Intuitionnisme et théorie de la démonstration (Cahiers du Centre de Logique)

CAHIERSDU CENTREDE LOGIQUE

1 /NTUITIONN|SME et THÉoRtE de ta o ÉtwoNsTRATT oN

CAHIERSDU CENTREDE LOGIOUE

1 INTUITIONNISME et THÉoat E de ta DÉmoNSTRATtoN

UNIVERSITE C A T H O L I Q U ED E L O U V A I N

rNSTrrursupÉntEUR DEpHtLosopHtE

C A B A Y. L O U V A I N . L A . N E U.V1E 980

D/ 1980 | 2457 | 17 @CABAY,LibraireConseil. Tous droits réservés

Ce recueil rassemble des exposés prÉsentés .mi-naire au "S de logique f ormal-isée " de l-'Institut

Supérieur de Phj l-osr:phie d e I ' I J C L p e n d a n t l _' a n n é e a c a d é m l q u e 19?8-r 979.

C R A B B Ee t

Th. LUCAS.

TABLE DtrS I'AT]EBES

L I J C A ST h . L e s t h è s e s d e l a D R A B B EJ .

i]9ABBE J.

lcgique intuitirnn.ste..

Pr'Ésentaticn tcnol cqi.oue Cu caIcul si ticnnel- intulti cnniste L:glque

lr.::,"rsi.trcnnelle

lntuitr

prot_.c11.

cnni-ste et

i : i I R E A UI 1 . l l o d r ) l - e s d e K r i o k e i ' t i E N - qJ . L .

lléductirn

C R A S B É" .

e

...

1g.

45.

"Dial ecti,ca"

lJornitl rsati en du ca.r.cul des frncti r é c u r s i v e s r r i r , r :t j , v e s

L ' : 1 ' Î , i A n DR . F l e m a r q u e s s u r

forcinq.

27 ,

naturelf

LU3A9 Th. L'interprÉtati.,.n

1.

69. nnnelles

l - a r l r j . - ' l , c s o n hei d e B r r , - u ' , ; e r

e3 . gS.

LES THESES DE LA LOGIQUETNTUITIONNTSTE Th. LUCAS

Bibliographie [fl

:

fr-eer'rE S.C.

,,Introduction

North-Holland,

fzl

to Metamathemati_cs,,

Amsterdam, London, lg?1,

r/|vHru- .t.

"Embedding classical

Zeitschr.

f , tiath.

Deux parties

Logik

dans cet

sembre des thèses

de la

1e système formel

(ae type

queront

lmplications

certaines

plicatlon

non retournée

La deuxième montre négation"

permettent

intuitionniste:

La première

de Kleene;

démontrables

basée sur [-fl

I.

en général

a) Pour Ie

le

calcul

système décrit

par Kleene.

des propositions

:

p -(o+p) (p -' o) -

( ( p * ( e - - - R ) ) - ( e - - *n ) ) P , P r e a + ( A . - - ' R nR ) e Pn

Q--rP

Pn

8--rQ

p-+pV

g

Q.-+Pv

A

( e - - +n) - ( ( o* + B ) -_ r(e v a _ .>n )) (P-- e) -' ((p - -ze)-*zp) ( zt -, I P'Q ))

lndi-

dans re systèrne. ,,doubre

du type

classique

pp,4g2

tlonniste. Voicl

sur lren-

reorend

des tabreaux

sens des transformations 1a logique

(rszsJ.

dans ce système1 une irn-

pas démontrable

de plonger

Logic,, pp.93-96

lg,

des lndicatlons

intultionnlste.

hilbertienJ

n'est

e11e est

1n rntuitlonistlc

exposé donneront

loglque

en quer

Logic

und Gruncilagen d. Math.

dans 1a logique

ss et

[Z].

2.

b) eour

des prédicats

calcul

le

: a)

et

z

I -+ P(x) Vx p(x)

Q -

V xP(x)+ e(t) P(xl -+ e .?xP(r)-o P(t)-+Jxp(x) avec les

rastrlctlons

classiques

c) Pour lrarithmétique:

a),

b) et

sur

x et

t.

:

P ( " ' ) 1- + e ( x )

P(o) n V" (p(r)1r=yr+x-y -7 Xr -

o

Xoy-+(x=

z+l-z)

X=Y-+Xt=y' o -

X*

x

x+yr-(r+y)' X.O

=

O

x.Yt=x.y+x

Les systèmes du schéma

classiques

1'7

de la

s'obtlennent

par

1'adJonctlon

:

que cect

A notcr

correspondants

négatlon

P --t P

affecte

mals aussi

directement

le

caractère

du quantlflcateur

cclul

intuitionniste unlversel,

car

aJoutcr 77 P(t) revlent

P(*)

à aJoutar

V x b z p (x ) -+ P(* ) ) , d'où

lron

déduira

V x z z P ( x )- - V x e ( x ) , rs

écrasant

atnsi

les

différences

que lrtntuitlonnisme

met entre

Vlt,

et v.

de la

Volcl

guelgues

négatlon.

