M. BRAMANTI C. D. PAGANI S. SALSA
MATEMATICA CALCOLO INFINITESIMALE E ALGEBRA LINEARE seconda edizione
ZANICHELLI
IN...
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M. BRAMANTI C. D. PAGANI S. SALSA
MATEMATICA CALCOLO INFINITESIMALE E ALGEBRA LINEARE seconda edizione
ZANICHELLI
INDICE
PREF'Ml'.:lON~;
CAPITOLO 1.
numeri
l
l. Ins iemi
2 . Som ma torie,
l progr~ i' me
g comf"trica, formula d i Ncwton
3. I n u meri raz ionali. Cam pi onlinati
4
•
4. I n .uneri reali
lO
5. !-.l assimo C minimo . Bstremo superiore ed est·remo inferiore 6 . Potenze e n u licali. E..'iponenzia li e logar itm i
13 15
7. Insiemi infi niti
18
.s.
20
L'umer i complessi
O. Fuu:l:Zi vettoriali
57
4 . l\'la trici c trasformazioni lint'.JU'i 5. S istemi lineari
7l 94
CAPITOLO 2. Elementi di geometria e algebra lineare
6. A utovett o ri ed a utovalori. Dill.gon o,1i7.za.:ionc
CAPITOLO 3 . Successioni e serie l . S uccessioni
2. Serie numeriche CAPITOLO 4. Funzio ni di una variabile, limiti e continuità l. F\ul1.io ui nUUlt' riçbe. GeneTfllit.i1.
109 123
123 1.38 15 1 1[, 1
vi
Indv:I'
~--"
2 _ Liln it i. continu ità, ;L~i ll lot i
3 . Funziun i clprn entad
155 15Q
4 . Fun z io n i com p ostf' e inver"e
17G
5 . F u n zion i co n ti n ue
I S ,'l
o.
189
li c a lcolo d e i limiti
CAPITOLO 5 . Calcolo difTerem-:iale per funzioni di una v ariabile
203
1. Int.rod U7.io nc a l c alcolo di ffere n zia.le
2lJ::S
2_ Derivata d i u n a funzi o n e
206
3. RCfZplc di calcolo d e Ee d e rivale
2 17
4. Il t eor ema d e l va lo r medio e If-'
~ll e
GonS sig nifi ca "implica".
(0. 8>2 -=F L: e 1= 1
;= 1
i n q uant o i due s im b oli i ndicano hl I:H JUlma, risp ettivl:ìrnen tc . d ci primi n o p pure d e i prim i rn quad rat i: se n i- m il risu lt at-O sarà d i\'Cfso. L e seguenti propr it' tà for mali delle sommatorie sono fa.cihncnt.c comp rensihili se ::ii pens a a {:ib che esse affer mano i n t ennini d i SOllllnc scritte per esteso . Propos izione 2.2 -
( P roprielà fo r mali delle sornrnatorie )
1. P rodotto per una (;()d ante :
2 . Sornmatoria con t ermine cost(lnf t~:
L
c=-
(: . 1'1 -
c · (uu mero di add f'.ndi della SOllllliaj_o ria )
k ... l
,'I. Somma di
S01funatOr7f! :
L" a, I::" b,. - L" ("",. + bI.) k ,... L
k= 1
1l cost rui to, o ltre a Jle proprietà Rh R"l ' R3 g ià pos!'>edule d a l c a mpo d l:li razion ali, presenta u na nuova p ro p rietà che è d i im!lort a n z a rondamentale per tutto il successivo sviluppo d e ll ' Analisi. Per illus t rar e questa prop riet à. dobbiamo introdurre un nuovo concet l o. Con s ideriamo u n insie m e n umerico E . T a.le insi~ H1 e si dice limitato se esisto n o d ue numeri, tn ~ .\1 , tali ch e o gni el~ment n x E b' ;!od d isfa. le disugu aglianzp. m~x :$ ;'vf
Si d ir à limitato 811periormente St' , per ogn i e lfl lnCn t o x E E, ris.ulta. x ~ lvl e limitato inferiorment e se rL..u lta x '2': m. Introduc iamo o ra. il COnCE!tlO di e lemento ma.ssimo (minimo) di u n insieme. Di re mo che Ull e lerut:lnto
i)
xE
xè
mass imo peT E se:
E
ii) x:::; X
VxEE
A naloga definizionc per illlLiuilll.o L È evid e nte l~hc, affinché 11 m assimo (minimo) esist a, l'insieIllc dcve es!'if'.r~ s u peTÌorm ente (in ferio rmen te) lim itat o .
I I I I I I I I I I I I I I
14
Cap d oto l. I nurnen
@
S!J.-08-CITII4T 8
Esempi 5.1.
r Insieme E
M~
Min
I)
IN
non, esiste
O
Il)
Numeri pari relativi
flon esiste
non esiste
l
non esiste
•
. ..
m)
I {1.~,~, ... -n
IV)
{nEE'I: n-l} n +1
non esfste
-1
V)
3 {XEIR:x ?27}
non esiste
3
VI)
{XE !ll;x2::0,x ideriamo l'esempio VI; si intuisce che il sup dovrebbe essere un numero il cui quadrato è 2 ; ma in ~ un tale numero non esist e ; esiste però in ffi.: ..;2. Questa circostanza non è casuale, ma illustra precisament.e la differenza tra l'insieme IQ dei numeri razionali e l 'insieme lR dei numeri reali. Enunciamo questa proprietà nella forma: • ~ . Ogni insieme E C lR non vuoto e limitato superiormente ( inferionnente) possiede estremo super iore (inferiore) . Possiamo enunciare la proprietà R4 in una forma equivalente.
@
88.03--0 n47. 8
6. Potenze e radu:all. E8pOnennali e loyantml
'"
Sia {A , B} una partizione di IR (cioè A e B sono insiemi non vuoti e disgiunti la cui unione è IR); essa si chiama sezione se: Va E A e'V b E B risulta a < b. Allora s i dimostra che:
• R~ . Per ogni se-.t.ione {A , B} di IR esiste un unico nume ro reale s (detto elemento separatore) tale che 'VaE A ,VbE B (tale elemento scparatore a ltro non è che sup A = inf B ). Nella presentazione assiom atica dei numeri reali , la proprietà R4 prende il nome di assioma dl Dedekmd (o di completezza o dt connnuità) o a nche proprietà dell 'estremo superiore. Pensando alla rappresentazione geometrica d e i nume r i sulla retta, osserviamo che l'assioma di Dedekind è l'analogo del postulato dl contmm.tà della retta in Euclide. 6.
POTENZE E RADICALI . ESPONENZIALI E LOGARITMI
In conseguenza della proprietà ~ possiamo eseguire, nel campo reale, operazioni c he sono solo occasionalmente possibili nel campo razionale, come l'estrazione di radice o l'elevamento a potenza. 6.1.
Radici n-esime aritmetiche
T e orema 6 .1 - Sia y E rn., y > O e n intero POSttivo x tale che x" = y .
~
1. Esiste un unico numero reale
Tale numero si chiama radice n-esima antmet.,:ca dl y e si indica. con uno dei simboli v'fi oppure yl/". fo.r[ostriamo , con un esempio, come si può costruire la rappresentazione d ecimale della radice n -esima. Cerchiamo l'allineamento decimale di \1'2; questo numero, non essendo razionale, sarà rappresentato da un allineame nto infinito (non periodico). Si procede così: si costruisce una classe di numeri razionali della forma 0 < ao , ao, al ao , al G2 2; avremmo ot.t enuto
2
1,4"2
1,5
Questo insieme E_ è limit.a to infer iormente (ogni elemento è> 1), perciò p ossiede estremo inferiore; si dimostra che lnf E-t- = ~upE_ . r numeri della cla...'<Sc E_ approssiman o v'2 per difetto, quelli della classe E-t- per eccesso.
6.2.
Potenze ed esponenziali
L ' estrazione di radice n--e~inHl è l'operazione inversa dell'elevamento a potenza int.era. Si può estendere l'opera:òone di elevamento a· pot.enza per ogni c::.-poneme razionale se la base è positiva (utilizzando il teorema precedente) !J(lllendo ::;e
r =
m n
a> O:
(si assume: m ed n primi fra loro, m E Z, n positivo) . Se infine l'esponente è reale b = bo , b1b.t . . . bn . .. il numero individuato dalla clas::;e di numeri
(l b
(a > O) sarà
in un modo s imile a quello del caso della radice . Se la base a è llegatiw1. l'o penJ.zion e di e1vament o a poten za. ab è definita ::;010 i n certi casi: se l'esponente b è intero, oppure razionale n / 11l purché flO"rl Ria. Il d i::; pari ed 11t pari. Infatti: s i pone a '·In> = ~ e inoltre, ~e c < U e m. dispari, s i definisce y'C = - ~/- c . Per esempio:
v ·_ 8 ( _2 )3 / 4 -_ .4/
. I.t! ne·l campo nOIt ei>!t;
l ,
rea~_
Quando s i dice "non esiste i n IR" s i intende che n o n è possibile definire t-ale operazione in modo da mantenere valide le usuali regole di calcolo. Quak.osa di più sull 'argoment.o sarà dett.o nel p aragrafo 8, parla n d o dei numcri complessi. le espressioni (lb, quando sono studiat.e con ba..-;e fL Yl'l.riabi le ed esponéllte b fisso Bi chiamano potenzG, quand o la. bus,", è fi=a e l'eti p OIllo'Ilt.e vH.r iabilc si chiarn{l' lO esponenziali _ Le lo ro proprictà princip 0
E,
(ab)~
aO
Ve:
=
'rtr.:
be"
(le .
(o" )" = ab, ::le
Es 6.3 .
c
~ a~
< d
§: ad se a ~ 1
-;- a'
O < a::;b
$ /)~
\>'c>O
Logaritmi
Consideriamo l'equazione a-"
=
a>O
y
Anzitut.to, :'le f1 = 1, e!lS8 è soddisfatta solo se y = l (e in tal ca&l ogn i n umer o rell.le x è soluzione) . S ia dunque a -I- 1. Se y ~ O essa n o n ha alcu na soluzione (cfr . Ed . 11 segueut·e teorema. ci dice che essa. hu una sola soluzione per ogni N > O. Teorema 6 .2 - Sia (l'" = y.
rl
>
0 , u #- l . Y >
Q.
Esiste 1m umco numero reale x tale che
T a le numero prende il nome di loyuritmo iu baRe a · di y e si indica. col s imbolo log.. y. L e VTopriet6 dei 10 garitIIlÌ , che si d educono d a. quelle degli etipon enz iali ,
.
!!OliO:
. stano x, y, a reali pos Itivi. a
t
1
L,
log" xy = log" x
L,
x log.. - = loga x - log.. y y
L,
log" x!x EIR., x ol() :
Vx E II1, Il E IR, xy > O i ii ) ]og.,(xy )
G)
I I I I I I
Capit%
=
10g .. x
+ log" Il
iv) log,, (xy) = log"
.' Ix l +
!xl
!oga fy ;
Usando u n a normale calcola t rice t ascabi l" ta d ell' i nclus ione lI.. ha '"'più elt! m en ti" d i N ( nel sen~ che ha. tut,ti gli elementi d i IN p i ù a lt r i), g li i n s ie m i h anno 1& stessa car dinalità. (s i d ice anche e he sono equipotenti). ln questo senso, qui ndi, vanno p e n!'8. ti corne 1.I.gualT1H~nte numerosi. In generale , s i d ice nurnembile u n insieme che h a. la stessa cardina lit à di IN. Ad esempio , 7L. è nume ra.b ile . Si p u ò d i mostr are ch e anch e sere negativo (perché sono quadrat.i) , e quest o è assurdo (perché tra a e - a uno dev'essere negativo, se a of O) . Concludiamo che ([: non è un campo ordinato.
8.2.
Coniugilto e modulo
Il numero complesso a - ib si dice il complesso coniugato di z = con z. Evidentemente si ha:
z+i Z -
=
2a
=
(l
+ ib e
si indica
2Rc(z )
2 = 2bi- = 2i lm(z)
L ' operazione d i coniugio ha le seguenti elementari proprietà rispetto alla somma e al prodotto:
,::5)
8. ,".'..1I1m
;;'~_ 0 5 _ 0 7S4"_ ;J
comf' l ~ ,~.~i
23
O sscrv ia n,o o ra che
zz '""'"' (a +ib )(a - ib)
=
0
2
-l? 2 O
S i chiama modulo di z = a + ib il numero reale no n negativo -/a 2 ; Ir , che si ind ica con ,zl. S e z = a è reale, iì suo rIlodulo si chiama valo re aS80Lu to e si indica sempre con la :, come detto nel para/-',Tafo 4. Valgono le seguenti proprietà: a)
Iz· ?
U
izl =
b)
ìzl =
ii i
c)
1Re(z)1 ::; Izi
e
O ~ z
=
! Imez) ! ::; Izj
cl )
O
Izl ::; ! Re (z) i + IIlll(z)!
(d isuguagliall7;a triangolare)
e)
(8.4)
(8 .5)
Le proprietà a )' b ), c) si verificano immediat.amentc_ Proviamo li), e) . Esse sono equivalenti alla seguente:
P onendo
21
=
a
+
ib, q =
C
-l-
id ot.tf'niamo:
Con calcoli elelnenl.ari qlle~;t.a dopp ia d isuguagli al lza. si riduce a
che è equivalente alla seguente:
Elewl.ndo a l quadrato ent.rambi i memb r i si arriva a :
ovvero a
che è vera per ogni a, b, c, d E IR. Geometricamente, Iz; rapp re~enta l a dist.a nzll del punto (o numero complesso) :: dall'origine; Z l - z ... 1 rappresenta la d i~tanza dei due punti 2:1 c 2:~ ; le disuguaglianze (8 .4) e (8 .5) t raducon o il noto t.eorema· sullt' lunghezze de i lati di un t r iangolo (vedi fig . 5).
24
Capiwlo 1. J nm7l"-n
,-:.,
,,
-kf~:::::~'G"!'7" -'--_
Utilizzando i ooucetti o ra lntrodo u .i, pOS5.iamo rappreselltarf' in forma alge bricA. .a+ il) Il rapporto d i due numen COmplf'B51 - --d bast a mo l~ i J.ll icare numcratore e rlenominat ore per r. - id ; abbiamo:
c+,
+ il>
(o. ..... tb)(c - id) c + id = lc + idl1
a
Vediamo come si può risolvere un'equazione nel campo complesso, quando q1lesta coinvolge l'incognita z = x + iy Rm;he at.traverso Rez, 1m z, "i, I:.::). Esempio 8.1.
Poniamo z =
:&
+ ìy, CO"
;1:.11 inco gn ile rr.ali, e t ra.çri vii\mo l'tXl uazionc a q uegto m odo
z , = (x
+ i1l) :I = x? -li..;.. 'li1." i lll1z= i 1l
2% = 2(x - iy) = 2x (X2 _ y'2
-I- 2i",V) ~
2 1~
(i li) -I (2x - 2iy) = O
O r a. , un numero complesso è zpTf).se e solo se la s ua. parte ro!a1e e parte immaginaria !!OIlO 1..ero. Pe rci o rue ttia ' lIo in evid'!lLLa III. parte rea le e la parte immaginaria cl..! pr in,,, me mbro 00 uguagliamo ennamh(l '" u :ro: ( X2 _II~
-+
2.1:) + i(2rrJ +II- 2y) =
O
x~ - y~ + 2x=O
{ 2xy - y=O Si è cooì t rasfo rmata l'oqun:.:io ne ; u una in!XJg ll ita comple5~ a in \I n 5i ~t"ma d i duo:: c'l u ll.2iu ni in due incagnite reali. R.iso lviamo il si~tcma. La seomda (,qu fI:Lione d à · y=o o x = :il
25
Per !J = O la prima
~,qua;r.ione
di \'ellta
che dà :L'
Per '"
.r = -2
O
=
~ la pr ima .X}uaziOl1(' d i~'enta
=
, - .11
5
+"1
=
[)
c.he. h a sohILioni
,,15
y = ± -
Quind i
It~
2
soluziolli "0"0: z = (J
l
z = ", 2
_.,15
"21-' - 2-
z =
l 2
"/ 5 - ,-2
L'equa:zion", ha 4 soluzioni .
Il metodo lli,çlo i n quest 'es em pio (passare alla parte reale e immagi naria dell 'equazio ne ) è applicabile in linea di principio a d ogni eq1lazimu: in 0 , i ndi vidua un b-eh d etermi nato punto d ci piano ; in vece un punto de l piano inJivid ua u nivocamente l a CDordi nata (J, ma l'angolo misurato in rad ianti, è determ inato solo a meno di multipli d i 271".
e,
b
" - ib
'"'
.''''. () =
arg (z)
a Figura li
D ato un numero cOIllple&io z, il suo modulo Izi coincide col raggio polare de l p Ulit o che n e è l'iun nagine s ul piano comp lCSbO. C h ialnialllo argoruf:n {.o d i z , e lo indich eremo Hm arg( z), u no qualsiw;i degli angoli (J relativi al punto z. I n Qu e sto Hlo(lo r tLrgOlnento d i Z !lon è ben de t e r m inat.o . Spesso questa inde t prminatezza
I I I I I I I I I I I I I I
2.
C ap ito lo J.
(ntl.lfI
8 . G li intervalli più comunemente usati a ques t o scopo sono [0 , 211') e (- 1i ~ 1I" 1; allora l'argomento di z viene det t o aryomento princIpale . Per esempio. il n u mero - i ha come argom ento -1rj2 oppu re 3r./ 2 o ppure qualunque a ltro ,,"alore della f or llla - 11"/2 + 2kr. con k E 7L . II suo argomento principale sarà 371/ 2 se si Motta la cOllvem:ìonc che () E :0, 27T) , - 7f j 2 con ItI. cOIlvenzione che 8 E (-';'i. ;r1. I nume ri reali p osi ti vi hanno a rgomento princ ipale O e quelli negativi 11' con t:nt r ambe le conve nzioni. P er il n umero O l'arg oment.o non viene defi nit o . Dato il n ume ro z = a + ib, dalla trigonometria ricaviamo i.mmcdiatament.e lc r elazioni t ra le coord inA tc cartesiane a, b c Qu e lle polari p, {}:
a =pcosO CO!!icchoi il
nllnl f! T U
(S.6)
b = psin 9
f:nm plP.AAO z p uò an che scri \'ersi nella. fo rma
! z~ p(C080 +isin9) 1
(8. 7)
c he è detta fOTma trigonumetrica d ci numeri comples.."ìi. Le relazioni inve rse d i (8.6) son o : I
Ip =
V (l'2
. O= - - b -- ., va'2 + b2 J
+ b'l
(8.8)
Sin
Esempio
8.2. ;'X:riviamo in rnr m a trigollometrica il n um.,r{) complesso: ,J:i + i A b bilUllO P =
v',,2 + iP ;::: V3"+1 =
2;
v'3+i =2(-': +i~) =2(C08i+\Sin%) Formule di De Molvre
La forma trigo nometrica. è comoda per esprimere p rodotti e quoz-icnt.i di n u m eri com plessi. Se abbia.mo infat t i
otteniamo Z IZ2
=
P I P".1 {
= Plf>-.1{
Se
Z'l =t=-
COSO, COS 92 - s i n 0 1 s in 92 + 'i (sin 9 1 cos 8 2 + cos 0 1 sin 0 2 )}
COS(OI
+ 0'2 ) +
-i sin(Ol
+ 0 2)}
0, abbiamo Pl f"}.
cosO, cos O,
+ i s inOI + i sin 8 2
_
(B. 9)
8 . N1l.fn ...n
complessi
27
~-I(Jlt.iplicalldo
(COS02V
+
nllIneratore e rlenOlninatore per cos O2 - i sin O'l e t enendo conto che (8in02) 2 = l abbiamo:
~ (cos 0 1 +i sin Bd( cos O;.;: - ù ;in O2 )
= P l { COS(Ol ·-B;2 ) -;.-i s in(O} - B2 )} (tUO) Pz f'2 Pert.ant.o il mudulo del prodot. t.o e del quoziente di due numeri comp lessi è . rispet t ivamente, il prodot.t.o e il q uoziente dci morlnli; l'arg-mnento è , r ispetti\na.nIente , lo. SOln ma e lo. differenLa d~li argo m enti: Z}
=
::2
IZI . z:;: 1 IZI I . !z21 !zl!z:;:1 Iz,I/I ,~1
(8 11)
La (8.9 ) si generalizza a l caso di un n umero qua biasi d i fat t.ori 21 ;:.} . . .
+ B"l ~ . . . +0,, ) + i
z." = P1P2 · · . Pn {cos{B }
s in(Ot .,. O2 +
21,22, .
. .. + O,,) }
, Z" .
(8 .12)
Se poi i fattori sono tut. t.i u guali, oU.eniamo la formula (detta di D e 1.-1oivre) :
Izn
pn( cos(nO)
=
+i
sin (nO))
l
(8 .1 3)
Le r elazioni (8.9), (8.10), (8.13) vanno sot.to il nome d i teorema di D e }'loi nc. Vediamone a lcune applicazioni. Esempi 6.1. Scrivere in fornIa algebrica ( 1 +i) 7. Det ermin ia mo modu lo e argomento di (1 + i ) e p o i applichia.mo la formu la di D e Moivre.
aIg (J+ i ) =~
Il ..... il = v'2
4
Quin di
1(1 + i)'1= (l 8.4.
(../2) T =
8v'2"
7 >l.rg (1 +i)7 = - "
"
.' )
~(' --r=' - 1--= v'2.,/2
+ 1\. , =
8v 2
= b - 8i
RJbol vcrc l'C4,,,,,,,ione z~ -
Izi =
O
Sostit uir e z = x + iy e separare parte reale e parw im n lagin aria è po:s..sib ile, ma. port a a calcoli a lgebrici un p o' pesanti. Se r isc.ri,'ifHoo l' equazione nell a. forma
z
,
=
'z l
pCl:5si amo iflv,x~ Hotare che ambo i membr i s i f:>i prilllo no faeilmeJll e se >'Ii pone z = p(cosO i si" O), ovvero se s i nsa la forma trù;orwmdrù:a . Infatti: Z3
=
(co.s30
p3
+ isin 30 )
:z i .=...
+
p
c ' ·equa.ziòne è soddisfatta ..... , " =10 se i d u e membri hanno moduli uguali e argoment.; c h e
differiscono pt'r m u ltipli di 21\, ovvero (il ]o;(.'(:olldo me mbro h a argoment o U):
{
,=
P 38 = 2iPI"
l'
con k
(O
:il
,.
Capitolo 1, ! n 'lTIu~""-_ _ _ ___ ._ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ ,0"'c"~ '~,,,,'~'"~'~'~'::"~ "
L.L pr im a cq u a z io nt: dà. Il :..o O e p = l (atten z io ne: p dC\I "!.'ls" re ;;:: O J>CTclu.\ è il mod a ]" del n lLIller o complesso: po. in:iò p = -1 n on è a.ccett abile ); la sccond ~ dà: () ""' ~. S i t rova pertnuto: 210.1< _. 2k". ~ = c.()~ 3 ->- , s"' ""3 j H..'T k = 0.1 . 2 I::::splicitamente:
z.=o
l
vr:i
2
2
z = --- +i -
z = l
l 2
::: = -- -
_,,13 2
1 - '-
Le fo rmule d i Dc 1·Io ivre perme t t o no d i d a J:"e uTl ' inte Tpn~t aziolle ge.(m u; t1"ica al pr"Odot-to d i: n-ume6 (;OmpleIfIfJ. S ia z , p e r c:omìnd a re , un numero eom plc:...."O di
modulo 1, quindi dci ti po (cos O + i_sin O). Allo r n, moltiplicare un llU l1ltl r o per = sigTli fic a ;;QJ!1man:' () a l 1>\10 a rgomento , cioè esegui re una n,f.uzione di (ulgo lo O. Se z ha modulo p anzicbé 1. o lt re ad e...~gui r c una rotazion e si esegue u n a dtlataziortt: di coefficie nte p. A d esempio: m o ltip licar e p er 1 sign ifica ct;eglluc una rotazione d i ~; molt-ip licarc p er - 1 s ig n ifica eseguire U ll!j. rotazione d i ;or; m o lt.i p licare per ( l + i) slglli fica eseguire u nA. dilatazione d i n~Hì dc ntc une. T')t az;iooe di 7r/ 4 .
8.4 .
Radici n-eslm e
Dato un Tlurnero It) se ris u lta .z n =
çom pl e~
w, dircnlo che z P, una. radi ce
n - t:~,-i-rfw
(coml,Zessa) di
W.
T eorema 8.1 - Sia W E CC, w f- 0 , e ITldici n -c.sime complesse ZQ, ZlJ . Z k = Pk { COS Ok .:.. i sìn (h..) abbimrlO
IFl.tem 2: l . Rsistono preci.9amcnt c di w ; posto tc = r (c osy;t f- isin:p) e
n
11.
p, =
r 1/ n
6, -
'{J
':j
k = O, l ,
+ 2br n
(8. 14 )
OimO$tralione . I n u n h'r i %1: sono c .... id"'nt"mcntc r------->
k(i)
=
capit ale alla fine dell'anno
di u n a lente d ipend e dalla lunghezza focale
f
l:iccondo la for mula
1 P ~ 7 (se
f è
misurat.a in metri , P è Ctipn,ssa in diott r ie ). Cioè:
pot enza della lente
Figura lO
-- f ---'
I n ciascuno degli esempi precedenti, a un numero reale (ingresso) vie ne associat.o unilJor_;amente un a l tro n u m ero reale ( u sto COn>O sono le seguenti:
_. le funziuni f ; IN ..... IR, che si dicono SUCCf..~.çìon i: te stud ieremo nel capitolo 3, para.grnfo l ; - le fuu zioni f : IR -oR (funzioni reali di variabile reale), di cui ci occuperemo a. part.ire da.I ca.pitolo 4; le funzioni f ; 1R." -+ (t'" di tiro lineare, ùette andlC tTUsJ()rmaziolli lineari: le studieremo capitolo 2; - le funzioni f : IR" -4 IR'" (non necessariamente lineari), di cui ci occuperemo a partire da.l capitolo 9.
Infine, lIello studio del calcolo differenziale e jnt.egrah~: inçontreremo anche alcuni esempi di fuuz ioni definite tra insiemi che, a loro volta, hanno per elenlp.nti altre fun zioni. Come:si vede, il concetto di funzwne (come q1lello di insieme, introdotto nel paragrafo 1) fa attualmente »1Ute dci linguaMio di base della matematica, che unifica tra loro concetti e oggetti molto diversi.
2 1.
Elementi di geometria e algebra lineare
VETTORI NEL PIANO E NELLO SPAZIO
Il con cetto d i vettore, fonùament a le sia in matematic a ch e nelle a pplicazioni (fi s ic he ccc .), può esser e introd otto a vari l ivell i di a..'ltraz ionc . I n q u est a sezione ci occuperemo d i vettori nel piano e nello spazio: i n q u esto contesto, è poosibile d are u na d e fi n i7.ione gcoln et-rica e lementare di vettore; molte grandezze fis ic h e (come velocità, acceler azio n e , forza .. . )!;i r appre!òcn tan o in quest o m odo. I n seguito (par. 3) vedrem o come la nozione di vettore si p o ssa gen e ralizzar e i n t.er mini a.':!tratti , otten e n do u n concetto p iù fless ibi le . c he r i~uH.a rnolt o u tile p er l'algeb ra, il calcolo in fin it.esimalc c Le loro ap plicazion i.
1.1.
Operazioni fondamentali sui vettori
Un vettore n e l p ia n o o nello s p azio è in d ividu n.to assegn a ndo: a) u n n umero r eale sità;
UOII
negat ivo che l-'S primc la sua lun.q lu:zulo modulo o i nten -
b) una direzione , i ndividuata da u n a retta (rett e para lle le in d iv id u a n o la stessa d irezion e ) ; c) un
ver.~o .
GeOlnetricanlente, possi a lno pensare ai vet t ori CO IlIC a segmenti oriental.i, con la precl!::ìa zionc che duc segme n ti orient.ati che p ossano attenersi l'uno d all'alt ro per traslazion e sono lo Bl.e.~so ~)ett(jre. Se nello spazio è fissat o u n s istema. d i ri fer imento cartesiano d i cui O è l'o rigine, pos.siamo a nche veder~ i vet tori come frecu uscenti d a O (fig. 1). A "
p
o --~_
A' Figura l
Vetto ,i com., fr"cc" u,""e ,ni do> O . pun ti di"e"" d e llo spazio.
0:4.., PQ
ra p p,,,s..ntano lo s t es.-.o ""tto !'ono allora
(jll f!ll i
i n d icati clalla ffec eia
,
B
"dociu. ùdla d w
• F igura 8 Iv ! = ".
l-wl
w.
A. = O
COUente
40
o
Capitolo 2_ Elementi d i gwmdria e algGI>ra lin eaa:
8;;·"H_O"~47_ ~
PflT raggiungere lo scopo oceorre sce.gliet-e t'angolo lì i n m o d o tH k ehe l i -= V - v.; p u n ti m,Ila direzione positiva d"ll'a,s."" y . I l vetture u rappre:;ellta la w;oloGit à effett iva del la moto""-",, nella d irezione AB _Ora, si ha:
v = t!sin/.li-+ l' COSOj
w=- w i,
A ffi flChé u pnntj ne ll a direzione dcll'a.'
ere più di t. re veu'ori linearm ent.e in di p t:nden t i. Ana.logamente, n el pia.no, non p iù d i d ue.
1.2.
Prodotto s calare e v e ttoriale
• P rodotto scala7Y!. D a ti due vet t o ri v e -w nel p ia.n o o n ello spazio , il 10 ro prodotto 1IC".aluN! o in tenlO, d e notato con v · w o co n (v , w ), è u..%eh'THlt o , per defin iz ione, dalla formula seguent.e :
Iv.w-
lvi'I-wI' cosa l
( 1.5)
dovc o è l'ango lo c he el';~ i fo rmano (O ~ () :s r. ). Si n o t i c he il prodotto sca la r e di 2 vet.tori è l UI n u m ero rcnle ( non un ...rett ore) . Il p ro d ot-to eost d efi nilo è commutativo:
( 1.6)
v ·w=w · Y
ed è distributivo ris p e ttn a lla som ma: u · (v
+ w)
= u ·v
+
( 1.7)
U · w
lnolt.rc, per ogni t- E !H_, s i lia
( J.8)
(t v ) · w = t (v . w )
Si not.i poi chc
y . v = Ivf c che
E'~ perpend icolare a
w
~esolosc
v ·w
01
Tut t e queste propri~tà seguono dalla d cfirl izio n e ( 1.5) (il le ttor e r ifletta s u l perch 6) .
44
Capitolo
2.
E lem e nti diq=mefria e
a,,',q"','"' ,", ,""""'o"e.'ccc'_________.'::<J"'''.',.,c.oo,' ""C"'"'"''.''
• P roiezioni. La. p r o iezione d i un vettor e v su una retta r , o rienta La., s ì chi::uua compon ente v etto-riate d i v rispetto all ' ru;::;e T ed è data dal vettore :
(v· r ) r dove r è i l v ersore lungo la [ erta.
--- -- - >
c
Fig .. ~ .. 14 Proi e zione d i v n , II.. retta r .
Infatti, v· r = lv i - ir l cosa = ivl L'osn e q u indi Iv· r : dii. la lungh ezza del vettore proiezione; il segno di v - r (> O ~ o < ~, < O se Q > ,lf) determina. il verso. Nel piano , i yersori L j sono ortogo n l1.li c quind i i . j = O. In termini di r:o mponcnti, dati due vet,to ri nel piano
si ha, usando le proprietà ( 1. 6 )- ( l. R) d el prodotto .s;; = AB, il lavoro L è dat.Q d alla formul a L-
=
F·s = jF
Is l -colia
dove , l: è l' ang o lo tra la d irezione d i F e quella de lla r"tra AB. Si noti c h e il lavoro è n u tlo se F è orto~unale a ll a retta AH.
@
65_ 08 _(\'l'~47_S
l. Fe ltori nel pialLO c nello spazio
45
• P17JdoUo vettoriale nel lo .~7)(lzi.o l7'i-dimol.Sionale. Da.ti due vettori v e -w. il loro prodotto twUorialc, denota to eO Il v 1\ w (si legge v FtttO" Vo') , è il vetl.OH' cara.t terizzat o dalle seguenti proprietà: ] ) la !ungheu.1:;I di v /\ w è u.s.."'ep;na ta dalla fonnula
[V!' wl -
v ~ · 1""1sin o:
d ove u è l'angolo format o d ai due vettori (O 2) v /\ -w è perpendicolar e al piano di v c w;
~
o-
(1. 1l )
-s:
71");
3 ) v , ,"v e v ,". ,"v , nell 'ordine, fo rmano una te,n a d estr o r sa d i ' ·"ettori.
"
Figura 15 Prodotto \lettori .. le_
TI prodotto vei.t-o r ialc c o sÌ defillito è anticommtda-ti"Vo v / , w = --w /\ v
e di-stri b'Utt'!-'o rispetto a lla s omma .
lI-
v e-w.
I I I I I I I I I I I I I I
46
C apit o lo 2 . Elem e nt; di geo metria e al.qebra lineare
~
@M-0lI_n""4T_8
. . . . .. . ..
~- Figura 16 l ',Ir" " d"r p" r" ll ::;OliO parallele se esiste un numero.\.
i-
U t ale che
I(a ' .." c' l ~ >(G, b, cl I L e due rette SOIiO ortogon ali se lo sono i loro vettori direzio nali e cioè se
I(a', b' , c' ) · (a , b, c ) -
au' + bb'
+ cc' =
O
I
Si noti che non è necf'_. (u', b' , e') Sono o rtagon ali se lo sono ì lo ro vettor i no r m ali:
(a , b,c)· (a.', b', e') = a a'
+ bb' +
cc' = O
E 5empio Si voglia calcolare l'eq uazione del piano p ass'u,te per ; t,.., p""h A = ( 1,0, - 1), B = (:.l , l ,O), C = (0 ,1 , -2). Pe r usare le. fann ula (1. 17) oc.corro, i!Ldi ~' i"lJ ar e 11" V"U.(>T;j nor ma le al piano. Poidu" i vet tori v _ AB = ( l . l , l ), "" = AC _ (- l , l , - 1) sono p ar a Ueh al pie no, il loro prod o tto ve ttoria le f'lnn \ o rtogonale a l piano !'t.c!;so. S cegliamo perc iò 2 .2 .
