Matematica e cultura 2008 (Italian Edition)

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matematlca e cultura 2008 a cura di Michele Emmer

~ Springer

MICHELE EMMER

Dipartimento di Matematica "G. Castelnuovo" Universita degli Studi «La Sapienza") Roma

ISBN 978-88-470-0793-2 e-ISBN 978-88-470-0794-9 Springer fa parte di Springer Science+Business Media springer.com © Springer-Verlag Italia 2008 Quest'opera eprotetta dalla legge suI diritto d'autore. Tutti i diritti, in particolare quelli relativi alla traduzione, alla ristampa, all'utilizzo di illustrazioni e tabelle, alla citazione orale, alla trasmissione radiofonica 0 televisiva, alla registrazione su microfilm 0 in database, 0 alla riproduzione in qualsiasi altra forma (stampata 0 elettronica) rimangono riservati anche nel caso di utilizzo parziale. La riproduzione di quest'opera, anche se parziale, e ammessa solo ed esclusivamente nei limiti stabiliti dallalegge sul diritto d'autore ed esoggetta all'autorizzazione dell'editore. La violazione delle norme comporta le sanzioni previste dalla legge. L'utilizzo in questa pubblicazione di denominazioni generiche, nomi commerciali, marchi registrati, ecc. anche se non specificamente identificati, non implica che tali denominazioni 0 marchi non siano protetti dalle relative leggi e regolamenti.

Traduzioni: Massimo Caregnato per gli articoli di B. Miller, S. Roberts, C. Shaw, N. Sinclair e D. Pimm, S. Singh, J. Weeks, K.O. Widman e B. Beckman; Isabelle Werner per l'articolo di J. Ellinghaus Coordinamento editoriale: Marina Forlizzi Redazione: Barbara Amorese Illustrazioni di Omaggio a Hugo Pratt: Fabio Santin Progetto grafico della copertina: Simona Colombo, Milano Fotocomposizione e impaginazione: Graficando, Milano Stampa: Signum Srl, Bollate, Milano In copertina: incisione diMatteo Emmer tratta da "La Venezia perfetta", Centro Internazionale della Grafica, Venezia, 1993; immagini di Emanuela Fiorelli, Roberto Mantovani, Brad Miller, Antonino Saggio, Jeff Weeks Occhielli: incisioni di Matteo Emmer, Ope cit. 11 congresso e stato realizzato grazie alla collaborazione di: Dipartimento di Matematica Applicata, Universita di Ca' Foscari, Venezia; Dipartimento di Matematica ((G. Castelnuovo", Universita di Rorna "La Sapienza"; Dipartimento di Matematica, Universita di Bologna; Dipartimento di Matematica, Politecnico di Milano; Dipartimento di Matematica, Universita di Pisa; Dipartimento di Matematica, Universita di Trento; Galileo - Giornale di scienza e problemi globali; Dipartimento di Scienze per I'Architettura dell'U niversita di Genova; Liceo Scientifico U. Morin di Mestre; S. P. "Maternatica: Scienza senza Frontiere", Universita di Leece; UMI - Unione Matematica Italiana. Stampato in Italia Springer-Verlag Italia Srl, via Decembrio 28, I - 20137 Milano

La torre d'avorio 1 Dr FAUSTO SALERr

Ciascuno di noi ha nella propria casa un luogo preferito, dove rifugiarsi quando desidera stare solo con se stesso per riflettere e dare il giusto peso a quel che accade nella vita 0 semplicemente per godere della compagnia di un buon libro. Anche il dottor Gastald non sfuggiva a questa regola e, quando gli impegni glie10 consentivano ed il tempo era clemente, amava passare il suo tempo in uno spicchio dell'orto che si apriva dietro alIa sua abitazione. Si trattava di un rettangolo di Paradiso, come diceva lui, delimitato per due lati dal muretto di mattoni rossi, erosi dall'umidita, che 10 separava dal giardino del vicino e, per gli altri due, dalle sottili colonne che reggevano un pergolato sul quale un glicine aveva disteso le sue braccia vegetali. Un gelsomino abbarbicato al muro ed un cespuglio di rosmarino contribuivano a rendere l'aria sempre pervasa da freschi profumi. E fu proprio in quelluogo che mastro Fabrius, passato a salutare il dottore in quel prirno pomeriggio d' estate, 10 trovo seduto davanti ad un tavolino di nera ghisa, decorato con motivi floreali. "Buon pomeriggio, mio caro amico" gli disse Fabrius recuperando un'altra sedia poco discosta e facendosi aria con un giornale che teneva in mano. "Siete pronto per la disfida?" domando, estraendo da una scatola in legno, appoggiata per terra, una scacchiera in alabastro dalle caselle bianche e verdi. Gastald saluto I'amico con allegria; aveva giusto voglia di esercitarsi nel gioco degli scacchi verso il quale provava una grandissima attrazione, pur essendo un pessimo giocatore. I due, posata la scacchiera suI tavolo, iniziarono a disporre silenziosamente i pezzi, anch'essi d' alabastro. "Tocca a voi, dottore" disse Fabrius e quello, respirato il profumo d'un tardivo flore di gelsomino, mosse un pedone aprendo la partita. Dopo mezz'ora la situazione sul campo stava gia volgendo a favore di Fabrius giunto a minacciare pericolosamente il re avversario. "Amico mio, giocando con voi ho sempre l'impressione che gia dalla prima mossa sappiate dove io voglia andare a parare" commento il dottore.ammirato per Ie capacita dell'amico. Fabrius sorrise eliminando una delle torri di Gastald. «Non esageriamo, diciamo che cerco di analizzare in modo matematico 10 svolgersi della partita. Si tratta di calcolare, seppur all'inizio in modo assai grossolano, le probabilita che una mossa mi sia favorevole 0 sfavorevole a breve e a lungo terrnine" rispose godendosi la brezza leggera che faceva stormire i grappoli cadenti dei fiori del glicine.

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Racconto tratto da I numeri del cuore, C. Ciliberto, F. Saleri, E. Strickland, Springer- Verlag Italia, Milano, 2008

cuttura 2008 "La matematica in un gioco! Sembra c'entrare anche dove meno te 10 aspetti' riprese Gastald che non riusciva pili a concentrarsi sulla partita. "Dovrei iniziare a studiarla seriamente, rna la trovo cost distante dalla realta, sembra quasi che serva solo per risolvere esercizi 0 per meravigliare gli amici con giochi ed enigmi." Fabrius mosse al posto del dottore che accetto umilmente il suggerimento delI'amico, "Questa puo essere l'impressione che ricava chi l'abbia frequentata solo in gioventu a scuola, come noi due, rna, come diceva I'Imperatore al nostro signor Laplace, (11 progresso ed il perfezionamento della matematica sono intimamente legati alla prosperita dello stato'" afferrno quello con semplicita, Gastald, sorpreso sia per l'erudizione dell'amico sia per il fatto che un uomo d'armi potesse aver pronunciato quelle parole, non era pero del tutto convinto. "Sara sicuramente vero, rna il ricordo di alcuni miei docenti di maternatica, persone distaccate, quasi dimentiche del mondo, mi impedisce di vedere gli studiosi di questa materia come partecipanti attivi al benessere dello stato. Anzi, penso sempre che i matematici tendano a chiudersi, come talvolta si dice, in una torre d' avorio" e dopo questa affermazione fece una mossa che decreta, a suo sfavore.Ia fine della partita. "Caro dottore, siete troppo distratto oggi!" esclamo Fabrius, per poi riprendere: "Tornando alla vostra torre, immagino che vi sia venuto in mente questa luogo comune anche grazie alla novella che eapparsa sull'ultimo numero della Gazette:' Gastald scosse la testa, non aveva ancora avuto il giornale, e Fabrius, premuroso, glielo porse immediatamente, gia aperto alla pagina giusta. Nel mezzo di essa, in grassetto, campeggiava un titolo. (La torre d'avorio', cui sotto si poteva leggere pili in piccolo: 'Realta 0 Mito? Un racconto di Florie Louise Atamis' e gia questa fatto, che fosse cioe scritto da una donna dal cognome orientaleggiante,lo intrigo. "Non emolto lungo. Anzi, visto che la partita a scacchi eprematuramente terminata, sapete che vi dico? Leggetelo ora. 10, nel frattempo, faccio un salto a casa per cambiarrni, prendere qualcosa per far merenda pili tardi (ho un salame che sapeste...) e poi tornare qua a prendervi per andare assieme a farci un giro sulla spiaggia. Che ne dite?" domando Fabrius alzandosi e riponendo pezzi e scacchiera alloro posto.Su Gastald il mare, che non era che a un tiro di schioppo dal paese, esercitava un'attrazione irresistibile e di conseguenza accetto con entusiamo la proposta dell' amico proponendogli di chiedere anche a Louise, la maestra del paese, di unirsi a loro. "Perfetto, passo prima da lei allora, Adesso sono le tre. Diciamo che per un quarto alle quattro al pili tardi sara di ritorno con la signorina Louise. Voi intanto leggete e poi ci scambieremo le impressioni reciproche lungo il percorso. A pili tardi" disse Fabrius prima di uscire di gran carriera dal campo visivodel dottore. Gastald, salutato l' amico, dopo aver controllato che gli abiti che aveva indosso fossero adatti per la passeggiata, attacco la lettura del racconto, immergendosi completamente nell'atmosfera evocata dalla scrittrice. "Corne avveniva ogni mattina da svariati anni Zacaria Mallius si leva dalla branda che fungeva da letto, si sciacquo il volto in un bacile d'acqua fredda e diede un' occhiata al cielo dalla piccola finestra che si apriva in alto nella sua stanza. Si trat-

tava in verita di una feritoia pili che di una finestra vera e propria, un pertugio rettangolare appena pili largo di un braccio, situato troppo in alto perche ci si potesse affacciare e dotato di un battente che si poteva manovrare tirando opportunamente una cordicella. L'anta si apri dolcemente permettendo all'aria fresca di entrare per rimpiazzare quell a appesantita della notte appena trascorsa. Una rondine, pili sentita che vista in quel microscopico spicchio di cielo azzurro che poteva osservare, saluto il suo risveglio, rna a lui poco importava tanto grande era la smania di riprendere il suo lavoro. Del resto, soltanto una persona incaricata di una missione veramente speciale avrebbe accettato di vivere come un recluso in quelle due stanzette che costituivano una sorta di cella monacale. Quanto tempo fosse trascorso da allora Zacaria non 10 sapeva. All'inizio, e ne erano testimonianza i numerosi segni verticali allineati su una parete, aveva cercato di tener conto dello scorrere dei giorni come fanno i carcerati, rna, progressivamente, si era accorto che non aveva alcun senso: lui si trovava in quelluogo come premio per Ie sue superiori capacita, non certo per punire un chissa quale misfatto. La porta stessa di quella stanza che, assieme al piccolo bagno e ad un altro locale, costituiva il suo spazio vitale, non era chiusa a chiave. Se ne era avveduto il giorno in cui, per sbaglio, aveva sbattuto contro la maniglia e l'uscio si era aperto senza opporre alcuna resistenza. Subito aveva provveduto a richiudere la porta, quasi avesse paura di oltrepassare la soglia 0 che qualcuno dall' esterno potesse entrare nel suo mondo perfetto fatto di calcoli e astrazioni. Si,perche Zacaria Mallius era un illustre matematico cui era stato dato il compito di trovare la soluzione di un problema che assillava i suoi colleghi da centinaia d'anni. Ricordava ancora con emozione il momenta nel quale il suo mentore, il senatore Valerio Lucius ormai sulla settantina, 10 aveva chiamato nel suo studio dal pavimento decorato da mosaici usurati dal tempo e gli aveva annunciato che era stato scelto fra centinaia di studenti per proseguire ulteriormente gli studio "Mallius, la Matematica vi ha scelto tra una moltitudine di allievi provenienti dalle pili lontane province dell'Impero per seguirla in un pili arduo cammino" gli aveva detto quello, accompagnando ogni parola con un affannato respiro. "Lei comprendera appieno la responsabilita che Ie affidiamo e Ia carriera che le stiamo schiudendo. Sono certo che non vorra deludere noi e quella Scienza cheindegnamente rappresentiamo" aveva concluso abbassando il capo, incoronato da capelli bianchi come la neve, facendogli cost capire che il colloquio poteva dirsi concluso. "Certamente" si era limitato a rispondere mettendosi quasi sull'attenti e in quell'avverbio c'erano tutta l'emozione e l'orgoglio che si erano appena impadroniti di lui. Uscito dallo studio, attraversato un lungo e silenzioso corridoio sul quale si affacciavano porte ermeticamente chiuse, aveva finalmente potuto dar sfogo alla sua felicita esultando come un qualunque giovanotto della sua eta. Lei, dai capelli neri e lucenti comel'acqua sorgiva suI fondo di un pozzo, 10 attendeva nell'atrio sorretto da colonne di stile ionico, ansiosa per I'esito di quel colloquio. Alla notizia si erano abbracciati, ebbri di gioia come solo due giovani sanno essere, ed anche se alcune lacrime le avevano rigato il viso nello scoprire che lui sarebbe dovuto partire per una lontana provincia, l'amore che le ardeva nel petto la sostennee II destino le aveva riservato pero un futuro assai diverso da quello che lei sperava. Nella scuola di perfezionamento, situata nella caotica capitale dell'Impero,

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lui si era infatti distinto fra tutti per capacita e dedizione, risultando 10studente migliore degli ultimi dieci anni, il che 10aveva posto all'attenzione dei piu illustri matematici del suo tempo. Una lettera con tanto di sigillo dell'Imperatore 10informo che era stato convocato davanti ad una commissione di importanti studiosi e li fu messo di fronte alIa scelta pili alta: rinunciare alIa vita comune per consacrarsi alIa ricerca della soluzione di quel problema che ancor'oggi 10sfidava. I'Impero contava su di lui, gli era stato detto, da uomini dal volto austero, avvolti in candide toghe. Pieno com'era di richiami al dovere e sedotto dal fascino della gloria, non aveva avuto dubbi. 11 suo assenso era stato deciso e, a quelli che gli chiedevano se non dovesse prima consigliarsi con qualcuno, aveva risposto che bastava a se stesso. L'indomani, senza salutare nessuno, era partito per il capoluogo dove sorgeva la sua destinazione ultima, una torre a tronco di cono ricoperta da una pietra di color avorio ed eretta secoli prima, proprio nel cuore della citta, per ospitare persone come lui, completamente dedite alIa matematica. Li, silenziosi servitori avrebbero soddisfatto i suoi bisogni non facendogli mai mancare nulla in modo che la sua mente, priva di preoccupazioni e distrazioni, potesse dedicarsi totalmente ai suoi studio Ancor oggi gli si riempiva i1 petto di piacere pensando al coraggio che aveva avuto, alIa deterrninazione che aveva mostrato nello scegliere quella strada eliminando dal suo cammino ogni altra cura. E se qualcuno avesse potuto spiarlo in perenne lotta con teorie sempre pili complesse ed ardite, avrebbe potuto pensare che col tempo fosse diventato un uomo frustrato; in fondo, in tanti anni non era riuscito ad aggredire come avrebbe voluto il suo obiettivo, ne 1'1mpero si era fatto vivo con lui per seguire i suoi progressi 0 sostenerlo con il suo incoraggiamento. I suoi lemmi avevano st colmato i fossati che ostacolavano la soluzione del problema ed i suoi teoremi avevano certamente approntato macchine in grado di ereare delle brecce nelle mura che la difendevano, rna I'affondo finale era lontano a venire. Ebbene, quel qualcuno si sarebbe sbagliato: con 1'0biettivo ben fisso nella mente si comportava come quel generale che, cinta d'assedio una fortezza troppo ben difesa per essere assaltata d'impeto, decida di tagliarle tutti gli approvvigionamenti e le vie di fuga in modo che al momenta opportuno cada senza combattere. Se anche ci fossero voluti decenni non gli importava: sapeva che quell'Impero, apparentemente dimentico del suo lavoro, non aspettava che lui per quel compito e lui non 10 avrebbe deluso. Anche quel giorno sarebbe dunque passato come tutti gli altri, con i1 capo chino su papiri srotolati e sulle pergamene 0 con i1 gesso, che mai mancava, a sbriciolarsi sulla lavagna sotto la pressione delle sue dita; sarebbe stato cOSI se non si fosse verificato un banale contrattempo. Bisogna sapere che nella torre d' avorio i pranzi venivano serviti invariabilmente ad ore fissate: uno sportellino, posto nella parte inferiore della porta della cella, veniva aperto al momento dei pasti in modo da permettere i1 passaggio di un vassoio suI quale erano posati i piatti con le cibarie ed allo stesso modo gli occupanti della torre si liberavano dei loro rifiuti. I servitori, che erano assolutamente invisibili per gli ospiti della torre, prestavano molta attenzione a non fare nessun rumore in modo da non arrecare disturbo. Persino quando a giorni alterni dovevano provvedere alle pulizie di una delle due stanze, si facevano annunciare da un campanellino in modo da permettere all'occupante di non interrompere i1 suo lavoro rinchiudendosi nella stanza attigua. Del resto

era loro severamente vietato parlare con i matematici della torre, ogni comunicazione avvenendo in forma scritta e riguardando esclusivamente questioni inerenti illavoro 0 richieste di materiale. Quel giorno invece accadde che 10 sportellino della cella di Zacaria, pur essendo regolarrnente controllato, non volle aprirsi e il servitore incaricato di portare il pranzo, forzando esageratamente quell'anta, fini per aprire l'intera porta, cadendo rovinosamente all'interno della. cella. Zacaria, che non incontrava una persona da tempo immemorabile, resto alquanta turbato per l'ingresso inatteso e rimase indeciso sul da farsi. II ragazzo, perche di questa si trattava, si rialzo prontamente da terra scuotendo il cibo che gli si era rovesciato addosso. "Scusaterni, signore" balbetto con un curioso accento non appena ebbe completamente realizzato quel che gIi era accaduto, cercando al contempo di puIire per terra. "Lo sportello era inceppato, ho tirato e spinto, la porta si eaperta. E suecesso tutto cost in fretta! Che disastro" ripresemettendosi a piangere. Zacaria non vedeva l'ora che sene andasse per riprendere il suo lavoro, rna nel vederlo immobile, troppo scosso per cap ire cosa avrebbe dovuto fare, decise di avvicinarsi. "Suvvia, suvvia, non preoccupatevi" gli disse tra il paterno ed il formale, non sapendo bene che tono usare. «Ora ripulite, portatemi una nuova porzione e tutto andra a posto" aggiunse, pensando invece che avrebbe fatto in modo che quell'incapace venisse scacciato. II ragazzo si asciugo le lacrime in una manica della tunica' lasciando disegnata sul volto una strisciadi sugo rosso. Avra avuto sl e no quindici anni e tremava ancora come una foglia. "Sedetevi un attimo" 10 invito Zacaria, pentendosi subito delle sue parole, perche il ragazzino, spostando la sedia, fece cadere alcuni fogli che planarono poco lontano. "Sensate, sono proprio maldestro, Ii raccolgo subito" disse il giovane facendo per alzarsi, rna l'uomo 10 fermo: aveva gia fatto troppi disastri e non voleva che ne combinasse altri. Sfortunatamente pero, alcuni di quegli scritti si erano irrimediabilmente macchiati, cadendo esattamente nella zona sporcata dal pranzo rovesciato, Zacaria avrebbe voluto piangere per la rabbia: non solo aveva perso tempo senza aver mangiato, rna vedeva pure distrutto illavoro di qualche giorno. "Andatevenel" urlo, "Subitol" aggiunse in preda ad una crisi isterica ed il ragazzo, raccolti alla bell'e meglio rifiuti e fogli, scomparve dalla porta. Mallius, restato solo, si mise veramente a piangere. Non aveva mai, da quando era nella torre, buttato al vento tante ore della sua vita, ore che magari, giunto alla fine dei suoi giorni, si sarebbero rivelate fondamentali per poter concludere il suo compito. Aveva i nervi tanto scossi che finl per crollare in un sonno senza sogni, denso e pesante come il mercurio. Un sibilo leggero 10 risveglio: 10 aveva prodotto una pergamena, fatta passare sotto la porta dall'esterno.Guardo meglio e s'avvide che nel frattempo un altro foglio si era unito al primo e poi un altro ancora. Presili in mana constatochesu di essi erano stati ricopiati, nei minimi dettagli, i passaggi riportati sui fogli sporcati. (Deve essere stato quel ragazzo' penso rimettendosi a sedere. 'Chissaquali e quanti errori avra introdotto' sbuffo mettendosi a controllare quelle equazioni, rna piu scorreva le formule e piu le riconosceva corrette cosr come le aveva vergate. Anzi, con immensa sorpresa, si accorse che l'anonima mana che le aveva ricopiate suggeriva ad un certo punto un cambiamento, avendo rilevato un errore di calcolo.

