Numerische Strömungsmechanik

Numerische Strömungsmechanik Joel H. Ferziger · Milovan Perić Numerische Strömungsmechanik 123 Prof. Dr. Joel H...

Author: Joel H. Ferziger | Milovan Perić

125 downloads 1556 Views 7MB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

Numerische Strömungsmechanik

Joel H. Ferziger · Milovan Perić

Numerische Strömungsmechanik

123

Prof. Dr. Joel H. Ferziger† Department of Mechanical Engineering Stanford University Stanford, CA 94305, USA

Prof. Dr. Milovan Perić CD-adapco, Zweigstelle Nürnberg Nordostpark 3–5 90411 Nürnberg [email protected]

Übersetzung aus dem Englischen von Kerstin Perić Abweichende Ergänzungen von Milovan Perić Titel der englischen Originalausgabe: Ferziger, J.H., Perić, M., Computational Methods for Fluid Dynamics, 3rd rev. ed., Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 2002

ISBN 978-3-540-67586-0

e-ISBN 978-3-540-68228-8

DOI 10.1007/978-3-540-68228-8 Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. © 2008 Springer-Verlag Berlin Heidelberg Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Herstellung: le-tex publishing services oHG, Leipzig Einbandgestaltung: eStudio Calamar S.L., F. Steinen-Broo, Girona, Spanien Gedruckt auf säurefreiem Papier 987654321 springer.com

Vorwort

Vorwort zur ersten englischen Auflage Die numerische Str¨ omungsmechanik – allgemein bekannt unter der Abk¨ urzung CFD (von computational fluid dynamics) – w¨ achst sehr schnell, gemessen sowohl an der Anzahl der Kurse an Universit¨ aten als auch an der Zahl der Forscher, die auf diesem Gebiet t¨ atig sind. Es gibt auf dem Markt einige Software-Pakete zur L¨ osung von Str¨ omungsproblemen; der Markt ist zwar nicht so groß wie der f¨ ur Strukturmechanik-Software, wo Finite-ElementeMethoden gut etabliert sind, aber er w¨ achst ständig. Der Grund f¨ ur die geringere Verbreitung der Str¨ omungsberechnung liegt darin, dass Strömungsprobleme i. Allg. schwieriger zu l¨ osen sind. Doch mehr und mehr werden CFD-Programme in der Industrie als Entwurfswerkzeuge akzeptiert. Die Anwender von CFD m¨ ussen einiges u ¨ ber die Methoden und ihre Anwendung wissen, was eine entsprechende Ausbildung von sowohl Studenten als auch Ingenieuren in der Industrie verlangt. Dieses Buch soll diesem Ziel dienen. Wir glauben, dass man f¨ ur eine erfolgreiche Anwendung der CFD u ¨ ber solide Grundkenntnisse sowohl der Str¨ omungsmechanik als auch der numerischen Methoden verf¨ ugen sollte. Deswegen raten wir den Lesern, sich die entsprechenden Kenntnisse auf diesen Gebieten anzueignen, bevor sie mit dem Studium des Materials in diesem Buch beginnen. Wir haben jedoch auch einige grundlegende Methoden in den ersten sechs Kapiteln beschrieben, um den Einstieg zu erleichtern. Das Buch basiert auf Vorlesungen, die die Autoren an der Stanford University, Universit¨ at Erlangen-N¨ urnberg und TU HamburgHarburg u ¨ber viele Jahre gehalten haben. Es reflektiert die Erfahrung der Autoren mit der Erstellung von CFD-Programmen und ihrer Anwendung in Forschung und Industrie. Einige Programme, die in den Beispielen verwendet wurden (von den einfachen, die kartesische Gitter verwenden, bis hin zu den komplizierten, die nichtorthogonale Gitter und Mehrgitter-Methoden verwenden), stehen den interessierten Lesern zur Verf¨ ugung; Informationen dar¨ uber, wie man sie aus dem Internet herunterladen kann, findet man im Anhang. Diese Programme illustrieren einige der in diesem Buch beschriebenen Methoden; sie k¨ onnen zur L¨ osung von vielen strömungsmechanischen Problemen adaptiert werden. Studenten sollten probieren, sie zu modifizieren (z. B. durch den Einbau anderer Randbedingungen, Interpolationsmethoden, Approximationen f¨ ur Ableitungen und Integrale usw.). Dies ist wichtig, da

VI

man die Methoden erst dann richtig kennenlernt, wenn man sie selbst programmiert und angewendet hat. Die Finite-Volumen-Methode wird in diesem Buch bevorzugt, aber die Finite-Differenzen-Methode ist ebenfalls aus unserer Sicht ausreichend detailliert beschrieben worden. Finite-Elemente-Methoden wurden nicht ausf¨ uhrlich erl¨ autert, da es dazu bereits viel Literatur gibt. Wir haben versucht, die wichtigsten Ideen zu jedem Thema so zu beschreiben, dass sie vom Leser verstanden werden können; wo es möglich war, haben wir auf lange mathematische Analyse verzichtet. Meistens folgt der allgemeinen Beschreibung einer Idee oder Methode eine detaillierte Beschreibung (mit den notwendigen Gleichungen) von einem oder zwei Verfahren, die zu den Besseren aus der Vielfalt der m¨ oglichen Ansätze gehören. Eine kurze Beschreibung weiterer M¨ oglichkeiten und Erweiterungen wird in den meisten F¨ allen ebenfalls gegeben. Wir haben uns bem¨ uht, die Gemeinsamkeiten der verschiedenen Methoden hervorzuheben, statt ihre Unterschiede zu betonen. Es gibt viele Publikationen, die sich mit numerischen Methoden f¨ ur Str¨ omungsmechanik besch¨ aftigen. Selbst wenn wir uns auf inkompressible Str¨ omungen beschr¨ ankt h¨ atten, w¨ are es nicht möglich gewesen, alles in einem Buch zu behandeln. Ein Versuch in diese Richtung w¨ urde beim Leser nur Verwirrung hervorrufen. Wir haben deshalb in diesem Buch nur die Methoden behandelt, die wir als n¨ utzlich erachtet haben und die in der Industrie oft verwendet werden. Hinweise zu anderen Methoden wurden aber ebenfalls gegeben. Wir haben die Notwendigkeit der Absch¨ atzung numerischer Fehler besonders betont; fast alle Beispiele in diesem Buch werden von Fehlerabschätzung begleitet. Es ist durchaus m¨ oglich, dass eine falsche Lösung vern¨ unftig aussieht (sie kann auch die richtige L¨ osung eines anderen Problems sein); sie als Lösung zu akzeptieren k¨ onnte aber verheerende Konsequenzen haben. Andererseits kann manchmal auch eine relativ ungenaue Lösung n¨ utzlich sein, wenn sie richtig interpretiert wird. Die Anwender kommerzieller Programme in der Industrie m¨ ussen lernen, die Qualit¨ at der Ergebnisse zu beurteilen, bevor sie ihnen Glauben schenken. Wir hoffen, dass dieses Buch zum Bewusstsein beitr¨ agt, dass numerische L¨ osungen immer nur Näherungslösungen sind. ¨ Wir haben versucht, einen Uberblick der modernen Methoden zu geben, inklusive direkter und Grobstruktursimulation der Turbulenz, MehrgitterMethoden, Parallelrechnen, Methoden f¨ ur bewegliche Gitter, Methoden f¨ ur Str¨ omungen mit freien Oberfl¨ achen usw. Wir konnten nat¨ urlich nicht jedes Thema im Detail behandeln, aber wir hoffen, dass die hier enthaltenen Informationen dem Leser das wesentliche Wissen vermitteln. Diejenigen, die sich f¨ ur mehr Details zu den einzelnen Themen interessieren werden Hinweise auf weitere Literatur finden. Wir haben uns große M¨ uhe gegeben, Tipp-, Grammatik- und andere Fehler zu vermeiden, aber einige sind zweifellos geblieben, um von den Lesern

VII

entdeckt zu werden. Wir sind f¨ ur Meldungen u ¨ ber alle Fehler sehr dankbar, sowie f¨ ur Anregungen zu Verbesserungen von zuk¨ unftigen Auflagen dieses Buches. Zu diesem Zweck werden die E-Mail-Adressen der Autoren unten angegeben. Wir hoffen ebenfalls, dass uns die Kollegen, deren Arbeiten nicht erw¨ ahnt wurden, verzeihen werden, da dies unbeabsichtigt war. Wir wollen uns bei allen unseren Studenten, Kollegen und Freunden, die uns auf die eine oder die andere Weise geholfen haben, dieses Buch zu vollenden, herzlich bedanken; die komplette Liste wäre zu lang, um sie hier wiederzugeben. Zu denen, die wir nicht unerw¨ ahnt lassen können, gehören Drs. ˇ Ismet Demirdˇzić, Samir Muzaferija, Zeljko Lilek, Joseph Oliger, Gene Golub, Eberhard Schreck, Volker Seidl, Kishan Shah, Fotina (Tina) Katapodes und David Briggs. Die Hilfe von unbekannten Personen, die TEX, LATEX, Linux, Xfig, Ghostscript, gnuplot und andere Werkzeuge, die uns die Arbeit erleichterten, kreiert und zur Verf¨ ugung gestellt haben, soll ebenfalls mit Dank erw¨ ahnt werden. Unsere Familien haben uns w¨ ahrend dieses Projektes großartig unterst¨ utzt; unser Dank geht an Anna, Robinson und Kerstin Perić sowie an Eva Ferziger. Die Zusammenarbeit zweier geographisch weit entfernter Kollegen wurde durch Stipendien und Preise der Deutschen Forschungsgemeinschaft und der Alexander von Humboldt-Stiftung erm¨ oglicht. Ohne diese Unterst¨ utzung w¨ are dieses Werk nie entstanden, und wir k¨ onnen diesen beiden Organisationen nicht genug daf¨ ur danken.

Milovan Perić Joel H. Ferziger

Vorwort zur Erstauflage auf Deutsch Im Jahr 2004 verstarb Herr Professor Joel H. Ferziger nach einem kurzen Krebsleiden. F¨ ur mich war sein Tod viel mehr, als der Verlust des Koautors: Er war auch einer meiner besten Freunde und ich habe von ihm so viel gelernt. . . Die Ausgabe dieses Buches auf Deutsch war von Anfang an geplant. Lei¨ der hatte sich die Fertigstellung der Ubersetzung des Manuskripts so weit ¨ verz¨ ogert, dass die Ubersetzung ins Japanische drei Jahre fr¨ uher erschien ¨ (offensichtlich war ich an dieser Ubersetzung nicht beteiligt). Die Verantwor¨ tung f¨ ur die Versp¨ atung liegt nicht am Ubersetzer, sondern an mir; da ich nach 22 Jahren des Lebens und Wirkens in Deutschland der deutschen Sprache einigermaßen m¨ achtig bin, wollte ich alles nochmals lesen, hier und da andern und erg¨ anzen. . . Nach dem Wechsel von der Universität in die Wirt¨ schaft blieb weniger Zeit f¨ ur die Arbeit an diesem Buch. Außerdem war es

VIII

¨ mir wichtig, dass dieses Buch nicht nur eine Ubersetzung der letzten (dritten) englischen Auflage wird, sondern dass es auch – wo ich es f¨ ur notwendig gehalten habe – aktualisiert wird. Insbesondere sind einige Ergänzungen zu den Themen Gittererzeugung, Gitterqualit¨ at, beliebige polyederförmige Kontrollvolumina, gekoppelte L¨ osungsmethoden und Anwendungsbeispiele hinzugekommen. Einige Programme, die in den Beispielen verwendet wurden, stehen den interessierten Lesern zur Verf¨ ugung; Informationen dar¨ uber, wie man sie aus dem Internet herunterladen kann, findet man im Anhang sowie unter www.springer.com/978-3-540-67586-0. Ich habe es vermieden, zu den kommerziellen Produkten Stellung zu nehmen; ich meine, dass ein Anwender mit guten Kenntnissen der Strömungsmechanik und der numerischen Methoden mit jedem CFD-Programm gute Ergebnisse erzielen kann (es gilt sinngem¨ aß, dass einem Anwender ohne diese Kenntnisse die beste Software nicht viel helfen kann). Trotzdem muss ich erw¨ ahnen, dass einige Beispiele in diesem Buch durch Anwendung der Softwareprodukte meines jetzigen Arbeitgebers, der Fa. CD-adapco, entstanden sind. Dem Pr¨ asidenten der Firma, Steve MacDonald, sowie dem Vizepräsidenten, Prof. David Gosman, m¨ ochte ich f¨ ur ihre Unterst¨ utzung in diesem Projekt danken. ¨ Trotz vieler Diskussionen w¨ ahrend dieses Projektes lebe ich mit der Ubersetzerin dieses schwierigen Textes immer noch gl¨ ucklich zusammen; ihre Geduld und Ausdauer muss hier geb¨ uhrend gelobt werden (danke Kerstin!). Unsere beiden Kinder, Anna und Robinson, haben ebenfalls viel Geduld und Verst¨ andnis f¨ ur diese Gemeinschaftsarbeit erbracht, wof¨ ur auch sie ein großes Dankesch¨ ohn verdienen. Trotz unserer M¨ uhe sind sicherlich einige Fehler im Buch vor uns versteckt geblieben; f¨ ur eine Mitteilung u ¨ber ihre Entdeckung und andere Verbesserungsvorschl¨ age bin ich allen Lesern, die sich melden, sehr dankbar. Mein Dank gilt auch allen Mitarbeitern und Kollegen, die mich unterst¨ utzt haben, sowie dem Verlag f¨ ur die Geduld und den Glauben an die Fertigstellung des Manuskripts. . .

Erlangen, den 13.02.2008

Milovan Perić [email protected]

Inhaltsverzeichnis

Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V

1.

Physikalische Grundlagen der Str¨ omungen . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Einf¨ uhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Erhaltungsprinzipien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Massenerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Impulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Erhaltungsgleichung f¨ ur skalare Gr¨ oßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Dimensionslose Form von Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Vereinfachte mathematische Str¨ omungsmodelle . . . . . . . . . . . . . 1.7.1 Inkompressible Str¨ omung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.2 Nichtviskose (Euler-) Str¨ omung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.3 Potentialstr¨ omung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.4 Schleichende (Stokessche) Str¨ omung . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.5 Boussinesq-Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.6 Grenzschichtapproximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.7 Modellierung komplexer Str¨ omungsphänomene . . . . . . . 1.8 Mathematische Klassifizierung von Strömungen . . . . . . . . . . . . 1.8.1 Hyperbolische Str¨ omungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.2 Parabolische Str¨ omungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.3 Elliptische Str¨ omungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.4 Gemischte Str¨ omungstypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9 Aufbau dieses Buches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 3 5 6 11 13 14 15 15 16 17 17 18 19 19 20 21 21 22 22

2.

Einf¨ uhrung in numerische Berechnungsverfahren . . . . . . . . . 2.1 L¨ osungswege f¨ ur str¨ omungsmechanische Probleme . . . . . . . . . . 2.2 Was ist CFD? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 M¨ oglichkeiten und Grenzen der numerischen Methoden . . . . . . 2.4 Komponenten einer numerischen L¨ osungsmethode . . . . . . . . . . 2.4.1 Mathematisches Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Diskretisierungsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Koordinaten- und Basisvektorsysteme . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4 Numerisches Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.5 Finite Approximationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25 25 27 28 30 30 30 31 31 36

X

Inhaltsverzeichnis

2.4.6 L¨ osungsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.7 Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Eigenschaften numerischer Berechnungsverfahren . . . . . . . . . . . 2.5.1 Konsistenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Stabilit¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.4 Konservativit¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.5 Beschr¨ anktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.6 Realisierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.7 Genauigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Diskretisierungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Finite-Differenzen-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Finite-Volumen-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.3 Finite-Elemente-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Programmiertechniken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37 37 37 37 38 39 39 40 40 41 42 42 43 44 45

3.

Finite-Differenzen-Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Grundkonzept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Approximation der ersten Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Taylor-Reihen-Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Polynomansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3 Kompakte Schemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4 Nicht¨ aquidistante Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Approximation der zweiten Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Approximation gemischter Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Approximation anderer Terme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Implementierung der Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 Das algebraische Gleichungssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9 Diskretisierungsfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10 Einf¨ uhrung in die Spektralmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10.1 Grundkonzept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10.2 Eine alternative Betrachtung der Diskretisierungsfehler 3.11 Ein Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47 47 48 50 50 52 54 56 59 63 63 64 66 70 72 72 74 76

4.

Finite-Volumen-Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Approximation von Fl¨ achenintegralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Approximation der Volumenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Interpolations- und Differentiationsmethoden . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Aufwind-Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Lineare Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3 Quadratische Aufwind-Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.4 Verfahren h¨ oherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.5 Andere Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83 83 84 87 88 89 90 91 92 95

Inhaltsverzeichnis

XI

4.5 Implementierung der Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.6 Das algebraische Gleichungssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.7 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 5.

6.

L¨ osung linearer Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Direkte Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Die Gauß-Elimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 LU-Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Tridiagonale Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.4 Zyklische Reduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Iterative Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Grundkonzept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3 Einige grundlegende Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.4 Unvollst¨ andige LU-Zerlegung: die Methode von Stone . 5.3.5 ADI und andere Zerlegungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.6 Methoden der konjugierten Gradienten . . . . . . . . . . . . . . 5.3.7 Methode der bikonjugierten Gradienten und CGSTABMethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.8 Mehrgittermethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.9 Weitere iterative L¨ oser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Gekoppelte Gleichungen und ihre L¨ osung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Simultane L¨ osung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2 Sequentielle L¨ osung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.3 Unterrelaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Nichtlineare Gleichungen und ihre L¨ osung . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1 Newton-¨ ahnliche Techniken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.2 Andere Techniken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Verz¨ ogerte Korrektur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Konvergenzkriterien und Iterationsfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

105 105 106 106 108 109 110 111 111 113 115 116 121 123

Methoden f¨ ur instation¨ are Str¨ omungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Methoden f¨ ur Anfangswertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Zwei-Ebenen-Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Pr¨ adiktor-Korrektor- und Mehrpunkte-Methoden . . . . . 6.2.3 Runge-Kutta-Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.4 Andere Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Anwendung auf die generische Transportgleichung . . . . . . . . . . 6.3.1 Explizite Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Implizite Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.3 Andere Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

157 157 157 157 161 164 165 166 167 172 177 177

127 128 134 135 135 136 137 138 138 140 141 144 149

XII

7.

8.

Inhaltsverzeichnis

L¨ osen der Navier-Stokes-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1 Spezielle Eigenschaften der Navier-Stokes-Gleichungen . . . . . . 7.1.1 Diskretisierung von Konvektions- und Viskositätstermen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2 Diskretisierung von Drucktermen und Volumenkräften 7.1.3 Erhaltungseigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Wahl der Variablenanordnung im Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Nichtversetzte Anordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2 Versetzte Anordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Berechnung des Druckes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Die Druckgleichung und ihre Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2 Ein einfaches explizites Zeitschrittverfahren . . . . . . . . . . 7.3.3 Implizite Zeitschrittverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.4 Fractional-Step-Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.5 Auf Druckkorrektur basierende implizite Methoden . . . 7.3.6 Methode der k¨ unstlichen Kompressibilität . . . . . . . . . . . 7.3.7 Stromfunktion-Wirbelst¨ arke-Methoden . . . . . . . . . . . . . . 7.4 L¨ osungsmethoden f¨ ur Navier-Stokes-Gleichungen . . . . . . . . . . . 7.4.1 Ein Implizites Verfahren basierend auf Druckkorrektur und versetzten Gittern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2 Behandlung des Druckes bei nichtversetzter Variablenanordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.3 SIMPLE-Verfahren f¨ ur nichtversetzte Gitter . . . . . . . . . 7.5 Druck und Inkompressibilit¨ at des Fluids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6 Randbedingungen f¨ ur Navier-Stokes-Gleichungen . . . . . . . . . . . 7.7 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

183 183

Berechnungsverfahren f¨ ur komplexe Str¨ omungsgebiete . . . . 8.1 Auswahl des Gitters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.1 Stufenweise Approximation mit regulären Gittern . . . . ¨ 8.1.2 Uberlappende Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.3 Randangepasste, nichtorthogonale Gitter . . . . . . . . . . . . 8.2 Gittererzeugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Auswahl der Geschwindigkeitskomponenten . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.1 Gitterorientierte Geschwindigkeitskomponenten . . . . . . 8.3.2 Kartesische Geschwindigkeitskomponenten . . . . . . . . . . . 8.4 Auswahl der Variablenanordnung auf dem Gitter . . . . . . . . . . . 8.4.1 Versetzte Anordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.2 Nichtversetzte Anordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 Finite-Differenzen-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6 Finite-Volumen-Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.1 Approximation konvektiver Fl¨ usse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.2 Approximation diffusiver Fl¨ usse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.3 Approximation der Quellterme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.4 Dreidimensionale Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

251 251 251 253 253 254 261 261 262 263 263 264 264 270 270 273 279 281

183 185 186 191 192 193 194 194 196 198 199 201 209 212 215 215 224 229 233 235 238

Inhaltsverzeichnis

XIII

8.6.5 Blockstrukturierte Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.6 Unstrukturierte Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Finite-Elemente-Methoden, basierend auf Kontrollvolumen . . Druckkorrekturgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Achsensymmetrische Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Implementierung der Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.10.1 Einstromrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.10.2 Ausstromrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.10.3 Undurchl¨ assige W¨ ande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.10.4 Symmetrieebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.10.5 Vorgegebener Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

284 288 290 292 299 302 303 303 304 307 308 309

Simulation turbulenter Str¨ omungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Direkte numerische Simulation (DNS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.1 Beispiel: R¨ aumliches Abklingen von Gitterturbulenz . . 9.3 Grobstruktursimulation (LES) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.1 Das Smagorinsky- und verwandte Modelle . . . . . . . . . . . 9.3.2 Dynamische Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.3 Entfaltungsmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.4 Beispiel: Str¨ omung um eine Kugel mit und ohne Stolperdraht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 RANS-Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.1 Reynolds-gemittelte Navier-Stokes-Gleichungen . . . . . . 9.4.2 Einfache Turbulenzmodelle und ihre Anwendungen . . . 9.4.3 Das v2f-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.4 Anwendungsbeispiel: Umstr¨ omung eines Ventils . . . . . . 9.5 Reynolds-Spannungs-Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6 Hybride Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

315 315 318 327 330 332 335 338

10. Kompressible Str¨ omungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1 Einf¨ uhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Druckkorrekturverfahren f¨ ur alle Mach-Zahlen . . . . . . . . . . . . . 10.2.1 Druck-Geschwindigkeit-Dichte-Kopplung . . . . . . . . . . . . 10.2.2 Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.3 Anwendungsbeispiele f¨ ur die Druckkorrekturmethode . 10.3 Spezielle Verfahren f¨ ur kompressible Strömungen . . . . . . . . . . . ¨ 10.3.1 Uberblick u ¨ ber einige spezielle Methoden . . . . . . . . . . . .

367 367 368 370 374 380 386 388

11. Effizienz und Genauigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Fehleranalyse und -absch¨ atzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 Fehlerbeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Fehlerabsch¨ atzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

393 393 393 397

8.7 8.8 8.9 8.10

8.11 9.

339 344 345 347 357 358 361 364

XIV

Inhaltsverzeichnis

11.1.3 Empfohlene Vorgehensweise zur Analyse numerischer Fehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gitterqualit¨ at- und Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mehrgittermethoden f¨ ur die Str¨ omungsberechnung . . . . . . . . . . Methoden mit adaptiven Gittern und lokaler Gitterverfeinerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Parallelrechnen in CFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5.1 Iterative Methoden f¨ ur lineare Gleichungssysteme . . . . 11.5.2 Gebietszerlegung im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5.3 Gebietszerlegung in der Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5.4 Effizienz des Parallelrechnens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

422 428 429 432 436 437

12. Spezielle Themen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1 Einf¨ uhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 W¨ arme- und Stoff¨ ubertragung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3 Str¨ omungen mit variablen Fluideigenschaften . . . . . . . . . . . . . . 12.4 Bewegliche Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.5 Str¨ omungen mit freien Oberfl¨ achen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.5.1 Interfaceerfassungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.5.2 Interfaceverfolgungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.5.3 Hybridmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.5.4 Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.6 CFD-Anwendungen in der Meteorologie und Ozeanographie . . 12.7 Mehrphasenstr¨ omungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.8 Verbrennung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

443 443 445 447 449 460 463 468 472 473 479 481 483

11.2 11.3 11.4 11.5

404 409 413

A. Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489 A.1 Liste der Rechenprogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489 A.2 Liste der h¨ aufig verwendeten Abk¨ urzungen . . . . . . . . . . . . . . . . 491

1. Physikalische Grundlagen der Str¨ omungen

1.1 Einfu ¨hrung Fluide sind Substanzen, deren Molekularstruktur der Wirkung äußerer Scherkräfte keinen Widerstand leistet: auch die kleinste Kraft bewirkt eine Deformation des Fluids. Obwohl große Unterschiede zwischen Fl¨ ussigkeiten und Gasen bestehen, unterliegen beide Fluidarten den gleichen Bewegungsgesetzen. F¨ ur die meisten praktischen Anwendungen kann ein Fluid als Kontinuum angenommen werden – also als eine hypothetische, kontinuierliche Substanz. Die Bewegung des Fluids (Strömung) wird durch die Wirkung äußerer Kr¨ afte verursacht. Die u ¨ blichen Ursachen der Strömung sind: Druckunterschiede, Gravitation, Scherung, Rotation und Oberflächenspannung. Die außeren Kr¨ afte können in Oberflächenkräfte (z. B. die Scherkraft des Windes ¨ auf der Meeresoberfl¨ ache oder die Druck- und Scherkräfte, die durch Bewegung eines K¨ orpers relativ zum Fluid entstehen) und Volumenkräfte (z. B. die Kr¨ afte, die infolge von Gravitation oder Rotation entstehen) unterteilt werden. W¨ ahrend sich alle Fluide unter der Einwirkung von Kräften ähnlich verhalten, unterscheiden sich ihre makroskopischen Eigenschaften erheblich. Um eine Str¨ omung studieren zu k¨ onnen, m¨ ussen diese Eigenschaften bekannt sein. Die wichtigsten sind Dichte und Viskosität (Z¨ ahigkeit), die bei jeder Strömung eine bedeutende Rolle spielen. So kann das Verhalten zweier Fluide, deren Dichte und Viskosit¨ at sich deutlich unterscheiden, bei gleicher Geometrie und Str¨ omungsgeschwindigkeit physikalisch ganz unterschiedlich sein. Andere Eigenschaften, wie z. B. die Prandtl-Zahl, spezifische Wärme oder Oberflächenspannung, beeinflussen Str¨ omungen nur unter bestimmten Bedingungen, z. B. bei großen Temperaturdifferenzen. Fluideigenschaften sind Funktionen anderer thermodynamischer Gr¨ oßen (z. B. Temperatur und Druck); obwohl es m¨ oglich ist, einige mittels statistischer Mechanik oder kinetischer Theorie abzusch¨ atzen, gewinnt man sie gew¨ ohnlich auf experimentelle Weise. Die Str¨ omungsmechanik ist ein sehr weites Feld. Man bräuchte schon eine kleine Bibliothek, um alle Themen, die sie umfasst, abzudecken. In diesem Buch gilt das Hauptinteresse den Str¨ omungen, die f¨ ur Ingenieure von Interesse sind, doch selbst dies ist ein sehr umfangreiches Gebiet, weshalb versucht wird, die Probleme, die behandelt werden, zu klassifizieren. Eine eher ma-

2


thematische, wenn auch weniger vollst¨ andige, Klassifizierung ist in Abschnitt 1.8 zu finden. Die Geschwindigkeit einer Str¨ omung beeinflusst deren Eigenschaften auf vielf¨ altige Weise. Bei ausreichend niedrigen Geschwindigkeiten kann die Tr¨ agheit des Fluids vernachl¨ assigt werden; solche Strömungen werden als schleichende Strömungen bezeichnet. Dieser Zustand ist in Strömungen, die kleine Partikel enthalten (Suspensionen), bei Durchströmung poröser Medien und in engen Passagen (Beschichtungstechnik, Mikrogeräte) zu finden. Bei h¨ oheren Geschwindigkeiten gewinnt die Tr¨ agheit an Bedeutung, doch haben alle Fluidteilchen noch geordnete Bahnen und die Strömung wird als laminar bezeichnet. Eine weitere Erh¨ ohung der Geschwindigkeit kann zu Instabilität f¨ uhren, was schließlich eine ungeordnete, turbulente Strömung zur Folge hat. Die Transition von laminarer zu turbulenter Strömung ist ein eigenes, wichtiges Gebiet. Des Weiteren entscheidet das Verhältnis zwischen der Strömungsgeschwindigkeit und der Schallgeschwindigkeit im Fluid (die Mach-Zahl), ob der Austausch zwischen der kinetischen Energie der Bewegung und der internen Freiheitsgrade ber¨ ucksichtigt werden muss. F¨ ur kleine Mach-Zahlen, Ma < 0, 3, kann die Str¨ omung als inkompressibel angenommen werden, ansonsten ist sie kompressibel. Bei Mach-Zahlen unter eins ist die Strömung subsonisch, w¨ ahrend sie bei Mach-Zahlen u ¨ber eins supersonisch ist und Stöße auftreten k¨ onnen. Bei Mach-Zahlen u unf kann die Kompression ausrei¨ ber f¨ chend hohe Temperaturen verursachen, um die chemische Natur des Fluids zu ver¨ andern; solche Str¨ omungen werden als hypersonisch bezeichnet. Diese Unterschiede beeinflussen die mathematische Natur des Problems und deswegen auch die L¨ osungsmethode. Eine Str¨ omung wird also als kompressibel oder inkompressibel in Abh¨ angigkeit von der Mach-Zahl bezeichnet, obwohl die Kompressibilit¨ at eigentlich eine Eigenschaft des Fluids ist. Diese Bezeichnung ist allgemein u omung eines kompressiblen Fluids ¨ blich, da sich die Str¨ bei kleiner Mach-Zahl von der eines inkompressiblen Fluids praktisch nicht unterscheidet. W¨ ahrend die Kompressibilit¨ at bei Fl¨ ussigkeiten meistens vernachlässigt werden kann, spielt sie bei Gasen oft eine wichtige Rolle, insbesondere in der Luft- und Raumfahrt. Bei hochfrequenten Schwingungen (Ultraschall, Wandbewegung) muss die Kompressibilit¨ at auch in Fl¨ ussigkeiten ber¨ ucksichtigt werden. In vielen Str¨ omungen sind die Effekte der Viskosität nur in Wandnähe wichtig, so dass die Str¨ omung im gr¨ oßten Teil des durchströmten Gebietes als nichtviskos angenommen werden kann. F¨ ur die in diesem Buch behandelten Fluide ist das Newtonsche Viskosit¨ atsgesetz eine gute Approximation und wird deshalb ausschließlich verwendet. Fluide, die das Newtonsche Viskosit¨ atsgesetz einhalten sind newtonsche Fluide; nichtnewtonsche Fluide sind zwar f¨ ur einige Ingenieuranwendungen von Bedeutung, werden hier jedoch nicht ausf¨ uhrlich behandelt.

1.2 Erhaltungsprinzipien

3

Viele andere Ph¨ anomene beeinflussen die Strömung von Fluiden. Dazu geh¨ oren Temperaturunterschiede, die zu Wärme¨ ubergang f¨ uhren, und Dichteunterschiede, die Auftrieb zur Folge haben. Temperatur- und Konzentrationsunterschiede k¨ onnen die Str¨ omung ganz wesentlich beeinflussen oder sogar die eigentliche Ursache der Str¨ omung sein. Phasen¨ ubergänge (Sieden, Kondensation, Schmelzen und Erstarren) f¨ uhren, wenn sie auftreten, immer zu wichtigen Ver¨ anderungen der Str¨ omung und rufen Mehrphasenströmungen hervor. Variationen anderer Eigenschaften, wie der Viskosität, Oberflächenspannung usw., k¨ onnen ebenfalls eine wichtige Rolle bei der Bestimmung der Natur der Str¨ omung spielen. Außer einigen wenigen Ausnahmen werden diese Effekte in diesem Buch jedoch nicht ber¨ ucksichtigt. In diesem Kapitel werden Grundgleichungen, die die Strömung von Fluiden und begleitende Prozesse beschreiben, in verschiedenen Formen vorgestellt: (i) eine koordinatenfreie Form, die auf verschiedene Koordinatensysteme angepasst werden kann, (ii) eine Integralform f¨ ur ein finites Kontrollvolumen, die als Ausgangspunkt f¨ ur eine wichtige Klasse von numerischen Methoden dient, und (iii) eine Differentialform (Tensorform) in einem kartesischen Bezugssystem, die die Basis f¨ ur eine andere wichtige Vorgehensweise bildet. Die grundlegenden Erhaltungsprinzipien und Gesetze, die zur Herleitung dieser Gleichungen verwendet wurden, werden hier nur kurz zusammengefasst; detailliertere Ableitungen sind in einer Reihe von Standardtexten zur Str¨ omungsmechanik zu finden (z. B. Bird et al., 1962; Slattery, 1972; White, 1986). Es wird davon ausgegangen, dass der Leser mit der Physik von Fluidstr¨ omungen und verwandten Ph¨ anomenen vertraut ist, so dass hier der Schwerpunkt auf die Techniken zur numerischen Lösung der Grundgleichungen gelegt wird.

1.2 Erhaltungsprinzipien Die Erhaltungsgesetze k¨ onnen hergeleitet werden, indem man eine gegebene Menge Materie (Kontrollmasse, KM) und ihre extensiven Eigenschaften, wie Masse, Impuls und Energie, betrachtet. Diese Vorgehensweise ist in der Dynamik u ¨ blich, insbesondere wenn es um die Bewegung von Festkörpern geht, wo die Kontrollmasse (manchmal auch System genannt) leicht zu identifizieren ist. Bei einer Fluidstr¨ omung ist es jedoch schwierig, eine festgelegte Fluidmenge zu verfolgen. Es ist leichter, die Strömung in einem vorgegebenen Raum – dem sog. Kontrollvolumen (KV) – zu untersuchen, statt eine Kontrollmasse, die das Untersuchungsgebiet schnell durchquert, zu verfolgen. Diese Untersuchungsmethode wird Kontrollvolumenmethode genannt. In diesem Abschnitt geht es zun¨ achst um die Formulierung der Erhaltungsgesetze in einer Form, die f¨ ur diese Untersuchungsmethode geeignet ist. Hier werden haupts¨ achlich zwei extensive Eigenschaften – die Masse und der Impuls – betrachtet. Die Erhaltungsgleichungen f¨ ur diese und andere Gr¨ oßen haben gemeinsame Terme, die zuerst untersucht werden sollen.

4


¨ Das Erhaltungsgesetz f¨ ur eine extensive Eigenschaft setzt die Anderungsrate der Menge dieser Eigenschaft in einer gegebenen Kontrollmasse ins Verh¨ altnis zu ¨ außeren Einwirkungen. F¨ ur die Masse, die in Strömungen, die f¨ ur Ingenieure von Interesse sind, weder erzeugt noch vernichtet wird, kann die Erhaltungsgleichung folgendermaßen geschrieben werden: dm =0, dt

(1.1)

wobei m die Masse einer Kontrollmasse und t die Zeit darstellen. Der Impuls einer Kontrollmasse kann andererseits durch die Wirkung von Kr¨ aften ge¨ andert werden; die entsprechende Erhaltungsgleichung stellt das zweite Newtonsche Bewegungsgesetz dar: d(mv) = f, dt

(1.2)

wobei v die Geschwindigkeit und f die Kr¨ afte, die auf eine Kontrollmasse wirken, darstellen. Diese Gesetze werden nun in eine Kontrollvolumenform umformuliert, die in diesem Buch durchweg verwendet wird. Dabei werden die intensiven statt der extensiven Eigenschaften als Grundvariablen dienen; sie sind unabhängig von der Menge der betrachteten Materie. Beispiele sind die Dichte ρ (Masse pro Volumeneinheit) und die Geschwindigkeit v (Impuls pro Masseneinheit). Wenn φ eine beliebige intensive Erhaltungseigenschaft darstellt (f¨ ur die Massenerhaltung: φ = 1; f¨ ur die Impulserhaltung: φ = v; f¨ ur die Erhaltung eines Skalars repr¨ asentiert φ die Menge des Skalars pro Masseneinheit, z. B. die spezifische Enthalpie), dann kann die entsprechende extensive Eigenschaft Φ folgendermaßen ausgedr¨ uckt werden: Φ= ρφ dV , (1.3) VKM

wobei VKM f¨ ur das Volumen steht, das die Kontrollmasse einnimmt. Mit dieser Definition kann die linke Seite einer jeden Erhaltungsgleichung f¨ ur ein Kontrollvolumen so geschrieben werden: 1 d d ρφ dV = ρφ dV + ρφ (v − vb ) · n dS , (1.4) dt dt VKM

VKV

SKV

wo VKV das KV-Volumen ist, SKV bezeichnet die Oberfläche des Kontrollvolumens, n ist der Einheitsvektor senkrecht zu SKV und nach außen gerichtet; v ist die Fluidgeschwindigkeit und vb ist die Geschwindigkeit, mit der sich 1

Diese Gleichung wird oft Transporttheorem genannt.

Kontrollvolumen-Gleichung

oder

Reynolds-

1.3 Massenerhaltung

5

die Oberfl¨ ache des KV bewegt. F¨ ur ein festes KV, das hier in den meisten Fällen betrachtet wird, gilt vb = 0, und die erste Ableitung auf der rechten Seite wird zu einer lokalen (partiellen) Ableitung. Diese Gleichung besagt: Die ¨ Anderungsrate der Menge der extensiven Eigenschaft in der Kontrollmasse, ¨ Φ, ist gleich der Anderungsrate der Menge dieser Eigenschaft im Kontrollvolumen plus ihrem Nettofluss durch die KV-Oberfläche, hervorgerufen durch die Fluidbewegung relativ zur KV-Oberfl¨ ache. Der letzte Term wird normalerweise als konvektiver (oder manchmal advektiver) Fluss von φ durch die KV-Oberfl¨ ache bezeichnet. Wenn sich das KV so bewegt, dass die Geschwindigkeit seiner Oberfl¨ ache gleich der Fluidgeschwindigkeit ist, fallen das Kontrollvolumen und die Kontrollmasse zusammen; dann gilt v = vb , und der konvektive Fluss wird – wie verlangt – gleich null. Eine detaillierte Ableitung dieser Gleichung ist in vielen B¨ uchern u ¨ ber Str¨ omungsmechanik (z. B. bei Bird et al., 1962; Fox und McDonald, 1982) zu finden und wird hier deshalb nicht wiederholt. Die Erhaltungsgleichungen f¨ ur Masse, Impuls und skalare Gr¨ oßen werden in den nächsten drei Abschnitten vorgestellt. Der Einfachheit halber wird ein festes KV angenommen; V stellt das KV-Volumen dar und S dessen Oberfl¨ ache. Die Effekte der Kontrollvolumenbewegung werden in Kapitel 12 n¨ aher erläutert.

1.3 Massenerhaltung Die Integralform der Erhaltungsgleichung f¨ ur die Masse (bekannt auch als Kontinuit¨ atsgleichung) folgt direkt aus der Kontrollvolumen-Gleichung, indem man φ = 1 setzt: ∂ ρ dV + ρv · n dS = 0 . (1.5) ∂t V S Durch Anwendung des Gauß-Theorems auf den konvektiven Term, kann das Oberfl¨ achenintegral in ein Volumenintegral umgeformt werden. Indem man dem Kontrollvolumen erlaubt, unendlich klein zu werden, kommt man zu einer koordinatenfreien Differentialform der Kontinuitätsgleichung: ∂ρ + ∇ · (ρv) = 0 . ∂t

(1.6)

Diese Form kann in jedem Koordinatensystem in eine entsprechende Differentialform umgewandelt werden, wenn der Ausdruck f¨ ur die Divergenz in diesem Koordinatensystem substituiert wird. In vielen B¨ uchern u ¨ ber Strömungsmechanik k¨ onnen Erhaltungsgleichungen in kartesischen, polar-zylindrischen oder sph¨ arischen Koordinaten gefunden werden (z. B. Bird et al., 1962); Gleichungen in allgemeinen, nichtorthogonalen Koordinatensystemen sind z. B. bei Truesdell (1977), Aris (1989), Sedov (1971) zu finden. Im Folgenden wird die kartesische Form in Tensorschreibweise sowie ausgeschrieben dargestellt.

6


Hier und im gesamten Buch wird die Einstein-Konvention verwendet: Wenn ein Index in einem Term zweimal vorkommt, bedeutet dies eine Summation u ¨ber alle Werte, die dieser Index annehmen kann: ∂ρ ∂(ρui ) ∂ρ ∂(ρux ) ∂(ρuy ) ∂(ρuz ) + + + + =0, = ∂t ∂xi ∂t ∂x ∂y ∂z

(1.7)

wobei xi (i=1,2,3) oder (x, y, z) die kartesischen Koordinaten und ui oder (ux , uy , uz ) die kartesischen Komponenten des Geschwindigkeitsvektors v darstellen. Die Erhaltungsgleichungen in kartesischer Form werden oft verwendet und so wird es auch in diesem Buch der Fall sein. Die Differentialform der Erhaltungsgleichungen in nichtorthogonalen Koordinaten wird in Kapitel 8 vorgestellt.

1.4 Impulserhaltung Es gibt verschiedene Wege, die Impulserhaltungsgleichung herzuleiten. Einer ist die Verwendung der Kontrollvolumen-Methode, die in Abschnitt 1.2 beschrieben wurde. Dabei werden die Gleichungen (1.2) und (1.4) verwendet und φ durch v ersetzt, z. B. f¨ ur ein festes Kontrollvolumen: ∂ ρv dV + ρvv · n dS = f. (1.8) ∂t V S Um die rechte Seite durch intensive Eigenschaften auszudr¨ ucken, muss man die Kr¨ afte betrachten, die auf das Fluid in einem KV wirken: • Oberfl¨ achenkr¨ afte, z. B. Druck, normale und Scherspannungen, Oberflächenspannung; • Volumenkr¨ afte (bzw. K¨ orperkr¨ afte), z. B. Gravitation, Zentrifugal- und Coriolis-Kr¨ afte, elektromagnetische Kr¨ afte. Die Oberfl¨ achenkr¨ afte infolge von Druck und viskosen Spannungen sind – aus molekularer Sicht – die mikroskopischen Impulsfl¨ usse durch die KVOberfl¨ ache. Wenn diese Fl¨ usse nicht durch die Größen, deren Erhaltung die Gleichungen beschreiben, ausgedr¨ uckt werden können (Dichte und Geschwindigkeit), ist das Gleichungssystem nicht geschlossen; d. h. es gibt weniger Gleichungen als abh¨ angige Variablen und eine Lösung ist nicht möglich. Dies kann vermieden werden, indem man bestimmte Annahmen trifft. Die einfachste davon ist, dass das Fluid newtonisch ist; zum Gl¨ uck trifft das Newtonsche Modell bei vielen realen Fluiden zu. F¨ ur newtonsche Fluide kann der Spannungstensor T , der die molekulare Transportrate des Impulses darstellt, wie folgt ausgedr¨ uckt werden: 2 T = − p + μ ∇ · v I + 2μD , (1.9) 3

1.4 Impulserhaltung

7

wobei μ die dynamische Viskosit¨ at darstellt, I ist der Einheitstensor, p der statische Druck und D der Tensor der Deformationsrate: D=

1 ∇v + (∇v)T . 2

(1.10)

Diese zwei Gleichungen k¨ onnen in Indexschreibweise und kartesischen Koordinaten folgendermaßen geschrieben werden: 2 ∂uj Tij = − p + μ δij + 2μDij , (1.11) 3 ∂xj 1 Dij = 2

∂ui ∂uj + ∂xj ∂xi

,

(1.12)

wobei δij das Kronecker-Symbol ist (δij = 1, wenn i = j und sonst δij = 0). Bei inkompressiblen Str¨ omungen ist der zweite Term in den Klammern in Gl. (1.11) auf Grund der Kontinuit¨ atsgleichung gleich null. Die folgende Schreibweise wird in der Literatur oft zur Beschreibung des viskosen Teils des Spannungstensors verwendet: 2 τij = 2μDij − μδij ∇ · v . 3

(1.13)

Bei einigen nichtnewtonschen Fluiden kann man annehmen, dass die Viskosit¨ at eine Funktion der Deformationsrate und ggf. der Temperatur ist (ein Beispiel daf¨ ur ist das bekannte Carreau-Modell). In solchen Fällen können die gleichen L¨ osungsmethoden wie bei newtonschen Fluiden angewendet werden, da i. Allg. die Viskosit¨ at als variabel angenommen wird. F¨ ur allgemeine nichtnewtonsche Fluide (insbesondere f¨ ur die sog. viskoelastischen Fluide) ist die Beziehung zwischen dem Spannungstensor und der Geschwindigkeit durch einen Satz partieller Differentialgleichungen definiert, wodurch das Problem viel komplizierter wird. Tatsächlich gelten f¨ ur verschiedene nichtnewtonsche Fluide verschiedene konstitutive Beziehungen (Materialgesetze), die wiederum verschiedene L¨ osungsmethoden erfordern können. Dieser Bereich der Str¨ omungsmechanik ist komplex und seine Erforschung hat gerade erst begonnen. Aus diesen Gr¨ unden wird er in diesem Buch nicht weiter ber¨ ucksichtigt; die hier beschriebenen Berechnungsmethoden können oft in modifizierter Form auch f¨ ur allgemeine nichtnewtonsche Fluide angewendet werden. Wenn K¨ orperkr¨ afte (pro Masseneinheit) durch b erfasst werden, kann die Integralform der Impulserhaltungsgleichung wie folgt geschrieben werden: ∂ ρv dV + ρvv · n dS = T · n dS + ρb dV . (1.14) ∂t V S S V

8


Eine koordinatenfreie Vektorform der Impulserhaltungsgleichung (1.14) wird einfach durch Anwendung des Gauß-Theorems auf die konvektiven und diffusiven Flussterme erhalten: ∂(ρv) + ∇ · (ρvv) = ∇ · T + ρb . ∂t

(1.15)

Die entsprechende Gleichung f¨ ur die i-te kartesiche Komponente lautet: ∂(ρui ) + ∇ · (ρui v) = ∇ · ti + ρbi . ∂t

(1.16)

Da der Impuls eine Vektorgr¨ oße ist, stellen seine konvektiven und diffusiven Fl¨ usse durch die KV-Oberfl¨ ache die skalaren Produkte aus den Tensoren ρvv bzw. T und dem Oberfl¨ achenvektor n dS dar. Die Integralform der obigen Gleichungen lautet somit: ∂ ρui dV + ρui v · n dS = ti · n dS + ρbi dV , (1.17) ∂t V S S V wo (siehe Gleichungen (1.9) und (1.10)) 2 T ti = μ ∇ui + μ (∇v) · ii − p + μ ∇ · v ii = τij ij − pii . 3

(1.18)

Hier steht bi f¨ ur die i-te Komponente der Volumenkraft, das hochgestellte Zeichen T bedeutet “transponiert”, und ii ist der kartesische Einheitsvektor in Richtung der Koordinaten xi . In kartesischen Koordinaten kann der obige Ausdruck folgendermaßen geschrieben werden: ∂ui ∂uj 2 ∂uj ti = μ ij − p + μ ii . + (1.19) ∂xj ∂xi 3 ∂xj Ein Vektorfeld kann auf verschiedene Arten dargestellt werden. Die Basisvektoren, durch die der Vektor ausgedr¨ uckt wird, können lokal oder global sein. In krummlinigen Koordinatensystemen, die oft bei komplexen Geometrien erforderlich sind (siehe Kapitel 8), kann man entweder eine kovariante oder eine kontravariante Basis w¨ ahlen, siehe Abb. 1.1. Im kovarianten Fall werden die Vektoren durch Komponenten, die entlang lokaler Koordinaten gerichtet sind, ausgedr¨ uckt; im kontravarianten Fall werden Projektionen senkrecht zu den Koordinatenfl¨ achen verwendet. Im kartesischen Koordinatensystem sind die beiden Varianten identisch. Außerdem k¨ onnen die Basisvektoren dimensionslos oder dimensionsbehaftet sein. WEgen aller dieser Möglichkeiten gibt es u ¨ber 70 verschiedene Formen der Impulsgleichungen. Mathematisch sind sie alle ¨ aquivalent; aus numerischer Sicht sind einige schwieriger zu handhaben als andere. Die Impulsgleichungen werden als “in streng konservativer Form” bezeichnet, wenn alle Terme die Form der Divergenz eines Vektors oder Tensors

1.4 Impulserhaltung

[2

9

[2

v2

v2

vA

u2 v2 v1 u1 A v1

vB

u2 v2

[1

v1 u1

x2

B v1 x1

[1

Abbildung 1.1. Darstellung eines Vektors durch verschiedene Komponenten: ui – kartesische, v i – kontravariante und vi – kovariante Komponenten [vA = vB , (ui )A = (ui )B , (v i )A = (v i )B , (vi )A = (vi )B ]

haben. Dies ist f¨ ur die Komponentenform der Impulsgleichungen nur dann m¨ oglich, wenn Komponenten bezogen auf konstante Basisvektoren (z. B. kartesisch) verwendet werden. Eine koordinatenorientierte Vektorkomponente ¨ dreht sich wegen der Anderung der Koordinatenrichtung, und eine “Scheinkraft” ist erforderlich, um den Richtungswechsel zu bewirken; diese Kräfte sind im oben definierten Sinne nichtkonservativ. Bei zylindrischen Koordinaten ver¨ andern sich z. B. die Radial- und die Umfangsrichtung, so dass selbst die Komponenten eines r¨ aumlich konstanten Vektors (z. B. eines gleichmäßigen Geschwindigkeitsfeldes) mit r und θ variieren; sie werden sogar im Koordinatenursprung singul¨ ar. Um dies zu ber¨ ucksichtigen, enthalten die mittels dieser Komponenten ausgedr¨ uckten Gleichungen die Zentrifugal- und die Coriolis-Kraft als zus¨ atzliche Terme. Abbildung 1.1 zeigt einen Vektor v und dessen kontravarianten, kovarianten und kartesischen Komponenten. Es ist offensichtlich, dass sich die kontravarianten und kovarianten Komponenten a¨ndern, wenn sich die Basisvektoren ver¨ andern, obwohl der Vektor v konstant bleibt. In Kapitel 8 wird die Auswirkung der Wahl der Geschwindigkeitskomponenten auf die numerischen L¨ osungsmethoden diskutiert. Wenn die streng konservative Form der Gleichungen in einer FiniteVolumen-Methode verwendet wird, sichert dies automatisch die globale Impulserhaltung in der Berechnung. Dies ist eine wichtige Eigenschaft der Erhaltungsgleichungen und deren Beibehaltung in der numerischen Lösung ist ebenso wichtig. Die Einhaltung dieses Prinzips kann helfen, sicherzustellen, dass die numerische Methode w¨ ahrend der L¨ osung nicht divergiert und kann als eine Art “Realisierbarkeit” betrachtet werden. F¨ ur einige Str¨ omungen ist es von Vorteil, den Impuls in räumlich variable Richtungen zu zerlegen. So hat beispielsweise die Geschwindigkeit in einem zweidimensionalen Wirbel in zylindrischen Koordinaten nur eine Komponen-

10


te uθ , aber zwei Komponenten in kartesichen Koordinaten. Eine achsensymmetrische Str¨ omung ohne Drall ist, wenn sie in einem polar-zylindrischen Koordinatensystem analysiert wird, zweidimensional (2D); sie ist jedoch dreidimensional (3D), wenn ein kartesisches Koordinatensystem verwendet wird. F¨ ur einige numerische Techniken, die nichtorthogonale Koordinaten verwenden, ist der Einsatz von kontravarianten Geschwindigkeitskomponenten erforderlich. Diese Gleichungen enthalten dann sog. “Kr¨ ummungsterme”, deren numerische Berechnung oft mit großen Fehlern behaftet ist, weil sie zweite Ableitungen der Koordinaten enthalten, die bei krummlinigen Koordinaten schwer zu approximieren sind. In diesem Buch werden durchweg Geschwindigkeitsvektor und Spannungstensor durch ihre kartesischen Komponenten ausgedr¨ uckt, und es wird die konservative Form der Impulsgleichungen in kartesischen Koordinaten verwendet. Die Gleichung (1.16) ist in streng konservativer Form. Eine nichtkonservative Form dieser Gleichung kann durch Einsatz der Kontinuitätsgleichung erhalten werden; da ∇ · (ρui v) = ui ∇ · (ρv) + ρv · ∇ui , folgt daraus: ρ

∂ui + ρv · ∇ui = ∇ · ti + ρbi . ∂t

(1.20)

Der in ti enthaltene Druckterm kann ebenfalls geschrieben werden als: ∇ · (p ii ) = ∇p · ii . Der Druckgradient wird dann als Volumenkraft betrachtet; dies entspricht einer nichtkonservativen Behandlung des Drucktermes. Die nichtkonservative Form der Gleichungen wird h¨ aufig in Finite-Differenzen-Methoden verwendet, da sie etwas einfacher als die konservative Form ist. Im Grenzfall eines sehr feinen Gitters liefern alle Gleichungsformen und numerische L¨ osungsmethoden das gleiche Ergebnis; auf groben Gittern kann jedoch die nichtkonservative Form zus¨ atzliche Fehler einf¨ uhren, die signifikant werden k¨ onnen. Wenn der Ausdruck f¨ ur den viskosen Teil des Spannungstensors, Gl. (1.13), in die Gl. (1.16), geschrieben in Indexnotation und f¨ ur kartesische Koordinaten, eingesetzt wird und wenn die Schwerkraft die einzige Körperkraft ist, erh¨ alt man: ∂(ρui ) ∂(ρuj ui ) ∂τij ∂p + = − + ρgi , ∂t ∂xj ∂xj ∂xi

(1.21)

wo gi die Komponente der Erdbeschleunigung g in Richtung der kartesischen Koordinate xi darstellt.

1.5 Erhaltungsgleichung f¨ ur skalare Gr¨ oßen

11

Im Fall von konstanter Dichte und Schwerkraft kann der Term ρg als ∇(ρg · r) geschrieben werden, in dem r der Ortsvektor ist, r = xi ii (normalerweise wird angenommen, dass die Schwerkraft in die negative z-Richtung wirkt, d. h. g = gz k, wobei gz negativ ist; in diesem Fall gilt: g · r = gz z). Dann ist −ρg · r der hydrostatische Druck, und es ist bequemer – und f¨ ur die numerische L¨ osung effizienter – eine neue Variable p˜ = p − ρg · r zu definieren und als “Scheindruck” zu verwenden. Der Term ρgi verschwindet dann aus der obigen Gleichung und die Orientierung des Lösungsgebiets (horizontal, vertikal, schr¨ ag. . . ) hat damit keine Bedeutung f¨ ur die Lösung der Gleichung. Wird der tats¨ achliche statische Druck ben¨ otigt, muss man ρg·r zu p˜ addieren. Oft wird p˜ als “Arbeitsdruck” bezeichnet. Da nur der Druckgradient in der Gleichung erscheint, ist der absolute Wert des Druckes nicht wichtig, außer bei kompressiblen Strömungen. ¨ In Str¨ omungen mit ver¨ anderlicher Dichte (die Anderung der Schwerkraft kann in allen in diesem Buch untersuchten Strömungen vernachlässigt werden) kann man den Term ρgi in zwei Teile zerlegen: ρ0 gi + (ρ − ρ0 )gi , wo ρ0 eine Referenzdichte ist. Der erste Teil kann dann in den Druck, wie oben beschrieben, einbezogen werden und wenn die Dichteänderung nur noch im Schwerkraftsterm beibehalten wird, erhält man die BoussinesqApproximation, siehe Abschnitt 1.7.

1.5 Erhaltungsgleichung fu oßen ¨r skalare Gr¨ Die Integralform der Gleichung, die die Erhaltung einer Skalargröße φ beschreibt, ist analog den vorangegangenen Gleichungen und lautet: ∂ ρφ dV + ρφv · n dS = fφ , (1.22) ∂t V S wo fφ den Transport von φ durch alle Mechanismen außer Konvektion sowie jegliche Quellen oder Senken des Skalars darstellt. Diffusiver Transport ist immer vorhanden (auch in ruhenden Fluiden) und wird meistens mit der Gradienten-Approximation beschrieben, wie z. B. dem Fourier-Gesetz zur W¨ armediffusion bzw. dem Fick-Gesetz zur Massendiffusion: d fφ = Γ ∇φ · n dS , (1.23) S

wo Γ den Diffusionskoeffizienten f¨ ur die Gr¨ oße φ darstellt. Ein Beispiel ist die Energiegleichung, die f¨ ur die meisten f¨ ur Ingenieure interessanten Strömungen folgendermaßen geschrieben werden kann: ∂ ρh dV + ρhv · n dS = k ∇T · n dS + ∂t V S S ∂ (v · ∇p + S : ∇v) dV + p dV , (1.24) ∂t V V

12


wobei h die Enthalpie bezeichnet, T ist die Temperatur, k – die Wärmeleitf¨ ahigkeit, die auch mit k = μcp /Pr ausgedr¨ uckt werden kann, und S bezeichnet den viskosen Teil des Spannungstensors, S = T + pI. Pr ist die Prandtl-Zahl und cp ist die spezifische W¨ arme bei konstantem Druck. Der Quellterm repr¨ asentiert die vom Druck und den viskosen Kräften geleistete Arbeit; in inkompressiblen Str¨ omungen kann dieser Beitrag vernachlässigt werden. Eine weitere Vereinfachung ist die Annahme eines Fluids mit konstanter spezifischer W¨ arme, womit sich eine Konvektions-Diffusionsgleichung f¨ ur die Temperatur ergibt: ∂ μ ∇T · n dS . (1.25) ρT dV + ρT v · n dS = ∂t V S S Pr Die Energieerhaltung kann in vielen verschiedenen Formen dargestellt werden, je nachdem, welche physikalische Gr¨ oße als Variable betrachtet wird (Temperatur, thermische Enthalpie, totale Enthalpie, Rothalpie usw.); siehe z. B. Bird et al. (1962) f¨ ur eine Zusammenstellung und Diskussion der meisten u ¨blichen Formen. Gleichungen f¨ ur die Erhaltung chemischer Spezies haben die gleiche Form wie Gl. (1.25), wobei T durch die Konzentration c und Pr durch Sc, die Schmidt-Zahl, ersetzt werden. Da alle obigen Gleichungen gemeinsame Terme haben, ist es sinnvoll, die Erhaltungsgleichungen in einer allgemein g¨ ultigen Form zu schreiben. Die Diskretisierung und Analyse kann dann in allgemeiner Form durchgef¨ uhrt werden; wenn nötig, k¨ onnen Terme, die einer Gleichung eigen sind, gesondert bearbeitet werden. Die Integralform der generischen Erhaltungsgleichung folgt unmittelbar aus den Gleichungen (1.22) und (1.23): ∂ ρφ dV + ρφv · n dS = Γ ∇φ · n dS + qφ dV , (1.26) ∂t V S S V wo qφ Quellen oder Senken von φ bezeichnet. Die koordinatenfreie Vektorform dieser Gleichung lautet: ∂(ρφ) + ∇ · (ρφv) = ∇ · (Γ ∇φ) + qφ . ∂t

(1.27)

In kartesischen Koordinaten und Tensornotation lautet die Differentialform der generischen Erhaltungsgleichung: ∂(ρφ) ∂(ρuj φ) ∂φ ∂ + Γ + qφ . = (1.28) ∂t ∂xj ∂xj ∂xj Als Erstes werden die numerischen Verfahren f¨ ur diese generische Erhaltungsgleichung beschrieben. Besondere Eigenschaften der Kontinuitäts– und

1.6 Dimensionslose Form von Gleichungen

13

Impulsgleichungen (die u ¨ blicherweise Navier-Stokes-Gleichungen genannt werden), werden im Anschluss daran als eine Erweiterung dieser Verfahren f¨ ur die generische Erhaltungsgleichung beschrieben.

1.6 Dimensionslose Form von Gleichungen Experimentelle Untersuchungen werden meist an Modellen durchgef¨ uhrt. Die Ergebnisse werden dann in dimensionsloser Form dargestellt, um eine einfache Skalierung zu den wirklichen Str¨ omungsbedingungen zu ermöglichen. Der gleiche Weg kann f¨ ur numerische Untersuchungen gewählt werden. Die Grundgleichungen k¨ onnen mittels einer passenden Skalierung in eine dimensionslose Form umgewandelt werden. So k¨ onnen beispielsweise Geschwindigkeiten mit einer Referenzgeschwindigkeit v0 skaliert werden, Raumkoordinaten mit einer Referenzl¨ ange L0 , Zeit mit einer Referenzzeit t0 , der Druck mit ρv02 und die Temperatur mit einer Referenztemperaturdifferenz T1 − T0 . Die dimensionslosen Variablen sind dann: t∗ =

t ; t0

x∗i =

xi ; L0

u∗i =

ui ; v0

p∗ =

p ; ρv02

T∗ =

T − T0 . T1 − T0

Wenn die Stoffwerte konstant sind, haben die Kontinuitäts-, Impuls- und die Temperaturgleichung die folgende dimensionslose Form: ∂u∗i =0, ∂x∗i

(1.29)

St

∂(u∗j u∗i ) 1 ∂ 2 u∗i ∂p∗ 1 ∂u∗i + = − ∗ + 2 γi , ∗ ∗2 ∗ ∂t ∂xj Re ∂xj ∂xi Fr

(1.30)

St

∂(u∗j T ∗ ) ∂T ∗ 1 ∂2T ∗ + = . ∂t∗ ∂x∗j Re Pr ∂x∗2 j

(1.31)

Die folgenden dimensionlosen Kennzahlen tauchen in den obigen Gleichungen auf: St =

L0 ; v0 t0

Re =

ρv0 L0 ; μ

v0 Fr = √ . L0 g

Dies sind die Strouhal-Zahl, die Reynolds-Zahl und die Froude-Zahl; γi ist die Komponente des skalierten Vektors der Erdbeschleunigung in Richtung der Koordinaten xi . F¨ ur nat¨ urliche Konvektion wird oft die Boussinesq-Approximation verwendet; in diesem Fall wird der letzte Term in der Impulsgleichung zu: Ra T ∗ γi , Re2 Pr

14


wobei Ra die Rayleigh-Zahl ist, die folgendermaßen definiert ist: Ra =

ρ2 gβ(T1 − T0 )L30 Pr , μ2

und β ist der Koeffizient der thermischen Ausdehnung. Die Auswahl der Skalierungsgr¨ oßen ist bei einfachen Strömungen offensichtlich; v0 ist die mittlere Geschwindigkeit und L0 ist ein geometrisches L¨ angenmaß; T0 und T1 sind die Temperaturen der warmen und der kalten Wand. Ist die Geometrie kompliziert, sind die Fluideigenschaften nicht konstant oder die Randbedingungen instation¨ ar, dann kann die Anzahl der erforderlichen dimensionslosen Parameter zur Beschreibung einer Strömung sehr groß werden, und die Verwendung von dimensionslosen Gleichungen kann sich als nicht l¨ anger sinnvoll erweisen. Die dimensionslosen Gleichungen sind f¨ ur analytische Studien und zur Bestimmung der relativen Wichtigkeit verschiedener Terme in den Gleichungen n¨ utzlich. Sie zeigen beispielsweise, dass eine stationäre Strömung in einem Kanal oder Rohr nur von der Reynolds-Zahl abhängig ist; wenn sich jedoch die Geometrie ¨ andert, wird die Str¨ omung auch von der Form der Ränder beeinflusst. Da hier die Berechnung von Str¨ omungen in komplexen Geometrien im Vordergrund steht, wird in diesem Buch die dimensionale Form der Transportgleichungen verwendet. Die Ergebnisse einer Berechnung können immer, wenn dies sinnvoll erscheint, in dimensionsloser Form dargestellt werden.

1.7 Vereinfachte mathematische Str¨ omungsmodelle Die Erhaltungsgleichungen f¨ ur Masse und Impuls sind komplexer als sie erscheinen. Sie sind nichtlinear, gekoppelt und schwer zu lösen. Mit den vorhandenen mathematischen Mitteln ist es schwer nachzuweisen, dass eine eindeutige L¨ osung f¨ ur bestimmte Randbedingungen existiert. Erfahrung zeigt jedoch, dass die Navier-Stokes-Gleichungen die Str¨ omung eines newtonschen Fluids f¨ ur praktische Zwecke genau beschreiben. Nur f¨ ur eine kleine Anzahl von Fällen – meistens bei vollentwickelten Str¨ omungen in einfachen Geometrien, z. B. in Rohren, zwischen parallelen Platten usw. – ist es möglich, eine analytische L¨ osung der Navier-Stokes-Gleichungen zu erhalten. Diese Strömungen sind f¨ ur das Studium der Grundlagen der Str¨ omungsmechanik wichtig, aber ihre praktische Bedeutung ist begrenzt. In allen F¨ allen, in denen eine analytische Lösung möglich ist, sind viele Terme in den Gleichungen gleich null. F¨ ur andere Strömungen sind einige Terme unwichtig und k¨ onnen deshalb vernachl¨ assigt werden; diese Vereinfachung f¨ uhrt einen Fehler ein. In den meisten F¨ allen können selbst die vereinfachten Gleichungen nicht analytisch gel¨ ost werden; man muss daf¨ ur numerische Methoden verwenden. Der Rechenaufwand kann viel kleiner sein, als f¨ ur die vollen Gleichungen, was wiederum eine Rechtfertigung f¨ ur die Vereinfachung

1.7 Vereinfachte mathematische Str¨ omungsmodelle

15

ist. Im Folgenden werden einige Str¨ omungsarten genannt, f¨ ur die die Bewegungsgleichungen vereinfacht werden k¨ onnen. 1.7.1 Inkompressible Str¨ omung Die in Abschnitten 1.3 und 1.4 vorgestellten Erhaltungsgleichungen f¨ ur Masse und Impuls haben die allgemeinste Form; sie gelten, wenn sich alle Fluid- und Str¨ omungseigenschaften in Raum und Zeit ¨ andern. Bei vielen Anwendungen kann die Fluiddichte jedoch als konstant angenommen werden. Dies gilt nicht nur f¨ ur Str¨ omungen von Fl¨ ussigkeiten, deren Kompressibilität tatsächlich in den meisten F¨ allen vernachl¨ assigt werden kann, sondern auch f¨ ur Gase, wenn die Mach-Zahl unter 0,3 liegt. Solche Str¨ omungen bezeichnet man als inkompressibel. Ist die Str¨ omung außerdem noch isotherm, dann ist die Viskosität ebenfalls konstant. In diesem Fall reduzieren sich die Erhaltungsgleichungen f¨ ur die Masse und den Impuls, (1.6) und (1.16), auf: ∇·v =0 ,

(1.32)

∂ui 1 + ∇ · (ui v) = ∇ · (ν ∇ui ) − ∇ · (p ii ) + bi , ∂t ρ

(1.33)

wo ν = μ/ρ die kinematische Viskosit¨ at darstellt. Diese Vereinfachung ist i. Allg. nicht von großem Wert, da die Gleichungen kaum einfacher zu lösen sind. Sie ist jedoch bei der numerischen L¨ osung hilfreich und wird deshalb oft verwendet. Kompressibilit¨ at von Fl¨ ussigkeiten muss ber¨ ucksichtigt werden, wenn hohe Dr¨ ucke herrschen (wie z. B. in einer Dieseleinspritzanlage, wo die Dr¨ ucke heutzutage 2000 bar erreichen k¨ onnen). Hohe bzw. niedrige Dr¨ ucke können z. B. durch hochfrequente Schwingungen von Wänden (auch bei sehr kleinen Amplituden von nur wenigen Mikrometern) verursacht werden. 1.7.2 Nichtviskose (Euler-) Str¨ omung In Str¨ omungen fern von festen W¨ anden sind die Effekte der Viskosität normalerweise sehr klein. Wenn viskose Effekte v¨ ollig vernachlässigt werden, d. h. wenn man annimmt, dass der Spannungstensor durch T = −pI gegeben ist, reduzieren sich die Navier-Stokes-Gleichungen auf die Euler-Gleichungen. Die Kontinuit¨ atsgleichung ist mit (1.6) identisch, und die Impulsgleichungen lauten: ∂(ρui ) + ∇ · (ρui v) = −∇ · (p ii ) + ρbi . ∂t

(1.34)

Da das Fluid als nichtviskos angenommen wird, kann es nicht an den W¨ anden haften, was zu Schlupf an festen R¨ andern f¨ uhrt. Die Euler-Gleichungen

16


werden oft zur Untersuchung kompressibler Strömungen bei hohen MachZahlen verwendet. Bei hohen Geschwindigkeiten ist die Reynolds-Zahl sehr hoch, und viskose und turbulente Effekte sind nur in einem kleinen Gebiet in Wandn¨ ahe wichtig. Diese Str¨ omungen sind mit den Euler-Gleichungen häufig gut vorhersagbar. W¨ ahrend die Auftriebskraft auf umströmte Körper oft recht gut wiedergegeben wird, kann der Widerstand ohne empirische Angaben mit diesen Gleichungen wegen der fehlenden Reibungsverluste nicht vorhergesagt werden. Obwohl die L¨ osung der Euler-Gleichungen nicht einfach ist, ermöglicht der Umstand, dass keine Grenzschicht in Wandnähe aufgelöst werden muss, die Verwendung von gr¨ oberen Gittern. So k¨ onnen Strömungen um ganze Flugzeuge durch die L¨ osung der Euler-Gleichungen auf einem PC mit Rechenzeiten von wenigen Stunden simuliert werden; f¨ ur eine genaue Auflösung des viskosen Gebiets w¨ are ein viel h¨ oherer Rechenaufwand erforderlich. Derartige Simulationen werden zur Zeit zu Forschungszwecken durchgef¨ uhrt. Es gibt viele Methoden, die zur L¨ osung kompressibler Euler-Gleichungen entwickelt wurden. Einige von ihnen werden kurz in Kapitel 10 beschrieben. Weitere Details zu diesen Methoden sind unter anderem in den B¨ uchern von Hirsch (1991), Fletcher (1991) und Anderson et al. (1984) zu finden. Die in diesem Buch beschriebenen L¨ osungsmethoden können ebenfalls zur L¨ osung der kompressiblen Euler-Gleichungen verwendet werden. Wie in Kapitel 10 gezeigt wird, funktionieren sie genauso gut wie die Methoden, die speziell f¨ ur kompressible Str¨ omungen entwickelt wurden. 1.7.3 Potentialstr¨ omung Die Potentialstr¨ omung ist eines der einfachsten Strömungsmodelle. Wie in den Euler-Gleichungen wird ein nichtviskoses Fluid angenommen; es wird jedoch eine zus¨ atzliche Bedingung f¨ ur die Str¨ omung eingef¨ uhrt: Das Geschwindigkeitsfeld muss rotationsfrei sein, d. h: ∇×v=0.

(1.35)

Aus dieser Bedingung folgt, dass ein Geschwindigkeitspotential Φ existiert, und somit der Geschwindigkeitsvektor als v = −∇Φ definiert werden kann. Die Kontinuit¨ atsgleichung f¨ ur eine inkompressible Strömung, ∇ · v = 0, wird dann zu einer Laplace-Gleichung f¨ ur das Potential Φ: ∇ · (∇Φ) = 0 .

(1.36)

Die Impulsgleichung kann dann integriert werden, um die Bernoulli-Gleichung zu ergeben – eine algebraische Gleichung, die gelöst werden kann, wenn das Potential bekannt ist. Die Potentialstr¨ omungen werden demzufolge durch die skalare Laplace-Gleichung beschrieben. Letztere kann jedoch nicht f¨ ur beliebige Geometrien analytisch gel¨ ost werden, obwohl es analytische Lösungen f¨ ur spezielle F¨ alle gibt (gleichm¨ aßige Str¨ omung, Quelle, Senke, Wirbel usw.),

1.7 Vereinfachte mathematische Str¨ omungsmodelle

17

die auch kombiniert werden k¨ onnen, um kompliziertere Strömungen zu bilden, z. B. die Str¨ omung um einen Zylinder. F¨ ur jedes Geschwindigkeitspotential Φ kann man auch die entsprechende Stromfunktion Ψ bestimmen. Die Geschwindigkeitsvektoren verlaufen tangential zu den Stromlinien (Linien der konstanten Stromfunktion); die Stromlinien sind senkrecht zu den Linien des konstanten Potentials, womit diese Linienfamilien ein orthogonales Strömungsnetz bilden. Potentialstr¨ omungen sind in der Str¨ omungsmechanik wichtig, aber nicht sehr realistisch. So f¨ uhrt die Potentialtheorie beispielsweise zum D’AlembertParadoxon, d. h. ein K¨ orper erf¨ ahrt weder Widerstand noch Auftrieb in einer Potentialstr¨ omung. 1.7.4 Schleichende (Stokessche) Str¨ omung Wenn die Str¨ omungsgeschwindigkeit sehr klein ist, das Fluid sehr viskos ist oder die geometrischen Ausmaße sehr klein sind (d. h. wenn die ReynoldsZahl klein ist), spielen die konvektiven Terme (Trägheitsterme) in den NavierStokes-Gleichungen eine untergeordnete Rolle und können vernachlässigt werden (siehe die dimensionslose Form der Impulsgleichung, Gl. (1.30)). Die Str¨ omung wird dann von den Reibungs-, Druck- und Körperkräften bestimmt und wird schleichende Strömung genannt. Wenn Fluideigenschaften als konstant angenommen werden k¨ onnen, werden die Impulsgleichungen linear; sie werden dann u ¨ blicherweise Stokes-Gleichungen genannt. Wegen der niedrigen Geschwindigkeit kann der instation¨ are Term ebenfalls vernachlässigt werden, was eine wesentliche Vereinfachung darstellt. Die Kontinuitätsgleichung ist mit Gl. (1.32) identisch, und die Impulsgleichungen werden zu: ∇ · (μ ∇ui ) −

1 ∇ · (p ii ) + bi = 0 . ρ

(1.37)

Obwohl auch f¨ ur dieses vereinfachte Str¨ omungsmodell keine allgemeinen analytischen L¨ osungen existieren, bieten die Gleichungen wegen ihrer Linearität mehr M¨ oglichkeiten f¨ ur eine mathematische Analyse; dies ist sowohl bei der Herleitung von analytischen N¨ aherungsl¨ osungen als auch bei den Beweisen f¨ ur bestimmte Eigenschaften numerischer Methoden n¨ utzlich. Schleichende Str¨ omungen sind in por¨ osen Medien, der Beschichtungstechnologie und in Mikrofluidanlagen anzutreffen. 1.7.5 Boussinesq-Approximation In Str¨ omungen mit W¨ arme¨ ubergang sind die Fluideigenschaften normaler¨ weise temperaturabh¨ angig. Die Anderungen können klein und trotzdem die einzige Ursache f¨ ur die Fluidbewegung sein. Ist die Dichteänderung nicht groß, kann man die Dichte im instation¨ aren und im konvektiven Term als konstant annehmen und sie nur im Gravitationsterm als Variable behandeln.