= - 21 + 2k
n = v 1\ w
A b b i a mo q uilldi, Sf:Calari, deUe seguenti rette: a ) La rdta TI passante per i punti (1 ,3, 2 ) e (O, 4, 1 ) b ) La retta T", !)a..~~an tk' per il puuto (1, 3 , 2) c iWCIlt.e la d i.fl'7. ione del vettore v = i - :lk. ç ) La. retts l'J illtersezione dei p ian i x -lo- 3y - 2z = l e 2x - y + z = O. d) La rel la [".j passante p " r ( 2 , l , O) e parallela. alla reUa r,_
G
Scrivere l' eQu31l ione 3 ), l'analoga formula della !:iOrn l Ua component.e per componente è la d efi n izione stessa di s omma d i due n -u p le . P ossia mo anche dire che j vet t ori n -di mensionali son o ent.i a l ge b ric i, che però condivi dono molte proprict.à d egli enti geometr ici e lementari st u dia ti nel pi.ano e Ilello ~pazio . Pertant o, ne llo s t udio di .IR n , la te rminologia e le int.u iz ioni geo metriche legate allo spazio ordinario risultano spesso utili. L e operazioll i di somma di due vettori e d i prodotto p er u n o scala.re godo no delle ste~ proprietà formali c he abbiamo evidenziat o n e l paragr afo 1, come s i verifica immediata men t e in ba..;on o le !ite_'<Se.
S i n oti che i n uno spl isce una ba.sI< ,ie tl a canonù;u _ Ana.logamente la !,!>tit. uiocollo una ba.s;li a lJ 7'c
( u - V) 2 - ( u · u )( v - v ) S O cio{,
:U · v i ::; v'(u . u)(v · v ) = lu i - iv l dlP i, la ( 3 .3 ) . L a ( 3 .2 ) seglI{' dalle rdazi' Jn ;:
lu + vl
2
= ( u + v J ' (u + v ) = u· u --'- 2( u- v ) +v - v ::S;
d a cui la ( 3 .2 ). ( L 'ultim a d isugu a gli a n za scr itt a " an 'applica z ione della (3 _3) . )
[
L a nozione d i m od ulo c om;e nt e d i d efinire la. d istanz a tra due vctt.()r i: d ( y , w ) = iv -
wl
L e pro prict à de lla d istanza cosÌ defin ita son o:
a ) d ( y , w ) -=.:: O e d ( v , w ) = O:,;c c solo se v = w ( posith-ilà e n n nullamcnto) . b ) d ( y , w ) = d ( w , v ) (simm Etria) .
c ) d(v , w ) :::; d (v , u )
+ d(u , w )
(disu gtwgli anza tr ian g ulu re ).
Tali pro prict-à se guono illlmcdia t a mente d a lle pro p r iet.à d el mod u lo .
3.3.
Spazi vettoriali con pfodotto scalare
C o mpiamo o r a u n a ltro sa lto d i astrazio n e , c c onsideriamo la p oss i b ilità d i in t-rod u rre , in c ert i f'- p azi vet.toriali di versi da lR" . u n'op craz io n e ch e g o d a d e lle st es::;c proprie t à for m a li d e l prod o tto scalare.
Definizione 3.5 - S ia F u n o s pazio "l} eu'07ia le ;11I- IR., E sup ponia m o che ~in d efi nita un'opf: 7Uzio n c che ad ogni cop pia di vetto-n ti , v E ~T a.~8odfl !L'ilO scalare u . v , in modo che s ian o sOll disfa ttf~ {e 4 prop ndà (3 .1 ). Diremo al/o m che l'o pem.:zi OTle è un p rodotto sca la re , o p rod o tto interno.. in \ l", E che V è uno spa z io yctt oria le con p r odotto !:icala re . D II#:! 'I)#:!Uo ri u, v E V s i d itnn llQ ortogonuli se l i ' V = O. Si defin i s ce nlOd u lo (o n o rnl a ) d el v€t_tore v il 1Hl1n ~ TO:
S i d cfi nisc.c la d istanza t r a d u e vetto ri al m odo
s egu ~ nt~:
d ( u , v ) = lu - v !
·'i. Spazi tlf tt., e gioca. u n f uolo Fondamentwe nello :::,t ud io degli s pazi con prodotto scala.re. In tal caso infa tti s i ottiene:
oV'ver a: il p rodotto 8calare si o t. t iene dalle componfmtì dci due vettori con la s t.essa. for mula che vale nel caso del prodotte scalare euclideo in IR" . In particolare, per
."
u = v si ha:
lu !2 = u · i l =
"
L
u~
; =1
ovvero anche il m odulo d i un vettore s ì calcola mediante le sue componenti con la st essa formula che vale nel caso eu clideo. L' I,ll ti ma propriet.à s i può anche esprimere cosÌ : se V I , V ;!,''' ' V " s ono vett-ùrì a d u e 8 , due ort ogonali (d i modulo qualsia8i) s i h a:
ch~
è una sor ta d i T eorema d i P itagora iII versione a.,
dOl!e
,U"TJt , Ur.
sono una bllSe orlonorrnale di V1 e gli sono una /mse orton&nnale d1' V 1.1. .
l llv~e di pn",ente.re la diIll05traz Ì(me del teorema. in !\.Strano, il lust ria..no 1m un e>«lmplo n umer i",> il procedime n to di OrlonQrn m.liz2 a2ion e.
/1 . Spazi v",Uoriali
@88_08_0 71' 4 7_t
:;" (che, co me fii "·eri fica, non è altro che il piano passant" per l'origine di c q " a7.ioue X-.,- y+z = O), p roponiamoci di cos t ru ire un a ba---e or t ono r male d i V , H 'iSi .... d i Ol"tonorma liZ7,are la ba."e 1,'1 , 1-'2. I p,.",,>;; sono i ;';L l, '-'2,113 sono una ba.~c o rtononllale di 1Jl3 . i c u; primi due e lement i sono una b ase ortono rma le di V . L'e~ist enz a di una nozione di o rtogo na Lità e la con os(:enz,a di u na ba se o r t.o--nonna]e gioca un ruolo impo r tant.c Ln probicmi di a,ppros8imazionc. S i cOIlsid eri il seguent.e problema geomet rico:
assegnalo, nello spazio l-1'itli:rncnsionale. un pwno Jr pa."eTL'W a p pt!na s p iegHI.o . ,>;" eO lL dudiamo ch" " r)(J ,~ .,,: !rile ide"tif;':lln~ ""(I "n-t'l cla.s.~e di hU8fornl'1Z10rà. lù' rarj ' A,(j A ", (operazione di c a rattere a lgd:>rico) . Si osservi che. corne è cv idcatc dal sip;nifica to gcorrwtri ~o dell 'operazione, il prodot.t,o A;~ A ", P"T q1Je;.. x ) = J..Ax Infine, considerazioni analoghe valgono se al C..aJUpo reale sostituiamo il campo complesso CC : una matrice d i tipo (nl,11) a elementi complessi realiz.za una trasformazioue lineare di CC" in !Dm. Il prossimo l mportl:l.nte teorema afferma, in sostanza, che tutte le tT"l2Sj01"TTWz ioni lineari da IR." a .lRtn (o da q;n a CI:: m ) sono di questo tipo; anzi, tutte le trasformazioni li neari t.ra due s pazi vettoriali qualsia..;t,ntat(' da trasfor m a z ioni line a ri t ea spazi ve ttor iali ) ,
S iano o ra L I : ffin ------t JR'" f' &2 : 1Ft'" _ m." due tra.'lfo rm
O l
4.
- 1
- '}
4
- 1
- 2
5 ( - 2 - 4 ) = - :\0 .
Un 'altra importan t e propriet.à del determin ante, la cui dimcv.'It:razionc è Jlerò meno clClllCntar e, è la segu ent e , che ci lim it.iamo ad enunciar e:
Teo rema di Binet - Se A e B sono matrici quadrate ddlo steSSO ordine. dct AB = d ct A · det B . • Rcyoia di Sarru.l-_ 2 ---:-.....
Sarru~ -::-~
trasfo rmazioni li'lellri
.T
>Ii ha.:
- , 1. ~
.::.-.:-«:~s: -
~ -i -
4
1- - - ~2 - ~.:.-..:....:t0~_
=
detM = 16 +0+ (- 12) -1 2 - 0+8 =0.
,
Prodotto vettoria/e e prodotto misto. Significato geometrico del determlm.nte
Il p rodotto vctto rialc dei dne vett ori di
m3
a,sSt'gn alo d a lla fo rmula ( 1.1:1) s i può riscrivere nel modo ::oeguente: v /\ w =
Iy,
X;lo
X2
YJ
I·
1 - ', Xl
iYl
X31' " + Y3
I
Xl
X"1
Yl
Y2
I
k
(4 .6 )
La ( 4.6) s i può o tt.enerf.! svi luppando sim b o licamente secondo la. prim a riga il determ inate indica oo sot t o :
k v I\ w =
Se
r~
= Y3
=
O, la (4 .6) si riduce
il.
VI\-w= I"' wl . (x, y,
e quindi
Iv A
=
·(le t. I
Yl
::) 1
R icorùa.ndo il significato del modulo del pro dot.t o vct.toria le (par. 1.'2 , fig . 16 ) si (:tJtllcide con L'rLT"ea del paro.ll~loIl'2 gJ'a.mma c08truit o sui vettori pillni (Xl , X2), '(Yl , y-.). Poiché l'area del p a n:l.l1elogramma è nulla se e solo se i d ue vettori che lo gen erano sono paralleli, si ha anche:
ricava
(:he
il modulo d el d e terminante
IXYIl
:1':21
e
il determinan te 2 x 2 nullo se f solo se lp. sue righe (o colonnp.) sono due veUori lXlralldi , cioè linearmente dipendenti
Se o ra u = (Zl, 22, z", ) è un terzo \'etwre, dalla. (4 .6) ricaviaIllo lo. segllenr,e for mula per i l prodotto mist o u ' v 1\ w : u ' v /\ w = zl
x,
I
Y2
x, I Y3 .
-
Z2
1x, , YI
z, x,
z, I x,
y,
y,
(1.7)
Ricordando il significato geomHr ico dci prod{ltto m i!:!t.o (par. 1.2, fig , 15 ) si ricava c h e il modulo· de~ ddf:17, ~inrmt F.. (4.7) mTJpn~ ent a il twlume del pamlldep ipedo ('..o_~tT-l1 i~o :nà 1Jd tod u , v f ; w .
88
Cap itolo 2 . Elemen ti di ycomr;tri-o- " dqe/rm [intenT'( '
@M _(»! _O,. .. 4T_ S
Poiché, lì. sua volta, il 'v olullle de l parallclcpip edo è nullo se c s o lo s e i tre vetto ri c he lo genera no sono c:onl p lanari, s i ha anc h e:
il de t en n inan te 3 x 3 è n u llo se t~ ,w lo se le complanari, cioè linearmente d ip endenti .
l~ll e
righe (o colon ne) s ono 3
t-'t;;ttori
O tteniamo q u in di, nel c aso p articolare n = 2 , 3 , un com odo cri terio di d i pelHle nza o indipend enza lineare, mediante il nllcolo del determ ina nte. La formula (4 .7) permette anch e di d im o!:itrarc facil mente ht proprie t à d i inva7'l;anza ciclica d el prodotto m is"to : u-v /\ w = w- u A v = v 'v,' !\ U
I nfat.t.i , ricorda n d o che il ~gno d el deter minan t e u u n bia. scambiando 2 righe d ella rn at rice, s i ha p er esenlpio: ti
v
w
v
ti
ti
w
V
c h e d imostra llì. pri ma uguaglianza. (analogamente si prova l'a l tra) .
4.4.
Caratteristica di una matrice
Abbia m o vist.o c h e , se le righe (colon ne) d i A sono 'v ett.ori linearmente dipendenti, a llora det. A = O (Teorerna 4.1 p a~ . 8 4 ) . I noltr e , abbial no dimostra to che .se n = 2 o 3 , vale anch e il yicxversa (pe r il signi fi cato geomet.r ico d e l dehor m i nant e ): i l det.ermin8.nte s i annu lla se e s o lo se le righe della rnat.r ice sono linearmente di pend enti. Questo risulta1.o è va lido i n realtà per n qualsiasi, e p uò essere anzi u l t eriormente gen e r alizzato allo s t.udio d i un qualsiasi numero r di ·...eUo ri d i ID" (con r ~ n ): Teorema 4.2 - Siano al. a 2, . , a r T vetlo1'"i. riga di IR" (T < 71) ,. e 8ia A la matrice (r . n ) d te ha per r"igl,e que8ti t'ettmi. A llmu i '/}ettmi a1 , a 2, .. . , a ,. 1j()Tl (J linf'Arm cn te dipendent i se e solo s e ogni matri.c-e (1'. T) estm.tta da A hu determinante. n u llo; sono in dipendenti s e e 8olo se Esi ste almeno u n a matrice (r , r ) e.'Jtrutta da A ; CQTl det e f"minante di'v ers o d a zero. Ino ltre.- n l Jd t ori di IR" son o li nf".i117nen f. e dipendenti (indipendenti) 8e e solo SI-! la matric.e (n , n) che s i ottiene accostandoli h a d P.terminant.c uguale a zero (di !Jerso da zcro j. O lnet.tia.rno la dimostrazio ne d i q u esto tcor cnla, un po" l a.b or i O~8 . Compl etiamo il q u adro della situRz·iolle riconhmdo che r vet t ori di IR" con r > TI sono sempre l inearment e d ipendenti. IotroduciaJuo a quest o punt.o il concetto d i 1'a ngo o r:fL1Tl tte ri.s t iea d i un a mat.rice . Dat.i Ulla nlatrice A d ì rn righe e n colonne ( con rn no n neccssariaInente u g n a le a n) e u n intero k ~ m i n (1n . n), s i dice minore d i o rdine 1.: est.ru tto dalla mutrir;e A , i l dete rm in ante di u rla· quaL~iasi matrice di ordine k otten uta con gli clernenii comuni (L k righe e k t:o!o nne di A .
~.
Matrici" tro...junna.zi(}ni li"':LI1,
89
Si definisce camtlerù;tÙ;Q. o IYHi.gO di A l'intero l' ? O t(ll~: che: esiste un mmorc est1"O.tto da A di orri·i.ne 1" non nullo e ogni miflore e.~tratt () dfl A di m'dme 7" + 1 è: nullo. D a l teorema 1 .2 segut:: subit o che
Il rango di una matrice ropl'l"eSenta il massimo numt:ro di righe lineanTlcnte indipendcntt. P er la determinl\Zione
(L~l
Q
d i r.olo,me
ra n go risulta u t.ilp. la seguente proposizion e.
Proposizione 4.3 (di Kn:lIl€l:kcr ) - Condizlone 1'l. cr:l~ ssaTW t; 8 1tffici.(;1i l ~; affi1iché una matrir..e abbia n:tngo k è che Ui'isla un m i nore di O1-dine k diverso df.J. .U~ 1r) e ~.ano nulli tutti t mmoTi dl ordine k + l otten'uti da. quello orland% con 'una lfUalun que altm riga o co lonna .
Esempio 4. 10 ..A.pplicbiamo il m etodo ind icato nella prol'OIl il:ioru:I 4.:.1 alla
,
A =
(~ ,
O
J1lu.t~ict':
3 3 (;
Considerialllo u na. mEl trke e"t ratta da A di ordill n l (.011 ,l,;tenui,,,.,,te di,·tJrSQ da l:eTO, si" A· = (1) "Orli .. "I0~ tale ma.trice, in tutti i m odi possib ili, finché si n tt.eng>:t lilla IIHI.t.rke del ordine co n determin a.nte non ntillo' A -- = ( ;
.,
~)
~:condo
d ClA-- = - 4 .
rupet e ndo il ragionamemo, "orlando'" cioè in t lltti i m(ll ii p06.Sibili la A-- ,
(~ ,O 2
Ai" = si
()ttt,~no ctl1l"
tt.... ..
2 O 4
matrici i c ui dctt::rm iuanlì sono n,,!Il. Il rang(' i, dunque :.1 in H.:c(mLo con i l
cma preç"dclltc .
P e r la determinazione dci r ango di A seguendo lo. defiuizionc avremmo dov uto calcolare quattro de t enuinant.i d el terzo ord in e. mentr e col metodo della. proposizioll@. 4.3 i determina.nti 3 x 3 da calcolaTe s i son o ridotti a due. Quanto più grandi SOIlO le dimensioni della matrice tanto più evide nti r isultano l vantaggi d el met.odo indicato nf':lIa propoobdone.
4 .5 .
Matrice inversa
S e a è un n1.lTllp.ro non nullo , esi:,"te un unico n u m e ro a ' l = l (il Tedpro("(J d i a) " t.ale chc (4 .8)
00
Cap ito lo 2 . E I"menli di y wme lria e aC"Ce~'",""~I"in"",n"n 'è________'@"'""&"""~,,,",".",::,, ~,
Se A è u n a matrice q u a dra t a (n,n), chiameremo tIlo.trice inversrl d i A la mat rice (se esis t e ) A - - 1 t a le che A_A- 1 =A-1·A=I ...
(4 .9 )
{d ove I n è la mat r ice idenc.ità ( 4 . 1)), i n perfetta analogia co n la (4 .8) . La condi zion e che garantisce l'esistenza d ella m a trice inver sa, a n a log a alla co n d izione a -F O per l'esistenza del r ec iproco di u n numero , è che sia d et A f O. 11 seguente t eor e ma p recisa q uesta affernla~i one, e in d ica un modo per calcolare A - I:
Teorema 4 .4 - C ondizione necessar ia e suffici ente affinché esista la mah'ice trlversa A- I è che A Hia non sin go la r e , cioè che d et A i= O. ( n tal caso 1m[e la Jo-rmula:
An l det A
A-,
C" .4:
21
A A ',n n )'
An
•.
(4.10)
A nn A n ' An' do ve T indica "trasposto" e gli A ii sono i complementi algebrici degli elementi aii d ella matrice A . I nfin e, d et( A - 1) = d;;tA.
,
Esempi 4 . 11. Us iamo la fo r m u la ( 4 .10) per calco lare [' inversa d ella m atrice
A= (g -~ ~) Essendo t r iangolare, det A = 1 - ( - l ) . '] = - 2
! -l
A" A"
I =
-I~ I
A"
O
~I =
-- 2.
3 ~ _ - 4. 2 : -
,
1, -;
;1=
A- l =
9.
~ -']
-#
O: q ui nd i A- l es iste. OSlSe rv iamo o ra c he:
3: A12= -I ~ 21= o,
A '3
=
16 ~ i = 2,
.·h~
= lo:1, ~I =
A .n
=
A:n =
An =-I ~) "3 ~I ~ - o.•
gr (g
( -2 O2 -1 - 4 9
"
2 - l
O
i l)
lo -11O
O
il
jo
-W2)
- 3 ' '1.
1/2
4. 12. Scri y iarno la mat r ice in vensa d e lla gener ic a ITla t ri ce d i onli ac 2:
nell' ipot.eo-;i d.rt. A = ad - be
#
O. S i ha:
(:1::
:~~~ ) (.~b =
-;.c)
~O
21~-1
-l
@
4.
88 · 0II- "T~4T-g
.Ilfatrici e trasfo::nazivn' lineari
91
e q Uilldi A- 1 =
A l italo d'e«erc izio, s i
f'>;
+n,
O
~·1
A B . BA, B ''' , A -I (&e- esist e ' ),
Siano A
Calcola re A " {cioè A , A · , . . A 7. volt.e) pe r ogni ,u t e ro Il . Lo
~t.,.t'!:c .
Scr iver e l a mau i" '!isLcma di '2 equazio ni in '2 incognitI::; 2:.:+311= l { x - 2y= 2
Dtstitu ia m Q il
~',
a,o )
a."
"o,
bo
aon
a~
. Tco ,onllA >-e,"ma In fa tt i: ricordando l'espress ione (4.1 0) della lIIatrice in\·e rsa. si h a:
come s i vede calcolando il c1e l.t!rmina nt e d i B i rispetto alla i-esilna coll)nna.
5.
Si.~t"rr11
lin eari
99
Abbi.anìo così di lliostra t.o un prim o iIT1 [lortantc risult.at o : Teorema di Cramer -
Con sideria m o il sislc1na d i n eqv.(lzzoni in n incognite Ax=b
( con A matrice (n , n) , bE IR" Q{jHfOgnat o c x E IR" incognito). Se dctA #- O, il sistema è determin ato. ossia h a una e 1l1W .wla solu zione, a.ssegnata dalla (5 .11) ( o equivalentemente dalla (5. 10 » .
etnPiO
5.6.
Consid eriamo iLs ist ema: 2X+ y+3z = 12 4y - z = - 7 { 5", +8z = 34
41 O
-1 ") 8
Poiché IA I = -1 , il sistema amlllct,t,e .'jolu7.iofl(: un ica.; dal hL (5. 11) abbiamo: x
-
-
12
1
- 7 34
4
-
1!
12 -7
io
3
2
z = -
O
-1
5
O
l
~~
:U
;5
~ 2
8!
O
,2
y =
31
-
- 1
"
Sistemi omogenei di n equazioni ;n n incognite
Int.erpret.iamo ora il Teorema d i C r a mer per i ~istcm i omog~np.Ì:
Ax =0 .
• In questo caso, se det A 0/ O, l'unica soluzione è x = O. ( Infatti, A- l. O = O). V icevers1ì., supponiamo ch~ sia det A = O. Ciò significa , per il Teorem a 4 .2, che le colOllnp di A , aj , 8.2 , . . . , a " sono vettori linearmen te di pendent i, ossia eSlstono n u meri
Xl,X2 , .·
n o n tutti nulli, tali che
, X n ,
Ilal
+ :&2 a 2 + . . . +
Dunque , detto x il vett ore (Xl,
X2 , . . . •
, ) .lX>.t (
"n
xna"
X n ), si lUi
= O.
Capitolo 2. Elcmmtt di
HHl
c alge/n-o lmeare
g('~,metria
ossia: il ::;istcmt1 Ax = O in q uesto caso a mmette a.lmeno u na l;oh lzionc x Ilo n b anale (ossia una so lu:t:io nt' x ;I; O) . Si liu ti , tra lt.ro canto, c h e se Ax = O, s i ha anche. p er ogn i ), E ili,
A (.h ) = >"Ax = O perciò in que:>to caso ItOl sol u:.don i del mcndo, Rubiamo dimostrato il:
~ i $tern6
omogeneo
~no
infin ite.
R iassu·
Teorema 5 .1 - Il sisf_f'ma vmng f:nco di n elJllfl zirm i in n incogmte
•
Ax = O
ha soLo La .soluzione banale (x = O ) se e solo .se d et: A #- O; ha almeno mlfl soluzione non banale (e in qw;.:;to MU ne ha infinite) se e solo u! d et A = O. Cosa 8u cccdc invece a l Si::itt:m a non omogeneo quando del A = O';' A questo rispondere mo completamente nel parag rafo 5.3 çul Teorema d i Roudlé-Capelli . Possiamo fin d'or a fare per ò la :>egucntc ORser vazione . Sup pollialUO che Xo sia una soluzio ne dci s istema omogeneo, o::;:; ia. AXo = 0, t::: Xl sia una soluzione del sis~rna no n omogeneo, AXI = b. Allora A.nd l€ X:o + X l è soluzioue d e l s i.c;tema non o mogeneo, infatti:
A (XI -r Xo) = AXI
+ A Xo = b + 0 = b
Se d e tA = O ::;appiam o che il sisi.e rna omogeneo h a sell lprc infin ite soluzioni. ~ tJ conclu difl.m o che: Se det A = O e il sistc.ma n on omoge.neo Ax = b ha u na soluzione, alluro. n e ha. i·, .,finlte. l n altre parole, quando d et A = 0 , per il .,;l.lJtema 'IOn omog eneo 1.'icne necessaria.mente a cadcf'f! O l'f! .~i.~ tctua Q l'lmicità della solu.zio ne; il s istema e impossibile o indetennmato . Ved remo in seguito r:Oflle si pu ò p revedere se accad e l'una l'altra cosa.
°
5.2.
Immag ine e nucleo di una trasformazione lineare da IRn a IR m
Per affron t a r e lo studio dci sii. t emi linear i d i n equazioni in ", incognite è ut ile p ri ma studia re qualche altra prop riet à d d le t ra.::;formazio [) i lineari . Se C. è lineare da IR" a IR·.. , s i dl l ama immaginc (3) di C. l'insieme dei vett o ri di IR.'" c he sono i trasformati d i qualche veCLore Iii IR n . T a.le insieme s i indica. con
Im(C) Se Y E Im(C) d eve essere y = C (x ) p er q\ti'Llehe x E ffi n . L e propriet à p rincip a li d ell'immagine sono cspr~ d al geguent c: (3) È "Il caso par t icolare della. deti n i", ione di im m agine di una fl..lW:;01ll1 q llAisjasi, data nel capitolo 1 , paragrafo 9.
5 _ Sis t emi lineu,":
@N!_I)i!._O,. ",4 ,._5
101
Teorema 5.2 1) L 'insi emE Im{L ) è un sottospaz-io Fe ttori()Ù: d i. JR"'. 2 ) F i.88ate le ù(J_C p er IIl" . Se x è un g enerico vettore d i JR" si p uò perciò M:rivere
x=cq w ,+ · Esse ndoL(w,) =O, Vj = 1,2, . .
C (x ) =
, k,~ib a: et",
_,.c ( U ~+ I )
+ .. . + o"L( u ,.. )
per cu i l 'in~i"me de i vettori V"+l ~ C( u~ +!) . v " = CC u ,. ) risulta un s istema di generatori di I rn(L) " qu in d i dimlm (L) .'S T I - k _ Facciamo vedere ehe, in realtà, i vetto ri Vk.Ll,_ , Vfi 801 10 itluip endent i , P('l' c u i d im I m ( L) = n - k e la formula (5_12) è rl irno!;t1'3ta. Se fo~!"ero linearme nte di p.,,,d enLi >oli avrebbe O = 1'1,,+ ] Vk ~ l + - - - + .3 " v "
= /h ~ l L ( u ~
I ,)
+ . .. ---'- {Jfi C ( Un) nucleo, noc.ciolo_
= L (8,,+ ) ll~ + I
+ --- + /3" u ,,)
.02
Capitolo E. E lernt!nti di qwmr:fT"ia e a lyelYm l ineare
@1
n
Il mngo di A è r = 2 . e:N;endo la te rza colonna ( o riga) ':!omma d elle due precwlen ti e
l-i D unque
di m Im(C ) = :'.
d irn Ker(L) = n - T= 1
P (,r determi nare !'immagiuc di C, calcoliamo
A
(~; ) X3
P oid.é il:! = '/12
(-i -1
+ 11' , I ",(e)
-I 3 2
O) (",) l l
X;z
X3
coincid e "'.0\ p iano di eqtlmdonc Yl+)h. - Y3 =O
De tto altrimenti: il gene rico elemento d i I m( C) è del tipo:
y,
(
"'
)
111 -,- 1/2
pertanto una base d i Im ( C ) è cos t ituita dai 2 vcHo ri
P er dete rminare il nucleo oar am~ui r~QIi
(::aleol are il fall)!;\) della seguem.p matrice:
I, a b '1\"0\ '1d un a ltro, che ora. intro du rremo, quello della ricerca di al,tovalori e autov ettori della m a t r ice. N o t iamo esplic it a.mente quanto !:;€gue: po ic h é i numeri reali so no p art icolari nume r i comp lessi, una matrice (n, n) a dem ent i real i può ...-eders i sia. com e u n a trasforma7.ione lin ea.re di n " in ~ che come tr3>!ifo rmazio ne lineare d i le" in sé; in c ntranlbi i casi ci s i può ch iedere se la matrice A è diagonalizzabile. Ora, può a.ccadere, come vedremo, che A sia. d ia gonalizzab ile su C ma non s u IR. P e r u n a m a trice a e lemen ti reali , dunque, le due nozioni di d iago nalizzabilità vanno d istinte.
6 .2 .
Autovalori ed autovettori di una matrice
Ch iediamoci ::;e esist ono ....e tto ri (non n u lli) d i JF( " ch e venp;ono t-n u,forr nA.ti da A in vetto ri p aralleli. Se v E IK" è 1Jn t.a le \re t t o re , dovr à ris~ ltare
Av
~
>.V
(6.2 )
,0""","· ~,,,,·"","'"'"'c·o "
_________ "G~,
A"toViam o rberivere l'equazione ( 6.2) nella fo r ma
( A - ..\I 71 )v = O In questa equazione i l vettore v (come lo scalare .A) è incognit o : le c omponenti del vettore soddisfano perciò un s istema lineare omogeneo n x n . Sappiamo che, p en.:hé esistano vettori v ( non nulli) che risolvono la (6 .2), dovrà ~s.-;e.re
D ( À)
~
!A - .\In l
~
O
(6.3)
P er esempio, per n = 2,
IUn -
.\
a:a
L'equfl.7.ione (6 .3) è un 'equazione a.1g~hrica in ,x , di grado H, detta equazione carot t er ù;tica. della matrice A j il p o li nornio D (.\) è detto poli-nomio cd mttcristico della matrice A . QUeb"'t.o polinornio dipend e solo dalla trasformazione lineare, e non dal riferimento in cui quest a è degc ritt.a_; i n a ltri t ermini, non varia se si sostituisce alla mat r icc A un' altra matricc ad es.."lR equivalente. Infatti si può scrive r e S- l AS _ .\1 = S- I (A - \I)S e qui ndi, usando le proprietà d el d etermin a n te:
IS- ' AS - .\I!
~
IS- ' (A - \I ) S!
~ I ~ II A -
),Il iS I
~ D ( À)
Chiamerelno atltovalore della mat rice A (o della trasfor mazione dle la matrice A rappresenta) qualsiasi numero). E C sodd i sfi l'equazi one caratteristica; chiam en rClllO autovettore (corri::lpondente all'autovalore À) ogni vettore v t=- O Cv E IK ) che r isolva l'equ azione ( 6 .2). :\:ot.iamo ljllbito che, Incutre un autovettore C<Jrrisp onde selnp re ad un unico aut ovalore ( pen;hé l 'identità Av = .\V de tennin a univocarnente À) , ad un autovalore corrispondono sempre infinit.i a.ut ovet tori, in qua.nto se Av = .xv , è a n che A ( cv ) = .\ ( cv), come già osservato, c qui n di t.utti i ve ttori cv paralleli a v sono pure autovetto ri relativ i a À . Si o sse r v i c he , se la mat rice A è reale , il polinomio caratterist ico è a coefficient.i reali p er cu i gli au t ovalori Sor lO rcali oppure a. coppie cOlnplessi coniugati. Gli a.uto vet.t o ri possono e~ere bCClti i n Illo clo che agli autoval o ri real i corrisponda.no autovettori reali e ad a utovalori compl essi coniuga.ti corrispondano a u tovettori complessi coniugati .
Capitow 2 . E lcrn""ti di [J. ) (.\ -
(l -
=
Gli autovd.t-o ri çorrispon dent i .\ = 1 t... k " is t "ma di\'t~nta
~i troVaJ10
2
r i;,oh e lldo il s istema omogeneo CA - \ 1 3 ) x
- x+y~x ~O :I;
{
='
1)(.\ - 2)
che a n TlU ll aIlO il , lctermin ant e d i A - .\.h ì "OIl O >":) =
c p,~rciò abbiruno
i
l
l - .\ O
=
[)
,~i" {
=
D, Se
1/+Z - 0 :r = (J
X -;- O
solu'",io n i d a t e d a
{
" ~ O ?J = - c
z = t:
COI! C p a rametro arbi trario_ QU {";t.~; SolU7ion i r appresellUUlo "",' vt_t ori, tutti paralle li t-nl di lo ro. Uno q uals i= i d i eb~i s i o th:rril dan d o a c u n panico lar" VaIOTf' , p er esem p io c = 1 _ Il
vettore (
~~)
è jwrc iò '1Il auto,'ettor c della luatri ce A corrispondenti; «Il 'a u tovalor" L.
S e ..\ = - l , iL s is t ema diventa
x + y+z =o {
x
+ 2y
x
+
=
cioè
O
--- !:
{, -, y
~
~
2z --'- O
Y+' x ~ y = O
{
:J; ~z= O
=
()
y _ X oC )
'>1
:li = i.x
( i~ ) ' al
vllriare d i " E .. = -i aooo d d
~-.lT-;aT': d , f: E
t'.-I!lSUHlO "'"1.>l l ori '" E
•
6 .3 .
aulo\'ettori dd l ipo
0 ........
m? trui
C1:
In part.i,:oJare. uno di """"i è (
_ ~) _ In quc..~to ca.."O
non
che A v = ).v_
Condizioni di d iago nalizzabilità
La. relaz-io ne tra il j)wblp,ma dell a di a gonalizzabil ità di u na m atrice ricerca dei suoi a u tovalori c aut ovet.t o ri è cspre!;5a d a l seguent.e:
f!
quello dell o.
T eQt"ema 6.1 - La .,.,tatri c~ A è diagonalizzabUe ~u IK s e e solo s e IK" pt)iMi.uie Ufl a di rwlovt;Uori dI A . I n tal- ca/w, detti h l, h ..h . ' , h " gli a-utQvettori di tale base, c "\1 , ),2 , . _. ,..\" gl'i o-ut_Qvalori corri.çpond enti (),. E IK, non Ilcc€:ssali.ftmente
oo.,e
distinti), rù,ulta A --= S AS d011!':
A = dia;; ( -\], ...\ ~, . .. ,..\,,) e S
=
1
(h l 1h z! .. ;h .. ).
Oiru ost~azione . S u pponi >lfll() d1 "cc,,~·.• arif1 ( ma n on sufficienteì affinGh":: una matr ice n ,aie sia d iagonalizUlb ile su n=t è e h.; i suoi autovalori siano real i. ' i....
€
Esempio 6.3.
Studiam o la di ..goIlalizzabi lità o meno della matrice : A=
(~ ~)
P".. quanto v isoo, i p ass i da seguire SO nO i segu enti: l. D et€rnli nia mo g li a u\.Qv;" lo ri risolvcll.) (2 - À )
=
O ~ À = l , >. = 2 .
2 . Determiniamo gli auoovetto ri relati vi agli autovAl ori trovati. Ciò signHk.a r;soh 'ere, per ciascun autova lore, il sistem a omogneo:
1(
(J
l ) (X)~ll
À
2 - >.
