Quantenfeldtheorie 003

QM-II: Vielteilchen-Theorie, Quantenfeldtheorie K.Goeke, SS 2006 June 2, 2006

2

Contents 1 Nicht-relativistische Vielteilchen-Theorie 1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

7

Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Postulate, Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Konstruktion symmetrischer und anti-symmetrischer VielteilchenZust¨ ande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Das Pauli-Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Erzeugungs- und Vernichtungs-Operatoren . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Formalismus der ”zweiten Quantisierung” . . . . . . . . . 1.3.2 Teilchen-Loch Anregungen, Transformation der Basis, FeldOperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Symmetrische Operatoren im Fock-Raum . . . . . . . . .

20 24

Theoreme der Vielteilchen-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Wick-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Thouless Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hartree-Fock Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Variationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3 Hartree-Fock im Orstraum, dichteabh¨angig . . . . . . . 1.5.4 Density dependent Hartree-Fock for nuclei: Applications

. . . . . . . .

28 28 29 29 29 31 34 39

Zeitabh¨angige Hartree-Fock-Theorie (TDHF) . . . . . . . . . . . 1.6.1 Variationsprinzipien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2 Random Phase Approximation . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.3 Stabilit¨ at der Hartree-Fock-L¨osung, spuriose L¨osungen . 1.6.4 Random–Phase-Approximation in der Kernphysik: Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hartree-Fock-Bogoliubov Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1 BCS-Theory, pairing correlations . . . . . . . . . . . . . . 1.7.2 Quasi-Particles and Hartree-Fock-Bogoliuibov-theory . . .

42 42 43 48

3

7 7 9 12 14 16 16

51 55 55 57

4

CONTENTS

2 Relativistische Einteilchen-Gleichungen 2.1 Relativistische Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Nat¨ urliche Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Kovariante und Kontravariante Vektoren . . . . . . . . . 2.2 Klein-Gordon-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Dirac-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 4-Spinoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Lorentz-Kovarianz der Dirac-Gleichung . . . . . . . . . . 2.3.3 Bilineare Kovarianten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4 Freie Dirac-Gleichung: Ebene Wellen . . . . . . . . . . . . 2.3.5 Externes elektromagnetisches Feld: Minimale Substitution 2.3.6 Nichtrelativistischer Limes: Pauli-Gleichung . . . . . . . . 2.3.7 Parity, Time reversal (Dirac Equation) . . . . . . . . . . . 2.3.8 Charge conjugation (Dirac Equation) . . . . . . . . . . . 2.3.9 Massless particles (Dirac Equation) . . . . . . . . . . . . . 2.3.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63 63 63 64 65 68 68 75 79 81 85 88 90 92 93 94

3 Klassische Feldtheorie 95 3.1 Feldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.2

3.3

3.4 3.5

3.1.1 Das Feld mit unendlich vielen Freiheitsgraden . . . . . . . 95 3.1.2 Bewegungsgleichungen, Hamiltonsches Prinzip . . . . . . 96 3.1.3 Hamilton-Formalismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Lorentz-Transformations and Poincare-Group . . . . . . . . . . . 101 3.2.1 Lorentz Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 3.2.2 The Poincar´e Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.2.3 Lorentz group: Scalar, Vector, and Spinor Fields . . . . . 105 3.2.4 Relativistic Quantum Fields (shift to later section) . . . . 108 Symmetrien und Erhaltungsgr¨oßen . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3.3.1 Invarianzen und Erhaltungsgr¨oßen . . . . . . . . . . . . . 109 3.3.2 Symmetrien, Kontinuit¨atsgleichung, Energie-Impuls-Tensor, Noether-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 3.3.3 Globale Phasentransformation, Ladung . . . . . . . . . . 115 3.3.4 Poincar´e-Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Das Maxwell-Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Relativistic Mean Field Theory for Nuclei: . . . . . . . . . . . . . 125 3.5.1 Relativistic Hartree-Fock . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 3.5.2 Relativistic Mean Field in Nuclei: Application: . . . . . . 127 3.5.3 Relativistic RPA in nuclei: Applications . . . . . . . . . . 127

4 Das quantisierte Klein-Gordon-Feld 133 4.1 Quantisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4.1.1 4.1.2

Postulate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Hamilton-Op., Op. des 4-Impulses, Energie-Impuls-Op. . 134

CONTENTS

5

4.1.3 4.1.4 4.1.5

Feldquanten des KG-Feldes: Bosonen . . . . . . . . . . . 137 Das komplexe Klein-Gordon-Feld . . . . . . . . . . . . . . 152 Kovariante Vertauschungsrelationen . . . . . . . . . . . . 157

5 Das quantisierte Dirac-Feld 169 5.1 Quantisierung und Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 5.2 5.3 5.4 5.5

Propagatoren . . . Parity . . . . . . . Charge conjugation Time reversal . . .

. . . .

173 177 178 179

6 Das quantisierte Maxwell-Feld 6.1 Gauge Theory vs. covariant quantization . . . . . . . . . . . . . 6.2 Transversal, scalar and logitudinal Photons . . . . . . . . . . . . 6.3 Photon-Propagatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

181 181

7 S-matrix theorie 7.1 The interaction picture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Schr¨ odinger-picture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2 Heisenberg-picture: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.3 Interaction picture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 S-Matrix expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Wicks-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 ———————————————–Hamilton principle . 7.3.2 Free massive boson field with spin S=0 (Klein-Gordon): 7.3.3 Free massive fermion field with spin S=1/2 (Dirac): . . 7.3.4 Free massles bosonic field of Spin=1 (Maxwell) . . . . . 7.3.5 Fermion-Boson-coupling . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.6 Bilinear covariants: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.7 Parity, time reversal, charge conjugation . . . . . . . . . 7.4 Canonical field quantization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1 General remarks: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2 Quantized Klein-Gordon-Field: . . . . . . . . . . . . . . 7.4.3 Quantized Dirac-field: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.4 Quantized Maxwell-field: . . . . . . . . . . . . . . . . .

193 194 194 194 195 197 199 201 202 203 204 205 206 206 207 207 208 211 212

8 Global symmetries 8.1

. . . .

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184 189

215

Symmetries and currents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 8.1.1 Elements of Lie-Group theory . . . . . . . . . . . . . . . . 215 8.1.2 Noether Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

6

CONTENTS

9 Local symmetries 9.1 The gauge principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.1 Abelian gauge theory: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.2 Non-abelian gauge theory . . . . . . . . . . . . . . . . . .