culture 2008 Era nel frattempo giunta la sera, 10 sportello dal quale sarebbe arrivato il cibo doveva essere stato riparato (0 per 10 meno i rumori provenienti dan'esterno glielo avevano fattopensare) ed in effetti, ana solita ora, l'anta si aprl ed una mana silenziosa spinse all'interno il vassoio e ad attenderla c'era Zacaria. In un attimo la porta si aprl, come gia era accaduto a mezzogiorno, rna questa volta a tirarla a se fu Mallius in persona. II ragazzo ruzzolo come la prima volta, fissando atterrito l'occupante della stanza. "Vi prego signore, non puniterni, non e colpa mia, ve 10 giuro" disse coprendosi il volto con le rnani. "Lo so, perche sono stato io ad aprire la porta" rispose semplicemente il matematico. "Ora voglio che tu mi dica chi ha ricopiato le mie formule" gli intimo con durezza. II ragazzo 10 guardo di nuovo con due occhi grandi e scuri, due perle nere che luccicavano in un limpido mare. "Sono stato io" e parlo con una voce dolce, quasi femminile, che colpi profondamenteZacaria. (CTu? Non ci credo! Se sei stato veramente tu, per quale ragione questa calcolo sarebbe sbagliato?" gli chiese sicuro di metterlo in croce. II ragazzo si levo in piedi, tiro su con il naso, prese in mana il foglio e con grande semplicita spiego all'uomo esattamente quello che non andava. Zacaria Mallius impallidl e per la prima volta osservo quello scricciolo d'uorno in modo diverso, non soltanto perche aveva trovato un errore nei suoi calcoli, rna perche nel correggerlo gli aveva fatto intravedere una strada di sviluppo della sua teoria totalmente diversa da quella che fino ad allora aveva seguito, una via che meritava d' essere percorsa. "Siediti" gli disse e, avvicinataun'altra sedia al tavolo, prese a spiegargli quel che stava facendo. Dopo mezz'ora gli comunico chepoteva andarsene, rna di tornare l'indomani senza dir nulla a nessuno delloro incontro. Non gli importava che 10 avesse capito nelle sue spiegazioni, gli interessava soltanto che 10 stesse a sentire. II ragazzo, che si era limitato ad ascoltare quel che il matematico gli stava dicendo, non rispose ed user dalla stanza, rna il giorno dopo torno al tacito appuntamento ed ascolto le proposizioni che Zacaria Mallius gli sottoponeva; 10 fece quel giorno ed il giorno dopo ed il giorno dopo ancora. Passarono gli anni ed ormai per Zacaria quel momenta era diventato il culmine della giornata, l'istante nel quale avrebbe mostrato i passi avanti che aveva fatto 0 motivato i ripensamenti ed i cambiamenti che aveva dovuto intraprendere 0 semplicemente avrebbe esposto le sue riflessioni. Fu dunque una dolorosa sorpresa quando una sera, lasciata socchiusa la porta come d'abitudine per l'ingresso del ragazzo, ormai fattosi uomo, quello non giunse. E non venne neppure nei giorni seguenti, sostituito da un altro servitoreo E con il passare del tempo la porta venne nuovamente rinchiusa ed il cibo passato solo attraverso l' anta che serviva allo scopo. Zacaria Mallius non poteva soffrire, non doveva soffrire, troppo alto era 10 scopo che si era dato, anche se I'assenza del serale ascoltatore gli pesava. Cost, esattarnente come aveva fatto con la donna dai capelli neri che 10 aveva invano aspettato nella sala dalle colonne ioniche molti decenni prima, decise di dimenticarsi del ragazzo che silenziosamente 10 aveva a lungo visitato.

Passarono gli anni e per Zacaria la vita ripresea scorrere regolata dalle ferree leggi della torre. Cio nonostante, ogni tanto, avvicinandosi il momenta della cena, si accorgeva di tendere piu del necessario I'orecchio nella speranza di sentir risuonare di nuovo sui pavimenti di pietra della torre il passo di quel giovane uomo. E fu proprio in occasione di uno di quei momenti che percept delle voci provenire dal corridoio. Incuriosito da quella stranezza, avvicino l' orecchio all'uscio e pote udire distintamente due servitori che discorrevano a bassa voce, convinti di non essere ascoltati. "Hai vistoi Uno che serviva un tempo come noi e entrato infine tra gli ospiti della torre" diceva uno all' altro. "Chi era? Ah, ho capito. Lo ricordo bene, aveva due occhi che ti inchiodavano quando ti guardava. Era entrato a servire ch' era un ragazzino. Pensa che si raeconta che si fermasse ad ascoltare quello della stanza 31416 e che 11 abbia scoperto la sua passione per la matematica" rispondeva I'altro. "Veramentei Poveraccio, che brutta fine.Chiuso per sempre in questa sepolcro. Diverra anche lui come tutti gli altri! E dove sta?" ribatte l' altro. "Nella 27183 che si eliberata da poco" e dopo questa frase non pote piu udire nient' altro perche i due uomini si allontanarono. Zacaria Mallius avrebbe dovuto essere orgoglioso di se stesso perche, non c'era dubbio.I'uomo del quale parlavano era proprio il ragazzo che per tanti anni 10 aveva ascoltato e che ora, anche grazie ai suoi insegnamenti, non solo aveva deciso di studiare la maternatica, rna era stato ritenuto degno dell'onore di entrare nella torre d'avorio, Eppure non 10 era, neppure un poco. Cosa volevano dire quei due dicendo che aveva fatto una brutta fine? In che senso sarebbe diventato come gli altri? Una facile risposta era quella di dire che sarebbe diventato un matematico di prima grandezza come tutti quelli che si trovavano nella torre, rna Zacaria aveva sentito nella loro voce un to no di biasimo e di dispiacere. Forse che lui non era un uomo degno di ogni rispetto? Forse che non aveva sacrificato tutto per la sua gente, per degli studi che sarebbero serviti immensamente all'Impero, come gli avevano detto prima di accompagnarlo nella torre? Per la prima volta gli occhi tristi di una donna dai neri capelli emersero dalla sua memoria e 10 fissarono con rammarico misto a dolcezza. Cerco di scacciarli, rna ad essi si sostituirono quelli limpidi di un giovincello che aveva avuto la sventura di rovesciare un vassoio nella sua stanza e gli venne in mente iltermine sventura e non fortuna, come sarebbe accaduto qualche tempo prima. 'Che disastro' si disse, 'ho condotto un'altra anima a morire in questa torre inseguendo un sogno che a nessuno interessa' e, seduto con la testa fra Ie mani, si mise a piangere amaramente. Fu un numero, 27183, che 10 scosse. Ma certo, era ancora in tempo per salvarlo! Non doveva far altro che trovarlo e convincerlo ad abbandonare il compito che gli era stato affidato. La porta della sua cella si apri docilmente e per la prima volta da quando era entrato in quelluogo Zacaria si ritrovo in corridoio. Sull'uscio, ormai alle sue spalle, una targa con sovra scritto 31416 ricordava a tutti il numero della stanza. Fatti pochi passi in salita, il corridoio era infatti leggermente pendente, noto che la cella successiva riportava il numero 31417, doveva quindi andare nella direzione opposta. La torre aveva uno sviluppo elicoidale e per arrivare alla 27183 calcolo che avrebbe dovuto percorrere un considerevole cammino, manulla 10 spaventava vi-

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sto che ora il suo scopo era quello di salvare una persona. Cammino per tutta la notte senza mai fermarsi e senza incontrare nessuno per quel monotono corridoio. Le porte si succedevano tutte uguali se non per il numero che progressivamente diminuiva. 'Nascondevano tutte stanze occupate da qualcuno 0 alcune erano vuote o dedicate alla servitui' si chiese approfittando di una pausa per rifiatare, ma subito scaccio l'interrogativo e riprese il cammino. Pinalmente, quando i piedi cominciavano a dolergli ed i primi accenni di crampi 10perseguitavano, si ritrovo di fronte alla cella 27183. II cuore batteva tanto forte che sembrava volesse uscire dal petto. Chi avrebbe trovato dietro quella porta? II ragazzo disposto ad ascoltarlo come tanti anni prima 0 un uomo reso schiavo di una missione che 10 aveva totalmente assorbito? Non poteva saperlo se non spingendo l'uscio, e cost fece. II battente ruoto lentamente sui cardini e Zacaria Mallius entro in una stanza che non aveva nulla ache vedere con la sua: da una vetrata, che ricopriva l'intera parete rivolta all' esterno, il cerchio del sole, seppur basso sull'orizzonte, proiettava i suoi caldi raggi. Zacaria a causa della luce diretta dovette riparare gli occhi con una mana per riuscire a vedere e solo allora si rese conto che una figura, in controluce, era in piedi davanti alla vetrata. Stava guardando fuori, forse ammirata dallo spettacolo del sorgere del nostro astro. "Zacaria, sii il benvenuto" gli disse senza voltarsi. "Vieni avanti per goderti questo miracolo!" e a quell'invito Zacaria Mallius avanzo sapendo chi gli stava parlando. Aveva riconosciuto infatti subito la voce di quel ragazzo che tanti anni prima era entrato nella sua stanza. II sole si era ormai levato al di sopra della linea dell'orizzonte e illuminava la citta che si stendeva ai piedi della torre. Dovevano essere mo1to in alto perche si riusciva ad avvertire la rotondita del pianeta. Mallius era, per la prima volta da tempo, confuso, rna riusci comunque a parlare: "Devi andartene da qui. Non ridurti come me, rinuncia all'incarico che ti e stato affidato finche sei in tempo. L'Impero..." L'uomo si volse verso di lui sorridendo. "Caro Zacaria.I'Impero non esiste piu da diversi anni. Si esgretolato sotto il suo stesso peso quando genti nuove sono penetrate nei suoi confini" gli disse senza muoversi. Mallius non riusciva a credere a quelle parole. "Siediti, ti prego e ti spieghero tutto" e, fatto accomodare Zacaria, gli racconto quel10 che era successo in quegli anni, delle battaglie che erano state combattute spargendo fiumi di sangue, di come alla fine le frontiere fossero state travolte e la capitale stessa fosse stata saccheggiata e di come infine le nuove genti si fossero con il tempo fuse con le vecchie prendendo il meglio delle une e delle altre. "Sai, in questa torre ci sono gia stato. No, non solo quando venivo ad ascoltarti, rna molto tempo dopo quando venni incaricato di dimostrare se una certa congettura fosse vera 0 falsa. Ci riuscii tra 10 stupore generale in pochi giorni e divenni tanto famoso nel mondo conosciuto da salire rapidamente ai vertici del consesso dei matematici finche non divenni il responsabile della torre d' avorio. La sa1vai dal crollo della civilta che l'aveva vo1uta, facendo in modo che nessuno degli occupanti si accorgesse di quel che stava avvenendo fuori fino a quando il mondo non avesse trovato un nuovo equilibrio" spiego con semplicita, "Ed e in questa stanza dove vivi?" chiese con esitazione Zacaria. "No, io non abito in questa edificio" rispose senza esitazioni il suo interlocutore.

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d'avorio

"Ma come, io ho sentito..." disse Zacaria balbettando, rna l'uomo 10 interruppe: "Tu hai sentito quello che io volevoche tu sentissi. Ho ordinato io ai quei due inservienti di parlare vicino alIa tua porta ben sapendo che avresti potuto origliare. La sera di ieri era gia la terza nella quale ripetevano quei discorsi. Vedi Zacaria, volevo sapere se tu avresti avuto il coraggio di abbandonare la tua cella, la tua casa, per venire da me ed ho avuto la risposta che cercavo," Zacaria si alzo per rimettersi subito a sedere.Non sapeva ne cosa dire, ne cosa fare. "Fuori dalla torre il mondo emolto cambiato, tante certezze sono svanite, la lingua che univa i popoli sta scomparendo ed il futuro appare piu incerto e proprio per questa la gente ha bisogno di te, dei matematici che l'Impero, nella sua pomposa cecita, ha finito per rinchiudere in questa torre. Problemi nuovi e stimolanti non aspettano che le vostre intelligenze se solo avrete il coraggio di uscire da questa luogo protetto" concluse affacciandosi nuovamente verso I' esterno. Zacaria 10 aveva ascoltato silenzioso, come aveva fatto il suo interlocutore quando lui gli parlava delle sue teorie. "Quello che mi hai dettomi ha molto rattristato. Tutto cio che conoscevo ed in cui credevo non esiste pin. Una vita di dedizione e lavoro completamente sprecatao Come posso esserti d'aiutoi" gli disse con una profonda tristezza nel cuore mentre il suo pensiero andava al passato. Curiosamente, non erano pero i viali ornati da templi bianchi come l'avorio 0 le statue colossali di divinita 0 la baldanza dei legionari che si percuotevano 10 scudo con il gladio ad apparirgli nitidamente, rna una donna sola in mezzo ad una stanza che, muta, gli ricordavaquanto lui avrebbe potuto essere felice se I'avesse scelta. E la disperazione si impadronl del suo animo perche gli parve allora che con il suo mondo lui stesso era andato perduto. L'uomo che gli era accanto, comprese il suo stato, gli si pose davanti e gli appoggio le mani sulle spalle. "Zacaria, guardami, ti prego, non tutto eperduto" gli disse con voce calma e serena. "Credevi nella Matematica e nelle sue potenzialita ed implicitamente credevi quindi nell'uomo, nella sua capacita di.migliorare il mondo. Ebbene tutto questo c'e ancora. E scomparsa un'istituzione che tutti, sbagliando, pensavano immortale, rna solo il nostro spirito 10 e. D'altra parte, anche questa torre non e stata concepita nella forma attuale. Fu SI edificata per raccogliere le migliori menti matematiche del mondo conosciuto, rna era completamente ricoperta di vetrate come questa, che permettessero alIa luce del mondo esterno di entrare e riflettessero su di esso scintillanti fantasie, quasi a significare come la Matematica sia aperta aIle sollecitazioni del mondo e restituisca a quello meravigliose costruzioni. Non vi erano limiti d'accesso e chiunque 10 desiderasse poteva entrare nell'edificia e chiedere di discutere i suoi problemi. Con il passare degli anni ed il divenire sempre piu incerto della situazione i vari Imperatori decisero di fortificare la torre, impedendo illibero accesso, e di ricoprirne la superficie esterna con la pietra color avorio per renderla meno appariscente ed invitante per le razzie di quelli che chiamavamo barbari. In questa modo pero ne decretarono I'isolamento. I problemi affrontati dai suoi occupanti, seppur stimolanti e di primissimo piano nelloro settore, venivano avvertiti come alieni dalla gente comune e dopo neppure un secolo, persino nella citta dove la torre sorge, si era perso il senso vero di questa

matemance e

2008

monumento" spiego l'uomo guardando le lora immagini riflesse nella vetrata verso la qua1e si erano ora voltati. "Aiutarni a riportare la torre al suo compito originario, questa ti chiedo. Contagia con l'entusiasmo che dimostrasti a me da giovane pili persone possibili all'interno ed all' esterno della torre. Te la senti di lasciar germogliare i numeri che hai nel cuore e di lasciarli fiorire in modo che la gente ritrovi la bellezza per la matematica e non 1aveda come uri'inutile torre volta asfidare il cieloi" chiese a Zacaria con quella stessa dolcezza che aveva da ragazzino. Zacaria non rispose subito. Abbandonare la sua cella, il suo mondo con un solo problema.Ia sua lavagna con i gessi sempre presenti per gettarsi in un mondo che nel frattempo era completamente mutato? Pura follia avrebbe risposto solo il giorno prima, rna non oggi. Ed anche la donna dai capelli corvini parve per un attimo sorridergli nella mente ed incitarlo ad andare, senza rernore, perche sapeva che c'era in lui un amore pili forte di quello che puo legare un uomo ed una donna. "Vedo che l'Impero, 0 comunque tu 10voglia chiamare, ha di nuovo bisogno di me e mi ha posta un nuovo problema. Accetto! Quando si cominciai" domando ed i due uomini si strinsero in un abbraccio fraterno illuminati dal sole ormai alto nel cielo," Gastald non aveva sollevato neppure per un secondo gli occhi dalla Gazette tanto il racconto 10aveva preso e solo allora si accorse che due persone 10stavano silenziosamente fissando a pochi passi da lui. Si trattava di Louise e Fabrius che erano arrivati da qualche minuto e non avevano voluto disturbarlo. Si alzo di scatto per la sorpresa, finendo per rovesciare la sedia dove era seduto, felice che i suoi due amici fossero It, "Vedo che il racconto vi ha catturato" disse Fabrius risollevando la seggiola da terra. "Di cosa state parlandoi" domando incuriosita Louise ed il dottore Ie porse la Gazette. "L'ho letto anch'io e devo dirvi che mi ha lasciataun poco meravigliata perche...", rna Fabrius 1ainterruppe. "Perrni tutti! Scusatemi signorina se intervengo, rna propongo a voi ed al dottore di discutere della novella e di quel che avete pensato leggendola, mentre andiamo al mare, alla moda dei peripatetici, 0 finiremo per far troppo tardi" esclamo ridendo e gli altri due, scambiatisi con gli occhi un sorriso, risposero all'unisono: cc.Agli ordini, mon capitainl" emai passeggiata si dimostro pili animata ed interessante di quella.

