Numerische Beanspruchungsanalyse von Rissen: Finite Elemente in der Bruchmechanik

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Author: Meinhard Kuna

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Meinhard Kuna Numerische Beanspruchungsanalyse von Rissen

Meinhard Kuna

Numerische

Beanspruchungsanalyse von Rissen Finite Elemente in der Bruchmechanik Mit 276 Abbildungen und zahlreichen Beispielen STUDIUM

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet (Jber abrufbar.

Professor Dr. rer. nat. habil. Meinhard Kuna studierte Physik an der TU Magdeburg und promovierte 1978 an der Universit~it Halle, wo er sich 1991 mit dem Thema ,,Numerische Methoden der Bruchmechanik" habilitierte. Er war als Gruppenleiter an der Akademie der Wissenschaften (IFE Halle), als Abteilungsleiter am FhG Institut fSr Werkstoffmechanik Freiburg/Halle und an der MPA Stuttgart t~tig. Seit 1997 ist er Universit~itsprofessor f~r FestkSrpermechanik an der TU Bergakademie Freiberg. Seine Arbeitsgebiete sind die Bruchmechanik, Sch{idigungsmechanik, Materialtheorie und die Entwicklung numerischer Berechnungsverfahren (FEM, BEM). Die Anwendungsbereiche erstrecken sich vonder Sicherheitsbewertung technischer Konstruktionen ~Jber adaptive Materialien bis zur Zuverl~ssigkeit mikroelektronischer Strukturen. Professor Kuna leitete in den vergangenen vier Jahren als Obmann den DVM Arbeitskreis Bruchmechanik und ist Mitherausgeber internationaler Fachzeitschriften.

1. Auflage 2008 Alle Rechte vorbehalten 9 Vieweg+Teubner J GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2008 Lektorat: Harald Wollstadt J Ellen Klabunde Vieweg+Teubner ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.viewegteubner.de Das Werk einschlieBlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschStzt. Jede Verwertung auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzul~ssig und strafbar. Das gilt insbesondere ffJr Vervielffiltigungen, 0bersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten ww und daher von jedermann benutzt werden d{irften. Umschlaggestaltung: K(JnkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: Strauss Offsetdruck, MSrlenbach Gedruckt auf s~urefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN 978-3-8351-0097-8

Vorwort Bei der Entwicklung und Auslegung technischer Konstruktion, Bauteile und Anlagen spielen die Bewertung und Vermeidung von Bruch- und Schgdigungsprozessen eine wesentliche Rolle, um die technische Sicherheit, Lebensdauer und Zuverls zu gew~ihrleisten. Ingenieurtechnische Fehler auf diesem Gebiet kSnnen im Versagensfall katastrophale Folgen ffir das Leben yon Menschen, die Umwelt aber auch die Volkswirtschaft haben. Da in vielen Konstruktionen und Werkstoffen herstellungs- oder betriebsbedingte Defekte nicht immer ausgeschlossen werden kSnnen, kommt der bruchmechanischen Bewertung yon rissartigen Defekten eine grofge Bedeutung zu. Im Rahmen der technischen 0berwachung und der Aufkls yon Schadensfs ist neben der Werkstoffcharakterisierung vor allem die Analyse des mechanischen Beanspruchungszustandes an Rissen, Kerben und ~hnlichen Defekten unter betrieblichen Einsatzbedingungen von Interesse. Die Bruchmechanik hat sich in den letzten 5o Jahren als eigenst~ndiges interdisziplin~ires Wissenschaftsgebiet herausgebildet, das zwischen Technischer Mechanik (Festigkeitslehre), Werkstoffwissenschaften und Festk6rperphysik angesiedelt ist. Die Bruchmecha~ik definiert BeanspruchungskenngrS~en und Kriterien, um das Rissverhalten in Werkstoffen und Bauteilen unter statischen, dynamischen oder zyklischen Belastungen quantitativ beurteilen zu kSnnen. Fiir die bruchmechanische Beanspruchungsanalyse werden heutzutage in verst~ktem Ma~e numerische Verfahren der FestkSrpermechanik eingesetzt. Die Finite-ElementeMethode (FEM) hat sich in vielen Bereichen des Ingenieurwesens als universelles und leistungsf'dhiges Werkzeug des modernen Konstrukteurs und Berechnungsingenieurs etabliert. Es stehen zahlreiche Softwarepakete zur Verffigung, die mittlerweile neben Standardaufgaben der Strukturmechanik auch bruchmechanische Optionen anbieten. Allerdings erfordert die Beha~dlung yon Rissproblemen spezielle theoretische Vorkenntnisse und numerische Algorithmen, die bisher nicht im notwendigen Umfa~g in die ingenieurtechnische Ausbildung und Praxis eingeflossen sind, sondern meistens >>bruchmechaaischen Spezialisten~ vorbehalten blieben. Das Anliegen der vorliegenden Monografie besteht darin, diese Lficke zu schliegen. In der Einfiihrung werden die wesentlichen theoretischen Grundlagen der Bruchmechaaik vorgestellt, deren KenngrSf~en mit der FEM zu bestimmen sind. Der Schwerpunkt der Ausfiihrungen behandelt die speziellen numerischen Techniken zur Analyse von ebenen und rs Rissproblemen in elastischen und plastischen Werkstoffen unter allen technisch relevanten Belastungen. Abschliet~end werden fiir jedes Gebiet Berechnungsbeispiele zur LSsung praktischer Aufgaben gegeben. Das Lehrbuch wendet sich an Studenten ingenieurwissenschaftlicher Studieng~inge im hSheren Semester, vor allem des Maschinenbaus, Bauingenieurwesens, Fahrzeugbaus, den Werkstoffwissenschaften, der Luft- und Raumfahrt oder Computational Engineering. Es soll Absolventen und Doktoranden dieser Fachrichtungen eine Einfiihrung in das Spezialgebiet geben und bei eigenen Forschungsaxbeiten unterstfitzen. Daxiiber hinaus sehe ich

VI

als Zielgruppe Ingenieure in den Konstruktions- und Berechnungsabteilungen vieler Industriezweige und in den technischen AufsichtsbehSrden, die mit Fragen der Auslegung, Bewertung und l]berwachung von Festigkeit und Lebensdauer technischer Konstruktionen konfrontiert sind. Gleichzeitig soll das Lehrbuch Materialwissenschaftlern und Werkstofftechnikern eine Briicke zur theoretischen Bruchmechanik bauen, um numerische Techniken f/Jr die MaterialmodeUierung zu nutzen oder die Werkstoff- und Bauteilpr/ifung durch rechnerische Analysen zu begleiten. Fiir das Verst~iadnis des Buches werden vom Leser Grundkenntnisse in der Festigkeitslehre, Kontinuumsmechanik, Materialtheorie und Finite-Elemente-Methode vorausgesetzt. Im Anhang sind die wesentlichen Grundlagen der Festigkeitslehre nochmals zusam_mengestellt. An der Entstehung des Buches waren viele Personen beteiligt. Ein groges DankeschSn gebiihrt Frau M. Beer fiir die Anfertigung der vielen exzellenten Zeichnungen. Die zahlreichen numerischen Beispiele stammen u. a. aus gemeinsamen Arbeiten mit friiheren und jetzigen Mitarbeitern meines Lehrstuhls, wofiir ich reich besonders bei Dr. M. Abendroth, Dr. M. Enderlein, Dr. E. Kullig, Th. Leibelt, Ch. Ludwig, Dr. U. Miihlich, F. Rabold, Dr. B. N. Rao, Dr. A. Ricoeur, Dr. A. Rusakov und L. Sommer bedanken mSchte. Bildmaterial fiir erg~nzende Beispiele haben mir dankenswerterweise Dr. M. Fhlland (Universit~t Paderborn) und Dr. I. Scheider (GKSS Geesthacht) iiberlassen. Ebenso konnte ich bei den praktischen Anwendungsf~illen auf Forschungsergebnisse zuriickgreifen, die in langj~hriger fruchtbarer Kooperation mit den Kollegen Prof. G. Pusch und Dr. P. Hiibner (IWT TU Bergakademie Freiberg) entstanden sind. Herr Prof. Pusch hat freundlicherweise auch die fraktografischen Aufnahmen zur Verffigung gestellt. Mein aus Dank gilt Herrn Prof. W. Brocks (GKSS Geesthacht) fiir die Durchsicht des Manuskriptes und konstruktive Hinweise zur wissenschaftlichen Darstellung der Thematik. Durch sorgf~iltiges Korrekturlesen des Manuskriptes haben mich Th. Linse, Ch. Ludwig, Dr. M. Enderlein und L. Zybell unterstiitzt. Sehr herzlich mSchte ich mich bei meiner Frau, Christine Kuna, ffir das gro~e Verst~ialdnis und ihre unendliche Geduld bedanken. Nicht zuletzt gilt meine Anerkennung dem Vieweg+Teubner Verlag fiir die gute Zusammenarbeit.

Freiberg, im Mai 2008

Meinhard Kuna

Inhaltsverzeichnis Glossar

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Einleitung 1.1 1.2 1. 3

Bruchvorg~inge in Natur ~nd Technik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Bruchmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B e r e c h n u n g s m e t h o d e n fiir R i s s e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Einteilung der Bruchvorg'dnge 2.1 M a k r o s k o p i s c h e E r s c h e i n u n g s f o r m e n d e s B r u c h s . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 M i k r o s k o p i s c h e E r s c h e i n u n g s f o r m e n d e s B r u c h s . . . . . . . . . . . . . . . . 2. 3 K l a s s i f i k a t i o n d e r B r u c h v o r g ~ g e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Grundlagen der Bruchmechanik 3.1 M o d e l l a n n a h m e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 L i n e a r ~ e l a s t i s c h e B r u c h m e c h a n i k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Zweidimensionale l~issprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Eigcnfunktionen des Rissproblems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Dreidimensionale Rissprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4 Spannungsintensit/itsfaktoren -- K-Konzept ............... 3.2.5 Energiebilarz bei Rissausbreitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.6 Das J-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.7 Risse in anisotropen elastischen K6rpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.8 G r e n z f l / i c h e n r i s s e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.9 Risse in Platten und Schalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. lO B r u c h m e c h a n i s c h e G e w i c h t s f u n k t i o n e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.11 T h e r m i s c h e u n d e l e k t r i s c h e F e l d e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 E l a s t i s c h - p l a s t i s c h e B r u c h m e c h a n i k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-3.1 Einf/ihrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 K l e i n e p l a s t i s c h e Z o n e n a m Rk, s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-3.3 Das DUGDALE-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4 RissSffnungsverschiebung CTOD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.5 Failure Assessment Diagramm FAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.6 Rissspitzenfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.7 Das J-Integral-Kcnzept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.8 Drktile Rissausbreitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 E r m f i d u n g s r i s s w a c h s t u m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Belastung mit konstanter Amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Beanspruchungssituationen an der Rissspitze ............... 3-4.3 Belastung mit variabler Amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 7 11 15 17 17 21 22

25 25 27 27 ~4 39 42 46 54 58 61 65 ~8 79 83 83 84 88 9o 92 c~4 lc4 lC9 117 117 121 1~4

viii

4

5

Inhaltsverzeichnis

3.4.4 Bruchkriterien bei M i x e d - M o d e - B e a n s p r u c h u n g . . . . . . . . . . . . . . 3-4.5 E r m i i d u n g s r i s s a u s b r e i t u n g bei M i x e d - M o d e - B e a n s p r u c h u n g . . . . . . . 3-4.6 Vorhersage des Risspfades u n d seiner Stabilit~it . . . . . . . . . . . . . . 3.5 D y n a m i s c h e Bruchvorg~inge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einffihrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Ela~todynamischc G r u n d g l c i c h u n g c n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Station~re Risse bei d y n a m i s c h e r Belastung . . . . . . . . . . . . . . . . 3-5.3 D y n a m i s c h c Rissausbrcitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-5.4 Energiebilanz und J-Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-5.5 3-5.6 Bruchkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

127 131

Methode der Finiten Elemente 4.1 Ri~umliche u n d zeitliche Diskretisierung der R a n d w e r t a u f g a b e . . . . . . . . 4.2 Encrgicprinzipicn dcr K o n t i n u u m s m c c h a n i k . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Variation der VerschiebungsgrSgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Variation der KraftgrSs .......................... 4.2. 3 Gemischte u n d hybride Variationsprinzipien . . . . . . . . . . . . . . . . 4-2.4 P r i n z i p Yon HAMILTON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 G r u n d g l e i c h u n g e n der F E M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-3.1 A u f b a u der Steifigkeitsbeziehungen ffir ein E l e m e n t . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Assemblierung u n d LSsung des G e s a m t s y s t e m s . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Numerische Realisierung der F E M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-4.1 Wahl der Verschiebungsans~itze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Isoparametrische Elementfamilie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-4.3 Numerische I n t e g r a t i o n der E l e m e n t m a t r i z e n . . . . . . . . . . . . . . . 4-4.4 Numcrischc I n t c r p o l a t i o n dcr Ergcbnissc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 F E M fiir nichtlineare R a n d w e r t a u f g a b e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 G r u n d g l e i c h u n g e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2 Materielle Nichtlinearitgten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-5.3 Geometrische Nichtlinearit~iten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Explizitc F E M fiir d y n a m i s c h c P r o b l c m c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Arbeitsschritte bei der F E M - A n a l y s e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.1 PRE-Prozessor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.2 FEM-Proze,~sor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-7.3 P O S T - P r o z e s s o r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

149

FEM-Techniken

z u r R i s s a n a l y s e in l i n e a r - e l a s t i s c h e n S t r u k t u r e n

5.1 A u s w e r t u n g der numerischen LSsung a n der Rissspitze . . . . . . . . . . . . 5.2 Spezielle finite E l e m e n t e a n der Ri~c~spitze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Entwicklung von Rissspitzenelementen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Modifizicrtc isopara~nctrischc Vcrschicbmlgsclcmcntc . . . . . . . . . . . 5.2.3 Berechnung der Intensit~itsfaktoren aus V i e r t e l p u n k t e l e m e n t e n . . . . . 5.3 Hybride Rissspitzenelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 E n t w i c k h m g hybrider Rissspitzenelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 2D Rissspitzenelemente nach d e m gemischten h y b r i d e n Modell . . . . .

133 135 135 136 137 139 144 146

149 152 152 155 156 161

162 162 164 166 166 167 17o 172 175 175 178 181 184 186 186 186 186

187 187 191 191 192 2ol 2o5 205 207

Inhaltsverzeichnis

5.3.3 3D Rissspitzenelemente nach dem h y b r i d e n SpannungsmodeU . . . . . . 5.4 Die Methode der globalen Energiefreisetzungsrate . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 U m s e t z u n g im R a h m e n der F E M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2 Die M e t h o d e der virtuellen R i s s a u s b r e i t u n g . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Die Methode des Rissschliei~integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1 G r u n d g l e i c h u n g e n der lokalen Energiemethode . . . . . . . . . . . . . . 5.5.2 Numerische Realisierung mit F E M 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-5.3 Numerische Realisierung mit F E M 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.4 Beriicksichtigung von Rissufer-, Volumen- u n d thermischen B e l a s t u n g e n 5.6 F E M - B e r e c h n u n g des J - L i n i e n i n t e g r a l s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 F E M - B e r e c h n u n g bruchmechanischer G e w i c h t s f u n k t i o n e n . . . . . . . . . . 5.7.1 Einfache E r m i t t l u n g m i t Einheitskr/iften . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.2 B e s t i m m u n g parametrisierter Einflussfunktionen . . . . . . . . . . . . . 5.7.3 Berechnung aus der Verschiebungsableitung . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.4 A n w e n d u n g der J - V C E - T e c h n i k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.5 Berechnung mit der BUECKNE~t-Singularit~it . . . . . . . . . . . . . . . 5.8 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8.1 Scheibe mit Innenriss u n t e r Zug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8.2 Halbelliptischer Oberfl/ichenriss u n t e r Zug . . . . . . . . . . . . . . . . .

Numerische Berechnung verallgemeinerter Energiebilanzintegrale 6.1 Verallgemeinerte Energiebilanzintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Erweiterung auf allgemeinere B e l a s t u n g e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Voraussetzungen der Wegunabhgngigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Rissufer-, Volumen- u n d thermische Lasten . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Dreidimensionale Versionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Das 3D-ScheibenintegTal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Virtuelle R,issausbreitung 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Numerische Berechnung als/iquivalentes Gebietsintegral . . . . . . . . . . . 6.4.1 U m w a n d l u n g in ein iiquivalentes Gebietsintegral 2D . . . . . . . . . . . 6.4.2 U m w a n d l u n g in ein ~iquivalentes Gebietsintegral 3D . . . . . . . . . . . 6.4.3 Numerische Realisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Beriicksichtigung dynamischer Vorg~nge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Erweiterung auf inhomogene S t r u k t u r e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7 B e h a n d l u n g von Mixed-Mode-Rissproblemen . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.1 A u f s p a l t u n g in RissSffnungsarten I u n d II . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.2 Int eraction-Int egral-Technik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8 Berechnung der T - S p a n n u n g e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9.1 Innenriss u n t e r Rissuferbelastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9.2 K a n t e n r i s s u n t e r Thermoschock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9.3 D y n a m i s c h belasteter Innenriss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9.4 Riss im Gradientenwerkstoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1o Z u s a m m e n f a s s e n d e Bewertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ix

211 217 217 218 220 220 222 227 232 234 236 236 238 240 243 244 245 245 249

253 253 257 257 257 26o 26o 262 264 264 267 268 270 272 273 273 276 279 282 282 283 286 288

. . . .

289

x

7

8

Inhaltsverzeichnis

z u r R i s s a n a l y s e in e l a s t i s c h - p l a s t i s c h e n S t r u k t u r e n

291

7.z Elastisch-plastische R is s s p it z e n e le m e n te . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 A u s w e r t u n g der RissSffnungsverschiebungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 B e r e c h n u n g des J - I n t e g r a l s u n d ecine B e d e u t u n g . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Elastisch-plastische E r w e i t e r u n g e n v on J . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2 A n w e n d u n g a u f rul~ende Riese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.3 A n w e n d u n g a u f b e w e g te Riese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1 Kompakt-Zug-Probe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2 P l a t t e n z u g v e r s u c h e m i t Oberfl~chenriss . . . . . . . . . . . . . . . . . .

FEM-Techniken

291 293 295 295 3oo ~ol 3o3 303 ~o7

Numerische Simulation des Risswachstums 8.z Technik der K n o t e n t r e n n u n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Techniken der E l e m e n t m o d i f i k a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Elementteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.2 Elementausfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2. 3 A n p a s s u n g der Elementsteifigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 M i t b e w e g t e R is s s p it z e n e le m e n te . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 A d a p t i v e V e r n e t z u n g s s t r a t e g i e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.1 Fehlergesteuerte adaptive Vernetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.2 S i m u l a t i o n der Pdssausbreitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 K c h ~ s i v z o n e n m o d e l l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.1 Werkstoffmechanische G r u n d l a g e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.2 Numerische U m s e t 2 u n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6 S c h ~ l i g u n g s m e c h a n i s c h e Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7 Beispiele ffir E r m i i d u n g s r i s s w a c h s t u m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7.1 Quel kraftbiege!crobe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7.2 ICE-Radreifenbruch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.8 Beispiele ffir duktiles R i s s w a c h s t u m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.8.1 Kohs fiir die C T - P r o b e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.8.2 Sch~digungsmechanik ffir die S E N B - P r o b e . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Anwendungsbelspiele

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

311 311 313 313 314 315 316 319 319 319 521 ~21 326 529 ~31 ~31 ~33 ~35 ~35 fi38

343

9.1 L e b e n s d a u e r b e w e r t u n g eincs E i s e n b a h n r a d e s bei E r m f i d u n g s r i s s w a c h s t u m . 343 9.1.1 B r u c h m e c b a n i s c h e u n d konventionelle K e n n w e r t e von A D I . . . . . . . ~43 9.1.2 F i n i t e - E l e m e n t e - B e r e c h n u n g e n des R a d cs . . . . . . . . . . . . . . . . . ~44 9.1.3 Festlegung der R i s s p o s t u l a t e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~47 9.1.4 B r u c h m e c b a n i s c h e A n a ly s e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~48 9.2 S p r S d b r u c h b e w e z t u n g eines Beh~ilters u n t er S t o g b e l a s t u n g . . . . . . . . . . 354 9.2.1 F E M - M o d e l l des Fallversuches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 9.2.2 B r u c h m e c b a n i s c h e Ergebnisse der S i m u l a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . 356 9.2.3 A n w e n d u n g der S t b m o d e l l t e c h n i k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 9.3 Z~ihbruchbewertung v o n Schweii~verbindungen in G a s r o h r l e i t u n g e n . . . . . 359 9.3.1 Einle]tung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 9.3.2 Bruchmecbanisches B e w e r t u n g s k o n z e p t F A D . . . . . . . . . . . . . . . ~59

Inhaltsverzeichnis

9.3.3 9-3.4

B a u t e i l v e r s u c h an ciner R o h r l e i t u n g m i t Schweignahtrissen F E M - A n a l y s e des Bauteilversuchs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.......

Anhang A

Grundlagen der Festigkeitslehre A.1 M a t h e m a t i s c h e Daxstellung u n d N o t a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n.2 V e r f o r m u n g s z u s t a n d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2.1 K i n e m a t i k der Verformungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2.2 D e f o r m a t i o n s g r a d i e n t u n d V e r z e r r u ng st en so r en . . . . . . . . . . . . . . n.2. 3 Deformationsgeschwindigkeit en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . t . 2 . 4 LineaxisieIung fiir kleine D e f o r m a t i o n e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . A. 3 S p a n n u n g s z u s t a n d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3.1 S p a n n u n g s v e k t o r u n d S p a n n u n g s t e n s o r . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3.2 S p a n n u n g e n in der Ausgangskonfiguration . . . . . . . . . . . . . . . . . t.3. 3 Hauptachsentransformation ......................... t . 3 . 4 Gl ei ch g e w ic h t s b e d i n g u n g e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.4 M at eri al g e s e t z e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.4.1 Elastfsche M a t e r i a l g e s e t z e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.4.2 Elastisch-plastische M a te r ia lg e s e tz e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n. 5 R a n d w e r t a u f g a b e n der Festigkeitslehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.5.1 Definition der R a n d w e r t a u f g a b e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.5.2 E b c n e R a n d w e r t a u f g a b e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.5. 3 Metl~ode der k o m p l e x e n S p a n n u n g s f u n k t i o n e n . . . . . . . . . . . . . . n.5. 4 Der nichtebene Schubspaxmungszustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . t.5. 5 Platten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

~I

363 367

371

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

373 373 374 374 375 378 379 382 382 385 387 389 391 391 397 41o 41o 412 415 417 418

Literaturverzeichnls

421

Stichwortverzeichnis

441

Glossar Symbole acf Otd alj ~t ~ t (~j ~s ~W

~ij ill, filB F F +, F Fe ~' "~ "/II "~III

Ver fest igungskoeffizient plastischer Constraint-Faktor Dilatationswellenverhgltnis anisotrope elastische Konstanten linearer thermischer Ausdehnungskoeffizient Tensor der therinischen Ausdehnungskoeffizienten Scherwellenverh/ilt his Biaxialparameter thermische Spannungskoeffizienten interne hybride Ansatzkoeffizienten Integrationsweg oberes, unteres Rissufer Integrationsweg Rissspitze Gleitung Materialkonstante spezifische Oberfl/ichenenergie Hauptgleitungen 11

11

~'d "/D ~s ~'t Aa AK AKeff AKth

Radienverhiiltnis Dilatation dynainische Oberfl~ichenenergie Radienverh/iltnis Schub Riss6ffnungswinkel Spannungsschwingbreite zyklischer Spannungsintensit~tsfaktor effektive zyklische Spannungsintensitiit Schwellenwert Ermiidung Variationssymbol 5 Separation (Koh/isivzonenmo dell) 5c Dekoh/isionsl/inge 5n Separation (normal) 5s Separation (transversal) 5t Separation (tangential) 5t Riss6ffnungsverschiebung CTOD ~T Separation Scherung total = [[~ Separationsvektor (Koh/isivmodell) e Dielektrizit/itskonst ante e Bimaterialkonstante eij k

P e r m u t a t i o n s t e n s o r LEVI- CEVITA

e0 gI s

Referenzdehnung (~ a F / E ) Hauptdehnungen

gIII

gH evp

eP e, ~i" s D , ~D

6e, ep, et,

~iej ~P. zJ ~tj

ee ep e. ~/ ~/ ~/(Xl) ~l(a/w)

~/e 0 Oc 0d

0s

zi ~. )t # #1/ ~, ~i ~, ~ //c HCH //GH I~MH * IIv

//PH

It

I~

Kugeltensor der Verzerrungen plastische Vergleichsdehnung

/JR

//ext /~int //ext

plastische Mat rix-Vergleichsdehnung Verzerrungstensor Verzerrungsdeviator elastische Verzerrungen plastische Verzerrungen thermische Verzerrungen Verzerrungsinatrix elastische Verzerrungsmatrix plastisehe Verzerrungsmatrix Anfangsdehnungen koinplexe Variable Verh~ltniszahl Schub/Zug (Koh~isivInodell) Fehlerindikator FEM global Gradientenfunktion Geometriefunktion Jp-Integral Fehlerindikator Eleinent e EULER-ALMANSI Verzerrungstensor Polarkoordinate, Winkel Rissausbreit ungswinkel Winkel bei Dilatationswellen Winkel bei Scherwellen WKrmeiibergangszahl elastische Konstante Knotendistorsionsparameter Rissspitzenposition dynamischer 0berh6hungsfaktor plastischer LAGRANGEscher Multiplikator Exponent der komplexen Spannungsfunktion LAMEsche Elastizit/itskonstante Schubmodul Schubaufnahmefaktor Querkontraktionszahl natfirliche Elementkoordinaten Koordinaten Integrationspunkte Prinzip der Komplement/irenergie hybrides Spannungsprinzip hybrides gemischtes Prinzip vereinfachtes hybrides gemischtes Prinzip Prinzip der potenziellen Energie hybrides Verschiebungsprinzip H ELLINGER-REISSNER-Prinzip Potenzial iiugerer Lasten inneres mechanisches Potenzial komplement/i.res/iugeres Potenzial

2

/llnt p p P0 a ~rc ~o aF ~rF0 o-H cq o'ii ffIII

~c ~rM amax O'mi n

~n av or, ~ij erD, a ~ ~Tc ~-t ~'s TF TFo ~i TII TIII

~'ij Tn

q5

r X(Z) X

r Ce ~b, r C2(z) C2 w

Glossar

komplement~ires inneres Potenzial Kerbradius Dichte (Momentankonfiguration) Dichte (Ausgangskonfiguration) Normalspannung (Koh~isivzonenmodell) Kohiisionsfestigkeit Zug Referenzspannung ( ~ ~F) Fliegspannung Anfangsfliegspannung Kugeltensor der Spannungen Hauptnormalspannungen ii

II

kritische Spannungen Matrixfliegspannung Oberspannung Unterspannung Nennspannung Zug v. MISES Vergleichsspannung CAvcHvscher Spannungstensor Spannungsdeviator CAucHY-Spannungsmatrix Schubspannung Koh~isionsfestigkeit Schub Schubspannung tangential Schubspannung transversal Schubfliegspannung Anfangsschubfliegspannung Hauptschubspannungen II

Schubspannungskomponenten Nennspannung Schub Fliegbedingung, Dissipationsfunktion elektrisches Potenzial Winkelkoordinate bei elliptischen Rissen Skalares WeUenpotenzial komplexe Spannungsfunktion komplexe Spannungsfunktion PdssSffnungsfunktion Phasenwinkel elastisches Potenzial vektorielles WeUenpotenzial komplexe Spannungsfunktion Integrationsgebiet J-Integral Integrationsgebiet J-Integral Sch~idigungsvariable Ob erfl~ichenladungsdichte

AB

As A(*) a a a

d 5 a0 ac

aeff ai ath a, ai

Bruchprozesszone Koeffizienten Eigenfunktionen Zuordnungsmatrix (Inzidenzmatrix) Oberfl~iche (Momentankonfiguration) Rissl~inge Halbachse yon elliptischen Rissen l~issgeschwindigkeit Rissbeschleunigung Anfangsrissl~inge kritische Rissl~inge effektive Rissl~nge Koeffizienten Eigenfunktionen Rissl~inge aus Schwellenwert Beschleunigungsvekt or

B

B B BI B B

fi b bi bw b, bran b, bi

Probendicke komplexer Spannungskoeffizient B UECKNER-Singularitiit Verzerrungs-Verschiebungs-Matrix nichtlineare VerzerrungsVerschiebungsmatrix hybride Elementmatrix Ligamentl~nge Koeffizienten Eigenfunktionen Biaxialparameter linker CAUCHY-GREEN DeformationsTensor Volumenkraftvektor

C C C C G, CMN

geschlossener Integrationspfad komplexer Spannungskoeffizient PARIS-Koeffizient rechter CAUCHY-GREEN Deformationstensor Matrix Materialtensor C Ce Elastizits cep elastisch-plastische Materialmatrix Elastizitiitsmatrix c~a C, Cijm Elastizitiitstensor 4. Stufe Halbachse yon elliptischen PAssen C Dilat at ionswellengeschwindigkeit Cd C~ Koeffizienten Eigenfunktionen RAYLEIoH-Wellengeschwindigkeit CR Scherwellengeschwindigkeit cs spezifische W~ixmekapazit~it Cv D

A A A A AI AII AII I Aa

komplexer Spannungskoeffizient Rissfliiche Oberfl~iche (Ausgangskonfiguration) Faktoren Energiefreiset zungsr at e "

Spannungskoeffiezient

2) D D(a) D, D i D dp dA dS

Dissipationsenergie Plattensteifigkeit RAYLEIGH-Funktion elektrische Flussdichte Differenziat ionsmat rix Ausdehnung der plastischen Zone Fl~ichenelement Oberfl~ichenelement

dV ds d, dij

Volumeuelement Linienelement Deformationsgeschwindigkeitstensor

H h h

E

ha

E

h, hi h

Elastizit~itsmodul E(k) elliptisches Integral 2. Art E, EMN GREEN-LANGRANGE Verzerrungstensor F,, Ei elektrische Feldst~rke E GREEN-LAGRANGE Verzerrungsmatrix ei Basisvektoren e EuLzRsche Zahl e ~ 2,718

Matrix Ver festigungsfunktion Matrix Verschiebungsgradient Dicke (Platten, Scheiben) Mehrachsigkeitszahl Ver fest igungsvariable W~meflussvektor Matrix Ver fest igungsvariable

I

I1A, I A, I A Invariante des Tensors A I, 5ij KRONECKER-Symbol, Einheitstensor Ip, Ipi Impulsvektor i= ~ i m a g i n ~ e Einheit

F

Einzelkraft AiRYsehe Spannungsfunktion plastische Grenzlast (Traglast) FL Eigenfunktionen I F, FroM Deformationsgradient Systemlastvektor F .T Flussintegral Porenvolumenanteil f modifizierter Porenvolumenanteil f* Anfangs- Porenvolumenant ell fo kritischer Porenvoumenanteil f~ /s Porenvolumenanteil bei Versagen Porenkeimdichte Nukleation fN Winkelfunktionen Rissspitzenfeld (L = I, II, III) Elementlastvektor F F(~)

G G G GI GH GIII

G~ Gdyn

al, al 1 G

g(a,~) g, gi

Schubmodul Energiefreisetzungsrate Energiefreisetzungsrate ffir PAssmodus I, II, III 11 tl

kritische Energiefreisetzungsrate dynamische Energiefreisetzungsrate bruchmechanische Gewichtsfunktionen Eigenfunktionen Modus II hybride Elementmatrix Geometriefunktion fiir K-Faktoren Winkelfunktionen PAssspitzenfeld (L ----I, II, III) Temperaturgradient

H

H

H(T) Ha

H~ H

H5he Risselement HEAvISID~-Sprungfunktion Ver festigungsfunktion bruchmechanische Gewichtsfunktionen Im~iN-Matrix Anisotropie Eigenfunktionen Modus III hybride Elementmatrix

