Внимание! Файл получен с помощью ссылки, расположенной в каталоге сайта ITBookZ.ru. Описание сайта: На сайте Вы найдёте много электронных книг, которые можно бесплатно скачать для ознакомления, без регистрации! Сайт полезен человеку, так или иначе занятому в IT сфере, т.е. работающему с компьютером. Темы электронных книг:
Программирование САПР Операционные системы WEB-Дизайн MS Office Сети Базы данных Безопасность
1C Графика, Дизайн, 3D Железо Создание игр Математика Мультимедиа Журналы IT тематики. И многое другое!
Море электронных книг по компьютерной тематике! Постоянное пополнение! Заходите, выбирайте и скачивайте! ITBookZ.ru Авторское право: Данная книга предоставлена исключительно для ознакомительных целей и должна быть удалена с вашего компьютера или любого иного носителя информации сразу после поверхностного ознакомления с содержанием. Копируя и сохраняя данную книгу, Вы принимаете на себя всю ответственность, согласно действующему международному законодательству, а именно закону об авторском праве и смежными с ним законами. Публикация данного документа не преследует за собой никакой коммерческой выгоды, а является рекламой бумажного аналога. Правообладателям: Все авторские права сохраняются за правообладателем. Если Вы являетесь автором данного документа и хотите дополнить его или изменить, уточнить реквизиты автора или опубликовать другие документы, пожалуйста, свяжитесь с нами через форму обратной связи на сайте. Мы будем рады услышать ваши пожелания и принять меры по устранению недоразумений. С уважением, Администрация ITBookZ.ru
УДК ББК
681.3:51 (076.5) 22.1с51я7Э П38
РЕЦЕНЗЕНТЫ: Кафедра прикладной математики Московского государственного института электроники и математики (технический университет)
П38
М.И. Шабунин. доктор педагогических наук, профессор Издание осуществлено при финансовой поддержке Научно-технической компании ГЕММА-М Плис А.И., Сливина Н.А. Mathcad: математический практикум для экономистов и инженеров: Учеб. пособие. -М.: Финансы и статистика, 1999. 656 с.: ил. ISBN 5-279-02155-5
Пособие представляет собой сборник заданий по стандартному курсу высшей математики для экономических и некоторых инженерных специальностей. Задания включают постановку задачи, краткое описание математического метода ее решения, анализ результатов вычислений. Примеры содержат все необходимые рекомендации по работе с математической моделью и пакетом. Для студентов экономических и инженерных вузов, преподавателей математики, научных работников, пользователей компьютеров, применяющих математические методы в практической работе. 2404000000 - 014 УДК 681.3:51(076.5) П ——————————— ББК 22.1с51я73 145 - 98 010 (01) - 99
i Плис А.И., Сливина Н.А., 1999
ISBN 5-279-02155-5
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Глава 1. Введение в Mathcad
9 13
1.1. Что такое Mathcad? 1.2. Основные характеристики Mathcad 1.3. Начало работы в среде Mathcad 1.4. Простейшие вычисления и операции в Mathcad
13 15 19 22
Простейшие арифметические вычисления (23). Определение переменной и ее значения. Вычисление значений выражений, содержащих переменные (25). Определение и вычисление значения функции в точке. Построение таблицы значений функции (26). Построение декартова графика функции (27). Сохранение рабочего документа в файле на диске (28). Открытие нового рабочего документа (29). Чтение рабочего документа из файла на диске (29).
1.5. Меню Mathcad 1.6. Панели инструментов Mathcad 1.7. Режим справки 1.8. Решение задач элементарной математики в Mathcad . Преобразование алгебраических построение таблиц значений и решение уравнений и систем (58).
30 41 46 52
выражений (53). Определение, графиков функций (56). Символьное
Глава 2. Задачи линейной алгебры 2.1. Используемые инструменты Mathcad 2.2. Действия с матрицами
60 60 67
Основные матричные операции (67). Транспонирование. Вычисление обратной матрицы. Ортогональные матрицы (70). Вычисление степени матрицы. Некоторые специальные матрицы (73).
2.3. Определители и их свойства
75
Вычисление определителей (75). Решение системы линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера (78).