11
Per À = l:
{ y=o y ~ O
p e ..ciò gli autovdt.ori "0[10 (x, O) ; uno di essi è (l , D). P".. ..\ = 2 :
-x +y = o { 0=0 perciò gli a.u tovettori sono (x,x) ; uno di ess i è (l , l ). 3 . Osserviamo ora che i due aut(wcttQri ( L O), ( l , 1) sono indipendenti, pere:i':) SOIlO una baH> di R? Pertanto A è d iago nali z:. Siano À 1 ,À 2 ! • • . • À It ( k :5 n) gl i auto",nlo ri d i!';tinti 1. Arriviamo così a l 6E'guenLc:
Teorema 6.3 - La matrice A Il elt!fnenti iTl lK i! diagonalizzabile su lK se e !Jnlo se i RtiOi outovo[m'i sono tutti regolari. (Se.n< = IR. : "se e solo se i suoi auto1!alori sono t lJ tti reali e reqolari ") . Dimostrazione _ I nfatt i >;oe le. matr i'I.b ile. IK " ha U Tl a h;u;e d i autow:tt.ori d i A . Ora, se .\" '>' ~, .. , .\It sono gli au to ....a lori d istinti di A ("., IK = !R rf!ali percbé A è diagon a.l i""ahilc ) , ciascun 6u tosp azio forn i."òCc d] Ml~lV(!ttori indipendenti t.rtl. loro ( pe r d efin i7.ione di molte plicità !:"clrt6"ian i (ruotata r ispetto agli = i x , y, z o rig inali) r;:;;petto a i quali la matr ice d ' inc!">':;a J è d ins, mah:. In q"'".;to s;s.em a d i rifer imento , la rela.zione t ra "-"!ocità angolare w ' e m o m ento della quanti!.;} ------->
V
se esist e u n
limitata
::;e esist o no due n u m e ri rn e AI tali che
nUnleIO ~\1
P e r e seln! Jio, la SUCcc5. O risulta dejin-i tiH'-mu~t e
:a" -
il
O s i p uò t.rO\'aTe Ull inte r o d ip end e r à i II genera le da q u eòt o d t a le c he
!a" - li
-C
F issato E > O. b asterà scegliere lI! = (2 + E)/E (o uguale al p rimo in t e ro > (2 soddisfare la c o ndi z io ne rich iest a dall a de fini z ione d i limUe , 1 .4.
P er m ostrare che 2 ' / '-'
--+
1 per n
--+
oc, ~ i stud i l / log:. ( l +e) . S i sceglie
d(·"tr~
127
prend e ndo il logarit mo (in ba!;e 2)
p~!rciò ,..... -'--' . ..
Non risultallo convergen t.l mvece le p rime duc succe:;sion i d.ell'esempio 1. 1. Esse !'\Ouo p erò m o lto d ivcl"S(: tra loro e conviene intro d u rre defluizio ni c h e ne mett ano in ri::!aJt.o la d ifferenz.tl. Successioni dlvergentl, Successlonllrregolsrl
Quand o , al c r escer e d i n, una s uccessione supera. defin iti vamente qu al unq u e 1I 11~ m e ro 1\1 > O fi ssa io, dire m o che di"L'e.rge Cl +00; se in\'ecc sce nde a l di sotto d ì - ~\1, d irerno che d iverge a - x. (li s iin bolo x s i legge «infinit o".) Diremo nei due casi, r isp e t tivamente, che +00 e - oc son o i limi t i della
sU(x:es~
siO!le. Quest i si mboli , "';""00 e - 00, nOli f;QnO nUHlerÌ. Se r app regentia nlo i nu meri n~lì ~u ll u. f etta euclidea., ogni nurn ero corri:ilponde 8. I1n punto c ogn i p ant.o o.
u n numer o. Con i simboli +00 e - 00 conveniluno di ind i,lr-emo s'u pcriore e infenore; Imp E (inf E ) è un Tlu:m e ro s e E è limitato 5upenormentc (ill!P-TiorTnenf.e ), flftdnumf.i è +00 ( - x-) . • 171fimitc5imi f: Infin iti. lina succ~iolLt' a" tcndcn te a ~t'ro si dk~ infimte.'Jimll. A d escmpio , sono infinitesilll€' le SHCCf'l5Sioni {!;}, { * }, ... Il concetto di infinit csimo gioca un ruolo centrale ed è fondamentale il. uche per avere u n 'immagine intu 'i tiva corretta 00 efficace d c i concetti dci calcolo illfinitt:!$imale. Vedremo nel capi t olo 4 che il concetto di infi nitcsi mo n el uccession e fan} s i d ir à:
monutona, cre~cente St:l o" :5 Trtonotonu dccrescente se (I.• , ;:::
0 ,,+1; fl." _ l;
c;resoentc M! a" < {l" . I ';/n -itT?::ttarnen te decrescente :se G" > a.,_1 "t ti . 1 In s uccet;Sion l:! è m onotona "«,,.;c:ente, illi m itata superio r mente. S(" q _ l !f. successiollf' i l (;oHtante. Se () < q < l, la 5u ,:{:e!;E io flf! ~', m~mot o na d~er
~
q
-
se
< q
a c b.,.,
->
b a llorn
rl"
± b"
a"b" a., bo
l_
..
a"
~
a = /)
~
ab
I
a b
(b". b '" O)
a"
(IL" , a > O)
i
130
Capitoln 3_
Succ~!Iicm-i
(: .• r. ri"
Inoltr e l'o perazione di limi te mantiene l'ordi name nt.o cioè: ~I'!
a,,_u,b,, __ b allora
a" ;:::b,,
e
a?: b
In part.icolare , se u" ---t a c Un ;::: O riHIlILa Il > O. Questa affcrm8.7.ionc prende il nome di teorema della pt:''TTtanenza del segno. Si n oti che in generfl.le non si può dire d i. p i ù , ossia: B,m:he ~c gli Un sono strctta m eute p osit.i\'L il loro limi t e a è positivo o nullo, come mostra. il semplice esempio d i ~ - o. È u t il O), rLsultera lanbn l = la" I·l h,.. ; definitivamente m inor", d i .\lE . e."'5endo 1b,, 1defin it ivamente m inor e d i E.
L imiti d i succe&
O, ( l
+
~'!,)
----->
+
n = 2" ( l -
~) ~ 2" 2"
l.
lim += ~;n
1.12.
n __
=
[<x/'] ,,0 =
l
d ove si è """") l O i l confront o d i inlì n iti:
Quando &vremo stud ia to un ceno numero di limiti notclJoli p otremo risolvere In ediant-e stime asi n t otic h e sit ua.z.io ll i piìl comp lesse d i q uest e .
1.6.
Dimos trazione delle proprietà dei limiti
i n q u est.o paragrafo di m ostriam o i principali t eoremi sui li m i \.i d le abbiamo enu nciat o Jlel p aragr a fo 1. 3 . L e d i m ost.razioni s i basano sulla definiz ione d i li m ite, s u ll' uso d i di81lgurJ.glianze, € sull ' uso di proprietà definitùmmente v ere.
Teorema del confronto c,.-, _ l=;.-b,, -------->l Dimost..-azione. Fissiamo
d a cui
é
> 0_ Allo ra ddì"iti,,-ameme si ha. I - c < U n < I + t: ; l - é < 'On < l +
f:
~egllc
e q uindi , defini tivame n k , l - f: O.
per la d isugu a.glian za t r iango lare (cap . l, (4 .3 ))
la,., (b.-.
t:
d efini li ~-" m en t .. :
poiché
segu e la t. es;.
Teorema sull'aritmetizzazione parziale di P nwimno ad e.~emp i o che: Q)1.
!an l < :al +
D
00
80 , b" --. b E
> O. P " idl{' Il- n ---. DO. defi ni t ivament e s i ha
b, d efin i ti v" n w n t e
l' l l /n
( per di mostrare l' u lt in m d is uguag lian7.a , u t. il iz.zare , per il n u ml'rat or e . la cl isug uagliiluza (i + x )" 2: 1 + n x, ,·alida p e r n in tero e .7 E' lIt, x > -1 ) _
138
Capil o lo S . Su.o.:ession l e s",ri"
fI>
D im ost rare che la ~ u "c";;s i,,nt, cons iderata n ell'esercizio !l Ì' li mitata_ da Il,, > a" l, e ssen do Il, = 2 , >'Iegue n " ::::: 2 \j n 2: L C o nsid erando po i Il,. = ( 1 --:- *) n+l si mostra., cnn c a lco li s imili a quel li suggeril.i nel prece dente n;crci z io, d ", Il,,, , u ltan < -1, "v' n ;::: l . S1.l9g eri~n"71w :
m
Calcolare i li m iti, per n
--+
+=., delle
successioni seguent.i :
/ a 2 +n- n
( 1+ -
lng (n+ l ) - lol/; n
2. 2.1.
,--_. , + 1 - ,.-,. )n
(\/n 4
1 ) .. ,
,,'
SERIE NUMERICHE Definizione e primi esempi
L 'o perazione d i limite ora. int rodot ta consente d i fa.re mol te alt re opcra:lJoni c he sono fondamentali per l' Analisi. Per esempio , consente d i est.endere l'€Iement.are operazione a lgebrica d i somma è la .~Qm ma della serie, c scriveremo:
In questo caso dunque vale la relazione:
•
(2.4 )
li m ' (lle = lim .i 11 _ += ' L"_"'00 n
,_o
L'ultima formula scritta è interessante perch~ spiega in che m o do il concetto di serie traduca con precisione l'idca d i "somma d i i nnlli t i a.ddendi" : si cA.kola il Umile, per n __ 00 , della. .'Iomma finita dei primi n ad dendi . L'espressio ne "st ud iure il carattere d ell a ~rj('" significa stahilire se la ser ie è
('.onvergente o diverge1lte , o irregolare. Talvolta, invece d i sommare a panire da 0, si parte da un indice l'l > O; scri· veremo allora E~_ .. ' o" . Per indicare una serie us~rcmo talvolta anche il simbolo ain t etico L a". In questo caso sarà chiaro dal contesto a partire !..la quale in dice .1Iv' occona sommare . • OS.'!'t:rvazione. Parlfl,re d i una :;cric fJUm(,rico. coinvolge f..cmprc d ue d iverso succession i: la successione {a ,, } d ei termini della sed~ (a., si dice anche "termine generale della se-.rie") e 1.1\ s llccessione {s ,., } delle sue somme l/arziali . Lo !ltudente presti bene att enzione. volta per volla, a quale ddle due successioni si r iferiscono le affermazioni ftltt e. Per esempio , abbiamo vist o t:he la serie E o" si dice convergente se la i'ò llecP.S'!lionc {s .. } è convergente (non se la s uccessione {a.,} è convergent e!). Esempi q"', q E ID..
2.1. (Serie geometrica) Sia a" CA pitolo l , abbia m o 6"
Se invece q
=
l
#-
+ q + ,/ + .. , . . . q" =
1. utilizzando la formulI' (2.1 ) del l _ l
q " "f"l
,
l abbinmu s" = n TI. P renrt.""do il limite. per
lim," ~{
"-~
=
St' q
1 _ ,
~
Iq:
l , ossia lo. ser ie conver ge e ha SOlllma 1. La seri " di :\.Iengoli (, il più sem plice esempio di ""ne telescopica, che sign ifi c-a qua.nt o "'CgW,L Il tenuine ge nerale ak ha la fo rma ( bi< - bk + J ) (dove bI< io> un 'alt ra opportun a "ocr,es sione) lo' d i conseguenza, g razie allc e.ancellazioni , si ha
Se il t ermi nc b" -
0, l a ser ie i', conv\o'rgellt e e ha somma bI.
~
Suppouiiim o che la serie s ign ifica che
.9" ......
s c q uindi tl n
L
n_'
a" s ia convergente e che s s ia la sua sornrna. C i ò
= (sn -
s " .. d
--->
(8 - .9 )
O
f\' e segue e he : ~
Proposizione 2,1 - Con d izione necessar"ill affinché u na se1--ie
L
a" converga è
che il tennine gP.1leral f: a" tt;; ndll u zeTO _ Come mo!òtr ~ l'e sel ll p io della serie armonica., l a condi zione non è !:iufficient e. D' a ltro canto, se i l tenni ne general e non t end e a '!:ero , cert.arncnte la sede n o n ~
L
cns ~ non con ve r ge, perché cos ~ ---> 1. ,, =1 N ei pross imi p aragrafi s tlldieremo vari criteri di co-nVérye-nza. che forn iHTandc; mn. il ...-alore deHa somma della serie di pende da tut ti gli adde n di, a n che i primi. A d eselllp io, a b biamo visto che -
~
n= l
l
n(n+l)
~l
,
c
l
l
Il(n+ l )
n'
T u tta .... ia si p uò d imostrare (lo ved remo nel cap . 13, E sempio 3.8) che
Ciò va.le a maggior ragione q uando si a pplica il c r it('rio d e l confro nto per affe rmare la conve r genza di una se rie. L'ultimo esempio fat t o è interessftnt-€ a n c be per u n a ltro motivo. L a :,;erie
I:: :Z , con.....e rgcut.e, h a p li!r SOlllma un numero irrazion a le, nonostan te il fa tto ch e
., = 1
o gni te rm in e d ella 6uc~ione delle somme parziali sia rmi'"ioTlale. Ciò ':iign ifi ca C'he se il n ostro ambiente di lavoro fosse
a = n
-o
" per ciò la ser ie d ata. converge . ~
2.9.
Sia data
L
.-,
Calcoliamo
:.-."'u" . con CI E IR.,
(1
>
O; r i>su lt. a
'1"/" : basterà cs\c o lare (cfr. paragrafo 2 .5 )
lirn ,, ~~ =
lim log n 0/" = lirn ~IOgTL = O n_+",,· n_ +"" n
e p erc iò
lirn
,,-+""
,.00 / n = 1. Dunque, se Il
< 1 la serie converge. Se
'L
> 1 la serie
di\'er~e . Se
~
a = 1 la serie d iventa (le
Va Efi{
L
TI '"
e g ià ,,;al'piamo dw P"l" o
< - 1 quest a ,.,.,r;(, è nlnvergente,
p U, defi nitivamente yIli;:S: l D'alt ro canto l < 1 , p crciò è anch e l < l - e p e r u n c > O oppo rtu n o. P e r q u esto f: si ha du n que ch e, definit ivam e n te ~ :5 l
C
+ '2 < (1- E) +
E
2'
+ ~.
= 1
c quind i
Per confront o con la. !;el'ie )l;eornet ric a convergente :C~= l ( 1 - ~ )n, la serie di par~ t e ll zh conve rge .
146
Capitolo 3. Sw::ce.UWI'U
",ene
II:
Se ora, invece, è 1im
n_+oo
~= l
> 1
con un ragionamento simile si deduce che an >
definitivamente, per un certo
(l + ~r
e > O. Dunque a., -
+00, e la. serie diverge.
O
• Dimostrazione del criterio del rapporto (pag. 144). È simile alla precedente. Supponiamo prima che sia;
,m
\'
a,,+1 l --~
,,_+00 Un
< 1
Ragionando come nella dimostrazione precedente, si ha che: a...+l«1_~)
a.
definitivamente, per qualche e
a .. +l
~)
2
Q. Ciò implica, ragionando iterativamente, che:
an
O \In
n_O
Per queste serie vale il segucnte criterio di convergenza, detto criterio di Leibnu . ~
Sia data la serie
L (-l )na..,
con a .. > O, ':d - -f----,--- ::-,.. ,, " , ,
.!
~ .
~
- -
,
,
,
•
,
I
• I
,
-
,
,
'}34
.' ,,
, ,,, ,
",
... , .... - --.,.-- - .. - - - -- ---, --1
,.' '
,
,
..
"
, . .~./ "---"'---.::-....--1.''-, - ---\,
,, -, - ~ ~ ~ i ~ - - - , - , ~ :'" "
.
~----'l
"
,
,
,
!'
:)
Figura 4
Esempi
2.12. Applicando il
ctìl.c~io
di Le iòniz osserviamo che le
~rie
.ç-. (- l }'" L-
"
SOllO entrambe co nv",rgenti (la pr irn" è a.5bOlu tamen l.e t:o n W'rgen te, la se.::oud ... Il O). La prima serie è rapidlUllente COtlv"rgente. S o mmando infa tti i primi 6 term in i de lla serie I l l l l l 1- I...j... - - - + - - _ -:m = 0 .36 :2 r. 24 120 .
RÌ oHitone u n valore per difetto d ella som ma con un e rrore chI': non ~ upera 1 / 6 ! = 1/ 720. ~'lO$tn;remo cile t a le somma il ~. La. second". serie è lent am ente conn'rgent e; p,~r a~'ere un valore deU~ !;t)mma approssi", ,,to (per eca tiabde converg ono Il.:u olutamenlt: ,,;n .•c"'plicemente, precisando il
.r 3
1+ x2
n on li m itat a
l;mi~ata
[;," ,t"ta inf.. r ion ".,,,u,
( IL o' ~ "p"rin n "en \ ....
"" i " r"rir"''''' l '') Figura 2
1.3.
Funzioni simmetriche
I grand di a lcune funz ioni p reselltallO particolari p r oprie tà di siunnetria. Per esempio vi sono funzion i il c ui grafico è simmetrico rit;petto all ' ~:3 e delle ordinat t:. Queste flln:doni si ch iamano funz ioni pari, han n o \l n d omi n io s immetrico rispetto a x = O (ti p icruncnt c un i nt~tvallo d el tipo ( - a, a )) e sono car atte r iz---> s in x (T = 27f), x +----------+ eosx (T = 27f), x +----------+ tgx (T = 7f) sulle quali torneremo in un prossi.mo paragrafo.
@
2. L imiti, coniinuitd, a.nntot1
8&-08-07" + 00. In corrispondenza alla s u ccessione di ingressi X n , consideriamo la s uccessione delle uscite I(x n ). Se, qualunque sia la successione scelta, si ha che I(x n ) tende al limite f (finito o infinito) si dice che il limite di fCx) per x che tende a c è l! e si scrive
11~f(x) =
l!
opp ure
ICx)
-->
e
I n altri termini: Hm f(x) = l! se, per ogni successione {Xn} di punti in I d iversi da c, tale che
,- < Xn
--.
c si ha fCx .. )
-->
I., per n --. +00.
Notiamo s ubi t.o che se il limite esiste, allora è unico (perché è unico per le successioni! ) U na funzione che p er x --> Xo tende a. O si d ice infinitesima per x --. xo; analogamente una fu nzione che tende a ±oo si dice infinita.
Captwlo
156
4- Hm.ztoni
di una 1iariubile." limi ti" c071linu it à
@
8 i1--0,,"OT li4'T-1I
Quando c ed l s o no fin i ti s i può anche prCC i!HUC hl d irezio ne con la q uale ci ~i avvicina a c (da de~tra o da s i n istra r ispetto a c) e , in corris p onde nza, quella c on la q uale J (x ) s i avvic in a a l (p e r eccesso, c ioè da sopra, o per d ifetto , c io è da sotto ) . P a rleremo a llo ra di limiti de stro o s inist rv ( c scriveremo x ----;. c+, X - > c ris p e ttiva mente) , per eccessO o per dife tto (e scriveremo ! (x ) _ /.+ , J ( x ) _ f - , ris p ettivament e) .
•
lim
" __ I -I-
Figu~iI
! (x) =
,~
+00
~:~
1
L _________
,
li", I ( x) '""""'
l i, ,,
- ,:,o
r - - ~3 -
", _ 1 -
I Cx ) = +=
li m
i ( x ) "-- 1+
,, _ 3~
6
Si può d imostra re ftlCilmellte che lim [ (x ) =
x- c
t
se c solo se
h m J (x ) = f
,, _ · ~c+
=
1illl f (x ) ;,- _
ç -
Se f è definita in (a, b) , il limite p er x _ Il ( rispet t ivam eut e x _ b) è autonm ticamente u n limite d estro (ri;;pett ivument e sinis tro) . Le figure sott ostanti illustrano a lcu n e ;:situa zion i t ipiche
1
/
J { c ) =[ j '- ' -- - - - - (
l ~ i -7
l in,
f Cz ) = f(c )
.~
I l+ --'''- --
---1-_ , ___
. __
hm J (x ) =
+=
,
,, -----c '
1~
1 ~
T\r F------1im
J (o; ) = 1-
V) l im "' - ..C'..
Figur" 7
V I) lim
[ ( "' ) = 1 , .r
."
[ (xì
= - '-'C
hm J ( x ) = +oc
@
88_ 0 8-_ 0 '7547_~
2. Lim iti • •.nntinui fà, a.,ln toti
157
Il l imi te di u na fun zi o ne p uò anc h e non eRistere; p er esem p Io
liln z~ - . - "'"
;Hll x
no n
c~ i::;t e
Per vcd e rlo è !;ufficicnte t r ovare rlue buccession i {X k } e {Yk } d ivergenti a += tali che sin Xk e s in Yk t e ndano ti. duc limiti di-v ersi. S i può scegl iere X I. -= k"i7 e 1Ik = -i + '2k .. ; i n corrisponden za d i tali s uccessioni si ha sin Tk = O e s in Yk = 1 e qu in di la defini z ione d i l imit e non è soddi ~ fatHI.! Analogarne.nte: 1 !im si n x
X ~O
non esiste
Infatti : s ia Xk = 1/( 2kIr ), Yk = l / (-~- + 2hr) . Entramb e l e s uccession i tendono a O, rna s i n ~ = O, s i n....l.. = 1. Poiché lungo successioni d iverse cbe t e ll(.!ono a O l a "k !lk funzi one ha li m iti d ive rsi, illirnitc d i partcnza n o n esiste . L a sit uazione è a naloga a ll'esempio precedente , ma quest.a volt.a l a funzione h a in finitc o scillazioni in uno l'ipazio fini to (perciò n o n è possibi le mat.erialmente d isegnarne il grafico i n tutto l'intervallo ( 0, 1 ), a d esempio ; s i veda la figura 8 ) .
ù .2
o.,
FIgura (I
Le figure 7. 1 - 7 .V I evidelv.iano e o m p orlfilnent-i diver s i t ra loro .
• ~el C&;--++0>0
-- ex>
L a prima ci r costa.nza è i llustr a ta tlclla figuri'!. 7.I V •
Nel ca. O, se ex > O, e per x > 0 , se et < 0_ La (3 . 1) indica. che l'u scita. J(:1;) è proporzionale , secondo la. cu;tante d i proporzionalità k , a x"' . Negli esemp i sot-tost,a.nti us ia m o letter e p iù appro p ri ate alla ~i tn azione , per l'ingrestiO e l'uscita .
• j\1oto rettili1lco uniforme. L a nota legge cine ru(\[.ica s(t ) = v ·t
(l )Si
rimanda . ad t"!;"mpio, al
L
J
s pazio
t empo
t.slO, :;"'1. Bra!lla.nli,
l'n:C(1/r:uhu. ed. Esin tot o orizzoll1:alt!, e c he
. k 111 rJ - =- ±= e q u indi x = O è asintoto vcrtÌ O) ./ +OC
lim k x '" = + 00
m entre
lim kx" = ./
co:
~-
""
'-....
-00
tiC
n è p;:ui
tiC
n El d is pari
• M oto lungo un piano inclinato. Se una. ~ fcr et. La d'a.cr.iaio rotola !;eIl;f.1\ attrito lungo un pia no inclinat o d al pun to B a l p u nto .11 come in fi g ura. !:iotto lo. sola azione d e lla gra.viLà, giunge " I punto A con \'elo cità data dalla formul a
= V2gh
1.'
(g = acceler azione di gravità ) .
Si tratta d i lilla legge del t ipo
If(x ) ~ kv'X ! (a
=
~ nello. (3 . 1», i cui grafici a l variare
d i k sono Ulust.ra.ti sott.o. S i vede ch e
Hm
z~+oo
k.Ji =
Figura 1]
+oc .
k,
< k
< k~
Figura 14
• Trasjormazillfli adiabatiche. In una trasforma.-.ione udiahil.tica d i una mole di
u n gas ideale, p ressio ne c voh une sono legati dalla fo rmula C
1) = \I "'
(c dip dà R e T )
do ve ì = ~ p e r un gas rnonoA.Ì,()mico e ')" = S i tratt a. di una legge dd ti po
t,
p er u n gas di u t o m icu .
(O' = - ')' n ella (3. 1» A I varia re d i k. i g rafi ci sono qualitativam cllte ~ mi li a lle ip crb o li della figu rl\ 14 (lim itand osi al primo q uadrante se 'l' è irrazionale o se è una fraz ione rido t ta ai minim i term ini con deno miu a t o re pari).
Ritornundo a ll'espressione generale f(x ) = k xco
Ca c:
IR, x
~
O) , si può dire che
lc potenzc:
a ) pe.r a g il i Q . sono funzioni (;onllnu f. in l u tto jl lom d om inio; in parlicolare, pe r ogni Xo nei dominio : lim x'" = x "'- 7."
o
$. Am.noni elemento"
b ) Se o: > O. sono !;t·rettamen tc cre;çenti
~
lim
X Ci
~,-+ ~ .
quelli nel primo quad r ante oelln fig u ra 12 se O < n< l.
(.lo:
=
+=;
lU3
il grafico è !>im ile a
> J , a quelli nella fi gur a 14 se
c ) Se o: < 0 , sono strcttamf:nte decrescenti con g r afico sim ile a quelli d e lla figu ra. 14, p rimo quad rante. In part ico lare,
liln x" = O e
>l: - ' -00
lim:co. = +oc:: :>o-o·
Ricordiamo ch e l'ope razio ne di elevamento ti p OI.enza è bl"..J1 d efinita per qualunque se la batlc è p O::; itiva, ma può eS8ere defi n it A. anch e con base negat.iva se l'C'Sponente è un intero oppure u n razionale (fra.;-:ionc) con den o m inato re di s p a ri . Ciò sign ifica rhe le funzioni poten z a. p n8so no, in altllni c a "i, essere esteRe a n che per x < O. L a fu uzione x"' / " co n n intero d L"lp ari è defin ilA. anche per x < O cd. è pA.ri se TfI è un intero pari, d ispari IòC m è un inter o dispari. llicapit o liamo i vari casi possib ili dal punto di vista dei grafici d i q u este fun 'z ioni. Cominciamo dalle potenze ad ESponente razionale:
~s poncnte
f(x) = :r:,,/n Tn,n interi ridotti a.i minilni t ermini. L e s it uazio n j qllali t at ivaroellt~ di\'erse, nel caso in cui l'csponellt e ~ posit-iyo , WllU se I)Ono schema tir.zate dagl i esempi seguenti:
\
'~
,
Il
~
:I; - . "
Fig~a
;r - 21>
•
16
P er le funzion i potenza. (~ CS1Xm€'ftle reale (ma n on razionale) la c8.'3istica si semplifica, perché l ex) nOli è definita per x < Q . Le sit,ua:.:ioni possi b ili sono le seguenti:
• 3.5
.•• T'- .
~
" :> l
3 -
,,!
I: ~ (),,~
" "-, -, 3.2 .
!f. .l ) ..
J
ro
:t>O n > U
, !
,
!
I
'J
3
4
Gra d ino di Heaviside ; imllUlso unit a rio (di durata e )
La funzione gradino di Heamnd#'., H :
m.
H (x) = {
~
IR, è a.%egnala dalla fo rmula x ::: O
x< O
08 !:I!:I -US_O T 5 47_8
3 . .Fu.nzioni e/".mentan
165
È mono t ona no n dP(Tcsr:ent.e con una discontinui tà a salto nel punto x
= 0 , nel quale t u ttav i a è c o nti n u a dalla destra ( figur a 2 1a ). L a fUTl:t.ion e di Heavb;ide (o un s u o mult.iplo a H (x)) b en sì p res t a a modelliz_ zare bruschi carn biamenti d i rcg im e in fenomen i evo l utiv i. S i pensi , pcr e5Cm pio , fl H (x) com e a un'i n t e n siti'ì l urn i llo "a: fino fI. un determinato istant e (x = O) l' intensi tà è. n u lla e ist antancanlent c d iven ta u n it aria. L'impulso unitario d i durata E (E> O) , I~ : n-t I-------' TR , è dat o da
se
x.Ì d i funzioni d eriva d a l far.w che else sono in un c erto ::;p.nso i p rototi p i uti l i descrivere d u e corri spon denti t:',Tuppi di f~_,llomeni frequentissirni i n natu ra : i fe n OIne ni di dec.ad iIIle n to (o, al c:ontrario, di crescita) c i fcno rnenÌ p e riod ici. E sempi di feu Oineni del p rlJl10 ti p o sono : i.l rlecadinl ento
'l
Capitalo 4 _ FUnzioni rl , una ,_'",-i"bile . limiti e cu n tim.n:tà
166
radio i'lttivo, il proce;.-;o di ratIrcddtullf'n t o di IlH corpo, il diflo ndef s i d i un' i nfezione o i l moit i p l iCt3Ts i d i una colonia di b a tteri. E sempi d i fenomen i del secondo tipo sono: il moto dci p ianet.i. l a propagazione di onde ( meccaniche o elet.trolIlagnetiche) . il mot.o di u n pendolo, cen.i andUlncn'ti d i ~alattic influcnt;ali d i cara ttere stagionale , ccc. Ora, accad e che spesso le fUl1z ioni ei'poIlen:dali ser vano a d l-"Scriver e i fenomeni d el p ri mo ti p o ment.re q ud le t rigo nometriche s ia no utili a d escrive re q ue lli dci secondo tipo . Il motivo profondo di que..st o fa tt.o sarà 1IIf:'_'60 in luce nello st.udio d elle equtì:.' ioni d ifferenzia li (cap. 7 ) . Se a è un numero real e positivo e di t'er::;o da L la funz ione f: IR+
!-------->
ili.
si chiama fu n :l ione logaritmo i u base a , nlentre l a fu n :.-_ione
q: IR
0-----------+
g(x ) = a"
IH.-+
s i chiama flll12_ione csponenzialf:: i n oose a, Le funz ion i .f e .fI sono legat e dalla rela:r. io ne fondamentale
(r > D, a> o,u ;il )l y = log., x
equ ivale a
.'
(3.2 )
(33)
:l = ali
Pm-i-kolarmentc freq ue n t.e € il c a so i n cui la base a della f UIII;io n€ espon enziale o logaritmiea sia il numer o e di Nepcro, incont rato nel capi tolo :~ . Ot.tenianlO C001 le funz ion i f'-" e l n x o logx (quando la b ase è e , v iene sotto in tetia) . Confron t ando invece le funzioni pot.cnz.a (introdotte nel paragrafo 3.1 ) eon II" funzioni ff>ponenz ia li , notiaIno ch e 18 s t es..-:;a o peHl.Zione a lgebrica di elevamento a potenza nel campo real e , a h, è alla base della defi ni zio ne d i queste due class i d i fu n zioni: - se l'esponente b è fissato e la b ase è variabile a bbia Tllo le funzioni p o t enztl_:
x tiC
I----->
XO
l a base a è fissata e l'espon ente è va riabi le abbhmo le funzioni
e~poncllzi ali:
x __..., al:
3,1. Se [II I I indica la co ncEn tra,., io ne d i i" n i idrogeno (=- " " mEr o d i moli/cm" :) in uua soluzione . si definisce COn", miHlnl. de lla :;ua acidità la q u anti t à.
pH
P oiché pc r l'a",,1'''' p ur a 'H~ J equ i valente a 3ùluziOlw neut ra b as ica_
=
- IOglO[ H -J- j
10 -' , il corr ispondente p H è p a r i a - log", Hr ~
Se pII > 7 la soluzione i , acida,
:;e
,.
pH ;ge1.t.o. f (x ).- l og ;. x dom in io: (O, ~); im m agir:ie : R ' .'.'"
~D.tinua. in
contiriuid :z't ' (O;~)
I
a ione d i se no. :~J:O
lim tg3: = t·gxo,
5('
-'1:-'= 0
Xo
ClOtg( - 2:} "" -
-=''Foo' '
lim cotg::t","" ± oo
.., _ 0 010
Hm cos x =
::;in xu ,
i
rot« ;e
(r"JIÙOne d~l)
,.
-
"
co',; x c.. ="e
:.o: " " 0
IO
".
br. k E Z . li m t:ut;gx =
i,--"'
..... ~...
, I
i
!
) /
L
c
n
j
_ ___ _ _
~
/
/
/
170
3 .5 .
Capitalo
.4 . .fì,mz u mi d i una l'ariabilc, lim -iti (:
(:Qtltmr:itd
Fenomeni vibratorl
Abb inll10 v ist o che le funzion i in generale le fllllZiu u i
$€ llO
c co!;eno sono period iche di periodo 271". P iù
t
t .....---. u. si Il w t.
i------
bC".os .....t
(3 .5)
dove a , b, w sono numeri rp.a li positivi, sono p er iodiche di period o T = ~ l n fl'ltti,
"
per esem pio
~ in [~(t + ~)]
= sin (wt+2':1") =sinwl
Inoltre, essend o Isinwtl :5 l, I cas",;tl::; l si ha
Le funzioni (3.5) d esc.rjvollo vihr azioni elf!m c ntar i di a mpiezza a c b, rispettiva" , . 1 m ente, d L pu ..~azt()nc :..J = T2 ,.. c fre quenza v -_ 'f' La f UfiZ-ione !t(t ) = a ~irJ wt + bcoswt d elòcr ive la sovTapposizionc d eU~ d u e vib r azion i e le m e ntari. Quest.' u lt.i ma è "'LlcaTa u na vibr azio ne clcme.nta re $ja.iat a rispetto alle p recedenti. Infatt i, posto A = + b2 , si può scrivere
va'l
a !tU ) = A _/ " s inwt v a ~ -+- b 2
+
A
b v'a:::l +b2
coswt
(3.6)
O sserv iamo ora cbp. i nwnori u = aj ~+ ù 2 e fJ = b j v'«2 + b2 sodd isfa n o le cond izion i -1 ~.6 :5 1
Esiste qui ndi un unicc, a.n golo 'P tale che cos.p = o,
Rin lte funzioni >lono illus tra ti n('lla fig ura 26.
Ch
I
-, I Sh
L
La fu nzione Ch x COlnpare nellu soluzion e d i un semplice problema fi::;ico : "trovare la sagoma l ungo la quale ~ i dispone un h lo pesante . o mogeneo, fis.'lat o peI' le d ue estrcmit3.. In q u est.e ip o tesi il fi lo d e_'lcriverà, i n un p iano ve r tic a le , il grafico della fu n z io ne
f(x ) = Chx (a p atto di scegliere opportunament e il s is \.ema. d i r ifer imento c le uni tà di mi lòUH\ sui due ulò!:'i). Per q uesto Illativo la curva grafico di C h x è a nche det.t_a caten aria . 3.7.
Operazioni sui grafici
C onoscendo il g rafi co d i 1lI1 ~_ fu n zione y = f( x ), mediante sempl ici trasfor mazion i g eometriche è possibile disegna re il gratico d elle seguenti funzioni:
y,
-
I (x - a)
n E ][t
Y'l
-
k · f ( x)
k E IR
yJ
~
f (kx)
k E
Y-I -
1/(") 1
y~
!(ix :)
-
][t
CapitolQ 4- FUnzi oni di una va_rtulJi.le , limiti " continuità
174
@
'HH>8- 0 7r. " 7- ~
• C onsid eriamo p er esempio f (x ) = l ogx. Allora. VI = f (x - a) = log(x - a) . Es.. 0 , log(x - a) ::;arà. d efin ito per :1; - Il > O e cioè per x> Q. Poich é log;:r; = O, se x = 1 si ha log(x - a) = O p er x - a = 1 e cioè 3:: = a+ 1. I n al tri ter mini il f{f l1.fico di YI s i ottiene d a q u ello d i y con una tm.slilzione d i a unità a destra se Il > 0 , a sin istra se Il < Q .