Pour

tableaux

drautres

qui

éclalrent

théorèmes,

surtout

voi.r i1].

le

comportement

ztV

.t(ttPvrtQ)

-r1j -

^' t (1P ^,tQ)

* 17(pva)

tVt

,u llSll

,-t 7 P--+ttQ - n (tP-+Q)

ztPv-Tje

itt

17P

Tq

ttQnâ)-

ztPnztQ 7t(ttPatzô

Pvq

Pnq

t ( P v Q )- I ? t t Q

t A - Vt

- ttVT

t (tt P rttzQ)

tP vle

-

1t

,1,

zVrt

, rtv

tQa,q)

rt zt(tPvtq) - t (ttP att Q)

1V

,- ll3'1

lÀlt

4.-

p -+ tte ,ï., |

I I

^J tt(e-->q) , . . r - t - T P- z z Q '- -(P'tzQ)

/\.,1 (tt pat e)

p_e 4

I

I

I tt p-e 4t I

I

I 71vQ ,/\ ,/\ t'P

ttP

\q

IÏ.

Plongements des systèmes classiques

Le prototype négation

: si

de ces plongements

P est

on associe

rons ci-dessous Cu type

et

fô\

T*

Pa

'E;

T1

tçJ I est

e p

, t'ç,1;i ces propositions

l**

p*

P une formule

traductions

fr|-

des résultats

pT

des traductions

classique

les

de f et Ifr ,lf , de conséquence du cal_cul

relations

, du ca1cul des propositions

classique

crassique,

nécessaires

, du calcul

des prédi-cats

de I'arithmétique

oour

qui

la

intuitionniste,

lntuitionniste.

suivent

établir

intuitionniste,

permettent plupart

de simplifier

des propriétés

des

gue nous envisagerons.

Soi.ent une traduction 1es condittons x

des formules

x et

suivantes

un ensemble

pour toutes

A

de forrnules

formules

:

i tl A 7 - 7- 7 p* - - p * p o u r p a to m i q u e ( . 2 )A 7 0 e 1 * < - ) - 7 p b (:l A7(nn e)*4eprtn qrr (al A q1r.-+t(zp*nl8#) v 7(n L t T na*- * Q * e n rra în e A tT tz fp -, q )t-, (p --- s)* !u t (o) A?(J'e)*ooTVxzp* (.t) A r y7r p*+ pf , e n tra în e z t(* )r - ( V re ) x . Ah

(que nous appelle-

de prouver

p+

Les deux lemmes techniques -es vérifications

Alors,

géné-

ptr

'l:t"

respectivement

des prédicats

Je Iarithmétique

variable

plus

intuitionniste.

on essaie

r P e n tra^în e f* E:

sont

cu calcul

entralne entraîne

lrensemble

'r.

faisant

de double

crassique,

:

(eJ t-t

LemmeL.

1a transformation

propositionnel-

à chague formule

sa "traduction")

( n )' l - ; -

:ù

est

systèmes intuitionnistes

un théorème du calcul- propositionnel

71 P est un théorème du calcul ralement'

dans les

pour toutes 77P.F-- px.

formulesf,

p et

satls-

e et pour toute

6.-

Démonstration.On

If)

donne I,étape

Si P est

de la

hypothèse si

démontre

P sst

Af-71Px

"

-78,

e y R ou

à partir

P est

!xe,

de (z),

ou Vx g,

de ra forms E-+R si

de Ia

forme I

L, 1 n (a n a ),x -

Ie

(a)

Solent

conditions

sur

forme de p

la

on appllque

du lernme (1)

A 1:7Rx.,



t--- P " Y.

p*

définie

P sans autres

connecteurs

inductivement

selon

la

que

A

et I ,

de p

forme

: P*=Ppourpatomlque

(zo)x=78* (Oa n)Ë= Q*n Rr ( o v p 1 x = t(7 l * n 7 R f,) (a -+ n1r = Q* --;,RF (3xQJ*=7

VxzRf,

( Vxo)* =

Vxq*

On vérifir des lemmes pour

que cette A

0n en déduit

0n peut Jésignant

={zz

traduction

satisfait

toutes

les

conditions

Al0 atomique}.

T , f-,zp

que pour tout

établir

I'ensemble

g -

1e résultat

[ - * u A I P *t ' r z ] .

[C) par 1'argument suivant,

Ar

des axiomes de l- 'artlométi que :

/-k P l*u

1-*ur Ar

--_,

l-* u Ar

---t . , 4 t

- v

^!

résultat

Ar*uA

--,

entraîne

de 1'arithmétique

l--

*

l-:- er par (rz)

,-, À

:L F____ t

Pf, (car e*

Ar

F;

(car Ar

r.- À

Ar*) )

'La t |'>* '

l'équiconsistance intuitionniste.

de I rarithmétique

classioue

E)GIFLE 3.

La traduction

de lrexemple

par

P* défj-nie

les

mêmes clauses

que ceL1es

2 sauf

(e --B)* = z(oË^ 7 RxJ. On vér'Lfia que cette traductlon satisfait toutes les condltions des renmcs pour A = 1 - r 7 g - + e J Q a t o m i a u ej . 0 n é t a b l i t t e r é s u r t a t ( C ) , c o m m ac l - d e s s u s . O n a a u s s i l e r é s u l t a t ( n ) p o u r V = fi, en utili.sant Ia darnièru r"marque de lrexemple 1. Ê)GMPLE 4.

La traductlon

de lrexempre double

p*i7

2 en remplaçant

obtenue dans p*

à partlr

de la

chaque formure

p*

traduction atomique

par

sa

négation.

0n vérifle que cette traductlon satisfait toutes Ies conditions d e s l e m m e sp o u r A = 6 , 0 n é t a b l i t l e s r é s u l t a t s ( n ) , ( e l e t ( C J p o u r tout l-.

Cet exemple admet plusieurs

E)GI,PLE 5.

