Relativistische Quantenfeldtheorie 002

Relativistische Quantenfeldtheorie

Zweisemestrige Wahlpflichtfachvorlesung1 gehalten Wintersemester 2004/05 Sommersemester 2005

Ulrich Weiß •   •   •   •  •    •   •   •   •   •   •   •  •    •  •  •     •  •    • • •    •  •   •    •  •   • • •  •  •      •   •  •  •   • • •   •  •      •   •  •  • • •  •  •     •  •     •   •  •  •  • •  •   •   •    •   •   •  •   •   •   • • • • •   •   •   •     •  • •   •  •    •  •      •    •     • • •   •   •  •    • •   •  •  •   • •  •  •    •    •   •  •    • • •  •    • •   •  •   •   •   •  • •  •     •   •   •   •   •   •  •    •   •   •   •   •   •   •  •    •   •   •  

II. Institut f¨ ur Theoretische Physik Universit¨at Stuttgart

1

Der Autor dankt Dipl. Phys. Roman Bedau f¨ ur seine Hilfe bei der Anfertigung des Compuscripts

Literatur Relativistische Quantenmechanik • Messiah, Band 2 • W. Greiner, Relativistische Quantenmechanik • Schwabl, QM I • Bjorken/Drell, Relativistische Quantenmechanik Relativistische Quantenfeldtheorie • Schwabl, QM II • Bjorken/Drell, Relativistische Quantenfeldtheorie • Itzykson/Zuber, Mc Graw–Hill, Quantum Field Theory • Becher/B¨ohm/Joos, Teubner, Eichtheorien der starken und elektroschwachen Wechselwirkung ¨ Ubersicht • Relativistische Quantenmechanik: Klein–Gordon- und Dirac–Gleichung • Relativistische Quantenfeldtheorien f¨ ur freie Teilchen: Klein–Gordon-, Dirac- und Maxwell–Gleichungen, Propagatoren • Wechselwirkende Teilchen: Wechselwirkungsbild, S–Matrix, St¨orungstheorie, Feynman–Diagramme und deren Anwendung in der Quantenelektrodynamik (QED) • Grundz¨ uge der Renormierungstheorie • Kovariante Eichtheorien: abelsch (U (1) QED), nicht–abelsch (SU (2), SU (3), . . .) • Quantenchromodynamik (QCD) • Eichtheorie der elektroschwachen Wechselwirkung: spontane Symmetriebrechung, Goldstone–Mode, Goldstone–Modell, dynamische Massenerzeugung im Higgs–Kibble–Modell, Higgs–Feld und Higgs–Teilchen, W ± und Z 0 –Bosonen Klassische Feldtheorie Saitengleichung Klein–Gordon–Gleichung Dirac–Gleichung Maxwell–Gleichung

Teilchen Quantisierung −→ −→ −→ −→

Phonon Meson Lepton Photon

3

Punktmechanik

∞–viele Freiheitsgrade

Quantisierung (kanonisch, Pfadintegralquantisierung)

Quantenmechanik

Quantisierung (kanonisch,...)

2. Quantisierung

Abbildung 0.1: Einordnung

4

klass. Feldtheorie (relativistisch)

Quantenfeldtheorie

Inhaltsverzeichnis

1 Formale Struktur der Quantentheorie 1.1 Mathematische Grundlagen . . . . . 1.1.1 Der unit¨are Vektorraum . . . 1.1.2 Operatoralgebra . . . . . . . . 1.2 Die Prinzipien der Quantenmechanik

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2 Relativistische Quantentheorie 2.1 Wie kommt man zu einer Wellengleichung? . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Die Klein–Gordon–Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Heuristische Vor¨ uberlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Relativistische Energie–Impuls–Beziehung . . . . . . . . . . . 2.2.3 Eigenschaften der Klein–Gordon–Gleichung . . . . . . . . . . 2.2.4 Mesonen im elektromagnetischen Feld . . . . . . . . . . . . . . 2.2.5 Das Klein–Gordon–Feld als Kernpotentialfeld . . . . . . . . . 2.3 Die Dirac–Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Ableitung einer Kontinuit¨atsgleichung . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Nichtrelativistischer Grenzfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Kovarianz der Dirac–Gleichung unter Lorentz–Transformation 2.3.4 Bilineare Kovariante der Dirac–Theorie . . . . . . . . . . . . . 2.4 L¨osung der Dirac–Gleichung f¨ ur freie Teilchen . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Wellenpakete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Quantisierung der freien Felder 3.1 Kanonische Quantisierung . . . . . . . . . . . 3.2 Quantisierung des Klein–Gordon–Feldes . . . 3.2.1 Das komplexe Skalarfeld . . . . . . . . 3.2.2 Der Feynman–Propagator . . . . . . . 3.3 Quantisierung des Dirac–Feldes . . . . . . . . 3.3.1 Kanonischer Formalismus . . . . . . . 3.3.2 Der Feynman–Propagator . . . . . . . 3.4 Quantisierung des Maxwell–Feldes . . . . . . . 3.4.1 Die klassischen Feldgleichungen . . . . 3.4.2 Quantisierung in der Strahlungseichung 3.4.3 Der Feynman–Propagator des Photons

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8 8 8 9 10

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12 12 13 13 16 17 19 20 21 23 24 27 31 33 36

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38 38 41 42 45 46 46 50 51 51 53 55

5

4 Elementarprozesse 4.1 Wechselwirkende Quantenfelder . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Allgemeine Betrachtung . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Das Wechselwirkungsbild . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Die S–Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Das Wicksche Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 St¨orungstheorie in der Quantenelektrodynamik . . . . . . . . 4.4.1 Regeln f¨ ur die Feynman–Diagramme . . . . . . . . . 4.4.2 Elementare Tree–Diagramme . . . . . . . . . . . . . 4.5 Prozesse in 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Compton–Streuung: e − + γ → e− + γ . . . . . 4.5.2 Bremsstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.3 e+ + e− –Vernichtung in zwei γ . . . . . . . . . . . . . 4.5.4 Paarerzeugung im Coulombpotenzial . . . . . . . . . 4.5.5 Møller–Streuung (e− + e− –Streuung) . . . . . . . . . 4.5.6 Bhabha–Streuung (e+ + e− –Streuung) . . . . . . . . 4.5.7 e+ + e− → µ+ + µ− . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.8 e+ + e− → Hadronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Bhabha–Streuung in 4. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1 Konvergente Diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.2 Diagramme mit Strahlungkorrektur des Vertex . . . . 4.6.3 Diagramme mit Selbstenergie–Korrektur des Leptons 4.6.4 Diagramme mit Vakuum–Polarisation des Photons . 5 Grundlagen der Renormierungstheorie 5.1 Ein–Loop–Renormierung . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Vakuum–Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Strahlungskorrektur des Dirac–Propagators . . . 5.1.3 Vertex–Renormierung . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Bedingungen f¨ ur die Renormierbarkeit von Feldtheorien 5.2.1 Divergenzgrad von 1p–irreduziblen Diagrammen

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56 56 56 58 61 62 64 64 67 69 69 69 70 70 71 71 72 72 74 74 76 77 77

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78 78 78 81 83 85 86

6 Abelsche U(1)–Eichtheorien 6.1 Globale Eichinvarianz, Erhaltung der Ladung . . . . . . . . . . . 6.2 Lokale Eichinvarianz und Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . 6.3 Dynamische Massenerzeugung in Eichtheorien . . . . . . . . . . . 6.3.1 Spontane Symmetrie-Brechung im U (1)–Goldstone–Modell 6.3.2 Das Higgs–Kibble–Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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89 89 89 92 92 93

7 Nichtabelsche (Yang–Mills)–Eichtheorien 7.1 Die Symmetriegruppe SU (N ) . . . . . 7.1.1 Globale Eichinvarianz . . . . . . 7.1.2 Lokale Eichinvarianz . . . . . . 7.2 Quantenchromodynamik . . . . . . . .

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96 96 98 98 99

6

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7.2.1 7.2.2

Ph¨anomenologische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Dynamische SU (3)Colour –Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

8 Eichtheorie der elektroschwachen Wechselwirkung 8.1 Die universelle Fermi–Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.1 Elektromagn. und schwache Wechselwirkung der Leptonen 8.1.2 Elektromagn. und schwache Wechselwirkung der Hadronen 8.1.3 Neutraler schwacher Strom . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Das Glashow–Salam–Weinberg–Modell . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Notwendigkeit einer nichtabelschen Eichtheorie . . . . . . 8.2.2 Spontane Symmetriebrechung in der GSW–Theorie . . . .

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108 108 109 113 114 115 115 117

7

1 Formale Struktur der Quantentheorie 1.1 Mathematische Grundlagen 1.1.1 Der unit¨ are Vektorraum UN sei ein komplexwertiger, linearer, N –dimensionaler Vektorraum. • Elemente |ϕi , |χi , |ψi , |0i • Addition |ϕi + |χi = |ψi ∈ UN • Multiplikation mit komplexer Zahl c |ϕi = |ψi ∈ UN und c ∈ • Skalarprodukt hϕ|χi = hχ|ϕi∗ = c Die Norm von ϕ ist durch das Skalarprodukt gegeben (¨ ubliche Wahl kϕk = 1) kϕk =

p

hϕ|ϕi =

p hϕ|ϕi∗ .

(1.1)

Der unit¨are Vektorraum besitzt eine orthonormierte, vollst¨andige Basis, heα |eβ i = δαβ ,


=

X α

Dann gilt der Entwicklungssatz |φi =


|φi =

X α

(1.2)

|eα i heα | .

|eα i heα |φi = | {z } =: cα

(1.3)

X α

cα |eα i .

(1.4)

F¨ ur eine kontinuierliche Basis lautet die Orthonormierungsbedingung he(α)|e(α0 )i = δ(α − α0 ) , und die Vollst¨andigkeitsrelation besitzt die Form Z = dα |e(α)i he(α)| .


8

(1.5)

(1.6)

1.1.2 Operatoralgebra a) Lineare Operatoren: Es seien |ϕi , |χi , |φi Elemente eines unit¨aren Vektorraums UN und c ∈ bige komplexe Zahl. F¨ ur lineare Operatoren Aˆ gilt Aˆ |ϕi = |φi , Aˆ |ϕ + φi = Aˆ |ϕi + Aˆ |φi , Aˆ |cφi = cAˆ |φi .

eine belie-

(1.7)

b) Spezielle Operatoren: Eigenschaften bzw. Definitionsgleichungen einiger spezieller Operatoren • adjungierter Operator Aˆ → Aˆ† im Skalarprodukt gilt ˆ = hAˆ† χ|ϕi hχ|Aϕi

(1.8)

• selbstadjungierter/hermitescher Operator Aˆ† = Aˆ • inverser Operator Aˆ → Aˆ−1 AˆAˆ−1 = ˆ = Aˆ−1 Aˆ

(1.9)

AˆAˆ† = ˆ = Aˆ† Aˆ

(1.10)

ˆ χi = hϕ| U ˆ † Uˆ χi = hϕ|χi hUˆ ϕ|U |{z}

(1.11)




• unit¨arer Operator Aˆ† = Aˆ−1




c) Darstellung von Operatoren: P Mit der Vollst¨andigkeitsrelation der Basis, = α |eα i heα | , lassen die zuvor genannten Operatoren die folgende Darstellung in der Basis {|eα i} zu:


• lineare Operatoren Aˆ = Aˆ =





XX α

β

• spezielle Operatoren – adjungierter Operator – hermitescher Operator – unit¨arer Operator

|eα i heα | Aˆ |eβ i heβ | = | {z } =: Aαβ

X α, β

Aαβ |eα i heβ |

(1.12)

A†αβ = A∗βα A∗βα = Aαβ P ∗ β Aβα Aβγ = δαγ 9

Die Eigenwertgleichung des linearen Operators Aˆ lautet: Aˆ |aλ i = Aλ |aλ i .

(1.13)

Hermitesche Operatoren, Aˆ = Aˆ† , besitzen reelle Eigenwerte, Aλ = A∗λ ,

(1.14)

und orthogonale, normierbare Eigenvektoren, haλ |aλ0 i = δλλ0 .

(1.15)

Im Entartungsfall k¨onnen die Eigenvektoren stets orthogonal gew¨ahlt werden (Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren). In der Eigenbasis lassen sich analytische Funktionen von Operatoren wie folgt darstellen, ˆ |aλ i = F (Aλ ) |aλ i . Fˆ (A) (1.16)

1.2 Die Prinzipien der Quantenmechanik 1. Axiom: Jeder Observablen ist ein eindeutiger linearer hermitescher Operator zugeordnet. Observable ↔ linearer hermitescher Operator , ˆ ˆ† = O ˆ. O ↔ O wobei O

(1.17) (1.18)

Beispiele f¨ ur Observable und ihre Operatoren: E

←→

pi qi

←→ ←→

∂ , ∂t pˆi , qˆi . i~

(1.19)

Hierbei erf¨ ullen die Operatoren pˆk und qˆj die Kommutatorbeziehung [ˆ pk , qˆj ] = −i ~ δkj ˆ .


(1.20)

2. Axiom: Die Eigenfunktion zu einem vollst¨andigem Satz vertauschbarer Operatoren spannen einen unit¨aren Vektorraum auf. Das physikalische System wird durch einen normierbaren Zustandsvektor |ψi vollst¨andig charakterisiert. Im Folgenden w¨ahlen wir die Normierung hψ|ψi = 1. Ein reiner Zustand beschreibt ein Ensemble von physikalischen Systemen, welche alle durch den selben Zustandsvektor |φi charakterisiert sind.

10

3. Axiom: Messwerte, Erwartungswerte ˆ (i) , i ∈ {1, . . . , N }, ein vollst¨andiger Satz kommutiererender Operatoren mit den Sei Ω Eigenwertgleichungen   (j) ˆ (i) ψ (i) = ω (i) ψ (i) , hψn(i)i |ψn0 i = δij δni n0i , (1.21) Ω ni ni ni j

und sei

|ψi = an |ψn i

mit

|ψn i =

N Y (i)  ψ n i

und

n = (n1 , . . . , nN ) .

(1.22)

i=1

Die Quantenmechanik besagt nun folgendes:

a) Der zahlenm¨aßige Wert einer individuellen pr¨azisen Messung einer Observablen Ω(i) (i) ˆ (i) . ist irgendein Eigenwert ωni des zugeh¨origen Operators Ω b) |ai |2 ist die Wahrscheinlichkeit, bei einer pr¨azisen Messung des Observablensatzes (i) {Ω(i) }, i ∈ {1, . . . , N }, die Messwerte ωni , i ∈ {1, . . . , N }, zu messen; d.h. die WahrQN (i) E scheinlichkeit, dass das System sich im Eigenzustand |ψn i = i=1 ψni befindet. c) Mittelwert:

d) Unsch¨arfe:

ˆ (i) i = hψ| Ω ˆ (i) |ψi = P |ai |2 ωn(i)i hΩ ni q ˆ (i)2 |ψi − hψ| Ω ˆ (i) |ψi2 ∆Ω(i) = hψ| Ω

4. Axiom: Dynamik konservativer Systeme Im Schr¨odingerbild entspricht die zeitliche Entwicklung des quantenmechanischen Systems wegen der zeitlichen Erhaltung der Norm einer unit¨are Drehung“ des Zustands” vektors |ψ(t)i. Diese wird durch die Schr¨odingergleichung beschrieben, i~

∂ ˆ p, qˆ) |ψ(t)i . |ψ(t)i = H(ˆ ∂t

(1.23)

Diese Gleichung hat f¨ ur einen zeitunabh¨angigen Hamiltonoperator die formale L¨osung |ψ(t)i = Uˆ (t − t0 ) |ψ(t0 )i

(1.24)

mit dem unit¨aren Zeitentwicklungsoperator i ˆ − t0 )} . Uˆ (t − t0 ) = exp{− H(t ~

(1.25)

¨ Der Ubergang zum Heisenberg- bzw. Wechselwirkungsbild erfolgt ebenfalls durch eine unit¨are Transformation.

11

2 Relativistische Quantentheorie 2.1 Wie kommt man zu einer Wellengleichung? Ausgehend von der nichtrelativistischen Energie–Impuls–Beziehung p~ 2 , 2m sowie von den allgemein g¨ ultigen Teilchen–Welle Beziehungen von de Broglie E=

E = ~ω

und p~ = ~~k ,

(2.1)

(2.2)

folgt unmittelbar die Dispersionsrelation ~~k 2 ω= . 2m

(2.3)

In Energieeinheiten schreibt sich die Dispersionsrelation (2.3) als ~ω = ~2~k 2 /(2m). Partikul¨are L¨osungen einer linearen Wellengleichung haben die Gestalt ~~

ψ~k (~r, t) ≈ e−iωt eik·r . F¨ ur ebene Wellen in der Form (2.4) gelten – wie schen Regeln ∂ ←→ i ∂t ~ −i ∇ ←→

(2.4)

unmittelbar einsichtig ist – die Jordanω, ~k .

(2.5)

Die der Dispersionsrelation (2.3) entsprechende lineare Wellengleichung lautet somit ~2 ∆ ∂ ψ(~r, t) = − ψ(~r, t) . ∂t 2m Im relativistischen Fall hat die Energie–Impuls–Beziehung die Gestalt p E = m2 c4 + p~ 2 c2 , i~

(2.6)

(2.7)

bzw. in quadrierter Form

E 2 = m2 c4 + p~ 2 c2 .

(2.8)

Setzt man in letztere Beziehung die Jordanschen Entsprechungen ein, gewinnt man die sog. Klein–Gordon–Gleichung f¨ ur ein skalares Wellenfeld Φ(~r, t),   mc 2  1 ∂2 Φ(~r, t) = 0 . (2.9) −∆+ c2 ∂t2 ~

12

2.2 Die Klein–Gordon–Gleichung 2.2.1 Heuristische Vor¨ uberlegung Wendet man die Jordanschen Regeln E

←→

i~

∂ ∂t

und

p~

←→

~~ ∇ i

(2.10)

auf die nichtrelativistische Energie–Impuls Beziehung an, E=

p~ 2 2m

⇐⇒

−

~2 ∂ ∆Ψ(~r, t) = i~ Ψ(~r, t) , 2m ∂t

(2.11)

so erh¨alt man die zeitabh¨angige, unter Galilei–Transformationen invariante Schr¨odingergleichung. 1. Einsteinsches Relativit¨ atsprinzip: Das Einsteinschen Relativit¨atsprinzip macht generelle Aussagen u ¨ber die Form allgemeing¨ ultiger Naturgesetze in Inertialsystemen. Inertialsysteme sind Raum–Zeit– Koordinatensysteme, die sich relativ zueinander gleichf¨ormig (d.h. mit konstanter Relativgeschwindigkeit) bewegen und durch eine Lorentz–Boost–Transformation ineinander u uhrt werden k¨onnen. Das Einsteinsche Relativit¨atsprinzip besagt, ¨berf¨ dass es prinzipiell unm¨oglich ist, ein bestimmtes Inertialsystem in irgendeiner Weise vor anderen auszuzeichnen. Daraus folgt, dass die Naturgesetze in allen Inertialsystemen in gleicher Form formulierbar sein m¨ ussen. Das Einsteinsche Relativit¨atsprinzip fordert somit die Forminvarianz der Naturgesetze unter Lorentz– Transformationen. Diese Forminvarianz wird allgemein als Lorentz–Kovarianz der Naturgesetze bezeichnet. 2. Homogene Lorentz–Transformation: Definition des kontra- und kovarianten Vierervektors: kontravarianter Vierervektor xµ  0   x ct 1   x  x  xµ :=   x2  =  y  , x3 z

kovarianter Vierervektor xµ     x0 ct x1  −x    xµ :=  x2  = −y  . x3 −z

(2.12)

3. Minkowski–Raum: Der Minkowski-Raum ist der mathematische Raum des Raum–Zeit–Kontinuums. Er ist ein vierdimensionaler, reeller, metrischer Vektorraum, der den dreidimensionalen Ortsraum als Euklidischen Unterraum enth¨alt. Das Skalarprodukt des Raum–Zeit–Vierervektors xµ besitzt die Form xµ xµ = xµ g µν xν = xµ gµν xν = c2 t2 − ~x 2 = c2 t2 − x2 − y 2 − z 2 .

13

Somit besitzt der metrische Tensor des Minkowski–Raums die Form   1 0 0 0   0 0 −1 0 µν  g = gµν =  0 0 −1 0  .   0

0

0

(2.13)

−1

Der metrische Tensor, in welchem beide Indices oben oder unten stehen, ist zu unterscheiden von dem Einheitstensor, in welchem die Indices abwechselnd oben/unten oder unten/oben stehen,

g µν

ν

= gµ =




1 0 0 0



   0 1 0 0  =   0 0 1 0 .  

(2.14)

0 0 0 1

Anmerkung: Der Minkowski–Metrik wird Gen¨ uge geleistet, indem wir die verallgemeinerte Summenkonvention f¨ ur die Skalarprodukt–Bildung verwenden. In dieser Konvention wird u ¨ber doppelt vorkommende Lorentz–Indices summiert, wobei der eine Index oben bzw. unten und der andere Index unten bzw. oben stehen muss. Das Heraufbzw. Herunterziehen von Lorentz–Indices geschieht mit Hilfe des metrischen Tensors, also z.B., aµν = aµρ g ρν ,

aµν = aµρ gρν ,

aµν = aµρ g ρν ,

aµν = aµρ gρν .

Wir k¨onnen kontra- bzw. kovariante Vierervektoren also auch wie folgt schreiben, xµ = g µν xν = g µν xν . xµ = gµν xν = gµν xν

(2.15)

Die homogene Lorentz–Transformation beschreibt die Transformation der Koordinaten ¨ xµ beim Ubergang vom Inertialsystem S in das Inertialsystem S 0 , S → S0

(2.16)

Die Homogenit¨at von Raum und Zeit bedingt den linearen Ansatz x0µ = aµν xν = aµν xν , x0µ = aµν xν = aµν xν , wobei

14

aµν = aµρ gρν .

