Forcing et semantique de Kripke-Joyal (Cahiers du Centre de Logique)

CAHIERSDI.JCENTREDE LOGIQUE

J.L. MOENS

FORCING et SÉIzANTIQU E de KRIPKE-J)YAL

UNIVERSITECATHOLIQUEDE LOUVAIN

rNSTrrursupÉnlEURDEpHtLosopHtE C A B A Y .L O U V A I N . i . A . N E U.V1E9 8 2

C A H I E R SD U C E N T R ED E L O G I Q U E Ed i téspar T h. LUC A S M . CRA BB É P . M A R C H AL InstitutSupérieurde philosophie Unit éd e L o g i q u e 1, c h e m i nd ' A ri s to te 1348 LOUVAIN.LA.NEUVE

CAHIERS D U C E N T R ED E L O G I Q U E N'3 Mo e ns ,F or c inget S é m a n ti q u ed e Kri p k e -J o y a3l O , pp.,14,5x22 D / 1982 / 2457/28 et @ bV CABAY A gor a11, 1348 LO UV A IN .L A-N EU VE

ISBN 2-87077-098-7 Unitéde Logique c h e m i nd' A ri stote1 1 3 4 8 L OU V A IN -LA .N E U V E

Pri nt edin B elgium Tousdroitsde reproduction, d'adaptationou de traduction,par quelquesprocédés que ce soit,réservéspour tous payssansI'autorisation écritede l'éditeurou de ses ayantsdroit D i str ibuépar : CA BA Y A gora11 , 1 3 4 8L O U V A I N - L A - N E U V E

I NTRODIJCTI ON par Th. LUCAS

Dans leur introduction

à "La logique des topos" (Journal of Symbolic Logic,

46,1981, p. 6), Boileau et Joyal sont d'avis que "toute une série de recherches visent à rapprocher 1es méthodes suivantes : (1) l',Iathématique intuitionniste. (2) Forcing de Cohen et Robinson. (3) Logique algébrique. (4) Géométrie a1gébrique. (5) Géonétrie différentielle (6) Topologie algébrique

et analytique.

: cohomologie, hornotopie.

(7) Théorie de Galois. (...)

La structure centrale qui joue le rô1e d'élément provocateur et tinificateur est ce11e de toDos". On peut dj-re aussi plts méthodes est 1a prise au modèle statique f interprétation

naivement que ce qui permet de rapprocher ces diverses de conscience de la notion d'ensenble variable.

Ainsi,

de la logique classique constitué par un ensemble et

des symboles d'opération

de la logique intuitionniste,

et de relation,

constitué par une famille

s'oopose 1e nodè1e de structures

classiindicée par un ensemble pré-ordonné; 1'ensemble pré-ordonné est le domaine de vari-ation; 1a fanille de structures est la "structure variable".

ques' fanille

Dans 1a théorie construction

des ensembles et dans la théorie

de forcing

: partant

d'tne structure

des nodè1es, on décrit

la

classique et d'un ensemble

pré-ordonné de "conditions", on conçoit ces conditions comne des contraintes auxquelles le rnodèle que 1'on veut obtenir devra obéir; ici encore, 1es conditions donnent le domaine de variation et 1e modè1edésiré s'obtient, peut-on dire,

par modifications successives du moclèle de déoart. Frr a1gèble et en géométrie, les théorèmes de représentation sont fondamentaux; ici, c'est le modèle final qui est donné mais sa structure (au sens naîf) est clarifiée par 1e fait

qu'il

est représenté conme produit

direct

ou soris-produit direct

ii_

de structures

plus simples ou, plus généralement, conrnesections globales

d'un faisceau de structures

"simples" sur un espace topologique;

les moments de la décomposi-tion, crest

de 1'espace topologique constituent le donnine de variation; il

des stnrctures

y a toute une série de structures

successifs de structures

Le travail

sirnples à la structure

intermédiaires

que J.L. lr(oensprésente ici

et qui a fait

de I'Institut

à décomposer,

qui sont autant drétats

qui convergent vers la structure

"Séminaire de logique formalisée"

1es ouverts

finale.

