A. Pignedoli ( E d.)
Some Aspects of Diffusion Theory Lectures given at a Summer School of the Centro Internazionale Matematico Estivo (C.I.M.E.), held in Varenna (Como), Italy, September 9-27, 1966
C.I.M.E. Foundation c/o Dipartimento di Matematica “U. Dini” Viale Morgagni n. 67/a 50134 Firenze Italy
[email protected] ISBN 978-3-642-11050-4 e-ISBN: 978-3-642-11051-1 DOI:10.1007/978-3-642-11051-1 Springer Heidelberg Dordrecht London New York
©Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011 st Reprint of the 1 Ed. C.I.M.E., Ed. Cremonese, Roma 1967. With kind permission of C.I.M.E.
Printed on acid-free paper
Springer.com
CENTRO INTERNAZIONALE MATEMATICO ESTIVO (C.I.M.E.) 40 Ciclo - Varenna - dal 9 al 27 settembre 1966
"SOME ASPEC'I'S OF DIFFUSION THEOR yn
Coordinatore : Prof. A. PIGNEDOLI
V. C. A. FERRARO
: Diffusion of ions in a plasma with applications to the ionosphere pag. 1
p. C. KENDALL
: On the diffusion in the atmosphere and ionosphere
pag.81
F. HENIN
: Kinetic equations and Brownian motion
pag.155
T.KAHAN
: Theorie des reacteurs nucleaires methodes de resolution perturbationnelles, iteractives et variationnelles. pag.349
C. CATTANEO
: Sulla conduzione del calore
C. AGOSTINELLI
: Formule di Green per la diffusione del campo magnetico in un fluido elettricamente conduttore pag.487
A. PIGNEDOLI
: Transformational methods applied to some one-dimensional problems concerning the equations of the neutron transport theory. pag. 503
A. PIGNEDOLI
: On the rigorous analysis of the. problem of the neutron transport in a slab geometry and on some other results. pag.519
G.SESTINI
: Principi di massimo per Ie soluzioni di equazioni paraboliche.
pag.485
pag.539
CENTRO INTERNAZIONALE MATEMATICO ESTIVO
(C. 1. M. E.)
v. C. A.
FERRARO
DIFFUSION OF IONS IN A WITH APPLICA TIONS TO
PLASMA
THE IONOSPHERE
Corso tenuto a JJ.arenna dal 19 al 27 settembre 1966
DIFFUSION OF IONS IN A PLASMA WITH APPLICATIONS TO THE IONOSPHERE by V. C. A. Ferraro (Queen Mary College, University of London)
1. Derivation of the diffusion equations in plasmas 1.
The term 'plasma' ,was first used
of a gas
by Langmuir for the state
which is fully ionised (for example, the high solar atmosphe-
re) or only partially ionised, (for example, the ionosphere). Our main interest in this course will be the diffusion of ions in such a plasma, arising from non-uniformity of composition, of pressure gradients or electric fields. We begin by considering the simple case of a fully ionised gas and for simplicity restrict ourselves to the case when only one type of ion and electrons are present. 2.
The velocity distribution function We make the familiar assumption of molecular chaos, in which
it is supposed that particles having velocity resolutes lying in a certain range are, at any instant, distributed at random. It is therefore most convenient to
use six dimensional
the resolutes
of the position vector
the plasma can then fat
(t,~,~)
component
,where 0(.. ,
space in which the coordinates are r and velocity
v. The state of
be specified by the distribution functions t
is the time, that characterise each particle
for example,
the ions or the electrons The quantity
(1 )
then represents element
dr dv.
the number of particles in the six dimensional volume In the simplest case, the plasma consists of single
-4-
V. C.A. Ferraro
ions (
a.. =
i) and electrons
(~=
e). In more complicated cases, the
plasma may consist of several ion species in addition to neutral particles (4'= n) such as atoms, molecules. exited atoms, etc. The total number of particles of constituent
in the element dr
DC
(11 )
-t
where
is
r -+ 00, gJ'" '" - w
the semi-latus rectum and so that
the eccentricity. As
(11) gives
cosw Also
e
e
AC" ae ; hence sinw = .Eae 2 2 I " sin w + cos w
Thus
2 _p_
1
2
"2' + 2 2 e
or
a e
2
+ P2 gi ving a
cosw=R 1
1+
e =1
sinw
p
=
tanw
=E a
L a
2
or using (1) ( 12)
6.
Calculation of diffusion Consider
particles
(~)
the scattering of test particles ( = - (1 + -
(23)
k
cl
m~
mp
w,
)Q
) u
~
u3
f
~
(VI)
-
d
VI
-
(24)
u
where
=v
-
VI
(25) It can
be
shown
that
the third
and
higher diffusion coefficients
+ (33) (34) where
is the usual error function and
s
(x) =
(35) Values of
10.
~(x) - x~'(x) 2x2
G and ~ - G are given
by Spitzer and others.
Relaxion times. (Collision interval) The term "relaxation time'! is used to denote the time in which
collisions will alter the original velocity distribution; or again, the time that the ions and electrons in a gas
will
attain, through collisions. a
Maxwellian distribution. Various relaxation times can be defined ; the time between
colli~
sions (collision interval or the reciprocal of the collision frequency) may be defined as the time in which small deflections will deflect test cles through 90 0
•
More precisely, if
parti~
't' 0 is the 'deflection time', we
have
< L\v~ >'to
(36)
Substituting from
(33)
2
=v
we find
3
(37)
1:" 2v o npQcLp(~~-
An energy exchange time
't' E
Gil)
can likewise
be defined
by the relation
- 22-
V. C. A. Ferraro
(38)
the change of
energy
l:l E =.! m(2v~v
(39)
2
If only dominant terms
11
+4v 2
11
+.:1
2
'J.
are required
< AE
2
2 2
> =m v
and (38) gives
v
(40) An important special case
is
3
that of a
group of ions, or a group of
electrons, interacting amongst themselves. If we consider such a group whose velocity has
(;;,; f
root
mean square value for the group,
then
1. 225.
In this case a
the
we find
measure of
both
1:D / "t'E = 1,14 so that 'tD
that
"" ~
and
is
the time required to reduce substantially any ani-
sotropy in the velocity distribution function and the time for the kinetic energies to approach a Maxwellian distribution. We shall call cular value of and will
"t' D the 'self-collision interval' for a group of particles
1: c
be denoted by
From (37) we
1
'tc
(41 )
where
T
is
m Z (3 k T)
31 i
in degrees
have
2
= --'---.~~-
4 4
'l.
5.7 1 it'ne Z log ...'" K, m
the group, It may be written ton
this parti-
AmH
is
the mass of a
typical particle
where m H is the mass
of
of a pro-
For electrons, A = 1!25 so that the self··collision time for elect1 . rons is 43 that for protons, provided the ions and electrons have the
-23 -
V. C. A. Ferraro same temperatures. We consider next the approach to ponent plasma; to fix tuents are ions and
our
equilibrium of a two com-
ideas we consider the case when the consti-
electrons. There are three stages involved in the
process. First, collisions between ions and electrons lead to an isotropic,
velocity distribution of electrons, and the same time collisions bet-
ween electrons themselves establishes a Maxwellian distribution. Secondly, collisions between the ions themselves establishes an isotropic velocity distribution amongst the ions. Thirdly, the ions and electrons which have already attained Maxwellian distribution, but possibly at
different tempe-
ratures
T. and T ,will be brought to the same temperature by colli1 e sions between the ions and electrons.
using (43)
ltv, Av, = v, v, - v. v, 1
1
1
1
1
1
Using (28) (44)
since (45)
2
= - 2Q AV flJJA = - 2Q (D 1 1 ~r T,.. M(lJP
Since the distribution of velocities are Maxwellian, this may be rewritten
- 24-
V. C. A. Ferraro
(46)
where Also
c:
(47)
where
(~)
olp
(..!. m )'Z
~~p
1[~
2" 2 2
=-=
010
€ =k(Tcc + -mot T, ) . After
3/
2
'"
e.p ~log )..
some
m~
0(
t
1
4'l(.v 3
algebra, (46)can be redu-
ced to
It is
7:. Otp
~
=
dt
where (49)
T
dTa.
(48)
-T QI
't'
",
3 mit. mpk J. 2 8(2 7t) 2. ~ to(
easily verified
3/2 2
lop log ~
where
T_ ..... T~ and
mQl.
3/ 2
+....:.! ) mp
that
*
7:"".... : '7::I. : t' :tr. : 'z::. ee
Tn
Trt
(-
11
el
where
le
= 1: /fnMM -: - : -
M is
m
the mass
m
m
of the ion
and
m the
electronic mass. Equation (48)
was first given by Spitzer; it shows that if the
mean square relative velocity, which change appreciably, ,
*
~ot~ is
is oc.
(-mT~
"
T(4)
+-
nearly constant and
rnA
,.
,does not
departure from equi-
partitions decrease exponentially.
11.
Relaxation towards the steady state The solution of
Boltzmann's equation for non-uniform gases is
found by successive approximation. We write
-- 25-
V. C. A. Ferraro
f = f (1 o
+
e ),
is small f is the Maxwellian distribution function and o compared with unity . We have seen that in a plasma of two constituwhere
ents each constituent:
will
approach its Maxwellian distribution in
-
a
time equal to the relaxation time 't" and the two constituents will attain equal temperatures
in
relaxation time
a
. As a first approxi-
mation , therefore, we can take the collision term C
De
f - f
(50)
so
to be of the form
o
-~
that
if
f
is the
distribution function at time t
Maxwellian distribution function, then f - f
o
-+
12.
0
with
time
Equations of
as
=0
the o departure from a Maxwellian state
continuity and motion for
and denote their
and their velocities
by
(51)
n i
where and
v. and v
-1
=
-e
Jrf.1 dv. J.
number
a fully ionized gas
densities
by
ions (i) n. and n 1
e
respectively. Then ,
n = e
Sfe--e dv
f. and
f denote the velocity distribution functions for the ions e electrons respectively and dv. and dv denote an element of volu1
-1
--e
me in the velocity space for ions and electrons, their masses by gas
f
e -t/,,; .
We consider the plasma to be a mixture of positive and electrons (e)
and
by
Pi
and
1
Pe
and the densities e respectively, we have
of the ion
and
electron
Pe =ne m e
(52)
Denote
m. and m
respectively. Denoting
by -1 V. and
-ev the mean velocities of the ion
and electron gas
- 26-
V. C. A. Ferraro
in a volume element of the plasma, then
='v
n v f dv e-e J-e e -e
(53)
It is convenient to introduce the total number density nand
Po'
total mass dens ity
'0
defined
as
o
::in
i
+n
e
Po "Pi + fe
(54)
and the mean
velocity v
of the plasma element defined by
-
-0
.v. + Pe-e f 1-].
(55 )
Let
n
V and -i
electrons,
V
be the peculiar or thermal -e respectively, defined by V
V. = v. - v •
(56)
-1
-1
_0
V
-e
=v
-e
velocities of the ions
and
-v
-0
Then it follows from (55) that (57)
The partial pressure res defined in a v
-0
for the ion and electron gases, am
frame
total pressu-
of reference moving with the mean velocity
are respectively given by
(58)
The hydrostatic partial
Pe
pressures for
r
= e-e V Ve' ions
and electrons
by
(59)
and the corresponding mean
kinetic temperature by
are defined
"- 27-
V. C. A. Ferraro
p "kn T e e e
p, " kn,T"
(60)
1
1 1
Boltzmann's equation for
aftt
~ + (v •'V)
(61)
11
whe"re
-0£
t
f ..
""
the two distribution functions
+ (F
-It
f and fare i e
• 'Vv ) f = C • Q! " i, e -tJ. /J. lit.
m, F" and
m F are the forces acting on an ion and electron e-e respectively. If these are produced by an electric field E and magnetic 1 -1
field B , then
ei
(62)
F, " (E -1 m, 1
where
e. and 1
e
e
+
(E
v,)C B) ,
-1
-
-
are tIE charges
form the moment equations;
lecular properties for the constituent plying equation (61) by
Jill.'
,eB)
-e-
carried by an ian and
respectively. We next
+v
if
«.
t
(~at)
electron
be any function of mo-
of the plasma,
then
by multi-
integrating partially and remembering that
(63)
we
find
(64)
1 t ~)" +y.(n.. -Cb v ) - n ... Jot. -a(, 0(.
3(naL
The right-hand side due to
(65)
represents
collisions. This
~ nat
"S "'C.
F. -0(
V ~"
the change
vanishes if
-r:+V·(n v) + 'I. (n at oc, -0 Ol
1oe." 1
tD C dv Jilt... - '"
of the mean value and
of
$Jot
(64) gives
Snl(
V)" ~ +'V.(n .. val) = 0 -at ot ... - ..
which is the equation of continuity for the component
c/, •
the equations
(65)
of continuity for the ions and electrons
Multiplying by
m. and 1
- 28-
V. C.A. Ferraro
m respectively and adding we e plasma as whole,
~fo +t7
(66)
-
j>ct = mlt :::411.'
set
of continuity for the
(Ov • 10-0) = 0
~ tV'
If we
have the equation
then
• after
some simplification
and using
(65), one obtains dv
fDt
d(
d~+ (V· POl- rlt~lI.) +
;: Jmct:::1JI, Cct
+ Pflo Vel V'!.o Adding the equations for the ions
by collisions,
of the ions
+f.(fi1):::o
dt
(67)
total momentum
p" Y.)
and
and
d::: et
electrons and noting that the
electrons in the element is unaltered
we get
r
dv
.
~=-V.p 0 to.F·+P F o dt 11._1. e-e
(68)
which
is
the equation
of mass motion. Equation (67) refers to an ele-
ment of either constituent following the mass-motion of the plasma. An equation can
also be obtained referred to
constituent, ::: et' Denoting by do( / dt se,
the local mean velocity of the the time derivative
so that dIlL
(69)
dt
we find after (70)
r.cl.
some
d
v
=~ + V ot
-Ii
.V
rearrangement
It -oCt V.(p - P. V dt at It -.(
of terms that
Y.l- e.. ~
K
=
r
mit ! . Co( d!"
where (71)
Pet = plit -~V
V
III -Il
rcVV-fcVV « -It -Ill /I. -01-111
in this ca-
- 29-
V. C.A. Ferraro is the relative pressure tensor. It is easily shown that this is equal to
u:u
v)
p = Q (v (v -v) = IJ.. AI " r A -CIt -at -.l..... II - ... -"
(72)
when u
-cL
= -c(. v - v is the velocity of a particle relative to the mean -til
velocity of the element. Thus (70) can now be written
(73)
p
laC
which
~"+ \/. p
dIt dt
is the equation of
mean velocity
_ p F
I" --.
CIt
Jrm
=
I(
v C dv -Ill III
-"
motion of the constituent ()( referred to the
v of this constituent. -~
13.
Approximate calculation of the collision term Since particles of one constituent can collide with each other and
with particles from another constituent, the collision term. in Boltzmann's equation (3) may be written (74)
where
~,giVeS
for particles
r,.
of contituent f«.
=fc""( It}p)
CGC.
the change
per unit
of the constituent
p,
time in the distribution function
due to
or;
particles
C., depend on the respective distribution functions
Certain properties of the collision terms are immediately obvious
and do not depend on the explicit form of the (CadV
(75)
collisions with
j
ILr
-&
Smvc "
neglecting processes which
at
11(.
C,,~
. Thus
=0 dv
-&
=0
may convert particles of one constituent into
that of another, e. g., ionization, dissociation, etc. We have alredady noted in section 11 that as a rough approxi-
- 30-
v. C. A. Ferraro mation we may write
c
(76) (0)
where f 0( lation
is the Maxwellian
distribution. On account of the second re-
in (75) , we may take
from now
=
"
to
7f
't"et-P
be
't'.:p
equilibrium are small, we may treat
evaluate approximately the collision term
(77)
v
where
v is the
mean
-0
-0
mass
as
constant. We
can
in (73) . Write
+ V .. ,
=y
-~
and that, if departures
- ...
velocity of the
two
Sm
r
corstituent plasma.
Then
J
m
(78)
C dv rJ. =
y
«-II II
Since
v
is a
-0
virtue of
the
constant first
-
in
equation
J
(79) (76)
C dv.. + m V C dv Q( - ... j ot -c III! -#II
the first integral, • Hence
in (75)
m V C
Substituting
v
1Il-o
crt -lit
III
this vanishes by (78)
dv
-.
in (79) and noting that
dv
= dV
-
flo)
JmCIt V ~ t'
(80)
But
-tI.
ren
J at.
v f(o)dV
CIt
II(
-~
vanishes
d V -
-rJ.
Jm
• this reduces
to
-(J(
f
V..!!. d V "i:" -f/
01 -"
identically; thus (80)
reduces
to
V 17:
(81)
Here
reduces to
-n m It C/t-oL
denotes effectively the electron-ion scattering time and
we may interpret
this
red velocity with
respect to the ions in a time of the order 't;
hence lose momentum
result as
m 0(.
~c£. per
follows. The electrons lose their orde-
particle Gl waich
and
is communicated to
-31V. C. A. Ferraro
the particle
~
tional force erted on to (81)
. This implies that the particles are subjected to a fricnJ m
... CIt
V It
-rt/' •
This is equal and opposite to the force ex-
P . In
the particle
fact, since
the corresponding equation
Ie
it-lit
+n
,.
we have, adding
= 7:po'
for the particle
n m V Go
,.
't'aifl
P
rnA V Il = 0
r-r
\
Using this relation, (81)
may be rucpressed
in
terms of the mean
relative velocity, namely, (82)
since
=V
v - v
-ce.
-~
-CI.
- V
A
-
,.
•
Hence
equation (73)
can finally be writ-
(83)
14.
Rate of diffusion of the two constituents Dividing this
corresponding
equation
equation
for
sion for the differential (84)
-
-
-"
-~
!
v - v = -t
It is convenient
at
f
0
and
the ~ -constituent
substracting from we obtain
it the
an expres-
or diffusion velocity
dV (1(4 dt
this
by
stage
dv-p t -1 V. P.., - -V:PJ\ 1 E -(F dt p . . . p" ,.. """ to
introduce the coefficient
~
F II)
-r
of diffusion
of the other two constituents, namely. (85)
where
m =m
o
oc.
t rnA
r
•
•
We find, after some algebra, that (84)
can be
- 32-
V. C. A. Ferraro
written
v - v =
-,J.
-p
n (86)
+
where
n on
it .~
Po = ~ + P~ is
7·
not (F
n
-0(,
0
the
total pressure,
- F ) -~
and we
have written
d lit ~I(
etc. The four terms inside the bracket (86) correspond dt to components of the relative velocity of diffusion due respectively to (1)
1. c(
for
th e relative acceleration, (2) the pressure gradient, (3) a concentration gradient, and (4)
external forces. Note that gravitational forces do not
contribute to the velocity of diffusion. These component velocities of diffusion tend to have the
following effects: (1) and (4)
have indeed the sa-
me effect and tend to separate the constituents in the direction of the relative acceleration
or forces. (2)
tends to make the composition uniform
and (3) tends to increase the proportion of the heavier constitution in the regions of higher pressure.
15.
Three-constituent plasma. (Partially ionized gas) . We shall consider a
partially ionized gas consisting of electrons
one kind of ions and one kind of
v , v., v respectively. Because of their -e J. -n the momentum of the electrons may be neglected
constituent will be denoted much
smaller mass,
neutral particles. The velocity of each
by
in defining the mean mass velocity (87)
where
v
-0
=nm +n m 1 inn
v , which
-0
is thus approximately
1 - (n m v + n m v ) , i i-i n n-n
po
- 33-
V. C. A. Ferraro
However, as
in
the case of a two-constituent plasma, it is
more convenient to derive the moment equation of the Boltzmann equation of each constituent relative to axes moving with the mean velocity v
of that
component. The equation of continuity (65)
before , and the equation of momentum before, except for the collision term It
w ill
hold as
will likewise be the same as CO(.,
is clear that the collision of particles of
each
constituent with those
of the other two constituents will yi,eld a collision term of the form (82); however, we can no longer drop the suffixes so that denoting by
Pi ' Pn
the m;:;ss derivatives of the electrons, ions, and neutrals,
fe' we have (88)
J
f ePi
m v C dv ~- - -
e-e e -e
- /7:--Fe r n
(v - v.)
-e
fi+fe
e~
-1
Pe+f'f'l,
~ (v - v)
-e -",
I'!
I.'"
(89)
(90)
S
The
"l:'
m v C dv n-I\ n. -/I.
~
--v' )/'""'-_ _ P".f,:
pII.fe
(-v
rn+fe
- n - e
n.e. f~+r~
s are called the 'collision intervals'
(v
-~
- -v.)
-"
/ ~.
n.e.
by analogy with what has
="
,1:. =?:., 't el ie 10 m en ne that there are effectively only three 'collision intervals' ; writing been said previously. We have
7:: . =?:
'C"
(91)
the equation of
(ct,
P=
so
e,i,n)
of
motions for the ions, electrons and neutral particles are
respecti vely d·v·
/,.-/,.
(92) Pi
dF" = -V'Pi
+ Zrt-,;e
(~ + :::i) X + h U • XY+
an atom left
+ e -t X 1C + Y 1C in
the
can occur in the lower
excited state. D
region but is rare at
greater heights. Process (ii) the uppermost regions the
is- likely to
be the fastest loss process
levels of the F regions. Elsewhere in the
dissociative
E
recombination process are important.
only
in
and F
- 43-
V. C. A. Ferraro
(c)
Ion-atom interchange
~
At t XY
b (iii)
re is
X/
Ion-atom interchange
(cl
is the princ ipal
process
still
loss
+ A
followed by dissociative recombination
considerable controversy
in the as
E
and
to precisely
F
regions. The-
which reactions
are important. The rates
for processes b (iii) and
the reaction constants
~
and K c ' by the
(105)
dn(e) - = - K b n(XY+) n (e) dt
(106)
dn(A ) dt
+
If we
suppose
that
the electrons q
the atmosphere is electrically neutral,
+
=nee)
positive
the ionization is
b
+ Eliminating n(A) and
1,
+
K n(A )n(XY) c
+
n(XY) by
using
2 Kb Kc n(XY)n (e)
If
q
K n(XY) e
equilibrium. Then if
per unit volume
+
(109)
in
ions are produced by incident radiation at
q = K n(XY )n(e)
(108)
expressions
n(A )n(XY)
further that
and
are given . in terms of
+
e
n(A ) + n(XY )
and we suppose
the rate
= -K
+
(107)
(e)
= Kc n(XY) + K}) nee)
»K n(e) ,this b
reduces
to
(107)
we
find
-44-
V. C. A. Ferraro
= ~n
q
(110)
which
corresponds
coefficient
2 (e)
to
quadratic
a
region where
Kcn(XY)«
If
q
(Ill)
=K
which corresponds
c
of recombination
(J,
2 n ,the
a, being equal to \ . This law holds
of recombination
very nearly in the E
law
~n(e),
0(,::
10
then (109)
-8
cm
3
reduces
sec
-1
.
to
n(XY)n(e)
to
an
'attachment'law
of the form
f3 nee)
with
an 'attachment' coefficient
/l= Kcn(XY)
(112)
If,
as
is
usually
Chapman's
20.
the
perature. Such if
h denotes
of gravity,
m
an
n(XY) decreases upwards, so
will
p
Theory
We consider the ochromatic radiation
case
in
simple
case of ionization by absorption of mon-
an atmosphere of uniform composition and tem-
atmosphere will be distributed exponentially; in fact
the height, the mean
n the number density , g the molecular
mass
acceleration
of the gas, the statical equa-
tion is (113)
dp - '" -nmg dh
(114) Also
p
where
k
is
temperature,
"knT
Boltzmann's
constant
(1. 38
x 10
-16
dgs)
and
so that eliminating p between these equations
T
is
we find
the
- 45V. C. A. Ferraro
where
H
is
(116)
=n
n
an
that is,
exponential
sity of the radiation
o
e
of
at
the height
:x
height
at
then
any time,
of length ds
h
we
is
the
-16Tl
I
denote the inten-
the intensity of the inci-
co
distance of the sun at the
the decrease in
by absorption over
I
)dh between the levels
(sec
absorption
h
+ dh and h is
X )dh
dl
can
be
integrated
cross-section
(on 0
to
I loge (I)
(118)
sec.x ) e
~
I
co
as
h
I
(119)
molecules. Using
absorption
is
dl/ ds = (dl/ dh) cos of
of
=I
= -(ern
exp (-tJ'n
'"
radiant
X
-h/H
dh
0
Hsec
X
)e -h/H
dh
co . Hence
~
The
absorption
the
of
give
co
I
,
have
T =-
since
and
denote the zenith
= (sec X
d I =-
where (j
which
gives
by
(117)
(116)
a length . called
distribution of density. Let I
radiation. Let
the path
(11 5) now
of
-h/H
dent solar h
= --
a quantity having the dimensions
the scale height . Integration
given
1 H
d logn = _ mg dh kT
(115)
0
He -h/H sec
energy and
if
unit quantity of energy.
X
)
per
unit volume
p
ions
of the atmosphere
are produced
the rate of
by the
production of ions
-
46-
V. C. A. Ferraro
volume is
per unit (120)
The total
q(h)
=
of
ions
number
I
r(J.
cr exp
produced
of unit area of cross-section diation is clearly ~
n
fXJO
h
m
IfXJ cos:X
Denote the values qo ;
h
of
e
(124)
h q
of
maximum
n 0'" H secX
and
m
h /H
In terms
a
the
qm for
overhead
sun
(;t= 0)
then
(123)
(125)
q has
(P100cos X )/He
q = m
(122)
whence
column of air
0
giving
and
a vertical
/"
.
h /H m
e
0
in
secY)
where
(121)
by h
-h/H
0
by the complete absorption of the incident ra-
The rate of ion-production height
(-h/H - n crHe
qo and
0
= n 00
. This represents
flux of ionization at is gained or lost
h
==
at the top
type must be included in 23.
Solution of
a boundfl.ry condition of
which is upwards
00,
f 0,
of the ionospher<e,
if
A2 then
j
>0
and
a finite
. If ionization
a term
of this
the solution.
the diffusion equation
Writing h (150)
h
o
x "-H-
and expressing written
~
in
the
in
terms
g>
of
.by (143), equation (146) can be
form
non~dimensional
(151)
where
N H2
and ",,__ 0_ 1- Kb
(152)
are non~dimensional parameters. The solution of lyon these two as
parameters
we have already seen
ionization
a
solution
q
is given
of (151)
The method of solution
thus
that
n
on~
~
of the flux of
0 as z..,
-00
•
by the Chapman function (144), we
which is periodic
of this,
depends
conditions. One of these,
above, depends on the value
at z = +00. The ,)ther requires
Assuming that require
and the boundary
(151)
in"
with
period
21[.
and related, equations has been given
by Gliddon (1959) and consists in determining a suitable Green's function for this equation. The analysis is involved and reference must be made to the original
pap~rs
. Typical solutions indicating the variation
at various heights from
of the ionization
the level of maximum ion production are illustra-
- S6-
V. C.A. Ferraro
ted in Figs. lOa and lOb. Fig. 11 illustrates the variation of the level of maximum electron density for two distinct cases. From such solutions, the following general daytime characteristics of the behaviour of the ionization may be deduced. (i) The F2
maximum electron
density occurs at a level where 2 diffusion and loss are comparable , i. e., where K D /H and m -
the subscript m
refers to
(ii) At the maximum and below
ximately given by n :. q/K,
m
the maximum. it, the electron density is appro-
that is , balance between production and
loss, as in the absence of diffusion. (iii) Well above the maximum, diffusion be comes important and n -(1/2)z varies as e as already noted in section 22. (iv) The level of maximum ionization falls rapidly at sunrise because of the rapid production of ionization in the lower
F regions. It reaches
a minimum height of one or one and a half scale heights above h
o
the level
of maximum ion-production which remains at about the same level until
late afternoon. Therefore, the level rises again steadily to
a height of a-
bout three scale heights above h after sunseqSee Fig. 11) o
The night-time decay of the ionization has been studied by Martyn (1956) , DUncan (1956) and Dungey (1956) . This is also
affected by verti-
cal electromagnetic drifts .
24.
Effect of a magnetic field on diffusion .in the ionosphere We now consider
the effect of a magnetic field on diffusion of ions
in the ionosphere. We are here dealing with a thernary mixture of neutra:!. molecules, ions and electrons, of which the ionized particles form a minor
- 57-
.i+
,,1
.,.
