Mathcad : математический практикум. Часть 2: Учебное пособие к спецкурсу

М И Н И СТ Е РСТ В О О БРА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РСИ Т Е Т

Е сипе нко Д .Г ., Э ксаре вская М .Е .

MathCAD : м а т ем а т и ч еск и й п ра к т и к ум Ч а ст ь II

У ч е бно е по со бие

к спе цкурсупо спе циально ст и «П рикладная мат е мат ика и инф о рмат ика» 510200 Е НФ.02

В ороне ж 2003

2 У тверж дено научно -методическим про токо л№ 5 о т26.02.2003 г .

со ветом

В ГУ

факультета ПМ М

Со ставители: Э ксаревская М .Е ., Е сипенко Д .Г. Н ауч. ред. Ры ж ко вА .В .

Про г рамма по дг о товлена на кафедре В ы числитель но й математики факультетаПМ М В о ро неж ско г о г о сударственно г о университета. Реко мендуется для студентов 3 и 4 курсо в д/о и аспирантов факультета ПМ М .

3

В ве де ни е MathCAD - о дин из самы х по пулярны х и, безусло вно , самы х распро страненны х в студенческо й среде математических пакетов. О н предо ставляетпо льзо вателю о бш ирны й набо р инструментов для реализации г рафических, аналитических и численны х методо в реш ения математических задачнако мпью тере. Предлаг аемо е учебно е по со бие представляет со бо й сбо рник ко мпью терны х занятий всреде MathCAD по стандартно мукурсуматематики в рамках факультета ПМ М . В учебно м по со бии приво дятся примеры реш ения задач всреде MathCAD. Структурапрактикуматако ва, что бо льш ая частьматериала не связана с ко нкретны м про г раммны м о беспечением и ег о мо ж но успеш но испо льзо ватьне только с лю бо й версией MathCAD, но и с другими математическими пакетами. Ц ель по со бия – научить бы стро и лег ко реш ать в среде MathCAD про стей ш ие математические задачи. По э томувучебно м по со бии нетпо лно г о о писания во змо ж но стей и функций пакета, а предо ставляю тся только нео бхо димы е о перации, вы несенны е в меню и кно по чны е панели, а такж е наибо леечасто испо льзуемы е встро енны ефункции. О сно вы рабо ты с MathCAD, а такж е инструменты для реш ения задач линей но й алг ебры и математическо г о анализа о писаны в перво й части по со бия. В о второ й части рассматриваю тся испо льзуемы е инструменты MathCAD для реш ения о бы кно венны х дифференциальны х уравнений и задач тео рии веро ятно стей и математическо й статистики. У чебно е по со бие адресо вано ш иро ко мукругу: студентам, аспирантам, препо давателям вузо в и специалистам, испо льзую щ им пакетв практическо й рабо те.

4

1 И с пользуе м ы е и нс трум е нты MathCAD для ре ш е ни я об ы кнове нны х ди ф ф е ре нци альны х уравне ни й. Рассмо трим о сно вны е функции MathCAD, предназначенны е для численно г о реш ения задачи К о ш и для о бы кно венны х дифференциальны х уравнений и систем, и неко торы е инструменты для исследо вания уравнений. В MathCAD нет средства симво льно г о реш ения дифференциальны х уравнений. В э том разделе о писаны а лгори т м ы реш ени я за да ч и Кош и и м ет оды и сследова ни я реш ени й обы к новенны х ди фференци а льны х ура внени й и си ст ем . У равнения с частны ми про изво дны ми в э том разделе нерассматриваю тся. По чти все функции MathCAD предназначены для реш ения задачи К о ш и но рмальны х систем о бы кно венны х дифференциальны х уравнений ; задачаК о ш и для уравнений сво дится к реш ению задачи для системы . Рассмо трим задачуК о ш и:  y1' = f1( x, y1, y2 ,..., yn ),  '  y2 = f 2 ( x, y1, y2 ,..., yn ),  KKKKKK  '  yn = f n ( x, y1, y2 ,..., yn ),

 y1 ( x0 ) = y0,1,   y2 ( x0 ) = y0, 2 ,  KKKKK  yn ( x0 ) = y0, n . 

Численно е реш ение э той задачи со стоит в по стро ении таблицы приближ енны х значений yi,1, yi ,2 ,..., yi ,n , i = 1,2,..., N , реш ения y1( x), y2 ( x),..., yn ( x) на о трезке [ x0 , xN ] в точках

x0 , x1,..., xN , ко торы е

назы ваю тся узлами се т ки. О бо значив Y ( x) = ( y1( x), y2 ( x),..., yn ( x)), Y0 = ( y0,0 , y0,1,..., y0, n ), Y ' = ( y1' ( x), y2' ( x),..., yn' ( x)), F( x, Y ) = ( f1( x, y1, y2,..., yn ), f 2( x, y1, y2,..., yn ),..., f n ( x, y1, y2 ,..., yn )), г де Y - иско мо е реш ение; Y0 - вектор начальны х усло вий; F ( x, Y ) - вектор правы х частей, запиш ем системудифференциальны х уравнений в векторно й фо рме: Y ' = F ( x, Y ) ,

Y ( x0 ) = Y0

5 В MathCAD реш итьзадачуК о ш и для тако й системы мо ж но с по мо щ ью следую щ их функций : • rkfixed(у, х1, х2, npoints, D) - реш ение задачи на о трезке методо м Рунг е – К уттаспо стоянны м ш аг о м; • Rkadapt(у, х1, х2, npoints, D) - реш ение задачи нао трезке методо м Рунг е – К уттас автоматическим вы бо ро м ш аг а; • rkadapt(у, х1, х2, ас c, npoints, D, kmax, save) - реш ение задачи в заданно й точке методо м Рунг е - К утта с автоматическим вы бо ро м ш аг а; Смы сл параметро в для всех функций о динако в и о пределяется математическо й по стано вко й задачи: • у - векторначальны х усло вий Y0 , yi = (Y )i ; • х1, х2 - начальная и ко нечная точки о трезка интег риро вания системы ; для функций, вы числяю щ их реш ение в заданно й точке, х1 -начальная точка, х2 - заданная точка; • npoints - число узло в на о трезке [ x1, x2 ] ; при реш ении задачи на о трезке результатсо держ ит(npoints + 1) стро ку; • D - имя вектора - функции D ( x, y ) , со держ ащ ей правы е части F ( x, Y ) , Di ( x, y ) = fi ( x, y1,..., yn ) ; • ас c - параметр, ко нтро лирую щ ий по г реш но сть реш ения при автоматическо м вы бо ре ш аг а интег риро вания (если по г реш но сть реш ения бо льш е асc, то ш аг сетки уменьш ается; ш аг уменьш ается до тех по р, по каег о значениенестанетменьш еsave); • kmax - максимально е число узло в сетки, в ко торы х мо ж етбы ть вы числено реш ение задачи на о трезке (максимально е число стро к в результате); • save - наименьш еедо пустимо езначениеш аг анеравно мерно й сетки. Результатрабо ты функции - матрица, со держ ащ ая n + 1 столбец; ее первы й столбец со держ ит ко о рдинаты узло в сетки, второ й столбец вы численны е приближ енны е значения реш ения y1( x) в узлах сетки, ( k + 1) -й - значения реш ения yk (x ) . При реш ении задачи К о ш и для дифференциально г о уравнения перво г о по рядкарезультаты вы числений всех приведенны х вы ш е функций - матрица, в перво м столбце ко торо й со держ атся ко о рдинаты узло в сетки x0 , x1,..., xn , а во второ м - значения приближ енно г о реш ения всо о тветствую щ их узлах.

6 ЗадачаК о ш и для дифференциально г о уравнения по рядкавы ш е перво г о ( n -г о по рядка) сво дится к задаче К о ш и для э квивалентно й но рмально й системы дифференциальны х уравнений n -г о по рядка. Пусть y ( n ) = f ( x, y , y ' ,..., y ( n −1) ) , y ( x0 ) = y0 , y ' ( x0 ) = y0,1 ,… , y ( n −1) ( x0 ) = y0, n −1 .

О бо значив y1 ( x) = y ( x) , y2 ( x) = y ' ( x) ,… , yk ( x) = y ( k −1) ( x) ,… , yn ( x) = y ( n −1) ( x) , y0 = y ( x0 ) , y0,1 = y ' ( x0 ) ,… , y0, k = y k ( x0 ) ,… , y0, n −1 = y ( n −1) ( x0 ) ,

по лучим задачу К о ш и для но рмально й системы уравнений, реш ениеко торо й вMathCAD о писано вы ш е:  y1' = y2 ,  '  y2 = y3 ,  KKKKK  '  yn −1 = yn ,  y ' = f ( x, y , y ,..., y ), 1 2 n −1  n

дифференциальны х

 y1 ( x0 ) = y0,0 ,   y2 ( x0 ) = y0,1,  KKKK  yn ( x0 ) = y0, n −1. 

В библио теке встро енны х функций MathCAD [2] есть функция odesolve, предназначенная для реш ения линейны х дифференциальны х уравнений. Ф ункция odesolve реш аетзадачуК о ш и сначаль ны ми усло виями y ( x0 ) = y0 , y ' ( x0 ) = y0,1 ,… , y ( n −1) ( x0 ) = y0, n −1

или про стей ш ую краевую задачу, в ко торо й заданы n г раничны х усло вий (запрещ ены линейны е г раничны е усло вия, например αy (a ) + βy ' (a ) = γ ), о пределяю щ их значения иско мо й функции y (x) и ее про изво дны х в ко нцах о трезка[ a, b] , т.е. заданы n г раничны х усло вий вида y ( k ) ( a) = ya , k , y ( m ) (b) = yb, m , 0 ≤ k ≤ n − 1 , 0 ≤ m ≤ n − 1 . Перед о бращ ением к функции odesolve(х, b, step) или odesolve(x, b) нео бхо димо записать клю чево е сло во Given, затем ввести уравнение и начальны е либо г раничны е усло вия. Здесь х - имя переменно й интег риро вания (арг умента иско мо й функции), b - правы й ко нец о трезка интег риро вания, step - ш аг , ко торы й испо льзуется при интег риро вании уравнения методо м Рунг е – К утта(э тотарг ументмо ж но о пустить). При вво де уравнения и усло вий задачи испо льзуется знак симво льно г о равенства(+), адля записи про изво дны х мо ж но испо льзо ватькак о ператор дифференциро вания, так и знак про изво дно й. Н апример, вторую

7 d2 про изво дную мо ж но ввести в виде 2 y ( x) о бы чны м спо со бо м или в виде dx y ' ' ( x) , испо льзуя ко мбинацию клавиш +. Ф ункция odesolve реш аетпо ставленную задачуметодо м Рунг е – К утта с фиксиро ванны м ш аг о м. Д ля реш ения задачи методо м Рунг е – К утта с автоматическим вы бо ро м ш аг а нуж но щ елкнутьв рабо чем до кументе по имени функции право й кно пко й мы ш и и по метитьвко нтекстно м меню пункт Adaptive. 1.1

Задача К ош и для ли не йного ди ф ф е ре нци ального уравне ни я

Н айдем с по мо щ ью функции odesolve нао трезке [0,4π ] реш ение задача x , y (0) = 0 , y ' (0) = 1 . Ф раг ментрабо чег о до кумента 2π MathCAD, со держ ащ ег о вы числения и г рафик реш ения, приведен ниж е. К о ш и y ' ' = y ' sin x + y =

Given

x

y''(x) − sin( x) ⋅ y'( x) + y ( x)

2⋅π

y := odesolve ( x , 4 ⋅ π )

y ( 0)

y'( 0)

0

1

5 2.5

y ( x)

0

2

4

6

8

10

12

2.5 5

x

1.2 Ре ш е ни е задачи К ош и для ди ф ф е ре нци ального уравне ни я пе рвого порядка Н айдем на о трезке [0,π ] приближ енно е реш ение уравнения y '= sin xy , удо влетво ряю щ ее начальны м

усло виям

y (0) = 1 , и по стро им

г рафик

найденно г о реш ения. Реш им задачучисленно , испо льзуя алг о ритм Рунг е – К уттас фиксиро ванны м ш аг о м насеткеиз 20 равно о тстоящ их узло в. Ф раг ментрабо чег о до кумента MathCAD, со держ ащ ий вы числения и г рафик, приведен ниж е.