Introduzione

Matematici, perche? Nel film Signorina Effe di Wilma Labate, uscito nelle sale agli inizi .deI2008,la protagonista, interpretata da Valeria Solarino, euna studentessa di matematica che si staIaureando al Politecnico di Torino. Sono gli anni Ottanta, gli anni della marcia dei 40.000, impiegati e dirigenti della FIAT, che si oppongono allungo sciopero degli operai. Sara la sconfitta dei sindacati dei metalmeccanici alla FIAT, malgrado la famosa visita di Enrico Berlinguer, allora segretario del Partito Comunista Italiano. Una ragazza colta, pienadi interessi, sensibile la protagonista, che vuole cambiare il mondo in cui vive. Hanno pensato gli sceneggiatori che doveva essere una studentessa di matematica. Giustamente, verrebbe da dire. Stessa scelta era stata fatta anni fa, nel 2003, in un altro film La meglio gioventu di Marco Tullio Giordana, per una delle protagoniste del film, una ragazza piena di entusiasmo, piena di vita, che corre a Firenze a dare una mana dopo la grande alluvione del 1966.Studentessa di matematica, appassionata di musica, idealista, desiderosa di cambiare. Che poi delusa finira con il diventare una brigatista rossa. Delle scelte di vita in cui il primo pensiero non ecerto quello di ottenere dei risultati economici e dei privilegi, rna piuttosto di correre dietro a una passione, a un entusiasmo che domina su tutto. Se mi econsentito un piccolo ricordo personale, quando nel1981 partecipai alIa grande rassegna di cinema dell'Estate Romana nell'area archeologica di Massenzio con il mio breve film Bolle di sapone, non c'era molta gente a vederlo. E qualche giorno dopo ebbi dei garbati, rna fermi rimproveri da colleghi che mi dissero che un matematico, un profess ore universitario non partecipa a cose del genere! Certo i tempi sono cambiati, sono passati 27 anni da allora. Nel bene e nel male. Si parla molto di pili di matematici e di matematica ai giorni nostri, non sempre a proposito, molte volte a sproposito. Lo spettacolo sta alle volte prendendo il sopravvento su tutto.

Introduzione

Questi volumi sono iniziati con la grande ambizione di dire una parola importante sui rapporti tra la matematica e la cultura, e nello stesso tempo essere dei libri interessanti e divertenti da leggere. Credo che ci siamo riusciti. Grazie all'aiuto di tanti. Tra i quali quello di Fausto Saleri al cui ricordo questa volume

ededicato.

E sempre a lui ededicato il breve film in DVD reaIizzato durante il convegno del 2007 che si pub richiedere alla seguente email: [email protected]. Se sara possibile, con il ricavato vorremmo istituire una borsa di studio a lui dedicata. MICHELE EMMER

Indice

matematica e letteratura

L'ultimo Teorema di Fermat. Mettere in scena la matematica

Simon Singh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

matematica e culture

I Quipu e la geometria dello spazio sacro presso gli Inca

Giulio Magli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

NausikaaMandana Rahmati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

L'infinito attraverso i1 gioco dei numeri: geometria e numeri nel giardino islamico

vite di matematici

L'autobiografia riluttante di G.H. Hardy

Marco Abate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

Mario Geymonat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

Siobhan Roberts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

Suggestioni di Archimede nella poesia latina e nelle ricerche scientifiche moderne

II re dello spazio infinito

matematica e arte

II mio lavoro, Ie ragioni del materiale

EmanuelaFiorelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

Antonino Saggio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

Michele Emmer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

111

Roberto Mantovani, Francesco Serafini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

127

Laboratorio di idee in movimento. Sculture vive di Santiago Calatrava

II Mazzocchio da Paolo Uccello a Lucio Saffaro Lo studiolo virtuale di Urbino

matematica e apptlcazlonl

Mettete gli stivali: arriva l'acqua alta

Elio Canestrelli .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

141

Aritmetica per la Costituzione: la ripartizione dei seggi al Senato

Marco Li Calzi

-. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

151

Stefano Siviero, Daniele Terlizzese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

163

GianMarco Todesco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

179

Modelli matematici in azione: il caso di una banca centrale Sistemi a particelle

matematica e cinema

Dall'Astrattismo all'astratto

Carlo Montanaro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

193

[urgen Ellinghaus

0. . . . . . . . . . . . . . . .

199

10 stile e la visibilita nella matematica Nathalie Sinclair, David Pimm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

213

Paolo Maroscia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . •. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

227

A proposito della genesi del film La lettre scellee du soldat Doblin e di alcuni casi non quantificabili

matematica, estetica e poesia

Alcune osservazioni intorno all'estetica, Matematica e poesia

matematica e investigazione

Crimini e misfatti matematici

Michele Emmer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

245

Kjell-Ove Widman, Bengt Beckman. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

261

Catherine Shaw. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

269

La storia di Arne Beurling

Matematica e romanzi gialli matematica e spazio

La forma dello spazio: imparare facendo

Jeff Weeks . .. . .. . ... .. . . .. . . .... . .... . . .. . . . .. .. . . . . . . . . . . . . . . .

279

DanielaBertol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

285

Architettura e Cosmologia: percezioni del cielo sulla terra

matematica e simboli I segni della matematica: le origini della moderna simbologia

Maria Linda Falcidieno, Saverio Giulini, Massimo Malagugini. . . . . . . .

297

matematica e bolle di sapone

Bolle di sapone: un lungo viaggio

Michele Emmer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

317

BradMiller. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

323

Bubble Shadows (Ombre di Bolle)

omaggio a Hugo Pratt

Venezia nei luoghi diHugo Pratt

LucianoMenetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

335

matematica e letteratura

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L'ultimo Teorema di Fermat. Mettere in scena la matematica SIMON SINGH

Nel1995 il Professor Andrew Wiles della Princeton University e finalmente riuscito a dimostrare l'ultimo Teorema di Fermat. Tutta la stampa popolare l'aveva considerata la dimostrazione del secolo, in grado di risolvere il pili famigerato problema della storia della matematica. II Dipartimento scientifico della BBC a Londra produce regolarmente una serie di documentari scientifici intitolata Horizon. In essa vengono affrontati argomenti che spaziano dall'ambiente alla medicina, dalI'evoluzione all)astronomia, rna raramente vengono trattate questioni come la matematica. Alla fine, pero.anche la matematica ha avuto la sua storia da raccontare. Ne11996) assieme a John Lynch, un direttore di produzione della BBC, ho diretto e prodotto un documentario sulla dimostrazione di Andrew Wiles dell'ultimo Teorema di Fermat. Ha ottenuto 1,8 milioni di telespettatori alla prima messa in onda e da allora estato trasmesso in tutto il mondo, Stati Uniti compresi, dove estato incluso nella serie NOVA della PBScon il titolo di The Proof-La dimostrazione. Inoltre, il documentario ha vinto un premio BAFTA come miglior documentario dell'anno del Regno Unito e ha ricevuto una candidatura al premio americano Emmy. Una delle parti pili importanti, che da sola giustifica parzialmente il successo del documentario, ela sequenza iniziale. In questa breve intervento esaminero l'apertura del documentario e cerchero di illustrare i processi mentali che l'hanno ispirata e Ie modalita in cui e stata realizzata.

La sequenza iniziale Dopo i titoli di testa diHorizon ela sigla musicale.il programma si apre con Ie immagini di diverse sagome scure all'interno di una stanza misteriosa, mentre Andrew Wilesspiega che la ricerca matematica emolto simile all) esplorazione di una casa buia. Questa sequenza eseguita dalle immagini di Andrew Wiles che lavora alla sua scrivania, mentre la sua voce in sottofondo illustra il momenta decisivo, quandoha improvvisamente compreso di essere giunto alla dimostrazione dell'ultimo Teorerna di Fermat. Infine, Wiles parla direttamente alla macchina da presa e completa la narrazione della sua scoperta matematica. II racconto di come egiunto alIa scoperta ecost emozionante che il professore ha un momenta di esitazione, non e in grado di proseguire e si scosta dall'inquadratura, Questa sequenza iniziale ha una durata di 2 minuti e 20 secondi.

matematica e cl!ltltra 2008

Le ricerche prima delle riprese Prima di procedere alle riprese, abbiamo dedicato tre mesi alle ricerche sulla storia dell'ultimo Teorema di Fermat e all'analisi dei fatti che hanno portato alla dimostrazione di Wiles. Ci sono stati colloqui con molti matematici impegnati in quest'area di ricerca ed estato raccolto molto materiale sulla questione, dallibro "I'ultimo problema" di E.T. Bell a notizie recenti apparse sulla stampa. In sostanza, nel diciassettesimo secolo, il matematico Pierre de Fermat sostenne di avere trovato la dimostrazione del fatto che una particolare equazione non ha soluzioni intere. Egli non la scrisse, rna si limito a lasciare una provocante nota a margine, nella quale diceva di disporre di tale dimostrazione. Tre secoli dopo, nessuno aveva ancora riscoperto la dimostrazione di Fermat e la cornunita matematica aveva perso le speranze di riuscire a trovarla; rna all'eta di dieci anni, Andrew Wiles si impose l'obiettivo di riscoprire ladimostrazione di Fermat. Nel1986, quando era gia profess ore a Princeton, si rese conto di poter essere in grado di dimostrare l'ultimo Teorema di Fermat affrontando un problema noto come Congettura di Taniyama-Shimura. Ci sono voluti sette anni di lavoro in gran segreto per completare la dimostrazione rna si accorse di aver commesso un errore. La fama e la gloria internazionale si trasformarono improvvisamente in un'umiliazione pubblica. Per fortuna, nel1995 riusci a sistemare la sua dimostrazione e, alla fine, riusci a espugnare I'ultimo Teorema di Fermat. Prima di procedere alle riprese, avevamo definito una bozza dell'intero programma, sulla base delle nostre ricerche. Oggi mi edifficile ricordare i contenuti e la forma di quella bozza, poiche dopo le riprese fu subito gettata via.All'inizio delle procedure di post produzione, non importava pili cosa speravamo 0 ci aspettavamo che dicessero gli intervistati; quello che contava era piuttosto cia che essi avevano effettivamente detto davanti alla macchina da presa. In altre parole, i1 documentario e stato completamente reinventato durante le sei settimane di post produzione effettuate sulla base del materiale a nostra disposizione.

La storia della villa al buio La sequenza iniziale del film aveva una funzione cruciale, perche entro i primi minuti gli spettatori decidono se hanno intenzione di guardare l'intero programrna 0 cambiare canale. L'apertura era doppiamente importante perche si trattava di un programma sulla maternatica, e di per se non eun argomento che crea interesse spontaneo nella maggior parte degli spettatori. Nel corso delle nostre interviste, Wiles aveva cercato di darci un'idea di cosa volesse dire essere un matematico: Entri nella prima stanza della villa e la trovi completamente buia. Per cui inciampi improvvisamente nella mobilia, rna pian piano finisci per imparare dove si trovano gli oggetti. Infine, dopo circa sei mesi,scopri dove si trova l'interruttore della luce, 10 accendi e improvvisamente si illumina tutto. E puoi vedere esattamente dove ti trovi. Quindi ti sposti nella stanza seguente e passi altri sei me-

si al buio. Pertanto, ognuna di tali scoperte (anche se alle volte esse sono temporanee, potendo durare un giorno 0 due) non enient'altro che il risultato - e non potrebbe esistere senza - di molti mesi di vita difficile al buio che la precede. Ci sembrava questa il modo ideale per aprire il documentario, poiche rendeva il senso generale di una ricerca senza concentrarsi sul tipo di equazioni e immagini che avrebbero potuto scoraggiare i potenziali spettatori. Questa apertura era anche un tentativo di proporre i matematici come degli esploratori che si avventurano in un territorio sconosciuto, scoprendo nuove idee nelle regioni inesplorate dell'universo matematico. II tipo di immagini utilizzate in questa sequenza (ombre e sagome scure) si e rivelato utile anche nel resto del documentario, dove l'abbiamo usato per indicare i periodi della ricerca di Wiles in cui il matematico si etrovato a inciampare nel buio intellettuale, nel tentativo di trovare una nuova intuizione.

"11 momenta pili importante della mia vita professionale" La sequenza della residenza al buio si conclude con uno stacco su una scena che mostra Wiles allavoro alla sua scrivania. Si tratta di una scrivania caotica con pile di documenti suI punto di rovesciarsi. Sullo sfondo, la vocedi Wiles ci racconta: All'inizio di settembre ero seduto qui alla mia scrivania, quando all'improvviso, in maniera totalmente inaspettata, ho avuto questa incredibile rivelazione. Quindi passiamo alle immagini di Wiles che parla alla macchina da presa. La frase che sta pronunciando suscita in lui una tale emozione che non gli consente di concluderla:

Estato il momenta - il momenta pili importante della mia vita professionale. Nulla che saro ancora in grado di fare potra... Scusatemi. II motivo della sua reazione sta nel fatto che, mentre pronunciava queste parole,Wiles si trovava seduto alla scrivania sulla quale aveva lavorato per risolvere un problema che l'aveva ossessionato per decenni, rammentando il momenta in cui aveva finalmente realizzato il suo sogno, ottenendo la dimostrazione dell'ultimo Teorema di Fermat. In ogni caso, e davvero notevole che Wiles abbia mostrato tantaemozione, dato che di solito e uno studioso piuttosto riservato, e in quell'occasione si trovava davanti a una macchina da presa, circondato da circa mezza dozzina di persone, compresi l'assistente di produzione, il fonico e il tecnico luci. Dunque, per quale ragione Wiles si e dimostrato COS1 emotivo in una situazione del genere? Innanzitutto, a quel punto delle riprese l'intera squadra aveva trascorso quasi cinque giorni con Wiles. Ogni mattina venivano realizzate delle riprese di lui e nel pomeriggio si svolgevano Ie registrazioni delle interviste. Si pote quindi rendere conto che eravamo interessati a lui e alla sua storia e, durante le pause per il caffe

maternatica e cultura 2008

o per il pranzo, i membri della troupe gli facevano delle domande generiche, per esempio sulle sue ricerche attuali 0 su come era stato capace di mantenere segreto il suo lavoro per cost tanti annie Questo livello di comprensione umana estato indispensabile per permettere al nostro cameraman, Joe Vitagliano, di catturare il momento dell' esitazione di Wiles. Prima dell'intervista avevamo probabilmente concordato di realizzare una ripresa abbastanza standard di Wiles dal busto in su, rna Joe ha percepito che illivello emotivo stava crescendo e che la scena avrebbe avuto un maggiore impatto se la ripresa si fosse concentrata solo sul viso di Wiles.Di solito, pero, 10 zoom euna tecnica che non viene utilizzata nei film, poiche non rientra tra le modalita in cui gli umani vedono le cose - se sposto la mia visione dal muro intero all'orologio appeso al muro, non sto facendo uno zoom sull' orologio, rna piuttosto faccio un salto (0 uno stacco) dal muro intero all'orologio. Sfortunatamente, in questa caso, l'unica possibilita di cui Joe disponeva era zoomare su Wiles mentre parlava, rna e riuscito a farlo in maniera cosi.impercettibile da non dare l'impressione ana maggioranza degli spettatori che una zoomata era effettivamente in corso. Innanzitutto, ha cominciato 10 zoom durante una pausa tra le parole di Wiles; poi la zoomata eproseguita molto lentamente; infine, l'operatore ha fermato 10 zoom durante un'altra pausa e prima che Wiles fosse sopraffatto dall'emozione.

Un'immagine vale mille parole Poco tempo dopo la produzione di questa film con John Lynch, ho scritto un libro sul tema dell'ultimo Teorema di Fermat. Sono certamente molto orgoglioso del mio libro, rna mi e stato impossibile comunicare nei miei scritti l'emozione trasmessa nella sequenza di apertura di questa documentario. Spesso si dice che un'immagine vale mille parole, ma con 25 fotogrammi al secondo e con una durata di 140 secondi, si puo dire che questa sequenza di apertura vale ben oltre un milione di parole. Sono infinitamente grato al professor Wiles e agli altri matematici che hanno contribuito in maniera cost eloquente al film e che ci hanno permesso di raccontare la loro storia.

matematica e culture

I Quipu e lageometria dello spazio sacro presso gli Inca GlULlO MAGLl

La civilta degli Inca Spesso nella studio delle conoscenze delle antiche civilta ci si imbatte in un complesso e affascinante problema. Ci si rende infatti conto che eimpossibile ,- oltre che insensato - cercare di districare cio che noi intendiamo come "scienza", dal pensiero religioso e simbolico da una parte, e dalle strutture e sovrastrutture che su esso fondavano il proprio potere, dall'altra [1].Questo,tuttavia, non significa affatto che gli antichi affrontasseroi problemi in modo meno serio del nostro. r esempio piu nota esenza dubbio quello dei Maya:le lora conoscenze astronomiche non avevano infatti nulla da invidiare a quelle dei Greci (peresempio.Ia lora stima della durata del ciclo delle fasi lunari era pili accurata di quella di Tolomeo), rna 10 studio dei fenomeni celesti era indissolubilmente legato alla religione e alla gestione del potere, tanto che spesso si afferma (sbagliando, ovviamente) che erano"astrologi e non astronomi" [2].Di fatto, equindi necessario rinunciare ai nostri schemi mentali e tentare di immergersi nella mentalita di persone che avevano una visione della natura completamente diversa dalla nostra. II caso in cui, forse, questa operazione ein assoluto la piu difficile,rna anche, proprio per questo, affascinante, equello degli Inca. La storia della civilta nel continente sud-americano elunga e complessa [3] e l'impero degli Inca costituisce soltanto l'ultimissima fase di questa storia millenaria. Le prime notizie certe sugli Inca risalgono infatti al1200 quando questa bellicosa tribu (di cui non sappiamo il nome, perche la denominazione "Inca" poi adottata dagli Spagnoli era in realta solo l'appellativo del sovrano) originaria dell'altopiano di Cusco, nell' odierno Peru, comincio pian piano a estendere il proprio territorio. Nell'arco di meno di due secoli illoro dominio arrive a costituire un enorme impero, che comprendeva tutti iterritori dell'America sud-occidentale, cheoggi si estendono dalla Colombia all'Argentina. Fu a questa impero che le poche centinaia di Spagnoli del conquistatore Pizarro si trovarono davanti quando misero piede in Peru nel1532. Anche se edifficile da credere, a meno di un anno di distanza il piu grande stato dell' America precolombiana non esisteva gia pili, e iniziava una distruzione meticolosa esistematica della cultura, della religione e delle tradizioni degli Inca. Di conseguenza, la maggior parte delle nostre

matematica e culture 200 8

conoscenze sulla civilta Inca provengono da fonti indirette, spesso confuse 0 comunque "di parte": le cronache scritte in Spagnolo dopo la conquista. Tuttavia, naturalmente, degli Inca ci parlano innanzi tutto le loro stesse opere. Essi furono, infatti, costruttori form idabili. Erano, per esempio, maestri nelle opere idrauliche e di terrazzamento, che permettevano un'agricoltura efficiente e molto produttiva, e nella costruzione di strade, che attraversavano l'impero per migliaia di chilometri seguendo due direttrici principali, una lungo la costa e una in quota (gli animali da soma andini, i lama, non sono adatti al traino di carri, e per questa motivo le strade Inca erano percorse a piedi; non certo dunque, come qualcuno ha il coraggio di scrivere ancora oggi, perche "non avevano inventato la ruota") . Gli edifici in pietra venivano costruiti tramite l'incastro a secco (cioe senza malta o altri leganti) di grossi, talvolta enormi blocchi di andesite (una pietra dura simile al granito), secondo due modalita diverse, rna altrettanto perfezionate . Ne primo caso, i blocchi venivano tagliati in parallelepipedi tutti uguali e disposti in corsi orizzon tali sovrapposti. Nell'altro caso, detto opera poligonale,i blocchi venivano tagliati in bizzarre forme di poligoni irregolari, e poi incastrati perfettamente l'uno con l'altro. Gli incastri, a dispetto della difficolta estrema nella loro realizzazione, venivano eseguiti con precisione maniacale e millimetrica, quasi sconcertante, come accade di vedere, per esempio nelle grandi muraglie del Sacsahuaman, a Cusco (Fig. 1).

