

0.010

−600 0.005

−400 −200 0.5

1

1.5e1 2

2.5

3

σ3= 200 kN/m

2

3.5

0

σ3= 350 kN/m

2 2

0.02

0.06

0.2

0.6

2.0

ε1

6.0

Elasto-Plastisches Stoffgesetz

0110

0110 0000 1111 0000 1111 0000 1111

0110

Parameteridentifikation epsilonv -0.016

-0.014

-0.012

-0.01

-0.008

-0.006

-0.004

-0.002

0

1800

0 -200 -400 -600

k_1 = 3,86*10^4 KN/mm^2

-800

k_2 = 6,11*10^6 KN/mm^2

-1000 -1200 -1400 -1600

25.0

1600

W_p = 0.05...25.0

1400 stress paths in triaxial compression

1200

8.0

model

1000

7.0

800 600 6.0

400 200 0

0

0.05 1000

0.5

1.0 2000

2.0 3000

3.0 4000

4.0 5000

hydrostatic axis

Kapitel 4:

Numerische Umsetzung

 Bilanzgleichungen eines inkom-

pressiblen Zweiphasenmodells  FEM-Implementierung der nichtlinearen Stogleichungen

/*---------------------------------------------------------------------------*\ * * * Name : LocDaeResidual - Berechne Residuum F(t,q,qp) * * * *---------------------------------------------------------------------------* * * * Parameter : info (i ) - Zusatz-Info * * t (i ) - Zeitpunkt t * * q (i ) - Vektor der Unbekannten * * qp (i ) - Vektor der Ableitungen * * r ( o) - Vektor mit Residuum * * * * Return : TBool - Ok? * * * * Revisions : 12-03-97 - written by Peter Ellsiepen * * * \*---------------------------------------------------------------------------*/ static TBool PInfo TValue PVector PVector PVector {

Triax

(C) 1994-1998 P. Ellsiepen

>-5.089E+00 -6.322E+00

LocDaeResidual( info, t, q, qp, *r)

static PTensor R1 = NULL; TValue r2; TValue R3[3]; TValue r4; TValue T_EplP; TValue Residuum;

PANDAS

-7.555E+00 /* Residuum 1 (Fliessregel) /* Residuum 2 (Lambda-Gleichung) /* Residuum 3 (Verfestigung) /* Residuum 4 (Plastische Arbeit) /* Skalarprodukt T:EplP /* Lokales Residuum

-8.788E+00

*/ */ */ */ */ */

-1.002E+01

DebugM1(("Berechne Residuum F(t,q,qp) ..."));

-1.125E+01

/*___ Deviator und Invarianten berechnen __________________________________*/ VAR_Tdev = TensorDevInv(VAR_T, VAR_Tdev, &VAR_inv1, &VAR_invd2, &VAR_invd3); /*___ Residuum des lokalen DAE-Systems aufbauen ___________________________*/

-1.249E+01

/* * Elastisch-plastisches DAE-System: * * [R1] [ dEpl/dt - lambda*(d(T)*T^D + h(T)*I) ] ! [0] * [ ] [ ] = [ ] * [r2] = [ F(T) ] [0] * [ ] [ ] = [ ] * [R3] [ d(q)/dt - C (q_st-q) (T:dEpl/dt) ] [0] * [ ] [ ] = [ ] * [r4] [ d(Wp)/dt - (T:dEpl/dt) ] [0] * * Elastisch-viskoplastisches DAE-System: * * [R1] [ dEpl/dt - lambda*(d(T)*T^D + h(T)*I) ] ! [0] * [ ] [ ] = [ ] * [r2] = [ lambda - 1/eta*^r ] [0] * [ ] [ ] = [ ] * [R3] [ d(q)/dt - C (q_st-q) (T:dEpl/dt) ] [0] * [ ] [ ] = [ ] * [r4] [ d(Wp)/dt - (T:dEpl/dt) ] [0] * */ /*___ Berechnung des deviatorischen Anteils der Fliessregel _______________*/

-1.372E+01 -1.495E+01 -1.619E+01 -1.742E+01 -1.865E+01

if (!PlasDFlowHard(VAR_inv1, VAR_invd2, VAR_D_beta, VAR_D_delta, VAR_D_eps, &VAR_dflow)) { Error(("LocDaeResidual: Fehler in PlasDFlowHard")); return FALSE;

0 "2 = 1 " Volumenzunahme (Dilatanz) p

Abbildung 1.6:

2

1 p

2 "3

Verzerrungsanderungen und daraus resultierende Volumenanderungen in der Triaxialebene des Hauptverzerrungsraumes

In Analogie zur deviatorischen Spannungsdarstellung werden deviatorische Verzerrungen durch die zweite Invariante IID" von "D (deviatorischer Anteil von ") beschrieben. Fur rotationssymmetrische Verzerrungszustande ist die Schub- oder Scherverzerrung

j"1 "3j =

q

3 IID"

ein ubliches Ma zur Angabe der deviatorischen Verformung.

(1.22)

1.2 Triaxialversuche

17

1.2.2 Triaxialanlage Im Triaxialversuch wird eine zylinderformige Probe einem axialsymmetrischen Spannungszustand ausgesetzt. Die radiale Spannung wird hydraulisch in Form eines Zelldrucks auf die in eine wasserdichte Latexhulle gepackte Probe aufgebracht. Gleichzeitig wird der Probe uber starre Kopf- und Fuplatten eine axiale Spannung oder Verformung eingepragt. Dies bedeutet, es liegen in radialer Richtung Spannungsrandbedingungen und in axialer Richtung Verschiebungsrandbedingungen vor. Im konventionellen Triaxialversuch, entsprechend der DIN 18137 [27, 28], wird eine Seitenspannung durch Vorgabe eines konstanten Zelldrucks eingestellt und anschlieend die axiale Last bis zum Versagen der Probe gesteigert. Moderne Triaxialanlagen ermoglichen die Ansteuerung beliebiger Axial- und Radialgroen und somit die Durchfuhrung komplizierterer Spannungs- bzw. Verformungspfade. Die Triaxialanlage des Instituts fur Mechanik (Bauwesen) erlaubt die Einstellung beliebiger Axial- und Radialgroen. Die Anlage ist vollelektronisch steuerbar und entspricht dem neuesten Stand der Triaxialversuchstechnik. Im folgenden werden die Funktionsweise und der Aufbau dieser Triaxialanlage erlautert. Das Aufbringen des Zelldrucks und des Porenwasserdrucks (PWD) erfolgt durch elektromechanisch betriebene Druckkolben. Der zuruckgelegte Weg der Druckkolben wird zur Berechnung des ein- bzw. ausstromenden Flussigkeitsvolumens verwendet. Mit Hilfe eines internen Mewertgebers wird der Druck gemessen und entsprechend einer Sollwertvorgabe geregelt. Zur Messung des Porenwasserdrucks ist zusatzlich am unteren Probenende ein externer Porenwasserdruckgeber angebracht. Mit Hilfe einer Entgasungseinrichtung wird das in den verschiedenen Kreislaufen verwendete Wasser vor der Befullung entgast, um die fur die Volumenmessung vorausgesetzte naherungsweise Inkompressibilitat des Wassers zu gewahrleisten. Die axiale Spannung bzw. der axiale Weg wird mittels einer elektronisch gesteuerten Prufpresse aufgebracht, vgl. dazu Abb. 1.7. Die Messung der Au ast erfolgt mit Hilfe eines externen Kraftmebugels. Die axiale Probenspannung errechnet sich aus dem Quotienten von Au ast und Probenstirn ache. Die Auslagerung des Kraftmebugels aus der Zelle ist moglich, da die Stempelfuhrung durch die Rollkolbenmembran extrem reibungsarm ist und somit der Fehler infolge auftretender Reibkrafte vernachlassigbar ist. Im Triaxialversuch gibt es maximal drei voneinander unabhangige Groen: Die axiale Spannung bzw. Verformung, die radiale Spannung bzw. Verformung und der Porenwasserdruck. Samtliche Groen werden uber einen PC mittels einer speziellen Software erfat. Von den funf Groen konnen drei unabhangige Groen vorgegeben werden. Eine A nderung der Steuergroen innerhalb eines Versuchs ist dabei moglich, d. h. es kann wahrend eines Versuchs beispielsweise zwischen Spannungs- und Verformungssteuerung umgeschaltet werden.

Kapitel 1. Experimentelle Beobachtungen

18

Wasserbehalter miteinrichtung EntgasungsPrufzelle

Kugellinearfuhrung Fullen

Rollkolbenmembran Druckplatte mit Schlauchanschlu fur DV 20 Porenwasser fur Zelldruck Probe in Latexhulle oberer PWD Anschlu fur externen Porenwasserdruckgeber Entluftung

Polierte Edelstahlplatten mit Latexschicht und Silikonfett Zellwasser unterer PWD Prufpresse UP 100 (max. 100 kN) Zellwasser

PC zur U berwachung, Steuerung und Mewerterfassung 400 350 300 250 200 150 100 50 00 0.5 1

Abbildung 1.7:

Auf Zu

oberer PWD

unterer PWD

Vakuumpumpe

Auf Zu

Steuergerat der DV 20 fur Zelldruck

1.5 2 2.5 3 3.5

Aufbau einer modernen Triaxialversuchsanlage

DV 20 fur Porenwasserdruck

Druckerzeugung (0 - 1000 kN/m2 ), Volumen- und Druckmessung

Globale Messung der Axialverformung

Kraftmedose

Steuergerat der DV 20 fur Porenwasserdruck

1.2 Triaxialversuche

19

1.2.3 Probenaufbau Der Versuchssand wird trocken in einen zylinderformigen Probenformer eingebracht, der mit einer 0,5 mm dicken Latexhulle ausgekleidet ist. Dabei wird eine Probendichte von d = 1,71 g/cm3 angestrebt. Entsprechend der Vorgabe, ein moglichst homogenes Probenkontinuum zu erzeugen, erfolgt der Probenaufbau schichtweise bei konstanter Einrieselintensitat und -hohe. Die Intensitat der Sandeinstreuung und die Fallhohe bestimmen die Dichte des Kornhaufens. Mit zunehmender Einrieselintensitat nimmt die Dichte ab, mit zunehmender Fallhohe, bis zu einem Grenzwert von ca. 30 cm (Jarzombek [56]), nimmt sie zu. Durch das Aufbringen eines Unterdrucks von 10 kN/m2 innerhalb der Probe wird ein selbststandig stehender Probekorper erzeugt, vgl. Abb. 1.8. Der hydrostatisch wirkende Ausgangsspannungszustand auf die Probe betragt demnach 10 kN/m2 .

Abbildung 1.8:

Sandprobe vorbereitet fur den Versuch

Zur Vermeidung von storenden Reibungsein ussen an den Probenenden wird der U bergang von Sandprobe auf Kopf- bzw. Fuplatte mit einer Schmierstoschicht und einer dunnen, leicht dehnbaren Latexfolie gema Abb. 1.9 versehen. Zusatzlich sind die Edelstahldruckplatten, auf die die Schmierstoschicht aufgebracht wird, hochglanzpoliert. Ein ahnlicher Aufbau wird von Tatsuoka et al. [101] nach Untersuchung verschiedener Varianten empfohlen. Weiterhin ist, abweichend von einem Standardaufbau, der Durchmesser der Lastplatten um 5mm gegenuber dem Durchmesser der Sandprobe vergroert. Dadurch wird bei einer radialen Ausdehnung der Probe eine Einstanzung der Lastplatte in die Probe verhindert.

1.2.4 Messung der Probendeformationen Die exakte Messung der am Probekorper auftretenden Deformationen ist ein zentrales Problem in der triaxialen Versuchstechnik. Je kleiner das Volumen des Probekorpers ist, desto kleiner sind die zu messenden Deformationsgroen. Weiterhin reduziert sich die Groe der

Kapitel 1. Experimentelle Beobachtungen

20

Polierte Edelstahlplatte

01

Filterstein

11 00 00 Drainage11 leitung 0 1 0 1 000000 111111 1010 000000 111111 Sandprobe 100 mm 105 mm

Abbildung 1.9:

Laststempel

01

O-Ring Schmierstoschicht (Silikonfett) Latexmembran (t = 0; 5 mm) Dunne Latexschicht

Randbedingungen am oberen Probenende (rotationssymmetrisch)

Verformungen mit zunehmender Lagerungsdichte der Korner, da die Strukturstei gkeit mit der Packungsdichte des Kornhaufens zunimmt. So treten bei einer Probengeometrie von H0 = D0 = 10 cm und einer Ausgangslagerungsdichte von d = 1,71 g/cm3 bei bestimmten Versuchen innerhalb eines vorgegebenen Belastungsbereichs nur auerst kleine Deformationen auf. Dadurch ist fur eine aussagekraftige Ermittlung bestimmter Materialeigenschaften eine Megenauigkeit im Hundertstel-Millimeter-Bereich erforderlich. Vor allem bei der Messung der radialen Dehnungen ist diese Megenauigkeit extrem schwierig zu erreichen. Viele Publikationen im experimentellen Bereich beschaftigen sich mit diesem Thema, und es werden weltweit verschiedenste Vorschlage zur Durchfuhrung der Messung kleiner Deformationen an Triaxialproben gemacht.

Radialverformung Verschiedene Methoden zur Messung der Radialverformung: Die einfachste und

wohl am weitesten verbreitete Methode zur Ermittlung der radialen Verformungen bei trockenen, granularen Probekorpern ist das Anbringen eines oder mehrerer Mebander direkt auf die Latexhulle des Probenmantels. Das Meband wird dabei zur Fixierung durch kleine Federn gespannt. Dehnt sich die Probe in radialer Richtung aus, kann durch eine auf dem Meband aufgetragene Langenskala die Umfangsanderung der Probe abgelesen werden. Allerdings erlaubt selbst die Zuhilfenahme einer Noniusskala nur eine Au osung bezuglich der Umfangsanderung von etwa ein bis zwei Zehntel-Millimeter. Insbesondere im Bereich kurzer Entlastungsschleifen oder bei Versuchen mit rein hydrostatischer Belastung ist diese Au osung nicht ausreichend. Hingegen sind mechanische Mebander, beispielsweise fur die Ermittlung des Dilatanzverhaltens bei Versuchen mit deviatorischer Belastung bis zum Versagen der Probe, durchaus geeignet, da hier in der Regel relativ groe Probenausdehnungen in radialer Richtung auftreten. Eine weitere Moglichkeit zur Messung der Radialdeformation sind elektromechanische

1.2 Triaxialversuche

21

Meeinrichtungen, die in Umfangsrichtung klammerformig angebracht sind und punktuell (meist an zwei Punkten) an der Probe au iegen. Mit Hilfe von Dehnmestreifen (Holubec & Finn [51], Boyce & Brown [17], Kolymbas & Wu [64]) oder Induktionsmegebern (Clayton & Khatrush [21]) wird die Radialverschiebung der Au agepunkte erfat. Neben diesen kontaktbehafteten Methoden gibt es kontaktfreie Mesysteme. Fur die Messung kleiner Deformationen ist allerdings lediglich die elektromagnetische Abstandsmessung (Proximity Transducers ) durch induzierte Wirbelstromfelder geeignet, da nur hier eine ausreichende Au osung erreicht wird. Ein von einer Spule erzeugtes Magnetfeld wird durch eine an der Probe angebrachte leitende Platte so beein ut, da an einer zweiten empfangenden Spule eine Phasenverschiebung statt ndet. Diese Phasenverschiebung ist abhangig vom Abstand zwischen den Spulen und der Platte auf der Probe (Cole [22]). Hersteller solcher Meeinrichtungen geben eine Megenauigkeit bezuglich der Radialdeformation von 2; 5
10 4 mm an. Ein Nachteil dieser Methode ist, da Wasser als ein elektrisch leitendes Medium nicht als Zell ussigkeit verwendet werden kann. Die erstmalige Anwendung der Rontgentechnik zur Messung von Deformationen an Bodenproben erfolgte an der Universitat Cambridge (Roscoe et al. [86]). Bei dieser Methode werden Marker in Form von Bleikugeln in die Probe eingearbeitet, deren Position durch Rontgenaufnahmen wahrend des Belastungsprozesses bestimmt wird. Die Auswertung der Ortsanderungen der Bleikugeln geben die Probendeformation wieder. Die Megenauigkeit ist bei relativ hohem Aufwand und hohen Kosten allerdings nicht sehr gro ( 0,1{0,2 mm). Daher wird die Rontgentechnik heute hauptsachlich zur Ermittlung von Dichtegradienten (Lokalisierung) im Inneren von Proben eingesetzt (Desrues et al. [25]). Eine weitere, sehr hau g angewandte Methode zur Ermittlung der Radialdehnungen ist die Messung des zur Druckerzeugung verwendeten ein- bzw. ausstromenden Zellwassers. Kontraktiert beispielsweise die Probe in der Zelle, mu Zellwasser nachgepumpt werden. Sieht man von etwaigen Fehlerquellen ab, entspricht die Menge der nachgepumpten Flussigkeit der Volumenabnahme des Probekorpers. Mit Kenntnis der axialen Verformung der Probe lat sich dann die Radialdehnung berechnen. Bei Verwendung einer Standardtriaxialzelle aus Plexiglas ist allerdings die Dehnung der Zellwandung gegenuber der Probendehnung so gro, da sich keine vernunftigen Meergebnisse bei dichten Sandproben erzielen lassen. Abhilfe zu diesem Problem schat eine doppelwandig aufgebaute Zelle. In einem aueren Kreisringvolumen wird derselbe Druck wie in einem inneren Zylinder aufgebracht, in dem sich die Probe be ndet. Die Zellwandung zwischen auerem und innerem Bereich erfahrt dadurch von beiden Seiten denselben Druck und deformiert sich somit nicht.

Neue Methode zur Messung der Volumenanderung: Hier soll eine Methode vor-

gestellt werden, die dem Prinzip der doppelwandigen Zelle ahnlich ist und die Messung extrem kleiner Probenvolumenanderungen erlaubt. Bei dieser Methode wird innerhalb der Triaxialzelle ein zusatzlicher Plexiglaszylinder mit einem Innendurchmesser von 126 mm uber die Probe gestulpt, vgl. Abb. 1.10. Der Durchmesser des Probensockels entspricht, abzuglich einer geringen Toleranz, dem Innendurchmesser des Plexiglaszylinders, so da eine pagenaue Fuhrung vorliegt. Der Sockelmantel wird mit Silikonfett eingeschmiert,

Kapitel 1. Experimentelle Beobachtungen

22

um die Reibung so gering wie moglich zu halten und um das Durchdringen von Zell ussigkeit zu vermeiden. Weiterhin wird der Sockel mit einem Schlitz versehen, der die Verbindung von der aueren zur inneren Zelle herstellt. Beim Befullen der aueren Zelle mit Wasser lauft die innere Zelle ebenfalls voll, sofern eine Entluftung vorliegt. U ber  in die innere Zelle eingeleitet. Daeinen hohergelegenen Vorratsbehalter wird dann Ol  darf bei wird das Wasser nach unten durch den Schlitz verdrangt. Das verwendete Ol nicht zu zah ussig sein und keine saurehaltigen Bestandteile aufweisen, die die Latexhulle der Probe angreifen konnten. Diesbezuglich erwies sich einfaches P anzenol als am besten geeignet. Zudem ist P anzenol bezuglich Umweltvertraglichkeit absolut unbedenklich, dadurch ist die Entsorgung des Zellwassers, das nach dem Versuch immer geringe Spuren  enthalt, unkritisch. Be ndet sich die Trenn ache zwischen Ol  und Wasser im Bevon Ol reich des Schlitzes, wird das Befullen gestoppt und die oberen Zuleitungen zur inneren Zelle geschlossen. Im Versuch wird dann auf die auere Zell ussigkeit ein Druck aufgebracht, der durch  und somit auf die Probe ubertragen wird. Gleichzeitig kann eiden Schlitz auf das Ol ne beliebige axiale Kraft oder Verformung auf den Probekorper wirken. Die A nderung  erlaubt mit Kenntniss der zugehorigen Axider Trenn ache zwischen Wasser und Ol aldehnung eine Aussage uber die Volumenanderung beziehungsweise die Radialverformung des Probekorpers. Die Megenauigkeit ist bestimmt durch die Groe der Schlitz ache und die Ablesegenauigkeit der Trenn achenbewegung auf einer dafur angebrachten Meskala. Bei der Herstellung eines Probesockels wurde hier beispielsweise eine Schlitz ache von Aschl = 0; 5 cm2 (1 cm breit, 0,5 cm tief) gewahlt. Eine sinnvolle Ablesung der Trenn achenbewegung auf der Meskala ist dabei bis zu einem Millimeter Au osung moglich. Dadurch kann eine Volumenanderung von 0,05 cm3 gemessen werden. Dies entspricht bei einem Probenvolumen von 785 cm3 einer Probenvolumenanderung von
Vprobe = 6; 36
10 3 %. Je kleiner die Schlitz ache gewahlt wird, desto feiner wird die Au osung des Mebereichs. Allerdings wird mit der Verfeinerung der Megenauigkeit gleichzeitig die Groe des Gesamtbereichs verkleinert. D. h. bei einer kleinen Schlitz ache fuhren kleine Probenvolumenanderungen oder kleine Axialverformungen der Probe zu einer starken Bewegung der Trenn ache und es kann rasch zu einem Austreten der Trenn ache aus dem Schlitzbereich kommen. Mit dem Anschlu einer Pumpe an eine Zuleitung  die Lage der Trenn ache des Plexiglaszylinders kann durch Zu- oder Abpumpen von Ol wahrend des Versuchs reguliert werden. Mu diese Regulierung sehr hau g durchgefuhrt werden, wird die Versuchsdurchfuhrung allerdings sehr aufwendig. Im folgenden werden die wesentlichen Eigenschaften der neuen Methode zur Messung kleiner Volumenanderungen zusammengefat:



In der aueren Zelle herrscht derselbe Druck wie innerhalb des Plexiglaszylinders. Dadurch kommt es wie bei einer doppelwandigen Zelle nicht zu einer Deformation des inneren Plexiglaszylinders und somit nicht zu einer Verfalschung der Meergebnisse.



 zur Messung der Probenvolumenanderung hat ein geringes Volumen. AuerDas Ol  in einem geschlossenen System ohne jegliche Zuleitungen, dem be ndet sich das Ol

1.2 Triaxialversuche

23

F

Wegmegeber (LVDT)

Entluftung innere Zelle

Befullung innere Zelle Probe in Latexhulle O l Plexiglaszylinder


V

Entluftung auere Zelle

Trenn ache Wasser/O l

Wasser

Befullung auere Zelle

Aschl

Abbildung 1.10:

Prinzipskizze einer neuen Methode zur Messung extrem kleiner Probenvolumenanderungen

die durch eine eventuell Volumendehnung der Leitungen oder durch Luftblasenbildung in den Leitungen zu Fehlerquellen fuhren wurden.



 verwendet wird, kommt es nicht zu einer Da zur Messung der Volumenanderung Ol  eine sehr viel geringere Luftblasenbildung innerhalb des Plexiglaszylinders, da Ol Ober achenspannung als beispielsweise Wasser hat.



Im Gegensatz zu den zuvor beschriebenen lokalen (punktuellen) Methoden zur Messung der Radialdeformation handelt es sich hier um eine integrale Messung der Durchmesseranderung. Eventuelle lokale Inhomogenitaten in der radialen Deformationsstruktur werden dadurch automatisch gemittelt.



Das Prinzip der Methode sowie der Versuchsaufbau sind sehr einfach.

Kapitel 1. Experimentelle Beobachtungen

24



Die Trenn achenbewegung mu manuell abgelesen werden. Abhilfe wurde das Anbringen eines Kontaktstreifens im Schlitz zur Messung der elektrischen Leitfahigkeit  um eine nicht-leitende und des umgebenden Mediums schaen. Da es sich bei Ol bei Wasser um eine leitende Flussigkeit handelt, sollte dadurch eine automatische Lokalisierung der Trennschicht moglich sein.

Alternative Methode: Zur Messung groer Deformationen ist die oben beschriebene

Methode nur bedingt geeignet, da die Lage der Trenn ache dann sehr hau g reguliert werden mu. Daher wurde eine alternative Methode entwickelt, die beispielsweise fur die Durchfuhrung von triaxialen Kompressionsversuchen bis zum Versagen der Probe verwendet werden kann. Der Probensockel wird dazu nicht mit einem Schlitz versehen, so da zwei getrennte Kreislaufe (innerhalb und auerhalb des Plexiglaszylinders) vorliegen. Der innere und der auere Kreislauf sind dann jeweils an einen elektromechanischen Druckkolben angeschlossen. Wahrend des Versuches wird durch die elektronische Steuerung gewahrleistet, da immer derselbe Druck in den beiden Kreislaufen herrscht, damit es nicht zu einer Verformung des inneren Plexiglaszylinders kommt. Das aus- oder einstromende Wasservolumen des inneren Kreislaufs wird im Druckkolben automatisch erfat und gibt mit Kenntnis der Axialverformung die A nderung des Probenvolumens wieder. Dadurch ist eine kontinuierliche Versuchsdurchfuhrung mit einer automatischen Datenerfasssung der Volumenanderung moglich. Wird bei dieser Methode Wasser im inneren Kreislauf verwendet, ist darauf zu achten, da entgastes Wasser verwendet wird und beim Befullen der Zelle keine kompressiblen Luftblasen entstehen. Nur dann ist die Annahme der Inkompressibilitat des Zellwassers, die bei dieser Methode vorausgesetzt wird, naherungsweise gewahrleistet.

Membranpenetration: Bei der Messung der Probenvolumenanderung durch eine Zellwasseranderungsmessung mu grundsatzlich die Penetration der Latexhulle in die Ober ache der Kornstruktur berucksichtigt werden. Durch das Eindringen der Latexhulle in Kornzwischenraume wird zusatzliches kontraktantes Verhalten vorgetauscht. Zur Korrektur dieses Fehlers wird von Baldi & Nova [2] die allgemein anerkannte und experimentell bestatigte Beziehung 1 d
Vm (3 ) = V0 50 2 D0



 3 d50 1=3 Em tm

(1.23)

vorgeschlagen. Dabei ist d50 der mittlere Korndurchmesser des Probenmaterials, D0 der Ausgangsprobendurchmesser, V0 das Ausgangsprobenvolumen, Em der E-Modul der Latexmembran und tm die Dicke der Latexmembran. Sind diese Groen bekannt, lat sich das Fehlervolumen
Vm berechnen. In Abb. 1.11 ist die Volumenanderung infolge Membranpenetration nach Baldi & Nova [2] fur die Elementversuche mit Berliner Sand ausgewertet. Betrachtet man beispielsweise den Fall der hydrostatischen Kompression einer Sandprobe mit 1 = 3 = 500 kN/m2 ,

Membranpenetration
Vm [cm3 ]

1.2 Triaxialversuche

25

1,2 1,0

0 1 11 00 0 1 00 11 11 00 01 1 00 11 0 1 0 00 11 00 11 0 1 00 11 0 1 00 11 0 1 00 11 1 0 11 00 1 0 00 11 1 0 11 00 0 1 1 0 00 11 0 1 11 00 00 11 00 1 1

0,8 0,6 0,4 0,2


Vm (3 ) nach Baldi & Nova [2]

00 Abbildung 1.11:

200

400

600

800 1000 1200 1400 Radialspannung 3 [kN/m2]

Volumenanderung infolge Membranpenetration fur die Elementversuche mit Berliner Sand : d50 = 0,25 mm (vgl. Abb. 1.18), V0 = 785 cm3, Em = 1300 kN/m2 und tm = 0,5 mm

ergibt sich bei dieser Belastung mit der Messung der Zellwasseranderung eine Probenkontraktion von ca. 1,0 %. Bei einer Probengeometrie von H0 = D0 = 10 cm (V0 = 785 cm3 ) bedeutet dies eine Volumenanderung von 7; 85 cm3 . Nach Gl. (1.23) ist damit eine Korrektur infolge Membranpenetration um ca. 9 % (
Vm = 0; 72 cm3 ) notwendig, vgl. dazu Abb. 1.11. Eine weitere Fehlerquelle bei Zellwasseranderungsmessungen sind eventuelle Temperaturschwankungen wahrend des Versuchs, die zu einer Ausdehnung oder Kontraktion der Zell ussigkeit fuhren. Diese Problematik ergibt sich vor allem bei Versuchen, die uber einen langeren Zeitraum andauern. Versuche, wie z. B. Konsolidationsprozesse bei bindigen Boden, die sich uber mehrere Wochen erstrecken, werden daher in Klimakammern bei konstanter Raumtemperatur durchgefuhrt.

Axialverformung Die gangigste Methode zur Ermittlung der Axialverformung ist die Messung der Verschiebung des Kraftstempels relativ zur Zelle mit Hilfe eines Wegmegebers (vgl. Abb. 1.7). Man spricht hierbei von einer globalen Verformungsmessung. Sind die U bergange zwischen Probe und Lastplatten mit einer Latex- und Schmierstoschicht versehen, entsteht das Problem des Eindruckens der Latexschicht in die Korner der Probenstirn achen sowie die Komprimierung und Ausdruckung des Schmierstos. Dieser Eekt wird als Eindruckfehler oder Bedding Error bezeichnet. Dadurch werden bei der globalen Verformungsmessung Verschiebungen gemessen, die nicht ausschlielich der Probendeformation zuzuordnen sind. Eine Aufnahme dieses Fehlers in einem Vorversuch ist erforderlich. Dies erfolgt durch die Ermittlung des reinen Eindruckverhaltens mit Hilfe einer Stahlplatte, die

Kapitel 1. Experimentelle Beobachtungen

26

Spannung 1 [kN/m2 ]

beidseitig mit dem entsprechenden Kornmaterial beklebt wird, vgl. Abb. 1.12. Dabei ist darauf zu achten, da der Schmiersto im Kalibrierversuch und im eigentlichen Versuch in gleicher Form aufgebracht wird. Die Fehlerkurve infolge Bedding Error fur die Versuche mit Berliner Sand ist in Abb. 1.12 zu sehen. Diese Kurve wird von der im eigentlichen Versuch erhaltenen Spannungs-Dehnungskurve subtrahiert.

3500 3000 2500 2000

1

111111111111 000000000000 0000000000000 1111111111111

1500

Lastplatte Silikonfett Latexmembran Sandkorner Stahlplatte

1

1000 500 00 Abbildung 1.12:

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5 0,6 0,7 Eindrucktiefe [mm]

Ermittelter Eindruckfehler (Bedding Error ) zur Korrektur der Versuchsergebnisse

Das Problem des Bedding Errors kann durch eine lokale Deformationsmessung, die direkt an der Probe durchgefuhrt wird, umgangen werden. Dabei bleiben auerdem mogliche Unregelmaigkeiten an der oberen Probenend ache unberucksichtigt, die beim Probenaufbau leicht entstehen konnen. Insbesondere bei der Messung kleiner Deformationen, beispielsweise zur Ermittlung der elastischen Eigenschaften eines Kornhaufens, ist bei Probenrandbedingungen gema Abb. 1.9 eine lokale Deformationsmessung zu empfehlen. In der Literatur werden zur Durchfuhrung der lokalen Deformationsmessung bei Triaxialversuchen unterschiedlichste Moglichkeiten vorgeschlagen. Bei den meisten Verfahren mussen auf der Latexmembran Fixpunkte angebracht werden, die sich relativ zum Probenmaterial nicht verschieben durfen. Dies stellt die Hauptschwierigkeit beim Einrichten dieser Mesysteme dar. Eine umfassende U bersicht mit Diskussion und Gegenuberstellung verschiedener Methoden zur lokalen Deformationsmessung ndet sich in Scholey et al. [92].

1.2.5 Ein u der Probenschlankheit und der Probenrandbedingungen Der Ein u der Probenschlankheit (Verhaltnis Hohe H0 /Durchmesser D0 ) sowie der Randbedingungen an den freien Probenenden ist ein in der versuchstechnischen Literatur hau g diskutiertes Thema. Beide Faktoren konnen die Homogenitat des betrachteten

1.2 Triaxialversuche

27

Elementarvolumens und somit die Scherfestigkeit sowie das allgemeine Spannungs-Verformungsverhalten wesentlich beein uen.

End achenreibung Es ist oensichtlich, da bei einer lateralen Deformation Reibungsein usse an den Probenenden eine Storung der homogenen Verhaltnisse durch Einleitung von Schubspannungen implizieren. Hau g wird allerdings angenommen, da bei einem Probenverhaltnis H0 /D0  2 der Ein u der End achenreibung vernachlassigbar ist und daher auf Manahmen zur Reduzierung der End achenreibung verzichtet werden kann. In Goto & Tatsuoka [44] wird diese Annahme fur H0/D0 = 2; 7 bei dicht gelagertem Sand fur die Ermittlung des Reibungswinkels ' bzw. der maximalen Scherspannung (1 3 ) in einem KTK-Versuch bestatigt, nicht aber fur den Verlauf der Spannungs-Dehnungsbeziehung an sich. Schubspannungen infolge End achenreibung verstarken die Ausbildung eines starren Kegels als fruhzeitiges Versagensmuster und die Ausbauchung der Probe zu einer faahnlichen Form im deformierten Zustand. In Abb. 1.13 ist die Ausbauchung bei der ungeschmierten Sandprobe deutlich zu erkennen. Abhilfe schat ein Versuchsaufbau mit Randbedingungen wie in Abb. 1.9 dargestellt. Dadurch wird eine wesentliche Reduzierung der End achenreibung erreicht. Bei dieser Anordnung ist nach Lee [73] eine Abminderung des Reibungswinkels zwischen Sand und Druckplatte bis auf 2,5Æ moglich. Tatsuoka et al. [99] geben fur kleine Axialbelastungen sogar einen Haftreibungswinkel von nur 0,5Æ an.

