Theoretische Physik: Relativistische Quantenmechanik, Quantenfeldtheorie und Elementarteilchentheorie

Theoretische Physik: Relativistische Quantenmechanik, Quantenfeldtheorie und Elementarteilchentheorie Eckhard Rebhan ...

Author: Eckhard Rebhan

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Theoretische Physik: Relativistische Quantenmechanik, Quantenfeldtheorie und Elementarteilchentheorie

Eckhard Rebhan

Theoretische Physik: Relativistische Quantenmechanik, Quantenfeldtheorie und Elementarteilchentheorie

Autor Prof. Dr. Eckhard Rebhan Institut für Theoretische Physik Universität Düsseldorf e-mail: [email protected]

Wichtiger Hinweis für den Benutzer Der Verlag und der Autor haben alle Sorgfalt walten lassen, um vollständige und akkurate Informationen in diesem Buch zu publizieren. Der Verlag übernimmt weder Garantie noch die juristische Verantwortung oder irgendeine Haftung für die Nutzung dieser Informationen, für deren Wirtschaftlichkeit oder fehlerfreie Funktion für einen bestimmten Zweck. Der Verlag übernimmt keine Gewähr dafür, dass die beschriebenen Verfahren, Programme usw. frei von Schutzrechten Dritter sind. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Buch berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Der Verlag hat sich bemüht, sämtliche Rechteinhaber von Abbildungen zu ermitteln. Sollte dem Verlag gegenüber dennoch der Nachweis der Rechtsinhaberschaft geführt werden, wird das branchenübliche Honorar gezahlt. Bibliografische Information Der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer ist ein Unternehmen der Springer Science+BusinessMedia Springer.de © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010 Spektrum Akademischer Verlag ist ein Imprint von Springer 10 11 12 13 14

5 4 3 2 1

Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Planung und Lektorat: Dr. Andreas Rüdinger, Bianca Alton Satz: Autorensatz Umschlaggestaltung: SpieszDesign, Neu-Ulm ISBN 978-3-8274-2602-4

Vorwort Nach der Mechanik, der Elektrodynamik und der Quantenmechanik werden hiermit drei weitere Teilgebiete meines zweibändigen Lehrbuchs Theoretische Physik in einem dünneren Einzelband vorgelegt, die Relativistische Quantenmechanik, die Quantenfeldtheorie und die Einführung in die Elementarteilchentheorie. Nachdem mittlerweile beide Bände des ursprünglichen Lehrbuchs vergriffen sind, sollen die noch nicht in dünneren Einzelbänden erschienen Teilgebiete möglichst bald wieder verfügbar gemacht werden. Aus diesem Grund und auch, weil sich in der relativ kurzen Zeit seit dem ersten Erscheinen keine Notwendigkeit für eine Überarbeitung ergeben hat, wurden die im vorliegenden Band aufgenommenen Teilgebiete weitgehend unverändert aus Band II des zweibändigen Lehrbuchs übernommen; im Wesentlichen wurden nur die Nummerierungen, das Inhaltsverzeichnis und das Sachregister angepasst. Das meiste, was in den Vorworten zu dem ursprünglichen Lehrbuch und den bereits erschienenen Einzelbänden steht, gilt auch für diesen Band und wird hier nicht wiederholt. Wie dort wird als Maßsystem durchgängig das SI-System benutzt. Im Teil Quantenfeldtheorie weicht das von der üblichen Vorgehensweise ab; im allgemeinen werden in dieser sogenannte natürliche Einheiten bevorzugt, in denen h c1 gesetzt ist und bezüglich der Dimensionen [Länge]=[Zeit]=1/[Energie] =1/[Masse] gilt. Der Leser wird feststellen, dass die Formeln in SI-Einheiten kaum unübersichtlicher werden, hat jedoch den Vorteil, dass die Kontrolle von Rechenergebnissen durch Überprüfen der Dimensionen erheblich wirkungsvoller wird. Zum Gebrauch des Buches sei Folgendes bemerkt: In Formelzeilen mit mehreren Formeln, aber nur einer Formelnummer werden die Formeln gedanklich von links nach rechts oder von oben nach unten mit a, b, c usw. durchnummeriert und später in diesem Sinne zitiert. Rückverweise auf Formeln erfolgen entweder im Text oder innerhalb einer Formel über einem Verbindungszeichen wie = oder > an der Stelle, wo sie benötigt werden. Manchmal ergibt es sich aus sprachlichen Gründen, dass Teile der Erklärungen zu einer Formel erst in den auf diese folgenden Sätzen gegeben werden können. Diesem mitunter zu unnötigen Verständnisschwierigkeiten führenden Umstand wird in diesem Lehrbuch durch Vorverweise vorzubeugen versucht: Wo zu einer Formel s.u. nach ihrer Ableitung noch erklärende Kommentare kommen, wird das z. B. durch gekennzeichnet, wobei „s. u.“ als Abkürzung für „siehe unten“ steht. Rückverweise auf Formeln oder Kapitel bzw. Abschnitte anderer Einzelbände werden durch Voranstellen eines Buchstabens gekennzeichnet, z. B. Kapitel Q3.1 oder Gleichung (E5.21), wobei M für die Mechanik, E für die Elektrodynamik und Q für die Quantenmechanik steht. Ich hoffe, dass dieses Buch das Studium der in ihm dargebotenen, als schwierig geltenden Teilgebiete der theoretischen Physik etwas erleichtert und zu deren Verständnis beiträgt. Einen wichtigen Zweck würde es erfüllen, wenn sein Durcharbeiten oder das Arbeiten mit ihm nicht nur Mühe bereiten, sondern auch ein Stück Erkenntnisfreude bescheren würde. Düsseldorf, im Oktober 2009

Eckhard Rebhan

Kurzinhaltsverzeichnis

I

Relativistische Quantenmechanik

1

1

Einleitung zur Relativistischen Quantenmechanik

3

2

Dirac-Theorie des Elektrons und des Neutrinos

4

3

Anwendungen der Dirac-Theorie

4

Klein-Gordon-Theorie

116

II

Quantenfeldtheorie

133

5

Einleitung zur Quantenfeldtheorie

135

6

Fock-Darstellung von Viel-Teilchen-Zuständen

137

7

Klassische relativistische Feldtheorie

156

8

Kanonische Feldquantisierung

189

9

Wechselwirkende Felder

250

10

Quantenelektrodynamik

276

III

Einführung in die Elementarteilchentheorie

373

11

Einleitung zur Elementarteilchentheorie

375

12

Elemente der Gruppentheorie

391

13

Gruppierung von Teilchenzuständen

423

14

Teilchen, Felder und Lagrange-Funktion

441

15

Eichinvarianz und Eichfelder

451

16

Standardmodell

477

17

Über das Standardmodell hinausführende Entwicklungen

523

Literaturverzeichnis

86

539

Inhaltsverzeichnis

I


1

1


3

2 2.1 2.2

Dirac-Theorie des Elektrons und des Neutrinos Ergebnisse der klassischen relativistischen Mechanik . . . . . . . Aufstellung der Dirac-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Dirac-Gleichung im kräftefreien Fall . . . . . . . . . . . 2.2.2 Bestimmung der Dirac-Matrizen αl und β . . . . . . . . 2.2.3 Dirac-Gleichung mit elektromagnetischem Feld . . . . . 2.3 Operatoren, Mittelwerte und Ehrenfestsches Theorem . . . . . . . 2.4 Ebene-Welle-Lösungen für freie Teilchen . . . . . . . . . . . . . 2.5 Wellenpakete und Gruppengeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . 2.6 Frontgeschwindigkeit von Wellenpaketen . . . . . . . . . . . . . 2.7 Mischung positiver und negativer Energien . . . . . . . . . . . . . 2.8 Nicht-relativistischer Grenzfall der Dirac-Gleichung . . . . . . . . 2.8.1 Zeitunabhängige Felder A und Φ . . . . . . . . . . . . . 2.8.2 Zeitabhängige Felder A und Φ . . . . . . . . . . . . . . Exkurs 2.1: Ableitungs-Linearisierung der Schrödinger-Gleichung 2.9 Spinoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10 Kovarianz der Dirac-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exkurs 2.2:Allgemeines Transformationsgesetz für Dirac-Spinoren 2.11 Eigenschaften der Dirac-Matrizen γ α . . . . . . . . . . . . . . . 2.12 Kovariante Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.13 Diracs Löchertheorie und Theorie des Positrons . . . . . . . . . . 2.13.1 Lösungen negativer Energie und Löchertheorie . . . . . . 2.13.2 Positronlösungen durch Ladungskonjugation . . . . . . . 2.13.3 P-Invarianz, T-Invarianz und CPT-Symmetrie . . . . . . . 2.14 Dirac-Gleichung für Neutrinos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.15 Viel-Teilchen-Phänomene in der Dirac-Theorie . . . . . . . . . . 2.15.1 Kleinsches Paradoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.15.2 Polarisation des Vakuums . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.15.3 Orts-Impuls-Unschärferelation und Paarerzeugung . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3.1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 4 7 10 14 16 17 20 24 26 29 33 34 39 40 42 45 49 53 55 57 57 62 66 74 76 76 79 80 81

Anwendungen der Dirac-Theorie Zitterbewegung des Elektrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86 86

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

viii

Inhaltsverzeichnis

3.2

Zerlegung der Dirac-Gleichung in zwei zweikomponentige Gleichungen 3.2.1 Freie Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Teilchen mit elektromagnetischer Wechselwirkung . . . . . . . 3.3 Zur Feinstruktur des Wasserstoffatoms . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Relativistisches Wasserstoffatom bei ruhendem Kern . . . . . . . . . . 3.4.1 Einführen von Polarkoordinaten und Variablenseparation . . . 3.4.2 Lösung für die winkelabhängigen Funktionen . . . . . . . . . 3.4.3 Lösung der Radialgleichungen, Energieeigenwerte und Eigenzustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.4 Diskussion der Energieniveaus . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Zur Hyperfeinstruktur des Wasserstoffatoms . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89 90 96 101 103 104 107

4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7

116 116 119 120 122 123 124 125 125 126 129 130

Klein-Gordon-Theorie Klein-Gordon-Schrödinger-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . Nicht-relativistischer Grenzfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schrödinger-Form der Klein-Gordon-Schrödinger-Gleichung . . . Geschwindigkeitsoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ebene-Welle-Lösungen für freie Teilchen . . . . . . . . . . . . . Ladungskonjugation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reinterpretation der Klein-Gordon-Theorie . . . . . . . . . . . . 4.7.1 Kontinuitätsgleichung, Teilchendichte und Teilchenstrom 4.7.2 Physikalische Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8 Ladungskonjugation und CPT-Symmetrie . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

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. . . . . . . . . . .

108 110 112 113

II

Quantenfeldtheorie

133

5


135

6 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6

Fock-Darstellung von Viel-Teilchen-Zuständen Darstellung von N-Teilchen-Zuständen . . . . . . . . . . . . . . . . . Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für Bosonen . . . . . . . . . Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für Fermionen . . . . . . . . Besetzungszahl- und Teilchenzahloperatoren . . . . . . . . . . . . . . . Darstellung physikalischer Observablen durch Erzeuger und Vernichter Feldoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.1 Unitäre Transformation zu Feldoperatoren . . . . . . . . . . . 6.6.2 Darstellung physikalischer Observablen durch Feldoperatoren . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

137 137 139 142 145 146 150 150 151 153

7 7.1 7.2 7.3

156 157 159 161

Klassische relativistische Feldtheorie Mechanisches Beispiel einer Feldtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . Hamiltonsches Prinzip für Feldtheorien . . . . . . . . . . . . . . . . . Hamiltonsche Bewegungsgleichungen für Feldtheorien . . . . . . . . .

Inhaltsverzeichnis

7.4

Anwendung auf spezielle Felder . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1 Schrödinger-Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2 Klein-Gordon-Schrödinger-Feld . . . . . . . . . . . 7.4.3 Maxwell-Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.4 Dirac-Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Noether-Theorem und Erhaltungssätze . . . . . . . . . . . . 7.5.1 Ableitung des allgemeinen Noether-Theorems . . . 7.5.2 Translationsinvarianz und Energie-Impuls-Erhaltung 7.5.3 Rotationsinvarianz und Drehimpulserhaltung . . . . 7.5.4 Eichinvarianz und Ladungserhaltung . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ix

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

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. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

8 8.1

164 164 167 170 172 174 174 177 180 184 185

Kanonische Feldquantisierung Quantisierung des Schrödinger-Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.1 Quantisierung für Bosonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.2 Jordan-Wigner-Quantisierung für Fermionen . . . . . . . . . . 8.1.3 Zur physikalischen Bedeutung der Feldquantisierung . . . . . . 8.2 Quantisierung des Klein-Gordon-Schrödinger-Feldes . . . . . . . . . . 8.2.1 Bosonische Feldquantisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.2 Lorentz-invariante Vertauschungsrelationen . . . . . . . . . . . 8.2.3 Mikrokausalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Quantisierung des Maxwellschen Vakuumfeldes . . . . . . . . . . . . . 8.3.1 Zahl der Freiheitsgrade des freien Feldes . . . . . . . . . . . . 8.3.2 Vertauschungsrelationen und Bewegungsgleichung . . . . . . . 8.3.3 Entwicklung nach Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren . . 8.3.4 Energie und Impuls der Photonen . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.5 Teilchenzahloperatoren und Metrik des Photonen-Hilbert-Raums 8.3.6 Berücksichtigung der Lorenz-Eichung . . . . . . . . . . . . . 8.3.7 Photonenspin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.8 Vakuumfluktuationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Quantisierung des freien Dirac-Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.1 Bewegungsgleichung für den Feldoperator ψ(x, t) . . . . . . . 8.4.2 Entwicklung nach ebenen Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.3 Eigenschaften der Spinoren u(l, p) und v(l, p) . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

189 191 192 199 201 202 203 214 216 218 218 219 222 226 227 229 231 234 236 237 238 245 247

9

250 252 255 258 264 264 265 269 271 273

9.1 9.2 9.3

9.4

Wechselwirkende Felder Exkurs 9.1: Erinnerung an das Wechselwirkungsbild . . . . . . . . Zeitgeordnete Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wicksches Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propagatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.1 Feynman-Propagator des Klein-Gordon-Schrödinger-Feldes Exkurs 9.2: Hilfsmittel aus der Funktionentheorie . . . . . . . . . . 9.3.2 Feynman-Propagator des Dirac-Feldes . . . . . . . . . . . 9.3.3 Feynman-Propagator des Maxwell-Feldes . . . . . . . . . Anwendung der Störungstheorie auf Streuprozesse . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

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x

Inhaltsverzeichnis

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

274

10 10.1 10.2

276 278 280 280 285 292 299 305 315 317 317 320 322 322 324 325 326 329 330 339 339 344 349 349 352 361 364 368

Quantenelektrodynamik Alphabet der Feynman-Diagramme . . . . . . . . . . . . . . . Streuprozesse erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.1 Streuprozesse freier Teilchen . . . . . . . . . . . . . 10.2.2 Elektronenstreuung an festem Kern . . . . . . . . . . 10.3 Streuprozesse zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.1 Übergangsamplituden . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Wirkungsquerschnitt von Zwei-Teilchen-Stößen . . . . . . . . 10.5 Teilchenzerfälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6 Feynman-Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6.1 Feynman-Regeln der QED im Impulsraum . . . . . . 10.7 Korrekturen vierter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.8 Strahlungskorrekturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.8.1 Primitiv divergente Feynman-Graphen . . . . . . . . 10.8.2 Vakuumgraphen und Fermionenringe . . . . . . . . . 10.8.3 Photon-Photon-Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . 10.8.4 Selbstenergien, Vertexkorrektur und Ward-Identität . . 10.9 Dimensionsmäßige Regularisierung . . . . . . . . . . . . . . Exkurs 10.1: Mathematische Hilfsmittel zur Regularisierung . 10.10 Renormierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.10.1 Vorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.10.2 Renormierung in niedrigster Ordnung . . . . . . . . . 10.11 Auswirkungen regulärer Strahlungskorrekturen . . . . . . . . 10.11.1 Uehling-Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.11.2 Anomales magnetisches Moment des Elektrons . . . . 10.12 Strahlungskorrekturen höherer Ordnung und Renormierbarkeit 10.13 Quantentheorie versus Quantenfeldtheorie . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

III

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Einführung in die Elementarteilchentheorie

373

11 Einleitung zur Elementarteilchentheorie 11.1 Historischer Rückblick auf die Entdeckung der Elementarteilchen . . . 11.2 Erster Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

375 378 385 390

12 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6

391 391 396 400 403 405 407

Elemente der Gruppentheorie Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Morphismen, Wirkung und Darstellung von Gruppen Matrixgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lie-Gruppen und Generatoren . . . . . . . . . . . . Lineare Lie-Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . Lie-Algebra der Generatoren . . . . . . . . . . . . .

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Inhaltsverzeichnis

xi

Erzeuger der Gruppe SU (2) . . . . . . . . . . . . . Gruppe S O(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lokale Äquivalenz der Gruppen SU (2) und S O(3) . Gruppe SU (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Höherdimensionale Darstellungen der Gruppe SU (2) Gruppen und Symmetrien . . . . . . . . . . . . . . . Anhang: Ergebnisse aus der Matrizentheorie . . . . . 12.13.1 Invarianten äquivalenter Matrizen . . . . . . 12.13.2 Determinante der Matrix e J . . . . . . . . . 12.13.3 Determinante unitärer Matrizen . . . . . . . 12.13.4 Eigenschaften der Pauli-Matrizen . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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409 410 413 415 416 418 418 418 419 420 420 421

13 Gruppierung von Teilchenzuständen 13.1 Spin 1/2 und Gruppe SU (2) . . . . . 13.2 Isospin . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3 Farbladung und Gruppe SU (3) . . . . 13.4 Baryonen aus u, d und s . . . . . . . . 13.5 Mesonen aus u, d und s . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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423 424 427 433 434 438 440

14 Teilchen, Felder und Lagrange-Funktion 14.1 Lagrange-Funktion und Hamiltonsches Variationsprinzip für Felder 14.2 Klein-Gordon-Schrödinger-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3 Maxwell- und Proca-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4 Lorentz-Invarianz und Dirac-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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441 441 442 443 444 450

12.7 12.8 12.9 12.10 12.11 12.12 12.13

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. . . . . .

15 15.1 15.2

Eichinvarianz und Eichfelder U (1)-Invarianz von Klein-Gordon-Schrödinger- und Dirac-Feld . . . . SU (2)-Invarianz und Yang-Mills-Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2.1 Feldgleichungen für das Yang-Mills-Feld . . . . . . . . . . . . 15.3 SU (3)-Invarianz und Gluonenfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exkurs 15.1: Geometrische Interpretation der kovarianten Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.4 Gebrochene Eichsymmetrie und Ruhemassen . . . . . . . . . . . . . . 15.4.1 Brechung einer globalen U (1)-Symmetrie . . . . . . . . . . . 15.4.2 Brechung einer lokalen U (1)-Symmetrie und Higgs-Mechanismus Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

451 452 456 462 464

16 16.1 16.2

477 477 479 479 486 487

Standardmodell Voraussetzungen des Standardmodells . . . . . . . . . . . . . . Weinberg-Salam-Theorie der elektroschwachen Wechselwirkung 16.2.1 Leptonenanteil L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exkurs 16.1: Fall unterschiedlicher U º1»-Kopplungsfelder . . . 16.2.2 Lagrange-Dichte B für freie Bosonenfelder . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

465 467 468 473 475

xii

Inhaltsverzeichnis

16.2.3 Modifizierte Maxwell-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . Einbeziehung der Quarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.3.1 U (1)- und SU (2)-invarianter -Anteil der Quarks . . . . . . . 16.3.2 SU (3)-invarianter -Anteil der Quarks: Quantenchromodynamik 16.4 Erklärung der Teilchenmassen mit Hilfe eines Higgs-Feldes . . . . . . . 16.4.1 Bosonenmassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.4.2 Leptonenmassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.4.3 Ruhemassen freier Quarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exkurs 16.2: Quarkeinschluß und Gluonen . . . . . . . . . . . . . . . . 16.4.4 Quarkmischung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.5 Gesamt-Lagrange-Dichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.6 Kosmologische Implikationen des Higgs-Feldes . . . . . . . . . . . . . 16.7 Experimentelle Tests des Standardmodells . . . . . . . . . . . . . . . . 16.7.1 Nachweis der Eichbosonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.7.2 Zahl der Familien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.7.3 Weitere Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.7.4 Zum Nachweis des Higgs-Bosons . . . . . . . . . . . . . . . . 16.8 Anhang zur Diagonalisierung von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

490 491 491 493 494 494 500 502 504 507 513 515 517 517 518 519 519 520 521

17 17.1

523 523 524 525 528 534 538

16.3

Über das Standardmodell hinausführende Entwicklungen Neutrinomassen und Neutrinooszillationen . . . . . . . . . . . . . . . 17.1.1 Neutrinos als massive Majorana-Teilchen . . . . . . . . . . . 17.1.2 Neutrinooszillationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.2 Große Vereinheitlichungstheorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.3 Supersymmetrie, Einbindung der Gravitation und Superstringtheorien Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

Literaturverzeichnis

539

Sachregister

540

I


1


Aus dem Korrespondenzprinzip folgt, daß es in Analogie zur relativistischen Mechanik auch eine relativistische Quantenmechanik geben muß. Interessanterweise hat E. Schrödinger noch vor der Schrödinger-Gleichung als erstes eine relativistische „Wellengleichung“ aufgestellt. Er publizierte diese jedoch nicht, weil sie nicht die richtige Feinstruktur der Energieniveaus des Wasserstoffatoms lieferte. Erst, nachdem er bemerkt hatte, daß sie einen brauchbaren nicht-relativistischen Limes liefert, wollte er das nachholen, doch da waren ihm bereits O. Klein und W. Gordon zuvorgekommen. Aus diesem Grund wird die auch von ihm entdeckte Gleichung heute meist als KleinGordon-Gleichung bezeichnet. Sie hat sich als korrekte relativistische Gleichung für Spin-0-Teilchen erwiesen und wird daher ausführlich in Kapitel 4 untersucht. Dabei soll der frühere Usus, sie als Klein-Gordon-Schrödinger-Gleichung zu bezeichnen, wieder aufleben. Anders als die Schrödinger-Gleichung enthält die Klein-Gordon-SchrödingerGleichung Zeitableitungen zweiter Ordnung. Sie paßt daher zunächst nicht nicht in das in Kapitel Q6 entwickelte allgemeine Schema der Quantenmechanik, kann jedoch durch eine geeignete Umformulierung in dieses eingepaßt werden. 1928 gelang es P. A. M. Dirac, eine relativistisch invariante Gleichung vom Typ der Schrödinger-Gleichung aufzustellen. Möglich wurde das durch den Übergang von der einkomponentigen komplexen Wellenfunktion der Schrödinger-Gleichung zu einem mehrkomponentigen komplexen Spinor, und als nicht-relativistischer Limes der DiracGleichung ergab sich die Pauli-Gleichung für Spin-1/2-Teilchen. Die Dirac-Gleichung erwies sich dadurch als relativistische Gleichung für spinbehaftete Teilchen, während sich der Spin damit als ein Effekt der Relativitätstheorie herausstellte. Wie bei der KleinGordon-Schrödinger-Gleichung gibt es Lösungen positiver und negativer Energie. Um das Problem zu vermeiden, daß von allen Lösungen positiver Energie der Übergang zu Lösungen negativer Energie erfolgt, erklärte Dirac alle Zustände negativer Energie als bereits besetzt. Die konsequente Fortführung dieser Idee führte ihn schließlich dazu, den durch Anregung bzw. Überführung von besetzten Zuständen negativer in Zustände positiver Energie entstehenden Leerplätzen eine Rolle als Antiteilchen zuzuweisen. Im Teil Quantenmechanik wurden Wellenfunktionen für ein und für mehrere Teilchen eingeführt. Die hier dargebotene relativistische Quantenmechanik beschränkt sich auf eine Ein-Teilchen-Beschreibung. Schon bei dieser treten verschiedentlich Mehr-Teilchen-Effekte auf, wie das angeführte Beispiel der Erzeugung von Antiteilchen durch Löcherbildung demonstriert. Mit derartigen Effekten ist immer dann zu rechnen, wenn die Energie des durch die relativistische Gleichung beschriebenen Einzelteilchens die der Ruhemasse eines geeigneten anderen Teilchens äquivalente Energie übersteigt. Dies zeigt, daß es im Grunde keine konsistente relativistische Ein-Teilchen-Quantenmechanik gibt. Die logische Konsequenz davon besteht im Ausbau der relativistischen Quantenmechanik zu einer systematischen relativistischen Mehr-Teilchen-Theorie, was in der im nächsten Teil des Buches behandelten Quantenfeldtheorie geschehen wird.

2

Dirac-Theorie des Elektrons und des Neutrinos

Die im ersten Teil dieses Buchs behandelte Quantenmechanik ist nicht-relativistisch. Sie steht in Korrespondenz zur Newtonschen Mechanik und ist dementsprechend Galileiinvariant. Wir können nicht erwarten, daß sie auch im relativistischen Regime gültig bleibt. Schon bei der Dynamik eines Elektrons im Atom ergeben sich bei klassischer Rechnung so hohe Geschwindigkeiten, daß meßbare relativistische Korrekturen zu erwarten sind. Das gilt um so mehr z. B. für hochenergetische Stoßprozesse in Teilchenbeschleunigern. Dieses Kapitel ist einer relativistischen Quantenmechanik von Elektronen gewidmet. Es wird sich herausstellen, daß die bisherigen Konzepte der Quantenmechanik auch im relativistischen Regime brauchbar bleiben. Dennoch liefert eine relativistische Quantentheorie wesentlich mehr als nur relativistische Korrekturen zur bisherigen Theorie. So erklärt z. B. die von Dirac entwickelte Quantentheorie geladener Punktteilchen ganz von selbst den Spin 1/2 der Elektronen und Positronen. Nun besitzen aber beileibe nicht alle Teilchen den Spin 1/2. Dies deutet darauf hin, daß mit dem Einbringen relativistischer Konzepte in die Quantenmechanik auch eine stärkere Diversifizierung verbunden ist. Ein generelles Problem der relativistischen Quantenmechanik ist das Auftreten von Zuständen negativer Energie. Wie bereits in der Einleitung gesagt löste Dirac dieses, indem er forderte, daß alle negativen Energiezustände der Elektronen im allgemeinen von Elektronen besetzt sind. Wird eines von diesen durch Energiezufuhr in einen Zustand positiver Energie überführt, so hinterläßt es ein unbesetztes Loch, das Dirac als positiv geladenes Teilchen interpretierte. Mit Hilfe dieser Vorstellung kann nicht nur die Existenz des Positrons gefolgert, sondern auch noch eine Reihe weiterer, bei Elektronen und Positronen auftretender Phänomene gedeutet werden. Wir werden allerdings sehen, daß diese Interpretation nicht in allen Konsequenzen haltbar ist, und werden sie daher später im Rahmen der Quantenfeldtheorie ersetzen.

2.1 Ergebnisse der klassischen relativistischen Mechanik Wir beabsichtigen, eine relativistische Bewegungsgleichung quantenmechanischer Zustände für die Dynamik geladener Punktteilchen in einem elektromagnetischen Feld aufzustellen. Dabei möchten wir uns so eng wie möglich an das erprobte Vorgehen im nicht-relativistischen Fall anlehnen und benötigen die Bewegungsgleichung daher in Hamiltonscher Form.

2.1 Ergebnisse der klassischen relativistischen Mechanik

5

Die relativistische Bewegungsgleichung für die Bewegung eines Punktteilchens im elektromagnetischen Feld lautet in der Newtonschen Form d mÚ dt mit m

q E Ú B

(2.1)

m0 . 1v 2 /c2

(2.2)

Die Felder E und B lassen sich durch E

Φ ∂∂tA ,

B

A

(2.3)

auf die Potentiale A und Φ zurückführen. Die (2.1) äquivalente Hamiltonsche Form der Bewegungsgleichung ist nach der Speziellen Relativitätstheorie, Abschn. „Lagrange und Hamilton-Formulierung der Bewegungsgleichung“ ∂H ∂H p , ∂p ∂x 2 qΦ(x, t) c m 02 c2 p q A(x, t) . x

mit H

(2.4) (2.5)

(Wir benutzen in der relativistischen Quantenmechanik für den Ortsvektor die Bezeichnung x.) Der Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit Ú x und dem Impuls p folgt aus (2.4a) mit (2.5) und lautet p

q A mÚ .

(2.6)

Für spätere Zwecke sei angemerkt, daß sich aus (2.5) mit (2.6) H

qΦ mc2

(2.7)

ergibt. Die Gleichungen (2.4) sind formal identisch mit den kanonischen Bewegungsgleichungen der nicht-relativistischen Mechanik. Daher gelten für sie alle Konsequenzen, die in der klassischen Mechanik aus ihrer kanonischen Form abgeleitet wurden. Insbesondere bedeutet dies, daß sie auch in die Form 2 ∂S ∂S ∂S ∂S 2 2 H x, p ∂ x , t ∂t qΦ c m 0 c ∂ x q A 0 (2.8) ∂t von Hamilton und Jacobi gebracht werden können. Der Zusammenhang zwischen der Wirkungsfunktion S und den mechanischen Größen p bzw. x ist dabei wie in der klassischen Mechanik durch ∂S p (2.9) ∂x und (2.6) mit Ú und es folgt

x gegeben. Im Fall ∂ H /∂t

0 gilt Energieerhaltung, H

E

const,

6

2 Dirac-Theorie des Elektrons und des Neutrinos

∂S ∂t

E.

(2.10)

Wir werden später bei der Quantisierung von Gleichung (2.8) zu deren Quadrat

∂S ∂t

qΦ

2

m 02 c4 c2

∂S ∂x

2

qA

(2.11)

übergehen. Man kann sich schon klassisch einen Teil der Konsequenzen überlegen, die dieses Vorgehen mit sich bringt: Für Φ 0 und A A(x) ist H nicht explizit zeitabhängig, es gilt der Energieerhaltungssatz, und (2.11) ist dann den zwei Gleichungen ∂S ∂t

H E

(2.12)

äquivalent. Dies bedeutet, daß zu jeder Lösung positiver Energie (mit ∂ S/∂t E) auch eine Lösung negativer Energie (mit ∂ S/∂t E) existiert. Beim Aufstellen der Schrödinger-Gleichung in der nicht-relativistischen Quantenmechanik (Abschn. Q3.2.3) wurde neben der Hamilton-Jacobi-Gleichung auch eine Kontinuitätsgleichung benutzt. Wir wollen daher auch eine entsprechende relativistische Kontinuitätsgleichung bereitstellen. n 0 N/V0 sei die Dichte ruhender Teilchen. Mit dem Vierervektor der Geschwindigkeit 1 Uμ c, Ú (2.13) 1 v 2 /c2 und der Summenkonvention ist ∂μ (n 0 U μ ) bzw.

n0 ∂ ∂t 1 v 2 /c2

div

0

(2.14)

n0 Ú

1 v 2 /c2

0

(2.15)

eine Lorentz-invariante Erhaltungsgleichung, die im Limes v/c 0 in die klassische Kontinuitätsgleichung übergeht. Definieren wir noch durch n N/V (mit N Zahl der Teilchen und V V0 1 v 2 /c2 bewegtes Volumen) bzw. n

n0 1 v 2 /c2

mit

n0

N V0

(2.16)

eine Dichte der bewegten Teilchen, so erhalten wir aus (2.15) schließlich die Kontinuitätsgleichung ∂n div(nÚ) 0 . (2.17) ∂t Dabei ist Ú aus (2.4)–(2.6) zu entnehmen.

2.2 Aufstellung der Dirac-Gleichung

7

2.2 Aufstellung der Dirac-Gleichung In der nicht-relativistischen Quantenmechanik hatte sich als allgemeines Schema zur Aufstellung einer „Wellengleichung“ ergeben, daß man für diese ih ∂t ψ

ψ H

ansetzt und in ihr den Hamilton-Operator H aus der Hamilton-Funktion H (q, p, t) gemäß h H H q, p p , t i berechnet. Eine äquivalente Korrespondenzregel, die Ort und Zeit symmetrisch behandelt, wäre: In der klassischen Definitionsgleichung H H (q, p, t) der HamiltonFunktion, die auf der rechten Seite eine dem speziellen Problem angepaßte Funktion von q, p und t enthält, ersetzt man h (2.18) i und erhält dadurch eine Operatorgleichung. Wird diese von rechts mit ψ multipliziert, so daß die Operatoren auf die Wellenfunktion ψ einwirken, so erhält man die quantenmechanische Bewegungsgleichung. Wird nach diesem Schema auch der relativistische Fall behandelt, so ergibt sich aus (2.5) 2 h ih ∂t ψ qΦ ψ c m 02 c2 q A ψ. (2.19) i H

ih ∂t ,

p p

Da der Operator unter der Wurzel erscheint, wäre die rechte Seite zunächst nicht definiert. Hier könnte man sich damit behelfen, die rechte Seite durch eine geeignete Potenzreihenentwicklung zu erklären. Dann treten auf dieser aber sämtliche Ortsableitungen von ψ auf, die symmetrische Behandlung von Raum und Zeit in der Korrespondenzregel schlagen sich also im relativistischen Fall nicht in der mit dieser abgeleiteten Bewegungsgleichung nieder. Physikalisch würde die Abhängigkeit der Zeitableitung ∂t ψ von allen Ortsableitungen (also von sämtlichen Koeffizienten einer Taylor-Entwicklung von ψ) bedeuten, daß wir es mit einer nicht-lokalen Theorie zu tun haben, weil die zeitliche Veränderung von ψ an einem Raumpunkt durch alle räumlichen Werte, die ψ zum selben Zeitpunkt annimmt, beeinflußt würde. Ein derartiges Verhalten ist nicht, was wir von einer relativistischen Theorie erwarten. Wir müssen uns daher nach anderen Wegen umsehen, zu einer relativistischen quantenmechanischen Bewegungsgleichung zu gelangen.1 Wie im nicht-relativistischen Fall suchen wir nach einer Bewegungsgleichung, die eine Reihe physikalisch motivierter Forderungen erfüllt. Dabei können die meisten Forderungen des nicht-relativistischen Falls mit unveränderter Begründung direkt übernommen werden. (Es empfiehlt sich also, noch einmal einen Blick auf Abschn. Q3.2.3 1 Schon hier sei darauf hingewiesen, daß wir im Rahmen der Theorie der im folgenden aufgestellten DiracGleichung bei einer speziellen Fragestellung dennoch auf Gleichung (2.19) zurückgeführt werden (siehe Abschn. 3.2.1).

8


der Quantenmechanik zu werfen.) Wo unsere Forderungen von dem früher betrachteten Fall abweichen müssen, ist unmittelbar evident, so daß sie hier ohne weitere Begründung aufgeführt werden können. 1. Die Gleichung ist linear und homogen im Zustand ψ. Zur besseren Vergleichbarkeit mit der klassischen relativistischen Mechanik wird für diesen die Ortsdarstellung benutzt. 2. Die Gleichung enthält nur Zeitableitungen erster Ordnung. Wegen der Gleichberechtigung von Raum und Zeit in der Relativitätstheorie wird zusätzlich gefordert, daß sie auch nur Ortsableitungen erster Ordnung enthält. 3. Die im quasiklassischen Grenzfall in die Teilchendichte übergehende Wahrscheinlichkeitsdichte n ist eine quadratische Funktion der Wellenamplitude. 4. Die Forderungen des Korrespondenzprinzips sollen erfüllt sein, d. h. die Bewegungsgleichung soll im quasiklassischen Grenzfall zu Gleichung (2.8) bzw. (2.11) und der zugehörigen Kontinuitätsgleichung (2.17) führen. 5. Die Bewegungsgleichung soll die einfachste aller möglichen Gleichungen sein, welche die Forderungen 1–4 erfüllen. Forderung 2 ist im Grunde sogar überflüssig, denn die Bewegungsgleichung wird sicher am einfachsten (Forderung 5), wenn sie nur Ableitungen erster Ordnung enthält, und es stellt sich heraus, daß damit alle anderen Forderungen erfüllt werden können. Der einfachste Ansatz für eine mit den gestellten Forderungen verträgliche Bewegungsgleichung ist ∂t ψ

aψ

al ∂l ψ

(2.20)

mit komplexen Koeffizienten a und al . Dabei wird die Summenkonvention in der Form benutzt, daß bei doppeltem Auftreten lateinischer Indizes nur über die räumlichen Komponenten 1, 2 und 3 summiert wird. Daß der Zeitableitungsterm nicht mit einem Koeffizienten behaftet ist, bedeutet keine Einschränkung, denn man kann sich vorstellen, daß ein etwaiger Koeffizient herausgekürzt wurde. (Diese Möglichkeit besteht auch für den sich später als notwendig herausstellenden Fall, daß ψ ein Spaltenvektor ist und a sowie al dementsprechend Matrizen repräsentieren. Man müßte in diesem Fall einfach mit einer inversen Matrix multiplizieren.) Jetzt zerlegen wir ψ mit dem Ansatz ψ

A eiS/h

(2.21)

in einen Amplitudenfaktor A und einen (skalaren) Phasenfaktor eiS/h mit reellem S. Im nicht-relativistischen Fall hatten wir verlangt, daß auch A ein reeller Skalar ist. Da wir mit dieser Forderung im relativistischen Fall nicht durchkommen werden, lassen wir sie fallen. Im nicht-relativistischen Fall hatten wir außerdem den Phasenfaktor in der Form eiG angesetzt und für den quasiklassischen Grenzfall nur G S/h verlangt, der Proportionalitätsfaktor ergab sich im Nachhinein aus den de Broglie-Relationen zu eins. Wir ersparen uns diesmal das Mitschleppen eines Proportionalitätsfaktors, indem wir mit dem Ansatz (2.21) gleich dessen richtigen Wert einführen. Allerdings werden wir das der Ordnung halber nachträglich überprüfen.


9

ψ

Abb. 2.1: Lokalisiertes Wellenpaket im quasiklassischen Grenzfall.

d

Mit dem Ansatz (2.21) ergibt sich aus (2.20) nach Herauskürzen des Phasenfaktors

i i (2.22) ∂t A A ∂t S a A al ∂l A A ∂l S . h h Nun wenden wir uns dem quasiklassischen Grenzfall dieser Gleichung zu. In diesem wird sich das das Teilchen repräsentierende Wellenpaket auf eine kleine Umgebung des klassischen Teilchenorts konzentrieren (Abb. 2.1), während S direkt mit der klassischen Wirkungsfunktion übereinstimmen muß. Größenordnungsmäßig gilt ∂t A A/t, wobei t d/v die Zeit ist, die das Wellenpaket zum Durchlaufen eines Gebietes der Ausdehnung d benötigt. Mit (2.10) ergibt sich dann

∂t A h . A ∂t S Et i h

(2.23)

Analog ist ∂l A A/d, und mit (2.9) ergibt sich

∂l A h . A ∂l S pl d i h

(2.24)

Es wird sich herausstellen, daß A ein Spaltenvektor sein muß. Die Abschätzungen (2.23)–(2.24) sind dann so zu verstehen, daß sie für dessen Komponenten gelten. Etwas vage ausgedrückt steht zu erwarten, daß die Quantenmechanik für große Energien und Impulse in die klassische Mechanik übergeht. Präziser definieren wir als quasiklassischen Grenzfall, daß die Bedingungen Et

h ,

pl d h

(2.25)

erfüllt sind. Aufgrund der Abschätzungen (2.23)–(2.24) können wir dann in Gleichung (2.22) zwei Terme, ∂t A und al ∂l A, vernachlässigen und erhalten als deren quasiklassischen Grenzfall h ∂t S a al ∂l S . (2.26) i Offensichtlich läßt sich durch keine Wahl der Koeffizienten a und al erreichen, daß (2.26) die Form von Gleichung (2.8) annimmt, ja das wäre selbst dann nicht möglich, wenn wir in den Ansatz (2.22) Terme mit höheren Ableitungen von S aufgenommen hätten. Das unser Vorhaben störende Element ist die in (2.8) auftretende Wurzel. Diese

10


können wir beseitigen, indem wir Gleichung (2.8) quadrieren. Die entstehende Gleichung (2.11) vergleichen wir mit dem Quadrat von Gleichung (2.26) in der symmetrisierten Form2 h 1 (∂t S)2 h 2 a 2 (2.27) a al al a ∂l S al am am al (∂l S)∂m S . i 2 Es wurde schon darauf hingewiesen, daß (2.11) eine größere Lösungsmannigfaltigkeit als (2.8) besitzt. Dementsprechend steht zu erwarten, daß auch die Bewegungsgleichung für ψ eine größere Lösungsmannigfaltigkeit aufweisen wird, als ursprünglich beabsichtigt wurde: Wir müssen darauf gefaßt sein, auch quantenmechanische Lösungen mit negativer Energie zu erhalten. Da die Bewegungsgleichung (2.26) alle Lösungen generieren wird, die mit den Lösungen von (2.8) in Korrespondenz stehen, bedeutet unser Verfahren jedenfalls keine Einschränkung. Es erhebt sich nur die Frage, wie die zusätzlichen Lösungen zu deuten sind. Diesem Problem werden wir uns später ausführlich zuwenden.

2.2.1 Dirac-Gleichung im kräftefreien Fall Jetzt wenden wir uns der Bestimmung der Koeffizienten a und al zu. Der besseren Übersichtlichkeit halber behandeln wir zunächst den einfachen Fall, in dem die Felder Φ und A verschwinden. Gleichung (2.11) reduziert sich in diesem auf

∂S ∂t

2

m 02 c4 c2

∂S ∂x

2 .

(2.28)

Der Koeffizientenvergleich zwischen (2.27) und (2.28) liefert die Bedingungen

a2

m 0 c2 h

2 ,

a al

al a

0,

al am

am al

2δlm c2 .

(2.29)

Wieder geht es nicht so glatt wie im nicht-relativistischen Fall, denn wir müssen feststellen, daß die Gleichungen (2.29) nicht mit skalaren Koeffizienten a und al befriedigt werden können: Aus der ersten Gleichung folgt a 0, die zweite ist dann nur mit al 0 erfüllbar, und das steht im Widerspruch zur dritten Gleichung. Die Situation ist jedoch nicht so gravierend, wie es zunächst erscheint: Das Feld ψ(x, t) muß nicht notwendig 2

Es gilt (∂t S)2

h a al ∂l S i

h a al ∂l S i

h 2 a2 hi

a al

al a

∂l S (al ∂l S)2 .

Die Symmetrisierung des Terms (al ∂l S)2 ergibt sich gemäß (al ∂l S)2

al (∂l S) am (∂m S) am (∂m S) al (∂l S) 1 al (∂l S) am (∂m S) am (∂m S) al (∂l S) 2

1 (al am 2

am al ) (∂l S)(∂m S) .

Sie ist nur von Belang, wenn das Produkt al am nicht vertauschbar ist, was der Fall ist, wenn es sich bei den al um Matrizen handelt.


11

ein Skalarfeld wie das Schrödinger-Feld sein. Wir kennen anderes aus der Elektrodynamik, und im Rahmen der Quantenmechanik hat uns schon die Pauli-Gleichung mit Alternativen vertraut gemacht. Setzen wir ψ als mehrkomponentige Wellenfunktion ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ψ1 A1 . ψ ⎝ ... ⎠ ⎝ .. ⎠ eiS/h (2.30) An ψn

an, so müssen die Koeffizienten a und al in Gleichung (2.20) n n–Matrizen sein, damit diese einen Sinn ergibt. Die linke Seite von Gleichung (2.26) ist entsprechend so zu interpretieren, daß ∂t S mit der n n–Einheitsmatrix multipliziert ist, ∂t S E ∂t S .3 Die Größe S bleibt dabei wie vorausgesetzt ein reeller Skalar. Man prüft leicht nach, daß alle zwischen (2.20) und (2.29) ausgeführten Schritte mit unserer jetzigen Interpretation der Größen ψ, a und al verträglich sind. Auch der Übergang von der Matrixgleichung (2.27) zu der skalaren Gleichung (2.28) bereitet keine weiteren Interpretationsschwierigkeiten: Unter den Bedingungen (2.29) enthält jeder Term in (2.27) die Einheitsmatrix; kürzt man diese heraus, so ergibt sich für die quantenmechanische Phase S die skalare Gleichung (2.28). Wir haben noch eine weitere Forderung des Korrespondenzprinzips zu erfüllen: Die quantenmechanische Wahrscheinlichkeitsdichte n muß im quasiklassischen Grenzfall der Kontinuitätsgleichung (2.17) genügen. Für die Zustände (2.30) ist die sinnvollste Definition einer mit der Forderung 3 des letzten Abschnitts verträglichen Wahrscheinlichkeitsdichte n ψi ψi . Definieren wir als zu ψ adjungierten Zustand den Zeilenvektor bzw. die Zeilenmatrix ψ ψ1 , . . . , ψn , (2.31) n so läßt sich dafür ψi ψi (2.32) n ψψ i 1

schreiben. (Wir werden später zu einer etwas anderen Dichte ψψ mit einer noch zu definierenden Größe ψ übergehen.) n ist positiv definit, wie zu fordern ist, wenn n als Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert werden soll. Die Zeitableitung von n erhalten wir mit Hilfe der auch bei Anwesenheit von Feldern Φ und A gültigen Bewegungsgleichung (2.20) und der zu dieser adjungierten Gleichung (∂t ψ)

ψ a (∂l ψ) al ,

(2.33)

indem wir (2.20) von links mit ψ , (2.33) von rechts mit ψ multiplizieren und die erhaltenen Gleichungen addieren. Mit (∂t ψ) ∂t ψ und (∂l ψ) ∂l ψ erhalten wir auf diese Weise (2.34) ∂t n ψ (a a ) ψ ψ al ∂l ψ (∂l ψ ) al ψ . Für den quasiklassischen Grenzfall ergibt sich keine Vereinfachung der Struktur dieser Gleichung. Wenn sie also im quasiklassischen Grenzfall die Form einer Kontinuitätsgleichung annehmen soll, muß das ganz allgemein gelten. Dazu muß der erste Term der 3 Man beachte den Unterschied zwischen der Einheitsmatrix E und der Energie E.

12


rechten Seite verschwinden und die beiden letzten müssen zusammen eine Divergenz ergeben, d. h. wir erhalten die Forderungen a

a

0,

al

al

,

(2.35)

die aufgrund der Allgemeingültigkeit des Ansatzes (2.26) auch für Φ 0 und A0 gelten. Mit (2.35) vereinfacht sich (2.34) zu ∂t n ∂l (ψ al ψ) 0 .

(2.36)

Wir werden sehen, daß diese Gleichung im quasiklassischen Grenzfall (2.17) liefert, ohne daß weitere Forderungen gestellt werden müssen. Im nächsten Abschnitt wird sich herausstellen, daß die Matrizen a und al mindestens 4 4–Matrizen sein müssen, damit alle Gleichungen (2.29) und (2.35) erfüllt werden können. Sie werden bis auf eine unitäre Transformation eindeutig festgelegt (siehe nächster Abschnitt), wenn es sich um 4 4–Matrizen handelt, bei höherer Dimension der Matrizen geht diese Art der Eindeutigkeit verloren. Im Sinne unserer Forderung nach maximaler Einfachheit der Bewegungsgleichung werden wir uns für 4 4–Matrizen entscheiden. Die Wellenfunktion wird damit zu einem vierkomponen⎛ ⎞ tigen Spaltenvektor ψ1 ⎜ ψ2 ⎟ ψ ⎝ ⎠, (2.37) ψ3 ψ4 für den sich aus später ersichtlichen Gründen (siehe Exkurs 2.1) der Name Spinor oder Dirac-Spinor eingebürgert hat. Der zu ψ adjungierte Spinor ist nach (2.31) ψ

(ψ1 , ψ2 , ψ3 , ψ4 ) ,

(2.38)

es handelt sich bei ihm um eine Zeilenmatrix. Nach den Regeln der Matrizenmultiplikation, Multiplikation der Zeilen der linken mit den Spalten der rechten Matrix, gibt es zwischen zwei Rechtecksmatrizen ψ und ϕ mit einer Zeile bzw. einer Spalte zum einen das Produkt ⎛ ⎞ ϕ1 ϕ ⎜ ⎟ (2.39) ψ ϕ (ψ1 , ψ2 , ψ3 , ψ4 ) ⎝ 2 ⎠ ψ1 ϕ1 ψ2 ϕ2 ψ3 ϕ3 ψ4 ϕ4 , ϕ3 ϕ4 das zu einer 1 1-Matrix mit dem Element 4i 1 ψi ϕi Produkt ⎛ ⎞ ⎛ ϕ1 ϕ1 ψ1 ϕ1 ψ2 ⎜ϕ ⎟ ⎜ ϕ ψ ϕ2 ψ2 ϕψ ⎝ 2 ⎠ (ψ1 , ψ2 , ψ3 , ψ4 ) ⎝ 2 1 ϕ3 ϕ3 ψ1 ϕ3 ψ2 ϕ4 ϕ4 ψ1 ϕ4 ψ2 das zu einer 4 4-Matrix mit den Elementen ϕi ψk führt.

führt, und zum anderen das ϕ1 ψ3 ϕ2 ψ3 ϕ3 ψ3 ϕ4 ψ3

⎞ ϕ1 ψ4 ϕ2 ψ4 ⎟ ⎠, ϕ3 ψ4 ϕ4 ψ4

(2.40)


13

Es erweist sich als zweckmäßig, mit den Definitionen m 0 c2 β, ih

a

al

cαl

(2.41)

von a und al zu neuen Matrizen β und αl überzugehen. Die Forderungen (2.29) und (2.35) transformieren sich dabei in4 β2

1,

β, αl

0,

αl , αm

2δlm

(2.42)

und β

β ,

αl

αl .

(2.43)

(Wir lassen die Einheitsmatrix weg, wenn wie in der Gleichung β 2 1 klar ist, was gemeint ist.) Aus (2.20) wird damit die von P. A. M. Dirac entdeckte Dirac-Gleichung für freie Teilchen h ih ∂t ψ (2.44) m 0 c2 β cαl ∂l ψ. i Die Mehrkomponentigkeit der Wellenfunktion bedeutet, daß gegenüber der Schrödingerschen Wellenmechanik weitere Freiheitsgrade hinzugekommen sind. Welche Bedeutung diese haben, werden wir später sehen. Hier sei nur darauf hingewiesen, daß sich das Auftreten mehrerer Freiheitsgrade zwangsläufig aus den Forderungen (2.29) ergab. Für ebene Wellen ψ ψ0 ei(k x ωt ) liefert (2.44) die Matrix-Gleichung h ω

m 0 c2 β c h kl αl .

Durch Quadrieren folgt hieraus unter Benutzung der Gleichungen (2.42) und nach Herauskürzen der Einheitsmatrix die Dispersionsrelation (h ω)2

(m 0 c2 )2 c2 (h k)2 .

(2.45)

Genau dasselbe ergibt sich, wenn wir den im kräftefreien Fall ( A0 und Φ 0) gültigen, aus (2.8) mit (2.9) und (2.10) folgenden Energiesatz H E c m 02 c2 p2 quadrieren und in ihm die – auch relativistisch gültigen – de Broglie-Relationen E h ω und p h k einsetzen. Damit ist im Nachhinein gezeigt, daß der in (2.21) gewählte Ansatz G S/h mit S = Wirkungsfunktion berechtigt war. 4 In der Relativistischen Quantenmechanik und der Quantenfeldtheorie treten sowohl Kommutatoren a, b als auch Antikommutatoren a, b auf. Die letzteren werden in diesem Buch generell durch ein tief gestelltes markiert. Für Minus-Kommutatoren werden die Notationen a, b und a, b benutzt, die letztere überwiegend dann, wenn es um die deutliche Absetzung von Antikommutatoren geht oder wenn eine Verwechslung droht.

14


Mit den Definitionen (2.41) wird aus der Kontinuitätsgleichung (2.36) ∂t n

div j

0

mit

jl

cψ

αl ψ .

(2.46)

(Später werden wir zu einem Teilchenstrom übergehen, bei dem ψ durch ψ ersetzt ist.) Im quasiklassischen Grenzfall ist sowohl n ψ ψ als auch jl nur in der unmittelbaren Nachbarschaft des klassischen Teilchenorts von Null verschieden. Wir dürfen dann näherungsweise n

δ3(x x(t)) ,

jl

Jl δ3(x x(t)) n Jl

setzen und erhalten aus (2.47b) für Jl die Beziehung (2.46b) Jl jl d 3x cαl ,

(2.47)

(2.48)

wobei in (2.56)–(2.57) definiert ist, wie der Mittelwert cαl gebildet werden muß. Unter Vorgriff auf das Ergebnis (2.61) erhalten wir mit d x /dt Úkl aus den Gleichungen (2.47)–(2.48) schließlich j n Úkl . Damit ist gezeigt, daß auch die Kontinuitätsgleichung (2.46) die Forderungen des Korrespondenzprinzips erfüllt.

2.2.2 Bestimmung der Dirac-Matrizen «l und ¬ Die Matrizen αl und β sind nach (2.43) hermitesch und erfüllen nach (2.42) die Beziehungen αx2 α y2 αz2 β 2 1 . (2.49)

Hieraus folgt, daß sie als Eigenwerte nur 1 oder 1 besitzen können. (Jede hermitesche Matrix kann durch eine unitäre Transformation auf Diagonalform gebracht werden, in der ihre Eigenwerte auf der Diagonalen stehen, und nach (2.49) sind deren Quadrate gleich eins.) Weiterhin folgt aus (2.42b) β β, αl

β 2αl

βαl β

(2.42a)

αl

βαl β

0.

Hieraus folgt unter Benutzung der allgemeingültigen Beziehung Sp(AB) Sp(B A) für die Spur des Produktes zweier Matrizen A und B

Sp(βαl β) Sp β Sp(αl β) Sp(αl β 2 ) Sp αl mit der Konsequenz Sp αl 0, und analog folgt aus αl β, αl αl βαl αl2 β αl βαl β 0 das Ergebnis Sp β 0. Die Spur ist bei unitären Transformationen, durch die hermiSp αl

tesche Matrizen auf Diagonalform gebracht werden können, eine Invariante. Daher ist die Spur hermitescher Matrizen gleich der Summe ihrer Eigenwerte. Da die letzteren bei den hermiteschen Matrizen αl und β jedoch gleich 1 oder 1 sind, kann Sp αl bzw. Sp β nur bei geradzahliger Dimension verschwinden. Weiterhin müssen die fünf Matrizen αx , α y , αz , β und E linear unabhängig sein, denn die Einheitsmatrix läßt sich nicht als Linearkombination der Matrizen αl und β darstellen.