225 225 225 230

Chapter 1

Nicht-relativistische Vielteilchen-Theorie 1.1

Grundlagen

1.1.1

Definitionen

Wir nennen zwei elementare Teilchen identisch, wenn alle ihre intrinsischen Eigenschaften identisch sind, d.h. ihre Masse, Ladung, Spin, Flavour, Colour, etc.....alle Quantenzahlen. Wir werden sehen, daß man in nat¨ urlicher Weise zwei Sorten von elementaren Teilchen unterscheidet: Fermionen, deren Zustand antisymmetrisch ist, und Bosonen, deren Zustand symmetrisch ist. Wir werden nach der Quantisierung relativistischer Felder feststellen, daß Fermionen Teilchen mit halbzahligem Spin und Bosonen Teilchen mit ganzzahligem spin sind. Dieses ist die Aussage des Sppin-Statistik-Theorems. Beispiele f¨ ur elementare Fermionen sind die Leptonen (Elektron, Myon, Tauon, Positron,..., Neutrino,...), die Quarks (up, down, strange,....Anti-up,....). Beispiele f¨ ur elementare Bosonen sind Feldquanten (Photonen, W-Bosonen, Z-Bosonen, Gluonen, Gravitonen, Higgs-Bosonen,....). Zwischen komplexen Systemen, die aus identischen Teilchen zusammengesetzt sind, haben wir Identit¨ at genau dann, wenn diese sich im exakt gleichen Vielteilchen-Zustand befinden, ist das nicht gegeben, dann sind sie nicht identisch. Identische Systeme sind nicht unterscheidbar. Das bedeutet: Es gibt keinen Meßprozeß, der zwei identische Systeme unterscheiden k¨onnte. Klassische Physik In der klassischen Physik gibt es im Prinzip nicht den Begriff identischer Teilchen. Klassische Teilchen bzw. klassische Systeme sind immer unterscheidbar. Zwei klassische Teilchen m¨ ogen die gleichen Eigenschaften haben, aber dennoch kann 7

8

CHAPTER 1. NICHT-RELATIVISTISCHE VIELTEILCHEN-THEORIE

man sie unterschiedlich kennzeichnen (anmalen) und man kann immer Meßprozesse finden, die auf diese Kennzeichnung reagieren.1 Quantenphysik In der Quantenmechanik ist das Konzept identischer Teilchen vorhanden, aber keineswegs trivial. Die Tatsache der Nicht-Unterscheidbarkeit hat weitreichende Konsequenzen, die man am besten in der statistischen Mechanik sieht. Dort spielt die Entropie eine große Rolle, sie ist definiert durch S = kB log Ω

Ω=Anzahl der Zust¨ande

Dort haben wir klassisch und quantenmechanisch verschiedene Abz¨ahlweisen. Nimm z.B. 3 verschiedene Zust¨ande und verteile 2 identische Teilchen A und B auf sie. Dann unterscheiden wir drei F¨alle: Boltzmann-Statistik: Klassische unterscheidbare Teilchen, i.e. 9 verschiedene 2-Teilchen Zust¨ande. Zustand 1 Zustand 3 Zustand 3 AB − − − AB − − − AB A B − B A − A − B B − A − A B − B A Bose-Einstein-Statistik: Nicht-unterscheidbare Teilchen mit geradzahligem Spin, i.e. Bosonen wie Eichbosonen, Photonen, Pionen, Kaonen, Gluonen, WBosonen, Z-Bosonen, Atomkerne und Atome mit ganzzahligem Spin. Zustand 1 Zustand 2 Zustand 3 AA − − − AA − − − AA A A − A − A − A A Fermi-Dirac Statistik: Nicht-unterscheidbare Teilchen mit halbzahligem Spin, i.e. Fermionen wie Leptonen, Quarks, Neutrinos, Nukleonen, DeltaIsobar, Atome und Atomkerne mit halbzahligem Spin: 3 verschiedene 2-Teilchen Zust¨ ande 1 In der klassischen statistischen Mechanik wird bei der Behandlung der Mischungsentropie (Gibbsches Paradoxon) ein Faktor 1/N! von Hand in die Zustandssumme eingef¨ ugt, der die Identit¨ at von Teilchen ber¨ ucksichtigt. Dies ist jedoch eine reine ph¨ anomenologische Behandlung ohne tieferen theoretischen Hintergrund.

1.1. GRUNDLAGEN

9

Zustand 1 Zustand 2 Zustand 3 A A − A − A − A A Offenbar liegen in allen drei Statistiken v¨ollig verschiedene Abz¨ahlweisen vor.

1.1.2

Postulate, Definitionen

Das Ziel der quantenmechanischen Vielteilchentheorie ist einen Formalismus zu konstuieren, bei dem man Teilchen austauschen kann, ohne die meßbaren Eigenschaften des Systems zu ver¨ andern Postulate Postulat 1: Der Hamiltonoperator eines Systems von N identischen Teilchen und jeder andere Operator A(x1 , x2 , ..., xN ), der einer Observablen zugeordnet ist, ist invariant bzgl. einer Permutation der Teilchenkoordinaten2 . Postulat 2: Die Wellenfunktion ψ(x1 , x2 , ..., xN ) eines Systems von N identischen Teilchen ¨ andert sich bei einer beliebigen Permutation der Teilchenkoordinaten h¨ ochstens um eine Phase. Hilbert-R¨ aume f¨ ur Vielteilchensysteme Betrachte eine 1-Teilchen-Basis (e.g. harmonischer Oszillator) uα (x) α = 1, 2, .... P Allgemeiner 1-Teilchen-Zustand: ψ(x) = α Cα uα (x) Basis: uα (x) P Allgemeiner 2-Teilchen-Zustand: ψ(x1 , x2 ) = αβ Cαβ uα (x1 )uβ (x2 ) Basis: uα (x1 )uβ (x2 ) P Allgemeiner N -Teilchen Zustand: ψ(x1 , x2 , ..., xN ) = αβ....ν Cαβ....ν uα (x1 )uβ (x2 )....uν (xN ) Basis: uα (x1 )uβ (x2 )....uν (xN ) Im abstrakten Hilbert-Raum k¨ onnen wir die Basis f¨ ur den N -Teilchen HilbertRaum definieren : Basis for N -particle Hilbert space: |uα (1)i |uβ (2)i ... |uν (N )i In dieser Basis k¨ onnen wir einen N -Teilchen-Operator schreiben. Wir wissen, wie wir in einem Einteilchen-Hilbert-Raum einen Operator schreiben, n¨amlich X |uα i huα | Aˆ |uα0 i huα0 | Aˆ = αα0

2 Streng

genommen bedeutet die Notation x nicht nur die Charakterisierung der Ortskoordinate sondern auch andere Freiheitsgrade, wie Spin, Flavour, etc.

10 CHAPTER 1. NICHT-RELATIVISTISCHE VIELTEILCHEN-THEORIE mit huα | Aˆ |uα0 i = Aαα0 =

Z

dxdx0 u∗α (x)A(x, x0 )uα0 (x0 )

und analog im N -Teilchen Fall X |uα (1)i |uβ (2)i ... |uν (N )i Aαβ...α0 β 0 .... huα0 (1)| huβ 0 (2)| ... huν 0 (N )| A(1, 2, ..., N ) = αβ...α0 β 0 ...

mit A

αβ...α0 β 0 ....