8 D ( x , y) := sin( x ⋅ y1)

ORIGIN := 1 y1 := 1 Y := rkfixed( y , 0 , π , 20 , D)

1 1

2

Y 〈2〉

Y= 1

0

1

2

3

4

Y 〈1〉

2 0

1

2

0.157 1.012

3

0.314

4

0.471 1.115

5

0.628 1.208

6

0.785 1.331

7

0.942 1.477

8

1.1 1.633

9

1.257 1.774

1.05

10 1.414 1.874

У казание. Присво йте переменно й ORIGIN значение, равно е 1, чтобы нумерация ко мпо нентвектора начиналасьс единицы . При реш ении задачи К о ш и для уравнения перво г о по рядка вектор реш ения имеетединственную ко мпо ненту y 1 . В ектор правы х частей такж е со держ ито дну ко мпо ненту. Перед о бращ ением к функции rkfixed присво йте переменно й y 1 начально е значение, равно е единице, апеременно й D(х,у) - вы раж ение для право й части уравнения, равно е sin(xy1). В приведенно м фраг ментерезультаты вы числений функции rkfixed(y, 0, π ,20, D) присво ены матрице Y; о насо держ итвперво м столице ко о рдинаты 20 узло в равно мерно й сетки на о трезке [0, π ] , а во второ м - приближ енны е значения реш ения в э тих узлах (в приведенно м до кументе представлена только частьтаблицы ). Д ля тог о чтобы вы вести в рабо чий до кумент таблицу значений реш ения, наж мите на клавиатуре клавиш и , и таблица значений будетвы ведена в рабо чем до кументе справа о тзнака равенства. Щ елкните по по лю таблицы и про смо трите ее, испо льзуя стрелки про крутки. Д ля тог о чтобы по стро итьг рафик реш ения, щ елкните по кно пке

в панели г рафико в

переменно й на о си абсцисс Y



и введите в качестве

(столбец ко о рдинатузло в сетки), а на о си

о рдинат- Y (столбец значений реш ения в узлах сетки). Чтобы ввести

но мер столбца, введите имя матрицы , щ елкните по кно пке и введитевпо меченно й по зиции но мерстолбца.

впанели

9 1.3 Ре ш е ни е задачи К ош и для ди ф ф е ре нци альны х уравне ни й вы с ш и х порядков Н айдем на о трезке [0,3] приближ енно е реш ение уравнения y ' ' = e − xy , удо влетво ряю щ ее начальны м усло виям

y (0) = 1 ,

y ' (0) = 1 , и по стро им

г рафик найденно г о реш ения. Сведем реш ение задачи для уравнения второ г о по рядка к задаче для э квивалентно й но рмально й системы второ г о по рядка. О бо значим y1 ( x) = y ( x ) и y2 ( x ) = y ' ( x) . По ско льку y ' ' ( x ) = ( y ' ( x ))' = y2' ( x ) , то по лучим

 y1' = y2 ,  y1 (0) = 1,  '   y2 = exp(− xy1 ),  y2 (0) = 1. Реш им задачучисленно , испо льзуя алг о ритм Рунг е – К уттас фиксиро ванны м ш аг о м насеткеиз 20 равно о тстоящ их узло в. Ф раг ментрабо чег о до кумента MathCAD, со держ ащ ий вы числения и г рафик, приведен ниж е. y''

exp(−x ⋅ y) , y(0)



1 , y'(0)

   exp( −x ⋅ y1) 

D(x , y) := 

y2

ORIGIN:= 1

1

y := 

 1 1

Y := rkfixedy ( , 0 , 3 , 30 , D) 1

10

Y 〈2〉

1

Y=

5

0

1

2

Y 〈1〉

3

2 0

3 1

1

2

0.1 1.105 1.095

3

0.2 1.219 1.179

4

0.3

5

0.4 1.469 1.313

6

0.5 1.602 1.363

7

0.6 1.741 1.403

8

0.7 1.883 1.434

1.34 1.251

У казание. О пределите вектор y и вектор-функцию

D ( x , y ) как

матрицы размерно сти ( 2 × 1) . Присво йте ко мпо нентам вектора y начальны е значения, а ко мпо нентам вектора D ( x, y ) - вы раж ения для правы х частей уравнений системы . В о стально м действуйте так ж е, как в преды дущ их примерах.

10 1.4 Ре ш е ни е задачи К ош и ди ф ф е ре нци альны х уравне ни й

для

норм альной

с и с те м ы

Н айдем нао трезке [0,3] приближ енно ереш ениезадачи К о ш и  y1' = − y2 + sin xy3 ,  y1 (0) = 1,  '  2  y2 = − y1 ,  y2 (0) = 0,  y (0) = 1.  '  3  y3 = − y3 − y1, и по стро им г рафики для найденно г о реш ения. Реш им задачу численно , испо льзуя алг о ритм Рунг е – К утта с фиксиро ванны м ш аг о м на сетке из 30 равно о тстоящ их узло в. При реш ении э той задачи все действия в MathCAD вы по лняю тся со верш енно так ж е, как при реш ении задачи преды дущ ег о примера. Ф раг ментрабо чег о до кумента MathCAD, со держ ащ ий вы числения и г рафик, приведен ниж е. y1' y2' y3'

ORIGIN := 1

−y2 + sin( x ⋅ y3) , −y12 , −y3 − y1 , y1 ( 0)

 y :=   

1 0 1

   

1

,

y2 ( 0)

0

,

y3 ( 0)

 −y2 + sin( x ⋅ y3)  ( y 1) 2 D ( x , y) :=   −y3 − y1 

2

Y 〈2〉 Y 〈3〉

   Y := rkfixed(y , 0 , 3 , 30 , D)   1

1

0

1

2

Y 〈4〉 1

2

3

Y=

1

2

3

4

1

0

1

0

1

2

0.1

0.999

0.1

0.81

3

0.2

0.995

0.199

0.638

4

0.3

0.984

0.298

0.483

5

0.4

0.964

0.393

0.344

6

0.5

0.932

0.483

0.221

7

0.6

0.889

0.566

0.113

Y 〈1〉

У казание. Д ля тог о чтобы по стро ить г рафики найденно г о реш ения (г рафики функций y1 ( x) , y 2 ( x) , y 3 ( x) ), введите в качестве переменно й на о си абсцисс Y



(столбец ко о рдинатузло всетки), анао си о рдинатвведите,

11 разделяя запятой, Y < 2 > , Y



иY



(столбцы , со держ ащ ие со о тветственно

значения y1 ( x) , y 2 ( x) и y 3 ( x ) вузлах сетки). 1.5

Ре ш е ни е задачи К ош и для ж е с ткой с и с те м ы

Н айдем нао трезке [0,2] приближ енно ереш ениезадачи К о ш и  y1' = −11 y1 + 9 y2 ,  '  y2 = 9 y1 − 11 y2 ,

 y1 (0) = 1,   y2 (0) = 0.

и по стро им г рафики найденно г о реш ения. Э та система о тно сится к классу ж естких систем. Реш им задачу численно на сетке из 20 равно о тстоящ их узло в с по мо щ ью функции Stiffr(у,х1,х2,ас c,D,J), предназначенно й для реш ения ж естких систем и испо льзую щ ей алг о ритм Рунг е - К утта. Перед о бращ ением к функции Stiffr нео бхо димо , по мимо начально г о вектора y и вектораправы х частей D ( x, y ) , о пределитьматрицу J ( x, y ) , в ко торо й со держ ится матрица Я ко би правы х частей, размерно сти ( 2 × 3) :  ∂f1 ( x, y )  ∂x J ( x, y ) =   ∂f 2 ( x, y )  ∂x 

∂f1 ( x, y ) ∂y1 ∂f 2 ( x, y ) ∂y1

∂f1 ( x, y )   ∂y2   0 − 11 9  = . ∂f 2 ( x, y )   0 9 − 11 ∂y2 

В се о стальны е дей ствия в MathCAD вы по лняю тся со верш енно так ж е, как при реш ении задач преды дущ их примеро в. Ф раг ментрабо чег о до кумента MathCAD, со держ ащ ий вы числения и г рафик, представлен ниж е.

ORIGIN:= 1 y := 

  0 1

 −11y1 + 9y2    9y1 − 11y2 

D(x , y) := 

−11 9    0 9 −11 

J (x , y) := 

0

12 Y := Stiffr(y , 0 , 2 , 20 , D , J )

1 1

1

Y 〈2〉 Y 〈3〉

Y= 0.5

0

1

2

Y 〈1〉

2 0

3 1

0

2

0.1 0.477 0.342

3

0.2 0.344 0.326

4

0.3 0.276 0.273

5

0.4 0.225 0.225

6

0.5 0.184 0.184

7

0.6 0.151 0.151

8

0.7 0.123 0.123

9

0.8 0.101 0.101

10

0.9 0.083 0.083

При исследо вании автоно мны х систем дифференциальны х уравнений второ г о по рядка по лезную инфо рмацию мо ж но по лучить, рассматривая интег ральны еи фазо вы екривы есистемы . 1.6

И нте гральны е и ф азовы е кри вы е автоном ной с и с те м ы

По стро им фазо вую и интег раль ную кривы е, о твечаю щ ие реш ению задачи из преды дущ ег о примера.  y1' = −11 y1 + 9 y2 ,  '  y2 = 9 y1 − 11 y2 ,

 y1 (0) = 1,   y2 (0) = 0.

Н иж е приведены изо браж ения интег рально й и фазо во й кривы х реш ения задачи, найденно г о спо мо щ ью функции Stiffr.

0.4

Y 〈3〉

0.4

0.2

0 0 0

0.5

1

Y 〈2〉

1

13 У казание. Д ля тог о чтобы по стро итьинтег ральную кривую , щ елкните по сво бо дно муместув рабо чем до кументе, затем - по кно пке

в панели

и введите в по меченно й по зиции в круглы х ско бках через г рафико в запятую именавекторо в-столбцо вматрицы реш ения Y : Y , Y , Y . При тако м по рядке следо вания столбцо в на г рафике о тображ аю тся точки с абсциссами ( y1 )i , о рдинатами ( y2 )i , и аппликатами xi ,. Параметры настро й ки г рафика устано вите так, как по казано на Рис. 1. Чтобы изо бразитьфазо вую кривую , щ елкните по кно пке

в панели

и укаж ите в качестве

арг ументавторо й столбец Y , авкачествефункции - Y . При э том нао си абсцисс о тображ аю тся ко о рдинаты ( y1 )i , на о си о рдинат- ( y2 )i ; Параметры г рафикаустано витетак, как по казано наРис. 2. При исследо вании автоно мны х систем дифференциальны х уравнений второ г о по рядка по лезную инфо рмацию о сво йствах реш ений мо ж но по лучить, по стро ив векторно е по ле системы . Запиш ем автоно мную систему второ г о по рядка  y1' = f1 ( y1, y2 ),  '  y2 = f 2 ( y1, y2 ). Э та система по лно стью о пределяется заданием векторно г о по ля F ( y ) = ( f1 ( y1, y2 ), f 2 ( y1, y2 )) , по ско лькувекторно е по ле F ( y) задаетвкаж до й точке касательную и направление движ ения вдо льфазо во й криво й системы , про хо дящ ей через э туточку.

