Ймовiрнiсть i статистика. Навчально-методичний посiбник

ÏÅÐÅÄÌÎÂÀ. Íàâ÷àëüíî-ìåòîäè÷íèé ïîñiáíèê äî ïðàêòè÷íèõ çàíÿòü ç êóðñó Éìîâiðíiñòü i ñòàòèñòèêà" ïðèçíà÷åíèé äëÿ ñòóäåíòiâ äðóãîãî òà òðåòüîãî êóðñiâ ôàêóëüòåòiâ íåìàòåìàòè÷íèõ ñïåöiàëüíîñòåé. Çìiñò òåì òà ïîðÿäîê ¨õ ðîçìiùåííÿ âiäïîâiä๠ó÷áîâié ïðîãðàìi. Ó ìåòîäè÷íîìó ïîñiáíèêó ïîäàíi çàäà÷i, ðîçâ'ÿçîê ÿêèõ íåîáõiäíèé äëÿ óñïiøíîãî îâîëîäiíííÿ ìàòåðiàëîì êóðñó. Ñòðóêòóðà êîæíîãî çàíÿòòÿ ïîñiáíèêà òàêà: ñïî÷àòêó ñòèñëî íàâåäåíi òåîðåòè÷íi ôàêòè ç âiäïîâiäíî¨ òåìè, äàëi ìiñòèòüñÿ äâi ãðóïè çàäà÷. Ó ïåðøó ãðóïó À âõîäÿòü çàäà÷i äëÿ àóäèòîðíî¨ ðîáîòè, ãðóïà  ìiñòèòü çàäà÷i äëÿ äîìàøíüîãî çàâäàííÿ. Ùîäî çàãàëüíî¨ ñòðóêòóðè ïîñiáíèêà ñëiä çàçíà÷èòè òàêå. Ïåðøi äâà âñòóïíi çàíÿòòÿ ñòîñóþòüñÿ êîìáiíàòîðèêè. Òóò êîðîòêî ïîäàíî ìàòåðiàë, ÿêèé íåîáõiäíèé äàëi - ïðè îá÷èñëåííi éìîâiðíîñòåé ó äèñêðåòíèõ ïðîñòîðàõ. Íàñòóïíi ðîçäiëè ìiñòÿòü ìàòåðiàë ç êóðñó òåîði¨ éìîâiðíîñòåé: âèïàäêîâi ïîäi¨ òà ¨õ éìîâiðíîñòi; âèïàäêîâi âåëè÷èíè, ¨õ ðîçïîäiëè òà ÷èñëîâi õàðàêòåðèñòèêè. Çàêëþ÷íi òðè çàíÿòòÿ ç ìàòåìàòè÷íî¨ ñòàòèñòèêè, äåìîíñòðóþòü çàñòîñóâàííÿ éìîâiðíiñíèõ çàêîíiâ äî ðiçíèõ ñòàòèñòè÷íèõ ìîäåëåé. Ðîçãëÿäàþòüñÿ íàéáiëüø ïîøèðåíi ñòàòèñòè÷íi ìåòîäè, ïðîïîíóþòüñÿ äëÿ ðîçâ'ÿçêó çàäà÷i, ÿêi âèíèêàþòü íà ïðàêòèöi. Çãiäíî ó÷áîâîìó ïëàíó, íà ïðîòÿçi òðèìåñòðó ïðîâîäÿòüñÿ äâi êîíòðîëüíi ðîáîòè äëÿ ïåðåâiðêè çíàíü ñòóäåíòiâ. Çàäà÷i äëÿ íèõ ïiäáèðàþòüñÿ òîãî æ ðiâíÿ ùî i âìiùåíi â ïîñiáíèêó.

3

Çàíÿòòÿ 1. Îñíîâíèé ïðèíöèï êîìáiíàòîðèêè.Âïîðÿäêîâàíi ìíîæèíè. Ïåðåñòàíîâêè, ðîçìiùåííÿ òà êîìáiíàöi¨ ç n ïî k. Íåõàé ïîòðiáíî âèêîíàòè îäíó çà îäíi¹þ k äié. ßêùî ïåðøó äiþ ìîæíà âèêîíàòè n1 ñïîñîáàìè, äðóãó - n2 ñïîñîáàìè, i òàê äî k -¨ äi¨, ÿêó ìîæíà âèêîíàòè nk ñïîñîáàìè, òî âñi k äié ðàçîì ìîæóòü áóòè âèêîíàíi n1 · n2 · ... · nk ñïîñîáàìè. Îçíà÷åííÿ. Íåõàé ìíîæèíà ìiñòèòü n åëåìåíòiâ. Áóäåìî íàçèâàòè ¨¨ âïîðÿäêîâàíîþ, ÿêùî êîæíîìó åëåìåíòó ìíîæèíè ïîñòàâëåíî ó âiäïîâiäíiñòü äåÿêå ÷èñëî (íîìåð åëåìåíòà) âiä 1 äî n òàê, ùî ðiçíèì åëåìåíòàì âiäïîâiäàþòü ðiçíi ÷èñëà. Îçía÷åííÿ. Ïåðåñòàíîâêàìè íàçèâàþòüñÿ ðiçíi âïîðÿäêîâàíi ìíîæèíè, ÿêi âiäðiçíÿþòüñÿ ëèøå ïîðÿäêîì åëåìåíòiâ. Òåîðåìà. Êiëüêiñòü ïåðåñòàíîâîê ìíîæèíè, ÿêà ìiñòèòü n åëåìåíòiâ, äîðiâíþ¹ Pn = n! = n · (n − 1) · ... · 1.

Îçíà÷åííÿ. Âïîðÿäêîâàíi k -åëåìåíòíi ïiäìíîæèíè ìíîæèíè iç n

åëåìåíòiâ íàçèâàþòü ðîçìiùåííÿìè iç n åëåìåíòiâ ïî k. Òåîðåìà. ×èñëî ðîçìiùåíü iç n åëåìåíòiâ ïî k äîðiâíþ¹:

Akn = n(n − 1)...(n − k + 1) =

n! (n − k)!

Îçíà÷åííÿ. Êîìáiíàöiÿìè iç n åëåìåíòiâ ïî k íàçèâàþòüñÿ k -åëåìåíòíi ïiäìíîæèíè n-åëåìåíòíî¨ ìíîæèíè. Òåîðåìà. ×èñëî âñiõ k -åëåìåíòíèõ ïiäìíîæèí ìíîæèíè ç n åëåìåíòiâ äîðiâíþ¹ n! Cnk = k!(n − k)!

4

À1 1. Íà âåðøèíó ãîðè ìîæíà ïiäíÿòèñÿ äåñÿòüìà ñïîñîáàìè. Ñêiëüêîìà ñïîñîáàìè ìîæíà ïiäíÿòèñÿ i ñïóñòèòèñÿ ç ãîðè? 2. Ñêiëüêîìà ñïîñîáàìè ìîæíà iç 28 êiñòî÷îê äîìiíî âèáðàòè äâi òàê, ùîá ¨õ ìîæíà áóëî ïðèêëàñòè îäíàêîâèìè ïîëîâèíàìè? 3. ™ 5 âèäiâ êîíâåðòiâ i 4 âèäè ìàðîê. Ñêiëüêîìà ñïîñîáàìè ìîæíà âèáðàòè êîíâåðò ç ìàðêîþ äëÿ âiäñèëêè ëèñòà? 4. Êóáèê êèäàþòü 5 ðàçiâ. Ñêiëüêîìà ñïîñîáàìè âií ìîæå âèïàñòè? Ñêiëüêè òàêèõ ñïîñîáiâ, êîëè ç'ÿâëÿ¹òüñÿ òî÷íî îäíà îäèíèöÿ? 5. Ó ðîçèãðàøi ïåðøîñòi ç ôóòáîëó áåðóòü ó÷àñòü 12 êîìàíä. Ñêiëüêîìà ñïîñîáàìè ìîæå áóòè ðîçïîäiëåíå ìiæ íèìè çîëîòî i ñðiáëî? 6. ™ 4 ÷îëîâiêè i 6 æiíîê. Êîæåí ÷îëîâiê îäðóæó¹òüñÿ ç îäíi¹þ ç æiíîê. Ñêiëüêîìà ñïîñîáàìè ìîæíà öå çðîáèòè? 7. Ñêiëüêè ¹ ÷îòèðèöèôðîâèõ ÷èñåë, êðàòíèõ 5? 8. Ñêiëüêîìà ñïîñîáàìè 5 ëþäåé ìîæóòü ñòàòè â ðÿä? À ñêiëüêîìà ñïîñîáàìè - ïî êîëó? 9. Íåõàé ¹ 10 ÷îëîâiê. Ñêiëüêîìà ñïîñîáàìè ìîæíà âèáðàòè ç íèõ êîìiñiþ ç 3-õ ÷îëîâiê? Ñêiëüêè ¹ òàêèõ ñïîñîáiâ, ÿêùî ¹ äîäàòêîâà óìîâà: ùîá îäèí iç íèõ áóâ ãîëîâà êîìiñi¨. 10. Êóáèê ïiäêèäàþòü 10 ðàçiâ. Ñêiëüêè ¹ òàêèõ âèïàäêiâ, êîëè ïðè 3-õ iç 10 ïiäêèäàíü âèïàä๠øiñòêà? 11. Ç êîëîäè ç 52 êàðò âèòÿãóþòü 6 êàðò. Ñêiëüêè ¹ âèáiðîê, ó ÿêèõ à) ¹ õî÷à á îäèí òóç? á) ¹ 3 ÷îðíèõ i 3 ÷åðâîíèõ êàðòè? â) íåì๠æîäíîãî òóçà? ã) ¹ òî÷íî îäèí òóç? 12. Ñêiëüêîìà ñïîñîáàìè ìîæíà çà k äíiâ ñêëàñòè m iñïèòiâ? 13. ™ n êîìàíä , êîæíà êîìàíäà ãð๠ç êîæíîþ ïî îäíié ãði. Ñêiëüêè iãîð áóäå çiãðàíî? 14. Ñêiëüêîìà ñïîñîáàìè ìîæíà îáðàòè ïðåçèäåíòà, âiöå-ïðåçèäåíòà, ñêàðáíèêà òà ñåêðåòàðÿ íàóêîâîãî òîâàðèñòâà ç 25 ÷îëîâiê? 15. Ñêiëüêîìà ñïîñîáàìè ìîæóòü âèïàñòè 3 ãðàëüíi êóáèêè? Ó ñêiëüêîõ âèïàäêàõ õî÷à á íà îäíîìó êóáèêó âèïàä๠6? Ó ñêiëüêîõ âèïàäêàõ íà îäíîìó êóáèêó âèïàä๠6, à íà iíøîìó - 3?