=

Z

dx1 ....dxN dx01 ....dx0N u∗α (x1 )...u∗ν (xN )A(x1 , ...xN ; x01 , ...x0N )uα0 (x01 )...uν 0 (x0N )

Permutationen und Transpositionen: Um die Theorie sauber zu formulieren f¨ uhren wir Permutationen und Transpositionen ein: Permutation:

pρ :

(1, 2, 3, ..., N ) → (ρ1 , ρ2 , ...ρN )

Permutation operator: Pρ |uα (1)i |uβ (2)i ... |uν (N )i = |uα (ρ1 )i |uβ (ρ2 )i ... |uν (ρN )i This is obviously identical to E E E −1 (2) Pρ |uα (1)i |uβ (2)i ... |uν (N )i = uρ−1 (1) ... uρ−1 (N ) u ρ α ν β

Der Permutationsoperator ordnet einem Basisvektor des N -Teilchen HilbertRaums in eineindeutiger Weise einen anderen Basisvektor des N -Teilchen HilbertRaums zu. Die Permutationsoperatoren bilden eine nicht-abelsche Grupope G: Pρ−1 existiert

Pρ = 1 existiert

Pρ ∈ G, Pσ ∈ G =⇒ Pρ Pσ ∈ G Pρ Pτ 6= Pτ Pρ Wir ben¨ otigen im Folgenden Transpositionsoperatoren. Der Transpositionsoperator T (i, k) tauscht Teilchen i mit Teilchen k aus und ist definiert durch T (i, k) |uα (1)i ... |uγ (i)i ... |uµ (k)i ... |uν (N )i = |uα (1)i ... |uγ (k)i ... |uµ (i)i ... |uν (N )i Der T (i, k) ist hermitesch, was leicht zu zeigen ist. Wir wissen weiter, daß jede Permutation als Produkt von Transpositionen dargestellt werden kann. Diese Zerlegung ist nicht eindeutig. Eindeutig jedoch ist die Signatur der Transposition, definiert durch: sign(pρ ) = (−1)

Anzahl der Transpositionen

= (−1)pρ

(1.1)

1.1. GRUNDLAGEN

11

Das T ist hermitesch und wir haben die Eigenschaften, T = T + = T −1 , trivial zu beweisen, und weil Pρ das Produkt hermitescher Operatoren ist, gilt: T (i, k)=hermitesch

=⇒

Pρ = unit¨ar

Der Beweis ist ebenalls trivial: Wenn z.B. P = T1 T2 , dann gilt P P + = T1 T2 T2+ T1+ = T1 T2 T2−1 T1−1 = 1. Das bedeutet: Die Anwendung von Pρ auf die Basis eines N -Teilchen Hilbert-Raums ist eine unit¨are Transformation. Damit ist die Anˆ gegeben durch: wendung von Pρ auf einen Operator O ˆ → Pρ OP ˆ −1 O ρ Hiermit k¨ onnen wir die Postulate in mathematischer Form formulieren: i h ˆ 2, ..., N ), Pρ = 0 Postulat 1: O(1, Postulat 2: Pρ |ψ(1, 2, ..., N )i = exp (iαρ ) |ψ(1, 2, ..., N )i

(1.2) (1.3)

Postulat 2 bedeutet, daß der quantenmechanische Vielteilchen-Zustand eines Systems identischer Teilchen ein Eigenzustand zu jedem beliebiten Permutationsoperator ist. Das bedeutet eine bedeutende Einschr¨ankung f¨ ur die Mannigfaltigkeit der Vielteilchenzust¨ande eines Systems . Beh: Der Eigenwert des Permutationsoperators ist eintweder exp (iα) = +1 or exp (iα) = −1. Beweis: Wir betrachten eine Transposition, die immer eine spezielle Permutatin ist. Deshalb gilt nach Postulat 2: T (k, l) |ψ(1...k..l...N )i = |ψ(1...l..k...N )i

= exp (iα) |ψ(1...k..l...N )i

(entweder) (oder)

daraus folgt T (k, l)2 |ψ(1...k..l...N )i = T (k, l) |ψ(1...l..k...N )i = |ψ(1...k..l...N )i

(entweder)

T (k, l)2 |ψ(1...k..l...N )i = exp (iα) T (k, l) |ψ(1...k..l...N )i = exp (2iα) |ψ(1...k..l...N )i (oder) Vergleich der beiden letzten Ausdr¨ ucke ergibt exp (2iα) = 1 =⇒ exp (iα) = ±1 qed. Wir betrachten nun bestimmte Vielteilchenzust¨ande mit einer speziellen Eigenschaft. Sie sollen unter einer beliebigen Transposition immer den gleichen Eigenwert haben. Wenn dieser Eigenwert positiv ist, i.e. exp (iα) = +1, dann heißen diese Zust¨ ande symmetrisch. Wenn dieser Eigenwert negativ ist, i.e. exp (iα) = −1, dann heißen sie antisymmetrisch.: T (k, l) |ψS i = + |ψS i T (k, l) |ψA i = − |ψA i

symmetrisch (beliebige k, l)

(1.4)

anti-symmetrisch (beliebige k, l)

(1.5)

12 CHAPTER 1. NICHT-RELATIVISTISCHE VIELTEILCHEN-THEORIE Diese symmetrischen bzw. anti-symmetrischen N -Teilchen-Zust¨ande haben einfache und wohldefinierte Eigenschaften wenn Permutationsoperatoren auf sie angewendet werden. Weil diese Produkte von Transpositionsoperatoren sind und jede Transposition entweder ein Plus-Zeichen oder ein Minus-Zeichen mit sich bringt je nach Symmetrie des Zustandes (siehe z.B.eq.(1.1), gilt f¨ ur eine beliebiges Pρ : Pρ |ψS i = + |ψS i Pρ

Pρ |ψA i = sign(Pρ ) |ψA i = (−)

symmetrischer Zustand |ψA i

(1.6)

anti-symmetrischer Zustand (1.7)

Vielteilchen-Zust¨ande eines Systems identischer Teilchen sind entweder symmetrisch oder anti-symmetrisch. Tertium non datur. Beh: Es gilt die wichtige Behauptlung: Die Symmetrie-Eigenschaft eines Vielteilchenzustandes ist eine erhaltene Gr¨oße Beweis ist trivial: Nach Postulat 1 haben wir f¨ ur eine beliebige Permutation: [H, Pρ ] = 0.Also: Wenn an einer bestimmten Zeit t0 der Zustand eines Systemes z.b. antisymmetrisch ist e.g. Pρ ψ(t0 ) = sign(Pρ )ψ(t0 ) dann ist er zu jeder beliebigen Zeit ebenfalls anti-symmetrisch Pρ ψ(t) = sign(Pρ )ψ(t). Denn Pρ ψ(t) = Pρ exp {−iHt/}} ψ(t0 ) wegen Vertauschbarkeit ist das exp {−iHt/}} Pρ ψ(t0 ) oder = sign(Pρ ) exp {−iHt/}} ψ(t0 ) = sign(Pρ )ψ(t).qed Wir fassen zusammen: Der Zustand eines Systems identischer Teilchen ist entweder oder vollst¨ andig symmetrisch =⇒ vollst¨ andig anti-symmetrisch =⇒

1.2

Bosonen (Spin=0,1,2,..) Fermionen (Spin=1/2,3/2,...)

