Опредъленiе влiянiя измъненiя элементовъ земнаго сфероида на координаты точекъ его поверхности

ОПРЕДЪЛЕШЕ BJilflHIfl ИЗМЪНЕНШ ЭЛЕМЕНТОВЪ ЗЁМНАГО СФЕ­ РОИДА НА КООРДИНАТЫ ТОЧЕКЪ ЕГО ПОВЕРХНОСТИ.

М. 0. Хандрикова. (Читано 19 Января 1865 г.).

Въ ряду геодезическихъ вопросовъ весьма почетное игЬсто занимаетъ вопросъ объ опред^ленш координатъ какой-нибудь точки земнаго сфероида по коордянатамъ другой данной точки и^разстояшю ея отъ этой последней. Решете этого вопроса изв'Ьстньшъ образомъ зависитъ отъ элементовъ зем­ наго сфероида, за которые принимаются обыкновенно длина большой полуоси и эксцентриситетъ эллиптическаго мериÄiaHa земли. Неизб'Ежная неточность или, лучше сказать, до некоторой степени неопределенность этихъ величинъ, за­ висящая главнымъ образомъ отъ различныхъ неправильно­ стей земнаго сфероида, можетъ БЛЕЯТЬ на вычислеше коор­ динатъ точекъ земной поверхности по изв^стнымъ даннымъ; а потому опред^леше ТЕХЪ дифференщальныхъ коэффищентовъ, которыми представляется вл{яше изм^нетя элементовъ земнаго сфероида на координаты точекъ его поверхности, должно считать весьма важнымъ дополнешемъ къ р-Ьшешю указаннаго нами вопроса. Бессель въ своемъ мемуары «Ueber den Einfluss der Unre­ gelmässigkeiten der Figur der Erde, auf geodätische Arbeiten und ihre Vergleichung mit den astronomischen Bestimmungen» даетъ выражешя этихъ коэффищентовъ въ зависимости отъ эллиптическихъ интеграловъ трехъ видовъ. Намъ кажется, что

— UÙ —

интегралъ третьяго вида вошелъ въ выражеше коэффищента — вел'6дств1е ошибки сделанной Бесселемъ при вывод*. Убедиться въ этомъ и найти точныя выражешя коэффищентовъ можно сл-Ьдующимъ образомъ. Если отъ поверхности съ элементами а и е перейдемъ къ поверхности съ элементами a -f- $а, е + Se, то широта ср точ­ ки земнаго сфероида, ея долгота w считаемая отъ мерид1ана другой данной точки и азимутъ а выходящей геодезиче­ ской кривой изменятся въ а + ^ гд * очевидно 1

da

de

* dw * . dw * àw=-r-. оа 4-т- . ое da de л doc r, . d a л 6а = т -.оа + - г . об аа ае ЕСЛИ назовемъ чрезъ 5 разстояше между двумя точками на сфероид* и чрезъ и приведенную широту одной изъ нихъ, т для определение разности долготъ этихъ точекъ, какъ из­ вестно, им'Ьемъ w =/VT = \ / 1 — е . cos ад (fco й

кроме того

(8).... s=a Гу/Г=^

? отн

IÜ V

ооГо!

Л Л

° с я т с я къ определяемой точк-6, а

На этихъ

Ъ ц 1е Н т о в ъ

шл2и. ^;

ВЬ1В0 Ъ

— ™

х ъ

выраже

* Упомянутыхъ диффервшрадьвых»

и ?

къ

тъ

Т-^-

—ш — Между величинами го, ш, а} и и и' существуетъ зависи­ мость, какъ между частями сферическаго треугольника, сто­ роны котораго суть 90°—и, 90°—и', a, a противуположные имъ углы а', 180° — а, со. Такой сферическШ треугольникъ даетъ еледуюющя соотношешя необходимыя для определешя искомыхъ коэффищентовъ sinu = cosu . cosa = cosu . costo = sinu'. smco = (3).... cose . sma = сош . sina = COSM . smco = sina . #ша = cosu . smoo =

sinur . cosa -f~ cosu' • s^na • cosed — sinu' . ш а -)- cosu' cosa cosa' COSM' cose —- ж ' . cosa' . sina — sinon'. cosa -j- cosa cosa . ш а sina . COSM -f- sinu' COSOL' . smco cost/ . sma' sina' . sina smto . со$ге' «г/га sina

Если въ разематриваемомъ треугольник* будемъ изменять уголъ со, то съ этимъ вместе изменятся, какъ можно допустить, стороны 90—и, а и уголъ а, сторона же 9 0 — и и уголъ а' останутся безъ перемены. Уголъ а', какъ данная вопроса, есть действительно постоянная величина, получаемая чрезъ непосредственныя измерешя; что же касается до и , то оно будетъ изменяться съ изменешемъ с, помня все это, чрезъ дифференцироваше перваго изъ уравненш (3) находимъ cosu . Su = Su' (cosu' cosa — sinu'. sina cosa') + Sa (cosu' cosa' cosa — sinu'. sina). Заметимъ, что характеристика d относится къ темъ изменешямъ, которыя происходятъ при переходе отъ одной точки сфероида съ данной поверхностью къ другой точке этой же поверхности, а характеристика S предъетавляетъ изменешя, сопровождавшая переходъ отъ точки поверхности съ элемен­ тами а и е къ точке поверхности съ элементами a -f- Sa, е + Se, другими словами, характеристика S представляетъ

— 442 —

измФнешя, завиеяпуя отъ перемены a m е. Если обратимъ внимаше на второе и третье изъ уравненШ (3), то предъидущее уравнеше можно представить въ вид* (4)

Su =

eosco Su' -f- cosa Sa

дифферанцируя второе и шестое изъ уравненШ (3), имФемъ — cosu . sina. Sa, — cosa sinu . Su = — (cosu' sina -j- s*nu' cosa cosa') Su' — sinu . Sa cosu . costx,. SOL — sinoi sinu . Su = — sinu' sind Su' исключая Su, имФемъ cosu SOL= \ cosu'sina. sina-\-sinu (cosa cosa sina—sino:'. cosa) \ Su -f- sinu . sina . Sa. Обращая внимаше на четвертое и осьмое изъ урувненш (3) приводимъ последнее къ виду (5)

cosu . SOL = simù Su' -\- sinu sina Sa

Дифференцируя наконецъ третье и седьмое изъ уравнешй (3) и обращая внимаше на первое изъ нихъ, находимъ — cosu . simù . Sio —• sinu cosoy. Su = — sinu Su' — (cosu' sina + sinu' cosa cosa') Sa cosu . costo S(Ù — sinu sintù . Su = sina' cosa . Sa. исключая Su, имФемъ cosu . (5co = sinu simù . Suf + j cosu' sina simù -{+ cosa (sinu' cosa' simù + sina . costù) \ Sa но по пятому и девятому изъ уравненШ (3) им*Еемъ отсюда (6) . . . . cosu . Siù — sinu. simù . Su' -f- sina . Sa. Такимъ образомъ мы видимъ, что дифференщалы Su, S(Ù и Sa выражаются по Su' и Sa., первый определится изъ выражешя tang и' = tang^' \/l —е 2 , которое даетъ (7)

Su' = —

т

1 —е

sinu' . cosu'

—m— остается определить второй, для этого обращаемся къ s = а \\/{

— е2 . cos2u da

дифференцируя это выражеше относительно характеристики 8, имФемъ 8а 2

а

J

e8ecos22uи %_ , (V\sinu.cosu8u Çe*.sinu.cosuàu , , .Г Ге8есо$

__ .