5

Â1 1. ™ 10 êîðîáîê i 6 êóëü. Ñêiëüêîìà ñïîñîáàìè ìîæíà ðîçêëàñòè êóëi ïî êîðîáêàõ? 2. Ñêiëüêè 3-öèôðîâèõ ÷èñåë ìîæíà ñêëàñòè ç öèôð âiä 1 äî 5? Ñêiëüêè ç íèõ äiëèòüñÿ íà 5? 3. Íà çáîðàõ ÍàÓÊÌÀ ìàþòü âèñòóïèòè: Ïðåçèäåíò, Ðåêòîð, ñåêðåòàð, âèêëàäà÷. Ñêiëüêîìà ñïîñîáàìè âîíè ìîæóòü âèñòóïàòè? Ñêiëüêè ¹ âàðiàíòiâ âèñòóïó à) ÿêùî Ïðåçèäåíò âèñòóï๠ïåðøèé? á) ÿêùî çà Ïðåçèäåíòîì çðàçó âèñòóï๠Ðåêòîð? â) ÿêùî ðåêòîð âèñòóï๠íå çðàçó çà Ïðåçèäåíòîì? 4. Ñêiëüêîìà ñïîñîáàìè ìîæíà ðîçìiñòèòè íà øàõîâié äîøöi 8 òóð, ùîá æîäíà ç íèõ íå áèëà iíøó? 5. ™ 10 ÷îëîâiêiâ i 10 æiíîê. Ñêiëüêîìà ñïîñîáàìè ìîæíà ðîçñòàâèòè ¨õ â ðÿä òàê, ùîá ïîïåðåäó êîæíî¨ æiíêè ñòîÿâ îäèí ÷îëîâiê? 6. Ñêiëüêè ìîæíà çðîáèòè ïåðåñòàíîâîê ç n åëåìåíòiâ , ó ÿêèõ äàíi äâà åëåìåíòè íå ñòîÿòü ïîðó÷? 7. Ñêiëüêîìà ñïîñîáàìè ìîæíà âïîðÿäêóâàòè ìíîæèíó òàê, ùîá êîæíå ïàðíå ÷èñëî ìàëî ïàðíèé íîìåð? 8. Ñêiëüêè ¹ íàòóðàëüíèõ ÷èñåë, ìåíøèõ 100, öèôðè ÿêèõ éäóòü ó çðîñòàþ÷îìó ïîðÿäêó? 9. Ñêiëüêè ¹ ï'ÿòèçíà÷íèõ ÷èñåë, â ÿêèõ êîæíà íàñòóïíà öèôðà áiëüøà çà ïîïåðåäíþ? 10. Ó âèùié ëiçi ¹ 18 êîìàíä. Ñêiëüêè ìîæå áóòè òðiéîê ïðèçåðiâ? A ÿêùî äâi îñòàííi êîìàíäè éäóòü ç âèùî¨ ëiãè? 11. ™ 10 ïðåäìåòiâ, ó ïîíåäiëîê - 6 ðiçíèõ óðîêiâ. Ñêiëüêîìà ñïîñîáàìè ìîæíà ñïëàíóâàòè ðîçêëàä íà ïîíåäiëîê? À ÿêùî óðîêè ìîæóòü áóòè îäíàêîâi? 12. ™ 2 òî÷êè À i Â. ÀÂ=4,5 ì. Íàä òî÷êîþ  - òî÷êà Ñ, ÂÑ=1,5 ì, âèñîòà ñõîäèíêè 30 ñì, øèðèíà 50 ñì. Ñêiëüêîìà ñïîñîáàìè ìîæíà ïîáóäóâàòè ñõîäè âiä À äî Ñ? 13. Ñêiëüêîìà ñïîñîáàìè ìîæíà ñêëàñòè òðèêîëiðíèé ñìóãàñòèé ïðàïîð, ÿêùî ¹ 6 êîëüîðiâ? À ÿêùî îäíà ñìóãà îáîâ'ÿçêîâî æîâòà?

6

Çàíÿòòÿ 2. Êîìáiíàöi¨ òà ïåðåñòàíîâêè ç ïîâòîðåííÿìè. Ôîðìóëà âêëþ÷åíü-âèêëþ÷åíü. Òåîðåìà. Íåõàé k1 , k2 , ..., km - öiëi íåâiä'¹ìíi ÷èñëà i k1 +k2 +...+km =

n. Êiëüêiñòü ñïîñîáiâ, ÿêèìè ìîæíà ìíîæèíó, ÿêà ìiñòèòü n åëåìåíòiâ, ðîçáèòè íà m ïiäìíîæèí, êiëüêiñòü åëåìåíòiâ ó ÿêèõ âiäïîâiäíî k1 , k2 , ..., km , äîðiâíþ¹ Cn (k1 , k2 , ..., km ) =

n! . k1 !k2 !...km !

Îçíà÷åííÿ. Ïîñëiäîâíîñòi äîâæèíè n, ó ÿêèõ k1 åëåìåíòiâ 1-ãî òèïó, k2 åëåìåíòiâ 2-ãî òèïó, ..., km åëåìåíòiâ m-ãî òèïó íàçèâàþòüñÿ ïåðåñòàíîâêàìè ç ïîâòîðåííÿìè. Òåîðåìà. Êiëüêiñòü ðiçíèõ ïåðåñòàíîâîê ç ïîâòîðåííÿìè äîðiâíþ¹ Cn (k1 , k2 , ..., km ) =

n! . k1 !k2 !...km !

Îçíà÷åííÿ. Êîìáiíàöiÿìè iç m åëåìåíòiâ ïî n åëåìåíòiâ ç ïîâòîðåííÿìè íàçèâàþòü ãðóïè ïî n åëåìåíòiâ, êîæåí ç ÿêèõ íàëåæèòü îäíîìó ç m òèïiâ. Òåîðåìà. Êiëüêiñòü ðiçíèõ êîìáiíàöié iç m åëåìåíòiâ ïî n ç ïîâòîðåííÿìè äîðiâíþ¹ n n fm = Cm+n−1 . Òåîðåìà. Íåõàé êiëüêiñòü åëåìåíòiâ ó êîæíié ç ìíîæèí A1 , ..., An - ñêií÷åííà. Òîäi N (A1 ∪ ... ∪ An ) =

X

N (Ai1 ) −

1≤i1 ≤n

(−1)k−1

X

X

N (Ai1 ∩ Ai2 ) + ...+

1≤i1 0? 10. ™ n êîíâåðòiâ ç àäðåñàìè i n ëèñòiâ. Ëèñòè íàâìàííÿ êëàäóòü ó êîíâåðòè. ßêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî õî÷à á îäíà ëþäèíà îòðèì๠ñâié ëèñò? 11. Ãðàâåöü â "Ñïîðòëîòî"ç 49 âèäiâ ñïîðòó ïîâèíåí âèáðàòè 6. ßêà éìîâiðíiñòü ïîâíîãî âèãðàøó (âãàäàíî âñi 6 âèäiâ)? ßêà éìîâiðíiñòü âèãðàøó (âèãðàø îòðèìó¹ òîé, õòî ïðàâèëüíî âêàçàâ õî÷à á òðè âèäè)?

13

Çàíÿòòÿ 4. Éìîâiðíîñòi â äèñêðåòíèõ ïðîñòîðàõ. Ãåîìåòðè÷íi éìîâiðíîñòi. Íåçàëåæíi âèïàäêîâi ïîäi¨. Íåõàé ïðîñòið åëåìåíòàðíèõ ïîäié äèñêðåòíèé: (Ω = {ω1 , ..., ωn , ...}). Êîæíié åëåìåíòàðíié ïîäi¨ ωk ïîñòàâèìî ó âiäïîâiäíiñòü íåâiä'¹ìíå ÷èñP ëî pk - éìîâiðíiñòü ωk . Ïðè÷îìó öi ÷èñëà òàêi, ùî k≥1 pk = 1. Iìîâiðíiñòþ ïîäi¨ A áóäåìî íàçèâàòè ñóìó éìîâiðíîñòåé åëåìåíòàðíèõ ïîäié, ùî ñïðèÿþòü A: X P(A) = pi . ωi ∈A

Íåõàé Ω - äåÿêà îáëàñòü íà ïðÿìié, ïëîùèíi, ÷è â ïðîñòîði. Äëÿ âèïàäêîâî¨ ïîäi¨ A ⊂ Ω âèçíà÷èìî éìîâiðíiñòü ¨¨ òàê:

P(A) =

m(A) , m(Ω)

äå m(·) - ìiðà íà ïðÿìié, ïëîùèíi ÷è â ïðîñòîði (äîâæèíà, ïëîùà ÷è îá'¹ì âiäïîâiäíî). Pîçãëÿäà¹ìî ëèøå âèïàäêè, êîëè 0 < m(Ω) < ∞. Îçíà÷åííÿ. Âèïàäêîâi ïîäi¨ A i B íàçèâàþòüñÿ íåçàëåæíèìè, ÿêùî

P(A ∩ B) = P(A)P(B). Òåîðåìà. ßêùî ïîäi¨ A i B1 , A i B2 íåçàëåæíi , à B1 i B2 íåñóìiñíi

(B1 ∩ B2 = ∅), òî ïîäi¨ A i B¯1 , A¯ i B¯1 , A i (B1 ∪ B2 ) íåçàëåæíi òàêîæ. Îçíà÷åííÿ. Âèïàäêîâi ïîäi¨ A1 , ..., An íåçàëåæíi ó ñóêóïíîñòi, ÿêùî äëÿ äîâiëüíîãî k, 1 ≤ k ≤ n i äîâiëüíîãî íàáîðó iíäåêñiâ i1 , ..., ik , 1 ≤ i1 < i2 < ... < ik ≤ n :

P(∩km=1 Aim ) =

k Y m=1

14

P(Aim ).