Рис. 1 а) настро й као бщ их параметро визо браж ения

14

Рис. 1 б) настро й кадо по лнительны х параметро визо браж ения

Рис. 1 в) настро йкао сей изо браж ения

15

Рис. 1 г ) настро йкавнеш нег о видаизо браж ения

Рис. 2 О кнанастро йки параметро визо браж ения фазо вы х кривы х

16 1.7

П ос трое ни е ве кторного поля автоном ной с и с те м ы

По стро им векторно епо ле системы  y1' = −11y1 + 9 y2 ,  '  y2 = 9 y1 − 11y2 . Ф раг мент рабо чег о до кумента MathCAD с по стро ением векторно г о по ля системы приведен ниж е. ORIGIN := 1 i := 1 .. 20

f1( x , y) := −11 ⋅ x + 9 ⋅ y

j := 1 .. 20

Xi , j := f1( xi , y j)

f2( x , y) := 9 ⋅ x − 11 ⋅ y

xi := 0.05 ⋅ ( i − 1)

y j := 0.002 ⋅ ( j − 1)

Yi , j := f2( xi , y j)

У казание. В ведите вы раж ения для вы числения правы х частей. О пределите диапазо ны изменения индексо в узло в сетки. У стано вите, как по казано в до кументе, матрицы ко о рдинатвекторо в векторно г о по ля. Д ля тог о чтобы по стро итьвекторно е по ле, щ елкните в панели г рафико в

по

кно пке векторно г о по ля и введите в по меченно й по зиции через запятую сначала имя матрицы , со держ ащ ей первы е ко о рдинаты векторо в, а затем имя матрицы со вторы ми ко о рдинатами и щ елкните по рабо чемудо кументу вне по ля г рафико в. Щ елкнув дваж ды по по лю г рафико в, устано вите параметры изо браж ения, как наРис. 3.

17

Рис. 3 О кно настро йки параметро визо браж ения векторно г о по ля 1.8

Ди ф ф е ре нци альны е уравне ни я пе рвого порядка

Н апо мним, что о быкно венным диф ф е ре нциальным уравне ние м пе рво го по рядка назы вается уравнение F ( x, y , y ' ) = 0 , г де F - известная функция трех переменны х, о пределенная в о бласти G ⊂ R3 ; x - независимая переменная из интервала [a, b] , y = y (x) неизвестная функция; y ' = y ' ( x) - еепро изво дная.

18 Ф ункция

y = y (x)

назы вается

ре ш ение м

диф ф е ре нциально го

уравне ния, если о напри всех x ∈ (a, b) удо влетво ряетуравнению F ( x, y ( x), y ' ( x)) = 0 . График реш ения дифференциально г о уравнения назы ваю т инт е грально й криво й дифференциально г о уравнения. В дальнейш ем будем рассматривать о бы кно венны е дифференциальны е уравнения, разреш енны е о тно сительно про изво дно й, т.е. уравнения вно рмально й ф о рме : y ' = f ( x, y ) . Е сли дифференциально е уравнение перво г о

по рядка y ' = f ( x, y ) ,

( x, y ) ∈ G имеетв о бласти G реш ение, то, во о бщ е г о во ря, таких реш ений беско нечно мно г о , о ни мо г ут бы ть заданы в виде y = y ( x, C ) , г де C про изво льная ко нстанта, такая, что ( x, y ( x, C )) ∈ G , и y ' ( x, C ) ≡ f ( x, y ( x, C )) при про изво льны х значениях C . О днако если по ставить задачу - найти реш ение, удо влетво ряю щ ее нач ально му условию y ( x0 ) = y0 , то при о пределенны х усло виях такая задачаимеетединственно е реш ение. Задачао б о ты скании реш ения дифференциально г о уравнения, удо влетво ряю щ ег о заданно му начально му усло вию , назы вается задач е й Ко ш и. Н ачальны е усло вия для о бы кно венны х дифференциальны х уравнений назы ваю т условиями Ко ш и. Рассмо трим задачуК о ш и y ' = f ( x, y ) , y ( x0 ) = y0 . Е сли функция f ( x, y ) и ее частная про изво дная о бласти G ,

( x0 , y0 ) ∈ G , то на неко торо м

∂f ( x, y ) непреры вны в ∂y

интервале ( x0 − h, x0 + h)

сущ ествуетединственно е реш ение уравнения, удо влетво ряю щ ее заданно му начально муусло вию . Д ля дифференциально г о уравнения y ' = f ( x, y ) тео рема сущ ество вания и единственно сти имеет про стую г ео метрическую интерпретацию

- при

непреры вны х в о бласти G ∈ R 2 право й части f ( x, y ) и ее частно й

19 про изво дно й интег ральная

∂f ( x, y ) через каж дую точку[ x0 , y0 ] ∈ G про хо диттолько о дна ∂y

кривая

y = y ( x, C0 )

семейства

y = y ( x, C )

такая,

что

y ( x0 , C0 ) = y0 . Н а Рис. 4 изо браж ено неско лько интег ральны х кривы х уравнения y ' = y − y 2 .

Рис. 4 Семейство интег ральны х кривы х уравнения перво г о по рядка 1.9

Уравне ни е с разде ляющ и м и с я пе ре м е нны м и

Д ля уравнения сразделяю щ имися переменны ми, имею щ ег о вид dy = X ( x)Y ( y ), dx вы раж ение y

x dy = ∫ ∫ X ( x )dx Y ( y ) y0 x0

задаетреш ение y = y (x) задачи К о ш и с началь ны м усло вием y ( x0 ) = y0 как функцию переменно й x неявно . П ри м е р. Реш ите задачу К о ш и: y ' = г рафик реш ения. Разделивпеременны е, по лучим ex ydy = dx . 1 + ex

ex y(1 + e x )

, y (0) = 1 и изо бразите

20 Приведем план вы по лнения э тог о примера в MathCAD и фраг ментрабо чег о до кумента с со о тветствую щ ими вы числениями и г рафико м. В до кументе такж еприведено реш ениезадачи К о ш и спо мо щ ью функции odesolve. Пла н вы п олнени я: 1) У стано витеавтоматический реж им вы числений. 2) Разделите аналитически (на бумаг е) переменны е в заданно е, уравнении, записавег о ввидеy ' = X ( x)Y ( y ) . 3) В ы числите симво льно о пределенны е интег ралы с переменны ми верхними пределами. 4) Запиш ите уравнение, задаю щ ее неявно y (x) как функцию x , и реш итеег о симво льно о тно сительно переменно й y . 5) О пределите реш ение как функцию переменно й x и по стро йте ег о г рафик. 6) Н ай дите о бщ ий интег рал, вы числив разно сть со о тветствую щ их нео пределенны х интег рало в. Т еперьприведем фраг ментрабо чег о до кумента. Реш ение задачи К о ш и интег риро ванием x

⌠ exp ( t)  dt → ln( 1 + exp ( x) ) − ln( 2)  1 + exp ( t) ⌡0 1 1 ln( 1 + exp ( x) ) − ln( 2) −  y2 − 

2

2

 1   ( 2 ln( 1 + exp ( x) ) + 1 − 2 ln( 2) )  2    1  2  −2 ( ln( 1 + exp ( x) ) + 1 − 2 ln( 2) )  

    

y

⌠ 1 1  t dt → ⋅ y2 − 2 2 ⌡1

21 Реш ение задачи К о ш и:

 1 y ( x) := ( 2 ln( 1 + exp ( x) ) + 1 − 2 ln( 2) )  2  6

4

y ( x) 2

0

5

10

x

О ты сканиео бщ ег о реш ения интег риро ванием ⌠   ⌡

⌠ exp ( x) dx −  y dy  1 + exp ( x) ⌡

→ ln( 1 + exp ( x) ) −

1 2

⋅ y2

О бщ ий интег рал:

ln( 1 + exp ( x) ) −

1 2

⋅ y2

C

О ты сканиечастно г о реш ения:

C := ln( 1 + exp ( 0) ) −

1

⋅ 12

2

C = 0.193

Частны й интег рал:

ln( 1 + exp ( x) ) −

1 2

⋅y

2

0.193

Реш ение задачи К о ш и спо мо щ ью функции odesolve

Given

y ( x) ⋅ y'( x)

e 1+

x

e

x

y ( 0)

1

y := odesolve ( x , 10)

22 6

4

y ( x) 2

0

5

10

x

У казание. Д ля тог о

чтобы

вы числить симво льно

интег ралы

с

переменны ми верхними пределами, щ елкните по кно пке в панели , введите в по меченны х по зициях пределы интег риро вания, по ды нтег ральную функцию и переменную интег риро вания, вы делите интег рал рамко й, щ елкните по кно пке в панели и затем - в рабо чем до кументе вне вы деляю щ ей рамки. Чтобы найти явно е вы раж ение для реш ения, запиш ите в рабо чем до кументе разно сть вы численны х при интег риро вании функций, вы делите рамко й переменную y и щ елкните по стро ке Solve в пункте Variable меню Symbolics (Рис. 5).

Рис. 5 Симво льно ереш ение уравнения В приведенно м примере уравнение имеет два реш ения. В ы бираем второ е из них, по ско льку именно для нег о y (0) = 1 > 0 . Д ля тог о чтобы по стро итьг рафик найденно г о реш ения, щ елкните по кно пке

в панели

23 и введите в по меченны х по зициях арг умент x и имя функции переменно й x . 1.10 Чи с ле нное ре ш е ни е задачи К ош и м е тодом Рунге – К утта А налитическо е вы раж ение для реш ений дифференциальны х уравнений, за исклю чением линейны х дифференциаль ны х уравнений с по стоянны ми ко э ффициентами, удается по лучить до статочно редко . В MathCAD нет средств симво льно г о реш ения уравнений, но до статочно хо ро ш о представлены методы численно г о реш ения задачи К о ш и. Численно е ре ш ение задачи К о ш и со стоит в по стро ении таблицы приближ енны х значений y1, y2 ,..., y N реш ения y (x) в узлах сетки x1 , x2 ,..., xN , y ( xi ) ≈ yi . Е сли xk = x0 + kh , k = 1,2,..., N , то сетканазы вается равно ме рно й (h - ш аг метода). Численны й метод реш ения задачи К о ш и назы вается о дно ш аг о вы м, если для вы числения реш ения вточке x0 + h испо льзуется инфо рмация о реш ении только вточке x 0 . Д ля о ценки по г реш но сти метода на о дно м ш аг е сетки точно е реш ение расклады ваю тпо фо рмуле Т ейло раво крестно сти узла xi : y ( xi +1 ) = y ( xi + h) = y ( xi ) + y ′( xi ) h + 1 y ′′( xi )h 2 + K + O (h p ) = y i + f ( xi , y i )h + K + O (h p ) . 2! Е сли расчетны е фо рмулы

численно г о

метода со г ласую тся p

разло ж ением по фо рмуле Т ейло ра до члено в по рядка h , то число

с p

назы вается по рядко м ме т о да. М етодо м Рунг е - К утта о бы чно назы ваю т о дно ш аг о вы й метод четвертог о по рядка, о тно сящ ийся к ш иро ко муклассуметодо в Рунг е - К утта. В э том методе величины yi +1 вы числяю тся по следую щ им фо рмулам: k1 = f ( xi , yi ) , h h k2 = f ( xi + , yi + k1 ) , 2 2

24 h h k3 = f ( xi + , yi + k2 ) , 2 2 k4 = f ( xi + h, yi + hk3 ), yi +1 =

h ( k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ). 6

По г реш но стьметода на о дно м ш аг е сетки равна Mh 4 . Практически о ценитьвеличину M до статочно сло ж но . При о ценке по г реш но сти о бы чно испо льзую тправило Рунге . Д ля э тог о сначала про во дятвы числения с ш аг о м h h , азатем - с ш аг о м . Е сли yi(k ) - приближ ение, вы численно е с ш аг о м h , а 2 h yi(k / 2) - сш аг о м , то справедливао ценка 2 16 ( k / 2) y2( ki / 2) − y ( x2i ) ≤ y2 i − y2( ki ) . 15 h Зао ценкупо г реш но сти реш ения, вы численно г о с ш аг о м , принимаю т 2 величину y2( ki / 2) − y2( ki )

. 15 В MathCAD для реш ения задачи К о ш и на о трезке [ x0 , xend ] методо м max i

Рунг е - К утта с по стоянны м ш аг о м h =

xend − x0 предназначена функция N

rkfixed(y, x0, xend, N, D). Результаты вы числений функции rkfixed - матрица, в перво м столбце ко торо й со держ атся ко о рдинаты узло в равно мерно й сетки x0 , x1,..., xN = xend , а во второ м - значения приближ енно г о реш ения в со о тветствую щ их узлах. Перед о бращ ением к функции rkfixed нео бхо димо присво итьпеременно й y значение y0 , переменно й x 0 - начально е значение арг умента, переменно й xend - значение ко нечно й точки о трезка интег риро вания, переменно й N ко личество узло в равно мерно й сетки. Переменно й D ( x, y ) присваивается вы раж ениедля вы числения право й части f ( x, y ) . П ри м е р. Реш ите на о трезке [0,3] задачу К о ш и y ' = x 2 y 3 sin 3 ( x + y ) , y (0) = 1 методо м Рунг е - К утта с по стоянны м ш аг о м. И зо бразите г рафики h реш ений, вы численны х сш аг о м h = 0.3 , 2h и . 2

25 Пла н вы п олнени я: 1) У стано витеавтоматический реж им вы числений. 2) Присво йтепеременно й ORIGIN значение, равно еединице. 3) Присво йтеначально е значениереш ения переменно й y1 . 4)

О пределитеправую частьуравнения f ( x, y ) .

