Maß und Integral (Mathematik Kompakt)

~ Birkhäuser

Mathematik Kompakt

Herausgegeben von: Martin Brokate Heinz W. Engl Karl-Heinz Hoffmann Götz Kersting Gernot Stroth Emo Welzl

Die neu konzipierte Lehrbuchreihe Mathematik Kompakt ist eine Reaktion auf die Umstellung der Diplomstudien gänge in Mat hematik zu Bachelorund Mast erabschlü ssen. Ähnlich wie die neuen St udiengänge selbst ist die Reih e modular aufge baut und als Unterstützung der Dozierenden sow ie als Mat erial zum Selbsts t udium für St udierende gedac ht. Der Umfang eines Band es orientie rt sich an der mögli chen Stofffülle einer Vorlesung von zwei Semesterwochenstunden. Der Inhalt greift neue Entwi cklungen des Faches auf und bezieht auch die Mögli chkeiten der neuen Medien mit ein. Viele anwendungsrelevante Beispiele geben den Benutzern Übungsm öglichkeiten. Zusätzli ch betont die Reihe Bezüge der Einzeldi sziplinen untereinander. Mit Ma th ema tik Kompak t entste ht eine Reihe, die die neuen Studienstrukturen ber ücksichtigt und für Dozierende und Studierende ein breites Spektrum an Wahlmöglichkeit en bereitstellt.

Maß und Integral Martin Brokate Götz Kersti ng

~ Birkhäuser

Autoren: Martin Brokate Fakultätfür Mathematik Technische Universität München Boltzmannstr.3 85747 Garchingbei München e-mail: [email protected]

Götz Kersting Institut für Mathematik Goethe-Universität Frankfurt Robert-Mayer-Strasse 10 60325 Frankfurtam Main e-mail: [email protected]

2010 Mathematical Subject Classification: 28-01

ISBN 978-3 -7643 -9972-6 001 10.1007/978-3-0346-0646-2

e-ISBN 978-3-0346-0646-2

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Vorwort

Die modern e MaB- und Integrationstheorie ist ein prominenter Abkömmling der Can tcrsehen Mengenleh re, auch spielte sie fü r deren Ausformung eine wicht ige Rolle. Die Wurzeln der MaB- und Integra t ions theo rie finden sich also in Bereichen, die man gemei nhin der Reinen Mathematik zurechnete. Gleichwohl hat sie Bedeuum g gewonnen gerade auch für solche Gebiete der Mathematik, die schon lan ge Anwendu ngsbezü ge pflegen - für di e Punktionalanalysis.die Theor ie der partiellen Different ialgleichungen, die ungewandte Ana lysis und Steuerungstheorie. die Numerik, die Potent ialtheoric, di e Brgodcnthco ne, die Wahrscheinlichkeitstheorie und die Statistik. Die Maß- und Intcgrationsthcor ic lässt sich also nicht recht in das Sehema Reine vcrsu s Augewan dte Mathematik einpassen (ein Schema, das heutzuta ge ja auch zunehmend an Obe rzeugungskraft verliert) . Unte r d iesem Eindruck haben wir unser Lehrb uch geschrieben. Wir haben sehr wohl Leser im Blick, die die Theorie anderswo einsetzen wollen und sich eine konzent riert e Dars tellun g der wich tigsten Resultate wünschen. Dabei liegt u ns aber am Herzen, die Mag- und Integralionstheorie als ein in sich stimmiges, ab gerundetes u nd durchsic htiges System von Aussagen über Flächen , Volumina und Integ rale zu p räsentieren. Wir meinen, dass sich dies in kom pa kter Weise realisieren lässt, so dass sie ih ren Platz im Bachelor für Math emat ik bekommt. Mathematisch gesehen hat die Mag· und Inte grationstheorie in ihrem Kernbereich weitgehend ihre Porm gefu nden. Doch d enken wir, dass sich in der Darste llung d es Stoffes noch Akzente setzen lassen. Unsere Anordnung des Stoffes folg t nicht d em von versc hiedenen Autoren gewählten Aufhau. Dazu seien ein paar Hinweise gegeben. Anders als sonst behandeln wir die Existen z- u nd Eindcutl gkcits sätzc für Ma ße nicht gleich am Anfang. Wir meinen, dass damit den Bedürfnissen der Studierenden ehe r gedient ist: Zun ächst ein mal sind die Konvergenzsätze für Integrale wicht ig, die Konstruk tion von Mage n, so schö n sie auch nach Caratheodory geling t, kann demgegenüber ers t einmal zu rückstehe n. Deswegen behandeln wir diese Konstruk tionen erst gegen Ende unseres Lehrb uches (WdS nich t ausschließt.das ein Dozent sie in seiner Vorlesung doch vorzieht). Hier haben wir eine Darstellung gewählt, die übliche Erörteru ngen von Mengensystemen wie Mcngcnalgcbrcn, Halbringe etc. vermeidet u nd direk t zu m Ziel führt. Auch an einigen anderen Stellen gibt es neue Akzente. Dabei haben wi r nicht im Sinn.die Theorie in allen ih ren Veräs telungen vo rzuführen. Wir ko nzent rieren u ns auf ih ren Kern (so wie wir ihn sehe n) u nd stellen d arüber hinaus Resultate da r, die Verbindungen zu anderen Gebieten de r Math emat ik herstellen. Für die Analysis betrifft das z.B. das Glätten von Punk tionen durch Palt urig

Vorwort

oder die Transformationsformel von Iacobi. Für die geometrische Maßtheorie gehen wir auf Hausdorffmaße und -dimensionen ein. Für die Wahrscheinlichkeitstheorie behandeln wir u.a. Kerne sowie Maße auf unendlichen Produkträumen nach Kolmogorov. Am Ende versuchen wir, in zwei Kapiteln Bezüge zur Funktionalanalysis herzustellen, so wie uns das für ein Verständnis der Theorie nützlich erscheint. Zur Orientierung des Lesers haben wir manche Abschnitte mit einem * markiert, sie können erst einmal überschlagen werden. An Kenntnissen setzen wir den Stoff voraus, der in den Anfängervorlesungen für Mathematik an den Universitäten behandelt wird. Aus der Topologie benutzen wir kommentarlos nur elementare Konzepte (offen ,abgeschlossen, kompakt, Umgebung, Stetigkeit, alles in metrischen Räumen). Was darüber hinausgeht, erörtern wir in der einen oder anderen Weise. Historische Anmerkungen finden sich in Fußnoten. Ein konziser Text, wie wir in angestrebt haben, kann nicht an die Stelle umfassender Werke treten. Wir wollen deswegen auch nicht ein bewährtes Lehrbuch wie das von Elstrodt ersetzen, ganz zu schweigen klassische Texte wie die von Halmos oder Bauer. Im Anhang nennen wir noch weitere Einführungen in die Theorie, von allen haben wir wesentlich profitiert. Wir erlauben uns, dies im Einzelnen nicht weiter zu belegen, wie das in einem Lehrbuch wohl gestattet ist. Vorschläge zum Text und Korrekturhinweise von Christian Böinghoff und Henning Sulzbach haben wir gerne übernommen. Dem Birkhäuser Verlag danken wir für die angenehme und reibungslose Zusammenarbeit. München und Frankfurt/Main, März 2010

Martin Brokate Götz Kersting

Inhaltsverzeichnis

Einleitun g

11

Messbarkeit

III

Maße

I.

IV

Das Integral von nichtneg ativen Funktio nen

2.

V

Integrierbare Funktionen

3.

VI

Kon vergenz

SI

VII

Eindeu tigkeit und Regularität vo n Maßen

61

7

VIII Mehrfachintegrale und Produktmaße

6.

IX

Absolute Stet igke it

83

X

Die Transformationsformel von Iacobt

103

XI

Konstru ktion vo n Maß en

10.

XII

Hilberträume

127

XIII Banachräume

141

Index

157

Einleitung

Die Bestimmung spezieller Flächeninhalte, Volumina und Integrale ist ein uraltes Thema der Mathematik. Unübert roffen sind die Leistungen des Arehirnedes. nament lich seine Bestimm ung von Kugelvolumen und -obcrtlächc als 4n/3 bzw. 4rr. Später war man dann in der t age, mit verschiedenen Hilfsmitteln den Wert immer neue r spezielle r Integrale zu berec hnen. Aufgaben wie die Bestimmung des Wertes von J;;" x dx (nämlich n /2) haben die Analysis seit Eulcr beschäftigt.

'i:

Endedes 19. Jahrhunderts verlor das Thema an Bedeutung,es gab da nicht mehr viel Neues zu entdecken. Dies ist der Zeitpunkt, zu dem die MaB4 und lntegra u-

onsthcoric auf den Plan trat. Auch sie befasst sich mi t Inhalten oder (wie wir im Folgenden sagen werden) Maßen von Mengen un d mi t Integralen von Funk tionen, ihre Fragestellung hat sich aber gewandelt. Sie lautet nicht mehr "Was ist das Mag diese r ode r jener Menge?" sondern "Welche Mengen sind messbar, welche Funktionen intcg ricrbart". Welchen Mengen kann man also in stimmiger Weise ein Mag zuordnen, welchen Funktionen ein Integral. Was deren wen im Einzelnen ist, wird zweitrangig, in den Vordergrund treten allgemeine Regeln des Imcgricrens. Der Zusammenhang zum Differenzieren, der seit Newton un d l.eibniz über einen langen Zeitraum im Vordergrund sta nd, verliert seine beherrschende Stellung. Solche Perspektivwechsel sind in der Mathematik nicht ungewöhnlich. In unserem Fall hatte er mit der Entwicklung zu tu n, dass man Integrale nicht mehr um ihre r selbst willcn betrachtete, sondern sie als Hilfsmit tel in ande rweitigen mat hematischen Untersuchungen brauchte. Historisch ist da insbesondere die Four ierAnalyse von Funk tionen zu nennen, die zcrlegung von reellen Funktionen in Sinus-Schwingunge n. Deren Koeffizienten (Ampli tuden) lassen sich durc h gewisse Integrale ausdrücken - dabei merkte man bald, dass man dafür Eigenschaften der Integration ben ötigte, die die damals zur Verfügung stehenden Integral begriffe nicht bieten konnten. Die Mag- und Integrationstheorie nach Lcbcsguc entstand im Großen und Ganzen zwischen den Jahren 1900 und 1915,mit wesentlicher Vorarbeit von Borcl' aus dem Jahre 1894. Die Pioniere von damals hatten von Anfang an ihren Blick auf die grundlegenden Eigenschaften von MaB und Integral gelenkt. Borel war der erste. der für Maße nicht nur die Additivität,sondern auch die c-Addit ivität forderte. Dies bedeutet, dass nicht nur für endlich viele disjunktc messbare Mengen BI , Bz , ... C R,d I t MILE BOREL, IR7 1-1 956, gcb. in Saint-Affrique, tiltig in Paris an der teole Normale Supeeieure und der Sorborme. Seine bedeutenden Helträge betreffe n nicht nur die Begründu ng der Maßtheor!c, sondern auch Punktion cnthcc rtc, Mengenleh re, Wahrsdll.'inliehkl.'ilsthcoric und mathematische Anwendungen. Dieses Wirken verband er mit einer politischen Karriere, als Parlamentsabgeordneter, Marineminister und schließlich Mitglied der Resistance.

I Einleitung

mit Maßen :\(B l Maß

),

:\(B2), ... dieVereinigungB :\(B) = :\(B l

)

=

B l U B2 U· ·· messbarist und das

+ :\(B2) + ...

besitzt, sondern dass diese Eigenschaft auch für jede unendliche Folge Bj , B2, ... disjunkter messb arer Mengen gilt. Borel erkannte, dass sich nur mit dieser Annahme eine fruchtbare math emat ische Theorie ergibt. Im Einzelfall, wie im Bild be im Kreis,

ergab sich natürlich nichts Neues. Lebesgue-, der Begr ünder der modernen Integrationstheorie, ging dann in seiner grundlegenden Abhandlung zur Integration aus dem Jahr e 1901 von sechs Eigenschaften aus, die Integrale vernünftigerweise erfüllen müs sen. Die Maß- und Integrationstheori e baut auf der Mengenlehre auf und kommt nicht ohne der en Schlussweisen aus. Erst mit Hilfe der Mengenlehre fand sich ein Weg zum vollen System der messbaren Teilmengen des JR d und anderer Räum e. Dabei erweist sich dieser Weg als vergleichsweise abstrakt und indirekt. Um seine Berechtigun g zu erkennen, ist es vielleicht angebracht, erst einmal einen Blick auf anschaulichere Ansätze zu werfen, auch wenn diese letztlich nicht zielführend waren. Betrachten wir den bekannten Ansatz von Iordan' . Seine Idee ist intuitiv: Sei V = u~= 1 I j eine Vereinigung von endlich vielen disjunkten d -dimensionalen Intervallen I j C JR d, also I j = [a j l , b j1 ) x . . . x [aj d, b j d ) (es erweist sich als pr akt isch, wenn auch nicht als zwingend, mit halboffenen Intervallen zu arbeiten). Ihr Maß :\(V) erh ält man , indem man die Produkte der Kantenlängen der einzelnen Intervalle aufsummiert: k

:\(V) := ~ (bj1 -aj d .. · (b j d- aj d)' j

e-

l

Das äußere und das innere Maß einer Teilmenge B c JR d ergeben sich dann nach Jord an durch Überdeckung bzw. Ausschöpfung mittels Vereinigungen von Intervallen: 2HENRI LEBESGUE, 1875-1941, geb. in Beauvais, in Par is tätig an der Sorbo nne und am College de France. Seine Begrü ndung der Integr ation stheori e ist ein Markstein in der Mathe matik, dabei konn te er auf Vorarbeiten von Borel und Baire zur ückgr eifen. Mit seinen Meth oden erzielte er dann Resultate über Four ier-Reihen. 3CAMILLEJORDAN, 1838-1922 , geb. in Lyon, tätig in Paris an der Ecole Polytechnique und am College de Fran ce. Bekannter als seine Beiträge zur Maßth eori e sind seine Arbei ten zur Gr uppentheo rie . Die [ord ansche Normalform von Matrizen wie auch jordanku rven belegen seine weitgespannte n math ematische n Interessen.

I Einleitung

In Formeln ausgedrückt: ;\*(B) := inf{;\(V) : V =:> B},

;\*(B):= sup[;\(V ) : V

c

B}.

Haben beide Ausdrücke denselben Wert, so nennt man Beine Jordanmenge und ;\ (B) := ;\*(B) = ;\*(B) heißt das Jordanmaß von B. Die Definition ist analog zum Riemannintegral von Funktionen. Zweifellos ist damit einer Jordanmenge ihr "richtiges" Maß zugewiesen. Der Mangel dieser Vorgehensweise liegt anderswo, auf struktureller Ebene. Zwar sind endliche Vereinigungen, endliche Durchschnitte und Komplemente von Jordanmengen wieder [ordanmengen. Jedoch stellt sich heraus, dass im Allgemeinen eine abzählbar unendliche Vereinigung von Jordanmengen nicht mehr Jordanmenge zu sein braucht. Man sieht zum Beispiel leicht ein, dass jede einpunktige Menge Jordanmenge vom Maß 0 ist, dass aber die Menge der rationalen Zahlen im Intervall [0, 1] keine Jordanmenge ist (inneres und äußeres Maß sind 0 bzw. 1). Es fehlt die o-Additivität. Dieser Mangel ist fatal. Alle Versuche, die Definition von Jordan geeignet abzuändern und damit den Mangel zu beheb en , sind gescheitert. Aber vielleicht ist es ja gar nicht erforderlich, die Messbarkeit von Mengen regelrecht zu definieren. Ist es vielleicht möglich, jed er Teilmenge des JR d in vernünftiger Weise ein Maß zuzuordnen, ob nun auf direktem oder indirektem Wege? Bereits Lebesgue stellte diese Frage . Die Antwort ist negativ, wie Vitali 4 und Hausdorff? herausfanden. Hausdorffs Resultat wurde später von Banach " und Tarski " ausgebaut. Es ist einigermaßen verblüffend und deswegen heute als Banach-Tarski Paradoxon bekannt. Die beiden Mathematiker zeigten 1924: Je zwei beschränkte Teilmengen Bund B I des JR d .d 2:: 3, mit nichtleerem Inneren, etwa zwei Kugeln mit unterschiedlichen Radien, lassen sich beide so in gleich viele disjunkte Teile zerlegen, B = Cl U .. . u C k und BI = C; U .. . u C~, dass die Teilstücke Cl, " ' ) C k , C;, ... , C~ alle miteinander kongruent sind, also mithilfe von Translationen, Drehungen und Spiegelungen ineinander überführt werden können. Man ist also geneigt zu schließen: Alle Teilstücke haben aufgrund von Kongruenz dasselbe Maß, und folglich haben B und BI, nun 4GIUS EP PE VITALI , 1875-1932, geb. in Ravenna, tät ig in Modena, Padua und Bologna . Er liefert e bedeutende Beit räge namentlich zur Maßtheorie , abe r auch zur Funktionentheor ie. 5FELIX HAUSDORFF, 1868-1942, geb. in Breslau, tätig in Leipzig , Greifswald und Bonn . Hausdorff lieferte gr undlegende Beiträge zur Mengenlehre, Topologie und Maßtheorie. Sein e Mengenlehre war eine auß erordentlich einflu ssr eich e Monographie. Unter dem Pseudonym Paul Mongre veröffentlichte er essayistische und liter ari sche Werke . Aufgrund sein er jüdisch en Herkunft wurde Hausdorff 1935 eme r itiert. Um sein er Deportation zu entgehe n, nahm er sich 1942 das Leben. 6STEFAN BANAc H, 1892-1945, geb. in Krakau, tätig in Lemberg. Er begründete die mod erne Punk tionalanalysis. Um Hugo Steinhaus und ihn bildete sich die Lemb erg er Schule der Math ematik. 7ALFRED TARSKI, 1902-1983, geb. in War schau . tätig in War schau und Berkeley. Er gilt als eine r der bedeutensten Logiker, etwa durch Arb eit en zur Modellth eorie. Auch trug er zur Mengenlehre, Maßtheorie. Algebra und Topologi e bei. Wegen sein er jüdisch en Herkunft bli eb er 1939, nach Einm ars ch der deut schen Armee in Polen , in den Ver eini gt en Staaten.