""'ot••
90"
s.....I ..
Fig.IV b
Fig. 10 a
..
"-
1
•
• •
SUII..t
, MI" •
n',lot
Diurnal variation of electron density at intervalu of one Beale hei~ht.
Cane II
(~" 10,
Y .. 20)
•
- 58 M. Z. v. Krzywoblocki
below (2.7.22) : ('V-l/2~-1/2)
(2.7.24)
fn(r,t)=P n
'
t = cos 29 , r2 = x 2 + y2
where
Polynomials (see [161
(t)(kr)
and P (ct, n
-f-v
~)
~~+Y+2n(kr),n=0,1, .. ·,
stands for the Jacobi
):
=
p(v- 1/ 2,}l-1/2)(t) (krt"'v- J (kr) f (r t) = n 'J fA t)l + 2n - n '
, r I~+n+ 1/ 2l[r (\»)[' I1/2f In+ 1l] -I[rlk''''~ -~ Jf +Hin Ik~ l} .
. t ( 0J~= 0, 1, 2, ....
An arbitrary solution of the class S may be represented in a series
[39J :.
form
00
w(r, 9)= (kr('-l>
'i a 2n nt(n+)H 1/2~
-1.
n=O
\ P (V- 1/ 2,p -1/2)(COS 29) J (kr) n . l'+})+2n
(2.7.25) and an
even analytic function regular about the origin may be expres-
sed as (2.7.26)'
00
f (cr') = rr -fA -v , ' \ a 2 J
4r
n
,l
~+v+
2 n
W).
Hence for r sufficiently small it follows that the class of analytic functions (2.7.26) is mapped onto the class of solutions (2.7.25) by an rator of the form :
ope~
~+ tt
Jr
• ~3 ~ 0'. II"l
~ _
•
I
2.
~
.-!j. o
u ~
..s:;E
7Mao1
S
.g
Fig.
0
~nri$e
"',ht 11 •
.1
&
Noon
Comparison of height of two distinct
max~um
....
G
6
Sunset ,s ..... s.t
electron density for
cases: case I for, case II for.
T
Mid
"i~h.
- 60 M. Z. v. Krzywoblocki
j
+1 ( 1 _ ~)V-1/2(1+t) 11+1/2 P (V-1/2"M-1/2)(f) P (');-1/2' jll-1/2) ~
-1
'n
m
;>
.
(£)
(2.7.30) Thus, if we define:
Kn(~' r,
E)
2
~n(kr/ka')
.
(2.7.31)
where
-(~+'V)t
a 2n (kO"')
J~+\)+2n(kll') (Jr +V+2n(kr))
Pn('Y-1/2,~ .. 1/2)(f) (1_E)~-1/2(1
bn = (2n +fA +V) nn +}H»)
we have
f'4+ p
-1
.
+$)'''-1/2,
W(n +).4 + 1/2))-1,
-(~+») J fA +'1> + 2n(kO")
+1 - [ - 1 Kn (IS', r,
s) .
(2.7. 32) Hence
+1
(2.7.33)f(k")"L KI(B/c is
m. and m,)J,
ln
the electric field following the mean motion and
lin ,the 'equivalent electric field produced by the electron pres· e e sure gradient. Equation (179) can be solved for 1 as a linear vector E" = (V'P
function
of
E
-0
and
'Yr.
Writing
eB
w
(181 ) so
-i
that
b is
eB B=Bb
=-
m c' e
w. and ware the
ion and electron cyclotron frequencies -e a unit vector along~, and defining the conductivity -1
Y
(182)
e
=
Y.
1e
+)1
en
we find
222
(A +D )j = AO"'E + c:T"(AC+D HE . b)b + crDE )( b -
-0
-0 - -
(183)
AC Qp X b + CD (\/p X b) X b B B where
0-
an,
-72V. C. A. Ferraro
w w, e 1 C =)1 'JI, '
A = 1 + C,
(184\
e
In the case
when
E
(185)
where
-0
E
11 parallel and
and
=..! lie
be simplified. In fact, if
we write
=E + E
-..L
-11
E J. are the components of the total to
~1l = (~. £)£ (83) can
In
(173) can
perpendicular
(186)
so that
V p = 0,
w D
electric field
E
-0
, we find
B
-
E
'
-
= b X (E )I. b) -
-0
-
now be written
(187)
Here 0-0 ' crl ,
cl0- 16
3.27)(10- 15
4.54)(10- 15
1. 72'c10- 15
1. 7hdO- 15
2.29)(10- 17 1.38wl0- 18
3.93)(10- 15
B.70XI0
-14
1.73)(10- 14
3.91 ')(10
-15
1.07 )(10- 15
3. 88x 10
-16
1. 29 )(10
74~10
3.20,..10
5.92",10 -2
2
2
-15
3.87" 10
-16
-16
1.
07~
10
1. 07)c 10
-16
-16
Table I Collision frequencies, electric conductivities, and the ratiO! of cyclotron to collision frequencies for a Illogel ionosphere at a teIllperature of 1480 K.
2.79)('10 4.
31~
10
-10 -17
1.87~10-19 4.31."10
-17
- 76--
V. C. A. Ferraro
charges. Because the flow (J'"
by a
components
(197)
(7*
2 X 2 tensor depend
to use coordinate tions. Then
is horizontal we can replace the 3.x 3 tensor
the magnetic dip angle 1. It
on
x, y
we can
write
:xy]
-a-xy
yy
where (J'
()o 0"1
,
-
xr
1 where 1=0.
have
(j
xx
=(j, 0
0"
xy
= 0,
0" = 0- + yy 1
Two consequences follow immediately from
2 0'"2
cr1
=0-
3
(199) ; firstly .. the high
conductivity 0are
along the magnetic lines of force ensures that these o very nearly electric equipotentials • Secondly, the east-west conducti-
vity 0-
yy
at the equator
is very large, being the Cowling conductivity 0"3
-77V. C. A. Ferraro
which is comparable with, though smaller than, cting strip
along
the magnetic equator carries
known as the equatorial es in
cr o . a
This highly condu-
large current, a belt a few degre.22 sm 1« cr cos 1.
electrojet and is confined to
widths about the magnetic equator, where
(j
o 1 Outside these belts the electric current falls rapidly. The simple model
of the dynamo region is therefore a relatively horizontally stratified layer. The magnetic variations observed at the ground which are produced by these currents
are best calculated by conSidering the layer as a
current-sheet, with
integrated conductivities,
r; 2 " Sa-:2dh where the integrals are taken If
"l7t: denotes
the tensor
over the thickness of the horizontal layer.
)O'*dh, we can summarise the electrical
equations as
*-t , L:.E
J "
(200)
J
"J1 dh
where E "w X B -
(2011
w being
-
-t
-
Vp,
the velocity of the neutral air and ~ the
hal . The first term electrostatic field ly.
-
in (201) ropresents
-V cp
forces
electrostatic poten-
the induced field, whilst the
the electric currents to flow horizontal-
- 78 M. Z. v. Krzywoblocki
cannot be zero . If in the last equation of (3.6.2),
4 f = 0
then ti) = 0, '0x ou U(x, y, u) contrary to the original assumption. Therefore it is necessary that
() U = '0 U = -UU = 0 -
" WhICh case m
uy
f4
f
·Iu (x'
y -'
0 . Similarly, the subgroup:
_
x
S
2
. = f1(x y' a) Y = f (x, y ; a) , A . '" 1 must have an inverse and therefore neither the Jacobian determinant
(3.6.10)
associated with SA 1 (3.6.11)
Ii
"0 (x, 5')1
=
() (x, y)
ux ux ux
'OY
nor the Jacobian determinant:
I'll
(x, y) (3.6.12) I u(x, y)
1--
ux UX
'0xuy
I
~ 0Y VX -2,y associated with the inverse transformation From (3.6.12) , it follows that not both equal to zero .. (3.6.13)
ox uy
JU Ifu x f
0,
may be equal to zero.
~ _yX
and
~~
are
then from (3.6.8)
=0,
and therefore (3.6.14)
uyY r./.
()
O.
Eqs. (3.6.6), (3.6.7), (3.6.8) and the above remarks imply that:
-79 -
16. D. F. Martyn, Processes controlling ionization distribution in the F2 region, Aust J. Phys. , ~, 161 -165, (1956). 17. H. Rishbeth, Further analogue studies of the ionospheric F layer, Proc. Phys. Soc., 81, 65 - 77 (1963).
18. T. Yonezawa, A !Jew theory of the formation of the F2 layer, J. Radio Res. Lab. , 3, 1 - 16 , (1956). 19. T. Yonezawa, On the influence of electron-ion diffusion exerted upon the formation of the F2 layer, J. Radio Res. Lab., ~ , 165 - 187 (1958).
- 80 -
M. Z. v. Krzywoblocki
and
(3.6.21)
where /-I,
R
C and k are constant! v The above system of six partial differential equations in six un-
known functions of
x, y,
z
and t will be referred to as the
system "A" . In order to find the conditions on a group that
"A" is conformally invariant under
find the system corresponding to
Al
such
Al ' it is necessary to
" A" and A
l'
A is a transforma1
tion group defined as : AI: -x =f 1(x, y, z;a) , -y=f 2(x, y, z;a), -f3 z= (x, y, z;a) , _
4
5
6
u =f (u;a)::: f (u;a) u + f (a) . Since no new techniques are involved in finding the system in
question, this problem will be left to the reader. The present paper will confine its attention to one such group under which " A " is conformally invariant. It is the following group:
i
= t - 64a ,
u = u,
v = v, w = w ,
CENTRO INTERNAZIONALE MATEMA TICO ESTIVO
(C.1. M. E)
. P. C.
KENDALL
"ON THE DIFFUSION IN THE ATMOSPHERE AND IONOSPHERE"
Lecture 1 : Ambipolar diffusion in a uniform magnetic field 11
11
2 : Diffusion in a
plane stratifiea atmosphere
3 : Numerical and analytical methods "
4 : The diffusion operator with curved magnetic field lines (neutral air at rest) 5 : Equilibrium solutions
n
11
6 : Time dependent solutions of the F2 region diffus ion equation
n
II
7: Motions of the neutral air induced by ion-drag
Corso tenuto a Varenna dal 19-al 27 settembre 1966
- 82 -
M. Z. v. Krzywoblocki
(3. 6. 24)
" B "
(3.6.25)
(ii)V 5
...
+ ... ) +...
=0 ,
i) Y3 + 2 tl 0iYl; + ... ) +...
=0 •
+K2 )) 1 ~
01Tl3
VV3
(1ll))5 ( ~ 3 ~\
(3.6.27)
~))2
()V2
(t 3
r
(i v) \) 4 = R \\ \) 6 '
~ Y5
(v)
'I 3 ~ +'t2 i> "h +~2
(3.6.28)
(3.6.29)
V(» 5 )\ )
c »
(vi)
v
~ ()\ Y 3)
() (V 5 Y 3) Q"rl2
5
(~
OV6 3
O~3
+t4
Q.l) + ~ ~3
VV6
t "0th 2 1 ~1
=0,
+ ... )+.'..
=0
.
The system "B" is absolutely invariant under the group:
(3.6.30)
~
j
=\l
j
( j = 1, .. " 6) ,
whose invariants , as in the previous case, may be chosen as follows:
- 83-
C.1. M. E. lectures by P. C. KENDALL Introduction
(University of Sheffield)
This set of lectures is not intended to be a comprehensive survey of the ionosphere. It is intended to lead the student with great speed to certain specialized research areas of possible interest to applied mathematicians . I apologise to the many ionospheric physic ists (both exper imental and theoretical) whose work is not mentioned here; the short list of references included at the end reflects current theory. Present day achievements have only been made possible through the patient experimental work
and international collaboration of many scientists over decades.
-
84-
P. C. Kendall
Lecture
1
In his lectures Professor fusion
Ferraro will show how dif-
of a plasma (a gas composed of equal numbers of ions and elec-
trons) takes place through a neutral atmosphere. The electrons ar p often very mobile and would in absffice of electrostatic forces disperse
to
infinity in a very short time. The ions are bigger and heavier and so cannot move as quickly through the neutral atmosphere. Thus, the tendency of the electrons to
"boil off" is prevented by the electrostatic forces
between ions and electrons, and an electric field is set up. This has the effect
of increasing by a factor of two the pressure gradient which cau-
ses diffusion; thus causing faster diffusion, The purpose of this lecture is to
known as
ambipolar diffusion
establish the equations of the problem
including the effects of a uniform magnetic field H . In general these o equations have not yet been fully solved. I will describe what can be done, and also
mention the difficulti es. Practical application
may be made
in
the upper ionosphere,
of the equations
in diffusion of meteor trains and
in the laboratory, wherever the plasma is a minot constituent.
Solution of the problem (ion-neutral collisions only) The main problem
is how to work out the electric field arising from
attempted charge separation. In the case when the electrons are perfectly mobile (i. e. we c?n ignore collisions of electrons with both ions and neutral atoms) this can
be done in full (provided that certain other minor simpli-
fications are made) . In particular, it will be seen that the ex1ernal electric field gas.
gives rise to
complicated drift motions
of the joint ion-electron
- 85-
P. C. Kendall
The equation
of motion of the electrons is dV
(lj
-e
N m
dt
e
'" - V p - e N (E + V
-
e
--e
It
~)
Here, m '" mass of electron e pe '" electron pre ssure N '" electron density
'" ion density
'" electronic charge
e
V :: electron velocity
-e
;)/at + (V .V)
d/ dt = mobile operator E
=total
electric field
-e -
in
fixed axes
The magnetic field is assumed constant and ions and electrons is so small
that
uniform (Le. the number of
their associated electric currents
may be neglected) . Thus the electric field is a potential
Neglecting terms
which
o i. e.
(3)
So, in constant
=0
curl E
(2)
an
=-
Vp ... e
Vp
-
e
e
-
m (which is small) e
- e N (E+ V X B),
-
at
-e
-
uniform temperature T, if
that p
=- V n
-e NVn=-Ne V)( B _ -e-
atmosphere
such
involve
E
field, i. e.
=Nk
T,
k
is
Boltzmann
- 86-
P. C. Kendall
equation
(3)
becomes ,,_ (keT
(4)
\ = - ::::e X B log N - rl}
Write rl = ~ e
(5)
log N + rl
H
Then
~. ~ ~
(6)
showing
that
the
line. Further,
if
potential
rlH is
- V 11
E
-H
we
= 0,
-
constant
along
a
magnetic field
H
obtain
v
(7) This
is
known
electric field sent
=E
-H
-e
~H
as is
)( B /B2
the Hall at
right
must be regarded as an
The electric potential
kT
drift or Hall motion of electrons. The angles
(log N) /
ask what happens
mes
infinitely large. The answer
dV -i N ml' -dt
Here,
when
N
becomes invalid
The equation
the magnetic field and if pre-
applied electric field, external in origin.
well
neutrality, which
to
of motion
e is
~
0;
internal in origin. One might
apparently the electric
lies in our assumption for s mall values
field beco-
of electrical
of N.
of the ions is
+ N m.». (V. - V ) 1 la -1 -a
= -
V p. + e N (E + V,lC -1
B)
--1-
- 87-P. C. Kendall
m = mass of ion i
p, = ion pressure 1
N = ion density
= electron density
V, = ion velocity -1
V = neutral air velocity -a
~
ia
= collision frequency ions - neutral atoms
In the diffusion approximation it (The student should find out
N m,
Adding (3)
and (8) to
N m,1
(9)
1a-l
-a
= -
eliminate
Y,
-1
V p, + e N (E + V,)( 1 -1
B) -
E.
(V, - V ) = -
1a
to neglect the acreleration.
why). Then
~,(V, - V )
(8)
1
is usual
-a
V (p.1 + Pe ) + e
N V. X B - e N V X B -1
-
-e
-
Writing
p. = p = N k T ,
(10)
e
1
8.nd (11 )
we see
by
N m,
~. 1 1a
e V N--- V X B -e m i )I ia
-
that
(12)
This
2kT
F =V -a
V -i
must be
+
solved for
using the continuity
e
=F
m.1 ",1a V .. Then -1
the diffusion
equation, which
.N
-;;;-t = - div (N V.) v
-1
is formed
in absence of production and
loss is (13 )
equation
= -V ,(N V,) -1
- 88-
P. C. Kendall
J. components parallel to and perpendicular to B.
Denote by" and Then
V."
(14)
-1
=F"
and
=
(15)
There
are many ways of solving this
thod is to to B
introduce coordinates
z
(Fig. 1).
F J.
equation. A quick convenient me-
x, y ,:or
y
x Fig. 1 Then if
J. V.
-1
we
= (V , V 2, 0) 1
have
It follows that if
we introduce
j=J(-I)
and write
with the
z-axis parallel
- 89-
p. C. Kendall J.
V
-i
=V + 1
J'V
2
we obtain
So equation (15)
becomes VJ. = FJot 1 + e B -i - {1 m. 11.
(16)
1
la
where .L .L F=V
(17)
-a
Equations (14) (16)
.L
2kT
V
Nm.». 1 1a
and (17)
-
J. e B 'V N+ - - - J-e m.v. 1
1a
describe the motion completely and with (13)
w.
give an equation governing N. First"discuss two special cases. These will help to
clarify the general
Special case
I
B
=0
Equation (12)
(no magnetic field) gives at once
V. = V -
-a
-1
This is
the case
problem.
2 k T N m.». 1
1a
of ordinary ambipolar diffusion. We define the coeffi-
cient of ambipolar diffusion in this
D =
2kT
a
so from
(13)
if
-VN
T
and
~ la
case· to 2
cm /sec
are constants,
be
-- 90-
P.e.Kendall ~N
-
(18 )
at
This led
is
2 " - div (N V ) + D V N -a a
the isotropic
a transport
diffusion
term. Its presence indicates
place relative to the wind D
equation. The term
V in the neutral -a
div (N V ) is cal-
-a
that all
diffusion
takes
air. Note the factor 2
in
of
given
a
Special case
eB/m. )) . ..,
II
1
la
co
Physically ~. la
= collision frequency
e B 1tm.
= Larmor frequency (*)
1
(*)In absence
of
electric
by
fields
the motion
a
single
ion
is
dV m.
1
dt
=eV)(' B
i. e. dV
-
w )t V
dt where
w = - eB/m.
-
-
1
Thus in absence of other forces the velocity vector rotates with angular velocity w = eB/m. in a certain sense. The motion is one of spiralling 1 about the magnetic field lines.
-- 91-
P. C. Kendall
Thus case II corresponds to many spirals between collisions and magnetic effects dominate. Clearly V lI is unchanged from (14); but from (16) and (17) -i
The diffusion equation then
a
a- N = - div
( 19)
2N I J. (N V' ) - div (N V ) +D -a -e aaz 2
ih
where z
is
becomes
the coordinate along
the only effective neutral Hall drift, caused
wind
'
the magnetic field. Note that
component is
along a field line
by electric fields is at right angles to
Rearranging equation (17) ,
.a.
.a.
4. Da ... - V - VN -a -e N -
=V
eB
+( 1+
m i Via
Thus from (16) j)
Also from
(14) II
V.
-1
So, letting
s
=e B/m.1 )/.1a
D
-1'"
J.
-e
2., D
...
(V - V N) -a -e N-
II
VN = V-a" _2 N "'" we have
.a.
j) V
(b) the
a field line.
In general
F
(a)
- 92-
P. C. Kendall aN
-
at
II
.
=.
1
s
.L
l.
dlV (N V ). - - div (N V ) + - - 2 div (N k Ie V ) -a l+s2 -a l+s - -a
• div (N V
1 . .L s .1. ) + - - 2 dlV (N V ) - - - 2 div (N kI' V ) -e --e 1+S 1+S
.t.
-e
+ D
a
where
~
= (0, 0, 1) .
~~ (!. !,I.N) =!.n~ ,,! N) i. 0,
Thus as
eN
-
=.
ch
div
II 1 (N V ) . - - div -a l+s2
we have
J. s .1. (N V ) + - - 2 div (N k X V ) -a l+s - -a
2 s ~ s ~ - - - 2 div (N V ) - - - 2 div (N l( lrV ) l+s -e l+s - -e (20)
D 2 2 2 + _a_CaN + aN )+D aN 2 a ".!I. 2 1+s ax 2 ay 2 vZ
=0
Note how on putting s to (19) on putting
s
=
IX)
first one remains when
•
this equation reduces to
The terms in
s ..
IX)
•
'"
~HX
Ji/B2) and winds
Ya
V J. disappear when s
-e
They might
te also how complicated the effects
be called
of electric fields
become when
s
~ffective
=V
-a
+
=0
it reduces and the
RHall terms" . No-
EH (such that V =
-
-e
..... 1 . The effective wind is
not V but is -a II
(18) and how
.L J. V - s kXV -a --a 1 + s2
-- 93-
P. C. Kendall
Asymptotic solutions of the ambipolar Consider equation (20)
in
diffusion problem
i. e. diffusion in a stationary atmosphere with other than
V =0 -a no electric fields present
the case when
=0
E
=II
and
internal ones. Then aN = _ _ Da_ (aN 2
(21 )
~t
..
1
+s
2---'2"
ax
Write
= z/JD
a
'If) Thenl\ becomes (22)
Suppose
that diffusion takes place
directions, a liven cloud plasma is released as
over
a region of infinite extent in all
of plasma being released at time
a point source such
that
if r
t = O. If the
= /(X,2 + y,2+z ,2),
then it may be shown that
N(r , t} =
3/2
x'
exp-
2
2 2 +y' +z'
4t
(4,t) It follows that
for
a general cloud of plasma such that N
(*)G(r)
~0
if r 1= 0
and
= N(x',
y', z', t)
is so defined that
IIf &'
(r) dx' dy' dz'
=1
-
94-
p. C. Kendall
we
have
1ff
N(x', y', z', t)
l
2 2 2 N(x ,y ,Z ,0) (x'-x) +(y'-y) +(z'-z) o 0 0 0 0 a 3/2 exp 4 ( 4'1't) t
J
dx dy dz . 000
So the asymptotic shape of any plasma cloud as N I N=
where back
0
(4Wt)3/2
= total electron content o we see that if
t.., ao
(1
N=
shows
cloud will
N dx
the asymptotic
(23)
This
~i~
that
take
the direction
a
is
2 2 + y' + z, 4t =
dy
~ao
N dx' dy' dz' . Converting
dz •
forom is obtained, namely.
3t N
(41fD t) a in
up
+ S2)
,2
Iff
N'
No = as
x
exp -
t
2
exp
r
-
2 2 2 2]
(l+s){x +y)+z 4D t a
uniform
magnetic field
the shape of an
a
discrete plasma
ellipsoid of revolution, elongated in
of the field.
,.
Dispersion of meteor trails A" meteor
"
trail" is an
infinitely long cloud of plasma left behind
as the meteor passes through the ionosphere. time t =0 one might suppose the trail to
~see
Fig. 2 for notation) . At
be of small cross-section.
meteor
- 9S-
z
P. C. Kendall
B
z*
(earth's magnetic field)
y
~--""y.
Fig. 2 Clearly the problem is in two meteor train . Assuming that an x
dimensions, at right angles to the
equation
of
~..
= x y = y cos at + z sin. z
and N= N(x
It
w
,y
'rI
type (21) hplds we may put
= - y sin fI. + z
COS"
,t)
giving . 2
( sm
(24)
Q(
2 cos ot
",,2
Q
N
+ --) -2 1 +s ay~2
Unfortunately we have omitted electron collisions. Nevertheless, this serves as useful illustrative problem. Exercise
Show
that
a solution
of the equation
a N _ ~2N
"it - ~~2 is
Hence
2
n a O N = --::;:""""-2 exp -
obtain
(a
+ 4t)
a solution
of
( Xl
2
(a
2
+ yl
2 ) -
+ 4t)
equation (24)
and discuss its nature.
- 96-
p. C. Kendall
Note . When
electron-ion collisions and electron -neutral atom collisions
are included the ambipolar
diffusion equation can
not be solved. A re-
cent paper by Uolway (1965) J. G. R. 70 3635 is knuwn as
curl
~
F0
to
be incorrect
- 97-
P. C. Kendall Lecture
2
Diffusion in a plane stratified atmosphere The diffusion equation
Figurt 3
z
L
- -horizontal
I • anglt of dip
-
=angle bttween B and horizontal All variables
are assumed to be functions of
z = height above some fixed reference
z
only, where
level (Fig. 3) . Roughly speaking we
choose
z
=
base of ionospheric
layer
the F2 layer, SOO km above the ground )I
ia
-
1 sec
-1
Therefore 1.6 It 10
26 !CIa
giving
s It follows that
F
on ambipolar diffusion may be used to simplify the
The preceding results derivation, for in
a at
»
1
-20
-24
Jt
110.3
1
=:s 200
- 98-
P. C. Kendall
(i) The only relevant equation along a
field
line
of motion of the ions is that
i. e. parallel to "§.
(ii) The motion V~ at right angles to
the field lines is deter-
-1
mined by the Hall electric field. Thus J.
~ " ~H X "§./B For a self
2
The physical meaning of (i)'Cii,is that the ions collisions
with
motions across
J. take V to be uniform. -i
consistent model we must
can spiral
freely between
neutral atoms, and do so many times. Their random field lines are therefore considerably reduced (Fig. 4) .
Figtrt 4
Schematic view of motion of ion However, the Hall drift is 1
Form of We
that
have .I.
V. = E )t BIB .;..t, 1I -
(15)
Also , the electrostatic potential
2
is constant
along
a
field
line so
that
nH = -
(16)
where a
•
radian
is
the
longtitude (t = 1. 37 X 10 4) . Then
(17) and so
~H
in
spherical
+,
a) ,
=,.. .
= - grad
1
=(-2-' sin
+ (0,
(J
o,
where T = number
flH
polar coordinates
~H
(18)
F(
•
(r, 9,
2 cos (J 3 sin (J
r sin
0) ~F
cla
aF
1 (J
+)
a+
of seconds in
- 123 -P. C. Kendall That
is
A
E = -3-(cOS -H
- sin I,
I,
0)
sin B
(19)
+ (0, Also
if
M
" dipole
MA ( .
-
Thus
e ~+
r sin
moment,
-3 sm r
B
(20)
aF
0 ,
B " M
I
MA2 3 3 r sin 8
E )( B -H -
(21)
MA
)
A /r 3
cos
,
and
0)
I,
~F a;
(0, 0, 1)
3F
- -4-- - - (cos I, r sin B
- sin I, 0)
a+
yJ~Hl'~)
But (22)
= ~ .(! 1I \ ) &
-
iF
Ta
~H" (!Jt~ )
0
So
-MIl i.E..
(23)
3 3 r sin (J
MA
aa
aF
-+-4-- •• (cos r sin 9 v
And
(24)
as
r
=a
sin
we
2
1
(J
N
1
r sin
I
(J
a sin I a ar - -r- "j9){M2fl2r6
N)
- 124-
P.e.Kendall
Finally to
make
this
dimensionless we
F =
(25)
WM 2
r
where
f
is
f (a,
2 ~N= __a_~ 1 2 3a r o
~),
giving
aN
+
a~
r
2
r 2
o
~f/~
b
2 + 6r(1 +cos 0) 2 ro
Finally,
we
make
substitute
o
dimensionless
(26)
may
( cos
sinO
If
I ~ _ sin I &r r
..!E) U
N
at
A4
the substitution
(27)
to obtain
the
dimensionless
av
a+
= 1'Q 0
form
(29)
.,
i>
namely,
+ W' "
z/H V + _e__ ~I 1 ~ 2
f
L_ +r2
2
I
a f aY V = -1 r 2 ~..~. o I
(1),
-z/H e exp ( __z___ e _ _ ) _ (?> e- >.z/HV 2H cosX
(28)
H
of
2
r
0
~f
V
/ •• (cos I L
Asin
0
c!)
V
r
- sin I aV - r - ii)
-
125-
p, C. Kendall
+ (~~
(30)
2
H
+v.4 )(sin ... -
I...!.- -'-
h
~~ ~
ae
r
)V
where WI = ,W/H ,
(31)
and
(l
'If •We tial I
and
'¥
are
as
1 before, except that a factor sinllI is omitted fro
wish
to
integrate equation (28),
equation
in
3 independent
first
outline
which is
variables. This is
a
partial
now
differen-
possible, and
the difficulties,
Difficulties
lines
....a_"'-..L.__ Z-o
_ I o -........_ _
Fig, 12 Roughly ~
speaking we
are integrating outwards along lines
(Fig, 12) . The line z = 0
is
not
system (Fig, 13) .