5)

В ы числите реш ение, испо льзуя функцию rkfixed с параметро м N ,

6) 7)

 x − x0 вы численны м по фо рмуле N =  end h  Со хранитереш ениевматрице Y 1 . В ы числите реш ение, испо льзуя функцию

8) 9)

 x − x0  вы численны м по фо рмуле N = 2 end . h   Со хранитереш ениевматрице Y 2 . В ы числите реш ение, испо льзуя функцию rkfixed с параметро м N ,

 . 

rkfixed с параметро м N ,

 x − x0  вы численны м по фо рмуле N =  end . 2 h   10) Со хранитереш ениевматрице Y 3 . 11) По стро йтенао дно м г рафике все три най денны ереш ения. 12) О цените по г реш но сти найденны х реш ений по фо рмуле Рунг е. Ф раг ментрабо чег о до кумента MathCAD с вы числениями и г рафиками приведен ниж е. ORIGIN := 1

y1 := 1

2 3 3 f ( x , y) := x ( y1) ⋅ ( sin ( x + y1) )

26 Y1 := rkfixed( y , 0 , 3 , 10 , f )

Y2 := rkfixed( y , 0 , 3 , 20 , f )

Y3 := rkfixed( y , 0 , 3 , 5 , f ) 2

Y1 〈2〉

1.5

Y2 〈2〉 Y3 〈2〉

1

0.5

0

1

Y1 〈1〉

i := 1 .. 10

2

, Y2 〈1〉

3

, Y3 〈1〉

k := 1 .. 5

Er1i :=

( Y1 〈2〉 ) i − ( Y2 〈2〉 ) 2⋅i

er1 :=

max( Er1)

Er2k :=

( Y3 〈2〉 ) k − ( Y1 〈2〉 ) 2⋅k

er2 :=

max( Er2)

15

15

er1 = 8.852 × 10− 3 er2 = 0.032

У казание. Присво йте значение реш ения в начально й точке перво й и единственно й ко о рдинате векторареш ения y1 . О пределите функцию f ( x, y ) , вы числяю щ ую значения право й части уравнения. Присво йте матрице с именем Y 1 реш ение, вы численно е функцией rkfixed(y, 0.3, 10, f). Присво й те матрицам Y 2 и Y 3 реш ения, вы численны е на сетках из 20 и 5 узло в со о тветственно . Д ля тог о чтобы изо бразить на о дно м г рафике все три реш ения, введите в о кне г рафико в в по зиции арг умента, разделяя запятой, имена первы х столбцо в матриц реш ений Y 1 , Y 2 , Y 3 , а в по зиции функции, такж е разделяя запятой, введите имена вторы х столбцо в Y 1 , Y 2 , Y 3 . Приведенны е в до кументе о ценки по г реш но стей реш ений er1, er2 о значаю т, что по г реш но сти реш ений, вы численны х с ш аг о м 0,15 и 0.3, — со о тветственно величины по рядка0.01 и 0.05.

27 1.11 Ре ш е ни е уравне ни й ди ф ф е ре нци альны х уравне ни й О быкно ве нным

вы с ш и х

диф ф е ре нциальным

порядков

уравне ние м

и

с и с те м

n -го

по рядка

назы вается уравнение вида F ( x, y , y ' , y ' ' ,..., y ( n ) ) = 0 , г де F - известная функция n + 2 переменны х, о пределенная в о бласти D ⊂ R n + 2 ; x независимая переменная из интервала ( a, b) ; y - неизвестная функция; n по рядо к уравнения. Ф ункция y = y (x )

назы вается

реш ением

дифференциально г о

уравнения, если о наудо влетво ряетуравнению F ( x , y ( x ), y ' ( x ), y ' ' ( x),..., y ( n ) ( x)) = 0 .

График реш ения дифференциально г о уравнения назы ваю т инт е грально й криво й дифференциально г о уравнения. В дальнейш ем будем рассматриватьо бы кно венны е дифференциальны е уравнения, разреш енны е о тно сительно старш ей про изво дно й, т.е. уравнения вно рмально й ф о рме : y ( n) = f ( x, y , y ' ,..., y ( n −1) ) .

Д ифференциально е уравнение n -г о по рядка имеет, во о бщ е г о во ря, беско нечно е мно ж ество реш ений. О днако задача о б о ты скании реш ения, удо влетво ряю щ ег о нач ально муусловию (задачаК о ш и) y ( x0 ) = y0 ,

y ' ( x0 ) = y0,1 ,

y ( n −1) ( x0 ) = y0, n −1 ,

при о пределенны х о г раничениях на правую часть уравнения имеет единственно ереш ение. Справедливаследую щ ая тео рема. Т ео рема.[3]. Е сли функция f ( x, y ) , y = ( y1, y2 ,..., yn ) , и ее частны е про изво дны е

∂f ( x, y ) , ∂yi

i = 1,2,..., n , непреры вны

( x, y) = ( x, y1, y2 ,..., yn ) ∈ D ,

то

на неко торо м

сущ ествует единственно е реш ение уравнения

в о бласти D ⊂ R n +1 , интервале ( x0 − h, x0 + h) y ( n) = f ( x, y , y ' ,..., y ( n −1) ) ,

28 удо влетво ряю щ ее

начальны м

усло виям

y ( x0 ) = y0 ,

y ' ( x0 ) = y0,1 ,...,

y ( n −1) ( x0 ) = y0, n −1 , ( x, y0 ) = ( x, y0 , y0,1 ,..., y0, n −1 ) ∈ D . ЗадачаК о ш и для дифференциально г о уравнения n -г о по рядка y ( n ) = f ( x, y , y ' ,..., y ( n −1) ) ,

y ( x0 ) = y0 , y ' ( x0 ) = y0,1 , y ( n −1) ( x0 ) = y0, n −1 мо ж ет бы ть сведена к задаче К о ш и для системы и дифференциальны х уравнений 1-г о по рядка, ко торая ввекторно й фо рмеимеетвид Y ' = F ( x, Y ) , Y ( x0 ) = Y0 ,

г де Y ' = ( y1' ( x ), y2' ( x),..., yn' ( x)) ,

F ( x,Y ) = ( y2 , y3 ,..., yn , f ( x, y1 ,..., yn )) .

Численно е реш ение задачи К о ш и для э той системы со стоит в по стро ении таблицы приближ енны х значений yi ,1 , yi , 2 ,..., yi , N ко о рдинат yi (x) векторареш ения y (x) вточках x1, x2 ,..., xN . Чтобы по лучитьрасчетны е фо рмулы метода Рунг е - К утта для систем дифференциальны х уравнений, до статочно в расчетны х фо рмулах для уравнений перво г о по рядка заменить y, f ( x, y ), k1, k2 , k3 , k4 на Y , F ( x, Y ), k1, k2 , k3 , k4 .

Параметры функции rkfixed(y, x0, xend, N, D), вы числяю щ ей реш ение задачи К о ш и для систем дифференциальны х уравнений n -г о по рядка на x − x0 о трезке [ x0 , xend ] с по стоянны м ш аг о м h = end , имею т следую щ ую N структуру: • вектор-столбец y со держ итначально е значениереш ения вточке x 0 ; •

x0 , xend - г раницы о трезкаинтег риро вания системы ;

• N - число узло всетки; • вектор-столбец D со держ ит вы раж ения для правы х уравнений системы .

частей

29 Результаты вы числений функции rkfixed(y, x0, xend, N, D) – матрица размерно сти ( N + 1) × (n + 1) . Первы й столбец матрицы D со держ ит ко о рдинаты узло в равно мерно й сетки, а о стальны е n столбцо в – значения иско мы х реш ений y i в узлах сетки, т.е. D = yi или, что то ж е само е, x j = D j ,1 , D j ,i +1 = Yi ( x j ) . В

со о тветствии с фо рмулами, по зво ляю щ ими

записатьуравнение n -г о по рядка в виде системы , второ й столбец матрицы ны е D со держ ит значения реш ения уравнения в узлах сетки, а о сталь столбцы – значения вэ тих узлах про изво дны х реш ения до ( n − 1) -г о по рядка: D < i + 2 > = yi , i = 1,2,..., n − 1 .

П ри м е р. Реш ите на о трезке [0,3] методо м Рунг е - К утта с по стоянны м ш аг о м задачуК о ш и  y1' = y2 ,  '  y2 = e − xy1 ,

 y1 (0) = 0,   y2 (0) = 0.

О цените по г реш но сти реш ений, вы численны х с ш аг ами 0.1 , 0.05 , и изо бразитег рафики приближ енны х реш ений. Пла н вы п олнени я: 1) У стано витереж им автоматических вы числений. 2) Присво йтепеременно й ORIGIN значение, равно еединице. 3) Присво йте начально е значение реш ения вектору-столбцу с именем y . 4)

О пределите правую часть уравнения, присво йте со о тветствую щ иевы раж ения э лементам вектора-столбцас именем f ( x, y ) .

7) 8)

 x − x0  Н ай дитевеличинуN =  end . h   В ы числите реш ение, испо льзуя функцию rkfixed(y,a,b,N,f) с параметро м N , найденны м впреды дущ ем пункте. Со хранитереш ениевматрице Y 1 . В ы числите реш ение, испо льзуя функцию rkfixed(y,a,b,N,f) с

9)

 x − x0  параметро м N , найденны м по фо рмуле N = 2  end . h   Со хранитереш ениевматрице Y 2 .

5) 6)

30 10) В ы числите реш ение, испо льзуя функцию

rkfixed(y,a,b,N,f) с

 x − x0  параметро м N , найденны м по фо рмуле N =  end . h 2   11) Со хранитереш ениевматрице Y 3 . 12) По стро йтенао дно м г рафике все три найденны ереш ения. 13) О ценитепо г реш но сти най денны х реш ений по фо рмуле Рунг е.

Ф раг ментрабо чег о до кумента MathCAD с вы числениями и г рафиками приведен ниж е.

31

У казание. Переменно й N присво й те значение, равно е

b −1 h

=

3 = 30 , а 0 .1

ко мпо нентам вектора y - значениереш ения вначально й точке. О пределите и введите вектор-столбец правы х частей

f ( x, y ) . Реш ение, вы численно е

функцией rkfixed(y,0,3,N,f), присво йте матрице с именем Y 1 . В матрицах Y 2 и Y 3 со храните реш ения, вы численны е для N = 60 и N = 15 . Д ля тог о чтобы изо бразитьна о дно м г рафике приближ енны е реш ения y1 и y 2 , введите в по зиции арг умента г рафика имя 1-г о столбца матрицы реш ений Y 1 , а в по зиции функции - имена 2-г о и 3-г о столбцо в Y 1 , Y 1 . А нало г ично по стро йте г рафики приближ енны х реш ений, вы численны е для N = 60 и N = 15 . Приведенны е в до кументе величины er1 и er2 о значаю т, чт о по г реш но сти реш ений, вы численны х сш аг ами 0.05 и 0.1 , - величины по рядка 0.005 и 0.01 .