2.4. Системы линейных алгебраических уравнений Матричная форма записи линейных систем. Решение матричных уравнений (81). Решение линейной системы методом Гаусса (83). Решение системы линейных алгебраических уравнений методом простых итераций (86).
81
4
Оглавление
2.5. Общая теория линейных систем
89
Однородные системы линейных алгебраических уравнений Неоднородные системы линейных алгебраических уравнений (95).
2.6. Линейное пространство. Основные понятия
(90).
98
Базис и размерность линейного пространства. Координаты вектора в заданном базисе (99). Исследование линейной зависимости. Ранг матрицы (102). Ортонормированные базисы и ортогональные матрицы (105).
2.7. Элементарная теория линейных операторов
109
Линейный оператор и его матрица. Переход к другому базису (109). Образ и ядро линейного оператора (112). Собственные значения и собственные векторы линейного оператора (115).
2.8. Матричные вычисления в экономических задачах
119
Модель межотраслевого баланса Леонтьева. Вычисление совокупного выпуска по заданному спросу (119). Цены в системе межотраслевых связей (126). Простейшая модель экспорта и импорта (128). Линейная модель международной торговли (131).
2.9. Геометрическое решение задачи линейного программирования 133 2.10. Решение переопределенных систем .. 139 Проекции на подпространство Аппроксимация эмпирических дратов (143).
и метод данных
наименьших квадратов (139). методом наименьших ква-
Глава 3. Задачи математического анализа 3.1. Используемые инструменты Mathcad
148 148
Определение функций и построение графиков (148). Вычисление пределов (153). Дифференцирование (154). Интегрирование (156). Суммирование рядов (157). Разложение функций по формуле Тейлора (157).
3.2. Сходимость числовых последовательностей 3.3. Предел функции
159 166
Предел функции в точке (166). Бесконечно малые функции. Сравнение бесконечно малых (169).
3.4. Классификация точек разрыва. Поведение функции на границах области определения
173
Непрерывность и разрывы функции. Классификация разрывов (173). Непрерывные функции. Свойства непрерывных функций (176).
3.5. Производная и ее вычисление Односторонние производные (180). Геометрический смысл производной (183).
179
5
3.6. Исследование функций и построение графиков
186
Вертикальные и наклонные асимптоты (186). Исследование функции с помощью производной (189). Исследование функции с использованием второй производной (191).
3.7. Кривая на плоскости
195
Кривые на плоскости, заданные в декартовых Кривые на плоскости, заданные параметрически плоскости, заданные в полярных координатах (201).
координатах (195). (199). Кривые на
3.8. Формула Тейлора 3.9. Функции одной переменной в экономических задачах 208
203
Функции спроса. Равновесная цена (208). Функции спроса. Зависимость спроса от дохода (211). Максимальная прибыль (214). Средние и предельные показатели (216). Эластичность экономических функций (218).
3.10. Неопределенный интеграл. Интегрирование заменой переменной 3.11. Определенный интеграл Определение и мула Ньютона ной (229).
221 226
вычисление определенного интеграла (226). Фор— Лейбница. Интегрирование заменой перемен-
3.12. Несобственные интегралы Интеграл как функция верхнего предела интегралы по неограниченному промежутку интегралы от неограниченных функций (238).
233 (233). (236).
3.13. Числовые ряды
Несобственные Несобственные
240
Основные понятия. Ряды с неотрицательными членами (240). Знакопеременные ряды (248).
3.14. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора 3.15. Разложение функций в ряд Фурье
250 254
Сходимость ряда Фурье. Явление Гиббса (254). Приближение функций. Минимальное свойство коэффициентов Фурье (260). Зависимость скорости сходимости ряда Фурье от гладкости функции (262). Ряд Фурье на произвольном отрезке (267).
3.16. Функции многих переменных. Основные понятия
269
Графики функций двух переменных. Линии уровня. Локальные экстремумы (269). Частные производные. Производная по направлению. Градиент. Производные высших порядков (275).
3.17. Формула Тейлора для функции многих переменных .
279
Формулы Тейлора и Маклорена. Аппроксимация функции многочленом (279). Локальный экстремум (283).