(a) Abbildung 1.13:

(b)

Axial-Deformierte Sandproben (a) ohne End achenschmierung (b) mit End achenschmierung

Kapitel 1. Experimentelle Beobachtungen

28

Probenschlankheit Bei Triaxialversuchen liegen an den Stirn achen der Probe andere Randbedingungen vor als auf der Mantel ache. Durch die starren Druckplatten an den Probenenden ist dort nur eine gleichmaige Verschiebung des Randes moglich, wahrend im Mantelbereich des Probenzylinders Versetzungen des Probengefuges moglich sind. Daher ist bei schlanken Proben ein Versagensmodus mit einer durchgehenden Scherfuge viel eher moglich als bei einer gedrungenen Probe, vgl. Abb. 1.14. Bei einem Verhaltnis H0 /D0 =1,0 ist in der Regel eine Axialdeformation bis zu 20 % unter Einhaltung eines annahernd homogenen Verzerrungszustands moglich, wahrend sich bei einem Probenverhaltnis von H0 /D0 =2,0 schon wesentlich fruher erste inhomogene Versagensmuster zeigen. Kleine Imperfektionen konnen hier eine groe Auswirkung haben und zum fruhzeitigen Versagen der Probe fuhren. Dadurch ist auch die Reproduzierbarkeit der Versuche mit einer schlanken Probengeometrie deutlich schlechter. 1

H0=D0 = 2; 0 H0

3

1

3 H0

1 D0 Abbildung 1.14:

3

H0=D0 = 1; 0 3

1 D0

Mogliche Deformationskinematiken fur Proben mit unterschiedlichem H0 =D0-Verhaltnis

Ein typisches Ergebnis von weggesteuerten Triaxialversuchen mit verbesserten Randbedingungen und einer gedrungenen Probengeometrie ist eine Ausrundung der SpannungsDehnungskurve bis zur maximalen Scherfestigkeit ohne anschlieendem ausgepragten Abfall der Deviatorspannung. Die Homogenitat im Probekorper bleibt bis zu weitaus groeren Verzerrungen erhalten. Dies wird durch Untersuchungen mit Rontgenstrahltechnik (Computertomographie) von Colliat-Dangus et al. [23] bestatigt. Verbesserte Probenrandbedingungen auern sich auch dahingehend, da die maximal ertragbare Scherbeanspruchung der Probe bei einer betragsmaig groeren Axialverzerrung "1 auftritt. Last-Verschiebungskurven mit einem ausgepragten Maximum und starkem Abfall der Deviatorspannung im post-kritischen Bereich, wie sie hau g fur dichten Sand oder stark uberkonsolidierte bindige Boden in der Fachliteratur und in Lehrbuchern zu nden sind,

1.3 Allgemeines Materialverhalten granularer Stoe

29

Scherspannung j1

3 j

[kN/m2]

treten beispielhaft fur konventionelle Versuche mit ungeschmierten Endplatten und einem Hohen-Durchmesser-Verhaltnis von H0 /D0  2; 0 auf, vgl. dazu Abb. 1.15.

2000 1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 00

Abbildung 1.15:

(a)

(b) 1 3

3 1

2,0

4,0

6,0

8,0 10,0 12,0 Axialverzerrung j"1j [%]

(a) Spannungs-Dehnungskurve eines triaxialen Kompressionsversuchs (3 = 750 kN/m2) mit geschmierten End achen und einem HohenDurchmesserverhaltnis von 1:1; (b) Im Vergleich dazu qualitative Spannungs-Dehnungskurven fur locker und dicht gelagerten Sand aus Winselmann [111]

1.3 Allgemeines Materialverhalten granularer Stoe Eine wesentliche Eigenschaft einer kornigen Struktur ist die Abhangigkeit der Scherfestigkeit von dem innerhalb der Struktur herrschenden hydrostatischen Spannungszustand. Das gegenseitige Aneinanderpressen der Korner steht in direktem Zusammenhang mit der aufnehmbaren tangentialen Reibspannung. Mit zunehmender Normalkraft (Kontaktkraft) zwischen den Kornern erhoht sich die aufnehmbare Scherspannung des Kornhaufens. Daher werden granulare Stoe auch als Reibungsmaterialien (engl. frictional materials) bezeichnet. Liegt keine Kontaktkraft zwischen den Kornern durch eine auere Belastung vor, kann keine Scherspannung aufgenommen werden, sofern nicht durch ein eventuell vorhandenes Poren uid bindende Krafte (z. B. Ober achenspannung von Porenwasser) erzeugt werden. Dies fuhrt zu dem Begri kohasionsloses Reibungsmaterial (engl. cohesionless frictional material) fur einen trockenen, granularen Kornhaufen. Im folgenden sind die wesentlichen Eigenschaften kohasionsloser Reibungsmaterialen, die in Versuchen zu beobachten sind, zusammengestellt:

Kapitel 1. Experimentelle Beobachtungen

30

. Die elastische Stei gkeit nimmt mit dem hydrostatischen Druck und der Lagerungsdichte zu. . Das Spannungs-Dehnungsverhalten bei hydrostatischer Kompression ist sowohl bezuglich elastischer als auch bezuglich inelastischer Dehnungsanteile schon bei relativ kleinen volumetrischen Deformationen stark nichtlinear. . Bei einer Erstbelastung treten von Beginn an irreversible und somit inelastische Dehnungsanteile auf. . Das Spannungs-Verformungsverhalten ist pfadabhangig, d. h. unterschiedliche Spannungspfade, die auf denselben Spannungspunkt fuhren, konnen unterschiedliche Verformungen verursachen. . Eine rein deviatorische Belastung kann zu Volumenanderungen in Form von Dilatanz oder Kontraktanz fuhren; rein deviatorische Verformungen konnen zu einer A nderung des hydrostatischen Spannungszustandes fuhren. . Das Verhaltnis der maximal ertragbaren Deviatorspannung zur aktuellen hydrostatischen Spannung nimmt mit zunehmender hydrostatischer Spannung ab. Dies entspricht einer Abnahme des Reibungswinkels ' der Mohr-Coulombschen Theorie mit zunehmender hydrostatischer Belastung, vgl. Abb. 1.23. Auerdem fuhrt eine Vergroerung der Ausgangslagerungsdichte zu einer Erhohung des Mohr-Coulombschen Reibungswinkels. . Das Dilatanzverhalten ist umso ausgepragter, je groer die Ausgangslagerungsdichte des Korngefuges ist. Bei konstanter Lagerungsdichte nimmt die Intensitat der Dilatanz mit zunehmendem hydrostatischen Druck ab. Diese Eigenschaft ist in Abb. 1.21 deutlich zu erkennen. . Im elastischen Bereich (Ent- und Wiederbelastungspfade) verhalten sich granulare Materialien weitestgehend isotrop. Rowe [88] zeigt dies fur hydrostatische Kompressionsversuche mit Entlastungsschleifen fur verschiedene Granulate. Nach Arslan [1] gilt dies bei dicht gelagertem Sand auch fur hydrostatische Erstbelastung, also auch fur inelastische Verzerrungen.

1.3.1 Ein u des richtung

Lode -Winkels

bei deviatorischer Belastungs-

Im Triaxialversuch sind die Lode -Winkel  = 30Æ + n
60Æ fur n= 0:::5 vorgegeben. Eine Untersuchung von Spannungspunkten in der Deviatorebene abweichend von diesen Winkeln ist nicht moglich. Im Biaxialversuch sowie im Simple-Shear -Versuch liegt, wie bereits erwahnt, ein ebener Verzerrungszustand (EVZ) vor. Dadurch stellt sich die Spannungskomponente in Richtung der Dehnungsbehinderung abhangig vom Materialverhalten ein. Der sich dadurch ergebende Lode-Winkel ist daher nicht steuerbar. Lediglich in einem wahren Triaxialversuch, in dem alle drei Hauptspannungsrichtungen voneinander unabhangig einstellbar sind, konnen beliebige Spannungspfade untersucht werden. Versuche dieser Art wurden bereits 1967 von Ko & Scott [60, 62, 63] mit kubischen Sandproben durchgefuhrt. Weitere umfangreiche Untersuchungen mit kubischen

1.3 Allgemeines Materialverhalten granularer Stoe

31

1

30Æ

15Æ



r

0Æ 15Æ

1

3

3

30Æ

2

45Æ

Richtung der Verzerrungsinkremente d" q 2 IID" = 0; 087 % q 2 IID" = 0; 43 % q 2 IID" = 0; 87 % q 2 IID" = 1; 74 % Maximale Spannung Versagenskurve Mastab fur r:

60Æ 75Æ 90Æ 150Æ

135Æ

Abbildung 1.16:

120Æ

105Æ

2

25 kN/m2

Ergebnisse wahrer Triaxialversuche von Yamada & Ishihara [114] mit locker gelagertem Fuji River Sand, dargestellt in der Deviatorebene fur I = 294 kN/m2

granularen Proben wurden unter anderem 1972 von Goldscheider [42], 1973 von Lade & Duncan [68] und in jungerer Zeit 1988 von Zitouni [118] in wahren Triaxialgeraten mit verbesserten Randbedingungen (vgl. Abschnitt 1.1) durchgefuhrt. U bereinstimmend wurde festgestellt, da das Mohr-Coulomb sche Bruchkriterium das Versagensverhalten in der Deviatorebene nicht ausreichend beschreiben kann. Sehr gut dokumentierte Ergebnisse dreidimensionaler Versuche, durchgefuhrt an kubischen Proben mit locker gelagertem Fuji River Sand, liegen von Yamada & Ishihara [114] vor. Bei diesen Versuchen wurde eine koaxiale1 Belastungsrichtung in 15Æ -Schritten bei konstant gehaltener hydrostatischen Spannung I = 294 kN/m2 von  = 30Æ bis  = 150Æ in der Deviatorebene variiert. In Abb. 1.16 ist eine Auswertung der Ergebnisse dargestellt. 1 bezeichnet die Probenspannung in Gravitationsrichtung, 2 und 3 sind 1 Als koaxial wird die radiale Richtung entlang der polaren Koordinate r bezeichnet.

Kapitel 1. Experimentelle Beobachtungen

32

30Æ

n=0 n=1 n=2

120Æ 60Æ 0Æ

"

135Æ 45Æ 15Æ

150Æ

die Spannungskomponenten in horizontaler Richtung. Spannungspfade bis zu einem LodeWinkel von  = 150Æ wurden zur Untersuchung des Anisotropieverhaltens bezuglich der Einschuttrichtung und der dazu senkrechten x2 -x3 -Richtung durchgefuhrt. Fur die x2 -x3 Richtung wird isotropes Materialverhalten angenommen, d. h. auf eine Untersuchung im Bereich  = 150Æ 360Æ wird verzichtet.

30Æ



" d"

r

90ÆÆ 30

ko a

xia l

105Æ 75Æ 15Æ

1

n

2

1

0 30Æ

Abbildung 1.17:

90Æ

15Æ 75Æ 105Æ

0Æ 60Æ 120Æ



15Æ 45Æ 135Æ

30Æ 150Æ

Orientierung der in die Deviatorebene projizierten Verzerrungsinkremente d" fur den Versagenszustand nach Versuchen von Yamada & Ishihara [114] mit locker gelagertem Fuji River Sand

Ein Vergleich der Deviatorspannung r, etwa am Beispiel des Versagenszustands fur die Lode-Winkel  = 30Æ und  = 90Æ , zeigt, da zumindest fur die Versagensspannung keine Vorzugsrichtung auszumachen ist. Yamada & Ishihara bemerken dazu in [114], da mit zunehmender deviatorischen Belastung anisotropes Materialverhalten abklingt. Lade & Duncan [68] folgern aus ihren Untersuchungen auf isotropes Deformationsverhalten fur locker und dicht gelagerten Sand unabhangig vom deviatorischen Belastungszustand. Desweiteren zeigt Abb. 1.16 Spannungspunkte mit aquivalenter deviatorischer Verzerrung. Eine A nderung der Anordnung dieser Punkte von kreisformig zu einer Form mit einem Verhaltnis Kompression- zu Extensionsradius rk ( = 30Æ ; 90Æ )=re( = 30Æ ; 150Æ ) > 1 ist deutlich zu erkennen. Zitouni [118] bestatigt diese Aussage durch Versuche mit locker und dicht gelagertem Hostun Sand . Im Gegensatz zu diesen Ergebnissen gibt Zangl [115] ein konstantes Verhaltnis fur rk =re bezuglich aquivalenter deviatorischer Verzerrungen

1.4 Charakterisierung des Versuchssandes

33

(2 IID" )1=2 bei einer rein deviatorischer Belastungssteigerung (I = konst.) an. Dazu mu bemerkt werden, da die Versuche, die Zangls Auswertungen zugrunde liegen, vorwiegend Bereiche groer Verzerrungen behandeln. Desweiteren gibt Zangl fur einen Bereich von I = 600 kN/m2 bis I = 1800 kN/m2 ein konstantes Verhaltnis rk =re fur aquivalente Verzerrungszustande an. Dies bedeutet, da die Form der Kurve aquivalenter Verzerrungen in der Deviatorebene, zumindest in bezug auf das Verhaltnis der Kompressions- und Extensionsradien, in dem untersuchten Bereich (I = 600 kN/m2 bis 1800 kN/m2 ) unabhangig vom hydrostatischen Spannungszustand ist. In Abb. 1.17 sind die Orientierungen der in die Deviatorebene projizierten Verzerrungsinkremente d" im Bruchzustand fur die Versuche von Yamada & Ishihara ausgewertet. Dabei ist eine leichte Abweichung von der koaxialen Richtung auszumachen. Lade & Duncan beobachteten in ihren Versuchen ebenfalls eine geringfugige Abweichung der in die Deviatorebene projizierten Verzerrungsinkremente von der koaxialen Richtung. Auerdem verstarkt sich nach Lade & Duncan die Tendenz zu nicht-koaxialen Verzerrungsanderungen in der Deviatorebene mit zunehmender Lagerungsdichte. In [43] stellt Goldscheider die Abweichung von der koaxialen Flierichtung fur seine Versuche mit dicht gelagertem Sand ausgepragter als Lade & Duncan dar. In Biarez & Hicher [6] ist speziell fur granulare Materialien eine Zusammenfassung und Gegenuberstellung der Ergebnisse wahrer Triaxialversuche von verschiedenen Autoren zu nden.

1.4 Charakterisierung des Versuchssandes Das mechanische Verhalten einer granularen Kornstruktur ist wesentlich von der Kornform, der Korngroenverteilung und vor allem von der Ausgangsdichte der Struktur abhangig. Diese Eigenschaften werden durch de nierte bodenmechanische Kenngroen charakterisiert. Kenngroen der Kornverteilung Ungleichformigkeitszahl Krummungszahl Korndichte

U = 2,1 C = 1,3 s = 2; 653 g/cm2

Extremwerte der Lagerungsdichte Maximaler Porenanteil max n Minimaler Porenanteil min n Maximale Trockendichte max d Minimale Trockendichte min d

= = = =

0; 44 0; 31 1; 83 g/cm2 1; 49 g/cm2

Tabelle 1.1: Bodenpysikalische Kennwerte des Versuchssandes

Kapitel 1. Experimentelle Beobachtungen

34

Siebdurchgang in Masse-%

Die Untersuchung des Materialverhaltens von Berliner Sand beschrankt sich aus genannten Grunden auf eine gewahlte Ausgangsdichte von d = 1,71 g/cm3 (Trocken- oder Partialdichte). Samtliche Elementversuche wurden daher mit dieser Dichte durchgefuhrt. Wie bereits in der Einleitung dieser Arbeit erwahnt wurde Berliner Sand so aufbereitet, da die Korngroenverteilung dem Sand entspricht, der in gromastablichen Versuchen auf dem Versuchsgelande der Degebo in den 70er Jahren verwendet wurde. Die Umstrukturierung des am Potsdamer Platz entnommenen Sandes sowie die labortechnische Auswertung bezuglich bodenphysikalischer Kennwerte erfolgte am Institut fur Geotechnik der TU Darmstadt. Kenngroen der Kornverteilung und Extremwerte der Lagerungsdichte fur den aufbereiteten Berliner Sand sind in Tab. 1.1 zusammengefat, die Siebline des Versuchsandes ist in Abb. 1.18 dargestellt. Zur De nition und Ermittlung dieser Kennwerte und der Sieblinie wird auf die Standardliteratur der Bodenmechanik, wie z. B. das Grundbau Taschenbuch [95], verwiesen.

Schlu Sand Kies Fein Mittel Grob Fein 100 Grob 90 80 70 60 d50 = 0; 25 mm 50 40 30 20 10 0 0,02 0,2 0,6 2,0 0,06 6,0 Korndurchmesser d [mm] Abbildung 1.18:

Kornverteilungskurve des Versuchssandes

Ausgehend von der Kenntnis der Korngroenverteilung geben verschiedene Autoren einen empirisch ermittelten Zusammenhang zwischen bestimmten Korngroenanteilen und der hydraulischen Durchlassigkeit an. Eine Auswertung nach Beyer [5] ergibt fur den vorliegenden Versuchssand einen Durchlassigkeitsbeiwert von kF = 3; 0
10 4 m/s.

1.5 Versuchsergebnisse Bei den im folgenden prasentierten Versuchsergebnissen handelt es sich ausschlielich um Ergebnisse aus Triaxialversuchen mit Berliner Sand. Der Versuchssand wurde fur samtliche

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Z!þ÷ ê öøìqé‰7ñé–êÄðòþøó ôøéoõìaïr’Ðûüðýï_V`ê úîé–ÿf þøêÄö÷é–ÿ: Íê üí‘é–ÿG ì ïãé–ìqÿøé " $8! ' $ -7ñé–êÙô&ûœ ú ïnÿøìîð 9üÿvþøÿ÷ö C8œôøÿøé Y ÿøög ûœ óXôøé–ÿøðÙóXôõìqé–êÙþøÿøë?Âé–êH é–ÿøöøéÏï=åU ù°é–êÄé–ìîóXôˆöøé–ê Y ÿxïxúqûüðýïxþøÿøëœðÙðÙóXôøúîé–ìIáé–ÿˆðdKøìqé–úîé–ÿˆöøìqé uñé–ìîíøþøÿøëœðòé–ìqÿghþ üŽ éÜöøé–ê Y ÿøög&ûü ó ôøé–ÿ é–ìîÿøéÜþøÿxïné–êÙëœé üêÄöøÿ÷éÏïné!u8œúîúqé  öøû¼öøìqé!uñûüöøìqûüúqöøé–ôøÿþøÿøëüé–ÿ ðÙé–ôøê ëüé–êÄìîÿøëñðÙìqÿøö9= ìaïzöøé p7³é–ê V–ìîó ôxïzûüþI Y ÿøög ûœ óXôøé–ÿøðòó ôõìqénêÄþøÿøëñìqðÇïzé–ìqÿøéÍðÙìîÿøÿœúîúqéÍëüúüíøûœúîé é–ðÙðÙþøÿøë öøé–êSôøìqé–êSûœþ I ïnêÙéÏïxé–ÿøöøé–ÿõëœé–êÙìqÿøëüé–ÿ WŠ ìîûœúîöøé–ôøÿþøÿøëœé–ÿü ôøÿøé Y ìîÿøöøêþø ót .áI é–ôøúîé–ê•iœ ëüúqìîó ô9v j ìîé ù°é–ðýïnìD] þøÿ÷ë öøé–êMS êAü í‘é–ÿøêÄûüöøìîûœú÷ é–êAI‹ü ê ¼þøÿøë é–êAI‹ü úqë~ïné þø í‘énê˜öøìqéi é–ðÙðòþøÿøë é–ìqÿ íV`ãñ ûœþøðòðýïnê  õé–ÿøöøé–ê  é–úqúDghþø ðÙðÙìîë üé–ìaï þøÿxïné–ê öøé–ê87ñé–êH é–ÿøöøþøÿøë öKK‘é–úvûüÿøöøìqëüé–êe]é–úîúqé–ÿ þ÷ÿøö öøé–ê ìqÿ W íøðÙóXôøÿøì ïÄï#BDC^H í‘é–ðòó ôøêÙìqé–í é–ÿøé–ÿ ÿøé–þøé–ÿk éÏïxô öøé
–V þøêr é–ðÙðÙþøÿøëŒ úîé–ìqÿøé–ê?78ü úqþõé–ÿ ûœ ÿøöøé–êÙþøÿøëüé–ÿ

Kapitel 1. Experimentelle Beobachtungen

36

1.5.2 Kompressionsversuche: j1j > j2j = j3j Bei diesen Versuchen wurden Proben mit einem H0 /D0 -Verhaltnis von 1,0 mit End achenschmierung verwendet. Die Messung der Axialdeformation wurde ebenfalls mit einem global angebrachten Wegmegeber durchgefuhrt. Die Lastaufbringung in axialer Richtung erfolgte verschiebungsgesteuert mit gestaelten Verschiebungsraten. Von 0{3 % Axialdehnung betrug die Verschiebungsrate u_ = 0; 5 mm/min, von 3{10 % u_ = 1; 0 mm/min und von 10 % bis zum Versagen der Probe wurden die Versuche mit der Geschwindigkeit u_ = 2; 0 mm/min gefahren. Die Vorschubgeschwindigkeiten sind sehr langsam gewahlt und insofern als quasi-statische Belastung einzustufen. Die Volumenmessung erfolgte uber die in Abschnitt 1.2.4 beschriebene alternative Methode zu der neu entwickelten Volumenanderungsmeeinrichtung. Fehler infolge Bedding Error wurden durch Vorversuche erfat und die Ergebnisse der eigentlichen Versuche entsprechend korrigiert. Die Ergebnisse der korrigierten Versuche sind dargestellt in Abb. 1.21.

1.5.3 Hydrostatische Kompressionsversuche: j1j = j2j = j3j

Hydrost. Spannung m = 1=3 I [kN/m2]

Fur die Ermittlung des elastischen Materialverhaltens bei hydrostatischer Kompression wurden Versuche unter isotroper Belastung mit mehreren Lastzyklen durchgefuhrt. Ausgehend von einem bestimmten Spannungszustand wurde vollstandig entlastet und anschlieend wiederbelastet. Abb. 1.20 zeigt die Mittelwerte der Ergebnisse aus drei Versuchen mit gleichen Lastpfaden.

1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 00

Abbildung 1.20:

1 3

3 1

0; 2 0; 4 0; 6 0; 8 1; 0 1; 2 1; 4 1; 6 1; 8 Volumendehnng I" [%]

Hydrostatischer Kompressionsversuch mit vollstandigen Ent- und Wiederbelastungsschleifen

37

2000

3 j

1800 1600

Scherspannung j1

[kN/m2]

1.5 Versuchsergebnisse

1400 1200 1000 800 600 400 200

Volumendehnung I" [%]

00 5,0 4,5 4,0 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0 0; 5 0

2; 0 3 = 3 = 3 = 3 = 3 =

2; 0

Abbildung 1.21:

4; 0

6; 0

8; 0

10; 0

6; 0

8; 0

10; 0

12; 0

14; 0

100 kN/m2 200 kN/m2 350 kN/m2 500 kN/m2 750 kN/m2

4; 0

12; 0 14; 0 Axialverzerrung "1 [%]

Ergebnisse triaxialer Kompressionsversuche mit unterschiedlichen Seitenspannungen

Kapitel 1. Experimentelle Beobachtungen

38

1.5.4 Extensionsversuche: j1j < j2j = j3j

Volumendehnung I" [%]

Scherspannung j1

3 j

[kN/m2]

Wie bereits erwahnt wurden an der TU Darmstadt Extensionsversuche mit Berliner Sand durchgefuhrt, deren Auswertung in dieser Arbeit mit aufgenommen sind. Dabei wurden Sandproben mit einer schlanken Probengeometrie (H0 =D0 = 2; 0) verwendet. Nach einer hydrostatischen Belastung der Probe bis 1 = 3 = 200 kN/m2 bzw. 500 kN/m2 wurde bei konstant gehaltener Seitenspannung 3 die Axialspannung bis zum Versagen der Probe reduziert. Die Ergebnisse eines Versuchs mit 3 = 200 kN/m2 und eines Versuchs mit 3 = 500 kN/m2 sind in Abb. 1.22 exemplarisch dargestellt. Insgesamt wurden sechs Versuche (jeweils drei mit 3 = 200 kN/m2 und mit 3 = 500 kN/m2 ) durchgefuhrt.

400 350 300 250 200 150 100 50 00

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

3,0

4,0

5,0

1,0

3 = 3 =

0,8 0,6

200 kN/m2 500 kN/m2

0,4 0,2 0; 0 0; 2 0; 4

0

1,0

Abbildung 1.22:

2,0

Axialverzerrung

"1

Ergebnis triaxialer Extensionsversuche

[%]

1.5 Versuchsergebnisse

39

1.5.5 Reibungswinkel

[Æ]

44

Reibungswinkel

46

'

Der Mohr-Coulombsche Reibungswinkel2 ' ist fur die maximal ertragbare Deviatorspannung in Elementversuchen ein hau g verwendetes Ma. Fur kohasionslose Materialien ist der Reibungswinkel ' durch die Gleichung sin ' = j1 3 j=j1 + 3 j bestimmt. Dazu wird auf die Beschreibung der Mohr-Coulomb schen Bruchbedingung in Abschnitt 2.1.2 verwiesen. In Abb. 1.23 sind die ermittelten Reibungswinkel ' fur alle durchgefuhrten Kompressions- und Extensionsversuche zusammengefat.

Kompression Extension

42 40 38 36 34 32 30

0

Abbildung 1.23:

100

200

300

400

500

600

Radialspannung

700

800

3 [kN/m2 ]

Reibungswinkel ' samtlicher Kompressions- und Extensionsversuche

2 In der Literatur der Bodenmechanik sind verschiedene De nitionen fur Reibungswinkel gebrauchlich

(mobilisierter Reibungswinkel , Peak-Reibungswinkel , Restscher-Reibungswinkel , u.s.w.) An dieser Stelle ist der Reibungswinkel gemeint, der die maximale Scherfestigkeit beschreibt (Peak-Reibungswinkel ).

40

Kapitel 1. Experimentelle Beobachtungen

Kapitel 2 Theoretische Grundlagen In diesem Kapitel werden die theoretischen Grundlagen der allgemeinen Elasto-Plastizitatstheorie sowie die innerhalb dieser Arbeit verwendeten Optimierungsstrategien zur Identi kation der im Modell enthaltenen Parameter diskutiert.

2.1 Theoretische Grundlagen der Elasto-Plastizitatstheorie In der geometrisch linearen Elasto-Plastizitatstheorie ist es ublich, die Gesamtverzerrrung " in einen reversiblen elastischen Anteil "e und einen irreversiblen plastischen Anteil "p additiv aufzuspalten:

" = "e + "p :

(2.1)

Die elastischen und plastischen Deformationsanteile werden innerhalb eines Stomodells durch Konstitutivgleichungen mit dem vorliegenden Spannungszustand in Verbindung gebracht. Diese Konstitutivgleichungen mussen gewissen Anforderungen genugen, auf die im folgenden eingegangen wird. Dazu werden die Strukturen geometrisch linearer elastoplastischer Konstitutivgleichungen diskutiert. Allgemeine Ausfuhrungen zu Grundlagen von elasto-plastischen Stomodellen nden sich in klassischen Lehrbuchern, wie z. B. Hill [50], Flugge [41], Drucker [29], Chen & Han [19] und Lubliner [74]. Zur Erlauterung des Grundprinzips der klassischen Elasto-Plastizitatstheorie wird ein konvexes elastisches Gebiet Ge im Hauptspannungsraum betrachtet, das durch die skalarwertige Funktion F ( ) = 0 begrenzt ist, vgl. Abb. 2.1. Liegt ein Spannungspunkt  e 2 Ge im Inneren dieses Gebiets (F () < 0), wird rein elastisches Materialverhalten impliziert. Ist ein Spannungszustand  ep auf dem Rand des Gebiets @ Ge erreicht (F ( ) = 0), wird plastisches Materialverhalten beschrieben. Spannungszustande auerhalb dieses Gebiets sind nicht zulassig. 41

Kapitel 2. Theoretische Grundlagen

42

Ge : F () < 0 e ep

@ Ge : F () = 0

"_p Abbildung 2.1:

Konvexes elastisches Gebiet Ge im Hauptspannungsraum, begrenzt durch die Fliebedingung F () = 0

Die Ermittlung der Dehnungsanteile "e und "p fur elastisches und plastisches Materialverhalten erfordert die Einbeziehung von Konstitutivgleichungen fur beide Anteile. Zur Beschreibung elastischer Verformungen mu ein konservatives Elastizitatsgesetz formuliert werden, das die physikalischen Eigenschaften des Materials sinnvoll abbildet. Die plastischen Dehnungsanteile "p werden durch eine konstitutiv vorgegebene Evolutionsgleichung "_ p bestimmt. Weiterhin mussen Entwicklungsgleichungen eingefuhrt werden, die die Form und Groe der Fliebedingung F () in Abhangigkeit von der Belastungsgeschichte festlegen. Solche Entwicklungsgleichungen werden als Ent- bzw. Verfestigungsgesetze bezeichnet. Im weiteren werden die theoretischen Grundlagen der Teilbereiche Elastizitat und Plastizitat getrennt betrachtet.

2.1.1 Elastizitat Elastisches Materialverhalten ist charakterisiert durch reversible und somit energieerhaltende Deformationsprozesse. Daher wird im folgenden die Existenz eines Potentials im Sinne eines hyperelastischen Ansatzes vorausgesetzt. Man spricht von Hyperelastizitat oder Green-Elastizitat, wenn der Spannungszustand eines thermoelastischen Korpers nur vom aktuellen Deformationszustand abhangt, und das thermoelastische Potential t;e (; "e ; X) additiv in einen Anteil t , abhangig von der Temperatur , und einen Anteil e , abhangig von der elastischen Deformation ", zerlegbar ist:

"

t;e (; e ; X)

= t (; X) + e ("e ; X) :

(2.2)

In Gleichung (2.2) sind spezi sche Energiepotentiale bezogen auf ein Volumenelement dV eines hyperelastischen Korpers gemeint. Da im folgenden ausschlielich isotherme Betrachtungen (_ = 0) angestellt werden und eine homogene Temperaturverteilung (grad  = 0) vorausgesetzt wird, bleibt der thermische Potentialanteil t (; X) im weiteren unberucksichtigt. Die Funktion e ("e ; X) wird als spezi sche gespeicherte elastische Energie oder spezi sche Formanderungsenergie bezeichnet und ist eine skalarwertige Funktion1 . Bei 1 Hau g

wird ausgehend von der freien Energie t;e (; "e ; X) fur isotherme Prozesse anstelle von ( ; ) fur die spezi sche Formanderungsenergie W ("e; X) geschrieben.

e "e X

2.1 Theoretische Grundlagen der Elasto-Plastizitatstheorie

43

Beschrankung auf homogenes Materialverhalten entfallt die explizite Abhangigkeit der Formanderungsenergie e ("e ; X) = e ("e ) vom Ortsvektor X. e =

Z e

V

dV

(2.3)

beschreibt die gesamte, im Korper gespeicherte elastische Energie und entspricht der Arbeit der auf den Korper wirkenden aueren Krafte. Der Spannungszustand  in einem Punkt des Korpers ist durch die Ableitung

 = @ @e"("e)

(2.4)

e

aus der spezi schen Formanderungsenergie eindeutig herleitbar. Mit Gl. (2.4) ist, abhangig von der Wahl des Potentials e ("e ), eine Konstitutivbeziehung zwischen Spannung und Verzerrung gegeben. Das Prinzip der positiven internen Dissipation (zweiter Hauptsatz der Thermodynamik) impliziert diese Beziehung (vgl. z. B. Truesdell & Noll [105]). 4 Der 4-stu ge Elastizitatstensor Ce ergibt sich uber eine weitere Dierenzierung nach "e 4

Ce =

@2

e

@ "e @ "e

=

@ @ "e

(2.5)

und fuhrt auf die inkrementelle Spannungs-Dehnungsbeziehung 4
 = Ce
"e :

(2.6)

Soll materiell nichtlineares Materialverhalten beschrieben werden, ist 4

4

Ce = Ce ("e )

(2.7)

erforderlich. Alternativ zu der Potentialformulierung e ("e ) besteht die Moglichkeit, ein sogenanntes Komplementarpotential in der Form e ( ) vorzugeben. Ableitungen nach dem Spannungstensor  fuhren bei analogem Vorgehen wie in den Gl. (2.4) und (2.5) auf 4 den konjungierten Verzerrungstensor "e und auf den 4-stu gen Nachgiebigkeitstensor Be .

Kapitel 2. Theoretische Grundlagen

44

Anforderungen an die Verzerrungsenergiefunktion Die Formulierung einer Potentialfunktion zur Beschreibung von isotropem, hyperelastischem Materialverhalten mu verschiedenen Eigenschaften genugen. Die Anforderungen an die Formulierung einer solchen Potentialfunktion sind im folgenden aufgefuhrt: (a) Aufgrund der Forderungen nach Bezugsinvarianz darf die Verzerrungsenergiefunktion nicht direkt vom Deformationsgradienten F abhangen, sondern mu z. B. als Funktion des Greenschen Verzerrungstensors E oder dessen linearisierter Form ", formuliert sein. Anderenfalls wurde eine Starrkorperbewegung zu einer A nderung der Formanderungsenergie fuhren. (b) Die Funktion e ("e) soll in den Grundinvarianten des Verzerrungstensors "e bzw. "De in der Form e (I"e ; IID"e ; IIID"e ) formuliert werden, um isotropes elastisches Verhalten (keine Vorzugsrichtungen) zu gewahrleisten. Hier sowie im folgenden werden die speziellen Invarianten IID"e und IIID"e des deviatorischen Anteils von "e verwendet (zur De nition der Invarianten vgl. Anhang A.2). (c) Der undeformierte Zustand "e = 0 mu spannungsfrei sein ( = 0). In diesem Zustand darf keine elastische Energie gespeichert sein ( e = 0). Auerdem mu fur jeden Deformationszustand "e 6= 0 Formanderungsenergie aufgewandt werden, so da die Forderung e  0 besteht. 4 (d) Die positive De nitheit des Elastizitatstensors Ce mu gewahrleistet sein. Diese Bedingung entspricht der Forderung nach lokaler Stabilitat und ist bei Einhaltung des allgemeinen Stabilitatskriteriums von Hadamard [47] erfullt. Im Rahmen der Elastizitatstheorie lat sich daraus die Ungleichung 4 (Ce
"e )

"e =


"e > 0

(2.8)

4 ableiten. Ce ist positiv de nit, wenn Gl. (2.8) erfullt ist. Wird in (2.8) anstelle > 0 nur  0 gefordert, spricht man von Semi-De nitheit. 4 (e) Wird direkt ein konstitutiver Ansatz fur  ("e ) oder fur Ce ("e ) vorgegeben, mu die Existenz eines Potentials sichergestellt sein. Dies ist gewahrleistet, wenn die 4 4 Integrabilitatsbedingung Ce("e ) = C Te ("e) erfullt ist.