32

2 И с пользуе м ы е и нс трум е нты MathCAD в ве роятнос те й и м ате м ати че с кой с тати с ти ке

те ори и

Преж де чем приступать к реш ению задач тео рии веро ятно стей в MathCAD, по знако мимся с инструментами, ко торы е предо ставляетпакетдля их реш ения. Н апо мним, что дискретная случайная величина ξ , принимаю щ ая значения x1 < x2 < ... < xi < ... с веро ятно стями p1 , p2 ,..., pi ,..., мо ж ет бы ть заданараспре де ление м - таблицей вида ξ p

x1

x2

…

xi

…

xn

p1

p2

…

pi

…

pn

Т акие таблицы в среде MathCAD удо бно хранить в виде матрицы размерно сти 2 × n . Ф ункция распределения случайно й величины , имею щ ей приведенно е вы ш ераспределение, имеетвид 0, x < x1, p ,x ≤ x < x , 2  1 1  p1 + p2 , x2 ≤ x < x3 , F ( x) =  KKKKK  p1 + p2 + ... + pn −1, xn −1 ≤ x < xn ,  1, xn ≤ x. Рассмо трим фраг ментрабо чег о до кумента, в ко торо м для случай но й величины , имею щ ей распределение ξ p

1

0

7

4

−2

0.1

0.5

0.1

0.1

0.2

введено распределение, задана двумя спо со бами функция распределения и по стро ен г рафик функции распределения.

33 Рас пре де ле ни е с лучайной ве ли чи ны  −2 0 1 4 ORIGIN := 1 A := 



7

0.2 0.5 0.1 0.1 0.1

 

Функци я рас пре де ле ни я с лучайной ве ли чи ны F ( x) :=

0

if − ∞ < x < A1 , 1

A2 , 1 if A1 , 1 ≤ x < A1 , 2

( A2 , 1 + A2 , 2) if A1 , 2 ≤ x < A1 , 3 ( A2 , 1 + A2 , 2 + A2 , 3) if A1 , 3 ≤ x < A1 , 4 ( A2 , 1 + A2 , 2 + A2 , 3 + A2 , 4) if A1 , 4 ≤ x < 1

A1 , 5

if A1 , 5 ≤ x < ∞

Функци я рас пре де ле ни я с лучайной ве ли чи ны , опре де ле нная други м с пос об ом G ( x) :=

0 0.2

if − ∞ < x < − 2 if − 2 ≤ x < 0

0.2 + 0.5

if 0 ≤ x < 1

0.2 + 0.5 + 0.1

if 1 ≤ x < 4

0.2 + 0.5 + 0.1 + 0.1 1

if 4 ≤ x < 7

if 7 ≤ x < ∞

Граф и к ф ункци и рас пре де ле ни я с лучайной ве ли чи ны 1

F( x)

A1,i

1

G( x)

0.5

0.5

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x

x

У казание. Распределение случайно й величины со хранено вматрице A : - значения случайно й величины ; A2,i - со о тветствую щ ие веро ятно сти;

i = 1,2,3,4,5 . Ф ункцию распределения, заданную разны ми вы раж ениями на разны х интервалах изменения арг ументов, мо ж но о пределитьследую щ им

о бразо м: разверните панельпро г раммны х э лементовщ елчко м по кно пке

34 и панельзнако в о тно ш ений - щ елчко м по кно пке и не закры вайте их, по ка не зако нчите о пределение функции. В ведите имя функции переменно й x и знак присваивания, щ елкните в панели про г раммны х э лементов по кно пке

, введите в по меченно й по зиции нуль, щ елкните по кно пке

и введите неравенства, о пределяю щ ие первы й интервал изменения арг умента (симво л ∞ мо ж но ввести щ елчко м по со о тветствую щ ей кно пке в панели ); затем перейдите во вторую стро ку о пределения функции, введите A2,1 - имя переменно й, со держ ащ ей значение p1 , или число 0.2 значение p1 , вы делите, наж имая клавиш у<space>, вы раж ение для функции, щ елкните по кно пке , введите неравенства, о пределяю щ ие второ й интервал изменения арг умента (знак мо ж но ввести щ елчко м по со о тветствую щ ей кно пке в панели о тно ш ений ); вы делите, наж имая клавиш у <space>, вторую стро куо пределения функции, щ елкните по кно пке и введите, действуя, как о писано вы ш е, о пределение функции наследую щ ем интервале. В рабо чем до кументе приведены два спо со ба о пределения функции - с испо льзо ванием имен переменны х и с испо льзо ванием ко нкретны х значений э тих переменны х. Графики функций распределений по стро ены стандартны м для декартовы х г рафико в спо со бо м. Следует по мнить, что MathCAD не со всем ко рректно стро итг рафики ступенчаты х функций, со единяя о трезками прямы х значения функции в точке скачка. Бо лее точны й г рафик функции распределения представляетсо бо й о трезки, параллельны ео си абсцисс, с«вы ко ло ты м» правы м ко нцо м. Распределениедискретно г о случайно г о вектора y1

y2

…

yn

x1

p11

p12

…

p1n

x2

p21

p22

…

p2 n

… xm

… pm1

… pm 2

… …

… pmn

такж е удо бно хранить в матрице размерно сти (m + 1) × (n + 1) . Перво му э лементу перво й стро ки э той матрицы присваивается нулево е значение, о стальны е э лементы перво й стро ки со держ ат значения случай но й ко мпо ненты η , э лементы перво г о столбца- значения случай но й ко мпо ненты

35 ξ , а о стальны е э лементы

- со о тветствую щ ие веро ятно сти: э лемент ,

распо ло ж енны й в ( j + 1) -м столбце (i + 1) -й стро ки со держ ит значение веро ятно сти p ij тог о , что случайны й вектор (ξ , η ) принимает значение ( xi , y j ) . Приведем фраг мент рабо чег о до кумента MathCAD с о пределением распределения дискретно г о случайно г о вектора, заданно г о следую щ ей таблицей:

2 4 6

1 0.01 0.1 0.02

3 0.01 0.2 0.05

5 0.17 0.1 0.09

7 0.01 0.2 0.04

Д ля вы числений со случайны ми величинами (непреры вны ми и дискретны ми) в MathCAD есть бо г атая библио тека встро енны х функций наибо лее распро страненны х стандартны х распределений. К аж до е распределение представлено в библио теке тремя функциями - пло тно стью веро ятно стей, функцией распределения и функцией, о братно й к функции распределения. Э ти функции размещ ены со о тветственно в разделах Probability Density (Пло тно сть веро ятно стей) и Probability Distribution (Ф ункции распределения) библио теки встро енны х функций MathCAD. Н апример, для рабо ты с но рмальны м распределением предназначены функции dnorm( x, µ, σ ), pnorm( x, µ, σ ) и qnorm( x, µ , σ , ). Значением функции dnorm( x, µ, σ ) является значение вточке x пло тно сти веро ятно стей случайно й

величины

ξ,

математическим о ж иданием

имею щ ей Mξ = µ

но рмально е и дисперсией

распределение

с

Dξ = σ 2 ; значение

функции pnorm( x, µ, σ ) - значение функции распределения э той ж е случайно й величины ξ ; значением функции qnorm( p, µ, σ ) служ итреш ение уравнения F ( x) = p , г де F (x) - функция распределения, о пределенная

36 функцией pnorm( x, µ, σ ), т.е. значением qnorm( p, µ, σ ) является квантиль уро вня p но рмально распределенно й случайно й величины . И мена всех встро енны х функций, о пределяю щ их пло тно сти веро ятно стей, начинаю тся с буквы d, о пределяю щ их функции распределения - с буквы p, о пределяю щ их квантили - сбуквы q. Н иж е приведены списо к всех распределений, представленны х в библио теке MathCAD, и имена со о тветствую щ их функций (о писание и сво йства наибо лее распро страненны х распределений бо лее по дро бно будут рассмо трены далее): • бета-распределение- dbeta( x, s1, s2 ), pbeta( x, s1, s2 ), qbeta( p, s1, s2 ); • бино миально е распределение - dbinom( k , n, p ), pbinom( k , n, p ), qbinom( r , n, p ); • распределение Кош и dcauchy( x, l , s ), pcauchy( x, l , s ), qcauchy( p, l , s ); • χ 2 -распределение- dchisq( x, d ), pchisq( x, d ), qchisq( p, d ); • э кспо ненциально ераспределение- dexp( x, r ), pexp( x, r ), qexp( p, r ); • распределение Ф иш ера ( F -распределение) dF( x, d1, d 2 ), pF( x, d1, d 2 ), qF( p, d1, d 2 ); • г амма-распределение- dgamma( x, s ), pgamma( x, s ), qgamma( p, s ); • г ео метрическо е распределсние - dgeom( x, p ), pgeom( x, p ), qgeom( p, r ); • ло г но рмально е распределение - dlnorm( x, µ, σ ), plnorm( x, µ, σ ), qlnorm( p, µ, σ ); • ло г истическо е распределение - dlogist( x, l , s ), plogist( x, l , s ), qlogist( p, l , s ); • о трицательно е бино миально е распределение - dnbinom( k , n, p ), pnbinom( k , n, p ), qnbinom( p, n, r ); • но рмально е распределение - dnorm( x, µ, σ ), pnorm( x, µ, σ ), qnorm( p, µ, σ ); • распределениеПуассо на- dpois( x, λ ), ppois( x, λ ), qpois( p, λ ); • распределениеСтью дента- dt( x, d ), pt( x, d ), qt( p, d ); • равно мерно е распределение dunif( x, a, b ), punif( x, a, b ), qunif( p, a, b ); • распределение В ейбулла dweibull( x, s ), pweibull( x, s ), qweibull( p, s ).

37 Н иж е приведены г рафики и вы числения, демо нстрирую щ ие неко торы е сво йства функций, связанны х со стандартны м но рмальны м распределением N (0,1) .

К ро ме тог о , в библио теке встро енны х функций MathCAD в разделе 2 x −t 2 Special (Специальны е функции) естьфункция Л апласа erf( x )= ∫ e dt . π 0 Д ля вы числения число вы х характеристик дискретны х и непреры вны х случайны х величин применяю тся о ператоры интег риро вания и дифференциро вания, вы числения ко нечны х сумм и суммиро вания рядо в, ко торы есо браны впанели

2.1

.

Случайны е ве ли чи ны . Функци и рас пре де ле ни я

К ак нам известно , в о дно из центральны х по нятий тео рии веро ятно стей – по нятие случайно й величины . Н апо мним краткие сведения из тео рии веро ятно стей [4]. С луч айно й ве лич ино й назы вается число вая функция, заданная на мно ж естве случайны х со бы тий. В дальней ш ем случайны е величины будем о бо значатьг реческими буквами.

38 К аж дая случайная величина по лно стью о пределяется сво ей функцией - случайная величина, то функция распределения. Е сли ξ F ( x) = Fξ ( x) = P (ξ < x)

назы вается ф ункцие й распре де ления случай но й

величины ξ . Здесь P (ξ < x) - веро ятно стьтог о , что случай ная величина ξ принимает значение, меньш ее x . Ф ункция распределения случай но й величины о бладаетследую щ ими сво йствами: • F (x) о пределенанавсей число во й прямо й ℜ; • F (x) не убы вает, т.е. если x1 ≤ x 2 , то F ( x1 ) ≤ F ( x 2 ) ; • F (−∞) = 0 и F ( +∞) = 1, т.е. lim F ( x) = 0 и lim F ( x) = 1 ; x → −∞

• F (x) непреры внаслева, т.е.

x → +∞

lim F ( x ) = F ( x 0 ) .

x → x0 − 0

В дальнейш ем будем испо льзо ватьтермин распре де ление . У дискретно й случай но й величины функция распределения ступенчатая. О днако следует о тметить, что MathCAD, изо браж ая ступенчаты е функции, со единяет о трезко м прямо й значения функций в точках разры ва. По э томудля бо лее наг лядно г о изо браж ения г рафик следует исправитьвкако м-нибудьг рафическо м редакторе. Е сли функция распределения Fξ (x ) непреры вна, то случайная величина ξ назы вается не пре рывно й случ айно й ве лич ино й. Е сли функция распределения Fξ (x ) непреры вно дифференцируема, то бо лее наг лядно е представление о случайно й величине дает плотно ст ь ве ро ятно ст и случ айно й ве лич ины pξ (x) ,ко торая связанас функцией распределения Fξ (x ) фо рмулами: x

Fξ ( x) = ∫ pξ (t )dt

и

−∞

О тсю давспо мним, что ∞

∫ pξ ( x)dx = 1 .

−∞

pξ ( x) =

dFξ ( x) dx

.