I'objet

d'exposés au

Supérieur de Philosophie de

1'UCL pendant 1'année académique 1980-1981 clarifie

quelques-uns des liens

entre ces diverses notions. Le donnine de variation

est ici

donné de façon très générale par un site

de Grothendieck et 1es faisceatx

sur ce site

Sur trn si-te donné, 1es faisceaux constituent

fondaniental des topos élénentaires

particulièrement

Le lecteur peu au courant de la théorie en consultant tician",

sont les ensembles variables. un topos de Grothendieck, Je Lawvere.

des catégories pourra s'y initier

par exemple MACIANE S., "Categories

for the working mathena-

York, Heidelberg, Berlin, Springer-Verlag, Ner,v

"Kategorien I" et "Kategorien II", N e wY o r k , 1 9 7 0 .

cas

H., 1971 ou SCFItDEffi

Springer-Verlagr Berlin,

Heidelberg,

ÏABLE DESMATIERES 1. Sénantique de Kripke-Joya1. 1.1. Définitions

et rappels.

1.2. Langage et interprétation. .|.3. Forcing de Kripke-Joyal. 2. Exemples utilisant

la topologie grossière.

2.1 . Forcing de Kripke. 2.2. Forcing infini

de R.obinson.

2.3. Forcing de Keisler. 2.4. Forcing ensembliste. 3. Le forcing

faible

de Robinson.

4. Topos des ensembles valués par une algèbre de Heyting conplète H. 4 . 1 . T h é o r è m ed e H i g g s . 4.2. Les objets complets de JEnsn. 5. Forcing Heyti-ngo-valué. 5.1. Traduction dansJEnsnde la sémantique de Kripke-Joyal sur Sh(H). 5.2. Sénantique de Kripke-Joyal pourlEnsn. 5.3. Forcing Heytingo-valué. 5.4. Théorème de correspondance. 6. Les modèles booléo-valués de ZF et la sémantique de Kripke-Joval.

FORCiNG ET SEMANTIQUEDE KRIPKE-JOYAL

exemples coment

se propose de montrer par divers

Ce travail

de Kripke-Joya1 perrnet de rendre compte de certains dans le cadre de la théorie : celles

cations

des rnodèles.

qui utilisent

apparaît

introduits

grossière et donc 1es pré-

une analyse plus 1oca1e et se basent en

conséquence sur des topologies non triviales. tique de Kripke-Joyal

1a sérnantique

I1 comporte der-x types d'appli-

la topologie

et ce11es qui nécessitent

faiscearx

forcings

Dans tous ces cas, la séman-

conrne une généralisation

convenable de 1a

notion de forcing. 1. Sénantique de Kripke-Joya1. Dans ce paragraphe, nous introduisons 1a suite

certaines

et fixons

seront citées

les concepts qui seront utilisés

notations.

dans

Quelques importantes propriétés

sans démonstration.

1.1. Définitions

et rappels.

c possédant des limites à gauche finies mu"z@orie i.e. pour chaque objet A de C, on S'est recouvrement, de notion nie d'une de morphismes de C de but A te11e que donné gne classe Cov(A) de fanilles

ur,

a. h

(idA) € Cov(A) (A se recouvre lui-même) Si (Ai - A)iet Alors

c . si

(Ai

i

€ Cov(A) et f : B - A

B - B)i€I € Cov(B)

(Ai - n)'iel € cov[A) et (Aij

Alors (Aij 'A)iet

Ai);e-1, € cov(Ai)

€ Cov[A).

j€J., Si F : CoP -IEns est^un foncteur,

par le lenrne de Yoneda, on identifi.e

les

ensembles FA et Hom(A,F) où A est f inrage de A par le prolongenent de Yoneda. d'écrire o € Fa, on écrira souvent cl : A - F. Dans cette for-

Agssi au lieu nulation

si f : B + A est un morphi-smede la catégorie

C, ct o f corres'pond

à lf élément Ff (cr) de FB. I,In faiseeau tions

sur un site

de séparation

1. o, B € F(A) et (Ai

Si (oi)iei

suivantes

1es condi-

:

€ cov(A)

lA)iei

= I o f,

Si pour tout i € I, o o fi Alors cr = B. 2. Soit (Ai

F : CQ - IEns vérifiant

C est un foncteur

et de recollement

f. 1 A)ier € Cov(A). est une famille

cri o rTi = cri

"

nj

Virj

que cli € F(Ai) et

telle € I

^

n.