La traduction

variantes.

p+i aerinie

inductivement

par

res

clauses

:

P*=PpourPatomique

(zo)* - Tgrr (0 n n1x = 8*n Px (a v nJ,t = -z(zO* ^ 7#) (e -t n)* = z(8* ^ 7R)t) ( -3 xe)* = z VxTQ* ( V xe)* = -7 1x78rç . Gette -

A

9,

sauf

traductlon (t),

vérifie

on modifie

ss démonstration

forme

en prouvant

de P. De même on modi.fie

b P et

la

démonstration

subsiste

Pour une dlscussi.on

les

conclusion

->

tZP et

toutes la

clauses

des lemmes pour

du 1emme(f)

en :

Ertp*---p* cette

ra

assertion

concrusion

---->

par induction

sur

Ia

du lemme 2 en :

Vr*

moyennant quelques

des avantages

adaptations

de cette

traduction,

évidentes.

voir

[.2].

]t .P R E S E N T A T I O NT O P O L O G T S U D E U C A L C U L P R O P O S I T I T } J N E LI N T U I T I T N N I S T E . J.

I,

DRABBE.

fntroduction.

La présentation classique lrobJet

par

de généralisatlons

supérieur Ïheory

élémantalre

lrintermédiaire

à 2 (voirr

usuelle

des tables permettant

pâr

propositronnel

a fait

très

un nombre de valeurs

exemple, E. P0ST "Introduction

propositions",

of Elementary

rJu ca1cul

de vérité

Amer. Journal

tôt

de vérité

to

of ilath.

a General (rga1),

æ

ep. 163-fSS). i

Notons qu'i1 résulte immédiatement du théorème de représentade M. STONE(fS34J pour les algèbres de Boole que si l,on utilise les éIéments d'une algèbre de Boore (de cardinal e, v, ).2) ^ ' ' , --> (où a -+ b est défini par a, V b) comme valeurs de ,,érité, en interorétant : -e ttvrai" par le maximum de B, V, Â , / , J -a disjonction par V tion

-a conjonction -a négation

par A

par

-'implication n retrouve jette

/

(comp1ément booléien) ---)

par

exactement

, les

Nous aI1ons montrer :u calcul -anière

propositionnel très

-a topologie -rpropre -ette 'Jer

tautologies

remarque sera utilj.sée

simple

/R .orre

présentatlon

intuitionniste

désignée

résulte

et

1,étude

peuvent être

1es ouverts

comme valeurs

vaLeur

Aussagenkalkûl

classiques.

1oin.

que la

en utilisant

usuelleJ

présentation

plus

de la

É1émentaires

réa1isécs

droite

de

réerre

[avec

de vérité Ivaleur

essentiellement

en adr:aettant lrouvert ,,vraie,,).

de travaux

de A. TARSKT

und die Topologie,,,

Fund. Math. 3l (fS:e), :r. 103-134 et de J. MCKTNSEY - A. TARSKT ,'on closed Erements in ,-osure Algebras,,, Annals of Math. 42 (1g46), pp. LZZir62. -re introduction =:re

trouvée

-rtuitionism',

I ï *

I

(très

détaillée)

dans 1e récent 0xford

Univ.

a ra logique

ouvrage press

intuitionniste

d e M . o u M r ï r E T T, , E l e m e n t s o f

(tSlZ).

peut

L2.-

II.

Notatlons

- Terminologie.

Désignons par

PourAc

posons !

R,

lfEnsemble

des ouverts

-A

=

[R. \

int

A = intérieur

6

= int

Aa

Nous dirons

Lrensembre Boole

que A (€ G)

est

Rég dss ouverts

-

un ouvert

réguriers

de la

droite

réerIe.

R, de A.

A.

régulier

peut

être

ssi

érigé

Arl

= A.

en argèbre

de

(complète)

Rég,V,A,,,

A v B = (nu B)ar A A B = AN B Ar

=

A1I

A*B=(nruBJrr ce résultat

est essentierlement

Si, A, B eE (i) n c Aal (ii) nr= Ai-aL (iii) (i") (voir,

une conséquence des propriétés

:

, alors :

Ac

B + A"c Bt' (R n s)rl = drn etr par exampre, p. HALMos'Lectures

Van No*rend,

on Boorean Algebras*,

1963).

III.

.

Ensemble des valeurs de vérité

v*eur

gÉ:1g!ég :

ÀU

8

q

p^

B

A

^)p int(-A)

E

fR

I A

,

q ANB

B

P:+q A

A

int(-n

u e)

B

Notons que Ies car la

réunion

ouverts.

f

C o m m ei l

des ouverts, int

et

-A et -

de

A U B sont

et

"tautologie est

iil

(pnq)

-à

N.e

classique

la

des

A et B sont 'rcorrection"

pour définir

intuitionniste"

les

tables

toute

que soient

formule

l_es valeurs

dont Ia

de vérité

propositionnelles.

p est une tautologie

g =+ p !'est

a Ia valeur

ij-i)

que si

:

inr(-(nne) .ilJ

sont encore

encore des suysr.fs,

, que}res

ll{

à ses variables

Exemples

vrai

naturelles

sont

A

:?.

valeur

de vérité

de V et

de deux ouverts

à 1a si-tuation

Nous appellerons

attribuées

de vérité

pas nécessairement

n'est

a été apportée

de vérité

tables

intersection

pgg une tautologie p reçoit

lR\/ollorsque

On vérifie

très

intuitionnlste

car pour A, B €U

u A) =lR.

facilement

intuitionniste

car.^/d p

è

tR\lo].

ta valeur

que

pV-o (-p Êe sont gg

.rv)

toute

des tautologies

tautologie

à une traductlon :estreintes =:nt

.+

,,q)

:>

intuj-tionniste près,

triviale

aux cas où les

l.es tables

:V. La structure

(q

intuitionnistes.

de vérité

G,v

est

une tautologle

1es tables

variables

de vérité

prennent

leurs

classique intuitionnistes

veleurs

dans

lP,,Rl

classiques).