15

Beweis: Aus der Gleichung 3

cl αl

bβ

E

(2.50)

l 1

folgt durch Antikommutation mit αm bzw. β unter Ausnutzung der Beziehungen (2.42) sowie von αm E E αm αm und β E Eβ β cm E αm ,

bE β .

Durch nochmalige Antikommutation mit αl αm folgt aus diesen Gleichungen cm αl

0,

b αl

0

und damit c1 c2 c3 b 0. Mit diesen Koeffizienten läßt sich (2.50) nicht erfüllen.

Dieses Ergebnis bedeutet, daß der Matrizenraum, in welchem αl und β erklärt sind, mindestens fünf linear unabhängige Matrizen enthalten muß. Da es insgesamt nur vier linear unabhängige hermitesche 2 2–Matrizen gibt, existiert in deren Raum keine Lösung der Gleichungen (2.42)–(2.43). Nach zwei ist die nächste geradzahlige Dimension vier. Im Raum der 4 4–Matrizen ist das Gleichungssystem (2.42)–(2.43) tatsächlich lösbar, und es bereitet keine weiteren Schwierigkeiten, sich eine explizite Lösung zu verschaffen. Wir begnügen uns damit, uns davon zu überzeugen, daß 0 σl 1 0 αl (2.51) , β σl 0 0 1 eine Lösung ist, wobei 0, 1 und σl die zweidimensionale Nullmatrix, Einheitsmatrix bzw. die Pauli-Matrizen sind. Beweis: Da die 2 2–Matrizen 0, 1 und σl hermitesch sind, gilt das auch für die 4 4–Matrizen αl und β. In Aufgabe 2.4 wird gezeigt, daß mit den Blockmatrizen αl und β so gerechnet werden kann, als wären die 2 2–Matrizen 0, 1 und σl gewöhnliche Matrixelemente. Die Gültigkeit von β 2 1 ist offensichtlich. Mit den üblichen Regeln der Multiplikation und Addition von Matrizen erhalten wir außerdem 0 σl 0 σl 0 β αl αl β σl 0 σl 0 sowie σl σm σm σl 0 0 σl , σm 0 αl αm αm αl σl , σm , 0 σl σm 0 σm σl 0

und mit den Vertauschungsrelationen (Q7.43), σl , σm 2δlm , folgt daraus (2.42c).

(2.51) ist eine spezielle Lösung der Gleichungen (2.42)–(2.43). Man erhält aus ihr die weiteren Lösungen β

U β U,

αl

U αl U ,

wenn man für U eine beliebige unitäre Matrix wählt, denn beispielsweise gilt (β )2

U β UU β U U β 2U U U 1

(2.52)

16


die übrigen Relationen (2.42)–(2.43) beweist man analog. Ob man in der DiracGleichung die Matrizen αl und β oder αl und β einsetzt, ist irrelevant, die physikalischen Ergebnisse bleiben davon unberührt: Ist ψ eine Lösung der Dirac-Gleichung (2.44) mit den Matrizen αl und β, und setzt man ψ U ψ bzw. ψ U ψ , so ergibt sich aus (2.44) durch Multiplikation mit U von links h m 0 c2 β cαl ∂l ψ . ih ∂t ψ i ψ ist demnach eine Lösung der Dirac-Gleichung mit den Matrizen αl und β , und die physikalische Äquivalenz der Lösungen ψ und ψ ergibt sich aus ψ ψ ψ ψ . Im folgenden bedeutet es oft eine nützliche Abkürzung, wenn wir die drei Matrizen α1 αx , α2 α y und α3 αz durch die Definition

« α x e x α y e y α z ez

(2.53)

zu einem Vektor « zusammenfassen, dessen Komponenten Matrizen sind.

2.2.3 Dirac-Gleichung mit elektromagnetischem Feld Der allgemeine Ansatz (2.20) gilt auch für den Fall, daß die Teilchendynamik in einem beliebigen elektromagnetischen Feld erfolgt. Die Koeffizienten a und al müssen nur so bestimmt werden, daß ein Quadrat der im quasiklassischen Grenzfall gültigen Beziehung (2.26) mit (2.11) übereinstimmt. Statt mit (2.41) gehen wir jetzt mit m 0 c2 i β al cαl qΦ cαl q Al , (2.54) a ih h

von al und a zu den Matrizen αl und β über und erhalten damit aus (2.26) ∂t SqΦ m 0 c2β cαl ∂l Sq Al bzw. das symmetrisierte Quadrat5 davon,

∂t S qΦ

2

m 02 c4 β 2

c2 αl , αm (∂l Sq Al ) (∂m Sq Am ) 2

m 0 c3 β, αl

(∂l S q Al ) .

Der Koeffizientenvergleich mit (2.11) zeigt, daß αl und β wieder die Gleichungen (2.42) erfüllen müssen, und aus den Forderungen (2.35) ergeben sich wieder die Bedingungen (2.43). Dies bedeutet, daß für die Matrizen αl und β die schon bekannten Lösungen (2.51) herangezogen werden dürfen. Mit den Ansätzen (2.54) und der Notation (2.53) lautet die Bewegungsgleichung (2.20) jetzt ih ∂t ψ

h qΦ m 0 c2 β c« qA ψ . i

5 Vergleiche Fußnote 2 von Seite 12.

(2.55)

2.3 Operatoren, Mittelwerte und Ehrenfestsches Theorem

17

Dies ist die Dirac-Gleichung für die Dynamik eines Teilchens der Ladung q im elektromagnetischen Feld. Die zugehörige Kontinuitätsgleichung ist identisch mit der des kräftefreien Falls, d. h. es gilt wieder (2.46). Mit ψ U ψ, αl U αl U und β U βU ist auch hier wieder der Übergang zu einer anderen Darstellung der DiracMatrizen möglich.

2.3 Operatoren, Mittelwerte und Ehrenfestsches Theorem Durch die Einwirkung eines Operators L auf einen Dirac-Spinor (2.37) wird diesem ein – im allgemeinen von ihm verschiedener – Spinor ϕ aus dem Hilbert-Raum der Dirac-Spinoren zugeordnet, L ψ ϕ L ψ . In Komponenten bedeutet dies ψi

L ϕi

4

L ik ψk ,

k 1

wobei L eine Matrix ist, deren Komponenten L ik Operatoren sind. Als Spezialfall ist darunter der Fall enthalten, bei dem der Operator L nur gleiche Diagonalelemente enthält, L l E. (Dabei werden wir im allgemeinen die Matrix E nicht eigens anschreiben.) Wie in der bisherigen Quantenmechanik werden wir nur lineare Operatoren L betrachten. Um zu L einen adjungierten Operator definieren zu können, wird ein Skalarprodukt von Dirac-Spinoren benötigt, das wir durch (ϕ, χ) (2.56) ϕ χ d 3x definieren. Der zu L adjungierte Operator L ist dadurch definiert, daß für beliebige Elemente ϕ und χ des Hilbert-Raums der Dirac-Spinoren (ϕ, L χ)

( L ϕ, χ)

gilt. Ein Operator L heißt hermitesch, wenn wie üblich L L oder (ϕ, L χ) gilt. Der durch L (ψ, L ψ)

χ) ( Lϕ, (2.57)

definierte Erwartungswert eines hermiteschen Operators ist reell. Schreiben wir die Dirac-Gleichung (2.55) mit der Definition H

qΦ m 0 c2 β c«

h qA i

(2.58)

18


in der Form ih ∂t ψ

H ψ ,

(2.59)

so folgt aus ihr genau wie aus der nicht-relativistischen Schrödinger-Gleichung (siehe Quantenmechanik, Gleichung (Q3.118) für einen beliebigen linearen hermiteschen Operator L 1 d ∂L L L, H . (2.60) dt ih ∂t Für L x und mit x m , H

cαl

h h (∂l x m ) cαm i i

sowie (2.53) folgt daraus insbesondere d x dt

«

c .

(2.61)

c « ist demnach der Operator der Teilchengeschwindigkeit. Er ergibt sich auch aus der Rückübersetzung (Q6.117) der Heisenbergschen Bewegungsgleichung (Q6.114) für Operatoren ins Schrödinger-Bild, angewandt auf den Ortsoperator x, denn dx dt

1 x, c « x , H ih

c(« x) c« .

Für L (h/i) erhalten wir mit

h h ∂m , H q (∂m Φ) c(∂m αl Al ) i i und der Definition

aus (2.60)

d p dt

q

p

h i

Φ

qc (« A) .

(2.62)

(2.63)

Unter Benutzung von c«

∂ H , ∂ p

q

∂Φ ∂x

∂ H c (« A) ∂x

lassen sich die Gleichungen (2.61) und (2.63) auch in die Form d x d p ∂H ∂H

, dt ∂ p dt ∂x

(2.64)

bringen. Dies ist das Ehrenfest-Theorem in derselben Form, wie es im nicht-relativistischen Fall erhalten wurde. (Wie dort handelt es sich um rein formale Beziehungen, aus denen keine Lösungen für x und p als Funktionen von t gewonnen werden

2.3 Operatoren, Mittelwerte und Ehrenfestsches Theorem

19

können.) Es erlaubt, p auch im relativistischen Regime als kanonischen Impulsoperator aufzufassen. Die klassische Beziehung (2.6) läßt erwarten, daß der Operator h qA i

(2.65)

dem klassischen kinetischen Impuls m zugeordnet werden kann. wird dementsprechend als Operator des kinetischen Impulses bezeichnet. Aufgrund des Korrespondenzprinzips ist es sinnvoll, H als Energieoperator zu bezeichnen. Ist H nicht explizit zeitabhängig, was nach (2.58) für ∂t Φ 0 und ∂t A 0 der Fall ist, so folgt aus (2.60) 1 H , H ih

d H dt

0,

und es gilt der Energieerhaltungssatz H const. In derrelativistischen Mechanik ist wegen ihrer Abhängigkeit von v auch die Masse m m 0 / 1v 2 /c2 eine dynamische Variable. Nach (2.5)–(2.6) gilt 1 H c2

qΦ

1 2 2 m0 c m2v2 c

m0 1v 2 /c2

m.

Das Korrespondenzprinzip führt uns dazu, m

(2.58) 1 1 H qΦ m 0β

2 c c

(2.66)

als quantenmechanischen Masseoperator zu definieren. Multipliziert man Gleichung (2.66) einmal von links, einmal von rechts mit dem Operator und addiert die erhaltenen Gleichungen, so ergibt sich

m m

m0

β β

1c

.

Aus den Vertauschungsrelationen (2.42b) folgt, daß der erste Term der rechten Seite verschwindet. In Komponenten gilt weiterhin (mit Summenkonvention)

αl αm

αm αl π m (2.42c) 2δlm π m

2π l ,

womit schließlich der Zusammenhang

1 c m mc 2

(2.67)

folgt. Da c der Geschwindigkeitsoperator ist, entspricht Gleichung (2.67), deren rechte Seite in den Operatoren c und m symmetrisiert ist, zusammen mit (2.65) wie erwartet der klassischen Beziehung p q A m (siehe dazu aber Abschn. 3.1). Für freie Teilchen gilt nach (2.66) m

H . c2

(2.68)

20


Wir werden im nächsten Abschnitt sehen, daß der Hamilton-Operator freier Teilchen positive und negative Energieeigenwerte besitzt. Da der Masseoperator mit dem Hamilton-Operator bis auf einen konstanten Faktor übereinstimmt, hat auch der Masseoperator positive und negative Eigenwerte, wobei positive Massen mit positiven Energien und negative Massen mit negativen Energien verbunden sind.

2.4 Ebene-Welle-Lösungen für freie Teilchen Die Dynamik freier Teilchen wird durch Gleichung (2.44) beschrieben. Mit dem Ansatz ωt )

U ei(k x

ψ

,

(2.69)

in dem U ein orts- und zeitunabhängiger Viererspinor ist, suchen wir Lösungen für ebene Wellen der Frequenz ω, die sich in Richtung des Vektors k ausbreiten. Die durch (2.69) gegebenen Spinoren ψ sind Eigenspinoren des Operators p , es gilt h ψ i

p ψ

pψ

mit

h k .

p

(2.70)

Durch Einsetzen von (2.69) und (2.70) in (2.44) ergibt sich, daß sie auch Eigenspinoren des Hamilton-Operators H m 0 c2 β c« p sind, H ψ

Eψ

mit

h ω ,

E

(2.71)

wenn der Spinor U die Gleichung (m 0 c2 β c« p) U

EU

(2.72)

erfüllt. Im folgenden geht es nur noch darum, die Lösungen dieser Gleichung zu finden. Werden diese in (2.69) eingesetzt, so sind die Wellenlösungen festgelegt. Die Tatsache, daß die in H enthaltenen Matrizen « und β mit Hilfe von 2 2-Matrizen dargestellt werden können, legt es nahe, auch für die Viererspinoren eine Zerlegung in zwei Zweierspinoren vorzunehmen, d. h. wir wählen den Ansatz ψ

ϕ χ

Mit (2.51) und U

ϕ

mit ϕ0 χ0

ϕ1 ϕ2

ψ1 ψ2

,

χ

χ1 χ2

ψ3 ψ4

.

(2.73)

wird aus Gleichung (2.72a) m 0 c2 c p

c p m 0c2

ϕ0 χ0

E

ϕ0 χ0

,

nach Ausführen der Matrizenmultiplikation zerfällt sie in die zwei Gleichungen (m 0 c2 E) ϕ0 c

p χ0

0,

c

p ϕ0 (m 0 c2 E) χ0

0.

(2.74)

2.4 Ebene-Welle-Lösungen für freie Teilchen

21

E m 0 c2 0 m0

Abb. 2.2: Die positiven und negativen Energieeigenwerte zu einem gegebenen Impuls liegen in den sich bis E bzw. erstreckenden schattierten Bereichen.

c2

Aus der zweiten dieser Gleichungen ergibt sich χ0

m cc2p E ϕ0 ,

(2.75)

0

und die Elimination von χ0 aus der ersten Gleichung mit Hilfe dieses Ergebnisses führt zu c2 p p ϕ0 0 . (m 0 c2 E) ϕ0 m 0 c2 E Zur Weiterbehandlung dieser Gleichung benutzen wir die für beliebige Vektoren oder Vektoroperatoren a und b (die jedoch keine Matrizen als Komponenten haben sollen) gültige und am Ende dieses Abschnitts bewiesene Identität

a b a b i (a b) ,

(2.76)

setzen in dieser a b p und erhalten mit

p p p2 die Gleichung

m 0 c2

E

c 2 p2 m 0 c2 E

(2.77) ϕ0

0.

Die Lösbarkeitsbedingung für diese Gleichung, das Verschwinden der Klammer, führt zu den beiden Energieeigenwerten mit Ep (m 0 c2 )2 c2 p2 . (2.78) E Ep Zu jeder Lösung E Ep positiver Energie existiert auch eine Lösung E Ep negativer Energie, und es gilt Ep m 0 c2 (Abb. 2.2). Gleichung (2.78) ist natürlich der Dispersionsbeziehung (2.45) äquivalent. Wenn sie erfüllt ist, kann ϕ0 beliebig gewählt werden. Jetzt wenden wir uns der Bestimmung der Vierer-Eigenspinoren U zu, die wir bei den Lösungen positiver Energie mit U ( ) und bei denen negativer Energie mit U ( ) bezeichnen. Wie bereits gesagt kann der Zweierspinor ϕ0 beliebig gewählt werden. Die beiden Zweierspinoren 1 0 , χ , (2.79) χ 0 1

22


die nach Gleichung (Q7.73) der Quantenmechanik Eigenspinoren der Matrix σz zu den Eigenwerten 1 sind, bilden eine orthonormierte Basis, und ϕ0 kann eine beliebige Linearkombination der beiden Basisspinoren (2.79) sein. Dies bedeutet, daß es auch für U ( ) und U ( ) eine Basis von je zwei Viererspinoren gibt, aus denen sich die allgemeine Lösung durch Linearkombination ergibt. Die zwei (2.79) entsprechenden Basisspinoren haben nach (2.73) und (2.75) mit E Ep die Form ⎛ ⎞ χi ⎜ ⎟ ( ) für i . Ui N ⎝ c p χi ⎠ (2.80) m 0 c2 Ep N sind Konstanten, die durch die Normierungsforderung () () c2 ( pχi ) pχi 2 Ui Ui N χi χi (m c2 E )2 0 p 2 c χi p pχi (2.77) c 2 p2 (Q7.47) 2 2 N 1 (m c2 E )2 N 1 (m c2 E )2 0 p 0 p

N 2

(m 0 c2 )2 2m 0 c2 Ep Ep2 c2 p2 (m 0

c2

bei der χi χi 1 benutzt wurde, zu N

Ep

N 2 E

2Ep 2 p m0c

(2.78)

)2

Ep m 0 c2 2Ep

(2.81)

festgelegt werden können. Damit ergibt sich schließlich ⎛ ⎞ χi 2 Ep λm 0 c ⎜ ⎟ (λ) für i Ui ⎝ c p χi ⎠ 2Ep m 0 c2 λEp (Als Index ist λ , als Faktor 1.) Die Ui

(λ)

(λ) (μ) Uj Ui

1,

, λ

s.u.

(1) .

(2.82)

erfüllen die Normierungsbedingungen

δλμ δi j .

(2.83)

Für i j und λμ ergibt sich das aus der vorangegangenen Berechnung der Normierungskonstanten Nλ . Für i j folgt es aus χi χ j 0, und für λμ, aber i j aus ()

Ui

( )

Ui

χi χi cm( c 2pχEi ) 0 p

c p χi m 0 c2 Ep

1 (m

c 2 p2 2 2 2 0 c ) Ep

0.

Mit (2.82) ergeben sich aus (2.69)–(2.71) die auf eins normierten Wellenlösungen ⎛ ⎞ χ i Ep m 0 c2 ⎜ ⎟ i( px Ep t )/h für i , (2.84) ψi() ⎝ c p χi ⎠ e 2Ep 2 m 0 c Ep ( )

wobei ψi

( )

Lösungen positiver und ψi

Lösungen negativer Energie sind.

2.4 Ebene-Welle-Lösungen für freie Teilchen

23

Für manche Zwecke ist es günstiger, wenn man bei den zu negativer Energie E Ep gehörigen Eigenspinoren aus den zwei Gleichungen (2.74) ϕ0 statt χ0 eliminiert. Man erhält dann aus der ersten von diesen

mc c 2pχE0 , 0

ϕ0

c p χi ⎝ m c2 E ⎛

und der Ansatz ( )

Ui

N

0

p

χi

(2.85)

⎞ ⎠

für

i

,

in dem benutzt ist, daß auch der beliebig wählbare Zweierspinor χ0 aus den Basisspinoren (2.79) superponiert werden kann, führt mit der Normierungsforderung ( ) ( ) Ui 1 zu den alternativen Eigenlösungen negativer Energie Ui ⎛ c pχ ⎞ i Ep m 0 c2 ( ) 2 E ⎠ ⎝ m c 0 p Ui . (2.86) 2Ep χ i

Im nicht-relativistischen Grenzfall werden die gefundenen Wellenlösungen besonders einfach. Nicht-relativistische Verhältnisse liegen vor, wenn Ep von der Größenordnung der Ruheenergie ist, Ep m 0 c2 bzw. nach (2.78b) p/(m 0 c)1 und Ep m 0 c2 p2 /(2m 0 ). Dann gilt nach (2.81) p N 1, N 1, 2m 0 c und aus (2.80) folgt ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ χi 0 χi χ i p ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Ui( ) ⎝ pχi ⎠ ⎝ ⎠ , Ui() ⎝ 2m 0 c pχi ⎠ ⎝ pχi ⎠ . 2m c 0 p2 0 p 2m 0 c Für die Lösungen positiver Energie sind also im nicht-relativistischen Grenzfall nur die zwei oberen Spinorkomponenten u 1 und u 2 von Bedeutung, für die Lösungen negativer Energie nur die zwei unteren Komponenten u 3 und u 4 . Zum Abschluß soll noch der Beweis der Beziehung (2.76) nachgeholt werden. Beweis: Bilden i, k und l eine zyklische Permutation der Zahlen 1,2 und 3, so gilt nach (Q7.45) σ i σk

(Q7.43)

σk σi i σl , (2.87) 2 k gilt nach (Q7.44) σi 1. Diese Ergebnisse lassen sich unter Benutzung des Tensors

und für i εikl zu der Formel

σi σk δik i εikl σl (2.88) zusammenfassen. Sind a i und bk die Komponenten zweier beliebiger Vektoren oder Vektoroperatoren a und b , so ergibt sich hieraus durch Multiplikation mit a i und b k sowie Summation über die doppelt auftretenden Indizes

σi a i σk bk

δik a i bk

i εikl a i bk σl .

Mit εikl a i bk σl σl εlik a i bk und ( a b )l εlik a i b k ergibt sich die behauptete Beziehung.

24


2.5 Wellenpakete und Gruppengeschwindigkeit Aus den ebenen Wellen (2.84) ergeben sich durch Superposition Wellenpakete. Das allgemeinste Wellenpaket hat die Form () 1 ( ) 3 i p x/h Ci ( p)Ui ( p) ei Ep t /h d ψ(x, t) p e (2.89) (2π h 2 )3/2 i Ci()( p)Ui()( p) ei Ep t /h . Die Wellenlösungen negativer Energie müssen dabei mit berücksichtigt werden, denn zu jedem Impuls p existieren vier voneinander unabhängige Eigenspinoren, und nur unter Einbeziehung der zwei zu negativen Energien gehörigen Spinoren bilden die ebenen Wellen (2.84) ein vollständiges Spinorsystem. Ist zur Zeit t 0 der Spinor ψ(x, 0) vorgegeben, so können die Koeffizienten () ( ) Ci ( p) und Ci ( p) aus Gleichung (2.89) durch Fourier-Transformation berechnet werden. Die Grundlage dafür bildet die dreidimensionale Verallgemeinerung der Gleichungen (E2.50), 1 1 ik x 3 f (x) ck e f (x) ei k x d 3x . d k, ck (2.90) (2π)3/2 (2π)3/2 Aus dem Vergleich von (2.90a) mit der für t 0 angeschriebenen Gleichung (2.89) ergibt sich mit f (x) ψ(x, 0) und k p/h () ck Ci ( p)Ui()( p) Ci()( p)Ui()( p) . i

Aus (2.89b) folgt daher ( ) ( ) Ci Ui Ci()Ui() i

1 (2π)3/2

ψ(x, 0) ei p x/h d 3x

w( p) .

w( p) ist ein Viererspinor, der durch ψ(x, 0) festgelegt wird. In Analogie zu ψ, Gleichung (2.73), zerlegen wir ihn in der Form u w v mit zwei Zweierspinoren u und v. Multiplizieren wir die zuletzt erhaltene Gleichung () , so ergibt sich mit Hilfe der Orthogonalitätsrelationen (2.83) mit Ui c ( pχi ) v (2.80) Ci()( p) N χi u , Ui() w( p) m 0 c2 Ep ⎡

und hieraus folgt ( )

Ci ( p) Ci()( p)

N N

c ( pχi ) v ⎢ χi u E m c2 p 0 ⎢ ⎢ ⎣ c ( pχi ) v χi u Ep m 0 c2

⎤ ⎥ ⎥ ⎥. ⎦

2.5 Wellenpakete und Gruppengeschwindigkeit

25

Unter nicht-relativistischen Verhältnissen, also für p m 0 c, ist nach (2.78b) Ep m 0 c2 p 2 /(2m 0 ) , Ep m 0 c2 2m 0 c2 und damit p N (2.81) Ep m 0 c2 1. N Ep m 0 c2 2m 0 c

()

( )

Dies bedeutet, daß dann im allgemeinen Ci ( p) Ci ( p) gilt, es sei denn, der Anfangszustand ψ(x, 0) ist so konstruiert, daß der Nenner in der eckigen Klammer ebenso klein wie N /N ist. Dies würde bedeuten, daß der zweite Term des Nenners dieselbe Größenordnung wie der erste besitzen und diesen im wesentlichen kompensieren müßte. Da er den sehr kleinen Faktor c p/(m 0 c) enthält, müßte v dazu wesentlich ( ) ( ) Ci größer als u sein. Solange diese künstliche Situation nicht gegeben ist, gilt Ci und der Anfangszustand enthält überwiegend Wellen positiver Energie. Unter relativistischen Verhältnissen, also für p m 0 c ist Ep m 0 c2 ( 2 1)m 0 c2, Ep m 0 c2 ( 2 1)m 0 c2 und 2 1 N (1) . N 2 1

Der Anteil von Wellen negativer Energie am Anfangszustand ist dann im allgemeinen derselbe wie der von Wellen positiver Energie, es sei denn, es wurde wieder durch eine besondere Präparierung des Anfangszustands für das Gegenteil gesorgt. Betrachten wir jetzt einen Anfangszustand, in dem ein Wellenpaket auf ein sehr enges Gebiet mit dem Durchmesser d h /(2m 0 c) lokalisiert ist. Aufgrund der Unschärferelation muß z. B.

p h /(2x) gelten. Wegen x d h /(2m c) gilt dann p m c und infolgedessen auch pm c. x

0

x

0

0

Sehr starke Lokalisierung des Wellenpakets führt also zu relativistischen Verhältnissen, und nach den vorangegangenen Überlegungen sind dann am Zustand ψ im allgemeinen Wellen positiver und negativer Energie in etwa gleichem Maße beteiligt. Bei sehr eng lokalisierten Zuständen wie z. B. Bindungszuständen des Elektrons im Atom spielen daher Zustände negativer Energie eine wesentliche Rolle. Bei ausgedehnten Zuständen mit einem Wellenpaketdurchmesser d h /(m 0 c) spielen Wellen negativer Energie dagegen keine wesentliche Rolle, wenn nicht durch eine spezielle Präparation des Anfangszustands dafür gesorgt wurde. Für ein nur aus Wellen positiver Energie aufgebautes Wellenpaket folgt aus (2.78b) mit E Ep h ω und p h k die Dispersionsrelation c ω m 02 c2 h 2 k 2 . (2.91) h

Mit der bekannten Beziehung Ú ∂ω/∂ k ergibt sich daraus als Gruppengeschwindigkeit des Wellenpakets Ú m cc h k h k cE p . (2.92) g

( ) g

2

2 2 0

2 2

p

26


Der daraus folgende Zusammenhang Ep ( Ú c2 g

p

)

(2.93)

zwischen Impuls und Gruppengeschwindigkeit entspricht der klassischen Beziehung p m Ú mit m E/c2 . Die Dispersionsrelation für ein nur aus Wellen negativer Energie aufgebautes Wellenpaket stimmt bis auf das Vorzeichen der Wurzel mit (2.91) überein, daher erhalten wir als Gruppengeschwindigkeit Úg(

)

2

cE p .

(2.94)

p

In diesem Fall haben wir das merkwürdige Ergebnis, daß die Gruppengeschwindigkeit des Wellenpakets dem Impuls entgegengerichtet ist. Es ist darauf zurückzuführen, daß die Masse m E/c 2 von Teilchen negativer Energie ebenfalls negativ ist (siehe Abschn. 2.3), so daß sich aus der Beziehung p m Ú entgegengesetzte Vorzeichen von p und Ú ergeben. Dieser ungewohnte Zusammenhang führt zu großen Schwierigkeiten bei der physikalischen Interpretation der Wellen negativer Energie. Zunächst sieht es allerdings so aus, als könnte man die letzteren einfach als unphysikalisch erklären und ignorieren: Die Wellen positiver und negativer Energie entwickeln sich nach dem allgemeinen Ergebnis (2.89) zeitlich völlig unabhängig voneinander, d. h. die kräftefreie Dirac-Gleichung separiert bezüglich der Zustände positiver und negativer Energie. Zustände negativer Energie können sich demnach nicht von sich aus entwickeln, wenn sie nicht anfänglich angeregt worden sind. Wie im nächsten Abschnitt gezeigt wird, geschieht das jedoch, sobald elektromagnetische Kräfte im Spiel sind. Wir werden uns daher mit den Wellen negativer Energie noch verschiedentlich auseinandersetzen müssen. Aus (2.78), (2.92) und (2.94) folgt übrigens Úg c/ 1 (m 0 c)2/ p 2 c, d. h. relativistische Wellenpakete breiten sich höchstens mit Lichtgeschwindigkeit aus. Dieses Ergebnis betrifft auch das Auseinanderfließen von Wellenpaketen (siehe Abschn. 2.6), so daß das relativistische Kausalitätsprinzip bei diesen Prozessen gewahrt bleibt.

2.6 Frontgeschwindigkeit von Wellenpaketen In der nicht-relativistischen Quantenmechanik können sich Teilchen mit Überlichtgeschwindigkeit bewegen, die Gruppengeschwindigkeit eines ein Teilchen repräsentierenden Wellenpakets ist Úg h k/m p/m, und p kann beliebige Werte annehmen. In Aufgabe Q3.2–3.3 der Quantenmechanik wurde gezeigt, daß sich die Front eines nichtrelativistischen Wellenpakets mit unendlicher Geschwindigkeit ausbreitet, selbst wenn das Wellenpaket ruht, seine Gruppengeschwindigkeit also verschwindet. Daraus, daß die Gruppengeschwindigkeit der Dirac-Gleichung genügender Wellenpakete nach dem letzten Abschnitt auf Werte Úg c eingeschränkt ist, kann also nicht geschlossen werden,

2.6 Frontgeschwindigkeit von Wellenpaketen

27

daß ihre Frontgeschwindigkeit derselben Einschränkung unterliegt. Die Frontgeschwindigkeit relativistischer Wellenpakete zu berechnen ist das Ziel dieses Abschnitts. Hierzu benutzen wir, daß aus der Dirac-Gleichung (2.44) für freie Teilchen die Gleichung 1 m 02 c2 ∂t t ψ ψ 0 (2.95) 2 c h 2 folgt, d. h. jede Komponente des Dirac-Spinors ψ genügt bei freien Teilchen der im nächsten Kapitel behandelten Klein-Gordon-Schrödinger-Gleichung (4.6). Beweis: Zum Beweis dieser Tatsache multiplizieren wir Gleichung (2.44) mit β, benutzen (2.42a), β 2 1, und schreiben sie in der Form

h (2.96) β(∂t c« ) m 0 c2 ψ 0 . i

c« ) folgt hieraus h 2 β(∂t c« )β(∂t c« )ψ m c2 h β(∂t c« )ψ

Durch Multiplikation mit dem Operator (h /i)β(∂t 0

0

(2.96)

h 2

∂t t

i

cβ « β∂t c« ∂t c2 β « β «

ψ

m 02 c4 ψ .

Wegen (2.42b) bzw. β « « β hebt sich im letzten Ausdruck der zweite gegen den dritten Klammerterm weg, und unter erneuter Benutzung von β 2 1 ergibt sich nach Multiplikation mit 1 h 2 ∂t t c2 « « ψ m 02 c4 ψ 0 . Unter Vorgriff auf die (2.76) entsprechende Beziehung (2.168), in der wir a b ten wir « « i τ .

setzen, erhal

Wird dies in das letzte Ergebnis eingesetzt, so folgt unmittelbar (2.95).

Im weiteren Verlauf betrachten wir nur noch eine Komponente des Spinors ψ, bezeichnen diese mit ϕ und untersuchen die Ausbreitung eines Wellenpakets in x-Richtung. Dieser Prozeß wird durch die Gleichung 1 ∂ 2ϕ c2 ∂t 2

∂ 2ϕ ∂x2

α2 ϕ 0

mit

α2

m 02 c2 h 2

(2.97)

beschrieben. Bezüglich des Wellenpakets machen wir die Annahme, daß sich seine Front zur Zeit t 0 bei x x 0 befindet, und daß ϕ zu dieser Zeit für alle x x 0 verschwindet. ϕ soll an der Wellenfront mitsamt seinen ersten Ableitungen stetig sein. (Die Stetigkeit der ersten Ableitungen muß gefordert werden, damit die in (2.97) stehenden zweiten Ableitungen überall definiert sind.) Für die zweiten Ableitungen können Unstetigkeiten zugelassen werden, und wir nehmen an, daß solche existieren. Die Wellenfront hat dann das in Abb. 2.3 (a) dargestellte Aussehen. Ist x(t) die Position der Wellenfront zu beliebigen Zeiten t (Abb. 2.3 (b)), so gilt x(0)x 0 . Jetzt nehmen wir an, daß x(t) eine Lösung der Gleichung C(x, t)0 ist. Die

28

2 Dirac-Theorie des Elektrons und des Neutrinos t ϕ

2

et ex

C (x , t )

0

1 x0

(a)

x

x (b)

Abb. 2.3: (a) Wellenpaket mit Front bei x x0 , wo die Krümmung und damit ϕ x x eine Unstetigkeit besitzt. (b) Position x(t) der Wellenfront in der x, t-Ebene. Das Wellenpaket befindet sich in dem mit 1 bezeichneten schattierten Gebiet, Gebiet 2 liegt vor der Wellenfront.

Ableitungen von ϕ x ∂x ϕ und ϕt ∂t ϕ tangential zur Kurve C(x, t) 0 müssen über diese hinweg an allen Kurvenpunkten stetig sein, weil ϕt und ϕ x sonst nicht überall über die Kurve hinweg, also zu allen Zeiten über die Wellenfront hinweg, stetig sein könnten. Wir fordern also die Stetigkeit von

C ϕx und

(C x ex

Ct et ) (ϕx x ex ϕxt et )

C ϕt

(C x ϕt t

(C x ϕ xt

Ct ϕx x ) ex et

Ct ϕt x ) ex et .

Bezeichnet der Index 1 den Grenzwert, den eine Funktion vom Inneren des Wellenpakets her auf der Kurve x(t) annimmt, und der Index 2 den Grenzwert auf dieser von vor der Front her (Abb. 2.3 (b)), so folgen aus den zwei gestellten Stetigkeitsforderungen mit f f2 f1 die zwei Gleichungen C x ϕ xt

C t ϕ x x ,

C x ϕ t t

C t ϕ t x ,

(2.98)

da C x und Ct stetig sind. Aus der beiderseits der Kurve x(t) gültigen Differentialgleichung (2.97) ergibt sich andererseits 1 ϕ t t c2

ϕ x x .

Werden ϕ x x und ϕt t mit Hilfe von (2.98) durch ϕ xt hieraus 1 Ct Cx ϕxt 0 . c2 C x Ct

ϕt x ausgedrückt, so folgt (2.99)

Kurven, auf denen sich Unstetigkeiten der zweiten Ableitungen ausbreiten können, werden als Charakteristiken bezeichnet. Auch die Wellenfront x(t) bewegt sich demnach auf einer Charakteristik. Da C(x, t) 0 eine implizite Darstellung der Kurve x(t) ist, gilt C(x(t), t) 0 .

2.7 Mischung positiver und negativer Energien

29

Aus dieser Identität folgt C x x(t) Ct

0

und

x(t)

Ct . Cx

Wird das letzte Ergebnis in Gleichung (2.99) eingesetzt, so ergibt sich aus dieser nach Herauskürzen von ϕxt x 1 0 oder x c . 2 x c Damit ist gezeigt, daß sich die Front x(t) des Wellenpakets mit Lichtgeschwindigkeit ausbreitet, unabhängig davon, welche Gruppengeschwindigkeit es besitzt. Dies zeigt, daß Wellenpakete auch in der relativistischen Quantenmechanik zerfließen. Anders als in der nicht-relativistischen Quantenmechanik wird dabei allerdings die Lichtgeschwindigkeit nicht überschritten.

2.7 Mischung positiver und negativer Energien In diesem Abschnitt wird gezeigt, daß die Dirac-Gleichung bei Anwesenheit eines Vektorpotentials A 0 nicht mehr bezüglich der Zustände positiver und negativer Energie separiert. Auch bei Einwirkung äußerer Kräfte kann ein beliebiger Teilchenzustand in eine Fourier-Reihe (2.89) zerlegt werden. Wir schreiben diese in der Form ψ(x, t)

mit ψ (λ) (x, t)

1

ψ ( ) (x, t) ψ ( ) (x, t)

(2π h 2 )3/2 i

d 3 p Ci(λ)( p)Ui(λ)( p) ei ( px

(2.100) λEp t )/h

.

(2.101)

Für den Hamilton-Operator (2.58) schreiben wir H

H f

qΦ cq « A

mit

H f

m 0 c2 β c« p ,

wobei H f der Hamilton-Operator für freie Teilchen ist. Es gilt 1 (λ) (λ) d 3 p Ci ( p) H f Ui ( p) ei ( px H f ψ (λ) (2π h 2 )3/2 i (2.71) λ (2.78) d 3 p Ci(λ)( p) Ep Ui(λ)( p) ei ( px (2π h 2 )3/2 i (2.101)

(2.102)

λEp t )/h

λEp t )/h

(λ) i h∂ ,

tψ

womit die separate Entwicklung von Zuständen positiver und negativer Energie bei freien Teilchen nochmals formal bewiesen ist.

30


Für gewisse Zwecke ist es nützlich, einen Operator zu definieren, dessen Anwendung auf Zustände rein positiver bzw. rein negativer Energie das Vorzeichen der Energie erkennen läßt. Zu dessen Konstruktion berechnen wir aus (2.102b) unter Vorgriff auf die Beziehung (2.168), aus der sich für a b p die Identität « p « p p 2 ergibt, zunächst H 2f

(m 0 c2 β c« p )(m 0 c2 β c« p ) m 02 c4 β 2 m 0 c3 (β « p « p β) c2 « p « p

(2.42a,b),(2.168)

m 02 c4 c2 p 2 .

Der hiermit gebildete und durch Reihenentwicklung nach p erklärte Vorzeichenoperator H f m 0 c2 β c« p Λ (2.103) m 02 c4 c2 p 2 H f 2 besitzt die gewünschte Eigenschaft: Mit der aus der Reihenentwicklung eines Operators f ( p ) folgenden Beziehung f ( p )ψ f ( p)ψ für p ψ pψ ergibt sich durch Anwendung von Λ auf die gemeinsamen Eigenzustände (2.84) der Operatoren p und H f mit den zur Abkürzung benutzten Beziehungen (2.80)–(2.81) Λ Ui(λ)( p) ei ( p x λEp t )/h

(2.71)a (2.78)

(2.78b)

λEp

m 02 c4 c2 p2

Ui(λ)( p) ei ( p x λEp t )/h

(λ)

λ Ui ( p) ei ( p x λEp t )/h ,

und durch ähnliche Rechnung wie bei der oben durchgeführten Berechnung von H f ψ (λ) ergibt sich hiermit (λ) λψ (λ) . Λψ (2.104) Der Operator Λ ist hermitesch und unitär, Λ Λ Λ 1 . Mit Hilfe von Λ können Projektionsoperatoren Π konstruiert werden, die aus einem allgemeinen Zustand, der bei seiner Zerlegung (2.89) bzw. (2.100) im allgemeinen Energieeigenzustände positiver und negativer Energie enthält, die Zustände positiver bzw. negativer Energie herausprojizieren. Wir definieren Π

1 , (1 Λ) 2

Π

1 (1 Λ) 2

(2.105)

und erhalten mit (2.104) zunächst die Eigenschaften Π ψ () Π ψ ()

ψ ( ) , 0,

Π ψ ()

Π ψ ()

0,

(2.106)

ψ ( ) .

(2.107)

Die Anwendung auf einen allgemeinen Zustand (2.100), ψ ψ () ψ () , liefert hiermit Π ψ

ψ () ,

Π ψ

ψ () .

Aus (2.106)–(2.108) ergibt sich für beliebige Zustände ψ Π 2 ψ

Π ψ ()

ψ ( )

Π ψ .

(2.108)

2.7 Mischung positiver und negativer Energien

Dies hat

31

Π

Π 2

(2.109)

zur Folge. Jetzt wollen wir untersuchen, wie die Einwirkung von Operatoren auf einen Spinor ψ die Zerlegung in Anteile positiver und negativer Energie beeinflußt. Dabei lassen wir alle möglichen Operatoren zu, also Matrizen wie « und β, welche die Anordnung der Spinorkomponenten verändern, und Differentialoperatoren wie p oder Multiplikationsoperatoren, welche diese unverändert lassen. Ein Operator, der aus jedem Zustand positiver (bzw. negativer) Energie wieder einen Zustand positiver (bzw. negativer) Energie erzeugt, wird als gerader Operator bezeichnet und zwischen eckige Klammern gestellt, L ψ () ψ () , L ψ () ψ () . (2.110) Ein Operator, der aus jedem Zustand positiver Energie einen Zustand negativer Energie und aus jedem Zustand negativer Energie einen Zustand positiver Energie erzeugt, wird als ungerader Operator bezeichnet und zwischen geschweifte Klammern gestellt,

L ψ () ψ () , L ψ () ψ () . (2.111) Der Hamilton-Operator H f für freie Teilchen und der Impulsoperator p sind offensichtlich gerade Operatoren, d. h. es gilt

H f ,

H f

p

p .

(2.112)

Jeder Operator L kann in einen geraden und einen ungeraden Anteil zerlegt werden, L

L L ,

(2.113)

wobei L oder L natürlich auch verschwinden kann. Den Beweis erbringen wir durch explizite Berechnung von L und L . Zunächst gilt Λ L Λ ψ Λ L Λ ψ () ψ () (2.104) (2.113)

(2.104)

Λ L L ψ () ψ () ψ () ψ () ψ () ψ ()

(2.110) (2.111)

(2.110) (2.111)

Λ ψ () ψ () ψ () ψ ()

L ψ () L ψ () L ψ () L ψ ()

L ψ L ψ . Wird dieses Ergebnis zu der aus (2.113) folgenden Gleichung L ψ

L ψ L ψ

addiert bzw. von ihr subtrahiert, so ergibt sich

L ψ

1 L Λ L Λ ψ , 2

L ψ

1 L Λ L Λ ψ , 2

32


und weil diese Beziehungen für beliebige Spinoren ψ gelten, erhalten wir schließlich L

1 L Λ L Λ , 2

L

1 L 2

Λ L Λ

.

(2.114)

,

(2.115)

Die Anwendung dieser Formeln auf die Operatoren « und x liefert c p Λ

«

i hc «Λ x x 2 H f 2

,

H f 2

2p i hc

2 H f 2

die ungeraden Anteile ergeben sich gemäß (2.113) aus « « « bzw. x x x und sind wie die geraden Anteile beide ungleich null. Beweis: 1. Λ «Λ

2 (2.103) m 0 c β c« p 2 m 0 c4 c 2 p 2

m c 2 β c« p

« 0

m 02 c4 c2 p2

(m 0 c2 β « c« p « )(m 0 c2 β c« p) . m 02 c4 c2 p2

Mit (m 0 c2 β « c« p « )(m 0 c2 β c« p) m 02 c4 β « β m 0 c3 (β « « p« p « β) c2 « p « « p (2.42b)

2 c4 « m c3 β(α α α α ) p e 0 k l l k l k

(2.42c)

2 c4 « m c3 β2δ p e 0 kl l k

(2.168)

2 c4 « 2m c3 β pc2 « p2 2c2 p « p (2.102b) 2 4 2 2 « (m 0 c c p )2c H f p 0

m 0

m 0

c2 αl pl αk αm pm ek

c2 αk αl pl αm pm ek

2c2 δkl pl αm pm ek

m 0

ergibt sich daraus Λ « Λ «

2c Hf p

und

Hf 2

«

cH p 1 « Λ « Λ f 2 2 Hf

c pΛ . Hf 2

2. In Kapitel Q3.6 der Quantenmechanik wurde aus dem Ansatz H f (x, p) Gleichung H /∂ p abgeleitet. Aus Λg( Hf ) und Hf f ( p) folgt Λ g( f ( p))g( p), (Q3.128), x, H (h/i)∂ und daher ergibt sich mit dem gleichen Beweisgang wie für Gleichung (Q3.128) x, Λ

Aus (2.103) folgt ∂Λ ∂p

c« 2 m 0 c4 c2 p 2

h ∂ Λ . i ∂p

c2 H f p 3/2 m 02 c4 c2 p2

c« Hf 2

und durch Kombination mit der Formel für x, Λ ergibt sich Λx

c« x Λ i h Hf 2

c2 Λ p Hf 2

.

c2 Λ p Hf 2

,

2.8 Nicht-relativistischer Grenzfall der Dirac-Gleichung

33

Damit und mit Λ2 Hf2 / H f2 1 erhalten wir Λx Λ x Λ2

c« Λ i h Hf 2

c2 Λ2 p Hf 2

c« Λ x i h Hf 2

c2 p Hf 2

Hieraus folgt mit (2.114a) unmittelbar (2.115b).

.

Mit x hat auch jede Potenz und allgemeiner jede Funktion von x einen geraden und einen ungeraden Anteil, d. h. Φ(x), Φ(x), A(x) und A(x) sind alle von null verschieden. Durch Einwirken des Operators « A(x) wird das Energievorzeichen von ψ ( ) zweimal verändert und bleibt daher insgesamt unverändert, d. h. « A(x) ist ein gerader Operator. « A(x) und « A(x) ändern das Vorzeichen von ψ ( ) nur einmal und sind daher ungerade Operatoren. Damit und mit (2.112a) erhalten wir für den Hamilton-Operator (2.102) H

H

mit H

H H

(2.116)

q Φ(x) cq « A(x)« A(x) , q Φ(x) cq « A(x) « A(x) . H f

(2.117) (2.118)

Ist nun ψ(x, 0)ψ () (x, 0) ein Anfangszustand positiver Energie, so entwickeln sich aufgrund der Bewegungsgleichung i h∂

tψ

H ψ H ψ H ψ

aus diesem zwangsläufig auch ψ-Anteile negativer Energie, weil () i h∂

tψ

H ψ () H ψ ()

gilt und H ψ () (x, 0) von null verschieden ist.

2.8 Nicht-relativistischer Grenzfall der Dirac-Gleichung Es ist interessant, den nicht-relativistischen Grenzfall der Dirac-Gleichung allgemein zu untersuchen. Bei den Ebene-Welle-Lösungen positiver Energie waren in diesem nur die zwei oberen Spinorkomponenten von Bedeutung, bei denen negativer Energie nur die zwei unteren. Dieser Sachverhalt motiviert dazu, auch bei Teilchen in äußeren Feldern im nicht-relativistischen Grenzfall die Zerlegung (2.73) des Viererspinors ψ in zwei Zweierspinoren ϕ und χ vorzunehmen. Für jeden beliebigen Zustand ψ(x, t) ist eine Fourier-Zerlegung (2.89) möglich, und ϕ wird dann im wesentlichen die Lösungsanteile positiver enthalten, χ die Lösungsanteile negativer Energie. Mit (2.51b) 1 ϕ χ 0 ϕ 0 ϕ βψ « ψ , 0 1 χ χ 0 χ ϕ

34


und (2.65) zerfällt die Dirac-Gleichung (2.55) dann in die zwei Gleichungen ih ∂t ϕ ih ∂t χ

(m 0 c2 qΦ) ϕ c χ , (m 0 c2 qΦ) χ c ϕ .

(2.119)

2.8.1 Zeitunabhängige Felder A und Wir behandeln zuerst den einfacheren Fall, daß die Felder A und Φ nicht von t abhängen. In diesem kann die allgemeine Lösung ψ(x, t) nach den Eigenfunktionen des Hamilton-Operators entwickelt werden, der ebenfalls zeitunabhängig ist. Mit dem Ansatz ϕ ϕα e iEα t /h , χ χα eiEα t /h (2.120) erhalten wir die letzteren nach (2.119) aus den Gleichungen E α ϕα

(m 0 c2 qΦ) ϕα cσl π l χα ,

E α χα

2

(m 0 c qΦ) χα cσl π l ϕα

. (2.121)

(Dabei wird die Summenkonvention benutzt, wobei über unterstrichene Indizes nicht summiert wird.) Indem wir (2.121b) nach χα auflösen, χα

c σm π m ϕα , (E α m 0 c2 qΦ)

(2.122)

und das Ergebnis in (2.121a) einsetzen, erhalten wir c2 σl σm π l π m ϕα h 1 π ϕ σ . ∂l E α ϕα (m 0 c2 qΦ) ϕα c2 σl m m α i E α m 0 c2 qΦ E α m 0 c2 qΦ (2.123) Hierin gilt 2 h σl σm π l π m q A q h B . (2.124) i Beweis: Für die linke Seite von (2.124) folgt zunächst σm σl πm πl σl σm πl πm σl σm πm πl πl , πm 12 σl , σm πm πl (Q7.43)

2

1 σ σ π , π 2 l m l m

1 σ σ π , π , 2 l m l m

wobei die vierte Form des Ausdrucks durch Kombination der ersten und dritten entstanden ist. Im zweiten Term des zuletzt erhaltenen Ergebnisses liefern alle Summanden mit l m keinen Beitrag, es verbleibt die Summe über die drei zyklischen Kombinationen 12, 23 und 31 sowie die drei antizyklischen Kombinationen 21, 32 und 13 von l und m. Mit πl , πm πm , πl , (Q7.45)–(7.46) und h h h h ∂l q Al ∂m q Am ∂m q Am ∂l q Al πl , πm i i i i h q h (∂l Am ) (∂m Al ) q für l, m, n zyklisch Bn i i


35

folgt daher (ohne Summenkonvention)

1 σ σ π , π 2 l m l m

l,m l m

σl σm π l , π m

(Q7.45)

q h

l,m zykl

3

σn B n .

n 1

Setzt man dies und die Definition (2.65) in die beim ersten Beweisschritt abgeleitete Formel ein, so erhält man (2.124).

Mit (2.124) und

h 1 ∂l i E α m 0 c2 qΦ

q h(∂l Φ) i (E α m 0 c2 qΦ)2

lautet (2.123) E α ϕα

q hc2 σl (∂l Φ) σm π m ϕα i (E α m 0 c2 qΦ)2 % $ 2 2m 0 c2 h qh 1 q A 2m B ϕα . E α m 0 c2 qΦ 2m 0 i 0

(m 0 c2 qΦ) ϕα

(2.125)

Dies ist eine lineare Eigenwertgleichung zweiter Ordnung für ϕα alleine, die den Eigenwert E α allerdings in nichtlinearer Weise enthält. Ist aus ihr ϕα bestimmt, so erhält man aus (2.122) auch unmittelbar χα . Wir suchen jetzt den nicht-relativistischen Grenzfall der Gleichung (2.125) für Zustände positiver Energie E α . Im quasiklassischen Grenzfall ergibt sich aus (2.5) mit (2.6) für positive Energien H E m 0 c2 1 v2 2 1 E qΦ c m 02 c2 m 2 v 2 m 0c . 2 c2 1v 2 /c2 Bei nicht-relativistischen Geschwindigkeiten v/c 1 ist demnach & 1 v2 (E m 0 c2 qΦ) (m 0 c2 ) 2 c2

1.

In Analogie dazu definieren wir den nicht-relativistischen Grenzfall für die quantenmechanischen Lösungen positiver Energie durch ' '& ' E α m 0 c2 qΦ ' (m 0 c2 ) 1 . (2.126) Diese Bedingung wird erfüllt, wenn sich E α nur wenig von der Ruheenergie m 0 c2 unterscheidet und qΦ m 0 c2 gilt. Häufig hat man es allerdings mit Problemen zu tun, bei denen qΦ divergiert. (Das tut z. B. das Potential des Atomkerns.) In der klassischen Mechanik entsteht hierdurch kein Problem, weil die Bedingung nur dort erfüllt sein muß, wohin das Teilchen wirklich gelangt. Quantenmechanisch muß die Bedingung überall dort erfüllt sein, wo die Wellenfunktion ϕ wesentlich von Null verschieden ist. Wir überzeugen uns anhand eines Beispiels davon, daß hierdurch im allgemeinen kein

36


Problem entsteht. Dazu betrachten wir den Grundzustand des Wasserstoffatoms. In ihm ist die Wellenfunktion nur in der unmittelbaren Umgebung einer Kugelschale, die vom Kern den Abstand rB h /(αm 0 c) (Bohrscher Radius) besitzt, wesentlich von Null verschieden. In dieser Zone ergibt sich aber

qΦ m 0 c2

e2 α 4πε0 h c

e2 4πε0rB m 0 c2

5 10 5 1 ,

(2.127)

E α m 0 c2 qΦ m 0 c2 2 2m 0c2 , m 0 c2

(2.128)

s.u.

α2

wobei α e2 /(4πε0 h c) 1/137 benutzt wurde. Ist die Bedingung (2.126) erfüllt, so gilt E α m 0 c2 qΦ

und der letzte Term der rechten Seite von (2.125) vereinfacht sich zu

1 2m 0

2

h q h q A 2m B ϕα . i 0

Von dem Ausdruck π m ϕα im zweiten Term der rechten Seite von (2.125) erhalten wir die Größenordnung, indem wir ihn für die Wellenlösung (2.69) der kräftefreien DiracGleichung ( (h /i) ) abschätzen: Da die Elemente der Matrizen σi die Größenordnung eins besitzen, gilt im nicht-relativistischen Grenzfall ' ' ' ϕα ' pϕα m 0 v ϕα . (2.129) ∂l Φ hat z. B. im Wasserstoffatom die Größenordnung Φ/rB . Damit erhalten wir für das Verhältnis des zweiten Terms der rechten Seite von (2.125) zum Anteil qΦϕα des ersten Terms ' ' ' q h c2 σl (∂l Φ)σm π m ϕα ' (2.128) q h c2 (Φ/rB )m 0 v ϕα ' ' m hcv2r αvc 1 , ' i (E m c2 qΦ)2 qΦϕ ' m 02 c4 qΦϕα α 0 α 0 B d. h. der zweite Term kann vernachlässigt werden. Insgesamt ergibt sich damit für den nicht-relativistischen Grenzfall von Gleichung (2.125) E α ϕα

(m 0 c2 qΦ) ϕα

1 2m 0

2

h q h qA B ϕα , i 2m 0

(2.130)

und Gleichung (2.122) führt näherungsweise zu χα

1 σl π l ϕα . 2m 0 c

(2.131)

Mit der Abschätzung (2.129) ergibt sich hieraus im nicht-relativistischen Grenzfall χα

vc ϕα .