18


Dies nennt man Boussinesq-Approximation. Man kann oft davon ausgehen, dass sich die Dichte linear mit der Temperatur ändert. Wenn man die Gravitationskraft infolge der mittleren Dichte in den Druckterm einschließt, wie in Abschnitt 1.4 beschrieben, kann der restliche Term folgendermaßen ausgedr¨ uckt werden: (ρ − ρ0 )gi = −ρ0 gi β(T − T0 ) ;

(1.38)

hier ist β der Koeffizient der thermischen Ausdehnung. Mit dieser Approximation werden Fehler in einer Gr¨ oßenordnung von 1 % eingef¨ uhrt, wenn die Temperaturdifferenzen beispielsweise unter 2◦ im Wasser bzw. 15◦ in der Luft liegen. Der Fehler durch die Annahme einer linearen Dichteabhängigkeit von der Temperatur kann bei gr¨ oßeren Temperaturunterschieden oder in bestimmten Temperaturbereichen auch sehr groß sein. Wenn die Strömung nur durch Dichteunterschiede getrieben wird, kann dieser Fehler dazu f¨ uhren, dass die L¨ osung sogar qualitativ falsch ist (siehe dazu ein Beispiel bei B¨ uckle und Perić, 1992). Bei Wasser kann diese Annahme im Bereich um 4◦ Celsius nicht getroffen werden, da dort die Dichte ihr Maximum hat. Die Nichtlinearität muss dann im Auftriebsterm (ρ − ρ0 )gi ber¨ ucksichtigt werden, z. B. durch Interpolation der temperaturabh¨ angigen Dichtewerte aus einer Tabelle, oder durch Ann¨ aherung der Temperaturabh¨ angigkeit mittels eines Polynoms, so dass f¨ ur jede Temperatur der passende Wert f¨ ur die Dichte bestimmt werden kann. 1.7.6 Grenzschichtapproximation Wenn die Str¨ omung eine vorherrschende Richtung hat (d. h. es gibt keine Gegenstr¨ omung oder Rezirkulation) und die Geometrie sich nur allmählich andert, dann wird die Str¨ omung haupts¨ achlich von dem beeinflusst, was ¨ stromaufw¨ arts geschieht. Beispiele daf¨ ur sind Strömungen in geraden Kanälen und Rohren sowie Str¨ omungen u ummte Wände. ¨ber ebene oder nur leicht gekr¨ Solche Str¨ omungen bezeichnet man als Grenzschichtströmungen. Die NavierStokes-Gleichungen k¨ onnen f¨ ur diese Str¨ omungen folgendermaßen vereinfacht werden: • der diffusive Impulstransport in Hauptströmungsrichtung ist viel kleiner als die Konvektion und kann vernachl¨ assigt werden; • die Geschwindigkeitskomponente in Hauptströmungsrichtung ist viel größer als die Komponenten in die anderen Richtungen; • der Druckgradient quer zur Str¨ omungsrichtung ist viel kleiner als in Richtung der Hauptstr¨ omung. Die zweidimensionalen Impulsgleichungen reduzieren sich auf: ∂(ρu1 ) ∂(ρu1 u1 ) ∂(ρu2 u1 ) ∂ 2 u1 ∂p + + =μ 2 − , ∂t ∂x1 ∂x2 ∂x2 ∂x1

(1.39)

1.8 Mathematische Klassifizierung von Str¨ omungen

19

wobei x1 die Koordinate in Richtung der Hauptströmung darstellt. Diese Gleichung muss zusammen mit der Kontinuit¨ atsgleichung gelöst werden; die Gleichung f¨ ur den Impuls quer zur Hauptstromrichtung reduziert sich auf ∂p/∂x2 = 0. Der Druck als Funktion von x1 muss durch eine Berechnung der Str¨ omung außerhalb der Grenzschicht bereitgestellt werden; diese wird normalerweise als Potentialstr¨ omung angenommen, weshalb die Grenzschichtgleichungen selbst keine vollst¨ andige Beschreibung der Strömung darstellen. Die vereinfachten Gleichungen k¨ onnen mittels Schritt-Techniken gelöst werden, ¨ ahnlich denen, die zur L¨ osung von gew¨ ohnlichen Differentialgleichungen mit Anfangsbedingungen verwendet werden. Diese Methoden sind sehr effizient, k¨ onnen jedoch nur bei Str¨ omungen ohne Ablösung mit akzeptabler Genauigkeit angewendet werden. 1.7.7 Modellierung komplexer Str¨ omungsph¨ anomene Viele praktisch interessante Str¨ omungen sind nur schwer mathematisch exakt zu beschreiben, geschweige exakt zu berechnen. Zu diesen Strömungen geh¨ oren solche, in denen Turbulenz, Verbrennung, mehrere Phasen usw. vorkommen; diese Ph¨ anomene sind sehr wichtig und oft der eigentliche Zweck der Anwendung (z. B. w¨ are die Str¨ omung im Zylinder eines Verbrennungsmotors ohne Ber¨ ucksichtigung von Verbrennung, Turbulenz, Wärme- und Stoff¨ ubertragung nutzlos). Da eine genaue Beschreibung in vielen Fällen nicht m¨ oglich bzw. nicht praktikabel ist, verwendet man in der Praxis meistens halbempirische Modelle, um diese Ph¨ anomene zu erfassen. Beispiele sind die Turbulenzmodelle (auf die genauer in Kapitel 9 eingegangen wird), Verbrennungsmodelle, Mehrphasenmodelle usw. Diese Modelle, wie auch die oben erw¨ ahnten Vereinfachungen, beeinflussen die Genauigkeit der Lösung. Die durch die verschiedenen Approximationen eingef¨ uhrten Fehler können sich gegenseitig entweder anfachen oder aufheben; aus diesem Grund sollte man bei Schlussfolgerungen aus Berechnungen, in denen physikalische Modelle verwendet wurden, vorsichtig sein. Wegen der Bedeutung verschiedener Fehlerarten in den numerischen L¨ osungen wird diesem Thema in diesem Buch ganz besondere Aufmerksamkeit gewidmet. Die Fehlertypen werden in Kapitel 2 definiert und beschrieben; ihrer Absch¨ atzung und der Bewertung numerischer L¨ osungen ist der Abschnitt 11.1 gewidmet.

1.8 Mathematische Klassifizierung von Str¨ omungen Quasilineare partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung mit zwei unabhängigen Variablen können in drei Typen unterteilt werden: hyperbolisch, parabolisch und elliptisch. Diese Einteilung basiert auf Eigenschaften von Charakteristiken-Linien, entlang welcher sich die Informationen u ¨ ber die

20


L¨ osung ausbreiten. Jede derartige Gleichung hat zwei Sätze von Charakteristiken. Die verschiedenen Eigenschaften der Gleichungen können verschiedenen Str¨ omungstypen zugeordnet werden, was in diesem Abschnitt näher erl¨ autert wird. Im hyperbolischen Fall sind die Charakteristiken reell und unterschiedlich. Dies bedeutet, dass sich die Informationen mit endlichen Geschwindigkeiten in zwei S¨ atzen von Richtungen ausbreiten. Im Allgemeinen erfolgt die Informationsausbreitung in eine bestimmte Richtung, so dass ein Wert in einem Ausgangspunkt f¨ ur jede Charakteristik gegeben sein muss; die zwei Sätze von Charakteristiken erfordern deshalb zwei Anfangsbedingungen. Wenn es Seitenr¨ ander gibt, ist normalerweise eine Bedingung in jedem Punkt erforderlich, weil eine Charakteristik Informationen aus dem Gebiet herausträgt und die andere Informationen hineinbringt. Es gibt jedoch auch Ausnahmen f¨ ur diese Regel. In parabolischen Gleichungen degenerieren die Charakteristiken zu einem einzelnen reellen Satz. Dementsprechend wird normalerweise nur eine Anfangsbedingung ben¨ otigt. An den Seitenr¨ andern ist in jedem Punkt eine Randbedingung erforderlich. Im elliptischen Fall sind schließlich die Charakteristiken imaginär oder komplex, so dass es keine bestimmten Richtungen f¨ ur die Informationsausbreitung gibt. In der Tat breiten sich Informationen gleich gut in alle Richtungen aus. Im Allgemeinen ist eine Randbedingung in jedem Punkt am Rand erforderlich und das L¨ osungsgebiet ist normalerweise geschlossen, obwohl sich ein Teil des L¨ osungsgebietes bis ins Unendliche ausdehnen kann. Instationäre Probleme sind nie rein elliptisch. Diese Unterschiede in der Natur der Gleichungen spiegeln sich in den Methoden, die zu ihrer L¨ osung verwendet werden, wider. Es ist eine wichtige, generelle Regel, dass numerische Methoden die Eigenschaften der Gleichungen ber¨ ucksichtigen sollten, die sie l¨ osen. Die Navier-Stokes-Gleichungen sind ein System nichtlinearer Gleichungen 2. Ordnung mit vier unabh¨ angigen Variablen. Folglich ist das Klassifizierungssystem nicht direkt auf sie anwendbar. Trotzdem besitzen die Navier-StokesGleichungen viele der oben beschriebenen Eigenschaften, und viele Ideen, die verwendet werden, um Gleichungen 2. Ordnung mit zwei unabhängigen Variablen zu l¨ osen, k¨ onnen auf sie angewendet werden – jedoch ist Vorsicht geboten. . . 1.8.1 Hyperbolische Str¨ omungen Zu Beginn betrachte man den Fall einer instationären, nichtviskosen, kompressiblen Str¨ omung. Im kompressiblen Fluid können sich Schallwellen und St¨ oße ausbreiten, und es u ¨ berrascht nicht, dass die Gleichungen, die solche Str¨ omungen beschreiben, im Wesentlichen einen hyperbolischen Charakter haben. Die meisten zur L¨ osung dieser Gleichungen verwendeten Methoden

1.8 Mathematische Klassifizierung von Str¨ omungen

21

basieren auf der Idee, dass die Gleichungen hyperbolisch sind und – bei entsprechender Aufmerksamkeit – funktionieren sie ganz gut. Dies sind die Methoden, auf die in Abschnitt 1.7.2 kurz hingewiesen wurde. Bei station¨ aren, kompressiblen Str¨ omungen hängt ihr Charakter von der Str¨ omungsgeschwindigkeit ab. Ist die Str¨ omung supersonisch, sind die Gleichungen hyperbolisch, w¨ ahrend sie bei einer subsonischen Strömung eigentlich elliptisch sind. Dies macht sie schwieriger zu lösen. Es sollte jedoch erw¨ ahnt werden, dass die Gleichungen f¨ ur eine viskose, kompressible Str¨ omung noch komplizierter sind. Ihr Charakter ist eine Mischung aus Elementen aller oben erw¨ ahnten Typen. Sie passen eigentlich in keinerlei Klassifizierungsschema, und numerische Methoden f¨ ur die Vorhersage von solchen Str¨ omungen sind schwerer zu entwickeln als f¨ ur nichtviskose Str¨ omungen. 1.8.2 Parabolische Str¨ omungen Die in Abschnitt 1.7.6 kurz beschriebene Grenzschichtapproximation f¨ uhrt zu einem Satz Gleichungen, der im Wesentlichen parabolischen Charakter hat. Informationen breiten sich in diesen Gleichungen nur stromabwärts aus, und sie k¨ onnen mit den Methoden gel¨ ost werden, die f¨ ur parabolische Gleichungen geeignet sind. Man sollte jedoch beachten, dass die Grenzschichtgleichungen eine Spezifizierung des Druckes verlangen, was normalerweise durch die Lösung eines Problems mit Potentialstr¨ omung erreicht wird. Subsonische Potentialstr¨ omungen werden von elliptischen Gleichungen bestimmt (im inkompressiblen Grenzfall reicht die Laplace-Gleichung aus), weshalb das Gesamtproblem eigentlich einen gemischten parabolisch-elliptischen Charakter hat. 1.8.3 Elliptische Str¨ omungen Wenn in einer Str¨ omung ein Rezirkulationsgebiet vorhanden ist, d. h. eine Fluidbewegung entgegen der Hauptstromrichtung, können sich Informationen sowohl stromauf- als auch stromabw¨ arts ausbreiten. Eine Folge dessen ist, dass Randbedingungen nur am stromauf gelegenen Rand nicht mehr ausreichen. Das Problem erh¨ alt dann einen elliptischen Charakter. Diese Situation tritt in subsonischen (einschließlich inkompressiblen) Strömungen auf und macht die L¨ osung der Gleichungen zu einer sehr schwierigen Aufgabe. Es gilt zu beachten, dass instation¨ are inkompressible Strömungen eigentlich eine Kombination aus elliptischem und parabolischem Charakter haben. Die elliptische Komponente kommt daher, dass sich Informationen in alle Richtungen im Raum ausbreiten k¨ onnen, während sich der parabolische Charakter aus dem Umstand ergibt, dass sich Informationen in der Zeit nur vorw¨ arts fortpflanzen k¨ onnen. Derartige Probleme nennt man unvollständig parabolisch.

22


1.8.4 Gemischte Str¨ omungstypen Wie gerade gezeigt wurde, gibt es Str¨ omungen, die von Gleichungen beschrieben werden, die nicht einem bestimmten Typ zugeordnet werden können. Ein anderes, wichtiges Beispiel tritt in station¨ aren transonischen Strömungen auf, d. h. in kompressiblen Str¨ omungen, die sowohl supersonische als auch subsonische Regionen beinhalten. Die supersonischen Gebiete haben hyperbolischen Charakter, w¨ ahrend die subsonischen Gebiete elliptisch sind. Dementsprechend kann es erforderlich werden, die Approximationsmethode f¨ ur die Gleichungen abh¨ angig vom lokalen Charakter der Strömung zu verändern. Um es noch schwieriger zu machen: Die einzelnen Regionen können nicht vor der Lösung der Gleichungen festgelegt werden.

1.9 Aufbau dieses Buches Dieses Buch enth¨ alt zw¨ olf Kapitel. Im Folgenden wird eine kurze Zusammenfassung der restlichen elf Kapitel gegeben. Kapitel 2 gibt eine Einf¨ uhrung in numerische Lösungsverfahren. Die Vorund Nachteile numerischer Verfahren werden diskutiert und die Möglichkeiten sowie Beschr¨ ankungen der numerischen Vorgehensweise erläutert. Dem folgt eine Beschreibung der Bestandteile numerischer Lösungsverfahren und deren Eigenschaften. Schließlich wird eine kurze Beschreibung der wesentlichen Rechenverfahren (Finite-Differenzen, Finite-Volumen und Finite-Elemente) gegeben. In Kapitel 3 werden die Finite-Differenzen-Methoden (FD) beschrieben. Hier werden die Methoden zur Approximation erster, zweiter und gemischter Ableitungen unter Verwendung der Taylor-Reihen-Entwicklung und Polynomans¨ atze vorgestellt. Die Herleitung von Methoden höherer Ordnung sowie die Behandlung nichtlinearer Terme und Ränder wird diskutiert. Aufmerksamkeit wird ebenfalls den Effekten von Gitterungleichmäßigkeit auf den Abbruchfehler sowie der Absch¨ atzung von Diskretisierungsfehlern gewidmet. Spektralmethoden werden hier ebenfalls kurz beschrieben. In Kapitel 4 wird die Finite-Volumen-Methode (FV) einschließlich der Approximation der Oberfl¨ achen- und Volumenintegrale beschrieben, sowie die Verwendung von Interpolation, um Variablenwerte und Ableitungen in Punkten außer dem Kontrollvolumenzentrum zu erhalten. Die Entwicklung von Schemata höherer Ordnung und die Vereinfachung von sich ergebenden algebraischen Gleichungen unter Verwendung der verzögerten Korrekturmethode wird ebenfalls beschrieben. Schließlich wird die Implementierung verschiedener Randbedingungen erl¨ autert. Anwendungen der grundlegenden FD- und FV-Methoden und deren Einsatz wird in den Kapiteln 3 und 4 nur f¨ ur regelmäßige kartesische Gitter beschrieben. Diese Einschr¨ ankung macht es m¨ oglich, die Effekte der geometrischen Komplexit¨ at von den Konzepten hinter den Diskretisierungstechniken

1.9 Aufbau dieses Buches

23

zu trennen. Die Behandlung komplexer Geometrien wird später, in Kapitel 8, eingef¨ uhrt. In Kapitel 5 werden Verfahren zur L¨ osung algebraischer Gleichungssysteme beschrieben, die sich aus der Diskretisierung ergeben. Direkte Verfahren werden kurz erl¨ autert, doch der Hauptteil des Kapitels behandelt iterative L¨ osungsmethoden. Besondere Aufmerksamkeit wird der unvollständigen LU-Zerlegung, den Methoden der konjugierten Gradienten und den Mehrgittermethoden gewidmet. Außerdem werden Methoden zur Lösung gekoppelter und nichtlinearer Gleichungen beschrieben, einschließlich der Themen Unterrelaxation und Konvergenzkriterien. Kapitel 6 behandelt die Verfahren zur Zeitintegration. Zuerst werden die Methoden zur L¨ osung von gew¨ ohnlichen Differentialgleichungen beschrieben, einschließlich grundlegender Methoden, Pr¨ adiktor-Korrektor, Mehrpunkteund Runge-Kutta-Methoden. Die Anwendung dieser Methoden bei instation¨ aren Transportgleichungen wird als N¨ achstes beschrieben, einschließlich der Analyse von Stabilit¨ at und Genauigkeit. Die Komplexit¨ at der Navier-Stokes-Gleichungen und ihre besonderen Eigenschaften bei inkompressiblen Str¨ omungen werden in Kapitel 7 betrachtet. Die versetzte und nichtversetzte Variablenanordnung, die Druckgleichung, Druck-Geschwindigkeitskopplung und andere Ansätze (Stromfunktion-Wirbelstärke, k¨ unstliche Kompressibilit¨ at, Teilschritt-Methode) werden beschrieben. Die auf der Druckkorrektur basierenden Lösungsmethoden f¨ ur inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen sowie versetzte und nichtversetzte kartesische Gitter werden detailliert beschrieben. Schließlich werden einige Beispiele f¨ ur die Berechnung zweidimensionaler und dreidimensionaler, laminarer Str¨ omungen pr¨ asentiert. Kapitel 8 ist der Behandlung von komplexen Geometrien gewidmet. Die Wahl des Gittertyps, Gittereigenschaften, Geschwindigkeitskomponenten und Variablenanordnungen werden diskutiert. FD- und FV-Methoden werden wieder aufgegriffen und die Besonderheiten im Zusammenhang mit komplexen Geometrien (wie nichtorthogonale und unstrukturierte Gitter, Kontrollvolumina beliebiger Form usw.) werden erl¨ autert. Besondere Aufmerksamkeit wird dabei der Druckkorrekturgleichung und den Randbedingungen gewidmet. Ein Abschnitt besch¨ aftigt sich mit den FE-Methoden, die am besten f¨ ur ihre Anwendbarkeit in komplexen Geometrien bekannt sind. Kapitel 9 besch¨ aftigt sich mit der Berechnung turbulenter Strömungen. Es werden das Wesen der Turbulenz und drei Methoden f¨ ur ihre Simulation behandelt: direkte und Grobstruktursimulation sowie Methoden, die auf Reynolds-gemittelten Navier-Stokes-Gleichungen basieren. Einige Modelle, die bei den beiden letzten Ans¨ atzen Anwendung finden, werden beschrieben. ur den Einsatz dieser Methoden präsentiert. Es werden Beispiele f¨ In Kapitel 10 werden kompressible Str¨ omungen betrachtet. Methoden, die speziell f¨ ur kompressible Str¨ omungen entwickelt wurden, werden nur kurz beschrieben. Die Erweiterung der Druckkorrekturmethode f¨ ur inkompressi-

24


ble Str¨ omungen auf kompressible Str¨ omungen wird detaillierter beschrieben. Methoden zur Behandlung von St¨ oßen (z. B. adaptive Gitter, verschiedene Limiter usw.) werden ebenfalls diskutiert. Randbedingungen f¨ ur verschiedene Arten kompressibler Str¨ omungen (subsonisch, transonisch und supersonisch) werden beschrieben. Schließlich werden Beispiele gegeben und diskutiert. Kapitel 11 ist der Genauigkeit und der Effizienz numerischer Strömungsberechnung gewidmet. Die durch Mehrgitter-Algorithmen ermöglichte erhöhte Effizienz wird zuerst beschrieben. Methoden f¨ ur adaptive Gitter und lokale Gitterverfeinerung sind Thema eines weiteren Abschnitts. Schließlich wird die Parallelisierung behandelt. Besondere Aufmerksamkeit gilt dem Parallelrechnen bei impliziten Methoden, die auf Gebietszerlegung in Raum und Zeit basieren, und der Analyse der Effizienz des Parallelrechnens. Rechenbeispiele werden verwendet, um diese Punkte zu veranschaulichen. Zum Abschluss werden in Kapitel 12 einige spezielle Themen betrachtet. Dies umfasst die Behandlung von beweglichen Rändern, die bewegliche Gitter verlangen, sowie Str¨ omungen mit freien Oberflächen. Besondere Effekte in Str¨ omungen mit W¨ arme- und Stofftransport, mehreren Phasen und chemischen Reaktionen werden kurz diskutiert. Dieses einf¨ uhrende Kapitel wird mit einer kurzen Bemerkung beendet: Numerische Str¨ omungsmechanik (CFD) kann sowohl als Teilgebiet der Strömungsmechanik als auch der numerischen Analysis betrachtet werden. Um in der CFD kompetent zu werden, wird vom Anwender ein solides Grundwissen auf beiden Gebieten verlangt. Schlechte Ergebnisse wurden von Personen produziert, die Experten auf einem Gebiet sind, aber das andere Gebiet als unwichtig betrachteten. Wir hoffen, dass der Leser dies zur Kenntnis nehmen und – falls n¨ otig – sich das fehlende Grundwissen aneignen wird.

2. Einfu ¨hrung in numerische Berechnungsverfahren

In diesem Kapitel wird eine Einf¨ uhrung in numerische Berechnungsverfahren pr¨ asentiert. Dabei geht es zum einen darum, Vor- und Nachteile dieser Vorgehensweise im Vergleich zu Alternativen zu erl¨ autern, zum anderen sollen die wesentlichen Komponenten eines typischen Berechnungsverfahrens und seine Eigenschaften beschrieben werden. Zum Schluss werden die drei wichtigsten Varianten von Berechnungsverfahren kurz beschrieben, bevor im nächsten Kapitel die detaillierte Analyse beginnt.

2.1 L¨ osungswege fu omungsmechanische Probleme ¨r str¨ Wie in Kapitel 1 gezeigt wurde, k¨ onnen die strömungsmechanischen Grundgleichungen nur in wenigen einfachen F¨ allen analytisch gelöst werden. Diese L¨ osungen sind zum besseren Verst¨ andnis einiger Strömungseigenschaften sehr n¨ utzlich, k¨ onnen jedoch selten zur L¨ osung von Strömungsproblemen in der Praxis herangezogen werden. Die Ingenieure mussten schon immer einen Ausweg suchen. Am h¨ aufigsten werden Vereinfachungen der Gleichungen verwendet. Diese basieren normalerweise auf einer Kombination aus Approximationen und dimensionaler Analyse; empirische Eingaben sind fast immer notwendig. Die dimensionale Analyse zeigt beispielsweise, dass der Widerstand eines umstr¨ omten K¨ orpers folgendermaßen dargestellt werden kann: FD = CD Sρv 2 ,

(2.1)

wo S die Querschnittsfl¨ ache des K¨ orpers senkrecht zur Strömungsrichtung ist, v ist die Str¨ omungsgeschwindigkeit und ρ die Fluiddichte; der Parameter CD wird Widerstandsbeiwert genannt. Er ist eine Funktion der anderen dimensionslosen Parameter des Problems und wird fast immer als Korrelation experimenteller Daten ermittelt. Diese Vorgehensweise ist sehr erfolgreich, wenn das System mit einem oder zwei Parametern beschrieben werden kann; eine Anwendung auf komplexe Geometrien (die nur durch viele Parameter beschrieben werden k¨ onnen) ist somit ausgeschlossen. Eine verwandte Vorgehensweise resultiert aus der Feststellung, dass bei vielen Str¨ omungen die Entdimensionalisierung der Navier-Stokes-Gleichungen

26

2. Einf¨ uhrung in numerische Berechnungsverfahren

unter den gegebenen Bedingungen dazu f¨ uhrt, dass die Reynolds-Zahl als einziger unabh¨ angiger Parameter erscheint. Bleibt die Körperform unverändert, kann man die gew¨ unschten Ergebnisse aus einem Experiment mit einem ska¨ lierten Modell erhalten. Die notwendige Ahnlichkeit der Reynolds-Zahl wird durch vorsichtige Auswahl des Fluids und der Strömungsparameter erhalten. Eine Extrapolation in der Reynolds-Zahl kann gefährlich sein, da manchmal mit steigender oder sinkender Reynolds-Zahl neue Phänomene auftreten können, die eine zufriedenstellende Extrapolation unmöglich machen. Diese Vorgehensweisen sind sehr n¨ utzlich und sind auch heute die Hauptmethoden f¨ ur den praktischen Entwurf im Ingenieurwesen. Das Problem besteht nur darin, dass viele Strömungen von mehreren dimensionslosen Parametern charakterisiert werden. Deshalb kann es unmöglich sein, ein Experiment in Labormaßstab aufzubauen, das der gew¨ unschten Str¨ omung a hnlich ist. Beispiele sind Str¨ o mungen um Flugzeuge oder Schiffe. ¨ Um die gleiche Reynolds-Zahl mit kleineren Modellen zu erreichen, muss die Fluidgeschwindigkeit erh¨ oht werden. Bei Flugzeugen kann dies zu einer zu hohen Mach-Zahl f¨ uhren, wenn dasselbe Fluid (Luft) verwendet wird; man ¨ versucht deshalb ein Fluid zu finden, das eine Ubereinstimmung beider Parameter erlaubt. Bei Schiffen besteht das Problem darin, dass sowohl die Reynolds- als auch die Froud-Zahl angepasst werden m¨ ussen, was so gut wie unm¨ oglich ist. In anderen F¨ allen ist es sehr schwierig, wenn nicht sogar unmöglich, Experimente durchzuf¨ uhren. So k¨ onnen beispielsweise die Messinstrumente die Str¨ omung st¨ oren oder die Str¨ omung kann unzugänglich sein (z. B. Strömung von fl¨ ussigem Silizium in einer Kristallz¨ uchtungsanlage). Einige Größen sind mit den heutigen Techniken einfach nicht messbar oder können nur mit unzureichender Genauigkeit gemessen werden. Experimente sind ein effizientes Mittel zur Messung von globalen Parametern, wie Widerstand, Auftrieb, Druckverlust oder Wärmeu ¨ bergangskoeffizient. In vielen F¨ allen sind jedoch Details wichtig; so kann es von Bedeutung sein zu wissen, ob eine Str¨ omungsabl¨ osung auftritt oder ob die Wandtemperatur eine Grenze u ¨ berschreitet. Die technologischen Fortschritte und der Wettbewerb verlangen eine immer bessere Optimierung des Designs, und neue hochtechnologische Anwendungen erfordern oft die Vorhersage von Strömungen, f¨ ur die es keine Erfahrungsdaten gibt; in solchen Fällen kann eine experimentelle Entwicklung und Optimierung zu teuer und/oder zu zeitaufwändig werden, was die Suche nach einer vern¨ unftigen Alternative unumgänglich macht. Eine Alternative – oder zumindest eine ergänzende Methode – kam mit der Geburt von elektronischen Rechnern. Obwohl viele der Schl¨ usselideen f¨ ur numerische L¨ osungsmethoden f¨ ur partielle Differentialgleichungen vor u ¨ ber einem Jahrhundert entwickelt wurden, waren sie bis zur Entwicklung der Computer von geringem Nutzen. Das Preis-Leistungs-Verhältinis von Computern ist seit den 1950ern spektakul¨ ar gestiegen und zeigt keine Anzeichen

2.2 Was ist CFD?

27

f¨ ur eine Verlangsamung. W¨ ahrend die ersten um 1950 gebauten Rechner nur einige wenige Hundert Operationen pro Sekunde ausf¨ uhrten, werden heute Maschinen gebaut, die Teraflops – 1012 Gleitkommaoperationen pro Sekunde – erm¨ oglichen. Die M¨ oglichkeit, Daten zu speichern, ist ebenfalls drastisch gestiegen: Festplatten mit einem Terabyte (1012 Bytes oder Zeichen) Kapazität waren vor einem Jahrzehnt nur in Superrechnern zu finden – heute gehören sie zur Standardausstattung von PCs. Ein Rechner, der vor 20 Jahren Millionen Dollar gekostet hat, einen großen Raum ausf¨ ullte und ständige Wartung sowie Servicepersonal erforderte, passt heute auf einen Schreibtisch. Es ist schwierig vorherzusagen, was in Zukunft passieren wird, doch sowohl die Rechengeschwindigkeit als auch die Speicherkapazität werden bei gleich teuren Rechnern weiter steigen – die Frage ist nur, mit welchem Tempo. Es erforderte nicht viel Vorstellungskraft, um zu erkennen, dass die Rechner die Analyse von Fluidstr¨ omungen einfacher und effektiver machen könnten. Waren die M¨ oglichkeiten des Rechnereinsatzes erst einmal erkannt, stieg das Interesse an numerischen Verfahren dramatisch an. Die Lösung von Gleichungen der Strömungsmechanik auf Computern ist so wichtig geworden, dass sich heute mindestens ein Drittel aller Forscher in der Strömungsmechanik damit besch¨ aftigt, und das mit steigender Tendenz. Dieses Fachgebiet ist bekannt als numerische Strömungsmechanik (Computational Fluid Dynamics – CFD). Es umfasst viele Spezialgebiete. Hier wird nur ein kleiner Teil der Methoden zur L¨ osung der Gleichungen diskutiert, die die Strömung von Fluiden und verwandte Ph¨ anomene beschreiben. Hinweise zu weiterf¨ uhrender Literatur werden fortlaufend gegeben.

2.2 Was ist CFD? Wie in Kapitel 1 gezeigt wurde, k¨ onnen Str¨ omungen und verwandte Phänomene mittels partieller Differentialgleichungen (oder Integro-Differentialgleichungen) beschrieben werden, die außer in einigen Spezialfällen nicht analytisch gel¨ ost werden k¨ onnen. Um numerisch eine N¨ aherungslösung zu erhalten, muss man eine Diskretisierungsmethode anwenden, die die Differentialgleichungen mit einem System algebraischer Gleichungen approximiert, das dann auf einem Computer gel¨ ost werden kann. Die Approximationen werden auf kleine Gebiete in Raum und/oder Zeit angewendet, so dass die numerische Lösung Ergebnisse an diskreten Stellen in Raum und Zeit liefert. So wie die Genauigkeit der experimentellen Daten von der Qualität der benutzten Instrumente abh¨ angt, h¨ angt die Genauigkeit der numerischen Lösungen von der Qualität der verwendeten Diskretisierungen ab. Das weite Feld der numerischen Str¨ omungsmechanik umfasst Aktivitäten, die von der Automatisierung bew¨ ahrter Entwurfsmethoden f¨ ur Ingenieure bis zur Verwendung von detaillierten L¨ osungen der Navier-Stokes-Gleichungen als Ersatz f¨ ur eine experimentelle Erforschung der Natur komplexer Strömungen reichen. Einerseits kann man Entwurfspakete f¨ ur Rohrleitungsnetze kau-

28


fen, die in einigen wenigen Sekunden oder Minuten auf PCs oder Workstations L¨ osungen liefern, andererseits gibt es Rechenprogramme, die Hunderte von Stunden auf den gr¨ oßten Superrechnern ben¨ otigen w¨ urden, um ein paar Sekunden einer turbulenten Str¨ omung zu simulieren. Die Spannweite ist so breit wie das Gebiet der Str¨ omungsmechanik selbst und macht eine Abdeckung der gesamten CFD in einem Buch unm¨ oglich. Außerdem entwickelt sich das Gebiet so rasant, dass wir riskieren w¨ urden, in kurzer Zeit u ¨berholt zu sein. In diesem Buch werden keine automatisierten einfachen Methoden behandelt. Die ihnen zugrunde liegenden Verfahren werden in elementaren Lehrb¨ uchern und Vorlesungen f¨ ur Studenten behandelt, und die verf¨ ugbaren Programmpakete sind relativ einfach zu verstehen und anzuwenden. Hier werden Methoden behandelt, die entwickelt wurden, um die Gleichungen f¨ ur Fluidbewegung in zwei oder drei Dimensionen zu lösen. Dies sind die Methoden, die in nicht allt¨ aglichen Anwendungen verwendet werden, womit Anwendungen gemeint sind, f¨ ur die keine Lösungen (oder zumindest gute Approximationen) in Lehr- oder Handb¨ uchern zu finden sind. W¨ ahrend diese Methoden im Hochtechnologie-Ingenieurwesen (beispielsweise in der Luft- und Raumfahrt) von Anfang an verwendet wurden, werden sie heute immer h¨ aufiger in Gebieten des Ingenieurwesens eingesetzt, wo die Geometrie kompliziert ist oder einige wichtige Merkmale (wie die Vorhersage der Konzentration eines Schadstoffes) mit Standardmethoden nicht gehandhabt werden k¨ onnen. CFD findet ihren Weg – neben dem Maschinebau – in das Verfahrens-, Chemie-, Bau- und Umweltingenieurwesen, aber auch in die Medizin und Nanotechnologie. Optimierungen auf vielen dieser Gebiete können zu großen Einsparungen an Ger¨ ate- und Energiekosten f¨ uhren sowie zu einer Reduzierung der Umweltverschmutzung.

2.3 M¨ oglichkeiten und Grenzen der numerischen Methoden Es wurden bereits einige Probleme erw¨ ahnt, die mit der experimentellen Arbeit verbunden sind. Einige dieser Probleme können leicht mit der CFD behandelt werden. M¨ ochte man zum Beispiel eine Strömung um ein sich auf der Straße bewegendes Fahrzeug in einem Windkanal simulieren, stößt man sofort auf Schwierigkeiten. Man kann zwar das Fahrzeugmodell festhalten und mit der Luft anstr¨ omen – aber der Boden m¨ usste sich ebenfalls mit der Luftgeschwindigkeit bewegen, was schwer zu realisieren ist. Dies ist in einer numerischen Simulation jedoch leicht zu erreichen. Auch andere Arten von Randbedingungen k¨ onnen in Berechnungen leicht vorgegeben werden; so stellen zum Beispiel die Temperatur oder die Undurchsichtigkeit des Fluids kein Problem dar. Wenn die instation¨ aren dreidimensionalen Navier-StokesGleichungen genau gel¨ ost werden (wie bei der direkten Simulation der Turbulenz), dann erh¨ alt man einen kompletten Datensatz, aus dem jede beliebige Gr¨ oße von physikalischer Bedeutung hergeleitet werden kann.

2.3 M¨ oglichkeiten und Grenzen der numerischen Methoden

29

Dies klingt zu gut, um wahr zu sein. In der Tat gelten diese Vorteile der CFD nur unter der Bedingung, dass die Navier-Stokes-Gleichungen genau genug gel¨ ost werden, was f¨ ur die meisten Str¨ omungen, die f¨ ur Ingenieure von Interesse sind, außerordentlich schwierig bis unmöglich ist. In Kapitel 9 wird gezeigt, weshalb es so schwierig ist, genaue numerische Lösungen der NavierStokes-Gleichungen f¨ ur Str¨ omungen mit hohen Reynolds-Zahlen zu erhalten. Wenn man keine genauen L¨ osungen f¨ ur alle Strömungen erhalten kann, muss man feststellen, was erreichbar ist, und lernen, die Ergebnisse zu analysieren und zu bewerten. Zuerst muss man sich bewusst sein, dass numerische Ergebnisse immer Näherungen sind. Es gibt einige Ursachen f¨ ur Unterschiede zwischen den berechneten Ergebnissen und der “Realität”, d. h. die Fehler kommen aus jedem Teil des Prozesses, den man auf dem Weg zur numerischen L¨ osung durchl¨ auft: • Die Differentialgleichungen k¨ onnen N¨ aherungen oder Vereinfachungen enthalten, wie in Abschnitt 1.7 erl¨ autert wurde. • Im Diskretisierungsprozess werden Approximationen verwendet. • Zur L¨ osung der diskretisierten Gleichungen verwendet man iterative Methoden. Eine genaue L¨ osung der diskretisierten Gleichungen w¨ urde man nur nach unendlich vielen Iterationen erhalten; nach dem Abbruch der Iterationen bleibt deshalb immer ein Restfehler bestehen. Sind die str¨ omungsbeschreibenden Gleichungen genau bekannt (z. B. die Navier-Stokes-Gleichungen f¨ ur inkompressible newtonsche Fluide), können im Prinzip L¨ osungen jeder gew¨ unschten Genauigkeit erreicht werden. Jedoch sind f¨ ur viele Ph¨ anomene (z. B. Turbulenz, Verbrennung und Mehrphasenströmung) die genauen Gleichungen entweder nicht verf¨ ugbar oder ihre numerische L¨ osung ist praktisch unm¨ oglich. Dies f¨ uhrt zur Notwendigkeit der Einf¨ uhrung von Modellen. Selbst wenn man diese Gleichungen genau löst, ist die L¨ osung keine genaue Wiedergabe der Realität. Um die Modelle zu validieren, muss man sich auf experimentelle Daten st¨ utzen. Auch wenn eine genaue Behandlung m¨ oglich ist, sind Modelle oft notwendig, um Rechenkosten zu senken. Diskretisierungsfehler k¨ onnen durch den Einsatz genauerer Approximationen oder durch ihre Anwendung auf kleinere Gebiete reduziert werden, aber dies f¨ uhrt normalerweise zu einer Steigerung des Rechenaufwands und damit der Kosten f¨ ur die L¨ osung. Man muss deshalb oft einen Kompromiss finden. Es werden hier einige Schemata im Detail vorgestellt, aber es werden auch Wege zur Herleitung genauerer Approximationen aufgezeigt. Man muss auch Kompromisse bei der L¨ osung der diskretisierten Gleichungen eingehen. Direkte L¨ oser, die genaue L¨ osungen liefern, werden selten verwendet, weil sie zu teuer sind. Iterative Methoden sind u ¨ blicher, aber man muss die Fehler, die auf Grund eines zu fr¨ uhen Anhaltens des Iterationsprozesses auftreten, ber¨ ucksichtigen. Fehler und deren Absch¨ atzung werden im gesamten Buch hervorgehoben. Fehlerabsch¨ atzungen werden f¨ ur viele Beispiele vorgestellt; die Notwendig-

30


keit der Analyse und Absch¨ atzung numerischer Fehler kann nicht u ¨ berbetont werden. Die Visualisierung der numerischen L¨ osungen mit Hilfe von Vektoren, Konturen oder einer anderen Art von Abbildungen sowie Animationen (Videos) von instation¨ aren Str¨ omungsvorg¨ angen ist f¨ ur die Interpretation der Ergebnisse wichtig. Es ist bei Weitem die effektivste Art, um die riesige Datenmenge, die beim Rechnen erzeugt wird, zu interpretieren. Es besteht jedoch die Gefahr, dass eine fehlerhafte L¨ osung gut aussieht, sie jedoch nicht den eigentlichen Randbedingungen, Fluideigenschaften usw. entspricht! Die Autoren haben falsche, numerisch erzeugte Strömungseigenschaften gesehen, die als physikalische Ph¨ anomene interpretiert werden könnten und auch worden sind. Industrielle Anwender von kommerziellen CFD-Programmen sollten besonders vorsichtig sein, da der Optimismus von Verkäufern sprichwörtlich ist. Wundervolle Farbbilder und Animationen können sehr beeindrucken, sind jedoch ohne Wert, wenn die dargestellten L¨ osungen nicht korrekt sind. Numerische Ergebnisse m¨ ussen sehr kritisch bewertet werden, bevor man ihnen Glauben schenkt.

2.4 Komponenten einer numerischen L¨ osungsmethode Da dieses Buch nicht nur f¨ ur Anwender kommerzieller Programme, sondern ebenfalls f¨ ur junge Forscher, die neue Programme entwickeln, gedacht ist, werden in diesem Abschnitt die wichigsten Bestandteile einer numerischen Lösungsmethode kurz vorgestellt. Weitere Details werden in den folgenden Kapiteln gegeben. 2.4.1 Mathematisches Modell Der Anfangspunkt einer jeden numerischen Methode ist das mathematische Modell, d. h. ein System von partiellen Differential- oder Integro-Differentialgleichungen und die dazugeh¨ origen Randbedingungen. Einige Gleichungssysteme, die zur Str¨ omungsvorhersage verwendet werden, sind in Kapitel 1 vorgestellt worden. Man w¨ ahlt ein passendes Modell f¨ ur die gew¨ unschte Anwendung (inkompressibel, nichtviskos, turbulent; zwei- oder dreidimensional usw.). Wie bereits erw¨ ahnt, kann dieses Modell Vereinfachungen der genauen Erhaltungsgesetze enthalten. Eine L¨ osungsmethode wird normalerweise f¨ ur ein bestimmtes Gleichungssystem entwickelt. Der Versuch eine allgemein g¨ ultige L¨ osungsmethode zu erstellen, d. h. eine, die auf alle Strömungen anwendbar w¨ are, ist unpraktisch, wenn nicht unmöglich. Wie bei allen Allzweckwerkzeugen, w¨ are sie i. Allg. f¨ ur keine Anwendung optimal. 2.4.2 Diskretisierungsmethode Nach Auswahl des mathematischen Modells muss man eine geeignete Diskretisierungsmethode w¨ ahlen, d. h. eine Methode zur Approximation der Diffe-

2.4 Komponenten einer numerischen L¨ osungsmethode

31

rentialgleichungen durch ein System algebraischer Gleichungen f¨ ur die Variablen an einem Satz von diskreten Stellen in Raum und Zeit. Es gibt viele Herangehensweisen, von denen die wichtigsten sind: Finite-Differenzen- (FD), Finite-Volumen- (FV) und Finite-Elemente-Methoden (FE). Die wichtigsten Eigenschaften dieser drei Arten von Diskretisierungsmethoden werden am Ende dieses Kapitels beschrieben. Andere Methoden, wie die Spektralmethoden, Rand-Elemente-Methoden und Lattice-Boltzmann-Methoden finden zwar in der CFD Anwendung, jedoch ist ihr Einsatz auf besondere Problemgruppen beschr¨ ankt. Jede Methode ergibt die gleiche L¨ osung, wenn das Gitter sehr fein ist. Doch sind bestimmte Methoden f¨ ur einige Problemgruppen mehr geeignet als andere Methoden. Der Vorzug ist oft vom Geschmack des Entwicklers abh¨ angig. Das F¨ ur und Wider der verschiedenen Methoden wird bei ihrer Einf¨ uhrung besprochen. 2.4.3 Koordinaten- und Basisvektorsysteme In Kapitel 1 wurde erw¨ ahnt, dass die Erhaltungsgleichungen in vielen verschiedenen Formen geschrieben werden k¨ onnen, abhängig vom Koordinatensystem und den verwendeten Basisvektoren. So kann man zum Beispiel ein kartesisches, zylindrisches, sph¨ arisches, krummlinig-orthogonales oder krummlinig-nichtorthogonales Koordinatensystem auswählen, das wiederum fest oder beweglich sein kann. Die Wahl h¨ angt von der Zielströmung ab und kann die Diskretisierungsmethode und den verwendeten Gittertyp beeinflussen. Außerdem muss man die Basis, mit der die Vektoren und Tensoren definiert werden (fest oder variabel, kovariant oder kontravariant usw.), ausw¨ ahlen. Abh¨ angig von dieser Wahl k¨ onnen der Geschwindigkeitsvektor und der Spannungstensor durch z. B. kartesische, kovariante oder kontravariante, physikalische oder nichtphysikalische koordinatenorientierte Komponenten ausgedr¨ uckt werden. In diesem Buch werden ausschließlich kartesische Komponenten aus Gr¨ unden, die in Kapitel 8 erläutert werden, verwendet. 2.4.4 Numerisches Gitter Die diskreten Punkte, in denen die Variablen berechnet werden sollen, werden durch ein numerisches Gitter definiert, das im Wesentlichen eine diskrete Darstellung des geometrischen Gebietes ist, in dem das Problem gelöst werden soll. Es unterteilt das L¨ osungsgebiet in eine finite Anzahl kleiner Teilgebiete (Elemente, Kontrollvolumina usw.). Einige der möglichen Optionen sind: Strukturierte (regelm¨ aßige) Gitter. Regelmäßige oder strukturierte Gitter bestehen aus S¨ atzen von Gitterlinien mit der Eigenschaft, dass die Mitglieder eines Satzes sich nicht kreuzen und jedes Mitglied eines anderen Satzes

32


nur einmal schneiden. Dies erm¨ oglicht es, die Linien eines gegebenen Satzes nacheinander zu nummerieren. Die Lage eines jeden Gitterpunktes (oder Kontrollvolumens) im L¨ osungsgebiet ist eindeutig durch einen Satz von zwei (in 2D) oder drei (in 3D) Indizes definiert, z. B. (i, j, k). Dies ist die einfachste Gitterstruktur, da sie topologisch dem kartesischen Gitter ¨ aquivalent ist. Jeder Punkt hat vier n¨ achste Nachbarn in zwei Dimensionen und sechs in drei Dimensionen; eines der Indizes eines jeden Nachbarns von Punkt P (Indizes i, j, k) unterscheidet sich um ±1 vom entsprechenden Index von P. Ein Beispiel eines strukturierten zweidimensionalen Gitters ist in Abb. 2.1 gegeben. Diese Nachbarschaftsbeziehungen vereinfachen das Programmieren, und die Matrix des algebraischen Gleichungssystems hat eine regul¨ are Struktur, was bei der Entwicklung einer Lösungstechnik ausgenutzt werden kann. Es gibt in der Tat eine Reihe von effizienten Lösern, die nur auf strukturierte Gitter (siehe Kapitel 5) anwendbar sind.

Abbildung 2.1. Beispiel f¨ ur ein 2D strukturiertes, nichtorthogonales Gitter, entworfen zur Berechnung der Str¨ omung in einer Symmetrieeinheit eines Rohrb¨ undels mit versetzter Rohranordnung

Der Nachteil von strukturierten Gittern besteht darin, dass sie nur in geometrisch relativ einfachen L¨ osungsgebieten einsetzbar sind. Ein weiterer Nachteil ist, dass es schwierig sein kann, die Verteilung der Gitterpunkte zu kontrollieren: Die aus Genauigkeitsgr¨ unden notwendige Konzentration von Punkten in einem Gebiet f¨ uhrt zu unn¨ otig kleinen Abständen in anderen Teilen des L¨ osungsgebietes und damit zu Verschwendung von Ressourcen. Andererseits bleibt das Gitter in Ecken oft zu grob, wie in Abb. 2.1 zu sehen ist. Dieses Problem ist in 3D-Geometrien besonders ausgeprägt. Die oft entstehenden d¨ unnen Zellen k¨ onnen außerdem die Konvergenz nachteilig beeinflussen. Strukturierte Gitter k¨ onnen vom H-, O- oder C-Typ sein; die Bezeichnungen wurden von der Form der Gitterlinien hergeleitet. Abbildung 2.1 zeigt ein Gitter vom H-Typ, das, wenn es auf ein Rechteck abgebildet wird, eindeutige Ost-, West-, Nord- und S¨ udgrenzen hat. Abbildung 2.2 zeigt in ei-


33

nem Block ein strukturiertes O-Typ-Gitter um einen Zylinder. Bei diesem Gittertyp ist ein Satz von Gitterlinien “endlos”. Betrachtet man die Gitterlinien als Koordinatenlinien und folgt den Koordinaten um den Zylinder, so wächst die Koordinate kontinuierlich; um dieses Problem zu vermeiden, muss ein k¨ unstlicher “Schnitt” eingef¨ uhrt werden, wo der Koordinatenwert von einem Endwert auf null springt. Am Schnitt kann das Gitter “aufgewickelt” werden, jedoch muss dabei die Schnittfl¨ ache – im Gegensatz zur Behandlung der R¨ ander eines H-Gitters – als innere Gitterfläche behandelt werden. Das Blockgitter um den Tragfl¨ ugel in Abb. 2.3 ist ein C-Typ-Gitter. Bei diesem Gittertyp fallen Punkte auf Teilen einer Gitterlinie zusammen, was die Einf¨ uhrung eines Schnittes, a ¨hnlich wie beim O-Typ-Gitter, erforderlich macht. Dieser Gittertyp wird oft bei K¨ orpern mit scharfen Kanten verwendet, weil so Gitter mit besserer Qualit¨ at als beim O- oder H-Typ erhalten werden. Blockstrukturierte Gitter. In einem blockstrukturierten Gitter gibt es eine zwei- (oder mehr-) stufige Unterteilung des Lösungsgebietes. Auf der niedrigsten Ebene gibt es Bl¨ ocke, die relativ große Teile des Lösungsgebietes darstellen; ihre Struktur kann irregul¨ ar sein, und sie können sich – oder auch nicht – u ochsten Ebene (innerhalb eines jeden Blocks) ¨berlappen. Auf der h¨ ist ein strukturiertes Gitter definiert. Auf diese Weise können Strömungsgebiete komplizierter Form gehandhabt werden, wobei die Gitterqualität besser optimiert werden kann, als bei nur einem Block. Eine besondere Behandlung verlangen die internen Blockgrenzen. Einige derartige Methoden werden in Kapitel 8 beschrieben. In Abb. 2.2 wird ein blockstrukturiertes Gitter mit drei Blöcken gezeigt, bei dem an den internen Blockgrenzen die Gitterauflösung von beiden Seiten identisch ist. Dieses Gitter wurde f¨ ur die Berechnung einer 2D-Strömung um einen Zylinder in einem Kanal entworfen.

Abbildung 2.2. Beispiel f¨ ur ein 2D blockstrukturiertes Gitter, verwendet zur Str¨ omungsberechnung um einen Zylinder in einem Kanal; an den internen Blockgrenzen ist die Gitteraufl¨ osung auf beiden Seiten identisch

In Abb. 2.3 ist ein blockstrukturiertes Gitter dargestellt, bei dem an einigen internen Blockgrenzen die Gitteraufl¨ osung auf beiden Seiten unterschiedlich ist; es wurde zur Berechnung der Str¨ omung um einen eingetauchten Tragfl¨ ugel verwendet. Es besteht aus f¨ unf Gitterbl¨ ocken unterschiedlicher Feinheit.

34


Diese Gitterart ist flexibler als die vorher erwähnten, da sie die Verwendung feinerer Gitter in Regionen erlaubt, wo h¨ ohere Genauigkeit verlangt wird. Die nicht passenden Gitter an den internen Blockgrenzen können auf vollkonservative Weise behandelt werden, wie in Kapitel 8 beschrieben wird. Das Programmieren ist etwas schwieriger als bei den anderen oben beschriebenen Gittertypen. L¨ oser f¨ ur strukturierte Gitter können blockweise angewendet werden. Eine Gitterverfeinerung ist blockweise möglich (d. h. das Gitter kann in einzelnen Bl¨ ocken verfeinert werden).

Abbildung 2.3. Beispiel f¨ ur ein 2D blockstrukturiertes Gitter, das an den internen Blockgrenzen nicht u omung um ¨ bereinstimmt, entworfen zur Berechnung einer Str¨ einen in Wasser eingetauchten Tragfl¨ ugel

Blockstrukturierte Gitter mit u ¨berlappenden Blöcken werden manchmal Verbund- oder Chimära-Gitter genannt. Ein derartiges Gitter ist in Abb. ¨ 2.4 zu sehen. Im Uberlappungsgebiet erh¨ alt man die Randbedingungen f¨ ur einen Block durch Interpolation der L¨ osung aus dem anderen (¨ uberlappenden) Block. Der Nachteil dieser Gitter besteht darin, dass die Erhaltungsbedingungen an den Blockr¨ andern schwierig zu gewährleisten sind. Die Vorteile dieser Vorgehensweise sind, dass komplexe L¨ osungsgebiete und vor allem bewegliche K¨ orper einfacher behandelt werden können: ein Block ist mit dem K¨ orper verbunden und bewegt sich mit ihm, während ein festes Gitter die Umgebung abdeckt. Dieser Gittertyp wird nicht sehr häufig verwendet, aber in manchen Situationen bleibt er die einzige Wahl (siehe z. B. Tu und Fuchs, 1992; Perng und Street, 1991; Hinatsu und Ferziger, 1991; Zang und Street, 1995; Hubbard und Chen, 1994, 1995; Hadˇzić, 2005). Unstrukturierte Gitter. F¨ ur sehr komplizierte Geometrien ist der flexibelste Gittertyp derjenige, der sich bestm¨ oglich an die beliebige Geometrie des L¨ osungsgebietes anpasst. Derartige Gitter könnten im Prinzip mit jeder Diskretisierungsmethode verwendet werden; sie werden jedoch hauptsächlich in Finite-Volumen- und Finite-Elemente-Verfahren verwendet. Die Elemente oder Kontrollvolumen k¨ onnen beliebige Form haben; es besteht auch keine Einschr¨ ankung bei der Anzahl der Nachbarelemente oder -punkte. In der Praxis werden meistens Gitter bestehend aus Dreiecken oder Vierecken im 2D-Fall und Tetraedern oder Hexaedern im 3D-Fall verwendet. In letzter Zeit werden auch Gitter bestehend aus beliebigen Polygonen bzw. Polyedern


35

Abbildung 2.4. Ein 2D u ¨ berlappendes Gitter, entworfen zur Berechnung der Str¨ omung in einer Symmetrieeinheit eines Rohrb¨ undels mit versetzter Rohranordnung

verwendet. Solche Gitter k¨ onnen automatisch mit existierenden Algorithmen generiert werden. Die Orthogonalit¨ at des Gitters kann zumindest teilweise erzwungen werden, die Streckungsfaktoren k¨ onnen leichter als bei blockstrukturierten Gittern kontrolliert werden, und das Gitter kann leicht lokal verfeinert werden. Der Vorteil der Flexibilit¨ at wird vom Nachteil der Irregularität der Datenstruktur teilweise aufgehoben. Die Lage von Knoten und die Nachbarbeziehungen m¨ ussen explizit festgelegt werden. Die Matrix des algebraischen Gleichungssystems hat keine regelm¨ aßige diagonale Struktur; ihre Bandbreite muss minimiert werden, indem die Reihenfolge der Punkte umsortiert wird. Die L¨ oser f¨ ur die algebraischen Gleichungssysteme sind in der Regel langsamer als die f¨ ur strukturierte Gitter. Unstrukturierte Gitter werden normalerweise mit FE-Methoden und zunehmend mit FV-Methoden angewendet. Rechenprogramme, die f¨ ur unstrukturierte Gitter entwickelt wurden, sind am flexibelsten: Sie m¨ ussen nicht ver¨ andert werden, wenn das Gitter lokal verfeinert wird oder wenn Elemente oder Kontrollvolumina verschiedener Form verwendet werden. Um die Vorteile der strukturierten Gitter in wandnahen Bereichen nutzen zu können, werden bei unstrukturierten Gittern oft Prismenschichten entlang den Wänden erzeugt. Sie sind in der Wandfl¨ ache unstrukturiert, in wandnormale Richtung jedoch strukturiert und erlauben damit eine genauere Diskretisierung in der Grenzschicht. Zwei Beispiele von unstrukturierten Gittern sind in Abb. 2.5 zu sehen. Die in diesem Buch detailliert vorgestellte Finite-Volumen-Methode ist bei unstrukturierten Gittern mit beliebigen Kontrollvolumina einsetzbar. Die Methoden zur Gittergenerierung werden nicht im Detail in diesem Buch beschrieben. Gittereigenschaften und einige grundlegende Ansätze zur Gittergenerierung werden kurz in Kapitel 8 behandelt; es gibt umfangreiche Literatur, die sich mit diesem Thema beschäftigt, und interessierte Leser seien u. a. auf die B¨ ucher vom Thompson et al. (1985) und Arcilla et al. (1991) verwiesen.

36


Abbildung 2.5. Beispiele von 2D unstrukturierten Gittern: Dreiecke (oben) und Polygone (unten) mit geschichteten, nahezu orthogonalen Zellen um die W¨ ande

2.4.5 Finite Approximationen Nach der Wahl des Gittertyps muss man die Approximationen aussuchen, die im Diskretisierungsprozess angewendet werden. In einer Finiten-DifferenzenMethode m¨ ussen Approximationen f¨ ur die Ableitungen in den Gitterpunkten ausgew¨ ahlt werden. In einer Finiten-Volumen-Methode m¨ ussen Approximationen f¨ ur Fl¨ achen- und Volumenintegrale, Gradienten und Interpolation zwischen den St¨ utzstellen ausgesucht werden. In einer Finite-ElementeMethode m¨ ussen die Formfunktionen (Elemente) und Gewichtungsfunktionen ausgew¨ ahlt werden. Man kann aus vielen M¨ oglichkeiten w¨ ahlen; einige der am häufigsten verwendeten werden in diesem Buch vorgestellt, einige werden nur erwähnt und viele mehr k¨ onnen noch entwickelt werden. Die Wahl beeinflusst die Genauigkeit der Approximation. Sie hat ebenfalls Einfluss auf den Aufwand bei der Entwicklung der L¨ osungsmethode, beim Programmieren, bei der Fehlersuche sowie auf die Effizienz des Rechenprogrammes. F¨ ur genauere Approximationen ben¨ otigt man mehr Rechenpunkte und erhält vollere Koeffizientenmatrizen. Der erh¨ ohte Speicherbedarf schr¨ ankt die Gitterfeinheit (f¨ ur eine gegebene Rechnerausstattung) ein, womit teilweise der Vorteil der höheren

2.5 Eigenschaften numerischer Berechnungsverfahren

37

Genauigkeit verlorengeht. Ein Kompromiss zwischen Einfachheit, Leichtigkeit der Implementierung, Genauigkeit und Recheneffizienz muss gefunden werden. Die in diesem Buch detailliert pr¨ asentierten Methoden 2. Ordnung wurden in dieser Hinsicht ausgew¨ ahlt. 2.4.6 L¨ osungsmethode Die Diskretisierung ergibt ein großes, nichtlineares algebraisches Gleichungssystem. Die L¨ osungsmethode h¨ angt vom Problem ab. F¨ ur instationäre Strömungen benutzt man Verfahren, die auf Methoden f¨ ur Anfangswertprobleme bei den gew¨ ohnlichen Differentialgleichungen (Fortschreiten in der Zeit) basieren. In jedem Zeitschritt muss ein elliptisches Problem gelöst werden. Stationäre Str¨ omungsprobleme werden normalerweise mit Fortschreiten in Pseudozeit oder einem ¨ aquivalenten Iterationsverfahren gelöst. Da die Gleichungen nichtlinear sind, werden immer Iterationen f¨ ur ihre Lösung verwendet. Diese Methoden verwenden eine sukzessive Linearisierung der Gleichungen, und das daraus resultierende lineare Gleichungssystem wird fast immer mit iterativen Techniken gel¨ ost. Die Wahl des L¨ osers h¨ angt vom Gittertyp und der Knotenanzahl, die jede algebraische Gleichung umfasst, ab. Einige Löser werden in Kapitel 5 vorgestellt. 2.4.7 Konvergenzkriterien Schließlich m¨ ussen die Konvergenzkriterien f¨ ur die iterativen Methoden festgelegt werden. Normalerweise gibt es zwei Iterationsebenen: innere Iterationen, in denen die linearen Gleichungssysteme gelöst werden, und äußere Iterationen, mit denen die Nichtlinearit¨ at und die Kopplung der Gleichungen erfasst werden. Die Entscheidung, wann der Iterationsprozess auf jeder Ebene gestoppt werden soll, ist sowohl in Hinsicht auf die Genauigkeit als auch die Effizienz wichtig. Diese Themen werden in den Kapiteln 5 und 11 behandelt.

2.5 Eigenschaften numerischer Berechnungsverfahren Die L¨ osungsmethode sollte bestimmte Eigenschaften haben. In den meisten F¨ allen ist es nicht m¨ oglich, die gesamte L¨ osungsmethode zu analysieren. Man analysiert die einzelnen Komponenten der Methode; besitzen die Komponenten nicht die gew¨ unschten Eigenschaften, gilt dies auch f¨ ur die gesamte Methode – die Umkehrung trifft jedoch nicht unbedingt zu. Die wichtigsten Eigenschaften sind unten zusammengefasst. 2.5.1 Konsistenz Die Diskretisierung sollte mit gegen null strebenden Gitterabständen exakt werden. Der Unterschied zwischen der diskretisierten Gleichung und der exakten Gleichung wird als Abbruchfehler bezeichnet. Er wird normalerweise

38


durch Ersetzen aller Knotenwerte in der diskretisierten Approximation durch Taylor-Reihen-Entwicklungen in der Umgebung des jeweiligen Rechenpunktes abgesch¨ atzt. Als Ergebnis erh¨ alt man die eigentliche Differentialgleichung plus einem Rest, der den Abbruchfehler darstellt. Damit eine Methode konsistent ist, muss der Abbruchfehler gegen null streben, wenn die Diskretisierung unendlich fein wird, d. h. wenn Δt → 0 bzw. Δxi → 0. Der Abbruchfehler ist normalerweise proportional zu einer bestimmten Potenz des Gitterabstandes Δxi und/oder des Zeitschrittes Δt. Ist der wichtigste Term proportional zu (Δx)n oder (Δt)n , wird die Methode als Approximation n-ter Ordnung bezeichnet; aus Konsistenzgr¨ unden muss n > 0 gelten. Im Idealfall sollten alle Terme mit Approximationen gleicher Ordnung diskretisiert werden; jedoch k¨ onnen einige Terme (z. B. konvektive Terme in Strömungen mit hoher Reynolds-Zahl oder diffusive Terme bei sehr niedriger Reynolds-Zahl) in einer bestimmten Str¨ omung dominant sein, und es kann sinnvoll sein, diese mit h¨ oherer Genauigkeit zu behandeln als die anderen. Einige Diskretisierungsmethoden f¨ uhren zu Abbruchfehlern, die Funktionen des Verh¨ altnisses von Δxi zu Δt, oder umgekehrt, sind. In solchen Fällen ist die Konsistenzbedingung nur bedingt erf¨ ullt: Δxi und Δt m¨ ussen auf eine Weise reduziert werden, die dazu f¨ uhrt, dass das gegebene Verhältnis gegen null strebt. In den n¨ achsten zwei Kapiteln wird die Konsistenz f¨ ur einige Diskretisierungsmethoden demonstriert. Selbst wenn die Approximationen konsistent sind, muss dies nicht unbedingt bedeuten, dass die L¨ osung der diskretisierten Gleichung zur exakten L¨ osung der Differentialgleichung im Grenzfall des unendlich feinen Gitters f¨ uhrt. Damit das passiert, muss die L¨ osungsmethode stabil sein; dies wird im Folgenden definiert. 2.5.2 Stabilit¨ at Eine numerische L¨ osungsmethode wird als stabil bezeichnet, wenn sie die Fehler, die im Laufe des numerischen L¨ osungsprozesses auftreten, nicht anfacht. F¨ ur zeitabh¨ angige Probleme garantiert die Stabilität, dass die Methode immer eine beschr¨ ankte L¨ osung liefert, wenn die Lösung der exakten Gleichung beschr¨ ankt ist. F¨ ur iterative Methoden bedeutet die Stabilität, dass Iterationen nicht divergieren. Die Untersuchung der Stabilität kann schwierig sein, besonders wenn Randbedingungen und Nichtlinearitäten vorhanden sind. Aus diesem Grunde ist es u ur li¨ blich, die Stabilität einer Methode f¨ neare Probleme mit konstanten Koeffizienten ohne Randbedingungen zu untersuchen. Die Erfahrung hat gezeigt, dass die auf diese Weise erhaltenen Ergebnisse oft auf komplexere Probleme u ¨ bertragen werden können, obwohl es auch bemerkenswerte Ausnahmen gibt. Die am weitesten verbreitete Vorgehensweise zur Untersuchung der Stabilit¨ at numerischer Verfahren ist die Methode nach von Neumann. Sie wird f¨ ur ein Verfahren in Kapitel 6 kurz beschrieben. Die meisten der in diesem Buch beschriebenen Verfahren wurden auf ihre Stabilität hin untersucht, und das


39

wichtigste Ergebnis wird bei ihrer Beschreibung genannt. F¨ ur die Lösung von komplizierten, nichtlinearen und gekoppelten Gleichungen mit komplizierten Randbedingungen gibt es jedoch nur wenige Stabilitätsergebnisse und man muss sich manchmal auf Erfahrung und Intuition verlassen. Viele Lösungsmethoden verlangen, dass der Zeitschritt kleiner als ein bestimmtes Limit ist oder dass Unterrelaxation verwendet wird. Diese Themen werden in den Kapiteln 6 und 7 diskutiert; dort werden auch die Richtlinien zur Wahl der Zeitschrittgr¨ oße und der Unterrelaxationsparameter gegeben. 2.5.3 Konvergenz Eine numerische Methode wird als konvergent bezeichnet, wenn die Lösung der diskretisierten Gleichung bei unendlich klein werdenden Gitterabständen zur exakten L¨ osung der Differentialgleichung tendiert. F¨ ur lineare Anfangs¨ wertprobleme erkl¨ art das Lax-Aquivalenz-Theorem (Richtmyer und Morton, 1967): “Setzt man ein gut gestelltes lineares Anfangswertproblem und eine konsistente Finite-Differenzen-Approximation davon voraus, dann ist die Stabilit¨ at die notwendige und ausreichende Bedingung f¨ ur die Konvergenz.” Offensichtlich ist ein konsistentes Verfahren nutzlos, wenn die Lösungsmethode nicht gegen die exakte L¨ osung konvergiert. Bei nichtlinearen Problemen, die von den Randbedingungen stark beeinflusst werden, sind die Stabilit¨ at und die Konvergenz einer Lösungsmethode schwer zu demonstrieren. Deshalb wird die Konvergenz normalerweise anhand von numerischen Experimenten untersucht, d. h. durch Wiederholung der Berechnung auf einer Reihe sukzessiv verfeinerter Gitter. Ist die Methode stabil und sind alle im Diskretisierungsprozess verwendeten Approximationen konsistent, stellt man normalerweise fest, dass die Ergebnisse gegen eine gitterunabhängige Lösung konvergieren. Bei ausreichend kleinen Gitterabständen wird die Konvergenzrate von der Ordnung der wichtigsten Komponente des Abbruchfehlers maßgeblich bestimmt. Dies ermöglicht eine Abschätzung der Fehler in der L¨ osung, was detaillierter in den Kapiteln 3, 5 und 11 beschrieben wird. 2.5.4 Konservativit¨ at Da die zu l¨ osenden Gleichungen Erhaltungsgesetze darstellen, sollte das numerische Verfahren ebenfalls – sowohl lokal als auch global – diese Gesetze erf¨ ullen. Dies bedeutet, dass im station¨ aren Zustand und beim Fehlen von Quellen, die Menge einer Erhaltungsgr¨ oße, die ein geschlossenes Volumen verl¨ asst, gleich der Menge ist, die in das Volumen eintritt. Wenn die streng konservative Form der Gleichungen und eine Finite-VolumenMethode verwendet werden, ist dies f¨ ur jedes einzelne Kontrollvolumen und ur das L¨ f¨ osungsgebiet als Ganzes garantiert. Andere Diskretisierungsmethoden k¨ onnen konservativ gemacht werden, wenn man auf die Wahl der Approximationen in dieser Hinsicht achtet. Die Behandlung der Quell- oder

40


Senkterme sollte konsistent sein, so dass die Gesamtquelle oder -senke im L¨ osungsgebiet gleich dem Nettofluss der Erhaltungsgröße durch die Ränder ist. Dies ist eine wichtige Eigenschaft der L¨ osungsmethode, da sie den Lösungsfehler beschr¨ ankt. Ist die Erhaltung von Masse, Impuls und Energie gewährleistet, kann sich der Fehler nur auf die Verteilung dieser Größen im Lösungsgebiet auswirken. Nichtkonservative Methoden können dagegen k¨ unstliche Quellen oder Senken erzeugen und so die Bilanz sowohl lokal als auch global ver¨ andern. Trotzdem k¨ onnen nichtkonservative Verfahren konsistent und stabil sein und deshalb zu richtigen L¨ osungen im Grenzfall von sehr feinen Gittern f¨ uhren. Die Fehler wegen der Nichtkonservativität sind in den meisten Fällen nur auf relativ groben Gittern bemerkbar. Das Problem besteht darin, dass man im Voraus nicht wissen kann, auf welchem Gitter diese Fehler klein genug sind. Konservative Methoden werden aus diesem Grund bevorzugt. 2.5.5 Beschr¨ anktheit Numerische L¨ osungen sollten innerhalb bestimmter Grenzen liegen. So m¨ ussen die physikalisch nicht negativen Gr¨ oßen (wie Dichte, kinetische Energie der Turbulenz) immer positiv sein; andere Gr¨ oßen, wie die Konzentration, m¨ ussen zwischen 0 und 1 liegen. Bei Nichtvorhandensein von Quellen verlangen einige Gleichungen (z. B. die W¨ armegleichung f¨ ur die Temperatur), dass die Minimal- und Maximalwerte der Variablen auf den Rändern des Lösungsgebietes zu finden sind. Diese Bedingungen sollten an die numerische Approximation vererbt werden. Die Beschr¨ anktheit der L¨ osung ist schwer zu garantieren. Es wird später gezeigt, dass nur einige Diskretisierungsmethoden 1. Ordnung diese Eigenschaft garantieren. Alle Methoden h¨ oherer Ordnung können nichtbeschränkte L¨ osungen produzieren; dies tritt zum Gl¨ uck nur bei zu groben Gittern auf, ¨ weshalb eine L¨ osung mit Uberund Untersch¨ ussen normalerweise ein Zeichen daf¨ ur ist, dass die Fehler in der L¨ osung groß sind und das Gitter verfeinert werden muss (zumindest stellenweise). Ein Problem ist, dass Methoden, die zu nichtbeschr¨ ankten L¨ osungen neigen, oft Stabilitäts- und Konvergenzprobleme haben. Solche Methoden sollten deshalb – wenn möglich – vermieden werden. 2.5.6 Realisierbarkeit Modelle von Ph¨ anomenen, die zu komplex sind, um direkt behandelt zu werden (z. B. Turbulenz, Verbrennung oder Mehrphasenströmung) sollten so gestaltet werden, dass physikalisch realistische Lösungen garantiert sind. Dies ist kein numerisches Thema an sich, aber die Modelle, die diese Eigenschaft nicht haben, k¨ onnen zu unphysikalischen L¨ osungen f¨ uhren oder Divergenz


41

von numerischen L¨ osungsmethoden verursachen. In diesem Buch werden diese Themen nicht behandelt, aber man sollte bei der Implementierung eines Modells in ein CFD-Programm auf diese Eigenschaft achten. 2.5.7 Genauigkeit Numerische L¨ osungen von Str¨ omungs- und Wärme¨ ubergangsproblemen sind nur Näherungslösungen. Zus¨ atzlich zu den Fehlern, die im Laufe der Entwicklung des L¨ osungsverfahrens, beim Programmieren oder bei der Festlegung der Randbedingungen eingef¨ uhrt werden k¨ onnen, beinhalten numerische Lösungen immer drei Arten von systematischen Fehlern: • Modellfehler, die als Differenz zwischen der tatsächlichen Strömung und der genauen L¨ osung des mathematischen Modells definiert sind; • Diskretisierungsfehler, definiert als die Differenz zwischen der genauen L¨ osung der Erhaltungsgleichungen und der genauen Lösung der durch Diskretisierung dieser Gleichungen entstandenen algebraischen Gleichungssysteme; • Iterationsfehler, definiert als die Differenz zwischen der iterativen und der genauen L¨ osung der algebraischen Gleichungssysteme. Iterationsfehler werden oft als Konvergenzfehler bezeichnet. Der Ausdruck Konvergenz wird jedoch nicht nur in Verbindung mit Fehlerreduktion in iterativen L¨ osungsmethoden verwendet, sondern bezeichnet häufig auch (ziemlich passend) die Konvergenz der numerischen Lösungen gegen eine gitterunabh¨ angige L¨ osung. In diesem Fall ist der Begriff “Konvergenz” eng mit dem Diskretisierungsfehler verbunden. Um Verwirrung zu vermeiden, wird an der obigen Definition der verschiedenen Fehler festgehalten, und bei der Diskussion der Konvergenz wird immer angegeben, von welchem Konvergenztyp gesprochen wird. Es ist wichtig, dass man sich der Existenz dieser Fehler bewusst ist, und noch wichtiger, dass man versucht, sie voneinander zu unterscheiden. Verschiedene Fehler k¨ onnen einander aufheben, so dass manchmal eine auf einem groben Gitter erhaltene L¨ osung besser mit dem Experiment u ¨ bereinstimmen kann, als eine L¨ osung auf einem feinen Gitter – die per Definition genauer sein m¨ usste. Modellfehler sind von den getroffenen Annahmen bei der Herleitung ur die Variablen abhängig. Sie können als verder Transportgleichungen f¨ nachl¨ assigbar angesehen werden, wenn laminare Strömungen untersucht werden, da die Navier-Stokes-Gleichungen ein ausreichend genaues Modell der Str¨ omung darstellen. Doch bei turbulenten Strömungen, Zwei-Phasen-Strömungen, Verbrennung usw. k¨ onnen die Modellfehler sehr groß sein – die genaue L¨ osung der Modellgleichungen kann sogar qualitativ falsch sein. Modellfehler werden ebenfalls oft durch eine Vereinfachung der Geometrie des L¨ osungsgebietes oder der Randbedingungen eingef¨ uhrt. Diese Fehler sind im Voraus unbekannt; sie k¨ onnen nur durch Vergleich einer Lösung, in der

42


Diskretisierungs- und Iterationsfehler unbedeutend klein sind, mit genauen experimentellen Daten oder mit Daten, die mit genaueren Modellen (z. B. Daten aus direkter Simulation der Turbulenz usw.) erhalten wurden, abgeschätzt werden. Es ist außerordentlich wichtig, die Iterations- und Diskretisierungsfehler zu kontrollieren und abzusch¨ atzen, bevor die Modelle physikalischer Ph¨ anomene (wie Turbulenzmodelle) beurteilt werden können. Das Turbulenzmodell wird sehr oft leichtfertig f¨ ur jede Abweichung zwischen Rechnung und Messung verantwortlich gemacht, obwohl in vielen Fällen andere Ursachen einen gr¨ oßeren Beitrag leisten. Es wurde bereits erw¨ ahnt, dass Diskretisierungsapproximationen Fehler einf¨ uhren, die mit der Verfeinerung des Gitters kleiner werden, und dass die Ordnung der Approximation ein Maß f¨ ur die Genauigkeit ist. Auf einem gegebenen Gitter k¨ onnen jedoch Methoden derselben Ordnung Lösungsfehler produzieren, die sich bis um eine Gr¨ oßenordnung unterscheiden. Dies liegt daran, dass die Ordnung nur Auskunft u ¨ber die Rate gibt, mit der sich der Fehler mit kleiner werdendem Gitterabstand bzw. Zeitschritt verkleinert – sie liefert keine Information u ¨ ber den Betrag des Fehlers auf einem gegebenen Gitter. Es wird im folgenden Kapitel sowie in Kapitel 11 gezeigt, wie Diskretisierungsfehler abgesch¨ atzt werden k¨ onnen. Fehler aufgrund iterativer L¨ osung und Rundungsfehler sind leichter zu kontrollieren; in Kapitel 5, wo iterative L¨ osungsmethoden eingef¨ uhrt werden, wird gezeigt, wie dies u ¨ blicherweise gemacht wird. Es gibt viele L¨ osungsmethoden, und der Entwickler eines CFD-Programms wird es bei der Entscheidung, welche zu w¨ ahlen, schwer haben. Das oberste Ziel ist, die gew¨ unschte Genauigkeit mit geringstem Aufwand oder maximale Genauigkeit mit den vorhandenen Ressourcen zu erreichen. F¨ ur jede in diesem Buch beschriebene Methode werden ihre Vor- bzw. Nachteile in Bezug auf diese Kriterien genannt.