(2.17)

Die experimentell h¨ochst genau verifizierte Konstanz der Lichtgeschwindigkeit in allen Inertialsystemen f¨ ur eine gleichf¨ormig bewegte Lichtquelle f¨ uhrt darauf, dass das vierdimensionale Raum–Zeit–Kontinuum eine Minkowski–Metrik besitzt, d.h., dass das Quadrat des differentiellen (und damit auch des beliebigen) Abstands im 4–dimensionalen Raum-Zeit-Kontinuum ds2 = c2 dt2 − d~x 2 = g µν dxµ dxν . | {z }

(2.18)

= dxν

!

unabh¨angig vom betrachteten Inertialsystem ist. Somit gilt ds0 2 = ds2 , und folglich auch f¨ ur beliebige durch den Vierervektor xµ beschriebene Abst¨ande, x0ν x0ν = xµ xµ .

(2.19)

Hieraus folgt, da xµ beliebig ist, die Matrixrelation (ohne bzw. mit Index–Schreibweise), a ˜ga = g , a ˜ gρσ aσν = g µν . µρ

Die homogene 6–parametrige Lorentz–Gruppe besitzt als Untergruppen i. die 3–parametrige Gruppe O(3) der reinen Raumdrehungen. Hierbei wird die Zeit nicht transformiert. Die Parameter der Untergruppe sind die Drehwinkel ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 . ¨ ii. die 3-parametrige Gruppe der sog. Lorentz–Boosts, welche den Ubergang zwischen gleichf¨ormig relativ zueinander bewegten Inertialsystemen beschreiben und bei denen die Zeit ebenfalls transformiert wird. Die Geschwindigkeitsparameter v1 , v2 , v3 charakterisieren Boosts in x1 , x2 , x3 –Richtung. Eine allgemeine homogene Lorentz–Transformation kann als eine Abfolge von Raumdrehungen und Boosts beschrieben werden. F¨ ur den Fall einer reinen Raumdrehung verweise ich an dieser Stelle auf den Ausdruck (2.136). Lorentz–Boost in x-Richtung: t − vx/c2 t0 = q
2 , 1 − vc

x − vt x0 = q
2 , 1 − vc

(2.20)

auch darstellbar als Drehung“ in der (t, x)-Ebene mit imagin¨arem“ Winkel φ = i u, ” ” tanh u = v/c , t0 = t cosh u − Richtungsableitung:

x sinh u , c

x0 = x cosh u − ct sinh u .

∂ =: ∂µ . ∂xµ

(2.21) (2.22)

(2.23)

15

Die Ableitung nach einem kontravarianten Vektor verh¨alt sich wie ein kovarianter Vektor, ∂ ∂ ∂xν ∂ ν ν ∂ = = a ˜ = a , µ µ ∂x0µ ∂x0µ ∂xν ∂xν ∂xν

(2.24)

∂µ0 = aµν ∂ν = aµν ∂ ν ,

somit also

(2.25)

1 ∂2 −∆ c2 ∂t2 1 ∂2 = ∂µ0 ∂ 0µ = 2 02 − ∆0 . c ∂t

∂µ ∂ µ =

(2.26)

2.2.2 Relativistische Energie–Impuls–Beziehung  E/c  px   pµ =   py  pz 

 E/c −px   und pµ =  −py  −pz 

(2.27)

p µ p µ = m 2 c2 ,

=⇒

p0µ = aµν pν , mc2 E = q
2 , 1 − vc

Die Jordanschen Regeln: E

↔

i~

∂ ∂t

und

(2.28) m~v p~ = q
2 . 1 − vc p~

↔

~~ ∇ i

(2.29)

lassen sich zur kovarianten Form wie folgt zusammenfassen, pµ → pˆµ = i~∂ µ

pµ → pˆµ = i~∂µ ,

bzw.

(2.30)

mit den Ableitungen ∂µ =

∂ ∂(ct)

~ −∇

!

∂ = , ∂xµ

∂µ =

∂ ∂(ct)

~ ∇

!

=

∂ . ∂xµ

(2.31)

⇒ Klein–Gordon–Gleichung (1926)   ~ ∂µ ∂ µ + R−2 Φ(~x, t) = 0 mit der Comptonwellenl¨ange R = . mc 16

(2.32)

2.2.3 Eigenschaften der Klein–Gordon–Gleichung Erhaltungssatz in lokaler Form: ∂µ j µ = mit dem Viererstromdichtevektor

∂ρ + div~ = 0 ∂t

(2.33)

  cρ . j = ~ µ

(2.34)

Welche Form nimmt nun j µ f¨ ur die Klein–Gordon–Gleichung ein ? Anfangsbedingungen: ˙ x, t = 0) seien vorgegeben. Φ(~x, t = 0) und Φ(~ (2.35)    mc 2 µ Φ(xν ) = 0 . (2.36) Zu l¨osen: ∂µ ∂ + ~ Das Skalarfeld Φ ist invariant unter Lorentz–Transformationen zwischen Inertialsystemen, also unter Transformationen der Art S → S0 ,

x0µ = aµν xν .

(2.37)

E kontin. Spektrum

Bereich der Schr¨odingergl.

+mc2 0

gebund. Zust. −mc2 kontin. Spektrum

Stabilit¨atsproblem (Energieabgabe bis zur Energie E → −∞ m¨oglich) Abbildung 2.1: Quadrierung der Energie–Impuls–Beziehung

17

Invarianzbedingung: Φ0 (x0ν ) = Φ(xν ) .

(2.38)

Die jedem Raumzeit–Punkt xν durch das Skalarfeld Φ(xν ) zugeordnete komplexe Zahl ist also in jedem Inertialsystem die selbe Zahl. Kontinuit¨ atsgleichung f¨ ur substanzartige Gr¨oßen (Wahrscheinlichkeit, Ladung, Masse,...) Z d d3 ~x ρ(~x, t) = 0 . (2.39) dt Verm¨oge des Gaußschen Satzes f¨ uhrt diese integrale Form auf die lokale differentielle Beziehung ρ˙ + div~ = 0 . (2.40) Mit Einf¨ uhrung des entsprechenden Vierervektors j µ (Nullkomponente j 0 = cρ) ist die linke Seite gerade die Viererdivergenz der Viererstromdichte, ∂µ j µ = 0 . Herleitung aus der Klein–Gordon–Wellengleichung:   mc 2  µ Φ = 0, ∂µ ∂ + ~   mc 2  µ komplex konjugierte Gleichung ∂µ ∂ + Φ∗ = 0 . ~ Multipliziere zun¨achst Gl. (2.42) von links mit Φ∗ ,   mc 2  µ ∗ Φ = 0, Φ ∂µ ∂ + ~ und multipliziere anschließend Gl. (2.43) von links mit Φ,   mc 2  µ Φ ∂µ ∂ + Φ∗ = 0 . ~ Bildet man nun die Differenz

i~ [(2.44) 2m

(2.42) (2.43)

(2.44)

(2.45)

− (2.45)], dann ergibt sich

i~ ∂µ [Φ∗ ∂ µ Φ − Φ∂ µ Φ∗ ] = 0 = ∂µ j µ . 2m Somit folgt f¨ ur die Substanz“–Dichte ρ und die Substanz“–Stromdichte ~ ” ” h i i~ ∗˙ ˙ ∗Φ , ρ = Φ Φ − Φ 2mc2 i ~ h ∗ ~ = Φ grad Φ − (grad Φ∗ ) Φ , 2mi 18

(2.41)

(2.46)

(2.47) (2.48)

zusammengefasst also: jµ =

i~ [Φ∗ ∂ µ Φ − (∂ µ Φ)∗ Φ] . 2m

(2.49)

Wegen der beliebig vorgebbaren Anfangsbedingung (2.35) ist die Substanz“–Dichte ” (2.47) nicht positiv definit. Somit kann die Wahrscheinlichkeitsinterpretation, die in der nichtrelativistischen Quantenmechanik durchg¨angig g¨ ultig ist, f¨ ur die Klein–Gordon– Gleichung nicht u uhrte historisch zu einem 7–j¨ahrigen knock¨bernommen werden. Dies f¨ out dieser Gleichung. Erst im Rahmen der quantenfeldtheoretischen Beschreibung konnte ρ als Ladungsdichte von Teilchen und Antiteilchen reinterpretiert werden. Anmerkungen: • Ein allgemeines Wellenpaket hat Beimischung von Zust¨anden mit negativen Energieeigenwerten • Die Ortsunsch¨arfe des Wellenpakets im Vergleich zur Comptonwellenl¨ange λ = ~/(mc) bestimmt das Ausmaß relativistischer Effekte und der Beimischung negativer Energiezust¨ande im Wellenpaket

2.2.4 Mesonen im elektromagnetischen Feld Zur Ber¨ ucksichtigung der Wechselwirkung eines klassischen relativistischen Teilchens der Ladung q mit dem elektromagnetischen Feld ersetzt man den mechanischen Viererimpuls pµ gem¨aß der sog. Minimalsubstitution, q~ p~ → p~ − A(~ x, t) . (2.50) c Analog geht man auf der quantenmechanischen Ebene vor, indem man den Impulsoperator entsprechend ersetzt, q (2.51) pˆµ → pˆµ − Aµ (~x, t) c q bzw. pˆµ → pˆµ − Aˆµ (~x, t) , (2.52) c je nachdem, ob man das angekoppelte elektromagnetische Feld klassisch oder quantenmechanisch beschreiben m¨ochte. Das elektromagnetische Feld ist invariant unter Eichtransformationen der elektromagnetischen Potentiale (siehe Abschnitt 3.4.1), Aµ (~x, t) → A0µ (~x, t) = Aµ (~x, t) + ∂ µ Λ(~x, t) .

(2.53)

Was versteht man unter einer Eichtransformation? Ausgangspunkt der folgenden ¨ Uberlegung ist, dass das Materiefeld Φ(~x, t), da es komplexwertig ist, keine beobachtbare Gr¨oße beschreibt. Somit sollte die Physik nicht von der speziellen Wahl der Phase abh¨angen, d.h. invariant sein unter der lokalen Phasentransformation des Materiefeldes Φ(~x, t)

−→

Φ0 (~x, t) = Φ(~x, t) e−i(q/~c)Λ(~x,t) .

(2.54)

19

Die Phase sollte f¨ ur jeden Raum–Zeit–Punkt individuell gew¨ahlt werden d¨ urfen. Der raum/zeitabh¨angige Phasenfaktor f¨ uhrt nun aber zu zus¨atzlichen Termen in der Wellengleichung f¨ ur Φ(~x, t), die explizit von den Ableitungen der Phase abh¨angen. Um diese derart erhaltenen Strafterme“ zu kompensieren, koppelt man sog. Eichfelder (d.h. die ” elektromagnetischen Potentiale), welche selbst wiederum der Eichtransformation (2.53) gen¨ ugen, an das urspr¨ unglich betrachtete System an. Mit der Minimalsubstitution (2.51) nimmt die Klein–Gordon–Gleichung die folgende Form an  2 2   2 iq 1 ∂ iq ~ x, t) Φ(~x, t) + mc Φ(~x, t) = 0 , (2.55) ~ − A(~ + ϕ(~ x , t) Φ(~ x , t) − ∇ c2 ∂t ~ ~c ~ wobei

ϕ(~x, t)

Aµ (~x, t) :=

~ x, t) A(~

!

.

(2.56)

Gleichung (2.55) beschreibt ein skalares relativistisches Teilchen in einem von außen angelegten elektromagnetischen Feld. Falls das elektromagnetische Potential dynamisch zustande kommt, gen¨ ugt es in der Lorentz–Eichung, ∂ν Aν (~x, t) = 0, der inhomogenen Wellengleichung, wobei j µ die Stromdichte (2.49) des Materiefeldes darstellt, ∂ν ∂ ν Aµ (~x, t) = j µ (~x, t) .

(2.57)

Die resultierenden gekoppelten Differentialgleichungen f¨ ur Φ und Aµ sind nichtlinear! Die aus der Minimalsubstitution folgende Gleichung (2.55) gew¨ahrleistet die Invarianz aller physikalischen Observablen unter der kombinierten Eichtransformation (2.53) und (2.54). Hierzu sp¨ater mehr.

2.2.5 Das Klein–Gordon–Feld als Kernpotentialfeld Maxwell–Feld:

Elektrostatisches Potentialfeld einer Punktladung Poisson–Gleichung 1 ϕ(~x) = −4πq (2π)3

Statisches Mesonenfeld:

Z

∆ϕ(~x) = −4πq δ 3 (~x)

(2.58)

~

q eik·~x = . dk 2 |~x| −~k 3~

(2.59)

Kernpotential einer hadronischen Punktladung  1 (2.60) ∆ − 2 Φ(~x) = −4πg δ 3 (~x) R Z i~k·~ x 1 g −|~x|/R 3~ e Φ(~x) = 4πg d k = e . (2.61) ~k 2 + 12 (2π)3 |~x| R 

Dies ist das Yukawa–Potentialfeld. Es besitzt eine charakteristische Reichweite R = Das Kernpotential hat eine Reichweite von R ≈ 10−13 cm, d.h. R ≈ 1f (Fermi). Entsprechende Masse m ≈ 150 MeV/c2 (Pionen).

20

~ . mc

2.3 Die Dirac–Gleichung Da die Klein–Gordon–Gleichung sich als physikalisch unbefriedigend herausstellte, konstruierte Dirac im Jahr 1928 eine Wellengleichung von 1. Ordnung in der Zeit, um eine positive Wahrscheinlichkeitsdichte zu erhalten. Aus der Forderung der Lorentz–Kovarianz folgt, dass auch die Ortsableitungen nur in erster Ordnung vorkommen d¨ urfen. Somit liegt der folgende Ansatz nahe:  0  γ pˆ0 − γ 1 pˆ1 − γ 2 pˆ2 − γ 3 pˆ3 − mc ψ(~x, t) = 0 , (2.62) bzw. in Kompaktform [γ µ pˆµ − mc] ψ(~x, t) = 0 . Bei γ µ kann es sich nicht um einen reinen Vektor (sog. Urvektor“) handeln, da sonst ” die Invarianz des leeren Raumes unter Raumdrehungen gebrochen w¨are. Deshalb muß γ µ zus¨atzlich Matrix–Charakter besitzen. In der Ortsdarstellung bekommt dann Gleichung (2.62) die Gestalt [i~ˆ γ µ ∂µ − mc ] ψ(~x, t) = 0 ,


wobei



 ψ1 (~x, t)   .. ψ(~x, t) =   .

(2.63)

(2.64)

ψN (~x, t)

Die Notation ψ soll erkennbar machen, dass es sich hierbei um einen Spinor und keinen µ Vektor handelt. Die Matrizen γˆ µ mit Elementen γˆαβ verkn¨ upfen nun in der Bewegungsgleichung (2.63) die Komponenten des Spinors miteinander. In Komponentenform lautet Gl. (2.63) wie folgt: N X  µ  i~ˆ γαβ ∂µ − mc δαβ ψβ (~x, t) = 0 . (2.65) β=1

Durch Einf¨ uhrung des Feynman–Dagger–Symbols

γ0 ∂ ~ + ~γ · ∇ c ∂t p/ˆ := γ µ pˆµ = γ 0 pˆ0 − γˆ i pˆi ,

∂/ := γ µ ∂µ =

l¨asst sich die Dirac–Gleichung recht kompakt darstellen, [ p/ˆ − mc ] ψ(~x, t) = 0 .


(2.66)

Diese Gleichung muss nun noch mit den folgenden Eigenschaften ausgestattet werden: 1. Gleiche Dispersionsrelation wie diejenige der Klein–Gordon–Gleichung 2. Positiv definite Wahrscheinlichkeitsdichte 3. Lorentz–Kovarianz

21

zu 1): Multiplikation von (2.66) von links mit [/pˆ + mc ] ergibt


[/pˆ + mc ] [/pˆ − mc ] ψ(~r, t) = 0 . | {z }

(2.67)

p/ˆ p/ˆ = pˆµ pˆµ .

(2.68)







=p /ˆp /ˆ − (mc)2



Die Dispersionsrelation w¨are also erf¨ ullt, falls sich schreiben ließe


Dies wiederum f¨ uhrt auf γ µ pˆµ γ ν pˆν =

1 µ ν (γ γ + γ ν γ µ ) pˆµ pˆν = pˆµ pˆµ . {z } 2|

(2.69)




!

= 2g µν



Die Algebra der Matrizen γ µ (Dirac–Algebra) ist also festgelegt durch die Beziehungen γ µ γ ν + γ ν γ µ = 2g µν


.

(2.70)

Im einzelnen folgt hieraus γ0γi + γiγ0 = 0 ,

f¨ ur

γiγj + γj γi = 0 ,

f¨ ur

i ∈ {1, 2, 3} ,

i, j ∈ {1, 2, 3} ,

(2.71) und i 6= j ,

(2.72)

sowie γ0γ0 =

,


γiγi = − ,


(2.73) f¨ ur

i ∈ {1, 2, 3} .

(2.74)

Die Gleichungen (2.71) und (2.72) besagen, dass alle 4 γ–Matrizen miteinander antikommutieren. Durch Multiplikation der Gleichung (2.66) von links mit cγ 0 erhalten wir die Hamiltonsche Form ∂ ! ˆ ⇒ i ~ ψ = Hψ (2.75) cγ 0 [ i ~γ µ ∂µ − mc ] ψ = 0 ∂t mit h i 0 2 ˆ ~ ~ H = γ mc − i~c γ · ∇ (2.76)





!

†

ˆ =H ˆ † f¨ Die Forderung H uhrt auf die Hermitizit¨at der γ 0 –Matrix: γ 0 = γ 0 . Dagegen sind die γ i –Matrizen (i ∈ {1, 2, 3}) antihermitesch, da gilt ) ! † † † † γ 0 γ i = (γ 0 γ i ) = γ i γ 0 = γ i γ 0 † ⇒ γ i = −γ i . (2.77) i 0 0 i (2.71) γ γ = −γ γ Mit diesen abgeleiteten Eigenschaften lassen sich die Komponenten des Hamiltonoperators nun folgendermaßen darstellen

∂ 0 0 i ˆ αβ = mc2 γαβ H − i~c γαδ γδβ i . ∂x µ Welche kleinste Dimension haben nun die Matrizen γ ?

22

(2.78)

 −Tr {γ 1 γ 0 γ 1 } a) Tr {γ } = Tr { γ } = −Tr {γ γ γ } = =0. Tr {γ 1 γ 0 γ 1 } Hierbei wurden zum einen die Antikommutationseigenschaft der γ–Matrizen, und zum anderen die zyklische Vertauschung unter der Spurbildung benutzt. 0

b) (γ 0 )2 =

0




1 1 0

die Eigenwerte von γ 0 betragen ±1.

⇒






Aus den Eigenschaften a) und b) folgt, dass der Rang N von γ 0 geradzahlig ist. ⇒ die Eigenwerte von γ i betragen ±i, Tr {γ i } = 0 . c) (γ i )2 = − [dies folgt aus zu a) analoger Argumentation]


Hieraus folgt, dass der Rang der Matrizen γ i (i = 1, 2, 3) ebenfalls geradzahlig ist. Annahme: N = 2 ⇒ es existieren 3 antikommutierende 2 × 2 Matrizen, n¨amlich die Pauli–Spinmatrizen. F¨ ur diese gilt: σ i σ j + σ j σ i = 0 f¨ ur i 6= j , 1 1 2 2 3 3 σ σ =σ σ =σ σ = .


(2.79) (2.80)

Man w¨ahlt die Basis u uglich dieser Basis Diagonalgestalt ¨blicherweise derart, dass σ 3 bez¨ aufweist. Die Pauli–Matrizen besitzen dann die Darstellung:       0 1 0 −i 1 0 1 2 3 σ = , σ = , σ = . (2.81) 1 0 i 0 0 −1 N =4 ⇒ in diesem Fall existieren 4 antikommutierende 4 × 4 Matrizen. Man w¨ahlt normalerweise die Basis, in welcher die Matrix γ 0 Diagonalform besitzt. Dann ist     2×2 02×2 σ i 02×2 .  und γ i =  (2.82) γ0 =  i 2×2 2×2 2×2 −σ 0 0 −





Wir wollen nun einige Folgerungen aus der Dirac–Gleichung ableiten.

2.3.1 Ableitung einer Kontinuit¨ atsgleichung In Analogie zum Abschnitt 2.2.3 leiten wir nun aus der Dirac–Gleichung eine Kontinuit¨atsgleichung ab, aus welcher sich die Viererstromdichte des Dirac–Feldes   ψ1 (~x, t)     ψ(~x, t) =  ...  , (2.83) ψ † (~x, t) = ψ1∗ (~x, t), . . . , ψ4∗ (~x, t) . ψ4 (~x, t)

bestimmen l¨aßt. Ausgehend von Gl. (2.75) mit (2.76) und von der entsprechenden adjungierten Gleichung erhalten wir die Beziehungen   ∂ † ˆ = 0, (2.84) ψ i~ ψ − Hψ ∂t   ∂ †  ˆ † ψ = 0. −i~ ψ − Hψ (2.85) ∂t 23

Bilden wir nun die Differenz (2.84) − (2.85), dann erhalten wir i~ →



∂ ~ ψ † γ 0~γ ψ = 0 . ψ † ψ + i~c∇ ∂t

ρ˙ + div~ = 0 mit ρ = ψ † ψ = ψ † γ 0 γ 0 ψ . z }| { = γ0γ0


(2.86) (2.87)

Somit ergeben sich f¨ ur ρ(~x, t) und ~(~x, t) die Ausdr¨ ucke †

ρ=ψ ψ=

4 X α=1

ψα∗ ψα ≥ 0 ,

(positiv definit!)

(2.88)

und ~ = cψ † γ 0~γ ψ .

(2.89)

ucke Mit der Definition des Dirac–adjungierten Spinors ψ := ψ † γ 0 lassen sich diese Ausdr¨ auf die Form 0 ρ = ψγ 0 ψ = ψ α γαβ ψβ ,

(2.90)

i j i = c ψγ i ψ = c ψ α γαβ ψβ ,

i ∈ {1, 2, 3} ,

bringen. Die kovariante Form schreibt sich also   cρ µ j = = c ψγ µ ψ , ~

(2.91)

(2.92)

womit wir die Kontinuit¨atsgleichung in kompakter Weise darstellen k¨onnen, ∂µ j µ = 0 .

(2.93)

Wie von Dirac angestrebt wurde, impliziert die Dirac–Gleichung (2.75) also eine positive Wahrscheinlichkeitsdichte ρ(~x, t). Sp¨ater wird noch gezeigt, dass sich das so definierte j µ tats¨achlich unter Lorentz–Transformationen wie ein Vierervektor transformiert.