I Einleitung

aufgrund von Additivität, dasselbe Maß. Dies wäre paradox. Wie lassen sich solche Zerlegungen realisieren? Auf anschauliche Weise ist das unvorstellbar. Die Antwort ist: Der Satz von Banach -Tarski ist ein Resultat der Mengenlehre, und die Mengenlehre erlaubt (insbesondere mit Hilfe des Auswahlaxioms) die Bildung von völlig exotischen Teilmengen des lR d , die der Vorstellung nicht mehr zugänglich sind. Dies ist der Sinn des Satzes: Das System der Teilmengen von lR d ist derart umfassend , dass es unmöglich ist, allen Teilmengen ein Maß zuzuweisen in einer Weise, dass diese Maße sich additiv verhalten und gleichzeitig invariant unter Kongruenz sind. Der oben gezogene Schluss lässt sich also nicht ziehen. Damit löst sich das Paradoxon auf. - Diese Resultate von Vitali, Hausdorff, Banach und Tarski sind bedeutend in der Historie der Maßtheorie, heutzutage sind sie eher ein Spezialtherna. Halten wir fest: Der Versuch, messbare Teilmengen des lR d einzeln in den Blick zu nehmen, führt zu keiner tragfähigen mathematischen Theorie. Wir wenden deshalb unseren Blick ab von einzelnen Teilmengen, und nehmen stattdessen Systeme ß von messbaren Teilmengen ins Visier. Ihre Eigenschaften sind einfach. Nach Borel sind zwei Eigenschaften unabdingbar: BE ß

=}

BC E ß

und

B1, B2, . . . E ß

=}

Uu.,

E

ß

n 2:1

für die Komplementärmenge BC von B und für endliche als auch für unendliche Folgen B 1 , B2 , ••• Solche Mengensysteme sind von fundamentaler Bedeutung in der Maßtheorie, nach Hausdorff heißen sie o-Algebren. Es stellt sich die Aufgabe, eine ausreichend große o-Algebra zu bestimmen, deren Elementen man ein Maß zuordnen kann, so dass o-Additivität gilt. Die Aufgabe lässt sich verschieden angehen. Eine Möglichkeit besteht darin, von einem System [ von Mengen auszugehen, denen man in klarer Weise ein Maß geben kann. Hier eignet sich etwa das System aller (halboffenen) Intervalle des lR d • Man vergrößert dann [ zu dem System E' aller abzählbaren Vereinigungen von Mengen aus [ zusammen mit den Komplementärmengen der Vereinigungen. Den Mengen aus E' kann man dann ebenfalls ein Maß geben, unter Ausnutzung der Eigenschaft der o-Additivität. Ist [' noch keine o-Algebra, so wiederholt man den Schritt, solange, bis schließlich eine o-Algebra ß d entstanden ist. - Diesen Weg kann man beschreiten (und hat man anfangs beschritten), allerdings stellt sich heraus, dass überabzählbar viele Schritte nötig sind, um zum Ziel zu gelangen. Dies strapaziert nicht nur die Intuition, man muss sich dazu auch fortgeschrittener Methoden der Mengenlehre bedienen, nämlich der Theorie der wohlgeordneten Mengen und der transfiniten Induktion. Eine Vorstellung, wie eine messbare Menge typischerweise aussieht, entsteht dabei nicht. Glücklicherweise fand sich bald ein elementarer und viel einfacherer Weg: Man richtet den Blick direkt auf ß d, indem man sie als die kleinste o-Algebra charakterisiert, die [ enthält. Sie heißt Borel-o-Algebra, und ihre Elemente B C lR d heißen Borelmengen. Wir werden sehen , wie man allen Borelmengen ein Maß zuweist, so dass die Eigenschaft der o-Additivität erfüllt ist, und wie sich darauf eine Integrationstheorie aufbaut, deren Regeln durchsichtig und leicht anwendbar sind.

I Einleitung Es ist ein Preis zu zahlen: Damit man mit messbaren Mengen und integrierbaren Funktionen flüssig rechnen kann, muss man auch mit Mengen und Funktionen umgehen, die sich klassischen Vorstellungen gar nicht mehr fügen wollen. Führende Mathematiker standen damals dieser Entwicklung reserviert bis ablehnend gegenüber, Herrnite" etwa sprach von einer "beklagenswerten Plage" von Funktionen ohne Ableitungen. Dennoch haben sich die Ideen von Borel und Lebesgue durchgesetzt. Ihre Theorie gehört zu den wichtigsten Errungenschaften der Mengenlehre. Messbare Mengen lassen sich einzeln kaum in den Griff bekommen, man wird ihrer nur durch ihre Zugehörigkeit zu Mengensystemen habhaft. Dies bedeutet auch: Wie eine "typische" Borelmenge aussieht, weiß niemand zu sagen. Dagegen kann man sich eine Vorstellung von einer typischen Jordanmenge machen, das Bild deutet dies an. Dennoch werden wir im Folgenden auf Jordanmengen nicht mehr zu sprechen kommen, während Borelmengen im Zentrum unserer Betrachtungen bleiben. In der Maß- und Integrationstheorie muss man sich daran gewöhnen, mit Mengen- und Funktionensystemen zu rechnen anstatt mit einzelnen Mengen und Funktionen. Seit seiner Entstehung in der Zeit Newtons und Leibniz' hat sich das Integral zu einem Werkzeug entwickelt, welches in vielen Bereichen innerhalb und außerhalb der Mathematik grundlegend eingesetzt wird. Dazu gehören die Beschreibung von Vorgängen im Kontinuierlichen - etwa dem Raum-Zeit-Kontinuum - in den jeweiligen Teilbereichen der (mathematischen) Analysis, die Beschreibung zufälliger Phänomene in der Stochastik, sowie die Beschreibung von Algorithmen zur Approximation und Simulation solcher Situationen auf dem Computer im Bereich der Numerik und des Wissenschaftlichen Rechnens . In allen diesen Zusammenhängen hat sich das Lebesguesche Integral als der insgesamt geeignetste Integrationsbegriffherausgestellt. Was die Analysis und die Numerik angeht, liegt das vor allem daran, dass die zur p-ten Potenz lebesgueintegrierbaren Funktionen einen bezüglich der Integralnorm vollständigen (jede Cauchyfolge konvergiert) Raum bilden. Im Falle p = 2 definiert das Integral darüber hinaus ein Skalarprodukt, und wir erhalten einen Hilbertraum. Diese sogenannten Lp - Räume und ihre Abkömmlinge - etwa die Sobolev-Räume - liefern, neben den Räumen stetiger Funktionen und deren Varianten, den mathematischen Rahmen, in dem Fragestellungen aus dem Kontinuierlichen überwiegend behandelt werden. Zwar geht es in der Lebesgueschen Integrationstheorie nicht um das Berechnen einzelner Integrale, doch sind ihre Resultate auch für diesen Zweck hilfreich. Die Sätze über das Vertauschen von Integration und Grenzwerten (über montone und dominierte Konvergenz) haben vielfältige Anwendungen, z.B. klären sie, wann sich Differentiation und Integration vertauschen lassen. Entsprechendes gilt für die Sätze von Fubini? und Tonelli'? über das Vertauschen der Integrationsreihenfolge bei Mehrfachintegralen. Wir werden auf wichtige Einzelintegrale zu sprechen kommen. 8CHARLES HER~ITE, 1822-1901,geb. in Dieuze, tätig in Paris an der Ecole Polytechnique und an der Sorbonne. Er trug wesentlich zu Algebra und Zahlentheorie, zu orthogonalen Polynomen und elliptischen Funktionen bei. 9GUIDO FUBINI, 1879-1943, geb. in Venedig, tätig in Catania, Turin und Princeton. Er arbeitete über reelle Analysis, Differentialgeometrie und Funktionentheorie. 1939 emigrierte er mit seiner Familie in die USA, nachdem er im Zuge der antisemitischen Politik unter Mussolini seinen Lehrstuhl in Turin verlor. lOLEONIDA TONELLI, 1885-1946,geb.in Gallipoli bei Lecce,tätig in Cagliari, Parma, Bologna und Pisa. Er arb eitete in vielen Bereichen der Analysis und ist insbesondere für seine Beiträge zur Variationsrechnung bek annt.

Messbarkeit

In diesem Abschnitt füh ren wir messbare Mengen und messba re Punktionen ein. Wie

in der Binlcitung erläutcn geht es dabei hauptsächlich um ein Rechnen mit Mengensystcmcn. Dabei betrachten wir auch endliche oder unendliche Polgen von Mengen. Für solche Folgen unbestimmter Länge b enutzen wir di e Notation Al , A l , . . ., fü r deren Vereinigung Un ;: >: I A n und so weiter. Ein System A von Teilmen gen einer nichtleeren Meng e 5 m it den Eigenschaften

Definition

( i) S E A,

(ii) A E A

N ':= S \ A E A ,

=?

(iii)A 1,Al , ... E A

::::}

U" ;::>:l A " E A .

nennt man eine er-Algebra in S. Das Paar (5, A) heigt messbarer Raum. Die Elemente von A bezeichnet man als die messba ren Teilmengen von S. Es folgt dann auch (iv) 0 = Sc E A , (v) Al ,Al , . .. E A

::::}

n n?:l All = fUn ?:1 A ~ ) C E A ,

(vi) Al ,Al E A

::::}

Al \ A I :=A l n A 1 E A ,

(vii) Al ,A1 E A

=?

A18Al: = (A1 UA1} \ (Al nA!l E A.

Seien (5, Al , (5', A ' ) messbare Räume. Eine Abbildu ng rp: 5 -+ 5 ' heißt dan n messbar, genauer A -A '<messbar, falls Urb ilder von messbaren Mengen wiede r messbar sind, falls also gilt rp-l (A ' ) E A

für alle A ' E A '.

Normale rweise ist klar, welche c-Algcbra A auf einer Grun dmenge 5 gemeint ist, welches also die messba ren Teilmengen von 5 sind. Wir werden deswegen später die zugehörige c-A lgcbra nicht imme r explizit benen nen.

Definition

11 Messbarkeit Beispiel

Spur -e -Algebra, Ist 51 messbar e Teilmenge in einem messba ren Raum (5 , A ), so bildet A l := {A C 5 1 : A E A } offenbar eine c-A lgcbra auf 5 1. Sie heißt die Spur-o-Algebra von A auf 5 I. Eine Abbildung

l An = S und !1(A l l ) < 00 für alle n gilt. -

In de r Einleit ung haben wir uns bei Maßen !1 a n de r Vorstellung orientiert, dass Ii(A ) das Volumen d er Menge A ist. Man ka nn bei 11 auch an eine Masseve rteilung in 5 denken, d ann ist Il(A ) d ie Masse von A. In de r Wahr schei nlichkei tsth eo rie interpretiert man d ie Elemen te A d er c-Algcbra als bcobachtbarc Ereignisse mit Eintr ittswah rsch cinlichkeiten Il(A ). c -cndlichc MaBe sin d aus zwei Gründen interessant Ersten s si nd einigewich tige MaBe c -cndlich, wie das Lcbcsgucmaß auf dcm R '' .das wir bald ansprechen werden. Zweitens ü benragen sich Eigenschaften von endliche n Magen häufig auf den o endl iche n Fall. Dies gelingt, indem man für ein c-cndlichcs Mag 11 zu den endlichen MaBen Iln (.) := 1-\.( ·nA n ) übergeh t und dann den Grenzübergang n ---? 00 vollzieht. Iläufig bietet dies keine rlei Schwie rigkeiten.so dass ma n au f Details verzichten kann. I. Ein lJirllc-MlljJl ist ei n W-Maß, dessen Cesamtmasse in einem ein zigen Pu nkt kon zen triert ist. Das Dirac-Maß Öl< im Punkt x E S eines messbaren Raumes

ist de finiert als

,, (A )

.~ {~

falls x EA , falls xoj A.

Es nimmt nur di e Wert e 0 und 1 an. I PAlIl_DIRAC, 1902-1 984.gcb.in Br tstol.tätig in Camb rjdgc .Er ist insbesondere flir seine Grundlegung der Quantenmechanik berühmt. tsaaerbten er de n Nobelpreis flir Physik .

Beispiele

111 Maße 2. Ein Mag 11 heißt diskret, wenn es seine Gesamtmasse in einer abzählba ren messbaren Menge konzent riert, wenn also Il(C" ] = 0 gilt mit abzählbarem C eS. Dann ist 11 du rch seine Gewichte !-Lx := 11 ({x}), x E Cigegeben,gemäß de r Formel !-L(A ) = !-Lx .

L.

xEAnC

Umgekeh rt erhält man aus jed er Familie (u, )x EC von nicht neg ativen Zahlen m it di eser Fo rmel ein diskret es Mag 11. Der folgende Satz fasst wesentliche Eigenschaften von Maßen zusammen. Wir schreiben für Mengen A, Al, Az, . . . c S An

rA,

falls Al e Az

c . ..

und A =

U An , n2 1

An

1A

,

falls Al =:> Az =:> . .. und A =

n An .

11. 2 1

Satz111.1

Fürein Maß u und beliebige messbare Mengen A . Al . A z•. . . gilt: (i) Mono tonie:Il (A tl :::; Il(A z ),ja llsA 1 C A b (ii) o-S ubadditivität: ~l ( U n l A~J = J-L(Un >l

l J-L(

l J-L' (A~J für paarweise disjunkte A(, A~, . .. E A'. Genauso schnell überzeugt man sich von Aus

~}

ist Nullmenge ,

er und ~ mit einer Ordnungsrelation :s; versehen

Wichtig werden für uns Nullmengen namentlich im Kontext von Konvergenz sein. Definition

Sei (S, A , u ) ein Maßraum. sei (S I, d I) ein met rische r Raum und seien er, er1 , erz•. .. messbare Abbildungen. Dann sagen wir, dass er" [ast überall gegen er konvergiert, und schreiben er" -t er f.ü. , falls {ern

f1 er} := {x E S : er (x) f1 er(x)} eine Nullmenge ist. 1\

Bemerkung. Für jeden Maßraum (S, A , u ] ist das System

eine o-Algebra in S, die A umfasst. Man kann sie auch beschreiben als die o-Algebra, die von A u N erzeugt wir, mit dem System N aller Teilmengen von Nullmengen. Weiter ist für Ä E A

wohldefiniert. II ist ein Maß, das ~ auf A fortsetzt. Der Maßraum (S, A, ll) heißt Vervollständigungvon (S, A , u ]. (Beweis als Übung) Das Lebesguemaß auf dem ~ d

Wir wollen nun sehen , dass das Konzept eines Maßes auf einer o-Algebra in einem besonders wichtigen Fall aufgeht. Das folgende nichttriviale Resultat besagt, dass es ein eindeutiges Maß auf der Borel-o-Algebra ß d des ~ d (d endlich) gibt, welches jedem d-dimensionalen Intervall sein "natürliches" Volumen zuweist. Man betrachtet hier üblicherweise halboffene Intervalle [u , b ) := [u i , b i

]

x .. . x lad, b d) ,

111 Maße mit a = ( a l ) " " ad ), b = (b 1 " " , b d ) E 1Ft d . Halboffene Intervalle haben den Vorteil, dass man mit ihnen den Raum lückenlos und ohne Überschneidungen überdecken kann. Im folgenden Bild gehören die fetten Kanten mit zum Intervall.

A.ufden Borebnengen des R d gibt es genau ein Maß, bezeichnet mit Ad, das für alle a l < b i , . . . • ad < b d die Eigenschaft

Satz111.2

mit a = (a l . .. , . ad ), b = (b I •. ..• bd ) erfüllt. Den Beweis stellen wir hier zurück, die Eindeutigkeit werden wir in Kapitel VII zeigen, und die Existenz in Kapitel XI. Ad heißt das Lebesguemaß auf B d (man spricht auch vom Lebesgu e-Borel-Maßi. Seine Vervollständigung wird ebenfalls Lebesguemaß genannt. Im Fall d = 1 schreiben wir für die Borel-u-Algebra BI und das Maß Al auch kürzer Bund A. Wir wollen ein paar wichtige Eigenschaften des Lebesguemaßes behandeln.