,.,
,, =log (x -I l
y =log (x+2} Fig,,~..
•
,
21 G ra fici d i :li = lùg (:l: - 1 ) e y = Iog(x
+
2 ).
Il grafico d i Y2 si ottiene d a quello d i
f
m o lti p licand o per k t u tt.c le ordinate
I (x) . I n p ar ticol a re se k = -1 le o r d in ate son o semp l icem e nte cambiare d i
~egno ,
cosicché i l grafico d i V'l. f. simme t r ico , rispetto all' a.sse :1:, a q uello d i f . P er ese mpio , sia l (x ) = s inx. I grafici d i y = 3 s in x, y = ~ sin x , y = - ~1Il X sono i segu enti:
t
3-..-
1
y = 3sinx
y =-s;nx
fI, = ~sinx
,,
,,
,
,,
/"-,
,
I
",
-I t
I
F;gur ... 28 G ... l ic::; di 11 = 3 Rin:r, 11 =
! ...In x
e Il = - .. in x .
O sserviamo che ~ k > 1, il grafico s i "stira" nella d irezio ne vertica l e , d ilataIld o ver so l'al to le o r d in a te p osit.ive c ve rso il basso quelle nega tive. A l c o n t.rario, se O < k < 1 il g r afico si. con trae, semprc i n d irezio n c v erticale.
_ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _c"".-'C F"n"n""zioni dcn'e"tan'
175
• 11 g r afico di Y3 si ott ien e d a quello di f(x) con un camb iamento d i sca la s u ll' asse :1.'. Se k > J , k ;c t:rcscc più r a pidam ente di :T e p erciò il b'Tafico d i Y3 tiarà ::;i m ile iL quello d i f U la con oscillazioni pift rapide, ovvero sarà "co mpre~~" in dirf~zione orizzont a l e , d i un fatttlre l /k. Analoga uH' n tc s e O < k < l i l g r afico ap p ari r à "d il a t ato" i n direzione orizzont a le , c o n osci ll azi oni più d o lci. Ad cseIllj ,io, s i eonfrQntino i g rafici di si nx.~ i Jl2.T : s in ~ s u [0. 211 ]:
,
-- - - - ..... _,
,-
sin
L
sin x / 2
o.,
!;i .. ~.:r ._~ .
,, Figura 2 9
•
Gra fici di li '-" " in", . 1/ =
~in ~
Per disegna re i l g r afico di y
e 11
~
s in 2:r
= IJCx) 1ricord iamo se se
che
f (x) ;::: O f (x} < O
D unque n el p a.::;~arc dal gra fico d i f iL q uello d i II I i punt.i a o r dinata n 011 nega tiva rimangoIlo inal terati ment re que lli a o r dinat.a negat.i va vengono tra.sformati n e i loro s immetric i r ispetto a ll'a.%e x . Il gra fico di II I si o tt ie ne p erciò da quello d i I " ri b a l t a ndo" sim metTicament.e r ispetto a ll 'asse d e lle (l..."lCisse la parte del grafico d i f che si t ro ....a n el scmipiano in fe r iore e lasciando in alterat o il resto . P e r e;;empio, per le funzioni y = x e y = sinx::;i b a:
~
1 / Y - i ~'
-~
11 . ._---
I FigtJr3
30
D a l g rafi co d i
f "
q u e llo d i
III ·
=1s in ''' I
176
•
I nfine, per tra.c.c i O x E I
Se succ.:ede che per ogni uscita y E 1(1) csbte u n soio i n gresso 3 ; E ! tale che J (::: ) = y, a llora. f l:'i d ice i1werf,ibile e reil.lizza una corrispondenza bi univoca. tra I cd J (I). La funzion e che associa a ogni ll~~ ita y E 1 (1) l'u nico i ngresso x E 1 t-ale ehe J (x ) = y si chiall1a funz i one int'ersa di f e si irldica COl i il s imbo lo i -l. I n sintesi " ~ r'(y) y ~ J(x ) (4 .3 ) equivfl.le a { y E J (1) { :t: E I
Cap itolo 4. Fun zioni di u rw uariab-ile, limiti e contùmilà
178
La ~C:1I.tola. nera d ì seguen te
x
f-)
lavora a ri t roso rii:ìpe t t o a quella di
f
J
secondo l o i:ìchema
Parti r e da x e ritornare d o p o un giro in x equivale a r-llf ex )] = x per og n i x E 1: p a rtire da y c t amare in y equ iva.le a J[ f - l(y) ] = y , p er ogni y E f(I).
y
/
La cond izione di invertibi lit à equivale a richiedere che il f:,'Tafico d i f s ia in terseca to a l massimo in un punto da ogni retta parallela a ll 'asse delle &:;cissc.
b) Figura 32
iO) Fl.I n zicne non in v .. rt ibile; ;oll'usciu y corri5pondono 3 ingre"", _ b) F unz ir>l'! invert ibi le _
La funz-ioll € i n figura 321ì. IlOIl è invertibile in q uanto per il valore di y ind icato esist ono tre punti X I,X 2' X;; c he hanno immagine y. La funzi one in figur a 32b è invece invertibile in quant o ogni r etta p arallela all'asse delle ascisse o non interseca il grafico di f o lo interseca esattamente i.n un p unt.o. O sservi amo che:
f : (a , b) O
Si COJls id F!l'i anche il prossimo eStòJIl pio : I (x) = 3: + e"' . Essendo SOrl ll nft. d i d u e funzion i strettamente c r~cn ti in tuti,n IR., f ( x ) è strct.tame ute c rescente e q u i n d i i ll\'~,.tib i l e su t u tto 1Il. Tht.t.avia, ctlrch Cremmo in u t ilmente d i Tu.olver e rispetto a x l'equazio ne x + e" = y . In a l tre parole, /- 1 esist e, l Ua. non s i sa scri vere esp lidtumenle. Si n oti c he tutte Ic funz.i oni pote1l2a: Y = :l;". per x> O, w no invertibili c le funzio ni. inverse x = y l / o. SOIIO a ncora pot enze (con espon ente reciproco di que llo della. fun zione d tl.ta) . L o s tude n t e c ontrolli que:ì t u affcrrrlll.zionp. s ulla fa.rniglì a d ei grafici d i xO . O sserviamo anche c h e le p oten zp. pari : x:2 .. (n = 1,2, .. . ) 7!O n SOno invcrtibili su tutta la retta, ma solo ~m lla se.D.lirett lL x :::: 0 , lnentre le potenze d isp a ri : X 2 t\ +1 e le p o tenze xJ>i q con q d ispa ri essendo m o notone s t re ttament e c r es(:ent.i sono invertihili da. -00 a +;:)0 . 4.3.
le funzioni trigonomQtriche inverliQ
Essend() period iche, le funz ioni t rig onomctr ichf! non possono p.s.':;p.re i nver tib ili. Iufatt-i, per esempio, l'cqua:c:io nf! Ril.l X
=
Y
h a infìnice 9OIuzion i se -1 :S y :::; l ( l' u!'iCila y COrrltiponùe a i n finiti n p p u rc n n n h a soluzion i reali se Iyl > 1.
ingT ~ss i )
'8
1ttla ....
a ,..;(1bile, li m iti" mntinuith
O, la soluzio ne col s egno -
y = log
Q
~·05· 071147· 1i
....no:!. ;;cartata. Rimane dunque:
(x . . . v 'x? + l)
Questa è l'espression e analitica d e lla fUTl7 ione inversa d i S lI I . che p rende il nome di settore s eno iperbo Lico , e s i ind ica anche con SettS h .1: . È.' definita per ogni x reale. La fu nzione y = Ch x è d cfin it.a in IR , s t rettamente crescente p er x 2::: O, dccr€SC€llte per x S; O. Perciò nOli P. i nvertibile su tutto IIL La s u a. restrizio ne a x 2: O però lo è. Vogliil.mo determin are l'espres.siolle analitica d ella funz;i o ne inversa d i q uesta restrizione. C o n calcoli analogh i a i precedent.i , scri v iamo eli + e - V x = Chy = - - -
2
e r i501viarno rispetto ad y :
,.
Q uesta volta entrambi i n umeri x ± V"J;z sono positivi; ric o rdi amo per ò che stiamo rag ionando solo per y 2: O, c h e equivale a scegliere il seg rlO + . Pertanto:
y = log(x
+ v'X2
1)
Que:;t a è l'esp r essionc a n a litka d ella funzione inversa di Ch x, che prende i l nome d i settorc cos~no ir""!1'IJOlim, e s i i ndi ca am..:be con S ettC h x . S i not.i che è d e fin ila per 3: 2': 1. S i ()I:;..-..ervi a n ehc che, lnentrc ad esempio l '~quaz ione
S h x = 2 ha l' unica soluzi one
:r =
SeUSh2 = log( 2
+ ../fi)
l'eq u azione
Chx = 3 ha le due ij()l uzioni x = ::::ScttCh3 = ± lo g (3
+ 2v'2)
•
3~
-,
-
,
,
- 1~
2;
- 3t
Figu~a
37 a ) G< ;>f j"o d i
o
·· 2
y
=,
S I. 'c e li
=
2: b ) gra fico d i "!I '-' C h x e 11
=
3.
Le fun zion i i per'h oliche inverse saran no ut.ilizzat e nell' intl".grazi oT/c de lle f unzioni irmzimwli ( cap. 6) .
. Ese.I'rui'-
o
Determinare l" insieme d i defin iLio n c d elle seguenti fuo7.io"i : }(x ) = lo g ( 1 - x:l )
h)
G
l7. ioni:
i) 2(5In x )2 -t si nx - 3 < D
ii)
(OO!I x )2 + 2cos x - l ~ O
~
Risolve re le sqp.cnti dis.~q ll >L'I',i() ni , "",eguendo IUlc!.e, ()Ve oec"~5!1.r io, \ili n'n front o grafico, c localizzando i vo:o.\!!lo no det.errnirmro e~ e.ttam" nte (~m , pio: soluzio ll i u: ::::: X ::;
5 , COD 3
< '"
"
l_ x,, < l
Oire q " Ali SODO il dom inio (~ nmnmgine delle seguenti fum:ioni: l
f (x ) = '2arç,6;n (:r. ·- l ) : 9( :1:) = 2" on lo EDd i CThx. Sa
,9t.et;.a;o
m e todo usa to per
inn,rti~
>l r çç oo
(2", - l)
I... fu u:àollc Sh r. , M:r ivcrc la fun ",ione io ,-cr-
.s. FUnzioni 5.
cont1flue
1 8llO
FUNZIONI CONTINUE
Come ::!obbia.mo \t i~t o fif'1 paragrafo 3 , le fU llzioni e lementari deIrA.nal b i loal·ematica so no continue nel lor o in s.if'JlU' d i definizione. Valgono in o ltre le segue uti propr ietà (su cui ritorne remo nel par8gr a fo 6 ì:
Teore ma 5.1 - Sr;;. f e 9 sono continue in xo , allom f Tg , f ·[I sono corlti n ue in x o . Ino ltre,
~upponclldo
che l:'S ista 9 o
Teo rema 5.2 - S e. f f conttmw in c.ompo.~ t({ go f è co1lti nua in L O'
Xo
f
i II UII
p.
t;
f j 9 (se !l Cx o) #- O)
intorno di Xo:
!I è continua in [ (x o), allora la fmu:ione
::\"e l'l eh'l.!e che tutte le fllllz ioni elle si p ossono o ttenere (."on somrnll. prodot t o. q uoz il\ntc e composizioni da funzioni elem cntari sono contin ue nel loro ins ieme di dcfi ll i~ i onc . R isulta.no p ert.anto cont.inui: i p olinomi
le fu n zioni razim lali (rapporli di polin o mi) funzion i (~omf':
log" ( 1 + (t.g x)"") , ... Quindi , per e::;t:!n1p io:
Hmo v'sin x = v'sin 7f ,_
=
O
p Oiché, per le flm~ io ni cominuc, se IO è un punto del d o m in io, il limite l'i calcola scm p lict'rnc nte sosti tllendo T,u n ell'espressione a nalitica della. fu n z.io ne.
5 .1 .
Funzioni continue su un intervallo c hiuso e limitato
fa,bI
L e funzi o ni continue in un inte rvallo [a, bI (per gli estremi, si intenùe continue da de:;tra i l( (1 e da sinistra in b) hanno important i p ro priet à. L a prima., c.he c h iamiam o tEorem a degli zel'i, riguarda la riwluzio ne di un'equazione del tipo
I (x )
~
O
(5.1)
Quando J è un polinornio d ì gr ru:lo ::; 4 esistono for mule che fornUicono le sol u:t;ioni d ella. (5.1) mt'llia.ute r adica.J i. Se p e rò f è un polinomio d i g n'l.d o > 4 o una funzione p iù l:ompliça.t.a, s a lvo casi particolarmente fort unati, IlOrl esistono furm nlc per le wluzioni. Goolll.t-t rieame nte, risolvere la (5. 1) signi6ca determi.nare le ascisse dd pUllti d i intcrsezi.)tlc t.ra il gr t1.tico d i y = [ (x ) e ] 'a..%C delle ascisse. Naturalmente POSS() Il Q e&erci infini t e ::io luzioni , 1m n UHlt"ro finito d i so luzio n i, nessuna soluzione . O gn i soluzionc si chiama zero d i f .
Capitolo 4 . Funzioni di unil rariabik, [imdi " contin uità
t
Figun 38 L' equ.,zIone I(x )
=
O h" 4 soluziorl i. ossia 1 h a 4 ze ri
Il teorema. degli zeri dà ulcune semplici con dizioni l;Otto le quali esiste di f e anche un modo pe r calcolarlo,
UllO
Teorema 5.3 (degli zeri.) - Sia:
i) f continua in [a, ii) fra)
bi
f(b) < O
A llora esiste c E (a. b) tale che i {e ) = Q , i è anche tJtrettamente monotona, lo zero è unICO.
Se
Dimostrazione. Costruialno una sU(T 110
iO. 1 j. ma (l On è cont irm O, g ( x;.l ) = [(xz ) - >.. = m - ). < O. Dal teorema degli zen, Cbiste l tale che 9 (l) = O e cioè [ (l) = )..
t
~
M
.:;J b
-. I . I
.~
~ ' _"'---_--:-•
m
I .) Figur a 40 a ) L' i m m"~i ,, e di [a, b; è l' interv" lI o [m , Al]. b) Un.~ fu ..... ione c he nO 0, allo ra f(x) > O d efiniti vamente pet 7: - . I O (in a ltre p arole: esiste un in torno di X (J in cui j (x) > 0 ) _
_ A lgebra dò li miti. Se:
per I _ Xo, f Cx ) - II f(x ) ± 9 (:r;) - li == h ; f (x).rJ (:.t') ---4 1ll2;
p.
g (:r ) -. il (il, h E .U1.), ....llora per x -----'
f(X )/9 (;:c) ---;. lli' l l ( pllfl.:hé fJ (:1: ) . h f (X)9(~) 1;2 (putchl! f ( z ),l i > O) -----4
I=-
O)
IO
si h a:
'"0
Ca piwlo 4. FlI. u ;z;" n i di. u na variabil e, lim. iti e co ntinuità
@
f<s_ (]~_o 7 " .. 7_ 8
~ Ii s t essi r isu lt.at i che valg ono per i limi t i d -i successioni ( v .
• Aritm el'i zzu zion e parziale d i 00 . Va.lgon o p e r i lim it i di fUIlz ioni d i "a r it meti zza zi o n c parz iale d i cap . 3 , par. 1.3):
a±-=
= ± = ;
cc;"
+= + 00 = +=;
a
=
= 0 , ccc .
1-1ostr ia loo s u b ito u l l'a p p li cazione d el t.eorem1t d e l confronto. Esempio
' ,l
1m -"
"
I n fatti , p o iché Isi n
" X S lll
~O
= O
;r;
i I :::; 1 , s i 1m I' x g '' I! ,
11< Ix 'l
-
_
X
d a c ui , p e r il teQTem a del co nfr o n t o, x si n ~ fa ttore s in ci: . d a Flolo . n o n a nlmett.e li m ite .
--'>
.'
O. L a co ncl u sio ne è interessante per c h é il
P iù in genera.le :
';,ll'r't)(1r)Uo di u na f lJ-'rlzione infinitesim a per u n a funzione lim i tata, è infini t csimo. Q u esto enunc iato è intere~nt e n e l c a...."'O in e u i la fUIlZionc lim i t a t a n o n ha l in lit-c , co me n eU'csclllpio p r eccdent.€. D all'algebra d ci li m it i segue imm ediatament e i l t eor ema 5 . 1 sulla c o nti nuità della s o mma, del p rod ott o, .. . di fu nziuni con t.i nu e. "Cn' altra o pcrazioue c h e "con serva" i lim iti e l a. c o n t in ui tà è la compo sizi one d i funz io n i .
• C ambio d i variabik nel calcolo d el limitc . S u p p oni amo c lte f o g ~i a ben d e fin ita i n un int o rno di 1: 0 (salvo a l p iù Xo s lesso) e c h e per x - x o, g ( x ) ---t t o . A llora l i m f ( g (x )
:r ---+x o
=
l im I (t )
t ---Cf X
-~
0-+',
~
--+
::!:::::lO" ,
p~r
lo'
--+
O
±= .c" _ { ~ x (rispet-t.ivaIllcnt~) _ x -
lim
6.3. --+
- l e Sìll X -
0- .
lim
6.4.
.,~ - """
~rché
U: - 2 )
6 .2.
limiti notevoli
---- -2 c x~ -
l
-,= - x, ." m x
%_ 01
perché (x - l )
=
( ~- 2) x·~ = +00 x
-00.
Vedia m o ora le p iù comu ni teeniche d i calcolo dei li m iti. :Molte d i esse. come si v edrà, sfruttano oltre a i tcorClnl generali s ui lim it.i , alc uni limiti not.evoli ch e rigu a rdano certe fU II",ioni elemen tari . Ques t i sara n no utili anche ne l calcolo d ifferenziale. Limiti di polinoml tJ di funzioni razIonali ( rapporlllnt po/lnomf) per x
P cr ca lcolare il li mit e d i un potinom io per x ....... tenTlirie di grado massimo. Infatti se il polin om io è P (x ) = u-o x"
±oo
=00 basta CRlcolare il lim ite del
+ u )x " -l + ... + a ....
Go
1=
Tutti i t.erm ini d opo 1, i l } p D.fcntcsi graffa, tend ono a zero per x Hm P (x) = lilJl aox" . ~ ~ ± oo
->
O, s i ha:
---+
±x e q uindi
r ->"" oo
P er esemp io :
_
Hm r _+ <pollcnte rll ,.io!l!ùc, non i"l.(;ro), per x -O, t \ltlA: le potenze scritte t e n dono a zero, e si b a una forma di indctermina:t.ionc [ijl . QllCSl3 vo lta, i. termini prepond e ra nti sono quelli d i el>ponentc mimmo, 1)Cr.:h~ '"
•
o:
Limiti notevoli di seno e coseno Nel calcolare %_(1 Hm ~ 5i p l"C!'rellta la. forma d i indecisionc Z
g.
Voglia.mo d irn01'itrare
ch~
r:lim s- inxi
j"' _ O
x
~
(G,l)
J
OISjC[ viamo s ubito che , t:S5€nd o sin x e x fumdoni diSpetTi , ~;~ 1 è fu nzione pari e quimji è !'i u fficicnttò calcolar(' lim . 1"", A tale s copo, oHscrvandn la. o
", - O"
H!,lu ra 41
..:
@
";1i·O~-
1 c (1
-
x~(1
+ co..u:)
_ (::' i ll X)' ;-,-clc-c~ ~ 1 : COS x) .7:
+COSX
2
__ 2 .
P ro lungamento pf!J c,(mtir~u i t ti di una junnon('.
I n ha.-.e a l limite (6. 1) d imo-
strato, la fllnz io lle f (x) = Ai~..!, in izialmente nOTI defini t a per x ~ 0 , p uò essere prolungata per r..onhmlità an che in x = O, poru:m elo
! (x )
~
{
;'~
O,a, b> 1
Al/om, per" X ---t +00, o./ fruma e uni-nfinito di ordine irlfE';1"iorc rispetto che le 8t a a '/est ro, Esplict ta17l~ n l_ e: lim ",-
...
~O
(l
quella
(6 .9)
".,
il che si p uò espnmue a parole dicendo che qualuTllJut: p()t~nza (po.'l iti1:a) di x p1YO. Vo)
(6_10)
Esempio
ti.lO.
lim li m r
.0;'-
VI lo J;'; x
11m xr =
= ()-
lim ",,,, 10 8"
=
,,0 -
1-
",-,,+
liln x e l ,'''' =
-" . •0+
[~,
=
1] =
t
r
". = +=.
,-~';~-.o t
Il teorf'ma 6 . 1 p otrà esser e d imost rato pil', avant.i con g li !òt.rumcnti d el ca lcolo d iffer cnz-iale (cap. 5 , r..ar. 4. 4).
6.3.
Stime asintotiche e grafici
Le st-ime a s into tiche n o n servo n o sol o p er calcola.re li:m iti, ma anche pe r t ,accia n'! ~ grafico qualitati vo d i una funzione n e ll' intorno d i un cer t o p unt.o , o ppurf' nell'i ntor no di ±:::X::"
Esempio 6 .11. Sia
S i può ragi o ll"re cosÌ: la fu nzione 1:: defi n it a ,. c o ntIn u a.;;u tutto IR; pe r x ~ ± ,")C . f (:T) ~ x'Z Du nque f(x) -----> + :;.0; in"ltre il >;uo gr afico sarà s imil e , pe, x gra.nd" in valo re as:>oluto, a q lldlo d i x"L- . L a f unt:i o ne inoltre si annulla. in x = O e , per x - . Il , J{x ) ~- ~'x; du nqu e il suo gr; I>cr; menta.!i . m en tre la ll'gge che .;; può dedurre !1f,a ndo la fisica classica (legge di Ra)'l€igh- Jeans ) è
I().. )
=
8:rrkTÀ -
4
che è in accordo coi dat i s perimen tali solo per À g r and" , men t re per À picc(lio è in profondo disaccordo: tende a +=, Illentr" la curva sperimentale tende a zero ' Studiamo la Cll rwl. d i P lanck con opportune st'm e as i ntotiche. P er À ---+ +::>0.
hc / ÀkT 8T:hcÀ - ~
e.'=,':"k7
1
8-rrhc>. - 5 = 8-rrkT.\ -4 -hC!ÀkT
ossia sì r itrova la legge d i R.aylei~h-.I"ans , ;Jl pr i ma !l.PP T'0S8irnazione: in parti cola n" la dens ità d i energia raggiante t"mk a ?..el"O cotne .\ 4. Per>. -----'O~ ,
8,.,-hc.\ - ." ehc!).k-r
l
(l'espom,nz iale a. denomi n ato re ten de a infinito più f Hpidfunetlt e di À - ~ H Il UInerato re). Qui udi la curva di P lanck può C& - CG). Solo nel ca.so in cui u na funz ione ha crescita lineare, è p ossibile che a m metta fI.'lilltoto obliq u o (v. par . 2 , p ag. 155, per il calcolo di tale a.~ i ntoto) . E-scmp i d i funzioni con crescita sopralineare per x _ += sono gli espone nziali a Z c le potenze XO con a > 1; esempi d i funzioni con crescita oottolincarc per x ----> +oc suno i loga.r itmi log" x e le pot.emo:e x a con O < a < 1. Es empio 6.13. La fun zione
per x ~ + = è asi n t ot ica a e "'; perta n t o tende a + ex:> "O" crescit a ,,;u!-,ral i neare ; per x -. è a.s intoti ca a Z:z:; per ta.nto te",!" >l - = li"narmente ; poich{,
lim la f un" ioHc ha asintot o obl iquo y = 2x
+
[I ( x ) -
2xi ~
l per x
~ -
l .
ex:> _
-
?Co
Capitolo
200
4.
Ftmz1(m i d, Im a v ariabi le , lùnih e
Esercizi
~mltinU!tà
»
~
Sulla defirLihone di lim-ik .
e
Di,oostrare che
fl)
D imostrare che
eX,
p.,r
X --+
±.'X', t ende CL b'c, O (rispettivamente) .
li m
:rsinx
~_+ '.X_
non esiste ( né finito , n é infinito) .
f%)
S ia
f(X) ={~ Dimostrare d ,c
e
f
5e X
iJ razionale
Re X
è irrazional"
è discont in ua in ogn i punto_
Pro~'a rc mediante la defi nì ,.;" ",., d i limi te che li", log x =
- 00
", _ 0 purre : -:- ~ = l
+ E ( x)
x log ( ~) ~
con 5 ( x) infinit e!Sima; quin di.
lim
I- ' ; "'-'
Suggerimento: dUl/endo calcolare il limite d i una fuazione dc i t iJ--lo j(x)·,,(r) du~ dà Ulla fon na di illdeterminazio" e del ti po [l C,], ri ~crin,da nella form a j (x) 9( r )
0-=
( , 9,. ,. jl",,! ( "j
e co miIlc iare a c a lcolare il limite dell 'espuncnte (c h" è ora u na fanna di indetermina.zione cld ti p o [00 . DJ. Per far q u esto, segui r" il !'.ugge rimento dd l'C8 0 , d elle fUTl7.ioni: tgx, cotg:r, arl r.ui la fun zio ne ,0;1 ",.nu lla e /JU'anjimto , p revedere l 'andam ento della !",uion e nell'intorno di luli T'" "ti.
,
~
:lo' tJ;-..!
~
""' ± ~x
~
~ ~, ,, - I
~
~
(iD
».tctg ( ~ : ~)
~
:r arctg
G>
1xe-
-
\P
x~e - Iz i
~
xc - l /," I
(Ii)
~ + '
~
x e ""i"T')
~
log(3.:;~~ )
~ xlog(h~) i"'"+,, ~ 1
i-
~
~ln, ;,,1
1"",Iz-.,-1j
' impedcn 7.
O)
ax""-l
6.:Z:" (o: E: n ,x> O)
14 . log" :z: (a > 0, a '" 1)
l -:z: log -~
15.8h
Chz
16 . Chx
Shx 1 V l ...::z::J
17. arcsinx
8. cosx
_ si n :z:
18. arceos:z:
lO. cotgx
-(1
+ CO t~ x)
l
(cosx)2 l
= --.-Slll~ X
"
a" tog a
=x l+tg2:r=
,
13, a" (a. > O)
7. smx
9. t,x
l' e"
19. 8.fctgx
l v'l l
x'
1, +X2
2. DenvaLa d, una funnone
2"
La 1 è immediata; 2 , 3,4, 5 sono casi particolari di 6, chc abbiamo scritto esplicitamente perché si incontrano così frequentemente che meritano di essere ricordate. Proviamo ad esempio la:
If(x) ~ x' , l'(x) ~ 2x I
3.
Si ha:
I(x
+ h) - I(x)
-
+ h)2 _ X2
(x
=2x+h
h h che tende a 2x per h _ O; da qui, la formula.
If(x) ~ x"; l'(x) ~ ax" 'I
6.
Sia x > O. Scriviamo:
(x +h )"- xO
=xo
(1
+ !!)" '"
- l
h h dove a bbiamo usato il limit.e notevole ( 1 + é(h) c(h) = h/x (cfr. la (6.8) del cap. 4 ).
7 , 8.
!/(x)-sinx ,I'Cx)-cosx l
y' -
1 ....., ne (h) per h _ O, con
I/cx) - cosx , l'(x) - - sinxl
Si ha, utilizzando le formule di addizione sin(x
+ h)
- sin x
h
=
sinxcosh + sin hcosx - sin x h sinh . c_os="hi---=l + --cosx_cosx Sin x h
h
h~O
dove abbiamo usato i limiti not.evoli 8;~ h _ l e
cosh-l",_~h2 =-~h-O h 2 h 2 Analogamente si mostra la seconda formula. Omettiamo i dettagli.
If(x) ~ c', nx) ~ e' I
lO. Si h a:
f(x
+ h)
- f(x)
h essendo eh;:l _ 1 per h --;. O (limite notevole). Dalla formula si ricava che la funzione x 0-----0 eX soddisfa l'equazione y'
Il.
[f(X) ~ lo" x ,
f'(x)
~~[
=
y.
212
Capitolo 5. Ca lcolo d i[f"",,,ziale per l"llzioni di Una t'aria /u lo.'
(913&-''''-'' 7''''''-6
Abbiamo:
f(x
+ h)
log(l.' -+- Il) h
- I (x )
- log ,1 :
log ( l
+ h/x)
Il
1
l
h l. x x Il d ove abbiamo usato la (ti.8) dci capito lo 4. Le formule g , l O e 13- 1 9 potr a nno essere d iIllost rutc u tilizzando le r egole che vedremo nel pros.'li mo p aragrafo . Le equazioni differenziali soddi sfatte dafle funzioni esponenziali e trigonometriche
Osserviam o un f a t to n otevole che riguarda le funzioni esponenzia li c trig ono m e t riche. La 13 p uò ~s"er e rilet.ta dicendo che le fu n z iOl li f (:J:) = a X soddisfano l'e.quazione differenziale
l' (x)
~
ki (x)
con k costant.e opportun a . LIl legge esponenziale governa q u i ndi i fenomeni in cui la velocitii di crescita (o diminuzione) di una grandezza è p roporzionale a lla gran dezza stesso. Quest:a semplice legge si ritrova in molt.e leggi fisiche e ques t o è cert.ament.c uno d e i motivi a CHi le fun zioni esp onenz ia li d e 'VollO la lor o i m port.anza. La 7 e la 8 ci dicollo invece ehe , p osto f (x ) = sin x ,
-d'! (x) = - d dX2 d.:r
(di) dx
(x ) = -dd (cosx) = - s in x = - f(x ) J;
Perciò la funz ione s inx (e, co me si vede COli p assaggi a nalog h i, a n che la fUllz io n e cos :r) soddisfa l'e q u azione differenzi.ale
f"(x)
~
- I (x )
Pertanto le funzioni sinusoida li govern a no i fenoTveui in cui l'accelel'Gzione con cui varia una grnndezza è uguo.le alla grandezza $tc.crt.anto s i otti""e per la retta taltgente, l'equ a.L.i" "c Y = 12 ( 2 )
+
f~ ( 2)(:1: -
2) = 8
+
12{.T - 2)
Ri portiamo in figura 7 i grafì ci dellp dne funz ioni, con le rispettive r e tte tangenti perx = 2 :
'"
,
•
lO:
, ,
W
5 > "
2
:1 -
-
,,
12 ,
"
- 5~
,,
14 '-
,
,,
2
O.:,
15 '
15
,
V i
Figur3' 1
2.4.
Punti angolosi. cuspidi. flessi a tangente verticale
S e u na funzione.f è d erivab ile in un p unto Xo , n e l p unt o d i coordinate (xo, f (xo» il grafico 1.& lIna r etta tangellte b en d efi n ita. Che CO$il. succed e qua ndo f n on è < de rivab ile i n un p unto? Vediamo alcuni esempi. Punti angolosi
S ia f (x ) = Ix !. E·&-rendo f (x ) = x per x > O e f(x) = - x per x < 0 , s i h a t'ex) = + 1 se x> U e 1'(:1..') = -1 p e r J; < O, a"vend o-i' il s ign ifica to d i coefficiente angola r e. Nell'o r ig i ne:1; = 0, occo rre usn.rc la defi nizione . Ora
I (h) - 1(0 )
Ihl
h
h
c qu in d i, ~e h ---;- O... . Il i = h c il l im i te uel rappo rto i nereIIlent.l:\.l e è I. ment re se h ---+ 0 - . !h l ~ - ·h e i l li mite è - l. S i conducle c he , Ho n esistendo il li mite d ci rap por t o i.n crerne n t a le, f n.on è deri va.bile i n x ~ O. D 'altra p ar t e, rko rd a ndo il gr a fico d i f (x) = ·x : s i vede clIC la t.a n g e nte n ell'origi ne H O ll è bell defini.ta.
Capitolo 5 . C (Ùçolo dtDercnzl u./e per fum:i o nt d i Ima tlariabuc
" t,
I{x l
=
-.:1: ,
O' Fi&ura 8 La f ,mz ione Il:1 'O(nl è de..ivilb ile in
::t:
= O.
Tuttavia i lim iti de;;t To e s inistro d e l rappo rto incTcm e nla le d i in (O, O) il g r a fico prP.lienta "u n angolo" . La cirCf"JSl anzll merita. una defin izione. Siano Hm
h_O -
f : (a , b) -
In..
n;t·I.ht 1(%0» )
IO E
a llo ra.
(n , b) . Se esiste fi nito
Ixl esisto n o
finit i e
~
lim
j ("'o +h )- n" ol
11_0+
"
( o ppure
f si dice derivabi le vllllr, destro (o ppure dalla sini~tnl); .
il limit e si chiama d ~rivata des tro (opp u re simstra) e si in dica con il si mbo lo f :" (x o) (oppure I~ (x o )). Xe. 1 caso i n cui f s ia continua e deri vab ile da destra c da sinistra (ma non d erivabile ) in Xo s i d ice c he I ba un punto angolo.90 i n x = xo. Dunq u e , Ixl ha un punto angoloso in x = o. Vale la. pen a r ico rdarc la form u la che esprime !iintctie amentc la d erivaLa dellu fu nzion e ...-alore olLO 'll.ri'J "ion e d e l volume d i \lna >;fe ra ri"petto al raggio. ~?TT3 , la velocith n"h ilonna O·n.cqua ~ V il 0;"0 voillme (in dm 3 ). Vogli amo t rovare dh/,h . .snpc.,
i n ~ I .. .,~rJTla l~ ; b ) g , .. f ico d i c · i n
'''';11
SC; ioni ad aver e questa proprietà.
3.3 .
=
Derivata di funzione inversa
Siallo f : (a , b) ..---> (c , d) , invcrtibile e 9 -= 9 sono legate dalle due identi t à.
g (f(x ))
~
J- l
la sua inversa. R icordiamo che
x
Vx E (fl., b)
!(g(y)) = y
'ty E (c., d)
f
e
c
Se f è derivabile nel plUItu x c f'(x) i=- O allora vale la jO'1""fnvù,
,I
l TW
9 y) ~
OSS€rviamo elle, assumendo la derivabil it à dì x ., dalla regola. della calena:
f
1,
I -l
è derivabile in y
J(x) c
(3.9)
la (:U l) segne subito dall' identi t à 9(f (x ») =
9'(f(:1:) ) ' l' ( x )
=
da. cui , se l'(x) cf- O, I" (3 .9).