,r A. x[. tA J

t\

"i,/ ,/

\ti \A,

\,/ 'j\^/fi J

alors

on trouve r.m cl (nécessairement unique par 1) te1 que 0i = o

"

f, Pour tout i € I.

Or:rnote Sh(çrJ) la catégorie des faisceaux sur C, J étant 1a tooologie associée à la notion de recouvrement utilisée. on écrira habituelle effet,

pltts simplement Préf(!).

Si J est 1a topologie

grossière,

Si X est un espace topologique,

de recouvrement faj.t de l'espace des ouverts de X r-rnsite.

les conditions

(a-c) signifient

1a notion En

respectivennent :

- tout ouvert se recouvre lui-même, - 1a restriction à un sous-ouvert d'rm recouvrement est encore un recouvrenent, - si chaque U, est recouvert par des U.. et si 1a famille vre U, alors la famille

La notion de faisceau sur 1e site 1a définition

des Ui recou-

des U.. recouvre également U. des"ouverts de X corresnond exactement à

de faisceau sur X classique t3l.

4

Remarque. qui précèdent, 1a catégorie sous-jacente C du site

Dans les définitions

considéré a êtê supposée petite. de petitesse,

cette restriction

Cependant, i1 est parfois

utile

corilrne cela est signalé dans [4],

de lever au chapitre

IV, remarque 1.3.

En effet,

l-ise wre topologie

canonique sur un topos non nécessairement petit.

suite,

dans le théorème de Giraud par exemple, on uti-

nous rencontrerons une situation

Dans 1a

semblable (voir 2.2.2.).

1.2. Langage et interprétation. Soi-t L un langage du premier ordre (éventuellement nulti-sorte). prétation

Une inter-

M de L dans Sh(!.,J) est défini-e par la donnée

pour chaque sorte s, d'un faisceau Ms; pour chaque symbole opérationnel Mf : Ms, x

* k.,

pour chaque synbole relationnel

R de tlpe s,

IN

Ces données pemettent

tout couple (t,x)

drinterpréter

un terme et une formule dont les variables suite de varj.ables sans répétition

x.

de la définition

de

" Nlsn. de M pour 1es termes et formules se fait d"

k

...tn))

= M(f(tr ...tn),X)

...

nf est autre que 1e produit

tr))

ou (ç,x) où t,e sont

sont contenues dans la

Si x est une suite de n variables

par induction sur leur longueur : = t'I(xr,x) = pi, i9me projection \(xr)

k(R(tr

libres

sn, on écrira llx pour l.{s, x ...

sortes respectives s,

et lk(f(tr

rr,. d'Lrn sous-objet MR

xltls

deMs x...

La prolongation

tr, - r, d'un morphisme

f : t,

- Ms dans Sh(Ç,J);

vers lr{s'

= l{f o p a' - vcr € ]r{x ô-(â,cr) ^ p = i(b,o) n p. ..HH

- conjonction

:

KJ

KJ

KI

p lÊ e ^ Vtâl ssi p ll_- çtâl et p ll_ qrtâ1. X

- disjonction

:

K] p ll= a v {jtâl ssi il xKlKl

y a un recouvrement (n1)1a, de p pour lequel ç[â] ou pi ||;- !.,tal.

Pi lÊ XX

- implication

:

KI p lÊQ-!;[â]

K] o l[-otâl

ssivq(p

X

- quantificateur K] p lÊ 3x ç(x)[â] x

existentiel

KJ i m p l i q u eq l l - U t â ] .