DasLebesg uemuß Ad auf Bel ist das einzige Maß auf Bel, das diefolgenden beiden Eigenschaften erfüllt: (i) 'lranslationsinvarianz: Ad (B) = Ad (B' ),falls B. B' E Bd durch Translation

ineinander übergehen. (ii) Norrn iertheit: Ad ([O.l) d) [0, 1) t) dt.

Das Integral rechts ist als das Lebesgueintegral f [O,oo l ~(f > t) A(dt l zu lesen. Auf das Verhältnis von Lebesgue- und Riemannintegral kommen wir im nächsten Kapitel zu sprechen.

Beweis. Wir arbeiten wieder mit f n := .L ~=1 z~' ·1 {k/ Zn < f :S;(k + 1 l / z n j + 00 · 1{f= oo j , nun in der Darstellung

00

f" = 2-

n

L.

l {f >k/z n j .

k~ l

Nach Satz IV.? folgt

Nun gilt für die linke Seite 0 :::: f 1 :::: fz :::: . .. und f = sUPn> 1 f l t und für die rechte Seite it 2 l t l n» 1 t und {f > it 2l t l / 2l t } T{f > t ]. Die Behauptung folgt daher mit n ----+ 00 mittels Cf-Stetigkeit und dem Satz von der monotonen Konvergenz . D Die zentrale Rolle, die monotone Konvergenz in der Integrationstheorie spielt, ist bereits deutlich erkennbar. Als Beweismethode benutzt man sie häufig auch in Gestalt des Monotonieprinzips Satz 11.8. Wir illustrieren diese Methode in den beiden folgenden Abschnitten. Die Transformationsformel

Sei ~ ein Maß auf dem messbaren Raum (5, A l, sei

h/ ) +

J (h -h/) +d~ =

J

h/d~ +

{ h.c- h."]

J h du

(h - h/)+ d~

J { h.c- h."}

= v fh

> h/ ) .

{ h.c- h."]

Da 'V endlich ist, folgt I (h - h ' }" du = 0, also nach Satz IV.2 (iii) (h - h ' }" = 0 u-f. ü. Dies bedeutet h ~ h ' u-f. ü. Die umgekehrte Ungleichung folgt analog. Im o-endliche Fall betrachte man zunächst I A n (h - h ' }" du mit 'V (A n ) < 00 und nehme dann den Grenzübergang n ----t 00 vor. D Auf Dichten kommen wir im Kapitel IX über absolute Stetigkeit zurück.

IV Das Integralvon nichtnegativen Funktionen

Übungsaufgaben

f f db x für messbares

Aufgabe 4.1.

Sei bx das Dirac-Maß in x E S. Bestimmen Sie

Aufgabe 4.2.

Beweisen Sie für messbares f :::: 0 und jede reelle Zahl a > 0

f :::: O.

Aufgabe 4.3. Sei f : lR a > O. Zeigen Sie

lR+ eine borelmessbare Funktion mit f f dA
l 1A n (x) ,- der Anzahl der n mit x E An . Aufgabe 4.6. Ein Maß ~ auf S ist o-endlich genau dann, wenn es eine messbare Funktion f :::: 0 gibt mit f f du < (X) und f (x ) > 0 für alle x E S. Zeigen Sie dieses.

Integrierbare Funktionen

Die Integrat ion von messbaren Funktionen f : S -+ IR führt man auf die Integration von nichtnegativen messbaren Funktionen zurück. Dazu zerlegen wir f in Posilivund Nega tivteilt f = f+ -

1

r,

mit

1

f

~-'\

f + ._ max (f ,O)

und

r ._

max (-f,O) .

f"

~>

"

Sei ~ ein Mag auf S und sei f : S -+

R eine

messb are Punktion dera rt, dass

f f + dJ1 und J f - du nichtbcidc den Wert 00 haben. Dann setzen wir

Definiti on

Im Folgenden richten wir unser Augenmerk auf Funktionen mit endlichem Integral. Dabei bet rachten wir nur reellwenige Funktionen, damit wir sie ohne Einschränkung addieren und multiplizieren können.

Sei f : S -t IR messbar und J1 ein MaB auf S. Dann heißt f integrierbar,gcnaucr

J

u-integrierbur, falls t" dJ1
(~l = CI' (S;~):= { f : 5 ---1 IR

: f ist messba r. J IW' du

< oo} .

Cl [ u ] ist die Menge der lntcg ricrbarcn Pu nkt ionen. Wie man aus der Abschätzung If + 91'>" (If l + 191 )' s (2if l)' + (2191)' bzw

Definiti on

VI Konvergenz erkennt, ist L p (~t ) ein Vektorraum. Wir setzen

Ergänzend sei

L oo ( u ) := { f : S

----1

JR : f ist messbar, If ] :s; c f.

und N oo (f) := inf {c

ü

.

für ein c
0 : Ifl:S; c ~-f.ü.},

das essentielle Supremum von IfI. Es gilt Np (f ) ----1 N 00 (f ) für V ----1 00 (Übung). Nun erfüllen die Ausdrücke Np (f ) wesentliche Eigenschaften einer Norm. Offenbar gilt Np (af) = laIN p (f ) für alle 1 :s; V :s; 00 und allen reelle Zahlen a. Weniger offensichtlich ist, dass die Dreiecksungleichung erfüllt ist. SatzVl.l

Minkowski-Ungleichung', 1 V 00 gilt

s s

Für messbare Funktionen f , 9

S

----1

JR und für

Beweis. Für p = 1 folgt die Behauptung direkt aus [f + gl :s; [f] + I9 I. Der Fall p = 00 ist ähnlich einfach. Sei also 1 < V < 00. Dann gilt 1/V + 1/ q = 1 für q := V / (V - 1) > 1. Es folgt

f

[f

+ glP d~ :S;

f

Ifll f

+ glP-l

du +

f

Igllf

+ glP-l

du

und mithilfe der Hölder-Ungleichung

Wegen (V - l )q = V und 1 - l /q = l /V folgt die Behauptung. Die speziellen Fälle f [f + glP du = 0 und f IfIP du = 00 bzw. f IglP du = 00 sind gesondert zu betrachten, sie sind trivial. D Ein weiterer wichtiger Sachverhalt ist, dass die Konvergenz im Mittel vollständig ist.

1 HERM AN N MIKKOW SKI, 1864-1909 , geb. in Kaunas, tätig in Bonn, Königsberg, Zür ich und Göttingen. Für seine Beiträge zur Zahlentheorie, konvexen Geom etrie und Relativit ätsth eorie wurde er berühmt.

VI Konvergenz Satz von Rieszf -Plscher' . Sei 1 ::; p ::; 00 und sei f 1 • f z , . . . eine Cuuchy-Polge

SatzVI.2

in L p (~l ) , d.h.

!im

rn.n ----t

Dann gibt es ein f E L p (u), so dass lim Np (f n

-

n ->

f)

=0.

Der Kern des Beweises besteht darin, durch Übergang zu einer geeigneten Teilfolge von Funktionen den Zusammenhang zur Konvergenz fast überall herzustellen. Diesen Schritt behandeln wir im nächsten Lemma.

Sei ~ ein Maß und sei f 1 • f z , . . . eine Folge reellweniger messbarer Funktionen mit lim

nt, n ----t

für alle E. > O. Dann enthalt die Folge eine f u. konvergente Teilfoige. Beweis. Nach Annahme gibt es eine Folge 1 ::; n m >nk ~( lfl1l - fn kl >

r

k

) ::;

< nz < " ', so dass für alle

i

r

k

gilt. Es folgt ~ ( Ifn k +' - f'Lkl > 2- k ) ::; 2- k . Bilden wir nun die Funktion 9 'k L k 2:1 l {lfnk+l -f nkl>Z- k}, also die Anzahl der k mit If n k+ 1 - f nk[ > 2- , so gilt f 9 du = Lk2:1 ~l ( lfn k +l - f nk I > 2- k ) < 00 . Es folgt 9 < 00 f.ü., d.h.

Dies bedeutet, dass die Reihe L

fn, + L ~~~ 1 (f nk+ 1 ist die Behauptung.

-

k >l If n k+ 1 - f n k If.ü.konvergiert und folglich fn ", = fn k) f.ü. gegen eine messbare Funktion f konvergieren. Dies

D

Beweis des Satzes von Riesz-Fischer. Für p < für alle

E

>0

~(Ifm -

fn l >

E)
e) = 0

Definition

n ->

für alle e > O. Der Grenzwert fist f.ü. eindeutig. Ist nämlich l' ein weiterer Grenzwert, so folgt ~( If - 1'1 > €) = 0 und mit E. ----1 0 auch ~( If - 1'1> 0) = O. Man kann Konvergenz im Maß als einen Begriff motivieren, der eine Eigenheit der Konvergenz f. ü, ausgleicht. Konvergenz f.ü. weist eine Besonderheit auf, die sonst für Konvergenz von Folgen untypisch ist: Es ist im Allgemeinen nicht so, dass eine Folge genau dann f.ü. konvergiert, wenn jede Teilfolge eine f.ü. konvergente Teilteilfolge besitzt. Dagegen gilt der folgende Zusammenhang.

Sei ~ ein Maß und seien f, f l , f z . . . . messbare reellwertige Funktionen aufS. Für die Aussagen (i) f 1 , f z , . . . konvergieren im Maß gegen f,

(ii) jede Teilfolge von f I • f z . . . . enthiilt eine Teilteilfolge. die f ü. gegen f kon-

vergiert,

gilt dann (i) =? (ii) . Fürendliche Maß e gilt sogar (i ) {=} (ii). Beweis. Sei (i) erfüllt. Dann lässt sich (ähnlich wie im Beweis des letzten Lemmas) zu jeder Teilfolge der natürlichen Zahlen eine Teilteilfolge 1 :::; nl < n 2 < . . . finden, so dass

SatzVI.4

VI Konvergenz Für 9 := Lk2:1 1{ If n k - f l>2- k } folgt

f 9 du < 00 und damit 9 < 00 f.ü, oder

ll( lf nk - f ] > 2- k für oo-viele k)

=

0.

Dies bedeutet, dass f n ) , f n 2 , .. . f.ü, gegen f konvergiert. Damit ist (ii) bewiesen. Sei umgekehrt (ii) erfüllt und 1 ::; nl < n 2 < . . . eine der unter (ii) genannten Teilteilfolgen. Für e > 0 folgt dann 1(If n k - f I> e} ----1 0 f. ü. für k ----1 00 . Im Falle eines endlichen Maßes ergibt der Satz von der dominierten Konvergenz

Es enthält also jede Teilfolge der reellen Folge ll( If n - fl > c:) eine gegen 0 konvergente Teilteilfolge. Dann konvergiert bereits die gesamte Folge gegen O. Also gilt (i). D Insbesondere ist bei endlichen Maßen jede f.ü. konvergente Folge auch im Maße konvergent. Die Umkehrung gilt nicht. Beispiel

Sei f l , f 2 , ••• eine Aufzählung de r charakte ristischen Funkt ionen 1 I k , tn der Intervalle Ik , T1t = [ k~ 1 , I~ ) mit k , m E N und 1 ::; k ::; m in irgend eine r Reihenfo lge, etwa f n = 1 I k " n mit n = k + m (m - 1)/ 2. Dann sind die Fu nktionen f 1 , f 2 , . . . nirgen dwo im Intervall [0, 1) konvergent, jedoch konvergie ren f 1 . f z . . .. im Maß gegen 0, bzgl. des au f [0, 1) eingesc h ränkte n Lcbesgucma ßcs. Die Konvergenz im Maß ist der Konvergenz f.ü . auch insofern überlegen, als sie vollständig ist im Sinne des folgenden Satzes.

SatzVI.5

Sei II ein Maß und seien f i . f z , ... messbare reellwenige Funktionen mit der Eigenschaft lim ll (lf m - f n l > E) = 0 f Tl . n - ~

für alle E > O. Dann gibt es eine messbare Fu nktion f : 5 im Maß gegen f konvergieren.

----1

lR, so dass f I , f 2, . . .

Beweis. Nach obigem Lemma gibt es eine Teilfolge f n ) , f n 2 , . .., die f.ü. gegen eine messbare Funktion f konvergiert. Es folgt 1{ If m - f1> c} ::; lim inf k ---+ oo 1{ If m f.ü. Mit dem Lemma von Fatou erhalten wir für alle m 2': 1

Mit m

----1 00

folgt nach Annahme die Behauptung.

f n k I> c }

D

Die Konvergenz im Maß lässt sich darüber hinaus metrisieren, wir kommen darauf in Aufgabe 6.3 zurück. Der vorige Satz lässt sich also auch so ausdrücken: Jede Cauchyfolge (in solch einer Metrik) ist konvergent.

VI Konvergenz

Der Zusammenhang zwischen den Konvergenztypen * Wir setzen nun noch die Konvergenz im Mittel zur Konvergenz im Maß in Beziehung. Der erste Konvergenzbegriff ist der stärkere. Genauer gilt der folgende Satz von F. Riesz.

Seien fund f 1 • f z . . .. Elemente von L v (ll ) für ein 1 < P < folgende Aussagen üquivulent:

Dann sind

00.

Satz VI.6

(i) f n ~ f,

(ii)

f 1 , f z . .. . konvergiert im Maß gegen fund n

~

f If nIVd u

~

f IfIP d u für

00.

Beweis. (i) =? (ii): Aus der Markov-Ungleichung

folgt die Konvergenz im Maß . Aus der Minkowski-Ungleichung folgt

und damit die Konvergenz f If n IVdu ~ f IfIP du, (ii) =? (i): Nach Satz VIA gibt es zu jeder Teilfolge der natürlichen Zahlen eine Teilteilfolge 1 :::: n.i < n2 < .. " so dass f n I ' f n 2 , . . . f.ü. gegen f konvergiert. Das Lemma von Fatou,angewandt auf Zl' {lf]!' + Ifnkl p ) - Ifnk - f [" ~ O,ergibt

Rechts und links taucht nach Annahme zweimal der Term 21' nach Annahme endlich, deswegen folgt lim sup k - HJO

fIf nk - fI"

du
g }

also die gleichgradige Integrierbarkeit. (ii') =} (ii) : Gegeben E- > 0 sei 9 E L p (ll ) gemäß der Bedingung der gleichgradigen Integrierbarkeit gewählt. Ersetzen wir 9 durch 9 / := 9 + 21fl, so können wir wie eben

f

If nl P du

{ If n I:':: g' }

----1

f

IfIP du

folgern. Dies ergibt

f

lim sup I If nl P dll n ---too

Mit

E- ----1

0 erhalten wir (ii).

f

IfIP dil l ::; lim sup n ---too

f

If nl P du


g ' }

D

VI Konvergenz

Übungsaufgaben Aufgabe 6.1 .

Beweisen Sie den Satz von Riesz-Fischer im Fall p

= 00.

Aufgabe 6.2. Sei f 1 ::; fz ::; . .. eine Folge von messbaren Funktionen, die im Maß gegen eine Funktion f konvergiert. Zeigen Sie, dass dann die Folge auch f.ü. gegen f konvergiert. Aufgabe 6.3.

Sei für messbare Funktionen f, 9 : S ----1 lR und für ein Maß d (f , g ) := inf {€ > 0 : ~( If - g l >

~

auf S

€) ::; €} .

Zeigen Sie: d ist eine Halbmetrik, d.h. d ist symmetrisch und d erfüllt die Dreiecksungleichung. d metrisiert die Konvergenz im Maß, d.h. d (f n , f ) ----1 0 genau dann, wenn f n ----1 f im Maß u.

Eindeutigkeit und Regularität von Maßen

Bindcuugkeitssätzc dienen in der Maß· und lmcgrau onsthcoric dazu, Maße festzulegen und zu identifizieren. Ocr wich tigste dieser Sätze klärt , wann zwei Maße auf einer c -Algcbra A gleich sind , sofern sie auf einem Erzeuger t von A übereins timmen. Das ist nicht immer der Pali: Auf {1, 2, 3, 4} etwa erzeug t das System E := {{1, 2}, tz.3}} die c- Algcbra aus allen Tcilrncngcn, und die beiden W-Maßc 11 und v m it den Gew ichten 1.1 1 = uz = ]J.3 = jl4 = 1/ 4 sowlc v. = " 3 = 1/ 2, v i = "4 = 0 st immen auf E überein. Deswegen kommt nun als neue Bedingu ng ins Spiel, dass E ein n -stabifes Men gen system ist , dass also E, E/ EE

::::}

E n E' EE

gilt. Eindeutigkeitssatz für Maße. Sei E ein c -u aoiter Erzeuger der o-Algebra A auf

SatzVll.l

S und seien 1.1, -y zwei MajJe auf A Falls (i) ~t{E l =-v [ E )fürillleE Et~,

(ii) ~ (5 ) = v f S] mit t , 1 5, S(I


1 Em. In diesem Fall gilt .L m ~l ~ ( E m ) = I-t (E' \ E) und folglich -

1-t* (E' \ E) = I-t(E' \ E) . Läss t sich zu sätzlich S mi t Erzeugerelem en ten En , n 2: 1, endliche n Maß es au sschö p fen, so sind die Voraussetzungen des Satzes erfü llt, und I-t ist von außen regulär. Deswegen ist das d -d im ension alc Lebesguemaß von außen regu lär in Bezug au f den Erze uge r [; de r Borcl- CI-Algeb ra e« , de r aus allen d -dim cn sion alcn Intervallen E= [a , b ), a ,b E JReI b este ht. Offenbar lieg t ei n Halbr ing vo r, au ßerdem gi lt En 00 für En := [- n , n }" .