1
D
La ( 3.9) ha u n semplice s ignificato geometrico, ricord ando ehe i gra6ci d i f e 9 = j - l sono si.mmet.rici r ispetto a lla bisett.rice y =:r ( 6g. 16) . Con l a notazion e di Leihnb-: , posto y = ! (x ), x = y(y), ( 3.9) :;, scr ive nell a forma
dr dy
l
dy d.T
(' )
Cap iwlo .'i. Ga1.r:olo diJfr.nmz lUl" per /unzim .i di -una l'QT'1 abil"
224
@
i S-U8- 0TII4T..,s
" - hZ!:
_ _ __ Figur. 16 Gli a ngol i
l' ( x ) =
(>
~;II )
4 "'+: +
4D
2" 2.... ,,..
G)
log 213.r '
G')
xr ioo< x
Q
log !logxl
225
D illloo trare la regol a d i =Icolo (3.5); d edurre poi la (3.3) d o (:1.2) c (3.':'). SCI11lf~
ED
e
1'€q tw-2ion'-
! (:1')
dell(~
= i>iu x, Xo =
.-.cita t ... 'lJlc.r.le al gro.ftco di y
"i
=
f
(:r.) nd
p U flt O
(zo , f (.:ro ») :
tI)
J (:r: },.,. (x log IxiJ 3 , 2:0
=-)
I
(x) =- 37.~ "'2x+ 1, ::t:1) = 2
o
I
~
I
{x }
ED
I (x ) = e' , Xo
G)
! ( x)...= a~ , Xo = 2
f ( x )"" e-I .."
m
o
Q ua l è il tasso di wl.l"iaO".io ne dc i vol ume di u m .. .q[t,..a r Lsp" U o al >;u o r aggio? E rispetto
=
lo@, x , 7. 0
=-:
l
(x) = CffllngT.,
.,
X I)
=~;.
= log 2
Xo = -1
;;rr'arcl' d ell a ~;u a !:>uperficie?
flD
I II lU ' Lr iangolo Ì-f;ooscele A DC (v. fi r;ura) il ve rtke C s i muove per pen d i{;ole.rmen t.e wla b wre A.B iII modo c h e 1'''.H'a del tria u golo crCS_ Il ma.ssimo globale d i
f
non esiste (si ha
,
lim_ f (x) = + :x.). .a
Le figure mostrano che in un punto di est remo ( locale o glolx'l.le) f può non essere derivabile cd essere perfino disconti n u a. Se però f ; [a. b] _ IR è deTivabile ill un punto Xo che sia d i ma.'lSinlO o lninimo locale e che sia d iverso da. a e da b, allora - in x'o la derivata si annulla, ()ij,'jja la t a ngente a l grafico in (x o, f(xo)) è ari7,zont.a.le (fig. 18) . Predsamente:
Teorema 4.1 (di Fermat) - S i a f : [u,
li: __ IR,
der-ivabilc in x E (a, b) . Se x io;
punto di estremo locale a llora
f'(x )
~
O
Diroostrilziorle. Sia, ad esem pio. x punt.o d i ma.::>: locale. Allora, per z abbastanza y icino a x , ':i~ ha f(z) ::: 1 (7",) · Perciò;; z < x
=
f ez) - f (x ) 2: O " q u indi z .-
;r
J'--(r ) =
lim ~~""' -
fez) - f (·r ) > z
(abbiamo applicato il teorcmi!. dc lla perman enoo;a d",1 !jCgno, (;ap. 4, par. z
Essendo
J
>
x
=
fV) - f(:r. ) < () z
derjy;u della retta tangent e al g r afico di f nel punto ( c . f (c )) . La (4 .1) esprime d unque il fa tto che nel punto
Cc, f(c)}
ItL tangente al grafico d i
f
è p ara llela al\ll. retto. AB. In figura 20 csist orlo due di t a li pun ti , di ascissa Cl. C:t.
Capitolo S . C a kolo d iff"-"1""nziaIc pt' 1' fun z ion i d i a n a variabile
230
Dimostrazione del teore.-na del ..,alar medio. O sservi«.fflo c h e la retta A B h a equazion p
f(a ) -'-- f (b) - 1 (a ) (x _ a ) b a e com;ider;arno la funzione
w(x)
t.:
=
! (x ) - [ f«z ) -l !(b) - /(a ) (x -
b- a
fac ile ve rificare che: w (a) = w ( b) Poiché
al]
O. w è cont inu a in [a, hl e .u è d"wi va b il e in (o, bl.
=
=
u , ' (x)
f '(x ) _ l (" ) - f (u) b a
la ( 4.1 ) equi val e a di m ostrare che c;;Ìstc c E (a , li) t ale c he w ' (c) = O. E ssen do W c o ntinua in ~a, l' Cl' il t eor en18 di \ \'e ierstrass e s istono du e p u nti
ò:.
Xl
C
X :;..
in
[a, bi t a li che ! ( XI ) =
m assimo d i
f(x ,, ) =
m ini m o
•.
f in ['L, bi = Iv!
= fJl quind i U"(x ) = 0 ,
di f in [a , bI
Se lvI = m aJlon' w(x ) " . ,,-"" tan te , Vx E [a , b] e Vx E [a,b]. Se II·! > 111-, a lm e no UnO d e i due p u nti Xl , x~ n on;;; trova agl i estre mi dell 'interva llo , essend o w ( a) = w(l» = O. Il !.corema. d i Ferma t imp lic a a llora cloe nel pun to di m n.." "im o o min im o c he ri,,; ul ta i.ntern o (eventu ahnent e en tr ambi) la derivata di w s i a nnull a e il teorema è ('" (lSÌ d imost.rato . D Esempi 4 . 1. Sia fe z) = X2. Allo ra l' ( x } = 2x e il t. .. orc ma affe r ma che in ogni intervallo [a , bI esiste 'u! Iltunero C t ale c he
o
da c u i
(; =
I
_+b 2 - =.
-
,1
. d u:a . dI. (~ e b ,Tj.ed fa (:ln.trn
I
B
;'
,l'''
!
Cioè: ogni corda A B della p arabo la y = X2 io purall cla .... ll a. t angente n e l p unto di ascissa u g uak alla m edia aritmetica d e lle ll..'lCi..' O. ne "'€gue f (X2 ) - f ( x d ? 0, cioè la. t es i.
D
COl i la. s tcsoa d i mo~t razionc s i vede a.nche che: se l' (x ) = O per ogni x E (a , b), allora. f è t:ostante i n (a , h). Poiché l'implicazioJle inver&l (se f è cost ante in (a,b) allora ha derivata nulla) è ovvia, r isul ta. di most ra.ta la seguent.e
Proposizione 4 ,4 (Car a.t_t e r i:L:zazione delle funz ioni a d erivata nulla) - Sia ---+ IR. A llora
f
(a , b)
!' "'--
O in (a,b)
f
c costrmte
in (a:b)
un erro re da. cvi t_are è usa.re la proposizio ne 4.4 su insiem i più generali degli in ter valli. Esempio 4. 3.
C onsider iamo la funzion" l
f(x ) '--- al'("tgx-l-- an: tg - , p er X
X
7"
O
232
Capitolo 5. Calcolo differenzia le per funzioni d i unn t '3ri4bitc
e ealcoliamo
f' ( x ) = J
+X2
-1- l 1
~
( - ",\) = 0 l'e" ogni :L- 01 0
"
Si può a p plicare la. proposiz iOl' l' 4 .4 " J e concluder" che ! (, .:astante? 1>1\ r isposta i, n o: s i p uò solo afflT!U"'.rc che è costa n t" su ci&"-Cuno dei due inte r valli ( U, ....:-cx.;) c ( - 00,0). P er sapere quanto ..aie , è s u fficiE'llte calcolare f in Un p unto '" comodo " d i ciascun inter vallo, per '>SC Iup io :
J (I)
=
an;t g 1
+ l.
prima " i direbbe che
x =
l
~
v 2
. ..,
l'unL()
d.
1 IlI>\.SSÌmo locale;
;:t;
=
i:I punto d i m in imo 10""..1 O
(Ora la variabile x non" un intero, ma u" llUm€rO r">l.l" I). Calco liamo:
f' ( x ) ~ l - Io$';x :s o x~
per x
2':
c
Xe S€gl '" che f € dcen,,,ceIlte p e r x 2': c ; di l la successione a" alm ello per n 2': 3 ( il primo illt e ro > c) .
f (n) è d€Cre""" flte
236
Cap ito lo 5, Calc%
d iffen;;ltzialt; per funzioni di
L' n 'appli
la
~cg uellt ..,_
una ~}U-ri{lhile
,~ &_ "H_07 :S47'· 1I
Si vog lia " tt,di ilTe il c a rat. tere d e lla 6< >-
~ ( - l )" lo~ n
L.-
n
"""
S i t.ratt a di una serie a segni a ltenIi: poid", U n = '\ ," ,; p 0.5 it iva , illfì lli t es i rna "' , per qu ant o appena dim05trato, m onotona deere."Cent.c, per il criterio d i l ,ei bnitz la "erie cO llvergc . Senza d i m ol.zio n e .
• lnscrivcrc in u n cono circola re J""etto d i a lt ez:L.ft il e r a g gio di b a..egmenti AP R . L 'eq uazione d ella ret t a AP è y~
l
- -(x -a) 2- a
S e a > 2 , la retta interReCa il ~rniasse p osi ti\'(l delle y n el puuto B La lungnezza del segment o A D , ria. minimizzare, è data a llor a da:
.'
!- (o ) =
V
a2
"-a---,
+ (0::"-
2)
P oiché la rad ice quadra ta è u na funzionI'! crescent e bas terà min im iz:>:ar c il su o a rgomento
a> 2
@
8!l-03_0T ~47_ S
4 . Il teorema d el '." , Ior TTlnlù) e le
8""
241
CO/l.5l /lgue1l.""
S i ha
T/ ( a) = O p e r (a - 2 )3 '= 2 cioè a =- -Y2 + 2 . che è p n nto d i minimo come f acilmente si veri fica. La lunghe7.7.a m i nima è qu ind i
Es.. 4 , il t ubo può p assare.
Il teorema di de l' Hospital
C na notevo le applicazione d el calco lo d ifferenz iale si ha nel calcolo dej limiti c he si present.ano nelle fo rme d i indecisione [g] e [ ~ J . P recisament.e s i ha: Teorema 4.5 (di de l ' Hospi tal) - Sia no / , 9 funzioni derivabili m un inler'"l)(lllo (a,b) con g.!!' f=- O in (a , b) . Se
i)
hm 1(;1:) x ---+ " I
ii)
Hm
=
=
lilll [I (x)
O
0< 4 " i
f' (x )jg' (x) = L C
m"
"'---+a+
A llom l illl f Cx) , ___." i- g(x) 11 t eorema continua a 'Ina.lere ~ a = (anzic hé p er x _ a- ), con b :S +00.
:x;;
=
L
op pure s e s i col1bidera il li rnite per
;1;
-4
b-
Dimostrazione. ;'-;cl calSo f (x ) g (r ) ---+ (l. 1)3 r.,mo p ri ma un 'idea in tu itiva. ( m a no n conclud ent e ) de lla dimostra" ione, e p,o i mostrerem o CO me la s i pOSlO8. ren d ere rigorOEa . S ia x" una "accessio n e tenden t e ad a-t-; prolungh iamo per con t in uità f E' 9 in (L ponendo f (a ) = g (a ) = O. A llora
f( x n ) g (x" )
f {x ,,) - f (a ) g(7,,) g(a) -
(4.5 )
Se a ppli chiamo a f. ,q separatament e il t eom ma di L agrallg;e sull' intervallo [a. , x" ì, otteniamo c h e l ' ultimo quoz iente scritt o i; uguale a,
f'(t")(x,, - a) a) ,Q 'U :", )(x n dove L" , t;' :;ono due pu n t. i op p o rtuni cl!{~ cadon o Il ell' in terv-d.llo (a, In ) . P o içh é q uan d o In ---+ O anche t" e t;' ~ 0, "',mbl:l. "ragi o nevole" che il limite del quozie n te d i t' l g' s i a nguale al liIT\;t e dd quoziente //.q , Tu t.t- ;.vi", q Uffito non xi può atkrn >are rigorosament.. , pe rché le E,uce,,",sioni t", t;' &Ono a pr io ri d iverse lr a loro. P er aggirare il pmblema occorre 1l1odificare leg;germentc l'argoment.az ione scg;u it.a . R iprendialTlo du n q u e la dimostr az io Jle dalla ( 4 .5\, " d e fin iamo lI{x) _ JC :",, )y{ x ) - g i x .,)f{x )
CapitolQ .5. Calcolo d.Dtnm",ial f'. per funzwnI di 1.i può Iòl nLilirc im medi at arlU'ntc; x - sinx z +sin :z:
z ~
-...".
x
S nppon iaJJw di vuledo ca lcolare o::o[ teor"ma d i cl .. L ' lI o~ri t a\ , ~
(x ~- !>i n:l,y ,,+, ... (x· s in r )'
. J) m
~
Ii I"
l - col';Z:
----
"'_+.,.,. 1 +
COSX
2'4 S e conclllflcssimo che il limite d i parten:.:a n on ~istl:!. di r en mlO il ffl.lso (q u d limite val ... I). Il pu nt-o è ,-,h(, se Hm I); J nO! , (~iste (Jlé finit o né infini t o) , cade ""ti, delle ipo tesi del teorema,
"' ~ ·"'H ~
C iII b'L'1C ad esso no n si p uò :'!Cm plice mcllu, coucludl:! re nuUa .
Esen::izì Dopo al..~" $tabiliw l 'insieme di d~fini.zione d e lle se!Jtienti funzion i, dl'tr.rminarn., i p1mli d l m.a.ssimo " .ruuimo e tra=tal-n,e .!'t)mmaritJmenle il grflfiço.
CD
""2,,.
I
X2
si,, :r.
. "n -:r log:r --
245 e · ~l ll ~
I l, X 'j -_
sin:r;
,
--.
D o po
Il'''''''
pl"olun~!l.to l'eT (:ontinu it.à
f in
.1':
=
0 , ' :.I-\\co la r l:l
!' (O)
f U (0) _ \.::> ug9" ,nmeflfo: :'\d due limi ti c he " i chi.de di c akolare, " utile il t llocemfi di d "
L"11r.",! ,ital).
c:;,
Come l'esercizio p recedente, p .n la funzion"
( ';%117:)' .
~ Il teOl-ema di d~ L ' H os p itai a vu lte p uò prQd\l rre ... il moto p erpduo. Si pro v; a c:l!.leolare il "'l' guent.c limit-€ (e lernen t a rel) tt.pplican do pi\l volte il lA..'Orem a: li m
vx2 + l %
s.
DERIVATA SECONDA
La dC'rh~dta seconda di u n a funzione h a v a r i :=;ignificat.ì geomet.r ici , che ci p e rme t t era nno d i meglio ::-tud itl re le proprietà d e l g rafico d i ll11a. funz ione. 5.1.
Significato geomet rico della derivata seconda
Se la. deri....ata. prima ha com e :sign ifi cato geomet ri co quello di pelltlenzl\ dE'J g r afico, la d~rivata seconda rappresenta la velocita di vl'l.riazio ne di tale pendenza e pertanto costit.u isce un a misura d d grado di scostameni.l) del grafico dall'andame nto ret tilineo. P e r precis are meg lio il concetto, com"iderio.mo la. s it uaz ione illust r ata in figura 28.
"
.•
" =
I (x )
R
L a f unzione f in figura , sodd L
in cu i il t €!ìtsegno (a, b),
crescen t.e in (a. b) d er:rescent e in (a,b )
Si d ice che J è convessa in (a, b) se sodd is fa 1>1. a) ; Si dìce c h !:l f è concava in (a, h) se soddisfa la b). A n zich é J co nvessv, in (a, b) :,-i può dire / concava verso l'alto in (a, h), c i ll v~c d i con cav"'d. in (n, b) si p uò dl rc concava verso il basso in (n ,h). Il s ig nific ato geomet r ico della conve:;.."it A o concavità di una funzio ll~ p uò essere illustralo in diversi modi . Com inciamo a d ()6.'je rvare che !'òe f è COllvessa,
@
;;", · '~'i.- 07o '. '" .•, ' -_ _ _ _ _ _. _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __
5 . Derivala secunda
247
o ssia f' è crescente, a l crescere d i x il coefticient.e angolare rTl de lla ret t a t angente a l gn\n.cn d i f cre:,:'c-e: ::;e n 1 è p o sitivo , ciò significa c he la t a n gente dive n t a semp re più r i p ida, come nella fig u ra 29 :
Figu ril 29
.'
:
Se rn < 0 , rn cresce n t e significa che sarà. "seUlprc me n o negativo" ; in gen eral e dunque una fU Tt7.ione convessa SII u n i Tl t.ervallo ha un grafico d e l tipo in figura 30;
1 Figu~iI
lO
Inentre con r agio n amenti a nalogh i _s i ved e che u n a funzi o ne concava ha un graficu ùd ~ ip u iu [ j j!,llli'i 3 1.
Fi g ura 3 1
P er eseHlp iu, le fUTlz io ll i t'~pOT\ enziali a'"' sono convesse in t.utto IIl, le fUl lz ioni logur it miche l og., x sono conca ve i n ( U, ---:-:JC ) se a > l, c o m,"es!;e se O < ( l < 1. Convessità e reNe tangenti
C n'utile canl t.t.eriz:,u!!>:ione geolllCt rica. della convessità, che p otren w dhnosb n rc in seguito (par. 7.4) coinvo lg e le r €ttc t.mgenti a l g r afico della funzio ne :
Un afun::ionc .f( x) i; conllt'ssa (oJncava) in (a , b) se e S% He cOTnunqW'; 8i scdg(). un pun l-o IO E ((l,b) si h a che il grafico d~ 1(:1:) s i man tiulC in tutto (a,b) s opra ( sot/.o) il gmfi-co dd la HllU T"CUU ta ngente in ( :1:0 , f ( x o »·
248
Capi tola 5 . Glllcolo dijJernuiale p"r f!I:f ;r > Il , con"",,,.. per x < O E" ha. un p UnlO
O perciò ba un 1'" ,,1.0 di massimu rcl Dtivo in x = o . l '' (x) = e--"" (4 x 2 - '2) :::- 0 ""r x" 2::! ; :c 2:: ~;:c:S --j.; . La fUllzionc çconve"~l:I. p er qUCI;ti valori, concava per ~ ~ < or ~ ~2 ha puut i cli in :r = ± ---4,. , COlI [C'!t.ta tan g ' :n tll v~ ~~
+. ,
d i p ... n de Il7,Q.
l' (± ~) =
=1= ,,11.
ne5&'
\ t;
l\
L~
5,4,
Sia f ez )
= z " , Poiche f' (x)
= 42: 3
> O per:t > 0, la funzione è cre;cenl.C per x > 0 ,
dL'CTescellt e per x < Q e Ila. U 1I jl1mt.o d i ~in imo in :z: = Q. l " (x ) = j 2x~ 2: Q l"M.: r ogni x, q " indi la fu nzi<me è convessa in lutt.o !R- P e r ciò il punto ;r; = O, in c ui f" 'li a nn ulla , tl O'n è II n l'u n.W d i fle!i5o;i n totu o b liqu o:
lim :n: €",. +_ ", [ r _ ±=
3
x+ 2 - l l
Ora .
---+
:r -
'" -
_ 1 _
l
l
0, perciò
l
,, ~ :>
±'"' '"'' [c 'r-
e =c - o
x
Q uin di la funzione h a a.; ; u t o t o obli, \"o y
,T e
=
+
l
-
~
1
3 e p er T
----+
± xo _
(Si p' "e$ti alte:1Izi one al calca I" dci lunite precedente : se f f; ) ---+ m , il lim.ite di j (x ) - .n:l:ì è ~'crnprc: una form.a di i-rulctcnninazione [00 - .::c) ; raccO!Jli cT.rlo 'HX, .~i h" TrLX l cl", è 01U una fornica d i i-n d!olr'rminazione dd tipo [00' O]; questa 1-'0 ri.solta y"r",nùm.e nte appli. cando qualche limite not.;"olc oU '('!;pressione t ru :,1, r.oer dom e una .. timo asintotica).
I {;:;;,ì - J,
x _·~
j
l
'
"' +~ (
( X ) = e"' - l
l
+
Lx - 1) - (x.+ 2 }) ";~- ---~--è;>-~" (x l) ~
,,~-I
__-( x _
l)~ _ 3x)
(x - l )2-'
P e r og ni x --f l 1'(,,;) è d di,. it a.: per x ~ 1-- , l' (x) ---+ 0 - (h:spo ll e r. zio.le v a a 2('rO p i i, r a p id amente- di (x - I )') 11 g r a fico qui ... li arriva- in x = l c o n tan !l;e n t e o riz>:o n t a le, d a s in istra . f'(.l') :::-: Ope l'X ~
e' ~
x
~
5
+ v'2l 2
,=.
-I-
.,f2f 2
::::o: 4,8
pum a d i rni n reI.
5x +l?: O
x
/ / /
,
/
x
5 + "'-:;1
/
..
/ /
Fisura 38
Esercili Stud"'rr. /",
_~egue"h
}1.m.rioni, utilizzando i stl..qgerime•• ti f orn i ti, e tracciarne il grafico .
-,_,/X+:l e
V a:_2
Sl.Jggerimenl-O . Ci a.~ pcttin m o: fI~ a tangente v erti ca le do,'c 0;; annulla il n u.J i" ... ndo, Il.Ilint Oto vertical.. d ove s ì 8.1luull n il dellOlll inatore.
X? --:-- X- 2 2x+ 3
I
i l
S!.ygerimento. Ci 8.'Ipcttiamo: punti angolosi dm·-e " j anllulla il numc raton' ; asintoto vertica le dove si "",,,,Ila il denomiTlu t oT(:. Con .... iene st u diare la fum:lon ~ senza mod"l" e poi ...
Nei pUIni 111 c u i lo. fuDziom: rum è d e finit a ma ha limite (d Htòt ro o s inistro) fi
0 0
+
(x
2
+~x
;r. .- l
-4)
, 2 .- -'"-1 ~ -"
~ -- t
c~
,
., ~
logx
log :r
.ç'r - 1
Le segu enti funz ioni, tra ite do. moddl, 7'{".lI li, con t engono qualche costant" o pllflm-wtro. Trucdarne il grafi= qlmljtatù;o ,
~
(Cnn", laqistica.) . S i t mee; , al wrriare del param et ro k , il g rafico della curva
N (t)
kNoe'
=
Ck-~,'~""""'-'\c,c"c;,
d ove 1\'0 è una costan t e positiva, (Questa fun:z: ione [appresent a., sotL" o p portu n" ipot es i e in o p portune unità di m isura , il numero
(Distl'llmzionc spdtra/e della m diaziolle eme ..uII da un corpo nef·o ) . Xell'esempio 6 .1 2 del capitolo 4 s i ,,: H",liat" rnO:Kl. iante stime as int o n ch e la [ u n7j"n", 81fhcÀ .. ~
f(>.) = ehei ",.r
l
(h, c, k cost.an ti pOl!itive; T =tempe:rlLtur a :J.S.'\OluLa , p,,"rlLmetT"Q posit.h..,. À =I un )';h ezza d'oll '" da). Se ne f:Ompleti ora lo studio ...... !colando la dcriVlltll. p rima e ditnnstra lldo che il punto di massim o di I e:wJe (a,, .•1 l I N H o (} ( f) 1'/111I!.olo [oruw\ .. d,,1 fil" ... ", la ,·t>rti c alo; a ll';s t.'l!Jle I, la f"r, ,, :.t::t>file ,ILi t" ' IlIO u (>[) " ,!i p ' 7.ior>fi' """o i> - Il'!I" " O i v . fig li ) !l '"lno cant, o> q Uei' " f",~.1 deve Il)!;''' ..;liaro:, _ pe .. la r rmda lel""':" ,1,'lla d j ..,\ ", il ''I . il pro dot. , .. dell.'l. mM."\I, 1>1 " r a c celrrazi• •,w, pari a II>"}" Si oh ;t',,,, 'l''; nd i l'l"Qu.ll' '01)('
cl,.,
,w-
miti"
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11
8" l','ro '-oSli,,,,,,,
_o, '"l i,'1 '"
~"1,,
I",
p:«" ,'~ ,-,_·.-.i{"Ol 'J f!!
d· .. 1""1 _
1 - cosx ""' "2l X2 , qui n d i l - COSI
+ o(x) ; l 2 + = "2X
R ifle t tiamo sull' u ltima: l' u g u a glianza 1 - COS X = !x:i nella forma:
+
o (I ' )
o (x 2 ) Ri p u ò r iscrivere
COSI =
(7.6)
(que~ to è ovv io: a b b iamo spo stat o dei termi n i d a un lllCmbro a un altro di u na \Ig u a ghanza). Not.i amo, i nvece , che la relazione asintotica l - cosx '" ~X2 n o n d ice la stessa cosa della r ela:z.io n e cos x ~ ] - }::1? 1n fil.tti , p er I ---> O. l 2 4:1: .~ l , perciò la. ~ ti llla co sx,...., ] - ~x ~ cont iene la ste~a Ìnfo rma;.;ione c h e d ire senlpliceUlente "cosx --. l ", cd è all. r ettanto vera che la stima CO!:iX ~ 1--'- 40X 13 ! Quest.a osservazio n e Hlostra u n va n t aggio del sinlbolo d i "o p iccolo" ri~p etto ti q uello di a':ìinto t.ico: un'uguaglianza si può risc rivere i n vari modi, è piil facile d a usa re :senza e rro r i, ris p etto ad una s t ima asintotica . P e r ese rc i zio, i l lett o re ri~cr i va med ian t e il simbo lo d i "o picr..olo" i li m i ti n o te\'oli cÌle ri g u ardan o le funzio n i ,,;1 ..... x, e"' , lo g ( l + 1:) , x"', per x ........ o.
7.3.
Formula di Taylor-Maclaurin con resto secondo Peano
Vogliu rllo ora. gene ra lizzare il proc;edi rnen t.o di "approssi mazione per lincarizzaz io n(:" a q uello d i "approssimazione poli nolnia le ". I n a lt r e parole, ci chiedianlo : d ata un a fu mdonc, de ri vabile t utt.e le voH.p. r:he Sl:irà necessario, csist.e un polil\Qmio c he. nell ·int.o rno d i un pun t o fissato , tLp prossima la funz io ne m e glio della sua r e U.a tan gente?
262
Capiwlo 5. Calcolo differenziale per funziom di una variabue
@88-08-071'47_8
L'esempio (7.6) della funzione coseno si può rileggere in tal senso: la funzione cos x è approssim ata d alla parabola y = l ~ ~X7 m eglio che dalla rett a tangen te y = 1, per x --+ O: infatti, lo scarto tra la funzione e questo polinornio di secondo grado è o (x 7 ), cioè tende a zero p iù rap idamente d i X2 (e non solo più rapidamente
d i x).
, ',5
0,5
-,
- 3
-,
O
3
I
-0,5
-, -1,5 Figu~a 42 La f un zione cosx ~ il ppt'"ossimilta diii polinom;o 11 = I -
!z" m eglio che dali .. rettil 11 = L
vicino ad z = O.
Per semplicità, cominciamo a ragionare n e ll ' int orno del punto Procediamo in 2 passi:
Xo
=
O.
a. Indiv iduiamo un polinomio "candidato" ad approssimare bene la fun zione, cercando un polinomio che abbia t utte le derivate fino all'ordine n uguali a quelle di f (x), nel punto x = O. Affinché q u esto sia sempre p ossib ile, il grado del polinOIn io dev'essere almeno n. (Infatti, la derivata n~esima d i un polinomio di g r ado minore di n è id enticamente nulla., q uindi non pot rebbe essere uguale a I{n) (O), in generale). Facendo i calcoli , si trova. che:
TeOl"ema 7.3 ( P olin omio di MacL a urin ) - D ata una funzione I derivabile n volte in x = O, esiste uno e un sol polinomio di grado < n , chiamiamolo T n , con la proprietà che:
T n (O) ~ t (O) , T;, (O) ~
f' (O) , ...
, T~n) (O) ~ t,n) (O)
e questo polinomio, detto polinomio di MacLaurin di I (x) di gmdo n, è:
T ... (x) = 1(0) _
n
-L;
2 + xj'(O) + .!.x 1"(0) + -; x3/11/(0) + ... + ...!..-x'" 1("')(0) 2 3. n!
l (k)(O) k! X
=
k
k=O
(avendo posto
1(0)
= f).
N otiamo che il p olinomio T" assegnato dal teorema precedente , soli tamente è proprio di grado n, ma p u ò avere grado minore se I(n ) (O) = O.
@
7. Calcolo dilJerennale e approSSimazioni
1111-08-0 7""'7 Il
263
È interessante osservare la coerenza dimensionale della formula che assegna il polinomio di MacLaurin: supponiamo che / abbia le dimensioni di una lunghezza [L1 e x abbia le dimension i di un t.empo [TI. Allora 11'1 = [L ] . [TI-l, [/"] = [LJ· [T] -2, e in generale [/{k}] = [LI· [T}-k. Quest.o significa che ogni adden do
!(~!(O)xk del polinomio T,., (x) ha la struttura (costante adimensionale)·(fattore di dimens. [LI·[Tj-kH fattore di dimens. [T]k) Perciò il polinomio di MacLaurin ha le dimensioni di una lunghezza, esattamente come la funz ione / che si vuole approssimare. b. Proviamo ora che il polinomio t rovato approssima bene / (x), di x = O. Precisamente, vale il:
ID
un intorno
Teorema 7.4 (Formula di MacLaurin all'ordine n , con resto secondo Peano). Sia / : (a, b) _ Hl. derivabile n volte in O E (a , b). A llora
f(x)=Tn(x)+o(x") perX_O La fonnula precedente si dice ''formula di MacLaurin di omine n, con resto secondo Peano ". La formula ha la struttura: funzio ne da approssimare = polinomio approssimante+errore di approssimrudnnp. dove l'errore di approssimazione è il termine o (x n ), detto resto secondo Peano. Per x-O, il resto secondo Peano è tanto più piccolo quanto maggiore è n. Lo spirito della formula è dunque il seguente: conoscendo un numero abbastanza alto di derivate di / nel punto x = O, si può approssimare sempre meglio f, in un intorno di x = O. Dimostrazione. Proviamo per semplicità il teorema nel caso n = 2 , ossia:
+ ~X7 / " (O) + o (l?)
/ (x) = / (O) + xl' (O)
per x
--+
O
Occorre provare che
/(x)- [/(0) +x/'(O)
+ 4X7/" (O)] =0(X7)
pcrx_O
ossia (per definizione di "o piccolo n ) che:
.
hm
/(x)- [/(0) +x/'(O)
",-o
'"
7
+ 4X7/" (O)]
=0.
Questo limite dà una fonna. di indetermillazione [O/ O), che calcoliamo (:on De L ' H06pital:
r
.,~l),
f' (x ) - 1/' (O) + xi" (O)] 2x
dà ancor a una fonna [O/OJ. Applicando una seconda volta De L ' H06pital
.
hm ._0
f" (x)
-
2
f" (O)
=0,
ot~niarno:
" , 'lripot es i c he l " Cr) siI'. 11 re·.. to j (tI.l,.; - IH d,/'/I"ul,ilt TI l'ol r, Pl .... .;:: (a . &\ .·l U'. n!
f
(:c ) = '[.. ,x c,
o lf.r-·'-roj"
( .l. )
l''
,r
I
St'i,:Olld( ~ 1"';Ln, d~J 1::1,,,1.• , i. ·l Vç·lln' lI11j"
(2/1 _ 1) '
~~ II :r
m ..d, ,,, ,I,,·;
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.. ,
.
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Nel quad ro dw
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fll l Lzioni ",!PIII"n'"ri. cùn il f("< I .. ,Ii Pl:'ano .r .: (;7"
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x z....... ,
l )n 002:--;, (2n -!- J ) ' x'
."
CO!;.r -
-I ~
r:O"
1:"--
~
- (2n
;;_~,. + l
Sh x _ x+
ehx = l '-
-I
;l '
__ _
\ :!/t -..
,, ."
ln (1 + r )
,
2
(l - x ) = l
,__
,
O ( f)·- l l
,,.l' + ---
. (
J!
+ 0 (:/:1,.
I I)
l) !
.,-" 1) .. -1~. I " ( f U)
" .r -
t) .
+ ..
, ( 0 --'"
I)
., "
+- 01 :(")
Proprfetà del simbolo d i o picc olo
l.'!uaudo s i op"r.\ su ~Vi\Uppl di Taylo r-!\·fad.,;o u .-i ll con resto ~,~ ''' Il do P e.aJlo, ;ld l'akolare liln i ti, /'1 ~L trova Ad P!'c f,1Li l' - calcoli
1I(t) =
/0. ]
V(ffi!i h ·
con ]0 s tesso s igni fica.to d e i simhol i (il coeffi ciente 11 h a (Jn~ dimensioni diven.e ) . LinclI.rb:7.ando l'f)Sp ressio"." ",i trov i C;io ne di Un " pallin a flB! O. L 'approssim a 7.ione cosÌ o t t.enu ta è per CC{~..; imamlo fi i" x
Dimostra.re , sfruttando la dcflui"iolte dei simboli di "o piccolo" e d i ~ asilltOt.iCO", t.utte le propridà e n u n c iate nel paragn..ro ~ P roprietà d el s imbolo ,Ii o p icco lo" (v . pag . 265-6 ) .
e
Nell 'esempio 4. 5 (di ffraz ione della 1m:.:) at t raV€TiKl una fenditu ra ) abbia m o v isto c he la r icuGa dei mas simi dd l ·in tp nsi t.a lumin osa ndl a fig u ra. ,l i interf« r! '''z.a per la l'..'e c he attra vcr"a una fendi tur a porta Il riso lvere l'equazion e t.g t = t . Calcolare co l met odo di Newton u n vBlore appro&Simato della p ri ma ~,l uz ione positiva di t ale eq u l\.Zione, d . e s i t rova «(:o me mostra il BTafico) (>0(:0 p r im a di ~11". (S-ugg'~Tirn"nto : applicare il metodo a lla fnn.,;ione J(t ) = tgt - t s ull ' in t ervallo [~ 1:", ~,, - 0.1], \l5ando come valore in iz ia le a = ~1f - 0.1. Calcolare Ic it e ra.te COn l'a.iuto d i li" compul.ii"
':9
B8-ù6_0T~ 4T_~
Hm z ~ ,
"'-,
Cl)
+ 2x + 3
lim
x'" (VX2
hm
(Vx2+x + f ·-- x)
"' _+00
- :1: - l)
Sv i lu p par(> i n ,.c ~i e di T aylor in \Oicinanza di
•
l
10g( 1 -+- COSx)
r
= O all 'ordino .'5 le seguenti f U!l:i.io n i:
X
l
c o~x
G
Se p O), s i d ice O dcii I' SSSOllO C&'!ere u ti lizzati. P rovare a r ifare g li "" crciz; ,).4 ,56 , 57 , W , 61 , 62, 63 u tili z zanùo opportunamen te g li svilu ppi d i Tay[or.