1. See Lecture 2, equations
7
and
8.
a
natural
J.
r to
boundary in our coordinate
-
126-
P. C. Kendall
Fig. 13 Also
as
infinite need
r .. .., the
and
the
total
length
involved
a 'ong
a
field
line bec.omes
region of integration becomes infinite. We therefore
a coordinate transformation which
A suitable
(a)
transforms
(b)
transforms
transformation 2
(32)
x
"'
-
e
-hr
0()
into a
0
- e
-ha/H
!H-e -ha/H
.hr/H ·hr IH _l+ e ·e 0 -.:-hr-o""'lH~~-h:-a-"I=H e • e
(33)
where h = dimensionless
constant
>0
and x
> 0 in Northern hemisphere
x < 0 in Southern hemisphere Ifa»r
e
-hz/2H
natural boundary
into a finite
is
-hr/H
e
=0 z= z
point.
- 127-
P. C. Kendall
On equator
r
=
a , x = 0 •
Also
at r :: r
o
,
x = 1 (Northern ) or We thus obtain
the
mapping
shown in
-1 (Southern)
Fig. 14
z-OCN>
X-I
X-O ------------ equator
x··J
z-0(5) Fig. 14
Choose as
(34)
independent
x
2
variables
e
-hr/H
- e
-hro/H
1 ,,~ 1
= 1 + ~-..,--"'::""--- :: 1 + - -hrjH -haiR .A2 e
-e
and a
=
r
-.-2sm (j
Then (35)
&>
&r
=_l_L
- sin 2(j
ea
-hr/H
+(_£ _e_ _ H
A2 -ha/H
(36)
1 2 cos (j ior &9 . 3 sm 9
..!.. _(£ A_l_e_-:--aa H A 2 2
- 128-
p. C. Kendall
Thus or
'() Sm
'!'\
(37)
1.\ Q
2h e- hr / H H A 2 cos ()
_
2 cos () +- ;;; ir r ~()
":.\
~
c»(x 2)
giving (38)
"\ !\ -hr/H ~ sin I-~- +~ _~_ = -h sin Ie __ ) r r f)(). H( -hr /H -ha/H ~ 2
0
e
Similarly sin
a ()-
2 cos r
~r
() i)
~
;,
- e
A2 -,-3sm 8
) g(x )
~
hAle
(a;- H- A2 2
h sm . () e -hr/H H.I\. giving cos
I~
sin I
ar - - r -
a-
a()
A
W Sin 3()
-ha/H
.L)
~ (x 2)
~
2
~(x )
2 ~
6a
(39)
~
H
{(X2_1)Ae- ha / H A t sin 3 ()
+
Therefore
(40)
f
2 A -ha/H + _.....;.s....,in,.....;8_e_--r-_ -hr/H ~f / " (x -1) e ~ 2. A. 3 -hr IH -ha/H 2 r Asm() sm () C/e 0 - e ) t>(x )
_h r
2
o
...
\:
-
129-
P. C. Kendall r 2 cos I ]
(40)
3f
V
afJ
2r2 A sinO o
and
i)2 'v
=
(41 )
which
simplifies
Check: then
£>2'
equation We
shall
If
a
1
(14))
and
o
=1 ,
h
~
-z/H~2 / 2 cVax in
e -z/2H , J
= 90 • ,
agreement with Lecture
2,
take
Hall
drift
=
(r
2 2 o
cos;
/a )
which
is
independent
Ij) .
The full
x~
9 (~" x) .
f
giving a
(see
»r
V~4e
(43)
sin
to
diffusion eqrntion is
thus
of
a
at
the equator and Q(
- 130-
P. C. Kendall (1 _ 2 WI H cos a
4> )
aV + WIH sinp.l.Y ~+
-z/H
+ ,. qo e exp (- 2~ - ecosX
(44)
We see numerically.
from lecture
(3)
that
this
&a
) can
be now integrate
-- 131 -
P.C.Kendall Lecture 5
Equilibrium solutions Diffusive equilibrium (and comparison of theoretical and satellite results) When the velocity of the ions is zero, i. e.
v-i
(1)
=0
we have a situation known as 00 LMT 10/3:62
12
10
Figure 16 4
THEORETICAL CURVES
Figure 17 8
6
4
710 - - - - - - - - - - - -_ _ _ .
~.
OL--~~~3~O--~W~~IO~~O--~IO--~W=-~~~~40~~~O~ -N
·S Ma,nllic Dip An,l.
A clue constant and
as
to
the
procedure
f(a) = any function with
is
seen
a single
when
we
take
maximum. Then
K=
we
obtain Fig. 17 (see Goldberg, Kendall and Schmerling, 1964, Journal of Geophysicul Research 69 , 417-427) • This is
so
similar
is worthwhile. Baxter
to
the previous diagram that further investigation
and Kendall, 1965, Journal of Atmpspheric and
-135-
P. C. Kendall
Terrestrial Physics
~,
129-132 have made quantitative comparisons bet-
ween theory and experiment. Thus, if the lowest of the constant height experimental curves is assumed
to be given together with the equatorial
profile, we can deduce all the other curves using this theory. As the experimental curves are also available this is an interesting comparison between theory and experiment. Thus, at fixed height
,cc.)
N = N (z1
Z
= given function,
where 01.. = latitude . Thus , putting r 1 = r e
+ Z 1 ' where
radius and using (4), (5) gives
giving
We also know that
at
the equator
N = N (z,
0) = given
function.
Thus from (5) g(z) = Nez,
01 If (r)
= N (z, 011f(r
If
follows
that
at a
general
N = f(a)
= z1 (say) we have
e
+ z)
point
g(z)
N(z1,cos- 1
j(r{os2oC./r~NCz,OJ
N[zl ' cos- 1 /(r/r}]
r
e
is the earth's
-136 p. C. Kendall
The results lines
of the investigation are
shown in
Fig. 18 . The solid
are observations, the broken lines are theory .
.. 'eu
• 12
~
¥
,,-ii
..
'Q 8
"i o
~ 4
i '" 20
IS
o
10
·s
5
M.gnelic Lah1ude
10 'N
All we can conclude without. further information on the temperature and composition is that mathematically the distribution N is almost separable in the variables
z
and a.
Effects of electrodynamic drift on the topside ionosphere By expanding in a Journal
of
Atmospheric
power series Baxter, Kendall and
Terrestrial Physics
have studied
the disturbance of
upwards and
outwards
Hall
1965 27 , 1263-1273
this type of diffusive
equilibrium by an
drift. They find that the ionization adjusts
itself so as to compensate for the Hall motion at field lines. The diagrams will
and Windle,
ri~t
angles to the
not be reproduced in these notes.
The ad
hoc methods they used to solve the diffusion equation show that there is room for mathematical work
Equilibrium solutions
and
in this field.
the effects
of electrodynamic drift
Bramley and Peart (1966) and Hanson and Moffett (1966) have both integrated
the equilibrium equations with
terms. The word "equilibrium I is taken
realistic production and loss
to mean
a Iat! 0 .
Thus we take
-137p. C. Kendall
a /a~. 0 in equation
~ = constant and put
(44) • Then, using obvious
abbreviations
av
-
aa 0
= f (x, a ) + f 2 (x, a )V
1
0
0
+f
aV ax
'iv
(x, a ) -+ f (x, a)-----.. 0 3 0 ~ x"
3
where a = a/H o It should be noted that these authors did not use the mathematical transfor-
mations of Lecture 4. The problem ly. The calculation is
is clearly readily tractable numerical-
started from the field line
a =(6550 km'YH o and continued as far as may be required. The boundaries of the system are shown in Fig. 19
dipole field lines (oaconstant) ~~~~~~~~~~~~~Ie~velz-o N X-I X--I S
Fig. 19 The problem in
the a ,x plane is straightforward (Fig. 20) o
I
I I I
0
I
-I
hQ
I
I I
,
~ 00
direction
X--I
h a steplength of numerical process a in 00direction
Figure 20
-
138-
P. C. Kendall
z = 0 , we put V = - f 1(x ' are sket ched in Fig. 21.
On the boundaries (which happen also to be a ) / f ( x, a ) . The o 2 0
results
obtained
Nm<electron density)
•I I
I
I I
.......e uator
ISeN 15·5 latitude Observed (Appleton 1947) (noon)
Theoretical (symmetry)
Figure 21 A drift upwards of about
lum/ s is needed, with typical F2 layer
parameters, to produce a suitable "Appleton anomoly" in the case of symmetry. Hanson
and Moffett find that
a SN wind of
60 m/ s could cause
the observed asymmetry, but do not claim this as explanation.
-
139-
P. C. Kendall
Lecture 6 Time dependent solutions of the
F2 region diffusion equation
(lVl~""
Dr. R. G. Baxter) Using obvious abbreviations, the full diffusion equation of Leoture 4 (equ.44) becomes approximately, if W'H/a c 1, ~V
-
().p
tlV +f(;)-
h
(1) = f (x, a,.p)
1
The operator on
the right
t)V ~2 V + f (x, a,; )V+f 3(x, a,4» --;+ f (x, a, ~ )-2
2
'q
hand side
may
be
x
reduced
4
Ox
by integrating
the equation da = f(+)
d+ Thus,
as
the integral
is
J• d~
a = ao + where a
o
is
a
constant of
+=,
f
o
integration, the required transformation
I
(2)
cia
a'=a-f
o
That
Also
this
,
algorithm works can
-c -;)
~al
f
d~ be
seen
at
once,
for
is
- 140-
P. C. Kendall
Thus t)_!) () -:a-+f-
a~
at' Using
~a
variables x, aI, ~ )
so
that
f.(x,a,~) = f.{x, 1 1
a' +
I+'
fd
Second order contributions to
r
k _ (t)
-1
Fig. 4.3 Also, it is very easy, once we
have a
given diagram, to write down its
analytic contribution . Let us for instance consider
diagram (g) in fig. II_ 4.3.
-196 -
F. Henin
Reading the diagram from the left to the right, we obtain (we do not write explicitly wave vector
equal to 0) :
(~L_l_)2 hk'~t =(k~\~L I -i~1 k~k.lklk~, k'l) '(
,01.)
are given
in fig. II. 5.1
three different types of regions while
only one
IRD
diagonal
from the sta-
a state of higher correlations.
(c), (d) and (e) have
creation region
we go from the state
or two of them) .
destruction region
- 198-
F, Henin
creation region
IRD diagonal region
destruction region
(b)
<S> IRD
o IRD
diagonal diagr'3.ffi
(c)
IRD
·.- 199 -
F. Henin
.
"
creation diagram
(d)
IRD diagonal region
destruction region
(e)
.- 200F. Henin
IRD =: irreducible diagonal fragment Examples of decomposition of diagrams
in creation,
diagonal and destruction regions. Fig. II. 5. 1 As we shall tions will
see later on, the time dependence of the various contribu
N
be closely related to this decomposition.
II. 6
N
In i t i a 1 con d it ion s .
We shall always consider initial conditions such that macroscopic properties like the pressure, density etc..
are finite at every point
of the system, even when the limiting case of an infinite system is considered. The interest of this class
of initial conditions is obvious from the
physical point of
be shown that once the existence and
view;
it
can
finiteness of the reduced distribution functions for a finite grees
of freedom is imposed
ry later
at
t=:O , it
number of de-
will remain so at an arbitra-
time. This choice of initial conditions introduct>s mathematical restrictions
on the class of functions
r
we consider. It can be shown that this initial
condition requires the following volume dependence for the various Fourier coefficients: (II. 6. 1)
where V
is the number of independent non vanishing wave vectors which
- 201-
F. Henin
appear in the set
k ... k
"'1
• (By this, we mean the total number of non
",N
vanishing wave vectors minus k .+ ... +k. = 0 "'J '"
the number
of relations
of the form
which they satisfy) . For instance:
"'1
3
= (811" In)
r
2,..
~1'~2
(II. 6.2)
r!E.-~
The coefficients or
N.
f
3 ,... = (8lf 1n)
!E ,-~
-f
k do no k 1.. · N
althoug h t~y might still
n NI n .
longer depend explicitly on depend
on
the
With these assumptions, although in the
ratio
formal solution of the
Liouville equation, we find terms growirg more and more rapidly 2 (N. N .•• ) , all contributions to the reduced distribution functions for a finite number of degrees of freedom remain finite. The proof of these theorems is rather lengthy and cannot be given here . However, we shall illustrate them with
two examples. We shall
of the two diagrams of fig. II. 6.1
consider the contribution
to the one particle velocity distribu-
tion function : (II. 6.3)
o
(a.)
Lowest order diagonal and destruction contributionsto
r
ott)
Fig. II. 6.1 The contribution of the cycle is (see
equ.
(n. 3.5)
(fig. II. 6. la) to the evolution
• (II. 3.7), (II. 3.12) and (II. 4. 1))
of
fo
(t)
- 202-
F. Renin
r
Q (t)l
II "
0
'jo
= __ 1.
211
~2
1
f
dz e -izt
C
1:. < i
/Ol~L'k.=k,k.=-k)
(fig, II. 7. 1) Simplest
the cu 1 lh i:m
-1
creation fragment Fig. II. 7. 1
- 210-
F .. Henin
It is a contribution to the evolution of
f~, _~ (t)
. Analytically, we have:
-izt dz e Z with
.,0.
(~-~) ";lg".
C1(z) = (S .... 3/ rl ) Vk k " z-k.(v.-v.l -'
(II. 7.19)
-
-1
C1(z) ro(O)
-1
J
~1
The main difference with the two preceding cases is that we
have no
longer a summation over the wave vector. However, our aim is to compute average values of dynamical quantities in phase space. If we compute the contribution of (II. 7 .17) to the complete phase space distribution function
f ({g,,\ ,ls}
t), we have:
rr(t~\'I1I' t)].J' -(I/'1\'
(11.7.20)
it
,-:'t r I (,) foro)
d,
where (II.7.21)
= fd\
exp rik.(q.-q.)] C (z)
L~
~J
-1
1
With our assumption (II. 7. 1) for the potential , we obtain:
(II. 7.22)
[r (\ ~ H~ I .t)]:>
The last term
is proportional to
r = a . -q .' It will
-
'l.l-J
exp [- k(
t» we shall
1' ~ik
I!:, - ~tl)]
become negligible fo,r times
(II. 7. 23) Later on,
r 1(0) + Roo ( ' -i:t((,) t
g
where
such that :
r/ g
only be interested in the value of the distribution
function for relative distances of the order of the range of the intermolecular forces. Then the characteristic time
r/ g
will be of the order
- 211 -
F. Henin
of
t
will
r
reduce to
quantities
»
,the asymptotic contribution coll 1(0) . This means that, for the computation of the
the collision time and for
"C
defined above, we may take the asymptotic express ion:
The contribution of other types of diagrams inserted
(diagonal fragments
on a line , free propagating lines, destruction diagrams
involving exchange vertices (fig. II, 4. 2 a, f) can be discussed in a similar way but shall not be considered here (see ref. 1))
II.S - Evolution of the velocity distribution function. From
fo(l)
(II. 3. 5) and (II. 3. 6) , we have:
~-{1/2lf i) fe
.
d,
00
e -lzt ' [
L.
c
(
l~)
l\.)
c=
oc. l"ft\)
o ---1.(__
('1\.)
C
--c
C
If.)
(
--C
a
l, )
(0)
~
"
o
ri. -!,
.
•
(n~ diagonal fragment)
~ .
l~)
Second order
G) lS)
l"-)
Second order contributions
contributions to
lp)
.
\.
fi'. d
_~ (one diagonal fragment)
1
Q
:
- 223-
F. Henin o
--)
r-'k" -k-
Second order contributions to
Second order contributions to the evolution of the binary correlation f!,
_!
Fig. II. 10. 1 To discuss the evolution of
r~k
(t). one decomposes the relevant
1_\
diagrams into those which are diagonal and those which contain a destruction region (see fig. II.lO.l) . In this way, one verifies easily that these functions obey an evolution equation very similar to the general master equation for the velocity distribution function:
- [ d1: G
(II. 10. 2)
where
+
\!dt
-T)r
UP')
~:~\I!'l (t, fl!!.'1 (0) )
G \!\(t) is the in verse Laplace transform of the diagonal operator:
(II. 10. 3)
while ~~I!') (t,
1
IlO
ftU(Z) = ~~!'ISL rf!"
(z -L!44t!\)irr
(0» is the inverse Laplace transform of the
destruction operator :
The dash on the summation over
t ~"
in (II. 10.2) means that
1
states 1t!'~whiCh are such that the transition !\~'
only those
I describes
a
- 224-
F. Henin
destruction of correlations must be taken into account. The evolution of ft~ \(t)
is due to
the dissipation of the ini-
tial correlations through the collision processes. For long times, a pseudomarkovian equation similar to
(II. 9. 5) can also be derived from
(II. 10.2) .
Plf t \(t),
As to the evolution of if we have at the left
a given creation diagram, corresponding to a
'
transition \ t \t-\~"
the main point is to notice that
we may have at the right of this creation diagram
any of the
diagrams which contribute to the evolution
Iff tt'\=I.Q.\
'
evolution
we may have all
of
Pit, \("1: )
the diagrams which contribute
to the
of the velocity distribution function), if or is the time corre-
sponding to the first creation show rigorously that one
vertex. This remark makes it possible to
has:
(II. 10.5)
where
the dash on
se states
the summation
I\t' \)c0rresponding to
must be taken
into
t
C tH~'rt)
a
over \ t'
t means
that only tho-
lower state of correlations than B~t)
account. is
the inverse
Laplace transform of
the creation
operator: (II. 10. 6)
Equation (II. 10.5)
describes
the continuous creation of fresh
tions by direct mechanical interactions from
correla-
less excited states.
-
225-
F. Remn
II. 11
w
A P pro a c h toe qui Ii b r i u m
0
f the vel
0
cit y
distribution function. For weakly coupled or dilute systems, the approach to equilibrium is usually discussed by means of an
l£ -theorem.
More precise-
ly , one shows that the quantity (II. 11. 1) decreases monotonically in time and that the stationary solution (which is unique) corresponds to
the equilibrium distribution.
Unfortunately, this theorem cannot be completely generalized when higher order
contributions are taken into
account. We shall only
consider the case of systems where there exists a parameter such that a perturbation expansion in
powers of that parameter has a meaning (cou-
pling constant ~ for weakly coupled systems, concentration C for dilute systems) . As an example, we shall consider the case where an expansion in powers of
~ has a meaning . Then, with the following expansions:
(II. 11. 2)
fort)
= r(~) (t)
+~f
(II. 11. 3)
1'(0)
= }. 2 'l'2{O)
+\3 'l'3(0) + \.\1'4(0) + ...
(II. 11. 4)
r2 = 1 + ~2'1'2 (0)
the kinetic equation (II.9:5)
{II. 11.5)
(II. 11. 6)
gives
2)
(t)
+ ).2
pi!) (t) +...
+ ... us
a set
of
equations:
- 226-
F. Henin
~ ~ - , t ,(0) f (:) (t) - ''\'3(0) r(!)(t) - ''1'4(0) r(~) ~~2) ...
(II. II. 7)
- i'l'2 (0)'\'2(0) f (~)
(t)
(t)
etc ... The ~ -theorem for the lowest kly coupled systems, see chapter
III,
order approximation (for wea-
If 2 and
3) shows us that
r(~)(t)
decreases mo,10tonically towards its equilibrium value
r
For times
much
7»O(I)(t) I 0 ~ ~2t
where g
0
\ 2
)(
is
(0) r(l) (t) _ 0
now
'n
that
i'"
13
the next
one
(0) f(O) (H ) 0
can
show
that
'" (0) g (H ) = 0
is
0
an aTbitrary function
of the unperturbed hamiltonian. A
general method to verify this property can be 'found in is based on the discussion A more cumbersome method in a number appear in
f(~)(t),
by:
= _ i-"
The interesting feature
(II. 11. 10)
(H )
longer than the relaxation time for
approximation is then given
(II. 11. 9)
= f(O)
(O) (t ~ co) o
(II. 11. 8)
of
of an
3). This method
integral equation and rather formal.
1) 6) consists in the splitting of each
'I' n
operators according to the number of particles which
the diagram. For instance, in the operator
t
3(0) , we have
J[ThiS is valid for gases where the interaction is velocity independent. For anharmonic solids for instance, the situation is more complicated because of the action dependence of the potential and this property is not valid. This makes it very difficult to study the approach to equilibrium at higher orders than ~. 1) 5) 7)
- 227F. Renin
two diagrams
t(~)
(fig. IL11.1) : one with three particles (a) which we call
, the next one (b) with two particles which we callt(!) .
o A
k . (~ - -:::;- )CD1(v ., t) 1,{)1(v ., t) '"
U
I!..i
U
I!..J
I·
"'I
I
,
"'J
=0
whenever k is such that:
k . (v . -v .l = 0 "'I "'J
(III. 3. 7)
'"
We verify easily that (III. 3. 6)
implies:
~lp'f1(~i't) ~.(
(III. 3.8)
• ~p.
~lnf1(~j't) ""J
"'I
Whenever (III. 3. 8)
)=0
i)D.
-
and (III. 3. 7) are simultaneously satisfied, we must
have:
)lnfl(~i) ~I!..i
~1~(V
.) "'J 'Sp. "']
= P.
I!..i - I!.. 0
""J
al and
I!..
o
=
ol
m. J
mi where
- I!..o
are constants .
Integratfug (III. 3.9) , we obtain : (III. 3.10)
In
'f1(v .l = "(P. - P "'I
"'I
"'0
)
2 .
12m. + In V . 1
01
where ~ i is a constant. This gives:
(nI. 3.11)
~l(v.) = v. , "'I • 1
exlel jp .-P
L'
"'I
12/2m.] 1
",crI
- 247F. Henin
The normalization condition requires: 3/2 (III. 3. 12) We also consider systems where the average velocity is zero; hence (III. 3. 13)
D
~o
= 0
~
Defining the temperature through: (III. 3. 14) one obtains eas ily the usual Maxwell - Boltzmann law;:
\D (v) = 41f(m/21fkT)
(rII.3.15)
3/2
11~
In this way, we
have
2 exp(-mv /2
kT)
verified our statement at the end
of
the previous
paragraph.
III. 4 -
B row n ian
mot ion ina
fl u ida t
We shall now consider the simple case 1 moves
in
e qui 1 i b r i u m .
where the particle
a fluid at equilibrium. We then have:
'" (v., t) =
(III. 4. 1) 11 ~J
41f (m./21f kT)3/2 J
jf1 Then, equ. (III. 3. 5) becomes to be equal to m) :
(III. 4. 2)
(assuming the masses of all fluid particles
- 248-
E. Henin
In this way, we have obtained a closed equation for ~ 1{~1' t) . The
~
integration
is
easily performed in
a reference frame where
the relative velocity (III. 4. 3)
[
is along the
z
= ~1 - v
axis:
3 \V \2 k,k.S(k.g) b, = lfB(a lb k 1J "'''' J xg x
n, (d k
1)
(III. 4.4) =1JB( ~ .
g1 b
- a .
1
3
0()
B=
depends only on the The last
0
dk
k
!
yg
b ) y
1
[3" f'~)
where (III. 4. 5)
+a
g
2
'Vk I
intermolecular potential .
expression in (III. 4. 4) is valid in
an arbitrary reference
frame . Using dimensionless quantities : (III. 4. 6)
we obtain:
4>
(III4.7)
w
x In
a
w w i
j
~ (
ml
( - - + 2 - u.l- UU,
m
is along the
z
1
1
i)u.
1
dw e
-(~-~
'"
1 woJ
~
reference frame where
~
axis, we have:
2 l(
- 249F. Henin
f
II = d~ e (Ill. 4. 8)
,+
roo -(w -u) 2 -,... (l/w) = 211 0 dw w
=~ /u)
1 d
-1
cos
0 -(w 2+u 2 -2wucos 0)
e
J0oo dW\ e (
- w-u 2 - w+u 2 3/ 2 ) - e ( ) 1= (If lu)
where
e
(III. 4. 9)
-x
4>l"'-)
2
is the error fUnction . We also have: 2 -(w-u) -3 a. dw e ,... w.w. w b. ~
I
-
1
(III. 4. 10)
I
2
=
I u.b) 1 - '"
I u . b)
2 .............
+1 2 -(w 2 + u 2 wucos 8) dcos 0 cos (J e 2111co dw w ,
10
-1 2 fCO
=
,...
1 b-a.u - n 1- '" '" u 4
- (1/2) (a. I 2b - 3 a. u ~ ....... ....... "'''''U
= err/2u) (III. 4. 11)
J
j
= (1/2)(a.I
dw w e
o
-2 ,~ ="..r 3/2 { U . ' (u)
2 - u -3 (l-u)
dcos
(J
e
2wucos
(J
-1
2~1+1
[2 d -(w 2+u ) dw - 2 w e o dw
r
+1
2
dw
2 )fCO
(If/2u)
d2
_(w 2+u 2 )
dcos
(J
e
2wucos(J
-u + 2e 2 }
-1
+l
(U)j
where
(II. 4. 12)
.lI(U) = d.(U) = (2/ du
'f
f1r ) e _u 2
Introducing (III. 4. 8) and (III. 4.10) into (III. 4. 7) , one can finally write (III. 4. 7) as :
~"l(!!.,t) ='t- 1 \ _-=-__ 'It
a(u)
12
- : - + b(u) "' 2
uu.
1
[~2 'I) (u. - - ) - u. 1
f)u.
1
1
~u.
1
1
.- 250-
F. Henin
where (III. 4.14)
b(u) = u -1
(III.4.15)
a nd where 't' has the dimension (III. 4.16)
'C
-1
= (3211
da(u) du of a time :
6 \2 ' 2 3/2 CAB/ m ) (m/2kT) 1
III. 5. Link with stochastic theory. Equation (III. 4; 13) can be easily written in the form of
the ge-
neral Fokker - Planck equation (I. 5.7) :
';) 'f =~_ (4 ui) 1) t
~u.1
At
'f
1
+ .!. 2
(III. 5.1)
with (III. 5. 2)
4t
=-
u 4-
i u
m 1 -1 ( 1 f-.-: ) g(ul ~ m
where (III. 5. 4)
g(u)
= '12 u -1 [ u -1
+
(u) -
t
I
(u)~
J
This equation has been obtained from first principles as an asymptotic equation describing the motion of a particle of mass at thermal equ ilibrium , with
m 1 in a gas
the assumption of weak coupling. The avera-
- 251-
F. Henin
rage values
(4 u.) ,(6 u. t. u.) 1 1 J
are such
that
the velocity distribu-
tion function reaches monotonically the Maxwell-Boltzmann distribution after a long time. No other assumption than the hypothesis of initial molecular chaos has been necessary to obtain this result. The relaxation time, i. e; the characteristic time for the evolution
of
'fC~.'
t) is given by (III. 4.16) :
(1II.5.5)
As
expected, it decreases when the concentration increases.
It is also a function of
the temperature
and the intermolecular forces
(seem. 4.5 for B) ; it depends upon the ratio of the interaction energy and the mean thermal energy of the particles of the fluid. It decreases whenever this ratio
increases.
If we compare (III. 5. 2) with the corresponding expression derives
from the
Langevin equation, we notice that the
introduces a coefficient of dynamical friction"y}
microscopic theory which
is velocity
dependent:
"J
(III. 5.6)
-1 = 4
't"
Let us introduce the following dimensionless quantities (1II.5.7)
Y= (m/m l ) 1/2
(III. 5. 8)
x = (m/2kT)
'( is
the ratio
particle ; x
is
of the
the ratio
its thermal velocity. With
1/2
VI
=u/r
masses of the fluid particle and the brownian of the velocity of the brownian particle and these quantities, we have:
- 252-
F. Renin
(1II.5.9)
For x «1, (and
r.:::
1) we have:
(III. 5. 10)
fu this case, the dynamical friction coefficient
If
is approximately
constant:
1x» 1, i. e. if the rarticle has a high velocity, the dynamical fric-
tion coefficient is
very small :
(III. 5.12)
Dependence of dynamical friction coefficient on velocity
For
tx
Fig. III. 5. 1 «1, we also have:
(Au i fl. U J.)