2.3.2 Nichtrelativistischer Grenzfall F¨ ur die folgende Betrachtung verwenden wir f¨ ur die γ–Matrizen die explizite Darstellung 0 (2.82), in welcher die Matrix γ Diagonalform besitzt. 1. Ruhendes Teilchen Wir betrachten zun¨achst ein ruhendes Teilchen mit Wellenfunktion von der Form µ

ψ(~x, t) ≈ e−ikµ x .

24

(2.94)

Da das Teilchen ruht, gilt: p~ = ~0 bzw. ~k = ~0

⇒

ψ(~x, t) = ψ(t) .

(2.95)

Die Dirac–Gleichung reduziert sich also auf die Form ∂ ψ(t) = mc2 γ 0 ψ(t) , ∂t   1 0 0 0 0 1 0 0   0 γ =  . 0 0 −1 0  0 0 0 −1 i~

Hieraus ergeben sich die folgenden 4 linear unabh¨angige L¨osungen     1 0 mc2 0 mc2 1   ψI ≈ e−i ~ t  ψII ≈ e−i ~ t  0  , 0  , 0 0     0 0 2 2     mc 0 i mc t 0  ~ , ψ ≈ e ψIII ≈ e i ~ t  IV 1  0  . 0 1

(2.96)

(2.97)

(2.98)

(2.99)

ψI , ψII sind L¨osungen zu positiver Energie E = +mc2 . ψIII , ψIV sind L¨osungen zu negativer Energie E = −mc2 .

2. Dirac–Teilchen im elektromagnetischen Feld Im Folgenden verwenden wir die Ladung e als Maß f¨ ur die St¨arke der Ankopplung an das elektromagnetische Feld. F¨ ur Elektronen ist die Ladung negativ, e = −|e|. ! ϕ(~x, t) (2.100) Aµ (~x, t) = ~ x, t) A(~ Minimalsubstitution:

Daraus folgt:

pˆµ

→

pˆµ γ µ

→

pˆµ −  pˆµ −

e µ A (~x, t) , c  e e /. Aµ γ µ = p/ˆ − A c c

h i e / − mc ψ(~x, t) = 0 . p/ˆ − A c


(2.101) (2.102)

(2.103)

25

3. Zerlegung in Gleichungen fu ¨r Zweierspinoren ψ=

˜ Φ χ ˜

!

˜= mit Φ



ψ1 ψ2



und χ ˜=



ψ3 ψ4



(2.104)

Ist nun die Darstellung der γ–Matrizen wie in Gl. (2.82) gew¨ahlt, also so dass γ 0 Diago˜ und χ nalform besitzt, dann ergibt sich f¨ ur Φ ˜ das gekoppelte Gleichungssystem  ∂ ˜ Φ = c~σ · p~ˆ − ∂t  ∂ ˜ = c~σ · p~ˆ − i~ χ ∂t


e ~ ˜, A χ ˜ + e ϕ + mc2 Φ c
e ~ ˜ A Φ + e ϕ − mc2 χ ˜. c

i~

(2.105) (2.106)

Hierbei sind die Komponenten des Pauli–Vektors ~σ die Pauli–Matrizen σ 1 , σ 2 und σ 3 . Wir verschieben nun die Energieskala um die Ruhenergie mc2 indem wir den entsprechenden Phasenfaktor abspalten, ! ! ˜ Φ Φ mc2 = e−i ~ t . (2.107) χ χ ˜ " ! ! !# 2 ˜ Φ Φ mc2 mc ∂ ∂ Φ = e−i ~ t −i + . (2.108) ⇒ ∂t χ ~ ∂t χ χ ˜ Das gekoppelte Gleichungssystem f¨ ur die Zweierspinoren lautet nun  ∂ Φ = c~σ · p~ˆ − ∂t  ∂ i~ χ = c~σ · p~ˆ − ∂t

i~

e ~ A χ +eϕΦ , c
e ~ A Φ + e ϕ − 2mc2 χ . c

(2.109) (2.110)

Bis hierher haben wir noch keine N¨aherungen eingef¨ uhrt. Die nichtrelativistische N¨aherung beruht nun auf den energetischen Absch¨atzungen ! ! Φ Φ ∂  mc2 , (2.111) i~ ∂t χ χ Φ |e| ϕ χ

!

 mc

2

Φ χ

!

Hiermit folgt nun n¨aherungsweise aus Gl. (2.110)   e ~ ˆ ~σ · p~ − c A χ = Φ. 2mc | {z } v O c 26

.

(2.112)

(2.113)

Somit repr¨asentieren die Zweierspinoren Φ die großen und χ die kleinen Komponenten des Viererspinors ψ. Gl. (2.113) in (2.109) eingesetzt ergibt

i~

∂ Φ = ∂t

h  ~σ · p~ˆ −

2m

e ~ A c

i2

Φ + eϕΦ .

(2.114)

Als n¨achstes verwenden wir eine n¨ utzliche Identit¨at der Pauli–Matrizen. Seien ~a und ~b zwei beliebige Vektoren mit Komponenten ai und bi . Dann gilt
1 i j i j j i j i + σ σ − σ σ σ σ + σ σ {z } | {z } a i bj 2 | k = 2iεijk σ = 2δij
k = δij + iεijk σ ai bj ,

σ i a i σ j bj =

     ~σ · ~a ~σ · ~b = ~a · ~b + i~σ · ~a × ~b

⇒ Hiermit ergibt sich ⇒

h  e ~ i2  ˆ ~σ · p~ˆ − A = p~ − c  = p~ˆ −

" #     e ~ 2 e e ~ × p~ˆ − A ~ p~ˆ − A A + i~σ · c c c e ~ 2 e~ ~ ~ A − σ·B , c c

(2.115)

(2.116)

(2.117)




~ = rotA ~ verwendet wurde. Somit erh¨alt (2.114) die Form wobei B

  2 e ~ ˆ ∂ 2~ ~ ~  p~ − c A(~x, t)  σ · B(~x, t) + e ϕ(~x, t) Φ(~x, t) . i~ Φ(~x, t) =  − ∂t 2m 2mc

(2.118)

Dies ist die wohlbekannte Pauli–Gleichung. Sie beschreibt ein nichtrelativistisches Teilchen mit Spin 21 und magnetischem Moment µ = µB in einem elektromagnetischen Feld, wobei µB = |e|~/(2mc) das Bohrsche Magneton ist.

2.3.3 Kovarianz der Dirac–Gleichung unter Lorentz–Transformation x0µ = aµν xν µ

x =

µ (a−1 ) ν

Hintransformation x

0ν

R¨ ucktransformation

S → S0 0

S → S

(2.119) (2.120)

In S bzw. in S 0 soll nun die Dirac–Gleichung dieselbe Form besitzen, d.h. es soll gelten [i~γ µ ∂µ − mc ] ψ(~x, t) = 0 ,  0µ 0  i~γ ∂µ − mc ψ 0 (~x0 , t) = 0 .





(2.121) (2.122)

27

Die Algebra der γ–Matrizen muss in beiden Koordinatensystemen gleich sein, d. h. γ 0µ γ 0ν + γ 0ν γ 0µ = γ µ γ ν + γ ν γ µ = 2g µν .

(2.123)

Die Matrizen γ 0µ und γ µ sind also unit¨ar a¨quivalent und k¨onnen somit gleich gesetzt werden, γ 0µ = γ µ . Ansatz:

Die Lorentz–Transformation mische die Spinorkomponenten linear ψ 0 (~x0 ) = S(a) ψ(~x) ,

(2.124)

ψα0 (~x0 ) = Sαβ (a)ψβ (~x) .

(2.125)

Gruppeneigenschaft sukzessiver Lorentz–Transformationen: a

a

1 2 S −→ S 0 −→ S 00 ,

(2.126) !

ψ 00 (~x00 ) = S(a2 )ψ 0 (~x0 ) = S(a2 )S(a1 )ψ(~x) = S(a2 a1 )ψ(~x) .

(2.127)

S(a2 a1 ) = S(a2 )S(a1 ) .

(2.128)

ψ(~x) = S −1 (a)ψ 0 (~x0 ) = S(a−1 )ψ 0 (~x0 ) ,

(2.129)

S −1 (a) = S(a−1 ) ,

(2.130)

Damit folgt: Betrachte nun:

d.h. die inverse Transformation existiert. Multipliziert man nun (2.121) von links mit S(a) und f¨ ugt zwischen Operator und Wellenfunktion den Ausdruck = S −1 (a)S(a) ein, dann erh¨alt man   i~S(a)γ µ S −1 (a)∂µ − mc S(a)ψ(~x) = 0 , (2.131) | {z }





ψ 0 (~ x0 )

mit

∂µ = ∂µ0

∂x0ν = ∂ν0 aν µ , ∂xµ

x0ν = aν µ xµ .

(2.132)

Somit ergibt sich S(a)γ µ S −1 (a)∂µ = S(a)aν µ γ µ S −1 (a) ∂ν0 . {z } |

(2.133)

S(a)aν µ γ µ S −1 (a) = γ ν ,

(2.134)

!

= γν

Falls

dann geht (2.131) in (2.122) u ¨ber. Durch einfache Umformung von (2.134) ergibt sich S −1 (a)γ ν S(a) = aν µ γ µ .

(2.135)

Die Forderung der Kovarianz unter homogenen Lorentz–Transformationen f¨ uhrt also auf die Bestimmungsgleichung (2.135) f¨ ur die Transformationsmatrix S(a).

28

Zwei Beispiele: 1. R¨ aumliche Drehung um die z–Achse mit Winkel ϕ:   1 0 0 0 0 cos ϕ sin ϕ 0  x0ν = aν µ xµ mit aν µ =  0 − sin ϕ cos ϕ 0 . 0 0 0 1

(2.136)

Es wird nun behauptet, die entsprechende Transformationsmatrix SR habe die Form 1

SR = e− 2 ϕγ

1γ2

=

∞ X 1 (−1)n n 1 2
n ϕ γ γ . n n! 2 n=0

(2.137)

Zum Beweis verwendet man die algebraischen Eigenschaften von γ µ . Man erh¨alt γ1γ2γ1γ2 = − γ1γ1 γ2γ2 = − , |{z} |{z}


=−

und desweiteren

γ1γ2 γ1γ


3


2 4

=−



= −γ 1 γ 2 , =




(2.138)



.

Der Ausdruck (2.137) erh¨alt somit nach Aufsummation die Gestalt ϕ ϕ − sin SR = cos γ1γ2 . 2 2


(2.139) (2.140)

(2.141)

Verifizierung der bestimmenden Gleichung (2.135) f¨ ur ν = 1: h  ϕ  ϕ i h ϕ ϕ i SR−1 (a)γ 1 SR (a) = cos − − sin − γ 1 γ 2 γ 1 cos − sin γ1γ2 2 2 2 2 h ϕ ϕ i h ϕ ϕ i 1 2 1 1 2 = cos + sin γ γ γ cos − sin γ γ 2 2 2 2 h    i ϕ ϕ 2 ϕ 2 ϕ 1 = cos − sin γ + 2 sin cos γ2 2 2 2 2 = cos (ϕ) γ 1 + sin (ϕ) γ 2 = a1 µ γ µ .

Mit der Definition



(2.142)

γ 1 γ 2 = −i Σ3 .

(2.143)

i

Σ =



σi 0 0 σi

l¨asst sich γ 1 γ 2 schreiben als (vgl. Gl. (2.82))

29

Somit erhalten wir (siehe (2.124) und (2.137)) i

3

ψ 0 (~x0 ) = e 2 ϕΣ ψ(~x) ,

(2.144)

und bei Drehung um beliebige Achse ϕ ~ i

~ ~

ψ 0 (~x0 ) = e 2 ϕ·Σ ψ(~x) .

(2.145)

Der resultierende Ausdruck ist als v¨ollig analog zur Drehung von Pauli–Spinoren Φ, i

Φ0 (~x0 ) = e 2 ϕ~ ·~σ Φ(~x) .

(2.146)

F¨ ur ϕ = 2π ergibt Gleichung (2.141) SR = − und f¨ uhrt somit auf


ψ 0 (x0 ) = −ψ(x) .

(2.147)

Bei einer Drehung um den Winkel 2π geht also ein Spinor in sein Negatives u ¨ber. Erst bei einer Drehung um den Winkel 4π geht ein Spinor in sich selbst u ¨ber. 2. Lorentz–Boost in x1 –Richtung: Wir w¨ahlen zur besseren Unterscheidung zu den Spinoren v und u als Boost-Parameter die Geschwindigkeit w bzw. den imagin¨aren“ Winkel z, ” w tanh z = β = , c 1 , (2.148) cosh z = γ = p 1 − β2 sinh z = γβ . Damit folgt: aµν



cosh z

 − sinh z =  0  0

− sinh z 0 0 cosh z 0 0



 0 0  . 1 0 

(2.149)

0 1

In formaler Analogie zum Ausdruck (2.141) lautet die Boost–Transformationsmatrix z z z 0 1 − sinh γ0γ1 , (2.150) SL (a) = e− 2 γ γ = cosh 2 2


was, vorstehender Vorgehensweise folgend, leicht zu verifizieren ist. Es gelten die allgemeinen Eigenschaften

30

Drehung

SR† = SR−1

SR unit¨ar

(2.151)

Lorentz–Boost

SL† = SL 6= SL−1

SL hermitesch

(2.152)

Gemeinsam gilt jedoch S −1 = γ 0 S † γ 0

f¨ ur SL und SR .

(2.153)

Betrachte nun den Dirac–adjungierten Spinor ψ := ψ † γ 0 . Dieser besitzt das Transformationsverhalten 0

0

ψ → ψ = ψ † γ 0 = ψ † S † (a)γ 0 .

(2.154)

ψ † S † (a)γ 0 = ψ † γ 0 S −1 (a)γ 0 γ 0 = ψS −1 (a) .

(2.155)

Mit Gl. (2.153) folgt

⇒

0

ψ ψ 0 = ψS −1 (a)S(a)ψ = ψψ

(2.156)

Somit ist ψψ ein Lorentzskalar. Bereits bekannt sind die Relationen j µ = ψγ µ ψ

und ∂µ j µ = 0 .

(2.157)

Die folgende kurze Rechnung 0

j 0µ = ψ (x0 )γ µ ψ 0 (x0 ) = ψ(x) S −1 (a)γ µ S(a) ψ(x) | {z }

(2.158)

aµν γ ν

= aµν ψ(x)γ ν ψ(x)

(2.159)

zeigt, dass sich j µ tats¨achlich wie ein Vierervektor transformiert.

2.3.4 Bilineare Kovariante der Dirac–Theorie Mit den Matrizen γ µ lassen sich 16 linear unabh¨angige Bilinearformen der Gestalt ψΓi ψ ,

i = 1, . . . , 16

(2.160)

aufbauen. Die Matrizen Γi beschreiben die sog. Clifford–Algebra der Matrizen γ µ vollst¨andig, d.h. jede beliebige 4 × 4 Matrix kann nach diesen Matrizen entwickelt werden. Im einzelnen sind dies {Γ1 }

{Γ2 , . . . , Γ5 }

→

→

{Γ6 , . . . , Γ11 }

→

{Γ12 }

→

{Γ13 , . . . , Γ16 }

→

ΓS = ,

1 Matrix

ΓµV =γ µ ,

4 Matrizen




µν Γµν = i 12 [γ µ γ ν − γ ν γ µ ] , T =σ
ΓP =iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3 =: γ 5 = 0 0 ,

6 Matrizen

(2.161)





ΓµA =γ 5 γ µ ,

1 Matrix 4 Matrizen

31

Entsprechend dem Transformationsverhalten der Bilinearformen (2.160) k¨onnen die 16 Matrizen Γ1 , . . . , Γ16 wie folgt eingeordnet werden: Skalar Pseudoskalar polarer Vektor axialer Vektor (Pseudovektor) schiefsymmetrischer Tensor




γ5 γµ γ˜ µ = γ 5 γ µ σ µν = −σ νµ

(2.162)

Hiermit lassen sich nun entsprechend ihrem Verhalten unter eigentlichen bzw. unter uneigentlichen Lorentz–Transformationen, x0µ = aµν xν , die folgenden Bilinearformen (“Erwartungswerte“ im Spinorraum) bilden: 1. Skalare Dichte: ρ(x) = ψ(x) ψ(x) = ψ † γ0 ψ


!

ρ0 (x0 ) = ρ(x)

(2.163)

0

ψ (x0 )ψ 0 (x0 ) = ψ(x) S −1 (a)S(a) ψ(x) = ψ(x)ψ(x) {z } | =



2. Pseudoskalare Dichte:

ρ˜P (x) = ψ(x)γ 5 ψ(x) 0

ρ˜0P (x0 ) = ψ (x0 )γ 5 ψ 0 (x0 ) = ψ(x) S −1 (a)γ 5 S(a) ψ(x) = det(a) ψ(x)γ 5 ψ(x) {z } |

(2.164)

=det(a)γ 5

= det(a) ρ˜P (x)

3. Stromdichte: j µ (x) = ψ(x)γ µ ψ(x) 0

j 0µ (x0 ) = ψ (x0 )γ µ ψ 0 (x0 ) = ψ(x)S −1 (a)γ µ S(a)ψ(x) = aµν ψ(x)γ ν ψ(x)

(2.165)

= aµν j ν (x) 4. Axialstromdichte:

jAµ (x) = ψ(x)γ 5 γ µ ψ(x) 0

jA0µ (x0 ) = ψ (x0 )γ 5 γ µ ψ 0 (x0 ) = ψ(x)S −1 (a)γ 5 γ µ S(a)ψ(x)

(2.166)

= det(a) aµν ψ(x)γ 5 γ ν ψ(x) = det(a) aµν jAν (x) 5. Antisymmetrische Tensordichte: 0

ψ (x0 ) σ µν ψ 0 (x0 ) = aµρ aν κ ψ(x) σ ρκ ψ(x)

32

(2.167)

2.4 L¨ osung der Dirac–Gleichung f¨ ur freie Teilchen Wir zerlegen die Dirac–Spinorwellenfunktion in ihre Anteile zu positiver und negativer Energie, ψ(x) = ψ (+) (x) + ψ (−) (x) . (2.168) Viererimpulseigenzust¨ande haben dann die Form µ ψ (+) (x) = u(~k, s) e−ik xµ

µ ψ (−) (x) = v(~k, s) eik xµ

und

(2.169)

mit (beachte: ~k 0 = ~ω~k ist die on–shell Energie) k xµ = ω~k t − ~k · ~x , µ

ω~k = c

Hierbei ist

r

mc 2 ~ 2 +k . ~

(2.170)

u(~k, s)

der Dirac–Spinor zum Zustand positiver Energie,

(2.171)

v(~k, s)

der Dirac–Spinor zum Zustand negativer Energie.

(2.172)

und

Der Parameter s kennzeichnet den Spin und kann in den u ¨blichen Notationen die Werte“ ” (1, 2) bzw. (↑, ↓) bzw. (+, −) annehmen. Setzt man den L¨osungsansatz (2.168) in die Dirac Gleichung f¨ ur das freie Teilchen ein, erh¨alt man  mc  ~ γ µ kµ − f¨ ur ψ (+) : u(k, s) = 0 , (2.173) ~


und f¨ ur ψ

(−)



:

mc  ~ v(k, s) = 0 , γ kµ + ~ µ




(2.174)

woraus sich die Spinoren u(~k, s) und v(~k, s) bestimmen lassen.

Es ist vorteilhaft, die Spinoren zun¨achst im Ruhsystem des Teilchens zu bestimmen, da hier der Vierervektor k µ die einfache Form ! mc/~ (2.175) kµ = ~0 besitzt, und somit gilt γ0 −





u(~0, s) = 0 ,

γ0 +





v(~0, s) = 0 .

(2.176)

33

Es gilt [γ 0 , Σi ] = 0. Somit gibt es eine gemeinsame Eigenbasis f¨ ur γ 0 und Σ3 (beachte jedoch [Σi , Σj ] 6= 0), wobei ! 1 0 0 0  3 σ 0 0 −1 0 0 Σ3 = iγ 1 γ 2 = = 0 0 1 0  . (2.177) 3 0 σ 0 0 0 −1

Die Eigenwertgleichungen f¨ ur die Spinoren haben nun die einfache Form Σ3 v(0, ∓) = ±u(0, ∓) .

Σ3 u(0, ±) = ±u(0, ±) , Daraus folgt   1 0   u(0, +) =  0  , 0

  0 1  u(0, −) =  0 , 0

  0 0   v(0, −) =  1  , 0

(2.178)

  0 0   v(0, +) =  0 . (2.179) 1

Die Spinoren {u(0, +), u(0, −), v(0, −), v(0, +)} bilden eine vollst¨andige Orthonormalbasis im Spinorraum.

Wir “katapultieren“ nun diese L¨osungen mittels eines Lorentz–Boosts in ein Inertialsystem, in welchem das Teilchen die Geschwindigkeit w ~ = c~k/k 0 , u(~k, ±) = SL (−w) ~ u(0, ±) , v(~k, ±) = SL (−w) ~ v(0, ±) .

(2.180) (2.181)

In Verallgemeinerung von Gl. (2.150) gilt z  h  z i 0 ˆ SL (−w) ~ = cosh + γ ~γ · w ~ tanh 2 2 mit w ~ˆ = w/ ~ |w|. ~ Ferner folgt aus (2.148) r z mw ~ mc2 + E q cosh , = , p ~ = 2 2mc2 w ~2 1−


tanh

z 2

(2.182)

(2.183)

c2

=

mc2 E=q . 2 1 − w~c2

|~ p|c , 2 mc + E

(2.184)

Unter Verwendung der Ausdr¨ ucke p± = px ± ipy erh¨alt die Boost–Matrix SL die Form   p− c pz c 1 0 2 2 mc +E mc +E   r p+ c  pz c  0 1 − mc2 +E  mc2 + E  mc2 +E  .  (2.185) SL =  p− c c 2mc2  1 0   mcp2z+E 2 +E mc   p+ c pz c − mc2 +E 0 1 mc2 +E ↑

↑

↑

↑

u(~k, +) u(~k, −) v(~k, −) v(~k, +)

34

Die Spalten der Boost-Matrix SL geben also unmittelbar die gesuchten Spinoren, n¨amlich     1 0  0   1      u(~k, +) =  pz c  , u(~k, −) =  p− c  , (2.186)  mc2 +E   mc2 +E  p+ c c − mcp2z+E mc2 +E v(~k, −) =

pz c  mc2 +E  p+ c   mc2 +E   

 

1 0



v(~k, +) =

,

 p− c mc2 +E  c  − mcp2z+E     

0 1

Die entsprechenden Dirac–adjungierten Spinoren haben die Form u(~k, s) = u† (~k, s)γ 0 ,



.