Anmerkung zu (e): Ist ein elastisches Potential in der Form e (I"e ; IID"e ; IIID"e ) gegeben und

betrachtet man die Invarianten als Richtungen, erhalt man mit den Richtungsableitungen 0

d e (I"e ; IID"e ; IIID"e ) := B @

@ e =@ I"e @ e =@ IID"e @ e =@ IIID"e

1 C A

(2.9)

2.1 Theoretische Grundlagen der Elasto-Plastizitatstheorie

45

ein Vektorfeld, das genau dann konservativ ist, wenn gilt rot d

e

=0:

(2.10)

Dies ist gleichbedeutend mit

@2 e @2 e @2 e @2 e @2 e @2 e = ; = und = : (2.11) @ I"e @ IID"e @ IID"e @ I"e @ I"e @ IIID"e @ IIID"e @ I"e @ IID"e @ IIID"e @ IIID"e @ IID"e Konservativ bedeutet, da Kurvenintegrale nur vom Anfangspunkt A und vom Endpunkt B abhangen oder aquivalent dazu: Kurvenintegrale uber geschlossene Kurven sind null, vgl. Abb. 2.2. Speziell fur d e mu gelten: Z

d e (I"e

; IID ; IIID ) "e

"e

Z


ds = d

s1

D D e (I"e ; II"e ; III"e )


ds :

(2.12)

s2

Dabei ist d e (I"e ; IID"e ; IIID"e ) als dreidimensionales Spannungsfeld und ds = ds(I"e ; IID"e ; IIID"e ) als vektorielles Verzerrungsinkrement zu interpretieren. B

s1 A

Abbildung 2.2:

G

s2

Unterschiedliche Integrationspfade von Punkt Gebiet G

A

nach Punkt

B

im

4 Fur die KoeÆzienten des Elastizitatstensors Ce gilt dann

Ce ijkl =

@2 e @2 e = = Ce klij : @"ije @"kle @"kle @"ije

(2.13)

Die Beziehungen (2.11) und (2.13) sind gleichwertig und gewahrleisten die Existenz eines Potentials. Diese Symmetrieforderungen werden als Integrabilitatsbedingungen bezeichnet, da dadurch die Integrierbarkeit des Elastizitatsgesetzes zu einer skalarwertigen Potentialfunktion sichergestellt ist2 . Die weiteren Symmetrieeigenschaften des Elastizitatstensors 4

4

12

4

34

4

12 34

Ce = Ce T = Ce T = (Ce T ) T

2 Analoge

(2.14)

Beziehungen gelten fur ein elastisches Komplementarpotential in der Form (I ; IID ; IIID ) bezuglich der Spannungsableitungen.

Kapitel 2. Theoretische Grundlagen

46

ergeben sich aus der Symmetrie des Spannungstensors  =  T und des Verzerrungstensors "e = "Te . Neben der Formulierung hyperelastischer Elastizitatsgesetze in Form eines Verzerrungsenergiepotentials ist es moglich, direkt einen Ansatz der Art

 = ("e(Fe); x)

(2.15)

zu machen, ohne zwingend die Existenz eines elastischen Potentials zu fordern. Per De nition spricht man von Elastizitat, wenn jeder deformierte Zustand ausschlielich als Funktion des Deformationsgradienten F und des Ortsvektors x darstellbar ist. In den 50er Jahren pragte Truesdell [103] zusatzlich den Begri der Hypoelastizitat. Hypoelastische Stogesetze sind derart aufgebaut, da direkt Ansatze fur die Beziehung zwischen Spannungs- und Dehnungsgeschwindigkeiten ohne weitere Anforderungen gemacht werden. Die Bezeichnung hypo stammt aus dem Griechischen und bedeutet darunter oder unterhalb. In Zusammenhang mit Stogesetzen soll hypo zum Ausdruck bringen, da die Materialbeschreibung weniger als elastisch ist. Tatsachlich ist bei hypoelastischen Stogesetzen im allgemeinen kein elastisches Potential existent. Die wesentliche Eigenschaft elastischen Materialverhaltens, namlich die Reversibilitat der Verzerrungen im energetischen Sinne, ist damit nicht gegeben. Auerdem fuhren geschlossene Spannungspfade im allgemeinen nicht auf den Ausgangsverzerrungszustand. Eine Zusammenfassung der verschiedenen De nitionen von Elastizitat ist in Tabelle 2.1 dargestellt. Modelleigenschaften

Hyperelastizitat Elastizitat Hypoelastizitat 4 ("e) Ce ("e ) e ("e )

Eindeutigkeit der Spannungen I 4 Ce d"e = 0

ja

ja

nein

Reversibilit and.-energie Iat der Form 
d"e = 0

ja

nein

nein

Tabelle 2.1: Einteilung in Elastizitatsklassen nach der Art des konstitutiven Ansatzes und Zusammenfassung der Eigenschaften

Detaillierte Informationen zu den Begrien Hyperelastizitat, Elastizitat, Hypoelastizitat, Objektivitat, Isotropie usw. nden sich z. B. in Truesdell & Noll [105] und Ciarlet [20]. Spezielle Formanderungsenergiefunktionen fur Reibungsmaterialien werden in Abschnitt 3.1 vorgestellt sowie deren Eigenschaften diskutiert.

2.1 Theoretische Grundlagen der Elasto-Plastizitatstheorie

47

2.1.2 Plastizitat Die Festigkeit trockener granularer Materialien ist im wesentlichen bestimmt durch die Reibung zwischen den einzelnen Materialteilchen. Plastische Deformationsprozesse konnen als bleibende Verschiebung zwischen den einzelnen Partikeln erklart werden. Im Rahmen der klassischen Plastizitatstheorie werden solche irreversiblen Zustandsanderungen durch eine vorgegebene Beziehung zwischen Spannung und Formanderung beschrieben. Dabei wird eine Abhangigkeit des Formanderungsvorganges von der Deformationsgeschwindigkeit nicht berucksichtigt. Der wesentliche Unterschied gegenuber der Beschreibung elastischer Deformationen besteht darin, da die momentane Spannung von der gesamten vergangenen Dehnungsgeschichte abhangt, beziehungsweise der aktuelle Dehnungszustand von der Belastungsgeschichte bestimmt wird. Dies bedeutet, da eine eindeutige Zuordnung eines Dehnungszustands zu einem bestimmten Spannungszustand nicht moglich ist. Mathematisch kann dies zum Ausdruck gebracht werden, indem beispielsweise der Dehnungszustand entlang eines Dehnungsweges betrachtet wird, der durch die Zeit t parametrisiert wird. Die konstitutiven Elemente eines Stomodells fur plastische Formanderungen sind

  

die Fliebedingung zur Begrenzung eines elastischen Gebiets, die Flieregel in Form einer Evolutionsgleichung zur Beschreibung der plastischen Dehnungsinkremente und Ver- bzw. Entfestigungsgesetze, ebenfalls in Form von Evolutionsgleichungen, um die Entwicklung der Fliebedingung in Abhangigkeit der Belastungsgeschichte zu erfassen.

Die Fliebedingung wird ublicherweise im dreidimensionalen Hauptspannungsraum formuliert. Bei Annahme isotroper Plastizitat, die im Rahmen dieser Arbeit vorausgesetzt werden soll, ist es moglich, F ( ) z. B. in Abhangigkeit der Hauptinvarianten des Spannungstensors  , bzw. dessen deviatorischen Anteils  D , in der Form F (I ; IID ; IIID ) zu formulieren. Die Funktion F (I ; IID ; IIID ) lat sich im dreidimensionalen Hauptspannungsraum als Flie ache interpretieren.

Prinzip der maximalen internen Dissipation Zur Erlauterung des Prinzip der maximalen internen Dissipation soll ein elastisches Gebiet Ge betrachtet werden, das durch die Fliebedingung F () = 0 begrenzt ist, vgl. Abb. 2.3. Dabei wird vorausgesetzt, da ein homogenes Deformationsfeld vorliegt. Es wird angenommen, da, ausgehend von einem beliebigen Spannungspunkt   innerhalb oder auf dem Rand dieses Gebiets, durch eine A nderung der externen Belastung ein Spannungspfad ABC impliziert wird, der zum Erreichen der Flie ache im Spannungspunkt  fuhrt. Mit Erreichen der Flie ache treten plastisches Flieen und somit plastische Dehnungsinkremente "_ p auf. Durch eine auere Entlastung wird dann der Spannungszustand

Kapitel 2. Theoretische Grundlagen

48

@ Ge : F ( ) = 0

Ge : F ( ) < 0 D



C

A

B Abbildung 2.3:





"_ p

Konvexitat und Normalenregel als Konsequenz des Prinzips der maximalen internen Dissipation

 uber den elastischen Spannungspfad CDA wieder erreicht. Da die elastischen Deh-

nungsanteile innerhalb der Spannungspfade ABC und CDA vollstandig reversibel sind, hat nach Erreichen des Ausgangspunkts   keine A nderung des elastischen Energieniveaus stattgefunden. Die innerhalb des betrachteten Be- und Entlastungszyklus produzierte inkrementelle plastische Arbeit ergibt sich durch das Skalarprodukt (   )
"_ p. Infolge der Tatsache, da irreversible plastische Dehnungsanteile dissipativen Charakter haben und somit immer zu positiven Arbeitsanteilen fuhren mussen, folgt die Ungleichung (

)
"_ p  0 :

(2.16)

Diese Beziehung, die bereits 1928 von von Mises [109] postuliert wurde, wird als Prinzip der maximalen internen Dissipation bezeichnet, da von allen moglichen zulassigen Spannungszustanden   der aktuelle Spannungszustand  die interne Dissipation maximiert. Dies gilt jedoch nur, wenn das Gebiet @ Ge konvex ist und die Flierichtung normal oder assoziiert bezuglich dieses Gebiets ist. Sind beide Voraussetzungen erfullt, ist gewahrleistet, da der Winkel  stets kleiner oder gleich 90Æ ist und das Skalarprodukt (   )
"_ p somit immer positiv beziehungsweise null ist, vgl. Abb. 2.3. Die Normalenbedingung wird in der Regel durch eine sogenannte assoziierte Flieregel der Form

"_ p =  @F@ ( )

(2.17)

realisiert. Dabei wird  als plastischer Multiplikator bezeichnet. Zusatzlich dazu sind die Belastungsbedingungen (Kuhn-Tucker-Bedingungen)   0; F ( )  0;  F () = 0

(2.18)

erforderlich, um zwischen elastischem und plastischem Materialverhalten zu unterscheiden.

2.1 Theoretische Grundlagen der Elasto-Plastizitatstheorie

49

Nicht-assoziiertes Flieen

r=

q

2 IID

Fliefunktionen fur Reibungsmaterialien weisen die Besonderheit auf, da eine Abhangigkeit von der ersten Invariante I vorliegt. Mit zunehmender hydrostatischer Belastung erhoht sich die innere Reibung des Korngefuges und somit die aufnehmbare Scherspannung. Die Anwendung einer assoziierten Flieregel auf Fliefunktionen fur Reibungsmaterialien wurde bei deviatorischer Belastung zu einer deutlichen U berschatzung der Volumenvergroerung (Dilatanz) fuhren. Betrachtet man beispielsweise das im Bereich der Bodenmechanik hau g verwendete verallgemeinerte Mohr-Coulombsche Fliekriterium, ergibt sich fur eine assoziierte Flieregel eine Flierichtung unter dem Winkel ' (vgl. Abb. 2.4), was zu starker Volumenzunahme fuhren wurde.

"_ p

FMC = 0

' '

I Abbildung 2.4:

Assoziierte Flierichtung fur das verallgemeinerte Mohr-Coulombsche Fliekriterium dargestellt in der hydrostatischen r-I -Ebene

' ist der in die r-I-Ebene umgerechnete Mohr-Coulombsche Reibungswinkel. Bei granularen Materialien wie Sand ist selbst bei sehr groer Lagerungsdichte der in Versuchen zu beobachtende maximale Winkel fur die Flierichtung nicht groer als ' =2. Bei mitteldicht und locker gelagertem Korngefuge ist in der Regel volumenkonstantes oder sogar gering volumenverringerndes (kontraktantes) Flieen zu beobachten. Die Forderung einer assoziierten Flieregel ist fur Reibungsmaterialien daher nicht haltbar. Zur Modellierung von nicht-assoziiertem Flieen wird hau g eine Potential ache G( ) eingefuhrt, die die Richtung der plastischen Dehnungsinkremente bestimmt:

"_ p =  @G@ ( ) :

(2.19)

In bezug auf die numerische Behandlung des elasto-plastischen Problems, ist die Einhaltung der zweiten Forderung aus dem Prinzip der maximalen Dissipation, die Forderung nach der Konvexitat der Flie ache allerdings zwingend erforderlich. Zusatzlich mu die Konvexitat des plastischen Potentials G( ) gewahrleistet sein, da nur dann eine eindeutige Zuordnung (Ruckprojektion) von Spannungspunkten moglich ist, die infolge eines elastischen Trial-State-Schritts auerhalb des elastischen Gebiets liegen. Die geometrische Deutung der eindeutigen Ruckprojektion entspricht im Rahmen der numerischen Behandlung des elasto-plastischen Problems der Tatsache, da das lokale Gleichungssystem (4.35) bezuglich der internen Variablen eine eindeutige Losung hat (siehe dazu Kapitel 4.2). Die Bedeutung der Konvexitatsbedingung fur die Eindeutigkeit der Spannungsruckprojektion ist in Tab. 2.2 verdeutlicht.

Kapitel 2. Theoretische Grundlagen

50

Konvexitatsbed. Spannungsprojektion erfullt

F G

nein

Anschaulich

nicht eindeutig

ja

F

trial

=0

F >0 G

F

ja

G

nein

F

nicht eindeutig F

=0

F 0 F 0 F 2 > 3 ) ;

(2.20)

die in vielen Plastizitatsmodellen auch als Fliebedingung verwendet wird. Die Beziehung (2.20) lat sich durch Bildung einer umhullenden Geraden bezuglich Mohrscher Spannungskreise im Grenzzustand herleiten. Dabei wird angenommen, da die mittlere Hauptspannung 2 keinen Ein u hat. Die Konstante c gibt die Kohasion an, und ' ist der Mohr-Coulomb sche Reibungswinkel. Betrachtet man die Deviatorebene im Hauptspannungsraum, erfolgt eine dreidimensionale Darstellung von Gl. (2.20) durch sechs begrenzende Geraden, die zu einem unregelmaigen, dreifachsymmetrischen Sechseck fuhren,

2.1 Theoretische Grundlagen der Elasto-Plastizitatstheorie

51

vgl. Abb. 2.5(a). Eine Darstellung der Mohr-Coulomb schen Grenzbedingung in Invarianten des Spannungstensors  , beziehungsweise in Reuschen Variablen, ist beispielsweise in Schad [90] zu nden. Fur ' = 0 entspricht Gl. (2.20) der Hypothese der maximalen Hauptschubspannungen oder der Tresca-Hypothese.  hnlich einfach ist die Grenzbedingung nach Drucker & Prager [30] A

FDP (I

; IID ) 

q

=  I + IID

k=0;

(2.21)

die in geometrischer Darstellung einen Kegel im Hauptspannungsraum beschreibt, vgl. Abb.q2.5(b). Mit  = 0 ergibt sich das von Mises-Fliekriterium fur Metalle, dann ist k = 13 F , wenn F die Fliegrenze im einaxialen Zugversuch ist.

(a)

(b)

1 3

1 3

2

2

( ) Mohr-Coulomb sches Fliekriterium und (b) Drucker-Prager-Kriterium, dargestellt im dreidimensionalen Hauptspannungsraum fur kohasionslose Materialien (c = k = 0)

Abbildung 2.5: a

Das Drucker-Prager-Kriterium hat gegenuber der Mohr-Coulomb schen Grenzbedingung den Vorteil der einfacheren numerischen Handhabbarkeit, da keine Diskontinuitaten auftreten. Ein wesentlicher Nachteil des Drucker-Prager-Kriteriums ist die schlechte U bereinstimmung der Kreisform in der Deviatorebene mit experimentellen Ergebnissen im Grenzzustand, vgl. Abb. 1.16. Das Mohr-Coulomb sche Fliekriterium beschreibt diesbezuglich  bereinstimmung. eine wesentlich bessere U

Erweiterte Fliebedingungen Zu Beginn der 70er Jahre wurden von verschiedenen Autoren Fliebedingungen vorgeschlagen, die durch Einbeziehung der dritten Invariante IIID eine bessere Anpassung an Versuchsdaten in der Deviatorebene ermoglichten. Diese Entwicklung ging Hand in Hand mit der Verbesserung der Versuchstechnik fur wahre Triaxialversuche, vgl. Kap. 1.1, die erforderlich sind, um experimentelle Aussagen uber Bereiche auerhalb der Triaxialebenen zu treen. Weiterhin wurde in verschiedenen Modellen eine Meridiankrummung

52

Kapitel 2. Theoretische Grundlagen

der Flie ache bezuglich der hydrostatischen Ebene berucksichtigt. Bezogen auf die MohrCoulomb-Theorie bedeutet dies, da der Reibungswinkel mit zunehmender hydrostatischer Belastung abnimmt. Dieses Phanomen lat sich in Triaxialversuchen eindeutig beobachten. Bezuglich dieser Klasse von Fliekriterien seien die Arbeiten von de Boer [10], Gudehus [45], Lade & Duncan [69], Matsuoka & Nakai [78], Stutz [98] und Willam & Warnke [110] referiert. Bei den bisher beschriebenen Modellen werden bei rein hydrostatischer Belastung ausschlielich elastische Verzerrungen impliziert. In hydrostatischen Kompressionsversuchen (vgl. Abb. 1.20) lat sich durch Entlastungsschleifen allerdings eindeutig zeigen, da auch bei isotroper Belastung von Beginn an plastische Dehnungsanteile auftreten. Dies veranlate beispielsweise Lade [67], Vermeer [107] oder Arslan [1] dazu, gewohnliche, in hydrostatischer Druckrichtung oene Flie achen durch eine Kappe zu erganzen. Als Funktion entsprechender isotroper Verfestigungsgesetze verschiebt sich dann die Kappe in Abhangigkeit der hydrostatischen Belastung. Dabei werden volumetrische plastische Dehnungen modelliert.

Cam-Clay-Theorie Die Entwicklung des Cam-Clay-Modells, das bis heute in der Bodenmechanik eine zentrale Rolle spielt, hat ihren Ursprung in der Veroentlichung von Roscoe, Schofield & Wroth [87] (1958) und basiert auf Versuchen mit weichem Ton, dem Cambridge Clay. Die Arbeit von Schofield & Wroth [91] (1968) beinhaltet eine Zusammenfassung des Modells und schliet die Entwicklungsphase der Cam-Clay-Theorie in Cambridge ab. Das Cam-Clay-Modell beinhaltet die Berucksichtigung der Vorbelastung und der Lagerungsdichte des betrachteten Bodens. Insbesondere die Lagerungsdichte, in der Cam-Clay Terminologie durch die Porenzahl e (Verhaltnis Porenvolumen zum Volumen der festen Bestandteile) vertreten, spielt bei der Modellierung eine wichtige Rolle. So werden die Ergebnisse triaxialer Kompressionsversuche nicht im Spannungsraum, sondern in einem p-q -e-Diagramm aufgetragen. Dabei wird davon ausgegangen, da eine Volumenabnahme grundsatzlich mit Verfestigung verbunden ist und eine Volumenzunahme immer zu Entfestigung fuhrt. Findet keine Volumenanderung mehr statt ist eine kritischer Zustand (engl.  nderung des SpannungsniCritical-State ) erreicht und fortlaufendes Flieen ohne eine A veaus tritt ein. Die sogenannte Critical-State-Line markiert fur die Fliebedingung die Trennung eines Kegels (Drucker-Prager) von einer ellipsenformigen Kappe. Der kritische Zustand wird in Triaxialversuchen mit einem Probenhohe- zu Probendurchmesserverhaltnis von 2:1, welches in Versuchen zur Zeit der Entwicklung der Cam-Clay-Theorie ausschlielich verwendet wurde, durch eine ausgepragte Scherbandbildung erreicht, die zum Abgleiten zweier fester Blocke aneinander fuhrt (vgl. Abb. 1.14). Versagensmuster dieser Art sind allerdings mit deutlich inhomogenen Versuchsbedingungen verbunden. Die Cam-Clay-Theorie wurde in den letzten 30 Jahren von vielen Autoren aufgegrien und fur spezielle Anwendungen modi ziert. Unter Anderen haben z. B. Nova & Wood [81] oder Manzari & Dafalis [77] das Critical-State-Konzept mit entsprechenden Erweiterungen auch zur Beschreibung kohasionsloser Materialien verwendet.

2.1 Theoretische Grundlagen der Elasto-Plastizitatstheorie

53

Der wesentliche Nachteil der ursprunglichen Cam-Clay-Theorie liegt darin, da Dilatanz grundsatzlich mit Entfestigung verbunden ist. Tatsachlich zeigen aber viele Reibungsmaterialien, wie z. B. dicht gelagerter Sand oder ein stark uberkonsolidierter bindiger Boden, dilatantes Verhalten, bevor die maximale Scherfestigkeit erreicht ist, also wahrend der Verfestigung. Dies ist fur den in dieser Arbeit betrachteten Berliner Sand in Abb. 1.21 deutlich zu erkennen. Abb. 2.6 zeigt qualitativ das durch ein Cam-Clay-Modell simulierte Spannungs-Dehnungsverhalten eines vorkonsolidierten bindigen Bodens fur den triaxialen Spannungspfad ABC. Im elastischen Bereich (A!B) ndet keine Dilatanz statt. Mit dem Erreichen der Flie ache im Punkt B tritt dann in Kombination mit Entfestigung plotzlich dilatantes Verhalten auf, bis der kritische Punkt C erreicht ist. Ein Vergleich dieses Verhaltens mit experimentellen Beobachtungen ist unbefriedigend, da Dilatanz wie bereits erwahnt, bei uberkonsolidierten bindigen Boden schon wahrend der Verfestigung auftritt.

Abbildung 2.6:

B

3IID

"1

C

A

3

3

q=

q=

q

3IID

B

"1

q

Critical-State-Line

p=

1 I 3

C Critical-State

A

"1

Spannungs-Dehnungsverhalten fur den weggesteuerten triaxialen Spannungspfad ABC modelliert mit dem Cam-Clay-Modell

Daher kann gesagt werden, da eine sinnvolle Modellierung des Materialverhaltens von erstbelastetem, kohasionslosen Material mit der Cam-Clay-Theorie ohne eine weitreichende Modi kation dieser Theorie nicht moglich ist.

Ein achen iemodelle Die Weiterentwicklung der oben angesprochenen Kappenmodelle fuhrte in den 80er Jahren zu sogenannten Ein achen iemodellen. Der wesentliche Vorteil dieser Modelle liegt darin, da keine Diskontinuitaten in der Formulierung der Fliebedingung auftreten und somit stetige Dierenzierbarkeit im gesamten Hauptspannungsraum gewahrleistet ist. Mit dem sogenannten HISS-Modell (Hierarchical Single Surface) prasentierte Desai [24] die erste Ein achen iebedingung innerhalb eines Elasto-Plastizitatsmodells fur Geomaterialien. In den folgenden Jahren wurden mit der Beteiligung von Desai eine Vielzahl von Arbeiten veroentlicht, die die Weiterentwicklung des HISS-Modells dokumentieren. Einige Jahre spater stellen Kim & Lade [57] und Lade & Kim [70, 71] ein Ein achen iemodell in ahnlicher Form wie das HISS-Modell vor. Kim und Lade zeigen in diesen Arbeiten die Anwendung ihres Modells fur Sand und beschreiben dazu die Identi kation der im Modell enthaltenen Parameter.

Kapitel 2. Theoretische Grundlagen

54

Als eine Weiterentwicklung eines Fliekriteriums von de 34] die Ein achen iebedingung

F ( ; p

p =

d ; h)

( ; q

d)

q

IID + 21  I2 + Æ 2 I4 + I +  I2



IIID = 1 + D 
3=2 II

Boer [10] schlagt Ehlers [33, =0; (2.22)

m

vor. Die Funktion ( ; pd ) bestimmt in Abhangigkeit von dem Parametersatz pd = f ; mg die Form der Flie ache in der Deviatorebene. In Abb. 2.7 ist die deviatorische Fliekurve in Form eines Dreiecks mit abgerundeten Ecken zu erkennen. Diese Form ist typisch fur granulare Reibungsmaterialien bei Spannungszustanden nahe der maximalen Scherfestigkeit, vgl. Abb. 1.16. Die Parameter ph = f; ; Æ; ; g beschreiben die Meridiankrummung der Flie ache in der hydrostatischen Ebene. Die vollstandige Entkopplung der Parameter bezuglich der deviatorischen und hydrostatischen Ebenen ermoglicht eine unabhangige Parameterbestimmung fur diese beiden Bereiche. Die Formulierung von F in Gl. (2.22) beinhaltet verschiedene einfachere bekannte Fliebedingungen, wie z. B. das von Mises-Fliekriterium durch Nullsetzen samtlicher Parameter bis auf . Weiterhin erhalt man die Drucker-Pragersche Fliebedingung FDP aus Gl. (2.22) bei zusatzlicher Berucksichtigung des Parameters .

1

I

Abbildung 2.7:

I

2 3

Geometrische Darstellung der Ein achen iebedingung nach Ehlers [33] im dreidimensionalen Hauptspannungsraum

2.2 Optimierungsverfahren

55

Das Fliekriterium in Gl. (2.22) wird im Rahmen dieser Arbeit zur Modellierung elastoplastischen Materialverhaltens gewahlt. Eine ausfuhrliche Diskussion dieser Fliebedingung einschlielich der dazugehorigen Verfestigungsgesetze sowie der Realisierung nichtassoziierten Flieens ndet sich in Abschnitt 3.2.

2.2 Optimierungsverfahren Optimierungsverfahren sind erforderlich, um die in einem Modell enthaltenen Parame ter so zu bestimmen, da eine moglichst gute Ubereinstimmung zwischen Modellergebnis und experimentellem Ergebnis gegeben ist. Zur Formulierung eines Optimierungsproblems ist ein Gutekriterium fur die Abweichung der Medaten von der Modellauswertung erforderlich. Weit verbreitet ist die Methode der kleinsten Fehlerquadrate (Least-SquaresMethode ). Hier wird als Ma fur den Abstand der Mewerte fyexp i ; i = 1; :::; mg von den berechneten Beobachtungsgroen fy (xexp i ; p); i = 1; :::; mg das Fehlerquadrat als Gutekriterium verwendet. Dies fuhrt im allgemeinen auf ein bezuglich den Parametern nichtlineares Ausgleichsproblem der Form R(p) = 21 kr(p)k22 ! min ; 2

r(p) =

6 4

yexp 1 yexp m

y (xexp 1 ; p) .. . y (xexp m ; p)

3

7 5;

p = (p1; : : : ; pn)T :

(2.23)

Dabei beschreiben die Mewertpaare (yexp ; xexp ) die experimentellen Beobachtungen, m ist die Anzahl der vorhandenen Mewertpaare oder Stutzstellen und n die Anzahl der Parameter des Parametersatzes p. Zusatzlich ist eine unterschiedliche Gewichtung einzelner Mewertpaare durch Vorschaltung eines Wichtungsfaktors in Gl. (2.23) moglich. Als Wichtungsfaktor kann beispielsweise die Standardabweichung der Mefehler verwendet werden. Grundsatzlich gibt es unterschiedlichste numerische Verfahren zur Ermittlung eines optimalen Parametersatzes fur das Problem (2.23). Dabei wird zwischen stochastischen und  berblick uber die verschiedenen deterministischen Strategien unterschieden. Einen guten U Optimierungsverfahren und deren Methodik ist z. B. in Bazaraa et al. [3], Krabs [65], Luenberger [75], Schwefel [93] oder Spellucci [96] zu nden. Im folgenden werden ausschlielich gradienten-basierte Methoden betrachtet, die der Klasse deterministischer Verfahren zuzuordnen sind. Dazu gehoren Verfahren vom Newton-Typ und die Klasse der Abstiegsverfahren. Zur Identi kation der Parameter werden in dieser Arbeit zwei verschiedene Optimierungsstrategien verwendet. Fur unrestringierte Probleme das speziell auf Least-SquaresFunktionale zugeschnittene Levenberg-Marquardt -Verfahren und fur restringierte Probleme das bekannte SQP-Verfahren (Sequentielle Quadratische Programmierung). Die theoretischen Grundlagen dieser Verfahren werden daher kurz erlautert. Dazu wird zuerst die fur die Entwicklung eÆzienter Algorithmen erforderliche Approximation der Hesse-Matrix diskutiert.

Kapitel 2. Theoretische Grundlagen

56

2.2.1 Approximation der Hesse-Matrix Quasi-Newton -Verfahren Bei der Anwendung des klassischen Newton-Verfahrens auf das Optimierungsproblem (2.23) ist die Berechnung der Hesse-Matrix H = r2 R(p) erforderlich. Um die aufwendige Berechnung von zweiten Ableitungen der Zielfunktion zu umgehen und mogliche Probleme bei der Invertierung zu vermeiden, kann das mittlere Verhalten der Hesse-Matrix im Parameterintervall [p(i) ; p(i+1) ] durch eine Sekantenapproximation mit der Quasi-Newton~ (i) angenahert werden. Dabei wird H ~ (i) durch eine Aufdatierungsformel aus der Matrix H ~ (i 1) ermittelt. Aus der Vielin der vorhergehenden Iteration gewonnenen Hesse-Matrix H zahl entwickelter Konstruktionsvarianten fur die Aufdatierung der Quasi-Newton-Matrix ist die nach Broyden, Fletcher, Goldfarb und Shanno benannte BFGS-Methode hervorzuheben. Sie gilt zur Zeit als erfolgreichste Variante der Quasi-Newton-Verfahren und beschreibt einen auerst leistungsfahigen und robusten Algorithmus zur direkten Auf~ (i 1) ) 1 . Quasi-Newton-Verfahren sind datierung der inversen3 Quasi-Newton-Matrix (H allgemein anwendbar zur Losung nichtlinearer Gleichungssysteme und somit nicht beschrankt auf Optimierungsprobleme.

Gau-Newton -Verfahren Durch Ausnutzung der speziellen Struktur der Hesse-Matrix H = r2 R(p) lassen sich leistungsfahige Algorithmen ableiten, die besonders auf die charakteristischen Eigenschaften von Ausgleichsproblemen zugeschnitten sind. Das Least-Squares-Funktional (2.23) lat sich in der Form m 1 1X T R(p) = r(p) r(p) = [y 2 2 i=1 exp i

y (xexp i ; p)]T [yexp i

y (xexp i ; p)] ! min

(2.24)

schreiben. Die erste Ableitung der Zielfunktion (2.24) nach den Parametern p ergibt sich als Produkt aus den Residuen r(p) und deren Gradient rr(p)

rR(p) = rr(p r(p) = )T

m  X @y (xexp i=1

@p

i;

p) T y



exp i

y (xexp i ; p) :

(2.25)

Weiteres Ableiten von Gl. (2.25) nach p mit der Kettenregel liefert die aus zwei Teilen bestehende Hesse-Matrix des Least-Squares-Funktionals (2.23)

r2 R(p)

=

rr(p)T rr(p) + r2 r(p)T r(p)

3 Die inverse (H ~ (i)) 1

bezeichnet.

wird innerhalb des BFGS-Verfahrens in der Literatur in der Regel mit DBFGS

2.2 Optimierungsverfahren

=

57

m  X @y (xexp i=1 |

p) T  @y(xexp i; p)  @p @p i;

{z ~ GN =rrT rr H

m  2 X @ y (xexp

|

i=1

@ p2

i;

(2.26)

p) T y

} 

exp i

y (xexp i ; p) :

{z ^ H

}

Bei einem geeigneten Modellansatz ist davon auszugehen, da in der Nahe des Losungspunkts p der Faktor [yexp i y (xexp i ; p)] in der Summe uber alle Reihenglieder klein ist. ^ gegenuber H ~ GN vernachlassigbar werden. Das Gau-NewtonDamit kann der Anteil H ~ GN als approximierte Hesse-Matrix innerhalb Verfahren ist dadurch charakterisiert, da H einer Newton-Iteration verwendet wird. Obwohl beim Gau-Newton-Verfahren somit nur erste Ableitungen berechnet werden, ist es nach Torning & Spellucci [102] unter Standardvoraussetzungen lokal quadratisch konvergent.

2.2.2

Levenberg-Marquardt -Algorithmus

Eine wesentliche Grundeigenschaft des Levenberg-Marquardt -Verfahrens ist, da sich der Charakter des Ansatzes fur die Suchrichtung, in welcher der Algorithmus die verbesserten Parametersatze sucht, im Laufe des Optimierungsprozesses andert. Das Verfahren stellt eine Kombination aus der Methode des steilsten Abstiegs und einer Newton-Iteration dar, die auf einer quadratischen Approximation der Zielfunktion basiert. Dabei wird innerhalb der Newton-Iteration zur Approximation der Hesse-Matrix die spezielle Struktur von Least-Squares-Funktionalen ausgenutzt.

Methode des steilsten Abstiegs Am Anfang, beziehungsweise weit entfernt von der Losung, wird die Suchrichtung durch den Ansatz @R(p(i) ) und
p = p(i+1) p(i) (2.27) 0
p = d(i) mit d(i) := @ p(i) bestimmt. Bei der gewahlten Schreibweise wird davon ausgegangen, da sich der Optimierungsproze momentan am Punkt P (i) be ndet, der durch die Parameter p(i) beschrieben wird. Mit dem Ansatz (2.27) werden die verbesserten Parameter in Richtung des negativen Gradienten der Zielfunktion R(p) gesucht. Dabei ist der Parameter 0 so zu wahlen, da man nicht zu weit in die Richtung des negativen Gradienten fortschreitet und "auf der anderen Seite des Tales\ wieder "bergauf\ geht. Zur Ermittlung des Parameters 0 wird in der Regel ein Liniensuchalgorithmus (engl. Line-Search-Algorithm ) zur Bestimmung der optimalen Schrittweite angeschlossen. Die Vorgehensweise mit der Methode des steilsten Abstiegs fuhrt zwar zu einer relativ langsamen Konvergenz, stellt aber sicher, da in jedem Schritt eine Verbesserung der Parameter, das heit eine Verkleinerung von R(p), erreicht wird.

Kapitel 2. Theoretische Grundlagen

58

Newton -Iteration Eine Verbesserung des lokalen Konvergenzverhaltens (in der Nahe der Losung) ist zu erreichen, wenn die Funktion R(p) durch die quadratische Form 1 R~ Q (
p) = r(p(i) )T r(p(i) ) + 2 mit





rr(p(i) )T r(p(i) ) T
p +

1 T
p H
p 2

H := r2 R(p(i))

(2.28) (2.29)

angenahert wird. Gl. (2.28) liefert mit der notwendigen Bedingung fur eine Minimalstelle rR~Q(
p) = 0 die Newton-Iteration
p =





H (p(i) )

1



rr(p(i) )T r(p(i) ) :

(2.30)

Bildet die quadratische Form (2.28) die zu untersuchende Funktion R(p) exakt ab, so gelangt man mit Gleichung (2.30) in einem Schritt zur optimalen Losung. Im allgemeinen Fall ist dies naturlich nicht gegeben, so da nur eine verbesserte Losung erhalten wird. Eine notwendige Bedingung fur eine Verbesserung der Losung ist die positive De nitheit4 der Hesse-Matrix r2 R(p). Ist man zu weit von der Losung entfernt, beziehungsweise ist die Approximation durch (2.28) zu schlecht, ist die Forderung nach positiver De nitheit hau g nicht erfullt und man wird mit der Newton-Iteration (2.30) keine Verbesserung der Losung erreichen.