Fig. I. Mura poligonali Inca sul Sacsahuaman, Cusco (da Magli 2005)

Illivello di perfezione tecnica raggiunto dalle costruzioni andine trova pochissimi termini di paragone nella storia dell'architettura ed einteressante notare che le costruzioni che pili si avvicinano a quelle Inca si trovano nel Centro Italia, dove esistono magnifiche ed enigmatiche cinte murarie megalitiche (per esempio, ad Alatri , Norba e Circei), la cui datazione - abitualmente attribuita all'eta romana - e di fatto molto incerta (Fig. 2; per una introduzione completa alle costruzioni megalitiche del Centro Italia efr. [4]). Lo stato Inca era detto Tahuantinsuyu 0 "Le Quattro Parti della Terra" ed era organizzato secondo un rigido schema centralizzato; in particolare, la burocrazia statale teneva accuratamente conto della popolazione, registrando sesso, eta e con-

I Quipu e la ge ometria della spazi o sacro pre sso gli Inca

Fig. 2. Mura poligonali sulla fronte di nord-ovest dell' acropoli di Alatri (da Magli 2007)

dizione sociale di ogni elemento delle Ayllu, unita agricole autonome, che riunivano gruppi di famiglie dediti alle stesse attivita e governate da un capo ereditario. La lingua dello stato era il Quechua, parlato ancoraoggi inalcune zone rurali e del quale si hanno dizionari di epoca coloniale. Il governo del paese era affidato a una rigida gerarchia al cui vertice si trovavano le famiglie nobili, che risiedevano nella capitale, Cusco. Le tasse venivano risco sse sotto forma di prodotti 0 di lavoro obbligatorio nelle imprese statali, e gli archivi centrali registravano quindi meticolosamente anche entrate, raccolti e prestazioni di lavoro. Il metodo di registrazione dei dati degli Inca era chiamato Quipu (Fig. 3).

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Fig. 3. Un funzionario statale addetto alle registrazioni sui Quipus dalla Cronica di Poma de Ayala. In basso a sinistra e raffigurato un abaco 0 yupana

matenlatica e culture, 2008

Un Quipu e all'apparenza un oggetto semplice: si tratta infatti di un fascio di cordicelle disposte "ad albero" e legate a una corda primaria, sulle quali sono presenti dei nodi. Se 10 si guarda con attenzione, tuttavia, ci si rende conto che le cordicelle (che possono essere anche centinaia) hanno lunghezze, dimensioni e colori differenti e portano nodi realizzati in molti modi diversi. Purtroppo, la nostra conoscenza dei Quipu eestremamente lacunosa. Essi infatti vennero sistematicamente distrutti dai conquistatori, tanto che oggi ne rimangono solo alcune centinaia; tuttavia, e certo che la quantita di informazioni che era possibile registrare in un Quipu era vastissima. Innanzi tutto era possibile registrare numeri, su base decimale, che corrispondevano ai nodi: un nodo a 8, per esempio, indicava una singola unita, un nodo lungo le unita da 2 a 9, e gruppi di nodi indicavano suecessivamente decine, centinaia eCCe (questi Quipu "numerici" potevano, dunque, essere letti rapidamente scorrendoli con le mani). I Quipu venivano poi utilizzati, assieme alle cosiddette yupana (abachi 0 pallottolieri), come supporto per compiere operazioni algebriche, incluse, per esempio le divisioni in frazioni semplici [5]. In definitiva, dunque, si trattava di un sistema per registrare dati numerici assolutamente equivalente a qualunque altro. InoItre, moIte"funzioni accessorie"rendevano i Quipu vicini a un vero e proprio sistema di scrittura, perche l'utilizzo di nodi e colori diversi permetteva di associare concetti ai numeri (per esempio, cordelIa rossa = numero dei lama in un villaggio). In ogni caso, si esempre affermato, fin dalle cronache scritte poco dopo la conquista, che gli Inca non ebbero mai una vera e propria forma di scrittura. La cosa risulta naturalmente difficile da credere, ed esistono dei documenti ritrovati e pubblicati di recente (i ManoscrittiMiccinelli, redatti dal gesuita meticcio BIasValera e da altri confratelli nel periodo immediatamente successivoalla conquista), che testimoniano dell'esistenza di una forma di scrittura di tipo sillabico, basata su una combinazione di Quipu e di immagini intessute con essi [6].

Tempo, spazio e astronomia presso gli Inca La concezione del tempo nell' America precolombiana era profondamente diversa dalla nostra. Per noi il tempo "scorre uguale a se stesso", in un procedere "lineare" e monotono. Noi abbiamo, infatti, la divisione del tempo in secondi e minuti (sessanta), ore (ventiquattro), giorni (sette), mesi (dodici) e anni, maquesti ultimi sono "senza fine", al 2007 segue il 2008, al 2008 il 2009 ecc. Invece, per i Maya, per esempio, anche gli "anni" erano in numero finito; raggiunto questo, terminava una lunghissima "eta" (equivalente a 5125 anni solari) e si ricominciava a contare. Spesso si dice dunque che il tempo pre-colombiano era ciclico; io preferisco la parola "ricorsivo" perche ovviamente non eil tempo a ripetersi, masolo il modo in cui viene misurato. Eopportuno notare a questa proposito che, anche se non c'e dubbio sul fatto che queste ricorrenze fossero pensate come una sorta di «Eta del Mondo", non emai stato dimostrato che il termine di un periodo dovesse, nell'immaginario dei Maya,corrispondere al verificarsi di immani cataclismi naturali, come invece vorrebbe chi sostiene le cost dette catastrofiche "profezie" per il2012, anna in cui l'attuale "Eta" Maya avra termine.

E probabile che gli Inca avessero una concezione dello scorrere del tempo analoga a questa. In ogni caso, per gli Inca il tempo - 0 almeno il tempo sacro, quel10 legato alle attivita rituali -era in qualche modo un concetto «concreto" indistinto dallo spazio, tanto evero che il vocabolo quechua corrispondente significava tempo e spazio contemporaneamente. Si comprende allora come ogni aspetto del mondo naturale che avesse carattere di ciclicita, come i cicli agricoli e quelli dei corpi celesti, facesse parte della stessa struttura simbolica; all'interno di questa anche i numeri erano concepiti in modo diverso da quello occidentale; in particolare 10 zero era a sua volta in qualchemodo un concetto "concreto": esso corrispondeva alIa luna, un corpo celeste che e "assente" (il "nostro" zero), rna solo ciclicamente [7,8]. Essendo tempo e spazio in qualche modo .indistinguibili, la "vita religiosa" degli Inca comprendeva la venerazione di oggetti, luoghi e fenomeni naturali. In un certo senso l'intero paesaggio, disseminato di "cose da venerate" (huacas) era considerato sacro. Cio che ci interessa particolarmente qui ela geometria, terribilmente complessa e affascinante, secondo la quale questa spazio sacro era concepito e organizzato. Innanzi tutto, il territorio dell'impero era detto "stato dalle quattro parti" proprio perche era suddiviso in quattro grandi "cantoni" (suyus): Chinchaysuyu e Antisuyu, associati con "hanan" 0 "sopra", Collasuyu eCuntisuyu, associati con "hurin" o "sotto", All'intersezione (ideale e reale-amministrativa) delle "quattro parti" si trovava la capitale, Cusco, cuore dell'impero e vero proprio centro dell'universo Inca. La divisione in quattro parti, 0 "quadripartizione", della superficie terrestre fu comune amoltissime civilta in tutto il mondo, tanto che i quattro punti cardinali venivano accuratamente indicati da immagini 0 pietre nelle tombe Maya, rna anche, per esempio, in quelle cinesi [1]. Tuttavia nel caso degli Inca i quattro "cantoni" non corrispondevano ai quattro punti cardinali; non eaffatto chiaro come si originarono i loro confini, ed equantomeno possibile che il fatto che siano "storti" rispetto ai punti cardinali rifletta un'analoga divisione che gli Inca operavano nel cielo, utilizzando le configurazioni della Via Lattea (cioe la striscia luminosa delle stelle della nostra galassia). La Via Lattea era infatti uno degli elementi fondamentali dell'astronomia Inca. Era interpretata come un fiume celeste, "controparte" cosmica delle acque che scorrevano nei fiumi terrestri; visivamente.Ia parte piu brillante della Via (dal Cigno fino alle stelle vicine al polo celeste sud, come la Croce del Sud e il Centauro) appare divisa in due fasce luminose che recano al centro una zona piu oscura. Qui gli Inca identificavano delle costellazioni a nebulosaoscura, cioe "contorni" di figure che - a differenza delle nostre costellazioni, ottenute unendo con disegni immaginari selle brillanti - corrispondono a sagome scure nel cielo. E interessante notare che di queste costellazioni si trova testimonianza gia nelle opere dei cronisti, rna questa modo di rappresentare immagini nel cielo e cosi lontano dal nostro, che nessuno aveva mai capito di che cosa si trattasse realmente. Soltanto negli anni settanta dello scorso secolo, con la pubblicazione del fondamentale lavoro sul campo dell'antropologo Gary Urton [9], si e potuto finalmente rendere giustizia alle costellazioni Inca. Urton ha infatti ritrovato le tracce dell'immaginario Inca del cielo presso la popolazione odierna dei Misrninay, che vive in villaggi a poche decine di chilometri da Cusco, e ha potuto individuare con certezza mol-

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te delle antiche costellazioni, disposte "in processione" tra Ie nostre costellazioni Sagittario, Scorpione, Croce del Sud, Vela e Puppis (Fig. 4).

Fig. 4. Le costellazio ni Inca a nebulosa scu ra individuate da Gary Urton: 1) Rospo; 2) Volpe; 3) Piccolo Lama; 4) Lama; 5-6) Pernici 7) Serpente (da Magli 2005)

Da alcune testimonianze e documenti risulterebbe anche una ulteriore costellazione oscura, chiamata chuqui chincay e corrispondente alIa sagoma di un puma. La localizzazione di questa costellazione non eappurata con certezza; secondo alcuni potrebbe essere nella "coda" dello Scorpione, mentre chi scrive ha recentemente proposto di localizzarla piu a nord,presso il Cigno [10]. II motivo e, ancora una volta, legato alle profonde connessioni tra Ie conoscenze "scientifiche" - in questo caso, astronomiche - e it mondo simbolico degli Inc a. Risulta infatti da alcune cronache, in particolare quella di Sarmiento de Gamboa, che Cusco fu pianificata per assumere, se vista dall'alto, il profilo di un puma (Fig. 5).

Fig. 5. Pianta di Cusco redatta nel19 secolo da E. Squier. Si individua facilmente il profilo della citta Inca, che ricorda quello di un puma

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Di fatto ancora oggi varie zone di Cusco portano nomi che si riferisconoalle parti di questa animale, in particolare la zone dove confluivano i due torrenti cittadini (oggi coperti) che delimitavano la citta e detta pumachupan cioe

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Ma l'ossessione del giovane Coxeter per la quarta dimensione 10 portava addirittura a trascurare alcuni principi base della matematica. Quando venne il momenta di immergersi nei libri, in preparazione degli esami di ingresso a Cambridge, il suo tutor gli proibl di pensare alla quarta dimensione, se non la domenica. Alla fine, dopo aver provato due volte l'esame, vinse una borsa di studio al Trinity College. Alla base della passione di Coxeter per le forme geometriche c'e la nozione di simmetria. Come Coxeter disse una volta Tutta la matematica estudio della simmetria, 0 di come cambiare una cosa senza veramente cambiarla. Inoltre , e la simmetria che, nelle sue varie forme, soggiace all'ordine, alle leggi e alla razionalita dell'universo, e quindi anche allinguaggio della matematica.

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matematica e cultura 2008

Ho imparato da Coxeter che esistono due categorie distinte di simmetria: simmetrie infinite, come quelle di una sfera, e simmetrie discrete, come quelle possedute dai solidi regolari. Un modo semplice per distinguerle, mi fu spiegato , ericordarsi un aneddoto sull' astrofisico Fritz Zwicky: egli era noto per chiamare "bastardi sferici" Ie persone che non gli andavano a genio . Partiva dal ragionamento che queste persone , comunque Ie considerasse, erano sgradevoli 0 prive di interesse. Quindi, per alcuni gusti, Ie simmetrie infinite non hanno grandi attrattive: sono, di fatto, prevedibili e di conseguenza meno interessanti delle simmetrie discrete, materia di studio preferita da Coxeter,che in particolare, si occupo di simmetrie discrete di poIitopi come il dodecaedro quadridimensionale 0 l'iperdodecaedro (Fig. 10).

Fig. 10. Copia originale di Coxeter del disegno di W.A Wythoff dell'iperdodecaedro (per gentile conces sione di Asia Ivic Weiss)

Uno dei metodi con cui Coxeter studiava Ie simmetrie di forme e solidi era l'uso di specchi (Fig. 11). Egli utilizzava caleidoscopi con specchi fatti su misura, che curava con particolare attenzione (lucidandoli e assicurandosi scrupolosamente che i cardini fossero ben stretti) e che portava con se quasi ovunque (la madre gli aveva cucito appositamente un involucro in feltro per evitare danneggiamenti durante il trasporto).

Fig. I!. Coxeter mentre monta uno dei suoi caleidoscopi personali dell'epoca di Cambridge (per gentile concessione di Susan Coxeter Thomas)

II re dello spazio infinito

I disegni e le forme geometriche erano generati sistemando un oggetto, come una stecca 0 una palla, in un punto particolare del collo del caleidoscopio. Riflesso dal caleidoscopio,l'oggetto formava un'immagine geometrica composita. Con tre specchi si riuscivano a produrre figure tridimensionali, come il dodecaedro (Fig. 12).

Fig. 12. Lamappatura di un dodecaedro su una sfera, generata dagli specchi di un caleidoscopio a icosaedro (per gentile concessione di SeymourSchuster)

Coxeter svolgeva ricerche sulle dimensioni multiple, dove le forme ruotano e si riflettono, replicando le proprie proprieta nello spazio degli specchi, che el'iperspazio . Avevasviluppato una vera e propria passione per questa tipo di politopi a piu dimensioni, tanto che durante il periodo del suo servizio a Princeton, nei primi anni trenta, divenne conosciuto come "Mr. Politopo", Fece scoperte significative sui politopi, arrivando a elencare tutte le simmetrie generate dai riflessi. Cio nonostante, come annoto nel suo diario, dopo che gli era balzata in mente la prima idea di quello che poi sarebbe diventato il diagramma di Coxeter (Fig. 13), le reazioni al suo lavoro erano spesso riduttive.

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Fig.13. Undiagrammadi Coxeter per un icosaedro, generatoentro un caleidoscopio a icosaedro (per gentileconcessione di Doris Schattschneider)

matematica e cultura 2008

Coxeter aveva fatto di questo studio illavoro di una vita, rna un matematico di Princeton quale Solomon Lefschetz 10 freddo commentando: "Ebello pensare a cose inu tili ogni tanto". La geometria di Coxeter si trovava in forte declino proprio mentre la sua carriera cominciava a muovere i primi passi negli anni 30. La geometria classica era considerata un passatempo della domenica pomeriggio, ne pili ne meno che uno svago con dei giocattoli. Ipoteticamente, come avvenne p~r la scomparsa del latino, se scomparisse la geometria classica di Coxeter,nessuno se ne accorgerebbe troppo, se non qualche aficionado. Nell'era dei supercomputer e della teoria delle superstringhe,lo studio essenziale della geometria classica esenz'altro diventato obsoleto. Tuttavia, seguendo Coxeter nei suoi viaggi, mi fu chiaro che la moderna ragion d'essere della geometria era qualcosa di pili che non un semplice tributo alIa bellezza delle forme .In realta, la bellezza era cio che animava Coxeter, per la quale aveva quasi una disposizione elitaria. Rimuginava su ellissi e cerchi, esagoni e icosaedri. Si ral Iegrava a guardare la semplice geometria della schiuma, delle spugne, degli alveari, dei girasoli. Ma Ie applicazioni della geometria vanno ben oltre. Molte persone non notano la geometria pili di quanta non notino la curvatura della Terra camminandoci sopra, rna a uno sguardo pili attento,la geometria appare dove meno te l'aspetti. Algoritmi geometrici producono Ie curve, disegnate al computer, di un' automobile Mercedes e di film a cartoni animati come Gli incredibili della Pixar. Le molecole dei cibi che mangiamo e delle medicine che assumiamo hanno strutture geometriche. Osservata con uno stereomicroscopio,la molecola della menta verde e10 specchio della molecola del cumino tedesco: aIle loro strutture simmetriche si devono Ie diverse proprieta e il gusto. La geometria molecolare svolge un ruolo cruciale nel funzionamento del sistema immunitario e nello studio dei medicinali. La forma 0 Ia struttura di un medicinale deve essere tale da legarsi come un pezza di un puzzle alIa struttura della proteina appropriata. Se i medicinali non riescono a Iegarsi, non possono nemmeno svolgere Ia Ioro funzione. Allo stesso modo, Ie cruciali interazioni tra Ie immunoglobuline e le proteine si basano su un'unione del tipo "chiave-serratura" 0 "adattamento-corrispondenza" di forme molecolari compatibili (Fig. 14).

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Fig. 14. Un diagramma schematico di un'immunoglobulina, che illustra la sua interazione a "chiave-serratura" con le proteine (per gentile concessione di Sean Law)

II re della spazio infinito

Una volta delineati questi parametri del valore della geometria pura e applicata in generale, in seguito ho voluto comprendere esattamente come fece Coxeter a "salvare" la geometria, come spesso si dice. In un certo senso, egli non fece altro che perseverare stoicamente. Persevero con Ie forme che amava. Pratico la geometria con incomparabile semplicita e bellezza. E oltretutto, con il suo stile elegante, divento anche un grande divulgatore. E il suo libro Regular Polytopes [10] divenne una bibbia per i maternatici: John Ratcliffe,della Vanderbilt University, ne teneva una copia nel suo studio e un'altra a casa propria, per consultarla nelle sue serate. Per concludere degnamente il quadro, i suoi libri non erano soltanto matematicamente coinvolgenti, erano anche scritti con uno stile eloquente e arguto. Stuzzicava l'attenzione dellettore con inaspettati cambi di registro quali"...dividendo il prodotto delle prime tre espressioni per il prodotto delle ultime due, e indulgendo a un'autentica orgia di soppressioni, si ottiene... "2.

Fig. 15. Sbarco da un yolo Aerlingus (per gentile concessione di Susan Coxeter Thomas)

Inoltre, egli viaggio in lungo e in largo, quasi come un missionario (Fig. IS}.Durante la sua carriera, attraverso l'Oceano Atlantico quasi cinquanta volte. Una sera del gennaio 19S9, durante una nevicata, prese il treno notturno per recarsi da Toronto a Philadelphia, dove doveva tenere un discorso, e approfitto del viaggio per sisternare il suo intervento. Il giorno seguente, annoto nel suo diario: Circa una quarantina di persone sono scoppiate in un applauso spontaneo dopo il mio intervento di died minuti su L'impacchettamento delle sfere nello spa-

zio e la schiuma.

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Ndt: nell'originale inglese: "...dividingtheproductof thefirst threeexpressions by theproductof the last two,and indulgingin a veritable orgyof cancellation, we obtain..."