(III. 5. 13)
For "«1
=
r
' . . (8/3 1,J
Ii )T- 1
and x -I i. e. for a heavy particle moving with
o
-,
locity in a
medium
Planck equatioll takes
')1'
(III. 6.14) ~
of light particles at the simple form:
therlI\al, ve-
equilibrium, the .Fokkep
- 253-
F. Henin
analogous to (I. 5. 11) . The expressions (III. 5.2) and (III. 5. 3) for the average value of the velocity and square of the velocity have been obtained first by Chandrasekhar 4) • In an analysis of t
= trJld~~N-l
It is easily verified that none of these contributions vanishes;indeed, in the first
case, the integral over v. does no longer commute with the first two matrix -1
elements; in the second case the contribution proportional to
d /ax'd. of J L
C{
.
J
in the third matrix element is non vanishing. As we have already seen «II. 6. 6)), the contribution of each cycle is proportional to
-1
n ;because of the double
summation over i and j, we obtain a contribution proportional to C2. Such (0)
given contributiQn to
with m
vertices:
and suppress the irreducibility condition on a given intermediate state (say after r vertices) . In thi.s way, we add to
'" (m ) the following con-
tribution :
0( (V. 4. 5)
=}'\d~,N(O\XLA(z_~o 3L)m-r '0) irr
)(
" (0 ,(2iL)r '0). rr"equ (v.) z- L lrr . 1 1 o
As we have seen
1
such a contribution
limit of a large system
will
be different from zero in the
only if the two diagonal fragments are semi-conne-
cted. We have two cases: a) the semi-connection
is through one fluid particle; but. then ,A does
not appear in the last fragment on the right and we have:
(0 \ (z-~o ~L{ \0) ~~equ(Vi) (V.4.6)
=
(0 \ (~~Lf{ \0) ~ 'fequ(~i) =0 z-L
o
if we take into account (II. 11. 10). b) the semi connection is through particle A. Then, all the fluid particles in the first fragment are different from those in the last and because of the integration over the velocities of the fluid particles, the first vertex in the second fragment must necessarily involve A ; hence:
- 281-
F. Renin
ot
=
~\{d!\N-S(a'&LA(z_lL S L)m-r \a)irr ~
(V. 4. 7)
)(~id~\S (a'~LA(z_~ ~L{-l
\a)irr
o
if
"
o
{l dv l
Jl ""
s
TI''fequ(~i) 1
Jl dv"'1.... dv. ,where i ... i "'lIs
are the fluid particles involved
in the second fr1 gment s . W e easily recognize that the second contribu-
+
tion is a contribution to the operator
r
given by (IV. 3.13) . As we have 2 seen, the first non-vanishing contribution is of order and we have:
a(
=
Yhd~ \
(V.4.S),,¥2
N-s
(a, ~ LA {z-~ J
L)m-r \ a)irr
o
~\\d~\s (3)(0).
appear convenient below) in +(4)(0), we
have to subtract the contribution
(V. 4. 9) . Because of the factor
we easily notice th at this f'ontribution will diverge at the limit
1/ z z ~.O.
,
- 282-
F. Henin
This is easy to understand. Indeed, a product of two irreducible dia2 gonal fragments brings a factor t in the formal solution of the Liouville equation as compared with the single t factor brought by one In the long time limit, the
irreducible fragment.
first one diverges. The role of the irreducibility condition in t(z) is precisely to suppress such contributions. This is well~known in the discussion of the three-body problem 5) . The operator
f (z)
brings
in the evolution equation only the contributions of genuine three-body collisions, i. e. of those collisions where the three particles interact almost simultaneously (i e. on a time scale of the order of the binary collision time) . The suppression of the irreducibility condition would amount to the inclusion of those three body processes which are a succession of 2 two binary collisions and would introduce a divergence. However, it is often convenient to write ble contribution
,\,(Z) as a difference between the reduci-
(which includes all three-body processes, whatever
the time ordering of events) and the reducible term (which describe those processes which are the result of succession of collisions). Both terms diverge but the difference is finite; the cancellation occurs only for the diverging parts. We shall see an example of this procedure below.
V.5 - Higher order corrections to
the collision operator.
Explicit evaluation. The above discussion shows us that we may forget the irreduci-
t
bility condition in the third order operator; it is then with the arguments we used in chapter IV, We obtain:
a simple matter,
5 to compute ;(3)(0).
- 283-
F. Renin
where the force
~
acting on
the fixed brownian particle is given by
(IV.5.8).
As the potential is spherically symmetric, one verifies easily that all contributions to the rhs of (V. 5.1) vanish for symmetry reasons. Therefore: (V. 5. 2)
~
3 +(3)(0) = 0
Let us now cOl1sider the fourth order contribution. If we denote by ¥4)(0) the operator +(4) in which we suppress the irreducibility condition, we obtain: (V. 5. 3)
- 284-
F. Henin
where
is given
01.
by (V. 4. 9) .
Following the same procedure as that used to compute +(2) and
~(3),
we have:
-
~
~R,
J
+ F,(R, J-
C) - + F 1(R ~R u
1
1
I> \r- \) ,}P. J
'X
'"a ,t r_lL ) -'i)P 1
1
)(
This is a fourth order differential operator with respect to the velocity of the brownian particle . It diverges as can be easily verified if one keeps only lowest order terms in the coupling constant. As to the operator
~ ="o4 z~ lim 0
TJ'f 1
equ
cI.
t
p=O
(~i
)
which we can easily rewrite as :
,we easily obtain:
- 285-
F. Henin
(V. 5. 6)X
ni'"
equ (~l' )~d ~ \N/, 1 ,0 ,L A f , z_Lf_ ~L o
It
(~LA+LA)rf II 0
equ
\0)
Using
r~qU' 0) (V. 5. 7) =
=
L.1nJ,~)(i~\' ~I f7 U 10)
\t~ ~
C
I\~\ ,~~~" ~lrefqUlo)+ lo)il~equ(~.)
{t\, ~ f{ 2-\
we have:
L
{t'}~~\ (V. 5. 8)
=2
{~'\~'
_)
~1)A(V,j rl,lvt) (U .... 1 .... J l.:.
(V.8.12)
=(1-1)
f equ
rf
- (n) ~N (f)f equl~........ r dv l N J
A
0
(\d:td~ \ N
A
equ)
as well as :
1
1
-z--(l--6''X')-(L---'-+'''''~L''''''') = z~(l~I)(L +~L)+(r~I)(L +JL) o 0 0
(V.8.13) =
=
1
z-(l~I)(L
o
+1tL)
1 z-(l-I)(Lo+iL)
I
1+1~I
(
I
1+
(
f,tdrdv ~ 1 L+dL )f equ . . -\ N(0 ) z-(l-Ii')(L + ~L) 0
1~1
f~ drdv
)fequ
....
tA J N(LA+"L 0
)
1 } z-(l-f)(L o+IL)
we easily obtain:
)C
(L
o
+ 1.L)~f
fLY)
I equ
(V.8.l4) +
i" 2tJd.Fdy\N~L p-"I
X f\drdy'\N Now, if : (v. 8. 15)
we also have:
\
A
1
z~( 1 ~I)(L + I L)
o
(l-I)ff equ
LA)c
Z-(l-~)(Lo+'L) (l-ij') (Lo+ 3L) f~qu f(~)
0
- 295-
F. Henin
(V.8.16) Applying the operator
f
to both siges , we have:
Jlr.zOf (J.drdvlNr=O I equ)' .... _I
(V.8.17)
which shows us that the second term in the rhs of (V.8.14) vanishes. Hence,
(V.8.18)
X(L +SL)ff f(V) o equ-
The Ihs of
(V. 8.11) can be written, with the definitions (V. 8. 6) and
(V. 8. 7) :
[X (z) -izA (Z)] f(~") = -i~dr.d~ \NlL A Z-(l-I)tL o+SL)
(1-1) )(
(V.8.19) 1C \
z + (L +SL)Ilr f f(V) o I equ ....
In order to prove identity (V.B.ll) , we thus have to show that the quantity 0( given by :
~ =f~d~~At\N~LA Z-(l-I)~L +~L) \(1~) o
(v. 8. 20)
S
" (l-l):L + L) I - Z(l-I)} o
f fequ
(Lo+&L)
f(V)
-
vanishes. N ow, using again (V. 8. 12) , we have: 1(l-.8. 5) is thus established.
Equation (V.8.5) has the same structure as the transport equation we obtained in Chapter II, (V.8.27)
~
13. In the steady state, we obtain:
iLE'feq\~) +
£\(0)
To establish the equivalence with (V. 8. 28)
iLE~eq\V
=XiO) ~'fCy)
(V. 2.10) , we have to show:
F. Henin
x
(V. 8. 29)
(0) ~~(~) =
f
(0)
~'fC~~)
Let us first consider the lhs of (V. 8. 29) . We have:
(V. 8. 30)
if we take into account :
IL of
V(8.31)
=
0
(V. 8. 32)
Through a straightforward expansion, we obtain:
However, we have:
-
300-
F. Renin
This completes tre proof of the equivalence between our starting point and that of Lebowitz and
Rubin~
This equivalence shows us that quite
generally all corrections due to the effect of the field during a collision can, in this brownian motion problem, be incorporated formally in a modification of the collision operator
(+~1C).
References.
1. P. Resibois and T. Davis, Physica 30, 1077 (1964) 2. J. Lebowitz and E. Rubin, Phys. Rev. 131 , 2381 (1963) 3. J. Lebowitz and p. Resibois, Phys. Rev. 139, All01 (1965) 4. R. Balescu, Physica 27 , 693 (1961) 5. p. Resibois, J. Math. Phys .
.!'
166 (1963)
- 301-
F. Henin VI. BROWNIAN MOTION IN AN EXTERNAL FIELD. VI. -
QUANTUM CASE In t rod u c t ion
We shall
now consider the problem of brownian motion of
of a heavy particle
in a quantum system. Our starting point for a
microscopic discussion of the evolution equation of quantum systems will be the
Von Neuman equation for the density matrix. As we shall
see, provided we choose suitable variables, this equation can be written in a form which is very similar to the Liouville equation. The main difference
will be the replacement of differential operators by displace-
ment operators. This corresponds to the physical fact that energ'y transfers are infinitesimal in the classical case
while they are finite in the
quantum case. The similarity between the quantum equation for the density matrix and the Liouville equation for the distribution function enables
us to extend the whole formalism very easily to quantum systems. However, the problem of brownian motion in quantum systems
presents features which are quite different from those of the classical problem. In the classical case, we performed an expansion in powers of the mass ratio and showed that, to lowest order, the velocity distribution function of the heavy particle obeys a Fokker-Planck equation. At first sight, we might expect this to be true also for the quantum case, the quantum effects appearing in the diffusion coefficient. However, if we go back fora while to the classical problem, we easily notice that, what we did, was to assume that we were dealing with a particle moving with thermal velocity (i, e. a velocity of the order of its equilibrium velocity) in a fluid at equilibrium. We then had: (VI. 1.1)
(p) IP
"O( m/M}
1/2
- 302-
F Henin
Our expansion in in (p)
a power series
of ,
was actually an expansion
/p . It is easy to convince oneself that (VI. 1. 1.) does not neces-
sarily hold in the quantum case. Let us for instance consider the case of a heavy particle rmving in a weakly coupled Fermi fluid. At very low
temperature, the particle collides with fermions whose energy is
very close to the
Fermi energy
£ F' Then we have: (VI. I, 2. )
where ((: /kT)1/2 F and we may expect to find a Fokker-plank equation
(VI. 3, 3)
only in the region
where
~
S«
(VI. 1. 4)
1
This condition is much more restrictive than the condition we
met in
the classical problem. With this example, one might think that such difficulties will appear only if we consider
fermions, because of the exclusion prin-
ciple and the existence of the Fermi energy. However, we shall see that it is not the case and that the difficulty is more general. At very low temperatures, we must always expect that the Fokker-Planck equation will not be valid. We shall first show how the Von Neumann equation may be written in a form very similar to the Liouville equation 1) . Then, assupling that an expansion in
(p) Ip
is valid, we shall easily obtain
a Fokker-Planck
equation. We shall discuss the quantum corrections to th e diffusion
- 303-
F. Henin
coefficient in some simple cases
2)3) and compare briefly the theoreti-
cal results with the results obtained in experiments on heavy ions movin g in liquid helium. Finally, we shall discuss on somewhat more general grounds than above the validity of expansions in powers of(p}/P.4)
VI.. 2- Von Neumann - Liouville equation. Let us consider one heavy charged particle acted upon by a constant external field moving in a fluid of light neutral particles. If we use a second quantization representation for free fluid particles and a plane wave representation for the heavy particle, the hamiltonian operator is (we take" = 1):
H=H
(VI. 2.1)
o
+}.V+H
E
The unperturbed hamiltonian is a sum over the kinetic energies of the fluid particles and the brownian particles: (VI. 2. 2)
Ho
+
where a k
~
=
L;
2 (k 12m)
at
2 a~ + K /2M
a k are the creation and destruction operators for a fluid par-
ticle of momentum k . As in the classical case, the interaction is a sum of two terms: one which describes the interactions of the fluid particles among themselves and a second one which describes the interactions of the heavy particle with the fluid particles:
V,.(~/2n)
r= v(~ h£:
klpr
£)
............................
(VI. 2. 3)
+(~/n)
L kl
(k 1) u",,--.e
-i(k-l).R + ................... \ a1
-
- 304-
F.Henin
The contribution due to the action of the external field on the heavy particle is:
=e
~. ~
1.1 the mixed representation
\!5
(VI. 2. 4)
HE
,\n\) of the eigenstates of Ho:
(VI. 2. 4)
the Von Neumann equation for
where [H,
rl
the density matrix
is :
is the commutator of the two operators
Hand
r
Let us now perform the following change of variables: for the heavy particle: ~ (VI. 2. 6)
""
=K
- K' '"
for the fluid particles
"k'" =nk - n''"k '"
(VI. 2. 7)
N k
= (nk +n'k )/2
'" '" '" We also write any matrix element of an operator A in the following
form:
(VI. 2. 8) = A 1f
.\.,{E, \Nt)
To tm operator A, 'We associate an operator the relation :
iC",
which we define throu-gh
-- 305 -
F. Henin
(VI. 2.9)
where the ~ and bles P
'?
IS
are displacement operators acting on the varia-
and N respectively:
(VI. 2.10)
1
+It ~ 'P --f(P) = exp [+)( -'::".)....
2
f(P)
~~....
at ) =f(!P +:::. .... -
+ LV
(VI. 2.11) One can
k ~. 1,... ~ 1\ - .... f(\Ni) = exp [+ -L v ~ .... !
1 2 k
1
oNk
...,.
'2
1"'}
f(\N\) = f(lN~- ) 2
then easily write the Von Neumann equation
as:
(VI. 2.12) which is formally analogous to the classical Liouville equation. The Von Neumann-Liouville operator
n
can be split into three terms:
(VI. 2.13) The unperturbed operator)t
o
is given by:
. are
kept, than the correspon-
ding classical expression. It is only in the weak coupling case, where we can neglect the interaction that we obtain:
(VI. 3. 3)
or
~' k
-
';>P
\p - X-2}('
x rX. , \"I~
4(P +
k
-rk .. k
(- " 2
~rlt'~v't(P,\Nt)
l(
'1 Nk\
2...) exp 'j)P
[_l rv' ~1/p+ 'I(_~I 2
k k C) Nk \:
2
,\NI v -
[-
l2 r" L k k "i) Nk
2
I
2
2
QP
,
v k' ' \
{ dR ~
-,E
-1(
kin
)\d~ \
=N
';)t
"-(211' i)
N
N
• - (21fi)
-1
N
2 r:.N (mv.!2)(~f
i=1
-1 -1
(VII. 4.13)
star:
~
1
N
l'd~\
~ ti
-1~ d~\ N L.. ~
i=1
41f~2Cm-l (dl1d~
J
R._
0
lot)
2 ( izt (mvJ2),dZ e - f(Z)z-'f;:lo(O)
(mv,2 /2) 1
g-1
f
f
r
(t)
0
(v
v ,t)
0 ~1'~2'
>0
where (VII. 4.14)
It
(VII. 4.15)
w = (v
~1
are respectively the relative Therefore,
= ~ 1 - ::'2
the
t
+ ~2 v )/2
and center of mass velocities.
contribution plays the role of a source term
-
34b-
F. Henin
r
and leads to a continuous 'increase of the kinetic energy. In we have the following picture of the time evolution
of
0:
other words, first , a qua-
; the reI aged system then remains in the quasiequilibrium state but with a time siequilibrium distribution will be reached on
a time scale
t
dependent temperature.
VII. 5 -
R ole
0
f the in it i ale 0 r reI a t ion s .
In this whole discussion, we
have assumed that there were no
initial correlations. Then, we have seen that there is a continuous increase of Kinetic energy. Because of total energy conservation, we have at the same time a decrease of potential energy (the complete energy balance can be verified in detail but requires the evaluation of binary correlation Fourier coefficient and will not
be considered here) . This
continuous exchange between kinetic and potential energy of course occurs for any system when the non markovian description is retained . The particularity of the gravitational plasma is that it occurs at lowest order, which finally is due to the fact that there exists no approximation corresponding to instantaneous collisions. However, we may wonder whether this picture could not be affected if initial correlations were present. As we are dealing with
long range forces, once initial correlations are
present, there is no mechanism by which the system can loose the memory of these conditions in a short time as it happens for systems inte;,racting through short range forces. The fact that the true collision time for such a system is very long on the time scale over which we discuss the behavior of the system, has the consequence that neither can we consider the collisions as complete not· can we assume that
the
system has forgotten its initial conditions. Therefore, we have to retain f
both the non markovian character of the collisim term and the destruc-
- 347-
F. Henin
tion term in
the master equation.
We can easily see that the presence of initial correlations will indeed modify our results. Let us take as the initial condition a function of the hamiltonian: (VII. 5. 1)
f(O)
= f(H)
If one adds to (VII. 2.2),
the destruction term and computes it
for this initial situation with the same assumptions as the collision term, one verifies easily that the increase of the kinetic energy which results from
the
f
contribution is completely
cancelled by the destruction
contribution. This example clearly shows us the important role played by the initial correlations in
the description of systems interacting through
long range forces. It would therefore be of great importance to have realistic models of non equilibrium correlations.
References.
1. I. Prigogine and
G. Severne, Physica ( to appear, 1966)
2. S. Chandrasekhar. ··Principles of Stellar Dynamics n U. Of Chicago Press (1942) , Dover, New York (1960) 3.J.Brocas, Bull.Acad.Roy.Belg. cl. Sci. 50, 765 (1964) 4. K. Hauboldt, Physica 28, 834 (1962) 5. 1. Prigogine, Nature 209, (1966)
CENTRO INTERNAZIONALE MATEMATICO ESTIVO (C. 1. M.E. )
T. KAHAN
"THEORIE DES REACTEUHS NUCLEAIRES METHODES DE RESOLUTION PERTURBATIONNELLES, ITERACTIVES ET VARIATION.NELLES" .
Corso tenuto a
Varenna dal 19 al 27 settembre 1966.
-- 351 -
THEORIE CINETIQUE DES REACTEURS NUCLEAIRES METHODES DE RESOLUTION PERTURBATIONNELLES ITERACTIVES ET VARIATIONNELLES .
par T.KAHAN
Avant d'aborder la th~orie mathematique dt sport qui
r~git
I '~volution
r~acteur nucl~aire,
des
ph~nomenes
l'equation de tran-
neutroniques dans un
il me parait indispensable de Mfinir et de preciser
un certain nombre de notions majeures en physique
nucl~aire
.
On admet en physique atomique que chaC{ue atome est par un centre ou 'loyau
positivement~:
que toute]a masse de I 'atome, autOllr
charg~,
constitu~
a lui
contenant
seul pres-
du quel gravitent un certain nombre
d'electrons n~gati!s(ou n~gatons) .
"Y&f' Q{lU
t ~D""Ue.
~s
Dans un atome neutre, la charge positive du noyau de signe contraire
a la
un multiple autre Z..
somme des charges de la charge
'nombre atomique' de l'atome . (Z Tous les me d' H ) et de
n~gativ€S
des
e.Le nombre
est &gale et n~gatons:
c 'est
Zest appel'; Ie
= 1,2,3, ... )
noyaux se composent de N n';utrons: particules
que. Le nombre A=Z+N
Z
protons (noyau de I 'atode charge electric.
- 352-
T, Kahan
est Ie nombre de masse du noyau, Ainsi les nombrffi de masse du proton et du n{!utron sont l'un et l'autre (!gal taires de masse
a peu pres
tiques
d'une seule et
diff~rents
~gale,
aA =1 .
Ces deux particules t11emen-
repr{!sentent, au fond, deux
m~meparticule
~tats
quan-
fondamentale, dite nucl{!on,
Une r~action nucl~aire est un processus qui a ·lieu lorsqu rune particule nucleaire - nucleon, noyau, photon, - entre en choc avec une autre particule . Considerons une reacteur du type a+C-+R+b qu'on ecrit aussi
qa,
b) R .
Cette notation signifi~ qu'une particule a frappe Ie noyau cible C et produit Ie noyau residuel R et
une
particule
emergente b
~ .~
~®
Ainsi par
exemple
pour donner lieu
a
un neutron (n) frappe
Ie noyau de
un noyau de lillium avec emission
iO n t 5 B -'> 3 Li 7 +
'to
fl., 1.0.
base
~B
10
d rune particule'"
B(n, '" ) Li .
Le terme fission signifie rupture dlun noyau lourd en deux (plus rarement en plus de deux) fragments un pMnomene exo energetique , c 'est
sensiblement egayx. Clest
a dire un
reaction accompagn~e d rune.
enorme liberatioh d'lmergie A E(suivant la relation d'Einstein
ld:""I\"~iol\
Am
= c 2 AE
d.tMas:sc
til tt,'Y411)
(EIII ..
,i' li~i",)
- 353-
T. Kahan
La premi~re fission decouverte fut celIe delI'isotope 236 de l'uranium obtenu en
bombardant
avec
thermiques ( crest
des neutrons
l'isotope rare (0,7
de la vitesse d'agitation thermique (E
% ) 235
de celui-ci
a dire avec des neutrons animes o
= 0,025 ev a T = 300 K) ) suivant
la reaction :
y n + U235 _ ) J236 _> F +F neutrons+ rayons P +rayor (instable) 1 2 +energ en Fl et F2 etant deux fragments nucleaires teis que 40Z297 qui sont des nuclides in'ltables jusqu 'a suivant
ce
qu 'un
qui
nuclide stable soit
se
atteint
T 137 et 52 e desintegrent en chaine seion le schema
- 354-
T. Kahan
Fait tres imputant, il apparait (en moyenne 2,5 neutron) sont que
~mis
la fission a eu lieu ; ce on
petit nombre
de neutrons
qu 'un
petit nombre de neutrons
par les fragments de fission apres les
(N" % pits
n~utrons
prompts
retard~s
; en tres
sont emis par les
fragments au bout d 'un temps relativ~ment long apres la
fission (Fraction
- 355-
T. Kahan
de seconde a
55 se.)
Ces neutrons retardes jouent un rale
maji;!ur
dans les reacteurs atomiques . Reaction en chaine . Le fait quI un neutron capture par Ie noyau
J35 provo que
l'~mission
avec une ~nergie cinetique
dlenviron 3 neutron (2,5 en moyenne)
de quelques Mev
aU total, entraine la
possibilite que ces nouveaux neutrons ament en degager par la suite
@~
'S+0~
2
3 =9 ,
~ A
puis 3 3 = 27 ,
Ia chaine continuant ainsi noyaux [issiles ,
a
flJ)
en
• principe, jusqu'a
I 'epuisement des
condition que chacun de ces neutrons induise
nouvelles fissions. En cinquante
de
generations, on aurait de la sortf
neutrons presents dans Ie syst~me . Il se produit ainsi une chaine de reactions ou e neutron initial agit comme une allumette appliquee corps combustible : la chaleur degagee met Ie feu
a une pattie
du
corps et
par la flamme
a
un
de I 'allumette
la chaleur resultante provoque Ia
combustion de proche en proche d'autres
portions
jusqu la ce que
Ie tout soit consume et son energie chimique libereE! Faisons quelques ordres de grandeur 200 Mev au cours Ceci est equivalent
. II se degage environ
d'une seule fission par un seul neutron du 0,03 e v
a
- 356-
T. Kahan
3,2.10
f\J
La fission complete
-11
d 'u
1~
de
watt. sec libere donc
l'enorme quanti-
d' energie de
t~
8,2 ,10
autour de la fission
est
temperature. ordinaire
de '" 0, 0 3 ev on voit
que I '~nergie degagee
d'u possede
d'environ: 200
7 10 9 fois
Htv -;
O,03e.v
plus
kw.sec.
a la
Comme chaque atome une energie thermique
7
.
grande que I 'energie calorifique
re par la fission
est suppose etre de
de
I 'U . Si
10 - 8 sec,
la 50 0
10 25 neutrons auront ete, serait atteinte en
oil
Se.c.o",,jL
->
des neutrons est
que la fission: et une
absorMe par des processus de capture autres du systeme
.< t·lOn genera
moins d'une micro-
bQl"lb(.atomique . En realite, une pot i un
autre partie s 'evade
Ie temps necessai-
Neanmoins
si la perte
des neutrons
n'est pas excessive la possibilite d'une reaction ell chaine et d'une explosion subsiste. Si d'autre part, on part 11 de
liberation de cette energie et
ble dans
Ie temps, on obtient
a la
plier
maitriser
a
la cadence
une utilisation contr81.a-
un reacteur nucleaire (ou pile atomique) .
Reacteurs nucleaires. Le reacteur nucleaire est un dispositif comprenant
une matiere
pouvoir entretenir
fissile en quantite suffisante, disposee une reaction en
telle machine est possible,
de
faGon
4.
chaine contralee En principe, une
car elle exige seulemeYlt
que la vitesse de
production des neutrons par fission ayant lieu dans Ie reacteur soit egale
a la
vitesse
ses de parte.
de disparition des neutrons
due
a toutes
les cau-
- 357 --
T. Kahan
Cette condition minima1e se traduit
en
disant que, pour chaque
noyau subissant la fission, il faut qu'il se produise en moyenne au moins un neutron
qui
induise la fission dans un
autre noyau. Cette conditio;,
s 'exprime par un facteur de reproduction ou de multiplication reacteur defini
C
comme
k
du
la
nombre de neutrons d'une generation nombre de neutrons de
guelco'lgue
la gem!ration immediatement prece·
dente.
a
Si C est rigoreusement egal la reaction
1 ou quelque peu
en chaine pourra
superieur
s 'amorcer, mais si
la chaine ne pourra pas s 'entretenir . Si C 6 > 1 il suffit
C
.c:::. 1,
d 'un petit
nombre de neutrons pour amorcer une chaine divergente de fissions. Pour emp~cher introll..!ire un
qu 'une
telle chaine echappe au controle, on peut
absorbeur de neutrons. Si
C < 1 , la chaine, au lieu de
se propager , finirait par se desamorcer . . Ceci etant, les neutrons liberes par fission possedent des ener100
a
200
Mev . Bien que de tels neu238 trons rap ides puiss rut induire la fission aHa fois dans I 'U (abondan235 ce normale 99, 3~, ) et dans 1'U (abondance 0,7 %) , les progies cinetiques de I 'ordre de
balites de fission (ou section efficace de fission) sont bien plus petites par les neutrons rapide::;
(energie'"
a 200 t1~II)
que par
les neutrons thermi·
ques (energie - 0,03 e v) nest donc indispensable de ramener l'energie de ces neutrons rapides . (In est dit
moderateur
ainsi
a des
energies thermiques (v. thermique -200m/
conduit
a
qui sera d'autant
rapides au prix du
placer
sec
)
dans Ie reacteur un materiel
meilleur qu'il amenera les neutrons
nombre minimal de chaos elastiques au r, i .. eau
- 358-
T. Kahan
thermique . Llhydrogene serait ideal, nletait la reaction de capture I 2 H (n, Y) H, c. a.d .
On
utilis~
avec
succes Ie
sous forme de graphite
carbon~
pur, leau lourde
etc. Dne autre difficulte tient
a ce
de neutrons , dans la region dite de
que
i.Sf
liD
resonance,
est un
fort absorant
a environ
E = 100 e V
~I;';;,:':: )f~ - "
I
....
--~--------~I----> Joe
Un te11e capture donne pas lieu
a la fission,
E
~v
Si les neutrons rapides sont
ralentis, leur energie passera obligatoirement par cette region. Cette difficulte peut Nre tournee en
pla~ant
1'uranium , par exemp1e, sous forme
de barres au sein du mocterateur, au lieu de Ie melanger intimement.