Kombination der Verfahren Eine Kombination der Methode des steilsten Abstieges und des Newton-Verfahrens wird beim Levenberg-Marquardt-Verfahren durch folgenden Ansatz gebildet

0





H (p(i) ) + 0 I
p = d(i) :

(2.31)

In Gleichung (2.31) wird mit dem Marquardt Parameter 0 der Ein u der beiden in den Gleichungen (2.27) und (2.30) beschriebenen Suchrichtungen gesteuert. Ist man weit von der Losung entfernt, so ist der Ansatz (2.27) gunstiger, daher mu in diesem Fall der Parameter 0 gro gewahlt werden. Nahe der Losung beschleunigt ein kleiner Parameter 0 die Konvergenz, weil dann der Ansatz (2.30) dominiert. Der Parameter 0 mu nun mit Hilfe eines Liniensuchalgorithmus so gewahlt werden, da man nicht zu weit in Suchrichtung voranschreitet und damit das Ergebnis wieder verschlechtert. Ein weitere wichtige Eigenschaft des Levenberg-Marquardt-Verfahrens ist die Berechnung, beziehungsweise Approximation, der in Gleichung (2.30) auftretenden Hesse-Matrix H . 4 Eine Matrix Aij

heit positiv de nit wenn xi Aij xj > 0 fur alle xi gilt.

2.2 Optimierungsverfahren

59

Speziell fur Least-Squares-Funktionale bietet sich die in Abschnitt 2.2.1 diskutierte GauNewton-Approximation an. Damit ergibt sich die endgultige Form der Suchrichtung des ~ GN : Levenberg-Marquardt-Verfahrens durch Ersetzen von H in (2.31) mit H h

i

~ GN (p(i) ) + 0 I
p = 0 H

d(i) :

(2.32)

Mit Gl. (2.32) bietet die Levenberg-Marquardt-Methode ein speziell auf Least-SquaresFunktionale abgestimmtes hybrides Optimierungsverfahren, das weit entfernt von der Losung stabil arbeitet und in der Nahe der Losung schnell konvergiert. In den innerhalb dieser Arbeit durchgefuhrten Least-Squares-Approximationen wird die Levenberg-Marquardt-Routine LMDIF1 aus der Programmbibliothek Minpack5 verwendet.

2.2.3 SQP-Methode Zur Losung von nichtlinearen Optimierungsproblemen mit nichtlinearen Nebenbedingungen, ist die Methode der Sequentiellen Quadratischen Approximation (SQP) die gegenwartig eÆzienteste,Puniversell einsetzbare Methode. Dabei wird die Lagrange-Funktion Png nh L(p; ; ) = R(p) + k=1  hk (p) + j=1  gj (p) eingefuhrt und um den aktuellen Iterationspunkt durch das quadratische Subproblem  T 1 R~ (
p) =
pT r2 L(p(i) ; (i) (i) )
p + rR(p(i) )
p 2 ~h = rhk (p(i) )T
p + hk (p(i) ) = 0 ; k = 1; :::; nh ; g~ = rgj (p(i) )T
p + gj (p(i) )  0 ; j = 1; :::; ng

!

min ; (2.33)

approximiert. Dabei ergeben sich lineare Ansatze fur die Gleichheits- und Ungleichheitsnebenbedingungen hk und gj . Ausgehend von dem Problem (2.33) ergibt sich das Sattelpunktproblem6

L~(
p; (i+1) ; (i+1) ) = R~ (
p) + (i+1) h~ (
p) + (i+1) g~(
p) !

stat :

(2.34)

Die Losung des Stationaritatsproblems (2.34) fuhrt auf die Suchrichtung
p und die Lagrange-Parameter (i+1) und (i+1) . Um die aufwendige Berechnung der zweiten Ableitungen der Lagrange-Funktion L zu vermeiden, wird r2 L in der Regel durch eine Quasi-Newton-Approximation, wie z. B. die BFGS-Aufdatierung, ersetzt. Nachdem nach einem Iterationsschritt die Suchrichtung
p gefunden ist, erweist es sich als sinnvoll, eine Schrittweitenbestimmung anzuschliessen, um eine optimale Lange der 5 Minpack ist frei verfugbar in der Programmbibliothek www.netlib.org/minpack. 6 Gl. (2.34) wird als Sattelpunktproblem bezeichnet, da im Optimalitatspunkt mit den festen Werten

und ? bezuglich einer Variation von p die Lagrangefunktion L minimiert wird und gleichzeitig im Optimalitatspunkt bei festgehaltenen Parametern p = p? bezuglich einer Variation von  und  die Lagrangefunktion L maximiert wird, vgl. z. B. Mahnken [76].

?

Kapitel 2. Theoretische Grundlagen

60

Suchrichtung zu ermitteln. Dabei mu neben der Reduktion des Funktionswerts R(p) zusatzlich eine mogliche Verletzung der Nebenbedingungen berucksichtigt werden. Der  Ubergang p(i) 7! p(i+1) = p(i) + 
p kann durch eine Kontroll- oder Bewertungsfunktion (engl. Merit-Function ) gesteuert werden. Dabei hat sich die L1 -Straunktion (engl. Penalty-Function ) (~p) := R(~p) +

nh X k=1

k jhk (~p)j +

ng X j =1

j j maxf0; gj (~p)gj

(2.35)

als besonders geeignet bewahrt. Der Parametersatz p~ () = p(i) + 
p beinhaltet die Ausgangsparameter p(i) und die aus Gl. (2.34) berechneten Zuwachsinkremente
p in Abhangigkeit des Schrittweitenmultiplikators . Die Groen k und j sind geeignet zu wahlende Strafparameter. Gl. (2.35) beschreibt damit eine eindimensionale Funktion (~p) 7! (). Die Minimierung von () bezuglich  liefert dann den gesuchten Schrittweitenmultiplikator . Weitere Details hierzu sind z. B. Spellucci [96] zu entnehmen. In der vorliegenden Arbeit wird zur Berechnung von restringierten Problemen der SQPAlgorithmus donlp27 von Spellucci (TU Darmstadt) verwendet. Dieser hochoptimierte Algorithmus berucksichtigt die aktuellen Entwicklungen im Bereich der nichtlinearen Optimierung. Details zur Theorie und zur numerischen Umsetzung sind in Spellucci [97] ausfuhrlich beschrieben.

7 Der SQP-Code donlp2 ist frei verfugbar in der Programmbibliothek www.netlib.org/opt.

Kapitel 3 Modellbildung und Parameteridenti kation Zur Beschreibung des Materialverhaltens eines granularen Gefuges ist die Aufteilung in reversible elastische und dissipative plastische Anteile erforderlich. Dies erfolgt im Rahmen einer elasto-plastischen Modellbildung. Dabei sollen samtliche makroskopischen Materialeigenschaften, die in Abschnitt 1.3 angesprochen wurden, moglichst exakt abgebildet werden. Im Gegensatz zu vielen anderen Werkstoen ist bei granularen Materialien ein  klarer Ubergang zwischen einem elastischen und plastischen Bereich wahrend der Deformation nicht erkennbar. Bei einer Erstbelastung treten von Beginn an irreversible plastische Deformationen in Kombination mit elastischen Verformungen auf, vgl. Abb. 3.1. Eine weitere Erhohung der Belastung ist dennoch moglich, da eine Materialverfestigung statt ndet. Zudem zeigen Elementversuche mit Ent- und Wiederbelastungsschleifen, da das elastische Verhalten bereits im Bereich geometrisch linearer Verzerrungen starke materielle Nichtlinearitaten aufweist. Die Beschreibung dieser Eigenschaften sowie die Ermittlung der Parameter stellen die besonderen Schwierigkeiten bei der Materialmodellierung dar. Im folgenden wird ein elasto-plastisches Stomodell vorgestellt, das zur Abbildung des Materialverhaltens einer granularen Struktur unter beliebiger Belastung geeignet ist. Dabei werden elastische und plastische Deformationsanteile gesondert betrachtet. Die Identi kation der Parameter des Stomodells erfolgt mit Hilfe von Ergebnissen aus homogenen Elementversuchen, die in Kapitel 1 beschrieben sind.

3.1 Elastische Deformationsanteile In Abschnitt 1.3 wurden die in Versuchen zu beobachtenden Materialeigenschaften granularer Stoe im Bereich elastischer Deformationen diskutiert. Diese Eigenschaften sollen mit Hilfe eines geometrisch linearen, isotropen Elastizitatsgesetzes, unter Einhaltung der in Abschnitt 2.1.1 angefuhrten thermodynamischen Restriktionen abgebildet werden. Im folgenden wird zuerst ein Literaturuberblick uber vorhandene Elastizitatsgesetze fur Reibungsmaterialien gegeben. Dabei erfolgt fur eine Reihe von Vorschlagen verschiedener 61

Kapitel 3. Modellbildung und Parameteridenti kation

Dev. Spannung j1

3 j

[kN/m2]

62

300 250



200 150 100 50 00

0,1 "1p

Abbildung 3.1:

0,2

0,3 "1e

0,4

0,5 0,6 0,7 0,8 Axialverzerrung j"1j [%]

Ent- und Wiederbelastungszyklen zeigen die elastischen und plastischen Dehnungsanteile fur den Spannungspunkt  in einem triaxialen Kompressionsversuch mit Berliner Sand

Autoren eine ausfuhrliche Diskussion der Vor- und Nachteile der jeweiligen Materialgesetze. Im Anschlu daran wird ein eigener Vorschlag gemacht zur Formulierung eines verbesserten Ansatzes fur eine Verzerrungsenergiefunktion zur Beschreibung des elastischen Materialverhaltens granularer Stoe. Dabei werden die Eigenschaften sowie Vorund Nachteil des Ansatzes diskutiert. Schlielich wird darauf aufbauend eine vereinfachte Formulierung einer Verzerrungsenergiefunktion vorgestellt, die auf eine einfachere, reduzierte Darstellung des Elastizitatsgesetzes fuhrt.

3.1.1 Elastizitatsgesetze fur Reibungsmaterialien Bei der Entwicklung von speziellen Elastizitatsgesetzen fur Reibungsmaterialien steht vor allem die Erfassung der Abhangigkeit der elastischen Stei gkeit vom aktuellen Spannungsbzw. Deformationszustand im Vordergrund. Im konventionellen Triaxialversuch ist zu beobachten, da die initiale Stei gkeit1 mit zunehmendem, auf die Probe wirkenden Seitendruck 3 zunimmt. Janbu [55] fuhrte in den 60er Jahren zur Ermittlung dieser Abhangigkeit eine groe Anzahl von Triaxialversuchen mit Sand durch. Ausgehend von diesen Versuchen schlug er die Potenzfunktion

Ei = Ki pa 1 Die



3 pa

n

(3.1)

initiale Stei gkeit wird durch die Tangente an die Spannungs-Dehnungskurve im Ursprung des Spannungs-Dehnungsdiagramms (Abb. 3.1) ermittelt.

3.1 Elastische Deformationsanteile

63

mit den dimensionslosen Parametern Ki und n und dem atmospharischen Druck pa vor zur Beschreibung des initialen Elastizitatsmoduls Ei in Abhangigkeit des Seitendrucks 3 . Janbu fand Werte fur n von 0,35{0,55 und fur Ki von 50{500 fur dicht bis mitteldicht gelagerten Sand. Der spannungsabhangige Elastizitatsmodul wird gemeinsam mit einer in der Regel konstant angenommenen Querkontraktionzahl  in die klassische Form des linearen Hooke schen Gesetzes

"e = E (1 ) [(1 +  )  (
I)I] i

3

(3.2)

eingesetzt. Der initiale Elastizitatsmodul reprasentiert allerdings nicht die rein elastische Stei gkeit, da, wie bereits erwahnt, bei granularen Materialien von Beginn einer Erstbelastung an inelastische Anteile auftreten. Duncan & Chang [31] ersetzen daher Ei und Ki mit den Groen EUR und KUR 2 , welche die elastische Stei gkeit in Ent- und Wiederbelastungszyklen wiedergeben. Wong & Duncan [112] zeigen in zahlreichen Experimenten, da KUR bei konstantem n um den Faktor 1{3 hoher ist als Ki . Die Formulierung (3.1) eingesetzt in (3.2) wird bis heute in dieser und in abgewandelter Form hau g verwendet, da sich damit Versuchsergebnisse sehr einfach und direkt anpassen lassen. Allerdings ist diese Form energetisch nicht konsistent, d. h. es existiert kein Potential, da die in Abschnitt 2.1.1 angesprochene Integrabilitatsbedingung nicht erfullt ist. Hau g werden in der Bodenmechanik auch direkt Ansatze fur den Elastizitatstensor in der 4 4 Form Ce ( ) oder Ce ("e ) gemacht. Das in Versuchen beobachtete nichtlineare Materialverhalten soll in dierentieller Form (vgl. Gl. (2.6)) durch eine veranderliche Steigung im Spannungs-Dehnungsdiagramm wiedergegeben werden. So werden z. B. von Smoltczyk [94] oder Duncan & Chang [31] Tangentenmoduli in Abhangigkeit der mobilisierten Spannung eingefuhrt. Dabei wird zwischen Erst- und Wiederbelastung unterschieden. Fur Stogesetze dieser Art trit die Bezeichnung hypoelastisch zu. In Abschnitt 2.1.1 wurde bereits darauf hingewiesen, da solche Stogesetze bezuglich der Spannungen beziehungsweise der Verzerrungen nicht eindeutig sind, da geschlossene Spannungs- bzw. Verzerrungspfade im allgemeinen nicht auf den gleichen Spannungs- bzw. Verzerrungszustand fuhren. Zytinski et. al. [119] haben dies fur einen speziellen Ansatz nach Schofield & Wroth [91] gezeigt, bei dem konstitutiv eine Beziehung zwischen den Inkrementen der Volumendehnung
I"e und den Inkrementen der hydrostatischen Spannung
I eingefuhrt wird. Der Ansatz nach Scho eld & Wroth, der in die inkrementelle Formulierung des Hooke schen Gesetzes eingesetzt wird, ndet in der Bodenmechanik fur bindige Boden sehr hau g Anwendung. In jungerer Zeit gibt es hau g Bemuhungen, thermodynamisch konsistente Elastizitatsgesetze fur Reibungsmaterialen zu entwickeln. Die Schwierigkeit liegt hierbei darin, auf der einen Seite das komplexe Materialverhalten moglichst gut beschreiben zu konnen und auf der anderen Seite die in Abschnitt 2.1.1 angesprochenen Restriktionen nicht zu verletzen. Zudem sollte ein Elastizitatsgesetz so aufgebaut sein, da die Ermittlung der Parameter entkoppelt fur hydrostatische und deviatorische Versuche durchgefuhrt werden kann. Das 2 UR steht fur unload-reload.

Kapitel 3. Modellbildung und Parameteridenti kation

64

Elastizitatsgesetz sollte sich demnach in eine Form bringen lassen, in der fur die Parameter eine physikalische Zuordnung moglich ist, wie z. B. beim Hooke schen Gesetz, bei dem  die Scherstei gkeit und k die volumetrische Kompressibilitat charakterisiert. Im folgenden werden Vorschlage verschiedener Autoren zur Formulierung konstitutiver Beziehungen fur elastisches Materialverhalten naher untersucht. Dabei beschrankt sich die Auswahl der Autoren auf diejenigen, die thermodynamische Konsistenz fur ihre Gesetze in Anspruch nehmen. Es handelt sich hierbei ausschlielich um Stogesetze, die fur kleine Verzerrungen formuliert sind. Die Annahme kleiner Verzerrungen ist bei granularen Materialien sowie bei bindigen Boden besonders im elastischen Bereich gerechtfertigt. Beispielsweise erreichen bei dem in dieser Arbeit betrachteten dicht gelagerten Berliner Sand in den Elementversuchen die elastischen Anteile der Scherverzerrungen bis zum Versagenszustand nicht mehr als j"1e "3e j  0; 15 % und die volumetrischen elastischen Verzerrungen nicht mehr als I"e  1; 00 % (vgl. Abb. 1.20). Die Notation der verschiedenen Autoren wurde vereinheitlicht und der Schreibweise dieser Arbeit angepat. Zur De nition der im folgendenen auftretenden Invarianten sei auf den Anhang A.2 verwiesen.

Beurteilung vorhandener Elastizitatsmodelle

Boyce (1980) [16]: Als -k-Modell bezeichnet Boyce ein von ihm vorgeschlagenes Ela-

stizitatgesetz fur granulare Materialien. Ausgehend von der Standardformulierung des Hooke schen Gesetzes

"e() = 21 D + 91k I I

(3.3)

werden zur Beschreibung der Spannungsabhangigkeit des Schermoduls  und des Kompressionsmoduls k die Ansatze   1 k1 ( I )(1 n) 1 9(1 n)k1 IID =(21I2 ) 1 ; 3 1 (I ) = 1 ( I )(1 n) 3

k(I ; IID ) =

(3.4)

gemacht. Die Konstanten k1 , n und 1 ermoglichen die Anpassung an Versuchsergebnisse.



Die Ansatze in (3.4) gewahrleisten die Existenz eines elastischen Potentials. Das Elastizitatsgesetz ist demnach als hyperelastisch einzustufen. Fur Zugspannungen (I > 0) liefert das Gesetz keine reellen Losungen, da n nach Boyce im Bereich [0; 2; 0; 6] liegt. Boyce weist zwar darauf hin, da es sich um ein Stogesetz fur granulare und somit fur kohasionslose Materialien handelt, trotzdem sollten, wenn das Gesetz im Rahmen eines elasto-plastischen Modells verwendet wird, Spannungszustande mit positiver erster Invariante I in der Umgebung von  = 0 auswertbar sein.

3.1 Elastische Deformationsanteile



65

Die Ansatze (3.4) fur k und  sind nicht dimensionsecht. Eine Auswertung des Gesetzes liefert dimensionsbehaftete Verzerrungen. Die Abhangigkeit des Kompressionsmoduls k von deviatorischen Spannungsanteilen ist fragwurdig.

Vermeer (1980) [108]: Ebenfalls ausgehend vom Hookeschen Gesetz in der Form "e()

(Gl. (3.3)) beschreibt Vermeer das nicht-lineare Materialverhalten durch die Spannungsabhangigkeit des Schermoduls mit der Funktion

(I

; IID ) 

= 0

  !1 I 1 2 1 +  IID 1=2 + p0 3 9 1 2 I2



:

(3.5)

Im Gegensatz zu Boyce wird bei Vermeer der zweite Parameter des Hooke schen Gesetzes, hier die Querdehnzahl  , konstant gehalten. Die Konstanten p0 , und 0 dienen zur Anpassung von Gl. (3.5) an Versuchsergebnisse.

 

Das Elastizitatsgesetz von Vermeer ist aus einem Komplementarpotential e (I ; IID ) abgeleitet und somit energetisch konsistent. Mit der Annahme  = 0 reduziert sich das Elastizitatsgesetz zu einem sehr einfachen Stogesetz. Dadurch ist eine problemlose direkte Ermittlung der Materialparameter moglich. 4 Fur den Referenzzustand  = 0 ist der Nachgiebigkeitstensor Be nicht positiv de nit: 4 limI !0 Be (I ; IID ) = 0. Positive Werte fur I sind nicht zulassig.

Houlsby (1985) [52]: Im Rahmen des weitverbreiteten Critical-State-Konzepts (Schofield & Wroth [91]) wird zur Beschreibung der elastischen Volumendehnun-

gen eine lineare Abhangigkeit des Kompressionsmoduls k(I ) angenommen. Dabei wird diese lineare Abhangigkeit innerhalb der inkrementellen Formulierung des Hooke schen Gesetzes in der Form dI = 1= I dI"e (  ln I = I"e ) eingefuhrt.  blicherweise wird dann fur die Querdehnzahl  ein konstanter Wert angenommen. U Wie bereits erwahnt, ergibt sich daraus eine nicht konservative Formulierung des Elastizitatsgesetzes. Da allerdings fur bindige Boden diese konstitutive Beziehung zwischen den Inkrementen der hydrostatischen Spannung und den Volumendehnungen experimentell sehr gut bestatigt ist, halt Houlsby an diesem Ansatz fest und fuhrt fur den Schermodul  eine Funktion (I"e ) ein, um die Integrabilitatsbedingung (2.13) zu erfullen. Dies ermoglicht die Formulierung einer Verzerrungsenergiefunktion e ("e ). Die daraus resultierende Spannungs-Dehnungsbeziehung lautet

;





("e) = 3  pr e I"e = "De + pr e I"e = 1 + 23 IID"e I mit den Konstanten ;  und dem Referenzdruck pr .

(3.6)

Kapitel 3. Modellbildung und Parameteridenti kation

66

 

Es existiert ein hyperelastisches Potential. Die experimentell bestatigte proportionale Abhangigkeit des Kompressionsmoduls von der hydrostatischen Spannung innerhalb der inkrementellen Formulierung wird abgebildet, vgl. Houlsby [52]. Das elastische Potential ist im Ausgangszustand e ("e = 0) 6= 0. Weiterhin ist das Elastizitatsgesetz (3.6) fur "e = 0 nicht spannungsfrei. Positive volumetrische Verzerrungen I"e implizieren negative hydrostatische Spannungszustande I . Es ist keine Entkopplung der Materialparameter in volumetrische und isochore Anteile moglich.

Lade & Nelson (1987) [72]: In einer Arbeit uber elastisches Verhalten von granularen

Materialien stellen Lade & Nelson ein Modell vor, in dem fur den Elastizitatsmodul E bei konstanter Querdehnzahl  die Funktion

E (I ; IID ) = M pa

"

#  I 2 1 +  IID +6 pa 1 2 p2a

(3.7)

eingefuhrt wird. Gl. (3.7) ist in dieser Form gewahlt, um die Bedingungen fur ein konservatives Elastizitatsgesetz zu erfullen. Die Materialparameter M und  dienen zur Anpassung der Spannungsabhangigkeit von E und pa ist ein Referenzdruck zur Dimensionsanpassung von Gl. (3.7). E (I ; IID ) wird direkt in das Hooke sche Gesetz der Form "e ( ) (Gl. (3.2)) eingesetzt.







Die Existenz eines Komplementarpotentials ist gewahrleistet. In einer Arbeit von Niemunis & Cudny [80] wird das Elastizitatsgesetz (3.7) von Lade & Nelson als nicht konservativ eingestuft. Diese Behauptung ist falsch, da die 4 4 Symmetrie des Nachgiebigkeitstensors Be (I ; IID ) = Be T (I ; IID ) gezeigt werden kann. Die Parameteridenti kation ist relativ einfach. Mit der Bestimmung von Elastizitatsmoduli innerhalb von Ent- und Wiederbelastungsschleifen bei unterschiedlichen Spannungszustanden konnen durch eine Anpassung von Gl. (3.7) an die Werte der Elastizitatsmoduli die Parameter M und  bestimmt werden. Die Querdehnzahl  wird aus denselben Versuchen uber das Verhaltnis
"3 =
"1 bestimmt und auf einen konstanten Wert gemittelt. Fur den Referenzzustand  = 0 ist der Elastizitatstensor nicht positiv de nit.

Hueckel et al. (1992) [54]: Das Ziel der Arbeit von Hueckel et al. ist es, auf der Basis eines druck- und vorkonsolidationsabhangigen Schermoduls fur bindige Boden (Wroth [113] und Houlsby & Wroth [53]) 

(I ) = n I =(3 p0c) 1 + C ln



3 p0c I



(3.8)

3.1 Elastische Deformationsanteile

67

ein energetisch konsistentes Elastizitatsgesetz abzuleiten. Dabei ist p0c der maximale Konsolidationsdruck, der jemals auf den Boden gewirkt hat, n der Schermodul ermittelt fur I = 3 p0c und C eine Konstante zur Anpassung von Gl. (3.8) an Versuchsdaten. Mit der Forderung, die Integrabilitatsbedingung gema Gl. (2.13) fur ein Elastizitatsgesetz Hooke schen Typs mit dem Ansatz (3.8) zu erfullen, ergibt sich fur den volumetrischen Anteil von "e ( )

"e
I = I"e = 13 mit







 I ln 1 + e0 3 p00

2 F1 = n p00 =p0c2 1 + C ln 3



3 p0c I







3F + 21 IID I 4

(3.9)



C :

(3.10)

Der erste Term in Gl. (3.9) innerhalb der eckigen Klammer berucksichtigt die Abhangigkeit des Kompressionsmoduls von der hydrostatischen Spannung I und geht wiederum auf den klassischen Ansatz des Critical-State-Konzepts zuruck. Der Parameter  wird dabei als Schwellindex bezeichnet, e0 ist die Porenzahl im Initialzustand, und p00 ist ein Referenzdruck zur Entdimensionierung des logarithmischen Argumentes. Der zweite Term dient zur Erfullung der Integrabilitatsbedingung. Durch Einsetzen von Gl. (3.8) und (3.9) in (3.3) ergibt sich eine nichtlineare Modi kation des Hooke schen Gesetzes.





Die Beziehung (3.9) ist fur hydrostatische Spannungszustande experimentell gut bestatigt. 4 4 Die Symmetriebedingung des Nachgiebigkeitstensors Be = BeT ist nicht erfullt. Es liegt also ein nicht-konservatives Stogesetz vor. Der Nachweis der Symmetriebedingung scheitert an der unterschiedlichen Indizierung einer Variablen (p0c anstelle von p00 ) innerhalb zweier Nebendiagonalglieder. Es konnte sich daher um einen Druckfehler in [54] handeln. Fur limI !0 ergeben sich positive Volumendehnungen. I  0 ist nicht auswertbar.

Niemunis & Cudny (1998) [80]: Wie bereits erwahnt, wird zur Beschreibung der elastischen Kompression sehr hau g die konstitutive Beziehung dI = 1= I dI"e in dieser oder abgewandelter Form verwendet (Critical-State-Konzept). Daraus ergibt sich fur 4 den volumetrischen Anteil des Elastizitatstensors die Abbildung Ce v ( ) = O( 1 ). In Anlehnung daran haben sich Niemunis & Cudny zum Ziel gesetzt, ein konserva4 tives Stogesetz zu konstruieren, fur das Be = O( 1 ) gelten soll. Dieser Anforderung genugt das Komplementarpotential

(I ; II ; III ) = C1

p II + C2 II + C3 III1=3 + C4 I [1 I

ln( I )] :

(3.11)

Kapitel 3. Modellbildung und Parameteridenti kation

68

Abweichend von der ublichen De nition der Invarianten sind hier II = 21 


und

III = 13 
 :

(3.12)

Die Konstanten C1 {C4 dienen zur Anpassung an Versuchsergebnisse.



Die konstitutive Vorgabe eines Komplementarpotentials impliziert ein konservatives Elastizitatsgesetz. Die Auswertung von Spannungszustanden mit I  0 ist nicht moglich. Hydrostatische und deviatorische Anteile sind voll gekoppelt. Dies erschwert die Ermittlung der Parameter. Die Notwendigkeit innerhalb eines geometrisch linearen Elastizitatsgesetzes eine dritte Invariante einzubeziehen, ist fragwurdig.

3.1.2 Ein neues Elastizitatsgesetz fur Reibungsmaterialien Im vorhergehenden Abschnitt wurden verschiedene Elastizitatsgesetze fur Reibungsmaterialien diskutiert. Infolge der teilweise unbefriedigenden Ergebnisse dieser Untersuchung wird im folgenden eine neues Elastizitatsgesetz vorgeschlagen. Bei der Entwicklung des neuen Elastizitatzgesetzes stehen folgende Punkte im Vordergrund:

. Die Einhaltung thermodynamischer Restriktionen (vgl. Abschnitt 2.1.1). . Das Materialverhalten soll moglichst gut abgebildet werden. Dazu gehort insbesondere die Berucksichtigung der belastungsabhangigen Scherfestigkeit und des nichtlinearen Spannungs-Dehnungsverhaltens bei hydrostatischer Kompression. . Eine Zuordnung der Parameter bezuglich der zu beschreibenden physikalischen Eigenschaften (deviatorisches oder volumetrisches Materialverhalten ) soll moglich sein. . Bei der Modellierung der elastischen Verzerrungen werden keine Vorzugsrichtungen berucksichtigt (Isotropie), und die Formulierung soll auf kleine Verzerrungen (geometrisch lineare Theorie) beschrankt sein, vgl. Abschnitt 1.3. Basierend auf diesen Anforderungen wird ein hyperelastisches Potential der Form 

D"e ; I"p ) := 2 (I"e ; I"p ) IID"e e (I"e ; II

2

+ K (I"e ; I"p ) + C

3.1 Elastische Deformationsanteile

mit

69 h

(I"e ; I"p ) = 0 e K (I"e ; I"p ) =

Z

1

0 (

i

1 I" +2 )

;

k(I"e ; I"p ) I"e dI"e ; 



k(I"e ; I"p ) = k1 + k2 ln 1 + I"e I"

"v min +

I"p

1 "v min



I"e ;

(3.13)

I" = I"e + I"p und IID"e =

q

IID"e

gewahlt. Die Integrationskonstante C ergibt sich aus der Bedingung

D"e ; I"p ) e (I"e ; II

"e =0

=0:

(3.14)

Dadurch ist gewahrleistet, da im undeformierten Zustand ("e = 0) die gespeicherte elastische Energie e = 0 ist. Aus Gl. (3.13) leitet sich das Elastizitatsgesetz

@ e (I"e ; IID"e ; I"p ) ("e; I"p ) = @ "e @ e @ I" e @ e @ IID"e = + D @ I" e @ " e @ II"e @ "e

(3.15)

@(I" ) D 2 =: 2 (I"e ; I"p ) "De + k(I"e ; I"p ) I"e I + 2 II"e I @ I | {z } | {z } " e | {z } dev: Anteil vol: Anteil Koppelterm ab. Dabei wird fur "p bei der Auswertung von Gl. (3.15) ein konstanter Wert eingesetzt, der sich aus der elasto-plastischen Kopplung ergibt. "p ist daher als Parameter zu verstehen, der die Vorbelastung (Vorkonsolidierung) der granularen Struktur berucksichtigt. Im weiteren werden die einzelnen Summanden des Elastizitatsgesetzes, volumetrischer Anteil, deviatorischer Anteil und Koppelterm, separat betrachtet.

Deviatorischer Anteil Die Motivation fur den Ansatz (I"e ; I"p ) = (I" ) ist die in Versuchen zu beobachtende Abhangigkeit der Scherfestigkeit vom hydrostatischen Belastungszustand. Die experimentelle Ermittlung eines Schermoduls fur einen vorgegebenen Spannungszustand erfolgt innerhalb von kurzen Ent- und Wiederbelastungsschleifen in triaxialen Kompressionsversuchen. In diesen kurzen Schleifen sind die Deformationen annahernd vollstandig reversibel und daher als elastisch anzunehmen.

Kapitel 3. Modellbildung und Parameteridenti kation

Scherspannung

1 3

70



2 (I") 1 Schubverzerrung

Abbildung 3.2:

"1 "3

Ermittlung des Schermoduls mittels der Steigung in Ent- und Wiederbelastungszyklen

Bei der Auswertung von Gl. (3.15) fur triaxiale, rotationssymmetrische Spannungszustande verbleiben lediglich die zwei unabhangigen Gleichungen 1 ("1e ; "3e ) und 3 ("1e ; "3e). Die Beziehung
(1
("1e

3 ) = 2 (I") "3e )

(3.16)

ergibt sich durch die Subtraktion 1 ("1e ; "3e) 3 ("1e; "3e ) und unter der Annahme, da fur kleine deviatorische Spannungsanderungen die Volumendehnung I" konstant bleibt. Das heit, es werden eventuelle Kopplungseekte zwischen deviatorischen und volumetrischen Verzerrungen in diesem Bereich vernachlaigt. Wird im Spannungs-Dehnungsdiagramm eines triaxialen Kompressionsversuchs mit Entund Wiederbelastungsschleifen die Scherspannung 1 3 uber der Schubverzerrung "1 "3 aufgetragen, ergibt sich nach Gl. (3.16) der Schermodul durch die Steigung des Ent- und Wiederbelastungsastes fur einen bestimmten Spannungszustand   und eine zugehorige Volumendehnung I" , vgl. Abb. 3.2. Die Ermittlung von Schermoduli erfolgt dann fur Versuche mit unterschiedlichen hydrostatischen Spannungszustanden I bzw. mit unterschiedlichen volumetrischen Dehnungszustanden I" . Der Zusammenhang zwischen dem variablen Schermodul  und der Volumendehnung I" wird in Gl. (3.15) durch die Funktion (I" ) beschrieben. Die Parameter 1 und 2 dienen zur Anpassung an die Versuchsergebnisse. Der Referenzwert 0 gewahrleistet die richtige Dimension fur die Spannung  und kann beispielsweise zu 1,0 kN/m2 gewahlt werden. Abb. 3.3 zeigt das Ergebnis einer Anpassung der Funktion (I" ) an die in Versuchen fur unterschiedliche Spannungszustande   ermittelten Schermoduli. Die zugeordnete Volumendehnung I" = "1 + 2 "3 bezieht sich auf den Spannungszustand zu Beginn einer Entlastungsschleife gegenuber dem unbelasteten Ausgangszustand.