39 В еро ятно сть тог о , что значение случайно й величины ξ по падет в интервал ( a, b) , вы числяется для непреры вно й случай но й величины

по

фо рмуле b

P (a < ξ < b) = Fξ (b) − Fξ ( a) = ∫ pξ (t )dt , a

адля дискретно й случайно й величины – по фо рмуле P ( a < ξ < b) =

2.2 Наи б оле е с лучайны х ве ли чи н

∑

pi xi ∈( a ,b )

рас прос тране нны е

.

рас пре де ле ни я

ди с кре тны х

Рассмо трим чащ е всег о испо льзуемы е распределения при реш ении практических задачсдискретны ми случайны ми величинами. Би ном и на льное ра сп ределени е. Пусть про во дится серия из n независимы х испы таний, каж до е из ко торы х заканчивается либо «успехо м» , либо «неуспехо м» . Пусть в каж до м испы тании веро ятно сть успеха p , а веро ятно сть неудачи - q = 1 − p . С таким испы танием мо ж но связать случайную величинуξ , равную числууспехо в в серии из n испы таний. Э т а величинапринимаетцелы е значения о т0 до n . Е е распределение назы вается бино минальным и о пределяется фо рмуло й Бернулли p k = P (ξ = k ) = C nk p k q n − k ,

г де 0 < p < 1, q = 1 − p, k = 0,1, K , n, C nk = При э том вы по лняется

n

∑ pk = 1 . В

n! . k! (n − k )!

MathCAD для вы числения

k =0

пло тно сти веро ятно сти и функции распределения случайно й величины , имею щ ей бино минально е распределение, предназначены функции dbinom(k,n,p) и pbinom(k,n,p), значения ко торы х – со о тветственно p k и F (k ) .

40 Г еом ет ри ч еск ое ра сп ределени е. Со схемо й испы таний Бернулли мо ж но связать ещ е о дну случайную величину: η - число испы таний до перво г о успеха. Э та величина принимаетбеско нечно е мно ж ество значений о т0 до + ∞ , и еераспределениео пределяется фо рмуло й p k = P (η = k ) = q k p ,

0 < p < 1,

k = 0,1, K ,

q =1− p .

И спо льзуя фо рмулу суммы беско нечно убы ваю щ ей г ео метрическо й ∞

про г рессии, в тео рии веро ятно стей до казано , что ∑ p k = 1 . В MathCAD для k =0

вы числения пло тно сти веро ятно сти и функции распределения случай но й величины , имею щ ей г ео метрическо е распределение, предназначены функции dgeom(k,p) и pgeom(k,p), значения ко торы х – со о тветственно p k и F (k ) . Пуа ссоновск ое ра сп ределени е. Пуассо но вско е распределение имеет случайная величина µ , принимаю щ ая значения k = 0,1,2, K сверо ятно стями λ k −λ e , k = 0,1,2, K , k! г де λ > 0 - параметр пуассо но вско г о распределения. При лю бы х λ > 0 p k = P(µ = k ) =

∞

∑ p k = 1 . В MathCAD для вы числения пло тно сти веро ятно сти и функции

k =0

распределения случайно й величины , имею щ ей пуассо но вско е распределение, предназначены функции dpois(k, λ ) и ppois(k,λ ), значения ко торы х – со о тветственно p k и F (k ) . П ри м е р. По стро йте пуассо но вско е распределение с параметро м λ = 0.2, 0.4 . Про верьте равенство ∑ p k = 1 . По стро йте г рафики k

распределения и функций распределения. В ы числите веро ятно стьпо падания значений случай но й величины в интервал (1,5) и найдите значение k , для ко торо г о величина P (ξ = k ) максимальна. Ф раг мент рабо чег о до кумента, со держ ащ ий вы числения приведен ниж е.

41

У казание. Д ля тог о чтобы о пределить по г рафику распределения наибо лее веро ятно е значение случайно й величины , щ елкните вменю Format (Форм ат) в пункте Graph (Граф и к) по стоке Trace (Сле довани е ), устано вите перекрестье маркера на точке максимума распределения и вы ведите в рабо чий до кументверо ятно стьзначения, указанно г о в о кне XValue (В е ли чи на X). К ак видно внаш ем случае, для исследуемо й случай но й величины наибо лее веро ятно е значение равно 0; веро ятно сть тог о , что случайная величина при λ = 0.2 примет нулево е значение, равна 0.0819; веро ятно стьпо падания винтервал(1,5) равна0.018.

42 2.3 Наи б оле е рас прос тране нны е рас пре де ле ни я не пре ры вны х с лучайны х ве ли чи н Т еперь рассмо трим чащ е всег о испо льзуемы е распределения при реш ении практических задач снепреры вны ми случайны ми величинами. Ра вном ерное ра сп ределени е. Н епреры вная случайная величина ξ , принимаю щ ая значения на о трезке [ a, b] , распределена равно мерно на [ a, b] , если пло тно стьраспределения pξ (x) и функция распределения случай но й величины ξ имею тсо о тветственно вид: 0, x ≤ a,  x − a Fξ ( x) =  , a < x ≤ b, b a −  x>b  1, Н иж е приведем по стро енны е в MathCAD г рафики пло тно сти веро ятно стей и функции распределения случайно й величины ξ, x ∉ [ a, b],  0, pξ ( x ) =  1  b − a , x ∈ [a, b],

принимаю щ ей значения на о трезке [0,1] и имею щ ей равно мерно е распределение. В MathCAD значения в точке x пло тно сти распределения и функции распределения случайно й величины , имею щ ей равно мерно е распределение на о трезке [ a, b] , вы числяю тся встро енны ми функциями со о тветственно dunif(x,a,b) и punif(x,a,b).

Эк сп оненци а льное(п ок а за т ельное) ра сп ределени е. Н епреры вная случай ная величина ξ имеетпо казательно е распределение с параметро м λ > 0 , если пло тно стьраспределения pξ (x) имеетвид: x < 0,  0, pξ ( x) =  −λx λe , x ≥ 0.

43 О тсю да видно , что по казательно распределенная случай ная величина принимаеттолько нео трицательны е значения. Ф ункция распределения тако й случайно й величины имеетвид: x ≤ 0,  0, Fξ ( x) =  − λx 1 − e , x > 0. Приведем г рафики пло тно сти веро ятно стей и функции распределения случайно й величины , имею щ ей по казательно е распределение с параметро м λ = 1 , по стро енны е вMathCAD.

В MathCAD значения в точке x пло тно сти распределения и функции распределения случайно й величины , имею щ ей э кспо ненциально е распределение с параметро м λ , вы числяю тся встро енны ми функциями со о тветственно dexp(x, λ ) и pexp(x, λ ). Норм а льноера сп ределени е. Э то распределение иг раетисклю чительно важ ную ро ль в тео рии веро ятно стей и математическо й статистике. но распределенас параметрами a и δ , δ > 0 , Случайная величина ξ но рмаль если еепло тно стьраспределения имеетвид ( x − a) 2 1 exp(− ). 2π δ 2δ 2 Е сли случайная величина ξ имеет но рмально е распределение с pξ ( x ) =

параметрами a и δ , то будем записы ватьэ то ввиде ξ ~ N (a, δ ) . Случай ная величина ξ имеет стандартно е но рмально е распределение, если a = 0 и δ = 1, ξ

~ N (0,1) . Пло тно сть стандартно г о но рмально г о распределения

имеетвид: pξ ( x) =

1 x2 exp(− ) , 2 2π

44 аег о функция распределения - Fξ ( x) = Φ ( x ) , г де Φ(x) - функция Л апласа: z2 Φ( x) = ∫ exp(− )dz . 2 2π −∞ Ф ункция распределения но рмально й величины η ~ N (a, δ ) такж е 1

x

вы раж ается через функцию Л апласа: x −a Fη ( x) = Φ .  δ  Н иж е приведены по стро енны е в MathCAD г рафики пло тно сти веро ятно стей и функций распределения для η ~ N (1,2) .

В MathCAD значения в точке x пло тно сти распределения и функции распределения но рмально й случай но й величины с параметрами a, δ , вы числяю тся встро енны ми функциями со о тветственно dnorm(x,a,δ ) и pnorm(x,a,δ ). Ра сп ределени е

χ 2.

Пусть ξ 1 , ξ 2 , K , ξ n - независимы е случайны е

величины , каж дая из ко торы х имеетстандартно е но рмально е распределение N (0,1) . Со ставим случайную величину χ n2 = ξ 12 + ξ 22 + ... + ξ n2 .

Е е распределение назы вается χ 2 - распре де ление м с n степенями сво бо ды . Д ля справо чны х целей приведем здесь вы раж ение пло тно сти распределения э той случайно й величины [5]: 0, z < 0,  n−2 z  − 1  2 2 z e , z ≥ 0, pn ( z) =  n  n 2  Γ 2 2  г де Γ (x) - г амма-функция Э йлера:

45 ∞

Γ( x) = ∫ x z −1e − z dz. 0

Н иж е приведены

г рафики пло тно сти веро ятно стей

и функций

распределения для χ 2 - распределения с двумя, четы рьмя и во семью степенями сво бо ды , по стро енны е в MathCAD. Д ля сравнения приведены г рафики для ξ ~ N (0,1) .

В MathCAD значения в точке x пло тно сти распределения и функции χ 2 - распределения с n степенями сво бо ды

вы числяю тся встро енны ми

функциями со о тветственно dchisq(x,n) и pchisq(x,n). Ра сп ределени е Ст ьюдент а . Пусть случайная величина ξ имеет стандартно е но рмально е распределение, а случайная величина χ n2 - χ 2 распределения с n степенями сво бо ды . Е сли ξ и χ 2 независимы , то про

46 случайную величину τ n =

ξ χ n2

г о во рят, что о на имеет распределение /n

Стью дента с число м степеней сво бо ды n. Д о казано [6], что пло тно сть веро ятно сти э той величины вы числяется по фо рмуле  n + 1 n +1 − Γ  2 x  2 1  2   pτ n ( x ) = + 1 , x ∈ℜ. n   n   nπ Γ  2 При бо льш их n распределение Стью дента практически не о тличается о тN (0,1) .

Н иж е приведены г рафики пло тно сти веро ятно стей и функций распределения для n = 2,4,8 , по стро енны е в MathCAD. Д ля сравнения приведены г рафики для ξ ~ N (0,1) .

47 В MathCAD значения в точке x пло тно сти распределения и функции Стью дента с n степенями сво бо ды вы числяю тся встро енны ми функциями со о тветственно dt(x,n) и pt(x,n). 2.4

Чи с ловы е характе ри с ти ки с лучайны х ве ли чи н

К ак хо ро ш о известно , каж дая случайная величина по лно стью о пределяется сво ей функцией распределения. В то ж е время при реш ении практических задач до статочно знать неско лько число вы х параметро в, ко торы е по зво ляю тпредставитьо сно вны е о со бенно сти случайно й величины в сж атой фо рме. К таким величинами о тно сятся в первую о чередь математическо е о ж идание и дисперсия. Д ля по лно ты изло ж ения материала дадим кратко епредставлениеэ тих величин вMathCAD. М ат ем ат и ч еск оеож и да ни е– число , во круг ко торо г о со средо точены значения случайно й величины . Пустьξ - дискретная случайная величинасраспределением ξ

x1

x2

…

xn

p

p1

p2

…

pn

Т о г да ее математическим о ж иданием – о но о бо значается Mξ назы вается величина n

Mξ = ∑ p i x i , i =1

если число значений случайно й величины ко нечно . Е сли число значений случайно й величины счетно , то ∞

Mξ = ∑ pi xi . i =1

При э том если ряд в право й части равенства расхо дится или схо дится усло вно , то г о во рят, что случай ная величина ξ не имеетматематическо г о о ж идания. М атематическо е о ж идание непреры вно й случай но й пло тно стью веро ятно стей pξ (x) вы числяется по фо рмуле

величины

с

∞

Mξ = ∫ xpξ ( x)dx . −∞

При э том если интег рал в право й части равенства расхо дится, то г о во рят, что случайная величинаξ неимеетматематическо г о о ж идания.