(2.187)

v(~k, s) = v † (~k, s)γ 0 ,

(2.188)

und erf¨ ullen wegen γ 0 γ µ† γ 0 = γ µ die Gleichungen   mc  mc  u k/ − =0, v k/ + =0. ~ ~

(2.189)

Die Orthonormierungsbeziehungen lauten u(~k, s) u(~k, s0 ) = δss0 , v(~k, s) v(~k, s0 ) = −δss0 ,

u(~k, s) v(~k, s0 ) = 0 , v(~k, s) u(~k, s0 ) = 0 ,

und die Vollst¨andigkeitsrelation hat die Form i Xh u(~k, s) ⊗ u(~k, s) − v(~k, s) ⊗ v(~k, s) s

= SL (−w) ~

Xh s

i u(~0, s) ⊗ u(~0, s) − v(~0, s) ⊗ v(~0, s) SL−1 (−w) ~ = | {z } =




(2.190)

.

(2.191)



Als n¨achstes zerlegen wir den Spinorraum auf die Unterr¨aume zu positiver und negativer Energie. Wir schreiben


= Λ+ (~k) + Λ− (~k) ,

(2.192)

wobei Λ+ (~k) =

X s

Λ− (~k) = −

X s

u(~k, s) ⊗ u(~k, s)

(2.193)

v(~k, s) ⊗ v(~k, s)

(2.194)

35

die Projektionsoperatoren auf die entsprechenden Unterr¨aume mit den Eigenschaften Λ± (~k) Λ± (~k) = Λ± (~k) Λ± (~k) Λ∓ (~k) = 0 sind. Es gelten somit die Relationen Λ+ (~k)u(~k, s) = u(~k, s) , Λ+ (~k)v(~k, s) = 0 ,

Λ− (~k)v(~k, s) = v(~k, s)

(2.195)

Λ− (~k)u(~k, s) = 0 .

(2.196)

Diese Relationen verdeutlichen nochmals die Orthogonalit¨at der Unterr¨aume zu positiver und negativer Energie.

2.4.1 Wellenpakete Das Diracsche Wellenpaket hat die allgemeine Form s i X Z d3 k mc2 h ~ −ikµ xµ ∗ ~ ikµ xµ ~ ~ ψ(~x, t) = + d (k, s) v(k, s) e b(k, s) u(k, s) e (2π)3 ~ω~k s=± q 2 Der Normierungsfaktor mc wurde derart gew¨ahlt, um sp¨ater eine unmittelbar einsich~ω~ k

tige Interpretation der Entwicklungskoeffizienten b(~k, s) und d∗ (~k, s) zu erm¨oglichen. Das Normierungsintegral erh¨alt hiermit die Form Z Z 3 d ~x ρ(~x, t) = q d3 ~x ψ(~x, t)γ 0 ψ(~x, t) h i XZ = q d3~k b∗ (~k, s)b(~k, s) + d(~k, s)d∗ (~k, s) ,

(2.197)

s

und der Erwartungswert der Energie lautet Z h i

 X ∗ ~ ∗ ~ 3~ ~ ~ ˆ ψ H ψ = d k ~ω~k b (k, s)b(k, s) − d(k, s)d (k, s) .

(2.198)

s

Als n¨achstes betrachten wir nun ein Gaußsches Wellenpaket f¨ ur ein ruhenden Teilchen positiver Energie und r¨aumlicher Ausdehnung a,  3/4 1 2 2 ψ(~x, t = 0) = (2.199) e−~x /a u(0, +) . 3 2πa Fourier–Transformation und Orthogonalit¨at der Spinoren ergibt s  3/4 mc2 a2 ~2 2 ~ b(k, s) = e−k a /2 u(~k, s) γ 0 u(0, +) , ~ω~k 2π s  3/4 mc2 a2 ~2 2 ∗ ~ d (−k, s) = e−k a /2 v(−~k, s) γ 0 u(0, +) . ~ω~k 2π

36

(2.200)

(2.201)

Somit erh¨alt d∗ (−~k, s) ein wesentliches Gewicht nur dann wenn die Bedingungen ~ mc v(−~k, s)γ 0 u(0, +) ≈ 1 , → 1. k ≈ ~ 2.

und

k≤

1 a

erf¨ ullt sind. Dies bedeutet, dass das Wellenpaket auf der Skala der Comptonwellenl¨ange lokalisiert sein muss, d.h. dass a ≤ ~/mc gelten muss.

37

3 Quantisierung der freien Felder 3.1 Kanonische Quantisierung 1. Kanonische Quantisierung eines klassischen konservativen Systems • qi generalisierte Koordinaten

• Langrange Funktion L = L({qi }, {q˙i }; t)

• Hamiltonsches Prinzip Z tf δS = δ dt L({qi }, {q˙i }; t) = 0

∂L d ∂L − = 0. dt ∂ q˙i ∂qi

⇒

ti

Definition des kanonisch konjugierten Impulses:

pi =

∂L . ∂ q˙i

Die Hamilton Funktion geht aus der Langrange Funktion u ¨ber eine Legendre Transformation hervor: X H({pi }, {qi }) = pi q˙i − L . i

Quantisierung: Wir ordnen den Observablen qi und pi hermitesche Operatoren qˆi und pˆi zu →

qi

qˆi

und

und fordern die Kommutatorbeziehungen

pi → pˆi ˆ B] ˆ := Aˆ B ˆ −B ˆ Aˆ ) ( [A,

[ˆ pi , qˆj ] = −i~δij [ˆ pi , pˆj ] = [ˆ qi , qˆj ] = 0 ˆ H → H

Observable • Heisenbergbild • Schr¨odingerbild

dFˆ dt

=

∂ Fˆ ∂t

F (pi , qj ; t) → Fˆ (ˆ pi , qˆj ; t) h i ˆ Fˆ + i H, ~

ˆ |ψi = i~ ∂ |ψi H ∂t

2. Kanonische Quantisierung von Bosefeldern ¨ Ubergang zur Kontinuumsbeschreibung qi (t)

38

N →∞

→

ϕ~x (t) = ϕ(~x, t) ,

(3.1)

L=

X

Li

=⇒

L=

i

Hamiltonsches Prinzip: Z

S=

R

dt L

Z

d3 ~x L [ϕ(~x, t), ∂µ ϕ(~x, t)] .

=⇒

S=

= ∂µ δϕ

R

(3.2)

d4 x L(ϕ, ∂µ ϕ)

 ∂L ∂L z }| {  δϕ + δS = d4 x δ(∂µ ϕ) ∂ϕ ∂(∂µ ϕ) Ω   Z  ∂L ∂L ∂L
4 − ∂µ δϕ = d x δϕ + ∂µ ∂ϕ ∂(∂µ ϕ) ∂µ ϕ Ω | {z }

(3.3) (3.4)

=0

Der zweite Term l¨asst sich mittels des Gaußschen Satzes in ein Oberfl¨achenintegral umwandeln. Nach Voraussetzung verschwindet die Variation δϕ auf der Oberfl¨ache ∂Ω. Somit tr¨agt der zweite Term nicht bei. ∂µ

=⇒

∂L ∂L − = 0 . ∂(∂µ ϕ) ∂ϕ

Verallgemeinerung auf mehrkomponentiges Feld: ∂µ

∂L ∂L − = 0 ∂(∂µ Φr ) ∂Φr

f¨ ur

Φ = (Φ1 , . . . , ΦN ), r ∈ {1, . . . , N } .

(3.5) ϕ → Φr (3.6)

Kanonisch konjugierte Impulsdichte: Πr (~x, t) =

∂L ∂L = . ∂(∂0 ϕr ) ∂ ϕ˙ r

(3.7)

V¨ollig analog zum mechanischen Fall erhalten wir mit der entsprechenden Legendre Transformation die Hamiltonsche Dichte bzw. die Hamiltonsche Funktion X H(~x, t) = Πr (~x, t)(∂0 ϕ(~x, t)) − L , (3.8) r

H= Feldquantisierung:

Z

d3 ~x H(~x, t) .

(3.9)

h

i ˆ r (~x, t), ϕˆs (~x 0 , t) = −i~ δrs δ 3 (~x − ~x 0 ) Π h i ˆ r, Π ˆ s = [ϕˆr , ϕˆs ] = 0 Π

Bewegungsgleichungen:

h i ˆ˙ r (~x, t) = i H, ˆ Π ˆ r (~x, t) , Π ~ i i hˆ ϕˆ˙ r (~x, t) = H, ϕˆr (~x, t) , ~

(3.10) (3.11)

39

ˆ r (~x, t) bzw. f¨ ur einen allgemeinen Operator Fˆ = Fˆ ϕˆr (~x, t), Π i h ˆ ˆi ˙ H, F . Fˆ = ~




(3.12)

3. Symmetrien und Erhaltungss¨ atze

Noether–Theorem: Ist die Lagrangedichte–Funktion invariant unter einer kontinuierlichen Symmetrietransformation, so folgt hieraus ein Erhaltungssatz. Beispiele: Invarianz von L unter a) Raum–Zeit–Translationen b) Raumdrehungen c) U(1)–Symmetrie ψ → ψ 0 = ψ e−iα

−→ −→

−→

lokale Impuls- und Energieerhaltung lokale Drehimpulserhaltung lokale Ladungserhaltung

Invarianz unter Raum–Zeit–Translationen: x0µ = xµ + bµ Annahme:

(3.13)

Die Lagrangedichte L h¨ange nicht explizit von xµ ab, d.h. L = L[ ϕ(xµ ), ∂ν ϕ(xµ ) ] .

(3.14)

Dann f¨ uhrt die infinitesimale Verschiebung x0µ = xµ + εµ

(3.15)

zur folgenden Variation der Lagrange–Dichte, δL ≡ L(x0µ ) − L(xµ ) = Andererseits gilt ∂L ∂L δL = + δ(∂ν ϕ) = ∂ϕ ∂(∂ν ϕ) = ∂ν



∂L εµ = ∂ν g νµ L εµ . ∂xµ

   ∂L ∂L ∂L − ∂ν δϕ + ∂ν δϕ ∂ϕ ∂(∂ν ϕ) ∂(∂ν ϕ) | {z }

(3.16)



=0



∂L µ ∂ ϕ εµ . ∂(∂ν ϕ)

(3.17)

Bildet man nun die Differenz, (3.17)−(3.16), so erh¨alt man vier lokale Erhaltungss¨atze ∂ν T νµ εµ = 0

→

∂ν T νµ = 0 ,

T νµ =

∂L µ ∂ ϕ − g νµ L , ∂(∂ν ϕ)

mit

T 00 = H .

40

µ ∈ {0, 1, 2, 3}

(3.18)

Eigenschaften des kanonischen Energie–Impuls–Tensors T νµ = Tsνµ + Taνµ ,

Tsνµ = Tsµν ,

(3.19)

Ts00

Ts0i

(3.20)

=H,

i

=p .

Lokale Impulserhaltung:

Pν =

Z

∂ν Tsνi = 0 ,

i ∈ {1, 2, 3} ∂P ν =0, ∂t

d3 ~x Ts0ν ,

(3.21) P0 = H .

(3.22)

In der Elektrodynamik gilt: F µν = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ

1  ~ 2 ~ 2 1 µν F Fµν = E −B , 8π 8π 1  ~ 2 ~ 2 E +B . H= 8π L=−

=⇒ =⇒

(3.23) (3.24)

3.2 Quantisierung des Klein–Gordon–Feldes Hamiltonsches Prinzip: Z δ d4 x L = 0

−→

  mc 2  ν ϕ(~x, t) . ∂µ ∂ + ~

(3.25)

Von hier ab setzen wir durchweg ~ = 1 und c = 1. Dann ist L(ϕ, ∂µ ϕ) =

 1 (∂µ ϕ)(∂ µ ϕ) − m2 ϕ2 . 2

(3.26)

Somit ergibt sich f¨ ur den kanonischen Impuls Π(~x, t) =

∂L = ϕ(~ ˙ x, t) , ∂(∂0 ϕ)

(3.27)

und f¨ ur die Hamiltondichte i 1h 2 2 2 2 ~ H = Π ϕ˙ − L = ϕ˙ − L = Π + (∇ϕ) + m ϕ . 2 2

Wiederholung

Ausgangspunkt: Variationsprinzip Z ! δ d4 x L (ϕ(~x, t), ∂µ ϕ(~x, t)) = 0 .

(3.28)

(3.29)

Ω

Hieraus ergibt sich die Feldgleichung. Ber¨ ucksichtigt man noch, dass die Variation auf der Oberfl¨ache ∂Ω verschwindet, d.h. δϕ|∂Ω = 0, dann l¨asst sich die resultierende Feldgleichung in der Form ∂L ∂L ∂µ − = 0 (3.30) ∂(∂0 ϕ) ∂ϕ

41

schreiben. Der kanonisch konjugierte Impuls Π(~x, t) =

∂L ist komplexwertig, wenn ∂(∂0 ϕ)

das Skalarfeld ϕ(~x, t) komplexwertig ist. Noethersches Theorem: ∂µ T µν = 0 ,

ν ∈ {0, 1, 2, 3}

mit

T µν =

∂L ∂ µ Φ − g νµ L . ∂(∂ν Φ)

(3.31)

3.2.1 Das komplexe Skalarfeld Wir betrachten nun das komplexe Skalarfeld (ϕ1 (~x, t) und ϕ2 (~x, t) seien reelle Felder) ϕ(~x, t) = ϕ1 (~x, t) + i ϕ2 (~x, t) .

(3.32)

Dann hat die zugeh¨orige Lagrangedichte die Gestalt L = (∂µ ϕ∗ )(∂ µ ϕ) − m2 ϕ∗ ϕ 2

 1 X (∂µ ϕi )(∂ µ ϕi ) − m2 ϕi ϕi . = 2 i=1

(3.33)

Die kanonisch konjugierten Impulse ergeben sich zu Π(~x, t) =

∂L = ϕ˙ ∗ (~x, t) ∂ ϕ˙

und Π∗ (~x, t) =

∂L = ϕ(~ ˙ x, t) . ∂ ϕ˙ ∗

(3.34)

Damit erh¨alt die Hamiltondichte die Form ~ ∗ )(∇ϕ) ~ + m 2 ϕ∗ ϕ . H = Πϕ˙ + Π∗ ϕ˙ ∗ − L = Π∗ Π + (∇ϕ Feldquantisierung: (wir verzichten im Folgenden meist auf dasˆ–Symbol f¨ ur Operatoren)  †  [Π(~x, t), ϕ(~x0 , t)] = −i δ 3 (~x − ~x0 ) , Π (~x, t), ϕ† (~x0 , t) = −i δ 3 (~x − ~x0 ) .

(3.35)

(3.36)

Alle anderen Kommutatoren der vier Feldoperatoren verschwinden. Modenentwicklung: h i d3~k a~k f~k (~x, t) + c~†k f~k∗ (~x, t) , Z i h † ϕ (~x, t) = d3~k a~†k f~k∗ (~x, t) + c~k f~k (~x, t) , ϕ(~x, t) =

mit

Z

f~k (~x, t) =

42

1 1 µ p e−ikµ x , 3/2 (2π) 2ω~k

(3.37) (3.38)

(3.39)

und den Orthonormierungsbedingungen Z ↔ d3 ~x f~k∗ (~x, t) i ∂0 f~k0 (~x, t) = δ 3 (~k − ~k 0 ) , Z ↔ d3 ~x f~k (~x, t) i ∂0 f~k0 (~x, t) = 0 , Z ↔ d3 ~x f~k∗ (~x, t) i ∂0 f~k∗0 (~x, t) = 0 , ↔

wobei das Ableitungssymbol ∂0 wie folgt wirkt:

(3.40)

↔

a ∂0 b = a ∂0 b − (∂0 a) b.

Die entsprechenden Umkehrrelationen lauten Z ↔ a~k = d3 ~x f~k∗0 (~x, t) i ∂0 ϕ(~x, t) , Z ↔ c~k = d3 ~x f~k∗0 (~x, t) i ∂0 ϕ† (~x, t) ,

(3.41) (3.42)

und ergeben die Vertauschungsrelationen i i h h a~k , a~†k0 = c~k , c~†k0 = δ 3 (~k − ~k 0 ) .

Sie machen unmittelbar offensichtlich, dass a~k und c~k die Bedeutung von Vernichtungsoperatoren, und a~†k und c~†k die Bedeutung von Erzeugungsoperatoren f¨ ur Teilchen mit Impuls ~k haben, h i  i h i  h   a~k , c~†k0 = a~k , a~k0 = c~k , c~k0 = c~†k , c~†k0 = a~†k , a~†k0 = 0 . Als n¨achstes definieren wir die Teilchenzahloperator ˆa (~k) = a† a~ , N ~k k

ˆc (~k) = c† c~ , N ~k k

(3.43)

und die entsprechenden Teilchenzahleigenzust¨ande, auch Fock–Zust¨ande genannt, E E 1  † n~k 1  † n~k ~ ~ p p n ( k) = a |0i , n ( k) = c |0i , (3.44) a c na~k ! ~k nc~k ! ~k wobei |0i den 0–Teilchen- bzw. Vakuumzustand bezeichnet, d.h. a~k |0i = c~k |0i = 0 f¨ ur ~ alle k. Die Orthogonalit¨atsrelation lautet 1 1 n q hna (~k)|nc (~k 0 )i = q h0| a~k ~k (c~†k0 )n~k0 |0i = 0, . na (~k)! nc (~k 0 )!

Die Modenentwicklung ergibt f¨ ur den Hamiltonoperator die Form Z Z i h 3 ˆ = d ~x H(~x, t) = d3~k ω~ a† a~ + c~ c† . H ~k k k ~k k

(3.45)

(3.46)

43

Entsprechend ergibt sich f¨ ur den Ladungsoperator Z ∂ µ q d3 ~x j 0 (~x, t) = 0 , ∂µ j = 0 ⇒ ∂t Z i h ˆ = q d3~k a† a~ − c~ c† . Q ~k k k ~k

(3.47) (3.48)

Normalordnungsvorschrift:

Z

h i d3~k ω~k a~†k a~k + c~†k c~k Z h i def † † 3~ ˆ ˆ ˆ : Q : = Q − h0| Q |0i = q d k a~k a~k − c~k c~k

ˆ : def ˆ − h0| H ˆ |0i = :H = H

ˆ in Normalordnung, Generell gilt also f¨ ur beliebige Operatoren O

ˆ : |0i = 0 . h0| : O

Deutung: a–Teilchen tragen die Ladung q, c–Teilchen die Ladung −q. Die Invarianz von L unter der globalen Phasentransformation ϕ → ϕ0 = ϕ eiα f¨ uhrt auf Ladungserhaltung und die Teilchen–Antiteilchen–Symmetrie. Einteilchenzust¨ ande: |~x, ti+q = ϕ† (~x, t) |0i ,

|~x, ti−q = ϕ(~x, t) |0i .

(3.49)

Hiermit lassen sich die Vielteilchen-Ortswellenfunktionen wiefolgt aufbauen: 1–Teilchen–Ortswellenfunktion: h~x, t|~ki+q = h0| ϕ(~x, t)a~†k |0i = f~k (~x, t) ,

h~x, t|~ki−q = h0| ϕ† (~x, t)c~†k |0i = f~k (~x, t) .

2–Teilchen–Ortswellenfunktion: 1 h~x1 , ~x2 ; t|~k1 , ~k2 i+2q = √ h0| ϕ(~x1 , t)ϕ(~x2 , t)a~†k a~†k |0i 2 1 2! Z Z 1 =√ d3~k 0 d3~k 00 f~k0 (~x1 , t)f~k00 (~x2 , t) h0| a~k0 a~k00 a~†k a~†k |0i 2! {z 1 }2 | = +

δ 3 (~ k0 −~ k1 )δ 3 (~ k00 −~ k2 ) δ 3 (~ k0 −~ k2 )δ 3 (~ k00 −~ k1 )

 1  = √ f~k1 (~x1 , t)f~k2 (~x2 , t) + f~k1 (~x2 , t)f~k2 (~x1 , t) . 2!

n–Teilchen–Ortswellenfunktion: 1 h~x1 , . . . , ~xn ; t|~k1 , . . . , ~kn i+q = √ h0| ϕ(~x1 , t). . .ϕ(~xn , t) a~†k . . .a~†k |0i n 1 ↑ ↑ n! falls auch Teilchen neg. Ladung −q: 44

ϕ†

c†

Feynman–Propagator:


∆F (x0 − x) ≡ h0| T ϕ(x0 )ϕ† (x) |0i

= Θ(t0 − t) h0| ϕ(x0 )ϕ† (x) |0i + Θ(t − t0 ) h0| ϕ† (x)ϕ(x0 ) |0i

Diagramme: • Pfeil in Lesrichtung:

Teilchen

• Pfeil entgegen der Lesrichtung:

Antiteilchen

Fundamentaldiagramm:

3.2.2 Der Feynman–Propagator Der Feynman–Propagator zum komplexen Klein–Gordon–Feld beschreibt die kausale Propagation des Teilchens und des zugeh¨origen Antiteilchens, i∆F (x0 − x) := h0| T (ϕ(x0 ) ϕ† (x)) |0i .