500 400

Schermodul

[MN/m2 ]

3.1 Elastische Deformationsanteile

300

71

Funktion (I") Versuchsergebnisse

200

1

100 00

Abbildung 3.3:

3

3 1

0; 2

0; 4

0; 6

0; 8

1; 0 1; 2 1; 4 Volumendehnung I" [%]

Abhangigkeit des Schermoduls von der Volumendehnung beobachtet in Triaxialversuchen mit Berliner Sand und Abbildung dieser Abhangigkeit durch die Funktion (I") mit 0 = 1; 0 kN/m2 , 1 = 145; 0 kN/m2 und 2 = 11; 2 kN/m2

Volumetrischer Anteil Durch Spurbildung in Gl. (3.15) (skalare Multiplikation mit I) ergibt sich unter der Annahme eines hydrostatischen Spannungs- und Verzerrungszustands (IID = 0 und IID"e = 0) die Beziehung

m = k(I"e ; I"p ) I"e :

(3.17)

Die Beschreibung des hydrostatischen Kompressionsverhaltens der elastischen Dehnungsanteile erfolgt durch die Funktion k(I"e ; I"p ). Wie bereits erwahnt, ist dabei die plastische Volumendehnung I"p als Parameter zu verstehen. In Versuchen ist zu beobachten, da sich der Verlauf der Ent- bzw. Wiederbelastungskurven in Abhangigigkeit der hydrostatischen Ausgangsspannung (Vorkonsolidierung) andert, bei der die Entlastung durchgefuhrt wird. Dieses Verhalten kann durch die Parametrisierung mit I"p abgebildet werden. Weiterhin wird in der Funktion k(I"e ; I"p ) mit "v min ein Grenzwert fur die maximale Volumenkontraktion festgelegt, vgl. Abb. 3.4. Dabei wird davon ausgegangen, da sich die Beschreibung des elastischen Kompressionsverhaltens auf moderate, praxisrelevante Drucke beschrankt und damit Kornzertrummerung ausgeschlossen wird. Allgemein weist das elastische Dehnungsverhalten infolge hydrostatischer Belastungszustande ein ausgesprochen nichtlineares Verhalten auf. Diese materielle Nichtlinearitat tritt bereits bei relativ kleinen Volumendehnungen auf, welche ublicherweise im Rahmen einer geometrisch linearen Theorie beschrieben werden. Das progressive Materialverhalten

Kapitel 3. Modellbildung und Parameteridenti kation

72

Hydrost. Spannng

m

(Zunahme der Steigung dm =dI"e ) bezuglich der Volumendehnung erklart sich durch eine Zunahme der Packungsdichte und somit der Kontakt achen zwischen den Sandkornern. Die Beschreibung dieses Verhaltens im Modell erfolgt durch die nichtlineare Abhangigkeit des Kompressionsmoduls k(I"e ; I"p ) von der elastischen Volumendehnung I"e . Die Parameter k1 und k2 ermoglichen eine Anpassung der Funktion k(I"e ; I"p ) an Versuchsergebnisse.

dm

I"p

Abbildung 3.4:

dI"e Volumendehnung I" "v min

Qualitative Darstellung von Ent- und Wiederbelastungsschleifen im hydrostatischen Kompressionsversuch zur Isolierung der elastischen Dehnungsanteile

Die Ermittlung der Parameter k1 und k2 erfolgt mit Hilfe der Least-Squares-Methode nach Levenberg-Marquardt. Das Least-Squares-Funktional wird durch die plastische Volumendehnung I"p parametrisiert, d. h. fur jede Entlastungsschleife wird der jeweils zugehorige Wert fur I"p gesetzt. Das Ergebnis der Anpassung an die Versuchsergebnisse mit Berliner Sand ist dargestellt in Abb. 3.5. Die eingezeichneten Kurven zeigen die Funktion k(I"e ; I"p ) mit den Parametern k1 = 3; 86
104 kN/m2 und k2 = 6; 11
106 kN/m2 fur verschiedene Werte der plastischen Volumendehnung I"p . Die maximale Volumenkontraktion ist hierbei zu "v min = 1; 9 % gewahlt. Bei den eingetragenen Versuchspunkten der Ent- bzw. Wiederbelastungsschleifen handelt es sich um gemittelte Werte aus drei Versuchen mit identischen Lastpfaden.

Koppelterm Die Abhangigkeit des Schermoduls und somit des deviatorischen Anteils von der volumetrischen Dehnung I" bedingt, da bei Beachtung der Integrabilitatsbedingung (2.13) ein Koppelterm entsteht, der volumetrische und deviatorische Groen beinhaltet. Aufgrund dieses Koppelterms ergibt sich bei der Modellierung rein deviatorischer Spannungspfade eine Zunahme der Volumendehnung, vgl. Abb. 3.7 und Abb. 3.8. Man spricht in diesem Zusammenhang von elastischer Dilatanz. In Abb. 3.8 ist zusatzlich die maximale Deviatorspannnung, die auf die Sandprobe aufgebracht werden kann, durch eine gestrichelte Linie eingezeichnet. Dieser Grenzwert ist mit dem Mohr-Coulombschen Bruchkriterium fur einen Reibungswinkel von ' = 40Æ abgeschatzt. Versuche mit deviatorischen Ent- und

Hydrost. Spannung

m

[kN/m2]

3.1 Elastische Deformationsanteile

1600 1400 1200 1000 800 600 400 200

Funktion k(I"e ; I"p ) Entlastungsschleifen bei m = 100 kN/m2 m = 300 kN/m2 m = 500 kN/m2 m = 1000 kN/m2 m = 1500 kN/m2 1 3

3 1

0 Abbildung 3.5:

73

0; 2

0; 4 0; 6 0; 8 1; 0 1; 2 1; 4 1; 6 Volumendehnung I" [%]

Ergebnis der Anpassung von k(I"e ; I"p ) an Ent- bzw. Wiederbelastungsschleifen eines hydrostatischen Kompressionsversuchs

Wiederbelastungsschleifen sind fur eine hydrostatische Spannung von m = 100 kN/m2 daher nur in einem Spannungsbereich unterhalb dieser Versagensspannung moglich. In Abb. 3.8 ist zu erkennen, da das modellierte dilatante Verhalten in diesem Bereich noch nicht sehr stark ausgepragt ist.

Der Eekt der elastischen Dilatanz ist in einer Arbeit von Borja et al. [12] in undrainierten Triaxialversuchen mit bindigem, uberkonsolidiertem Boden experimentell untersucht worden. In diesen undrainierten Triaxialversuchen wird der Probekorper volumenkonstant deformiert. Der eektive Spannungszustand, der auf das Korngerust der Probe wirkt, errechnet sich aus der Dierenz der aufgebrachten Spannung (totale Spannung) und dem Porenwasserdruck. Borja et al. beobachten in diesen Versuchen im elastischen Bereich eine Abnahme der hydrostatischen Spannung (Zunahme der Druckspannung), was dem angesprochenen Eekt der elastischen Dilatanz entspricht. In eigenen Versuchen mit Berliner Sand kann jedoch innerhalb rein deviatorischer Entlastungsschleifen keine signi kante  nderung der Volumendehnung festgestellt werden, vgl. Abb. 3.6. A

Stabilitatsbetrachtungen Desweiteren ergibt sich durch den Koppelterm bei der Auswertung des Elastizitatsgesetzes (3.15) mit zunehmender deviatorischer Belastung ein Stabilitatsproblem. Dies wird in den Spannungs-Dehnungsdiagrammen in Abb. 3.8 durch eine annahernd horizontale Tangente bei einem deviatorischen Spannungsniveau von j1 3 j  700 kN/m2 angedeutet. Fur praktische Zwecke ist der auftretende Stabilitatsverlust bei diesen deviatorischen Spannungszustanden belanglos, da die Versagensspannung weit uberschritten ist. Durch

Kapitel 3. Modellbildung und Parameteridenti kation

Scherspannung

74

A B

[kN/m2] Scherspannung j1

Scherspannung j1

3 j

3 j

[kN/m2]

600 kN/m2 Hydrostatische Spannung I 160 160 A 150 150 A 140 140 130 130 120 120 110 110 100 100 90 90 80 80 B B 70 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 0,24 0,26 0,28 70 0,16 0,20 0,24 0,28 0,32 Schubverzerrung j"1 "3j [%] Volumendehnung I" [%] Abbildung 3.6: Schubverzerrung (links) und Volumendehnung (rechts) innerhalb einer rein deviatorischen Ent- und Belastungsschleife bei einem hydrostatischen Spannungszustand von I = 600 kN/m2

Dev. Spann.

1

3

die Kopplung mit einem plastischen Teilwerkstogesetz innerhalb des Gesamt-Stomodells kommt es nicht zu einer Auswertung des Elastizitatsgesetzes in diesem Spannungsbereich.

100 kN/m2

Hydr. Spann. m Abbildung 3.7: Rotationssymmetrischer Spannungspfad zur Untersuchung des Elastizitatsgesetzes (3.15) Die Auswertung des Elastizitatsgesetzes (3.15) in Abb. 3.8 fur den Spannungspfad gema Abb. 3.7 ist mit einer angenommenen plastischen Volumendehnung von I"p = 0 durchgefuhrt, da dies bezuglich einer Stabilitatsbetrachtung der ungunstigste Fall ist. D. h. bei I"p = 0 (positive plastische Volumendehnungen seien ausgeschlossen) wird die Deviatorspannung, die zu instabilem Materialverhalten fuhrt, minimal. Dies ist dadurch bedingt, da die Scherfestigkeit (I"e ; I"p ) fur Fall dann minimal wird. Eine systematische Analyse der Stabilitatseigenschaften der Formulierung (3.15) ist durch

3 j

[kN/m2 ]

800 700 600 500 400 300 200 100 0 0; 4

75

(") nach Gl. (3.15)

Schersp. j1

Schersp. j1

3 j

[kN/m2 ]

3.1 Elastische Deformationsanteile

Versagensspannung 0

0,4 0,8 1,2 Volumendehnung I" [%]

Abbildung 3.8:

800 700 600 500 400 300 200 100 00

(") nach Gl. (3.15)

Versagensspannung

0,4 0,8 0,012 0,016 Schubverzerrung j"1 "3j [%]

Auswertung des Elastizitatsgesetzes (3.15) bei rotationssymmetrischer Belastung (2 = 3 ) fur einen Spannungspfad gema Abb. 3.7 mit den ermittelten Parametern fur Berliner Sand

die Untersuchung der Hesse -Matrix 2 6

H = 664

@2 @2 @ I"e @ I"e @ I"e @ IID"e @2 @2 @ IID"e @ I"e @ IID"e @ IID"e

3 7 7 7 5

(3.18)

bezuglich der positiven De nitheit moglich. Sind die Hauptabschnittsdeterminanten von H groer null, ist die Regularitat von H und somit stabiles Materialverhalten gewahrleistet. Fur das hier betrachtete Potential (3.13) mu dann gelten

@2 21 h 10 ( = CK + 2 e @ I2"e 0 CK

1 I" +2 )

i

>0

(3.19)



z = k1 + k2 2 I"e ln y + I2"e y 

y

= 1 + I"e I"

"v min +

z

= 2 I"e + I"p

"v min +



; 

I"p

1 ; "v min

I"p

1 "v min

und det H = 4 e

h

i 1 0 ( 1 I" +2 )



0 CK

h

2 21 e

i 2 1 0 ( 1 I" +2 ) IID"e



> 0:

(3.20)

Kapitel 3. Modellbildung und Parameteridenti kation

76

Der Ausdruck (3.19) ist bezuglich der positiven De nitheit von H unkritisch, da sich fur beliebige Werte von I"e positive Werte fur @ 2 =@ I2"e ergeben. Dagegen kann die Determinantenbildung in (3.20) problematisch sein, da im Gegensatz zur klassischen Formulierungen eines Elastizitatsgesetzes Hooke schen Typs infolge des Koppeltermes in (3.15)

@2 @2 = 6 0 = @ I"e @ IID"e @ IID"e @ I"e

(3.21)

ist. Bei der Ermittlung von det H wird das Quadrat der Nebendiagonalglieder vom Produkt der Hauptdiagonalglieder abgezogen. Nimmt der Wert fur die Invariante IID"e entsprechend zu, wird dadurch ab einer bestimmten Groe fur die Schubverzerrungen det H < 0. In Abb. 3.9 sind die Grenzen der positiven De nitheit graphisch dargestellt. Dabei sind fur die Auswertung von Gl. (3.20) die in diesem Abschnitt ermittelten Parameter fur Berliner Sand eingesetzt und die plastische Volumendehnung ist zu I"p = 0 gewahlt.

IID" [-] det H [MN2 /m4] det H < 0 40000 30000 20000 10000 0 0; 015 0 0,001 0; 01 0,002 det H = 0 0 0; 005 0,003 0 ; 005 I" [-] 0; 01 0,004 0,005 0; 015 IID" [-] det H > 0 40000

30000

20000

10000

0

0

-0.01

0.001

-0.005

0.002

0

x 0.005

y

0.003

0.01

0.004

0.015

0.005

0; 018 Abbildung 3.9:

0; 012

0; 004

0; 0051 0; 0048 0; 0045 0; 0042 0; 0039 0; 0036

0; 0033 0; 0030 0; 0027 0; 004

0; 012 I" [-]

Die Auswertung von det H zeigt die Beschrankung der positiven De nitheit des aus dem elastischen Potential (3.13) abgeleiteten Elastizitatstensors fur den ermittelten Parametersatz fur Berliner Sand

3.1 Elastische Deformationsanteile

77

Invariantendarstellung Die Hesse -Matrix H lat sich auch als ein in Invarianten formulierte Elastizitatsmatrix interpretieren. Die Inkremente der Spannungsinvarianten stehen mit den Inkrementen der Verzerrungsinvarianten in folgendem Zusammenhang: 2 6 6 6 6 4

1 dI 3  2 dIID

3

2

7 7 7 7 5

6 6 =6 6 4

@ 2 (I" ) D 2 CK + 2 II"e @ I2"e

@(I" ) D 4 II @ I"e "e

@(I" ) D 4 II @ I"e "e

4 (I" )

|

C

 {z  D  e I"e ; II"e

32 76 76 76 76 54

3

dI"e

7 7 7 7 D dII"e 5

:

(3.22)

}

q

Darin ist IID = IID : In Erganzung hierzu kann das Elastizitatsgesetz (3.15) in der Form

 = 4 (I") IID"e {z

|

}

"D + k(I ; I ) + 2 @(I" ) IID 2 I "e "p "e D @I

2 II"e

{z

|

@ D D = 2 II  @ II"e

"e

@ 1 = I @ I"e 3

(3.23)

}

geschrieben werden. Die zweidimensionale Elastizitatsmatrix C e (I"e ; IID"e ) in (3.22) kann dann als Jacobi -Matrix zur Linearisierung des Elastizitatsgesetzes 2

3

6 I 7 6 7 4 D 5 II

2 6 =6 4

lin



I (I"e ; IID"e )  D I"e ;II"e IID (I"e ; IID"e )  D I"e ;II"e

3 7 7 5



2 

+ Ce I"e ; IID"e

 6  D 6 I"e ;II"e 4

dI"e D

dII"e

3 7 7 5

(3.24)



bezuglich des Verzerrungszustands I"e = I"e "e = IID"e herangezogen werden. Mit Gl. (3.23) kann die Invariantendarstellung wieder in die tensorielle Beziehung  ("e) uberfuhrt werden. , IID

Diskussion des Elastizitatsgesetzes Mit Gl. (3.15) ist ein Elastizitatsgesetz formuliert, mit dem das elastische Materialverhalten von Reibungsmaterialien abgebildet werden kann. Die wesentlichen Eigenschaften der Formulierung sollen im folgenden zusammengefat werden:

78

Kapitel 3. Modellbildung und Parameteridenti kation

. Das Elastizitatsgesetz ist aus einem Formanderungspotential (I"e ) abgeleitet und somit als hyperelastisch und energetisch konsistent einzustufen. . Experimentelle Ergebnisse zeigen, da die elastische Scherstei gkeit einer Kornstruktur vom hydrostatischen Spannungs- bzw. Deformationszustand abhangt. Diese Abhangigkeit wird durch die Volumendeformation I" berucksichtigt. . Ent- und Wiederbelastungsschleifen in hydrostatischen Kompressionsversuchen weisen einen nichtlinearen Verlauf mit einer kritischen Packungsdichte als Grenzwert (vgl. Abb. 1.20) auf. Dieser Grenzwert wird im Modell durch einen Kompressionspunkt mit dem Parameter "v min festgelegt. . Eine Entkopplung der Parameter fur Versuche mit deviatorischer und hydrostatischer Belastung ist moglich. Dadurch konnen die jeweiligen Parameter aus diesen Versuchen direkt ermittelt werden. . Im Bereich praktikabler Spannungszustande liefert Gl. (3.15) physikalisch sinnvolle Ergebnisse. Bei groen deviatorischen Spannungszustanden kann es zu einem Stabilitatsverlust bei der Auswertung kommen. Je geringer der hydrostatische Druckzustand ist, desto eher kommt es zu Stabilitatsproblemen. Dies ist dadurch bedingt, da der Schermodul mit abnehmendem hydrostatischem Druck abnimmt und dadurch die deviatorischen Verzerrungsanteile zunehmen. Positive hydrostatische Spannungszustande sind auswertbar, jedoch fuhrt die Kombination mit deviatorischen Spannungszustanden rasch zur Singularitat des Elastizitatstensors. . Da bei Finite-Elemente-Formulierungen in der Regel Verschiebungen bzw. Verzerrungen als Primarvariablen verwendet werden, ist der Ansatz ("e ) gegenuber ( ) von Vorteil. Eine numerische Invertierung des Stogesetzes ist damit nicht erforderlich. . Mit dem Anteil I"p der Gesamtvolumendehnung I" wird die Vorbelastung der Struktur berucksichtigt. Durch vorhergehende hydrostatische Belastung entsteht eine erhohte Packungsdichte, die zu einer hoheren Scherstei gkeit fuhrt.

Geschlossener Spannungspfad Anhand von einem vorgegebenen geschlossenen Span-

nungspfad entsprechend Abb. 3.10 mit rein deviatorischen und rein volumetrischen Teilspannungspfaden sollen besondere Eigenschaften des vorgestellten Elastizitatsgesetzes mit (I"e ; I"p ) demonstriert werden und einer Formulierung mit  = konst: gegenuber gestellt werden. Dazu wird die tensorielle Gleichung (3.15) mit den ermittelten Parametern fur Berliner Sand fur einen rotationssymmetrischen Spannungszustand numerisch ausgewertet. In Abb. 3.11 zeigen die oberen mit (a) gekennzeichneten Diagramme eine Auswertung des vorgestellten Elastizitatsgesetzes fur Reibungsmaterialien mit (I"e ; I"p ). In den unteren mit (b) gekennzeichneten Diagrammen ist die Auswertung fur  = konst. dargestellt. In den linken Diagrammen sind deviatorische Spannungen uber deviatorische Verzerrungen aufgetragen. Die Steigung in den Be- bzw. Entlastungsbereichen 1{2, 3{4 und 4{5 reprasentiert den doppelten Wert des Schermoduls , vgl. Gl. (3.16). Fur den Fall (a) ist die Steigung bei einer hydrostatischen Belastung von m = 600 kN/m2 (Pfad 3{4, 4{5)

79

100

4

3 j

[kN/m2 ]

3.1 Elastische Deformationsanteile

2

Dev. Spann. j1

50 0

Abbildung 3.10:

1 6 300

0

3 5 600 Hydrost. Spann. m [kN/m2 ]

Rotationssymmetrischer Spannngspfad mit rein deviatorischen und rein volumetrischen Teilspannungspfaden

deutlich groer als bei m = 300 kN/m2 (Pfad 1{2). Dies entspricht dem tatsachlichen Materialverhalten von Reibungsmaterialien. Fur den Fall (b) ist die Steigung unabhangig von m . In den rechten Diagrammen in Abb. 3.11 sind deviatorische Verzerrungen uber volumetrische Dehnungen aufgetragen. Der Koppelterm in Gl. (3.15) verursacht eine Interaktion zwischen volumetrischen und deviatorischen Spannungs- bzw. Verzerrungsanteilen. Die im oberen Bild dargestellte Dehnungsantwort fur den Fall (a) verdeutlicht diese Kopplung zwischen den beiden Anteilen. Im Bereich 1{2 und 4{5 nimmt bei rein deviatorischer Belastung mit zunehmender Scherspannung die Volumendehnung zu und bei rein volumetrischer Belastung 2{3 andert sich die Schubverzerrung. Fur den klassischen Fall (b) ist dies erwartungsgema nicht der Fall. Soll ein variabler Schermodul abhangig von volumetrischen Groen modelliert werden, ist eine Kopplung der Anteile unvermeidlich. Die Steigungsanderung im linken Diagramm fur den Fall (a) ist nur realisierbar, wenn die A nderung der Schubverzerrung im Bereich 2{3 bei einem rein volumetrischen Spannungspfad ungleich null ist.

Vereinfachter Ansatz fur Gl. (3.13) Wird in Gl. (3.13) die Deformationsabhangigkeit des Schermoduls ausschlielich durch die plastische Volumendehnung beschrieben, entfallt der Koppelterm in Gl. (3.15), da I"p lediglich als Parameter und nicht als Variable in (3.13) auftritt. Dadurch wird der Eekt der elastischen Dilatanz sowie ein moglicher Stabilitatsverlust bei erhohten Spannungszustanden vermieden. Der Ansatz (I" ) aus Gl. (3.13) wird dazu modi ziert, indem die Gesamtvolumendehnung I" durch die plastischen Volumendehnung I"p ersetzt wird: h

(I"p ) = 0 e

1

0

(

i

1 I"p +2 )

:

(3.25)

Kapitel 3. Modellbildung und Parameteridenti kation

3 j

60 40 20 00

4 3

"3 j [%]

[kN/m2 ]

80

Scherspann. j1

100

2

5 6 1

0,01 0,02 0,03 0,04 Schubverzerrung j"1 "3j [%]

Schubverzerrung j"1

80

0,04 4 0,03 2 3 0,02 0,01 0 5 1 6 0,01 0; 25 0; 30 0; 35 0; 4 0; 45 Volumendehnung I"e [%]

3 j

60 40 20 00

4 2

3

5 6 1

0,01 0,02 0,03 0,04 Schubverzerrung j"1 "3j [%]

Schubverzerrung j"1

[kN/m2 ]

80

Scherspann. j1

100

"3 j [%]

(a)

0,04 4 0,03 3 2 0,02 0,01 0 5 1 6 0,01 0; 25 0; 30 0; 35 0; 40 0; 45 Volumendehnung I"e [%]

(b) Abbildung 3.11:

Spannungs-Dehnungs-Verlaufe bei der Auswertung des Elastizitatsgesetzes (3.15) mit (a) (I") nach (3.13) und (b)  =konst.

Daraus ergibt sich fur das Elastizitatsgesetz die vereinfachte Form

 = 2 (I"p ) "eD + k(I"e ; I"p ) I"e I :

(3.26)

Die Groe 0 dient der Dimensionsanpassung und wird zu 0 = 1; 0 kN/m2 gewahlt. Die Ermittlung der Parameter 1 und 2 erfolgt durch eine Least-Squares -Anpassung des Ansatzes (3.25) an Versuchsergebnisse. Dazu mu die Volumendehnung I"p ermittelt werden, die an der Stelle vorliegt, an der die Ent- und Wiederbelastungsschleifen zur Bestimmung der Schermodule durchgefuhrt werden. Der plastische Anteil der Volumendehnung fur einen vorgegebenen Deformationszustand ergibt sich durch die bleibende Volumendehnung bei vollstandiger Entlastung. Detaillierte Informationen hierzu sind in Ehlers & Mullerschon [38] nachzulesen. Abb. 3.12 zeigt die Anpassung der Funktion (3.25) an

Schermodul



[MN/m2 ]

3.2 Plastische Deformationsanteile

81

500 400

Funktion (I"p ) Versuchsergebnisse

300 200 100 00

Abbildung 3.12:

1 3

3 1

0; 05 0; 1 0; 15 0; 2 0; 25 0; 3 0; 35 0; 4 Plastische Volumendehnung I"p [%] Experimentell ermittelte Schermodule  in Abhangigkeit der plastischen Volumendehnung I"p , approximiert durch die Funktion (3.25); 0 = 1; 0 kN/m2 , 1 = 490; 0 kN/m2 , 2 = 11; 2 kN/m2

die Versuchsergebnisse fur Berliner Sand (0 = 1; 0 kN/m2 , 1 = 490; 0 kN/m2 , 2 = 11; 2 kN/m2 ). Die Funktion k(I"e ; I"p ) in Gl. (3.26) sowie die dazugehorigen Parameter sind unverandert gegenuber dem Ansatz in Abschnitt 3.1.2. Ein Nachteil der Formulierung (3.26) ist, da bei groer hydrostatischer Entlastung und anschlieender deviatorischer Belastung der Schermodul immer noch den Wert hat, den er infolge der maximalen hydrostatischen Belastung und somit der maximalen plastischen Volumendehnung zugewiesen bekam. Versuche zeigen jedoch, da der Wert des Schermoduls nach groer hydrostatischer Entlastung deutlich abnimmt. Daher ist die Anwendung der vereinfachten Beziehung (3.25) auf monoton steigende Belastungspfade begrenzt.

3.2 Plastische Deformationsanteile Die Beschreibung plastischen Materialverhaltens kann durch die konstitutive Vorgabe einer Fliebedingung, einer Flieregel und entsprechender Verfestigungsgesetze erfolgen. Die Fliebedingung gibt dabei an, bei welchem Spannungszustand plastisches Flieen eintritt. Die Entwicklung der plastischen Dehnungsanteile bei eintretendem Flieen ist bestimmt durch die Flieregel. Weiterhin kann nicht-assoziiertes Flieen durch ein zusatzliches plastisches Potential realisiert werden. Bei granularen Materialien ist auerdem die Modellierung der Veranderung der Flie ache in Form und Groe wahrend des Belastungsprozesses erforderlich. Dazu werden Entwicklungsgleichungen fur einzelne Parameter der Fliebedingung eingefuhrt.

Kapitel 3. Modellbildung und Parameteridenti kation

82

In diesem Abschnitt werden die Gleichungen eines hier vorgeschlagenen speziellen Stomodells zur Beschreibung der plastischen Dehnungsanteile diskutiert. In Erganzung hierzu wird die Ermittlung der Parameter fur das Modell auf der Basis von Ergebnissen aus Triaxialversuchen gezeigt.

3.2.1 Fliebedingung Innerhalb des hier betrachteten Plastizitatsmodells wird das in Abschnitt 2.1.2 bereits vorgestellte Ein achen iekriterium von Ehlers [33, 34] zur Abgrenzung des elastischen Bereichs verwendet:

F (; p

p =

h; d)

( ; p

d)

q

(; pd ) IID + 21  I2 + Æ 2 I4 + I +  I2



IIID = 1 + D 
3=2 II

m

=0;

:

Da es sich um eine Fliebedingung zur Beschreibung isotroper Plastizitat handelt, ist F darstellbar in Abhangigkeit der drei Hauptinvarianten I , IID und IIID des Spannungstensors  . Die Parametersatze

ph = (; ; Æ; ; )T pd = ( ; m)T

und

(3.27)

beschreiben die Form und Groe der Flie ache im Hauptspannungsraum. Die Aufteilung in die Vektoren ph und pd erfolgt, da sich die Wirkung der Parameter zum einen auf die Form der Fliekurve in der hydrostatischen Ebene und zum anderen auf die Form in der Deviatorebene beziehen. Dies wird deutlich bei der Darstellung der Fliebedingung in Reu schen Variablen3:

F (I ; IID ; IIID )

! F (I ; r; ) :

(3.28)

Das Au osen der Funktion F (I ; r; ) = 0 nach r ermoglicht eine multiplikative Aufteilung in einen hydrostatischen und einen deviatorischen Anteil:

r(I ; ; ph; pd ) = rh(I ; ph) rd (; pd ) ;

p


Æ 2 I4 + 2  I3 +   1=2 1 2 2 2 +  2   I 2  I +  ; 2  m=2  2 : rd (; pd ) = 1 + p sin(3 ) 27

rh(I ; ph ) =



2 2

3 Die De nition der Reu schen Variablen ist in Abschnitt 1.2.1 erlautert.

(3.29)

3.2 Plastische Deformationsanteile

83

r=

q

2IID

Abb. 3.13 zeigt exemplarisch einen Schnitt durch die Flie ache in der hydrostatischen Ebene fur einen vorgegebenen Winkel  = konst. Die dargestellte Fliekurve wird durch den Flieradius rh(I ; ph ) bestimmt. Es handelt sich dabei um eine spezielle Fliekurve fur kohasionsloses Material, da keine positiven hydrostatischen Spannungen aufgenommen werden konnen.

rh (I ; ph ) rd =konst:

I Abbildung 3.13:

Fliekurve in der hydrostatischen Ebene fur kohasionsloses Material

In Abb. 3.14 ist ein Schnitt durch die Flie ache senkrecht zur hydrostatischen Achse I dargestellt. Diese Schnittebene wird als Deviatorebene bezeichnet, vgl. dazu Abschnitt 1.2.1. Die Parameter und m der Funktion rd (; pd ) bestimmen die Form der Fliekurve in dieser Ebene. Dabei sind von einem Kreis bis zu einer Dreiecksform mit abgerundeten Ecken beliebige Zwischenstufen moglich unter der Voraussetzung, da die Konvexitat der Fliekurve gewahrleistet ist (vgl. folgenden Abschnitt). 1

Kompression rk

r0

30Æ  30Æ 30Æ

re

Extension

rd (; pd) rh I =konst:

3

Abbildung 3.14:

2

Fliekurve in der Deviatorebene

Aus der triaxialen Versuchstechnik stammen die Begrie der Kompression (j1 j > j2 j =

Kapitel 3. Modellbildung und Parameteridenti kation

84

j3 j) und der Extension (1 j < j2 j = j3 j). Die Flieradien, die diese Spannungsebenen bilden, sind in Abb. 3.14 eingetragen. Im weiteren werden diese Flieradien mit

rk (I ) := r(I ; )j= 30Æ

und

(3.30)

re (I ) := r(I ; )j=+30Æ

bezeichnet. In Erganzung dazu wird der Flieradius

r0 (I ) := r(I ; )j=0Æ

(3.31)

eingefuhrt.

Konvexitatsbedingungen Bei der Wahl der Parameter ph und pd ist darauf zu achten, da die Konvexitat der Flie ache gewahrleistet ist. Die gleichzeitige Erfullung der Konvexitatbedingungen fur die Fliekurven in der hydrostatischen Ebene und in der Deviatorebene ist eine hinreichende Bedingung fur die Konvexitat der dreidimensionalen Flie ache im Hauptspannungsraum. Die Fliekurve in der hydrostatischen Ebene ist konvex, wenn

@ 2 r0 (I ) = r0 1 [(a2 + 3 a3 I + 6 a4 I2 ) @ I2 1 r 2 (a1 + 2 a2 I + 3 a3 I2 + 4 a4 I3 )2 ] < 0   4 0

(3.32)

erfullt ist4 . Dabei sind a1 = 4 ; a2 = 2 ( 2 12 2 2 ); a3 = 4  und a4 = 2 (2 Æ 2 ). Die Fliekurve rd (; pd ) in der Deviatorebene ist konvex von oben wenn gilt:

K (; ; m) =

(2 m m2 ) [ cos(3 )]2 i p sin(3 ) + h 2 27 p 3 1 + 27 sin(3 )

9m

2

1:

Details zur Herleitung von Gl. (3.33) sind in Ehlers [33] nachzulesen.

(3.33)

4 Es wird hier Konvexitat von oben gefordert. Vielfach wird in der Literatur konvex von oben als konkav bezeichnet. Eine im Bereich (a; b) dierenzierbare Funktion f (x) heit in (a; b) konvex von oben , wenn fur alle x1 ; x2 2 (a; b) mit x1 6= x2 gilt: f (x2 )  f (x1) + f 0(x1 ) (x2 x1), vgl. Bronstein & Semendjajew

[18].

3.2 Plastische Deformationsanteile

85

3.2.2 Isotrope Verfestigung Die Beschreibung von verfestigendem Materialverhalten erfolgt durch eine Veranderung der Flie ache in Form und Groe wahrend des Deformationsprozesses. Dies geschieht durch eine funktionale Abhangigkeit der Parametersatze ph und pd von der akkumulierten, volumenspezi schen plastischen Arbeit

Wp =

Zt


"_p d :

(3.34)

t0

Dazu werden die Evolutionsgleichungen

p_ h = Ch (p? h ph) W_ p ; p_ d = Cd (p? d pd) W_ p

(3.35)

eingefuhrt. Die Parameter ph und pd werden somit zu zusatzlichen inneren Variablen, die von der Geschichte des Deformationsprozesses abhangig sind. Ch und Cd sind Materialkonstanten, die zur Anpassung des Evolutionsverlaufs von ph und pd dienen. Bei der Auswertung von Gl. (3.35) sind die Randbedingungen

ph(Wp = 0) = ph0 ;

ph(Wp ! 1) = p? h ;

p

p

d (W

p

= 0) =

p0 ; d

d (W p

! 1)

=

?d

p

(3.36)

zu berucksichtigen. Allgemein beinhaltet das Gleichungssystem (3.35) fur jeden Parameter der Fliebedingung eine Evolutionsgleichung, d. h. insgesamt sieben Gleichungen zur Beschreibung der isotropen Verfestigung. Die Anwendung des Modells auf spezielle Materialien zeigt allerdings, da es in der Regel nicht erforderlich ist samtliche Parameter in den Verfestigungsproze miteinzubeziehen. Fur granulare Materialien wird dies in den folgenden Abschnitten gezeigt.

3.2.3 Flieregel Eine assoziierte Flieregel, bei der die Flierichtung senkrecht zur Flie ache ist, wurde das Dilatanzverhalten von granularen Materialien deutlich uberschatzen (vgl. Abschnitt 2.1.2). Daher ist es erforderlich bezuglich der hydrostatischen Fliekurve eine nicht-assoziierte Flieregel zu formulieren. In der Deviatorebene ist die Annahme koaxialen Flieens naherungsweise zutreend, dies bestatigt die Betrachtung der Auswertung der wahren Triaxialversuche von Yamada & Ishihara in Abb. 1.17. Koaxiales Flieen in der Deviatorebene bedeutet, da die in die Deviatorebene projizierte Flierichtung unabhangig von  immer durch die hydrostatische Achse fuhrt, vgl. dazu Abb. 3.15.

Kapitel 3. Modellbildung und Parameteridenti kation

86

1

"_p



G F

rd () rh I =konst:

=0



3

Abbildung 3.15:

2

Koaxiales Flieen in der Deviatorebene

Die Realisierung der angesprochenen Eigenschaften fur die Flierichtung ist moglich durch die zusatzliche Einfuhrung eines plastischen Potentials. In Anlehnung an die Fliebedingung (2.22) wird die Formulierung
(3.37) G( ; 1 ; 2 ) = IID = 1 + 12  I2 + Æ 2 I4 1=2 + (1 + 2 ) I +  I2 gewahlt. Dabei ist hier im Gegensatz zur Fliebedingung (2.22) die dritte Invariante IIID nicht enthalten. Dies fuhrt zu einer kreisformigen Ausbildung des plastischen Potentials in der Deviatorebene, entsprechend der gestrichelten Darstellung in Abb. 3.15. Damit wird, in Zusammenhang mit der Flieregel ; (3.38) "_ p =  @G @ koaxiales Flieen in der Deviatorebene impliziert. Die Parameter 1 und 2 bestimmen dabei die Form des plastischen Potentials in der hydrostatischen Ebene und somit die Richtung der plastischen Dehnungsinkremente in dieser Ebene. In Gl. (3.38) ist  der ubliche plastische Multiplikator.