, A,

'

t -,2 .

Les tables de vérité intuitionnistes fournissent une motivation -aÈuPelle nous permettant drériger E,v, A,/ ,--+ êR C en structure :osant : AV B = AU B An8=AnB Ar

= Al-

A

B = int

[ - n . . , ,e ) .

p

1 4 .-

Ceci

va nous pcrmettre

de donner

une démonstration

simple

du théorème

de Glivenko.

Théorème

de GLIVENKO

si

est une tautologle ? intuitionnlste.

Notons

que ra

propriété

V.

réciproque,

(iv)

en vertu

Ara

est

Soit

du théorème

lrapplication

est ais6 LL

gue

En vertu

de

a (rv),

valeur la

et,

C. Q.f. d.

de ra

page fz

pour tout

ouvert

A,

A1 ,

. . .,

res propriétés

G , v, A,'

, -

An sont dans 6

ynç

booléienne Ai-a

de

T

(A*t pour

(iJ

à (iv),

page 12)

dans Rég, V,t\, r, è.

proposj-tionnel

, nous notons

pour ra valuation

de y

Agr

par

Aa!

f,6(A1,-qui topologique

, o*t ra valuation

) l'ouvert booléienne

qui

.

on a :

(ç6n,..,A,,))tt

€ E

une tautologie

en vertu

p6 ) une formule du calcul

topologj-que

valeur

de (a),

11 en résulte

est

dans Bég. définle

6

(en utili.sant

.)

donne à pg ra vateur

donne à p,

mais trivi-ale

l------------->

de vérifier

vareur

régulier,

y

de Glivenko.

e s t u n m o r p h i s m ed e

(U) Soit ?(pro.. intultionniste. si '..rAn) Ia

,--

régulier.

A

rl

vraie

(iJ

des propriÉtés

un ouvert

rl

est

arors

page 13.

Démonstratlon

(a)

crassique,

que si (-u

,f

=

est une tautologie .

fln(ao, p a r c o n s é o r r T a, u u v

, An) = /R

y*rs(oii.. classique,

,ortt alors

p o u r t o u t A 4 ,, - . , A r r est une tautorogie intuitionniste.

i

On montre aisément des consi-dérations une tautologie

en

classique,

est

une tautoJ_ogie

VI.

Indépendance

I1

est

que si

f

o

et

est

I

intuitionniste.

V , /\

.4

, -/

en logique

pro_

intuitionniste.

bien

connu que chacun des connecteurs

intuitionniste

Nous allons

étabrir,

par rapport

à

Posons

théorème de Glivenko

*-Y

:7

des connecteurs

positionnelle

le

érÉmentaires

alors

.u.uf

ra logique

utilisant

topologiques

à titre

Arurè

A =

est

d'illustration,

en utilisant

(z=,22+r)

LJ

( z z + L , 2 z. + z ) .

ze Z

trois

V, A r,v, =, cle autres.

1,indépendance

de v

une méthode topologique.

U

z€z B;

indépendant.des

Trivialement,

I û, A, B, tR] est stable pour l,intersection. cette partie est stable pour ,(=int-.) car d' = lR, A' - B, B, = A et

rR' = fl,

La table dans

suivante

donne les

A, B, A d B, IRJ { A,

valeurs

de

pour

les

arguments

i5. -

6

rR

A

B

,R rRF

B

A

AfR

AU B

û û

rR

fR

Ar,lB

/iR

fR

fR rK

R

IR

AB

,R R

AB

AUB

fR

rR

I d , o , B , t R ] e s t d o n c s t a b r e pour Not ons que lr on a to u J o u rs :

--à

X-+ p v

q ne peut

que

VII.

A

donc être

N

r

-)

,

Les

équivalente

ssi

XC.y.

à une formule

ne faisant

lntervenir

(donneràplavaleurAetàqIavaleurEl.

définitions

SiL

données dans re paragraphe

naturellement

dfintrodulre

Ia

notion

est l - a c l a s s e

O" réelIe

plus

(par

haut.

tautologie.

1es espaces

établi

cette

dans 1,'article

"propriété

des réels) sans point

drun

ce qui

E,

topologiques,

des teutblogies

notamment pour

celle

métrisables

Variante

de E-

topoLogique

3 peuvent

être permet

on a

:

est E- tautologie]

est

se retrouve

induite

espace

= I'ensemble

ce résultat mentionné

à tout

de tous

y

I

t.f

VIII.

Y=lR

Bemarque

adaptées

bres

.

résultat

et

les

de K.

de McKinsey,

universelle" rationnels

donc pour

isorés

intuitionnistes.

Tarski topologie

munis de 1a topologie

tous

(tnéorème

de la

les

espaces

dénombra-

de sierpinski).

GOOEL.

11 est triviar que si E est un espace toporoglque à r élémeht, alors lrensembre des E-tautologies est rrensemble des tautologies classlques.