J-Integral Determinante des Deformationsgradienten det IFI dynamisches J-Integral (ruhender PAss) J* jdyn dynamisches J-Integral (bewegter PAss) 3 D Scheibenintegral J kritischer Werkstoffkennwert J~c JR(ha) PAsswiderstandskurve (EPBM) elastischer J-Anteil Je gp plastischer J-Anteil J, gk J-Integralvektor elastiseh-plastisches J-Integral J, Jk j t e , j~e thermoelastisches J-Integral JncosIsche Funktionalmatrix J K

K

KD

kinetische Energie Kompressionsmodul Intensit~tsfaktor der dielektrischen Verschiebung S pannungsint ensit~its fakt oren

K~ gli giii Kd dynamischer Spannungsintensitgtsfaktor Kic, Kiic statische Bruchz~ihigkeit KID dynamische Bruchz~higkeit (bewegter PAss) Kid dynamische Bruchz~ihigkeit (ruhender PAss) KIa PAssarrestz~ihigkeit Kma~ Maximum der Spannungsintensitgt Kmin Minimum der Spannungsintensitgt Kop PAssSffuungsintensit~its fakt or Kv Vergleichs-Spannungsintensit s sfaktor K1, K2 Spannungsintensit~itsfaktoren Grenzflgchenriss komplexer Spannungsint ensit iit s fakt or K Systemsteifigkeitsmatrix k Probensteifigkeit k W~rmeleitkoeffizient kl, k2 Spannungsintensit~itsfaktoren bei Platten

4

Glossar

k

Element-Steifigkeitsmatrix

L L

L~inge Risselement

L(~, a, t) L A G R A N G E - F u n k t i o n L!N Eigenfunktionen Modus III L ~a l, lij dL

dl Alk

hybride Verschiebungsmatrix Geschwindigkeit sgradient Linienelement liizage (Ausgangskonfiguration) Linienelement lgnge (Momentankonfiguration) virtuelle Verrfickung der Rissfront

M

fr~ m

N N NK Na ((i) NB

if'^ N , N~j N nD nE

nG nH ~ZK nL nf ~rg~ T~i

P P P P , Pk P , PMn P

p(=) P, Pi

Eigenfunktionen Modus I Systemmassenmatrix PARis-Exponent Biegemomente (Plattentheorie) Elementmassenmatrix

Zahl der Lastzyklen Zahl aller Knoten des FEM-Systems Formfunktionen Lastzyklen bis zum Bruch Eigenfunktionen Modus II Normalenrichtung im Spannungsraum Matrix der Formfunktionen Zahl der Dimensionen Zahl der finiten Elemente Zahl der GAvss-Punkte Zahl der Verfestigungsvariablen Zahl der Knoten je Element Zahl der Einzelkr~fte Zahl der Starrk6rperfreiheitsgrade Normalenvektor

q(xl) Rissuferlasten ql, q2, q3 Parameter GURSOs-Modell qi Querkrgfte (Plattentheorie) qk Wichtungsfunktion 3D R

SpannungsverhKlt nis Kmin/Kma x isotrope Ver festigungsvariable Risswiderstandskurve (LEBM) R, RnM Rotationstensor hybride lZandspannungsmatrix R Residuenvektor R r Polarkoordinate, Radius GrSge der Bruchprozesszone rB Radius plastische Zone rF rj Giiltigkeitsradius J-Feld Gfiltigkeitsradius K-Feld rK GrSge der plastischen Zone rp Radius bei Dilatationswellen rd Radius bei Scherwellen rs Drehtransformationsmatrix r~ T i j R

R(6p) R(A~)

S

S

S(0) S +, S S~ Send

St Su S, Sk S, Sijkz S s s, sk

Oberfl~iche Interelementrand Energiedichtefaktor obere, untere Pdssflgche Oberfl~che Rissschlauch Stirnfl~ichen Teilrand mit gegebenen Teilrand mit gegebenen Schnittkraft (Ausgangskonfiguration) elastischer Nachgiebigkeit stensor Nachgiebigkeit smat rix Bogenl~nge Schnittkraft ( Moment ankonfiguration)

T T

Temperaturfeld Spannungskomponenten 2. Ordnung verallgemeinertes Energieintegral T~ T, TMN 2. PIOLA-KIRCHHOFF Spannungstensor 2.PIOLA-KIFtCHHOFF Spannungsmatrix T Schnittspannungsvektor t, ti Randspannungsvektor t, ti Randspannungsmatrix Randspannungsvektor (Koh~isivzonenmot dell) ~c ~c Rissuferspannungen

Tq globaler Lastparameter Pdssuferkr~fte generalisierte Konfigurationskraft 1. PIOLA-KIRCHHOFF Spannungstensor hybride Spannungsmatrix Rissuferlasten Flgchenlast (Plattentheorie) materieller Volumenkraftvektor

Q

Q Q Q Q, Qq q q

thermische Energie Constraint-Faktor (EPBM) Pdssuferkrgfte Energie-Impuls-Tensor Verschiebung des Kraftangriffspunktes Wichtungsfunktion 2D

U U U

For m~inderungsenergiedichte RissSffnungsfaktor komplementgre Form~nderungsenergiedichte spezifische Form~nderungsarbeit

Ue Up ~te

elastische For m~inderungsenergiedicht e plastische Form~nderungsarbeit thermoelastische Formiinderungsenergiedichte U, UMN rechter Strecktensor Verschiebungsvektor

Elementrandverschiebung U

V V V V, V . ~ V v V

Randverschiebungsvekt or Verschiebungsmatrix

KerbSffnungsverschiebung COD Volumen (Ausgangskonfiguration) linker Strecktensor Systemknotenverschiebungen Volumen (Momentankonfiguration) Geschwindigkeit svekt or Knotenverschiebungsvektor

W ]/~ext .~nt ]/~ext

Wint Wc WB ?M

~(~) ~g

X X , XM X , X~j ~ Xln X

Eugere mechanisehe Arbeit innere mechanische Arbeit komplement~re Eugere Arbeit komplementiire innere Arbeit Arbeit zur Pdss6ffnung Arbeit Bruchprozesszone Probenbreite Durchbiegung (Plattentheorie) Cewichte Integrationsregel Drehgeschwindigkeit st ensor Koordinaten (materiell) kinematische Ver lest igangsvariable Koordinaten (r~umlich) Elementkoordinatenmatrix Knotenkoordinatenmatrix

Z z

komplexe Variable

z

allgemeine FEM Ergebnisgr6i~e

Abkllrzungen ASTM American Society Testing of Materials ARWA Anfangsrandwertaufgabe CTE Crack Tip Element (Rissspitzenelement) CTOA Crack Tip Opening Angle CTOD Crack Tip Opening Displacement DIM Displacement Interpretation Method (Verschiebungs-Auswertemethode) EDI Equivalent Domain Integral (~luivalentes Gebietsintegral) EPBM elastisch-plastische Bruchmechanik ebener Spannungszustand ESZ EVZ ebener Verzerrungszustand ESIS European Structural Integrity Society FAD Failure Assessment Diagram FEM Finite Elemente Methode LEBM linear-elastische Bruchmechanik LSY Large Scale Yielding MCCI Modified Crack Closure Integral (modifiziertes Rissschliegintegral) NES nichtebener Schubspannungszust and Plastic Collapse PC QPE Quarter-Point Elements (Viertelpunktelemente) regul~ire Standardelemente RSE RWA Randwertaufgabe SINTAP Structural Integrity Assessment Procedure SSY Small Scale Yielding SZH Stretched Zone Height Virtual Crack Extension (Virtuelle RissVCE ausbreitung) 1D eindimensional 2D zweidimensional dreidimensional 3D

1

Einleitung

1.1

Bruchvorg~inge in N a t u r u n d T e c h n i k

Das Wort >>Bruch(n)=

( n7)- 2

n n . 2] sin 70 + 7f t sm (2n

_

0 --2)

[~-(-l)n-7n sinT#+Tsin ] n n ( n )7-2

( h)_--i

O

#

(3.44)

n]cos20n + T c o s (n 7 - 2 ) /~.

~+(-1)~-

7

Die Glieder mit a,~ entsprechen dem RissSffnungsmodus I, w~hrend Modus II durch die Koeffizienten b,~ repriisentiert wird. Fiir n = I ergeben sich die bekannten singul~en LSsungen (3.12) und (3.23) mit r-1/2(Additionstheoreme anwendenl). Die und KII stehen zu den Koeffizienten al, bl der 1. Eigenfunktion in folgender Beziehung

Spannungsin-

tensit~itsfaktorenKI

KI - iKII ----V ~ ( a l ~- ibl).

(3.45)

Eine besondere Bedeutung hat auch die 2. Eigenfunktion n -- 2, die lediglich einen konstanten Spannungszusta~d parallel zum Rissufer darstellt, die so genannte (Die z u b2 geh5renden Funktionen realisieren nur eine spannungsfreie StarrkSrperdrehung des Gebiets.)

T-Spannung.

:

r ~

:

rll

:

const.,

2 , ~ ~ = a~(~ + 1)~1,

--

--

0

2 , ~ ~ = ~ 2 ( ~ - 3)z~

(3.46)

Auch fiir die Modus-III-Belastung kann man Eigenfunktionen an der Rissspitze entwickeln, indem fiir die Spa~nungsfunktion [2 wieder ein Potenzansatz mit dem Exponenten A > 0 und einem komplexen Koeffizienten C gemacht wird: ~2(Z) = C z ~ = C r ~ e i~o.

(3.47)

Als Randbedingung muss auf den Rissufern ~ = -4-~rdie Schubspannung T23 verschwinden: ~23 = - . ~ ' ( z ) -----~-Tr :

= (o,(z) - o'(~))

)~r ~-I

ICe -i(~-l)~r k

(3.4s)

Cei(~-l)~l=0 3

# = -~ : Ar~_ I r[~ei(~_l)~_ Ce_i(~_l)~jl= 0.

(3.49)

Die LSsbarkeitsbedingtmg dieses homogenen G1eichungssystems ffirO und C erfordert das Nullsetzen der Koefflzientendeterminante,woraus die Eigenwertgleichung fiirA folgt: sin(2A~r)----0

=~

n

A----7

n----1,2,3,...

(3.50)

Wir finden demnach die gleichen Eigenwerte wie bei Modus I und II vor. Die Gesamt-

38

3 Grundlagen der Bruchmechanik

15sung kann jetzt wiederum aus allen Eigenfunktionen mit den Koeffizienten C n zusammengesetzt werden. Aus (3.49) folgt die Relation C a = ( - 1 ) a C a , d.h. die Koeffizienten sind alternierend rein reell oder imagin~.

Y2(z) = ~ Caz -~, Ca = --inca

(3.51)

n:l

Letztendlich kSnnen aus (3.47) die dazugehSrigen Eigenfunktionen fiber die Beziehungen (A.165) berechnet werden.

2 sinno 2 n 2cos ~0

u(?)(r,o) = ~r2

I ~n sin(~n

_

T~3)(r'0)----Cnr~-i L~3)({~)' L~3)

= '

n

fiir

(3.52) ffir n = 2 , 4 , - . . - 1)8

n

T(n)(r23

\ ,8) ----Cnr ~ - I

L~)(O),

L(2~ ) = '

)8

~ cos(~ - 1)8 TI,

ffir n ----1,3,-..

1

cos(~ -

~

n----1,3,...

fiir

n

= 2,4,...

mr n---- 1,3,...

(3.53)

?~

-~sin(~-l)0

ffir n = 2 , 4 , . . .

Ffir n ---- 1 reproduziert man genau die asymptotische Singularit/it nach (3.31) und (3.32), wobei der Zusammenhang KIII -- Cl V/~-/2 gilt. Die n -- 2te Eigenfunktion entspricht einer konstanten Schubspannung T13 ----T13 ----c2.

Diese Eigenfunktionen bilden eine unentbehrliche Basis fiir viele numerische Verfahren zur Behandlung von Rissproblemen in endlichen KSrpern - - angefangen von den ersten Berechnungen mit der Randkollokationsmethode in den 6oer Jahren [101] bis hin zu aktuellen Sonderelementen fiir Rissspitzen [291].

3.2 Linear-elastische Bruchmechanik

3.2.3

39

Dreidimensionale Rissprobleme

In vielen praktischen F~illen besitzt das Rissproblem dreidimensionalen Charakter, wenn z. B. eine fl~ichenhafte Fehlstelle in einer r~iumlichen Struktur eingebettet ist, wobei i. Allg. krummlinige Rissfronten entstehen, siehe Bild 3.8 a). Ein dreidimensionales Rissproblem liegt selbst bei einer geraden Rissfront dann vor, wenn sich der Spannungszustand entlang des Risses ~indert, was bei durchgehenden Rissen in Proben endlicher Dicke h~ufig auftritt, Bild 3.8 b). Von praktischer Bedeutung sind schliet~lich noch Oberfl~chenrisse, wo die Rissfront auf die KSrperaut~enfl~iche stSt~t wie es Bild 3.8 c) zeigt. Geschlossene LSsungen ffir r~umliche Risskonfigurationen gibt es nur ffir wenige einfache F~ille, zumeist im unendlichen Gebiet.

Bild 3.8: R~iumliche Risskonfigurationen

Bild 3.9: Elliptischer Innenriss im Vollraum mit Koordinatensystem

40


Elliptischer Innenriss unter Zugbelastung Ein wichtiges Beispiel ist der elliptische ebene Innenriss im Vollraum, siehe Bild 3.9. Fiir diese Risskonfiguration konnten LSsungen unter verschiedenen Belastungen von SNEDDON [259] mittels Integraltransformationen und von FABR.IKANT [93] durch Verwendung r~iumlicher Potenzialans~itze gewonnen werden. Exemplarisch soll bier das Ergebnis fiir Zugbelastung a senkrecht zur Rissebene angegeben werden. Der elliptische Riss hat die Halbachsen a und c. Ein Punkt P der Rissfront wird durch den Winkel ~afiber Xl -- ccos ~o und x2 -- a sin ~ festgelegt. Es handelt sich um eine reine Modus-I-Belastung mit einem ver~nderlichen Ki-Faktor entlang der Rissfront. KI -

rrx/~a (sin 2 E(k)

a2 ~ + ~-~ c~

~ ) 88

(3.56)

E ( k ) ist das vollst~indige elliptische Integral 2. Art von k = V/1 - a2/c 2 ~r

E(k) = /

X/1 - k 2 sin 2 c~dc~

1 + 1,464

fiir (a _< c).

(3.57)

0

Der Maximalwert yon KI wird am Scheitelpunkt A der kleinen Halbachse (a < c) erreicht und das Minimum bei C. gImax

----

KIA

--

E(k) '

gImin = KIC = KIA

(3.58)

Im Sonderfall des kreisf6rmigen Risses hat der Ki-Faktor iiberall den gleichen Wert KI = 2 a v / ~

ffir c - - a.

(3.59)

7[

P~umliches Rissspitzenfeld Mit Untersuchungen an elliptischen Innenrissen [259] und an durchgehenden Rissen in Scheiben mit geraden und gekrfimmten Rissfronten [109, 110] konnte nachgewiesen werden, dass auch bei dreidimensionalen Rissproblemen prinzipiell dieselben Nahfelder existieren, wie wir sie im ebenen Fall kennengelernt haben. Allerdings gelten die asymptotischen L5sungen jetzt nur lokal in Bezug auf jeden Punkt der Rissfront. Deshalb fiihrt man nach Bild 3.1o ein begleitendes kartesisches Koordinatensystem (n, v, t) entlang der Rissfront (Koordinate s) ein, bei dem n ~ Xl normal zur Rissfront liegt, t ~ x3 tangential zu ihr verl~iuft und v ~ x2 senkrecht auf der Rissebene steht. In der Normalenebene (n, v) zur Rissfront findet man beim Grenziibergang r --* 0 die NahfeldlSsungen des Rissproblems fiir den ebenen Verzerrungszustand vor, die sich im allgemeinen Fall aus den Modus-I-, II- und III-Komponenten zusammensetzen.


41

Bild 3.1o: Koordinatensystem entlang einer Rissfront im Raum

Man ka~n zeigen, dass asymptotisch an jedem Punkt der Rissfront im KSrperinneren ein EVZ vorherrscht. Besondere Betrachtungen sind fiir solche Punkte der Rissfront erforderlich, die zur Oberfl~che durchstotgen, da hier ein dem ESZ ~hnlicher Spannungszustand vorliegt und zumeist ein anderer Typ von Singularit~t auftritt.

42


3.2.4

Spannungsintensit~itsfaktoren

--

K-Konzept

Fiir isotropes linear-elastisches Materialverhalten besitzen die asymptotischen NahfeldlSsungen an Rissspitzen immer die gleiche mathematische Form (3.6o) und (3.62). Die St~rke dieses Rissspitzenfeldes wird einzig und allein durch die Spannungsintensit~itsfaktoren KI, KII und KIII festgelegt, die gewissermai~en noch >)freie Koeffizienten(< darstellen. Die GrSi~e der drei Spannungsintensit~itsfaktoren muss aus der L5sung der konkreten Randwertanfgabe fiir den KSrper mit Riss bestimmt werden. Somit h~ngen die K-Faktoren vonder Geometrie des K5rpers, der Gr5i~e und Lage des Pdsses sowie vonder Belastung und den Lagerbedingungen ab. Zu ihrer Bestimmung muss man sich i. Allg. mit Hilfe analytischer oder numerischer Berechnungsverfahren zuerst die vollst~ndige LSsung der RWA verschaffen und dann das Rissspitzennahfeld analysieren. Eine genaue Betrachtung der Spannungsfelder anf dem Ligament vor dem Riss (~ = 0) der drei Pdss5ffnungsmoden I (3.12), II (3.23) und III (3.32) zeigt, dass dort jeweils nur diejenige Spannungskomponente von null verschieden ist, die dem jeweiligen Rissmodus bzw. der Fernfeldbelastung entspricht, d. h. a22 bei Modus I, ~-21 bei Modus II und T23 bei Modus III. Durch Umstellung der Beziehungen nach den Spannungsintensit~itsfaktoren und Grenziibergang gegen die Rissspitze erh~lt man somit die Bestimmungsgleichungen

In den folgenden Kapiteln des Buches werden wir uns ausfiihrlich mit der Anwendung der Finite-Elemente-Methode zur Bestimmung der Spannungsintensit~tsfaktoren befassen. Auf analytische Berechnungsverfahren fiir elastische Rissprobleme kann nicht n~her eingegangen werden. Im Folgenden sollen nur die wichtigsten Methoden und die entsprechende Fachliteratur erw~hnt werden (einen Uberblick gibt [251]): 9 Komplexe Funktionentheorie (konforme Abbildungen, Reihenentwicklungen): MUSKHELISHVILI [178], TAMUSZ [268] 9 Integraltransformationen (LABLACE, HANKEL): SNEDDON und LOWENGRUB [259] 9 Singul~re Integralgleichungen: ERDOGAN [86], MUSKHELISHVILI[178] 9 Dreidimensionale Potenzialansiitze: KASSIR und SIH [132], FABRIKANT [93].


43

BAld 3.11: Dominanz der NahfeldlSsung an der Rissspitze in allen Pr/ifkSrpern und Bauteilen Anhand dieser Formel erkennt man sofort, dass in der Bruchmechanik die fiblichen Ahnlichkeitsbetrachtungen der Festigkeitslehre nicht mehr gelten. VergrSt~ert man n~mlich einen KSrper mAt Riss geometrisch um den Faktor ~ beN gleichbleibender Nennbelastung an, so steigt der K i - W e r t um den Faktor x/~ wegen der vergrSi~erten Rissl~nge! Die Spannungsintensit~tsfaktoren besitzen die etwas gewShnungsbediirftige Dimension [Spannung]. [L~nge] 1/2 und werden in den Mal~einheiten N m m -3/2 oder M P a v ~ angegeben. In den letzten Jahrzehnten wurde eine Vielzahl yon K - F a k t o r - L S s u n g e n fiir die verschiedenen Risskonfigurationen und Belastungsarten auf unterschiedliche Weise berechnet und in Handbiichern zusammengestellt, siehe MURAKAMI [176], ROOKE ~ CARTWRIGHT [228], TADA, PARIS ~ IRWIN [267] und THEILIG ~ NICKEL [269]. Die Spannungsintensit~tsfaktoren bilden eine ausgezeichnete Basis zur Formulierung yon Bruchkriterien. Diese Idee stammt yon IRWIN [127], der 1957 das Konzept der SpannungsintensitStsfaktoren vorschlug. Es beruht auf folgenden 0berlegungen, die wAr zun~chst ffir den Modus-I-Fall darstellen: 9 Die singul~re RissspitzenlSsung mAt dem Koeffizienten KI beschreibt die Beanspruchungssituation in einem endlichen Gebiet um die Rissspitze mat dem Radius rK. In grSi~erer Entfernung r > rK verliert sie ihre Dominanz, da weitere Reihenglieder yon (3.39) an Einfluss gewinnen, siehe BAld 3.11. 9 In der Realit~t (selbst beN spr5dem Material) existiert natiirlich die Ki-Singularit~it nicht bis r --* 0 zur Rissspitze, da sich hier eine Bruch-Prozesszone ausbildet und damAt die Grenzen der Elastizit~itstheorie erreicht sAnd, vgl. BAld 3.2. Wenn man jedoch voraussetzt, dass die Gr5/~e rB der Prozesszone viel kleiner als der Giiltigkeitsbereich

44


rK der Ki-LSsung ist, so werden alle Bruchprozesse durch die >>als Randbedingung>Autonomieprinzip der Rissspitzensingularit~it 0 verrichtet. Bei Verwendung des letzten Terms von (3.81) ffir ]4;int lautet die Energiefreisetzungsrate: G-

d dA - Bda

~

F

-

1 IF2 d ( 1 ) 1 2d ( 1 )] = - B [ da ~(a) - - ~ f -~a ~(a) =

F2 1 F2dk(a) 2 B k 2 da -

1 2Bda fdq"

(3.83)

Der Vergleich der Ergebnisse (3.82) und (3.83) ftihrt zu dem erstaunlichen Schluss, dass in beiden F/illen die Energiefreisetzungsrate G identisch ist und natiirlich positiv (da d k / d a < 0). W~hrend im Fall (a) die risstreibende Energie nur aus der Abnahme von Hint herriihrt, so wird sie bei (b) v o n d e r ~iui~eren Arbeit gespeist, die zus~tzlich die Form~iaderungsenergie Hint um den gleichen Betrag erh5ht, vgl. Klammer [] in (3.83). Diese Aussage gilt generell ffir elastische Systeme mit Riss, weil nach dem Satz von C L A P E Y R O N ]/~ext = 2Wint ist. Aus Bild 3.14 ist ersichtlich, dass die freigesetzte Energie

50


- d H = GBda der Dreiecksfl~iche zwischen den zwei Kraft-Verformungs-Kurven yon a und a § A a entspricht, wobei die Fl~iche OAD dem Fall (a) und die Fl~iche OAC dem Fall (b) zuzuordnen ist. Beide Fl~ichen unterscheiden sich nur um das Dreieck ACD 89 was fiir Aa --. 0 von h6herer Ordnung verschwindet. Lokale Energiefreisetzungsrate Wir setzen die Uberlegungen anhand von Bild 3.13 fort. Bei Rissausbreitung erfahren alle mechanischen FeldgrSt~en eine Anderung vom Ausgangszustand (1) zum Endzustand (2). Diesen Ubergang ffihren wir in Gedanken wie folgt durch: Bei (1) wirken auf dem Ligament AA vor dem Riss Schnittspannungen t c = t c(1), die definitionsgem~it~ auf beiden Ufern entgegengesetzt gleich sind: tc v~ ~ v~ t.~+ -- t ic- . Wir schneiden den Riss entlang A A auf und ersetzen die Schnittspannungen durch gleich grot~e ~iut~ere Randspannungen, so dass der Riss wie bei (1) geschlossen bleibt. Anschlies werden diese Randspannungen quasistatisch auf null abgesenkt, womit sich der Riss erweitert und auf AA den lastfreien Endzustand (2) erreicht. Die Relativverschiebungen Aui = u + -- u~- der l~issufer gehen dabei yore geschlossenen Riss (Au~ 1) ----0) in den ge6ffneten Zustand Au~ 2) fiber. Bei diesem Vorga~g verrichten die Spannungen Arbeit a~ den Rissuferverschiebungen: t~+du+ + t~-du~ = t~(du+ -du~-) = t~dAui, so dass die Gesamtarbeit zur Erweiterung des Risses um AA aus dem Intgral (2)

AWr

/ / t~dAuidA

-*

AA (1)

/

ltT

)dA2 < 0

(3.84)

AA

gebildet wird. Da das System hierbei Energie abgibt, muss sie negativ sein. Bei linearelastischem Materialverhalten l ~ s t sich das innere Integral sofort zu t~Au~2)/2 auswerten und man erh~ilt die rechte Formel. Dieser Arbeitsterm AWe muss zur Gesamtbilanz der Energie pro Rissfortschritt hinzugeffigt werden. A~ext

A ~/~int

AA

AA

- -

A~} c

+ --

AA

= 0

(3.85)

Mit der Definition (3.76) der potenziellen Energie H --//ext § Hint -- --]4;ext + )/Vint folgt schlie~lich die Energiefreisetzungsrate G-

AH AWext AWi,t A---A- A-----AA~-

AWe AA

(3"86)

Hiermit wurde gezeigt, dass die .~nderung der potenzieUen Energie des Systems (KSrper plus Belastung) gleich der Arbeit ist, die zum >>Freimachen 2,5 (KI----s 2 --

\0- F /

(3.202) "

Der Ausdruck auf der rechten Seite ist proportional zur GrSge der plastischen Zone beim Bruch. Ist eines dieser Giiltigkeitskriterien verletzt, so ist die Anwendbarkeit der LEBM in Frage gestellt. Bei Bruchmechanikversuchen bedeutet dies, die ermittelte BruchzKhigkeit Kic entspricht nicht dem unteren, konservativen Grenzwert Kic des EVZ. 3.3-3

D a s DUGDALE-Modell

DUGDALE [79] wurde zu diesem Modell durch die Beobachtung streifenf6rmiger plastischer Zonen vor der Rissspitze in diinnen Metallproben im Zugversuch angeregt. Wie bereits erls kommt es unter den Bedingungen des ESZ zu einer Einschniirung durch plastisches Fliet~en auf 45~ (Bild 3.32 (a)), was die HShe der plastischen Zone etwa auf die Dicke B begrenzt. Dem Modell liegen folgende Annahmen zugrunde. 9 Die gesamte plastische Verformung konzentriert sich auf einen Streifen (mathematisch Linie) der Ls d, woher der Name (engl. strip yield model) stammt.

3.3 Elastisch-plastische Bruchmechanik

89

Bild 3.34: DUGDALE-Modell fiir streifenf6rmige plastische Zone 9 Das Material im Fliegstreifen verh/ilt sich ideal-plastisch. Es gelte der ESZ, so dass Fliegen bei 0-22 = 0-F einsetzt. Bei Anwendung auf den EVZ w~ire die Spannungserh5hung bei Fliegbeginn durch den Constraintfaktor (3.198) zu modifizieren

0-22 = O~cf0-F. 9 Das Problem wird auf eine RWA f/Jr einen hypothetischen Riss der LEnge 2(a + d) -- 2c in einem elastischen K5rper zur/ickgeffihrt. Das Rissmodell kann man sich entsprechend Bild 3.34 dann als Uberlagerung der folgenden zwei Lastfiille vorstellen: (1) Riss in der unendlichen Ebene unter konstantem Zug 0-. (2) Die Sttitzwirkung des plastifizierten Materials im Fliegbereich a < Ix1[ _< a + d wird durch Randspannungen t~ = 0-F simuliert, die den Pdss zusammendrticken. F/ir das Problem (1) ist der Spannungsintensit/itsfaktor aus Abschnitt 3.2.2 bekannt:

K~ 1) = 0 - ~ .

(3.203)

Ftir die Belastung (2) wurde der K - F a k t o r im Abschnitt (3.2.1o) berechnet: =

-Ir

arccos

.

(3.=04)

Es wird gefordert, dass an den Enden des hypothetischen Pdsses Ix1[ = -t-c keine Spannungssingularit/iten auftreten. Deshalb miissen sich die Spannungsintensit/itsfaktoren beider Teilprobleme (x) und (2) gerade aufheben:

KI ----K} 1) + K} 2)-- O.

(3.205)

90


Aus dieser Beziehung folgt fiir die Ausdehnung d der plastischen Zone:

()

a a+d-eos

7to 2-~F ,

d=a

[(

cos ~--~F)

--1

.

(3.206)

Wie erwartet, tritt nach dieser Beziehung ohne Belastung (o = 0) auch keine plastische Zone auf, d = 0. Interessant ist jedoch, dass d unendlich grog werden kann, wenn sich die Spannung der Flietggrenze nil.herr o --* O F . In diesem Fall wird n~imlich die plastische Grenzlast der Scheibe erreicht, so dass der gesamte Nettoquerschnitt plastisch flietgt. F/Jr Kleinbereichsflies o dO

(3.232)

Die Formgnderungsenergiedichte U (A.136) und der Ausdruck aijui,1 haben die Dimension von aijei`/, d.h. der Integralkern I(r, O) besitzt die radiale Abhgngigkeit An+l

I(r, O) ,~ aijei`/ ~ a c 0 ~ - - ~ r(8-2)(~+1)i(0, n).

(3.233)

Im Rahmen der Deformationstheorie, die im Prinzip einer nichtlinearen Elastizitgtstheorie gquivalent ist, muss das J-Integral aber vom Integrationsweg/" unabhs sein. Das Ergebnis darf also nicht vom gew~hlten Radius r abhs Damit dies gewEhrleistet ist, muss sich I(r, O) genau wie r -1 verhalten, woraus (s - 2)(n + 1) -- - 1 folgt und s --

2n+ 1 n+l

(3.234)

98


gilt. Aus diesem Ergebnis folgen die radialen Abh~ingigkeiten der einzelnen FeldgrSfgen in der Form

aij,.~r ~1,

r

~,

U ~ r -1.

(3.235)

Um die unbekannten Winkelfunktionen/~(t?), #~j (8) und gij(O) der Ans~itze (3.229), (3.23o) und (3.231) zu bestimmen, werden mit (3.227) die Spannungen in das Materialgesetz (3.225) eingesetzt und darauf die Kompatibilit~tsbedingungen (3.228) angewandt, womit sich eine nichtlineare gewShnliche Differenzialgleichung fiir P(~) ergibt (siehe [120,221]). Diese muss numerisch gelSst werden, wobei als Randbedingungen die Spannungsfreiheit auf den Rissufern ~0e(• = ~r0(• = 0 und bei Modus I die Symmetrie von a00, a t , und die Antimetrie yon 7,0 beziiglich t~ genutzt werden. Aus P(O) gewinnt man durch Einsetzen in (3.227) und (3.225) schlieiglich auch die Winkelfunktionen #~j(~) und gij(~). Das Ergebnis ist fiir die Spannungen in Polarkoordinaten in Bild 3.4o dargestellt. Als Beispiel wurden die Verfestigungsexponenten n = 3 und n = 10 ausgewghlt. Ein Vergleich mit Bild 3.5 und Bild 3-38 l~isst recht gut den Ubergang vom linear-elastischen zum ideal-plastischen Rissspitzenfeld im Charakter der Winkelfunktionen erkennen.

Bild 3.40: Spannungsverteilung an der Rissspitze nach der HRR-LSsung f/ir die Verfestigungsexponenten n = 3 (links) und n = 10 (rechts)

Zu guter Letzt verbleibt die Frage nach den unbekannten Koeffizienten A und A,. Hierfiir kann man vorteilhaft die Wegunabh~ngigkeit des J-Integrals nutzen. Zur Berechnung von J w~ihlen wir als erstes einen Integrationsweg F, der weit entfernt v o n d e r Rissspitze und autgerhalb der plastischen Zone liegt. Einen zweiten kreisfSrmigen Integrationsweg Fe legen wir in den Geltungsbereich der Rissspitzenl5sung r 2~t ~ 4J/cro unterscheiden sich die Resultate ffir grof~e und kleine Deformationen kaum noch.