3.2.4 Parameteridenti kation der Fliebedingung Die Parameter , und  der hydrostatischen Ebene Fur kohasionslose Materialen wie Sand reduziert sich die allgemeine Fliebedingung um die Parameter  und , so da die hydrostatische Fliekurve im Prinzip mit der Teilfunktion 1=2 p  2 2
4 h h 3 2 2 r (I ; p ) = 2  Æ I + 2  I + I ; ph = ( ; ; Æ )T (3.39)

3.2 Plastische Deformationsanteile

87

beschrieben werden kann. Es erweist sich jedoch als sinnvoll, fur  und  in nitesimal kleine, positive Werte zu wahlen, damit bleibt die ausgerundete Form der Flie ache und somit die stetige Dierenzierbarkeit erhalten. Dies bedeutet, der Ursprung der Fliekurve (vgl. Abb. 3.13) verschiebt sich minimal in den Bereich positiver hydrostatischer Spannungszustande. Die physikalische Beschreibung der Materialeigenschaften wird dadurch nicht beein ut. Betrachtet man unter diesen Voraussetzungen die hydrostatische Ebene fur triaxiale Kompression (Lode -Winkel  = 30Æ ), gilt fur die Tangente an die Flie ache an der Stelle I = 0

@rk = tan k = @ I I =0

p



2 1

p2 27

 m=2

:

(3.40)

D. h. der Parameter steht in direktem Zusammenhang mit der Steigung der Flie ache an der Stelle I = 0. Durch einen Vergleich mit der bekannten Mohr-Coulombschen Theorie soll so gewahlt werden, da fur I = 0 die Steigung der Fliekurve (3.39) der Steigung der Mohr-Coulombschen-Fliebedingung (2.20) an dieser Stelle entspricht. Das MohrCoulombsche Versagenskriterium ist bestimmt durch den Reibungswinkel ', der durch die Steigung einer Geraden, die als Umhullende an Mohr sche Bruchspannungskreise angelegt wird, bestimmt ist (vgl. Abschnitt 2.1.2). Bei der Darstellung der Mohr-Coulombschen Grenzbedingung in Reu schen Variablen im Hauptspannungsraum lat sich ein Zusammenhang zwischen dem Flieradius rMC (I ; ) der Mohr-Coulombschen-Flie ache und dem Reibungswinkel ' angeben. Die Beziehungen zwischen rMC (I ; ) und ' sind in Abb. 3.16 fur die Lode -Winkel k = 30Æ + n
120Æ ; 0 = 0Æ + n
120Æ ; e = 30Æ + n
120Æ dargestellt. Mit rkMC (') ergibt sich damit fur die triaxiale Kompressionsebene die Beziehung

p

2 6 sin ' @rkMC = tan kMC = ; @ I 3 3 sin '

(3.41)

bezogen auf die erste Invariante I als Koordinate in Richtung der hydrostatischen Achse. Die Bedingung, da an der Stelle I = 0 der Winkel k in Gl. (3.40) dem Winkel kMC entsprechen soll, d. h.

tan k = tan kMC I =0 ;

(3.42)

liefert schlielich den Zusammenhang 

2 sin ' =p 1 3 3 sin '

p2 27

m=2

:

(3.43)

Bei Kenntnis der deviatorischen Parameter und m kann damit in Abhangigkeit von ' abgeschatzt werden.

Kapitel 3. Modellbildung und Parameteridenti kation

88

rkMC = r0MC =

p

2 3 sin ' I

2pp6 sin ' I 3 3+sin '

; ; ;

jkMC j j0MC j jeMC j

p = arctan 2 3 6 3 sinsin''



p sin ' = arctan 2p36 3+sin '





p = arctan 32 sin '  



r=

q

2 IID

reMC =

2 p6 sin ' I 3 3 sin '

MC k

MC 0

MC e

r0MC

rkMC

reMC

I

Abbildung 3.16:

Zusammenhang zwischen dem Flieradius rMC () und dem Reibungswinkel ' der Mohr-Coulombschen Grenzbedingung fur die Lode -Winkel k = 30Æ + n
120Æ; 0 = 0Æ + n
120Æ; e = 30Æ + n
120Æ

Da die in Triaxialversuchen ermittelten Reibungswinkel eine Abhangigkeit vom hydrostatischen Spannungszustand zeigen und fur I = 0 kein Kompressionsversuch durchgefuhrt werden kann, mu der Wert fur '(I = 0) aus den in Abb. 1.23 dargestellten Versuchsergebnissen durch Extrapolation abgeschatzt werden. Bei der Beschreibung isotroper Verfestigung geht nicht mit ein, d. h. ist konstant wahrend des Deformationsprozesses. Somit verbleiben zur Beschreibung der isotropen Verfestigung in der hydrostatischen Ebene die Parameter  und Æ .

Die Parameter und m der Deviatorebene Die Beschreibung des plastischen Materialverhaltens in Abhangigkeit des Lode -Winkels  ist bestimmt durch die deviatorische Teilfunktion rd (; pd ). Durch entsprechende Wahl der Parameter und m konnen deviatorische Fliekurven von einer Kreisform bis zu einer Dreiecksform mit abgerundeten Ecken erzeugt werden, vgl. Abb. 3.14. Dabei ist darauf zu achten, da Konvexitat von oben bezuglich der Polarkoordinaten  und r stets gewahrleistet ist. Der kritische Punkt fur die Verletzung der Konvexitatsbedingung (3.33) ist der Extensionspunkt an der Stelle  = 30Æ + n
120Æ . Die Auswertung von (3.33) an dieser Stelle liefert die Ungleichung



p

9m

27

2

:

(3.44)

3.2 Plastische Deformationsanteile

89

p ? Wird fur das Verhaltnis zwischen und m der Grenzwert = 9m272 in die Konvexitatsbedingung (3.33) eingesetzt, kann m = 6=11 als unter Grenze fur die Erhaltung der Konvexitat abgeschatzt werden, vgl. dazu Ehlers [33]. Im folgenden soll dieser Wert fur m als festgehaltene konstante Groe, unabhangig von der Verfestigung, gewahlt werden. Allein durch eine funktionale Abhangigkeit von in Abhangigkeit des Deformationsprozesses ist die Beschreibung der in Versuchen zu beobachtenden Entwicklung von einer Kreiszu einer Dreiecksform mit abgerundeten Ecken moglich. Der zulassige Wertebereich fur wird dabei durch die Nebenbedingung

0 < < 1; 786177

(3.45)

eingegrenzt. Dadurch ist die Einhaltung der Konvexitatsbedingung (3.33) gewahrleistet. Da dies fur beliebige Winkel  gilt, zeigt die in Abb. 3.17 dargestellte Auswertung von (3.33) fur m = 6=11.

Das Konzept aquivalenter plastischer Arbeit Bei der Erstbelastung von granularen Materialien treten von Beginn an irreversible plastische Dehnungsanteile auf. Eine ausgepragte Grenze zwischen elastischem und plastischem Materialverhalten, wie z. B. bei den meisten Metallen, ist nicht auszumachen. Daher wird hier das Konzept der aquivalenten plastischen Arbeit gewahlt, das beispielsweise auch von Lade & Kim [70] in einer ahnlichen Form angewendet wurde. Dabei wird davon ausgegangen, da Spannungszustande mit dem gleichen Niveau plastischer Arbeit derselben Flie ache zugehorig sind. Fur die bei Triaxialversuchen vorliegenden rotationssymmetrischen Spannungszustande errechnet sich die plastische Arbeit mittels numerischer Integration (Trapezregel) durch

Wp = =

Zt


"_p d =

t0 n  X i=0

i

Z"p n

"p 0 i+1


1 + 1 2


d"p "i1+1 p



"i1p + 3i + 3i+1 "i3+1 p


i "3p

(3.46)

:

In Gl. (3.46) ist n die Anzahl diskreter Versuchspunkte einer experimentellen SpannungsDehnungskurve. Die plastischen Dehnungsanteile "1p und "3p werden durch "1 "1e und "3 "3e bestimmt. Dabei sind die elastischen Anteile "1e und "3e durch das Elastizitatsgesetz (3.15) gegeben. Ist die Entwicklung der plastischen Arbeit in Abhangigkeit der Belastungsgeschichte durch die experimentellen Mepunkte bekannt, werden mit einer gewahlten Schrittweite diskrete Werte fur Wp generiert und die zugehorigen Spannungszustande durch lineare Interpolation zwischen den entsprechenden experimentellen Mepunkten ermittelt. Dies erfolgt fur samtliche vorliegenden triaxialen Versuchsspuren mit derselben Schrittweite, so da mehrere Spannungspunkte mit einem de nierten Niveau der plastischen Arbeit vorliegen.

Kapitel 3. Modellbildung und Parameteridenti kation

90

K (; )

1,0

1

0,5

0.5

0,0 2,0

[ -] 1,5 0

5

[-]

1.5

6,0 5,0 rad] 4,0 [ 3,0  6

2

4

1,0

3 x

1 y

2,0 2

0,5

0.5

1,0 1

0,0 0,0 0

0

2,0 1,8 1,6

1; 786177 =6

1,0 2,0 Abbildung 3.17:

5=6  

5=3  2

3,0 4,0 5,0 6,0  [rad]

Auswertung der Konvexitatsbedingung (3.33) fur m = 6=11 in Abhangigkeit des Lode-Winkels  und des Parameters (oben); Konturlinien fur K (; ) = 1 (unten)

Spannungspunkte aus Triaxalversuchen mit gleichen Lastpfaden (gleiche Seitenspannung), die demselben Wert der plastischen Arbeit zugehorig sind, werden einer Mittelwertbildung unterzogen und damit zu einem Wert zusammengefat. Diese gemittelten Spannungspunkte dienen dann als Stutzstellen bei der Anpassung einer Flie ache an diese Punkte gleicher plastischer Arbeit. In Abhangigkeit der gewahlten Schrittweite fur die plastische Arbeit konnen die Stutzstellen-Satze beliebig fein diskretisiert werden.

Die Parameter , Æ und der isotropen Verfestigung Die Zuordung einer Flie ache zu Punkten gleicher plastischer Arbeit erfordert ein Gutekriterium zur Beurteilung der Qualitat der Anpassung. Hier soll die Methode der kleinsten Fehlerquadrate (Least-Squares -Verfahren) verwendet werden. Dabei werden die Fehlerquadrat-Abstande in Richtung der Reu schen Polarkoordinaten ausgewertet. In Abb. 3.18

3.2 Plastische Deformationsanteile

91

sind diese Abstande in der Deviatorebene und in der hydrostatischen Ebene dargestellt. Daraus ergibt sich das Minimierungsproblem (ph ; pd ) = 12 kRi (ph; pd )k22 ! min ; Ri (ph ; pd ) = ri rh(ph ; I i ) rd (pd ; i) ;

i = 1; ::: ; Anzahl der Stutzstellen (Mewerte) ;

(3.47)

ph = (; ; Æ; ; )T ; pd = ( ; m)T ; das fur jede Stufe der plastischen Arbeit gelost werden mu.

1

Fehlerabstand Kompression

30Æ rd

(; ) pd

Hydrost. Achse (1 = 2 = 3)

1



Fehlerabstand Extension

I rh (I ; ph )

30Æ 2

I = const. 3

Kompressionsebene  = 30Æ + n
120Æ

2

3

Extensionsebene Deviatorebene  = 30Æ + n
120Æ Abbildung 3.18: Darstellung der Fehlerabst ande zwischen Mewerten und Funktionsauswertung fur das Least-Squares -Problem (3.47)

Da fur die Teilfunktion rh (I ; ph ) vorab die Parameter , und  angegeben werden konnen, mussen fur ph nur noch die Parameter Æ und  bestimmt werden. Fur die deviatorische Teilfunktion rd (; pd ) wird der Parameter m durch eine Konvexitatsbetrachtung abgeschatzt (vgl. dazu vorherige Abschnitte), so da hier lediglich noch ermittelt werden mu. Als Nebenbedingung werden fur samtliche Parameter positive Werte gefordert. Weiterhin mu die hydrostatische Konvexitatsbedingung (3.32) erfullt sein. Die Einhaltung der Konvexitatsbedingung (3.33) bezuglich der deviatorischen Teilfunktion ist gewahrleistet, wenn innerhalb der Schranken [0 ; 1; 786177] gewahlt wird. Die numerische Losung des Problems (3.47) erfolgt durch eine Aufspaltung des Gesamtproblems in ein hydrostatisches und in ein devatorisches Unterproblem. Dabei wird zuerst, bei festgehaltenem Parameter , eine Losung fur die Parameter Æ und  gesucht.

92

Kapitel 3. Modellbildung und Parameteridenti kation

Anschlieend werden die ermittelten Parameter Æ und  festgehalten, und es wird dann eine Optimierung nach angeschlossen. Diese Iteration erfolgt solange, bis die Veranderung der Parameter eine vorgegebene relative Toleranz TOLrel unterschreitet. Ein Schritt der Iteration besteht aus den folgenden Teilschritten: 1. Lose das Problem (3.47) nach den Parametern Æ und  bei festgehaltenem Parameter

und den bereits vorab abgeschatzten xen Parametern , ,  und m. 2. Berechne den Parameter aus Problem (3.47) mit den festen Parametern Æ und  sowie den vorgegebenen Parametern , ,  und m. 3. Ist die Veranderung der Parameter
Æ ,
 und
gegenuber dem letzten Iterationsschritt kleiner als TOLrel , ist die Iteration abgeschlossen, sonst geht es zuruck zu Teilschritt 1. Diese Vorgehensweise, der Aufspaltung des Gesamtproblems in ein zwei- und ein einparametriges Unterproblem, hat sich als weitaus stabiler erwiesen als eine gleichzeitige Optimierung nach allen drei Parametern.

Hydrostatische Ebene Das Ergebnis der Losung des Problems (3.47) ist in Abb. 3.19

dargestellt. Dabei wurden exemplarisch einige Fliekurven mit unterschiedlichem Niveau der plastischen Arbeit herausgegrien. Die gestrichelten Linien zeigen die Spannungspfade der triaxialen Kompressions- und Extensionsversuche sowie den des hydrostatischen Kompressionsversuchs. Die Evolution der Fliekurven, beziehungsweise der Parameter Æ ,  und , in Abhangigkeit der Belastungsgeschichte ist Grundlage fur die Ermittlung der Parameter der Verfestigungsfunktionen aus (3.35). Die zu Abb. 3.19 zugehorige Entwicklung der Parameter Æ und  ist dargestellt in Abb. 3.20. Dabei ist eine Anpassung der Verfestigungsfunktionen fur Æ und  an die diskreten Ergebniswerte aus Problem (3.47) mit eingetragen. Die zugehorigen Parameter der Evolutionsgleichungen fur Æ und  (3.35) sowie die Randbedingungen gema (3.36) sind ? CÆ = 2; 0 m2=kN ; Æ0 = 3; 5
10 4 m2 =kN ; Æ = 0; 0 m2 =kN ; ? C = 0; 25 m2=kN ; 0 = 1; 0
10 4 m2 =kN ;  = 1; 5
10 5 m2 =kN :

(3.48)

rk =

q

2 IID [kN/m2]

3.2 Plastische Deformationsanteile

93

1200 1000 800 600 400 200 00 0 0,036 200

500

1000 1500 2000 2500 0,18 0,54 0,90 1,44

400

re =

q

2 IID [kN/m2]

600 800 1000

Wp = 0; 036 ::: 18; 0 kNm/m3

Fliekurven (Modell) Spannungspfade (Experiment) . . Punkte gleicher plast. Arbeit

1200

Abbildung 3.19:

3000 3500 4000 4500 2,16 2,88 3,60

5000 4,32 5,04 5,76 7,20 10,8 14,4 18,0

$-5000$ 2] I [kN/m

Ergebnis der Anpassung der Fliefunktion an Punkte gleicher plastischer Arbeit in der triaxialen Kompressionsebene ( = 30Æ + n
120Æ) und der triaxialen Extensionsebene ( = 30Æ + n
120Æ)

Kapitel 3. Modellbildung und Parameteridenti kation

Wp

[kNm/m3]

94

18 16 14 12 10 8 6 4 2 00

Verfestigungsfkt. (3.35) Ergebnis aus Problem (3.47)

1; 5
10

Abbildung 3.20:

4

3; 0
10

4 Æ

[m2 /kN]

18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 1; 0
10

Verfestigungsfkt. (3.35) Ergebnis aus Problem (3.47)

5

5; 0
10

5

0,0001

 [m2 /kN]

Entwicklung der Parameter Æ und  in Abhangigkeit von der plastischen Arbeit Wp

Deviatorebene In Abschnitt 1.3.1 wurde anhand der Ergebnisse aus wahren Triaxialversuchen (Yamada & Ishihara [114]) gezeigt, da sich Punkte aquivalenter deviatorischer Verzerrung in der Deviatorebene des Hauptverzerrungsraums zuerst kreisformig und mit zunehmender deviatorischer Belastung in einer Dreiecksform mit abgerundeten Ecken anordnen. Diese Entwicklung ist darstellbar durch eine funktionale Abhangigkeit des Parameters von der plastischen Arbeit bei festgehaltenem Parameter m. Die Modellierung dieser Abhangigkeit erfolgt hier durch die Evolutionsgleichung (3.35)2 . Eine Anpassung der integrierten Form (Wp ) an die Ergebnisse des Problems (3.47) ist in Abb. 3.21 dargestellt. Zusatzlich ist das daraus resultierende Verhaltnis rk =re abgebildet und exemplarisch die geometrischen Formen der Deviatorkurven fur = 0, = 0; 8 und = 1; 62 dargestellt. Die zugehorigen Parameter der Funktion (Wp ) sowie die Randbedingungen gema (3.36) sind dabei ? C = 0; 35 m2 =kN ; 0 = 0; 0 ; = 1; 62 :

(3.49)

Bemerkungen zur Versagens ie ache Die maximale Flie ache im Rahmen der Verfestigung entspricht der Versagens ie ache ? ? und ist erreicht mit den Sattigungswerten p h und p d . Eine weitere Laststeigerung ist dann nicht mehr moglich, Spannungszustande auf dieser maximalen Flie ache fuhren zu ideal plastischem Flieen. Die Versagens ie ache ist somit in dem Modell uber die Verfestigungsbeziehungen automatisch enthalten. Dabei wird auch die in Abschnitt 1.3 angesprochene Abhangigkeit des Reibungswinkels vom hydrostatischen Spannungszustand

Wp

[kNm/m3]

3.2 Plastische Deformationsanteile

18 16 14 12 10 8 6 4 2 00

95

Verf.-fkt. (3.35) Ergeb. aus (3.47)

0,5

1,0

1,5

1

3

=0

Abbildung 3.21:

18 16 14 12 10 8 6 4 2 2,0 01,0

[-]

1,125

1,25

1

2

3

= 0; 8

1,375

1,5

rk =re

1,625 [-]

1

2

3

= 1; 62

2

Entwicklung des Parameters (mit m = 6=11) und des daraus resultierenden Radienverhaltnisses rk =re in Abhangigkeit von der plastischen Arbeit Wp

berucksichtigt. Dies ist moglich, da mit der Fliebedingung (2.22) eine Krummung der Flie ache im Meridianbereich beschreibbar ist. Eine Abnahme der Steigung der Versagens iekurve in der hydrostatischen Ebene mit zunehmendem I entspricht einer Reduzierung des auf die Mohr-Coulombschen Theorie umgerechneten Reibungswinkels ' mit zunehmendem hydrostatischen Spannungszustand. Durch die exible Anpassung der Fliebedingung an die Maximalspannungen der ausgewerteten Triaxialversuche ergibt sich  eine Beziehung '(I ) ohne weitere Uberlegung. In der Literatur werden viele verschiedene Vorschlage gemacht, die Beziehung '(I ) durch zusatzliche Gleichungen zu beschreiben (z. B. Hettler & Gudehus [49]), dies ist in dem hier beschriebenen Modell nicht erforderlich.

3.2.5 Parameteridenti kation des plastischen Potentials Die Einfuhrung des plastischen Potentials (3.37) mit den Parametern 1 und 2 ermoglicht die Realisierung nicht-assoziierten plastischen Flieens. Als Ma fur die Flierichtung wird der sogenannte Dilatanzwinkel  eingefuhrt, der die Abweichung des plastischen Ver-

Kapitel 3. Modellbildung und Parameteridenti kation

96

zerrungsinkrements von der deviatorischen (volumenerhaltenden) Richtung angibt (vgl. Abb. 3.22): tan  ("_ p) =

I"_p k"_ Dp k =

"_ p
I : "_ Dp
"_ Dp

(3.50)

q

Eine Volumenzunahme ("_ p
I > 0) fuhrt zu einem positiven Vorzeichen fur  , man spricht dann von dilatantem Materialverhalten. Ist "_ p
I < 0 ergibt sich ein negativer Dilatanzwinkel, d. h. es liegt kontraktantes Materialverhalten vor. Wird der inkrementelle plastische Verzerrungstensor durch die Flieregel (3.38) ersetzt, erhalt man tan  (G( ; 1 ; 2 )) =

p

@G=@ I D : 2 IID @G=@ II

q

3

(3.51)

Fur triaxiale Verhaltnisse (Hauptachsensystem und 2 = 3 ) gilt dann mit (3.50) und (3.51) tan  triax =

p1 "_"1_ p + 2"_"_3p 2

1p

3p

=

1

1

3 @G=@ I p : 3 2 @G=@ IID

(3.52)

Die zu einem Spannungspunkt zugehorige experimentelle Flierichtung wird uber die plastischen Dehnungsinkremente
"1p und
"3p bezuglich eines Nachbarspannungspunktes ermittelt. Zur Bestimmung der plastischen Dehnungsinkremente werden die elastischen Anteile mit dem Elastizitatsgesetz (3.15) berechnet und von den Gesamtverzerrungen abgezogen. Ein Vergleich der experimentellen Flierichtungen mit den berechneten Flierichtungen fuhrt auf das Minimierungsproblem 1 ( 1 ; 2 ) = kexp i 2

 ( i ; 1 ; 2 )k22

! min :

(3.53)

In Abb. 3.22 sind die beiden Flierichtungen anschaulich dargestellt. Die Losung des Least-Squares -Funktionals (3.53) liefert die Parameter 1 und 2 des plastischen Potentials (3.37). Fur die Stutzstellen exp i und  i werden dabei die diskreten Versuchswerte der triaxialen Elementversuche eingesetzt. Die gesuchten Werte fur Berliner Sand sind damit 1 = 0; 55 und 2 = 0; 26.

Anmerkung: Werden die Parameter 1 = 1 und 2 = 0 gewahlt, wird fur die hydrostatischen Ebenen mit  = 0Æ + n
120Æ assoziiertes Flieen modelliert. Fur alle anderen Winkel bleibt die Flierichtung nicht-assoziiert, fur den Fall, da 6= 0 ist.

3.2 Plastische Deformationsanteile

97

"_ p = @G @

2IID ; k"_ Dp k

"_ p exp

q

G I ; I"_p

Abbildung 3.22:



exp

F=0

Experimentell beobachtete Flierichtung exp und Modellierung der nicht-assoziierten plastischen Flierichtung mit Hilfe des plastischen Potentials G(; 1; 2) in der hydrostatischen Ebene

3.2.6 Zusammenfassung des elasto-plastischen Stomodells und der zugehorigen Parameter Elastizitat D ("e) = @ e (I@""e ; II"e ) e @(I" ) D II"e I = 2 (I"e ) "De + k(I"e ) I"e I + 2 @I

Plastizitat F ( ) = ( ) =

"e

r 

1 IID +  I2 + Æ 2 I4 + I +  I2 2

IIID 1 + D 
3=2 II

? Æ_ = CÆ (Æ Æ ) W_ p ? _ = C ( ) W_ p ?

_ = C ( ) W_ p

G( ) =

(3:15)

m

=0;

(Fliebedingung)

(Isotrope

Verfestigung)


1=2 + (1 + 2 ) I +  I2 IID = 1 + 12  I2 + Æ 2 I4 (Plastisches Potential)

(2:22)

(3:35)

(3:37)

Kapitel 3. Modellbildung und Parameteridenti kation

98

Elastizitat Parameter Elastizit atsgesetz

Symbol

0 1 2 k1 k2 "v min

Wert

Einheit

kN/m2

1; 0

490

kN/m2

3; 86
104

kN/m2

11; 2

6; 11
106 0; 019

kN/m2 kN/m2 {

Plastizitat Fliebedingung und Verfestigung

Plastisches Potential

  ? Æ CÆ Æo ? C o

? C

0 m 1 2

0,01

{

1,0

kN/m2

0,26

{

m2 /kN

0 2,0 3; 5
10 1; 5
10

4 5

0,25 1; 0
10

4

1,62 0,35 0

m2 /kN m2 /kN m2 /kN m2 /kN m2 /kN {

m2 /kN {

0,5454

{

0,55 0; 26

{ {

Tabelle 3.1: Materialparameter fur dichten Berliner Sand

Kapitel 4 Bilanzgleichungen der TPM und FEM-Implementierung Bisher wurde die granulare Struktur lediglich als einphasiges Material betrachtet, d. h. ein eventuell vorhandenes Poren uid wurde nicht berucksichtigt. Hau g liegen jedoch granulare Erdstoe, wie z. B. Sandboden, wassergesattigt1 vor. In diesem Fall kann das Poren uid bei Belastung des Bodens einen magebenden Ein u auf die Verformungsantwort haben. Beispielsweise entsteht durch eine auere Belastung auf einen wassergesattigten Untergrund ein Porenwasseruberdruck und dadurch ein hydraulisches Gefalle gegenuber einer entfernten drainierten Ober ache. Es stellt sich ein Stromungsproze ein, der solange anhalt, bis der Porenwasseruberdruck abgebaut ist und die gesamte Last vom Festkorperskelett getragen wird. Folglich tritt durch die Existenz eines Fluids ein zeitlich verzogerter Deformationsproze ein. Zur makroskopischen Beschreibung solcher Eekte ist die Behandlung des Festkorperskeletts und des Poren uids als unvermischbare Konstituierenden eines Mehrphasenmaterials im Rahmen der Theorie Poroser Medien (TPM) geeignet. Grundlage der TPM ist die Mischungstheorie auf der Basis superponierter Kontinua. Dies bedeutet, die Beschreibung der lokalen Plazierung der einzelnen Konstituierenden innerhalb der Mischung erfolgt durch eine U berlagerung (Superposition) der Phasen, so da sich in der Modellvorstellung materielle Punkte aller Konstituierenden gleichzeitig an einem Raumpunkt be nden. Allgemein behandelt die Mischungstheorie heterogen zuasammengesetzte mehrphasige Kontinua mit inneren Wechselwirkungen. Dabei geht man davon aus, da die in einem reprasentativen Elementarvolumen (REV) enthaltenen Konstituierenden durch einen statistischen Mittelungsproze "verschmiert\ werden, da in der Regel die exakte Mikrostruktur der Mischung nicht bekannt ist. Dieser Mittelungsproze ist in Abb. 4.1 anschaulich dargestellt. Die grundlegenden Konzepte der Mischungstheorie wurden von Truesdell & Toupin in [106] zusammengefat. Die einige Jahre spater (1969) von Truesdell veroentlichten metaphysischen Prinzipien gelten dabei als fundamentale Basis der Mischungstheorie. Inhalt 1 Wassergesattigt bedeutet in diesem Zusammenhang, da samtliche Porenzwischenraume mit Wasser

gefullt sind.

99

Kapitel 4. Bilanzgleichungen der TPM und FEM-Implementierung

100

der metaphysischen Prinzipien sind Aussagen uber die grundsatzlichen Zusammenhange zwischen den Partialbilanzen der einzelnen Konstituierenden und deren Summe als entsprechende Bilanzgleichung der Mischung. Diese metaphysischen Prinzipien sowie eine  bersicht der Behandlung mehrphasiger Probleme nden sich in Truesdell generelle U [104].

nF nS

Reale Mikrostruktur des REV Abbildung 4.1:

REV im Modell

Schematische Darstellung des Mittelungsprozesses der realen Mikrostruktur und strukturelle Aufteilung des verschmierten Modells in Volumenanteile des Festkorpers nS und des Poren uids nF

Zur Beschreibung von porosen Medien, die aus einer Festkorper-Fluid-Mischung bestehen, ist es sinnvoll, die klassische Mischungstheorie um das Konzept der Volumenanteile zu erweitern. Dazu werden die Volumenanteile n der Konstituierenden als statistisch gemittelte Strukturvariablen eingefuhrt, die die lokale Zusammensetzung des mehrphasigen Materials wiedergeben (Abb. 4.1). Das Konzept der Volumenanteile in Verbindung mit einer thermodynamisch fundierten Darstellung der Mischungstheorie wird als Theorie Poroser Medien bezeichnet. Eine ausfuhrliche Beschreibung dieser Theorie ndet man in den Arbeiten von Bowen [14, 15], de Boer & Ehlers [11] und Ehlers [32, 35]. Die feldliche Beschreibung einer granularen Struktur erfordert, in Erganzung zu den in Kapitel 3 beschriebenen konstitutiven Materialgleichungen, die Formulierung von Bilanzgleichungen. Im Falle der einphasigen Beschreibung einer trockenen Sandstruktur ist eine quasi-statische Betrachtung die Impulsbilanz div  +  g = 0 (g: Erdbeschleunigung, : Dichte des Kornhaufens) ausreichend. Hier soll allerdings von dem allgemeineren Fall eines uidgefullten Festkorperskeletts ausgegangen werden. Dazu werden die aus der TPM resultierenden Bilanzgleichungen eines speziellen inkompressiblen Zweiphasenmodells angewendet. Das porose Medium Sand wird dabei als Mischung verstanden, die sich aus den unvermischbaren Konstituierenden Sandkorn als Festkorperskelett (engl. Solid ) 'S und Wasser als Poren ussigkeit (engl. Fluid ) 'F zusammensetzt. Das Modell beinhaltet auch die Moglichkeit, die Sandstruktur als einphasiges, trockenes Material zu betrachten, indem bestimmte Groen entsprechend vorgegeben werden. Im ersten Teil dieses Kapitels wird eine kurze Herleitung und Zusammenstellung des inkompressiblen Zweiphasenmodells gezeigt, mit dem Ziel die beschreibenden Dierentialgleichungen bereitzustellen. Eine ausfuhrliche Diskussion dieses Modells ist in Ehlers [32, 33] zu nden. Gemeinsam mit den in Kapitel 3 beschriebenen Materialgleichungen fur das Festkorper-

4.1 Das inkompressible Zweiphasenmodell

101

skelett liefern die Bilanzgleichungen des Zweiphasenmodells einen Satz von Dierentialgleichungen zur Beschreibung von beliebigen Anfangsrandwertproblemen (ARWP). Da in der Regel ein solches ARWP nicht mehr analytisch zu losen ist, mussen numerische Losungsverfahren angewendet werden. Hierbei eignet sich die Methode der Finiten Elemente (FEM) mit einer Ortsdiskretisierung des Verschiebungsfeldes der Festkorpermatrix uS (x; t) und des Druckfeldes der Poren ussigkeit p(x; t). Grundlagen zur numerischen Simulation eines ARWPs mit der Methode der Finiten Elemente sind die schwachen Formulierungen der Bilanzgleichungen, die im weiteren vorgestellt werden. Im zweiten Teil dieses Kapitels wird dann die numerische Umsetzung dieser Bilanzgleichungen kurz erlautert. Insbesondere soll auf die Einarbeitung der im vorherigen Kapitel beschriebenen elasto-plastischen Stogleichungen eingegangen werden.

4.1 Das inkompressible Zweiphasenmodell Das inkompressible Zweiphasenmodell, als ein spezielles Modell der TPM, ist geeignet zur Beschreibung wassergesattigter und trockener granularer Materialien. Die Berucksichtigung teilgesattigter Zonen mit zum Teil luftgefullten und zum Teil wassergefullten Poren ist nicht moglich. Dies wurde die Erweiterung auf ein Dreiphasenmodell erfordern, unter der zusatzlichen Einbeziehung der Porenluft als kompressible Phase. Dem im folgenden betrachteten inkompressiblen Zweiphasenmodell liegen verschiedene Annahmen zugrunde, die bei der Spezialisierung der allgemeinen Theorie Poroser Medien ein ieen:

. . . .

Materielle Inkompressibilitat der Konstituierenden, kein Massenaustausch zwischen den Konstituierenden, gemeinsame, konstante Temperatur beider Phasen und symmetrische Partialspannungen (nicht-polare Konstituierenden).

Die Annahme einer gemeinsamen, konstanten Temperatur der Phasen fuhrt auf ein rein mechanisches Modell ohne die Berucksichtigung von Temperaturein ussen. Dies bedeutet, da auf eine Auswertung der Energiebilanz verzichtet werden kann. Desweiteren wird auf eine Auswertung der Drallbilanz verzichtet, die die Symmetrie der Partialspannungstensoren liefern wurde. Auf die Forderung nach der materiellen Inkompressibilitat der Konstituierenden und der Vernachlassigung von Massenaustausch zwischen den Konstituierenden wird im folgenden eingegangen.