TJR eI und AeI (En )
0 einen "Glätt ungskern " Kö : JRd --t JR mit folgenden Eigenschaften: (a) Kö ist nichtnegativ und un endlich oft differenzierbar, (b) Kö(x) = 0 für [x]

~

ö

(c) fK ö(x )dx =1. Geeignet ist z.B. Kö(X ) := Ö- d K(Ö- 1 x ) mit 2) K(X):= {cexp ( - (1 -lxI - 1),

o,

und passend gewählter Normierungskonstante c > O.

falls lx i< 1, falls [x ] ~ 1 ,

Beispiel

VIII Mehrfachintegrale und Produktmaße

Für eine messbare Funktion f : JR d ----1 JR können wir, sofern f Iflv dAd < ein p 2 1 gilt, die Funktionen

00

für

also f ö(x ) = J f (y )k ö(x - y ) dy bilden. Die Existenz des Integrals folgt im Fall p = 1 aus der Beschränktheit von Kö und im Fall p > 1 aus der Hölder- Ungleichung. Aus dem Satz V.9 über das Differenzieren von Integralen erkennt man, dass f ö unendlich oft differenzierbar ist. Satz VII 1.5

Glättungssatz. Sei 1 ::; p
0 gilt also für ausreichend kleines 5 > 0, dass I9 (x) - 9 (x - y )I ::; [ für Iy I ::; 5. Es folgt

Dah er konvergiert 9 * Kö gleichmäßig gegen g. Auß erdem ist mit 9 (x ) auch 9 * Kö (x) nur in einem beschränkten Bereich ungleich O. Es folgt 11 9 * Kö- 9 Ilv ----1 0 für b ----1 0, wie man mit Hilfe des Satzes von der dominierten Konvergenz erkennt. Den Übergang von stetigem 9 mit kompaktem Träger auf beliebige f E L p (AP) bewerkstelligen wir mit einer Abschätzung. Aufgrund von f k ö dAd = 1 und der [ensenschen Ungleichung gilt (t H Itl V ist konvex für p 2 1) Il h

Kö ll ~

=

J IJ f( X - 1J) Kö(y) dy lPdx ::; JJ [f (x -y ) IPK dy ) dudx

=

J (J lf (x -y ) IPdX)K Ö(y )dY = Ilf llg ·

Wir wählen nun nach Satz VII.? zu vorgegebenem e > 0 ein stetiges 9 mit kompaktem Träger, so dass 11 f - 9 11 p < E. Es folgt

Mit b ----1 0 folgt lim sUPö-; o 11f - f

* Kö

I1p

::;

2[, und mit e ----1 0 die Behauptung.

D

Kern e* Wir kommen nun noch auf eine Verallgemeinerung zu sprechen, die in der Stochastik wichtig ist: Man lässt im Doppelintegral f (f f (x , y ) 'V ( dy )) ~ (dx ) das Maß

VIII Mehrfachintegrale und Produktmaße 'V noch von x abhängen. Damit das äußere Integral gebildet werden kann, ist eine Regularitätsannahme erforderlich.

Seien (S I , A ' ), (S" , A " ) messbare Räume. Eine Familie 'V

=

Definition

('V (x , dY)) xES1

von endlichen Maßen 'V (x, d y ) auf A" heiß t Kern von (S I , A' ) nach (S " , A" ), falls für alle A " E A " die Punk tion X

>---t'V (x, A" )

A ' -ßI -m essbar ist. Sei 'V ein Kern von rSI, A ' ) nach (S" , A " ) und sei f : S' x S " ~ Iit+ ein e nichtnegative, A ' ® A "-B-messbare Funktion. Dann ist x >---t

Jf (x, y )-v (x , d y )

eine A ' -Bnnessbure Punkti on. Beweis. Wie früher betrachten wir das System V aller Mengen A E A' ®A " ,für welche die Funktion f = 1A die Behauptung erfüllt. Nach den Eigenschaften von messbaren Abbildungen und nach Satz IV.? enthält V mit disjunkten Mengen AI, A2, . .. auch deren Vereinigung, und mit der messbaren Menge A auch AC. Schließlich ist nach den Messbarkeitseigenschaften von Kernen S I x S 11 in V enthalten, also ist V ein Dynkinsystem. Weiter gilt A' x A" E V für alle A' E A', A" E A", wie man aus der Gleichung f 1A' x A" (x, 1J ) 'V x (d1J ) = 1A' (x )'V [x, A") erkennt. Da diese Produktmengen einen n -stabilen Erzeuger der Produkt-e-Algebra bilden, folgt nach Satz VII.2, dass V mit der Produkt-e-Algebra übereinstimmt. Die Behauptung folgt nun ganz wie im Beweis des Lemmas eingangs dieses Kapitels. D Man kann also wieder Doppelintegrale bilden. Aus Gründen der Übersichtlichkeit benutzt man hier gern die Schreibweise J ul dx ] J'V (X,d1J )f (X ,1J ).

Erneut ist durch

A H J f.! (dx ) J'V(X,d1J)lA (X,1J ) ein Maß auf der Produkt-e-Algebra gegeben, das wieder mit

bezeichnet wird.

Lemma

VIII Mehrfachintegrale und Produktmaße Interessant ist die Frage, welche Maße man auf diesem Wege erreicht, unter welchen Bedingungen sich also ein vorgegebenes Maß 7t auf der Produkt-e-Algebra als 7t = !-l ® 'V ausdrücken lässt, mit einem Maß !-l und einem Kern 'V. Man spricht dann von einer Desintegration des Maßes 7t. Auf Borel-rr-Algebren ist dies unter recht allgemeinen Bedingungen immer möglich. Wir gehen auf dieses Thema nicht weiter ein.

Übungsaufgaben Aufgabe 8.1. Zeigen und kommentieren Sie folgende Beobachtung von Cauchy: Die Doppelintegrale X2 _ y 2 ( 2 2 )2 dxdu , (0,1) (0,1) X + y

f f

x2 _y2 2 2 2 dudx (0,1) (0,1) (x + y )

f f

sind wohldefiniert und voneinander verschieden. Hinweis: (x 2 _ y 2 )(x 2 + y 2)- 2 = 02 arctan (x /y )/oxoy . Aufgabe 8.2. Sei ~t das Zählmaß auf lR, d.h. !-l (8 ) := #8 für Bor elmengen 8 c lR, und sei 0 die Diagonale in lR2, also 0 = {(x, y ) E lR2 : x = y }. Zeig en und kommentieren Sie:

ff

lo (x ,y );\ (dx )!-l (dy ) -=I-

ff

l o (x, y ) !-l(dy );\ (dx )

Aufgabe 8.3. Sei "11 (dx) = hl (X) !-ll (dx) , 'V2 (dy ) = h 2 (y ) !-l2 (dy ). Was ist dann die Dichte von "11 ® "12 bzgl.u , ® !-l2? Aufgabe 8.4: Integrale als "Ma ße von Flächen unter Funktionen". Beweisen Sie die Formel

Sei f : S

----1

JR+ messbar.

mit A, = {(x , t ) E S x lR: 0 ::; t < f (x )}. Hinweis: Es gilt f (x ) = l {o < l 0 das endliche Maß p mit der Dichte d p = (h + c: I A' ) du, sowie nach dem letzten Satz eine Hahnzerlegung A::;, A 2: für 'V und p. Auf A::; wird 'V durch p dominiert, wir erhalten also schon einmal die Abschätzung 'V (A' n A::; ) < p(A ' n A::; ) < p(A ' ) = J

A'

h.du +

c: ~(A ').

Auf A 2: bleibt p unterhalb von 'V. Deswegen gehört 9 := h + c: I A /nA2- zu:F, für messbares A gilt nämlich

JA

9d~ =p (A nA2: ) +J

AnA ~

hd~t :::;'V (A nA 2: ) +'V (A nA ::; ) ='V (A ) .

Aus J 9 du = 13 + c: ~( A' n A 2: ) ergibt sich daher ~ (A' n A 2: ) = 0 und aufgrund von 'V « u auch 'V (A ' n A 2: ) = O. Insgesamt folgt 'V (A ' ) < J

A'

hd~ + c: ~(A') ,

und mit c: ----1 0 erhalten wir die gewünschte Ungleichung. Damit gilt dv = h du, Insbesondere folgt vfh = (0) = 00' ~ (h = (0) . Da 'V endlich ist, erhalten wir auch h, < 00 u-f. ü. Die Eindeutigkeit u-f.ü. haben wir schon früher behandelt. Diese Resultate lassen sich leicht auf er-endliche Maße übertragen, indem man S durch eine Folge von Mengen endlichen Maßes ausschöpft. D Der Satz von Radon -Nikodym hat eine Reihe von Anwendungen. Für die Wahrscheinlichkeitstheorie ist der folgende Anwendungsfall besonders wichtig . Beispiel

Bedingte Erwartungen. Sei u ein end liches Maß auf der o-Algebra A und sei 11. 2: 0 eine u-integricrbarc Punktion. Dann ist das Maß 'V, gegeben durc h dv = 11. d u, ebenfalls endlich. Sei weiter A ' eine Teil-er-Algeb ra von A. Durch Einschränkung von ~ und 'V auf A ' ents tehen zwei endliche Maße ~ ' un d 'V ' . Wegen 'V « ~ gilt auch 'V ' « u ', Nach dem Satz von Radon-Nikodym gib t es also eine A ' -messbare Punkt ion 11. ' 2: 0, so dass dv ' = 11. ' d u. ' . Dies bedeutet

IX Absolute Stetigkeit

f

A r

h du =

f

A r

h ' du

fü r alle A ' E A I. Wir haben damit die Messbarkeit der Dichte an A I angepasst. In der Stochastik heiß t h ' die bedingte Erwartung von h, gegeben A ', sie ist u-f.ü.eindeut ig. Der Fall einer bel iebigen u-integr ierbaren Funkt ion h lässt sich durch Zerlegung in Positiv- un d Negativteil behandeln. - In Kapi tel XII werden wir einen andere n Zugang zu bed ingten Erwar tung en kenn enlern en, der auf der Vollständigkeit des L2 (~L ) gründet statt auf dem Satz von Radon-Nikodym. Eine weitere Anwendung des Satzes betrifft die Zerlegung von Maßen in absolut stetige und singuläre Anteile. Lebesguezerlegun g. Seien!t und 'V o -endliche Maße auf einer o-Alg ebra A. Dann gibt es Maße !La und !ts mit den Eigenschujten: (i) !t = !tu + !ts, (ii) !tu « 'V und !ts ..1 'V. !ta und !ts sind eindeutig bestimmt.

Beweis. Offenbar ist 'V absolut stetig bzgl. des Maßes ~l + 'V. Nach dem Satz von Radon-Nikodym hat daher 'V ein e Dichte h, ~ 0 bzgl. !t + 'V, d.h. es gilt 'V (A) = für A

E

L +L h du

h dv .

A. Wir setzen !ta (A) := !t(A n {h > On ,

!ts (A ) := !t(A n {h = O}) .

Dann ist (i) offenbar erfüllt. Ist A eine 'V-Nullmenge, so folgt JA h du = O. Daher gilt h.l A = 0 u-f.ü , bzw. 1A n {h >O ] = 0 u-f. ü . oder !t(A n {h > O}) = O. Dies zeigt !ta « 'V. Außerdem gilt u, (h > 0) = 0 und v fh = 0) = J {h= O} h d (!t + 'V ) = 0, deswegen gilt u, ..1 'V. Sei nun !t = !t~ + !t~ eine weitere Zerlegung mit den Eigenschaften (i) und (ii). Dann gibt es messbare Mengen N , N ' mit !ts(N ) = ~«N ' ) = 0, deren Komplemente 'V-Nullmengen sind. Also gilt auch !ta (N C) = !ta ( (N I)C) = O. Für messbares A folgt !ta rA) = !ta rA n N n N ' ) = !t(A n N n N' ) . !t ~ gilt die analoge Gleichung, und es folgt !ta = Im Fall !t(A ) < 00 erhalten wir aus (i) !ts (A ) vorausgesetzt ist, folgt nun auch u, = !t~.

Für

!t ~ . !t ~ (A ).

Da I-l als o-endlich D

SatzIX.3

IX Absolute Stetigkeit Ein singuläres Maß auf der Cantormenge * Wir betrachten nun Maße u.die zum Lebesguemaß Aauf R singulär sind . Ein Beispiel ist das Diracmaß ~ = bx , das seine gesamte Masse in x E 1Ft konzentriert. Solch ein Punkt x mit ~ ({x} ) > heißt Atom von u, Diskrete Maße, die sich aus abzählbar vielen Atomen zusammensetzen, sind offensichtlich singulär zum Lebesguemaß. Weniger offensichtlich ist, dass es auch zum Lebesguemaß singuläre Maße gibt, die keine Atome besitzen. Um ein solches Maß zu konstruieren, behandeln wir nun eine Variante der Cantorrnenge", eine Teilmenge C des halboffenen Intervalls [0, 1) innerhalb 1Ft. Geometrisch ist C leicht zugänglich: Man zerlege das Intervall Co := [0, 1) in gleichlange Teile [0, 1/3 ), [1/3, 2/3) und [2/3, 1) und entferne den mittleren Teil:

°

[0, 1/3) U [2/ 3, 1) .

Cl :=

Mit den beiden übrigen Intervallen verfährt man analog:

C2 := [0, 1/9) U [2/9, 1/3) U [2/ 3, 7/ 9) U [8/9, 1)

U

U

[u d 3 + uz/9, ud3 + U2/ 9 + 1/9) .

0 1E{O.2} 02 E{O,2}

Bildlich sieht das so aus: Co [-

-

-

-

-

-

-) -)

Cl

[-

-)

[-

C2

[- )

[- )

[- )

[- )

Nach n-maligem Heraustrennen der Mittelintervalle gelangen wir zu der Menge C n :=

U

U

0I E{O,2 }

On E{O,2 }

n

n

k =l

k =l

[ L Ukr k' L Ukr k+ r n),

also C I ~ C2 ~ . . . . Als Cantormenge definieren wir das Resultat nach oo-facher Wiederholung, also

n c... 00

C:=

n =l

(Gewinnt man die Menge C aus abgeschlossenen statt aus halboffenen Intervallen, wie man dies gewöhnlich macht, so entsteht die übliche Cantormenge, die dann auch kompakt ist. Hier tun solche Feinheiten nichts zur Sache; mit unserer Vorgehensweise weichen wir im Folgenden Nichteindeutigkeiten bei b-nären Darstellungen von Zahlen aus.)

4GEO RG C AN TO R, 1845-1918, geb. in SI. Peter sburg, tätig in Halle. Er begründete die Mengenl ehre. In den Jahr en von 1890 bis 1893 war er der erste Vorsitzende der Deutsch en Mathematiker Vereinigun g.

IX Absolute Stetigkeit C ist eine Nullmenge, nach Konstruktion wird nämlich immer ein Drittel entfernt, so dass A(Cn + I ) = jA (C n ) gilt. Es folgt A(Cn ) = (2/ 3) n und

A(C) = 0 . Um C genauer zu beschreiben machen wir Gebrauch von der b-nären Darstellung (zur Basis b = 2,3 , .. .)