Bild 3.42: Verglcich der numerischen Rissspitzen-LSsungen bei kleinen und grogen Deformationen mit dem analytischen HRR-Feld, EVZ, n ----10 [296] Zur Erg~nzung der HRR-LSsung und zur Berficksichtigung der Mehrachsigkeit wurden verschiedene Ans~tze gemacht. I m Bereich des Kleinbereichsfliei~ens SSY wird die plastisehe Zone durch die g - F a k t o r e n und die T-Spannungen nach (3.60) und (3.61) kontrolliert. Bei ebenen Rissproblemen existiert nur die T11-Komponente parallel zum Riss. Ihre GrSi~e h~ngt v o n d e r Risskonfiguration und Belastung ab und steht in Handbfichern [94,246] zur Verfiigung. Ftir den GRIFFITH-Riss unter Zugbelastung a ~ entspricht a l l ----Tll ---- - a ~ < 0 (siehe (3.6)) einer gleichgroi~en Druckspannung. Im Vnterschied dazu herrschen bei Biegeproben Tll > 0 Zugspannungen parallel zum Riss. Die Auswirkungen der Tll-Spannung auf die plastischen Zonen in unterschiedlichen PrfifkSrpern trotz gleicher Ki-Werte zeigen die in Bild 3.41 wiedergegebenen FEM-Ergebnisse von [157, 217].

lo2


Die hydrostatische Spannung am Riss wird durch Tll gegenfiber dem singul~ren KINahfeld (3.~2) (3.60) wie folgt ver~indert: 1

a H ---- ~akk --

KI

1

1

2X,,,~3fIk(o) -[- gTll.

(3.241)

Betrachten wir den Spannungszustand (3.~2) vor dem Riss (0 -- O), so gilt

lft (o) = {2 2(1 + u)

ESZ EVZ

(3.242)

und am Rand rp der plastischen Zone (3.200) (mit o-F ~ frO) nimmt die Mehrachsigkeit folgende Werte an: h(rp,O)

a H _ 1 Tll -~- 2 [ 1 a0 3 a--o 3 I, (1 + u)/(1 - 2u)

_

ESZ EVZ:

(3.243)

Aufgrund der Dehnungsbehinderung im EVZ (e33 = 0, a33 > 0) steigt die Mehrachsigkeit beachtlich, was auch als ~Out-of-plane(< constraint-Effekt bezeichnet wird. Mit Tll wird hingegen der >>in-plane>ProzesszoneMehrprobenmethode 25Jic/CrF.

In der Praxis bedeutet das eine Reduzierung der ProbengrSf~en um 1-2 GrSf~enordnungen gegenfiber den Vorgaben (3.202) beim Kic-Versuch. Zum Abschluss muss nochmals deutlich darauf hingewiesen werden, dass die Berechtigung von J in der EPBM einzig und allein anf seiner Bedeutung als Intensit~tsparameter beruht und nicht anf einer energetischen Aussage, obwohl die experimentellen Bestimmtmgsmethoden diesen Anschein erwecken!

Engineering Approach nach EPRI Beim Engineering Approach handelt es sich um ein ingenieurm~igiges Konzept zur praktischen Anwendung der EPBM anf rissbehaftete Bauteile, dass am Electric Power Research Institute in den USA entwickelt wurde [144]. Das Konzept beruht auf dem J-Integral als BruchkenngrSge. Die Werkstoffkennwerte werden aus den Jic-Priifstandards wie im vorangegangenen Abschnitt dargelegt iibernommen. Der wesentliche Fortschritt besteht in der Bereitstellung yon J als BeanspruchungskenngrSs in einer vereinfachten, ffir alle Anwender verfiigbaren Form und eilleS daranf anfbauenden Bewertullgskonzeptes. Hintergrund ist, dass numerische FEM-Analysen erstens nicht ftir jederman durchffihrbar sind und zweitens nach wie vor einen erheblichen Zeit- und Kostenaufwand bedeuten. Deshalb wurde ein Katalog von LSsungen fiir zahlreiche wichtige Risskonfigurationen unter vollplastischen Bedingungen zusammengestellt. Diese Handbuch-LSsungen wurden durch systematische FEM-Rechnungen unter der vereinfachenden Annahme der Deformationsplastizit~t mit Potenzgesetz-Verfestigung na~h (3.224) erzeugt. Das bietet den Vorteil, dass sich die (nichtlinear-elastischen) LSsungen beziiglich der Belastung parametrisieren lassen, also nur eine vollplastische LSsung anstatt der gesamten Lastgeschichte notwendig ist. Wenn P einen globalen Lastparameter (Kraft, Moment, Fl~Lchenlasten, ...) bei monotoner Belastung bezeichnet, so ergeben sich die dazugehSrigen Spannungs- und Verzerrungsfelder durch folgende Skalierung:

aij(P) = ~LCrij(PL),

r

= PL

Q3(PL)"

(3.253)

lo8


Dabei sind ai*d und Q*j die ReferenzlSsungen bei Erreichen der plastischen Grenzlast PL. Unter Verwendung von (3.238a) skaliert sich das J-Integral demnach zu:

.o+,

.

J(P) = ~oaoInr (a,y~ \ ao ]

(__~~~

~j.q-i(tg;n)

=

\PL]

J* (PL).

(3.254)

Bild 3.45: J-Absch~tzung nach dem Engineering Approach Auf diese Weise wurden fiir einschl~igige Risskonfigurationen der plastische J-IntegralAnteil Jp und die globale VerformungsgrSi~e qp berechnet und katalogisiert [144], wobei die Funktionen hi das geometrie- und verfestigungsabh~ingige Ergebnis darstellen:

Der elastische Anteil Je wird wie in (3.251) aus dem Ki-Faktor der Risskonfiguration KI (P, a) ~ v / ~ P g ( a l w ) mit der tabellierten Geometriefunktion g berechnet

~o--~o~oo

g2

(~).

(~.~/

Unter Benutzung der ImNINschen plastisehen Risslgngenkorrektur a~ff (3.2o0) gewinnt man das J-Integral aus der Llberlagerung yon elastischem und plastischem Anteil J

(-o) -P-LL'W' n

= Je(aeff) + Jp

,n

.

(3.257)

Bild 3.45 veranschaulicht noch einmal grafisch, dass die Superposition von elastischer und vollplastischer LSsung nach dem Engineering Approach J-Werte liefert, die sehr gut mit vollwertigen elastisch-plastischen FEM-Rechnungen tibereinstimmen.


3.3.8

lo9

Duktile Rissausbreitung

Risswiderstandskurven Die meisten duktilen Werkstoffe versagen aufgrund ihrer hohen Z~ihigkeit nicht spontan beim kritischen Ji~-Wert, sondern entwickeln nach der Risseinleitung einen betr~ichtlichen Widerstand gegen Rissausbreitung, d. h. das anschlietgende stabile duktile Risswachstum kann nur durch Steigerung der Belastung erreicht werden. Im Experiment beobachtet man dann eine typische duktile Risswiderstandskurve J = JR(Aa),

(3.258)

siehe Bild 3.46. In der Anfangsphase verlguft die Ja-Kurve recht steil und nahezu linear. Mit der Rissabstumpfung ist ein geringfiigiges Risswachstum verbunden, welches durch die so genannte >>blunting line> da/r, woraus sich fiir vollplastifizierte Proben r ~ w - a die eingrenzende Relation

w-adJ J

da

-

-

w >> 1

(3.260)

ergibt. Durch FEM-Analysen [248] wurde herausgefunden, dass in Proben mit vorwiegend Biegebeanspruchung ein J-kontrolliertes Risswachstum Aa bis zu 6 % des Ligamentes (w - a) erlaubt ist (w = 10). In den Priifvorschriffen fiir Ja-Kurven wird aus diesen Griinden der zul/issige Auswertebereich auf eine maximale Rissausbreitung von Aamax _< 0,10(w - a) begrenzt, siehe Bild 3.46. Zweitens hat sich herausgestellt, dass die Risswiderstandskurven stark v o n d e r Geometrie (Form, Dicke, Risstiefe) der Proben abh~ngen, womit sie ihren Sinn als Materialkennlinien verlieren. Gleichzeitig ist damit auch die Ubertragbarkeit auf Risse in Bauteilen in Frage gestellt. Bild 3-47 repr~entiert Ja(Aa)-Kurven desselben Werkstoffs. Der Rissinitiierungswert Ji ist bei allen Proben gleich, danach unterscheiden sich die Anstiege dJ/da der Kurven erheblich. Deshalb wurde vorgeschlagen, den physikalischen Initiierungswert Ji als verbindlichen Werkstoffkennwert zu verwenden, was jedoch eine sehr konservative Sicherheitsbewertung zur Folge h~itte, welche die Reserven des ansteigenden Risswiderstandes unberiicksichtigt l~st. Die Ursachen fiir die Geometrieabh~ingigkeit der Risswiderstandskurven liegen im Einfluss der Mehrachsigkeit h des Spannungszustandes


111

Bild 3.47: Risswiderstandskurven und Pdssinitiierungswerte fiir unterschiedliche Probengeometrien des Stahls 22NiMoCr37 [156]

begrfindet. Je grSf~er die Mehrachsigkeit ist, desto flacher verlaufen die Ja-Kurven, d.h. der duktile Bruch wird unterstfitzt. Bei hoher Mehrachsigkeit steht vom Zufluss der ~ui~eren Arbeit (J-Wert) in die Struktur mehr potenzielle elastische Energie )4;~nt zur Verfiigung als bei geringer Mehrachsigkeit, wo ein relativ gros Anteil durch plastische Form~inderungsarbeit • P t verbraucht wird. Hinzu kommt auf der Werkstoffseite, dass der Mechauismus des duktilen Wabenbruchs durch hohe Mehrachsigkeit begfinstigt wird, was den Bruchwiderstand reduziert. Im Grunde benStigte man ffir jeden Werkstoff eine gauze Schar von Risswiderstaudskurven J a ( A a , h), die als Funktion von h aufzunehmen w~ren. Daun kann das duktile Risswachstum in einer auderen Struktur vorausberechnet werden, wenn man neben der Beanspruchung J noch den dort auftretenden Wert h der Mehrachsigkeit kennt und die zugehSrige Ja-Kurve auswiihlt. Da sich aufgrund unterschiedlicher Dehnungsbehinderung die Mehrachsigkeit entlaug der Rissfront v e r ~ d e r t , muss diese Methodik der augepassten Risswiderstaudskurve somit lokal eingesetzt werden. Auf diese Weise konnten durch FEM-Rechnungen sehr gute Prognosen fiber den Verlauf der VergrSfgerung eines halbelliptischen Oberfl~chenrisses in einer Zugprobe aus duktilem Stahl erzielt werden [143]. Im Abschnitt 3.3-6 wurden die T- und Q-Spaunungen als Ergfialzungsterme zu den elastisch-plastischen Rissspitzenfeldern vorgestellt. Sie beeinflussen maggeblich die Mehrachsigkeit des lokalen Spannungszustandes fiber die Beziehungen (3.243) (3.247) und besitzen somit ~hnliche Bedeutung ffir die Risswiderstaudskurven wie h selbst. Es ist deshalb eine vordringliche Aufgabe der numerischen Analysen, diese beiden Parameter in effizienter Weise ffir eine gegebene Risskonfiguration zu bestimmen.

112


Nahfeldl6sungen bei station~irer Rissausbreitung F/Jr einen Riss, der sich mit konstanter Geschwindigkeit /~ quasistatisch in einem idealplastischen Material ausbreitet, wurden die asymptotischen Spannungs- und Verzerrungsfelder von SLEPYAN [257] (T~tESCAsche Flie~bedingung, EVZ), DRUGAN, RICE &=SHAM [77], sowie von CASTANEDA [59] (v.-MIsEssche Fliegbedingung, ESZ) gefunden. Die mit der Gleitlinientheorie erhaltenen LSsungen f/Jr Modus I u n d II unterteilen sich ~ihnlich wie beim ruhenden Riss (Bilder 3.37 und 3.38) in verschiedene Sektoren. W/ihrend die Spannungen fiberall beschr~inkt bleiben, weisen die Gleitungen im zentralen Sektor B eine logarithmische Singularit/it ffir r --~ 0 anf (Normierungsl~zlge R ~ plastische Zone): r

O) -- 2(1 -- u2)aF v~E in Rgr~

(3.261)

Unter SSY-Bedingungen folgt aus der L6sung eine Ratenbeziehung zwischen der Riss6ffnungsverschiebung ~t, der Fernfeldbelastung J und der Rissgeschwindigkeit ~ mit den Konstanten Cl und c2 J aF R 5t ----e l - - + e2-~-h l n ( r ) 9 O"F

(3.262)

Die Integration liefert bei station/iren Verh/iltnissen am bewegten Riss eine Riss5ffnungsverschiebung, die proportional dem Abstand r zur Rissspitze ist. Die Rissufer verlaufen somit geradlinig unter dem Rissspitzenb'ffnungswinkel % = CTOA (engl. crack tip opening angle), wie es Bild 3.35 zeigt: (~t

Cl d J

r

aF da

R C2CrF +-Wln(e =:) = tanq't. r

(3.263)

In Experimenten mit gr6$erem duktilen Risswachstum stellt sich ein konstanter Winkel CTOA~ ein, weshalb folgendes Rissausbreitungskriterium vorgeschlagen wurde arctan 5to _- CTOAc -- const. rt

(3.264)

Energetische Betrachtungen Die Energiebilanz bei duktiler Rissausbreitung a(t) soll am zweidimensionalen Rissproblem untersucht werden. Wir nehmen an, dass sich an der Rissspitze eine Bruchprozesszone AB ansgebildet hat und mit ihr bewegt. Die Prozesszone besitzt eine werkstofftypische Form und Struktur. Wext bezeichnet die Leistung der/iu~eren Lasten t~ auf dem K6rperrand St (zur Vereinfachung sei bi -- 0), die in innere Energie Wint umgewandelt wird und den Energieverbrauch :D in der Prozesszone speist, siehe Bild 3.48 links. l~ext ----J [iu~ ds St

(3.265)


113

Bild 3.48: Zur Energiebilanz bei duktilem Risswachstum Im Unterschied zur LEBM (Abschnitt 3.2.5) setzt sich die innere Energie (3.71) aus elastischer und plastischer Formgnderungsarbeit W ~ und W~Pt zusammen:

Wilt

=

~

P

/

~/V~nt -~- ~ / ~ i n t =

( ge

p

g~l

gkl

0

0

+ U p) dV,

V

Da die plastische Arbeit WIPt als Wgrme oder Strukturbildung dissipiert wird, steht fiir Rissausbreitung nur die potenzielle Energie des elastischen Anteils WI~t zur Verfiigung. Somit lautet die globale Energiebila~z bei Rissausbreitung pro Zeit t bzw. Rissfortschritt da =/~ dt: " e " p + W1.t ]/Vext = W~nt +~.

(3.267)

Bringt maa aUe potenziellen Energieanteile Hext -- -)4;ext und -f/int -- ]~nt auf die linke Seite, so erhglt man die Erweiterung der GalFFITHschen Energiefreisetzungsrate (3.76) auf duktilen Bruch: G-

//

d _ dWext__ da da

dW~n te _ dW1Pt __ + dO da da da

(3.268)

Die freigesetzte potenzielle Energie G steht also nicht allein ffir die Materialtrennung als spezifische Bruchenergie dI)/da = 2~/oder Risswiderstaadskurve dT~/da = Ja(Aa) zur Verfiigung, sondern wird zum iiberwiegenden Teil als plastische Verformung verbraucht. Die grof~e Schwierigkeit in der EPBM besteht gerade darin, dass man experimentell diese beiden Anteile nur schwer trennen kann. Als Folge davon wird die gesamte rechte Seite

114


von (3.268), die Dissipationsrate bei Rissausbreitung, als Bruchwiderstand interpretiert. Deshalb beinhalten die Risswiderstandskurven die geometrieabh~ngige plastische Arbeit in der Probe:

j_

dHd____-a dW~Ptd-a-+ ~dV = jR(Aa)

(3.269)

Auf diesen Konflikt haben insbesondere TURNER [275], BROCKS [168] und COTTERELL ATKINS [66] anfmerksam gemacht. Zum besseren theoretischen Verst~ndnis ist es niitzlich, die Energiebetrachtungen in einen >>kontinuumsmechanischen>werkstoffspezifischen 0

(3.312)

9 Pdssinitiierung erfolgt dann, wenn S(Oc) einen Materialgrenzwert Sc erreicht, der am Modus I Fall (EVZ) kalibriert ist s(oo) =

a a11(oo = 0)K

-

1 - 2v/.( 2

G;

(3.313)

Der a u s ( 3 . 3 1 2 ) abgeleitete Ablenkungswinkel 0c und die entsprechende Versagensgrenzkurve ffir u = 0,3 im EVZ finder man in den Bildern 3.56 und 3.57. Physilmlisch begrfindet wird das S-Kriterium damit, dass in der Richtung 0c der Anteil der Volumen~inderungsarbeit Uv gegeniiber dem gestalt~indernden Anteil UG = U - Uv dominiert, wodurch sprSdes Versagen favorisiert wird. Dieses Argument wird im Kriterium von RADAJ & HEm [209] weiter verfolgt, dem das Maximum der Funktion S* (0) = Uv(O)/UG(O) zugrunde liegt. Einen umfassenden Uberblick fiber weitere Mixed-Mode-Bruchkriterien findet man bei RICHARD [224,225] und POOK [206]. Die Untersuchungen fiir dreidimensionale Pdsskonfigurationen bei fJberlagerung yon allen drei RissSffnungsmoden I, II und III sind noch Gegenstand aktueller Forschung, siehe z.B. [238,226].

3.4.5

Ermfidungsrissausbreitung bei Mixed-Mode-Beanspruchung

Wie man Bild 3.56 entnehmen kann, unterscheiden sich die Mixed-Mode-Bruchkriterien in ihren Aussagen erheblich, insbesondere bei hohem Schubanteil KII. Experimentelle

132


0berpriifungen erfordern aufw/indige, komplizierte Versuche. Aufgrund vielf'~tiger Materialeinflfisse, Nebeneffekte und Streuungen konnte bisher kein allgemein gfiltiges Kriterium verifiziert werden. Besonders schwierig gestalten sich Messungen der Bruchzfi~higkeit Kiic bei reiner Schubbeanspruchung. Zu beachten ist auch, dass alle genannten Kriterien nur anwendbar sind, wenn ein Mindestmag an RissSffnung (KI > 0) vorhanden ist. Andernfalls kommt es zum Kontakt beider Rissufer, der bei der Analyse beriicksichtigt werden muss (KI < 0 gibt es praktisch nicht!) und die tangentiale Relativbewegung der Rissufer bzgl. Modus II wird durch Reibung beeintr~chtigt. Fiir geringen Modus II Anteil (KH 0,6c~ in diese Orientierung abknicken oder sich symmetrisch verzweigen. Wenngleich Rissverzweigungen bei derartigen Geschwindigkeiten ein h/~ufig beobachtetes Ph~inomen darstellen, folgt aus dem Spannungszustand allein keine ausreichende Erkl~rung. Ein wichtiger Grund fiir den Verlust der Richtungsstabilit~t bei

144


schneller Rissansbreitung liegt im (~berangebot an kinetischer Energie, die der Riss nur durch Verzweigungen abbauen kann. Untersucht man das Verh~tnis der Spannungen a22/0.11 auf dem Ligament ~ ----0 in Abh~ingigkeit v o n d e r Rissgeschwindigkeit & ('Yd ----% ----1) a22 -----(1 -F as2)2 -F 4OZdOls all (1 + a2)(1 + 2a 2 -- a 2) -- 4ad a s '

(3.353)

SO ergibt sich ein abfallender Verlanf vom Wert 1 (d = 0) bis auf null (~ = ca), da im Z~hler die RAYLEIGH-Funktion D(& = ca) = 0 steht. Bei hohen Rissgeschwindigkeiten ist somit 0.11 > 0"22, wodurch eine Materialtrennung senkrecht zur Rissrichtung begfinstigt wird. Augerdem verringert sich die Mehrachsigkeit h beachtlich, was die plastische Verformung bzw. ErhShung des Bruchwiderstands mit & erkl~irt.

3.5-5

Energiebilanz

und J-Integrale

Im Fall dynamischer Bruchvorg~nge muss die kinetische Energie/C (3.72) in die Energiebilanz bei Rissausbreitung einbezogen werden. Wir betrachten einen elastischen, thermisch abgeschlossenen KSrper (Q = 0) und nutzen die Ergebnisse aus Abschnitt 3.2.4, (3.69). Die ~ugere Arbeit ]4;ext (3.7o) wird in Form~inderungsenergie Wint (3.71) und kinetische Energie K: (3.72) umgesetzt, der verbleibende Energiebetrag steht fiir Rissausbreitung zur Verfiigung, d.h. dWext - d(Wint + K:) - d ( / / + K:) d/) --- G --- 2"7. dA dA dA

(3.354)

Die globale Energiefreisetzungsrate G beschreibt die angebotene mechanische Gesamtenergie des Systems bei einem infinitesimalen Rissfortschritt. Fiir einen ruhenden, dynamisch beanspruchten Riss besteht der gleiche Zusammenhang zu den Spannungsintensit~itsfaktoren wie in der Statik (3.93), da identische Rissspitzenfelder vorliegen, allerdings zeitabh~iagig: 1( ) 1+~, G(t) = -~7 K 2 ( t ) -F Ki2i(t) -F T KI2II(t)"

(3.355)

Um die Energiebilanz am schnell bewegten Riss zu berechnen, kniipfen wir an die Uberlegungen zum duktilen Risswachstum in Abschnitt 3.3.7 an, siehe Bild 3.48. Wir beschr~inken die Herleitung auf elastodynamisches Materialverhalten und ziehen die Prozesszone A B auf einen Punkt um die Rissspitze mit der dominanten Singularit~it zusammen, FB = F~ ---* O. Der Energiefluss (3.273) wird um die kinetische Energie des K5rpers erweitert, )'~B ---- ]~ext -- )'Vint --/~, und hat die Bedeutung einer eehten Energiefreisetzungsrate, da dissipative plastische Terme in Wint entfallen: --

--

--

ti/ti ds LS~

U + -P4iT/i~ dA 2 / A

(3.356)

3.5 Dynamische Bruchvorg~ge

145

Wir wechseln wieder auf das mitbewegte r~iumliche Koordinatensystem (Xl, X2) fiber (Bild 3.6o, Bild 3.48), weshalb die materielle Zeitableitung in (3.356) mit dem REYNOLDschen Transporttheorem zu behandeln ist: d--t

2

J

~

A

~'As'A,i] nl ds

}

+ pai/ii dA - h

A

(3.357)

F~

Unter Berficksichtigung der Bewegungsgleichungen aij,j = p/is und O U / O t = a i j i t i , j kann der Ausdruck im 1. Integral in (crij/ts),j umgeformt werden. Die Anwendung des GAvssschen Satzes ergibt dann ein Randintegral fiber C -- S + F + + F - - _re, von dem bei last@eien Rissufern und us -- 0 auf S~ nur die Anteile S t und F~ verbleiben (Bild 3.48). Einsetzen in (3.356) liefert schlies

J: =

a

tsi~s

+ A

+ ;uiui

ni

9

(3.358)

Fiir die Verschiebungsgeschwindigkeit auf Fe --* 0 gilt aufgrund der lokalen Stationaritiit nach (3.277) its = - - C t U i , 1 .

Zur numerischen Auswertung v o n G d y n ist es zweckm~giger, das Nahfeldintegral (3.360) auf F~ --~ 0 durch ein Linienintegral entlang eines beliebigen ~iut~eren Pfades F zu ersetzen, was ein Integral fiber die darin eingeschlossene Fl~iche .4 erforderlich macht (Bild 3.6o). Analog zu (3.279) ergibt die Umwandlung von (3.36o) ein wegunabh~ingiges Linien-Fl~chen-Int egral:

F

Im SpezialfaU einer konstanten Rissausbreitungsgeschwindigkeit A und station~rer Verh~ltnisse in J gilt /ti = -Aus,1, ~i,1 = -AUi,ll und/is = --a2ui,1, womit das Fl~chenintegral verschwindet. Dann wird die Energiefreisetzungsrate allein durch das wegunabhfiaagige Linienintegral fiber F repr~sentiert. Bei Rissausbreitung in endlichen Strukturen treten diese Bedingungen jedoch selten ein. Fiir den ruhenden Riss (A -- 0) vereinfacht sich der Ausdruck fiir die Energiefreiset-

146


zungsrate auf: (3.362)

Im rein statischen Fall entfallen auch noch die Tr~gheitskr/ifte p/ii in A, so dass man folgerichtig beim klassischen J-Integral (3.1oo) angelangt. Der Zusammenhang zwischen Energiefreisetzungsrate G dyn und den Spannungsintensit/itsfaktoren kann wie in der Statik entweder fiber das Energieflussintegral (3.359) oder das dynamische Analogon zum Rissschliegintegral (3.89) hergestellt werden, indem man dort die dynamischen Rissspitzenfelder aus Abschnitt 3.5.4 einsetzt [97[.

Diese Relation gilt nur bei selbst~nlicher Rissausbreitung (auf xl-Achse), aber fiir jeden transienten Verlauf ~(t). Ffir d = 0 geht (3.363) in die statische Beziehung (3.93) fiber. Die Funktionen AI und AII werden singular bei 5 --* cR (D(cR) ----0) und die Funktion AIII bei 5 --* c~. Wenn Gdyn(-- 2"/D) beschr~nkt bleiben soll, miissen die K-Faktoren gegen null tendieren. Das bedeutet, die RAYLEIGH-Geschwindigkeit ist die obere Grenze der Ausbreitungsgeschwindigkeit hm~x = cR ~ 0 , 5 7 X / ~ fiir Risse unter Modus I oder II, was durch experimentelle Beobachtungen erwiesen ist [170,212]. Ffir Modus III bildet hingegen die Scherwellengeschwindigkeit die Grenze.

3.5.6

Bruchkriterien

Weil die elastodynamischen Spannungsintensit~itsfaktoren die Beanspruchung an der Rissspitze kontrollieren, gilt mit denselben Argumenten wie in der Statik das K-Konzept. Wir beschr~inken uns auf den wichtigsten Fall Modus I. Ffir die Phase der Rissinitiierung kann folgendes Kriterium postuliert werden:

Ki(t) = Km(/~i, t*)

(3.364)

Die rechte Seite Kid repr~isentiert die dynamische BruchzShigkeit (engl. dynamic initiation toughness), die v o n d e r Geschwindigkeit /~I der Rissbeanspruchung a b h ~ g t und ffir metallische Werkstoffe unterhalb der statischen Bruchz~higkeit liegt, Kid )Finite Elementeabgeleiteten~< FeldgrS~en dort eine Unstetigkeit (Sprung) besitzen. F fir die bruchmechanische Auswertung benStigen wir diese FeldgrSs und ihre Ortsableitungen an einem beliebigen Punkt x des Bauteils, wofiir einige nfitzliche Techniken am Beispiel von Viereckelementen skizziert werden sollen.

Bild 4.7: Interpolation und Extrapolation von FEM-Resultaten im Element Zur Vereinfachung soll die folgende Darstellung anhand einer skalaren FeldgrSi~e z(x) exerziert werden, die stellvertretend ffir jede Komponente von u, er, e u.a. steht. Zuerst muss man fiir einen Punkt x das dazugehSrige finite Element und darin noch seine natfirlichen Koordinaten ~ -- [~1 ~2]w finden. Da die isoparametrische Abbildung x -- ~ Na(~)~(a) nicht analytisch nach ~ umgestellt werden kann, ist ein geeigneter Suchalgorithmus (Intervallschachtelung oder NEWTON-Verfahren) erforderlich. Hat man die natiirlichen Koordinaten ~ gefunden und kennt man die Funktionswerte z (~) an den Knoten a -- 1,2,..., nK des Elementes, so ergibt sich z(x(~)) einfach aus den isoparametrischen Ansatzfunktionen: nK

z = ~

Na (~)z (~)

Interpolationsregel.

(4.77)

a~l

Um den Gradienten bzgl. der globalen Koordinaten (xl, x2) zu bestimmen, benStigt man

174

4 Methode der Finiten Elemente

wiederum die inverse j - l ( ~ ) der Transformationsmatrix (4.6o)- (4.61) als Verbindung zu den natfirlichen Koordinaten ('1, '2):

[s

1

=lax1 aXl[ ~1 =[.]--1] ~1 , /0'1 0'2/ [~2J kOx2 0x2 J

(4.78)

[~J

Die natfirlichen Ableitungen gewinnt man direkt fiber (4.77):

Oz __ ~', ONaz(a)

(4.79)

Stehen die Knotenwerte wie bei den sekund~ren FeldgrSgen nicht zur Verfiigung, so muss man die IP-Werte in geeigneter Weise interpolieren bzw. extrapolieren. Bei den in Bild 4.7 dargestellten isoparametrischen Viereckelementen wird entweder die vollsts (3 x 3 IP) oder die reduzierte (2 x 2 IF) Integrationsregel verwendet. Die Funktion z ('1, '2) 1/s sich sehr gut durch ein Produkt zweier Polynome 1. (2x2 IP) bzw. 2. Grades (3x3 IP) bzgl. '1 und '2 approximieren. z(,1,,2) =c1+c2,1+c3,2+c4,1,2

(2 x 2)

Z('l,'2) :C1-~C2~1~-C3~2 -[-C4'l'2-~C5'~-[-C6'g-[-CT'~'2-}-C8'l'g~-C9qlq2~2t2

(4.8o)

(3 X 3)

Zur Bestimmung der unbekannten Koeffizienten ci stehen gerade 4 (2x2) bzw. 9 (3x3) Funktionswerte z(,~, ,2a) ---- z (g) an den IP bereit. Durch Einsetzen der Stfitzstellen (,1g, ,g) (siehe Tabelle 4.1) und Werte z (g) in (4.8o) baut man sich ein lineares Gleichungssystem auf, dessen LSsung die gesuchten ci ergibt. Damit kann die Funktion z(,1,,2) interpoliert (4.8o) und durch Einsetzen der zugehSrigen isoparametrischen Koordinaten ,~ mit (4.66) auf die Knoten des Elementes extrapoliert werden. Da die Extrapolation anf einen Randknoten von jedem Element aus betrachtet ein anderes Resultat liefert (Bild 4.7, links unten), ffihrt man i.A. eine (gewichtete) Mittelung der unerschiedlichen Elementbeitrs durch, was den Wert ~(a) am Knoten a ergibt. Nun kann zur Interpolation und Differenziation ffir diese Variablen auch gems (4.77) und (4.79) vorgegangen werden. H~iufig sind nur die Ableitungen der sekund~en Variablen an den IP gefragt. Hier empfiehlt sich die in Bild 4.7 (rechts) dargestellte Methode. Die 2 bzw. 3 Funktionswerte an den IP entlang einer K o o r d i n a t e , 6 {'1,'2} werden als Gerade bzw. Parabel approximiert:

Z(')-- Z2--Zl 2d

1

,+~(zl+z2)

z(,)- zl-2za+z2 2d 2

,2+

(2 IP)

Z2--Zl 2-d

,q-z3

(3 IP),

(4.81)

4.5 FEM fiir nichtlineare Randwertaufgaben

175

deren Ableitungen lauten

C~Z 0--~ = (z2 - zl)/(2d)

(2 IP)

OZ Zl -- 2Z3 -[- Z2 Z2 -- Zl 0~ -d2 ~§ 2-------d-- (3 IP).