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II mese seguente, tenne un conferenza sullo stesso tema davanti a un pubblico di settanta insegnanti. Due mesi pili tardi, parlo di "1'impacchettamento delle sfere nella spazio e la schiuma" agli alunni pili bravi di un istituto. Un'opera del diciassettesimo secolo gli fornll'ispirazione per un titolo che i1 suo giovane pubblico potesse trovare divertente: Vegetable Statics [11].Vi si dibatteva i1 metodo per calcolare quanti piselli, una volta compressi in un grande contenitore cubico, avrebbero potuto essere adiacenti al pisello centrale. Lavorando in sedi diverse, con i suoi viaggi e le sue pubblicazioni, Coxeter entro gradualmente in contatto con un vasto pubblico, assicurandosi un folto gruppo di ardenti seguaci. Tuttavia, contro di lui c'era anche una forte corrente di oppositori. Ne11959, 10 stesso anna in cui Coxeter presento a diversi tipi di pubblico i1 tema dell'impacchettamento perfetto di sfere e delle straordinarie proprieta dei caleidoscopi, dei triangoli e poliedri e dei numeri di Fibonacci (spesso usando un ananas come oggetto esemplificativo), qualcosa su questa sponda dell' AtIantico andava remando esattamente nella direzione opposta. In Francia, durante una conferenza in cui si discuteva dell'urgente bisogno di riformare il piano nazionale di studi di matematica, un famoso matematico francese balzo dalla propria sedia durante una riunione e, sbattendo i1 pugno sul tavolo, grido: "A bas Euclide! Mort aux triangles!" [(~bbasso Euclide! Morte ai triangoli!"]. Secondo una leggenda che ho sentito raccontare tra matematici, questa grido di battaglia fu proferito da Nicolas Bourbaki, il quale aveva intrapreso la stesura di una rigorosa e assiomatica enciclopedia in vari volumi e totalmente senza diagrammi [12]. l' avversione per le forme e i diagrammi si basava sulla difesa dell'interesse della purezza. Tutti i risultati matematici dovevano essere raggiunti esclusivamente dall'intelletto - dalla razionalita - piuttosto che dai sensi. La nostra percezione delle cose non e affidabile, i nostri occhi ci rendono vittime della soggettivita edell'errore. Un articolo apparso su Scientific American riferiva che Nicolas Bourbaki e il suo approccio rivoluzionario avevano preso d'assalto non solo la Francia, rna anche la comunita matematica internazionale. "Circolano numerose storie su di lui;' diceva l' articolo,"e il suo mito cresce di giorno in giorno ... Le sue opere vengono lette e ampliamente citate in tutto il mondo. A Rio de Janeiro,due giovani hanno tratto quasi tutta la lora istruzione in campo matematico dalle sue opere, e ci sono rinomati matematici a Berkeley che ritengono nociva la sua influenza" [13]. Lintroduzione all'articolo si concludeva con una frase emblematica: "La cosa pili strana riguardo a Bourbaki, comunque, eil fatto che egli non esiste veramente". Nicolas Bourbaki era in realta uno pseudonimo usato da una societa segreta composta dalla cremede la creme dei matematici francesi (Fig. 16).

IIre dello spazio infinito

Fig. 16.Vignetta tratta da Scientific American, maggio 1957,che rappresenta Bourbaki sotto forma di "una folia disordinata di matematici francesi " (da "Nicholas Bourbaki", di Paul R. Halmos. Copyright © Scientific American, Inc. All rights reserved)

Quando affrontai con Coxeter la vicenda di Bourbaki e del suo intervento che voleva la "Morte ai triangoli!" - che, per inciso, fu perpetrato da Jean Dieudonne, il segretario della societa Bourbaki -, il profess ore rimase piuttosto tranquillo, anche grazie allo sguardo retrospettivo che gli conferiva la vecchiaia. "Ognuno ha diritto ad avere la propria opinione", mi disse . "Ma Bourbaki, purtroppo, aveva torto". Coxeter,in realta, costitul un'alternativa ben accolta a Bourbaki. "Coxeter mi ha salvato da Bourbaki", spiega Marjorie Senechal, del Smith College."Per me, Coxeter fu l'antitesi di Bourbaki. Ha mantenuto vivo il fuoco della Geometria e ci ha incoraggiato, spinto ad andare avanti". Ma poi, il pendolo della geometria econ certezza tornato indietro. Nel 1980,la copertina della rivista della MathematicalAssociation of America rappresentava uno scheletro incappucciato, il fantasma della geometria, con il suo dito ossuto ciondolante su di un rotolo usurato di pergamena con il diagramma del cerchio dei nove punti, uno dei primi teoremi che si studia in qualsiasi corso di geometria elementare. II titolo chiedeva La geometria emarta? La risposta di allora fu un sonoro "No". Quello stesso numero conteneva un'intervista a Coxeter, in cui diceva: "Oh, penso che la geometria si stia sviluppando tanto velocemente quanta gli altri tipi di matematica. Solo che la gente non se ne sta accorgendo" [14]. Almeno, non la maggioranza dei matematici. Le scoperte di Coxeter nel campo dei politopi stavano, di fatto, diventando strumenti matematici di valore inestimabile, noti come numeri di Coxeter e gruppi di Coxeter, strumenti che qualche matematico considera essenziali almeno quanta i numeri stessi, e che trascendono l'ambito della geometria, dal momenta che si sono rivelati utili nei settori piu popolari dell'algebra. Grazie a essi estata sviluppa-

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ta una branca della matematica chiamata teoria dei gruppi. Si tratta dello studio sistematizzato della matematica della simmetria: mi dissero che questa era una materia spinosa e impenetrabile, che avrei dovuto lasciar perdere. Ma come avrei potuto? Sitrattava dell'area in cui illavoro di Coxetersi esprimevaal meglio. Lo stesso Coxeter mantenne la discussione sui gruppi a un livello molto concreto, ancora una volta attraverso l'impiego dei suoi specchi.Eglidescrisse i gruppi di Coxetercome«1'espressione algebrica del numero di immagini di un oggetto, che possono essere viste in un caleidoscopio". Un'esperienza di vita quotidiana che ben illustra un gruppo di Coxeter equella di guardarsi in uno specchio appeso in bagno.Tu sei Ii nella stanza e la tua immagine riflessa e dall'altra parte. Per cui,in un certo senso ci sono due "te stesso" e la descrizione matematica di cio eche si tratta di "un gruppo di Coxeter di ordine due". Charles Addams pubblico una vignetta sui New Yorker che raffigurava la bottega di un barbiere con uno specchio davanti al cliente e uno specchio paralle10 alle sue spalle, generando una serie infinita di immagini, dimostrando involontariamente un gruppo di Coxeter di ordine infinito (nella vignetta pubblicata dal New Yorker, nella settima immagine il cliente si trasforma nel diavolo) (Fig. 17).

Fig.I7. La vignetta di Charles Addams apparsa nel1957 sul New Yorker che involontariamente illustra un gruppo di Coxeter di ordine infinito (Copyright © Teeand Charles, Addams Foundation. All rights reserved)

Coxeter, naturalmente, cercava forme e schemi geometrici negli specchi, e in questa modo tradusse le simmetrie delle forme in algebra, ed enumero tali simmetrie in un sistema di gruppi di Coxeter, i quali fornivano un ponte dal valore inestimabile che legava la geometria all'algebra, allargando cost il campo di entrambe. Fu in questa modo che Coxeter trascese le sue radici classiche, posizionandosi sulla cuspide della geometria "moderna". «Laprospettiva di Coxeter eoggi parte del sostrato matematico", spiega Ravi Vakil, un giovane studioso di geometria a Stanford. «E nell'aria che respiriamo". Allo stesso tempo, illavoro di Coxeter nella geometria pura trovava, e continua a trovare , un'involontaria applicazione nella scienza: come spesso succede in matematica, cio che e bello diventa anche utile. Un esempio della geometria di Coxeter applicata in chimica fornisce una prova di quello che estato denominato il«gapgeometrico" [15]:l'idea che un declino nella geometria porti a un impoverimento non

IIre dello spazio infinito

solo della matematica, rna anche della scienza e dell'intera societa, Sir Harry Kroto e uno dei tre chimici che vinse il premio Nobel per la scoperta del C60, ora sviluppato come superconduttore nella creazione di potenti elettromagneti, come quelli usati nei macchinari per la risonanza magnetica e nella tecnologia dei telefoni cellulari. Inoltre, il C60 eattualmente oggetto di ricerca per un suo potenziale uso medicinale in farmaci che potrebbero essere in grade di combattere il cancro, l'AIDS e le malattie neurodegenerative. Kroto in persona mi confermo che con una conoscenza approfondita dellavoro gia svolto da Coxeter, la lunga e difficile ricerca della forma della mole cola del C60 sarebbe stata molto pill rapida. In precedenza, erano solo due le forme allotrope di carbonic conosciute: la grafite, usata per la mina delle matite, nella quale gli atomi sono ammassati in sottili strati con ordine esagonale, e i diamanti, i cui atomi sono disposti in una serie tridimensionale con collegamenti a forma di tetraedro. Sulla base dell'osservazione di vibrazioni che indicavano la presenza di molecole composte da 60 atomi di carbonio, gli scienziati ritenevano esistesse un'ulteriore forma di carbonio. Ma Kroto e i suoi colleghi non erano del tutto sicuri della sistemazione che tali atomi avrebbero potuto assumere in un'unica molecola. La struttura che alIa fine Kroto riuscl a scoprire ricorda vagamente la forma di un pallone da calcio, con 20 facce esagonali e 12 facce pentagonali, ognuna di esse costituita da un atomo di carbonio. Si tratta di uno dei poliedri regolari complessi che Coxeter trovava cosl interessanti da studiare: I'icosaedro tronco, uno dei solidi archimedei. L'unico punto di riferimento di Kroto nel tentativo di determinare la forma di questa molecola era il fatto che gli ricordava la cupola geodetica di Buckminster Fuller, per cui decise di soprannominare il C60 'buckminsterfullerene.' In seguito alIa scoperta del C60 , dopo alcune ricerche, Kroto giunse a considerare illibro di Coxeter RegularPolytopes un suo riferimento essenziale. Per tale motivo, Kroto, ritiene che le tracce dell'opera di Coxeter siano da ritrovare in qualunque sua successiva ricerca sulle mole cole, giganti di Fullerene (Fig. 18).

Fig. 18. Diagramma schematico di diversi tipi di fullereni, dalla sinistra: C60 , C240 , CS40 ' C960 • (per gentlle concessione di Sir Harry Kroto)

matematica e cuitura 200B Si mise allavoro per ricostruire il C240 , il CS40 ' il C960 e addirittura il C6000 , usando una copia dellibro RegularPolytopes come manuale [16]. Un ultimo esempio dell'onnipotenza e della portata della geometria classica di Coxeter si riscontra in un'affermazione di Brian Greene, un fisico delle superstringhe della Columbia University e autore de L'universo elegante [17]. "Non c'e forse modo migliore di prepararsi allescoperte scientifiche del futuro", secondo Green,"che imparare illinguaggio della geometria", Si riferiva in particolare all' enigma della fisica moderna: i fisici sono partiti da dove si era fermato Einstein nella ricerca di una "teoria del tutto", un'unica teoria capace di unificare tutte le forze della natura. L'ultima rivoluzione nella fisica negli ultimi venticinque anni senza dubbio la teoria delle superstringhe. Essa salto fuori durante una delle mie interviste a Coxeter. Si stava parlando di Alice nel paese delle meraviglie (0, piuttosto, dell'edizione con note di Martin Gardner) [18], una delle sue opere letterarie preferite. Chiesi a Coxeter perche gli piacevano cost tanto le razionali assurdita di Alice. Mi rispose:

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"E come leggere qualcosa a proposito di

una parte della matematica che sai essere bella, rna che non capisci fino in fondo. Come la teoria delle stringhe, che rimane per me un mistero, tanto quanta alcune persone non riescono a capire niente dell'undicesima 0 sedicesima dimensione", A questa riguardo, inconsapevolmente, sembrava che Coxeter sapesse qualcosa.

L'annoso problema della teoria delle stringhe e che gli stessi teorici delle stringhe

non sono capaci di spiegarla. Fanno spallucce e dicono: "Potrebbe essere giusto, rna potrebbe essere anche sbagliato", Lovidi personalmente.in occasione di una conferenza internazionale sulla teoria delle stringhe a Toronto. In una delle sessioni, i teorici delle stringhe esposero pubblicamente i lora "panni sporchi", Ci fu un'angosciante discussione su quando sarebbe avvenuta la prossima, e ormai da molto attesa, scoperta sulla teoria delle stringhe. Lenny Susskind da Stanford parlo in maniera incomprensibile su qualcosa di incomprensibile; dopodiche mise le mani avanti dicendo: "Non chiedetemi di spiegarvi quello che ho appena detto". E a proposito della mancanza di progressi negli ultimi dieci anni, scherzo dicendo che l'unica cosa da fare era "sperare che l'amministrazione Bush continui a retribuirci", II problema della teoria delle stringhe I'assenza di prove sostanziali, dato che occupa solo undici (0 poco pili) minuscole dimensioni, che sono troppo microscopiche per essere osservate. L'ipotesi che entro queste undici dimensioni risieda una nuova specie di particelle subatorniche, note come particelle supersimmetriche 0 sparticelle. La pili grande promessa della teoria delle stringhe e legata al maggior esperimento - e il pili costoso - della storia del genere umano, il Large Hadron Collider, un nuovo acceleratore di particelle presso il CERN, attualmente nelle fasi finali di costruzione dopo venti anni, del quale si prevede I'entrata in funzione nella primavera 2008. La grande caccia per la supersimmetria, come la caccia del Carbonio 60, cominciata. Tutto cio mi ha fatto pensare: sembrera un po' azzardato, rna i gruppi di Coxeter potranno forse essere utili per spiegare i misteri della teoria delle stringhe e della supersimmetria? Ho provato a immettere le parole "Coxeter e teoria delle strin-

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II re dello spazio infinito

ghe" net motore di ricerca di Google e ho ottenuto un risultato rilevante in un intervento pubblico (tratto dagli articoli [19,20]) sulla teoria delle stringhe di Marc Henneaux, un esperto di buchi neri della Libera Universita di Bruxelles. Il titolo, a grandi caratteri maiuscoli, era: Solidi platonici e teoria della relativita di Einstein: inaspettati collegamenti I solidi platonici, naturalmente, sono i blocchi fondamentali della geometria e i giocattoli con cui Coxeter ha passato il tempo durante i suoi quasi 90 anni trascorsi da studioso della geometria (Fig. 19).

Fig. 19. Incoronato con solidi platonici (per gentile concessione di Faith Logothetti)

Sfogliail'interevento in cui Henneaux discuteva la geometria spazio-tempo della gravita e i problemi della relativita di Einstein. Suggeriva che le simmetrie potrebbero essere la chiave di tutto e rilevava che i solidi platonici sono la "porta dorata" verso la simmetria. Verso la fine, in maniera abbastanza scontata, l'autore faceva riferimento all'opera di Coxeter e concludeva con la considerazione che "i gruppi di Coxeter potrebbero in questo modo segnalare I'esistenza di una simmetria ancora piu grande". Questa sarebbe una risposta piu che soddisfacente al perche la perdita della geometria classica di Coxeter sarebbe incommensurabile, esistenzialmente infinita, su una scala universale nell'ordine di una dimensione ancora sconosciuta. Questo pensiero mi ha fatto ricordare una considerazione sulla geometria che avevo re-

matematicae cultura 2008 centemente visto in un posto del tutto inaspettato. Guidando la mia macchina lungo la strada principale di una piccola cittadina dell' Ontario, un deserto culturale fatto solo di parcheggi, distributori di carburante, ristoranti fast-food e piccoli negozi uno dietro l'altro - un cartellone di un noleggio auto attire la mia attenzione .Vi era scritto a grandi caratteri: "SENZA GEOMETRIA, LA VITA NON QUADRA" (Fig. 20).

Fig. 20. Conferma dell'onnipresenza della geometria. Foto scattat a dall'autrice a Belleville in Ontario, Canada, 2002 Mi colpl perche ricordava molto una di quelle frasi a doppio senso di Coxeter. 01tretutto, era un ottimo modo di riassumere l'esperienza che avevo vissuto scrivendo la biografia di Coxeter. La geometria everamente dappertutto. Bisogna soltanto cercaria.

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delle

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matematica e arte

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II mio lavoro, Ie ragioni del materiaIe E MANUELA FIORELLI

II mio lavoro nasce da un'esigenza di relazione con il mondo, tra me e il mondo, fra le cose del mondo. Cercavo un materiale che mi potesse aiutare in questa mia intenzione e alla fine Tho travato: il filo. II filo per me e un mezzo di esplorazione, un punto in pianta, una superficie di taglio, un segno nello spazio; e relazione visibile e tangibile, estensibile se eelastico, tubolare, circolare, pupilla, sonda, linea protesa a indagare, a immaginare. Traiettorie di yolo. Linea di confine che forza confini. II filo e quasi mai interrotto in questo suo cercare, in questa suo formare involontario, che solo rende visibile cio che e solo immaginato 0 esistente rna da noi disvelato e riconosciuto. Linee di forza, polarita, occhi di ciclone nel cui centro vorremmo trovarci per vedere il mondo roteare intorno a noi, mulinelli d'acqua nei torrenti estivi, vorticosi cieli di Van Gogh, gusci di conchiglie da tagliare con bisturi affilatissimo per ripercorrere con gli occhi e le dita la spirale ossea strutturante, i segni luminosi del firmamento. Filo che buca 10 spazio e 10 ricuce con un ritmo febbrile, rna non di una febbre a 40, bensl di una coscienza e sensibilita estrema, che ci fa intuire simultaneamente tempi e spazi multipli, caleidoscopici, sfaccettati. II mio spazio intimo si raggruma in sottili filamenti preziosamente organizzati, isole delica tissime nel caos che esso stesso ha prodotto. Tempo minuscolo di

matematica e cult ure 2008

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:lldditil. fragile illusione di ordine. Filo di ntgno imperlato di brina, segno vibrante nel vento, impercettibilmente sonoro e cangiante di luce. II filo elastico ha in se la proprieta dell'estensione, del debordamento da se stesso, del prolungamento e dell'assottigliamento se tirato fino a un limite. Riesce a diventare 2,3 volte se stesso senza perdere la sua forza, anzi manifestandola nella sua opposizione allo strappo, adattandosi a ogni ostacolo senza perdere la sua identita di filo. La tensione e la condizione del filo. Senza essa perderebbe aderenza alle cose. La tensione fisica del filo ela proiezione della tensione psico-fisica che noi abbiamo con il mondo. Tensione che non ammette prolassi, sfilacciature, assottigliamenti, indebolimenti rna che invece protende a relazionarsi, a trovare nuovi ancoraggi 0 passaggi per poi dispiegarsi 0 avvilupparsi.Tensione come forza invisibile che c'e e ci sara nel tempo, tenace e resistente fino allo sfinimento. La ripetizione del segno come conferma continua, come prova di non casualita, rna anche come configurazione di superfici attraverso la molteplicita dei segni. Una linea vicino all'altra a formare una pelle osmotica. II colore ha ragione empatica, di atmosfera, narrativa. La tintura per controllare, come in camera oscura, ilgiusto tono. Una tecnica antica imparata in Turchia. Le condizioni iniziali determineranno la traiettoria che prendera il filo e la conseguente "forma"che ne risultera. La forma e il risultato del particolare punto di vista dell'osservatore, che osserva l'oggetto da tutti i lati, e dell'osservato. Come dice Giulio Paolini, artista no to, anche l'opera ci osserva. Quindi la relazione nasce da noi che guardiamo l'oggetto e dall'oggetto che guarda noi. La superficie esterna del filo diventa interna all'opera, in un gioco di rimandi e di scatole cinesi. La forma e aperta e quindi non si pub chiamare forma. Non c'e un dentro e un fuori, un sopra e un sotto, rna solo forma in formazione, pelle percettiva e sensibile ai piu piccoli spostamenti delle condizioni iniziali. Esse determineranno il suo dispiegarsi e ilsuo contrarsi, il suo ritmo monotono 0 concitato. La forma non e forma perche non se ne pub ricava-

Installazione, Genius, Loci, Viterbo, 2005

II mio lavo ro, Ie ragioni del mate riale

re un calco per riprodurla. Essa, come il nastro di Moebius, non ha superfici interne 0 esterne, aperte 0 chiuse, rna solo dialogo aperto. L'installazione nasce dall'esigenza di relazione fra le cose. I miei fili come le mie mani, come prolungamento dei miei sensi che si amplificano nella molteplicita delle superfici toccanti e nella lora estensione. Volonta di delimitare pezzi di spazio invisibili per manifestarli all'occhio e al tattoo Porzione di spazio polarizzata, rubata all'indistinto. Proiezione del mio sentire. Fili come corpi adattabili, elastici, che nascono dalla relazione con do che incontrano. L'ostacolo non e piu un ostacolo rna un elemento da raccordare, anzi indispensabile per il filo che a lui si conforma. E sostegno e ragion d'essere. L'ostacolo eil sassetto fastidioso che 1'0strica trasforma in morbida perla. 10 come non io, pelle protesa all'assottigliamento, alla trasparente porosita, pelle proiettiva di emozioni, contemplante passivo di forme che si generano spontaneamente dall'informe , fuoco e cristallo.