L xkb- k co

X=

k=l

aller Zahlen X E [0, 1). Dabei nehmen wir an, dass die Folge xi , X2, . . . zu

gehört. Damit erreichen wir bekanntlich Eindeutigkeit in der Darstellung von x, Dann sind [0, 1/3), [1/ 3, 2/3) und [2/3 , 1) die Bereiche, für die x in ternärer Darstellung (b = 3) den Koeffizienten x I gleich 0, gleich 1 bzw. gleich 2 hat. Also gilt Cl

= {

L

xk3 - k : (Xklk:,,; l E D3 , Xl -=I- 1}

k2: 1 und iterativ

c., =

{L xd - k : (xkk,:: l E D

3 ,

Xl, · · ·, Xn -=I- 1}

k2: l

und schließlich C= {

L xkr

k

: (Xk)k2: 1 E D3 , xi , X2, · · · -=I- 1} .

k2: 1

C ist also nicht nur nicht leer, sondern genauso mächtig wie das Intervall [0, 1): Mittels co

1) :=

L

k=l

1)kr k

co

H

L

21J kr k = :

00 hE(O,n -l jniQI rm

f (x +h) - f (x ) h

Aufgrund der üblichen Eigenschaften messbarer Funktionen erhalten wir die Borelmessbarkeit von f;o : (u , b ) ----1 lR+ und genauso die von f;u> f [o und f[u' Die Bore1messbarkeit der Menge D, aller Punkte x E (u, b ), in denen f differenzierbar ist, folgt aus

Der restliche Teil des Lebesgueschen Satzes ist schwieriger zu beweisen. Wir wollen uns anhand eines einfachen Falles plausibel machen, dass zu weiträumige Abweichungen zwischen den Ableitungszahlen zum Widerspruch führen. Nehmen wir an , es gibt Zahlen r < s, so dass f; u (x ) < r < s < f[o (x ) für alle x E (a, b ) gilt. Es gibt dann zu jedem x ein h > 0 mit f (x + h.) - f (x ) .:::; rh, Daher ist es naheliegend, dass sich eine Partition a = Xo < Xl < . .. < x m - 1 < x m = b mit f (xj ) - f (Xj-l ) .:::; r( xj - Xj-l ) für alle j = 1, .. . , m finden lässt. Wir hätten dann [u, b] in Intervalle I j = (Xj- l , Xj ) aufgeteilt, auf denen f geringen Zuwachs hat, und

IX Absolute Stetigkeit

könnten f (b ) - f'( u]

~

r (b - a)

folgern. Dann könnte man aber aus dem anderen Teil der Annahme genauso eine Partition a = u o < Y1 < ... < Yn-1 < Yn = b mitf (y j}-f (Yj_1 ) 2': s (Yj - Yj- 1) für alle j = 1, . .. , n gewinnen, eine Zerlegung in Intervalle Ij größeren Zuwachses von f, und wir erhielten auch f (b ) - f'(u ) 2': s(b - a ).

Insgesamt ergibt sich ein Widerspruch. Dieselbe Überlegung lässt sich ähnlich auf Teilintervalle und auf die anderen Ableitungszahlen übertragen. Damit wird plausibel, dass es nur dann zu keinem Widerspruch kommt, wenn f {u' f;u , f {o und f;o fast überall übereinstimmen. Wir wollen diese Argumentation im Folgenden ausarbeiten, dabei gestaltet sich im Allgemeinen die Auswahl passender Intervalle geringeren oder größeren Zuwachses von f etwas komplizierter. Wir bereiten diesen Schritt mit dem folgenden Lemma über Vitaliüberdeckungen von Bore1mengen vor.

Sei B c (a, b) eine Botelmenge und V eine Menge von Intervallen I C (a , b) mit A( I ) > 0 und mit der Eigenschaft: Zu jedem x E B und jedem t: > 0 gibt es ein I E V, so dass x E I und A(I ) ~ e. Dann gibt es zu jedem e > 0 endlich viele disjunkte Intervalle I I , ... , In E V, so dass Vitalis Über deckungssatz.

n

A(B \U Ij) ~ f.. j =1

Beweis. Wir konstruieren die Intervalle 11, 12, .. . E V induktiv. 11 wird beliebig in V gewählt. Sind schon 11 , ... , I k gewählt, so setze k

Sk:= sup {A(I ) : I

E

V, I

c (u, b ) \ U Ij} . j

e-

l

Gilt B c u~= 1 Tj (mit Tj gleich dem topologischen Abschluss von Ij), so wird die Konstruktion abgebrochen, andernfalls gilt Sk > 0 wegen der Annahmen des Lemmas . Wir wählen dann I k+ 1 E V, so dass A(Ik+1) 2': Sk/2. Bricht die Konstruktion nach n Schritten ab, so erfüllen offenbar die Intervalle 11 , ... , In unsere Behauptung. Es bleibt der Fall, dass die Konstruktion nicht abbricht. Dann gilt aufgrund von Disjunktheit 00

00

L.A (I j ) =A(Ul j) j =l

~ b- a< oo .

j =l

Es folgt A(h ) ----1 0 und Sk ----1 0 für k ----1 00 . Auch gibt es zu f. > 0 eine natürliche Zahl n, so dass Ll >n A(Id ~ .::/ 5. Wir zeigen, dass mit diesem n die Behauptung des Lemmas erfüllt ist.

Lemma

IX Absolute Stetigkeit

Dazu beweisen wir

n

B\

UI j

e-

j

C

U Ir ,

l>n

l

wobei Ir das Intervall bezeichnet, das denselben Mittelpunkt wie Il hat, aber dessen 5-fache Länge besitzt. Sei also x E B \ U ;~l Ij • Da U~l I, abgeschlossen ist, gibt es ein I E V mit x E I, so dass I, 11 , . •. , In disjunkte Intervalle sind. Wäre I mit allen Intervallen I k disjunkt, so folgte ;\(I ) ~ Sk für alle k und damit ;\ (!) = 0, ein Widerspruch. Es gibt also ein 1 > n , so dass I n i l -I- 0 und I n I j = 0 für alle j < 1.Es folgt ;\ (!) ~ Sl-l ~ 2;\ (I tl· Daraus und aus I n I l -I- 0 ergibt sich, dass r., gestreckt mit einem geeigneten Faktor, das Intervall I überdeckt. Genauer gilt I c I;" mit dem soeben definierten Intervall Ir von 5-facher Länge. Wegen x E I folgt x E Ir. Dies ergibt die Behauptung. Insgesamt folgt n

;\(B \

UI


n

j =l

L. ;\(Itl
n

Damit ist das Lemma bewiesen.

D

Beweis des Salzes. Seien r < s reelle Zahlen. Der Hauptteil des Beweises besteht in dem Nachweis, dass

eine Lebesguenullmenge ist. Sei E > O. Aufgrund der äußeren Regularität des Lebesguemaßes nach Satz VII.5 gibt es eine offene Menge 0 mit N,; C 0 C (u, b ) und ;\ (0 ) ~ ;\(N r s ) + e. Wir betrachten das System V aller Intervalle (x, x + h ) c 0, so dass x E N r s , h, > 0 und f (x + h ) - f (x ) ~ rh, Nach Definition von N r s erfüllt V die Bedingungen aus dem Überdeckungssatz von Vitali für B = N r s , deswegen gibt es disjunkte Intervalle 11 = (Xl , X] + h1 ), " " Im = (Xm , XI1l + h m ) mit rn

;\( N r s

\

UI


0 und f (1J ) - f (1J - k ) :::: sk.Auch VI erfüllt nach Definition von N r s die Bedingungen des Lemmas für B = N rs n 1 I j , deswegen gibt es disjunkte

U;:

IX Absolute Stetigkeit Intervalle

I~

= (1J l - kj , 1Jl),... ,I~ = (1Jn - k n,1Jn ) mit

U 10 < ein & > existier t, so da ss für a ::::; Xl < Y1 ::::; Xz < y z ::::; . .. ::::; x n < Yn ::::; b gilt n

n

i= 1

i= l

°

Zum Beispiel sind Lipschitz-stetige Funktionen absolut stetig. Dies sind Funktionen f, für die es eine Konstante L < 00 gibt, so dass 1f tx ) - f (1J )I ::::; L]x - 1J I gilt für alle x , 1J. Dazu geh ören überall differenzierbare Funktionen mit beschränkter Ableitung. Satz IX.5

Eine monoton wachsende Funktion f : [u , b] -7 R ist genau dann absolut stetig, wenn es eine nichtnegative. lebesgueintegrierbare Funktion h : [n , b] -7 R gibt mit f (x ) = f (a)

+ I"h (z) dz . (l

Dann gilt h (x ) = f l(x )für fast alle x E ( u, b ],

°

Beweis. (i) Nehmen wir zun ächst an, dass f die genannte Integraldarstellung besitzt. Dann gilt für a ::::; Xl < Yl ::::; Xz < 1J 2 ::::; ... ::::; Xn < 1J n ::::; bund c > mit A:= U~'=l [Xi ,1J i]

t

i= l

If(1Jd - f( xd l =

J A

h (z) dz ::::; cA(A )

+

J

{h.» c }

h (z) dz .

IX AbsoluteStetigkeit

Zu vorgegebenem e > 0 können wir e so groß wählen, dass das Integral rechts kleiner als c: / 2 ist. Gilt also .L~'=1 C~Ji - xd = A(A ) ::::; b mit b := c:/(2e), so folgt .L ~'=1 If (Ytl- f (xd I ::::; e, Daher ist f absolut stetig. (ii) Wir zeigen weiter, dass f bei Annahme der Integraldarstellung f.ü, die Ableitung h hat. Nach den Ergebnissen des letzten Abschnitts ist f f. ü, differenzierbar, es konvergiert also f11. (x ) := n(f (x + 1I n ) - f (x )) . 1(u,b- l/ 11.) (x)

f.ü. gegen f' (x ) ~ O. Zu zeigen ist f' = h f.ü. Wir betrachten zuerst den Fall,dass h (x] ::::; e für ein e < 00 und alle x. Dann folgt o:: :; f 11. (x) ::::; c, und der Satz von der dominierten Konvergenz ergibt für a < x < b

J

Xf ' (Z) dZ = lim

o

lt ----t(X)

JXn (f (z + l / n ) - f (z )) dZ a

= lim (n 11 ---7 00

=

I

X+ 1/ 11.

1:

X

f (x ) - f ra )

f (z) dz - n

=

JU +l /11.

f (z ) dZ)

Q

h (z ) dz .

Dies bedeutet, dass die beiden Maße auf [u , b],gegeben durch die Dichten f ' dA und h dA, auf Intervallen innerhalb [u , b] übereinstimmen. Diese Intervalle bilden einen n -stabilen Erzeuger der Borel-rr-Algebra, so dass nach dem Eindeutigkeitssatz beide Maße gleich sind. Folglich stimmen die beiden Dichten f ' und h, f. ü. überein. Der allgemeine Fall lässt sich nun mit der Zerlegung

behandeln, mit hl := hl {h:Sc}' h 2 := hl {h>c} und vorgegebenem e > O. fz ist monoton wachsend und hat deswegen f. eine nicht negative Ableitung. Da h 1 durch e beschränkt ist, folgt aus dem soeben Bewiesenen hl (x) = f; (x) ::::; f' (x ) f. ü, Da h f. ü, endlich ist, folgt mit e ----1 00 auch h ::::; f' f.ü. Andererseits gilt nach dem Satz über das Differenzieren monotoner Funktionen ü

1:

,

h (z)dz =f(b ) -f (a)

~

1:

f' (z)dz .

Zusammengenommen ergibt das h = f' f.ü., also die Behauptung. (iii) Sei schließlich f absolut stetig. Wir haben zu beweisen, dass dann f die angegebene Integraldarstellung besitzt. Dazu werden wir zeigen, dass die Funktion g (x) := f (x ) -

1:

f' (z) dz

den festen Wert f (a ) annimmt. Nach unseren bisherigen Ergebnissen hat 9 folgende Eigenschaften: Nach dem Satz über das Differenzieren monotoner Funktionen gilt f~ f' (z) dz ::::; f (y) - f (x)

IX Absolute Stetigkeit für x < !J, daher ist 9 monoton wachsend. Es folgt Ig (x ) - g (!J )1 ::::; [f'(x. ) - f (lJ)l, daher ist mit fauch 9 absolut stetig. Schließlich gilt nach (ii) 9 / (x) = f / (x) - f / (x) f. ü., d.h. die Ableitung von 9 verschwindet f.ü, Sei B die Borelmenge aller x E (u , b ) mit 9 / (x) = 0, und sei c: > O. Wir betrachten das System V aller Intervalle [lJ, z] C (u, b ) mit den Eigenschaften lJ < Z und g (z ) - g (lJ) ::::; c:( z - lJ ). Zu jedem x E B und jedem b > 0 gibt es dann ein Intervall I E V mit x E I und ;\(1) ::::; b, Nach dem Vitalischen Überdeckungssatz können wir daher zu jedem b > 0 disjunkte Intervalle Ij = [lJj , Zj] E V finden, so dass ;\(B \ U;~l Ij) < b. Da ;\ ([a , b] \ B) = 0, bedeutet dies (lJ1 - a ) +

n-1

L (lJi+ 1 -

zd

+ (b -

zn ) ::::; b .

i= l

Wählen wir b (in Abhängigkeit von e) noch ausreichend klein, so folgt aufgrund der Absolutstetigkeit von 9 n -l

g (lJl ) - g ra l

+L

(g (lJi+l ) - g (zd)

+ g (b ) -

g (zn ) ::::;

C:.

i= 1

Nach Definition der Intervalle I, gilt außerdem n

L (g (Zj ) -

n

g (lJil) ::::;

j ~ l

L c:( Zj -

!Jj ) ::::; c:( b - 0) .

j ~ l

In der Summe b eider Ungleichungen ergibt sich g (b ) - g ra l ::::; c: + c:( b - 0 ), und mit c: ----1 0 erhalten wir g (b ) ::::; g ra l = f ra ). Da andererseits 9 monoton wächst, folgt g (x ) = g ra l = f'(u ) für alle x E [u , b]. Dies ist die gewünschte Integraldarstellung. D Funktionen beschränkter Variation *

Nun wollen wir noch die Annahme der Monotonie, die in den beiden letzten Abschnitten wichtig war, hinter uns lassen und zu Funktionen übergehen, die eine Darstellung als Differenzen monotoner Funktionen gestatten.

Definition

Eine Punktion f : [a , b] ----1 R. heißt von beschränkt er Variatio n (oder endlicher Variation), falls es eine reelle Zahl c > 0 gibt, so dass für alle n E N u nd alle Par ti tion en a =

Xo ::::; X l ::::; . . . ::::;

x n- I ::::; x n = b der Länge

n

L If( x;) i= 1

gilt

f (x i- l ) 1 ::::; c

n

IX Absolute Stetigkeit ]ordan zerlegung. Eine Fu nktion f: [n, b]

-7 1R ist genau dann von beschränkter Variation, wenn sie Differenz von zwei monoton wachsenden Funktionen f 1 , f z : [u, b] -7 IR ist:

SatzIX.6

Beweis. Sei f zunächst Differenz der monoton wachsenden Funktionen f 1 , fz- Dann folgt n

11.

.L. lf (xd - f (Xi-l )1 i=l

:s .L. (fl (xd -

11.

f 1 (Xi- I ))

i=l

+ .L. (f 2 (xd

- f 2 (Xi-l ))

i=l

f ist also von beschränkter Variation. Sei umgekehrt f von beschränkter Variation. Für a :S 1) < z :S b bezeichnet man die nichtnegative Größe 11.

v (1) ,z):=

sup

.L. lf (xd - f(Xi -Jl I

y = XO:S; XI :S;"'::; Xn - 1 :S; Xn= Z l = l

als die Variation von f auf dem Intervall [1) , z]. Für Funktionen beschränkter Variation ist sie offenbar endlich. Gilt 1) < U < z, so können wir u immer mit in die Partition Xo :S Xl :S .. . :S Xn - l :S Xn aufnehmen, denn die zugehörigen Summen werden dadurch größer und das Supremum bleibt unverändert. Wir können nun die Partition unt erhalb und oberhalb von u getrennt voneinander auswählen, also folgt V(y , z ) = v (y , u ) + v (u, z ). Wir setzen

also f'- - f 2 = f . Für 1) < z gilt f j lz.) - f d 1) ) = v (1) , z ) 2: Ound

Also sind f 1 und f 2 monoton wachsend.

D

Nach dem Satz über das Differenzieren monotoner Funktionen lässt sich also jede Funktion von beschränkter Variation f. ü, differenzieren. Für absolut stetige Funktionen gilt die folgende Verschärfung.

Eine absolut stetige Funktion f : [u , b] -7 IR lässt sich darstellen als Differenz = f 1 - f z zweier monoton wachsender, absolut stetiger Funktionen f 1 , f z.

f

Beweis. Wie im letzten Beweis arbeiten wir mit der Variation v (1), z ).Absolute Stetigkeit von f bedeutet, dass für alle [. > 0 ein b > 0 existiert, so dass v (1), z ) :S e für

SatzIX.7

IX AbsoluteStetigkeit

z - lJ ~ Ögilt. Wegen v (y, z ) = v (y , u ) + v (u, z) folgtv (y, z ) ~ n.s für z - y ~ nÖ und alle n E N. Insbesondere gilt v (y , z ) < 00 für alle a ~ y < z ~ b. Absolut stetige Funktionen haben also beschränkte Variation. Wir verfahren nun wie im letzten Beweis und erhalten monotone Funktionen f l (y) := v ( u, u ). fz (y) := v( u, lJ)- f (y ), so dass f = f l - f 2 . Es bleibt zu zeigen, dass f l (und damit f z = f l - f ) absolut stetig ist. Seien also Ö, .:: > 0 und a ~ y 1 < Zl ~ Y2 < Z2 ~ .. . ~ Yn < Zn ~ b derart, dass I:;==l (z, - Yil ~ Ö. Nach Definition eines Supremums gibt es dann Partitionen Yi = Xi.O ~ Xi.l ~ . . . ~ Xi.n , = Z i, so dass V(Y i, zd ~ Es gilt

n

n

.L.L (xi.j i=l

2.L If (x i.j ) -

f (xi.j_ Jl I .

j=l

11.

i

xi.j_ Jl =

.L (Zi i=l

j e- l

lJd < Ö ,

wegen der absoluten Stetigkeit von f folgt also Tl

lli

.L.L If (Xi ,j}- f (Xi,j-l )1 < ~ , i=l j=l

falls Ö ausreichend klein ist. Wir erhalten

.L (f Tl

.L V(YL,ztl < s , Tl

1 (z tl

- f 1 (lJtl ) =

L= l

L= l

es ist also f l wie behauptet absolut stetig.