(4.82)

Mit Hilfe dieser Ableitungen nach ~1 und ~2 bei einer Stfitzstelle (~1, ~2) geht man direkt in (4.78), um die globalen Ableitungen zu erhalten. Dieses Verfahren eignet sich besonders zur Differenziation von er, Ep oder U p an den IP, wenn die Resultate anschlies fiber das Element integriert werden sollen. 4.5

FEM

ffir nichtlineare

4.5-1

Grundgleichungen

Randwertaufgaben

Bei RWA der FestkSrpermechanik fiihren im Wesentlichen zwei Ursachen zu einem nichtlinearen Verhalten: a) Materielle Nichtlinearitiiten (engl. material non-linearity) Der sich bei nichtlinear-elastischen, elastisch-plastischen u. a. Werkstoffen einstellende Spannungszustand im Element h~ngt nichtlinear von den Verzerrungen und somit den Verschiebungen ab: ~r(v) -- f ( ~ ( v ) , h(v)) Bei irreversiblen Verformungsprozessen ist cr eine Funktion der Belastungsgeschichte, weshalb der aktuelle Werkstoffzustand durch interne Variable h beschrieben wird, was in Abschnitt A.4.2 am Beispiel der Verfestigungsgesetze erl~iutert wurde. b) Geometrische Nichtlinearit~ten (engl. geometrical non-linearity ) Bei grot~en, endlichen Verformungen (engl. finite deformations) treten zwei nichtlineare Ph/inomene auf. Wenn die Verschiebungen grofl gegeniiber der Ausgangsgeometrie sind (engl. large displacements), muss als Erstes die Umverteilung des Kr~ftegleichgewichts und der Lastrandbedingungen auf die verformte Struktur beriicksichtigt werden. Zweitens besteht bei groflen Verzerrungen (engl. large strain) ein nichtlinearer Zusam_menhang (A.20) zwischen den " Verzerrungstensoren und den Verschiebungsgradienten. Wendet man das Prinzip der virtuellen Verschiebungen (4.12)-(4.13) auf nichtlineare RWA an, so erh~ilt man in der FEM-Formulierung gegenfiber den linearen Beziehungen aus Abschnitt 4.4 folgende Erweiterungen: 5Wext - 5Wint ---- [FeXt(t) -- Fi't (V(t))] 5V ----0 FeXt = U e=l

NTtdSe +

NTfd~

(4.83) (4.84)

V~

F i n t ( v ( t ) ) = U f BT(v)ff(v)dVe 9 e=l Ve

(4.85)

z76


Der externe Lastvektor Fext(t) beschreibt den Gesamtlastvektor F nach (4.55) infolge der zeitlich vorgegebenen F1/~chen- und Volumenlasten. Der entsprechende Knotenkraftvektor F int der inneren Krgfte wird ans dem nichtlinearen Verhalten des Materials ~r(v) und der Kinematik B ( v ) gebildet. Bei nichtlinearen Problemen ist es erforderlich, die Belastungsgeschichte in eine Anzahl nt endlicher Zeitschritte At~ zu unterteilen. (F fir skleronomes Materialverhalten darf man anstelle der Zeit auch einen monoton steigenden Belastungsparameter verwenden --~ Lastschritte.) tn+l = tn + At,~+l,

n = 0,1,2,...~nt - 1

(4.86)

Die •ugere Belastung wird somit als zeitliche Folge von Lastschritten aufgepriigt, ffir die jedes Mal der Gleichgewichtszustand (4.83) mit den inneren Kr~iften am Ende des Inkrementes durch Iteration gefunden werden muss. Man bezeichnet dies anch als inkrementelliterativen Algorithmus . nt

F ext (t

~-~ AFext

~

nl~ext .L-n+l

~ Fext t\ t n + l }

--

Fext(tn)

(4.87)

n=l

In entsprechender Weise entstehen dabei die Inkremente aller anderen GrSgen wie der Knotenverschiebungen n~ V(tn,) = E AVn, rt~l

A V n + l = V ( t n + l ) -- V ( t n ) ,

(4.88)

der Spannungen A~r~, Verzerrungen Ae~ u. s. w., wobei der tiefgestellte Index n immer den Zeitschritt markiert. Die inkrementelle Vorgehensweise ist unbedingt notwendig, um die in Ratenform gegebenen plastischen Materialgesetze fiber den Lastpfad integrieren zu kSnnen. Fiir die numerische LSsung des nichtlinearen Problems ist der inkrementelle Algorithmus darfiber hinaus/iugerst zweckmggig. Bild 4.8 zeigt in vereinfachter Form (1 F~eiheitsgrad) die LSsungsstrategie. Die wahre LSsung des nichtlinearen Problems F ext (V) ist als durchgehende Linie eingezeichnet. Auf der Ordinate ist exemplarisch ein Lastinkrement A~ext .~-L,.- n + l anfgetragen, zu dem das dazugeh5rige Verschiebungsinkrement A V n + I gesucht wird. Dazu muss das nichtlineare Gleichungssystem (4.83) im ( n + l ) - t e n Lastschritt gel5st werden.

Fext n+l

wint --

"- n+l

= R(V)

~

0

(4.89)

Der Vektor R ( V ) erfasst die nicht ausbalancierten >>residuellen>elastischen Testwert 0

elastisch plastisch.

(4.98)

Verbleibt der Spannungszustand innerhalb der bisherigen Fliet~flgche ~,~ (gran markiert), was in Bild 4.9 als Strichlinie dargestellt ist, so liegt eine rein elastische Spannungs~iaderung vor. Der Testwert er,~+ltr ist bereits die richtige L5sung, so dass der Algorithmus ffir diesen Lastschritt beendet ist. b) Korrektorschritt Im Fall einer plastischen Zustandsgnderung (Volllinie in Bild 4.9) befindet sich der

18o


Bild 4.9: Integration elastisch-plastischer Materialgesetze mit der Projektionsmethode

Spannungszustand O'n+ l t r nach (4.97) autgerhalb der Fliefgfl~iche und muss auf diese korrigiert werden. Infolge der Verfestigung Ah,~+l # 0 ver~ndert sich zugleich die Fliegfl~iche auf #n+l. Augerdem mfissen jetzt die Evolutionsgesetze der plastischen Vaxiablen fiber den Lastschritt integriert werden. Ffir das plastische Verzerrungsinkrement erh~ilt man mit (4.93): n+l

P 1= A~:n+

f N ( a , h) dA ~ AA,~+IN(Cr,~+I, h~+l), d

(4.99)

wobei Ms Approximation die Variablen an der Stfitzstelle (n + 1) am Intervallende benutzt werden. Da ihre Werte selbst noch unbekmlnt sind, handelt es sich um ein implizites (EVLER-Riickw~irts-)Verfahren, was sehr genan und unbedingt stabil ist. Auf gleiche Weise verfiihrt man mit dem Evolutionsgesetz (4.94) fiir die Verfestigungsvariablen: n+l

Ahn+l

=

hn+l

-

hn = /

H(o', h) dA ~

AAn+]H(o'n+l,hn+l)

9

(4.1oo)

n

Schlieglich verbleibt Iloch die Forderung, dass der wahre Spannungszustand anf der Fliegfl~iche liegen muss, d.h. ~n+l(an+l,

hn+l)

Dazu ist nach (4.95) die ~Testspannung>radial return 1 J F -- J ( V u + I ) -- V (6u)

,01o0 bzw.

O~u~ JF~N -- OXN

(4-1o7)

Da die innere ]4;int(U) und/ius Arbeit ]4;ext(U) jetzt nichtlineare Fhnktionen der Verschiebungen u in einem finiten Element sind, ffi_hren wir eine Linearisierung des Systems am bisher erreichten, bereits im Gleichgewicht befindlichen Zustand (Index 0) durch, d.h. wir untersuchen die _~nderungen aller Gr6gen im Funktional (4.1o4) bei einem Verschiebungsinkrement Au. Dafiir wird die Linearisierung einer tensorwertigen Funktion

182


A(a) an der Stelle a0 bzgl. der vektoriellen Variablen A a (Richtungsableitung) benutzt. A(ao + Aa) = A(ao) + A A

mit AA = ~dA a0 9A a

(4.1o8)

Zur Vereinfachung soll angenommen werden, dass die ~iut~eren Kr/ifte nicht vonder Verformung abh/ingen (konservativ, keine Kontakt-, Reibungs- oder mitbewegten Kr~ifte), d.h. die/iut~ere Arbeit 6l/Vext bleibt in (4.1o4) linear bzgl. 6u. Deshalb ist nur die Linearisierung von 6Wint vorzunehmen: A((~gVint)

:

/ ( A T : 6E + T : A6E) dV. v

(4.1o9)

Im 1. Integralterm ist der 2. PIOLA-KIRCHHOFFsche Spannungstensor (A.51) bzgl. A u zu linearisieren, was mit der Kettenregel fiber den Verzerrungstensor A E und (4.1o5) geschieht. Der vierstufige Tensor C ep bezeichnet die Materialtangente an diesem Punkt.

A T = 0---E OT : A E = C ep : A E ,

OT To CeP = OE

(4"110)

Die Linearisierung von (4.1o6) ergibt A~E---- ~1 { A F T . ~F q-6F T. A F } bzw. A6EMN----I(AFiM~FiN-[-6FiMAFiN} (4.111) Aufgrund der Symmetrie des Spannungstensors T folgt damit der 2. Term des Integranden in (4.1o9) zu

TMNAt~EMN : 6FiMTMNAFiN,

(4.112)

womit wir die Linearisierung der inneren virtuellen Arbeit erhalten:

A((~Wint)= /

(6E: cep : A E + 6 F T . T 9A F ) dV.

(4.113)

v

Die FEM-Realisierung soll wieder exemplarisch fiir ein zweidimensionales Element im ebenen Sparmungszustand skizziert werden. Dazu wechseln wir anf Matrizendarstellung fiber. Im Unterschied zum Abschnitt 4.3.1 werden jetzt die Ortsvektoren in r~iumlicher x und materieller X Darstellung mit Hilfe der isoparametrischen Variablen ~ im Element interpoliert, wobei K, X und fi - v die jeweiligen Knotenwerte bezeichnen: x(~) = N(~) K,

X(~) = N(~) X .

(4.114)

Aus den kinematischen Zusammenh~ngen ergeben sich die Ans~tze ffir die Verschiebun-

4.5 FEM ffir nichtlineare Randwertaufgaben

183

gen u im Element sowie deren Variation (iu und Inkrement Au: = R + fi = X + v u(~) = N ( ~ ) v ,

(4.115)

(iu(~) = N(~) (iv,

Au(~) = N(~) Av

(4.116)

Die drei Komponenten des Verzerrungstensors werden g e m ~ (4.1o5) variiert, wobei der lineare Term die bekannte B-Matrix (4.44) bildet und die quadratischen Terme zu einer nichtlinearen Relation Bnlin(v) fiihren: [(iE11] (iS ---- [(iS221 -- D(u)(iu -- l](v)(iv

analog

A E ----] ] ( v ) A v ,

(4.117)

[SE12J t3 = B + Bnlin(v),

B~

= [B1

(4.118)

Bo

BoK],

[ Ul,lNa,1 u2,1Na,1 ] Bo = | nl,~Na,~ ~2,2Na,: I LUl,lNa,2 + Ul,2Na,1 u2,1Na,2+ u2,2Na,l J

(4"119)

Auf ~hnliche Weise wie in (4.59) gezeigt finder man die Ableitungen der isoparametrischen Verschiebungsans~itze nach den materiellen Koordinaten, um aus (4.1o7) die Variation (iF und die Linearisierung A F des Deformationsgradienten zu ermitteln: nK

5F = E ONa(~)(iu(a) = I:I(iv a=l

OX

analog

A F = I=IAv.

(4.12o)

Einsetzen der Beziehungen (4.116)-(4.12o) in (4.113) ergibt die virtuelle innere Arbeit fiir ein Inkrement A v d e r Knotenverschiebungen eines Elementes V~: (4.121) "Ve

Ve

k~li~

k:p

Der Ausdruck in geschweiffer Klammer stellt die tangentiale Steifigkeitsmatrix (engl. tangential stiffness matrix) k(v) am Punkt 0 dar, die aus zwei Beitr~gen besteht. Der erste Term k nlin wird aus der nichtlinearen Verschiebungs-Verzerrungsrelation t3 und dem Materialtensor C ep gebildet, der im Fall nichtlinearer Stoffgesetze ebenfalls von v abh~ingt (siehe vorheriger Abschnitt 4.5.2). Hinzu kommt die so genannte geometrisehe Steifigkeitsmatrix oder Anfangsspannungsmatrix (engl. initial stress matrix) k sp, die den Einfluss des aktuellen Spannungszustandes T auf die ver~inderte Geometrie I=I widerspiegelt. k(v) = knlin(v) + kSp(T)

(4.122)

184


Nach der Assemblierung aller Elementbeitr/ige (4.122) erh/ilt man die tangentiale Systemsteifigkeitsmatrix K fiir das linearisierte FEM-Gleichungssystem. K(V0) A V = - R := F ext - F int

(4.123)

Seine iterative LSsung erfolgt am besten mit dem NEWTON-RAPHSON-Verfahren, siehe Abschnitt 4.5.1. Der bier erl/iuterte Algorithmus wird in der FEM-Literatur als total LAGRANGEsche Methode bezeichnet. Weitere Ausf'dhrungen zur FEM bei physikalischen und geometrischen Nichtlinearit~ten finder man in [290,255, 35]. 4.6

Explizite

FEM

f/Jr d y n a m i s c h e

Probleme

Fiir die Analyse stoi~artiger Rissbelastungen und hochdynamischer Rissausbreitungsvorg/~nge, die meist auch mit Kontaktproblemen verbunden sind, hat sich in der FEM das Verfahren der expliziten Zeitintegration am besten bew/ihrt. Im Unterschied zu impliziten Zeitintegrationsverfahren (z. B. NEWMARK) ist das explizite Verfahren numerisch sehr effektiv und robust. Von Nachteil ist seine bedingte Stabilit/it, was zur Einhaltung sehr kleiner Zeitschritte At~ < Atc zwingt. Mit der ersten und zweiten Zeitableitung der Verschiebungsansiitze (4.42) erh~lt man die Geschwindigkeiten und Beschleunigungen aus den Knotenwerten v: fl = N~r,

fi = N~.

(4.124)

Fiir d/impfungsfreie Systeme folgen aus dem HAMILTONschen Prinzip die Bewegungsgleichungen, woraus nach der FEM-Diskretisierung gem~s Abschnitt 4.4 die Steifigkeitsbeziehung (4.49) um den Triigheitsterm m ~ zu erweitern ist:

Mit den in Abschnitt 4-3 dargestellten Algorithmen kann prinzipiell auch die Elementmassenmatrix (4.126) integriert und zur Gesamtmassenmatrix M assembliert werden. Bei Verwendung der Formfunktionen erh~lt dann die so genannte konsistente Massenmatrix, die Symmetrie und Bandstruktur besitzt. Daraus resultiert ein relativ hoher Rechenaufwand bei der LSsung von (4.125) , da M invertiert werden muss. Dieser liisst sich jedoch um ein Vielfaches verringern, wenn eine kondensierte Massenmatrix (engl. lumped mass matrix) in Diagonalform verwendet wird. In diesem Fall ist die Invertierung von M trivial, so dass (4.125) direkt nach den gesuchten Knotenbeschleunigungen ~ aufgelSst werden kann. Ffir die Bestimmung der diagonalisierten Massenmatrix existieren verschiedene Interpolations- und Integrationstechniken [116, 34].

4.6 Explizite FEM fiir dynamische Probleme

185

Zur LSsung der DGL 2. Ordnung (4.125) bzgl. der Zeit wird in der Regel das explizite zentrale Differenzenschema angewandt. Dabei werden die dynamischen GrSi~en am Ende des (n + 1)-ten Zeitschritts t~+l = tn + At,~+l aus dem Impulssatz (4.125) zum Intervallanfang t~ berechnet. Die Geschwindigkeiten in der Intervallmitte t,~+89= t,~ + 1Atn+l ergeben sich aus dem Differenzenquotient ~"n+ 89 = ( Y n + l -- v,~)/At,~+l,

f,~_89= (v,~ - v,~_l)/At,~,

(4.127)

woraus die Beschleunigung bei t,~ folgt: an = v n = (*n+ 89 - * n - 8 9

[1

~(Atn+l + A t n )

1

.

(4.128)

Daraus leitet sich der nachstehende Algorithmus ab: (o) Festlegung der Anfangsbedingungen v0 und ~r0 (1) Inkrementieren der Zeit und ~iugeren Belastung f(t) (2) Berechnung der Beschleunigung im Zeitschritt

Atn+l aus (4.125):

a~ = m - l ( f - kv=) (3) Bestimmung der Geschwindigkeit fiber (4.128): A t n + l q- A t n r

89= r162 89+

2

a,~

(4) Aktualisierung der Verschiebungen mit (4.127): Vn+ 1 = Vn q- Atn+lr189 (5) N~chster Zeitschritt n :----n + 1, gehe zu (2) Der explizite Algorithmus erfordert weder Iterationen noch die Invertierung der Steifigkeitsmatrix, selbst die Assemblierung der Elementmatrizen kann entfallen. Materielle und geometrische Nichtlinearit~iten werden einfach durch k(v~) berficksichtigt. Die maximal zul~issige Zeitschrittweite Ate ist umgekehrt proportional zur h5chsten Eigenkreisfrequenz Wm~x des Systems. In der Praxis wird Ate durch die Zeit abgesch~itzt, die eine DilatationsweUe mit der materialabh~ingigen Ausbreitungsgeschwindigkeit Cd ben5tigt, um das kleinste finite Element der L~iage Lmin zu durchlaufen, wobei b noch ein empirischer Faktor ist: At < A t c = b Lmin 9 Cd

(4.19-9)

186


4.7

Arbeitsschritte

bei der FEM-Analyse

Nachfolgend sind die wesentlichen Arbeitsschritte kurz zusammengestellt, die fiir die FEM-Berechnung eines Bauteils erforderlich sind. Die besonderen Aufgaben zur Behandlung von Rissen sind kursiv hervorgehoben. 4.7.1

PRE-Prozessor

- Erstellung des FEM-Netzwerkes (Knotenkoordinaten, Elemente, Topologie)

- Spezielle Netzgeneratoren fiir Risse (Spezialelemente, geometrische Besonderheiten) - Vorgabe der Belastungen und Lagerbedingungen - Eingabe der Materialeigenschaften - Vorgabe des zeitlichen Belastungsprogramms - Kontrolle und Visualisierung des Eingabemodells 4.7.2

FEM-Prozessor

- Aufbau und Speicherung der Steifigkeits- K(t) und Massenmatrix M Berechnung der rechten Seite F(t) aus allen Belastungen

- Rissspitzenelemente und spezielle Algorithmen fiir Risse -

4.7-3

Einarbeitung der kinematischen Randbedingungen LSsung des (nicht-)linearen FEM-Gleichungssystems Speicherung der Resultate (LSsungsvektor V(t) u.a.) Inkrementelle ErhShung der Belastungen fiir den n~ichsten Zeitschritt bei nichtlinea~ ren oder dynamischen Analysen; ggf. Wiederholung dieser Schleife POST-Prozessor

- Berechnung interessierender FeldgrSt~en (ui, sij, c~ij, T) ffir gewfinschte Orte und Zeitpunkte aus dem LSsungsvektor V(t) - Knotendaten: v (a), § ~(~), f, T, hn - Elementdaten (Integrationspunkte): E~j, aij, r am~x, Ev, av, U - GrMische Darstellung: Isolinien-Faxbbilder, zeitlicher Verlauf, verformte Struktur, Animation von Bewegungen u. ~. m.

- Spezifische Auswertungen (EDI-Integral, MCCI-Schlieflintegral, DIM u. a.) fiir die Bestimmung bruchmechanischer Beanspruchungsparameter (K-Faktoren, G, J)

5

F E M - T e c h n i k e n zur R i s s a n a l y s e in linear-elastischen Strukturen

Ziel der FEM-Analyse ist die Berechnung der bruchmechanischen Beanspruchungsparameter ffir einen Riss in einer Struktur (PrfifkSrper, Banteil, Werkstoffgeffige) bei linearelastischem (isotropen oder anisotropen) Materialverhalten. Im Abschnitt 3.2 wurden die relevanten Beanspruchungsparameter der LEBM vorgestellt: Die Spannungsintensit~itsfaktoren KI, KII, KIII und die Energiefreisetzungsrate G --- J. Ihre Werte h~ngen von der Geometrie der Struktur, ihrer Belastung, der L~nge und Form des Risses sowie von den elastischen Materialeigenschaften ab. Obwohl die FEM zur L6sung der RWA geradewegs eingesetzt werden kann, besteht bei der Anwendung auf Rissprobleme doch eine grundlegende Schwierigkeit. Diese liegt in der exakten Erfassung der Singularit~t an der Rissspitze mit Hilfe eines numerischen N~erungsverfahrens wie der FEM. Die iiblichen Finite-Elemente-Typen besitzen nur reguNire Polynomans~tze ffir ui, ~ij und aij. Sie kSnnen deshalb die Risssingularit~it nur schlecht wiedergeben. Aus diesem Grunde sind spezielle Elementans~itze, numerische Algorithmen oder Auswertetechniken erforderlich, um aus einer FEM-LSsung die BeanspruchungskenngrSt~en effizient und genau zu gewinnen. Im folgenden Kapitel sollen die dafiir entwickelten Methoden vorgestellt werden, wobei wir uns hanpts~chlich auf station ~ e Risse konzentrieren. Die Besonderheiten der FEM-Techniken und Vernetzungen zur Analyse instation~rer Risse werden in Kapitel 8 erl~iutert. 5.1

Auswertung

der numerischen

LSsung

an der Rissspitze

Wenn man nur regul~re finite Elemente (engl. regular standard elements) (RSE) zur Verfiigung hat, so ist eine sehr feine Vernetzung an der Rissspitze notwendig. Man sollte sich nochmals bewusst machen, dass mit dem Spannungsintensit~tsfaktor KI der KoeO~zient einer Singularitdt gesucht wird! Das bedeutet erstens: Je feiner wir vernetzen, desto h6her (--* c~) wachsen die Spannungen an. Zweitens muss die Diskretisierung so fein sein, dass damit die Feldgr6~en innerhalb der NahfeldlSsung ausreichend genan anfgel6st werden. Eine typische Vernetzung fiir Rissprobleme wird am Beispiel des GRIFFITH-Risses in der zugbelasteten endlichen Scheibe von Bild 5.1 demonstriert. Aus Griinden der Symmetrie des Problems bzgl. der xl- und x2-Achse geniigt es, nur einen Quadranten (grau hinterlegt) zu modellieren. Dabei mfissen auf den Symmetrieachsen (xl -- 0 bzw. x2 -- 0) die Normalverschiebungen (u2 -- 0 bzw. ul -- 0) verhindert werden. Am oberen Rand werden die Zugspannungen mit ~quivalenten Knotenkr~ften angelegt und die Rissufer bleiben lastfrei. Bild 5.2 zeigt das FEM-Modell bei Verwendung viereckiger Elemente. Fiir station~re Risse bietet sich ein polares FEM-Netz mit einer starken konzentrischen Verfeinerung um die Rissspitze an, siehe Detailbild rechts. Die kleinsten Elemente an der Rissspitze miissen eine Gr6i~e L haben, die noch erheblich unter dem Giiltigkeitsbe-

188

5 F E M - T e c h n i k e n z u r Rissanalyse in linear-elastischen S t r u k t u r e n

Bild 5.1: Griffith-Riss in einer endlichen Scheibe u n t e r Zug

Bild 5.2: F E M - N e t z w e r k m i t A u s s c h n i t t v e r g r S ~ e r u n g a m Riss

5.1 Auswertung der numerischen Lfsung an der Pdssspitze

Bild 5.3: Auswertung der FEM-L5sung an einem Knotenpunkt (r*, 0")

189

B i l d 5.4: G / i l t i g k e i t s b e r e i c h d e r F E M - A u s wertung

r e i c h r K des Ki-dominierten Nahfeldes liegt. Um die Winkelverteilung ansreichend gut zu reproduzieren, mfissen auch genfigend Elemente fiber den Kreisbogen verteilt werden. Mit der Absch~tzung r g ~ a / 5 0 . . , a/lO sollte deshalb folgende Relation eingehalten werden:

9 ElementgrSs an der Rissspitze: L < a / 1 0 0 . . , a/20 9 Zahl der Elemente / Halbkreis: n > 6 bzw. A0 < 30 ~ Das einfachste Verfahren zur Ermittlung des Spannungsintensit~itsfaktors KI besteht im direkten Vergleich der FEM-LSsung mit der NahfeldlSsung ( 3 . 1 2 ) und (3.16) ffir Modus I:

(5.1) Ffir einen ausgew~ihlten Punkt (r*,/9*) kann man so entweder aus den Verschiebungen uFEM oder den Spannungen oij _FEM durch Umstel]en von (5.1) einen Wert KI* errechnen: i ,

=

FEM

fit(o*)

*

,o

*

)

(5.2)

F/ir die Verschiebungen bieten sich die Werte an den Knoten an, w~hrend die Spannungen in der Regel an den Integrationspunkten ansgegeben werden und dort auch die grSf~te Genauigkeit besitzen, siehe Bild 5-3. Bild 5.4 zeigt ein typisches Resultat ffir K~(r*) entlang eines Ra~ius-Strahls 0* = const. Hierbei kann man drei Bereiche unterscheiden: Sehr nahe an der Rissspitze kSnnen die Elemente die Singularit~t nur ungenan abbilden, weshalb KI* im Vergleich zum exakten Ki-Wert zu klein ausf/illt. Im mittleren Abstand ist die Gfite der FEM-LSsung ansreichend. Aus des Dominanzbereiches r* > rg verliert (5.2) ihre Berechtigung, da auf~er der Singularit/it noch weitere LSsungsanteile auftreten. Als pragmatische Technik wird deshalb eine lineare Extrapolation der Funktion K~ (r*) vom mittleren Bereich aus gegen die Rissspitze r* --* 0 vorgeschlagen. Die besten Erfahrungen mit dieser Auswertung gibt es an folgenden Positionen:

19o

5 FEM-Techniken zur Rissanalyse in linear-elastischen Strukturen

a) Werte der rissSffnenden Verschiebungen auf dem Rissufer (relativ zu einer evtl. Verschiebung u FEM (0) des Rissspitzenknotens) KI = lim uFEM(r*,t9 .E' r*~0 = 7r)-~- v ~ - . E' = E

(ESZ)

und

(5.3)

E ' = E / ( 1 - v 2)

(EVZ)

b) Werte der Normalspannungen anf dem Ligament vor dem Riss g i = l i m a FEM(r*, 0 = 0) 2 ~ * .

(5.4)

r*--*0

Mitunter wird auch eine doppelt logarithmische Auftragung von (5.4) empfohlen 1 . ln[2~ra22 (r*)] - in KI = - ~ in r ,

(5.5)

wobei die Wiedergabegiite der Risssingularit~it dureh die Einhaltung des Anstiegs (Faktor - 1 / 2 ) kontrolliert werden kann und sieh KI aus dem Schnittpunkt mit der Ordinate ergibt. Die bisherige Auswertung galt fiir reine Modus-I-Belastung. Sie kann sinngem/ig auf zweidimensionale Rissgeometrien iibertragen werden, die ausschlieglich im Modus-II oder Modus-III beansprucht sind, vgl. Abschnitt 3.:2.1 und Bild 3.6. In diesen FKllen liegt der Riss auf einer Symmetrieebene des KSrpers (xl-Achse), so dass fiir die FEM ein Halb-Modell geniigt. Wegen der Symmetrie- und Antimetrieeigenschaften sind auf dem Ligament (Ixll > 0, x2 = 0) folgende Randbedingungen zu beachten: Modus-II: Ul = a22 = 0, Modus-III: u3 = 0. Anhand der asymptotischen L5sungen (3.25) und (3.23) ffir Modus II bzw. (3.31) und (3.32) bei Modus III erh/ilt man Formeln zur Bestimmung der K-Faktoren aus den Rissuferverschiebungen oder Ligamentspannungen: KII = r*--.0 lim u FEM (r*, ~r) E4' Kill = rlim .-o

u F3 E M t'r * ' 7r~

2~2-~'

E

KII = r*--*0 lira TF?M(r*,0) 2X/'~-r *

7'

Km=

r-lim40*

M(r*'0)

(5.6)

(5.7)

Im allgemeinen Beanspruchungsfall des Risses tiberlagern sich alle drei Modi I, II und III und es gehen sgmtliche Symmetrieeigenschaften verloren. Auf den Rissufern separieren sich aUerdings die PdssSffnungsarten, so dass die K-Faktoren aus den Relatiwerschiebungen Au~(r*) = ui(r*, 0 = + ~ r ) - ui(r*, 0 = --~r) zweier gegentiberliegender Knoten auf den Rissufern ermittelt werden kSnnen

KII

(KIII J

= r*--*0 lim ~V r* /

-s Aul(r*)

~ E

iu3(r, )

(5.8)

5.2 Speziellefinite Elementean der Rissspitze

191

Diese Auswerteformel gilt auch ffir r~umliche Risskonfigurationen, wobei sich ui(r*, 0") dann auf ein lokales Koordinatensystem senkrecht zum betrachteten Punkt der Rissfront bezieht (siehe Bild 3.1o), was eine entsprechende Transformation aus dem globalen System erfordert. Alle bisher angegebenen Beziehungen gelten fiir isotropes Material, bei dem jeder Spannungsintensit~tsfaktor genan mit der Verschiebungskomponente des jeweiligen Riss5ffnungsmodus verknfipft ist. Bei anisotropem Material sind jedoch die Verschiebungskomponenten anf den Rissufern mit allen K-Faktoren gekoppelt, so dass ein lineares Gleichungssystem entsteht. Ffir den in Abschnitt 3.2.7 behandelten Spezialfall der Orthotropie findet man:

/ KI } KII = (gIII

1 [/~2/~2 FHll H12 ~ 1 2

0 ] ~ 21r 0 lira //33 r*~0

~A~l(r') ~ Au2(r*) , ~AU3(r*)~

(5.9)

wobei die Komponenten der Matrix Hij yon den elastischen Konstanten abh~ngen:

[H11

H121 =

1

\81--82/

[H21 H22] HllH22-H12H21 ,,~(siq2-s2ql)

81 82

(~1 -~2 ,~(82P1 81P2~l (5.10) 81 82 ]J

H33 -----~(C45-[-83C44)

5.2

Spezielle finite Elemente an der Rissspitze

5.2.1

Entwicklung yon Rissspitzenelementen

Die unbefriedigende LSsungsqualit~t regul~er Elemente wurde schon in den 7oer Jahren erkannt, was zur Entwicklung spezieller Elementformulierungen ffihrte, bei denen die Formfunktionen singul/ire rissspezifische Ans~itze enthalten, deren Freiwerte mit den K-Faktoren in Beziehung stehen. Sonderelemente dieser Art werden Rissspitzenelemente (engl. crack tip elements) (CTE) genannt. Sie werden zur Diskretisierung der unmittelbaren Rissspitzenumgebung eingesetzt, woran sich regul/ire Elemente zur Modellierung der restlichen Struktur anschlieSen. Diese CTE k6nnen eine Rissspitze vollst/indig einbetten, wenn ihre Ans~tze komplette Rissspitzenfelder in (r, 0)-Koordinaten beschreiben, siehe [57,288]. Meist beschr~nkt man sich jedoch auf die Nachbildung der radialen r-U2_ Singularit~t, weshalb die Winkelabh~izlgigkeit 0 durch fficherfSrmige Elementanordnungen um die Rissspitze modelliert werden muss. Erw~hnt werden sollen die wesentlichen

192


Bild 5.5: Eindimensionales Viertelpunktelement: a) natiirliche Koordinaten, b) lokale kartesische Koordinaten

Entwicklungen von ebenen [5, 36, 39,273] und riiumlichen Rissspitzenelementen [40,274]. Das gr5s Problem bei derartigen Elementformulierungen besteht darin, dass die singul~iren Rissans~itze nicht mit den regul~ren Formfunktionen auf den R ~ d e r n zu den Nachbarelementen kompatibel sind. H~ufig erlauben ihre Formfunktionen auch keine StarrkSrperbewegungen oder konstanten Verzerrungszust~inde, was Voraussetzung fiir die Konvergenz der LSsung ist. Ein weiterer Nachteil vieler Rissspitzenelemente bestand darin, dass sie wegen ihrer algorithmischen Besonderheiten nicht in kommerzielle FEMProgramme aufgenommen wurden und somit nur fiir wenige Spezialisten nutzbar waren.