Konstruktion symmetrischer und anti-symmetrischer Vielteilchen-Zust¨ ande

Betrachte die Basis des Vielteilchen -Hilbert-Raums: |uα (1)i |uβ (2)i ... |uν (N )i

(1.8)

Diese Basis besteht aus einfachen Produkt-Hilbert-Vektoren, die noch keinerlei Symmetrieeigenschaften hinsichtlich der Permutationen haben. Wir werden jetzt Projektionsoperatoren Sˆ und Aˆ konstuieren, die einen solchen beliebigen Vielteilchen-Basis-Zustand auf seinen symmetrischen bzw. anti-symmetrischen Teil projizieren. Wir wissen, daß es f¨ ur N Teilchen insgesamt N ! Permutationen gibt. Deshalb definieren wir Antisymmetrisierungsoperator:

N! 1 X sign(Pρ )Pρ Aˆ = N ! ρ=1

(1.9)

¨ 1.2. KONSTRUKTION SYMMETRISCHER UND ANTI-SYMMETRISCHER VIELTEILCHEN-ZUSTANDE13

Symmetrisierungsoperator: Diese Operatoren sind hermitsch und normiert: Aˆ = Aˆ†

Sˆ = Sˆ†

Aˆ2 = Aˆ

N! 1 X Pρ Sˆ = N ! ρ=1

Sˆ2 = Sˆ

AˆSˆ = SˆAˆ = 0

(1.10)

(1.11)

Die Beweise dieser Eigenschaften (1.11) sind trivial. Die wichtigen Eigenschaften von Aˆ und Sˆ sind: Beh.: Aˆ |uα (1)i |uβ (2)i ... |uν (N )i = cA |uα....ν (1, ...N )iA

RHS anti-symmetric (1.12) Sˆ |uα (1)i |uβ (2)i ... |uν (N )i = cS |uα....ν (1, ...N )iS RHS-symmetric (1.13) Hier sind die Zust¨ ande |uα....ν (1, ...N )iA/S als normiert vorausgesetzt. Bew: 1 X Pσ Pρ sign(Pρ ) Pσ Aˆ = N! ρ 1 X = Pσ Pρ sign(Pρ )sign(Pσ )sign (Pσ ) N! ρ 1 X = sign (Pσ ) Pσ Pρ sign(Pρ Pσ ) N! ρ 1 X Pτ sign(Pτ ) = sign(Pσ )Aˆ = sign (Pσ ) N! τ wobei wir umbenannt haben Pσ Pρ = Pτ . Somit k¨onnen wir schreiben     Pσ Aˆ |uα (1)i |uβ (2)i ... |uν (N )i = sign(Pσ ) Aˆ |uα (1)i |uβ (2)i ... |uν (N )i

Dieses ist genau die definierende Eigenschaft eines anti-symmetrischen Zustandes, siehe eq. (1.7). Der Beweis f¨ ur Sˆ ist ¨ahnlich. qed. ˆ ˆ Offenbar sind S and A Projektionsoperatoren auf orthogonale Untgerr¨aume des N -Teilchen Hilbert-Raums, der als solcher aufgespannt wird durch das Produkt |uα (1)i |uβ (2)i ... |uν (N )i . Wir m¨ ussen noch die Normierungskonstanten cA und cS berechnen eqs.(1.12,1.13). Beh: Die normierten Basiszust¨ ande des Hilbert-Unterraums der anti-symmetrischen und symmetrischen N -Teilchen Zust¨ande sind gegeben durch √ |uα....ν (1, ...N )iA = N !Aˆ |uα (1)i |uβ (2)i ... |uν (N )i (1.14) r N! |uα....ν (1, ...N )iS = Sˆ |uα (1)i |uβ (2)i ... |uν (N )i (1.15) nα !...nν !

Hier ist nα die Anzahl wie oft der Zustand |uα i im Produkt |uα (1)i |uβ (2)i ... |uν (N )i auftaucht.

14 CHAPTER 1. NICHT-RELATIVISTISCHE VIELTEILCHEN-THEORIE Beweis: Wir verwenden die Behauptung und benutzen Aˆ† Aˆ = Aˆ2 = Aˆ Dann k¨ onnen wir schreiben A

huα....ν (1, ...N )| |uα....ν (1, ...N )iA = (N !) huα (1)| ... huν (N )| Aˆ† Aˆ |uα (1)i ... |uν (N )i

womit sich ergibt, weil sich der (N !)-Faktor wegk¨ urzt gegen den gleichen Faktor ˆ in der Definition von A: X sign(Pρ ) huα (1)| ... huν (N )| Pρ |uα (1)i ... |uν (N )i = ρ

=

X ρ

E E (N ) (1) ... uρ−1 sign(Pρ ) huα (1)| ... huν (N )| uρ−1 ν α =

X

=1 ...δν,ρ−1 sign(Pρ )δα,ρ−1 ν α

ρ

Der letzte Schritt folgt weil nur die Einheits-Permutation, d.h. die Identit¨at, zur Summe beitr¨agt, deren Signum gleich Eins ist. Der Beweis f¨ ur symmetrische Zust¨ ande ist ¨ ahnlich. qed Mit den Zust¨ anden in Gl.(1.14,1.15) haben wir jetzt Basiszust¨ande f¨ ur die anti-symmetrischsen und symmetrischen Vielteilchenzust¨ande. Jeder Vielteilchenzustand kann nach ihnen entwickelt werden. Oft schreibt man den anti-symmetrischen Zustand als Slater-Determinante |uα (1)i |uα (2)i ... |uα (N )i r 1 |uβ (1)i |uβ (2)i ... |uβ (N )i |uα....ν (1, ...N )iA = (1.16) ... ... ... ... N ! |uν (1)i |uν (2)i ... |uν (N )i Die Vielteilchenzust¨ande sind noch sehr kompliziert. Wir werden durch die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren noch einfachere Darstellungen der (anti)symmetrischen N -Teilchen-Zust¨ande kennen und sch¨atzen lernen.