2.6 Diskretisierungsmethoden 2.6.1 Finite-Differenzen-Methode Dies ist die ¨ alteste Methode zur numerischen Lösung partieller Differentialgleichungen; man geht davon aus, dass sie von Euler im achtzehnten Jahrhundert eingef¨ uhrt wurde. Sie ist auch am einfachsten bei nicht zu komplizierten Geometrien anzuwenden. Ausgangspunkt ist die Erhaltungsgleichung in Differentialform. Das Lösungsgebiet wird von einem Gitter u ¨ berdeckt. In jedem Gitterpunkt wird die Differentialgleichung approximiert, indem die partiellen Ableitungen durch Approximationen, basierend auf Knotenwerten der Variable, ersetzt werden. Das Ergebnis ist eine algebraische Gleichung pro Gitterpunkt, in der die Variablenwerte im selben und in einer bestimmten Anzahl von Nachbarpunkten als Unbekannte vorkommen.

2.6 Diskretisierungsmethoden

43

Im Prinzip kann die FD-Methode bei jedem Gittertyp angewendet werden. Bei allen den Autoren bekannten Anwendungen der FD-Methode wurde sie jedoch nur bei strukturierten (oder blockstrukturierten) Gittern angewendet. Die Gitterlinien dienen hier als lokale Koordinatenlinien. Die Taylor-Reihenentwicklung oder ein Polynomansatz wird benutzt, um Approximationen der ersten und zweiten Ableitungen der Variablen bez¨ uglich der Koordinaten zu erhalten. Wenn n¨ otig, k¨ onnen diese Methoden ebenfalls verwendet werden, um die Variablenwerte an Stellen zu berechnen, die keine Gitterpunkte sind (Interpolation). Die am weitesten verbreiteten Methoden zur Approximation der Ableitungen durch finite Differenzen werden in Kapitel 3 beschrieben. Bei strukturierten Gittern ist die FD-Methode sehr einfach und effektiv. Insbesondere ist es einfach, Methoden h¨ oherer Ordnung auf regelmäßigen Gittern zu erhalten; einige werden in Kapitel 3 erwähnt. Der Nachteil der FD-Methoden besteht darin, dass sie ohne besondere Maßnahmen nicht konservativ sind. Außerdem ist die Beschr¨ ankung auf einfache Geometrien ein bedeutender Nachteil. Einige Wege, wie die FD-Methode auch bei beliebigen Gittern angewendet werden k¨ onnte, werden in Kapitel 8 beschrieben. 2.6.2 Finite-Volumen-Methode Die FV-Methode verwendet die Integralform der Erhaltungsgleichung als Ausgangspunkt. Das L¨ osungsgebiet wird in eine finite Anzahl nicht u ¨berlappender Kontrollvolumina (KVs) unterteil, und die Erhaltungsgleichung wird auf jedes KV angewendet. Im Schwerpunkt eines jeden KV liegt der Rechenknoten, in dem die Variablenwerte berechnet werden. Interpolation wird verwendet, um die Variablenwerte auf der KV-Oberfläche mittels der Knotenwerte (KV-Zentren) auszudr¨ ucken. Oberflächen- und Volumenintegrale werden unter Verwendung passender Quadraturformeln approximiert. Als Ergebnis erh¨ alt man f¨ ur jedes KV eine algebraische Gleichung, in der die Variablenwerte aus dem eigenen Rechenknoten sowie aus einigen Nachbar-KVs vorkommen. Die FV-Methode kann bei jedem Gittertyp angewendet werden, weshalb sie auch f¨ ur komplexe Geometrien geeignet ist. Das Gitter bestimmt nur die Oberfl¨ achen der Kontrollvolumina und muss nicht auf ein Koordinatensystem bezogen werden. Die Methode ist per Definition konservativ, so lange die Oberfl¨ achenintegrale (die die konvektiven und diffusiven Fl¨ usse darstellen) einheitlich f¨ ur beide KVs, die eine gemeinsame Fläche haben, berechnet werden. Die FV-Methode ist vielleicht am einfachsten zu verstehen und zu programmieren. Alle Terme, die approximiert werden m¨ ussen, haben physikalische Bedeutung, weshalb sie bei Ingenieuren so populär ist. Der Nachteil der FV-Methoden im Vergleich zu FD-Methoden besteht darin, dass Verfahren h¨ oherer Ordnung als zweite schwerer zu entwickeln

44


sind, besonders in 3D. Dies ist auf den Umstand zur¨ uckzuf¨ uhren, dass die FVMethode drei Approximationsstufen verlangt: Interpolation, Differenziation und Integration. Eine ausf¨ uhrliche Beschreibung der FV-Methode wird in Kapitel 4 gegeben; sie ist die am h¨ aufigsten verwendete Methode in diesem Buch. 2.6.3 Finite-Elemente-Methode Die FE-Methode ist auf vielf¨ altige Weise der FV-Methode a¨hnlich. Das L¨ osungsgebiet wird in einen Satz diskreter Volumen oder finiter Elemente, die generell unstrukturiert sind, aufgeteilt; in 2D sind sie normalerweise dreieckig oder viereckig, w¨ ahrend in 3D am h¨ aufigsten Tretaeder oder Hexaeder verwendet werden. Die unterscheidende Eigenschaft der FE-Methoden ist, dass die Gleichungen mit einer Gewichtungsfunktion multipliziert werden, bevor sie u osungsgebiet integriert werden. In den einfachsten FE¨ ber das gesamte L¨ Methoden wird die L¨ osung mit einer linearen Formfunktion innerhalb eines jeden Elementes so approximiert, dass Kontinuität der Lösung entlang der Elementer¨ ander garantiert ist. Solch eine Funktion kann aus Variablenwerten in den Ecken der Elemente konstruiert werden. Die Gewichtungsfunktion hat normalerweise die gleiche Form. Diese Approximation wird dann in das gewichtete Integral der Erhaltungsgleichung substituiert und die zu l¨ osenden Gleichungen werden hergeleitet, indem man verlangt, dass die Ableitung des Integrals in Bezug auf jeden Knotenwert gleich null ist; dies entspricht der Auswahl der besten Lösung innerhalb eines Satzes von erlaubten Funktionen (die mit dem minimalen Residuum). Das Ergebnis ist ein Satz nichtlinearer algebraischer Gleichungen. Ein wichtiger Vorteil der FE-Methode ist die Möglichkeit, beliebige Geometrien zu behandeln; es gibt umfangreiche Literatur, die der Konstruktion von Gittern f¨ ur FE-Methoden gewidmet ist. Die Gitter sind leicht zu verfeinern; jedes Element wird einfach unterteilt. Finite-Elemente-Methoden sind relativ leicht mathematisch zu analysieren und haben nachweislich optimale Eigenschaften f¨ ur bestimmte Gleichungstypen. Der prinzipielle Nachteil, der allen Methoden, die unstrukturierte Gitter verwenden, gemeinsam ist, besteht darin, dass die Matrizen der linearisierten Gleichungen nicht so gut strukturiert sind wie die f¨ ur regelm¨ aßige Gitter, was es schwieriger macht, eine effiziente L¨ osungsmethode zu finden. Weitere Details zu FiniteElemente-Methoden und ihrer Anwendung auf die Navier-Stokes-Gleichungen sind in den B¨ uchern von Oden (1972), Zinkiewicz (1977), Chung (1978), Baker (1983), Girault und Raviart (1986) sowie Fletcher (1991) zu finden. Eine Hybridmethode, die auf Kontrollvolumina basierende Finite-ElementeMethode genannt wird, sollte ebenfalls erw¨ ahnt werden. Bei ihr werden Formfunktionen zur Beschreibung des Verlaufs der Variablen u ¨ ber ein Element verwendet. Kontrollvolumen werden um jeden Gitterknoten durch Verbindung der Mittelpunkte der Elemente, der Seitenfl¨ achen und der Kanten gebildet.

2.7 Programmiertechniken

45

Die Erhaltungsgleichungen in Integralform werden auf diese KVs auf die gleiche Weise wie bei der klassischen Finite-Volumen-Methode angewendet. Die Fl¨ usse durch die KV-R¨ ander und die Quellterme werden elementeweise berechnet. Eine kurze Beschreibung dieses L¨ osungsweges ist in Kapitel 8 zu finden.

2.7 Programmiertechniken Zum Abschluss dieses Kapitels werden noch einige Bemerkungen zu den Programmiertechniken und -sprachen gemacht. Die älteren CFD-Programme waren (viele davon sind immer noch in Anwendung) in FORTRAN76 geschrieben. Bei den strukturierten Gittern gab es geschachtelte Schleifen, in denen die Indizes in Gitterrichtung (z. B. i, j und k) erhöht wurden, und dies beeinflusste auch den Programmierstil. Unstrukturierte Gitter, vor allem wenn sie aus Polyedern bestehen, verlangen eine andere Organisation der Daten. Da das Gitter oft während der Berechnung manipuliert wird (lokale Verfeinerung oder Vergröberung), wird eine modulare Programmierung in Sprachen, die eine dynamische Speicheranforderung und -freigabe erlauben, unerl¨ asslich. Sowohl FORTRAN90 als auch C und C++ werden als Programmiersprachen verwendet. Obwohl jede Sprache ihre Vor- und Nachteile hat, kann man keine eindeutige Empfehlung geben: Ein guter Programmierer wird in jeder der drei genannten Sprachen ein effizientes und “pflegeleichtes” Programm schreiben können, während man in jeder Sprache auch ein kompliziertes und ineffizientes Programm schreiben kann. Der modulare Aufbau mit Einheiten, die eine klare Aufgabe und wohl definierte Eingangs- und Ausgangsgr¨ oßen haben, ist bei jedem größeren Programm wichtig. Oft gibt es verschiedene Auswahlmöglichkeiten (wie z. B. L¨ oser f¨ ur die linearen Gleichungssysteme), weshalb die Schnittstellen gut definiert werden m¨ ussen, um den Austausch von Modulen zu erleichtern. Programmieren ist wie komponieren: Der K¨ unstler muss in der Lage sein, sich sein Werk im Kopf vorzustellen. Die Autoren haben mit vielen Programmierern in der einen oder anderen Weise zusammengearbeitet, und obwohl viele von ihnen exzellente Wissenschaftler waren, haben nur wenige exzellente Programme geschrieben. Gl¨ ucklicherweise kann man auch mit weniger sch¨ on geschriebenen Programmen dieselben Ergebnisse wie mit den besseren Varianten erhalten; hier h¨ ort der Vergleich mit der Kunst auf. Die besseren Programme sind einfach leichter zu erweitern und zu pflegen, was besonders im kommerziellen Bereich sehr wichtig ist (sie sind nicht unbedingt immer die effizientesten!). In diesem Fall ist auch die Benutzeroberfläche (im Englischen user interface) sehr wichtig. Aus Platzgr¨ unden und wegen der artistischen Komponente dieser Aufgaben wird in diesem Buch u ¨ ber die Programmiertechniken und Benutzerschnittstellen nicht mehr viel gesagt.

3. Finite-Differenzen-Methoden

3.1 Einleitung Wie in Kapitel 1 erw¨ ahnt wurde, haben alle Erhaltungsgleichungen eine ähnliche Form und k¨ onnen als Sonderf¨ alle einer allgemeinen Transportgleichung betrachtet werden, Gl. (1.26), (1.27) oder (1.28). Deshalb wird in diesem und in den folgenden Kapiteln nur eine generische Erhaltungsgleichung behandelt. An ihr werden die Diskretisierungsmethoden f¨ ur die Terme demonstriert, die ¨ allen Erhaltungsgleichungen gemeinsam sind (Anderungsrate, Konvektion, Diffusion und Quellterme). Die besonderen Eigenschaften der Navier-StokesGleichungen und Techniken zur L¨ osung gekoppelter nichtlinearer Probleme werden in Kapitel 7 eingef¨ uhrt. Außerdem wird vorerst der instationäre Term vernachl¨ assigt, so dass nur zeitunabh¨ angige Probleme betrachtet werden. Der Einfachheit halber werden zun¨ achst nur kartesische Gitter verwendet. Die Gleichung, die in diesem Kapitel betrachtet wird, lautet: ∂(ρuj φ) ∂φ ∂ Γ + qφ . = (3.1) ∂xj ∂xj ∂xj Es wird angenommen, dass ρ, uj , Γ und qφ bekannt sind. Dies ist normalerweise nicht der Fall, da die Geschwindigkeit meistens ebenfalls berechnet werden muss. Außerdem k¨ onnen Fluideigenschaften von der Temperatur und, wenn Turbulenzmodelle verwendet werden, auch vom Geschwindigkeitsfeld abh¨ angig sein. Wie man sehen wird, behandeln die iterativen Methoden, die zur L¨ osung dieser Gleichungen verwendet werden, φ als einzige Unbekannte; alle anderen Variablen nehmen die Werte an, die in der vorangegangenen Iteration bestimmt wurden. Deshalb macht es Sinn, sie zunächst – so lange nur eine Gleichung betrachtet wird – als bekannt anzunehmen. Die besonderen Merkmale von nichtorthogonalen und unstrukturierten Gittern werden in Kapitel 8 diskutiert. Außerdem werden von den vielen m¨ oglichen Diskretisierungstechniken nur einige ausgewählte beschrieben, die die wichtigsten Ideen erl¨ autern; weitere sind in zitierter Literatur zu finden.

48


3.2 Grundkonzept Um eine numerische L¨ osung zu erhalten, muss man zuerst das geometrische Gebiet diskretisieren, d. h. es muss ein numerisches Gitter definiert werden. In Finite-Differenzen-Methoden (FD) ist das Gitter normalerweise lokal strukturiert, d. h. jeder Gitterpunkt kann als Ursprung eines lokalen Koordinatensystems betrachtet werden, dessen Achsen die Gitterlinien sind, die sich im gegebenen Gitterpunkt schneiden. Daraus ergibt sich ebenfalls, dass zwei Gitterlinien derselben Familie, beispielsweise ξ1 , sich nicht u ¨ berschneiden, und dass jedes Paar von Gitterlinien verschiedener Familien, beispielsweise ξ1 = konst. und ξ2 = konst., sich nur einmal schneidet. Im dreidimensionalen Fall schneiden sich in jedem Punkt drei Gitterlinien; diese drei Linien schneiden sich in keinem weiteren Punkt. Die Abb. 3.1 zeigt Beispiele f¨ ur eindimensionale (1D) und zweidimensionale (2D) kartesische Gitter, die in FD-Methoden Anwendung finden.

1

i-1

i

i+1

N

Nj

j+1 j

(i,j)

j-1

1 1

i-1

i

i+1

Ni

Abbildung 3.1. Beispiel eines 1D (oben) und eines 2D (unten) kartesischen Gitters f¨ ur FD-Methoden (gef¨ ullte Symbole bezeichnen Randpunkte und offene Symbole bezeichnen innere Rechenpunkte)

Jeder Gitterpunkt ist eindeutig durch einen Satz Indizes definiert; dies sind die Indizes der Gitterlinien, die sich in diesem Gitterpunkt schneiden, (i, j) in 2D und (i, j, k) in 3D. Die Nachbarpunkte werden durch Erhöhung bzw. Reduzierung eines der Indizes um jeweils eins bestimmt. Die generische Erhaltungsgleichung in Differentialform, (3.1), dient bei FD-Methoden als Ausgangspunkt. Da sie in φ linear ist, wird sie mit einem System linearer algebraischer Gleichungen approximiert, in dem die Variablenwerte in den Gitterpunkten die Unbekannten sind. Die Lösung dieses Systems approximiert die L¨ osung der partiellen Differentialgleichung.

3.2 Grundkonzept

49

Jeder Gitterpunkt ist somit mit einem unbekannten Variablenwert verkn¨ upft und muss eine algebraische Gleichung liefern. Diese stellt eine Beziehung zwischen dem Variablenwert im gegebenen Gitterpunkt und den Werten in einigen Nachbargitterpunkten dar. Man erhält sie, indem man jeden Term der Differentialgleichung im betreffenden Gitterpunkt durch eine Finite-Differenzen-Approximation ersetzt. Nat¨ urlich muss die Anzahl der Gleichungen mit der Anzahl der Unbekannten u ¨bereinstimmen. In Randpunkten, wo die Variablenwerte gegeben sind (Dirichlet-Bedingungen), ist keine Gleichung notwendig. Wenn die Randbedingungen Ableitungen beinhalten (wie bei Neumann-Bedingungen), muss die Randbedingung f¨ ur solche Randpunkte diskretisiert werden, um eine Gleichung zum zu lösenden Gleichungssystem hinzuzuf¨ ugen. Die Grundidee f¨ ur FD-Approximationen stammt direkt von der Definition einer Ableitung: ∂φ φ(xi + Δx) − φ(xi ) . (3.2) = lim ∂x xi Δx→0 Δx In Abb. 3.2 wird eine geometrische Interpretation gegeben, auf die häufig Bezug genommen wird. Die erste Ableitung ∂φ/∂x in einem Punkt repräsentiert die Neigung der Tangente zur Kurve φ(x) in diesem Punkt; diese Linie ist mit “Exakt” in der Abbildung gekennzeichnet. Ihre Neigung kann durch die Neigung einer Geraden, die durch zwei benachbarte Punkte auf der Kurve verl¨ auft, approximiert werden. Die gepunktete Linie zeigt die Approximation bei einer Vorwärtsdifferenz; die Ableitung in xi wird durch die Neigung einer Linie, die durch den Punkt xi und einen anderen Punkt in xi + Δx verl¨ auft, approximiert. Die gestrichelte Linie stellt eine Approximation durch R¨ uckwärtsdifferenz dar: Der zweite Punkt liegt hier bei xi − Δx. Die mit “Zentral” markierte Linie zeigt eine Approximation durch Zentraldifferenz: Sie verwendet eine Linie, die durch einen Punkt rechts und einen Punkt links vom Punkt verl¨ auft, in dem die Ableitung approximiert wird.

I

exakt

rückwärts

zentral vorwärts

' xi i2

i1

'x i+1 i

i+1

i+2

x

Abbildung 3.2. Zur Definition einer Ableitung und deren Approximationen

50


Aus Abb. 3.2 ist ersichtlich, dass einige Approximationen besser sind als andere. Die Linie der Zentraldifferenz-Approximation hat eine Neigung, die der Neigung der Tangente sehr nahekommt; wenn die Funktion φ(x) ein Polynom 2. Ordnung w¨ are und die Punkte in gleichem Abstand in x-Richtung lägen, w¨ urden die Neigungen genau u ¨bereinstimmen. Es ist weiterhin aus Abb. 3.2 zu erkennen, dass sich die Qualität der Approximation verbessern w¨ urde, wenn die zusätzlichen Punkte näher bei xi liegen w¨ urden, d. h. die Approximation wird mit Gitterverfeinerung besser. Die in Abb. 3.2 gezeigten Approximationen sind nur einige von vielen M¨ oglichkeiten; die folgenden Abschnitte erl¨ autern die grundlegenden Wege zur Ableitung von Approximationen verschiedener Ordnung. In den folgenden zwei Abschnitten werden nur eindimensionale Fälle betrachtet. Die Koordinate x, auf die Bezug genommen wird, kann entweder kartesisch oder krummlinig sein; der Unterschied ist hier von geringer Bedeutung. In mehrdimensionalen finiten Differenzen wird normalerweise jede Koordinate einzeln behandelt, so dass die hier entwickelten Methoden ohne Weiteres bei h¨ oherer Dimensionalit¨ at angewendet werden können.

3.3 Approximation der ersten Ableitung Die Diskretisierung des konvektiven Terms in Gl. (3.1) erfordert eine Approximation der ersten Ableitung, ∂(ρuφ)/∂x. Im vorangegangenen Abschnitt wurde ein Weg zur intuitiven Herleitung von Approximationen f¨ ur die erste Ableitung vorgestellt. Es gibt jedoch systematischere Wege, die besser f¨ ur die Herleitung von genaueren Approximationen geeignet sind. Hier werden einige Methoden zur Approximation der ersten Ableitung einer generischen Variablen φ beschrieben; die Methoden können auf die erste Ableitung einer jeden Gr¨ oße angewendet werden. 3.3.1 Taylor-Reihen-Entwicklung Jede kontinuierlich differenzierbare Funktion φ(x) kann in der Nähe von xi als Taylor-Reihe ausgedr¨ uckt werden: (x − xi )2 ∂ 2 φ ∂φ φ(x) = φ(xi ) + (x − xi ) + + ∂x i 2! ∂x2 i (x − xi )3 ∂ 3 φ (x − xi )n ∂ n φ + ···+ +H , (3.3) 3! ∂x3 i n! ∂xn i wo H “Terme h¨ oherer Ordnung” bedeutet. Ersetzt man in dieser Gleichung x alt man Ausdr¨ ucke f¨ ur die Variablenwerte in diesen durch xi+1 oder xi−1 , erh¨ Punkten als Funktion der Variablen und ihrer Ableitung in xi . Dies gilt f¨ ur jeden anderen Punkt in der N¨ ahe von xi , beispielsweise xi+2 und xi−2 .

3.3 Approximation der ersten Ableitung

51

Mit diesen Reihen kann man N¨ aherungsausdr¨ ucke f¨ ur die erste und höhere Ableitungen im Punkt xi als Funktionen von Variablenwerten in den Nachbarpunkten erhalten. So kann beispielsweise mit Gl. (3.3) f¨ ur φ in xi+1 gezeigt werden, dass: ∂φ φi+1 − φi xi+1 − xi ∂ 2 φ = − − ∂x i xi+1 − xi 2 ∂x2 i (xi+1 − xi )2 ∂ 3 φ +H . (3.4) 6 ∂x3 i Ein anderer Ausdruck kann mit Gl. (3.3) f¨ ur φ in xi−1 hergeleitet werden: 2 ∂φ φi − φi−1 xi − xi−1 ∂ φ = + − ∂x i xi − xi−1 2 ∂x2 i (xi − xi−1 )2 ∂ 3 φ +H . (3.5) 6 ∂x3 i Noch ein weiterer Ausdruck kann durch Verwendung von Gl. (3.3) in sowohl xi−1 als auch in xi+1 erhalten werden: ∂φ φi+1 − φi−1 (xi+1 − xi )2 − (xi − xi−1 )2 ∂ 2 φ = − − ∂x i xi+1 − xi−1 2 (xi+1 − xi−1 ) ∂x2 i (xi+1 − xi )3 + (xi − xi−1 )3 ∂ 3 φ +H . (3.6) 6 (xi+1 − xi−1 ) ∂x3 i Alle drei Ausdr¨ ucke sind exakt, wenn alle Terme auf der rechten Seite beibehalten werden. Da aber die Ableitungen h¨ oherer Ordnung unbekannt sind, n¨ utzen einem diese Ausdr¨ ucke in der gegebenen Form nicht viel. Doch wenn der Abstand zwischen den Gitterpunkten (d. h. xi − xi−1 bzw. xi+1 − xi ) klein ist, sind die Terme h¨ oherer Ordnung klein, da sie höhere Potenzen des Gitterabstands als Multiplikatoren beinhalten. Eine Ausnahme sind die ungew¨ ohnlichen Situationen, wenn die h¨ oheren Ableitungen lokal sehr groß sind. Vernachl¨ assigt man die letzte M¨ oglichkeit, ergeben sich Approximationen der ersten Ableitung durch den Abbruch jeder dieser Reihen nach dem ersten Term auf der rechten Seite: ∂φ φi+1 − φi ≈ ; (3.7) ∂x i xi+1 − xi

∂φ ∂x ∂φ ∂x

i

≈

φi − φi−1 ; xi − xi−1

(3.8)

≈

φi+1 − φi−1 . xi+1 − xi−1

(3.9)

i

52


Dies sind die Vorw¨ arts- , die R¨ uckw¨ arts- und die Zentraldifferenz-Approximation, die bereits erw¨ ahnt wurden. Die auf den rechten Seiten vernachlässigten Terme stellen die Abbruchfehler dar. Diese sind das Maß f¨ ur die Genauigkeit der Approximation und bestimmen die Rate, mit der sich der Fehler verkleinert, wenn der Abstand zwischen den Gitterpunkten reduziert wird. Der Abbruchfehler ist proportional der Summe der Produkte aus einer Potenz des Gitterpunktabstandes und einer Ableitung höherer Ordnung im Punkt x = xi : τ = (Δx)m αm+1 + (Δx)m+1 αm+2 + · · · + (Δx)n αn+1 ,

(3.10)

wo Δx der Abstand zwischen den Punkten ist (zunächst als u ¨ berall gleich groß angenommen), und die α’s sind Ableitungen höherer Ordnung, multipliziert mit konstanten Faktoren. Gleichung (3.10) zeigt, dass die Terme mit höheren Potenzen von Δx f¨ ur kleine Abst¨ ande kleiner sind, so dass der f¨ uhrende Term (der mit dem kleinsten Exponenten) der dominierende ist. Wenn Δx reduziert wird, konvergieren die obigen Approximationen zur exakten Ableitung mit einem Fehler, der proportional zu (Δx)m ist, wobei m der Exponent des f¨ uhrenden Terms im Abbruchfehler ist. Man sagt dann, dass es sich um eine Approximation m-ter Ordnung handelt. Die Ordnung einer Approximation gibt an, wie schnell der Fehler reduziert wird, wenn das Gitter verfeinert wird; sie sagt nichts u ¨ber die absolute Größe des Fehlers aus. Der Fehler wird folglich um einen Faktor von zwei, vier, acht oder sechzehn f¨ ur Approximationen 1., 2., 3. oder 4. Ordnung reduziert. Man sollte jedoch beachten, dass diese Regel nur bei gen¨ ugend kleinen Abständen gilt; die Definition von “gen¨ ugend klein” h¨ angt vom Profil der Funktion φ(x) ab. 3.3.2 Polynomansatz Ein alternativer Weg zu den Approximationen der Ableitungen ist die Anpassung einer Interpolationsfunktion an die Variablenwerte in einigen Gitterpunkten und die Differenzierung dieser Funktion an einer bestimmten Stelle (dies kann ein Gitterpunkt oder eine Stelle zwischen zwei Gitterpunkten sein). Wird beispielsweise eine streckenweise lineare Interpolation verwendet, erhält man die Vorw¨ arts- oder R¨ uckw¨ artsdifferenz-Approximationen, abhängig davon, ob der zweite Punkt links oder rechts vom Punkt xi liegt. Legt man eine Parabel durch die Variablenwerte in den Punkten xi−1 , xi und xi+1 und berechnet die erste Ableitung dieser Parabel in xi , so erhält man: ∂φ φi+1 (Δxi )2 − φi−1 (Δxi+1 )2 + φi [(Δxi+1 )2 − (Δxi )2 ] ,(3.11) = ∂x i Δxi+1 Δxi (Δxi + Δxi+1 ) wo Δxi = xi − xi−1 . Diese Approximation hat auf jedem Gitter einen Abbruchfehler 2. Ordnung und ist mit der obigen Approximation 2. Ordnung,


53

die mit der Taylor-Reihen-Entwicklung erhalten wurde, identisch. Bei einheitlichem Abstand reduziert sie sich auf die oben erwähnte ZentraldifferenzApproximation, siehe Gl. (3.9). Andere Polynome, Splines usw. k¨ onnen zur Interpolation und dann zur Approximation der Ableitung verwendet werden. Im Allgemeinen ergibt die Approximation der ersten Ableitung einen Abbruchfehler, dessen Ordnung dem Grad des zur Approximation verwendeten Polynoms entspricht. Im Folgenden werden zwei Approximationen 3. Ordnung vorgestellt, die durch das Legen eines kubischen Polynoms durch vier Punkte, und eine Approximation 4. Ordnung, die durch das Legen eines Polynoms vierten Grades durch f¨ unf Punkte auf einem a quidistanten Gitter erhalten wurden: ¨ ∂φ 2 φi+1 + 3 φi − 6 φi−1 + φi−2 + O (Δx)3 ; (3.12) = ∂x i 6 Δx

∂φ ∂x ∂φ ∂x

=

−φi+2 + 6 φi+1 − 3 φi − 2 φi−1 + O (Δx)3 ; 6 Δx

(3.13)

=

−φi+2 + 8 φi+1 − 8 φi−1 + φi−2 + O (Δx)4 . 12 Δx

(3.14)

i

i

Diese Approximationen werden (von oben nach unten) auch R¨ uckwärtsdifferenz 3. Ordnung, Vorw¨ artsdifferenz 3. Ordnung bzw. Zentraldifferenz 4. Ordnung genannt. Bei ungleichm¨ aßigen Gitterabständen sind die Koeffizienten in den obigen Ausdr¨ ucken Funktionen der Gittermaschenweite bzw. der Expansionsfaktoren. Im Fall von Vorw¨ arts- und R¨ uckw¨ artsdifferenz kommt der größte Beitrag zur Approximation von einer Seite. Bei Konvektionsproblemen wird meistens R¨ uckw¨ artsdifferenz verwendet, wenn das Fluid lokal vom Punkt xi−1 zu xi str¨ omt, und Vorw¨ artsdifferenz, wenn die Strömung in die entgegengesetzte Richtung erfolgt. Diese Methoden werden Aufwinddifferenzen genannt (im Englischen “upwind differencing”, bekannt auch unter der Abk¨ urzung UD). Eine Aufwinddifferenz 1. Ordnung ist sehr ungenau; ihr Abbruchfehler hat den Effekt einer falschen Diffusion (d. h. die Lösung entspricht der Str¨ omung mit einem gr¨ oßeren Diffusionskoeffizienten, so dass manchmal die falsche Diffusion viel gr¨ oßer ausf¨ allt als die wirkliche Diffusion). Aufwinddifferenzen h¨ oherer Ordnung sind genauer, jedoch kann man normalerweise ein Zentraldifferenz-Verfahren h¨ oherer Ordnung mit weniger M¨ uhe implementieren, da man nicht die Str¨ omungsrichtung u ufen muss (siehe die obigen ¨ berpr¨ Ausdr¨ ucke). Hier wurde nur der eindimensionale Polynomansatz vorgestellt; eine ähnliche Vorgehensweise kann zusammen mit jedem Typ von Formfunktion oder Interpolationsansatz in eine, zwei oder drei Dimensionen verwendet werden. Die einzige offensichtliche Bedingung liegt darin, dass die Anzahl der Gitterpunkte, die als St¨ utzstellen der Formfunktion dienen, gleich der Anzahl der

54


zu bestimmenden Koeffizienten in der Formfunktion sein muss. Diese Vorgehensweise ist bei unregelm¨ aßigen Gittern interessant, da sie die Möglichkeit bietet, die Verwendung von Koordinatentransformationen zu vermeiden; siehe Abschnitt 8.5. 3.3.3 Kompakte Schemata F¨ ur Gitter mit ¨ aquidistanten Abst¨ anden k¨ onnen viele spezielle Methoden hergeleitet werden. Darunter fallen kompakte Schemata und die in Abschnitt 3.10 beschriebenen Spektralmethoden. Hier werden nur Padé-Verfahren aus der ersten Gruppe beschrieben. Kompakte Schemata k¨ onnen mittels Polynomansatz hergeleitet werden. Im Unterschied zu den im vorherigen Abschnitt beschriebenen Verfahren werden nicht nur die Variablenwerte in den Gitterpunkten zur Herleitung der Polynomkoeffizienten verwendet, sondern auch die Werte der Ableitungen in einigen Punkten. Diese Idee wird hier verwendet, um das Padé-Verfahren 4. Ordnung herzuleiten. Das Ziel ist, nur Werte von unmittelbaren Nachbarpunkten zu verwenden; dies macht die L¨ osung der sich ergebenden Gleichungen einfacher und reduziert die Schwierigkeit, Approximationen nahe den R¨ andern des L¨ osungsgebietes zu finden. Im hier beschriebenen Verfahren werden die Variablenwerte in den Punkten i, i + 1 und i − 1 sowie die ersten Ableitungen in den Punkten i + 1 und i − 1 benutzt, um eine Approximation f¨ ur die erste Ableitung im Punkt i zu erhalten. Zu diesem Zweck wird ein Polynom 4. Grades in der Umgebung des Punktes i definiert: φ = a0 + a1 (x − xi ) + a2 (x − xi )2 + a3 (x − xi )3 + a4 (x − xi )4 . (3.15) onnen durch Anpassung des obigen Polynoms Die Koeffizienten a0 , . . . , a4 k¨ an die drei Variablen- und die zwei Ableitungswerte gefunden werden. Da jedoch nur die erste Ableitung im Punkt i von Interesse ist, braucht man nur den Koeffizienten a1 zu bestimmen. Indem man die Gl. (3.15) differenziert, erh¨ alt man: ∂φ = a1 + 2a2 (x − xi ) + 3a3 (x − xi )2 + 4a4 (x − xi )4 , ∂x so dass gilt: ∂φ = a1 . ∂x i

(3.16)

(3.17)

Schreibt man nun Gl. (3.15) f¨ ur x = xi , x = xi+1 und x = xi−1 sowie Gl. (3.16) f¨ ur x = xi+1 und x = xi−1 , so erh¨ alt man nach Umformung: 1 ∂φ 1 ∂φ 3 φi+1 − φi−1 ∂φ . (3.18) =− − + ∂x i 4 ∂x i+1 4 ∂x i−1 4 Δx


55

Ein Polynom 6. Grades kann verwendet werden, um ein Padé-Verfahren 6. Ordnung zu erhalten, wenn die Variablenwerte in den Gitterpunkten i + 2 und i − 2 zu denen aus dem Verfahren 4. Ordnung addiert werden; verwendet man auch die Ableitungen in diesen beiden Punkten, kann man ein Polynom 8. Grades konstruieren und ein Padé-Verfahren 8. Ordnung in analoger Weise herleiten. Eine Gleichung wie Gl. (3.18) kann f¨ ur jeden Gitterpunkt geschrieben werden. Der komplette Gleichungssatz ist eigentlich ein tridiagonales Gleichungssystem f¨ ur die Ableitungen in den Gitterpunkten. Um die Ableitungen explizit zu berechnen, muss dieses System gel¨ ost werden. Eine Familie von kompakten, zentrierten Approximationen von bis zu 6. Ordnung kann folgendermaßen geschrieben werden: ∂φ ∂φ ∂φ φi+1 − φi−1 α + + +α =β ∂x i+1 ∂x i ∂x i−1 2 Δx γ

φi+2 − φi−2 . 4 Δx

(3.19)

Abh¨ angig von der Wahl der Parameter α, β und γ, erhält man die Zentraldifferenz 2. bzw. 4. Ordnung oder das Padé-Verfahren 4. bzw. 6. Ordnung; in der Tabelle 3.1 sind diese Parameter und die entsprechenden Abbruchfehler aufgelistet. Tabelle 3.1. Kompakte Schemata: die Parameter und die Abbruchfehler

Schema

Abbruchfehler

α

β

γ

Zentraldifferenz-2

(Δx)2 ∂ 3 φ 3! ∂x3

0

1

0

Zentraldifferenz-4

13(Δx)4 ∂ 5 φ 3 · 3! ∂x5

0

4 3

Padé-4

(Δx)4 ∂ 5 φ 5! ∂x5

1 4

3 2

0

Padé-6

4(Δx)6 ∂ 7 φ 7! ∂x7

1 3

14 9

1 9

−

1 3

Es ist offensichtlich, dass bei derselben Approximationsordnung die PadéVerfahren weniger Rechenpunkte verwenden und damit kompaktere Rechensterne haben als die Zentraldifferenz-Approximationen. Sind die Variablenwerte in allen Gitterpunkten bekannt, kann man die Ableitungen in allen Knoten an einer Gitterlinie durch L¨ osen des tridiagonalen Gleichungssystems explizit berechnen (siehe Kapitel 5 f¨ ur weitere Details dazu, wie dies gemacht werden kann). In Abschnitt 5.6 wird gezeigt, dass dieses Verfahren auch auf

56


implizite Methoden angewendet werden kann. Darauf wird in Abschnitt 3.7 nochmals eingegangen. Die hier hergeleiteten Methoden sind nur einige der Möglichkeiten; Erweiterungen zu h¨ oherer Ordnung und mehrdimensionalen Approximationen sind m¨ oglich. Es ist ebenfalls m¨ oglich, derartige Methoden f¨ ur unregelmäßige Gitter herzuleiten, aber die Koeffizienten sind dann gitterabhängig, was die Methoden ziemlich unpraktisch werden l¨ asst. 3.3.4 Nicht¨ aquidistante Gitter Da der Abbruchfehler nicht nur von den Gitterabständen, sondern auch von den Ableitungen der Variablen abh¨ angig ist, kann keine gleichmäßige Verteilung des Diskretisierungsfehlers auf einem äquidistanten Gitter erhalten werden. Deshalb muss man ein nicht¨ aquidistantes Gitter verwenden. Die Idee ist, ein kleineres Δx in Regionen zu verwenden, wo die Ableitungen der Funktion groß sind, und ein gr¨ oßeres Δx in Gebieten, wo sich die Funktion weniger ¨ andert. Auf diese Weise sollte es möglich sein, den Fehler fast gleichm¨ aßig u osungsgebiet zu verteilen und somit eine bes¨ber das gesamte L¨ sere L¨ osung f¨ ur eine gegebene Anzahl an Gitterpunkten zu erhalten. In diesem Abschnitt wird die Genauigkeit der Finiten-Differenzen-Approximationen auf unregelm¨ aßigen Gittern diskutiert. In einigen Approximationen wird der f¨ uhrende Term im Ausdruck f¨ ur den Abbruchfehler gleich null, wenn der Abstand der Gitterpunkte einheitlich ist, d. h. xi+1 − xi = xi − xi−1 = Δx. Das ist bei der ZentraldifferenzApproximation der Fall, siehe Gl. (3.6). Obwohl verschiedene Approximationen f¨ ur nicht¨ aquidistante Gitter formell der gleichen Ordnung angehören, k¨ onnen sich ihre Abbruchfehler auf demselben Gitter stark unterscheiden (manchmal sogar um eine Gr¨ oßenordnung). Dies trifft z. B. auf die Vorwärtsund die Zentraldifferenz zu, da bei beiden auf nichtäquidistanten Gittern der f¨ uhrende Term im Abbruchfehler proportional der Gittermaschenweite und der zweiten Ableitung ist. Entscheidend f¨ ur die Genauigkeit ist jedoch, wie sich der Abbruchfehler verh¨ alt, wenn das Gitter systematisch verfeinert wird. Dabei muss man beachten, dass sich in einem endlichen Lösungsgebiet durch eine systematische Gitterverfeinerung die Expansionsfaktoren zwischen den benachbarten Maschenweiten ¨ andern. So kann man zeigen, dass sich die Rate, mit der der Abbruchfehler durch Gitterverfeinerung abnimmt, bei einer Zentraldifferenz nicht verschlechtert, wenn man statt eines äquidistanten ein nicht¨ aquidistantes Gitter w¨ ahlt. Da es um diesen Punkt einige Unstimmigkeiten in der Literatur gibt, wird dies im Folgenden bewiesen. Man beachte, dass der Abbruchfehler f¨ ur eine Zentraldifferenz bei nichtäquidistanten Gittern wie folgt definiert ist (siehe Gl. (3.6)): (Δxi+1 )2 − (Δxi )2 ∂ 2 φ τ = − − 2 (Δxi+1 + Δxi ) ∂x2 i


(Δxi+1 )3 + (Δxi )3 6 (Δxi+1 + Δxi )

∂3φ ∂x3

57

+H ,

(3.20)

i

wo folgende Schreibweise (siehe Abb. 3.2) verwendet wurde: Δxi+1 = xi+1 − xi ,

Δxi = xi − xi−1 .

Der f¨ uhrende Term ist proportional zu Δx, doch er wird gleich null, wenn Δxi+1 = Δxi . Das bedeutet: Je nicht¨ aquidistanter die Gitterabstände um einen gegebenen Punkt i sind, desto gr¨ oßer ist der Fehler in diesem Punkt. Es wird davon ausgegangen, dass die Gitterabstände mit einem konstanten Faktor re wachsen (oder sich verkleinern, je nachdem, in welche Richtung der Index i w¨ achst). Dabei gilt: Δxi+1 = re Δxi .

(3.21)

In diesem Fall kann der f¨ uhrende Term f¨ ur den Abbruchfehler f¨ ur die Zentraldifferenz wie folgt umgeschrieben werden: (1 − re )Δxi ∂ 2 φ τ ≈ . (3.22) 2 ∂x2 i Der f¨ uhrende Fehlerterm f¨ ur die Vorw¨ arts- oder R¨ uckwärtsdifferenz 1. Ordnung ist: Δxi ∂ 2 φ τ ≈ . 2 ∂x2 i Durch den Vergleich der beiden obigen Ausdr¨ ucke erkennt man sofort, dass der Beitrag des Terms 1. Ordnung zum Abbruchfehler bei Zentraldifferenz wesentlich kleiner als der R¨ uckw¨ artsdifferenz-Fehler ist, wenn re nahe eins liegt (man verwendet normalerweise kaum größere Expansionsfaktoren als 1,5 – eher um 1,2). Was passiert nun, wenn das Gitter verfeinert wird? Es werden zwei M¨ oglichkeiten zur Gitterverfeinerung ber¨ ucksichtigt: Die Halbierung der Abst¨ ande zwischen den Gitterpunkten sowie und die Einhaltung eines konstanten Expansionsfaktors. Im ersten Fall sind die Abst¨ ande um die neuen Punkte herum a¨quidistant, und der Expansionsfaktor re in den alten Punkten bleibt derselbe wie auf dem groben Gitter. Wird die Verfeinerung mehrere Male wiederholt, erhält man ein Gitter, das u obsten Gitterpunkten, a¨quidistant ist. ¨berall, außer bei den gr¨ Nun verschwindet der f¨ uhrende Fehlerterm in allen Punkten, außer in denen, die zum gr¨ obsten Gitter geh¨ oren. Nach einigen Verfeinerungen wird die Anzahl der Punkte, um die der Abstand nicht¨ aquidistant ist, klein sein. Deshalb wird sich der globale Fehler durch Verfeinerung fast genauso verkleinern wie bei einem echten Verfahren 2. Ordnung.

58


i1

i

i2 i1

i

i+1 i+1

i+2

Gitter 2h

Gitter h

Abbildung 3.3. Verfeinerung eines nicht¨ aquidistanten Gitters, das sich mit einem konstanten Faktor re ausdehnt

Im zweiten Fall ist der Expansionsfaktor des feinen Gitters kleiner als auf dem groben Gitter. Einfache Arithmetik zeigt, dass bei unveränderter Größe des L¨ osungsgebietes gilt: √ re,h = re,2h , (3.23) wo h das verfeinerte und 2h das gr¨ obere Gitter repräsentiert. Betrachtet man einen Punkt, der beiden Gittern gemeinsam ist, dann ergibt sich das folgende Verh¨ altnis der f¨ uhrenden Terme im Abbruchfehler im Gitterpunkt i auf den beiden Gittern (siehe Gl. (3.22)): rτ =

τ,2h (1 − re )2h (Δxi )2h = . τ,h (1 − re )h (Δxi )h

(3.24)

Zwischen den Gitterabst¨ anden auf den beiden Gittern besteht folgende Beziehung (siehe Abb. 3.3): (Δxi )2h = (Δxi )h + (Δxi−1 )h = (re + 1)h (Δxi−1 )h . Wenn diese Beziehung in die Gl. (3.24) eingef¨ ugt und dabei die Gl. (3.23) ber¨ ucksichtigt wird, ergibt sich, dass sich der Term 1. Ordnung im Abbruchfehler der Zentraldifferenz um den Faktor rτ =

(1 + re,h )2 re,h

(3.25)

verkleinert, wenn das Gitter systematisch verfeinert wird. Dieser Faktor betr¨ agt 4, wenn re = 1, d. h. wenn das Gitter ¨ aquidistant ist. Wenn re > 1 (expandierendes Gitter) oder re < 1 (kontrahierendes Gitter), ist dieser Faktor rτ > 4, was bedeutet, dass der Fehler durch den Term 1. Ordnung schneller kleiner wird als der Fehler durch den Term 2. Ordnung! Da in dieser Methode gilt, re → 1, wenn das Gitter verfeinert wird, wird die Konvergenz asymptotisch 2. Ordnung. Dies wird sp¨ ater noch an einigen Beispielen veranschaulicht werden. Eine ¨ ahnliche Analyse kann f¨ ur jedes Verfahren, dessen formale Ordnung sich bei nicht¨ aquidistanten Gittern verschlechtert, mit den gleichen Schlussfolgerungen durchgef¨ uhrt werden: Eine systematische Verfeinerung eines nicht¨ aquidistanten Gitters ergibt dieselbe Reduktionsrate des Abbruchfehlers wie beim ¨ aquidistanten Gitter. Demzufolge bleibt die Ordnung in Wirklichkeit dieselbe, unabh¨ angig davon, ob das Gitter äquidistant ist oder nicht.

3.4 Approximation der zweiten Ableitung

59

F¨ ur eine gegebene Anzahl an Gitterpunkten erhält man fast immer kleinere Fehler bei nicht¨ aquidistanten Abst¨ anden. Das ist der Zweck der ungleichm¨ aßigen Verteilung der Punkte: Man möchte kleinere Abstände dort haben, wo der Fehler bei einem ¨ aquidistanten Gitter zu groß gewesen wäre. Damit das nicht¨ aquidistante Gitter seinen Zweck erf¨ ullt, muss jedoch der Anwender wissen, wo kleine Abst¨ ande notwendig sind, oder es muss ein automatischer Weg zur Gitteranpassung an die Lösung vorhanden sein. Ein erfahrener Anwender kann die Gebiete, die feinere Gitter benötigen, fast immer identifizieren; mehr dazu in Kapitel 11. Methoden, die eine automatische fehlergesteuerte Gitterverfeinerung bieten, werden dort ebenfalls vorgestellt. Es sollte betont werden, dass die Gittergenerierung mit wachsender Dimension des Problems schwieriger wird. In der Tat ist die Generierung eines effektiven Gitters eines der schwierigsten Probleme in der numerischen Strömungsmechanik. Approximationen der ersten Ableitung mit höherer Ordnung kann man erhalten, indem man mehrere Punkte verwendet, um weitere Abbruchfehlerterme in den obigen Ausdr¨ ucken zu eliminieren. So erhält man beispielsweise die folgende Zentraldifferenz-Approximation 2. Ordnung (auf jedem Gitter), indem man φi−1 verwendet, um einen Ausdruck f¨ ur die zweite Ableitung in xi zu erhalten, und diesen Ausdruck in Gl. (3.6) einsetzt: ∂φ φi+1 (Δxi )2 − φi−1 (Δxi+1 )2 + φi [(Δxi+1 )2 − (Δxi )2 ] − = ∂x i Δxi+1 Δxi (Δxi + Δxi+1 ) Δxi+1 Δxi ∂ 3 φ +H . (3.26) 6 ∂x3 i F¨ ur ¨ aquidistante Gitter reduziert sich dieser Ausdruck auf die einfache Form, die in Gl. (3.9) gegeben ist. Der Vorteil dieser komplizierten Form gegen¨ uber dem einfachen Ausdruck ist – bei ausreichend feinen Gittern – relativ klein, weswegen sie selten verwendet wird.

3.4 Approximation der zweiten Ableitung Zweite Ableitungen tauchen in diffusiven Termen der Erhaltungsgleichungen auf, siehe Gl. (3.1). Um die zweite Ableitung in einem Punkt abzuschätzen, kann man die Approximation f¨ ur die erste Ableitung zweimal anwenden. Das ist der einzig m¨ ogliche Weg, wenn die Fluideigenschaften veränderlich sind, da man dann die Ableitung des Produktes aus dem Diffusionskoeffizienten und der ersten Ableitung ben¨ otigt. Als n¨ achstes werden Approximationen der zweiten Ableitung betrachtet; sp¨ ater wird die Anwendung auf den diffusiven Term in der Erhaltungsgleichung diskutiert. Geometrisch gesehen stellt die zweite Ableitung die Neigung der Tangente zur Kurve, die die erste Ableitung darstellt, dar, siehe Abb. 3.2. Man kann

60


eine Approximation der zweiten Ableitung im Punkt i erhalten, indem man Approximationen f¨ ur die erste Ableitung in den Punkten xi+1 und xi gemäß der Vorw¨ artsdifferenz-Vorschrift einsetzt: ∂φ ∂φ − 2 ∂x i+1 ∂x i ∂ φ ≈ . (3.27) ∂x2 i xi+1 − xi Ausgedr¨ uckt durch Variablenwerte in den Gitterpunkten, beinhalten alle solche Approximationen Daten aus mindestens drei Punkten. In der obigen Gleichung wurde die zweite (¨ außere) Ableitung mit Vorwärtsdifferenz abgesch¨ atzt. F¨ ur die ersten (inneren) Ableitungen auf der rechten Seite kann man auch eine andere Approximation verwenden, z. B. R¨ uckwärtsdifferenz; dies f¨ uhrt zum folgenden Ausdruck: 2 ∂ φ φi+1 (xi − xi−1 ) + φi−1 (xi+1 − xi ) − φi (xi+1 − xi−1 ) .(3.28) = ∂x2 i (xi+1 − xi )2 (xi − xi−1 ) Man k¨ onnte ebenfalls den Zentraldifferenz-Weg wählen, der die ersten Ableitungen in xi−1 und xi+1 ben¨ otigt. Setzt man f¨ ur die ersten Ableitungen in diesen Punkten wieder die Zentraldifferenzen ein, so ist die Approximation der zweiten Ableitung von den Variablenwerten in den weiter entfernten Punkten, xi−2 und xi+2 , abh¨ angig. Besser ist es, die ersten Ableitungen in den Hilfspunkten in der Mitte zwischen xi und xi+1 bzw. xi und xi−1 mit Zentraldifferenzen zu approximieren, was zu folgenden Ausdr¨ ucken f¨ uhrt: ∂φ φi+1 − φi ∂φ φi − φi−1 ≈ und ≈ . ∂x i+ 1 xi+1 − xi ∂x i− 1 xi − xi−1 2

2

Setzt man diese Ausdr¨ ucke in die Zentraldifferenz-Approximation der zweiten Ableitung ein, erh¨ alt man Folgendes: ∂φ ∂φ − 2 ∂x ∂x i− 1 1 ∂ φ i+ 2 2 ≈ (3.29) ≈ 1 ∂x2 i 2 (xi+1 − xi−1 ) φi+1 (xi − xi−1 ) + φi−1 (xi+1 − xi ) − φi (xi+1 − xi−1 ) . 1 2 (xi+1 − xi−1 )(xi+1 − xi )(xi − xi−1 ) Offensichtlich ist dieser Ausdruck derselbe wie der aus Gl. (3.28), wenn das Gitter ¨ aquidistant ist; die Kombination der Vorwärts- und der R¨ uckwärtsdifferenz auf zwei Ebenen lieferte also dasselbe Ergebnis wie zwei ZentraldifferenzApproximationen, aber auf einem Gitter mit halbierter Maschenweite. Auf diesen Umstand wird nochmals in Kapitel 6, bei der Beschreibung verschiedener Approximationen f¨ ur Zeitintegration, hingewiesen.

3.4 Approximation der zweiten Ableitung

61

F¨ ur ¨ aquidistante Abst¨ ande der Punkte lauten die Ausdr¨ ucke (3.28) und (3.29): 2 φi+1 + φi−1 − 2 φi ∂ φ ≈ . (3.30) ∂x2 i (Δx)2 Die Taylor-Reihen-Entwicklung bietet einen weiteren Weg, um eine Approximation der zweiten Ableitung herzuleiten. Wendet man die ReihenEntwicklung (siehe Gl. (3.3)) an, um die Variablenwerte in den Punkten xi−1 und xi+1 durch die Werte der Variablen und ihren Ableitungen in xi auszudr¨ ucken, so erh¨ alt man als Approximation der zweiten Ableitung erneut die Gl. (3.29) mit einem expliziten Ausdruck f¨ ur den Abbruchfehler: 2 φi+1 (xi − xi−1 ) + φi−1 (xi+1 − xi ) − φi (xi+1 − xi−1 ) ∂ φ − = 1 ∂x2 i 2 (xi+1 − xi−1 )(xi+1 − xi )(xi − xi−1 ) (xi+1 − xi ) − (xi − xi−1 ) ∂ 3 φ +H . (3.31) 3 ∂x3 i Der f¨ uhrende Abbruchfehler-Term ist 1. Ordnung, d. h. proportional zur Gittermaschenweite. Er verschwindet jedoch, wenn die Gitterabstände a¨quidistant sind – dann ist die Genauigkeit der Approximation formal 2. Ordnung. Jedoch verkleinert sich der Abbruchfehler auch bei nichtäquidistanten Gittern wie bei einer Approximation 2. Ordnung, da der f¨ uhrende Term vom Expansionsfaktor abh¨ angt; siehe dazu Erl¨ auterungen in Abschnitt 3.3.4. Wie dort f¨ ur die Zentraldifferenz-Approximation der ersten Ableitung ausf¨ uhrlich erl¨ autert wurde, kann der f¨ uhrende Abbruchfehler-Term wie folgt ausgedr¨ uckt werden: (xi+1 − xi ) − (xi − xi−1 ) ∂ 3 φ Δxi (re − 1) ∂ 3 φ = , (3.32) 3 ∂x3 i 3 ∂x3 i was dem Ausdruck (3.22) analog ist. Deswegen folgt f¨ ur systematisch verfeinerte nicht¨ aquidistante Gitter die Reduktion des Abbruchfehlers gemäß Gl. (3.25) – also mit einem Faktor ≥ 4 (2. Ordnung auf jedem Gitter). Approximationen h¨ oherer Ordnung f¨ ur die zweite Ableitung kann man durch das Hinzuf¨ ugen von mehreren Datenpunkten, z. B. xi−2 oder xi+2 , erhalten. Schließlich kann man Interpolation verwenden, um ein Polynom des Grades n durch n + 1 Datenpunkte zu legen. Auf diese Weise kann man alle Ableitungen bis zur n-ten durch Differenzierung des Polynoms erhalten. Die Verwendung quadratischer Interpolation durch drei Punkte f¨ uhrt zu den oben gegebenen Formeln. Vorgehensweisen, wie sie in Abschnitt 3.3.3 beschrieben wurden, k¨ onnen ebenso auf die zweite Ableitung ausgedehnt werden. Im Allgemeinen ist der Abbruchfehler der Approximation zur zweiten Ableitung gleich dem Grad des Interpolationspolynoms minus eins (1. Ordnung f¨ ur Parabel, 2. Ordnung f¨ ur kubisches Polynom usw.). Eine Ordnung

62


gewinnt man, wenn der Abstand ¨ aquidistant ist und Polynome geraden Grades verwendet werden. So f¨ uhrt zum Beispiel ein Polynom vierten Grades, gelegt durch f¨ unf Punkte, auf ¨ aquidistanten Gittern zu einer Approximation 4. Ordnung: 2 ∂ φ −φi+2 + 16 φi+1 − 30 φi + 16 φi−1 − φi−2 = +O (Δx)4 (3.33) 2 2 ∂x i 12(Δx) Man kann auch Approximationen der zweiten Ableitung verwenden, um die Genauigkeit der Approximationen zur ersten Ableitung zu erhöhen. Wählt man beispielsweise den Vorw¨ artsdifferenz-Ausdruck f¨ ur die erste Ableitung, Gl. (3.4), wobei man nur zwei Terme auf der rechten Seite behält, und den Zentraldifferenz-Ausdruck (3.30) f¨ ur die zweite Ableitung, so ergibt sich der folgende Ausdruck f¨ ur die erste Ableitung: ∂φ φi+1 (Δxi )2 − φi−1 (Δxi+1 )2 + φi [(Δxi+1 )2 − (Δxi )2 ] (3.34) ≈ ∂x i Δxi+1 Δxi (Δxi + Δxi+1 ) Dieser Ausdruck hat einen Abbruchfehler 2. Ordnung auf jedem Gitter und reduziert sich auf den u ur die erste Ablei¨ blichen Zentraldifferenz-Ausdruck f¨ tung auf ¨ aquidistanten Gittern. Diese Approximation ist mit Gl. (3.26) identisch. Auf ¨ ahnliche Weise kann jede Approximation durch Eliminierung der Ableitung im f¨ uhrenden Abbruchfehler-Term verbessert werden. Approximationen h¨ oherer Ordnung benutzen immer mehr Gitterpunkte, was zu komplexeren zu l¨ osenden Gleichungen und zu komplizierterer Behandlung der Randbedingungen f¨ uhrt, weshalb man abw¨ agen muss. Approximationen 2. Ordnung bieten normalerweise eine gute Kombination aus einfacher Anwendung, Genauigkeit und Kosteneffizienz bei Ingenieuranwendungen. Methoden 3. und 4. Ordnung bieten h¨ ohere Genauigkeit f¨ ur eine gegebene Anzahl an Gitterpunkten, wenn das Gitter ausreichend fein ist, doch sind sie schwieriger in der Anwendung. Methoden von noch höherer Ordnung werden nur in Sonderf¨ allen eingesetzt. F¨ ur die konservative Form des diffusiven Terms (3.1) muss man die innere erste Ableitung ∂φ/∂x zuerst approximieren, sie mit Γ multiplizieren und das Produkt wieder differenzieren. Wie oben gezeigt wurde, muss man nicht dieselbe Approximation f¨ ur die inneren und die äußeren Ableitungen verwenden. Die am h¨ aufigsten angewandte Approximation ist eine ZentraldifferenzApproximation 2. Ordnung; die innere Ableitung wird in den Hilfspunkten mittig zwischen den Gitterpunkten approximiert und dann wird eine Zentraldifferenz wie bei einem verfeinerten Gitter eingesetzt. Man erhält: ∂φ ∂φ − Γ Γ

∂x i+ 1 ∂x i− 1 ∂ ∂φ 2 2 Γ ≈ ≈ 1 ∂x ∂x i (x − x ) i+1 i−1 2

3.6 Approximation anderer Terme

Γi+ 12

φi+1 − φi φi − φi−1 − Γi− 12 xi+1 − xi xi − xi−1 . 1 2 (xi+1 − xi−1 )

63

(3.35)

Weitere Approximationen kann man leicht durch Verwendung verschiedener Approximationen f¨ ur die innere und ¨ außere Ableitung erhalten; dabei kann jede der im vorangegangenen Kapital dargestellten Approximationen eingesetzt werden.

3.5 Approximation gemischter Ableitungen Gemischte Ableitungen treten nur auf, wenn die Transportgleichungen in nichtorthogonalen Koordinatensystemen ausgedr¨ uckt werden; siehe ein Beispiel in Kapitel 8. Die gemischte Ableitung ∂ 2 φ/∂x∂y kann durch Kombination der eindimensionalen Approximationen behandelt werden, wie oben f¨ ur die zweite Ableitung beschrieben wurde. Man kann schreiben: ∂2φ ∂ ∂φ = . (3.36) ∂x∂y ∂x ∂y Die gemischte zweite Ableitung im Punkt (xi , yj ) kann mittels Zentraldifferenz approximiert werden, indem man zuerst die erste Ableitung bez¨ uglich y in den Punkten (xi+1 , yj ) und (xi−1 , yj ) bestimmt und dann die erste Ableitung dieser neuen Funktion bez¨ uglich x auf die gleiche Weise approximiert. Man kann ebenfalls die einzelnen Ableitungen mit unterschiedlichen Ans¨ atzen approximieren. So kann man z. B. f¨ ur die Ableitung nach y im Punkt (xi+1 , yj ) Vorw¨ artsdifferenz und im Punkt (xi−1 , yj ) R¨ uckwärtsdifferenz verwenden, w¨ ahrend f¨ ur die Ableitung nach x im Punkt (xi , yj ) wiederum Zentraldifferenz eingesetzt wird. In Kapitel 8 wird erläutert, wann eine solche Vorgehensweise vorteilhaft ist und warum. Die Reihenfolge der Differenzierung kann verändert werden; die numerische Approximation kann von der Reihenfolge abhängen. Obwohl das wie ein Nachteil erscheinen mag, ist es in Wirklichkeit kein Problem. Alles, was man ben¨ otigt, ist die Erf¨ ullung der Bedingung, dass die numerische Approximation im Grenzfall unendlich kleiner Gitterabstände exakt wird. Der Unterschied zwischen den L¨ osungen, die mit zwei verschiedenen Approximationen erhalten wurden, liegt in den unterschiedlichen Diskretisierungsfehlern.

3.6 Approximation anderer Terme In der generischen Erhaltungsgleichung kann es Terme geben (zusammengefasst im Quellterm qφ ), die keine Ableitungen enthalten; diese m¨ ussen ebenfalls ausgewertet werden. In der FD-Methode benötigt man normalerweise

64


nur die Werte in den Gitterpunkten. Beinhalten die nichtdifferenzierten Terme die abh¨ angigen Variablen, kann man diese mittels der Knotenwerte der Variablen ausdr¨ ucken. Vorsicht ist geboten, wenn die Abhängigkeit nichtlinear ist. Die Behandlung dieser Terme h¨ angt von der Gleichung ab; eine weitere Diskussion wird auf Kapitel 5 und 7 verschoben.

3.7 Implementierung der Randbedingungen F¨ ur jeden inneren Gitterpunkt wird eine Finite-Differenzen-Approximation der partiellen Differenzialgleichung verlangt. F¨ ur eine eindeutige Lösung des Kontinuumsproblems ben¨ otigt man Informationen u ¨ ber die Lösung an den R¨ andern des L¨ osungsgebietes. Im Allgemeinen ist der Wert der Variablen am Rand (Dirichlet-Randbedingung) oder ihr Gradient in eine bestimmte Richtung (normalerweise senkrecht zum Rand – Neumann-Randbedingung) oder eine lineare Kombination der beiden Größen, gegeben. Ist der Variablenwert in einem Randpunkt bekannt, dann muss dort keine Gleichung gel¨ ost werden. In allen FD-Gleichungen, die Daten aus solchen Punkten verwenden, werden die bekannten Werte eingesetzt, und es ist nichts weiter erforderlich. Probleme k¨ onnen entstehen, wenn Approximationen h¨ oherer Ordnung f¨ ur Ableitungen verwendet werden; da sie Daten von mehr als drei Punkten ben¨ otigen, kann es sein, dass Approximationen in inneren Punkten Daten von Punkten jenseits des Randes (d. h. außerhalb des L¨ osungsgebietes) ben¨ otigen. Es kann dann notwendig sein, andere Approximationen f¨ ur Ableitungen in randnahen Punkten als im Inneren des L¨ osungsgebietes zu verwenden; normalerweise sind diese von niedrigerer Ordnung und/oder Varianten von einseitigen Differenzen. So kann zum Beispiel anhand eines kubischen Polynoms, gelegt durch den Randwert und drei Innenpunkte, die Gl. (3.13) f¨ ur die erste Ableitung im randnächsten Punkt hergeleitet werden. Legt man ein Polynom vierten Grades durch den Randpunkt und vier Innenpunkte, so ergibt sich im randnächsten Innenpunkt, x = x2 , die folgende Approximation f¨ ur die erste Ableitung: −φ5 + 6 φ4 + 18 φ3 + 10 φ2 − 33 φ1 ∂φ + O (Δx)4 . (3.37) = ∂x 2 60 Δx Die Approximation der zweiten Ableitung mit demselben Polynom ergibt: 2 ∂ φ −21 φ5 + 96 φ4 + 18 φ3 − 240 φ2 + 147 φ1 = +O (Δx)3 .(3.38) 2 2 ∂x 2 180 (Δx) Wird der Gradient am Rand vorgeschrieben, kann eine passende FDApproximation f¨ ur ihn verwendet werden (es muss eine einseitige Approximation sein), um den Randwert der Variablen zu berechnen. Ist zum Beispiel ein Nullgradient in randnormale Richtung vorgeschrieben, f¨ uhrt eine einfache Vorw¨ artsdifferenz-Approximation zu:

3.7 Implementierung der Randbedingungen

∂φ ∂x

=0 1

⇒

φ2 − φ1 =0, x2 − x1

65

(3.39)

was φ1 = φ2 ergibt. Dies erlaubt wiederum, den Randwert in finiten Approximationen durch den Wert der Variablen im randnächsten Punkt zu ersetzen und ihn als Unbekannte zu beseitigen. Aus einer Parabel, gelegt durch den Randpunkt und zwei innere Punkte, erh¨ alt man die folgende Approximation 2. Ordnung f¨ ur die erste Ableitung am Rand, die auf jedem beliebigen Gitter g¨ ultig ist: ∂φ −φ3 (x2 − x1 )2 + φ2 (x3 − x1 )2 − φ1 [(x3 − x1 )2 − (x2 − x1 )2 ] . ≈ ∂x 1 (x2 − x1 )(x3 − x1 )(x3 − x2 ) Auf einem ¨ aquidistanten Gitter reduziert sich dieser Ausdruck zu: ∂φ −φ3 + 4 φ2 − 3 φ1 . ≈ ∂x 1 2Δx

(3.40)

Man erh¨ alt eine Approximation 3. Ordnung auf äquidistanten Gittern aus einem kubischen Polynom gelegt durch vier Punkte (Randpunkt und drei innere Punkte): ∂φ 2 φ4 − 9 φ3 + 18 φ2 − 11 φ1 . (3.41) ≈ ∂x 1 6 Δx Anhand der Ausdr¨ ucke (3.40) bzw. (3.41) kann wiederum der Variablenwert im Randpunkt (hier φ1 ) durch die vorgegebene Ableitung am Rand und die Variablenwerte in einigen inneren Gitterpunkten ausgedr¨ uckt werden. F¨ ur den Fall der Gl. (3.41) f¨ uhrt dies zu: 6 Δx ∂φ 18φ2 − 9φ3 + 2φ4 φ1 = − . (3.42) 11 11 ∂x 1 In allen FD-Ausdr¨ ucken f¨ ur die inneren Gitterpunkte, die φ1 beinhalten, wird stattdessen die rechte Seite der Gl. (3.42) eingesetzt. Damit wird der Randwert als Unbekannte eliminiert und die Anzahl der Unbekannten und der Gleichungen stimmt u ¨ berein. Eine andere Art der Behandlung der Neumann-Randbedingungen ergibt sich aus folgender Sichtweise: Man erweitert die Anzahl der Unbekannten um die Randpunkte mit Neumann-Randbedingungen und f¨ ugt dem zu lösenden Gleichungssystem f¨ ur jeden dieser Punkte noch eine Gleichung hinzu, die außer den Variablenwerten in den inneren und in den Randpunkten mit Neumann-Randbedingungen keine weiteren Unbekannten beinhalten darf. Die Gl. (3.40) bzw. (3.41) k¨ onnen zu diesem Zweck verwendet werden. Manchmal muss man die erste Ableitung normal zum Rand in den Punkten berechnen, f¨ ur die die Randwerte der Variablen gegeben sind (beispielsweise, um den W¨ armefluss durch eine isotherme Oberfläche zu berechnen).

66


F¨ ur diesen Fall ist jede der oben gegebenen einseitigen Approximationen geeignet. Die Genauigkeit des Ergebnisses h¨ angt nicht nur von der verwendeten Approximation f¨ ur die Ableitung ab, sondern auch von der Genauigkeit der Werte in den inneren Punkten. Es macht Sinn, in beiden Fällen Approximationen derselben Ordnung zu verwenden. Verwendet man die kompakten Schemata, die in Abschnitt 3.3.3 beschrieben worden sind, so muss man sowohl den Variablenwert als auch die Ableitung in den Randpunkten haben. Normalerweise ist eines davon bekannt und das andere muss mit Informationen aus dem Inneren berechnet werden. Es kann zum Beispiel eine einseitige Approximation der Ableitung im Randpunkt wie in Gl. (3.41) verwendet werden, wenn der Variablenwert am Rand vorgegeben ist. Andererseits kann ein Polynomansatz zur Berechnung des Randwertes genutzt werden, wenn die Ableitung bekannt ist. Ein Beispiel daf¨ ur ist die Gl. (3.42).

3.8 Das algebraische Gleichungssystem Eine Finite-Differenz-Approximation der Erhaltungsgleichung liefert in jedem Gitterpunkt eine algebraische Gleichung; sie enthält sowohl den Variablenwert in diesem Punkt als auch die Werte in einigen Nachbarpunkten. Ist die Differentialgleichung nichtlinear, enth¨ alt die Approximation einige nichtlineare Terme. Der numerische L¨ osungsprozess verlangt dann Linearisierung; Methoden zur L¨ osung solcher Gleichungen werden in Kapitel 5 erläutert. Die hier beschriebenen Methoden sind ebenfalls auf den nichtlinearen Fall anwendbar. Vorerst wird nur der lineare Fall betrachtet. F¨ ur diesen Fall ist das Ergebnis der Diskretisierung ein System linearer algebraischer Gleichungen in der Form: AP φP + Al φl = QP , (3.43) l

wobei P den Punkt bezeichnet, in dem die partielle Differentialgleichung approximiert wird, und der Index l l¨ auft u ¨ ber die Nachbarpunkte, die in die Finite-Differenzen-Approximationen einbezogen sind. Der Punkt P und seine Nachbarn formen den sog. Rechenstern; in Abb. 3.4 sind zwei Beispiele, die sich aus gew¨ ohnlichen Approximationen in zwei und drei Dimensionen ergeben, dargestellt. Die Koeffizienten Al h¨ angen von den geometrischen Größen, den Fluideigenschaften und, bei nichtlinearen Gleichungen, von den Variablenwerten selbst ab. QP beinhaltet alle Terme, die keine unbekannten Variablenwerte beinhalten und wird als bekannt angenommen. Die Anzahl der Gleichungen und Unbekannten muss gleich sein, d. h. es muss f¨ ur jeden Gitterpunkt eine Gleichung geben. Damit hat man einen großen Satz linearer algebraischer Gleichungen, der numerisch gelöst werden muss. Dieses System ist d¨ unn besetzt, was bedeutet, dass jede Gleichung

3.8 Das algebraische Gleichungssystem

67

NN T N

NW

N

NE N

W

P

E

S

WW

W SW

P S

E SE

EE W S

P

E

B SS

Abbildung 3.4. Beispiele f¨ ur Rechensterne in 2D (links, Mitte) und 3D (rechts)

nur einige wenige Unbekannte enth¨ alt. Das System kann folgendermaßen in Matrix-Notation geschrieben werden: Aφ = Q .

(3.44)

Hier ist A eine d¨ unn besetzte, quadratische Koeffizientenmatrix, φ ist ein Vektor (oder eine Spaltenmatrix) mit den Variablenwerten in den Gitterpunkten, und Q ist der Vektor, der die Terme auf der rechten Seite von Gl. (3.43) enth¨ alt. Die Struktur der Matrix A h¨ angt von der Anordnung der Variablen im Vektor φ ab. F¨ ur strukturierte Gitter, bei denen die Variablen – von einer Ecke ausgehend – Linie f¨ ur Linie geordnet nummeriert sind (lexikographische Anordnung), hat die Matrix eine polydiagonale Struktur. Im Falle eines F¨ unfPunkte-Rechensterns liegen alle Koeffizienten, die nicht gleich null sind, auf der Hauptdiagonalen, den zwei Nachbardiagonalen und auf zwei weiteren Diagonalen, die um N Positionen von der Hauptdiagonalen entfernt liegen. Diese regul¨ are Struktur erm¨ oglicht den Einsatz von effizienten iterativen Lösern. In diesem Buch werden der Einfachheit halber die Einträge in den Vektor φ wie folgt geordnet: Der Startpunkt ist die s¨ udwestliche Ecke des Lösungsgebietes und von da aus geht es in Richtung Nordrand; wenn dieser erreicht ist, startet man mit der n¨ achsten Gitterlinie von S¨ uden nach Norden, und weiter so Linie f¨ ur Linie gen Osten (in dreidimensionalen Fällen wird an der untersten Rechenfl¨ ache begonnen und in der soeben beschriebenen Weise auf jeder Ebene von unten nach oben fortgefahren). Die Variablen werden normalerweise im Rechner in eindimensionalen Feldern gespeichert. Die Umwandlung zwischen den Gitterpositionen, Gebietsnotationen und Speicherplätzen ist in Tabelle 3.2 dargestellt. Da die Matrix A d¨ unn besetzt ist, macht es keinen Sinn, sie als zweidimensionales Feld im Rechner zu speichern (dies ist f¨ ur volle Matrizen u ¨ blich). Indem man die Elemente einer jeden Diagonalen ungleich null in einem separaten Feld der Dimension 1 × Ni Nj speichert, wo Ni und Nj die Anzahl der Gitterpunkte in den beiden Koordinatenrichtungen sind, benötigt man

68


Tabelle 3.2. Umwandlung der Gitternotationen in eindimensionale Speicherpositionen f¨ ur Vektoren oder Spaltenmatrizen Gitterposition i, j, k i − 1, j, k i, j − 1, k i, j + 1, k i + 1, j, k i, j, k − 1 i, j, k + 1

Kompassnotation P W S N E B T

Speicherposition l = (k − 1)Nj Ni + (i − 1)Nj + j l − Nj l−1 l+1 l + Nj l − Ni Nj l + Ni Nj

insgesamt nur 5Ni Nj Speicherw¨ orter; die Speicherung der ganzen Matrix w¨ urde Ni2 Nj2 Speicherw¨ orter erfordern. Die entsprechenden Speicheranforderungen im dreidimensionalen Fall sind 7Ni Nj Nk (7 von null unterschiedliche Diagonalen) und Ni2 Nj2 Nk2 (volle Matrix). Der Unterschied ist sehr groß: Das diagonale Speicherverfahren erm¨ oglicht, alle Informationen im Hauptspeicher zu behalten, w¨ ahrend dies f¨ ur die gesamte Matrix meistens nicht möglich ist. Wenn die Punktwerte mit den Gitterindizes, sagen wir φi,j im 2D-Fall, identifiziert werden, sehen sie wie Matrixelemente oder Komponenten eines Tensors aus. Da sie aber Komponenten eines Vektors φ sind, sollten sie nur einen Index haben, wie aus Tabelle 3.2 hervorgeht. Die linearisierten algebraischen Gleichungen in zwei Dimensionen können nun in folgender Form geschrieben werden: Al,l−Nj φl−Nj + Al,l−1 φl−1 + Al,l φl + Al,l+1 φl+1 + Al,l+Nj φl+Nj = Ql .