3.18. Функции многих переменных в экономических задачах
288
Производственные функции (288). Эластичность производственной функции (эластичность выпуска) (292). Производственная функция Кобба — Дугласа (293). Производственная функция CES (функция с постоянной эластичностью замещения) (295).
Оглавление
6
Глава 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения
298
4.1. Используемые инструменты Mathcad
298
Решение задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка (301). Решение задачи Коши для дифференциальных уравнении высших порядков (302). Решение задачи Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений (303). Решение задачи Коши для жесткой системы (304). Построение интегральных и фазовых кривых автономной системы (305). Построение векторного поля автономной системы (306).
4.2. Дифференциальные уравнения первого порядка
308
Уравнение с разделяющимися переменными (309). Численное решение задачи Коши методом Рунге — Кутты (312).
4.3. Уравнения высших порядков. Системы дифференциальных уравнений 4.4. Линейные дифференциальные уравнения Принцип суперпозиции (321). постоянными коэффициентами. неоднородные уравнения с решение. Метод подбора (327).
315 321
Линейные однородные уравнения с Общее решение (323). Линейные постоянными коэффициентами. Общее
4.5. Жесткие системы. Решение дифференциальных уравнений методом матричной экспоненты 4.6. Автономные системы на плоскости
330 338
Фазовая плоскость, фазовые кривые (339). Точки покоя линейной автономной системы (343). Векторное поле автономной системы (348) Устойчивые решения. Предельные циклы. Фазовые портреты нелинейных систем (353).
4.7. Динамические системы в экономических задачах
356
Динамика популяций. Уравнения Вольтерра — Лотка (356). Уравнения Вольтерра — Лотка с логистической поправкой (361). Модель Холдинга — Тэннера (364). Выравнивание цен (367).
Глава 5. Теория вероятностей
370
5.1. Функции и инструменты Mathcad 5.2. Случайные величины. Функции распределения
370 374
Функция распределения случайной величины (375). Наиболее пространенные распределения дискретных случайных величин (377).
рас-
5.3. Предельные распределения для биномиального распределения ............................. 384 Теорема Пуассона (384). са (385). Интегральная Бернулли (389).
Локальная теорема Муавра — теорема Муавра—Лапласа (387).
ЛаплаТеорема
7
5.4. Непрерывные случайные величины
391
Наиболее распространенные распределения непрерывных случайных величин (391). Квантили (402).
5.5. Совместные распределения нескольких случайных величин
403
Многомерные случайные величины Функции распределения многомерных случайных величин (403). Независимость случайных величин (406).
5.6. Условные распределения случайных величин
408
Условные распределения дискретных случайных величин (408). Условные распределения непрерывных случайных величин (413).
5.7. Функции от случайных величин
419
Плотность вероятности суммы двух случайных величин (422). Более сложные функции от случайных величин (424).
5.8. Числовые характеристики случайных величин
427
Математическое ожидание случайной величины (427). Дисперсия случайной величины (429). Моменты (431). Эксцесс (435). Среднее гармоническое и среднее геометрическое случайных величин, принимающих только положительные значения (437).
5.9. Числовые характеристики двумерных случайных величин
438
Математическое ожидание (439). Дисперсия (441). Условное математическое ожидание (443). Ковариация (453). Корреляция (456).
Глава 6. Задачи математической статистики 6.1. Используемые инструменты Mathcad
462 462
Ввод и вывод файлов данных (462). Функции вычисления выборочных характеристик (464). Построение эмпирических распределений (466). Моделирование выборок из стандартных распределений (468).
6.2. Основные задачи статистики. Выборки. Гистограммы. Полигоны частот Эмпирические распределения и Числовые характеристики выборки пределения (479).
числовые характеристики (476). Оценка функции
6.3. Точечные оценки параметров распределений
469 (470). рас-
486
Точечные оценки математического ожидания (486). Точечные оценки дисперсии (489). Точечная оценка вероятности события (491). Точечная оценка параметров равномерного распределения (492).
6.4. Методы получения точечных оценок
495
Метод максимального правдоподобия для дискретной случайной величины (495). Метод максимального правдоподобия для непрерывной случайной величины (498).