5.2.2

Modifizierte isoparametrische Verschiebungselemente

Ein entscheidender Fortschritt in dieser Hinsicht wurde durch die Entdeckung der sogenannten Viertelpunktelemente(engl. quarterpoint elements) (QPE) erzielt, welche unabh~ngig voneinaader HENSHELL ~ SHAW [113] und BARSOUM [26] gelang. Die Grundidee besteht in einer Modifikation isoparametrischer Elemente mit quadratischem Ansatz dadurch, dass die Position der Seitenmittenknoten ver~ndert wird. Verschiebt man n~mlich die Koordinaten dieser Knoten v o n d e r Mitte in Richtung Rissspitze auf die Viertelposition bei allen Elementk,unten, die auf die Rissspitze zulaufen, so bewirkt dies eine Ver~inderung der Verschiebungs-, Verzerrungs- und Spannungsfelder im Element, die genau der radialen Funktion des Rissspitzenfeldes entspricht. Ursache ffir die Entstehung eines singul~ren 1/vrr-Verlaufs ist die nichtlineare Abbildung zwischen den natiirlichen (parametrischen) und den lokalen (geometrischen) Koordinaten ~ --* ~. Man spricht deshalb auch von >>knotendistordierten~ Ansatzfunktionen. Bevor auf die verschiedenen Arten von Viertelpunktelementen n~iher eingegangen wird, soll das Prinzip am eindimensionalen Element 1D bzw. an einer Kante dargestellt werden.

a) Eindimensionales Viertelpunktelement Bild 5.5 b stellt das 1D-Viertelpunktelement mit den drei Knoten 1, 3 und 2 im geometrischen ILuum an der Rissspitze dar, deren Abstand durch die Koordinate r gegeben ist. Die Position des Mittelknotens 3 wird durch den Parameter x gesteuert. Im Bild 5.5 a ist der Parameterraum ~ ( ~ 1 ) wiedergegeben. Der quadratische 1D-Verschiebungsansatz

5.2 Spezielle finite Elemente an der Rissspitze

193

dieses Elementes lautet:

3 a=l

(5.11)

= u(3) ~- ~ l ( u ( 2 ) - - u ( 1 ) ) ~ - [ l ( u ( 1 )

~- u (2))

-- U(3)] ~2

In der letzten Gleichung wurde nach ~-Potenzen geordnet. Aufgrund der isoparametrischen Elementformulierung gilt dieselbe Interpolationsfunktion auch fiir die Koordinaten, d.h. auch den Radius r mit den Knotenwerten r (1) -- 0, r (3) -- ~L, r (2) -- L:

3 a=l

Bei einem regul~ren 1D-Element wiirde ~r = 1/2 gelten und aus (5.x2) folgte dann ~ = 2 r / L - 1. Einsetzen dieser linearen Beziehung in (5.11) liefert ebenfalls ein Polynom 2. Grades fiir den Verschiebungsverlauf u ( r ) . Verschiebt man jedoch Knoten (3) auf die Viertelposition x = 1/4, so ergibt (5.12) hingegen den Zusammenhang r=L(l+~)2

=~

(5.13)

~ = 2 V ~ - 1,

woraus mit (5.11) folgende radiale Abh~gigkeit der Verschiebung und Dehnung entsteht:

tt(r) : U (1) -~- (--3U (1) --~t (2) ~-4u (3)) _

r + 2 (u (1) + u (~) - 2u (3)) 1

(5.14) 1

Wie man sieht, enthtilt der Verschiebungsansatz jetzt neben einer konstanten (StarrkSrperverschiebung) und linearen Funktion nun einen v~-Verlauf, der somit genau das Verschiebungsfeld an der Rissspitze nachbildet. Die Dehnung im Viertelpunktelement weist die gewfinschte 1/x/?-Singularit~t auf und verfiigt noch fiber den notwendigen konstanten Term (Patch-Test).

b) Viereckige und dreieckige Viertelpunktelemente 2D Zur Berechnung ebener Rissprobleme werden Viertelpunktelemente aus isoparametrisehen Reehteek- [113] oder Viereekelementen [26] generiert, indem man die Mittelknoten entlang zweier Kanten versetzt, wie es die Bilder 5.6a und 5.6b zeigen. Die 1D-Betrachtung des vorigen Abschnitts kann man direkt auf die Kanten 1-5-2 und 18-4 anwenden, so dass hier die gewfinschten risstypischen Funktionen (5.14) und (5.15) vorliegen. Auf Radiusstrahlen im Element existiert dieser Verlauf nur in einem engen (grauen) Bereich [21]. Vorausgesetzt werden muss augerdem, dass alle Elementkanten Geraden sind. Da die Winkelabh~ngigkeit der Nahfeldl6sung mit diesen Risselementen

194


Bild 5.6: Knotendistordiertes isoparametrisches 8-Knoten-Viereckelement (a) und 6-KnotenDreieckelement (b)

(9 o~ Winkel) nur relativ schlecht nachzubilden ist, werden sie eher selten eingesetzt. Bessere Eigenschaften haben in dieser Hinsicht Viertelpunktelemente, die aus natiirlichen 6-Knoten-Dreieckelementen mit quadratischen Ansatzfunktionen erzeugt werden, siehe Bild 5.6 b. Erstens kann man viele derartige Elemente sektorfSrmig um die Rissspitze legen. Zweitens wurde nachgewiesen [96], dass die r-1/2-Singularit/it in allen Richtungen innerhalb des Elementes reproduziert wird. Somit kSnnen die knotendistordierten Dreieckelemente die Winkelverteilung um die Pdssspitze weitaus besser auflSsen, weshalb ihnen generell der Vorzug gebiihrt. Die der Pdssspitze gegeniiber liegende Kante 2-5-3 daft anch gekriimmt sein. c) K o l l a b i e r t e V i e r e c k e l e m e n t e Das wohl am h/iufigsten verwendete Rissspitzenelement ist das isoparametrische 8-Knotenelement, bei dem eine Seite (z. B. ~1 = - 1 ) zu einem Punkt kollabiert wird, so dass die Knoten 1, 4 und 8 identische Koordinaten erhalten wie in Bild 5.7 dargestellt. Dieses zum Dreieck degenerierte Viereckelement verfiigt nach BARSOUM [27] fiber einige spezielle Eigenschaften, die vorteilhaft in der LEBM und E P B M genutzt werden kSnnen. Eine Gruppe dieser Elemente wird fgcherfSrmig um die Rissspitze angeordnet, wobei die kollabierten Knoten alle an der Rissspitze (xl = 0, x2 = 0) liegen. Auf~erdem sehen wir durch den Parameter ~ noch eine variable Positionierung der Mittelknoten 5 und 7 vor. Dann lauten die Knotenkoordinaten nach Bild 5.7:

x~l~ = x~4~ = x~8~ = 0, x~ 2~ = ~~ x~ 1~ = %'~ = ~?~ = 0, ~ ?

= -~,

= ~?~ = L, x?~ = ~7~ = ~ L ~?~ = 0, ~?~ = H,

x?~ = - ~ M ,

x~7) = x H .

(5.16)


195

Bild 5.7: Kollabiertes und distordiertes isoparametrisches 8-Knoten-Viereckelement Mit Hilfe der Formfunktionen (4.66) dieses Viereckelements ergeben sich die Koordinaten

X l = ~L [(1 + ~1)2(1 - 2x) - (1 + ~1)(1 - 4x)] H x2 ---- -~-{2 [(1 + ~1)2(1

(5.17) -

-

2~)

-

(1 + ~1)(1

-

-

4~)]

und daraus der Abstand r zur Rissspitze

r= ~l+X

2 = 1 J L 2 + H 2 ~ 2 [(1 +{1)2(1 - 2~) - (1 + { 1 ) ( 1 - 4~)] . 2v

(5.18)

Fiir den Fall der Viertelpunktposition x = 1/4 gilt: L 2 xl = ~ ( 1 + ~1) ,

H x2 = ~ 2 ( 1

r = l (l + ~l)2~/L2 + H2~ 2

~1)2

+

(5.19)

v~

==>

(1 + ~1) = ! ~/L 2 + H2~2

2

Die Elemente der JACOBIschen Matrix berechnen sich aus (5.17) zu:

X l ~- L [(1 + ~1)(1 _ 2x) _ 1(1 _ 4x)] Jll _ O0~"' cox1 J21

--

- -

--

0

[

(5.20)

J12-- ~10X2--H~2 ( l + ~ l ) ( 1 - 2 x ) - 1 ( 1 - 4 x ) ~X2

J22 -- 0~--~

m

H

(1-4- ~1) [(1 + ~1)(1

-

-

2X)

---- ~-~2Jll -

-

(1

-

4x)]

rH -

-

v/L 2 + H2~ 2

196


Aus (5.20) ergibt sich bei x = 1/4 folgende Abh~gigkeit vom Radius: J l l = L(1 + r

~ x/7,

J21 = 0

J12 = H~2(1 + {1) ~ V~, J = det IJI =

JllJ2u

Juu = H ( 1 + {1) 2 ~ r

= -L~-(1 + {1) 3 ~

(5.21)

r 3/2 9

Daraus errechnet sich die Inverse der JACOBI-Matrix fiber

j-1

1 [J~2 =J

_1]

-J121 [~ JllJ ~

(5 2)

! '

woraus ersichtlich wird, dass allein durch die Vorgabe der Knotenpositionen in der Transformation (~ +-+ x) Singulaxit/iten vom Typ r - 1 / 2 und r -1 bzgl. des Radius zur Rissspitze entstehen. Der Verschiebungsansatz des Elements gehorcht unabh~ngig von der Knotendistorsion den isoparametrischen Formfunktionen (4.66). Zur Berechnung der Verzerrungen sind die Verschiebungsgradienten zu bilden: ou

= j-1

~o~

mit

J i-j 1

=

(5.23)

Oxi "

Hier steht u stellvertretend fiir jede Komponente des Verschiebungsvektors ui, z.B. ul. Die Ableitungen nach den natfirlichen Koordinaten ~j finder man mit etwas Rechenaufwand sortiert nach ~j-Potenzen: Ou

= N~s 0Na(~l, ~2) u(~) a=l

-- i1 §

+

§

-}- ~(1 -- ~2) [(~2 -- 2) u(1) -- (~2 -}- 2) ~t(2) -}- 4u (5)]

+ 1 ( 1 - ~2) [u(6' - u(S)] = a o + al(1 + ~1)

ffir ~2 = const.


197

OU__~(1_[_~1)2[U(3)_~_U(4)__2,tt(7)__U(1)__U(2)_[_2U(5)]

0~2

+ 88 + ~1) [(2~2 - 1)u (3) - (3 + 2~2)u (4) + (3 - 2~2)u (1)

(5.25)

+ (2~2 + 1)u (2) + 4u (7) + 4~2u (s) - 4u (5) - 4~2u (s)] 1

[(2~2 + 1)u (4) + ( 2 ~ 2 - 1)u O) - 4~2u(S)] *

--bo +b1(1 +~1) +b2(1 +~1) 2 ffir ~2 -- const. Zur besseren 0bersicht wttrden die Konstanten ai und bi eingefiihrt, so dass die Funktion von (1+~1) ~ x/~ sichtbar wird. Auf aaaloge Weise erh~ilt man die Ableitungen ffir u2 -~ u aus (5.24) und (5.25) m i t a n d e r e n K o n s t a n t e n :

Ou2

0~1 Ou2

0~2

--C0-~-Cl(I-~-~I )

(5.26)

-do-~-dl(l-~-~l)+d2(l-~-~l) 2

(5.27)

0 b e r die Beziehung (5.23) b e k o m m e n w i r m i t (5.22): gll

-

-

0Ul ~Xl-

-

y _ l O?-tl T--10Ul ~'11 0~ 1 -~- '12 0~2

a0+al(l+~l) x/7

boTb](l+~l)--t-b2(l+~l) 2 +

r

1 [OUl

Ou2"~

bo+do + fl r

~

+ f2

(5.28)

el

= --r + ~

c9u2 ._./Ou2 T-1 c3u2 do dl s= -- ~ -- ~/~l- ~ + J= ~ -- -; + ~ + d2 ~12 ---- ~ ~0X2 ~- 0X 1 ] --

bo

+e2

(5.29)

(5.30)

Mit den Gleichungen (5.28)-(5.30) ist die radiale Abh~ingigkeit der Verzerrungen im Element bestimmt. Die Konstanten ai - fi (i -- {0, 1, 2}) hs von den tatsgchlichen Knotenverschiebungen und dem zweiten Parameter ~2 ab, der auf einem Radiusstrahl konstant ist. Anhand von (5.25) erkennt man, dass der Ausdruck in der markierten Klammer []* ~- b0 = 0 verschwindet, falls die Knoten 1, 4 und 8 identische Verschiebungen besitzen, also kinematisch gekoppelt sind, woraus folgt: bo -- do -- 0

bei u~ 1) = ~4) = ~ s ) .

(5.31)

Damit entfallen in (5.28) - (5.30) die stark singuliiren Terme mit 1/r und das Rissspitzenelement verffigt fiber die erforderliche 1/x/7-Singulaxitgt der elastischen NahfeldlSsung plus einem konstanten Verzerrungsansatz, der ffir das Konvergenzverhalten und die Berficksichtigung thermischer Dehnungen unverzichtbar ist. Des Weiteren sind die Stetigkeitsanforderungen zu den benachbarten Viertelpunktelementen entlang der Kan-

198


ten 1-5-2 und 4-7-3 sowie zu den regul~iren Elementen des n~ichsten Ringes entlang 2-6-3 erf/illt. Auch die drei Freiheitsgrade der StarrkSrperbewegungen werden durch die Modifikation des Elementes nicht behindert.

d) D r e i d i m e n s i o n a l e V i e r t e l p u n k t e l e m e n t e Das Konzept der Viertelpunktelemente l ~ s t sich problemlos anf rfiumliche Rissprobleme erweitern, indem man die vorgestellten 2D-Elemente prismatisch entlang der Rissfront in die dritte Dimension ausdehnt. Somit entstehen knotendistordierte Hexaederelemente und Pentaederelemente, die so wie in Bild 5.8 dargestellt um jedes Segment der Rissfront gruppiert werden. Die Singularit/itseigenschaften gelten dann in jeder Elementebene senkrecht zur Rissfront (~3 : const.). Bild 5.9 a zeigt ein Pentaederelement mit 15 Knoten, das mit seiner Kante 1 13 4 anf der Rissfront liegt. Die Knoten 7, 9, lo und 12 werden in die Viertelposition verschoben, d.h. ihre Koordinaten x(i) : ix r 1(~), x 2(i) , x 3(~)1j berechnen sich zu: x (7) = (3x (1) + x(2))/4,

x(10 ) = (3x(4) + x(~))/4,

x (9) = (3x (1) + x(3))/4

x(12 ) = (3x(4) + x(6))/4.

(5.32)

Damit die gewiinschten Singularit/itseigenschaften in jeder Elementkante senkrecht zur Rissfront (~3 = const.) erfiillt sind, miissen noch folgende geometrische Bedingungen eingehalten werden: Die rissfernen Kanten miissen eine Gerade bilden:

x(8) = (x(~ + x(3~)/2,

x (11~ = (x ~ + x(6~)/2.

(5.33)

und die Mittelknoten der Aut~enfl~iche sind genau so zu platzieren, dass ihr Abstand zur Rissfront dem arithmetischen Mittelwert der Abst~inde auf den beiden Stirnfl/ichen entspricht, d.h. bei gegebener Position yon Knoten 13 folgt:

X (14) = [(X (2) --X(1))+ (X (5) --X(4)) § X (15) : [(X (3) --X(1))+ (X (6) --X(4)) +2X(13)]/2.

(5.34)

I m SpezialfaU einer geraden Rissfront x (13) -- (x (1) § x(4))/2 ergeben sich die ebenfl/ichigen prismatischen Pentaeder yon Bild 5.8. In Analogie zu den koUabierten Viereckelementen kSnnen isoparametrische Hexaederelemente zu Pentaederelementen degeneriert werden, wobei die koUabierte F1/iche mit der Rissfront zusammenf/illt, siehe Bild 5.9 b:

X(1) = X(4) = X(12),

X(17) = X(20),

X(5) = X(8) = X(16) "

(5"35)


199

Bild 5.8: Anordnung verschiedener 2D- und 3D-Viertelpunktelemente am Riss

Bild 5.9: 3D-Viertelpunktelemente an der Rissfront: a) Pentaederelement, b) kollabiertes Hexaederelement

200


Die Viertelpunktknoten liegen bei x (9) = (3x (1) ~ - x ( 2 ) ) / 4 ,

x(11)

= (3x (1) ~ - x ( 3 ) ) / 4

x (13) = (3x (5) + X(6))/4,

X(15)

= (3X (5) + x(7))/4

(5"36)

und die Knoten auf der rissfernen Fl~iche erhalten die Positionen X (10) -- (X (2) ~-X(3))/2, X(18) :

X (14) -- (X (6) ~-X(7))/2

[ (x(2) -- X(1)) ~- ( X ( 6 ) - X(5)) ~- 2X(17)]/2

(5"37)

X (19) -- [(X (3) -- X(1)) -[- (X (7) -- X(5)) -[- 2X(17)]/2 Zus~tzlich mfissen alle aufeinander fallenden Knoten dieser Elementfliiche kinematisch miteinander gekoppelt werden. U (1) -- U (4) -- U(12),

U (17) -- U(20),

U (5) -- U (8) -- U (16)

(5.38)

Detaillierte Ausfiihrungen zu dreidimensionalen Viertelpunktelementen findet man bei HUSSAIN u . a . [118], MANU [165] sowie BANKS-SILLS u . a . [22][23]. Besondere Beachtung ist der Modellierung gekriimmter Rissfronten zu schenken. Solange diese stiickweise geradlinig als Polygonzug approximiert werden und die Rissspitzenelemente ebene Fliichen behalten, treffen die diskutierten Eigenschaften ausnahmslos zu. Will man jedoch die Vorteile der quadratischen Elementans~tze nutzen, um krummlinige Rissfronten mit geometrisch angepassten, gebogenen 3D-Elementen nachzubilden, so sollten die aufgefiihrten geometrischen Restriktionen beachtet werden, um den Elementen die bestmSgliche Qualit~it zu verleihen. e) V i e r t e l p u n k t e l e m e n t e ffir P l a t t e n u n d S c h a l e n Auf Finite-Element-Modelle fiir diinnwandige KIRCHHOFFsche Platten l~sst sich die Viertelpunktmethode leider nicht anwenden, weil dann gem~it~ (5.3o) ffir die Durchbiegungsfunktion w(r, O) wiederum eine rl/2-Abhfi.ngigkeit entstfinde, jedoch nach (3.139) ein asymptotisches Verhalten r 3/2 benStigt wird, vgl. Abschnitt 3.2.9. Man muss sich deshalb mit regul~ren Plattenelementen begniigen und zur Auswertung die Verschiebungen (DIM) oder das Rissschliet~integral (MCCI) verwenden. Alternativ dazu kann die anspruchsvollere aber anfw~indigere REISSNERsche Theorie 6. Ordung [108] ffir schubverformbare dicke Platten und Schalen herangezogen werden. Dafiir existieren reguls dickwandige gekriimmte Schalenelemente (siehe z. B. [299]), die sich als Sonderfall dreidimensionaler 2o-Knoten-Elemente ableiten lassen, indem man sie geometrisch auf die Schalenmittelfl~che degeneriert, einen linearen Verschiebungsverlauf fiber die Dicke ansetzt und alle Verzerrungskomponenten senkrecht zur Fliiche vernachl~sigt. Das so gebildete 8-Knoten Schalenelement hat pro Knoten drei Verschiebungsund zwei Verdrehungsfreiheitsgrade. BARSOUM [25, 28] konnte wiederum zeigen, dass eine Viertelpunkt-Modifikation dieser Elemente die geforderte Rissasymptotik im Rahmen


2ox

der REISSNER-Theorie liefert, so dass sehr gute Genauigkeiten bei der Analyse von Rissen in dickwandigen Platten und Schalen erzielt wurden. Schlieglich sei noch auf die MSglichkeit hingewiesen, die Rissspitzenumgebung in Platten und Schalen vollstgndig mit 3D-Viertelpunktelementen in mehreren Lagen fiber die Dicke entlang der Pdssfront zu vernetzen und dies an die umliegenden Schalenelemente anzukoppeln, was durch Substrukturtechnik oder als SubmodeU erfolgen kann [7,301]. Der Aufwand bzgl. Diskretisierung und Rechenzeit ist hierbei jedoch am hSchsten.

5.2.3

Berechnung der I n t e n s i t ~ i t s f a k t o r e n aus Viertelpunktelementen

a) A u s w e r t e f o r m e l n ffir ebene Viertelpunktelemente Fiir zweidimensionale Rissprobleme existiert eine einfa~he Formel zur Berechnung der Spannungsintensitgtsfaktoren aus den Ergebnissen der Viertelpunktelemente. Dazu werden die Verschiebungen auf den Rissufern ausgewertet, siehe Bild 5.1o- Gleich welcher Typ von Viertelpunktelementen verwendet wurde, gilt auf diesen Kanten der Verschiebungsverlauf nach (5.14), wobei wir die allgemeinen Bezeichnungen ffir den Knoten an der Rissspitze A ( r = 0), die Viertelpunktknoten B ( r = n / 4 , 0 = ~r) und B ' ( r = L / 4 , 0 = -Tr) sowie die Eckknoten C ( r = L, 0 = ~r) u n d C ' ( r = L / 4 , 0 = -~r) einfiihren. Ein Vergleich des Terms mit v ~ aus (5.14) und der NahfeldlSsung f/ir Modus I (5.3) auf dem oberen Rissufer C - B - A ergibt: 4K/-r--'iV~-~r

[

]

E'

2 / ~K [4~2(~ = L/4) - ~2(~ = L) - 3 ~ ( , = 0)] K~ = -i-V-

(5.39)

= ~-V-Z-

Bei reinen Modus II bzw. III-Beanspruchungen verhalten sich die Verschiebungen auf den Rissufern ebenfalls antimetrisch und man gewinnt durch ghnliche Uberlegungen die entsprechenden K-Faktoren:

Kii= ~-V-F

K m - 4(1 +

[4 f-

- 3~]

(5.41/

Im allgemeinen Fall einer Mixed-Mode-Beanspruchung des Risses mfissen gem~g (5.8) die Relativverschiebungen der Rissufer zueinander ausgewertet werden. Die Intensit~tsfaktoren KI, KIT und K m hgngen jeweils nur mit den Verschiebungsrichtungen u2, ul

202


und ua zusammen, so dass sich die folgenden entkoppelten Gleichungen ergeben: KI = ~-

[4U2 ( n / 4 , ~) - u2 (L,

w)] - [4u2 (L/4, - ~ ) - u2 (n, - r ) ] } (5.42)

E'V~ = -8-

{ (4u2B --4u2B , ) -- (u2C --U2C') } = --8-V E' 2/-~-[4AuB -L'[ 2 _ Au2C}

E' 2/~-(4Au B AulC } KII = -~- V -L- ~. 1 KIII

--

(5.43)

8(1 y-------~ + V

Zur Abkfirzung der Schreibweise wurde der Verschiebungssprung fiber die Rissufer am 0 r t eines Knotenpaares (z. B. BB') wie folgt bezeichnet Au/B = uB -- uiB' 9

(5.44)

Entsprechend erh~lt man ffir orthotropes Material mit (5.9) die Bestimmungsgleichung ffir die Spannungsintensits

(5.45)

Bild 5.1o: Verschiebungsauswertung bei 2DViertelpunktelementen

Bild 5.11: Verschiebungsauswertung fiir r~umliche Viertelpunktelemente auf der Rissfliiche


203

b) A u s w e r t e f o r m e l n fiir r~iumliche V i e r t e l p u n k t e l e m e n t e Auch bei r~umlichen Viertelpunktelementen werden die Knotenverschiebungen bevorzugt auf den Rissfl~ichen ausgewertet, weil sich hier (fiir Isotropie) die Rissmodi entkoppeln. Dabei liegen immer knotendistordierte 8-Knoten-Elementfliichen auf dem Riss (Bild 5.11), egal ob man Hexaeder- oder Pentaederelemente einsetzt. Bezeichnet man diese Knoten wieder mit Buchstaben A - H und ihre Partner auf dem gegeniiber liegenden Rissufer mit A' - H', so erh~ilt man folgende Auswerteformeln fiir die K-Faktoren [125][165]: Symmetrie/Antimetrie Wenn der Riss anf einer Symmetrieebene der betrachteten Struktur liegt, so kann das FEM-ModeU auf die Hiilfte reduziert werden. Bei symmetrischer Belastung entsteht nur Modus I am Riss und auf dem Ligament verschwinden die Normalverschiebungen us - 0, auch in den Rissuferknoten A, H, G. K I ( ~ 3 ) = - ~E-IV ~ 2f~f2uB - 7 1 s - u 2 C + 2 u 2 ~ _ uF +u2D +~a(--4UB2 +UC2 +4U~ + ~1.~2, 3 ( U sF + U~

-

uF)+

2uY)}

(5.46) Eine antimetrische Belastung fiihrt zu Rissbeanspruchungen Modus II und/oder III, die i. Allg. miteinander gekoppelt sind. Dann sind auf dem Ligament die Tangentialverschiebungen Ul - u3 - 0 zu setzen und auch die entsprechenden Verschiebungskomponenten der Rissffontknoten A, H, G sind null. Aus (5.46) erh~ilt man entsprechende Bestimmungsgleichungen fiir KII(~3) und KIII(~3), wenn man anstelle von us die zugeordneten Verschiebungskomponenten Ul bzw. u3 auswertet. Die Spannungsintensit~itsfaktoren besitzen so wie die Verschiebungsans~itze einen quadratischen Verlauf entlang der Rissfront (~3-Koordinate) und sind stetig beim 0bergang von einem Risselement zum niichsten.

Allgemeiner

Fall

Bei beliebiger Geometrie und Belastung des 3D-Risses erhiilt man alle drei Intensitiitsfaktoren aus den Verschiebungsdifferenzen gegeniiberliegender Knoten auf den Pdssufern gemiig (5.44), wozu natiirlich die Risselemente spiegelsymmetrisch angeordnet sein milssen (siehe Bild 5.11).

E'

KI(~3) = -8-V -L--7r

2 - Au2C q- 2,'~uf -- ,'~u~ q- Au D q+ ~ 3 ( - - 4 A u B + Au C + 4Au2E - Au F) +

1 s

2au2)}

(5.47)

204


E' ~ffI KII(~3) • -~-

{ 2AuB -- Au~ + 2AuE-- AuF + AuD + 1 B + ~ 3 ( - 4 A u 1 + A u ~ + 4AUlE - A u ~ ) +

+

+

_

(5.48)

}

glII(~3) -- 8(1 -t- y) + lf3(-4Au~ + Auf + 4Auf

-

Auf) +

(5.49)

l"~'a ~ a ~ - 2a~y)}

+ ~r

u3 +

Die in die obigen Gleichungen einzusetzende ElementgrSt~e L ~ muss genauer erkl~irt werden, vgl. Bild 5.12. Fiir rechteckige Elementfl~ichen ACFG entspricht L ~ genau den Kantenl~ngen L = AC = GF. Bei gekriimmten Viertelpunktelementen mit unterschiedlichen Kanten L1 = AC ~ L2 = GF, die iiberdies noch schiefe Winkel zur Rissfront bilden, die um ~q und ~'2 v o n d e r Normalen abweichen, ist die interpolierte senkrechte L~inge anzusetzen [165] L 1(~3) -

~3 2- 1 L1 cos "Yl q- ~~3 q- 1 L 2 cos~2.

(5.50)

5.3 Hybride Rissspitzenelemente

2o5

Bild 5.12: Ermittlung der lokalen Elementbreite L' bei krummlinigen Risselementen

5.3

Hybride

Rissspitzenelemente

5.3.1

Entwicklung h y b r i d e r Rissspitzenelemente

Ein besonders niitzliches Anwendungsfeld der in Abschnitt 4.2.3 vorgestellten hybriden Elementformulierungen bietet sich bei der Konstruktion spezieUer Rissspitzenelemente. Die Vorgehensweise ist schematisch in Bild 5.13 dargestellt. Die Hybridtechnik erm6glicht es, die bekannten analytischen Rissl6sungen im Inneren des Elementes mit noch freien Parametern anzusetzen und gleichzeitig solche Randverschiebungsfunktionen zu w~hlen, die mit denjenigen der normalen (z. B. isoparametrischen) Nachbarelemente kompatibel sind. Somit kann man die singul~en asymptotischen Nahfeldl6sungen fiir die Rissspitzenumgebung vollst~ndig in ein Sonderelement >>einbettenSuperelement>Dynamik bewegter Risse>dynamisch beanspruchter Riss>Einheitslasten (( F (0 fiber alle l -- 1,2,... ,nL Knoten mit i ---- 1,2 K o m p o n e n ten fiihrt m a n a m besten simultan mit 2 nL rechten Seiten aus. Die daraus ermittelten K ~ ) - F a k t o r e n (L -- I, II) entsprechen bereits den bruchmechanischen Gewichtsfunktionen (3.147) ffir den K n o t e n l mit der K r a f t k o m p o n e n t e i:

U m die ermittelten und gespeicherten Gewichtsfunktionen ffir einen spezifischen Belastungsfall dieser Risskonfiguration anzuwenden, muss m a n die gegebenen Randlasten ~, Rissuferlasten ~c oder Volumenlasten b in ~kluivalente Knotenkr~fte umrechnen. Daffir werden die FEM-Beziehungen (4.51) und (4-76) bcnutzt, was z. B. fiir eine Elcmcntkantc

238


s auf dem Lastrand

St~ ergibt:

+1

f, & f, = / NT(~) t(~)

JLd~

(5.108)

--1

Diese Knotenkrs werden ffir alle belasteten Elementrs integriert und assembliert, woraus gerade die iiquivalenten globalen Knotenkr~fte ~(0 = [.Je=l nE fe folgen. Setzt man ihre Werte in (5.1o7) ein, so ergeben sich die beiden Spannungsintensits KI und KII aus der gewichteten Summe n L

2

KL(a) ----E E H'L/~(0.

(5.1o9)

/=1 i=1

Die Anwendung der Gewichtsfunktionen erfordert lediglich die Auswertung der einfachen Beziehungen (5.1o8) und (5.1o9), aber keine FEM-Rechnung mehr. Bei sehr feinem FEM-Netz darf t ~ const, entlang der Elementkante L angenommen werden, so dass (5.1o8) zum vereinfachten Schema fiihrt, wonach sich die resultierende Kraft F a -- L t anf die Kantenknoten wie [89 89 bei linearen and [1 2 I] bei quadratischen Formfunktionen anfteilt. Allerdings sind diese Gewichtsfunktionen immer an die Geometrie des verwendeten FEM-Netzes gebunden! Fiir den Zylinder mit Innenradius ri = 40ram, Wandst~rke w = 30mm, Rissl~inge a -- 20 mm unter Innendruck p -- 100 MPa betNigt der Spannungsintensit~itsfaktor lant Handbuch [176] [8]: K~ e~ = 67,27 M P a v ~ . Die Anwendung der Einheitslast-Methode mit dem FEM-Netz von Bild 5-35 und anschlie$ender Aufsummation der Gewichtsfunktionen mit der Druckbelastung auf ri ergab den Wert KI -- 67,01 MPax/~.

5.7.a

Bestimmung parametrisierter Einflussfunktionen

Eine sehr niitzliche und verbreitete Methode sind die so genannten Einflussfunktionen (engl. influence functions). Im Unterschied zu den Gewichtsfunktionen fiir Einheitslasten quantifizieren sie den Einfluss einer paxametrisierten Verteilung der Randspannungsbelastung auf den Ki-Faktor. Da man mit dem Superpositionsprinzip (Abschnitt 3 . 2 . 1 0 ) jede Belastung der Risskonfiguration anf eine gleichwertige Rissuferbelastung to(x) umrechnen kann, werden diese Einflussfunktionen bevorzugt fiir die Rissufer entwickelt. Als idealisierte Belastungen verwendet man h~ufig Potenzanss der Ordnung m:

r

) =~rm(~ ) =,~m

( m = 0 , 1 , 2 , . . . ,nm)

(5.11o)

Bild 5.36 zeigt die Verh~ltnisse f'fir den Wandquerschnitt des Beispiels >>Zylinder mit Innenriss>Zylinder unter Innendruck>materiellen>materiellen Kraftquellen>Pdssspitze(( in der Ebene angewandt, die hierbei um 51k virtuell verriickt wird. Das betrachtete Gebiet V ziehen wir auf die Rissspitze r --~ 0 zusammen, womit aus S die in Bild 6.2 gezeigte Kreiskontur F~ wird. Die Anwendung von (6.7) ergibt:

Pk -- Jk ----limo / Qkjnj ds, F~

P1 -- J -- G.