(2.132)


37

Wegen v/c 1 können daher die Komponenten χα gegen die Komponenten ϕα vernachlässigt werden – oft werden deshalb die zwei oberen Komponenten des DiracSpinors ψ als große Komponenten und die zwei unteren als kleine Komponenten bezeichnet. Dieses Ergebnis bedeutet, daß der Viererspinor ψ der Dirac-Theorie im nicht-relativistischen Grenzfall effektiv zu einem Zweierspinor zusammenschrumpft. Nach (2.120) und wegen der Linearität der Dirac-Gleichung ist cα ϕα e iEα t /h (2.133) ϕ

α

eine Lösung des zeitabhängigen Problems. Da die Eigenfunktionen ϕα wie in der nichtrelativistischen Quantentheorie ein vollständiges Funktionensystem bilden, kann die Lösung (2.133) jeder beliebigen Anfangsbedingung angepaßt werden und ist daher die allgemeinste zeitabhängige Lösung. Die Anfangsbedingung kann insbesondere so gestellt werden, daß nur Eigenzustände ϕα zu positiven Eigenwerten E α angeregt sind, welche die Bedingung (2.126) erfüllen. Dann gilt jedoch Gleichung (2.130), und wir erhalten mit dieser aus (2.133) ih ∂t ϕ cα E α ϕα eiE α t /h

α

(m 0 c2 qΦ)

α

(m 0 c2 qΦ)

2 1 h qh qA B 2m 0 i 2m 0

2 h 1 qA 2m 0 i

Nun gehen wir noch mit der Transformation 2 im 0 c t /h ∂t Ψ ∂t ϕ ϕ Ψe

2mq h B

cα ϕα eiEα t /h

ϕ.

0

i m 0 c2 Ψ h

eim 0 c

(2.134)

2 t /h

(2.135)

von ϕ zu einem Spinor Ψ über, der wegen ϕϕ

Ψ

Ψ

dieselben physikalischen Eigenschaften wie ϕ besitzt. Gleichung (2.134) wird durch die Transformation in

ih ∂t Ψ

$ qΦ

1 2m 0

2 % h qA Ψ i

2mq h B 0

Ψ

(2.136)

überführt. Das ist gerade die Pauli-Gleichung (Q7.41) für die Quantendynamik eines geladenen Spin-1/2-Teilchens mit dem gyromagnetischen Verhältnis gs 2 im elektromagnetischen Feld. Wir dürfen die Dirac-Gleichung daher als relativistische Verallgemeinerung der Pauli-Gleichung für Elektronen interpretieren.

38


Dieses Ergebnis ist einerseits höchst erfreulich, bedeutet andererseits aber eine erhebliche Einschränkung: Die unter ganz allgemeinen Gesichtspunkten aufgestellte relativistische „Wellengleichung“ (2.55) ist in ihrer Gültigkeit auf Teilchen eingeschränkt, die den Spin 1/2 und das gyromagnetische Verhältnis gs 2 besitzen. Wir können mit ihr zwar Elektronen und Positronen beschreiben, und für m 0 0 sowie q 0 auch noch Neutrinos, worauf wir in Abschn. 2.14 zurückkommen werden. Für Teilchen mit anderen Eigenschaften wie z. B. Protonen ist sie jedoch ungeeignet. Es sei ausdrücklich darauf hingewiesen, daß bei unserer Ableitung des nichtrelativistischen Grenzfalls als wesentlicher Faktor einging, daß wir es mit Lösungen positiver Energie zu tun haben. Analog läßt sich auch ein nicht-relativistischer Grenzfall für Lösungen negativer Energie herleiten. Für diesen müßte E α in der Nähe von m 0 c2 liegen, und wir hätten anstelle der Bedingung (2.126) E α m 0 c2 qΦ /(m 0 c2 ) 1 zu fordern. Es zeigt sich, daß in diesem Fall die zwei unteren Komponenten von ψ die großen Komponenten sind, gegenüber denen die zwei oberen Komponenten vernachlässigt werden können (Aufgabe 2.5). Anmerkungen: 1. Im Spezialfall Φ 0 entfällt in Gleichung (2.125) der zweite Term der rechten Seite. Wird m 0 c2 ϕα auf die linke Seite gebracht und die Gleichung anschließend mit E α m 0 c2 multipliziert, so erhält sie die Form E α2 ϕα

m 02 c4 ϕα

c

$ 2

% 2 h q A q h B ϕα , i

(2.137)

in die keine Näherung eingegangen ist. Man erkennt an dieser unmittelbar, daß zu jeder Eigenlösung ϕα zum Eigenwert E α > 0 auch E α ein möglicher Eigenwert ist, d. h. zu jedem positiven existiert ein negativer Eigenwert der Energie. 2. Aus dem Ansatz (2.133) folgt durch zweimalige Zeitableitung h 2 ∂t t ϕ

cα E α2 ϕα e

iE α t /h

.

Setzen wir hier auf der rechten Seite (2.137) ein und benutzen nochmals (2.133), so erhalten wir

h

2

∂t t ϕ

m 02 c4 ϕ

c

$ 2

% 2 h q A q h B ϕ . i

(2.138)

Man erhält diese Gleichung auch direkt, indem man (2.119a) für Φ 0 einmal nach t differenziert und in der dabei erhaltenen Gleichung ∂t ϕ und ∂t χ durch die Gleichungen (2.119) ausdrückt. (Man beachte dabei unsere Voraussetzung ∂t A 0.) Im Fall Φ 0 können die für ϕ und χ erhaltenen Gleichungen also exakt separiert werden, was eine erhebliche Vereinfachung bei der Lösung der Dirac-Gleichung darstellt.


2.8.2 Zeitabhängige Felder A und

39

Bei zeitabhängigen Feldern A und Φ wird der Hamilton-Operator (2.58) zeitabhängig. Der in Abschn. 2.8.1 durchgeführte Grenzübergang zum nicht-relativistischen Fall über das Eigenwertproblem ist dann nicht mehr möglich. Wir machen stattdessen den zu (2.135a) analogen Ansatz 2 ϕ ϕ (2.139) e im 0 c t /h χ χ und erhalten mit ihm aus dem Gleichungssystem (2.119) ih ∂t ϕ

qΦ ϕ cσl π l χ ,

ih ∂t χ

qΦ χ

2m 0c2χ cσl π l ϕ .

(2.140)

Bei zeitunabhängigen Potentialen Φ und A gilt für die stationären Eigenlösungen (2.120) positiver Energie χ oder

χα e χ α

iE α t /h (2.139)

χα e

χ α e

im 0 c2 t /h

i(E α m 0 c2 )t /h

.

Im nicht-relativistischen Grenzfall E α m 0 c2 ergibt sich hieraus

h ∂t χα (Eα m 0c2)χα 2m 0c2χα . Analog dazu definieren wir den nicht-relativistischen Grenzfall bei zeitabhängigen Feldern unter zusätzlicher Benutzung der Abschätzung (2.127) durch die Forderungen

qΦ m 0 c2,

h ∂t χ 2m 0c2 χ .

(2.141)

Sind diese erfüllt (der Ansatz (2.139) ermöglicht das nur für Lösungen positiver Energie, denn für E α m 0 c2 gilt ih ∂t χ α 2m 0 c2 χ α ), so folgt aus (2.140b) χ

1 σm π m ϕ . 2m 0 c

(2.142)

Setzen wir dies in (2.140a) ein, so erhalten wir wieder die Pauli-Gleichung (2.136). Für die Erfüllbarkeit der Bedingungen (2.141) ist sicher notwendig, daß sich die Felder A und Φ hinreichend langsam verändern und daß H m 0 c2 gilt. Ob (2.141) von einer Lösung der Pauli-Gleichung tatsächlich erfüllt wird, überprüft man an der Bedingung ' ' ' 2 ' ' '' 2mh0c '' ϕ '' , (2.143) '∂t ( ϕ) die sich durch Einsetzen von (2.142) in (2.141b) ergibt.

40


Exkurs 2.1: Ableitungs-Linearisierung der Schrödinger-Gleichung Die Quantisierung der relativistischen Mechanik liefert auch unter nicht-relativistischen Verhältnissen nicht die Schrödinger-Gleichung. Andererseits ist die klassische relativistische Mechanik bei nicht-relativistischen Geschwindigkeiten praktisch der klassischen nicht-relativistischen Mechanik äquivalent. Letzteres läßt vermuten, daß es möglich sein sollte, die Pauli-Gleichung auch direkt aus der Schrödinger-Gleichung abzuleiten. In diesem Abschnitt wird gezeigt, daß dies tatsächlich gelingt. Dabei werden zum Teil dieselben Ideen benutzt, die Dirac zur Ableitung der Dirac-Gleichung führten. Unter Benutzung der Definition (2.65) schreiben wir die Schrödinger-Gleichung (Q3.46) in der Form 2m (ih ∂t qΦ) 2 ψ 0 (2.144) und merken an, daß der Übergang vom kräftefreien Fall (Φ 0, A 0) zum allgemeinen Fall durch die Ersetzungen h h p q A (2.145) ih ∂t ih ∂t qΦ , i i bewirkt wird. Die damit verbundene Kopplung der Felder Φ und A an geladene Teilchen wird als minimale Kopplung bezeichnet. Als erstes betrachten wir den kräftefreien Fall mit der Schrödinger-Gleichung

Ëψ

2m ih ∂t

h 2 ψ

0.

(2.146)

In Analogie zum Diracschen Ansatz (2.20) suchen wir eine lineare und homogene „Wellengleichung“ Lψ 0, (2.147) der die gestellten die in den Zeit- und Ortsableitungen linear ist. Der allgemeinste Ansatz für L, Forderungen erfüllt, ist L a ∂t b c . (2.148)

Um den Zusammenhang mit der Schrödinger-Gleichung herzustellen, verlangen wir, daß sämtliche Lösungen der „Wellengleichung“ (2.147) auch die Schrödinger-Gleichung (2.146) erfüllen. Das ist sicher dann der Fall, wenn ein Operator M

a ¼ ∂t

b¼ c¼

(2.149)

existiert, mit dem die Beziehung M L

Ë

(2.150)

0.) erfüllt werden kann. (Aus L 0 folgt dann Ëψ M Lψ Operatoren M und L, die alle gestellten Forderungen erfüllen, sind

h m (β 1) , i (2.151) wobei β und « die vertrauten Dirac-Matrizen sind. (Es kann gezeigt werden, daß L und M MatrixOperatoren sein müssen, die mindestens die Dimension 4 4 besitzen.) Aus den Gleichungen L

1 (β 1) ih ∂t 2

i «

h m (β 1) , i

M

1 (β 1) ih ∂t 2

i «


41

(2.151) ergibt sich nämlich ML

h 2 2 (β 1) ∂t t 4

h

2α α ∂ ∂ l m l m

ih 2 β, « 2

h

m « , β

∂t

m2

(β 1)2 (β 1)2 ih ∂t

m 2 (β 2 1).

(2.42c)

Mit (2.42) und αl αm ∂l ∂m αm αl ∂m ∂l 12 αl , αm ∂l ∂m δlm ∂l ∂m folgt hieraus sofort die Gültigkeit von (2.150). Aus (2.147) mit (2.151a) läßt sich auch eine Kontinuitätsgleichung für ψ ψ ableiten, die gelten muß, damit ψ ψ als Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert werden kann. (Wir hätten das gleich zu Beginn durch entsprechende Forderungen an die Koeffizienten a, b und c verlangen können.) Den Übergang zum Fall mit elektromagnetischem Feld vollziehen wir jetzt in (2.147) wie bei der Schrödinger-Gleichung, d. h. wir nehmen in dem durch (2.151) gegebenen Operator L die Ersetzungen (2.145) vor und erhalten die Gleichung 1 (β 1) (ih ∂t qΦ) ψ i « ψ m (β 1) ψ 0 . (2.152) 2 Zerlegen wir ψ wie bei der Dirac-Gleichung gemäß (2.73) in Zweierspinoren und benutzen die Darstellung (2.51) der Dirac-Matrizen, so ergibt sich aus (2.152) 0 i ϕ ϕ 0 0 ϕ 1 0 2m 0 (ih ∂t qΦ) i 0 χ χ 0 1 χ 0 0 oder

(ih ∂t qΦ) ϕ i χ

0,

i ϕ 2m χ

0.

(2.153)

Setzen wir die aus (2.153b) folgende Beziehung χ

i 2m

ϕ

(2.154)

in (2.153a) ein, so ergibt sich mit (2.124) (ih ∂t

qΦ) ϕ

1 2m

2 h q h qA ϕ B ϕ , i 2m

also wieder die Pauli-Gleichung (Q7.41). Die Mehrkomponentigkeit der Wellenfunktion und das damit verbundene Auftreten der Spinfreiheitsgrade – daher der Name Spinor für ψ – kommt von der Forderung, daß die Bewe nur linear sein soll. Diese Forderung kann im gungsgleichung (2.147) im Impulsoperator (h/i) Grunde nur durch die Relativitätstheorie begründet werden, und insofern ist der Spin des Elektrons ein relativistischer Effekt. Sobald diese Forderung akzeptiert ist, kann die Pauli-Gleichung jedoch aus der Schrödinger-Gleichung deduziert werden, wodurch der nicht-relativistische Grenzwert des gyromagnetischen Verhältnisses erhalten wird. Man könnte also sagen: Der Spin ist ein relativistischer Effekt, die Stärke seiner Wechselwirkung mit dem Magnetfeld ist jedoch nicht-relativistisch determiniert. Führt man die Ersetzungen (2.145) in den Gleichungen (2.151) auch beim Operator M durch, so führt der Operator M L im Fall zeitunabhängiger Vektorpotentiale A ebenfalls zur PauliGleichung, es ergibt sich (Aufgabe 2.6) 2 h 0 . M L 2m(ih ∂t qΦ) q A qh B mit 0 i

42


2.9 Spinoperator

Wir benötigen im weiteren Verlauf einen Operator, der im Raum der Dirac-Spinoren den Spin repräsentieren kann, und wählen hierfür den Operator, dessen Mittelwert im nicht-relativistischen Grenzfall den Mittelwert des Spinoperators der Pauli-Gleichung liefert. Der Operator 0 0 , (2.155) bei dem die Komponenten σl von die Pauli-Matrizen sind, erfüllt diesen Zweck. Wegen der Hermitezität der 2 2-Matrizen σl sind auch die Komponenten Σl von hermitesche Matrizen. Mit der Zerlegung (2.73) erhalten wir

ψ

0

0

ϕ χ

ϕ χ

und der gemäß (2.57) gebildete Mittelwert ist somit 3 3 (2.135a) Ψ ϕ ϕ d x χ χ d x

,

Ψd x

χ

3

χ d 3x .

Im nicht-relativistischen Grenzfall ist der letzte Term nach (2.132) im Verhältnis v 2/c2 kleiner als der vorletzte, und wir erhalten Ψ Ψ d 3x . Rechts steht – bis auf den Faktor h /2 – der Erwartungswert des Spins nach der PauliTheorie. Daher ist S

h 2

(2.156)

ein für viele Zwecke geeigneter relativistischer Operator für den Spin. Aus der Darstellung (2.155) von ergibt sich fast unmittelbar, daß sich die Beziehungen (Q7.43), (2.87), (2.88) und (2.76) von auf übertragen lassen, d. h. es gilt

Σl , Σm 2δlm , Σl Σm a b a b i ( a b ) . Beweis: Aus

Σl Σm

σl 0

0 σl

σm 0

0 σm

δlm

i εlmn Σn

(2.157) (2.158)

σl σm 0

0 σl σm

folgt, daß alle Produkte von -Komponenten zu Matrizen führen, deren Elemente die entsprechenden Produkte von -Komponenten enthalten und die gleiche Diagonalstruktur wie die Matrix aufweisen.

2.9 Spinoperator

43

Eine unmittelbare Folge von (2.157a) bzw. Σx2 Σ y2 Σz2 1 ist S2

h 2 2 Σx Σ y2 Σz2 4

3 2 h , 4

(2.159)

d. h. die Matrix S2 ist proportional zur Einheitsmatrix. Hieraus folgt, daß jeder beliebige Viererspinor ein Eigenzustand von S2 zu dem einzigen Eigenwert 3h 2 /4 ist. Der durch beschriebene Spin hat gemäß der Formel S2 ψ h 2 s(s 1)ψ die Spinquantenzahl s 1/2. Wir berechnen auch noch die Eigenwerte sz und Eigenzustände des Operators ⎛ ⎞ 1 0 σz 0 1 ⎜ ⎟ Σz (2.160) ⎝ ⎠. 0 σz 1 0 1 Aus der Eigenwertgleichung Σz sz bzw. ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎛ 1 0 1 1 ⎟⎜ 2⎟ ⎜ ⎜ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎝ 1 3 0 1 4

1

⎞

2⎟ 3 4

⎠

⎛

sz ⎜ sz ⎝ sz sz

1

⎞

2⎟ 3

⎠

4

ergeben sich die Gleichungen (1 sz )

1

0,

(1 sz )

0,

2

(1 sz )

3

0,

aus denen entweder sz 1 und 2 4 0 oder sz 1 und 1 erhalten wir die auf eins normierten Eigenzustände ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 0 1 ⎜0⎟ 1 ⎜1⎟ ⎝ 1 ⎠ zu sz 1 , ⎝ 0 ⎠ zu 2 2 0 1 die Σz

(1 sz ) 3

sz

4

0,

0 folgt. Daraus

1 ,

(2.161)

(2.162)

erfüllen. Um einen Zusammenhang zwischen den Operatoren « und ¦ herzustellen, führen wir eine weitere Matrix (2.163) τ i αx α y αz ein. Diese hat die Darstellung τ

0 1 1 0

(2.164)

und besitzt die Eigenschaften τ

τ,

τ2

1.

(2.165)

44


Der Zusammenhang zwischen « und

«

τ¦

¦τ

¦ ist

¦

bzw.

τ«

«τ ,

(2.166)

es gelten die Vertauschungsrelationen

«, τ

β, τ

0,

¦ , τ

0,

¦ , β

0,

0,

(2.167)

und aus (2.158) folgt

« a « b a b i τ « (a b) .

(2.168)

Beweis: Durch Einsetzen von (2.51a) in (2.163) ergibt sich 0 σ x σ y σz i τ . σ x σ y σz 0 Für die Darstellung (Q7.39) der Pauli-Matrizen gilt 0 1 0 i 1 σx σ y σz 1 0 i 0 0 Damit ist τ

i

0 iE

iE 0

0 1

0 1 1 0

i 0 0 i

iE.

.

(2.165) folgt gemäß τ

i αz α y α x

τ2

(2.43b)

α x α y αz α x α y αz

i αz α y α x

(2.42c)

(2.42c)

αx2 α 2y αz2

i α y αz α x

(2.42c)

Für zyklische l, m und n gilt 0 σl 0 σm σl 0σm αl αm σl 0 σm 0

i α y α x αz

i α x α y αz

τ,

1.

0 σl σm

i

σn 0

0 σn

(2.155)

i Σn .

(2.169)

Unter Benutzung von αx2 1 ergibt sich damit z. B. Σx

i α y αz

i α x2 α y αz

αx τ

i α y αx2 αz

(2.42c)

i αx α y αz α x

τ αx ,

und analog findet man Σ y α y τ τ α y sowie Σz αz τ τ αz , insgesamt also (2.166b). (2.166a) ergibt sich aus (2.166b) durch Links- oder Rechtsmultiplikation mit τ und Benutzung von (2.165b). Die Vertauschungsrelationen (2.167a) und (2.167c) folgen unmittelbar aus den verschiedenen Darstellungen von « bzw. ¦ in (2.166). (2.167b) und (2.167d) folgen gemäß βτ

¦ , β

(2.166b)

i βαx α y αz

«τβ

β«τ

i α x α y αz β

«βτ

(2.42b) (2.167b)

β«τ

τβ ,

(2.42b)

β «τ

β«τ

0.

Der Beweis von (2.168) ergibt sich aus (2.158) mit (2.166b) gemäß a b i τ « ( a b )

a b i ¦ (a b ) ¦ a ¦ b τ « a τ « b (2.167a) 2 τ « a « b (2.165b) « a « b .

2.10 Kovarianz der Dirac-Gleichung

45

Ableitungsgemäß stellt S h /2 für hinreichend kleine Teilchenenergien eine gute Näherung an den Spinoperator dar, die im (mittleren) Ruhesystem des Teilchens sogar exakt wird. Gleichung (2.156) mit (2.155) definiert allerdings nur einen Dreiervektor und liefert daher keine relativistisch invariante Darstellung des Spins. Die Ableitung eines relativistisch invarianten Spinoperators ist ziemlich kompliziert und wird hier nicht weiter verfolgt.6

2.10 Kovarianz der Dirac-Gleichung In diesem Abschnitt werden die Transformationseigenschaften der Dirac-Gleichung untersucht, die als relativistische Gleichung natürlich Lorentz-invariant sein muß. Dabei muß auch die Frage geklärt werden, wie die Spinoren ψ zu transformieren sind. Als erstes bemühen wir uns um eine in der Zeit- und den Ortskoordinaten symmetrische Schreibweise der Dirac-Gleichung (2.55). Dazu multiplizieren wir diese mit β/c und erhalten mit x 0 ct, x 1 x, x 2 y und x 3 z ih (β∂0 βαl ∂l ) ψ

(2.42a)

m 0c ψ

q (βΦ/cβαl Al ) ψ .

(2.170)

Die Gleichung ist wie bisher gewohnt so zu verstehen, daß lateinische Indizes die drei Werte 1, 2 und 3 annehmen können und daß über doppelt auftretende Indizes summiert wird. Nun führen wir durch γ0 neue Matrizen γ α (α

β,

γl

βαl (l

1, 2, 3)

0, 1, 2, 3) ein, die nach (2.51) durch 1 0 0 σl , γl γ0 σl 0 0 1

(2.171)

(2.172)

gegeben sind. Nach der Speziellen Relativitätstheorie, Kapitel „Relativistische Formulierung der Elektrodynamik“ ist ( ) Aα Φ/c, A ein kovarianter Vierervektor. Hiermit, mit den Definitionen (2.171) und der Elektronenladung q e läßt sich Gleichung (2.170) in die symmetrische Form γ

α

h ∂α e Aα ψ i

m 0c ψ

0

(2.173)

bringen. Dies ist die kovariante Form der Dirac-Gleichung. (Griechische Indizes können die vier Werte 0, 1, 2 und 3 annehmen. Bei doppeltem Auftreten griechischer Indizes wird dementsprechend über vier Terme summiert, wobei jetzt die Konvention der 6 Für nähere Einzelheiten siehe z. B. S. 57 ff. des Buchs [12] der Literaturliste und die dort angegebene Literatur.

46


Relativitätstheorie benutzt wird, nach der von doppelt auftretenden Summationsindizes einer unten und einer oben stehen muß.) Für die Kombination γ α A α hat R. Feynman die als Feynman-Dolch oder (englisch) als Feynman-Dagger bezeichnete Kurznotation γ α Aα

A /

(2.174)

eingeführt, mit der die Dirac-Gleichung die Form h ∂/ ψ i

e/Aψ m 0 c ψ

0

(2.175)

erhält. Jetzt wenden wir uns den Transformationseigenschaften der Gleichung (2.173) zu. Bei der Lorentz-Transformation d x ¼α Λαβ d x β transformieren sich die kovarianten Vektorgrößen ∂α und Aα nach der Speziellen Relativitätstheorie, Abschn. „Vektoren und Tensoren der vierdimensionalen Raum-Zeit“ gemäß ∂α

Λβα ∂ ¼β

Aα

Λβα A ¼β .

Wird dies in (2.173) eingesetzt, so erhalten wir h ¼ Λβα γ α ∂ β e A¼β ψ m 0 c ψ i

(2.176)

0.

(2.177)

Weiter unten wird bewiesen, daß eine – nicht notwendig unitäre und nur von Λαβ abhängige – 4 4-Matrix S existiert, die für alle Indizes β die Gleichung S 1 γ β S

Λβα γ α

(2.178)

erfüllt. Setzen wir dies in Gleichung (2.177) ein und multiplizieren diese noch von links mit S, so erhalten wir schließlich β h ¼ ¼ (2.179) ∂ β e A β ψ ¼ m 0 c ψ ¼ 0 , γ i sofern ψ ¼ (x ¼ ) Sψ x(x ¼ ) (2.180) gesetzt wird. (Man beachte, daß die Dirac-Matrizen untransformiert bleiben!) Die Ruhemasse m 0 , die Elementarladung e und die Lichtgeschwindigkeit c sind LorentzInvarianten. Der Vergleich mit (2.173) zeigt: Die Dirac-Gleichung ist dann Lorentzinvariant, wenn auch noch h als Lorentz-Invariante definiert wird, wenn angenommen wird, daß die Dirac-Matrizen γ α in allen Inertialsystemen dieselbe Form besitzen, und wenn (2.180) das Transformationsgesetz für Spinoren ist. Wir überzeugen uns jetzt davon, daß Gleichung (2.178) eine Lösung besitzt. Dabei beschränken wir unsere Betrachtung zunächst auf den Fall einer LorentzTransformation zwischen Systemen in Standardkonfiguration. (Das System S¼ bewegt


47

sich relativ zu S mit der Geschwindigkeit Ú v ex , zur Zeit t 0 sind S und S ¼ deckungsgleich.) Die Transformationsgleichungen lauten in diesem Fall t¼

t vx/c2 1 v 2 /c2

x¼

vt 1 v 2 /c2 x

y¼

z¼

y,

z

und können mit ϕ bzw.

sinh ϕ in die Form x ¼ α

artanh(v/c)

v/c

1

v 2 /c2

,

Λαβ x β mit ⎛

cosh ϕ ⎜ sinh ϕ ⎝ 0 0

Λαβ

1 1 v 2 /c2

cosh ϕ

sinh ϕ

⎞ 0 0⎟ ⎠ 0 1

0 0 1 0

cosh ϕ 0 0

(2.181)

gebracht werden. Für diese Transformationsmatrix erhält die rechte Seite von Gleichung (2.178) die Komponenten Λ0α γ α

γ 0 γ 0 (cosh ϕ 1) γ 1 sinh ϕ ,

Λ1α γ α

γ 1 γ 1 (cosh ϕ 1) γ 0 sinh ϕ ,

Λ2α γ α

γ2 ,

Λ3α γ α

γ3 ,

zusammengefaßt γ 0 (cosh ϕ 1)γ 1 sinh ϕ δ β0 γ 1 (cosh ϕ 1)γ 0 sinh ϕ δ β1 . (2.182) Wir verifizieren nun einfach durch Einsetzen, daß (2.178) die Lösung Λβα γ α

γβ

S

e

α1 ϕ/2

(2.183)

besitzt, wobei α1 die erste der in (2.51) definierten Matrizen ist. Die rechte Seite der Gleichung ist durch die Potenzreihenentwicklung der Exponentialfunktion erklärt, ϕ 2 ϕ 1 1 3 ϕ 3 S 1 α1 α12 α1 . (2.184) 2 2 2 3 2 Beweis: Mit α12

1,

folgt aus (2.184) 1 ϕ 2 S 1 2 2 ϕ cosh 2 α1 sinh

α13

1 ϕ 4 4 2 ϕ . 2

α1

α14

1,

ϕ . . . α1 2

α15

α1 ,

1 ϕ 3 3 2

... 1 ϕ 5 5 2

... (2.185)

48


Die Darstellung (2.183) ermöglicht in besonders einfacher Weise die Berechnung der inversen Matrix S 1 , es ergibt sich ϕ ϕ S 1 eα1 ϕ/2 cosh α1 sinh . (2.186) 2 2 Hieraus folgt sofort S 1γ β

γ β cosh ϕ2

α1 γ β sinh

ϕ 2

γβS

ϕ α1 , γ β sinh 2

1

und mit sinh(ϕ/2) cosh(ϕ/2) (1/2) sinh ϕ sowie sinh2 (ϕ/2) (1/2)(cosh ϕ 1) (2.185) S 1γ β S γ β

γβ

ϕ ϕ ϕ α1 , γ β sinh cosh α1 , γ β α1 sinh2 2 2 2 1 1 α1 , γ β sinh ϕ α1 , γ β α1 cosh ϕ 1 . 2 2

(2.187)

Nun gilt

α1 , γ l

(2.171b)

α1 βαl

βαl α1 (2.42b) β α1, αl

(2.171a) α1 , γ 0 α1β βα1 (2.42b)

2βα1

(2.42c) (2.171a)

2 γ 0δ1l ,

2γ 1 ,

(2.171b)

zusammengefaßt also α1 , γ β 2 γ 0 δ β1 Mit (2.171) und α12 1 folgt hieraus α1 , γ β α1 2 βα1 δ β1

βα12 δ β0

γ 1 δ β0 .

2

γ 0 δ β0

(2.188)

γ 1 δ β1 .

(2.189)

Setzen wir (2.188)–(2.189) in (2.187) ein und vergleichen das Ergebnis mit (2.182), so finden wir (2.178) bestätigt.

Ein systematischer Weg zur allgemeinen Lösung von (2.178) wird im Exkurs 2.2 aufgezeigt. Für Systeme in Standardkonfiguration ergibt sich aus (2.180) mit (2.185) das Spinor-Transformationsgesetz ψ

ψ cosh

ϕ 2

α1 ψ sinh ϕ2 .

(2.190)

Offensichtlich unterscheidet sich dieses von dem Transformationsgesetz für Vierervektoren. Alle vierkomponentigen Größen, die sich wie ψ transformieren, werden als Dirac-Spinoren oder kurz Spinoren bezeichnet.


49

Exkurs 2.2: Allgemeines Transformationsgesetz für Dirac-Spinoren Die Transformationsmatrix S im Transformationsgesetz ψ ¼ Sψ für Spinoren ist eine Lösung der Gleichung (2.178), in (2.183) ist deren durch Einsetzen verifizierte Lösung für einen Spezialfall angegeben. Im folgenden wird systematisch die allgemeine Lösung abgeleitet. Wir führen zunächst eine für diesen Zweck besonders geeignete Darstellung der LorentzTransformation ein. Die allgemeinste affine Transformation eines Koordinatensystems setzt sich aus einer Translation, einer Streckung in Richtung jeder Koordinatenachse und einer Drehung zusammen. (Dabei sind unter den Streckungen auch Spiegelungen enthalten, wenn man diese als Streckungen um den Faktor 1 auffaßt.) Das gilt auch im vierdimensionalen Raum der Koordinaten x 0 , ..., x 3 . Lorentz-Transformationen sind spezielle affine Transformationen, sie setzen sich aus einer Translation, einer Drehung7 bezüglich der pseudoeuklidischen Metrik gμν und im Fall uneigentlicher Lorentz-Transformationen zusätzlich aus einer Spiegelung am Koordinatenursprung zusammen, es gilt x ¼ ν a ν Λνμ x μ . Durch geeignete Wahl des Koordinatenursprungs kann erreicht werden, daß sie nur aus einer Drehung und gegebenenfalls einer Spiegelung bestehen, so daß ν x ¼ Λνμ x μ mit Λνμ Λ μρ δ νρ gilt, wobei Λ μρ die Transformationsmatrix für die inverse Lorentz-Transformation ist. (Siehe Spezielle Relativitätstheorie, Abschn. „Vektoren und Tensoren der vierdimensionalen RaumZeit“.) Die in Abschn. 2.10 untersuchte Transformation mit der Matrix (2.181) bildet ein spezielles Beispiel, der bei ihr aufgetretene Winkel ϕ kann als Drehwinkel aufgefaßt werden. In diesem Exkurs betrachten wir nur eigentliche Lorentz-Transformationen und ordnen jeder von diesen einen Drehwinkel um eine geeignet gewählte Achse zu, bei gegebener Drehachse schreiben wir Λνμ Λνμ (ϕ).

(Uneigentliche Lorentz-Transformationen werden später in Abschn. 2.13.3 betrachtet.) Außerdem benutzen wir im folgenden für (eigentliche) Lorentz-Transformationen zum Teil die Kurznotation x ¼ Λ(ϕ) x , bei der x und x ¼ Spaltenvektoren sind und Λ die Matrix mit den Komponenten Λνμ . Das Hintereinanderschalten zweier Lorentz-Transformationen ergibt wieder eine LorentzTransformation. Bewirkt die erste Transformation eine Drehung des Systems um den Winkel ϕ und die zweite bei gleicher Drehachse eine Drehung um dϕ, so ist das Ergebnis beider Transformationen zusammen dasselbe wie das einer einzigen Transformation, die auf dieselbe Drehachse bezogen um ϕ dϕ dreht, (2.191) Λ(ϕ dϕ) Λ(dϕ) Λ(ϕ). Nun gilt

Λ(dϕ) Λ(0) ω dϕ

1 ω dϕ,

(2.192)

da die Transformation Λ(0) das System unverändert läßt. Dabei ist ' dΛ(ϕ) '' ω . dϕ 'ϕ 0 7 Unter Drehung bezüglich der pseudoeuklidischen Metrik wird eine Bewegung verstanden, welche ds 2 gμν d x μ d x ν invariant läßt.

50


Gehen wir mit (2.192) in (2.191), so folgt Λ(ϕ dϕ) Λ(ϕ) ωΛ(ϕ) dϕ oder

dΛ dϕ

Diese Gleichung hat die Lösung

ωΛ .

Λ eωϕ ,

wobei die rechte Seite durch die Reihenentwicklung der Exponentialfunktion erklärt ist. Damit kann jede (eigentliche) Lorentz-Transformation in der Form ν μ x ¼ eωϕ μ x μ geschrieben werden. Aus der Bestimmungsgleichung (2.178) für S folgt, daß auch S eine Funktion des Drehwinkels ϕ wird. Wird das System erst um den Winkel ϕ gedreht, so wird der Spinor ψ in S(ϕ) ψ transformiert. Wird anschließend um den Winkel dϕ weitergedreht, so wirkt auf diesen Spinor die Transformation S(dϕ), und wir erhalten ψ¼

S(dϕ)S(ϕ) ψ .

Dasselbe Ergebnis wird erhalten, wenn gleich um den Winkel ϕ wieder S(ϕ dϕ) S(dϕ)S(ϕ) . Mit

S(dϕ) S(0)

erhalten wir analog

s dϕ

1

dϕ gedreht wird, d. h. es gilt

s dϕ

S(ϕ) esϕ ,

(2.193)

wobei die rechte Seite wieder durch die Reihenentwicklung erklärt ist. Ergebnis: Zur Lorentz-Transformation eωϕ gehört die Spinortransformation S esϕ , wobei ω und s durch die infinitesimale Transformation erklärt sind. Es genügt also, den Zusammenhang zwischen s und ω zu bestimmen, d. h. S für eine infinitesimale Transformation zu berechnen.

Infinitesimale Transformationen Für die infinitesimale Drehung um dϕ hatten wir S

1

s dϕ.

Wir setzen S 1 1 s dϕ und erhalten aus der Forderung S S 1 1 die Beziehung s S 1 Setzen wir dies und Λνμ

s 0 bzw.

1 s dϕ .

(2.192) ν δμ

ωνμ dϕ

(2.194)


51

in der Bestimmungsgleichung (2.178) für S ein, s dϕ) γ ν (1 s dϕ) (δ νμ ωνμ dϕ) γ μ ,

(1

so folgt durch Vergleich des in dϕ linearen Terms γ νs

s γν

ωνμ γ μ .

(2.195)

Multiplizieren wir diese Gleichung für ν 0 von links mit γ 0 β und berücksichtigen β 2 1, so folgt s γ 0 s γ 0 ω0μ γ 0 γ μ . Diese Form legt es nahe, s als Bilinearform in den γ ν bzw. γν gνμ γ μ anzusetzen,

cρσ γρ γσ .

s

(2.196)

Einsetzen dieses Ansatzes in (2.195) liefert γρ γσ γ ν ) ωνμ γ μ .

cρσ (γ ν γρ γσ

Aus den Vertauschungsrelationen (2.204) der γ ν wird nach Multiplikation mit gρα und mit β ν γρ γ ν

γ ν γρ 2 δνρ .

Hiermit folgt γ ν γρ γσ und

γρ γσ γ ν

2 δνρ γσ

γρ γ ν γσ

2 γρ δσ ν

γρ γ ν γσ 2 (δνρ γσ

γρ δσ ν )

ωνμ gμλ γλ ωνλ γλ . Nach Umbenennung der Summationsindizes ergibt sich daraus 2 (cνλ cλν ) γλ ωνλ γλ bzw. cρσ (γ ν γρ γσ

γρ γσ γ ν ) 2 (cνσ γσ cρν γρ ) ωνμ γ μ

cνλ

cλν

12 ωνλ .

(2.197)

Hieraus folgt ωνλ ωλν , und nur, wenn die Koeffizienten ωνλ der infinitesimalen LorentzTransformation diese Bedingung erfüllen, hat Gleichung (2.197) eine Lösung für cνλ . Daß ωνλ ωλν tatsächlich erfüllt ist, folgt aus der Lorentz-Invarianz von ds 2 gμν d x μ d x ν . Beweis: In der Spezielle Relativitätstheorie, Abschn. „Metrik, Skalarprodukt, Heben und Senken von Indizes“ wurde aus der Invarianz von ds 2 die Gleichung gαβ Λμα Λνβ gμν abgeleitet. Durch Multiplikation mit g αλ folgt daraus Λμλ Λμβ

gαλ gαβ δλβ .

(2.198)

Aus (2.192) bzw. in Komponenten Λμν

δμν ωμν dϕ

folgt Λμλ

Λμν gνλ gμλ ωμλ dϕ

und analog

Λμβ

gμβ ωμβ dϕ.

Einsetzen in (2.198) liefert (g μλ ωμλ dϕ)(gμβ

ωμβ dϕ) δλβ (gμλ ωμβ ωμλ gμβ ) dϕ (dϕ 2) δλβ .

52


Der lineare Term in dϕ muß verschwinden, d. h. ωλβ

ωβλ

0.

Durch Heraufziehen des Index β folgt die Behauptung.

Setzen wir cνλ csνλ caνλ mit csνλ (cνλ cλν )/2 und caνλ (cνλ cλν )/2, so gilt cνλ cλν 2caνλ , d. h. in Gleichung (2.197) geht nur der antisymmetrische Anteil caνλ caλν von cνλ ein. Zu deren Lösung können wir daher cνλ cλν annehmen und erhalten aus ihr damit cνλ Hiermit und mit ωρσ s

14 ωνλ .

ωσρ ergibt sich aus (2.196) schließlich

14 ωρσ γρ γσ ρ σ

1 σρ ω γσ γρ 4

14 ωρσ γσ γρ 18 ωρσ γρ , γσ .

Herauf- und Herunterziehen von Indizes führt zu dem gleichwertigen Ergebnis s

18 ωρσ γ ρ , γ σ .

(2.199)

Endliche Transformationen Für eine endliche Lorentz-Transformation mit Λνμ (eωϕ )νμ erhalten wir damit nach (2.193) eine Spinortransformation mit 1 ωρσ γ ρ , γ σ ϕ . S exp (2.200) 8 Es soll noch gezeigt werden, wie hieraus der in Abschn. 2.10 betrachtete Spezialfall folgt. Mit cosh ϕ

1

,

ϕ 2/2

sinh ϕ

ϕ

ϕ 3/3

ergibt sich für die infinitesimale Transformation Λνμ aus (2.181) die Drehmatrix

δν μ

⎛ 0 ⎜ 1 ωνμ ⎝ 0 0

ωνμ dϕ

1 0 0 0

0 0 0 0

0⎞ 0⎟ ⎠, 0 0

d. h. ω01 ω10 1 und ωμν 0 sonst. Damit und mit ωρσ gρλ ωλ σ erhalten wir ωρσ γ ρ , γ σ

gρ0 ω0 1 γ ρ , γ 1 gρ1 ω1 0 γ ρ , γ 0 g00γ 0, γ 1 g11γ 1, γ 0 γ 0, γ 1 γ 1, γ 0 2 γ 0, γ 1 2 (ββα1 βα1 β) 4 α1

und nach (2.200) in Übereinstimmung mit (2.183) S

e

α1 ϕ/2 .

2.11 Eigenschaften der Dirac-Matrizen γ α

53

2.11 Eigenschaften der Dirac-Matrizen « Wir werden im weiteren Verlauf viele Rechnungen durchführen, bei denen die in (2.171) definierten Matrizen γ α involviert sind. Daher sollen hier deren wichtigste Eigenschaften und einige nützliche Rechenregeln zusammengestellt werden. Die Matrizen γ α besitzen die Eigenschaften 0 l 0 1 γ γ0 , γ (2.201) γ γ l bzw.

sowie

γ

α

*

γα

γα γ α

γ 0γ αγ 0

(2.202)

für α für α

(2.203)

0, 1 und 3 2,

und sie erfüllen die Vertauschungsrelationen α β γ , γ γ αγ β γ βγ α

2g αβ

(2.204)

mit der unmittelbaren Folge γ αγ α

g αα .

(2.205)

(g αβ ist der metrische Fundamentaltensor der speziellen Relativitätstheorie – in der Speziellen Relativitätstheorie wurde er mit ηαβ bezeichnet; da der Index α zweimal oben steht, wird nicht über ihn summiert.) Die Komponenten Σn des Spin-Operators können durch die γ -Matrizen in der Form Σn i γ l γ m für l, m, n zyklisch (2.206) dargestellt werden. Beweis: 1. Für beliebige Indizes l und m, die die Werte 1, 2 und 3 annehmen können, gilt γ lγ m und

γ mγ l

(2.171b)

γ 0γ l

außerdem

βαl βαm

γ lγ 0

(2.171)

γ 0γ 0

βαm βαl ββαl γ 0γ 0

β 2 (αl αm

(2.42b)

βαl β

β2

(2.42b)

β2

β 2 (αl

αm αl )

2δlm

(2.42a,c)

αl ) 0 ,

2.

Zusammengefaßt folgen daraus die Vertauschungsrelationen (2.204). 2. (2.201a) folgt direkt aus (2.171a), (2.42a) und (2.43a), (2.201b) folgt gemäß (2.171b) γl βαl αl β (2.43) αl β (2.42b) βαl (2.171b)

γ l .

2 Durch Rechtsmultiplikation von (2.201) mit γ 0 1 und mit der aus (2.204) folgenden

Vertauschung γ 0 γ l

γ l γ 0 ergibt sich (2.202).

54


3. Die Beziehungen (2.203) folgen aus den Definitionen (2.171) und der Tatsache, daß nach (2.51) und (Q7.39) die Matrizen β, α1 und α3 reell sind, während α2 rein imaginär ist und daher (α2 ) α2 erfüllt. 4. Für zyklische l, m und n ergibt sich aus (2.169) und (2.171) γ lγ m

βαl βαm (2.42b)

(2.42a)

β 2 αl αm

αl αm

(2.169)

i Σn .

Durch Multiplikation mit i folgt daraus (2.206).

Die durch (2.163) definierte Matrix τ wird bei der kovarianten Formulierung der Dirac-Theorie mit γ 5 bezeichnet und läßt sich durch γ5

τ

i γ 0γ 1γ 2γ 3

(2.207)

auf die Matrizen γ 0 bis γ 3 zurückführen, denn i γ 0γ 1γ 2γ 3

(2.171)

i β 2 αx βα y βαz

(2.42a,b)

i αx β 2αy αz i αx αy αz

τ.

Sie erfüllt die Beziehungen

γ5

sowie

γ α γ 5 γ 5γ α

γ5,

γ5

γ5

γ 5γ 5

1

0

(2.208) (2.209)

und läßt sich nach (2.164) in der Form γ5

0 1

1 0

(2.210)

aus den 2 2-Matrizen 0 und 1 darstellen. Beweis: (2.208b) folgt unter Benutzung von (2.204) daraus, daß zum Verschieben von γ α nach ganz links in γ 5 γ α i γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 γ α eine ungerade Anzahl von Vertauschungen ungleicher γ -Matrizen notwendig ist, z. B. γ 5 γ 1 i γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 γ 1 i γ 0 γ 1 γ 2 γ 1 γ 3 i γ 0 γ 1 γ 1 γ 2 γ 3 γ 1 i γ 1 γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 γ 1 γ 1 γ 5 . (2.209a) folgt mit (2.207) gemäß

γ5

γ5

(2.205)

(2.201) γ2 γ1 γ 0 i γ 0γ 1γ 2γ 3 i γ3 γ 3γ 2γ 1γ 0γ 0γ 1γ 2γ 3 3 + α 0

g αα

1.

Ähnlich beweist man γ 5 γ 5 1 , womit aus (2.209a) durch Rechtsmultiplikation mit γ 5 (2.208a) folgt.

2.12 Kovariante Kontinuitätsgleichung

55

2.12 Kovariante Kontinuitätsgleichung Natürlich kann auch die Kontinuitätsgleichung (2.46) in eine Lorentz-invariante Form gebracht werden. Zu diesem Zweck benötigen wir die aus (2.173) durch Übergang zu adjungierten Spinoren hervorgehende Gleichung h (2.211) ∂α e Aα ψ γ α m 0 c ψ 0 . i Würde diese Gleichung von rechts mit ψ multipliziert und von der von links mit ψ multiplizierten Dirac-Gleichung, (2.173), abgezogen, so ließen sich die Ableitungsterme wegen (2.201) nicht zur Ableitung eines Viererstroms zusammenfassen. Das Letztere gelingt, wenn wir noch eine andere Art von Adjunktion einführen. Hierzu multiplizieren wir Gleichung (2.211) von rechts mit γ 0 und nehmen mit Hilfe 2 der Gleichungen (2.202) und (2.205) die Umrechnung γ α γ 0 γ 0 γ α γ 0 γ 0 γ α vor. Damit und mit der Definition ψ

ψ

γ0

(2.212)

eines adjungierten Dirac-Spinors ψ erhalten wir die adjungierte Dirac-Gleichung h (2.213) ∂α e A α ψ γ α m 0 c ψ 0 . i Mit den Transformationsformeln ∂α Λβα ∂ β , Aα Λβα A β und (2.178) ergibt sich hieraus nach Rechtsmultiplikation mit S 1 h ∂ β e A β ψ γ β m 0c ψ 0 , i wenn ψ

ψS

1

(2.214)

gesetzt wird. Gleichung (2.213) ist also Lorentz-invariant, wobei (2.214) das Transformationsgesetz für adjungierte Spinoren ψ ist. Die Operationen Adjunktion und Lorentz-Transformation sind übrigens vertauschbar, es gilt ψ ψ . (2.215) 2 Beweis: Mit γ 0 ψ

(2.180) s.u.

Sψ

1 folgt aus (2.180) und (2.212)

(2.212)

ψ S 1

(Sψ) γ 0

(2.214)

ψ Sγ 0

(2.205)

ψ γ 0γ 0 Sγ 0

(2.212)

ψ γ 0 Sγ 0

ψ .

Die dabei benutzte Identität γ 0 Sγ 0

S 1

(2.216)

56


folgt für die Transformation zwischen Systemen in Standardkonfiguration aus (2.185)–(2.186) gemäß γ 0S γ 0

(2.185) (2.43b)

(2.42b)

γ 0 Sγ 0

γ0

γ0

2

2 ϕ cosh 2

cosh

ϕ 2

γ 0 α1 γ 0 sinh

α1 sinh ϕ2

(2.42a)

ϕ 2

cosh

ϕ 2

α1 sinh ϕ2 (2.186) S

1.

Für allgemeine Lorentz-Transformationen folgt sie aus den Beziehungen (2.193) und (2.199) des Exkurses 2.2. Mit 2 2 (2.199) 1 (2.202) 1 ωρσ γ 0 γ σ , γ ρ γ 0 ωρσ γ 0 γ σ , γ ρ γ 0 γ 0sγ 0 8 8 1 1 (2.199) 8 ωρσ γ σ , γ ρ 8 ωρσ γ ρ , γ σ s ergibt sich durch mehrfaches Zwischenschieben von γ 0 γ 0 1

(2.193) 1 0 ν 0 γ (s ϕ) γ γ 0 Sγ 0

ν 1

ν 1

ν

1 ( s)ν ϕ ν ν

e

1

2

ν

1 , -. / , -. / , -. / γ 0 (s γ 0 γ 0 s γ 0 . . . γ 0 s )γ 0 ϕ ν ν

ν 1

sϕ (2.193) S 1 .

Aus (2.180) und (2.214) folgt sofort die Lorentz-Invarianz des Skalarprodukts,

ψ χ

ψS

1

ψχ .

Sχ

(2.217)

Dabei sei darauf hingewiesen, daß die skalare Größe ψ χ nicht Lorentz-invariant ist, vielmehr gilt

ψ χ

(Sψ) Sχ

ψ S Sψ

ψ S2ψ ,

weil S nach (2.43b) und (2.185) ein hermitescher Operator ist. Für die durch (2.212) definierte Operation der Adjunktion wollen wir erreichen, daß sie ψ ψ (2.218) erfüllt. Dabei ist jedoch zu beachten, daß sie für Zeilenspinoren ψ noch nicht erklärt ist. Zunächst gilt (2.51b) 0 ϕ ϕ ψ 0 γ 0 (2.201a) 0 (2.171a) 1 ψ γ ψ γ ψ 0 1 χ χ . Definieren wir jetzt ψ

γ 0ψ

,

(2.219)

dann ergibt sich mit dem vorherigen Ergebnis gerade (2.218). Um nun die Lorentz-invariante Form der Kontinuitätsgleichung (2.46) abzuleiten, multiplizieren wir die Dirac-Gleichung (2.173) von links mit cψ, die adjungierte

2.13 Diracs Löchertheorie und Theorie des Positrons

57

Gleichung (2.213) von rechts mit cψ und addieren die sich ergebenden Gleichungen. Da sich die undifferenzierten Terme gegenseitig wegheben, erhalten wir ∂α j α

0

jα

mit

cψ γ α ψ .

(2.220)

Diese Gleichung ist eine Folge der Lorentz-invarianten Dirac-Gleichung und muß daher ebenfalls Lorentz-invariant sein. Das ist auch unmittelbar einsichtig, da sich der Viererstrom j α gemäß j ¼β

ψ γ β ψ¼ ¼

(2.180) (2.214)

ψS

1 β

γ Sψ

(2.178)

Λβα ψ γ α ψ

Λβα j α

(2.221)

wie ein Vierervektor transformiert. (Man beachte, daß ψ γ α ψ dagegen kein Vierervektor ist.) Die Nullkomponente des Viererstroms ist wegen j0

cψ γ 0 ψ

2 cψ γ 0 ψ

cψ ψ

(2.222)

identisch mit der Teilchendichte mal Lichtgeschwindigkeit und reell. Auch der Dreierstrom j mit den Komponenten cψ γ l ψ ist eine reelle Größe: Aus dem Transformationsgesetz für Systeme in Standardkonfiguration folgt j 0

Λ0 0 j 0 Λ0 1 j 1

(2.181)

j 0 cosh ϕ j 1 sinh ϕ ,

j 0 ist nach (2.222) reell, und j 0 kann nur reell sein, wenn das auch für j 1 gilt. (Bei Relativbewegungen in Richtung der Koordinatenachsen x2 bzw. x 3 erhält man entsprechende Reellwertigkeits-Forderungen für j 2 und j 3 .)