(3.45)

Wie bereits erw¨ ahnt, macht es wenig Sinn, die Matrix als ein Datenfeld zu speichern. Wenn aber statt dessen die Diagonalen in gesonderten Feldern abgelegt werden, ist es besser, jeder Diagonalen einen eigenen Namen zu geben. Da jede Diagonale eine Verbindung zur Variablen in einem bestimmten Punkt relativ zum zentralen Gitterpunkt im Rechenstern repräsentiert, werden sie hier mit AW , AS , AP , AN und AE bezeichnet; die Lage dieser Punkte auf einem Gitter mit 5 × 5 inneren Punkten ist in Abb. 3.5 gezeigt. Mit dieser Notation ist jeder Gitterpunkt im Rechenstern f¨ ur den Punkt mit dem Index l identifiziert, was auch den relativen Speicherplatz darstellt. Somit kann die Gl. (3.45) wie folgt geschrieben werden: AW φW + AS φS + AP φP + AN φN + AE φE = QP ,

(3.46)

wo der Index l, der die Reihen in Gl. (3.45) angab, weggelassen wurde, und der Index, der die Spalte oder den Platz im Vektor angibt, durch den entsprechenden Buchstaben ersetzt wurde. Diese kompakte Schreibweise wird von nun an verwendet. Sollte es der Eindeutigkeit halber notwendig sein, wird

3.8 Das algebraische Gleichungssystem

69

der Index hinzugef¨ ugt. Eine ¨ ahnliche Vorgehensweise gilt f¨ ur dreidimensionale Probleme.

IW

AW

AS AP AN

AE

IS * IP = QP IN

IE

Abbildung 3.5. Graphische Darstellung der Matrix f¨ ur einen F¨ unf-PunkteRechenstern (die von null verschiedenen Elemente der Koeffizientenmatrix an den f¨ unf Diagonalen sind schattiert dargestellt; jeder horizontale K¨ astchensatz entspricht einer Gitterlinie)

F¨ ur blockstrukturierte Gitter wird diese Struktur in jedem Gitterblock beibehalten, und die L¨ oser f¨ ur regelm¨ aßige, strukturierte Gitter können verwendet werden. Dies wird noch in Kapitel 5 vertieft. F¨ ur unstrukturierte Gitter bleibt die Koeffizientenmatrix d¨ unn besetzt, sie hat jedoch keine regelm¨ aßige Struktur mehr. F¨ ur ein 2D-Gitter, bestehend aus Vierecken, und f¨ ur Approximationen, die nur die vier nächsten Nachbarpunkte verwenden, gibt es nur f¨ unf Koeffizienten in jeder Spalte oder Reihe, die ungleich null sind. Die Hauptdiagonale ist voll, und die anderen Koeffizienten ungleich null liegen in einer bestimmten Entfernung von der Hauptdiagonalen, aber nicht unbedingt auf bestimmten Diagonalen. F¨ ur derartige Matrizen k¨ onnen nicht alle iterativen L¨ oser verwendet werden; dies wird in Kapitel 5 n¨ aher erl¨ autert. Die Speicherverwaltung f¨ ur unstrukturierte Gitter wird in Kapitel 8 vorgestellt, da derartige Gitter hauptsächlich in komplexen Geometrien mit der FV-Methode angewendet werden.

70


3.9 Diskretisierungsfehler Da die diskretisierte Gleichung eine Approximation der Differentialgleichung darstellt, erf¨ ullt die genaue L¨ osung der Differentialgleichung, die mit Φ gekennzeichnet wird, die diskretisierte Gleichung nicht. Das Residuum, dessen Ursache im Abbruch der Taylor-Reihen liegt, wird als Abbruchfehler bezeichnet. F¨ ur ein Gitter mit einem Referenzabstand h ist der Abbruchfehler τh definiert als: L(Φ) = Lh (Φ) + τ h = 0 ,

(3.47)

wo L ein symbolischer Operator ist, der f¨ ur die Differentialgleichung steht, und Lh ist ein symbolischer Operator, der das algebraische Gleichungssystem darstellt, das durch die Diskretisierung auf dem Gitter h erhalten wird und in Gl. (3.44) gegeben ist. Die exakte L¨ osung der diskretisierten Gleichungen auf dem Gitter h, φh , erf¨ ullt die folgende Gleichung: Lh (φh ) = (Aφ − Q)h = 0 .

(3.48)

Sie unterscheidet sich von der exakten L¨ osung der partiellen Differentialgleichung durch den Diskretisierungsfehler, dh , d. h.: Φ = φh + dh .

(3.49)

Mit den Gleichungen (3.47) und (3.48) kann gezeigt werden, dass die folgende Beziehung f¨ ur lineare Probleme (d. h. wenn der Operator Lh von der Lösung unabh¨ angig ist) gilt: Lh (dh ) = −τ h .

(3.50)

Diese Gleichung besagt, dass der Abbruchfehler als Quelle f¨ ur den Diskretisierungsfehler dient, der mittels Operator Lh im Lösungsgebiet verteilt wird (durch Konvektion und Diffusion). F¨ ur nichtlineare Gleichungen ist keine exakte Analyse m¨ oglich, es ist jedoch ein ¨ ahnliches Verhalten zu erwarten. Auf jeden Fall kann man, wenn der Fehler klein genug ist, um die exakte L¨ osung herum linearisieren, so dass die Aussagen aus diesem Abschnitt g¨ ultig sind. Informationen u oßenordnung und Verteilung der Ab¨ ber die Gr¨ bruchfehler k¨ onnen zur Steuerung der Gitterverfeinerung verwendet werden und so helfen, das Ziel – eine gleichm¨ aßige Höhe der Diskretisierungsfehler im L¨ osungsgebiet – zu erreichen. Da jedoch die exakte Lösung Φ unbekannt ist, kann der Abbruchfehler nicht genau berechnet werden. Eine Approximation davon kann durch Verwendung der L¨ osung auf einem anderen (feineren oder gr¨ oberen) Gitter erhalten werden. Die so erhaltene Abschätzung des Abbruchfehlers ist nicht immer genau, aber sie erf¨ ullt die Aufgabe, die Regionen mit großen Fehlern, wo feinere Gitter notwendig sind, zu identifizieren. F¨ ur ausreichend feine Gitter ist der Diskretisierungsfehler (und ebenfalls der Abbruchfehler) proportional zum f¨ uhrenden Term der Taylor-Reihe: dh ≈ αhp + H .

(3.51)

3.9 Diskretisierungsfehler

71

Hier steht H f¨ ur Terme h¨ oherer Ordnung, und α hängt von den Ableitungen im gegebenen Punkt ab, ist jedoch an einem gegebenen Ort unabhängig von h. Der Diskretisierungsfehler kann aus der Differenz zwischen Lösungen auf systematisch verfeinerten (oder vergr¨ oberten) Gittern abgeschätzt werden. Da die exakte L¨ osung folgendermaßen (siehe Gl. (3.49)) ausgedr¨ uckt werden kann: Φ = φh + αhp + H = φ2h + α(2h)p + H ,

(3.52)

kann der Exponent p, der die Ordnung des Verfahrens angibt, folgendermaßen abgesch¨ atzt werden: φ2h − φ4h log φh − φ2h p= . (3.53) log 2 Aus Gl. (3.52) folgt auch, dass der Diskretisierungsfehler auf dem Gitter h wie folgt approximiert werden kann: dh ≈

φh − φ2h . 2p − 1

(3.54)

Wenn das Verh¨ altnis der Gittermaschenweiten bei aufeinander folgenden Gittern nicht gleich zwei ist, muss der Faktor 2 in den letzten beiden Gleichungen durch dieses Verh¨ altnis ersetzt werden (siehe Roache, 1994, f¨ ur Details zu Fehlerabsch¨ atzungen, wenn das Gitter nicht systematisch verfeinert oder vergr¨ obert wird). Wenn L¨ osungen auf verschiedenen Gittern verf¨ ugbar sind, kann man eine Approximation zu Φ erhalten, die genauer als die Lösung φh auf dem feinsten Gitter ist, indem die Fehlerabsch¨ atzung (3.54) zu φh addiert wird. Diese Methode ist als Richardson-Extrapolation bekannt (Richardson, 1910). Sie ist einfach anzuwenden und, wenn die Konvergenz monoton ist, auch genau. Sind einige L¨ osungen vorhanden, kann der Prozess wiederholt werden, um die Genauigkeit weiter zu verbessern. In diesem Kapitel wurde gezeigt, dass die Rate wichtig ist, mit der der Fehler durch Gitterverfeinerung reduziert wird, und nicht die formale Ordnung des Verfahrens, die durch den f¨ uhrenden Term im Abbruchfehler definiert ist. Die Gl. (3.53) ber¨ ucksichtigt dies und gibt den korrekten Exponenten p wieder. Diese Absch¨ atzung der Ordnung eines Verfahrens ist auch ein n¨ utzliches ¨ Instrument f¨ ur die Uberpr¨ ufung des Rechenprogramms. Soll beispielsweise eine Methode von 2. Ordnung sein, und die Gl. (3.53) ergibt aber nur den Exponenten p ≈ 1, deutet dies auf Fehler im Rechenprogramm hin. Die mit Gl. (3.53) abgesch¨ atzte Ordnung gilt nur, wenn die Konvergenz monoton ist. Monotone Konvergenz kann nur bei ausreichend feinen Gittern erwartet werden. Mit einigen Beispielen in diesem Buch wird gezeigt, dass die Fehlerabh¨ angigkeit von den Gitterabst¨ anden irregulär sein kann, wenn das Gitter zu grob ist. Deshalb sollte man beim Vergleich der Lösungen auf

72


zwei Gittern aufmerksam sein; wenn die Konvergenz nicht monoton ist, kann es vorkommen, dass sich die L¨ osungen auf zwei benachbarten Gittern nicht wesentlich unterscheiden, obwohl die Fehler nicht klein sind. Ein drittes Gitter ist notwendig, um sicherzustellen, dass die Lösung wirklich konvergiert. Wenn die L¨ osung nicht glatt ist, k¨ onnen die mittels Taylor-Reihen erhalten Fehlerabsch¨ atzungen ebenfalls irref¨ uhrend sein. In Simulationen turbulenter Str¨ omungen variiert beispielsweise die L¨ osung u ¨ ber einen breiten Skalenbereich und die Ordnung der L¨ osungsmethode ist nicht unbedingt ein guter Indikator f¨ ur die L¨ osungsqualit¨ at. In Abschnitt 3.10 wird gezeigt, dass f¨ ur diese Art von Simulationen der Fehler eines Verfahrens 4. Ordnung nicht unbedingt viel kleiner als der eines Verfahrens 2. Ordnung sein muss.

3.10 Einfu ¨ hrung in die Spektralmethoden Spektralmethoden sind eine Klasse von Verfahren, die weniger als FV- und FE-Methoden f¨ ur allgemein anwendbare CFD-Programme geeignet sind, aber da sie f¨ ur einige Anwendungen (z. B. Simulation der Turbulenz) wichtig sind, werden sie hier kurz beschrieben. F¨ ur eine vollständigere Beschreibung kann bei Canuto et al. (1987) nachgelesen werden. 3.10.1 Grundkonzept In Spektralmethoden werden Raumableitungen mit Hilfe von Fourier-Reihen oder einer ihrer Generalisierungen bestimmt. Die einfachste Spektralmethode arbeitet mit periodischen Funktionen, die durch ihre Werte in einem Satz aquidistanter Punkte spezifiziert sind. Es ist möglich, eine solche Funktion ¨ durch eine diskrete Fourier-Reihe darzustellen: N/2−1

f (xi ) =

fˆ(kq ) eikq xi ,

(3.55)

q=−N/2

wobei gilt: xi = i Δx, i = 1, 2, . . . N und kq = 2πq/Δx N . Die Gl. (3.55) kann auf u ¨ berraschend einfache Weise invertiert werden: N 1 fˆ(kq ) = f (xi ) e−ikq xi , N i=1

(3.56)

wie mit der bekannten Formel f¨ ur die Addition von geometrischen Reihen nachgewiesen werden kann. Der Satz der Werte von q ist in gewisser Weise beliebig; ersetzt man den Index q durch q ± lN , wo l eine ganze Zahl ist, kommt es zu keiner Ver¨ anderung des Wertes von e±ikq xi in den Gitterpunkten. Diese Eigenschaft ist als Aliasing bekannt. Sie ist eine u ¨bliche und

3.10 Einf¨ uhrung in die Spektralmethoden

73

wichtige Quelle f¨ ur Fehler in numerischen L¨ osungen nichtlinearer Differentialgleichungen, einschließlich solcher, die keine Spektralmethoden verwenden. In Kapitel 9 wird mehr dar¨ uber gesagt. Was diese Reihen n¨ utzlich macht ist, dass Gl. (3.55) zur Interpolation von f (x) verwendet werden kann. Man ersetzt einfach die diskrete Variable xi durch die kontinuierliche Variable x; f (x) ist dann f¨ ur alle x definiert, nicht nur f¨ ur die Gitterpunkte xi . Jetzt wird die Wahl des Bereiches f¨ ur q sehr wichtig. Verschiedene S¨ atze von q liefern unterschiedliche Interpolanten; die beste Wahl ist der Satz, der die glatteste Interpolationsfunktion liefert, dies ist bei dem in Gl. (3.55) verwendeten Bereich der Fall. (Der Bereich −N/2 + 1, . . . , N/2 ist eine ebenso gute Wahl.) Nachdem man die Interpolationsfunktion definiert hat, kann man sie differenzieren, um eine Fourier-Reihe f¨ ur die Ableitung zu erhalten: df = dx

N/2−1

ikq fˆ(kq ) eikq x ,

(3.57)

q=−N/2

die zeigt, dass der Fourier-Koeffizient von df /dx gleich ikq fˆ(kq ) ist. Dies liefert eine Methode zur Bestimmung der Ableitung: • Ist f (xi ) gegeben, verwendet man die Gl. (3.56) zur Berechnung seiner Fourier-Koeffizienten fˆ(kq ); • man berechnet die Fourier-Koeffizienten von g =df /dx; gˆ(kq ) =ikq fˆ(kq ); • man bestimmt die Reihe (3.57), um g =df /dx in den Gitterpunkten zu erhalten. Einige Punkte m¨ ussen ber¨ ucksichtigt werden. • Die Methode kann leicht f¨ ur h¨ ohere Ableitungen generalisiert werden; so ist z. B. der Fourier-Koeffizient von d2 f /dx2 gleich −kq2 fˆ(kq ). • Der Fehler in der berechneten Ableitung verringert sich exponentiell mit N , wenn die Anzahl der Gitterpunkte N groß und f (x) in x periodisch ist. Dies macht die Spektralmethoden f¨ ur große N viel genauer als die FiniteDifferenzen-Methoden; f¨ ur kleine N muss dies jedoch nicht der Fall sein. Die Definition von “groß” h¨ angt von der Funktion ab. • Der Rechenaufwand f¨ ur die Berechnung der Fourier-Koeffizienten aus Gl. (3.55) und/oder der inversen Funktion aus Gl. (3.56), wenn es auf die offensichtlichste Art erfolgt, skaliert als N 2 . Dies wäre viel zu teuer; die Methode wurde erst durch die Entwicklung schneller Verfahren f¨ ur FourierTransformation (im Englischen fast Fourier transformation, abgek¨ urzt FFT) praktikabel, f¨ ur die der Rechenaufwand proportional zu N log2 N ist. Um die Vorteile dieser speziellen Spektralmethode zu erhalten, muss die Funktion periodisch sein und die Gitterpunkte m¨ ussen äquidistant sein. Die-

74


se Bedingungen k¨ onnen abgeschw¨ acht werden, wenn man andere Funktionen statt komplexen Exponentialfunktionen verwendet, doch erfordert jede Ver¨ anderung in der Geometrie oder den Randbedingungen eine wesentliche Anpassung der Methode, was die Spektralmethoden ziemlich unflexibel macht. Doch f¨ ur Probleme, f¨ ur die sie ideal geeignet sind (z. B. f¨ ur die Simulation von Turbulenz in geometrisch einfachen Lösungsgebieten), sind sie un¨ ubertroffen. 3.10.2 Eine alternative Betrachtung der Diskretisierungsfehler Spektralmethoden sind ebenso f¨ ur die Bereitstellung einer anderen Art der Betrachtung von Abbruchfehlern n¨ utzlich, wie sie es als Berechnungsmethoden selbst sind. Solange man es mit periodischen Funktionen zu tun hat, repr¨ asentiert die Reihe (3.55) eine solche Funktion und man kann ihre Ableitung mit jeder Methode approximieren. Die im vorherigen Abschnitt beschriebene Spektralmethode liefert den exakten Wert der Ableitung, und dieser kann mit Finite-Differenzen-Approximation verglichen werden. Jede FDMethode kann Term f¨ ur Term auf die Reihe angewendet werden, weshalb es ausreichend ist, die Differenzierung von eikx zu betrachten. Das exakte Ergebnis ist ikeikx . Wendet man andererseits den Zentraldifferenz-Operator aus Gl. (3.9) auf diese Funktion an, so erh¨ alt man: δeikx eik(x+Δx) − eik(x−Δx) sin(k Δx) ikx = =i e = ikeff eikx , δx 2Δx Δx

(3.58)

wo keff als effektive Wellenzahl bezeichnet wird, weil die Anwendung der Finite-Differenzen-Approximation a ¨quivalent dem Ersetzen der exakten Wel¨ lenzahl k durch keff ist. Ahnliche Ausdr¨ ucke können f¨ ur andere Schemata hergeleitet werden; so f¨ uhrt beispielsweise die Zentraldifferenz 4. Ordnung, siehe Gl. (3.14), zu: keff =

sin(k Δx) [4 − cos(k Δx)] . 3Δx

(3.59)

F¨ ur kleine Wellenzahlen (die glatten Funktionen entsprechen) kann die effektive Wellenzahl der Zentraldifferenz-Approximation in eine Taylor-Reihe entwickelt werden: keff =

k 3 (Δx)2 sin(k Δx) =k− , Δx 6

(3.60)

was die 2. Ordnung der Approximation f¨ ur kleine k und kleine Δx zeigt. In jeder Berechnung k¨ onnen jedoch Wellenzahlen bis zu kmax = π/Δx angetroffen werden (entsprechend der h¨ ochsten Frequenz einer periodischen Funktion, die auf dem gegebenen Gitter dargestellt werden kann). Die Größenordnung eines gegebenen Fourier-Koeffizienten h¨ angt von der Funktion ab, deren Ableitung approximiert wird; glatte Funktionen haben niedrige Komponenten

3.10 Einf¨ uhrung in die Spektralmethoden

75

mit hohen Wellenzahlen, aber schnell variierende (hochfrequente) Funktionen ergeben Fourier-Koeffizienten, die mit der Wellenzahl nur langsam abklingen. In Abb. 3.6 sind die effektiven Wellenzahlen der Zentraldifferenz-Verfahren 2. und 4. Ordnung, normiert mit kmax , als Funktionen der normierten Wellenzahl k ∗ = k/kmax dargestellt. Beide Verfahren liefern eine schlechte Approximation, wenn die Wellenzahl gr¨ oßer als der halbe Maximalwert wird. Mehr Wellenzahlen sind enthalten, wenn das Gitter verfeinert wird. Im Grenzfall kleiner Abst¨ ande ist die Funktion relativ zum Gitter glatt, nur die kleinen Wellenzahlen haben große Koeffizienten, und es können relativ genaue Ergebnisse erwartet werden. 1.0 0.8

exakt & spektral

0.6

keff

ZD 4. Ordnung

*

0.4 0.2

ZD 2. Ordnung

0.0 0.0

0.2

0.4

0.6

k*

0.8

1.0

Abbildung 3.6. Effektive Wellenzahl f¨ ur Zentraldifferenzen 2. und 4. Ordnung f¨ ur die erste Ableitung, normiert durch kmax = π/Δx

Wenn man ein Problem l¨ osen m¨ ochte, dessen Lösung nicht sehr glatt ist, dann ist die Ordnung der Diskretisierungsmethode nicht unbedingt ein guter Indikator f¨ ur die Genauigkeit. Man muss sehr vorsichtig mit Behauptungen sein, ein bestimmtes Verfahren sei genau, da die verwendete Methode von hoher Ordnung ist. Das Ergebnis ist nur dann genau, wenn es gen¨ ugend Punkte pro Wellenl¨ ange der gr¨ oßten Wellenzahl in der Lösung gibt. Spektralmethoden ergeben einen Fehler, der schneller abnimmt als jede Potenz der Gittermaschenweite, wenn diese gegen null strebt. Dies wird oft als Vorteil dieser Methode zitiert. Dieses Verhalten wird jedoch nur erreicht, wenn gen¨ ugend Punkte verwendet werden (die Definition von “gen¨ ugend” hängt von der zu approximierenden Funktion ab). Bei wenigen Gitterpunkten k¨ onnen Spektralmethoden eigentlich gr¨ oßere Fehler als Finite-DifferenzenMethoden liefern. Schließlich muss noch erw¨ ahnt werden, dass die effektive Wellenzahl der Aufwinddifferenz 1. Ordnung gleich ist: keff =

1 − e−ik Δx Δx

(3.61)

und dass sie komplex ist. Dies ist ein Zeichen der dissipativen Natur dieser Approximation.

76


3.11 Ein Beispiel In diesem Beispiel wird die station¨ are eindimensionale (1D) KonvektionsDiffusionsgleichung mit Dirichlet-Randbedingungen an beiden Enden gelöst. Ziel ist es, die Eigenschaften der FD-Diskretisierungstechnik an einem einfachen Beispiel zu demonstrieren, das eine analytische Lösung hat. I IL Pe < 0 Pe = 0 Pe > 0

I0

x 0

L

Abbildung 3.7. Randbedingungen und L¨ osungsprofile f¨ ur das 1D-Problem als Funktion der Peclet-Zahl

Die zu l¨ osende Gleichung lautet (siehe Gl. (1.28)): ∂ ∂φ ∂(ρuφ) = Γ , ∂x ∂x ∂x

(3.62)

mit den Randbedingungen: φ = φ0 f¨ ur x = 0, φ = φL f¨ ur x = L, siehe Abb. 3.7; die partiellen Ableitungen k¨ onnen in diesem Fall durch gewöhnliche Ableitungen ersetzt werden. Die Dichte ρ und die Geschwindigkeit u werden als konstant angenommen. Dieses Problem hat die exakte Lösung: φ = φ0 +

exPe/L − 1 φL − φ0 . Pe e −1

(3.63)

Hier ist Pe, die Peclet-Zahl, definiert als: Pe =

ρuL . Γ

(3.64)

Da es so einfach ist, wird dieses Problem oft als Test f¨ ur numerische Methoden, einschließlich der Diskretisierungs- und Lösungsverfahren, verwendet. Physikalisch stellt es eine Situation dar, in der Konvektion und Diffusion in Str¨ omungsrichtung im Gleichgewicht sind. Es gibt nur wenige Strömungen, in denen dieses Gleichgewicht eine wichtige Rolle spielt. Normalerweise wirken der Konvektion entweder ein Druckgradient und/oder Diffusion in Richtung normal zur Str¨ omung entgegen. Man findet in der Literatur viele Methoden, die speziell f¨ ur Gl. (3.62) entwickelt wurden. Wenn diese auf die mehrdimensionalen Navier-Stokes-Gleichungen angewendet werden, sind die Ergebnisse

3.11 Ein Beispiel

77

meistens entt¨ auschend, und die meisten dieser Methoden sollte man am besten meiden. Die Verwendung dieses Problems als Testfall hat wirklich mehr unbefriedigende Methoden hervorgebracht als jedes andere Testproblem auf diesem Gebiet. Trotzdem wird dieses Problem hier ber¨ ucksichtigt, da einige seiner Aspekte Aufmerksamkeit verdienen. Es wird der Fall u ≥ 0 und φ0 < φL betrachtet; andere Situationen können ahnlich behandelt werden. Im Fall einer niedrigen Geschwindigkeit (u ≈ 0) ¨ oder eines großen Diffusionskoeffizienten Γ geht die Peclet-Zahl gegen null und die Konvektion kann vernachl¨ assigt werden; die Lösung ist dann in x linear. Ist die Peclet-Zahl groß, w¨ achst φ langsam mit x, um dann plötzlich u ¨ber eine kurze Strecke nahe x = L gegen φL anzusteigen. Die plötzliche ¨ Anderung des Gradienten von φ liefert einen strengen Test f¨ ur die Diskretisierungsmethode. Die Gl. (3.62) wird mittels FD-Methoden diskretisiert, die einen DreiPunkte-Rechenstern verwenden. Die sich im Punkt i ergebende algebraische Gleichung lautet dann: AiP φi + AiE φi+1 + AiW φi−1 = Qi .

(3.65)

Es ist allgemein u ¨blich, den Diffusionsterm mittels Zentraldifferenz zu diskretisieren; f¨ ur die a üßere Ableitung ergibt sich dann: ∂φ ∂φ − Γ Γ

∂x i+ 1 ∂x i− 1 ∂ ∂φ 2 2 − Γ . (3.66) ≈− 1 ∂x ∂x i (x − x ) i+1 i−1 2 Die Zentraldifferenz-Approximationen der inneren Ableitungen sind: ∂φ φi+1 − φi ∂φ φi − φi−1 Γ ≈Γ ; Γ ≈Γ . (3.67) ∂x i+ 1 xi+1 − xi ∂x i− 1 xi − xi−1 2

2

Die Beitr¨ age des Diffusionstermes zu den Koeffizienten der algebraischen Gleichung (3.65) sind somit: AdE = −

2Γ ; (xi+1 − xi−1 )(xi+1 − xi )

AdW = −

2Γ ; (xi+1 − xi−1 )(xi − xi−1 )

AdP = −(AdE + AdW ) . Wird der Konvektionsterm mit Aufwinddifferenzen 1. Ordnung (Vorwärtsoder R¨ uckw¨ artsdifferenz, abh¨ angig von der Strömungsrichtung) diskretisiert, erh¨ alt man:

78


∂(ρuφ) ∂x

i

⎧ φi − φi−1 ⎪ , falls u > 0 ; ⎨ ρu xi − xi−1 ≈ φ − φi ⎪ ⎩ ρu i+1 , falls u < 0 . xi+1 − xi

(3.68)

Dies f¨ uhrt zu folgenden Beitr¨ agen f¨ ur die Koeffizienten der Gl. (3.65): AcE =

min(ρu, 0) ; xi+1 − xi

AcW = −

max(ρu, 0) ; xi − xi−1

AcP = −(AcE + AcW ) . Abh¨ angig von der Str¨ omungsrichtung ist entweder AcE oder AcW gleich null. Die Zentraldifferenz-Approximation des konvektiven Terms f¨ uhrt zu:

∂(ρuφ) φi+1 − φi−1 ≈ ρu . (3.69) ∂x xi+1 − xi−1 i Die Zentraldifferenz-Beitr¨ age zu den Koeffizienten von Gl. (3.65) sind: AcE =

ρu ; xi+1 − xi−1

AcW = −

ρu ; xi+1 − xi−1

AcP = −(AcE + AcW ) = 0 . Die kompletten Koeffizienten sind gleich der Summe aus den Beiträgen von Konvektion und Diffusion, Ac und Ad . Die Werte von φ in den Randpunkten sind vorgegeben: φ1 = φ0 und φN = φL , wobei N die Anzahl der Gitterpunkte darstellt, einschließlich der zwei Randpunkte. Das bedeutet, dass f¨ ur den Punkt i = 2 der Term A2W φ1 berechnet und als bekannte Gr¨ oße zu Q2 (der rechten Seite der Gleichung) addiert werden kann; danach kann man den Koeffizienten A2W in der Matrix N −1 gleich null setzen. Dementsprechend addiert man das Produkt AE φN f¨ ur −1 den Knoten i = N − 1 zu QN −1 hinzu und setzt den Koeffizienten AN = 0. E Das daraus folgende tridiagonale Gleichungssystem kann leicht gelöst werden. Hier werden nur die L¨ osungen diskutiert; der verwendete Löser wird in Kapitel 5 vorgestellt. Um die falsche Diffusion in Verbindung mit Aufwinddifferenzen 1. Ordnung sowie die M¨ oglichkeit von Oszillationen bei Anwendung von Zentraldifferenzen zu demonstrieren, wird im Folgenden der Fall mit Pe = 50 (L = 1, 0; ρ = 1, 0; u = 1, 0; Γ = 0, 02; φ0 = 0 und φL = 1, 0) betrachtet. Es wird mit Ergebnissen begonnen, die mit einem ¨ aquidistanten Gitter mit 11 Gitterpunkten (10 gleichen Unterteilungen) erhalten wurden. Die Profile von φ(x), die mit Zentraldifferenzen bzw. Aufwinddifferenzen f¨ ur die Konvektions- und mit Zentraldifferenzen f¨ ur die Diffusionsterme erhalten wurden, sind in Abb. 3.8 dargestellt.

3.11 Ein Beispiel

79

Abbildung 3.8. L¨ osung der 1D Konvektions-Diffusions-Gleichung bei Pe = 50 unter Verwendung von Zentraldifferenzen (links) bzw. Aufwinddifferenzen (rechts) f¨ ur die Konvektionsterme und eines ¨ aquidistanten Gitters mit 11 Knoten

Die Aufwinddifferenzen-L¨ osung ist offensichtlich u ¨berdiffusiv; sie entspricht ungef¨ ahr der exakten L¨ osung f¨ ur Pe ≈ 18 (anstelle von 50). Die falsche Diffusion ist st¨ arker als die echte! Andererseits weist die ZentraldifferenzenL¨ osung starke Oszillationen auf. Die Oszillationen haben ihre Ursache in der ¨ pl¨ otzlichen Anderung des Gradienten von φ bei den letzten beiden Gitterpunkten. Die auf der Gittermaschenweite basierende Peclet-Zahl (siehe Gl. (3.64)) ist in jedem Punkt gleich f¨ unf. Wird das Gitter verfeinert, werden die Zentraldifferenz-Oszillationen reduziert, sie sind aber bei Verwendung von 21 Gitterpunkten immer noch vorhanden. Nach der zweiten Verfeinerung (41 Gitterpunkte) ist die Lösung oszillationsfrei und sehr genau, siehe Abb. 3.9. Die Genauigkeit der Aufwinddifferenzen-L¨ osung wird durch die Gitterverfeinerung ebenfalls verbessert, aber sie ist noch immer f¨ ur x > 0, 8 viel niedriger als bei Zentraldifferenzen. Die Oszillationen bei Zentraldifferenzen hängen vom Wert der lokalen Peclet-Zahl, Pe = ρuΔx/Γ , ab. Es kann gezeigt werden, dass keine Oszillationen auftreten, wenn die lokale Peclet-Zahl in jedem Gitterpunkt Pe ≤ 2 ist (siehe Patankar, 1980). Dies ist eine ausreichende, aber nicht notwendige Bedingung f¨ ur die Beschr¨ anktheit der Zentraldifferenzen-Lösung. Das sog. Hybridverfahren (Spalding, 1972) wurde entworfen, um in jedem Punkt, wo Pe ≥ 2 gilt, von Zentraldifferenzen auf Aufwinddifferenzen umzuschalten. Dies ist zu restriktiv und verringert die Genauigkeit. Oszillationen treten nur dann auf, wenn sich die L¨ osung in einem Gebiet mit hoher Peclet-Zahl schnell ändert.

80


Abbildung 3.9. L¨ osung der 1D Konvektions-Diffusions-Gleichung bei Pe = 50 unter Verwendung von Zentraldifferenzen (links) bzw. Aufwinddifferenzen (rechts) f¨ ur die Konvektionsterme und eines ¨ aquidistanten Gitters mit 41 Knoten

Abbildung 3.10. L¨ osung der 1D Konvektions-Diffusions-Gleichung bei Pe = 50 unter Verwendung von Zentraldifferenzen (links) bzw. Aufwinddifferenzen (rechts) f¨ ur die Konvektionsterme und eines nicht¨ aquidistanten Gitters mit 11 Knoten (das Gitter ist am rechten Ende dichter)

Um dies zu demonstrieren, wird die Berechnung mit einem nichtäquidistanten Gitter mit 11 Gitterpunkten wiederholt. Der kleinste und der größte Gitterabstand sind Δxmin = xN − xN −1 = 0, 0125 und Δxmax = x2 − x1 = 0, 31, entsprechend dem Expansionsfaktor re = 0, 7, siehe Gl. (3.21). Die kleinste Peclet-Zahl ist somit Pemin = 0,625 nahe dem rechten Rand, und das Maximum ist Pemax = 15,5 nahe dem linken Rand. Somit ist die PecletZahl im Gebiet, wo sich φ stark ¨ andert, kleiner als zwei, während sie im Gebiet mit fast konstantem φ viel gr¨ oßer als zwei ist. Die auf diesem Gitter

3.11 Ein Beispiel

81

mit Zentraldifferenzen und Aufwinddifferenzen berechneten Profile sind in Abb. 3.10 dargestellt. Bei der Zentraldifferenzen-Lösung treten keine Oszillationen auf. Außerdem ist sie ebenso genau, wie die Lösung auf einem äquidistanten Gitter mit viermal so vielen Gitterpunkten. Die Genauigkeit der Aufwinddifferenzen-L¨ osung wurde ebenfalls durch Verwendung des nichtäquidistanten Gitters verbessert, sie ist jedoch noch immer inakzeptabel.

Abbildung 3.11. Durchschnittlicher L¨ osungsfehler f¨ ur die 1D KonvektionsDiffusions-Gleichung bei Pe=50 als Funktion der durchschnittlichen Gittermaschenweite (ZD – Zentraldifferenzen; AD – Aufwinddifferenzen)

Da dieses Problem eine analytische L¨ osung hat, Gl. (3.63), kann der Fehler in der numerischen L¨ osung direkt berechnet werden. Der folgende durchschnittliche Fehler wird als Maß verwendet: exakt |φ − φi | = i i . N Das Problem wurde sowohl mit Zentraldifferenzen als auch mit Aufwinddifferenzen und sowohl mit ¨ aquidistanten als auch nichtäquidistanten Gittern mit bis zu 321 Knoten gel¨ ost. Der durchschnittliche Fehler wurde als Funktion der mittleren Gittermaschenweite in Abb. 3.11 dargestellt. Der Verlauf des Aufwinddifferenzen-Fehlers n¨ ahert sich asymptotisch der theoretischen Neigung von einem Verfahren 1. Ordnung. Die Zentraldifferenzen zeigen ab dem zweiten Gitter aufw¨ arts das erwartete Verhalten eines Verfahrens 2. Ordnung: Der Fehler wird um zwei Gr¨ oßenordnungen reduziert, wenn die Gittermaschenweite um eine Gr¨ oßenordnung reduziert wird. Dieses Beispiel zeigt deutlich, dass die L¨ osung auf einem nichtäquidistanten Gitter auf die gleiche Weise konvergiert, wie die Lösung auf einen äqui-

82


distanten Gitter, obwohl der Abbruchfehler einen Term 1. Ordnung enthält, wie in Abschnitt 3.3.4 erkl¨ art wurde. F¨ ur das Zentraldifferenzen-Verfahren ist der durchschnittliche Fehler auf einem nicht¨ aquidistanten Gitter fast um eine Gr¨ oßenordnung kleiner als auf einem ¨ aquidistanten Gitter mit der gleichen Anzahl an Gitterpunkten. Dies liegt daran, dass der Gitterabstand reduziert wurde, wo der Fehler auf einem ¨ aquidistanten Gitter groß sein w¨ urde, und vergr¨ oßert, wo der Fehler sowieso klein ist. Der Fakt, dass Abb. 3.11 einen gr¨ oßeren Fehler f¨ ur Aufwinddifferenzen auf dem nicht¨ aquidistanten als auf dem ¨ aquidistanten Gitter anzeigt, ist darin begr¨ undet, dass große Fehler in einigen wenigen Gitterpunkten auf einem a quidistanten Gitter einen geringen Einfluss auf den Durchschnittswert ha¨ ben. Der maximale Fehler in einem Gitterpunkt ist auf dem a¨quidistanten Gitter viel gr¨ oßer als auf dem nicht¨ aquidistanten Gitter, wie bei Betrachtung der Abb. 3.8 und 3.10 festgestellt werden kann. Im letzten Abschnitt des n¨ achsten Kapitels sind a¨hnliche Beispiele zu finden.

4. Finite-Volumen-Methoden

4.1 Einleitung Wie bereits im vorangegangenen Kapitel wird auch hier nur die generische Erhaltungsgleichung f¨ ur eine Gr¨ oße φ betrachtet. Außerdem wird angenommen, dass das Geschwindigkeitsfeld und alle Fluideigenschaften bekannt sind. Die Finite-Volumen-Methode (FV) verwendet die Integralform der Erhaltungsgleichung als Startpunkt: ρφv · n dS = Γ ∇φ · n dS + qφ dV . (4.1) S

S

V

Das L¨ osungsgebiet wird von einem Gitter in eine endliche Anzahl kleiner Kontrollvolumina (KVs) unterteilt. Im Gegensatz zur Finite-Differenzen-Methode definiert dieses Gitter nicht die Rechenpunkte, sondern die Ränder der Kontollvolumina. Der Einfachheit halber wird im Folgenden die Methode am Beispiel kartesischer Gitter demonstriert; komplexe Geometrien werden in Kapitel 8 behandelt. Normalerweise definiert man die KVs durch ein passendes Gitter und setzt den Rechenpunkt ins KV-Zentrum. Man k¨ onnte aber ebenso die Lage der Rechenpunkte zuerst festlegen und dann die KVs um sie herum konstruieren, z. B. so, dass die KV-Seiten in der Mitte zwischen den Rechenpunkten liegen. Ein Beispiel f¨ ur diese Vorgehensweise bei einem rechteckigen Lösungsgebiet ist in Abb. 4.1 gezeigt; in Kapitel 8 werden Beispiele mit unstrukturierten Gittern besprochen. Rechenpunkte, die zur Anwendung der Randbedingungen dienen, wurden in Abb. 4.1 mit ausgef¨ ullten Kreisen dargestellt. Der Vorteil der erstgenannten Methode ist, dass der Wert einer Variablen im Rechenpunkt den Mittelwert u ¨ ber das KV-Volumen mit einer höheren Genauigkeit (2. Ordnung) als in der zweiten Methode repräsentiert, da der Rechenpunkt im Schwerpunkt des KV liegt. Der Vorteil der zweitgenannten Vorgehensweise besteht darin, dass die Zentraldifferenz-Approximation der Ableitung an einer KV-Seite genauer ist, wenn die Seite in der Mitte zwischen zwei Rechenpunkten liegt. Die erste Variante wird häufiger verwendet und ist f¨ ur dieses Buch ausgew¨ ahlt worden. Es gibt weitere Spezialvarianten der FV-Methoden; einige werden später in diesem Kapitel und in Kapitel 8 beschrieben. Im Folgenden wird nur die

84


Abbildung 4.1. FV-Gittertypen: Rechenpunkte in der Mitte der KVs (links) und KV-Seiten in der Mitte zwischen den Rechenpunkten (rechts)

Grundmethode erl¨ autert. Die Prinzipien der Diskretisierung sind f¨ ur alle Varianten gleich – man muss nur die Beziehung zwischen den verschiedenen Lagepunkten im Integrationsgebiet ber¨ ucksichtigen. Die integrale Erhaltungsgleichung (4.1) gilt f¨ ur jedes KV, wie auch f¨ ur das L¨ osungsgebiet als Ganzes. Wenn man die Gleichungen f¨ ur alle KVs summiert, erh¨ alt man die Erhaltungsgleichung f¨ ur das gesamte Lösungsgebiet, da sich die Oberfl¨ achenintegrale u ¨ ber die inneren KV-Seiten aufheben. Dadurch wird die physikalisch geforderte globale Konservativität in die Methode eingebaut, und dies ist einer ihrer wesentlichen Vorteile. Um eine algebraische Gleichung f¨ ur ein bestimmtes KV zu erhalten, m¨ ussen die Oberfl¨ achen- und die Volumenintegrale in Gl. (4.1) numerisch approximiert werden; dazu benutzt man die sog. Quadraturformeln. Die sich daraus ergebenden Gleichungen k¨ onnen – aber m¨ ussen nicht – dieselben sein, wie die, die man mit der FD-Methode erh¨ alt. In den folgenden Abschnitten werden die u ¨ blichen Methoden zur Approximation der einzelnen Terme in Gl. (4.1) vorgestellt.

4.2 Approximation von Fl¨ achenintegralen In den Abbildungen 4.2 und 4.3 sind typische 2D und 3D kartesische Kontrollvolumina mit der hier verwendeten Notation gezeigt. Die KV-Oberfläche besteht aus vier (im 2D-Fall) oder sechs (im 3D-Fall) ebenen Seiten, die durch tiefer gestellte Buchstaben entsprechend ihrer Ausrichtung (“e”, “w”, “n”, “s”, “o” und “u” f¨ ur ¨ ostlich, westlich, n¨ ordlich, s¨ udlich, oben und unten) in Bezug auf den Mittelpunkt (P) gekennzeichnet sind. Der 2D-Fall kann als Sonderfall des 3D-Falles angesehen werden, in dem die abhängigen Variablen unabh¨ angig von z sind. In diesem Kapitel wird meistens das 2D-Gitter verwendet; die Ausweitung auf 3D-F¨ alle ist einfach. Der Nettofluss durch den KV-Rand ist gleich der Summe der Integrale u ¨ber die vier (im 2D-Fall) oder sechs (im 3D-Fall) KV-Seiten:

4.2 Approximation von Fl¨ achenintegralen

f dS = S

f dS ,

85

(4.2)

Sk

k

wo f die Komponente des konvektiven (ρφv · n) oder des diffusiven (Γ ∇φ · n) Flussvektors in Richtung normal zur KV-Seite bezeichnet. Da das Geschwindigkeitsfeld und die Fluideigenschaften als bekannt angenommen werden, ist φ die einzige Unbekannte. Ist das Geschwindigkeitsfeld nicht bekannt, hat man es mit einem komplizierteren Problem, das nichtlineare gekoppelte Gleichungen involviert, zu tun; diese Situation wird in Kapitel 7 behandelt. Um die Konservativit¨ at zu gew¨ ahrleisten ist es wichtig, dass sich die KVs nicht u ort eindeutig den beiden KVs an, die sie ¨ berlappen; jede KV-Seite geh¨ trennt. yj+1 N

NW yj W

WW yj-1

nw

n

w

P

sw

s

SW

y

NE ne e ne

E

EE 'y

se SE

S 'x

j i

x

xi-1

xi

x i+1

Abbildung 4.2. Ein typisches KV f¨ ur ein kartesisches 2D-Gitter und die verwendete Notation

Im Folgenden wird nur eine typische KV-Seite, die mit “e” in Abb. 4.2 gekennzeichnet wurde, betrachtet; analoge Ausdr¨ ucke können f¨ ur alle Seiten durch entsprechende Index-Substitution abgeleitet werden. Um das Fl¨ achenintegral in Gl. (4.2) exakt zu berechnen, m¨ usste man den Integranden f u ache Se kennen. Diese Information steht ¨ berall auf der Oberfl¨ nicht zur Verf¨ ugung, da nur die Knotenwerte von φ (d. h. im KV-Zentrum) berechnet werden, weshalb Approximationen notwendig sind. Zu diesem Zweck werden u uhrt: ¨blicherweise Approximationen auf drei Ebenen eingef¨ • Das Integral u ¨ ber eine KV-Seite wird als Funktion der Variablenwerte an einer oder mehreren Stellen innerhalb der KV-Seite – den sog. Integrationspunkten – approximiert (Quadraturformel); • Die Variablenwerte in den Integrationspunkten an einer KV-Seite werden als Funktion der Knotenwerte approximiert, d. h. durch Interpolation.

86


T n

t

N 'z

n W

e

w

n

E

P n

s b

S

z

'y

y k j i

'x

x

B

Abbildung 4.3. Ein typisches KV f¨ ur ein kartesisches 3D-Gitter und die verwendete Notation

• Die Ableitungen der Variablen in den Integrationspunkten werden durch finite Differenzen approximiert. Die einfachste Approximation des Integrals ist durch die Mittelpunktregel gegeben: das Integral wird als Produkt aus dem Integranden im Schwerpunkt der KV-Seite fe (der f¨ ur den Mittelwert f e u ¨ ber die KV-Seite steht) und der Fl¨ ache der KV-Seite approximiert: Fe = f dS = f e Se ≈ fe Se . (4.3) Se

Diese Approximation des Integrals – vorausgesetzt der Wert von f im Punkt “e” ist bekannt – hat eine Genauigkeit 2. Ordnung. Da der Wert von f im Integrationspunkt (Flächenschwerpunkt) “e” nicht verf¨ ugbar ist, muss er durch Interpolation gewonnen werden. Um die Genauigkeit 2. Ordnung der Approximation des Fl¨ achenintegrals durch die Mittelpunktregel beizubehalten, muss der Wert von fe mindestens mit einer Genauigkeit 2. Ordnung interpoliert werden. Einige häufig verwendete Approximationen werden in Abschnitt 4.4 vorgestellt. Eine andere Approximation 2. Ordnung des Flächenintegrals in 2D stellt die Trapezregel dar; sie benutzt zwei Integrationspunkte, was zu folgender Gleichung f¨ uhrt: Se Fe = (fne + fse ) . f dS ≈ (4.4) 2 Se In diesem Fall muss der Flussvektor in den KV-Ecken durch Interpolation bestimmt werden.

4.3 Approximation der Volumenintegrale

87

Bei Approximationen h¨ oherer Ordnung f¨ ur die Flächenintegrale muss der Flussvektor in mehr als zwei Integrationspunkten bestimmt werden. Eine Approximation 4. Ordnung ist die Simpson-Regel, die das Integral u ¨ ber Se absch¨ atzt als: Se (fne + 4 fe + fse ) . Fe = f dS ≈ (4.5) 6 Se Hier werden die Werte von f in drei Punkten benötigt: im Zentrum der KVSeite “e” und den beiden Eckpunkten “ne” und “se”. Um die Genauigkeit 4. Ordnung der Simpson-Regel zu bewahren, sollten diese Werte durch eine Interpolation der Knotenwerte, die mindestens so genau wie die Simpson-Regel ist, erhalten worden sein. Wie unten gezeigt wird, sind kubische Polynome daf¨ ur geeignet. Im 3D-Fall ist die Mittelpunktregel wieder die einfachste Approximation 2. Ordnung. Approximationen h¨ oherer Ordnung, f¨ ur die der Integrand auch an anderen Stellen außer dem KV-Seitenmittelpunkt (z. B. Ecken und Kantenmittelpunkte) erforderlich ist, sind m¨ oglich, aber ihre Implementierung ist kompliziert. Eine M¨ oglichkeit wird im folgenden Abschnitt erwähnt. Wenn die Variation von f in einer bestimmten einfachen Form angenommen wird (z. B. ein Interpolationspolynom), dann ist die Integration einfach. Die Genauigkeit der Approximation h¨ angt von der Ordnung der Formfunktion ab. Die Anzahl der M¨ oglichkeiten ist praktisch unbegrenzt; die Vorgehensweise ist aber offensichtlich und wird hier nicht weiter behandelt.

4.3 Approximation der Volumenintegrale Einige Terme in den Transportgleichungen verlangen eine Integration u ¨ ber das Volumen eines KV. Die einfachste Approximation 2. Ordnung erfolgt wieder nach der Mittelpunktregel: das Volumenintegral wird durch das Produkt aus dem Wert des Integranden im KV-Zentrum (der f¨ ur den Mittelwert u ¨ ber das KV-Volumen steht) und dem KV-Volumen approximiert: QP = q dV = q ΔV ≈ qP ΔV , (4.6) V

wo qP f¨ ur den Wert von q im KV-Zentrum steht. Diese Größe ist leicht zu berechnen; da alle Variablen im Punkt P zur Verf¨ ugung stehen, ist keine Interpolation erforderlich. Die obige Approximation wird exakt, wenn q entweder konstant ist oder linear im KV variiert; ansonsten enthält die Approximation einen Fehler 2. Ordnung, was leicht bewiesen werden kann. F¨ ur eine Approximation h¨ oherer Ordnung sind die Werte von q in mehreren Punkten als nur dem KV-Zentrum erforderlich. Diese Werte m¨ ussen durch Interpolation der Knotenwerte oder ¨ aquivalent durch die Verwendung

88


einer Formfunktion ermittelt werden. Um eine optimale Genauigkeit zu erhalten, sollte die Interpolation bzw. die Formfunktion von derselben Ordnung wie die Ordnung der Integralapproximation sein. In 2D wird das Volumenintegral zu einem Flächenintegral. Eine Approximation 4. Ordnung kann durch Verwendung der biquadratischen Formfunktion erhalten werden: q(x, y) = a0 + a1 x + a2 y + a3 x2 + a4 y 2 + a5 xy + a6 x2 y + a7 xy 2 + a8 x2 y 2 .

(4.7)

Die neun Koeffizienten erh¨ alt man durch Anpassung der Funktion an die Werte von q in neun Punkten (“nw”, “w”, “sw”, “n”, P, “s”, “ne”, “e” und “se”, siehe Abb. 4.2). Das Integral kann dann als Funktion der Knotenwerte der zu integrierenden Gr¨ oße bestimmt werden. F¨ ur den 2D-Fall ergibt die Integration (f¨ ur kartesische Gitter): a3 QP = (Δx)2 + q dV ≈ Δx Δy a0 + 12 V (4.8) a4 a8 (Δy)2 + (Δx)2 (Δy)2 . 12 144 Es m¨ ussen nur vier Koeffizienten bestimmt werden, doch diese hängen von den Werten f¨ ur q in allen neun oben angegebenen Punkten ab. Auf einem regelm¨ aßigen kartesischen Gitter erh¨ alt man: QP =

Δx Δy (16 qP + 4 qs + 4 qn + 4 qw + 4 qe + 36 qse + qsw + qne + qnw ) .

(4.9)

Da nur der Wert in P verf¨ ugbar ist, muss die Interpolation genutzt werden, um q in den anderen Punkten zu erhalten. F¨ ur optimale Genauigkeit sollte die Interpolation ebenfalls von 4. Ordnung sein. Einige Möglichkeiten daf¨ ur werden im n¨ achsten Abschnitt beschrieben. Die oben beschriebene Approximation 4. Ordnung f¨ ur das Volumenintegral in 2D kann verwendet werden, um die Flächenintegrale in 3D zu approximieren. Approximationen h¨ oherer Ordnung f¨ ur die Volumenintegrale in 3D sind komplexer (sie ben¨ otigen mehr Integrationspunkte und aufwändigere Interpolation), k¨ onnen jedoch durch Verwendung der gleichen Techniken hergeleitet werden.

4.4 Interpolations- und Differentiationsmethoden Die Approximationen der Integrale verlangen Variablenwerte in anderen Punkten als den Rechenpunkten (KV-Zentren). Der Integrand, im vorangegangenen Abschnitt mit f bezeichnet, beinhaltet das Produkt verschiedener Variablen und/oder Variablenableitungen in diesen Punkten: f c = ρφv·n f¨ ur

4.4 Interpolations- und Differentiationsmethoden

89

den konvektiven Fluss und f d = Γ ∇φ · n f¨ ur den diffusiven Fluss. Hier wird zun¨ achst davon ausgegangen, dass das Geschwindigkeitsfeld und die Fluideigenschaften ρ und Γ in allen Punkten bekannt sind. Dies ist i. Allg. nicht der Fall; die Vorgehensweise bei gekoppelter Berechnung der Fluidströmung und des Transports von skalaren Gr¨ oßen wird im Kapitel 7 behandelt. Um die konvektiven und diffusiven Fl¨ usse zu berechnen, wird der Wert von φ und die Ableitung von φ in Richtung senkrecht zur KV-Seite in einem oder mehreren Punkten auf der KV-Oberfl¨ ache benötigt. Volumenintegrale der Quellterme k¨ onnen ebenfalls diese Werte verlangen. Sie m¨ ussen durch die Knotenwerte mittels Interpolation ausgedr¨ uckt werden. Zahlreiche Möglichkeiten sind vorhanden; hier werden einige der am häufigsten Angewendeten erl¨ autert. Im Besonderen wird gezeigt, wie der Wert von φ und seine normale Ableitung an der KV-Seite “e” approximiert werden können. 4.4.1 Aufwind-Interpolation Die Approximation von φe durch den Wert von φ im KV-Zentrum stromauf von “e” ist ¨ aquivalent zur Verwendung einer R¨ uckwärts- oder Vorwärtsapproximation f¨ ur die erste Ableitung in FD-Verfahren (abhängig von der Str¨ omungsrichtung); deshalb wird diese Approximation oft als Aufwinddifferenz bezeichnet, obwohl es sich hier um keine Differenz, sondern um Interpolation handelt: φP falls (v · n)e > 0 ; φe = (4.10) φE falls (v · n)e < 0 . Dies ist die einzige Approximation, die bedingungslos die Beschränktheitsanforderung erf¨ ullt, d. h. sie wird nie oszillierende Lösungen ergeben. Dies ist jedoch die Konsequenz aus der Tatsache, dass diese Approximation numerisch diffusiv ist. Das wurde im vorangegangenen Kapitel gezeigt und wird sp¨ ater, in Abschnitt 4.7, nochmals demonstriert. Die Taylor-Reihen-Entwicklung um den Punkt P ergibt (f¨ ur das kartesische Gitter und (v · n)e > 0): (xe − xP )2 ∂ 2 φ ∂φ φe = φP + (xe − xP ) + +H , (4.11) ∂x P 2 ∂x2 P wo H die Terme h¨ oherer Ordnung kennzeichnet. Die Aufwind-Approximation beinhaltet nur den ersten Term auf der rechten Seite, sie ist also ein Verfahren 1. Ordnung. Ihr f¨ uhrender Abbruchfehler-Term ist diffusiv, d. h. er ähnelt dem diffusiven Fluss: ∂φ fed = Γe . (4.12) ∂x e Der Koeffizient der numerischen Diffusion (in der Literatur werden verschiedene Bezeichnungen daf¨ ur verwendet, u. a. k¨ unstliche und falsche Diffusion)

90


ist Γenum = (ρu)e Δx/2. Diese numerische Diffusion wird in mehrdimensionalen Problemen verst¨ arkt, wenn die Str¨ omung schräg zum Gitter verläuft; der Abbruchfehler produziert dann Diffusion sowohl in Richtung normal zur Str¨ omung als auch in Str¨ omungsrichtung, was ein besonders schwer wiegender Fehlertyp ist. Spitzen oder starke Ver¨ anderungen in den Variablen werden verwischt und, da die Rate der Fehlerreduzierung nur 1. Ordnung ist, sind sehr feine Gitter notwendig, um genaue L¨ osungen zu erhalten. 4.4.2 Lineare Interpolation Eine andere einfache Approximation f¨ ur den Wert im Mittelpunkt der KVSeite ist die lineare Interpolation zwischen den zwei benachbarten Rechenknoten (KV-Zentren). Im Punkt “e” gilt auf einem kartesischen Gitter (siehe Abb. 4.2 und 4.3): φe = φE λe + φP (1 − λe ) ,

(4.13)

wobei der lineare Interpolationsfaktor λe wie folgt definiert ist: λe =

xe − xP . xE − xP

(4.14)

Die Gleichung (4.13) hat eine Genauigkeit 2. Ordnung, was durch das Einsetzen von φE in die Taylor-Reihen-Entwicklung von φ um den Punkt P, um die 1. Ableitung in Gl. (4.11) zu eliminieren, gezeigt werden kann. Das Ergebnis ist: (xe − xP )(xE − xe ) ∂ 2 φ φe = φE λe + φP (1 − λe ) − + H . (4.15) 2 ∂x2 P Der f¨ uhrende Abbruchfehler-Term ist proportional zum Quadrat des Gitterabstandes, unabh¨ angig davon, ob das Gitter äquidistant ist oder nicht. Wie bei allen Approximationen mit einer Ordnung größer als eins kann diese Methode oszillierende L¨ osungen produzieren. Dies ist die einfachste Approximation 2. Ordnung und die am h¨ aufigsten angewendete. Sie entspricht der Zentraldifferenz-Approximation der ersten Ableitung in FD-Methoden; daher wird sie in der Literatur oft genauso genannt. Die Annahme eines linearen Profils zwischen Knoten P und E bietet ebenfalls die einfachste Approximation des Gradienten im Punkt “e”, der f¨ ur die Berechnung des diffusiven Flusses ben¨ otigt wird: ∂φ φE − φP ≈ . (4.16) ∂x e xE − xP Durch Verwendung der Taylor-Reihen-Entwicklung um φe kann gezeigt werden, dass der Abbruchfehler der obigen Approximation lautet:


∂2φ − ∂x2 e (xe − xP )3 + (xE − xe )3 ∂ 3 φ +H . 6 (xE − xP ) ∂x3 e

(xe − xP )2 − (xE − xe )2 τ = 2 (xE − xP )

91

(4.17)

Liegt der Punkt “e” in der Mitte zwischen P und E (beispielsweise auf einem ¨ aquidistanten Gitter), dann hat die Approximation eine Genauigkeit 2. Ordnung, da der erste Term auf der rechten Seite verschwindet und der verbleibende f¨ uhrende Term im Abbruchfehler zu (Δx)2 proportional ist. Bei nicht¨ aquidistanten Gittern ist der f¨ uhrende Term im Abbruchfehler proportional zum Produkt aus Δx und (re − 1) , wobei re den Gitterexpansionsfaktor bezeichnet. Trotz der formalen Genauigkeit 1. Ordnung ist die Fehlerreduktion, wenn das Gitter systematisch verfeinert wird, ähnlich der bei einer Approximation 2. Ordnung, selbst auf nichtäquidistanten Gittern. Eine ausf¨ uhrliche Erkl¨ arung dieses Verhaltens wurde in Abschnitt 3.3.4 gegeben. 4.4.3 Quadratische Aufwind-Interpolation Die n¨ achste logische Verbesserung ist die Approximation des Variablenprofils zwischen P und E mittels einer Parabel anstatt einer geraden Linie. Um eine Parabel zu konstruieren, muss man die Daten eines weiteren Punktes verwenden; entsprechend der Natur der Konvektion wird der dritte Punkt stromaufw¨ arts gew¨ ahlt, d. h. W, wenn die Strömung von P nach E verläuft (d. h. ux > 0) oder EE, wenn gilt ux < 0, siehe Abb. 4.2. Auf diese Weise erh¨ alt man: φe = φU + g1 (φD − φU ) + g2 (φU − φUU ) ,

(4.18)

wobei D, U und UU jeweils den Knoten stromab, den ersten Knoten stromauf und den zweiten Knoten stromauf von “e’ ’ bezeichnen (E, P und W; oder P, E und EE, abh¨ angig von der Str¨ omungsrichtung). Die Koeffizienten g1 und g2 k¨ onnen durch Knotenkoordinaten folgendermaßen ausgedr¨ uckt werden: g1 =

(xe − xU )(xe − xUU ) ; (xD − xU )(xD − xUU )

g2 =

(xe − xU )(xD − xe ) . (xU − xUU )(xD − xUU )

(4.19)

Bei ¨ aquidistanten Gittern ergeben sich folgende Werte f¨ ur die Koeffizienten der drei Knotenwerte, die in der Interpolation verwendet werden: 38 f¨ ur den Punkt stromab (D), 68 f¨ ur den erste Knoten stromauf (U) und − 18 f¨ ur den zweiten Knoten stromauf von “e” (UU). Dieses Verfahren ist etwas komplexer als die lineare Interpolation; es dehnt den Rechenstern in jede Richtung um einen weiteren Punkt aus (in 2D sind die Punkte EE, WW, NN und SS eingeschlossen), und auf nichtorthogonalen und/oder nichtäquidistanten Gittern werden die Ausdr¨ ucke f¨ ur die Koeffizienten gi kompliziert. Leonard (1979) verbreitete dieses Verfahren und gab ihm den Namen QUICK (im Englischen Quadratic Upwind Interpolation for Convective Kinematics).

92


Dieses quadratische Interpolationsverfahren hat sowohl auf äquidistanten als auch nicht¨ aquidistanten Gittern einen Abbruchfehler 3. Ordnung. Dies kann gezeigt werden, indem man die zweite Ableitung aus Gl. (4.15) durch Verwendung von φW eliminiert, was bei einem regelmäßigen Gitter mit ux > 0 zu folgender Gleichung f¨ uhrt: 6 3 1 3(Δx)3 ∂ 3 φ φe = φP + φE − φW − +H . (4.20) 8 8 8 48 ∂x3 P Die ersten drei Terme auf der rechten Seiten stellen die QUICK-Approximation dar, w¨ ahrend der letzte Term f¨ ur den f¨ uhrenden Abbruchfehler-Term steht. Wird dieses Interpolationsverfahren mit der Mittelpunktapproximation des Oberfl¨ achenintegrals verwendet, hat die Gesamtapproximation trotzdem nur eine Genauigkeit 2. Ordnung (die Genauigkeit der Approximation des Fl¨ achenintegrals; sie hat die 2. Ordnung auch dann, wenn der exakte Wert f¨ ur φe eingesetzt wird). Obwohl die QUICK-Approximation etwas genauer als die lineare Interpolation ist, konvergieren beide Verfahren asymptotisch mit 2. Ordnung, und die Unterschiede sind auf ausreichend feinen Gittern nicht groß. 4.4.4 Verfahren h¨ oherer Ordnung Eine Interpolation h¨ oherer Ordnung als die dritte macht nur Sinn, wenn die Integrale ebenfalls mit Methoden h¨ oherer Ordnung approximiert werden. Wenn man die Simpson-Regel in 2D f¨ ur die Oberflächenintegrale verwendet, muss man mindestens mit Polynomen dritten Grades interpolieren, was zu Interpolationsfehlern 4. Ordnung f¨ uhrt. So kann man beispielsweise durch Anpassung des Polynoms φ(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3

(4.21)

an die Werte von φ in vier Knoten (zwei auf jeder Seite von “e”: W, P, E und EE) die vier Koeffizienten ai festlegen und φe als eine Funktion der Knotenwerte finden. F¨ ur ein ¨ aquidistantes kartesisches Gitter erhält man den folgenden Ausdruck: φe =

27 φP + 27 φE − 3 φW − 3 φEE . 48

(4.22)

Dasselbe Polynom kann verwendet werden, um die Ableitung zu bestimmen; man braucht es nur einmal zu differenzieren und erhält: ∂φ = a1 + 2 a2 x + 3 a3 x2 , (4.23) ∂x e was auf einem ¨ aquidistanten kartesischen Gitter zum folgenden Ausdruck f¨ uhrt:


∂φ ∂x

= e

27 φE − 27 φP + φW − φEE . 24 Δx

93

(4.24)

Die obige Approximation wird manchmal Zentraldifferenz 4. Ordnung genannt. Nat¨ urlich k¨ onnen sowohl Polynome h¨ oherer Ordnung und/oder mehrdimensionale Polynome verwendet werden. Kubische Splines, die eine Kontinuit¨ at der Interpolationsfunktion und ihrer ersten zwei Ableitungen u ¨ ber das L¨ osungsgebiet sicherstellen, k¨ onnen ebenfalls verwendet werden (verbunden mit einem etwas h¨ oheren Aufwand). Hat man einmal die Variablenwerte und die Ableitungen im den Mittelpunkten aller KV-Seiten bestimmt, kann man entlang den KV-Seiten interpolieren, um die Werte in den KV-Ecken zu erhalten. Dies stellt bei expliziten Methoden keine Schwierigkeit dar; bei impliziten Methoden dagegen produziert das Verfahren 4. Ordnung, das auf der Simpson-Regel und Polynominterpolation basiert, einen zu großen Rechenstern. Man kann diese Komplexit¨ at umgehen, indem man die Methode der verzögerten Korrektur anwendet, die in Abschnitt 5.6 beschrieben wird. Eine andere Vorgehensweise basiert auf der Technik, die angewandt wurde, um die kompakten Diskretisierungsverfahren (Padé-Schemata) in der FDMethode zu entwickeln. So kann man z. B. die Koeffizienten des Polynoms (4.21) erhalten, indem man es an die Variablenwerte und die ersten Ableitungen in den beiden benachbarten Zell-Zentren einer KV-Seite anpasst. F¨ ur ein a quidistantes kartesisches Gitter ergibt sich f¨ u r φ der folgende Ausdruck: ¨ e

Δx ∂φ φP + φE ∂φ + φe = . (4.25) − 2 8 ∂x P ∂x E Der erste Term auf der rechten Seite der obigen Gleichung stellt eine Approximation 2. Ordnung f¨ ur φe durch lineare Interpolation dar; der zweite Term stellt eine Approximation der zweiten Ableitung (multipliziert mit (Δx)2 /8) dar, die im f¨ uhrenden Abbruchfehler-Term f¨ ur lineare Interpolation auftritt, siehe Gl. (4.15). Der n¨ achste, nicht ber¨ ucksichtigte Term im Abbruchfehler, der die dritte Ableitung von φ multipliziert, verschwindet bei äquidistanten Gittern; somit ist der f¨ uhrende Term im Abbruchfehler f¨ ur die Approximation aus Gl. (4.25) proportional dem Produkt aus (Δx)4 und der vierten Ableitung, was die 4. Ordnung der Approximation widerspiegelt. Das Problem bei der Implementierung dieser Methode besteht darin, dass die Ableitungen in den Punkten P und E nicht bekannt sind und selbst approximiert werden m¨ ussen. Gl¨ ucklicherweise reicht eine Approximation 2. Ordnung f¨ ur die beiden ersten Ableitungen aus, um die 4. Ordnung der Approximation f¨ ur den Wert von φe zu erhalten; setzt man z. B. Zentraldifferenzen 2. Ordnung ein: ∂φ ∂φ φE − φW φEE − φP ; , = = ∂x P 2 Δx ∂x E 2 Δx

94


erh¨ alt man den folgenden Ausdruck f¨ ur φe : φe =

φP + φE − φW − φEE φP + φE + + O(Δx)4 . 2 16

(4.26)

W¨ ahlt man statt des Polynoms 3. Grades eine Parabel, m¨ ussen drei Koeffizienten bestimmt werden. Dies kann mit Hilfe der Variablenwerte in den beiden benachbarten KV-Zentren und der ersten Ableitung im stromauf liegenden Rechenpunkt erfolgen, was zu einer Approximation f¨ uhrt, die dem oben beschriebenen QUICK-Verfahren ¨ aquivalent ist: 3 1 Δx ∂φ φe = φU + φD + . (4.27) 4 4 4 ∂x U Die gleiche Vorgehensweise kann gew¨ ahlt werden, um eine Approximation der Ableitung im Zentrum der KV-Seite zu erhalten. Aus der Ableitung des Polynoms (4.21) und den Variablenwerten und ersten Ableitungen in den Rechenpunkten P und E folgt:

∂φ φE − φP 1 ∂φ φE − φP ∂φ + − . (4.28) = + ∂x e Δx 2 Δx 4 ∂x P ∂x E Offensichtlich ist der erste Term auf der rechten Seite eine ZentraldifferenzApproximation 2. Ordnung. Die u ¨ brigen Terme stellen eine Korrektur dar, die die Genauigkeit erh¨ oht. Das Problem mit den Approximationen (4.25), (4.27) und (4.28) besteht darin, dass sie erste Ableitungen in KV-Zentren enthalten, die nicht bekannt sind. Obwohl man diese Ableitungen durch Approximationen 2. Ordnung (ausgedr¨ uckt durch die Variablenwerte in KV-Zentren) ersetzen kann, ohne die Genauigkeitsordnung der ganzen Approximation zu zerstören, sind jedoch die daraus folgenden Rechensterne viel gr¨ oßer als gew¨ unscht. Verwendet man beispielsweise in 2D die Simpson-Regel und die Polynominterpolation 4. Ordnung, so stellt man fest, dass jeder Fluss von 15 Knotenwerten abhängt und die algebraische Gleichung f¨ ur ein KV 25 Knotenwerte beinhaltet. Die Lösung des sich ergebenden Gleichungssystems w¨ are somit sehr teuer (siehe Kapitel 5). Eine M¨ oglichkeit, dieses Problem zu umgehen, stellt die Methode der verz¨ ogerten Korrektur dar, die in Abschnitt 5.6 beschrieben wird. Man sollte ber¨ ucksichtigen, dass eine Approximation höherer Ordnung nicht unbedingt eine genauere L¨ osung auf jedem beliebigen Gitter garantiert; eine hohe Genauigkeit wird nur erreicht, wenn das Gitter fein genug ist, um alle wichtigen Details der L¨ osung zu erfassen; bei welcher Gittergröße dies passiert, kann nur durch eine systematische Gitterverfeinerung bestimmt werden.

4.5 Implementierung der Randbedingungen

95

4.4.5 Andere Verfahren Es ist eine große Anzahl von Approximationen f¨ ur die konvektiven Fl¨ usse ver¨ offentlicht worden; es w¨ urde den Rahmen dieses Buches sprengen, wenn man sie alle beschreiben wollte. Fast alle k¨ onnen mit Hilfe der oben verwendeten Vorgehensweise hergeleitet werden. Trotzdem werden hier einige dieser Verfahren noch kurz erl¨ autert. Man kann φe durch lineare Extrapolation aus zwei stromaufwärts liegenden Punkten approximieren, was zur sog. linearen Aufwind-Approximation f¨ uhrt (im Englischen wird diese Methode oft als linear upwind differencing, abgek¨ urzt LUD, genannt). Dieses Verfahren hat eine Genauigkeit 2. Ordnung; da es jedoch komplexer als lineare Interpolation ist und ebenfalls nichtbeschr¨ ankte L¨ osungen produzieren kann, ist lineare Interpolation eine bessere Wahl. Eine andere Methode, die von Raithby (1976) vorgestellt wurde, benutzt Extrapolation von der Aufwindseite, jedoch entlang der Stromlinie statt der Gitterlinie (im Englischen als “skew-upwind schemes” bezeichnet). Es wurden Verfahren 1. und 2. Ordnung entsprechend der gewöhnlichen und der linearen Aufwind-Approximation vorgeschlagen. Sie liefern eine bessere Genauigkeit als Verfahren, die auf Extrapolation entlang den Gitterlinien basieren. Diese Verfahren sind jedoch – besonders in 3D – sehr komplex (es gibt viele m¨ ogliche Str¨ omungsrichtungen und damit viele Fallunterscheidungen). Da sie oszillierende L¨ osungen produzieren k¨ onnen, wenn das Gitter nicht ausreichend fein ist, und sie schwieriger zu programmieren sind, haben sie keine breite Anwendung gefunden. Es ist auch m¨ oglich, zwei oder mehr verschiedene Approximationen zu mischen. Ein Beispiel, das h¨ aufig in den 1970ern und den fr¨ uhen 1980ern angewendet wurde, ist das Hybrid-Verfahren von Spalding (1972), das zwischen Aufwind- und Zentraldifferenzen wechselt, abhängig vom lokalen Wert der Peclet-Zahl. Andere Forscher haben eine Mischung von Verfahren niedriger (typischerweise 1.) und h¨ oherer Ordnung vorgeschlagen, um nichtphysikalische Oszillationen zu umgehen, besonders f¨ ur kompressible Strömungen mit St¨ oßen. Einige dieser Ideen werden in Kapitel 10 erwähnt. Das Mischen verschiedener Methoden kann auch verwendet werden, um die Konvergenzrate einiger iterativer L¨ oser zu verbessern, wie im Kapitel 5 gezeigt wird.

4.5 Implementierung der Randbedingungen Jedes KV liefert eine algebraische Gleichung. Die Volumenintegrale werden auf die gleiche Weise f¨ ur jedes KV berechnet, aber die Fl¨ usse durch die KVSeiten, die am Rande des L¨ osungsgebietes liegen, bed¨ urfen besonderer Behandlung. Diese Randfl¨ usse m¨ ussen entweder bekannt sein oder als Kombination aus den (unbekannten) inneren Werten und den (bekannten) Randdaten ausgedr¨ uckt werden. Da sie keine zus¨ atzlichen Gleichungen liefern, d¨ urfen

96


sie auch keine weiteren Unbekannten einf¨ uhren. Weil es keine Rechenpunkte außerhalb des Randes gibt, m¨ ussen diese Approximationen auf einseitigen Differenzen oder Extrapolationen basieren. Normalerweise sind konvektive Fl¨ usse an den Einstromrändern vorgegeben. An undurchl¨ assigen W¨ anden und Symmetrieebenen sind sie gleich null. An einem Ausstromrand wird normalerweise angenommen, dass Ableitungen aller Variablen in Str¨ omungsrichtung gleich null sind; in diesem Fall können Aufwind-Approximationen verwendet werden. Diffusive Fl¨ usse werden manchmal an der Wand spezifiziert, z. B. wenn ein bestimmter W¨ armefluss vorgegeben ist (einschließlich dem Sonderfall einer adiabaten Oberfl¨ ache, wo der W¨ armefluss gleich null ist). Häufig sind die Randwerte von Variablen vorgegeben. In solchen Fällen werden die diffusiven Fl¨ usse mittels einseitiger Approximationen f¨ ur Ableitungen in Richtung der Normalen zum Rand berechnet, wie in Abschnitt 3.7 ausf¨ uhrlich beschrieben wurde. Ist der Gradient selbst vorgegeben, wird er zur Berechnung des Flusses verwendet, und es kann eine Approximation f¨ ur den Fluss als Funktion von Knotenwerten verwendet werden, um die Randwerte der Variablen zu berechnen. Dies wird an einem Beispiel in Abschnitt 4.7 demonstriert.