:

ssi i1 y a un recouvrement (p,).,-, .1-1el

de p , et pour chaque

22

i de I *

bi € lvtotel que E*(b1) ) p. et K] Pi F

o[â'bti'

X,X

- quantificateur universel : KI p l- Vx A(x) [â] ssi pour tout q < p et tour b € l,tx te1 que KI E x G) ) q o n a q l ts a [a ,b ]. XrX

5.3. Forcing Heytingo-valué. considérons toujours

une interprétation

premier ordre dans 1Ensr.

complète M d'wr langage L du

Nor.rsa11ons associer

une notion de forci.ng et dans un stade ultérieur, cide avec 1a sémantique de Kripke-Joyal A tout couple (o,Ï; un sous-objet

}tf

où Ï contient

suivante

1es variables

interprétation

constater qurelle

coîn-

en S.2. de g, M associe

libres

de Ivlx et donc une unique application

Iufi - H qui classifie classifiant

définie

à cette

notée llqll, :

ce sous-objet dans lEnsn, puisque (H,

les sous-objets.

est l'objet î) aisément la suite-d'égalités

On vérifie

:

ilenpllr(a)

= t l e l l n ( a )n l l r p l l n ( a )

llç v tilH(a) = llelln(a) v llpllr(a) ||e - rplr(a) = lltollH(u) nrpiln(a) il -l ll lelln(a) = tt,pttr(a) = llolln(a) Og ; llrxtp(x)ll (a) = V ilçllrr(a,b) bo,{x llvx e(x)ll (a) = A (E_(b) + llçlln(a,b)) t1a). ^ ; H b€l\,k On définit

alors

plËçtâl

où âe rfi et \(â)>n

le forcing

Heytingo-valué

comrnesuit

:

ssi p ( llellHG). 5.4. Théorème de correspondance. La sémantique de Kripke-Joyal La démonstration

se fait

et 1e forcing Heytingo-valué coîncident.

par induction

sur 1a longueur de e.

z3

Nous en indiquerons trois

étapes essentielles.

1. Le cas des formules atomiques. Pour fixer

KI

1es idées, montrons que

R(x)[a] ssi n fi- n(x1131 .

P l-

K] 1.a. Si p ll- R(x)tal, on sait qu'i1 y a wr b € Mx tel que Ex(b) > p e t V c r€ h , 6 ( o , a ) ^ p = i [ b , o ) n p . M a i s a l o r s HH p = p,r ô (a,a) = p ^ i(b,a) < i(b,a) (Y i(g,.) = tlR(x)||r(a) HHB si on se souvient que le morphisme classifiant un nono i est donné par

i(8,-) )-/H

(cfr. s.1.c.)

1.b. Si p lF R(x)[a], on sait que p ( llR(x)lln(a). 11 s'agit de trouver un b € M dont f image par i soit a au moins au-dessus de p. Puisque i est un mono, I'application tm singleton.

t : MR- H qui associe i(B,a) à B est

La complétude de MR assure alors

tmique élément représentant ce singleton

t,

ltexistence

c'est

d'un

1e point b cherché.

En effet (*) Eo&) = âit,t;

=V i(B,a) = l|R(x)iln(a) 2 p par hypothèse. p

De plus, conneMRet tr4xsont complets, i1s sont isomorphesà leur conpléti-on et le diagranrne , 0À ,;) [MR ,e )

ïl ti

lî

tl

Qtlx,ô) i

t û

-

, trtî*,ôl conrrute, sachant que

- ûc est 1'application

1â,ô1-totale et extensionnelle (3.2.1.) s sur (MR,e) associe 1e singleton î(s) sur (rvlx,ô) défini par î(s) (o) = V (i(B,cr) ^ s(g)). BH La condition i(b,cl) ^ p = ô(a,cl) ^ p pourtout cr revient donc HH î(t)[cx) ^ p = ô(a,a) n p pui-sque b est déterminée entièrement par le HH singleton t. qui au singleton

or

V Y

(i (B,a)

H

,,(B,cr) H

i [B,a)) < ô (a,o) et donc i(B,a))

p(ô(a,o) H

np. H

24

De plus ô (a,o) ^ p < ô (a,cr) ,. V i(B,a) H HB

(par (*) (hypothèse)

=V (o(a,a) n i(B,a))