Les neutrons qui naissent pres de parois de reacteur peuvent s len echapper et Nre perdus ainsi pour 1a reaction ramifiee 'Comme cette fuite des neutrons est un phenomene de surface et que 1a production des neu-
-
359-
T. Kahan
trons est un effet de volume, on peut rendre le rapport d 'espace I'olume aussi petit qu 'on veut en augmentant la masse du aussi le r~acteur
On entoure
r~acteur.
d'une enveloppe protectrice de materiau, dit rHlecteur
ayant un grande section efficace pour la diffusion des neutrons et une faible section efficace pour la capture et qui l'interieur du en oxide de
r~acteur
. Ce reflecteur peut
~tre
les
neutrons verS
construit en graphite,
beryllium, etc. La figure suivante donne une
sch~matique de la fission d 'U 235 l'U238 dans un R~acteur nuc1~aire .
tion
rHl~chit
et de la capture des neutrons par
. Re.fle.xio 1'\
Rl ~le.)(iol'\ '\\ /
\\
repr~senta
- 360-
T. Kahan Chapt. I L 'equation du reacteur et les ~quatiol ,s de transport cin~tiques L 'etat dynamique d 'un reacteur est determine avant tout par Son bilan ou budget neutronique. Le point de Mpart d'une analyse cin~tique est par consequent une relation de
math~matique
qUi exprime
ce bilan au COurs du temps. Cette relation
Ie nom
l'~volution
ponte,
math~matique
riu reaction.
d'~quation
~~~~------------
La prototype de l'equation du
r~acteur
est l'equation integro - dif-
ferentielle de transport de Boltzmann qui formule Ie bilan du nombre de molecules dans un ~lement de volume de l'espace des phases Soit
f(
.., -..,
v ,t)
'l.,
la fonction de distribution d 'un gaz,
moleculaire.
Le nombre de molecules cOllte!IUeS dans l'element de volume de phase d7, dV' est pour definition (1)
dn = f(i'>,
v~
t) d;> dv", avec
la densite num~~ique des
=Y dv'"
.,
n( .. )
etant
molecules gazeuses.
Quelle est l'equation sous
n(;?)
qui
r~git
l'evolution
de f au cours du temps
l'action de diverses causes ? Pour l'etablir, analysons l'evolution
de f.dans l'espace des phases.(i?,v). Dans l'intervalle de temps ben l'absence de chaos entre mol~cules , les coordonnees des molecules
-,
~J -)
v'
"-
, .., ."?
F v +m
-)
, v,
ft=
.)
F m
deviennent
+ v &t
= '7+
• (2)
(? , ~)
...') v
at
= -">
F
=forme
I
exterieure
- 361-
T. Kahan
m = masse des mol~cules. Au bQut de d
1 d v;
bt,
les mol~cules initialement dans
se retrouveront dans l'el~ment de phase ('I. + -:j
-7
9 t, ";f + ~
m
8 t)
lI\ol~t.llrt!l ~~i ;. f... ~u h eI, dI.,s h,,1Iii IF"s~u
kOH.lt "it> "I;~
E ~e "',,,f
J( I'h
... e)':'''I~Q. .. rC+
VoluWtc.
de
l'101t c.ufH ~'"
d.t' d~ r:i. e't""~Q. ...1- t'
Ii_ el".a
.. f... ruit.
~o .. 1- ...... .,.,' C\ cil
,~, .l~
Par developpement en serie de Thylor
f(~ +,,~
(3)
=
..I)
-')
f( 'I.
, "3+
,
v, t) +
-?
F m
i
bt, v
i
df dt
f+-
+"t)= F
it +2 d)I,
m
ft
La var iation totale Ie long des lignes de ,lux sera ainsi
+
(4)
Admettons
maintenant que
't
-'> F.'a(
-.:::-=s. ~ Vv m
dV
(I
r
soit beaucoup
plus grand que la
dur~e de choc. Alors plusieurs chocs auront lieu dans l'intervalle
quelques uns vont faire entrer quelques mol~cules dans l'Nement dont d'autres vont
sortir
des molecules hors de
dl
gt
dP d1,
dont et
dV' (voir fig. pag.22).
- 362-
T. Kahan
Si nous designons la variation par unite de temps de f a la suite des chocs pour
(~t 6 chocs
(5 )
l'equa. (3) prend Ia forme 001)
f(~+ fr~ ~? +r v , t +& t) - f( 1, v~ I;
(6)
Soit
Sf
(- -) ~t
cSt chot,
-")
~f
(7)
-
-at
~f
.0;>
+ v. -
li'
+
~f
F-
~V>
m
Crest Ia I'equation generale de Le premier nombre de de
)
(7)
Sf
( -)
/) t
Boltzmann.
n'est autre chose que la derivee totale
f Ie long de la trajectoire (2) . Reste
Ie du second membre de
Dans
Ie
-)
a ~tablir la forme fonctionnel-
a savoir
budget neutronique d 'un reacteur les forces exterieures
F, contrairement jouent
(7)
chocs
a ce qui se passent dans les
gaz traites par Boltzmann ne
pour les neutrons seule entrerait en ligne de
aucun rMe .Car
compte la pesanteur dont I 'effet, pour des vitesses moyennes thermiques de
2200
m/
S{'C
et
des libres parcours moyens
des neutrons de quelqu~s
centimetres, est cependant negligeable. De m~me, choc
neutron-neutron est un evenement fort rare:m~me dans
2 S('C' 1'I ne se trouve que Ie cas d'un flux neutronique de 1014/ cm. 8 22 4,5.10 neutrons dans un centimetre cube compare a 10 molecules gazeuses.
I
- 363-
T. Kahan
D'autre part, Ie sort d'un n~u'.ron au cours
du choc contre les
mat~riaux du r~acteur tels que mod~rateur, matiere fissile, madriaux de structure, rMrigerant, poisons , etc. est tr~s vari~ . Les chocs I
elastiques et
laissent Ie nombre de neutrons
in~lastiques
alors
inchang~
que la fission et les processus de capture provoquent un changement du nombre de particules et dont l'~quation de Boltzmann ne tient pas compte. Depuis la
de la physique neutronique on a
cr~ation
quation dE's transport d'un
degr~
de
g~n~ralit~
des
formul~
~
variable pour la diffusion
des neutrons. Dans notre
expos~,
nous allons,
forc~ment limit~,
~tablir
une for-
mulation matMmatiquement aussi g~n~rale que possible mise sous une forme
ind~pendante
Apr~s
avoir
du temps et tenant compte des neutrons pr~cis~
quelqUl's concepts de des
pr~senterai l'~quation g~n~rale
r~acteurs
physique
retard~s.
nucl~aire
je
sous une formulation de
transport. Avant de proceder ~ l'etablissement de l'~quation des r~acteurs. il est indispensable de pr~ciser que nous avons introduits Rappel de physique
un certain nombre de concepts atomiques
di!ja. nucl~ail'e.
Soit un faisceau
de neutrons monom~trique de vitesse . fca.lscc/lv v qui penetre darls une cOllche de substance !I.e.. I
•
3
contenant n parlicule , par cm (cf . fig. 1) Ces neutrons subiront des chot's de
lI'~~ro .. S
e------'";;>
diverse~">
sortas. Soit P()) la trons
probabilit~
dans Ie corps
a la
de si!jour des neudistance z. La
perte de neutrons par absorption dans Ie
~,~ /~. /
&-->
/ /
--
/
- 364 --
T.Kahan
faisceau (1 )
ou
inddent peut ~tre mise sous Ia forme (S =surface du corps)
- d P(z) = P( z)
6 d~signe
)C
n.6S d z S = P(z)
no
d z
Ia section efficace microscopique
du r.oyau individuel absor-
bant qui est dMinie de Ia fac;on suivante. Soit N Ie nombre de neutrons par cm
3
voyage ant dans Ia
viennent
direction
dans notre faisceau et qui
frapper une couche mince substance (cibIe). Le nombre de
processus ou de
r~actiolls
au nombre de neutrons f par unit('! d'aire de Ia
ou de chocs
observ~s
sera proportionnel
venant frapper Ia cible et au nombre de noyaux
cibl~.
Nombre de r('!actions (chocs)
(2)
z
2
cm • seQ
= G' x· nombre de noyaux cibies cm 2 neutrons
N v---2
cm. seC!
Nv , Ie
flux, est Ie nombre de neutrons venant frapper une surface unit(,!
de Ia cible par seconde. La constante de proportionalit~' est pr~cis~ment la section
efficace microscopique
pour l'('!venement donn('!.
L'~quation (2) montre que Gala dimension d'une surface. Beaucoup de sec-
tions efficases de r('!actions
nucl~aires
sont conprises entre
10 24 cm 2 . Les sections efficaces sont souvent 2 lieu de cm
1 barn = 10
n
r~sulte
de
-24
cm
indiqu~es
10 - 27 et
en nbarns"au
2
(2)
fraction de noyaux cibles reagissant par sec. Nv
,
ce .qui peut slinterpr~teren attribuant
a chaque
noyau cible une
surface
6
- 365T. Kahan
a la
perpendiculaire Ie
direction de mouvement du neutron incident
a frapper
neutron incident arrive
.
S~
cette surface, il r~agira avec Ie
noyau: cible correspondant. ()
d~pend
bien entendu de la vitesse (ou de l'energie E"
du neutron incident et du produit sera
de la r~action
(n, y ) et (n, p).
r"\V~J)
Ainsi G(E)
diff~rent
pour la
r~action
Vun des
majeurs de.1a
th~orie
nucleaire est de donner une expression pour la
objectlfs
grandeur de (). Revenons maintenant
a
(1)
dont l'int~gration conduit
e
p ( z)
(2)
compte tenude
la relation
~
(3)
P (z) dz
L lequ. (2) permet de dMinir
.~" ~
(4)
a
-noz
de normalisation
1.
un libre parcours moyen
z P (z) dz
o ce qUi
conduit
a son
tour
a l'introduction
de la section efficace ma-
croscopique
!
(5)
=
n 6
c lest la surface efficace non pas par
y = v
A
v"
~
Si Ie reacteur renferme un de noyaux , lIon
a la
r~gle
3 ' cm . Definissons
d lun neutron par seconde par :
encore Ie nombre de chocs moyens
(6)
noyau mais par
(see
-1
)
melange
de melange
homog~ne de diverses especes
- 366-
T.Kahan
y=
(7) n.
1
~tant
la
densit~
du
[y. i
i-~me
Les considerations sorption, mais les m~nes
1
= v
! n.
6. = v
ill
constituant du
prec~dentes
ri
£
i
r~acteur.
se rapportaient
a des processus dlab-
raisonnements valent pour touts les autres
m~mes
ph~no
nucleaires. Ainsi on parle de section efficace pour la diffusion (ou chocs)
~lastique (6" ), pour la diffusion (choc) in~lastique) (G.) pour la fission (6). ea 1 f pour la capture de neutrons (6). et pour l'absorption (6 = 6+6) . Tous
c
a
c
f
les concepts introduits jusqu la present s 'appliquent aux processus precMents: il suffit de mettre l'indice approprie correspondant. En divisant grosse modo la bande d'energie E des neutrons en trois regions 1) la region de
r~sonance
comprise entre 0 et 10k e v ,
2) la region de vitesse moyenne de 10 M ev
a 0,5
Mev, et 3) la region
des neutrons rapides de E > 0,5 Mev, on obtient l'allure suivante de la section efficace de capture
c en fonction de E = m
i 12
Le reacteur au sein duquelles neutrons evoluent dont la composition et la densite varient dlun point
poss~de
a l'autre
une structure
. En passant de la
zone de fission au reflecteur, etc. En outre, il se produit au cours due temps des changements tels que : - combustion, rec;:hauffement, intervention des bazzes de regulation du fluc neutronique etc. c lest pourquoi les sections efficaces et les frequences de choc sont fonctiona ala fois de la position
(? ) et du temps.
A fin de ne
- 367T. Kahan
pas sure harger
l'~criture,
ces variables r et t seront impicitement
suppos~
dans nos formules sauf avis contraire. Les divers processus de diffusion affichent des
d~pendances
de
l'~nergie
et de la direction (angle de diffusion. C'est pourquoi il est indispensable de
pr~
ciser avec soin la nature du processus de diffusion. Pour dresser de
sim-
pIe Ie bilan neutronique, nous allons, (neutron dit primaire)qui participe noyau
choqu~
a titre
a une
fa~on
de convention, compter tout neutron comme absorM par Ie
r~action nucl~aire
. A sa place, un certain nombre n de neutrons secondaires vont s
appaitre: neutron primaire
o
neutrons secondaires
~
Ce nombre n
est nul (n = 0) dans Ie cas de l'absorption. n = 1 pour la p p d iffus ion et n =jJ pour la fis s ion . s Ceci pos~, envisageons un neutron d'~nergie cin~tique E', se d~pla~ant dans la direction du vecte:lr unit~
n vers Ie noyau suppose d 'abord ou repos
La
Mecanique quantique des processus nucleaires nous donne la probabilite . .-t -:7 ~ ~(EI, £1lr-i E,n) dEd£1/ 4IT pour que Ie neutron secondaire entre E et E
soit emis avec une
engendr~
+ d E dans un ctme d
d aut our de ~
~nergie
comprise
(fig .... )
-i -
[L,t:
Oneutron secondaire Fig ... On peut ainsi dMinir pour Ie processus
envisag~
un nombre de chocs
differentiel =
(8)
=
Comme probabilite,
est
t;')
yx. ~ (E', v'l: (E')
norm~
a
~
..
£11 ~ E, £1) 1
u
autour de
-)
0 et
dans
la bande
r~el1e
Slil slagit dlune capture diffJrent de z~ro ~mis.
(12)
=0
E
que si
dl~nergie
dans llangle solide
d E aut our de
de neutron, alors
fJ>
E .
ne peut
~tre
, clest a dire que si aucun neutron nlest
doit donc poser
On
rc
dE
dO
lci c> est la fonction Par
=VI
r
1 41T
(EI). - -
c
-)
~ (E) dE d 0
de Dirac.
int~gration
y
(13)
La diffusion
c
=
SSr
~lastique
C
est
dE d
fi') =VI LC(EI )
associ~e
aune cession
dl~nergie
par
Ie neutron incident au noyau cible· On peut alors ecrire : (14)
rd
dEd
rr
= VI
La valeur de la perte
Id
(EI) _1_ 4tr
dl~nergie AE;I
diffusion resp. de son cosinus 0=0. (
1)
(qui d~pend de l'angle de
se calcule par
la ml!canique du
choc. Pour,la fission J on peut admettre une distribution uniforme des neutrons de fission sous toutes les directions spatiales. En outre , Ie spec-
-
369-
T. Kahan
tre d I~nergie de ces dant de
(15)
l'~nergie
rf
une large mesure,
des neutrons, causes de la fission, de sorte -')
dE dO
Comme
f(E) est, dans
n~utrons
i = ):
= Vi
que
->
1
2:f
ind~pen-
(E') 41T'
f(E) dE dO
lion a pour Ie nombre de chocs total par seconde pour
tous les processus mis en jeu
Y=
( 16)
vl.
= v
(r,d
+
~ +~) c
f
et pour Ie nombre des neutrons secondaires
produits par ces processus
par seconde (17)
on v(E) est
Ie nombre d'accroissement de neutrons par fission.
L'int~gration
)) r
(18 )
de (17) donne d E d
rt
= Vi
Problemes majeurs en Nous voila tants pour
(l.'d + 'V I
r.; )
de transport neutronique
th~orie
maintenant en possession des concepts les plus impor-
l'~tablissement
de
l'~quation
Avant d'aborder l'analyse
des
r~acteurs
math~matique
du transport et de la migra-
tion des neutrons, je vais brasser un tableau rap ide des problemes majeurs dont
Ia solution incombe
a la
th~orie
du transport.
En consid~rant la variation avec Ie temps du nombre total des neutrons N dans un systeme
Sans tenir compte de la
r~at:tif
, on voit que (f)
(n,2n)
- 370-
T. Kahan
(a) Production par des Sources ind~pendantes - capture - ~vasion
() N du systeme - - - t ~ N C>
hors
~ N
- - , slil est positif
ou Ie terme
d
+ Production par fission
-
(~>
t
0 ) represente llaccroisse-
par unite de temps de la population en neutrons du reacteur.
ment
( 0 N < 0) "0 t
s lil est n~gatif
I
'
la diminution par unit~ de temps, prise
est
avec Ie signe negatif "Production par fission" signifie llexc~s du •
J
hberes par fission
sur Ie nombre
n ombre de n~utrons
de neutrons absorMs en produisant
la fission. Des sources
telles que les neutrons) dus aux rayons
ind~pendantes
cosmiques, sont toujours presentes dans un reacteur mais elles sont normalement negligeables compar~es aux sources artificielles introduites
ou
a la production par fission. Ainsi en llabsence de sources artificielles, Ie premit!r membre de (1) Supposon~ma"ntenant
soient
se reduit
'Z..
=R
chimique et la densite
demeurant les memes. La production de neutrons sera sensiblement proportionnelle au volume occupe pour la matliere fiss~le et variera ainsi par un facteur r
3
La capture va changer aussi par un 3 facteur r, et comme elle est necessairement
inf~rieure
a la
production,
elle representera une function constante de cette derniere trons hors fois
d~
production par fission.
que les dimensions lin~aires R du systeme
augmentees dans Ie rapport
la compos ition
a la
J
Llevasion de neu-
reacteur , sera toute-
sensiblement proportionnelle
a la
I /
R en devenant R I = 'l.R ,
-
371-
T. Kahan
. . par un facteur r. 2 -L' ~qu. (1) fournit alors surface frontiere, et croitra, amSl 3 3 2] NLF r - C r - E r ::
(b)
r
N, car la production par fission, la capture
ou figure aussi Ie facteur
et I '~vasionl seront toutes proportionnelles tante.
F , C, E et
A
sont des
J
L.'equ, (p ) rnontre soit
~
o
,telle
3 - E r 2]
a la
quantit~s
imm~diatement
population nelltronique exissensiblement constanteS,
qu'il existe une valeur de
'l..
que par
. Definissons Ie flux
E, rl) = v. N .
- 373-
T. Kahan
Pour tial
cons~q uent,
la parte nette par fuite hors de l't'!lt'!ment spa-
d V se traduira pas
V· t
(23)
i?-
t
d'lfz - div
-">
-v.'l N. d'1J
d- 'IT
En
= dV d E d 11) . Le nombre de neutrons dans l't'!lement
d '1f ' est ~
N('t,t,
(25)
il
-"j
E',I1')
faudra comptabiliser (
(26)
) 11
Enfin, il
dE'dl1'dV. Par (17)1
un gain de -)
N (:, t, E', 11')
a lieu de tenir
5~
=-
r":
-')
11'_:> E,I1) d E' d
-'>
n'
compte de sources exterieures S(t , t, E,iL)J '!If
Le bHan (21) prendra donc
(27)
r (E',
v . \7N -
r
avec (22)
N +
r~
qui est en principe, l't'!quation des rt'!acteurs
I
a N'
(26) , la forme
r
d E' d 11' + S .
ou nous n'avons pas tenu
compte des neutrons retardt'!s . Dans la fission il se crt'!e entre autres des fragments avec exces de neutrons (/\Ui sont des t'!lt'!ments nt'!gatogenes. Le noyau
crt'!~
par
*) Pour la stabilite'd'un noyau, il ne faut pas que Ie nombre de neutrons N = A-Z exede une certaine limltl'a. Pour les noyaux It'!gers N ~ Z
- 374-
T. Kahan
fission peut
~tre
assez excite pour emettre un neutron immediatement
apres sa naissance. Le fragment de fission en question, noyau mere du n~utron,
~miE
a une vie moyenne, determinee . Clest pourquoi Ie neutron sera
en
moyenne avec un
certain retard apres la naissance du fragment
de fission au cours de la fission. Les neutrons
des neutrons dits prompts,.nes lors de Ie fis-14 '/, 10 sec. On distingue actuellement 0 groupes
farol1 se distinguent ainsi sion en
ergtmdres de cette
retar~s,
mains d'environ
d ifferent5 de neutrons retardes . Comment tenir compte de ces neutrons retardes dans llequation des reacteur.s? Revenons pour cela a llequ. (15)
rf
(15)
La fraction la fonction
~
= VI
dE d!1
(3 (E I)
Cl
-(3
~
1
-)
L f (EI) 41T f(E) dE d !1
(EID de ces neutrons sera emise ~ompteme
de maniere
retardees
. L Ion aura
designe Ie nombre des neutrons retardes du
(1
~ f3i ou ;S i
=
.
i
A.-eme groupe rapporte
a
f (E) des neutrons prompts o est representable entre de larges limites, par la formule 1 neutron prompt
(28)
. Le spectre de fission
f (E) = 0,48
o
e
-E
sh
[2E
(E en Mc.v )
avec la condition de normalisation tP
~
(29)
f
o
(E) dE = 1 .
Le nombre de secondaires nes par secondea la suite des \..
sus envisages sera des lars, au lieu de
divers proces-
(17)) ->
dE d!1
- 375-
T. Kahan J
D'apres (30) , on peut separer Ie gain par
('
(31 )
-"')
o
du gain par
~
N('t, t
)
E', 0)
-')
densit~ de probabilit~
rf
-":>
rf = ~ (E')
(33)
11"
O')v (E')
4lT
+
1
dMinie par
t0
complete
-litE')]
~;1i(EI)
d IIJ'
rd +r i) dE' d 0'
-">
E',
La
(
fission
(32)
dans
entr~e
-">
dE' dO'.
(15) a pour expression
fo(E) +
ritE)}
Pour Ie nombre des neutrons prompts,l'on tire de (32) , avec (33) ,
LQ. o
d1T
(33-1)
47i
-~
;9(E')])l(E') 'i'r(E') v' N(-:t, d, E',O') -)
X
dE' d 0'
En portant Ie second terme du second membte de (33) pour
r
dans (32), g on obtient les neutrons retardes. 11 convient, toutefois,l d'observer que les neutrons
a l'instant
retard~s i engendr~s
qui sont n~s des Envisageons,
fissions ayant eu lieu
a titre
II.1 .-;
G,('!:, t) 1
a un
dUB
instant ant6rieur
d
t' < t.
=
Leur concentration a pour expression - /) ,(t-t') G. (;;?, 1
t')
Q.
1
En admettant que les fragments de fission qui ayant lieu dans
meres
aux noyaux
d'exemple Ie i-erne groupe de noyaux meres, ayant la
constante radioactive (34)
t I sont
V, demeurent dans
de fissions
r~sultent
d V, Ie nombre d
C.(? t')d V 1
- 376-
T.Kahan
de noyaux ml!res I
est
par
determin~
tre dans
engendr~s
(32)
pendant l'intervalle de temps dt' dans d V
Ie nombre total de fissions dans d V dt' il faut met,
a la
place
de t
avec (30-1) (35)
d
CJi. t') d
=d
V
et
sur E
int~grer
-'>
et
n
. 11 vient
b
V dt' [
r1(E'h) (E') L/(E)
-) -'> -'> X v' N(r, t', E' n') dE' d n' . Dans l'intervalle dt \.
(36)
des
= Il. 1
int~grations
,
il se produit
-')
G. ( r,t") e
(t-t')
par sec dont chacune conduit
quent, Ie nombre de neutrons ment de volume dV par d v.).
1
r~tarMs)
re1al'd~.
a l'instant
nes
f r/~(E')
- ~(t-t')
t) dans
par
cons~-
l'~l~-
f
00
1
e
-00
XVi
a un neutron
seconde, sera au total t
(37)
-~1
1
0
N(
'1,
t
n
1
-)
-';)
I,
Lf(E')
E', n') dE' dn' dt '
Comme les neutrons retard~s naissent avec la distribution d~~nergie f.(E) , et que leur distribution angulaire peut passer pour isotrope J c'est 1
_)
la fraction
f.(E) d E d n / 4Ti qui p~netre dans l'~l~ment de l'espace 1
phases . On obtient ainsi comme contribution de m
des
groupes de neutrons
retardes .
-A ,(H') (38)
e
X~(E') ....
,
Vi
-)
1
J o
->:>
-.,
N(II" t, E', n') dE' dn ' dt'
Des lors II'~qu. (27) se mettra par
(31), (33-1) et (38), sous la forme.
-
377-
T. Kahan
dN
'd
=-
t
-) v
1 4i/
f (E) o
rO()(J N' 0
n
X que
8.ppelerai
dE' d
->
n'
0()
o
-0()
1
f3~ v'N'(t']
n
i f
dt'
~quation g~n~rale
lesquelles il faut
~
r elf i -/).(t-t')
f,(E)
des
r~acteurs
NJ 2,
ture, j'ai indiqu~ par des primes (') dans sur
v' N' dE'd
f
0
~A. 1= 1 n'
1
(
m 1 +8 + 4rr
n'
(~+ r.) d E' d
5 n) (l-!3'h)~) 0()
+-
(39)
'
\7N - '( N +
Pour simplifier 1'~crietc, les variables
int~grer
Si Ie reacteur faut poser
dans
contient divers mat~riaux fissiles, k=l, 2, ... r, il k k k ~ (39) "\l ,A. • It. . f. et l.. et sommes par rapport .I.... 1 1 1
k.
~
Leas particuliers : Une Supposons maintenant fissile pour entretenir
s~ule mati~re
l'
fiss He.
qu'il ya essentiellement Ulae !:eule mati~re
la chaine de neutrons par exemple
u235 ;
2~ Si , en outre. les fissions sont dues pour une part pr~pond~rante ~
des neutrons d'une petit ed lnde d '~nergie
ques respe
(r~acteur
a neutrons
r~acteur ~ neutrons rapides) • alors la contribution
thermi-
I'.
1
des
peut t:!tre supposee com me ~tant largement ind~pend!3~ 11(E')_ de la distribution ~nerg~tique des neutrons. (() E' =~ - 0)
fragments de fission dante
Pour la contribution des neutrons neutrons
contenus dans
l'~l~ment consid~r~
poser en outre d'une faeon (40)
1 4lT
retard~s
abr~g~e
dans (39) au nombre de
de l'espace des phases" on peut
-
378-
T. Kahan -")
oil. C,(? ,t) est la
des noyaux
densit~
1
correspondants . La
m~res
derivation de (37) par rapport au temps, fournit alors un syst~me de!'M. I
equations
int~gro-differentielles
qui. sont
a joindre a
(39):
dC,
(41)
~
-"-
L 'equ. (39) se met, des lors) sous la forme
~N -") Joo ~ ~ =-'II'SlN-'fN +
(42)
ot
0
+ f (E) (1o
J
-)
N(r+r,)dtdO'+b d
1
J n)' V' ~/N"JN' dE' .iE' + 1 X\,f. C. f 4-rr 41T =1 m
-'>
00
fo)
_1_
0
1 1
Elle porte aussi Ie nom d'equation du transport ou mann en theorie de transport des neutrons.
1
de Boltz-
d'~quation
,
Pour abreger, on peut introduire l'operateur de pertes et de diffusion
tI)
par
H = i. V + 'f
(43)
-
Jf
dE d& (r'd +/\) en see.--1
o 0
I
et I' operateur de production. -'>
dE' dO'
(44)
ot il convient de poser
(45)
(t-\ -,
4 (J
t
= (1 - f~ ,0)
f.
. 1
_1
'dt
-1
en sec.
t = i = 1,2,- --
Des lors) les equations(41) et (42) prennent
K0 N - HN
OC. (b)
v'
~= 0 pour les neutrons prompts et
pour les retardes. la forme
I
V' l:~
./' = 4 fi (j.
1
K.
1
N -
m
+_1 4 TI'
~ i=l
II
f C i i
+0
A.1 f.1 C,1
(If) Les op~rateurs sont indiqtes par un chapeau
.A
1\, par ex,) K
_M'\
J
- 379-
T. Kahan I
,
Les equations(39) respt. (45) determinent univoquement la densi-:>
t~ N( It), t, E, n) , compte tenu des conditions initiales et aux frontieres
donn~es j:"- .sur une frontiere d~limitant Ie vide (:f! = it f) il ne peut pas
, ,
y avoir de flux de neutrons venant du vide pour penetrer dans
l'int~rieur
-)
ni ). -")
du rE!acteur (direction (46)
N(
"I' t, E, ->nil =0
II~ En outre, dans Ie cas d~pendant du temps, il faut se donner les gran-
deurs : .:.>
d'apr~s
positif
1
nulle~
r~acteur
est stationnaire (critique) lea
dans (45)
En portant (45
dC i
b ) dans A
-"
L'operateur
"'K"
temporelles
(45-a) il \lie.,,~ alors
(K - H) N + S
=0
soit
doitJd'apr~s
,.
n
o
+
2..
i=1
f, 1
(441~tre
(I. , avec 1
/'
L N = - S avec L
f(E) avec le spectre fiE) global defini pour f(E) = (L ~t1) f
deriv~es
=0 •
j
(49)
N doit e'tre
.