100 metri, box in plexiglass e fila elastica, 2007

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~ Archicolor, 2005

Installazione, Sculpture Space , Utic a, N.Y., 2002

II mio lavoro, Ie ragioni del materiale

l' oggetto invisibile, I premio Ace. Naz. San Luca, 2004

Dos IV, 2004

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Origine con argine, XXXIX Premio Vasto, 2006

II mio lavoro, Ie ragioni del materiale

Coquillage, 2002

Numen,2007

matema tica e cult ure 2008

Affetto ottico, 2006

II mio lavoro, Ie ragioni del materiale

Connect, 2005

Installazione "5-forma", galleria Costantini, Milano, 2006

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mat emat lca e cult ure 2008

Disarchitexture, 2004

Spazio specchio, 2007

II mio lavoro, Ie ragioni del materiale

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Caosmo IV, 2006

Installazione "Effimera", Inner Space Multimedia, Poznan, Polonia, 2002

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Caosmo VI, 2006

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Fugacentrica,2005

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II mio lavoro, Ie ragioni del materiale

Reverie, XIVQuadriennale, Palazzo Reale, Napoli,2003

Installazione "Il caos esatto", Convegno Matematica e cultura 2007, Venezia

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Superficie biomorfica, 2007

Laboratorio di idee in movimento. Sculture vive di Santiago Calatrava A NTONINO SAGGIO

Per Santiago Calatrava l'analisi scientifica, il calcolo, la modellazione matematica si intrecciano in maniera quasi indissolubile con la ricerca artistica ed espressiva. In tutte le sue mostre una parte cospicua esempre rappresentata da sculture e installazioni. Legittimo e quindi che in un congresso di studiosi che si interessano ai rapporti tra la matematica e l' arte, il suo lavoro susciti interesse e curiosita, Vediamo di ripercorrere alcune tappe di questo lavoro e di calarci poi net suo mondo espressivo tra scultura, costruzione, calcolo e arte.

Fig. I. Disegni di Santiago Calatrava a sinistra modello del progetto per il Reichstag 1992

matematica e culture 2008

La ricerca di Calatrava Calatrava nasce nel1951 a Valencia e nella citra spagnola segue sin da giovanissimo corsi serali d' arte, mentre frequenta la scuola primaria e secondaria. Dopo il diploma si iscrive alla Scuola d'arte della sua citta e, successivamente, alla Facolta di architettura, dove ottiene la laurea nel1973. Nel '75, decide di lasciare la Spagna e di andare al Politecnico di Zurigo a studiare ingegneria civile.Ottiene il dottorato nel1979 con una dissertazione sulla Foldability of Spaceframes e inizia a lavorare come assistente nell'Istituto di Statica prima e di Costruzioni leggere poi. Sotto la guida di Chri stian Menn sviluppa in questo ambito accademico una concezione tridimensionale di piastre e sezioni in cui tutti e tre gli assi spaziali hanno uguale importanza.

Fig. 2. Ritratto di Santiago Calatrava

Nell981 apre uno studio a Zurigo, partecipa a concorsi e ha le prime commesse in Spagna e in Svizzera. Vince nel1984 il concorso per la stazione di Stadelhofen di Zurigo,la cui realizzazione 10 proietta nel circuito internazionale, gli permette di ottenere prestigiosi incarichi e di aprire un secondo studio a Parigi. Negli ultimi anni il suo lavoro elegato a realizzazioni anche molto ampie e di grande visibilita internazionale, come la "Citta della scienza" di Valencia e "11 parco Olimpico" di Atene 2004.

Fig. 3. Stazione Stad elhofen , Zurigo, 1983-1990

laboratorio di idee in movimento. Sculture vive di Santiago Calatrava

Fig.4. Stadio Olimpico, Atene, 2000-2004 Fig . 5 . Percorso a l Parco Olimp ico, Alene, 2000-2004

Fig . 6. Staz ione eli Oriente, Lisbona,

1993-1996

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Fig. 7. Stazione di Oriente, il palmeto sui binari, Lisbona 1993-1996. Sinistra La copertura semovente del Reichstag, Berlino 1992

Fig.8. Reichstag, Berlino 1992

Fig. 9. Parco della Scienza, Valencia 1996-2003

Laborato rio di idee in movimento. Sculture vive di Santiago Calatrava

Ingegneria come arte del possibile Dietro questo curriculum non vi e solo la storia di un architetto, rna vi possiamo anche trovare condensata l'originalita della sua ricerca. Mentre per i grandi architetti-ingegneri come Nervi 0 Morandi il momenta espressivo ed estetico delle strutture e il punto d'arrivo di un'impostazione matematico-scientifica, Calatrava percorre il percorso inverso. Calcolo e conoscenza tecnica sono necessita di approfondimento di una vocazione che etutta artistica. In un caso la forma ela sublimazione pili alta del calcolo, nell'altro il calcolo e10 strumento per ottenere la forma. Di pili: se l'ingegneria tradizionale si muove alla ricerca della soluzione spazialmente ed esteticamente pili ricca, tra le molte tecnicamente equivalenti, per Calatrava essa e solo strumento per dare forma alla ricerca spaziale, trasformandosi da arte della razionalita in arte della possibilita.

Fig. 10. Studi di Sergio Musmeci per Ponti, 1956-1959, Ponte sui Basento Potenza 1967-1969, in Basso Sala delle fiere, Pierluigi Nervi , Torino, 1960, e Riccardo Morandi pilastro del Salone della Macchine Torino, 1960

Se qualcuno gli domanda il perche della progettazione di una determinata architettura infatti la sua risposta esempre:"Perche no, se e possibile? L'ingegneria e l'arte del possibile". II confine tra illecito e l'illecito, tra il giusto e l'ingiusto e secondario, ininfluente. In realta affermazioni come queste sono giustificate non dalla lora perentoria assolutezza, rna dal valore della ricerca espressiva che le motiva, in questo caso spinta con una certa originalita nei territori dell' astrattismo e degli equilibri din amici cari, per esempio, al nostro Fausto Melotti. Calatrava ancor prima di essere costruttore e infatti scultore e rinfresca (insieme all'americano Frank Gehry) la complicita e l'interdipendenza che scultura e

matematica e cultura 2008

architettura avevano nell'opera di maestri come Michelangelo, Borromini e Bernini. Nella scultura Torus del 1985 due cubi si appoggiano asimmetricamente sulla punta di altrettanti coni e sono tenuti in posizione da tiranti. Sono volumi sospesi nella spazio a formare una composizione staticamente controllata e allo stesso tempo, ben lontana da ogni astratta razionalita: segnano simbolicamente le due generazioni di distacco che intercorrono con i compassiribaltati,logo e marchio di Morandi. In opere come l'aeroporto di Bilbao,con il suo guscio che parte da terra per slanciarsi nell'aria, oppure nelle due ali divaricate della stazione a Lione, ritroviamo 10 stesso mondo espressivo di Torus e di altre sculture, trasformato in macrostrutture che ricordano Eero Saarinen, FelixCandela e Jern Utzon, rna che segnano allo stesso tempo un punto innovativo nel panorama internazionale. L'opera di Calatrava ha, infatti, solo un'apparente contiguita con gli architetti-costruttori come Renzo Piano, Norman Foster e Richard Rogers. In quel caso ci si trova di fronte a una ricerca espressiva che fa tesoro della tecnologia contemporanea, nel caso di Calatrava materiali e tecnica sono tradizionali , rna assemblati alla luce di una ricerca plastica, che fa tesoro proprio del suo essere scultore prima che architetto e ingegnere. Fig. 11. Scultura in Ebano 1989 ca.

Sculture di Calatrava Ed entriamo ora gradualmente nel grande mondo delle sculture di Calatrava. Un vero e proprio lab oratorio di ricerca estetica. Un luogo autonomo e allo stesso tempo intimamente correlato alla sua rice rca costruttiva e architettonica. Due mi sembrano i riferimenti principali di Calatrava. Innanzitutto la ricerca "oggettuale" delle tensioni nella spazio in chiave macchinista nel Bauhaus. Questa ricerca ha avuto pili tardi, nell'Italiano Fausto Melotti, degli interessanti sviluppi, che, se da un lato conservavano l'approccio astratto e macchinista del Funzionalismo Bauhausiano, dall'altro assumono del tutto ina spettate valenze oniriche e poetiche. Una specie di "realismo magico applicato alla scultura".

Fig. 12. Sculture di Fausto Melotti, Immagini dai laboratori del Bauhaus

Laborato rio di ide e in movimento. Sculture vive di Santiago Calatrava

Dall'altra parte in Calatrava ediretto, soprattutto negli ultimi anni come vedre mo in seguito, un rapporto con il grandissimo scultore britannico Charles Moore. Nel 2000 Calatrava ha esposto a Palazzo Strozzi a Firenze molti pezzi che incorporano una tensione verso concavita e cavita che occupano e creano 10 spazio, prassi evidentemente molto diversa dai vettori lanciati nello spazio e dalle forze in opposizione di tipo macchinista.

Fig.B. Mostra di Calatrava a Palazzo Strozzi, Firenze, 2000

Nella mostra di Firenze in cui erano dedicate molte sale alle sculture si comprendono alcune relazioni andata e ritorno tra scultura e architettura. In Calatrava la ricerca plastica eassolutamente necessaria alla sua architettura. Ne costituisce l'indispensabile supporto e campo di esplorazione.

Fig. 14.Viste della Mostra a Palazzo Strozzi

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matematica e culture 2008

Sicuramente molte opere e sculture di Calatrava appaiono alla ricerca del raggiungimento di un equilibrio faticoso,un equilibrio,come dire,raggiunto solo in un attimo. Tiranti, puntoni, equilibri, strutture a fuso per veicolare le forze e rispondere come una sezione plastica alle tensioni sono temi che viaggiano trasversalmente e si ritrovano tanto nelle sculture che nell'architettura.

Fig. 15. Sculture alia mostra di Palazzo Strozzi

Una serie di opere scultoree pili recenti di Calatrava, invece, dove nel gioco dinamico delle forze espresse nello spazio prevalgono composizioni pili ieratiche e statiche, anche se spesso arricchite da inaspettate cavita, ricordano appunto Moore oppure dei tagli inaspettati nella materia che richiamano Lucio Fontana.

Fig. 16. Scultura di Henry Moore, Lucio Fontana allavoro

Queste opere sono realizzate attraverso macchine a controllo numerico. In questo caso dei pezzi di materia, spesso di marmo di Carrara, sono incisi, levigati, scolpiti secondo la logica stessa di alcune operazioni eseguite al computer. Come le rotazioni, le estrusioni su assi in movimento 0 come se alla materia si applicassero delle autentiche operazioni booleane, che fanno apparire le sculture come dei pezzi di anti-materia: come se fossero pieni, descrivendo pero con le loro forme uno spazio cavo, un possibile spazio abitato.

Laboratorio di idee in movimento. Sculture vive di Santiago Calatrava

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Fig.17.Sculturein Marmo alIa Mostra di Palazzo Strozzi

In ogni caso, al montaggio asimmetrico di forze dinamiche nella spazio delle sculture della prima fase, si sostituisce una pesantezza levigata e bolsa, forse interessante come ricerca scultorea autonoma, rna pericolosissima quando trasportata in architettura. Era un pericolo molto evidente gia a una visita alla mostra fiorentina del 2000 e, purtroppo, confermato per quello che sembra aspettarci a Roma per la Citta della Sport (che non vorrei farvi vedere, per carita di patria, rna che fa pensare a un Calatrava appesantito alla Botero, se non addirittura alla Mario Botta, in cui tanto le planimetrie che si risolvono in montaggi simmetrici e neo monumentali quanta i singoli pezzi della scala architettonica sembrano riecheggiare tutto il peggio di una mal interpretata tradizione romana classica).

Fig. 18. La citta del nuoto, TorVergataRoma, 2006

matematica e culture 2008 Ma questa saggio vuole mettere in evidenza alcuni aspetti vitali della ricerca, ormai pili che ventennale, di Calatrava e centrare la discussione sul tema del movimento, che ha un rapporto anch'esso molto stretto tra scultura e architettura.

Fig. 19. La Sala del volo alla mostra di Palazzo Strozzi

Le architetture semimoventi di Calatrava La caratteristica del progettare di questa scultore-ingegnere (rna anche, architettoscienziato) e una tensione plastica ed estetica verso le membrature. Dominare le tensioni, calcolarne le sezioni, disegnare le poligonali di equilibrio sono gli strumenti per realizzare le sue visioni. La scultura ela base, l'ingegneria l' arte del possibile, l' architettura la necessaria conseguenza. Ma e l' amore per le strutture vegetali e anatomiche la linfa delle sue creazioni. Non solo per l'armonica sagomatura delle armature rispetto agli sforzi, ne per la conformazione antiscatolare e organica degli spazi, rna perche i rami degli alberi, e soprattutto gli scheletri degli esseri viventi, sono strutture che si muovono.

Fig. 20. La Sala delle sculture e strutture semoventi a Palazzo Strozzi

Laboratorio di idee in movimento. Sculture vive di Santiago Calatrava

Non a caso una delle sue prime opere e la porta di un magazzino industriale e la sua tesi di dottorato riguarda propria la possibilita di piegarsi e racchiudersi delle strutture. Sia che le sue costruzioni si muovano effettivamente (come le porte dei magazzini Ernsting, il ponte sul Garonne in Francia, il padiglione del Kuwait per l'esposizione di Siviglia del '92 0 quello progettato per le celebrazioni della confederazione elvetica a Zurigo), sia che esse siano ferme suggeriscono sempre la possibilita del movimento. Per Luigi Nervi la forma perfetta (classica, immobile) e la ragione del calcolo, per Riccardo Morandi l'equilibrio e il raggelamento dell' attimo prima del crollo, rna per Santiago Calatrava eil movimento, anche solo immaginato 0 virtuale, l'ispirazione feconda .

Fig. 21. Strutture in movimento Le opere piu affascinanti di Calatrava sono infatti le sue architetture semoventi. Nei magazzini Ernsting ogni asta che compone la chiusura, ruotando lungo una linea curva, si apre e si chiude ottenendo un notevole effetto di tridimensionalita dinamica. Nel padiglione Swissbau a Basilea 10 studio sul movimento della struttura permea tutto l'edificio, che e una vera macchina semovente. La composizione si basa su una serie di costole che sono incernierate lungo un muro in cemento armato, con dei dischi la cui rotazione si ripercuote nel movimento ascendente e discendente delle costole. E un misto di tutto il suo operare. La scultura come base di ispirazione, l'ingegneria come scienza del possibile, la rice rca scientifica universitaria e, infine, l'amore per la natura e per le sue strutture vegetali e anatomiche. A Torontoha realizzatola strabiliante Galleriae Heritage Square al BayStreet Place. Pensare all'aspirazione verticale del gotico con il viaggio delle forze dalle volte aIle membrature di sostegno, apprezzare il raccordo che la nuova galleria segna in un isolato caratterizzato da diversi edifici preesistenti e da due nuovi grattacieli, immergersi nella luce che dall'alto si riverbera nelle ossature, con fantasmagorici giochi di ombre e di vibrazioni che si rispecchiano sul granito del pavi mento non basta. Percorrendo questa galleria siamo, con Calatrava , dentro la pancia di un dinosauro: la gabbia toracica si sta per espandere in un respiro possente, gli arti si devono muovere, le grandi fauci si aprono e si chiudano (come, per altro, fanno ef-

matematica e cultura 2008

fettivamente per permettere la chiusura di notte). Natura e tecnica sono mescolate insieme a presente e passato. II tema del movimento effettivo delle strutture genera opere originali, come nell'emergere della copertura di che si apre e si chiude come un girasole, per ripresentarsi nello stato di quiete schiacciata suI suolo nel centro di soccorso di St. Galle, oppure in strutture protese come un mantra all'attacco, 0 an cora come nella stu penda pensilina progettata per Venezia, in cui delle mensole sono applicate su dischi rotanti, generando un movimento armonioso e bellissimo.

Fig. 22. Pensilina semovente per Venezia

II movimento delle sculture (come le onde esposte a Firenze ne12000, in cui ogni asta si muove indipendentemente simulando Ie onde del mare), rna anche delle stesse architetture in Calatrava non e mai meccanico, non evoca 10stridore delle macchine, rna gli armoniosi movimenti vegetali e animali che ha lungamente studiato. Ed eproprio in questa contributo alIa riflessione architettonico-contemporanea che il suo intervento edi maggiore interesse e originalita, Naturalmente la sua ricerca si pub evolvereancora di pili quando i movimenti delle sue sculture e architetture siano dotate di sensori e attuatori e,quindi, animate anche di informazioni elettroniche. In questo caso si tenderebbe verso un ambiente permeato anche dalla sensibilita verso un ambiente sensibile, capace di interagire con uomo e ambiente. Ma questa e l'inizio di un'altra storia.

Laboratorio di idee in movimento. Sculture vive di Santiago Calatrava

Fig. 23. Art Museum, Milwaukee, 1994-2001

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roma1.it/saggio/Conferenze/MatematicaEmmer/Sculture.htm

II Mazzocchio da Paolo Uccello a Lucio Saffaro M ICHELE E MMER

La storia comincia: Paolo Uccello Paolo Uccello,eccellente pittore fiorentino, (1397-1475) il quale perche era dotato di sofistico ingegno, si diletto sempre di investigare faticose e strane opere nell'arte della prospettiva, e dentro tanto tempo vi consume che se nelle figure avesse fatto il medesimo, pili raro e mirabile sarebbe divenuto. Ove altrimenti facendo, se la passe in ghiribizzi mentre visse e fu non manco povero che famoso . Per il che Donato (Donatello) che 10 conobbe spesso gli diceva, essendo suo caro e domestico amico: "Eh, Paulo, cotesta tua prespettiva ti fa lasciare il certo per l'incerto". E questo avveniva perche Paulo ogni giorno mostrava a Donato mazzocchi a facce tirati in prospettiva, e di quegli a punte di diamanti con soma diligenza bizarre vedute per essi, Conduceva bruccioli (trucioli, un lungo truciolo form a una spirale che vista di scorcio poteva prestarsi aIle complicate scomposizioni prospettiche di Paolo Uccello) in su i bastoni che scortassero perche si vedesse di dentro e 'I di fuori e Ie grossezze di quelli, e palle a settantadue facce molto difficili.