C
( Dimostrazione d e ll a for mula d i TayJor ) _ L a (7 _7 ) può ('''-'<ere dimOlltra ta con lo stesso metodo usat o per dim06tr are la (7.N) . defin iamo:
L [ n
9(x )
=
[(b) _
i
0) _
(I)~~ - x ) _ k (b - x )nH J
j _ O
con k d c rlIl ito da
[(b) - T n _,,(&)
=
k(b _
(l ) n ~l
a) Verific are che .q{b) = g {a ) _ O. h) ,\pplie are il teorema d i L~range a g in (a, bI. e mo'SI-rare chc-l' a.ffermaz ione '"es iste c E ("Oo(3:) , amnlCtte li m ite fin ito e tale limite è precis amente I (:r. ). . Se accade che, per ogni x in un inten-'8.llo J, E,,(J: ) - O, d ircillo che f (:c) è
s lJil-up pabilf: in .~ e1"i e d i T a ylor ll eU 'intervallo I . Ci sonu funzio n i ( infinita ruent e differenz iabili ) che sono sviluppabili in serie di Tay l or su t ut t a la retla, alt.re c h e lo sono sol o su un intervallo limit ato , a l t.re per le qua li l' in t eryallo s i ridllee a u n punto so lo (i l p unt.o xo) .
8.1.
Serie di Taylor delle trascendenti elelTlentari
Ci occ upiamo ora principalmente delle tre funzi oni elementari sin x che most re remo es.ere sviluppabili i n ser ie di Taylor su tut t o HL Scrivianlo ) 0 svilu p po di ~1f1.CLauri n all'ordi ne n per c "" > con resto secondo Lagrange: p er ogni intero "Il ed x E lR esis t.e un punto r; , compreso tra O e x , t ale t:he Xk
n
L: ~r
eX =
:r.n
+ -, e C n.
k = O.
F issianlO ora x e faccimno tendere "Il a --+-co. Il p unto c può variar e c o n n ma, essendo senlpre COTllpreso tra O e ;c, si può c o munqHe afferIllarC che
{'"
e" < I n ogn i ca:;o, per x fissat o e n _
l
'
+=,
se x
> O
se x
< O
e" si mantiene limitat o, m entre
xn
Sibile defini r e l'espre s.:;i one e Z q uando z = x un numero complesso. S i (l(:Iserva jnfa t ti c he la serie ~
2..:
"- = 0
-
è. assolutmnente c onvergente per ogni
E I,ll" / n!
Z
+ iy
è
z" 'Il ! E ([; ( infatti l a serie a t.e r mini positivi
è con vergente) e per ciò la. s u a somma è un numero complesso ch e
,,- o
pos..iolle). S i ehif\ma lIu lo r e pri nci.lJai.f~ (l d IO.f Joritmo q u e llo ch e si o ttiene p e r k = O c () E [O, 2 7r) . A d esem pio, calcolia.m O' log ( l ., i )
277
P o ic hé Il f
il
,\,'2
e arg ( l -+- i)
log ( l + i)
Il logarit.mo princip
( 1 _ i)3 / "
(_2)./3
(l
+ i)~+3j
Scrivere pat'te reale e parte immagi naria del valore principale della runzione
I (x) = x ..+· b • per z , a , b E IR
e . Utilizzando opportunamente lo sviluppo in serie di log (l + x), calcolare la scnnma della ~n.
e
Utilizzando opportunamente lo sviluppo in serie di e~ . calcolare la somma della serie
~
(-I)' .
~ 012"
6 1.
Calcolo integrale per funzioni di una variabile
INTRODUZIONE AL CALCOLO INTEGRALE
Come abbiamo fatto nel capitolo precedente per il calcolo differenziale, introduciamo anche il calcolo in tegrale partendo da alcu ni dei problemi che storicamente
hanno portato alla sua nascita. Che cosa vuoi dire misurare l'area di una figura piana a contorno curvilineo?
Questo è il più antico problema di calcolo infinitesimale che sia stato affrontato e risolto, almen o in qualche caso p articolare. L'idea elementare di misura d i un 'arca è: fissare un quadrati no unità di misura e contare quante volte questo può essere riportato n ella figura da misurare. Per questa via, si r iescono però a misurare solo rettango li e figure scomponibili in rettangoli . Andando oltre, la geometria elementare postu la che se d u e figure sono equiscomponibili (cioè posson o essere divise in un numero finito di parti rispettivamente sovrapponibili), allora sono equivalenti (cioè hanno la stessa area). Inoltre, si conviene che l' area s ia additiva , cioè se una figura T è u nione di due (o più) figure TI> T 2 (disgiu nte), l'area di T è la somma. d ell'area di T 1 e di T 2 . L'utilizzo di questi princìpi permette di calcolare le ar~ di poligoni qualsiasi. Comunque, per questa via non si arriverà mai a dar senso al concetto di area del cerchio, per esempio ( né a calcolarla): infatti il cerchio non è scomponi b ile in un n u mero finito di t r iangoli e/ o rettangoli. Che cosa vuoi dire misurare la lunghezza di una curva?
Il problema è analogo al precedente: non è p ossibile riportare un segmento unitario su una curva, e dunque "contare quante volte esso è contenuto" . Cos'è dunque la lunghezza di una curva? Entrambi questi problemi vengono risolti, nella geometria elementare di Euclide (attorno al 300 a .C.), nel caso particolare del cerchio (area del cerchio, lunghezza delIa circonferenza), con un ragionament.o che fa ricorso all 'idea di approssimazioni successive, sempre più accurate: si calcola l'area, o il perimetro, dei poligoni regolari inserit.t i e circoscritti , e ci si chiede cosa accade quando il numero dei lati cresce indefinitamente. Ecco dunque un' idea di procedimento infin ito e d i limite, che si innesta nella geometria elem entare come un ' idea nuova..
Capitolo 6. Co.lr.lIW
280
in t'Y':~!:
per funzioni di Urla /..' '!. di u na figu r a pia na e d i lu nghez:t:a d i una c u rva, c contE'.rH p("Jr ancam ~n te venne fo rnito W l algoritmo per il ca.lcolo effettivo ut.ilizzabile non solo in ca..:; i molta puriicolari : il falnOSO ''Teorema fondamentale del calcolo integrale" (v. par. 4, pago 28 G) di Ne"'Tt.on, L eillll iz, Giovanni Berno ulli, che ricond U::l.<w. t a le pro blema, nIrnt':no in molt i OI."ì, a u n esercizio di rautine: la r icerca di unu. p r imi tiva (o antider ivata) I n" lunit,:
d~ J:" "iUW
con
b-a
h~--·
Xi = a+jh ,
n
j = O, . .. , n
e sc!:lgliawo in ciascuno degli n int.ervalli [Xi_l ,Xi:' u n puntO a r bitrar io ( j 1, 2, .. . ,n). Costruiamo la som ma (d~tta di Cam~hy - Riem a nn):
Ci -
(21)
I(r)
t
I
,
I --1_ O
,,
,,
, ; '.
,,, ,
.:- '{
x I; .. a
X,
l
:{) .,I ,, .
" {4
" x, n
".
""4
= b
"
4.
.~
Figura 2 Una p,)n:icol a re sc.,lu dei p" n ti ~j pl!. n,"" ·1 e TI = 6.
Si riflet t.a su quest.a costruzione . Ad ogni ptu:iSO della co st ruzkme , l'inter ....allo lu., bI viene diviso in n intervaUini, e in ciascuno di questi ",ien e scplto un punt.o (J ' Si noti che, ad esempio, i punti ,6,f", . ,{6 sedt i 8.1 pa,;so n = 6 (v . figur a 2) souo in gcn ero.le tutti d iversi d ai p u n ti ç) ,. . , ~4 ~c1t i a l passo n = ·1 . Ad ogni pasw della costr uzionc, in gcncrflle, tutti gli a.d dendi dt!lla somma 8" cllmb iano, d ivellta ndo v ia v ia p iù Ilum erosi e pi ù p iccoli in valo r e assoluto . A quest o punto si p assa a l lirnit.e per n - +00. Vale il seguent.e risulta.to: T eorema 2 .1 - Per ognifu.n.zioltr.. f : [a , b; _ lR continua, esislt! finito ,,_+C Hm 5,..,. Tale limit·" è ;.ndipendcnte dallo s celta de? p1J7tti ( j a.d ogrn pas.'w df:.lla costrt.! ;:"ione, e si chiarna intefJ1"O.lc cii f su la, hl. Si scrive:
1
Ib
, I
[ (x)"x ~
b - (1" l - - ~ [(l',) -I .'_+OC' n j," ~ ) -...J
J;m
(2.2)
I l simbo lo
[
f(x )dx
s i legge "integrale d~ a a b d i 1(x) in dx" . In es~(), il segno f (una e~sc allungatn) è u na dcforrnaz·io n(: del :;imbolo d ì oomml:l; la scriu.llra f(x} dx rico r da. il p r o dot t o
282
Capitolo 6. Calcolo integrnle per funzioni di. una variabile
del valore di f (x ) per la lunghezza di un piccolo intervallo sull'asse x. TUtta la scrittura, quindi, ricorda il procediInento con cui l'integrale è stato definito. La variabile x si dice variabile d ' integrazione ed è una variabile Tnuta; infatti la scrittura f(t) dt ha lo stesso significato di I(x) cix, esattamente come, ad
J!:
I:;
lO
esempio,
L
lO
aj =
L
an· Ancora, notiamo che l' integrale di una funzione su un
n =l
j=l
intervallo fissato è un numero, non una funzione.
Possiamo esprimere s inteticamen te la definizione data dicendo che l'integrale è un (particolare) limite di somme, che può avere molte interpretazioni diverse (geometriche, fisiche ... ). Vediamone qualcuna.
• Interpretazione geometrica (cfr. figura 2). Sia f :::: O. Ogni addendo della (2.1) rappresenta l 'area d el rettangolo avente come base il segIIlento [Xj-I,Xj] e come altezza f({ j). La somma S ... rappresenta dunque un 'approssimazione dell'area della parte di piano compreso tra l'asse x , a:::; x :::; b, e il grafico di f (tra~ezioide individuato da J). Passando al liIDite per n --+ +00, si ha
I -1" Sn
f(x)dx =
area del trapezioide
I
Più precisamente, è l'integrale che costituisce Ulla definizione precisa dell 'area del trapezioide individuato da una curva y = f(x ), e n o n viceversa. Perciò, è il calcolo in6nitesimale che permette di dar senso rul ' idea di area di una figura piana in generale. Si n oti che, nel caso in cui f canlbia segno, l 'integrale rappresenta una somma di aree con segno. Nel caso in figura y si ha: y = f ( x)
,T,
o
x
l'
f(x)dx
~
= area (TI ) - area (T2)
+ area
(T3 )
y
Ad esempio, per siInmetria si ha:
(,.
lo
sinxdx=O
Si noti anche il caso elementare: se c è una costante, re ttangolo di altezza c e base (b - a)) .
,.
I: cdx
x
= c(b - a) (area del
• I nterpretazione cinematica. Supponiamo che un punto materiale si muova lungo una traiettoria fissata, con velocità v( t ) variabile nel tempo, c chiediamoci quanto spazio è percorso dal punto nell ' intervallo di tempo [O, TJ. Suddividiamo [O, T ] in n intervallini [tj-l, t j ] s ufficientemente piccoli da poter pensare che in ciascuno di essi la velocità vari di poco. Dunque, se { j è un qualsiasi punto di [t j -l . tj ], V({j)
@
2, L'integrule come limite di somme
118-011-07"4.7_8
283
sarà. cir ca uguale alla velocità media del pun to nell 'intervallo di tempo [tj - l , ti]; perciò lo spazio percorso in questo intervallino di tempo sarà. V({j)(tj - tj-d, e lo spazio totale percorso sarà n
L
V({j)(t j - t,-l)
j=l Al crescere di n questa approssimazione dello spazio percorso si fa sempre migliore. Perciò il valore vero dello s p azio percorso è il limite per n _ 00 di questa espressione, ossia: Spazio percorso in [O, T] =
l
T
v(t) dt
Lo spazio percorso è l'in tegrale della velocità rispetto a l tempo . • Interpretazione meccanica. Supponiamo che un sistema fisico caratterizzato da p r essione (= p) e volume (= V) evolva da uno stato (PA, VA) ad uno stato (PB, VB) , a tClllperatur a costante. GrafiC8.1llente, nel p iano V , p si ha.: p
p = p(V)
,
o Figura 3
In questo caso area (T ) = lavoro effettuato nella trasformazione da (PA, VA ) a (PB, VB )
t
p({j)(Vj - VJ-d costituisce il la, =1 voro effettuato in corrispondenza di una variazione d i volume AV = Vj - Vi-l (dimensionalmente: [v] = (ForzaI· [lunghezzaj-2, [VI = \lllilghezzaj3 e perciò [p . AVI = [Forl:al . [lunghezza!). Passando al limite per n - +00 si ottiene l'interpretazione richiesta. A lla stessa. conclusione si può arrivare con un procedimento, s pesso usato nelle applicazioni dell 'integrale, come il seguente.
Infatti, ogni addendo della somma Sn =
28 4
6.
Ca pltoto
eulcolo ~ T!te9rflle per fun;; i oni
di anucc"e"n:""""","le'--_____ ,@"""'"W"''c''"'''"'"'C' -,
lu cor ris p o n de nza a lla vildazionc di volume da V a V + dV , con dV IllOltO p iccolo, si p uò considerare la p r ess ione costant e (= p(V)) e qu indi il lavor o element are dL e iIe tluato dnr a nte l a has fo rmaziollc è d
J~~",
dL =
f 8 iv",
p( \...· )dV
PRO PRIETÀ DELL ' INTEGRALE
Dir c ttanlcnte dalla definizione s i pos .I.~"do I continua in ;a,bl. es>:->!. è dotata di ( = m). Dalla proprie tà di monotonia si ha
m
es~te
I {z)dx
~
D
(3. 3) m~imo
) l'..
- -I, - a
( = .\1) e m inimo
,\ 1 dx = AI
Q uindi il ~"'llore b~" 1(;1;) d;r. È' compreso t m il m inimu ed il m'Lull ionì C"Ontinue tale va lo r.; è ug uale a I (c) per (l \talche c ~ [a. Il.. [}
• Valar m&lio, t.'alar e..f}icacc. Chiamiam o:
J' (II _ l' l"
-_lb f (x)d.x = a .. l a
Es,:;endo
- l- b - (~
if(x)J'2dx
Co
"'~dlor medio
)'"
J (x) dx """-
"
'
=
lim
di f su la, hl ;,-"""
valor efficace d i f su
1 --$"~",,,
n - '~=b
- a
fim
.-. ~ ----.,.,
h,
la. b) = lE
" ! ((i) -J ~ Il L..)~ l
si vcdt:!' c:he f--.: e una gcncralizzitr.qmle: per J"nzioni di urla vllrialrile
290
c cioè:
(')
G (x) prim iti va di
~
GlI,(t ))
primiti va d i
=>
1(",(')) . ;",condo lI.elub ro_
(5 .4)
5 ,8,
,
,
'l'
-ct
,
-(lo~lll-
=
~.
,
- ) /
9
.
, "1 - - -'- I , t
+ (:
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~
"
:-,., ii d
s ;nxcotixr!.:r.
x ( I +- (log x )l)
.
fD
.'Y j. ,
~,
o o
a>
+ 2)dx
I ( t;; nx)2,1"si a2 xdJ:
l .' l
€E)
1
J
c o t ggx d x
O l(,''"~''
~
- :lx -
1)2
~ 1~
O è u na COM.aotl:!- (det.ta c-Ostantc elasr.iCA) che di p ende dalla molla . L a. (6 .1) si chiama legge di lIooke. Per cakolare l'enl:!-r g ia. p o t.enziale a.,:,!:!Ociat,!:l alla fou.a F, c a lcoliamo il h!.\'o ro L che u na f01"2& ,,-pplicat.!:'. , F '"pp. deve COi'lIplC(C per spostare la m a....... a ,' 1, iniziahnentc a ripn~, in un punto di ascissa :1.: , _ L 'energia poleuziale t;.U rù data da E l>"'. = -L . In base alla (6. 1 ), la forza ap p licata è funziow'! ddla posizione ed è in ogni pUlito uguale ed oppost.a. a F: F app
= -F =
/;: x
Il la,mro elementare dL relativo a uno ~-postamcnto da x Il :r + dx (Iri:rl molt o p iccolo) n el quale si può considerare F. pp = 1:l.nitante = kx, è dato da dL = k x dx. Int.cgrando t ra O e !'i i o ttiene
x,
&= . fi
~ l lJ Ulf'
E "n< =
l •.
2
-"2 ":X f
l" o
[' l'I
kxdx=k -Xl
2
o
1 kx} =-
2
.
P iù in gener1\le, ~f! una. forza agisce lungo una retta, çh e scegliamo come a!lRf! x, s p o;;l.alldo un pun to materia le da a a b, il luvoro clf! lla forza F {x ) è da\.(l per defin izione dall'int.f!gralp.: b T. = P (x) dx
l
Nalllraimente , da UII pUlito d i vist.a. lisico, è molto rClitr ir.t.iyo asswnerè che il m ot.o sì. svolga hmgo una rett.a... Questa è ulla delle mOI.ivazioni c he porteranno a Fivi luPI?Jln: ulteriorm ente la teoria dell'integra:;,iolle , d efinendo gli inteymlt di lirlea (cap. 9 e (".ap. 11 ) , m~dianl.E'. i quali si dar à sen~o al concetto di lavoro lungo una l:un"U. qual~iasj dello .!:;pazlo .
• Lun gh ezza di 1m gmjiCQ. Sia y = f( x) una fu n zione l:ontinua COI! la .!:;ua deriva.ta prim a J'(x), in un intervallo [u , bI. Vogliamo tro. . . are una formula pcr la hmgh czza df!1 g m fico di f . A t tLll:! &:opo calcoliamo il cOlltri b u to alla lunghez7.a totale della park di grafico compresa t ra le ascisse x e x ...... dx. Se dx (> O) è molLO pic.;(:olo. in t n le intervallo si può cOIl~ idera r e il ~'nLfico COl1\f' ret.ti liTleo e calcolarli l:! la luug hE'zzrl. di COli il t·eorcrna. di Pitagora. Con riferi ment.o a lla Fì~ura 8 a un incremento ch; in ascis.., c, sia voI = 37faoc (come in crIcH i si p uò d imos t rare , CO n metod i diversi) . Esercizi Calco la.re il lavoro della. forza F (x) = ~ nello s pos t are un punto da a a h (O < a
fIl)
< b) .
G>
Calcolare il volume del solido cb(~ s i ottie n e facendo r UOk-u-e int.orno a ll 'asse y l' arco d i parabola y = x" ,x E [0 , 1""] , e chiu dendo la figura ott..,rmta col p ian o y = ).2 . ( A t,tenz ione: p oiché l' asse ò i w t-azione è l ' ,,-~ Y . o ccorre ve dere la c nrva come fu nz ione x = f( y) ) ,
7.
FUNZIONI INTEGRABILI. INTEGRALI GENERALIZZATI
In molte s itu82ioni concrete (calco lo delle probabilit-à c s t a tistica ne sono f'$of!rnp i) s i presentano integrali di f unzioni discont inue , i llim it at.e c a n c h e in tegr a li e~tcsi a intervalli illimitat.i.
7.1.
Integrali di funzioni discontinue
Se una funzio ne f : [a , b] -------- IR presenta un nmnero finito d i sal t i Tlel p u n ti , 'rk , s i defi n isce l'i nt.egrale di f il! [a, b] in modo naturale:
1'1, '"
l'
" f( x )d x =
1"'
f(x) d x
(7.3 )
Q +",
Esempio importante 7 .2 .
Calcolo dell' integr ale "
.
lR.,
continue, con
h m f(x ) = z~b -
lim g ( x ) = +oc
:r--->ò -
l segueIlti criteri permettono di decid ere se un integrale è convergent e o d ive rgente, senza. calcol arl o :
• Confronto. Se O :$ J (x) ::; g(x)
(a , ti ), Jl.lIora
integrab ile
=
f
illtegra b ile
n o n integrab ile
=
9
non integr abile
9
! f
lfl
I nfatti , p er la p rop rie tà d i monoton ia d ell 'in t egrale , s i ha.:
o < lb - ~
f(x ) dx::::;
"
c
b -
g(:r )dx
a
c, p a.'lsaIHlo a l li mite per IO
---+ O ~,
• C onfronto asinl-otico. Se
f >
II
l
s i prova l a t esi.
0, 9
> Oc f
integ rabi lc
0
=
log'-"
+=).
__ __ _ . _____-'7c. _p"""C'""o'"C0ni i1l-tl:gmbili, integrali !]C1wralizzr1t l Caso i n
cF
305
l ~ Si h a '
[
, 1- - - ,,,,'
l -
lì'
-
{
-
1)
Dunque
-"-= l
- - d", '--'
[
.,
R iassumend o,
T
_
lun
1,
--
\,,-'
'-' _ _ "" l - Q
l _ a
1)
I
u
,- '}+"""
·x·
~f'
l - l
"
"" "
- - ----;-cc--:-----:------:~
• ;
l
1 -- 6_ C a lOO/Q 1I'Itegmle JU'7 funZ'iorlj. di ""a variabile
ft
~dx = log N _ +ov oe N ----- -:-00, a nche
, t ;; -
+00 se l'l
---+
+00 ,
n= l
che d imostra Iv. divergeJl'l,a d ella serie a rmon ica .
• Convergenza della serie armonica ge nerali,un/.n per a 2 .2 , cap. ::I) c h e la serie
>
l. Abbiamo ,.. isto (pa r .
converge per (l' > l (e d iverge p er (ì : ; 1). L '8ff~ rmaz ione è ~to.La d imostrata Pf!r o; > 2 (confronto con la serie d i Mcngoli ). Siamo or a in grado d i dimost.rarla p er q ualunque a: > l. Il ragionamento è analogo a quello su lla scrie armonica, con le disugu a glia ll:ie in SCIl.";O invenm. Dalla figura 14 si "'t'dc ch e p e r og ni inl ero IV 'vale la d isuguaglianza
< -
i l
N
.'
d.
-
:1: 0
y
Figu ra 14
Poiché per
(~
> l e
}'1i
~
00 l'integn de con verge (per qUl1nt.o già \-is to), anch e
la serie converge (la s uccessione d elle somme parzillli è
Crt'.8CCll t e
e superiormente
lim it.ata). 7 .5 .
Criteri di integrabilìtà all'infinito
Siano 1,9 : la. +00) --IR.. conti n ue. P er dccjd~ re se un illtt'gralc C convergen t.c o meno, valgollo c ri te r i analogh i q uelli per l'integrale d i funzio nì illimitato.
1;1.
es> 1'''-U!>_()7 11 4 T _8
7. Funz;oni i ntr-'lfub i li, lnl"!J1"uil _q r:ncralizzat1
307
• Co n fronf o . S e O S f (x) :'S y(x) in [a , +=) a llora. i n t egrab il e
9
f
=
non int egrabilc
intebrrab ilc
9
non inteh'Tabile
f . . . ., 9
• Confronlo asintotico. Se f > 0 , 9 > O e
II
f
ifltegrabile
+=, allora
per x -
i u t egr a b ilc
9
I
Esempi
7.6.
L ' int tlgnlle
J
+~
.' f; -
d;;;
è convergente_ Infatt i. s i può !Scriv e re
> l si ha
Ossenria.!110 ora cliC per x D 'altra part e
x~
Per co nfronto ~ i dcd nce c he anch e I 1+
> x e quindi e - '"
00
< e. - '; _
e - '" dx è convcrg ente.
7 . 7. h' f (x ) ~ ~ p e r x
----> +00
e Quindi è integrabile «7.6) ,
eOll Cl
= 2 ).
L ' integrale I l è ) >cr!.ant.o ""nvcrgen l-e. 12
:
f (x )
~ ~
pe r x -,
+ .')0 e qu ind i n o n è in t egrabilc « 7_6)
L ' int egrale 12 è pertanto d ivergente a
CUI!
(l
=
1)_
+:x: .
PelOfunz ioni di segno q u a lunq u e s i ha ancora:
.l+"'" If(x) ld:r Se
li : è
convergellte
i ntegrabi ]C in [a , + =
) si
d ice che
= f
1-'-= "
f (x )dx
convergente
è assolutam.ente i ntcgmbilc in [n , +-= ).
Capitolo 6. CalCQlot'ltcgml~ pe r fWlZlon i d" Ulla "aria,'"iI~'_ _ _ _---,0 "sll m a un vo.lorc ~ :r ; la variabile in que8 t.ione descrive a.d (~empio , o;ottO c~ r~ ip o tesi, l'errore conl m c::;.:,;o ne lla mis u raz.io ne d i ul!a gn \.I1de;>;;!.a fì.:sica . Si noti che p er ogni x quello che si calcol ... in q Ul::':Sto caso è un integra le gCllcn llizzato, est eso all'inter vallo illimita t o (--o:),:l:) .
Il g r a fico d e lla funz ion~ inl egraIl da c d e lla funzione in teg rale , rispett.ivalnentt->. sOfia r ipoTl fl ti nella figur a 15 .
Capitolo 6 . Calcolo tnttgrOle per funnont di una vanabUe
310
---------------- --------
-,
,
2
- 2
- 2
2
Figura 15
• Ottica. Nello studio di certi fe nomeni legat i all'i nterferenza luminosa, compaiono le funzioni integrali di Fresael:
C(x) =
Cl
1% cos(t2 )dt
dove Cl , C2 sono opportune costanti di naTmalizzazione .
•.,
•8
,
,
- o_s
, •
••• ••• •.,
-,
, ,.,
-.,,
, v-fico di
\
.
,
•
,
•
,
grafico di S(:r:)
si.n( t'l'J
{\
, ~'
,
•
,
•• ••• •• "
,
,
grafioo d i C(z)
Figura 16
Ma le funzioni int.egrali hanno anche una fondamentale importanza matematica,
dovuta al :
Cf)
8. Funzioni mtegro.li
8&-011-071147_11
Secondo teorema fondamentale del calcolo integrale -
Sia f : I -
311
IR una
funzione definita e continua sull 'intervallo I , e sia
F(x)
~ i' f(t)dt
l,o
la sua funzione integrale, con Xo E I [tSsato. (quindi anche continua) in tutto I , e
Allora la funzione F è derivabile
F'(x ) = f (x) per ogni x E I Il teorema ha varie con seguenze: 1 ) Anzitutto, F è derivabile con continuità, perché F' = f e f è continua. 2 ) Se f non è solo continua, ma è derivabile con continuità, allora anchc j-"" è derivabile con contin uità (perché è = f) , perciò F è due volte derivabile con cont inu ità. Iterando: la funzione integrale ha sempre un grado di regolarità in più rispetto alla funzione in tegranda: sc f è con tinua allora F ha der ivata contin ua; se f ha derivata contin ua, allora F ha derivata seconda continua, ecc. 3) Dal teore m a segue in particolare che ogni funzione continua su [ ha ivi una primitiva: la sua funzione integrale. (Questa affermazion e era stata fatta nel paragrafo 3 , ma non dimostrata). Possiamo scrivere quindi:
J
f(x)dx
~ l>(t)d' + c
Oimostraxione. Consideriamo il rapporto incrementale di F; per l' addit.ivit.à dell'integrale rispet.t.o all' intervallo di integrazione, si può scrive re:
r+' f (t )dt - )"'of(t)dt r }=
l ' { )"'0 h{F(x + h)-F(x)}=h =
li'
i'H
h {Iraj(t)dt +)'"
j(t)dt -
r
) "'0 j(t )dt}
=
l{'+'
h )",
Usando il teorema dell a media relativamente all'intervallo di estre mi x e x
l
h dove
F (x O,
C io ---+ X
ha:
j (t )d t = j(clo)
+ h.
+ h)
- F (x) = j(Ch)
(8. 1)
h ---->
+ h , si
("'+10
I"
Cio è un punto opportuno tra x e x Abb iamo dunque
Se ora h
j(t )dt
e, usando la continuità di j, s i ha: loHm f (clo) _ O
=
f( lolim Cio) = j(x). _ O
Dalla (8.1 ) si conclude che il limite dci primo membro esiste e che
F'(x ) = lim F (x lo_O
che è la tesi.
+ h) -
F (x) = f (x )
h
D
Esempio
e.l.
S ia
F (z) =
,
f~ ~~
'f dI
(S I nOLi " he non si sa lI O p er o p;ni x. F (z) .: "n' mprc " r ..~"(:e nt e l noltre 2
~
F "( x ) = - ~E_ -- "'Y 2: ()
p CL' :r;
S; O
l'Ilr ciò F (x) ha u n pun to di ties&O per r = O, ed è coucava ve TVI l'alto per or.
,
••/. '" ldt =x O
... , :r:< 0
lZ
- ldr _ -:r
d un que F ( x ) = Ixi. C onw ~ i vede in figura 17, F f. c ontinua o \-'u u'l ue , ma presenla IIn punto a t.goloso (q ui,,,li d i no n dero v::.bil it a) esattrun", n te do' -.:! l... ftH"lz.io n e in tegrand a è di.'lco ntint.a .
,
,if----
----11-,
.)
F'"I.I.,. 17 iO } G r"fico d i [Ct ): b ) ~r,.fic o di F(:z) .
b)
9 _ Conv a ltl-Zwnc" ",ùu-m, fi-.ici lineari
6 .3.
Sia j et )
,
v: ' e
=
F(",,) =
r :~! " I
"'".. ./,(J
f Ct idt = 1- 1~ , 3 :
3
2
r
J(t ) ---" O !w r t :'S O, e s ia F ( x ) = f n f (t)dl. Calcola re csp licitillJJcnte F C:.:) e tTilr:ciarn.., i l gra fico . F è co nt inua? È d erivflb il c in tutt o IR? S ia /(t ) = e - t p e r {
(l,
~ SIa l la fum: ione period ica di periodo 2 (cioè l Cx + 2 ) = [ (x ), per o gni x) che as~UJT\e il valore 1 p er [I :'S x < 1 ed assllme il "3lo re zero per 1 < :" < 2 . a ) D isegnare il g rafico di [ . l» Calcolare F (x ) = .I;~ f (t Jdt l'~,r '" :2:: Cl _
S-uggt'ri-rnento: lJ on cercare Ulla pri m it iva dcu.cntare rldl'i nt.egranda: è 'uutik .
3>4
9.
Capitolo 6 . Ca/colo , nlt'gnu« per funzioni di. una variabile
CONVOlUZIONE E SISTEMI FISICI LINEARI
G li integrali estesi ad intervalli illi mitati intervengono nel concet.t.o di convoluzione fra due funzion i, che gioca un r uol o importa nte nella modP.llizzazione dei cosiddett i "sistCllli lineari" . Prccis.o"l.mentc, consid crianlo u n s istmua fisico c h e operi nel modo descri tto dal diagram luft seguente :
e(t)
--~,
IL
_
_
8_--, - - - - r(t)
e(O cu rrisponde una ri~po.~ta r (t), d ipendente d al l' ingr es.so mediante una funzion e S caratterizzante il s istema. Si abbia cioè
Cloe a un ingre5s o
,·(t)
~
S [c](t )
Q u i ingre:sso e ris p ostR sono d ue grand ezze variabili nel tempo, c ioè due fu n zioni cCt ), r (t): S è u n operatore che tra."n
indi-
(9.1 ) Supponiamo ino ltre che il sistema abb ia la segucnte proprietà di invarianza tem porale: se a ll'i!lgres. (' - T)dT
~ ~
L'integrale nella (9 .5) p rende il n o me di cantiolurionE di e c h c s i indica 001 simbolo (c ... h)(t.). D unque :
O f;f;ia : La risposta un sistema ltnl'.arc ad un qual1mqui! in,qresso e(l ) si ottÙ':ne come r.onvoltlzione con la rispul>ta aU '\mpt,[I)o di D ,mc.
"i
In generolc, d ate due fu nzion i f e ,q illtegr abi li in Hl si chiama prodo/.lo Ili convolu.zione, o ::;empliccment-e conuoluzioue di f e 9 la fun:d onc d efinit.a di'lU a fo rmula segu ente
. (f. g)(") ~
j~ _
+ '~
(!J.G)
/ (")9 (" - y)dy
f + [I 6; legge " f /:am ;nlunone 9" . F requentemente J e 9 sono nulle per x < O; in questo ea.
+
",2
a
e si procede al so lit.o m o do. Si not i che
b
)dx
duo! il imm ediato.
10.0.
Il fatt ore (x2 - X
+
I ) è irriducibi le. S i scompon e '
(:I:
+
x' + l)" (x~
x
ex -,- d x+
1)
e si i mposta lIn s istema d i q uatt ro equ"z ioni in quattro in cognite c h e risolto dà la scompos izione in fratti toemp lici . S i trovano CùO'>ì due illtej:';l ali di li pi d ", abbiamo già trattato .
• F unzion i razionali d i e"' . Dovelldo in tegrO'lle u na fUIl~.i one razionale d i e Z , si p o n e e? = t; x = log t ; d,t: = ~ , e ci si r iconduce a una funz ione razio n ale dì t. Occorre, alla fine , to rna re alla Hlxiu.b ile :1: .
Es empio _10.7.
,,0" 0 pari, si possono u sare le forrnu!t: ~ri gonoUlet..- ichc p l:lr l'abbassame n to del grado:
-2, ( 1 ....
CO:5
!
.
10. 9.
2 :r; )
(s in:l;)2
'
~(1 - cos2 x )
,
(sin x ) (co.'1:r.) dx
Si ver ifich i che d alle form ule preceden ti segue:
J
(sin X) 2 (COS x)" d r =
~
f
( - (eoo 2 r)3 - (cos 2x )2
+ {:(>s 2r +
l )dx
Ora : gli ad d e n d i cos2x + 1 h anu o integ rale immedia.to; (COfI2 x)~ bi ic t et,:nl Cemplice o un buon softw--drc a portata. d i mano.
Esempio
5i n x--Sc.:os:z:d!l.' 3 --L- 5in 3:
10. 11.
/
L ' integra le si scomp one n eUa so mma di duw l
si n :r
~
:1 +
/
~jllx
dx -5/
e ' JHX
J
+ &iDX
dx = l, ~ 5h
Il secondo è immediato, l, = log(3 .... Hi uz ) +c
Il prim o nOli è immedia t.o , lun p uò ''''"'lIti r/:id i" i q uad r ate. si dfett l!;1 U!la >,o>, ti t uzion .. sl?nd fud .r~ ,
Si pone:
L
(1
" in 1_,!.r
=
(l
("o ,.; IdI
:r ....