Оглавление
6.5. Интервальное оценивание параметров нормально распределенной случайной величины
505
Доверительные интервалы для математического ожидания (506). Доверительный интервал для дисперсии (508). Доверительный интервал для параметров пуассоновского распределения (511). Доверительный интервал для вероятности (514). Доверительный интервал для коэффициента корреляции (515).
6.6. Проверка статистических гипотез о параметрах нормально распределенной случайной величины
519
Проверка гипотезы о числовом значении математического ожидания при известной дисперсии (521). Проверка гипотезы о числовом значении математического ожидания при неизвестной дисперсии (526). Проверка гипотезы о числовом значении дисперсии (529). Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий при известных дисперсиях (532). Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий распределений при равных неизвестных дисперсиях (535).
6.7. Линейная регрессия 6.8. Элементы дисперсионного анализа
Однофакторный дисперсионный анализ (549). Двухфакторный дисперсионный анализ (556).
Приложение. Варианты заданий Глава 2 ............................ Глава 3 ............................ Глава 4 ............................ Глава 5 ............................ Глава 6 ............................ Литература
538 549
564 564 589 617 627 640 654
ПРЕДИСЛОВИЕ
Чрезвычайная простота интерфейса Mathcad сделала его одним из самых популярных и безусловно самым распространенным в студенческой среде математическим пакетом. Он предоставляет пользователю обширный набор инструментов для реализации графических, аналитических и численных методов решения математических задач на компьютере. Выполняя рутинные или несущественные (в контексте изучаемого раздела) операции, пакет позволяет студенту, не владеющему в полной мере техникой математических преобразований, самостоятельно выполнить громоздкие вычисления, решить содержательные задачи, приобрести устойчивые навыки решения прикладных задач. При этом учащийся общается с вычислительной средой на уровне понятий, идей, общих подходов и за небольшое время может рассмотреть самостоятельно много примеров. Эти свойства общения со средой особенно важны для развития творческого, критического и независимого мышления, поскольку учащийся может всесторонне исследовать новые объекты, выделить общие закономерности и сформулировать обобщающие утверждения на основе собственных наблюдений. Пакет Mathcad можно использовать как средство модернизации курсов, как среду для общения учащегося с преподавателем, как средство контроля и самоконтроля, как инструмент помощи учащемуся при самостоятельной работе. При создании учебных курсов Mathcad помогает преподавателям подготовить динамичные яркие иллюстрации, перенести акценты на концептуальные аспекты изучаемых проблем, обогатить курс примерами, возникающими в различных областях науки и практики, которые обычно не рассматриваются в учебных курсах из-за их сложности. Лекционные демонстрации можно подготовить таким образом, что каждый учащийся получит столько примеров, сколько именно ему необходимо для понимания существа вопроса. Для одного и того же раздела можно подготовить самые различные по объему, форме и глубине учебные курсы. Предлагаемая читателю книга представляет собой сборник компьютерных занятий в среде Mathcad по стандартному курсу (с включением некоторых специальных разделов) высшей математики для инженерных и экономических вузов. Часть занятий целиком отводится экономическим приложениям.