Nous allons simple

pour

Frécise

:

Si

E est

alors,

montrer

qu'on

1e calcul

un espace topologique des E -

Irensemble

ne peut

propositionnel

espérer

une situation

qu'un

ne contenant

tautologies

nombre fini

distinct

est

aussl

de maniàre

intuitionniste;

d'ouverts,

de lrensemble

des

a

Démonstration

que E contienne

Supposons

(a)

ff

2

est

aisé

n ouverts.

exactement

que

de vérifier

\/ V

PieP,

1 a)

d'un

b)

d'une tlva le

c)

ensemble E (des états relatlon et

fait

p drordre

antlsymétrique.J que I,état

î

à chaque état

Jusqu I en 1 'état

ô

d

partiel (eour

i-et

de E dans les l-

;

sur E (i.".

de connaissance

drune application pondre,

de connaissance)

t,ensemble

réflexive,

on notera fpL

A dans E, lr- est

ou précède 1'état A).

e n s e m b l e s (qui J(f)

transi-

falt

corres-

ar= obJets construits

[- J .

doit satisfaire pour tout

f

à Ia conditi.on : ,21 dans E

l- p A =+ (^) "1,,- ç "f d)

dfune relation suivantes

ts entre E et7,

satisfalsant

aux conditions

:

pour tous états I-, À dans E, ::ur â' - [&.. . ."n )

tcut n-uple

d ' é r é m e n t sd e pour

toutes

:J J(A) "t Ae Ê

formules

on a

f

dans

g,Ç;

-) i . î6-)

o. l- = ,p fdl t*

1O y L è Jn o te Ie ré s u l ta t d e l a substi tuti on dans f

r.r

( * , , ,- . x n )

è?

et

," ai à xi ) ;

f-pA

Aof

2' r- i - - ? " V

e = >l * f

et l-rf

3. l-

Frf"Y

+>

ou

4. l-

*-f

!-=rf

ê7 pour tout A dansE, si l- n A, ou nra pas A

s. l- l : r l . l

< = + p o u tro u t A ,

6.r

c1G) e2

#r)

?. T

si p o u r t o u t est

valide

définition

si

lrensemble

de T

eIIe

qr"

est

,l'extension que p soit

ainsi

l-es conditions

était

un état

explicitement

.[çf),cna

â

dans tout

quelques

muni de Ia

E,

!-

1'est

de ce qui

des états

ss:.

drexiger

A *f

existe E- c f(,It)t'r

il

relque

formuLer

au Jour

1. Lrensemble

p A

sj.l- pÂet si

ators A"f f * yF)

e s t d i te v a l i d e d a n s l e modè1e(E , p,J,= )

l-eE

Nous allons

[-

--Y

4r)y6){*pour tout A ter que l-p A et pour tout â . &n), ^ F tplal .

Une f or m ule y tâ ]

f

l-e{

de connaissance Â

pouvant être réflexive 4,

terminal,

est

chargé

dt

les

chaÎnes

, A

étendant

nu1le si. A

les

est

permet d'alléger

cette

/-

de représenter qui

pour

et

. Le fait

certaines

1'on T.

1es reli.ent

connai.ssances

éventuellement

sans successeur, écrites

éclairer

pr

5 et ? seraient

ces conditions

pour

des rnotivations,

dit

relation

ou précède

modèle.

remargues

a été

feçaâ)

devrait

conditions vides

si

aJouter

T

Notons qu'en général antisymétrique

("

à l'exlstence dans Ia étant

p y et

pourtant

de ses éléments,

dans une boucle

des raisons

que des arbres inltiat

-+

bre

des obJets

tout

objet

étendant

chargée

y

,

I

; crest

t

de lier

ecp I

notion

si

une démonstration

en r'état Ie

effective

exactement

les

chaque boucl-e sur

un

de

|

*of,

, on a aussi

A

pour tout

arors Fy

, et

sous

/\*V.) parfois

à ne considérer

cette

(r)).

avec élément

restriction

est

de validlté.

dans cet l.- est

: bien

conservé

condition

et

l,ensem-

entendu,

dans res

imposée sur

1ue 'force"

conquises y

de connalssance

état

de connaissance

évidences

pour p n'est

(crr

, générarement

res

en générarité

préordonnés

sens de Ia

états

gain

valide

que si

à chaque état

déJà construits

3" La relation est

Ia

un changement

: ensembles autres

associe

/

construit 7

res

boucre

un modèle de M non

on se restreint

au sens strict

Ltapplication

clair

l t + q' t t '

tous

qui

d'écraser

f

sans conséquence pour

2.

est

techniques,

précédant

une telre

le

de transformer

contenant

m ê m e sc o n d i t i o n "

Pour

En fai't,

alors

par exempleJ

pas I'antisymétrie

suffit

puisqu'ir

l,

avec nos motivations,

facire

que M (ir

ne s'oppose

, Vp

de connalssance,

n'imposerait

est

: rien

ApV

A,

en un modèle illx préordonné

mêmes formules

les

( Tp

pas que p soit

on n,exige

= y)

à un progrès.

qui

qu'apparente:11

A

y p x *x

pau compatible

drune déflnltion

(Z)J,

et

des états

corrtsspondant

préordonné

(f)

drune boucrr

successi-on

drétat

(cfr

états 3

dans ce contexte, formules

à 1,état

f-

du langage permettent

La condition à 1'état encore

o)

ia

construits

La condition sormais

el.le parle

si

été

d'obJets

en

f

des évidences.

dans tout (Cette

par inducti-on

sur la

Les conditions

2,

état

alors

3 et 5 sont

Par contre,

la

tout

futur,

iI

'lf et

convient

de s'assurer

ne conduiront

I dition être qu'on

5

: i1

soutenue,

dération états

4.

obJets

tous

est

excru

les

objets

formu1eJ.