D

In Verallgemeinerung des Falls monotoner Funktionen zeigen wir nun noch folgende Charakterisierung absolut stetiger Funktionen. Satz IX.8

Eine Funktion f : [a , b] ~ R ist genuu dann absolut stetig, wenn es eine lebesgueintegrierbure Funktion h : [n, b] ~ R gibt mit f (x ) = f ( a)

+[

h (z) dz .

Dann gilt h (x ) = f ' (x ) für fast alle x E (a , b ).

S: S:

Beweis. Ist f absolut stetig, so gilt f = f l - fz mit monotonen absolut stetigen Funktionen f l, fz- Für diese folgt f. Ix. ) = fd a ) + h dz ) dz, und wir erhalten die Integraldarstellung für f mit h := hl - h2. Gilt umgekehrt die Integraldarstellung, so folgt f = f l - f z mit den monotonen Funktionen f l (x ) := f ra ) + h + (z ) dz, f 2 (x ) := h- (z) dz. Dann sind f l und fz absolutstetig, und folglich auch f. Die abschließende Behauptung ergibt sich aus den entsprechenden Aussagen für f l und f 2. D

S:

IX Absolute Stetigkeit

Signierte Maße* Ähnlich wie im letzten Abschnitt bei Funktionen kann man auch bei Maßen von der Monotonie absehen. Dies führt zur Klasse der signierten Maße. Eine Abb ildung &: A ---1 i von einer o-Algebra eines messbaren Raumes (5 . A ) nach i = Ru {oo , - oo} heiß t signiertes Maß , falls &(0 ) = 0 und falls fü r jede (endliche oder unendliche) Folge disju nkte r Mengen A I. A z •. . . E A &(

UA ll) = L. &(A

11 ;::: 1

Definition

Il )

n ;::: 1

gilt. Teil der Definition ist, dass die Summe rechts immer wohldefiniert ist. Das bedeutet einerseits, dass die Summationsreihenfolge keine Rolle spielt. Andererseits können in der Summe nicht gleichzeitig 00 und - 00 als Summanden auftauchen. Damit ist ausgeschlossen, dass es zwei Mengen A , A' E A gibt mit &(A ) = 00 und &(A ' ) = - 00 . (Dann müsste nämlich &(A n A ' ) endlich sein und die disjunkten Mengen A \ A ' und A ' \ A den Wert 00 und - 00 haben.) Es ist also entweder 00 oder - 00 kein Wert von 5. Offenbar entsteht ein signiertes Maß, wenn man die Differenz 5 = ~t - 'V zweier Maße betrachtet, von denen mindestens eines endlich ist. Es stellt sich heraus, dass man damit schon alle signierten Maße erfasst. Genauer gilt der folgend e Satz.

Jordanzerlegung signierter Maße. Sei & ein signiertes Maß. Dann gibt es zwei Maße &+ und s:', von denen mindestens eines endlich ist, so dass & = &+ - s: und &+-L&- . Diese beiden Maße sind eindeutig bestimmt, und es gilt &+ (A ) = sup &(A ' ) , A'CA

&- (A ) = -

Satz IX.9

inf &(A ' ) .

A ' CA

5+ und 5- heißen positive und negative Variation von 5. Man kann sich also ein signiertes Maß als Ladungsverteilung im Raum 5 vorstellen, mit positivem und negativem Ladungsanteil (so wie man mit Maßen die Vorstellung einer Massenverteilung im Raum verbinden kann). Der Beweis des Satzes beruht auf einer Hahnzerlegung für signierte Maße.

Hahnzerlegung. Sei & ein signiertes Maß auf einer o-Algebra. Dann gibt es messbare Mengen A ;::: und A : - (X) für alle messbaren A. Dann können wir den Beweis von Satz IX.2 vollständig übernehmen. D Beweis der ]ordanzerlegung. Ist

A~

, A ::; eine Hahnzerlegung von 6, so setzen wir

6+ und 6- erfüllen dann 6 = 6+ - 6- und 6+ 1.-6- . Zur Eindeutigkeit: Sei 6 = II - 'V und 111.-'V. Für messbare Mengen A' dann 6(A' ) ::; ~L(A' ) ::; ll(A ) .

c

A gilt

Außerdem gibt es eine messbare Menge B, so dass 'V(B) = ll (BC) = O. Es folgt 6 (A n B) =

~L(A

n B) = ll(A ) .

Beide Aussagen ergeben zusammen ll (A ) =

sup 6(A'). A ' cA

Analog gilt 'V (A ) = -

inf 6(A' ).

A ' cA

Daher sind ~L und 'V eindeutig durch 6 festgelegt, und diese Formeln gelten auch für 6+ bzw. 6- . D

Übungsaufgaben Aufgabe 9.1. Seien II und 'V er-endlich. Zeigen Sie, dass dann 'V zu der Bedingung

«

II äquivalent ist

V€ > 0 :36 > 0 : ll(A ) ::; 6 =? 'V (A ) ::; e . Hinweis: Der Satz von Radon-Nikodym ist hilfreich. Aus dv = h du folgt für alle

c >O 'V (A )
c}

hdll ::; Cll(A ) + 'V (h > c ) .

Aufgabe 9.2. Sei S überabzählbar, sei A die o-Algebra aller A c S, die entweder selbst abzählbar oder deren Komplement abzählbar ist, und sei h : S ----t JR eine nichtnegative Funktion. Wir betrachten die Maße u , 'V auf A, gegeben durch u ]A ) := #Aund 'V (A ) := h (x ) , falls A abzählbar, sonst.

{L ooXEA

(i) Wann gilt 'V

«

ll? (ii) Wann hat 'V eine Dichte bzgl. ll? (Vgl. Aufgabe 2.1)

IX Absolute Stetigkeit Aufgabe 9.3. Sei B c lR eine Borelmenge. Zeigen Sie, dass für fast alle x

E

B

. A([X- h, x + h ] n B) lim 2 = 1 hl O h

gilt. Man sagt , fast alle Elemente von B sind Dichtepunkte von B.

Aufgabe 9.4. Ist die stetige Funktion f( x) := x sin ( 1I x ), f( O) := 0 auf dem Intervall [0, 1] von beschränkter Variation? Wie steht es mit 9 (x) := xf (x )? Aufgabe 9.5. Sei Ö = 11 - 'V mit Maßen 11 und 'V (eines von beiden endlich). Zeigen Sie: Ö+ (A ) :s; Il (A ) und ö- (A) :s; 'V (A) für alle messbaren A . Aufgabe 9.6. Für ein signiertes Maß Ö definiert man die Variation als das Maß löl := Ö+ + Ö-. Zeigen Sie n

U II

löl(A ) = sup { L. IÖ (Ak )1: Al, . . . , An sind disjunkt, Ak C A } . k=l k=l

Die Transformationsformel von Jacobi

Die Bestimmung des Volumens von Parallclo topc n im Euklidischen Raum mittels Determinanten haben wir in Satz IlI.4 behandelt. In diesem Kapitel geben wir eine weit reichende Verallgemeinerung dieses Sachverhalts an.die auflacobi ' zurückgeht. Seien G , H offene Teilmengen des R " und sei

lp:G ---+ H ein C t -Diffcomorphismus, d.h. eine hijckt ive Abbildung zwischen G und H, die in beiden Richtungen stetig diffe renzierbar ist. Pür festes x E G gilt also ", (x + vi ~ ", (x) + ", ; (v) + o ( lvl) ,

falls v E R" gegen 0 geht. Dabei bezeichnet (jJ ~ für jedes x eine linea re Abbildung von R" nach R " . Nach dem Satz über inverse Funktionen ist ! Tl (A n ) für alle A ,Al ,A2, . . . C S mit der Eigenschaft A C U n ~ 1 A n:Eine Teilmenge A C 5 heißt Tl-messbar, wenn für alle C eS

gilt. Insbesondere enthält die o-Subadditivität die Eigenschaft der (iii) Monotonien f A ) ::; ,, (A / ), falls A c A'. n-Messbarkeit von A bedeutet, dass man" in zwei Teile auf A und AC zerlegen kann, aus denen man dann" auch wieder durch Addieren zurückgewinnt. Für die n-Messbark eit von A langt es, dass ,, (C n A ) + ,, (C n AC) ::; ,, (C ) gilt, denn die Subadditivität ergibt die umgekehrte Ungleichung. Es gilt der folgende Sachverhalt. Satz XI.1

Caratheodory, Sei Tl äußeres Maß auf S. Dann ist das System A ll aller nmessbaren Mengen eine o-Algebru, und die Einschränkung von Tl auf All ist ein Maß.

Beweis. Unmittelbar einsichtig sind die Eigenschaften

Seien Al , A2 E All' Mehrfache Anwendung der Eigenschaft n-messbarer Teilmengen ergibt ,, (C ) = ,, (C

n AJl + 11 (C n Al )

=

11 (C n AJl + 11 (C n Al n A2 ) + 11 (C n Al n A~ )

=

11 (C n (A l U A2) n Al ) + 11 (C n (A l U A2 ) n Al ) + ,, (C n (A l U A2)C )

=

11 (C n (A l U A2)) + 11 (C n (A l U A2)C ) .

C*)

Es folgt Al U A2 E All und Al n A2 = (Al U A~ ) C E All ' Sind Al und A2 disjunkt, so erhalten wir aus Zeile C*) bei der Wahl C n (A I U A2 ) anstelle von C die

XI Konstruktion von Maßen

Additivitätseigenschaft

Seien weiter Al , A2 , ... E All paarweise disjunkt. Nach der soeben gezeigten Additivität und der Monotonie von 11 folgt für natürliche Zahlen r 11 (C ) = 11 ( Cn

00

r

n =l

n =l

r

L 11 ( C n An) + 11 ( C n ( U An)

~ Mittels r ----+

r

U An) + 11 ( Cn (U Anf)

n=l

c

n21

)

und o-Subadditivität ergibt sich 11(C )

L 11(C n An ) + 11 ( C n ( U Anf)

~

n 21

n 21

~ 11 ( C n ~

U An) + Tl ( C n ( U An f)

n 21

n 21

11(C ) .

Es gelten also überall Gleichheitszeichen und es folgt Un > 1An insbesondere C = Un 21 An in Zeile (**), so erhalten wir 11(

E

Al]' Wählen wir

U An) = L 11(A n ) ,

n 21

n 21

d.h.n ist CY -additiv auf Al]' Schließlich lassen sich beliebige abzählbare Vereinigungen gemäß An = An n A~ n .. . n A~,-l n 21 n 21

U

U

auf disjunkte Vereinigungen zurückführen, so dass All eine o-Algebra ist.

D

Maßfortsetzung Wir nutzen nun äußere Maße zum Beweis des folgenden Satzes. For tse tzungssa tz. Sei E ein Erzeuger der o-Algebra A aufS und sei 7t : E ----+ R,+ eine Abbildung. Dann ist durch l!(A ):=inf{

L n (E m2 1

rn ):E l ,

E2, . .. E E, Ac

UE

m } ,

A EA ,

rn 2 1

genau dann ein Maß u auf Agegeben, das auf E mit tt übereinstimmt, wenn die Bedingungen

SatzXI.2

XI Konstruktion von Maßen

(i) J.I-(0 ) = 0, (ii) J.I-(E) = n (E) fiir alle E E [., (iii) J.I-(E '

n E) + J.I- (E ' n F ) ::::; n (E ' )[ür alle E. E' E [.

erf üllt sind. Da immer die Ungleichung ~L (E ) ::::; n IE) gilt, kann (ii) durch J.I- (E) ~ n IE) ersetzt werden. Der Beweis dieser Bedingung von unscheinbarer Gestalt erfordert typischerweise einigen Aufwand. Nach Definition von J.I- ist sie äquivalent zu der Bedingung

e und E c

(ii') n IE) < L. m2:1n(Em ) fürE , EI . E2•. . . E

U m2:1 E m.

Wir werden sehen, wie man zu ihrem Nachweis die unendliche überdeckung von E durch andere, leichter handhabbare endliche Überdeckungen ersetzt. Solche Argumentationen, die auf Kompaktheitsargumenten beruhen, gehen auf Borel zurück, der ja das topologische Konzept der Kompaktheit in der Mathematik etablierte. Beweis. Offenbar sind die Bedingungen notwendig. Zum Nachweis, dass sie hinreichen, setzen wir ~L auf die gesamte Potenzmenge fort zu

U

T] (A ) :=inf{ L.n(E m ) : E 1 , E2 • . .. E [. . A C Em } m2:1 m2:1

füralleA cS .

T] ist o-subadditiv: Seien A. Al . A2 •. . . C S derart, dass A C U n > 1 An gilt . Zu jedem E > 0 gibt es nach Definition von T] Elemente EIn. E2n •.. . von E, so dass An C Um 2:1 Emn und L. n (E n m rn2: 1

)

< T] (A n ) + c:2-n .

Es folgtA C Um ,n 2:1 E mn und T] (A ) ::::;

L. n (E rnn ) ::::; L. (T]( A llJ + c:2-n ) < L. T] (A n ) + m,n2:1 n 2:1 n 2:1

E•

Mit E ----1 0 erhalten wir die (J -Subadditivität. Nach (i) gilt zudem T] (0 ) = 0, T] ist also ein äußeres Maß . Nun zeigen wir, dass jedes E E [. eine n-rnessbare Menge ist. Sei also C eS und EI , E2, . .. E E mit C C U m 2: 1 E m. Mittels (J -Subadditivität von T] folgt T] (C ) < T] (C n E) + T] (C n EC ) < L. T] (E m n E) + L. T] (E m n EC ) m2:1 m2:1 und nach (iii) T] (C ) < T] (C

n E) + T] (C n E < C

)

L. n (E m ) . m2:1

XI Konstruktion von Maßen

Nach Definition von 11 können wir zu vorgegebenem e > dass L m21 n ( E m ) < 11 (C ) + c: gilt. Es folgt

°

nun EI , E2, .. . so wählen,

°

Der Grenzübergang c: ----1 zeigt, dass E n-messbar ist. Wir können nun den vorigen Satz benutzen. Da E ein Erzeuger von A ist, folgt erstens A c All und zweitens, dass ~ ein Maß ist. Nach Bedingung (ii) stimmt ~ auf E mit n überein. Dies ist die Behauptung. D Offenbar erhält man mit dem Fortsetzungssatz definitionsgemäß ein von außen reguläres Maß bzgl. E. Der Satz hat wichtige Anwendungen.

Lokalendliche Maße auf R, Wir be tr achte n hier Maß e auf lk. d ic au f be schränkten Teilmengen endlich si nd . Solche Mark durch d ie Wert e ~((a,

bl} ,

-00

~

sind nach dem Einde ut igkei tssatz

< a ::; b
O. Zu x E Swähl enwirn xmit lf(x )-fnx (x )1 < s. Aufgrund d er Stetigkeit gibt es eine offene Umgebung O x von x mit If - f 'IJ < t: auf O,; Wegen der Kompaktheit wird S von endlich vielen solcher O ; überdeckt, sagen wir zu Punkten x j,l :::; j :::; rn, Es folgt Il f - fn lloo < t: f ür n ~ maxj n X j ' D Wir kehren zurück zum Beweis der Eigenschaften (i) bis (iii) und betrachten zu o E 0 die Funktionen l Om gegeben und sei f ~ 10. Wir setzen gn = L:~=l 11. ,0 hat dieselben Eigenschaften, die wir eben für l /n, falls 1.1>11. ,0 (x) >

o.

Beweis. Seien 0 ,0 ' offene Mengen. Wir setzen 9 := lj'n ,o ' no und

V := {x E 0' : d (x, OC) < l /n} . Dann gilt {g

> O} n V =

0 .

, 0" I I

\

,,

, I \

--

0'

, ....

_---- -----

Nun sei € > O. Wir wählen n so groß, dass n ( 0' n 0 ) ~ e(g) + e. Da V offen ist, gibt es ein h ~ 1 v mitn(V ) ~ e(h) + t:. Es gilt 0 ~ 9 + h ~ 10 "da V c O ' und g (x ) = 0 für X E V. Da weiterhin 0' n OC c V, folgt ~ (O'

n0)+

~ (O '

n OC )

~ n (O' ~

Grenzübergang

€ ----1

n 0 ) + n(V)

n (O' ) + 2€.

~

erg + h ) + 2€ D

0 liefert die Behauptung.