(6.11)

Ein Vergleich des Pk-Integrals (6.11) mit dem J-Integral (3.1oo) l~sst erkennen, dass die xl-Komponente von Pk genau mit J identisch ist. Das verwundert nicht, denn (ill = da bezeichnet genau die selbst~i~nliche Rissausbreitung und ergibt die Energiefreisetzungsrate G. Analog beschreibt die J2-Komponente eine parallele Verriickung des Risses in x2-Richtung und J3 eine Translation in x3 (die selbstverst~ndlich beim ebenen Problem nichts ~ndert und verschwindet). Damit haben wir eine veraUgemeinerte vektorielle Form Jk des J-Integrals gefunden. Im Rahmen der LEBM (Kapitel 3.2) herrscht an der Rissspitze das K - F a k t o r kontrollierte Nahfeld. Die Integrale (6.11) kSnnen entlang infinitesimaler Kreiskonturen r -const mit den NahfeldlSsungen ausgewertet werden, Bild 6.2.

6.2 Erweiterung auf allgemeinere Belastungen

6.2

Erweiterung auf allgemeinere Belastungen

6.2.x

Voraussetzungen der Wegunabh~ingigkeit

257

Um die Wegunabh~i~gigkeit von Jk ffir ebene RJssprobleme zu diskutieren, konstruieren wir uns einen geschlossenen Integrationsweg C = F - F~ + F + + F - , der die Rissspitze umgeht und den homogenen, defektfreien Materialbereich A einschlie~t (Bild 6.2). Da im Gebiet A keine materiellen Kraftquellen (6.9) wirken, mfissen nach (6.1o) das Gebietsintegral fiber A und das Konturintegral fiber C null sein. Von dieser Identit/it bringen wir den Anteil entlang Fr auf die linke Seite:

Jk = limr--.0yfQkjnjds=fQkjn~ds+limr--.0 F~

F

f

0 lim Qkjnj ds - ~-~o

"~

(6"13)

F+ + F-

Hieraus erkennt man, dass die Berechnung des Jk-Integrals auf jedem beliebigen Weg F genau dann die gleichen Werte liefert, wenn der 2. Term fiber die Rissufer null w~re:

If

lim r--~0

j

F++F-

(Unk -- (:rijnj Ui,k) ds I" O.

(6.14)

t~

Hierffir muss als erstes gefordert werden, dass keine Randspannungen ti = ti auf den Rissufern F + und F - wirken:

t~ = o.

(6.15)

Unterstellt man gerade Rissflanken senkrecht zur x2-Achse, darm gilt nk = ~52~ auf F + und F - , womit sich der erste Term von (6.14) auf (V- - V+)52k reduziert. Mit (6.13) folgt:

Jk=

f F

r~olimJf (U--U+)52kds.

(6.16)

1"+

Demzufolge ist nur die Komponente k = 1 des Jk-Integralvektors unabh~ngig vom Integrationsweg F! Bei der Komponente k = 2 muss die Differenz der Form~inderungsenergiedichten auf den Rissufern berficksichtigt werden, die nur im Fall reiner Symmetrie oder Antimetrie (Modus I bzw. II) verschwindet. Erschwerend kommt hinzu, dass beim Grenzfibergang r --* 0 die Energiedichte U meistens singul/ir wird. Bei gekrfimmten Rissflanken ist in (6.14) der Term Unk ds immer vorhanden und erzeugt eine Wegabh~gigkeit.

6.2.2

Rissufer-, V o l u m e n - u n d thermische Lasten

Bei vielen praktischen Berechnungsaufgaben spielen Randlasten auf den Rissufern (z. B. Innendruck) oder Volumenlasten (z. B. Schwerkraft) eine nicht zu vernachl/issigende Rolle, Bild 6.3. Des Weiteren mSchte man die Leistungsffi~higkeit des Jk-Integrals auch gern

258

6 Numerische Berechnung verallgemeinerter Energiebilanzintegrale

zur Analyse von Rissen einsetzen, die durch inhomogene Temperaturfelder (z. B. Thermoschock) belastet sind. Augerdem w ~ e es ffir die Berechnung des Jk-Integrals anhand von FEM-L6sungen recht hilfreich, wenn die Integration entlang eines frei w~hlbaren Weges F in einem gr6geren Abstand v o n d e r Rissspitze ausgefiihrt werden kSnnte, weil dort die numerischen L6sungsfehler geringer sind. Aus diesen Grfinden soll nach notwendigen Erweiterungen des Jk-Integrals gesucht werden. Zu diesem Zweck wiederholen wir die Divergenzanalyse v o n Qkj des vorigen Abschnitts nach (6.13), lassen dabei aber alle gemachten Einschr~nkungen fallen. Ffir ein elastisches Material mit thermischen Dehnungen Qtj (siehe Anhang A.4.1 ) gilt gem~t~ (A.85) ffir ein gegebenes Temperaturfeld T(x): ~j(T(x)

(6.17)

) = oL~j(T(x) -- To) = o L ~ j A T ( x ) .

Das HOOKEsche Gesetz lautet ausgedrfickt mit den thermischen Spannungskoeffizienten

a i j = Cijkl (ekZ -- etkl) = C i j k l e k l -- ~ i j A T ( x )

(6.18)

.

Im isotropen Fall gilt (A.91) mit f~j ---- (3A § 2#)c~tS~j. Die elastische Form~nderungsenergie wird allein aus den elastischen Verzerrungen gebildet U ~ ( e ~) = -~QjCijkzekl ,

V ~ ( e ~) = #Q~Q~ + -~ (e~k) 2

(isotrop),

(6.19)

so dass O U e / O e ~ n = a~,~ ergibt. Die Divergenz des Energie-Impuls-Tensors berechnet sich mit der Kettenregel OQk~ _ OU ~ Oe~,~ 5 OXj OE~nn OXj 3k -- (Tij,jUi,k =

+

-

-

ffijUi,kj

(6.20)

-

Uber die Gleichgewichtsbedingungen a i j , j + bi = 0 kommen die Volumenkr~ifte ins Spiel. Um den 4. Term ~ (TijCij,k mit dem 1. Term kompensieren zu kSnnen, wird eine Nullerso dass mit g~izlzung mit den thermischen Verzerrungen eingeffihrt (em~ + et, ~ -- r (6.17) folgt: Qkj,j = --a,~,~E~,~,k + b~u~,k = - - a m n a mtn T , k + biui,k : Pk .

(6.2~)

Dieser >>Quellterm>Konfigurationskraft>J-Kontur>J-Rissufer>JGesamt~Soeinfach wie m6glich, so kompliziert wie n6tig! >bruchmechanische Intensit~tsparameterVater-Element(< entstehen dabei zwei oder vier >>Kinder-Elemente>Vater-Elemente(< auf die neu generierten >>Kinder-Elemente 0 beschrgnkt, da anderenfalls ein Kontakt der Rissufer anftritt, der Reaktionskr~ifte zur Folge hat. Im Fall von Druckbelastungen miissen Annahmen ffir die Reibung zwischen beiden Grenzfl/ichen getroffen werden.

Bild 8.14: Finite Elemente Realisierung des Koh~ivzonenmodells

Im Weiteren wird eine Methode zur Erweiterung der Koh~isivgesetze anf lokale MixedMode-Verh~iltnisse vorgesteUt, die auf ORTIZ & PANDOLFI [195] zuriickgeht. Es wird eine effektive Separation r5 eingefiihrt, wobei der Faktor 0 s ~/ < 1 das Verh~iltnis zwischen Schubsteifigkeit und Dehnsteifigkeit des Koh~sivgesetzes charakterisiert.

Jedes Koh/isivgesetz kann ans dem zugeh5rigen Potential der inneren Energie r leitet werden. Ffir das Exponentialgesetz (8.6) erh~Llt man die Funktion

r

/

a(5) d S = G e

woraus sich a = 0 r

E (') 1-

1+~00

exp

( o)1 5

herge-

(8.13)

ergibt. Mit (8.12) und der Kettenregel findet man die beiden

326

8 Numerische Simulation des Risswachstums

Koh~ivgesetze

0r

0r

06

t

6"

0r

und

0r

06 _ tn26t ' 6

(8.14)

wobei aus (8.12) und (8.14) folgt: t = ~/a 2 + ~/__~-21

(8.15)

Das ModeU l ~ s t sich auch auf den 3D-Fall verallgemeinern, wenn man die beiden (bei Isotropie) gleichberechtigten Scherseparationen in der Grenzfliiche vektoriell addiert und die Beziehung (8.14) als Kohiisivgesetz in dieser T-Richtung versteht: 8T

= 6tet -{- 6ses'

6T

~

TT

= Ttet -~- Tses,

TT

~

~ TT =

T]26T 9

(8.16)

Abschliegend soll noch auf die Unterschiede bei Be- und Entlastung in den Kohiisivgesetzen im Bild 8.z 5 hingewiesen werden. Bis zum Erreichen der Koh~sionsfestigkeit ar wird i. Allg. angenommen, dass die Entlastung auf derselben Kurve zum Ursprung zuriick verliiuft. Nach ~)berschreiten des Maximums ist das nicht mehr m6glich. Vom bisher erreichten Kurvenpunkt A (Crmax , 6max) au8 erfolgt eine Entlastung und eine Wiederbelastung, ab der das Koh~ivgesetz fortgesetzt wird. Somit hat 6m~x die Funktion einer inneren Variablen. Die Entlastung verliiuft entweder parallel zum Anstieg Co im Ursprung, wenn das Kohiisivgesetz plastische Verformungen beschreibt, oder sie geht linear in den Ursprung zuriick, wenn das Versagen elastischer Natur ist und lediglich die Steifigkeit abnimmt. Belastung: Entlastung:

6 -- 6max 6 < 5max

- elastisch:

t = Co 6 ,

und oder

6> 0 (~ < 0 0t(0)

-

plastisch:

Co -

06

02r176 -

062

(8.17)

tm~ 6 t -- 6m~x

Ausfiihrlichere Darstellungen der Koh~sivgesetze findet man in [43, 44]. 8.5.2

Numerische

Umsetzung

Das FEM-Modell besteht aus sch~kiigungsfreien Kontinuumselementen mit einem beliebigen Materialgesetz und Grenzfliichen-Elementen, in denen die Materialseparation mit dem Koh~ivzonenmodell erfolgt, siehe Bild 8.14. Diese Grenzfliichen- bzw. K o h S s i v E l e m e n t e 5ffnen sich g e m ~ dem Separationsgesetz und verlieren ihre Steifigkeit, wenn die Normal- bzw. Tangentialseparationen ihre kritischen Werte 6nc bzw. 6tc erreichen. Dann sind die urspriinglich miteinander in Kontakt stehenden Kontinuumselemente getrennt, d.h. das Material hat an dieser Stelle versagt. Der Riss kann nur innerhalb der

8.5 Koh~isivzonenmodelle

327

Bild 8.15: Koh~isivgesetze ffir die Separation in a) Normalen- b) und Tangentialrichtung Koh~iv-Elemente verlaufen. Wenn der Risspfad nicht yon vornherein bekannt ist, muss das FEM-Netz verschiedene Pfade vorsehen und im Extremfall sogar Koh~isiv-Elemente zwischen allen Kontinuumselementen bereithalten. Koh~siv-Elemente stellen die mechanische Wechselwirkung zwischen zwei Grenzfl~chen her und benStigen daffir keine Ausdehnung in senkrechter Richtung (en-Koordinate). Sie verbinden paarweise gegenfiberliegende Knoten auf den Fl~chen der angrenzenden Kontinuumselemente. Bild 8.16 zeigt typische linien- und ft~ichenfSrmige Koh~isiv-Elemente, wie sie bei zwei- und dreidimensionalen Rissproblemen verwendet werden. Im undeformierten Zustand liegen die Knotenpaare aufeinander. Die Separation der koh~iven Grenzfl~ichen wird aus dem Verschiebungssprung 6 = [ul = u + - u - = [6n 6t 6s] W berechnet. Die Versehiebungen auf den Grenzfl~ichen der Koh~iv-Elemente und damit auch ihre Differenz [[u] werden mit denselben Formfunktionen wie bei den Kontinuumselementen angesetzt, siehe Abschnitt 4.3.1. Die Koh~isivElemente in Bild 8.16 besitzen z.B. lineare AnsEtze, nur Eckknoten und zwei Integrationspunkte je Koordinate. Analog zu Gleichung (4.40) werden die Separationen ~u~ durch ihre Knotenvariablen ~v~ interpoliert: nK

[[u(x)~ = ~

Na(~)[[u(a)]] = N[[v]]

(8.18)

a=l

Das Materialverhalten wird in allen Integrationspunkten der Koh~iv-Elemente bei jedem Lastinkrement bereehnet, d.h. die Koh~isivspannungen t([[u]) = [an Tt %] W zwisehen den Grenzfl~ichen ergeben sich aus den Separationen ~ul fiber das Koh~isivgesetz. Zur Ableitung der Steifigkeitsbeziehung wird das Prinzip der virtuellen Arbeit benutzt. Die innere Arbeit eines Koh~siv-Elementes betr~gt:

6Wi (~) = / 6[[u~ . t dS

(8.19)

sr Da es sich um eine nichtlineare Analyse handelt, ist eine Linearisierung des Inkrementes

328

8 Numerische Simulation des l~isswachstums

bei der aktueUen Belastung notwendig: 6z

Ot . A[[u~ d S

wi (o) =

(8.20)

S~ Ersetzt man mit (8.z8) die Separation und ihre Variationen 6~u]] durch die Knotenvariablen [[v]], so folgt die Matrizengleichung:

(~AWi(e)= (~[v]T/ N T 0 -0~- - ~ N d S

A~v~

(s.21) = 6~v] T

K(~u~)

A~v~

K ist die gesuchte Steifigkeitsmatrix des Koh~iv-Elementes, die yon der aktueUen Materialtangente Ot/O[[u~ des Separationsgesetzes abh~ingt. Die numerische Integration fiber die Grenzfl~che Se wird nach FEM-Standardprozedur (Abschnitt 4.4.3) durchgeffihrt.

Bild 8.16: Koh/isiv-Elemente f/ir Grenzfls

in ebenen und r/iumlichen Strukturmodellen

Im Falle groger Verformungen und StaxrkSrperdrehungen der Koh~siv-Elemente ist es notwendig, die Separationen in einem mitbewegten LAGRANGEschen Koordinatensystem (en, et) zu bestimmen, siehe Bild 8.16. Wcnn x (a) die Koordinaten eines Doppelknotens a i m Ausgangszustand bezeichnen, so berechnen sich die verformten Positionen aus den Verschiebungen der oberen u + (x (~ und unteren u - ( x (~ Grenzfl/iche des Koh~sivElementes. Die Koordinaten eines gemittelten Bezugspunktes ~(~ betragen somit ~(o) = x (o) +

1 (u§

u-(x(o))),

(s.2=)

woraus man das Bezugssystem (Strichlinie in Bild 8.16) des Elementes ermittelt. In senkrechter und tangentialer Richtung en bzw. et bestimmt man wie dargestellt die Separationen 6n und (it.

8.6 Sch~idigungsmechanischeModelle

329

Aufgrund ihrer vielseitigen GestaltungsmSglichkeitenwerden Koh~isivzonenmodelle augerdem ffir die Simulation der Rissausbreitung bei Ermfidung, bei dynamischen Bruchvorg~x~genund bei viskoplastischem Materialverhalten eingesetzt, sowie auf Grenzfl~chenrisse, Delaminationen und Schweigverbindungen angewandt. Beispiele und weiterfiihrende Literatur sind den Ubersichtsartikeln [43, 44] zu entnehmen.

8.6

Schfidigungsmechanische

Modelle

An dieser Stelle mfissen sch~digungsmechanische Modelle erw~hnt werden, weil sie in den letzten zwei Jahrzehnten sehr intensiv und erfolgreich ffir die Simulation der duktilen Rissausbreitung in metallischen Werkstoffen eingesetzt wurden. Wie bereits in Kapitel 2 erl~iutert, beruht das duktile Versagen anf mikromechanischen Sch/~tigungsprozessen im Werkstoff. Am Anfang der Beanspruchung entstehen Mikroporen, die sich bei nachfolgender plastischer Verformung vergrSgern und schliei~lich zusammenwachsen, womit das Material lokal auf der Mikroebene versagt. Zur kontinuumsmechanischen Beschreibung dieser Vorg~nge wurden so genannte schSdigungsmechanische Modelle (engl. damage mechanics models) entwickelt. Die Formulierung der Materialgesetze geschieht ~ihnlichwie in der Plastizit~tstheorie mit ph~nomenologischen Ans~tzen und thermodynamischen Prinzipien. Einige Modelle orientieren sich an den konkreten mikromechanischen Prozessen und versuchen, diese in homogenisierter Form abzubilden. Zur Quantifizierung der Materialsch~digung werden interne Zustandsvariablen - Schiidigungsvariablen - in die Materialgesetze eingeffihrt. Die Ver~nderung der Sch~digung als Folge der lokalen Beanspruchung im Werkstoff wie Spannungen oder plastische Verzerrungen wird fiber ein Evolutionsgesetz ausgedr/ickt, das die Entwicklung der Sch~digungsvariablen beschreibt. Duktile Sch~digungsmodelle gestatten es somit, neben der plastischen Verformung und Verfestigung zugleich die Zerriittung und Entfestigung des Werkstoffs in konstitutiven Gesetzen nachzubilden. Der wesentliche Vorteil gegeniiber klassischen oder bruchmechanischen Festigkeitshypothesen besteht darin, dass die Sch/~digungsmechanik das Verformungs- und Versagensverhalten auf lokaler Ebene verkniipft, d.h. ein Kriterium liefert, welches von der Beanspruchung und ihrer Vorgeschichte abh~ngt. Lokales Versagen wird dann postuliert, wenn die Sch~idigungsvariable einen kritischen Wert erreicht. Sch~digungsmechanische ModeUe eignen sich deshalb hervorragend, um das duktile Versagen in der Prozesszone an der Spitze eines Makrorisses zu simulieren, weil damit u.a. die lokale Beanspruchung (z. B. Mehrachsigkeit h) berficksichtigt werden kann. Der Preis dafiir ist eine komplizierte Struktur der Materialgesetze, eine erh6hte Anzahl von Parametern und eine Empfindlichkeit gegeniiber numerischen Instabilit~iten. Die bekanntesten duktilen Sch~idigungsmodelle stammen von ROUSSELIER [230] und GURSON [103]. Hier soll exemplarisch das GTN-Modell vorgestellt und angewandt werden, welches eine Weiterentwicklung der Arbeit von GURSON durch TVERGAARD ~ NEEDLEMAN [277] darstellt. Es wird ein elastisch-plastisches Kontinuum modelliert, in dem kugelfSrmige Hohlr~iume (Mikroporen) entstehen und wachsen kSnnen. Der Porenvolumenanteil f wird als Ma/~ ffir die Werkstoffsch~idigung angesehen und als Sch~digungsvariable benutzt (bzw. die modifizierte GrSs f*). Bild 8.17 zeigt die zugrunde liegende Modellvorstellung eines

330


Bild 8.17: Repr~isentatives Volumenelement und Flies

des GuRsoN-Modells

repr~entativen Volumenelementes, dessen Eigenschaften bei einem gegebenen makroskopischen Spannungszustand aij festzulegen sind. Das duktile Matrixmaterial verformt sich nach den Gesetzen d e r v . MISES-Plastizit~it. aM = R(E~) beschreibt die Fliegspannung des Matrixmaterieds bei isotroper Verfestigung als Funktion der plastischen Vergleichsdehnung e p . Das Kernstfick dieses Modells ist die Fliefgbedingung =

rLaMJ~l -+-2qlf* COSh r3[~q2y~j --

-

(1 + q ~ f

.2 )

= o

(8.~3)

mit der v. MISES Vergleichsspannung av = ~ / ~ a ~ a ~ und der hydrostatischen Spanhung ffH __ f f k k / 3 , ausgedrfickt durch den makroskopischen Spannungstensor ffij. Die Flieggrenzfl~che hat im Hauptspannungsraum die in Bild 8.17 gezeigte ellipsoid~ihnliche Form. Ohne SchBdigung (f* ---- 0) entspricht (8.23) dem v. MISES-Zylinder. Mit wachsender Sch~digung schrumpft die Grenzfl~che, so dass die ertragbare Spannung des Materials abnimmt, qi, q2, q3 sind Parameter, mit denen die einzelnen Terme der Fliegbedingung (8.23) gewichtet werden kSnnen. Die modifizierte Sch~digungsvariable f* in Gleichung (8.23) ist eine Funktion des Porenvolumenanteils f:

s*=

s

sT-so.

fiir f < f~

A+~(.t-A)

fiir f~ < f < fy

s7

fiir/_> h

(8.24)

In Gleichung (8.24) bezeichnet fc den kritischen Porenvolumenanteil, ab dem eine beschleunigte Materialsch~idigung infolge der Koaleszenz von Poren einsetzt und als bilineare Kurve modelliert wird. f j bzw. f~ = l/q1 sind der kritische Porenvolumenanteil, bei dem lokales Versagen des Werkstoffs angenommen wird.

8.7 Beispiele ffir Ermfidungsrisswachstum

33x

Die makroskopische plastische Dehnrate r"P liegt normal zur Fliegflgche, wobei A den plastischen Multiplikator bezeichnet 9

0~

"P = A ocqj 9 %4

(8.=5)

Die Evolutionsgleichung fiir die plastische Vergleichsdehnrate des Matrixmaterials ~P wird durch die tkquivalenz zwischen den plastischen makroskopischen und mikroskopischen Formgnderungsarbeiten im geschgdigten Volumenelement hergeleitet: (1 - f)o" M g~vl ---- (riJ ~p "'

g ~ -_ epM 0 ~- J

( 1~i~ = ~4'j M"

(8.26)

Die _~nderung des Porenvolumenanteils setzt sich additiv aus zwei Termen zusammen

/ ---- /grow -~- Lucl,

(8"=7)

wobei ]grow die Vergr5i~erung durch Porenwachstum und ]nucl den Zuwachs aufgrund einer Neubildung yon Poren beschreibt. Der Wachstumsterm basiert auf dem Gesetz der Massenerhaltung im reprgsentativen Volumenelement fgrow = (1 - f ) ~kk" p

(8.=8)

Fiir die Porenneubildung wird ein statistischer, dehnungskontrollierter Prozess angenommen, der einer GAcssschen Normalverteilung mit dem Mittelwert gN und der Standardabweichung s g gehorcht:

9

fnucl =

A i p,

A-

s/-~r

I

exp _ 1 \

8N

2/ J"

(8"=9)

Die Entstehung neuer Poren ist proportional zur plastischen Vergleichsdehnung ~ der Matrix und der insgesamt zur Verfiigung stehenden Keimdichte f N 9 8.7

B e i s p i e l e fiir E r m i i d u n g s r i s s w a c h s t u m

8.7.1

Querkraftbiegeprobe

in

Als Beispiel fiir Ermiidungsrisswachstum unter Mixed-Mode-Beanspruchung wird die in Bild 8.18 dargestellte Querkraftbiegeprobe mit Bohrung gewghlt, da hierfiir entsprechende experimentelle Ergebnisse vorlagen. In der Probe befindet sich auf der Oberseite ein Startriss der Lgnge 6 mm in einem Abstand b -- 30 mm vonder Bohrung. Die einseitig eingespannte Probe wurde durch eine Kraft am Loch einer zyklischen Zug-Schwell-Belastung unterworfen, die oberhalb des Ermiidungsschwellwertes AKth liegt, so dass es zum Pdsswachstum kam. Die Simulation wurde mit der adaptiven Technik (Abschnitt 8.4) ausgefiihrt. Bild 8.19 zeigt das grobe Ausgangsmodell fiir die FEM-Simulation und drei Stadien der Rissausbreitung mit automatischer adaptiver Netzverfeinerung. Die Rissverlgngerung

332


Bild 8.18: Querkraftbiegeprobe mit Anriss unter zyklischer Belastung

Bild 8.x9: Adaptive Simulation der Rissausbreitung in der Querkraftbiegeprobe

Bild 8.2o: Vergleich der FEM-Simulation mit dem experimentellen Rissverlauf

8.7 Beispiele ffir Ermfidungsrisswachstum

333

wurde in diesem Beispiel in konstanten Inkrementen von Aa = 3 mm vorgegeben. Das Ergebnis der FEM-Simulation zeigt eine sehr gute tJbereinstimmung mit dem experimentell beobachteten Pfad des Ermiidungsrisses (Bild 8.2o). Die geringen Abweichungen sind dadurch zu erkl~iren, dass in der numerischen Simulation die Rissausbreitung stiickweise geradlinig erfolgte und somit der gekriimmte Risspfad nur n~iherungsweise abgebildet werden kann. Das kSnnte mit kleineren Inkrementen Aa noch verbessert werden.

8.7.2

ICE-Radreifenbruch

Im Jahr 1998 verungliickteder ICE-Hochgeschwindigkeitszug >>W.-C. RSntgen>Dachfirsts>Dachfirst>Dachfirst~< sondern 13 m m versetzt begann, wurde an dieser Stelle in der Simulation ein halbkreisfSrmiger 1,5 m m tiefer Anriss angeordnet, bei dem entlang der gesamten Rissfront die Spannungsintensit~ten den Schwellenwert A g t h = 8,2 MPa m 1/2 des Radstahls iiberschreiten. Aus der FEM-Anaiyse ergibt sich je Radumdrehung die Schwingbreite des K-Faktors A K entlang der momentanen Rissfront, woraus mit der PAaIS-Beziehung (3.287) der lokale Rissfortschritt berechnet wurde. Die sich je Simulationsschritt ergebenden Rissfronten sind in Bild 8.2 4 dargestellt. Der Riss wiichst zuniichst etwa haibkreisfSrmig, um sich spiiter deutlich schneller in die Breite auszubreiten. Die gesamte Rissfortschrittsanalyse umfasste 26 Simulationsschritte und endete erst, als die Bruchziihigkeit von Kic = 8 6 , 8 M P a m 1/2 erreicht war. Der kritische Riss beim Eintritt des Gewaltbruchs besat~ eine Tiefe von 31,7 m m und eine maximale L~nge an der Radreifeninnenseite von 71,1 mm. Bild 8.2 4 zeigt zum Vergleich des simulierten Risswachstums die Bruchfliiche des Radreifens mit dem tats~chlichen Risswachstum. Unterstellt man eine gleichbleibende Wechselbelastung des Rades, so errechnet sich anf der Basis der da/dN-Rissgeschwindigkeitskurvedes Radstahls in erster Niiherung die kritische Lastspielzahl zu NB ~ 1,4 Mio, d. h. etwa 3 791 km Fahrstrecke. Dieser Abschiitzung liegt eine lineare Schadensakkumulationshypothese zugrunde, die keinerlei Reihenfolgeeffekte beriicksichtigt. Tatsiichlich weist das Bruchbild Rastlinien infolge von 0berlasten u. ~. auf. Weitere Details sind [227] zu entnehmen. 8.8

Beispiele

fiir duktiles

Risswachstum

8.8.1

K o h i i s i v z o n e n m o d e l l fiir die C T - P r o b e

Von SCHEIDER U.a. [233, 44] wurde das Koh~sivzonenmodell anf die Simulation der duktilen Rissausbreitung in Bruchmechanikproben angewandt. Als Beispiel soU hier die 3D Analyse einer CT-Probe (Bild 3.12) (Weite w = 100mm, Dicke B = 10mm, a0 = 6 0 m m ) mit 20 % Seitenkerben wiedergegeben werden. Die Untersuchungen wurden am ferritischen Reaktordruckbeh~Llterstahl 2oMnMoNi55 durchgeffihrt, der sich durch hohe Duktilit~t und grot~e Bruchz~higkeit auszeichnet. Zuerst mussten die notwendigen InputParameter fiir das ModeU bestimmt werden. Die wahre Spannungs-Dehnungs-Kurve des Stahls wurde aus Versuchen an Rundzugproben ermittelt und durch ein Potenzgesetz a -- 925 e ~ approximiert. Als Koh~isivgesetz wurde der trapezfSrmige Ansatz (8.7) mit 51 -- 0,01 5c und 52 -- 0,75 5c benutzt, so dass noch die drei Parameter Go, ~ und 5~

336


Bild 8.25: Dreidimensionales FEM-Modell der CT-Probe mit 6 732 Hexaederelementen (8Knoten) und 91o Koh~isiv-Elementen [233]

Bild 8.26: Kraft-Weg-Kurve der CT-Probe. Vergleich der FEM-Simulation mit dem Experiment fiir Stahl 2oMnMoNi55

Bild 8.27: Vergleich der experimentellen Risswiderstandskurve einer CT-Probe aus Stahl 2oMnMoNi55 mit der numerischen Simulation

8.8 Beispiele ffir duktiles Pdsswachstum

337

Bild 8.28: Elektronenmikroskopische Aufnahme der Bruchfl~che der CT-Probe. Vergleich der Rissfront mit der FEM-Simulation [233] zu bestimmen waxen. Die Sepaxationsenergie Gc wurde mit dem physikalischen Initiierungswert der Bruchz~ihigkeit Ji -- 120 N / m m gleichgesetzt und nicht dem technischen Wert J0,2, weil daxin bereits Energieanteile der plastischen Probenverformung enthalten sind. Ffir die Bestimmung der maximalen Koh~ivspannung ~rc haben sich gekerbte Zugproben bew~ihrt. Dazu werden Kerbzugproben mit unterschiedlichen Kerbradien geprfift und anschliegend mit axialsymmetrischen FEM-Modellen und der bekannten Fliegkurve nachgerechnet. Den Wert ac erh/ilt man aus der maximalen Normalspannung im engsten Probenquerschnitt bei der Kraft, wo im Experiment die Probe versagt (zumeist instabiler Bruch). Im vorliegenden Fall ergab sich ffir alle Kerbrm:lien ein etwa gleicher Wert ffir die Koh/isivspannung von ac ---- 1460 MPa. Der noch fehlende Parameter ~ wurde fiber die Beziehung (8.8) aus Gc und ac berechnet. Nach diesen Voruntersuehungen wurde die CT-Probe mit dem Koh/isivzonenmodell und den ermittelten Materialpaxametern simuliert. Bild 8.25 zeigt das hierffir verwendete FEM-Modell eines Viertels (doppelte Symmetrie) der dreidimensionalen Probe. Die Seitenkerben werden deshalb eingebracht, um die Mehrachsigkeit im Rissbereich zu erhShen. Im Detailbild ist der Bereich des Ligamentes vor dem Erm/idungsriss abgebildet, der zur Bereehnung der Rissausbreitung sehr rein vernetzt ist (Element-Kantenl~nge L -- 0,075 mm). Dieser hoehaufgel6ste Bereich in der Symmetrieebene ist gleiehermaIgen mit 8-Knoten Koh/isiv-Elementen (Bild 8.16) beschichtet, um den Rissfortsehritt simulieren zu kSnnen. Aus mehreren Bruchmechanikversuchen der CT-Probe lagen die Kraft-Weg-Kurven des Lastangriffspunktes F-VLL vor, die Messungen des Rissfortschritts mit der Potentialmethode sowie die dazugehSrigen J-Integralwerte, die naeh dem ESIS-Standaxd [92] ermittelt wurden. In Bild 8.26 sind die experimentellen Kraft-Weg-Kurven zweier Proben den Ergebnissen der numerisehen Simulation gegenfibergestellt. Eine FEM-Berechnung ohne Rissausbreitung ergibt ein zu steifes Verhalten, wohingegen die Simulation mit dem Koh~ivzonenmodell eine sehr gute Ubereinstimmung zeigt. Ebenso wird der Punkt der Risseinleitung, der weir vor dem Lastmaximum auffritt, dureh die Simulation riehtig wie-

338


dergegeben. Der Vergleich von experimentellen und numerischen J - A a Risswiderstandskurven (Bild 8.27) verifiziert die Richtigkeit des Koh~ivzonenmodells und beweist seine F~Lhigkeit zur Vorausberechnung bruchmechanischer Werkstoffkennwerte. Eine weitere Best~itigung der numerischen Rissausbreitungssimulation liefert der Vergleich der erreichten Rissfront in der CT-Probe bei einem Verformungsweg von VLL 5,35 mm. Bild 8.28 zeigt die REM-Aufnahme der Bruchfl~iche. Der duktile Wabenbereich hebt sich deutlich von den feinen vorangegangenen und nachfolgenden Ermiidungsbruchfl~ichen ab. Auch die Form der Rissfront wird durch die Simulation gut nachgebildet. Sie nimmt v o n d e r Mitte aus etwas ab, eilt aber zum Rand hin aufgrund der Seitenkerben stark voraus. ----

8.8.2

S c h ~ i d i g u n g s m e c h a n i k fiir die S E N B - P r o b e

AIs Beispiel fiir die Anwendbaxkeit schiidigungsmechanischer Modelle zur Simulation der duktilen Rissausbreitung werden Untersuchungen von ABENDR.OTH ~ KUNA [3, 4] vorgestellt. Versuchswerkstoff ist der Baustahl StE69o, fiir den die Flie~kurve und alle Parameter des GTN-Sch~digungsmodells anhand miniaturisierter Tiefziehversuche (Small Punch Test) bestimmt wurden [3]. Hier sollen nur die Ergebnisse wiedergegeben werden. Die Verfestigung des Matrixwerkstoffs konnte am besten durch folgendes Potenzgesetz approximiert werden \( ~ - -

=

e~ + 1

(8.30)

das die Anfangsflie~spannung ffF0 ---- 690 MPa, den Verfestigungsexponenten n -- 11, eine Referenzdehnung 6" -- 0,589 % und die LODERS-Dehnung e~ ----1% als Parameter enth~lt. Die genaue Ermittlung der insgesamt neun Parameter des GTN-Sch~idigungsmodells (Abschnitt 8.7) gestaltet sich i. Allg. recht aufw~adig. ~lblicherweise werden die wichtigsten Parameter an gekerbten Zugproben und Bruchmechanikversuchen identifiziert und fiir die anderen plausible Annahmen oder Literaturdaten iibernommen. Im vorliegenden Fall wurde der in Tabelle 8.1 zusammengestellte Parametersatz festgelegt und an Kerbzugproben validiert. Zur bruchmechanischen Charakterisierung des Stahls StE69o wurden an der BAM Berlin [140] Versuche an Dreipunkt-Biegeproben (SENB-Proben, Bild 3.12) zur Ermittlung von Risswiderstandskurven J - A a durchgeffihrt. Die Proben besagen die Abmessungen: Weite w -- 26mm, Dicke B -- 13mm, Anfangsrissl~inge ao -- 0,51w und waxen mit 2o % Seitenkerben versehen. fo

fc

fI

ql

q2

q3

fN

EN

8N

0,002

0,1357

0,2

1,419

1,213

ql2

0,0273

0,5352

0,1

Tabelle 8.1: GTN-Sch~idigungsparameter fiir Stahl StE69o bei Raumtemperatur Diese Bruchexperimente wurden mit dem GTN-Sch~digungsmodell numerisch nachgerechnet. Bild 8 . 2 9 zeigt die FEM-Diskretisierung der halben Probe als ebenes Modell unter der Annahme eines ebenen Verzerrungszustandes (EVZ). Fiir die Simulation des duktilen Risswachstums mit Hilfe der Sch~ligungsmechanik ist ein sehr feines, gleichfSrmiges Elementnetz (hier 0,1 x 0,1 mm) im gesamten Bereich des Ligamentes erforderlich,

8.8 Beispiele ffir duktiles Risswachstum

339

in das sich der Riss hinein bewegt. Das Risswachstum geschieht in der Simulation dadurch, dass in den extrem beanspruchten Elementen vor der Rissspitze die Sch/idigung den kritischen Wert f f erreicht, womit die Tragf/ihigkeit des Materials (Spannungsantwort und Fliegbedingung (8.23)) auf null abf/illt. Die Rissausbreitung vollzieht sich somit als sukzessive Folge des Ausfalls von Integrationspunkten in den Elementen auf dem Ligament. Die Elemente bleiben zwar formal noch im FEM-System enthalten, besitzen aber keine Steifigkeit mehr. Ihre extreme Verformung entspricht der Riss6ffnung. Das Detail in Bild 8.3o (links) zeigt die Werte der Sch/idigungsvariablen f* und die bereits versagten Elemente.