48 Е сли случайная величина η является функцией случайно й величины ξ , η = f (ξ ) , то ∞

Mη = ∫ f ( x) pξ ( x)dx . −∞

А нало г ичны е функции справедливы случайно й величины :

для

n

∞

i =1

i =1

функций

дискретно й

Mξ = ∑ p i f ( x i ) , Mξ = ∑ p i f ( x i ) .

Э то краткие тео ретические сведение из курса тео рии веро ятно стей [5]. Н апо мним такж е ряд по лезны х сво йств при вы числении математическо г о о ж идания случайно й величины : • математическо е о ж идание ко нстанты равно э той ко нстанте, т.е. Mc = c ; • математическо е о ж идание – линейны й функцио нал случай но й величины , т.е. при про изво льны х по стоянны х a и b верно равенство M (aξ + bη ) = aMξ + bMη ; • математическо е о ж идание двух не зависимых случайны х величин равно про изведению их математических о ж иданий, т.е. M (ξη ) = Mξ ⋅ Mη . Приведем в качестве справо чно г о материала фо рмулы математических о ж иданий для наибо лее известны х распределений: • бино минально ераспределение ( P (ξ = k ) = C nk p k q n − k ) : Mξ = np ; • г ео метрическо ераспределение ( P (ξ = k ) = q k p ) : Mξ =

q ; p

λ k −λ • пуассо но вско ераспределение ( P(ξ = k ) = e ) : Mξ = λ ; k! a+b 1 • равно мерно ераспределение( pξ ( x) = ; , x ∈ [a, b] ):` Mξ = 2 (b − a) • э кспо ненциально е(по казательно е) 1 ( pξ = λe − λx , x ≥ 0) : Mξ = ; λ • но рмально е   1  x − a 2   1  exp−  N ( a , σ ) pξ ( x ) =    : Mξ = a ;   2π σ  2  σ    

распределение

распределение

49 • χ 2 -распределение

с

степенями

n

  n −1 n − 2 z  p ( z ) =  Γ  n  2 2  z 2 e − 2 , z > 0  : Mχ 2 = n ;      χ2   2    • распределение Стью дента (t -распределение) с n

сво бо ды

степенями

n +1   − −1 2  1 x  2   n + 1   n   Γ 1 Γ + сво бо ды  p tn ( x) =  : Mt n = 0 .      2 2 n n π           Ди сп ерси я случ а й ной вели ч и ны характеризует меру разбро са значений случайно й величины о ко ло еематематическо г о о ж идания. Е сли случайная величина ξ имеетматематическо е о ж идание Mξ , то

диспе рсией случайно й величины ξ назы вается величина Dξ = M (ξ − Mξ ) 2 . В

а Dξ = Mξ 2 − ( Mξ ) 2 . Э т

курсе тео рии веро ятно стей по казано , что

универсальная фо рмула о динако во хо ро ш о применима как для дискретны х случайны х величин, так и для непреры вны х. В еличина Mξ 2 вы числяется по фо рмулам: n

Mξ 2 = ∑ p i xi2 , i =1

∞

Mξ 2 = ∫ x 2 pξ ( x) dx −∞

для дискретны х и непреры вны х случайны х величин со о тветственно . Е щ е о дним параметро м для о пределения меры разбро са значения случай но й величины является среднеквадратично е о ткло нение σ ξ = Dξ . Перечислим о сно вны есво йствадисперсии: • дисперсия лю бо й случайно й величины нео трицательна: Dξ ≥ 0 ; • дисперсия ко нстанты равнанулю : Dc = 0 ; • для про изво льно й ко нстанты c : D (cξ ) = c 2 Dξ ; • дисперсия суммы (разно сти) двух независимы х случайны х величин равнасумме их дисперсий: D (ξ ± η ) = Dξ + Dη . Т еперь приведем фо рмулы для дисперсий стандартны х распределений: • бино минально ераспределение: Dξ = npq ; • г ео метрическо е распределение: Dξ =

q p2

• пуассо но вско ераспределение: Dξ = λ ;

;

наибо лее известны х

50 (b − a) 2 • равно мерно ераспределение: Dξ = ; 12 • э кспо ненциально е(по казательно е) распределение: Dξ =

1 λ2

;

• но рмально ераспределение N (a, σ ) : Dξ = σ 2 ; • χ 2 -распределениес n степенями сво бо ды : Dξ 2 = 2n ; • распределение Стью дента (t -распределение) с n степенями n сво бо ды : Dξ = ,n > 2. n−2 П ри м е р. В ы числите математическо е о ж идание и дисперсию случай но й величины ξ = S (η ) , ко торая представляет со бо й пло щ адь квадрата со сторо но й η . Случайная величинаη равно мерно распределенанапро меж утке [0,1] . Ф раг мент рабо чег о до кумента MathCAD с вы числениями приведен ниж е.

У казание. М атематическо е о ж идание и дисперсию пло щ ади квадрата со

сторо но й

η

симво льно

вы числить по

фо рмулам

Mξ = Mη 2 ,

Dξ = Mη 4 − ( Mξ ) 2 . Сначала вы числяем математическо е о ж идание пло щ ади

квадрата ξ ,

затем

вы числяется математическо е о ж идание квадрат а

случайно й величины ξ и по том дисперсия пло щ ади квадрата ξ . И ско мы е математическо е о ж идание и дисперсию о пределите как функции переменно й ξ.

51 О стальны е число вы е характеристики случай ны х величин в тео рии веро ятно стей и математическо й статистике вы числяю тся анало г ично приведенны м. 2.5

В ы чи с ле ни я вы б орочны х характе ри с ти к

Первичная о брабо тка данны х со стоит о бы чно в о ты скании максимально г о x max и минимально г о x min значений вы бо рки, а такж е в по стро ении вариацио нно г о ряда – массива вы бо ро чны х значений, про нумеро ванны х (записанны х) впо рядке во зрастания. Д ля вы по лнения э тих вы числений в MathCAD предназначены со о тветственно функции max(A), min(A) и sort(A). К ро ме тог о , MathCAD имеетш естьфункций , вы числяю щ их точны е о ценки параметро в распределения случайно й величины . В по следую щ их разделах будут даны все нео бхо димы е о пределения и о писаны методы по лучения о цено к. Здесьприведем только о пределения функций и правила о бращ ения к ним. Следую щ ие четы ре функции вы числяю т число вы е характеристики вы бо рки, со держ ащ ейся вмассивеA размерно сти m × n . Ф ункция mean(A) вы числяетзначениевы бо ро чно г о среднег о : mean ( A) =

1 m −1n −1 ∑ ∑ Aij . mn i =0 j =0

Ф ункция var(A) вы числяетсмещ енную точечную о ценку дисперсии, назы ваемую выбо ро ч но й диспе рсие й: var( A) =

1 m −1n −1 ∑ ∑ Aij − mean ( A) mn i =0 j =0

(

)2 .

Ф ункция stdev(A) о пределяет среднеквадратично е о ткло нение, т.е. stdev( A) = var( A) . Ф ункция median(A) вы числяетмедиану– величину, меньш е и бо льш е ко торо й ввы бо рке со держ ится о динако во еко личество э лементов. Е щ е две функции предназначены для вы числения число вы х характеристик двумерно г о случайно г о вектора, вы бо ро чны е значения двух ко мпо нент ко торо г о распо ло ж ены со о тветственно в массивах A и B размерно сти m × n .

52 Ф ункция cvar(A,B) вы числяетзначениевы бо ро чно й ко вариации: cvar( A, B ) =

1 m −1n −1 ∑ ∑ Aij − mean( A) Bij − mean( B) . mn i =0 j =0

(

)(

)

Ф ункция corr(A,B) о пределяетко э ффициентко рреляции: cvar( A, B) corr( A, B) = . var(A) var(B ) Н иж е представлен фраг ментрабо чег о до кумента MathCAD, в ко торо м с по мо щ ью о писанны х вы ш е функций вы числены число вы е характеристики вы бо ро чны х данны х. В ы бо ро чны е данны е мо г ут бы ть записаны в виде таблиц, амо г утбы тьпро читаны из файланадиске[1].

53

2.6

В ы б орки . Ги с тограм м ы . П оли гоны час тот

М атематическая статистика в о сно вно м занимается изучением случайны х величин и случай ны х со бы тий по результатам наблю дений. Е е г лавная задача - извлечьмаксимум инфо рмации из э мпирических данны х. В аж нейш ими по нятиями математическо й статистики являю тся г енеральная со во купно стьи вы бо рка. Г енера льна я совок уп ност ь - э то веро ятно стно е про странство с о пределенно й нанем случай но й величино й ξ . Ф ункцию распределения э той случайно й величины

Pξ (x) часто назы ваю тте о ре тич е ско й или истинно й

ф ункцие й распре де ления [4]. В результате про ведения n э кспериментов со случайно й величино й ξ по лучаем n вы бо ро чны х значений xi , i = 1,2,..., n . В ся со во купно сть э тих значений назы вается выбо рко й [4]. В ы бо рко й мо ж но назвать такж е случайны й вектор: если в о дно й серии из n испы таний по лучена вы бо рка ( x1, x2 ,..., xn ) , то вдруго й серии будетпо лучена, ско рее всег о , другая вы бо рка ( x1' , x2' ,..., xn' ) .

В ы бо рка из г енерально й со во купно сти является о сно вны м источнико м инфо рмации о случайно й величине. По вы бо рке о ценивается класс распределений, к ко торо му принадлеж ит распределение исследуемо й случайно й величины , устанавливаю тся интервалы , в ко торы х леж ат истинны е значения параметро в распределения, про веряю тся г ипо тезы о б э той случайно й величинеи фо рмулирую тся вы во ды о других еесво йствах. Чтобы испо льзо вать аппарат математическо й статистики, нуж но преж де всег о уметьнахо дитьнеко торы е число вы е характеристики вы бо ро к и стро итьэ мпирические распределения, с по мо щ ью ко торы х в дальней ш ем мо ж но делатьсо о тветствую щ ие вы во ды .

54 Рассмо трим неко торы е правила предварительно й о брабо тки вы бо ро чны х данны х. В ведем какую -нибудьвы бо ркуо бъ ема n = 250 и будем испо льзо ватьее в дальнейш их вы числениях. Е е мо ж но такж е испо льзо вать как источник по стро ения вы бо ро к для индивидуальны х вариантовзаданий. 145.61 158.087 148.181 150.019 157.708 155.133 147.135 154.915 146.797 152.186 157.911 153.803 154.591 146.154 143.066 145.89 142.623 145.475 147.549 169.584 145.263 160.849 154.96 162.895 136.274 159.455 154.961 140.923

143.206 159.851 143.556 161.076 153.059 157.398 137.201 152.383 129.688 154.05 151.429 154.377 139.478 154.763 154.656 158.742 155.409 152.937 149.142 150.688 150.889 161.757 141.977 151.941 173.96 157.597 149.211 157.864

145.26 158.62 142.76 158.92 150.11 149.83 157.59 143.15 135.88 138.44 139.93 167.60 137.57 151.86 148.49 144.31 156.64 151.50 156.84 155.64 143.01 140.28 143.72 170.86 157.33 139.38 150.83 148.74

140.485 159.156 144.834 120.991 142.355 152.788 146.073 133.852 136.747 138.949 140.73 143.527 154.241 151.96 141.368 140.903 155.196 140.659 157.911 155.572 153.472 134.241 144.466 134.377 149.975 145.867 154.224 138.823

133.143 156.73 155.58 128.429 145.909 151.622 137.964 164.113 144.829 138.966 141.22 155.51 130.834 155.206 171.144 141.323 151.459 157.925 153.578 168.911 141.25 154.64 146.54 150.79 141.54 166.069 142.28 157.239

150.435 139.557 147.552 152.06 143.262 154.285 139.631 159.715 150.621 145.927 152.777 165.465 148.761 158.229 137.64 160.971 149.488 157.163 147.887 164.788 169.001 164.744 145.355 154.205 139.826 150.237 148.655 152.912

148.794 150.691 150.895 143.842 148.678 145-248 149.807 138.44 144.042 136.867 145.978 131.784 154.132 159.314 133.062 139.771 153.16 160.438 148.445 127.059 122.741 161.654 152.509 166.274 133.692 146.685 135.371 141.182