1.2.1

Das Pauli-Prinzip

Bisher hatten wir eine gegebene 1-Teilchen-Basis benutzt |uα i ....α = 1, 2, ... von der wir symmetrische bzw. anti-symmetrische N −Teilchen Wellenfunktionen oder Hilbert-Vektoren konstruiert haben. Man versteht das besser, wenn man diese 1-Teilchen-Zust¨ande als Eigenzust¨ande eines externen 1-TeilchenPotentials annimmt. Wir nehmen an, sie seien nach anwachsender 1-Teilchen Energie geordnet, i.e. ε1 < ε2 < ...εN < ..... Wenn N identische Fermionen sich in dem Potential befinden, dann kann man den Hamilton-Operator des Gesamtsystems schreiben als Summe der Einteilchen-Hamilton-Operatoren h: H=

N X

k=1

h(k)

¨ 1.2. KONSTRUKTION SYMMETRISCHER UND ANTI-SYMMETRISCHER VIELTEILCHEN-ZUSTANDE15 und dann gilt nat¨ urlich f¨ ur das k-te Teilchen h(k) |uεn (k)i = εn |uεn (k)i Dann setzt sich der Vielteilchen-Grundszustand des Systems aus den 1-Teilchen Wellenfunktionen der niedrigsten 1-Teilchen Zust¨ande zusammen, also aus |uε1 i |uε2 i ... |uεN i, siehe Fig.[1.1]

|uε1 ....εN (1, ...N )iA =

r

|uε1 (1)i 1 |uε2 (1)i ... N ! |uεN (1)i

|uε1 (2)i |uε2 (2)i ... |uεN (2)i

... |uε1 (N )i ... |uε2 (N )i ... ... ... |uεN (N )i



(1.17)

Offenbar ist der gesamte Vielteilchenzustand vollst¨andig charakterisiert durch die Angabe, welche Einteilchenzust¨ande besetzt sind und welche nicht. F¨ ur solch ein einfaches System reduziert sich die Forderung der Anti-Symmetrie allein darauf, daß der Vielteilchenzustand eine Slaterdeterminante darstellt. In einer Determinante darf jedoch keine Zeile zweimal vorkommen, denn dann w¨are die Determinante Null. Hier reduziert sich die Antisymmetrie auf die schwache Form des Pauli-Prinzips, die besagt, daß kein Einteilchenzustand mit mehr als einem Teilchen besetzt werden darf. Ist der Hamilton Operator des Systems komplizierter und nicht mehr eine Summe von 1-Teilchen-Termen, also z.B. der Hamiliton Operator eines Atoms mit N Elektronen, die um einen Atomkern mit Z Protonen kreisen:

Hatom

N X



2 ~2+ − } ∇ = j 2m j=1

 N e2 −Ze2  X + |~rj − ~rk | ~ ~rj − R j β

und b†α =

X β

bα =

X β

a†β < uβ |vα > aβ < uβ |vα >∗

mit bα |0i = 0 Es gilt: F¨ ur Fermionen:

F¨ ur Bosonen:

Die Beweise sind einfach.

n o {bα , bβ } = b†α , b†β = 0 o n fermions bα , b†β = δαβ i h [bα , bβ ] = b†α , b†β = 0 h i bα , b†β = δαβ bosons

Teilchen-Loch Anregungen Es ist hilfreich, ein System identischer Teilchen in einem externen Potential zu betrachten, ¨ ahnlich wie es in Sect[1.2.1] geschah. ’Wenn man die EinteilchenZust¨ande nach wachsender Einteilchen-Energie ordnet ε1 < ε2 < ...εN < ..... und wenn N identisch Fermionen sich in dem Potential bewegen, dann ist der Grundzustand gegeben durch die Slaterdeterminante zusammengestzt aus den am str¨ arksten gebundenen (Jargon: niedrigsten) N Einteilchen Zust¨ anden |uε1 i |uε2 i ... |uεN i . Wenn man die Einteilchen-Energie des am schw¨achsten gebundenen Zustands mit εF bezeichnet und dieses ”Fermi-Energie” nennt, dann kann man den N -Teilchen Grundzustand schreiben als Y † Y † ak |0i (1.27) ak |0i = |ΨN i = k≤F

k=occ

see Fig.[1.1]. Angeregte Zust¨ ande de gleichen Systems werden durch 1-Teilchen1-Loch Anregungen erzeugt, bzw. 2-Teilchen-2-Loch Anregungen etc.,

22 CHAPTER 1. NICHT-RELATIVISTISCHE VIELTEILCHEN-THEORIE

Figure 1.1: Ground state of a 5-body system moving in a 1-body potential.

Ein Teilchen oberhalb der Fermi-Kante wird erzeugt durch |ΨN +1 i = a†m |ΨN i

with m > F

und ein Loch wird erzeugt durch |ΨN −1 i = ai |ΨN i

with i ≤ F

Eine 1=Teilchen-1=Loch-Anregung (1p-1h) ist gegeben durch E 1p1h = a†m ai |ΨN i with m > F and i ≤ F ΨN

Eine 2=Teilchen-2=Loch-Anregung (2p-2h) wird beschieben durch E 2p−2h = a†m a†n ai aj |ΨN i with m, n > F and i, j ≤ F ΨN see Fig.[1.2˙]

Feld-Operatoren Bisher haben wir ausgegangen von einer diskreten 1-Teilchen-Basis und haben die entsprechenden Erzeugungs- und Vernichtungs-Operatoren konstruiert. Man kann auch Operatoren konstruieren, die ein Teilchen an einem bestimmten Punkt r im Koordinaten-Raum oder mit einem bestimmten Impuls p im ImpulsRaum erzeugen bzw. vernichten. Um diese zu konstruieren nehmen wir als ˆ oder des ImpulsEinteilchen-Basis die Eigenzust¨andeh des Orts-Operators R i ˆ i, P ˆ j = iδij gen¨ ˆ |ri = r |ri ˆ die dem Kommutator R ugen. Mit R Operators P ˆ |pi = p |pi kann man schreiben und P Z Z 3 |uα i = d r |ri hr|uα i = d3 r |ri uα (r)

1.3. ERZEUGUNGS- UND VERNICHTUNGS-OPERATOREN

23

Figure 1.2: Excited state of a 5-body system moving in a 1-body potential

und analog |uα i = a†α |0i

|ri = ψˆ† (r) |0i

⇐⇒

Dieses |ri setzen wir in die obige Formel f¨ ur |uα i ein, damit erhalten wir Z Z † 3 ˆ† aα = d rψ (r) hr|uα i = d3 rψˆ† (r)uα (r) Z Z ∗ ˆ hr|uα i∗ = d3 rψ(r)u ˆ aα = d3 rψ(r) α (r) Umgekehrt erhalten wir |ri =

X α

|uα i huα |ri =

X α

|uα i u∗α (r)

und ψˆ† (r)=

X α

ˆ ψ(r)=

X α

a†α huα | |ri = aα hr|uα i =

X

a†α u∗α (r)

α

X

aα uα (r)

α

Mit Hilfe der Vollst¨ andigkeitsrelation der |uα i kann man sofort zeigen daß f¨ ur die Feld-Operatoren Vertauschungsregeln im Kontinuum gelten: Fermionen: o o n n ˆ ˆ 0 ) = ψˆ† (r), ψˆ† (r0 ) = 0 ψ(r), ψ(r n o ˆ ψ(r), ψˆ† (r0 ) = δ(r − r0 ) fermions

24 CHAPTER 1. NICHT-RELATIVISTISCHE VIELTEILCHEN-THEORIE Bosonen: h

i h i ˆ ˆ 0 ) = ψˆ† (r), ψˆ† (r0 ) = 0 ψ(r), ψ(r i h ˆ ψ(r), ψˆ† (r0 ) = δ(r − r0 ) bosons

Man kann den gleichen Formalismus f¨ ur Felder im Impuls-Raum hinschreiben. Wir haben dabei z.B. die Beziehung ˆ ψ(r) =



1 2π}

3/2 Z

  ip · r ˆ d3 p exp − φ(p) }

ˆ und haben dann analoge Vertauschungsregeln, die wir durch Ersetzen von ψ(r) ˆ durch φ(p).