: une conjonction,

à tous

qui

une

au moment même. les

futurs

ue l--

-7f

dans

une contradiction,

de nouvelles

évidences

état

étendant

aussi.

Enfln,

f la

, si

étendant

en

T

pourront

, mais qu'on être

con -

tf peut

conditi'on'?

d'une proposition

construits

érément,

classiques sans avenir

s:ns les

que si

condi.tions

habituelles. ...

peine

4,

seulement

exige au

prenne en consi-

construits

dans les

l,ensemble

E est

réduit

à un

s et ? se ramènent aux conditions,

Le logicien

s

querconque

. 11 en va de mêmeoour la

y

lrêtre

éternel

aux fornule

une formule

d'admettre

que jamais

dé-

ilaspect

restrelnte

pour

solt

ultérieurs.

on vérifi_era

seul

appel

ne Juge pas lruniversalité

vu des seuls

être

c'est

de cette

que dans tout

tfz puisse I

l--:

en f

i.mpose quron soutienne

à soutenir

faut

soutenu

se décident

4 fait

aujourdrhui comme il

à bon droit

qui nront pas

[at...an)

classiques

ou une existentierle

soutentr

peut

sa varidité

disjonction

car

a été

construction

condition

soutenue

r1

-

a

étendant

condltion

; on déduit

être

.

1) impose que ce qui

soutenu

atomiques

eue .gfa] ne oeut

exprime

classique

est

un intuitionniste

3. Plnemières appllcations.

voici

querqùes modères très

exemple pour certaines

a : Ie tlers

exclu

on utllise

é1émentaires servant de contre

tautologies

classi-ques i

,f u -, ,f

,

un modèfe (e, p, S , F ) ainsi

constitué

:

E= 1,, ,ry\ e = { ( q , q \ , ( Ç . ,q ) , 0 ; , - : i r ) J , i a e s r c

p r é c è dÇ e,

quelconque;

â

F =l(tl,y)),id est e_"y On visualise

ce modèIe ainsi 1-1

Ç

I

Dans ce modèIe,

on nra pas

( y

Ç"y

pas démontrable

n'étant

q

) , e t o n n ' a p a s n o np l u s Ç * r r f ( p u i s q u e Ç e y !). "" o n n ' a d o n cp a s et n , e s t p a sv a l i d e . yury Ç=rFv1y,

b: ( ry--y)-'(y-,f) on utillse

Ie modèle (E' p, f

, p ) a é t e r m : . n ép a r :

Erpettcommaena;

F ={(q,il, (Ç,y),(Ç,,r)J (,r(

Y. 'f 1

r-1 lL

r-1 ' Dans ce modè1e t , t s [ r f de

q

, y compris

puisqueÇ"f

Ç

n,

\ Y ),

puisque dans aucune extension

, on n'urf

, mais on n,a pas

Ç,OV-y),

naisÇtlf.

Ffemarque: tout

ici

sembre se jouer

pas possible

de réduire

en

Ç;

1e -cdèIe

il

n'est au seul

cependant point

q

,

.1..{ -

puisque devrait

f,

dans ce cas *fV

adjoindre plus

n'!aurait

La présence

d'un

1a nécessité

aux évidences

f = t < p - - +t

Ç

on on

, et

o^" liet(.

permet de surseoir

q

dès

I:

de

, n'ayant

|

à venir

Ç

d'opter

aucun futur,

ntayant

oour

à

ou 1\f

f

.(vr) y(x) -- (: x)t y(,). Modèle:(E,p,f,F) Eetpcommeena;

, 1: [ ( ' : ) = i a ] , E ( , ; ; = { a , 6 } P= lq,,ytsJ)] ,/t5l '- t r L rd-J) 0n voit

de BETH et

Les procédures sont

bien

à expliciter

( p u i s q u ' o nn ' a p a s I 1 p z q l a )

(J") t yU)

Çc

Les tableaux

tiques

l 1 a - t(v ^ )f (x ) , ators qu' on

que

facilement

n'a pas

4.

Ç,1o,bI

les

le

connues dans le

on conclut

que la

formure

conditions

soient

prises

des tableaux:

ou leurs

est

imposent

et

la

formule

(p

que vous supposez fausse

I

droite

Afin

on recourt la

moitié

gauche 1es plaines -

pt,

ou non une contradiction, que toutes

en compte systématiquement, alternations,

séman-

consistent

drune formule,

ou non varide.

du faux,

dans la partie

: el-les

cas classique

dans chaque tableau, moitié

de BETH ou tableaux

de fabrlcation

selon oue loLlf,ss ces conditions

enchaînements

théorème de complétude

dénom:'éestableaux

conditions

).

de la et

à Ia droite vérité.

écrivez

par

selon

ces leurs

mise en scène figure Si

lranbre la

conséquent

de votre tabreau - est de la forme

y u X_

,

34. -

vous écrirez la

fausseté

et

également simultanée

suffisante

de ra

de

fausseté

de

1e schéma suivant

(où

est biffée,

sa présence àdroitede

si

été

indépendamment,

on peut

f,

du tableau

est

forme

de celle

^

Y

de

I

drolte)

, ou de celle

faux

1e premler

0n aura

donc

formant (resp.