2.13 Diracs Löchertheorie und Theorie des Positrons 2.13.1 Lösungen negativer Energie und Löchertheorie Schon bei der Behandlung von Wellenpaketen für freie Teilchen ergaben sich Schwierigkeiten mit den Lösungen negativer Energie (siehe Abschn. 2.4). Auch die in Abschn. 3.1 untersuchte Zitterbewegung des Elektrons paßt nicht zu unseren bisherigen Erfahrungen über die mittlere Dynamik von Punktteilchen. Am bequemsten wäre es, wenn Lösungen negativer Energie als unphysikalisch ausgeschlossen werden könnten. Bei der Behandlung zeitunabhängiger Eigenwertprobleme wäre das unter gewissen Einschränkungen möglich. Sobald jedoch zeitabhängige Felder vorliegen, gibt es Übergänge zwischen Zuständen positiver und negativer Energie. Das gleiche Problem tritt bei der Behandlung der Stabilität stationärer Zustände positiver Energie auf. Wir betrachten das am Beispiel der stationären Energieniveaus eines Elektrons, das sich im Feld eines Atomkerns befindet. Die Lösung der Dirac-Gleichung liefert qualitativ das Energiespektrum von Abb. 2.4. Über einem diskreten Spektrum positiver Energiewerte beginnt bei E m 0 c2 ein Kontinuum. Außerdem gibt es jedoch noch ein

58


E m 0 c2 0

.. . E2 E1

m 0 c2 Abb. 2.4: Energieniveaus eines Ein-Elektronen-Atoms.

kontinuierliches Spektrum negativer Energiewerte, das bei E m 0 c2 beginnt. Befindet sich das Elektron in einem angeregten Zustand positiver Energie, so kann es unter Abstrahlung von Licht in einen Zustand niedrigerer Energie übergehen. Dieses Ergebnis ist anschaulich plausibel. Zu seiner quantitativen Verifizierung betrachtet man eine kleine Störung eines stationären Zustands. Da der gestörte Zustand instationär ist, wird das Elektron in ihm zu einer Quelle eines zeitabhängigen elektromagnetischen Feldes, das es abstrahlt. Dieses Feld wird durch die Maxwell-Gleichungen beschrieben und muß mit in die Betrachtung einbezogen werden. Ein instationäres Elektron als Quelle eines von ihm erzeugten elektromagnetischen Feldes und dessen Ankopplung an das Elektron wurde in der bis hier behandelten Quantentheorie noch nicht erörtert. Die exakte Lösung dieses Problems zwingt zu einer Quantisierung des elektromagnetischen Strahlungsfeldes und muß im Rahmen einer Quantenfeldtheorie, genauer der Quantenelektrodynamik, erfolgen, die in Kapitel 10 vorgestellt wird. In der Schrödinger-Theorie ist der dem niedrigsten Eigenwert positiver Energie entsprechende Energieeigenwert des H-Atoms stabil, weil es unterhalb von diesem keine weiteren Eigenwerte mehr gibt. Nach der Dirac-Theorie liegt unter diesem jedoch noch ein ganzes Kontinuum negativer Energiewerte. Das Elektron könnte nach den Gesetzen der bisher betrachteten Quantentheorie aus dem niedrigsten Zustand positiver Energie (Grundzustand) unter Abstrahlung erheblicher Strahlungsenergie in diese Zustände negativer Energie übergehen. Da diese bis E reichen, wäre diesem Prozeß kein Ende gesetzt, und es könnte ein unerschöpflicher Vorrat an Strahlungsenergie abgegeben werden. Eine quantitative Berechnung in der geschilderten Weise würde für diese Übergänge eine erhebliche Wahrscheinlichkeit liefern. Der Grundzustand des Wasserstoffatoms besäße danach nur eine Lebensdauer von etwa 10 9 s. Dies widerspricht jeglicher Erfahrung und bedeutet einen gravierenden Mißerfolg der Dirac-Theorie, wenn man an ihrer konventionellen Interpretation à la Schrödinger festhält. Demgegenüber stehen jedoch überzeugende Erfolge der Dirac-Theorie, z. B. die theoretische Begründung des Spins, die richtige Vorhersage des gyromagnetischen Faktors und sehr genaue relativistische Korrekturen zum Termschema des Wasserstoffatoms. Um seine Theorie zu retten, fand Dirac einen genialen Ausweg. Nach dem PauliPrinzip kann jeder Ein-Teilchen-Zustand des Elektrons nur von einem einzigen Elektron eingenommen werden. Dirac postulierte nun, daß alle Zustände negativer Energie schon von Elektronen besetzt sind. Wegen des Pauli-Prinzips kann damit der Übergang von Zuständen positiver zu Zuständen negativer Energie nicht mehr stattfinden,


59

E m 0 c2 0

hν

m 0 c2

Elektronenloch Abb. 2.5: Anregung eines Elektrons negativer Energie.

und die oben geschilderte Strahlungskatastrophe ist aus der Welt geschafft. Wir werden allerdings sehen, daß es noch andere Probleme gibt, die nicht überwunden werden können. Dies bedeutet, daß die Löchertheorie letzten Endes ein Provisorium darstellt, das wir später aufgeben müssen. Wenn wir uns im folgenden dennoch etwas näher mit ihr beschäftigen, geschieht das deshalb, weil sie für eine Reihe wichtiger Phänomene eine sehr anschauliche Erklärung liefert und in vielen Fällen auch zu quantitativ brauchbaren Ergebnissen führt. In der Quantenfeldtheorie wird sie allerdings durch eine Theorie anderer Art ersetzt. Da die Zustände negativer Energie ein Kontinuum bilden, ist die Welt nach Dirac unendlich dicht vollgepackt mit Elektronen negativer Energie. Das Vakuum ist nicht mehr leer, es ist eine „Fermi-See“ aus Elektronen negativer Energie, nur gibt es in ihm keine Elektronen positiver Energie. Diese Fermi-See hat die unschöne Eigenschaft, unendlich große Ladung und Masse zu besitzen. Von der ersten Eigenschaft können wir uns (siehe unten) durch eine geringfügige Modifizierung des Dirac-Modells freimachen. Die unendliche Masse ( Energie) kann durch eine Verschiebung des Energienullpunkts (Renormierung) beseitigt werden. Wenn alle Zustände negativer Energie besetzt sind, kann das oben betrachtete, vom Absturz zu negativen Energiewerten bedrohte Elektron nur noch positive Energiewerte annehmen. Die Besetzung der negativen Energieniveaus verbietet zwar den Übergang eines Elektrons positiver Energie zu negativen Energien. Umgekehrt kann aber sehr wohl ein Elektron negativer Energie z. B. durch Lichteinwirkung in einen „angeregten“ Zustand positiver Energie überführt werden. Beim Fehlen äußerer Felder ist hierzu mindestens die Energie 2m 0 c2 erforderlich (Abb. 2.5). Wir denken uns jetzt das Elektron, dem vor seiner Anregung im Zustand des Vakuums keine reale Existenz zukommt, vom Ort seiner Anregung entfernt. Wie muß das Loch, das es in der Fermi-See zurückläßt, physikalisch beurteilt werden? Da das Vakuum bei Anwesenheit des Elektrons negativer Energie als elektrisch neutral beurteilt wird, muß das Fehlen der negativen Ladung q e als positive Ladung q e aufgefaßt werden. Hat das Vakuum, wie vereinbart, die Gesamtenergie null, so besitzt es nach Entfernen der Energie E die Energie E mit der zugehörigen Masse E/c2 . Wir haben somit das Ergebnis: Ein Loch in der Fermi-See verhält sich wie ein Teilchen positiver Masse und positiver Energie mit der Ladung q e. Wir werden gleich sehen, daß dieses neue Teilchen bis auf die Ladung alle Eigenschaften eines Elektrons besitzt. Es wird daher als Antiteilchen des Elektrons bezeichnet und hat den Namen Positron erhalten. Dirac hat seine Löchertheorie im Jahre 1929 aufgestellt und die Löcher richtig als positiv geladene Teilchen gedeutet; zunächst allerdings als Protonen, obwohl diese dafür viel zu schwer sind, weil er die

60


Existenz eines neuen Teilchens nicht zu postulieren wagte. Erst in einer 1931 erschienenen Arbeit über magnetische Monopole stellte er klar, daß es sich sich um Antielektronen handeln müsse. Kurze Zeit später (1932) wurde das Positron experimentell von C. D. Anderson nachgewiesen. Seine Entdeckung lieferte somit eine weitere Bestätigung der um die Löchertheorie erweiterten Dirac-Theorie. Der in Abb. 2.5 dargestellte Vorgang wird als Paarerzeugung bezeichnet. Der Ort, an dem das Photon absorbiert wird, ist der Ausgangspunkt der Trajektorien eines Elektrons und eines Positrons. Nach (2.5) (für Φ 0 und A 0) ist die quasiklassische Energiebilanz der dabei involvierten Vorgänge 2 2 2 2 2 2 , h ω c m 0 c p c m 0 c p wobei p der Impuls des Elektrons im Zustand positiver und p der im Zustand negativer Energie ist. Schreiben wir h ω

mit E e

Ee Ep

(2.223)

Energie des Elektrons und E p Energie des Positrons, so muß E p c m 0 2 c2 p 2

(2.224)

gelten. Hieraus folgen als Ruheenergie bzw. Ruhemasse des Positrons m 0 c2 bzw. m 0 , also dieselben Werte wie beim Elektron. Impuls- und Spinbilanz liefern in analoger Weise s.u. h k p p pe pp (2.225) und

SPhoton S S

s.u.

Se Sp ,

(2.226)

denn: Das Vakuum hat Impuls und Spin null; daher besitzt das Elektronenloch, das durch Entfernen eines Elektrons negativer Energie mit dem Impuls p und Spin S entsteht, den Impuls p ( p), den Spin S ( S), und hieraus folgen die Beziehungen pp p und Sp S . (2.227) Eine Folge der Gleichung (2.227b) ist, daß das Positron denselben Spin 1/2 wie das Elektron besitzt, und Gleichung (2.226) wird dadurch erfüllt, daß sich die Spins von Elektron und Positron zum Spin 1 des Photons addieren. Damit ist – vorerst allerdings nur mit Hilfe quasiklassischer Beziehungen – plausibel gemacht, daß das Positron dieselbe Ruhemasse und denselben Spin wie ein Elektron besitzt. Eine genauere Analyse, die für den Impuls die Beziehung p m 0 Ú / 1v 2 /c2 benutzt, zeigt, daß die Gleichungen (2.223) und (2.225) keine gemeinsame Lösung besitzen: Impuls- und Energiesatz können nicht gleichzeitig erfüllt werden, Elektron und Positron können nicht den gesamten Impuls des Photons aufnehmen (Aufgabe 2.8). Hierzu bedarf es noch eines weiteren Partners, z. B. eines Atomkerns, der den überschüssigen Impuls aufnimmt. Dies bedeutet, daß der Prozeß der Paarerzeugung nur in einem externen Potential – z. B. dem eines Atomkerns – stattfinden kann.

2.13 Diracs Löchertheorie und Theorie des Positrons E m 0 c2 0 m 0 c2 Positronen

Elektronen

61

Abb. 2.6: Symmetrischer ladungsfreier Vakuumzustand. Die Abbildung ist symbolisch aufzufassen, Elektronen und Positronen befinden sich nicht in räumlich voneinander abgegrenzten Gebieten.

Etwas anders lassen sich die gewonnenen Ergebnisse auch in folgender Weise zusammenfassen: In den Eigenschaften Ladung, Energie, Masse, Impuls und Spin verhält sich ein Elektronenloch gerade umgekehrt wie ein Elektron negativer Energie p p, S S). Dies läßt die Vermutung ( e e, E E, m 0 m 0 , aufkommen, daß sich die Dynamik des Positrons auch durch Elektronenlösungen negativer Energie ausdrücken läßt. Schon hier sei darauf hingewiesen, daß dies der Weg ist, auf dem wir zu einer korrekten Begründung der Zusammenhänge (2.224)–(2.227) gelangen werden. Neben dem Vorgang der Paarerzeugung erlaubt die Löchertheorie auch den Vorgang der Paarvernichtung: Bei diesem springt ein „angeregtes“ Elektron positiver Energie in ein freies Loch der Fermi-See, wobei ein Photon emittiert wird. Das Verschmelzen des Elektrons mit einem Elektronenloch ist seinem Zusammenstoß mit einem Positron unter anschließender Teilchenvernichtung bzw. Umwandlung in ein Photon äquivalent. Wegen der großen Symmetrie zwischen dem Ein-Teilchen-Verhalten von Positronen und Elektronen ist es nützlich, auch eine Ein-Teilchen-Theorie für Positronen aufzustellen. Wir müssen hierzu nur in der Dirac-Gleichung (2.173) die Ladung q e durch q e ersetzen, und erhalten als Dirac-Gleichung für Positronen γα

h ∂α i

e Aα ψ

m0c ψ 0 .

(2.228)

Die durch diese Gleichung beschriebenen Teilchen haben sämtliche dem Positron zugeschriebenen Eigenschaften. Wie bei der Dirac-Gleichung für Elektronen gibt es Zustände positiver und negativer Energie. Es ist daher auch möglich, Elektronen als Löcher in einer Fermi-See aus Positronen zu deuten. Diese Deutung erlaubt es, einen bezüglich der beiden Teilchenarten symmetrischen Vakuumzustand einzuführen. In diesem gibt es sowohl ein Kontinuum von Elektronenzuständen als auch von Positronenzuständen negativer Energie. Beide Kontinua sind gemäß dem Pauli-Prinzip vollständig besetzt (Abb. 2.6). Als Gesamtladung des Vakuums ergibt sich null, da sich positive und negative Ladungen gegenseitig kompensieren. Die Gesamtenergie ist allerdings wie früher unendlich und muß auf null renormiert werden. Abschließend sei bemerkt, daß äußere Felder die im Vakuum befindlichen Ladungen räumlich verschieben und deren Energieniveaus (für Elektronen und Positronen unterschiedlich) verbiegen. Eine hieraus entstehende Konsequenz – die Polarisation des Vakuums – wird in Abschn. 2.15.2 besprochen.

62


Die Möglichkeiten der Paarerzeugung und Paarvernichtung zeigen, daß die Interpretation der Dirac-Theorie als Ein-Teilchen-Theorie des Elektrons nicht haltbar ist, und entsprechend müßte auch das Positron als Loch in einer Fermi-See unendlich vieler Elektronen im Rahmen einer Viel-Teilchen-Theorie behandelt werden können. Die hier geschilderte Löchertheorie kann nur als grobe Vorstufe zu einer derartigen Theorie aufgefaßt werden, denn sie erfaßt nicht die Wechselwirkung zwischen den an diesem Bild beteiligten Teilchen. Dementsprechend findet man, daß sie bei einer präziseren Untersuchung von Vorgängen zu Fehlern und Widersprüchen führt. Diese können erst in einer Quantenfeldtheorie der Dirac-Gleichung bereinigt werden. Im Rahmen dieser Theorie müssen dann auch gewisse Aussagen der bisherigen Ein-Teilchen-Theorie revidiert werden. Beschränkt man sich jedoch auf Wechselwirkungsprozesse hinreichend niedriger Energie, so hat sich die um das Konzept der Fermi-See erweiterte Dirac-Gleichung bei der Behandlung von Ein-Teilchen-Problemen als außerordentlich nützlich erwiesen.

2.13.2 Positronlösungen durch Ladungskonjugation Aus der Existenz von Elektronenlösungen negativer Energie konnten sowohl die Existenz als auch verschiedene Eigenschaften von Positronen abgeleitet werden. Den Ausgangspunkt bildeten dabei zunächst qualitative Vorstellungen, die sich jedoch soweit präzisieren ließen, daß schließlich mit (2.228) sogar eine „Wellengleichung“ für Positronen aufgestellt werden konnte. Jetzt soll ein Weg aufgezeigt werden, auf dem die Zustände von Positronen direkt aus Elektronenzuständen negativer Energie abgeleitet werden können. Hierzu schreiben wir zunächst die Gleichung an, die durch komplexe Konjugation aus der DiracGleichung (2.173) entsteht, (γ α )

h ∂α i

e Aα ψ m 0 c ψ

0.

(2.229)

Nun existiert eine nicht-singuläre Matrix U , die für alle Indizes α die Gleichung U (γ α ) U

1

γα

(2.230)

erfüllt (Beweis folgt weiter unten). Multiplizieren wir Gleichung (2.229) von links mit U , definieren (2.231) ψC U ψ Cψ und benutzen die Identität ψ U 1 U ψ sowie (2.230), so erhalten wir α h γ ∂α e Aα ψC m 0 c ψC 0 . i

(2.232)

Dies ist die Positronengleichung (2.228), d. h. die gemäß (2.231) durch die Ladungskonjugation Cψ aus Elektronenlösungen ψ erhaltenen Spinoren ψC sind Positronenlösungen.


63

Den Beweis dafür, daß Gleichung (2.230) tatsächlich eine Lösung besitzt, erbringen wir für den Spezialfall der Darstellung (2.172) für die Matrizen γ α . In diesem ist iγ2

U

(2.233)

eine mögliche Lösung mit den Eigenschaften UU

UU

1,

i γ 2γ 2

1.

(2.234)

Beweis: Es gilt U γ2

(2.203b)

Uγ 2

(2.203a)

U (γ α )

Uγ α

(2.233)

(2.233)

zusammengefaßt für alle α

(2.233)

(2.204)

i γ 2γ α

U (γ α )

γ 2U ,

i γ αγ 2

γ αU

für

γ αU ,

α 2 , (2.235)

und hieraus folgt durch Rechtsmultiplikation mit U 1 Gleichung (2.230). Die Beziehungen (2.234) folgen gemäß UU UU

(i γ 2)(i γ 2 ) γ 2 (i γ 2)(i γ 2 ) γ 2

(2.201b) γ2

γ

γ 2γ 2

(2.203b) 2

γ 2γ 2

(2.205)

(2.205)

1,

1.

Die Operation der Ladungskonjugation ist reziprok, d. h. die Ladungskonjugation einer Positronlösung ψC führt zurück auf die Elektronlösung, (ψC )C

ψ,

(2.236)

denn es gilt (ψC )C

U ψC

U (U ψ )

UU ψ

(2.234a)

ψ.

Außerdem genügen die Spinoren ψC demselben Transformationsgesetz wie die Spinoren ψ, (2.180) mit (2.183), denn ψC

(2.231)

U ψ

(2.180) (2.233)

i γ 2 (Sψ)

s.u.

i γ 2 Sψ

s.u.

i Sγ 2 ψ

(2.233)

SU ψ

SψC .

Dabei wurde benutzt, daß S cosh(ϕ/2) α1 sinh(ϕ/2) (nach (2.185)) mit α1 reell ist (siehe (2.51a) und (Q7.39a)) und mit γ 2 vertauscht, γ 2S

γ 2 cosh

ϕ 2

γ 2 α1 sinh ϕ2

(2.188)

γ 2 cosh

ϕ 2

α1 γ 2 sinh ϕ2

Sγ 2 .

Jetzt vergleichen wir die physikalischen Eigenschaften der ladungskonjugierten Lösung ψC mit denen der Elektronenlösung ψ. Der Teilchen-Viererstrom ist für beide Lösungen identisch, j αC jα , (2.237)

64


denn es gilt j αC c

ψC γ α ψC

(2.212)

(ψC ) γ 0 γ α ψC

(ψ ) U γ 0 γ α U ψ (2.235)

(2.235)

(U ψ ) γ 0 γ α U ψ

(ψ ) U γ 0U (γ α ) ψ (2.234b)

(ψ ) U U (γ 0 ) (γ α ) ψ ( j α) c

(2.231)

(2.212)

(ψ γ 0 γ α ψ)

(ψ γ α ψ)

jα . c

Dabei wurde zuletzt benutzt, daß j α nach Abschnitt 2.12 reell ist. Für den Mittelwert L C eines Operators L im Zustand ψC erhalten wir

L C Mit

(ψC ) U L U

L ψC d 3x

(ψ ) U

(2.233)

(2.203b)

γ 2 L

γ2

folgt daraus

L γ 2

L U ψ

(2.201b)

3

dx

γ 2 L γ 2

ψ U L U ψ d 3x

γ 2 L

.

2 γ

γ2

L C γ 2 L

γ2 .

(2.238)

Die Spezialisierung dieses Ergebnisses auf die in Abschnitt 2.3 und 2.9 eingeführten Observablen liefert

x C x , c«C c« , p C p , C .

(2.239)

Beweis: x gemäß

1. (2.239a) folgt mit x 0 x C

γ 2x γ 2

1

0

γ 2 xγ 2

1

0

γ 2γ 2 x

1 (2.205)

x

x .

2. (2.239b) ergibt sich mit αl β 2 αl γ 0 γ l nach (2.171) gemäß αl C

0

(2.204)

0

γ 0γ l

1 (2.238) C

γ 0γ 2 γ l

γ2

0

1

1 (2.203) 0 1 2 0 γl γ2 γ γ γ 2 γ 0γ l γ 2

s.u.

0

γ 0γ l

1

αl

(2.61)

αl ,

denn (2.233) (2.201b) l U (2.234b) l U 1 , γ2 γ 2 γ l γ 2 γ 2 γ l U γ U γ und daraus folgt mit (2.230)

γ2 γl γ2

γl .

(2.240)


65

3. (2.239c) folgt mit p p und p p gemäß 0 1 0 1 0 1 (2.205) 2 2 γ2 p C γ p γ pγ 2 γ 2 γ 2 p p

p .

4. Mit (2.206) und ergibt sich für die Komponenten von (für zyklische l, m, n) 0 1 (2.238) 0 1 i γ lγ m γ2 i γl γm γ2 Σn C (2.205)

0

C

1 (2.240) 0 1 l m i γ 2 γ l γ 2γ 2 γ m γ 2 iγ γ

Σn

Σn .

Fassen wir diese wieder zu einem Vektor zusammen, so ergibt sich (2.239d).

Die Beziehungen (2.239) liefern die exakte quantenmechanische Bestätigung der quasiklassisch „abgeleiteten“ Relationen (2.227). Als letztes vergleichen wir die Erwartungswerte der Energie. Der HamiltonOperator (2.58) der Dirac-Gleichung lautet in der Notation von Gleichung (2.173) mit (2.42a) und (2.171)

h H (q) qΦ cγ 0 γ l (2.241) ∂l q Al m 0 c , i wobei das Argument q von H (q) die Ladung des betrachteten Teilchens angibt. Der Hamilton-Operator des Elektrons ist H (e) und der zur ladungskonjugierten Gleichung (2.232) gehörige Hamilton-Operator ist H (e), wofür man H C (e) H (e) oder allgemeiner H C (q) H (q) schreiben kann. Aus (2.238) ergibt sich der Zusammenhang

H (e) C

H (e) .

(2.242)

Beweis: Setzen wir (2.241) mit q e in (2.238) ein, so ergibt sich mit γ 0 γ 0 0

H (e)

1

h γ 2 eΦ cγ 0 γ l ∂l e Al m 0 c γ2 C i

h (2.204) 2 2 0 2 γl 2 2 2 γ eΦ γ γ cγ γ ∂l e Al γ γ m 0 c i

(2.205) 1 1 0 0 (2.240) 0 γ l h ∂ e A m c H (e) eΦ cγ H (e) . l l 0 i

Erfolgt die Mittelung mit Lösungen der Bewegungsgleichung ih ∂t ψ Hψ, so ergibt sich der Beweis viel einfacher aus der in diesem Unterraum gültigen Identität H ih ∂t gemäß ih

(2.205) ∂t C γ 2 (ih ∂t ) γ 2 γ 2 ih ∂t γ 2 γ 2 γ 2 ih ∂t ih ∂t ih ∂t .

Die Wahrscheinlichkeitsdichte n C j 0C des durch ψC beschriebenen Positrons ist nach (2.237) identisch mit der eines Elektrons im Zustand ψ, das nach (2.242) negative Energie besitzt. Demnach kann die Quantendynamik eines Positrons nicht von der eines Elektrons negativer Energie unterschieden werden. Mit anderen Worten: Ein Positron

66


bzw. ein Elektronenloch verhält sich wie ein Elektron negativer Energie. Dem entspricht, daß der Erwartungswert für den Geschwindigkeitsoperator nach (2.239b) im Zustand ψ und ψC derselbe ist. Der Spin des Lochs ist allerdings dem Spin des Elektrons entgegengesetzt. Dieselbe Aussage gilt auch für den Impuls, was dadurch zustande kommt, daß mit den Energien (siehe (2.242)) auch die Massen entgegengesetztes Vorzeichen haben. Im folgenden Abschnitt werden wir eine noch weitergehende Symmetrie bzw. Antisymmetrie zwischen dem Zustand eines Positrons und dem eines Elektrons negativer Energie aufdecken, die sogenannte CPT-Symmetrie.

2.13.3 P-Invarianz, T-Invarianz und CPT-Symmetrie Für die Eigenschaften von Elementarteilchen spielen Symmetrien eine ausschlaggebende Rolle. In diesem Abschnitt werden wir feststellen, daß die Dirac-Gleichungen für Elektron und Positron eine Reihe von Symmetrien aufweisen. In der Elementarteilchentheorie ist die Vorgehensweise umgekehrt oft so, daß gewisse Symmetrien gefordert werden und eine Gleichung so gesucht wird, daß die durch sie beschriebenen Teilchen diese aufweisen. P-Invarianz. Die Raumspiegelung am Koordinatenursprung t¼

x¼

t,

x

(2.243)

ist eine spezielle Lorentz-Transformation. (Es handelt sich um eine uneigentliche Lorentz-Transformation, da sie nicht kontinuierlich in die identische Transformation überführt werden kann.) Da die Dirac-Gleichung gegenüber sämtlichen LorentzTransformationen invariant ist, muß sie auch gegenüber der Transformation (2.243) invariant sein. Für die Dirac-Spinoren muß dabei Gleichung (2.180) gelten, wobei S eine Lösung von (2.178) ist. S kann allerdings nicht durch Spezialisierung von Gleichung (2.185) gewonnen werden, da (2.243) keine Transformation zwischen Systemen in Standardkonfiguration ist. Die Lösung von (2.178) für die spezielle Transformation (2.243) bezeichnen wir mit P. Selbst für die spezielle Standarddarstellung (2.172) der Dirac-Matrizen gibt es mehrere Lösungen P. Die einfachste von diesen ist P Wegen γ 0

(γ 0 )

1

γ0.

(2.244)

(γ 0 ) nach (2.201) ist P ein unitärer hermitescher Operator.

Beweis: In der allgemeinen Lorentz-Transformation d x α Λαβ d x β ist die Transformationsmatrix für den Fall (2.243) mit ⎛1 0 ⎞ 1 ⎜ ⎟ Λαβ ⎝ (2.245) ⎠ 1 0 1 enthalten. Mit S P γ 0 haben wir nach (2.178) also P 1γ 0 P

γ0

und

P 1γ l P

γl


zu beweisen. Wegen (γ 0 )2 P 1γ 0 P

γ 0γ 0γ 0

1 und P 1 γ0

und

(γ 0 ) 1

67

γ 0 gilt tatsächlich

P 1γ l P

γ 0γ l γ 0

(2.204)

γ l γ 0γ 0

γl .

Das Transformationsgesetz (2.180) lautet in dem betrachteten Spezialfall ausführlicher ψ (x , t ) ψ ( x, t) Pψ(x, t) . (2.246) Für die Potentiale Φ und A des elektromagnetischen Feldes gilt bei der Raumspiegelung (2.243) Φ (x , t ) Φ(x, t), A (x , t ) A(x, t) , (2.247) da sich die Komponenten des Vierervektors Aα transformieren. In der Schrödinger-Theorie wurde der durch

Φ/c, A wie d x α c dt, d x

ψ(x, t) ψ( x, t)

(2.248)

definierte Operator als Paritätsoperator bezeichnet, und bei gleichzeitiger Berücksichtigung der Transformationsformeln (2.247) ist die Schrödinger-Gleichung gegenüber der Transformation ψ ψ invariant. Wenn die Definition (2.248) auf DiracSpinoren erweitert wird, gilt ψ(x, t)

(2.243)

ψ( x , t )

ψ(x , t ) ,

und damit läßt sich das Transformationsgesetz (2.246) für Spinoren auch in die Form

ψ (x , t ) P ψ(x , t ) (2.249) bringen. Die Invarianz der Dirac-Gleichung gegenüber der Transformation (2.243) kann physikalisch so interpretiert werden: Zu jeder Zeitfolge ψ(x, t) physikalischer Zustände existiert eine zweite Folge physikalischer Zustände, die aus der ersten durch räumliche Spiegelung am Koordinatenursprung hervorgeht. Dabei ist prinzipiell nicht feststellbar, welcher Vorgang das Bild und welcher das Spiegelbild ist, beide sind gleichermaßen physikalisch. Für den Erwartungswert L der Observablen L , die aus einer Observablen L durch Spiegelung am Koordinatenursprung hervorgeht, im gespiegelten Zustand ψ gilt L γ 0 L γ 0 , (2.250) denn (2.180) (2.244),s.u. 3 0 0 3 (ψ ) L ψ d x ψ (γ ) L γ ψ d x ψ γ 0 L γ 0 ψ d 3x . L Dabei wurde benutzt, daß zwar d x l d xl gilt, daß sich bei der Raumspiegelung 21 2 1 20 jedoch auch die Integrationsgrenzen umkehren, also z. B. 0 d x 0 d x 1 d x, 2 2 3 so daß d 3x d x gilt. Mit (2.250) sowie x

x ,

H

qΦ

p

h

i

h i p ,

m 0c2β c« ( p q A )

qΦ m 0 c2 β c« ( p q A)

68


nach (2.243b), (2.247) und (2.58) folgen die Beziehungen x ¼ ¼ Beweis:

x , 0

x ¼ ¼

p ¼ ¼

p ,

p ¼ ¼

H .

(2.251)

1 (γ 0 )2 x ¼ x ¼ x , 0 1 0 1 γ 0 p ¼ γ 0 (γ 0 )2 p ¼ p ¼ p γ 0 x¼γ 0

1

H ¼ ¼

0

und 0

H ¼ ¼

1 γ 0 qΦ m 0 c2 β c« ( p q A) γ 0 1

(2.42b)

0 (γ 0 )2 qΦ

(2.42a)

1 0 qΦ m 0 c2 β c« ( p q A) H .

m 0 c2 β c« ( p q A)

Der vektorielle Matrixoperator wurde in (2.155) als Dreiervektor mit drei räumlichen Komponenten eingeführt. Wir wissen daher nicht, ob es sich dabei um die räumlichen Komponenten eines Vierervektors (im nicht-relativistischen Grenzfall) handelt oder z. B. um drei Komponenten eines Tensors, wie das beim Magnetfeld B der Fall ist. Dieses ist in dem Tensor ∂α A β ∂β A α enthalten, und aus B j ∂k Al ∂l A k für zyklische j, k, l folgt bei der Spiegelung am Ursprung B ¼j ∂k¼ Al¼ ∂l¼ A ¼k ∂k Al ∂l A k B j , denn ∂α und Aβ sind Vierervektoren, für die ∂k¼ ∂k und Al¼ Al gilt. Die B j transformieren sich also nicht wie die Komponenten eines echten Vierervektors, sondern wie die eines Pseudovektors, also gemäß V ¼α

α

Λ β V

β

.

(2.252)

Da der Spin geladener Teilchen mit einem magnetischen Moment verbunden ist, muß er sich bei einer Raumspiegelung wie das Magnetfeld verhalten. Dies bedeutet, daß der Spin ein Pseudovektor ist, so daß

¼

(2.253)

gilt. Damit erhalten wir

¼

¼

,

(2.254)

denn aus (2.250) folgt Σn¼ ¼

(2.205)

(2.253) (2.206) γ 0 Σn¼ γ 0 γ 0 Σn γ 0 γ 0 i γ l γ m γ 0 l m (2.206) iγ γ Σn .

(2.204)

i γ l γ 0γ 0 γ m

T-Invarianz. Auch die Zeitumkehrtransformation t¼

t

,

x¼

x

(2.255)


69

ist eine spezielle Lorentz-Transformation mit der Transformationsmatrix ⎛ ⎞ 1 0 1 ⎜ ⎟ Λαβ ⎝ ⎠. 1 0 1

(2.256)

Der Vierervektor ∂α transformiert sich bei dieser nach (2.176) gemäß ∂ ¼0

∂0 ,

∂ ¼l

∂l ,

(2.257)

womit aus der komplex-konjugierten Dirac-Gleichung (2.229) l h 0 h ∂ 0 e A0 ψ γ ∂ l e Al ψ m 0 c ψ γ i i

0

(2.258)

folgt. A 0 und Al wurden dabei vorerst noch bewußt untransformiert gelassen. Nun existiert eine Matrix T0 , welche die Beziehungen T0 γ l T01 γ l (2.259) T0 γ 0 T01 γ 0 , erfüllt. In der Standarddarstellung (2.171) ist eine mögliche Lösung für T0 durch T0

i γ 1γ 3

(2.260)

mit den Eigenschaften T0

T0

T01

(2.261)

gegeben. Beweis: Aus T0 T0 und T0 T0

γ 1γ 3γ 1γ 3

(2.204)

γ 1γ 3γ 3γ 1

(2.205)

1

(2.262)

(2.201b) (2.205) γ 1 i γ 1γ 3 γ 3γ 1γ 1 γ 3 1 i γ3

folgen unmittelbar die Beziehungen (2.261). Mit (2.203) und (2.204) ergibt sich T0 γ 0 T0 γ 0 i γ 1 γ 3 γ 0 i γ 1 γ 0 γ 3 i γ 0 γ 1 γ 3 γ 0 T0 , T0 γ 1 T0 γ 1 i γ 1 γ 3 γ 1 i γ 1 γ 1 γ 3 γ 1 T0 , T0 γ 2 T0 γ 2 i γ 1 γ 3 γ 2 i γ 1 γ 2 γ 3 i γ 2 γ 1 γ 3 γ 2 T0 , T0 γ 3 T0 γ 3 i γ 1 γ 3 γ 3 i γ 3 γ 1 γ 3 γ 3 T0 , was mit den Beziehungen (2.259) übereinstimmt.

Multiplizieren wir jetzt (2.258) von links mit T0 , so erhalten wir mit der Identität ψ T01 T0 ψ und den Beziehungen (2.259) 0 h l h ∂ 0 e A0 ψ γ ∂ l e Al ψ m 0 c ψ 0 (2.263) γ i i

70


mit ψ ¼ (x ¼ , t ¼ )

T0 ψ £

Tψ .

(2.264)

Würde Aα als echter Vierervektor transformiert, so erhielten wir für die Zeitspiegelungstransformation (2.255) nach (2.257) A ¼0 A0 , Al¼ Al , und die Gleichung für ψ ¼ ginge in die Dirac-Gleichung (2.228) für Positronen über. Aus den im folgenden geschilderten Gründen ist das jedoch nicht richtig. Für den Vierervektor Uα

d Xα dτ

d X α dt dt dτ

der Geschwindigkeit ergäbe sich bei der Zeitumkehrtransformation (2.255) aus der Transformationsformel U ¼ α Λαβ U β für die räumlichen Komponenten U ¼l U l . Mit U ¼l d X ¼l /dτ ¼ , U l d X l /dτ und d X ¼l d X l ergäbe sich daraus dτ ¼ dτ , und damit würde d X ¼l d X ¼l d X ¼l dt ¼ d X ¼l dt 1 d X ¼l . U ¼l dτ ¼ dτ dt ¼ dτ dt ¼ dτ 1 u 2 /c2 dt ¼ folgen, die räumlichen Komponenten U ¼l der vektoriellen Geschwindigkeit im System S ¼ wären der Bewegung d X ¼ l /dt ¼ entgegen gerichtet. Dieses unsinnige Ergebnis ist darauf zurückzuführen, daß die Eigenzeit bei der Zeitspiegelung nicht ebenfalls umgekehrt wurde. Kehren wir jedoch mit der Zeit t auch die Eigenzeit τ um, so erhalten wir für die Geschwindigkeit das Transformationsgesetz d X ¼α dτ ¼

U ¼α

Λαβ d X β dτ ¼

β

Λαβ ddτX

Λαβ U β

bzw. U ¼0

U0 ,

U ¼l

U l

eines Pseudovektors, und die Geschwindigkeit weist sowohl in S als auch in S ¼ in die Bewegungsrichtung. Wegen der für die elektrische Stromdichte J α gültigen Beziehung J α qU α δ 4 X X (t) erhält man dann aufgrund der Maxwell-Gleichungen bzw. Aα das Transformationsgesetz eines Pseudovektors, also A0 A¼ 0 ,

Al

A¼ l

bzw.

A0 A ¼0 ,

Al

μ0 J α auch für Aα A¼l .

(2.265)

Anschaulich bedeutet das: Bei Zeitumkehr laufen die Ladungen rückwärts, und mit dem Strom dreht auch das durch Al beschriebene Magnetfeld sein Vorzeichen um, während das Potential Φ c A0 unverändert bleibt. Mit (2.265) nimmt Gleichung (2.263) die Form α h ¼ ¼ ∂ α e A α ψ ¼ m 0 c ψ ¼ 0 γ i


71

der Dirac-Gleichung (2.173) an. Diese ist also bei Zeitumkehr invariant, wobei das Potential A¼α gemäß (2.265) als Pseudovektor transformiert wird. Das Transformationsgesetz für den Spinor ψ ist (2.264) mit (2.260). Man kann T

T0 K

schreiben. Nach (2.261) gilt T0 T0 Operator K erfüllt K (λ1 ψ1 λ2 ψ2 )

Kψ

mit T01 T01

ψ

(2.266)

1, d. h. der Operator T0 ist unitär. Der

(λ1 ψ1 λ2 ψ2 )

λ1 K ψ1 λ2 K ψ2 ,

eine Eigenschaft, für die er als antilinear bezeichnet wird; außerdem erfüllt er (K ϕ, K ψ)

(ϕ , ψ )

(ϕ, ψ) ,

weshalb er auch noch als antihermitesch bezeichnet wird. Auch der Operator T ist als Produkt eines unitären und eines antilinearen sowie antihermiteschen Operators antilinear und antihermitesch, es gilt T (λ1 ψ1 λ2 ψ2 )

T0 (λ1 ψ1

λ2 ψ2 )

λ1 T0 ψ1

λ2 T0ψ2

λ1 T ψ1 λ2 T ψ2

sowie (T ϕ, T ψ)

(ϕ , T0 T0 ψ )

(T0 ϕ , T0 ψ )

(ϕ , ψ )

(ϕ, ψ) .

Bei Angabe der Lösung (2.260) der Gleichungen (2.259) wurde schon darauf hingewiesen, daß es mehrere mögliche Lösungen gibt. Die Lösung (2.260) wurde so gewählt, daß die Spinor-Transformation (2.264) die Eigenschaften besitzt, die man physikalisch bei Zeitumkehr erwartet: Während die Energie unverändert bleibt, wird der Teilchenimpuls umgekehrt (siehe unten). Für den Erwartungswert einer Observablen L gilt 3 (2.264) L (ψ ) L ψ d x (ψ ) T0 L T0 ψ d 3x ψ T0 L T0 ψ d 3x T0 L T0 . 1 3 Mit T0 iγ γ wird daraus

i

1 3 γ γ

i γ 1 γ 3 T0 T0 L T0 .

(2.203)

L

und T0

(2.261)

T0

T0

(2.267)

Mit Hilfe dieser Formel können die Beziehungen

H H , (2.268) abgeleitet werden (Aufgabe 2.9), wobei wie A transformiert werden muß, nach x x ,

(2.265d) also gemäß

p p ,

.

(2.269)

72


CPT-Symmetrie Da die Operationen der Raumspiegelung am Koordinatenursprung und der Zeitumkehr die Dirac-Gleichung invariant lassen, können sie bei der Konstruktion ladungskonjugierter Positronlösungen mit einbezogen werden. Dementsprechend erwarten wir, daß ψC PT (x ¼ , t ¼ )

C PT ψ(x, t)

t¼

mit

t,

x¼

x

(2.270)

eine Lösung der Dirac-Gleichung für Positronen ist, wenn ψ(x, t) eine Elektronenlösung ist. Dabei ist (2.271) A ¼α A α zu fordern, da die sich gegenseitig kompensierenden Transformationen (2.247b) und (2.265b) hintereinander ausgeführt werden. Zunächst folgt aus den Definitionen (2.231) mit (2.233), (2.244) und (2.264) mit (2.260), also C i γ 2 (...) , P γ 0 und i γ 1 γ 3 (...) ψC PT (x , t ) i γ 2 γ 0 i γ 1 γ 3 ψ oder mit (2.207)

ψC PT (x , t )

(2.203)

γ 2 γ 0γ 1γ 3ψ

γ 0 γ 1γ 2γ 3ψ

i γ 5 ψ(x, t) .

(2.272)

Jetzt multiplizieren wir die Dirac-Gleichung (2.173) von links mit i γ 5 und erhalten mit (2.208b) α h γ i γ 5 ψ m0c i γ 5 ψ 0. ∂α e Aα i Indem wir zur Abkürzung ψ ψC PT schreiben, erhalten wir mit ∂α (2.270b,c)), (2.271) und (2.272) h γα ∂ α e Aα ψ m 0 c ψ 0 , i

∂α (nach

also die Positronengleichung (2.232). Der Zusammenhang zwischen transformierten und untransformierten Erwartungswerten kann durch die Kombination ihres Verhaltens bei den Einzeltransformationen C, P und T erschlossen werden. x bleibt z. B. bei den Transformationen C und T erhalten und wird durch P im Vorzeichen umgekehrt, d. h. wir erwarten x x . Analog kann bei allen anderen Erwartungswerten vorgegangen werden. Es ist jedoch auch nützlich, ihr Verhalten in einem Schritt aus der Transformationsgleichung (2.272) abzuleiten. Für einen beliebigen Operator L gilt L (ψ ) L ψ d 3x ψ γ 5 L γ 5ψ d 3x γ 5 L γ 5 . (2.273) Dabei wurde beachtet, daß wie bei der Paritätstransformation alleine der Vorzeichenwechsel d 3x d 3x durch einen Vorzeichenwechsel beim Vertauschen der oberen und


73

unteren Integralgrenzen kompensiert wird. Operatoren L ¼ , die keine Matrizen sind, vertauschen mit γ 5 , so daß man für sie mit (2.209) noch einfacher L ¼ ¼

L ¼

erhält. Durch Anwendung auf x ¼ x, ¼ bzw. p ¼ p erhalten wir auf diese Weise unmittelbar x ¼ ¼ x , p ¼ ¼ p . (2.274) Mit q ¼ q, (2.270c) und (2.271) ergibt sich aus (2.241) ¼ ¼ 0 l h H (q ) qΦ cγ γ ∂l q Al m 0 c2 γ 0 , i und die Anwendung von (2.273) liefert 5 0 l h ∂l q Al m 0 c2 γ 0 γ 5 γ H ¼ (q ¼ )¼ qΦ cγ γ i (2.208b) 5 5 0 l h 2 0 γ qΦ cγ γ ∂l q Al m 0 c γ γ i (2.209) 0 l h 2 0 ∂l q Al m 0 c γ qΦ cγ γ i oder mit (2.241)

H (q )

H (q) .

(2.275)

Für den Spinoperator gilt bei der Zeitspiegelung nach (2.269) , bei der Raumspiegelung nach (2.253) und bei der Ladungskonjugation , letzteres, weil bei dieser alle Operatoren unverändert gelassen werden und nur deren Mittelwerte mit ladungskonjugierten Zuständen berechnet werden (siehe vor Gleichung (2.238)). Bei der CPT-Transformation gilt also insgesamt

.

(2.276)

Aus (2.273) ergibt sich damit für zyklische Indizes l, m, n Σn

(2.208b)

5 (2.206) 5 γ Σn γ 5 γ 5 Σn γ 5 γ i γ lγ mγ 5 5 5 l m (2.209a) l m γ γ iγ γ iγ γ Σn ,

in Vektornotation also

.

(2.277)

Für die Teilchendichte gilt n ( x, t) n (x , t ) (ψ ) ψ

ψ

5 5 γ ψ γ

(2.209a)

ψ ψ

n(x, t) ,

74

ct


e

Paarvernichtung

Abb. 2.7: Ein Elektron negativer Energie, das in der Zeit rückwärts läuft, ist nicht unterscheidbar von einem Positron positiver Energie, das in der Zeit vorwärts läuft. Die Vorgänge der Paarerzeugung und Paarvernichtung können als Richtungswechsel des Elektrons in der Zeit betrachtet werden.

e e Paarerzeugung

x

was im quasiklassischen Grenzfall bedeutet, daß die (raumgespiegelten) Bahnen rückwärts durchlaufen werden. Ein Elektron mit negativer Energie und negativem Impuls, das rückwärts in der Zeit läuft, ist also nicht unterscheidbar von einem Positron mit positiver Energie und positivem Impuls, das vorwärts in der Zeit läuft (Abb. 2.7). Dies ist die Feynman-Stückelberg-Interpretation des Antiteilchens.

2.14 Dirac-Gleichung für Neutrinos Wird in der Dirac-Gleichung (2.55) m 0 0 und q 0 gesetzt, so ergibt sich aus ihr i h ∂t ψ

c« p ψ

(2.278)

als Gleichung für neutrale Teilchen verschwindender Ruhemasse. Wie wir feststellen werden, handelt es sich bei den Teilchen um Neutrinos. Mit dem Ansatz ψ e i Et /h folgt aus (2.278) Eψ

c« p ψ ,

(2.279)

und der Zusammenhang (2.78) vereinfacht sich zu E

cp .

(2.280)

Die de Broglie-Relationen E hω, p hk und die Definition Úg ∂ω/∂ k führen hiermit zu der Ausbreitungsgeschwindigkeit p (2.281) Úg c p von Wellenpaketen. Teilchen der Ruhemasse null können sich also nur mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten. Dies hat zur Folge, daß es keinen nicht-relativistischen Grenzfall gibt, bei dem man zwischen großen und kleinen Komponenten des Spinors ψ unterscheiden könnte. Wird die Zerlegung (2.73) in die Energieeigenwertgleichung (2.279) mit (2.280) eingesetzt, so geht diese mit der Definition n

p p

(2.282)

2.14 Dirac-Gleichung für Neutrinos

in

« n ψ

(2.51)

0 n

n 0

75

ϕ χ

nχ nϕ

ψ

ϕ χ

bzw. in die beiden Gleichungen ϕ

n χ ,

χ

n ϕ

(2.283)

über. Indem wir aus diesen χ oder ϕ eliminieren, erhalten wir ϕ n χ n n χ und daraus mit (2.282), (2.76) und p (h/i) h 2 ϕ

p2ϕ ,

h 2 χ

p2χ .

n ϕ oder (2.284)

Die in den zwei Komponenten von ϕ enthaltenen zwei Freiheitsgrade – χ wird nach (2.283b) durch ϕ festgelegt – bedeuten, daß wir es wie beim Elektron mit Spin-1/2Teilchen zu tun haben. Präziser käme diese Eigenschaft bei Wechselwirkungen mit anderen Teilchen zum Ausdruck, bei denen Drehimpuls übertragen wird. Die durch (2.278) beschriebenen Teilchen sind masselos, elektrisch neutral, breiten sich mit Lichtgeschwindigkeit aus und haben den Spin 1/2. Hieraus folgt, daß es sich um Neutrinos handelt. ϕ und χ erfüllen nach (2.284) dieselbe Gleichung, was zur Folge hat, daß zusammen mit einer Lösung ϕ der Gleichung (2.284a) nach (2.283b) auch χ n ϕ eine Lösung ist. Da die Gleichung (2.284a) linear ist, sind dann auch die beiden Linearkombinationen 1 1 F (1 n) ϕ, G (1 n) ϕ (2.285) 2 2 Lösungen. Durch Anwendung des Operators n F

1 ( n n 2 1 h 2 ϕ

2

p2

n) ϕ

(2.76)

n ϕ

n auf F ergibt sich

1 n 2

(2.284a)

n2 ϕ

1 (1 2

n) ϕ

1 p 2 2 p2

n ϕ

F.

Eine entsprechende Rechnung kann für G durchgeführt werden, und die Zusammenfassung beider Ergebnisse führt zu n F

F,

n G

G.

(2.286)

p projiziert – bis auf den Faktor h/2 – den Spin des TeilDer Operator n p/ chens auf seine Bewegungsrichtung. Die beiden Gleichungen (2.286) besagen daher, daß im Zustand F bzw. G die Spinkomponente in Bewegungsrichtung h/2 bzw. h/2 beträgt. Die Eigenwerte 1 des Operators n werden als Spiralität oder Helizität des Neutrinos bezeichnet. Die Erfahrung zeigt, daß Neutrinos in Zuständen wohldefinierter Helizität, also entweder im Zustand F oder G angetroffen werden. Wegen v c kann ein Neutrino nicht abgebremst werden und seine Geschwindigkeit umkehren. Daraus folgt, daß die Helizität eine feste Teilcheneigenschaft der Neutrinos ist.

76


Trotz fehlender Ladung ist auch bei Neutrinos die Operation (2.231) der Ladungskonjugation möglich. Aus dem Spinor ψ entsteht dabei der Spinor ψC

i γ 2ψ ,

der nach (2.232) (mit e 0 und m 0 0) wieder die Neutrinogleichung (2.278) erfüllt. Offensichtlich gelten auch jetzt die Relationen (2.239). Da bei der Ladungskonjugation Impuls und Spin beide das Vorzeichen wechseln, bleibt das Vorzeichen der Helizität erhalten. Experimentell hat man festgestellt, daß Neutrino und Antineutrino verschiedene Teilchen sind: Das Neutrino hat negative und das Antineutrino positive Helizität. Dies bedeutet, daß die Ladungskonjugation nicht den Übergang vom Neutrino zum Antineutrino darstellen kann.

2.15 Viel-Teilchen-Phänomene in der Dirac-Theorie Daß das Vakuum nach der Diracschen Löchertheorie mit Elektronen und Positronen negativer Energie besetzt ist, muß sich irgendwie bemerkbar machen. Mit Auswirkungen davon wird man insbesondere dort rechnen, wo starke elektromagnetische Felder auftreten. Das Pauli-Prinzip wird zwar dafür sorgen, daß nicht zwei Teilchen den gleichen Teilchenzustand einnehmen, aber es kann nicht verhindern, daß die geladenen Teilchen im Vakuumuntergrund durch starke elektromagnetische Felder verschoben werden. Eine Theorie, die derartige Situationen korrekt beschreibt, müßte im Prinzip eine Viel-Teilchen-Theorie sein. Wir werden im folgenden jedoch zwei Beispiele im Rahmen der für Einzelteilchen abgeleiteten Dirac-Theorie untersuchen. Beim ersten liefert schon diese quantitative Aussagen, die allerdings einer Viel-Teilchen-Interpretation bedürfen. Beim zweiten werden wir nur zu qualitativen Aussagen gelangen. Eine den Viel-Teilchen-Phänomenen angemessene Theorie ist die Quantenfeldtheorie. Ihre Anfangsgründe werden im nächsten Teil des Buches behandelt.

2.15.1 Kleinsches Paradoxon Sehr starke elektrische Felder sind mit starken Änderungen des elektrischen Potentials über kurze Distanzen verknüpft. Das theoretische Konzept eines Potentialsprungs an einer Potentialschwelle impliziert sogar eine unendlich große elektrische Feldstärke. Nach den vorangegangenen Überlegungen müssen wir daher mit Viel-TeilchenAspekten der Dirac-Theorie rechnen, wenn ein Elektron auf eine Potentialschwelle auftrifft. Diese Situation wird im folgenden zunächst anhand der Ein-Teilchen-Theorie untersucht und anschließend unter Benutzung von Viel-Teilchen-Aspekten interpretiert. Zur Vorbereitung betrachten wir die stationäre Dynamik eines Elektrons in einem räumlich und zeitlich konstanten Potential V0 . Die Dirac-Gleichung dafür lautet

(V m c β c« p ) ψ .

ih ∂t ψ

0

0

2

2.15 Viel-Teilchen-Phänomene in der Dirac-Theorie

77

E V0 m 0 c2 V0 0 V0 m 0 c2

Abb. 2.8: Energiespektrum eines Elektrons im konstanten Potential V0 . Gegenüber dem freien Elektron sind die Energiekontinua um V0 nach oben verschoben.

Zu ihrer Lösung wählen wir den Ansatz

U ei ( p x

ψ

Et )/h

,

(2.287)

der mit p ψ pψ und ih ∂t ψ Eψ die Beziehung (E

V0)ψ (m 0c2 β

c« p)ψ

zur Folge hat. Das ist dieselbe Gleichung, die wir bei freien Elektronen erhalten hatten, nur daß E durch E V0 ersetzt ist. Daher erhalten wir statt der Dispersionsrelation (2.78) jetzt E V0 Ep mit Ep (m 0 c2 )2 c2 p 2 . (2.288) Wieder haben wir zwei Energiekontinua, die jedoch gegenüber denen bei freien Teilchen um V0 verschoben sind, statt Abb. 2.2 erhalten wir nun Abb. 2.8. Nun betrachten wir den Fall, daß ein stationärer Elektronenstrahl von links aus dem Gebiet x < 0 nach rechts auf eine Potentialschwelle * 0 für x < 0 V (x) V0 für x 0 bei x 0 zuläuft. Solange die kinetische Energie E kin E m 0 c2 größer als V0 ist, erwarten wir neben der von links einfallenden Welle eine durchlaufende und eine reflektierte Welle. Für V0 > E m 0 c2 sollte dagegen Totalreflexion auftreten und bei x > 0 nur noch eine gedämpfte Welle existieren. Nach (2.78) und (2.288) gilt für x < 0 (vor der Schwelle) E 2 /c2 p 2 m 02 c2 und für x 0 (hinter der Schwelle) (E V0 )2 c2 bzw.

p

(E

p 2

m 02 c2

V0)2 m 2c2 . c2

0

(2.289)

(2.290)

Der Ansatz (2.287) gilt vor und hinter der Schwelle. Die über die Schwelle nach x 0 eindringende Welle wird gedämpft, sobald p 2 < 0 und damit p imaginär wird. (Neben

78


E V0 m 0 c2 V0 m 0 c2

V0 m 0 c2

E

Abb. 2.9: Übergang der von links einlaufenden Elektronen positiver Energie in ein Band negativer Energie rechts der Potentialschwelle für den Fall V0 > E m 0 c2 .

0 m 0 c2

der gedämpften liefert (2.290) auch eine angefachte Welle, die jedoch aus physikalischen Gründen ausgeschlossen werden muß.) Das ist für E V0 < m 0 c2 bzw. E

m 0 c2 < V0 < E

m 0 c2

der Fall. Daß p imaginär wird, wenn V0 den Wert E m 0 c2 überschreitet, entspricht der Erwartung. Überraschenderweise wird p jedoch reell, wenn V0 über den Wert E m 0 c2 hinauswächst (Abb. 2.9). Es gibt dann wieder eine durchlaufende Welle, und nur ein Teil der einfallenden Welle wird reflektiert. Für ein durchlaufendes Elektron folgt aus V0 >E m 0 c2 allerdings E kin

E

m 0 c2

V0
0 tun, d. h. v g 0. Wegen E V0 < 0 ist das nur für p 0 möglich. Das Kleinsche Paradoxon besteht darin, daß die Potentialschwelle für V0 > E m 0 c2 Teilchen durchläßt. Es kommt dadurch zustande, daß einige Elektronen nach deren Durchdringen mit negativer kinetischer Energie nach rechts weiterlaufen können. Eine Viel-Teilchen-Theorie mit einem Kontinuum von Zuständen negativer Energie liefert die Möglichkeit zu einer physikalischeren Deutung: Für V0 m 0 c2 > E > m 0 c2 können die von links auf die Potentialschwelle auftreffenden Elektronen aus dem Vakuum des Gebiets rechts der Schwelle Elektronen herausschlagen, die nach links laufen. Der Reflexionskoeffizient wird hierdurch – anders als bei der zuerst besprochenen Ein-Teilchen-Interpretation – größer als eins. Die dabei entstehenden Löcher laufen als Positronen mit positivem Impuls ( p > 0) nach rechts. Mit anderen Worten bedeutet das, daß es beim Aufprall der Elektronen auf die Potentialschwelle zur Paarerzeugung kommt. Die vollständige Durchrechnung des Reflexionsproblems wird zur Übung empfohlen (Aufgabe 2.10).

2.15 Viel-Teilchen-Phänomene in der Dirac-Theorie

79

2.15.2 Polarisation des Vakuums In der Nachbarschaft geladener Punktteilchen treten sehr starke Felder auf. Wir erwarten, daß z. B. ein im Vakuum befindliches Elektron positiver Energie die ihm benachbarten Vakuumelektronen negativer Energie abstößt, während es die benachbarten Vakuumpositronen anzieht (Abb. 2.10 (a)). Dies bedeutet, daß das Vakuum als ein polarisierbares Medium aufgefaßt werden kann, dessen Polarisation aus Elektron-PositronPaaren gebildete Dipole hervorrufen. Für das elektrische Feld in einem polarisierbaren Medium (siehe Elektrodynamik, Abschn. E4.8.4) gilt div(ε0 E

P) λ

oder

div ε0 E

λ div P λ

λP ,

wobei λ P div P als Polarisationsladungsdichte bezeichnet wird. Die eigentliche Ladung des Elektrons, die auch den Namen nackte Ladung trägt, wird demnach durch die Polarisationsladungen des Vakuums abgeändert. Da die aus Elektron-PositronPaaren gebildeten Dipole ein elektrisches Feld erzeugen, das dem des Elektrons entgegengerichtet ist, wird dessen Feld abgeschwächt. Die Polarisationsladung hat daher das entgegengesetzte Vorzeichen wie die Ladung des Elektrons. Der qualitative Verlauf der Ladungsdichte in der Umgebung des Elektrons ist in Abb. 2.10 (b) dargestellt. In größerem Abstand vom Elektron mißt man die Ladung e (λ λ P ) d 3x . Rückt man dem Elektron sehr nahe, so mißt man dagegen die nackte Ladung en λ d 3x , U

wobei das Integrationsgebiet U nur die unmittelbare Nachbarschaft des Elektrons erfaßt und en >e gilt. Die Polarisation des Vakuums macht sich im Wasserstoffatom bei den l 0 -Zuständen des Elektrons bemerkbar, deren Aufenthaltswahrscheinlichkeit ψψ auch noch λ

λP λ λP r λ

(a)

(b)

Abb. 2.10: (a) Polarisierende Wirkung eines Elektrons auf seine Umgebung. (b) Qualitativer Verlauf der Ladungsdichte λ, der Polarisationsladungsdichte λ P und der Gesamtladungsdichte λ λ P in der Umgebung eines Elektrons.