À4 1. Éìîâiðíîñòi âèïàäàííÿ ãðàíåé "ôàëüøèâîãî"ãðàëüíîãî êóáèêà ïðîïîðöiéíi ÷èñëàì íà íèõ. Çíàéòè öi éìîâiðíîñòi. Çíàéòè éìîâiðíiñòü òîãî, ùî â ðåçóëüòàòi ïiäêèäàííÿ ç'ÿâèòüñÿ: à) ïàðíå ÷èñëî; á) íåïàðíå ÷èñëî. 2. Éìîâiðíiñòü âèãðàøó ïðè îäíîìó ïiäêèäàííi ãðàëüíîãî êóáèêà ð. Ãðàâåöü À ïî÷èíà¹. ßêùî âií íå âèãðà¹, òî ïðàâî ïiäêèíóòè êóáèê ïåðåõîäèòü äî Â. Ãðàâöi À i B ïî ÷åðçi ïiäêèäàþòü êóáèê äî âèãðàøó îäíîãî ç íèõ. Çíàéòè éìîâiðíîñòi âèãðàòè äëÿ À i Â. 3. Ñòåðæåíü äîâæèíè 3 ìåòðà çëàìàëè y ïåâíié òî÷öi. ßêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî äîâæèíà êîðîòøî¨ ÷àñòèíè ìåíøå çà 1 ì? 4. Ñòië ðîçãðàôëåíî íà êâàäðàòè çi ñòîðîíîþ 8 ñì. Íà ñòië êèäà¹òüñÿ ìîíåòà ç ðàäióñîì 2 ñì. à) ßêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî âîíà íå ïåðåòíå æîäíî¨ ç ñòîðií êâàäðàòiâ? á) ßêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî âîíà íå ïåðåòíå äâîõ ñòîðií âiäðàçó? 5. Ïðîòÿãîì äîáè äî ïðè÷àëó ïiäõîäÿòü 2 ïàðîïëàâè: ïåðøèé ñòî¨òü 1 ãîäèíó, 2-èé - 2 ãîäèíè. ßêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî æîäíîìó íå äîâåäåòüñÿ ÷åêàòè çâiëüíåííÿ ïðè÷àëó? 6. Íà âiäðiçêó [C,D] äîâæèíè 1 íàâìàííÿ âèáðàíi äâi òî÷êè À òà Â. Îá÷èñëèòè éìîâiðíîñòi òîãî, ùî: à) òî÷êà À áëèæ÷å äî òî÷êè Ñ íiæ Â; á) òî÷êà À áëèæ÷å äî òî÷êè  íiæ äî Ñ. 7. ßêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî ó âåäìåäÿ âëó÷àòü 2 ìèñëèâöi, ÿêùî ïåðøèé âëó÷๠ç éìîâiðíiñòþ 0.2, 2-èé - 0.4, 3-ié - 0.6? 8. Éìîâiðíiñòü âëó÷åííÿ â äåñÿòêó ç îäíîãî ïîñòðiëó 0,2. Ñêiëüêè ïîòðiáíî çðîáèòè ïîñòðiëiâ, ùîá âëó÷èòè â äåñÿòêó ç éìîâiðíiñòþ íå ìåíøîþ 0,9? Â4 1. Ãðàëüíèé êóáèê ïiäêèäàþòü äî ïåðøî¨ ïîÿâè øiñòêè. Çíàéòè âiðîãiäíiñòü òîãî, ùî à) åêñïåðèìåíò çàêií÷èòüñÿ íà íåïàðíîìó êðîöi, á) åêñïåðèìåíò çàêií÷èòüñÿ äî 6-ãî ïiäêèäàííÿ. 15

2.  ãðó "êðåïñ" ãðàþòü òàê: ãðàâåöü ïiäêèä๠äâà ãðàëüíi êóáèêè. ßêùî ñóìà î÷îê, ùî âèïàëè, 7 ÷è 11, âií âèãðà¹. ßêùî ñóìà 2, 3 ÷è 12, âií ïðîãðà¹. ßêùî ñóìà iíøà, âií ïðîäîâæó¹ ïiäêèäàííÿ äîòè, ïîêè íå âèïàäå öÿ ñóìà (â òàêîìó âèïàäêó âií âèãðà¹) ÷è äîêè íà âèïàäå ñiì (âií ïðîãðà¹). Îá÷èñëèòè éìîâiðíiñòü âèãðàøó. 3. Íåõàé Ω = {1, 2, . . . n}. Âñiì ÷èñëàì ïðèïèñàíi éìîâiðíîñòi ïðîïîðöiéíi ¨õ âåëè÷èíàì. Çíàéòè öi éìîâiðíîñòi. ßêà éìîâiðíiñòü ïîÿâè: à) ïàðíîãî ÷èñëà; á) íåïàðíîãî ÷èñëà; â) ÷èñëà, êðàòíîãî 9? 4. Ñâiòëîôîð ïðàöþ¹ òàêèì ÷èíîì: ÷åðâîíå ñâiòëî ãîðèòü 10 ñåê., æîâòå -5, çåëåíå - 8. ßêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî ìàøèíà ïðî¨äå ïåðåõðåñòÿ áåç çóïèíêè? 5. Îá÷èñëèòè éìîâiðíiñòü òîãî, ùî iç òðüîõ íàâìàííÿ âçÿòèõ âiäðiçêiâ äîâæèíè íå áiëüøî¨ çà 1 ìîæíà ïîáóäóâàòè òðèêóòíèê. 6. Ðàäióñ ìîíåòè 1 ñì. ßêà ì๠áóòè ¨¨ òîâùèíà, ùîá éìîâiðíiñòü ïàäiííÿ íà ðåáðî äîðiâíþâàëà 1/3? 7. Ïîäi¨ À1 , À2 , À3 , À4 , - íåçàëåæíi ó ñóêóïíîñòi. P (Ak ) = pk , k=1,2,3,4. Îá÷èñëèòè éìîâiðíîñòi òîãî, ùî: à) íå âiäáóäåòüñÿ æîäíà ç öèõ ïîäié; á) âiäáóäåòüñÿ õî÷à á îäíà ç öèõ ïîäié; â) âiäáóäåòüñÿ îäíà i ëèøå îäíà ç öèõ ïîäié. 8. Êîæåí ç òðüîõ ãðàâöiâ ïiäêèä๠ìîíåòó. ßêùî îäíà ç ìîíåò âïàäå iíøîþ ñòîðîíîþ íiæ iíøi äâi, ãðà ïðèïèíÿ¹òüñÿ. ßêùî íi, òî ãðàâöi çíîâó ïiäêèäàþòü ìîíåòè. Îá÷èñëèòè éìîâiðíiñòü òîãî, ùî ãðà çàêií÷èòüñÿ äî 5-ãî ðàóíäó, ÿêùî: à) ìîíåòè ñèìåòðè÷íi; á) âèïàäàííÿ ãåðáà âäâi÷i áiëüø éìîâiðíå çà âèïàäàííÿ ðåøiòêè.

16

Çàíÿòòÿ 5. Óìîâíi éìîâiðíîñòi. Ôîðìóëà ïîâíî¨ éìîâiðíîñòi. Ôîðìóëè Áàé¹ñà. Îçíà÷åííÿ. Óìîâíîþ éìîâiðíiñòþ ïîäi¨ A ïðè óìîâi, ùî âiäáóëàñü

ïîäiÿ B, íàçèâàþòü âåëè÷èíó

P(A/B) =

P(A ∩ B) . P(B)

(Ðîçãëÿäà¹ìî ëèøå òi ïîäi¨ B, äëÿ ÿêèõ P(B) > 0). Îçíà÷åííÿ. Êàæóòü, ùî âèïàäêîâi ïîäi¨ Hi , i ≥ 1 óòâîðþþòü ïîâíó ãðóïó ïîäié, ÿêùî : S Hi = Ω, à) i≥1

á) Hi ∩ Hj = ∅ (i 6= j). Òåîðåìà. ßêùî Hi , i ≥ 1 - ïîâíà ãðóïà ïîäié i P(Hi ) > 0, i ≥ 1, òî äëÿ áóäü-ÿêî¨ âèïàäêîâî¨ ïîäi¨ A:

P(A) =

X

P(Hi )P(A/Hi ).

i≥1

Òåîðåìà. Íåõàé ïîäi¨ Hi , i ≥ 1 óòâîðþþòü ïîâíó ãðóïó ïîäié i P(Hi ) > 0, i ≥ 1. Òîäi, äëÿ áóäü-ÿêî¨ âèïàäêîâî¨ ïîäi¨ B òàêî¨, ùî P(B) > 0 : P(Hi )P(B/Hi ) P(Hi /B) = P . P(Hk )P(B/Hk ) k≥1

17

À5 1. Ïiäêèäàþòü äâà ãðàëüíi êóáèêè. Çíàéòè éìîâiðíiñòü òîãî, ùî: à) âèïàäå õî÷à á îäèí ðàç 6 î÷îê, ÿêùî âiäîìî, ùî ñóìà î÷îê ÿêi âèïàëè, äîðiâíþ¹ 8; á) ñóìà î÷îê áiëüøå 9, ÿêùî âiäîìî, ùî îäèí ðàç âèïàëî 5 î÷îê. 2. Ïiäêèäàþòü 3 ãðàëüíi êóáèêè. Çíàéòè éìîâiðíiñòü òîãî, ùî: à) õî÷à á îäèí ðàç âèïàäå 6 î÷îê, ÿêùî íà âñiõ òðüîõ êóáèêàõ âèïàëè ðiçíi ãðàíi; á) õî÷à á îäèí ðàç âèïàäå 6 î÷îê, ÿêùî íà âñiõ òðüîõ êóáèêàõ âèïàëè îäíàêîâi ãðàíi. 3. Äèòèíà, ÿêà íàðîäèëàñü, ç îäíàêîâèìè éìîâiðíîñòÿìè ìîæå áóòè õëîïöåì ÷è äiâ÷èíîþ. Ñiì'ÿ ì๠äâîõ äiòåé. ßêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî îáî¹ - äiâ÷àòà, ÿêùî âiäîìî ùî: à) ñòàðøà ç íèõ - äiâ÷èíà; á) õî÷à á îäíà ç íèõ - äiâ÷èíà. 4. Äîâåñòè, ùî P (A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An ) = P (A1 ) ·

n−1 Q i=1

P (Ai+1 /A1 ∩ ... ∩ Ai ).