Bild 8.29: FEM-Netz der SENB-Probe, Detail der Rissspitzenumgebung (links), gesamte Probe mit Randbedingungen (rechts)

Bild 8.30: Schgdigung (Risswaehstum) und v. MISES-Vergleichsspannung in der SENB-Probe Im Bild 8.31 sind die gemessenen Kraft-Durchbiegungs-Kurven F(u) der SENB-Probe verschiedenen Varianten der FEM-Analyse gegeniibergestellt. Im elastischen Bereich stimmen die Ergebnisse aller 2D (EVZ) und 3D FEM-Rechnungen gut mit dem Experiment iiberein. Nach vollst/indiger Plastifizierung des Probenquerschnitts (Bild 8.30) liegen die FEM-Resultate ohne Sch~digungsmechanik deutlich oberhalb der experimentellen Kurven. Die Verwendung des GTN-Sch~digungsmodells bewirkt eine starke Absenkung der F-u-Kurven, weil hierbei das Risswachstum beriicksichtigt wird. Die 2D (EVZ)-Analyse

34o

8 Numerische Simulation des Pdsswachstums

weist ein zu steifes Probenverhalten auf, da mit zunehmender Plastifizierung der Seitenkerb seine globale Wirkung verliert und die Spannungen in Dickenrichtung abgebaut werden. Dieser Effekt kann durch Einfiihrung einer wirksamen Probendicke Beff beriicksichtigt werden, die im Verlaufe der Verformung u von B auf den Wert 0,8B abnimmt. Die Korrekturfunktion wurde aus dem Verh~iltnis der 2D zu 3D-Kurven ohne Sch~hiigung kalibriert und daraus die modifizierte 2D (EVZ) F-u-Kurve abgeleitet, die sehr gut mit den Experimenten iibereinstimmt (Bild 8.31). Aus den FEM-Resultaten wurde das elastisch-plastische J-Integral (Abschnitt 7.3) als Funktion der Kraft F ausgewertet. Da J bei Risswachstum im Bereich lokaler Entlastungen wegabh~i~ngig wird, diirfen nur die weit v o n d e r Rissspitze entfernten Pfade verwendet werden, wo J einen stabilen Wert erreicht, der zugleich der Auswerteformel nach Priifstandard [12] ~quivalent ist. Aut~erdem kann das Risswachstum Aa anhand der ausgefallenen finiten Elemente bestimmt werden, woraus sich die numerisch simulierte Risswiderstandskurve in Bild 8.32 ergibt. Ihr treppenfSrmiger Verlauf folgt aus dem sukzessiven Versagen der Integrationspunkte der Elemente. Das Simulationsergebniss zeigt eine gute Ubereinstimmung mit dem Experiment. Wertet man die technischen Initiierungswerte JIc bei einem Offset von Aa ---- 0,2 mm nach ASTM-Standard [140] aus, so ergeben Simulation jFEM = 145,5 N / m m und Experiment jExp = 140,3 N / m m nahezu identische Resultate. Dieses Beispiel und ~hnliche Erfahrungen aus der Literatur zeigen, dass mit Hilfe der Sch~digungsmechanik eine recht gute Vorhersage des duktilen Risswachstums in Proben und Bauteilen mSglich ist. Im Gegensatz zu den Kriterien der EPBM wird hierbei problemlos der Einfluss der lokalen Beanspruchungssituation (Mehrachsigkeit h) und ihrer Entwicklung (Be- und Entlastung) an jedem Punkt der Rissfront berficksichtigt. Ein wesentlicher Vorteil folgt aus der Tatsache, dass es sich um echte Werkstoffparameter handelt, so dass die Ubertragbarkeit zwischen unterschiedlichen Probengeometrien (auch ohne Riss) und von Kleinproben auf grot~e Bauteile gew~ihrleistet ist. Eine Voraussetzung dafiir ist allerdings die Kenntnis der sch~digungsmecha~ischen Parameter des Werkstoffs, deren Beschaffung aufw~ndig und nicht immer eindeutig ist. Hierdurch wird die Anwendung in der Praxis erschwert. Ein anderer Nachteil ist die Abh~ngigkeit der LSsung v o n d e r GrSt~e (insbesondere der HShe) der finiten Elemente im Rissspitzenbereich, weil Sch~digung und Versagen (bei gleicher ~ut~erer Belastung) umso eher erfolgen, je kleiner man den Abstand zur Rissspitze macht. Die Ursache daffir ist eine Vermischung von werkstoffmechanischem Entfestigungsmodell und numerischem LSsungsalgorithmus. Solange das sch~idigungsmechanische Gesetz keinen eigenen materialspezifischen L~ngenparameter enth~ilt, wird dutch die GrSt~e der FEM-Diskretisierung quasi eine >mumerische Homogenisierunga vorgenommen. Gegenw~rtig werden verschiedene Methoden zur Regularisierung dieser numerischen Schwierigkeiten erforscht. Sehr h~iufig wird als pragmatischer Ausweg die GrSt~e der Elemente am Riss empirisch angepasst und als cha~ rakteristische Lgnge (z. B. Porenabstand) des Werkstoffs interpretiert, die dann in allen Simulationsrechnungen konstant anzusetzen ist.

8.8 Beispiele fiir duktiles Pdsswachstum

341

Bild 8.31: Kraft-Durchbiegungs-Kurven der SENB-Probe aus Stahl StE69o. Vergleich F E M und Experiment

Bild 8.32: Vergleich der simulierten mit der experimentellen J-Aa-Kurve der SENB-Probe fiir Stahl StE69o

9

Anwendungsb eispiele

9.1

Lebensdauerbewertung Ermiidungsrisswachst

eines Eisenbahnrades

bei

um

Bainitisches Gusseisen mit Kugelgraphit (ADI) weist einen gute Duktilit~t, einen grogen Verschleis und eine hohe Danerfestigkeit auf, weshalb es ffir Eisenbahnr~ider eine interessante Werkstoffalternative gegenfiber Stahl sein k5nnte. AUerdings besitzt ADI eine geringere Bruchz~higkeit und ist aufgrund der giei~technischen Herstellung fehleranf'dlliger. Da ein Eisenbahnrad hohen statischen und zyklischen Belastungen ausgesetzt ist, miissen neben dem klassischen Betriebsfestigkeitsnachweis anch bruchmechanische Konzepte herangezogen werden, um eine ausreichende Sicherheit gegen Ermfidungs- und Spr5dbruch nachzuweisen. Damit man die Bruchsicherheit und Lebensdauer bewerten kann, ist es erforderlich, den Beanspruchungszustand in einem ADI-Rad mit hypothetischen Rissen bei statischen und zyklischen Belastungen numerisch zu berechnen [151,152]. Ziel der Untersuchungen ist es, bereits in der Entwicklungsphase des Rades kritische Rissgr5gen oder zul~ssiger Grenzmage der Belastung abzuleiten, sowie geeignete 0berwachungskonzepte festzulegen.

9.1.1

Bruchmechanische und konventionelle Kennwerte von ADI

Die konventionellen mechanischen Eigenschaften und die bruchmechanischen Kennwerte des Werkstoffes ADI sind in Tabelle 9.1 zusammengestellt. Der ADI-Werkstoff versagt in Laborproben durch duktilen Bruch. Die Bruchz~higkeit JBL wird daher aus der Risswiderstandskurve (siehe Bild 3.46) im Moment der physikalischen Rissinitiierung bestimmt. Ffir die bruchmechanische Beanspruchungsanalyse des Rades wird linearelastisches Werkstoffverhalten (SSY am Pdss) angenommen und sprSdes Versagen unterstellt. Man kann davon ausgehen, dass die Ubertragbarkeit Probe-Bauteil gegeben ist. Die Umrechnung der Bruchzfi~higkeit jBL in den entsprechenden K-Wert geschieht nach

E•BL

KJi: v ~-~" Damit liegt die bruchmechanische Bewertung mit Kji auf der konservativen Seite und die Duktilit~it des ADI bedeutet eine zus~tzliche Sicherheitsreserve. Die Berechnung der Ermiidungsfestigkeit und der Restlebensdauer bei zyklischer Beanspruchung erfolgt fiber die Schwellenwerte AKth und die Parameter C und m der PARIS-ERDOGAN-Gleichung (3.287) von Abschnitt 3.4.1, die aus der zyklischen Risswachstumskurve (Bild 9.1) ffir die Spannungsverh~ltnisse R = 0,1 und 0,5 bestimmt wurden, siehe Tabelle 9.1.

344

9 Anwendungsbeispiele KenngrSi~e Elastizitgtsmodul E Querkontrationszahl v 0,2 ~0-Dehngrenze Rpo,2 Zugfestigkeit/~ Bruchzghigkeit jBL bzw. Kji

Kennwert 170 GPa 0,3 637 MPa 893 MPa 11,0 k J / m 2 bzw. 45,3 MPa

Ermiidungsrisswachstum bei R = 0,1: Schwellenwert AKth C m

5,4 MPa V ~ 0,94.10 -~ 2,9

Ermiidungsrisswachstum bei R ----0,5: Schwellenwert AKth C m

4,3 MPa 1~0.10 -~ 3,2

Tabelle 9.1: Konventionelle und bruchmechanische Kennwerte von ADI

Bild 9.1: Zyklische Risswachstumskurven von ADI bei R ----0,1 und 0,5 9.1.2

Finite-Elemente-Berechnungen

des Rades

Geometrie Untersucht wird ein Eisenbahn-Vollrad vom Durchmesser ~ -- 920 m m mit gekriimmter Radscheibe und genormtem Profil des Radkranzes, siehe Bild 9.2. Lastf'dlle Als Grundlage fiir die L a s t a n n a h m e n wird eine Radsatzlast von 180 kN angenommen. Gem~i~ Regelwerk fiir den experimenteUen Betriebsfestigkeitsnachweis von EisenbahnVoUr~kiern werden daraus die Belastungen des Rades wie folgt festgelegt: In radialer Richtung wirkt die Radaufstandskraft Q, w~ihrend quer zum R a d Lateralkr~fte infolge Kurvenfahrt (Spurkranzstellung + Y ) oder Weicheneinfahrt (Radlenkerstellung - Y ) angrcifen. Die Kr~fte sind in Bild 9.2 vcranschaulicht. Im Weiteren werdcn nut noch die

9.1 Lebensdauerbewertung eines Eisenbahnrades bei Ermfidungsrisswachstum Lastfall 1 2

Radaufstandskraft Q in kN Grenzlast -159 Grenzlast -159

Lateralkr~ifte Y in kN Spurkranzstellung +62 Radlenkerstellung - 6 2

345

Bremskrs T in kN Tangentialkraft 31,8 Tangentialkraft 31,8

Tabelle 9.2: KrMte ffir verschiedene Lastfldlle

Bild 9.2: Geometrie, Belastung und FEM-Vernetzung des Eisenbahnrades (Die Kr[ifte Y > 0 und T sind zur besseren ~)bersicht oben angetragen.) beiden maximalen Lastf'dlle betrachtet, die mit einem Sicherheitsbeiwert f -- 1,8 zur Berficksichtigung dynamischer Radbelastungen (St6tge, Schwingungen) beaufschlagt sind, siehe Tabelle 9.2. Bei Bremsvorg~ingen tritt als zus~itzliche Belastung die Reibung T zwischen Rad und Schiene auf, die in tangentialer Richtung an der Lauffl~che angreift. Die GrS]ge der Bremskraft wurde mit T ---- 0,2 Q vorgegeben und als gleichmfis verteilte Fl~ichenlast fiber der Kontaktfl~iche angesetzt.

Modellierung Aufgrund der Symmetriebedingungen in Verbindung mit der La~teinleitung wird das Rad nur zur H ~ f t e modelliert (Bild 9.2). Es kann angenommen werden, dass die Radnabe fest und unverformbar auf der Achse aufsitzt. Der Berechnung wird linear-elastisches Materialverhalten zugrunde gelegt. Die Kennwerte sind Tabelle 9.1 zu entnehmen. Die Lasteinleitung der Radaufstandskraft erfolgt mit einer Drucklast auf eine Fl~iche von insgesamt 1,58 cm 2. Die positive Lateralkraft + Y wird horizontal auf der Innenseite des Spurkranzes angesetzt. Die negative Lateralkraft - Y greift in HShe der Lauffigche von autgen am Spurkranz an. Diese Annahmen entsprechen der Einleitung der Prfifkr~fte bei

346

9 Anwendungsbeispiele

Bild 9.3: Max. Hauptspannungen bei Lastfall 1

Bild 9.4: Postulierte Risskonfigurationen

den experimentellen Festigkeitsuntersuchungen.

Spannungen Bei einer Umdrehung des Rades bewegt sich der Lastangriffspunkt auf einer Kreisbahn um 360 Grad. Da die Geometrie des Rades rotationssymmetrisch ist, gentigt die Berechnung fiir einen feststehenden Angriffspunkt. Jeder kSrperfeste Punkt im Abstand r von der Achse durchl~uft bei einem Umlauf dann alle Beanspruchungszust~inde, die sich auf derselben Kreislinie des Rades befinden. Dabei ver~ndern sich die Hauptspannungsrichtungen im betrachteten Punkt des Rades. Die Rissfortschrittsrichtung verl~iuft senkrecht zur grSf~ten Hauptspannungsrichtung. Das unterkritische Risswachstum wird durch die Schwingbreite der Spannungen bei einem Umlauf des Rades bestimmt. Um die maximale Schwingbreite zu erhalten, wird jeweils die grS~te Hauptspannung auf der betreffenden Kreislinie ermittelt und mit den anderen Spannungen, die auf der gleichen Linie liegen und in die Pdchtung der grS~ten Hauptspannung transformiert werden, verglichen.

Extremale Spannungen in der Radscheibe Erfahrungsgem/~ treten bei Eisenbahnr/idern die grSSten Spannungen am Ubergangsbereich Nabe-Scheibe auf. Auch die FEM-Rechnungen f/Jr das betrachtete ADI-Rad zeigen in diesem Bereich (Abstand r von ca. 162 mm v o n d e r Ra~lmitte) sehr hohe Spannungen in radialer Richtung (Bild 9.3). Die extremalen Zug- und Druckspannungen in der Radscheibe befinden sich fiir den betrachteten Fall jedoch nicht nur an dieser Stelle, sondern

9.1 Lebensdauerbewertung eines Eisenbahnrades bei Ermiidungsrisswachstum

347

bei grSfgeren Radien r, die man Tabelle 9.3 gemeinsam mit den Spannungen entnehmen kann. Sie werden hauptsiichlich durch die Biegebeanspruchung der Radscheibe infolge der Lateralkriifte verursacht. Last fall 1 2

Radinnenseite -241MPa, r = 1 6 0 m m 196MPa, r = 1 5 7 m m

Radaugenseite 198MPa, r----264mm -189MPa, r = 3 5 5 m m

Tabelle 9-3: Maximale und minimale Hauptspannungen

9.1.3

Festlegung der Risspostulate

Bei der Festlegung der zu betrachtenden Risse im ADI-Rad werden sowohl die Ergebnisse der Festigkeitsanalyse in Bezug auf die maximal auftretenden Spannungen als auch m6gliche Fehlerlagen resultierend aus der gietgtechnischen Herstellung des Rades beriicksichtigt. Die Lagen der Risse sind in Bild 9.4 dargestellt.

Risskonfiguration (a): Halbelliptischer Oberfl~ichenriss in der LaufH~iche Aufgrund des W~ilzkontaktes Rad-Schiene kSnnen sich infolge von Reib- und Schlupfvorgfingen Anrisse in der Laufttiiche des Radkranzes bilden, die quer zur Umfangsrichtung verlaufen. Sie erfahren bei jedem l]berrollvorgang eine Zug-Druck-Zug Beanspruchung, so dass gekl~rt werden muss, ab welcher GrStge ath diese Risse bei Ermiidung wachstumsfiihig sind und nach welcher Zyklenzahl sie die kritische Rissliinge ac f/Jr einen SprSdbruch erreichen. Als versch~fende Lastannahme wurden Bremsbelastungen T beriicksichtigt, die zu rissSffnenden Tangentialspannungen fiihren.

Risskonfiguration (b): Gussfehler im Radkranz Aufgrund der giegtechnischen Fertigung der Pd4der besteht besonders im Bereich des Querschnittiibergangs Radkranz-Radscheibe die MSglichkeit der Bildung von Gussfehlern wie z. B. Lunkern oder Poren. Diese Gussfehler werden konservativ als kreisfSrmiger Riss senkrecht zur maximalen Normalspannung abgedeckt. Gesucht ist die kritische RissgrSfge als Vorgabe fiir die Nachweisempfindlichkeit beim Einsatz zerstSrungsfreier Priifverfahren.

Risskonfiguration (c): Oberfl~ichenriss am 0 b e r g a n g Radscheibe - N a b e Weil der 0bergangsbereich Nabe-Scheibe meist den hSchsten Beanspruchungen ausgesetzt ist, muss mit Hilfe einer (zyklischen) Betriebsfestigkeitsprfifung der experimentelle Nachweis gefiihrt werden, dass sich an dieser Stelle kein Anriss infolge Ermiidung bildet. Der bruchmechanische Sicherheitsnachweis ist darin bereits eingeschlossen, weshalb ffir diesen Bereich keine weiteren Betrachtungen notwendig sind.

348


Risskonfiguration (d): Oberfl~ichenriss in der Radscheibenkriimmung I m Bereich der Radscheibenkriimmung ergibt die FEM-Rechnung Biegespannungen in fast vergleichbarer HShe wie am t3bergang Nabe-Radscheibe. Da die Betriebsfestigkeitsprfifung diesen Bereich nicht abdeckt, wurde an dieser Stelle ein Oberflgchenriss in Umfangsrichtung postuliert und beurteilt.

9.1.4

Bruchmechanische Analyse

Bei der bruchmechanischen Beanspruchungsanalyse zur Berechnung der Spannungsintensitgtsfaktoren versucht man in der Regel zuerst die Anwendung der so genannten entkoppelten Methode. Dazu wird fiir den Bereich des Bauteils, in dem sich der postulierte Riss befindet, ein vereinfa~htes Ersatzmodell ausgew~ihlt, ffir das K-Faktor-LSsungen und Geometriefunktionen g(a) aus Handbfichern wie [176] vorliegen. Ki(a) ----g(a) a(x)v/~-a

(9.2)

Durch Einsetzen der Spannungsverteilung a(x), die sich aus der FEM-Rechnung am Ort des Risses ergibt, kSnnen damit die Spannungsintensitiitsfaktoren berechnet werden. Auf diese Weise kann die bruchmechanische Bewertung einer normalen Festigkeitsberechnung ohne Modellierung des Risses nachgeschaltet werden. Diese entkoppelte Methode stellt eine gute N~herung dar, solange die angenommenen Risse ausreichend klein gegenfiber dem tragenden Querschnitt sind, so dass ihre Rfickwirkung auf den globalen Spannungszustand im Bauteil vernachl~issigt werden darf. Diese Voraussetzung ist bei den aisskonfigurationen (a) und (b) des a a d e s gegeben. Ffir die msskonfiguration (d) trifft sie bei groi~en Risstiefen nicht mehr zu, weshalb hierffir die K-Faktoren durch eine direkte FEM-Modellierung des Risses berechnet werden miissen.

Risskonfiguration (a) Der halbelliptische Oberfl/ichenriss wird in der Mitte der Laufil/iche quer zttr Laufrichtung angenommen. Das Verh/iltnis yon Risstiefe a zu halber Rissl/inge c wird mit a : c = 1 : 3 gewghlt, was ffir Oberfl/ichenrisse typisch ist. Als geeignetes Ersatzmodell ffir diese Risskonfiguration wird ein entsprechender Oberfl/~,chenriss in einem Quader verwendet, dessen Abmessungen 2W -- 135 m m und t -- 17 m m der Breite und HShe des Radkranzes entsprechen, siehe Bild 9.5. Zur Kontrolle des Einflusses der Rissform wird als Extremfall (c ----co) ein fiber die gesamte Breite des Radkranzes verlaufender Kantenriss der Tiefe a untersucht. Lage und Orientierung des Risses entspreehen dem Ort und der Riehtung der maximalen Normalspannungen azz in Umfangsriehtung im Radkranz, die aufgrund der Kontaktpressung Rad-Sehiene unmittelbar an der Oberfl~che ihre HSchstwerte kurz vor und hinter der Kontaktstelle erreiehen. Wie Bild 9.6 zeigt, klingen die hohen Zugspannungen an der Oberfl~che sehr schnell mit der Tiefe ab, wo dann infolge der Kontaktpressung Druckspannungen vorliegen. Die Umfangsspannungen an der Oberfl~iche erhShen sich etwa auf das Dreifaehe, wenn man die Bremsbelastung T berficksiehtigt. Sowohl ffir die

9.1 Lebensdauerbewertung eines Eisenbahnrades bei Ermfidungsrisswachstum

Bild 9.5: Ersatzmodell Quader mit halbelliptischem Oberfls nungsverteilung a(x)

349

unter gegebener Span-

Bild 9.6: FEM-Ergebnis der rissSffnenden Spannungen bei Risskonfiguration (a)

Spr5dbruchbewertung als auch fiir das Ermiidungsrisswachstum muss yon diesen maximalen Belastungen ausgegangen werden. Aus dieser Spannungsverteilung azz(x) werden mit Hilfe des Ersatzmodells die Spannungsintensit~itsfaktoren KA am tiefsten Punkt A (Scheitelpunkt) der Rissfront und Kc an den beiden Punkten C, wo die Rissfront anf die Lauffi~iche stSigt, berechnet. Bild 9.7 zeigt KA und Kc in A b h ~ g i g k e i t von der Risstiefe bei gleichbleibendem Achsenverhs a : c. Man erkennt, dass beide K-Faktoren mit wachsender Risstiefe zun~ichst ein Maximum erreichen, dann aber fast auf null abfallen, wenn der Riss das Druckspannungsgebiet erreicht. Aufgrund des hohen Spannungsgradienten ist der K c - F a k t o r an der Oberfls grSfger als der Scheitelwert KA, d. h. der Riss wiirde sich zuns seitlich und dann erst in die Ticfe ansbreitcn. Das Ersatzmodell Kantenriss 2D crgab cincn etwas

35o


Bild 9.7: Spannungsintensit~tsfaktoren als Funktion der Risstiefe (3D Oberfliichenriss)

grSt~eren KA-Faktor.

KAm,x =

8,53 MPa v ~

KVm,x = 12,49 MPa x / ~

bei am~x = 0,5 ram,

ath =

bei ama~ ----3,0 mm,

C t h ---- 0,38

0,05 mm mm

(9.3)

Die maximalen Spannungsintensitiitsfaktoren liegen alle weit unterhalb der Bruchz~higkeit v o n g j i = 45,3 MPa v/'m, so dass SprSdbruch fiir einen Oberfl~chenriss in der Lauffl~iche unter Betriebsbelastungen ausgeschlossen werden kann. Als n~ichstes ist die Frage nach einer Rissentwicklung durch Ermiidung zu kl~iren. Dazu wird, folgend aus der zyklischen Spannungsanalyse, angenommen, dass bei jedem Radumlauf (Lastzyklus) die Spannungsverteilung am Oberfl~ichenriss Aa(s) yon null auf den Maximalwert schwingt. Um festzustellen, ab welcher GrSs ath ein Riss bei dieser Spannungsschwingbreite iiberhaupt wachstumsfiihig ist, setzt man in ( 9 . 2 ) den Schwellenwert AKth ----4,3 MPa ~ ein und erh~ilt nach Umstellung =

1~ \

Agth

~2 (9.4)

Mit den Geometriefunktionen dieser Risskonfiguration berechnen sich die in (9.3) angegebenen Schwellenwerte der Rissabmessungen ath und Cth. Nach dieser Voruntersuchung kSnnen bereits recht kleine Risse bei Wechselbelastung wachsen. Durch Integration der PARIS-ERDOGAN-Gleichung (3.291) (Abschnitt 3.4.1) erh~ilt man die Zahl N der Lastzyklen, um einen Riss der Anfangsl~inge a0 auf die L~inge a anwachsen zu lassen. Als Anfangsrissliinge wird a0 -- 0,1 mm gew~ihlt, was etwa der Tiefe der Oberfliichenfehler entspricht, die sich aufgrund des Roll-Gleit-Kontaktes mit der Schiene bilden. Mit den in Tabelle 9.1 genannten Parametern C und m berechnet sich das Risswachstum fiir R -- 0,5 wie in Bild 9.8 dargestellt. Danach w~ichst der Riss in seitliche Richtung (Punkte C, L~inge c) wegen des h5heren AK-Wertes schneller als in die Tiefe (Punkt A, Risstiefe a), was aber als unkritisch zu bewerten ist. Nach ca. 5oo ooo

9.1 Lebensdauerbewertung eines Eisenbahnrades bei Ermiidungsrisswachstum

351

Bild 9.8: Risswachstum infolge zyklischer Belastung Zyklen stagniert das Risswachstum in die Tiefe bei einem Wert von a = 1,5 mm, da der Riss in das Druckspa~nungsgebiet einl~iuft. Somit ist sichergestellt, dass im Falle eines Erm/idungsrisswachstums der Riss zum Stillstand kommt.

Risskonfiguration (b) Die FEM-Rechnungen ergeben im Inneren des Radkranzes maximale Hauptnormalspannungen von 60 MPa beim ungfinstigsten Lastfall. Die Risskonfiguration launn n~herungsweise durch das ErsatzmodeU eines kreisfSrmigen Risses im unendlichen Gebiet nach Gleichung (3.59) behandelt werden. Nimmt man zus~itzlich zur Lastspannung noch Zugeigenspannungen von Rp 0,2//2 an, so erh~ilt man K-Faktoren, die alle unterhalb von g j i liegen, so dass selbst f/ir derartig extreme Lastannahmen ein Spr5dbruch ausgeschlossen werden kann. Damit ein Anriss iiberhaupt die Schwellenbelastung fiir Ermiidungsrisswachstum erreicht, m6sste er nach (9.4) die GrSJge von a t h = 4 m m besitzen.

Risskonfiguration (d) I m Kr/immungsbereich der Radscheibe wird ein halbelliptischer Oberfl~ichenriss in Umfangsrichtung unterstellt. In Anlehnung an experimentelle Befunde und die Ausdehnung des Spannungsmaximums in Umfangsrichtung wird ein Achsenverh~ltnis a : c = 1 : 5 gew~ihlt. Das Ersatzmodell, Bild 9.5, geht yon einer ebenen Platte mit Riss unter 6berlagerter Biege- und Zugspannungsverteilung aus. Um die Anwendbarkeit und Genauigkeit des Ersatzmodells zu pr/ifen, wird fiir diese Risskonfiguration eine detaillierte dreidimensionale FEM-Analyse des in Bild 9-9 (links) dargestellten Radausschnittes mit einem Oberfl~ichenriss a -- 12 m m durchgef/ihrt. Aufgrund der Symmetrie in Umfangsrichtung ist das Modell auf die H~lfte reduziert. Bild 9.9 (rechts) zeigt das verwendete FEM-Netz ffir dieses SubmodeU mit Riss, auf dessen Oberfl~che die Verschiebungsfelder der vorangegangenen Globalanalyse aufgepr~igt werden. Die berechnete Spannungsverteilung illustriert Bild 9.1o. Mit Hilfe der J-Integral-Technik wird ffir das 3 D elastische Problem der Verlauf des K-Faktors bestimmt, siehe Bild 9.11.