80


sehr nahe dem Kern wesentlich von null verschieden ist: Dort macht sich die höhere nackte Ladung des Elektrons bemerkbar und bewirkt eine stärkere Anziehung durch den Kern, was zu einer Erniedrigung der Energie der l 0 -Niveaus führt. Allerdings wird diese zum Teil durch die Lamb-Shift (siehe Abschn. 8.3.8) der Elektronen kompensiert, die durch fluktuierende elektromagnetische Felder hervorgerufen wird. Dabei handelt es sich um zeitabhängige Felder, die durch statistische Fluktuationen im Zustand des Vakuums auftreten. Deren zeitliche Mittelwerte verschwinden zwar, ihre quadratischen Mittelwerte sind aber von null verschieden und beeinflussen die Elektronenbahnen.

2.15.3 Orts-Impuls-Unschärferelation und Paarerzeugung Je genauer der Ort eines Teilchens gegeben ist, desto größer wird nach der Orts-ImpulsUnschärferelation h (2.291) x p 2 seine Impulsunschärfe p, und desto größer werden damit auch die möglichen Werte seines Impulses. Mit einem hohen Impuls des Teilchens ist gleichzeitig eine hohe kinetische Energie verbunden. Wenn diese den Wert 2m 0 c2 überschreitet, wobei m 0 die Ruhemasse eines Elektrons bzw. Positrons ist, kann sie von dem betrachteten Teilchen auf ein Elektron (oder Positron) negativer Energie übertragen werden und dieses aus der DiracSee heraus in einen Zustand positiver Energie E m 0 c2 überführen. Bei hinreichend starker Lokalisierung kann das Teilchen also im Vakuum die Erzeugung eines ElektronPositron-Paares herbeiführen. Im Anschluß an diesen Prozeß hat man es mit drei Teilchen zu tun, dem ursprünglichen Teilchen und dem Elektron-Positron-Paar. Dies zeigt erneut, daß die relativistische Quantenmechanik keine genuine Ein-Teilchen-Theorie ist, sondern unter gegebenen Umständen zwangsläufig zu Viel-Teilchen-Phänomenen führt. Durch die Paarerzeugung werden der Impuls und die Impulsunschärfe des ursprünglichen Teilchens kleiner, was zur Folge hat, daß nach (2.291) die Ortsunschärfe wieder größer wird. Dies bedeutet, daß in der relativistischen Quantenmechanik anders als in der nicht-relativistischen Quantenmechanik der Ort eines Teilchens nicht beliebig scharf werden kann. Die Ortsunschärfe besitzt vielmehr eine untere Grenze, die im folgenden berechnet werden soll. Da es uns nur auf deren ungefähren Wert ankommt, werden wir in der folgenden Rechnung zum Teil klassische Elemente benutzen. Wir nehmen an, daß das Teilchen, dessen minimale Ortsunschärfe berechnet werden soll, ebenfalls ein Elektron oder Positron ist, so daß seine Ruhemasse m 0 die gleiche wie die der bei der Paarerzeugung entstehenden Teilchen ist. Die kinetische Energie des Teilchens ist 1 1 m 0 c2 . E kin mc2 m 0 c2 1v 2 /c2 Für

1 1v 2 /c2

1

m 0 c2

2m 0 c2

Aufgaben

81

oder

1 1 v 2 /c2

3

reicht diese zur Paarerzeugung aus. Die Auflösung der letzten Ungleichung nach v/c liefert 2 2 v c 3 und m0v p mv 3m 0v 2 2 m 0 c . (2.292) 2 2 1 v /c Gleichung (2.291) entnehmen wir für die Unschärfe des Teilchenorts die Abschätzung x

h p .

(2.293)

< p < p annehmen, für p 0 Für p 0 kann der Impuls Werte im Bereich p

sind noch größere Impulswerte möglich. Demnach wird gemäß (2.292) für p

2m 0c

(2.294)

(wegen des Überschlagscharakters unserer Rechnung konnte der Faktor 2 weggelassen werden) die Paarerzeugung möglich. Nach (2.293) mit (2.294) geschieht das für < x

h 2m 0 c

(Q2.26)

λCompt .

(2.295)

Die untere Grenze der Ortsunschärfe eines relativistischen Teilchens ist also in etwa die Compton-Wellenlänge. Versucht man, das Teilchen in ein Gebiet kleinerer Ausdehnung zu zwängen, so kommt es zur Paarerzeugung.

Aufgaben 2.1

Ehrenfestsche Theoreme. Beweisen Sie für die Dirac-Gleichung mit Magnetfeld die Gültigkeit der Ehrenfestschen Theoreme d x dt

0 ∂ H 1 ∂ p

,

d p dt

0 ∂ H 1 ∂x

Hinweis: p kann durch p q A ausgedrückt werden.

2.2

.

Welcher Zusammenhang besteht im Fall Φ 0 zwischen den Eigenfunktionen bzw. Eigenwerten des zur Dirac-Gleichung gehörigen Hamilton-Operators H und denen des Masseoperators m ?

82


2.3

1. Welche Näherung muß gelten, damit der Mittelwert m des Masseoperators im quasiklassischen Grenzfall in die klassische relativistische Masse übergeht? 2. Berechnen Sie die Zeitableitung des Mittelwerts m des Masseoperators in einem elektrischen Feld und zeigen Sie, daß sie im quasiklassischen Grenzfall in die klassische zeitliche Massenänderung übergeht. Hinweis: Man beachte, daß der quasiklassische und der nicht-relativistische Grenzfall nicht dasselbe sind. Der quasiklassische Grenzfall der relativistischen Quantenmechanik ist relativistisch!

2.4

Beweisen Sie für 44–Matrizen die Multiplikationsregel

A11 A21

A 12 A 22

B11 B21

B12 B22

A11 B11 A 12 B21 A21 B11 A 22 B21

A 11 B12 A 12 B22 , A 21 B12 A 22 B22

wobei Ai j und Bi j (i 1, 2, j 1, 2) 22–Blockmatrizen sind. 2.5

Lösungen negativer Energie im nicht-relativistischen Grenzfall. Berechnen Sie den nicht-relativistischen Grenzfall der Dirac-Gleichung mit zeitlich veränderlichen Feldern für Lösungen negativer Energie. Gehen Sie analog zum Fall der Lösungen positiver Energie vor.

2.6

Zur Ableitungslinearisierung der Schrödinger-Gleichung. 1. Berechnen Sie den Operator M L für den Fall minimaler Kopplung zeitabhängiger Felder Φ und A. 0 im Spezialfall E (∂t A Φ)0 2. Zeigen Sie, daß die Gleichung M Lψ wieder zur Pauli-Gleichung führt. Anleitung: Es vereinfacht die Rechnung, wenn man die Operatoren τ ih ∂t qΦ und (h/i) q A benutzt. Behandeln Sie den Ausdruck αl αm π l π m genauso wie den Ausdruck σl σm π l π m in Abschn. 2.8.1.

2.7

Geschwindigkeitsoperator in der Dirac-Theorie. Wie ist es möglich, daß in der Dirac-Theorie der Mittelwert cαi

ψ αi ψ d 3 τ

der konstanten Matrizen cαi die – beliebig vorgebbare – Teilchengeschwindigkeit d x i /dt ergibt, obwohl sich bei der Mittelung die Phasen von ψ U eiS/h herausheben? Anleitung: 1. Berechnen Sie zunächst, was sich bei den in Abschn. 2.4 abgeleiteten Ebene-Welle-Lösungen bei in z-Richtung laufenden Wellen für cαz und cαx ergibt. 2. Konstruieren Sie dann in x-Richtung laufende ebene Wellen positiver Energie derart, daß sich cαx u x ergibt. Was ist der Unterschied gegenüber den in z-Richtung laufenden Wellen? Welcher Unterschied besteht gegenüber den Ebene-Welle-Lösungen der Schrödinger-Theorie? 2.8

1. Zeigen Sie, daß beim Zerfall eines Photons in ein Elektron-Positron-Paar die Erhaltungsgleichungen für Energie und Impuls nicht gleichzeitig erfüllt werden können. 2. Durch Betrachten des Verhältnisses aus Energie und Impuls kann qualitativ gezeigt werden, daß der Impuls des Photons zu groß ist, um vom Elektron-Positron-Paar aufgenommen zu werden.

Aufgaben

83

2.9

Transformationsverhalten bei Zeitumkehr. Wie hängen bei der Zeitspiegelung x ¼ x, t ¼ t die Mittelwerte x ¼ ¼ , p ¼ ¼ , H ¼ ¼ und ¼ ¼ mit den Mittelwerten x , p , H und zusammen?

2.10

Kleinsches Paradoxon: Untersuchen Sie die Streuung von relativistischen Elektronen der Energie E und des Impulses p p ex an der Potentialschwelle * 0 für x < 0, V (x) V0 > 0 für x 0. Berechnen Sie den Reflexionskoeffizienten R jr /je und den Durchlaßkoeffizienten D jd /je, wenn je der einfallende, jd der durchgehende und jr der an der Potentialschwelle reflektierte Teilchenstrom ist. Wie verhalten sich diese Koeffizienten, wenn V0 die Grenzen E m 0 c2 bzw. E m 0 c2 überschreitet? Was passiert für V0 ?

Lösungen 2.2

Für Φ 0 gilt m H /c2 . Aus H ψ Eψ folgt E m ψ 2 ψ m ψ . c Die Eigenzustände sind die gleichen, zwischen den Eigenwerten besteht der Zusammenhang m E/c2 .

2.6

1. Mit « τ τ « , β β und τ τ i h q (∂t A Φ) ergibt sich

1 1 (β 1)τ i m(β 1) (β 1)τ i m(β 1) M L 2 2

1 2 i m (β 1) τ 2 (β 1) τ (β 1)2 τ 4 2 2 i 2 (β 1) τ i m (β 1) m2 (β 1)2 τ i m(β 1) m 2 (β 2 1) 2i β τ β τ ( τ τ ) m2 (β 1)2 (β 1)2 τ i m( β β ) 2i (β 1) (τ τ ) ( β β ) τ 2m τ 2m τ h2q (β 1) (∂t AΦ) . 2. Für ∂t A Φ 0 folgt daraus M L

2m τ .

84


Ähnlich wie in Abschn. 2.8.1 ergibt sich

«

αl αm π l π m

2

αl αm π l , π m .

l,m zykl

Aus σl σm i σ n für zyklische l, m, n und (2.51) folgt 0 σm 0 σl σl σm 0 σn αl αm i σl 0 σm 0 0 σl σm 0

0 σn

.

Mit π l , π m (q h/i)B n für zyklische l, m, n folgt schließlich

2

q h B

und

ML

2m τ

2

q h B

Σl

mit

σl 0

0 σl

.

Für die zwei oberen Komponenten des Viererspinors ψ folgt damit aus der Gleichung M Lψ 0 die Pauli-Gleichung. 2.8

1. Mit E

c m 20 c2 p2

mc2

m 0 c2

m0 p 1v 2 /c2

,

1v 2 /c2

und der Abkürzung γ 1/ 1v 2 /c2 sind die Erhaltungsgleichungen hω

m 0 c2 (γ1 γ2 ) ,

hk

m 0 (γ1 1 γ2 2 )

unter der Bedingung ω/k c zu lösen. Werden die beiden Gleichungen erst quadriert und dann durcheinander dividiert, so ergibt sich c4 γ12 γ22 2γ1 γ2 ω2 2 c , k2 γ12 12 γ22 22 2γ1 γ2 1 2 daraus folgend 2 2 γ12 1 12 γ22 1 22 2γ1 γ2 1 1 2 2 1 1 2γ1 γ2 1 1 2 2 0 c c c c γ 1 γ 2 1 1 2 2 1 . c

und schließlich

Es gilt γ1 >0, γ2 >0, 11 2 /c2 >0, und daher ist die linke Seite positiv. Da die rechte Seite negativ ist, kann die Gleichung nicht erfüllt werden. 2. Das Verhältnis Impuls/Energie beim Elektron und Positron bzw. Photon ist p '' ' E

mv mc2

v , c2

p '' ' E γ

pγ

Eγ , c

p

Hieraus folgt

hk hω

v E , c2

k ω

1 . c

Aufgaben

85

und bei Energieerhaltung gilt E E γ /2. Hiermit folgt v Eγ

p

v pγ . 2c

2 c2

Der mit der Energie des Photons aufgenommene Impuls ist also viel zu klein zur Impulserhaltung, für die p pγ /2 gelten müßte.

2.9

Mit x ¼ x und p ¼ (h /i) ∂ x

¼

(h /i) ∂x p sowie p p ergibt sich £

x (2.267) T0 (x ) T0 (T0 )2 x (2.261) x x , 2 p T0 ( p ) T0 T0 ( p ) p p . ¼ ¼

¼ £

£

£

£

¼ ¼

¼ £

£

£ £

£

Es gilt H ¼ £

qΦ m 0 c2 β c« ( p q A) qΦ m 0 c2 β c« ( p q A ) (2.265) qΦ m 0 c2 β c« ( p q A) (2.203) qΦ m 0 c2 β cα1 ( p1 q A1 ) cα2 ( p2 q A2 ) cα3 ( p3 q A3 ) , ¼

¼

£

£

£

¼

£

£

und damit wird

H (2.260) ¼ ¼

0

T02 qΦ

1£

0

1£

0

m 0 c2 γ 1γ 3 βγ 1γ 3 c ( p1 q A1 )γ 1γ 3α1 γ 1γ 3

0

0

1£

c ( p2 q A2)γ 1γ 3 α2γ 1γ 3 c ( p3 q A3 )γ 1γ 3α3 γ 1γ 3

1£

1£

.

Mit α1 β 1 γ 1 βγ 1 γ 0 γ 1 , α2 γ 0 γ 2 und α3 γ 0 γ 3 ergibt sich

γ 1γ 3γ 0γ 1γ 3 γ 1 γ 0γ 1 γ 0 β , γ 1 γ 3 α1 γ 1 γ 3 γ 1 γ 3 γ 0 γ 1 γ 1 γ 3 γ 1 γ 3 γ 0 γ 3 γ 0 γ 1 β 2 α1 α1 γ 1 γ 3 α2 γ 1 γ 3 γ 1 γ 3 γ 0 γ 2 γ 1 γ 3 γ 1 γ 0 γ 2 γ 1 γ 0 γ 2 α2 γ 1 γ 3 α3 γ 1 γ 3 γ 1 γ 3 γ 0 γ 3 γ 1 γ 3 γ 1 γ 0 γ 1 γ 3 γ 0 γ 3 α3 , und aus H wird schließlich 0 1 H qΦ m 0 c2 β cα1 ( p1 q A1 ) cα2 ( p2 q A2 ) cα3 ( p3 q A3 ) γ 1 γ 3 βγ 1 γ 3

¼ ¼

£

¼ ¼

0 qΦ

1£

m 0 c2 β c« ( p q A) H H . £

Bezüglich ¼ ¼ ergibt sich z. B. für die 3-Komponente 0 £ 1£ Σ3¼ ¼ T0 (Σ3¼ )£ T0 £ T0 Σ3£ T0 £ i γ 1γ 3 i γ 1γ 2 i γ 1γ 3 0

0

1£

i γ 1γ 3

γ1

£

i γ 2γ 1

0

γ2

£

i γ 1γ 2

γ 1γ 3

1£

1£

0 1£ i γ 1γ 3γ 1γ 2γ 1 γ 3

Σ3 Σ3 . £

Der Beweis für die 1- und 2-Komponente erfolgt analog.

0

i γ 3γ 2γ 1γ 3

1£

3

Anwendungen der Dirac-Theorie

3.1

Zitterbewegung des Elektrons

Für die mittlere Geschwindigkeit eines freien Elektrons fanden wir das Ergebnis (2.61). Wenn wir danach fragen, welchen Wert der Geschwindigkeit eine einzelne Messung liefert, stoßen wir auf ein merkwürdiges Resultat: Als Folge der Beziehungen (2.49) besitzt jede Komponente von c« nur die Eigenwerte c, d. h. bei der Messung einer Geschwindigkeitskomponente findet man nach den üblichen Regeln der Quantenmechanik nur entweder c oder c. (Wie das mit den Ergebnissen praktischer Messungen zu vereinbaren ist, wird am Ende dieses Abschnitts diskutiert.) Das ist ganz anders als in der Schrödingerschen Wellenmechanik, in der sich für den Geschwindigkeitsoperator p /m das kontinuierliche Spektrum der Eigenwerte p/m ergibt. Von ausschlaggebender Bedeutung für dieses Ergebnis ist, daß in den Eigenzuständen des Geschwindigkeitsoperators c neben Wellen positiver auch Wellen negativer Energie enthalten sind: In Aufgabe 3.1 wird gezeigt, daß ⎞ ⎛ ϕ ⎟ ⎜ (3.1) ψ ⎝ p ⎠ ei px/h ϕ p für beliebige Zweierspinoren ϕ die gemeinsamen Eigenzustände der Operatoren c p und p zu den Eigenwerten cp und p sind. Andererseits sind nach (2.69), (2.73), (2.75) und (2.78) die gemeinsamen Eigenzustände von p und H für freie Teilchen ⎛ ⎞ ϕ ⎜ ⎟ i ( px Et )/h ψ ( ) ⎝ c p (3.2) ⎠e ϕ m 0 c2 Ep mit beliebigem ϕ, wobei das obere Vorzeichen für Zustände positiver und das untere Vorzeichen für Zustände negativer Energie gilt. Zur Überlagerung der Zustände (3.1) aus ebenen Wellen (3.2) werden immer Lösungen sowohl positiver als auch negativer Energie benötigt (Aufgabe 3.2). Die in Richtung des Impulses p liegende Komponente c p/ p des Geschwindigkeitsoperators besitzt daher keine Eigenzustände rein positiver Energie, vielmehr sind an ihr auch negative Energien beteiligt. Für i k folgt aus (2.42c) αi , αk 2αi αk 0, d. h. verschiedene Komponenten der Geschwindigkeit lassen sich nicht gleichzeitig scharf messen. Auch dieses Ergebnis ist sehr merkwürdig, denn der Impulsoperator p (h /i) verhält sich ganz anders: Seine Komponenten vertauschen miteinander, und er besitzt beliebige Vektoren p als Eigenwerte. Dieses unterschiedliche Verhalten hat zur Folge, daß zwischen den Eigenwerten des Impuls- und Geschwindigkeitsoperators im allgemeinen nicht der klassische

3.1 Zitterbewegung des Elektrons

87

Zusammenhang p m Ú m 0 Ú /(1 v 2 /c2 )1/2 gelten kann, was auch daraus hervorgeht, daß für A0 nach (2.66) mit (2.65) mc « p gilt. Die mittlere Geschwindigkeit c« kann dagegen dem Betrage nach jeden beliebigen Wert zwischen den scharfen Meßwerten c annehmen. Für das mittlere Schwankungsquadrat der Geschwindigkeitskomponenten finden wir (2.42c) v i 2 c2 αi 2 cαi 2 c2 v i 2 , es ist um so größer, je kleiner die Geschwindigkeit vi ist. Dies bedeutet, daß die Bewegung eines Elektrons bei kleiner mittlerer Geschwindigkeit mit großen Schwankungen um diese herum erfolgt. Alle diese merkwürdigen Ergebnisse finden ihre Erklärung darin, daß der mittleren Bewegung x (t) des Elektrons eine hochfrequente Oszillation überlagert ist. Einen deutlichen Hinweis auf diese liefern schon die großen Schwankungen um die mittlere Geschwindigkeit. Genaueres erfahren wir durch die Untersuchung der Bahndynamik im Heisenberg-Bild. Der Hamilton-Operator eines freien Teilchens ist nach (2.58) H f

m 0c2 β c« p .

(3.3)

Für die zeitliche Änderung des die Geschwindigkeit beschreibenden HeisenbergOperators «H T (t, 0) « T (t, 0) erhalten wir nach (Q6.114) (mit H H H H f gemäß (Q6.120)) d «H dt

i1h «H, H f i1h «H , H f i2h «H H f s.u. 2hi c pH

«H H f ,

(3.4)

wobei zuletzt (mit Summenkonvention)

(αH )i , H f

(αH)i , H H (3.3) m 0c2 (αH)i , βH (αH )i , (αH )k c( p H)k s.u. m 0c2αi , β αi , αk c( p H)k (2.42b) αi , αk c( pH)k (2.42c) 2δik c( pH)k 2c( p H)i

benutzt wurde. (Beim Schritt von der ersten zur zweiten Zeile ging die Invarianz komplexwertiger Kommutatoren gegenüber unitären Transformationen nach (Q6.88) ein.) Wegen d p H /dt p H , H H /(ih )T p , H f T /(ih )0 mit der Folge p H (t) p H (0) p (nach (Q6.110) für t0 0) und d H f /dt 0 kann (3.4) sofort integriert werden. Ableitungen von Operatoren sind wie die von gewöhnlichen Funktionen erklärt. Daher dürfen wir genau wie bei diesen integrieren, indem wir zur Lösung «H exp( 2i H f t/h ) der homogenen Gleichung die spezielle Lösung «H c p / H f der inhomogenen Gleichung addieren und die Integrationskonstante der Anfangsbedingung anpassen, c p 2i H f t /h «H (t) «H (0) cp . (3.5) Hf e Hf (Der Operator 1/ H f H f d xH dt

1

ist der zu H f inverse Operator.) Setzen wir dies in

i1h xH, H f i1h c αk pk T xi T ei cT αi T ei c «H

88

3 Anwendungen der Dirac-Theorie

ein (xH ist der Ortsoperator im Heisenberg-Bild) und integrieren über t, so erhalten wir xH (t)

xH (0)

c2 p H f

t

c p e 2i Hf t /h ih c «H (0) . H f 2 H f

(3.6)

Hieraus folgt aufgrund der Invarianz von Mittelwerten gegenüber der unitären Transformation, die vom Heisenberg-Bild zurück zum Schrödinger-Bild führt, und mit «H (0)« (nach (Q6.110) für t0 0) 2 ' ' c p c p e2i Hf t /h ' ' t ih c « . (3.7) x t x 0 H f H f 2 H f Dieses Ergebnis vergleichen wir mit dem klassischen Ergebnis x(t) x0

c2 p t, H

das sich durch Integration der aus (2.6) und (2.7) für Φ 0 und A 0 folgenden Gleichung x p/m c2 p/H ergibt. Die mittlere Bewegung (3.7) enthält zwei Terme, die der klassischen Bewegung entsprechen, unterscheidet sich von dieser allerdings in markanter Weise durch den letzten Term. Dieser beschreibt eine als Zitterbewegung bezeichnete Oszillation mit einer (sehr kleinen) Amplitude der Größenordnung h c/2E h /(2m 0 c) und einer (sehr großen) Frequenz der Größenordnung 2E/h (2m 0 c2 )/h . Das Elektron verhält sich demnach im zeitlichen Mittel ähnlich wie ein klassisches Elektron, führt jedoch um die quasi klassische mittlere Bewegung herum hochfrequente Oszillationen aus. Die Zitterbewegung tritt allerdings nur bei Wellenpaketen auf, die eine Mischung aus Wellen positiver und negativer Energie enthalten. Für Zustände ausschließlich positiver oder negativer Energie verschwindet sie (siehe dazu auch (2.93) und Abschn. 3.2.1), in diesen gilt c p e2i Hf t /h 0. Z « H f 2 H f Beweis: Nach (2.104) und (2.106) gilt z. B. für beliebige Zustände positiver Energie ψ () Π ψ () ΛΠ ψ () und damit (unter Benutzung von Π (Π ) und ΛΛ ) Z

s.u.

' ' ' ' 2i Hf t /h ' ' ' ( ) c p e2i Hf t /h '' () () 'Π Λ « c p e 'ψ ψ () '' « ψ Π ψ ' ' ' Hf 2 Hf Hf 2 Hf ' ' ' cp e2i Hf t /h '' () ( ) ' Π ψ 'Π Λ « . 'ψ Hf 2 Hf

Der Operator Π 1 Hf /( Hf2 )1/2 /2 konnte nach links durchgeschoben werden, weil der Term, an dem er vorbeigeschoben wurde, wie Π nur von Hf abhängt und daher mit ihm

3.2 Zerlegung der Dirac-Gleichung in zwei zweikomponentige Gleichungen

89

vertauscht. Mit H f , «

(3.3)

m 0 c2 β, « c « p, «

(2.42b,c)

c p 2m 0 c2 β « 2c« p « 2c p 2 H f « H f

ergibt sich Π , «

(2.105a) 1

« Λ,

2

(2.103)

H f , « c p (2.103) Λ « . H f 2 m 02 c4 c2 p 2

Damit erhalten wir 3 Π

Λ

«

c p H f

4 Π

(2.109)

Π

Π , « Π

Π « Π

Π

2 Π

« Π

« Π

Π

« Π 2

0

mit der unmittelbaren Folge Z 0. Zum Beweis für Zustände negativer Energie muß nur Π durch Π ersetzt werden.

Anteile negativer Energie sind unvermeidbar, sobald sich das Elektron in einem Kraftfeld bewegt, so daß die Zitterbewegung bei allen Teilchenwechselwirkungen eine Rolle spielt. Ein Beispiel hierfür werden wir in Abschn. 3.3 bei der Dynamik des Elektrons im Wasserstoffatom kennenlernen. Wir kommen auf das Problem der Meßwerte für die Geschwindigkeit zurück. In der Praxis beobachtet man bei Elektronen alle möglichen Geschwindigkeiten v0

für

V < E,

d. h. nahe dem Kern, und

d. h. weiter weg vom Kern. Dieser Befund kann auf keine Weise mit einer Ein-TeilchenTheorie in Einklang gebracht werden. Schon die Existenz von Lösungen negativer Energie hat uns dazu geführt, das EinTeilchen-Konzept aufzugeben. Wir sollten daher gar nicht versuchen, n als Wahrscheinlichkeitsdichte für ein Teilchen zu aufzufassen. Stattdessen führen wir die Größen λ qn,

j

q jT

(4.45)

als elektrische Ladungs- und Stromdichte ein. Aus (4.34) folgt dann sofort der Ladungserhaltungssatz ∂t λ div j 0 . (4.46) Das Auftreten positiver und negativer Ladungen, das sich aus (4.44) und (4.45a) im Feld eines Kerns ergibt, kann im Rahmen einer Mehrteilchentheorie ganz zwanglos gedeutet werden: Die stationäre Lösung sieht so aus, daß sich nahe dem Kern überwiegend Teilchen negativer und fern dem Kern überwiegend Teilchen positiver Ladung aufhalten. Die Wellenlösungen für freie Teilchen lassen sich nach unserer Reinterpretation so deuten, daß die durch sie beschriebenen Teilchen bei negativer Energie die entgegengesetzte Ladung wie bei positiver Energie tragen. Für freie Teilchen folgt aus (4.42) und (4.45a) mit (4.28) λ()

mq Ec2 φφ mq Ecp2 φφ

0

0

,

(4.47)

wobei sich der obere Index (() oder ( )) auf Lösungen positiver bzw. negativer Energie bezieht. Es ist zweckmäßig, q>0 zu setzen, weil sich damit folgende Zuordnung ergibt: Positives E bedeutet positive und negatives E negative Teilchenladung.

128

4 Klein-Gordon-Theorie

Wegen des Erhaltungssatzes für die Ladung kann die Gesamtladung normiert werden. Wie bei der Dirac-Theorie läßt sich erwarten, daß die Klein-Gordon-SchrödingerGleichung unter gewissen eingeschränkten Bedingungen eine einigermaßen brauchbare Ein-Teilchen-Theorie zuläßt. In diesem Fall ist λ() d 3x q n () d 3x q bzw. 2 (4.47) m 0 c ( ) 3 n dx 1 oder φ () φ () d 3x (4.48) Ep zu fordern. In der Spinorformulierung bedeutet dies mit (4.40) ( ) σ3 Ψ () d 3x 1 . Ψ

(4.49)

Durch die obige Uminterpretation erhält auch das Ergebnis (4.28) eine andere Bedeutung: E Ep ist als Parameter aufzufassen, der gemäß (4.43) das Zeitverhalten von φ bestimmt, jedoch nicht mehr als physikalische Energie. In der im nächsten Teil des Buches behandelten Quantenfeldtheorie des Klein-Gordon-Schrödinger-Feldes erhalten wir als Mittelwert der physikalischen Energie Gleichung (7.60), H Ψ () σ3 H Ψ () d 3x . In Eigenzuständen von H ist der Mittelwert gleich dem Eigenwert. Mit (4.27) und (4.28) ergibt sich daher () (4.49) ( ) 3 σ3 H Ψ d x Ep Ψ () σ3 Ψ () d 3x Ep > 0 . E phys H Ψ Die physikalische Energie ist also immer positiv, auch dann, wenn der Zeitentwicklungsparameter E negativ wird. Das zu Beginn des Abschnitts 4.6 besprochene Problem der Klein-Gordon-Schrödinger-Theorie, daß der Übergang zu negativen Energien nicht wie bei der Dirac-Theorie durch deren Besetzung mit Teilchen verhindert werden kann, wird mithin durch unsere Reinterpretation behoben. Bei der Dirac-Theorie gab es keine vergleichbare Reinterpretation der Zustände negativer Energie, und daher steht zu erwarten, daß bei dieser auch die Feldtheorie zu Zuständen positiver und negativer Energie führen wird. Diese Vermutung wird sich in Abschn. 7.4.4 als richtig erweisen. Weil φC φ aus einer Lösung eines Ladungsvorzeichens eine Lösung des anderen Vorzeichens macht, kann die Klein-Gordon-Schrödinger-Gleichung (4.5) für reelle φ φ auch ungeladene Teilchen beschreiben. Real- und Imaginärteil müssen jeweils für sich die Gleichung erfüllen, daher folgt in diesem Fall 2q h Aα ∂α φ

0.

Diese Gleichung hat entweder die – nicht weiter interessierende – triviale Lösung φ const, oder aber es muß q 0 gelten. Im dem uns hier interessierenden zweiten Fall reduziert sich (4.5) auf die Gleichung (4.6) für freie Teilchen. Aus (4.45) folgt

4.8 Ladungskonjugation und CPT-Symmetrie

129

mit q 0 sinnvollerweise λ 0 und j 0. Aus den Definitionsgleichungen (4.39) für die Teilchendichte und den Teilchenstrom folgt jedoch mit φ φ auch n 0 und jT 0, d. h. diese Definitionen sind für ungeladene Teilchen nicht brauchbar. Eine brauchbare Teilchendichte wäre z. B. n Ψ Ψ ϕϕ χχ . Für reelle φ folgt aus (4.16) χ ϕ , was zu h 2 (4.16) 1 n 2ϕϕ φ 2 2 4 (∂t φ)2 2 m0c führt. Für diese Dichte gilt allerdings kein Erhaltungssatz, vielmehr ist ∂t n

∂t φ

h 2 φ 2 ∂t t φ m 0 c4

2 h (∂t2φ)φ , 2

(4.6)

m0c

und die rechte Seite läßt sich nicht in eine Divergenz umformen. Zum Schluß dieses Abschnitts gehen wir der Frage nach, welche Teilchen durch die Klein-Gordon-Schrödinger-Gleichung beschrieben werden. Wie schon festgestellt wurde, muß es sich um Spin-0-Teilchen endlicher Masse handeln. Stabile Teilchen mit diesen Eigenschaften sind nicht bekannt. Relativ langlebige Teilchen mit diesen Eigenschaften sind das π -, das π - und das π 0 -Meson. Das π - und das π -Meson tragen entgegengesetzte Ladung und sind Teilchen und Antiteilchen. Das π 0 -Meson ist sein eigenes Antiteilchen.

4.8

Ladungskonjugation und CPT-Symmetrie

Die zu φ konjugiert-komplexe Wellenfunktion φC beschreibt ein Teilchen der umgekehrten Ladung wie φ. Am Beispiel der freien Wellenlösung (4.30) erkennen wir, daß das durch φC φ φ0 ei ( px Et )/h beschriebene Antiteilchen auch umgekehrten Impuls und eine Energie umgekehrten Vorzeichens besitzt wie das durch φ beschriebene Teilchen. Die Situation ist also völlig analog zum Fall der Dirac-Gleichung (siehe (2.239) und (2.242)). Es ist nützlich, die Transformation der Ladungskonjugation auf die Spinordarstellung zu übertragen. Aus den Gleichungen (4.16)–(4.17) ergibt sich mit φC φ ϕC χC

12

φC

1 φC 2

mihc2 ∂t φC 12 0

ih ∂t φ C m 0 c2

oder ΨC

12

ϕ χ ϕ χ χ , ϕ χ ϕ χ ϕ

χ σ1 Ψ . ϕ

(4.50)

130

4 Klein-Gordon-Theorie

Aus (4.40b) folgt, wie zu erwarten, nC

(Q7.43) (Q7.47)

ΨC σ3 ΨC

(4.50)

(Ψ ) σ3 Ψ

(Ψ ) σ1 σ3 σ1 Ψ

(Q7.39c)

(Q7.43)

(Ψ σ3 Ψ )

n

(Ψ ) σ1 σ1 σ3 Ψ

n.

Kombiniert man die Transformation der Ladungskonjugation mit der Raumspiegelung am Koordinatenursprung und der Zeitumkehr, so erhält man mit ∂ α ∂ α und Aα Aα (wie bei der Dirac-Gleichung) aus (4.31) die Gleichung

h α ∂ q Aα i

h ∂α i

q A α φC

m 02 c2φC .

Diese Gleichung ist identisch mit der Klein-Gordon-Schrödinger-Gleichung für φ, was bedeutet: Ein Teilchen, das am Ursprung gespiegelt zeitlich rückwärts läuft, ist nicht zu unterscheiden von einem Teilchen umgekehrter Ladung, das räumlich ungespiegelt in der Zeit vorwärts läuft.

Aufgaben 4.1

Die Ableitung der Klein-Gordon-Schrödinger-Gleichung ist auch möglich, indem man einen allgemeinen Ansatz für eine lineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung mit zunächst offengelassenen Koeffizienten wählt und diese über das Korrespondenzprinzip bestimmt.

4.2

Beweisen Sie in relativistischer Notation, daß jede Komponente eines die Dirac-Gleichung freier Teilchen erfüllenden Dirac-Spinors auch der KleinGordon-Schrödinger-Gleichung genügt. (Der Beweis wird viel einfacher als in Abschn. 2.6.)

4.3

Welche Differentialgleichung zweiter Ordnung anstelle der Klein-GordonSchrödinger-Gleichung erfüllen die Komponenten eines Dirac-Spinors bei Anwesenheit elektromagnetischer Felder ?

4.4

Leiten Sie den nicht-relativistischen Grenzfall der Klein-Gordon-SchrödingerGleichung für negative Energien ab.

4.5

Bestimmen Sie die Schrödinger-Darstellung der Klein-Gordon-SchrödingerGleichung mit elektromagnetischem Feld Aα Φ/c, A. Anleitung: Führen Sie die Felder über die minimale Kopplung in die SpinorGleichung ein und zeigen Sie, daß daraus die skalare Klein-Gordon-SchrödingerGleichung für Teilchen in elektromagnetischen Feldern folgt.

4.6

Zeigen Sie, daß jeder Lösungsspinor Ψ der Schrödinger-Form i h ∂t Ψ H Ψ der Klein-Gordon-Schrödinger-Gleichung diese auch in ihrer ursprünglichen Form erfüllt.

Aufgaben

4.7

131

Zeigen Sie, daß die Stromdichte jα

ih q Aα φφ φ ∂α φ φ∂α φ 2m 0 m0

im quasiklassischen Grenzfall – auch relativistisch – mit der Stromdichte jα φφ Uα übereinstimmt. Besteht diese Übereinstimmung auch im Quantenregime? Anleitung: Setzen Sie für den quasiklassischen Grenzfall φ A eiS/h an. 4.8

4.9

Leiten Sie eine Formel für d L /dt ab, wenn L durch Ψ σ3 LΨ L d 3x definiert wird. Setzen Sie insbesondere L x und bestimmen Sie den Geschwindigkeitsoperator Ú aus der Definitionsgleichung Ú d x /dt. ϕ L sei ein Operator im Raum der Klein-Gordon-Spinoren Ψ χ . 1. Welche Bedingung muß L erfüllen, damit der durch Ψ σ3 LΨ L d 3x definierte verallgemeinerte Mittelwert reell ist? (Beweis!) 2. Wird diese Bedingung vom Hamilton-Operator p 2 2 H i σ2 σ3 m 0 c σ3 2m 0 des kräftefreien Falls erfüllt? 3. In der Literatur findet sich die Behauptung, der Operator ih ∂t erfülle diese Bedingung. Ist das richtig? Gehen Sie zur Diskussion dieser Frage zur Definition des adjungierten Operators zurück.

Lösungen 4.2

Wird auf die Dirac-Gleichung für freie Teilchen, (h/i)γ α ∂α ψ m 0 c ψ 0 , der Operator γ β (h/i) ∂β angewandt, so folgt mit γ β γ α ∂β ∂α h

α β α β 1 α β β α γ γ ∂α ∂β (γ γ γ γ )∂α ∂β 2

2 β α

γ γ ∂β ∂α ψ m 0 cγ β (h/i)∂β ψ h2 γ α , γ β ∂α ∂β ψ m 02 c2 ψ (2.204) 2 αβ ∂ ∂ ψ m 2 c2 ψ h 2 ψ m 2 c2 ψ 0 . h g α β 0 0 2

(Im zweiten Schritt wurde die Vertauschbarkeit der Ableitungen ∂α und ∂β benutzt.) 4.3

Läßt man auf die Dirac-Gleichung h γ α ∂α i

q Aα ψ

m0c ψ

0

132

4 Klein-Gordon-Theorie den Operator γ β (h/i)∂β q Aβ einwirken, so ergibt sich unter erneuter Benutzung der Dirac-Gleichung für den letzten Term der linken Seite γ β γ α L βα m 20 c2 ψ i hqγ β γ α ∂β A α ψ mit L βα h 2 ∂α ∂β i hq(A α ∂β Aβ ∂α ) q 2 A α Aβ L αβ . Unter Benutzung von γ α γ β L αβ γ β γ α ∂β A α

1 α β (2.204) γ β γ α L βα γ β γ α L αβ γ γ γ β γ α L αβ g αβ L αβ , 2 γ α γ β ∂α Aβ γ α , γ β γ β γ α ∂α A β

∂ β Aβ 0 β α ∂ A 2g αβ ∂α A β γ β γ α ∂α A β γ γ α β α β 1 α β 1 β α γ γ γ γ ∂β A α ∂α A β ∂α Aβ ∂β A α 2 2 ergibt sich die Differentialgleichung

Gψ

i hq α β γ γ ∂α A β ∂β A α 2

mit G h 2 2 ih q Aα ∂α q 2A αA α m 02 c2 . Nun ist γ α γ β ∂α A β ∂β Aα γ 0 γ l (∂0 Al ) (∂l A 0 ) γ l γ 0 (∂l A 0 ) (∂0 Al ) γ l γ m (∂l A m ) (∂m Al ) l,m zykl l,m antizykl

2γ 0 γ l (∂0 Al ) (∂l A0 ) 2

γ l γ m (∂l A m ) (∂m Al )

l,m zykl (2.206) 2

c

« (∂t A Φ)

2 n Σ (rot A)n i n

2

« E c

i ¦B ,

wobei zuletzt E ∂t AΦ und B rot A benutzt wurde. Damit ergibt sich schließlich die Gleichung « E ¦ B . Gψ hq i c 4.6

Läßt man auf die Gleichung (ih ∂t H )Ψ 0 den Operator (ih ∂t H ) einwirken, so ergibt sich (h 2 ∂t t H 2 )Ψ 0 . Mit (4.21) 1 1 1 1 0 0 (i σ2 σ3 )(i σ2 σ3 ) , 1 1 1 1 0 0 σ2 σ3 σ3 σ2 0 und σ32 1 folgt aus (4.22b) H 2

(i σ2

σ3 )σ3 σ3 (i σ2 σ3 )

Damit ergibt sich schließlich h2

1 ∂t t c2

h 2 c2 2

Ψ

m 20 c4 σ32

m 20 c2 Ψ

0.

h

2 c2 m 2 c 4 . 0

II

Quantenfeldtheorie

5


In der gewöhnlichen Quantenmechanik mußten wichtige Ingredienzien wie die Normierung der Wellenfunktion auf eins oder ganze Zahlen n>1 und das Spin-StatistikTheorem als nicht aus der Theorie ableitbare Postulate eingeführt werden. Die relativistische Quantenmechanik wiederum erwies sich verschiedentlich unbrauchbar als Theorie für Systeme fester Teilchenzahl. Dies und anderes weist auf die Notwendigkeit eines Überbaus beider Theorien hin, und einen solchen liefert die Quantenfeldtheorie. Im Grunde markiert schon A. Einsteins Lichtquantenhypothese aus dem Jahr 1905 den Beginn einer Quantenfeldtheorie, der Quantentheorie des elektromagnetischen Feldes. (Es sei daran erinnert, daß Planck seine Quantenhypothese auf den Energieaustausch zwischen den atomaren Oszillatoren in den Wänden eines Strahlungshohlraums und der Hohlraumstrahlung beschränkte.) Allerdings war das zu einer Zeit, in der die Quantenmechanik noch in den Kinderschuhen steckte und ihre Grundlagen erst nach und nach gelegt bzw. entdeckt wurden. Erst nach ihrer Ausarbeitung durch M. Born, W. Heisenberg sowie P. Jordan einerseits und E. Schrödinger andererseits war die Zeit reif für den Beginn systematischer Arbeiten in Richtung einer Quantenfeldtheorie. 1926 wandten Born, Heisenberg und Jordan die von ihnen entwickelten Methoden der Quantenmechanik auf ein freies Strahlungsfeld an und stellten fest, daß sich dieses wie eine Ansammlung harmonischer Oszillatoren verhält. Schon kurz darauf wurden die gleichen Methoden auf andere Felder wie das zur Beschreibung der Quantendynamik von Punktteilchen benutzte Schrödinger-Feld ψ(x, t) angewandt, erstmals 1927 von Jordan. Weil es sich dabei um die Quantisierung eines selbst zu Quantisierungszwecken eingeführten Feldes handelt, wurde dafür der Begriff zweite Quantisierung eingeführt. (Heute wird dieser überwiegend als unpassend empfunden, beim elektromagnetischen Feld z. B. gibt es keine vorangegangene Quantisierung.) Durch die Quantisierung werden den Feldern Teilchen zugeordnet. Umgekehrt werden die Quanteneigenschaften aller Teilchen durch Felder beschrieben, so daß heute eine Gleichberechtigung zwischen Feldern und Teilchen besteht. Die Ausarbeitung einer allgemein anwendbaren Quantenfeldtheorie zog sich bis etwa 1950 hin, und an ihr waren außer den bereits genannten unter anderen P. Dirac, F. Dyson, E. Fermi, R. Feynman, V. Fock, W. Furry, H. Kramers, R. Oppenheimer, W. Pauli, J. Schwinger, S.-I. Tomanaga, V. Weisskopf, J. Wheeler, E. Wigner und H. Yukawa beteiligt. 1948-50 publizierte Feynman seine Arbeiten über die heute so berühmten Feynman-Diagramme und die Regeln zu ihrer mathematischen Auswertung. Einen gewissen Abschluß erhielt die Theorie 1949 durch eine Arbeit Dysons über Renormierbarkeit, der damit ein erstmals 1929-30 in Arbeiten von Heisenberg und Pauli aufgezeigtes Divergenzproblem einer breit akzeptierten Lösung zuführte und damit die Basis für das Vertrauen in die allgemeine Anwendbarkeit der Quantenfeldtheorie schuf. Die Quantenfeldtheorie vereint in sich drei Theorien, die Quantentheorie, die Feldtheorie und die Spezielle Relativitätstheorie. Sie ist eine unabdingbare Voraussetzung

136

5 Einleitung zur Quantenfeldtheorie

der Elementarteilchentheorie, auch wenn sich möglicherweise einmal herausstellen könnte, daß auch sie eine nur für hinreichend niedrige Energien gültige Näherung an eine noch fundamentalere Theorie wie z. B. die Stringtheorie darstellt. Ihre Methoden haben sich auch in anderen Gebieten wie der Kernphysik, der Physik der kondensierten Materie oder der Astrophysik bewährt. Viele Physiker werden sie in ihrer beruflichen Tätigkeit kaum je benötigen, aber sie ist eine grandiose Errungenschaft des menschlichen Geistes, von der wenigstens die Anfangsgründe zur Allgemeinbildung jedes interessierten Physikers gehören sollten. Ihre prinzipiellen Ideen sind einleuchtend und nicht schwerer zu verstehen als die Grundlagen anderer Gebiete der Physik. Leider sind jedoch viele Rechnungen sehr aufwendig, und oft werden diese aus Platzgründen so verkürzt dargestellt, daß das Nachvollziehen zu einer mühevollen Angelegenheit wird. Die in diesem Buch angebotene Einführung in die Theorie hat nicht das Ziel, demjenigen, der auf dem Gebiet arbeiten will, das gesamte dafür notwendige Rüstzeug bereitzustellen. Vielmehr wird versucht, unter dem Verzicht auf Vollständigkeit den Leser ohne allzugroße Mühen und daher in großer Ausführlichkeit so weit in die Theorie einzuführen, daß er am Ende in der Lage sein sollte, bei Bedarf ausführlichere Spezialwerke studieren zu können. Der Versuch möglichst hoher Verständlichkeit wird also mit dem Preis hochgradiger Unvollständigkeit bezahlt, das Ziel ist ein pädagogisches und kein enzyklopädisches. Wegen dieser Unvollständigkeiten ist am Ende des Buches auch eine kurze Liste weiterführender Literatur angegeben. Das erste Kapitel dieses Buchteils (Kapitel 6) knüpft direkt an die Ausführungen der Abschnitte Q9.1 und Q9.2 über Vielteilchensysteme an. Durch die Einführung von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren gelingt der Übergang zu einer Darstellung, bei der auch formal nicht mehr zwischen ununterscheidbaren Teilchen unterschieden werden muß. Die dadurch erhaltene Struktur ist schon die der Quantenfeldtheorie. Von den verschiedenen Wegen, auf denen man zu einer systematischen Quantenfeldtheorie gelangen kann, wird hier nur der Weg der kanonischen Feldquantisierung beschritten, der eine direkte Verallgemeinerung des Quantisierungsverfahrens der gewöhnlichen Quantenmechanik darstellt. Zur seiner Vorbereitung werden zuerst ein Lagrangescher und ein Hamiltonscher Formalismus für „klassische Felder“ entwickelt. Dann werden in Analogie zu dem Übergang von den Variablen qi und pi der klassischen Mechanik zu Operatoren qi und p i Feldern wie den Klein-Gordon-Schrödinger-Feldern φ(x, t) und h 2 ∂t φ(x, t)/(2m 0 c2 ) Feldoperatoren φ(x, t) und π(x, t) zugeordnet. Ein zweiter und ebenso wichtiger Weg, der die Feynmansche Pfadintegralmethode benutzt, bleibt ebenso unbesprochen wie mehr intuitive Methoden der Feldquantisierung, die denen von Born, Heisenberg und Jordan ähneln. Die Methode der kanonischen Feldquantisierung wird zunächst auf freie Felder angewandt. Anschließend werden Wechselwirkungsprozesse untersucht, wobei die in Abschn. Q8.4 entwickelten Methoden der Störungsrechnung im Wechselwirkungsbild zum Einsatz kommen. Ein wichtiges Phänomen ist dabei das Auftreten von Divergenzen. Diese können jedoch durch eine Renormierung beseitigt werden, bei der physikalische Parameter so umdefiniert werden, daß am Schluß nur endliche Größen übrig bleiben. Auch hier können nur die Anfangsgründe besprochen werden. Da im nächsten Teil des Buches eine kurze Einführung in die Elementarteilchentheorie folgt, konzentrieren sich die Anwendungen in diesem Teil im wesentlichen auf die Quantenelektrodynamik.

6

Fock-Darstellung von Viel-Teilchen-Zuständen

Die Konstruktion vollständig symmetrischer bzw. vollständig antisymmetrischer Zustände durch Superposition von Viel-Teilchen-Zuständen, bei denen formal zwischen – an sich ununterscheidbaren – identischen Teilchen unterschieden wird, ist einerseits konzeptionell unbefriedigend und andererseits auch umständlich. Es gibt jedoch auch eine Darstellung ohne dieses Manko. Bei dieser wird das System identischer Teilchen nicht mehr durch Permutationen konkreter, aus Ein-Teilchen-Zuständen aufgebauter Viel-Teilchen-Zustände beschrieben, sondern es wird nur noch angegeben, mit wievielen Teilchen jeder mögliche Ein-Teilchen-Zustand besetzt ist. Es wird sich zeigen, daß die derart charakterisierten Zustände durch die sukzessive Einwirkung von Erzeugungsoperatoren auf einen Vakuumzustand erzeugt werden können. Wir beschränken unsere Beschäftigung mit dieser Darstellung zunächst auf den Fall, daß die Ein-TeilchenZustände der betrachteten identischen Teilchen vollständig durch die Eigenzustände eines Operators mit diskretem Spektrum beschrieben werden können. Wie die dabei erzielten Ergebnisse auf den Fall eines kontinuierlichen Spektrums übertragen werden können, ist evident und wird bei der Einführung von Feldoperatoren demonstriert.

6.1

Darstellung von N-Teilchen-Zuständen

Wir gehen in diesem Abschnitt von den in Abschn. Q9.2.5 eingeführten Basiszuständen α1 . . . ζ N zu einer neuen Darstellung, der Besetzungsdarstellung oder FockDarstellung mit den Basisvektoren N n 1 , n 2 , . . . über. Die durch ein Semikolon abgetrennte erste Zahl N gibt die Gesamtteilchenzahl des Zustands an. An diese anschließend kommt für jeden der nach einem festgelegten Schema angeordneten Ein-Teilchen-Zustände der Reihe nach ein fester Platz; die dem κ-ten Zustand zugeordnete Besetzungszahl n κ gibt an, wieviele Teilchen sich in diesem befinden. Das Subskript oder indiziert wie bisher, ob es sich um einen vollständig symmetrischen oder antisymmetrischen Zustand handelt. Bei Bosonen besteht für die auf eins normierten Zustände neuer Schreibweise der Zusammenhang N 1 (Q9.68) N n 1 , n 2 , . . . α1 . . . ζ N 8 Pρ α1 β2 . . . ζ N (6.1) N κ n κ ρ 1

138

6 Fock-Darstellung von Viel-Teilchen-Zuständen

Teilchennummer Zustandsnummer Besetzungszahl

i κ nκ

1 0

1 2 1

2 3 1

4 0

3 6 1

5 0

7 0

4 8 1

9 0

5 10 1

... ... ...

Tabelle 6.1: Beispiel einer geordneten Besetzung des Basiszustands bei Fermionen.

mit den Ein-Teilchen-Zuständen ακ . Auf der linken Seite können die Zahlen nκ beliebige Werte zwischen 0 und N annehmen und müssen nur κ n κ N erfüllen.1 Auf der rechten Seite treten nur besetzte Ein-Teilchen-Zustände auf. Weil in N n 1 , n 2 , . . . der κ-te Zustand von n κ Teilchen angenommen wird, κ 1, 2, . . . , befinden sich in dem Produktzustand α1 β2 . . . ζ N für jedes n κ 2 jeweils n κ gleiche Ein-Teilchen-Zustände, die gleichzeitig von verschiedenen Teilchen angenommen werden. Die Zuordnung der Teilchennummern i zu den in der neuen Notierung mit Nummern κ versehenen Zuständen im Basiszustand α1 β2 . . . ζ N , aus dem die permutierten Zustände Pρ α1 β2 . . . ζ N hervorgehen, kann willkürlich gewählt werden, beispielsweise kann der von Teilchen 1 besetzte Zustand α in der für N n 1 , n 2 , . . . gewählten Reihenfolge der Zustände an beliebiger Stelle stehen. Bei Fermionen besteht der Zusammenhang N n 1 , n 2 , . . .

α1 . . . ζ N

(Q9.68)

N

1

N

ρ 1

( 1) p(ρ) Pρ α1 β2 . . . ζ N (6.2)

mit den Ein-Teilchen-Zuständen ακ . Durch das Pauli-Verbot ist n κ auf die Werte 0 oder 1 eingeschränkt, alle Zustände sind entweder unbesetzt oder nur einfach besetzt, und wieder muß κ n κ N gelten. Auf der rechten Seite treten wieder nur besetzte Ein-Teilchen-Zustände auf, jeder allerdings nur einmal. Bei den Fermionen erweist sich eine festgelegte Zuordnung i i (κ) der Teilchennummern i zu den Zustandsnummern κ im Basiszustand α1 β2 . . . ζ N als nützlich. Diese wird so gewählt, daß Teilchen 1 in der für N n 1 , n 2 , . . . festgelegten Reihenfolge der Zustände den ersten, Teilchen 2 den zweiten besetzten Zustand einnimmt usw. Weil es im allgemeinen mehr Zustände als Teilchen gibt und daher immer einige Zustände unbesetzt bleiben, ist die Zustandsnummer im Basiszustand mindestens gleich der Teilchennummer. (Tabelle 6.1 gibt dafür ein Beispiel.) Der Zusammenhang zwischen der Teilchennummer i und Zustandsnummer κ ist für das angegebene Ordnungsschema i (κ)

κ

nλ .