4.1.1 Inkompressibilitatsbedingung und Konzept der Volumenanteile Die Kompressibilitat des Festkorperskeletts (der Korner) ist bei granularen Materialien in der Regel wesentlich geringer als die Kompressibilitat des Porenraums. Besonders bei

Kapitel 4. Bilanzgleichungen der TPM und FEM-Implementierung

102

Sand ist diese Tatsache zutreend, daher ist die Annahme einer materiell inkompressiblen Festkorperkonstituierenden gerechtfertigt. Das Porenwasser kann im Bereich moderater Drucke ebenfalls als inkompressibel betrachtet werden. Dies bedeutet, da die eektiven Dichten SR und F R der beiden Phasen 'S (Korner) und 'F (Porenwasser) als konstant angenommen weren konnen. In der TPM wird allgemein die eektive (realistische) Dichte einer Phase als das Verhaltnis des lokalen Massenelements dm der Phase zu ihrem partiellen Volumenelement dv  de niert: dm R =  : (4.1) dv Mit der Einfuhrung der Volumenanteile

n = n (x; t) (4.2) der einzelnen Phasen als eine skalare Funktion des Ortes x und der Zeit t wird ein Zusammenhang zwischen einem Volumenelement dv der Mischung und den partialen Volumenelementen dv  der Konstituierenden ' mit der Beziehung dv  = n dv (4.3) hergestellt. Als eine weitere Dichtefunktion wird die Partialdichte d m (4.4)  = dv durch das Verhaltnis eines lokalen Massenelements zum Gesamtvolumen der Mischung eingefuhrt. Mit den Gl. (4.1),(4.2) und (4.3) folgt unmittelbar, da die Partialdichte und die eektive Dichte uber die Volumenanteile gekoppelt sind: dm = R dv  =  dv !  = n R : (4.5) Fur die Summe der Volumenanteile gilt im Fall eines gesattigten porosen Mediums mit k Konstituierenden k X =1

n = 1

(Sattigungsbedingung) :

(4.6)

Bei einem teilgesattigten oder leeren Festkorperskelett ware die Summe der Volumenanteile dementsprechend kleiner als eins. Es sei an dieser Stelle erwahnt, da die fur das hier betrachtete Zweiphasenmodell getroene Annahme der materiellen Inkompressibilitat der Konstituierenden (R = konst.) nicht bedeutet, da die makroskopische Gesamtstruktur als inkompressibel betrachtet  wird. Durch eine Anderung der Volumenanteile der einzelnen Konstituierenden ist eine  Anderung der Partialdichten durchaus moglich, vgl. Gl. (4.5). Anmerkung zur Schreibweise: Bei der einphasigen Betrachtung der granularen Struktur wurde in den vorhergehenden Kapiteln gema der ublichen geotechnischen Konvention die Partialdichte S als Trockendichte d bezeichnet. Die eektive Dichte SR wurde bisher als Korndichte s geschrieben und der Porenanteil nF als Porenanteil n ohne eine Indizierung.

4.1 Das inkompressible Zweiphasenmodell

103

4.1.2 Bewegungsgleichungen Innerhalb der TPM werden superponierte Kontinua beschrieben, die jeweils individuellen Bewegungszustanden folgen. Bei dieser Modellbildung geht man davon aus, da samtliche Konstituierenden ' einer Mischung jeweils eine eigene Plazierungsfunktion

x =  (X ; t)

(4.7)

haben, die den Ort x der materiellen Mischungsteilchen zum Zeitpunkt t festlegen. Man geht weiterhin davon aus, da sich an einem betrachteten Raumpunkt x gleichzeitig materielle Punkte aller Konstituierenden be nden, wobei diese Punkte von verschiedenen Orten der Ausgangskon guration stammen konnen. In Abb. 4.2 ist diese Modellvorstellung fur ein Zweiphasenmodell dargestellt. Handelt es sich um eine ein-eindeutige Bewegung, ist gewahrleistet, da sich jeder materielle Punkt durch seine Referenzlage X (t = t0 ) identi zieren lat. In diesem Fall2 kann die inverse Bewegungsgleichung

X =  1 (x; t)

(4.8)

formuliert werden. 1 (X1 ; t)

Referenz-

Momentankon guration

2 (X2 ; t)

P1(t0) P2(t0 )

e1

X1 X2 e2

Abbildung 4.2:

P 1 (t ) P2(t) x

e3

Kinematik des Zweiphasenmodells

Aus Gl. (4.7) folgt, da jeder Phase ein eigenes Geschwindigkeits- und Beschleunigungsfeld

x0  = @  (X ; t) ; @t

2 x00  = @  (X2  ; t) @t

(4.9)

(Lagrange sche Beschreibung) zugeordnet ist. Mit Hilfe der inversen Bewegungsfunktion (4.8) ergibt sich aus (4.9) die Euler sche (raumliche) Darstellung

x0  = x0  (x; t) ;

x00  = x00  (x; t) : 2 Vorausgesetzt det(@  =@ X) = 6 0.

(4.10)

Kapitel 4. Bilanzgleichungen der TPM und FEM-Implementierung

104

Die materielle oder totale Zeitableitung fur eine beliebige Groe (x; t) bezuglich der Bewegungsfunktion der Phase ' lautet 0 = d



=

dt

@ @t

+ grad


x0  :

(4.11)

Im Zweiphasenmodell mit den Konstituierenden Festkorper und Poren ussigkeit wird die Bewegung des Festkorperskeletts in der ublichen Lagrange schen Form (Bezug auf die Referenzkon guration) mit dem Verschiebungsvektor

uS := x XS

(4.12)

beschrieben. Daraus ergibt sich die Festkorpergeschwindigkeit zu 0

(uS )0S = xS :

(4.13)

Weiter bestimmt der Deformationsgradient

FS :=

@x = GradS x @ XS

(4.14)

den Transport eines dierentiellen Linienelements des Festkorpers von der Referenz- in die Momentankon guration. Wie bereits in Kapitel 1 erwahnt, lat sich mit FS der Greensche Verzerrungstensor ES konstruieren. Schlielich wird zur Beschreibung der Poren uidbewegung die sogenannte Sickergeschwindigkeit 0

wF := xF

x0 S

(4.15)

eingefuhrt.

4.1.3 Bilanzgleichungen Allgemein basieren die Bilanzrelationen fur Mehrphasenmaterialien auf den metaphysischen Prinzipien von Truesdell. Eine zentrale Aussage dieser Prinzipien ist, da sich die Bilanzrelationen sowohl fur die einzelnen Konstituierenden ' als auch fur den ganzen Mehrphasenkorper in Analogie zu den Bilanzgleichungen der klassischen Kontinuumsmechanik der Einphasenmaterialien darstellen lassen. Dabei durfen die Bilanzgleichungen fur den Mehrphasenkorper als Summe der jeweiligen Bilanzrelationen der Konstituierenden formuliert werden, unter der Voraussetzung, da die Kopplungsmechanismen (Produktionsgroen) zwischen den Phasen entsprechend berucksichtigt werden. In den Bilanzgleichungen der Phasen ' sind dann jeweils Produktionsterme enthalten, die die Interaktion zwischen den Phasen beschreiben. Die Summe der Bilanzgleichungen der einzelnen Phasen

4.1 Das inkompressible Zweiphasenmodell

105

mu die Bilanzgleichung des Mehrphasenkontinuums in der Form eines Einphasenmaterials ergeben. Daraus resultieren Zwangsbedingungen, die durch die Forderung bestimmt sind, da die Summe der Produktionsterme der einzelnen Bilanzgleichungen uber die Anzahl der Phasen gleich null sein mu. Auf eine ausfuhrliche Herleitung der allgemeinen Bilanzrelationen der TPM wird an dieser Stelle verzichtet und auf die Arbeiten von de Boer & Ehlers [11] und Ehlers [32, 35] verwiesen.

Volumenbilanz Unter der Voraussetzung, da die allgemeinen Bilanzrelationen fur jede Konstituierende ' des Mehrphasenkontinuums (der Mischung) in direkter Analogie zu den Bilanzrelationen fur einphasige Materialien formuliert werden konnen, lautet die lokale Massenbilanz der Phase ' 0

( )0 +  div x = ^  :

(4.16)

Die Produktionsgroe ^  berucksichtigt einen eventuellen Massenaustausch zwischen den Phasen, beispielsweise infolge chemischer Reaktionen oder Phasenumwandlung. Da hier speziell uidgefullte granulare Materialien betrachtet werden, kann ein solcher Massenaustausch allerdings ausgeschlossen werden, d. h. ^  = 0. Weiterhin gilt aufgrund der angenommenen materiellen Inkompressibilitat (R = konst.) (R )0 = 0

(4.17)

und mit (4.5) somit ( )0 = (n )0 R :

(4.18)

Damit lat sich die Massenbilanz (4.16) in die lokale Form der Volumenbilanz fur die Phase ' 0

(n )0 + n div x = 0

(4.19)

uberfuhren. Summiert man nun, speziell fur das hier betrachtete Zweiphasenmodell, die Volumenbilanz des Festkorpers und des Fluids und berucksichtigt die Sattigungsbedingung (4.6) sowie die De nition der Sickergeschwindigkeit (4.15) und der Festkorperverschiebung (4.12), kann 0) mit Hilfe der Zeitableitung (ergibt sich aus (4.11) mit 0F S 0 = 0 + grad F S


wF

(4.20)

Kapitel 4. Bilanzgleichungen der TPM und FEM-Implementierung

106

die Volumenbilanz in der Form


div (uS )0S + nF wF = 0

(4.21)

geschrieben werden. Auerdem erhalt man durch die Integration von Gl. (4.19) eine Beziehung zwischen dem Volumenanteil nS des Festkorpers im deformierten Zustand und dem Volumenanteil nS0S des Festkorpers im undeformierten Zustand:

nS = (det FS ) 1 nS0S :

(4.22)

Die Linearisierung von Gl. (4.22) durch Vernachlassigung von Verzerrungsprodukten hoherer Ordnung liefert schlielich

nS = nS0S (1 div uS ) = nS0S (1 DivS uS ) = nS0S (1 "|S
I ) : {z } Volumendehnung I"S

(4.23)

In der geometrisch linearen Theorie wird unter der Annahme kleiner Verzerrungen zwischen Referenz- und Momentankon guration nicht unterschieden, daher ist div uS = DivS uS .

Impulsbilanz Wiederum wird davon ausgegangen, da die Bilanzrelationen fur jede Konstituierende analog zu denen von Einphasenmaterialien formuliert werden konnen, bei zusatzlicher Berucksichtigung der Interaktionsgroen zwischen den einzelnen Phasen. Unter der An00 nahme quasi-statischer Prozesse, d. h. bei Vernachlassigung der Beschleunigungsterme x , lautet die Impulsbilanz einer Konstituierenden ' div T +  b + p^  = 0

(4.24)

mit der Volumenkraft  b 3 , dem partialen Cauchy schen Spannungstensor T der aktuellen Kon guration und dem Impulsproduktionsterm p^  , der fur das hier betrachtete Zweiphasenmodell direkt als volumenbezogene Interaktionskraft zwischen dem Festkorper und der Poren ussigkeit interpretiert werden kann. Fur die Summe der Interaktionskrafte mu dabei gelten: p^ S + p^ F = 0. Die Einarbeitung der Sattigungs- und Inkompressibilitatsbedingung des Zweiphasenmodells als Zwangsbedingung in die Entropieungleichung 3 Die Volumenkraft  b wird fur die hier betrachtete Problemklasse als Gravitation identi ziert, damit

ist b die Erdbeschleunigung.

4.1 Das inkompressible Zweiphasenmodell

107

mit Hilfe des Lagrange -Multiplikators p zeigt, da sich die Partialspannungstensoren T und die Impulsaustauschterme p^  aus den Summanden

T = n p I + TE ;

p^  = p grad n + p^ E

(4.25)

zusammensetzen, vgl. Ehlers [32]. Der Lagrange -Parameter p kann dabei als Porenwasserdruck identi ziert werden. Die mit dem Index (...)E indizierten Groen werden als Extragroen bezeichnet. Diese stehen hier in direktem Zusammenhang mit der Festkorperdeformation und dem Flu des viskosen Poren uids. Um die Extraspannung TES mit der Festkorperdeformation in Verbindung zu bringen, sind konstitutive Ansatze erforderlich, wie sie beispielsweise im Rahmen der elasto-plastischen Modellbildung in Kapitel 3 vorgestellt wurden. Die linearisierte Form ES der Extraspannung TES wird in der Bodenmechanik auch als eektive Spannung  0 bezeichnet. Der Extraanteil der Fluidspannung TEF konnte im Sinne einer Newton schen Flussigkeit durch eine Abhangigkeit von viskosen Eekten infolge einer Scherverformungs- oder Volumendeformationsgeschwindigkeit des Fluids beschrieben werden. Tatsachlich kann fur Wasser als Poren uid der Ein u dieser Zahigkeitskrafte vernachlassigt werden. Dies bedeutet, da die Fluidextraspannung vernachlassigbar ist: TEF  0. Die innere Reibung zwischen Fluid und Festkorper wird konstitutiv durch den Interaktionsterm p^ FE und die Sickergeschwindigkeit wF in der Form

p^ FE =

(nF )2 F R SV wF kF

(4.26)

berucksichtigt. Darin sind F R = F R jbj die eektive Wichte des Poren uids und kF ein Parameter, der als Darcy scher DurchlassigkeitskoeÆzient bezeichnet wird. SV ist ein allgemeiner zweistu ger Tensor, mit dem die Beschreibung anisotroper oder deformationsabhangiger Permeabilitat moglich ist. Indem SV = I gesetzt wird, soll hier von deformationsunabhangigen und isotropen Permeabilitatseigenschaften ausgegangen werden. Ausgehend von der allgemeinen Impulsbilanz (4.24) einer Konstituierenden und den Konstitutivgleichungen (4.25) und (4.26) kann fur das Zweiphasenmodell die Impulsbilanz des Fluids (mit div TF = div( nF p I) = nF grad p p grad nF ) in einer quasi-statischen Formulierung angegeben werden:

nF wF =

kF (grad p F R b) :

F R

(4.27)

Diese Beziehung ist bekannt als Darcy sches Filtergesetz zur Beschreibung von Stromungsvorgangen in Boden. Dabei ist nF wF die sogenannte Filtergeschwindigkeit. In Erganzung dazu kann die Impulsbilanz der Mischung als Summe der Impulsbilanzen fur Fluid und Festkorper in der Form div(TES

p I) + (S + F )b = 0

(4.28)

Kapitel 4. Bilanzgleichungen der TPM und FEM-Implementierung

108

geschrieben werden. Hierbei ist berucksichtigt, da die Summe der Interaktionskrafte p^ S und p^ F verschwindet.

Anmerkung zur geometrisch linearen Betrachtung und zur Schreibweise: Die

bisher beschriebenen Gleichungen dieses Kapitels gelten allgemein auch fur groe Verzerrungen im Rahmen einer geometrisch nicht-linearen Theorie. Bei der Beschreibung kleiner Verzerrungen wird zwischen einem Bezug der Spannungs- und Verzerrungsgroen auf die Referenz- oder die Momentankon guration nicht unterschieden. Daher wird die Bezeichnung des Spannungstensors TES im folgenden mit ES ersetzt und die innerhalb einer geometrisch linearen Theorie ubliche linearisierte Form von ES

"S = 21 (GradS uS + GradTS uS ) = 21 (grad uS + gradT uS )

(4.29)

verwendet. Der Extraspannungstensor ES entspricht dem in den vorhergehenden Kapitel  nderung verwendeten Spannungstensor  der einphasigen Betrachtung. Die zeitliche A des plastischen Verzerrungstensors, seither mit "_ p bezeichnet, wird bei der zweiphasigen Betrachtung zu ("Sp)0S . Auerdem mu bei der Anwendung von Dierentialoperatoren wie "div\ oder "grad\ in der geometrisch linearen Theorie nicht zwischen Gro- und Kleinschreibung unterschieden werden, vgl. Gl. (4.29).

Quasi-statische Verschiebungs-Druck-Formulierung Mit den Gleichungen (4.21), (4.27) und (4.28) steht ein Satz von Dierentialgleichungen zur Verfugung, der die Beschreibung eines gekoppelten Festkorper-Fluid-Problems fur quasi-statische Prozesse ermoglicht. Dabei mu ein Anfangsrandwertproblem mit dem Primarvariablensatz u = (uS ; p; wF )T gelost werden. Wird die Impulsbilanz des Fluids (4.27) in die Volumenbilanz (4.21) eingesetzt, kann auf die Sickergeschwindigkeit wF als Primarvariable verzichtet werden. Damit ergibt sich die quasi-statische VerschiebungsDruck-Formulierung fur ein inkompressibles Zweiphasenmodell div(ES

p I) + (nS SR + nF F R )b = 0 div

 F k

F R (grad p



F R b)

= div(uS )0S ;

(4.30)

mit den freien Variablen uS und p. Die Extraspannung ES ist durch die Materialeigenschaften des Festkorperskeletts bestimmt und wird durch Konstitutivgleichungen mit der Festkorperdeformation in Verbindung gebracht, vgl. Kapitel 3.

4.2 Numerische Umsetzung mit der FE-Methode

109

4.2 Numerische Umsetzung mit der FE-Methode Im folgenden wird auf die numerische Umsetzung des gekoppelten Festkorper-Fluid Problems (4.30) mit Hilfe der Finite-Elemente-Methode (FEM) eingegangen. Insbesondere soll die Berucksichtigung des elasto-plastischen Stomodells in die Losungsstruktur des FEM-Algorithmus diskutiert werden. Auf eine vertiefende Erlauterung der FEMGrundlagen wird verzichtet und auf die Standardliteratur wie z. B. Zienkiewicz & Taylor [117] verwiesen. Speziell zum Verstandnis der numerischen Behandlung des hier betrachteten Zweiphasenmodells sowie zu detaillierten Fragen in bezug auf die Orts- und Zeitdiskretisierung der kontinuierlichen Dierentialgleichungen wird die Arbeit von Ellsiepen [39] empfohlen.

4.2.1 Schwache Formulierungen der Bilanzgleichungen Die Losung des Dierentialgleichungsystems (4.30) nach den Primarvariablen u = (uS ; p)T

erfolgt durch die numerische Behandlung mit der Finite-Elemente-Methode. Dazu mussen die ortskontinuierlichen Gleichungen (4.30)1 und (4.30)2 in eine integrale (schwache) Formulierung gebracht werden. Dies erfolgt durch Multiplikation der Gleichungen mit den unabhangigen Testfunktionen Æ uS und Æp und anschlieender Integration uber das Volumen des Korpers B mit der Ober ache @ B. Die Anwendung des Gau schen Integralsatzes (Umwandlung eines Volumenintegrals in ein Ober achenintegral) und der Produktregeln des Divergenzoperators (Divergenztheoreme)4 ergibt schlielich die schwache Formulierung des Problems (4.30) Z

B

(

S E

Z

B

p I)
grad Æ uS dv

div(uS )0S Æp dv +

Z

B

Z

B

(nS SR + nF F R )b
Æ uS dv = Z @B

t
Æ uS da ; (4.31)

kF (grad p F R b)
grad Æp dv =

F R Z

v Æp da

:

@B

Dabei ist n der nach auen orientierte Ober achennormaleneinheitsvektor und t = (ES p I)n der aus der Ober achenbelastung resultierende Spannungsvektor, der auf beide Konstituierende (Festkorper und Fluid) wirkt. Auerdem ist v = (nF wF )
n der Anteil der Filtergeschwindigkeit senkrecht zur Ober ache. Als Randbedingungen konnen entweder die Randverschiebung u S oder die Ober achenbelastung t sowie der Porenwasserdruck p oder die Filtergeschwindigkeit v vorgegeben werden. Dabei sind u S und p als DirichletRandbedingungen und t und v als Neumann-Randbedingungen einzustufen. 4 Vgl. dazu Anhang A.3.

Kapitel 4. Bilanzgleichungen der TPM und FEM-Implementierung

110

Es sei noch erwahnt, da die Sickergeschwindigkeit wF im Anschlu an die Berechnung der Primarvariablen uS und p uber das Darcy sche Filtergesetz (4.27) bestimmt werden kann.

4.2.2 Orts- und Zeitdiskretisierung Ortsdiskretisierung Das gekoppelte Festkorper-Fluid-Problem (4.30) liegt in einer orts- und zeitkontinuierlichen Form vor. Zur Behandlung dieses Problems im Rahmen der FEM ist eine Ortdiskretisierung durch Aufteilung des Korpers B in nite Elemente mit einer gewissen Anzahl an Knoten erforderlich. Mit der Einfuhrung von Ansatzfunktionen wird die Geometrie auf Elementebene in Abhangigkeit der diskreten Knotenkoordinaten beschrieben. Im Sinne eines isoparametrischen Konzepts werden gleiche Ansatzfunktionen zur Beschreibung der Elementgeometrie und des Verschiebungsfeldes gewahlt. Es hat sich als sinnvoll erwiesen, die Ordnung der Ansatzfunktionen des Verschiebungsfeldes eine Stufe hoher zu wahlen, als die des Porenwasserdruckfeldes (Zienkiewicz [116]). Daher werden hier quadratische Ansatze fur die Verschiebung und lineare Ansatze fur den Porenwasserdruck verwendet. Dieses Konzept lat sich beispielsweise mit 6-knotigen Dreieckselementen realisieren, dabei gehen die diskreten Festkorperverschiebungen an den Mittelknoten in die quadratischen Ansatzfunktionen ein, wahrend fur die linearen Ansatze des Porenwasserdrucks nur die Eckknoten berucksichtigt werden. Fur die Approximation der Testfunktionen Æ uS und Æp werden dieselben Ansatzfunktionen wie fur die korrespondierenden Feldgroen gewahlt. Dies entspricht der Vorgehensweise des Standard-Galerkin-Verfahrens. Die Felder der internen Variablen, die aus den plastischen Entwicklungsgleichungen resultieren, werden benotigt zur Spannungsberechnung im Integral der schwachen Formulierung (4.30)1 . Die Auswertung des Integrals mit einem numerischen Integrationsverfahren fuhrt dazu, die Gultigkeit der Entwicklungsgleichungen an den Integrationspunkten5 exakt zu fordern. Daraus resultiert eine Diskretisierung der internen Variablen bezuglich der Integrationspunkte. Der Ort der Integrationspunkte ergibt sich aus dem verwendeten Integrationsverfahren und der Anzahl der verwendeten Integrationspunkte. Die feldlichen Diskretisierung der Primarvariablen fur 2-d. Elemente lat sich durch den Vektor 0

u1

. u := B @ .. uN

1 C A

0

;

1

u1Sn mit un = @ u2Sn A ; n = 1; : : : ; N pn

(4.32)

darstellen. N ist dabei die Anzahl der Knoten des gesamten Gebietes und die hochgestellten Indizes bei den Knotenverschiebungen kennzeichnen die Koordinatenrichtung. In

5 Da zur numerischen Integration sehr hau g das Gau sche Quadraturverfahren verwendet wird, wer-

den Integrationspunkte auch als Gau -Punkte bezeichnet.

4.2 Numerische Umsetzung mit der FE-Methode

111

ahnlicher Form konnen die diskretisierten internen Variablen bezuglich der Integrationspunkte i in dem Vektor 0

0

q1

. q := B @ .. qI

1 C A

;

mit

qi :=

B B B B B B B B B B B B B @

"Sp11 i "Sp22 i "Sp33 i "Sp12 i i

phi pdi

Wp i

1 C C C C C C C C; C C C C C A

i = 1; :::; I

(4.33)

zusammengefat werden. I ist dabei die Anzahl der Integrationspunkte des gesamten Gebietes. Die plastischen Verzerrungen sind fur eine zweidimensionale Betrachtung, wie sie beispielsweise beim ebenen Verzerrungszustand (EVZ) vorliegt, angeschrieben. Der VerzerrungskoeÆzient "33 ucksichtigt werden, da im EVZ nur das Verschwinden Sp mu mit ber 33 der Gesamtverzerrung "S gefordert wird. Fur rotationssymmetrische Verzerrungszustande ware die Indizierung z = 1, r = 2 und ' = 3 zutreend. Weitere interne Variablen sind der plastische Multiplikator , die Verfestigungsparameter der hydrostatischen und deviatorischen Ebenen ph und pd sowie die plastische Arbeit Wp . Fuhrt man zudem noch den Vektor y := (u; q)T ein, kann das gesamte ortsdiskrete Problem in der kompakten Schreibweise (Ehlers & Ellsiepen [36], Ellsiepen [39]) !

!

g(t; u; u0S ; q) M u0S + k(u; q) f (t) 0 F (t; y; yS ) = := =0 l(t; q; q0S ; u) A q0S r(q; u)

(4.34)

mit den Anfangsrandwertbedingungen y (t0 ) = y 0 dargestellt werden. Die vektorielle Gleichung g (t; u; u0S ; q) reprasentiert die ortsdiskrete Zusammenfassung der globalen Bilanzgleichungen. Die verallgemeinerte Massenmatrix M berucksichtigt dabei die Zeitableitungen (uS )0S des kontinuierlichen Problems (4.31)2 und k(u; q) beinhaltet Terme der Bilanzgleichungen, die bei klassischen (einphasigen) FE-Formulierungen dem Stei gkeitsvektor zugeordnet werden. f (t) steht fur die auf dem Rand des Gebietes wirkenden Groen. Die Vektorfunktion l(t; q ; q0S ; u) fat die lokalen, elasto-plastischen Bestimmungsgleichungen zusammen, die zur Berechnung der plastischen Anteile an jedem Integrationspunkt benotigt werden. Fur das in Kapitel 3.2 vorgestellte Stomodell gilt 0

l(t; q; q0S ; u) = A q0S

r(q; u) =

B B B B B B B B B @

@G ("Sp S  S @ E F (ES ; ph ; pd ) ? (ph )0S Cph (p h ph ) (Wp)0S )0

?

1

C C C C C C C C d ) (W )0 C p S A

(pd )0S Cpd (p d p (Wp)0S ES
("Sp )0S

=0:

(4.35)

Kapitel 4. Bilanzgleichungen der TPM und FEM-Implementierung

112

Der Spannungstensor ES wird in Gl. (4.35) nicht als weitere interne Variable aufgefuhrt, da ES durch das Elastizitatsgesetz als Funktion von "Se = "S "Sp bestimmt ist. Auf die plastische Arbeit Wp als interne Variable kann verzichtet werden, indem Gl. (4.35)5 in (4.35)3 und (4.35)4 eingesetzt wird. Dadurch wird das lokale Gleichungssystem um eine Variable reduziert. Auerdem erlaubt die Struktur der hier verwendeten Evolutionsgleichungen der Verfestigung (4.35)3 und (4.35)4 eine analytische Integration derselben. Die integrierten nichtlinearen Gleichungen ph (Wp ) und pd (Wp ) konnten dann in die Fliebedingung (4.35)2 eingesetzt werden, so da

F (ES ; ph ; pd )

! F (ES ; Wp)

(4.36)

gilt und ph sowie pd somit nicht mehr explizit als interne Variable auftreten wurden. Darauf wurde verzichtet, um den Algorithmus allgemein zu halten, und um beliebige (analytisch nicht integrierbare) Evolutionsgleichungen leicht integrieren zu konnen.

Zeitdiskretisierung Die Losung des zeitkontinuierlichen Systems (4.34) erfordert die Diskretisierung der Gleichungen bezuglich der Zeit t durch ein geeignetes Zeitintegrationsverfahren. In dem Differentialgleichungssystem (4.34) handelt es sich sowohl bei M als auch bei A um Matrizen, die nicht den vollen Rang besitzen. Dies bedeutet, es liegen algebraische Gleichungen gekoppelt mit gewohnlichen Dierentialgleichungen vor6 . Gleichungssysteme dieser Art werden als DAE7 bezeichnet und erfordern gegenuber gewohnlichen Dierentialgleichungssystemen (ODE8 ) erhohte Stabilitatsanforderungen bezuglich der Zeitintegrationstechnik, vgl. Ellsiepen [39]. Das implizite Euler -Verfahren genugt diesen Anforderungen und soll daher im weiteren betrachtet werden. Gesucht ist die Losung des Anfangswertproblems (4.34) mit den Anfangsbedingungen y(t0 ) = y0 . Beim impliziten Euler -Verfahren erfolgt eine (zeit-) diskrete Auswertung des Gleichungssystem zum Zeitpunkt tn+1 , die Groen y n+1 sind dabei noch unbekannt. Zeitableitungen erster Ordnung werden durch den Dierenzenquotient

y0n+1 = yn+1
t yn

(4.37)

approximiert. Dadurch ergibt sich fur einen vorgegebenen Zeitschritt
t das zeitdiskretisierte Gesamtgleichungssystem zum Zeitpunkt tn+1 F n+1 (tn+1; yn+1; (yn+1
t yn ) ) := ! ! (4.38) g(tn+1; un+1; (un+1
t un) ; qn+1) g (un+1; qn+1) =  = l(qn+1; un+1) l(tn+1 ; qn+1; (qn+1
t qn) ; un+1) 6 Im

globalen System g(t; u; u0S ; q) liegen algebraische Gleichungen (ohne Zeitableitung) durch die Impulsbilanz der Mischung (4.31)1 und im lokalen System l(t; q; q0S ; u) durch die Fliebedingung (4.35)2 vor.7 dierential algebraic equations 8 ordenary dierential equations

4.2 Numerische Umsetzung mit der FE-Methode

=

113

1 M (un+1 un ) + k(un+1 ; q ) f ! n+1 n+1
t =0: 1 A (q q ) r ( q ; u ) n +1 n +1 n n +1
t

4.2.3 Losung der nicht-linearen Gleichungssysteme Die Zeitdiskretisierung im vorhergehenden Abschnitt fuhrte auf das nicht-lineare Gleichungssystem (4.38) mit dem Unbekanntenvektor y n+1 . Dieses Gleichungssystem mu in jedem Zeitschritt des Zeitintegrationsalgorithmus iterativ gelost werden. Bei der Verwendung eines Newton-Verfahrens wird die Tangente (Jacobi -Matrix) bezuglich yn+1 fur jeden Iterationsschritt k benotigt:

J

k











dF k @F k @ F k @ (y 0S )k @ F k 1 @ F k := k = k + = + : (4.39) dy yn+1 @ y yn+1 @ (y 0S )k @ y k yn+1 @ y k yn+1
t @ (y 0S )k yn+1

Die Losung des gesamten Problems (4.38) nach yn+1 innerhalb eines Newton-Verfahrens ist numerisch nicht sinnvoll, da die Matrixstruktur der sich dabei ergebenden linearen Gleichungssysteme eine auerst ungunstige Besetzung der Eintrage aufweisen wurde. Daher werden die beiden gekoppelten Systeme g und l getrennt voneinander betrachtet, indem zuerst das globale System gelost wird und anschlieend das lokale Problem als Unterproblem (Subproblem) behandelt wird. Die beiden Systeme werden dann gegeneinander ausiteriert, bis das globale Residuum g (un+1 ; qn+1 ) hinreichend klein ist. Im Rahmen von elasto-plastischen Problemstellungen ist diese Vorgehensweise bekannt als Operator-Split , vgl. Miehe [79]. Die Ermittlung der internen Variablen qn+1 des lokalen, elasto-plastischen Gleichungssystems erfolgt innerhalb eines Newton-Verfahrens bei festgehaltenen globalen Groen. Umgekehrt erfolgt die Bestimmung der globalen Variablen un+1 fur fest vorgegebene lokale Groen. Im Bereich der numerischen Mathematik spricht man hierbei von einer Block-Gau -Seidel -Newton-Strategie . Wird zusatzlich die implizite Abhangigkeit q(u) bei der Tangentenbildung zur Losung des globalen Gleichungssystems g (un+1 ; q n+1 ) berucksichtigt, bezeichnet man das Vorgehen als algorithmisch konsistente Linearisierung . Die Tangente des globalen Systems im Iterationsschritt k ergibt sich dann durch die partielle Dierentation dg k (un+1 ; qn+1 ) @ g k @ g k @ q kn+1 = + : dukn+1 @ ukn+1 @ q kn+1 @ ukn+1

(4.40)

Der erste Term auf der rechten Gleichungsseite beinhaltet die Linearisierung der Bilanzgleichungen einschlielich der Tangente des nicht-linearen Elastizitatsgesetzes. Der zweite Term berucksichtigt die Abhangigkeit der globalen Tangente vom lokalen Losungsalgorithmus und ist dann ungleich null, wenn die Abfrage der Kuhn-Tucker -Bedingungen plastisches Materialverhalten anzeigen. Da bei der Losung des lokalen Gleichungssystems l(q n+1 ; un+1 ) die globalen Variablen u festgehalten werden, ist die totale A nderung von l(q n+1 ; un+1 ) bezuglich u gleich null.

Kapitel 4. Bilanzgleichungen der TPM und FEM-Implementierung

114

Dies fuhrt mittels impliziter Dierentation auf die fur Gl. (4.40) benotigte algorithmische Tangente T qu des lokalen elasto-plastischen Systems dlk (qn+1 ; un+1 ) @lk @lk @ q kn+1 ; =0= k + k dukn+1 @ un+1 @ q n+1 @ ukn+1 | {z }

(4.41)

T qu

die die Abhangigkeit der lokalen Variablen am Integrationspunkt von den globalen Primarvariablen beschreibt.

Einbeziehung der Stogleichungen aus Kapitel 3 Die Behandlung des in dieser Arbeit betrachteten Stomodells innerhalb der bisher beschriebenen FE-Struktur erfordert die Implementierung der nicht-linearen Materialgleichungen aus Kapitel 3 und der entsprechenden Dierentialbeziehungen zur Linearisierung derselben. Die dazu erforderlichen Gleichungsstrukturen sind im folgenden zusammengefat.

Elastizitat Ausgehend von dem elastischen Potential e (I"Se ; IID"Se ; I"Sp ) (Gl. (3.13)) ergibt sich das in Abschnitt 3.1.2 diskutierte Elastizitatsgesetz D" ; I" ) @ (I ; II e " Se Sp Se ES ("Se; "Sp) = @ "Se = 2 (I"Se ; I"Sp ) "

D Se

@(I"Se ; I"Sp )  D 2 + k(I"Se ; I"Sp ) I"Se I + 2 II"Se I @ I"Se

das zur Spannungsberechnung innerhalb von k(u; q) bei gegebenen Verzerrungsfeldern "Se und "Sp herangezogen wird. Zur Linearisierung des Elastizitatsgesetzes ist die Tangentenbildung bezuglich "Se erforderlich. Daraus resultiert der 4-stu ge Elastizitatstensor 4

Ce (I"Se ; IID"Se ; I"Sp ) = =

@ 2 e (I"Se ; IID"Se ; I"Sp ) @ "Se2 @

@ "Se

@ e @ I"Se @ I"Se @ "Se

!

+

@

@ "Se

D !

@ e @ II"Se @ IID"Se @ "Se

 4 @ @ 2  4 D D I + 4 ( I

" + "

I ) + 4  = 2 I Se Se @ I"Se2 @ I"Se

(4.42)  1 4 @k 4 I + I: 3 @ I"Se

4 Der Elastizitatstensor Ce wird benotigt zur Bildung von @ g k =@ ukn+1 in Gl. (4.40). Zur De nition der 4-stu gen Fundamentaltensoren sei auf den Anhang verwiesen.