5.  óðíi ìiñòèòüñÿ 5 ÷îðíèõ, 6 áiëèõ, 8 ÷åðâîíèõ êóëü. Ïîñëiäîâíî áåç ïîâåðíåííÿ ç óðíè âèéìàþòü òðè êóëi. Îá÷èñëèòè éìîâiðíiñòü òîãî, ùî: à) ïåðøà êóëÿ - ÷îðíà, äðóãà - áiëà, òðåòÿ - ÷åðâîíà; á) ïåðøà êóëÿ - áiëà, äðóãà i òðåòÿ - ÷åðâîíi. 6. Âiäîìî, ùî êiëüêiñòü äàëüòîíiêiâ ñåðåä ÷îëîâiêiâ - 5 âiäñîòêiâ, ñåðåä æiíîê - 0.25 âiäñîòêiâ. Íàâìàííÿ îáðàëè ëþäèíó. à) ßêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî âîíà - äàëüòîíiê? á) Âiäîìî, ùî ëþäèíà - äàëüòîíiê. ßêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî âií - ÷îëîâiê? 7. ßêèì ïî ïîðÿäêó íàéâèãiäíiøå âèòÿãàòè ëîòåðåéíèé êâèòîê? 8. ™ n êîðîáîê, â êîæíié ç ÿêèõ k áiëèõ i m ÷îðíèõ êóëü. Ç ïåðøî¨ êîðîáêè ïåðåêëàäàþòü ó äðóãó íàâìàííÿ îáðàíó êóëþ. Ïîòiì iç äðóãî¨ êîðîáêè ïåðåêëàäàþòü â òðåòþ íàâìàííÿ îáðàíó êóëþ i ò.ä. ßêà éìîâiðíiñòü âèòÿãíóòè áiëó êóëþ ç îñòàííüî¨ êîðîáêè? 9. ™ 5 êîðîáîê: 4 ìiñòèòü ïî 2 áiëèõ i 2 ÷îðíèõ êóëi i îäíà - 5 áiëèõ i 1 ÷îðíó. Íàâìàííÿ âèòÿãíóëè áiëó êóëþ. ßêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî ¨¨ âèòÿãíóëè ç 5-î¨ êîðîáêè? 10. ™ 2 ïiäïðè¹ìñòâà: 1-øå ä๠20% áðàêó, 2-ãå - 10%. Ìàãàçèí îòðèìàâ áðàêîâàíèé âèðiá. ßêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî éîãî âèãîòîâëåíî íà ïåðøîìó ïiäïðè¹ìñòâi? 18

Â5 1. Ó âåäìåäÿ, âáèòîãî 1 êóëåþ, ñòðiëÿëè 3 ìèñëèâöi. Éìîâiðíîñòi âëó÷åííÿ ìèñëèâöiâ: ïåðøîãî - 0.8 äðóãîãî - 0.7 òðåòüîãî - 0.6 Çíàéòè éìîâiðíiñòü òîãî, ùî âåäìåäÿ âáèâ : à) ïåðøèé ìèñëèâåöü, á) äðóãèé ìèñëèâåöü, â) òðåòié ìèñëèâåöü. 2. Ñòðiëîê À âëó÷๠â ìiøåíü ç éìîâiðíiñòþ 0.6, ñòðiëîê  - ç éìîâiðíiñòþ 0.5, à Ñ - ç éìîâiðíiñòþ 0.4. Ïiñëÿ çàëïó ïî ìiøåíi âèÿâëåíî 2 âëó÷åííÿ. Ùî áiëüø éìîâiðíî: âëó÷èâ Ñ ÷è íi? 3. Ç äâàíàäöÿòè êâèòêiâ, ïðîíóìåðîâàíèõ ÷èñëàìè âiä 1 äî 12, îäèí çà iíøèì âèáèðàþòü äâà êâèòêè. ßêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî íà öèõ êâèòêàõ: à) îáèäâà íîìåðè ïàðíi; á) îáèäâà íîìåðè íåïàðíi; â) ïåðøèé íîìåð - ïàðíèé, äðóãèé - íåïàðíèé? 4. Ó òðüîõ âiääiëåííÿõ áàíêó À,  òà Ñ ïðàöþ¹ 50, 75 òà 100 ïðàöiâíèêiâ i âiäïîâiäíî 50, 60 òi 70 âiäñîòêiâ ¨õ - æiíêè. Çâiëüíåííÿ ðiâíîìîæëèâå äëÿ âñiõ öèõ ïðàöiâíèêiâ. à) Îäíîãî ïðàöiâíèêà áóëî çâiëüíåíî. ßêà éìîâiðíiñòü, ùî öå æiíêà? á) Âiäîìî, ùî çâiëüíåíî æiíêó. ßêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî âîíà ïðàöþâàëà ó âiääiëåíi Ñ? 5.  ïðèìiñüêîìó ñåëèùi 10% æèòåëiâ ìàþòü íèçüêi ïðèáóòêè, 55% -ñåðåäíi, 35% -âèñîêi. Âiäîìî, ùî ïîñòiéíèìè êëi¹íòàìè ñóïåðìàðêåòà ¹ 80% æèòåëiâ ç íèçüêèìè ïðèáóòêàìè, 52% æèòåëiâ ç ñåðåäíiìè ïðèáóòêàìè i 8% æèòåëiâ, ÿêi ìàþòü âèñîêi ïðèáóòêè. Âèïàäêîâèì ÷èíîì îáðàíèé ïîêóïåöü ñóïåðìàðêåòó. ßêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî âií: a) ì๠íèçüêi ïðèáóòêè; á) ì๠ñåðåäíi ïðèáóòêè; â) ì๠âèñîêi ïðèáóòêè. ßêèé âiäñîòîê æèòåëiâ ñåëèùà ¹ êëi¹íòàìè öüîãî ñóïåðìàðêåòó? 6. ™ 6 êîðîáîê: 4 ìiñòèòü ïî 2 áiëèõ i 2 ÷îðíèõ êóëi i äâi ïî 5 áiëèõ i îäíó ÷îðíó. Íàâìàííÿ âèòÿãíóëè áiëó êóëþ. ßêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî ¨¨ âèòÿãíóëè ç 5-î¨ êîðîáêè? 19

−λ k

7. Êîìàõà âiäêëàä๠k ÿ¹öü ç éìîâiðíiñòþ e k!λ . Éìîâiðíiñòü íàðîäæåííÿ ëè÷èíêè ç ÿéöÿ - p. ßêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî ç'ÿâèòüñÿ òî÷íî n ëè÷èíîê? 8. Ó ïåðøié êîðîáöi 3 áiëèõ i 2 ÷îðíèõ êóëi, ó äðóãié - 4 áiëèõ i 4 ÷îðíèõ. Ç ïåðøî¨ êîðîáêè ïåðåêëàäàþòü 2 äîâiëüíi êóëi â 2-ãó. Ïiñëÿ öüîãî ç äðóãî¨ êîðîáêè âèòÿãëè áiëó êóëþ. ßêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî ç ïåðøî¨ êîðîáêè â äðóãó ïåðåêëàëè 2 áiëèõ êóëi? 9. Ó ñêàðáíèöi áóëî 600 ðóáiíiâ i 500 äiàìàíòiâ. Îäèí äîðîãîöiííèé êàìiíü çàãóáëåíî. Íàâìàííÿ âçÿëè 90 êàìåíiâ. Âèÿâèëîñÿ, ùî ç íèõ 40 äiàìàíòè i 50 - ðóáiíè. ßêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî çíèê äiàìàíò?

20

Çàíÿòòÿ 6. Äèñêðåòíi âèïàäêîâi âåëè÷èíè. Ðîçïîäiëè: áiíîìiàëüíèé, ãåîìåòðè÷íèé òà Ïóàññîíà. Îçíà÷åííÿ. Íåõàé Ai , i ≥ 1 - âèïàäêîâi ïîäi¨, òàêi, ùî ∪i≥1 Ai = Ω, Ai ∩ Aj = ∅, i 6= j. Ôóíêöiþ ξ(ω), ω ∈ Ω áóäåìî íàçèâàòè äèñêðåòíîþ âèïàäêîâîþ âåëè÷èíîþ, ÿêùî

∀i ≥ 1 ∃xi ∈ R (xi 6= xj , i 6= j) : ∀ω ∈ Ai ξ(ω) = xi (ξ(ω) - ñòàëà íà êîæíié ìíîæèíi Ai ). Îçíà÷åííÿ. Íàáið éìîâiðíîñòåé

pi = P(Ai ) = P{ω : ξ(ω) = xi } íàçèâàþòü ðîçïîäiëîì äèñêðåòíî¨ âèïàäêîâî¨ âåëè÷èíè. Îçíà÷åííÿ. Íåõàé x ∈ R. Ôóíêöiþ

Fξ (x) = P{ω : ξ(ω) < x} =

X

pi

{i:xi <x}

íàçèâàþòü ôóíêöi¹þ ðîçïîäiëó âèïàäêîâî¨ âåëè÷èíè ξ (ðîçãëÿäà¹òüñÿ ñóìà âñiõ òèõ pi , äëÿ ÿêèõ âiäïîâiäíi çíà÷åííÿ xi ìåíøi íiæ x). Îçíà÷åííÿ. Ïîâòîðíi íåçàëåæíi âèïðîáóâàííÿ íàçèâàþòü âèïðîáóâàííÿìè Áåðíóëëi, ÿêùî ó êîæíîìó âèïðîáóâàííi ¹ òiëüêè äâà ìîæëèâèõ ðåçóëüòàòè i éìîâiðíîñòi öèõ ðåçóëüòàòiâ íå çìiíþþòüñÿ â óñiõ âèïðîáóâàííÿõ. Ðåçóëüòàòè âèïðîáóâàíü Áåðíóëëi íàçèâàþòü "óñïiõîì"(Ó) i "íåâäà÷åþ"(Í) i éìîâiðíîñòi ¨õ ïîçíà÷àþòü âiäïîâiäíî ð i q=1-ð. Íåõàé ξ(ω) - êiëüêiñòü óñïiõiâ ó n âèïðîáóâàííÿõ Áåðíóëëi (öå äèñêðåòíà âèïàäêîâà âåëè÷èíà, ÿêà ìîæå ïðèéìàòè çíà÷åííÿ 0, 1, ..., n). Ðîçïîäië öi¹¨ âèïàäêîâî¨ âåëè÷èíè:

pn (k) = P{ω : ξ(ω) = k} = Cnk pk q n−k íàçèâàþòü áiíîìiàëüíèì ðîçïîäiëîì. 21

Íåõàé ξ(ω) - âèïàäêîâà âåëè÷èíà, ÿêà äîðiâíþ¹ êiëüêîñòi âèïðîáóâàíü äî ïîÿâè ïåðøîãî óñïiõó â ñõåìi Áåðíóëëi ç 0 < p ≤ 1. Îñêiëüêè âèïðîáóâàííÿ íåçàëåæíi, òî

P{ξ(ω) = n} = q n p, n = 0, 1, 2, ... . Ðîçïîäië òàêî¨ âèïàäêîâî¨ âåëè÷èíè íàçèâàþòü ãåîìåòðè÷íèì ðîçïîäiëîì. Îçíà÷åííÿ. Âèïàäêîâà âåëè÷èíà ξ(ω) ì๠ðîçïîäië Ïóàññîíà ç ïàðàìåòðîì λ (λ > 0), ÿêùî âîíà íàáóâ๠çíà÷åíü 0,1,... ç éìîâiðíîñòÿìè

P{ξ = n} =

λn e−λ n!