(6.3)

λ 1

Der Hilbert-Raum N der N-Teilchen-Besetzungszustände ist gegenüber dem von den Basiszuständen α1 . . . ζ N aufgespannten Hilbert-Raum sowohl für Bosonen als 1 In den Zuständen α1 β2 . . . ζ N werden für allgemeine Teilchennummern lateinische Buchstaben, z. B. i und j, benutzt. Zur besseren Unterscheidung zwischen Teilchen- und Zustandsnummern werden im folgenden für allgemeine Zustandsnummern griechische Indizes benutzt, z. B. n κ und n λ für die Besetzungszahlen des κ-ten bzw. λ-ten Zustands.

6.2 Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für Bosonen

139

auch Fermionen dahingehend erweitert, daß auch Zustände zugelassen werden, in denen Ein-Teilchen-Zustände unbesetzt bleiben. Im Zustand 0, dem einzigen Zustand des Raums 0 , sind alle Ein-Teilchen-Zustände unbesetzt. Sowohl bei Bosonen als auch bei Fermionen sind zwei Zustände genau dann gleich, wenn sie in allen Besetzungszahlen übereinstimmen. Die Wirkung von Operatoren auf die Zustände N n 1 , n 2 , . . . läßt sich am besten mit Hilfe einer Kombination von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren darstellen, deren separate Einwirkung die Gesamtteilchenzahl N um eins erhöht bzw. erniedrigt (Abschn. 6.2, 6.3 und 6.5). Es ist daher nützlich, auch einen Hilbert-Raum 9

N

N 0

zuzulassen, der die Zustände aller N-Teilchen-Hilberträume inklusive den Vakuumzustand 0 0 0, 0, . . . , 0 (6.4) enthält. In wird ein Skalarprodukt erklärt, das den üblichen Linearitätseigenschaften genügt. Die Basiszustände (6.1) bzw. (6.2) sollen die Orthonormalitätsrelationen + (6.5) N n1 , . . . N n1 , . . . δ N N δnκ nκ ¼

¼

κ

erfüllen, womit auch das bisher nicht erklärte Skalarprodukt zweier Zustände mit verschiedener Gesamtteilchenzahl (N N ) zu null erklärt wird. Auch der Vakuumzustand ist auf eins normiert, 0 0 1 . (6.6) Die Übertragung der Vollständigkeitsrelationen (Q9.66) auf die jetzige Notation ergibt die für den N gültige Vollständigkeitsrelation N n 1 , . . . N n 1 , . . . 1 . (6.7)

n 1 ,n 2 ,... nκ N

Für N 0 folgt hieraus insbesondere 00

6.2

1.

(6.8)

Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für Bosonen

Für Bosonen definieren wir jetzt einen Erzeugungsoperator b κ , der einem vorerst noch offen gelassenen Operator bκ adjungiert ist. bκ soll jedem vollständig symmetrischen N-Teilchen-Basiszustand N . . . , n κ , . . . durch die Festlegung bκ N . . . , n κ , . . .

n κ 1 N 1 . . . , n κ 1, . . .

(6.9)

140


einen vollständig symmetrischen (N 1)-Teilchen-Zustand zuordnen, bei dem sich im κ-ten Zustand ein Teilchen mehr befindet. (Die Erklärung für den Faktor n κ 1 wird in Abschn. 6.5 gegeben.) Insbesondere soll der Operator bκ den Ein-Teilchen-Zustand 1 0, . . . , 1, . . . aus dem Vakuumzustand 00 0, . . . , 0, . . . erzeugen, bκ 0 b κ 0 0, . . . , 0, . . . 1 0, . . . , 1, . . . .

(Die in (Q4.97) eingeführten Leiteroperatoren L mit den Eigenschaften (Q4.106) erhöhen bzw. erniedrigen den Quantenzustand eines Teilchens um ein Quant und sind den hier bzw. weiter unten eingeführten Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren verwandt – durch L wird sozusagen ein Teilchen in einem Quantenniveau vernichtet und eines in dem darunter bzw. darüber gelegenen erzeugt.) Jeder N-Teilchen-Zustand kann durch sukzessive Anwendung von Erzeugungsoperatoren aus dem Vakuumzustand erzeugt werden, denn es gilt

N . . . , nκ , . . . 1n bκ N 1 . . . , nκ 1, . . . κ

n

1 (bκ )2 N 2 . . . , n κ 2, . . . κ (n κ 1)

...

1n (bκ)n N nκ . . . , 0, . . . κ κ

usw., d. h.

N n 1 , n 2 , . . .

$

+ κ 1,2,... nκ N

% ' 1 n n (bκ ) κ '0 0, 0, . . . . κ

(6.10)

Dadurch, daß das Skalarprodukt in (6.5) auch für Zustände verschiedener Gesamtteilchenzahl N erklärt wurde, erhalten wir die Möglichkeit, den zu bκ adjungierten Operator bκ zu berechnen. Aus der üblichen Definition b κ N . . . , N . . . N . . . , bκ N ergibt sich

N . . . , n κ , . . . bκ N . . . , nκ , . . . bκ N . . . , n κ , . . . , N . . . , nκ , . . .

(6.9)

n κ 1 N 1 . . . , n κ 1, . . . N . . . , nκ , . . . (6.5) nκ 1 δ N 1,N δn1 ,n1 . . . δnκ 1,nκ . . . nκ δ N,N 1 δn1 ,n1 . . . δnκ ,nκ 1 . . .

(6.5)

n κ N . . . , n κ , . . . N 1 . . . , n κ 1, . . . ,

wobei δκλ δκ 1,λ1 und zuletzt die Orthonormalitätsrelation (6.5) (von rechts nach links gelesen) benutzt wurde. Die abgeleitete Gleichung gilt für sämtliche Basiszu-

6.2 Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für Bosonen

141

N . . . , n κ , . . . und kann nur zutreffen, wenn

stände

bκ N . . . , n κ , . . .

n κ N 1 . . . , n κ 1, . . .

(6.11)

gilt. (Die gestrichenen Größen, für die sie abgeleitet wurde, haben wir dabei in ungestrichene umbenannt.) Die Wirkung des Operators bκ auf einen Zustand N . . . , n κ , . . . besteht also darin, daß im κ-ten Ein-Teilchen-Zustand ein Teilchen weggenommen wird – daher der Name Vernichtungsoperator. Aus (6.11) folgt insbesondere bκ N . . . , 0, . . . 0 ,

bκ 0 0 .

Die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren erfüllen die Vertauschungsrelationen b κ , b λ b κ

, bλ 0 ,

b κ , b λ δκλ .

(6.12)

Beweis: (6.12a,b) folgt aus der Gültigkeit der Relationen bκ bλ N . . . , n κ , . . . , n λ , . . .

n κ n λ N 2 . . . , n κ 1, . . . , n λ 1, . . .

bλ bκ N . . . , n κ , . . . , n λ , . . .

und bκ bλ N . . . , n κ , . . . , n λ , . . .

(n κ 1)(n λ 1) N 2 . . . , n κ 1, . . . , n λ 1, . . .

bλ bκ N . . . , n κ , . . . , n λ , . . .

für sämtliche Basiszustände. (6.12c) folgt aus bκ bλ N . . . , n κ , . . . , n λ , . . .

n κ (n λ 1) N . . . , n κ 1, . . . , n λ 1, . . .

bλ bκ N . . . , n κ , . . . , n λ , . . .

(6.13)

für κ λ sowie bκ bκ N . . . , n κ , . . .

bκ n κ 1 N 1 . . . , n κ 1, . . .

(n κ 1) N . . . , n κ , . . .

und bκ bκ N . . . , n κ , . . .

bκ

n κ N 1 . . . , n κ 1, . . .

n κ N . . . , n κ , . . . (6.14)

mit der Folge (bκ bκ

bκ bκ ) N . . . , n κ , . . .

für alle Zustände N . . . , n κ , . . . .

(n κ 1n κ ) N . . . , n κ , . . .

N . . . , n κ , . . .

142

6.3


Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für Fermionen

Für Fermionen definieren wir einen Erzeugungsoperator a κ durch die Forderung a κ N . . . , n κ , . . .

(1) Nκ δn κ ,0 N 1 . . . , n κ 1, . . .

mit Nκ

nλ .

(6.15)

(6.16)

λ t2 0' A A 2β '0 (9.51) '' () ( ) ( ) ( ) ' 1α 0 T A 1α A 2β A 1α A 2β '0 A 1α A 2β ) A ( ) ''0 für t > t 0' A (2β 2 1 1α

(1) (2) (3) ein e e e e e e e e e e aus e e

ein e aus e

(4) (5) e e e e e e e e

(6) e e e e

(7) (8) e e e e e e e e

(9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e

(16) e e e e

Tabelle 10.3: Mögliche Kombinationen von Absorption und Emission beim dritten Summanden.

298

10 Quantenelektrodynamik

(4)

(6)

(7)

(11)

Abb. 10.8: Feynman-Diagramme der vier wesentlich voneinander verschiedenen Prozesse des dritten Summanden mit zwei einund zwei auslaufenden Fermionen: (4) und (7) beschreibt die Streuung eines Elektrons an einem Positron, (6) die eines Positrons an einem Positron und (11) die eines Elektrons an einem Elektron (Numerierung wie in Tabelle 10.3).

repräsentiert. (Für t1 >t2 z. B. gilt

( )

()

( )

( )

0T ( A 1α A 2β )0 0 A 1α A 2β 00 wegen

( ) A 2β 00.) Sie kann von links nach rechts ansteigen (Fall t2 >t1 ) oder abfallen (Fall t2 0

(10.54)

für die Sprungfunktion Θ( p0 ) folgt die Lorentz-Invarianz der Faktoren d 3 pn /(2E n ) aus der Umrechnung d 3p 2E

d 3 p d p0 d 4p δ( p0 E/c) δ( p0 E/c) Θ( p0 ) δ( p0 E/c) 2cp0 2cp0

4 d 4p δ( p0 E/c) δ( p0 E/c) (8.93) d p Θ( p0 ) δ p pm 20 c2 Θ( p0 ) . c 2E/c 2E/c c

d 4 p, p p und δ( p pm 20 c2 ) sind offensichtlich Lorentz-invariant, und für Θ( p0 ) gilt das ebenfalls mit folgender Begründung: Weil die Energie in allen Inertialsystemen positiv ist, folgt für alle Systeme p0¼ >0 aus p0 >0 und damit Θ( p0¼ )Θ( p0 ) .

Das Ergebnis (10.53) kann noch vereinfacht werden, wenn man in das Schwerpunktsystem der Teilchen geht, in dem p1 p2 Pa Pe 0 gilt. Mit p1 p2 p und m 20i c2 E i2 /c2 pi2 E i2 /c2 p2 für i 1, 2 ergibt sich in diesem ( p1 p2 )2 m 201 c2 m 202 c2

E1 E2 c2

2

p1 p2

m 201 c2 m 202 c2

E 12 E 22 E 12 E 22 2E 1 E 2 2 4 p p c4 c2 c4 2 E1 E2 p , c

E 12 E 22 2 p p4 c2

und Einsetzen dieser Beziehung in Gleichung (10.53) liefert schließlich als differenti-

310


ellen Streuquerschnitt im Schwerpunktsystem

dσ

F (2π h)4 Mea 2 δ 4 (Pe Pa ) + d 3 pn¼ . 4c (E 1 E 2 ) p (2π h)3 2E n¼

(10.55)

n 1

Für den Spezialfall von nur zwei auslaufenden Teilchen folgt daraus mit Pe p1¼ p2¼ , Pa 0 und δ 4 (Pe Pa )δ 3 ( Pe Pa )δ(E e /c E a /c)cδ 3 ( p1¼ p2¼ ) δ(E 1¼ E 2¼ E 1 E 2 ) dσ

Mea

2 δ 3 ( p¼ p¼ )δ(E ¼ E ¼ E E ) 1 2 1 2 1 2 16 (2π h)2 (E 1 E 2 ) p

d 3 p1¼ d 3 p2¼ . E 1¼ E 2¼

Die Deltafunktionen bringen zum Ausdruck, daß p1¼ und p2¼ bzw. E 1¼ und E 2¼ nicht unabhängig voneinander gewählt werden können. Wir führen daher die zu deren Auswertung notwendigen Integrationen aus, was durch Integration über p2¼ und E 1¼ E 2¼ geschehen kann. Nach der Integration über p2¼ muß p2¼ p1¼ gesetzt werden, mit der Umbenennung p1¼ p¼ haben wir d 3 p1¼

d 3 p¼

2

¼

p

d p¼ dΩ ¼ ,

(10.56)

aus 2 4 2 4 c p¼ 2 c2 m ¼01 c , E 1¼ 2 p1¼ 2 c2 m ¼01

folgt ¼

¼

p d p

und hieraus

d(E 1¼ E 2¼ )

1 1 E 1¼ E 2¼

2 4 2 4 E 2¼ 2 p2¼ 2 c2 m ¼02 c p¼ 2 c2 m ¼02 c

E 1¼ d E 1¼ c2

E 2¼ d E 2¼ c2

c 2 p¼ d p¼

E 1¼ E 2¼ 2 ¼ c p d p¼ . E 1¼ E 2¼

Damit ergibt sich aus (10.56) ¼

d 3 p1¼

d 3 p¼

¼

¼

p E 1 E2

c2 (E 1 E 2¼ ) ¼

dΩ ¼ d(E 1¼ E 2¼ ) .

(10.57)

Durch Einsetzen dieses Ergebnisses in den durch Integration von dσ über p2¼ erhaltenen Ausdruck und Integration über E 1¼ E 2¼ bekommen wir den Wirkungsquerschnitt d σ dΩ

¼

2 δ(E ¼ E ¼ E E ) p¼ 1 2 1 2 16 (2π h)2 c2 (E 1 E 2 ) p

Mea

2 ¼ ¼ d(E 1¼ E 2¼ ) Mea p dΩ . ¼ ¼ (E 1 E 2 ) 16 (2π h)2 c2 (E 1 E 2 )2 p

Mit der Umbenennung d σ dσ und nach Teilen durch dΩ ¼ wird daraus schließlich dσ dΩ ¼

2

¼

Mea p

(8π hc)2 (E 1 E 2 )2 p

.

(10.58)

10.4 Wirkungsquerschnitt von Zwei-Teilchen-Stößen

311

Beispiel 10.1: Elektron-Elektron-Streuung Wir wollen Gleichung (10.58) auf die Elektron-Elektron-Streuung anwenden und bestimmen dazu als erstes die Winkelabhängigkeit der in (10.43) angegebenen Übergangsmatrix Mea . Zunächst gilt Mea 2 M1 2 M2 2 2 Re (M1 M2 ) . Wie in Abschn. 10.2.2 nehmen wir an, daß die einfallenden Elektronenstrahlen unpolarisiert sind, so daß jede der beiden Polarisationsrichtungen mit dem statistischen Gewicht 1/2 vertreten ist. Außerdem soll bei der Messung des Wirkungsquerschnitts keine spezielle Polarisationsrichtung herausgefiltert werden, so daß die Übergangswahrscheinlichkeiten zu Endzuständen verschiedener Polarisationsrichtung summiert werden müssen. Die gesamte Übergangsrate ist dann die Summe der Übergangsraten zwischen allen Polarisationen der Anfangs- und Endzustände, versehen mit dem Gewichtsfaktor 1/2 für jeden der beiden einfallenden Elektronenstrahlen, Mea 2

2

1 4

M1 2 M2 2 2 Re (M1 M2

M1 2 M2 2 2 Re (M1 M2 ) .

l1 ,l2 ,l1 ,l2 1 ¼

¼

(10.59) Zur Berechnung von M1 2 M1 M1 benutzen wir (9.88), (10.43), γα gαβ γ β , bei der Auswertung von M1 die Tatsache, daß u γ β u ein Skalar ist, und die Beziehung u γ β u

u γ β u ,

(10.60)

die in Aufgabe 10.3 bewiesen wird. Indem wir vorerst die Abkürzung k ( p2 p2 )/h beibehalten, bekommen wir M1 2

1 4

2em 0 c2 h

4

hμ 0c k k i ε

2

u(l1 , p1 )γ α u(l1 , p1 ) u(l2 , p2 )γα u(l2 , p2 )

l1 ,l2 ,l1¼ ,l2¼

u(l1 , p1 )γ β u(l1 , p1 ) u(l2 , p2 )γβ u(l2 , p2 )

s.u. 1.

em 0 c2 4 h

4

hμ 0c k k i ε

2

u(l1 , p1)γ β u(l1 , p1 ) u(l1 , p1 )γ α u(l1 , p1 )

l1 ,l2 ,l1 ,l2 ¼

¼

s.u. 2.

em 0 c2 4 h

4

hμ 0c k k i ε

2 Sp

γ β u(l1 , p1 ) u(l1 , p1 )γ α u(l1 , p1 ) u(l1 , p1 )

l1 ,l ¼

Sp

u(l2 , p2 )γβ u(l2 , p2 ) u(l2 , p2 )γα u(l2 , p2 )

1

γβ u(l2 , p2 ) u(l2 , p2 )γα u(l2 , p2 ) u(l2 , p2 ) .

l2 ,l2¼

Dabei wurden in dem mit 1. bezeichneten Schritt die Skalare u(l1 , p1)γ β u(l1 , p1 ) und u(l2 , p2 )γβ u(l2 , p2 ) verschoben, und in dem mit 2. bezeichneten Schritt wurde u Nv

4

ij 1

u i Ni j v j

4

ij 1

Ni j v j u i

Sp(Nvu)

312


mit v γ α u und N γ β u ¼ u ¼ sowie Sp A Sp B Sp(A B) benutzt. Unter Verwendung der Beziehungen (8.195), k ( p2 p2¼ )/h und Sp A/(2m 0 c)4 )(Sp A)/(2m 0 c)4 ergibt sich daraus schließlich M1 2 Sp γ β (/p1¼ m 0 c) γ α (/p1 m 0 c) Sp γβ (/p2¼ m 0 c) γα (/p2 m 0 c) , (10.61) 2 2 4 ( p2 p2¼ )( p2 p2¼ ) h e2 μ0 c3 wobei im Nenner i ε h 2 weggelassen wurde, weil herleitungsgemäß der Limes ε 0 zu nehmen ist und dieser bereits hier ausgeführt werden kann. Nach (10.43) geht M2 aus M1 durch die Vertauschungen p1 p2 und l 1 l 2 hervor, und weil die li aus dem zuletzt erhaltenen Ergebnis aufgrund der erfolgten Summationen herausgefallen sind, haben wir ' M2 2 M1 2 '' . (10.62) Mit

p1

°p

2

¼ ¼

¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ u(l2, p2) γ β u(l1¼ , p1¼ ) u(l1¼ , p1¼ ) γ α u(l1 , p1) u(l1, p1) γβ u(l2¼ , p2¼ ) u(l2¼ , p2¼ ) γα u(l2, p2) Sp γ β u(l1¼ , p1¼ ) u(l1¼ , p1¼ ) γ α u(l1 , p1) u(l1, p1) γβ u(l2¼ , p2¼ ) u(l2¼ , p2¼ ) γα u(l2 , p2) u(l2, p2)

u(l1 , p1 ) γ α u(l1 , p1 ) u(l2 , p2 ) γα u(l2 , p2 ) u(l2 , p2 ) γ β u(l1 , p1 ) u(l1 , p1 ) γβ u(l2 , p2 )

ergibt sich analog

£

Re(M1 M2 ) 2 h e2 μ0 c3

£

Sp γ β (/ p1 m 0 c) γ α (/ p1 m 0 c) γβ (/ p2 m 0 c) γα (/ p2 m 0 c) . 4 ( p2 p2 )( p2 p2 ) ( p1 p2 )( p1 p2 )

¼

¼

¼

¼

¼

¼

(10.63)

(M2 enthält ein Minuszeichen.) Zur weiteren Auswertung benutzen wir die Beziehungen β p1 m 0 c) γ α (/ p1 m 0 c) 4 gαβ m 20 c2 p1α p1 β p1 p1 α g αβ p1 p1 Sp γ β (/

¼

¼

¼

¼

und p1 m 0 c) γ α (/ p1 m 0 c) γβ (/ p2 m 0 c) γα (/ p2 m 0 c) Sp γ β (/ 16 2m 40 c4 m 20 c2 p1 p1 m 20 c2 ( p1 p1 )( p2 p2 ) m 20 c2 p2 p2 2 p1 p2 p1 p2 ,

¼

¼

¼

¼

¼

¼

¼ ¼

die in den Aufgaben 10.4–10.7 bewiesen werden. Mit diesen ergibt sich zunächst αβ m 2 c2 pα p β pβ p α g αβ p p g m 2 c2 p p 4 g p p g p p 2 αβ αβ 1 1 M1 1 1 1 1 1 1α 1β 1β 1α 1 0 0 2 2 2 3 ( p p ) ( p p ) h e μ0 c 2 2 2 2 8 2m 40 c4 m 20 c2 ( p1 p1 p2 p2 ) p1 p2 p1 p2 p1 p2 p1 p2 , 2 ( p2 p2 )( p2 p2 )

¼

¼

¼

¼

¼

¼

¼

¼ ¼ ¼

¼

¼

¼

¼

¼ ¼

woraus nach (10.62)

M2 2

(h e2μ0 c3 )2

8 2m 40 c4 m 20 c2 ( p1 p2 p1 p2 ) p1 p2 p1 p2 p1 p1 p2 p2 2 ( p1 p2 )( p1 p2 )

¼

¼

¼

¼

¼ ¼

¼

¼

10.4 Wirkungsquerschnitt von Zwei-Teilchen-Stößen

folgt, sowie 4 Re(M1 M2 ) 2 he2μ0 c3

2m

313

4 c4m 2 c2p p m 2 c2 ( p p )( p p )m 2 c2p p 2 p p p p 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 0 0 0 0

( p2 p2 )( p2 p2 ) ( p1 p2 )( p1 p2 )

.

Zur weiteren Rechnung gehen wir ins Schwerpunktsystem. In diesem gilt p, p1 p2 p , m 20 c4 p12 c2 m 20 c4 p2 c2 E 2 E , m 20 c4 p1 2 c2 m 20 c4 p 2 c2 E 2 E ,

p1

p2

E1

E1

und wegen der Energieerhaltung, die aus dem Auftreten der δ 4 -Funktion in (10.43) folgt, ergibt sich hieraus 2E E 1 E 2 E 1 E 2 2E mit der Folge E1

E2

E1

E2

E,

p p .

(10.64)

Mit diesen Ergebnissen und p p

p p cos ϑ

(10.64)

p2 cos ϑ ,

(10.65)

wobei ϑ den von p und p eingeschlossenen Winkel bezeichnet, erhalten wir p1 p1

E 2 /c2 p1 p1

m 20 c2 p2 (1 cos ϑ) p2 p2 ,

p1 p2

E 2 /c2 p1 p2

m 20 c2 2 p2

p1 p2

E 2 /c2 p1 p2

m 20 c2 p2 (1 cos ϑ) p1 p2 ,

( p1 p2 )( p1 p2 )

( p1 p

2)

2

( p1 p

( p2 p2 )( p2 p2 )

( p2 p2 )

2

2 p

1)

2

p1 p2 ,

2 p

2 (1 cos ϑ) ,

2 (1 cos ϑ) .

Einsetzen dieser Beziehungen in die zuletzt erhaltenen Ausdrücke für M2 2 , M2 2 und Re(M1 M2 ) liefert mit p p p1 p p2 p p1 p p p für p1 p2 M1 2

M2 2

2 2 (m 2 c2 p2 )2 3 p4 2 p2 (2m 2 c2 p2 ) cos ϑ p4 cos2 ϑ 0 0 2 he2μ0 c3 , p4 (1 cos ϑ)2 ' 2 m 4 c 4 4 p 4 ' 0 M1 2 ' und Re(M1 M2 ) 2 he2μ0 c3 . cos ϑ cos ϑ p4 sin2 ϑ

Mit diesen Ergebnissen folgt aus (10.59) nach Umwandlung von cos ϑ in sin ϑ 4 3 2 3m 40 c4 12m 20 c2 p2 8 p4 4(m 20 c2 2 p2 )2 2 3 Mea 2 4 he μ0 c . 1 p4 sin2 ϑ p4 sin4 ϑ Wird dies in Gleichung (10.58) eingesetzt, so ergibt sich schließlich mit (10.64) als differentieller Wirkungsquerschnitt der Elektron-Elektron-Streuung dσ dΩ ¼

3 3m 40 c4 12m 20 c2 p2 8 p4 α hc 2 1 2E p4 sin2 ϑ

4(m 20 c2 2 p2 )2 p4 sin4 ϑ

4 .

(10.66)

314


Er wurde zuerst von C. Møller abgeleitet, weshalb die durch ihn beschriebene Streuung oft als Møller-Streuung bezeichnet wird. Im nicht-relativistischen Grenzfall gilt p2 m 20 c2 sowie E m 0 c2 , und das Ergebnis reduziert sich auf α 2 h 2 m 20 c2 3 4 dσ dΩ ¼ 4 p4 sin4 ϑ sin2 ϑ α 2 h 2 m 20 c2 1 1 1 . (10.67) 16 p4 sin4 ϑ/2 cos4 ϑ/2 sin2 ϑ/2 cos2 ϑ/2

Die zwei ersten Terme der letzten Klammer entsprechen dem Ergebnis (Q4.176) für die Streuung eines Elektrons an einem festen Coulomb-Potential, dσ/dΩ sin 4 ϑ/2: Im Schwerpunktsystem fällt das erste Elektron unter einem Winkel ein, der gegenüber dem Einfallswinkel des zweiten um π gedreht ist, weshalb in der Streuformel ein Beitrag sin 4 ϑ/2 für das eine und ein Beitrag sin 4 (π ϑ)/2 cos 4 ϑ/2 für das andere Elektron auftritt. Der letzte Klammerterm ist ein Interferenzterm. Im ultra-relativistischen Grenzfall gilt p2 m 20 c2 sowie E p c, und aus (10.66) ergibt sich dσ α2h 2 1 2 4 α2h 2 1 1 1 . (10.68) dΩ ¼ 4 sin2 ϑ p2 4 p2 sin4 ϑ sin4 ϑ/2 cos4 ϑ/2

Da Positronen bis auf die Ladung die gleichen Eigenschaften wie Elektronen besitzen und sich wie diese paarweise abstoßen, gelten die abgeleiteten Formeln auch für die Streuung zweier Positronen.

Beispiel 10.2: Elektron-Photon-Streuung Die Rechnungen, die von der Übergangsamplitude (10.45) der Elektron-Photon-Streuung zum zugehörigen differentiellen Wirkungsquerschnitt führen, sind ebenso aufwendig, jedoch ähnlich wie bei der Elektron-Elektron-Streuung und werden aus Platzgründen nicht vorgeführt. Unter der Annahme, daß der einfallende Elektronen- und Photonenstrahl unpolarisiert sind und daß bei der Streumessung keine spezielle Polarisationsrichtung herausgefiltert wird, ergibt sich als differentieller Wirkungsquerschnitt der auch als Compton-Streuung bezeichneten Streuung des Photons an einem Elektron im Ruhesystem des Elektrons k 2 (10.69) k¼ sin ϑ . Dabei ist ϑ der Ablenkungswinkel des Photons, d. h. k k ¼ k k ¼ cos ϑ, und als Folge der durch 4 dσ dΩ ¼

1 2

αh c 2 k¼ 2 k¼ k k m 0 c2

die δ -Funktion in (10.45) zum Ausdruck kommenden Energie-Impuls-Erhaltung gilt k k¼ 1h k(1cos ϑ)/(m 0 c)

(10.70)

als relativistische Verallgemeinerung der klassischen Beziehung (Q2.25) (Aufgabe 10.8). Im Grenzfall kleiner Photonenenergien bzw. -impulse, h ω m 0 c2 bzw. h k m 0 c, folgt aus (10.70) k ¼ k , und aus (10.69) wird damit dσ 1 αhc 2 2ϑ . sin (10.71) 2 dΩ ¼ 2 m 0 c2

10.5 Teilchenzerfälle

315

Die Integration über den Raumwinkel dΩ ¼ sin ϑ dϑ dϕ, π 1 α hc 2 2π 2 dϕ sin ϑ sin ϑ dϑ , 2 σ 2 m 0 c2 0 0 liefert den sogenannten Thomson-Streuquerschnitt σ

8π 3

α hc 2 . m 0 c2

(10.72)

Für sehr hohe Photonenenergien, h k m 0 c, gilt zunächst exakt ¼

k k

1 1(1 cos ϑ)/ε

ε 1ε cos ϑ

ε

mit

m0c h k

1.

sin2 ϑ und k ¼ / k können dann gegen k / k ¼ vernachlässigt werden, und es ergibt sich genähert dσ 1 α hc 2 k ¼ 1 α hc 2 ε (10.73) dΩ ¼ 2 m 0 c2 k 2 m 0 c2 1ε cos ϑ sowie σ

πε

sin ϑ α hc 2 π z cos ϑ dϑ m 0 c2 0 1ε cos ϑ

oder σ

1 πα 2 h dz m 0 c k 1 1εz

πα 2 h 2 ln m 0 c k ε

πα 2 h 2h k . ln m 0 c k m0c

(10.74)

10.5 Teilchenzerfälle Die Überlegungen des letzten Abschnitts gelten auch für den Zerfall eines Teilchens. Als einlaufende Teilchen hat man in diesem Fall nur ein einziges, und wir betrachten im folgenden nur den durch die chemische Gleichung e1

a

e

(10.75)

2

beschriebenen Spezialfall, daß ein Teilchen in8zwei zerfällt. Aus Gleichung (10.52) ergibt sich in diesem mit P p1 p, E 1 E, n (2V E n )1 1/(2V E) und einer wie im letzten Abschnitt vorgenommenen Zerlegung der δ 4 -Funktion im Schwerpunktsystem des zerfallenden Teilchens ( p 0 und E m 0 c2 )

d W pd 3F P

p p) δ(E E E) d p d p M c δ ( p8(2π E E h ) E p ) δ(E E m c ) d p d p M δ ( p 8(2π . E E h ) m ea

¼

2 2

3

1

2

1

3

2

2

ea

2

1

3

1

2

1

2

3

1

0

2

0

2

3

2

3

1

1

2

2

2

316


Die durch die Deltafunktionen bewirkten Einschränkungen können wie im letzten Abschnitt durch Integration über p2¼ und E 1¼ E 2¼ explizit berücksichtigt werden und

p führen mit (10.56), (10.57), p¼ p1¼ p2¼ und der Bezeichnung dΓ d W dΓ

2 Mea2 2 p2 4 dΩ . 32π h m 0 c

d 3F P ¼

zu

(10.76)

Dabei ist p als Lösung der Gleichung E 1 E 2 m 0 c2 bzw. m01 2 c2

p 2

p 2 m 0 c

m02 2 c2

(10.77)

zu bestimmen und durch

p m20c

1

m 01 2 m 02 2 m 02 m 02

2

2

m 01 2 m02

m 02 2 m 02

(10.78)

gegeben. Mea kann bei spinbehafteten Teilchen winkelabhängig sein. Im allgemeinen wird man diese Winkelabhängigkeit jedoch durch Mittelung über alle Spinrichtungen des zerfallenden und Summation über alle Spinrichtungen der beim Zerfall entstehenden Teilchen eliminieren. Der in (10.78) angegebene Wert von p ist ebenfalls winkel2unabhängig. Das spingemittelte dΓ kann daher über dΩ integriert werden und ist mit dΩ 4π durch

Γ

2 Mea2 2p 4 8π h m 0 c

(10.79)

gegeben, wobei für p die rechte Seite von (10.78) einzusetzen ist. Γ wird als Zerfallsbreite bezeichnet, manchmal stattdessen auch G h Γ (Folge: statt (10.80) gilt dann 2 τ h /G). Γ d W p d 3F ist die Gesamtwahrscheinlichkeit pro Zeitintervall dt für den Übergang des Teilchens a in die Zerfallsprodukte e1 und e2 und ist zeitunabhängig. Nach der Zeit t ist die Wahrscheinlichkeit für den Übergang daher W (t)Γ t, und für t τ mit τ

1 Γ

(10.80)

wird W 1. (Da der Ausgangszustand als nicht normierbare Welle angesetzt wurde, beschreibt er nicht ein Teilchen, sondern einen Teilchenstrom, also viele Teilchen. Aus vielen anfänglichen Teilchen können durch Zerfall daher viele Teilchenpaare entstehen, und daher kann W (t) größer als eins werden.) τ ist die Zeit, nach der die Wahrscheinlichkeit für die Erzeugung eines Teilchenpaares und damit den Zerfall eines Ausgangsteilchens gleich eins wird und kann daher als statistische Lebensdauer des zerfallenden Teilchens angesehen werden.

10.6 Feynman-Regeln

317

10.6 Feynman-Regeln Meßbare Konsequenzen der Quantenfeldtheorie von Teilchenwechselwirkungen ergeben sich bei Teilchenstößen aus dem durch (10.55) bzw. (10.58) gegebenen differentiellen Wirkungsquerschnitt und bei Teilchenzerfällen aus der mittleren Lebensdauer bzw. der durch (10.79) gegebenen Zerfallsbreite. In beiden Fällen benötigt man das Übergangselement Mea bzw. die mit diesem gemäß (10.51) zusammenhängende Übergangsamplitude Sea . Für deren Berechnung erwiesen sich die zugehörigen FeynmanDiagramme in allen bislang betrachteten Fällen als außerordentlich nützlich, weil sie in übersichtlicher Weise graphisch darstellen, welche einund auslaufenden Teilchen beteiligt sind und welche virtuellen Teilchen bei internen Wechselwirkungen auftreten. R. Feynman hat herausgefunden, daß sich aus den Diagrammen mit Hilfe von heute nach ihm benannten Feynman-Regeln, welche den einzelnen Diagrammelementen bestimmte mathematische Ausdrücke zuordnen, die Formeln zur Berechnung von Sea ablesen lassen. Die meisten dieser Regeln können für den uns hier ausschließlich interessierenden Fall der Quantenelektrodynamik aus den bisher betrachteten Beispielen abgeleitet werden. Im folgenden werden sie jedoch gleich systematisch zusammengestellt, und ihre Richtigkeit wird anschließend anhand früher behandelter Beispiele überprüft. Regeln, die nicht aus dem Vorangegangenen folgen, werden im Nachhinein bewiesen. Wir sind bei konkreten Beispielen so vorgegangen, daß wir zuerst Sea durch die Zustände einund auslaufender Teilchen sowie orts- und zeitabhängige Operatoren ausgedrückt haben. Für diese Ortsdarstellung gibt es Feynman-Regeln im Ortsraum. Werden die Operatoren nach ebenen Wellen entwickelt, wie wir es später getan haben, so gibt es für die dabei erzielten Ausdrücke Feynman-Regeln im Impulsraum. Hier hängen die Regeln noch davon ab, ob nach einem Kontinuum oder nach einem vollständigen Satz diskreter ebener Wellen entwickelt wird. Die im folgenden angegebenen Regeln beziehen sich auf den zuletzt genannten Fall.

10.6.1 Feynman-Regeln der QED im Impulsraum •

Ein Streu- oder Zerfallsprozeß wird eindeutig durch Anzahl und Art der einund auslaufenden Teilchen festgelegt. Die zugehörige Übergangsamplitude ist eine Reihe ½ (n) Sea δea Sea . n 1

•

Zur Amplitude der n-ten Ordnung tragen alle Feynman-Diagramme bei, deren einund auslaufende Linien die einund auslaufenden Teilchen des betrachteten Prozesses beschreiben können. Berücksichtigt werden alle topologisch voneinander verschiedenen Feynman-Diagramme n-ter Ordnung. Zu jedem von diesen gehört eine (mn) (n) Teilamplitude Sea , deren Summe Sea ergibt, (n) Sea Sea(mn) . m

318

10 Quantenelektrodynamik einlaufend m 0 c2 u(l, p) V Ep m 0 c2 v(l, p) V Ep

Elektron Äußere Linien

Positron Photon

i (2π h)

4

Vertex

Innere Linien

hμ0 c2 λλ (λ) g εα (k) 2V ωk

auslaufend m 0 c2 u(l ¼ , p¼ ) V Ep m 0 c2 v(l ¼ , p¼ ) V Ep ¼

¼

hμ0 c2 λ λ (λ ) ¼ g εα (k ) 2V ωk ¼

¼

¼

¼

e α 4 ¼ γ δ p p q h

Fermion i

d 4q d 4q h( q/ m 0 c) S (q).. i .. F 4 4 (2π h) (2π h) q q m 20 c2 i ε 4 d 4q hμ0 c d k D (k).. i gαβ .. Photon i Fαβ 4 (2π) (2π h)4 q q/h 2 i ε

Tabelle 10.5: Die Impulse einund auslaufender Teilchen sind mit p bzw. p¼ , die virtueller Teilchen mit q bezeichnet. Auf einen Vertex zugerichtete Impulse werden negativ, von ihm weggerichtete Impulse positiv gezählt. Daher geht der Impuls q virtueller Teilchen am einen Vertex mit q und an dem zugehörigen Nachbarvertex mit q ein. Der obere Index der dem Vertex zugeordneten Matrix γ .. wird mit einem der Indizes des Faktors gαβ der am Vertex einmündenden Photonlinie verjüngt. Der Faktor g λλ bei den äußeren Photonlinien ist auf die Normierung (8.115) der (reellen) Wellenamplituden εα (λ) zurückzuführen. (Es gibt auch Darstellungen mit anderer Normierung, bei denen dieser Faktor entfällt.) Die Pünktchen am Ende der Integrale für die inneren Linien sollen andeuten, daß noch Terme folgen können, über die integriert wird.

•

• •

Zur Übergangsamplitude eines Feynman-Diagramms tragen dessen einzelne Elemente je einen multiplikativen Faktor bei, der Tabelle 10.5 zu entnehmen ist. Die Anordnung der fermionischen Faktoren – Spinor, γ -Matrix oder Propagator einer inneren Fermionlinie – ist dabei in der Reihenfolge zu treffen, wie sie beim Durchlaufen der Fermionlinien entgegen der Pfeilrichtung und über die Vertizes hinweg im Diagramm auftritt. (mn) Für jede geschlossene Fermionenschleife ist in Sea ein Faktor 1 einzufügen. Ein Faktor 1 ist auch einzufügen, wenn eine ungerade Anzahl von Transpositionen notwendig ist, um die Fermion-Operatoren in Normalform zu bringen.

Erläuterungen und Beweise. Nach (10.11)–(10.13) enthält der Operator S (n) , aus dem (mn) gebildet werden, unter dem Integral n mal das Produkt die Übergangsamplituden Sea α ψ(x) A α (x): mit n verschiedenen Argumenten x 1 bis x n . Hieraus folgt: Jedes :ψ(x)γ

10.6 Feynman-Regeln

319

Diagramm n-ter Ordnung enthält n verschiedene Vertizes, an denen je zwei durch ψ und ψ beschriebene Fermionen- und eine durch A α beschriebene Photonlinie aufeinandertreffen. (Durch letzteres wird garantiert, daß an jedem Vertex Ladungserhaltung gilt.) Aus der Struktur von S (n) und dem Wickschen Theorem folgt: Jedes FeynmanDiagramm mit einer beliebigen Anzahl von Vertizes, bei dem an jedem Vertex zwei Fermionlinien durchgängiger Richtung und eine Photonlinie münden, stellt einen möglichen Prozeß dar. Alle Linien, die zwei Vertizes verbinden, sind dabei innere, alle anderen äußere Linien. (mn) nach Nach Tabelle 10.5 bringen n Vertizes den Faktor (e/h)n mit sich, den Sea (n) (10.11)–(10.13) enthalten muß. Der in S auftretende Vorfaktor 1/n kommt dagegen (mn) in den Regeln zur Berechnung von Sea nicht vor, weil die Zuordnung der RaumZeit-Punkte x 1 , . . . , x n zu den Vertizes beliebig ist und es daher n topologisch äquivalente Diagramme gibt, die durch Permutation der x 1 , . . . , x n auseinander hervorgehen. (Beispiel: Von den vier in Abb. 10.12 dargestellten detaillierten Diagrammen zweiter Ordnung für die Elektron-Elektron-Streuung gehen die zwei ersten auseinander durch Vertauschen der beiden Vertizes hervor und sind daher topologisch äquivalent. Dasselbe gilt für die zwei letzten, die jedoch von den beiden ersten topologisch verschieden sind. In (10.43) gibt es daher nur zwei Summanden ohne den Faktor 1/2 von S (2) .) Eine geschlossene Fermionenschleife wird z. B. durch den achten Summanden von Gleichung (10.39) beschrieben und ist in Abb. 10.11 dargestellt. Nach (9.83) gilt ψ(x 1 ) ψ(x 2 ) i SF (x 1 x 2 )

ψ(x 1 ) ψ(x 2 ) i SF (x 1 x 2 ) ,

weil die Vertauschung von ψ und ψ zu einem Minuszeichen führt. Eine der beiden Kontraktionen der Schleife führt daher zu einem Minuszeichen. Das gilt in jedem beliebigen Diagramm mit einer geschlossenen Fermionenschleife, da in diesem stets beide Kombinationen ψ(x i ) ψ(x j ) und ψ(x j ) ψ(x i ) auftreten. Die Gültigkeit der letzten Regel (Faktor 1 bei ungerader Anzahl fermionischer Transpositionen zur Normalform) ist offensichtlich. Bei den Diagrammen zur ElektronElektron-Streuung in Abb. 10.12 führt sie zu einem Faktor 1 bei der direkten Streu(2) ung, weil in S(ee) beim Übergang zur Normalform nach (10.40) ψ ( )(x 1 ) und ψ ( )(x 2 ) vertauscht werden müssen. (Das Matrixelement für die Austauschstreuung geht nach Abb. 10.12 aus dem für die direkte Streuung hervor, indem man in dem durch (10.41) gegebenen Endzustand e die Vertauschung a l, p a l, p vornimmt. Wegen der dabei 1 1 2 2 anzuwendenden Antivertauschungsrelationen führt dies gegenüber dem Matrixelement für die direkte Streuung zu einem weiteren Minuszeichen.) Die in Tab. 10.5 angegebenen Faktoren für die inneren Linien sind nach ihrer ursprünglichen Definition (9.76) bzw. (9.86) quadratisch in den Amplituden u(l, p) und v(l, p) bzw. εα(λ) (k), während die Faktoren für die äußeren Linien in diesen nur linear sind. Es macht daher Sinn, wenn man sich die inneren Linien im Gegensatz zu den äußeren als doppelte Linien vorstellt, von denen eine die Propagation vom ersten zum zweiten der durch sie verbundenen Vertizes beschreibt, die andere die Propagation vom zweiten zum ersten. Nutzanwendungen dieser Vorstellung werden sich in Abschn. 10.10.2 ergeben. ¼

¼

¼

¼

320


Beispiel 10.3: Paarerzeugung durch ein Gammaquant Das Feynmandiagramm für diesen Vorgang ist das Diagramm (d) aus Abb. 10.2. Das Anschreiben der zugehörigen Faktoren in der Reihenfolge auslaufendes Elektron, Vertex, auslaufendes Positron und einlaufendes Photon unter Voranstellen aller skalaren Faktoren liefert i (2π h )4 em 0 c2 h μ0 c2 u(l ¼ , p¼ )γ α v(l ¼¼ , p¼¼ )g λλ εα (λ)(k) 4 ¼ ¼¼ (1) Sea δ p p h k . 3/2 h V 2ωk Ep Ep ¼

¼¼

Nimmt man hierin die Ersetzung V 1/2 (2π h )3/2 für die beiden Fermionen und V 1/2 (2π)3/2 für das Photon vor, die nach (10.17) bzw. (10.4) und (10.10) mit dem Übergang von diskreten zu kontinuierlichen Wellen verbunden sind, setzt man insgesamt also V 3/2 (2π h )3 (2π)3/2 , so wird daraus das früher abgeleitete Ergebnis (10.20), (1)

Sea

i em 0 c3 h μ0 u(l ¼ , p¼ )γ α v(l ¼¼ , p¼¼ )g λλ εα (λ)(k) 4 ¼ ¼¼ δ p p h k . 4πωk Ep Ep ¼

¼¼

Beispiel 10.4: Elektron-Elektron-Streuung Wir berechnen den Beitrag der direkten Streuung mit Hilfe des ersten Diagramms der rechten Seite in Abb. 10.12, schreiben die Terme in der Reihenfolge innere Photonlinie, linkes auslaufendes Elektron, linker Vertex, linkes einlaufendes Elektron, rechtes auslaufendes Elektron, rechter Vertex und rechtes einlaufendes Elektron an und erhalten unter Voranstellen aller skalaren Faktoren und Berücksichtigung eines Faktors 1 nach der letzten Feynman-Regel d 4q δ 4 p2¼ p2 q 4 ¼ e2 (2π h )8 (m 0 c2 )2 μ0 c (2) Sea ( 1)( i)( i)2 δ p1 p1 q (2π h )4 q q/h 2 i ε h V 2 Ep1 Ep Ep2 Ep ¼

¼

1

2

gαβ u(l1 , p1) γ α u(l1 , p1) u(l2, p2)γ β u(l2 , p2) ¼

¼

¼

¼

i e2 (2π h )4 m 20 c4 h μ0 c δ 4 p1¼ p2¼ p1 p2 gαβ u(l1¼ , p1¼ )γ α u(l1 , p1 )u(l2¼ , p2¼ )γ β u(l2 , p2 ) . V 2 Ep1 Ep Ep2 Ep ( p2 p2¼ )( p2 p2¼ ) ¼

¼

1

2

Das ist gerade der M1 enthaltende Teil des Ergebnisses (10.43). Der Beitrag der indirekten Streuung ergibt sich analog.

Dem Leser wird empfohlen, die Gültigkeit der Feynman-Regeln noch an weiteren der früher berechneten oder an neu zu berechnenden Amplituden zu überprüfen (Aufgaben 10.9 und 10.10).

10.7 Korrekturen vierter Ordnung Zu allen in zweiter Ordnung der Störungsrechnung erhaltenen Prozessen gibt es in höheren Ordnungen Korrekturen. Weil die Störungsrechnung bei den Übergangsamplituden auf eine Entwicklung nach der kleinen Größe α 1/137 hinausläuft (Aufgabe 10.12),

10.7 Korrekturen vierter Ordnung

321

sollte es sich dabei im allgemeinen nur noch um sehr kleine Korrekturen handeln, es sei denn, die Koeffizienten der α-Entwicklung werden sehr groß. Häufig ist das nicht der Fall. Es gibt jedoch wichtige Ausnahmen hiervon, die zudem sehr wichtig sind und bei denen die Koeffizienten sogar unendlich werden. Das ist der Grund dafür, warum wir uns im folgenden kurz mit einem Beispiel für Korrekturen höherer Ordnung befassen. Mit dem Problem divergenter Terme höherer Ordnung werden wir uns dann ausführlich im nächsten Abschnitt befassen. Beispiel 10.5: Elektron-Positron-Streuung Die Elektron-Positron-Streuung wird wie die Elektron-Elektron-Streuung von der Störungsreihe (10.11) schon in zweiter Ordnung erfaßt und durch das Feynman-Diagramm (7) der Abb. 10.8 beschrieben. (Ähnlich wie das Diagramm (11) der Elektron-Elektron-Streuung die vier detaillierteren Diagramme der Abb. 10.12 zusammenfaßt, gibt es auch zum Diagramm (7) vier detailliertere Diagramme.) Wir betrachten in diesem Abschnitt Korrekturen höherer Ordnung zur ElektronPositron-Streuung, weil unter diesen Beiträge enthalten sind, die auch bei vielen anderen Prozessen auftreten und die Besonderheit aufweisen, zu divergieren. Bei der Elektron-Positron-Streuung muß es in jeder Ordnung ein einund ein auslaufendes Elektron sowie ein einund ein auslaufendes Positron geben, d. h. die zugehörigen FeynmanDiagramme haben vier externe Fermionlinien. Weil S (3) drei Photonenoperatoren A α enthält, von denen nur zwei kontrahiert werden können, ist an allen Prozessen mit nicht-verschwindenden Korrekturen dritter Ordnung ein externes Photon beteiligt. Korrekturen zur Elektron-PositronStreuung sind daher mindestens vierter Ordnung. S (4) enthält vier Photonen- und acht Fermionenoperatoren. Bei vier externen Fermionlinien müssen daher alle Photonen- und vier Fermionenoperatoren kontrahiert sein, was zu je zwei inneren Photon- und Fermionlinien führt. Zugehörige Feynman-Diagramme sind in Abb. 10.13 präsentiert. Außer diesen gibt es noch acht weitere, topologisch verschiedene Diagramme, die ähnlich den vier ersten der zweiten Zeile sind und sich von diesen durch die Plazierung einer inneren Photonlinie unterscheiden. Außer den verbundenen Graphen der Abb. 10.13, bei denen von allen inneren Linien eine Verbindung zu den äußeren Linien besteht, gibt es noch weiter Graphen vierter Ordnung, für die das nicht gilt. Diese zerfallen entweder in unverbundene Teilgraphen, wie das bei dem in Abb. 10.4 dargestellten Diagramm zweiter Ordnung der Fall ist, oder sie enthalten einen verbundenen und einen unverbundenen Anteil. Ein Beispiel für das Letztere bildet eine Kombination des Diagramms (7) aus Abb. 10.8 mit dem Diagramm der Abb.10.11. Der verbundene Anteil erhöht die Amplitude zweiter Ordnung um eine Korrektur der Ordnung α 2 . Die Vakuumblase beschreibt

Abb. 10.13: Korrekturen vierter Ordnung zur Elektron-Positron-Streuung.

322


dagegen eine Vakuumfluktuation (Bildung und Vernichtung eines virtuellen Elektron-PositronPaares) und liefert nur einen physikalisch irrelevanten Phasenfaktor (Abschn. 10.8.2). Wie schon eingangs erwähnt gibt es in den Diagrammen der Abb. 10.13 Teile, deren Beitrag zur Amplitude vierter Ordnung divergiert. Diese Teildiagramme finden sich in Abb. 10.16. Teildiagramm (a) ist im letzten Diagramm der ersten und der zweiten Zeile von Abb. 10.13, (b) im zweiten und vierten und (c) im dritten Diagramm der zweiten Zeile enthalten. Die Divergenzen dieser Teildiagramme und ihre Behebung werden in den nächsten Abschnitten besprochen.

10.8 Strahlungskorrekturen Wir befassen uns in diesem Abschnitt zunächst systematisch damit, welche Übergangsamplituden möglicherweise divergieren, und werden dabei unter anderen auch auf die Teildiagramme stoßen, denen im letzten Abschnitt divergente Übergangsamplituden zugesprochen wurden. Bei der im Anschluß durchgeführten Untersuchung aller Graphen mit potentieller Divergenz wird sich zeigen, daß diese sogar die einzigen mit echten Divergenzen sind, die nicht auf einfache Weise beseitigt werden können. Divergente Korrekturen höherer Ordnung werden oft als Strahlungskorrekturen bezeichnet.

10.8.1 Primitiv divergente Feynman-Graphen In den Übergangsamplituden sämtlicher Ordnungen treten Impulsintegrationen auf, die sich von bis erstrecken und inneren Linien zugeordnet sind. Durch Abzählen der zur Berechnung einer Übergangsamplitude insgesamt erforderlichen Einfachintegrationen läßt sich erkennen, welche Übergangsamplituden möglicherweise divergieren. Tabelle 10.5 ist zu entnehmen, daß jeder inneren Fermionlinie für q q q 1/2 ein Integrand 1/q und jeder Photonlinie ein Integrand 1/q 2 zugeordnet ist. Von jedem Vertex kommt ein Integrand δ 4 (q), und in n-ter Ordnung gibt es n solche Beiträge. Mit Fi Anzahl innerer Fermionlinien ,

Pi Anzahl innerer Photonlinien

verhält sich jede Übergangsamplitude n-ter Ordnung daher wie

P

P

lim

P

n δ 4 (q) d 4Fiq d 4 Piq F 2P P q i q i

P

δ4 (Pe

Pa ) lim P D , P

(10.81)

wobei D den gleich zu berechnenden potentiellen Divergenzgrad angibt. Durch n 1 der n im Zähler auftretenden δ 4 -Funktionen wird die Divergenz von 4(n 1) Impulsintegrationen aufgefangen, weil nach (10.51) eine δ 4 -Funktion übrig bleiben muß, welche die Erhaltung des gesamten Viererimpulses bewirkt. Aus der Anzahl verbliebener q-Integrationen ergibt sich unter Berücksichtigung der q -Potenzen im Nenner D

4(Fi Pi

n 1)

Fi

2Pi

3Fi 2Pi 4

4n .

(10.82)

10.8 Strahlungskorrekturen

323

D

Fa

Pa

Bezeichnung

Graph

4

0

0

Vakuumblase

3

0

1

Fermionenring mit einem Vertex

2

0

2

Selbstenergie des Photons

1

0

3

Fermionenring mit drei Vertizes

1

2

0

Selbstenergie des Elektrons (Positrons)

0

0

4

Photon-Photon-Streuung

0

2

1

Vertexkorrektur

Abb. 10.14: Primitiv divergente Feynman-Graphen. Die Vakuumblase geht nach Zerschneiden der Photonlinie in den Selbstenergie-Graphen des Photons und nach Zerschneiden einer Fermionlinie in den Selbstenergie-Graphen des Elektrons (Positrons) über.

In diesem Ergebnis können n, Fi und Pi noch durch Fa Anzahl äußerer Fermionlinien ,

Pa Anzahl äußerer Photonlinien

ausgedrückt werden, wodurch das Ergebnis von der betrachteten Ordnung der Störungsrechnung unabhängig wird. Jede äußere Linie hängt nur an einem Vertex, jede innere dagegen an zwei Vertizes, und auf jeden Vertex laufen zwei Fermionen- sowie eine Photonlinien zu. Daher gilt 1 (10.83) Pa 2Pi n (Fa 2Fi ) , 2 und für D ergibt sich damit bzw. mit Pi (n Pa )/2 sowie Fi n Fa /2 aus (10.82) D

4 3Fa /2 Pa .