1.3.3

Symmetrische Operatoren im Fock-Raum

Das Ziel dieses Kapitels ist, 1-Teilchen- und 2-Teilchen-Operatoren mit Hilfe von Erzeugungs-und Vernichtungs-Operatoren zu schreiben. Einteilchen-Operatoren Ein Operator Fˆ , der auf die 1-Teilchen Basis des Hilbert-Raums H1 wirkt hat die Darstellung X |uα i Fαβ huβ | with Fαβ = huα | Fˆ |uβ i Fˆ = αβ

Die Generalisierung auf einen 1-Teilchen-Operator, der auf die einzelnen Teilchen im N -Teilchen Hilbert-Raum wirkt, ist gegeben durch FˆN = Fˆ (1) + Fˆ (2) + ... + Fˆ (N ) wobei Fˆ (k) auf das k-te Teilchen wirkt. Die Darstellung von Fˆ (k) im the N -Teilchen Hilbert-Raum ist gegeben durch X Fˆ (k) |α1 i |α2 i ... |αk i ... |αN i = hβk | Fˆ |αk i |α1 i |α2 i ... |βk i ... |αN i βk

und somit FˆN |α1 i |α2 i ... |αk i ... |αN i =

N X X

k=1 βk

hβk | Fˆ |αk i |α1 i |α2 i ... |βk i ... |αN i (1.28)

1.3. ERZEUGUNGS- UND VERNICHTUNGS-OPERATOREN

25

Damit FˆN ein geeigneter Operator wirkend auf identische Teilchen ist muß er das Postulat 1.2 von Kap.(1.1.2) erf¨ ullen. Also muß gelten: i h h i h i =⇒ FˆN , Sˆ = FˆN , Aˆ = 0 FˆN , Pρ = 0 Wendet man also auf eq.(1.28) den Projektionsoperator Sˆ oder Aˆ an, so erhalten wir z.B. f¨ ur LHS √ √ N !AˆFˆN |α1 i |α2 i ... |αk i ... |αN i = FˆN N !Aˆ |α1 i |α2 i ... |αk i ... |αN i = FˆN |uα α 1

2 ...αk ...αν

und f¨ ur RHS N X N X X X √ hβk | Fˆ |αk i |uα1 α2 ...βk ...αν iA hβk | Fˆ |αk i |α1 i |α2 i ... |βk i ... |αN i = N !Aˆ k=1 βk

k=1 βk

Also gilt allgemein:

FˆN |uα1 α2 ...αk ...αν iS/A =

N X X

k=1 βk

hβk | Fˆ |αk i |uα1 α2 ...βk ...αν iS/A

(1.29)

Beh: Der Einteilchen-Operator FˆN hat die folgende Darstellung mit Hilfe von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren. Dabei ist der Ausdruck unabh¨angig von der Teilchenzahl N und es ist der gleiche Ausdruck f¨ ur Bosonen und Fermionen: X (1.30) Fαβ a†α aβ Fˆ = αβ

Beweis: Wir nehmen an, dieser Ausdruck (1.30) sei richtig und wenden ihn auf einen fermionischen Vielteilchen-Zustand an, z.B. auf |uα1 α2 ...αk ...αν iA = a†α1 ...a†αN |0i . Wir zeigen dann, daß wir Gl.(1.29) herausbekommen. Also: Im allgemeinen gilt i h Fˆ a†α1 ...a†αN |0i = Fˆ , a†α1 a†α2 ...a†αN |0i + a†α1 Fˆ a†α2 ...a†αN |0i h i h i = Fˆ , a†α1 a†α2 ...a†αN |0i + a†α1 Fˆ , a†α2 a†α3 ...a†αN |0i + a†α1 a†α2 Fˆ a†α3 ...a†αN |0i i h i h = ... = Fˆ , a†α1 a†α2 ...a†αN |0i + ... + a†α1 a†α2 a†α3 ... Fˆ , a†αN |0i P † weil Fˆ |0i = αβ Fαβ aα aβ |0i = 0. Wir wissen weiterhin, daß wegen der Antikommutator-Regeln gilt i X h  X  Fˆ , a†γ = Fαβ a†α aβ , a†γ = Fβγ a†β αβ

β

Wenn wir jetzt die obigen Kommutatoren durch diese Summe ersetzen, erhalten wir X X Fβα a† |0i Fβα a† a† ...a† |0i + ... + a† a† a† ... Fˆ a† ...a† |0i = α1

αN

1

β

β α2

αN

α1 α2 α3

N

β

β

Das ist aber exakt der Audruck in Gl.(1.29). Der Beweis ist ¨ahnlich f¨ ur Bosonen. qed.

iA

26 CHAPTER 1. NICHT-RELATIVISTISCHE VIELTEILCHEN-THEORIE Zweiteilchen-Operatoren Ein symmetrischer Zweiteilchen-Operator ist z.B. das Potential zwischen allen Teilchen und definiert durch das Potential zwischen Teilchen i und j: X VˆN = Vˆ (i, j) i<j

Angewendet auf einen N -Teilchen-Produkt-Zustand (also noch nicht symmetrisiert) X V (i, j) = Vβi βj αi αj |α1 i ... |βi i ... |βj i ... |αN i βi βj

Wiederum muß wegen des Postulats (1.2) gelten i h h i h i =⇒ VˆN , Sˆ = VˆN , Aˆ = 0 VˆN , Pρ = 0 und damit

VˆN |uα1 α2 ...αk ...αν iS/A =

N X X

i<j βj βj

 Vβj βj αj αj uα1 α2 ...βi ...βj ...αν S/A

(1.31)

Die Behauptung ist, daß die Darstellung von VˆN mit Hilfe von Erzeugungsund Vernichtungs-Operatoren gegeben ist in der Form unten, wobei wieder ein Ausdruck steht, der unabh¨angig ist von der Anzahl N der Teilchen, und wieder gleich ist f¨ ur Bosonen und Fermionen. Das letzte ist sinnvoll, weil as Potential nicht weiß ob es auf Fermionen oder Bosonen wirkt. Also Beh: 1 X (1.32) Vαβγδ a†α a†β aδ aγ Vˆ = 2 αβγδ

Man beobachte hier, daß die Reihenfolge der Indizes nicht αβγδ sondern αβδγ ist. Hierbei ist Vαβγδ = huα (1)| huβ (2)| Vˆ |uγ (1)i |uδ (2)i Z = dx1 dx2 dx01 dx02 u∗α (x1 )u∗β (x2 )v(x1 x2 x01 x02 )uγ (x01 )uδ (x02 ) und z.B. f¨ ur ein Coulomb-Potential v(x1 x2 x01 x02 ) = δ(x1 − x01 )δ(x2 − x02 )