~
(48)
C.(.;:, t = 0
son sens physique, all sein du reacteur partout continu, fini et
Si Ie sont
rn: Enfin,
>
-::}....
N(/I., t = 0, E, n) et
(47)
forme alors
~
1
....
......
=- K - H a la
place de
= const, par
co
f f(E) dE = t 0
II-Cas general : plusieurs matieres fissHes ~
Dans les equations qui precedent,j'ai suppose I d'une part que les neutrons retardE!s dans Ie rE!acteur ne proviennent que de la fission d'uneseule matiere fissile et qqe d'autre part, lafraction(3i avec laquelle les
-
380-
T. Kahan
neutrons
retard~s
du groupe .L apparaissent parmi les neutrons de fission
est inctependante de
des neutrons de fission . La premiere hypo-
l'~n~rgie
these tombe en defaut lorsque Ie reacteur contient plusieurs matieres fissiles en quantites comparables. Dans ce dernier cas,
t
je l'ai indique, mettre des indices de substance fission
et sommer par rapport aux
a haute
reacteur thermique
div~rses
il
dans
faut, ainsi que
l'int~grale
de
matieres fis·siles. Dans Ie
de substances l,lbreedes" ou
cO)1c~ntraction
sur r~g~neration il est dans certaines circonstances n~c~ssaire d lajouter une
im~grale
de fission aussi pour ces substances ferUles .
cas o'll' dans un r~acteur tel que celui dont il vien d 'etre que-
Au
stion, les fission!> aussi I bien thermiques que rapides, jouent un
.;g.1
valeurs des
s·::mt
sage de (39) (P.32)
(1) et
(3.1
de
a
a prendre
l~gitime
de fission. Si l'indice
k
divl!rses matie'-res , il faut remplacer dans (45) (p. Y1) ..... ..I>(1 -I)) k et (3.-k~ par o
k
alors de faire sortir sert
a d~signer les
les
op~rateurs
1
AU(50)
1 \' (I!.) =_L f (E) 4Ti h 0
'"?
dE' d[21
j. "'J(k) (E') ~
\.1 -
All)
-/~
(h) f
(E')
Vi
=
o
et 00 (
(51)
X
Les
~q\lations
-0
~)
(k)
_')
) ) dE' d [21 /( o .n.. (E')
~ (It)
1 (E')
(E')
L ~
Vi
=
k
(45) prennent alors la forme
Ji
l
(EI)J
= ~ i-~) k
les
pour l'~nergie correspC1nc\ante . Dans Ie pas-
(45) (p.36) il n'est plus
l'int~grale
r61~)
(R.)
- 381T. Kahan
.
S N
N
-),
, t, C.
1 1
1
-')
N = N (It. , p, E, -':>
C, = C, (f!"
p) .
1
1
a (49)
(p 32) , lion a m
(3,
1
n)
.I"
)-.'
t. K,) - (H+p) N+(N+_1_L - - fC + 1 o 4'(1" i+1 P +).< i ","0
IU
~ )=-0
)
enl.Ot(:
en designant les grandeurs entre parenthese par
(60)
=0;
clest une
~quation
du type de (48) (p.32) avec p
comme parametre
(valeur propre) .
Chapter II 1.
Compte
La fonction d'influence ou d'importance (importance foncho tenu des conditions aux
limites et des contJiitions initial
corresp'(rldant~s , les solutions de l'~quation g~n~rale des r~acteurs (39) p. So
ou (45) (p'. 31) decrivent la distribution de la densite n~utronique
- 383-
T. Kahan N(r, t, E,
comme fonction de la postion
n.
de la direction de ,vol
1,
rI)
du temps t, de l'energie cinetique E et
Crest IS. la description differentielle par des
equations aux derivees partielles du budget neutronique. Or, en tMorie cinetique, des reacteurs dont la mission est de livrer les fondements theorique pour la commande, Ie contrtle et la regulation de reacteurs, on ne s 'interesse gu~re
a la
repartition neutronique en detail. Ce qui importe da-
vantage ce sont des relations integrales qui decrivent Ie comportement du reacteur dans son ensemble. Un grandeur de ce genre qui caracterise cette allure globale seraH par exemple Ie nombre de fission, par seconde rapporte au reacteur
enti~r.
Si Ie reacteur
est homog?me et nu
(c'est
a
dire sans rMlecteur),
il est possible d'~tablir une cin~matique simple des reacteur~ en admet.-
tant simplement que l'allure de N que Ie centre (ou coeur) llallure
en
un
endroit donne du reacteur, tel
du reacteur, est repr~sentatif pour l'ensemble de
du reacteur tout entih .
En effet l'egalisation (ou Ie retour
a IIE!quilibre) de
perturbations de
densite se fait si rapidement dans Ie sein du r6acteur que la forme de la distribution du flux dans Ie reacteur reste presque inalteree dans la plu part des cas pratiques tandis que sa grandeur on tes variations. De ce point de du reacteur comme composee facteur independant
de
I/~"-i
on peut imaginer la densite neutronique
d'un facteur
dependant du temps et d'U.l1
t. -?
E, rI) = T(t). F( ~~ E, On pellt alors prendre la comport~ment
sou intensite subit de for-
fonction
-':>
rI).
T(t) pour mesure rdative pour
du reacteur qui sevait par exemple proportionnelle
puissance du reacteur.
Ie
a Ia
- 384-
T. Kahan
d'indiquer n'est pas approprie. 11 en est plus les
particuli~rement
ainsi pour
reflecteurs dans lesquels Ie budget dans Ie rMlecteur dif-
r~acteurs ~
f~re s~nsiblement
de celui qui
te conception plus large de la
r~gne
f
dans Ie coeur du reacteur. Dans cet-
cin~tique
des
r~acteurs
la fonction d'influ-
ence (ou importante fonction des Anglo-Saxons) joue un
rtJle ~tninent
I
et decisif. 2.
DMinition de la fonction d'influence Le
ses
contient un certain nombre de
r~acteur
propri~t~s
nucleaires. Leur
r~partition
mat~riaux
dote s de diver-
est sujette entre autres
~
des
variations temporelles qui se font sentir en partie pendant des periodes breve:;(r~gulation,
d~marrage,
arrt!t ), en partie sur des intervalles de temps
plus longs (~puisement des mati~res fissiles), accumulation des poisons, breeding). A cela viennent s'ajouter Ie rtJle telres que la du
r~acteur
temp~rature
jouent
jou~
,la pression, et la
dans la
r~action ramifi~e
par les grandeurs
densit~.
d'~tat
Les diverses zones
,des r6les distincts. Des
neutrnns qUtl se trouvent dans les zones frontieres se perdent plus aisement par
~va sion
neutrons
~voluant
vers
l'ext~rieur
dans Ie coeur.
sans provoquer
de fiss ion, que
En outre, l'effet d'une zone
les neutrons varie avec l'lmergie de ceux-ci cal' nel
d~pend
des noyaux qui s 'y trouvent
En principe, on peut d~termin~
dans Ie
et les grandeurs
r~acteur
d'~tat.
d~crire
d~termin~c.sur
rendement
ainsi que de
l'importance d'un
de volume
en donnant sa position, les matieres
par exemple par Ie role d'un neutron
ve, et ayant une vitesse _)
V
nv )
=
I
=
o~U7,..,
pr~sentes
11 est,toutefois, physiquement plus raisonnable
d 'exprimer cette importance par Ie budget neutm nique. On peut ser l'endroit evisag~
r~action-
des neutrons
l'~nergie ~l~ment
les
~nergie
E) et une direction ,
J
caract~ri
qui s y trou;..
d~termin~e _
, en consideration des reactions en chaine a ve-
- 385-
T. Kahan
nir . On parvient de la sorte il. une
fonction d~finie pour tout Ie volume
du reacteur, de la position , du temps, de fonction des
l'~nergie
et de la direction,
qui porte Ie nom de fonction d'influence (importance fonction
Anglo~Saxons).
II est
d'influence n 'a pas pour trons regnant
a
souligner des maintenant que cette fonction I
mission de caracteriser la distribution de
neu~
momentan~ment dans Ie reacteur qui depend en effet des I
cenditions initiales donnees • a mais plutot l'etat du reacteur tant geometrique que materiel (nature, etc. des mat~riaux) La fonctian d'importance a total de neutrons
;re~u
ce nom parce que Ie nombre
"filles" qu 'un neutron initialement introduit
fournira
au total au reacteur en chaine est une mesure de 1"'importance" qu 'a Ie
,
neutron initial pour entretenir la reaction ramifiee. Un neutron introduit sur la frontiere d'un reacteur n'a pas beaucoup de chance de laisser beau.coup de descendants dans Ie reacteur parce que lui et sa prog~niture risquent
de d'evader.
C'est precisement'ce que la fonction
d'influen-
ce prevoit
sur h. frontiere du reacteur Ie flux et par suite l'imp ortance
est tres petite. II est utile pour les raisonnements suivants, de raisonner sur un reacteur critique, et cependant exempt abstraite.
de neutrons . Cette conception
permet de se faire une repr~s~ntation concr~te
car 1'on
n 'est pas oblige I de la sorte, de distinguer dans Ie reacteur divers groupes de neutrons comme etant consta-ntement distincts . Cette introduction des reacteurs initialement exempt de neutrons ne restreint lite
de nos raisonnements et
pas la
peut s 'etendre aisement aussi
critique ayant un nouveau neutronique arbitraire. A vrai
genera~
a des
reacteurs
dire, cette friction
est rendlle possible par Ie fait que les neutrons presents dans Ie A
reacteur ne se genent pas les uns I
. "" de leur meme les autres en raison
faible densite et qu'on peut negliger les chors entre neutrons.
-
386-
T. Kahan
Afin de preciser Ie cocept d1influence ,
pIa~ons
par la pensee, dans Ie -)
reacteur critique excemptde neutrons au point r qui appartiennent au princeau (E , o 1I.(1)
,.
->
S(r , E , rl
l
-110 ) :
o
, S neutrons au total
-)
~ ~.,
0
~
= S -o(r-r) 6 (E-E )S(rl - rl )
0000
0
0
0
Notons que Ia fonction d1influence se rapporte Nous considerons pour llinstant un nombre ne pas avoir
a tenir
a Ia normalisation
a un
Q suffisamment
a travers Ie
au bout d1une periode assez longue seront consommes par m~me
par Ia suite
neutron)
Ces neutrons se repartissent par diffusion
absorption. En
grand pour
o
compte des fluctuations. Je procederai
a un
neutron .
reacteur et
evasion et par
temps un certain pourcentage des absorptiorE est pro-
ductif et il se produit un niveau )
zero dans Ie reacteur. Ce niveau
de puissance determine, different de va dependre de la position, de lIener-
gie et de la direction des neutrons de" demarrag~' (1) et il definit la fonction d1influence (~une.constante de normalisation pres). Suivons
, pour pr~ciser les idees, Ie destin,
des neutrons de
demarrage introduits dans notre reacteur. 1nitialement Ie reacteur ~tait exempt de neutrons et llequation du reacteur stationnaire 1-48) voir
.,..
(1-(48) etait
p.Jt , a sa-
./'
(K - H) N + S = 0
satisfaite en vertu de
N = O. Demarrons alors
(2-1) et Msignons la densite de ces electrons par
a llinstant ~
t=O avec
~>
N (F, t, E, rl) avec o
-')
-')
N ( r, t, = 0) E, rl) = S o
Abstraction faite
des neutrons retardes, cette distribution obeit , par
(1-45) (de pag. 31) (II-2)
'dN
o
~ IJ t
=-KN
0
- 387-
T. Kahan
Comme je n'envisagerai Jusqu'ici que de fission est
de
supprim~
m~me
des neutrons de ctemarrage, Ie terme
8 = 0 pour t
suffisamment long , ces neutrons seront
> 0 ). Au bout d'un temps
consomm~s
par
~vasion
et par
absorption: -">
-)
N(r, t. =00, E,n)= 0 Int~grons
(II-2) par rapport
No e S o
)
une probabilite de
pr~s),
en
des
s~jour
d~signabt
par
I
N
dt
o
neutrons de source (a la normalisation
la'vie moyenne' des neutrons. En intt!grant
(II-2) d'apres (I1-3) par rapport au leurs de
N pour t
et dMinissons par
00
.A
(II. 3)
at
= 0 et
temps, il vient compte tenu des va-
t = 00 ,
soit
"... -
(II-4)
8=H N o
Cette relation peut s 'interpr~t N
o
se trouve en quelque sorte
n
I::
de la faGon suivante. La rt!partition
"rassembh~e
II
>
par
l'operateur
A
+ K de
sorte qu'il rt!sulte une distribution finale pronctuelle S. La signification de la relation
(II-4) res sort plus
particulierement
sur Ie volume du rt!acteur ainsi que par rapport et (II. 5)
a toutes
en int~grant (IL-4)
a toutes
les t!nergies
les directions [(par (7), (23) et (IO)')
~)5 8 d E d ri d V 80
=
1m -Ion
Sf) H No IdE d n d
=
dE
V
d~dV [v.v+v-[ nf dE'rln'(r /\\) N] 0
-- 388 -
(II. 5)
e
S =
o
Cette equation de bilan montre que les neutrons introduits/en partie slevadent, 11 travers la frontiere F resulte
que
(II. 4)
du reacteur, en partie sont absorMs.
n
~
Nest une fonction des conditions de demarrage o
)11 dlignition". --)
N = N (r, E, rI, o 0
Integree sur E et
-'>
rI,
-~
-")
~
0
,E, rI ) 0
0
cette fonction permet d lindiquer Ie nombre des
absorptions ayant eu lieu en
-;
r
:
(II-6)
Une partie de cas absorptions est productive et
lion a pour
la densite des neutrons de fission produits 11 llendrc;it de ~
-)
(II. 7)
SA (r , E, rI, '1
D~signons
leur naissance :
-'?
-7'
r , E , rI ) = 0
0
0
Rv
f(E)
JJv
-')
~
N dEdrl o
la distribution de cette premiere
g~n~ration
par
-.,
E , rI ) ; o 0 elle depend aussi du temps car les fissions ont ferents et elle obeit
a ll~quatinn
II-2
eu lieu
a
des instants dif-
. L lintegration par rapport au temps
dlapres (II. 3) conduit 11 une probabilit~ de presence
N1 .
Le nombre de
fissions produits par ces neutrons peut se calculer dlapres (II. 6) et finalement on obtient de maniere analogue la deuxieme gelleration
a (II-7)
, la repartition de source de
S2.
On peut proceder de proche en proche
de cette
maniere,
f\
la distribu-
- 389-
T. Kahan
tion extreme de source (II-!) Ie
r~acteur
au cours des
se substitue une distribution interessant tu
N (II. , E, 12) Parmi
S neutrons, o
un nombre
0
atteignent Ie point
-)
-')
r + dr, puisque,
P (r) = n€". e
a
Id 1 (
-~
S) = S (1 o 0
(II. -10)
~gal
SI
par (I. 2) de p.
-nl! r
~
= c'e
-~
r
et par suite (1- ~(dr))
Ces (II. 11)
8 0 neutrons I
+ -)
portent avec eux une
_)
-":>
S N (r + dr, E, 12 = o
influence I!!gale '5"
8
o
(l-~dr)N
+ -'I
-">
a
(fig. -)
(r+dr, E, 12)
1)
- 392-
T. Kahan
d'~nergie E qui partent du point ~Q
Les neutrons (E,
0) ,
diffus~s hors dece 'pinceau sur le chemin qui mtme au
sont
-:>
-"-;>
point voisin r + dr
,
diffus~
dans le pinceau
. Dne partie d'entre eux se retrouve dans le pinceau
-")
(E, 0) --,.
Sur Ie parcours
S
dr
o
d ~ dr
+ -")
-) + £dr,
-":0
E', fl' )
-')
puis que Ia collis ion a eu lieu sur Ie parcours Q-)
S (E, !1_>
.I
nous faut encore la probaiJilite neutrons aboutisse
, cette
-">
r et r + dr (fig] ) . II -> E', fl') pour que l'un de ces c~
-)
dans Ie pince-au
de p. 20.
une colli~
avec lui une influence
sian. Chacun d'lnt.re eux transporte N (r
neutrons ant subi
(E', fl') . D'apres(.r.f;.
probabilit~
(1. 8)
Au total, Ie pinceau initial perdra par collision; sur Ie parcours question,
l'influence
((
+ -')
))So~dr
( 1C(12)
v
00
-':>
a l'influence
argument~e
+ -?:>
-
fl
que 1'influence
de l'influence parvenue au
-"?
point r
+ -)
+->;,
-.,
+.y
-":>
+ d r soit
S N (r, E, fI) o
c
emport~e
--;>
totale des neutrons de source -:
->
(E, fl.->E', fl') N ( r + E.dr, E', fl') dt'dfl'
D 'apres Ie th~oreme de conservation, il faut
des cho cs ,
~
0)-")
+ tdr, E', fl') )E'fl')
)! r 0
-">
_'>
N (r
S o =dr
(II. 13)
en
-')
S N( r, E, Il) =S (l-c.dr)N (r +dr , E, fI) a . 0
S
+...£ dr ooJ v
o
S'"I (E, fI-., E', fl') N+ (r + [ -'>
fl
-)
-"?
-':>
.-"?
di, E', fI') dE'dfl'
par
~gale
- 393-
T. Kahan
D~veloppons
s~rie
+
alors
de Taylolj suivant les puissances
So d r et passons tion integro
de dr,
pag.U
+
'>
'1'
+
o : : V. VN -'YN + l
-)
-)
au pomt (r + dr) en
divisons ensuite
dr -) O. On obtient
a. la limite
differentielle de la fonction
(II. 14)
.
la fonction d'influence N
I
de
ceUe
fa~on I
[cr. (I-2j
d'influence
par
1'~qua de
+ ., I -') N I dE'dn'
qui
.....+
(II. 15)
H
et A
(II. 16)
K+:::
~
V(t) . v
~E)
00
f )' o
et compte tenu de
(de pag. 27)
(I-3D)
tf dt
dE'd6' f(E)
n
(1-15) (pag. 2~, peut se met-
tre sous la forme
A+
(II. 17)
(K
+
"A
- H) N
::: 0
Comme l'indique la notation, ces (1-43)
c 'est-a.-dire
op~rateurs
(de pag. 51 )
(1-44)
sont
resp (1-48)
pour toute founctions ~
et
qUl
adjoints aux de p. 31) sont
I
definis a.
l'int~rieur du r~acteur. l'on a la relation dMinition des operateurs adjoints I
f l' i f#I(i - H) cp . : S j S~K+ -'H+) r.
(II-18)
R~acteur
0
R~acteur
La fonction r~acteur
d
V dE d n
-"
d'influence
critique. Elleest
0
d V dE d n
n
+
Nest donc adjointe univoquementd~termin~e
i'l. la
par
d 'une condition aux limites. Cette condition aux limites d~rat1on
que
des neutrons sur les frontieres du
pas d'influence sur la
r~action ramifi~e
densit~
N dans
Ie
(II-I8). compte tenu r~sillte
-')
de la cons i..::>
(r ::: r ) n'ont f.. •.. ~· si leur direction de vol pointe vers r~acteur
- 394-
T. Kahan
l'~xterieur
-)
(direction
rlext ) . Cette partie
du flux d'influence doit done
s 'annuler
+
N (rl
(II-19) En outre,
-~
,E, rl
f~D.!-.
+
doit
N
~tre
) = 0
ext
dans tout Ie volume du reacteur, continu, fini et
posit if. L'~qu. (lUg) repr~sente la condition aux limites pour la fonction d'influen-
ceo Son sens
est justement l'oppose de la condition aux limites (1-46)
(p. 32) pour la du
r~acteur,
densit~
neutronique
l'influence entre
N: tandis que des neutrons
dans
hors
s'~vadent
Ie reacteur. Cette inversion trouve
+
son expression dans signe contraire du terme flux de H ,
, La fonction d 'infl uence d~pendant du temps Reste
a 'proceder a une
jusqu 'a present ,la les operateur
ft+. H
generalisatiGm. D'apres la dMinition donnee
fonction d' influence est determinee pas (II-17) ou
A+
et K
correspondent
a l'etat
critique du reacteur. Modi-
fions maintenant l'etat du reacteur par exemple , en une barre de reglage v~nt
renfermer Ie
retirant lentement
(qui absorbe des neutrons) . Dans ce cas
r+
... +
H et K
temps en tant que parametre et il sera necessaire d 'in_ I
troduire la fonctio'1 d'influence dependant du temps. Si l'on fait abstraction
des
neutrons retardes et des sources
ext~rieures, l'equation des reacteurs dependant du temps (1-39) (p.30)
pour expression (II-20)
dN t) t
a
........
= (K - H) N,
Formellement parlant, l'equation adjointe a pour forme ~ '" + =(K-H)N
(II. 21)
Or la founction
d'influence a une signification physique claire
elle
-
395-
T. Kahan doit caract~riser l'etat ramifiees dont il initiales.
du reacteur, eu egard aux diverses reactions
peut ~tre Ie siege lors du choix
Or l'etat
de
diverses conditions
J
du reacteur ne depend pas, de conditions initiales
de quelque genre qu'·elles soient, pour la densite neutronique, mais peut
...
etre modifie
par des interventions exteriElUres
On peut ainsi , par me
vide
exemple, modifier
en retirant une barre de
son ~tat ant~rieur en renfor~ant
ou
~
a nouveau retabli.
l'~tat du reacteur consid~re com-
reglage et ramener Ie reacteur dans
la
barre. Une fonction qui caracterise
+
Ie reacteur ne doit donc pas dependre explicitement du temps comme Ie N defini
par
(11.21)
11 n'a va pas de
m~me
exemple, un reacteur vide
pour la densUe neutronique
Si~
par
surcritique qui est caracte'rise par une fonction
d'influence constante dans Ie temps, est demazre d'une J
densite neutronique qui change tres rapidement (rite par
N.
(II-20). Les conditions de mise
a
fa~on
determinee, la
dans Ie temps
sera. de-
feu servent de condition ini-
tiale. 11 resulte des consideratioiE pas a une definition
precedentes que (II-21)
ne se pr@te
ph,\siquement admissible d'une fonctiont d'influence
variable dans Ie temps. 11
est plus raisonnable de continuer
fonction d'influence par l'equation
(II. 17)
m~me
,
definir la
lorsque l'etat du
reacteur vade avec Ie temps ou n 'est pas critique. Chapter III .
Les equations cinetiques des reacteurs
Les equations des reacteurs (I (39) (de p. 30) 31)
decrivent Ie comportement de la densite neutronique
et caracterisent par de la position /
rapt. (1.
de
consequent l'etat
differentiel
l'energie et de Ia direction
etablir maintenant des relations qui
-?
,-
)) (de p. -'>
N(r, t, E, !2)
du r~acteur qui depend
a I'instant
t. Nous allons
decrivent l'allure integrale du reacteur
- 396-
T. Kahan comme fonction du temps dans lesquelles les
positions,
div~rses
~nergies
et directions dans Ie reacteur ne figurent plus. Pour les dJ.stinguer des I
equations des n~ti
ques des
a ~tablir ant
ces relations
r~acteurs
recu Ie nom d '~quation~ci-
r~acteurs.
n faut tout d'abord faire Ie choix d'une grandeur qui prenne la place de
et
N
choisir
a
qui puisse exprimer
l'~tat int~~ral
du reacteur.On pourrai
la puissance du r~acteur qui est proportionnelle au
cet effet
nombre de fissions par seconde ayant bien dans tout Ie reacteur , Pour obtenir la puissance du r~acteur
a int~grer
sur Ie volume du
les directions
;1
R.
a multiplier
N par
v l. f et
sur toutes les
~nergies
et toutes
Vona
r~acteur,
frl Nv 2i dVdEdrl
~
0
En tant que grandeur int~grale qui ne dJpend d~sormais que du temps, la puissance
se
fort bien
pr~te
que3 dont Ie reacteur est Ie
a
caract~riser
les processus dynami-
si~ge.
Il est toutefois plus utile de choisir une autre grandeur, '-
a
la puissance,
n(t) tion
apparent~e
a savoir Ia teneur en neutrons, ponderee au symbolique . Pour parvenir a cette grandeur il faut multiplier N par la fonc. d'influence N+ et int~grer ensuite sur Ie volume, les ~ne_'gies et les ,
directions : (III. I)
r foc )rN+
n(t) = )
R
I
-') -") -') -"") -:> + E, rl) N( r t, E, rl) X d V d E d rl
(TL
0 {l.. ,.d
!
(N+, N), avec
(;, t')-:; (
'V
0
fonction
+
Quel est Ie sens physique de
n (t)
se l'influence d'un neutron en
(r~ t, E, rl) . Le produit N . N+ d V d E d rl
I
? Comme Ia
f ~4f6 V d E d r? rl
~
N caracteri-
mesure donc I'influence de tous les neutrons (E; Q) dans l'element de volu-
- 397-
T. Kahan me d
V. L 'int~grale
(Ill. 1) mesure enfin
a l'instant
les neutrons se trouvant de la
ut~rieure
(III-I) est
en
de r~acteur, ainsi que
les 'energies
cette fonction
sous certaines conditions, n(t) admet la
des
simplifi~e
a
~quations
en une partie
cinHiques J
+ --.
-'>
N (r , t, E, n) et integrons
par
+ dN (N , - \ - ) = ( \ r)
et
+
(IIl-3)
t
dfi C.1
(N ' F ) = Les operateurs
si l'etat du
r~acteur
sur V, t.
."
H et
('»
+< (N , K
0
+
N)
+
+ ".
4'" 13,(N , K. N} - '>I.(N f. C.) 1
A
K
change au
1
1
contiennent Ie temps
1 1
atitre
de param~tre
cours du temps. Comme alors dans (II.
2t
non seulement la densite rna is aussi la 'fonction d'influence de-
, en vertu de
pliguees
s~parer
il vient
(III. 2)
et (B-3)
peut se
N
une equation differentielle valable pour n(t) , multi-·
plions l'equation (1- 45) (p. 31)
n .
r~acteur.
spatiale et une autre fonction du temps
Pour parvenir
p~nd
joue un rMe decisif en theorie
du temps et que
ind~pendante
Forme
et
n
en est ainsi lorsque nous n'avons a faire appel quIa la fonction
d'influence fonctio~1
des diverses zones
et les directions neutroniques . 2)
variation avec Ie temps que la puissance du
n
sur l'evolution
une serie de raisons
1a signification
~vidence
des perturbations. 3) Enfin, m~me
r~acteur,
fonM sur toute
1) Tout d'abord il met
En deuxieme lieu,
dans Ie
en cha!ne .
r~action
Le choix de
t
l'influence totale de tous
de peu
(II. 1 'f) p. 46) dlinter~t
, du temps, ces nHations sont fort com-
pratique, On peut parvenir cependant
a
des
equation:; eSBentiellement plus simples si llont tient compte du fait que dans
- 398-
T. Kahan
les cas pratiquement
int~ressants
du temps ne
que
diff~re
tr~s
, la
foncton d'influence
peu de sa valeur
d~p~ndant
stationnaire
+
N o
Si l'on pose donc
+ -,
._")
+ -")
.."
+
'>
N (r, t, E. n) = N (r, E. n) +~N (i\ t. E, n) o
(Ill 5)
+
l'on aura 4N
« N+ n
· + + dans (II. 2) et (III-3) . Comme on do it anaet on pourra sub shtuer NaN o lyser l'etat critique d'un reacteur avant de passer aux problemes cin~tiques, -">
il faut supposer connues.1a distribution de densite critique tJ ('i-:: E. n) et par suite
auss~
la fonction d'influence stationnaire.
~
Des lors, (III. 2) prend la forme, en utilisant Ie spectre global fIE)
(1. 49) (de p. 32) et en rassemblant les neutrons produit aU
d'apr~s
total dans l'expression K N : (III. 6)
= - (N
-
~ fl
I". (N
. 1
1
+,;. +-" • H N) + (N • K N) o 0
+,;. 1 • K. N) + 40
~\ 1\.