O=

ra

présence

décourer,

. Afin

X

alternatifs",

de

de scinder 1'usage

re

vourant

en deux, Ia part,'faux',

moltié

Ia

avec la

moitié

secondJ tableau

2

où TL-,,.et Ta, s o n t

cette

pouvait

on convient

en deux "tabreaux

en deux également, du vrai

par

restituée

, sa fausseté

quron scinde Ia part,vrai,'(gauche) (gauche)

symboliser

nécessaire

.)

de la

dtorigine

puisque

Y,

est une condition

/

compte de ces deux possibilités,

tableau

,y , et I/t

:

V tenir

droite

puisque toute f information donnée par

droite

A et/ IlV

avait

Y

à la

de

et

f

démarche par

tt / \u X

partie

dans la

gauche (resp.

la

gauche fresp.

moitié

droite)

du

de Iralternative.

_

"sous-tableaux"

d " T o , T o 1 e t TnZ contiennent

tout

c e T _ . En tant

que prolongement

ce c.ie c:ntenait

T .' 5i CJ

T

'tc

et

A

représentent

schéma ci-dessus

res

autres

devient

règles

classique

sont

1es autres

formules

:

de déconstruction

bien

connues et

des formules

découlent

connecteurs

rogiques,

application

mécanique de ces règles,

fois

à droite

qui si

met fj-n au jeu tous

pour

les

cr

vrai-faux

1'ambiance partie

on dispose est

établi,

plus

drune démonstration alors

revient

que la

une terle alors

plus

portion

clôturé. des règ1es,

peuvent

être

que 1e simple

gouvernant pour

1es tableaurx rester

au début,

des formules

effective droite

déoonstration

à recenser

dit

en vertu

rlche

complexes.

contient

à la

y

tenue pour vraj-e.

énoncées tout

gauche drun tableau

est

supposée fausse

1es règles

naturerLement

par

une contradiction,

construire,

étant

du sens des

une même formule

être

cas

dans un mâme tableau,

: ce tableau

y doit

A l

intuitionniste

des motivations

pour lesquelres Le jeu

que

dans le

naturellement

clairement

a farru

du monde classique,

de Beth y sont

Ia

quril

une formure

conclut

L'univers

d'obtenir

dans ce tableau

tableaux

déconstruire

clôturés,

Le fait

à gauche constitue

et

dans T o , l e

orésentes

non plus

dans

nous dlrons pour

que

lesquelles

au moment où ce"tableau contient

des formules

n.existe.pas 1es manières

à ce moment. drinfirmer

*

36. -

une formule, "manquer

de déionstration".

prlx

9u'au

,(

si

i.B.

un prlncipe

Q , I

on trouve

qui

simultanément

de cohérence

une formule

ne peut

a et

impose

tableau

présente

une formule nta

oeut

manquer de démonstration

( dans tout

d'une. contradicti-on

déconstruire droite,

mais des modes sous 1""Ouels

servant

à

à gauche et

à

pas de démonstration),

d'accepter

comma démontrée.

Lp I

Pour manquer

certaines

de démonstration

connaissance tion.

formulesr

ceci

plus

tuitionnlstes tableau

en tableau;

tableaux

nouveaux,

règles

en plus

al-ternatifs étagés

selon

forme

aura

,f

de formation de la

de

des tableaux

celle

diachronie

Ia

,

une démonstra-

technique

syncnrones,

1y

à des états

renvoie

dans resquels

que les

comportent,

exemple de Ia

aujourd'hui

étendus,

explique

pâr

in-

de scission

d'un

de création

de

des états

de connaj-s-

sance.

Volci

ces règles

| 5i

Ag

",

A1

crll

: Si

Y ,l

Al,

de formation

apparaît

à gauche dans Ie

à gauche dans T et

Q nç

apparaît

:

biffer

à droite

dans le

T en deux tableaux alternatifs, (reso.Tr) recopier T sauf ,f ^f à droite

V

y ^

tableau Y

inscrire

T,

dédoubler


6

Si

d

a p p a r a î t à g a u c h e d a n s T , d é d o u b l e r T en T,

y--V

et rp : dansÏ1 ajouter

à gauctre (re=p. ,f à droite)

/ -+J

: SltTrpapparaft

à droite

II

S succéaant part

Pour les classique tituant vantes jet

T.rl recopier T sauf

(resp.

à T et

y transcrire,

gauche de T ainsi

formules

dtintroduire

dans T,

que

i1

l-e "domai-n'" du tableauJ, : à l.'ouverture

a ; 1es autres

imposé par

convient,

en respectant

du tableau

objets

sont

une des règ1e.

initial,

introduits

Va r-t

scission

présent

à partir

dans tous de T,

et

1es tabreaux

dans tous

les

toute

la ;

f

comme dans re cas a,

b,

les

(cons_

c,... règ1es

sui-

on admet un unioue seurement si

ci-après +

dans T est

un nouveau tabl_eau

à droite

des symboles pour objet

I et

i

à gauche, , et

f

quantiflées

créer

-rt f

: tout

alternatifs tabreaux

cela

objet

ob-

est

présent

obtenus par

succédant

à T.

s

38.-

vs,

Si Wy(^)

à gauche-dans

.oo"raît

dans T pour

tout

obJet

introduit

b est

succédant

à T,

a présent

obJet

il

par

et

pour

écrire

un nouvel

dans T ou dans un tableau

d'!écrire cette

à gaucfe

,(")

dans T : si

après

convient

dans ce tableau,

T,

également yG)

raison

a gauche

on ne biffera

pas

Vx ok\;

V:

Si Vx gU) bleau

S succédant

encors

apparu

a est

introduit

recopie,

à droite

à T

: si

a est

comme nouvel

à gauche toute

51 Jx e',, J x- e , V r ç V t g , V v t , t t I I I I | / formul-es dont le connecteur princi-pal est respectivement A,v -7,). ,

1,V. Ce cadre étant

fixé,

nous définissons

les

différents

schémas

de déduction:

AT

f

/

E

F^/ v; ->T

-7I

f FNl trl

--f-,l'

ANf

f / FNF

vE

X --ob

.

r-,/ -i,r

LçJ LPJ i +

evJ/

?

t

cP-+ a

--t-T--

/Y

f cpl

È t J

-

l=

-TtO

cD -t-

r-

T"t Vr

f('), vx y(r)

a-r

,o/t)

fv-rrre'nr,

Ve

.