4.6 Das algebraische Gleichungssystem Durch Aufsummierung aller Flussapproximationen und Quellterme f¨ ur ein KV wird eine algebraische Gleichung erhalten, die den Variablenwert im KVZentrum in Beziehung zu den Werten in benachbarten KVs setzt. Die Anzahl der Gleichungen und die Anzahl der Unbekannten sind beide gleich der Anzahl der KVs; das System ist also gut konditioniert. Die algebraische Gleichung f¨ ur ein einzelnes KV hat die Form (3.43), und das Gleichungssystem f¨ ur das gesamte L¨ osungsgebiet hat die durch Gl. (3.44) gegebene Matrixform. Wenn die Reihenfolge der Eintr¨ age in der Matrix aus Abschnitt 3.8 verwendet wird, hat die Matrix A die in Abb. 3.5 gezeigte Form. Dies gilt nur f¨ ur strukturierte Gitter mit vierseitigen oder sechsseitigen KVs; f¨ ur andere Gitterarten wird die Matrixstruktur komplexer (siehe Kapitel 8 f¨ ur mehr Details), aber sie wird immer schwach besetzt sein. Bei Approximationen 2. Ordnung ist die maximale Anzahl der von null verschiedenen Elemente in jeder beliebigen Reihe gleich der Anzahl der unmittelbaren Nachbarn des entsprechenden KV. Bei Approximationen h¨ oherer Ordnung hängt die Anzahl der von null verschiedenen Elemente von der Gr¨ oße des Rechensterns ab.

4.7 Beispiele Um die FV-Methode zu demonstrieren und um einige Eigenschaften der oben vorgestellten Diskretisierungsmethoden aufzuzeigen, werden im Folgenden zwei Beispiele pr¨ asentiert.

4.7 Beispiele

97

Zuerst wird das in Abb. 4.4 dargestellte Problem des Transports einer skalaren Gr¨ oße in einem vorgegebenen Geschwindigkeitsfeld betrachtet. Letzteres ist durch ux = x und uy = −y gegeben, was die Strömung nahe einem Staupunkt darstellt. Die Stromlinien sind durch xy = konst. gegeben und sie ¨ andern ihre Richtung relativ zum kartesischen Gitter. Andererseits ist auf jeder KV-Seite die normale Geschwindigkeitskomponente konstant, so dass der Fehler bei der Berechnung des konvektiven Flusses nur von der f¨ ur φe verwendeten Approximation abh¨ angig ist. Dies hilft bei der Analyse der Genauigkeit. Die zu l¨ osende skalare Transportgleichung lautet: ρφv · n dS = Γ ∇φ · n dS , (4.29) S

S

und die folgenden Randbedingungen sind zu erf¨ ullen: • Entlang dem Nordrand (Einstrom) gilt φ = 0; • Entlang dem Westrand wird lineare Variation von φ vorgegeben, von φ = 0 bei y = 1 bis φ = 1 bei y = 0; • An der S¨ udgrenze gilt Symmetriebedingung (Nullgradient normal zum Rand); • Am Austrittsrand (Ostrand) gilt Nullgradient in Strömungsrichtung. Die Geometrie und das Str¨ omungsfeld sind in Abb. 4.4 skizziert. Im Folgenden werden mehr Details zur Diskretisierung f¨ ur die “e”-Seite gegeben. y

Einstrom, I (1,1)

I (y)

Ausstrom,

GI Gx Wand (0,0)

I 1

Stromlinien xy = konst. Symmetrie, GI

0

Gy

x

Abbildung 4.4. Geometrie und Randbedingungen f¨ ur den Skalartransport in einer Staupunktstr¨ omung

Der konvektive Fluss wird durch Anwendung der Mittelpunktregel und entweder Aufwind- oder linearer Interpolation berechnet. Der konvektive Fluss wird als Produkt aus dem Massenfluss und dem Wert von φ im Mittelpunkt der KV-Seite ausgedr¨ uckt: Fec = ρφv · n dS ≈ m ˙ e φe , (4.30) Se

98


wobei m ˙ e den Massenfluss durch die “e”-Seite bezeichnet: ρv · n dS = (ρux )e Δy . m ˙e=

(4.31)

Se

Der Ausdruck (4.31) ist auf jedem Gitter exakt, da die Geschwindigkeit ux,e entlang der Seite konstant ist. Die Flussapproximation ist dann: ˙ e , 0.) φE (Aufwind) ; max(m ˙ e , 0.) φP + min(m c (4.32) Fe = ˙ e λe φE (Linear) . m ˙ e (1 − λe ) φP + m Der lineare Interpolationskoeffizient λe ist durch die Gl. (4.14) definiert. Analoge Ausdr¨ ucke f¨ ur die Fl¨ usse durch die anderen KV-Seiten f¨ uhren f¨ ur den Fall von Aufwind-Approximation zu den folgenden Koeffizienten in der algebraischen Gleichung: AcE = min(m ˙ e , 0.) ;

AcW = min(m ˙ w , 0.) ,

˙ n , 0.) ; AcS = min(m ˙ s , 0.) , AcN = min(m c c c c c AP = −(AE + AW + AN + AS ) .

(4.33)

F¨ ur den Fall der linearen Interpolation sind die Koeffizienten: AcE = m ˙ e λe ;

AcW = m ˙ w λw ,

˙ n λn ; AcS = m ˙ s λs , AcN = m c c c AP = −(AE + AW + AcN + AcS ) .

(4.34)

Der Ausdruck f¨ ur AcP folgt aus der Kontinuitätsbedingung: m ˙ e+m ˙ w+m ˙ n+m ˙s=0, die durch das Geschwindigkeitsfeld erf¨ ullt wird. Man sollte beachten, dass m ˙w bzw. λw f¨ ur das KV mit dem Mittelpunkt P sind gleich −m ˙ e bzw. 1 − λe im KV mit dem Mittelpunkt W. In einem Rechenprogramm werden deshalb die Massenfl¨ usse und die Interpolationsfaktoren einmal berechnet und bezogen auf die KV-Seiten gespeichert (als m ˙ e, m ˙ n und λe , λn ). Der diffusive Fluss wird mit der Mittelpunktregel und der ZentraldifferenzApproximation der normalen Ableitung berechnet; dies ist die einfachste und am weitesten verbreitete Approximation: Γ Δy ∂φ d Fe = Δy = (φE − φP ) . (4.35) Γ ∇φ · n dS ≈ Γ ∂x e xE − xP Se Man beachte, dass gilt xE = 12 (xi+1 + xi ) und xP = 12 (xi + xi−1 ), siehe Abb. 4.2. Der Diffusionskoeffizient Γ wird als konstant angenommen; trifft dies nicht zu, kann er linear zwischen den Rechenpunkten (z. B. Γe = ΓE λe + ΓP (1 − λe )) interpoliert werden. Die Beitr¨ age der diffusiven Fl¨ usse zu den Koeffizienten der algebraischen Gleichung sind:

4.7 Beispiele

Γ Δy Γ Δy ; AdW = − , xE − xP xP − xW Γ Δx Γ Δx ; AdS = − , AdN = − yN − yP yP − yS AdP = −(AdE + AdW + AdN + AdS ) .

99

AdE = −

(4.36)

Wenn die Approximationen aller Terme der Ausgangsgleichung f¨ ur ein KV aufsummiert werden, ergibt sich die folgende algebraische Gleichung: AW φW + AS φS + AP φP + AN φN + AE φE = QP ,

(4.37)

wobei P das KV-Zentrum darstellt. Die Koeffizienten Al erhält man durch Addition der konvektiven und diffusiven Beitr¨ age, siehe Gleichungen (4.33), (4.34) und (4.36): Al = Acl + Adl ,

(4.38)

wobei l eines der Indizes P, E, W, N, S darstellt. Dass AP gleich der negativen Summe aller Nachbarkoeffizienten ist, ist eine Eigenschaft aller konservativen Methoden und stellt sicher, dass ein gleichm¨ aßiges Feld eine Lösung der diskretisierten Gleichungen ist. Die obigen Ausdr¨ ucke gelten in allen innen liegenden KVs. F¨ ur KVs entlang dem Rand verlangen die Randbedingungen, dass die Gleichungen etwas angepasst werden. Am Nord- und am Westrand, wo φ vorgegeben ist, wird die Ableitung in randnormale Richtung mit einseitigen Differenzen approximiert, z. B. am Westrand: ∂φ φP − φW ≈ , (4.39) ∂x w xP − xW wo W den Randpunkt bezeichnet, dessen Lage mit dem Zentrum der KVSeite “w” u ¨bereinstimmt. Diese Approximation hat formell eine Genauigkeit 1. Ordnung, aber der Abstand zwischen den beiden Punkten ist nur die Hälfte der KV-Breite. Sie ist exakt, wenn die Variable in Wandnähe linear variiert; auch wenn dies nicht der Fall ist, wenn alle Approximationen im Inneren des L¨ osungsgebietes 2. Ordnung sind, bleibt die Konvergenz der Lösung 2. Ordnung, wie in Abb. 4.6 gezeigt wird. Das Produkt aus dem Koeffizienten und dem entsprechenden, vorgegebenen Randwert wird als bekannte Größe zum Quellterm addiert. So wird beispielsweise AW φW entlang der Westgrenze (KVs mit dem Index i = 2) zum Quellterm QP addiert, und der Koeffizient AW wird danach gleich null gesetzt. Dasselbe gilt f¨ ur den Koeffizienten AN am Nordrand. Am S¨ udrand ist der Gradient von φ in Richtung der Normalen gleich null, was bedeutet, dass sowohl der diffusive als auch der konvektive Fluss gleich null sind (da auch die randnormale Geschwindigkeitskomponente gleich null ist). Somit kommt von diesen KV-Seiten kein Beitrag zur Koeffizientenmatrix. Andererseits k¨ onnte man zun¨ achst die Koeffizienten so berechnen, als

100


wären die Randwerte gegeben, und dann – gemäß obiger Approximation der Ableitung – die Randwerte gleich den Werten in den KV-Mittelpunkten setzen. Somit w¨ urde f¨ ur die Zellen entlang dem S¨ udrand (mit dem Index j = 2) φS = φP gelten, und die algebraische Gleichung f¨ ur diese KVs könnte dann folgendermaßen modifiziert werden: (AP + AS ) φP + AN φN + AW φW + AE φE = QP ,

(4.40)

was das Hinzuf¨ ugen von AS zu AP bedeutet (womit der Beitrag −AS aus Gl. (4.36) aufgehoben wird) und das anschließende Gleichsetzen von AS = 0 erfordert. Die Null-Gradienten-Bedingung am Austrittsrand (im Osten) wird auf die gleiche Weise implementiert.

Abbildung 4.5. Isolinien von φ ab 0,05 bis 0,95 mit Schritten von 0,1 (von oben nach unten) f¨ ur Γ = 0, 01 (links) und Γ = 0, 001 (rechts)

Im Folgenden werden die Ergebnisse analysiert. Die Isolinien von φ, die auf einem ¨ aquidistanten Gitter mit 40 × 40 KVs mittels linearer Interpolation f¨ ur die konvektiven Fl¨ usse f¨ ur zwei Werte von Γ , nämlich 0,001 und 0,01 (ρ = 1, 0), berechnet wurden, sind in Abb. 4.5 dargestellt. Man sieht, dass der diffusive Transport von φ quer zur Str¨ omungsrichtung beim größeren Wert von Γ viel st¨ arker ist als beim kleineren Wert. Um die Genauigkeit der Vorhersage zu beurteilen, wird der gesamte Fluss von φ durch den Westrand, an dem φ vorgegeben ist, betrachtet. Diese Größe erh¨ alt man, indem man die diffusiven Fl¨ usse, die mit den Gleichungen (4.35) und (4.39) approximiert wurden, u ¨ber alle KV-Seiten entlang diesem Rand ¨ aufaddiert. Die Abb. 4.6 zeigt die Anderung dieses Flusses mit der Verfeinerung des Gitters f¨ ur die Aufwind-Approximation und die lineare Interpolation bei der Berechnung der konvektiven Fl¨ usse; die diffusiven Fl¨ usse wurden immer mittels Zentraldifferenzen diskretisiert. Das Gitter wurde von 10 × 10 KVs bis zu 320 × 320 KVs systematisch verfeinert.

4.7 Beispiele

101

Auf dem gr¨ obsten Gitter liefert die Berechnung mit linearer Interpolation bei Γ = 0, 001 keine sinnvolle L¨ osung; die Konvektion dominiert, und auf einem derart groben Gitter f¨ uhrt die starke Variation von φ u ¨ ber eine kurze Strecke in der Nähe des Westrandes (siehe Abb. 4.5) zu so starken Oszillationen, dass die meisten iterativen L¨ oser versagen (die lokale Zellen-PecletZahl, Pe= ρux Δx/Γ , liegt auf diesem Gitter zwischen 10 und 100). (Eine konvergierte L¨ osung k¨ onnte man wahrscheinlich mit Hilfe einer verzögerten Korrektur – die hier nicht angewendet wurde – erhalten, doch wäre diese sehr ungenau.) Mit der Verfeinerung des Gitters konvergieren die unter Anwendung linearer Interpolation erhaltenen Ergebnisse stetig gegen die gitterunabh¨ angige L¨ osung. Auf dem Gitter mit 40 × 40 KVs reicht die lokale Peclet-Zahl von 2,5 bis 25, es gibt jedoch keine Oszillationen in der Lösung, wie in Abb. 4.5 zu erkennen ist. Die unter Verwendung der Aufwind-Approximation erhaltenen Lösungen enthalten – wie erwartet – auf keinem Gitter Oszillationen. Die Konvergenz ist jedoch nicht monoton: Der Fluss auf den beiden gröbsten Gittern liegt unter dem konvergierten Wert; er ist auf dem nächsten Gitter zu hoch und n¨ ahert sich danach dem korrekten Ergebnis stetig an. Ausgehend von einer Konvergenz 2. Ordnung bei der Berechnung mit linearer Interpolation, wurde die gitterunabh¨ angige Lösung mittels RichardsonExtrapolation (siehe Abschnitt 3.9 f¨ ur mehr Details) abgeschätzt; auf diese Weise konnte der Fehler in jeder L¨ osung bestimmt werden. Die Fehler sind in Abb. 4.6 als Funktion eines normierten Gitterabstands (Δx = 1 f¨ ur das gr¨ obste Gitter) sowohl f¨ ur Aufwind-Approximation als auch f¨ ur lineare Interpolation dargestellt. Die erwarteten asymptotischen Neigungen der Kurven in doppelt-logarithmischer Darstellung f¨ ur die Verfahren 1. und 2. Ordnung sind ebenfalls gezeigt. Die Fehlerkurve f¨ ur lineare Interpolation stimmt mit dem erwarteten Verlauf f¨ ur ein Verfahren 2. Ordnung u ur ¨ berein. Die Fehlerkurve f¨ Aufwind-Approximation zeigt auf den ersten drei Gittern ein unregelmäßiges Verhalten. Vom vierten Gitter an n¨ ahert sich die Fehlerkurve der erwarteten Neigung. Die L¨ osung auf dem Gitter mit 320 × 320 KVs hat jedoch noch immer einen Fehler von u ¨ ber 1 %; lineare Interpolation liefert ein genaueres Ergebnis bereits auf einem Gitter mit 80 × 80 KVs! Dieses Beispiel zeigt, dass die Ordnung des Verfahrens nur dann eine zuoglicht, wenn die Gitter so fein sind, verl¨ assige Abschätzung des Fehlers erm¨ dass eine monotone Konvergenz der L¨ osung besteht. So ist z. B. auf dem Gitter mit 20 × 20 KVs der Fehler in der mit Aufwind-Approximationen erhaltenen L¨ osung kleiner als in der L¨ osung, in der lineare Interpolation verwendet wurde (siehe Abb. 4.6). Auf dem n¨ achstfeineren Gitter sind die Fehler ungef¨ ahr gleich groß, aber mit unterschiedlichen Vorzeichen. Erst ab dem Gitter mit 80 × 80 KVs sind die Fehler in der Lösung aus dem Verfahren 2. Ordnung deutlich kleiner als aus dem Verfahren 1. Ordnung. Ein anderer popul¨ arer Testfall ist die Konvektion eines Stufenprofils in einer gleichm¨ aßigen Str¨ omung schr¨ ag zu den Gitterlinien, siehe Abb. 4.7. Er

102


Abbildung 4.6. Konvergenz des Gesamtflusses von φ durch den Westrand (links) und der Fehler im berechneten Fluss als eine Funktion des Gitterabstandes f¨ ur Γ = 0, 001 (rechts); AD – Aufwind-Approximation, ZD – lineare Interpolation

kann mit der oben beschriebenen Methode durch Anpassung der Randbedingungen gel¨ ost werden (vorgegebene Werte von φ am West- und S¨ udrand, Ausstrombedingungen am Nord- und Ostrand). Hier werden die mittels AufwindApproximation und linearer Interpolation erhaltenen Ergebnisse gezeigt. Da in diesem Fall Diffusion ausgeschlossen wird, lautet die zu lösende Gleichung (in Differentialform): ux

∂φ ∂φ + uy =0. ∂x ∂y

(4.41)

F¨ ur diesen Fall liefern die Aufwind-Approximationen auf einem äquidistanten Gitter in beide Richtungen eine sehr einfache Gleichung: ux

φP − φW φP − φS + uy =0, Δx Δy

(4.42)

die auf sequentielle Art ohne Iterationen leicht gelöst werden kann. Andererseits ergibt die lineare Interpolation den Nullwert f¨ ur den Koeffizienten auf der Hauptdiagonalen, AP , was die L¨ osung erschwert. Die meisten iterativen L¨ oser w¨ urden bei diesem Problem nicht konvergieren; es ist jedoch m¨ oglich, durch Anwendung der verz¨ ogerten Korrektur (siehe Abschnitt 5.6) eine L¨ osung zu erhalten. Verl¨ auft die Str¨ omung parallel zur x-Koordinaten, liefern beide Verfahren korrekte Ergebnisse: Das Profil bleibt stromabwärts unverändert. Wenn die Str¨ omung schr¨ ag zu den Gitterlinien verl¨ auft, erhält man mit AufwindApproximationen in jedem stromabw¨ arts liegenden Querschnitt ein verschmiertes Stufenprofil, w¨ ahrend mit linearer Interpolation Oszillationen ent-

4.7 Beispiele

(1,1)

I (y)

y

v

uy

T ux (0,0)

103

x

Abbildung 4.7. Geometrie und Randbedingungen f¨ ur die Konvektion eines Stufenprofils in einer gleichm¨ aßigen Str¨ omung schr¨ ag zu den Gitterlinien

stehen. In Abb. 4.8 sind die Profile von φ bei x = 0, 45 f¨ ur den Fall gezeigt, dass die Str¨ omung mit einem Winkel von 45◦ schräg zum Gitter (ux = uy ) verl¨ auft, berechnet auf einem a ¨quidistanten Gitter mit 10 × 10 KVs. Dieselbe Abbildung zeigt das Profil bei x = 0, 475, das f¨ ur denselben Fall auf einem a quidistanten Gitter mit 20 × 20 KVs erhalten wurde. Der Effekt numeri¨ scher Diffusion ist in der mit Aufwind-Approximationen erhaltenen Lösung deutlich zu erkennen; die L¨ osung auf einem verfeinerten Gitter ergibt nur eine geringe Verbesserung. Andererseits entsteht mit linearer Interpolation ein Profil mit korrekter Steilheit, aber es gibt Oszillationen. Lokale Gitterverfeinerung w¨ urde helfen, die Oszillationen einzugrenzen und vielleicht sogar ganz zu beseitigen, wie in Kapitel 11 noch besprochen wird. Die Oszillationen k¨ onnten ebenfalls durch lokale Einf¨ uhrung numerischer Diffusion (z. B. durch lokale Mischung von linearer Interpolation mit Aufwind-Approximation) beseitigt werden. Diese Technik wird – mit einigen Beispielen – in Kapitel 10 beschrieben. Es kann gezeigt werden, dass die Aufwind-Approximation eher das folgende Konvektions-Diffusions-Problem l¨ ost ux

∂φ ∂φ ∂2φ ∂2φ + uy = ux Δx 2 + uy Δy 2 ∂x ∂y ∂x ∂y

(4.43)

als die urspr¨ ungliche Gl. (4.41). Die Gl. (4.43) wird als modifizierte Gleichung f¨ ur dieses Problem bezeichnet. Durch Transformation dieser Gleichung in Koordinaten parallel und senkrecht zur Str¨ omung kann man zeigen, dass sich die effektive Diffusivit¨ at senkrecht zur Str¨ omungsrichtung ergibt als: Γeff = U sin θ cos θ(Δx cos θ + Δy sin θ) ,

(4.44)

wo U den Betrag der Geschwindigkeit und θ den Winkel zwischen den Stromlinien und Gitterlinien in x-Richtung darstellen. Ein ähnliches und viel zitiertes Ergebnis wurde von de Vahl Davis und Mallinson (1972) erhalten. Die Ergebnisse der beiden Testf¨ alle k¨ onnen wie folgt zusammengefasst werden:

104


Abbildung 4.8. Profil von φ bei x = 0, 45, berechnet auf einem Gitter mit 10 × 10 KVs (links) und bei x = 0, 475 berechnet auf einem Gitter mit 20 × 20 KVs (rechts); AD – Aufwind-Approximation, ZD – lineare Interpolation

• Verfahren hoher Ordnung oszillieren auf groben Gittern, jedoch konvergieren sie bei Gitterverfeinerung schneller zu einer genauen Lösung als Verfahren niedriger Ordnung. • Aufwind-Approximation 1. Ordnung ist ungenau und sollte nicht verwendet werden. Dieses Verfahren wird nur erwähnt, weil es noch immer in einigen Rechenprogrammen verwendet wird. Die Anwender sollten wissen, dass man mit dieser Methode keine hohe Genauigkeit auf Gittern, die man sich leisten k¨ onnte, erhalten kann, ganz besonders im 3D-Fall. Sie f¨ uhrt einen großen diffusiven Fehler ein, sowohl in Strömungsrichtung als auch quer zu ihr. Sie kann h¨ ochstens als Beimischung in kleinen Anteilen zu den Verfahren h¨ oherer Ordnung zwecks Vermeidung von Oszillationen sinnvoll eingesetzt werden. • Lineare Interpolation ist das einfachste Verfahren mit einer Genauigkeit 2. Ordnung und bietet einen guten Kompromiss zwischen Genauigkeit, Einfachheit und Effizienz.

5. L¨ osung linearer Gleichungssysteme

5.1 Einleitung In den vorangegangenen zwei Kapiteln wurde gezeigt, wie die KonvektionsDiffusions-Gleichung mit Hilfe von Finite-Differenzen- und Finite-VolumenenMethoden diskretisiert werden kann. Das Ergebnis des Diskretisierungsprozesses ist in beiden F¨ allen ein System algebraischer Gleichungen, die entsprechend der Natur der partiellen Differentialgleichungen, von denen sie abgeleitet wurden, linear oder nichtlinear sind. Im nichtlinearen Fall m¨ ussen die Diskretisierungsgleichungen mit einer iterativen Technik gelöst werden, die ein Absch¨ atzen der L¨ osung, Linearisierung der Gleichungen um diese Lösung und Verbessern der L¨ osung umfasst; der gesamte Prozess wird wiederholt, bis ein konvergiertes Ergebnis erhalten wird. Es ist also ganz egal, ob die Gleichungen linear sind oder nicht – eine effiziente Methode zur Lösung linearer algebraischer Gleichungssysteme wird in jedem Fall benötigt. Die aus partiellen Differentialgleichungen erhaltenen Matrizen sind immer d¨ unn besetzt, d. h. die meisten Elemente sind gleich null. Im Folgenden werden einige Methoden zur L¨ osung der Gleichungen beschrieben, die sich bei Verwendung von strukturierten Gittern ergeben; dann liegen alle von null verschiedenen Matrixelemente auf einer kleinen Anzahl gut definierter Diagonalen, und diese Struktur kann vorteilhaft ausgenutzt werden. Einige Methoden k¨ onnen auch auf Matrizen angewendet werden, die bei unstrukturierten Gittern entstehen. Die Struktur einer Koeffizientenmatrix f¨ ur ein 2D-Problem, das mit einer F¨ unf-Punkte-Approximation diskretisiert wurde (Aufwind- oder Zentraldifferenz) ist in Abb. 3.5 dargestellt. Die algebraische Gleichung f¨ ur ein KV oder einen Gitterpunkt ist in Gl. (3.43) gegeben, und die Matrixversion des gesamten Problems, gegeben in Gl. (3.44), siehe Abschnitt 3.8, wird hier nochmals wiedergegeben: Aφ = Q .

(5.1)

Neben der Beschreibung einiger besserer L¨ osungsmethoden f¨ ur algebraische Gleichungssysteme, die diskretisierte partielle Differentialgleichungen darstellen, wird in diesem Kapitel die L¨ osung von nichtlinearen Gleichungssystemen behandelt. Es wird jedoch mit den linearen Gleichungen begonnen. Dabei wird davon ausgegangen, dass der Leser etwas Erfahrung mit den Methoden

106


zur L¨ osung linearer Gleichungssysteme hat, weshalb die Beschreibungen kurz gehalten sind.

5.2 Direkte Methoden Es wird davon ausgegangen, dass die Matrix A sehr d¨ unn besetzt ist. Eigentlich ist die komplizierteste Matrix, die bei der numerischen Lösung von Erhaltungsgleichungen angetroffen wird, eine Bandmatrix vom Block-Typ; dies vereinfacht die L¨ osungsaufgabe ganz wesentlich. Es wird hier jedoch ei¨ ne kurze Ubersicht u ur allgemeine Matrizen gegeben, da die ¨ber Methoden f¨ Methoden f¨ ur d¨ unn besetzte Matrizen mit ihnen in engem Zusammenhang stehen. F¨ ur die Beschreibung von Methoden zur Behandlung von voll besetzten Matrizen ist die Verwendung einer Voll-Matrix-Notation (im Gegensatz zu der fr¨ uher eingef¨ uhrten Diagonalnotation) sinnvoller, weshalb sie an dieser Stelle verwendet wird. 5.2.1 Die Gauß-Elimination Die Grundmethode zur L¨ osung linearer algebraischer Gleichungssysteme ist die Gauß-Elimination. Ihre Grundlage ist die systematische Reduzierung von großen Gleichungssystemen in kleinere. Auf diese Weise werden die Matrixelemente modifiziert, doch da sich die abhängigen Variablennamen nicht asst sich diese Methode einfach durch die Matrix allein beschreiändern, l¨ ben: ⎛ ⎞ A11 A12 A13 . . . A1n ⎜ A21 A22 A23 . . . A2n ⎟ ⎜ ⎟ A=⎜ . (5.2) .. .. . . . ⎟ . ⎝ .. . .. ⎠ . . An1 An2 An3 . . . Ann Das Herzst¨ uck des Algorithmus ist die Technik zur Eliminierung von A21 , d. h. dieses Element durch null zu ersetzen. Dies erreicht man, indem man die erste Gleichung (erste Matrixreihe) mit A21 /A11 multipliziert und sie dann von der zweiten Gleichung (zweite Matrixreihe) subtrahiert. In diesem Prozess werden alle Elemente in der zweiten Reihe der Matrix sowie das zweite Element des Vektors auf der rechten Seite der Gleichung angepasst. Die anderen Elemente der ersten Spalte der Matrix, A31 , A41 , . . . , An1 , werden ahnlich behandelt; um beispielsweise Ai1 zu eliminieren, wird die erste Reihe ¨ der Matrix mit Ai1 /A11 multipliziert und von der i-ten Reihe subtrahiert. Durch systematisches Vorgehen entlang der ersten Spalte der Matrix werden alle Elemente unter A11 eliminiert. Wenn dieser Vorgang abgeschlossen ist, enth¨ alt keine der Gleichungen 2, 3, . . . , n mehr die Variable φ1 ; sie sind ein System von n − 1 Gleichungen f¨ ur die Variablen φ2 , φ3 , . . . , φn . Die gleiche

5.2 Direkte Methoden

107

Vorgehensweise wird dann auf das kleinere Gleichungssystem angewendet – alle Elemente unter A22 in der zweiten Spalte sind dann eliminiert. Diese Prozedur wird f¨ ur alle Spalten 1, 2, 3, . . . , n − 1 durchgef¨ uhrt. Nachdem dieser Prozess abgeschlossen ist, erh¨ alt man statt der Originalmatrix eine obere Dreiecksmatrix: ⎛ ⎞ A11 A12 A13 . . . A1n ⎜ 0 A22 A23 . . . A2n ⎟ ⎜ ⎟ U =⎜ . (5.3) .. .. . . .. ⎟ . ⎝ .. . . ⎠ . . 0 0 0 . . . Ann Alle Elemente in der Matrix U – außer denen in der ersten Reihe – sind von denen in der Originalmatrix A verschieden. Da die Elemente der Originalmatrix nie wieder ben¨ otigt werden, ist es effizient, die modifizierten Elemente statt der originalen zu speichern. (In seltenen Fällen, wenn die Originalmatrix gespeichert werden muss, kann man eine Kopie erstellen, bevor der Eliminierungsprozess begonnen wird.) Dieser Teil des eben beschriebenen Algorithmus wird Vorwärtselimination genannt. Die Elemente auf der rechten Seite der Gleichung, Qi , werden in diesem Prozess ebenfalls modifiziert. Das Gleichungssystem mit einer oberen Dreiecksmatrix, die sich aus einer Vorw¨ artselimination ergibt, ist leicht zu l¨ osen. Die letzte Gleichung enthält nur eine Variable, φn , und kann direkt nach ihr gelöst werden: φn =

Qn . Ann

(5.4)

Die vorletzte Gleichung enth¨ alt nur φn−1 und φn , und wenn erst einmal φn bekannt ist, kann sie f¨ ur φn−1 gel¨ ost werden. Fährt man auf diese Weise fort, wird jede Gleichung der Reihe nach gel¨ ost; die i-te Gleichung ergibt φi : Qi − φi =

n k=i+1

Aii

Aik φk .

(5.5)

Die rechte Seite ist berechenbar, weil alle φk , die in der Summe auftreten, bereits berechnet wurden. Auf diese Weise k¨ onnen alle Variablen berechnet werden. Dieser Teil der Gauß-Elimination, der mit der oberen Dreiecksmatrix beginnt und die Unbekannten berechnet, wird R¨ ucksubstitution genannt. Es ist nicht schwierig zu zeigen, dass f¨ ur große n die Anzahl der benötigten Operationen, um ein lineares System von n Gleichungen mit der GaußElimination zu l¨ osen, proportional zu n3 ist. Der Hauptteil dieses Aufwands liegt in der Phase der Vorw¨ artselimination. Die R¨ ucksubstitution verlangt nur n2 Rechenoperationen und ist damit viel billiger als die Vorwärtselimination. Die Gauß-Elimination ist somit teuer, aber f¨ ur volle Matrizen ist sie eine der besten zur Verf¨ ugung stehenden Methoden.

108


Die hohen Kosten der Gauß-Elimination liefern den Ansporn f¨ ur die Suche nach effizienteren, speziellen L¨ osern f¨ ur d¨ unn besetzte Matrizen, die sich aus der Diskretisierung der Differentialgleichungen ergeben. F¨ ur große Systeme, die nicht d¨ unn besetzt sind, ist die Gauß-Elimination f¨ ur Fehlerakkumulation anf¨ allig (siehe Golub und van Loan, 1990), was sie unzuverl¨ assig macht, wenn sie nicht modifiziert wird. Die Einf¨ uhrung von Pivotisierung – Vertauschen von Reihen, um die Pivotelemente (die diagonalen Elemente, die in den Nennern auftauchen) so groß wie möglich zu machen – h¨ alt das Fehlerwachstum in Grenzen. Zum Gl¨ uck ist Fehlerakkumulation bei d¨ unn besetzten Matrizen selten ein Problem, weshalb dieser Aspekt hier nicht wichtig ist. Die Gauß-Elimination l¨ asst sich nicht gut vektorisieren oder parallelisieren und wird selten ohne Modifizierung in Programmen zur Strömungsberechnung angewendet. F¨ ur kleine lokalen Gleichungssysteme (wie z. B. bei der Berechnung des Gradienten in einem Kontrollvolumen nach der Methode der niedrigsten Quadrate, siehe Kapitel 8) ist sie jedoch sehr gut geeignet und wird auch oft eingesetzt. 5.2.2 LU-Zerlegung Einige Variationen der Gauß-Elimination wurden vorgeschlagen. Die meisten sind hier nicht von Interesse. Eine f¨ ur die CFD wertvolle Variante ist die LU-Zerlegung. Sie wird ohne Ableitung pr¨ asentiert. Es wurde gezeigt, dass bei der Gauß-Methode die Vorwärtselimination eine volle Matrix auf eine obere Dreiecksmatrix reduziert. Dieser Prozess kann auf formalere Art durch Multiplikation der Originalmatrix A mit einer unteren Dreiecksmatrix durchgef¨ uhrt werden. Dies allein ist nicht sehr interessant, doch da das Invertieren einer unteren Dreiecksmatrix ebenfalls eine untere Dreiecksmatrix ergibt, zeigt dies, dass jede Matrix A – unter gewissen Einschr¨ ankungen, die hier ignoriert werden können – in das Produkt einer unteren (L) und einer oberen (U ) Dreiecksmatrix faktorisiert werden kann: A = LU .

(5.6)

Um diese Faktorisierung eindeutig zu machen, wird verlangt, dass die Diagonalelemente von L, Lii alle gleich eins sind; alternativ könnte man verlangen, dass die Diagonalelemente von U gleich eins sind. Ihre einfache Konstruktion macht diese Faktorisierung n¨ utzlich. Die obere Dreiecksmatrix U ist genau die, die in der Vorwärtsphase der GaußElimination entsteht. Außerdem sind die Elemente von L die Multiplikationsfaktoren (z. B. Aji /Aii ), die im Eliminationsprozess verwendet werden. Dies erlaubt, die Faktorisierung durch eine geringe Modifizierung der GaußElimination zu konstruieren. Weiterhin k¨ onnen die Elemente von L und U dort gespeichert werden, wo die Elemente von A waren. Die Existenz dieser Faktorisierung erlaubt die Lösung des Gleichungssystems (5.1) in zwei Stufen. Mit der Definition:

5.2 Direkte Methoden

Uφ = Y ,

109

(5.7)

wird das Gleichungssystem (5.1) zu: LY = Q .

(5.8)

Das letztere Gleichungssystem kann durch eine Variante der Methode gelöst werden, die in der R¨ uckw¨ artssubstitutionsphase der Gauß-Elimination verwendet wird, indem man am oberen statt am unteren Ende des Systems anf¨ angt. Nachdem Gl. (5.8) f¨ ur Y gel¨ ost wurde, kann Gl. (5.7) – die identisch mit dem Dreieckssystem ist, das in der R¨ ucksubstitutionsphase der GaußElimination gel¨ ost wird – nach φ gel¨ ost werden. Der Vorteil der LU-Faktorisierung gegen¨ uber der Gauß-Elimination liegt darin, dass die Faktorisierung durchgef¨ uhrt werden kann, ohne den Vektor Q zu kennen. Wenn viele Systeme mit derselben Matrix gelöst werden m¨ ussen, k¨ onnen beachtliche Einsparungen erreicht werden, indem die Faktorisierung als Erstes durchgef¨ uhrt wird; anschließend k¨ onnen die Systeme nach Bedarf gel¨ ost werden. Wie weiter unten gezeigt wird, stellen Varianten der LUFaktorisierung die Grundlage f¨ ur einige der besseren iterativen Methoden zur L¨ osung linearer Gleichungssysteme dar; dies ist der wichtigste Grund, weshalb diese Methode hier eingef¨ uhrt wurde. 5.2.3 Tridiagonale Systeme Wenn gew¨ ohnliche Differentialgleichungen (bei eindimensionalen Problemen) durch finite Differenzen diskretisiert werden (z. B. mit Zentraldifferenzen), dann haben die sich ergebenden algebraischen Gleichungen eine besonders einfache Form. Jede Gleichung enth¨ alt nur die Variablen aus dem eigenen Knoten und seinem direkten linken und rechten Nachbarknoten: AiW φi−1 + AiP φi + AiE φi+1 = Qi .

(5.9)

Die entsprechende Matrix A hat von null unterschiedliche Elemente nur auf ihrer Hauptdiagonalen (repr¨ asentiert durch AP ) und den Diagonalen direkt dar¨ uber und darunter (repr¨ asentiert durch AE beziehungsweise AW ). Solch eine Matrix wird tridiagonal genannt; Systeme mit tridiagonalen Matrizen sind ganz einfach zu l¨ osen. Die Matrixelemente werden am besten in drei n × 1 Feldern gespeichert. Die Gauß-Elimination ist f¨ ur tridiagonale Systeme besonders einfach: Es muss nur ein Element von jeder Reihe w¨ ahrend des Vorwärtseliminationsprozesses eliminiert werden. Wenn der Algorithmus die i-te Reihe erreicht hat, muss nur noch AiP modifiziert werden; der neue Wert ergibt sich als: AiP = AiP −

AiW Ai−1 E , Ai−1 P

(5.10)

110


wobei diese Gleichung im Sinne des Programmierers verstanden werden muss: die rechte Seite wird ausgewertet und das Ergebnis wird anstelle des urspr¨ unglichen AiP gespeichert. Der Quellterm Qi muss ebenfalls modifiziert werden: Q∗i = Qi −

AiW Q∗i−1 Ai−1 P

.

(5.11)

Der R¨ uckw¨ artssubstitutionsteil dieser Methode ist ebenfalls einfach. Die i-te Variable wird berechnet aus: φi =

Q∗i − AiE φi+1 . AiP

(5.12)

Diese Methode zur L¨ osung der tridiagonalen Matrixsysteme wird manchmal Thomas-Algorithmus oder “Tridiagonaler Matrix-Algorithmus” (TDMA) genannt. Er ist einfach zu programmieren (ein FORTRAN-Programm benötigt lediglich 8 ausf¨ uhrbare Zeilen) und – was noch wichtiger ist – die Anzahl der Rechenoperationen ist proportional zu n, der Anzahl der Unbekannten, im Gegensatz zu n3 bei der Gauß-Elimination f¨ ur eine Vollmatrix. Mit anderen Worten: Die Rechenkosten pro Unbekannte sind unabhängig von der Anzahl der Unbekannten – eine bessere Skalierung kann man sich kaum w¨ unschen (und sie ist normalerweise nicht zu u ¨bertreffen). Die niedrigen Rechenkosten suggerieren, dass diese Methode immer angewendet werden sollte, wenn dies m¨ oglich ist. Viele Lösungsalgorithmen nutzen die niedrigen Rechenkosten dieser Methode, indem sie das gegebene Problem auf ein neues, das tridiagonale Matrizen beinhaltet, reduzieren. 5.2.4 Zyklische Reduktion Es gibt sogar speziellere F¨ alle, die eine noch größere Reduktion des Rechenaufwands als im Falle des TDMA erlauben. Ein interessantes Beispiel stellen Gleichungssysteme dar, bei denen die Matrix nicht nur tridiagonal ist, sondern alle Elemente auf einer Diagonalen auch identisch sind. Die Methode der zyklischen Reduktion kann verwendet werden, um ein solches System zu lösen, wobei sich der Rechenaufwand pro Variable mit größer werdendem System eigentlich reduziert. Im Folgenden wird gezeigt, wie das möglich ist. Wenn man davon ausgeht, dass im System (5.9) die Koeffizienten AiW , AiP und AiE vom Index i unabh¨ angig sind, kann man den Index weglassen. Dann kann man f¨ ur gerade Werte von i die Reihe i − 1 mit AW /AP multiplizieren und sie von der Reihe i subtrahieren. Anschließend multipliziert man die Reihe i + 1 mit AE /AP und subtrahiert sie von der Reihe i. Dies eliminiert die Elemente unmittelbar links und rechts von der Hauptdiagonalen in den geradzahligen Reihen, jedoch ersetzt das Null-Element zwei Reihen links von der Hauptdiagonalen durch −A2W /AP sowie das Null-Element zwei Reihen

5.3 Iterative Methoden

111

rechts von der Hauptdiagonalen durch −A2E /AP ; das Element auf der Hauptdiagonalen wird zu AP −2AW AE /AP . Da die Elemente in jeder geradzahligen Reihe dieselben sind, muss die Berechnung der neuen Elemente nur einmal durchgef¨ uhrt werden; daher kommt die Einsparung. Nach Abschluss dieser Operationen enthalten die geradzahligen Gleichungen nur die Variablen mit geradzahligem Index und bilden einen Satz aus n/2 Gleichungen f¨ ur diese Variablen. Betrachtet man diese Gleichungen als ein separates System, so sind sie tridiagonal, und die Elemente auf jeder Diagonalen der reduzierten Matrix sind wieder gleich. Mit anderen Worten: Das reduzierte Gleichungssystem hat dieselbe Form wie das urspr¨ ungliche, ist jedoch nur halb so groß. Es kann auf die gleiche Weise weiter reduziert werden. Ist die urspr¨ ungliche Anzahl der Gleichungen durch zwei (oder eine andere passende Zahl) teilbar, so kann die Methode fortgesetzt werden, bis nur noch eine Gleichung u ¨brig bleibt; diese kann dann direkt gelöst werden. Die restlichen Variablen k¨ onnen anschließend durch eine Variante der R¨ uckwärtssubstitution gefunden werden. Man kann zeigen, dass der Rechenaufwand f¨ ur diese Methode proportional zu log2 n ist, so dass der Aufwand pro Variable mit steigender Anzahl der Variablen geringer wird. Obwohl die Methode ziemlich spezialisiert erscheinen mag, gibt es CFD-Anwendungen, in denen sie eine Rolle spielt. Dies sind Str¨ omungen in sehr regul¨ aren Geometrien wie in Quadern, die beispielsweise in direkten oder Large-Eddy-Simulationen der Turbulenz sowie in einigen meteorologischen Anwendungen verwendet werden. Bei diesen Anwendungen bieten die zyklische Reduktion und verwandte Methoden die Grundlage f¨ ur Methoden zur direkten – d. h. nichtiterativen – L¨ osung elliptischer Gleichungen, wie der Laplace- oder der Poisson-Gleichung. Da die L¨ osungen außerdem exakt sind (im Sinne, dass sie keine Iterationsfehler beinhalten), ist diese Methode von unschätzbarem Wert, wann immer sie eingesetzt werden kann. Die zyklische Reduktion ist eng mit der schnellen Fourier-Transformation verwandt, die ebenfalls verwendet wird, um elliptische Gleichungen bei einfachen Geometrien zu l¨ osen. Die Fourier-Methoden können außerdem zur Berechnung der Ableitungen verwendet werden, wie in Abschnitt 3.10 gezeigt wurde.

5.3 Iterative Methoden 5.3.1 Grundkonzept Jedes Gleichungssystem kann mit der Gauß-Elimination oder der LU-Zerlegung gel¨ ost werden. Leider sind jedoch die aus der Zerlegung von d¨ unn besetzten Matrizen entstehenden Dreiecksmatrizen nicht d¨ unn besetzt, so dass die Rechenkosten bei diesen Methoden ziemlich hoch sind. Außerdem sind die Diskretisierungsfehler normalerweise viel größer als die Genauigkeit der

112


Rechenarithmetik, so dass es keinen Grund gibt, das Gleichungssystem sehr genau zu l¨ osen. Eine L¨ osung mit etwas h¨ oherer Genauigkeit als die der Diskretisierung reicht aus. Dies er¨ offnet eine M¨ oglichkeit f¨ ur die Anwendung iterativer Methoden. Sie werden notwendigerweise f¨ ur nichtlineare Probleme verwendet (da es anders nicht geht), aber sie sind ebenso wertvoll f¨ ur d¨ unn besetzte lineare Systeme. Bei einer iterativen Methode startet man mit einer abgeschätzten Lösung und nutzt die Gleichung, um die L¨ osung systematisch zu verbessern. Ist jede Iteration billig und deren Anzahl gering, kann man eine ausreichend genaue L¨ osung mit einem geringeren Aufwand erhalten, als bei der Verwendung einer direkten L¨ osungsmethode. Bei CFD-Problemen ist dies normalerweise der Fall. Es wird das durch Gl. (5.1) gegebene Matrixproblem betrachtet, das sich aus einer FD- oder FV-Approximation eines Strömungsproblems ergibt. Nach n Iterationen hat man eine N¨ aherungsl¨ osung φn , die diese Gleichungen nicht exakt erf¨ ullt. Stattdessen gibt es einen Rest ρn , der ungleich null ist: Aφn = Q − ρn .

(5.13)

Subtrahiert man diese Gleichung von Gl. (5.1), erhält man eine Beziehung zwischen dem Iterationsfehler, der wie folgt definiert ist n = φ − φn ,

(5.14)

und dem Residuum: An = ρn .

(5.15)

Hier stellt φ die exakte L¨ osung des Gleichungssystems dar. Der Sinn des Iterationsprozesses ist, das Residuum gegen null zu treiben; in diesem Prozess wird ebenfalls gleich null werden. Um dies zu demonstrieren, wird ein iteratives Verfahren f¨ ur ein lineares Gleichungssystem betrachtet, das folgendermaßen geschrieben werden kann: M φn+1 = N φn + B .

(5.16)

Eine offensichtliche Eigenschaft, die von einer iterativen Methode verlangt wird, ist, dass das konvergierte Ergebnis die Gl. (5.1) erf¨ ullt. Da per Definition bei Konvergenz φn+1 = φn = φ, muss die folgende Beziehung ebenfalls gelten: A=M −N

und B = Q

(5.17)

oder in einer allgemeineren Form: PA = M − N

und B = P Q ,

(5.18)

wo P eine nichtsingulare Vorkonditionierungsmatrix ist. Man kann eine alternative Version dieser iterativen Methode erhalten, indem man M φn von jeder Seite der Gl. (5.16) subtrahiert. Man erhält dann: M (φn+1 − φn ) = B − (M − N )φn

oder

M δ n = ρn ,

(5.19)


113

wo δ n = φn+1 − φn als Korrektur oder Update bezeichnet wird und eine Approximation des Iterationsfehlers darstellt. Damit eine iterative Methode effektiv ist, muss die Lösung des Gleichungssystems (5.16) “billig” sein und die Methode muss schnell konvergieren. Eine kosteng¨ unstige Iteration setzt voraus, dass sowohl die Berechnung von N φn als auch die L¨ osung des Gleichungssystems wenige Rechenoperationen erfordern. Die erste Bedingung ist leicht erf¨ ullt: Da A d¨ unn besetzt ist, ist N ebenfalls d¨ unn besetzt und die Berechnung von N φn ist einfach. Die zweite Bedingung bedeutet, dass die Iterationsmatrix M leicht invertierbar sein muss; aus praktischer Sicht sollte M diagonal, tridiagonal, dreieckig oder vielleicht block-tridiagonal oder -dreieckig sein. F¨ ur schnelle Konvergenz sollte M eine gute Approximation von A sein, was bedeutet, dass N φ in gewisser Weise klein sein muss. Dies wird noch eingehender in den folgenden Abschnitten erl¨ autert. 5.3.2 Konvergenz Wie bereits erw¨ ahnt, ist eine schnelle Konvergenz einer iterativen Methode der Schl¨ ussel zu ihrer Effektivit¨ at. Hier wird eine einfache Analyse dar¨ uber, was die Konvergenzrate bestimmt und wie sie verbessert werden kann, kurz erl¨ autert. Als Erstes wird eine Gleichung hergeleitet, die das Verhalten des Iterationsfehlers bestimmt. Doch zuvor wird daran erinnert, dass bei Konvergenz gilt φn+1 = φn = φ, so dass die konvergierte Lösung die folgende Gleichung erf¨ ullt: Mφ = Nφ + B .

(5.20)

Wird diese Gleichung von Gl. (5.16) subtrahiert und die Definition (5.14) des Iterationsfehlers verwendet, dann erh¨ alt man: M n+1 = N n

(5.21)

n+1 = M −1 N n .

(5.22)

oder Die iterative Methode konvergiert, wenn lim n = 0. Eine kritische Rolle n→∞

spielen die Eigenwerte λk und die Eigenvektoren ψ k der Iterationsmatrix M −1 N , die wie folgt definiert sind: M −1 N ψk = λk ψ k ,

k = 1, . . . , K ,

(5.23)

wo K die Anzahl der Gleichungen (Gitterpunkte) ist. Man geht davon aus, dass die Eigenvektoren einen kompletten Satz bilden, d. h. eine Basis f¨ ur Rn , den Vektorraum aller n-Komponenten-Vektoren. Wenn dem so ist, kann der Anfangsfehler wie folgt durch Eigenwerte und Eigenvektoren ausgedr¨ uckt werden:

114


0 =

K

ak ψ k ,

(5.24)

k=1

wo ak eine Konstante ist. Die iterative Prozedur (5.22) ergibt dann: 1 = M −1 N 0 = M −1 N

K k=1

ak ψ k =

K

ak λk ψ k

(5.25)

k=1

und durch Induktion kann man leicht zeigen, dass n =

K

ak (λk )n ψ k .

(5.26)

k=1

Es ist klar, dass die notwendige und ausreichende Bedingung daf¨ ur, dass n f¨ ur großes n gegen null strebt, ist, dass alle Eigenwerte betragsmäßig kleiner als eins sein m¨ ussen. Dies muss insbesondere f¨ ur den größten Eigenwert gelten, dessen Betrag als Spektralradius der Matrix M −1 N bezeichnet wird. In der Tat werden nach einigen Iterationen die Terme in Gl. (5.26), die Eigenwerte mit einem kleinen Betrag enthalten, sehr klein, und nur der Term mit dem gr¨ oßten Eigenwert (der als eindeutig angenommen und als λ1 bezeichnet wird) u ¨ brig bleibt: n ∼ a1 (λ1 )n ψ 1 .

(5.27)

Die Iterationen werden normalerweise fortgesetzt, bis der Iterationsfehler unter eine Toleranz δ f¨ allt, d. h. wenn gilt: a1 (λ1 )n ≈ δ .

(5.28)

Nimmt man den Logarithmus beider Seiten dieser Gleichung, so findet man einen Ausdruck f¨ ur die erforderliche Anzahl der Iterationen: δ ln a1 . (5.29) n≈ ln λ1 Man sieht, dass der Iterationsprozess sehr langsam konvergiert, wenn der Spektralradius sehr nahe eins liegt. Als ein einfaches (trivial w¨ are die bessere Bezeichnung) Beispiel wird der Fall einer einzelnen Gleichung (wof¨ ur man nicht einmal im Traum eine iterative Methode einsetzen w¨ urde) betrachtet. Es soll die folgende Gleichung gel¨ ost werden: ax = b

(5.30)

und daf¨ ur soll eine iterative Methode verwendet werden (man beachte, dass m = a + n ist und p den Iterationsz¨ ahler bezeichnet):


mxp+1 = nxp + b .

115

(5.31)

Subtrahiert man diese Gleichung von Gl. (5.30), stellt man fest, dass der ¨ Fehler das skalare Aquivalent von Gl. (5.22) erf¨ ullt: p+1 =

n p . m

(5.32)

Man sieht, dass der Fehler schnell reduziert wird, wenn n/m klein ist, d. h. falls n klein ist; dies bedeutet, dass m ≈ a gelten soll. Bei der Aufstellung von iterativen Methoden f¨ ur Gleichungssysteme stellt man ein analoges Ergebnis fest: je besser die Iterationsmatrix M die eigentliche Matrix A approximiert, umso schneller konvergiert das iterative Verfahren. Bei einer iterativen L¨ osungsmethode ist es wichtig, den Iterationsfehler absch¨ atzen zu k¨ onnen, um zu entscheiden, wann das Iterieren angehalten werden soll. Die Berechnung der Eigenwerte der Iterationsmatrix ist schwierig (h¨ aufig ist sie nicht explizit bekannt), weshalb Approximationen verwendet werden m¨ ussen. Sp¨ ater in diesem Kapitel werden einige Methoden zur Absch¨ atzung der Iterationsfehler und Kriterien f¨ ur den Abbruch von Iterationen beschrieben werden. 5.3.3 Einige grundlegende Methoden In der einfachsten Methode, der Jacobi-Methode, ist M eine diagonale Matrix, die aus den Elementen der Hauptdiagonalen von A besteht. Wenn in einem 2D-L¨ osungsgebiet jede Iteration an der unteren linken (s¨ udwestlichen) Ecke beginnt und man die in Kapitel 3 eingef¨ uhrte geographische Notation verwendet, so lautet die Methode f¨ ur die F¨ unf-Punkte-Diskretisierung der Laplace-Gleichung: φn+1 = P

QP − AS φnS − AW φnW − AN φnN − AE φnE . AP

(5.33)

Es kann gezeigt werden, dass zur Konvergenz dieser Methode eine Anzahl von Iterationen ben¨ otigt wird, die proportional zum Quadrat der Anzahl der Gitterpunkte in eine Richtung ist. Dies bedeutet, dass sie rechenaufwändiger ist, als eine direkte L¨ osungsmethode, so dass es keinen Grund gibt, sie anzuwenden. In der Gauß-Seidel-Methode ist M der untere Dreiecksteil von A. Da ¨ dies ein Spezialfall der sukzessiven Uberrelaxationsmethode (bekannt unter der Abk¨ urzung SOR) ist, die im Folgenden vorgestellt wird, werden hier die Gleichungen nicht noch einmal im Einzelnen aufgeschrieben. Sie konvergiert doppelt so schnell wie die Jacobi-Methode, aber diese Verbesserung ist unzureichend, um die Methode n¨ utzlich zu machen. Eine Beschreibung und Analyse der Jacobi- und der Gauß-Seidel-Methode findet man in Einf¨ uhrungstexten zu numerischen Methoden, wie z. B. bei Ferziger (1998) oder Press et al. (1987).

116


Eine der besseren Methoden ist eine beschleunigte Version der GaußSeidel-Methode, die oben erw¨ ahnte SOR-Methode. Wird jede Iteration an der unteren linken (s¨ udwestlichen) Ecke des Lösungsgebietes begonnen und wieder die geographische Notation verwendet, kann die SOR-Methode folgendermaßen dargestellt werden: φn+1 =ω P

n n − AW φn+1 QP − AS φn+1 S W − AN φN − AE φE +(1−ω)φnP ,(5.34) AP

¨ wobei ω der Uberrelaxationsparameter ist, der f¨ ur die Beschleunigung größer als eins sein muss, und n ist der Iterationsz¨ ahler. Es gibt eine Theorie zur rich¨ tigen Wahl des besten Uberrelaxationsparameters f¨ ur einfache Probleme, wie die Laplace-Gleichung in einem rechteckigen Lösungsgebiet, aber die Anwendung dieser Theorie auf komplexere Probleme ist schwierig. Gl¨ ucklicherweise verh¨ alt sich die Methode meistens ¨ ahnlich wie bei den einfachen Problemen. ¨ Allgemein gilt: je gr¨ oßer das Gitter ist, desto größer ist der optimale Uberrelaxationsparameter. F¨ ur Werte von ω, die unter dem Optimum liegen, ist die Konvergenz monoton, und die Konvergenzrate verbessert sich mit steigendem ω. Ist das optimale ω u ¨ berschritten, wird die Konvergenz oszillatorisch und die Konvergenzrate verschlechtert sich. Dieses Wissen kann bei der Su¨ che nach dem optimalen Uberrelaxationsparameter n¨ utzlich sein. Wenn der ¨ optimale Uberrelaxationsparameter verwendet wird, ist die Anzahl der Iterationen proportional zur Anzahl der Gitterpunkte in eine Richtung, was eine wesentliche Verbesserung gegen¨ uber den oben erwähnten Methoden darstellt. F¨ ur ω = 1 reduziert sich die SOR-Methode auf die Gauß-Seidel-Methode. 5.3.4 Unvollst¨ andige LU-Zerlegung: die Methode von Stone Zwei Beobachtungen k¨ onnen festgehalten werden: • Die LU-Zerlegung ist ein hervorragender Löser f¨ ur ein allgemeines lineares Gleichungssystem, aber sie kann die d¨ unne Besetzung der Koeffizientenmatrix nicht vorteilhaft ausnutzen. • Wenn M eine gute Approximation zu A ist, ergibt sich eine schnelle Konvergenz der iterativen L¨ osungsmethode. Diese Beobachtungen f¨ uhrten zur Idee, eine unvollständige LU-Faktorisierung von A als Iterationsmatrix M zu verwenden, d. h.: M = LU = A + N ,

(5.35)

wo L und U beide d¨ unn besetzt sind und N klein ist. Eine Variante dieser Methode f¨ ur symmetrische Matrizen ist als unvollständige Cholesky-Faktorisierung bekannt; sie wird häufig in Verbindung mit der Methode der konjugierten Gradienten angewendet. Da Matrizen, die bei den Transportgleichungen (wie den Navier-Stokes-Gleichungen) auftreten, nicht symmetrisch sind, ist diese Methode auf sie nicht anwendbar. Eine


117

unsymmetrische Version dieser Methode, die unvollständige LU-Zerlegung (bezeichnet als ILU, von incomplete lower-upper), kann angewendet werden, aber sie hat keine weite Verbreitung gefunden. Bei der ILU-Methode geht man wie bei der LU-Zerlegung vor, jedoch wird f¨ ur jedes Element der Originalmatrix A, das gleich null ist, das entsprechende Element von L und U gleich null gesetzt. Diese Faktorisierung ist nicht exakt, aber das Produkt aus L und U kann als Matrix M in einer Iterationsmethode verwendet werden. Diese Methode konvergiert jedoch relativ langsam, weswegen sie selten verwendet wird.

LW

LS LP

.

1 UN

UE

=

MW MNW MS MP MN MSE ME

Abbildung 5.1. Schematische Darstellung der Matrizen L und U und der Produktmatrix M ; Diagonalen in M , die in A nicht vorkommen, sind mit gestrichelten Linien dargestellt.

Eine weitere LU-Zerlegungsmethode, die in der CFD viel verwendet wird, ist von Stone (1968) vorgestellt worden. Diese Methode, auch SIP-Methode genannt (von strongly-implicit procedure), wurde speziell f¨ ur algebraische Gleichungen entwickelt, die aus Diskretisierung von partiellen Differentialgleichungen entstehen; sie ist nicht auf allgemeine Gleichungssysteme anwendbar. Die SIP-Methode wird f¨ ur 5-Punkte-Rechensterne, d. h. f¨ ur eine in Abb. 3.5 abgebildete Matrixstruktur, beschrieben. Das gleiche Prinzip kann zur Konstruktion von L¨ osern f¨ ur 7-Punkte- (f¨ ur 3D-Probleme) und 9-PunkteRechensterne (f¨ ur 2D-Probleme und nicht-orthogonale Gitter) verwendet werden. Wie in der ILU enthalten L- und U -Matrizen Elemente, die ungleich null sind, nur auf den Diagonalen, auf denen die Matrix A Elemente ungleich null hat. Das Produkt aus unterer und oberer Dreiecksmatrix mit dieser Struktur hat mehr Diagonalen mit Elementen ungleich null als Matrix A. F¨ ur den bei 2D-Problemen u ¨ blichen 5-Punkte-Rechenstern gibt es zwei Diagonalen mehr (entsprechend den Knoten NW und SE bzw. NE und SW, abhängig von der Anordnung der Knoten im Vektor); beim 7-Punkte-Rechenstern in 3D gibt es sechs zus¨ atzliche Diagonalen. F¨ ur die in diesem Buch verwendete Reihenfolge der Rechenpunkte in 2D-Gittern entsprechen die zwei zusätzlichen

118


Diagonalen den Punkten NW und SE (siehe Tabelle 3.2 f¨ ur die Zuordnung der Gitterindizes (i, j) zum eindimensionalen Speicherstellenindex l). Um diese Matrizen eindeutig zu machen, wird jedes Element auf der Hauptdiagonalen von U gleich eins gesetzt. Somit m¨ ussen f¨ unf Elementesätze (drei in L, zwei in U ) bestimmt werden. F¨ ur Matrizen mit der in Abb. 5.1 gezeigten Form ergeben die Regeln der Matrixmultiplikation folgende Ausdr¨ ucke f¨ ur die Elemente der Produktmatrix M = LU : l MW = LlW l−Nj

l MNW = LlW UN

MSl = LlS l−Nj

MPl = LlW UE

+ LlS UNl−1 + LlP

(5.36)

MNl = UNl LlP l MSE = LlS UEl−1

MEl = UEl LlP L und U sollten so gew¨ ahlt werden, dass M die bestmögliche Approximation zu A ist. In der Matrix N = M −A m¨ ussen zumindest die zwei Diagonalen von M enthalten sein, die in Matrix A nicht vorkommen, siehe Gl. (5.36). Eine offensichtliche Wahl w¨ are, die Matrix N so zu bestimmen, dass sie Elemente ungleich null nur auf diesen beiden Diagonalen enthält, und dann verlangen, dass alle Elemente auf den u ¨ brigen Diagonalen von M mit den entsprechenden Elementen von A identisch sind. Dies ist m¨ oglich; eigentlich stellt diese Wahl die gew¨ ohnliche ILU-Methode dar, die im vorherigen Abschnitt beschrieben wurde. Leider konvergiert diese Methode nicht besonders schnell. Stone (1968) erkannte, dass die Konvergenz verbessert werden kann, wenn die Matrix N Elemente ungleich Null auf allen Diagonalen haben darf, auf denen Matrix M Elemente ungleich null hat. Die Herleitung dieser Methode ist am einfachsten, wenn man den Vektor M φ betrachtet: (M φ)P = MP φP + MS φS + MN φN + ME φE + MW φW + MNW φNW + MSE φSE .

(5.37)

Die zwei letzten Terme stammen von den zusätzlichen Diagonalen. Jeder Term auf der rechten Seite dieser Gleichung entspricht einer Diagonalen von M = LU . Die Matrix N muss diese zwei zus¨ atzlichen Diagonalen von M enthalten und man sollte die Elemente auf den anderen Diagonalen so wählen, dass N φ ≈ 0 gilt, oder mit anderen Worten: NP φP + NN φN + NS φS + NE φE + NW φW + MNW φNW + MSE φSE ≈ 0 .

(5.38)


119

Dies verlangt, dass der Beitrag der zus¨ atzlichen Terme in der obigen Gleichung durch den Beitrag der anderen Diagonalen nahezu aufgehoben wird. Das bedeutet, dass die Gl. (5.38) auf den folgenden Ausdruck reduziert werden sollte: MNW (φNW − φ∗NW ) + MSE (φSE − φ∗SE ) ≈ 0 ,

(5.39)

aherungen f¨ ur φNW und φSE sind. wo φ∗NW und φ∗SE N¨ Die Schl¨ usselidee von Stone war, dass die Lösung eine glatte Funktion der unabh¨ angigen Variablen sein sollte, da die algebraischen Gleichungen eine Approximation einer elliptischen partiellen Differentialgleichung darstellen. Da dies so ist, k¨ onnen φ∗NW und φ∗SE durch die Werte von φ in den Punkten des regul¨ aren Rechensterns gut approximiert werden. Stone schlug die folgende Approximation vor (weitere Approximationen sind möglich; siehe zum Beispiel Schneider und Zedan, 1981): φ∗NW ≈ α(φW + φN − φP ) φ∗SE ≈ α(φS + φE − φP )

(5.40)

F¨ ur α = 1 sind dies Interpolationen 2. Ordnung, aber Stone stellte fest, dass aus Stabilit¨ atsgr¨ unden α < 1 sein muss. Diese Approximationen basieren auf der Verbindung zu den partiellen Differentialgleichungen und machen deshalb f¨ ur allgemeine algebraische Gleichungen keinen Sinn. Setzt man diese Approximationen in Gl. (5.39) ein und setzt das Ergebnis der Gl. (5.38) gleich, so erh¨ alt man alle Elemente von N als lineare Kombinationen aus MNW und MSE . Die Elemente von M , Gl. (5.36), können nun der Summe aus den Elementen von A und N gleichgesetzt werden. Die resultierenden Gleichungen gen¨ ugen zur Bestimmung aller Elemente von L und U ; außerdem k¨ onnen sie sequentiell gel¨ ost werden, beginnend von der s¨ udwestlichen Ecke des Gitters: l−N LlW = AlW / 1 + αUN j LlS = AlS / 1 + αUEl−1 l−N l−N (5.41) LlP = AlP + α LlW UN j + LlS UEl−1 − LlW UE j − LlS UNl−1 l−N UNl = AlN − αLlW UN j /LlP UEl = AlE − αLlS UEl−1 /LlP Die Koeffizienten m¨ ussen in der angegebenen Reihenfolge berechnet werden. Die Elemente der Matrix f¨ ur die Knoten entlang den Rändern des L¨ osungsgebietes, die die Randwerte multiplizieren w¨ urden, verstehen sich als gleich null. Dementsprechend sind l¨ angs der westlichen Grenze (i = 2) die Elemente mit dem Index l − Nj gleich null; längs der s¨ udlichen Grenze (j = 2) sind die Elemente mit dem Index l − 1 gleich null; entlang dem Nordrand (j = Nj − 1) sind die Elemente mit dem Index l + 1 gleich null,

120


und schließlich sind entlang dem Ostrand (i = Ni − 1) die Elemente mit dem Index l + Nj gleich null. Im Folgenden wird die L¨ osung des Gleichungssystems mit Hilfe dieser unvollst¨ andigen Faktorisierung betrachtet. Die Gleichung, die die Korrektur der Variablen mit dem Residuum verbindet (siehe Gl. (5.19)), lautet: LU δ n+1 = ρn .

(5.42)

Die Gleichungen werden wie in der gew¨ ohnlichen LU-Zerlegungen gelöst. Die uhrt zu: Multiplikation der obigen Gleichung mit L−1 f¨ U δ n+1 = L−1 ρn = Rn .

(5.43)

n

Der Vektor R ist einfach zu berechnen: Rl = ρl − LlS Rl−1 − LlW Rl−N j /LlP .

(5.44)

Diese Gleichung wird in der Reihenfolge des wachsenden l gelöst. Nach Berechnung der Elemente von R muss die Gl. (5.43) gelöst werden, und zwar mit kleiner werdendem Index l: δ l = Rl − UNl δ l+1 − UEl δ l+Nj

(5.45)

In der SIP-Methode m¨ ussen die Elemente der Matrizen L und U nur einmal berechnet werden, und zwar vor der ersten Iteration. In den nachfolgenden Iterationen m¨ ussen nur das Residuum, dann R und schließlich δ durch die L¨ osung der beiden Dreiecksysteme berechnet werden. Die Methode von Stone konvergiert deutlich schneller als die gewöhnliche ILU-Methode. Die Konvergenzrate kann verbessert werden, indem der Parameter α von Iteration zu Iteration (und von Punkt zu Punkt) variiert wird. Diese Varianten konvergieren nach weniger Iterationen, aber sie verlangen jedes Mal eine Wiederholung der Faktorisierung, nachdem α geändert worden ist. Da die Berechnung der Elemente von L und U ebenso teuer wie eine Iteration f¨ ur gegebene L- und U - Matrizen ist, ist es normalerweise effizienter, α unver¨ andert zu lassen. Die Methode von Stone kann verallgemeinert werden, um einen effizienten L¨ oser f¨ ur Matrizen mit neun Diagonalen zu erhalten, die entstehen, wenn kompakte Differenzenapproximationen auf 2D-Probleme angewendet werden (insbesondere bei nichtorthogonalen Gittern), bzw. f¨ ur Matrizen mit sieben Diagonalen, die entstehen, wenn Zentraldifferenzen in 3D-Problemen verwendet werden. Eine vektorisierte 3D-Version (7-Punkte Rechenstern) ist bei Leister und Perić (1994) zu finden; zwei 9-Punkte-Versionen f¨ ur 2D-Probleme sind von Schneider und Zedan (1981) sowie von Perić (1987) beschrieben worden. Rechenprogramme f¨ ur 5-Diagonalen- und 7-Diagonalen-Matrizen stehen im Internet zur Verf¨ ugung; siehe Anhang f¨ ur weitere Details. Die Effizienz von SIP f¨ ur ein Modellproblem wird in Abschnitt 5.8 ausgef¨ uhrt werden. Im Gegensatz zu anderen Methoden ist die Methode von Stone sowohl eine gute Iterationstechnik an sich, als auch eine gute Grundlage f¨ ur Methoden der konjugierten Gradienten (wo sie als Vorkonditionierer fungiert) und f¨ ur


121

Mehrgittermethoden (wo sie als Gl¨ atter eingesetzt wird). Diese Methoden werden sp¨ ater in diesem Kapitel beschrieben. 5.3.5 ADI und andere Zerlegungsmethoden Eine u osung elliptischer Probleme ist das Hinzuf¨ ugen ¨bliche Methode zur L¨ zur Gleichung eines Terms, der die erste Zeitableitung beinhaltet, und die anschließende L¨ osung des sich ergebenden parabolischen Problems, bis der station¨ are Zustand erreicht ist. Zu diesem Zeitpunkt ist die Zeitableitung gleich null und die L¨ osung erf¨ ullt die elliptische Ausgangsgleichung. Viele iterative Methoden zur L¨ osung elliptischer Gleichungen, einschließlich der meisten schon beschriebenen, k¨ onnen auf diese Weise interpretiert werden. In diesem Abschnitt wird eine Methode vorgestellt, deren Verbindung zu parabolischen Gleichungen so eng ist, dass man sie vielleicht gar nicht entdeckt h¨ atte, h¨ atte man nur an elliptische Gleichungen gedacht. Aus Stabilit¨ atsgr¨ unden sollen implizite Methoden zur Lösung der parabolischen Gleichungen eingesetzt werden. In zwei oder drei Dimensionen erfordert dies die L¨ osung eines zwei- oder dreidimensionalen Problems zu jedem Zeitschritt; der Aufwand kann enorm sein, aber er kann wesentlich durch Anwendung einer impliziten Methode in abwechselnde Richtungen (im Englischen alternating direction implicit, abgek¨ urzt ADI) reduziert werden. Hier wird nur die einfachste dieser Methoden f¨ ur zwei Dimensionen und eine Variante aufgezeigt. ADI ist die Grundlage f¨ ur viele andere Methoden; mehr Details zu diesen Methoden sind bei Hageman und Young (1981) zu finden. Wenn z. B. die Laplace-Gleichung in zwei Dimensionen gelöst werden soll, kann man sie durch Hinzuf¨ ugen der Zeitableitung in eine Wärmeleitungsgleichung umwandeln: 2 ∂φ ∂ φ ∂2φ =Γ (5.46) + 2 . ∂t ∂x2 ∂y Wird diese Gleichung mit der Trapezregel in der Zeit diskretisiert (die sog. Crank-Nicolson-Methode, wenn sie auf partielle Differentialgleichungen angewendet wird; siehe das folgende Kapitel) und werden Zentraldifferenzen zur Approximation der r¨ aumlichen Ableitungen auf einem äquidistanten Gitter verwendet, so ergibt sich:

2 n 2 n+1 φn+1 − φn Γ δ φ δ φ δ 2 φn δ 2 φn+1 = + , (5.47) + + Δt 2 δx2 δy 2 δx2 δy 2 wobei die folgende Abk¨ urzungsnotation f¨ ur die finiten Differenzen im Raum verwendet wurde: 2 δ φ φi+1,j − 2φi,j + φi−1,j = , 2 δx i,j (Δx)2

122


δ2φ δy 2

= i,j

φi,j+1 − 2φi,j + φi,j−1 . (Δy)2

Durch Umformung der Gl. (5.47) findet man, dass zum Zeitschritt n+1 das folgende Gleichungssystem gel¨ ost werden muss: Γ Δt δ 2 Γ Δt δ 2 1− 1 − φn+1 = 2 δx2 2 δy 2 Γ Δt δ 2 Γ Δt δ 2 1 + φn − 1+ (5.48) 2 δx2 2 δy 2

(Γ Δt)2 δ 2 δ 2 (φn+1 − φn ) . 4 δx2 δy 2 Da φn+1 − φn ≈ Δt ∂φ/∂t, ist der letzte Term f¨ ur kleine Δt proportional zu (Δt)3 . Die Finite-Differenzen-Approximation ist von 2. Ordnung und f¨ ur kleine Δt ist der letzte Term im Vergleich zum Diskretisierungsfehler ebenfalls klein und kann vernachl¨ assigt werden. Die verbleibende Gleichung kann in zwei einfachere Gleichungen zerlegt werden: Γ Δt δ 2 Γ Δt δ 2 ∗ 1− φ φn , = 1 + (5.49) 2 δx2 2 δy 2 Γ Δt δ 2 Γ Δt δ 2 n+1 φ φ∗ . = 1+ 1− 2 δy 2 2 δx2

(5.50)

Jedes dieser Gleichungssysteme ist ein Satz tridiagonaler Gleichungen, der mit der effizienten TDMA-Methode gel¨ ost werden kann; dies erfordert keine Iteration und ist viel billiger als die L¨ osung von Gl. (5.47). Beide Gleichungen, (5.49) und (5.50), sind als Methoden allein f¨ ur sich in der Zeit nur 1. Ordnung genau und nur bedingt stabil, jedoch hat die kombinierte Methode einen Abbruchfehler 2. Ordnung und ist uneingeschränkt stabil! Die Methoden, die auf diesen Ideen basieren, sind als Spaltungsmethoden bzw. approximative Faktorisierungsmethoden bekannt; von diesen Methoden wurde eine große Vielfalt entwickelt. Die Vernachl¨ assigung des Terms 3. Ordnung, was f¨ ur die Faktorisierung das Wichtigste ist, ist nur f¨ ur kleine Zeitschritte gerechtfertigt. Deshalb kann die Methode, obwohl sie uneingeschr¨ ankt stabil ist, bei großen Zeitschritten in der Zeit ungenau sein. F¨ ur elliptische Gleichungen ist jedoch das Ziel, die station¨ are L¨ osung so schnell wie m¨ oglich zu erreichen; dazu sollte man am besten den gr¨ oßtm¨ oglichen Zeitschritt verwenden. Der Faktorisierungsfehler wird jedoch groß, wenn der Zeitschritt groß ist, und die Methode verliert somit einiges an Effektivit¨ at. In der Tat gibt es einen optimalen Zeitschritt, der zu schnellstm¨ oglicher Konvergenz zum station¨ aren Zustand hinf¨ uhrt. Wird dieser Zeitschritt verwendet, ist die ADI-Methode sehr effizient – sie konvergiert


123

in einer Anzahl an Iterationen, die proportional zur Zahl der Gitterpunkte in eine Richtung ist. Eine noch bessere Strategie verwendet verschiedene Zeitschritte f¨ ur einige Iterationen auf zyklische Weise. Diese Vorgehensweise kann die Anzahl der Iterationen bis zur Konvergenz proportional zur Quadratwurzel aus der Anzahl der Gitterpunkte in eine Richtung werden lassen, was ADI zu einer ausgezeichneten Methode macht. Gleichungen, die die Konvektions- und Quellterme enthalten, erfordern einige Anpassungen dieser Methode. In der CFD werden die Varianten der soeben beschriebenen Methode oft verwendet. Die ADI-Methoden sind besonders f¨ ur die L¨ osung kompressibler Str¨ omungsprobleme weit verbreitet. Sie sind auch gut ans Parallelrechnen angepasst. Die in diesem Abschnitt beschriebene Methode nutzt die Struktur der Matrix, die ihrerseits aus der Verwendung von strukturierten Gittern entsteht. Eine n¨ ahere Untersuchung zeigt jedoch, dass die Grundlage der Methode eine additive Zerlegung der Matrix ist: A=H +V ,

(5.51)

wobei H die Matrixterme repr¨ asentiert, die aus der Diskretisierung der zweiten Ableitung mit Bezug auf x entstehen, w¨ ahrend Matrix V die Terme beinhaltet, die aus der zweiten Ableitung in y-Richtung folgen. Es gibt keinen Grund, der die anderen möglichen additiven Zerlegungen ausschließen w¨ urde. Ein brauchbarer Vorschlag wäre, eine additive LUZerlegung in Erw¨ agung zu ziehen: A=L+U .