IT .
1
,
1
1
+ (No/t, C.) 1
+ + (N 0 • S)
Ici, l'influence des neutrons exterieurs est donneepar
+
sIt) = (N
(III.t )
o
• S) ;
la contribution des neutrons retardes est decrite par C. (t) = 4- (N , f. C.) 1
):l:n posant
encore (N
~
(III-9) il vient
i
a l'aide d n( ~ t
(N
+ ~ • K.N) o 1
+""
"0
0'
K N)
'+,.
(No' H N)
1
1
avec (J = i.. 'i..f3. . 1
(N • K N)
de la production totale
+ ,;. (III. 10)
+
1
(III-B)
,,;.
KN
+ ....
~ (N ,H N) (1-~J3)-1 ---,;..,.0+_ _ (No IN)
1 1
-- 399 -
T. Kahan +.1' (N ,K N) (N ,if N) represente ici Ia production d'influence par seconde divise par
Ia °perte d'influence ayant lieu dans Ie meme temps. D'apres (1-48) (p.32) (K - H) N = 0 (K N = HN , ce rapport est egal a reacteur critique et
1 pour Ie
> 1 pour Ie reacteur hypercritique. Cette grandeur
peut t!tre comme comme un . (III. 11) ( t)
~
+ (N N) o La quantite + ,A.
facteur de multiplication effectif generalise (N+ , KN)
~
" (N , HN) o
represente Ia teneur en neutrons, divisee par Ie
(N ,HN\
perte-influence pour seconder . L'inverse de cette grandeur ayant la dimension d'un temps,
combien de temps il prendait jusqu'a
indique donc
,
ce que la teneur en neutrons soit epuisee par les pertes de Ia production g{meralisee
a parti:r
de 1'arr!€
elle revet donc la signification d'une duree de
vie
let) des neutrons dans Ie reacteur fini . Nous poserons donc
(III. 12)
l(t)
(N+, N) o
+ ./'-
(N ,HN)' o
Avec ces notions nouvelles,
(III, 10) et (III-3) prennent leur forme
definitive (III. 13)
oil.
N est
fonction
suppose "factorise' en un produit d'une fonction de t
de r. I
Les equatio!1'.> (II-13)
portent Ie nom d'equations cinetiques
du reacteur et expriment son allure dans Ie temps en fonction
I (t)
et d'une
de
It (t)
£,1:
. La discussion de ces equations constitue'le probleme central!!! de
- 400T. Kahan
la
cin~tique
des
r~acteurs.
Les conditions de
validit~
de ces
~quations
sont 1) Une seule
I
2) les
~.
fissile;
mati~re
independants
1
"'"
3) les operateurs
de
l'~nergie
...
H et K sont voisins de leur valeurs stationnai-
res. Chapter IV.
des
Cin~tique
r~acteurs
a 1'approximation
de Ia
th~orie
de
la diffusion ,
Nous avonS
d~vp.lonne
du transport rigoureus. Or,
I..
dans ce qui precede (ch. I d~jli.
la solution de
a III) Ia theorie
probl~mes
stationnaires
est, dans Ie cadre de la theorie du tra.nsport , fort delicate, liee ~ des calculs
fastidieux
et
ne conduit Ii.
des resultats
que dans des cas exceptionel!; . Pour les ficulds ne font que
SO'lS
forme close
probl~mes cin~tiques
, ces dU-
croitre. Force est done de faire appel, pour l'ana-
lyse de ces problemes connue sous Ie nom
a une m~thode
d'approximation utilisable qui est
de theorie de la diffusion . Cette theorie de la diffu-
sion, comme approximation il. Ia tMorie du transport , analyse la densite neutronique sans egard
a Ia
distribution angulaire. Lea rMuliats s 'accor-
deront done d'autant mieux avec ceux de la theorie exacte que Ie mouve1
ment neutronique dependra mains d'une direction tion de la
th~orie
privil~giee.
L'approxima-
de la diffusion fournirA done des resultats utiles pour I..
des milieux homog~nes a condition de se restrindre
ades domaines qui sont
Elloignes d'an mains quelques longueurs de diffusion des fronti~res, des borrls ou
~es
sources
TMorie de la diffusion 1) Rallentissement de neutrons de fission jusqu'aux energies thermiques 2) Ralentissement des neutrons de fission en tenant compte de Ia possibilite de leur capture dansla region de resonance 3) Diffusion des neutrons thermiques
- 401-
T. Kahan
Passage
a la theo.rie
la diffusion
d~
a la
Le passage de la tMorie du transport peut s'effectuer
simplement en supposant que la distribution de densite
tr~s
N possede la symm~trie spherique , dans ce cas
.a..
n
direction ne
d~pend
)" = cos
N(r, t, E, n) des neutrons mobiles dans la
(fig. IV-I) on voit que
pas de
t
N n 'est fonction du rayon
->
Si l'on enviSage la densit~ -)
tMorie de la diffusion
,mais
f)-
de
Aft
N 01)
de
9.
I
Comme l'element d'angle solide s'ecrit
lIon a (IV -1)
2iT
J
,-7
N('!., t, E, n)
=0
-/
d;--df=21fd)-"xN{r, t, E, n)
= N(r, t, E,)", )
ctr
Partons de la premiere des equation
dependance de r.l
avons dit en guise de plicationJ de
la
nous n 'obtenons qu1une approximation grossiere quant • Cette approximation ne vaut,d'apres ce que nous
pr~ambule
th~orie
, que si les hypotheses consernant l'ap-
de Ia diffusion sont
donn~esl On posera
Itapproximation de la tMorie de la diffusion (IV-B)
-
/\:) N =
n=l
2n+l p¢ L. -2 n n n=o
-
1
2
P(> o
=~~+~~~ 2 0 2 1
it "r +"",..
donc (IV-B)
deuxi~me
dans JIV-3)
0
+~ 2
peD 1
1
=
donc ;;
- 403-
T.Kahan
(IV-g)
1 3+(- S +-M.-S) 2 0 2F 1
Le flux de somme a
que
ete developpe dans (IV-g) de la
vN
On peut multiplier (IV-g) successivement
m~me
fas;on
par les P (...... ) et obtenir.:, tn
grrtce aux relations d 'orthogonalite's des P (}') par integration sur toutes n les dirtctions, m systerre d 'equation~diff~rentielles pour ~ i . Multiplions d'abord
(IV-g) par
P oy...) = 1 et
integrons sur
de
d)'"
- 1 a' + 1, il
vient 1
(IV-IO)
-
d4;o -
v ~ t
~ + - t )"tI. - -1 '( rj., + 5+1
= - (-"
'&r
Multiplions en~""~ ( (IV-II)
7.
1
par P 2
v
0
-1
y..) =~ et
l'Ot 1 ct 1..1. r+ .7.1 --=-----y" +_IJA.,If/+F) v~t; 3c1r v I / ' 1
Par
(IV-4) et
+1
S}
(IV-12)
-1
~=
(IV-B)
o
5 (1-/3')v '~ o
I
-
d",,+SI /
lion a
00.
f
integrons:
.
I
f
Le calcul des integrales de :iiffusion
q>'0
dE'
+ ~(). f, C,
,ill
)+1r ",F drJ.... = 0
1_1
(IV-12) necessite l'introduc-
tion d'hypothesesconcernant les processus de choc. Nous supposerons iol qu 'n s 'agit d 'une diffusion purement c1assique des neutrons sur les noyaux de la matiere du reacteur et que cette diffusion
est isotrope
sterne du barycentre neutron-noyau. Si A est la
masse
perte
I
d'energie lors du choc
neutron- A est
dans Ie sy-
du noyau, la
- 404-
T. Kahan ..
(IV-I3) ou E'
uE' = E' I'~n~rgie
1-.,1.
A-I 2 , avec rj... = ~+1 )
-
(1-)")
~
du neutron avant et
E
cette
apres la colli-
~nergie
sion. Je donne
Ie
final
r~sultat
WJ..
+1
(' ~ dt dE'; (~)'-clt.=.!. .f"'dl~'dEI 0
2 E d
F
1 1
d ' = d (E' ) et d' = d (E') sont des: fonctions alg~briques de E '. 00011 En portant enfin (IV-I2) et (IV-14) dans (IV-10) et (IV-l1), on obtient ou
l'approximation
dPo
1
(IV-15)
PI pour Ie
v ~t
Po(r,
flux
(.1. +..!..) - f J
-'>
J(r,
~->
(IV-24)
3.P 51
la symetrie
II est alors tout
courant
+
0..,
/ (r, t) =- D'V
t)
par
¢o (1,
t)
8i I 'on supprime dans
~limine avec ce qui reste,
- D grad
rb 0
lie
(;? ,t)
¢1
(IV -11) (p. 56) Ie terme ~
¢1 de
densit~
I dt
et qu 'on
l'~quation (IV-10), il apparait I'op~ra-
teur
,
qui se confond, dans Ie cas de symetrie spherique, avec Ie Iaplacien 2 -/)
Pour passer aux
"
i Ci
~quations cin~tiques
seIon (I1I-l3) (p. 52 ) • il faut
connattre la fonction d'influence. Pour cela. formons les op~rateurs adjoints
.'" =['J -r,) 1
(IV-42)
[en
Ht
o
J2
'
~
supposant pour simplifier
Jf1 a
-54' 2 f1d
1: )
pour Ie calcul approche de cette fonction-
nelle. Generalement , dans la conduite des calculs, il sera commode de transformer (5) en une equation rep res enter
~
L
integrale, ce qui
va no us amener /
a
par un operateur integral dont Ie noyau sera symetrique
- 419-
T.Kahan ;.
quand
Lest symMrique.
3.
Application aux L'~quation
qui
problemes de diffusion. r~git
canique quantique peut se
un probleme de diffusion (scattering) en
r~duire a
M~
Ia forme suivante (d1:"!d r ::. d 3r)
ob Ie noyau K( 1,{') est g~n~ralement un noyau sym~tri.que[K(.(',Ii') ~ .:;>,-'\1 A-. 0 . . , ) ::>.1 = K( r, r~ et ob '1'1 (!l.) represente l'onde incidente VIr, etant Ie potenti.el
De
du
centre diffusion
m~m~ de nombreux problemes en th~orie du transport des
neutrons ,se posent sous Ia forme d'une
~quation int~grale
du type de
-1', est
sym~trique
Fredholm (9 bis)
ou les limites
sont
ou sym~trisable et Fa.isons, dans
tt
(9)
-(1)-
PO,ur
donn~es
et Ie no:ra.u K (rt',
t')
Ie terme s.olU'ce. est
s(
r~el,
une fonction donn~e.
(9), Ie changement de fonction inconnue 4>1 :
p!'end alors la forme (1) ,~et
qUl slgmfl€
,
operateur, j'utilise la notation
5
L~= F (-;, 11)
....
S
-7
-?
L = F( r, r ')
{q,( 1! r)) d1 r
tr
- 420-
T. Kahan
( 11)
.->
dr ' En appliquant en revenant au
~
~~
a.
notre principe variationnnel relatif a. (8) et
1 initial , nous oQt enons l'expression suivante, sta-
tiona ire vis-a.-vis des solutions de (9) .
iTfr] ~ -50/2 ~;
V
-)~(t)
( 12)
d~ -f~1 '1': V d;?
V K
(f, r1 )
V(r?I) 0/-1
~ et VI 2 sont remplac~es
Quand
de (9) , l'expression
+)
'1\ V ~ 2 di'
(~~) d1 dr1
.
par des solutions
1\ 1 = k, en l'absence te
du potentiel diffuseur
solution verifie l'equation integrale
que ondulatoire
a
a l'onde
-~
plane
-",
=
e
r
1
V (r) . On sait que eet-
(ef. L . .L.. Broglie
la theorie du noyau , Hermann
~ ~
~
i K
,de la Meeani-
, t. III p. 35(55) et
- 422-
T. Kahan
and Massey , Theory of Atomic Collisions 2
Mott
Kahan, Revue de Physique Th~orique
(15)
=
ik1 .i
e
1 --41f'
t.
Moderne,
j'
ed. p. 116 (3) - T.
II etc.
et admet Ia forme asymptotique "'.>
~
ik r
( 16) ou
¢1(-::)
->
est
l'onde incidente donnee
par f(
00
ji:"
,dont Ia
A.
1 Mott et Massey
(d. -')
1
~ 1,- &2 ) ;: - 4'iT
J ik~. r>
~..,
Cette expression valeur stationnaire
(18')
e
p)
f( 't 1, -11,2) est
(V-S)
- 41T J [,} - ""(
. de
e
V
k\ I"-r'l \1--[-')
comme il resulte de nos formules (9)
v~lriationnel
,Je vais
defini
dans
valeur cif
-)
CPl
Vir) , au
lk. r ( 1 V(f)
e
sur Ia formule
dans la directlvn
t
de
la direction
p.114 (30)
-)
-
£.
J
2
-)-> (r) dr
facteur
- 41, pres,
Ia
S",
-)~
bosons
r
~~ lVi'" -; V(tl
L2) = f(11"-/1) noterons .p (;) (r)
f(t, + 1
A partir de maintenant, nous
a
integrale suivante relative .....
( 18;.1)
£Pi (+)
-
\ e
-")
(+)
-ik2' r _?
(
V~~) Y 1 (i~) di?
ik r
+)
e 1
v(r)y~-)(f)
+ d(-
( 18-6)
-jv:+)
v v;(-)
) -4f~2 1
Etant
donn~
- -)
d~
-
,,_")
e iktr-r'l
_)
(r)V(r)
\1-P'1
I
la definition des foJinctions ,
(18-7)
( 18-8)
(18-9)
=
+\0/(-) (~)
-) 1
V(r) liii·(+) (r) +Ijr(-) (r)) 'T 2 - 2
=.! ((y(+) (r) +,i}(-) (r») 2)
1
_Tl
V(r)
(~+) 2
d? =
(i) + \f(+) 2
f;)) d-;?,
-
426-
T, Kahan
repr~sente
l'onde incidente
~ quand on tient compte de la statistique, De 1 .llt~ f? -& m~me pour la quantit(! (e 1 + Q 1 ) , Donc, finalement, on
suivant la direction
t
obtient les deux princiPet2variationnels bles
, soit aux
bosons , soit aux fermions
f( e) + f( 'If - e)
=
.:':>
v, S,
11{2 -r [( e
+ e
-)
.-7
+c
(+) V(r)
-1"1 Y.
+e
~~ (+) (f)
- -.!...( r-"
-?
-lk 2 , r
.;:.J2
.t?::::> 1"1'!' (18-11)
ci-dessou3, directement applica-
411") ...... t
(+)
V(r)
8
F":"I
2
~
'3 ~+) (i'I) df
(tl
V(r)
+
dr? -
(+) (t) 2
V(r)
(t) df
-
f(6) - f(1r-e) =
(18-12)
~ V. s. tr·;~'·? -. -;);,.f 'k
+ ) .'
~
Vir) :::: (-) It) di'
-')
,.~- • ' ,.r
1
V(r):;:
I-~
rr)
d.t-
- 427-
-
'f
T. Kahan
(-)
-::::. 2
,......._ (-)
;;t,
_
(r) V(r)
(~)
dr , -
2
__ 1 (~(-) 4iT)'-' 2 Dans les forrnules
If)
Vir)
e
ik rf-1'\
t)
V( ')""-' (-) d-> dr" r'-="'-1 r r
\1-t'l
"-:' ....... (+) et '7' ........ (-)
pr~cedentes,
remplacent les quanti-
tes
essai
et representent les fonctionsi tera qu'elles sont assujetties de
la statistique de
dans Ie cas
qui doivent
utilis~es
. On no-
a la condition d'etre paires dans Ie cas
Bose- Einstein et
a la condition
d'~re
irrPaires
de la statistique de Fermi - Dirac
NOlls allons montrer maintenant comment
(18) permet d'arriver aux
(Phys Rev. ~ (1948) 1763 - Hulth(m , XO
methodes proposes par Kohn Congres
etre
des Mathematiciens scandinaves _ Copenhague
1946).
~
5
Methode de Kohn - A l'aide de la fonction de Dirac, on peut ./' 2 2 mettre l'op~rateur L =9' + k sous forme d 'op~rateur integral dont Ie
noyau
G(;'
:r1)
est
~videmment symEitrique . Ceci ~tant, l'~quation (14)
s'ecrit
)
V(;~ cp (r)
(19)
lavec
=) G(l, j?,) ¢ (i~')
L=(I?+
k 2)
di?'
=~G(;,-f'{--]dr'),
En posant
+
(20)
on obtient, pour les
, 'PI (r)
" VCr) J
,
l'equation integrale suivante
- 428-
~\f!
(21 )
au
j'ai
I
I
(0 0
-'>
(r) = -'f'
J
-)
1
T. Kahan
-1-
+
(r)
v;0
pos~
(22) I
En ~crivant notre principe variationnel relatif aux ~ 1 ' on obtient une m~thode de calcul approcM pour la i(l? -) e
(22)
quantit~
+k' ) Ii' 1
2
si bien qu 'en revenant aux
Vet)
t
dt -
/,11 f(
-'>
initiaux, l'amplitude de diffusion
est, au facteur 411 pres, valeur
stationnaire de la
-)
-:?
f('{ l' --{2)
quantit~
~
j" '1.[
X
V1(r) dr oJ( :') 1
- e 2
oil. j'ai
~ f~ 2) ,
\l L + k
2J 'K (f) d?
utilis~
(24)
Pour Ie ca1cul de la Green:
"&
de
dernH~re int~grale
df
r:
2
2
S(f~ -g~t\.)dS=/fY'g-g;Yf)
(23), on utilise la formule de
dl:,
~ ~tant une fonction d'essai que lion supposera avoir la forme asymptotique
e
(25)
ikr r
On conduira Ie calcul de la
fa~on
indiqu~t.
dans Ie memoire de Kohn
- 429
-~
T. Kahan
(cor. cit. p. 1766) . pour retrouver exactement Ie principe variationnel qu'il
a propose. 11 a lieu de remarquer que Ie principe (18) que nous proposons,
bien que d~coulant cision
sup~rieure
de la m~me methode, fournit n~anmoins a
celle obtenue
une pre-
par la meth,)de de Kohn . En effet,
en prenant pour fonction d'~ssai simplement l'approximation d'orde z~ro (onde plane) , Ie principe de Kohn fournit la premiere approximation de Born, ta:ndis que notre principe (18) donne directement jusqu'a la seconde approximation.
Methode relative a l'equation radical..!de la diffusion.
6.
Nous allons maintenant deduire les methodes relatives
a l'~quation
radicale de l'~quation de la diffusion directement de notre principe variationnel g~neral. A cet effet, prenoDs pour les fonctions
VlIet ~ 2
qui figurent dans l'expression
la forme
't'i (r) -~
(26)
(18) un
00
=~
(2n+1) i
n
(27)
--,
n
\¥2 (i") = ~ (2n+1) o
de
P (cos 8)!\ ( /rl) ,
n=O 00
-) au 1\ (r)
I\.
dev~loppement
t
'"
A P n (cos 12
";? ) '\ dt\),
a la forme asymptotique in'n. e . A 0 - - s m (kr
-) 1\) r-)
n
00
kr
-)
la direction ayant pour
{I ~tant cor.doonn~s
Nous aurons egalement pement suivant
prise comme polaires
a utiliser
axe des ( @, 0)
Ie deveIop-
rJ)
~) Mott-Sneddon, Waye mechanics and its application Oxford, 1948 p. 386
- 430-
T. Kahan
-41'
e
~k
_)"'>/ 1r-rl
I r-rl 1- -
0
n
k
r,
~
t
(kr) Co ___ P cos ...
.11."
/\
I •.,,;;YI II'.';J
3~(~ r):~ r (
p l(cOS 9') P n
n
V (r') 1\ (r') r" dr>' I\.
(cos 0) sin 6' de' .
En utilisant les relations
d'orthogonalite des polynomes de Legende ii')
il vient
~)
a
Valiron : TMorie des fOt1'nctions (Masson) p. 207
- 433-
T. Kahan
1 (e ik 1-r-r?11 _ -:) _) -4,,) Ir~ _rl/ V(rt) 'V-;(r) dr 00
r-
(30-2)
t·p
2n+1 {
n=o
(cos 0) n
(OOt.e! 'I.~)llt(l~v(rl) A (rI2) drl
Jo
'I.
I!.
11\
r
dr
,
Theorique
t.I1 (P. UF.)
, la
- 435-
T-. Kahan
devient, apres
Lf:
j -) .~
1
(30~6)
~limination
2' r
e
des termes contenant
_00
~
'\"00
nt-" '
1/ n+ 2
J
n
int~gration
sur
(r) dr =
= 2Ti?.. '- (2n+l) (2n'+1) i n=o n'=o
P
par
_'>
__';>
V(r)
'f
(cos B) P
(~'t)
n
I
P (cos @ ) rt
V(r) A (r) r2 dr n
(cos 8) Sin 8 d 8 =
00
471
~ (2n+l) (-It P (cos ®) n
o
Le calcul du terme
d)
s 'effectue de la meme fa(,:on . L~ encore,les termes contenant
Y'
et pro-
venant du developpement de \V2(~ s'elimine It par integration sur ~ 1'utilisation des relations
d 'orthogonalite des polynomes de Legendre don-
ne
00
'" 4 7T [
t
(2n+ 1) (- 1
n=o ;
00,
(]I
o V2kr
et
I n+ 1/ 2 (kr)
P (cos
n
Vir)
®) 1\
)r) r
2
dr,
- 436-
T, Kahan
Si bien que (30-8)
l'expression (18) devient .finalement
_00
L
411'
n
[1 faf:" 0
-.!.
rr
A-tn
7,
I n+I ,
Ikr)~lr)
Vir) dr -
VIr) dr -
(rll, (1'»
o
n
(cos \!Y )
2
00
- [
~
P
(2~1)(-1)
(1') V(r) j(kr )
~(kr~ ) V(r') rn(1")
n.,J
dr dr' ]
Methode de Schwinger deduite de notre principe general (3) Nous allons montrer maintenant que la methode de Schwinger~ se
deduit de notre principe general (3) en donnant une forme convenable
a
requation integrale (32) , A cet effet, introduisons une nouvelle fonction
fu
(r) reliee
a G(r) par
_i'l..
1 ,
n
n
(r) -== k G (1') _e_
n
cos"!..
n
Cette nouvelle fOJlnction
verifi~
1vn =[fk"2
ntI 2
(34)
(r)
(_I)n
-r
';( V(f kr,( 2
ii") J ,SChWinger·· 76 (1949) 21 ,
00
o
-
r J
/v kr V- 2 J
/
alors l'equation integrale (kr)-
7
J ntI/
2
({ I' 7 )
/ (kr ) V(r') -n-l 2 ,
(45) et de se reduire
co'incident
a
avec ces solu-
tions exactes , Il suffit pour cela d'imposer la condition F(,f.., J.. , rf.)
quel que soit
.;..,
mais
ceci entraine
-oFI~; : •• ) et en tenant compte de donne les variations
f~
f.J.
d'ou resulte
~~(f'
+ =
,fi
~ F(v-,~, .1-)
1(j.
+
do.,(#.)
~rj,
= J..,
m.;..~,,) ,(M;.+ :lFI 3~~) ~~ I,
S.f. + f'(' , la
condition de stationnarite
etant arbitraires,
JF(c1\,~,d-) }F("',~,,J..)
d(J
d(1
+, dF(d--,:;l,o-)
'.
~F(do., fl., rJ. )
JF(d-.,,,, ,d-)
df1
dJ
-;)i
=0
= 1
Mais F etant suppose analysique , il existe au mains une valeur
d- o
de
-- 448-
T. Kahan
r:J..., (JA
r autour de laquelle elle est d~veloppable en s~rie
En portant les tions ecrites, serie telle
d~veloppements
de Taylor .
obtenues dans les dernieres equa-
on obtient des relations entre les divers c6efficients de la
qu 'un arbitraire illimite subsiste dans Ie choixe de ces coef-
ficients. Le nel F("
r~sultat
,(I, '() independant
17'
c/t!ssai celle de
est tout autre si nous cherchons un principe variation-
~'. Si en effet l'a norme de ~' est multipliee par I" '
et
rp'
par ;-',
~
L' independance Me
quels
des normes particulieres des fo,lfnctions
que
~ d., "("""y- ct~
est change en
vis-A-vis
en
veri-
)'" et ,?:
soient
= F(q.,/S,Y').
r
11., ,}I-"" i.. ' il vie)!t
1" =
particulifir
F(eJ. ,A ,'r) = F(I,
'/'
et
_.P- Y3 .
de la nor me ,entralne que soit
F(.rol,,;"-Fj1,I"Y) choisissons
en
t- , 1)
fA r
F (i- (l ,y) doit Mre une fonction de la seule quantite ~ ' + , lIon a de
nouveau:
- 451 T. Kahan
I
II en resulte June fois de plus, que des erreurs du premier ordre dans les fonctions n '~ntrainent de Itordre une classe
4> '+
d 'essai
de
l'ordre de
10
+
de fonctions
stationnarite de
d'essai
peut se fonder sur la
J . Remarquons
que si la classe (t) -
diff~rentielle
est en effet l'equation
inhomogene
propri~t~
de
(t)
./---
(a)
L'r' (x) = fIx) ,
ci
li~e
a
certain=,
(102)
l' x
=~ (x-x') arbitraire 0/:
(x')
x
On a alors pour vecteur
:
(103) ./"
(104)
L
L(x, x') tat ion que
~tant ici
Ie noyau de
l'op~rateurL.
crest
dire que la
".
abstraits
d'op~rateurs
'V
xx'
tels que L,et de vecteur
J
.
repres~n-
abstraits
tels
I
sous la forme d'opl!rateurs intl!graux et de fonctions integrales
peuvent Mre considl!rl!e laquelle des fonctions
comme une representation delta sont
utilis~es
de composantes dans
comme vecteur
de base
(cf. 102) • Si la sommation dans ce cas intl!gration formelle sur des indi-
ces rl!pl!tl!s est sous entendue • les l!quationS(93) et (95) peuvent s'l!crire ~
(105) puisque
L
L
+ xx'
( 1)Alors pour
IV
xx'
~
x'
= L XiX quelconque
f
+A x
4> x'
.
Lx' x
+
= gx
- 462-
T.Kahan
~
Des lors
(101),
s'~crit
repr~s~ntation coordonn~e
dans cette
comme (106) Cette repr6sentation en termes de source (f) du flux '1> x au point
d~ a une source externe au point source exte~ieure pr~s~nte au point x' x
I
5
est jusH\'ment la fonction de =
x' (c. a.. d
~(X-x'))
somm~
x' ;
sur
fois Ja
iH _}. K) xx-I,
Green G(x, x') du syst~me : (e ,'a. d ~x =
fIx') G(x, x') dx') . La solution adjointe de (95)
s'~crit
de la mt!me
fapon sous la forme +
(107)
¢x
= (H
+
-
"-1
I~ K)
xx'
+
~,
r.A. J ....K) -1J+ + xx' g = (H _AK- 1\-1
= L(H -
Xl
'X'x
..... -1+ puis que (L) = (L ) .l'AA_l+ .... -1+)'+ En effet I de I = ( LL ) = (L ) L on
/
Xl
... +-1
En faisant appel A la mt!me
interpr~tation
~videmment donn~ par Ie flux en Xl diZ +
s
multipli~
~:
=
g
par la section efficace
(x', x)
crest
~I
'
g
dire que
toute
quantit~
unit~
espace en x.
du genre section
a une x'
la fonest
x
source unit~ en
x,
a. d)
et somm~ sur
Xl (c.
I
la vitesse
repr~sent~
pr~cMente
pr~cisement
par la section efficace
de phase du systllme lorsqu¢ I on
n convient
de faire observer
que
efficace peut t!tre utilism pour la sour-
ce adjointe et que chacune donnera lieu La dMuction
Ie
Ie flux adjoint en x est
se produit dans I 'entier
introduit une source
a l'heure, pour flux adjoint ~ +
dx' ) .
avec laquelle Ie processus physique,
+
en
"+-1 ,,-1+ (L) = (L ) .
que tout
permut~s,
ction de Green avec les arguments
l
r~"'~
a une
solution adjointe distincte.
demeure valable seulement pour. un
syst~-
- 463-
T. Kahan
me sous critique . Pour discuter Ie cas Ie consid~rer comme un cas s'annuje tandis
que
limite
A.