Beweis des Satzes von Riesz. Die vorangehenden Lemmata zeigen, dass die Voraussetzungen des Fortsetzungssatzes XI.2 erfüllt sind, also ~ ein Maß ist auf B, und dass ~ (S ) = e(l ) < 00 . Zu zeigen bleibt, dass e(f) = f d ~ für f E S ). Sei f ~ 0 stetig. Setze für n ~ 1,

f

k ~O

er

XI Konstru ktion von Maßen Die Funktionen f k n sind stetig, und für alle n gilt f vielen von 0 verschiedenen Summanden sowie 1

1

n

n

= Lk>O f k n

mit nur endlich

-

-1 { f>( k + 1 l / n } ~ f k n ~ -1 {f > k / n} '

Nach Definition von zrfolgt 1 -n({f > (k n

+ 1)/n })

~

e(f k n

) ~

1 -n({f > k in}) , n

also e(f ) =

L. e(f

k ~O

kn )


0 und nach Satz VII.6 zu jedemn 2 1 eine kompakte Menge Kn c Ox jRn,sodass7t(E) = Ild+n(Ox jRn) < Ild+n (Kn ) + f . Sei also E C U m >l Ern mit t., E e und t., = o., X jRoo . Wir wollen zeigen, dass es ein n 2 1 gibtmit n

Kn x jROO C

U Ern . m =l

Andernfalls gäbe es xi , Xz , ... in jRoo mit X n E Kn x jROO und X n rt. U~t =l E m für alle n 2 1. Dann kann man zu einer komponentenweise konvergenten Teilfolge übergehen, nach folgendem Schema : Da K1 kompakt ist, gibt es eine Teilfolge Xi .l E jRoo , i 2 1, deren erste d + 1 Komponenten konvergieren. Da Kz kompakt ist, findet sich eine Teilteilfolge Xi .Z, i 2 1, für die auch die (d + 2 )-te Komponente

Beispiel

SatzXI.4

XI Konstruktionvon Maßen

konvergiert. So geht es weiter : In der k-ten Teilteilfolge Xi ,k> i ~ 1, konvergieren die ersten (d +k ) Komponenten. Nach dem Cantorschen Vorbild gehen wir abschließend über zur Diagonalfolge Xi ,i E JFt oo , i ~ 1, die jede Teilteilfolge schließlich durchläuft und für die folglich alle Komponenten konvergieren, mit Limes 11 = (11 1, 11 2, . .. ). Es folgt 11 E K1 X JFtoo c E c Um > l t., und damit 11 E Ei für ein j ~ 1. Da o, offen ist, folgt auch X i , i E Ei, falls i ausreichend groß ist. Da es sich schließlich um eine Teilfolge der Ursprungsfolge X11.' n ~ 1, handelt, gibt es also ein n ~ j, so dass X n E U~t =l E m · Dies ist ein Widerspruch. Es gibt also ein n ~ 1, so das obige Inklusion gilt. Anders ausgedrückt gibt es ein k ~ n + d und offene Mengen Om E JFtk, m :::: n, mit E m = Om X JFtoo und K11. x JFtk-11.-d C U::t=10m. Aufgrund der Subadditivität von !1k folgt 11.

n (E) -

t: ::::

!1d+n (K11. ) = !1dK n x JFtk- 11.- d ) ::::

L. !1k (Om ) ,

m=l

also n (E) :::: L:~ =l n (E m ) + e. Durch Grenzübergang n ----1 00 und dann e ----1 0 erhalten wir (ii') . Der Fortsetzungssatz gibt uns also ein Maß !1 mit !1(0 x JFtOO ) = !1d(0) für alle offenen 0 c JFt d. Mit dem Eindeutigkeitssatz folgt !1 (B x JFtOO ) = !1d(B) für alle Borelmengen B C JFtd. Also ist !1 der projektive Limes der !1d, d ~ 1. Schließlich ist E ein n -stabiler Erzeuger von ß oo, deswegen ist der projektive Limes eindeutig bestimmt. D Das Kompaktheitsargument im Beweis kann man auch mit dem Satz von Tychonov führen, nach dem unendliche kartesische Produkte von kompakten Mengen wieder kompakt sind. So ließe sich der Beweis verkürzen. Der Satz kann in mehrfacher Hinsicht verallgemeinert werden. Der Raum JFt lässt sich ersetzen durch solche Räume , in denen sich offene Mengen von innen durch kompakte Mengen approximieren lassen, zumindest dem Maß nach. Dies funktioniert in allen vollständigen, separablen metrischen Räumen (Satz von Ulam). Auch kann man das Resultat ohne größeren Aufwand auf überabzählbare Produkträume übertragen. Ha usdorffma ße *

Das Lebesguemaß ist nicht das einzige translationsinvariante Maß auf den Borelmengen des JFtd. Zum Abschluss des Kapitels wollen wir auf eine ganze Schar translationsinvarianter Maße eingehen. Nur wenn der Einheitswürfel dabei endliches Maß erhält, hat man es (bis auf Normierung) mit dem Lebesguemaß zu tun. Eine Grundidee ist, eine Teilmenge Ades JFtd mit Kugeln und anderen Mengen beschränkten Durchmessers zu überdecken

XI Konstruktion von Maßen

und aus deren Anzahl und Durchmesser eine Maßzahl für A zu gewinnen. Es gibt da verschiedene Möglichkeiten, so dass man auch "dünnen" Mengen mit Lebesguemaß oein positives Maß geben kann. Dabei erscheint es natürlich, A nur mit Mengen mit sehr kleinem Durchmesser zu überdecken - wir werden sehen , dass dafür auch gute mathematische Gründe sprechen. Unser Weg führt über äußere Maße l1 s, die von einem vorgegebenem Parameter s > 0 abhängen. Den Durchmesservon A C JR d definieren wir als d (A ) := sup

{ Ix - 1) I: x, 1)

E

A}

In einem ersten Schritt geben wir uns (neben s) ein b > 0 vor und setzen l1 s,ö(A ) := inf {

L. d (Am )S : A c U A m ) d (A m ) < b},

m21

A c JRd .

m21

Wir benutzen also zum Überdecken beliebige Mengen mit einem Durchmesser von höchstens b. Bei l1 s,ö handelt es sich um ein äußeres Maß, der Beweis wird wie oben beim Fortsetzungssatz geführt. Jedoch weiß man im Allgemeinen nicht, welches die zugehörigen messbaren Mengen sind. Deswegen gehen wir in einem zweiten Schritt über zu l1 s (A ) := sup11 s,dA ) , A c JR d . ö>o Dies bedeutet, dass wir nur noch klein e b betrachten, denn 11 s,ö(A) ist mit fallendem b monoton wachsend. Offenbar ist Tl s translationsvariant. Bei l1 s handelt es sich ebenfalls um ein äußeres Maß: Mit l1 s,ö (0 ) = 0 gilt auch = 0, und aus l1 s,Ö(U n >l An) ::; L n >l 11 s ,ö(A n ) ::; L n >1 11 s (A n ) folgt l1 s (U n 21 An) ::; L n 2111s ( A,~ ) , Bei Tl s kommt nun eine zusätzliche Eigenschaft ins Spiel: Bezeichne l1 s(0 )

a (A' ) A " ) := inf { Ix -

1)1 : x E A ' , 1)

E A"} ,

den Abstand zweier Teilmengen A', A" des JRd (mit der Konvention inf 0 = 00, d. h. der Abstand zur leeren Menge ist (0 ). Dann nennt man mit Caratheodory ein äußeres Maß 11 auf dem JRd metrisch , falls es die Bedingung a (A' , A" )

>0

=}

l1 (A ' U A" ) = l1 (A' ) + l1 (A" )

erfüllt. Die äußeren Maße l1 s sind metrisch. Das lässt sich folgendermaßen einsehen: Sei A' uA " c Um >1 Ammitd (A m ) ::; b.Giltnunb < a (A,A ' )/2,sohatjedesA mmit höchstens einer-der Mengen A', A" einen nichtleeren Durchschnitt. Daher lässt sich die Folge A m in zwei Teilfolgen A: n , A::" m ~ 1, aufteilen, so dass A ' c Um >1 A~, und A" C U m>1 A::,. Es folgt L m>1 d (A m )5 ~ l1 s,ö(A') + l1 s,ö (A " ), also auch l1 s,ö(A' U A" ) ~ l1 s,ö(A' ) + l1 s,ö (A ") und mit b ----7 0 schließlich l1 s (A ' U A " ) ~ l1 s (A') + l1 s (A"). Die umgekehrte Ungeichung gilt ebenso, weil n , ein äußeres Maß ist.

XI Konstruktion von Maßen

Die Bedeutung metrischer äußerer Maße ergibt sich aus der folgenden Charakterisierung.

SatzXI.5

Ein äußeres Maß '1 aufdem JRd ist genau dann metrisch, wenn alle Botelmengen ti-messbar sind. Beweis. Seien zunächst alle Borelmengen n-messbar, Gilt a(A', A" ) > 0 für zwei Mengen A', A", so ist := {lJ E JRd : IlJ - x] < a(A ' , A") für ein x E A ' } eine offene Menge . Aus deren n-Messbarkeit folgt

°

Außerdem gilt A' c 0, A " c OC , und wir erhalten l1 (A ' U A " ) = l1 (A ' ) + l1 (A" ). Also ist 11 ein metrisches äußeres Maß . Sei umgekehrt 11 metrisch. Wir zeigen im Folgenden, dass dann jede abgeschlossene Menge A C JRd n-messbar ist, dass also 11 (C) ~ 11 (C n A ) + 11 (C n AC) für alle C C JRd gilt . Ohne Einschränkung können wir dazu 11 (C) < 00 annehmen. Zum Beweis konstruieren wir Mengen DI e D2 c . . . c C n AC mit a ( C n A, D n ) > 0 und l1 (D n ) ----1 11 (C n AC). Da 11 metrisch ist und (C n A ) U D n C C gilt, folgt dann nämlich und der Grenzübergang Tl ----1 00 gibt die Behauptung. Zur Durchführung dies es Gedankenganges wählen wir ein e Nullfolg e von reell en Zahlen E1 > E2 > . . . > 0 und setzen

D n := {x

E

C n AC: [x -

lJ I ~

En

für alle lJ E A}.

Wie gewünscht gilt dann einerseits a ( C n A, D n ) ~ En > O. Zum Nachweis der anderen Eigenschaft der D n betrachten wir auch die Mengen En := D n + 1 \ D n , Tl ~ 1. Fürm ~ 1 gilt a (En + m , En - 1) ~ E n - E n +1 > O. Da 11 metrisch ist, folgt n

n

U

.L.11 (E2k) = 11 ( E2k) :::: l1 (C) k=l k=l und analog L~=111 (E2k-1 ) :::: l1 (C ), und wir erhalten Lk>l11(h ) < 00 , denn nach Annahme gilt 11 (C) < 00 . Da nun A als abgeschlossen angenommen ist, gilt C n A C = u, U Um>n Ern und folglich aufgrund von o-Subadditivität -

l1 (D n ) < l1 (C n AC ) < l1 (D n ) + .L. l1 (Em )

.

m~ n

Für

Tl

l1 (D n

)

----1 00 konvergiert der Ausdruck rechts gegen 0, und wir erhalten auch ----1 l1 (C n AC). Damit haben die Mengen D 1, D2 , ... die gewünschten Ei-

genschaften, und alle abgeschlossenen Mengen sind daher n -messbar. Dies gilt dann auch für alle Borelmengen, denn die abgeschlossenen Mengen erzeugen die Borelo-Algebra. D

XI Konstru ktion von Maßen

Die metrischen äußeren Maße 11 s bzw. die durch Einschränkung auf die Borel-oAlgebra entstehenden Maße heißen Hausdorffmaße. Für geometrische Untersuchungen werden sie eher als Schar benutzt, der Wert des Parameters s wird für jede Menge A c JRd passend eingestellt.

Fürjedes A C JR d gibt es eine Zah! 0 :::; 11.,\ :::; d, so dass OO '

Tl s (A ) = { 0,

[alls s < h A fa lls s > h A

Lemma ,

.

Beweis. Nach Definition von 11 s ,05 gilt für alle E > 0

Gilt also Tl s (A) < 00, so ergibt der Grenzübergang Ö ----1 0, dass Tl SH (A ) = O. Dies ergibt die Existenz der Zahl h.A E [0 , 00]. Es bleibt h.A :::; d zu zeigen. Nun lässt sich der Einheitswürfel [O, l )d in offensichlicher Weise in n d Teilwürfel der Kantenl änge 1/ n und des Durchmessers v'd/n zerlegen . Also gilt TI

"t d ,

d ([0' l )d) < v'd/ n - n (Vd/n)d

= d d/ 2 ,

und mit n ----1 00 ergibt sich 11d ([0, 1)d) < 00. Für alle E > 0 folgt11d H ([0, 1)d) und mittels o -Additivität n j .i , (JRd) = O. Dies zeigt h.A :::; d für alle A C JR d.

=

0 D

Die Zahl h.A heißt die Hausdorffdimension von A. In der geometrischen Maßtheorie werden Hausdorffdimensionen und -maße genauer studiert. Dabei ergibt sich, dass in allen Fällen, in denen man A in intuitiver Weise eine Dimension zuordnen kann, diese mit der Hausdorffdimension übereinstimmt. Außerdem stimmt im cldimensionalen Fall das Hausdorffmaß für s = d mit dem Lebesguemaß überein, bis auf eine nicht ganz einfach zu bestimmende positive Normierungskonstante. Wir gehen darauf nicht weiter ein und beschließen den Abschnitt mit einem Beispiel. Cantormenge. Die I lausdorffdimension der Cantorrnenge C lässt sich heuristisch leicht aus einer Skalierungsüberlcgung finden. Für eine Menge A C R und c > 0 sei cA := {cx : x E A}. Dann gilt (vgl. Aufgabe 11.2) Tl s (cA ) = cSTl (A ) . Offenbar gilt C = C' U C", mi t disjunkten Mengen C' und C", die aus C durch Skalierung mit dem Faktor c = 1/ 3 und Translation herv orgehen. Es folgt Ils (C ) = Ils (C' )

+ Ils (C" ) =

2· rS Tl s (C) .

Beispiel

XI Konstruktionvon Maßen Nehmen wir nun an, dass

°
: I Y~2-k, an der erstmalig Yn #- Y;, gilt, so folg t -

ly - y ' l ::;

L. 2-

k

= 2- n + 1 ,

k2;:n

lep (y) - (p(y ' )1 ~ 2(3- n

-

L. 3-

k

)

=

3- n

,

k>n

und d ie Behauptung ergibt sich aus (3- n ) h = 2- n . Für ein Intervall A C lR erg ib t dies 2d (A )h ~ d ( cp - l (A J) = A« p-l (A J). Gilt nun C C U m> I A m fü r Intervalle A I , A 2, . . ., so folgt au fgrund de r o- Stctigke it dcs Leb csgu cmaßcs und [0 , 1) c U m2;: 1 ep- I (Am)

2

L. d (A m )" ~ L. A(ep - l (Am) ) ~ 1 .

m2;: l

m2;: 1

Da es im eindi me nsionalen Fall o ffenba r ausreicht, sich auf Übe rdeckungen durch Intervalle zu beschränken , erha lten wir I] h (C ) ~ 1/ 2. Eine gen au ere An alyse zeigt übrigens I] h (C ) = 1.

Übungsaufgaben Aufgabe 11.1. Sei 'V das im Beweis des Fortsetzungssatzes erhaltene Maß, das durch Einschränkung des äußeren Maßes Tl auf die l Um>l E mn mit E rnn E E gewählt werden. -

XI Konstruktion von Maßen Aufgabe 11.2.

Zeigen Sie für das Hausdorffmaß

Folgern Sie, dass im d-dimensionalen Fall sich 11 $ für s -I- d vom Lebesguemaß unterscheidet und auch nicht durch Skalierung zur Übereinstimmung gebracht werden kann.

Hilberträume

Wir kommen zurück auf den Raum l 2[S; J.!) q uad ratintcg rablc r Punktionen, dessen grundlegende Eigenschaften wir in Kapitel VI behandelt haben. Daraus ergeben sich geometrische Sachverhalte, die wir nun kennenle rne n wollen. Dies sind die Eigenschaften eines Hilbcn raumcs', fü r den der Raum I I [S: 11-) ein Prototyp ist. Ein Hilbertraum ist ein vekto rraum. in dem nicht nur jedem Vektor eine Länge zugeordnet ist, sondern auch zwei Vektoren - vermi ttels eines Skalarprodukts einen Winkel einschließen und es sich insbesondere sagen lässt, ob sie senkrecht aufeinander stehen. Seine zusätzlichen geometrischen Eigenschaften ermöglichen es, in konvexen abgeschlossenen Mengen Punkte minimalen Abstands zu einem vorgegebenen Punkt außerhalb der Menge zu finden. 11ieraus ergeben sich vielfach verwendete orthogonale Zerlegungen, von denen die Fourie rreihe die wohl bedeutendste ist. Wir erinnern an die Definition des Skalarprodukts in ein em Vektorraum über einem reellen oder ko mplexen Skalarenkörper. Ist ex E C , so bezeichnet Ci di e zu ex konjugiert komplexe Zahl, es ist bekanntermaßen exCi = lexl2 • Ein Skalarprodukt ist eine Abbildung, welche je zwei Elementen x , 11 eines vekterraums X eine Zahl [x , y ) zuo rd net mit den Eigenschaften 0) Positive Dcfini thcit: [x, x) > 0 für x ::f:. 0, (ii) (y , x] = (x, y ) für alle Vektoren x . y E X,

{iii) [ccx + ßy, z] = ex(x,z) + ß (y, z] fü r alle x, y, z E X und alle Skalare cc. ß.