(5.52)

Diese unterscheidet sich von der multiplikativen LU-Zerlegung aus Abschnitt 5.2.2. Mit dieser Zerlegung werden die Gl. (5.49) und (5.50) ersetzt durch: (I − L Δt)φ∗ (I − U Δt)φn+1

= (I + U Δt)φn , = (I + L Δt)φ∗ .

(5.53)

Jeder dieser Schritte ist im Wesentlichen eine Gauß-Seidel-Iteration. Die Konvergenzrate dieser Methode ist ¨ ahnlich der der oben gegebenen Methode. Sie hat den sehr wichtigen Vorteil, dass sie nicht von der Gitter- oder der Matrixstruktur abh¨ angig ist, und somit auf Probleme mit sowohl unstrukturierten als auch strukturierten Gittern angewendet werden kann. Diese Variante ist jedoch etwas schwieriger zu parallelisieren als die auf Gl. (5.51) basierende Version. 5.3.6 Methoden der konjugierten Gradienten In diesem Abschnitt wird eine Gruppe von Methoden vorgestellt, die auf den Techniken zur L¨ osung nichtlinearer Gleichungen beruht. Nichtlineare

124


L¨ oser k¨ onnen in zwei Kategorien unterteilt werden: Newton-ähnliche Methoden und globale Methoden. Die ersteren konvergieren sehr schnell, wenn eine gute Absch¨ atzung der Startl¨ osung vorhanden ist, jedoch können sie katastrophal versagen, wenn die anf¨ angliche Schätzung weit von der genauen L¨ osung entfernt ist. “Weit” ist ein relativer Begriff, abhängig von der betrachteten Gleichung und den Randbedingungen. Man kann nicht feststellen, ob eine Absch¨ atzung “nahe genug” ist, außer durch Probieren. Globale Methoden finden garantiert die L¨ osung (sofern es eine gibt), jedoch sind sie nicht sehr schnell. H¨ aufig werden Kombinationen aus beiden Methodentypen verwendet; globale Methoden werden zu Beginn verwendet und mit nahender Konvergenz von Newton-¨ ahnlichen Methoden ersetzt. Viele globale Methoden basieren auf der Suche nach einem Minimum. Diese Methoden starten mit dem Konvertieren des originalen Gleichungssystems in ein Minimierungsproblem. Man nehme an, dass das zu lösende Gleichungssystem mit Gl. (5.1) gegeben ist und dass die Matrix A symmetrisch ist und ihre Eigenwerte positiv sind; solch eine Matrix wird positiv definit genannt. (Die meisten Matrizen, die mit Problemen aus der Strömungsmechanik in Zusammenhang stehen, sind nicht symmetrisch oder positiv definit, weshalb diese Methode sp¨ ater noch verallgemeinert werden wird.) F¨ ur positiv definite Matrizen ist das L¨ osen des Gleichungssystems (5.1) äquivalent der Suche nach dem Minimum von n

F =

n

n

1 T 1 φ Aφ − φT Q = Aij φi φj − φi Qi 2 2 j=1 i=1 i=1

(5.54)

uft werden, indem man F bez¨ uglich in Bezug auf alle φi ; dies kann u ¨ berpr¨ jeder Variablen ableitet und die Ableitung gleich null setzt. Ein Weg, das Originalgleichungssystem in ein Minimierungsproblem umzuwandeln, der keine positiv-definite Matrix verlangt, ist die Verwendung der Summe der Quadrate aller Gleichungen, aber dies f¨ uhrt zu weiteren Schwierigkeiten. Die ¨ alteste und am besten bekannte Methode zum Suchen des Minimums einer Funktion ist die sog. Methode des steilsten Abgangs (im Englischen steepest-descent method). Die Funktion F kann als eine Fläche im (Hyper)Raum angesehen werden. Der anf¨ angliche Schätzwert der Lösung kann als ein Punkt im (Hyper-)Raum betrachtet werden. In diesem Punkt sucht man den steilsten, absteigenden Pfad in dieser Fl¨ ache; er ist entgegengesetzt dem Gradienten der Funktion in diesem Punkt gerichtet. Dann sucht man den niedrigsten Punkt auf diesem Pfad. Per Konstruktion hat er einen niedrigeren Wert von F als der Startpunkt; dementsprechend ist die neue Schätzung n¨ aher an der L¨ osung. Der neue Wert wird dann als Startpunkt f¨ ur die nächste Iteration verwendet, und der Prozess wird fortgesetzt, bis er konvergiert. Obwohl die Konvergenz garantiert ist, konvergieren derartige Methoden oft leider sehr langsam. Wenn die Fl¨ ache, gebildet mit dem Betrag der Funktion F , ein enges Tal hat, tendiert die Methode dazu, u ¨ ber dieses Tal hin und her zu oszillieren. Deshalb k¨ onnen viele Schritte notwendig werden, um die


125

L¨ osung – d. h. den tiefsten Punkt des Tales – zu finden. Mit anderen Worten: die Methode verwendet die gleichen Suchrichtungen immer wieder. Viele Verbesserungen wurden vorgeschlagen. Die einfachsten verlangen, dass neue Suchrichtungen sich so stark wie m¨ oglich von den alten unterscheiden. Dazu z¨ ahlt die Methode der konjugierten Gradienten. Es wird hier nur die Grundidee vorgestellt und eine Beschreibung des Algorithmus gegeben; eine umfassendere Darstellung kann im Buch von Golub und van Loan (1990) gefunden werden. Die Methode der konjugierten Gradienten basiert auf einer beachtenswerten Entdeckung: es ist n¨ amlich m¨ oglich, eine Funktion in Bezug auf mehrere Richtungen gleichzeitig zu minimieren, w¨ ahrend man jede Richtung nacheinander absucht. Dies wird durch eine geschickte Auswahl der Richtungen erm¨ oglicht. Im Folgenden wird dies f¨ ur den Fall von zwei Richtungen beschrieben. Man m¨ ochte die Werte von α1 und α2 in φ = φ0 + α1 p1 + α2 p2

(5.55) 1

2

finden, die F minimieren, d. h. man versucht F in der Ebene p -p zu minimieren. Dieses Problem kann auf die Minimierung von F in Bezug auf jeweils p1 und p2 reduziert werden, vorausgesetzt, die zwei Richtungen sind im folgenden Sinne konjugiert: p1 · A p2 = 0 .

(5.56)

Diese Eigenschaft ist mit der Orthogonalit¨ at verwandt; die Vektoren p1 und 2 p sind bez¨ uglich der Matrix A konjugiert, daher der Name der Methode. Ein detaillierter Nachweis dieses und anderer in diesem Abschnitt ohne Beweis aufgef¨ uhrter Fakten sind im Buch von Golub und van Loan (1990) zu finden. Diese Eigenschaft kann auf beliebig viele Richtungen ausgedehnt werden. In der Methode der konjugierten Gradienten wird verlangt, dass jede neue Suchrichtung zu allen vorherigen konjugiert ist. Ist die Matrix nicht singulär, wie es bei den meisten Ingenieursproblemen der Fall ist, sind die Richtungen garantiert linear unabh¨ angig. Folglich w¨ urde diese Methode, wenn die Rechnung exakt w¨ are (ohne Rundungsfehler), genau dann konvergieren, wenn die Anzahl der Iterationen gleich der Anzahl der Gleichungen (d. h. Gitterpunkte bzw. KVs) ist. Die Anzahl kann ziemlich groß sein und in der Praxis kann eine exakte Konvergenz wegen der Rundungsfehler nicht erreicht werden. Aus diesem Grunde macht es mehr Sinn, die Methode der konjugierten Gradienten als eine iterative Methode zu betrachten. W¨ ahrend die Methode der konjugierten Gradienten garantiert, dass der Fehler in jeder Iteration reduziert wird, h¨ angt der Betrag der Reduktion von der Suchrichtung ab. Es ist nicht ungew¨ ohnlich, dass die Methode u ¨ ber mehrere Iterationen nur eine m¨ aßige Fehlerreduktion aufweist und dann plötzlich eine Richtung findet, die den Fehler um eine Größenordnung oder mehr reduziert. Es kann gezeigt werden, dass die Konvergenzrate dieser Methode von der Konditionszahl κ abh¨ angt, wobei gilt

126


κ=

λmax , λmin

(5.57)

wobei λmax und λmin der gr¨ oßte und der kleinste Eigenwert der Matrix sind. Die Konditionszahlen der Matrizen, die in CFD-Problemen auftreten, sind normalerweise ann¨ ahernd gleich dem Quadrat der Maximalanzahl der Gitterpunkte in jede Richtung. Bei 100 Gitterpunkten in jede Richtung (in 2D) w¨ urde die Konditionszahl ca. 104 betragen und die Standardmethode der konjugierten Gradienten w¨ urde nur langsam konvergieren. Obwohl diese Methode bedeutend schneller als die Methode des steilsten Abgangs f¨ ur eine gegebene Konditionszahl ist, ist die Grundmethode nicht sehr n¨ utzlich. Diese Methode kann verbessert werden, indem man das Problem, dessen L¨ osung man sucht, durch ein anderes – mit derselben Lösung aber einer kleineren Konditionszahl – ersetzt. Aus ersichtlichen Gr¨ unden wird dies Vorkonditionierung genannt. Ein Weg zur Vorkonditionierung besteht in der Multiplikation der Gleichung mit einer anderen (sorgfältig ausgewählten) Matrix. Da dies die Symmetrie der Matrix zerst¨ oren kann, muss die Vorkonditionierung die folgende Form annehmen: C −1 AC −1 Cφ = C −1 Q .

(5.58) −1

−1

Die Methode der konjugierten Gradienten wird auf die Matrix C AC angewendet, d. h. auf das modifizierte Problem (5.58). Wird dies durchgef¨ uhrt und die Residuenform der iterativen Methode verwendet, ergibt sich der folgende Algorithmus (eine ausf¨ uhrliche Herleitung ist bei Golub und van Loan, 1990, zu finden). In dieser Beschreibung ist ρk das Residuum in der k-ten Iteration, pk ist die k-te Suchrichtung, zk ist ein Hilfsvektor und αk sowie βk sind Parameter, die bei der Konstruktion der neuen Lösung, des Residuums und der Suchrichtung verwendet werden. Der Algorithmus kann folgendermaßen zusammengefasst werden: • Initialisiere durch Festlegung: k = 0, φ0 = φin , ρ0 = Q − Aφin , p0 = 0, s0 = 1030 . • Erh¨ ohe den Zähler: k = k + 1. • L¨ ose das System: M zk = ρk−1 . • Berechne: sk = ρk−1 · zk , β k = sk /sk−1 , pk = zk + β k pk−1 , αk = sk /(pk · Apk ) , φk = φk−1 + αk pk ρk = ρk−1 − αk Apk . • Wiederhole bis zur Konvergenz. Dieser Algorithmus beinhaltet die L¨ osung eines linearen Gleichungssystems im ersten Schritt. Die betroffene Matrix ist M = C −1 , wobei C die vorkonditionierende Matrix ist, die eigentlich nie aufgestellt wird. Damit die Methode effizient wird, muss M leicht invertierbar sein. Die am häufigsten gewählte Matrix M ist die unvollst¨ andige Cholesky-Faktorisierung von A, aber in


127

Tests stellte sich heraus, dass mit M = LU , wobei L und U die Faktoren in der SIP-Methode von Stone sind, eine deutlich schnellere Konvergenz erreicht wird. 5.3.7 Methode der bikonjugierten Gradienten und CGSTAB-Methode Die oben vorgestellte Methode der konjugierten Gradienten kann man nur bei symmetrischen Systemen anwenden. Die durch Diskretisierung der PoissonGleichung erhaltenen Matrizen sind oft symmetrisch (Beispiele sind die W¨ armeleitungsgleichung und die Druck- oder die Druckkorrekturgleichungen, die in Kapitel 7 vorgestellt werden). Um die Methode auf Gleichungssysteme anzuwenden, die nicht unbedingt symmetrisch sein m¨ ussen (z. B. Transportgleichungen, in denen Konvektion vorkommt), muss das asymmetrische Problem in ein symmetrisches umgewandelt werden. Daf¨ ur gibt es einige Wege, von denen der folgende vielleicht der einfachste ist. Man betrachte das Gleichungssystem: 0 A ψ Q · = . (5.59) T A 0 φ 0 Dieses System kann in zwei Untersysteme zerlegt werden. Das erste ist das Originalsystem; das zweite beinhaltet die transponierte Matrix und ist eigentlich irrelevant. (Wenn es n¨ otig w¨ are, k¨ onnte man das Gleichungssystem mit der transponierten Matrix mit geringem Mehraufwand lösen.) Wenn die vorkonditionierte Methode der konjugierten Gradienten auf dieses System angewendet wird, ergibt sich die folgende Methode, die Methode der bikonjugierten Gradienten genannt wird: • Initialisiere durch Festlegung: k = 0, φ0 = φin , ρ0 = Q − Aφin , ρ0 = Q − AT φin , p0 = p0 = 0, s0 = 1030 . • Erh¨ ohe den Z¨ ahler: k = k + 1. • L¨ ose die Systeme: M zk = ρk−1 , M T zk = ρk−1 . • Berechne: sk = zk · ρk−1 , β k = sk /sk−1 , pk = zk + β k pk−1 , pk = zk + β k pk−1 , αk = sk /(pk Apk ), φk = φk−1 + αk pk , ρk = ρk−1 − αk Apk , ρk = ρk−1 − αk AT pk . • Wiederhole bis zur Konvergenz. Der oben aufgef¨ uhrte Algorithmus wurde von Fletcher (1976) veröffentlicht. Er verlangt fast genau doppelt so viel Aufwand pro Iteration wie die Standardmethode der konjugierten Gradienten und konvergiert nach ungefähr der

128


gleichen Anzahl an Iterationen. Er wurde nicht oft in CFD-Anwendungen eingesetzt, jedoch scheint er sehr robust zu sein (d. h. er löst eine große Anzahl von Problemen ohne Schwierigkeiten). Andere Varianten von Methode der bikonjugierten Gradienten, die schneller und noch robuster sind, wurden entwickelt. An dieser Stellen sei der CGSAlgorithmus erw¨ ahnt, der von Sonneveld (1989) vorgestellt wurde; CGSTAB (CGS-stabilisiert), vorgestellt von Van den Vorst und Sonneveld (1990) und eine andere Version von Van den Vorst (1992); außerdem GMRES, vorgestellt von Saas und Schultz (1986). Sie k¨ onnen alle auf nichtsymmetrische Matrizen und sowohl bei strukturierten als auch bei unstrukturierten Gittern angewendet werden. Im Folgenden wird der CGSTAB-Algorithmus ohne formale Herleitung gegeben: • Initialisiere durch Festlegung: k = 0, φ0 = φin , ρ0 = Q − Aφin , u0 = p0 = 0 . • Erh¨ ohe den Z¨ ahler k = k + 1 und berechne: β k = ρ0 · ρk−1 , ω k = (β k γ k−1 )/(αk−1 β k−1 ), pk = ρk−1 + ω k (pk−1 − αk−1 uk−1 ). • L¨ ose das System: M z = pk . • Berechne: uk = Az , γ k = β k /(uk · ρ0 ) , w = ρk−1 − γ k uk . • L¨ ose das System: M y = w . • Berechne: v = Ay , αk = (v · ρk )/(v · v) . φk = φk−1 + γ k z + αk y , ρk = w − αk v . • Wiederhole bis zur Konvergenz. Es gilt zu beachten, dass u, v, w, y und z Hilfsvektoren sind, die nichts mit den Geschwindigkeitsvektoren oder den Koordinaten y und z zu tun haben. Der Algorithmus kann wie oben beschrieben programmiert werden. Rechenprogramme f¨ ur die Methode der konjugierten Gradienten mit unvollständiger Cholesky-Vorkonditionierung (ICCG, f¨ ur symmetrische Matrizen in 2D wie auch in 3D) und der CGSTAB-L¨ oser f¨ ur 3D-Probleme sind u ¨bers Internet verf¨ ugbar; siehe Anhang f¨ ur Details. 5.3.8 Mehrgittermethoden Die letzte Methode zur L¨ osung linearer Gleichungssysteme, die hier besprochen wird, ist die Mehrgittermethode. Die Grundlage f¨ ur das Mehrgitterkonzept beruht auf einer Beobachtung des Verhaltens iterativer Methoden bei ihrer Anwendung zur L¨ osung partieller Differentialgleichungen aus der Kontinuumsmechanik. Ihre Konvergenzrate h¨ angt nämlich von den Eigenwerten der Iterationsmatrix ab. Im Besonderen bestimmt der Eigenwert bzw. die


129

Eigenwerte mit dem gr¨ oßten Betrag (der sog. Spektralradius der Matrix), wie schnell die L¨ osung erreicht wird; siehe Abschnitt 5.3.2. Der zugehörige Eigenvektor bzw. die Eigenvektoren bestimmen die räumliche Verteilung der Iterationsfehler und unterscheiden sich von Methode zu Methode erheblich. Im Folgenden wird das Verhalten dieser Gr¨ oßen f¨ ur einige der oben vorgestellten Methoden kurz analysiert. Die Eigenschaften sind f¨ ur die Laplace-Gleichung gegeben; die meisten von ihnen gelten auch bei anderen elliptischen partiellen Differentialgleichungen. Bei der Laplace-Gleichung sind die zwei gr¨ oßten Eigenwerte der JacobiMethode reell und haben entgegengesetzte Vorzeichen. Ein Eigenvektor stellt eine glatte Funktion der Raumkoordinaten dar, der andere eine rapide oszillierende Funktion. Der Iterationsfehler ist f¨ ur die Jacobi-Methode somit eine Mischung aus einer sehr glatten und einer sehr rauhen Komponente; dies macht die Beschleunigung schwierig. Andererseits hat die Gauß-SeidelMethode einen einzelnen großen, reellen und positiven Eigenwert mit einem Eigenvektor, der den Iterationsfehler zu einer glatten Funktion der Raumkoordinaten macht. ¨ Die gr¨ oßten Eigenwerte der SOR-Methode mit einem optimalen Uberrelaxationsfaktor liegen auf einem Kreis in der komplexen Ebene, und es gibt eine ganze Anzahl davon; deshalb verh¨ alt sich der Fehler auf sehr komplizierte Weise. In der ADI-Methode h¨ angt die Art des Fehlers von den Parametern ab und tendiert dazu, ziemlich kompliziert zu sein. Die SIP-Methode hat schließlich ziemlich glatte Iterationsfehler. Einige dieser Methoden erzeugen Iterationsfehler, die glatte Funktionen der Raumkoordinaten sind. Eine dieser Methoden soll im Folgenden genauer betrachtet werden. Das Verh¨ altnis des Iterationsfehlers n und des Residuums n ρ nach der n-ten Iteration ist durch Gl. (5.15) gegeben. In der Gauß-SeidelMethode werden nach einigen wenigen Iterationen die hochfrequenten Fehlerkomponenten beseitigt, und die r¨ aumliche Verteilung des Fehlers wird glatt. Wenn der Fehler glatt ist, kann die Korrektur f¨ ur die Lösung (eine Approximation des Iterationsfehlers) auf einem gr¨ oberen Gitter berechnet werden. Auf einem Gitter, das doppelt so grob wie das Originalgitter ist, liegt der Rechenaufwand in 2D bei 1/4 und in 3D bei 1/8 des Aufwands auf dem feineren Gitter. Außerdem konvergieren die iterativen Methoden viel schneller auf gr¨ oberen Gittern. Die Gauß-Seidel-Methode konvergiert viermal schneller auf einem doppelt so groben Gitter; bei der ILU-Zerlegung nach Stone (SIP-Methode) halbiert sich die Anzahl der benötigten Iterationen. Dies l¨ asst vermuten, dass ein großer Teil der Arbeit auf einem gröberen Gitter erledigt werden kann. Um dies tun zu k¨ onnen, muss man Folgendes definieren: das Verh¨ altnis zwischen den beiden Gittern, die Finite-DifferenzenOperatoren auf dem groben Gitter, eine Methode zum Glätten (sog. Restriktion) des Residuums vom feinen zum groben Gitter und eine Methode zur Interpolation (sog. Prolongation) der Korrektur vom groben zum feinen Gitter; die eingeklammerten W¨ orter sind spezielle Ausdr¨ ucke, die in der Literatur

130


u ur jeden dieser Schritte gibt es viele ¨ber Mehrgittermethoden u ¨ blich sind. F¨ M¨ oglichkeiten; die Wahl beeinflusst zwar das Verhalten der Methode, aber unter den besseren Varianten sind die Unterschiede relativ gering. Deshalb wird hier nur eine gute Variante f¨ ur jeden Schritt vorgestellt. In einem Finite-Differenzen-Verfahren beinhaltet das grobe Gitter normalerweise jede zweite Linie des feinen Gitters. In einer Finite-Volumen-Methode bestehen normalerweise die KVs des groben Gitters aus zwei (1D) bzw. 4 (2D) bzw. 8 (3D) KVs des feinen Gitters; die Rechenpunkte des groben Gitters liegen dann zwischen den Rechenpunkten des feinen Gitters. Obwohl es keinen Grund gibt, eine Mehrgittermethode f¨ ur eindimensionale Probleme zu verwenden (weil der TDMA-Algorithmus sehr effizient ist), werden hier an einem solchen Problem die Prinzipien der Mehrgittermethode illustriert und einige Vorgehensweisen hergeleitet, die allgemeing¨ ultig sind. Folgendes Problem soll untersucht werden: d2 φ = f (x) , dx2

(5.60)

f¨ ur das die u ¨bliche FD-Approximation (Zentraldifferenzen) auf einem äquidistanten Gitter lautet: 1 φi−1 − 2φi + φi+1 = fi . (Δx)2

(5.61)

Nach der Durchf¨ uhrung von n Iterationen auf dem Gitter mit dem Abstand Δx, erh¨ alt man eine N¨ aherungsl¨ osung φn , und die obige Gleichung ist im Rahmen des Residuums ρn erf¨ ullt: 1 n φi−1 − 2φni + φni+1 = fi − ρni . 2 (Δx)

(5.62)

Subtrahiert man diese Gleichung von Gl. (5.61), erhält man: 1 n − 2ni + ni+1 = ρni , (Δx)2 i−1

(5.63)

was die Gl. (5.15) f¨ ur den Punkt i darstellt. Dies ist die Gleichung, die auf einem groben Gitter iteriert werden soll. feines Gitter

'x i−3

i−2 I−1

i−1

i

i+1

i+2

i+3

I

I+1

'X

grobes Gitter

Abbildung 5.2. Die eindimensionalen Gitter in einer Mehrgittermethode


131

Bei der Herleitung der diskretisierten Gleichungen auf einem gröberen Gitter stellt man zun¨ achst fest, dass das Kontrollvolumen um den Punkt I auf dem groben Gitter das gesamte Kontrollvolumen um den Punkt i und die halben Kontrollvolumina um die Punkte i-1 und i+1 des feinen Gitters enth¨ alt (s. Abb. 5.2). Dies suggeriert, dass man je eine Hälfte der Gleichungen (5.63) f¨ ur die Punkte mit den Indizes i-1 und i+1 zur vollen Gleichung (5.63) f¨ ur den Punkt mit dem Index i addiert, um die Gleichung f¨ ur den Punkt I auf dem groben Gitter zu erhalten. Dies f¨ uhrt zu (der hochgestellte Index n wird der Einfachheit halber weggelassen): 1 1 i−2 − 2i + i+2 = ρi−1 + 2ρi + ρi+1 . 2 4 (Δx) 4

(5.64)

Nutzt man die Beziehung zwischen den beiden Gittern (ΔX = 2 Δx, siehe Abb. 5.2), stellt man fest, dass die obige Gleichung der folgenden Gleichung auf dem groben Gitter ¨ aquivalent ist: 1 I−1 − 2I + I+1 = ρI . (ΔX)2

(5.65)

Hier ist ρI durch die rechte Seite der Gl. (5.64) definiert. Die linke Seite dieser Gleichung stellt die Standardapproximation der zweiten Ableitung auf dem groben Gitter dar. Dies zeigt, dass die auf die obige Weise hergeleitete Gleichung f¨ ur das grobe Gitter sinnvoll ist. Die rechte Seite stellt einen Glätter oder Filter des Quellterms vom feinen Gitter dar und liefert eine nat¨ urliche Definition des Glättungs- bzw. Restriktionsoperators. Die einfachste Interpolation bzw. Prolongation einer Größe vom groben zum feinen Gitter ist die lineare Interpolation. An gemeinsamen Punkten beider Gitter wird der Grobgitterwert einfach an den entsprechenden Punkt des feinen Gitters u ¨ bertragen. In Punkten des feinen Gitters, die zwischen den Punkten des groben Gitters liegen, ist der u ¨ bertragene Wert der Durchschnitt der Nachbarwerte des groben Gitters. Eine iterative Zwei-Gitter-Methode l¨ asst sich somit wie folgt zusammenfassen: • Auf dem feinen Gitter werden einige Iterationen mit einer Methode durchgef¨ uhrt, die einen glatten Fehler ergibt. • Das Residuum wird auf dem feinen Gitter berechnet. • Das Residuum wird auf das grobe Gitter u ¨bertragen (Restriktion). • Auf dem groben Gitter werden einige Iterationen mit der Korrekturgleichung durchgef¨ uhrt. • Die Korrektur wird vom groben auf das feine Gitter u ¨ bertragen (Prolongation). • Die L¨ osung auf dem feinen Gitter wird korrigiert. • Die gesamte Prozedur wird wiederholt, bis das Residuum auf dem feinen Gitter auf das gew¨ unschte Niveau reduziert ist.

132


Man stellt sich die Frage, ob es nicht sinnvoll wäre, noch gröbere Gitter zu verwenden, um die Konvergenzrate weiter zu verbessern? Dies ist tatsächlich eine gute Idee. Eigentlich sollte man diese Vorgehensweise fortsetzen, bis es unm¨ oglich ist, ein noch gr¨ oberes Gitter zu definieren; auf dem gröbsten Gitter ist die Anzahl der Unbekannten so klein, dass die Gleichungen mit einem vernachl¨ assigbaren Aufwand exakt gelöst werden können. Das Mehrgitter ist mehr eine Strategie als eine bestimmte Methode. Innerhalb des gerade beschriebenen Musters gibt es viele Parameter, die mehr oder weniger beliebig gew¨ ahlt werden k¨ onnen: die wichtigsten davon sind die Grobgitterstruktur, der Gl¨ atter, die Iterationszahl (bzw. das Konvergenzkriterium) auf jedem Gitter, die Reihenfolge, in der die verschiedenen Gitter “besucht” werden und die Restriktions- und Interpolationsoperatoren. Die Konvergenzrate h¨ angt nat¨ urlich von der getroffenen Wahl ab, aber der Unterschied in der Effizienz zwischen verschiedenen Varianten ist viel kleiner als der Unterschied zwischen der Ein- und der Mehrgittermethode. Die wichtigste Eigenschaft der Mehrgittermethode ist, dass die Anzahl der Iterationen, die auf dem feinsten Gitter notwendig ist, um ein gegebenes Konvergenzniveau zu erreichen, weitgehend unabhängig von der Anzahl der Gitterpunkte ist. Dies ist das Beste, was man erwarten kann – die Rechenkosten sind proportional zur Anzahl der Gitterpunkte. In 2D- und 3D-Problemen mit ca. 100 Punkten in jede Richtung kann die Mehrgittermethode in einem 10tel bis einem 100stel der Zeit, die f¨ ur die Basismethode erforderlich wäre, konvergieren. Ein Beispiel wird im letzten Abschnitt diese Kapitels gegeben. Die iterative L¨ osungsmethode, auf der die Mehrgittermethode basiert, muss ein guter Gl¨ atter sein; ihre Konvergenzeigenschaften als alleinstehende Methode sind weniger wichtig. Gauß-Seidel und SIP sind zwei gute Wahlm¨ oglichkeiten. In zweidimensionalen F¨ allen gibt es viele Möglichkeiten f¨ ur den Restriktionsoperator. W¨ urde die oben beschriebene Methode in jede Richtung verwendet, w¨ are das Ergebnis ein Neun-Punkte-Schema. Eine einfachere, aber fast genauso effektive, Restriktion ist das F¨ unf-Punkte-Schema: ρI,J =

1 ρi+1,j + ρi−1,j + ρi,j+1 + ρi,j−1 + 4 ρi,j . 8

(5.66)

¨ Ahnlich ist die bilineare Interpolation ein effektiver Prolongationsoperator. Im 2D-Fall kann es drei Arten von Punkten auf dem feinen Gitter geben. Jene, die mit den Grobgitterpunkten u ¨bereinstimmen, u ¨bernehmen den Wert der Korrektur im entsprechenden Grobgitterpunkt. Diejenigen, die auf den Linien liegen, die zwei Grobgitterpunkte verbinden, erhalten den Durchschnitt der beiden Grobgitterwerte. Schließlich erhalten die Punkte, die zwischen vier Grobgitterpunkten liegen, den Durchschnitt der vier Grobgitterpunkte. ¨ Ahnliche Schemata k¨ onnen f¨ ur die FV-Methode und 3D-Probleme hergeleitet werden. Ein Beispiel ist in Abb. 11.4 in Abschnitt 11.3 zu sehen.


133

Die Startwerte in einer iterativen L¨ osungsmethode sind normalerweise weit von der konvergierten L¨ osung entfernt (häufig wird ein Null-Feld verwendet). Es ist deshalb sinnvoll, die Gleichung zuerst auf einem sehr groben Gitter zu l¨ osen (was wenig kostet) und dann diese Lösung f¨ ur die Bereitstellung von besseren Startwerten f¨ ur Iterationen auf dem nächstfeineren Gitter zu verwenden. Wenn man dann das feinste Gitter erreicht, hat man bereits eine ziemlich gute Ausgangsl¨ osung. Mehrgittermethoden dieses Typs werden Voll-Mehrgittermethoden (im Englischen full multigrid bzw. FMG) genannt. Der Aufwand f¨ ur den Erhalt der Ausgangsl¨ osung f¨ ur das feinste Gitter wird meistens durch die Einsparungen bei Iterationen mehr als kompensiert. Schließlich soll noch erw¨ ahnt werden, dass man Methoden entwickeln kann, mit denen man Gleichungen f¨ ur Approximationen der Lösung statt f¨ ur die Korrekturen auf jedem Gitter l¨ ost. Dies wird Vollapproximationsverfahren (im Englischen full approximation scheme bzw. FAS) genannt und wird oft zur L¨ osung nichtlinearer Probleme verwendet. Es ist wichtig zu bemerken, dass die mit FAS auf jedem Gitter erhaltene Lösung nicht die Lösung ist, die man erhalten w¨ urde, wenn dieses Gitter allein verwendet worden wäre, sondern eine gegl¨ attete Version der L¨ osung auf dem feinen Gitter; man erreicht dies durch einen zus¨ atzlichen Quellterm in den Gleichungen auf Gittern unterhalb der Ebene des zum gegebenen Zeitpunkt feinsten Gitters. Eine Variante dieses Verfahrens f¨ ur die Navier-Stokes-Gleichungen wird in Abschnitt 11.3 vorgestellt; deswegen wird hier nicht n¨ aher darauf eingegangen. Eine detaillierte Analyse von Mehrgittermethoden ist in den B¨ uchern von Hackbusch (1985) und Brandt (1984) zu finden. Ein 2D-Mehrgitterlöser, der die Gauß-Seidel-, SIP-, eine ADI-Variante bzw. ICCG-Methode als Glätter verwendet, steht im Internet zu Verf¨ ugung; mehr Details dazu stehen im Anhang. Bei strukturierten Gittern bestehend aus Vierecken bzw. Hexaedern behalten die gr¨ oberen Gitter die Struktur des feinen Gitters – nur die Anzahl der KVs verdoppelt sich in jede Richtung. Normalerweise sind die feineren Gitter durch eine systematische Verfeinerung des jeweils gröberen Gitters entstanden, wodurch die Beziehungen zwischen den Gittern von Ebene zu Ebene einfach definiert werden k¨ onnen. Bei unstrukturierten Gittern ist die Vorgehensweise nicht so eindeutig. Wenn die feineren Gitter durch eine systematische Verfeinerung von gröberen Gittern entstanden sind (z. B. in 2D durch Unterteilung eines Dreiecks in vier Dreiecke, indem die Mittelpunkte der Seiten verbunden werden), kann die oben beschriebene Vorgehensweise unver¨ andert verwendet werden. Das Einzige, was sich ¨ andert, sind die Gewichtungsfaktoren in den Restriktionsund Prolongationsoperatoren. In der Ingenieurspraxis wird jedoch meistens das feinste Gitter, das man sich zur L¨ osung des jeweiligen Problems leisten kann (abhängig von verf¨ ugbaren Rechenkapazit¨ aten, Wichtigkeit des Problems usw.), mit einem automatischen Gittergenerator erzeugt. Wenn man versucht, daraus gröbere Gitter zu

134


erstellen, steht man vor einigen Schwierigkeiten. Es ist i. Allg. nicht möglich, durch Zusammenlegung von Dreiecken bzw. Tetraedern wieder Dreiecke bzw. Tetraeder zu erhalten. Es bleiben zwei Optionen: Entweder muss das Berechnungsverfahren mit beliebigen Polyedern arbeiten können (in diesem Fall kann man die Zellen des feinen Gitters beliebig gruppieren, um Grobgitterzellen zu erzeugen), oder man muss die Gleichungen auf dem groben Gitter anders als durch Anwendung der Diskretisierungsmethode herleiten. Die erste Variante heißt geometrische Mehrgittermethode und die zweite algebraische Mehrgittermethode. Bei den algebraischen Mehrgittermethoden (bekannt unter der Abk¨ urzung AMG) wird die Koeffizientenmatrix auf den gröberen Gittern allein aus der Matrix des feineren Gitters hergeleitet. Dabei spielen die Eigenschaften der Matrix eine wichtige Rolle. Die Vorgehensweise kann ebenfalls durch geometrische Veranschaulichung erl¨ autert werden, auch wenn grobe Gitter nicht explizit definiert werden. So wird z. B. bei Gittern mit langgestreckten Zellen die Vergr¨ oberung nur in eine Richtung durchgef¨ uhrt. Solche Zellen erkennt man (im Falle einer Laplace-Gleichung) daran, dass die Koeffizienten in der Matrix, die auf die Nachbarn jenseits von gr¨ oßeren KV-Seiten zugreifen, viel gr¨ oßer sind als die Koeffizienten f¨ ur die anderen Nachbarn. Das Verhältnis der Koeffizienten entspricht in 2D dem Quadrat des Verhältnisses von den jeweiligen KV-Seiten, da in einem Koeffizienten das Verhältnis von Seitenfläche zum Abstand zwischen den benachbarten Zellzentren steht, siehe Gl. (4.36). Es gibt eine Vielzahl von Ver¨ offentlichungen zu den einzelnen Varianten der algebraischen Mehrgittermethoden (sowohl f¨ ur lineare als auch f¨ ur nichtlineare Probleme); hier wird auf weitere Details verzichtet – siehe Ruge und St¨ uben (1987) sowie Raw (1985) f¨ ur zwei Beispiele derartiger Methoden. 5.3.9 Weitere iterative L¨ oser Es gibt viele andere iterative L¨ oser, die hier nicht bis ins Detail beschrieben werden k¨ onnen; nur einige werden kurz erl¨ autert. In Verbindung mit Mehrgittermethoden wird die sog. “rot-schwarz”-Variante des Gauß-Seidel-Lösers h¨ aufig verwendet. Auf einem strukturierten Gitter stellt man sich die Gitterpunkte wie auf einem Schachbrett “eingef¨ arbt” vor. Die Methode besteht aus zwei Jacobi-Schritten: Die Werte in den schwarzen Punkten werden zuerst aktualisiert, danach die in den roten Punkten. F¨ ur die Berechnung von Werten in den schwarzen Punkten werden nur die “alten” Werte aus den roten Punkten verwendet, siehe Gl. (5.33). Im n¨ achsten Schritt werden die Werte in den roten Punkten mittels der aktualisierten Werte aus den schwarzen Punkten neu berechnet. Diese wechselweise Anwendung der Jacobi-Methode auf die zwei S¨ atze von Punkten gibt der Methode die gleichen Konvergenzeigenschaften wie die der u ¨ blichen Gauß-Seidel-Methode. Die gute Eigenschaft des rot-schwarzen Gauß-Seidel-L¨ osers ist, dass er perfekt sowohl vektorisier-

5.4 Gekoppelte Gleichungen und ihre L¨ osung

135

bar als auch parallelisierbar ist, da in keinem Schritt Datenabhängigkeiten auftreten. Eine andere Vorgehensweise, die oft bei mehrdimensionalen Problemen angewendet wird, ist die Verwendung von Iterationsmatrizen, die einem Problem niedrigerer Dimensionalit¨ at entsprechen. Eine Version davon ist die in Abschnitt 5.3.5 beschriebene ADI-Methode, die ein 2D-Problem auf eine Sequenz von 1D-Problemen reduziert. Die sich ergebenden tridiagonalen Probleme werden Linie f¨ ur Linie gel¨ ost. Die Richtung, in der die Gitterlinien abgearbeitet werden, wird von Iteration zu Iteration verändert, um die Konvergenzrate zu verbessern (z. B. zuerst Linien mit konstantem Index i, dann Linien mit konstantem Index j). Diese Methode wird normalerweise auf Gauß-Seidel-Art verwendet, d. h. es werden neue Variablenwerte von bereits besuchten Linien verwendet. Analog zur rot-schwarzen Gauß-Seidel-Methode ist auch eine zeilenweise Anwendung des ADI-L¨ osers (auch “Zebra”-Löser genannt) möglich: Zuerst wird die L¨ osung auf den Linien mit geradem Index gefunden und danach werden die Linien mit ungeradem Index behandelt. Dies ergibt bessere M¨ oglichkeiten zur Parallelisierung und Vektorisierung, ohne Abstriche bei den Konvergenzeigenschaften. Es ist ebenfalls m¨ oglich, die zweidimensionale SIP–Methode zur Lösung von dreidimensionalen Problemen einzusetzen, indem man sie Ebene f¨ ur Ebene anwendet und die Beitr¨ age von den benachbarten Ebenen auf die rechte Seite der Gleichungen u agt. Diese Methode ist jedoch weder billiger ¨ bertr¨ noch schneller als die dreidimensionale Version von SIP, weshalb sie kaum verwendet wird.

5.4 Gekoppelte Gleichungen und ihre L¨ osung Die meisten Probleme der Str¨ omungsmechanik und der Wärme¨ ubertragung erfordern die L¨ osung von gekoppelten Gleichungssystemen, d. h. die dominierende Variable in einer Gleichung tritt auch in einigen anderen Gleichungen auf. F¨ ur solche Probleme gibt es zwei Typen von Lösern. Im ersten Typ werden alle Gleichungen f¨ ur alle Variablen simultan gelöst. Im zweiten Typ wird jede Gleichung iterativ f¨ ur die eigene Variable gelöst, wobei die anderen Variablen als bekannt angenommen werden; man iteriert durch die Gleichungen, bis die L¨ osung des gekoppelten Systems erhalten wird. Die beiden Vorgehensweise k¨ onnen auch gemischt werden. Sie werden als simultane bzw. sequentielle L¨ osungsmethoden bezeichnet; in den folgenden zwei Abschnitten werden sie etwas detaillierter beschrieben. 5.4.1 Simultane L¨ osung In simultanen L¨ osungsmethoden (auch gekoppelte Lösungsmethoden genannt, was manchmal irref¨ uhrend sein kann, denn in beiden Fällen werden gekop-

136


pelte nichtlineare Gleichungen gel¨ ost) werden alle Gleichungen als Teil eines einzelnen Systems betrachtet. Die diskretisierten Gleichungen der Strömungsmechanik haben nach der Linearisierung eine Block-Band-Struktur. Eine direkte L¨ osung dieser Gleichungen w¨ are sehr teuer, besonders wenn das Problem dreidimensional ist. Außerdem sind die Gleichungen i. Allg. nichtlinear, wodurch Iterationen unumg¨ anglich sind. Simultane iterative L¨ osungsmethoden f¨ ur gekoppelte Systeme sind Verallgemeinerungen der Methoden f¨ ur einzelne Gleichungen. Die in diesem Kapitel bisher beschriebenen Methoden wurden wegen ihrer Anwendbarkeit auf gekoppelte Systeme ausgew¨ ahlt. Simultane Lösungsmethoden, die auf iterativen L¨ osern basieren, sind von verschiedenen Autoren entwickelt worden; siehe z. B. Ver¨ offentlichungen von Galpin und Raithby (1986), Deng et al. (1994) und Weiss et al. (1999). Eine Methode aus dieser Familie, die zur Lösung der Navier-StokesGleichungen in einigen kommerziellen Programmen verwendet wird, wird in Abschnitt 10.3 kurz beschrieben. 5.4.2 Sequentielle L¨ osung Sind die Gleichungen linear und eng gekoppelt, dann ist die simultane Lösung die beste Wahl. Die Gleichungen sind jedoch oft so komplex und nichtlinear, dass simultane L¨ osungsmethoden nur schwer anwendbar und sehr teuer wären. In dem Fall kann es besser sein, jede Gleichung so zu behandeln, als wenn sie nur eine einzelne unbekannte Variable enthalten w¨ urde; die anderen Variablen k¨ onnen vorl¨ aufig als bekannt angenommen werden, indem man die besten zum gegebenen Zeitpunkt bekannten Werte verwendet. Die Gleichungen werden dann der Reihe nach gel¨ ost und der Zyklus wird wiederholt, bis alle Gleichungen erf¨ ullt sind. Bei der Verwendung dieses Methodentyps muss man allerdings zwei Punkte ber¨ ucksichtigen: • Da sich einige Terme (z. B. die Koeffizienten der Matrix und Quellterme), die von anderen Variablen abh¨ angen, im Verlauf des Rechenprozesses andern, ist es nicht notwendig die Gleichungen in jeder Iteration genau zu ¨ l¨ osen. Aus diesem Grunde sind direkte L¨ oser unnötig und iterative Löser werden bevorzugt. Die in jeder linearisierten und vorläufig entkoppelten Gleichung durchgef¨ uhrten Iterationen nennt man innere Iterationen. • Um eine L¨ osung zu erhalten, die alle Gleichungen erf¨ ullt, m¨ ussen die Koeffizientenmatrizen und Quellvektoren nach jedem Zyklus aktualisiert und der Prozess mehrmals wiederholt werden. Die Zyklen werden äußere Iterationen genannt. Die Optimierung einer solchen L¨ osungsmethode verlangt eine sorgfältige Auswahl der Anzahl der inneren Iterationen pro äußerer Iteration. Weiterhin ist ¨ es notwendig, die Anderung in jeder Variablen von einer äußeren Iterati¨ on zur n¨ achsten zu begrenzen (Unterrelaxation), weil die Anderung in einer Variablen die Koeffizienten in den anderen Gleichungen verändert, was die

5.4 Gekoppelte Gleichungen und ihre L¨ osung

137

Konvergenz verz¨ ogern oder verhindern k¨ onnte. Leider ist die Analyse der Konvergenz dieser Methoden schwierig, weshalb die Wahl der Unterrelaxationsparameter im Wesentlichen auf Erfahrungswerten beruht. Die Mehrgittermethode, die oben als Konvergenzbeschleuniger f¨ ur innere Iterationen (lineare Probleme) beschrieben wurde, kann auch bei gekoppelten Problemen angewendet werden. Sie kann ebenfalls verwendet werden, um die außeren Iterationen zu beschleunigen, wie in Kapitel 11 beschrieben wird. ¨ 5.4.3 Unterrelaxation Hier wird eine Unterrelaxationstechnik vorgestellt, die weit verbreitet ist. In der n-ten ¨ außeren Iteration kann die algebraische Gleichung f¨ ur eine generische Variable, φ, in einem typischen Punkt P folgendermaßen geschrieben werden: AP φnP + Al φnl = QP , (5.67) l

wo Q all die Terme enth¨ alt, die nicht direkt von φn abhängig sind; die Koeffizienten Al und die Quelle Q k¨ onnen φn−1 enthalten. Das Diskretisierungsverfahren ist hier unwichtig. Diese Gleichung ist linear und das Gleichungssystem f¨ ur das gesamte L¨ osungsgebiet wird normalerweise iterativ gelöst. Erlaubt man, dass sich φ in den ersten äußeren Iterationen so viel ver¨ andert, wie die Gl. (5.67) verlangt, k¨ onnte dies zu Instabilität f¨ uhren. Deshalb erlaubt man nur, dass sich φn um einen αφ -Anteil der möglichen Differenz ¨ andert: φn = φn−1 + αφ (φneu − φn−1 ) ,

(5.68)

wo φneu das Ergebnis aus Gl. (5.67) ist, und der Unterrelaxationsparameter die Bedingung 0 < αφ < 1 erf¨ ullt. Da die Werte aus der vorherigen Iteration normalerweise nach der Aktualisierung der Koeffizientenmatrix und des Quellterms nicht mehr benötigt werden, k¨ onnen sie durch die neue L¨ osung u ¨ berschrieben werden. Wenn φneu in Gl. (5.68) durch QP − l Al φnl φneu (5.69) = P AP ersetzt wird (dies folgt aus Gl. (5.67)), erh¨ alt man eine modifizierten Gleichung im Punkt P: AP n 1 − αφ φP + Al φnl = QP + AP φn−1 , P αφ αφ l A∗ P

(5.70)

Q∗ P

wo A∗P und Q∗P den modifizierten Koeffizienten auf der Hauptdiagonalen der Matrix und den Quellterm darstellen. Diese modifizierte Gleichung wird mit

138


inneren Iterationen gel¨ ost. Wenn die ¨ außeren Iterationen konvergieren, fallen die Terme mit αφ heraus und man erh¨ alt die Lösung des Ausgangsproblems. Diese Art der Unterrelaxation wurde von Patankar (1980) vorgestellt. Sie hat eine positive Wirkung auf viele iterative Lösungsmethoden, da durch sie die diagonale Dominanz der Matrix A verst¨ arkt wird (das Element A∗P ist gr¨ oßer als AP , w¨ ahrend Al gleich bleiben). Sie ist effektiver als die explizite Anwendung des Ausdruckes (5.68). Optimale Unterrelaxationsparameter sind problemabhängig. Eine gute Strategie ist die Verwendung eines kleinen Unterrelaxationsparameters in den ersten Iterationen und seine Erh¨ ohung mit fortschreitender Konvergenz. Einige Hinweise zur Auswahl der Unterrelaxationsparameter bei der Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen werden in den Kapiteln 7 und 8 gegeben. Unterrelaxation kann nicht nur auf abh¨ angige Variablen, sondern auch bei individuellen Termen in den Gleichungen angewendet werden. Dies ist oft notwendig, wenn die Fluideigenschaften (Viskosität, Dichte, Prandtl-Zahl usw.) von der L¨ osung abh¨ angen und st¨ andig aktualisiert werden m¨ ussen. Es wurde bereits erw¨ ahnt, dass eine iterative Lösung eines stationären Problems als L¨ osung eines instation¨ aren Problems in Pseudozeit bis zum station¨ aren Zustand betrachtet werden kann. Die Kontrolle der Zeitschrittgröße ist dann zur Kontrolle der Entwicklung der Lösung wichtig. Im nächsten Kapitel wird gezeigt, dass der Zeitschritt als ein Unterrelaxationsparameter (und umgekehrt) interpretiert werden kann. Das oben beschriebene Unterrelaxationsverfahren kann interpretiert werden, als w¨ urde man verschiedene Zeitschritte in verschiedenen Punkten verwenden, siehe Gl. (6.46) in Kapitel 6.

5.5 Nichtlineare Gleichungen und ihre L¨ osung Wie bereits erw¨ ahnt, gibt es zwei Arten von Techniken zur Lösung nichtlinearer Gleichungen: Newton-¨ ahnliche und globale. Die erstgenannten sind, wenn eine gute Anfangssch¨ atzung der L¨ osung vorliegt, viel schneller, aber bei den letzteren ist garantiert, dass sie konvergieren; man muss also einen Kompromiss zwischen Geschwindigkeit und Sicherheit eingehen. Häufig werden Kombinationen aus beiden Methoden verwendet. Es gibt sehr viel Literatur zu den L¨ osungsmethoden f¨ ur nichtlineare Gleichungen, jedoch ist der Wissensstand noch nicht vollkommen befriedigend. Hier kann nicht einmal ein wesentlicher Bruchteil der Methoden abgedeckt werden, sondern wird ledig¨ lich ein kurzer Uberblick u ¨ ber einige Techniken gegeben. 5.5.1 Newton-¨ ahnliche Techniken Die wichtigste Methode zur L¨ osung nichtlinearer Gleichungen ist die NewtonMethode. Angenommen, man m¨ ochte die L¨ osung einer einzelnen algebrai-

5.5 Nichtlineare Gleichungen und ihre L¨ osung

139

schen Gleichung f (x) = 0 finden. Die Newton-Methode linearisiert die Funktion um einen gesch¨ atzten Wert von x, indem die ersten zwei Terme der Taylor-Reihe verwendet werden: f (x) ≈ f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) .

(5.71)

Die linearisierte Funktion wird gleich null gesetzt und liefert somit eine neue Sch¨ atzung der Lösung: x1 = x0 −

f (x0 ) f (x0 )

oder allgemein xk = xk−1 −

f (xk−1 ) . f (xk−1 )

(5.72)

¨ Dies wird wiederholt, bis die Anderung der iterativen Approximation der L¨ osung, xk − xk−1 , so klein wie gew¨ unscht ist. Das Verfahren ist äquivalent der Approximation der Kurve durch ihre Tangente in xk (weswegen die Methode auch Tangentenmethode genannt wird). Ist die Anfangsabschätzung gut genug, konvergiert dieses Verfahren quadratisch, d. h. der Fehler in der Iteration k+1 ist proportional dem Quadrat des Fehlers in Iteration k. Dies bedeutet, dass nur wenige Iterationen erforderlich sind, wenn die Abschätzung erst einmal nahe der L¨ osung ist. Aus diesem Grunde wird das Verfahren immer eingesetzt, wenn gute Voraussetzungen vorliegen. Ist aber die Funktion nicht monoton und der Startwert liegt zu weit weg von der Lösung, kann es zu Divergenz des Iterationsverfahrens kommen. Die Newton-Methode kann einfach f¨ ur ein Gleichungssystem verallgemeinert werden. Ein generisches System nichtlinearer Gleichungen kann folgendermaßen geschrieben werden: fi (x1 , x2 , . . . , xn ) = 0 ,

i = 1, 2, . . . , n .

(5.73)

Dieses Gleichungssystem kann auf genau die gleiche Weise wie die einzelne Gleichung linearisiert werden. Der einzige Unterschied besteht darin, dass man jetzt Taylor-Reihen f¨ ur mehrere Variablen verwenden muss: fi (x1 , x2 , . . . , xn ) = fi (xk1 , xk2 , . . . , xkn ) + n ∂fi (xk1 , xk2 , . . . , xkn ) (xk+1 − xkj ) , j ∂xj j=1

(5.74)

f¨ ur i = 1, 2, . . . , n. Wenn dies gleich null gesetzt wird, erhält man ein System linearer algebraischer Gleichungen, das mit der Gauß-Elimination oder einer anderen Methode gel¨ ost werden kann. Die Matrix des Systems ist der Satz partieller Ableitungen: aij =

∂fi (xk1 , xk2 , . . . , xkn ) , ∂xj

i = 1, 2, . . . , n ,

j = 1, 2, . . . , n ,

(5.75)

der als Jacobi-Matrix des Systems bezeichnet wird. Das Gleichungssystem lautet:

140

5. L¨ osung linearer Gleichungssysteme n j=1

aij (xk+1 − xkj ) = −fi (xk1 , xk2 , . . . , xkn ) , j

i = 1, 2, . . . , n .

(5.76)

Mit einer Anfangsabsch¨ atzung, die nahe der richtigen Lösung liegt, konvergiert die Newton-Methode f¨ ur Systeme ebenso schnell wie f¨ ur eine einzelne Gleichung. Bei großen Systemen wird die schnelle Konvergenz jedoch durch ihren prinzipiellen Nachteil mehr als aufgehoben. Damit die Methode effektiv wird, muss die Jacobi-Matrix in jeder Iteration neu berechnet werden. Dies f¨ uhrt zu zwei Schwierigkeiten. Die erste ist, dass es im allgemeinen Fall n2 Elemente der Jacobi-Matrix gibt und deren Berechnung den teuersten Teil der Methode darstellt. Die zweite Schwierigkeit ist, dass eine direkte Methode zur Berechnung der Jacobi-Matrix oft gar nicht existiert: In vielen Gleichungssystemen sind die Gleichungen implizit oder so kompliziert, dass eine Differenzierung so gut wie unm¨ oglich ist. Nach Kenntnis der Autoren wurde die Newton-Methode nur einige Male zur L¨ osung der Navier-Stokes-Gleichungen verwendet, obwohl sie oft eingesetzt wird, um die Vereinfachungen dieser Gleichungen zu lösen. Es wurde herausgefunden, dass die Kosten f¨ ur die Generierung der Jacobi-Matrix und die L¨ osung des Gleichungssystems mit der Gauß-Elimination so hoch waren, dass trotz Konvergenz nach nur wenigen Iterationen die Gesamtkosten höher als bei anderen iterativen Methoden lagen. F¨ ur generische Systeme nichtlinearer Gleichungen sind Sekantenmethoden viel effektiver. F¨ ur eine einzelne Gleichung approximiert die Sekantenmethode die Ableitung der Funktion mit der Sekanten, die zwischen zwei Punkten auf der Kurve gezogen wird. Diese Methode konvergiert zwar langsamer als die Newton-Methode, da sie jedoch keine Berechnung der Ableitung benötigt, kann sie die L¨ osung zu niedrigeren Gesamtkosten finden. Außerdem kann diese Methode auch dann angewendet werden, wenn eine direkte Berechnung der Ableitungen nicht m¨ oglich ist. Es gibt eine Reihe von Verallgemeinerungen der Sekantenmethode f¨ ur Gleichungssysteme, wovon die meisten ziemlich effizient sind; da sie jedoch in der CFD keine Anwendung fanden, werden sie hier nicht untersucht. 5.5.2 Andere Techniken Die u osung von gekoppelten nichtlinearen ¨bliche Vorgehensweise bei der L¨ Gleichungen ist die sequentielle entkoppelte Methode, die im vorangegangenen Abschnitt beschrieben wurde. Die nichtlinearen Terme (konvektive Fl¨ usse, Quellterm) werden normalerweise gemäß der Picard-Iteration linearisiert. F¨ ur konvektive Terme bedeutet dies, dass der Massenfluss als bekannt angenommen wird; der nichtlineare konvektive Term in der Gleichung f¨ ur die Impulskomponente ui wird somit approximiert als: ρuj ui ≈ (ρuj )o ui ,

(5.77)

5.6 Verz¨ ogerte Korrektur

141

wobei der Index o bedeutet, dass die Werte dem Ergebnis der vorangegan¨ genen ¨ außeren Iteration entnommen wurden. Ahnlich wird der Quellterm in zwei Teile zerlegt: qφ = b 0 + b 1 φ .

(5.78)

Der Anteil b0 bleibt auf der rechten Seite der algebraischen Gleichung, w¨ ahrend b1 zur Koeffizientenmatrix A beitr¨ agt. Eine ähnliche Vorgehensweise kann f¨ ur nichtlineare Terme, die mehr als eine Variable enthalten, gewählt werden. Diese Art der Linearisierung erfordert viel mehr Iterationen, als eine simultane L¨ osung, die eine Newton-¨ ahnliche Linearisierung verwendet. Jedoch erfordert die Picard-Iteration wenig Speicher und Rechenaufwand, und die Anzahl der a üßeren Iterationen kann durch Verwendung von Mehrgittertechniken reduziert werden, was diese Vorgehensweise populär macht. Die Newton-Methode wird manchmal zur Linearisierung der nichtlinearen Terme eingesetzt; so kann zum Beispiel der konvektive Term in der Gleichung f¨ ur die Impulskomponente ui folgendermaßen ausgedr¨ uckt werden (die Dichte wird als konstant angenommen): ρuj ui ≈ ρuoj ui + ρuoi uj − ρuoj uoi .

(5.79)

Nichtlineare Quellterme k¨ onnen auf die gleiche Weise behandelt werden. Dies f¨ uhrt zu einem gekoppelten linearen Gleichungssystem, das schwer zu lösen ist, und die Konvergenz ist nicht quadratisch, außer es wird die volle NewtonMethode angewendet. Trotzdem k¨ onnen spezielle gekoppelte iterative Methoden, die von dieser Linearisierungstechnik profitieren, entwickelt werden, wie von Galpin und Raithby (1986) gezeigt wurde.

5.6 Verz¨ ogerte Korrektur Wenn alle Terme, die die Knotenwerte der unbekannten Variablen enthalten, auf der linken Seiten der Gl. (3.43) gehalten werden, kann der Rechenstern sehr groß werden. Da die Gr¨ oße des Rechensterns sowohl die Speicheranforderung als auch den zur L¨ osung des linearen Gleichungssystems notwendigen Aufwand beeinflusst, m¨ ochte man ihn so klein wie möglich halten; normalerweise werden auf der linken Seite der Gleichung nur die Variablen in den nächstliegenden Nachbarn des Punktes P als Unbekannte gehalten. Jedoch sind Approximationen, die einen derart einfachen Rechenstern liefern, normalerweise nicht genau genug, weshalb man gezwungen ist, bessere Approximationen zu verwenden, die sich auf mehrere als nur die nächsten Nachbarn beziehen. Eine M¨ oglichkeit, das Problem mit dem zu großen Rechenstern zu umgehen, w¨ are die Beibehaltung von Termen, die nur Variablenwerte in den

142


nächsten Nachbarn enthalten, auf der linken Seite der Gl. (3.43), und Verschiebung aller anderen Terme auf die rechte Seite, wo sie mit den vorliegenden Werten aus den vorherigen Iterationen berechnet werden können. Dies ist jedoch keine gute Vorgehensweise und kann zu Divergenz der Iterationen f¨ uhren, weil dann die explizit behandelten Terme groß sein können. Um ¨ Divergenz zu vermeiden, w¨ are eine starke Unterrelaxation der Anderungen von einer zur n¨ achsten Iteration erforderlich (siehe Abschnitt 5.4.3), was zu langsamer Konvergenz f¨ uhrt. Eine bessere Vorgehensweise ist, die Terme, die Approximationen höherer Ordnung beinhalten, explizit zu berechnen und auf die rechte Seite der Gleichung zu verschieben. Dann nimmt man eine einfachere Approximation f¨ ur dieselben Terme (eine, die nur unmittelbare Nachbarn von P einbezieht und somit einen kleinen Rechenstern liefert) und stellt sie sowohl auf die linke Seite der Gleichung (mit den unbekannten Variablenwerten) als auch auf die rechte Seite (explizit berechnet mit den bestehenden Werten). Die explizit berechneten Terme auf der rechten Seite stellen jetzt die Differenz zwischen zwei Approximationen derselben Terme dar, die normalerweise klein ist. Die expliziten Approximationen sollten somit keine Probleme in der iterativen L¨ osung verursachen. Wenn die Iterationen konvergieren, heben sich die mit Approximationen niedriger Ordnung berechneten Terme auf und die sich ergebende L¨ osung entspricht der Approximation höherer Ordnung. Da iterative Methoden normalerweise wegen der Nichtlinearität der zu l¨ osenden Gleichungen notwendig sind, vergr¨ oßert das Hinzuf¨ ugen eines kleinen Terms zum explizit behandelten Teil den Rechenaufwand nur um einen kleinen Betrag (es werden einige Iterationen mehr benötigt). Andererseits werden sowohl der erforderliche Speicher als auch die Rechenzeit sehr stark reduziert, wenn die Gr¨ oße des Rechensterns in dem Teil der Gleichung, der implizit behandelt wird, klein ist. ¨ Auf diese Technik wird noch des Ofteren Bezug genommen. Sie wird bei der Behandlung von Approximationen h¨ oherer Ordnung, von Gitternichtorthogonalit¨ at und von notwendigen Korrekturen zur Vermeidung unerw¨ unschter Effekte, wie Oszillationen in der L¨ osung, angewendet. Da die rechte Seite der Gleichung als eine Art “Korrektur” betrachtet werden kann, wird diese Methode verzögerte Korrektur genannt. Hier wird ihr Einsatz in Verbindung mit den Padé-Approximationen in FD-Methoden (siehe Abschnitt 3.3.3) und bei Approximationen h¨ oherer Ordnung in FV-Methoden (siehe Abschnitt 4.4.4) beschrieben. M¨ ochte man die Padé-Approximationen in impliziten FD-Methoden verwenden, muss eine verz¨ ogerte Korrektur eingesetzt werden, da die Approximation der Ableitung in einem Punkt Ableitungen in den Nachbarpunkten einschließt. Ein Weg ist die Verwendung der “alten Werte” der Ableitungen in den Nachbarpunkten und der Variablenwerte in den fernen Punkten. Diese nimmt man normalerweise aus dem Ergebnis der vorangegangenen Iteration; alt man: so erh¨

5.6 Verz¨ ogerte Korrektur

∂φ ∂x

alt φi+2 − φi−2 φi+1 − φi−1 +γ 2 Δx 4 Δx alt alt ∂φ ∂φ −α −α . ∂x i+1 ∂x i−1

143

=β i

(5.80)

In diesem Fall wird nur der erste Term auf der rechten Seite dieses Ausdrucks auf die linke Seite der Gleichung bewegt, die in einer neuen äußeren Iteration gel¨ ost werden soll. Diese Vorgehensweise kann jedoch die Konvergenzrate ung¨ unstig beeinflussen, da der implizit behandelte Teil nicht eine Approximation der Ableitung darstellt, sondern ein Mehrfaches davon. Die folgende Version der verz¨ ogerten Korrektur ist effektiver:

∂φ ∂x

i

φi+1 − φi−1 + = 2 Δx

∂φ ∂x

Padé i

−

φi+1 − φi−1 2 Δx

alt

.

(5.81)

Hier wird die vollst¨ andige Zentraldifferenz-Approximation 2. Ordnung auf der linken Seite verwendet. Auf der rechten Seite bleibt die Differenz zwischen der explizit berechneten Ableitung mit Padé- und mit ZentraldifferenzApproximation. Dies ergibt einen besser ausbalancierten Ausdruck: Wenn die Zentraldifferenz-Approximation 2. Ordnung genau genug ist, wird der Term in den eckigen Klammern vernachl¨ assigbar klein. Anstelle von Zentraldifferenz k¨ onnte man auch die Aufwind-Approximation 1. Ordnung einsetzen; die konvergierte L¨ osung w¨ urde damit nicht beeinflusst, nur die Konvergenzrate w¨ urde sich ¨ andern. Die verz¨ ogerte Korrektur ist ebenfalls in FV-Methoden n¨ utzlich, wenn die Fl¨ usse mit Verfahren h¨ oherer Ordnung approximiert werden (siehe Abschnitt 4.4.4). Die Flussapproximation h¨ oherer Ordnung wird explizit berechnet und mit einer Approximation niedrigerer Ordnung, die nur Variablenwerte in den n¨ achsten Nachbarn verwendet, kombiniert (zuerst von Khosla und Rubin, 1974, vorgeschlagen): alt Fe = FeL + FeH − FeL . FeL

(5.82)

steht f¨ ur die Flussapproximation niedriger Ordnung (Aufwind-Approximation 1. Ordnung wird oft f¨ ur konvektive und Zentraldifferenz 2. Ordnung f¨ ur diffusive Fl¨ usse eingesetzt) und FeH steht f¨ ur die Flussapproximation h¨ oherer Ordnung. Der Term in Klammern wird mit den Werten aus der vorangegangenen Iteration berechnet, was durch den Index “alt” gekennzeichnet wird. Dieser Term ist normalerweise klein, weshalb seine explizite Behandlung die Konvergenz nicht wesentlich beeinflusst. Die gleiche Vorgehensweise kann bei allen Approximationen höherer Ordnung, einschließlich der Spektralmethoden, angewendet werden. Obwohl die verz¨ ogerte Korrektur die Rechenzeit pro Iteration im Vergleich zum reinen

144


Verfahren niedriger Ordnung erh¨ oht, ist der zusätzliche Aufwand viel kleiner als der, der n¨ otig w¨ are, um die gesamte Approximation höherer Ordnung implizit zu behandeln. Man kann den “alten” Term auch mit einem Mischungsfaktor zwischen null und eins multiplizieren, um eine Mischung aus Verfahren niedriger und höherer Ordnung zu erhalten. Dies wird manchmal getan, um Oszillationen zu vermeiden, die bei der Verwendung von Verfahren höherer Ordnung bei Gittern, die nicht ausreichend fein sind, auftreten. Wird beispielsweise die Str¨ omung um einen K¨ orper berechnet, so m¨ ochte man ein feines Gitter in K¨ orpern¨ ahe und ein gr¨ oberes Gitter weiter davon entfernt verwenden. Ein Verfahren hoher Ordnung kann Oszillationen in der Region des groben Gitters hervorrufen und so die gesamte L¨ osung verderben. Da sich die Variablen in der Grobgitterregion nur wenig a ndern, kann man die Ordnung der Appro¨ ximation dort reduzieren, ohne die Genauigkeit der Lösung in der Feingitterregion zu beeinflussen. Dies kann durch Verwendung eines Mischungsfaktors nur in der Grobgitterregion erreicht werden. Weitere Details zu anderen Anwendungen der verzögerten Korrekturmethode werden in den folgenden Kapiteln gegeben.

5.7 Konvergenzkriterien und Iterationsfehler Bei der Verwendung iterativer L¨ oser ist es wichtig zu wissen, wann man mit Iterieren aufh¨ oren soll. Das am h¨ aufigsten verwendete Kriterium basiert auf der Differenz zwischen L¨ osungen in zwei aufeinander folgenden Iterationen; das Verfahren wird angehalten, wenn die normalisierte Differenz kleiner als ein vorgew¨ ahlter Wert ist. Leider kann diese Differenz klein sein, wenn der Fehler nicht klein ist und die richtige Normalisierung ist von entscheidender Bedeutung. Anhand der in Abschnitt 5.3.2 vorgestellten Analyse erhält man (siehe Gl. (5.14) und (5.27)): δ n = φn+1 − φn ≈ (λ1 − 1)(λ1 )n a1 ψ 1 ,

(5.83)

n

osungen in den Iterationen n+1 und n wobei δ die Differenz zwischen den L¨ darstellt, und λ1 ist der gr¨ oßte Eigenwert oder Spektralradius der Iterationsmatrix. Er kann abgesch¨ atzt werden als: λ1 ≈

δ n

,

δ n−1

(5.84)

wobei a die Norm (z. B. Wurzel aus der Summe der Quadrate aller Elemente, auch als “rms-” oder L2 -Norm bezeichnet) von a ist. Wenn die Absch¨ atzung des Eigenwertes vorliegt, ist es nicht schwierig, den Iterationsfehler abzusch¨ atzen. Eigentlich erhält man durch Umformung der Gl. (5.83) (siehe auch Gl. (5.26) und (5.27)):

5.7 Konvergenzkriterien und Iterationsfehler

n = φ − φn ≈

δn . λ1 − 1

145

(5.85)

Eine gute Absch¨ atzung des Iterationsfehlers ist dementsprechend:

n ≈

δ n

. λ1 − 1

(5.86)

Die Fehlerabsch¨ atzung kann aus L¨ osungen zu zwei aufeinander folgenden Iterationen berechnet werden. Diese Methode wurde f¨ ur lineare Gleichungssysteme entworfen. In Konvergenzn¨ ahe sind jedoch alle Gleichungssysteme im Wesentlichen linear; da die Fehlerabsch¨ atzung zu diesem Zeitpunkt am wichtigsten ist, kann die Methode ebenfalls bei nichtlinearen Gleichungssystemen angewendet werden. Leider haben iterative Methoden oft komplexe Eigenwerte. Wenn dies der Fall ist, ist die Fehlerreduzierung nicht exponentiell und kann nichtmonoton sein. Da die Gleichungen reell sind, m¨ ussen komplexe Eigenwerte als konjugierte Paare auftreten. Deren Absch¨ atzung erfordert eine Erweiterung der obigen Prozedur. Im Besonderen sind Daten aus mehreren Iterationen notwendig. Einige der im Weiteren verwendeten Ideen sind bei Golub und van Loan (1990) zu finden. Wenn die betragsm¨ aßig gr¨ oßten Eigenwerte komplex sind, gibt es mindestens zwei davon, und die Gl. (5.27) muss ersetzt werden durch: n ≈ a1 (λ1 )n ψ 1 + a∗1 (λ∗1 )n ψ ∗1 ,

(5.87)

wo * die Konjugierte einer komplexen Gr¨ oße kennzeichnet. Wie zuvor subtrahiert man die L¨ osungen nach zwei aufeinander folgenden Iterationen, um δ n zu erhalten, siehe Gl. (5.83). F¨ uhrt man nun: ω = (λ1 − 1)a1 ψ 1

(5.88)

ein, dann wird der folgende Ausdruck erhalten: δ n ≈ (λ1 )n ω + (λ∗1 )n ω ∗ .

(5.89)

Da der Betrag des Eigenwertes λ1 die interessanteste Größe ist, kann man schreiben: λ1 = eiϑ .

(5.90)

Eine einfache Berechnung f¨ uhrt dann zu: z n = δ n−2 · δ n − δ n−1 · δ n−1 = 22n−2 |ω|2 [cos(2ϑ) − 1] , woraus man einfach zeigen kann, dass ! zn = z n−1 eine Absch¨ atzung des Betrags des Eigenwertes ist.