1 |x1 − x2 |

Der Beweis ist ¨ ahnlich wie f¨ ur einen Einteilchen-Operator. Wir betrachten wieder i h i h Vˆ a†α1 ...a†αN |0i = Vˆ , a†α1 a†α2 ...a†αN |0i + ... + a†α1 a†α2 a†α3 ... Vˆ , a†αN |0i

1.3. ERZEUGUNGS- UND VERNICHTUNGS-OPERATOREN und verwenden

h

27

i X Vˆ , a†α = Vββ 0 αα0 a†β a†β 0 aα0 α0 β 0 β

Dies ergibt Vˆ a†α1 ...a†αN |0i =

N X X

k=1 α0k βk0 βk

Vβk βk0 αk α0k a†α1 ...a†βk a†β 0 aα0k ...a†αN |0i k

Betrachte nun das aα0k und schiebe es nach rechts. Das geht, bis man eventuell ein a†α0 aus demOperatorprodukt des Zustands-Vektors trifft. Dann wende man k

aα0k a†α0 = −a†α0 aα0k + 1 an. Hier u ¨berlebt die 1 und a†α0 aα0k wird am Ende k

k

k

verschwinden, wenn es auf |0i trifft. Wenn aα0k kein a†α0 vom Zustand trifft, k dann wird es am Ende ebenfalls auf |0i treffen und verschwinden. An der Stelle des obigen a†α0 ist nun eine 1 . Jetzt schiebe a†β 0 nach rechts, wenn es dabei k

k

auf ein a†β 0 aus dem Zustand trifft, dann verschwindet dieses a†β 0 , wenn nicht, k

k

muß man es an der Stelle stehen lassen. Das Gleiche geschieht mit a†βk und man erh¨alt am Ende den Ausdruck XX Vβi βj αi αj a†α1 ...a†βi ...a†βj ...a†αN |0i Vˆ a†α1 ...a†αN |0i = j>i βi βj

was genau die Struktur von Gl.(1.31) hat. qed. Meistens ist es bequem, den 2-Teilchen-Operator mit Hilfe von symmetrisierten bzw. anti-symmetrisierten Mtrixelemnten auszudr¨ ucken. Dazu definieren wir

und

S V¯αβγδ =p A =p V¯αβγδ

1 [Vαβγδ + Vαβδγ ] (1 + δαβ ) (1 + δγδ )

(1.33)

1 [Vαβγδ − Vαβδγ ] (1 + δαβ ) (1 + δγδ )

(1.34)

Damit ergibt sich f¨ ur Fermionen 1 X ¯A Vαβγδ a†α a†β aδ aγ Vˆ = 4

(1.35)

q 1 X S (1 + δαβ ) (1 + δγδ )V¯αβγδ Vˆ = a†α a†β aδ aγ 4

(1.36)

αβγδ

und f¨ ur Bosonen

αβγδ

Damit w¨ aren 1-Teilchen und 2-Teilchen-Operatoren mit Hilfe der Erzeugungsund Vernichtungs-Operatoren dargestellt.

28 CHAPTER 1. NICHT-RELATIVISTISCHE VIELTEILCHEN-THEORIE

1.4 1.4.1

Theoreme der Vielteilchen-Theorie Wick-Theorem

Es gibt etliche Wick-Theoreme und wir betrachten hier eines, was f¨ ur nichtrelativistische Vielk¨ orper-Probleme von Fermionen relevant ist, bei denen die Erzeugungs- und Vernichtungs-Operatoren zeitunabh¨angig sind. Betrachte einen beliebigen Vielfermion-Zustand |ψi, der keinesfalls eine Slater-Determinante sein muss, und einen Satz von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren a†α , a†β , . . . , aα , aβ , . . . . Bezeichne ohne Unterschiede diese als U, V, W, . . .

Wick-Theorem f¨ ur Fermionen (Ohne Beweis)

hψ|U V W . . . X Y Z|ψi = U V W ...XY Z + U V W ...XY Z + U V W ...XY Z + . . . =

Summe aller m¨oglichen Zweierkontraktionen

Hierbei gilt: U V = hψ|U V |ψi und U V W XXZ = − U W V XY Z Rezept: Man vertausche einen Operator so lange mit seinen Nachbar-Operatoren, bis die zwei zu kontrahierenden Operatoren nebeneinander stehen. Bei jeder Vertauschung erh¨alt man ein Minuszeichen. Es gibt eine direkte Folge: hψ| U . . Y Z} |ψi = 0 | V .{z ungerade

weil Zweierkontraktionen bei einer ungeraden Anzahl von Operatoren immer einen Erzeugungs- oder Vernichtungs-Operator u ¨brig lassen, und es gilt immer hψ|U |ψi oder

= hψ|a†α |ψi = hψ|aα |ψi = 0

denn z.B. a†α angewendet auf einen Ket-Zustand erh¨oht dessen Teilchenzahl um Eins, w¨ ahrend die des Bra-Zustandes unver¨andert bleibt.

1.5. HARTREE-FOCK THEORY

1.4.2

29

Thouless Theorem

Consider an antisymmetric many-fermion state of the form: ! N Y † |Φi = ai |0i i=1

Consider now another many body Slaterdeterminant |Ψi with the same particle number N and which has a non-vanishing overlap < Φ|Ψ >6= 0 then the Thouless-Theorem holds: ! X † Cnk an ak |Φi |Ψi =< Φ|Ψ > exp

with

nk

n=empty and k=occupied w.r. to |Φi

with some complex coefficients Cnk . This means that the state |Ψi is constructed by a systematic coherent superposition of 1p-1h and 2p-2h etc. excitations of the Slater determinant |Φi . Furthermore: One can always find a basis for |Ψi with operators b†k , bk . ! N Y † |Ψi = bk |0i k=1

If |Ψi is only little deviating from |Φi, e.g. produced by a little perturbation in the forces acting on |Φi, we can expand the exponential and obtain ! X † Cnk an ak |Φi |Φ + δΦi = 1 + nk

Thus for small perturbations the |Φ + δΦi is based solely on 1p-1h excitations on |Φi.

1.5 1.5.1

Hartree-Fock Theory Problemstellung

Betrachte ein Vielteilchen-System mit identischen Fermionen. Der Hamiltonoperator in einer gegebenen Basis a†α , aα ist definiert durch seinen Einteilchenund Zweiteilchen-Term und kann geschrieben werden als

mit

b = H

X

Tαβ a†α aβ +

αβ

Tαβ =

Z

1 X ¯ Vαβγδ a†α a†β aδ aγ 4 αβγδ

  ~2 2 ∇ ϕβ (r) d3 r ϕ∗α (r) − 2m

.