Aus (H) und (ii i) folgt unmittelbar (x , O) = (0, x] = 0 und (X. lXY + ßz) = ZX(x , y )

+ ß(x, z)

für Vektoren x , y , z und Skalare rx., ß. Im reellen Pali ist ein Skalarp rodukt also nichts anderes als eine symmet rische, pos itiv definite Bilinearform. I l>.W lD Ilrl 8ERT, 11l62-1943,geb. in Königsberg. tätig in Königsberg und GÖllingen. Die von ihm 1900 in Par is vorgetragenen und nach ihm benannten 23 Probleme beeinflussten die Entwicklung der Mathemati k tiefgreifend. Mit ihm und seinem alle mathematischen Bereiche erfassenden Wirken wurde Göttin gen zum weltzentrum der Mathemati k.

Definiti on

XII Hilberträume

Beispiele

1. Sind [x 1 , x Z, . .. ) und (lJ 1 , lJZ, ... ) zwei Polgen von Skala ren de r Länge d, so wi rd durch d

(x, u) =

L. X"lJ n H =1

ein Skala rprodukt defin iert auf dem Raum R d bzw. c} und {e < c} teilen. Dieser Sachverhalt bleibt auch für Funktionale e E X ' auf beliebigen normierten Räumen X bestehen und ist ein Ausgangspunkt für geometrische Betrachtungen in Banachräumen. Da die Summe und skalare Vielfache stetiger linearer Abbildungen ebensolche sind, sind X' bzw. allgemeiner E (X; Y) Vektorräume. Die Charakterisierung (v) ihrer Stetigkeit im vorangehenden Satz ergibt, dass II TII := sup II TxII = sup II Txl1 = sup I11 T I Xliii Ilxll:'::: l Il xll= l Il xlly'c o x eine endliche nichtnegative Zahl ist, sie heißt die Operatornorm von T E 'c (X; Y). Es gilt offenbar II Txl1 < II Tllllxl1 für alle x E X, und II TII ist die kleinste Konstante C mit der Eigenschaft II Txl1 ~ CII x ll für alle x. Demnach folgt für die Komposition 5 0 T zweier stetiger linearer Abbildungen wegen 11(5 0 T)x ll < 11 51111 Txli < 11 511 11 Tllllxll, dass 11 50 T II < 115 [IIIT II · Mit der Operato rno rm wi rd C(X; Y) zu eine m normierten Raum . Ist Y vollständ ig, so ist 'c (X; Y) ein Banachraum, insb eson dere ist de r Dualra um X' ein Banac h raum.

Beweis. Die Definitheit gilt, da II TII = 0 genau dann, wenn Tx = 0 für alle x, was gleichbedeutend ist mit T = O. Positive Homogenität und Dreiecksungleichung folgen aus elementaren Eigenschaften des Supremums. Ist Tl , T2, . .. eine Cauchyfolge in 'c (X; Y), so ist wegen IITn x - Tmx ll ~ II Tn - Tm llllx li auch Tl x , T2X, .. . eine Cauchyfolge in Y für jedes feste x, Ist nun Y vollständig, so existiert lim., Tn x = : Tx, und man zeigt (Aufgabe 13.4), dass die so definierte Abbildung T : X ----1 Y linear und stetig ist, und dass Tn ----1 Tin 'c (X; Y). D

Satz

XII I Ba nachräume

Auf X I bezeichnet man die Operatornorm als duale Norm oder Dualnorm und nennt für f E X' Ilfll =

sup If (x)1 = sup If (x)1 = sup Ifll(XI )11 Ilxll:S l Il xll= l Ilxll#o x

in der Regel schlicht di e Norm von f.

Beispiel

Dur ch f (f ) = f f d u wird au f X = LI (S; u ], ~ Maß, ein Funktion al f E X' definiert mi t 1f tf )I :5 II f ll l und f (1A ) = J1A du = 11 1A 11 1 fü r messbares A mi t ~ (A ) < 00 , als o Il f ll = 1. Ist S üb erdies ein kompak ter me trischer Raum, ~ endli ch undX = (C( S), 11 ·11 ), so ist wicderum t E X ',aberdiesmai ll fil = ~ (S ), da le(f )1 :5 ~ (S )ll f l l und f (1) = ~ ( S ) . Insb eso ndere definiert das Dirac-Maß b x für x E S ein Funktional bx E C rS ) I mit llbxll = 1, es ist b x (f) = f (x ). (Man sp richt dah er au ch vom Dirae-Funktional. ) Dagegen lässt sich au f X = LI (S; A), S = (u , b ] mit dem Dirac-Maß b x kein line are s stetiges Fu nk tional bi lden, man vergleiche Aufgabe 13.5.

Beispiel

Ist U ein abg eschloss en er Unter raum eine s Hilb er traume s X, so de fin ier t die im vo rig en Kapitel b etrach tete Orthog onalprojektion Pu einen Operator in C(X) := C(X; X) mit I1 Pu ll = 1, falls U i- {O}.

Beispiel

Fü r ein endliche s Maß ~ b etrach ten wir die Räume X = L, ( S ; ~) und Y = L r ( S ;~ ) mit 1 :5 r < p < 00 . Ist f E Ll' (S; u ], so folg t aus der lI ölderUngl eichung mit de r Zerl egung 1 = r/p + (p - r )/p

C=

p -r

~ (S ) VT.

Infolged essen gilt LI' (S; u ] C L,.(S; u ), und die durch T (f ) = f defin ierte Einb ettung von LI' ( S ; ~ ) in L ,. (S ;~ ) ist lin ear und stetig. Die Inklusion ist in der Regel echt , wie etwa im Falle S = (0 , 1) und ~ = A das Beispi el der durch f (t ) = t - 1 /» definierten Funkt ion zeig t.

Beispiel

Wir b etrach ten eine n Integral operator der Fo r m (Tf)( x ) =

Jk (x , y )f (y )-v(dy ).

Zu gegebenem Kern k bildet er ei ne Funkti on f auf eine Punkt ion Tf ab. Wir b etrach ten Maßräume (S I, A ' , u ] und (S 11 , A " ,-v) wie in Kap itel V III und setzen vorau s, da ss k : S I x S " -1 j[ messba r ist. Sei außerd em C k := sup li ES"

J[k ]x , y )1uf d x )
1 betrachten wir die Funktion f = (sign g ) I9 Iq -

1 .

Es ist fg = Iglq = IfIP wegen p lq - 1) = q, und

also insgesamt 11 G 11 =

Es ist dann

I f nl1 1 =

11

9 11q im Fall p > 1. Im Fall p

~ (An )

=

1 setzen wir

und

Es folgt 11G 11 2': 11 9 1100 - ] I n und damit 11 G I1 2': 11 9 1100' Es bleibt zu zeigen, und das ist der Hauptteil des Beweises, dass jedes Funktional e E Lp (S; ~ ) I so dargestellt werden kann. 1. Wir wollen zeigen, dass durch

-y(A) =

e(]A) ,

A messbare Teilmenge von S,

ein signiertes endliches Maß auf A definiert wird. Zunächst ist -y (0) = e(o) = o. Ist Al, A2, . .. eine Folge disjunkter messbarer Mengen und A = U n~ 1 An, so gilt m

11

1A

-

L1

An

n =l

für m

~ 00

t

m

p

= u(A

\

U An) ~ 0

n =l

wegen der Stetigkeit von Maßen , und daher mit der Stetigkeit von e

«L

m

m.

-Y (A ) = e(l A ) = lim

111.---'100

n=l

1A n ) = lim

rn ---+ oo

L

n =l

e(l A n ) =

L -Y (A n ) . n ~l

Die Mengenfunktion v ist also o-additiv und damit ein signiertes Maß mit I-Y (S)I =

le(] )1 < 00 . 2. Sei v = -y+ -rv: die Jordan-Zerlegung von -v in die beiden (wegen der Endlichkeit von v ebenfalls endlichen) Maße -y+ und v: gemäß Satz IX.9 Es ist -y+ « u, v : « ~,da aus ~ (A ) = 0 folgt 0 = e(] A' ) = -Y (A / ) für alle A' c A und damit -Y + (A ) = -y-(A ) = O. Nach dem Satz von Radon-Nikodym existieren (wegen der Endlichkeit von -y± integrierbare) Dichten dv" = g+ du, v: = g- du. Wir setzen

XIII Ba nachräume

9 = g+ - g- und erhalten für messbares A e(lA ) = 'V (A ) = mit einer integrierbaren Funktion g. 3. Wir zeigen, dass

elf ) =

f

L

9 du

fg du

gilt für beschränkte messbare Funktionen f. In der Tat gilt (*) für f = 1A und damit wegen der Linearität für signierte elementare Funktionen. Da letztere im Loo (5; u.) dicht liegen (Aufgabe 13.6), gilt (*) wie behauptet. 4. Wir zeigen, dass 9 E Lq (5; u ). Im Fall p > 1 betrachten wir die durch

definierte Folge beschränkter messbarer Funktionen. Es gilt, wie oben im Beweis ausgeführt, If nl P = 1A,,1glq und nach 3.

Es folgt 11 1Angllq < Ii ell und wegen monotoner Konvergenz auch Il gllq < Il ell , da Iglq = sUPn 1An Iglq fast überall. Im Fall p = 1 setzen wir A = {Igl > Ii ell } und erhalten mit f = 1Asign 9

Wäre ~ (A ) > 0, so wäre ~ (A ) Ii ell < f 1Aigl du nach Definition von A, ein Widerspruch. Es folgt Igl :.:; Ii ell fast überall, also Ilglloo :.:; Ii ell im Fall p = 1. 5. Beide Seiten von (*) definieren auf L, (5; u ) stetige Funktionale, die aufder dichten Teilmenge Loo von Lp , und damit auch auf ganz Lp , übereinstimmen. Die behauptete Darstellung von eist damit bewiesen. D Der Banachraum M (S ) der signierten endlichen Maße Sei (5 , A ) ein messbarer Raum. Die Menge

M (5) =

{~ I ~

:A

----1

IR ist endliches signiertes Maß}

bildet einen reellen Vektorraum, versehen mit der Addition und der Skalarmultiplikation ( ~ 1 + ~2 )(A ) = ~1 (A) + ~2 (A ) , ( cx ~ )( A ) = cx~ (A ) . Wir betrachten die Jordan-Zerlegung ~ = ~+ - ~- von ~ in endliche Maße ~± aus Satz IX.9, ~+ (A )

= sup ~ (A' ) , A' cA

~- (A )

= -

inf ~ (A') = ( - ~)+( A) A' cA

XII I Ba nachräume

für messbares A. Hieraus erhalten wir unmittelbar

für !Ll , !L2 E Jvt (5) . Durch I!LI = !L+ + !L- wird ein weiteres endliches Maß definiert, es heißt die Variation von !L. Die Dreiecksungleichung für Positiv- und Negativteil überträgt sich wegen (*) auf die Variation,

Für skalare Vielfache erhalten wir Icx!LI (A ) = I cxll ~LI ( A) aus der Jordan-Zerlegung CX!L = (CX!L)+- (CX!L) - , wobei im Falle cc < 0 lediglich (CX!L)+ = - CX!L- und (CX!L) - = - CX!L+ zu beachten ist. Aus dem Dargestellten folgt, dass

eine Norm auf M (5 ) definiert, da 11 !L II = 0 offenbar !L+ (5 ) = !L- (5) = 0 und damit !L = 0 impliziert. Für !L E M (5) und messbares A gilt dann

Satz XII 1.2

Der Raum M (5) ist ein Banachrau m versehen mit der Norm 11 !LII = 1!Ll (5). Beweis. Nur die Vollständigkeit ist noch zu zeigen. Sei (!Ln) ein e Cauchyfolge in M (5) . Für messbares A ist (!Ln( A )) eine Cauchyfolge in ~ wegen (**) . Wir setzen

Wir wollen zeigen, dass die Mengenfunktion !L ein endliches signiertes Maß ist. Zunächst gilt !L(0) = O. Da wir den Limes mit endlichen Summen vertauschen können, ist !L endlich-additiv. Darüber hinaus gilt, wiederum wegen (**), I!L(A ) - !Ln (A)1=

lim l!Lm(A ) - !Ln (A )1::; limsup II !Lm - !Ln ll

tn----t oo

m ----t oo

unabhängig von der Wahl von A. Zum Beweis der o-Additivität von !L betrachten wir nun eine Folge Al , A2, . . . disjunkter messbarer Mengen und setzen A = Uk2: 1 A k. Für alle natürlichen Zahlen n , 1 gilt 1

1!L(A ) -

L. !L(A d l ::; I!L(A ) -

k=l

1

!Ln(A)1+ l !Ln (A ) 1

+

I!Ln ( U k=l

L. !Ln (Ad l

k=l

1

A k) - !L(

U A k) I,

k=l

wobei wir die bereits bewiesene endliche Additivität von !L ausgenutzt haben. Ein Übergang zum Limes superior in 1 bei festgehaltenem n ergibt wegen der

XIII Ba nachräume

o-Additivität von

~n

limsup 1--+00

I ~(A) -

1

.L ~(Ak ) 1 ::::; 2limsup I ~m -

k= 1

m --+oo

~n l l ·

Ein weiterer Übergang zum Limes superior, diesmal bezüglich n, liefert 0 auf der D rechten Seite, und es folgt ~ (A ) = Lk ~l ~ (Ak )'

Der Dualraum von C( S ) Sei S ein kompakter metrischer Raum, versehen mit der Borel-o-Algebra B, und C (S) der Banachraum aller reellwertigen stetigen Funktionen auf S. Nach dem Darstellungssatz XU von Riesz können wir jedes positive lineare Funktional eauf C (S) als Integral bezüglich eines geeigneten endlichen Maßes ~ darstellen. Sofern wir auch signierte Maße zulassen, können wir eine solche Darstellung auch für beliebige lineare stetige Funktionale auf C(S) finden. Ein signiertes endliches Maß ~ heißt regulär, falls ~ + und u - regul är sind (oder äquivalent, falls I~I regul är ist).Aus Satz VII.6 folgt, dass jedes signierte endliche Maß auf dem kompakten metrischen Raum S regulär ist. Sei S kompakter metrischer Raum. Jedes stetige lineare Funktional Cauf CrS) ist eindeutig darstellbar in der Porrn

C(f) =

Satz

J

f du

mit einem signierten end lichen regulären Maß u, Die Zuordnung Jl H eist lin ear und isomet risch, das heißt, es gilt II CII = 11 JlILVf (S) für die duale Norm von C. Beweis. Zu gegebenem durch

~ E

M (S) definieren wir ein Funktional T~ : C (S)

----1

lR

J

(TJl)(f) = f du . Tu ist linear und wegen der aus der Jordan-Zerlegung Abschätzung

Jl

=

u+ -

~l-

gewonnenen

auch stetig mit II T~I I : : ; I JlII , also gilt T~ E C(S ) /. Zum Beweis der umgekehrten Ungleichung I TJlII 2: 1 1 ~11 seien A + und A_ := A ~ die zur Jordan- (bzw. Hahn-) Zerlegung gehörenden Mengen mit ~ + (A _) = ~ - (A + ) = O. Aufgrund der Regularität von ~ finden wir zu beliebig vorgegebenem € > 0 kompakte Mengen K+ C A + und K_ C A_ mit ~± (A± ) ::::; ~± (K ± ) + e, Wir definieren die stetigen Funktionen

XIII Ba nachräume

wobei cx := dist (K+ , K_ ) = infx± EK± d (x+ , x.; }, Es gilt f = 1 auf K,., f = - 1 auf K_ und Il fll oo ::::; 1. Wir schätzen nun ab JS

fd~ =JK+ fd~ +JK_ fd~ +J(K+UK_l Cf du ~ I ~I ( K + ) + I ~I ( K _ ) -I ~LI ( ( K + U K_ JCJ = 2 ( 1~ I (K + ) + I ~I ( K _ ) ) -I ~I ( S ) ~ 2 ( 1~I (A + ) + I ~I ( A_ ) - 2 €) -I ~I ( S ) = I ~I ( S) - 4 € = 11 ~1 1- 4 €.

Es gilt also II T~II ~ ( T~ )( f ) ~ 11~ I I - 4 €, damit folgt II T~II ~ 11~ I I für e ----1 O.Aus der somit bewiesenen Isometrie II T~II = 11 ~ I I folgt nun die Eindeutigkeit von ~ in der Darstellung von Es bleibt zu zeigen, dass zu vorgegebenem e E C (S) I ein solches u existiert. Um das zu erreichen, stellen wir eals Differenz zweier positiver linearer Funktionale dar und wenden auf diese den Darstellungssatz XI.3 von Riesz an. Wir definieren

e.

e+ (f ) =

sup e(