(5.91)

(5.92)

146


F¨ ur eine Fehlerabsch¨ atzung sind weitere Approximationen notwendig. Die komplexen Eigenwerte verursachen Oszillationen der Fehler und die Form des Fehlers ist nicht unabh¨ angig von der Iterationszahl, auch nicht f¨ ur große n. Zur Absch¨ atzung des Fehlers berechnet man aus den oben gegebenen Ausdr¨ ucken δ n und . Wegen der komplexen Eigenwerte und Eigenvektoren beinhaltet das Ergebnis Terme, die proportional zum Kosinus des Phasenwinkels sind. Da man nur am Betrag interessiert ist, nimmt man diese Terme im durchschnittlichen Sinn mit null an und l¨ asst sie weg. Dadurch kann man eine einfache Beziehung zwischen dem Fehler und der Differenz finden: δn n ≈ √ . 2 + 1

(5.93)

Dies ist die gew¨ unschte Absch¨ atzung des Iterationsfehlers. Wegen den Oszillationen in der L¨ osung kann die Absch¨ atzung in jeder einzelnen Iteration ungenau sein, aber – wie sp¨ ater noch gezeigt wird – ist sie im Durchschnitt recht gut. Um einige Effekte der Oszillationen zu beseitigen, sollten die Abschätzungen der Eigenwerte u ¨ ber einige Iterationen gemittelt werden. Abhängig vom Problem und der Anzahl der erwarteten Iterationen kann der Mittelungsbereich von 2 bis 50 Iterationen variieren (typisch 1 % der erwarteten Anzahl an Iterationen). Schließlich m¨ ochte man eine Methode haben, die sowohl reelle als auch komplexe Eigenwerte behandeln kann. Der Fehlerschätzer f¨ ur den komplexen Fall (5.93) liefert niedrige Absch¨ atzungen, wenn der Haupteigenwert (λ1 ) reell ist. In diesem Fall entf¨ allt auch der Beitrag von λ1 zu z n und somit ist die Eigenwertabsch¨ atzung ziemlich schlecht. Jedoch kann dieser Umstand genutzt werden, um festzustellen, ob λ1 reell oder komplex ist. Wenn das Verh¨ altnis: r=

zn |δ n |2

(5.94)

klein ist, ist der Eigenwert wahrscheinlich reell; ist r groß, dann ist der Eigenwert wahrscheinlich komplex. Bei reellen Eigenwerten tendiert r dazu, kleiner als 10−2 zu sein, w¨ ahrend bei komplexen Eigenwerten r ≈ 1. Deshalb kann man einen Wert von r = 0, 1 als Grenzwert zur Feststellung des Typs des Eigenwertes annehmen, und dann den entsprechenden Ausdruck f¨ ur den Fehlersch¨ atzer verwenden. Ein Kompromiss ist die Verwendung der Reduktion der Residuen als Abbruchkriterium f¨ ur Iterationen. Das Iterieren wird angehalten, wenn die Residuennorm bis auf einen Bruchteil ihrer urspr¨ unglichen Größe (normalerweise um drei oder vier Gr¨ oßenordnungen) reduziert worden ist. Wie vorher gezeigt wurde, steht der Iterationsfehler u ¨ber die Gl. (5.15) mit dem Residuum in Beziehung, weshalb die Reduzierung des Residuums mit der Reduzierung

5.7 Konvergenzkriterien und Iterationsfehler

147

des Iterationsfehlers einhergeht. Wenn Iterationen mit Nullwerten als Anfangsl¨ osung starten, ist der Anfangsfehler gleich der Lösung selbst. Ist das Residuenniveau beispielsweise um drei bis vier Größenordnungen unter das Ausgangsniveau gefallen, ist es wahrscheinlich, dass die Fehler um ein vergleichbares Maß gefallen sind, d. h. sie liegen in der Größenordnung von 0,1 % der L¨ osung. Die Residuen und die Iterationsfehler fallen normalerweise nicht auf die gleiche Weise zu Beginn des Iterationsprozesses; Vorsicht ist ebenfalls geboten, weil bei schlecht konditionierter Matrix die Fehler selbst dann groß sein k¨ onnen, wenn die Residuen klein sind. Viele iterative L¨ oser verlangen die Berechnung der Residuen. Die oben beschriebene Vorgehensweise ist in diesen F¨ allen attraktiv, da sie keine weitere Berechnung verlangt. Die Norm der Residuen vor der ersten inneren ¨ Iteration liefert eine Referenz zur Uberpr¨ ufung der Konvergenz der inneren Iterationen. Gleichzeitig liefert sie ein Maß f¨ ur die Konvergenz der aüßeren Iterationen. Erfahrung zeigt, dass innere Iterationen gestoppt werden können, wenn die Residuen um eine Gr¨ oßenordnung gefallen sind. Ausnahme ist die Lösung der Druck- bzw. Druckkorrekturgleichung in einigen Verfahren f¨ ur instation¨ are Str¨ omungen; darauf wird bei der Beschreibung dieser Verfahren ¨ in Kapitel 7 hingewiesen. Außere Iterationen sollten nicht gestoppt werden, bevor die Residuen um drei bis f¨ unf Gr¨ oßenordnungen – abhängig von der gew¨ unschten Genauigkeit – reduziert worden sind. Die Summe der absoluten Residuen (die L1 -Norm) kann statt der rms- bzw. L2 -Norm verwendet werden. Das Konvergenzkriterium sollte auf feinen Gittern strenger sein, weil dann die Diskretisierungsfehler kleiner als auf groben Gittern sind; die Iterationsfehler sollten immer deutlich kleiner als die Diskretisierungsfehler sein. Die Summe der absoluten Werte der Residuen ber¨ ucksichtigt dies automatisch, da bei feineren Gittern mehrere Werte zur Summe beitragen als bei gr¨ oberen. Wenn die Gr¨ oßenordnung der Ausgangsfehler bekannt ist, ist es möglich, die Norm der Differenzen zwischen L¨ osungen zu zwei aufeinander folgenden Iterationen zu beobachten und sie mit derselben Größe zu Beginn des Iterationsprozesses zu vergleichen. Wenn die Norm der Differenzen um drei bis vier Gr¨ oßenordnungen gefallen ist, haben sich die Fehler normalerweise um einen vergleichbaren Betrag verringert. Beide Methoden sind nur N¨ aherungen; sie sind jedoch besser als das Kriterium, das auf den nicht normalisierten Differenzen zwischen Lösungen bei zwei aufeinander folgenden Iterationen basiert. Um die Methode zur Absch¨ atzung der Iterationsfehler zu testen, wurde zuerst die L¨ osung eines 2D-Problems mit dem SOR-Löser untersucht. Das lineare Problem ist eine Laplace-Gleichung in einem quadratischen Lösungsgebiet {0 < x < 1; , 0 < y < 1} mit Dirichlet-Randbedingungen, die entsprechend der L¨ osung φ(x, y) = 100 xy gew¨ ahlt wurden. Der Vorteil dieser Wahl besteht darin, dass die Zentraldifferenz-Approximation 2. Ordnung auf jedem Gitter zur exakten L¨ osung f¨ uhrt (da die Ableitungen lineare Funktionen

148


¨ Abbildung 5.3. Anderung der Norm des exakten Iterationsfehlers, der Fehlerabsch¨ atzung, des Residuums und der Differenz zwischen L¨ osungen f¨ ur zwei aufeinander folgende Iterationen f¨ ur das Laplace-Problem, gel¨ ost mit dem SOR-L¨ oser auf einem Gitter mit 20 × 20 KVs: Relaxationsparameter kleiner (links) und gr¨ oßer (rechts) als das Optimum

des Raums sind). Somit kann die tats¨ achliche Differenz zwischen der Lösung zur gegenw¨ artigen Iteration und der konvergierten Lösung einfach berechnet werden. Die Ausgangsabsch¨ atzung der L¨ osung ist im ganzen Lösungsgebiet gleich null. Es wurde die SOR-Methode als iterativer Löser gewählt, weil die Eigenwerte komplex sind, wenn der Relaxationsparameter größer als der Optimalwert ist. Somit kann das Verhalten des L¨ osers sowohl f¨ ur reelle als auch f¨ ur komplexe Eigenwerte im selben Testfall untersucht werden. In den Abbildungen 5.3 und 5.4 werden Ergebnisse f¨ ur äquidistante Gitter mit 20 × 20 und 80 × 80 KVs gezeigt. In jedem Fall werden die Normen des exakten Iterationsfehlers, des mit der oben beschriebenen Methode geschätzten Fehlers, der Differenz zwischen L¨ osungen zu zwei nacheinander folgenden Iterationen sowie der Residuen dargestellt. F¨ ur beide Fälle werden die Ergebnisse der Berechnung f¨ ur zwei Werte des Relaxationsparameters dargestellt: einem unter dem Optimalwert, der reelle Eigenwerte hat, und einem u ¨ ber dem Optimum, der zu komplexen Eigenwerten f¨ uhrt. Im Fall von reellen Eigenwerten ergibt sich eine glatte exponentielle Konvergenz. Die Fehlerabschätzung ist in diesem Fall fast exakt (außer in der Anfangsperiode). Die Normen des Residuums und der Differenz zwischen L¨ osungen zu zwei Iterationen fallen anf¨ anglich zu schnell ab und folgen nicht dem Verlauf des Iterationsfehlers. Dieser Effekt tritt mit der Gitterverfeinerung noch deutlicher hervor. Auf dem

5.8 Beispiele

149

Gitter mit 80 × 80 KVs wird die Residuennorm schnell um zwei Größenordnungen reduziert, w¨ ahrend die Fehlernorm nur wenig verringert wird. Wenn einmal der asymptotische Verlauf erreicht ist, sind alle vier Kurven parallel und beschreiben die Rate des Fehlerabbaus sehr genau.

¨ Abbildung 5.4. Anderung der Norm des exakten Iterationsfehlers, des gesch¨ atzten Fehlers, des Residuums und der Differenz zwischen zwei L¨ osungen f¨ ur das LaplaceProblem mit SOR-L¨ oser auf einem Gitter mit 80 × 80 KVs: Relaxationsparameter kleiner (links) und gr¨ oßer (rechts) als das Optimum

Im Falle, dass die Eigenwerte der Iterationsmatrix komplex sind, ist die Konvergenz nicht monoton – es sind Oszillationen im Fehler enthalten. Der Vergleich des vorhergesagten und des exakten Fehlers ist trotzdem auch in diesem Fall ziemlich zufriedenstellend. Alle oben erwähnten Konvergenzkriterien sind in diesem Fall gleich gut. Weitere Beispiele f¨ ur die Absch¨ atzung von Iterationsfehlern, insbesondere bei ¨ außeren Iterationen w¨ ahrend der L¨ osung gekoppelter Strömungsprobleme, werden in Abschnitt 7.7 noch vorgestellt.

5.8 Beispiele Im vorangegangenen Kapitel wurden L¨ osungen f¨ ur einige 2D-Probleme vorgestellt, ohne die L¨ osungsmethoden zu diskutieren. In diesem Abschnitt wird die Effizienz verschiedener L¨ oser f¨ ur den Fall des Skalartransports in einer Staupunktstr¨ omung analysiert. Die Beschreibung des Problems und der Diskretisierungsmethoden zur Herleitung der linearen Gleichungssysteme wurden in Abschnitt 4.7 pr¨ asentiert.

150


Es wird ein Fall mit Γ = 0, 01 und ¨ aquidistanten Gittern mit 20 × 20, 40 × 40 und 80 × 80 KVs betrachtet. Die Gleichungsmatrix A ist nicht symmetrisch und ist im Falle der Diskretisierung mit Zentraldifferenzen bzw. linearer Interpolation nicht diagonaldominant. In einer diagonaldominanten Matrix erf¨ ullt das Element auf der Hauptdiagonalen die folgende Bedingung: AP ≥ |Al | . (5.95) l

Es kann gezeigt werden, dass eine ausreichende Bedingung f¨ ur die Konvergenz iterativer L¨ osungsmethoden ist, dass die obige Beziehung erf¨ ullt ist und dass die Ungleichheit in mindestens einem Punkt gilt. Während einfache Löser wie Jacobi und Gauß-Seidel normalerweise divergieren, wenn die oben genannte Bedingung nicht erf¨ ullt wird, sind ILU, SIP und die Methode der konjugierten Gradienten weniger empfindlich auf diagonale Dominanz der Matrix. Es werden f¨ unf L¨ oser betrachtet: • Gauß-Seidel, abgek¨ urzt GS; • Linien-Gauß-Seidel, der TDMA entlang der Linien mit x = konst. verwendet, abgek¨ urzt mit LGS-X; • Linien-Gauß-Seidel, der TDMA entlang der Linien mit y = konst. verwendet, abgek¨ urzt mit LGS-Y; • Linien-Gauß-Seidel, der abwechselnd entlang der Linien mit x = konst. und y = konst. TDMA verwendet, abgek¨ urzt mit LGS-ADI; • ILU-Methode nach Stone, kurz SIP. Tabelle 5.1 zeigt die Anzahl der Iterationen, die die oben genannten Löser ben¨ otigen, um die Summe absoluter Residuen um vier Größenordnungen zu reduzieren. Tabelle 5.1. Anzahl der Iterationen, die verschiedene L¨ oser ben¨ otigen, um die Reoßenordnungen zu reduzieren, wenn der Skalartransport siduennorm L1 um vier Gr¨ in einer 2D Staupunktstr¨ omung berechnet wird. Diskretisierung Aufwinddifferenzen

Zentraldifferenzen

Gitter 20 × 20 40 × 40 80 × 80 20 × 20 40 × 40 80 × 80

GS 68 211 720 163 633

LGS-X 40 114 381 95 349

LGS-Y 35 110 384 77 320

LGS-ADI 18 52 175 12 39 153

SIP 14 21 44 19 19 40

Aus der Tabelle ist ersichtlich, dass die LGS-X- und LGS-Y-Löser ungef¨ ahr zweimal so schnell sind wie GS; LGS-ADI ist ungefähr zweimal so schnell wie LGS-X; und auf den feineren Gittern ist SIP ungefähr viermal so schnell wie LGS-ADI. Bei GS- und LGS-L¨ osern erhöht sich die Anzahl an

5.8 Beispiele

151

Iterationen mit jeder Gitterverfeinerung um einen Faktor von ca. vier. Der Faktor ist im Fall von SIP und LGS-ADI kleiner, doch wie am nächsten Beispiel zu sehen sein wird, w¨ achst der Faktor und nähert sich im Grenzfall von sehr feinen Gittern asymptotisch dem Wert vier. Eine andere interessante Beobachtung ist, dass GS- und LGS-Löser auf dem Gitter mit 20 × 20 KVs und Diskretisierung mit Zentraldifferenzen nicht konvergieren. Der Grund ist, dass in diesem Fall die Matrix nicht diagonaldominant ist. Selbst f¨ ur das Gitter mit 40 × 40 KVs ist die Matrix nicht vollst¨ andig diagonaldominant, jedoch liegt die Störung im Gebiet der gleichm¨ aßigen Verteilung der Variablen (niedrige Gradienten), so dass die Auswirkung auf den L¨ oser nicht schwerwiegend ist. Im Folgenden wird ein Testfall betrachtet, f¨ ur den eine analytische Lösung vorliegt und wo die Diskretisierung mit Zentraldifferenzen auf jedem Gitter die exakte L¨ osung liefert. Dies hilft bei der Berechnung des Iterationsfehlers, aber die L¨ oser profitieren davon nicht, so dass dieser Fall zur Beurteilung der L¨ oserleistung gut geeignet ist. Es wird die Laplace-Gleichung mit den Dirichlet-Randbedingungen gel¨ ost, f¨ ur die die genaue Lösung φ = xy ist. Das Lösungsgebiet ist ein Rechteck, die L¨ osung wird an allen Rändern vorgegeben und die Ausgangswerte im Inneren sind u ¨ berall gleich null. Der Ausgangsfehler ist somit gleich der L¨ osung und ist eine glatte Funktion der Raumkoordinaten. Die Diskretisierung erfolgte mit der FV-Methode, beschrieben im vorangegangenen Kapitel, und mit Zentraldifferenzen. Da es keine Konvektion gibt, ist das Problem vollelliptisch. Die untersuchten L¨ oser sind: • Gauß-Seidel-L¨ oser, kurz GS; • Linien-Gauß-Seidel-L¨ oser mit wechselweisem Einsatz von TDMA entlang der Linien x = konst. und y = konst., kurz LGS-ADI; • ADI-L¨ oser, beschrieben in Abschnitt 5.3.5; • ILU-Methode nach Stone, kurz SIP; • Methode der konjugierten Gradienten, vorkonditioniert mit der unvollandigen Choleski-Zerlegung, kurz ICCG; st¨ • Mehrgittermethode, die GS als Gl¨ atter verwendet, kurz MG-GS; • Mehrgittermethode mit SIP als Gl¨ atter, kurz MG-SIP. Tabelle 5.2 zeigt die Ergebnisse auf einem äquidistanten Gitter in einem quadratischen L¨ osungsgebiet. LGS-ADI ist wieder viermal schneller als GS, und SIP ist ca. viermal schneller als LGS-ADI. ADI ist auf groben Gittern weniger effizient als SIP, doch wenn der optimale Zeitschritt gewählt wird, steigt die Anzahl der Iterationen nur um den Faktor zwei, wenn die Anzahl der Gitterpunkte in eine Richtung verdoppelt wird; somit ist der ADI-Löser auf feinen Gittern ziemlich effizient. Wird der Zeitschritt zyklisch variiert, wird der L¨ oser noch effizienter. Dies gilt auch f¨ ur SIP, jedoch erhöht eine zyklische Ver¨ anderung des Parameters α den Rechenaufwand pro Iteration erheblich.

152


Tabelle 5.2. Anzahl der Iterationen, die verschiedene L¨ oser ben¨ otigen, um die L1 Fehlernorm unter 10−5 zu reduzieren, wenn die 2D-Laplace-Gleichung mit DirichletRandbedingungen in einem quadratischen L¨ osungsgebiet von X × Y = 1 × 1 mit aquidistantem Gitter in beide Richtungen gel¨ ost wird ¨ Gitter 8×8 16 × 16 32 × 32 64 × 64 128 × 128 256 × 256

GS 74 292 1160 4622 -

LGS-ADI 22 77 294 1160 -

ADI 16 31 64 132 274 -

SIP 8 20 67 254 1001 -

ICCG 7 13 23 46 91 181

MG-GS 12 10 10 10 10 10

MG-SIP 7 6 6 6 6 6

Die Anzahl der Iterationen, die mit ADI zum Erreichen des Konvergenzkriteriums bei verschiedenen Zeitschritten notwendig sind, wird in Tabelle 5.3 dargestellt. Der optimale Zeitschritt wird um den Faktor zwei reduziert, wenn das Gitter verfeinert wird. Tabelle 5.3. Anzahl der Iterationen, die der ADI-L¨ oser ben¨ otigt, als Funktion der Zeitschrittgr¨ oße (¨ aquidistantes Gitter in beide Richtungen, 64 × 64 KVs) 1/Δt Iterationsanzahl

80 152

68 134

64 132

60 134

32 234

16 468

8 936

ICCG ist wesentlich schneller als SIP; die Iterationsanzahl verdoppelt sich nur, wenn das Gitter verfeinert wird, weshalb sein Vorteil auf feinen Gittern gr¨ oßer ist. Mehrgitterl¨ oser sind sehr effizient; mit SIP als Glätter sind nur 6 Iterationen auf dem feinsten Gitter notwendig. Mit den MG-Lösern war die gr¨ obste Ebene 2 × 2 KVs; es gab also drei Ebenen auf dem Gitter mit 8 × 8 KVs und 8 Ebenen auf dem Gitter mit 256 × 256 KVs. Nach der Prolongation wurde eine Iteration auf dem feinsten Gitter und auf allen unteren Ebenen durchgef¨ uhrt. W¨ ahrend der Restriktionsphase, wurden vier Iterationen auf jedem der gr¨ oberen Gittern durchgef¨ uhrt. In SIP wurde der Parameter α gleich 0,92 gesetzt. Es wurde nicht versucht, die Optimalwerte der Parameter zu finden; die erzielten Ergebnisse sind repr¨ asentativ genug, um die Trends und die relative Leistung der verschiedenen Löser zu zeigen. Es muss auch ber¨ ucksichtigt werden, dass der benötigte Rechenaufwand pro Iteration f¨ ur alle L¨ oser unterschiedlich ist. Nimmt man die Kosten einer GS-Iteration als Maß, so ergeben sich die folgenden relativen Kosten: LGSAD – 2,5; ADI – 3,0; SIP – 4,0 f¨ ur die erste Iteration und danach 2,0; ICCG – 4,5 f¨ ur die erste Iteration und 3,0 danach. Bei MG-Methoden muss man die Iterationsanzahl auf dem feinsten Gitter mit ungefähr 1,5 multiplizieren, um den Aufwand auf gr¨ oberen Gittern zu ber¨ ucksichtigen. MG-GS ist deshalb rechnerisch der effizienteste L¨ oser f¨ ur diesen Fall.

5.8 Beispiele

153

¨ Abbildung 5.5. Anderung der L1 -Norm des Residuums (links) und des Iterationsfehlers (rechts) als Funktion der Anzahl der durchgef¨ uhrten Iterationen f¨ ur verschiedene L¨ oser und ein a osung der ¨quidistantes Gitter mit 64 × 64 KVs (L¨ Laplace-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen)

Da die Konvergenzrate f¨ ur jeden L¨ oser unterschiedlich ist, hängen die relativen Kosten davon ab, wie genau man die Gleichungen lösen möchte. Um dieses Problem zu analysieren, wurden die Verläufe der Summe der absoluten Residuen und des Iterationsfehlers als Funktion der Iterationsanzahl in Abb. 5.5 dargestellt. Zwei Beobachtungen k¨ onnen dabei gemacht werden: • Der Abfall der Residuen ist zu Beginn ungleichmäßig, aber nach einer bestimmten Anzahl an Iterationen wird die Konvergenzrate konstant. Eine Ausnahme ist der ICCG-L¨ oser, der mit fortlaufenden Iterationen schneller wird. Wird eine sehr genaue L¨ osung ben¨ otigt, sind MG-Löser und ICCG die beste Wahl. Falls mittelm¨ aßige Genauigkeit gew¨ unscht wird – wie es bei der L¨ osung von nichtlinearen Problemen oft der Fall ist –, wird SIP konkurrenzf¨ ahig, und selbst ADI kann in diesem Fall gut genug sein. • Die Anfangsreduktion der Residuennorm wird nicht von einer gleichen Reduktion der Iterationsfehler bei GS, SIP, ICCG und ADI Lösern begleitet. Nur MG-L¨ oser reduzieren die Fehler und die Residuen mit demselben Tempo. Diese Schlussfolgerungen sind ziemlich allgemein g¨ ultig, obwohl es problemabh¨ angige Faktoren gibt. In Kapitel 7 werden ähnliche Ergebnisse f¨ ur die L¨ osung der Navier-Stokes-Gleichungen gezeigt. Da der SIP-Löser in der CFD auf strukturierten Gittern oft verwendet wird, wird die Abh¨ angigkeit der Iterationsanzahl, die zum Erreichen des Konvergenzkriteriums ben¨ otigt wird, als Funktion des Parameters α in Abb. 5.6 gezeigt. F¨ ur α = 0 reduziert sich SIP auf den normalen ILU-Löser. Mit dem

154


Abbildung 5.6. Anzahl der notwendigen Iterationen, um die L1 Residuennorm im obigen 2D Laplace-Problem mit einem SIPL¨ oser unter 10−4 zu reduzieren, als Funktion des α-Parameters

Optimalwert von α ist SIP ca. sechsmal so schnell wie ILU. Das Problem mit SIP ist, dass der Optimalwert von α am Ende des Bereiches der einsetzbaren Werte liegt: Ist α nur geringf¨ ugig gr¨ oßer als der Optimalwert, konvergiert die Methode nicht mehr. Der Optimalwert liegt normalerweise zwischen 0,92 und 0,96. Sicherheitshalber benutzt man meistens α = 0, 92, obwohl dieser Wert normalerweise nicht optimal ist; er liefert immer noch eine ca. 5-fache Geschwindigkeit der normalen ILU-Methode. Einige L¨ oser werden vom Streckungsfaktor des Gitters beeinflusst, weil die Gr¨ oßenordnungen der Koeffizienten dann stark variieren. In einem Gitter mit Δx = 10 Δy sind die Koeffizienten AN und AS 100-mal größer als AW und AE (siehe Abschnitt mit Beispielen im vorangegangenen Kapitel). Um diesen Effekt zu untersuchen, wurde das oben beschriebene Problem mit der Laplace-Gleichung in einem rechteckigen Gebiet mit X × Y = 10 × 1 gel¨ ost, wobei dieselbe Anzahl an Gitterpunkten in jede Richtung verwendet wurde. Tabelle 5.4 zeigt die notwendige Iterationszahl, um die L1 Residuennorm f¨ ur verschiedene L¨ oser unter 10−5 zu reduzieren. Der GS-Löser ist nicht betroffen, aber er ist nicht l¨ anger ein geeigneter Glätter f¨ ur die MGMethode. LGS-ADI und SIP-L¨ oser werden im Vergleich zum quadratischen Gitterproblem wesentlich schneller. ICCG ist auch etwas effizienter. MG-SIP wird nicht beeinflusst, aber MG-GS verschlechtert sich wesentlich. Dieses Verhalten ist typisch und tritt auch bei Transportgleichungen mit Konvektion auf (obwohl der Effekt weniger stark ist, wenn Konvektion dominiert), sowie auf nicht¨ aquidistanten Gittern, die sowohl kleine als auch große Streckungsfaktoren beinhalten. Eine mathematische Erklärung f¨ ur die Verschlechterung von GS- und die Verbesserung der ILU-Leistung mit wachsendem Streckungsfaktor wurde von Brandt (1984) gegeben. Zum Schluss werden einige Ergebnisse zur Lösung der Poisson-Gleichung mit Neumann-Randbedingungen in 3D vorgestellt. Druck- und Druckkorrekturgleichungen in der CFD sind von dieser Art. Die gelöste Gleichung lautet:

5.8 Beispiele

155

Tabelle 5.4. Anzahl der Iterationen, die verschiedene L¨ oser ben¨ otigen, um die L1 Residuennorm unter 10−5 zu reduzieren, bei der L¨ osung der 2D Laplace-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen in einem rechteckigen L¨ osungsgebiet von X × Y = 10 × 1 mit ¨ aquidistantem Gitter in beide Richtungen Gitter 8×8 16 × 16 32 × 32 64 × 64 128 × 128 256 × 256

GS 74 293 1164 4639 -

LGS-ADI 5 8 18 53 189 -

SIP 4 6 13 38 139 -

ICCG 4 6 11 21 41 82

MG-GS 54 140 242 288 283 270

MG-SIP 3 4 5 6 6 6

Tabelle 5.5. Anzahl der Iterationen, die verschiedene L¨ oser ben¨ otigen, um die L1 Residuennorm unter 10−4 bei der L¨ osung der 3D Poisson-Gleichung mit NeumannRandbedingungen zu reduzieren Grid 3

8 163 323 643

GS

SIP

ICCG

CGSTAB

FMG-GS

FMG-SIP

66 230 882 -

27 81 316 1288

10 19 34 54

7 12 21 41

10 10 9 7

6 6 6 6

∂2φ ∂2φ ∂2φ + 2 + 2 = sin(x∗ π) sin(y ∗ π) sin(z ∗ π) , ∂x2 ∂y ∂z

(5.96)

wo x∗ = x/X, y ∗ = y/Y , z ∗ = z/Z, und X, Y, Z die Dimensionen des L¨ osungsgebietes sind. Die Gleichung wurde mit der FV-Methode diskretisiert. Die Summe der Quellterme u osungsgebiet ist gleich null, und ¨ ber das L¨ die Neumann-Randbedingungen (Nullgradient normal zum Rand) wurden an allen R¨ andern festgelegt. Neben den oben vorgestellten GS-, SIP- und ICCGL¨ osern wurde ebenfalls die CGSTAB-Methode mit unvollständiger CholeskyVorkonditionierung verwendet. Die Ausgangslösung ist durch Nullwerte gegeben. Die Anzahl der notwendigen Iterationen, um die normalisierte Summe der absoluten Residuen um vier Gr¨ oßenordnungen zu reduzieren, ist in Tabelle 5.5 gegeben. ¨ Die Schlussfolgerungen aus dieser Ubung sind ähnlich denen, die aus den 2D-Problemen mit Dirichlet-Randbedingungen gezogen wurden. Wenn eine genaue L¨ osung gew¨ unscht wird, werden GS und SIP auf feinen Gittern ineffizient; Mehrgittermethoden sind die besten Löser. Die FMG-Strategie, bei der die L¨ osung auf einem groben Gitter die Ausgangslösung f¨ ur das nächstfeinere Gitter liefert, ist besser als gew¨ ohnliches Mehrgitter. FMG mit ICCG oder CGSTAB als Gl¨ atter erfordert sogar weniger Iterationen (drei bis vier auf dem feinsten Gitter), aber die Rechenzeit ist länger als bei MG-SIP. Das FMG-Prinzip kann ebenfalls bei anderen L¨ osern angewendet werden. Die algebraische Mehrgittermethode w¨ urde bei strukturierten Gittern ähnliche

156


Ergebnisse wie die hier verwendete geometrische Mehrgittermethode liefern. ¨ Ahnliche Ergebnisse w¨ urde man auch bei unstrukturierten Gittern – f¨ ur die Löser, die bei solchen Gittern anwendbar sind – erhalten.

6. Methoden fu are Str¨ omungen ¨r instation¨

6.1 Einleitung Bei der Berechnung instation¨ arer Str¨ omungen muss eine vierte Koordinatenrichtung ber¨ ucksichtigt werden: die Zeit. Die Zeit muss wie der Raum diskretisiert werden. Man kann das “Zeit-Gitter” als FD-Verfahren mit diskreten Zeitpunkten oder als FV-Verfahren mit “Zeit-Volumen” betrachten. Der Hauptunterschied zwischen Orts- und Zeitkoordinaten liegt in der Wirkungsrichtung: W¨ ahrend eine Kraft an einer beliebigen Stelle im Raum die Str¨ omung u ¨berall (in elliptischen Problemen) beeinflussen kann, beeinflusst die Krafteinwirkung zu einem bestimmten Zeitpunkt nur die zuk¨ unftige Entwicklung der Strömung – es gibt keinen r¨ uckwirkenden Einfluss. Instationäre (zeitabh¨ angige) Str¨ omungen sind damit in der Zeit parabolisch. Dies bedeutet, dass außer den Anfangsbedingungen zu späteren Zeitpunkten nur noch die Randbedingungen vorgegeben werden k¨ onnen. Das hat einen starken Einfluss auf die Wahl der L¨ osungsstrategie. Dem Charakter der Zeit entsprechend basieren alle L¨ osungsmethoden im Wesentlichen auf Schrittverfahren (sog. marching methods). Diese Methoden sind denen sehr ähnlich, die zur Lösung von Anfangswertproblemen bei den gew¨ ohnlichen Differentialgleichungen ent¨ wickelt wurden. Deshalb wird im folgenden Absatz ein kurzer Uberblick u ¨ ber solche Methoden gegeben.

6.2 Methoden fu ¨ r Anfangswertprobleme 6.2.1 Zwei-Ebenen-Methoden Um sich mit Methoden f¨ ur Anfangswertprobleme zu beschäftigen, reicht es aus, eine gew¨ ohnliche Differentialgleichungen 1. Ordnung f¨ ur die Variable φ mit der Anfangsbedingung φ0 zu betrachten: dφ(t) = f (t, φ(t)) ; dt

φ(t0 ) = φ0 .

(6.1)

Man sucht die L¨ osung φ in kurzer Zeit (Δt) nach dem Startpunkt. Die Lösung zur Zeit t1 = t0 + Δt, φ1 , kann als eine neue Anfangsbedingung betrachtet

158

6. Methoden f¨ ur instation¨ are Str¨ omungen

werden, und auf dieselbe Weise kann dann die Lösung zur Zeit t2 = t1 + Δt berechnet werden. Dies kann nun beliebig weit fortgesetzt werden, indem man die Zeit um einen weiteren Schritt Δt verl¨ angert. Die einfachste dieser Methoden kann durch Integration der Gl. (6.1) von tn bis tn+1 = tn + Δt erhalten werden: t n+1

tn

t n+1

dφ dt = φn+1 − φn = dt

f (t, φ(t)) dt ,

(6.2)

tn

wobei die Kurzschreibweise φn+1 = φ(tn+1 ) verwendet wird. Diese Gleichung ist exakt. Die rechte Seite der Gleichung kann jedoch ohne Kenntnis des zeitlichen Verlaufs der L¨ osung nicht berechnet werden. Da die Lösung zu diskreten Zeitpunkten berechnet wird, muss hier eine Approximation des Zeitintegrals von f eingef¨ uhrt werden. Der Mittelwertsatz der Integralrechnung besagt, dass es einen Zeitpunkt t = τ zwischen tn und tn+1 gibt, so dass gilt: t n+1

f (t, φ(t)) dt = f (τ, φ(τ )) Δt .

(6.3)

tn

Dies ist von geringem Nutzen, da sowohl die Stelle τ innerhalb des Zeitintervalls als auch der Wert von φ zu diesem Zeitpunkt unbekannt sind. Aus diesem Grunde muss zur Berechnung des Integrals eine approximative numerische Quadratur, die nur L¨ osungen zu bestimmten Zeitpunkten verwendet, eingesetzt werden. Vier relativ einfache Verfahren werden unten vorgestellt; eine geometrische Darstellung ist in Abb. 6.1 gegeben. Wird das Integral auf der rechten Seite der Gl. (6.2) mit dem Wert des Integranden am Anfangspunkt des Integrationsintervalls als Approximation des Mittelwertes abgesch¨ atzt, erh¨ alt man: φn+1 = φn + f (tn , φn ) Δt .

(6.4)

Diese Approximation ist als explizite oder Vorwärts-Euler-Methode bekannt. Wird hingegen der Wert des Integranden am Ende des Integrationsintervalls als Approximation des Mittelwertes bei der Integralabschätzung verwendet, erh¨ alt man die implizite oder R¨ uckwärts-Euler-Methode: φn+1 = φn + f (tn+1 , φn+1 ) Δt .

(6.5)

Eine andere Methode kann mit Hilfe des Wertes des Integranden in der Mitte des Integrationsintervalls erhalten werden: φn+1 = φn + f (tn+ 12 , φn+ 2 ) Δt . 1

(6.6)

Sie ist bekannt als Mittelpunktregel und kann als Grundlage der sog. LeapfrogMethode zur L¨ osung partieller Differentialgleichungen angesehen werden.

6.2 Methoden f¨ ur Anfangswertprobleme f

f

f

t t0

t 0+ ' t

f

t t0

t 0+ ' t

159

t t0

t 0+ ' t

t t0

t 0+ ' t

Abbildung 6.1. Approximation des Zeitintegrals von f (t) u ¨ber ein Intervall Δt (von links nach rechts: explizite Euler-Methode, implizite Euler-Methode, Trapezregel und Mittelpunktregel)

Schließlich kann man einen linearen Verlauf des Integranden u ¨ber dem Integrationsintervall annehmen; das Integral kann dann mit Hilfe der Werte am Anfang und am Ende des Intervalls wie folgt berechnet wenden: φn+1 = φn +

1 f (tn , φn )) + f (tn+1 , φn+1 ) Δt , 2

(6.7)

Diese Methode ist bekannt als Trapezregel. Sie bildet die Grundlage f¨ ur eine bekannte Methode zur L¨ osung partieller Differentialgleichungen – die CrankNicolson-Methode. Insgesamt sind diese Methoden als Zwei-Ebenen-Methoden bekannt, da sie nur die Werte der Unbekannten zu zwei Zeitpunkten (zwei Zeitebenen) ben¨ otigen (die Mittelpunktregel kann – muss aber nicht – eine Zwei-EbenenMethode sein, abh¨ angig davon, ob und welche weiteren Approximationen verwendet werden). Die Analyse dieser Methoden findet man in der Literatur u osung gew¨ ohnlicher Differentialgleichungen (siehe z. B. ¨ber die numerische L¨ Ferziger, 1998). Hier werden nur einige der wichtigsten Eigenschaften kurz diskutiert. Zun¨ achst kann man beobachten, dass alle Methoden außer der Vorw¨ arts-Euler-Methode den Wert von φ zu einem Zeitpunkt außer t = tn (dem Anfangspunkt des Integrationsintervalls, in dem die Lösung bekannt ist) ben¨ otigen. Aus diesem Grunde kann f¨ ur diese Methoden die rechte Seite nicht ohne eine weitere Approximation oder Iteration berechnet werden. Folglich geh¨ ort die erste Methode in die Gruppe der expliziten Methoden, während alle anderen implizit sind. Alle Methoden liefern gute Ergebnisse, sofern das Intervall Δt klein genug ist. Das Verhalten der Methoden bei großen Schrittweiten ist jedoch auch wichtig, weil bei Problemen mit großer Variation der Zeitskalen (einschließlich vieler Probleme in der Str¨ omungsmechanik) das Ziel oft darin besteht, das langsame, langfristige Verhalten der L¨ osung zu berechnen; das kurzfristige Verhalten ist dabei nebens¨ achlich. Probleme mit einem breiten Spektrum an Zeitskalen werden als steif bezeichnet; sie stellen die größten Herausforderungen bei der L¨ osung gew¨ ohnlicher Differentialgleichungen dar. Aus diesem Grunde ist es wichtig, das Verhalten der Methoden, wenn die Schritte groß sind zu untersuchen. Dies f¨ uhrt zur Frage der Stabilität.

160

6. Methoden f¨ ur instation¨ are Str¨ omungen

F¨ ur die Stabilit¨ at findet man verschiedene Definitionen in der Literatur. Hier wird eine Methode als stabil bezeichnet, wenn sie eine beschränkte numerische L¨ osung liefert, wenn die L¨ osung der zugrunde liegenden Differentialgleichung ebenfalls beschr¨ ankt ist. F¨ ur die explizite Euler-Methode setzt Stabilit¨ at voraus, dass: " " " " "1 + Δt ∂f (t, φ) " < 1 , (6.8) " ∂φ " was verlangt, wenn f (t, φ) komplexe Werte haben darf, dass Δt ∂f (t, φ)/∂φ auf den Einheitskreis mit dem Mittelpunkt bei -1 auf der Realachse beschr¨ ankt ist. (Komplexe Werte m¨ ussen ber¨ ucksichtigt werden, weil Systeme h¨ oherer Ordnung komplexe Eigenwerte haben können. Lediglich Werte, deren Realteil gleich null oder negativ ist, sind von Interesse, weil sie zu beschränkten L¨ osungen f¨ uhren.) Eine Methode mit dieser Eigenschaft wird als bedingt stabil bezeichnet. Wenn f nur reelle Werte hat, reduziert sich die Gl. (6.8) auf (siehe Gl. (6.1)): " " " ∂f (t, φ) " "Δt " 0. Stellt φ die Konzentration einer Substanz dar, sollte es nicht negativ sein. Die M¨ oglichkeit, dass der Koeffizient von φni bzw. φni+1 in Gl. (6.24) negativ wird, weist auf m¨ ogliche Probleme hin und verlangt eine detailliertere Analyse. Soweit wie m¨ oglich wird hier versucht, diese Analyse a¨hnlich wie f¨ ur gew¨ ohnliche Differentialgleichungen u uhren. Ein einfacher Weg ¨ blich zu f¨ dazu wurde von von Neumann erfunden, nach dem die Methode auch benannt ist. Er behauptete, dass die Randbedingungen selten der Grund f¨ ur Probleme seien (es gibt zwar Ausnahmen, jedoch sind diese hier nicht von Bedeutung.), weshalb man sie auch ganz ignorieren könnte. Lässt man also die Randbedingungen außer Acht, wird die Analyse der Eigenschaften der diskretisierten Gleichung viel einfacher (und manchmal erst dadurch möglich). Da diese Untersuchungsmethode im Wesentlichen auf alle in diesem Kapitel diskutierten Methoden angewendet werden kann, soll sie hier etwas detaillierter beschrieben werden; weitere Details sind im Buch von Strikwerda (1983) zu finden. Im Wesentlichen kann man auf die wichtigste Idee folgendermaßen kommen: Das Gleichungssystem (6.24) kann in Matrixform geschrieben werden als: φn+1 = Aφn .

(6.26)

Die Elemente der dreidiagonalen Matrix A k¨ onnen durch Betrachtung der Gl. (6.24) abgeleitet werden. Aus dieser Gleichung ergibt sich die Lösung zum neuen Zeitpunkt als Funktion der L¨ osung des vorangegangenen Zeitschrittes. Die L¨ osung zum Zeitpunkt tn+1 kann somit durch wiederholte Multiplikation der Ausgangsl¨ osung φ0 mit der Matrix A erhalten werden. Die Frage, die sich nun aufdr¨ angt, ist: Werden die Differenzen zwischen den Lösungen aufeinander folgender Zeitschritte (bei unver¨ anderlichen Randbedingungen), gemessen auf irgendeine geeignete Weise, wachsen, abklingen oder gleich bleiben, wenn n ansteigt? Ein Maß ist beispielsweise die Norm: % = ||φn − φn−1 || = (φni − φn−1 )2 . (6.27) i i

6.3 Anwendung auf die generische Transportgleichung

169

Die Differentialgleichung verlangt, dass diese Größe mit der Zeit auf Grund der Dissipation kleiner wird. Letztendlich erh¨ alt man eine stationäre Lösung, wenn sich die Randbedingungen nicht ver¨ andern. Die numerische Methode sollte diese Eigenschaft der genauen L¨ osung beibehalten. Das Problem der Stabilit¨ at ist eng mit den Eigenwerten der Matrix A verbunden. Sind einige von ihnen gr¨ oßer als eins, ist es nicht schwierig zu zeigen, dass mit steigender Anzahl der Zeitschritte n wachsen wird; sind dagegen alle Eigenwerte kleiner als eins, wird abklingen. Normalerweise ist die Absch¨ atzung der Eigenwerte einer beliebigen Matrix schwierig und f¨ ur ein komplizierteres Problemen als das vorliegende w¨ urde man Schwierigkeiten haben. Gl¨ ucklicherweise sind in diesem Problem alle Elemente der Matrix auf einer Diagonalen konstant, so dass die Eigenvektoren leicht zu finden sind. Sie k¨ onnen durch Sinus- und Kosinusfunktionen dargestellt werden, jedoch ist es einfacher, die komplexe Exponentialform zu verwenden: φnj = σ n eiαj ,

(6.28)

√ wobei i = −1, und α ist eine Wellenzahl, die beliebig gewählt werden kann. Wenn Gl. (6.28) in Gl. (6.24) eingesetzt wird, ist der komplexe Exponentialterm eiαj allen Termen gemeinsam und kann somit eliminiert werden, so dass man einen expliziten Ausdruck f¨ ur den Eigenwert σ erhält: σ = 1 + 2d(cos α − 1) + i 2c sin α .

(6.29)

Der Betrag dieser Gr¨ oße ist das, was wichtig ist. Da der Betrag einer komplexen Gr¨ oße gleich der Summe aus den Quadraten des realen und des imagin¨ aren Teils ist, erh¨ alt man: σ 2 = [1 + 2d(cos α − 1)]2 + 4c2 sin2 α .

(6.30)

Im Folgenden werden die Bedingungen, unter denen σ 2 < 1 gilt, untersucht. Da es zwei unabh¨ angige Parameter im Ausdruck f¨ ur σ gibt, ist es am einfachsten, die Spezialf¨ alle zuerst zu betrachten. Gibt es keine Diffusion (d = 0), dann gilt σ > 1 f¨ ur jedes α, und diese Methode ist f¨ ur jeden Wert von c instabil, d. h. die Methode ist bedingungslos instabil, was sie nutzlos macht. Gibt es andererseits keine Konvektion (c = 0), wird σ maximal, wenn cos α = −1; in diesem Fall gilt σ < 1 unter der Bedingung, dass d < 21 , d. h. die Methode ist bedingt stabil. Die Bedingung, dass die Koeffizienten aller Knotenwerte positiv sind, f¨ uhrt zu ¨ ahnlichen Schlussfolgerungen: d < 0, 5 und c < 2d. Die erste Bedingung f¨ uhrt zu einer Einschr¨ ankung f¨ ur Δt: Δt
1 gilt, ist die Fluidgeschwindigkeit gr¨ oßer als die Wellengeschwindigkeit, und f¨ ur diese Str¨ omung sagt man dann, dass sie superkritisch sei; die Wellen können sich in einer solchen Str¨ omung nicht stromaufw¨ arts ausbreiten (ähnlich den Druckwellen in einer supersonischen, kompressiblen Strömung). Ist Fr < 1, können sich die Wellen in alle Richtungen ausbreiten. Wird die Methode zur Berechnung der Form der freien Oberfl¨ ache nicht richtig implementiert, können St¨ orungen in Form von kleinen Wellen entstehen und es kann unmöglich sein, eine station¨ are L¨ osung zu erhalten. F¨ ur eine Methode, die keine Wellen in Gebieten hervorbringt, in denen physikalisch keine vorhanden sein sollten (z. B. vor Schiffen), sagt man, dass sie die Strahlungsbedingung erf¨ ullt. 12.5.3 Hybridmethoden Es gibt Methoden zur Berechnung von Str¨ omungen mit freien Oberflächen, die in keine der in den letzten zwei Abschnitten beschriebenen Kategorien hineinpassen. Sie benutzen einzelne Elemente verschiedener Methoden und werden deshalb Hybridmethoden genannt. Zu diesen gehört die von Tryggvason und Mitarbeitern entwickelte Methode, die zur Simulation von Strömungen mit Blasen eingesetzt wurde, siehe Tryggvason und Unverdi (1990) und Bunner und Tryggvason (1999). In dieser Methode werden Fluideigenschaften u ¨ber eine bestimmte Anzahl von Gitterpunkten senkrecht zum Interface verschmiert. Die zwei Phasen wer-

12.5 Str¨ omungen mit freien Oberfl¨ achen

473

den als ein einziges Fluid mit variablen Stoffwerten betrachtet, wie bei einer Interfaceerfassungsmethode. Um die freie Oberfläche scharf zu halten, wird sie aber auch verfolgt, wie in Interfaceverfolgungsmethoden. Dies geschieht durch Bewegung von Markierungspartikeln im Geschwindigkeitsfeld, das sich aus der Str¨ omungsberechnung ergibt. Partikel werden addiert oder entfernt, um einen ungef¨ ahr gleichm¨ aßigen Abstand zwischen ihnen zu halten; damit wird eine hohe Genauigkeit gew¨ ahrleistet. Nach jedem Zeitschritt werden die Fluideigenschaften aktualisiert. Mit dieser Methoden wurden viele Str¨ omungen simuliert, inklusive einiger mit hunderten Dampfblasen im Wasser. Phasen¨ ubergang, Oberflächenspannung sowie Vereinigung und Zerfall von Blasen können mit dieser Methode behandelt werden. ¨ Ahnliche Hybridmethoden, in denen sowohl eine zusätzliche Transportgleichung f¨ ur den Volumenanteil einer Phase als auch die Verfolgung der Phasentrennfl¨ ache benutzt werden, wurden von Scardovelli und Zaleski (1999) beschrieben. In vielen Anwendungen sind einzelne Fluide – auch wenn sie nicht mischbar sind – nicht scharf getrennt. Beispiele sind brechende Wellen oder hydraulische St¨ oße, bei denen es Gebiete gibt, in denen Wasser und Luft eine schaumige Mischung bilden. In solchen F¨ allen wäre es notwendig, ein Modell f¨ ur die Mischung der beiden Fluide einzuf¨ uhren, ähnlich wie bei dem Modell des turbulenten Transports in einphasigen Strömungen. Kavitation ist ebenfalls ein wichtiges Ph¨ anomen, das in die Klasse von zweiphasigen Strömungen f¨ allt, die Hybridmethoden zur ihrer Vorhersage verlangen. In diesem Fall muss die Gleichung f¨ ur den Volumenanteil der Gasphase sowohl den Diffusionsterm (um die Effekte der turbulenten Diffusion zu ber¨ ucksichtigen) als auch den Quellterm (um den Phasen¨ ubergang zu beschreiben) beinhalten. Bei kavitierenden Str¨ omungen gibt es i. Allg. keine scharfe Phasentrennfläche, weshalb f¨ ur die Diskretisierung des konvektiven Terms keine speziellen Verfahren eingesetzt werden. Besondere Maßnahmen sind notwendig, wenn Blasenwachstum wegen W¨ armezufuhr w¨ ahrend Siedevorg¨ angen simuliert wird, wie auch bei einigen anderen Str¨ omungen mit freien Oberflächen. Es ist jenseits des Zieles dieses Buches, die Details jeder Methode oder Anwendung zu beschreiben; die in den vorherigen Abschnitten beschriebenen Methoden stellen eine Grundlage f¨ ur die meisten spezialisierten Verfahren dar. Im folgenden Abschnitt werden drei Beispielprobleme f¨ ur die Berechnung von Str¨ omungen mit freien Oberfl¨ achen vorgestellt. 12.5.4 Anwendungsbeispiele Eine turbulente, kritische Str¨ omung u ¨ber einen Halbzylinder am Boden eines offenen Kanals wurde von Forbes (1988) experimentell und theoretisch untersucht. Hier wurde sowohl die Interfaceerfassungs- als auch die Interfaceverfolgungsmethode zur Vorhersage dieser Strömung verwendet.

474

12. Spezielle Themen

Abbildung 12.7. Blockstrukturiertes Gitter am Anfang (oberes Bild) und am Ende (unteres Bild) der Simulation einer kritischen Str¨ omung u ¨ber einen Halbzylinder am Boden eines offenen Kanals mit der Interfaceverfolgungsmethode

Abh¨ angig von den Zust¨ anden vor und nach dem Hindernis können verschiedene Str¨ omungsregime erhalten werden. Im hier untersuchten Fall ist die Str¨ omung vor dem Hindernis unterkritisch, mit der Froude-Zahl Fr = √

v = 0.6 , gH

(12.45)

wobei v die Str¨ omungsgeschwindigkeit, g die Erdbeschleunigung und H die Wassertiefe darstellen. Wegen der Verengung des Strömungsquerschnittes oberhalb des Halbzylinders kommt es dort zur Beschleunigung der Strömung; dadurch sinkt der Druck und die freie Oberfl¨ ache sinkt ebenfalls ab. Die lokale Froude-Zahl steigt und erreicht den Wert eins; die Strömung weiter stromab wird (wenn es die Bedingungen zulassen) u ¨berkritisch und die Wassertiefe reduziert sich erheblich, w¨ ahrend die Geschwindigkeit weiter steigt. Hier wurde am Anfang der Simulation der Druck am rechten Rand entsprechend der erwarteten Wasserh¨ ohe vorgegeben; als die Strömung u ¨ berkritisch wurde, konnten alle Gr¨ oßen in Str¨ omungsrichtung extrapoliert werden, da sich keine St¨ orung entgegen Str¨ omungsrichtung im u ¨ berkritischen Zustand ausbreiten kann. Abbildung 12.7 zeigt das Gitter am Anfang und am Ende der Simulation, zusammen mit der Druckverteilung. Bei der Interfaceverfolgungsmethode muss das anfängliche Gitter so entworfen werden, dass seine Topologie auch nach der Verformung noch eine akzeptable Gitterqualit¨ at gew¨ ahrleistet (was nicht immer möglich ist). Im Falle der Interfaceerfassungsmethode kann man ein beliebiges Gitter verwenden. Hier wurde ein unstrukturiertes 2D-Gitter bestehend aus beliebigen Polygonen verwendet; Abb. 12.8 zeigt das Gitter und die berechnete Verteilung des Volumenanteils des Wassers. Beide Methoden ergeben eine ¨ ahnliche Form der freien Oberfläche; die ¨ Ubereinstimmung mit der im Experiment beobachteten Form ist sehr gut,


475

Abbildung 12.8. Numerisches Gitter und die vorhergesagte Verteilung des Volumenanteils des Wassers bei der Simulation einer kritischen Str¨ omung u ¨ ber einen Halbzylinder am Boden eines offenen Kanals mit der Interfaceerfassungsmethode

y/R

siehe Abb. 12.9. Es zeigte sich ebenfalls, dass die berechnete Form der freien Oberfl¨ ache nicht sehr gitterabh¨ angig ist; selbst mit einem sehr groben Gitter, siehe Abb. 12.7, wurde die freie Oberfl¨ ache ziemlich genau vorhergesagt. 2,4 2,2 2 1,8 1,6 1,4 1,2 1 0,8 0,6

Experiment Interfaceerfassung Interfaceverfolgung

-6

-4

-2

0

x/R

2

4

6

8

Abbildung 12.9. Vergleich der vorhergesagten Form der freien Oberfl¨ ache mit experimentellen Daten von Forbes (1988)

Schließlich werden die Ergebnisse der Simulation einer 3D-Strömung um ein Schiffsmodell mit stumpfem Bug, das in Abb. 12.10 dargestellt wird, pr¨ asentiert. Der obere Teil des Bildes stellt die Form des Rumpfes in der Wasserebene dar. Dem halbkreisf¨ ormigen Bug mit dem Radius R = 0, 3 m folgt ein Abschnitt mit parallelen Seitenw¨ anden, der 1 m lang ist. Das 0,7 m lange Heck ist als ein Spline definiert. Die Gesamtlänge des Modells beträgt somit 2 m und die Breite 0,6 m. Diese Form bleibt 0,2 m oberhalb und 0,3 m unterhalb der ungest¨ orten Wasserebene unverändert. Der untere Teil wurde durch die Rotation des Querschnitts parallel zur Wasserebene um die Längsachse erhalten; der Tiefgang betr¨ agt somit 0,6 m.

476


Sowohl im Experiment als auch in der Simulation wird das Modell festgehalten, d. h. seine Lage relativ zur ungest¨ orten Wasseroberfläche verändert sich durch Str¨ omungskr¨ afte nicht. Im Experiment wurde das Modell mit einer Geschwindigkeit von v = 1, 697 m/s geschleppt, was einer Froude-Zahl von 0,7 entspricht (bezogen auf den Tiefgang). Die Reynolds-Zahl, gebildet mit der Rumpfl¨ ange und der Schleppgeschwindigkeit, lag um 3,4×106. Da in dieser Str¨ omung die Wellen brechen, wurde in der Simulation die Interfaceerfassungsmethode verwendet. Das Gitter erstreckt sich ca. 0,4 m in die Luft oberhalb der Wasseroberfl¨ ache. Berechnungen wurden auf drei Gittern durchgef¨ uhrt; das gr¨ obste hatte 103 950, das mittlere 411 180 und das feinste 2 147 628 KVs.

3 0,

0,6

Draufsicht

0.3

1,0

0,7

0,

0,6

3

0,8

Seitenansicht

Abbildung 12.10. Geometrie des Schiffsmodells: Draufsicht (oben) und Seitenansicht (unten)

Die R¨ ander des L¨ osungsgebietes (Einstrom, Ausstrom, Seite und unten) lagen ca. 1,5 Modelll¨ angen vom Modell entfernt. Wegen der Symmetrie wurde nur eine H¨ alfte des Modells betrachtet. Die Gitterauflösung war um die Modelloberfl¨ ache und um die freie Oberfl¨ ache hoch, um die Wandgrenzschicht und die Verformung der freien Oberfl¨ ache besser aufzulösen. Das Gitter expandiert stetig in alle Richtungen mit der Entfernung vom Rumpf bzw. von der freien Oberfl¨ ache. Das gr¨ obste Gitter war blockstrukturiert; die feineren wurden durch selektive Verfeinerung des jeweils gröberen Gitters um den Rumpf und um die freie Oberfl¨ ache erhalten. Am Eintritt wurden die Geschwindigkeiten von Wasser und Luft gleich der Schleppgeschwindigkeit gesetzt (Berechnung im am Rumpf fixierten Koordinatensystem). Die Turbulenzgr¨ oßen wurden unter der Annahme einer Turbulenzintensit¨ at von ca. 1 % und einer turbulenten Viskosität gleich der molekularen Viskosit¨ at abgeleitet. Das u ¨ bliche k-ε-Turbulenzmodell wurde verwendet. Der obere, der untere und der Seitenrand wurden als Wände mit Schlupf


477

behandelt; in der Symmetrieebene wurden die entsprechenden Symmetriebedingungen angesetzt. Am Austritt wurde Extrapolation in Strömungsrichtung eingesetzt, wobei der hydrostatische Druck entsprechend der ungest¨ orten freien Oberfl¨ ache vorgegeben wurde. Das Gitter wurde gegen den Austritt sukzessive vergr¨ obert, und in diesem Gebiet wurden Aufwindapproximation 1. Ordnung verwendet, um die Wellen zu dämpfen (eine Art k¨ unstlichen Strands). Die Wellenbrechung verlangt eine zeitgenaue, instationäre Berechnung; die Simulationszeit erstreckte sich u ¨ ber 12 Perioden der typischen Wiederholung von Wellenbrechungsereignissen. Abbildung 12.11 zeigt die zeitgemittelten Geschwindigkeitsvektoren in der Symmetrieebene. Die ungestörte Wasserfl¨ ache, die gemittelte Form der freien Oberfläche in der Symmetrieebene sowie die benetzte Fl¨ ache des Rumpfes sind ebenfalls dargestellt. Ein kleines Gebiet mit R¨ uckstr¨ omung wurde im Heckbereich beobachtet; das Wasser str¨ omt hier auf- und die Luft abw¨ arts, wobei die freie Oberfläche als die trennende Stromlinie erscheint.

Abbildung 12.11. Berechnete mittlere Geschwindigkeitsvektoren, die ungest¨ orte Wasseroberfl¨ ache und das mittlere Profil der freien Oberfl¨ ache in der Symmetrieebene, sowie die gemittelte benetzte Rumpfoberfl¨ ache

Abbildung 12.12 zeigt die Fotoaufnahmen von brechenden Wellen um das Schiffmodell aus einem Schleppversuch am ehemaligen “Ship Research Institute” in Tokyo (heute “National Maritime Research Institute”). Sie werden mit der Darstellung der momentanen freien Oberfläche aus der Simulation ¨ auf dem feinsten Gitter verglichen. Die Ahnlichkeit der Wellenbilder ist offensichtlich. Es gibt eine brechende Welle vor dem Bug, gefolgt von einem Wellental an der Rumpfschulter, wo die Geschwindigkeit hoch und der Druck niedrig ist. Das Wasser steigt um die Rumpfmitte, wo starke Wellenbrechung stattfindet, sehr steil an. Im Foto ist ein Schaumgebiet zu sehen, so dass eine

478


scharfe Trennfl¨ ache zwischen Wasser und Luft (freie Oberfläche) nicht identifizierbar ist. In der Simulation ist die Trennfl¨ ache in diesem Gebiet ebenfalls unscharf (sie ist u ¨ ber mehr Zellen verschmiert als anderswo), und die Isofläche von c = 0, 5 deutet durch ihre Rauheit das Vorhandensein von brechenden Wellen an.

Abbildung 12.12. Fotoaufnahmen der freien Oberfl¨ ache im Schlepptank, mit freundlicher Genehmigung des National Maritime Research Institute, Tokyo (oben links: Bugbereich und Mittschiff; oben rechts: Heckbereich) und die Darstellung der momentanen freien Oberfl¨ ache aus der Simulation auf dem feinsten Gitter (unten, von Azcueta, 2001)

In Abb. 12.13 ist die berechnete, zeitgemittelte Kontur der freien Oberfläche am Rumpf mit experimentellen Daten verglichen worden. Eine erstaun¨ lich gute Ubereinstimmung zwischen Simulation und Experiment kann festgestellt werden (es handelte sich hier um eine reine Vorhersage; dem Autor der Simulation wurden die Messdaten erst zwei Jahre nach der Simulation f¨ ur Vergleichszwecke zur Verf¨ ugung gestellt). Eine sichtbare Abweichung ist nur im Bereich der brechenden Heckwelle feststellbar, wo auch die Messungen der Wasserh¨ ohe mit gr¨ oßeren Unsicherheiten verbunden sind, da die Wellenbrechung sehr intensiv und instation¨ ar war. Außerdem ist das Mittelungsintervall wahrscheinlich nicht lang genug. Mehr Details sind in Azcueta (2001) zu finden. Dieses Beispiel dokumentiert die breite Anwendbarkeit der Interfaceerfassungsmethode. Verschiedene Varianten wurden u. a. erfolgreich zur Untersu-

12.6 CFD-Anwendungen in der Meteorologie und Ozeanographie

0,15

479

Experiment Berechnung

0,1

z (m)

0,05 0 -0,05 -0,1 -0,15 -0,2

-1

-0,5

0

0,5

1 1,5 x (m)

2

2,5

3

Abbildung 12.13. Vergleich des berechneten Wellenprofils in der Symmetrieebene und entlang des Rumpfes (Azcueta, 2001) mit Messdaten des National Maritime Research Institute, Tokyo

chung des prim¨ aren Strahlzerfalls (Albina, 2003; De Villiers et al., 2003), der Str¨ omung in einer Pelton-Turbine (Mack und Moser, 2002), der Erzeugung von Extremwellen (Clauss et al., 2005), der Strömung um Einzelblasen und Blasenschw¨ arme (Tryggvason et al., 2006) usw. eingesetzt.

12.6 CFD-Anwendungen in der Meteorologie und Ozeanographie In der Atmosph¨ are und in den Ozeanen finden Strömungen auf den größten L¨ angen- und Zeitskalen auf der Erde statt. Die Geschwindigkeiten können ein Mehrfaches von zehn Metern pro Sekunde betragen und die Längen sind enorm, so dass die Reynolds-Zahlen riesig sind. Wegen der sehr großen Streckung des Str¨ omungsgebietes (horizontal Tausende von Kilometern und nur einige Kilometer Tiefe) ist die großskalige Strömung nahezu zweidimensional (obwohl die vertikalen Bewegungen wichtig sind), während die kleinskalige Str¨ omung dreidimensional ist. Die Rotation der Erde ist eine wichtige Kraft auf der großen Skala, spielt aber eine weniger wichtige Rolle auf den kleinen Skalen. Stratifizierung oder eine stabile Variation der Dichte ist wichtig, haupts¨ achlich auf den kleinen Skalen. Die Kräfte und die Phänomene, die eine dominierende Rolle spielen, sind auf verschiedenen räumlichen Skalen unterschiedlich. Außerdem ben¨ otigt man Vorhersagen auf unterschiedlichen Zeitskalen. ¨ F¨ ur die Offentlichkeit ist von gr¨ oßtem Interesse die Vorhersage des Zustands in der Atmosph¨ are oder im Ozean f¨ ur eine relativ kurze Zeit in der Zukunft.

480


In der Wettervorhersage sind Zeitskalen von einigen Tagen von Interesse, ¨ während im Ozean – wo die Anderungen (etwas) langsamer erfolgen – die typische Zeitskala einige Wochen bis Monaten beträgt. In beiden Fällen wird eine zeitgenaue Berechnungsmethode ben¨ otigt. Am anderen Ende des Anwendungsspektrums stehen Klimastudien, in denen der durchschnittliche Zustand der Atmosphäre bzw. der Ozeane u ¨ ber eine relativ lange Zeit vorhergesagt werden soll. In diesem Fall kann das kurzzeitige Verhalten ausgemittelt und die Anforderungen an die Zeitgenauigkeit k¨ onnen gelockert werden; es ist jedoch wichtig, dass die Atmosphäre und die Ozeane zusammen betrachtet werden, da sie sich auf lange Sicht gegenseitig stark beeinflussen. Simulationen auf diesen Gebieten sind fast immer Grobstruktursimulationen (LES), da der tats¨ achliche Zustand der Atmosphäre bzw. der Ozeane gesucht wird. Berechnungen werden auf einem großen Spektrum der Längenskalen durchgef¨ uhrt. Die kleinste Region von Interesse ist die atmosphärische Grenzschicht oder die Mischungsschicht im Ozean, deren Maße einige Hundert Meter betragen. Die n¨ achste Skala kann Beckenskala genannt werden; sie schließt typischerweise eine Stadt und ihre Umgebung ein. Auf der Regionaloder Mesoskala betrachtet man ein Gebiet, das einen großen Teil eines Kontinents oder Ozeans darstellt. Schließlich gibt es globale Skalen, die ganze Kontinente oder Ozeane beinhalten. In jedem Fall diktieren die verf¨ ugbaren Rechnerkapazit¨ aten die Anzahl der Gitterpunkte, die man verwenden kann, und damit auch die Gittergr¨ oße. Ph¨ anomene, die nicht aufgelöst werden k¨ onnen, m¨ ussen durch ein N¨ aherungsmodell repräsentiert werden. Selbst auf der kleinsten Skala ist die Gr¨ oße der Regionen, u ¨ ber die gemittelt wird, offensichtlich viel gr¨ oßer als in den Ingenieuranwendungen. Als Konsequenz sind die Modelle, die die Effekte der kleineren als vom Gitter erfassbaren Strukturen beschreiben, viel wichtiger als bei den LES im Ingenieurwesen, die in Kapitel 9 diskutiert wurden. Der Umstand, dass wichtige Strukturen in Simulationen auf der größten Skala nicht aufgel¨ ost werden k¨ onnen, erfordert die Durchf¨ uhrung der Berechnungen auf einigen verschiedenen Skalen; auf jeder Skala möchte man die f¨ ur diese Skala wichtigen Ph¨ anomene analysieren. Meteorologen unterscheiden vier bis zehn Skalen, auf denen Simulationen durchgef¨ uhrt werden. Wie zu erwarten ist, gibt es viel Literatur zu diesem Thema und es ist hier unmöglich, alles zu beschreiben, was bisher untersucht wurde. Wie bereits erw¨ ahnt, k¨ onnen auf der gr¨ oßten Skala die Strömungen in der Atmosph¨ are bzw. im Ozean im Wesentlichen als zweidimensional angenommen werden. In globalen Simulationen, die die ganze Atmosphäre bzw. einen Ozean beinhalten, verlangt die Kapazit¨ at der heutigen Rechner, dass die Gittergr¨ oße in horizontale Richtung zwischen 10 und 100 Kilometern liegt. Als Konsequenz m¨ ussen bei Simulationen dieses Typs wichtige Strukturen wie Fronten (Zonen zwischen den Fluidmassen mit unterschiedlichen Eigenschaften) mit N¨ aherungsmodellen behandelt werden, damit sie ausreichend dick

12.7 Mehrphasenstr¨ omungen

481

werden, um auf dem Gitter darstellbar zu sein. Modelle dieser Art sind schwer zu erstellen und stellen die gr¨ oßte Quelle f¨ ur Fehler in den Vorhersagen dar. Die dreidimensionale Bewegung ist nur bei den kleinsten Skalen der atmosph¨ arischen bzw. der ozeanographischen Strömung von Bedeutung. Außerdem muss man beachten, dass trotz hoher Reynolds-Zahlen nur der Teil der Atmosph¨ are nahe der Oberfl¨ ache turbulent ist; das ist die atmosphärische Grenzschicht, die normalerweise eine Schicht von ca. 1-3 km Dicke einnimmt. Oberhalb dieser Grenzschicht ist die Atmosph¨ are geschichtet und bleibt laminar. Entsprechend ist auch nur die obere Schicht des Ozeans turbulent; diese ist 100-300 m dick und wird als Mischungsschicht bezeichnet. Die Modellierung dieser Schichten ist wichtig, weil in ihnen die Wechselwirkung zwischen der Atmosph¨ are und dem Ozean stattfindet und ihr Einfluss auf die großskalige Str¨ omung sehr wichtig ist. In diesen Schichten werden LES-Methoden a¨hnlich den in Kapitel 9 beschriebenen verwendet. Die in diesen Simulationen verwendeten numerischen Methoden variieren etwas mit der Skala, auf der die Simulation durchgef¨ uhrt wird. F¨ ur Simulationen auf den kleinsten atmosph¨ arischen Skalen, nämlich der atmosphärischen Grenzschicht, kann man dieselben Methoden wie in der LES von Strömungen in der Ingenieurpraxis verwenden. Coleman et al. (1992) haben z. B. eine Spektralmethode verwendet, die urspr¨ unglich f¨ ur die Behandlung der Grenzschichten in Ingenieuranwendungen entwickelt wurde. Nieuwstadt et al. (1991) diskutieren die Ergebnisse mehrerer Autoren, die Programme verwenden, die auf Finite-Volumen-Methoden basieren. Auf der globalen Skala werden zwar Finite-Volumen-Methoden verwendet, aber die speziell f¨ ur die Oberfl¨ ache einer Kugel entwickelten Spektral-Methoden sind u ¨ blicher. Die letzteren Methoden verwenden Kugelfunktionen als Basisfunktionen. Bei der Auswahl der Zeitintegrationsmethode muss man die Anforderungen an die Genauigkeit ber¨ ucksichtigen, aber man muss ebenfalls beachten, dass Wellenph¨ anomene sowohl in der Meteorologie als auch in der Ozeanographie eine wichtige Rolle spielen. Die großen Wettersysteme, die von Wetterkarten und Satelitenbildern bekannt sind, können als sehr großskalige, bewegliche Wellen betrachtet werden. Die numerische Methode darf sie weder anfachen noch dissipieren. Es ist daher u ¨ blich, die sog. “Leapfrog”-Methode in diesen Verfahren anzuwenden. Diese Methode hat eine Genauigkeit 2. Ordnung und ist neutral-stabil f¨ ur Wellen. Leider ist sie auch bedingungslos instabil (sie amplifiziert exponentiell abnehmende Lösungen) und muss durch Neustart ungef¨ ahr alle 10 Zeitschritte stabilisiert werden. Es gibt viele Wege, um dies zu erreichen; der einfachste besteht in der Anwendung einer anderen Methoden in einem Zeitschritt.

12.7 Mehrphasenstro ¨mungen Ingenieuranwendungen schließen h¨ aufig Mehrphasenströmungen ein; Beispiele sind feste Teilchen, die in einer Gas- oder Fl¨ ussigkeitsströmung getragen

482


werden (Wirbelschichten, staubige Gase usw.), Gasbläschen in einer Fl¨ ussigkeit (Blasens¨ aulen in der Verfahrenstechnik) oder Fl¨ ussigkeitströpfchen in Gas (Sprays) usw. Eine zus¨ atzliche Komplikation kommt daher, dass Mehrphasenstr¨ omungen h¨ aufig in Verbrennungssystemen auftreten. In vielen Brennern wird fl¨ ussiger Treibstoff oder verpulverte Kohle als Strahl eingeblasen. In anderen wird Kohle in Wirbelschichten verbrannt. Die in den vorherigen Abschnitten beschriebenen Methoden können auf einige Typen der Zweiphasenstr¨ omungen angewendet werden, insbesondere wenn beide Phasen Fluide sind. In diesen F¨ allen kann die Trennfläche zwischen den beiden Fluiden explizit behandelt werden, wie f¨ ur die Verfahren f¨ ur Str¨ omungen mit freien Oberfl¨ achen beschrieben wurde. Der Rechenaufwand im Zusammenhang mit der Behandlung der Trennfläche ist jedoch sehr hoch und begrenzt die Anwendung solcher Methoden auf Strömungen, bei denen die Trennfl¨ ache relativ klein ist. Es gibt einige weitere Wege zur Berechnung von Zweiphasenströmungen. Die tragende bzw. kontinuierliche Phase wird immer nach der Euler-Methode behandelt, w¨ ahrend f¨ ur die disperse Phase entweder die Lagrange- oder die Euler-Betrachtungsweise eingesetzt wird. Die Lagrange-Methode wird normalerweise verwendet, wenn die Massenladung der dispersen Phase nicht sehr groß ist und die Teilchen (Partikel, Tropfen, Blasen) klein sind. Staubige Gase in einem Zyklonseparator oder Treibstoffsprays sind Anwendungsbeispiele, wo diese Methode zum Einsatz kommt. Die disperse Phase wird dabei durch eine endliche Anzahl von Teilchen repr¨ asentiert, deren Bewegung durch L¨ osung der Impulsgleichungen f¨ ur jedes Teilchen (Langrange-Vorgehensweise) berechnet wird. Die Anzahl der Teilchen, deren Bewegung auf diese Weise berechnet wird, ist normalerweise viel kleiner als die tats¨ achliche Anzahl in der wirklichen Strömung. Jedes Berechnungsteilchen repr¨ asentiert deshalb eine bestimmte Anzahl (ein Päckchen) der tats¨ achlichen Teilchen. Wenn weder Phasen¨ ubergang noch Verbrennung stattfinden und die Beladung geringf¨ ugig ist, kann man den Effekt der dispersen Phase auf die tragende Str¨ omung vernachl¨ assigen; in diesem Fall kann man die Strömung der kontinuierlichen Phase zuerst berechnen. Danach werden Teilchen eingef¨ uhrt und deren Bahnen unter Verwendung des vorberechneten Geschwindigkeitsfeldes des tragenden Fluids berechnet. Diese Vorgehensweise wird auch zur Str¨ omungsvisualisierung verwendet: Man betrachtet massenlose Punktpartikel und verfolgt ihre Bewegung, um Streichlinien (die Lage aller Teilchen, die an derselben Stelle eingef¨ uhrt wurden) oder Trajektorien (die Bahnen der einzelnen Teilchen, auch Bahnlinien genannt) darzustellen (in stationären Str¨ omungen sind sie identisch und entsprechen den Stromlinien). Das Geschwindigkeitsfeld muss f¨ ur die jeweilige Lage eines jeden Teilchens interpoliert werden; die Interpolationsmethode sollte zumindest so genau sein wie die Methode f¨ ur die Zeitintegration. Die Genauigkeitsanforderungen verlangen außerdem, dass der Zeitschritt f¨ ur die Berechnung der Teilchenbewegung

12.8 Verbrennung

483

(der nicht dem Zeitschritt f¨ ur die Berechnung der tragenden Strömung gleich sein muss) so gew¨ ahlt wird, damit das Teilchen nicht mehr als ein Kontrollvolumen pro Zeitschritt durchquert. Ist die Massenladung der dispersen Phase beträchtlich, dann muss der Einfluss der Teilchen auf die Fluidbewegung ber¨ ucksichtigt werden. Die Berechnung von Teilchenbahnen und Fluidstr¨ omung wird dann simultan und deshalb iterativ durchgef¨ uhrt; jedes Teilchen tauscht Impuls (und ggf. Energie und/oder Masse) mit dem Gas in jedem Kontrollvolumen, in dem es sich befindet, aus. Ebenso m¨ ussen Wechselwirkungen zwischen Teilchen (Zusammenst¨ oße, Agglomeration, Zerfall) sowie zwischen den Teilchen und den W¨ anden modelliert werden. F¨ ur diese Austauschvorgänge werden Korrelationen basierend auf experimentellen Daten verwendet, aber die Unsicherheiten können ziemlich groß sein. In neuerer Zeit werden auch aufwändige direkte Simulationen oder LES in kleinem Maßstab zur Gewinnung von Modellparametern verwendet. Diese Fragen erfordern ein weiteres Buch, um bis ins Detail beschrieben zu werden; siehe dazu das Buch von Crowe et al. (1998), in dem die am h¨ aufigsten angewendeten Modelle und Methoden beschrieben werden. Bei großen Partikelladungen und wenn Phasen¨ ubergang vorkommt, wird die Euler-Methode (das Zwei-Fluid-Modell) auf beide Phasen angewendet. In diesem Fall werden beide Phasen als Kontinua mit separaten Geschwindigkeitsund Temperaturfeldern betrachtet; die beiden Phasen beeinflussen sich gegenseitig durch Austauschterme, die analog denen sind, die in der gemischten Euler-Langrange-Vorgehensweise verwendet werden. Eine Funktion definiert, wie viel von einem Kontrollvolumen von welcher Phase eingenommen wird (Volumenanteil bzw. Void-Funktion). Die Prinzipien der Zwei-PhasenModelle werden im Detail von Ishii (1975) beschrieben; siehe ebenfalls Crowe et al. (1998) wegen der Beschreibung von einigen Methoden f¨ ur Gas-Partikelund Gas-Tropfen-Str¨ omungen. Die zur Berechnung dieser Strömungen verwendeten Methoden sind ¨ ahnlich denen, die in diesem Buch bisher beschrieben wurden; Erweiterungen betreffen die Addition von zusätzlichen Modellen f¨ ur Phasenwechselwirkung und modifizierte Randbedingungen. Außerdem werden einige spezielle Kopplungsalgorithmen verwendet, um die Effizienz der sukzessiven, iterativen L¨ osung zu steigern. Weitere Komplikationen entstehen durch gleichzeitiges Vorhandensein von mehr als zwei Phasen und wenn die einzelnen Phasen aus mehreren Komponenten bestehen; die Kombinationen sind fast unbegrenzt, und auf diesem Gebiet wird sehr viel geforscht.