155.564 142.444 162.618 138.023 160.181 143.045 150.32 151.437 146.693 121.596 163.02 163.079 164.656 158.972 153.865 137.484 152.488 158.11 151.36 156.623 158.702 142.365 146.266 156.198 139.462 145.436 152.018

171.91 156.96 142.94 150.99 151.80 180.48 152.64 166.97 155.39 162.76 136.21 139.51 137.71 152.60 135.71 156.24 148.29 156.17 158.63 145.59 171.79 155.09 147.26 132.82 161.15 153.96 166.80

Первичная о брабо тка данны х со стоит о бы чно в о ты скании максимально г о xmax и минимально г о xmin значений вы бо рки (в MathCAD о ни вы числяю тся со о тветственно функциями max(ξ ) и min(ξ ) ), а такж е размаха варьиро вания R = xmax − xmin . Д ля приведенно й вы ш е вы бо рки э ти величины равны : xmax = 180.482 , xmin = 120.991 , R = 59.49 . Следую щ ий э тап первично й о брабо тки – г руппиро вкаи ее г рафическо е представление. Группиро вка вы бо рки о бъ ема n со стоит в следую щ ем. Про меж уток [ xmin , xmax ] разбиваю т на m интервало в г руппиро вки (чащ е всег о о динако во й длины ) и по дсчиты ваю тчисло n j вы бо ро чны х значений, ко торы е по пали в j -й интервал. О бы чно вы бираю т m = 7 − 20 . Т еперь

55 каж ды й интервал г руппиро вки ∆ j = ( a j , b j ) представлен сво ими лево й a j и право й b j г раницами и число м n j э лементов вы бо рки, принадлеж ащ их ему. К аж ды й интервал удо бно представлятьне двумя г раницами, ао дним число м – срединны м значением. Н аибо лее наг лядная фо рмаг рафическо г о представления г руппиро вки – г истог рамма. Е сли δ1 , δ 2 ,..., δ m - длины интервало в г руппиро вки, а x1 , x2 ,..., xm - их середины и h j =

nj

- о тно сительны е частоты по падания наблю дений в j -й n интервал г руппиро вки, то мо ж но по стро итьг рафик ступенчатой функции: hj f ( x) = , x ∈ ∆ j , j = 1,2,..., m . Э тотг рафик назы вается гисто граммо й. В δj MathCAD для по стро ения г истог рамм предназначенафункция hist( ∆,ξ ). Д ля тог о чтобы по стро ить г истог рамму, нуж но сначала сг руппиро вать вы бо ро чны е данны е, записанны е в массиве A, и со хранитьг раничны е точки интервало в г руппиро вки в векторе ∆ , размерно стько торо г о равна числу интервало в. Результат вы числения функции hist ( ∆, A) - вектор, каж ды й э лементко торо г о равен ко личеству вы бо ро чны х значений, по падаю щ их в со о тветствую щ ий интервал г руппиро вки. Размерно сть вектора hist ( ∆, A) со впадаетсразмерно стью вектора ∆ и равначислуинтервало вг руппиро вки. И звестно из математическо й статистики, что величина интервала г руппиро вки сущ ественно влияетнавид г истог раммы . При мало й их ш ирине в каж ды й интервал по падаетнезначительно е число наблю дений или даж е не по падает ни о дно г о , в результате г истог рамма стано вится сильно “изрезанно й ” и пло хо передает о сно вны е о со бенно сти изучаемо г о распределения. Д ругая край но сть– бо льш ие интервалы г руппиро вки; в э том случае скрады ваю тся характерны ечерты распределения. И ная фо рма г рафическо г о представления г руппиро ванны х данны х – по лиг о н частот. По лиго н ч аст о т – э то ло маная линия, со единяю щ ая точки с ко о рдинатами ( xi , hi ), т.е. с абсциссами, равны ми серединам интервало в г руппиро вки, и о рдинатами, равны ми со о тветствую щ им частотам. М о ж но такж е по стро ить по лиго н нако пленных ч аст о т – г рафик j

j

nk ), т.е. k =1 k =1 n с абсциссами, равны ми правы м г раницам интервало в г руппиро вки, и ло мано й, со единяю щ ий точки с ко о рдинатами ( b j , ∑ nk ) или ( b j , ∑

56 о рдинатами, равны ми со о тветствую щ им нако пленны м частотам или о тно сительны м нако пленны м частотам. П ри м е р. В ы числите максимально е, минимально е значение и размах для заданно й в таблице вы бо рки. В ы по лните г руппиро вкудля m = 10,20,100 , по стро йте со о тветствую щ ие г истог раммы , по лиг о ны частот и по лиг о ны нако пленны х частот. Пла н вы п олнени я: 1) О пределитеи введите вектор-столбец вы бо ро чны х значений. 2) У по рядо чите вы бо рку в по рядке во зрастания вы бо ро чны х значений. 3) В ы числите минимально е значение и размах для по лученно й вы бо рки. 4) О пределитечисло интервало вг руппиро вки и их длину. 5) О пределите вектор-столбец, со держ ащ ий середины интервало в г руппиро вки. 6) О пределите с по мо щ ью функции hist( x, ξ ) вектор-столбец частот для по лученны х интервало вг руппиро вки . 7) О пределите вектор-столбец нако пленны х частот. 8) По стро йтег истог рамму, по лиг о н частот. 9) По стро йте по лиг о н нако пленны х частоти по лиг о н о тно сительны х нако пленны х частот. 10) В ы по лните вы числения пунктов с 6 по 9 для всех заданны х значений m . Ф раг ментрабо чег о до кумента MathCAD с вы числением xmax , xmin и R = xmax − xmin для исследуемо й вы бо рки, а такж е с г истог раммами и по лиг о нами частотдля различны х интервало вг руппиро вки приведен ниж е.

57

58

У казание. В приведенно м фраг менте 250 вы бо ро чны х значений со хранены в массиве с именем ξ . Преж де чем приступатьк г руппиро вке вы бо рки, нео бхо димо упо рядо чить вы бо ро чны е значения в по рядке их во зрастания. Э ту о перацию вы по лняет функция sort( ξ ). Группиро вка

59 про изво дится с по мо щ ью функции hist( x, ξ ), г де x - массив, со держ ащ ий значения середин интервало в г руппиро вки. Преж де чем о братиться к функции hist( x, ξ ), нео бхо димо вы числить середины интервало в г руппиро вки и присво ить их значения э лементам массива x . Значения функции hist( x, ξ ) – вектор, ко мпо ненты ко торо г о равны ко личеству э лементов массива ξ , ко торы е по падаю тв интервал г руппиро вки, середина ко торо г о равнасо о тветствую щ ей ко мпо нентемассива x . При первично й о брабо тке вы бо ро чны х данны х мо ж но реко мендо вать неско лько о бщ их правил: 1) Перед начало м г руппиро вки следует упо рядо чить вы бо ро чны е значения в по рядке во зрастания. Т акая упо рядо ченная в по рядке во зрастания вы бо рканазы вается вариацио нным рядо м. 2) При вы бо ре числа интервало в г руппиро вки следует о риентиро ваться на10-20 интервало в. 3) Предпо чтительнееиспо льзо ватьинтервалы о динако во й длины . 4) При анализео бхваты вайте всю о бластьданны х. 5) И збег ай тепо луо ткры ты х про меж утко в. 6) И нтервалы г руппиро вки недо лж ны перекры ваться.

2.7

М оде ли ровани е вы б орок и з с тандартны х рас пре де ле ни й

MathCAD о бладает бо г атой библио теко й встро енны х функций, предназначенны х для г енериро вания вы бо ро к из г енеральны х со во купно стей с наибо лее распро страненны ми стандартны ми распределениями. О ни со браны в разделе Random Numbers (случайны е числа) библио теки встро енны х функций пакета. Н апример, для г енерации но рмально г о распределения предназначена функция rnorm(k , µ , σ ) , значением ко торо й является вектор, со держ ащ ий k вы бо ро чны х значений но рмально распределенно й случайно й величины с математическим о ж иданием Mξ = µ и дисперсией Dξ = σ 2 . Н иж еприведен списо к функций MathCAD, г енерирую щ их вы бо рки: • Бета-распределение: rbeta( k , s1 , s 2 ) . • Бино миально ераспределение: rbinom(k,n,p). • РаспределениеК о ш и: rcauchy(k,l,s).

60 • • • • • • • • rnbinom(k,n,p). • • • • •

- распределение: rchisq(k,d). Э кспо ненциально ераспределение: rexp(k,r). РаспределениеФ иш ера(F-распределение): rF(k,m,n). Гамма-распределение: rgamma(k,s). Гео метрическо ераспределение: rgeom(k,p). Л о г но рмально е распределение: . Л о г истическо ераспределение: rlogis(k,l,s). О трицательно е бино миально е распределение: Н о рмально ераспределение: . РаспределениеПуассо на: . РаспределениеСтью дента: rt(k,d). Равно мерно ераспределение: runif(k,a,b). РаспределениеВ ейбулла: rweibull(k,s).

Л итература О сно вная 1. MathCAD 2000. User’s Guide. – MathSoft, 1999. – 512 c. 2. Справо чник по Mathcad Plus 7.0 Pro / В .П. Д ьяко но в. – М .: СК Пресс, 1998. – 417 с. 3. Ф едо рю к М .В . О бы кно венны е дифференциальны е уравнения / М .В . Ф едо рю к. – М .: Н аука, 1980. – 287 с. 4. В ентцельЕ .С. Т ео рия веро ятно стей / Е .С. В ентцель. – М .: В ы сш ая ш ко ла, 1999. – 617 с. Д о по лнитель ная 5. Чистяко вВ .П. К урс тео рии веро ятно стей / В .П. Чистяко в. – М .: В ы сш ая ш ко ла, 1992. – 315 с. 6. Т ео рия веро ятно стей и математическая статистика / В .А . К о лемаеви др. – М .: В ы сш ая ш ко ла, 1991. – 327 с. 7. Бахвало в Н .С. Численны е методы / Н .С. Бахвало в. – М .: Н аука, 1975. – 512 с. 8. В о ево дин В .В . Л иней ная алг ебра / В .В . В о ево дин. – М .: Н аука, 1980. – 235 с.

61 9. О сно вы математическо г о анализа / В .А . И льин, Э .Г. По здняк – М .: Н аука, 1980. – 571 с. Со держ ание В ведение 2 1 И спо льзуемы е инструменты MathCAD для реш ения о бы кно венны х дифференциальны х уравнений. 2 1.1 ЗадачаК о ш и для линейно г о дифференциально г о уравнения 2 1.2 Реш ение задачи К о ш и для дифференциально г о уравнения перво г о по рядка 2 1.3 Реш ение задачи К о ш и для дифференциальны х уравнений вы сш их по рядко в2 1.4 Реш ение задачи К о ш и для но рмально й системы дифференциальны х уравнений 2 1.5 Реш ениезадачи К о ш и для ж естко й системы 2 1.6 И нтег ральны еи фазо вы екривы еавтоно мно й системы 2 1.7 По стро ениевекторно г о по ля автоно мно й системы 2 1.8 Д ифференциальны е уравнения перво г о по рядка 2 1.9 У равнениесразделяю щ имися переменны ми 2 1.10 Численно ереш ениезадачи К о ш и методо м Рунг е – К утта 2 1.11 Реш ение уравнений вы сш их по рядко в и систем дифференциальны х уравнений 2 2 И спо льзуемы е инструменты MathCAD в тео рии веро ятно стей и математическо й статистике 2 2.1 Случайны евеличины . Ф ункции распределения 2 2.2 Н аибо лее распро страненны е распределения дискретны х случайны х величин 2 2.3 Н аибо лее распро страненны е распределения непреры вны х случайны х величин 2 2.4 Число вы ехарактеристики случайны х величин 2 2.5 В ы числения вы бо ро чны х характеристик 2 2.6 В ы бо рки. Гистог раммы . По лиг о ны частот 2 2.7 М о делиро ваниевы бо ро к из стандартны х распределений 2 Л итература2

Со ставители: Э ксаревская М аринаЕ вг еньевна,

62 Е сипенко Д митрий Гео рг иевичРедактор БунинаТ .Д .