4.2 Numerische Umsetzung mit der FE-Methode

115

Elasto-Plastizitat Bei der Losung des lokalen elasto-plastischen Gleichungssystems l(t; q; q0S ; u) (vgl. (4.35)) mittels eines Newton-Verfahrens werden gema Gl. (4.39) die Dierentialbeziehungen @ lk =@ q k jn+1 und @ lk =@ (q 0S )k jn+1 zur Ermittlung der lokalen Jacobi -Matrix J kl benotigt. Die iterative Losung mit J kl nach den internen Variablen qn+1

erfolgt dabei bei festgehaltenen Gesamtverzerrungen "S n+1 (un+1 ), die sich aus einer vorhergehenden Iteration des globalen Gleichungssystems ergeben. Die Matrix-Struktur der partiellen Ableitungen von l zur Bildung der Jacobi -Matrix J kl sind im folgenden angegeben. Der U bersichtlichkeit wegen ist die Indizierung zur Angabe des Zeit- und Iterationsschrittes fortgelassen. Somit ist 2

@l @q

6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 =6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4





@G @ ES .. @G .. .. .. 3 . . 0 . 0 . 07  S @ E @ ES @ "Sp @ ES 7 ....................................................................... 7 7 @ ES @F @F @F .. .. .. .. 7 . 0 . . . 07 7 @ "Sp @ ES @ ph @ pd 7 ....................................................................... 7 7 7 S @  . . . . ?h .. Cph (Wp )0S .. .. 0 7 Cph (p ph ) E ("Sp)0S .. 0 0 7(4.43) @ "Sp 7 7 ....................................................................... 7 7 @ ES .. .. .. .. 7 ?d d 0 0 Cpd (p p ) (" ) . 0 . 0 . Cpd (Wp )S . 0 7 7 @ "Sp Sp S 7 ....................................................................... 7 7 @ ES . . . . .. .. .. .. 0 5 ("Sp )0S 0 0 0 @ "Sp @

mit q = ("Sp; ; ph ; pd ; Wp)T . Die Jacobi -Matrix bezuglich der Geschwindigkeitsableitungen hat die Struktur 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 = 0) 6 S 6 6 6 6 6 6 4

@l @ (q

4

. . . . 0 I .. 0 .. 0 .. 0 .. .................................... . . . . 0 .. 0 .. 0 .. 0 .. 0 .................................... . . . . ? 0 .. 0 .. I .. 0 .. Cph (p h ph ) .................................... . . . . ? 0 .. 0 .. 0 .. I .. Cpd (p d pd ) .................................... ES ... 0 ... 0 ... 0 ... 1

3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5

(4.44)

mit q 0S = (("Sp )0S ; 0S ; (ph )0S ; (pd )0S ; (Wp )0S )T . Die lokale Jacobi -Matrix J kl mu nicht notwendigerweise in jedem Iterationsschritt k neu aufgebaut werden. Modi zierte Newton-Verfahren halten die Tangente uber mehrere

116

Kapitel 4. Bilanzgleichungen der TPM und FEM-Implementierung

Iterationsschritte konstant, was trotz einer dadurch entstehenden Verschlechterung der Konvergenzrate zu einer eÆzienteren Losung des Gleichungssystems fuhren kann [102]. Weiterhin mu die Ableitung @ q n+1 =@ un+1 bereitgestellt werden, um die globale Jacobi Matrix algorithmisch konsistent bilden zu konnen, vgl. dazu Gl. (4.40). Da in den globalen Gleichungen (Bilanzgleichungen) die Spannungen ES ("S ) durch die elasto-plastischen Materialgleichungen mit den Primarvariablen "S (u) verbunden sind, ist die Ermittlung von @ q n+1 =@ un+1 mit dem partiellen Dierenzenquotient @ ES =@ "S erforderlich. Dazu wird im lokalen Gleichungssystem die interne Variable "Sp mit der zeitdiskretisierten Formulierung der Flieregel ersetzt. Dadurch erreicht man l(q n+1 ; un+1 ) ^l(^q n+1 ; un+1 ) ) (4.45) qn+1 = ("Sp; ; ph; pd; Wp)n+1 q^n+1 = (ES ; ; ph; pd; Wp)n+1 : Das im vorhergehenden Abschnitt in Gl. (4.41) beschriebene Prinzip der impliziten Dierentation fuhrt dann fur das lokale Subsystem ^l bei festgehaltener Gesamtverzerrung auf (samtliche Groen beziehen sich auf den Zeitpunkt tn+1 ) d^l @^l @  @^l @^l @  S @^l @ ph @^l @ pd @^l @Wp =0= + S E + + h + d + :(4.46) d"S @ "S @ E @ "S @  @ "S @ p @ "S @ p @ "S @Wp @ "S Mit der Losung des linearen Gleichungssystems 2 3 2 @^l1 @ ^l1 @ ^l1 @ ^l1 @ ^l1 @ ^l1 6 6 @" 7 6 @ ES @  @ ph @ pd @Wp 6 S 7 6 7 6 6 @^ 7 6 @^ ^ ^ @ ^l2 @ ^l2 l 2 6 l2 @ l2 @ l2 7 6 6 6 @" 7 S S 7 6 @ E @  @ ph @ pd @Wp 6 6 6 ^ 7 ^ @ ^l3 @ ^l3 ^ 6 @^ 6 @ l3 7 6 l3 @ l3 @ l3 7 6 6 @ " 7 = 6 @  S @  @ ph @ pd @W S 7 p 6 6 E 6 6 ^ 7 ^ ^ @ ^l4 @ ^l4 6 @^ 6 @ l4 7 6 l4 @ l4 @ l4 7 6 6 @  S @  @ ph @ pd @W 6 @ "S 7 p 6 6 7 E 6 6 ^ 7 ^ ^ ^ ^ ^ 4 @ l5 @ l5 @ l5 4 @ l5 5 @ l5 @ l5 S h @ "S @ E @  @ p @ pd @Wp

32 76 76 76 76 76 76 76 76 76 76 76 76 76 76 76 76 76 76 54

3 S @ E 7 @S 7 7 @ 7 7 7 @S 7 7 @ h 7 7 @S 7 7 7 d 7 @ 7 @S 7 7 @Wp 7 5

 "

" p " p "

(4.47)

@ "S

erhalt man schlielich die gesuchte Tangente @ ES =@ "S . Damit stehen samtliche Gleichungen zur Verfugung, die zur Losung des gekoppelten Systems (4.34) innerhalb eines Newton-Verfahrens im Rahmen einer konsistenten Linearisierung erforderlich sind. Die Ausiterierung der beiden Systeme gegeneinander erfolgt fur jeden Zeitschritt solange, bis das Residuum des groen globalen Gleichungssystems9 kleiner als eine vorgegebene relative oder absolute Toleranz ist. 9 Durch

den Zusammenbau (Assemblierung) der Stei gkeitsmatrizen K E = @ kE =@ u der einzelnen Elemente zu einer globalen Stei gkeitsmatrix entsteht in der Regel ein groes Gleichungssystem. Die Anzahl der Eintrage ist bestimmt durch die Anzahl der Knoten des gesamten ortsdiskretisierten Problems, multipliziert mit der Anzahl der Freiheitsgrade pro Knoten (hier 3 FG fur Eckknoten und 2 FG fur Mittelknoten).

Kapitel 5 Numerische Beispielrechnungen Das im Rahmen dieser Arbeit entstandene Stomodell ist in das FEM-Programmsystem PANDAS [37] implementiert. PANDAS ist ein FE-System, das speziell die Simulation von gekoppelten Deformations- und Stromungsprozessen gestattet, die in porosen Festkorpern wie z. B. in wassergesattigten Boden auftreten. Das Programm verfugt uber stabile implizite Zeitintegrationsverfahren (Euler, Runge-Kutta) zur Losung der zeitabhangigen dierential-algebraischen Gleichungen (DAE). Desweiteren stehen eÆziente direkte und iterative Gleichungsloser zur numerischen Invertierung der linearen Gleichungssysteme zur Verfugung. Bei der Modellierung eines Anfangs-Randwertproblems konnen die Randbedingungen zeit- und ortsabhangig vorgegeben werden. Dies ist sowohl fur Dirichletsche als auch fur Neumannsche Randbedingungen moglich. PANDAS ist auerdem mit modernen Ausgabe-Modulen ausgestattet, die beispielsweise mit Hilfe einer integrierten OnlineVisualisierung die Anzeige von Zwischenergebnissen (Verschiebungen, Spannungen, Verzerrungen etc.) wahrend der laufenden Berechnung ermoglichen. Anhand von ausgewahlten Beispielen wird im folgenden die Validierung des in dieser Arbeit behandelten Stomodells sowie der numerischen Implementierung des Modells gezeigt1 . Dabei werden die in Kapitel 3 ermittelten Materialparameter verwendet, die in Abschnitt 3.2.6 in Tabelle 3.2.6 zusammengefat sind. Der erste Teil dieses Kapitels behandelt die Nachrechnung von Triaxialversuchen. Im Anschlu daran wird ein gromastablicher Versuch der Degebo numerisch simuliert und die berechneten Baugrundsetzungen mit den im Versuch gemessenen Setzungen verglichen.

5.1 Triaxialversuche Bei der Modellierung einer axialsymmetrischen Triaxialprobe wird lediglich ein Viertel der Probe betrachtet. Die Randbedingungen sind in Abb. 5.1 dargestellt. Da nur rotationssymmetrische Belastungszustande betrachtet werden, kann das Problem zweidimensional 1 Das elasto-plastische Stomodell ist in PANDAS gema Kapitel 3 integriert, mit Ausnahme der Evolutionsgleichung fur nach Gl. (3.35). Fur wird in den hier vorgestellten Berechnungen der konstante ?

Wert = = 1; 62 gewahlt.

117

Kapitel 5. Numerische Beispielrechnungen

118

z = 1 r

z

= 3 0,05 m

r

0,05 m

0,05 m Abbildung 5.1:

0,05 m

Randbedingungen beim triaxialen Elementversuch hydrostatische Achse ES1 = ES2 = ES3

ES1

triaxiale Kompression ("Sp)0S

("Sp )0S hydrostatische Kompression

p

2 ES3

Abbildung 5.2:

Belastungspfade beim triaxialen Kompressionsversuch und beim hydrostatischen Kompressionsversuch

5.1 Triaxialversuche

119

mit den Richtungskoordinaten z = 1 und r = 3 beschrieben werden. Der obere und untere Rand in Abb. 5.1 ist in horizontaler Richtung verschieblich gelagert. Dies entspricht ideal geschmierten Probenend achen im Experiment. Aufgrund der homogenen Randbedingungen liegen innerhalb der Probe homogene Spannungs- und Verzerrungsfelder vor.

5.1.1 Triaxialer Kompressionsversuch

1400 1200 1000 800 600 400 200 00

Volumendehnung I" [%]

Scherspannung j1

3 j

[kN/m2]

Bei der Nachrechnung eines triaxialen Kompressionsversuchs wird exemplarisch ein Versuch mit einer konstanten Seitenspannung von 3 = 500 kN/m2 herausgegrien.

2,5

2; 0

2,0

4; 0

6; 0

8; 0

10; 0

6; 0

8; 0

10; 0

Modell Experiment

1,5 1,0 0,5 0 0; 5

Abbildung 5.3:

0

2; 0

4; 0

Axialverzerrung

"1

[%]

Nachrechnung eines triaxialen Kompressionsversuchs mit einer konstanten Seitenspannung von 3 = 500 kN/m2

Kapitel 5. Numerische Beispielrechnungen

120

Dabei wird zuerst die axiale und die radiale Belastung 1 und 3 gleichmaig erhoht, bis ein hydrostatischer Spannungszustand (I = 1500 kN/m2 ) vorliegt. Daraufhin wird die axiale Belastung 1 linear gesteigert, vgl. Abb. 5.2. Fur den oberen Rand wird entsprechend einem experimentellen drainierten Triaxialversuch ein Porenwasserdruck p = 0 vorgegeben2 . Da die Belastungsgeschwindigkeit sehr klein ist, spielt die Fluid-StrukturKopplung hier keine Rolle. Auf eine Notation gema dem in Kapitel 4 vorgestellten Zweiphasenmodell wird daher verzichtet. Das Ergebnis der Nachrechnung wird in Abb. 5.3 mit einer experimentell ermittelten Spannungs-Dehnungskurve und einer Volumendehnungskurve verglichen.

5.1.2 Hydrostatischer Kompressionsversuch

Hydrostatische Spannung

m

[kN/m2]

Beim hydrostatischen Kompressionsversuch wird auf den Probekorper in axialer und in radialer Richtung die gleiche Belastung aufgebracht. Hier wird speziell ein hydrostatischer Versuch betrachtet, bei dem Ent- und Wiederbelastungszyklen durchgefuhrt wurden. Dazu wird eine hydrostatische Erstbelastung (vgl. hydrostatischer Spannungspfad in Abb. 5.2) bis zu einer Spannung von m = 1500 kN/m2 mit einer anschlieenden Entlastungsschleife mit dem in dieser Arbeit vorgestellten Stomodell nachgerechnet. Das Ergebnis dieser Nachrechnung ist in Abb. 5.4 dargestellt. Wie beim triaxialen Kompressionsversuch ist der obere Probenrand drainiert und die Belastungsgeschwindigkeit sehr klein. Damit hat das Poren uid keinen Ein u auf das Rechenergebnis.

1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 00

Abbildung 5.4:

Modell Experiment

0; 2 0; 4 0; 6 0; 8 1; 0 1; 2 1; 4 1; 6 1; 8 Volumendehnung I" [%]

Nachrechnung eines hydrostatischen Kompressionsversuchs mit einer Entlastungsschleife bei m = 1500 kN/m2

2 p = 0 entspricht drainierten Verhaltnissen. Die seitliche Probenberandung, die im Experiment durch

die Latexhulle abgeschlossen ist, wird undrainiert modelliert.

5.1 Triaxialversuche

121

5.1.3 CU-Versuch Unter einem CU-Versuch versteht man einen triaxialen Kompressionsversuch bei dem eine wassergesattigte Probe zuerst (bei drainierten Verhaltnissen) hydrostatisch konsolidiert (engl. Consolidating ) wird und anschlieend bei geschlossenen Zuleitungen (undrainiert engl. Undrained ) die axiale Belastung bis zum Versagen erhoht wird (DIN 18137 [27, 28]). Dies bedeutet, die Probe deformiert sich in der zweiten Versuchsphase volumenerhaltend bei einer deviatorischen Belastung. Hierbei andert sich der Porenwasserdruck in Abhangigkeit des Materialverhaltens der Festkorperstruktur. Liegt beispielsweise kontraktantes Deformationsverhalten vor, ist ein Zunahme des Porenwasserdrucks zu beobachten. Dann ist der hydrostatische Anteil des Extraspannungstensors IES (eektive Spannung) betragsmaig geringer als die Spur der totalen Spannung IS . Bei dilatantem Materialverhalten entsteht dagegen eine Reduktion des Porenwasserdrucks. Die Reduzierung des Porenwasserdrucks bewirkt eine betragsmaige Erhohung der hydrostatischen Extraspannung IES . Dies kann dazu fuhren, da jIES j groer wird als der Betrag der totalen hydrostatischen Spannung jIS j und damit ein absoluter Porenwasserunterdruck (Saugspannung) vorliegt.

q

Dev.-spannung r = 2 IID [kN/m2]

;

1000 800

FE-Rechnung Belastungspfad (totale Spannung)

600


p

400 200 00

1000 800

FE-Rechnung Belastungspfad (totale Spannung)

600 400


p

200 500 1000 1500 2000 2500 Extraspannung IES [kN/m2]

Abbildung 5.5:

00

500 1000 1500 2000 2500 Extraspannung IES [kN/m2]

FE-Berechnung von CU-Versuchen mit dicht gelagertem Berliner Sand (links) und mit locker gelagertem Berliner Sand (rechts)

In Abb. 5.5 sind FE-Rechnungen von zwei CU-Versuchen mit einer hydrostatischen Konsolidationsspannung von IS = 1500 kN/m2 dargestellt. Im linken Diagramm wird der in dieser Arbeit betrachtete dicht gelagerte Berliner Sand modelliert. Hier ist nach anfanglichem kontraktantem Verhalten, verbunden mit einer Zunahme des Porenwasserdrucks, ausgepragt dilatantes Materialverhalten zu beobachten. Dies macht sich dadurch bemerkbar, da sich der auf das Festkorperskelett wirkende eektive hydrostatische Spannungszustand betragsmaig erhoht und somit die bis zum Versagen der Probe aufbringbare axiale Belastung ebenfalls zunimmt.

Kapitel 5. Numerische Beispielrechnungen

122

Im rechten Diagramm wird Berliner Sand in einer lockeren Lagerungsdichte betrachtet3 . Die Probe verhalt sich hier auschlielich kontraktant, was typisch ist fur locker gelagerten Sand oder erstverdichteten Boden. Dies fuhrt zu einem vorzeitigen Versagen der Probe, da der Porenwasseruberdruck zunimmt und somit die auf das Festkorperskelett wirkende eektive hydrostatische Spannung betragsmasig abnimmt. Man spricht hierbei von Ver ussigung (engl. Liquefaction ).

5.2 Degebo-Versuch In diesem Abschnitt wird die Nachrechnung eines gromastablichen Belastungsversuchs der Deutschen Forschungsgesellschaft fur Bodenmechanik (Degebo) behandelt (Elminger & Muhs [40]). Dabei wird ein Versuch mit einem eingebundenen Rechteckfundament S auf dicht gelagertem ( = 1; 71 g/cm3), wassergesattigten Berliner Sand betrachtet, vgl. Abb. 5.6. Die Einbindetiefe betragt 30 cm und die Fundamentabmessungen sind 60 X 120 cm. Das Fundament hat damit ein Seitenverhaltnis von 1:2, so da die Annahme eines ebenen Verzerrungszustandes naherungsweise zutreend ist.

Abbildung 5.6:

Gromastablicher Versuch zur Fundamentbelastung auf Berliner Sand (aus Elminger & Muhs [40])

In Abb. 5.7 ist das Ergebnis der numerischen Simulation des Versuchs den experimentellen Ergebnissen gegenubergestellt. Die mittlere Sohlspannung wird bei der FE-Simulation berechnet, indem das Spannungsintegral uber die Sohl ache gebildet wird und anschlieend die Integralsumme durch die Sohl ache geteilt wird. Im Experiment wurde eine maximale Belastung von 1,75 MN/m2 (maximale Kraft/Sohl ache) erreicht, danach trat Versagen in Form eines Grundbruchs ein. 3 Fur das plastische Potential werden Parameter verwendet, die eine lockere Lagerungsdichte abbilden.

Die restlichen Parameter des Stomodells sind dieselben wie fur dichten Berliner Sand.

5.2 Degebo-Versuch

123

Setzung [m]

Die Versagenslast des Fundaments wird in der FE-Rechnung gut approximiert. Bei Annaherung an die kritische Last wird die numerische Losung instabil. Die Abweichungen im Last-Setzungsverlauf zwischen Experiment und FE-Simulation sind in der langen Kette aus Elementversuchen, Modellbildung, Parameteridenti kation und numerischer Simulation begrundet. Zudem treten auch in den experimentellen Messungen Unwagbarkeiten auf. So zeigen z. B. lokale Spannungsmegeber in den Degebo-Experimenten eine nicht-symmetrische Spannungsverteilung in der Fundamentsohle und somit eine gewisse Schragstellung des Fundaments, d. h. es treten Schubspannungen zwischen Boden und Fundament auf. Dadurch kann das Ergebnis des Last-Setzungsverlaufs beein ut werden. In der FE-Rechnung hingegen wurde von einer ideal symmetrischen Sohlspannungsverteilung ausgegangen, horizontale Spanungskomponenten wurden nicht berucksichtigt.

0 0,02 0,04 0,06 0,08

Modell Experiment

0,1 0,12 0 Abbildung 5.7:

500 1000 1500 2000 Mittlere Fundamentsohlspannung [kN/m2]

Vergleich der Last-Setzungskurven aus FE-Rechnung und Groversuch

124

Kapitel 5. Numerische Beispielrechnungen

Zusammenfassung und Ausblick Zusammenfassung Die makroskopische Beschreibung des komplexen Materialverhaltens einer granularen Struktur erfordert die Berucksichtigung verschiedenster materialspezi scher Eigenschaften. Hierzu wird in der vorliegenden Arbeit ein elasto-plastisches Stomodell vorgestellt, das sowohl die reversiblen (elastischen) als auch die irrevesiblen (plastischen) Dehnungsanteile wirklichkeitsnah beschreibt, sofern im Belastungsverlauf keine groen Entlastungszyklen vorliegen. Die Materialeigenschaften eines granularen Mediums werden exemplarisch an Berliner Sand mit einer vorgegebenen Lagerungsdichte untersucht. Im experimentellen Bereich ist die wesentliche Leistung dieser Arbeit in der Durchfuhrung von Triaxialversuchen mit geeigneten Randbedingungen zu sehen, die anahernd homogene Spannungs- und Verzerrungsfelder im Inneren der Probe gewahrleisten. Desweiteren wird eine neue Methode zur exakten Messung von sehr kleinen Probenvolumenanderung vorgestellt. Die axialen Probeverformungen werden durch einen globalen Wegmegeber erfat. Dies erfordert die Korrektur des Eindruckfehlers (engl. Bedding Error ) der Latexund Schmierstoschicht in die Korner der Probenstirn achen. Zur Ermittlung dieses Eindruckfehlers wird eine spezielle Methode angewandt, bei der in einem Vorversuch eine Fehlerkurve in Abhangigkeit der axialen Stirn achenspannung bestimmt wird. Bei der theoretischen Materialmodellierung spielt die Entwicklung eines geeigneten Elastizitatsgesetzes fur Reibungsmaterialien eine zentrale Rolle. Dazu wird zuerst eine Literaturrecherche mit einer Beurteilung von vorhandenen Elastizitatsgesetzen durchgefuhrt. Im Anschlu daran wird ein Vorschlag fur eine neue Verzerrungsenergiefunktion gemacht, deren Eigenschaften ausfuhrlich diskutiert werden. Durch Entlastungsschleifen in Triaxialversuchen werden die elastischen Dehnungsanteile von der gesamten Strukturdeformation getrennt. Auf der Basis von Ergebnissen aus diesen Entlastungsschleifen wird eine Parameteridenti kation fur das vorgestellte Elastizitatsmodell durchgefuhrt. Aufbauend auf Vorarbeiten von Ehlers [33, 34] im Bereich der Plastizitatstheorie werden zur Modellierung des plastischen Deformationsverhaltens von granularen Materialien vorhandene Konstitutivgleichungen erweitert und spezialisiert. Dazu werden Evolutionsgleichungen zur Beschreibung der Materialverfestigung in Abhangigkeit der akkumulierten plastischen Arbeit eingefuhrt. Auf der Basis von triaxialen Kompressions- und Extensionsversuchen sowie von hydrostatischen Kompressionsversuchen erfolgt eine Parameteridenti kation der im Modell enthaltenen Materialparameter mit Hilfe der Formulierung von Least-Squares Funktionalen. 125

126

Zusammenfassung und Ausblick

Mit Hilfe der Theorie Poroser Medien kann eine granulare Struktur als ein zweiphasiges Material beschrieben werden und damit ein evtl. vorhandenes Poren uid berucksichtigt werden. Die Formulierung von Erhaltungsgleichungen fur die Impulsanderung und die Massen- bzw. Volumenanteile der Mischung fuhrt auf ein Dierentialgleichungssystem, mit dem in Abhangigkeit der Primarvariablen u und p (Verschiebung und Druck) beliebige Anfangsrandwertprobleme einer granularen uidgesattigten oder trockenen Struktur beschrieben werden konnen. Die im Rahmen dieser Arbeit entwickelten elasto-plastischen Konstitutivgleichungen werden in die schwache Formulierung dieser Dierentialgleichungen eingebunden. Dabei werden die Stogleichungen in ein vorhandenes FE-Programm fur porose Medien integriert. Im letzten Kapitel dieser Arbeit werden abschlieend Beispielrechnungen zur Veri zierung des Stomodells und der numerischen Implementierung durchgefuhrt.

Ausblick In Erganzung zu den durchgefuhrten Triaxialversuchen wurde eine Ausdehnung der untersuchten Spannungsbereiche eine Verbesserung der Modellanpassung an das tatsachliche Materialverhalten von Berliner Sand versprechen. Insbesondere im Bereich kleiner hydrostatischer Spannungszustande und im Bereich der Extension sind zusatzliche Untersuchungen wunschenswert. Die Metechnik innerhalb der Elementversuche kann durch eine lokale Axialdehnungsmessung verbessert werden. Dadurch wurde das Problem des Bedding Errors umgangen werden, und mogliche Unregelmaigkeiten an den Probenenden blieben unberucksichtigt. Im Bereich der Modellbildung kann die Einbeziehung von kinematischer Verfestigung die Materialbeschreibung verbessern. Insbesondere wurde dies die Abbildung von Hystereseeekten erlauben, die bei groen Entlastungsschleifen in der Regel auftreten. Die Parameteridenti kation erfolgt in dieser Arbeit auf der Basis einer moglichst direkten Deutung der physikalischen Eigenschaften der einzelnen Materialparameter. Diese Identi kation erfolgt mit Hilfe von Ergebnissen aus homogenen Elementversuchen. Ein andere Moglichkeit zur Parameterbestimmung ist die sogenannte inverse Identi kation der Materialkonstanten. Dabei werden in einer FE-Rechnung experimentelle Randwertprobleme nachgerechnet und durch die Optimierung eines Gutekriteriums, das in der Regel durch den Fehlerquadratabstand bezuglich der experimentellen Ergebnisse gebildet wird, die Parameter ermittelt. Ein Vergleich der Parameter ndung, wie sie in dieser Arbeit durchgefuhrt ist, und einer solchen inversen Bestimmung stellt eine weitere interessante Aufgabenstellung dar.

Anhang A Allgemeine tensorielle Beziehungen An dieser Stelle werden einige De nitionen und Rechenregeln, die im Rahmen dieser Arbeit verwendet wurden, zusammengestellt. Dabei handelt es sich um Vektor- und Tensorbeziehungen, die der Standardliteratur entnommen werden konnen. Die Schreibweise und Begrisde nition erfolgt in Anlehnung an die Notation von de Boer [9].

A.1 Tensoralgebra A.1.1 Tensorprodukte Bei der Produktbildung zwischen Tensoren sind skalare, verjungende und dyadische Verknupfungen moglich. Dabei sind eine Vielzahl von Kombinationen denkbar. Im folgenden werden Beispiele fur Tensorprodukte angegeben, die in dieser Arbeit verwendet wurden. Zum besseren Verstandnis der absoluten Tensorschreibweise wird hier zusatzlich die Indexschreibweise fur kartesische Koordinaten angegeben. Dabei gelten die ublichen Regeln der Einsteinschen Summenkonvention .

 Skalarprodukte:

Das Skalarprodukt kann nur zwischen Tensoren gleicher Stufe gebildet werden. Die Basisvektoren werden skalar miteinander verknupft:

 = a
b =

ai bi ;

(A.1)

 = A
B = Aij Bij :

 Lineare Abbildung und Tensorprodukte:

Die lineare Abbildung sowie Tensorprodukte bei denen sich die tensorielle Stufe des Ergebnistensors gegenuber der Summe der Tensorstufen der Operatoren reduziert bilden sich aus einer Kombination aus einer skalaren und einer dyadischen Verknupfung der Basisvektoren:

c = A b = Aij bj ei ; C = A B = Aij Bjk ei ek ; 127

(A.2)

Kapitel A. Allgemeine tensorielle Beziehungen

128

4

C = A B = Aijkl Bkl ei ej :

 Dyadische Tensorprodukte:

Bei einem dyadischen Tensorprodukt werden samtliche Basisvektoren der Operatoren dyadisch miteinander verknupft. Die Stufenzahl des Ergebnistensors entspricht der Summe der Tensorstufen der Operatoren:

C = a b =

ai bj

4

ei ej ;

C = A B = Aij Bkl ei ej ek el :

(A.3)

A.1.2 Identitats- und Fundamentaltensoren Identitatstensor Der Identitatstensor zweiter Stufe bildet jeden Vektor a bzw. Tensor A auf sich selbst ab:

a = Ia ;

A = IA :

(A.4)

Fundamentaltensoren Tensoren zweiter Stufe lassen sich durch Fundamentaltensoren vierter Stufe identisch, spurbildend und transponierend abbilden: 4 = IA; 4 (A
I)I = I A ; 4  T A = IA;

A

4

23

I = (I I) T ;

4 I = (I I) ; 4 I = (I I) 13T :

(identische Abbildung) (Spurbildung)

(A.5)

(Transposition)

ij

Die Transposition (
)T bezeichnet die Vertauschung der i-ten mit der j -ten Tensorbasis.

A.1.3 Kugeltensor und Deviator Ein Tensor A kann in einen sogenannten Kugelanteil AK und in einen deviatorischen Anteil AD additiv zerlegt werden. Die beiden Anteile bilden sich de nitionsgema nach der Vorschrift AK := 31 (A
I)I ; (A.6) AD := A 31 (A
I)I = A AK : Bei Deformations- und Verzerrungstensoren beschreibt der Kugelanteil die Volumenanderung und der deviatorische Anteil die volumenkonstante Gestaltanderung. Der Deviator AD ist spurfrei, d. h. es gilt AD
I = 0.

A.2 Invarianten

129

A.2 Invarianten Die Invarianten eines Tensors sind dadurch charakterisiert, da sie unabhangig von einer  nderung (Drehung) der Basisvektoren des Tensors sind. A

A.2.1 Invarianten eines Tensors Fur einen Tensor A ergeben sich aus der charakteristischen Bestimmungsgleichung fur die Hauptwerte (Eigenwertproblem des Tensors A) die Invarianten IA IIA IIIA

= A
I ;
= 21 I2A AT
A ; = 13 AA
AT + 3 IA IIA




I3A = det A :

(A.7)

Speziell fur ein Hauptachsensystem gilt damit IA IIA

= A1 + A2 + A3 ; = A1 A2 + A2 A3 + A1 A3 ;

(A.8)

IIIA = A1 A2 A3 :

A.2.2 Invarianten des Deviators Unter Berucksichtigung der Bedingung AD
I = 0 ergeben sich die Invarianten des Deviators AD zu IDA IIDA IIIDA

= 0; = 21 AD
(AD )T ; = 31 AD AD
(AD )T = det AD :

(A.9)

Das positive Vorzeichen in Gl. (A.9)2 wird durch einen negativen Ansatz der zweiten Invariante IIA erreicht. Dadurch andert sich in der charakteristischen Gleichung zur Bestimmung der Eigenwerte das Vorzeichen vor IIA , vgl. hierzu Betten [4]. Liegt ein Hauptachsensystem vor, konne die zweite und dritte deviatorische Invariante in Abhangigkeit der Hauptwerte wie folgt angeben werden:   IIDA = 21 (AD1 )2 + (AD2 )2 + (AD3 )2 = (AD1 AD2 + AD2 AD3 + AD1 AD3 )   = 16 (A1 A2 )2 + (A2 A3 )2 + (A3 A1 )2 ;

  IIIDA = 13 (AD1 )3 + (AD2 )3 + (AD3 )3 = AD1 AD2 AD3 :

(A.10)

Kapitel A. Allgemeine tensorielle Beziehungen

130

A.3 Tensoranalysis Ableitungen von Invarianten nach einem Tensor Die Dierenzierung der skalarwertigen Invarianten nach dem entsprechenden Tensor zweiter Stufe ergibt wiederum einen Tensor zweiter Stufe:

@ IA @ (A
I) = = I; @A @A @ IIA = IA I A ; @A

(A.11)

@ IIDA = AD : @A

Ableitungen von Tensoren nach einem Tensor Die Dierenzierung von zweistu gen Tensoren nach einem Tensor zweiter Stufe ergibt einen Tensor vierter Stufe: 23 4 @A = (I I) T = I ; @A 4 @ (IA I) @ [(A
I)I] = = I I = I ; @A @A 4 13 @ AT = (I I) T = I ; @A

(A.12)




@ IIDA I @ IIDA

@ A = I AD ; @ IIDA
@ IA AD @ IA

= AD I : @ IA @A

(A.13)

Produktregeln des Divergenzoperators Fur ein Skalarfeld (x; t), ein Vektorfeld a(x; t) und ein Tensorfeld A(x; t) gelten die folgenden Produktregeln fur den Divergenz-Operator: div( a) = grad 
a +  div a ; div(AT a)

= grad a
A + a
div A :

(A.14)

A.3 Tensoranalysis

131

Integralsatze Ausgehend vom Gau schen Integralsatz (Umwandlung eines Volumenintegrals in ein Ober achenintegral mit dem Einheits-Normalenvektor n) Z

B

div a dv =

Z @B

a
n da

(A.15)

und den Divergenztheoremen (A.14), konnen die Integralsatze Z

B

Z

B

 div a dv =

a
div A dv =

Z @B Z @B

 a
n da

a
An da

Z

B

Z

B

grad 
a dv ; grad a
A dv

(A.16)

formuliert werden. Im Ober achenintegral der Gleichung (A.16)2 wird die Beziehung (AT a)
n = a
An verwendet. Die Integralsatze in (A.16) sind erforderlich zur Umwandlung der lokalen (starken) Formulierung der Feldgleichungen (Gl. (4.30)) in die schwache Formulierung (4.31).

132

Kapitel A. Allgemeine tensorielle Beziehungen

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Lebenslauf Heiner Mullerschon 3. Oktober 1966 geboren in Kirchheim/Teck 1972 { 1976 Grundschule in Raidwangen 1976 { 1982 Neckar-Realschule Nurtingen 1982 { 1985 Technisches Gymnasium Esslingen Abschlu: Abitur 09/1985 { 02/1986 Praktikum bei der Bau rma Mullerschon GmbH in Nurtingen 03/1986 { 10/1987 Zivildienst in der Behindertenschule Mossingen 10/1987 { 10/1993 Studium Bauingenieurwesen an der Universitat Stuttgart Abschlu: Dipl.-Ing. 10/1993 { 07/1994 Projektingenieur (Hochbau und Bruckenbau) im Ingenieurburo Leonhardt, Andra und Partner in Stuttgart 08/1994 { 03/2000 Wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut fur Mechanik (Bauwesen) der Universitat Stuttgart seit 04/2000 Berechnungsingenieur bei der Firma CAD-FEM GmbH in Leinfelden-Echterdingen

Bisher in dieser Reihe erschienen: II-1

G. Eipper: Theorie und Numerik niter elastischer Deformationen

II-2

W. Volk: Untersuchung des Lokalisierungsverhaltens mikropolarer

in uidgesattigten porosen Festkorpern, Juni 1998.

poroser Medien mit Hilfe der Cosserat -Theorie, Mai 1999.

II-3

P. Ellsiepen: Zeit- und ortsadaptive Verfahren angewandt auf Mehr-

II-4

S. Diebels: Mikropolare Zweiphasenmodelle: Formulierung auf der

II-5

D. Mahnkopf: Lokalisierung uidgesattigter poroser Festkorper bei

phasenprobleme poroser Medien, Juli 1999.

Basis der Theorie Poroser Medien, Marz 2000.

niten elastoplastischen Deformationen, Marz 2000.