(3.50)

Hierbei bezeichnet T den Zeitordnungsoperator, der wie folgt definiert ist: T (a(x)b(x0 )) := Θ(t − t0 )a(x)b(x0 ) + ε Θ(t0 − t)b(x0 )a(x) ,

wobei ε = +1 f¨ ur Bosefelder und ε = −1 f¨ ur Fermifelder ist. Damit wird (3.50) zu i∆F (x0 − x) = Θ(t0 − t) h0| ϕ(x0 )ϕ† (x) |0i + Θ(t − t0 ) h0| ϕ† (x)ϕ(x0 ) |0i . | {z } | {z } Fall 1

(3.51)

Fall 2

Die beiden F¨alle sind in der Abbildung 3.1 veranschaulicht. Explizit ausgeschrieben nimmt (3.51) die Form Z o d3~k 1 n 0 0 −ikµ (x0 −x)µ 0 ikµ (x0 −x)µ i∆F (x − x) = Θ(t − t) e + Θ(t − t ) e (2π)3 2ω~k p an, wobei k0 = k 0 die on–shell Energie ist, d.h. k 0 = ω~k := m2 + ~k 2 , =

Z

d k i~k·(~x0 −~x) e (2π)3

=

Z

d3~k i~k·(~x0 −~x) e (2π)3

3~

= J }| o{ n 1 0 0 Θ(t0 − t) e−ik0 (t −t) + Θ(t − t0 ) eik0 (t−t ) 2ω~k = J z }| { Z +∞ 0 dk0 e−ik0 (t −t) . lim i ε→0+ −∞ 2π (k0 − ω~k + iε)(k0 + ω~k − iε)

z

45

Zeit

Zeit 0

Fall 2: t > t0

Fall 1: t > t t0

t +q

t

x

−q

t0

x0

Ort

x0

x

Ort

Abbildung 3.1: Die F¨alle 1, t0 > t, und 2, t0 < t. ¨ Die Aquivalenz der beiden Ausdr¨ ucke f¨ ur J ergibt sich unmittelbar unter Verwendung des Residuensatzes f¨ ur die k0 –Intergration (siehe Abb. 3.2). Somit k¨onnen die Integrationen zum vierdimensionalen k µ –Fourierintegral zusammengefasst werden. Wir erhalten Z 1 d4 k 0 µ 0 e−ikµ (x −x) , ∆F (x − x) = lim+ 4 µ 2 ε→0 (2π) kµ k − m + iε | {z } = ∆F (~k)

wobei ∆F (~k) der Feynman–Propagator im k µ –Raum ist. Aus dieser Form ist unmittelbar einsichtig, dass der Feynman–Propagator ∆F (x0 −x) die Einteilchen–Green–Funktion der Klein–Gordon–Gleichung darstellt. Er gen¨ ugt n¨amlich der Differentialgleichung mit δ– Inhomogenit¨at
∂µ ∂ µ + m2 ∆F (x0 − x) = −δ 4 (x0 − x) .

3.3 Quantisierung des Dirac–Feldes 3.3.1 Kanonischer Formalismus Wir betrachten die Spinorfeldkomponenten ψ α (bzw. die Dirac–adjungierten Komponenten ψ α ) als vier unabh¨angige dynamische Variable. Gesucht ist ein Lagrangedichtefunktional L derart, dass das Euler–Lagrange–Variationsprinzip Z ! δ d4 x L = 0 Ω

auf die Dirac–Gleichung f¨ uhrt. Da L ein Lorentz–Skalar und bilinear in den Spinorfeldern sein muss, k¨onnen wir L erraten zu L = ψ [iγ µ ∂µ − m ] ψ .


46

Im[k0 ] t0 − t < 0 Antiteilchen −ω~k + iε Re[k0 ] ω~k − iε Teilchen t0 − t > 0

Abbildung 3.2: Polstellen der Funktion J sowie m¨ogliche Integrationskonturen Die Variation nach den Komponenten von ψ α ergibt (iγ µ ∂µ − m ) ψ α = 0 ,


bzw. in Komponentenschreibweise


µ iγαβ ∂µ − mδαβ ψβ = 0 ,

f¨ ur

α ∈ {1, . . . , 4} .

Die zu ψα (~x, t) kanonisch konjugierte Impulsdichte Πα (~x, t) berechnet sich zu Πα =


∂L = iψα† = i ψγ 0 α . ∂ ψ˙ α

F¨ ur die Hamilton–Dichte erhalten wir den Ausdruck h i ~ ψ = ψiγ 0 ∂0 ψ . H = Πα ψ˙ α − L = ψ m + i~γ · ∇


Die Hamiltonfunktion erh¨alt man schließlich, indem man die Hamilton–Dichte u ¨ber das Systemvolumen integriert, Z H = d3 ~x H . Ladungserhaltung: ∂µ j µ = 0 mit j µ = qψγ µ ψ Q=

Z

d3 ~x j 0 (~x, t)

⇒

∂Q =0 ∂t

47

Q=q

Z

3

0

d ~x ψγ ψ = q

Z

d3 ~x ψ † ψ

Modenentwicklung: ψ(~x, t) =

XZ s

d3 p~ (2π)3/2

r

m µ µ p, s)e−ipµ x + d∗ (~ p, s)v(~ p, s)eipµ x b(~ p, s)u(~ ωp~

= ψ (+) (~x, t) + ψ (−) (~x, t) .

(3.52)

µ Hierbei wurde wiederum ~ = 1 gesetzt, und p0 ist on–shell, p d.h. der Vierervektor p liegt auf der Massenschale, pµ pµ = m2 , bzw. p0 = ωp~ := m2 + p~2 . Der erste Term in der Klammer tr¨agt zum Zustandsanteil positiver Energie ψ (+) (~x, t) und der zweite Term zum Zustandsanteil negativer Energie ψ (−) (~x, t) bei. Die Spinorfunktionen u(~ p, s) und v(~ p, s) gen¨ ugen den Gleichungen

(γ µ pµ − m) u(~ p, s) = 0 , µ (γ pµ + m) v(~ p, s) = 0 . Unter Verwendung der Orthogonalit¨atsrelationen (2.190) erh¨alt die Hamiltonfunktion nach Einsetzen der Modenentwicklung (3.52) die Form XZ H = d3 p~ ωp~ [b∗ (~ p, s)b(~ p, s) − d(~ p, s)d∗ (~ p, s)] . s

Diese Funktion kann sowohl positive als auch negative Werte annehmen, je nachdem ob die Beitr¨age zu positiver oder zu negativer Energie u ¨berwiegen. In analoger Weise erh¨alt man f¨ ur die Gesamtladung Q den positiv definiten Ausdruck XZ Q = q d3 p~ [b∗ (~ p, s)b(~ p, s) + d(~ p, s)d∗ (~ p, s)] . s

Im Rahmen der klassischen Feldtheorie ist also H ≷ 0 und Q positiv definit. Nach Zweitquantisierung erhalten b(~ p, s) und d(~ p, s) die Bedeutung von Vernichtungsoperatoren und b† (~ p, s) (b∗ (~ p, s) → b† (~ p, s)) sowie d† (~ p, s) (d∗ (~ p, s) → d† (~ p, s)) die Bedeutung ˆ positiv definit von Erzeugungsoperatoren. Verlangt wird nun, dass das Spektrum von H ˆ positiv oder negativ sein k¨onnen. Um dies zu erist, w¨ahrend die Eigenwerte von Q reichen, m¨ ussen in den kanonischen Quantisierungsregeln f¨ ur die Dirac–Feldoperatoren anstatt der Kommutatoren Anti–Kommutatoren gew¨ahlt werden. Der Antikommutator wird im folgenden durch eine geschweifte Klammer gekennzeichnet, n o ˆ ˆ ˆ +B ˆ Aˆ . A, B := AˆB Explizit sehen die kanonischen Quantisierungsvorschriften wie folgt aus:

48

•

•

f¨ ur die Feldoperatoren im Ortsraum: n o † 0 ψα (~x, t), ψβ (~x , t) = δαβ δ 3 (~x − ~x0 ) , o  n † † 0 0 ψα (~x, t), ψβ (~x , t) = ψα (~x, t), ψβ (~x , t) = 0 ,

bzw. f¨ ur die Feldoperatoren im Impulsraum:  p − p~ 0 ) b(~ p, s), b† (~ p 0 , s0 ) = δss0 δ 3 (~  {b(~ p, s), b(~ p 0 , s0 )} = {b(~ p, s), d(~ p 0 , s0 )} = b(~ p, s), d† (~ p 0 , s0 ) = 0

Teilchenzahloperatoren:

ˆb (~ N p, s) = b† (~ p, s)b(~ p, s) , † ˆd (~ N p, s) = d (~ p, s)d(~ p, s) . |~ p, si =

Einteilchenzustand des ”b”–Teilchens:

|~ p1 , s1 ; p~2 , s2 i =

2–Teilchenzustand:

(3.53) b† (~ p, s) |0i 1 √ b† (~ p1 , s1 )b† (~ p2 , s2 ) |0i 2

1 p2 , s2 )b† (~ p1 , s1 ) |0i = − √ b† (~ 2 = − |~p2 , s2 ; p~1 , s1 i . Entsprechend werden die Teilchenzust¨andes des d“–Teilchens ( d.h. des Antiteilchens) ” gebildet. Wegen der Antikommutatoreigenschaft der Feldoperatoren ist es nicht m¨oglich, 2 identische Dirac–Teilchen im gleichen Einteilchen–Zustand zu pr¨aparieren. Denn es gilt |~p, s; p~, si = − |~p, s; ~p, si = 0 . Es folgt ferner aus den Antikommutator–Beziehungen, dass die Teilchenzahloperatoren ˆb und N ˆd nur die Eigenwerten 0 und 1 besitzen. Beachte ferner, dass die TeilchenzahlN ˆb und N ˆd boson–artig sind, da sie miteinander kommutieren, operatoren N ˆi (~ ˆj (~ [N p, s), N p 0 , s0 ) ] = 0 . Normalordnung ˆ :=H ˆ − h0| H ˆ |0i = :H ˆ:=Q ˆ − h0| Q ˆ |0i = q :Q

XZ s

XZ s

3

d p~ ωp~

h

ˆb (~ ˆd (~ N p, s) + N p, s)

h i ˆb (~ ˆd (~ d3 p~ N p, s) − N p, s)

i

Wirkungsweise der Operatoren b† , b, d† und d:

49

• b† (~ p, s) erzeugt ein Dirac–Teilchen der Ladung q und der Energie ωp~ . • b(~ p, s) vernichtet ein Dirac–Teilchen der Ladung q und der Energie ωp~ . • d† (~ p, s) erzeugt ein Dirac–Teilchen der Ladung −q und der Energie ωp~ . • d(~ p, s) vernichtet ein Dirac–Teilchen der Ladung −q und der Energie ωp~ . Somit ist das Stabilit¨atsproblem gel¨ost. Nicht nur das Teilchen sondern auch das Antiteilchen besitzt eine positive Energie! Der Vakuumzustand (Grundzustand) hat den Eigenwert Null f¨ ur alle normalgeordneten Operatoren.

3.3.2 Der Feynman–Propagator iSF,αβ (x0 − x) = h0| T (ψ α (x0 )ψ β (x)) |0i =

Θ(t0 − t) h0| ψ α (x0 )ψ β (x) |0i − Θ(t − t0 ) h0| ψ β (x)ψ α (x0 ) |0i .

Nach Einsetzen der Modenentwicklung der Feldoperatoren erhalten wir Z 3 i d p~ m h −ipµ (x0 −x)µ 0 ipµ (x0 −x)µ 0 0 Θ(t − t) + Λ (~ p ) e Θ(t − t ) Λ (~ p ) e SF (x − x) = −i + − (2π)3 ωp~
= iγ µ ∂x0µ + m ∆F (x0 − x) Z d4 p −ipµ (x0 −x)µ /p + m = e 4 µ (2π) pµ p − m2 + i0+ Z 1 d4 p −ipµ (x0 −x)µ , e = 4 (2π) /p − m + i0+





wobei ∆F der Klein–Gordon–Propagator ist, Z i d3 p~ 1 h 0 0 −i pµ (x0 −x)µ 0 i pµ (x0 −x)µ ∆F (x − x) = −i Θ(t − t) e + Θ(t − t ) e . (2π)3 2ωp~ m±p

Die Projektionsoperatoren Λ± (~ p ) = 2m/ projizieren auf den Unterraum des Teilchens bzw. des Antiteilchens. Sie besitzen die Eigenschaften Λ± (~ p ) Λ∓ (~ p) = 0 , Λ+ (~ p ) u(~ p, s) = u(~ p, s) ,

Λ+ (~ p ) v(~ p, s) = 0 ,

Λ− (~ p ) v(~ p, s) = v(~ p, s) ,

Λ− (~ p ) u(~ p, s) = 0 .

Propagator des Dirac–Teilchens in Energie–Impuls–Darstellung: Z d4 p −ipµ (x0 −x)µ 0 0 SF,βα (p) , SF,βα (x − x) = −i h0| T (ψ β (x )ψ α (x)) |0i = e (2π)4 50

µ γβα pµ + m δβα SF,βα (p) = 2 , p0 − p~ 2 − m2 + i0+

1 /p + m = . SF (p) = (/p + m ) ∆F (p) = µ 2 + pµ p − m + i0 /p − m + i0+








Propagator des skalaren Klein–Gordon–Teilchens: (zum Vergleich) Z d4 k −ikµ (x0 −x)µ 0 0 † ∆F (x − x) = −i h0| T (φ(x )φ (x)) |0i = e ∆F (k) , (2π)4 ∆F (k) =

kµ

kµ

1 . − m2 + i0+

3.4 Quantisierung des Maxwell–Feldes 3.4.1 Die klassischen Feldgleichungen ~ −E ~˙ = ~0 , ( = 4π~ ) rotB ~ +B ~˙ = ~0 . rotE

~ = 0 , ( = 4πρ ) div B ~ = 0, div E

(3.54) (3.55)

Verm¨oge des Feldst¨arketensors

F



0

  Ex = E  y

νµ

−Ex −Ey −Ez 0

Bz

Ez −By

−Bz 0

Bx



 By   −Bx   0

lassen sich die Feldgleichungen (3.54) und (3.55) wiefolgt in kovarianter Form darstellen, ∂ν F νµ = 0 , ( = 4πj µ ) εµνρσ ∂ν Fρσ = 0 ,

µ ∈ {0, 1, 2, 3} ,

(3.56)

µ ∈ {0, 1, 2, 3} .

(3.57)

Im Folgenden werden nur die freien Felder betrachtet. ~ und ϕ durch die Beziehungen Nach Einf¨ uhrung der elektromagnetischen Potentiale A ~ = rot A ~ und E ~ = − grad ϕ − A ~˙ l¨asst sich der Feldst¨arketensor F µν durch das ViererB potential Aµ mit A0 = ϕ wiefolgt ausdr¨ ucken, F νµ = ∂ ν Aµ − ∂ µ Aν . Damit wird Gl. (3.56) zu ∂ν ∂ ν Aµ − ∂ µ (∂ν Aν ) = 0 .

(3.58)

51

Desweiteren ist die Eichinvarianz F 0νµ = F νµ f¨ ur alle Transformationen der Art (sog. Eichtransformationen) Aµ (x) → A0µ (x) = Aµ (x) + ∂ µ Λ(x) gew¨ahrleistet, falls die Integrabilit¨atsbedingung ∂ ν ∂ µ Λ(x) = ∂ µ ∂ ν Λ(x) erf¨ ullt ist. Das gekoppelte Gleichungssystem (3.58) l¨asst sich durch die sog. Lorentz–Eichung ∂ν Aν = 0 entkoppeln. Somit reduziert sich in dieser Eichung Gl. (3.57) auf ∂ν ∂ ν Aµ = 0 . Anmerkung: Die Lorentz–Eichung legt das Viererpotential Aµ noch nicht eindeutig fest. Es sind weiterhin sog. eingeschr¨ankte Eichtransformationen der Form A0µ (x) = Aµ (x) + ∂ µ Λ(◦) (x) m¨oglich, wobei die Einschr¨ankung darin besteht, dass das Skalarfeld Λ(0) (x) der sogenannten d’Alembert–Gleichung gen¨ ugt, ⇒ ∂ν ∂ ν Λ(◦) (x) = 0 . Die weitere Nebenbedingung, die Aµ (x) eindeutig machen w¨ urde, l¨asst sich nicht in Lorentz–invarianter Weise formulieren. Strahlungseichung: In der Strahlungseichung wird das skalare Potential gleich Null gesetzt und das Vektorpotential als reines Transversalfeld angesetzt, ϕ(~r, t) = 0 ,

und

~ r , t) = 0 . divA(~

(3.59)

~ kann in einem gegebenen Inertialsystem stets getroffen werden. Diese Wahl f¨ ur ϕ und A Beachte: die Strahlungseichung ist nicht kovariant, d. h. die einfache Form (3.59) geht ¨ beim Ubergang in ein anderes Inertialsystem verloren. Die Strahlungseichung verdeutlicht, dass das elektromagnetische Feld in Wirklichkeit nur zwei innere Freiheitsgrade besitzt. In der Strahlungseichung sind dies die beiden Transversalkomponenten des Vektorpotentials. Der longitudinale Freiheitsgrad ist wegen der Eichinvarianz der Elektrodynamik eingefroren“. Dies erkennt man daran, dass er ” durch eine geeignete Eichtransformation wegtransformiert werden kann. Verantwortlich f¨ ur diese Besonderheit der Elektrodynamik ist, dass die Dispersionsrelation keine Enerurde man einen giel¨ ucke aufweist, lim|~k|→0 ω~k = 0, bzw, dass das Photon masselos ist. W¨ Masseterm in den Bewegungsgleichungen per Hand“ einf¨ ugen, g¨abe es einen longitu” dinalen Freiheitsgrad; jedoch ginge dann die Eichinvarianz und damit letztendlich die Renormierbarkeit der Quantenelektrodynamik–Feldtheorie verloren.

52

3.4.2 Quantisierung in der Strahlungseichung ¨ Ublicherweise geht man an dieser Stelle zu sog. Heaviside–Einheiten u ¨ber, um den allge1 zu eliminieren. Mit dem cgs–System besteht der Zusammenhang genw¨artigen Faktor 4π ~ H = √1 E ~ cgs . E 4π Die Lagrangedichte des freien elektromagnetischen Feldes lautet 1 h ~ 2 ~ 2 i 1 n ~˙ 2  ~  2 o 1 L = − F µν Fµν = E −B = A − rotA . 4 2 2

Die kanonisch konjugierten Impulsdichten berechnen sich zu Π0 =

∂L =0, ∂ A˙ 0

Πi =

∂L = A˙ i = −A˙ i = E i . ˙ ∂ Ai

⇒

A0 ist keine dynamische Variable

Damit erh¨alt die Hamiltonsche Dichte die Form H=

Πµ A˙ µ | {z }

~2 − L = −L = E

~2 = A˙ i A˙ i = E

1 h ~ 2 ~ 2i E +B . 2

Quantisierung mit Nebenbedingungen Es sei die Nebenbedingung ~ = divE ~ = 0 divA vorgegeben. Wir fordern nun die Vertauschungsrelationen  i  A (~x, t), Aj (~x 0 , t) = 0  i  E (~x, t), E j (~x 0 , t) = 0  i    Π (~x, t), Aj (~x 0 , t) = E i (~x, t), Aj (~x 0 , t) = −i δij δ 3 (~x − ~x 0 ) | {z } (tr) ⇒ δij (~x − ~x 0 )

(3.60)

(3.61)

Um die Nebenbedingung (3.60) zu gew¨ahrleisten, muss auf der rechten Seite von (3.61) (tr) der Ausdruck δij δ 3 (~x − ~x 0 ) in δij (~x − ~x 0 ) abge¨andert werden, wobei gelten muss (tr)

(tr)

∂i δij (~x − ~x 0 ) = ∂j δij (~x − ~x 0 ) = 0 . Dies kann erreicht werden, indem wir in der Fourierintegraldarstellung von δij δ 3 (~x − ~x 0 ) den longitudinalen Anteil eliminieren, ! Z 3~ d k k k 0 ~ i j (tr) δij δ 3 (~x − ~x 0 ) ⇒ δij (~x − ~x 0 ) = δij − eik·(~x−~x ) . 3 (2π) |~k|2 53

Die Modenentwicklung f¨ ur Ai (~x, t) lautet

i

A (~x, t) =

2 Z X

o 1 n ~ d3~k i ~ −ikµ xµ † ~ ikµ xµ p ε ( k, λ) . a( k, λ) e + a ( k, λ) e (2π)3/2 2ω~k

λ=1

(3.62)

Hierbei ist ω~k = |~k| und die Lichtgeschwindigkeit auf c = 1 festgelegt. Mit der Entwicklung (3.62) ergibt sich f¨ ur das elektrische Feld die Modenentwicklung E (~x, t) = −A˙ i (~x, t) = i i

2 Z X λ=1

d3~k i ~ ε (k, λ) (2π)3/2

r

o ω~k n ~ µ µ a(k, λ) e−ikµ x − a† (~k, λ) eikµ x . 2

Die Polarisationsvektoren ~ε (~k, 1) und ~ε (~k, 2) bilden zusammen mit dem Wellenvektor ~k ein orthogonales Dreibein, d.h. sie erf¨ ullen die Beziehungen ~ε(~k, λ) · ~k = 0 , ~ε(~k, λ) · ~ε(~k, λ0 ) = δλλ0 . Die Leiteroperatoren a(~k, λ) und a† (~k, λ) gen¨ ugen den Kommutatorbeziehungen h

h

a(~k, λ), a(~k 0 , λ0 )

a(~k, λ), a† (~k 0 , λ0 )

i

i

=

h

a (~k, λ), a† (~k 0 , λ0 ) †

= δ 3 (~k − ~k 0 )δλλ0 .

i

= 0,

Die Modenentwicklung bringt den normalgeordneten Hamiltonoperator in die Form ˆ := H ˆ − h0| H ˆ |0i = 1 :H 2

Z

3

d ~x

n

2 Z o X 2 2 ~ ~ :E :+:B : = d3~k |~k| a† (~k, λ)a(~k, λ) . λ=1

Der Vakuumzustand ist bestimmt durch die Gleichung a(~k, λ) |0i = 0 ,

f¨ ur alle ~k und λ .

Ein beliebiger n–Photon Fock–Zustand l¨asst sich aus dem Vakuumzustand durch n– faches Anwenden des Erzeugungsoperators a† (~k, λ) generieren, also zum Beispiel E  n~k ,λ  n~k ,λ 1 a† (~k1 , λ1 ) 1 1 a† (~k2 , λ2 ) 2 2 · · · |0i . n~k1 ,λ1 , n~k2 ,λ2 , . . . = q (n~k1 ,λ1 )! (n~k2 ,λ2 )! 54

3.4.3 Der Feynman–Propagator des Photons Mit den bereits hergeleiteten Ergebnissen gewinnt man f¨ ur den Feynmanpropagator des Photons die folgenden Darstellungen (tr)

DF, νµ (x0 − x) = −i h0| T (Aν (x0 )Aµ (x)) |0i = −i Θ(t0 − t) h0| Aν (x0 )Aµ (x) |0i + i Θ(t − t0 ) h0| Aµ (x)Aν (x0 ) |0i = −i

=

Z

Z

2

d3~k 1 X ~ εν (k, λ)εµ (~k, λ) (2π)3 2|~k| λ=1 h i 0 ρ 0 ρ × Θ(t0 − t)e−i kρ (x −x) + Θ(t − t0 )ei kρ (x −x) 0

σ

d4 k e−i kσ (x −x) (2π)4 kρ k ρ + i0+

2 X

εν (~k, λ)εν (~k, λ)

λ=1

|

{z

.