12.8 Verbrennung Ein anderes wichtiges Problemfeld besch¨ aftigt sich mit Strömungen, in denen Verbrennung, d. h. chemische Reaktion mit bedeutender Wärmeentwicklung, eine wichtige Rolle spielt. Einige Anwendungen sollten f¨ ur den Leser ziemlich offensichtlich sein. In vielen Verbrennungsanlagen ist der Druck fast konstant

484


und somit ist die Dichtereduktion der Haupteffekt der Wärmefreisetzung. Es ist nicht ungew¨ ohnlich, dass die absolute Temperatur in einem Brenner um einen Faktor von f¨ unf bis acht durch die Flamme ansteigt; die Dichte reduziert sich um denselben Faktor. In solch einem Fall gibt es keine Möglichkeit, die Dichteunterschiede mittels der fr¨ uher diskutierten Boussinesq-Approximation zu behandeln. In anderen Systemen (wie in einem Verbrennungsmotor) erfahren sowohl der Druck als auch die Dichte eine starke Variation. Es ist m¨ oglich, eine direkte numerische Simulation der Strömung mit Verbrennung durchzuf¨ uhren, aber nur f¨ ur sehr einfache Konfigurationen. Es ist dabei wichtig zu beachten, dass die Geschwindigkeit, mit der sich eine Flamme relativ zum umgebenden Fluid bewegt, selten größer als 1 m/s ist (Explosionen oder Detonationen sind Ausnahmen). Die Flammengeschwindigkeit ist daher bedeutend niedriger als die Schallgeschwindigkeit im Gas; normalerweise ist auch die Str¨ omungsgeschwindigkeit deutlich niedriger als die Schallgeschwindigkeit. Die Mach-Zahl ist viel kleiner als eins und man hat die ungew¨ ohnliche Situation einer Str¨ omung mit großen Dichte- und Temperatur¨ anderungen, die aber im Wesentlichen inkompressibel ist! Es ist m¨ oglich, Str¨ omungen mit Verbrennung durch Lösen der kompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen zu berechnen, siehe z. B. Poinsot et al. (1991). Das Problem besteht darin, dass Methoden, die speziell f¨ ur kompressible Str¨ omungen entwickelt wurden, sehr ineffizient werden, wenn sie auf Str¨ omungen mit niedriger Geschwindigkeit angewendet werden, wie bereits in Kapitel 10 erw¨ ahnt wurde; der Rechenaufwand f¨ ur solche Simulationen kann dann sehr groß werden. Dies ist besonders dann unvorteilhaft, wenn die chemischen Reaktionen einfach sind. Werden jedoch realistischere (und deshalb komplexere) chemische Reaktionen betrachtet, ist die Spanne der damit verbundenen Zeitskalen fast immer sehr groß, was dann diktiert, dass kleine Zeitschritte verwendet werden m¨ ussen. Mit anderen Worten: Die Gleichungen werden steif. In diesem Fall wird der Nachteil aus der Verwendung von Berechnungsmethoden f¨ ur kompressible Strömungsmethoden größtenteils aufgehoben. Ein alternativer Weg ist die Einf¨ uhrung einer Approximation f¨ ur niedrige Mach-Zahlen (siehe z. B. McMurtry et al., 1986). Man beginnt mit den Gleichungen zur Beschreibung einer kompressiblen Strömung und nimmt an, dass alle zu berechnenden Gr¨ oßen als Potenzreihe in der Mach-Zahl ausgedr¨ uckt werden k¨ onnen. Dies ist eine nichtsingul¨ are Perturbationstheorie, weshalb keine besonderen Vorsichtsmaßnahmen notwendig sind. Die Ergebnisse sind jedoch zum Teil u ¨ berraschend. Zur niedrigsten (der nullten) Ordnung reduzieren sich die Impulsgleichungen auf die Aussage, dass der Druck p(0) u ¨berall konstant ist. Dies ist der thermodynamische Druck, und die Dichte und die Temperatur im Gas stehen in Beziehung zueinander entsprechend der Zustandsgleichung. Die Kontinuit¨ atsgleichung hat eine kompressible Form (mit variabler Dichte), was nicht u ¨ berraschend ist. In der nächsten Ordnung (der ersten) werden die Impulsgleichungen in ihrer u ¨ blichen Form erhalten,

12.8 Verbrennung

485

aber sie enthalten nur den Gradienten des Druckes 1. Ordnung, p(1) , der im Wesentlichen den dynamischen Druck aus den inkompressiblen Gleichungen darstellt. Die Gleichungen 1. Ordnung sind den inkompressiblen NavierStokes-Gleichungen ¨ ahnlich und k¨ onnen mit Methoden, die in diesem Buch vorgestellt wurden, gel¨ ost werden. In der Verbrennungstheorie werden zwei idealisierten Fälle unterschieden. Im ersten Fall sind die reagierenden Substanzen komplett gemischt, bevor die Reaktion stattfindet, und man spricht von vorgemischten Flammen. Verbrennungsmotoren arbeiten nahe an diesem Grenzfall. Bei vorgemischter Verbrennung bewegt sich die Reaktionszone (die Flamme) relativ zum Fluid mit der laminaren Flammengeschwindigkeit. Im anderen Fall reagieren und mischen sich die Substanzen gleichzeitig, und man spricht von nichtvorgemischter Verbrennung. Die zwei F¨ alle sind ziemlich unterschiedlich und werden separat behandelt. Nat¨ urlich gibt es viele Situationen, die keinem der beiden Grenzf¨ alle a ur ¨hnlich sind; sie werden als teilvorgemischt bezeichnet. F¨ eine detailliertere Beschreibung der Verbrennungstheorie sollte der Leser das bekannte Werk von Williams (1985) konsultieren. Den Schl¨ usselparameter in reagierenden Strömungen stellt das Verhältnis aus dem Str¨ omungszeitmaßstab zum chemischen Zeitmaßstab dar; er ist unter dem Namen Damk¨ ohler-Zahl, Da, bekannt. Wenn die Damköhler-Zahl sehr groß ist, ist die chemische Reaktion so schnell, dass sie fast sofort, nachdem die Substanzen gemischt sind, stattfindet. In diesem Grenzfall ist die Flamme sehr d¨ unn, und die Str¨ omung wird als durch die Mischung bestimmt bezeichnet. Werden die Effekte der W¨ armefreisetzung vernachlässigt, kann man den Grenzfall Da → ∞ wie eine Str¨ omung mit einem passiven Skalar behandeln und man kann die am Anfang dieses Absatzes beschriebenen Methoden anwenden. F¨ ur die Berechnung der Str¨ omung in praxisrelevanten Brennkammern, wo die Str¨ omung so gut wie immer turbulent ist, muss man sich auf die Lösung der Reynolds-gemittelten Navier-Stokes-Gleichungen verlassen. Diese Vorgehensweise und die damit verbundenen Turbulenzmodelle f¨ ur nichtreagierende Str¨ omungen wurden in Kapitel 9 vorgestellt. Wenn die Verbrennung stattfindet, muss man zus¨ atzliche Gleichungen f¨ ur die Konzentration der reagierenden Spezies l¨ osen; außerdem sind Modelle notwendig, die es einem erlauben, die Reaktionsrate zu berechnen. Einige dieser Modelle werden im Folgenden kurz beschrieben. Die offensichtlichste Vorgehensweise, n¨ amlich die Anwendung der ReynoldsMittelung, taugt nicht f¨ ur alle Vorg¨ ange in einer reagierenden Strömung. Der Grund liegt darin, dass die Reaktionsraten sehr starke Funktionen der Temperatur sind. So kann z. B. die Reaktionsrate zwischen den Spezies A und B wie folgt beschrieben werden: RAB = K e−Ea /RT YA YB ,

(12.46)

wobei Ea die sog. Aktivierungsenergie darstellt, R ist die Gaskonstante und YA und YB sind die Konzentrationen der reagierenden Spezies A und B. Die

486


Anwesenheit des Ahrenius-Faktors e−Ea /RT ist das, was das Problem schwierig macht. Er variiert so stark mit der Temperatur, dass die Verwendung des Reynolds-gemittelten Wertes f¨ ur T zu großen Fehlern f¨ uhrt. In einer nichtvorgemischten turbulenten Flamme bei einer hohen DamköhlerZahl findet die Reaktion in einer d¨ unnen, aber sehr verschlungenen Flammenzone statt. F¨ ur diesen Fall gibt es einige Modellansätze, von denen hier zwei erw¨ ahnt werden. Trotz wichtiger Unterschiede in der Idee und dem Aussehen, sind die beiden Methoden ¨ ahnlicher, als es aussehen mag. In der ersten Methode wird die Ansicht vertreten, dass – da die Vermischung der Spezies der langsamere Prozess ist – die Reaktionsrate davon abh¨ angig ist, wie schnell die Spezies vermischt werden. In diesem Fall kann die Reaktionsrate zwischen den Spezies A und B wie folgt beschrieben werden: RAB =

YA YB , τ

(12.47)

wobei τ die Zeitskala des Mischvorgangs ist. Wenn das k-ε-Turbulenzmodell verwendet wird, kann man diese Zeitskala als τ = k/ε berechnen; beim k-ωTurbulenzmodell, τ = 1/ω. Einige Modelle dieser Art wurden vorgeschlagen; das bekannteste ist vielleicht das sog. Wirbelzerfallsmodell (im Englischen eddy break-up model) von Spalding (1978). Modelle dieser Art sind in jedem kommerziellen Programm vorhanden und werden routinemäßig zur Vorhersage von Prozessen in industriellen Brennkammern verwendet. Eine andere Modellart f¨ ur nichtvorgemischte Verbrennung ist das laminare Flamelet-Modell. Unter statistischen Bedingungen w¨ urde eine nichtvorgemischte Flamme langsam abgeschw¨ acht, wenn ihre Dicke mit der Zeit zunimmt. Um dies zu verhindern, muss auf die Flamme eine komprimierende Deformation wirken. Der Zustand der Flamme wird durch diese Deformationsrate bestimmt, oder eine sie substituierende skalare Dissipationsrate χ. Es wird dann angenommen, dass die lokale Struktur der Flamme durch nur wenige Parameter beschrieben werden kann; als Minimum werden die lokalen Konzentrationen der reagierenden Spezies und die skalare Dissipationsrate ben¨ otigt. Die Daten u ¨ ber die Flammenstruktur in Abhängigkeit von diesen Parametern wird tabelliert. Die volumetrische Reaktionsrate wird als Produkt aus der Reaktionsrate, die aus der Tabelle f¨ ur den am gegebenen Ort vorliegenden Parametersatz abgelesen wird, und der Flammenfläche pro Volumeneinheit berechnet. Einige Versionen der Modellgleichung f¨ ur die Flammenfl¨ ache wurden vorgeschlagen; keine wird hier wiedergegeben – es wird nur vermerkt, dass diese Modelle Terme beinhalten, die das Wachstum der Flammenfl¨ ache durch ihre Streckung sowie die Vernichtung der Flammenfläche beschreiben. F¨ ur vorgemischte Flammen, die sich relativ zur Strömung bewegen, stellt ¨ eine Art der Level-Set-Methode das Aquivalent zur oben beschriebenen Flamelet-Methode dar. Wird die Lage der Flamme als der Ort angenommen, wo eine Variable G den Wert G = 0 einnimmt, dann erf¨ ullt G die folgende Gleichung:

12.8 Verbrennung

∂G ∂G + uj = SL |∇G| , ∂t ∂xj

487

(12.48)

wobei SL die laminare Flammengeschwindigkeit darstellt. Man kann zeigen, dass die Rate, mit der die reagierenden Spezies verbraucht werden, gleich SL |∇G| ist, wodurch das Modell geschlossen wird. In komplexeren Versionen des Modells kann die lokale Flammengeschwindigkeit eine Funktion der lokalen Deformationsrate sein, so wie sie in den nichtvorgemischten Flammen von der skalaren Dissipationsrate abh¨ angig ist. Schließlich soll vermerkt werden, dass es viele Effekte gibt, die nur sehr schwer in ein Verbrennungsmodell integriert werden können. Zu diesen geh¨ oren Z¨ undung (die Initialisierung der Flamme) und Auslöschung (die Vernichtung der Flamme). Modelle f¨ ur turbulente Verbrennung werden ra¨ pide weiter entwickelt, weshalb keine Ubersicht der Lösungsmethoden lange aktuell bleibt. Der an diesem Thema interessierte Leser sollte das Buch von Peters (2000) lesen. Die in diesem Buch vorgestellten Methoden können – mit einigen Modifikationen – zur Simulation von vielen Arten von Strömungen mit Verbrennung angewendet werden. Besonders in der Motorenindustrie sowie bei den Herstellern von Flugzeugtriebwerken und stationären Gasturbinen werden numerische Simulationen bereits routinem¨ aßig zur Optimierung der Anlagen und ihrer Komponenten eingesetzt. Dabei spielen verstärkt nicht nur die Wirkungsgrade, sondern auch die Umweltbelastung eine wichtige Rolle.

A. Anhang

A.1 Liste der Rechenprogramme Einige Rechenprogramme, die die in diesem Buch beschriebenen Methoden beinhalten, k¨ onnen aus dem Internet heruntergeladen werden. Diese Programme k¨ onnen, so wie sie sind, n¨ utzlich sein, aber sie können auch als Basis f¨ ur Weiterentwicklungen dienen. Alle Programme k¨ onnen u ¨ ber die folgende Webseite des Herausgebers heruntergeladen werden: www.springer.com/978-3-540-67586-0 Dort muss man auf “Extras im Web” klicken, um zu den Informationen u ¨ber Download weitergeleitet zu werden. Alle Programme und begleitende Dateien sind in einer komprimierten Archivdatei zusammengefasst worden. Eine read.me-Datei beschreibt, welche Dateien sich in dieser Archivdatei befinden und wie sie entpackt werden k¨ onnen. Enthalten sind Programme, mit denen man ein- und zweidimensionale generische Erhaltungsgleichungen l¨ osen kann; sie wurden verwendet, um die Beispiele in den Kapiteln 3, 4 und 6 zu berechnen. Einige Verfahren zur Diskretisierung konvektiver und diffusiver Fl¨ usse sowie f¨ ur Zeitintegration stehen zur Auswahl. Diese Programme k¨ onnen eingesetzt werden, um die Eigenschaften verschiedener Verfahren zu untersuchen, sowie um Iterations- und Diskretisierungsfehler oder Effizienz einzelner L¨ oser zu analysieren. Sie eignen sich auch ¨ f¨ ur studentische Ubungsaufgaben, in denen Diskretisierungsmethoden oder Randbedingungen modifiziert werden k¨ onnen. Einige Gleichungsl¨ oser stehen zur Auswahl: • TDMA-L¨ oser f¨ ur eindimensionale Probleme; • Linienweise Anwendung des TDMA-L¨ osers in 2D-Problemen (beim F¨ unfPunkte-Rechenstern); • ILU-L¨ oser nach Stone (SIP) f¨ ur 2D- und 3D-Probleme (F¨ unf- und SiebenPunkte-Rechensterne; die 3D-Version ist auch in vektorisierter Form gegeben); • L¨ oser nach der Methode der konjugierten Gradienten, vorkonditioniert nach der unvollst¨ andigen Cholesky-Methode (ICCG) f¨ ur symmetrische Matrizen in 2D und 3D (F¨ unf- und Sieben-Punkte-Rechensterne);

490

A. Anhang

• Eine Version des SIP-L¨ oser f¨ ur Neun-Punkte-Rechensterne in 2D; • CGSTAB-L¨ oser f¨ ur unsymmetrische Matrizen in 3D; • Mehrgitter-L¨ oser f¨ ur 2D-Probleme mit Gauß-Seidel, SIP und ICCG als Gl¨ atter. Schließlich stehen einige Programme zur Lösung von Strömungs- und W¨ arme¨ ubergangsproblemen zur Verf¨ ugung: • ein Programm zur Erzeugung von kartesischen 2D-Gittern; • ein Programm zur Erzeugung von nichtorthogonalen, strukturierten Gittern in 2D; • ein Programm zur Bearbeitung von Ergebnissen aus 2D-Berechnungen auf kartesischen und nichtorthogonalen, strukturierten Gittern (damit können Darstellungen von Gitter, Geschwindigkeitsvektoren, Profilen beliebiger Gr¨ oßen bei vorgegebenen Schnittebenen x=konst. bzw. y=konst., sowie Konturen in schwarz-weiß oder Farbe als postscript-Dateien erstellt werden); • ein FV-Programm f¨ ur versetzte, kartesische Gitter in 2D (f¨ ur stationäre, laminare Str¨ omungen); • ein FV-Programm f¨ ur nichtversetzte, kartesische Gitter in 2D (f¨ ur station¨ are und instation¨ are, laminare Str¨ omungen) • ein FV-Programm f¨ ur nichtversetzte, kartesische Gitter in 3D mit Mehrgittermethode f¨ ur ¨ außere Iterationen (f¨ ur stationäre und instationäre, laminare Str¨ omungen); • ein FV-Programm f¨ ur nichtversetzte, randangepasste, nichtorthogonale Gitter (f¨ are, laminare Strömungen, inklusive eiur station¨ are und instation¨ ner Version mit beweglichen Gittern und einer mit Mehrgitter-Beschleunigung); • Versionen des o. g. Programmes mit dem k–ε bzw. k–ω Turbulenzmodell (mit und ohne Wandfunktionen). Die Programme sind in FORTRAN77 geschrieben und beinhalten viele Kommentarzeilen; oft sind Anleitungen zur Erweiterung (z. B. auf 3D bzw. unstrukturierte Gitter) angegeben. F¨ ur gr¨ oßere Programme existieren auch Dateien mit detaillierteren Beschreibungen zur Anwendung. Außerdem gibt es ¨ Verzeichnisse mit vorbereiteten Testbeispielen, die zur Ubung und Analyse der Eigenschaften von Diskretisierungsmethoden und Lösern eingesetzt werden k¨ onnen. Mittlerweile gibt es im Internet weitere Programme, die kostenlos heruntergeladen werden k¨ onnen. Hier werden nur zwei erwähnt (mit Hilfe von Google kann man auch die anderen leicht finden): • OpenCFD Ltd. bietet das Programmpaket OpenFOAM an, in dem nicht nur die meisten der hier beschriebenen Methoden, sondern auch Erweiterungen auf den Gebieten der Mehrphasenströmungen und Strömungen mit chemischen Reaktionen enthalten sind. Die Möglichkeit der Erzeugung von

A.2 Liste der h¨ aufig verwendeten Abk¨ urzungen

491

unstrukturierten Gittern und der Visualisierung der Ergebnisse ist ebenfalls gegeben. F¨ ur weitere Details siehe www.opencfd.co.uk. • Eine 3D-Version des o. g. Programmes f¨ ur nichtorthogonale, randangepasste Gitter, die außerdem mehrere Gitterbl¨ ocke mit nichtpassenden Gittern erlaubt und mit OpenMPI parallelisiert wurde, wurde von Gabriel Usera und Mitarbeitern an der University of Montevideo, Uruguay, entwickelt. F¨ ur weitere Details siehe www.fing.edu.uy/imfia/caffa3d.MB/ bzw. suche im Internet nach caffa3d.MB. Weitere n¨ utzliche Informationen u ¨ ber CFD-Angebote im Internet (inklusive Internetadressen der kommerziellen Anbieter von CFD-Software) findet man unter www.cfd-online.com.

A.2 Liste der h¨ aufig verwendeten Abku ¨ rzungen 1D 2D 3D ADI ZD CFD CG CGSTAB CM CV DNS ENO FD FE FFT FMG FV GC GS ICCG ILU LC LES LU MG RANS

eindimensional zweidimensional dreidimensional alternating direction implicit (abwechselnde Richtungen, implizit) Zentraldifferenz computational fluid dynamics (numerische Strömungsmechanik) conjugate gradient (konjugierte Gradienten) CG stabilized (konjugierte Gradienten, stabilisiert) control mass (Kontrollmasse) control volume (Kontrollvolumen) direct numerical simulation (direkte numerische Simulation) essentially non-oscillatory (im Wesentlichen nichtoszillierend) finite differences (finite Differenzen) finite elements (finite Elemente) fast Fourier transform (schnelle Fourier-Transformation) full multigrid method (Voll-Mehrgittermethode) finite volume (finite Volumen) global communication (globale Kommunikation) Gauß-Seidel method (Gauß-Seidel-Methode) CG vorkonditioniert mit der unvollständigen Cholesky-Methode incomplete lower-upper decomposition (unvollständige LU-Zerlegung) local communication (lokale Kommunikation) large eddy simulation (Grobstruktursimulation) lower-upper decomposition (untere-obere-Zerlegung) multigrid (Mehrgitter) Reynolds averaged Navier-Stokes (Reynolds-gemittelte Navier-Stokes)

492

SCL SGS SIP SOR TDMA TVD AD VOF

A. Anhang

space conservation law (Raumerhaltungsgesetz) subgrid scale (feinskalig) strongly implicit procedure (stark-implizite Prozedur) ¨ successive over-relaxation (sukzessive Uberrelaxation) tridiagonal matrix algorithm (tridiagonaler Matrixalgorithmus) total variation diminishing (Reduzierung der Gesamtvariation) Aufwinddifferenz volume-of-fluid (Volumen-des-Fluids)

Literaturverzeichnis

1. Abgrall, R. (1994): On essentially non-oscillatory schemes on unstructured meshes: Analysis and implementation. J. Copmput. Phys., 114, 45 2. Albina, F.-O. (2003): Numerical simulations of the primary breakup of liquid jets. Dissertation, TU-Hamburg-Harburg. 3. Anderson, D.A, Tannehill J.C., Pletcher, R.H. (1984): Computational fluid mechanics and heat transfer. Hemisphere, New York 4. Arcilla, A.S., H¨ auser, J., Eiseman, P.R., Thompson, J.F. (eds.) (1991): Numerical grid generation in computational fluid dynamics and related fields. NorthHolland, Amsterdam 5. Aris, R. (1989): Vectors, tensors and the basic equations of fluid mechanics. Dover Publications, New York 6. Azcueta, R. (2001): Computation of turbulent free-surface flows around ships and floating bodies. PhD Thesis, Technical University of Hamburg-Harburg, Germany 7. Baglietto, E., Ninokata, H. (2005): A turbulence model study for simulating flow inside tight lattice rod bundles. Nuclear Engineering and Design, 235, 773–784 8. Baglietto, E., Ninokata, H. (2007): Improved Turbulence Modeling for Performance Evaluation of Novel Fuel Designs. Nuclear Technology, 158, 237–248 9. Baker, A.J. (1983): Finite element computational fluid mechanics. McGraw-Hill, New York 10. Baliga, R.B., Patankar, S.V. (1983): A control-volume finite element method for two-dimensional fluid flow and heat transfer. Numer. Heat Transfer, 6, 245–261 11. Baliga, R.B. (1997): Control-volume finite element method for fluid flow and heat transfer. In W.J. Minkowycz, E.M. Sparrow (eds.), Advances in Numerical Heat Transfer, chap. 3, 97–135, Taylor and Francis, New York 12. Bardina, J., Ferziger, J.H., Reynolds, W.C. (1980): Improved subgrid models for large eddy simulation. AIAA paper 80–1357 13. Barth, T.J., Jespersen, D.C. (1989): The design and application of upwind schemes on unstructured meshes. AIAA-Paper 89-0366 14. Bastian, P., Horton, G. (1989): Parallelization of robust multi-grid methods: ILU factorization and frequency decomposition method. In W. Hackbusch, R. Rannacher (eds.), Notes on Numerical Fluid Mechanics, 30, 24–36, Vieweg, Braunschweig 15. Beam, R.M., Warming, R.F. (1978): An implicit factored scheme for the compressible Navier-Stokes equations. AIAA J., 16, 393–402 16. Berger, M.J., Oliger, J. (1984): Adaptive mesh refinement for hyperbolic partial differential equations. J. Copmput. Phys., 53, 484 17. Bertram, V., Jensen, G. (1994): Recent applications of computational fluid dynamics. Ship Technology Research, 44, 131–134

494


18. Bewley, T., Moin, P., Temam, R. (1994): Optimal control of turbulent channel flows. In Active Control of Vibration and Noise, 221–227, Amer. Soc. Mech. Eng., Design Eng. Div. DE v 75 1994. ASME, New York 19. Bird, R.B., Stewart, W.E., Lightfoot, E.N. (1962): Transport phenomena. Wiley, New York 20. Boris, J.P., Book, D.L. (1973): Flux-corrected transport. I.SHASTA, a fluid transport algorithm that works. J. Copmput. Phys., 11, 38–69 21. Brackbill, J.U., Kothe, D.B., Zemaach, C., (1992): A continuum method for modeling surface tension. J. Comput. Phys., 100, 335–354 22. Bradshaw, P., Launder, B.E., J.L. Lumley,J.L. (1994): Collaborative testing of turbulence models. In K.N. Ghia, U. Ghia, D. Goldstein (eds.), Advances in Computational Fluid Mechanics, ASME FED, 196, ASME, New York 23. Brandt, A. (1984): Multigrid techniques: 1984 guide with applications to fluid dynamics. GMD-Studien Nr. 85, Gesellschaft f¨ ur Mathematik und Datenverarbeitung (GMD), Bonn, Germany 24. Briggs, D.R., Ferziger, J.H., Koseff, J.R., Monismith, S.G. (1996): Entrainment in a shear free mixing layer. J. Fluid Mech., 310, 215–241 25. B¨ uckle, U., Perić, M. (1992): Numerical simulation of buoyant and thermocapillary convection in a square cavity. Numer. Heat Transfer, Part A (Applications), 21, 101–121 26. Bunner, B., Tryggvason, G. (1999): Direct numerical simulations of threedimensional bubbly flows. Phys. Fluids, 11, 1967–1969 27. Burmeister, J., Horton, G. (1991): Time-parallel solution of the Navier-Stokes equations. Proc. 3rd European Multigrid Conference, Birkh¨ auser Verlag, Basel 28. Cain, A.B., Reynolds, W.C., Ferziger, J.H. (1981): A three-dimensional simulation of transition and early turbulence in a time-developing mixing layer. Report TF–14, Dept. Mech. Engrg., Stanford University 29. Canuto, C., Hussaini, M.Y., Quarteroni, A., Zang, T.A. (1987): Spectral methods in fluid mechanics. Springer, Berlin 30. Caretto, L.S., Gosman, A.D., Patankar, S.V., Spalding, D.B. (1972): Two calculation procedures for steady, three-dimensional flows with recirculation. Proc. Third Int. Conf. Numer. Methods Fluid Dyn., Paris 31. Caruso, S.C., Ferziger, J.H., Oliger, J. (1985): An adaptive grid method for incompressible flows. Report TF–23, Dept. Mech. Engrg., Stanford University 32. Cebeci, T., Bradshaw, P. (1984): Physical and computational aspects of convective heat transfer. Springer, New York 33. Chen, S., Johnson, D.B., Raad, P.E., Fadda, D. (1997): The surface marker and micro-cell method. Intl. J. Num. Methods Fluids, 25, 749–778 34. Choi, H., Moin, P., Kim, J. (1994): Active turbulence control for drag reduction in wall-bounded flows. J. Fluid Mech., 262, 75–110 35. Choi, H., Moin, P. (1994): Effects of the computational time step on numerical solutions of turbulent flow. J. Comput. Phys., 113, 1–4 36. Chorin, A.J. (1967): A numerical method for solving incompressible viscous flow problems. J. Copmput. Phys., 2, 12 37. Chung, T.J. (1978): Finite element analysis in fluid dynamics. McGraw-Hill, New York 38. Clauss, G., Schmittner, C., St¨ uck, R. (2005): Numerical wave tank – simulation of extreme waves for the investigation of structural responses. Paper OMAE2005-67048 39. Coelho, P., Pereira, J.C.F., Carvalho, M.G. (1991): Calculation of laminar recirculating flows using a local non-staggered grid refinement system. Int. J. Numer. Methods Fluids, 12, 535–557


495

40. Coleman, G.N., Ferziger, J.H., Spalart, P.R. (1992): Direct simulation of the stably stratified turbulent Eckman layer. J. Fluid Mech., 244, 667 41. Cooley, J.W., Tukey, J.W. (1965): An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series. Math. Comput., 19, 297–301 42. Craft, T.J., Launder, B.E. (1995): Improvements in near-wall Reynolds stress modelling for complex flow geometries. Proc. 10th Symp. Turbulent Shear Flows, Pen. State Univ., August 1995 43. Craft, T.J., Launder, B.E., Suga, K. (1995): A non-linear eddy viscosity model including sensitivity to stress anisotropy. Proc. 10th Symp. Turbulent Shear Flows, Pen. State Univ., August 1995 44. Crowe, C., Sommerfeld, M., Tsuji, Y. (1998): Multiphase flows with droplets and particles. CRC Press, Boca Raton, Florida 45. De Villiers, E., Gosman, A.D., Weller, H.G. (2003): Large eddy simulation of primary Diesel spray atomization. SAE-Paper 04P-204 46. Demirdˇzić, I., Perić, M. (1988): Space conservation law in finite volume calculations of fluid flow. Int. J. Numer. Methods Fluids, 8, 1037–1050 47. Demirdˇzić, I., Perić, M. (1990): Finite volume method for prediction of fluid flow in arbitrarily shaped domains with moving boundaries. Int. J. Numer. Methods Fluids, 10, 771–790 ˇ Perić, M. (1993): A colocated finite volume method for 48. Demirdˇzić, I., Lilek, Z., predicting flows at all speeds. Int. J. Numer. Methods Fluids, 16, 1029–1050 49. Demirdˇzić, I., Muzaferija, S. (1994): Finite volume method for stress analysis in complex domains. Int. J. Numer. Methods Engrg., 37, 3751–3766 50. Demirdˇzić, I., Muzaferija S. (1995): Numerical method for coupled fluid flow, heat transfer and stress analysis using unstructured moving meshes with cells of arbitrary topology. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 125, 235–255 51. Demirdˇzić, I., Muzaferija, S., Perić, M., Schreck, E. (1997): Numerical method for simulation of flow problems involving moving and sliding grids. Proc. 7th Int. Symp. Computational Fluid Dynamics, Int. Academic Publishers, Beijing, 359–364 52. Demmel, J.W., Heath, M.T., van der Vorst, H.A. (1993): Parallel numerical linear algebra. In Acta Numerica, 2, 111–197, Cambridge Univ. Press, New York 53. Deng, G.B., Piquet, J., Queutey, P., Visonneau, M. (1994): Incompressible flow calculations with a consistent physical interpolation finite volume approach. Computers Fluids, 23, 1029–1047 54. Di Mare, L., Klein, M., Jones, W.P., Janicka, J. (2006): Synthetic turbulence inflow conditions for large-eddy simulation. Phys. Fluids, 18, 55. Domaradzki J.A., Saiki E.M. (1997): A subgrid-scale model based on the estimation of unresolved scales of turbulence. Phys. Fluids, 9, 2148–2164 56. Drazin, P. G., Reid, W.H. (1981): Hydrodynamic stability. Cambridge Univ. Press, Cambridge 57. Duncan, J.H. (1983): The breaking and non-breaking wave resistance of a twodimensional hydrofoil. J. Fluid Mech., 126, 507–520 58. Durbin, P.A. (1991): Near-wall turbulence closure modeling without ‘damping functions’. Theoret. Comput. Fluid Dynamics, 3, 1–13 59. Durbin, P.A., Pettersson Reif, B.A. (2001): Statistical theory and modeling for turbulent flows. Wiley, Chichester, England 60. Durst, F., Kadinskii, L., Perić, M., Sch¨ afer, M. (1992): Numerical study of transport phenomena in MOCVD reactors using a finite volume multigrid solver. J. Crystal Growth, 125, 612–626

496


61. Durst, F., Fischer, M., Jovanović, J., Kikura, H., Lange, C. (1996): LDA measureemnts in the wake of a circular cylinder. In E.H. Hirschel (ed.), Notes on Numerical Fluid Mechanics, 52, 567–576, Vieweg, Braunschweig 62. Fahrat, C., Geuzaine, P. (2004): Design and analysis of robust ALE timeintegrators for the solution of unsteady flow problems on moving grids. Comp. Meth. Appl. Mech. Engrg., 193, 4073–4095 63. Fahrat, C. (2005): CFD on moving grids: From theory to realistic flutter, maneuvering, and multidisciplinary optimization. Int. J. CFD, 19, 595–603 64. Farmer, J., Martinelli, L., Jameson, A. (1994): Fast multigrid method for solving incompressible hydrodynamic problems with free surfaces. AIAA J., 32, 1175–1182 65. Ferziger, J.H. (1987): Simulation of turbulent incompressible flows. J. Copmput. Phys., 69, 1–48 66. Ferziger, J.H. (1993): Estimation and reduction of numerical error. Presented at ASME Winter Annual Meeting, Washington 67. Ferziger, J.H. (1995): Large eddy simulation. In M.Y. Hussaini, T. Gatski (eds.), Simulaiton and Modeling of Turbulent Flows, Cambridge Univ. Press, New York 68. Ferziger, J.H. (1998): Numerical methods for engineering application. Wiley, New York 69. Ferziger, J.H., Perić, M. (1996): Further discussion of numerical errors in CFD. Int. J. Numer. Methods Fluids, 23, 1–12 70. Fletcher, R. (1976): Conjugate gradient methods for indefinite systems. Lecture Notes in Mathematics, 506, 773–789 71. Fletcher, C.A.J. (1991): Computational techniques for fluid dynamics, vol. I. Springer, Berlin 72. Forbes, L.K. (1988): Critical free-surface flow over a semi-circular obstruction. J. Eng. Math., 22, 3–13 73. Fox, R.W., McDonald, A.T. (1982): Introduction to fluid mechanics. Wiley, New York 74. Friedrich, O. (1998): Weighted essentially non-oscillatory schemes for the interpolation of mean values on unstructured grids. J. Copmput. Phys., 144, 194–212 75. Germano, M., Piomelli, U., Moin, P., Cabot, W.H. (1990): A dynamic subgrid scale eddy viscosity model. Proc. Summer Workshop, Center for Turbulence Research, Stanford CA 76. Galpin, P.F., Raithby, G.D. (1986): Numerical solution of problems in incompressible fluid flow: tratment of the temperature-velocity coupling. Numer. Heat Transfer, 10, 105–129 77. Ghia, U., Ghia, K.N., Shin, C.T. (1982): High-Re solutions for incompressible flow using the Navier-Stokes equations and a multigrid method. J. Copmput. Phys., 48, 387–411 78. Girault, V., Raviart, P.-A. (1986): Finite element methods for Navier-Stokes equations. Springer, Berlin 79. Golub, G.H., van Loan, C. (1990): Matrix computations. Johns Hopkins Univ. Press, Baltimore 80. Gosman, A.D. (1984): Prediction of in-cylinder processes in reciprocating internal combustion engines. In R. Glowinski, J.-L. Lions (eds.), Computing Methods in Applied Sciences and Engineering, 609–629, Elsevier (North-Holland), Amsterdam 81. Gresho, P.M., Sani, R.L. (1990): On pressure boundary conditions for the incompressible Navier-Stokes equations. Int. J. Numer. Methods Fluids, 7, 11–46 82. Gropp, W., Lusk, E., Skjellum A. (1999): Using MPI (2nd ed.). MIT Press, Cambridge, MA, USA


497

83. Hackbusch, W. (1984): Parabolic multi-grid methods, in R. Glowinski, J.-R. Lions (eds.), Computing Methods in Applied Sciences and Engineering, North Holland, Amsterdam 84. Hackbusch, W. (1985): Multi-grid methods and applications. Springer, Berlin 85. Hackbusch, W., Trottenberg, U. (eds.) (1991): Proc. Third European Multigrid Conference. International Series of Numerical Mathematics, Birkh¨ auser, Basel 86. Hadˇzić, I. (1999): Second-moment closure modelling of transitional and unsteady turbulent flows. PhD Thesis, Delft University of Technology 87. Hageman, L.A., Young, D.M. (1981): Applied iterative methods. Wiley, New York 88. Hanjalić, K., Launder, B.E. (1976): Contribution towards a Reynolds-stress closure for low Reynolds number turbulence. J. Fluid Mech., 74, 593–610 89. Hanjalić, K., Launder, B.E. (1980): Sensitizing the dissiptaion equation to irrotational strains. J. Fluids Engrg., 102, 34–40 90. Hanjalić, K. (1994): Advanced turbulence closure models: Review of current status and future prospects. Int. J. Heat Fluid Flow, 15, 178–203 91. Harlow, F.H., Welsh, J.E. (1965): Numerical calculation of time dependent viscous incompressible flow with free surface. Phys. Fluids, 8, 2182–2189 92. Harrison, R.J. (1991): Portable tools and applications for parallel computers. Int. J. Quantum Chem., 40, 847–863 93. Hinatsu, M., Ferziger, J.H. (1991): Numerical computation of unsteady incompressible flow in complex geometry using a composite multigrid technique. Int. J. Numer. Methods Fluids, 13, 971–997 94. Hino, T. (1992): Computation of viscous flows with free surface around an advancing ship/ Proc. 2nd Osaka Int. Colloquium on Viscous Fluid Dynamics in Ship and Ocean Technology, Osaka Univ. 95. Hirsch, C. (1991): Numerical computation of internal and external flows, vol. I & II. Wiley, New York 96. Hirt, C.W., Amsden, A.A., Cook, J.L. (1974): An arbitrary LagrangeanEulerian computing method for all flow speeds. J. Copmput. Phys., 14, 227 97. Hirt, C.W., Nicholls, B.D. (1981): Volume of fluid (VOF) method for dynamics of free boundaries. J. Comput. Phys., 39, 201–221 98. Holt, S.E., Koseff J.R., Ferziger, J.H. (1992): A numerical study of the evolution and structure of homogeneous stably stratified sheared turbulence. J. Fluid Mech., 237, 499–539 99. Hortmann, M., Perić, M., Scheuerer, G. (1990): Finite volume multigrid prediction of laminar natural convection: bench-mark solutions. Int. J. Numer. Methods Fluids, 11, 189–207 100. Horton, G. (1991): Ein zeitparalleles L¨ osungsverfahren f¨ ur die Navier-StokesGleichungen. Dissertation, Universit¨ at Erlangen-N¨ urnberg 101. Hsu, C. (1991): A curvilinear-coordinate method for momentum, heat and mass transfer in domains of irregular geometry. PhD Thesis, University of Minnesota 102. Hubbard, B.J., Chen, H.C. (1994): A Chimera scheme for incompressible viscous flows with applications to submarine hydrodynamics. AIAA Paper 94–2210 103. Hubbard, B.J., Chen, H.C. (1995): Calculations of unsteady flows around bodies with relative motion using a Chimera RANS method. Proc. 10th ASCE Engineering Mechanics Conference, vol II, 782–785, Univ. of Colorado at Boulder, Boulder, CO, May 21–24 104. Hutchinson, B.R., Raithby, G.D. (1986): A multigrid method based on the additive correction strategy. Numer. Heat Transfer, 9, 511–537

498


105. Hutchinson, B.R., Galpin, P.F., Raithby, G.D., (1988): Application of additive correction multigrid to the coupled fluid flow equations. Numer. Heat Transfer, 13, 133–147 106. Ishii, M. (1975): Thermo-fluid dynamic theory of two-phase flow. Eyrolles, Paris 107. Isaacson, E., Keller, H.B. (1966): Analysis of numerical methods. Wiley, New York 108. Issa, R.I. (1986): Solution of implicitly discretized fluid flow equations by operator-splitting. J. Copmput. Phys., 62, 40–65 109. Issa, R.I., Lockwood, F.C. (1977): On the prediction of two-dimensional supersonic viscous interaction near walls. AIAA J., 15, 182–188 110. ITTC (1983): Cooperative experiments on Wigley parabolic models in Japan. 17th ITTC Resistance Committee Report, 2nd ed. 111. Ivey, G.N., Imberger, J. (1991): On the nature of turbulence in a stratified fluid, Part I. The energetics of mixing. J. Phys. Oceanogr., 21, 650–660 112. Jarrin, N., Benhamadouche, S., Laurence, D.R.P., Prosser, R. (2006): A synthetic-eddy method for generating inflow conditions for large-eddy simulations. Int. J. Heat Fluid Flow, 27, 585–593. 113. Jones, W.P. (1994): Turbulence modelling and numerical solution methods for variable density and combusting flows. In P.A. Libby, F.A. Williams (eds.), Turbulent Reacting Flows, 309–374, Academic Press, London 114. Kadinski, L., Perić, M. (1996): Numerical study of grey-body surface radiation coupled with fluid flow for general geometries using a finite volume multigrid solver. Int. J. Numer. Meth. Heat Fluid Flow, 6, 3–18 115. Kader, B.A. (1981): Temperature and concentration profiles in fully turbulent boundary layers. Int. J. Heat Mass Transfer, 24, 1541–1544 116. Karypis, G., Kumar, V. (1998): A parallel algorithm for multilevel graph partitioning and sparse matrix ordering. J. Parallel Distributed Computing, 48, 71–85 117. Karki, K.C., Patankar, S.V. (1989): Pressure based calculation procedure for viscous flows at all speeds in arbitrary configurations. AIAA J., 27, 1167–1174 118. Katapodes, F.V., Street, R.L., Ferziger, J.H. (2000): Subfilter scale scalar transport for large eddy simulations. Amer. Meteorological Soc. Conf. on Ocean Simulation, June 2000 119. Kawamura, T., Miyata, H. (1994): Simulation of nonlinear ship flows by density-function method. J. Soc. Naval Architects Japan, 176, 1–10 120. Kays, W.M., Crawford, M.E. (1978): Convective heat and mass transfer. McGraw-Hill, New York 121. Kenjereˇs, S. (1998): Numerical modelling of complex buoyancy-driven flows. PhD Thesis, Delft University of Technology 122. Khosla, P.K., Rubin, S.G. (1974): A diagonally dominant second-order accurate implicit scheme. Computers Fluids, 2, 207–209 123. Kim, J., Moin, P. (1985): Application of a fractional step method to incompressible Navier-Stokes equations. J. Copmput. Phys., 59, 308–323 124. Kim, J., Moin, P., Moser, R.D. (1987): Turbulence statistics in fully developed channel flow at low Reynolds number. J. Fluid Mech., 177, 133–166 125. Klemt, M. (2004): Bewegungssimulation schwimmender K¨ orper in viskoser Str¨ omung. Dissertation, TU Hamburg-Harburg 126. Kordula, W., Vinokur, M. (1983): Efficient computation of volume in flow predictions. AIAA J., 21, 917–918 127. Koshizuka, S., Tamako, H., Oka, Y. (1995): A particle method for incompressible viscous flow with fluid fragmentation. Computational Fluid Dynamics J., 4, 29–46


499

128. Kwak, D., Chang, J.L.C., Shanks, S.P., Chakravarthy, S.R. (1986): A threedimensional incompressible Navier-Stokes flow solver using primitive variables. AIAA J., 24, 390–396 129. Lafaurie, B., Nardone, C., Scardovelli, R., Zaleski, S., Zanetti, G. (1994): Modelling merging and fragmentation in multiphase flows with SURFER. J. Comput. Phys., 113, 134–147 130. Launder, B.E. (1989): Second moment closure: Present . . . and future? Int. J. Heat Fluid Flow, 10, 282–300 131. Launder, B.E. (1990): Whither turbulence? Turbulence at the crossroads. In J.L. Lumley (ed.), Lecture Notes in Physics, 357, 439–485, Springer, Berlin 132. Launder, B.E., Li, S.P. (1994): On the elimination of wall topography parameters from second moment closure. Phys. Fluids, 6, 999–1006 133. Leister, H.-J., Perić, M. (1992): Numerical simulation of a 3D Chochralski melt flow by a finite volume multigrid algorithm. J. Crystal Growth, 123, 567–574 134. Leister, H.-J., Perić, M. (1994).: Vectorized strongly implicit solving procedure for seven-diagonal coefficient matrix. Int. J. Numer. Meth. Heat Fluid Flow, 4, 159–172 135. Leonard, A. (1974): Energy cascade in large eddy simulations of turbulent fluid flows. Adv. Geophys., 18A, 237 136. Leonard, A., Wray, A.A. (1982): A new numerical method for the simulation of three dimensional flow in a pipe. In E. Krause (ed.), Lecture Notes in Physics, 170, Springer, Berlin 137. Leonard, A. (1995): Direct numerical simulation. In T. Gatski (ed.), Turbulence and its Simulation, Springer, New York 138. Leonard, B.P. (1979): A stable and accurate convection modelling procedure based on quadratic upstream interpolation. Copmput. Meth. Appl. Mech. Engrg., 19, 59–98 139. Leonard, B.P. (1997): Bounded higher-order upwind multidimensional finitevolume convection-diffusion algorithms. In W.J. Minkowycz, E.M. Sparrow (eds.), Advances in Numerical Heat Transfer, chap. 1, 1–57, Taylor and Francis, New York 140. Leschziner, M.A. (1989): Modelling turbulent recirculating flows by finitevolume methods. Int. J. Heat Fluid Flow, 10, 186–202 ˇ Nadarajah, S., Perić, M., Tindal, M.J., Yianneskis, M. (1991): Mea141. Lilek, Z., surement and simulation of the flow around a poppet valve. Proc. 8th Symp. Turbulent Shear Flows, 13.2.1–13.2.6, TU M¨ unchen, Sept. 9–11 ˇ Perić, M. (1995): A fourth-order finite volume method with colocated 142. Lilek, Z., variable arrangement. Computers Fluids, 24, 239–252 ˇ Schreck, E., Perić, M. (1995): Parallelization of implicit methods for 143. Lilek, Z., flow simulation. In S.G. Wagner (ed.), Notes on Numerical Fluid Mechanics, 50, 135–146, Vieweg, Braunschweig ˇ (1995): Ein Finite-Volumen Verfahren zur Berechnung von inkom144. Lilek, Z. pressiblen und kompressiblen Str¨ omungen in komplexen Geometrien mit beweglichen R¨ andern und freien Oberfl¨ achen. Dissertation, University of Hamburg, Germany ˇ Muzaferija, S., Perić, M. (1997a): Efficiency and accuracy aspects 145. Lilek, Z., of a full-multigrid SIMPLE algorithm for three-dimensional flows. Numer. Heat Transfer, Part B, 31, 23–42 ˇ Muzaferija, S., Perić, M., Seidl, V. (1997b): An implicit finite-volume 146. Lilek, Z., method using non-matching blocks of structured grid. Numer. Heat Transfer, Part B, 32, 369–384

500


ˇ Muzaferija, S., Perić, M., Seidl, V. (1997c): Computation of unsteady 147. Lilek, Z., flows using non-matching blocks of structured grid. Numer. Heat Transfer, Part B, 32, 385–401 148. Liu, X.-D., Osher, S., Chan, T. (1994): Weighted essentially non-oscillatory schemes. J. Comput. Phys., 115, 200 149. Loh K.C., Domaradzki J.A. (1999): The subgrid-scale estimation model on non-uniform grids. Phys. Fluids, 11, 3786–3792 150. MacCormack, R.W. (1969): The effect of viscosity in hypervelocity impact cratering. AIAA-Paper 60-354 151. Mack, R., Moser, W. (2002): Numerical investigation of the flow in a Pelton turbine. Proc. 21st IAHR Symposium, Sept. 2-12, Lausanne, Switzerland 152. Majumdar, S., Rodi W., Zhu J. (1992): Three-dimensional finite-volume method for incompressible flows with complex boundaries. ASME J. Fluids Engrg., 114, 496–503 153. Maliska, C.R., Raithby, G.D. (1984): A method for computing threedimensional flows using non-orthogonal boundary-fitted coordinates. Int. J. Numer. Methods Fluids, 4, 518–537 154. Manhart, M., Wengle, H. (1994): Large eddy simulation of turbulent boundary layer over a hemisphere. In P. Voke, L. Kleiser, J.P. Chollet (eds.), Proc. 1st ERCOFTAC Workshop on Direct and Large Eddy Simulation, 299–310, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 155. Marchuk, G.M. (1975): Methods of numerical mathematics. Springer, Berlin 156. Mason, M.L., Putnam, L.E., Re, R.J. (1980): The effect of throat contouring on two-dimensional converging-diverging nozzle at static conditions. NASA Techn. Paper No. 1704 157. Masson, C., Saabas, H.J., Baliga, R.B. (1994): Co-located equal-order controlvolume finite element method for two-dimensional axisymmetric incompressible fluid flow. Int. J. Numer. Methods Fluids, 18, 1–26 158. McCormick, S.F. (ed.) (1987): Multigrid methods. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia 159. McMillan, O.J., Ferziger, J.H. (1980): Tests of new subgrid scale models in strained turbulence. AIAA-Paper 80-1339 160. McMurtry, P.A., Jou, W.H., Riley, J.J., Metcalfe, R.W. (1986): Direct numerical simulations of a reacting mixing layer with chemical heat release. AIAA J., 24, 962–970 161. Mellor, G.L., Yamada, T. (1982): Development of a turbulence closure model for geophysical fluid problems. Rev. Geophysics, 20, 851–875 162. Meneveau, C., Lund, T.S., Cabot, W.H. (1996): A Lagrangian dynamic subgrid-scale model of turbulence. J. Fluid Mech., 319, 353–385 163. Menter, F.R. (1993): Zonal two-equations k-ω turbulence models for aerodynamic flows. AIAA-Paper 93-2906 164. Modest, M.F. (1993): Radiative heat transfer. McGraw-Hill, New York 165. Moin, P., Bewley, T.R. (1994): Feedback control of turbulence. Appl. Mech. Rev., 47, 3–13 166. Moser, R.D., Moin, P., Leonard, A. (1983): A spectral numerical method for the Navier-Stokes equations with applications to Taylor-Couette flow. J. Comput. Phys., 52, 524–544 167. Moulinec, C., Benhamadouche S., Laurence D., Perić M. (2005): LES in a Ubend pipe meshed by polyhedral cells. In W. Rodi (ed.), Engineering Turbulence Modeling and Experiments 6, Elsevier, Amsterdam 168. Muzaferija, S. (1994): Adaptive finite volume method for flow predictions using unstructured meshes and multigrid approach. PhD Thesis, University of London


501

169. Muzaferija, S., Perić, M., Seidl, V. (1995): Computation of flow around circular cylinder in a channel. Internal Report, Institut f¨ ur Schiffbau, University of Hamburg 170. Muzaferija, S., Perić, M. (1997): Computation of free-surface flows using finite volume method and moving grids. Numer. Heat Transfer, Part B, 32, 369–384 171. Muzaferija, S., Gosman, A.D. (1997): Finite-volume CFD procedure and adaptive error control strategy for grids of arbitrary topology. J. Comput. Physics, 138, 766–787 172. Muzaferija, S., Perić, M., Sames, P.C., Shellin, T. (1998): A two-fluid NavierStokes solver to simulate water entry. Proc. 22nd Symposium on Naval Hydrodynamics, Washington, D.C. 173. Muzaferija, S., Perić, M. (1999): Computation of free surface flows using interface-tracking and interface-capturing methods. In O. Mahrenholtz, M. Markiewicz (eds.), Nonlinear Water Wave Interaction, Chap. 2, 59–100, WIT Press, Southampton 174. Nieuwstadt, F.T.M., Mason, P.J., Moeng, C.-H., Schuman, U. (1991): Largeeddy simulation of the convective boundary layer: A comparison of four computer codes. In F. Durst et al. (eds.), Turbulent Shear Flows, 8, Springer, Berlin 175. Oden, J.T. (1972): Finite elements of non-linear continua. McGraw-Hill, New York 176. Oden, J.T., Strouboulis, T., Devloo, P. (1986): Adaptive finite element methods for the analysis of inviscid compressible flow: Part I. Fast refinement/unrefinement and moving mesh methods for unstructured meshes. Copmput. Meth. Appl. Mech. Engrg., 59, 327–362 177. Oden, J.T., Demkowitz, L., Rachowitz, W., Westerman, T.A. (1989): Toward a universal h-p adaptive finite element strategy: Part 2. A posteriori error estimation. Comput. Meth. Appl. Mech. Engrg., 77, 113–180 178. Osher, S., Sethian, J.A. (1988): Fronts propagating with curvature-dependent speed: algorithms based on Hamilton-Jacobi formulations. J. Comput. Phys., 79, 12–49 179. Paoletti, S. (2002): Polyhedral Mesh Optimization Using The Interpolation Tensor. Proc. 11th Int. Meshing Roundtable, Sandia National Laboratories, pp. 19-28, September 15-18. 180. Patankar, S.V. (1980): Numerical heat transfer and fluid flow. McGraw-Hill, New York 181. Patankar, S.V., Spalding, D.B. (1977): Genmix: A general computer program for two-dimensional parabolic phenomena. Pergamon Press, Oxford 182. Patel, V.C., Rodi, W., Scheuerer, G. (1985): Turbulence models for near-wall and low-Reynolds number flows: a review. AIAA J., 23, 1308–1319 183. Perić, M. (1987).: Efficient semi-implicit solving algorithm for nine-diagonal coefficient matrix. Numer. Heat Transfer, 11, 251–279 184. Perić, M. (1990): Analysis of pressure-velocity coupling on non-orthogonal grids. Numerical Heat Transfer, Part B (Fundamentals), 17, 63–82 185. Perić, M. (1993): Natural convection in trapezoidal cavities. Num. Heat Transfer, Part A (Applications), 24, 213–219 186. Perić, M., Kessler, R., Scheuerer, G. (1988): Comparison of finite volume numerical methods with staggered and colocated grids. Computers Fluids, 16, 389–403 187. Perić, M., R¨ uger, M., Scheuerer, G. (1989): A finite volume multigrid method for calculating turbulent flows. Proc. 7th Symposium on Turbulent Shear Flows, vol. 1., pp. 7.3.1–7.3.6, Stanford University

502


188. Perić, M., Sch¨ afer, M., Schreck, E. (1993): Numerical simulation of complex fluid flows on MIMD computers. In R.B. Pelz et al. (eds.), Parallel Computational Fluid Dynamics ’92, Elsevier, Amsterdam 189. Perić, M., Schreck, E. (1995): Analysis of efficiency of implicit CFD methods on MIMD computers. Proc. Parallel CFD ’95 Conference, Pasadena, June 1995. 190. Perić, M., Zorn, T. (2005): Simulation of sloshing loads on moving tanks. Paper OMAE2005-67581. 191. Perić, M., Zorn, T., El Moctar, O., Schellin, Th., Kim, Y.-S. (2007): Simulation of sloshing in LNG-tanks. Paper OMAE2007-29555. 192. Perng, C.Y., Street, R.L. (1991): A coupled multigrid–domain-splitting technique for simulating icompressible flows in geometrically complex domains. Int. J. Numer. Methods Fluids, 13, 269–286 193. Peters, N. (1998): The use of flamelet models in CFD-simulations. ERCOFTAC Bulletin, 38, 71–78 194. Peters, N. (2000): Turbulent Combustion. Cambridge U. Press, Cambridge 195. Piomelli, U., Ferziger, J.H., Moin, P., Kim, J. (1989): New approximate boundary conditions for large eddy simulations of wall-bounded flows. Phys. Fluids, A1, 1061–1068 196. Poinsot, T., Veynante, D., Candel, S. (1991): Quenching processes and premixed turbulent combustion diagrams. J. Fluid Mech., 228, 561–605 197. Prakash, C. (1981): A finite element method for predicting flow through ducts with arbitrary cross section. PhD Thesis, University of Minnesota 198. Press, W.H., Flannery, B.P., Teukolsky, S.A., Vettering, W.T. (1987): Numerical recipes. Cambridge Univ. Press, Cambridge 199. Raithby, G.D. (1976): Skew upstream differencing schemes for problems involving fluid flow. Copmput. Meth. Appl. Mech. Engrg., 9, 153–164 200. Raithby, G.D., Schneider, G.E. (1979): Numerical solution of problems in incompressible fluid flow: treatment of the velocity-pressure coupling. Numer. Heat Transfer, 2, 417–440 201. Raithby, G.D., Xu, W.-X., Stubley, G.D. (1995): Prediction of incompressible free surface flows with an element-based finite volume method. Comput. Fluid Dynamics J., 4, 353–371 202. Raw, M.J. (1995): A coupled algebraic multigrid method for the 3D NavierStokes equations. In W. Hackbusch, G. Wittum (eds.), Fast Solvers for Flow Problems, Notes on Numerical Fluid Mechanics, 49, 204–215, Vieweg, Braunschweig 203. Reichardt, H. (1951): Vollstndige Darstellung der turbulenten Geschwindigkeitsverteilung in glatten Leitungen. Z. Angew. Math. Mech., 31, 208–219 204. Reinecke, M., Hillebrandt, W., Niemeyer, J.C., Klein, R., Grobl, A. (1999): A new model for deflagration fronts in reactive fluids. Astronomy and Astrophysics, 347, 724–733 205. Rhie, C.M., Chow, W.L. (1983): A numerical study of the turbulent flow past an isolated airfoil with trailing edge separation. AIAA J., 21, 1525–1532 206. Richardson, L.F. (1910): The approximate arithmetical solution by finite differences of physical problems involving differential equations with an application to the stresses in a masonry dam. Trans. Roy. Soc. London, Ser. A, 210, 307–357 207. Richtmyer, R.D., Morton, K.W. (1967): Difference methods for initial value problems. Wiley, New York 208. Rizzi, A., Viviand, H. (eds.) (1981): Numerical methods for the computation of inviscid transonic flows with shock waves. Notes on Numerical Fluid mechanics, 3, Vieweg, Braunschweig 209. Roache, P.J. (1994): Perspective: a method for uniform reporting of grid refinement studies. ASME J. Fluids Engrg., 116, 405–413


503

210. Rogallo, R.S. (1981): Numerical experiments in homogeneous turbulence. NASA Tech. Memo 81315 211. Rodi, W., Bonnin, J.-C., Buchal, T. (eds.) (1995): Proc. ERCOFTAC Workshop on Data Bases and Testing of Caluclation Methods for Turbulent Flows, April 3–7, Univ. Karlsruhe, Germany 212. Ruge, J., St¨ uben, K. (1987): Algebraic multigrid. In S.F. McCormick, (ed.), Multigrid Methods, 4, SIAM, Philadelphia 213. Saad, Y., Schultz, M.H. (1986): GMRES: a generalized residual algorithm for solving non-symmetric linear systems. SIAM J. Sci. Stat. Comput., 7, 856–869 214. Sames, P.C., Shellin, T., Muzaferija, S., Perić, M. (1999): Application of a twofluid finite volume method to ship slamming. ASME J. Offshore Mech. Arctic Engrg., 121 47–52 215. Scardovelli, R., Zaleski, S. (1999): Direct numerical simulation of free-surface and interfacial flow. Annu. Rev. Fluid Mech., 31, 567–603 216. Sch¨ afer, M., Turek, S. (1996): Benchmark computations of laminar flow around a cylinder. In E.H. Hirschel (ed.), Notes on Numerical Fluid Mechanics, 52, 547–566, Vieweg, Braunschweig 217. Schneider, G.E., Zedan, M. (1981): A modified strongly implicit procedure for the numerical solution of field problems. Numer. Heat Transfer, 4, 1–19 218. Schneider, G.E., Raw, M.J. (1987): Control-volume finite-element method for heat transfer and fluid flow using colocated variables— 1. Computational procedure. Numer. Heat Transfer, 11, 363–390 219. Schreck, E., Perić, M. (1993): Computation of fluid flow with a parallel multigrid solver. Int. J. Numer. Methods Fluids, 16, 303–327 220. Sedov, L.I. (1971): A course in continuum mechanics, vol. 1. WaltersNoordhoft Publishing, Groningen 221. Seidl, V., Perić, M., Schmidt, S. (1995): Space- and time-parallel Navier-Stokes solver for 3D block-adaptive Cartesian grids. Proc. Parallel CFD ’95 Conference, Pasadena, June 1995. 222. Seidl, V. (1997): Entwicklung und Anwendung eines parallelen FiniteVolumen-Verfahrens zur Str¨ omungssimulation auf unstrukturierten Gittern mit lokaler Verfeinerung. Dissertation, University of Hamburg, Germany 223. Sethian, J.A. (1996): Level set methods. Cambridge University Press, Cambridge, UK 224. Shah, K.B., Ferziger, J.H. (1997): A fluid mechanicians view of wind engineering: large eddy simulation of flow over a cubical obstacle. In R.N. Meroney, B. Bienkiewicz (eds.), Computational Wind Engineering, 2, 211–226, Elsevier, Amsterdam 225. Shih L.H., Koseff J.R., Ferziger J.H., Rehmann C.R. (2000): Scaling and parameterization of stratified homogeneous turbulent shear flow. J. Fluid Mech., 412, 1–20 226. Slattery, J.C. (1972): Momentum, energy and mass transfer in continua. McGraw-Hill, New York 227. Smagorinsky, J. (1963): General circulation experiments with the primitive equations, part I: the basic experiment. Monthly Weather Rev., 91, 99–164 228. Smiljanovski, V., Moser, V., Klein R. (1997): A capturing-tracking hybrid scheme for deflagration discontinuities. Combustion Theory and Modelling, 1, 183–215 229. Sonar, Th. (1997): On the construction of essentially non-oscillatory finite volume approximations to hyperbolic conservation laws on general triangulations: Polynomial recovery, accuracy and stencil selection. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 140, 157

504


230. Sonneveld, P. (1989): CGS, a fast Lanczos type solver for non-symmetric linear systems. SIAM J. Sci. Stat. Copmput., 10, 36–52 231. Spalding, D.B. (1972): A novel finite-difference formulation for differential expressions involving both first and second derivatives. Int. J. Numer. Methods Engrg., 4, 551–559 232. Spalding D.B. (1978): General theory of turbulent combustion. J. Energy, 2, 16–23 233. Steger, J.L., Warming, R.F. (1981): Flux vector splitting of the inviscid gasdynamic equations with applications to finite difference methods. J. Comput. Phys., 40, 263–293 234. Stoker, J.J. (1957): Water waves. Interscience, New York 235. Stone, H.L. (1968): Iterative solution of implicit approximations of multidimensional partial differential equations. SIAM J. Numer. Anal., 5, 530–558 236. Strikwerda, J.C. (1983): Finite difference methods for the incompressible Navier-Stoker equations — A survey. MRC Tech. Summary Rept. 2584, Math. Res. Ctr., University of Wisconsin 237. Sunderam, V.S. (1990): PVM: a framework for parallel distributed computing. Cocurrency: Practice and Experience, 2, 315–339 238. Sussman, M., Smereka, P., Osher, S. (1994): A level set approach for computing solutions to incompressible two-phase flow. J. Comput. Phys., 114, 146–159 239. Tennekes, H., Lumley, J.L. (1976): A first course in turbulence. MIT Press 240. Thé, J.L., Raithby, G.D., Stubley, G.D. (1994): Surface-adaptive finite-volume method for solving free-surface flows. Numer. Heat Transfer, Part B, 26, 367– 380 241. Thomas, P.D., Lombard, C.K. (1979): Geometric conservation law and its application to flow computations on moving grids. AIAA J., 17, 1030–1037 242. Thompson, M.C., Ferziger, J.H. (1989): A multigrid adaptive method for incompressible flows. J. Copmput. Phys., 82, 94–121 243. Thompson, J.F, Warsi, Z.U.A., Mastin, C.W. (1985): Numerical grid generation – foundations and applications. Elsevier, New York 244. Travin, A., Shur, M., Strelets, M., Spalart, P. (2000): Detached-eddy simulations past a circular cylinder. Flow Turbulence and Combustion, 63, 293–313 245. Truesdell, C. (1977): A first course in rational continuum mechanics, vol. 1. Academic Press, London 246. Tryggvason, G., Unverdi, S.O. (1990): Computations of 3-dimensional Rayleigh-Taylor instability. Phys. Fluids A, 2, 656–659 247. Tryggvason, G., Esmaeeli, A., Lu, J., Homma, S., Biswas, S. (2006): Recent progress in computational studies of disperse bubbly flows. Multiphase Flow Science Technology, 18, 231–249 248. Tu, J.Y., Fuchs, L. (1992): Overlapping grids and multigrid methods for threedimensional unsteady flow calculation in IC engines. Int. J. Numer. Methods Fluids, 15, 693–714 249. Turkel, E. (1987): Preconditioned methods for solving the incompressible and low speed compressible equations. J. Comp. Physics, 72, 227–298 250. Ubbink, O. (1997): Numerical prediction of two fluid systems with sharp interfaces. PhD thesis, University of London 251. Vahl Davis, G., Mallinson, G.D. (1972): False diffusion in numerical fluid mechanics. Univ. New South Wales Sch. Mech. Ind. Engrg., Report 1972/FM/1 252. Van den Vorst, H.A., Sonneveld, P. (1990): CGSTAB, a more smoothly converging variant of CGS. Tech. Report 90–50, Delft University of Technology 253. Van den Vorst, H.A. (1992): BI-CGSTAB: a fast and smoothly converging variant of BI-CG for the solution of non-symmetric linear systems. SIAM J. Sci. Stat. Comput., 13, 631–644


505

254. Van der Wijngaart, R.J.F. (1990): Composite grid techniques and adaptive mesh refinement in computational fluid dynamics. Report CLaSSiC–90–07, Dept. Computer Science, Stanford Univ. 255. Van Doormal, J.P., Raithby, G.D. (1984): Enhancements of the SIMPLE method for predicting incompressible fluid flows. Numer. Heat Transfer, 7, 147–163 256. Van Doormal, J.P., Raithby, G.D., McDonald, B.H. (1987): The segregated approach to predicting viscous compressible fluid flows. ASME J. Turbomachinery, 109, 268–277 257. Vanka, S.P., Leaf, G.K. (1983): Fully coupled solution of pressure linked fluid flow equations. Rept. ANL–83–73, Argonne Natl. Lab. 258. Vanka, S.P. (1983): Fully coupled calculation of fluid flows with limited use of computer storage. Rept. ANL–83–87, Argonne Natl. Lab. 259. Vanka, S.P. (1986): Block-implicit multigrid solution of Navier-Stokes equations in primitive variables. J. Copmput. Phys., 65, 138–158 260. Wesseling, P. (1990): Multigrid methods in computational fluid dynamics. ZAMM – Z. Angew. Math. Mech., 70, T337–T347 261. Weiss, J., Maruszewski, J.P., Smith, W.A. (1999): Implicit solution of preconditioned Navier-Stokes equations using algebraic multigrid. AIAA J., 37, 29–36 262. White, F.M. (1986): Fluid mechanics. McGraw Hill, New York 263. Wilcox, D.C. (1998): Turbulence modelling for CFD. DCW Industries, Inc., La Ca˜ nada, California 264. Williams, F.A. (1985): Combustion theory: the fundamental theory of chemically reacting flow systems. Benjamin-Cummings Pub. Co., Menlo Park, CA 265. Xing-Kaeding, Y. (2006): Unified approach to ship seakeeping and maneuvering by a RANSE method. Dissertation, TU Hamburg-Harburg 266. Yakhot, V., Orszag, S.A. (1986): Renormalization group analysis of turbulence. I. Basic theory. J. Sci. Comput., 1, 1–51 267. Zang, Y., Street, R.L., Koseff, J.R. (1993): A dynamic mixed subgrid-scale model and its application to turbulent recirculating flows. Phys. Fluids A, 5, 3186–3196 268. Zang, Y., Street, R.L. (1995): A composite multigrid method for calculating unsteady incompressible flows in geometrically complex domains. Int. J. Numer. Methods Fluids, 20, 341–361 269. Zhang, H., Zheng, L.L., Prasad, V., Hou, T.Y. (1998): A curvilinear level set formulation for highly deformable free surface problems with application to solidification. Numer. Heat Transfer, 34, 1–20 270. Zienkiewicz, O.C. (1977): The finite element method, McGraw-Hill, New York

Index

Abbruchfehler, 37, 52, 57, 61, 70, 82, 89, 90, 92, 400 Adams-Bashforth-Methoden, 162 Adams-Moulton-Methoden, 162 additive Zerlegung, 123 Aliasing, 72 Anfangsbedingungen, 323 Aufwinddifferenz, 53 Backscatter, 336 Bahnlinie, 482 Beschleunigungsfaktor, 437, 438 Boussinesq-Approximation, 11, 13, 448 Corioliskraft, 262 Courant-Zahl, 168, 171, 390 Crank-Nicolson-Methode, 159, 174, 190 D’Alembert-Paradoxon, 17 Damk¨ ohler-Zahl, 485 Diskretisierungsfehler, 41, 70, 71, 81, 147, 240, 242, 420 Dissipation, 315 DuFort-Frankel-Methode, 172 effektive Wellenzahl, 74, 75, 321 Effizienz, 437 – Lastverteilungs-, 439 – numerische, 439, 440 – parallele, 439, 440 Eigenvektor, 113, 129, 146 Eigenwert, 113, 145 Ein-Punkt-Schließung, 317 Einstein-Konvention, 6 ENO-Methoden, 390 Enthalpie, 12 Euler-Gleichungen, 15, 367 Euler-Methode – explizit, 158, 160, 452 – implizit, 158 falsche Diffusion, 53, 78

Fick-Gesetz, 11 Filterkern, 331 Formfunktion, 44, 53, 87, 88, 273 Fourier-Gesetz, 11 Fourier-Reihe, 72, 73, 321 Froude-Zahl, 13, 334, 472 Gauß-Seidel-Methode, 115, 129, 132, 134, 150, 429 Gauß-Theorem, 5, 274, 281, 416 Genauigkeitsordnung, 52, 62, 71, 92, 452 generische Erhaltungsgleichung, 12, 47, 83, 270 Geschwindigkeitspotential, 16 Gittergeschwindigkeit, 452, 454 gitterunabh¨ angige L¨ osung, 39 Gitterverfeinerung, 401 h¨ angende Knoten, 285 Hybrid-Verfahren, 95 hybride Wandfunktion, 355 Integrall¨ angenmaß, 318 Interfaceverfolgungsmethode, 462 Iterationen – ¨ außere, 136, 137, 141, 203, 217, 414, 436 – innere, 136, 137, 203, 217 Iterationsfehler, 41, 112–115, 129, 144, 147, 239 Iterationsmatrix, 113, 116, 144, 287 Jacobi-Matrix, 139, 140 Jacobi-Methode, 115, 129, 134 Kapillarkonvektion, 461 kinetische Energie der Turbulenz, 347, 348 Kleinskalen-Reynolds-Spannung, 332 Kleinskalenmodell, 332 koh¨ arente Strukturen, 316, 319

508

Index

Kommunikation – globale, 431, 435, 441 – lokale, 431, 435, 440, 441 Konditionszahl, 125 kontravariante Komponenten, 9 Kontrollmasse, 3 Kontrollvolumen, 3 Kontrollvolumen-Gleichung, 4 Konvektion – erzwungene, 447 – nat¨ urliche, 447 kovariante Komponenten, 9 Kronecker-Symbol, 7 Lagrange-Multiplikator, 233 Laplace-Gleichung, 16 ¨ Lax-Aquivalenz-Theorem, 39 Leapfrog-Methode, 158, 171 Leibniz-Regel, 450 Level-Set-Methode, 467 lineare Aufwind-Approximation, 95 MAC-Methode, 462 Mach-Zahl, 15, 373 Marangoni-Konvektion, 461 Marangoni-Zahl, 461 Matrix – diagonaldominant, 150 – positiv-definit, 124 Mehrgittermethode – algebraische, 134, 419 – geometrische, 134 Mittelpunktregel, 86, 164, 270, 279 Modellfehler, 41 newtonsches Fluid, 6 Null-Gleichungs-Modelle, 348 numerische Diffusion, 89, 90, 103 numerisches Gitter – u ¨ berlappend, 459 – u ¨ berlappend, 34, 426 – blockstrukturiert, 33, 69 – C-Typ, 32 – Chim¨ ara, 34 – gleitend, 459 – H-Typ, 32 – O-Typ, 32 – strukturiert, 31, 48 – unstrukturiert, 34, 69 Nusselt-Zahl, 248 Ordnung einer Approximation, 38, 42 Padé-Verfahren, 54, 93

Peclet-Zahl, 76, 77, 79, 101, 170, 173 Picard-Iteration, 140, 141 Prandtl-Zahl, 12, 248 Prolongation, 129, 131, 132, 415 Quadraturformel, 84, 85 R¨ uckw¨ artsdifferenz, 49, 52, 57 R¨ uckw¨ artssubstitution, 107, 109–111 R¨ uhren, 315 Randbedingung – dynamische, 469 – kinematische, 460, 469, 470 Randbedingungen – Ausstromrand, 237, 325 – Dirichlet, 49, 64 – Einstromrand, 96, 324 – Neumann, 49, 64, 155, 237 – Symmetrieebene, 96, 235, 326 – Wand, 96, 235, 304, 326 Raumerhaltungsgesetz, 453, 456 Rayleigh-Zahl, 14, 248, 448 Rechenstern, 66, 77, 91, 93, 117, 274 Residuum, 112, 120, 129, 130, 415 Restriktion, 129, 131, 132, 415 Reynolds-Mittelung, 346 Reynolds-Spannungen, 346, 361 Reynolds-Transporttheorem, 4 Reynolds-Zahl, 13, 318 Richardson-Extrapolation, 71, 101, 161, 241, 248, 415, 420 Richardson-Zahl, 334 Schließungsproblem, 347 Schmidt-Zahl, 12 Schubspannungsgeschwindigkeit, 333, 353 SIMPLE-Algorithmus, 223, 230, 238, 245, 292 Simpson-Regel, 87, 92, 94, 164, 242 Skalar – aktiver, 443 – passiver, 443 Skalen¨ ahnlichkeitsmodell, 334 Spaltungsmethode, 122 Spektralradius, 114, 129, 144 Stokes-Gleichungen, 17 Strahlungsbedingung, 472 Streichlinie, 483 Stromfunktion, 17 Stromlinie, 17, 483 Strouhal-Zahl, 13, 312 sukzessive Uberrelaxation (SOR), 129

Index Tau-Fehler, 423 Thomas-Algorithmus (TDMA), 110 Trajektorie, 482 Trapezregel, 86, 121, 159 turbulente Diffusion, 315, 327 turbulente Prandtl-Zahl, 349 turbulenter Skalarfluss, 346 Turbulenzgrad, 356 Turbulenzmodell, 317 Turbulenzspektrum, 321, 323 TVD-Methoden, 389

509

von Neumann, 38, 168 Vorkonditionierung, 126 Vorkonditionierungsmatrix, 112 Vorw¨ artsdifferenz, 49, 52, 57 Vorw¨ artselimination, 107, 109 Wandfunktion, 337, 353 Wandschubspannung, 333, 353 Wirbelstreckung, 315 Wirbelumdrehungszeit, 323 Wirbelviskosit¨ at, 332, 350, 356

Unterrelaxation, 245, 419 viskose Dissipation, 190 VOF-Methode, 463 Voll-Mehrgittermethode, 133, 415 von Karman-Konstante, 353

Zentraldifferenz, 49, 52, 53, 60, 90, 98, 121 Zentrifugalkraft, 262 Zustandsgleichung, 369 Zwei-Punkte-Schließung, 317

Numerische Strömungsmechanik

Numerische Mathematik

Numerische Stromungsberechnung

Numerische Mathematik

Numerische Verbrennungssimulation: Effiziente numerische Simulation turbulenter Verbrennung

Numerische Verbrennungssimulation: Effiziente numerische Simulation turbulenter Verbrennung

Numerische Mathematik

Numerische Simulation 001

Numerische Stroemungsmechanik 001

Parallele numerische Verfahren

Numerische Physik (Springer Lehrbuch)

Numerische Mathematik, 8. Auflage

Numerische Strömungsberechnung, 2. Auflage

Numerische Mathematik: Gewahnliche Differentialgleichungen