(10.84)

Für D 0 divergiert die Übergangsamplitude im allgemeinen, es sei denn, die Divergenz wird durch besondere Symmetrien vermieden. (Ein Beispiel hierfür liefert die in Abschn. 10.8.3 behandelte Photon-Photon-Streuung.) Für D>0 ist die potentielle Divergenz wie die von P D für P , für D 0 ist sie logarithmisch wie 2P bei 1 d p/ p ln P. Eine Übergangsamplitude kann auch für D0 und ganzzahlige n Integrale der Form d dx . (10.97) Id () (x x i ε)n d 1 2 d d 1x d x und x x x 2 x 2 können wir dafür Mit x 2 0 0 l 1 xl , d x d d x0 Id () d d 1x (x02 x 2 i ε)n IRd 1 schreiben. Bei iε z 0 x0 i y0 x 2 i ε x 2 2 x 2

liegen die Pole des Integranden. Da dieser für z 0 hinreichend schnell verschwindet, kann der Integrationsweg x0 durch einen Halbkreis im Unendlichen mit Zentrum bei z0 0 zu einer geschlossenen Integrationskontur ergänzt werden, ohne daß sich dadurch etwas am Wert des Integrals ändert. Wenn wir uns für einen Halbkreis in der oberen Hälfte der z 0 -Ebene entscheiden, wird dabei der linke Pol umschlossen (Abb. 10.17, gestrichelter Halbkreis). Nach der Funktionentheorie kann die Integrationskontur beliebig verformt werden, solange dabei keiner der beiden Pole überschritten wird. Insbesondere können wir eine Integrationskontur wählen, die entlang der y0 -Achse von nach führt und durch einen Halbkreis in der linken Halbebene geschlossen wird (Abb. 10.17, durchgezogener Halbkreis). Weil jedoch auch dessen Beitrag zum Integral verschwindet, kann die Integration auf die y0 -Achse beschränkt werden. Dies bedeutet, daß der ursprüngliche Integrationsweg in der z 0 -Ebene um 90° gegen den Uhrzeigersinn gedreht werden kann, was als Wick-Rotation bezeichnet wird. Längs der y0 -Achse gilt z 02 (i y0 )2 y02 und dz 0 i d y0 , so daß wir für den Wick-rotierten Integrationsweg i d y0 i d dxe d d 1x Id () (1)n IRd (xe2 )n ( y02 x 2 )n IRd 1

erhalten, xe der Ortsvektor in einem d-dimensionalen euklidischen Raum ist, d. h. d wobei 1 2 xe2 α 0 x eα mit x e0 y0 und xel xl . (Man beachte, daß jetzt im Nenner der Term iε entfallen kann, weil auf der y0 -Achse keine Nullstelle liegt.) Weil der Integrand des Integrals Id () nur vom radialen Abstand r (xe2 )1/2 abhängt, können alle Winkelintegrationen ausgeführt werden, womit sich i Ωd r d 1 dr Id () (1)n 0 (r 2 )n

332


ergibt. Dabei2 ist Ωd die Oberfläche einer d-dimensionalen Einheitskugel des euklidischen Raums und V Ωd r d 1 dr ihr Volumen. Aus

π

d

s.u.

2 e x dx

d

d Ωd 2 r2 2 0

1 er dr 2 Ωd 2

und wir erhalten Id () Mit der Substitution t /(r 2 sich r d 1 dr 1 2 0 0 (r 2 )n

2

d xd Ωd

e x d x

2

dx1

2 r d 1 e r dr

0

d s.u. Ωd z 2 1 e z dz Γ (d/2) 2

0

2

Ωd

d 2 n 1 xn

2

– dabei wurde die bekannte Formel benutzt – folgt

e

π und die Definition der Gamma-Funktion

d/2

Γ2π(d/2) , d/2

(1)i 2π n Γ (d/2)

r d 1 dr . (r 2 )n

0

(10.98)

) bzw. r 2/t und deren Folge dr 2 dt/t 2 ergibt

r d 2 dr 2 1 0 t n d/2 1 1 t d/2 1 dt 2 1 t (r 2 )n t2 1 1 t n 1 d/2 (1 t)d/2 1 dt . n d/2

0

Das letzte Integral kann durch die Eulersche Betafunktion 1 Γ (x) Γ (y) B(x, y) t x 1 (1 t) y 1 dt Γ (x y) 0

ausgedrückt werden, deren Zusammenhang mit der Gammafunktion gleich mit angegeben wurde, so daß wir r d 1 dr B(n d/2, d/2) Γ (n d/2)Γ (d/2) 2 )n 2n d/2 2Γ (n)n d/2 0 (r

erhalten. Einsetzen in den zuletzt für Id () erhaltenen Ausdruck liefert mit (10.97) schließlich als erstes Ergebnis i π d/2 Γ (n d/2) d dx . (10.99) n (x x i ε) ( 1)n Γ (n)n d/2

Weil über alle x μ von bis integriert wird, ändert sich an diesem Ergebnis nichts, wenn auf der linken Seite x durch x q mit konstantem q ersetzt wird. Da die rechte Seite von q unabhängig ist, ergibt sich durch Ableiten beider Seiten nach q μ (man beachte dabei ∂(q q)/∂q μ ∂(gαβ q α q β )/∂q μ 2qμ ) nach Herauskürzen des Faktors 2n (xμ qμ ) d dx (x q)(x q)i εn1 0 oder

xμ d dx (x q) (x q) i ε n 1

d

d

qμ d x qμ d x n 1 (x q)(x q)i ε x x i εn1 .

10.9 Dimensionsmäßige Regularisierung

333

Erneute Ableitung dieses Ergebnisses nach q ν führt mit ∂qμ /∂q ν ∂(gμλ q λ )/∂q ν gμλ δνλ gμν zu 2xμ (xν qν ) d dx d dx (n 1) g (10.100) μν n 2 (x q)(x q) i ε x x i εn 1 . Hieraus ergibt sich für q 0, n 2n, unter Benutzung des Ergebnisses (10.99) für die rechte Seite und mit (n 1)Γ (n 1)Γ (n) schließlich

xμ xν d x x i εn d x

iπ

d/2 Γ (n 1 d/2) gμν . ( 1)n 1 2Γ (n) n 1 d/2

(10.101)

Entwicklung der Gammafunktion. Die Gammafunktion ist die analytische Fortsetzung der für ganze Zahlen n definierten Funktion n in die komplexe Zahlenebene und erfüllt wie diese die Funktionalgleichung Γ (z 1)zΓ (z). Nach Weierstrass besitzt ihr Inverses die Darstellung

z + 1 e z/n 1 z eC z Γ (z) n n 1

(C

mit C lim

n

1

1 2

...

1 ln n 0.5772156649 . . . n

Euler-Konstante). Aus dieser Darstellung folgt ln Γ (z) ln z Γ (1)Γ (1)

und damit

Cz

$ 1 C

n 1

z z n , ln 1 n

1 1 n

n 1

Γ (1 z) Γ (1)

1 n

%

Γ (1)

Γ (1)z

(z) ΓΓ (z) 1z $ 1 C

1 n

n 2

1 z n

C

n 1

n1 n 1

%

n1

,

Γ (1)1

C

(z 2 ) 1Cz (z 2 ) .

Mit Γ (z 1)zΓ (z) ergibt sich hieraus Γ (z)

1 z

C (z) .

(10.102)

Selbstenergie des Elektrons. Einsetzen von (9.84) und (9.88) in (10.89) liefert h μ0 c gαβ γ α h ( q/ h k/m 0 c)γ β d 4k (2) 2 Σ (q) ie . (h 2 k k i ε) (q h k)(q h k) m 20 c2 i ε (2π)4 Die Verallgemeinerung von 4 auf d Dimensionen lautet ddk μ0 c γ α ( q/ h k/m 0 c)γα s.u. . Σ (2) (q) i e2 h 2 μ4 d (h 2 k k i ε) (q h k)(q h k) m 20 c2 i ε (2π)d Dabei wurde der Faktor μ4 d eingefügt, damit Σ (2) (q) für alle d die gleiche physikalische Dimension besitzt, wozu Dim(μ/k)1 gewählt werden muß. Zur

334


Auswertung des Integrals benutzen wir die Feynman-Formel (10.95), in der wir a (q h k)(q h k) m 20 c2 i ε sowie b h 2 k k i ε setzen, und erhalten Σ

(2)

e2 h 2 μ4 i (2π)d

(q)

d 1

Mit der Substitution h k

dz 0

h k

μ0 c γ α ( q/ h k/m 0 c)γα

(q h k)(q h k)z m 20 c2 z h 2 k k(1 z)i ε

d 2 d k .

qz wird daraus γ α q/ (1 z) h k/ m 0 c γα e2 μ0 c h 2 μ4d 1 (2) d dz Σ (q) i 2 d k 2 2 2 (2π)d 0 h k k m 0 c z q q z(1 z)i ε 2 1 d d (h k ) 2 μ4d dz s.u. 0 ch α i e μ(2π γ q / (1 z) m c γ 0 α 2 h )d 0 h 2 k k m 20 c2 z q q z(1 z)i ε d/2 Γ (2 d/2) e2 μ c h 2 μ4d 1 γ α q / (1 z)m 0 c γα (10.99) π 0 2 2d/2 dz . 2 Γ (2)(2π h )d 0 m c z q q z(1 z) 0 Dabei hat sich beim zweiten Schritt der in k/ γ α kα lineare Term wegen der Antisymmetrie des Integranden herausintegriert, und beim letzten Schritt waren die Voraussetzungen zur Anwendbarkeit von (10.99) mit ε > 0 sowie m 20 c2 z q q z(1 z) (m 20 c2 q q)z q qz 2

(8.163)

q qz 2

(8.163)

0

erfüllt. Zur weiteren Auswertung benötigen wir eine Folge der Relationen (2.204) zwischen den γ -Matrizen,

γ α , γ β 2gαβ

gαβ (γ α γ β γ β γ α ) 2γα γ α

bzw. deren Verallgemeinerung

γα γ α

2gαβ gαβ 2δαα 8 ,

d

(10.103)

auf d Dimensionen, mit deren Hilfe sich γ α q/ (1 z)m 0 cγα

ergibt. Hiermit, mit Γ (2)1 und mit Γ (2 dem letzten Ergebnis Σ

(2)

γ α γ β qβ γα (1 (1 z) 2gαβ

z)m 0 cγ α γα γ β γ α qβ γα m 0 cd

4 d/2)Γ (δ/2)2/δ d

(2

d)(1 z) q/ dm 0 c

δ,

(10.104)

C (δ) nach (10.102) erhalten wir aus

2/δ C (δ) e2 μ0 c 1(4 δ)m 0 c (2 δ)(1 z) q/ (q) dz . 16π 2 h 2 (4πμ2 h 2 ) δ/2 0 m 2 c2 z q q z(1 z) δ/2 0

Unter Benutzung der Entwicklung 1 eln N N δ/2

δ/2

e

(δ/2) ln N

1

δ ln N 2

(10.105)

10.9 Dimensionsmäßige Regularisierung δ/2

für den mit (4πμ2 h 2 ) Σ (2) (q)

335

multiplizierten Nenner des Integranden ergibt sich daraus 1 e2 μ0 c 2 C (δ) 4m 0 c2(1z) q/ δ( q/ q/ z m 0 c) 2 2 δ 16π h 0 3 4 δ m 20 c2 z q q z(1z) 2 1 ln (δ ) dz . 2 4πμ2 h 2

Ausführen der einfacheren Integrationen, 1 4m 0 c2(1z) q/ δ( q/ q/ z m 0 c) dz 0

δ 4m 0 c q/ ( q/ 2m 0 c) , 2

führt schließlich zu Σ (2) (q) mit

e 2 μ0 c

8π 2 h 2

(1C) q/ RΣ (q) (12C) m 0 c 2

4m 0 c q/ δ

z

RΣ (q) (δ)

(1z) q/ 2m 0 c ln

0

3

(10.106)

m 20 c2 z q q z(1z)

4

4πμ2 h 2

dz .

Selbstenergie des Photons. Einsetzen von (9.84) in (10.87) liefert gleich in d-dimensionaler Verallgemeinerung μ4 d e 2 k m 0 c) Sp γ μ ( q/ m 0 c)γ ν ( q/ h/ (2)μν d dq . i Π 2 2 (2π h)d q q m 0 c i ε (q hk)(q hk)m 20 c2 i ε Mit der Feynman-Formel (10.95), in der wir a (q hk)(q hk)m 20 c2 i ε und bq q m 20 c2 i ε setzen, sowie mit der Substitution q ¼ q hkz ergibt sich hieraus k (1z)m 0 c) d ¼ Sp γ μ ( q/ ¼ h k/z m 0 c)γ ν ( q/ ¼ h/ μ4 d e2 1 (2)μν Π i dz dq . 2 (2π h)d 0 q ¼ q ¼ m 2 c2 z(1z) h 2 k k i ε 0

. . . des Integranden gilt (qα¼ hkα z)qβ¼ hkβ (1z) Sp γ μ γ α γ ν γ β m 20 c2 Sp γ μ γ ν μ α ν μ ν β ¼ ¼ m 0 c(qα hk α z) Sp γ γ γ m 0 c qβ hk β (z 1) Sp γ γ γ .

Für den Zähler Z

Z Sp γ μ

Mit der Erweiterung der Ergebnisse von Aufgabe 10.4 auf d Dimensionen, Sp E

Sp(γ α γ β )

Sp(γ κ γ λ γ μ γ ν )

d,

dg αβ , Sp(γ λ γ μ γ ν ) 0 , κλ μν κν λμ κμ λν , d g g g g g g

ergibt sich hieraus Z d qα¼ qβ¼ z(1z)h 2 kα kβ hkα zqβ¼ qα¼ hkβ (1z) g μα g νβ g μβ g αν g μν g αβ d

m 20 c2 g μν .

336


Bei der Integration über d dq ¼ liefern die in q ¼ linearen Terme des Zählers den Beitrag null, womit sich der Zähler des Integranden nach Ausführung der Summation über doppelt auftretende Indizes und Zusammenfassen von Termen auf Z¼

d 2q ¼ μ q ¼ ν 2z(1 z)h 2 k μ k ν g μν q ¼ q ¼ m 20 c2 z(1 z)h 2 k k d 2q ¼ μ q ¼ ν g μν q ¼ q ¼ m 20 c2 z(1 z)h 2 k k 2z(1 z)h 2 (k μ k ν g μν k k)

reduziert. Für Π(2)μν ergibt sich damit (2)μν

Π

2q ¼ μ q ¼ ν g μν q ¼ q ¼ m 20 c2 z(1 z)h 2 k k d ¼ dz dq 2 0 q ¼ q ¼ m 20 c2 z(1 z) h 2 k k i ε d μ4 d e 2 1 2z(1 z)h 2 (k μ k ν g μν k k) d ¼ i dz 2 d q d 2 2 (2π h ) ¼ ¼ 2 0 q q m 0 c z(1 z) h k k i ε de2 μ4 d 1 2z(1 z)h 2 (k μ k ν g μν k k) d ¼ i dz 2 d q d 2 2 (2π h ) ¼ ¼ 2 0 q q m 0 c z(1 z) h k k i ε

s.u.

d μ 4 d e 2 i (2π h )d

(10.99)

1

2h 2 e2 μ4 d π d/2 d Γ (2 d/2) (k μ k ν g μν k k) (2π h )d Γ (2) 1 2 2 z(1 z) dz2 2 d/2 . 0 m 0 c z(1 z) h k k

Dabei wurde in dem mit gekennzeichneten Schritt (10.100) mit n 0 und q 0 benutzt, was zum Wegfall des ersten Integrals führte. Für d 4 δ folgt daraus mit dΓ (2 d/2)(4 δ)Γ (δ/2)4 2/δ C 1/2 (δ) und Γ (2)1 sowie der Abkürzung N(k, z)m 20 c2 z(1 z) h 2 k k /(4π h 2 μ2 ) s.u.

Π(2)μν

(10.105)

– dabei wurde

1 e2 (k μ k ν g μν k k) 2 1 C (δ) δ 2 2π 2 h 2 0 2 μ ν μν e (k k g k k) 2 1 C (δ) 16 δ 2 2π 2 h 2

2z 0

δ 2

1

z(1 z) ln N(k, z) dz 0

z(1 z) dz 1/6 benutzt –, woraus sich schließlich

Π(2)μν (k)

RΠ ( k )

mit

ergibt.

z(1 z) dz

N(k, z)δ/2

e2

6π 2 h 2

(k μ k ν g μν k k)

C 1/2 2

3

1

RΠ ( k ) (δ) δ

1

z(1 z) ln 0

m 2 c2 z(1 z) h 2 k k 0 4π h 2 μ2

(10.107)

dz

10.9 Dimensionsmäßige Regularisierung

337

Vertexkorrektur. Einsetzen von (9.84) und (9.88) in (10.91) liefert unter dem später kommentierten Weglassen der ε-Terme in d-dimensionaler Verallgemeinerung mit Dim(μ/k) 1 d

e 2 μ0 c h 3 μ4 i (2π)d

(2)μ

Λ

gαβ γ α (/ q ¼ h k/m 0 c)γ μ (/ q h k/m 0 c)γ β d d k . h 2 k k (q ¼ h k)(q ¼ h k) m 20 c2 (q h k)(q h k) m 20 c2

Unter Benutzung der Feynman-Formel (10.96) mit a h 2 kk, b(q h k)(q h k) m 20 c2 und c(q ¼ h k)(q ¼ h k) m 20 c2 wird daraus Λ(2)μ i

2e2μ0 ch 3μ4 d 1 1 x γ α ( q/ ¼ h k/m 0 c)γ μ ( q/ h k/m 0 c)γα d d k dx dy 3 . d (2π) 0 0 h 2 k k m 2 c2 (x y) 2h k (q x q ¼ y)q q x q ¼q ¼ y 0

Mit der Substitution h k ¼ h k q x q ¼ y geht dies in Λ(2)μ

1 x 2e 2 μ0 c h 3 μ4 d 1 d x dy (2π)d 0 0 α ¼ γ q/ (1 y) h k/¼ q/ x m 0 c γ μ q/ (1 x) h k/¼ q/ ¼ y m 0 c γα d ¼ 2¼ ¼ 22 3 d k h k k m 0 c (x y)q q x(1 x)q ¼ q ¼ y(1 y) 2q q ¼ x y i

über. Bei der Integration über d d k ¼ liefern die in k ¼ linearen Terme des Zählers den Beitrag null, und das verbleibende Integral zerlegen wir gemäß Λ(2)μ

Λ(2)μ Λ(2)μ 1 2

mit (2)μ

(2)μ

Λ1

Λ2

(10.108)

1 x 2e2 μ0 c h 3 μ4 d 1 d x d y γ α q/ ¼ (1 y) q/ x m 0 c d (2π) 0 0 d ¼ μ ¼ γ q/ (1 x) q/ y m 0c γα N(kd¼ , x,k y)3 , 1 x α ¼ μ ¼ 2e2 μ0 c h 5 μ4 d 1 γ k/ γ k/ γα d ¼ i dx dy d k d (2π) N(k ¼ , x, y)3 0 0 i

und N(k ¼ , x, y)

h 2k k ¼

¼

m 20 c2 (x y)q q x(1 x)q ¼ q ¼ y(1 y) 2q q ¼ x y .

Die Berücksichtigung der ε-Terme hätte in N den zusätzlichen Faktor i ε mit ε>0 gebracht, womit bezüglich der Polstellen genau die Voraussetzungen erfüllt sind, die uns zur Anwendung der im Exkurs 10.1 abgeleiteten Formeln berechtigen und aus denen ε aufgrund der Wick-Rotation herausfällt. Auch die Voraussetzung >0 ist erfüllt, wir werden in Abschn. 10.11.2 sehen, daß in dem von uns benötigten Kontext durch die rechte Seite von Gleichung (10.158) gegeben ist. (2)μ In Λ1 ist das Integral über d d k ¼ auch für d 4 konvergent, da der Integrand für k ¼ wie 1/k ¼ 6 gegen null geht. Wir können daher d 4 setzen und erhalten unter

338


Benutzung von Gleichung (10.99) für x hk ¼ , d 4x h 4 d 4 k ¼ und n 3 2 i π Γ (1) d 4k¼ . N(k ¼ , x, y)3 h 4 Γ (3) m 20 c2 (x y)q q x(1x)q ¼ q ¼ y(1 y)2q q ¼ x y Damit sowie mit Γ (1)1 und Γ (3)2 wird schließlich e2 μ0 c 1 1 x γ α q/ (1 y) q/ x m 0 c γ μ q/ (1x) q/ y m 0 c γα (2)μ dy . dx Λ1 16 π 2 h 0 m 20 c2 (x y)q q x(1x)q q y(1 y)2q q x y 0 (10.109) (2) Zur Berechnung von Γμ benutzen wir α kρ kσ γ k/ γμ k/ γα d α ρ σ γ γ γμ γ γα d k d d k N(k , x, y)3 N(k , x, y)3 (10.101)

i π d/2 Γ (2d/2) γ α γ ρ γμ γ σ γα gρσ 2 2Γ (3) h d 2 m 20 c2 (x y)q q x(1x)q q y(1 y)2q q x y

d/2

und γ α γ ρ γμ γ σ γα gρσ

(10.103)

γ α γ ρ γμ γρ γα

(2.204)

(2d)γ α γμ γα

γ α γ ρ (2gμρ γρ γμ )γα

(2d)γ α (2gμα γα γμ ) (2d)2 γμ ,

setzen wieder d 4δ und erhalten α i π 2 π δ/2 1δ (δ 2 ) Γ (δ/2) γμ γ k/ γμ k/ γα d d k δ/2 N(k , x, y)3 h 6 h δ m 2 c2 (x y)q q x(1x)q q y(1 y)2q q x y 0

sowie

1δ (δ 2 ) Γ (δ/2)e2 μ0 cγμ 1 dx 8π 2 h 0 δ/2 1 x 4π h 2 μ2 δ/2 d y . 2 0 m 0 c2 (x y)q q x(1x)q q y(1 y)2q q x y Mit 1δ (δ 2 ) Γ (δ/2)2/δ C 2 (δ), der (10.105) entsprechenden Entwicklung des Integranden und mit 1 1 x 1 1 dx dy (1x) d x 2 0 0 0 (2)μ Λ2

(2)μ

erhalten wir schließlich nach Berechnen von Λ2 als Endergebnis für Λ(2)μ e 2 μ0 c 1 (2)μ (2)μ μ Λ (q , q) RΛ (q , q) γ Λ (10.110) 1 (q , q) (δ) 8π 2 h δ mit 4 1 1 x 3 2 2 m 0 c (x y)q q x(1x)q q y(1 y)2q q x y C 2 RΛ d y, dx ln 2 4π h 2 μ2 0 0 (2)μ

wobei Λ1

durch (10.109) gegeben ist.

10.10 Renormierung

339

10.10 Renormierung Durch die im letzten Abschnitt vorgenommene Regularisierung konnten die für die primitiv divergenten Graphen der Selbstenergie und der Vertexkorrektur abgeleiteten Integrale in einen divergenten und einen regulären Anteil zerlegt werden. In diesem Abschnitt werden in einer als Renormierung bezeichneten Prozedur physikalische Parameter wie die Ruhemasse und die elektrische Ladung der Elektronen durch Unterscheidung zwischen ihren in die Rechnung eingegangenen Werten und ihren bei einer Wechselwirkung wirksam werdenden Bestandteilen so umdefiniert, daß wir es am Ende nur noch mit endlichen Größen zu tun haben. Die Vorgehensweise ist also anders als bei der in Kapitel. 8 bei Einzelteilchenzuständen vorgenommenen Renormierung, wo divergente Integrale einfach als physikalisch irrelevant weggelassen wurden. Zur Vorbereitung nehmen wir im folgenden zuerst noch einige Umformungen vor.

10.10.1 Vorbereitung Als erstes befassen wir uns mit dem durch die Selbstenergie des Elektrons modifizierten Propagator des Dirac-Feldes (10.88), SF¼ (2) (q) SF (q) SF (q)Σ (2) (q) SF (q) .

(10.111)

Nach Art der Herleitung wurde der Korrekturterm SF (q)Σ (2)(q) SF (q) dabei trotz seiner (2) Divergenz als kleine Größe behandelt, was wegen Σdiv e2 μ0 /δ α/δ (nach (10.106)) zulässig ist, wenn wir uns vorerst auf δ-Werte im Bereich 1δ α 1/137 beschränken. Statt (10.111) können wir dann auch 1 SF¼ (2)(q) 1 SF (q)Σ (2) (q)

(10.112)

schreiben, was sich durch Betrachten der Reihe SF¼ (2)

SF SF Σ (2) SF SF Σ (2) SF Σ (2) SF SF Σ (2) SF Σ (2) SF Σ (2) SF . . .

(10.113)

erkennen läßt: Für diese gilt SF¼ (2)

SF SF Σ (2) SF SF Σ (2) SF . . . SF SF Σ (2) SF¼ (2) ,

und Linksmultiplikation dieser Beziehung mit SF 1 liefert ( SF 1 Σ (2) ) SF¼ (2)1 oder (10.112). Der Vergleich der (10.112) äquivalenten Reihe (10.113) mit (10.111) zeigt, daß bis auf Terme der Ordnung (Σ (2) )2 Übereinstimmung besteht. Tatsächlich ist (10.112) sogar mehr als eine (10.111) gleichwertige Näherung, denn diagrammatisch entspricht die Reihe (10.113) der Summe der Feynman-Diagramme +

+

+ ...

340


– man beachte, daß gegenüber dem Diagramm der Abb. 10.16 (b) die analytisch durch SF beschriebene Fortsetzung der Fermionlinie über die Vertizes hinaus fehlen muß, weil hier Σ (2) und dort SF Σ (2) SF dargestellt wird –, und die zusätzlich auftretenden Teildiagramme sind Beiträge, die in höheren Ordnungen als weitere Korrekturterme hinzutreten. Aus (10.112) ergibt sich mit (10.92b) SF¼ (2) (q)

h (2) (q) q/ m 0 chΣ

(10.114)

bzw. nach Einsetzen des Ergebnisses (10.106) für Σ (2) (q) und mit der Definition (Q2.39) bzw. αe2 μ0 c/(4π h) SF¼ (2)(q)

α q/ m 0 c 2π

α 1 2πδ

h

4m 0 c q/ δ

RΣ

h RΣ α α 4 q/ 1 2πδ m 0 c 1 2π δ m 0 c

h C . R α 4 α q/ m 0 c 1 2π 1 Σ δ m0c 2πδ

Durch Entwicklung der eckigen Klammern des Zählers nach α bis zu linearen Termen ergibt sich hieraus schließlich α h 1 2πδ ¼ (2) . (10.115) SF (q) 3α α RΣ (q) q/ m 0 c 1 2πδ 2π m 0 c Zu den inneren Fermionlinien gibt es weitere Korrekturen höherer Ordnung, die in der Reihe (10.113) noch nicht enthalten sind. Diejenigen Diagramme höherer Ordnung, die den in dieser Reihe bereits enthaltenen Korrekturen zugeordnet sind, zerfallen nach der obigen Feynman-Darstellung durch Zerschneiden der Elektronlinie zwischen zwei nicht durch innere Photonlinien verbundenen Vertizes in Diagramme für Korrekturen niedrigerer Ordnung und werden daher als reduzibel bezeichnet. Alle Korrekturdiagramme, bei denen das nicht möglich ist, heißen irreduzibel. Durch die Summe der letzteren definieren wir eine Matrix Σ(q), für die in der diagrammatischen Formel Σ(q)

+

+

+ ... =

1I

einige irreduzible Teildiagramme angegeben sind. Für die Summe aller irreduziblen Teildiagramme wird das nach dem letzten Gleichheitszeichen angegebene Diagramm benutzt. Mit dem auf diese Weise definierten Σ läßt sich eine (10.113) entsprechende Reihe bilden, die sich analog zu (10.112) zu 1 SF¼ (q) 1 SF (q)Σ(q)

(10.116)

10.10 Renormierung

341

summieren läßt und die graphische Darstellung =

1I

+

1I

1I

+

1I

1I

1I

+ ...

besitzt. Der auf diese Weise erhaltene Propagator würde alle möglichen divergenten Korrekturen innerer Fermionlinien enthalten und wäre daher vollständig – die Berechnung von Σ würde allerdings die Auswertung unendlich vieler Diagramme erfordern. Das in (10.114) bzw. (10.115) angegebene Ergebnis stellt eine bis auf Terme der Ordnung Σ 2 korrekte Näherung an diesen Propagator dar, weil in niedrigster Ordnung Σ Σ (2) gilt. Ganz ähnlich behandeln wir den durch die Vakuumpolarisation modifizierten Photonenpropagator (10.86) bzw. gleich dessen Verallgemeinerung ¼ (k) i DFαβ (k) i DFαμ (k) i Π μν i DFνβ (k) . i DFαβ

(10.117)

Darin ist Π μν ein Polarisationstensor, der durch Summation aller irreduziblen Teildiagramme für die Selbstenergie des Photons entsteht und in niedrigster Ordnung mit dem in (10.87) angegebenen Polarisationstensor Π(2)μν übereinstimmt. Man kann zeigen, daß Π μν die gleiche Struktur wie Π(2)μν besitzt, sich also (10.107) entsprechend in der Form Π μν (k) R(k ) k μ k ν

Π(k ) g μν

mit

R(k )

Π(k ) k k

(10.118)

schreiben läßt, wobei in der später benötigten niedrigsten Ordnung Π (2) (k )

e 2 k k 1 RΠ (k ) 6π 2 h 2 δ

(10.119)

gilt. Die in (10.118) angegebene Form von Π μν (k) ist übrigens notwendig dafür, daß die Eichinvarianz der Maxwell-Theorie auch in deren quantisierter Form erhalten bleibt. Beweis: Um das einzusehen, betrachten wir die Wechselwirkung eines Elektrons mit einem äußeren Potential A μ (x), also einen Prozeß, der als Verallgemeinerung der in Abschn. 10.2.2 untersuchten Mott-Streuung aufgefaßt werden kann. (Das zugehörige Feynman-Diagramm ergibt sich, wenn man in Abb. 10.3 Φ(x) durch A μ (x) ersetzt.) Aus Gleichung (10.25) läßt sich schließen, daß die Übergangsamplitude hier den Faktor u(l ¼ , p¼ ) γ α u(l, p) A α (k)

mit

¼ hk p p

enthält, wobei Aα (k) die Fourier-Transformierte von Aμ (x) ist. Durch die Selbstenergie des Photons ergibt sich in Analogie zu (10.117) das strahlungskorrigierte Feld (10.140) (Beweis dort), das in u ¼ γ α u Aα zu einem Korrekturterm

u(l ¼ , p¼ ) γ α u(l, p)gαμΠ μν A ν (k) u(l ¼ , p¼ ) γ α u(l, p)Παν Aν (k)

(10.120)

führt. Bei Eichinvarianz darf sich dieser Ausdruck nicht verändern, wenn Aν (x) durch A ν (x)∂ν Λ(x) ersetzt wird bzw. Aν (k) durch Aν (k)i kν Λ(k) nach Fourier-Transformation. Das ist jedoch nur der Fall, wenn Παν k ν 0 gilt, und aus (10.118) folgt gerade die Gültigkeit dieser Gleichung.

342


Außer der durch i DFαμ i Π μν i DFνβ beschriebenen Korrektur zu i DFαβ gibt es auch hier noch weitere Korrekturen, die der Graphengleichung =

1I

+

1I

1I

+

1I

1I

1I

+ ...

entsprechen, wobei das erste Element der rechten Seite Π μν darstellt. In Matrixnotation für DFαβ und Π μν lautet die entsprechende analytische Gleichung i D¼F

i DF i DF i Π i DF i DF i Π i DF i Π i DF . . . ,

und in Analogie zu (10.112) liefert die Summe mit identischem Beweisgang i D¼F

1 (i DF )

1 i Π

.

(10.121)

In dem folgenden Beweis wird gezeigt, daß der Term R(k ) k μ k ν in Π μν weggelassen werden darf, da er bei der Berechnung von Matrixelementen keinen Beitrag liefert. Beweis: Auch äußere Photonlinien werden durch die Selbstenergie des Photons modifiziert, d. h. =

+

+ ... .

In diesem Fall wird statt des Faktors Aν (k) wie in Gleichung (10.120) der in Tabelle 10.5 angegebene Faktor für eine äußere Photonlinie mit Π αν multipliziert. Dabei entsteht bezüglich des (λ¼ )

k μ k ν -Terms das Produkt εα k α k ν R(k ), und dieses ist nach (8.118a,b) gleich null, da einund auslaufende Photonen als reelle Teilchen nur transversal polarisiert sein können. Ist die durch die Selbstenergie modifizierte Photonlinie eine innere Linie, so grenzt sie an zwei Vertizes, an denen je zwei Fermionlinien münden. Wenn wir uns auf Strahlungskorrekturen von Prozessen zweiter Ordnung beschränken, muß es sich dabei um einund auslaufende Fermionlinien handeln. In dem Beitrag, der von dem einen Vertex und den bei diesem einmündenden Linien zur Übergangsamplitude herrührt, also z. B. dem Teildiagramm p¼ hk p entspricht, tritt nach Tabelle 10.5 ein Teilbeitrag auf, der unter Berücksichtigung der Strahlungs(2) korrekturen zweiter Ordnung den Faktor u(l ¼ , p¼ )γ α u(l, p) D ¼ Fαβ (k) enthält. Der k μ k ν -Term liefert dazu nach (10.117)–(10.118) mit DFαμ (k)... DFνβ (k)gαμ ...gνβ /(k k)2 einen Beitrag gαμ R(k )k μ k ν gνβ 4 ¼ δ p phk (k k)2 R(k )kα kβ d 4x (9.71) u(l ¼ , p¼ ) γ α u(l, p) ei ( p p h k) x/h 2 (k k) (2π)4 4 R(k )kβ s.u. α ψ (x) ∂ e i k x d x . ψ (x) γ α l p l p i (k k)2 (2π)4

u(l ¼ , p¼ ) γ α u(l, p)

½ ½

½ ½

¼

¼

¼

¦Æ ¡ Æ

¦ ¡

10.10 Renormierung

343 ¼

Dabei wurde im letzten Schritt ψl p (x) u(l, p) e i p ¡x/hÆ und ψ l p (x) u(l ¼ , p¼ ) ei p ¡x/hÆ gesetzt, was die einund auslaufende ebene Elektronenwelle darstellt, außerdem wurde ∂α e¦i k ¡x i kα e¦i k ¡x benutzt. Durch partielle Integration ergibt sich ¼

½

d 4x ψ l ¼ p¼ (x) γ α ψl p (x) ∂α e¦i k ¡x 4 (2π)

½

¼

d 4x s.u. e¦i k ¡x ∂α ψ l p (x) γ α ψl p (x) 0, (2π)4 ½ ½

¼

¼

weil nach (8.189a) und (8.190b) mit (8.187) p/u

m 0 cu

p/ψl p

m 0 cψl p ,

u p/ m 0 cu

ψ l p p/ m 0 cψ l p ¼

¼

¼

¼

und damit ∂α ψ l p γ α ψl p ¼

¼

i ¼ ∂α ψ l p γ α ψl p ψ l p γ α ∂α ψl p pα ψ l p γ α ψl p ψ l p γ α pα ψl p h

im c i ψ l p p/¼ ψl p ψ l p p/ψl p 0 ψ l p ψl p ψ l p ψl p 0 h h

¼

¼

¼

¼

¼

¼

¼

¼

¼

¼

¼

¼

¼

¼

¼

¼

gilt.

Unter Berücksichtigung der eben bewiesenen Tatsache ergibt sich aus (10.121) mit (9.88) und (10.118) bei Unterdrückung des ε-Terms ¼ i DFαβ

s.u.

1 1 i hμ i Π(k ) g αβ 0 c gαβ /k k

s.u.

1 αβ g αβ k k/(i hμ c) 0 i Π(k ) g

i hμ 0 c gαβ . k k hμ 0 cΠ(k ) β

(Dabei wurde zweimal benutzt, daß g αβ wegen gαμ g μβ δα die zu gαβ inverse Matrix ist.) Hieraus folgt nach Herauskürzen des Faktors i mit (10.119) in zweiter Ordnung (2)

D ¼ Fαβ (k)

hμ hμ (Q2.39) 0 c gαβ 0 c gαβ 2α 1 1 k k 1 3π δ RΠ (k ) k k δ RΠ (k ) hμ 2α 2α 0 c gαβ 1 RΠ (k ) , 3πδ 3π k k

s.u.

2 1 e6πμ20hc Æ

wobei im letzten Schritt nach α entwickelt wurde. Für das letzte Ergebnis können wir auch hμ 2α 2α 0 c gαβ (2) D ¼ Fαβ (k) 1 1 RΠ (k ) (10.122) 3πδ 3π k k schreiben, da in α nur bis zu linearen Termen entwickelt wurde und der Unterschied von (α2 ) ist. Auch zur Vertexkorrektur kommen noch Korrekturen höherer Ordnung, durch die in Analogie zu (10.90) ein allgemeiner Vertexfaktor Γμ

γ μ Λμ

γ μ Λ(2)μ Λ(4) μ . . .

(10.123)

344


mit der graphischen Darstellung =

+

+

+ ... (2)μ

α gilt, definiert wird. Unter Berücksichtigung der Tatsache, daß nach (10.109) Λ1 ergibt sich aus (10.90) mit (10.110) und (Q2.39) die bis zu linearen Termen in α korrekte Beziehung

α α RΛ μ α α RΛ μ (2)μ (2)μ (2)μ 1 2πδ 2π γ Λ1 1 2πδ 1 2π γ Λ1 (α2 ) . Γ Mit 1α/(2πδ)1α/(2πδ) Γ

(2)μ

(q , q) ¼

1

(α2 ) schreiben wir dafür

(2)μ 1α RΛ (q ¼ , q)/(2π) γ μ Λ1 (q ¼ , q) . 1α/(2πδ)

(10.124)

10.10.2 Renormierung in niedrigster Ordnung Wenn δ wie zu fordern gegen null geht, entstehen in den für SF¼ (2) (q), D ¼ Fαβ (k) und Γ (2)μ (q ¼ , q) erhaltenen Ausdrücke nach (10.115), (10.122) und (10.124) Singularitäten. Der Vergleich des ursprünglichen Fermionenpropagators (10.92b) mit seiner durch Berücksichtigung der Selbstenergie erhaltenen Modifikation (10.115) gibt einen Hinweis darauf, wie diese Singularitäten behoben werden können. Der Nenner hat in beiden Ausdrücken dieselbe Struktur, nur daß in (10.115) die Ruhemasse m 0 mit einem divergenten Faktor versehen ist. Das Feynman-Diagramm für die Selbstenergie des Elektrons, Abb. 10.16 (b), läßt den Grund dafür erkennen: Das Elektron tritt mit dem von ihm selbst erzeugten elektrischen Feld in Wechselwirkung. Dasselbe Phänomen ist uns schon in der klassischen Theorie des Elektrons bei der Diracschen Ableitung der Lorentz-Dirac-Gleichung begegnet (Spezielle Relativitätstheorie, Exkurs „Skizze der Diracschen Ableitung“). Dort wurde die beobachtete Ruhemasse m 0 gemäß m 0 m £0 m em in eine „nackte Ruhemasse“ m £0 und einen elektromagnetischen (a) Masseanteil m em zerlegt, der nach der Beziehung m em e2 /(8πε0 ac2 ) (siehe Abschn. „Elektromagnetische Theorie des Elektrons“ der Speziellen Relativitätstheorie) unendlich wird, wenn der Elektronenradius a 0 geht. Von dort greifen wir die Möglichkeit auf, die Ruhemasse in verschiedene Bestandteile zu zerlegen, und wählen einen von diesen so groß, daß er eine der Divergenzen kompensiert. Bevor wir uns näher mit dieser Aufgabe befassen, soll noch geklärt werden, welche weiteren Größen durch eine Reinterpretation zur Renormierung herangezogen werden können. Außer der Ruhemasse bietet sich natürlich auch die elektrische Elektronenladung e an, ansonsten kommen von den zur Berechnung von Übergangsamplituden benutzten Faktoren aus Tabelle 10.5 nur solche Größen in Frage, die nicht variabel sind, und da auch allgemeine Naturkonstanten wie h und c ausscheiden, verbleiben nur noch die Amplituden externer Fermionen und Photonen. (2)

10.10 Renormierung

345

Wir werden in diesem Abschnitt die in (10.115), (10.122) und (10.124) enthalte(2)μ nen regulären Strahlungskorrekturen RΣ (q), RΠ ( k ), RΛ (q ¼ , q) und Λ1 (q ¼ , q), die ja Korrekturen der (α) sind, der besseren Übersichtlichkeit halber vernachlässigen. Welche physikalischen Konsequenzen ihre Berücksichtigung nach sich zieht, wird für einige von ihnen in Abschn. 10.11 nachgeholt. Renormierung des Fermionenpropagators. Als erstes wenden wir uns der Divergenz des Fermionenpropagators zu und stellen uns dazu auf den Standpunkt, daß die in die Formeln (10.115), (10.122) und (10.124) eingegange Masse m 0 nicht die beobachtete Ruhemasse ist, sondern gemäß m0

m 0r

m 0

(10.125)

aus der beobachteten bzw. renormierten Ruhemasse m 0r und einem Korrekturanteil m 0 zusammengesetzt ist. Den letzteren wählen wir so, daß er einen der von den Strahlungskorrekturen herrührenden divergenten Bestandteile von SF¼ (2) (q) gerade kompensiert. Bevor wir δ 0 gehen lassen, fassen wir den zu kompensierenden Term jedoch als Entwicklungsterm erster Ordnung in der Entwicklung nach α auf und nehmen daher an, daß auch m 0 (α) gilt. Mit der Zerlegung (10.125) und unter Vernachlässigung des RΣ -Terms lautet der Nenner von SF¼ (2)(q) nach (10.115) 3α 3α s.u. q / m 0r cm 0 cm 0r c N S q/ (m 0r m 0 )c 1 . 2πδ 2πδ ¼

Dabei wurde im letzten Rechenschritt ein Term α m 0 als Term zweiter Ordnung in α vernachlässigt. Wenn wir jetzt 3α (10.126) m 0r m 0 2πδ setzen, wird N S

¼

q/ m 0r c, und aus (10.115) folgt SF¼ (2) (q)

h Z 2 q/ m 0r c

mit

Mit der Definition SFr (2) (q)

Z2

h q/ m 0r c

1

α . 2πδ

(10.127)

(10.128)

eines renormierten Fermionenpropagators SFr (2) (q), der regulär ist, erhalten wir schließlich SF¼ (2) (q) Z 2 SFr (2) (q) . (10.129) Nunmehr können wir δ 0 und damit Z 2 gehen lassen. Nach (10.126) wird dann m 0 , was nach (10.125) zur Folge hat, daß auch die Ruhemasse m 0 , mit der die Rechnung begonnen wurde, unendlich wird. Bei der weiter unten besprochenen Renormierung der Vertexkorrektur werden wir sehen, daß trotz der mit Z 2 verbundenen Divergenz von SF¼ (2)(q) endliche Übergangsamplituden erhalten werden, weil in diese nach allen Renormierungen nur SFr (2) (q) eingeht.

346


Renormierung des Photonenpropagators. Nach (10.122) mit (Q2.39) gilt unter Vernachlässigung des RΠ -Terms (2)

D ¼ Fαβ (k) Z 3

hμ 0 c gαβ k k

mit

Z3

1

2α . 3πδ

(10.130)

In Analogie zu (10.128) definieren wir durch (2) DFr αβ (k)

hμ 0 c gαβ k k

(9.88)

DF αβ (k)

(10.131)

(2)

einen renormierten Photonenpropagator DFr αβ (k) und erhalten damit (2) D ¼ Fαβ (k) Z 3 DF αβ (k) .

(10.132)

(2)

Auch die Beseitigung der durch D ¼ F αβ (k) über Z 3 hervorgerufenen Singularität wird im Zusammenhang mit der Vertexkorrektur besprochen. Glücklicherweise ergibt sich keine Notwendigkeit zu einer Renormierung der – verschwindenden – Ruhemasse der Photonen. Renormierung äußerer Linien. Wie schon im letzten Abschnitt festgestellt gibt es bei den äußeren Linien die gleichen Strahlungskorrekturen wie bei den inneren, was diagrammatisch durch den Übergang von einer Linie ohne zu einer mit Strahlungskorrekturen gemäß

=

+

+ ... ,

=

+

+ ...

zum Ausdruck gebracht wird. Unter Einbeziehung der Massenrenormierung bei den Fermionen entsprechen die Diagramme nach Tab. 10.5 den Ersetzungen

m 0 u(l, p)

m 0r u ¼ (l, p) , εα(λ)(k)

m 0 v(l, p)

m 0r v ¼ (l, p) ,

εα¼ (λ)(k) ,

wobei die Amplituden u ¼ (l, p) und v ¼ (l, p) von Fermionen bzw. εα¼ (λ)(k) von Photonen aufgrund der Strahlungskorrekturen in Analogie zu den entsprechenden Ausdrücken für (2) (k) bei Photonen, divergent sind. die inneren Linien, SF¼ (2)(q) bei Fermionen und D ¼ Fαβ Die Zuordnung mathematischer Faktoren zu den Elementen von Feynman-Graphen ist zwar nach Tab. 10.5 bei inneren und äußeren Linien verschieden, die Divergenz erzeugenden Faktoren sind jedoch bei beiden für jede Teilchensorte die gleichen; dabei ist allerdings zu beachten, daß sie nach den in Abschn. 10.6.1 zur Tabelle 10.5 gegebenen Erläuterungen bei den inneren Linien doppelt auftreten. (Die inneren Linien zugeordneten Faktoren sind quadratisch, die äußeren Linien zugeordneten Faktoren linear in den Feldamplituden.) Da SF¼ (2) (q) nach (10.129) wie Z 2 divergiert, muß daher

10.10 Renormierung

347

u ¼ (l, p) (Z 2 )1/2 sowie v ¼ (l, p) (Z 2 )1/2 gelten, und entsprechend folgt aus (10.132) εα¼ (λ) (k) (Z 3 )1/2 . Wir können daher durch u ¼ (l, p) Z 2 u r (l, p) , v ¼ (l, p) Z 2 vr (l, p) , εα¼ (λ)(k) Z 3 εr(λ) α(k) (10.133) (λ) renormierte Feldamplituden u r (l, p), v r (l, p) und εr α(k) einführen, die regulär sind und den Orthonormierungsbedingungen (8.191) mit m 0 m 0r oder (8.192) bzw. (8.119) genügen. Bei der gleich folgenden Beseitigung der durch die Vertexkorrektur hervorgerufenen Divergenz wird sich zeigen, daß durch die Anwendung von (10.133) auf alle äußeren Linien in Kombination mit den anderen Renormierungsvorschriften sämtliche Divergenzen beseitigt werden. Beseitigung der Divergenz der Vertexkorrektur. Bei den an einem Vertex einmündenden drei Linien handelt es sich um zwei Fermion- und eine Photonlinie, unter denen sich keine, eine, zwei oder drei externe Linien befinden können. Da sich unter ein oder zwei am gleichen Vertex einmündenden externen Linien jeweils eine oder keine Photonlinie befinden kann, gibt es insgesamt 12 216 verschiedene Möglichkeiten (22 kommt von den Fällen ein bzw. zwei externe Linien mit je zwei Möglichkeiten bezüglich der Photonlinien), von denen in Abb. 10.18 repräsentativ drei dargestellt sind. Wir wollen durch eine weitere Renormierung erreichen, daß alle derartigen Teildiagramme, die alle möglichen Strahlungskorrekturen enthalten, endlich werden. Da es nur auf die divergenten und die renormierbaren Faktoren ankommt, kann man sich auf diese konzentrieren und es sich ersparen, für alle sechs möglichen Fälle die Übergangsamplitude zu berechnen. (2)μ α Nach (10.124) gilt unter Vernachlässigung der regulären Terme RΛ α und Λ1 Γ (2)μ

μ

γZ

mit

Z1

1

α 1 2πδ .

(10.134)

Vom Vertex erhalten wir daher nach Tab. 10.5 den divergenten Faktor FV e/Z 1 , wobei e die einzig verbliebene renormierbare Größe ist. Von jeder am Vertex einmündenden Fermionlinie stammt unter Berücksichtigung der Selbstenergie der Faktor FF (Z 2 )1/2 (da zwei Fermionlinien einmünden, insgesamt zweimal) und von jeder Photonlinie der Faktor FPh (Z 3 )1/2 (einmal), in beiden Fällen unabhängig davon, ob es sich um eine innere oder äußere Linie handelt. (Bei den inneren Linien liefert zwar SF¼ (2)(q) den (2) Faktor Z 2 und D ¼ Fαβ (k) den Faktor Z 3 , dieser verteilt sich jedoch jeweils auf zwei Vertizes, weshalb zu einem Vertex jeweils nur die Wurzel davon beiträgt.) Insgesamt tritt in jedem der sechs möglichen Diagramme am Vertex der gleiche Faktor F

FV (FF )

2

FPh

eZ 2 Z 3 Z1

e

s.u.

Z3

(10.135)

auf, wobei zuletzt benutzt wurde, daß sich nach (10.127b) und (10.134b) Z 1 gegen Z 2 wegkürzt. Damit die betrachteten Beiträge zur Übergangsamplitude endlich bleiben, führen wir eine Renormierung der Ladung durch, d. h. wir zerlegen die Elektronenladung gemäß e er e (10.136)

348


int

ext

int int

int

int int

(a)

ext

(b)

(c)

ext

Abb. 10.18: Drei von sechs Möglichkeiten für die an einem Vertex einmündenden Linien mit sämtlichen Strahlungskorrekturen. Innere Linien sind mit „int“, äußere mit „ext“ gekennzeichnet.

in eine renormierte Ladung er und eine Korrektur e (α). Aus (10.135) ergibt sich damit 2α 1/2 α F e Z 3 (er e) 1 er e 3πδ er (α2 ) . 3πδ Wählen wir jetzt e so, daß e

α er 3πδ

(α2 )

(10.137)

gilt, so ergibt sich für den Faktor F der endliche Wert F

er .

(10.138)

Für δ 0 geht e, was bedeutet, daß die Ladung e, mit der die Rechnung begonnen wurde, unendlich sein muß. Durch die Ladungsrenormierung ist erreicht, daß in der betrachteten Ordnung der Störungsrechnung alle Übergangsamplituden endlich bleiben. F er ist der Faktor, der bei deren Berechnung den ursprünglichen Vertexfaktor e ersetzen muß, wenn unter Berücksichtung der Selbstenergie aller einlaufenden (inneren und äußeren) Linien die divergenten Propagatoren bzw. Amplituden durch renormierte ersetzt werden. Wir können uns jetzt überlegen, welchen Einfluß die Strahlungskorrekturen auf die in Tab. 10.5 angegebenen Feynman-Regeln zur Berechnung von Übergangsamplituden unter Berücksichtigung der Renormierung haben. Werden in der Tabelle die (λ) Ersetzungen m 0 m 0r , eer , u u r , v vr und εα(λ) εrα vorgenommen, so gilt nach (10.128) auch SF (q) SFr (2)(q), und nach (10.131) ist schon von Hause aus (2) D Fr αβ (k) D F αβ (k). Mit e er ist auch die an den Vertizes vorzunehmende Korrektur erledigt. Damit läuft die Berechnung von Übergangsamplituden unter Berücksichtigung sämtlicher divergenten, aber Vernachlässigung aller endlichen Strahlungskorrekturen nach der Renormierung darauf hinaus, daß nur Umbenennungen vorgenommen werden müssen. Alle weiteren Rechnungen verlaufen so, als wären die divergenten Strahlungskorrekturen nicht vorhanden, da sie durch die Benutzung renormierter Größen schon berücksichtigt sind. Auf die Umbenennungen kann dann schließlich auch verzichtet werden.

10.11 Auswirkungen regulärer Strahlungskorrekturen

349

10.11 Auswirkungen regulärer Strahlungskorrekturen In diesem Abschnitt untersuchen wir einige Auswirkungen der bei der Renormierung bislang ignorierten regulären Strahlungskorrekturen. Führt man unter deren Einbeziehung die gleichen Rechnungen wie im letzten Abschnitt durch, so erhält man aus (10.115), (10.122) und (10.124) mit (10.125)–(10.126) (2) SF¼ (2) (q) Z 2 S Fr (q) ,

(2) (2) D ¼ Fαβ (k) Z 3 D Fr αβ (k) ,

Γ (2)μ (q ¼ , q)

(2)μ

Γr

(q ¼ , q) Z1 (10.139)

mit (2)

S Fr (q)

2α hμ c g h 0 αβ (2) , D Fr αβ (k) 1 RΠ (k ) q/ m 0r cα RΣ (q)/(2π) 3π k k (2)μ Γr(2)μ (q ¼ , q) 1α RΛ (q ¼ , q)/(2π) γ μ Λ1 (q ¼ , q)

und den früheren Werten der Z i . Die divergenten Faktoren Z 1 Z 2 und Z 3 können wie gehabt in einer Redefinition der Ladung und der strahlungskorrigierten Feldamplituden absorbiert werden. Die Feynman-Regeln der Tabelle 10.5 sind jetzt dahin(2) (2) gehend abzuändern, daß die Ersetzungen SF (q) S Fr (q), DFαβ (k) D Fr αβ (k) und (2)μ

γ μ Γr (q ¼ , q) vorgenommen und dann keinerlei Strahlungsterme zweiter Ordnung mehr berücksichtigt werden müssen.