}

= − gνµ + eichabh¨ angige Terme

Die eichabh¨angigen Terme k¨onnen weggelassen werden, wenn wir nur transversal polarisierte Anfangs–Photonzust¨ande propagieren. Die Fourierintegraldarstellung dieses eichkovarianten Propagators hat somit die Gestalt Z d4 k 0 σ (tr) 0 DF, νµ (x − x) = ∆F, νµ (k) e−i kσ (x −x) , 4 (2π) ∆F, νµ (k) =

−gνµ . kρ k ρ + i 0 +

55

4 Elementarprozesse 4.1 Wechselwirkende Quantenfelder 4.1.1 Allgemeine Betrachtung Bisher haben wir nur nichtwechselwirkende Quantenfelder betrachtet, d.h. Felder, die linearen Feldgleichungen gen¨ ugen (freies Dirac-, Klein–Gordon- und Maxwellfeld). Im Falle wechselwirkender Quantenfelder l¨asst sich die Lagrangedichte L in der Form L = L 0 + LI schreiben, wobei L0 die Lagrangedichte der freien Felder darstellt und LI die Wechselwirkung beschreibt. Falls diese nicht von den Ableitungen der Felder abh¨angt, dann ist die Feldquantisierung v¨ollig analog zum nichtwechselwirkenden Fall. Die φ3 –Feldtheorie g L = L0,KG (φ, ∂µ φ) − φ3 3

bzw.

g H = H0,KG (φ, ∂µ φ) + φ3 3

besitzt weder f¨ ur g > 0 noch f¨ ur g < 0 einen stabilen Grundzustand, w¨ahrend die sog. 4 φ –Theorie f¨ ur g > 0 einen stabilen Grundzustand aufweist, H = H0,KG (φ, ∂µ φ) + gφ4 . Die Quantenelektrodynamik (QED) beschreibt die Dynamik von Leptonen (hier e± ) und Photonen unter ihrer gegenseitigen Wechselwirkung. Wir verwenden im Folgenden als Einheit der Ladung q = e, wobei Elektronen die Ladung e = −|e| besitzen. Der Quantenelektrodynamik liegt die folgende Lagrangedichte zugrunde, L = L0,D (ψ) + L0,M (Aˆµ ) + LI (ψ, Aˆµ )

mit

LI = −e : ψγ µ ψ Aˆµ : .

Mit der entsprechenden Legendre–Transformation ergibt sich hieraus die Hamiltondichte bzw. der Hamiltonoperator ⇒ H = H0,D + H0,M + HI ˆ := :H

wobei Z

HI = −LI = e : ψγ µ ψ : Aˆµ ,

d3 ~x : H(~x, t) : .

Es sei an dieser Stelle bemerkt, dass H auch unmittelbar aus H0 = H0,D + H0,M folgt, indem wir die schon fr¨ uher diskutierte Minimalsubstitution e pˆµ → pˆµ − Aˆµ c

56

verwenden. Da der Viererstrom eine Erhaltungsgr¨oße ist, gilt ∂ ˆ : H : = 0. ∂t Vorwegnehmend sei angemerkt, dass im Rahmen der st¨orungstheoretischen Berechnung sogenannte Loop–Integrale auftreten, welche divergente Anteile besitzen. Ziel der Renormierungstheorie ist, diese Divergenzen durch Renormierung der Ladung und der Masse des Leptons zu eliminieren. Bei diesem Vorgehen startet man zun¨achst mit der nackˆ : und mit der nackten“ Masse m0 im Dirac–Propagator.”Diese ten“ Ladung e0 in : H ” nackten Gr¨oßen unterscheiden sich von den physikalisch beobachtbaren Werten e und m gerade durch die auftretenden divergenten Terme. Siehe hierzu den sp¨ateren Abschnitt zur Renormierungstheorie.

Bewegungsgleichung der Feldoperatoren: Da die Feldoperatoren zeitabh¨angig sind, befinden wir uns im Heisenbergbild. Die Feldoperatoren gen¨ ugen somit den Bewegungsgleichungen i h ˆ x, t), : H ˆ˙ x, t) = ψ(~ ˆ : , i ψ(~ h i ˙ ˆ : . i Aˆµ (~x, t) = Aˆµ (~x, t), : H Die formalen L¨osungen lauten ˆ ˆ ˆ ˆ x, t) = ei:H:t ψ(~ ψ(~x, 0) e−i:H:t , ˆ ˆ Aˆµ (~x, t) = ei:H:t Aˆµ (~x, 0) e−i:H:t .

Modenzerlegung: Die noch unbekannte Zeitabh¨angigkeit der Feldoperatoren stecken wir in die Entwicklungskoeffizienten bzw. in die diesen entsprechenden Operatoren

ψ(~x, t) =

XZ s

ψ(~x, t) = Aˆµ (~x, t) =

d3 p~ (2π)3/2

r

i mh b(~ p, s; t)u(~ p, s) ei~p·~x + d† (~ p, s; t)v(~ p, s) e−i~p·~x , ωp~

...... 2 Z X λ=1

entsprechend ,

i d3~k µ ~ 1 h ~ i~k·~x † ~ −i~k·~x a(k, λ; t)e + a (k, λ; t)e . ε (k, λ) q (2π)3/2 2|~k| 57

Abbildung 4.1: Diagramm der Elementarprozesse. Die verschiedenen Elementarprozesse ergeben sich, indem wir die Zeitachse von links nach rechts, von rechts nach links, von unten nach oben und von oben nach unten w¨ahlen.

Hiermit erh¨alt der Wechselwirkungsoperator die Gestalt Z Z h XZ 3 3 0 ˆ p − ~k − p~ 0 ) b† (~ p, s; t) b (~ p 0 , s0 ; t)a(~k, λ; t) : HI : = e d p~ d p~ d3~k ⊗ · δ 3 (~ s,s0 ,λ

+ ⊗ · δ 3 (~ p + ~k − p~ 0 ) b† (~ p, s; t) b (~ p 0 , s0 ; t) a† (~k, λ; t) + ⊗ · δ 3 (~ p − ~k − p~ 0 ) d† (~ p, s; t) d (~ p 0 , s0 ; t) a(~k, λ; t)

+ ⊗ · δ 3 (~ p + ~k − p~ 0 ) d† (~ p, s; t) d (~ p 0 , s0 ; t) a† (~k, λ; t)

+ ⊗ · δ 3 (~ p − ~k + p~ 0 ) b† (~ p, s; t) d† (~ p 0 , s0 ; t) a(~k, λ; t) + ⊗ · δ 3 (~ p + ~k + p~ 0 ) b† (~ p, s; t) d† (~ p 0 , s0 ; t) a† (~k, λ; t) + ⊗ · δ 3 (~ p + ~k + p~ 0 ) b (~ p, s; t) d (~ p 0 , s0 ; t) a(~k, λ; t)

i + ⊗ · δ 3 (~ p + ~k + p~ 0 ) b (~ p, s; t) d (~ p 0 , s0 ; t) a† (~k, λ; t) .

Hierbei steht das Symbol ⊗ f¨ ur das Skalarprodukt der Spinoren und f¨ ur andere Faktoren. Die Wechselwirkung : HI : beschreibt vier unterschiedliche Elementarprozesse (siehe Abb. 4.1): • (1) und (2):

Elektron–Streuung durch Emission/Absorption eines Photons

• (3) und (4):

Positron–Streuung durch Emission/Absorption eines Photons

• (5) und (6):

Elektron–Positron–Paarerzeugung durch Vernichtung eines γ

• (7) und (8):

Erzeugung eines γ durch Elektron–Positron–Paarvernichtung

4.1.2 Das Wechselwirkungsbild Im Wechselwirkungsbild entwickeln sich die Operatoren in der Zeit gem¨aß dem Hamiltonˆ 0 und die Zust¨ande gem¨aß der Wechselwirkung H ˆ I . Die zeitliche Entwicklung operator H von Erwartungswerten einer Observablen O ist somit durch den Ausdruck ˆ ˆ |Φ(t)i hO(t)i = hΦ(t)| O(t)

58

ˆ gegeben. Die Zeitabh¨angigkeit des Operators O(t) folgt aus der L¨osung der Heisenbergschen Bewegungsgleichung, h i ∂ ˆ ˆ ˆ0 : . i O(t) = O(t), :H ∂t

Dieses Problem haben wir in den vorhergehenden Kapiteln f¨ ur die verschiedenen F¨alle bereits gel¨ost. Zu behandeln ist somit noch die zeitliche Entwicklung der Zust¨ande unter der Lepton–Photon–Wechselwirkung, |Φ(t)i = Uˆ (t, t0 ) |Φ(t0 )i . Hierbei stellt Uˆ (t, t0 ) den Zeitentwicklungsoperator im Wechselwirkungsbild dar. Der Zeitentwicklungsoperator gen¨ ugt der Differentialgleichung i

∂ ˆ ˆ I (t) : Uˆ (t, t0 ) , U (t, t0 ) = : H ∂t

(4.1)

und unterliegt der Anfangsbedingung ˆ (t0 , t0 ) = ˆ . U


Die Differentialgleichung (4.1) l¨asst sich in eine Integralgleichung u uhren, ¨berf¨ Z t ˆ I (t0 ) : U ˆ (t0 , t0 ) , Uˆ (t, t0 ) = ˆ − i dt0 : H


t0

die im Rahmen der st¨orungstheoretischen Behandlung durch Iteration gel¨ost wird. Mit P∞ ˆ ˆ ˆ dem Ansatz U (t, t0 ) = + n=1 Un (t, t0 ) erh¨alt man Z t ˆ I (t0 ) : U ˆn−1 (t0 , t0 ) . ˆ dt0 : H Un (t, t0 ) = −i


t0

Hiermit ergibt sich Z t Z t Z 0 0 2 0 ˆ I (t ) : +(−i) Uˆ (t, t0 ) = ˆ − i dt : H dt

t0




t0

=ˆ+


∞ X n=1

=ˆ+


(−i)n

Z

t

dt1 t0

Z ∞ X (−i)n

Z

t0

t1

dt2 . . . t0

t

dt1 . . .

Z

t

t0 tn−1

t0

  ˆ I (t1 ) : . . . : H ˆ I (tn ) : dtn T : H

  ˆ I (t1 ) : . . . : H ˆ I (tn ) : dtn T : H

n! t0 t0   Z t 0 0 ˆ dt : HI (t ) : . = T exp −i n=1

Z

ˆ I (t0 ) :: H ˆ I (t00 ) : + . . . dt00 : H (4.2) (4.3) (4.4)

t0

Zur Herleitung wurde verwendet, dass f¨ ur verschiedene Zeiten, t1 6= t2 , der Kommutator h i ˆ I (t1 ) :, : H ˆ I (t2 ) : 6= 0 :H 59

nicht verschwindet und dass der durch Iteration gewonnene Ausdruck des Zeitentwicklungsoperators Uˆ in nat¨ urlicher Weise zeitgeordnet ist. Somit gilt   ˆI (t1 ) :: H ˆI (t2 ) : . . . : H ˆI (tn ) : ˆI (t1 ) :: H ˆI (t2 ) : . . . : H ˆI (tn ) : . :H = T : H t1 >t2 >...>tn

Das zeitgeordnete Produkt ist symmetrisch bezgl. aller Zeiten t1 . . . tn . Es gilt also z.B.   ˆ ˆ ˆI (t1 ) :: H ˆI (t2 ) : T : HI (t1 ) :: HI (t2 ) : = Θ(t1 − t2 ) : H ˆI (t2 ) :: H ˆI (t1 ) : + Θ(t2 − t1 ) : H   ˆI (t2 ) :: H ˆI (t1 ) : . =T :H

Daher lassen sich die Integrationen in (4.2) bez¨ uglich aller Zeiten symmetrisieren, woraus die Umformung gem¨aß (4.3) folgt. Ein einfaches Beispiel soll dies erl¨autern. Gegeben sei eine bezgl. ihrer beiden Argumente symmetrische Funktion g(t1 , t2 ), d.h. es gelte g(t1 , t2 ) = g(t2 , t1 ) . Dann lassen sich die nachstehenden Integrationen, wie in Abbildung 4.2 veranschaulicht ist, ebenfalls symmetrisieren. Z Z t Z t Z t1 Z t Z t2 1 t dt1 dt2 g(t1 , t2 ) . dt2 g(t1 , t2 ) = dt1 g(t1 , t2 ) = dt1 dt2 2 t0 t0 t0 t0 t0 t0 | {z } {z } {zS } | | Gebiet A2

Gebiet A1

=A1

A2

t2

t A1

A2 t0

t

t1

Abbildung 4.2: Integrationsgebiete A1 und A2 . Im allgemeinen Fall einer n–fachen Integration u ¨ber einen in allen n Argumenten symmetrischen Integranden ist der Faktor vor dem symmetrisierten Integral durch den Faktor 1/n! zu ersetzen. Auf diese Weise erhalten wir schließlich den Ausdruck (4.4).

60

4.2 Die S–Matrix Anfangs- und Endzust¨ande bei Streuexperimenten sind freie Zust¨ande, welche im Wechselwirkungsbild v¨ollig zeitunabh¨angig sind. Betrachtet man z.B. zwei freie Elektronen, so l¨asst sich der sie bestimmende freie Anfangszustand (i: initial) folgendermaßen darstellen, E E 1 |φi i = ~k1 , s1 ~k2 , s2 = √ b† (~k1 , s1 )b† (~k2 , s2 ) |0i . 2

Die Evolution dieses Zustands unter Einfluss der Wechselwirkung l¨asst sich mit dem Zeitentwicklungsoperators beschreiben. Wenn der freie Anfangszustand zur Zeit t → −∞ vorliegt wird, dann gilt E (+) ˆ (t, t0 ) |φi i . Φ (t) = lim U i

t0 →−∞

Analog hierzu ist der Endzustand (f : final) des Streuexperiments |φf i, welcher durch die vorgegebene Z¨ahleranordnung festgelegt ist, wiederum ein freier Zustand. Das S– ¨ Matrixelement Sf i ist die Ubergangsamplitude zu einer beliebigen Zeit t zwischen dem E (+) wechselwirkenden Zustand Φi (t) , der sich aus dem freien Anfangszustand |φi i ent E (−) wickelt hat, und dem wechselwirkenden Zustand Φf (t) , welcher sich in der (unendlichen) Zukunft in den freien, gemessenen Endzustand |φf i entwickelt haben wird. Es ist (−) (+) ˆ (t1 , t)Uˆ (t, t2 ) |φi i Sf i = hΦf (t)|Φi (t)i = lim hφf | U t1 →+∞

t2 →−∞

ˆ (∞, −∞) |φi i = hφf | S |φi i . = hφf | U Somit f¨allt die beliebige Zeit t im Ausdruck f¨ ur Sf i heraus. Der S–Operator ist formal durch den Ausdruck  Z +∞  0 ˆ 0 S = T exp −i dt HI (t ) −∞

gegeben. Der S–Operator beinhaltet s¨amtliche Wechselwirkungsprozesse der zugrunde liegenden Feldtheorie (z.B. QED). Die Spezialisierung auf einen ganz bestimmten Prozess (beispielsweise e− + e− → e− + e− ) erfolgt allein durch die Wahl der Anfangs- und Endzust¨ande. Ein weiteres Beispiel ist der Stoßprozess e+ + e− → 2γ , welcher durch das S–Matrixelement 1 √ h0| a(~k1 , λ1 )a(~k2 , λ2 ) S b† (~ p1 , s1 )d† (~ p2 , s2 ) |0i 2 gegeben ist. M¨ochte man nun diesen Ausdruck auswerten, verfolgt man die Strategie: 1. Schritt: Entwicklung von S nach Potenzen von HI (St¨orungstheorie)

61

2. Schritt: Umwandlung des zeitgeordneten Produktes von Feldoperatoren in ein normalgeordnetes Produkt (Wicksches Theorem) S=

∞ X n=1

q 2n

X

fn (~ p 0 , s0 ; p~ 00 , s00 ; ~k 0 , λ0 ; ~k 00 , λ00 )a† (~k 0 , λ0 )a† (~k 00 , λ00 )b(~ p 0 , s0 )d(~ p 00 , s00 )

p ~ 0 ,s0 ,~ p 00 ,s00 ,···

+ alle anderen normalgeordneten Terme (diese tragen jedoch hierzu nicht bei)

4.3 Das Wicksche Theorem Verm¨oge des Wickschen Theorems l¨asst sich ein zeitgeordnetes Produkt von Feldoperatoren in ein normalgeordnetes Produkt umwandeln. Hierzu f¨ uhren wir zun¨achst den Begriff der Kontraktion (Symbol: φ(x) . . . φ(x0 ) . . .) ein: φ(x) φ(x0 ) ≡ h0| T (φ(x) φ(x0 )) |0i = i∆F (x − x0 ) , Aµ (x) Aν (x0 ) ≡ h0| T (Aµ (x) Aν (x0 )) |0i = iDF,µν (x − x0 ) , ψ α (x) ψ β (x0 ) ≡ h0| T (ψ α (x) ψ β (x0 )) |0i = iSF,αβ (x − x0 ) . Illustration am Beispiel des Boson–Feldes Aµ (x): Der Fall n =1: T (Aµ (x)) = : Aµ (x) : Der Fall n =2: T (Aµ (x1 )Aν (x2 )) = : Aµ (x1 )Aν (x2 ) : + Aµ (x1 )Aν (x2 ) ¨ Man erkennt die Aquivalenz, wenn man hiervon den Vakuumerwartungswert bildet und beachtet, dass h0|0i = 1 und

h0| : . . . : |0i = 0 .

Der Fall n =3: (ohne Beweis) T (Aµ (x1 ) Aν (x2 ) Aρ (x3 )) = : Aµ (x1 ) Aν (x2 ) Aρ (x3 ) : + : Aµ (x1 ) Aν (x2 ) Aρ (x3 ) : + : Aµ (x1 ) Aν (x2 ) Aρ (x3 ) : + : Aµ (x1 ) Aν (x2 ) Aρ (x3 ) : =

62

: Aµ (x1 ) Aν (x2 ) Aρ (x3 ) : + h0| T (Aµ (x1 )Aν (x2 )) |0i : Aρ (x3 ) : + h0| T (Aµ (x1 )Aρ (x3 )) |0i : Aν (x2 ) : + h0| T (Aν (x2 )Aρ (x3 )) |0i : Aµ (x1 ) : .

Der Fall n =4: (symbolisch) T (A B C D) =

: ABC D : +AB : C D : +AC : BD : +AD : BC : +BC : AD : +BD : AC : +C D : AB : +AB C D

+AC BD

+AD BC

+BC AD

+BD AC

+C D AB .

allgemein: Zeitgeordnetes Produkt =

Normalgeordn. Produkt (N.P.) + alle 1–fach kontrahierten N.P. + alle 2–fach kontrahierten N.P. +...

Fazit: Das Wicksche Theorem erm¨oglicht es, den S–Operator in eine normalgeordnete Form zu bringen. Beispiel: Wir betrachten in 2.Ordnung in HI den QED–Prozess e+ + e− → 2γ . In diesem Fall haben wir |Φi i = b† (~ p1 , s1 ) d† (~ p2 , s2 ) |0i ,

(2)

Sf i mit

hΦf | = h0| a(~k1 , λ1 ) a(~k2 , λ2 ) , Z Z (−i)2 4 = dx d4 x0 hΦf | S (2) |Φi i , 2! S (2) = T (HI (x) HI (x0 ))

und HI (x) = e : ψ(x)γ µ ψ(x) : Aµ (x) . Daraus ergibt sich unter Verwendung des Wickschen Theorems S (2) = e2 : ψ(x) γ µ ψ(x) Aµ (x) ψ(x0 ) γ ν ψ(x0 ) Aν (x0 ) : + e2 : ψ(x) γ µ ψ(x) Aµ (x) ψ(x0 ) γ ν ψ(x0 ) Aν (x0 ) : + alle weiteren Kontraktionen, die jedoch f¨ ur die gegebenen Anfangsund Endzust¨ande keinen Beitrag liefern.

63

x0 , ν

(1)

x, µ

(2)

und

x, µ

x0 , ν (2) (1) (2) Abbildung 4.3: Feynman–Diagramme der zu Sf i beitragenden Prozesse

4.4 St¨ orungstheorie in der Quantenelektrodynamik 4.4.1 Regeln f¨ ur die Feynman–Diagramme 1. Wirkungsquerschnitt und invariante Amplitude Mf i ∼ Sf i

Der differentielle Wirkungsquerschnitt f¨ ur den Stoßprozess zweier einfallender Teilchen, aus welchem N auslaufendee Teilchen resultieren, h¨angt mit der invarianten Amplitude M dieses Erzeugungsprozesses wie folgt zusammen (siehe zugeh¨origes symbolisches Diagramm in Abb. 4.4): ( ) N 3~ Y d k 1 i n(~ p1 ) n(~ p2 ) n(~ki ) dσ = |~v1 − ~v2 | (2π)3 i=1 ! N X × (2π)4 δ 4 p1 + p2 − ki Γ|M |2 . i=1

Hierzu werden die folgenden Erl¨auterungen gegeben: p1

k1

p2

kN

Abbildung 4.4: Diagramm des Stoßprozesses mit N Teilchen im Endzustand

a.) ~v1 und ~v2 sind die Geschwindigkeiten der kolinear einfallenden Teilchen. b.) n(~k) =

(

1 2ω~k m ω~k

f¨ ur Bosonen f¨ ur Fermionen

q mit ω~k = m2 + ~k 2 .

c.) Γ ist ein statistischer Faktor. Im Fall n identischer Teilchen im Endzustand ist Γ = n!1 .