Fig. 1. Paolo Uccello, Mazzocchio, disegno, (GDSU) Galleri a degli Uffizi, Firenze, su con cessione del Ministero per i Beni e le Attivita Culturali

matematica e cult ure 2008

Aggiunge il Vasari .in Le vite de' piu eccellenti architetti, pittori, et scultori italiani, da Cimabue, insino a' tempi nostri [1] Sotto queste due storie di mana d' altro, pili basso, vi fece il Diluvio con I'Arca di Noe... Opera tutta di bonta e d'eccellenza infinita che gli acquisto grandissima fama . Diminui le figure ancora per via di linee in prospettiva, e fece mazzocchi et alter cose in tale opra certo bellissime [2].

Figg.2,3, 4. Paolo Uccello, II diluvio, Chiostro verde, S.Maria Novella, Firenze,su concessione del Servizio Musei Comunali di Firenze

L'opera di Paolo Uccello si trova nel chiostro verde della Basilica di Santa Maria Novella a Firenze, cost chiamato perche Uccello negli affreschi utilizza terre verdi.Il chiostro verde, costruito dopo il1350 da fra'Iacopo Valenti (Terre Verdi:le specie mineralogiche che danno la colorazione sono principalmente dei silicati idrati di ferro, magnesio, alcali. Tra queste, la glauconite che si presenta disseminate nelle argille). Anche nella famosa Battaglia di San Romano compaiono mazzocchi.

IIMazzocchio da Paolo Uccello a lucio Saffaro

Figg.5,6.Paolo Uccel10, Battaglia di San Romano, dal film I solidi Platonici di M.

Emmer

Masolino e Masaccio A partire dal1422 circa Masolino, con l'aiuto di Masaccio, lavora alla Cappella Brancacci a Firenze. La cappella Brancacci esituata all'interno della chiesa di Santa Maria del Carmine a Firenze . Committente del cido di affreschi, a cui si deve anche la scelta del tema, fu Felice Brancacci. tema del cido di affreschi la salvezza dell'umanita operata dal Signore attraverso Pietro. Le scene rappresentano il peccato originale con la cacciata di Adamo ed Eva dal Paradiso terrestre e storie della vita di San Pietro. I lavori furono iniziati intorno al1422 da Masolino e dal suo aiutante Masaccio, il quale continuera da solo dopo la partenza di Masolino per l'Ungheria.

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maternatica e culture 2008 Figg.7,8. Masaccio, La guarigione del10 storpio e la resurrezione di Tabita, Chiesa del Carmine, Cappella

Brancacci, Firenze,

su concessione del Servizio Musei Comunali di Firenze

Masaccio applica alla pittura le nuove teorie rinascimentali sulla prospettiva. I primi affreschi non permettono di stabilire bene la predominanza di un artista sull' altro. Masaccio morira ne11428, a soli 27 anni, durante un viaggio di studio aRoma, lasciando l'opera incompiuta. Questa fu terminata quasi 50 anni dopo da Filippino Lippi, che cerco di mantenere 10 stile del maestro. In particolare Masolino realizza la Guarigione dello storpio e la Resurrezione di Tabita. A Masaccio sono attribuiti l'impostazione prospettica, i palazzi, la piazza. Le due scene sono separate dal particolare di due personaggi in vestito moderno, che passeggiano indifferenti parlando dei loro affari. "Due indicibili giovanottini stoffati e in mazzocchio, da parer sagome per il sarto di moda a Firenze nella stagione 1424-1425",scrisse Roberto Longhi.

II Mazzocchio da Paolo Uccello a Lucio Saffaro

II mazzocchio, dunque Che cosa era il mazzocchio? La parola deriva da mazza 0 mazzo di cui e un diminutivo. Ovvero puo derivare dallatino maxuca tramite il diminutivo maxuculus. Quantita di cose strette insieme a guisa di mazzo e quindi gambo sottile pannocchiuto in cima e in modo speciale tallo di radicchio od anche specie di grano grosso .Anello che si forma intorno ad un tronco d' albero. Per similitudine si chiamo cOSI il berretto. Perche Paolo Uccello era cosi interessato ai mazzocchi? E perche Donatello, per bocca di Vasari, 10 rimprovera di un suo eccessivo interesse per quella forma geometrical Certo non era il copricapo che interessava Uccello, rna quella specie di cerchio sfaccettato che era una stilizzazione geometrica del cappello. Fig. 9. Paolo Uccello, Calice, disegno, (GDSU) Gal-

leria degli Uffizi, Firenze, su concessione del Ministero per i Beni e le Attivita Culturali

mate matica e cult ura 2008

Nel famoso disegno di Paolo Uccello, noto come il Calice agli Uffizi di Firenze compaiono diversi mazzocchi. Talbot, che ha dedicato un articolo alIa costruzione del Calice [3], scrive: La mie tesi eche il progetto dell'intero Calice, la sua elevazione, e basato 0 derivato dalla stessa costruzione geometrica e dagli stessi procedimenti che avreb bero dovuto essere richiesti per la costruzione del pin grande mazzocchio presente nel disegno. La costruzione del piano di questo mazzocchio a 32 facce, con la sua sezione verticale ottagonale, avrebbe richiesto il disegno di un quadrato, la costruzione di un ottagono all'interno di quel quadrato, e poi un'ulteriore suddivisione per dare le 16 e poi le 32 sezioni che descrivono la circonferenza.

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Fig. 10. Kern, Ipotesi per la costruzione del mazzocchio di P. Uccello

Piero della Francesca (1420-1492) nel Deprospectiva pingendi,composto negli ultimi anni prima della morte, nellibro primo, XXVII, traccia un mazzocchio in prospettiva, spiegando come si doveva costruirlo.

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Fig. 11.Piero della Franeesea, Mazzocchio

II MaZZ()CClrUO da Paolo Uccello

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Lucio Saffaro

Margaret Daly Davis nel volume Piero della Francesca's Mathematical treatises [4] ricorda che Piero nel Libellus de quinque corporibus regolaribus presentava la corretta misurazione di parti di edifici come colonne, volte, apsidi, cupole e similie La loro corretta rappresentazione prospettica era di estrema importanza per gli architetti, per i pittori e, inoltre, per chi doveva realizzare i meticolosi disegni per i fabbricanti di intarsi, come ricorda 10 stesso Piero nella dedica a Guidobaldo del Monte della Summa arithmetica.Ricorda ancora la Daly Davis che I principali motivi dei primi lavori a intarsio erano usualmente semplici oggetti a carattere geometrico, 0 vaste piazze e palazzi, resi in prospettiva. Coloro che lavoravano illegno ed erano esperti nella tecnica della prospettiva, venivano chiamati nel Quattrocento Maestri di prospettiva.

Nelle Memorie di Benedetto Dei, citate dalla Davis, gli intarsiatori sono ricordati come "Maestri di prospettiva in Firenze tutti fiorentini nell'anno 1470". Ne sono nominati 14, a cui se ne aggiungono altri 19. Inoltre "Florentia bella a 66 botteghe di speziali e a 84 botteghe di Iegnaiuoli di tarsie e 'ntagliatori", Per dire quanta era diffusa quest'arte. La maggior parte dei disegni che dall'architetto 0 dal pittore passavano all' artigiano per esser realizzati in legno si sono perduti,ma di alcuni e rimasta traccia, come i1 mazzocchio diPaolo Uccello 0 quello diPieronelDe prospectiva pingendi 0 ancora quello attribuito a Leonardo da Vinci.

Intarsi e geometria Alan e Judith Ferr Tormey scrivono un articolo sul Scientific Americannel1982 intitolato Renaissance Intarsia: the Art of Geometry [5]: Alla meta del XV secolo avvenne una importante trasformazione nell'arte dell'intarsio, che passo dall'essere considerata una attivita decorativa e di abbellimento di secondaria importanza per diventare I'arte geometrica per eccellenza. I pannelli a intarsio rappresentano nella stragrande maggioranza architetture complesse, immaginarie 0 reali in prospettiva, come se fossero viste attraverso una finestra aperta. Praticamente ogni pannello euna illusione di prospettiva tridimensionale. L'improvviso fiorire e la susseguente grande fortuna dell'intarsio coincideva con la sforzo di dare all'arte una base matematica, e la storia dello sviluppo di quest'arte esemplifica molto efficacemente la fusione di arte, matematica e filosofia durante il Rinascimento. Nella pratica dell'intarsio si selezionano e quindi si tagliano un gran numero di pezzi di legno di diversa origine e colore, utilizzando come base un cartone 0 un disegno. Era quindiessenziale per gli intarsiatori avere i disegni degli oggetti che volevano riprodurre, e dovevano avere questi disegni tracciati in accordo con la prospettiva. Non fu certo una coincidenza che l'attivita artistica degli intarsiatori si svihippo a Pirenze 0 nelle vicinanze della citra, dato che a Firenze stava emergendo la teoria della prospettiva lineare. Una forma d' arte, l'intarsio, che era strettamente legata all'idea di una rappresentazione del mondo basata sulla matematica. Fu so-

matematica e cultura 2008

10grazie alIo sviluppo e alIa eodifieazione della prospettiva ehe gli intarsiatori furono eapaci di sviluppare la loro abilita, Serviva una teoria ben delineata e compresa per far diventare l'intarsio da attivita artigianale un'arteo Aggiungono i Tormey ehe sotto I'influenza del Timeo di Platone, Piero della Franeesea eereava di rieondurre le forme alIa geometria dei Solidi Platon ici e dei solidi geometrici da loro derivati. Era quindi del tutto evide nte ehe i pannelli a intarsio pili interessanti era quelli ehe eontenevano oggetti geometrici. Ne1 1519,qualche anno dopo la morte di Piero, fra' Giovanni da Verona realizza i pannelli ad intarsio per il Monastero di Monte Oliveto Maggiore vicino Siena .

Fig. 12. Fra Giovanni da Verona, lntarsio, Monastero di Monte Oliveto Maggiore. Su concessione della Soprintendenza per il patrimonio storico artistico per le provincie di Siena e Grosseto

I Tormey suggeriscono ehe fra' Giovanni doveva forse aver avuto accesso ad alcuni disegni di Piero 0 di altri. Nell'artieolo, sulla base dellibro di Daniele Barbaro Pratica dellaProspettiva (1569) e di uno storieo della matematica tedesco, G. 1. Kern, i Tormey forniseono una possibile via per disegnare in prospettiva un mazzocehio.Si comi ncia con il tracciare due ottagoni equilateri alIa stessa distanza da una lin ea ver tiea le. 9

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Fig. 13.Immagine di A. e J. F.Tormey, tratta dall'articolo del Scientific American (5)

II Mazzocchio da Paolo Uccello a Luci o Saffaro

Nel secondo passo le linee tracciate prima, per esempio 1-8,devono diventare diametri di 4 semicerchi concentrici. I semicerchi sono divisi in 12 archi eguali. Quindi si connettono i punti finali degli archi. Si ottengono 4 poligoni concentrici che sono un'immagine piana del mazzocchio vista da sopra.

Fig.14.Immagine di A.e J. F. Tormey, tratta dall'articolo del Scientific American [5]

Ora si devono inserire i punti ottenuti al secondo passo nella costruzione fatta al primo passo. Si traccia una linea verticale per ognuno dei punti, finche interseca le due linee orizzontali della costruzione iniziale. 9

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Fig. IS.Immagine di A.e J. F. Tormey, tratta dall'articolo del Scientific American [5]

n quarto stadio e un'elaborazione del metodo di Alberti. Ogni poligono e determinato da 8 punti. Si tracciano le diagonali, per esempio dai punti 9-16 sino al distance point e si tracciano le linee orizzontali dai punti dove le diagonali incontrano una verticale. DISTANCE

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10 per beni durevoli, non durevoli, di servizi, di energia elettrica, di benzina, per sco-

pi di turismo, e cosl via)" e pin complicate (il consumo non dipende solo dal reddito corrente, rna anche da altre variabili, come la ricchezza e i tassi di interesse, nonche da variabili riferite a periodi passati - si tratta quindi di una relazione dinamica - e la forma funzionale espesso non lineare).

Una suite di modelli II grado di complicazione del frammento di modello econometrico trimestrale (poco pin di un trentesimo del modello intero) presentato nella Figura 1 potra sembrare gia molto elevato. In realta, illivello di dettaglio del modello econometrico a volte insufficiente: per questa motivo, esso viene talvolta impiegato in congiunzione con altri modelli-satellite, capaci di cogliere aspetti particolari dell'economia 0 di tenere conto di informazioni molto specifiche. In altre parole, esiste in Banca d'Italia un ventaglio di modelli, spesso (rna non necessariamente) utilizzati a corredo del modello econometrico trimestrale. Sono disponibili: un modello dettagliato dell'inflazione; uno delle voci del bilancio pubblico; uno (commerciale) per l'economia internazionale; diverse versioni di un modello costruito seguendo la strategia di modellazione "moderna": un modello di micro-simulazione, che descrive il comportamento di consumo e di risparmio di un numero elevato di singoli agenti economici, identificati da caratteristiche economiche (per esempio: reddito, ricchezza) e socio-

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6

Qualegradodi dettaglio nelladescrizione deifenomeni pUD ritenersiadeguatoin un modello? Non esisteuna risposta univoca. In parte, dipendedallefinalita dell'utilizzatore e del suo committente,dalladisponibilita dei dati, dall'aggregabilita di relazioniin principiodiverse. Inoltre, la capacita di interpretare e trasmettere ad altri i risultatigeneratida un modelloespesso meno agevole quando sonopiu numerosee complicate le relazioniche 10 compongono.

cultUt~a

2008

demografiche (per esempio: eta, stato civile, istruzione); e altri ancora. Un'analogia pub aiutare a capire l'utilizzo di vari modelli: nel compiere un viaggio tra due citta europee utilizzeremo inizialmente una carta cittadina; la riporremo una volta raggiunta l'autostrada, dove bastera consultare una carta, meno dettagliata, delle vie di scorrimento veloce; anche questa verra poi accantonata, aIle porte della citta d'arrivo, in favore di una seconda carta cittadina. Avremo impiegato quindi tre diversi modelli. In linea di principio avremmo potuto impiegare un solo modello: una carta dell'intera Europa caratterizzata dallo stesso grado di dettaglio delle mappe cittadine. La consultazione di una carta siffatta sarebbe pero estremamente disagevole, e la carta stessa avrebbe dimensioni tali da renderne pressoche impossibile il trasporto; il suo grado di dettaglio sarebbe il pili delle volte manifestamente inutile, finanche dannoso", I principali usidei modelli I modelli dell'economia sono usati essenzialmente per tre finalita: - per elaborare previsioni sull'evoluzione delle principali grandezze economiche nel futuro; - per valutare e confrontare le conseguenze di diverse linee di azione, al fine di selezionare quella ritenuta pili soddisfacente; - per interpretare e comprendere gli andamenti dell'economia nel passato. La prima finalita non richiede particolari spiegazioni: ne sono ovvi tanto il significato quanta l'interesse. La seconda pub riguardare la scelta tra un insieme in cui le alternative sono esplicitamente indicate, oppure il disegno dell'azione che rispetta determinati criteri (tipicamente: ottimizza un funzionale opportunamente specificato). Essa riflette nel modo pili diretto l'intenzione di usare i modelli come strumenti di ausilio alIa decisione, che e I'aspetto sottolineato in questo lavoro. La terza si esplicita, in genere, nella costruzione di scenari controfattuali: sostituendo per alcune variabili il profilo temporale osservato nel passato con un altro opportunamente definito - per esempio, un profilo costante - si ottiene una simulazione di cio che sarebbe successo se quelle variabili avessero assunto valori diversi da quelli che hanno di fatto assunto, e in questa modo se ne pub meglio apprezzare il contributo al risultato complessivo osservato nel periodo storico. Capire perche il passato si e svolto in quel modo e non in altri pub servire, oltre che a soddisfare la naturale curiosita di chi studia i fatti dell' economia, anche per valutare quali lezioni quel passato pub insegnarci riguardo al presente e al futuro. Nel seguito forniremo tre esempi concreti, uno per ciascuno di questi tre ambiti di utilizzo di un modelIo dell' economia.

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II progresso tecnicoha in realta messoa disposizioneun modellostradale dettagliatissimo, maneggevole, di facile consultazione: il GPS. In qualchemisura, un aumento delgrado di dettagliodei modellipermessodaglisviluppi in campo informatico eavvenuto, e sta avvenendo,anche in economia. Tuttavia, poiche i risultati dei modellieconomici non vanno soloprodotti ma anche spiegatiall'utilizzatorefinale (il quale ha bisogno di essere convinto della plausibilitadei meccanismisottostantii risultatiche il modelloproduce), enostracongettura chel'impiego di un solo modellodettagliatissimonon si riveleramai una via pienamente praticabile.

Modelli matematid in azione: il caso di una ba nca centrale

Un modello in azione Previsioni

Fare previsioni e spesso fonte di imbarazzo: capita, fin troppo frequentemente, di sbagliare. Con il senno di poi si potrebbero, naturalmente, selezionare esempi in cui la previsione si e dimostrata corretta. E pero pili onesto, e certamente pili interessante, presentare un episodio in cui un rilevante errore di previsione ha stimolato una modifica del modello; questa poi ha consentito, in un successivo episodio, di formulare una previsione approssimativamente corretta. E, in altri termini, un esempio di come l'uso del modello spinga a imparare dagli errori compiuti, COS1 da introdurre le modifiche che ne eviteranno il ripetersi. Nella tarda estate del 1992 e nuovamente nei primi mesi del 1995 si verifi carono in Italia due episodi di rilevante svalutazione del cambio: due vere e proprie crisi valutarie. Nel1992, a partire dal mese di agosto la lira si deprezzo, perdendo in pochi mesi oltre il 30 per cento del proprio valore (misurato rispetto a una media delle altre valute; parte alta della Fig. 2).