10.11.1 Uehling-Potential Ein besonders einfaches Beispiel für eine physikalische Auswirkung des regulären Beitrags RΠ (k ) zur Selbstenergie des Photons bietet ein externes Potential A0 Φ/c, das wie innere und äußere Photonlinien durch die Photonenselbstenergie beeinflußt wird. Das zugehörige Feynman-Diagramm entspricht dem linken, horizontal verlaufenden Teil der Abb. 10.19. Wie A0 modifiziert werden muß, können wir der Ersetzung (10.85) mit (10.86) für eine innere Photonlinie entnehmen, wenn wir in dieser 2 d 4k i DFαβ (k) unter Ignorieren des Index β durch A α (k) ersetzen und anschließend (2π)4 Al 0 setzen. Auf diese Weise erhalten wir mit Unterdrückung des ε-Terms in DFαμ (k) Aα

A¼α

A α i DFαμ (k) i Π(2)μν A ν

(9.88)

Aα

hμ 0c gαμ Π(2)μν Aν . (10.140) k k

Mit (10.107), unter Berücksichtigung der in Abschn. 10.10.1 bewiesenen Tatsache, daß der zu k μ k ν proportionale Anteil von Π(2)μν keine physikalischen Auswirkungen hat und daher weggelassen werden darf, sowie unter Weglassen des in die Renormierung aufgegangenen 1/δ-Terms erhalten wir daraus ¼

Aα

Aα

e2 μ0 c gαμ g μν RΠ (k ) Aν 6π 2 h

1

e 2 μ0 c RΠ (k ) A α 6π 2 h

350


oder mit (Q2.39) und unter Einschränkung auf A0 Φ/c 2α ¼ Φ (k) 1 (10.141) RΠ (k ) Φ(k) . 3π Mit m 0 2 c2 m 0 2 c2 z(1z)h 2 k k z(1z)h 2 k k ln ln 1 ln m 0 2 c2 4π h 2 μ2 4π h 2 μ2 21 und 0 z(1z)dz 1/6 ergibt sich aus der im Anschluß an (10.107) getroffenen Definition von RΠ (k ) 1 C 1/2 1 z(1z)h 2 k k m 0 2 c2 3 z(1 z) ln 1 ln dz . RΠ (k ) 2 2 4π h 2 μ2 m 0 2 c2 0 Da 1/δ const1/δ für δ 0 gilt, können wir uns vorstellen, daß die konstanten Beiträge zu Π(2)μν in der Renormierung aufgehen, und diese daher in Gleichung (10.141) weglassen. Aus der letzteren wird damit

2α 1 z(1z)h 2 k k Φ ¼ (k) 1 z(1z) ln 1 dz Φ(k) . π 0 m 0 2 c2 Mit der Substitution z (u 1)/2 vereinfachen wir das Integral gemäß 1 1 z(1z)h 2 k k 1 (1u 2 )h 2 k k 2 dz du z(1z) ln 1 (1 u ) ln 1 8 1 m 0 2 c2 4m 0 2 c2 0 1 2 2 2 1 1d(u u 3 /3) (1u 2 )h 2 k k u (u /31) du k k s.u. h du , ln 1 2 2 k k 2 2 8 1 du 4m 0 2 c2 2 4m 0 0 c (1u )h wobei durch eine partielle Integration der Logarithmus beseitigt und aufgrund der Sym21 21 metrie des zuletzt erhaltenen Integranden 1 du . . . 2 0 du . . . gesetzt wurde, und

erhalten α h 2 k k 1 u 2 (u 2 /31) du Φ (k) 1 Φ(k) . 2 2 2 2 k k π 0 4m 0 c (1u )h Für die Fourier-Transformierte des statischen Potentials Φ(x) gilt Φ(k)

Φ(x) ei k x

2

d 4x (2π)2

eik0 x0

Ze 4πε0 x

d x0 (2π)1/2

Φ(x) ei k x

d 3x (2π)3/2

δ(k0 )Z e , 2πε0 k2

wobei eik0 x0 d x 0 2πδ(k0 ) und (10.24) mit p0 und p /h k benutzt wurde. Setzen wir dies in unser letztes Ergebnis für Φ (k) ein und berücksichtigen, daß wegen des Faktors δ(k0 ) in der Klammer vor Φ(k) nur der Wert k0 0 in Frage kommt, so erhalten wir mit k k k02 k2 k2 schließlich Z eα h 2 1 u 2 (1u 2 /3) Ze Φ (k) δ(k0 ) du . 2πε0 k2 2π 2 ε0 0 4m 0 2 c2 (1u 2 )h 2 k2


351

Dieses Ergebnis soll nun durch Fourier-Rücktransformation in den Ortsraum übersetzt werden, wobei klar ist, daß der erste Term wieder das Coulomb-Potential liefert. 2 Damit und mit δ(k0 ) ei k0 x0 dk0 1 ergibt sich $ % 4 4 e i k x d 3 k Z e 1 α h 2 1 i k x d k 2 u Φ (x) Φ (k) e du u (2π)2 4πε0 x 2π 3 0 3 4m 0 2 c2 (1u 2 )h 2 k2 s.u.

$ Ze 1 4πε0 x

α π

1 0

2m 0 c

u 2 )1/2 (u 2 u 4 /3) e h(1 (1u 2 ) x

x

% du ,

wobei zuletzt die in Büchern über die Fourier-Transformation nachschlagbare Formel ei k x d 3 k ea x 4π x k2 a 2 (2π)3

benutzt wurde. Mit der weiteren Substitution v 1/ 1u 2 , die das Integrationsintervall 1 v und in diesem 2 v 2 1 1 u 2 u 4 /3 1 2 dv du 1u 2 3v 2 2v zur Folge hat, ergibt sich schließlich nach Herausziehen des gemeinsamen Faktors 1/ x % $ Ze 2α v 2 1 1 2m 0 cv x /h Φ (x) dv . (10.142) 1 1 2 e 4πε0 x 3π 1 v2 2v Dieses erstmals 1935 von E. Uehling berechnete und als Uehling-Potential bezeichnete Potential enthält die durch die Vakuumpolarisation hervorgerufene Strahlungskorrektur des Coulomb-Potentials. Wir wollen das allgemein nicht weiter vereinfachbare Ergebnis (10.142) für den Fall „großer“ x -Werte, d. h. Werte, für die X 2m 0 c x /h 1 gilt, noch näherungsweise auswerten. Dazu setzen wir v 1ε und erhalten damit für das Integral in (10.142) zunächst allgemein ε(2ε) 1 J e X 1 e X ε dε . (1ε)2 2(1ε)2 0

Da e X ε wegen des großen Wertes von X mit zunehmendem ε>0 extrem schnell nach null abfällt, gibt es zum Integral nur für sehr kleine Werte von ε wesentliche Beiträge. Wir 2 können daher nach ε entwickeln underhalten in niedrigster Ordnung mit Γ (x) 0 et t x 1 dt und Γ (3/2)Γ (1/2)/2 π/2 J

3 e X

2

X t X ε 3 e ε e X ε dε

0

3 e X Γ (3/2)

2 X 3/2

3 π e X

2 X 3/2

2 2 X 3/2

.

t 0

1/2

3 e X et dt

2 X 3/2

0

t 3/21 et dt

352


Einsetzen in (10.142) liefert mit X 2m 0 c x /h Φ (x) ¼

Ze 4πε0 x

1

e 2m 0 c x /h 3/2 4 π (m 0 c x /h) α

.

(10.143)

Man erkennt, daß der das Coulomb-Potential korrigierende Klammerausdruck mit wachsenden x wegen des schnellen Abfalls der Exponentialfunktion sehr schnell 13 m gibt es gegen 1 geht. Nur in dem Intervall 0 x < 0 c)λCompt 410 h/(m 3 daher eine merkliche Korrektur, die sich grob gesehen wie δ ( x ) verhält. Sehr nahe bei x 0 verhält sich das Potential so, als wäre die das Feld erzeugende Ladung größer als e. Der Grund, warum sie nach außen abgeschwächt wird, ist die durch Elektron-Positron-Paarbildung hervorgerufene Polarisation des Vakuums, die zu einer Abschirmung der nackten Ladung in größerem Abstand führt. Wir sind einer deltaförmigen Korrektur des Coulomb-Potentials schon in der relativistischen Quantenmechanik, Gleichung (3.50), begegnet, wo auch diskutiert wurde, wie durch sie im Wasserstoffatom die Energieniveaus der Drehimpulsquantenzahl l 0 verschoben werden. Hier sei nur noch darauf hingewiesen, daß eine durch das UehlingPotential hervorgerufene Verschiebung der Energieniveaus einen Beitrag zur LambShift liefert, zu dem aufgrund anderer Strahlungskorrekturen noch weitere und zum Teil deutlich größere Beiträge hinzutreten.

10.11.2 Anomales magnetisches Moment des Elektrons Der nicht zu γ μ proportionale Anteil der Vertexkorrektur, der nach Gleichung (10.110) (2)μ in Λ1 (q , q) enthalten ist, führt zu einer Korrektur des magnetischen Moments des Elektrons bzw. Positrons. Um diese abzuleiten, betrachten wir die Wechselwirkung eines Elektrons mit einem statischen Magnetfeld. Dabei handelt es sich um eine Wechselwirkung, bei der sich wie bei der in Abschn. 10.2.2 behandelten Mott-Streuung schon in erster Ordnung der Störungsrechnung eine von null verschiedene Übergangsamplitude ergibt. Das zugehörige Feynman-Diagramm entspricht dem Diagramm der Abb. 10.3, nur daß γ 0 durch γ α und φ/c durch Aα ersetzt werden muß. Es ist unter Einschluß der Diagramme für die Strahlungskorrekturen in Abb. 10.19 wiedergegeben. (Der Vergleich mit der um 90 Grad im Uhrzeigersinn gedrehten Abb. 10.16 (c) zeigt, daß bei der Vertexkorrektur q mit p und q mit p identifiziert werden muß.) Die Berechnung der Übergangsamplitude erfolgt wie bei der Mott-Streuung, d. h. wir können das Ergebnis (10.25) übertragen, indem wir die Ersetzungen γ 0 γ α

und

Ze (2π)3/2 ε0 h p p

2

c A α ( p p)

vornehmen, wobei A α ( p p) die Fourier-Transformierte des Vektorpotentials Aα (x) ist. Auf diese Weise erhalten wir (1) Sea

(2π)5/2 i m 0 h 3 c2 Mea A α ( p p) δ(Ep Ep ) , V Ep Ep ¼

¼

Mea ec u(l , p ) γ α u(l, p) .


353

p¼

Aα

p Abb. 10.19: Ablenkung eines Elektrons an einem externen Magnetfeld.

Mea j α ist die Fourier-Transformierte der Elektronenstromdichte und j α A α die der Wechselwirkungsenergiedichte zwischen Elektronen und Magnetfeld. Jetzt berücksichtigen wir die Vertexkorrektur, indem wir γ α gemäß den Gleichungen (10.90) und (10.139) durch Γr(2)α ersetzen. Aus der Elektronenstromdichte wird dann j ¼ α ecu(l ¼ , p¼ )Γr(2)α u(l, p), und aus deren Lorentz-Transformationseigenschaften kann für sie die Struktur iΣ αβ qβ j ¼ α ec u(l ¼ , p¼ ) F1 (q 2 )γ α F2 (q 2 ) u(l, p) (10.144) 2m 0 c i α β mit (10.145) qβ pβ¼ pβ , Σ αβ γ γ γ β γ α 2 abgeleitet werden. q p¼ p ist der vom Elektron abgegebene bzw. auf das Magnetfeld übertragene Viererimpuls. Im Argument der Funktionen Fi wurde für q q der Einfachheit halber q 2 geschrieben, und es gilt q2

0.

(10.146)

Beweis: Mit p p p¼ p¼ m 20 c2 und p¼ pm ¼ c mc p¼ pmm ¼ c2 mv m ¼ v ¼ cos α ergibt sich q2 2m 20 c2

( p¼ p)2 2m 20 c2

1

p¼ p m 20 c2

1

mm ¼ m 20

1

vv ¼ cos α 1 vv ¼ /c2 1 2 c (1v 2 /c2 ) (1v ¼2 /c2 )

wegen 1 vv ¼ /c2

(1v 2 /c2 ) (1v ¼2 /c2 )

(v ¼ v)2

0.

0

Auf den allgemeinen Beweis von Gleichung (10.144) kann verzichtet werden, weil sich die angegebene Struktur von j ¼ α in der von uns benötigten Näherung weiter unten (nach dem Beweis der Beziehung (10.154)) von selbst ergeben wird. Ohne Strahlungskorrekturen gilt offensichtlich F1 (q 2 )1 und F2 (q 2 )0. Der Matrixtensor Σ αβ enthält als räumliche Komponenten die Komponenten der Spinmatrix und kann daher als Tensor für den Spin aufgefaßt werden, denn nach (2.206) gilt für zyklische l, m, n der Zusammenhang Σn

i γ lγ m

(2.204)

i l m (10.145b) (γ γ γ m γ l ) Σ lm , 2

354


der auch in der Form Σkl

εklm Σ m

(10.147)

geschrieben werden kann. Bevor wir uns der Bestimmung der Funktionen F1 (q 2 ) und F2 (q 2 ) zuwenden, wollen wir erst untersuchen, wie das magnetische Moment des Elektrons von diesen abhängt, weil sich daraus die für sie erforderliche Genauigkeit ergeben wird. Zu dieser Untersuchung benötigen wir die Gordon-Identität 1 u(l ¼ , p¼ ) p¼ α p α i Σ αβ qβ u(l, p) , 2m 0

c u(l ¼ , p¼ ) γ α u(l, p)

(10.148)

die wie folgt bewiesen wird. Beweis: Zum Beweis benötigen wir die Gleichungen (8.190a) und (8.190b), die von den Spinoren u(l, p) und u(l ¼ , p¼ ) erfüllt werden und mit (8.187) die Form p/ u(l, p) γ α pα u(l, p) m 0 c u(l, p) ,

u(l ¼ , p¼ ) p/¼ u(l ¼ , p ¼ ) γ α pα¼ m 0 c u(l ¼ , p¼ )

(10.149)

annehmen. Aus der ersten von diesen folgt u(l, p) γ β pβ u(l, p)/(m 0 c) und daraus 1 γ α γ β pβ u(l, p) . m0 c

γ α u(l, p)

Addition der mit 2/i multiplizierten Gleichung (10.145b) zu (2.204) liefert γ α γ β g αβ i Σ αβ , womit das zuletzt erhaltene Ergebnis in γ α u(l, p)

1 α p m0c

i Σ αβ pβ u(l, p)

überführt wird. Analog folgt aus Gleichung (10.149b) u(l ¼ , p¼ ) γ α

m1 c u(l , p ) ¼

¼

0

p¼ α i Σ αβ pβ¼ .

Mit diesen Ausdrücken für γ α u(l, p) und u(l ¼ , p¼ ) γ α ergibt sich u(l ¼ , p¼ ) γ α u(l, p)

1 ¼ ¼ α 1 u(l ¼ , p¼ ) γ α u(l, p) u(l , p )γ u(l, p) 2 2 1 u(l ¼ , p¼ ) pα i Σ αβ pβ p¼ α i Σ αβ pβ¼ u(l, p) 2m 0 c

Durch Anwenden der Gordon-Identität auf den γ α -Term von j¼ α ergibt sich aus (10.144) j¼ α

2me

0

u(l ¼ , p¼ ) F1 (q 2 ) p ¼ α p α

F1 (q 2 ) F2 (q 2 ) iΣ αβ qβ u(l, p) .

Im Fall eines statischen Magnetfelds mit dem Vektorpotential Aα 0, A wird hiermit aus der Wechselwirkungsenergie j¼ α A α

2me

0

u(l ¼ , p¼ )

F1 (q 2) ( p

¼

p) A

F1 (q 2 ) F2 (q 2 ) iΣ kβ qβ A k u(l, p) .


355

Jetzt beschränken wir uns auf den Fall schwacher Wechselwirkung, bei dem p nur wenig und die Spinorquantenzahl l überhaupt nicht verändert wird, so daß wir l ¼ l haben und in q p ¼ p höchstens bis zu linearen Termen gehen müssen. Insbesondere dürfen wir dann später (10.150) ( p¼ p)( p¼ p) q q 0 setzen. Für den ersten Klammerterm von j¼ α A α erhalten wir unter dieser Annahme F1 (q 2 ) ( p¼ p) A 2F1 (0) p A . Auch im zweiten können wir q 2 0 setzen, mit q0 p0¼ p0 m 0 c m 0 c0 ergibt sich Σ kβ qβ A k

Σkl q l A k (10.147) εklm q l Σ m A k (q )k A k (q ) A (q A) , außerdem können wir in dieser Näherung noch u(l , p )u(l, p) setzen. Insgesamt ¼

erhalten wir damit j¼ α A α

2me

0

¼

2F1 (0) p A F1 (0) F2 (0) i (q A)u(l, p) u(l, p) ,

wobei für den ersten Term in eckigen Klammern die Normierungsbedingung (8.192a) benutzt worden ist. Wir wollen das letzte Ergebnis in den Ortsraum zurück übersetzen. A( p¼ p) A(q) ist die Fourier-Transformierte des Vektorpotentials A(x) und i q A(q)/h die des Magnetfelds B(x), denn es gilt iq x iq x iq x iq x e h B(x) d 3x e h rot A(x) d 3x rot (e h A) d 3x e h A d 3x

s.u.

iq x e h

A d x 3

iq h

e

i q x h

A(x) d 3x

(2π h )3/2 ihq A(q) ,

wobei im dritten Schritt unter Benutzung der in der Elektrodynamik abgeleiteten Variiq x iq x 2 D ante (E2.29) des Gaußschen Integralsatzes rot(e h A) d 3x ½ ne h A) d f 0 gesetzt wurde. Damit ergibt sich im Ortsraum die Wechselwirkungsenergie e 2F1 (0) p A(x) F1 (0) F2 (0) h B(x)u u . E ww 2m 0

Jetzt spezialisieren wir das Ergebnis noch auf nicht-relativistische Verhältnisse. Der Spinor u(l, p) besitzt dann nach Abschn. 2.8 nur zwei obere Komponenten, und mit (2.155) gilt uu ϕ ϕ , wobei ϕ ein Zweierspinor und der Erwartungswert von im Zustand ϕ ist. Unter Benutzung von Gleichung (Q7.38), 2S/h , erhalten wir schließlich E ww

eF1 (0) pm A 2me 0

0

F1 (0) F2 (0) 2 S B .

(10.151)

356


Nach der klassischen nicht-relativistischen Mechanik ist die Hamilton-Funktion für ein Teilchen der Ladung q in einem Magnetfeld mit dem Vektorpotential A ohne Berücksichtigung eines eventuellen Spins durch H

( p q A)2 2m 0

2

2mp

0

q p A m0

2

2

q2mA

0

gegeben. Für ein Elektron (Ladung q e) ergibt sich daraus die Wechselwirkungsenergie e p A/m 0 zwischen Ladung und Magnetfeld. In Anschluß an Gleichung (10.144) wurde festgestellt, daß ohne Strahlungskorrekturen F1 (q 2 ) F1 (0)1 und F2 (q 2 ) F2 (0)0 gilt. Dies zeigt, daß der erste Term in unserem Ergebnis für E ww die Wechselwirkungsenergie zwischen Ladung und Magnetfeld ist. Ohne Strahlungskorrekturen ist der zweite Term gleich B mit gs e S/(2m 0 ) und gs 2, nach (Q7.23) und (Q7.24) also die Wechselwirkungsenergie eines Spin-1/2-Teilchens der Ladung e mit dem gyromagnetischen Verhältnis 2. Bei Berücksichtigung der Strahlungskorrekturen können alle Ultraviolettdivergenzen in renormierten Größen absorbiert werden. Wenn wir dann annehmen, daß unser Ausdruck für E ww schon ausschließlich mit renormierten Größen gebildet ist, wobei wir den Index für renormierte Größen verabredungsgemäß weglassen, muß erneut F1 (0) 1

(10.152)

gelten, damit der erste Term mit der Ladungswechselwirkung des Elektrons identifiziert werden kann. Für die Wechselwirkung des Spins mit dem Magnetfeld ergibt sich damit aus dem zweiten Term das gyromagnetische Verhältnis gs

2 1 F2 (0)

.

(10.153)

Um die Auswirkungen der Strahlungskorrekturen auf das gyromagnetische Verhältnis (2)μ zu bestimmen, genügt es also, aus dem für Γr ( p¼ , p) abgeleiteten Ergebnis den Wert von F2 (0) abzuleiten. Zuvor jedoch noch eine kurze Anmerkung zu den Funktionen F1 (q 2 ) und F2 (q 2 ). Die Beziehung (10.151) läßt erwarten, daß die Wechselwirkung des Elektrons mit dem Magnetfeld oder allgemeiner mit einem elektromagnetischen Feld für q q>0 von q q abhängt. Dabei erscheint es so, als würden die Ladung und der Spin, also innere Teilcheneigenschaften, durch F1 (q 2) und F2 (q 2 ) modifiziert. Dies hat dazu geführt, die Funktionen F1 (q 2 ) und F2 (q 2 ) als Formfaktoren des Elektrons zu bezeichnen. Der physikalische Grund für die scheinbare Modifikation der inneren Struktur des Elektrons ist, daß das Elektron permanent von einem Strahlungsfeld virtueller Photonen umgeben ist, das durch die Strahlungskorrekturen berücksichtigt wird. Jetzt kommen wir zur Berechnung von F2 º0» mit Strahlungskorrektur. Dazu benötigen wir von der in Gleichung (10.144) angegebenen Zerlegung der Größe j¼ α ec u(l ¼ , p¼ ) Γr(2)α u(l, p) diejenigen Anteile von Γr(2)α , die nicht zu γ α proportio(2)μ nal sind. Nach (10.90) und (10.110) müssen diese in Λ1 (q ¼ , q) enthalten sein. Da wir nur F2 (0) bestimmen wollen, können wir uns auf den Fall schwacher Wechselwirkung beschränken, in dem die Näherung (10.150) gilt. Die etwas mühsame Auswertung


357

der Beziehung (10.109), die in dem nachfolgenden Beweis durchgeführt wird, liefert in diesem Fall α ( p¼ α p α ) α J3 α 2π γ 4πm 0 c

¼ Λ(2)α 1 ( p , p)

mit J3

2

1

dx 0

(10.154)

1 x 2 4(x y)(x y)2 dy , (x y)2 0

wobei ausgenutzt ist, daß Λ1 in jα A α zwischen den Spinoren u(l ¼ , p¼ ) (linker Hand) und u(l, p) (rechter Hand) steht – viele der im folgenden abgeleiteten Formeln gelten nur unter dieser Voraussetzung, d. h. sie sind so zu verstehen, daß man sich rechts u(l, p) und links u(l ¼ , p¼ ) als zusätzliche Faktoren hinzudenken muß. (2)α

Beweis: In u(l ¼ , p¼ ) Λ1

(2)α

( p¼ , p) u(l, p) können die beiden Spinoren unter die beiden Integrale (2)α

gezogen werden, aus denen Λ1 gemäß (10.109) berechnet werden muß. Um dann die Beziehungen (10.149) ausnutzen zu können, bringen wir mit Hilfe der Vertauschungen (2.204) 2g αβ γ β γ α pβ¼ 2 p¼α p/¼ γ α, p/ γ α 2 pα γ α p/ (10.155) γ α p/¼ γ α γ β pβ¼ p/ ganz nach rechts und p/¼ ganz nach links. Auf diese Weise erhalten wir für den (gedanklich) (2)α zwischen u(l ¼ , p¼ ) und u(l, p) gestellten Zähler Z des Integranden von Λ1 ( p¼ , p) Z (1 y)(2 p¼α p/¼ γ α ) xγ αp/m 0 cγ α γ μ (1 x) (2 pα γα p/) y p/¼ γα m 0 cγα (10.149) (1 y)(2 p¼α m 0 cγ α ) xγ αp/m 0 cγ α γ μ (1 x) (2 pα γα m 0 c) y p/¼ γα m 0 cγα 2(1 y) p¼α ym 0 cγ α xγ αp/ γ μ 2(1 x) pα xm 0 cγα y p/¼ γα 4(1 x)(1 y) p¼α γ μ pα 2x(1 y)m 0 cγ μ p/¼ 2y(1 y)γ μp/¼ p/¼

2(1

x)ym 0 c p/ γ μ x ym 20 c2 γ α γ μ γα y 2 m 0 cγ α γ μp/¼ γα

2x(1 x)/ p p/ γ μ x 2 m 0 cγ αp/ γ μ γα x yγ αp/ γ μp/¼ γα .

Unter Benutzung der Relationen (10.149) und (10.155) sowie unter Berücksichtigung der Anwendung auf u(l, p) bzw. u(l ¼ , p¼ ) findet man (Aufgabe 10.14) γ μp/¼p/¼

m 20 c2 γ μ , p/ p/ γ μ m 20 c2 γ μ ,

2γ μ , γ αp/γ μ γα 4 pμ , γ α γ μ γα

γ α γ μp/¼ γα

4 p¼ μ , γ αp/γ μp/¼ γα 2m 20 c2 γ μ ,

und durch Einsetzen in den zuletzt für Z erhaltenen Ausdruck ergibt sich Z

4(1 x)(1 y) p p¼ γ μ2x(1 y)m 0 c(2 p¼ μ m 0 cγ μ ) 2y(1 2(1 x)ym 0 c(2 pμ m 0 cγ μ ) 2x ym 20 c2 γ μ 4y 2 m 0 cp¼ μ 2x(1 x)m 20 c2 γ μ 4x 2 m 0 cpμ 2x ym 20 c2 γ μ

4m 0 c(y x y 4(1 x)(1

x 2 ) p μ 4m 0 c(x x y y 2 ) p¼ μ y) p p¼ γ μ 2 2x 2y x 2 y 2 m 20 c2 γ μ .

y)m 20 c2 γ μ

358


Aus der Annahme (10.150) folgt noch 2 p p¼

p p p¼ p ¼

p/ p/ p/¼ p/¼

(10.156)

sowie unter Berücksichtigung der Einwirkung auf u(l, p) bzw. u(l ¼ , p¼ ) und mit Hilfe einiger der in Aufgabe 10.14 abgeleiteten Beziehungen 2 p p¼ γ μ

p/ p/γ μ p/¼ p/¼ γ μ

2m 20 c2 γ μ .

Damit erhalten wir schließlich

Z 4m 0 c(y x y x 2 ) pμ 4m 0 c(x x y y 2 ) p¼ μ 2 24(x y) (x y)2 m 20 c2 γ μ . (10.157) (2)α

Zur Umformung des Nenners des Integranden von Λ1 ( p¼ , p) benutzen wir die Näherung (10.156a) und erhalten mit p pp/ p/ unter Hinzudenken der Spinoren u(l, p) bzw. u(l ¼ , p¼ ) auf der rechten bzw. linken Seite Z m 20 c2 (x y)(x 2 x y x) p p(y 2 x y y) p¼ p¼

Z N

Z/ p p/ N p p

Zm 20 c2

N p p

Z p p(x y)(x 2 x y x)( p p)2 /m 20 c2 (y 2 x y y) p p p¼ p¼ /m 20 c2

Z N p p/m 20 c2

.

Der erste und der letzte Ausdruck müssen für alle x und y übereinstimmen, was nur für p pm 20 c2 der Fall ist, d. h. im Nenner darf p p durch m 20 c2 ersetzt werden, und das Gleiche kann analog für p¼ p¼ gezeigt werden. Aus dem Nenner wird damit N

m 20 c2 (x y)2 .

(10.158)

(In dem Integral, dessen Auswertung mit Hilfe der Beziehung (10.99) zu (10.109) geführt hat, gilt N und damit wie gefordert 0.) Einsetzen von (10.157) und (10.158) in (10.109) liefert mit e2 μ0 c/(8π 2 h) α/(2π) (2)μ

Λ1 mit J1

α α J1 pμ J2 p¼ μ J γμ π m0c 2π 3

1 1 x 1 1 x y x y x 2 x x y y2 dx d y , J dx dy , 2 2 (x y) (x y)2 0 0 0 0 1 1 x 24(x y)(x y)2 J3 d x dy . (x y)2 0 0

Unter Benutzung von x x y y 2 x x(x y)(x y)2 ergibt sich 1 x 1 x 1 x 1 x x x y y2 dy dy d y x x dy xy (x y)2 0 0 (x y)2 0 0 und mit d(x 2 ln x))/d x 2x ln x x folgt hieraus 1 '1 1 1 1 ' J2 x ln x d x (x 2 ln x)' x dx 0 2 2 0 0

x ln x ,

1 . 4

Analog findet man J1 1/4. Das Integral J3 müssen wir nicht berechnen, da es mit γ μ multipliziert wird und daher nicht zu dem von uns gesuchten Wert F2 (0) beiträgt. Auf ein mit ihm verbundenes Problem wird kurz im nächsten Teilabschnitt eingegangen.


359

Um j ¼ α ec u(l ¼ , p¼ ) Γr(2)α u(l, p) in die Form (10.144) zu überführen, belassen wir alle zu γ α proportionalen Anteile einschließlich des entsprechenden, in (10.154) ¼ ¼α α angegebenen Anteils von Λ(2)α 1 ( p , p) so, wie sie sind. Den zu p p proportionalen (2)α ¼ ¼ ¼ Anteil von u(l , p ) Λ1 ( p , p) u(l, p) überführen wir dagegen mit Hilfe der GordonIdentität (10.148) bzw. u(l ¼ , p¼ ) p ¼ α pα u(l, p) u(l ¼ , p¼ ) 2m 0 cγ α i Σ αβ qβ u(l, p) in

α u(l ¼ , p¼ ) p ¼ α p α u(l, p) u(l ¼ , p¼ ) 4πm 0 c

α α α γ i Σ αβ qβ u(l, p) . 2π 4πm 0 c

Der zweite Klammerterm der rechten Seite ist der einzige nicht zu γ α proportionale Anteil von Γr(2)α und liefert zu j ¼ α ec u(l ¼ , p¼ ) Γr(2)α u(l, p) den Beitrag α i Σ αβ qβ ¼ ¼ ec u(l , p ) u(l, p) . 2π 2m 0 c Durch den Vergleich mit (10.144) ergibt sich aufgrund unserer Vernachlässigung von Termen (q q) sofort α F2 (0) , (10.159) 2π und aus (10.153) folgt hiermit für das gyromagnetische Verhältnis des Elektrons der korrigierte Wert α , (10.160) gs 2 1 2π der erstmals 1948 von J. Schwinger gefunden wurde. Heute ist gs unter Berücksichtigung von Korrekturen höherer Ordnung und der damit verbundenen Renormierungen bis zu Termen der Ordnung α3 bekannt, und für die relative Abweichung vom gyromagnetischen Verhältnis gs 2 der Dirac-Theorie ergibt sich der theoretische Wert ath

g s 2 2

0, 5

α π

0, 32848

α 2 π

1, 49

α 3 π

0, 0011596524()4 .

Der experimentell gefundene Wert liegt mitsamt seiner Fehlergrenzen innerhalb der theoretischen Fehlergrenzen, d. h. die Theorie wird in beeindruckender Weise durch das Experiment bestätigt. Daß der Wert des gyromagnetischen Verhältnisses durch die Strahlungskorrekturen erhöht wird, läßt sich qualitativ verstehen: Das Elektron emittiert und absorbiert laufend Photonen und ist damit permanent von virtuellen Photonen umgeben, deren Energie dem Energieäquivalent seiner Ruhemasse entzogen wird. Damit ist das Verhältnis e/m 0 effektiv etwas erhöht, was in gs e S/(2m 0 ) durch einen Faktor gs >2 zum Ausdruck kommt.

Infrarotkatastrophe In diesem Abschnitt soll noch kurz auf eine Schwierigkeit hingewiesen werden, die bei der Berechnung des magnetischen Moments zwar angedeutet, jedoch übergangen

360


wurde. Die Berechnung des Integrals J3 führt mit 1 x 2 4(x y)(x y)2 2 dy 4 ln x 1 x 2 x (x y) 0 zu 1 2 4 ln x 1 x d x 5, 5 2 lim ln ε . J3 ε 0 x 0 J3 enthält also eine logarithmische Singularität, und diese überträgt sich auf den Faktor F1 (0), von dem wir im letzten Abschnitt angenommen haben, er würde nach der Renormierung den Wert eins annehmen. Man könnte daran denken, diese neue Divergenz einfach in den bisherigen Renormierungsprozeß mit einzubeziehen. Nur ein Problem unter anderen wäre dabei jedoch, daß die Größe, mit der die Singularität regularisiert wird – oben ε und bei einer gleich zu erwähnenden relativistisch invarianten Regularisierung eine andere Größe – nichts mit dem zur Regularisierung der Ultraviolettdivergenzen benutzten Parameter δ zu tun hat. Die genauere Untersuchung hat gezeigt, daß diese Vorgehensweise auch nicht nötig ist, vielmehr wird die mit J3 verbundene Singularität auf physikalische Weise behoben. Im folgenden soll nur skizziert werden, wie es dazu kommt, für eine ausführliche Diskussion wird auf die Spezialliteratur verwiesen.1 (2)μ Das Integral J3 ist ein Bestandteil der Größe Λ1 , von der wir sichergestellt hatten, daß sie keine Ultraviolettdivergenz aufweist. Der Nenner ihres Integranden ist der (2)μ gleiche wie der des Integranden von Λ2 bzw. Λ(2)μ und enthält nach (10.91) wie D Fαβ (k) den Faktor k k i ε, verschwindet also für k k 0 und ε0. Es sieht zwar so aus, als wäre diese Singularität nur scheinbar, weil in Λ(2)μ über d 4 k integriert wird, tatsächlich tritt sie sich jedoch in J3 echt zum Vorschein. Am einfachsten erkennt man sie bei ihrer invarianten Regularisierung: Bei dieser ersetzt man im Nenner h 2 k k durch h 2 k k μ20 c2 und läßt später μ0 0 gehen. Das kann so interpretiert werden, als erhielte das Photon vorübergehend eine kleine Ruhemasse μ0 . (Diese müßte dann zwar auch im Zähler berücksichtigt werden, da sie jedoch als sehr klein angenommen wird, kann sie überall vernachlässigt werden, wo dadurch keine Divergenz entsteht.) Ihr wesentlicher Effekt besteht darin, daß im Nenner von J3 zu (x y)2 der Term μ20 c2 addiert wird, wodurch der divergente Teil von J3 in 2 ln(μ0 c) überführt wird. Da die Divergenz von J3 demnach auf kleine Werte von k k bzw. große Wellenlängen zurückzuführen ist, wird sie als Infrarotdivergenz bezeichnet und ihr Auftreten als Infrarotkatastrophe. (Die Ward-Identität (10.94) läßt übrigens erkennen, daß auch Σ (2) (q) von einer Infrarotdivergenz betroffen ist, weil sich die Singularität von J3 nach (10.154) auf Λ(2)α 1 (q, q) überträgt.) Um qualitativ zu verstehen, wie die Infrarotdivergenzen physikalisch behoben werden, sehen wir uns noch einmal den Prozeß an, bei dem wir auf sie gestoßen sind, die Streuung eines Elektrons an einem externen Magnetfeld (Abb. 10.19). Da bei dem von uns behandelten Prozeß alle vom Elektron abgestrahlten Photonen wieder von diesem absorbiert werden, also weder zur Quelle des Magnetfelds noch woandershin laufen – das einzige auslaufende Teilchen ist das Elektron –, handelt es sich um eine elasti1 Eine ausführliche Behandlung der Infrarotkatastrophe findet sich in den Büchern [1] und [2] der Literaturliste.

10.12 Strahlungskorrekturen höherer Ordnung und Renormierbarkeit

361

sche Streuung des Elektrons. Dieses kann jedoch auch unter Abstrahlung von Photonen inelastisch gestreut werden, – unter Emission von Zyklotronstrahlung bei der Wechselwirkung mit einem homogenen Magnetfeld, von Bremsstrahlung bei der Wechselwirkung mit dem elektrischen Feld eines Kerns oder allgemeiner einer Kombination von beidem. Bei einer inelastischen Streuung ist die experimentelle Anordnung genau die gleiche wie bei der elastischen. Nun kann bei einem Streuprozeß nie vorhergesagt werden, ob eine elastische oder inelastische Streuung stattfinden wird, das läßt sich allenfalls im Nachhinein anhand gestreuter Photonen feststellen. Allerdings besitzt jedes Meßgerät eine endliche – eventuell vom Gerät abhängige – Energieschwelle E S für die Detektion von Photonen derart, daß jedes Photon unbemerkt bleibt, dessen Energie hωk unterhalb dieser Schwelle liegt. Daher kann in einem Elektronen-Streuexperiment nach Herausrechnen aller detektierbaren Photonen immer nur der kombinierte Wirkungsquerschnitt für die elastische Streuung und alle nicht detektierbaren inelastischen Streuprozesse bestimmt werden, also der Wirkungsquerschnitt für die Summe der Diagramme, bei denen ein Elektron und kein oder ein oder zwei oder drei usw. Photonen mit Energien 0hωk E S auslaufen. Es stellt sich heraus, daß alle Diagramme mit auslaufenden Photonen für hωk 0 ebenfalls Infrarotdivergenzen aufweisen. Diese können wie die Divergenz von J3 regularisiert werden. Werden ihre Amplituden zur Amplitude des elastischen Streuprozesses addiert, so heben sich die Singularitäten insgesamt für jede endliche Schwelle E S >0 gegenseitig weg. Die bei rein elastischer Streuung erhaltene Singularität von F1 (0) wird also durch Einbeziehen unvermeidbarer physikalischer Begleitprozesse durch deren Singularitäten kompensiert, und für das effektive F1 (q 2 ) all dieser Prozesse ergibt sich F1 (0)1.

10.12 Strahlungskorrekturen höherer Ordnung und Renormierbarkeit Wir haben bisher nur die Strahlungskorrekturen niedrigster Ordnung behandelt und deren Divergenzen durch Renormierung behoben. Wie wir schon gesehen haben, treten auch in allen höheren Ordnungen der Störungsrechnung Divergenzen auf, und es fragt sich, ob auch diese alle durch Renormierung behoben werden können. Die Antwort auf diese Frage ist positiv, allerdings muß auf den Beweis dafür aus Platzgründen verzichtet werden. Der interessierte Leser wird auf die Literatur verwiesen, insbesondere auf die Bücher [11] und [14] des Literaturverzeichnisses oder auf eine besonders kompakte Darstellung in [12]. Der wesentliche Gedankengang soll jedoch wenigstens skizziert werden. Ausgangspunkt sind die Gleichungen (10.116), (10.121) und (10.123) bzw. S ¼F 1 (q) SF 1 (q) Σ(q) , Γ μ (q ¼ , q)

1 1 D ¼ F (k) DF (k) Π(k) , (10.161)

γ μ Λμ (q ¼ , q)

(10.162)

für die alle Strahlungskorrekturen umfassenden Propagatoren SF¼ (q) und D F¼ (k) bzw. Vertexfunktion Γ μ (q ¼ , q). Diese enthalten die unbekannten Größen Σ(q), Π(k) und

362


Λμ (q ¼ , q), die wir in niedrigster Ordnung ausgewertet haben, und sind natürlich divergent. Weiterhin wird die allgemeine Ward-Identität h

Λμ (q, q)

∂Σ(q) ∂q μ

(10.163)

benutzt, die nur in niedrigster Ordnung bewiesen wurde und allgemein bewiesen werden muß. Unter Ausnutzung der Gleichungen (10.161)–(10.163) kann gezeigt werden, daß alle Divergenzen wie bei den in niedrigster Ordnung erhaltenen Ergebnissen (10.139) in multiplikativen Faktoren Z 1 , Z 2 und Z 3 enthalten sind, so daß SF¼ (q) Z 2 SFr (q) ,

D F¼ (k) Z 3 DFr (k) ,

Γ μ (q ¼ , q)

μ

Γr (q ¼ , q) Z1

μ

mit regulären Größen SFr (q), DFr (k) und Γr (q ¼ , q) gilt. Die divergenten Faktoren Z 1 , Z 2 und Z 3 können wie in der niedrigsten Ordnung in (divergenten) Korrekturen der Ruhemasse und der Ladung absorbiert werden, womit man zu einer Theorie gelangt, die nur endliche Meßgrößen enthält. Quantenfelder wie die Felder der QED, bei denen alle Divergenzen durch Renormierung beseitigt werden können, heißen renormierbar. Da die Frage der Renormierbarkeit bei der Entwicklung der Quantentheorie anderer Felder eine wichtige Rolle gespielt hat, folgen hier noch einige Anmerkungen zu diesem Thema. Zu deren Verständnis ist es nützlich, wenn wir die Beziehung (10.82) für den potentiellen Divergenzgrad von Übergangsamplituden auf den Fall einer QED in d Dimensionen verallgemeinern. Statt aus (10.81) muß dieser dann aus P P d n d Fi d Pi d qδ Fi(q) PD q 2 Pi d q d q δ (Pe Pa ) Plim P P abgelesen werden und ist D

d(Fi Pi

n 1)

Fi

2Pi

(d

1)Fi

(d

2)Pi

(n 1)d .

Die Beziehungen (10.83) gelten wie früher und können wieder zur Elimination von Pi und Fi benutzt werden, was zu

d d24 n

d 1 d 2 Fa Pa 2 2 führt. (Für d 4 folgt daraus natürlich (10.84).) Das Interessante an diesem Ergebnis ist, daß die Ordnung n der Störungsrechnung, die mit der Zahl der Vertizes in Diagrammen der entsprechenden Ordnung übereinstimmt, nur für d 4 herausfällt. Bei allen anderen Dimensionen spielt sie jedoch eine wichtige Rolle. Für d 3 wird der n-Term gleich n/2 und damit negativ. Dies hat zur Folge, daß D bei gegebener Anzahl Fa und Pa externer Linie für alle n>n (Fa , Pa ) negativ wird, d. h. ab einer gewissen Ordnung n sind keine Divergenzen mehr zu erwarten. Es gibt Felder, die dasselbe Verhalten in der vierdimensionalen Raum-Zeit aufweisen. Alle derartigen Felder werden als superrenormierbar bezeichnet. Für d 5 ist der n-Term gleich n/2, d. h. der Divergenzgrad D

10.12 Strahlungskorrekturen höherer Ordnung und Renormierbarkeit

363

wird mit zunehmender Ordnung immer größer. Dies bedeutet, daß immer mehr divergente Graphen auftauchen, bis ab einer gewissen Ordnung alle Diagramme potentiell divergent sind. Eine Theorie mit diesen Eigenschaften heißt nicht-renormierbar. Auch hier gibt es wieder Felder mit derselben Eigenschaft in vier Dimensionen, z. B. ein Skalarfeld, dessen Lagrange-Dichte durch

h 2 αβ m 0 c2 2 g g (∂α φ)(∂β φ) φ φn 2m 0 2 n

mit n

5

statt (9.8) gegeben ist. Für dieses gilt D 4(n 4)V N, wenn N die Anzahl äußerer Linien und V die mit zunehmender Ordnung anwachsende Zahl von Vertizes ist (Aufgabe 10.15). Bezüglich der Renormierbarkeit gibt es also drei verschiedene Möglichkeiten: 1. Superrenormierbarkeit: Es gibt nur eine endliche Anzahl potentiell divergenter Diagramme, ab einer gewissen endlichen Ordnung gibt es keine potentiellen Divergenzen mehr. 2. Renormierbarkeit: Es gibt nur endlich viele primitiv divergente Diagramme, aber in jeder Ordnung der Störungsrechnung treten Divergenzen auf (Beispiel QED). 3. Nicht-Renormierbarkeit: Ab einer gewissen Ordnung der Störungsrechnung sind alle Diagramme divergent. Man hat lange geglaubt, daß Renormierbarkeit eine unabdingbare Eigenschaft einer physikalisch sinnvollen Feldtheorie sei. Da bislang jedoch keine renormierbare Feldtheorie der Gravitation gefunden wurde, sich andererseits aber gezeigt hat, daß in nichtrenormierbaren Theorien zumindest eine Teilrenormierung möglich ist, hat sich diese Sichtweise mittlerweile gewandelt. Näheres dazu findet der interessierte Leser im Kapitel 12 des Buches [14], Band I aus dem Literaturverzeichnis. Zum Schluß dieses Abschnitts sei noch auf ein im Zusammenhang mit der Renormierung stehendes mathematisches Problem hingewiesen. Wir sind relativ sorglos mit zwei kombinierten Grenzübergängen umgegangen, zum einen δ 0 und zum anderen dem mit der Reihenentwicklung nach α verbundenen Grenzübergang n bei der Störungsordnung n. Bei Unterdrückung der involvierten physikalischen Parameter haben wir es mit Ausdrücken der Form f (α, δ) lim N

f N (α, δ)

N

gn α n

n 0

zu tun, wobei f N (α, δ) für δ 0 gilt und die gn von δ unabhängig sind. Unser Ziel wäre es im Prinzip gewesen, zunächst für endliche Werte von δ, bei denen die f N (α, δ) noch hinreichend klein sind, die Funktion f (α, δ) zu berechnen und dann δ 0 gehen zu lassen. Stattdessen haben wir die Reihe mit N 1 abgebrochen und schon dann δ 0 gehen lassen. Hier wäre nachzuweisen, daß dies eine gute Näherung an das zuerst genannte eigentliche Ziel darstellt. Außerdem treten bei dieser Vorgehensweise Mehrdeutigkeiten auf, über die wir einfach hinweggegangen sind. Die bei der Ableitung von Gleichung (10.124) vorgenommene Umrechnung Z 1 1/ 1α/(2πδ) 1α/(2πδ) (α2 ) ist nur für α/δ 1 zulässig. Läßt

364


man jedoch δ 0 gehen, so liefert der erste Ausdruck Z 1 0, der zweite hingegen Z1 . Daß der zweite Ausdruck, für den wir uns entschieden haben, der richtige ist, läßt sich zwar mit Hilfe von Gleichung (10.106) und der Ward-Identität (10.94) rechtfertigen, denn die letztere verknüpft gerade die beiden Größen miteinander, deren Singularitäten sich bei der Renormierung in (10.135) gegenseitig wegheben. Außerdem kommt es bei den physikalisch relevanten Konsequenzen der Theorie hauptsächlich n darstellt. Dennoch bleibt nur darauf an, daß g1 α eine gute Näherung an ½ g α n 1 n ein gewisses Unbehagen, und dem Autor ist nicht bekannt, ob diese mathematische Problematik untersucht wurde und geklärt ist. Die hervorragende Übereinstimmung der berechneten mit experimentellen Ergebnissen ist allerdings ein weiterer Beleg dafür, daß alles seine Richtigkeit hat.

10.13 Quantentheorie versus Quantenfeldtheorie Wir sind im Rahmen der relativistischen Quantenmechanik des Elektrons verschiedentlich an Grenzen der Theorie gestoßen, die mit der Existenz des Positrons als Antiteilchen des Elektrons zu tun haben und darauf hinwiesen, daß die Dirac-Theorie nur in begrenztem Umfang als Ein-Teilchen-Theorie zu gebrauchen ist. Um so erstaunlicher mag es erscheinen, daß die in diesem Kapitel behandelten Streuprozesse trotz der involvierten Teilchenerzeugungs- und Vernichtungsprozesse auch ohne den von uns bemühten Formalismus der Feldquantisierung aus der relativistischen Quantenmechanik und der unquantisierten Maxwell-Theorie abgeleitet werden können. Die einzige über den Rahmen der Dirac-Theorie hinausgehende Voraussetzung ist dabei die Feynman-Stückelberg-Interpretation des Positrons als eines in der Zeit rückwärts laufenden Elektrons. Der aufwendige Weg der Feldquantisierung wurde in diesem Buch beschritten, um den Leser mit dieser wichtigen Methode vertraut zu machen, und weil die Präsentation beider Methoden zu viel Platz in Anspruch genommen hätte. Der interessierte Leser sei hier auf die noch immer sehr empfehlenswerten Bücher [1] und [2] der Literaturliste von J. D. Bjorken und S. D. Drell hingewiesen, wo er alle von uns abgeleiteten Ergebnisse einschließlich der Renormierung im Rahmen der relativistischen Quantenmechanik abgehandelt findet. Im folgenden soll wenigstens kurz skizziert werden, wie das möglich ist. Dabei wird für den Fall der Elektron-Elektron-Streuung sogar eine Übergangsamplitude berechnet. Wir schreiben die Dirac-Gleichung (2.173) in der Form

(i h ∂/ m 0 c)ψ(x)

e A/ (x)ψ(x) .

(10.164)

Ihre formale Lösung ist ψ(x)

ψ (x)

e h

h

SF (x x ) A / (x )ψ(x ) d 4x ,

(10.165)

wobei ψh (x) eine beliebige Lösung der „homogenen“ Dirac-Gleichung (Gleichung (10.164) mit A / (x) 0) und SF (x x ) der durch (9.83) definierte Feynman-Propagator

10.13 Quantentheorie versus Quantenfeldtheorie

365

des Dirac-Feldes ist, denn mit (i h ∂/ m 0 c)ψh (x)0 gilt 1 / (x ¼ )ψ(x ¼ ) d 4x ¼ (i h ∂/ m 0 c)ψ(x) e (i h ∂/ m 0 c) SF (x x ¼ ) A h (9.85) 4 ¼ e δ (x x ) A / (x ¼) ψ(x ¼ ) d 4x ¼ e A / (x)ψ(x) . Da (10.165) die gesuchte Funktion ψ(x) auch auf der rechten Seite unter dem Integral enthält, handelt es sich um eine Integralgleichung. Wird der Wechselwirkungsterm eA / (x)ψ(x) als kleine Störung aufgefaßt, so kann die Lösung iterativ oder durch Reihenentwicklung gewonnen werden, e / (x ¼ )ψh (x ¼ ) d 4x ¼ SF (x x ¼ ) A ψ(x) ψh (x) h (10.166) e2 ¼ ¼ ¼ ¼¼ ¼¼ ¼¼ 4 ¼ 4 ¼¼ SF (x x ) A / (x )SF (x x ) A / (x )ψh (x ) d x d x .. . h2 Nun treffen wir bezüglich der Wechselwirkung die gleichen Annahmen über adiabatisches Ein- und Ausschalten wie in Abschn. 9.4. Da aus (10.165) bei verschwindender Wechselwirkung ψ(x)ψh (x) folgt, könne wir ψh (x) mit dem wechselwirkungsfreien Anfangszustand ψa (x) des Systems identifizieren, und wir nehmen an, daß es sich dabei um einen Ebene-Welle-Zustand (8.166) handelt, d. h. ψh (x)ψa (x)ψl p (x, t). Damit ergibt sich aus (10.166) für den Übergang zu einem Ebene-Welle-Zustand ψe (x)ψl p (x, t) ¼

¼

Sea

ψe (x 2 ) ψ(x 2 ) d x2 3

(8.170)

ψl

¼

p¼ (x2 , t2 ) ψl p (x2 , t2 ) d

(1) (2) x2 Sea Sea

3

(1) (2) δl l δ 3 ( p p) Sea Sea ¼

mit (1) Sea (2) Sea

e h e2

/ (x ) ψl p (x , t ) d 3x2 , d x ψl p (x2 , t2 ) SF (x 2 x ) A 4

¼

h2

¼

/ (x )SF (x x ) A / (x )ψl p (x , t ) d 3x2 . d x d 4x ψl p (x2 , t2 ) SF (x 2 x ) A 4

¼

¼

Dabei ist t2 die Zeit der Bestimmung der Übergangsamplitude. Mit der Darstellung (9.79) bzw. (9.81) von SF (x 2 x ) ergibt sich für t2 >t

1 3 ψl p (x2 , t2 ) SF (x 2 x ) d 3x2 d p ψl p (x2 , t2 ) ψl p (x2 , t2 ) d 3x2 ψ l p (x , t ) i l 1 2

¼

¼

¼

(8.170)

¼

2 1 δl l δ 3 ( p p) ψ l p (x , t ) d 3 p i ¼

l 1

1 δl l ψ l p (x , t ) i 2

¼

l 1

¼

366


und analog für t2 t , ⎨ i ε ψ (x , t ) für l l p 3 ψl p (x2 , t2 ) SF (x 2 x ) d x2 l 3, 4 und t2 t2 für von null verschiedene Integranden die Übergangsamplituden Sea 0 (2) und Sea 0. Wenn wir jedoch nach Feynman und Stückelberg ein in der Zeit rückwärts laufendes Elektron negativer Energie als Positron interpretieren, müssen wir als Zeit der Bestimmung der Übergangsamplitude t2 wählen und erhalten dann für l 3, 4 von null verschiedenen Amplituden. Als konkretes Anwendungsbeispiel untersuchen wir die Elektron-ElektronStreuung. In diesem Fall sind in den Gleichungen (10.167)–(10.168) l und l entweder gleich eins oder gleich zwei, und es gilt εl 1 . Die unter den Integralen stehenden Spinoren ψ sollen das erste Elektron beschreiben, während A α (x) das von der Stromdichte j2 α (x) des zweiten Elektrons erzeugte Feld sein soll und der Gleichung D (x y) F αβ β j2 (y) d 4y A α (x) (10.169) h c ¼

genügt, weil aus dieser D (x y) F αβ β j2 (y) d 4y Aα (x) μ0 h μ0 c

(9.89) (9.90)

μ0

β

gαβ δ 4 (x y) j2 (y) d 4y

μ0 j2 α (x)

folgt. Durch Einsetzen von (10.169) wird aus (10.167) i (1) , t ) γ α ψ (x , t ) D (x x ) j β (x ) d 4x d 4x . eψ (x Sea l p l p F αβ 2 1 1 1 1 h 2 c ¼

¼

10.13 Quantentheorie versus Quantenfeldtheorie

367

Paarervernichtung

Paarerzeugung (a)

(b)

Abb. 10.20: Elektron-ElektronStreuung (a) ohne sowie (b) mit Paarerzeugung und -vernichtung. Der Kreis markiert das Wechselwirkungsgebiet.

Der in eckige Klammern gesetzte Ausdruck ist offensichtlich der Beitrag der Stromdichte des ersten Elektrons zur Übergangsamplitude. Aus Symmetriegründen muß der β Beitrag j2 (x ¼¼ ) des zweiten Elektrons die gleiche Form haben, so daß wir schließlich i e2 (1) ψ l p (x ¼ , t ¼ )γ α ψl1 p1 (x ¼ , t ¼ )DFαβ (x ¼ x ¼¼ ) Sea 1 1 h 2 c ψ l p (x ¼¼, t ¼¼ )γ β ψl2 p2 (x ¼¼, t ¼¼ ) d 4x ¼ d 4x ¼¼ ¼

¼

¼

¼

2 2

erhalten. Wird hierin (8.166) eingesetzt, so ergibt sich bis auf einen Faktor der erste Term der in der Quantenfeldtheorie berechneten Übergangsamplitude (10.42). Der unterschiedliche Faktor ist zum Teil dadurch begründet, daß zur Ableitung von (10.42) im Gegensatz zu hier diskrete Wellen benutzt wurden. Außerdem haben wir bei der jetzigen Ableitung nicht die für zwei Elektronen zu fordernde Antisymmetrie der Gesamtwellenfunktion berücksichtigt, sondern die beiden Elektronen wie unterscheidbare Teilchen behandelt. Wird das nachgeholt, so erhält man auch noch den zweiten Term von (10.42) und den korrekten Vorfaktor. Es kann als einer der Vorteile der Quantenfeldtheorie angesehen werden, daß die Symmetrieeigenschaften identischer Teilchen ohne weiteres Zutun automatisch berücksichtigt werden. In der Übergangsamplitude zweiter Ordnung (10.168) werden auch Prozesse der Elektron-Positron-Paarerzeugung und -vernichtung mit erfaßt: Da über x ¼ und x ¼¼ integriert wird, gibt es zu den Integralen Beiträge des Elektronenpropagators mit t ¼¼ >t ¼ und t ¼¼

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