64

¨ d.) Uber die Endimpulse nicht beobachteter Teilchen ist zu integrieren. ¨ e.) Uber die nicht festgelegten Quantenzahlen der Anfangszust¨ande wird gemittelt, u ¨ber nicht gemessene Quantenzahlen im Endzustand wird summiert.

2. Feynman–Regeln fu ¨r die invariante Amplitude in der Impulsdarstellung

p0

p

u(~ p 0 , s0 )

u(~ p, s)

Abbildung 4.5: Elektron im Anfangszustand, Elektron im Endzustand

−p

−p0 v(~ p 0 , s0 )

v(~ p, s)

Abbildung 4.6: Positron im Anfangszustand, Positron im Endzustand

k εµ (~k, λ)

k0 εν (~k 0 , λ0 )

Abbildung 4.7: Photon im Anfangszustand, Photon im Endzustand 1. Anfangs- und Endzust¨ande:

Lesrichtung: −→

Die ¨außerern Zust¨ande sind reelle sog. on–shell–Zust¨ande, d.h. die entsprechenden Viererimpulsvektoren liegen auf der Massenschale. Die Feynman–Symbole und die entsprechenden Faktoren sind in den Abbildungen 4.5, 4.6 und 4.7 dargestellt. Der Vierer–Polarisationsvektor εµ in Abb. 4.7 beschreibt die Polarisation von Photonen

65

in den ¨außeren Zust¨anden. Es gelten die Beziehungen εµ εµ = −1 , εµ k µ = 0 , kµ k µ = 0 .

(Transversalit¨at des Strahlungsfeldes) (Masselosigkeit des Photons)

In einem speziellen Lorentz–System kann εµ stets rein raumartig gew¨ahlt werden, εµ = (0, ~ε) ,

~ε · ~k = 0 ,

↔

Strahlungseichung.

2. Innere Linien: p

i

i SF (p) =



/p − m + i0+ gµν i DF, µν (q) = −i 2 q + i0+

q 




3. Vertex: p − p0

p

p0

Abbildung 4.8: Vertex mit trilinearer Kopplung a.) Viererimpulserhaltung am Vertex b.) Faktor −ie γ µ (Der Index µ wird noch mit dem Propagator kontrahiert!) 4. Wechselwirkung mit einem ¨außeren Feld: p − p0

p

p0

Abbildung 4.9: Wechselwirkung mit ¨außerem Feld Faktor wobei Aµext (p

0

−p)=

− ie γµ Aµext (p − p0 ) , Z

0

d4 x Aµext (x) e−i(p−p )ν x

5. F¨ ur jeden inneren geschlossenen Ring (Loop) ⇒

R

d4 q (2π)4

ν

. . ..

6. F¨ ur jeden geschlossenen Fermionen–Loop ein Faktor −1 (Pauli–Prinzip!).

66

Beispiel: e+ e− → e+ e− in Ordnung e4

Wir wollen nun an einem Loop–Diagramm, welches zur e+ e− –Streuung in Ordnung e4 beitr¨agt, die Feynman–Regeln veranschaulichen. Folgendes ist zu beachten: • Gesamt–Viererimpulserhaltung p1 + p2 = p01 + p02 • Zwei durchlaufende Fermionz¨ uge • Abs¨attigung der Spinorindizes innerhalb eines Fermionzuges Dem Feynman–Diagramm der Abbildung 4.10 entspricht der folgende mathematische Ausdruck: Z

−igνµ −igρσ d4 q (2π)4 (p1 − q)2 + i0+ (q + p2 )2 + i0+ i × v(~ γ ν u(~ p 2 , s2 ) γ ρ p 1 , s1 ) q/ − m + i0+ i γ µ v(~ × u(~ p 01 , s01 ) γ σ 0 p 02 , s02 ) + /p1 − /q − /p2 − m + i0

M =(−ie)

4







4.4.2 Elementare Tree–Diagramme a.) e− → e− + γ

virtueller Prozess p0 p

k

(1) Mf i = −i e εµ (~k, λ) u(~ p 0 , s0 )γ µ u(~ p, s)

Die spontane Emission eines Photons von einem on–shell Elektron ist ein virtueller Prozess, da bei diesem Streuprozess wegen der Gesamtviererimpulserhaltung am Vertex entweder das gestreute Elektron oder das emittierte Photon off–shell geht. b.) e+ + e− → γ

virtueller Prozess p k

(1) Mf i = −i e εµ (~k, λ) v(~ p, s0 )γ µ u(~ p, s)

−p0 67

−p02

p1 ν

p1 − q

µ

p01 − q − p2

q

ρ

−p2

q + p2

σ

p01

Abbildung 4.10: Dieses Loop–Diagramm ist eines von insgesamt 18 m¨oglichen Diagrammen f¨ ur den Prozess e+ e− → e+ e− in Ordnung e4 .

Dies ist ebenfalls ein virtueller Prozess, da wegen der Viererimpulserhaltung am Vertex eines der drei beteiligten Teilchen off–shell sein muss. c.) Streuung an einem ¨außeren Potenzial (Mott–Streuung)

p

p0

(1)

Mf i = −i e Aµext (p − p0 ) u(~ p 0 , s0 ) γµ u(~ p, s)

Das statische Coulombpotenzial eines Kerns der Ladung Ze liefert den Ausdruck Aµext (p − p0 ) = g µ0 δ(ωp~ − ωp~ 0 )

Ze . (~ p − p~ 0 )2

In der nichtrelativistischen N¨aherung reduziert sich die Mott–Streuung auf die Rutherford– Streuung. Bemerkung: W¨ahrend a) und b) virtuelle Prozesse sind, stellt c) einen realen Prozess dar, da das Elektron vor und nach dem Stoß on–shell sein kann. Der entsprechend Viererimpuls¨ ubertrag q µ = p0u − pµ wird von dem ¨außeren Potential vermittelt.

68

4.5 Prozesse in 2. Ordnung e − + γ → e− + γ

4.5.1 Compton–Streuung: p

|

k

p0 µ p+k ν {z

Teilprozess A

k0

p0 µ

p 0 ν p−k

+ }

|

k {z k 0

Teilprozess B

}

Im Teilprozess A erfolgt zun¨achst die Absorption und dann die Emission, w¨ahrend es im Teilprozess B erst zur Emisson und dann zur Absorption kommt. i γ µ u(~ p, s) , p/ + k/ − m i p 0 , s0 ) γ µ γ ν u(~ p, s) , B = (−i e)2 εν (~k 0 , λ0 ) εµ (~k, λ) u(~ 0 /p − k/ − m A = (−i e)2 εν (~k 0 , λ0 ) εµ (~k, λ) u(~ p 0 , s0 ) γ ν







(2)

MCompton = A + B . Man hat sich zur Interpretation der Feynman–Diagramme (St¨orungstheorie) eine gewisse Sprechweise angew¨ohnt: Zu A: Das Elektron im Anfangszustand absorbiert ein Photon und wird dadurch virtuell bzw. off–shell. F¨ ur den off–shell Zwischenzustand gilt (p + k)2 6= m2 . Erst nach Emission eines Photons geht es wieder in einen physikalischen on–shell Zustand u ¨ber. Zu B: Das reelle Elektron im Anfangszustand nimmt nach Emission eines reellen Photons zun¨achst einen virtuellen off–shell Zustand ein. Nach Absorption eines reellen Photons wird das virtuelle Elektron wieder on–shell, d.h. wieder ein reelles Elektron.

4.5.2 Bremsstrahlung Unter Bremsstrahlung versteht man den Prozess, bei dem ein Elektron im elektromagnetischen Feld Aµext eines Kernes abgelenkt wird und dabei ein Photon ausstrahlt. Das ubertrag derart, dass die ¨außeren Zust¨an¨außere Potential vermittelt einen Viererimpuls¨ de on–shell sein k¨onnen. Zwei Diagramme tragen zur Bremsstrahlung in 2. Ordnung bei:

69

0 0 ν p +k µ

p

k

p0

µ p − k0

p

+

0

p0 ν

k0

(2) Mf i = (−i e)2 εµ (~k 0 , λ0 )Aνext (p − p0 − k 0 ) h i i i p 0 , s0 ) γµ 0 γ + γ γ u(~ p, s) . × u(~ ν ν µ 0 0 p/ + k/ − m p/ − k/ − m





4.5.3 e+ + e− –Vernichtung in zwei γ p1

µ

p1 − k 1 −p2

ν

µ

p1

k1

p1 − k 2

+ ν

−p2

k2

k2

h (2) Mf i = (−i e)2 εµ (~k1 , λ1 ) εν (~k2 , λ2 ) v(~ p 2 , s2 ) γ ν

k1

i

γ µ u(~ p 1 , s1 ) p/1 − k/1 − m i i + εµ (~k2 , λ2 ) εν (~k1 , λ1 ) v(~ p 2 , s2 ) γ ν γ µ u(~ p 1 , s1 ) . p/1 − k/ 2 − m





(2)

Wie es die Bose–Statistik verlangt, ist die Amplitude Mf i symmetrisch unter Vertauschung der beiden Photonen.

4.5.4 Paarerzeugung im Coulombpotenzial Trifft ein γ–Quant ausreichender Energie (ω~k > 2m) auf Materie, dann kann ein e+ e− – Paar erzeugt werden. In 2. Ordnung besteht dieser Prozess aus den folgenden Beitr¨agen: ν k

70

p1

ν

µ p1 − k

+ −p2

k

−p2 µ k − p2

p1

h (2) Mf i = (−i e)2 u(~ p 1 , s1 ) γν

i i i γµ + γ µ γν v(~ p 2 , s2 ) p/1 − k/ − m k/ − p/2 − m





× εν (~k, λ) Aµext (k − p1 − p2 ) .

4.5.5 Møller–Streuung (e− + e− –Streuung) p01

p1

p1 − p01 p2

(2) MM/oller

p02

p1

p1 − p02

+ p2

p02

p01

h

−ig µν u(~ p2 0 , s02 ) γν u(~ p 2 , s2 ) 0 2 (p1 − p1 ) i −ig µν 0 0 p2 0 , s02 ) γµ u(~ p 1 , s1 ) u(~ p , s ) γ u(~ p , s ) . − u(~ 1 ν 2 2 1 (p1 − p02 )2

= (−i e) u(~ p1 0 , s01 ) γµ u(~ p 1 , s1 ) 2

Das erste Diagramm beschreibt die direkte Streuung , welche in Vorw¨artsrichtung maximal ist. Das zweite Diagramm beschreibt die Austauschstreuung, welche in R¨ uckw¨artsrichtung maximal ist. Beide Diagramme zusammen ergeben einen differentiellen Wirkungsquerschnitt, welcher symmetrisch um den Streuwinkel θ = 90o ist. In beiden Diagrammen ist das ausgetauschte virtuelle Photon raumartig, d.h. es ist qµ q µ < 0. Der relative Faktor −1 der beiden Beitr¨age resultiert aus dem Fermion–Charakter der beiden identischen Teilchen im Endzustand.

4.5.6 Bhabha–Streuung (e+ + e− –Streuung) p01

p1

|

−p2

p1 − p01 −p02 {z

Prozess A

−p02

p1 + }

−p2 |

p1 + p2 {z

Prozess B

p01 }

Merkmale der Prozesse: A:

• raumartiges Photon

• starke Winkelabh¨angigkeit

71

B:

• zeitartiges Photon

• schwache Winkelabh¨angigkeit (nur von Spinoren) −ig µν v(~ p2 , s2 ) γν v(~ p 02 , s02 ) , (p1 − p01 )2 −ig µν p2 , s2 ) γµ u(~ p 1 , s1 ) u(~ p 01 , s01 ) γν v(~ p 02 , s02 ) , B = (−i e)2 v(−~ 2 (p1 + p2 ) A = (−i e)2 u(~ p 01 , s01 ) γµ u(~ p 1 , s1 )

(2)

MBhabha = A + B .

4.5.7 e+ + e− → µ+ + µ−

Die Muonen koppeln an das Photon in gleicher Weise wie Elektron/Positron. Somit lautet der Lagrangian ν ν − eAν jMuon . L = L0, Elektron/Positron + L0,Muon − eAν jElektron/Positron

Der wesentliche Unterschied zur Bhabha–Streuung ist, dass das erste Diagramm (raum¨ artiges Photon) fehlt, da der daf¨ ur notwendige Elementarprozess des direkten Ubergangs ± ± e → µ durch Absorption bzw. Emission eines Photons nicht existiert. Das verbleibende Diagramm, in welchem ein zeitartiges Photon ausgetauscht wird, liefert nur eine schwache, von den Spinoren herr¨ uhrende Winkelabh¨angigkeit des Prozesses. e−

µ+

e+

µ−

−ig µν (2) Me+ e− →µ+ µ− = (−i e)2 v(~ p2 , s2 )γµ u(~ p 1 , s1 ) u(~ p0 , s0 )γν v(~ p 0 , s0 ) . | {z } (p1 + p2 )2 | 1 1 {z 2 2} e± −Stromdichte

µ± −Stromdichte

4.5.8 e+ + e− → Hadronen

Hadronen sind alle Teilchen, welche starke Wechselwirkung zeigen.

Quark–Hypothese: Die Hadronen setzen sich aus Quarks zusammen. Mesonen sind gebundene Zust¨ande von zwei Quarks, Baryonen sind gebundene Zust¨ande von drei Quarks. Quarks sind Dirac-Teilchen und koppeln an das Photon genau so wie die Leptonen. Somit ist der elementare Quark-Antiquark Erzeugungsprozess ganz analog zur µ+ µ− – Erzeugung. Die Hadronen entstehen dann in nachfolgenden Sekund¨arprozessen, welche auf der quantenchromodynamischen Wechselwirkung der Quarks beruhen.

72

Interessant ist somit die Untersuchung des Verh¨altnisses der totalen Wirkungsquerschnitte von e+ + e− → Hadronen und e+ + e− → µ+ µ− : 2 e− − Q i qi X + + i X Q2 e qi σetotal + e− →Hadronen i = R = = 2 total 2 e σe+ e− →µ+ µ− i e− − e µ + + e µ

Hierbei sind die {Qi } die einzelnen Quarkladungen. Die u-, d-, s-, c-, · · · -Quarks unterscheiden sich in ihrer sog. Flavour–Ladung. Das experimentell gemessene R gibt Hinweise, dass die Quarks neben der Flavour–Ladung auch eine sog. Farb–Ladung besitzen, wobei die zu Grunde liegende Symmetriegruppe die SU (3)colour –Gruppe ist. Im Rahmen der einzelnen Quark–Modelle ergeben sich f¨ ur R die folgenden Werte: SU (3)flavour Quark–Modell: {z } |

R =

4 9

+ 91 +

1 9

=

2 3

u, d, s

SU (3)flavour ×SU (3)colour Quark–Modell: | {z }

R = ( 49 + 19 + 19 ) × 3 = 2

u, d, s

SU (4)flavour ×SU (3)colour Quark–Modell: {z } |

R = ( 49 + 19 +

1 9

+ 49 ) × 3 =

10 3

u, d, s, c

Die experimentelle Bestimmung von R gibt Hinweise auf den Farbfreiheitsgrad der Quarks (hierzu sp¨ater mehr!). Das experimentell gemessene Rexp weicht um einen Faktor 3 von dem Wert der reinen SU (N )–Flavour Modelle ab. Dies ist einer unter mehreren Hinweisen, dass die Quarkdynamik einer SU (3)–Farbinvarianz unterliegt. Mit steigender Stoßenergie im Schwerpunktsystem des Elektron–Positron–Paars werden in R die verschiedenen Flavour–Schwellen (s, c, b, t) sichtbar.

73

4.6 Bhabha–Streuung in 4. Ordnung In 4. Ordnung treten UV–divergente Feynman–Diagramme auf. Diese wollen wir klassifizieren. Zur Erinnerung: 2. Ordnung (Lesrichtung jeweils von links nach rechts) p01

p1

q = p1 − p01 −p2 ∼

p1 +

−p2

q = p 1 + p2

−p02

1 (p1 − p01 )2

−p02

∼

p01

1 (p1 + p2 )2

2

mit q 2 = (q 0 ) − ~q 2 . 4. Ordnung: In 4. Ordnung setzt sich die invariante Amplitude bereits aus 18 Feynman–Diagrammen zusammen. Diese wollen wir nun skizzieren und einordnen. In 4. Ordnung besitzt jedes einzelne Diagramm einen sogenannten Loop, in welchem ein Viererimpuls uml¨auft. Das entsprechende 4-dimensionale loop-Integral ist entweder konvergent oder UV-divergent. Wir sortieren nun die 18 Diagramme nach ihrem Konvergenzgrad.

4.6.1 Konvergente Diagramme Es gibt vier konvergente Diagramme: p1

q + p1

q + p1 − p01

q −p02

p01

q − p02 1

+

+

−p02

2

+

3

4

Zum Beispiel entspricht das erste Diagramm dem folgenden Ausdruck:

74

1 = (−ie)

4

Z

d4 q 1 1 (2π)4 q 2 + i0+ (q + p1 − p01 )2 + i0+ 1 γν u(~ p 0 , s01 ) γµ p 1 , s1 ) × u(~ /q + p/1 − m + i0+ 1 × v(~ p 2 , s2 ) γ ν p2 0 , s02 ) γ µ v(~ + /q − /p2 − m + i0





UV–Konvergenzverhalten des Loop–Integrals Wick–Rotation: q → qE , wobei qE der euklidische Vierervektor ist, d.h. es gilt qE2 = q02 +~q 2 . Im sog. UV–Limes |qE | → ∞ sind die ¨außeren Impulse p1 , p01 , p2 , p02 sowie die Massen vernachl¨assigbar. Somit besitzen die Propagatoren das asymptotische Verhalten 1 , q2 1 Fermion–Propagator ∼ , q Photon–Propagator ∼

wobei q = |qE |. Das Loop–Integral in 1 wird unter Ber¨ ucksichtigung der Relation Z Z Z 4 4 d q → d qE ∝ dq q 3 zu (modulo eines aus der Winkelintegration resultiertenden Faktors) Z ∞ Z Λ Z ∞ 1 1 1 1 q3 1 4 lim ∼ dq 6 = d qE dq 3 . 2 2 Λ→∞ 0 qE qE qE qE q q 0 0 Die Diagramme 1 bis 4 sind also alle wohl definiert. Wegen eines extra Faktors α = 1/137 in 4. Ordnung im Vergleich zu den Termen 2. Ordnung ergeben diese Diagramme eine ungef¨ahr 1%ige Korrektur zur 2. Ordnung. Die 14 restlichen Diagramme sind divergent. Die divergenten Loop–Integrale lassen sich wie folgt klassifizieren: A.) Strahlungskorrektur des Vertex

Der aus drei Propagatoren zusammengesetzte Loop beschreibt eine Vertex-Korrektur und besitzt eine logarithmische UV–Divergenz, Z Λ Z 1 1 1 1 4 dq ∼ lim ln(Λ) . ∼ lim d qE 2 Λ→∞ 0 Λ→∞ qE qE qE q

75

B.) Strahlungskorrektur des Leptons (Selbstenergie–Korrektur des Leptons)

Das Loop–Integral

Z

1 1 ∼ lim d qE 2 qE qE Λ→∞ 4

Z

Λ 0

dq ∼ lim Λ Λ→∞

divergiert eigentlich linear mit dem cut–off. Aus Symmetrie–Gr¨ unden verschwindet jedoch der linear divergente Beitrag (siehe weiter unten). D.h. die Strahlungskorrektur des Leptons f¨ uhrt ebenfalls zu einer logarithmischen Divergenz. C.) Vakuum–Polarisation des Photons

Z Λ 1 dq q divergiert quadratisch mit Λ. Das Loop–Integral d qE 2 ∼ lim qE Λ→∞ 0 Beachte: Die im Impulsraum auftretenden UV–Divergenzen resultieren aus der lokalen Kopplung der Felder im Minkowski-Raum. Z

4

4.6.2 Diagramme mit Strahlungkorrektur des Vertex Vier Beitr¨ age

76

5

6

7

8

4.6.3 Diagramme mit Selbstenergie–Korrektur des Leptons Acht Beitr¨ age

9

10

11

12

13

14

15

16

4.6.4 Diagramme mit Vakuum–Polarisation des Photons Zwei Beitr¨ age

17

18

77

5 Grundlagen der Renormierungstheorie 5.1 Ein–Loop–Renormierung 5.1.1 Vakuum–Polarisation Photon–Propagator q

−igµν + i0+

q2

k

q

+



q

k−q

+

q2

−i −i Iµν (q, m2 ) 2 + + i0 q + i0+

Der Beitrag der Vakuum–Polarisation in Ordnung e2 zum Photon–Propagator, Z d4 k i i 2 2 Iµν (q, m ) = −(−ie) Tr γµ γν , 4 + (2π) k/ − m + i0 k/ − q − m + i0+





(5.1)

ist divergent. In der sog. Pauli-Villars Regularisierung, welche Lorentz- und eichinvariant ist, erfolgt die Renormierung verm¨oge eines Counter“–Terms, ” I µν (q) = Iµν (q, m2 ) − Iµν (q, M 2 ) . Hierbei ist M eine große Masse. Das Ergebnis h¨angt also zun¨achst von M ab! Alternativ ist auch eine sog. dimensionale Regularisierung m¨oglich, 4 → 4 − ε Dimensionen. Die weitere Auswertung des Ausdrucks (5.1) erfolgt mit Hilfe der Identit¨at Z ∞ i i(k/ + m ) iz(k 2 −m2 +i0+ ) / = ( k + m dz e . = ) k 2 − m2 + i0+ k/ − m + i0+ 0








Beachte: Die i0+ –Vorschrift regularisiert das Integral !!! Nach Ausf¨ uhrung der Spur erh¨alt man Z ∞ Z ∞ Z d4 k 2 2 Iµν (q, m ) = − 4(−ie) dz1 dz2 (2π)4 0 0   × kµ (k − q)ν + kν (k − q)µ − gµν (k 2 − kq − m2 )  × exp iz1 [k 2 − m2 + i0+ ] + iz2 [(k − q)2 − m2 + i0+ ] . 78

Im n¨achsten Schritt f¨ uhrt man eine quadratische Erg¨anzung im Exponenten aus, `=k−

qz1 qz2 =k−q+ . z1 + z 2 z1 + z 2

exp{ } ⇒ exp {i`2 (z1 + z2 )} , und schließlich    2  Z 1 q2 iα M 2 dz z(1 − z) ln 1 − 2 I µν (q) = − gµν q ln . −6 z(1 − z) 3π m2 m − i0+ 0 {z } |

Daraus folgt

unabh¨ angig von M 2 , das Integral existiert !!!