30 CHAPTER 1. NICHT-RELATIVISTISCHE VIELTEILCHEN-THEORIE Wenn notwendig kann die kinetische Energie Tαβ durch den Beitrag Uαβ eines vorgegebenen Eineilchen-Potentials u ersetzt werden. Z Uαβ = ϕ∗α (r) u(r, r0 ) ϕβ (r0 ) d3 rd3 r0 Das Zweiteilchenpotential ist gegeben durch Gl.(1.35). Das exakte Vielteilchenproblem b k i = Ek |ψk i H|ψ

ist selbst bei kleinen Teilchenzahlen sehr kompliziert und nur unter sehr großem numerischen Aufwand l¨osbar. Die L¨osungen f¨ ur N Teilchen mit Eigenwerten Ek , k¨ onnen jedoch mit Sicherheit geschrieben werden als X Cα(k) a† . . . a†αN |0i |ψk i = 1 ...αN α1 α1 ...αN

Eine gebr¨auchliche N¨aherung f¨ ur den Grundzustand ist die Hartree-Fock-N¨ aherung. Hierbei approximiert man |ψi durch eine Slaterdeterminante |φi: ! N X † |φi = bi |0i i=1

mit noch unbekannten b†i , bi . Es wird also der exakte und i.a. korrelierte Vielteilchenzustand |ψi durch eine unkorrelierte Slaterdeterminante |φi approximiert. Dabei soll |φi durch ein Variationsverfahren bestimmt werden, d.h. es soll die best m¨ ogliche Slater-Deteminante gesucht werden durch Minimisierung der Energie: b hφ|H|φi = minimum hφ|φi Variationsprinzip: b 0 i = E|ψ0 i Die exakte Grundzustands-L¨osung der Schr¨odinger-Gleichung H|ψ kann man auch erhalten durch   b − E|ψi = 0 δ hψ|H oder

b − E|ψi = 0 hδψ|H

mit |ψi ∈ HN und beliebigem hδψ| ∈ HN . Hierbei hat E zun¨achst die Funktion eines Lagrange-Parameters, der im Variationsverfahren garantiert, daß die Norm hφ|φi = 1 eingehalten wird. Das E wird im Variationsverfahren bestimmt. Offenbar ist E anschließend auch der Erwartungswert der Variationsl¨osung, und - bei uneingeschr¨ankter Variation - der Eigenwert des am st¨arksten gebundenen Eigenzustands. Die Hartree-Fock-N¨ aherung besteht darin, dass die Variation in einer echten Untermenge von HN durchgef¨ uhrt wird, eben in der Untermenge der N -Teilchen

1.5. HARTREE-FOCK THEORY

31

Slater-Determinanten. Das hat zur Folge, daß mit dieser Slater-Determinante auch nicht jede Eigenschaft des Systems beschrieben werden kann. Die praktische Erfahrung zeigt, daß letztlich nur Einteilchen-Eigenschaften beschrieben werden, also Matrixˆ ˆ=P O elemnte oder Erwartungswerte von 1-Teilchen-Operatoren O i i. Beh: Die exakte L¨ osung ist st¨ arker gebunden als die Hartree-Fock L¨osung. Also b 0 i ≤ hφ|H|φi b E0 = hψ0 |H|ψ

b k i = Ek |ψk i die exakten L¨osungen, die nat¨ Bew: Es seien H|ψ urlich ein ˆ als hermitesch annehmen). Es sei |φi vollst¨ andiges System bilden (wenn wir H b − E|φi = 0 Variationsl¨ osungen von hδφ|H X X ck |ψk i ψk ihψk |φi = =⇒ |φi = k

k

=⇒

P P 2 ∗ b 0 ck ck 0 hψk |H|ψk 0 i k |ck | Ek k k b = P Eφ = hφ|H|φi = P 2 0 0 k k0 ck ck hψk |ψk i k |ck |

Offenbar gilt wegen Ek ≥ E0 P P 2 2 k |ck | Ek k |ck | E0 P P E(φ) = ≥ = E0 2 2 k |ck | k |ck | Also

E(φ) ≥ E0

qed.

1.5.2

Variationsverfahren

Wir suchen jetzt die L¨ osung des Variationsverfahrens b − E|φi = 0 hδφ|H

mit

|φi =

Y i

b†i

!

|0i

Bisher sind die b†i , bi noch unbekannt. Zur Durchf¨ uhrung der Variation wenden wir das Thouless-Theorem an:   X  |φ + δφi = exp Cnj b†n bj |φi   nj

und damit

|δφi =

Also b − E|φi = 0 hδφ|H

⇐⇒

X nj

Cnj b†n bj |φi

X nj

  ∗ b − E |φi = 0 Cnj hφ|b†j bn H

32 CHAPTER 1. NICHT-RELATIVISTISCHE VIELTEILCHEN-THEORIE ∗ Weil Cnj beliebige Variationsgr¨ossen sind gilt allgemein

=⇒

b hφ|b†j bn H|φi = 0

Also: Die L¨ osung des Variationsverfahrens ist |φi = b†i , bi

(1.37) Q

N † i=1 bi



|0i, wobei die

der obigen Teilchen-Loch Gleichung (1.37) gen¨ ugen m¨ ussen. Wir wissen, wie sich der Hamilton-Operator prinzipiell in der noch unbekannten Basis darstellt: X 1X¯ b = H Vabcd b†a b†b bd bc Tab b†a bb + 4 abcd

ab

Wir ben¨ otigen zun¨ achst das Matrixelement der kinetische Energie: X hφ|b†j bn Tˆ|φi = Tab hφ|b†j bn b†a bb |φi ab

Wir wenden das Wick-Theorem an: hφ|b†j bn b†α bβ |φi = b†j bn b†α bβ + b†j bn b†α bβ + b†j bn b†α bβ hierbei ist i ≤ F , n > F und α, β beliebig. Es gilt f¨ ur die vorkommenden Kontraktionen: b†j bn

= hφ|b†j bn |φi = 0

b†j b†α

= hφ|b†j b†α |φi = 0

b†j bβ

= hφ|b†j bβ |φi = δjβ

bn b†α

= hφ|bn b†α |φi = δnα

Das einzige nicht-verschwindende Matrixelement der kinetischen Energie ist demnach: hφ|b†j bn Tˆ|φi = Tnj F¨ ur das Matrixelement der potentiellen Energie ergibt eine analoge Rechnung 1X¯ Vabcd hφ|b†j bn b†a b†b bd bc |φi hφ|b†j bn Vb |φi = 4 abcd

mit

hφ| b†j bn b†a b†b bd bc |φi =

< +δjd δnb δac

< hφ| b†j bn b†a b†b bd bc |φi = −δjd δna δbc

hφ| b†j bn b†a b†b bd bc |φi =

< +δjc δna δbd

< hφ| b†j bn b†a b†b bd bc |φi = −δjc δnb δad

1.5. HARTREE-FOCK THEORY

33

Wenn man ausnutzt, daß z.B. V¯ikmn = −V¯iknm ergibt sich das einzige nichtverschwindende Matrixelement der potentiellen Energie als: X V¯niji hφ|b†j bn Vb |φi = i