Îçíà÷åííÿ. Íåõàé ξ - äèñêðåòíà âèïàäêîâà âåëè÷èíà, ÿêà íàáóâà¹

çíà÷åííÿ x1 , x2 , ... ç éìîâiðíîñòÿìè p1 , p2 , ... . Ìàòåìàòè÷íèì ñïîäiâàííÿì ξ íàçèâàþòü òàêó âåëè÷èíó

Mξ =

X

pk x k ,

k≥1

ÿêùî ñóìà ó ïðàâié ÷àñòèíi ì๠çìiñò. Îçíà÷åííÿ. Äèñïåðñi¹þ âèïàäêîâî¨ âåëè÷èíè ξ íàçèâàþòü

Dξ = M(ξ − Mξ)2 =

X

(xi − Mξ)2 pi .

i≥1

À6 1. Ìîíåòó ïiäêèäàþòü 2 ðàçè. Îïèñàòè ïðîñòið åëåìåíòàðíèõ ïîäié, çíàéòè ìàòåìàòè÷íå ñïîäiâàííÿ, äèñïåðñiþ êiëüêîñòi ãåðáiâ ùî âèïàëè. 2. Ìîíåòó ïiäêèäàþòü 3 ðàçè. Îïèñàòè ïðîñòið åëåìåíòàðíèõ ïîäié, çíàéòè ðîçïîäië âèïàäêîâî¨ âåëè÷èíè - ÷èñëà ïîÿâ ãåðáà, ìàòåìàòè÷íå ñïîäiâàííÿ, äèñïåðñiþ öi¹¨ âèïàäêîâî¨ âåëè÷èíè. 3. Iìîâiðíiñòü òîãî, ùî ëþäèíà âiêó 25 ðîêiâ íå âìðå ïðîòÿãîì ðîêó, ñêëàä๠0.998. Ïëàòà çà ñòðàõóâàííÿ - $10 çà ñóìó $1000. Çíàéòè ìàòåìàòè÷íå ñïîäiâàííÿ, äèñïåðñiþ, ðîçïîäië ïðèáóòêó ñòðàõîâî¨ êîìïàíi¨. 22

4. Îäíîðóêèé áàíäèò. Ó äâîõ âiêîíå÷êàõ ãðàëüíîãî àâòîìàòó ç'ÿâëÿþòüñÿ ìàëþíêè: äçâiíî÷êè, âèøíi , ÿáëóêà. Âiðîãiäíîñòi ïîÿâè äëÿ äçâiíî÷êiâ - 0.4, âèøåíü - 0.5, ÿáëóê - 0.1. Ïëàòà çà ãðó - 5 öåíòiâ. Ãðàâåöü îòðèìó¹ âèãðàø: ÿêùî ç'ÿâëÿþòüñÿ äâà îäíàêîâi ìàëþíêè. Âèãðàøi: 2 äçâiíî÷êè - 50, 2 âèøíi - 10, 2 ÿáëóêà -5 öåíòiâ. Çíàéòè ìàòåìàòè÷íå ñïîäiâàííÿ, äèñïåðñiþ, ðîçïîäië âèãðàøó. 5. Êóáèê ïiäêèäàþòü 3 ðàçè. Íåõàé ξ - ÷èñëî ïîÿâ øiñòêè. Çíàéòè ìàòåìàòè÷íå ñïîäiâàííÿ, äèñïåðñiþ, ðîçïîäië âèïàäêîâî¨ âåëè÷èíè ξ. 6. Íîâîáðàíåöü ðîáèòü 20 ïîñòðiëiâ ó ìiøåíü. Âëó÷๠âií ç éìîâiðíiñòþ 0.2 äëÿ îêðåìèõ ïîñòðiëiâ. Ñêiëüêè â ñåðåäíüîìó áóäå âëó÷åíü? 7. Íåõàé ξ ì๠áiíîìiàëüíèé ðîçïîäië ç ïàðàìåòðàìè 6 òà 0.5. Ïîêàçàòè, ùî ξ =3 íàéáiëüø éìîâiðíå çíà÷åííÿ. 8. Ìîíåòó ïiäêèäàþòü äî ïîÿâè ðåøiòêè. Îïèñàòè ïðîñòið åëåìåíòàðíèõ ïîäié, çíàéòè ðîçïîäië âèïàäêîâî¨ âåëè÷èíè - ÷èñëà ïîÿâ ãåðáà, ìàòåìàòè÷íå ñïîäiâàííÿ, äèñïåðñiþ. 9. Ãðàëüíèé êóáèê ïiäêèäàþòü äî ïîÿâè 6. ξ - êiëüêiñòü ïiäêèäàíü äî çàâåðøåííÿ åêñïåðèìåíòó. Îá÷èñëèòè ðîçïîäië ξ , Åξ , Dξ , P(ξ >1). 10. Òðèâàëiñòü òåëåôîííî¨ ðîçìîâè âèìiðþ¹òüñÿ õâèëèíàìè i ì๠ãåîìåòðè÷íèé ðîçïîäië. ßêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî ðîçìîâà òðèâàòèìå 3 õâèëèíè, ÿêùî âîíà äî öüîãî âæå òðèâàëà 10 õâèëèí? 11.  ìàãàçèí çàõîäèòü â ñåðåäíüîìó 10 ïîêóïöiâ íà ãîäèíó. à) ßêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî çà îäíó ãîäèíó íå çàéäå æîäåí ïîêóïåöü? á) ßêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî çàéäå áiëüøå íiæ îäèí ïîêóïåöü? 12. Âiäîìî, ùî ñåðåäí¹ ÷èñëî àâàðié çà äåíü íà òðàñi Êè¨â-×åðíiãiâ 3. Íåõàé ξ - êiëüêiñòü àâàðié çà òèæäåíü. Âèçíà÷èòè ðîçïîäië ξ , Dξ . ßêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî çà òèæäåíü íå áóäå æîäíî¨ àâàði¨? 13. ™ 20 âèðîáiâ, 10 ç ÿêèõ áðàêîâàíi. Âèáèðà¹òüñÿ 5 âèðîáiâ. ξ êiëüêiñòü áðàêîâàíèõ âèðîáiâ â öié âèáiðöi. Âèçíà÷èòè ðîçïîäië ξ (ãiïåðãåîìåòðè÷íèé ðîçïîäië), Eξ òà Dξ .

23

Â6 1. Âèïàäêîâà âåëè÷èíà ïðèéì๠òðè çíà÷åííÿ: 1, 0, -1 ç îäíàêîâèìè éìîâiðíîñòÿìè. Çíàéòè ¨¨ ìàòåìàòè÷íå ñïîäiâàííÿ, äèñïåðñiþ. 2.Ôóíêöiÿ  ðîçïîäiëó âèïàäêîâî¨ âåëè÷èíè ξ âèçíà÷åíà òàê:   0, x ≤ 1 F (x) = 1/2, x ∈ (1, 3]   1, x > 3 Îá÷èñëèòè ðîçïîäië ξ , Eξ , Dξ , P (ξ < 2). 2. Òðè ðàçè ïiäêèäàþòü ìîíåòó. Éìîâiðíiñòü ïîÿâè ãåðáà - 2/3, ðåøiòêè -1/3. Çíàéòè ìàòåìàòè÷íå ñïîäiâàííÿ, äèñïåðñiþ, ðîçïîäië êiëüêîñòi ãåðáiâ. 3. Íàéïðîñòiøèé âàðiàíò ãðè â ðóëåòêó ïîëÿã๠â ñòàâöi íà îäèí íîìåð âiä 0 äî 36, àáî çåðî. Çíàéòè î÷iêóâàíèé âèãðàø ïðè ñòàâöi çà ãðó $1 òà âèãðàøi çà âãàäàíèé íîìåð $36. 4. Êóáèê ïiäêèäàþòü 8 ðàç. Çíàéòè ðîçïîäië êiëüêîñòi ïîÿâ îäèíèöi, ìàòåìàòè÷íå ñïîäiâàííÿ, äèñïåðñiþ. 5. Ìîíåòó ïiäêèäàþòü 4 ðàçè. Îïèñàòè ïðîñòið åëåìåíòàðíèõ ïîäié, çíàéòè ìàòåìàòè÷íå ñïîäiâàííÿ, äèñïåðñiþ êiëüêîñòi ãåðáiâ ùî âèïàäóòü. 6. Âèïàäêîâà âåëè÷èíà ξ ì๠áiíîìiàëüíèé ðîçïîäië ç ïàðàìåòðàìè n òà p. Eξ =12, Dξ =4. Îá÷èñëèòè n òà p. 7. Âiäîìî, ùî ç 15 ôiðì 5 - áàíêðóòè. Ñïåöiàëiñò âêàçàâ 3 iç 5. Âèçíà÷èòè éîãî ïðîôåñiéíèé ðiâåíü. 8. Ç êîëîäè â 52 êàðòè âèéìàþòü äâi êàðòè ç ïîâåðíåííÿì. Åêñïåðèìåíò ïðîäîâæó¹òüñÿ äîòè, äîêè íå ç'ÿâëÿòüñÿ êàðòè ðiçíîãî êîëüîðó. Âèïàäêîâà âåëè÷èíà ξ - êiëüêiñòü åêñïåðèìåíòiâ â òàêié ñåði¨. Îá÷èñëèòè ðîçïîäië ξ , ìàòåìàòè÷íå ñïîäiâàííÿ, äèñïåðñiþ, P(ξ >2). 9. Ñåðåäíÿ êiëüêiñòü òåëåôîííèõ äçâiíêiâ ó êîìïàíiþ çà ãîäèíó äîðiâíþ¹ 10. Îá÷èñëèòè éìîâiðíiñòü òîãî, ùî çà ãîäèíó: à) áóäå ëèøå îäèí äçâiíîê; á) íå áóäå æîäíîãî äçâiíêà; â) áóäå áiëüø íiæ 2 äçâiíêè. 10. Íåõàé ξ - âèïàäêîâà âåëè÷èíà ç ðîçïîäiëîì Ïóàññîíà ç ïàðàìåòðîì λ. Ïîêàçàòè, ùî P(ξ =k) ñïî÷àòêó çðîñòà¹, à ïîòiì ñïàä๠iç çðîñòàííÿì k, äîñÿãàþ÷è ìàêñèìóìó, êîëè k - íàéáiëüøå öiëå ÷èñëî, ÿêå íå ïåðåâèùó¹ λ.