10
Предисловие
В книге приведены примеры решения задач в среде Mathcad 7.0, интерфейс которого мало отличается от интерфейса следующей версии — Mathcad 8.0 (Mathcad 8.0 начал распространяться в России с конца 1998 г.). Структура практикума такова, что большая часть материала не связана с конкретным программным обеспечением и его можно успешно использовать не только с любой другой версией Mathcad, но и с другими математическими пакетами. Каждый раздел практикума посвящен изучению определенной темы или метода решения математической задачи и содержит: • теоретическое введение, включающее определения и сводку основных результатов; • описание математического метода решения задачи; • формулировку одного или нескольких заданий с индивидуальными вариантами для группы из 20 студентов; • описание порядка выполнения работы в среде Mathcad; • пример решения типовой задачи, включающий фрагмент или полный текст рабочего документа Mathcad, снабженный комментариями и краткими указаниями, помогающими реализовать решение задачи на компьютере. Цель практикума — научить быстро и легко решать в среде Mathcad простейшие математические задачи. Поэтому в книге нет полного описания возможностей и функций пакета, а представлены только операции, вынесенные в меню и кнопочные панели, а также наиболее часто используемые встроенные функции. Книга состоит из шести глав. В начале каждой главы приводится краткое описание функций и инструментов Mathcad, используемых при решении задач главы, и даны примеры использования этих инструментов. Искушенный читатель, столкнувшийся с необходимостью решить конкретную задачу, возможно, ограничится чтением этого раздела. В главе 1 дана краткая характеристика пакета Mathcad, описаны простейшие приемы работы с ним и приведены примеры решения основных задач элементарной математики. Глава в основном адресована начинающим пользователям. Авторы предполагают, что эта категория читателей получит представление о возможностях Mathcad и, выполнив задания, справится с предложенными в следующих главах задачами. Пользователь, знакомый с работой в среде Mathcad, сможет здесь познакомиться с особенностями новой версии пакета. В главе 2 рассматриваются задачи линейной алгебры. Здесь описаны методы решения практически всех задач стандартного курса: от простейших операций с матрицами до элементарной теории линейных
Предисловие
11
операторов. В качестве приложений приводятся задачи межотраслевого баланса, геометрическое решение задачи линейного программирования и задача аппроксимации экспериментальных данных методом наименьших квадратов. В главе 3, самой большой по объему, описывается решение основных задач математического анализа функций одной и нескольких переменных, начиная с вычисления предела последовательности и заканчивая исследованием сходимости тригонометрических рядов. При изложении материала широко используются графические возможности пакета. Привлечение графики позволяет наглядно продемонстрировать и объяснить многие тонкие и традиционно трудные для понимания математические понятия. Некоторые разделы главы знакомят читателей с понятиями и функциями, используемыми в экономике (функции спроса и предложения, производственные функции одной и нескольких переменных, эластичность и др.). При отборе материала главы 4, посвященной дифференциальным уравнениям, авторы достаточно далеко отошли от общепринятого стиля изложения этого раздела в стандартном курсе высшей математики. Здесь практически не рассматриваются аналитические методы решения, занимающие в обычных курсах львиную долю учебного времени. Основное внимание уделено численным методам решения задачи Коши, включая методы решения жестких систем, а также качественным аспектам теории дифференциальных уравнений. В главе представлены традиционные приложения качественнойтеории — модели конкурирующих видов и экономических систем. В главе 5, где собраны задачи теории вероятностей, дано много полезной справочной информации о наиболее часто используемых распределениях, их числовых характеристиках и свойствах, приведено множество графиков. Последняя глава посвящена статистическим методам. Здесь описаны методы решения практически всех основных задач анализа данных — от простейших описательных статистик и построения гистограмм до факторного анализа и проверки статистических гипотез, приведено много полезной справочной информации. В процессе решения задач этой главы читатель не только научится оценивать параметры распределений, но и познакомится с методами статистического моделирования и численного эксперимента. В приложении приведены варианты индивидуальных заданий для группы из 20 студентов. Изложение материала каждой главы независимо. Поэтому, если читатель хочет научиться решать задачи определенного раздела математики, он может ограничиться изучением только нужной ему главы.
12
Предисловие
Книга адресована широкому кругу читателей: студентам, преподавателям вузов, специалистам, использующим пакет в практической работе. Преподаватели математических дисциплин найдут в практикуме методически полностью проработанные компьютерные занятия. Авторы предполагают, что для многих коллег материал книги послужит творческим импульсом для подготовки собственных учебных курсов на базе универсальных математических пакетов. Преподаватели смежных дисциплин, использующих математические модели, смогут расширить круг рассматриваемых задач, поскольку компьютер снимает многие ограничения на сложность используемых моделей. Студенты инженерных вузов найдут в книге описание практически всех математических задач, встречающихся в инженерных расчетах. Студенты экономических вузов, поручив компьютеру выполнение рутинных вычислений, смогут сосредоточиться на анализе содержательных, качественных свойств исследуемых моделей. Пользователи получат сборник примеров решения стандартных математических задач в среде Mathcad. Авторы приносят глубокую благодарность проф. М.И. Шабунину и проф. Е.М. Воробьеву за полезные замечания и доброжелательное отношение к данной работе, И.П. Боровикову, директору корпорации СофтЛайн, по инициативе которого была написана эта книга, — за предоставленную для работы версию пакета. (Корпорация СофтЛайн (127087, Москва, а/я 362,
[email protected], http://www.softline.ru) является эксклюзивным дистрибьютером Mathcad в России.) Авторы считают своим приятным долгом выразить особую благодарность А.Н. Канатникову, вдумчивые замечания которого были им чрезвычайно интересны и полезны.