,ucosl j
( S" ~i sta c akolandu un intq~ral. , ']p fÌ ll ito ... i :-a d .. n , \~aria 7 . •' 'I ll iud i f : pen 'i , ; si può tog lif'r, ' il modulo rnett " l ldo il segno npP"ltnno ) L·iIl I, ' ~ r a l , · '.. q u i nd i ri'-<JudoTfo a qll d l" , l i urlt'. fUlV I.,) ... ~",- zi"-) : la l .. ,[ " 11: 1_C"" t . .-\ ~lIa ~- , )ha. questfJ . ' " ' Iapre ric:o JH1IH-il , ile all·int '~_l!:r : ll. ' ,li Ul!3 ~un7 i "I," r"Z; ' >Ilii!P_ 111(' ,j i' l1 :l t' la ;;O>, i) t1\ zi" tlc 19 = 11 {f) Il ll' a ltra y j;\ p l ,' 1 ",, ·mplicc. ~'-' p" ... "ii ,ilt-) .
i
B, ·/a"'! -+- xl
Si pOlle: x = (/ Sh / , ,Ix -~
,
\ (1 " -' - J"
=
a eh / di;
\ ' u ~ ' l---'---- i ~! ,': " ,
_o aCht
(Si o sseTv i dw ( :h t (- selll prT 1.".-;ltIYo). L ' iIl!.,,:.'.!"al.· è qu i nd i r k " m l"t. ro a II l1.-1I.) di una fu n zJ( l!w l ;z;ar" a I (t)
=
ao
+
L
{(l I< ,».'; k:..lt
+
bi< sin k
Calcolm-e
{h
~h )(x )
=
!~C
h(y) , ,(x - y)dy
e disegnarne il gnl.fico.
..
~
~:~
7 1.
Equazioni differenziali
MODELLI DIFFERENZIALI
Come abbiamo vis t o nel capitolo 5 , il concett.Q d i de riva ta di una funzione s i prest.a a numcr~ i nterpretazioni fis ic he. R icoràando solo uno de~li esempi fa tti , se x (t ) ra ppresent a la p06izionc aU' is t allte t di Ulla part.icella r he si muove l u n go ~ma rett.a, le derivate x ' (t ) e ..:" (t ) r app resentano , rispettivanlcnt c , la veloci t.à c l'accelerazione della particella . l\on c 'è d a stupirsi, allo ra , se la traduzione nlaternatica di molte leggi che governano fenomen i naì.urali p orti a scrivere equazio ni che coin\·o lgono una fuIt7.ionc incognita e qll8.1cuna delle sue derivate: è quest.o il COJlcet.t.o di equ az ione differe nziale . NUlHcros issim i modell i m a tematici svi luppat.i negli u ltimi 300 anni dalle scienze a pplicat e (fisica, b iulogia, ecologk'1, econo mia . .. ) s i formulano per mez:w d i equa"ioni diffp. rem:i flli. S i parla anche, perciò , di modelli dijje1"cnziali. In mat ema tic a si d isti nguono le equaziuni (IijJcrcnziali uroina1'it; e le c;f[uazion-i differe n ziali a deri·v ate parzitdi . In ql1c."!t.o capitolo ci occuperemo delle prime, che anzi d 'ora in poi ch if,l.IllerClllo :;emplicernente "eq,lazioni diffcrenz if,l.li", mentre d elle bt:X:Ond e da re mo solo qualche idea nel capitolo lO, paragra fo 4 .1. Si dice equ aziune diiferenziale d i ordine n un 'equazio ne del ti p o:
...
F (t,y , y' , y",.
,y(n )) =0
(l.I)
dove y (t ) è la funzione incognit a , e F è una funzio ne assegnata delle 1l +2 variabil i t, y , y ' , y" , . , y (n j • a V'alori reali. L ' ordine dell'equazione è l'ordine massimo d i derÌ\'3zionc c hc vi compare. Si d irà soluzi on e , o ( cu1 y (t) trova ta e le sue d eri""l'I.te cakulat.e e ffettivalm"'te , dl'hN (I) e phN(t) . Perciò, la variazione dci n u mero d i individui in un tempo h sarà:
}'r(t + h ) - N (l )
=
>'hI\'(t ) - !lhl.... ( t )
Dividendo ambo i membri della precedente equazione per h a bbiamo
- N (t) ~ () _ ~) N(t.) (l.3) h Assumiamo valida la (1.3) per ogui int.ervaHo di tem pu h; p rendendu il1.imite d i a llibo i IOewb ri per h _ O abbiamo (ammesso c he la funzion e jV(t) sia derivabile) N (t
+ h)
I N(t) ~
(A -
~)N(t ) I
( 1.4)
La (1.4 ) è un 'equazione differenz·iale l i neare dci primo o rdine; il numero E = À - /.1. si c h iama potenziale biologi co. Sc ri vendo la (1.·1) nella forma ti.r IlV = E , si osserva che il tas.."'lO relativo di crescit.a (o dimi nuz ione) d i }\l è costante. L a (1 ..4 ) non a mmet te u na sol a so luzione, ma infinite; com e v e d remo, esse sono tutte della fOrIna
(1.5) d ove c è una qualsiasi costallt.e reale . Not.ialn o f'_"'lp licitarnente cosa s ign ific a ehe la (1.5) è s o luzione della (1.1) : se n ella (1.4) sosti t.uiamo n.d iV (t ) la sua espressione ce..: I , c a iv (t) la sila f'B jlressione cré t (c a lco lata dalla ( 1.4», ott.elliamo un'identità. Se si cono:;ce i l nUIHero di individui presen l.i i n un dato istante, per esempio, .N(O) = ~\ro ( condizione iniziale) s i può selezion are, tra le soluzioni ( 1..4 ) , quella ( unica) soddisfa.oente a lla condizione data: ris u lta così
[ N(t.) = Noé' I
(1.0 )
La ( 1.6) è una formula es p licita che ci com;ente di conoscere, in ogni ist.ante t 2: O (ma anc h e t < O) , il numero di i ndi"\"idui presenti nella popolazione; ci consent.e a n che di sapere come ::òar à l'evoluzio ne fin ale (t - +=) della p opolazione: essa t.e nderà all 'est i n zione (N(t ) _ O) se E: < O.. mentre cre5Ccrà f'_sponenz ial m ent.e se E> O. ~lORt ri amo come sì arriva a d et.erm inare le soluz ioni ( 1.5 ) dc ll 'equazione (1.4) . Antici p eremo così facendo, in un ca:;u particolare , un ragioll"l.lnent.o che vedremo più in generale in seguito. L 't..'qua.zione i l/l..r = E (eC il n umero y è uua soluzion e d ell'equaziùt1fl b(y) = 0, la funzi o ne cost.l'I.llt.e y (t ) = y è u n a soluzio ne ddl 'o::quazione d ifferen ziale. I nf~tt· i in ta! CabO il secondo Illembro Ri annulla p fl rc.h6 b (tn = 0 , e il priUlo membro Ri annulla, perché III. derkata della fu nzion e co stan te è zero. Supponen do illvecc b (y) i=- 0 , lA. ( 2.5 ) s i può riscrive re nellA. forma y'
b (y ) =
(.L
(t) .
Cn ' ipotetica so luzione y (t ) 1:òOdd isfa d\lnque !'ident ità
y' (t ) b(y (t » ~ 0(1.) . P rendendo gli integrali d efi n iti di a m bo i membri I>i
I
.
y'(t) b(y(t))dt =
J
Qtt i ~me:
a (t)dt +c..
Ora Ilell ' imegrale a. p r imo membro si può fare il c tLlltbin di variab ile y = 1J(t) ; 1111 =
y ' (t)dt ottellend()
J
- rqUaziOl li a. \'ar i,1hi li !'wpar ubi li va le i l :>" g"ucnk ri ~\l 1I I di C'sis t "112 'Iziooe si in l f:grl1
Si
,lI (Uj :.... :2
,.... ri w~nd,, :
"",..-r\'i
c h., , ... r og n : ',,'o re , I. r E lH '·~:" t O IL " dllE' MlIH,,;nni Ic .... rTl"' pond,·llti ai dH" segni alla riul ice ) , .l'''i,,; t,, ~" I" pcr x 2: - c. Io I1)1o"~n '
"" nd i 7.i"r\! ~
in i..: i"I. ' nell" ill t"lI;r al", J;!< "l'mport.a !l1iaor i ris o rse" c iò
im p lica. u n minore t;l.. O (quando t --> +DC ) la soluzione N(l) = k s i dice
2.3 .
Equazioni lineari del primo ordine
Sono equft2 io n i del t ipo (2.1) con F linea re in y e y', ossia che si pOEsono scrivere nella fo rmà.
.
Iy '(t ) + a( t )y Ct) ~ ! (t) I l'O Il
a e / c ontin u e s ull ' illt.ervallo I ;;; IR. S e f = O l'equazione z'(t)
+ u(t) .t(t )
(2 .8) ;:,i
dice
omogenea. (2 .9)
= O
P er d:lntro, la (2.8) si dirà (;()ffip{ cta.. D i n l()st.ria m o anzitutt o la seguent·e pro pooizion e fOJldamelltale (che , come vedremo, !;i estenderà t\.He eq ul:Lzioni lineari di ordine qualsiasi):
Teorema 2 .1 - L 'i.ntegrale genero.J.e. tld l 'eqt1ll21·one completa Si ottie.n ò:: aggiungendo a ll'illt egrale geneTUle dellu omogenea una solu...-ione particolun: ddla completa. Dimost.ral;orM? Sia infatti y(t) u n a qual u nque soluziolle della (2 .8) Il iJ(t) una solml:ione particolare, c ioè:
y' + aCt)y -:- f(l.)
il'
+ a{t ) y
zz
J et)
+ a(tHy
- li)
S ottraendo nl + v = O è dat.o da ccx l'( - t / R C}. A llora la '-'Olu z ione della (2 . 14 ), t lÙC che u(O) = 'Uo,;, d ata , la :
u (t )
=
E - ( E - llo)e- t
(2 . 15)
avendo p
J
o.
Più i n gcncral€, sia 8 u n sis tema fisico che ad u n a soUecitaziOTlt.1 c fi t, erna ( entrata o ingres.i o) J (t ) reag isce con IJn;';' r ispost a (Mcit l') y(t) l eg:-;.t.tt. ad
y (t)
+
ay ( t )
f(t i
= f (l. )
a c~"tant.c !J ( t
l
S 0I. -"--
> O
f
dalla relA..dOfl t:: ( ~ . LG )
2. E quazuml d el primo ordine
3 41
P ost.o y (O) = yrJ l'u scit.a y( t ) ù e l sist em a è data. dalla fommlRo ( 2 . 13) (con A (l ) _ at ) che !li ~cri"c
y( t ) = yo c-o. t
d ove y oc -
ut -
O p ('r t -
+ e - a'
-00,
I:
l' f(s ) c(J~ds
Yoc " 4'
=
+ F ( t)
perciò il l-cgime pennamentt: ~ dato da
F (t) =
l' f(l:i)e-a (t-~; ds
doè d a lla co nvo luz i oIl~ h ~ f(t ) (vedi cap. 0 , p ar. 9) delin solleci t a z ione €!l t e rnh f co n lu funzione h(t ) = e -a l ch e cara.tter izza, a ttraver !lO 1ft. cost a n tI'! (l, le p ro prietà rlsic.h e d ci sist e ma S . SI;' la sollecit.azionc esterna è di t ipo impub.ivo ( lin impulso di D irac a ll'istttntt! t o: f ( t ) '"- o(t - t o ) , la ris po::st a sar à:
F (t ) = {
F(t'l" 'I uali valori d i to, YD t.ale problema arnrn"t tc certamen te una. e una sola soluzione. li) Si det.erminino t.utte 1 b, a < b. 'Ih,,~ci are infin
344
Capitolo 7.
Eq"a ~ùmi
rl.i1Jcreru::iali
@l!B-Oi'_OT64 7_8
~ S ia c = c(t ) la con e"" t raz ionc ( in fun " ;,,,,'" dd t eJllpo t ) di nn a 5OSl an7.8 nel ,.,angue di un pazient.e. Cna dose C05tan te Co v!elle sOlllminlf>t.rata ad o~ni inte r vallo d i j,pmpn T. in par t icoh:ln~ al t em po t = O. Si st ud i l'andamen to d i c(l ) 5[\1'""do che questa si evolve secondo la legge;
i:(t) = - kc {t)
k>O
In p artico lan" tracciare il /!,Tafico di c(t) in un ir'tervallo d ,>1 tipo [O. H,TI, m E N . S tm liru-e il compo r t m u cn to a.~intot. ; e() di ,,('il I ) p e r TU -- . 00 r ,Iimoot rare che E'6 ist e una c onee" t razione !iII! i te Cc.c .
G>
Si deter minino le Cun e y = !I("' ) tali c h c il .segrrlento di tangente che uniEce il punto di t aag ' )fI7.a T al p,." t,.o r d i int ersezione con l' a.s.se x ug llag lia i l 5e~me!lto cll
3 . 1.
Spazi di funzioni
I con cetti di s p azio vcttor iale e tras fo rIllazione lin eare, i utrodott.i nello ~ tudi o d ell'algebra l inf'are ( cap. 2 , par. 3 ), pen ne t. tollO d i ri leggere aleuni fatt.i del ca lcolo d ifferenziale dll. un punt o di v ist.i!. che ~i r ivO -
:J; ::;
O
(~) A Ue n z;on" a u nu €qui' ·or ll.1"e: se I è der; va b il(), I è cet"t O costante di elasticità. L'equazione si può riscrivcre dunque nella forma y " +w~y
=O
con ,,,, = k l tn , e prenrl ... il nome di ..qua.ril>'U" d ..ll 'oscillato ..... n.rtnoniN>. F: " n 'equazione del secondo ordine lineare, omogenea, a coefficient i costanti. Se sul punto agisse una forza esterna (dipendente solo dal tempo) che ne sollecita il moto, l'equazione si scriverebbe: 11"
+ "/11 = Jet)
(dove! rappresenta la forza per unità di massa) cioè non sarebbe più omogenea. Se il moto fosse smorzato da una forza d 'attrito proporzionale aUa velocità, l'equazione sarebbe 1/"
+
hl/'
+ w' y
= O
con h c06tante positiva. Come si vede, tutti questi esempi sono casi particolari dell'equazione (3.1) . Notiamo anche che, in questi esempi, assegnaTe le condizioni (3.2) significa assegnare la posizione e la velocità del punto materiale in un istante iniziale l{). Per questo motivo ci si riferiJ:>Ce spesso alle (3.2) come alle "condizioni iniziali" . Se il coefficiente a2 (t) nella (3.1 ) non si annulla mai, di videndo per questo si può riscrivere l'equazione in forma n onnale:
y" +a(t)y'
+ b(t)y ~ j (t)
(3.3)
Vale il seguente risultato generale s ul p roblem a di Cauchy per le equazioni lineari del BCCond'ordin e in fonna. norma.le: Teorema 3.1 - Se a , b, l ,sono funzioni continue sull 'intervallo [a ,.B], to E [a, e Yo , YI E IR., il problema di Cauchy
y" + a(t )y' y (t o ) = Yo { y' (to) = Yl ha una e una sola soluzione y (t )
E
+ b(t )y
~
.B],
jet )
Cl ({a , P ]).
Come al solito, ta.lc soluzione sarà individuata imponendo le condizioni iniziali nell'espressione che assegna l ' integrale generale dell'equazione (3.3). Il problema è quindi capire come si scrive tale integrale generale.
~48
3.3.
C apitolo 7 . .8quazimà difJennziali
La struttura dell'integrale generale
Abb iamo visto che un ' equ azione di fferenziale lineare del second'ord.ine si può scrivere nella. fonna
Ly
= f
dove L Cf2 (1) --+ CO (I) è un o peratore lineare t.ra i due spazi di funzioni. L 'equazione L y = O !òi dice equa z io n e o m o genea as ..sia nOTI sono u n a. nl u lt,ip lA. d ell'alt.ra (o anche: il quo:.
+ 2-y'
= L
.0
i) C'.erc hi>1If1U UJl a solm:ione p.:.l.nom iale di l;eCOn do grado: y (t.) = Cl ·~ (; , t -'--'!2t 2 , Illscr(: ru lo l 'et;pn lssione nell''-'Quazione a b bia m o; 2c:l _ w 2 (,.() - w 2 e l t _ W 2 l:21 2 = l -'-- t 2 da cui. n gunghaudo i c oefficienti d ei ter m in i di p .. ri I;:r nd o in i , t"Ìci;lv; ru n o
'"
2
~
-'-- w ~
- - w' --
Cl -
O
ii) C erch iamo ",'COI'a u n a !>ollLzion e p olinom iale d i secondo grado ( il t cnnine no to ò d i pri m o grad o, 11l8. nell 'O< llla:/; ,Dne m a.nca il wrrn i"t:! ID !I): y(t) ,.. t:l L + C2t 2 , A b bi amo: 2"2 + 2c. ':' 1 ~t = t da cui ri c l\~·i " lII o
l
q
= - 4:
• f(t ) = A é t , ). E [: . S i f': f!rca u na !j()lu l.ione del tipo y(t) = eÀ'-(i). S i tr OVi! (con calcoli si. m ili a q uelli s vo lti p e r l'cquaz:ion t'! o mogenea ): Il-'"("
"T'
'"('( 2ct>. - b)
+ -r(a" 2 -i- bA -.,.-- ç)
ilast t;:r à t. J"O\lare u n a. quals iasi ")(t ) c h e so d di::.fi la (3. 1 2 ) ,
'"- A
(3 . 12 )
Se (,).:.'
+
o (doè
b)' ...,... (' /
s t f:'r ì. )Irt' ndcl'c -, ( t : ....,
Se
u). ··~ I-
A /( ~II, ).
). "on è n " l;,'" dell'eq uazione c ara tt l' l"il" ticA.). 1",CO;;:t ,ll ,:" = .4. ,·'i ,,·\,,·· I,À - c ). (' d IlIlC1UC •1/Cf ' " ,. . . )= ",J. 2"_!>J,.
o Ina
:2,, ). I · b =F O, h;,:-.tcrà pn'n d el"€ -il!) . b), dll ("ui ~f (t ) = / lf j (2Q"\ 4- /. ) , . y (t ) = .;::~; : .
bA
l-
+
,.;~ .
c
Se j"lill(, uX2 - b .\ - c = ti . ' 2,,), + b a~i" =- 11 , d a cu i -di.) = .;;~.t".l , (' y (t) -:
O. la (3 1:1j si scrin, :-.('lll plicellt':I!1t-
:2;1. 2 (, ,,, .
Nella ehL......;, ' .-t i t e r m in i Iloti d ci t i po e Àl ('011 ). C Cf r iCll l n mo tmch" (;(),, _· I.,.:i l!;.;t . f.-·\' (" ()~_·t.C\ '''Ill .•.:t ~ 1 nt'lllp i . :o l!w:-; j opera i II quesle va rie situlC-:i' Hl i.
Ese.-np i
lo'" "
'/ hn' ;«7nO
~"l,.;r; i..."",
T>(),'U cola l·., il. 'I I, '
3 .7 .
.~"91t c n tl
"'1lt1lzioni:
.. 2y' - 3y
li"
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('~rcbjaIll o
Y =
y" per C '"' ~ .
+
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3~,., 'I..r
1"""0
2 "
~,?n d , ·
;,,' H~ m mo
l.
r (:'(1 Ll"L ;" n ;
yz =
Yl = j;(,,,wt Ri~h'i amo
il
~inw t
~i",t.ern :
my =
- ky
cioè
.. ,,-', y = O y+
(3 .17)
a vendo posto u.-' = ..}k /"rn, dove k > O è la costa.nt.e de lla m olla, m la ll18SSI:l d el punto . L 'in t e grale generale della (3 .17) è : (/.) = t :l coswt --;- C2 s i nwt (C l, a rbit rarie ) , che s i p uò anche scrivere nella forma , più signi ficat iva
'2 = - J - ìv,
v =
..;;:JF="'"P.
p uò scrivere nella fo nna:
:p(t ) = A e - 6 t.cos (vt
+ 0.)
(3.22)
con A , a cost.ant.i nrbltrarie. Il punto Ul u b ile esegue Iltfi m l e oscillaz.ioni attorno al centro, di frequcnzil v ..., ..;w~ /)'1 e di ampi('2za A e- M, l'ampiezza delle o s c illazioni divent.a d unque s e mp re più piccola. col pa.s..c;are dci t.empo e il punt.o temle M i nt.oticament.e all'orig ine (fig. 7) . Si parlu., in t.al r:1'L,critta (lall'inte )!; r:l lc p a rti ('ol.a rct" ( / ) . D alla ! J ,;2Ii ) riC.,., tuntl' (dipend"lIte da i vari panllnetri tipI sist " / llR ) f' n ,1] rifanJn di ICI.",,· T r i" p t' l to a lla forza impress..\. È i u l " T",,,sa.I!I P O5...."'-'e n ·' u·c e Oll ... \"" ri a I"a! /lp iczz;, Bp di q Ueiit' oscill .vi' ''l i fo rzi!'" a l variare dd la freqll\ 'llza di " O
Con q Ue6to met odo , sc ri ve re !'integrale p;enerille dell' ''quaziollc
y"
4 ,
~y
I
+ x1~ Il -- O
366
4.
Capif.olo
7. EqtluzùJni dijfe ncmzl flli.
@
8S · ()b.07547_S
CENNI ALLE EQUAZIONI LINEARI DI ORDINE n A COEFFICIENTI COSTANTI
Le proprietà delle equazioni lineari del ::;econdo ordine a coefficienti costanti s i gen eralizzano in modo molto n at u rale a lle equazioni d i ordine n . Cons ide riamo l'equazion e lineare a coefficienti costanti , completa.:
any ( n) ....... a ....
+•.•+ UIY' -rauY
_1 Y ( n - 11•
con ai. (i = 0 , 1, 2 , . .. ,n) cost~nti (reali ), Un /:- 0 , intervallo I , c l'equa\O ione omogenea a..,-socia ta: a.,y(n j
+ a ,,_ ly(n -
l) -r . . .
+ OlY' +
f
=
I (X )
(4.1 )
funzione continua in un
UoY = O
(4.2 )
Valgono allora le seguent i p r o prietà: L 'integr ale g eneral e della (4.1) s i o tt.ie n€ c ome somma d e ll 'integrale gene rale della (4 .2) e di un integrale partico lare (qualsia:;i) d ella (4 .1 ) L'integrale gen erale della (4.2) si ottiene p r eud elldo tut.te le combhmzio ni lineari d i n sol uzion i i ndipende n ti della (4.2). Si P\!(\ quindi affermare che l'ins ieme d elle sol uzioni de lla (4 .2) cost it u isce uno s p azio veUoria le di di m enMo ne H . P er detenllina re n sol uzioni i ndipendenti della (4 .2 ) si p08!:luno cerc.are, come per lc equazioni del second o ordine, soluz.ioni d i tipo esponenziale e r x (r E (8 ) . I n pratica, !'li. p r ocede al m o do seguente : 1. S i consid era l' eqllazione caratter ist.ica associata alla (4.2):
a"r"
+ r1n_ lr,, -1 + .. . + alT + au
= O
(4 .3)
Questa è un'equazione polinonl ia le di ordine TI a coefficienti rcali, che può avcre r adici rea l i o coppie di radici complesse con iugat.e, cia.'lCu na delle quali può essere semplice o avere nlOlteplicit..à maggiore d i l.
2. Ogni radi{:e r reale delta (4.3 ), d i molteplicità.9, fornisce le s s oluzion i della
(4.2)
3. Ogni coppia d i r~dici complc!;.Se coni ugate, d ella (4.3 ) , a ± i/J, di molteplicità .9, fOl"llL-.ce s coppie di sol uz ioni d e lla (4.2 ) : c"U c o s /3x xe" " cos .ex
xe"'" s in .(J:r;
Q u esto procedilllellto forn isce sempre n so lu zio n i indipe n dcnti della (4.2) ( pur di sap er risolver e l'equazione pol i no m iale (4 .3 ) !), e permette qui n di di scriverne l' integrale generale. Dna yolt.a scritt o l ' il lte~rale generale della (.1 .2 ), una s oluzione particolare del la ( 4 . 1) può essere deterrninatti () co n il metodo d i som"i.glianzil. adat.tando
al caso p resent e le cons id~ruz io n i l:ivoltc n el paragrafo 3.3, o col mctlHlo di vanazione dell~ ,xMtrm tl , che nel caso dellc equazioni d i o rdine n e.equistn In forma. F.egucllte: 1. Si con sidenUlo le n soluzioni ind ipendtmti d ell'equazione omogenea. (4 .2 ) , determina.te nel m odo d e;.cri tto in preccdcnztl,
YI(X ), Y2(X) .... ,y,,(x) 'c si
CcrC3
una soluzion e particolare dello. (4 . 1), d ci tipo seguente:
y (x) = Cl(X) Yl(X)
+ C2(X)YZ(X) + . .. + c,.( X)Yn(X )
(4.4) d ove c,Cx) sono n funz ioni incognite, da de terminarsi imponendo s u d i esse n. conriiz ioni u pportune. 2. S i r isolve ora il segue n te sistema line are di ( le derivate delle funz ioni incogn it.e):
d\ Yl clYl
+ d~y:;: + . .. + + c;y; + ... +
11
equazioni nelle n incognite «x)
c'"y" = O c'"y~ = O
J v(n - 2) + ( ", ( .. -2 ) + • • • + (;,,, ., y n( » - 2 ) ~ O l,. . C" che si o t tiell .... 11. q ue:;t.·o modo. (Il sistema r isulta
Capitolo 7. Equanorti d iJJerenzi ali
368
avere d eterminante di vcr.;o da zero p er l' ipote::-i di i ndipendenza delle n soluzioni dell'equazione omoge n ea: pert anto ha un' un ica SOllll.ionc) . l val o r i delle costanti così ott enuti determ inano la sol u;:ione d el problcnu:i di Cauchy. Esempio
4 .1. ( Equazione ridIa trave) . Consi.deriamo una trave a ~zione l-" essere l'asse baricent rico) . La tra ve ( v-oo i tigura seguente) è a p poggi ata :.11" .:.stn,mi tà e soggetta a un caric o d istr ibuito q(x) agent e n el p iano xy . A causa di q uest o car ico , ]'IL.'lSe bar icen t rico AB in iz ialmente rett ilineo. cam bia forma e diventa Ulla Cu r va y = y(x ). Si p uò d im ostrare che 'l",...,;ta scr\'i::I.u d o l.:he
= nl 1 . u "" ----+ cc. L'and a m e nlo d ella succe..;.sione {t/ le } può cs~re "'isu alizzi\to ricu rrendo a diag rommi a !f711dini come quelli delle figu re segu enti : sulla h isct t ,·ic:e s i colku.:ano i p u nt.i d i coord in ate (Yk' yA.) Olf: ntrt: snllk r fl l t.a. y = o-x l"Ii co llnco.tlo i punti d i coordi n a t e (Y ,\: , Y/:+l) .
o
1_ Rqunzjvfl-i alk dijJ"renzr; lineari (p.-i.m o ordinej
&. ----. -'-00 mo notOl1Olm ente. b ) Caso
(J
< l : u",
"
y = x
u
/
O monotonOlm ente
.
y = x
.,
!I - - ' " '' u)
Figura 3
~
:» C:>so (t < - l ; "k .. nd .. m " n to osc;lIante .
'l ~ =mento osci ll an t " _ b ) Caso - l
+ 4p =
41s i ha 1'1
1', reale . Dunque 1t", = rl,; è o;ol uzione . Un'altra b'''' ; infatti, sostituendo nella ( 2.2 ) si 1:18.:
soluzione è v/: _
(k
= 1'2 =
+- 2 )r h 2 = u {k- + l )r"- l + {jk1'/:
o vver o
(k che si può
~crivcre
+ 2 )r 2
= u (k
+
1)1' +;3k
;:o
O
nella forma
k(r2 - n1' - /3) + 1'(21" - n )
(per ogni
k)
es::;endo r - UT - {3 = O e r = '!i. La soluz ione generale è p ertan to 2
l'ti-.--~--rc.c(-c-,ck. -'.--C'-' )I
( 2.6 )
• S oluziollt lJrJ.r1.icolm'(,; ( nel caso f ", = c:ostant_e ) . COlne ne l caso delle e quazioni del prilllo ordine ci lirnitianlo al caso il. = ~f, V k, -.' c o sta nte reale. C-ercando a llor a u n a so luzione p a r t ico lare co s t ante , P i< = c, V k, so:;;tituendo nell'equazion e ( 2.1 ) (con /I, = "1) , si trova per c l'e quazio n e c = n:c1-{3C + da c ui , s e ()
+ .(-1
-=/:- 1 , c =
r
f
378
Capitolo 8. Equazi oni w/e diJJf'.rL·",,~,ec·_______________ -,,0,,-"."".=,,:,,",",".",c.""
D ' a ltra parte se Cl' + j3 = 1, allora or = 1 è Ulla soluzione dell 'equazione caratterist ica, alla q uale corrispond e un a soluzione cost a nte d ell'omogenea. O ccorre dunque provare con al tri t ipi di so luzioni, a d ese m pio Pio = bk (b E JR). Sostituendo , s i trova per b l'equazione
b{k +2) =o:b(k
+ 1) +
{jbk + / = bk + : (l . A Il 'jni7.io (k = O) avremo Fo = l e, per la ii ), andle F t = 1 . Al .•"",,,, do me;e avremo un ' a l tra cOJ.>pia e qu ind i P 1 = 1 + l
=
2.
A l terzo ITI __' .solo la. prima coppia i:, in gn ... ln di ge n erarne un'a lt r .. (p.-:f la ii)) t' qu indi F3 ='2 +1=:~.
Quarto Illc.o;c; la prima e la seConrla copp ia ( d i v{~n t.ilta rertile ) gen t' rano ciasculla ", , 'a lt~a coppi" , perciò F 4 ~ 2 + 1 ...;... 2 = J + '2 5. M ese gerterlCCJ (k + 2); le coppie già p resenti e r a n o H ' + l e a qu l:'~~ vanno a gg illll \. f(l ): pcrd ò j (l ) = i . C i oè: se la succession e 8" è c o n vergen te allora cOIlverg'e a u n p unto fisso di f .
J, 8urà vero che Sn --+ il L a r isposta d i p e n de dalla p endenza de l g rafico d i J , vi cino a d t. I nfatti s i ha: Se f ha deriva t a con ti nu.a c 1J' (f) 1= ).. < I , all(J1'(J., Sf: S o è abba stanza vicino a f ,
Problema in'olerso -
."In ---->
l,
per
n
-->
Se l è pun t.o
fis.~o
di.
+ oc.
Dimos trazione intuiti..... - Poiché
ICi) = t 8""
- i
si p uò scriv ere
! (s,,) - fU')
=
c , p cr il teo re ma de l valor lTIed io , s i ha
I(.s.,) - fCl ) dove
X
n è u n pllnto oPl'or Lu n o tra f. e
S.,.
=
f '( x., )(s" - l)
Capitolo 8 . Equazioni ol I... diJJeT"lm.ze
3 82
@
88_~-OT~""T S
Dunque, approssiman dq t' ( X.,) con i '( t) = À : Sn +l
- l = f ' (X" )(II,, - t ) "" >. (",,, - i )
It c rando la (3 .1 ) >;; pu ò >;cr ivere Il •• -.,- 1 - ( ;0,,)..(.'1 ...
Essendo O
Si b a dunque:
, If'(E) 1
ll () ricondurre a tla ri O. E.......,.>ndo !I (l ) = ,, _ 1 < l s i 1m O < n < 1. P oiché g'( x ) = - e - e< doni; esse re I.;U usci~,,-
Analoglun e n t.e , ci sono ~ l tuaZ IOl)1 lJl cui a un ingresso (numero re..ale o g r u ppo di ll u illeri r eali) c orr isponde uni vocamente u n a COPlJia ( o tenta, ecc .) d i numeri r eali . La fu mdone avrà dunqlle valori vettoriali. Ad e:;em p io : la !>o,,'lizione d i una partice ll a i n rnovilIlCuto è uui vocamente ind ividu ata a d ogni h,ta nte t j tale posizione s i può vedere p e rciò come una funzio ne che tL'3Socia a l n u rnel·O t lo. t cma ordi nata delle coordinate d e l punto: t ............. (x ,y.z) i" l'.re5S0
uscita
S i n o t.i i l l inguaggio usat o : !:ii d ice fun zione di una va f""i abiit () fUllziont' di più uariabili- . una fu n z io ne definita. in IR () in IR" ( n > 1 ), r ispctlivamentc; si d ice .fv..nzione ( 1 -valori 'r eali () funz i one (1- tJalori tJettor·wli (() p iù s cm p liCCluent e, fu n z iuTu; m reale o funzi one "tw ttorialf::) una funzione che ha codomini o II{ o [Ll (m > 1), 3 rispettivanlcnt-e. Ad escmpio, una fun zione f : Il{ ___ lR è u n a fu n zione 'v etto ri a lc d i una \'ari ahilc; li no. fUIlzio nc f : JR2 --> IR è una fu n z;ione reale 3 ti, rapp rCllcnta un a,-co di .... lica cilindrica (fig. 2) . Si o::NlCr va ch e al crescere d i t , il p unto 51 muove ltmgo il cilin dro di r a ggio a che ha per ' L'òI« ' l' asse z, l ungo una curva (e lica), c h " ad ogni g iro ;Ilvece d i chiudersi sa 00 ,;te,,~a pnx:ed" d i un 1'3..lo ill.jinitcsl7rwle
pt-'1"
I,, -,, ~C'C~C"C'_ _ _ _ _ _ _ _ _ __
(0
",,-OS-O'r>i4T_S
ARCO DI CURVA CONTINUA , REGOLARE
Abbiamo già (ia t o una definiz io ne d i curva come funz ione f IR _ lR'": possialno o ra precisare qu~ta defini zione cnn qualche r ichiesta di regolarità. È utile t e ner prf'_~nte l' in l erprct.''I.;.:ione c inernatic a d.f'lle varie nozioni che introduciam o . Definizione 3.1 - S ia I un inten' fllloin H-L S i dice arco di curva continua, o camntino, in IR'" UfLil fUTIZIOTU'- r I _ IR"', continua ( ovvero tale che le sue componenti 8ono funzioni con tinue). Se la variabile t s i pensa CQTIle te mpo, un ItrrJ} di (:11T"UQ è la ltgge 01Yl.T"i.(! tii ltn ]nlnta mobile: {J..~8egn(, la buicftona e il punto
in cui si trova in ogni istante il punto mobile. il Rostegno della CllH'a è. l'ù-"maginc della ftmuone , cioè l'itlBicme dci punti di 1Il!n percorsi d al punto mobile (ov'vem , (u lino! gemnetTica, a presc iru{t:H~ dalla IOJ!le nm cu i è pen;Of\'HL) , La curva si dice chiuNl. se r (u ) '-'-' r (b) con J = ~a ,bl (i l punl-o di partenza e di an'ivo nel moto del punto coincidono),
Esempi 3,1.