352


Bild 9.9: Ausschnitt der Radscheibe mit Oberfl~chenriss und diskretisiertes FEM-Submodell

Bild 9.1o: v. MISES Spannungsverteilung im Submodell f'dr die Risskonfiguration (d)

9.1 Lebensdauerbewertung eines Eisenbahnrades bei Ermfidungsrisswachstum

353

Bild 9.x1: Verlauf des Spannungsintensitgtsfaktors entlang der halbelliptischen Rissfront (d)

Bild 9.12: FEM-korrigierte Geometriefunktion fiir den Spannungsintensit~itsfaktor KA Die FEM-Ergebnisse zeigen, dass das ErsatzmodeU die wahren Spannungsintensit~itsfaktoren etwa um den Faktor 5 fibersch~itzt. Die haupts~ichlichen Grfinde daffir werden in der Rotationssymmetrie und hSheren Biegesteifigkeit des ADI-Rades gesehen. Zur vollst~ndigen Bestimmung der Funktion mfissten weitere FEM-Rechnungen mit variierten Rissl~ngen durchgefiihrt werden. Um dennoch eine verbesserte Geometriefunktion ffir KA zu gewinnen, wird die nach dem Ersatzmodell >>halbelliptischer Oberfl~ichenriss 1) berficksichtigt [154]. Sie h ~ g e n vom Verh~iltnis Schweflgnahtbreite L zu Schweis h ab sowie von der relativen Tiefen-Koordinate s/h, siehe Bild 9.20. Da bei einem Oberfl~ichenriss entweder der tiefste Punkt A oder die oberfl~ichennahen Punkte C kritisch werden k6nnen, muss die Bewertung ffir beide Punkte durchgeffihrt werden. Ffir andere Riss- und Schweis werden entsprechende Berechnungsformeln und Geometriefaktoren angewandt [153].

Berechnung

v o n Lr =

an Rohr/aF

Der Wert Lr kennzeichnet den Beanspruchungszustand der zu bewertenden Fehlerkonfiguration in Bezug anf die plastische Grenzlast. Dabei muss zwischen einem globalen plastischen Kollaps und einem lokalen plastischen Versagen unterschieden werden. Ffir die Bewertung von Ferngasleitungen mit relativ kleinen Fehlern (im Verh~ltnis zum Gesamtquerschnitt) und bei gro~en Fehlertiefen muss man immer von einem lokalen plastischen Versagen ausgehen. Die nachfolgende GrenzlastlSsung [196] wurde speziell fiir Oberfl~chenfehler in druckfiihrenden Bauteilen mit gekriimmten W~inden angegeben. Dabei stellt O'nRohr eine effektive Nettospannung dar, bei der im Restquerschnitt rund um den Fehler lokaJ die Traglast erreicht wird. Diese Nettospannung l~sst sich aus den Membran- und Biegespannungen

362


sowie dem Innendruck p wie folgt berechnen: + O'n R o h r ---- g s ~ -~- P ,

+

(1 -

~ =

3 (1 -

1 g8

=

,

1 - [f~(1 - ~) + 2 arcsin ((1 - ~) sin ~)]/~r

h-a ~ - - -

(9.7)

h

F i i r OF wird je nach Bewertungsmodus entweder die Streckgrenze Rp0,2 eingesetzt oder mit teilweiser Verfestigung gerechnet a F ---- 1 (Rp0,2 + Rm). Fiir die exakte Berechnung der unterschiedlichen Risskonfigurationen wurden die Beziehungen (9-7) durch entsprechende lokale TraglastlSsungen erg~inzt [153].

Das computergestiitzte B e w e r t u n g s s y s t e m Auf der Basis des oben beschriebenen FAD-Konzeptes wurde ein PC-Programm zur bruchmechanischen Bewertung von Schweit~nahtfehlern entwickelt. In einem interaktiven Dialogfenster gestattet es die Eingabe aller Geometrieparameter der Risskonfiguration, die Bereitstellung der erforderlichen Werkstoffkennwerte und die Angaben zum Belastungszustand (Druck, Biegung, Eigenspannungen). Im Bewertungsmodul werden danach die Parameter (Kr, Lr) aus den Beziehungen (9.6)-(9.7) berechnet und schlieglich gemeinsam mit der Versagensgrenzkurve (9-5) im Bewertungsdiagramm grafisch dargestellt, Bild 9.21. Liegt der Punkt P innerhalb der Grenzkurve, so gilt der Belastungszustand als zul~issig und der relative Abstand zur Grenzkurve wird als >>Sicherheit gegen Versagen(< S ausgegeben. Augerdem kann der Anwender die Auswirkungen der verschiedenen Eingabedaten und ihrer Toleranzbreite (bei mangelhafter Kenntnis oder Messungenauigkeit) auf die Sicherheit durch Variantenrechnungen absch~tzen. Diese Option erlaubt die sicherheitstechnische Beurteilung in Abh~ingigkeit von der konkret an einer Rohrleitung vorliegenden Situation und gew~hrleistet die Forderung nach strenger Konservativit~it. Werkstoffdaten der Rohrleitung und Schweigverbindung Zur Ermittlung der konventionellen und bruchmechanischen Werkstoffkennwerte der Rohrleitung wurde Probenmaterial des Grundwerkstoffs (GW) St52-3, des Schweii~guts (SG) und der W~meeinflusszone (WEZ) entnommen und gepriift. Die Spannungs-DehnungsKurven des Zugversuchs wurden mit dem RAMBERG-OSGOOD-Potenzgesetz beschrieben. ---- ee +ep---- ~ +

(9.8)

In Tabelle 9.4 sind die Streckgrenze Rpo,2, die Zugfestigkeit Rm, der Verfestigungsexponent N ~- 1/n und der Koeffizient D ffir alle drei Werkstoffe zusammengestellt. Die bruchmechanischen Kennwerte wurden ffir alle drei Werkstoffbereiche GW, SG und WEZ mit Hilfe von Dreipunkt-Biege-Proben SENB (lo • 20 • ioo ram) mit 20 % Seitenkerben ermittelt. Alle Werkstoffbereiche zeigen bei Raumtemperatur ein duktiles, stabiles Risswachstum. Die Bruchzs bei Beginn des Risswachstums (Initiierung) kann durch

9.3 Z~ihbruchbewertung von Schweigverbindungen in Gasrohrleitungen

Grundwerkstoff Schweiggut W~irmeeinflusszone

Rp0,2 [MPa] 403 432 477

Rm [MPa] 575 583 620

N

D

0,15 0,13 0,12

801 773 779

jBL [kJ/m 2] 63 143 56

363

~SZW Kji [~um] [MPam89

69 142 58

119,4 179,9 112,6

Tabelle 9.4: Kennwerte des Zugversuches und mittlere Rissinitiierungswerte des J-Integrals und CTOD-Konzeptes

das J-Integral und die RissSffnungsverschiebung 5= CTOD chaxakterisiert werden. Ji = 25~aF,

(rF = 0,5(Rpo,2 + Rm),

/

EJi Kji = V l - - u 2

(9.9)

Die Kennwerte f/ir alle drei Werkstoffbereiche sind in der Tabelle 9.4 zusammengefasst. Das Schweiggut weist deutlich hShere Initiierungsbruchz~higkeiten als der Grundwerkstoff und die Ws auf.

9.3.3

Bauteilversuch an einer Rohrleitung mit Schweignahtrissen

Versuchsdurchfiihrung In Zusammenarbeit mit der Schweigtechnischen Lehr- und Versuchsanstalt Halle wurde ein Bauteilversuch an einer Ferngasleitung DN 920 durchgefiihrt, siehe [153]. Der PriifkSrper und der Versuchsaufbau sind schematisch in Bild 9.22 dargestellt. Der PriifkSrper wurde so aus zwei vorhandenen Original-Rohrleitungen gefertigt, dass im zentralen Bereich der h6chsten Belastungen im Abstand von 2 m zwei Original-Rundschweign~ihte (1 und 2) eingebaut sind. Ziel des Bauteilversuches war die Festigkeitspriifung der Schweign~ihte mit kiinstlich eingebrachten rissartigen Fehlern. Da technologische Fehler in Schweiign~ihten typischerweise in Umfangsrichtung ausgerichtet sind, wurde in beide Schweitgn~ihte je ein etwa halbelliptischer Oberfl~ichenkerb von der Auigenseite bei der 6-Uhr Position mechanisch mit Hilfe einer Testfehlerss eingebracht und durch zyklische Innendruckbelastung ein Ermiidungsanriss angeschwungen. Die Abmessungen des PriifkSrpers und der Risse betrugen: Augenradius

ra =

460 mm

Innenradius

ri =

447 mm

Wandst~irke

h =

13mm

Abstand zwischen den Krafteinleitungspunkten

2ll --

4 000 mm

Abstand zwischen den Auflagern

2/2 =

8 800 mm

Riss 1 in Rundnaht 1: Langer Oberfl~chenriss Tiefe a = 8,5 mm, L~nge c = 160 mm Riss 2 in Rundnaht 2: Kurzer Oberfls Tiefe a = 8,5 ram, L~nge c = 16 mm

364


Bild 9.22: Bauteilversuch: R,ohrleitung mit zwei Schweignghten unter Innendruck und VierPunkt-Biegung

Bild 9.23: Versuchsaufbau zur Druck- und Biegebelastung des PrfifkSrpers

9.3 Z~hbruchbewertung von Schweigverbindungen in Gasrohrleitungen

365

Der Versuchsaufbau war so konzipiert, dass der PriifkSrper sowohl durch Innendruck p (Wasser) als auch zus~tzlich fiber zwei Hydraulik-Aktoren mit Kr~iften F von je maximal 1000 kN durch eine Vier-Punkt-Biegung belastet werden konnte (9.23). Durch die Biegebelastung, die am Ort der PLisse die hSchsten Spannungen verursacht, sollten die in der Praxis auftretenden Zusatzspannungen in L~ingsrichtung der Rohrleitungen simuliert werden. Diese L~gsspannungen sind bei Schweignahtrissen in Umfangsrichtung wesentlich bedeutsamer fiir das Bruchverhalten und die Plastifizierung der Restwandst~rke als die vom Druck erzeugten Umfangsspannungen. Ziel war die Belastung des PriifkSrpers bis zum Bruch bzw. Bersten (Leck). Das Belastungsprogramm setzte sich aus fiinf Stufen zusammen: 1. keine Biegebelastung, Aufbringen des Drucks bis p -- 5,5 MPa (Betriebsdruck) 2. Biegelast aufbringen bis Zylinderkraft F = 600 kN, Druck p = 5,5 MPa = konstant 3. Biegelast halten bei F -- 600 kN, Steigerung des Drucks auf p -- 7,0 MPa 4. Biegelast auf technisches Maximum F -- 1000 kN anheben, Druck p -- 7,0 MPa = konstant. Da bis zu dieser Belastung noch kein Versagen des PriifkSrpers eintrat, folgte 5. Biegelast F = 1000 kN = konstant, Steigerung des Drucks bis zum Bersten Der zeitliche Verlauf des Innendrucks p im PriifkSrper und der Aktorkr~fte F i s t in Bild 9.24 dargestellt.

Bild 9.24: Belastungsprogramm des PriifkSrpers

366


Versuchsergebnisse Der PriifkSrper versagte durch stabiles Risswachstum des kiinstlich eingebrachten langen Oberfl~chenrisses 1 in der Rundnaht 1, was zu einem etwa 50 m m groi~en Leck und dem vollst~ndigen Druckabfall fiihrte, d.h. die vorteilhafte Situation >>Leck vor Bruch>Sicherheit gegen Versagen 0, siehe Bild A.2. Eine TAYLOmEntwicklung

Bild A.2: Geschwindigkeitsfeld benachbarter materieller Teilchen der Geschwindigkeit im Punkt P ( x ) darstellt. dv -- d& -- l 9dw l--

OV

bzw.

Ox - V "v = lijeiej

liefert d r , wobei l den G e s c h w i n d i g k e i t s g r a d i e n t e n

(A.22)

dvi -- lij dxj mit

OVi

lij = O x j = vi'Y

(A.23)

A.2 Verformungszustand l = F . F -1

l,j = FiMFM 1

bzw.

379 (A.24)

Der Geschwindigkeitsgradient kann in einen symmetrischen und antimetrischen Anteil zerlegt werden:

l=d+w d = 1(1 + l T) w = l(l -/T)

bzw. bzw.

1 dij = -~(vi,j + vj#)

(A 5)

1

wij = -~(vi,j - vj#)

Der Tensor der Defo~mationsgeschwindigkeit d beschreibt die .~nderungsgeschwindigkeiten der L~ngen und Winkel materieller Linienelemente, w~ihrend der Drehgeschwindigkeitstensor (Spintensor) w ihre lokalen StarrkSrperrotationen wiedergibt. Dazu bestehen folgende Zusammenh~inge mit den Zeitableitungen der Verzerrungstensoren: In der Momentankonfiguration: d -- ~/+

l T

9

?1 -{- ~ " I

bzw.

dij = iIij + vk# ZIkj + ~ik Vk,j

(A.26)

und in der Ausgangskonfiguration:

D=F.d.F=E,

1

mit E = ~ ( v + v T + v T ' ? . t ~ - u T ' v )

DMN ----Xm,M d,,~ x m n = EMN 1

mit

(A.27)

F_IMN = -~(VM, N -{- VN, M ~- VK, M UK,N ~- UK, M V K , N ) .

A.2. 4

L i n e a r i s i e r u n g fiir k l e i n e D e f o r m a t i o n e n

Fiir viele Aufgaben der Festigkeitslehre kSnnen die Verzerrungen als infinitesimal klein angesehen werden. In diesem Fall vereinfacht sich die zuvor dargestellte Theorie gros endlicher Deformationen erheblich, weil die nichtlinearen quadratischen Terme der Verschiebungsgradienten beim GREEN-LAGRANGEsChen (A.17) und EULER-ALMANSIschen Verzerrungstensor (A.18) dann in (A.20) vernachl~ssigt werden diirfen. Ebenso l~sst sich zeigen, dass die Ableitung des Verschiebungsvektors nach der materiellen Koordinate mit derjenigen nach der r~iumlichen zusammenf'dllt

OUM OXN

-

-

aura OXn

~,~ --.

(A.28)

380

A Grundlagen der Festigkeitslehre

g12

r163162

T

bzw.

g13]

[~id]= [:1211 ~22 ~23| =[~ij] T Le31 e32 e33J

(A.30)

Ebenso reduziert sich die Deformationsgeschwindigkeit auf ~,~-,E=~I(vvq-(Vv)T)

bzw.

1 gij~--,~ij~--~Eij=~(vi,jq-vj,i) .

(A.31)

Die geometrische Bedeutung der einzelnen Komponenten des Verzerrungstensors soll in der (xl, x2)-Ebene veranschaulicht werden, siehe Bild A.3. Wir betrachten drei Punkte P (Xl, x2), Q (xl + dxl, x2) und R (xl, x2 + dx2), deren Lage auf dem unverformten K5rper markiert wird. Infolge der Verformung verschieben sie sich in die Lagen P~, Q~ und R ~. Die im Verzerrungstensor (A.29) enthaltenen Verschiebungsgradienten entsprechen der in Bild A.3 angegebenen TAYLOR-Entwicklung von u(x) am Punkt P. Die relativen Liingeniinderungen der Linienelemente PQ und PR in ihre Achsenrichtungen Xl und x2 bezeichnet man als Dehnungen (analog f/ir die x3-Koordinate):

ell --

p~Q, _ PQ pQ

O~tl Oxl

OU2

OU3

g22 - Ox 2

g33 = Ox 3

(A.32)

Unter Gleitungen versteht man die Ver~nderungen des Winkels am verformten Volumenelement gegenfiber dem rechtwinkligen Ausgangszustaad, siehe Bild A.3: 0U2 "}/12 = OLq- fl ~,~ taan_ol q- t a n fl = ~ + 0Ul Ox-2

(A.33)

Die entsprechende Komponente e12 des Verzerrungstensors hat den halben Wert des technischen Gleitwinkels 712. Ubertr~gt man diese Betrachtungen auf die beiden anderen Koordinatenebenen, so lassen sich die Gleitungen folgendermagen ausdriicken:

1 (Ou2

Olt1 ~

1

1 lOu3

Ou2~

1

~23 = ~ k0x2 q- C9x3] =S32 = ~ 2 3

1 {Oul

Ou~

1

e31 : ~ ~0X3 -~- OXl] = el3 = ~ 7 3 1 "

(A.34)

A.2 Verformungszustand

381

Bild A.3: Verschiebungen und Verzerrungen in der (xl, x2)-Ebene Ftir den Verzerrungstensor kann man so genannte Hauptachsen finden, d. h. Koordinatenrichtungen, fiir die alle Gleitungen null werden und die Dehnungen Extremwerte (Hauptdehnungen) annehmen. Die dazugeh6rige Koordinatentransformation in ein Hauptachsensystem wird in Kapitel A.3. 3 ausffihrlich am Beispiel des Spannungstensors erliiutert. Die drei Hauptdehnungen e~ (mit a = {I, II, III}) gehSren zu senkrecht anfeinander stehenden Ranmrichtungen und werden der Gr6ge nach geordnet.

Vereinbarung: eI

(A.35)

___~gII ---~ gIII

In den zu den Hauptachsen jeweils um 45 Grad gedrehten Koordinatensystemen nehmen die Gleitungen Extremwerte an, deren GrSgen Hauptgleitungengenannt werden. Sie berechnen sich folgenderma~en: 7I = (eli -- elII) ,

7II = (eI -- elII) ,

7Ill = (eI -- eli)

(A.36)

Wichtig ist ftir die Materialtheorie noch die folgende Zerlegung des Verzerrungstensors. Eij kann anfgespalten werden in einen Anteil e D z3 der eine reine Gestaltgnderung des Volumenelementes darstellt und einen Anteil e H, der ausschliet~lich die Volumen~iaderung beschreibt. sij = s D q- e H 6ij

(A.37)

Die relative Volumengnderung entspricht der Summe der Dehnungen und wird als allseitige mittlere Dehnung im so genannten Kugeltensor ausgedrfickt. Der verbleibende gestalt~indernde Anteil wird als Deviator bezeichnet.

382


Volumendehnung:

AV - - ~ 1 1 -[- ~ 2 2 -~- ~ 3 3 =

ekk = 3 GH

V0 Kugeltensor:

EH ~ij ,

(A.38) ~n = ~k___k_k 3 '

Deviator:

A. 3

Spannungszustand

A.3.1

Spannungsvektor und Spannungstensor

ED = Eij -- EH ~ij

Auf einen deformierbaren K6rper wirken yon angen Kr/ifte, die je nach ihrer physikalischen Ursache an der Oberfl/iche a oder im Volumen v angreifen. Das soll zun/ichst fiir die aktueUe Belastung in der Momentankonfiguration erl~iutert werden, Bild A.4. FlSchenkrSfte t sind Kr/ifte ds pro Fliicheneinheit, die bestimmte Bereiche der KSrperoberfl~iche belasten wie z. B. der iiugere Druck. Unter Volumenkr~'ften b versteht man ~ugere Kr~fte pro Volumeneinheit, die an den Teilchen im Inneren des KSrpers angreifen wie z.B. die Schwerkraft oder elektromagnetische Felder. Die aus der Technischen Mechanik bekannten Linien- und Einzelkr/ifte stellen Spezialf~lle der Fl~chen- und Volumenkr~ifte dar.

Bild A.4: KSrper mit F1/ichen- und Volumenkr/iften F1/izhenkr~fte:

ds t-----~aa '

Volumenkr/ifte:

ds b - - d-~

(A'39)

Aufgrund der /iu~eren Belastung entstehen im KSrper innere Kr/ifte, die mit Hilfe des Schnittprinzips auf gedachten inneren Fls sichtbar gemacht werden kSnnen. Sie haben den Charakter von Fliichenkr~iften bzw. Spannungen und werden durch die Begriffe Schnittspannungsvektor und Spannungstensor gekennzeichnet. An einem beliebigen Punkt P legen wir eine differentiell kleine Schnittfl/iche da mit einer beliebigen Orientierung fest, die durch ihren Normaleneinheitsvektor n definiert ist, siehe Bild A. 5. Aus der wirkenden differenziellen Schnittkraft ds pro Schnittfl~che da erh~lt man durch Grenzwertbildung den Schnittspannungsvektor t ds aktuelle Schnittkraff t( x, n, t) -- da - aktuelle Schnittfl~iche "

(A.4o)

A.3 Spannungszustand

383

Bild A.5: Spannungsvektor t an einer Schnittfl~iche da mit der Orientierung r~ Da es sich um die aktuelle Schnittkraft auf dem deformierten Flgchenelement in der Momentankonfiguration handelt, spricht man auch vom wahren oder CAVCHYschen Spannungsvektor. Der CAUCHYsche Spannungsvektor kann in eine Komponente senkrecht zur Flgche, die Normalspannung cr, und eine tangential in der Fliiche wirkende Schubspannung T zerlegt werden. Der Spannungsvektor t h~ingt vom Ort P ( x ) , der Orientierung n d e r Schnittflgche und evth von der Zeit t a b . Das bedeutet, eine Schnittorientierung n allein reicht nicht aus, um den Beanspruchungszustand bei P bzgh jeder beliebigen Schnittttgche eindeutig zu beschreiben. Wir untersuchen deshalb den Spannungszustand in P bzgh der drei Schnittebenen senkrecht zu den Koordinatenachsen n l = el, n2 e2 und n 3 e3, was jeweils einen Schnittspannungsvektor tl (nl), t2(n2) und ta(n3) ergibt. =

=

Bild A.6: Zur Definition des Spannungstensors Die Spannungsvektoren ti an jeder Fl~Lche werden nun in ihre drei kartesischen Komponenten aij zerlegt, was in Bild A.6 dargestellt ist. ti = a i l e l + ai2e2 + ai3e3 = o'ijej

(A.41)

Dabei bedeutet der 1. Index i die Orientierung der Schnittflgche, wghrend der 2. Index j auf die Richtung der Spannungskomponente aij hinweist. Demnach stellen Spannungs-

384


komponenten mit gleichen Indizes i = j Normalspannungen 0.11, 0.22, 0.33 dar, die auf den jeweiligen Schnittfl~ichen senkrecht wirken. Besitzen die Spannungskomponenten verschiedenen Indizes i ~ j, so handelt es sich u m die 6 Schubspannungen 0.12, 0.21, 0.23, a32 , a31 , o-13, die wir gleichbedeutend auch mit ~-ij bezeichnen. Fiir die Vorzeichen der Spannungen gelten dieselben Vereinbarungen wie sie bei SchnittgrSs iiblich sind, d.h. Spannungskomponenten werden als positiv definiert, wenn sie a m positiven (bzw. negativen) Schnittufer in positive (bzw. negative) Koordinatenrichtung zeigen. Ordnet m a n die K o m p o n e n t e n der drei Schnittspannungen ti zeilenweise in einer 3 x 3 Matrix an, so bilden sie in dieser Form die neun K o m p o n e n t e n eines Tensors 2. Stufe.

A n h a n d des Momentengleichgewichts a m Volumenelement kann m a n beweisen, dass einander zugeordnete Schubspannungen auf senkrecht zueinander stehenden Fl~chenelementen gleich sind, d. h. T21 = T12, T32 = ~-2~ und 71~ = T31. Damit wird der Spannungstensor symmetrisch a

:

a T

bzw.

0.ij

(A.43)

---- 0.ji

und reduziert sich auf 6 unabhs

skalare K o m p o n e n t e n 0.11, 0"22, 0.33, 7"12, T23, T31.

U m dies zu beweisen, muss der Z u s a m m e n h a n g zwischen ~r und t hergestellt werden. Zu diesem Zweck untersuchen wir einen differenziell kleinen Tetraeder bei P in der Momentankonfiguration, der durch die bereits bekannte Schnittfi~iche da mit dem Normalenvektor n sowie drei weitere Dreiecksfl~ichen dai begrenzt wird, die jeweils senkrecht zu den Koordinatenachsen ei liegen, siehe Bild h. 7. Die Fl~icheninhalte dieser Dreiecke berechnen sich durch Projektion der Schnittfl~iche da auf die jeweilige Koordinatenachse mit dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels: dai = n . ei da = cos(n, e~) da = ni d a . Wertet m a n jetzt das Kr~ftegleichgewicht a m Tetraederelement unter Verwendung von (A.41) aus, so ergibt sich t d a - ti dai -- 0 t j e j d a - 0.~j n~ e j d a = ( t j - 0.~jni) e j d a = O.

A.3 Spannungszustand

385

Bild A.7: Spannungszustand am Tetraederelement

Das Verschwinden des Klammerausdrucks liefert die gesuchte Relation zwischen Spannungsvektor und Spannungstensor (unter Beachtung der Symmetrie von a ) : tj ----aij ni ----aji ni

bzw.

t(x,

n, t) ----~rT(x, t ) . n ----er. n .

(A.44)

Oder in Matrizenschreibweise:

Sie gilt auch f/ir den Grenzfall, dass der Punkt P a u f der KSrperoberfi/iche liegt und das Fl~ichenelement da selbst ein Oberfl~ichenelement mit nach autgen gerichtetem Normalenvektor n i s t . Dann muss der lokale Beanspruchungszustand (Spannungstensor) so beschaffen sein, dass der entstehende Spannungsvektor t = ~r. n genau der Oberfl~chenkraft E entspricht. A.3.2

S p a n n u n g e n in d e r

Ausgangskonfiguration

Der CAUCHYsche Spannungstensor beschreibt die wahren Spannungen in der EULERschen Betrachtungsweise der Momentankonfiguration. Will man SpannungsgrSfgen in LAGRANGEscher Betrachtung definieren, so miissen die Kraft- und Fl~ichengrStgen am Ort x auf die Ausgangskonfiguration bei X umgerechnet werden, siehe Bild A.8. Bezieht man die Oberfl~ichenkraft d~ bzw. die Schnittkraft ds auf die Ausgangsfl~iche dA, so erh~ilt man

386


Bild A.8: Zur Definition der Spannungstensoren in der Ausgangskonfiguration

den Vektor der nominalen oder Nennspannung. P-

ds aktuelle Schnittkraft dA - Ausgangs-Schnittfl/iche

(A.46)

Der zugehSrige Spannungstensor P wird 1 .PIOLA-KIRCHHOFFscher Spannungstensor genannt. F/ir ihn gilt die CAUCHYsche Formel (A.44) in analoger Form, wobei jetzt der Normalenvektor N auf dA in der Ausgangskonfiguration verwendet wird. p(X,N,t)

= N. P

bzw.

Pl

= NM PMI

(A.47)

Die Umrechnung in den ChUCHYschen Spannungstensor lautet wie folgt: P---- d e t ( F ) F - 1 . er

bzw.

PMI

= gF~llkcrkl 9

(A.48)

Der 1. PIOLA-KIRCHHOFFsche Spannungstensor ist nicht symmetrisch, was f/Jr die Formulierung von Materialgleichungen sehr ungiinstig ist. Aus diesem Grunde wurde der r Spannungstensor dergestalt eingeffihrt (Pseudo-Spannungstensor), dass er Symmetrieeigenschaft bekommt. Hierzu definiert man einen >>fiktiven>Ausgazlgs>recall( 0). Bei Entlastung aus dem Plastischen (~5 = 0, ~ < 0, A = 0) sowie im Elastischen (4i < 0, ii = 0) gilt das HOOKEsche Gesetz. Es fehlt jedoch noch eine Bestimmungsgleichung fiir den plastischen Multiplikator A. Sie gewinnt man mit Hilfe der so genannten Konsistenzbedingung, die besagt, dass die Flies bei weiterer Verfestigung immer den W e r t 9 = 0 beibehalten muss, d.h. das totale Differenzial verschwindet: 04~

04~

0O

9

(A.124)

= o--~j~ + 8-~R+ o-2-~ x~ = o.

Fiir kombinierte isotrop-kinematische Verfestigung berechnen sich die einzelnen Terme

0o_s Oaij

oo s OXi---~--

und mit den Evolutionsgesetzen

s163163

s

oo 2

~v

'

0---R= - 1

(A'125)

(A.123) folgt: ~

A-s

(A.l~6)

3/2 Die elastischen Verzerrungsraten ergeben sich nach (A.95) aus den Gesamtraten minus dem plastischen Anteil, so dass mit dem HOOKEschen Gesetz (A.77) die Spannungsraten

408


ermittelt werden kSnnen: a~ "p = C~jkl (~kl 9 = Ci~kl ~ l = Ci~kl (~kl -- ~kl)

A~kl).

(A.1~7)

Einsetzen von A aus (A.126) ergibt den Zusammenhang zur Gesamtverzerrungsrate Ek~

A=

9~j c~sk~

~k~,

(A.128)

woraus schlieglich die gesuchte Beziehung folgt.

Den Tensor C~Pkl(aij, Xij, R) bezeichnet man als elastisch-plastische Kontinuumstangente. Er h/ingt vom aktuellen Spannungszustand und fiber die Verfestigungsvariablen von der Verformungsgeschichte ab.

D e f o r m a t i o n s t h e o r i e der Plastizit~it Im Unterschied zu den inkrementellen Verformungsgesetzen der plastischen Fliegtheofie, die im vorangegangenen Abschnitt vorgestellt wurden, hat HENCKY (1924) [164] ein finites Verformungsgesetz fiir nichtlineares Materialverhalten aufgestellt, das als so

A.4 Materialgesetze

4o9

genannte Deformationstheorie der Plastizitdt (engl. deformation theory of plasticity) bezeichnet wird (was allerdings etwas irrefiihrend ist). Dieses Materialmodell besitzt auch heute noch Bedeutung fiir die Bruchmechanik, weshalb n/iher darauf eingegangen werden soll. In der Deformationstheorie werden die grundlegenden Annahmen der isotropen Plastizit~itstheorie insoweit fibernommen, als dass die plastischen Verzerrungen proportional zum Spannungsdeviator sind und somit die Inkompressibilit~t gew~hrleistet ist. Ebenso werden die Gestaltfinderungshypothese und v. MIssssche Fliet~funktion verwendet. A1lerdings wird abweichend v o n d e r Fliet~theorie anstelle der Flief~regel ein proportionaler Zusammenhang zwischen den totalen plastischen Verzerrungen und den aktuellen Spannungen vorausgesetzt.

gijP : A a D

(A.132)

Der Proportionalit/itsfaktor A ergibt sich aus der Ubertragung der einachsigen Fliegkurve auf den mehrachsigen Fall mit Hilfe der v. MISES Vergleichsspannung av = und der plastischen Vergleichsdehnung sP -o~ = f(g')

~

P gPij, womit Qj

V~ aij aij

mail erh~lt:

~v = / ( g ~ ) .

(A.133)

Durch Erg~inzung der elastischen Verzerrungsanteile erh~lt man das finite HENCKYSChe Materialgesetz, aufgespalten in hydrostatischen und deviatorischen Anteil

g~ = g~ + g~ _ okk3g~ + V,1 ~J~ + ~3 ~-7 gv~ ~ "

(A.134)

Dieses Gesetz wird oft in Verbindung mit dem Verfestigungspotenzgesetz nach RAMBER.G-OsGOOD (A.118) angewandt. Die Verallgemeinerung auf den mehrachsigen Fall geschieht mit den VergleichsgrSgen av und sP, so dass sich folgende Beziehung zwischen den plastischen Verzerrungen und den Spannungen ergibt:

( (7v ~n g vp

=(~

go

--

\ao/

(gp~ ~

O~gO ( O'v~n--1 = - -

\av/

__

~o \ a o /

gijP ~ - -

(

3 =

go

(~

2

av --

\ao/

~n--I

aD __

(A.135)

ao

Dieses Materialgesetz wird in der Deformationstheorie auch als dreidimensionale Form des RAMBERG-OSGOOD-Gesetzes bezeichnet. Wie man durch Vergleich mit dem PRANDTL-REUss-Gesetz (A.111) der inkrementellen Plastizit~itstheorie leicht erkennen kann, stellt die Deformationstheorie der Plastizit~t tats~chlich gar kein plastisches, sondern lediglich ein nichtlinear-elastisches (hyperelastisches) Materialgesetz dar, dessen elastisches Potenzial durch Integration der Form~nderungsenergie leicht zu berechnen ist. u(g~)

n 1 [g(4k) ~ +2,g~Sg~5] + n + l

= u ~+ up = ~

fro

~+i

(,g0)~/~ (gv') ~

(A.~36)

Dafiir hat es aber den Vorteil, mathematisch einfacher handhabbar zu sein, wodurch in

4xo


einigen F/illen sogar geschlossene LSsungen von Randwertproblemen mSglich werden. Durch die >>finite>radial

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