H
th
'rn ./-
Ii - XK inverse
solution
de
=An
a
la limite, introduisons les vecteurs pro-
A
K,j.,., 't" n
.
++ H ~ In
...... ++ "" '\" n
=11n K
2:: (A n - A) K~n (Q> +n , )
_AK)-l
(92) (dep.110)
(~+, n
m~me
K-1 f)
=[ ~ (tl I\n - ~
c.a.
+ ,
n
(
. tend vers la plus basse valeur pro-
pre. Pour effectuer ce passage pres du systeme
homog~ne
= 'E n
a £P.
n n
- 464-
T. Kahan
a
rapport
la source adjointe .
r,
On peut maintenant envigaset le cas ou
A
propre la plus basse
les termes impliquant ront et
sup~rieurs
la solution pourra s '{!crire ,.h+
l' ~
(94)
....
('fo ,K
1\ o
-1
f)
-~
Ao- A.A'
alors
taus
au premier mode s 'annulle( 1)
comme
.t-
'Yo
Physiquement, Ie r{!acteur syst~me
de P~tat
la solution
meme vitesse que
des modes
vers la valeur
. Si nous faisons maintenant d~cror-
critique
a la
tre la source ext~rieure
a
correspondant
o permanent pour Ie syst~me
tend
se comporte de plus en plu
~omme
sans absorption pour les neutrons dans Ie mode Ie plus bas
s i bien qu 'un neutron donn{! et ses mode {!chappent aux neutrons dans
descendants
pertes pendant une
les
modes
(au sa pr~geniture
rfto dans ce
longue p{!riode. alors que des
superieurs sont pendus'sensiblement
m~me vitesse ind~pendanmment de la valeur de il n I y a pas de perte
un
nette de neutrons
dans
A.
a la
A la criticabilit~,
Ie mode Ie plus bas, et
son amplitude croitrait lineairement avec Ie temps si la source ext~rieliJ
re ne s 'Hait
annul{!e elle aussi.
L'~quation
che
de ~ . Il
(94)
en
devient exacte
dans 1a mesure du flux
resu1te que la forme
sera celIe du mode
Ie plus bas,
de
ind~pendant
pr~s
ou'\
s 'approa de la criticabilite
la distribution de source
qUi ne dNerminera que l'ampllttude relative . Par cons{!quent,
a
tion d'influence (importance neutronique relative processus physique fonction
Ii. 'f' +0
(x)
a un
facteur d'tkhelle
pr~s,
d'influence correspondant
a
dans Ie systeme sous-critique tendent tous
(1) Eneffet
\ -"4 -)
110
n importe quel
qui peut se produire dans Ie r{!acteur sera la
diff~rentes fonctions sique
la fonc-
0
'
f
-J
0 avec ~ -). o
"
m~me
.en d'autres termes, les chuque processus phy-
a se
F 0,
si
confondre (aux
iF o.
- 465-
T. Kahan
amplitudes relatives pres) lorsque Ie
r~acteur
raisonnable pour des raisons physiques car un entretenir Ie mode Ie plus bas daps steme
l'~tat
devient critique. Ceci est r~acteur
personnel;
critique ne peut
a mesure
s'approche de la criticabilite,es neutrons avec leur
que Ie sy-
prog~niture
persistent assez long temps pour oublier la distribution de source. L' portance ft d 'un neutron relativement aux des phases d'un systeme critique peut
diff~rentes positions
dans l'espace
donc se mesurer par
n'importe
quel processus physique et pas seulement en termes de
densit~
de fission
de puissance .
ou; de niveau
I A. Application des
a
'~m
m~thods
variationnelles
a l' ~quation
de diffusion
deux dimensions
,
Le formalisme qui vient d't!tre pr~sent~ peut etre utilis~
, par exemple.
pour ramener de maniere syst~matique l'~quation de Boltzmann aux d iverses formes simplifi~es g~n~ralement r~acteurs I en
de
l'~nergie
mises en ouvre
en physique des
partant -avec la d~pendance complete vis -
a vis
de la position
et de l'angle de diffusion.
Au lieu de proc~der ainsi, nous allons, avec Salengul, une application
choisie
qu'on peut utiliser pour
de faeon r~duire
a illustrer
un lagrangien
l~ genres donn~
consid~rer
d 'approximations
a une
forme plus sim-
ple, bien que les rMultats finaux pr~sentent un certain int~rt!t Le motif et tivariant pos~s/
est
l'int~r~t
d'~tablir
principal qu'il y a
,
a reduire
intrinseque.
Ie lagrangien mul-
un certain type de compromis entre les buts op-
d'une part d'une. simple description qui diminuera la
mation mise en jeu
et par consElquent
et d'autre part, d'une
pr~cision
siques essentiels du probleme .
Ie temps
suffisante pour
quantit~ d'infor~
consacr~
repr~senter
aux calculs)
les traits phy-
- 466-
T. Kahan
A titre de cette application, qui conduit la plus simple, consid~rons un probleme
au type d 'approximation
a deux
composition est une fonction arbitraire de deux
dimensions dans lequel la coordonn~es.
Cette situa-
tion peut se pr~senter dans Ie probleme d'une r~partition plus uniforme
,
de la puissance dans un
r~acteur
changeant les
du
propri~t~s
la position. L'effet sur la
en redistribuant Ie combustible ou en
coeur
(partie centrale) comme fonction de
r~activitE!
(1) et la distribution de puissance (en
particulier si Ie reflecteur entoure completement Ie coeur) se trouve compliqu~
du
fait
de la non
de diffusion
L'~quation
a
de I '~quation de diffusion.
un groupe peut
s'~crire
- 'V. D~ ¢ + t a ~ =.!K »~f q> ,
(95)
ob
s~parabilit~
~
est
la constante de
multiplication
comme un parametre commode
5:
du systeme (2) qui est introduit
valeur propre. Si Ie systeme est ther-
mique et sensiblement homogene pour les neutrons rapides, consid~r~
a condition
comme Ie flux thermique,
"\) l.. -) !
(96)
p
e
- B
B2 (3)
r~sonance
1:
V "2-
g~om~trique
et l, p
et
~ sont
r~acteur
r~activit~
res-
dit de fission rapide, la probabilit~ de (-\.Ioih .\c
et I ':fge neutronique . Comme ( 95) est auto -adjointe,
(1) Pour un (2) La
de faire Ie remplacement
f
est Ie facteur de forme
pectivement Ie facteur local
peut ~tre
2
f
ob
sont
~quations
-i4 (r d2
(101)
-D
(102)
-D
+
dx
1
d2~
ou
2 -2
2
+ (L
dy
a1
+D
+D a2
2
1
B2lcp 1 1
=l..v~ 4> k1
f1
1
B2)th - 1 ~~ J.. 2 i2 - k f2 l' 2 2
les coefficients sont donnes par D1(x) =
(103)
L a1 (x) =
(104)
(105)
\J
dy
~~
j tP: dy
(y) D(x, y), D 2(y) (y) La (x, y),
~ fl (x) = jdY ~~ (y)v~ (x,
y)
2 5dA~2 D(x,y)
B (x) 1 \
Y 2 lY~2 (y) D(x, y)
(106)
~ a2(y)
,vtf2
=)dX~: (x) D(x,y), = ) dx
dx4>~ (x'lt, y)
(y) =)
2
B (y) 2
4>~(X)!.a (x, y)
5 (::1)2 dX
D(X,y)
= -Ih2- - - -
dX't'1 (x) D(x, y)
,
Com me les deux t\quations sont coupMes par les moyennes des 2 sections efficaces, on peut admettre une valeur de ~ (y), calculer B (x), 2 2 2 . 1 puis admettre une valeur de ~ 1 et calculer B 2 , recalculer 42 et ainsi de
suite. Pourvo\.l que ce procMt\
donnent
1
it~ratif
I
converge, il definira un
et ~ 2(y) qui fournira la meil-
~ 2 pour Ie flux r~el . Les facteuI""de
les fuites
appropriees
transverses correspondantes. Le procede est
dans les directions
l'analogue exact de la me-
thode de Hartree-Fock pour Ie calcul du champ self-constant en physique atomique.
- 469-
T.Kahan Ayant et (102) systeme
I
obtenu
des solutions self-consistantes des Equations (101)
on determine une valeur de k par
la constante de multiplication au
,
chacune d'elles. Pour etablir llidentite des deux valeurs
propres calculees de cette tivement par CP1
fa~on
J
multiplions les deux equations respec-
et 4>2 et integrons-les;
il vient
5dx~~ 1) ~ fl
(107)
(108)
,:;
~a2
En faisant usage des dMinitions les deux
sont
egaux
a
I
zero
a la
(103)
valeur de
+
a (106),
D
2
B 2)
2
il vient
k obtenue
kl = k2 et
que
en posant
: J = 0 il slensuit que lE5 valeurs calculees pour tout
ces equations sont coherentes comme il se doit. La derivation variationnelle ass que la distribution de flux rEsultante est la meilleure solution (comme estimee p l'effet des erreurs sur la valeur propre)a l'interieur des limitations imposees par la condition de separabilite.
II. Applications Nous avons vu
du principe
variationnel au probleme de Milne .
que maint probleme de la th~orie du tr.ansport
des neutrons se pose sous la forme
dlune equation integrale
de Fredholm (1)
4> (x)
~5L
(x, Xl)
~ (Xl) dx l +
S(x) ,
du type
- 470-
T. Kahan
ou les limites sont que ou
, et ou Ie noyau
donn~es
L(x, x')est
r~el
symMri-
sym~trisable,
Si la solutien exacte de (1) est Ia plupart du temps inconnue, il est relativement ais(! de trouver des solutions Si l'on pose alors
a trouver
Ie probleme revient ~(x) (3)
Iy'(x) =
.
,
des valeurs raisonnablement correctes pour
dans[~)Jil vient
(2)
Portant
ggetto a
elettricamente conduttore, di condu-
un campo magnetico , questa , col tempo, si
diffonde nel mezzo e il coefficiente di diffusivita magnetica logo
'7
, ana-
a I coefficiente di condicibilita termica e alla viscosita cinematica
nei fluidi viscosi
in movimento, e\ inversamente proporzionale
alla con-
ducibilita elettrica. Ora in
questa lezione
ne del campo magnetico in un di un
mi
propongo di stabilite per
la tliffusio-
fluido elettricamente conduttore, dotato
assegnato movimento, delle formule integrali che gnneralizzano
queUe ben note di Green. Queste formule, che sono
cosi feconde nei
Fisica matematica, sono gill state come
diversi rami della
si sa impiegate da tempo nella
idrodinamica pura. In effetti H. A. Lorents aveva ottenuto dei risultati interessanti nel caso dei moti permanenti e poi dlcato
un'ampia memoria nella !Viluppo di
G. W. Oseen aveva de-
una teoria
generale del mo-
vimento dei fluidi viscosi mediante l'applicazione delle formule generalizzate di Green (1). Recentemente , in una memoria in corso di stampa nella Rivista della Associazione Italiana di
Meccanica Teorica e Applicata (A. I . M. E . T. A)
queste for mule sono state
da me estese
al
caso del movimento di
un; fluido viscoso incomprensibile, elettricamente conduttore, in cui si ge-
(l)G. W. Oseen, Sur les formules de Green generalis~es qui se pres~ntent dans l',hydrodynamique et sur quelques-unes de leurs applications. "Acta Mathematica n, B.34, 1911, pp. 205-284, B. 35,1912, pp. 97-192.
- 490-
C.. Agostineili
nera un campo magnetico (2), mentre la Prof. ssa Maria Teresa Vacca ne ha fatto l'applicazione
al caso piano (3) .
Qui, come ho gia detto, mi limitero a considerare soltanto Ie formule generalizzate di Green per la diffusione del solo campo magnetico.
2.
Nel caso in
cui
siano
trascurabili la corrente di spostamento
e la corrente di convezione, Ie
equazioni di Maxwell e l'equazione che
espriD;le la legge generalizzata di Ohm, risultano
...
..
rot H
I , rot
r
E =-
...
r:JH-
""t
• \ div H = 0).
.. -+ I = C"'{E + ". v 1\ H)
l'
Prendendo il rotore di
-
ambo
i
membri della prima di queste equazio-
ni, eliminando quindi la densitii. di corrente
E, servendosi
delle altre
si ha
H = ...div
..
e
I
il
-
campo elettrico
due, e osservando che
.... ,~......
rot rot
-+
H-
r
~
II
H=
2
...
-.a 2 H ... 'JH
-1I2 H = orot (vAH) - r·t'.l')t Dividendo per
t!'V'
1
rG"
con 11 coefficiente di diffusivi-
(2)C. Agostinelli, Sulle formule integrali
di Green in Magnetoidrodinamica.
tii. magnetic a, si
e ponendo " - -
ottiene
I
-
I
(3)M. T. Varra, Sui moti magnetoidrodinamici piani di un fluido viscoso incomp,rensibile elettricamente conduttore. nRendiconti del Seminario Matematico dell'Universita e del Politecnico di Torino", Vol. 25 0 , 1965-66.
- 491-
C. Agostinelli
....
~
= rot (H 1\ v)
(1)
che l! llequazione della diffusione del
....
div H
(2)
Alle
equazioni (1) e
campo magnetico, con
0.
(2), dove il secondo membra della (1) 10
considereremo come noto, associeremo Ie equazioni
lJii' , J. 2 ~I H + "J t -
(3)
+
div HI
(4)
con la condizione
U'
=0
= 0,
,
(5)
A
u
essendo il vettore
grad
II = 0 ' 2
......
HI e 10 scalare
Le equazioni
(3), (4) ,(5)
VI
delle incognite da determinare
ammettono Ie solutioni:
~ ~ "?'#' .. til = rot rot ('f'i) = grad ;;;:- - U2 1(. j ..~."
_
dove
,
...Ha :: rot rot ('f' j) ::: grad ')y -..1 '(, j.. , 2 ...H; ::: rot rot (1"k).. :: grad IJZ ')", .... - ~2'f'. k,
(6)
...
aggiunte (4)
. 'J
?",
V' :: - ( - + 114.1..,.) 1 nx? t I 2 VI ::
L/~::t:. + tltJ 'f"')
2 'Jyy)t
'2
'J )'1'
U' :: - ( - + 17J:y) 3 /,)z?t I 2 '
"9
i, j, k
sono
i
versori
di una terna di
assi
cartesiani orto-
gonali O( x y z) di riferimento, con la condizione che la funzione
r
(4) Si osservi che se si assumano come equazioni aggiunte, associate alle (1)e(2)le
... 'JH* , A2 H* + /)t :: 0, ~...
4.
div H :: 0 • ~
I
basta porre
H· = HI - gra t
-12 W "- 1-; +~:._1_[1_3 Ix !\" 1\ a 2 'I/y liz r
r
2
(t-E)
lz
=--- =
0
{)z
per semplicita
(11 )
E(r, t)
(12)
3(x-x )(z-z ) o 0
('(
-E)
r
si
1
=
27(t o -t)
E
(x-x )(z-z ) o 0 2
E
r
e posto r2
la funzione scalare UI si ha 1 UI
E -J---
r
rlt
dove
2
o +[l--_ 2
"
'J2y1 HI
0
prima delle (') , risul-
'12'1' 3(x-x )(y-y ) (x-x )(y-y ) ~" . 0 0 (f-E) _ 0 0 1y I") x')y 4 2
HI
< t ,ed
componenti
(x-x )
r
e per
Ie
2
--0-1 (x-x )
0 ~t
con
o
'f
definito dall
:J2
So
una sferetta
della funzione HI,
t: una costante
rl
t: definita per
P (x y z ) . Essa o 0 0 0 t: per definizione identicamente nUlla
centro
.11'
411 (to-t)
e
il valore
rl(x-x ) 0
E{rl, t) .
2t3(t -t) o
Le componenti degli
altri due
le funzioni scalari corrispondenti
vettori
U2, U3 I
(12) con opportuno scambio delle coordinate.
,
H~,
3, e
H
i
valori
si ottengono dalle
del-
(10) e
- 494-
C. Agostinelli
S ,ci~e per r " r' ,si ha 't = 0, -t-Ie quantita o H' ,H' ,U' assumono i valori ly lz 1 2 (x-x )2 (x-x )) E , H' = _1_[1 _ 3 -_0-1E (r' t) + [1-~ (r, t) Ix ,2 ,2' ,2 211 (t -t) r r r 1 0 Sulla sfera
3(x~x
H':: .. lz
(x-x )(y-y )
)(y-y )
0 r,4
HI:ly
( 13)
0
E(r',t)-
r'
3(x-x )(z-z ) o 0 E(r', t) 4 r' x - x U' = 1
(14)
3.
O
2 r'
2
0
(x-x J(z-z 0)
-
r
,2
E(r' , t) 21(t o -t)
I
E(r ,t) t - t
0
2
0
Cib premesso consideriamo, nel campo in cui si muove il fluido,
un dominic
D (t) limitato da
col tempo. Sia
un superficie
S(t), in generale variabile
P
(x, Y , z ) un punta interno a questa dominio, e o 0 0 0 una sferetta con centro in P e raggio r' sufflcientemente
sia S o 0 piccolo in modo che quest a sfera nelPintervallo di tempo 0 sia sempre tutta contenuta nel Formiamo ora
~
t ~ t
o
dominic J) •
mediante Ie
equazioni
(1)
e (3), la seguente
combinazione
..... X HI
ottenuta te per
..
1( ~ 2 H
(15)
moltiplicando ~
H,
... ;T (H... x .....HI)+ grad U'X H =rot (Ht\v)JC .......... HI,
- A2HI X H) la
~
(1) scalarmente per
e sottraendo quindi membro
Integrando ambo i limitato dalla
superficie
~
la
(3) scalarmen-
a membro.
membri della (15) S(t) e dalla
it' ,
sfera
rispetto al dominio DI(t) S , abbiamo o
- 495-
C. Agostinelli
[
(16)
D'(t)
-to
,(4
!
1';) .....
........
HXH'-~H'XH)dt,,-(HxH')df+ gradU'XHdl'= 2 2 D'(t)~t '(t)
.. . .
J
=
"9
rot (HI\ v) " H' dr.
D'(t)
Applichiamo
ora Ie note formule di trasformazione degli
integrali di
volume in integrali di superficie , osservando che grad e ricordando ta
inlOltre
che
in una regione della
una superficie
...
U' X H = div (U' H) , F(x, y, z, t) e una funzione derivabile, defini·
se
spaz40 contenente il dominio D(t) limitato da
8(t) , variabile col tempo, sussiste la relazione (5)
~F
J
J
~h
dt'= F d'Y+ F V d8 D(t) ") t dt D(t) 8(t) n '
dove
V
n
con cui
e
la componente, secondo la normale interna, della velocita
si spostano
i punti
Dalla (16) si ha aHora
-L
8(t) + 8 o
,
di
8(t) .
.....1
( dH X H dn
-
...
~
d! .....
dR'"
- X H) d 8 - H X H' d 1: dn dt D'(t) ..
L(
.. +
..
-/, (H x.H'.V + U!H xt)d 8 = rot(HAv)" H' dt'. 8(t)+8 n D'(t) o
..
Integrando ancora che per
t .... t
o
e
rispetto
al tempo
da
0 a t , e osservando o
H' = 0 , si ottiene
(5)
efr. E. Goursat, Course d'Analyse, t. I. p. 666 (Paris,Gauthier- Villars, 1933) .
- 496-
C, Agostinelli
...
J.H JS [~(-d. ~
dt
n
..
... X
HI -
d H'
H)+ VnH.JC H' + V' H X n d S-
~dX H)+V
(H X H')
D'(O) In questa scalare
l'
dt= t=O
J to o
V', succesivamente i vettori
2
3
.
......
~
HX HI+V!H.xtJdS+ n
1
.....-1> d t r o t (H,'\V) X H' D'(t)
. . . .
equazione occorrera sostituire al
V', V', definiti dalle
ri V'
1
n
1 ......
o +
..-+]
~...
d H''''
- ~ X
(17)
vettore
..
H' e alla
H' H' e Ie funzinni scalal' 2' 3' (6) e passare al limite per r ' ... 0 •
...H'
H'
= Hie U' = V', dove 1 1 H' e della funzione V' sono dati dalle 1 1
Riferiamoci al Ie componenti di
caso
funzione
di
valori
del-
relazioni
(10) e (12) ,
Si riconosce
intanto
f1
(18)
che
dH
S ~x o Si osservi per questo che
.....
~ dn
...,
H' d S = 0 , 1
.... l(
d. H d H d Hz H' = X H' + _.2. HI + HI 1 "Qil Ix dn ly dn Iz'
So
e che sulla sfera
risulta
'JH
d H ~H x - x y-y -")H x-x __ x H' j __x _ _0 + _ _x ~ +_x_ _ _o)HI dn Ix \~x r' /'Jy r' ~z r' f A ' ece, dove H'
,H' H' harolD i valori espressi dalle (13). Ix O. N(x. J-'-. 0)
= f(x.r)
t
>0
;
t >0;
; -a ~ x ~ a. -1 ~r 51.
We ask for the resulting time-dependent particle distribution. The equation (1) may be simplified somewhat by writing .
(I)Important works in this direction have been done by : J. Lehner and C. M. Wing. Communications on pure and applied mathematics. vol. 8. 1955. idem Duke Mathern. Journal, 1956. R. L. Bowden and C. D. Williams. Journal of mathematical PhysiCs. vol. 11. 1964.
- 522-
A. Pignedoli
1
N(x, y-, t) " exp (-c ~ t)
(x,
oJl). ,
t)
and choosing, for convenience, v = 1, ~ =1. We have: Ol(X,P.,t)
at
(3)
+~
=_Ll.a}(X,Y.,t)
)
ox
2
+1
r 1(x, y!, t)d JA'
)1
with the supplementary.conditions :
ita"~, t) = 0 , .f-< 0, t > 0 ; { ](-a,p, t)=O. y.>o. t > 0 ;
(4)
] {x,;;:, 0) '"
f{X~Iol),
-a::: x::: a, -1 0 , By theorem 2, every solution of
satisfying (8) ,
A'f = A.'f yields
a function
4
- 52i-
A. Pignedoli
cp & L2
Conversely if solution
'f
satisfies (8). then the corresponding
is
a
A'I' = f... y.
of
We have the following: Theorem 4 A necessary and sufficient
A"I' = AY solution
132 > ...
A consists of a finite but
nonempty
> ftm all lying on the positive A. -axis.
Theorem VI. The eigenvalues
of the operator
we consider the adjoint
Aa of
A are of finite multiplicity. Now A (2)
It is a matter of relatively easy computation to prove that the operator
•
A
adjotnt
to
A is
given
by:
d, - + -c A•• =J U-ax' 2
. dJ'" .
(2)cfr. F. Riesz-B. Sz. Nagy. Functional Analysis, F. Nugar., New York, 1954 M. H. Stone, Linear transformation in Hilbert Space and their applications to Analysis, Amer. Mathern. Society Colloquium pubblication n. 15, New York, 1932 A.E. Taylor, An introduction York, 1958
to functional analYSiS, J. Wiley, New
- 528A. Pignedoli
The domain to both
'f
dA•
C.
H
consists of those functions Y(x,y.) belonging
db and d.J and such that jA-< O.
(a.'r) = 0.,.> 0 ;'l'(-a~) = 0,
Clearly the operator A is not
self-adjoint (this fact
com~cates
consi-
derably the problem). If 'V(x. y.} is
'tl( x,y.)
an
eigenfunction
='1'( -x'f') is
of
A,
an eigenfunction
with
eigenvalue
of A· with
A. ,
then
K.
eigenvalue
The converse is also true. Theorem 1 The residual spectrum 'RItAof
A
is empty.
Theorem 2. The continuous spectrum Let
f'
be the set
of the points of trum) or domain
I1t A d A is
of
A
contains the half-plane
of points in the right half of the
PO' A.
The points of (
dense
in
H
A-plane
are either in
(restr. Spectrum) and hence (" -
A)
One demonstrates
"Re (")
-1
~ 0.
exclusive
Co- A(const.
spec-
exists and its
the following:
Theorem.
A
The resolvent set of contains ( deleted by the point spectrum, Summary theorem, The linear operator
A of
. The resolvent
set
is: Re ( A )>0
A'f=A'f
a) is non self-adjoint; h) decomposes the spectral plane as follows: Point
spectrum: a finite nonempty point set lying on
Residual spectrum: empty ; Continuous spectrum : Re( A. )~ 0; Resolvent set
Re( A) > 0 deleted by the point spectrum
I..
> 0;
- 529-
A. Pignedoli
3. An integral representation of the solution of the transport equation. Considering the integro-differential equation: (1 )
C)JC(x,JI:., t)=
at
-IA.
+1
d)(X,JL, t)
J
S J(x,y.',t)~'
+{
ox
-1
whit the supplementary conditions : }(a'jJ-,t) = 0 ,jA< 0,
t
1(-a,j4' t) = 0 ,jJ-> 0,
t
{
(2)
> 0; >0 ;
1(X, jJ-' 0)= f(x,,.) , -a ~ x ~ a; -1 and having determined how the operator plane , we
are in condition to
A
2..r 2.
1,
decomposes the spectral
return to our original problem, that is
the solution of the aforesaid problem. We write: l(x'jA-,t) = T(t) f(x'JA) .
(3)
Symbolically we have: T(t) = exp (At) ; more properly
T(t) ,
t:>;. 0 is
a semigroup
by A. Such a semigroup exists provided: A
H; I R.( ~
< (I.. -K)
-1
Effectively the operator operators for It follows from
t
~
of operators generated is closed; ciA is dense in
,f... > 'K. for some K > 0 . A
generates
a semigroup T(t) of bounded
0 •
known theorems (3) that the solution
1 is
unique in
H,
(3) E. Hille, Functional Analysis and Semi-groups, ArneI' Math.Soc. colI. publ, VI. 31, New York, 1948
R. F. Phillips, Perturbation Theory for semi-groups of linear operators, trans. of the Amer. Mathem. Soc., Vol. 74,1953.
-
530-
A. Pignedoli
that lim
(4) t
-+
0
II px,y, t) - f(x'Jl) I
=0
,
and that (5 )
fIx, l"
b+iw t) =
lim
2TTi
w..... co
S.b-iw
The integral is to be considered the strong limit of Riemann sums.
< to
0 except at the points
of multiplicity
s, with
linearly independent
'if.J, 1 ''fJ, 2 ' ... , '1"J, s .
Let the adjoint functions
be 1J./ k ( x..r) =0/ k (- x I J, J,
,y)
j= 1,2, ... ,m;
k = 1,2, ... , s .
One demonstrates
that
it
is
e
(6)
JH e J
.(t
s. )J
L
k=1
R,c. f d/.. +
(f,'1/
J,
k)'f· k (x'jol) , 0 J,
. This io true, for example, in the n velocity
>
~
group theory. It is also true when
( *) and
k is
tV" is
bounded
and
a three-dimensional set K
integrable over ;]) >< V X V' .
When T(t) is completely continuous it has
a discrete spectrum
(plus possibly the point zero) where the /.... are the J The spectrum of A may be empty . The spectrum is certain
is the form ,0 e J
eigenvalues of A.
non empty for the sphere problem (7)
The formal series expansion of the solution function
(7) R. Van Norton, New York
N is complicated.
Univ. Report, 1960
J. Lehner, Comm.on pure and app!. mathem
,
1962.
-
534 -
A. Pignedoli
Jroblem of the convergence of this series, in the case that the specis infinite, remains insolved. Asymptotic results holding for large 'e been obtained by J8rgens (8)
5.
Researchs using the method of distributions in
sense of L. Schwartz. Consider the simple time-indep. transport operator:
Y.
a: d
+N
=
~
J +1
N(X'jA')
d.}I-"
c = const
-1
(L =1
for convenience).
ssume : N(x'r) = g(x) h(r) .
ituting in (1) we have readily: N(x,
fA'
x
J = exp (-~ J
jJ. ~ (u.) =c (1 --) y .., I 2
\l
+1
r
)-1
-
CP.., (}4)
cp.., (}Jo')
,
djA'
is a yet arbitrary. Let us require that:
J
+l
-]A
y'" -1
=
-
0 < c < 1,
+1
ciJ"'.
-1
v
2
11
The equation (5) has two roots + ry ; for
,
I)
0
.
-.r
For
= ~ c t gh
-1 1
(:;). v
c
> 1,
I)
0
is pure imagina-
"
> 1. K. M. Case(9) has observed that other solutions o may be obtained assuming that is a distribution in the sense of