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maremanca e culture 2008 II deprezzamento della lira non era un evento senza precedenti, era anzi stato quasi una costante nel secondo dopoguerra. Era pero pressoche senza precedenti l' entita della svalutazione. Normalmente, la perdita di valore esterno di una valuta porta a un aumento dell'inflazione interna proporzionale, grosso modo, all'incidenza delle importazioni suI totale dei consumi moltiplicata per l' entita della svalutazione: a parita di altre circostanze, i beni importati diventano infatti piu costosi in proporzione alIa svalutazione e cio si riflette sull'indice dei prezzi al consumo. Le previsioni fatte nel1992 riflettevano questa valutazione: nel corso del 1991 e fino alIa meta del 1992, in una situazione di sostanziale stabilita del cambio della lira, ci si attendeva per la media del 1993 un tasso di inflazione al consumo di poco superiore al 4 per cento; dopo la svalutazione Ie previsioni vennero riviste al rialzo in misura sensibile; approssimativamente: 300/0 di svalutazione x 20% di quota delle importazioni suI consumo = 6% di maggiore inflazione La previsione per il1993 passo quindi, tra la primavera e l' autunno del 1992, da poco piu del 4 al l Oper cento (parte bassa della Fig. 2). Ci si rese rapidamente conto che l'inflazione italiana non stava reagendo al deprezzamento della lira in modo coerente con quanta codificato nelle equazioni del modello, e le proiezioni vennero successivamente riviste al ribasso. Alla fine, nel 19931'inflazione al consumo fu solo del 4,7 per cento, di poco superiore a quanta si prevedeva prima della svalutazione, intorno alIa meta del 1992: la reazione del modello e dei suoi utilizzatori alIa svalutazione della lira si era rivelata esagerata. L'insuccesso stimolo un esame approfondito del modello. Nella versione allora in uso le imprese estere che vendevano suI mercato italiano decidevano il prezzo nella propria valuta e 10 trasformavano nel prezzo di vendita in Italia, semplicemente moltiplicandolo per il tasso di cambio, trasferendo cost sul prezzo in lire ogni oscillazione del cambio", L' evidenza disponibile fino agli inizi degli anni novanta - fino a quando Ie oscillazioni del cambio della lira erano state relativamente contenute - non era tale da sollevare dubbi circa l'ipotesi di traslazione immediata e completa di quelle oscillazioni sui prezzi praticati dagli operatori esteri in Italia; sul piano statistico, l'ipotesi non poteva essere rifiutata. Con il passaggio del cambio lira/marco da 700 a 1.000 nel giro di poche settimane, tuttavia, una traslazione siffatta avrebbe presumibilmente annullato, nell'immediato, le vendite dei produttori tedeschi di automobili in Italia: l'ipotesi che la traslazione potesse essere incompleta, almena nel breve periodo - fino a quel momenta trascurata - si impose all'attenzione. L'esame dei dati effettivamente ne confermo la validita: nel caso di un deprezzamento della lira le imprese estere tendevano per un certo periodo ad accettare una compressione dei propri profitti, praticando prezzi in lire che non riflettevano pienamente la svalutazione, al fine di contenere l' erosione delle proprie quote di mercato. Secondo Ie analisi allora condotte, il comportamento delle imprese estere era inoltre asimmetrico: apprezzamenti della lira venivano traslati 8

Perfare un esempio, il modello prevedeva chei produttoridi automobiliin Germania, deciso un prezzodi 10.000marchiper un dato modello, avrebbero venduto quel modelloper 7.000.000di lirein Italia con un cambiodi 700 lireper marco,e a 10.000.000con un cambiopari a 1.000.

Modelli matemat ici in azio ne: il caso di una banca centrale

sui prezzi piu rapidamente dei deprezzamenti. Infine, il comportamento delle imprese estere tendeva a influenzare, nella stessa direzione, quello delle imprese italiane, che dovevano reagire aIle strategie altrui per limitare a propria volta le perdite di quote di mercato. Un punto e interessante: questa ipotesi di traslazione temporaneamente incompleta (e asimmetrica) era in grado di descrivere l'evidenza meglio di quella precedente (traslazione completa e immediata) anche limitando l'analisi al periodo antecedente la svalutazione del 1992; semplicemente, prima di quella svalutazione non se ne era sentita la necessita e a nessuno era venuto in mente di formularla e sottoporla a verifica statistica. Le equazioni che descrivevano i comportamenti delle imprese vennero modificati sulla base dei risultati descritti. Quando, circa due anni dopo, si ripresento un caso analogo, il modello era attrezzato per farvi fronte e non sbaglio. Ira la meta del 1994 e i primi mesi del 1995,la lira si deprezzo nuovamente, ancor piu che nel1992-1993 (di quasi il35 per cento) . Le previsioni di inflazione vennero riviste alrialzo, dal3 per cento a circa i16. Ma, a differenza dell'episodio precedente, non vi fu alcun eccesso di reazione alla svalutazione: la revisione delle previsioni fu graduale e adeguata aIle circostanze (Fig. 3)9.

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se stesso. A questo punto non si pub fare a meno di citare Cajori, che, mettendo a confronto le notazioni dei due autori inglesi, afferma: "Perhaps nowhere is there another such a fine example of symbols ill chosen and symbols well chosen" . Per fortuna, dopo ill726 i simboli di Harriot presero definitivamente il sopravvento. Neppure 1'=di Recorde incontro subito una grande diffusione, anzi ci vollero ben 61 anni dalla sua prima comparsa per ritrovarlo in un lavoro a stampa, anche se si hanno prove certe di un suo uso, seppure episodico, in alcuni manoscritti. Un motivo di questa lenta affermazione fu probabilmente l'uso che altri autori avevano fatto del simbolo di = con significati differenti: per esempio,"meno' per Vieta e "piu o rneno' per Cartesio.A questo proposito, si possono elencare numerosi rivali del simbolo di Recorde, rna tra questi merita segnalare uno strano segno (Fig.S) che ebbe la fortuna di essere introdotto da Cartesio, nel "La Geometric" (1637).

Fig.5.n simbolo di ugualeper Cartesio L'indiscussa autorita dell'autore francese fece SI che tale simbolo riscuotesse un immediato successo e si diffondesse assai rapidamente anche tra coloro che avevano in precedenza adottato la notazione di Recorde, rna fu una moda passeggera e, dopo il 1693,la sua fortuna decline; la logica e la semplicita della notazione di Recorde aveva ripreso definitivamente il sopravvento. Pur se non ebbe alcun seguito, e anche opportuno citare la proposta avanzata da Pierre Herigone per denotare l'uguaglianza: nei suoi scritti l'espressione diventava

a2+ab=b2 a2+ab 212 b2.

Tale notazione potrebbe sembrare un'invenzione alquanto bizzarra, se non fosse che, nella stessa opera, "maggiore di" veniva indicato con "312"e "minore di" con "213". Notazione sicuramente infelice, rna non priva di logica dal punto di vista mnemonico: da rilevare soprattutto 10 sforzo di accomunare in un'unica tipologia i tre simboli che indicano "maggiore, minore e uguale". La storia del simbolo di radice e, sorprendentemente, una storia molto antica . Se torniamo per un attimo ai segni di addizione e sottrazione, einteressante ricordare che nella traduzione geroglifica del papiro ieratico di Ahmes (XII dinastia; me glio noto come papiro Rhind) tali operazioni sono rappresentate da un paio di gambe che eseguono un passo rispettivamente verso destra e verso sinistra, qua-

dena matemanca:

si a denotare che le operazioni di somma e di differenza sono una l'inversa dell'altra;

10 stesso simbolo comparira, in un papiro di poco successivo, con significato ana-

logo, rna an cora pili intrigante: le due gambe che procedono a ritroso denoteranno ancora una volta una funzione inversa, rna, questa volta, la radice, intesa come inversa dell'elevamento al quadrato. A parte questa fatto che, per quanta interessante, rappresenta solo una curiosita, i simboli adottati per la radice rientrano, secondo Cajori, in 4 categorie, di cui le prime tre hanno come prototipi rispettivamente la lettera l iniziale di latus, la lettera R iniziale di radix e I' archetipo del simbolo odierno ~ . Queste tre famiglie di simboli convivranno, in varie forme, per parecchi secoli: la R fino al 1690 (e nel 1683 era ancora adottata da Rolle), la L almeno fino al1624 (Briggs); per quanta riguarda ~ , esso venne introdotto nel1525 dal matematico tedesco Christoff Rudolff nella forma senza barretta orizzontale e, dopo essersi diffuso abbastanza rapidamente, prima in Germania e successivamente in Inghilterra, subi diverse vicissitudini prima di stabilizzarsi nella sua forma attuale nella seconda meta del XIX secolo; in particolare l'introduzione della barretta superiore (") risale, ancora una volta, alIa Geometric di Cartesio (1637). Manca ancora all' appello la quarta famiglia di simboli: quelli legati alIa notazione esponenziale. Introdotta pressoche contemporaneamente da James Hume (1636) e da Cartesio (1637), nel caso di esponenti interi positivi (rna Cartesio preferiva scrivere a-a piuttosto di a2, riservando la notazione esponenziale aIle potenze pili elevate), venne estesa prima da Newton (1676) al caso di esponenti razionali (e limitatamente al caso 1/2, per denotare la radice quadrata) e solo da Eulero, oltre un secolo dopo la loro comparsa (1740), al caso generale. Tale notazione merita un discorso a parte perche pur avendo sofferto, come abbiamo visto, di una gestazione piuttosto Iunga, rappresenta, come osservato in [12], uno dei migliori esempi di come una buona notazione sia uno strumento potente per il progresso del pensiero matematico: scrivere

an invece di a-a-... -a ripetuto n volte, permette di definire immediatamente, grazie aIle proprieta dell'esponenziale di somma e prodotto, le potenze con esponente intero negativo 0 razionale del tipo lIn; ora il passaggio a ogni esponente razionale 0, per densita, reale, appare del tutto naturale e, una volta che si possiede I' equazione aX=b, con una semplice inversione si ottengono i logaritmi; rna a questa punto sorge spontanea l'idea di sostituire al numero a, una matrice oppure un operatore (per esempio, di derivazione): il calcolo funzionale, che ha svolto un ruolo rilevante nell'analisi degli ultimi cinquant'anni, parte proprio da tali premesse. Se torniamo al moderno simbolo di radice e ci chiediamo quali siano le motivazioni della sua forma, appare assai difficile non essere d'accordo con Eulero, che 10 vedeva come una deformazione della lettera r minuscola (tale interpretazione esuffragata dalle diverse forme che tale lettera presenta nei manoscritti dell'epoca, v. Fig.6.); e invece difficile accettare l'ipotesi di Cajori che la fa risalire a una notazione tedesca cinquecentesca, costituita da un punto arricchito da una "coda" verso l'alto,

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( Fig. 6. Variazioni sul tema della "r" in manoscritti del '600

Tutti gli esempi introdotti fino a ora rivelano una caratteristica comune: i simboli hanno bisogno di un periodo piuttosto lungo, prima di stabilizzarsi nella 10ro forma definitiva ed essere accettati dalla comunita matematica. Un'eccezione a tale regola e rappresentata dal simbolo di 00. Viene introdotto da John Wallisnel1655, senza fornire alcuna spiegazione sulla sua scelta, quasi si trattasse di una simbologia gia affermata Cum enim primis terminus in serie Primanorum sit 0, primus terminus in serie reciproca erit 00 vel infinitus

e a esso arride un successo quasi immediato. Si sono fatte varie ipotesi sulla sua origine, tenendo soprattutto conto della cultura umanistica dello Wallis; Ie piu plausibili sono l'antico segno etrusco CD,che significa mille, 0 una deformazione dell'ultima lettera dell'alfabeto greco, co. Bisogna pero ricordare che la lemniscata ha rappresentato l'infinito gia nell'antico Egitto e nella Grecia classica, sotto forma di serpe 0 di dragone, che tiene la propria coda tra Ie fauci (oupojcpoc), simbolo di continua distruzione e rigenerazione. Non stupisce quindi che un am ante dell'antichita classica, qual era 10 Wallis, ritenesse naturale indicare con tale simbo10 l'infinito. Siamo cosi giunti a quello che viene giustamente considerato il periodo d'oro della matematica, in cui si posero Ie basi dell'analisi infinitesimale e della geometria analitica. La figura di Eulero, che fu con Leibniz il pin grande innovatore nel campo delle notazioni matematiche (si devono a lui, tra gli altri, la moderna notazione funzionale, i simboli dell'unita immaginaria e di sommatoria), chiude tale epoca, che si era aperta nel1637 con l'uscita di La Geometric di Cartesio, primo ad aver utilizzato Ie ultime lettere dell'alfabeto per denotare quantita incognite (forse l'uso della lettera x come simbolo principe delle incognite nasce dal suggerimento di un tipografo di usare tra Ie ultime tre lettere dell'alfabeto quella meno comune nella lingua francese) . Ma i due personaggi che, per quanta riguarda i segni della matematica, maggiormente caratterizzano, seppure per ragioni contrapposte, tale periodo sono Leibniz e Newton . Entrambi sono considerati i padri del calcolo infinitesimale, rna il contributo che questi due autori hanno portato alIa simbologia moderna edecisamente differente . Newton usava per Ie flussioni (che noi oggi chiameremmo derivate) i simboli x oX X, mentre per Ie quadrature (integrazioni indefinite) -* .*l. I simboli usati da Leibniz, invece, furono : per la derivata prima e Ix per l'integrazione indefinita. La scelta di Newton era infelice per almeno due motivi: prima di tutto non si conservava alcun riferimento all'operazione rappresentata; in secondo luogo,la sim-

x

dena matemanca: Ie

bologia di "integrale" appariva alquanto ambigua, potendosi facilmente confondere con notazioni del tipo x) ex". Sebbene la notazione di Newton per le derivate sia ancora oggi utilizzata dai fisici (almeno fino all'ordine 2)) a un lettore moderno e evidente la supremazia delle notazioni del tedesco: egli infatti riuscl a tradurre nei simboli le due intuizioni geometriche di derivata come quoziente di due quantita che tendono a diventare arbitrariamente piccole e di integrale come somma delle aree di un gran numero di rettangoli, di base tendente a 0 e altezza "coincidente" con il valore della funzione. La disputa tra matematici inglesi e continentali su chi)tra Newton e Leibniz, dovesse essere considerato il padre nel calcolo infinitesimale, si riflesse nel diverso suecesso che i simboli introdotti dai due autori ebbero in Inghilterra e nel resto d'Europa. D'altra parte l'uso di entrambe le simbologie per Ie derivate sopravvive ancora oggi, anche se, in generale, la notazione di Newton viene utilizzata quando la variabile e temporale e quella di Leibniz e spesso soppiantata, soprattutto nel caso di derivate ordinarie, dalla notazione di Lagrange (1797) f'(x). Nel caso dell'integrale il simbolo di Leibniz dimostro immediatamente la sua superiorita rispetto a quello di Newton) che non venne adottato neppure nellanatia Inghilterra. A titolo di curiosita, in una lettera indirizzata a Leibniz nel 1796) Johann Bernoulli) che per primo aveva adottato il termine calculus integralis (al posto del Leibniziano calculussummatorius) suggeriva l'adozione della lettera I per denotare l'integrale: e singolare come la Storia non abbia voluto far torto ad alcuno, conservando il termine di Bernoulli e il simbolo di Leibniz. Per concludere, ci fu forse un solo matematico di rilievo che rifiuto ostinatamente il simbolo di integrale di Leibniz: fu August Leopold Crelle, che, enfatizzando la natura dell'integrazione indefinita come operazione inversa (cum granu salis) della derivazione, sosteneva che, se quest'ultima veniva denotata con dx, alla prima doveva essere riservato il simbolo;}; .

Le origini dei simboli della matematica moderna: Peano e Bourbaki Nella storia della rnatematica, si possono individuare quattro periodi in cui si e assistito alla nascita di un gran numero di notazioni rnatematiche, sopravvissute fino ad oggi: i primi due) che abbiamo esaminato nel precedente capitola e che corrispondono, l'uno alla nascita della stampa e alla sua progressiva diffusione e I' altro all'introduzione del calcolo infinitesimale, sono egregiamente rappresentati nellibro di Cajori ed abbracciano un intervallo di tempo piuttosto lungo (circa un secolo e mezzo ciascuno); rna vi sono altri due momenti in cui si assiste a una vera e propria proliferazione di nuovi segni in un lasso di tempo molto breve e che sono troppo recenti per trovare una collocazione (0 almeno una collocazione adeguata) nell'opera di Cajori. Essi coincidono con due eventi cruciali nella matematica moderna: la critica dei fondamenti e l'affermarsi della scuola bourbakista. Dall'antichita greca fino alla fine del XIX secolo, la matematica si era fondata su una quasi cieca fiducia nell'intuizione geometrica. Ma a tale fiducia avevano assestato un durissimo colpo le scoperte delle geometrie non euclidee e di alcune

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curve fortemente patologiche, che l'analisi aveva creato, quale, per esempio, quella di Peano: divenne quindi indispensabile procedere a una critica radicale dei principi logici che cosituivano le fondamenta dell' edificio matematico. Nasceva la logica matematica e, con essa, vedevano la luce nuovi simboli. II matematico torinese Giuseppe Peano viene considerato, accanto a Gottlob Frege, il padre della logica matematica. Ma mentre le notazioni adottate dall'autore tedesco erano particolarmente pesanti e repulsive, a Peano deve essere ascritto il merito di essersi posto costantemente il problema di una scelta opportuna per i simboli da adottare. Egli pubblico tra il1895 e il1903 i cinque volumi del suo Formulaire de Mathematiques e gia all'inizio del primo volume introduce, seppure in forma lievemente diversa da quelli entrati ormai nell'uso comune, i simboli di "contenuto" (c), "contiene" (::)),"e" (1\),((0" (v) (in realta la paternita della moderna notazionedi inclusione dovrebbe essere attribuita a Schroder (1890)). Ma senza dubbio il suo simbolo piu noto equello del quantificatore esistenziale 3, anche se si deve riconoscere che la prima versione era decisamente infelice (a- = A per "esiste un a") e furono gli allievi a convincerlo a cercare un simbolo meno astruso. L'altro quantificatore, quello universale, V, non e un'invenzione di Peano: esso apparira oltre 30 anni dopo (1935), a opera di Gerhard Gentzen [14], che affermo esplicitamente di essersi ispirato al matematico italiano, scegliendo la A rovesciata, in quanto iniziale di All-Zeichen. In realta Peano aveva dedicato a tale quantificatore la lettera V,in contrapposizione a A per "nessuno", e gia da queste poche righe si pub osservare la propensione (che in seguito divenne una vera e propria mania) diPeano ad usare simboli ottenuti da altri per rotazione e riflessione, al fine di attribuire loro significati opposti (a tale proposito si legga la gustosissima biografia in [15]). II simbolo di appartenenza, poi, nei lavori di Peano, era una semplice E, iniziale della forma verbale greca "eortv" (e non dallatino "est", come alcuni sostengono), mentre la sua versione stilizzata E sembra sia dovuta a Bertrand Russel, che voleva evitare possibili confusioni causate dall'uso ormai radicato di denotare con tale lettera greca una quantita (arbitrariamente) piccola. Superata la crisi di inizio XX secolo e la prima guerra mondiale, si assistette a una vera e propria esplosione della produzione matematica, che non era pin limitata ai soliti 40 5 paesi europei. Ovviamente a tale esplosione corrispose una dispersione dei risultati che rese loscambio di informazioni estremamente piu difficile di quanto non 10fosse stato nel passato (e di quanto non 10sia ora); la sfida di rendere disponibile in un'unica opera tutto il sapere matematico, che era stato sviluppato negli ultimi decenni, fu raccolta dal francese Nicolas Bourbaki, autore degli oltre 40 volumi degli Elementsde mathematique (al singolare, perchela matematica euna sola) che, come tutti i matematici sanno e nonostante lui stesso abbia pili volte orgogliosamente affermato la propria esistenza individuale, non e mai esistito come persona fisica, rna e semplicemente 10pseudonimo collettivo che,alla fine degli anni '30,un gruppo di giovani matematici dell'Ecole Normale Superieure assunse, proprio con 10scopo di raccogliere e rielaborare in modo sistematico la gran mole di matematica che si era sviluppata a partire dall'inizio del XX secolo: a loro si devono molte delle notazioni piu familiari nel mondo della matematica. Fin dal primo volume degli Elements compaiono simboli ormai di uso comune, quali Ie frecce per denotare le implicazioni (==>,