24

Çàíÿòòÿ 7. Àáñîëþòíî íåïåðåðâíi âèïàäêîâi âåëè÷èíè. Îçíà÷åííÿ. Íåõàé ξ - âèïàäêîâà âåëè÷èíà ç ôóíêöi¹þ ðîçïîäiëó F(x) = P{ξ < x}. Êàæóòü, ùî ξ - àáñîëþòíî íåïåðåðâíà âèïàäêîâà âå-

ëè÷èíà, àáî ùî ξ ì๠ùiëüíiñòü ðîçïîäiëó p(·), ÿêùî iñíó¹ iíòåãðîâíà ôóíêöiÿ p(·) òàêà, ùî Z x p(t)dt. (1) F(x) = −∞

Ôóíêöiþ p(·) ó òî÷êàõ ¨¨ íåïåðåðâíîñòi ìîæíà çíàéòè òàê:

p(x) = F0 (x).

Îçíà÷åííÿ. Ðiâíîìiðíèì ðîçïîäiëîì íà âiäðiçêó [à,b] íàçèâàþòü ðîçïîäië ç ùiëüíiñòþ (

p(x) =

1 , b−a

ÿêùî x ∈ [a, b] ÿêùî x ∈ 6 [a, b].

0,

Ôóíêöiÿ ðîçïîäiëó ξ :

Fξ (x) =

  1, 

ÿêùî x > b ÿêùî x ∈ (a, b] ÿêùî x ≤ a.

x−a , b−a

0,

Îçíà÷åííÿ. Âèïàäêîâà âåëè÷èíà ξ ì๠ïîêàçíèêîâèé (åêñïîíåíöié-

íèé) ðîçïîäië ç ïàðàìåòðîì λ > 0, ÿêùî ùiëüíiñòü ξ âèçíà÷à¹òüñÿ çà ôîðìóëîþ (

p(x) =

λe−λx , ÿêùî x ≥ 0 0, ÿêùî x < 0.

Ôóíêöiÿ ðîçïîäiëó ξ :

(

F(x) = P{ξ < x} =

(2)

1 − e−λx , ÿêùî x ≥ 0 0, ÿêùî x < 0.

Îçíà÷åííÿ. Íîðìàëüíèì ðîçïîäiëîì N (a, σ 2 ) ç ïàðàìåòðàìè a òà σ 2

íàçèâàþòü ðîçïîäië ç ùiëüíiñòþ:

p(x) = √

(x−a)2 1 e− 2σ2 . 2πσ

25

Îçíà÷åííÿ. Íåõàé âèïàäêîâà âåëè÷èíà ξ ì๠ùiëüíiñòü ðîçïîäiëó

p(x), òîäi ìàòåìàòè÷íèì ñïîäiâàííÿì ξ íàçèâàþòü ÷èñëî: Mξ =

Z +∞ −∞

xp(x)dx,

ÿêùî iíòåãðàë ó ïðàâié ÷àñòèíi âèçíà÷åíèé êîðåêòíî (àáñîëþòíî çáiãà¹òüñÿ). Îçíà÷åííÿ. Äèñïåðñi¹þ àáñîëþòíî íåïåðåðâíî¨ âèïàäêîâî¨ âåëè÷èíè ξ íàçèâàþòü ÷èñëî: 2

Dξ = M(ξ − Mξ) =

Z +∞ −∞

(x − Mξ)2 p(x)dx.

A7 1. Ùiëüíiñòü ðîçïîäiëó âèïàäêîâî¨ âåëè÷èíè ξ ì๠âèãëÿä:

p (x) =

   0, x < 0  

cx2 , x ∈ [0, 1] 0, x > 1

Îá÷èñëèòè ñ, ôóíêöiþ ðîçïîäiëó ξ , Eξ , Dξ. Íàìàëþâàòè ãðàôiê ùiëüíîñòi òà ôóíêöi¨ ðîçïîäiëó ξ . Îá÷èñëèòè P (ξ < 1/3). 2. Ìiæ äâîìà ïóíêòàìè, âiäñòàíü ìiæ ÿêèìè 10 êì, ¨çäèòü àâòîáóñ ç çóïèíêîþ íà âèìîãó ó áóäü-ÿêîìó ìiñöi. Ùiëüíiñòü éìîâiðíîñòi ïîñàäêè ïàñàæèðà â òî÷öi õ (0 ≤ x ≤ 10) ïðîïîðöiéíà x(10 − x)2 . Âèçíà÷èòè öþ ùiëüíiñòü òà âiäïîâiäíó ôóíêöiþ ðîçïîäiëó. Íàêðåñëèòè ¨õ ãðàôiêè. Îá÷èñëèòè ìàòåìàòè÷íå ñïîäiâàííÿ òà äèñïåðñiþ ìiñöÿ ïîñàäêè. ßêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî ïàñàæèð çóïèíèòü àâòîáóñ ðàíiøå ïóíêòó ç êîîðäèíàòîþ Z. 3. Çíàéòè ìàòåìàòè÷íå ñïîäiâàííÿ i äèñïåðñiþ âèïàäêîâî¨ âåëè÷èíè ξ ðiâíîìiðíî ðîçïîäiëåíî¨ â ïðîìiæêó [1, 11]. Îá÷èñëèòè P (ξ > 9). 4. Âàãà àâòîìîáiëÿ m ðiâíîìiðíî ðîçïîäiëåíà ìiæ 998 êã i 1 ò. Çíàéòè ùiëüíiñòü, ôóíêöiþ ðîçïîäiëó , ìàòåìàòè÷íå ñïîäiâàííÿ òà äèñïåðñiþ m. 5. Îá÷èñëèòè Eξ òà Dξ äëÿ âèïàäêîâî¨ âåëè÷èíè çi ùiëüíiñòþ p (x) = 12 e−|x| (ðîçïîäië Ëàïëàñà) 26

6. Ñòóäåíòè âèêîðèñòîâóþòü êîìï'þòåðè ó ñåðåäíüîìó 30 õâ. Âèçíà÷èòè ùiëüíiñòü, ôóíêöiþ ðîçïîäiëó ÷àñó âèêîðèñòàííÿ, íàìàëþâàòè âiäïîâiäíi ãðàôiêè. Çíàéòè âiðîãiäíiñòü òîãî, ùî ñòóäåíò ïðàöþâàòèìå çà êîìï'þòåðîì ìåíøå 30 õâ. 7. Ôóíêöiÿ ðîçïîäiëó ÷àñó ξ áåçâiäìîâíî¨ ðîáîòè êîìï'þòåðà ì๠âèãëÿä: ½

F (t) =

t

1 − e− T , t ≥ 0 0, t < 0

Çíàéòè ùiëüíiñòü ξ . Íàêðåñëèòè ãðàôiêè ùiëüíîñòi òà ôóíêöi¨ ðîçïîäiëó ξ . Îá÷èñëèòè Eξ , Dξ . 8. ×àñ íàïèñàííÿ iñïèòó â ñåðåäíüîìó 3 ãîäèíè, ñòàíäàðòíå âiäõèëåííÿ - 5 õâ. Âèçíà÷èòè ùiëüíiñòü, ðîçïîäië ÷àñó iñïèòó, íàìàëþâàòè ãðàôiêè âiäïîâiäíèõ ôóíêöié. Çíàéòè iìîâiðíiñòü òîãî, ùî à) åêçàìåí áóäå òðèâàòè ìåíøå 2 ãîä. 50 õâ. á) åêçàìåí áóäå òðèâàòè ìiæ 2 ãîä. 50 õâ. i 3 ãîä. 10 õâ. 9. Ñåðåäíÿ äîâæèíà êàðòêè - 3 ä, äèñïåðñiÿ - 0.01 ä. Êàðòêà ââàæà¹òüñÿ äåôåêòíîþ, êîëè äîâæèíà ¨¨ ìåíøà çà 2.98 ä. ßêà éìîâiðíiñòü: a) äåôåêòó? á) òîãî, ùî äîâæèíà êàðòêè áóäå áiëüøå 3.03 ä? 10. Äëÿ ÿêîãî çíà÷åííÿ a ôóíêöiÿ

p (x) =

a 1 + x2

¹ ùiëüíiñòþ âèïàäêîâî¨ âåëè÷èíè. Îá÷èñëèòè: a) ôóíêöiþ ðîçïîäiëó öi¹¨ âåëè÷èíè. á) éìîâiðíiñòü òîãî, ùî âîíà ïîòðàïèòü â ïðîìiæîê (-1,1).