Der Photonpropagator wird also wiefolgt modifiziert:   2  igµν igµν α M 2α 2 − 2 ⇒ − 2 1− ln + J(q ) q q 3π m2 π mit 2

J(q ) = Verschiedene Grenzf¨alle:

Z

1 0



q 2 z(1 − z) dz z(1 − z) ln 1 − 2 m − i0+



.

1. statische Vakuum–Polarisation, q 2 → 0 lim J(q 2 ) → 0 , 2

q →0

in der N¨ahe von q 2 = 0 (d.h. im statischen Fall q 0 = 0 und f¨ ur kleine Impulsu ¨bertr¨age, also Coulomb–Potential bei großen Abst¨anden) ergibt sich die folgende Modifikation des Photon–Propagators −

igµν igµν → − 2 Z3 , 2 q q

mit der Renormierungskonstante der Ladung in Ordnung α  2 M α ln . Z3 = 1 − 3π m2 Coulomb–Streuung in Born’scher N¨aherung i e2 Hierbei bezeichnet e

uγ0 u q2

⇒

uγ0 u i e 2 Z3 2 . |{z} q ≡e2R

die nackte Ladung ,

(5.2)

die physikalische Ladung.

(5.3)

und eR = e

p Z3

79

Die Gr¨oße e2 hat selbst keine physikalische Bedeutung (nackte Ladung !), da die √ Vakuum–Polarisation immer vorhanden ist. Hingegen ist eR = e Z3 die physikalisch wirksame und daher experimentell messbare Ladung. Es gilt 1 e2R = αR ≈ 4π  2  .  137 M α 2 2 ln eR = e 1 − 3π m2 Renormierung der Ladung durch die statische Polarisierbarkeit des Vakuums! 2. Effekt der dynamischen Polarisation a) kleiner Impulsu ¨bertrag f¨ ur |~q|2 = −q 2  m2 gilt 2

J(q ) = −

Z

1

q2 1 q2 dz z (1 − z) 2 = − . m 30 m2 2

0

Propagator–Modifikation ie2 q2

⇒

2

  e2R αR q 2 i 2 1− q 15π m2

Dies f¨ uhrt im Ortsraum zu einer zus¨atzlichen Wechselwirkung am Ursprung  e2 αR ~ 2  e2R ⇒ 1+ ∇ 4πr 15πm2 4πr 2 2 e α e = R + R R2 δ 3 (~r) 4πr 15πm δ–Potenzial im Ursprung physikalischer Effekt! =⇒ Energie–Verschiebung in wasserstoffartigen Atomen mit Ladung Z. 1. Ordnung St¨ orungstheorie Ze2R αR |Ψn,l (0)|2 15πm2 Z 2 α2 m 8Z 2 α3 δl,0 = − 2 15πn3 Beitrag f¨ ur n = 2, l = 0, Z = 1: ν = ∆E = −27 · 106 Hz h ∆En,l = −

Lambshift: Unterschied zwischen 2S1/2 − 2P1/2 –Niveau im H–Atom. Die Frequenzverschiebung betr¨agt ungef¨ahr +1000 · 106 Hz (herr¨ uhrend von Nullpunktsfluktuationen des Strahlungsfeldes). Die Vakuumpolarisation liefert einen negativen Beitrag zur Lambshift, welcher experimentell mit einer Genauigkeit < 0.01 · 106 Hz best¨atigt wird.

80

b) großer Impulsu ¨bertrag |~q|2 = −q 2  m2 J(q 2 ) w¨achst logarithmisch, igµν igµν − 2 ⇒ − 2 q q



α 1− ln 3π



M2 m2

 

α 1+ ln 3π



|~q|2 m2



.

d.f.: bei q~ 2 = M 2 kompensiert die dynamische Korrektur gerade die Ladungsrenormierung. Vermutung: In Streuexperimenten sieht man im Limes |~q|2 → ∞ (beachte M 2 → ∞ !!) gerade die nackte“ Ladung. ” Zeitartiges Photon q 2 > 4m2 Im Bereich q 2 > 4m2 ist J(q 2 ) komplex. Der Imagin¨arteil, welcher f¨ ur q 2 > 4m2 auftritt, beschreibt die M¨oglichkeit der Erzeugung eines e+ e− –Paares aus einem zeitartigen Photon. Renormierung von a¨ußeren Photon–Linien durch Vakuum–Polarisation. q

q

(q 2 = 0)

q

+

e

(q 2 = 0)

e

Die Hinzunahme der Vakuumpolarisation ergibt e0 ⇒ e 0

p Z3 = e R .

5.1.2 Strahlungskorrektur des Dirac–Propagators

p 

p

→ 

+

+

p

p−k

p

p

k p−k

p

k +

p−k

p

k

··· . 81

SF (p)

SF0 (p) =

 X  i i −i (p) /p − m /p − m  X   X  i i i + −i (p) −i (p) /p − m /p − m /p − m i /p − m




+
















+ ··· =

i /p − m

1


1−

P

(p) p /−m 

=

i P . /p − m − (p)


Nach Einf¨ uhrung einer kleinen Photonenmasse λ zur Vermeidung einer Infrarot–Divergenz, 2 d.h. λ  m2 , erhalten wir f¨ ur die Selbstenergie den UV–divergenten Integralausdruck Z X X d4 k −i i 2 γν . −i (p) → −i (p, λ) = (−ie) γν 4 2 2 + (2π) k − λ + i0 /p − k/ − m + i0+ Pauli–Villars–Regularisierung: Λ 2  m2 X X X (p) = (p, λ) − (p, Λ) .

Die Auswertung des Integrals erfolgt analog zur Vakuum–Polarisation“, ”    2 X Λ α Λ2 3α m ln − (/p − m) ln (p) = 4π m2 4π m2   Z 1   α m2 z 2 + λ2 (1 − z) + dz 2m − /p(1 − z) ln . 2π 0 m2 z + λ2 (1 − z) − p2 z(1 − z) Die weitere Auswertung ergibt f¨ ur mλ  p2 − m2  m2 X   (p) = δm − Z2−1 − 1 + C(p) (/p − m)

mit



3α δm = m ln 4π und Z2−1

Λ2 m2

(5.4)



  2  2  Λ m α ln − 2 ln . −1 = 2 4π m λ2

Die Funktion C(p) ist unabh¨angig vom Cut–Off Λ. Ferner ist C(p2 = m2 ) = 0. Damit ergibt sich iZ2 i = P (p/ − m) [1 + Z2 C(p)] − Z2 δm /p − m − (p) iZ2 + O(α2 ) . = (/p − m − δm) [1 + C(p)] | {z }





=/ p−mph

82

Wir identifizieren mph = m + δm

als physikalische Masse.

Beachte: Die Notwendigkeit der Massenrenormierung tritt schon in der klassischen Elektrodynamik auf. Klassisches Elektron mit Radius a: α m+ . a |{z} el.–magn. Selbstenergie

F¨ ur eine Punktladung gilt der Limes a → 0. Somit divergiert die Selbstenergie invers zum Elektronenradius.

In unserem quantenfeldtheoretischen Fall tritt jedoch nur eine logarithmische Divergenz auf, und zwar wegen der M¨oglichkeit der Erzeugung virtueller Teilchen–Antiteilchen Paare, welche die Potential-Singularit¨at am Ursprung abschw¨achen (vgl. Weisskopf, 1939). Beachte, dass δm formal divergent ist, jedoch ist δm  1 f¨ ur Λ  m e2π/3α ≈ 10100 m. m Hierzu im Vergleich: die Gesamtmasse des Universums betr¨agt ≈ 1080 m. Die Dressing“–Funktion C(p) modifiziert den Elektron–Propagator, was einen physika” lischen Effekt darstellt. Die Renormierungskonstante Z2 des Elektronpropagators ist analog zu Z3 des Photon– Propagator. Es besteht die M¨oglichkeit Z2 durch Renormierung der Ladung zu absorbieren. Dies ist jedoch unn¨otig, da Z2 exakt durch die Vertex–Renormierung kompensiert wird.

5.1.3 Vertex–Renormierung

p

p0 q = p − p0

− i e γµ µ

0

2

Λ (p , p) = (−i) 4π α

Z

→

+

p

p0 q = p − p0

− i e γ µ + − i e Λµ (p0 , p)

d4 k −i i γ ν 0 p/ − k − m + i0+ (2π)4 k 2 − λ2 + i0+ i × γµ γν . + /p − k/ − m + i0

Zur Vermeidung einer Infrarot–Divergenz wurde zun¨achst eine endliche Photon–Masse eingef¨ uhrt. Wiederum tritt eine UV–Divergenz auf. Isolierung der UV–Divergenz, indem wir setzen: p02 = m2 , p2 = m2 , und q = p − p0 = 0 .

83

Ferner f¨ uhren wir eine Pauli–Villars–Regularisierung durch. µ

γ µ → γ µ + Λ (p, p) = Z1−1 γ µ , wobei Z1 = Z1 (m, λ, Λ) logarithmisch divergent f¨ ur Λ → ∞ ist. Somit ist
µ Λ (p, p) = Z1−1 − 1 γ µ .

Nun ist zu zeigen:

Z 1 = Z2 .

Hierzu gehen wir von der Identit¨at 1 ∂ 1 1 =− γµ ∂pµ p/ − m p/ − m p/ − m aus, woraus folgt µ

Λ (p, p) = −

∂

P

(p) . ∂pµ

Diese sog. Ward–Identit¨at gilt sogar in allen Ordnungen von α. Sie gilt mit oder ohne Pauli–Villars Regularisierung. Aus Gl. (5.4) folgt aber direkt P   ∂ = − Z2−1 − 1 γ µ , ∂pµ und damit

  µ Λ (p, p) = Z2−1 − 1 γ µ , ⇒

Z1 = Z2 .

Diese Beziehung wurde hier nun in Ordnung α2 gezeigt. Sie gilt jedoch streng in allen Ordnungen von α. Wir fassen nun alle Beitr¨age zur Ladungsrenormierung zusammen: p

p q=0

⇒

+

+

−i e γ

µ

+ p p q → − ieγ Z3 Z2 Z1−1 | {z } =1 p µ = − i e Z3 γ = −i eph γ µ . | {z } µ

=eph

84

+

Die Ladungsrenormierung kommt also allein durch die statische Vakuum–Polarisation zustande. Sei im Folgenden nun p0 6= p, Λµ (p0 , p) =


Z1−1 − 1 γ µ +

Λµc (p0 , p) | {z }

.

unabh. von UV–cutoff

Die weitere Rechnung ergibt:

a.) Λµc (p0 , p) liefert Beitrag zum magnetischen Moment des Elektrons  α µB ⇒ 1 + µB (Schwinger, 1948) 2π b.) Λµc (p0 , p) ergibt eine zus¨atzliche Wechselwirkung zum Coulomb–Potenzial. Diese liefert einen Beitrag zur Lamb–Shift.

5.2 Bedingungen f¨ ur die Renormierbarkeit von Feldtheorien Beispiel: Skalarfeld mit Selbstwechselwirkung L(ϕ) = L0 (ϕ) + LI (ϕ) mit LI (ϕ) = λϕn

n ∈ {3, 4, 5, . . .} .

Diese Wechselwirkung f¨ uhrt zu einem Vertex mit n Beinen. Der Fall n = 5 ergibt also den Vertex

Welche Werte f¨ ur n f¨ uhren zu renormierbaren Feldtheorien in (3 + 1)–Dimensionen? Begriff des Einteilchen–irreduziblen Graphen Solche Graphen k¨onnen nicht in zwei nichtzusammenh¨angende Graphen zerlegt werden, indem man nur eine innere Linie durchschneidet. 1p–reduzibel:

85

1p–irreduzibel:

Generelle Charakterisierung solcher Diagramme:

• l = Zahl der externen Beine • i = Zahl der internen Linien (Propagatoren) • v = Zahl der Vertices • n = Potenz des Feldes in der Wechselwirkung Diese Gr¨oßen sind u upft: ¨ber die folgende Relation miteinander verkn¨ nv = l + 2i .

(5.5)

Beispiel mit l = 6, i = 3, v = 3 und n = 4:

5.2.1 Divergenzgrad von 1p–irreduziblen Diagrammen Feynman–Regeln: • f¨ ur jede innere Linie (im UV–Limes)

R

d4 q q2

• f¨ ur jeden Vertex ein Faktor δ 4 (. . .) (Viererimpulserhaltung !!) Divergenzgrad des Diagramms: Z Z qd 4 2i−4v d qq = d4 q 4 q

!

d 58, 4 GeV/c2 . An dem im Bau befindlichen Large–Hadron–Collider“ (LHC) des CERN sollten Schwer” punktsenergien bei Hadron–Stoßexperimenten m¨oglich sein, die zur Erzeugung von freien Higgs–Teilchen ausreichen. 1. Eichfelder Die Eichfelder sind vier Vektorfelder, welche die adjungierte Darstellung der Eichgruppe SU (2)W × U (1)YW aufspannen. Die zum schwachen Isospin geh¨origen Eichfelder nennen wir Wµa (x), (a = 1, 2, 3), und das zur schwachen Hyperladung YW geh¨orige Eichfeld sei Bµ (x). Der Lagrangian der Eichfelder lautet somit 1 a a, µν 1 LE = − Fµν F − Fµν F µν , 4 4

(8.8)

mit a Fµν = ∂µ Wνa − ∂ν Wµa + g2 εabc Wµb Wνc ,

Fµν = ∂µ Bν − ∂ν Bµ .

(8.9)

Hierbei sind g1 und g2 die Kopplungskonstanten f¨ ur die schwache Hyperladung und f¨ ur den schwachen Isospin. 2. Fermionen Die Fermionen ordnen wir in Teilchenpaare (der Index j numeriert die Paare) { ψFl } = { (aj , bj ) } = (νe , e− ), (νµ , µ− ), (ντ , τ − ), · · · , (u, d0 ), (c, s0 ), (t, b0 ), · · · . Die Primes“ an d, s und b weisen darauf hin, dass die Cabbibo–transformierten Felder ” verwendet werden. Die linksh¨andigen Felder formieren Isospin–Dubletts, w¨ahrend die rechtsh¨andigen Felder Isospin–Singuletts bilden. Die schwache Hyperladung wird so zugeordnet, dass die elektrischen Ladungen der Gell-Mann–Nishijima Beziehung gen¨ ugen, (0)

Q = IW + 21 YW . Somit erh¨alt die Lagrange–Dichte der Fermionen die Form Xn j
LF = ψ L γ µ i ∂µ + 12 g2 τ a Wµa + 12 g1 yj Bµ ψ jL i


+ aRj γ µ i ∂µ + 21 g1 αj Bµ ajR

o
j + bR γ µ i ∂µ + 21 g1 βj Bµ bjR .

Die Gell-Man–Nishijima Relation ist erf¨ ullt, wenn f¨ ur αj und βj gilt αj = 1 + y j ,

116

βj = −1 + yj .

3. Higgs–Potenzial Wir zielen darauf hin, dass zwei geladene und ein neutrales Eichboson durch den Higgs– Kibble–Mechanismus massiv werden und das Photon masselos bleibt. Um dies zu erreichen, zielen wir darauf hin, dass die SU (2)W × U (1)YW –Symmetrie derart spontan gebrochen wird, das die elektromagnetische Eichgruppe U (1)em als Restsymmetrie er
halten bleibt. Hierzu w¨ahlen wir zwei komplexe Skalarfelder φ(x) = φ+ (x) , φ0 (x) , welche ein Dublett des schwachen Isospins bilden und eichinvariant an die Vektorbo˜ sonen koppeln. Das entsprechende ladungskonjugierte Higgs–Feld hat die Form φ(x) =
0∗ − − φ (x), φ (x) . Der Lagrangian des Higgs–Feldes einschließlich des symmetriebrechenden Potenzials und der Ankopplung an die Eichfelder und an die Fermionen erh¨alt dann die Form
2 LH = ∂µ − i 21 g2 τ a Wµa − i 21 g1 Bµ φ − 14 λ ( φ† φ − 12 v 2 )2 X
i + gi,j aRi φ˜∗ ψ jL − g˜ij bR φ∗ ψ jL + h.c. . i,j

Die Lagrange–Dichte der GSW–Theorie ist dann die Summe dieser einzelnen Beitr¨age: L = L E + LF + LH .

8.2.2 Spontane Symmetriebrechung in der GSW–Theorie Im Higgs–Potenzial ergibt sich f¨ ur den Grundzustand die allgemeine Form   0 i η a τ a √1 . φ0 = e 2 v Hierbei gibt der Vektor ~η mit Komponenten η a die Orientierung des Grundzustandes im Isospinraum an. F¨ ur einen gegebenen Vektor ~η bricht der Grundzustand die Symmetrie √ des Higgs–Potenzials. Der Betrag des Grundzustandes nimmt den Wert |φ0 | = v/ 2 ein. Wir w¨ahlen nun die Phase von φ0 so, dass die verbleibende Symmetrie die der elektromagnetischen Eichtransformation U (1)em ist, welche von der elektrischen Ladung erzeugt wird,    
1 0 φ0 1 (0) 1 Q φ 0 = I W + 2 YW φ0 = = 0. 0 0 φ0 2 Dies wird durch die Wahl ~η = 0 erf¨ ullt.

Mit der Wahl η~ = 0 besitzen angeregte Zust¨ande die Form   0 i ζ a (x) τ a /2v √1 φ(x) = e . 2 v + ρ(x) Hierbei entspricht das skalare Feld ρ(x) der massiven radialen Anregung im Higgs– Potenzial, w¨ahrend die drei Phasenfelder ξ a (x) masselose Goldstone–Anregungen beschreiben.

117

Elimination der Goldstone–Anregungen Verm¨oge der Eichtransformationsfunktion g(x) = e−i ζ

a (x) τ a /2v

k¨onnen die Goldstone–Felder weggeicht“ werden. Wir erhalten ”

g2

0

φ(x)

→

φ (x)

= g(x) φ(x) =

ψL (x)

→

ψL0 (x)

= g(x) ψL (x)

√1 2

τ a Wµa (x)

→

g2

√1 2

a

√1 2

τ a W 0 µ (x) = g(x) − i ∂µ + g2



0 v + ρ(x)

√1 2




τ a Wµa (x) g −1 (x)

Die Isospin–Singulett–Felder ψR (x) und das zur schwachen Hyperladung geh¨orige Eichfeld B µ (x) bleiben von dieser Eichtransformation unber¨ uhrt. Nach Elimination der Goldstone–Felder erh¨alt die Lagrangedichte die Form L = LHiggs + LFermion + LEich + LInt mit LHiggs =


1 ∂µ ρ ∂ µ ρ − 21 λv 2 ρ2 , 2


v LFermion = + eR i ∂/ eR + Le i∂/ Le − Ge √ eR e L + eL e R 2
v + µR i ∂/ µR + Lµ i∂/ Lµ − Gµ √ µR µ L + µL µ R 2
v + τ R i ∂/ τ R + Lτ i∂/ Lτ − Gτ √ τ R τ L + τ L τ R 2 + Beitr¨age der Quarks 1 a a, µν 1 LEich = − Fµν F − Fµν F µν 4 4
2
 1 2 − v g1 Bµ − g2 Wµ3 + g22 Wµ1 W 1, µ + Wµ2 W 2, µ 8 | {z } = 2 Wµ+ W −, µ

Wir k¨onnen aus dem in den Feldern quadratischen Anteil der Lagrangedichte schließen: p • Das Higgs–Boson hat die Masse v λ/2 • Die Neutrinos bleiben masselos

√ √ √ • Die leptonischen Massen sind Me = Ge v/ 2, Mµ = Gµ v/ 2 und Mτ = Gτ v/ 2

118

√1 (W 1 µ 2

• Das geladene Vektorfeld Wµ± =

± i Wµ2 ) ist ebenfalls massiv,

MW ± =

1 2

v g2 .

• Die quadratische Form in Bµ und Wµ3 kann diagonalisiert werden gem¨aß

sodass


1 3 Zµ = p 2 −g B + g W , µ 1 2 µ g1 + g22
1 3 , +g B Aµ = p 2 µ + g 1 Wµ 2 g1 + g22 MZ

q = v g12 + g22 , 1 2

MA = 0 .

Das neutrale Z–Boson erh¨alt also Masse w¨ahrend das Photon masselos bleibt. Der Beitrag LInt in L beschreibt die Wechselwirkung der Felder untereinander. Ausgedr¨ uckt durch die physikalischen Felder Wµ± (x), Zµ (x) und Aµ (x) erh¨alt der leptonische Wechselwirkungsterm die Form Lint,Lept = − q eγ µ e Aµ
 g  + √ ν e γ µ − γ 5 e Wµ+ + h.c. . 2 2 

 g − ν e γ µ − γ 5 ν e − eγ µ − 4 sin2 ΘW − γ 5 e Zµ 4 cos ΘW + {e → µ} + {e → τ }











Der in Abschnitt 8.1.1 eingef¨ uhrte Weinberg–Winkel h¨angt mit den Kopplungsparametern wiefolgt zusammen

bzw.

g g e =p 1 2 , g12 + g22

tan θW =

e = g1 cos θW = g2 sin θW .

g1 , g2

(8.10)

(8.11)

Hierbei ist e die die u ¨bliche elektromagnetische Kopplungskonstante an das Viererpotential Aµ (x). Die Kopplungskonstanten g2 entspricht gW und der Zusammenhang mit der Fermischen Konstanten GF ist in Gl. (8.7) gegeben. Aus den Niederenegieparametern GF , α = e2 /4π, sin2 θW k¨onnen somit die Massen der Eichbosonen und die beiden Kopplungskonstanten g1 und g2 bestimmt werden. Der einzige verbleibende freie Parameter ist der St¨arkeparameter λ des Higgs-Potenzials.

119

Abschließend fassen wir zusammen: Die GSW–Theorie f¨ uhrt auf die folgenden leptonischen Elementarprozesse: e− e−

γ5

e−

e− γ

Z0

νe

e∓ νe

νe W±

Z0

Entsprechende Diagramme gelten f¨ ur die zweite und dritte Leptonfamilie sowie f¨ ur die Ankopplung der Vektorbosonen an die Quarkstr¨ome. Ende der Vorlesung

120