JL

f4-

J_r yF)

Y

Vxfk) (t) f , 1

tfJ tl a L/:-

-J

lx çhc)

v

,

{vnjr

r-,

'1i

o.r.:

Remarques ----i---

1. Les schémurYI concernant

doivent

etJE

vérifier

}a restri.ction

x (appe1ée paramètre

1a variable

suivante

propre

du schémal qui

Y aPparaÎt. PaurVI,

il

(*)

f

lx

faut

que x n'apoaraisse

dépend. Dans ce cas il

iI

hypothèse

que x n,apparaisse

faut dont

/t

2 . chaque schéma doit pour

transformer

oessus de ]a

aépena, sauf

en question. comme suit

être

dfautres

fournit

tt

peut

veryons

)et{zE)

plpg intéressant dans ies

naturel-

groupes:les nati-on(E). crest

le

obtenir Ï1

le

peuvent

exemples qui

est

être

{p parmi |

supE::riméssi

rurrtr

de

(nI)

^"

f

ses hypo-

on rempt_ace

Ies

la

plus

de ses schémas se divise

logique

en deux

quortLiuet)

classification,

nécessaire

pour

intuitionniste.

connecteur

montre la

sequitur

de déduc-

et fes schémas d'élimi-

pas dans cette

schéma ne rentre (E ratso

comme nous Ie

remarquabl-es du calcul-

schémas d'introductl-on(r) Un seul

hypothèses

suivent.

que I'ensembre

schéma rnt

d'un

se comprend

t'^ l_e schéma

plus

de numÉroter les

y a une correspondance

tive

(--Il

V-.L .

5 . Une des particularités tion

alors

n'ayant

|

au-

de l-a formule

de l-a fcrmul-e

Éventuellement, de ?-p

apparaissant

quron décharge 1'hypothèse

une dérivation

une dérivation

sar

dans aucune

g G).

en une déri-vation

signifient

thèses

7 (p

des formules

Felr exemple, 1e schéma

j'ai

formules

3 . Les schéma (zT

ni

comme un procédé constructif

compris

horizontal-e

Ainsir : si

dans,{l

éventue1lement

des dérivations

barre

ni

I

du dessous. Les crochets

4 . I1

qu'on peut en déduire

clair

E Q).

Pour 1E,

et

pas dans r-es hypothèses dont

est

étroite

logique

et

entre sa règle

remarque 2 pour l-e +I).

la

s:qrn-ficationconstruc-

d'rntr:ducti-on

(comme

6.

Pcur obtenir

fa

logique classique, i1 suffit

suivante

d'ajcuter

Ia

règle

i7 of 1

C

i:

Vy

q(r,il tl

r

Exemples Démontrons

a.

l,

Rai-sonnement intuitif

Supposons qu'ilSoit

existe

a un te1 x;

Donc, iI

alors

-

/v1x

:

quel b,

b. Formali-sation

que pour tout

un x te1 pour tout

y a un x [x = a) tel

pour n'importe

.

ç(r,y)

individu

que on ait

donc pour tout

b,

y,

f yG,d)

(^,y)

valide.

est valide.

et ceci

V(x,bJ I

soit

est

vrai

y.

1-

Yv f (",v) L _lxVy f

3 ^ rG'r)

(*,y) Vy 1,

J^ V y ?(r,v)'Vy tl tette

dérivati-"n

est

servj- d'hypothèses

rII.

g(x,y)

VvSx g(*,yl

bien

-1

J x f(r,y) s:ns

au cours

- zk

Ay;rothèse, car les

du raisonnement

ont

formules

qui

ont

été décharqées.

ESUTVALENCE DU CALCULDE DEDUCTION NATURELLE ET DE L'AXTOMATISIJE DE KLEENEPOURLA LTJGIQUE INTUITTONNI]STE.

R:rppelons cette

axiomatique

:

(r.rJ

f-(f.f) (r.zl 'f-f) -, ((f -(y--tr))--'(fèX)) [z.rl f - (y.-(f n/)) (z.zl -.f f ^/

F ^/ ' F

(:.rl (f -l) - ((/-,/) - (fvy -/)) (:;.zl .f Fn/ /--'ç'/ fa.rl (y -'yt -: ((f -ry).-,f)

5 Û .-

-

(a.z)

-+(f .--.y)

f

Bèg1e d'inférence

(s.r) (o.r1

,i

:

,f ---t' , alors ,fi

et

.rf

Vx yk)-- y(t)' ,7(t)- JzyG-)

Bèg1es d'inférence

- si - si

,y -'f(x)

(valables

:

pas ribrement

x n'apparait

si

f(*)-,y

Dans ce système,

une démonstration

est

une suite

de frrr,;iul,es

comprenant que des axiomes ou des formules

obtenues i:1'aide

règ1es

d'inférence

précèdent.

Le but

de ce paragræb

qui

des formules

et

à une démonstration

3.a.

de montrer

est

les