27

B7 1. Ùiëüíiñòü âèïàäêîâî¨ âåëè÷èíè ξ ïðèéì๠îäíå é òå æ çíà÷åííÿ ó äâîõ ïðîìiæêàõ: (-2,1) i (4,5).  iíøèõ òî÷êàõ ùiëüíiñòü ñòàëà. Çíàéòè ìàòåìàòè÷íå ñïîäiâàííÿ, äèñïåðñiþ ξ . 2. Ôóíêöiÿ ðîçïîäiëó ði÷íèõ ïðèáóòêiâ ξ îñiá, ÿêi îáêëàäàþòüñÿ ïîäàòêàìè ì๠âèãëÿä: (

F (x) =

³

´a

1 − xx0 , x ≥ x0 0, x < x0

Çíàéòè ùiëüíiñòü ξ , Eξ , Dξ . Âèçíà÷èòè ðîçìið ði÷íîãî ïðèáóòêó, ÿêèé äëÿ âèïàäêîâî âèáðàíîãî ïëàòíèêà ìîæå áóòè ïåðåâèùåíèé ç éìîâiðíiñòþ 0,5. 3. ×àñ ïîëüîòó äî Íüþ-Éîðêà âàðiþ¹òüñÿ âiä 2 äî 2.5 ãîäèí. Ïîáóäóâàòè ôóíêöi¨ òà ãðàôiêè: ùiëüíîñòi, ôóíêöi¨ ðîçïîäiëó ÷àñó ïîëüîòó; çíàéòè ìàòåìàòè÷íå ñïîäiâàííÿ (ñåðåäíié ÷àñ ïîëüîòó ëiòàêà), äèñïåðñiþ, âiðîãiäíiñòü òîãî, ùî ëiòàê ïðèëåòèòü ðàíiøå íiæ çà 2 ãîä. 10 õâ. 4. ×àñ î÷iêóâàííÿ ïî¨çäà ó ìåòðî t çìiíþ¹òüñÿ âiä 0 äî 4 õâ. Çíàéòè ùiëüíiñòü, ôóíêöiþ ðîçïîäiëó, ìàòåìàòè÷íå ñïîäiâàííÿ, äèñïåðñiþ t; éìîâiðíiñòü òîãî, ùî ÷åêàòè äîâåäåòüñÿ áiëüøå, íiæ 2 õâ. 5. Åëåêòðîííà ëàìïà ïðàöþ¹ â ñåðåäíüîìó 3 ðîêè. Âèçíà÷èòè ùiëüíiñòü, ôóíêöiþ ðîçïîäiëó ÷àñó ðîáîòè ëàìïè, íàìàëþâàòè ãðàôiêè âiäïîâiäíèõ ôóíêöié. Çíàéòè âiðîãiäíiñòü òîãî, ùî åëåêòðîííà ëàìïà ïðàöþâàòèìå íå ìåíøå íiæ òðè ðîêè. 6. Éìîâiðíiñòü âèÿâëåííÿ ïàðîïëàâà, ÿêèé çàòîíóâ, çà ÷àñ ïîøóêó t çàäà¹òüñÿ ôîðìóëîþ:

F (t) = 1 − e−γt , (γ > 0) Âèçíà÷èòè: à) ñåðåäíié ÷àñ ïîøóêó ïàðîïëàâà; á) éìîâiðíiñòü òîãî, ùî ÷àñó íà ïîøóêè ïiäå áiëüøå ðîêó. 7.  ñåðåäíüîìó çà äåíü ÷åðåç áàíê ïðîõîäèòü $55000 çi ñòàíäàðòíèì âiäõèëåííÿì $10000. Çíàéòè ùiëüíiñòü, ôóíêöiþ ðîçïîäiëó. Çíàéòè âiðîãiäíiñòü òîãî, ùî ñóìà áóäå ìåíøà çà $50000.

28

8. Ñèñòåìàòè÷íà ïîìèëêà óòðèìàííÿ âèñîòè ëiòàêîì äîðiâíþ¹ +20ì, âèïàäêîâà ïîìèëêà ì๠ñåðåäí¹ êâàäðàòè÷íå âiäõèëåííÿ 75ì. Äëÿ ïîëüîòó ëiòàêó âiäâåäåíî êîðèäîð 100ì. ßêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî ëiòàê áóäå ëåòiòè à) íèæ÷å; á) âñåðåäèíi; â) âèùå êîðèäîðó, ÿêùî éîìó çàäàíà âèñîòà, ùî âiäïîâiä๠ñåðåäèíi êîðèäîðà? 9. Îáðîáêà ðåçóëüòàòiâ ïåðåïèñó, ïîêàçàëà, ùî ùiëüíiñòü âiêó ëþäåé, ÿêi çàéìàþòüñÿ íàóêîâîþ ðîáîòîþ, ìîæå áóòè çîáðàæåíà ôîðìóëîþ

f (x) = k (x − 22, 5) (97, 5 − x)3 (x - ÷àñ â ðîêàõ, 22, 5 ≤ x ≤ 97, 5). Âèçíà÷èòè â ñêiëüêè ðàçiâ êiëüêiñòü íàóêîâèõ ïðàöiâíèêiâ ó âiöi íèæ÷å ñåðåäíüîãî ïåðåâèùó¹ êiëüêiñòü íàóêîâèõ ïðàöiâíèêiâ ó âiöi âèùå ñåðåäíüîãî. 10. Âèïàäêîâà âåëè÷èíà ξ ðiâíîìiðíî ðîçïîäiëåíà íà âiäðiçêó [0,1]. Çíàéòè ùiëüíiñòü, ìàòåìàòè÷íå ñïîäiâàííÿ i äèñïåðñiþ âèïàäêîâî¨ âåëè÷èíè η = 3ξ − 2.

29

Çàíÿòòÿ 8. Ñóìiñíi ðîçïîäiëè âèïàäêîâèõ âåëè÷èí. Íåçàëåæíiñòü. Êîåôiöi¹íòè êîâàðiàöi¨ òà êîðåëÿöi¨. Ðîçãëÿíåìî äâi äèñêðåòíi âèïàäêîâi âåëè÷èíè ξ i η, ÿêi âèçíà÷åíi íà îäíîìó ïðîñòîði åëåìåíòàðíèõ ïîäié Ω i ïðèéìàþòü çíà÷åííÿ xi , i ≥ 1, òà yj , j ≥ 1 ç éìîâiðíîñòÿìè pi , i ≥ 1 òà qj , j ≥ 1 âiäïîâiäíî. Òi òî÷êè ïðîñòîðó Ω, äëÿ ÿêèõ âèêîíóþòüñÿ îáèäâi óìîâè ξ(ω) = xi òà η(ω) = yj óòâîðþþòü âèïàäêîâó ïîäiþ {ω : ξ(ω) = xi , η(ω) = yj } éìîâiðíiñòü ÿêî¨ áóäåìî ïîçíà÷àòè òàê:

pij = P{ω : ξ(ω) = xi , η(ω) = yj }, i ≥ 1, j ≥ 1. Íàáið éìîâiðíîñòåé pij , i ≥ 1, j ≥ 1 íàçèâàþòü ñóìiñíèì ðîçïîäiëîì äèñêðåòíèõ âèïàäêîâèõ âåëè÷èí ξ òà η. Äëÿ êîæíîãî ôiêñîâàíîãî i ìà¹ìî: X

pij = pi .

j≥1

Íåõàé f (·, ·) - äåÿêà ôóíêöiÿ äâîõ çìiííèõ. Òîäi f (ξ, η) - âèïàäêîâà âåëè÷èíà, à ¨¨ ìàòåìàòè÷íå ñïîäiâàííÿ ìîæíà îá÷èñëèòè òàê:

Mf (ξ, η) =

XX

f (xi , yj )pij .

i≥1 j≥1

Îçíà÷åííÿ. Âèïàäêîâi âåëè÷èíè ξ1 , ..., ξk - íåçàëåæíi, ÿêùî äëÿ áóäü-

ÿêèõ x1 , ..., xk :

P{ξ1 = x1 , ..., ξk = xk } = P{ξ1 = x1 } · ... · P{ξk = xk }. Ðîçãëÿíåìî äâi àáñîëþòíî íåïåðåðâíi âèïàäêîâi âåëè÷èíè ξ i η , ÿêi âèçíà÷åíi íà îäíîìó ïðîñòîði åëåìåíòàðíèõ ïîäié Ω i ìàþòü ùiëüíîñòi p(x) òà q(x) âiäïîâiäíî. Òî÷êè ω ïðîñòîðó Ω, äëÿ ÿêèõ âèêîíóþòüñÿ îáèäâi óìîâè ξ(ω) < x i η(ω) < x óòâîðþþòü âèïàäêîâó ïîäiþ {ω : ξ(ω) < x, η(ω) < y}, éìîâiðíiñòü ÿêî¨ ïîçíà÷àþòü òàê:

F(x, y) = P{ω : ξ(ω) < x, η(ω) < y} 30

i íàçèâàþòü ñóìiñíîþ ôóíêöi¹þ ðîçïîäiëó. Ôóíêöiþ f (x, y) òàêó, ùî Z Z

F(x, y) =

{(t,s):t<x,s d1− α2 σ1 σ22 +m n i ïðèéìà¹òüñÿ â iíøîìó âèïàäêó. á) Ó âèïàäêó, êîëè äèñïåðñi¨ íåâiäîìi, àëå îäíàêîâi ãiïîòåçà H0 : a1 = a2 âiäõèëÿ¹òüñÿ, ÿêùî |ξ¯ − η¯| q ≥ t1− α2 ,n+m−2 , s n+m nm äå

s2ξ =

n 1 X ¯ 2, (ξi − ξ) n − 1 i=1

s2 =

s2η =

m 1 X (ηj − η¯)2 , m − 1 j=1

1 [(n − 1)s2ξ + (m − 1)s2η ]. n+m−2

44

Ïåðåâiðêà ãiïîòåçè ïðî âèä ðîçïîäiëó.

Íåõàé â ðåçóëüòàòi åêñïåðèìåíòó îòðèìàëè âèáiðêó ζ = (ξ1 , ..., ξn ) iç ãåíåðàëüíî¨ ñóêóïíîñòi ç íåâiäîìèì ðîçïîäiëîì F. G - çàäàíèé ðîçïîäië. Ïîòðiáíî ïåðåâiðèòè ãiïîòåçó H0 : F = G. Ðîçiá'¹ìî îáëàñòü çíà÷åíü âèïàäêîâî¨ âåëè÷èíè íà ñêií÷åíó êiëüêiñòü ìíîæèí 4i , i = 1, 2, ..., r, ÿêi íå ïåðåòèíàþòüñÿ, i âèçíà÷èìî

χˆ2n =

µ r X n νi i=1

pi

n

¶2

− pi

,

äå pi = P{ξk ∈ 4i } îá÷èñëþþòüñÿ çà ãiïîòåòè÷íèì ðîçïîäiëîì G, à νi - ÷èñëî åëåìåíòiâ âèáiðêè, ÿêi ïîòðàïèëè ó ìíîæèíó 4i . Ìíîæèíè 4i âèáèðàþòü òàê, ùîá âñi pi > 0. Êðèòåðié χ2 ç ðiâíåì çíà÷èìîñòi α ïîëÿã๠ó òîìó, ùî ãiïîòåçà H0 âiäõèëÿ¹òüñÿ ïðè χˆ2n > χ21−α,r−1 i ïðèéìà¹òüñÿ â iíøîìó âèïàäêó.