L'arco di ellisse X=2cos t {
y = ~sint
t
C :0,71"]
è lHI W'ço d i cun:a co n t inua, non chiu.sa.. Se t variasse in [0 ,211 ! a,yremrnQ un'l (,urva d ,i'lHl, il cui s,o,;tCgIlO è l' int.erel el lisse (fig 3.h).
,
,
,
,
b)
Figura 3 l '"n:o d i eli;""" a) pe r / E [O; rrl "b} p,,' I o
a'
(tan te , iu (t) I = c per ogui I.; allora u· l i = c"l , da cui der iv"tl.n d o s i h a : u '· u
+ u -U'
0-=
2u' .
li
= O
che h a il segu e nt e s ignificato cinematico : se una funzione vcttoriale ha modulo costa Ttte, r. semlJ1'e o'r logo n ale al suo t;eUo n~ velocità. Ad esempio : se un punto n lateriale s i muove con velocità d i rllod u l o cost ant e, i vetto ri velocità u e acceler azione u ' sono o r t ogonali ad ogn i istan t e .
q:,. M' - ()~C7"'4.7_3
.1. A.rco d ; O u n nUHle ro fissato . 11 l uogo dei punt i P ( x,y) c h e :;o d disfan o la condi z ion e d is t anza di P dall'origin e ;Tif,l~nza d i P dalla re t La-J
l'i d ice n nl";'l di ecCt' 1,fnr , t à .: , dinate p o lnri è
d!rettnc{' " c fu oco l'onylne , I '" id)!:; in coor-
OHI
(d isUUlza d i P da l r o ri~ i ne)
f'
(' ( ..-ed i fi g, IO) (d ist.n.nza d i / ' dalla r eLI,a ti) = 1/ + ri ~ult8
d a c u i s i ri t:!\vu
,
+-p cosO
]I
(H:O'SO.
po /a n , de lla conH'I/:
l'tQ11 (' ::I Ofl.P.
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( 3 :1)
1
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Figura l O O " ['" ' l 'O""" d , comCi
m~'i n tt! fuoc o
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Si vede d IO : 1Ft. (3.3) . , l\'(luuzio l1l' d i
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e5C llI p io ,
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Ul1'cl l i s:;c
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p .·1i 1'110
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rett~· pa."-.-"8.I1ti
r or igi n~ ('()Il
pcndeuza O {fllf> dn atm1ll/are il .!(\Ilominatton' {l - !"(,lI ~O ì . P er :: . . O e p =- H /~ :.i: tr o .. -" l t'qu a.doll< · 1 10 ('lIr\"(' f' OHi dw { ud n L"" ,I!'!i p ilu wLi , clli:>::;i).
4.
LUNGHEZZA 01 UN ARCO 01 CURVA
l :1I p r o blema ' 11,, 11 0 n a t u r al(' d i calczz.n lb c u r va ~a r il d unqup lIg\lA.le all· illl ..grA.le
Si po tH' and ..,~
,I.,· =
\! .l"'(/)~ ..,... y'(t r~ dl
cl w ~i .. h iill Ui.l lU ll yhezza d'U.1H J deTllC ltl rul ·. TI "'\l~1 « i g:n i fi ~~ t o. i '.1!.'.. ~ti v..::, t! 'I II' : ~ 'V ~i . ' SP' tl" !(
jl t"f('Or""
[ I V un t C1Ù -ere , q ui ndi, p er una ge neri ca c u rva regolare iII IR " ' ,
cis = Ir '(t)ld t = v(t )dt
L =
1~ v(t ) dt
L a formula della hmg he?,L.a è qu ind i u na rifo r m ulaziolle integra le della r elazione "'spaz io = velocità x t.Clnpo" .
E H mpi
4 . 1.
P " r un arc o di ci rco I.rùn m>:r.jR2+r?
P er una curva p i.)n "" in for m a. polare p = / (8)
O V'V
f( e) ",; n 6,
f' (O) sin O +
/(8 ) cos O)
5 _ Integra.li di l iTl€a ( di p f'i ma spet:te)
A,l ['_~ empio , la l unghe= d d l' ,uço d i spirale d i Archimede l' = () per
L =
f~~
j"
,\/ 1 + 02dll
[f!
=
. . tj~ ~tTSt_" .~ =
=
le,
=
~ (2"-v'1 + 4 ,,- 2 + log( 21i + \.11 + 4 ..- 2 »)
(C h t ) 2 di
=
E [O ,21r) è
S ht; dll = C htdr]
=
1
[s..'.t ~ h ·~ ",
(I
401
2" :Sht- C h i
--t-
Parametro arco La lunghe.Ma d ell'arco di curva T(T ) per T da I-o a t è una fU/lziolle d i t:
Se ::;i è in groo o di c alcolare csp licit.arnente t a lc funzione , e p oi di invertirla , esprimendo t come fu nzione d i s, è possi bile r iparametrizZBrc la curva in fum·jone del par ametro arco :3 . A d esempio , p er l'elica cilind rica dell'esempio preceden te è
S i può allora ri pa.ra.rnetrizzar e la. cu r,,'a come
sE [O, 27rVR2 . ]P ]
ed s v iene allora. d etto parametro arco , C iò che h a di speciale questa par a m etrizza\':iolle è e he il parametro s è ("Sattament.e lo spazio p ercorno dal p u n t-O m obi le dall ' is t ant e O all'ista.nte B . InoIt.re, se r = r (s ) è una curva parametri zzata m ediant e il par a met.ro a rco , il veHore velocità r' (s ) coincide co l vcrsare t.angcnt e t : i nfat-ti, v(",) = L come si vede d ulie r elazioni:
dr I d:3 1
I
dr
dt
dt
ds
Idrl
l
dr
----
t;(t) dt
1 v (t ) v (t ) dt = v (t )
=
1
Il vetlo re r ' (s ) contiene infor nl(;l.~i() fli pur a rn ent e geolllet r idw: in fa t ti, nonost.ant e sia un a "vd oòt.à" , s i t ratta d i un vettore o.di1llen,~· iorwù;.
ta superficie svil uppa ttt, l:! qui ndi l'area della s upcrlìc:ie o r iginale ( fig. l I) .
@
SlH)tò-OUi47-"
5. Intq}mJ.i di lin ....tl. (di prima .•pr.rir.)
403
,
figur. 11 l · i n terjlrc.t;lz;on~ geomet rica di
J.., fd.~
coro f (:r; ,y} = - 11 e , ~emjdrconfc.ren,,~ t;omt in
fìgu~...
• Cu1"tle equivale1lti. La lu nghezza dell'arco di curva p~ reors a da un punto Inabile non d ip ende, nat u ralmellt.~ , ùalla velocità con c ui il punto si muove, n é dal ver so di p ercorrenza. Come r:;; traduce matematicamen te questa a ffermazione? Sia r = r (t) , t E [a, bI un arco d i curva re~o I AIe . Supp o niamo di ca.mbiare parawctrizzazione , p o nendo t = tp(r.c ), con y : [c, d ] - [a, b], derivabile e invertibile (in part.icolare q uindi. -.p sarà monotona, c r escente o d CCTcsccnte). La n uova curva r = r (tp(tt)), 1.1. E le, di avrs lo ::.1:e>SO sostegn o, allch c se sar à percorna con una. velocità d iversa . Ino lt r e. a seconda che 'P sia crescente o decrescente, la n uova cur"'a ::;arà. percorsa nello stt!:>so Vt:TSO o in verso opposto, rÌ!. petto alla cu rva originaria. Se tp è cre8Centc, le due paramctr izzaz ioni si d iranno equivalenti. Altrimenti, la. seconda si dirà c(~mhio di orient(uione ri.~lJetto a lla p rima. Esempio
x = ncost { y =R s illt
5 . 1.
•
t E [O.2,..j
= Rcos(2u) y= R sin (:.!u)
X {
sono du e pa.n .. mdci~lGaZLOtli cqU ;"l;I.l"Ilf i d i ulla CÌTco nferen?a. Invece
x=n eoo (- u) { y = R_~; fl ( - "ti) rapprcS{, .. t.a n" catllbio di Drient=ione.
uE[O,2rr]
404
Capitolo 9 . Ca/c,'/o
i"finif(~~im(llc
per le. cun' jfo
Pos.ian lO o ra. e nunc iurc un dsult a t o prflt;i so r ig-uarda la lun ghezza di UIl;'!. ç ur vo.:
Proposizione 5 .2 - La ltm.'l hezza di una cu"-v(", c più in gcne"ale, l 'integral e di linea di f di prima specie [tJ,) ~9 0 '1, È inVC1rùmle JX!f' pfHumetriz zc=ioni equivale llti, ed anche fH!T c.ambiamcnto di oricniazione $U {_
L a dimostrSi7.ione d i qu est.o ratt.o è una. sem p lice a pplicazione della formula. di I;umbio d i variahile nell'integrale e d el teorema di d erivaz ione delle funz ioni compost.c. ApplicazionI fisiche e geomtltrichfl dell'Integrale di linea dI prima specie
Sia "t una linea ma.teria le no n omoge nea. di d ensità lineare p . Sia r : [a , II] ..--.. ]R3 u na parameLnzz.::U:lOne regolare cii ;. Abb iamo vi st o che la 1I1asS(l totale è d a t.a da
j. . pds = .1.r. p( r (t) lr '(t )jdt b
tU
=
Se il corp o è omogeneo (p = costante ) s i ritrova 'm = p ' L(i ). 11 barit:.:entm d i ì il aUo ro. il pu nto 8 = (:E, f), z), con x = -l 1n
j
x pd ... = - l
m
''l'
Y=~ m j, YP dS
l'
x(t )p (r (t)) lr'( t )\ dt
a
z= -~ jZP dll rn
"f
Se il corp o è omogen eo ( p =costante ) il b a ric:""ntra si dice c.entroide, e ha C0 0 rd inate;
x =
!!...-j X dr; =
2.. J.b x(t ) I r'(t)~ dt =
m
J.,
..,
a
J:filxb( t)!r '(t)ldt !r'(t) idt
con a na loghe e,.pn~ssioni per f), E. 11 momento d 'inerzia d1 ~f rispett.o a un Qsse tìssa to, indicato la d ist a n-z;a d i (:l:, 11, z) da quest 'asse, è I =
i
,
n ? fJds =
1
R 2 ( r (t » p (r (t )l r '(t)lrlt
Se il corpo è omop;enoo,
Il n lomCllW d 'ill~ r zia ha )(' di m e n s ion i di rnL 2 .
t':O Il
R (x,y.z)
@
91'!-IJ.I!_OT !I _U ·_6
405
Esempi
5 .2. Dek r m ill;fi mo il &>e il l'as,e di r o t ru ione. De tt a ld la m ru;sa l otlÙt: s ì hll : J -
2 AIIl ~
lO..,
Ft' cos' 6 HdO = ;l M R' ~
Escrci7i
o
V" ri ficar e c he il P "liu Jn di C n ru.-,,;i o
X = t (t - l ) { y = t ( t - l )(2i - l ) è
Ulla
t E ( -::>O , +:x:>)
c ur va r eg o lare.
o
Ver ifiCaTe che la sl'i ...nie logarit mir.a, di tXJ.u a z:io ne p olare p = e MJ , O E ( - :xl , +:;:0 ) , è UIL a rco d I curva r e g o lare. C a k u la re d.!. Espri m e rf: poi O in fu n zio ne del p arame tro ar co $ .
o
Una linea IlVlt tiriale UOIl (>mo genea . , d ispo:s.H. a for m a di _~p;", l" di An;h imed", d i eq u az io ne p olare p = AD, (1 C [0 , 4:'l La !;1If1. d ,:n.~ jtn li n ,!l).nl è d ""' BY. C a lco lar e la rn>:\SS&. t .: 7. a..
Calcolare la IUtl~he7J--a d e lla clclo ùl e;
R (t - sin t )
t
R(l - cm. t )
'/1 :;.; aC h (bx ) , ~ i ~crh a
.r;
E:
(0 , 2 7: 1
C [O. T !
l'inlq,rulc çhe III: a.~~
ne -
1.
GRAF IC I E INSIEMI DI LIVELLO
llicordiamo che il grafico di una funzione reale di variabile reale, y = f (x ), è l' insieme dei punti del piano ne, di coordinate (x , f {x» . Analogamente, il grafico di una funzio n e reale di più variabili reali
f : lR.n z
~
_
lR
f(x )
(dove ora x indica un elemento di IRn ) è l'insieme dei punti di IRn+l di coor dinate (x, f(x » . Per n = 2 questo grafico "vive" nello spazio tridimensionale, e può essere effettivamente visualizzato. Qualche esempio di grafico di funzioni di due variabili è mostrato nelle figure 2b-5b. C 'è un altro modo di rappresentare graficamente una funzione z = f (x , y) , ed è quello di tracciare le sue lin ee di livello . Si pens i alla superficie grafico di f come la superficie t.errestre in una regione mont uosa. Le linee di livello sono allora quelle che si tracciano nelle carte topografiche. Un grafico a curve di livello è un disegno nel piano in cui si tracciano le linee lungo le quali f ha valore costante, per un ins ieme sufficientemente fitto di valori di f (nel caso delle carte topogra1:iche, il valore di f è la quota s ul livello del mare, e le linee di livello rappresentano ad esempio le quote f = 100 m , f = 150 m , f = 200 m, ecc.) . È chiaro che un grafico a curve di livello (con linee s uffic ientement e fit te) contiene le ist.ruzioni per cost ruire il grafico di f (sia puc in modo approssimato).
(è) "~-, i, ~"Jllpre ~ 0, ha lin ee d i livello .r ~ 1J'~ = c- Ad ese mpi ,~ p e r c ~ l, 2, 3, ___ , le li nee di li.ello sono le "irc ont"r"":t..c cen t-~a t e n e ll'orig ine e raggi o 1 , "1/ 2 , ,;3,_.. (vedi fig . 2a). Da q ueste li n ee d i live ll o le ggiamo ch e; la fUIl;,.ioIlC f h a si m met ria radiale (ossia; la [11"zionO' ba lo "tesso valore uet plJnti che ba.IlllO 1... s t.e&'ili. d istnu ;,.a da1J'OI' i~in,,) " , allon t a nandosi dall 'or i ~i Ilc , e cesce s."npH' p iel v€loc-cmp ntc (l e jinee di live llo di ven ta no p il\ dense). 11 grafico della -fu n z ione sar à ql.indi cl .. } ti po in !ign ra 20 ( p ara bolo ide ). 2
l. Grafici
I.'
insiemi di lircllo
409
i, i
»)
Figura 2
1 .2.
1.a fun7. ione
f (x , y) = v;;.~ + !J~ è de llnh a in hlt to il p iano, è s em p re 2: 0, h a linee d i livello ..jX2 T y "" = c . A ,l esemp io , P ' :T .., = 1 ,2 , 3 ,. le l in ee d i livello 5ODO le e i r conf,;r""ze c e n trate n e ll' origine c raggio 1 , 2, :1,. , (fig. :'a) . Anch e que;ta f unzione dunq ue h a simmetria rad iale; a difft"'. renz a della precedente, tuttavi a , a llontanan do.... ; dall'o rig in e C l~c e a ritmo cOl'l tal!l" ile li",,,,, di livell o sono equispa .... iate ) , {Oioè Iinearmcn!.(' , S e facc iamo una f.€7~i ()uc verticale del grafico d i f (x, y) . intersecandolo col pia n o 'II "--- (J , o tT,cn i,,, .. o b curva z = VX2 = ix ;, che h a un punto ango loso nell 'o ri g in e . L a funz ione z = f ( x, 11) è d Ullque Ull "'<m o (fig . 3b)
CL)
hl
Figllra ]
1.3.
La f" "zione
è defin it a in l utto il riano t'" assume valor i sia p ositiv i d ,c 'legativL [A' M'" li nee di li "dlo 50' W le c un'e x " - y = C, d,,, rap p r 2. I n questo caso, p urt r oppo , il " grafico" di f n on s i può disegnare ( perché '"'vive" i n uno spazio con più di t re dimens ioni) . Questo è il motivo p er cui s p esso cscmplificheremo concetti generali che riguardano le funzioni di più variabili ne l
(9
Hfl-- llil_ 0 7~4? _ >;
411
J _ G rnfir.i " ITt"i" m i di lim,Ilo
caso n = 2. Si t eng a comunque presente che, n elle applicazioni, le funzioni di molte va riab ili compaiono frcquentcnlente, e non c'è una ragione particolare per stu d iare 5010 Quelle di due variabili. C na (parziale) y j::;ualizzazio ne di una funzione di tre ...".).riabili::;i ha mediant e le superfici di livello, concet t o a n a logo a quello di linee d i livello, in una d imens ione i n p il'l.
Esempio 1.5. S ia u ( x ,y,z) [I.t''1 -> IR i l potenziale ele ttrostat ico generato n ello spazio ,la u n certo sistema d i c.ar i d ,,~ dett riehe. ( I n cOJ!d i7.ion i di equili brio elettrost ati co, il potenziale n on dipende dal tempo, p erciò è u na f unzio n e de l1,. sol .. tre variabili spaziali). II hJOgo de i punti d" lIo s p a7.io in cui u(x, 1/, z ) =cost lUlt e è u na. su pe rficie, che s i d ice su.perficie equ ipotenziale . Ad esem pio . n e l Ca.l;O d el p ot"n .,.ial" genen,to da una sola carica pu ntiforme post a nell 'origi ne si b a
dove k € un.." cost ante che d ipende d alle u nit à di m isura s celte ; le ""uperfici equ ip o tt,n.,i a li son o rappresentate da.
cioè
e
S0l10
q u ind i 5upç rfici "f"rich e cent rate n ell' o rigine.
G ener a lizzando l'u ltimo esempio, d iciamo che le supe rfici di livello di una funzio ne sono d efinite da un 'equazione òel tipo f (x , y, z ) =eostante. Analogam e nte, per una funzione J IR n --+ IR (con n qualunque) ~i chiamano insiemi d i livello gli in siemi del t ipo {x E IRn: J (x ) = c}, a l VaritlTe della oostante c .
J (;1;", y , z)
Esempi Le sup e rfici di li vello d i / (x , y , z ) = x'l.+ 1/ +z sono r1dÌ-ni t c d all 'eQua.z.ione x'l. + y2 + z = -;o r:; x ~ - I/ . Q ueste s uperfici sono dunq lle p arabolo idi, 6'TatÌci de lle funzioni g ( x, y) = c _ x2 _ y 2. l .fi .
OO&t, che si p ui> r is
412
Capi tolCJ lO , Calcolo diffenli reali di p iù >-'aMa bili
8
!!..5_(}/\_()'''41 _B
o
O e llf' h':'gllemi funz ioni rea li d i d ue ...."'ri abBi , hl pro vi a ca ptre e o m'è fat to il g rafico, s tud iando le lin ce d i live l lo ed event ual rrnmte alnmc ~ez i on i "on pi ani opport uni . Si c on trolli po i Co. Per quanto y ist o nel cap it.o lo 9 p aragr tlfo 2 , questo significa , per definizion e , che \x,,= - xol _ O per k -..... oco. Diremo allora ehe lim
f (x )
= L
x~x o
::;e, per ogni successione {Xk } d i pu nt i d i IR," t a le cbe Xk f= Xo Vk), s i htl che
X i< ---...
X o per
k
--t
CXl (con
li m J (Xk ) = L
k ~ "",
Geomet r icamente, la defi n izio ne s ign i fica chc il valor c d i f (x ) si a vvici na tant.o quanto voglianlO a l valore L , purché la d ist anza d el punto x dal punto X o s i O, esist e u n J > O t.ale che 0< !x - xol < J imp lica Il (x ) - L I < E . Si r i Bctta subit o sa u n 'import.ante d iffe ren za ehe esisle, a quest o riguar do, t r a fu nzioni f m. ----;. IRT>l e funzioni f : IRa - .. IR.. Abbi amo v isto che a&:;egTIur e u na funz ione f : lR --+ lRm. è equiva le n t e a d a.o,;.::;e~;nar e 1 11 fu n zioni li : lEt --+ IR.: que.sto fat t o sta alla base della possib il it à d i calco lare i limit i d elle fun zio n i a valori .... e ttoriali "col n p onente per cowponente". h l'\'ece , lilla generica fu nzione f : IR" - - t IR non è "sco mpoll ibile " i n alcu n modo in n funzion i real i d i v tlriab il e reale; d i conseguenza. anche il c alc o l o de i l im it.i per fu n zioni di più variabili n o n s i riduce in modo n a t ura le a l calcolo unidirncnsionalc_ ::'\el pro.ssimo §2.2 ,,-ed remo più da vicino il t i.p o d i diffico l t a e s itua:t.io ni nuove che s i p osson o creare. Dal pUlito d i vista forma le , eomU IHiue , la defin izi one d i lim i t.e per fu n zion i d i più variab ili è s im ile a quell a d ata per fl1Hz.io ni real i d i variabile reale. In partko lare , m o lt e definiz ioni e p ropriet à ri).\ u 3rdan ti i l imiti d i funzioni d i p iù ( l ) QU(~~ t." d"filltz ion, ' vak per L E If e
58.-08..o '7!!>4'7-i
11 0
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1I~ 1;1
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l' _. .
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li = -
'"
Fig..... 6 L " nstem e E è I.. regi one o mbf"gg ia t,, _
Comp. si vcd. O}
dove f : D1? - ll-{ è una 11H~:!'i.on c definila e con.tinua in tutto rn? la scr itturo precedente. ('.D$ì: E = { f > O} . Un ins i eTrlt: Jj. si d ice c:L iuso se si Pu.ò s crivere nella- forma
Abbnmi~'·lwl()
E ~ {f " O} (con analogo .. i gnificato del sunbolo) d01;e f : rn.? -.,. ID. i: un o. f1L-1t zione d efinita e contimsa in tu tt.o lR:2 . Un H.... iemc aperto che contiulI;: (:J;(h "110 ) si d ice andlC intOrl.lD di ( x o. Yo) .. in particolare, si dio: i nto rno circo lar e (o sferico) di. m ggio 1" > O li d imoo t ra che il m assimo ,Ii d u"! fumd o ni cont inue è contin uo, dunque A l u A z è apert o . h) P ro" lamo ad esempio r.he {I < Q} è aper to se I Il continua . I nfa tti se i è eon t.inua, anche - i lo è, dunq ue { f < O} = {- i > O} è a perto JX'.T detinizione . c ) Provia llL() ad esemp io c he il com plernr'lltare di un ape rt.o è chiuso. Se { i > O} è l UI aperto (i co nti n ua), i) s uo complemen tare è {i ::;; O}, c h e è cbiuso per il pu nto od) Sia R = U > O} (con i con tio ua) un insie m e al->(:rt o, e sia (:':0, yo) E E. Dn nq ue i (xo, yo) > O, e per il teore m a d i pennan euza d e l segno, csifòte u n ir,torno d i (xo , Ilo ) in c ui i > 0 , ~ ia Cl< i"t" 1m intor llo di ( xo, IlO) che è conte n u t o in F.:. O
Come risu lt a in particolar e d all'u ltimo punto d e lla d i mostr~ io nc. nel la d efinizio n e d i illlliemc a.perto (o chiuso) è essenziale che la fu mdoue f che defin isce !'insieme sia continua. Senza la r ich iesta di continuità di f . in fatti, tpUlbias i in.sie me s i può rapp r esentare nella fonna U > O}. Esempio L'insieme di definizi o ne di
3, 2.
1
,q (x,y) = log(x T Y) è F = {(.%, 1/) : O < ;,: -t- Il =F l }, J'll':rciò è a p erto ( interse-doDc di d ue aperti) . L 'insie m e di definizione di
h {z,y )= V X2 - Y+V1
z~
y".l
{(x , ti) ; x·~ - y 2: O e l - x~ - y~ 2: O}, pt'_rciò è c hiuso (in t erscz;()ne d i dut' chiusi) . L'in" ie m e E ddl " ,*, mpio :1.1 no n è né apcrt.o n é clliu.." ''' L'na c u rva. in fo rma cartesiana, cioè definit.a da f (x, y) = CI è un insie m e chiu so ( ~ i è cou t in u lI.T). Ad t'~mp io una circo n fe re nza o un a parab ola so n" in!5icm i chiusi . è G
=
(2)D~~; rl~~ -r~';I~i~~i f" h definit e su uno s tesso ins ienle A C IFe , il simbolo m a>< (h h) indica la. funzio ne che ad ogni (x, y) e A a. O) c c n / c;onlin u~; il borde non OI P p;I
81
,
8% ( 1,2) = (2:ry )1(Q,)_(l,,/ = 16 4 .2. Thlvolta è nece.<Jlsano applicare il primo metodo (ossia la definiz.ione) . Si voglia calcolare
8
{h (y..Ji)l(z ,.. l_(O,O/ Se si calcola, formalmente ,
!(yy'X) =
2fi
e poi s i tenta di valutare l'csprCSl5ionc trovata in (0 , 0 ) si trova ~ , che no n h.a senso. Invece, dalla definizione si ba che •
d
d
8;r. (y..Ji)l(z,.. /-(o,ol = tU (Ov'i)lz _ o = dx (O) = O La derivata parziale esiste, dunque , nell 'origine.
Osse rva zio ne 4 .1 - Per poter calcolare le derivate parziali di f in un punto (zo. Yo) è necessario che anche il punto increment.ato appartenga al dominio di / , almeno per un incremento abbastanza piccolo. Questo è certamente vero se il dominio di / è un insieme aperto, per la proprietà d del teorema 3.2. Nel calcolo differ enziale quindi , si ragiona solitamente su funzioni definite su insiemi aperti. D e fini zio ne 4 .2 - Una funzione / di più. variabili si dice derivabile in un punto del suo dominio se in quel punto esistono tutte le sue derivate parziali.
4 .2 .
P iano t a ngente
In una variabile, definire la derivata di u na. funzione è il primo passo per definire la retta t.angente al suo grafico, anzi le due idee sono sostanzialmente equivalent.i. Per una funzione di due variabili il problema analogo è definire il piano tangente alla superficte grafico della funnone. Ci proponiamo ora di determinare tale piano. Lasciamoci guidare dall ' intuizione geometrica. Se sezioniamo il grafico di z = / (x, y) oon il piano verticale y = Yo, t.roveremo una curva in questo stesso piano, descritta dall 'equazione:z = f (x,yo). La retta TI tangente a tale curvn in
CapiL,,/o 10. Calcolo difF-ITcnzial" per Iunrio..~" ,yllli di più variab;I;
424
f d ifferenziabile in A
(L'implicazione inversa nUil va le ). Il t.corellla pJV(~edente de tta i l metodo comu nemente seguito p er s tab i li re la d iffe renziabili tà d i una funz_io n~, senza calcola.re limiti .
428
Capito lo IV. Ca lcolo difJerenzial" P'T frmzioni reali d i p iù l'uri"" ili
@ ~"_""'''TI>4 T-S
Esempio 4.5.
R ipu'nd imno la funzi onc dell'esempio 4.4: z =
al
=
DJ
2x
o';
l'J.J.'
X2
=
+ l":: .
Abb i"mo calcolato :
2y
queste f un zioni SOIlO evidentement e contin ue in t, nto il p iano , qu indi f E C 1 (IR? ), in particolare è d iff",,:nziabi le in t utt o il piano , C iò significa , ad esempio, che il piallo et", a b h iam o calcolato n e ll'e:o.em pi o 4 .:1 è cff..,ttivament e il piano tang... nt_e a ll a funziOI'" nd punto assegnato.
Dimostrazione del teorema 4.3 . Il rag ioIla mcnLo sional'-l. Per valutare
f(x o
+
dl(~
facc iamo è so,.;tan z iahn'-lnt,'-l lln idim'-ln-
h,1/{, +k ) - I(xo.y< , )
TIluoviwnoci dal punto ( XD,YO ) al pun t o ( x" + h , Y{l + le ) incre mentando le var iabili una alla volta, ossia prima su l segmento orizzontale d", U"L"O: : ( xu , W ) a (xo -! h , /147_8
E s empio 4.6.
P.~~ la fum:ìo n e z = x ,,"" , c alcoliam o O" j(O ,U ) p e r v = (cos O, s inO ) generico.
g( t ) = t cos Oet~ =.11 .,,,0'1
g' (t)
J)vj(O,O) Ad esem pio, !jC
(J =
,.- / 4 s ì ha v =
(*, *)
=
=
co."! Oe' " un O . ;" 1/ (1 -i-
g' (O)
g (t )
=
CQsO
e
D.j( O, O)
Per la funz ione f(x ,y) =
=
2e cos O si n 6')
~
l
v'2
~ , calcoliamo Dvf (O, O) con v = (c 05 6 , 5in O) . l (cOSO)Z/ 3(s in O) J/ 'J D"j(O,O)
=
g'(t )
=
(cosO}2i3(sin8 )'j3
9 '(0 ) = (COSB } ~/3 ("ìnO)1 ! '1
Perciò la funzion e he. t utt e le deri v ate direzionali in (O, O) . In partico laz-e, s i Iloti che 1., (0. O) = j,, (O, O) = O. T uttavia, q\lt~ ta funzione n on;' di fferenziabile ncl1 ' ori~ne. (Questo fatto seguir à f<J.Cih nen te tb l p rossi.mo teor ema , oppure p uò essere verific ato d irettamente dalla ddin iz itlIJc .) Dunque l' esistenza di tutte le d e rivate d irezionali, di per sé, dà un 'i n formazione piuttosto povera. sulla r egolarità. di una fUllzio ne.
Un fa tto no t evole è che se la funz-io n e _è differenziabi le , t utte le informa:,doni date dalle deri va,te direzionali sono imp licitamente contenute nelle der ivate parz ial i; infatti vale l'import ante Teorema 4.5 (F o rmula del g rad iente) - S i a f A _ lR can A ap erto di m? f d ifferen ziabile in (xo, Yo ) E A. A llo ra per ogni verso re v = (cosO, sin B) esiste la derivat a dir"Czionale Dvf ( x (], YQ ), e v a le l'id entit à:
=
Dv f ( x o, YO) = D f (x o , Yo) . v
~~ ( x o, Yo) cos 1:1 -+- ~~ (XOdJo) sin 1:1
La derivat.a d i rezional e è in q uesto caso i l p r odotto scalare dci gradiente c o n il versare nella cui d i reziolle s i derivai t utte le d eriuate direzionali risultano co s ì co mbi n azi on e lin em"C ridie do i v ate parziali . Dimostrazione. Bast a scrivere il rapporto incr'enu,n talH " a ppli"..,." a l nu rnerato re la defì n >-zi o ne d i differenzi a bili t.à :
f ex o
+
t
C OB
O, !lo -:--- t ~i n 8 ) - [ ( x " , yo )
t Per t _
O s i ha la tesi.
=
-F { lr ( Xo ,yo) tcos O + fll ( XO,Yo }tsiI1 0 --'--- o et)} =
=
l. (xo, Ya ) c= 6'
+
j ,Ax o, -Y" ) ",in (!
+
0 ( 1) D
La fUl!zio ne f (x , y ) = ijx2y considera ta nell'esempi o 4.6 , ne ll 'o r igi ne non t;oddisfa la fornn lia del gra die nte: i nfatti le s ue derivate parzial i sono nulle, rnentrc le deriva te d irezional i non sono tutte nu lle Ce quinòi non possouo esser e { ; 1 ha p iano t angente) f
ha derivate di re7.ion8li e vale la formula del gradient.e
I nvcce:
1
continua, derivabile, dotata d i de rivat.e d irezi onali
f
d eriV'dbi le , dotata d i derivat.e direzionali
=f!? -cf}
1 1
d ifferenziabi le continua
• D irezioni di mas8ima e min ima cre.çr:iln. L a formula precedente perm ette u na impor tan te osservazione: fi ssat.o un punto in cui f è d ifferenziabile con gradiente non n ullo. qual è l a d ire--.don e in cui il t.asso d i accresciment.o di f è massimo o m inimo? Un prodotto scalare è ma5Simo , in valore assolu t.o, quando i due vettori SODO paralleli, cd e massimo (o minimo) se i vettori sono concordi (o discordi, rispe tti \'anlente). Perciò: il m=imo accrescim ento si ha ndla direzione (e verso) dci gradiente; il m inimo acCl"e5Cimenlo si ha Ilei verso opposto. Questo chiarisce il s ignificat.o geometrico dci gradiente: indica punto per punto, la direzione di massimo accre.çcimento della funzione . Consideriamo ora la lin ea d i livello J(x, y) = c pas:;tLllle per (xo, Yo ), c calcoliamo la derivata d irezionale di f nella direzione di tale cur va (cioè: della sua retta tangent.e) . È intuit-ivo ehe nella d irezione della curva lungo la qua le 1 è COl::ìtante, la deriV'd. t a direzionale sia nulla. Dunque per tale direzione v si ha V f (xo ,!jo ) . v
:\la l'annullarsi d i q uesto proòot to
~cal are
=
O
significa che v è ortogonale a l gra-
diente _ Abbiamo qu ind i messo in luce un' altra proprietà differemr.iale che ha un s ignilìeato geometrico: il grudi(;nte è or·toi può di m o:st.ral·e eh ... u soddIs fa p ruprio la ( 4. 10). Questa eq uaz io ne !li p u ò risolver e, (»;~e n-"l.\ndo ch" il p rimo rn ~'mb ro la der".,~ta d ire· " ' onale di u( :!; ,l) nella di re?;i(lJl
Figura 13 (ti.) Gra fico d .. U" CQneen tr.ozion", inizia le 1..(",); (b)
concen l razioru~
G r~ fico
i l! ('g Il i i" t""" l C, è dm.a.
d .. Ua f,," zi one .. ( x,lì ..:.; ,,(:r: - (ct),
C ome s; vede dalla Eg un o 13/', il g r afico di >J(x.1) " .. !IlC fun zi("me d i 7, a d istanti "'''c(;("ililÌvi, è se mplicemen te tras la t.o rispetto al g r a fi.co di ...,(:z:) . (La conçent.rio;:';11 ,-"u i il so' lI ti"r') fa 1"" 1"< ]" "'" .{uota, ,-io" ~; . O U",,"re il risuJl al ut iliz.m) " !" , ·nU8.mLi I 1lt(~I ()(li illust rati ne.lj 'e s'-iIl l'i.. 4. 10. • S u (/!]cTime llr" ~ rivel'E' " . ". prima et";, , I.. ""lu&zi",,; ..... r3m etrH"IH ' d d! a cun'" " di a fon ,,:, .J"~ .r(OI ,y
_ ( ,,,0 )1.
- IR . Scri",-n - r . ·~pr~5i "n ' · d el g n" li, ·t