ЛИТЕРАТУРА 1. Афифи Ф., Эйзен С. Статистический анализ. Подход с использованием ЭВМ. - М.: Мир, 1982. 2. Бахвалов Н.С. Численные методы. - М.: Наука, 1975. 3. Васин А.П., Павлоцкая Л.М., Плис А.И., Сливина Н.А. Компьютерные занятия по высшей математике. - М.: Изд-во МЭИ, 1997. 4. Воеводин В.В. Линейная алгебра. - М.: Наука, 1980. 5. Высшая математика для экономистов / Под ред. Н.Ш. Кремера. - М.: Банки и биржи, 1998. 6. Гальперин В.М., Гребенников П.И., Леусский А.И., Тарасевич Л.С. Макроэкономика. - СПб: Экономическая школа, 1994. 7. Доугерти К. Введение в эконометрику / Пер. с англ. - М.: Инфра-М, 1997. 8. Дьяконов В.П. Справочник по Mathcad Plus 7.0 Pro. - М.: СК Пресс, 1998. 9. Замков 0.0., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. - М: ДИС, 1997. 10. Иванов Ю.Н. Экономические доктрины. Теория потребления. - М.: Наука,1997. 11. Иванов Ю.Н., Токарев В.В., Уздемир А.П. Математическое описание элементов экономики. - М.: Наука, 1994. 12. Ильин В.А, Позняк Э.Г. Основы математического анализа. М.: Наука, 1980. 13. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл. X. Математический анализ. - М.: Изд-во МГУ, 1987. 14. Исследование операций в экономике / Под ред. Н.Ш. Кремера. - М.: Банки и биржи, 1997. 15. Колемаев В.А. и др. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 1991. 16. Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов. - М.: Инфра-М, 1997. 17. Королюк B.C. и др. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. - Киев: Наукова думка, 1976. 18. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. М.: Высшая школа, 1994. 19. Курицкий Б. Поиск оптимальных решений средствами Excel 7.0. - СПб, BHV, 1997.
655 20. Леман Э. Проверка статистических Наука, гипотез. - М.: 1979. 21. Леонтьев В. В. Межотраслевая экономика. - М.: Экономика, 1997. 22. Лесин В.В., Лисовец Ю.П. Основы методов оптимизации. - М.: Изд-во МАИ, 1995. 23. Mathcad 6.0 Plus. Финансовые, инженерные и научные расчеты в среде Windows 95 / Пер. с англ. - М.: Филин, 1996. 24. Mathcad 7. User's Guide. - MathSoft, 1997. 25. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. - М.: Наука, 1970. 26. Мину М. Математическое программирование. Теория и алгоритмы. - М.: Наука, 1992. 27. Очков В.Ф. Mathcad 7 Pro для студентов и инженеров. - М.: Компьютер пресс, 1998. 28. Петровский И.Г. Лекции по теории дифференциальных уравнений. - М.: Изд-во МГУ, 1984. 29. Плис А.И., Сливина Н.А. Лабораторный практикум по высшей математике. - М.: Высшая школа, 1994. 30. Севостьянов Б-A. Курс теории вероятностей и математической статистики. - М.: Наука, 1982. 31. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике. - М.: Финансы и статистика, 1998. 32. Справочник по математике для экономистов / Под ред. В.И. Ермакова. - М.: Высшая школа, 1997. 33. Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения / Пер. с англ. - М.: Мир, 1980. 34. Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. Рассказы о прикладной математике. - М.: Наука, 1979. 35. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Статистический анализ данных на компьютере / Под ред. В.Э. Фигурнова. - М.: Инфра-М, 1998. 36. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1980. 37. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. - М.: Наука, 1969. 38. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. - М.: Высшая школа, 1982. 39. Эрлих А.А. Технический анализ товарных и финансовых рынков. - М.: Инфра-М, 1996. 40. Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями / Пер. с англ. - М.: Мир, 1986.