Ïåðåâiðêà ãiïîòåçè ïðî íåçàëåæíiñòü âèïàäêîâèõ âåëè÷èí.

Íåõàé ξ òà η - äâi äèñêðåòíi âèïàäêîâi âåëè÷èíè, ÿêi ìîæóòü íàáóâàòè çíà÷åííÿ x1 , x2 , ..., xk òà y1 , y2 , ..., yl âiäïîâiäíî. Ïîòðiáíî ïåðåâiðèòè ãiïîòåçó H0 : âèïàäêîâi âåëè÷èíè ξ òà η - íåçàëåæíi. Ïîçíà÷èìî νij - êiëüêiñòü ñïîñòåðåæåíü (ξ, η), ðåçóëüòàòàìè ÿêèõ ¹ (xi , yj ). Òîäi ðåçóëüòàòè íàøèõ n ñïîñòåðåæåíü ìîæíà ïîäàòè ó âèãëÿäi òàáëèöi ñïðÿæåíîñòi îçíàê:

ξ\η x1 x2 .. .

P

y1 ν11 ν21 .. .

y2 ν12 ν22 .. .

xk νk1 Ñóìà ν·1

νk2 ν·2

... ... ... .. . ... ...

yl ν1l ν2l .. .

Ñóìà ν1· ν2· .. .

νkl ν·l

νk· n

P

äå ν·j = ki=1 νij , j = 1, 2, ..., l; νi· = lj=1 νij , i = 1, 2, ..., k. Ãiïîòåçà H0 âiäõèëÿ¹òüñÿ ïðè ðiâíi çíà÷èìîñòi α, ÿêùî

χˆ2n > χ21−α,(k−1)(l−1) ,

45

Ã

äå

χˆ2n

=n

!

2 k P l P νij

i=1 j=1

ν·j νi·

−1 .

À11 1. Çà ðåçóëüòàòàìè åêñïåðèìåíòiâ îòðèìàëè òàêi äàíi : X(ñåð)=4.1, n=36 (êiëüêiñòü ñïîñòåðåæåíü). Ïðè âiäîìîìó ñòàíäàðòíîìó âiäõèëåííi σ =3 i ðiâíi çíà÷èìîñòi α=0.05 ïåðåâiðèòè ãiïîòåçó ïðî òå, ùî ñåðåäí¹ äîðiâíþ¹ 4. 2. Çà äàíèìè: 18,23,24,20,21,19,27,24,19,20,25,20,18,26,20 ïåðåâiðèòè ãiïîòåçó ïðî òå, ùî ñåðåäíié âiê ñòóäåíòiâ êóðñó 21 ðiê. Âèáðàòè ðiâåíü çíà÷èìîñòi α=0,02 i ðîçãëÿíóòè âèïàäêè: à) ñòàíäàðòíå âiäõèëåííÿ äîðiâíþ¹ 3; á) ñòàíäàðòíå âiäõèëåííÿ íåâiäîìå. 3. Äàíî öiíè çà óíöiþ ðiçíèõ øàìïóíiâ äëÿ äâîõ òèïiâ âîëîññÿ. Øàìïóíi äëÿ çâè÷àéíîãî âîëîññÿ:

1 69 16 85

2 9 17 44

3 23 18 87

4 22 19 17

5 8 20 11

6 12 21 23

7 32 22 50

8 12 23 65

9 18 24 51

10 74 25 35

11 19 26 14

12 63 27 20

13 49 28 28

14 37 29 8

15 55

Öiíè øàìïóíiâ äëÿ ñóõîãî âîëîññÿ:

1 79 17 16

2 63 18 23

3 19 19 20

4 9 20 64

5 37 21 28

6 49 22 18

7 20 23 32

8 16 24 81

9 55 25 85

10 69 26 45

11 23 27 50

12 14 28 8

13 9 29 13

14 87 30 21

15 44 31 9

16 13

à) Ïðè íåâiäîìèõ äèñïåðñiÿõ ïåðåâiðèòè ãiïîòåçó ïðî ðiâíiñòü ñåðåäíiõ öií öèõ øàìïóíiâ. á) Ïðè âiäîìèõ äèñïåðñiÿõ σ12 = 5, σ22 = 7 ïåðåâiðèòè ãiïîòåçó ïðî ðiâíiñòü ñåðåäíiõ öií öèõ øàìïóíiâ. 4. Íàâìàííÿ âiäiáðàíèì 10 äiòÿì ùîäíÿ äàâàëè àïåëüñèíîâèé ñiê. ×åðåç äåÿêèé ÷àñ áóëî çàôiêñîâàíî òàêå çáiëüøåííÿ âàãè äiòåé: 2; 1,2; 1,7; 2; 1,2; 0,4; 1,6; 1,4; 1,2; 1,7 Iíøié ãðóïi ç 10 äiòåé ùîäíÿ äàâàëè ìîëîêî. ˆõíi çìiíè ó âàçi òàêi: 46

0,7; 1,7; 1,2; 1,4; 1,3; 1; 1; 1,2; 0,7; 1,4 ×è iñòîòíà ðiçíèöÿ ó çáiëüøåííi âàãè äëÿ ïåðøî¨ òà äðóãî¨ ãðóï. Âèáðàòè ðiâåíü çíà÷èìîñòi α=0,01. Ðîçâ'ÿçàòè çàäà÷ó, ÿêùî à) ñòàíäàðòíå âiäõèëåííÿ ó ïåðøié ãðóïi -1,5, ó äðóãié 1,2. á) ñòàíäàðòíi âiäõèëåííÿ íåâiäîìi. 5. Ç 1871 ïî 1900 ð. ó Øâåéöàði¨ íàðîäèëèñü 1 359 671 õëîïåöü i 1 285 086 äiâ÷àò. ×è ïîãîäæó¹òüñÿ ãiïîòåçà ïðî òå, ùî éìîâiðíiñòü íàðîäæåííÿ õëîï÷èêà 0,5, ç öèìè äàíèìè? Âèáðàòè ðiâåíü çíà÷èìîñòi α=0,01. 6. Êîíòðîëüíà ïåðåâiðêà íà ÿêiñòü çðàçêiâ ïðîäóêöi¨ òðüîõ ïiäïðè¹ìñòâ äàëà òàêi ðåçóëüòàòè: Ïiäïðè¹ìñòâî ßêiñíi Íåÿêiñíi Âñüîãî

1 29 1 30

2 38 2 40

3 53 7 60

Âñüîãî 120 10 130

Ïåðåâiðèòè ãiïîòåçó ïðî òå, ùî ÿêiñòü äåòàëi íå çàëåæèòü âiä ïiäïðè¹ìñòâà, íà ÿêîìó äåòàëü âèðîáëÿ¹òüñÿ. Â11 1. Çà ðåçóëüòàòàìè åêñïåðèìåíòiâ îòðèìàëè òàêi äàíi : X(ñåð)=2.2, n=16 (êiëüêiñòü ñïîñòåðåæåíü). Ïðè âiäîìié äèñïåðñi¨ 0.8 i ðiâíi çíà÷èìîñòi α=0.02 ïåðåâiðèòè ãiïîòåçó ïðî òå, ùî ñåðåäí¹ äîðiâíþ¹ 2. 2. Çà äàíèìè ïðî êiëüêiñòü íåñïëà÷åíèõ ðàõóíêiâ ïî ìiñÿöÿõ 4,18,11,7,7,10,5,33,9,12,3,11,10,6,26,37,15,18,10,21 ïåðåâiðèòè ãiïîòåçó ïðî òå, ùî ñåðåäíÿ êiëüêiñòü íåñïëà÷åíèõ ðàõóíêiâ çà ìiñÿöü ñòàíîâèòü 10. Ðîçâ'ÿçàòè çàäà÷ó, ÿêùî: à) ñòàíäàðòíå âiäõèëåííÿ äîðiâíþ¹ 3; á) ñòàíäàðòíå âiäõèëåííÿ íåâiäîìå. Âèáðàòè ðiâåíü çíà÷èìîñòi α=0,01. 3. Äâà ïðèñòðî¨ îáðîáëÿþòü ñèðîâèíó. Âèìiðþâàííÿ ¨õ ïðîäóêòèâíîñòi çà ãîäèíó äàëè òàêi ðåçóëüòàòè:

47

14,1; 10,1; 14,7; 13,7; 14,0 i 14,0; 14,5; 13,7; 12,7; 14,1. ×è ìîæíà ââàæàòè, ùî ïðîäóêòèâíîñòi àãðåãàòiâ îäíàêîâi? Âèáðàòè ðiâåíü çíà÷èìîñòi α=0,01. 4. Ïðè ïiäêèäàííi ãðàëüíîãî êóáèêà îòðèìàëè òàêi ðåçóëüòàòè: Öèôðà Êiëüêiñòü ïîÿâ

1 50

2 39

3 55

4 47

5 60

6 53

×è ìîæíà çà öèìè äàíèìè ïðèéíÿòè ãiïîòåçó ïðî ñèìåòðè÷íiñòü ãðàëüíîãî êóáèêà? Âèáðàòè ðiâåíü çíà÷èìîñòi α=0,005. 5. Íàâìàííÿ îáðàíi ó÷íi áóëè ïîäiëåíi çà ¨õ êîëüîðîì âîëîññÿ (áiëÿâi; òåìíi) i êîëüîðîì î÷åé (áëàêèòíi, êàði): Òåìíi Áiëÿâi

Áëàêèòíi î÷i 31 40

Êàði î÷i 41 35

×è ìîæíà íà ïiäñòàâi öèõ äàíèõ çðîáèòè âèñíîâîê, ùî êîëið î÷åé çâ'ÿçàíèé ç êîëüîðîì âîëîññÿ? Âèáðàòè ðiâåíü çíà÷èìîñòi α=0,1.

48